Fördern im Mathematikunterricht der Primarstufe (Mathematik Primar- und Sekundarstufe) (German Edition)

Fördern im Mathematikunterricht der Primarstufe

Mathematik Primar- und Sekundarstufe Herausgegeben von Prof. Dr. Friedhelrn Pad berg Universität Hielefeld Bisher er sc hienene Bände :

Didaktik der Mathematik P. Bardy: Mathematisch begabte Gru ndschulkinder . Diagnostik und Förderung (P)

M. Pra nke: D idaktik der c,... unetrte (P) M. Franke: Didaktik des Sachrechne ns in der Gr u ndsc hu le (P) K. Hasema nn. Anfangsun terricht Mat hem atik (P)

K. Hcckmann/F, Padbe rg: Unterricht sentwürfe Mathema t ik Primarstufe (P) G. Kraut hausen/ P. Scherer: Einführung in die Math ematikdida ktik (P) G. Kru m mheucr/M . Fetzer: Der Alltag im Malhematiku nterr icht (P) F. Padherg: Didakt ik der Arit hme tik (P) P. Schere r/ E. Moser Opitz: Förder n im Math em at iku nte rricht der Pri marstu fe ( P) G. Hin ricbs: Mod ellirru ng im Mathe mati ku nterricht (PIS) R. Danc kwcrts/ D. Vogel:Analysis verständl ich u nterr ichten (S) G. Greefrath: Dida ktik des Sachrechneus in der Sekundarstufe (S) F. Padberg. Didaktik der Bruchrechnu ng (S) H.-J. Vollrath/Hi-C. Weigand: Algebra in der Sekunda rstu fe (S) H.-J. Vollrath: Grun d lagen des Mathemati ku nterrichts in der Seku ndarstufe (S) H.-G. Weigand/T. Weth: Computer im Mathem atikunterri cht (S) H.-G. Weigand er al.: Didak tik der Geomet rie für die Sekundarstufe [ (S)

Mathematik F. Padberg: Einführung in die Mat hematik I - Ar ithmetik (P) F. Padbcrg: Zahlent heori e und Arithmetik (P)

K. AppelllI. Appell: Mengen - Zah len - Zahlhereiche (PIS) S. Krau ter: Erlebnis Elementargeometrie (PIS) H. Kütt inglM. Sauer: Elementare Stochastik (PIS) F. Padberg. Eleme nta re Zahlent heo rie (PIS) F. Padbcrg/R. Danckwerts/M. Stein: Zahlhereiche (PIS) A. Büch ter/ l-l.. W. Hcnn : Elementare Analysis (S) G. Witt man n: Elementa re Fu nktio nen und ihre Anwendunge n (S) P: Schwerpunkt Prima rstufe S: Schwerpu nkt Sekun darstu fe Weitere Bände in Vorbe reitung

Petra Scherer / Elisabeth Maser Opitz

Fördern im Mathematikunterricht der Primarstufe

Aulor in ne n: Prof. Dr. Pctra Scherer Unive rsität Biclefeld Fakultät für Mathematik Prof. Dr. Elisaheth Moscr Opitz Universität Zürich Institut für Erztchungswtsscuschaft Leh rstuhl Sonderpädagogik

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e Spektrum Aka demischer Verlag Hcldclberg 2UlO Spekt rum Akademischer Verlag ist ein Imp rint von Springer 10

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Das werk clnschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich gesch ützt . Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzu lässig und stralbar. Das gilt insbesond ere für VervieWiltigungen, Übersetzungen. Mikroverfilmungen und die Einspeiche rung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Planung und Lektor at: Dr, Andreas Rüd inger, Ilarbara I.ühkcr Herstellung: Crcst Promedia Solutions (P) LId, Punc, Maharashtra, India Satz: Autorensatz ISBN 978-3-8274-1962-0

Vorwort

Im Unterricht finde n sich im mer Sch ulerin nen und Schüler, denen das Lernen allgemein oder speziell das Math ema tiklerne n schwerfällt. D ies hat sich nach wi e vor in den nationalen un d internationalen Lcistungs u b crprii fcngcn wie z. B.

P ISA 2006 bestätigt: »Trotz des insgesamt positiven T rends bleibt unvcrkcnn bar, dass in Deutschland nach wie vor ein erheblicher Anteil (15 bis 20 % der Sch ülerinnen un d Schüler) in den versc hiedenen Domänen zu den sogenannten Risiko schulern gezählt werden muss. [... ) D ie beric hteten Befund e zeigen rrorz der erfreulic hen Fortschritte, dass die Länder gezieltc Fö rderu ngen insbeso ndere der leistungs ach wach ere n Schulerinnen und Sch üler mit höchster Prio rität ange hen mussc n« (Möller/P rasse 2009, 37). In diesem Zusammenhang stellt sich die zentrale Frage, wie diese Schüle rinnen und Schüler geeign et gefördert werden könn en. Außerschulische Angebote sind manc hm al notwendig, überz eugen jedoch nicht immer hinsichtlich ihrer Qualität. D er wich tigste Fotderort ist nac h wie vor der Un terricht, un d zwar bezogen auf Präven tion und Förderung. \'Cir konzentrieren uns deshalb in uns eren l \ U Sführungen auf Fördermaßnahmen innerhalb des regulären Mathematikunterrichts bzw. innerhalb der Schule. D iese werden vorrangig von der Lehrp erson vorgenommen, d. h., die Lehrperson hat hier eine zentrale Aufgabe. Erfo rderlich sind neben einer angemessenen Einstellung und Grundhaltung gegenüber lernschwachen Schülerinnen und Sch ülcm Kom petenzen aus ver schiedenen D isziplinen: Zur Anwendung kommen vor allem fachliche un d fachdidaktische Kenntnisse aus dem Bereich der Mathematik, idealerweise ergänzt durch pädagogisches un d psychologisches \\'issen. D ie Lehreraus- und - fortbildung hat also zentrale Bedeutu ng, und zu diesem Auftrag will das vorliegende Buch einen Beitrag leisten. \'\'ir betrachten die Thematik un ter ver schiedenen As pekten und verdeutlichen dabei deren Viclschichcigkeit. Die Beleuchtu ng zentraler Bereiche mathematischer Le rnp roz esse und konkrete Beispiele sollen Hinweise sowohl für die Diagn ose mathematischer Leistu ngen als auch für die Gestaltung von Forder- und Unterrichtssituationen geben . D amit verbunden ist das .\ nliegen, möglichst viele lernschwache Schüle rinnen un d Sch üler bei der Bewältigu ng ihre r Schwierigkeiten zu unterstützen un d ihnen erfolgreiche mathematische Le rnprozesse zu ermöglichen.

VI

I Vorwort

D ie En tstehung dieses Buches wurde vo n verschiedenen Seiten unterstütz t. \'{'ir milchten an dieser Stelle Frau Barbara Lu hkcr für die angenehme Zusammen arbeit mit dem Springer Verlag da nke n. Ein herz licher D ank gilt auc h Frau Tanja Scyfarth, die un s in der Endphase der Manuskripterstellung hervorragend unterstützt hat.

Bielefcld / Z ürich, Mär/. 20 10

Pc rra Schcrcr/Elisabcrb Moser O pitz

In haltsverzeich n is

Forschungsergebnisse zur Situ atio n des Mathemati kunt errichts 1.1 1.2 1.3 1.4

Ergebnisse aus Vergleich sstudi en 1 Geschlechterd ifferenzen, Migratio nshin tergr und, Sozialstatus Mat hemat ische Inhalt sbereiche 4 Fo lgerungen f ür mat hemat ische Förderprozesse 7

3

2 Personenkr eis 9 2.1 r em schw äche. Rechenschw ache. Rechen st örunq . Dyskalkulie? 9 2.2 Schwierig keite n beim Erwerb der Grun dschulm at hem ati k 13

2.2.1 Grunds ätz liche Überlegunge n 13 2.2 .2 Spezifische Schwierigkeiten 2.3 Folgerungen

13

15

3 Kompetenzen der Lehrenden 17 3.1 Aktiv-entdecke ndes Lernen fü r alle Schü lerinnen und Schüler 3.2 Ro lle der Leh rperson en 19 3.2.1 Konstrukt ivistisc he Grun dhaltung der lehre nden 19 3.2.2 Diagnostis che Kompetenzen 22 3.2. 3 Fachliche und fachdidaktische Kompetenzen 25

17

4 Diagnost ik im Mat hemat ikunter richt 31 4 .1 Grundsätzlic he Überlegu ngen 31 4 .1. 1 Zum Begriff Diagno stik 31 4 .1.2 Anfo rderungen an d iagnost ische Met hoden und Inst rumente 42 4 .2 Fehleranalyse als diag nostisch es Inst rument

5 Förderung 49 5.1 Unterr icht sgestalt ung und - orqantsatlon 49 5.1.1 Äußere Differenzierung 49 5.1 .2 Innere Differenzierung 5 1 5.1 . 3 Natürliche Differenzierung 57 5.2 Produ kt ives Üben 61 5.2.1 Probl emat ische Gestaltung der Übungspraxis 6 2

33

VIII

I Inhalt sverzeichnis 5.2.2 Übung als Bestandtei l des Lernprozesses 64 5.2.3 Fehler im Lern- und Übungs prozess 66 5.2.4 Übungstypen 68 5.2. 5 Automatisierung 73 5.3 Arbeits mittel und Veranschaulichu ngen 75 5.3.1 Grundsä tzliche Überlegungen 75 5.3.2 Zum Ein satz von Arbeitsmittel n und Veranschaulic hungen 92 5.4 Ablösu ng vom zähle nden Rechne n 92 5.4.1 Prob lema ti k zählender Rechenstrategie n 5.4.2 Rechnen oh ne Ab zählen 95 5.4.3 Finger als Hilfsmittel zum Rec hnen? 100

83

6 Zentrale Inhalte des Mathematik unterric hts 101 6. 1 Arithmeti k 10 1 6.1 .1 Zahlbegr iffserwerb: Folgerunge n für den Anfa ngsu nterricht 101 6.1.2 Erarbeit ung des Einmaleins 117 6.1 .3 Dezimales Stellenwertsystem 129 6.1.4 Infor melle Rechenstrategien und schriftl iche Rechenverfahren 147 6.2 Sechrechnen 160 6.2.1 Rechnen mit der Sache - Hilfe oder Hindern is? 161 6.2.2 Bearbeitu ngsprozess bei Sachaufgaben 162 6.2.3 Schwierigkeiten im Bearbeitungsprozess 163 6.2 .4 Veränderte Aufgabe n 174 6.2 .5 Weitere g rundsätzliche Aspekte zur Förder ung 176 6.3 Geomet rie 179 6.3.1 Zur Leit id ee -Rau m und Form. 179 6.3.2 Raumvorstellung 183 6.3 .3 Au sgewählte Aspekte für die Fö rderun g 189

7 Rückblick und Ausblick 197 7.1 Kompetenzen der Lehrpersonen 197 7.2 Förderung 198 7.2.1 Grundsätzlic he Überlegungen 198 7.2.2 r örderhtnwetse zu verschiedene n Inhalt sbereichen 7.3 Au sblick 201

200

Inhaltsve rzeich nis

Abbildungsnachweis Literatur

Index

207

235

203

I IX

1

Forschungsergebnisse zur Situation des Mathemati ku nterrichts

Im vorliegenden K apit el wollen wir zunächst einen Blick -von außen, auf den Mathematikunterricht werfen, um die Ausgangss itu ation für die Th ematik >F(>cderung. :/.U kläre n. \'('ir werden dazu Ergebnisse nationaler wie internationaler Vergleichsstudicll heranziehen, da diese eine rseits einen allgeme inen Eindruck gebe n, andererseits in großem Maße die Bildun gspolitik und Prozesse in Schule und Unterricht beeinflussen. Hinsichtlich der mat hemat ischen Inhalte steht im Folgenden der Primarstufenhereich im Fokus, da dort die Grundlagen für viele mathematische Le rnpro zesse geschaffen werden und darüber hinaus die fehlen de n G rund lagen fiir viele Schwierigkeiten im Sekundars tufenbereich vcranrwortlieh sind (vgl. u. a. K ap, 6),

1.1

Ergebni sse aus Verg leichsst ud ien

D er Mathematikunterricht der Grundschule steht seit geraumer Zeit im Z entnu n von Forschung und sich verä ndernder Unterrichtspraxis. D abei geht es häu fig um Leistungen der Grundschülerinnen und -schi il er sowohl im internation alen als auch nationalen Vergleich (vgl. etwa \\ 'ahher er al. 2003; 2004-; 2008a) sowie um Fragen der Q ualitatscnrwicklung und -sichcrung bzw. ver bindlicher Standards oder tragfahiger G rundlagen (vgl. z. B. Bartnitzky er al. 2003; K MK 200S; W'alther er al, 2008b). D ie Di skussionen um die Leistungen von G rundschulkindern wurden und werden allerdings langst nich t so ausfüh rlich gefü hrt \....ie bsp w. die der Sckundarstufcnschiiler nach 'l U.[SS un d PISA (vgl. etwa Klicmc er al. 200 1). da hier vermeintlich geringerer H andlungsbedarf besteht: Im Rahmen der IG L U/ E-Studie lagen die Leistungen der deutsche n Grundschülerinnen un d -schiilcr deutlich oberhalb des inte rnationalen Mittelwerts (vgl. Walt her er al. 2003,2( 7), und auch in der ll MSS-Studie l 2007 erreic hte n die deutschen Vicrt-

1 S<:ir 2003 ~ t<:ht das .\ kw ll)'llI TI~ISS für Trmds;/1 b l/ ff/lati oM/ Ma/hu/lati rs alld Scimu 51111!1 (vgL \\'alth<:r<.:t aL 2008a, SO).

2

I1

Forsc hu ngsergebn isse zur Situat ion des Mathe matikun terricht s

klasslcrinncn un d Vicrt klassler einen Platz im oberen Drittel der Rangreihe (vgl. Walther er al. 2008a, 59 f} . Bezogen auf die Le istu ngsstreu ung zeigte D eutschland sowohl bei IG LU/ E als auch bei T IMSS 2007 im internationalen Vergleich ein eher homogene s Bild, währe nd bspw. die PISA-Studie :t.cigte, dass im Bereich der mathematis chen G rundbildung Deutschland zu den Ländern mit besonders großer Streuung gehört (vgl. Klicmc ct al. 200 1, 176). Bei diesen positiven Befunden für den Grundschulbereich ist jedoch zu berücksichtigen, dass bei der IG LU/ E-Studie etwa 19 % der deu tschen Grundschulerinnen und -schiilcr am Ende des 4-. Schu ljahres griißere D efizite im Fach Mathematik aufweisen (vgl. \\ 'alther er al. 2003, 2 16). Sie befin den sieh lediglich auf den erst en beiden vo n fünf Kompetenzstufe n (unterste Kompetenzs tufe I: 2 %; Kompetenzstufe Ir: 17 %). In der aktuellen TI1\ISS-Studi e 2007 fallt das Erge bnis noch etwas schlechter aus (vgl. \\ 'althe r er al. 2008a, 72): 4- % der Vicrtklasslcrinncn und Vicrtklassler erreic he n lediglich Kompetenzstufe T, 18 % das N iveau von Kompetenzstufe TI. Diese Ergebnisse zu solchen heterogenen Lei stu ngen decken sich mit zahlrcichcn nationalen wie internationalen Untersuchungen zu Math ematikleisrunge n bei Schuleintritt (vgl. etwa Grassmann ct al. 2002; van den l leuvc l-Panhuizen 1994-; für einen Überblick K rauthausen/ Scherer 2007, 175 ff.), aber auch zu anderen Zeitpunkten der Grundsc hulzeit (vgl. etwa Rarzka 2003, 22 1). Bei Schulanfangerinnen und Schulanfangern wurden zwar einerseits Kompetenzen festgestellt, die deutli ch höher waren als erwartet. Andererseits zeigten sich eine große I Icrerogcnit är und ein nicht unbeträchtlicher Anteil an eher leistungsschwachen Schülerinnen un d Schülern. Anz umerken ist, dass eine eher niedrige Lernausgangslage noch keine Festlegeng auf ein niedriges Leistungsniveau bedeuten muss: In einer Studie von Grassmann er al. (2003), in der sowohl zu Schu lbeginn als auch am E nde des 1. Sch uljahres mathematische Leistungen erhoben wurden, zeigte sich, dass die Klassen, die am An fang durch besonders gute Vorkenntnisse auffielen, nicht ide ntisch sein müssen mit denen, die am Ende der 1. Klasse die besten Leistu ngen zeigten. D as heißt, einer angemessenen Unterrichtsgestaltung und geeigneten Förderangeboten kommt eine zentrale Bedeutu ng zu. Für den Bereich der Forderschulcn können keine Ve rgleiche zu den genannten Vergleichsstudien herangezogen werden. Festzuhalten ist jedoch, dass einerseits das Fach Mathematik eines der Fächer ist, welches häufig für die Fordcrschulüberweiseng verantwortlich ist (vgl. z. B. Laogfeld r 1998, 108). Andererseits konnte in Studien für diese Schulform festgestellt werden, dass inn erhalb einzelner Klasse n große Leistungsunterschiede existieren (vgl. z, B. Mos cr Opitz 2008; Sche rer 1999a; Sche rer 2003a) und mi tunter ein eher niedriges Leist ungsnivca u in Kombination mit eine r groß(·n Streuung (\'gl. Scherer 2003a, 15).

1.2

1.2

Gesch lec hter differ e nze n. Migrat ionsh inte rgr und, Sozialstat us

I3

Geschl echterd ifferenzen , Migrati on shinterg rund , Soz ialstatus

D ie in Vergleichsstudien diagnostizier ten heterogenen Leistu ngen lassen ver schiedene Einflusse erkennen, die im Folgenden kurz beleuch tet werden:

Geschl echt D ie Ergebnisse der Vergleichsstudi en legen den Schluss nahe, dass im Ge gensatz zum Bereich Lesen in Mathematik eher die Mädchen ben achteiligt sind (vgl. Kliemc et al. 200 1; Frein / Möllcr 20W, 198). Im Rahmen von IG LU / E, aber auch von PISA war der Anteil der Mädchen innerhalb der Risikogruppe größer als der der Jungen (vgl. \,\'ahher er al. 2004, 133; Frcin/Möllcr 200-1) . Im Rahmen von T IMSS 2007 zeigte der internationale Mirrclwcrr keine Unterschiede zwischen J ungen und Mädchen, wahrend sich die Leistungen der deutschen vier rklässlcrinnen un d vicnklässler durchaus unterschieden: Deutschland geh ört »zu eine r Grupp e von 12 Staaten [... ], in denen die Math ematikleistung der J ungen signifikant besser ist als die der Madchcn« (\'\'alther et al. 2008 a, 64). D ie Befunde der IG LU"Studie wi esen für die Schulerinnen und Sch üler am End e der 4. K lasse ein ausgeglicheneres Bild au f als im Sckundarsrufcnb ercich. D ies deckt sieh mit verschieden en Forschungsbefunden, wonach sich gesc hlechtsspez ifische Unterschiede hinsichtlich der Mathematikleistu ngen mit zunehmendem Alter vergrößer n bzw. entwickeln (,-gI. G rassmann er al. 2002; Ratzka 2003; T icdcmann/ Fabcr 1994). Beeinflusst wurden die geschlech tsspezi fischen Unt erschiede dabei bspw. von der Art der Aufga be (z. B. .Andersort 200 2; G rassmann er al. 2002, 47 H.; van J en l Icuvcl-Panhuixcn / Vcrrnecr 1999) oder auch vo n der Erwar tungshaltu ng und Eins tellung der Lehrerinnen und Lehrer (vgL Ticdcrnann 20(0). D iese Faktoren wer den in Kap . 3.2 aus füh rlicher dargestellt.

Migrationsh intergrund und Sozialstatus Eine Reihe von Studien besc häftigt sich mit der Frage, ob und in welchem Aus maß Migrationshintergrun d und sozi ale I ierkunft Schulleis tungen bcc influsscn. Bei der IG LU-Studie konnte hinsich tlich der Abhä ngigkeiten der Leis tungen von Migra tionshintergrund und Sozialstatus gezeigt wer den, dass diese ver mu tlich in der G rundschu le scho n angelegt sind, sich jedoch erst im Sekun dars tufe nbereich deutlich verstarken (Schwippert er al. 2eHn, 300). D emgegenüber zeigte eine Längss chnittuntersuc hung (K indergarten bis 1. Schuljahr) aus der Schweiz (Mo ser et al. 20(8) bereits den Ein fluss im Kinderga rten: D ie Ausg angsmittelwerte de r soz ial privilegierten Kinder im Bereich mumcrische K ennmis se. waren höher als diejenigen der weniger pri vilegierten Kinder mit D eutsch als Zweitsprache. O bwohl die weniger privilegierten Kinder über drei Mcsszcirpunk re hinweg zum Te il größere Le rnfortschritte machten als die an-

4

I1

Forsc hungser ge bnisse zur Situat ion des Math emati kunte rricht s

deren Kinder, unterschieden sich ihre Leistungen bei einer letzten Testurig sib>nifikant von denjenigen der privilcgicrtercn Kinder. Auch T IMSS 2007 zeigte einen bedeu tsamen kombinierten Einfluss: »Bctrach rcr man die Kompetenzen der in Deutschland getesteten Grundschülerinnen un d G rundschülcr, so zeigen sich sowohl für die mathematische als auch für die naturwissenschaftliche Kompetenz jeweils stabile un d in ihrer G roßenordnung bedeu tsame E ffekte der sozialen I Ierkun ft und eines möglichen 1 ligrations hintcrgrun ds« (Bos er al, 2008, 16; Hervo rheb. i. Orig.). \'i/ eitere, z. T. größer angelegte bzw. inte rnationale Studien zeigen immer wieder einen Zusa mmenhang zwischen unterdurchschn ittlichen Leistungen und sozial benachteiligtem Milieu und / oder Migration shintergrun d (vgl. etwa Baum crt et al. 2UOl ; G rassmann er al. 2002; Lehmann/ Peek 1997; Sowder / \\'aerne 2006, 287). D ass unterschiedliche Leistungen der Sch ülerinne n und Schüler nicht unbedingt nur in ihrer Person , son dern imm er auch im System Mathematik/ Lehrperson/ Unterrich t zu suchen sind, versteht sich von selbs t (vgl. etwa Moscr Opirz 2007a; Scherer 1999b). O ftmals wird jedo ch zu einseitig gedacht, un d Verbesserungen zielen allein entweder auf die Perso n der Lern enden oder die der Lehrperson en . Letztlich sind Veränderunge n abe r nur von den versc hiedenen Seiten aus zu bewerkstelligen, auch wenn bisweilen die Kinder oder die Lehrerinn en und Lehrer me hr im Ze ntrum der Betrach tung stehen können .

1.3

Mat hematische Inhalt sbereiche

Es stellt sich die Frage, ob sich die einzelne n Inhaltsbereiche des Mathematikunterrichts in ihrer Schwierigk eit untersche iden, und hierzu ist ein differenzierter Blick erforderlich. In den größeren Vergleichsstudien. aber auch in vielen Le istungsüberp rüfungen dominiert die Überprü fung arithmetischer Inhalrsbe reiche. Dies trägt sicherlic h dem größeren Anteil der Anthmcrik im Vergleich zu den anderen Inh altsbereichen der G rundschulmathematik. G eometrie und Sachrcchncn, Rechnung. Die Festleb".lIlg und Benennung der zu überp rü fenden In haltsbereiche ist dabei nicht immer identisch : \'\'ährend die IG LU/E-Studie nach .kontextfrcicn Au fgaben', -innermathematischen Ko ntexten, und .außcrmarhcmatischcn Kontexten' differenziert (z. T. mit Überlappengen arithmetisc her und geometrischer Stru kture n; \'gl. \,\'alther er al. 2003, 197 f.), unr crscbcidct T IMSS 200 7 die drei Bereiche -Arirhmctil« (number'; , .C eo merrie/ Messcn- (geometrie sbapes und mel1JUrrs) und -D atcne (da/tl diJpltf)J (Walther er al. 2008a, SI). \'\'iederum eine andere Un terscheidung findet sich bei den zen tralen Le rn stan dserh eb ungen VElL\ (Vergleichsarbeiten in der Grundschule), die überdies im Verlauf dieses Pro jekts geändert wurde (\'gl. z. B. I Ielmke/I Ioscn feld 2003a; 2003b). So star tete VElL\ mi t der D ifferenz ierung in die Bereiche Arit hmetik, G eometrie und Suchrechncn, ging aber dann über zur Orientierung an den Inhaltsbereichen bzw. in-

1.3

Mathe mat isc he Inha lts be re iche

I5

haltsbezogenen Ko mpet en zen der Bildungsstandards .Zahlcn und Opcrationcn-, .Raum un d Form e, .Musrcr und Struk tu ren" .G roßcn und Mess en. sowie -D arcn, I läufigkeit und \'( 'ahrscheinlich keit< (ygl. Ki\ IK 2(05). VERA wählt in jedem J ahr für die Lernstands erhe bu ng schwe rpunktmäßig d rei dieser Bereiche aus, im J ahr 2008 bspw. die Bereiche ,Za hle n und Opcrationcn., -Raurn un d Fo rm' sowie .Musrcr und Srrukrurcn. (ygl. MS\\/ 2008a). Ex em pla risch seien einige Erg",'b nisse hinsichtlich der un terschie dlichen Ber...' iehe au fgeführt. So ergab sich in TH. [SS 2007, dass die Leis tungen im Bereich .Arithmerik. etwas unterhalb des Mirtelwerts Ma the m atik lagen, wä hren d die Lei stu ngen im Bereich .Gcomcrric / Mcss cn. wi e auch im Bereich -Daren. übe r de m Mittelwert lagen (Walther et al. 2008a, 74). In de r Lern standserhebung VERA 2008 schnitten die D rirtklasslcrinncn un d D rittklässlcr insgesamt recht er folgreic h ab, es zeig ten sich jedoch Unterschiede in de n verschiedenen Bereichen (vgl. 0. [5\\/ 2008a ). Insbeso ndere der Bereich sRaum un d Forme, aber auch der Bereich sMustcr und Strukturen. wurde vo n run d einem D rittel der Schülerinnc-n und Sch üler sicher bewä ltigt, d. h. sie waren in der Lage, auch ans pruchsvolle .Aufgaben der höc hsten N ivea us rufe zu lösen . D er Bereich >Z ahlen und O perati o ne n, dagegen wu rde weniger er folgreich bearbeitet. In diesem Zusammenhang ist zu beach ten, dass sich bei verschiedenen Me ssungen unterschiedliche Leistungen zeigc-n können. So war etwa beim Vergleic h der VE R.A-Ergebnisse 2007 und 2008 eine deutliche Verschlechtenmg im Bereich .Zahlcn un d Oper atio n en- erkennbar (vgl. A bb. 1.1). Alle rdings wird ko mmentiert, dass die VERA-2008-Aufgabe n deutlich anspruchsvoller waren als die Aufga ben des J ahres 2007 (ygl. MS\,\.' 2008a, 5). D ies ma cht eine generelle Pro blem atik deutlich: Die Leistungen der Schülerin ne n un d Schüler sowie die Au ssagen üb er schwierige ode r leichtere Inhaltsbereich e lassen sich nich t im mer direkt vergleichen, sondern er fordern relativierende Aussagen un d Betrachtungen . So wurden die fast immer eher schw acher ausfallenden Leistungen im Bereich des .Sachrechncns. bzw. .G roßcn und Messen, didaktisch mehrfach kritisch refle ktiert, sowohl hinsichtlich der ge\vählten Kontexte ode r der Aufgabenkonstruktion an sich als auch bezüglich der Rahme n bedi ngu ngen des Tests, die u. U. konträr zu übliche n wü nschenswe rten Arbeitsweisen im Bereich des Sach rcchnens stehen: Eine kriti sch e Reflexio n des Realitätsgehalts einer gestellten (eher unrealistischen) Aufgabe oder auch das eigentlich w ünschcos werte Validiere n des erhalte nen Resul tats (vgl. Kap . 6.2.2) konnten u. U. zu Fehllösungen (im Sinne der Tcsrkonstruktion) und erhöhtem Zeitaufwand führen (vgl. z. B. Ratz ka 2003; Scherer 200.fa; Schwätzer 2( 07).

6

I1

Forsc hu ngs e rgebn isse zur Situat ion de s Mathe mati kunte rricht s

NAW - Vergl ei ch sarbeiten Kl asse 3 CVEAA> Ergebn isse im Fach Mathem atik 2007 und 2008

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Abb il du ng 1. 1 Ergebn isse VERA 2007 bzw . 200 8 f ür den Bereich Mat hematik (MSW 2008 a, 6)

Di ese genan nten Schwierigkeiten , einen Inhaltsbereich insgesamt hin sichtl ich der An forderungen einzustu fen, verdeutlichen, dass eine differenzierte und detaillierte Betrachtung einzel ner Bereiche und spezieller Themen erforderlich ist, um Schülerinnen und Schüler mit Schwierigkeiten angemes sen zu fordern .

1.4

1.4

Folgerunge n fü r math ematische r örde rprozesse

I7

Folgerungen für mathematische Förd erprozesse

Auch wenn die genannten Studien zur Evalua tion der Schülerleistungen oftmals wenige Hi nweise auf individuelle Probleme der Schülerinnen un d Schüle r geben, sind sie als Anhaltspunkt und Zielorien tierung hilfreich un d können zumind est T rends anzeigen. D ies betrifft im Einzelnen die folgen den Aspekte:

•

Erforderlich ist eine kritische Re flexion von T est- und Diagnoseinstrumenten sowie der en tstehenden Ergebnisse (vgl. Kap. -1-).

•

D ie Sensibilität für eine heterogene Sch ülersc haft, bei der eine Risikogruppe besondere Aufmerksamkeit benötigt, muss erhöht werden. .Allerdings dürfen weder Schüle rinn en und Sch üler im mittleren Leistu ngsbereich noch die besonders Begabten aus de m Blick geraten, denn die Nichtberiicksichtigung des jeweiligen Po tenzials kann D esinteresse, Motivationsverlust un d in der Folge auch Lernschwachen entstehen lassen (" gI. z. H. Bardy 2007, 93 ff.).

•

Auch die Gruppe der .Risikokindcre ist differenziert zu betrachten, denn es existiert kein klar definiertes Pro fil (Kap. 2).

•

Die unterschiedlichen inha ltlichen Bereiche des Mathematikunterrichts und auch spezifische Inhalte eines Bereichs stellen unterschiedliche Anforderungen (vgl. auch Kap. 6).

•

N icht zuletzt sind die Kom petenze n der Le hrperson (u. a. fachlich und fachdidakcsch) entscheidend, was in Kap. 3 ausgefüh rt wird.

2

Personenkreis

2.1

Lernschwäche, Rechenschwäche, Rechenstörun g, Dyskalkuli e?

\'\'enn vo n besonderer Förderung im Mathematikunterricht die Rede ist, mus s geklärt werden, wer besondere Förderung erhalten so ll bzw. wer auf be sondere Förderung angewiesen ist. Sind es Kind er mit erheblichen Schwierigkeit en beim

Mathcmatiklcrn en, lern schwache Kinder , Kinder mit einer mathematischen Le rn stön mg, mit einer Rechenst öru ng oder D yskalkulic ode r K inder mit einer Lc rn behin deruog bzw. Schulerinnen und Schüler mit besonderem F örderbeda rf? Bezeichnen die verschiedenen Begriffe unterschiedliche Gruppen von Sch ülcrinncn und Schülern, und benötigen diese auch unte rschiedliche Fordcnnaßnahmcn? Diese Fragen sind nicht ein fach zu beantworten, da Schwicrigkcitc n beim Mathematiklerne n viele N amen haben und die Bezeichnungen je nach Quelle un d Sichtweise auch un terschiedlich verwendet werden. D as trifft nicht nur auf die deutschsprachige, so ndern auch auf die cnglischsprachigc Li teratur zu. Dort sind die Begri ffe matbematita f diJabi/ities, feam ing disabilitiu in mathematit1, leam ing diffiadties in mathematia, mademical!J' low mhieving stüdents in mathematirs, mathematicazl)' disabled rhi/dren oder slolV ieamers gebräuchlich. .Auch

diese Begriffe werden un einhcitlich verwende t (Maxaocco 2005, 319). Traditionell wurde (und wird) eine Un terscheidu ng gemacht zwischen Schülerinn en und Schülem, die beim Lernen umfängliche, lang andauernde un d schwerwiegende Beeint rächtigu ngen aufweisen, und Kindern, die eine ~oge­ nannte Teilleistungsstörung bzw. eine partielle Lernstörung zeigen und nur in einem Lernbereich zurückbleiben (D illing et a1. 2(05). E r~ tere wurden früh er als lernbehindert bezeichnet, die Schule war die .Son dcrschulc für Lernbehindc rtc-. I leute wird vo n .Scb ölcr inocn und Schülern mit sonderpädagogischem F örderbedarf im F ördcrschwerpunk t Le rnen, ge~ p roc hen, und die Schule heißt .Pö rdcrschulc mit dem P ördc rschwcrpunkt Lernen- oder .Schule für Lernhilfe(Krctschmann 2007, 6). Die KMK (1999) for muliert , dass son derpadagogisclicr Fordcrbcdarf dann gegeben ist, we nn die Lern - und Leistungsentwicklung von Kindern und J ugendlichen erheblichen Beeinträch tigu ngen unterliegt und auch mi t zusä tzlichen Lernhilfen der allgemei nen Schulen keine entsprechende For-

10

I2

Per sone nkre is

d cru ng gewährleistet werden kan n. Diese Sch ulerinnen un d Schüler sollen SOI1+ d crp adagogisch c Un rcrstu tzung erha lten, un d es erfolgt eine Zuweisung an eine Fordc rschulc mit dem Fordcrsch wcrp unkt Le r nen oder zu beso nderen Maß nahmen innerha lb des .G cmcinsamcn Unterrich ts. (z. B. 1\[S\\' 2009, § 20). Dort werden die Kinder und J ugendlichen nac h speziellen Le hr- ode r Bildungsplänen des F ördersc hwcrpu nkrs und mit entsprechenden Lchrrnitreln unterrichtet. D as diesen zugrunde liegende Le hr- und Le rnverständnis unterscheidet sich oft von demjenigen des Rcgclu nrcrrichrs. An Regelschulen hat sich in den letzten J ahrz eh nte n die Konzeption des aktiv-entdeckenden und sozialen Le rncn s weitge hend d urchgesetzt (K raurhauscn/Scherer 2007, 11 1 ff.; \'\'inm;tn n 199 .i ; \'\'inm;tn n/;.. riiller 1990, 1992). K en n zeichen dieser K onzeption sind die Konzentration auf die Grundideen des Fachs und die allgemeinen Lernziele, die Sparsamkeit in den Ans chauung s- und Arbeitsmitteln, die ga nzheitlic he Erarbei tun g vo n Zahlenräumen un d produktive Übungsformen (\Vittmann 1995). Diese Konzeption ist gerade auc h für Sch ülerin nen und Schü ler mi t Beeinträch tigu ngen hilfreich, da diese durch die Fok ussierung auf xlas \,\'esentli ch e
Es ist unbestritten, das s der Mathema tikunterricht für Schülerinnen un d Schulcr mit Fordcrbc darf im Fordcrschwcrpun kr Lernen ang ep asst und der Lernstoff gezielt ausgewählt werde n m uss. D ies da rf jedoch nicht nach dem Prinzip xlieselbcn Lern inhalte - nu r langsame r und klcin schrirtigc« gescht'h en, sondern mus s sich an für de n m athem atisch en Le rnpro zess zentralen In halten orientieren und auf der Grundlage von fachlichen Überlegu nge n und Erkennt nisse n aus empirischen Unt ersuchungen geschehen (für Beispiele " gI. e tw a Schmassmanny Mos er Opitz 200 8b, 57 f.). Teilleistu ngs- bzw. Rechens tö runge n werden in der Regel nach den Vorgabe n der \'\'d tgesun dheitso rg.tnisatio n defi niert: »Dicsc Störung besteht in einer um sch rieb enen Beeinträchtigung von Rechen fertigkeiten. die nicht allein dur ch eine allgem ein e Inrclligco zmin dcru og oder eine una ngemessene Reschulung er klärbar ist. D as D efizit be trifft vo r allem die Beherrschung gru ndlegender Rechen fertigkei ten wie Addition, Subtraktion, Multi plikation und Division, weniger die höheren mat hematischen Fcrtigkcitcn« (D illing er oll. 2005). D iagnostiziert wird eine Rechenstörung oft nach den K riterien der Weltgesund-

2.1

l e rn sc hwäc he, Rechen schwäche . Rec hen st ö run g, Dysk a lkulie?

I 11

heitso rganisatio n auf der Grundlage der Ergebn isse eines Inte lligenztests un d eines standardisierten Mathem atiktests (jacoba/ Petcrma nn 200 5a), wo bei auch hier die Testinst ru m en te nic ht einheitlich und d urchaus kritisch zu reflektieren sind (für detaillierte .A nb~ be n ygl. K ap. -t) . D iese Autoren unte rscheiden je nach D iskrepanz von IQ und Rechenleistung zwischen Rechenstörung un d Rechenschwä che . D ie Schwierigkeiten von Kindern, bei denen eine große D iskrepanz zwischen Rechenleistung un d den allgeme inen kognitiven G rundfähigkeiten besteh t, werden als Rechenstöru ng bezeichnet, bei einer kleineren D iskrepanz wird von Rechen schwäche ges prochen. Sch ülerinne n und Schüler, bei denen eine Rechenstö ru ng oder eine Reche nschwäche festgestellt wird, verbleiben in der Regelklasse und erh alten ma nchmal bes onde-re r iirden mg. Allerdings bestehen in den meisten Bundesländern keine rec htlichen An sprüche auf solche Unterstützung (Marwcgc 2007), und so wird diese oft von den Eltern sowohl initiier t als auch finanziert und findet in der Regel außerhalb des Klassenunterricht s in Form H)O Lerntherapie statt, D abei wird versucht, parallel zum aktu ellen Schu lstoff die bestehenden Lücken aufzu arbeiten. D ies gesc hieh t in unterschiedliche n Formen und in unte rsc hiedlicher Q ualität: manchmal in Koo peration mit de r Schule oder auch davon losgel()st; ma nchmal von ausgebild eten Fachp ersonen oder aber von Personen ohne spezi fische Ausbildung un d ohn e pädagogischen Bezug; m anch m al auf der Basis von anerkann ten und fachlich du rchdachten F örderkonzepten oder aber auf der G run dlage vo n fragwürdigen Th erapiefo rm en. die wen ig mit Mathema tiklernen zu tu n haben. D ie eben beschriebene Eint eilung in versc hiede ne )Typen< von Sc hüleri nn en und Schülern mit Pro blem en beim (Mathem atik-)Lc m en un d insbesondere daraus folgenden un tersc hiedlichen Un terstützungsmaßnahmen wer den aus mehreren G riind en kritisier t. Erstem zeigte sich das IQ-Kriterium als wenig stabil un d zuverlässig (Francis er al. 20(5). Z weite m zeigen Un ter suchungen, dass Kinder auf unterschiedlichen In telligenzniveaus un d auch Kinder m it un d ohne kombiniert e Störungen (L ese-Rechtschreib-Schwäche un d Schwierigke iten beim Mathcm atiklerncn) bei den gleiche n Au fgaben Schwierigkeiten zeigen bzw. dieselben Fehler mac hen (Moser Opitz 2007a; Parm ar er al. 1994; van de r Sluis er al. 2(04). D amit wird das verb reite te Vers tändnis von Reche nschwäche als Teil leistungsstörung m it einer D iskrepanz zur Intelligenz und zur LeseRechtscbrcib-Lcisrung infrage geste llt. Allerdings sche inen sich die Schwie rigkeiten bei Lernenden mit tieferen kognitiyen Grundfähigkeiten bzw. bei Lernenden mit kombin ierten Störungen deutlicher zu zeigen als bei solchen mit isolierten Pro blem en im Fach Mathem atik (van der Sluis er al. 2(04). Eine weitere Schwierigkeit bezüglich der D efinition von Pro blemen beim Mathe matiklernen stellt die Di agno se von schwachen Mathematikleistungen dar (\'gl. Kap . 4). Je nach Instru m en t und dem dort verwend eten Kriterium (G renzwe rt) werden jeweils and ere Kinder als .lcrnsc bwach- bezeichnet. Die Abhängigkeit der D iagnose schwacher Mathema tikleistungen von unterschiedlichen G renzwerten lässt sich anband einer Studie von Murph y ct al. (2007) illusrric-

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I2

Per sone nkre is

rcn. Sie untersuchten über de n Zeitraum von drei J ahren (Kinderga rten bis 2. Schulj ahr) zwei Gruppen von Kindem mi t Rechenschwache. die eine Gruppe mit sehr schwachen Le istu ngen (bis zur 10. Pcrzcn tilc in einem standardisierte n Mathcmatikrcst] und eine Gruppe mit etwas besseren Leistungen (zwischen der 11. und 25. Peracnrilc}, sowie Kinder ohne Rechenschwierigkeiten. Zusätzlich zu den Marbematiklcisrungco wu rden D aten zu den kogoirivcn Gruodfähigkeiten, zum Le sen, zum Arbeitsgedächtnis und zu visuell-raumliehen Fähigkeiten erboben. Es wu rde vermutet, dass sich die drei Gruppen sowohl bezüglich der A usgangsleistung als auch bezüglic h der Fortschritte und hinsichtlich der verschiedenen anderen gemessenen Merkmale unterscheiden werden. Obwohl die schwächste J .eisrungsgruppc iiher einen Ze itraum von d rei j ahren arn wenigs ten Fo rtschritte ma chte und auch nach dieser Zeir noch die schwächsten Mathemanklcistungcn zeigte, war es in dieser Studie nicht möglich, ein konsistentes Profil der un terschiedlich schwachen Rechnerinnen und Rechner in den beide n G ru ppen der lernschwachen Schülerinnen und Schüler zu beschreiben. Ein alternativer Ansatz versucht desh alb, nicht Gruppen vo n Schülerinnen und Schülern zu definieren, sondern zu untersuchen, welche Schwierigkeiten diese beim Mathematikerwerb haben. Dieses Vorgehen ist darum von Bedeutung, weil es möglich wird, die Schwierigkeiten der Sch ülerinnen und Schüler bez ogen au f den mathematischen Inhalt zu beschreiben und dadurch Grundlagen für die Di agn os tik un d Forderung abzu leiten. Es geht dabei nicht mehr um das Feststellen einer Störung bei einze lne-n In dividuen, sondern um die Beschreibung von mathematischen Inhaltsbereichen. bei deren E rwe rb (häufig) Schwie rigkeiten auftreten. Lorena/Radara haben dies wie folgt formuliert: »Die aktuellen Fo rschungsansätze sehen in lernschwac he n Schulern keine Gruppe, die sich in ihrem Lernverhalten qualitativ vo n ihren Klassenkameraden unterscheidet. A llerdings ist an ihnen in pointierter \'{'eise zu beobachten, welche kognitiven Fahigkcircn der Math em atikun terr icht forder t, bzw. welche Defizite zu Srorungen im mat hemarisehen Begriffserwerb führen und welche methodischdidaktischen Fallstricke m i)glich sind, auch we nn ihnen die meisten Schüler nic ht zum O p fer fallcn« (Lorcnx/Radarz 1993, 29). Ei nige Erkenntnisse zu solchen »l-allstric kcn« oder »fchlc ranfiilligcu Lernbercichcn« (K rauthausen/ Scherer 2( 07) werden im Fo lgenden dargestelle die betroffenen Schülerinnen un d Schüler bezeichnen wir als .lcrnscbwach-, und zwar unabhängig von den Ursachen und dem G rad der Beeinträchtigu ng.

2.2

2.2

2.2 .1

Schwierigke ite n bei m Erwerb der Grundschulm at hematik

I 13

Schwierigkeiten beim Erwerb der Gru ndschul math emati k Grund sät zli ch e Überlegungen

Schwierigkeiten beim Mathematiklernen zeigen sich immer in unterschiedlicher Fonn un d auch in unterschiedlicher Aus prägung. Sie kön nen bei einzelnen Sch ülerinnen und Schü lern bei spez ifischen Th emen und nur temporär auftreten, sie können sich bei bestimmten .Aufgaben zeigen oder aber sich in tiefgreifenden Pro blemen äußern, die zu gro ße n stofflichen Lücken und damit verbunden zu einem großen Leistungsrückstand füh ren. Zuerst wird au f Lernbereiche eingegangen, bei denen sich o ft Schwierigkeiten zeigen bzw. die fehlerauf.'illig sind; anschließend folgen Ausführungen zu Unte rsuchungsergebnissen zu spezifischen Scbwicrigkcireo von Schülerinnen und Schülern mit Problemen beim Mathematiklernen.

Ein Themenbereich. der vielen Schülerinne n und Schülern Schwie rigkeiten bereitet, ist das Dividieren (Cawlcy er al. 200 1, 31H; Moscr Opitz 2007a, 250). Beso nders anspruchsvoll ist die schriftliche D ivision, da drei verschiedene O perationen angewendet werden mü ssen: das Dividieren, das Multiplizieren (multiplikative Umkeb raufga be) und das Subt rahieren beim Ermitteln des Restes. 'x'eirere Bereiche, die für viele Schülerinnen und Schüler anspruchsvoll sind, sind das Rechnen mit der N ull (Kornmann et al. 1999), das Schätzen, Runden und Überschlagen (Blankennagel 1999; van den Hcuvcl-Pa nhuixcn 200 1, 173) und das Problemlösen (Monraguc/Appclgarc 2000), insb esondere beim Bearbeiten von komplexen T extaufgaben (Stern 2005).

2.2 .2

Spezi fi sch e Schwierigkeiten

Eine Reihe von Untersuchungen beschäftigt sich mit der Frage, ob es bestimmte mathematische Inhaltsbereiche gibt, bei denen Kinder mi t Problemen beim Mathcmati klcmcn besond ere Schwierigke iten haben. Dazu werden einige Forschungsergebnisse dargelegt.

Probleme beim Automatisieren und zählendes Rechnen In einer großen Anzahl von Studien (z. B. C eary 2004; J ordan/ I lauich 2000 ; Mabot r/ Bisanz 200H; Moscr O pirz 2007a; O stad 199H; Schäfer 2005) wird belegt, dass lernschwache Schülerinnen und Schüler Schwierigkeiten haben mit der Rechengeschwindigkeit bzw. beim A brufen von Kop frechenaufgaben . Viele dieser Kinder verwenden bis über das Grundsc hulalter hinaus Abzahlstrare-

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I2

Per sone nkre is

gien (Finger, leises verbales Zählen, Hilfsmittel), um Rechenaufgaben zu losen (ygl. Kap. 5.4).

Schwierigkeiten beim Zäh len Es wurde meh rfach nachgewiesen, dass lernschwache Schülerinnen un d Schüler über geringere Zählkom petenze n verfügen als Kinder ohne Schwierigkeiten (C cary 200-1; /'. [05('1' O pirz 2007a; Murphy er al. 2007). Eine sichere Zählkompe tenz ist wichtig, um die Anza hl der Objekte einer Menge zu bestimmen und den An zahlbegriff (kardinales Zahlvcrs tändnis) zu erwerb en (K rajcwski 2008a, 2008b; Condry/Spclkc 200S). Sie ist aber auch G rundlage für die Einsicht in d en Aufbau der Zahlreihe (o rdinalcr Zah las pc kt). Mo scr Opitz (2007a) wies nach, dass lernsc hwache Schillerinnen und Schüler im 5. und 8. Schuljahr sib'1li +

fikant schlechte r in Schritten größ er als 1 (z. B. 185, 187 . ..) zählen konnten als Kinder ohne Schwierigkeiten. In der Studi e von Murphy ct al. (2007) zeigte sich, dass die Kinder mit schwache n Mathematikleistungen die Za hlfehler. die die T estleiterin absichtlich machte, weniger gut iden tifizieren kon nten als Kinder ohne mathematische Le rnp robleme. Fehlende Ei nsicht ins dezimale Stellenwertsystem

Le rnschwach e Schulerinnen und Schü ler zeigen oft Schwierigkeiten beim Verständnis des Dezimalsystems: beim Bündeln und E ntbü ndeln, bei der Stellenwerts chre ibweise un d beim Verständnis des Z ahlenstrahis (Cawlcy er al. 2007, Mosc r Opirz 2007a, Schäfer 2005; vgl. Kap . 6.1.3). Da mit fehlt ihnen eine zcn rrale G rundlage für den arithm etischen Lernprozess (van de \\'alle 20( 7). D as D ezimalsystem hilft, Beziehungen zwische n den Z ahlen herzustellen sowie das ,\\ 'ie und \\'arum' von Rechenstra tegien zu verstehen (Pcdrorty Bryan t ct al. 2( 08). Wenn Kinder z. B. das Bünd clun gsprinzip (10 E iner werden zu einem Zehner umgetauscht, 10 Zehner zu einem I Iunder ter, 10 I Iundcrtcr zu einem T ausender usw.) nicht verstanden haben, fehlt ihnen die Einsicht in den Zahlaufbau und damit die Grundlage für Rechenop eratio nen. Kinder, die den Aufbau des Zahlens trahle nich t verstanden haben, haben Schwierigkeiten im Umgang mit Messgeräten bzw. mit Skalen und scheitern in der Folge oft beim Erwer b von G rößen un d Maßen. Mange lnde s Operationsverständnis und Schwierigkeit en beim Prob lem läsen

Eine weitere Schwierigkeit von lernsc hwachen Schülerinnen und Schü lern stcllen das mangelnde Operationsverständ nis lind damit verbunden Probleme mit dem Mathematisieren dar. Die Matbcmatisicrungsfäbigkcir gehört zu den allgemeinen mathematischen Le rnzielen, de n prozess bezogenen Kompetenzen (vgl. KMK 2005), und es geht dabei daru m, die .v crbindung. zwischen Mathematik un d Situationen in der Wirklichkeit und umgekehrt herzustellen (Krauthausen /Scherer 2007, 78). Viele lernschwache Schu lerinne n un d Schüler kon -

2.3

Folger un ge n

I 15

ncn diese Verbind ung nich t bzw. nich t bei allen O pera tio nen hers tellen (Moscr O pirz 2007a, 205 ff.). In der Folge scheitern sie beim Erarbeiten der G run do pera tio nen. Ein Beispiel kann dies veransch aulichen: Schulerinnen und Schüler in Klasse 5 und 8 hatten die .i\ u fga ben 12:4- = 3 für ein ander es Kind mit einer G eschich te, einer Zeichnung oder an einem Arbeitsmittel zu veransc haulichen. Während dies den Schülerinnen und Sch ülern ohne Rechenschw ierigkeiten gelang, scheiterte n viele lernschwache Kinder. Mangelnde Probl emlös efähigkeiten geltm als eine H aup tschwi erigkeit YClIl viclcn Schülerinnen un d Schülern - nicht nur von denjenigen mit schwa che n Mathema tikleistungen - und kön nen eine Folge der beei nträchtig ten Mathemarisicrungs fahigkcit sein . Monraguc und Appclgatc (20()()) weisen darauf hin, dass Pro blemlosen gru ndsä tzlich anspruc hsvoll ist un d komplexe D enkprozesse, d. h. das Durcharbeiten verschiedener Schritte, erfordert. Zudem spielen unterrichtliche As pe kte eine Rolle. Viele Textau fgabe n. die in Schulbüchern vorkom men, erfo rdern keinen Mathe m atisjerungsproz ess, sind rcalirats fern und dienen einseitig zum Üben eines bestimmt en Au fgabentyps ("gI. xusammenfassend K rauthausen / Scherer 2007, 8~ ff.; Kap. 6.2). D as führt dazu, dass Schülcrinncn un d Schüler sich an sogenannte n Schlüsselwörtern wie -mch r-, .wcniger<, » usammcn. orientieren, o hne auf den Kontext zu achten (Xin / Ji tendra 1999). \'X 'enn die Aufgabe z. B. laute t, »Lukas hat 25 Comich cftc, Katja hat 3 I le fte m ehr als Lu kas. Wie viele I Ieftc hat Lu kas>«, füh ren die Kinde r au fgrun d des \,\'ortes .mehre die Rech nun g 25+ 3 = 28 aus. D ie K om plexität der Sache, aber auch individuelle un d unterrichtliche Aspekte führe n somit zu Schwie rigkeiten beim Problemösen.

2.3

Fo lgerungen

Vor dem H int ergru nd der dargestellten Forschu ngsergebnisse kan n die Pcrsonengruppe, di e besondere Unters tüt zung beim Marhcm ariklcm cn brauch t, wie folgt beschrieben wer den: Es hand elt sich dabei zum einen um Kinde r und J ugend liche, die tem porär und bei der Bearbeitu ng vo n spezifischen Inh alten Schwi erigkeiten zeigen. Zum anderen geht es um Schü lerinnen und Schüler, die im Vergleich zur Altcrsgruppe einen sehr großen Le istungsru ck sta nd aufweis en . D ieser zeigt sich insbesondere daran, dass die betro ffenen Schü lerin nen lind Sch üler spezi fische und zentrale Aspekte der G rundschul m athem atik nich t verstand en haben bzw. beim Erwerb dieser In halte scheitern und bestimmte stoffliche H urde n nich t oder nur teilweise bewältigen können. D ies kan n sowohl Schülerinnen und Schüler betreffen, die eine F ördcrscbulc mit dem Fördcrschwerpunkt Lernen besuchen, als auch Kinder un d J ugendliche in Regd klasscn. Als Ursache wird ein komplexes Zusammenspiel verschiedener Faktoren ange nommen (Lan dcrl/ Kaufrnann 2008, 143). So spielen individuelle Voraussetzungen eine Rolle (vgl. zusammen fassend Moscr O pitz 2009a; auch

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I2

Per sone nkre is

Opitz 2007a). Es gibt jedoc h auch eine Reihe von Hinweisen, die nah elegen, dass Schwie rigkeiten beim Math em atiklernen durch die Ar r und \\'eise, wie Math ematikun terr icht ges taltet wird, mitbestimm t werden. \\'cn n im Mathematikunterricht z. B. eins eitig das Au swendiglernen von nich t verstande nen Algorith men oder der Abru f von Faktenwissen betont we rden, verhindert dies Einsicht in ze ntrale m athematische Konzep te ("gl. Kap . 5.2). Es spielt auch eine Rolle, welche Hilfsmittel und Vera nsch aulichungen verwendet werden (vgl. Kap . 5.3). Zudem habe n Ili11 Cl al. (ZOOS) aufgezeigt, dass die Leisrungen der Schülerinnen und Schüler auch vom Fachwissen der Leh rperson (z. B. der Ana lyse verschiedener Vergehensweisen bei den Rcchcnopcrationen) abhängig sind (yg1. auch Kap ..1). G erad t' diese u n terrich tlich en Fa kto ren führen dazu , dass sich tempo räre sowie gro ße und anda uern de Schwierigkeit en in identischer oder zumindest seh r ähnlicher Form zeige n können.

1 [0 $('(

Au f un terrichtliche l\[()glichkeiteIl, Schwierigkeiten beim Math em atiklernen vorzubeugen bz w. Fördermaßn ahmen zu erg reifen, wird in de n folgenden Kapi teln eingeg ange n.

3

Kompetenzen der Lehrenden

3.1

Ak tiv- entdeckendes Lern en f ür all e Schül erinn en und Schül er

D as aktue lle Verständnis von Lernen und Lehren ist durch eine konstruk tivistische Grundposition gekennzeichnet (vgl. vo n G lasersfeld 1994), bei der Eigenaktivität und -vcranrwortung sowie die Selbstorgan isation im Vordergrund stehen. D iese Sichtweise betrifft dabei nicht nur den Mathematikunterricht. son dern kann als interdisziplinäres Paradigm a gesehen werden (vgl. Schmidt 1987) . Ansätze :/.U dieser Position waren durc haus schon zu Beginn des letzte n J ahrhund ert s anzutreffen : Schon 1927 hielt Kühne] in seinem -Neubau des Rechenunrcrrichts . fest: "Beib ringen, darbieten, über mitteln sind vielmehr Begriffe de r Unrerrichrs kunsr vcrgangcncr Tage und haben für die G egenwar t geringen \" ert . [... ] Und das Tun des Schülers ist nicht mehr auf Emp fangen einges tellt, so ndern au f Erarbeiten. l\'icht Leit//ng find Rezeptil)ikit, sondern O'J,tlnistltion find Aktivität ist es, was das Leh rve r fahren der Zukun ft kcnnxcichncr« (Kühncl 1959, 70; H ervorheb. PS/ E l\lO). D ennoch hat sich diese Position nicht durchgese tzt. son dern der Unterricht wurde in der Folgezeit in eine r bchaviori stisehen Orienti erung als O rt der Belehmng und das Lern en eher pu/xiI) gesehen (vgl. D cwcy 1976; Iloit 20tH). Es dominiert en Bclchn mg, K lcinschrittigkeit bzw. der systematisc he Au fbau der Lerni nhalte, verbunden mit einer extensiven Übungspraxis ("gl. hierzu \,\'cmbcr 1988; \\'intcr 1987, 9; \\'ittmann 1990, 15.t

ff.). In Anlehnung an den Ko nstru ktivismus "ollzog sich Mitte de r 1980er Jahre ein Paradipmenwcchsel: D er Erwerb von Wisse n wird nun als konstruktive Aufbaulcisrung des Ind ividuums verstanden, und Le rn en vollzieht sich nicht durch puHive Aufnahme und Reprod uktion, son dern durch tlktive Au fbauleistung un d Rekonstruktion (vgl. Freudenthai 1991; G insburg /Opper 199 1, 2 18; Piagc t 1999,1 80; T reffers 1991,24-). Winter (199 1, 1) hält fest, dass das Lernen von Mathematik umso wirkungsvo ller ist, je mehr es auf »sclbstandigcn cnrdcckcri sehe n Untcrnchmungcn« beruht.

18

I3

Kompetenzen der Lehrenden

Eine präzise Definition von entdec kendem Le rn en ist grundsätzlich schwierig, insbesondere wenn es gilt, Folgerungen für die unterrichtlich e Gestaltun g zu definieren . »Enrdcckcndes Lern en - ode r Hntdcckcnlasscn, Nacherfinden - ist eher eine umfassende Idee vorn Le rnen und Lehren und weniger ein eindeutig bestimmbarer, bcobachrbarcr Le rn vorgang. A ls Lei tide e bedeutet es, das s Ma thematik auf den E benen des Wisse ns und Könnens, des Vcrsrehcns und .\ 0wendcns durch aktive s Tun und eige nes Er fahren wirkungsvoller geler nt wird als du rch Belehrung und gelenktes Erarbeiten. Ver ste hen wird hier als ein individuell bestimmter Vorgang verstanden, de n jedes Kind konstruktiv hervo rbringt- (H cngartncr 1992, 19). Zur Verdeutlichung dieser Leitidee findet sich hei \'{'inter (198-1-;t; 1991) hzw, Wittm;tnn (1990, 1.12 ff.) eine G egeniiherstellung von -Lcrn cn durch Entdeckenlassen- eine rseits und .Lcrn cn durch Belehru ngandererseit s. D ie Eigentätigkeit der Lern enden steht im Vordergrund, und zwar in allen Phasen des Le rn pro zesses (vgl. z. B. \\'inter 1991; \,\'ittm ann 1992). Dies hat Konsequenzen fur die G estaltung von Unterricht und Forderung: Insbeso ndere ist es erforderlic h, den Kindern möglichst viele Gelegenheite n zum eigenständigen und entdecken den Lernen zu bieten (vgl. auch K ap. 5.1). Au f den gerade für lernschwache Schü lerinnen und Schüle r wichtigen Bereich des .produktivc n Übens<werden wir in Kap. 5.2 detailliert eingehen . Beach tet werden muss dabei natürlich, dass die Verbindung zwisch en eigenen \\'issenskonstruktionen und der Mathem atik - den ma thematischen K o nventionen - vollzogen werden muss (Lampen 1990), der \'{'eg vorn .Singularcn zum Regulären- (G allin/ Ruf 1990). Dieser \\'l"g gelingt umso bess er, je mehr Anknüpfungspunkte im eige nen \\'issen vorhande n sind. Da s Fehlen de rartiger Anknöpfungspunkrc ist ein häu figer G rund für Lernschwierigkeiten im 0.1athematikunterricht (G ins burg 1977, 125) . In Ab grenzung etwa zum Prinzip der Isolierung der Schwierigkeiten ist ein bedeutsamer Unte rschied zu erken nen: Gemäß Piagcts Äq uilibratio nstheo r ic (A ssim ilation und Akkommodation) ist Lern en nicht die Anhäu fung isolierter Ein zelfakten. so ndern die Verb indung zwisc he n ncucn Wissen selementen und bereits Gelerntem (vgl. H olt 1969,91 ; Srcffc 199 1; Wirtmann 1981, 77). So ist »Einsichr kein glo bales un d endgültiges, so ndern ein lokales (auf subjektive Er fahn mgsbereiche eingeschränktes) und instabiles E reign is. Man kan n und m uß ein \\'issen d ur ch beständiges Reak tivieren, Um wälzen, Neuordnen im \'{'ege des entdeckenden Lcmcns ausbauen, festigen, verfeinern, vertiefen, verallgem einem- (\'{'inter 198-1-a, 9). Kon kret beschränkt sich bspw. das Rec hneu nic ht nur auf das Auswendiglern en von Zahlenkombinationen ode r das Einprägen von arithmetischen Gleichungen. Rec hnen ist der Aufbau und das Erweitern, Abrufen und Anwenden num erischer N etzwerke (vgl. jost 1989, 5 f.). Ein derartiges N etzwerk aufzuba uen, liegt einerseits in der Eigen \'era nt\vortung der Lernenden: »Dicscs \,\'issen kan n der Lehrer nicht wcrmitrcln-, und das Ver stehen nic ht lehren. \\'issen kan n nur vorn Schüle r selbst entwickelt, Verständ nis nur vorn Schül er aufgebaut wcrdcn« Oost 1989, 8 f.). Dennoch kommt

3.2

Ro lle der Lehrpe rso nen

I 19

der Rolle der Leh rperson entscheidende Bedeutun g zu, was wir in den folgende n Abschnitten gen auer darstellen wollen.

3.2

Rolle der Lehrpersonen

Das Th ema .Fördcrung- ist nicht nur für den konkreten Unterricht, d. h. für die konkrete Gestaltung vo n Lern - und Fotderpr ozessen zentral, son dern auch fiir de n Bereich der Lehrerbildung. E s geht hierbei u. a. um die Klärung notwendiger Kompetenzen von Lehrpersonen. und so wird die Th ematik in den Standards für die Lehrerbildung (Ki\lK 20U8) in versc hiedenen Zusammenhängen betont: »Diffcrcnzicrung, Integration und Fo rdcrung« sowie »Diagn os tik, Beur teilung und Beratung« werden als inhal tliche Schwe rpunkte der bildungswissenschaft lichen Aus bildung hervo rgehoben und für entsprechende Kompetenz bereiche konkretisiert (ebd., 11). D es ' x'circrcn wird etwa als mathematikspezifisches Kompetenzprofil geforde rt, Mathe matiku nterricht mit heterogenen J..ern gruppen auf der Basis fachdidaktische r Kon zep te analysieren un d planen zu können. Konsequenterweise sollte n »fach didak tische Diagnoseverfahren un d F örderko nzcptc« sowie »marhcmatikbczogcnc Lchr-Lcrnforschung« (etwa zur Fchlcranalysc) zu den Studi enin halten zählen (cbd., 43). Diese Forderungen betreffen alle Schul formen und -stu fcn. Für den Bereich der Fö rderung von Kindern mi t speziellen Leistun gsschwachen im Bereich Mathematik der Grundschule wird dies jedoch noch einmal exp lizit formuliert (cbd., 61). Im Folgenden werden exem plarische Aspekte der fachwissenschaftlieb en wie auch der fachdidaktische n Kompetenz von Lehrpersonen diskutiert.

3.2 .1

Konstruktivi sti sche Grundhaltunq der Lehr end en

Wie in Kap. 3.1 ausge führt, soll Lernen allgemein und somit auch das Mathematiklernen als konstruktive Au fbauleistung des Individuums verstanden werde n. Welc he spezifische Rolle kommt nun der Lehrperson zu? Organisation von lernprozessen

Die veränderte G rundp osition im Verständnis des Le rnen und Lehrens hat entscheidende Konsequenzen für die Rolle der J.chrpcrson. Kühne! hat diese un terschiedlichen Positionen sowo hl für die Schüle r- als auch für die J.ehrerrolle durch die Pole .Lciruog un d Rczcp rivirä« vs. .Orgaoisaoon und Akrivirä« beschrie ben (vgl. auch Kap. 3.1). Speziell für die Rolle der Le hrperson hieh er fest: »Damir wechsel t auch des Lehrers Aufgabe auf allen Gebieten. Statt Stoff darzubieten, wird er künftig die Fshigkcircn des Schülers zu entwicke ln haben. Das ist etwas völlig anderes, besonders für die Ges taltung des Rechenu nterrichts« (Kühnel 1959, 70). Auc h im Lehrplan für die G rundschule in Nord-

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I3

Kompetenzen der Lehrenden

rhcin-Wcsrfa lcn wurde die zentrale l\ ufgabc der Lehrpe rson konkretisiert. Sie besteht darin, »hcraus fordcrndc Anläss e zu finden un d anzubieten, ergiebige Arbeitsmittel und produktive Übungsformen bereitzustellen un d vor allem eine Kommunikation aufzubauen und zu erhalten, die dem Le rn en aller Kinder forderlieh ist" (K M 1985, 26; " gI. auch l\LS\'(' 201J8b). \\ 'ic die zentralen A ktivitäten der Lehrperson in versc hiedenen Phase n des Lern- und Übungsp rozesses aussehen, verdeutlicht auch das didaktische Rechteck in Abb. 5A. Die zentralen Veränderungen sind also herausgearbeitet, und es gilt, diese in Un rerrichrs- und Pördersituationcn konsequent umzusetzen. Aus unserer Sicht besteht gerade mit Blick au f lernschwache Schülerin nen und Schüler die Gefahr, in die rradit ionellc Rolle zuriickzufalk-n, Le h rp roz esse yorr:mgig durch Bd ehn mg zu gesf:ll rcn und damit den Lernenden keine Eigenaktivität zu ermöglichen (vgl. auch

K'p.3. 1). Vertrauen in die Leistungen der Lernenden Auch bei Schulerinnen und Schü lern, die Schwierigkeiten beim Math crnati klerncn zeigen, sind Vertrauen in die Leistungen der Kinder und das Scha ffell geeigneter Rahmenbedingungen bzw. entsprechender Freiräume geboten. Es gilt, das aktive Lernen und ggf anspruchsvolle, nicht aussc hließlich reproduktive Ak rivirärcn zu ermöglichen und dabei zunächst auch unfertige Lernprozesse ausz uhalten. D as bedeutet bspw., auch unvolls tändige Schülerdokumente und Lösungen zu akzeptieren und an diesen weiterzuarbeiten. D azu bedarf es erfa hnmgsgemäß auch einer entsprechen den G rundhaltu ng der Lehrperson. Auc h sie muss eine aktiN Rolle einnehmen, in der sie Zeit und Geduld aufbringt, sich mi t den Lernprozessen der Schüleri nne n un d Sch üler auseinanderzusetzen und die Unterrich tsprozesse darauf abges tim m t zu organisieren .

Verändert er Umgang mit Fehlern G erade bei auftretenden Schwierigkeiten ist hier oftmals ein Veränderungsprozcss de r Lehrperson erforderlich: Notwendig ist u. U. ein veränderter Umgang mit Schwierigkeiten und Fehler n. Diese sollen zunächst als natürliche Begleiterscheinungen des Lernp rozesses gesehen werden, un d es dürfen nicht nur kurz fristige Lösungen gesucht werden (vgl. z, B. J ost ct al. 1992). D amit verbunden ist die Sichtweise. die Unterrich t und Fö rderung nicht ausschließlich ergebnisorientiert be trach tet, sondern die I.c rnpro~eJJe in den Fokus nimmt und den Schü lerinnen und Schülern die Möglichkeit gibt, sich aktiv und über längere Zeit mit verschiedenen - auch falschen Lö sungen - auseinanderzusetzen. D ami t kann ein Betrag geleiste t werden zur Förderung der E xperimen tierfreude un d des Selbstvertrauens der Le rn enden (vgl. Scherer 1999a).

Berü cksichtigung fachdidaktisch er Prinzipien Lernschwierigkeiten . insbesondere im Bereich der Aluthemutik, stellen in de n verschiedensten Aus prägungen und aus vielfaltigen Gründen ein zunehmendes

3.2

Ro lle der Lehrpe rso ne n

I 21

Problem fur alle Schulstu fen dar (\"gl. auch Kap. 2). Die vers chiedenen Aus prägungen sind i. d. R. du rch fließen de Cbergä nge gekenll7.eichnet, un d es gestalte t sich m itu nter sehr schwierig, ein K ind einer bestimmten Kategorie zuzuordnen. D ennoch untersc heidet sieh in der Praxis der Umgang mit Lernschwierigkeite n einerseits und Lern schwächen oder Le rnbehinderungen andererseits z. T. erheblich, bs pw. bezogen auf das zugrunde liegende Ve rständnis von Le hren und Le rn en: Ab einem bestimmten G rad der Le rn schwierigkeit werden oft ansonsten selbstverständliche fachdidaktische Prinzipien und Standards zunehm en d verlassen , un d die lernschwachen Sch üleri nne n und Schüler erhalten eine Sonderstellung. Die besonderen Schwierigkeiten werden als Alibi genutzt, um fach liche lin d fach didaktische Anspruche zurückz uschrauben o der zu veralteten und unangemessenen Met hoden zurückzugehen, die einem zeitgemäßen Verständnis von Mathematikunterricht wid ersprechen. D ies ufert nicht selte n in pur e Beliebigkeit aus: »Einfac h gesagt, geht es da rum, die entsprechenden Le rnproblem e einzelner Schüler so individuell und kreativ wie möglich anzugehen und sich dabei aller verfügbaren Vl'rgegcnständlichungsmittel, Spiele, Übungsformen usw. zu bedienen. I Iicr ist Einfallsreichtum geforde rt, um neue Z ugän ge zu alten Inhalten zu erschließen. In dieser ko nseq uenten Suche un d im 1\ USprobieren anderer Mirtel und \'{'ege (vo r dem l lintergrund des \'('issens um Le rn vo rgange und -storungcn) findet sonderpädagogisc he Methodik ihren 1\ USd ruc k« (Erath 1989, 34-). D er (möglichef\veise) unreflektier te Einsatz aller verfügbare n Materialien stellt abe r eine g roße G efa hr dar. Zentral ist aus unserer Sicht, dass die beschriebene kompetenzorientierte und auf aktiv-entdeckendes Le r n en ausgerichtete G ru nd haltung unabhän gig von Organis atio nsfo rm . Schulstu fen, Lcisru ngssraod und T hema beibehalten wird.

Hilfe zur Selbsthilfe Le rn schw ache Schülerinnen und Sc hüle r brauchen im Unt erricht besondere Un terstutzurig oder spezi fische Förderangeb ore . Es m uss jedoch kritisch hinterfragt we rden, in welcher Ar t und \\'eise dies er folg t: In wohlgemeinrer Absich t wird H ilfe oftmals nicht als »Hilfc zu m Sclbstfindcn« (\'{'inter 198 4-b) eingese tzt, sondern in fragw ürdiger Fo rm: »Bcim H elfen wird zwar vieles b'Ut gemeint und trotzdem schlecht gemacht. Unsere Hilfe bewirk t oft gera de das Gegenteil von Selbständigkeit. Sie ma cht ab hä ngig, schwaehr die Initiative und das Ne ugicrvcrhalrcn, sie entmündigt de n Me nschen - ohne dass er es merkt. D enn es ist bequem , sich helfen zu lassen - aber auc h gefahrlieh« (Bceler 1999, 111; vgl. auc h die »crlerntc I lilflosigkcit« bei Seligma n 19(9) .

Sicherlich ve rdient der Umga ng mit Lernsch wierigkeiten un d Lernschwachen beso ndere Aufmerksamkeit. Allerdings sollte dabei festge halten werden, dass es sich nicht um besonderen im Sinne eines vö llig anderen Unt errichts handelt: Auch lern schwache Kinder lernen nicht prinzi piell anders als bspw. Kinder im mittleren Leismogsbereich (\"gl. hierzu bspw, Abmcd 1987; Moser Opitz 2008; Scherer 1999a).

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I3

Kompetenzen der Lehrenden

Neben eine r angemessenen G ru ndhaltung spielen die Kompetenz en der Lehrp Cl":'On Cll eine bedeut ende Rolle. D iese um fasse n u . a. diagnostisches \\ 'iSS('11

(Methoden un d Inh alte), fachliches und fachdida ktisches \'('issen, welches in Un terricht un d Fö rderung umgesetzt werden muss, aber auch pädagogisches un d psychologisches \,( 'is s (' l1. D iese Bereiche sind nicht get rennt voneinander zu sehe n, sondern sollten mö glichst inrcgrariv mit wechselnden Schwerpunktsetzungen zur Anwendung kom men. Bei den folgenden Ausführungen kon zentrieren wir uns auf einen proftJ'Jione//en Umgang mit Le r nschwachen aus fachdidaktische r Sicht. D ies bedeutet keineswegs, die anderen Disziplinen zu ignorieren; diese können und sollen an verschie denen Stellen immer wieder mit einlwzogen werden . D ie J .ehrpcrso n sollte sich alu-r ,·orrangig auf ih re Pro fessio n als Expcrtin für das Lernen und Leh ren vo n Mathematik stützen. Beleuchtet werden nach folgend die beiden zentralen Bereiche D iagnostik und Förderung bezogen au f die notwendigen fachlichen un d fachdidaktischen Kompetenzen.

3.2.2

Diag nost isch e Kompetenze n

Diagnostische Kompetenzen stellen neben Fachwi ssen, den didaktisch-mcrhodiseben Fähigkei ten un d de r Fähigke it zu r Klassen fiihrung einen von vier Kompetenzbereichen dar, die erfolg reiche Lehrerinnen und Le h rer auszeichnet (vgl. Scbrader/ Hclmke 20CH , 4-9 und die dort angege b. Li t.; ' "gI. auch l lclmke 2009, 121 ff.). Das gilt nich t nur bezogen auf lernschwache Kinder, sondern für jedes Leistungsniveau und jede Le hr- und Lern situatio n. Die diagnostische Kompetenz vo n Le hrpersonen ist bspw. für den Bereich ,Lesen< in der PISA-Stu die infragc gestellt worden: "D ie von den Lehrkrä ften vorab als -schwache Lesen benannten Schulerinnen und Schüler bild en nur einen kleine n Teil der Risikog ru ppe. D er gr<'>ßte T eil der Schülerinne n und Schü ler der Risikogruppe [Schulerinncn und Schü ler, die der niedrigst en K orn pc rcnzstufc nicht gewachsen sind; PS/ E MO I wird von den Lehr kräften nicht erkannt« (Baum ert er al. 20CH, 120).

In de r PISA-Stu die wurde die Ei nsch ätzu ng der Ma thematikleistungen d ur ch die Le hrpe rsonen nicht so direkt erhoben wie im Fach Deut sch. D ie durchgeführten Befragungen deuten jedoch an, dass die Schwierigkeiten im mathematischen Bereich besser eingeschätz t werden können. Insgesam t ist aber auch die Diagnose m athematischer (Mindcr-jl .cistu ngcn differenziert zu bet rac hten: Mancherorts existiert vielleieh r das Bild, das s im M athematikunterrich t Schwierigkeiten einfacher iden tifiziert werden können. T atsächlich ha t es abe r nur ,"orde rgründig diesen Anschein, de nn auc h bei der Beurteilung von mathema tischen Bearbeitu ngen ge ht es um weita us mehr als um die Bewer tung -richtigoder .falscbc Erfo rde rlich ist eine di fferenzierte An alyse vo n Lern pro zessen un d Überlegungen der Le rn en den sowie von auftretenden Fehlern und mögli-

3.2

Ro lle der Le hrpe rson en

I 23

chc n Feh lerursachen. D ie diesbezüglichen Kompetenzen von Lehrperson en sind zunächst abh änbtig von den Inha lten. So kann möglicherweise eine Fehler analyse bei schri ftlichen 1\ lgorithmen noch recht schnell durchgeführt werden. Hie rbei handelt es sich aber um ein festgelegtes Verfahren mit festgelegten Schritten in einer festgelegten Reihenfolge, die in vielen l-allen relativ leicht über prüfbar sind . Bei einer auf de n ersten Blick möglicherweise einfach aussehenden Aufgabe wie 624-203 (Abb. 3. 1) kann sich das Diagnostizieren zugrunde liegende r de r Fehle r jedoch schon weitaus schwieriger gestalten (vgl. Scherer 2009a; auch Radatz 1980; Scher/Spiegel 1997,72). Verdeu tlicht werden soll die diagnostische Viclschichtigkeit anhand einer Fehllösung, die bei zwei Schu lern bei der genannten Aufgabe im Rahmen einer Einzclubcrprö fung aufgetret en ist (vgl. Scherer 2009a). D en Schülem wurde die 1\ ufgabe in schriftlicher Form präs entiert, und die Metho de der Bearbeitu ng war ihnen freigestellt.

624 - 203 = 40A 624 - 203 =4t11

Abbildung 3. 1 Omars (li n ks) und Merks (rechts) Bearbeit ung einer Subtraktio n

Heide Schüler besuchen eine Fotderschule mit dem Schwerpunkt Ler nen , O mar das S. Schu ljahr und Mcik das 6. Schuljahr. Bcidc Schüler hatten den schriftlichen Subtraktionsalgorithmus bereits kennen gclemt, jedoch rechnete Omar die Aufga be im K op f. Er no tiert e lediglich sein Ergebnis (Abb. 3.1). D ies ersc hwert i. d. R. die Fchlcraualysc, da keinerl ei Zwischenergebnisse und Teilno tationen Rückschluss auf fehler hafte Zwischenresultate erlauben und auch die jeweiligen Denkprozesse (z. B. Sprechen und Rechnen in Ziffern oder in de n vollstaudigen Srcllcnwcrtcn) ver borge n bleiben . O mar hat die Zehnerstelle fehlerhaft bestimmt, und es bleibt offen, ob diese lediglich bei der Verarbeitung \"Crgesse n wu rde oder ob bspw. Schwierig keite n bzw. Fehlvorstellungen hinsichtlich des Rech ncns mit Null vorl icpcn (z. B. als falsch abgeleitete Analogie zur Multiplikation wie .Rechncn mit der Null liefert immer das E rgebnis Null-). Bei der individuellen Überp rüfung war O mar aufgefordert, seine Rechnung zu er klären, und er erläuterte zunächst das Zus tandekommen der Hunder terstellet

24

I3

Kompetenzen der Lehrenden

Omar:

Ja , äh, ich .. . ich mache zweihundert minus bei der sechs . .

Intcrvicwcrin:

Mhm.

O m ar:

. .. hundert. Sind vierhu nd ert.

Er ging dann direkt übe r zur Einerstelle und vergaß die Zehnerstelle: Omar:

Da dni .. . ma che ich mit die d rei noch minus bei der vier, sind's vierhunder teins.

Mcik (A bb . 3. 1) nutzte den schriftlichen Algorithmus, und man konnte den gleichen Fehler wie bei Omar vermuten. Seine Erläu terung und Sprechweise bei d er schriftlichen Subtraktion offenbarten jedoch eine vermischte Sprechweise

des Ergnnzcns a-on .3 bis 4<, -von 2 bis ()< und des Abxichcns an der Z ehncrstellc Al minus 2, mit dem Ergebnis O. An diesem Beisp iel wird deutlich, dass ein hinreic hender fachlicher und fachdidaktischcr H int ergrund der Lehrperson no twendig ist und auch zu unterschiedlichen Interpretationen führen kann. Di e Lehrperson muss die verschiedenen Methoden des Rechn cns selbst und auch mi)gliche Problemfelder kennen, um solche Situationen adäquat int erpretieren zu können. Dazu gehiiren für das hier beschrieben e Beispiel etwa das Rec hne n mit der Null oder die Vennischung verschiedener T echniken bei eine m komplexeren Verfahren. Insgesamt sind auch verschiedene K ategorien vo n Fehlern zu differenzieren, bspw. Ri't"henfeh· lcr, J'\'olali onsfehler oder J lml<:gi efehler, wobei immer zu fragen ist, ob diese aus Flüchtigkeit zustande gekommen ode r systematischer Na tur sind. Die s gilt es, den Le rn en den differenziert zu rückzu melden und für die weiteren Lern- und F ördcrprozcsse zu berücksichti gen (vgl. hierzu ausführlicher Kap. 4). Um individuelle Schwierigkeiten zu diagn ostizieren, müssen auch die gewählten Methoden und Instrumente gewisse Kriterien crfiillcn. Die se betreffen die Pole kompetenzorientiert vs. dcfiziroricnticrt, prozessorientiert vs. produktorienti ert sowie qualitativ H. quantitativ (vgl. auch Kap . 4).

•

Kompeten:::.onentierl IIS. Defi::;florienlierl: Natürlich ist bei diagnostischen Untersuchungen das An alysieren der D efizite un d Schwierigkeiten von zen traler Bedeutung. Eine differen zierte Interpretation, das Aufstellen versc hiedener H ypothesen, das Suchen nac h möglichen rationalen Urs achen für eine n Fehler - also eine k ompelen:::.orienlierte Sichtweise - dürfen dabei aber nicht fehlen. Das Ausblenden vorhandenen W'issen s der Kin der wäre mehr als schädlich im f linblick auf weitere Lernprozesse un d auf eine angemessene Förderung.

•

Pm:::.eSJ"orienliet1 1'S. Pmduktorienliert: Im Ide alzustand beleuchtet eine prozessorientierte Diagnostik den konkreten Lern- od er L ösungsp rozess bspw. durch ein Interview oder eine Beobach tung (vgl. z. B. Schipper 19913, 22). Prozessorientierte D iagn ostik ist aber auch durc h Analyse von Prod uk ten möglich, natürlich behaftet mit einer griißeren Vagheit. Detailliertere In-

3.2

Ro lle der Le hrpe rson en

I 25

formarioncn liefert sicherlich die Beleuchtung des Lern- od er Losungsprozcsscs, so dass Vorgchcnswciscn, li'lsungsstra teb>1en und Rechenwege wie im obigen Beispiel vo n Omar und Mcik deutlich werden können. D ies kann realisiert werden durc h Beobach tung bzw. Interaktion wiihrrnd der Bearbeitung oder aber im }\ 'a(hhinein, wen n Schillerinnen und Schüler ihre Überlegungen und vergebensweisen selbst erklären .

•

Qualilalit! /!S. Quanlilaliv: D ieser Aspekt überschneidet sich mit der Frage nach Prozessen und Produkten. Das Z usammenspiel von qualitativen und quantitativen Erkenntnissen kann an vielen Stellen die Schwäche n der jeweils anderen Methode kompensiere n (vgl. auc h Scherer 1996a). Bezogen auf die Rolle der Le hrp erson sind Ko mpetenzen in beiden Methoden un d eine optimale Nutzung der jeweiligen t-.föglichkeiten für die Förderung zentral.

Festgehalten werden kann das Folgende: Um Leistu ngen vo n Schülerinnen und Sch ülern und im Besonderen auch ihre Schwierigkeiten angemessen beurteilen zu können, sind vielfaltige Kompete nz,-n der Lehrperson erforderlich. Artdem falls läuft man G efahr, lediglich auf der Ebene der Ergebnisse ausschließlich nach richtig ode r falsch beurteilen zu könne n. Zudem sollte eine ausschließlich e D efizitorientierun g vermieden werden . Sowohl für die Rückmeldung an die Le rn en den als auch in Bezug auf die eigenen Schlussfolgerungen für die anschließende fo'ö rderung ist eine komp e te nzorientierte Sichtweise erforderlich.

3.2 .3

Fachliche und fachdi dakt ische Kom petenzen

Fachliche und fachdidaktische Kompetenzen der Lehrpersonen sind wichtige Faktoren für den Lerner folg vo n Sch ülerin nen un d Schüle rn. Shulman (1986, 9 f.) unt erscheidet drei Formen von Fachwissen: mnlenl know/e4~e. pedu.ßP'gical mnlenl knmvledge un d anriadnm knowledge (vgl. auch Bro m me 1994; Scherer 1999c).

•

Conlenl knmvledge bein halt et bspw. Y(,issen zu den Unterrichtsinhalten und zu deren Srrukturicrung. »Th c tcachcr nccd not only to un derstand Ihal something is so ; the rcacher m ust further understand w0' it is so« (Shulman 1986,9; H ervo rheb. i. O rig.). D ies schließt insbesondere die eigene fachliche Durchdringung der Inh alte ein.

•

Pedugogkal roatent knowledge beinhaltet fachspezifisches. aber auch fachunspczifischcs \'(,issen darüber, was einen Lerninhalt einfach oder schwierig mach t; wie Schülerinnen un d Schü ler in verschiedenen Altersstufen bestimmte Lerninhalte verstehen bzw. missverstehen können oder \'<;'issen übe r geeignete Strategien usw. (ebd.).

•

C"niml"m knmvledge beinhaltet die K enntnis von Lerninhalten un d -ziclcn zu verschiedenen Lernbereiche n un d für versc hiedene Schulstufen; Kenntnis von geeigneten Lern materialien (cbd., 10).

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I3

Kompet enzen der Lehrenden

Diese drei Bereiche sind nicht getren nt voneinander zu beh andeln, sondern ste hen - mit jeweils angemessenen Schwerpunktsetzungen - in enger Bczichung zueinander. Hill ct al. (2005, 377) betonen, Jass peda.~O,~i(dl mn/mI knOJv/e~f!f inhaltsbezogenes mathematische \'\ 'isscns der Lehrpe rsonen sein muss, und sprechen vo n spetialized coatent k nOJvledge (z. B. \,\'issen üb er gccit,>TIctc D ar st ellu ng sfo rmen von bestimmten mathematischen Inha lten, K enntnis von Möglichkeiten zum Er arbeiten von bestimmten Operationen , Kenn tnis verschiedener Strategien zum

Losen eines bestimmten Aufgabc nryps). Sie haben nachgewiese n, dass solches \'rissen einen entscheidenden Einfluss auf de n Le rn zuwachs der Schulerinnen un d Schüler hat (Locwenbcrg Ball er al. 2005). Die genannten Kom petenzen der Lehrpersonen sind wichtig für den Unterricht in allen Schu lformen und Schultype n. insbesondere jedoc h für die Förderun g vo n lernschwachen Schülerinnen und Schülern. Gerade wenn Lernprozesse beeinträchtigt sind, ist es unumgänglich, dass Le hrpersonen über fundiertes Fachwissen vcrfögcn, um eine ko mpe tente Unterstü tzung anbieten zu können. \X'ichtig ist dabei einerseits die eigene fachliche Auseina ndersetzung der Lohrenden mit mathematischen Inhalten bzw. deren eigene Lern prozesse, and ererseits die Auseinandersetzung mit den Lernp rozessen der Schü lerinnen und Schü ler un d mit unt errichtsrelevantem Fachwissen (z. B. .Auswahl von Lcrninhalten, vorgehcoswciscn, Materialien).

Ei gene Lern prozesse der Lehrenden Bezogen auf die fachlichen und fachdidaktis che n Kenntnisse ist nich t nur entscheide nd, welche Inhalte (zukünftige) Lehrpersonen erwerben, sondern auch, in welcher Art un d \'{'eise das geschieht. Müller er al. (200-l, 11 f.) weisen darau f hin, dass Le hrp ersonen ihren Un terr icht umso erfolgreicher umstellen und weitere ntwickeln können, je prod uktiver e Erfahrungen von Lernen und Lehren sie in ihren eigenen fachlichen Lernprozessen (Ausbildung, Weiterbi ldun g) ge+ macht haben und je besser ihre fachwissenschaftliche Ausbildung auf das Curriculum abge stimmt ist. Das bedeutet. dass Lehrpersonen selbst Erfahrungen machen sollen mi t Le rnin halten , die später ihre Schü lerinn en und Schüler bcarbcitcn werden. Anhand einer 1\ ufgabenstellung zu )Z ahlenmauem <wollen wir dies verdeutlichen. Dieses substanzielle Aufg abenformat eign et sich besonders auch für lernschwache Schülerin nen und Schüler (\'gl. z. B. Scherer 1997a; 2005a). Die stets gleichbleibende Struktur erm öglicht diesen Lern enden, wichti ge Zahlbeziehungen zu entdecken (Schmassmanny Moscr O pirz 2009, 117). D amit die Lehrpersonen die Sch ülerinnen und Schüler unterstützen können, ist es wichtig, die Aufga ben selbst zu bearbeiten und etwa auch (algebraische) Begriindungen zu suchen. Davon ausgehend kann dann üb erlegt werden, welche didaktischen Vergehensweisen sich eignen, um die Aufgabe im Unterricht einzusetzen (siehe z. B. Schmassmann/Moscr Opirz 2009. 118).

3.2

Ro lle der Lehrpe rsonen

I 27

Zur Zahlenm auer in A bb. 3.2 kann die folgende Au fgabe gestellt werden (\'('ittmann/ il.lüller 2005, 103): »Bcrcc hnc die fehlenden Z ahlen in der Mauer. Addiere dann die drei unteren Za hlen und dazu noch einma l die untere Mirtelzahl. \\'as fallt dir auf? Überprü fe es an eigenen Zahlenm auern. Kannst du begründc n?«

Abbild ung 3.2 AufgabensteIlung zu Zahfenmauern

Die Schülerinnen und Schüle r werden herausfind en, dass das Ergebnis de r gefordert en Rechnung gcnau den Zielstein angibt, un d dies arithmetisch an weite ren Beispielmauern überprüfen. Für die Lehrperson ist neben dem arithmetischen Niveau auch die algebra ische D urchdringung hilfreich (Ab b. 3.3). a+2b+c

Abbi ld ung 3.3 Zahlenmauer in algebraischer Form

An diesem algebraischen Ausdruck wird nicht nur der hier thematisiert e Zusammenhang deutlich, sondern die Lehrpe rson könnte weitere Beziehungen direkt ablesen: Für operative Variatio nen (z. B. Er höhen/Vermindern eines unteren Ecksteins oder des mittleren Steins) liefert der algebraische T erm des Zielsteins sofort die Erkenntnis, dass die Veränderung des Ecksteins die gleiche Verä nderung des Ziels teins hervo rruft. D agegen geht der untere miniere Stein doppelt in den Z ielstein ein und hat som it bei einer Erhöh ung oder Verminderung den do ppelten Effekt. Kritische fachdidakt ische Reflexion

\,\'ie be reits ausgeführt, stellen Eigcnrärigkcir sowie das J.erncn und Übe n in Beziehungen für viele Leh rpersonen ein wichtiges Unte rrich tsprinzip dar. Dennoch kehren sie bei auftretenden Schwierigkeiten häu fig zu tradier ten Prinzipien zurück, was an einem Beispiel zu m Ein maleins beleuchtet werden soll.

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I3

Kompet enzen der Lehrenden

D as Erl ernen und Autornatisieren des Einmaleins stellen nach wie vor einen zen tralen Inh alt der Primarstufenmathema tik dar, und wir werden hier zu in Kap . 6.1.2 ausführl iche Vorschläge für Unter richt und Förderung gebell . D as Einm aleins stellt einen Bereich dar, der lernsch wachen Kinde rn sowohl beim Erlerne n als auch noc h in höheren Kla ssen große Problem e bereitet (vgl. hierzu Scherer 2003 b; auch Ezawa 2002, 98; Lo rcnz 1998, 118 f f.): Viele Kinder müs sen sich eine Aufgabe immer wieder neu berechnen, häufig d urch Aufsagen der gesamten Einmaleinsreihe (:I.. B. 8, 16, 24, 32, .. .). Als Hilfe für Schulerinnen und Schüler, die mit diesem Inhalt Schwie rigkeiten haben, wird au f dem Arbcitsmitrclm arkr bspw. Die Ix1 I fdparadeftir Kids (H cist 200 1) ange boten. D ie \'\'erlmn g hie rzu laurr-r wie folgt: »Kindgemaß lind richtig m it Sch wu ng werden hier die fiesen Wissensl öcken im Einmaleins gesc hlossen. D ie Songs gara ntieren den Le rn er folg gleich mit: Als Le rnh ilfe dienen originell-witzige Reime und die leichte, groovige Musi k. D ie Rech enau fgabe selbst wird sogleich mi t der Um kehraufga be verkn öpft un d priigt sich ein wie eine Te lefonnummcr« (\VAZ 200 1). An anderer Ste lle wird für alle, die Pro blem e mit dem Einm aleins haben, em pfo hlen: ;;\'{'enn das Einmaleins aber cool verpackt wird, lernt es sich viel leich ter. [. .. 1 Zur Freude der Eltern , denn die stän dige Wiederholung gara ntiert den Le rneffekt. (Schübel 20(2). Fach didaktisch mehr als fragw ürdig sind dabei die zugru nd e liegenden A nna hme n zum Marhemariklcmcn. D as Einm aleins wird verglichen mi t einer Telefonnu mmer, die m an sich nu r einpräge n rrruss. D ass es in de r Mathematik und auch bei eine m Inhalt wie dem Einmaleins um wei t me hr, bspw. um Za hlbczichungen, geht (vgl. z. B. Scherer 2002; 2005 b), wird hier ko nsequent ignoriert. D ass das flexible Ausnurzen vielfaltiger Z ahl bezieh unge n ( Taoschaufgabcn, N achbaraufgaben ctc.) auf verschiedenen Rep rasentationseb cncn, für ein versrand nisvol lcs Lernen gerade lernsc hwacher Kinder zwingend erforderlich ist, bleibt v()llig auf der Strecke (vgl. hierzu auch Kap. 3.1 und 5.2). Wenn Kinder lediglich (o hne Verständnis) auswendig gelemt haben, werden sie nur schwer Analogien und E rweit eru ngen nutzen können (7' 8 = 56 auf 7 '8 0 = 560 oder 70 ' 8 = 560 oder 70 ' 80 = 5600 , . . .), nur schwer halbschriftliche Strategi en verste hen können und kaum in der Lage sein, ihr \,\ 'i s ~en flexibel anzuwende n (vgl. auch Scherer 20(2). i\ ngem erkt seien daneb en als weitere kritische A spekte der in der Werbung falsch verwendete fachdida ktische Terminus Umkehralfhabe anstelle von TaHJfhal!.jj,abe, die sach frcm dc Verp ackungsmetapher oder die auch sp rachdida ktisch fragw ürdigen »originell-witz igen Reim c«. Die Lehrperson als E xpertirr für das Lehren und Le r n en muss in der Lage sein, derartige fachdidaktisch ungeeigne te Vors chläge zu identifizieren, und dar f sieh nicht von vo rdergrü nd igen und o berflächlichen (dabei nicht unbedingt zutreffen den) Argumenten täuschen lassen .

3.2

Ro lle der Le hrpe rso ne n

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Auswahl von Lerninhalten Ein weiterer Aspekt betri fft die Ent scheidu ng, welche Anforderungen für Schü lcrinncn und Schüler mi t Schwierigkeiten form uliert werden: D ie Feststelle ng. dass der G rund schulsto ff zu einem besti mmten Zei tpunkt nicht erreicht wird, dar f nich t dazu fuhren, jegliche Anforderu ngen zu vermeiden und Ziele des Grundschulunterrich ts völlig zu ignorieren. Natürlich würde eine stän dige Überforderung negative Konsequenzen haben, aber Anfordenmgen zu stellen, muss nicht gleichbedeu tend sein mit Obetforderung. G erade das aktuelle Ver ständnis von Mathematiklern en und Mathc matikuntcrricht, wie es in der Grundschule umgesetzt we rden soll und auch wird, kommt auch lcrnschwachc n Schüle rinnen und Schülern entgegen. Um inh altlicher Bclicbigkcit vorzubeuge n, ist für alle Schülerinnen und Schüle r eine O rientierung an den Inhalten der G rundschule sinnvoll. Damit ist noch keine Aussage get roffen, wann un d in welchem Umfang die dortigen Ziele erreich t werden. E s kann nicht darum gehe n, bspw. den gesamten Grundschulstoff lediglich mit zeitlicher Verzögt'nmg in die Schule mit dem Fotderschwerpunkt Le rn en zu transportieren, sondern es ist eine adäquate Au swahl zu treffen. Eine Orientierungshilfe stellen bsp w. die fundamentalen Ideen der Arithmetik un d Geometrie dar (vgl. z. B. \\ 'ittm ann/ 1 {üller 200-1-), aber auch die Bildungsstandards (vgl. KMK 2005; \'\'alther ct al. 200Hb) oder Unterr ichtsvorsch lage zur Auswahl des basalen mathematische n Lernstoffs (Schmassmano / Mo scr O pitz 2007; 200Ha; 2008b; 2009). Bei der Frage, welche Inhaltsbereic he und Ko mp ete nze n sinnvoll und notwendig gerade flir lernschwache Schuleri nne n un d Schüler sind, sollten sich Lehrerinnen un d L(-hre r insbesondere Klarheit über sogenannte Basisk ompetenzen od er J"thliiiJ"eIqJfalijika fionen versc haffen, die für weitere Lernprozesse n o twen d ig sind. Bei aller Individualität bezüglich der Auswahl und des Bearbeitun gszeitp unktes dürfen gewisse Zentrale Kompetenzen nicht aus dem Blick geraten: Ein Kin d, das das Einspluseins oder Einmaleins nicht auto matisiert zur Verfügung hat, wird bspw. bei schri ftlichen Additionen, bei Sach aufgaben oder allgemein bei komp lexeren Probl emstellungen, die gena u diese arith metische Basis fertigkeit verlangen, erhebliche Schwierigkeiten haben . Eins pluseins un d Einmaleins stellen somit zentrale Lern inha lte dar, über die (so weit wie m('lglich) kompetent ver fugt werden muss . D ie entscheidende f rage ist dabei aber jedoch, wie diese In halte gelernt we rden. \X'enn ein Kin d die Aufgaben auswendig lernt, ohne dass es Stru ktu ren bei Veranschaulichu ngen erkennen und nutzen kann, wird es keine inneren Bilder von Anza hlen aufbauen können un d lang fristig dem zäh lenden Rechnen verhaftet bleibe n. D ies führt jedoch in eine Sackgasse, wie in K ap. 5.-1- detailliert ausgefiihrt wird. An den ausgewählten Aspe kten .G rundhalrungcn der Lchrenden-, Kliagnostisehe, fachliche und fachdida ktische Kompetenzen, wurde n Postulate für einen p ro fessionellen C mgang mit Le rnschwach en aus mathematikd idaktischer Sicht

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I3

Kom petenzen der Lehrenden

thematisiert und konkre tisiert. Es liegt auf der I la nd, dass eine angemesse ne Fo rderung bei mathematischen Lernschwierigkeiten nur dann rea lisiert werden kann, \...-cnn die Lehrpersonen selbst über das notwendige fachlich e und fachdidaktischc I Iinrcrgrundwisscn verfugen .

4

Diagnostik im Mathemati ku nterricht

In Kap. 2 wurde einerseits die Schwierigkeit d er D iagn o se vo n schwachen Ma -

the matikleistungen angesprochen und andererseits auf die Bedeutung der Erfassung der konkreten mathematischen Kompetenzen und Schwierigkeiten dc r Sch ülcrinncn und Schüler hingewiesen. Ins besondere das Letztere er fordert von den Lehrkräften diagnostische Kom petenzen und die Auseinande rsetzung mi t diagnostischen Fragestellungen. In K ap. 3.2.2 wurden diesbezuglieh der Umgang mit Fehlern sowie Krircric-n, die diagn ostische Metho den und Instrument e zu erfüll en ha ben, bereits anges proche n: -Kompctenzoricntierung vs. D cfiairoricntierung-, .Prozcssoricnticruog vs. Produktorientierung- und qualirative vs. quantitative Er kenntnisse," D iese Themen werden hier aufgenommen un d in den Kontext von Überlegunge n zum T hema D iagnostik gestellt. Nach Ausführungen grundsäralieber Art zu Begriffen und verschiedenen D iagnosekonzep tcn werden Anforderungen an die Instrumente und die D urchführung von diagnostischen Verfahren da rgeste llt. Abschließend stellen wir die Meth ode der Fehleranalyse anhand eines Pellbeispie ls vo r.

4.1 4.1. 1

Grund sätzlich e Überl egung en Zum Beg riff Diagn ostik

Nach \\'embe r (1998, 108) bezeic hnet man mit Diagnostik allgemein Methode n, die zur qualitativen un d quantitativen Beschreibung von inter- un d intra individuellen Unterschieden eingese tzt wer den. I ldmke (2009, 122) nennt als ch arakteristisches Merkmal einer D iagnose, dass anh and vorgegebener K ategorien, Begriffe oder Konzepte geurteilt wird . Bezogen auf das Mathematiklernen sind diese Begri ffe oder K on zep te - oder Theorien, wie sie \\ 'emb er (1998, 109) bezeichnet - fachliche und fachdi dakt ische G rund lagen, die bei der Entscheidung helfen , welche diagnostischen In formationen eingeholt werden sollen und welche Au fgaben einer Schülcrin bzw. eine m Schüler vorgelegt werden (vgl. auch Kap. 4.1.2). Zudem stellen diese Grundlagen auch eine zwingend notwendige Voraussetzung fiir die Planung von Förderung dar. Je nach Ziel des

32 1 4

Diagnos ti k im Mat hem atiku nt err ic ht

Diagnoseprozesses sind andere Diagnosekonzepte un d -instrumente einzusetzcu . Bezüglich deren Bezeich nu ng und Untersch eidung he rr scht Unklarheit. J e nach Qu elle finden sich un terschiedliche Bcgrifflichkcitcn. I Iclmkc (2009, 122) spricht vo n »formalcn und informellen Diagnosclcisruopcn« und unterscheidet damit implizite su bjektive Urteile, die im erxicherischeu .Alltag gC\VOnnCil werden von systematisch durchge führten Einscharzungen. Andere Beg riffe we rden von 'I'hom as (20()7, 85 f.) ve rwendet. Er sp richt von »Lcm - und Leisruogsdiagnostik« und gre nzt dabei »tradirion cllc D iagnostik« (crgeboi sorienricrr, quantitativ) von »ncucrcr Diagn ostik« (prozcssoricnricrt, qualitativ und quantitativ) ab. In der Sonderpädagogik wird oft vo n Selek tions- un d Pördcrdiagnostik (a. B. Egge rt, 2(07) gesproch en. Tm vo rliegen den K apitel gehen wir gmmkit:,lieh vo rn Beg riff de r pädagogischen Diagnos tik aus. »Padagcgische D iagnostik umfasst alle diagnostischen T ätigkeiten, du rc h die bei einzelnen Lernenden und den in einer G ruppe Le rn enden Voraussetzungen und Bedi nge ngen planmäßiger Le hr- un d Lernprozesse ermittelt, Lernprozesse analysiert und Lernerge bnisse festgestellt werden, um individuelles Lern en zu optimieren. Zur pädagogischen D iagnostik gehören ferner die diagnostischen T ätigkeiten, die die Z uweisung zu Lem gruppen oder zu individuellen Forderungsprogrammen crmoglichcnj.] sowie die mehr gese llschaftli ch verankerte n l\ ufgaben der Steuerung des Bildungs nachwu chses oder der Erteilung vo n Qualifikation zum Ziel habcn« (Ingenkam p/Lissmann 200S, 13). Die erste Zielse tzung umfasst somit vor allem eine lern proz essbegleitende bzw . lern prozesso rientierte D iagn ostik, bei der es darum geht, in einer kompetenzorientierten Sichtweise zu er fassen, was Lernende schon können, um evcntucllcn individuellen Fordc rbeda r f festzustellen (Kraurhauscn/Schcrcr 2007, 210). Dies kann einerseits im Sinn des Erfasscns von Le rnvoraussetzungen . an de rerseits in der Fonn vo n Lernzielkontrollen im Anschluss an die Bearbeitung eines bestimmten Inhalts gesc hehen . Lernprozessbegleitende bzw. -oricntiertc D iag+ nostik kann weiter sowohl produkt- als auc h prozessorientiert sein. Ein Beispiel für ein produktorientiertes Vorgehe n ist die Fchlcranalvsc, wie sie in Kap. 4.2 dargestellt wir d. Lernprozess begleitende bzw. -oricntierte D iagnostik kann im Rah m en des normalen Un terrichts, eines diagnostischen Gesprächs, eines klinisehen Interviews oder einer teilweise standardisierten Lcmsrandscrfassuog, in der z. B. die Anweisungen und die Frage n, die gestellt werden, vorgegeben sind, stattfinden. Auch für die Aufgabenauswahl gibt es mehrere Möglich keiten, und es können selbst erstellte Aufgaben oder solche aus bestehenden Ins tru menten (Lcrn sraodscrfassung, Test) ausgewählt werde n. Wichtig ist, dass die einzusetzenden Methoden, Instrum ent e und Aufgabentypen auf die angestrebte Ziel setzung abgestimmt sind (Scherer 200 3b, S) , In der zweiten von Ingenkamp /i .issmann (200S) gen allllten Zielsetzung geht es nic ht in erster Linie um konkrete Förderung, sondern um die Zuweisung zu bestimmten Maßnahmen (1. , B. Fes tstellung des son derpädagogischen Forde rbedarfs) und auch um einen interindividu ellen Vergleich. Auch hier müssen die

4.1

Grund sätzliche überlegungen

I 33

Instrumente auf die Zielsetzung abgesti mmt werden. Geeib>Tlet sind in diesem Fall ehe r standardisierte Instrum ente, die klare Vorgaben bezüg lich Durchfü hrung, Auswertung und Interp retation beinhalten, normiert sind und dadurch de n Vergleich mit einer Bezugsgrup pe bzw. mit einem bestimmten K riterium ermöglichen . Im schulischen Alltag werden diese häu fig mit nicht standardis ierten Verfah ren kombiniert . Die beiden genannten Z ielsetzungen lassen sich in der praktischen Durch führung nicht immer eindeutig vo neinander abgre nze n. \'{'ir wollen uns deshalb mit Anforderunge n an den diagnostischen Prozess generell und insbesondere mit de n einzusetzenden Methoden und Instrumenten beschäftigen.

4.1 .2

Anford erungen an di agn ost ische Meth oden und Instrum ente

Intersubj ekti v nachvollziehbare Diagnosen

Zentrales Kriterium einer professionellen Diagn ostik ist die D urch führung vo n inrcrsobjcktiv nachvollziehbaren Diagno sen und damit verbunden die E inhaltung von G ütekriterien. \'{'ir stellen diese zuerst dar und gehe n dann auf Unterschiede zwischen Instru menten mit unterschiedlicher Standa rdisierung ein un d diskutieren Vor - und Nac h teile. Gütek rite rien

Das Kriterium der Oijeklivi/dt umfasst die Unabhängigkeit der Ergebnisse von der untersuchende n Person. Es werden drei Formen von O bjektivitiit unterschieden. Mit der DurdiflJhmng.wijektit'ikit wird zugesichert, dass alle untersuc hten Personen den gleichen Anforderungen unter gleichen Bedingu ngen unterzogen werden (Ingen kamp / I.issmann 2005, 52), dass z. B. alle dieselben Hilfsmittel nutzen können oder alle gleich viel Zeit zur Verfügung haben. Bei der A UJ"werlun.gwijektitlitiit geht es um die Unabhängigkeit der Auswertung vo n der beurteilenden Person. D iese ist - wie bspw. auch bei der Beurteilung von Klassenarbeiten (cbd., 53) - beim Einsatz von wenig bzw. nicht standardisierten Verfa hren nich t immer gegeben. JntetpretdtionJo!jek tit·i/;it liegt vor, wen n mehrere beurteilende Personen das gleiche Ergebnis gleich interpretieren. Beim Einsatz von \\lenig bzw. nicht standa rdisierten Instrumenten besteht die Ge fahr, dass der D iagnosep rozess du rch das Fehlen von spez ifischen Vorgaben zur D urch führung. Auswertung und Interpretation einer gewissen Bclicbigkeir un terworfen ist (Moser Opitz 2006 , 14- ff.) und som it bezüglich der O bjektivität Einbußen in Kauf genommen werden müssen. E s besteh t z. B. imm er die Gefahr, dass die diagn ostizierend e Person dem Kind Tip ps un d Lösungshinweise b>1bt, wenn sieh beim Bearbeiten Schwierigkeiten zeigen. Stan dardisierte bzw. no rmierte Verfa hren beinh alten diesbezüglich klare Vorgaben und sind deshalb

34

I4

Diagn os tik im Mat he mat ikunt e rricht

obje ktiver. D as ist jedoch gleichzeitig auch ein Nachteil, da es z. B. (i. d. R ) nicht zulässig ist, nach dem I;isungswcg zu fragen oder zusätzlich e Erklarun gen zur Aufga bellstellung zu geben, wenn ein K ind eine .c\ ufgabc nicht verste ht. \,'en ig bzw. nicht standardisierte Vergehe nsweisen und Instru m ente haben hier den Vo rteil, dass D en k- und Ler nwege in diagnostisch en G esprächen erfragt und dadurc h differenziert erfasst werde n können (Scherer 19% a, 87). Bekanntes Beispiel dafür ist die klinische Methode von Pieger (1994, 15 ff.). Auch Objcktivirär hinsic htlich de r Zeitvorgabe führt i. d. R. :/.U einer besse ren Vergleichba rkeit vo n Ergeb nissen, ist aber im Hinblick auf die Ana lyse von Lernp ro zessen wenig sinn vo ll. \,\'enn diese beobacht et un d er fasst werden 501len , müssen die Sch ulc rinru-n li nd Sch üler gen ügen d Z eit ha ben , die Aufgalx-n zu bearbeiten. Unter Zuverlässigkeit oder Reliabililii! einer ~ fes s u ng wird de r G rad der Sicherheit ode r Genauigkeit, m it de m ein bestimmtes M erkmal gemessen wird, ve rstanden, und es geht um die Frage, wie sehr einem einmaligen Mcsscrgebo is ve rtra ut we rden kann (Ingcnkamp/ Lissmann 2005, 5 ~) . D amit ver bu nden ist auch die Abhängigkeit bzw, Una bhä ngigkeit eines Ergebnisses von der Tcstsiruarion. Asp ekte wie die mo ment ane Ver fassung des Kind es, die Beziehung zur Lehrperson. die Tageszeit, Mo tivatio n und Ko nzentratio n usw. beein flussen Diagnosesituatio nen. I Iicr muss beachtet werde n, dass diese Faktoren auc h bei ho her Stan dardisierung im mer eine Roll e spielen und dass jedes D iagnoseergebnis fehle rb eha ftet ist. Die Validität oder die G ültigkeit gilt als ein wichtiges K riterium, bei dem es daru m ge ht, o b ein Ver fahren auch tatsäch lich das misst, was gemesse n werden so ll (Moosbruggcr/ Kclava 2007, 13). Aufgaben, die zur Überp rü fung eines bestimmten Merkm als eingesetzt wer de n, m üssen auch tatsächlich ge eignet sind, dieses zu erfassen. K om petenzen bezüglich des Verständnisses de r Multiplikatio n können bs pw. nur ungen ügend erfasst werden , wenn lediglich fo rmal zu lösende Einmalein saufgab en vo rgelegt werde n, da diese von de n Schülcrinncn un d Schülern z, T. auswendig gelernt werde n (vgl. K ap. 6.1.2). Formale Au fgaben sollten somit ergänzt werde n d ur ch an dere Aufga bens tellun ge n. z. B. anschauungsgcsrötzt (Punktfc1d oder andere Fcldcrsrrukturen) oder kontextbe zogen (Scherer 2003a; 2003b). Standardisierte Ve rfahren o rientieren sich bezüglich de r Validität oft an allgemeinen Le rn zielen, wie sie r , B. im Lehrplan vo rgegeben sind (curriculare Validität) . D as füh rt dazu, dass die Au fgaben nur ungefähr auf das Fähigkeitsniveau eines einzelnen K indes abgestim mt werden kö nnen, un d es kann sein, dass ein Ver fahren zu leicht ode r zu schwierig ist. Bei wenig bzw. nicht standardisierten Ver fahren kennen die Aufga ben im Ve rlauf des diagnostischen Pro ze sses flexibel an den Kenn tnisstand der Schülerinne n und Schü ler angepasst werden. So kö nnen bspw. ausgehend vo n den Kompetenzen der Lern en den strukturgleic he A ufgaben in einem gr ößeren ode r kleine re n Za hlenraum gestellt werde n (für Beispiele vgl. Moser Opitz/ Schmassm ann 2005, 9ff.; SchmassrnannyMosc r

4.1

Grundsätzliche überleg ungen

I 35

O pi rz 2008a, 13 ff.; 2008b, 10 ff.; 2009, 12 ff.), oder eine .Aufgabe kann «ogc passt auf die jeweilige D iagnosesituation einm al m it und einmal ohne Kontex tbezug vorgelegt werden (für Beispiele vgl. Scherer 2003b ; 200 5a; 2005b). D ie Validität, d. h. die Sicherheit, dass das interessierende Me rkma l erfasst wird, kann dadurch crhohr werden. Ein weiteres Gütekriteriurn ist die j\"ormimmg. Sie erlau bt, die Kompetenz en einer Schü lerin oder eines Schülers mit einem Bezugssystem zu vergleiche n (Moosbrugger/K clava 2007, 19). \'{'ir wollen dies am Beispiel des Prozentrangs. eine m Normwert, der in standardisierten T ests oft verwendet wird (z. B. I-ritz er a]. 2007; Ka ufmann er a]. 2009; Kra jcwski ct al, 2( 02), aufzeigen. D er Prozentrang besagt, wie viele Schülerin nen und Sch üler einer Nonnierungsstichpro be im Test einen \'{'ert erzielen, der niedriger oder ebenso hoch ist wie de r vo n Kind X (Ingcnkamp/Li ssm ann 2005, (H f.; :-'Ioosbrugger/Kela\'a 2007, 168 f.). Erreicht ein Kind bsp w. den Prozentrang 10, dann heißt das, dass zehn von 100 Kindern ein schle chteres oder dasselbe Ergebnis erre ichen . Es han delt sich somit um ein schlechtes T eerergebnis. Ein Prozentrang von 90 dagegen stellt ein sehr gutes Testergebnis dar und besagt, dass von 100 K indern 90 ein schlec hteres oder dasselbe E rgebnis erreicht haben. Ver bun de n mit diesen Normen sind auch einde ut ige Aus sagen, welc he Leistu ngen als .du rchsch ninli ch. und welche als runte rdurchschnittliche gelten (vgl. K ap. 2. 1). Solche Festlegengen beru hen jedoc h immer auch auf bestimm rcn Vorann ahmen un d bleiben zu einem besti mmten Teil willkurlie h (vgl. Zieky/ Perie 2006; Zieky 2(0 1). Z ude m sagt ein solcher \'('ert für sich allein nicht aus, o b einfache oder schwie rige Aufgaben richtig geli)st wu rden. Rottmann (2009, 5 1) weis t in diesem Z usammenhang auch darauf hin, dass shartc Fakten- wie z. B. Pro zentränge eine absolute Gültigkeit suggerieren , die nicht gegeben ist, dass in stan dardisiert en Verfahren Hin weise für die Pla nung von konkreten l-orderm aßn ah m cn feh len un d dass Lo sungsprozesse in der Auswertung keine Beachtung finden . Normen un d Grenzwerte müssten deshalb im mer m it einer ge\vis sen Vors icht betrachtet und auch im m er wieder hinterfragt werden (Mos cr Opitz Cl a]. 20 1Oa). Es wurde die Bedeutung der G ütekriterien für den diagnostischen Prozess dargestellt und auf Vor- und Nachteile vo n Verfahren mi t unterschiedlichem Sta ndardisierungsgrad lungewiesen. \, 'ie eing angs darges tellt, wird die Auswahl des Instru m en ts durch die diagnos tische Zielsetzung bestim m t. Geht es einer Le hrperson daru m, Inform ationen über den Lernstand einer Schülerin bzw. eines Schülers zu erhal ten, um die Forderung o pti mieren zu kön nen , ist es nicht sinnvo ll, stan dardisier te Instrumente einzusetzen. Steht hingegen die Frage eines Übertritts oder die Z uweisung zu einem bes timmten Fo rdcrorr an, sind standardisierte Instru me nte - zus ätzlich zu anderen Vorgehcesweisen - hilfreich. Moscr Opirz er al. (2010) schlagen vo r, beim Verdacht auf umfassende Sch wierigkeiten grundsätzlich verschiedene Ver fahren zu kombinieren . Standa rdisierte T ests sollen als Scree ning, als .Sichrungsvc rfabrcn-, eingesetzt wer de n und Auskunft über das Ausm aß eines eventuellen Leistungsrückstands

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I4

Diagnostik im Mathematikunterricht

geben. Anschließen d sollen andere, wenig bzw. nicht standardisierte, Verfahren durchgeführt werden, um Näheres über die Lernprozesse, die beso nderen Kompetenzen und Schwierigkeiten zu erfahren . Im Folgenden werden einige H inweise zur Auswahl und zur Verw endeng von Ver fahren mit einem un terschiedliche n Grad von Standardisierung gegeben. Bei we nig bzw. nicht standardisierten In st rum en ten wollen wir insbesondcrc aufzeigen, wie inte rsubj ektive Na chvollziehbarkcir und die Einhaltung der G ütckritcricn gewährleistet w erden könne n.

Zur Berücksichtigu ng der Güte kri terien Standardisierte Instrument e erheben J en Ans pruch, Leistungen objektiv, zuverlässig und valide zu erfassen bzw. zu überp rüfen. Das Gütekriterium der O bjektivität wird i. d. R. durch das Vorliegen vo n wörtlichen Anweisungen und den vorgegebenen Aufgabens tellungen erfüllt. \'\'ie schon erwähnt, entsteht dadu rch der Nachteil, dass Lernprozesse nicht oder nur oberflächlich er fasst werden können. Es gibt mittlerweile jedoch auch standardisierte Instrumente, die vorsehen, dass nach Li>sungswegen gefra!-,>t wird, und die auch qualitative Beurteilunge n zulassen (z. B. Kaufmann er ä]. 2009; Moscr O pitz ct al. 2010). Zur Einhaltung von Validitä t und Reliabilität werden bei standardisierten Verfahren statistische Kennwerte ausgewiesen, die bestimm te Kriterien erfüllen m üssen. Hie r kann es nich t Aufgabe der Lehrperson sein, dies zu überprüfen, sondern sie muss sich auf die Analyse von Fachp ersonen verlassen können. Es m uss weiter bedacht werden, dass ein statistischer \\'ert noch nichts aussagt über die inhaltliche Q ualität eines Instru ments. Testaufgaben werden in standardisierten Instrumenten oft nac h statistischen un d nicht nach fachlichen und fachdidaktischen Kriterien ausgewählt. Das füh rt dazu, dass in eine r Reihe von T ests von einem eingeschränkten Verständnis von mathematischer Kompetenz ausgegangen wird und vor allem K op frechnen und schriftliche Verfahren ubcrprüft werden (1:. B. I Iaffner ct al. 200 5; C;()!itz ct al. 20(6) . Eine detaillierte A11:t+ lyse Wl11 standardisierten Verfa hre n kann an dieser Stelle nicht erfolgen. Eine ko mmentierte Übersicht von versc hiedene n Instru men ten findet sich bspw. bei Lan derlyKaufmann (2008, 14-8 ff.). \'i:'enig bzw. nicht standardisierte Instrume nte werden insbesondere in der lern prozessbegleitenden und -orienticrten D iagn ostik eingesetzt. D ie Einhaltung der klassischen Gütekriterien wird in diesem Kontext in der Fachlitera tur kontrovcrs diskutiert, Bundschuh (2007, 72) un d Eggert (2007, 4-5 f.) betrachten bspw. in ihren fördcrdiagnostischc n Konzepten die Einhaltu ng der G utekriterien als nicht erstrebenswert. Eggen (cbd., 4-6) spricht von O bjcktivitar als einer wen ig realistischen Grundannahme in Pädagogik und Th erapie. bezeichnet Reliabilität als einen »Albcaum« und Validität »als eine Angelegenheit mit oft schmaler Reichweite- (ebd., 4-8). In anderen Quellen (K ornmann 2002 ; Maser O pirz 2006; 200% ; \'( 'ember 1998) wird dagegen explizit dafür plädier t, dass

4.1

Grundsätzliche überleg u ngen

I 37

sich eine professionell durchgeführte D iagnostik im Sinn des wissenschaftlichen Kriteriums der intersubjektiven Nac hvollz ichb arkcir immer an Gütekrite rien 7.U orientieren habe. Mit dieser Fo rderung ist nicht gemeint, dass die G üte kriterien der klassischen Tes ttheorie anzuwenden sind, sondern es geht darum , de n Diagnosepro zess theoriegcle itet, trans parent und intersubjektiv nachvoll..ichba r zu planen, durchzu führen und zu evaluieren. Das kann nich t bedeuten, dass das Einbringen der diagnostizierenden Person un d deren Subjckrivirät ausgeklammert werden soll, sondern es geht darum, be i de r D urch führung, der Auswe rt ung und der Interpretation der D iagnose bestimmten Regeln zu folgen. \,\'ir wollen dazu einige Beispiele aufzeigen,

•

Briigdmann (2005, 328) schlägt als grundsätz liches Prinzip zur Steigerung der Oijek til!itiil »Mehrp erspcktivirat« vo r. Das bedeutet, dass z. B. versc hicdene Perso nen in die Beobachtung und . Auswertung einbezogen werden . Dun;h.fiihmngso,?jektil!itiil kann verbesse rt werden, wenn die Person , die die D iagnose vornimmt, die Fragen und Anwe isungen vorab möglichst präzise formu liert. Das ist besonders wichtig, wenn Rechenwege un d individuelle Ve rgehensweisen erfragt werden. So muss darau f geachtet werde n, dass keine sugges tiven Fragen gestellt werde n, die bestimmte Antworten nahclc gcn. Fragen wie )\\'ie has t du gerechnet?, oder .Erklärc, wie du vorgegangen bist, sind geeigne t, um Ve rgehe nsweisen und Strategien zu erfragen, wäh ren d Äuß eru ngen wie .l Iast du .. , gerech net? dazu führen können, dass die Schülerin nen und Schüle r die Frage bejahen, weil sie denken, dass die Lehrperson dies erwartet. \\'eiter wird O bjektivität unterstützt, wenn vor dem diagnostischen Gespräc h theoriegeleitet Beobachtungskriterien festgelegt werden. Soll z. B. beob achtet werden, ob ein Kind zählend rechnet, muss zuvor überlegt werde n, worauf die Lehrperson beson ders achten muss: au f Be\vegungen der Finger, auf Li ppcn bcwcgungcn, au f rhythmisches N icken mit dem Ko pf usw. Zur D urch füh rungsobjektivität gehö rt weiter, dass Variatione n von Aufgabenstellungen (ygl. im Folgenden den Abschnitt .Variationcn vo n Aufgabcns tcllungcn.) systematisch eingesetzt und doku mentiert werden . Auswerlungs- und lntetpretationsoly"ektil!itiil kön nen errei cht werden, wenn die Kri terien, nach denen die Auswertung un d Interpretation der Diagnoseergebnisse erfolgt, fest- und offengelegt werden. In der Fehleranalyse in Kap . ·t 2 sind bspw. die Kriterien durch das verwen dete Raster gegeben, und die Beschreibung des Interpretationsp rozesses kann auf dieser Grundlage nachvollzogen werden. Allenfalls könnte überprüft werden, ob mit anderen Fehlerkategorien dieselbe Interpretation und dasselbe Ergebn is erreicht wird, was die Zuverlässigkeit der Di agnose optimieren würde. Zu dem ist es auch hier zu emp fehlen, die Ergeb nisse im T eam zu diskutieren.

•

Wcmber (200S, 284-) fordert, dass für die Diagnostik inhaltlich homogene un d kon rcnrvalidc Aufga bengruppen erstellt werden müss en . Diagnoseaufgaben müssen erstens zentrale ma thematische Le rninhalte überprüfen. d. h.

38

I4

Diagn os tik im Mat he mat iku nt e rricht

Inh alte, von denen bekannt ist, dass sie für den ..\ufbau des mathema tisehen Lern p rozesses wichtig sind. Moscr O pirz (2007a) und Sehrnassmann / Moser Opitz (2007; 200Ha; 2008b; 20(9) bezeichnen solche Inhalte als »mathematischcn Basissroff« oder »basalen Lcru stoffe, Scherer (2009a, 838) verwendet den Begriff »Basisfertigk citcn «. D azu gehören bsp w. Zähl· komp etenzen, die Einsicht ins dezi male Stellen wer tsystem. das O pera tion sverstandnis der Grundoper atio nen oder Srrarcgiewissco (" gI. Kap. 2.2.1, 2.2.2 und (d A). Wembor (ZOOS, 280) sp richt vo n eine m didaktisch zurc ichcnd begründeten Katalog von »Schlüssclqualifikationcn«, mit dem überprüft werden kann, welche Kompete nze n die Schülerinnen un d Schüler erworbr-n haben u nd welche sie no ch erwt-r tu-rr müssen. Ko nrenrvalide Aufgaben können ers tellt werden auf der G rundlage von theoretischen G rundlagen (Wcmbcr 2005 ; 1998, 107 ff.), d. h. fachlichen bzw. fachdida ktische n K enntnissen un d E rgebnissen von em pirischen Stu dien. Zur Entwicklung von Aufgaben zur Übcrpnifung der Zä hlkompetenz könnte etwa au f die Zählprinzipien (vgl. Kap. 5A-.2) oder auf das Modell der Zahlentwicklung von Fusou (vgl. Kap. 6.1.1) zurückgegriffen werden. Für die Multiplikation eignen sich die versc hied enen Modellvorstellungen (K rauthauscn/Schcrcr 2007,27 f.; \'gl. Kap. 6.1.2) in Verbindung mit verschiedenen Rcprasentationscbcncu, un d bezüglich der Einsieh t ins dezimale Stellenwerts ystem kan n die O rientierung etwa an Erkenntnissen zur Bedeutung des Bündelungs- und des Stellenwertp rinzips oder an den verschiedenen konvcnrioncllcn Veranschaulichun gen erfolgen (vgl. Kap. 6.1.3).

•

Auch die Zuverlässigkei t des D iagno seergebnisses kann durch bestimm te Maßnahmen erhöht wer den. Brügelmann (2005, 330) sch lägt vor, den Kon textbezug des Verhaltens bzw. der Messun g transparent zu machen, d. h. bspw. die T estsituation und das Verhalten der Schüle rin bzw, des Schü lers zu do kumen tieren. \Veiter gib t es die I\1()glichke it, dass nicht nur eine, sondem mehrere .Aufgaben zu eine m bestimmten Th ema oder Le rninhalt vo rgelegt werden (ygl. z. B. Scherer 2003b; 2(XJ5a; 2005b), oder bestim m te Aufgaben können zur Überp rüfung eines Ergebnisses in strukturgleicher Form zu einem anderen Z eitpu nk t noch einm al bearbeitet werden.

Die Ausführungen Zl'igen: Bei der E inhaltu ng von Gütekriterien geh t es nicht um statistische \\'ert e, sondern um einen möglichst transparenten, inrcrsubjckriv nachvollziehbaren und theo riegeleiteten Di agn oseprozess.

Anforderungen an die Au fgabe ndarstellung Im Kontext der Entwicklung von D iagn oseaufgaben mus s die Aufgabendarbietung bzw. -darsrcllung beachtet werden, und zwar unabhängig vom D iagnosekonzept und vorn Grad der Sta ndardisierung des Instruments (Moscr Opirz 2009b , 296 f.; Ka p. 1.3). \'('enn D iagn oseaufgabcn das Ziel haben, bestim mte Ko mpetenz en zu überprüfen, sollten sie mö glichst unabhängig von der Kenntnis besti mmter D arstellungsform en und Veranschaulichungen gelöst werden

4.1

Grundsätzliche überleg ungen

I 39

k önnen, bzw. es m uss sicherges tellt sein, dass die Lernenden die verwendeten D arstellungen und Aufgaben fonnate kennengelernt haben (vgl. Moscr Opitz 2009b, 297; Kap . 5.3.2 und das Beispiel in Abb. 6.1.3 im A bschnitt )Umgang mit G cld-}. \X'enn es bsp w. um die Überp rü fung von K ompetenzen im Umgang mit Punktmustern geht, so llten diese vorab im Unrc rrichr eingesetzt worden sein (Schmassmann/ Moscr O pitz 2008a, 10; 2008b, 12) bzw. ist bei der Aus wer tung zu berücksichtigen, ob das Material bekannt oder eher un be kannt ist. Wir d hingegen als Diagnoseziel das Ne uerkunden der Felder angestrebt, ist es selbstverständlich sinnvoll, auch unb ekann te D arste llungen zu verwende n. D ie Pro blem atik der un bekannten D arstellungen oder Veranschaulichungen lässt sich am folgen den Beispiel aufzeigen: Land erl/Kaufm ann (2008, 165) beschreiben eine T estaufga be aus dem standardisierten Verfahren »Rcchcnfcr rigkeireu un d Za hlenverarbeitungsdia6>Tlostikum« (jacobs/ Pctcrmann 200 5b), die das hier geforderte Kr iterium .bc kan nrc Ver ansc haulichung. nicht erfü llt. D ort wird zur Überp rüfung des Stellenwensystems ein Rechenrahm en mit grünen und gelben Kugeln eingesetz t. D ie Autorinnen we isen darauf hin, dass sich dieses Material grundlegend vo n den Arbei tsmittel n unterscheidet, die die Kinder wahrscheinlich aus dem Unterricht kennen. H ier besteht somit die Ge fahr, dass nic ht wie beabsichtigt das Verständnis des dezim alen Stellenwertsystems . so ndern di e Kenntnis dieses sp eziellen Rechenrahm ens überp rü ft wird (vgl. Mo scr O pi rz 2009b, 297; K ap. 5.3.2). Im Folgenden wo llen wir insbesondere darstellen, welche weiteren Aspekte bei der Durch führu ng einer lern prozess begleite nden und -o ricnticrrcn D iagn ostik zu beachten sind.

Hinweise zu lernprozessbegleitender bzw. lernprozessorientierter Diagnostik Theoriegeleitete Diagnostik Im vorherige n Ab schnitt wurde auf die Bedeutu ng der theoretischen Grundlaben bzw. der fachlichen un d fachdi daktischen Lei tlinien für die Ers tellung vo n kontentvalidcn Aufga ben verwi esen. Diese G run dlagen sind auch Voraussetzu ng für die Planung von Fo rderu ng (Mo scr O pitz 2006 ; 2009; Schlc c 2008; \\'ember 2003; 1998, 107 ff.). Nur wen n bekann t ist, wie sich eine bestim m te Kompetenz entwickelt un d wie ein Lerninhalt au fgebaut ist, können gezielte Fordertn aßnahmen geplant werden. So verzic htet bspw. Scherer (2005b, 17) da rauf, exp lizite -Übungco. zur Fö rderu ng von Multiplikatio n und D ivisio n vorzulegen, sondern sie besp richt die Operatio nen ausführlich {G ru nd vo rsrcllungen, Veranschaulichungen, mögliche Ak tivitäten) un d leg t dadurch die Basis für die Entwi cklung von th eoriegeleite ten Fördcnnöglichkcitcn.

40

I4

Diagnostik im Mathematikunterricht

Variat io nen von Aufga bensteIlunge n Diagnostische Au fgaben können auf unterschiedlichen Ebenen variiert werden, einerseits bezüglich des A nfo rderu ngsniveaus. andererseits bezüglich von Merkmalen wie etwa des Zahlenmaterials, der Form der Darbietung, der Art der Instru ktion, der Repräsentationsebene oder des Ein bezugs eines Kontextes (Scherer 2005::1; 200Sb; 2003b). \X'l'mber (2005, 284) schlägt Variationen auf folgenden Ebenen vo r:

•

Variation der Instruktion: Aufgaben können mit viel oder wenig Erkl äre ngen , mit offenen oder geschlossenen Fragestellungen oder mit/ ohne explizite Lö sungshilfe gegeben werden.

•

Variation von visuellen Stim ulusko m ponenten: l\ ufgabcIl können konkrethandelnd , bildlic h-anschaulich oder verbal-symbolisch dargestellt werden. Zudem können Materialien verändert werden (7.. B. Bekanntheitsgrad, Anzahl der Elemente, Veränd erung der räumlichen Anordnung usw.). Bei Scherer (2003b; 2005a; 2005b) finden sich bspw. Aufgaben, die u. a. variiert werden bezüglich des K o ntextbezugs oder bezüglich der Möglichkeit des

Abzählces.

•

Variation der Rcspon scanfordcru ngcn: D ie Ij isung kann verbal oder schriftlich, mit ode r o hne Ma rerial dargestellt werden, oder der Rcflcktio nsg rad der Anrworr kan n variie rt werden (auswählen und zeigen/herstellen; können/erkläre n; Gegenvorschläge erarbeiten). Auch können die Bewertu ngskriterien verändert werden (ein Versuch mit un d einer ohne Hilfe).

\'\'ichtig ist, dass solche Veränderungen in verschiedenen Phasen des diagnostischen Pro zesses bewusst refle ktier t und auc h entsprechend dokumentier t werden. Bei der Aufga benkonstruktion bzw. -auswahl muss überleg t werden, welche Aufgabenvarianten für de n diagnostischen Prozess mit einem bestim mt en Kin d bereits vorbereite t werd en sollen. Il insic htlich der Auswertung muss fest gelegt werden, wie die unterschiedlichen Responseanforderu ngen in die Auswertung der Ergebnisse einbezogen werden solle n.

Geeigne te Instrumente Für D iagn osen inn erhalb des Unterrichts können verschiedene Au fgaben und Instru ment e eingesetzt werden . Für eine erste H ypo thesen bild ung üb er mögliche Schwierigkeiten eig net sich die Fehleranalyse (K ap. 4.2). \,\'eitere Möglich keiten werd en hier vorgestellt. Für eine n ersten Einblick in vo rhandene Ko mpetenzen lassen sich auc h offene A ufgaben einsetzen (Abb. .t } und K ap. 5.1.3).

4.1

Grundsätzliche überleg ungen

I 41

tQj

:, 20+0 :,

! 0 f2o : i,, (, \110,,

11(- -t 6 : : 11-\-.9 :

Abbildung 4 .1 Zahlenhäuser von Arne (Förderschule Lernen, 2. Schuljahr)

Im 2. Schuljahr an einer Fördcn c hul c / Fö[dcr~ c hwcrpu n kt Lernen wurde die Aufgabe gestellt, eigene Zahlenhauser zu erstellen. Arnc (Abb. 4. 1) wählte Beispiele aus dem Zahlcnraurn bis 100, o bwohl in der Klass e aktuell im Z ahlenraum bis 20 gearbeitet wurde. Das zeig t, dass seine Kompet enz en bezüglich der Zcrlcgung vo n glatten Z ehn ern über de n aktue ll im Unterricht gestellten 1\ 0 forde rungen liegen . \\'ic es allerdings um die Beherrschung and erer Rin spluscin sau fgabcn steht, kann au fgrund dieser J..()sung nicht festgestellt werden. Arnc noti ert bei einer Reihe von Aufg ab en jeweils die Tauschaufgabe und scheint das Kommutativgesetz vers tanden zu haben. Er zerlegt die gewählten Zehnerzahlen zum T eil unsystema tisch, im unteren T eil des dritten Zahlenhauses jedoch auch systematisch, we nn auch nich t als volls tandipcn T enn. Wah rscbcinlich ha t die D arstellung der Z ahlen häuse r (Begrenzung unte n) daz u geführt, dass nich t mehr Zerlegungen no tiert worden sind. A n dies em Beispiel "eigt sich so mit deutlich, dass der D arst ellung von D iagnoseaufgaben große Bedeutung zukom mt (\"g1. Abschnitt .Anfordcru ngc n an die Aufgabend urstellung0. Mit Zahl en hausern. in den en keine Begre nzung vorgege ben ist oder mit einem anderen Aufgabenformat (z. B. .Suche möglichst viele Z erlegun gen der 20<) könnten Arncs diesbezügliche Fähigkeiten differenzierter überprüft werde n. A ndererseits kann ihm dieses überschaubare Format des Zahlenhauses aber auch Sicherheit biet en . Geeignet für eine q ualitative Di agnostik sind weite r 11mJ"til"d.retji1SJ"lI!lc~e!l mit vorgegebenen Au fgaben. Solche Instru mente können unterschiedlich aufge baut

42 1 4

Diag nos ti k im Mat hem atiku nt err ic ht

sein und verschiedene Schwerp unkte setzen. Sie könn en sieh bspw. an bcstimmten Themen oder O pera tionen orientieren lind auch bezüglic h der Einsatzm oglichkcircu und des Grads an Standardisierung variiert werden. Ein Beispiel dafür sind die Lc m standscr fassungc n vo n Scherer. Zum Zwanxigcrrau m (2005a), zur Addition und Subtraktio n im l lundcrrerraum (200.3b) un d zu r Multi plikation und Division im I lundcrrerraum (ZOOSb) lieg t eine jeweils umfangreiche Aufgabcm ammlung vor, die sowoh l in Form ehe r standardisierter T ests als auch in Poem eines halbstandardisierten Int erviews cinzuserxcn sind. Die Aufgaben werden 1I. a. auf verschiedenen Repräsentationsebenen und m it oder o hne Kontext an geboten. Jede r Band ent hält viele Beispiele und ausführliche fachlic h/fachllidaktis ch bcgriinl lcte Förck-rhin weise. A ndere Instrumente uberprufcn m()glichst umfassend vers chiedene wichtige Lerninhalte in eine m bestim mt en Z ahlenraum oder für ein bestimmtes Schuljahr. Kau fmann /Wessolowski (2006) legen bspw. Aufgaben vor, die hel fen sollen, Schwierigkeiten im An fangsunterricht zu erke nnen. D ie überp rü ften In halte reichen von sogenannten pränumerischen Ko mpe tenzen wie K lassifika tio n un d Scriation über die Beobachtung vo n A bz ählstrate gie n bis zu m Ve rständnis vo n Stellenwerte n . \',;reitere Beispiele für thematisch um fassende Lcrnsran dsc rfassungcn finde n sich im / 'edpiMaJ!pgiJchen Kommentar :;,"m Schwei:;.er /.ahlenbllch (Ma ser Opirx/ Sch m assman n 2005; Schrnassrnann/ Mose r Opirz 2007; 200Ha; 200Hb; 20(9). Diese bei nh alte n Aufgaben zur Überprüfung des basale n m athematischen Lern stoffs eines be stimmten Schuljahres. In der Le rnstandserfassung zum zweite n Schuljahr (Schmassm ann/Moser O pirz 2008a, 10 ff.) liegen bspw. Aufgaben zu m Zä hlen, zur Anzahlerfassung un d zur Zahldarstdlung, zum Schreibe n, Le se n un d Anordnen von Zahlen, zu de n G ru nd operationen un d zu m Ma the m atisiere n vor. D ie Anweisungen un d Bcobachrungs hinweise sind \'orgegeben, und die Instrumente sind dadur ch bezüg+ lieh Durchführung und Auswer tung teilweise standardisiert . Es liegen auc h Fordcrh inwci sc vor, diese sind jed oc h überblicksartig dargestellt, und es wird au f I Iiuwcise im Schulbuch bzw. im f leilpiidagogiühen Kommenlarverwi esen .

4.2

Fehleranalyse als diagnostisches Instrument

Im Rahm en des D iagn osep ro zesses stellt die Fehleranalyse ein wichtiges In stru ment dar (zur ausführlichen Auseina ndersetzung mit de m Thema ,Umga ng mit Fe hlerne \"gl. Kap. 5.2.3). Es han delt sich um eine un terric htsn ahe Methode, die sich un terrichtsp raktisch gut realisieren lässt (vgl. Lorenz/Rada tz 1993, 24 ff.). Pcbleranalysen sind p rod uktorientiert (vgl. Kap. 3.2.2) und werden anhand vo n schriftlichen Aufgabenbearbeitu ngen (Tes ts, Klassenarbeiten, H ausaufgaben, Übungsaufgabe n) der Schülerinnen und Schül er durchgeführt. Fehl eranalysen sind als ein erste r m öglicher Schritt im diagnostischen Prozess zu betrachten, bei dem von der Lehrp erso n Hypo thesen zu möglichen Vergehensweisen und

4 .2

Fehleranalyse a ls diagnost ische s Ins tru me nt

I 43

Fehlerursachen fonn uliert werden und der die G ru ndlage für eine weiterführend e, prozessorientierte Diagnostik bietet. Dabei muss berücksich tigt werde n, dass Fehleranalysen je nach Lerninhalt unterschiedliche Anforderungen beinhalten. Bei schriftlic hen .Algorithmen lässt sich eine Analyse u. U. einfac her durchfü hre n als bspw. bei Sachaufgabc n, bei denen die U>sung swege nicht oder nur teilweise notiert sind. Fehler bzw. Fehlermuster können zudem immer du rch unterschie dliche v e rgeh ensweisen zustande kommen (vgl. das Beispiel von O mar und Mcik in Kap . 3.2.2 ode r das jenige von Bunita in Kap. 6.1.3). O hne weiterführen de Gespräche - z. B. im Rahmen eines diagn ostischen Interviews - bleiben die Vermutungen über mögliche v e rgehensweisen hypothetisch (K rnu th:lIlsen/Sch erer 2007 , 2 10).

Fehlerkatego rien

Hilfreich für die erste Phase der Fehleranalyse sind Raster, mit denen Fehler ver schieden en Katego rien zugeteilt werden. Solche Raster kön nen nach verschiedenen Kriterien von den Lehrpe rson en selber erstellt oder aber übernommen werden. Es kann z. B. eine Eint eilung erfolgen in Rcchcn-, Notationsoder Strategiefehler (vgl. Kap. 3.2.2; für die schriftlichen Verfahren siehe z. B. Gerst er 2009; 1982). Jost er al. (1992, 36 ff.) schlagen eine Katcgor isicrung in fün f verschiedene Fehlertypen vo r. D iese werd en im Folgenden exemplarisch dargestellt, und an einem Beispiel wird aufgezeigt, wie das Raster eingesetzt werde n kann.

•

Schnillstellenft hler betreffen die fehlerhafte Aufnahme, Wiedergabe un d Notation von Symbolen und ents tehen bspw, aufgrund von auditiven oder visucllcn Wahm cbmungsproblcmcn (z. B. auditive Verwechslung von .vierzehn' und lvier/.ig< oder visuelle Verwechslu ng von (> un d 9); bei Schwierigkeiten mit der räum lichen O rientieru ng (z. B. falsche Notation vo n Za hlen), bei beeinträch tigtem Hö ren und Sehen (z. B. Farben blindheit, Ko ntrasrcm pfindlichkeit) usw.

•

V erJtiindnisfthler bei Begnffin beziehen sich auf das fehlerh afte bzw. nicht gelunge ne Erkennen von Z usam me nhänge n und Begriffen, wenn z. B. die Vorstellung der ver schieden en Za hlaspekte (vgl. Kap . 6.1.1) fehlt oder das dezimale Stellcnwertsystem, Bruch- oder D ezimalzahlen nich t versta nden sind.

•

VerJtändnisfthler bei Operationen k ön n en sich einerseits auf die grun dlegen de Einsicht bezie hen, was bei einer Operation geschieht: dass bspw. bei der Addition Mengen zusa mm engefügt werden und bei der Subtrak tion von einem Ganzen ein T eil weggeno mmen wird od er dass bei der Division ein Ga m es in gleich große Teile auf- oder ve rteilt wird, bis ein nicht mehr weiter aufteilbarer Rest übrig bleibe Andere rseits kann es sich auch um eingeschränkte Vorstellunge n handeln. Dies kann sich etwa zeigen, wenn Schü lerinnen und Schüler die Subtraktion nur als Abziehen, aber nicht als Er -

44

I4

Diag nos ti k im Mat hem atiku nt err ic ht

gänzcIl deut en kön ne n oder wenn die D ivisio n nur als Umkehru ng der Multiplikation verstanden wird .

•

trete n trotz vorhandenen Vers tän dnisses vo n Begriffen und Operationen auf und betreffen Ergebnisse oder Abläufe, die nicht automa tisiert werden können. Ein häufiger Automatisierungsfehler ist bspw. der -t l -Fchler oder de r - d-Fchlcr: Eine Additions - oder Subrrakrionsaufgabe wird mit einer Abzählstrategie gelüs t, die Ausgangszahl wird mitgezählt (14+5 18 -7 14, 15, 16, 17, 18), und das Ergebnis ist um 1 zu klein (c-t -Fchlc r). Zu den Au tomatisierungs feh lern gchi)[cn auch Pcrsevcrationeo, we nn die Lernenden an etwas Bekannt em oder Ein fachem .klcbcn bleiben. (z. B. 10---10 ::: 2U ~ As soziation mit 10+10 ::: 20 oder ?r7 ::: 27 durch Nachhängen de r 7).

A liloml1fü;emng~fthler

=

•

UmJeIZlingsfeh/er entstehen, wenn schon erarbeitete Begriffe und O peratione n nicht oder fehlerhaft auf neu e, ko mpl exe Situ ation en übertragen werden können. D ieser Fehlertyp ko mmt u. a. beim Um setzen bekannter Begri ffe, O perati o nen ode r Tech niken im U m~ ng mit Sacliproblcmcn (cbd., 39). J o st er al. (cbd., 39) beschreiben ein Beisp iel, bei dem ein Kind anhand der Daten von Tag und Monat seines G eb urtstags sein G eburtsjahr zu bcstimmen versucht e.

\'('enn eine Fehleran alyse nac h solche n Katego rien vo rgeno m men wird, sind verschie dene D inge zu berücksicht igen. Zuerst muss beach tet werde n, dass sich im Rahm en des llypothesenbildungs prozesses jed er Fehler verschiedene n Kategorien zuteilen lasst.. \'('enn ein Kind z. B. 7+ 2 ::: 6 rechnet, könnte es sich um einen Schnittstellenfehler (Verwe chslung von 6 und 9 ode r Verwechslung von 4 und 7 ~ 4+ 2 ::: 6) oder um einen Fehle r des O perationsverständ nisses (Additio n nicht verstanden) handeln . D eshalb ist wichtig, dass nicht nur die falschen Ergebnisse, sondern auc h die rich tigen an geschaut werden. Steht z. B. die oben genannte, falsch gd ()ste j\ u fgabe mi tten in einer gr()ßeren Anzahl vo n richtig gelösten Addhionsaufgabcn, ist die Hypothese .Schnirtsrcllcnfchlcr, wah rscheinlicher als ifchlendes O pcrationsvcrstand nis-. Sind hingegen viele Au f~ ben falsch gelöst, sind Pro blem e mit dem O pera tionsvers tänd nis oder vielleicht sOb~ r mit de m Au fbau des Z ahlbegri ffs wah rsc heinlicher. \'{'eiter m uss beachtet werd en, ob es sich evd. um einen H üchtigkeitsfehlc r handelt oder ob ein Fehler systematisch auftri tt (vgl. Kap. 3.2.2). In einem weitere n Schritt gilt es dann, auf de r Grundlage der erstellten H ypo tbcsen geeignete ev rl. strukturgleiche - Aufgaben zu suc hen und diese dem Kind im Rahmen eines diagnostischen Gesprächs, bei de m Lösung swege er fragt und beobachtet werden können. vorz ulegen.

4 .2

Feh le ra na ly se als di agnostisches Instru me nt

I 45

Ein Fallbeispiel

2 o.) Lege und rechne. 1.b) 13 - 5 = .'6 .. J '19 - 8 = .12 , 12 - 5 = ';;,.. e 11 - 5= .
10 - 5 = .13. / 9 -5 = .±. I

17 - 8 = ,9 .. J 15 - 8 = 1 1 , 13 -8= .S. ,

11 -8= .'+'. '

3 ~)

10 - 2

= .g~..

11 - 3 =

12 - 4 = . 13 - 5 = 14 -6= "1''1'' '

...... J

."" ) 20 -3 = .78 0 19 -4 = .15.. " 18 - 5 = .13 ,; 17 - 6= 1 1 {

1 6 - 7 = ~g ,

Abbild ung 4 .2 Arbeit sblatt von Pat nck (1. Schuljahr Grundschule)

Patric k hat auf seinem Arbeitsblat t mehrere Fehler gemacht, was die Lehrerin zu einer Fehle ranalyse veranlass t. D ie Lehrerin orie ntiert sich dabei an den fiinf beschriebenen Fehlerkategon en un d stellt Vennutunge n an, wie Patrick gerechnet haben könnte. Tabelle 4 .1 Vermutungen zu Patncks Fehlern Fehlerty p

Aufgabe

Bemerkungen

Verständnis Operation

12- 5

Grunds ätzliche Probleme mit der Subtr akt ion?

=

5

15- 8 =11 13 - 8 = 9 Automatisierung

12- 5 = 5

.xle benblerben- an der 5 -7 fal sche Assoziation?

19- 8 =1 2

Ergebnis immer um 1 zu groß. + I - Fehler -7 Zählend gerechnet?

11- 8 = 4 20 - 3 = 18 16- 7 = 10

Schnittstel le

15- 8 =1 1

Str ukt ur der Aufgaben erkan nt , vom vorher igen Ergebnis aus in die falsche Richtung gerechnet -7 9 +2 anstau 9 -2?

13- 8 = g

Folgefe hler von 15- 8 = 11?

15- 8 =11

Ausgehend von der zuvor berechnete n Aufg abe 17- 8 = 9 auf grund von Raumorient ierungsschwierigkeiten in die falsche Richtung gerechnet?

46

I4

Diagnostik im Mathematikunterricht

Bei den Au fga ben 19- 8 ::: 12, 11-8 ::: 4 und 20--3 ::: 18 un d 16--7 ::: 10 ist das Ergebnis jeweils um 1 zu g ro ß, was zur Vermutung führ t, dass Patrick abgczäh lt und die 1\ usga ngszahl mitgczähh hat (+ l . Fchlcr). Bei den anderen Fehlern stellt sich die Frage, ob es sich um gru ndsätzliche Schwierigkeiten mit der O peration Subtraktion handeln kon nte. Da jedoc h ca. zwei D rittel der Au fgaben richtig gelöst sind , wird dies als eher unwahrscheinlich betrachtet und nach weiteren Fehlerursachen gesu ch t. Eine gcnaucrc Analyse gibt Hinweise auf ein eventuelles Fehlermuste r. E s könn te sein, dass Pa rrick die Struktur des Päckchens 2b erkan nt hat (Minuend wird immer um 2 vermin dert, Subtrahend bleibt gleich -) das Ergebnis wir d immer um 2 kleiner) und sich ab de r d ritt en Au fg.the daran ',111 orientieren ve rsucht, da b ei jedoch »n die falsche Rich rungc gerechnet hat: E r addiert 2 zu m Ergebnis der Aufgabe 17- 8 = 9, ans tarr 2 zu subtrahieren. Richtig:

17--8

= I)

l S- H

=7

Vermutetes Vorgehen:

17-H = I) 15--8

= 11

In der nächsten Aufgabe (13-8 = 9) würde sich da nn ein Folgefehler finde n (vo m falschen Ergebnis I) wird 2 subtrahie rt). Die Lehrerin stellt sich auch die Frage , ob Patrick - wie in der Au fga benstellung vorgegeben - die \'\ 'endeplättchen zum Lösen der Aufgabe ge nutzt oder o b er ein anderes Vo rgehen gewä hlt hat. Z udem überleg t sie, o b die fehlerhafte Nutzung der Struktur auf eine n Flüchtigkeitsfehler zurückzuführen ist oder o b diese durch Schwierigkeiten in der Rau m orientieru ng entstan den sind. Sie legt Patrick in einer der nächs ten Mathematikstunden strukturgleiche Aufg ab en vor. Sie stellt dabei fest, dass er ohne \'\'endeplättchen arbeitet, jed oc h bei einz elnen Aufgaben gu t sichtbar die Finger benutzt. Nachfragen ergeben, dass Patrick z. T. tatsächlich die A usgangszahl mitzählt. In einem diagn ostischen In terview zeig t sich weit er deutlich, dass die Vennutung >g rundsätzliche Pro blem e mit der Subtraktion. nicht zutri fft und die Fehl er bei 2b überw iegend du rch einen fehler haften Umgang mit der operativen Struktur des Päckchen s en tstanden sind . Patrick erkennt jeweils recht schn ell, das s Päckchen eine Struktur au fweisen , setz t sich abe r nicht wirklich mit dieser aus einander und nutz t diese nicht konseq uent. D as häng t auch mit seinem Arbeitsve rhalten zusammen: E r will seine Aufgaben möglichst rasch .abarbcircn., Die Hypothese .Automatisicrung sfclilcr. hat sich so m it mehr fach bestätigt, und Patricks Fehlermus ter ko nn te di fferenziert beschrieben werden. Partick beko mmt im Ansch luss an diese A nalyse mehrmals die Aufgabe, die Struktur eines Päckchens nur zu beschreiben, ohne die .t\ ufg;lben zu losen und mit ihm wird am Aufbau von Strate giewissen (\'gl. K ap. 6.1.4) ge arbeitet. D as soll ihm helfe n, sich vc rricfrcr mi t de n Bcaicb ungen der Aufgaben zue inander auscina nderzusetzen . Zudem werd en Maßnahmen zur Ablösung vorn zähl enden Rechnen ergriffen (K ap. 5.4).

4 .2

Fehleranalyse a ls diagnost ische s Ins tru me nt

I 47

\'('ir haben uns in diesem Kapitel aus führlich mit Anforderungen an eine theoriegeleitete und intersubjektiv nachvollziehbare Diagnostik befasst und aufgezeigt, wie - je nach diagnostischer Zielsetzung - Vergehensweisen mit einem unterschiedlichen Standardisierungsgrad eingesetz t werden können.

5

Förderung

5.1

Unterrichtsgestaltung und -o rganisat ion

D ie Fö rderu ng von Schulerinnen und Sch ülern mit Lern schwache n ist eine zen trale Au fgabe der Schule, die etwa auch im Schulgese tz vo n Nordrhein\, '('stfalcn fcstgchaltcn ist (.~ l"\,(' 2009, § 1, 2, 50). D ies stellt für Lehrp ersonen (-inc große I Jcrausfordcrung dar. \,\'ie soll es gelingen, einerseits für die Klass e die Erreichung der Ziele des Le hrp lans zu gc\vährlcistcn und andererseits K inder individuell zu fordern bzw. Lücken aufzuarbeiten? \'\'ie soll dies in Klassen gelingen, die sich zusatzlieh zu gro ßen Lc isrungsuo rerschicdco auc h durch H ererogenität bezüglich Sp rache, Geschlecht, sozialer und kultureller H erkun ft auszeichnen (Schneider Z008; "gI. auch Kap. I) ? \\'ie kann Un terrich t gestaltet und organisiert werde n, da mit Schülerinnen und Schüler mit unte rschiedlic hen K o mpetenzen gefördert werden können? D azu erfolgen ein ige Üb erlegungen.

5.1. 1

Äußere Differenzi erung

Auf untersch iedliche Lernvo raussetzungen vo n Schülerinnen un d Schülern wird oft mit äußerer Differenzierung reagiert. Es handelt sich dabei um o rganisatorische Maßnahmen zur I lcrstellung vo n m öglichst .homcgcncn- Lc rngruppen, eingeteilt nach Leistungs fähigkei t. D ies geschieht d urch die Einrichtung von j ahrgangsklasscn, differenzierte n K ursen in de n Sekunda rstufen I und II und wird sich tbar in de r Zuteilung vo n Schü lerinnen und Schülern zu vcrschicde nen Schultypen (G rundschule, Forderschulc , H auptschule, Realschule, G esamtschule, Gymnasium; vgl. auch l Icyma nn 1991). In der Fo lge kommen da nn Maßnahmen wie Sitzenbleiben und \'Cechsd der Schulfonn zur Anwcudung. \\ 'ir können an dieser Stelle nic ht die D iskussio n um die G liederung des Schulsystems füh ren, möchten jedoch einige kritische Aspekte festh alten. Zu m eine n wurde mehrfach nac hgewiesen, dass die Zuweisung zu den unterschied lichen Schultypen oft nac h anderen K riterien als de r Leistungsfähigkeit erfolgt (G o molla 2006; Kommann 2006; K ro nig 200 7). Zum anderen fuhrt die Bildung von vermeintlich homogenen Lerngroppen o ft zu einem wenig individualisierenden Unterricht, der sich an .Durchschnitrsschulerinnen und -schulcrn,

50

I5

Förderung

o rien tier t un d den individuellen Vora ussetzungen der Lernenden nicht gerecht wird. »Die Funktion sm echanism en unseres Sch ulsystems .. . stehen in einem deutlichen C;cgeosatz zu einer integrativen und individualisierenden Pädago6tik. Vielmehr wird du rch eine Vielzahl von altbekan nten Ordnungsmechanismen in unserem Schulsystem immer wieder vers uc ht, die homogene Lcmgruppc herzustellen, um dann den Unt erricht an den .Mirrclk öpfen- auszurichten. D ies ist zwangsläufig mit immer ncucn Sch ritten der Selektion vcrbundcn« ( Tillmann

ZOOS). Um he terogenen Lerngruppen gerecht zu werden, erscheinen Maßnahmen der inneren D ifferenzieru ng zentraler, die sich auch auf unterschiedliche Lern materialicn, Lern inhalte und Lernzielniveaus beziehen (I Iclmkc 2U07, 72), was wir im folgenden Abschnitt genauer beleuchten werden. Au ch wenn kritis che Anmerkungen zu Formen der äußeren D ifferenzieru ng erfolgt sind, kann es für die Förderung von lern schwachen Schülerinnen un d Schü lem sinnvoll sein, zusätzlich zu innerer Differenzierung auch Maßnahme n der äußeren Differenzierung in der Form von Förderunterricht oder Fö rderstun den einzusetzen. Gerade wen n Schülerinnen und Schüler eine n seh r großen Leis tungsrückstand aufweisen, sind individ uelle Fordcrscquenzen, die für eine spezifische Diagnostik oder zum Aufarbeiren von Le rn inhalten genutzt werden, oft unabdingbar. Mittlerweile existieren vielfaltig e Modelle für die G estaltung zusätzlicher Fordcrung: Le rn schwach e Sch ülerinnen und Schüle r müssen nicht unbedingt jed e \'('oc he und über einen längeren Zeitrau m fest gelegt den Fordcruntcrricht besuchen. Vielmehr sind bspw. bei schu lisch en Angebo ten die Fürderstunden flexibel angelegt und nicht unbedingt nur für leistungsschwache Lernende vo rgesehen. Es kann genauso sinnvoll sein, auc h für leistungsstarke Schülerinnen un d Schüler ein zusätzliches Le rnan gebo t bereitzuhalten . Zudem sollte die Enrscheidung, ob ein Schüler bzw. eine Schulerio den Fordcruntcrricht besucht, mit Blick auf die Lernentwicklung immer wieder neu ge tro ffen werden, so das s bspw. auch temporäre Problem e bei einem spezifischen mathematischen Inhalt aufgefangen werden können. Zusätzliche schulische F örderangebo te find en auch im Rahmen des o ffene n Ga nztags statt, so dass die Betreu ung im Nachmittagsbereich den regulären Unterricht geeign et ergänzen kann. A uc h außerschulische Förderangebo te kö nnen sinn voll sein, wobei wir hier die durchaus kritische Diskussion nicht aufgreifen wollen (vgl. hierzu bspw. Sch ipper 2002). \Vichtig ist jedoch, dass die genannten Fordcrrnaßnahrncn - schu lisch oder außerschulisch - eng mit dem Mathematikunterrich t verzahnt werden.

5.1

5.1.2

Unte rricht sgestalt un g und - orqa ntsatto n

I 51

Inn ere Differenzierung

Im Rahmen der inn eren Differenzierung wird der Lernstoff so aufbereitet, dass innerhalb einer Klasse ode r Lerngruppe an diffcrcnxierrcn und individu alisierten Zielse tzunge n gearbeitet werden kann . Dies kann in un terschiedlichen Formen umgesetzt werden. So un terscheide t lIeymann (199 1, 65 f.) bspw. zwisehen »offcncr« und »gcschlo ssen cr« Differenzierung. »Mir beiden Fo rmen versucht man, den ind ividuellen Voracs scrxungen, Eigenarten, Stärken und Schwä chen der Sch üler gerecht zu wcrdcn« (ebd.). Bei der geschlossenen Diffcrcnzicrungeform wird den Le rnenden ein sehr detailliertes und geschlossenes Curriculum \'orgegeben, und die Lehrperson ver sucht, die Lern fortschritte m öglich st genau zu kontrollieren. Ausgangspu nkt für die Individualisierung sind die (kognitivcn) Leisrungen der Schülerinnen und Schüler im voran gehenden Lcrnabschnitt. Bei der o ffenen Differenzi erung wird angestrebt, die Le r n en d en in einer relativ o ffenen, anregungsreiche n Lem umgebung ihre individuellen Lern wege selber finden zu lassen . Umgesetzt werden bcidc Formen bspw. im offenen Unt erricht (\\ 'ochenplan, freie Arbeit, \\'l'rkstauunterricht, Stationenlerne n usw.; vg\. Pesehel 20(6). Im Folgenden werd en G renzen und " Iiiglichkeiten dieser Unt errich tsforme n dargestellt, und es wird insbesondere aufgearbeitet, welche Aspekte im Unterricht mit lern schwache n Schülerinnen und Schülern zu berücksichtigen sind. Möglichkeiten und Grenzen von offenem Unterricht

O ffene Unterrichtsform en bieten grundsätzlich ein hohes Pot enzi al für individualisierenden Unt errich t. Die Realisierung von offene m Unterricht generell bzw. von konkreten offenen Un terrich tsform en wird in der Fachliteratur jedoch auch kritisch hinterfragt (:t.. B. Pesehel 2006 ; Brügdmann 2(05), insbesondere auch mit Blick auf Schülerinnen und Schüler mit Lern schwächen (\'gl. zu sammen fassend Eckhart 200S).

Problem at ische Realisierun g von offenem Unterri cht Pesehel (2006, 9 ff.) legt kritisch dar, dass die Prinzipien und Zielsetzungen von o ffenem Unterricht (Eigcnveranrwortcng, selbs tgesteue rtes Le r n en, f landlungsbcfabigung und Selbstkontrolle) o ft nicht um gesetzt würden und dieser o ft nicht mehr der eigentlichen Intention von offenem Un terricht entspreche. Ansrau um Eigenverantwortung gehe es oft nur um die Auswahl aus einem vorge gebenen Angebot. Selbstgesteuertes Lernen beschränke sich auf die Bestimmung der Bearbeitungsreihen folge der Au fgaben, die Zeit einteilung od er auf die Auswahl des Arbeitsorts. Die I landlungsbefahigung wurde reduziert auf tätigkeitsinte nsive Beschäftigungen, bei denen der Einsatz des Materials nich t klar begründet sei. Differenzierung inne rh alb der Klasse best ehe zudem oft darin, dass zwei od er drei in sich undi ffercnzicrrc \\'ochenpläne abgegeb en würden (cbd., 9; vgl. auch Hanke 2002). Bei einem solchen Vorgehen gehe die

52

I5

Förd erung

Differenzierung nicht von den Lcrnbcdur fnisscn der Schulerinnen und Schüler aus, sondern von dem, was in der \'{'oc he gerade xlran- sei (Pcschcl 2006, 20). Zudem bestünden viele Woc henplane bloß aus einer Serie von Übungsblattern oder Schulbuchaufgaben. nlÜgclmann (2005, 34) spricht davon, dass bei Freiarbeit oft einfa ch Arbeitsmaterialien aus Sch ulbüchern »irn Karteifo rm at. zur Verfügung gestellt würden (vgl. auch G rönrgcns 2001; Wirrmann 1990, 154; ·7) K ap. ::>._. Es m uss auch beachtet werden, dass der einseitige Einsatz

VOll

\'\'ochcnplan,

\\'crkstattuntccricht oder Stationslernen die soziale Auseinandersetzung mit den

Lerninhalten verhindern kann. \'('enn Schulerinnen und Schüler mehrheitlich einzeln arbeiten und gemeinsame E rarbcitu ngsscq ucnzcn in den l lintergru nd rücken, finden Bearb eitungen von inte ressanten Pro blemen im Klassenverband. Diskussionen über unterschiedliche Vergehenswe isen und I.ilsungswege oder Arbeiten in Kleingruppen kaum me hr statt. Dadurch fehlt die soziale Aus cinandersetzung mit den J.erninha lten und dam it eine wichtige Voraussetzung für erfolgreiche mathematische Lern prozesse, Beim einse itigen Einsetzen vo n individuelle r Planarbeit wird nic ht berücksichtigt, dass sich die Entwicklung ma the m atischen \,\'issens von Kindern immer im Kontext sozialer Konstruktionsun d individueller D eutungsprozesse vo llzieht (Steinbring 2005, 11 ff.). Eine Reihe von Untersuchungen hat sich mit de r Frage auscinandcrgescta r, ob un d unter welchen Bedingu ngen offene r Unt erricht für lernschwache Schülerinnen und Schüler gelingen kann und wirks am ist. Insgesam t zeigen die Fo rschungsergebnissc, dass besti mmte Faktoren berücksichtigt werden müssen,

damit diese Schülerinnen und Schüler im offenen Unt erricht auch tatsächlich o ptimale Lernfortsc hritte mac hen können. Ha nke (2002) fasst die Fo rschungsergebnisse wie folgt zusammen (vgl. auch I leimlieh 2007 mit Bezug auf gemeinsamen Unterricht):

•

Im Vergleich zum traditionellen Un terricht führt offener Unterricht im I Iinblick auf die Schulle istungen zu etwas schlechteren Resultaten.

•

Im Vergleich zum tradi tionellen Unterricht bewirkt o ffener Unterrich t im nicht lcisrungs bezogenen Bereich (E instellung zu Schule und Lehrperson. Koo peratio n, Kreativität, Selbs tständigkei t) etwas günstigere Ergebnisse.

•

In mehreren Studien wurde nachgewiesen, dass lernschwache Kinder im offenen Unterricht eine tiefe aktive J.ernzcit aufweisen (vgl. zusammenfassend Eckhart 2008, 92). D urch eine Erhöhung der Le rn zeit lassen sich Schulleistungen im offenen Unterrich t verbessern, ebenso durch eine Steigerung der Qualität des Unterrichtsmarerials un d d urch eine lern begleitende Anleitung (Ha nke 2(02).

5.1

Unte rrichtsgestalt un g und - orqantsatto n

I 53

•

Für leistungsschwächere Sch ülerinne n und Schüler scheinen strukturierende Lern hilfen (adap tiertes Unrcrrich tsrnatcrial, klare Instruktionen) unabdingbar für einen Lern zuwachs zu sein.

•

\'\'eiter stellte Eckhart (2008, 106) fest, dass die \'\'ochenplanarbeit für die Lernentwicklung der schulleistungssc hwac hen Kinder mit Zuwanderungsgeschichte eher hinderlich zu st-in scheint, ebenfalls die Gruppenarbeit. D(T A utor vermuret. dass sprachgebunde ne und wenig strukturierte Aufträge in \'\'oc henplänen bzw. in Gruppenau fträgen diese Kinder übe rfordern.

Die referierten Fo rsch ungsergebnisse weisen insgesamt darauf hin, dass offener Unterricht bei lernschwachen Schü lerinnen und Schülern auf der Lcistungscbcnc nur unter bestimmten Bedingungen wirksam ist. E s muss somit sorgfä ltig überlegt werden, in welcher Art un d \\'eise Unt erricht gestaltet werden kann, damit diese Lernenden optimal gefördert werden. Wie zuvor dargele gt wurde, werden Forderungen nach »strukruricrcndcn Lcm hilfcn« im Unt erricht, nach »lcrnbcglcirendcr Anleitung- oder nach »lchrcrzc nrricrren Elcmcnten« (I leimlieh 2007, 74) gestellt. Das darf jedoch nicht dazu fuhren, dass in der Förderung von lernschwachen Schülerinnen und Schülern - wie in der traditionellen IIil fsschuldidaktik - die Lerninhalte Y()O vornherein stark reduziert, die Schwierigkeiten isoliert, ein kleinse hrirriges Vorgehen ge\vählt sowie feste l.i)sungswege vorgegeben werden (Scherer 1999a, 49 ff.). Mathematische Forderung bzw. Mathematikunterricht muss so gestal tet und stru kturiert werden, dass auch lern schwache n Schülerinnen und Schüle rn die aktive Ause inandersetzung mit dem Lerngegenstand erm öglicht wird (" gI. Kap . 3.1) - in kommunikativer Auseinandersetzung mit den Mirsch ülerin nen und Mirschulern und mit Unterstützung bzw. mit »lernbegleite nde r Anleirung« durch die Lehrperson. Im Folgen den wird auf eine im Mathematik unt erricht besonders häufig eingesetzte Fonn von offenem Unterricht eingegangen, auf den Wochenplan.

Individuali sieren durch Wochenplanunterri cht Z ur Realisierung von individualisierendem und differenzierendem Mathematikunterricht werden besonders häufig Woc h(,npläne eingesetzt. Pe sehel (2006, 14) hält fest, dass die Vorbereitung der Schulwoche durch die Lehrpersonen - und damit auch die Vorbereitung von Mathematikunterricht - an den meisten Schu len durch diese Unterrichts form erfolge. \'\'och enpläne werd en häufig in Form einer »gcschlosscncn« Differenzierung umgesetzt. wenn die Lerninhalte von der L(-hrpcrson fest vorgegeben sind. Dies beinhaltet insbesondere fiir den Unterricht mit lernschwachen Schülerinnen und Schülern die Möglichkeit, Lcrninhalrc und Lernziele individualisiert anzupassen. Bedingung ist allerdings, dass dies nicht mit »Schulbuchaufgabcn in Karrciforma r« geschieht, sondern mit sub stanziellen mathematischen Aufgaben, angep asst an die J.en!Voraussetzungen der Schülerinnen und Schüler.

54

I5

Förd erung

\'{'('nn individuelle Arbeitsphasen du rch Planarbeit gestaltet werden, ist weiter zu berücksichtigen, dass Pläne unterschiedlich gestaltet werden können . In der Schuleingangsphase oder mit lernschwachen Schülerinncn un d Schulern kan n es 5iOl1\'01l sein, zu Beginn nicht m it \\'ochcnpiäncIl, sondern mit Tages plan en zu arbeiten. Solche Pläne kö nn en zudem b~ nz unterschiedlich auss ehen (Bnigelmann 200S, 339) und mehr oder weniger Differenzierung enthalten.

•

Alle Schulerinnen und Schüler erhalten dieselben Aufgaben, die Arbcirsabfolge und das Arbeitstempo könnten selber bestim m t werden.

•

Es wird differenziert durch verschiedene Pläne für einzelne Kin dcrgruppen.

•

Einzelne Schulerinnen und Schüler erh alten je einen individuellen \'('ochen+ oder Tagesplan.

Je größer die Lei tungsunterschiede in einer Klasse sind, umso wichtiger ist die Erstellung von individuellen Plänen. Pesebel (2006, 9) zufolgc werden solche \'\'oc henpläne jedoch nur wenig erstellt. \'\'oc henplanunterricht wird in der Praxis nicht immer optimal eingesetzt. Eine G efahr besteht darin, dass Individ ualisierung vor allem au f der Ebene de r O rganis ation stattfindet und wen ig auf die Anpassung der Lerninhalte bxw. der Lernziele geachtet wird. \,\'enn \'\' ochenp lanu nt erricht zudem einseitig einge setzt wird und nahezu sämtlicher Le rn sto ff in Fo rm von Planarbeit vorgelegt wird, kann dies daz u führe n, dass die Lerninhalte nic ht erarbeitet un d verstauden, sondern nur 1\ ufträge bzw. Ar bcirsbla rter .abgcarbcitc t- werden und dass keine echte Auseinandersetzung mit dem Lerninhalt erfolgt. Um diese Ge fahren zu ver meiden, ist es einerseits wichtig, wie schon angesprochen, dass die Pläne substanzielle mat hematische Au fgaben bzw. produktive Übungen en thalten. An derersei ts muss auch auf die Balance von individuellen un d gemeinsamen Lernphasen G ewicht gelegt werden. Da zu folgen Ausführungen in eine m späteren Abschnitt.

Offenheit und Struktur im Mathematikunterricht Mathematikunterricht hat zum Ziel, allen Schülerinnen und Schülern zu Einsicht in mathematische Struk turen zu verhelfen und mathematisches Verstän dnis aufzubauen. D ie individuellen Le rnvora ussetzungen der Schülerinnen und Schüler - insbesondere derjenigen mit Lernschwachen - erfordern deshalb offene Unterrichtsformen im Sin ne der inneren D ifferenzierun g. Gleichzeitig wurde aufgezeigt, dass diese Lernenden auch auf Strukturierungsmaßnahmen un d besondere Untcrsrutzu ng angewiesen sind. Offenheit un d Struktur sind somit wichtige Determinanten von förde rnde m Mathematikunrerrichr, und zwar immer gleichzeitig sowohl auf der inha ltlichen als auch auf der organisatorischen Ebene.

5.1

Unte rricht sgesta lt un g und - o rqa ntsatto n

I 55

Strukt urierung durch math emat ische Aspekt e Un terstutzende Strukturicrung insbesondere für lernschwache Schülerinnen und Schüler kann durch die SUI:;"ung mathemutiJeher Stmkturen bzw. durch eine Struktuncrung won der Sache her, erreic ht werden, un d zwar auf unrcrschicdlichcn Ebenen {E zawa 2002 ; Moscr Opira/Schmassmann 2007; Sche rer 1999a; 2003b; 200Sa). Die Lernenden können bspw. unterstü tzt werden, indem strukturierte Veranschaulichungen wie das Zwanziger- oder l Iundcrrcrfeld (vgl. K ap. 5.3 und SA) eingesetzt werden. D iese helfen den Schulerinnen und Schulern. de n Blick auf das \'('esentliche zu richten und tragfahige Vorstellungen bzw. mentale Bilder aufzubauen (Kraurhauscn/Schcrer 2007, 245). \'('eiter kann eine produktive Übu ng sp ra xis. gekennz eich ne t du rch strukturierte Übungen vielfaltiger Art, zu einem besseren Verständnis beitragen (Ausführungen dazu erfolgen in K ap. 5.2), oder die mat hematische Stru ktur von offenen , \ u fg,J-ben (vgl. Kap . 5.3.1) kann individuelle Lernprozesse unterstützen.

St rukt urierung durch org ani sator ische Maßnahm en Prengel (1999) befasst sich mi t Blick auf den Ers tunterricht mit der Thematik »Vielfalt und gute Ordnung« und illustriert am Beispiel Freiarbeit. wie Forderungen nach Struktur und Begleitun g im offenen Unterricht um gesetzt werden kön nen. Es geht dabei um Überlegungen zur Arbeitsorganisation und zu Hilfestellungen und nicht um inhaltliche Fragen. D iese l linweise eignen sich auch für den Unterricht mit lernschwachen Schülerinnen und Schülern und lassen sich ohne \'('eiteres auf andere offene Unrerrichrsform cn und insbesondere auch auf Wocbcnplaoarbcit übe rtrage n. Ein wichtiger Aspekt für eine gute O rdnung sind transparent formulierte Erwartungen der Lehrperson gegenüber den Kindern. Prcngcl (1999, 101) schlägt vor, diese als Regdn zu formulieren, die einerseits für alle Kinder vo rgegeben werden können: »[cdes Kind beschäftigt sich mit einem (bestimmten) didaktische n Matcrial«, "Jedes Kind wählt mindestens eine Aufgabe der Kat egorie X aus« oder »[cdcs Kind beschäftigt sich mindestens fünf Minuten mit bestim mten Übungsaufg,J-benK Andererse its kön nen die Regeln auch auf den Forderbedarf einzelner Schülerinnen und Schüler abgestimmt werden: »Kai bespricht seine Arbeiten heute mit der Lchrcri n«, »Inge erledigt heute früh zuerst die Aufg abe X und versucht, diese mit H ilfe des Zw anz igerfeldes zu löscn«, »Malin kann sich eine Aufgabe aus dem Th emenbereich Y auswählen, und sie kann sich bei Andres, Malte od er Sirnone I lilfe holcn«. Solche individ ualisierenden Ililfen können nur gegeben werden, we nn die Lehrperso n die Voraussetzungen des Kindes einerseits und den Lerninhalt andererseits sehr gut kennt. Weitere Srrukruricrungshilfcn im o ffene n Unterricht können ritualisierte Vereinba rungen sein. Wichtig sind zudem Raum - und Marcrialsrrukruren. Das Material muss gut geordnet und beschriftet zu r Verfügung stehen, und die Schu l-

56

I5

Förd erung

raumgestaltung muss so gestaltet werden, dass einerseits Einzclarbcitsplätzc, aber auch Tis che für Kleingruppen zur Vcr fügung stehen.

Eine besondere H erausforderu ng. die es im Unt erricht zu bewältigen gilt, besteh t darin, dass die Lehrperson sich im Sinne von individueller F örderu ng sowohl um einzelne Schulerinnen un d Schüler als auch um die ganze Klasse kümmern muss. \,\'<'nn die Schulerinnen und Schüler mit Einzclarbcit besc häftigt sind (\'\'ochenplan oder andere Aufgaben), wird die Lehrperson o ft für verschiedene I Iilfcstcllungcn und zur Beantwortung von Fragen in Anspruch geno mmen. In solchen Situationen ist es schwierig, o hne zusätzliche Fordcrsrun den Zeit zu finden, mit einzelnen Sch ulerinnen und Schulern einen bestimmten Lerninhalt noch einmal zu klären, eine Diagno~eaufgabe vorzulegen oder Fehler zu bespreche n. Um Schü lerinnen un d Schüler auch inn erhalb des Klassenunterrichts indiv iduell zu fördern und mit ihnen in Kleingruppen oder einzeln arbeiten zu können, müssen bestimmte organisatorische Maßnahmen ergriffen werden.

Dies kann z. B. geschehen, indem im Stundenplan fixe Zeit en festgeleg t werde n (z. B. zweimal pro \,\'oche eine halbe Stunde), die für die Arbeit mit Klcingruppen oder auch mit einzelnen Kindern reserviert sind . \\'iehtig ist, dass die Klasse während dieser Zeit Aufgaben bearbeite n kann, die sie ohne Probleme selbstständig erledigen kan n. Beson ders geeigne t sind z. B. Denks piele (Müller! \\ 'ittmann 1998; 2( 06) Arb eit am Computer oder auch produktive Übungen (vgl. Kap . 5.2) - immer unter der Bedinj.,.tmg, dass diese ~orgfältig eingeführt wurden und die Schülcrinnen un d Schüler selberständig damit um gehen können. In bestimmten Situatio nen kann es ftir die Lehrperson eine Erleichterung bedeuten, wenn die Klasse bzw . einzelne Schülerinnen und Schüler während der -F ördcrphascn- mit nicht mathematischen Akrivirären (I .cscaofgabc, I Icftcintrag) beschäftigt werden. Damit solche Fordcrsequenzcn gelingen, müssen mit der Klasse Verhaltcnsrcgehl erarbeitet werden, insb esondere mit jüngeren Schülerinnen un d Schulern. Die Lehrperson darf z. B während der .Fordcrzcir. nicht gestiirt werden. E s können auch zwei oder drei Schülerinnen und Schüler benannt werden, die als A uskunftspersonen für dringende Fragen zur Verfügung stehen.

Balance von gemeinsamen und individuellen Lernphasen Es wurde dargelegt, dass bei einem einseitigen Einsatz von Planarbeit die Gefahr besteht, dass gemeinsame Erarbeitungsphasen bzw. soziales Le r n en vernachlässigt werden. Im fördernden Mathematikunterricht sollen sich gemei nsames und individuelles Lernen die Balance halten und in enge r Beziehung zueinander durchgeführt werden. Gemeinsame Erarbcirungsphascn können auf die individuelle Arbeit vorbereiten, oder individuelle Arbeiten bzw. Arbeiten von Kleingruppen können als Ausgangspu nkt ftir gemeinsame Lernse quenzen diene n.

5.1

Unte rricht sgesta lt un g und - o rqa ntsatto n

I 57

Insbesondere für Schülerinnen und Schüler mit Lernschwachen ist wichtig, dass sie Lerninhalte auc h gemeinsam mit and eren und / oder mit Begleitung durch die Le hrperson erarbeite n können. Durc h die inh altliche Auseinan dersetz ung im G esp räch mit anderen können individu elle Vo rstellungen ver tieft, erweitert und angepasst oder falsche Vorste llunge n ko rrigiert werde n. Ru f/Gallin (1998) beschreiben solche Le rnp rozesse mit der Formel .Vo m Singulären' (»Ich sehe es so«] über das -Divergicre ndc- (,;\'('ie siehst du cs?«) zum )Regu lären( (»D arauf einigen wir uns, das halten wi r fcsr«). Individuelle vergehensweisen und Le rn\vege (das Singu läre) werde n denj enigen von Mitsch ülerinnen un d Mirschulern gegen über gest ellt (das D ivergierende) und disku tiert. G em einsam wird anschließen d das Verbinde-nde hzw. )Allgemeine( (das Reglllii re) herausgearbeitet. Eine wei tere i\li)glichkei t zur inneren D ifferenzieru ng, die einen hohen G rad an D ifferenziert heit zuläss t un d gleichze itig gemei nsame s Lernen ermöglich t, stellt die natürliche Di fferenzierun g dar.

5.1.3

Natürlich e Differen zi erung

Grund sätzli che Überlegungen Natürliche D ifferenzierung ist eine For m der inneren D ifferenzieru ng, die sich besonders für fo rde rnden Mathcm atikunrcrrich r eign et. Es geht da ru m, dass die Schülerinnen und Schüler ärn gleichen Lcrngcgcnstand , jedoch auf verschiedenen Stu fen bzw. A nspruch sn iveaus arbeiten (FreudeIlthaI 197..J., 1( 6). Krauth auscn/ Schc rcr (2007, 228 f.) nennen bezogen auf Wittmann / Mu llcr (2004 , 15 f.) folgende ko nst itu ierende Merkma le:

•

Alle Kinder erhalten das gleiche Le rnangebot (eine Au fgabe, ein zu bearbeitendes Problem).

•

Da s Angebot soll dem Kriterium der inhaltliche n G anz heitlichkeit genügen. D as heiß t, dass eine ge\visse K omplexität der Au fgabe notwendig ist, o hne dass diese jedoch kom plizier t wird.

•

D ie Aufgaben enthalten natu rgem äß Fragestellungen mit unterschiedlichem Schwierigkeitsgra d. D abei wird das zu bearbeitend e Niveau nicht von de r Lehrperso n vorgegebe n, sondern die Kinder wähle n diese für sich aus. I jjsungswege, D arsrcllungs formcn, I Iilfsmi trcl und z. T . auch die Pro blemstellungen selbst sind freigestellt.

•

Soz iales Mit- und Vo neinanderlernen wird auf natürliche Art und \'('eise ermöglicht, indem verschied ene Z ugangs- bzw. Vergeh en sweisen schri ftlich oder mündlich ausgeta uscht werden.

Mit entsprechen der Unrersrürvung können auch lernschwache Schü lerinn en und Schüler mit solchen D ifferenzieru ngsangeboten umge hen . Bei der Auswahl

58

I5

Förd erung

des zu bearbeitenden Niveaus braucht es evtl, eine .lcrnbcglcitcndc Anle itung. durch die Lehrperson . indem diese z. B. dem Kind einige Aufgaben vorlegt und auf die jeweiligen besonderen Anforderungen hinwe ist und dam it Entschcidungshilfcn gibt. Bei der Auswa hl vo n Losun gswcgcn , D arstellu ngs fo r men und llilfsmittcln kann es ebenfalls notwendig sein, dass die Lehrperson - ode r auc h Mirsch ülerinn en und Mitschüler - Vorschläge machen. \'{'ichtig dab ei ist, dass dies im Sinn eines Angebo ts und nicht als -bcsre- oder .einfachs rc- Lösung erfolgt. Das folgende Beispiel (vgl. Scherer 2007b) zeigt die D ifferenzierungsun d F ördcrm öglichkcircn durch offene Aufgaben für lernschwache Schülcrinnen und Schüler auf ver schiedenen E benen auf. Bei der A rbeit im Tausenderraum wurde der offene Auftrag gestellt, .Aufgaben mit dem Ergebnis 1000 zu finden . Pctcr, ein Fo rdcrschiilcr im 4. Schuljahr, startete mit einer Multiplikation und zwei mehrgliedrigen Additionen. Erst dann folgten zwei - vermeintlich ein fachere - A ddition en mit zwei glatte n l Iundcrtern (Abb. 5.1).

~ O~ . A iJ::-/'fOiJO

J" Oo f l co-l3(} OfAaO~O(}O 406+~OO+~ao_~Oc~

0'OrJi- Cr07= -{OOo 700fJ(J(J~ 4COO Abb il du ng 5. 1 Pet er s Aufg aben mit d em Er geb ni s 100 0

In quantitativer Hin sicht differe nziert diese Aufgabe durch die Anzahl der ge· fundenen Zahlensatze . So fand Pc rcr fünf Aufgaben, während ein anderer Schü ler in der gleichen Zeit 14 Au fgaben notierte. Das unterschiedliche Le rntem po der Schülerinnen und Schü ler einer Klasse kann somit bei einer solchen o ffenen Aktivität in natürlicher \'{'eise berücksichtigt werden. Auch der Schwierigke itsgrad der Aufgaben kann var i eren und wird vo n den Schülerinnen und Schülern subjektiv wahrgenommen: So empfinden einige die Add ition leichter als die Subtraktion, für andere ist die Multiplikation leichter als die Addition. natürlich immer auch in Abhängigkeit vorn jeweiligen Zahlenmarerial. D ie subjcktivc E inschätzung der Schülerinnen und Schüler selbst kann dabei erhe blich vorn Schwierigkeitsgrad abweichen, den die Lehrperson für eine Aufga be angenommen hat. Zudem kann die selbstständige \'{'ahl eines eigenen Bearbeitungs-

5.1

Unte rricht sgesta lt un g und - o rqa ntsatto n

I 59

nivcaus längerfristig zum Z iel der Selbstorganisatio n eigen er Lernproz esse beitragen .

Komplexe Lernumgebungen Eine besondere Möglichkeit für natürliche Differen zierung stellen ko mplex e mathematische Lern umge be ngen dar. Sie biete n die Chan ce, Sch ülerinne n und Schüler mit vers chiedensten Vorausse tzungen individu ell zu fördern. \X'itt mann (1998, 337 f.) hat dafür den Begriff der »substa nzicllcn Le m u m g cb u n g« gl'prägt. Er bezeichnet damit Lcrnumgcbungcn m it hoher Qualität, die folgenden A nsprüchen genügen müssen:

•

Sie beinhalten zentrale Ziele, Inhalte und Prinzipien des Marhcmarikunrcr-

•

Sie bieten den Schül erinnen und Schulern reiche 1[('>glichkeiten für ma th ematische A ktivitäten.

•

Sie sind flexibel und lassen sich leich t an die speziellen G egebenheiten einer be stimmten Klasse anpassen.

•

Sie int egrieren m athe mat ische, psychologische und p ädagogische Aspekte des Leb ren s und Lernces in eine r ganzheitlichen \'{'eise und biete n ein weites Po tenzial für em pi rische Forschun g.

richrs.

Konkret beinhalten solche Le rn umgebungen verschi edene .Aufgaben, die auf verschiedenen An spruchsniveaus bearbeite t werden können. llirt/ \\'älti (2008, 13) bezeichnen Lcmumgebungen als eine llgroße .Aufgabe«, die aus m ehreren Teila ufgaben und A rbeitsanweisungen besteht, die basierend auf einer innermathe matischen oder sachbcz ogcoco Stru ktur in Verbindung stehen. D ie Aufgaben sind so kon struiert, dass sie übe r eine niedrige ,Eingangsschwelle( verfügen , um m öglichst vielen Lernenden einen ersten Zu gang zu erm öglichen (I1engartner et al. 2CKl6, 19). "A llen wird mit einer Eins tiegsaufgabe ein Zu gang eröffne t. I läu fig k önnen die Kinder zu Beginn etwas ausrechnen, bevor sie sich mit offensichtlich werdenden Strukture n befassen. D a sich die Au fgabenstcllungen variieren lassen, ist zud em im mer genügend Übungs stof f vo rhanden. D as kommt jenen Kindern entgegen, die gerne weite re gleichartige Aufgaben lösen. In jeder Lernumgebung gibt es aber auch anspruchs volle Au fgaben, die .Rampcn- für Leistungsstarke anbieten, so dass sie auch auf ihre m N iveau gefördert wcrdcn« (Hirt/ Wälti 2008,16). Eine Lernumgebung für Klasse 1 mi t dem Ti tel .Einkaufen für 20 E uro' enthält z. B. folgende Auft räge (ebd., 16 1; zu ähnlichen Le rn umgebungen vgl. auch Scherer 2003b, 135 ff.):

-Iu deinem Po rtemonnaie hast du 20 Euro. \Vas man damit alles kaufen kann, findest du auf dem Einkau fstisch (einige Beispiele "gI. Abb. 5.2).

60

I5

1.

K aufe m indestens drei Ar tikel für gcnau 20 Euro ein. \'('icdcrh olc de n Einkau f.

2.

Schreibe deine Einkäufe auf eine Einkau fsliste.

3.

Lass sie von deinen Mitschulerinnen und Mirschu lern kontrol lieren.,

Förd erung

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2,80f:

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2,OO€

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2.60 e

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3,2{)

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Abb ildung 5.2 Art ike l zum Einkaufe n und Preise (Hirt / Wäl ti 2008, 173)

D ie Autoren beschr eiben und dok umentieren, dass Kinder mit einfachen 1)) su ngCll Einkäu fe mit gannahligcIl Beiträgen tätigen und verschiedene Zcrlcgu ngen zur Sum me 20 finden, während in anspruc hsvollen Lösungen mit Euround Cent-Beträgen gerec hnet wird, für größere Beiträge od er von einem Artikel verschie dene Stückzahlen eingekauft werden. Solche Au fgaben kön nen für lernsc hwache Schülerinnen und Schü ler no chmals angepasst werden. So kon nte z. B. die Au fgabe lauten , .K aufc verschiedene Artikel ein für 10 Euro- oder .K aufc zwei Artikel ein, die zusammen 10 bzw. 20 Eu ro ko srcnc Zud em kon nte n die Kinder au fgefordert werd en, die Einkaufsfisten zu zeichnen, anstarr zu schrei ben . Di e Aufgabe ist dann nicht mehr o ffen, sondern .geöffnc«, wobei eine solche Eint eilung nich t immer .rrcnnscha rf ist, sondern auf einem Kontinu um verläuft. Die gena nnten Anpassengen eignen sich insbesondere, um Schülerinnen und Sch üler an den Umgang mit o ffene n Aufgaben hernnzufüh ren, z. B. wenn Schü lerinnen und Schüler aufgrund des bisher erlebte n Unrerrichrs - mit dem Umgang mit offenen Au fgaben nicht vertra ut sind (vgl. Scherer 2007b). \'{'eitere konkrete Vorsc hläge für Lem umgebungen und Materialien, die sich insbesondere für den differenzierten Anfangsunte rricht eignen. find en sich in Nührenbörgcr/ Pus r (2006).

5.2

5.2

Prod ukt ives übe n

I 61

Produktives Üben

J edes Lern en und jede Art von Wissenserwerb erfordert generell auch Cbung, dies trifft für jeden Lern bereich und für jede Th em atik zu. Ins besondere gilt es aber auch für alle Schüle rin nen un d Schüler, una bhängig von ihr en Fähigkeiten . Nach wie vo r wird im M athe m atikunterricht im Vergleich zu anderen Unterrichts fachern von einem beso nde rs hohen Übungsbedar f ausgegangen (vgl. \'('inter 1984-a). G leichzeitig wurde dies auc h als eine besondere Notwendigkeit für lernschwache Schülerinnen und Schü ler he rausgestellt. So wurde die übende \\'iederholu ng un d Festigu ng mit pra ktischer Anwendung als zentraler Bestandteil des Unt errichts mit l-ordcrschulcnnncn un d -sch ulcrn gesehen (vgl. z. B. Baier 1983, 18), und zwar aus folgende n G ründe n: Einerseits wurden u. a. m angelnde q uantitative Übungsanreite als Urs ache für die Lcisruogsbcciocäcboguoge n diese r Lern enden ange nommen. An de rerseits wurde vermuret, dass eine verfrühte Mechanisierunp (mit unzureichenden D enk- und Vcrsrchcnsp roa ess en) zu de n Lern schwächen gefüh rt hat (vgl. Bleidick 1975, 16). D ass diese Sichtweise zu relativieren ist und nicht das aktu elle Verständ nis im Sinne einer produktiven Übungspraxis darstellt, hat W'inre r bereits 198-1 verdeutlich t: »Schwachcrc Schüler werden als so lche definiert , die eines relativ höheren Übungsaufwandes bed ürfen als d urchsch nittliche; durch Üben kämen auc h sie zu Erfolgserlebnissen. Diese in der Breite der Schulpraxis anzutreffen de H oc h sch ätzung des Übens u tc rt nich t selte n in pauschalisierende Übe rschätzu ng aus: alles Ma thematiklernen sei überhaupt nu r eine Frage unentwcgtcn un d harten Cbens (Paukcns, Bu ffcln s, Trainicrens, D rillcns)« (cbd. 1984-a, 5; vgl. auc h Bohm er al. 1990, 18). In diese r besch riebenen Sichtweise wurde falschlieherweise angenommen, dass es in der Mathematik nichts zu terstehen b>1bt. D iese Sichtweise ist kritisch zu betrachten, da Inhalte deut lich schneller ve rgessen werden, wenn sie nicht wirklich verstanden bzw. rein me chanisch auswendig gelernt wu rden (\'gl. z. B. Schippet 1( 90). Zudem ist festz uhalten. dass begrenzte Fähigkeiten und Lernschwierigkeiten von Schülerinnen und Schülern nicht allein durch ein Mehr an Übu ng zu ko mpens ieren sind. \'{'ir wo llen im Folgenden die K on zep tio n einer produktiven Übungspraxis mit dem Blick auf lern schwache Sch ülerinnen und Schüler skizzie ren und dabei die Bed eutung von einsichtigen und au f Verständnis basierenden Übungsaktivitäten herausstellen. Festgehalten sei dabei, dass es im Bereich der Arithmetik ('inige zentrale Inhalte gib t, die au to matisiert we rden un d sicher ve rfügbar sein so llten, die also den A bJ{h111JJ' des jeweiligen Lernprozesses darstellen (\'gl. \'('ittman n/ Müller 1990, 73). Mit A utomatisieren ist jedoc h nic ht das bloße Abspciehern von isolierten Einzelfakten gemeint, so nde rn das ve rnetzte Ve rinnerlichen dieser Inhalte (vgl. Ka p. 5.2.4-). Zunächst mil chten wir einige pro blema tische Aspekte bei der Gestaltung der Ü bungsp ra xis voranstellen.

62

I5

5.2.1

Förd erung

Probl em ati sche Gestaltung der Übun gspraxis

Zu starke Betonung der Quantität De m zeitlichen Anteil des Übcns wird i. d. R. große Beachtung geschenkt. lF'aJ' un d vor allem wie geübt wird, ist häufig nur von untergeordneter Bedeu tung. Aber sch on in der kritisc hen Auseinandersetzung m it der Hilfs schuldid akrik wurde fcsrgchalr cu, dass eine reine lf7iederholung nicht den erho fften Lcrogewio n bringen kann (vgl. B öhm 1980, 123). Ungeachtet dessen wird dennoc h häufig angenommen, dass ein Inhalt nur o ft genug wiederholt werden muss, damit er t"C' rfiigh:lr ist. \'\ '('o n b spw . das Ei n maleins in den hö h er en Klassen nich t beherrsch t wird, so werden als Ursache unzu reichende Automatisierungsübungen angenommen, wobei Automatisierung häu fig mit reinem Auswendiglernen gleichgesetzt wird (zu produktiven Übung sprozessen für das Einmaleins vgl. Kapitel 6.1.2). Dabei bleib t unberü cksichtigt, dass Üben bzw. Lernen überhaup t nur möglich ist, wenn es auf der Grundlage von Einsicht un d Verständnis erfolg t. Dies wird im folgen den Punkt anges prochen.

Zu hohe reproduktive Anteile und fehlende Ein sicht \'\'ürde Übung lediglich als reine \'\'iederholung und Reproduktion gesehen, dann wären Transferleisrungen nur bedingt möglich: Schulischer Lern erfolg ist aber »nicht nur von der Quantität, sondern auch von der Qualität des Übungsangebots abhängig. Rigide Übungs abfolgen täusche n - vor allem dem schw achcn Schüler - falsche E rfolgssicherheit vor. Starre Lösungsalgorithmen versprechen nur bei gleichbleibenden Aufgabentypen Erfolg, versagen jedoch bei ve ränderter AufgabensteIlung und füh ren in praktischen Situatione n häufi g zu sinnlosen Fehlern, die vom Lerner mangels Einsicht in die Probleme dan n o ft nicht einmal als solche erkannt wcrdcn« (Wcmbcr 1988, 160). Lernen durth Einsicht einerseits un d Obung andererseits wurden häu fig als G egensatz gese hen : »Dic l cmbchindcrrcnpadagogik hat seit jeher großen Y(' ert auf die variierende Übung gelegt. Bei aller Beton ung des einsichtigen, vers tändnisvollen Le r n en s darf man nicht übersehe n, dass in der Mathema tik vieles eingeübt werden rnuss« (Klaucr 1977, 304-). Diese Auffassung wur de jedoch nicht durchgänb>1g get eilt (\'gl. z. B. Ki\ t 1990, 16). Kön ig (1976) betonte etwa - konkretisiert durch entspre chende Beispiele - , dass auch lernbehinder te Schülerinnen und Schüler zu mehr als nu r mechanische m Üben in der Lage sind. Die Lehrpläne in N R\'\' für die Schule für Lem bchindcrrc warnt en bereits 1977 vor einer rein mechanischen Übungspraxis, die zu eine r Verfe stigung schematischer D enkstrukturen fuhren könne (vgl. KM t 977, 7) und die darüber hinaus zu hohe Ansprüche an die Mcrkfahigkcir stellt ('-'gI. z. B. Böh rn er al. 1990; Kap . 5.4-). G efordert wurde demgegenü ber sinnvolles un d abwechs lungsreiches Üben (KJ.,[ 1990, 4-71). Dabei sollte l'S auch um den Erwerb von Lern strategien als Beitrag zur Denkerziehung (cbd., 16) und damit verbunden auch um das produktive Nutzen von Fehlern gehen (vgl. Kap . 5.2.3). Ob diese Ziele - in

5. 2

Prod ukt ive s übe n

I 63

Unterrichtswerken und didaktischen Vorschlägen nicht un bedingt ausreich en d umgesetzt - in der Unterric htspraxis realisiert wurden bzw. werden, bleibt zu nächst einmal dahingestellt. D ass die Un terric hts- un d Übungsp raxis oft lediglich in me chanischer Art und \'{'eise ges ta!ret wird, geht Jni)glichef\veise auf die Fehleinschätzung zurück, dass durch die Struktur des Faches, in de m u. a. Ro utinefertigkeiten angestrebt werden (\"gl. Haicr 1983, 18), auch der Weg zu diesen Ro utine fertigkeiten übe r mec ha nisc hes Üben füh ren könne und solle.

Fragwürdige extrinsische Motivationsameize I Iohcr Übungsbedar f birgt u. U. die Gefahr vo n Langeweile und Motivationsvcrlusr. Da her wurde für lernschwache Schülerinnen und Schüler seit jeher ein e abwe chslungsreiche Übungspraxis gefordert (vgl. z. B. König 1976), und diese Bestrebungen sind auch heute noch vorzufi nden (vgl. z. B. K rauth ausen/ Scherer 2006a). I Iäufig beschränken sich solche geforderten Variationen ab er lediglich au f äußere Anreize, au f die .Vcrp ackung- der jeweiligen Au fgabe, u. a. durch Veränderungen der Da rs tdlungsfonnen (vgl. die Kritik an den sog enannten »Bunrcn l lundcn« in Winmann 19( 0) . Zu bedenken ist, dass dadurch zu sätzlicher Lern sto ff ent steht, weil die A ufgaben immer wieder anders einge kleidet werden. I Iicrbci handelt es sich keineswegs um einen Iohnenswerten Le rn sto ff (vgl. bspw. auch die Üb ungsfo rm in Abb. 5. 14), sondern eher um >Ballast<, der den Lern pro zess erschwert. Favo risiert wird manchm al auch spie lerisches Einüben von Verfahren und deren A nwendung, um der mangelnden Mo tivation vorzubeugen bzw. entgege nzuwirke n. So werden bspw. Einspluseinsau fgaben anstarr in Päckchen als Memorys piel oder Puzzle vorgegeben. Au ch hier werden oftmals nackte Au fgaben in Spiele verpackt, wo bei es sich dann um sogenannte Pseudospiele als Mittel zum Zweck hand elt (Floc r 1982, 175 f.; vgI. auch entsprechende Ausführunge n in K rauthausen / Scherer 2007, 131 fr.). Z ur Frage , ob sich ext rinsische oder intrinsische Formen der Motivation für die Ar beit mit Schülerinnen un d Sch ülern mit Le rnschwierigkeiten eignen, bestehen unt erschiedliche Auffassungen. So wird auf der einen Seite Skepsis gegenüber der Möglichkeit ausschließlich intrinsischer Mot ivation geäußert (vgl. z. B. Bach 1969, 3(40). Auf der andere n Seite wird gerade die Mo tiva tio n aus der Sache he raus für lernschwache Sch üler als unabdingbar erachtet (vgl. Böhm ct al. 1990; Scherer 1999a; \'{b itney 1985, 234), da die extrins ische M o tiva tion keine (w ünschenswerten) länge rfristigen Auswirk unge n hat (vgl. Bruncr 1970; D cwcy 1970; Donalds o n 1991, 129). Zud em muss beachtet werden, dass Interesse un d daraus folgend Motivation nic ht ein stabiles Persö nlichkeitsmerkmal ist, sondern aus de r Interaktio n einer Perso n mit dem Gegenstand entsteht (vgl. Krapp 1998, 185). Intri nsische Motivation kann somit gefördert werd en, wenn im Unterricht Situationen gesc haffen werden, die die Auseinandersetzung mit der Sache anregen. Beso nd ers geeigne t sind da zu etwa offene Aufgaben (\"gl. Kap. 5.2.3).

64

I5

Förd erung

Fehlende Strukturzusammenhänge Neben der Dominanz äußerer Anreize und fehlender in trinsischer Motiva tio n m uss ein weiterer Aspekt beachtet werden: Üb ungsaufgaben sind häufig ausrausch bar durch eine andere A ufgabe des gleiche n Schwierigkeitsgra ds. so dass keinerlei Z usam menhänge zwischen de n einzelnen Aufgaben existieren. D ies geschieh t in der Annahme, dass wesen/liehe Verä nderun gen (x. B. inhal tlicher A rt) lernschwach e Schulerinnen und Schüler nur verwirren würden. N ur in Ei nzelfällen finden sich in Vorschlagen für diese Le rnend en anspruc hsvo llere Übungs form en. die bsp w. die D cnkfahigkcir schu len oder Za hlbeziehungen thema tisieren (vgl. Bohrn 1987; K önig 1( 76) bzw. diese als .Lcrnhilfo nutzen. Ein Beispiel: Soll etwa die Addition im 1Iun dertc rraum geübt wer den, kön nte in Lehrwe rken bsp w. das Rechenpäckchen aus Abb. 5.3 (links) zu finden sein. .Alle Aufgaben repräsen tieren den Aufga bentyp ).Addition gem ischter Zehnerzahlen ohne Üb crtrag-, die einzelnen Au fgaben stehen ansonsten in keinem Zus ammenhang und könnten du rch beliebige andere ausget auscht we rden. D cmgcgenü ber ist das Päckchen in Abb . 5.3 (rechts) bewu sst stru kturiert konzipiert: D ie einzelnen Aufga ben stehen in eine m Z usammenh ang (erster Summand wird im mer um 10 erhö ht; zweiter Summand bleibt konstant), und ausgehend vo n der ers ten leicht en Aufgabe (Einer plus gemischte Zehnerzahl) kann die Einsich t auf die weiteren Aufgaben üb er tragen werden. 17 +31

=

7 + 31

45 + 12 =

17 + 31

52 + 36

=

27 + 31

23 +25 =

3 7 + 31

Abb ildun g 5.3 u nst rukt u rterte s (links) und st rukt u rie rte s (re chts) Päckch en zur Übung de r Add ition

5.2.2

Übun g als Best andteil des Lernp rozesses

Im aktuellen Ver ständ nis von (Mathcma rik-jl.crncn wird Lernen als konsrrukt ivc Aufbauleistung des Individuum s gesehe n (vgl. K ap. 3. 1). In diesem Sinne haben \'{'inter (1984a; 1987) und \\'ittmann (1992) eine Theorie der ü bung entwickelt, in der Übung als int egraler Bestandteil eines aktiven Lernprozesses geseh en wird (vgl. auch Wirtmann 198 1, 103 ff.). In der traditionellen Sichtweise sch loss sich erst nach einer expliziten Ph ase der Einftihrung eines Inhalts die Phase der Cbung an, die der geläufigen und fehlerlosen Verfügbarkcit diente. Beim sogenannten produktiven Üben entfällt diese scharfe Trennung zwischen

5.2

Prod ukt ives ü be n

I 65

de n Phasen der Einführung, Übung und A nwendung und Erkundung ("gl. \\ 'inter 198.fa; \\'ittmann 1992). OrganisatiQrlund Selbstorganisation des l em ens Einführoo Hinweisen

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Zuhören

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Einführung

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(KcflI1erl)lern\Vl

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I Anwendung

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Anwenden Erkunden

(Kennen)lernen

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Anwenden Erkunden

Ler na ktiv itä ten

Abb ild ung 5.4 Dida ktisc hes Rechteck (Wittmann 199 2, 178}

D eutlich wird dieser Sachverhalt am .dida krischcn Rechteck. (Abb. 5A ): "Je nachdem, in welche Phase eine Unterrichtseinheit einzuordnen ist, haben die Le rn aktivitäten der Schüler einen unterschiedlichen Schwerpunkt [.. .] Faktisch sind aber bei jeder Einheit auch die anderen Aktivitäten angcsprochcn« (Wittmann 1992, 178). Einsichtsvolles Lernen einerseits un d Üben andererseits stellen keinen Gegensatz dar: »Tarsachlich ist das Üben dem entdeckenden Lernen inhä rent: Einerseits sind Entdeckungen nur möglich, wenn auf ve rfügbaren Fertigkeiten und abrufbaren \\'issensclementen aufgeba ut we rden kann . Lernen ist imm er nur ein Weirerlcrncn, ein Fonweben von schon Bestehendem, das Einfügen neuer Maschen in das Netz des Langzcirgcdacb misscs. (\\'inte r 198.fa, 6). Das Üben sollte also im mer von Verständnis begleitet sein, und »gcncrcll sollte jedes Üben im Mathematikunterrich t auch sinnerweiter nd un d eins ichtsvermehrend sein« (Winter 1987, (0). Begegn en kann man dadurch auch der Klage übe r Stofffiillc und damit zu wenig Übungszeit (vgl. Böhm er al. 1990): \\ 'enn etwas gelernt wird, beinhaltet dies auch Übu ng, und wen n produ ktiv geübt wird, wird gleich zeitig Einsicht erweitert. D abei muss die Se/bstkit{~keil der Schülerinnen und Sch üler im Vordergrund stehen, und Sin n des Übens ist es, Transferleistungen zu erbringen (vgl. " 'inter 198.fa, 7). D as ist gerade für lerns chwache Schülerinnen und Schü ler von großer Bedeutung, weil dad urc h das Gedächtnis entlastet wird . Üben kann so bei der Konstruktion generalisierb arer, beweglicher, kogn itiver Strukturen helfen (" gI. \\'emb er 1988, 159). D eshalb ist darauf zu achten, dass produktives Üben genügend Raum erhält un d keine (vo r-] schnellen

66

I5

Förd erung

Automatisierungen angestrebt werden (" gI. Jost ct al. 1992, 19). Ein wichtiger As pekt einer produktiven Übungspraxis ist auch ein produktiver Umgang mi t Fehlern .

5.2.3

Fehler im Lern - und Übung spro zess

Fehler sind Bestandteil eines jeden Lern- und vor allem auch eines jeden Übungsprozesses. und der Umgang damit m uss deshalb besonders beac htet werden. Im Unterrichtstalltag werden Fehler o ft negativ konnoricrr und zu vermeiden versoehr. Eine p roblematische Reaktion zeigt sich in Situationen , di" Oscr Cf al. (1999, 26; vgl. auch Oscr/Spychigcr 200S, (3) als »Bcrmuda-Drcicck« im Umgang mi t Fehlern bezeichnen: Die Le hrperson stellt eine Frage, diese wird von einem Schüler oder einer Schüle rirr falsch beantwortet, und die Lehrperson fragt sogleich eine and ere Schu lcrin oder einen anderen Schüle r nach dem richtigen Ergebnis, Nac h Oscr/ Haschcr (1997, 25) verschwindet das Lernpotenzial in einer solchen Situa tion wie ein Flug/.eug im Bcrmudadrcicck. D asselbe geschieht, wen n etwa auf einem Übungsblatt die Fehler angestrichen, aber nicht besprochen werden, oder wenn Verbesserungen bloß darin bestehen, das richtige Ergebnis zu notieren. D as Vermeiden von Feh lern wird bspw. sicht bar, wenn Fehler auf A rbeits blättern .unsichrba« gemacht werden, indem sie von der I.ehrperson markiert und von de n Lernenden so verbessert bzw. ausradiert werden, dass nur noch das rich tige Ergebnis sichtbar ist. Diesem negativen Umgang mit Fehlern wird ein Ansatz entgegengestellt, bc·i dem Fehler positiv und als ein den l-ern- und Übungsprozess untc-rsturzcndcr Vorgang betrachtet werdc-n. »Lcrn c-n bedeutet, aktiv \,\'issen zu erwerben und Erfahrungen zu machen. Dabei mü ssen Lernende Fehle r mach en dürfen. Fehleranalysen liefern ln fonnatione n über Schwachen und Mängel, die im Ernst fall nicht auftreten dürfen. Lerne n aus Feh lern heißt, G renzen zu erfahren und Fehler nicht mehr zu wieder hole n. Zugleich wird das richtige \,\'issen sicherer. D amit erhält die Lo gik des Fehlennachens einen kontrafaktischen Aspekt: Man tut (ungewollt) etwas, das zur Einsicht füh rt, dass gen au mit diesem Tun ein Weiterkommen nicht möglich ist. D as Le rn en aus Fehlern ermöglicht, de n diesem Sachverhalt corgcgcogcsera rcn, richtigen, normbezogenen Sachverhalt oder Prozess in seinen .-\bgrenzu ngen zu verstehen (O scr er al. 1999, 12). Diese Sichtweise wird auch die »Th eoric des negativen Wissc ns« genannt. Es handelt sich um \'{'issen darüber, was nicht zu r Sache gehört, was falsch ist, was nicht funktioniert oder nicht getan werden darf un d dadurch zur E rkennt nis führt, was richtig ist (cbd. 17), D ie Sicbrweisc, dass die Auseinandersetzung mit Fehlern Le rnprozesse in Gang setzt, ist keineswegs neu. Pisger hat dies schon 1935 in einem Vortrag festge stellt: »Ein Fehle r, der aus inte nsivem Suchen erwachsen ist, ist häufig viel nützlicher als eine Tatsache, die lediglich nachgesprochen wird, denn die während

5.2

Prod ukt ives übe n

I 67

des Suchcns erarbeitete Method e crm oglich r es, den ursprünglichen Fehler zu korrigieren I,] und stellt damit einen echten intellektuellen For tschritt dar, während die nur reproduziert e \X'ahrheit schnell vergessen wird und die \X'iederholung an sich keinen Eigenwert hat'( (piaget 1999, 196). D ie dargestellte Sichtweise führt zu eine m andere n Umgang mit Fehlern (Kraurhauscn 1998, 29 E), zu Kompetenzorien tierung (vgl. Kap. 3.2.2) und zu einer sogen annten »positivcn Fehle rkulture (Spychigcr ct al. 1999, 4-4-), in der dem Fehler un d dem Fehlennachen Platz eingeräumt wird. Oscr/Spychiger (2005, 165 f.) sprec hen auch vo n einer »Fchlcrsuch- und Fchlercrmurigu ngsdidakrik, - in .Abf:,>Tenzung zu einer ))Fehlerve nneidungsdidaktik«. Diese sieh t so aus, dass z. B. Feh ler aufgespürt werden oder dass üb er das mögliche Zustandekommen eines falschen Ergebn isses und über altern ative Iiisungswege diskutiert wird (Lo renz 2004-, 4-9). Abb. 5.5 zeigt eine 1()glichkeit, wie eine »Fehlcrsuchdidaktik« auch im Primarbereich umges etz t werden kann. D ie Schülerinnen und Schüler werden hier aufgefordert, am Beispiel von Eddis fehlerhaften Rechnungen herauszufinden, welchen syste matische n Feh ler er gemach t hat .

Was macht Eddi falsch?

••

24 +36 .. 3)

28+ 57 .. 40

73 - 45 .. 64

ac

" 21

33

40

..

"

Abb ildung 5.5 Aufgabenbeispiel für einen posit iven Umgang mit Fehlern (lorenz 2003b, 17)

\'{'ird dies mit «ehren- Fehle rdokume nten der Schule rinnen und Schüler gemacht, besteht die Gefahr, dass die Le r n enden sich bei der Besprechung ihrer Fehler schämen. D ies geschie ht insbesondere, wen n ein produktiver Umgang mi t Fehle rn ungewohnt ist. In solchen Situa tionen können Fehlerdokumen te anonymisicrr werden, ode r es kön nen Arbeitsbla tter wie in Abb. 5.5 verwendet werden. G rund sätzlich ist jedoch zu beachten, dass Schülerinnen und Schüler an einen ncucn und positiven Umgang mit Fehlern herangeführt werden müs sen un d dass eine veränderte Einstellung nicht von heute au f morgen erwartet

68

I5

Förd erung

werden darf. Ein produktiver e mgang mit Fehlern im Lernprozess ist nur im Rahmen von produktivem Lernen und Üben m öglich. Oser ct al. (1999, 20) weisen darauf hin, dass Fehler nur dann .sinnvolk sind, wenn eine Person, die Fehler macht, erkennen ka nn, was falsch ist und was die Konsequenzen

dieses Falschmachcns sind; wenn sie den Fehler versteht und erklären kann, wie es dazu gekommen ist, und wen n die Möglichkeit besteht, den Fehler 7.U korrigiere n. \'\'cnn aber Übuogsmarerialicu lediglich rigide Übungsabfolgen ent halten und auf Reproduktion ausgerichtet sind, ist ein solcher Umgang mit Fehlern kaum möglich (vgl. Kap. 5.2.1). Der Auswahl bzw. der Qualität de s Üb un gs ma rerials kommt desh alb besondere Be deutung zu, und wir werden im Folgen den Kon kretisicru ngcn für eine produk tive (J1mngspr~xis vo rstellen .

5.2.4

Übung styp en

Die folgende E inordnung bezieht sich au f die Art der Darstellung (gestü tzt oder fonnal) und den G rad bzw. die Art der Strukturierung der jeweiligen Übungen.

Gestütztes und formal es Üben Lern schwache Schülerinnen und Schüler weise n Beeint rächtigungen de r Vorstcllung sfahigkcit oder der kognitiven Verarbeitungsprozesse auf, und so erhält das Üben unter Verwendung von Veranschau lichungen zentrale Bedeutung (vgL auc h K ap. 5.3). \,\'ittrnann (1992, 179 f.) spricht in diesem Zusammenhang von gu tü/!(fen Übungen und grenzt diese vo n f ormalen Übungen ab. Gestütz te Übungen können direkt an Arbeitsmitteln, d. h. bspw. in Orientierungsphasen durchgeführt werden. Aber auch im weiteren Lern- un d Übungsprozess sollte es freigestell t sein, Veranschaulic hungen zu Hilfe nehmen, allerdings mit dem Ziel, innere Bilder aufzubauen und die Schülerinnen und Schüler zum mentalen Operieren zu führen (Lo renz 1998). Dieses Ziel ist nicht als einseitige .Abli>sung zu verstehen. Es ist wichtig, die wechselseitige Ü b crscrzuog zwischen syrnbolischer Aufgabe un d Veranschau lichu ng sicher zu beherrschen. Insbesondere bieten sich dazu Übungen an, bei denen Veranschaulichungen als E rklärungsmittel oder .Bcwcis- genutzt we rden ("gI. dazu auch K ap. 5.3). Beim form alen Üben, dem Arbeiten ausschließlich auf der sym bolischen Ebene, besteht die Gefahr, dass die Kinder den Stoff lediglich auswendig lernen, insbesondere bei einer iiberscha ubare n Anzahl von Aufgaben zu einer Th ema tik wie etwa beim Einspluseins und Einm aleins. Es em pfieh lt sich deshalb, das vorschnelle Drängen auf die symbolische Ebene zu vermeiden und den Kin dern du rch ausreichende Orientieru ngsphasen und -übungen Gelegenheit zu geben, mentale Bilder aufzubauen (" gI. Kap. 5.3). \'r enn Übungen auf der fo rmalen Ebene durchgeführt werden, sollten sie auf jeden Fall in strukturellen

5.2

Prod ukt ives ü be n

I 69

Beziehungen stattfinden (siehe bspw. A bb. 5.3 (rechts) bzw. die weiteren Ausführungen zu strukturierte m Üben). Die Rückfühn mg auf die anschauliche E bene sollte dabei im mer gewährleiste t sein, d. h., es handelt sich hier nicht um die .Ablösung, sondern um die Verbindung zwischen verschiedenen Rep räsentatio nsebenen (\"gl. Kap. 5.3 ode r Beispiele zum Einmaleins in Kap. 6.1.2).

St rukt uriertes Üben Wittm ann (1992, 179 f.) plädiert für ein beziehungsreiches und vcrnctztcs Üben und unterscheidet neben der Darstellungsfonn auch den J'lmklmimmgsgmd vo n Übungsformen {vo n unstrukturicrt bis strukturie r t), Für lerns chwa che Schüle rinnen und Schüler erge ben sich daraus wese ntliche Folgerungen: Unsrrukturierte Übu ngen ste llen hohe A nforderungen an das G edächtnis, und gerade hier finden sich bei diesen Lernenden häufig Schwi erigkeiten (\"gl. Kap. 5.4). Strukturierte Übungen können dazu beitrage n, Gedächtnisprobleme zu kompensieren, indem die Struktur der Aufga be gen utz t wird . D a die Kinder u. U, Schwierigkeite n haben, Strukturen auf Anhie b zu erke nne n bzw. auszunutzen, sollten insbesondere slmklurierle Übuogcn zentraler Bestandteil des Unterrichts und der Förderung sein, Sie sind unstrukruricrrcn Übungen vorzuziehen, da sie das Gedächtnis entlasten und auß erdem tiefere Eins ichten ermöglichen, selbst wenn diese nicht von allen erlangt werden kö nne n. Strukturierte Übungen er möglichen den Schülerinnen und Schülern den Rückgriff au f vorhandenes \'rissen und können damit das Rechn en erleichtern. Daneben ist jedes Le rnen und damit auch e ben umso erfolgreicher, je me hr es im bereits vorhandenen \'rissen ver anke rt werden kann,

Art der Strukt ur Bei \\ 'ittmann (1992) finden sich des Weite re n Strukturierungsarlen, differcn...icrt nach der Art der Struktur (operativ, prob lem- oder sachstrukturiert) bzw. des Zugangs zur Struktur (immanent oder reflexiv; \"gl. ebd., 180 f.).

Operat iv st rukt uriert e Übun gen Operativ strukturierte Übungen bestehen aus Serien von Aufga ben, die systematisch variiert werden, so dass die Ergebnisse in einem gesetzmäßigen Z usammenh ang stehen (\"gl. \'( 'ittmann 1992, 180). Bei dieser Art der Übung können gnmdlegende Kompetenzen geübt werden, wie am folgenden Beispiel illustriert werden soll (Abb. 5.6). Ausgehend von einer Einmaleinsaufgabe (hier 7 5) sollen die mögliche n Nachbarau fgaben no tier t werden, un d die Schülerinnen und Schüle r können die Veränderungen der Ergebnisse beschreiben und begrü nden (hier in Klammem noucrr). 0

70

I5

Förderung

7 ·5 = 3S

6 ·5

30 (- 5)

8 · 5 =4 0 (+5 )

7 ·4 =2 8 (- 7)

7 ·6 = 4 2 (+ 7)

=

Abbildung 5.6 Nachbaraufgaben zu einer Mult ipli kat ionsaufgabe

A ufgrund der begrenzten Speiche-rfahigkcit lernschwacher Kinder sollte Jas A usn u tzen von Strategien und Strukturen in opem/il'tn Obungen gefördert werden (ygl. Boh m er al. 1990, 93), um das bewegliche Denken zu fordern. In Schulbu -

ehern hingegen finden sich opera tive Übungen vergleichsweise selten : I läufig werden z. B. .Add ition und Subtraktion, aber auch die verschieden en Addi tion stype n kleinschrittig gestu ft un d getrennt vo neinand er geübt, so dass op erative Zusammenhänge erst gar nicht genutzt werden können. \X'cnn die Kinder ncucn Lernstoff in bereits Bekanntes einbetten sollen, dann ist es oorwendig, ihnen dazu die entsprechende Lernu mgebung, sp rich Cbungsfonnen zu ennögliehe n, bsp w. um Zusammenhänge zwisc hen Z ahle n oder verschiedenen Operationen zu erkennen (\'g l. etwa die Übungs\' orsc hläge zum E rwerb des Zahlbegriffs oder zum Einmaleins in den Kap. 6. 1.1 sowie 6. 1.2). D urch die der Übung inn ewohnende Stru ktur bietet sich de n Schülerinnen und Schülern zudem eine Fonn der Selbst kontrolle. Auch kann das Aufire ren bestimmter Muster und gesetzmäßiger Phänomene zur Motivation beitragen. Unterschieden werden sollte hier zwischen Rec h e l!ferl(~keilen und allgemeinen Fiihigk eiten: K inder mit Schwierigkeiten beim Rechnen, müssen nich t unbedingt Schwierigkeiten beim Erkennen von Mustern und Zusammenhängen haben (vgl. Scherer 1999a, 294 f.). Wie bereits oben angedeutet, kann es auch vo rko mmen, dass Schüle rinnen und Schüler Schwierigkeiten mit dem E rkennen vo n Mustern haben oder sieh nicht mit Strukturen auseinandersetzen. weil sie nur an Übungen gewö hnt sind, bei de nen es ausschließlich um s Rechnen geht. D ann benötigen die Le rn ende n Unters tützung und könnten z. B. au fgefordert werden, die Struktur eines (cvtl. scho n gelösten) Päckchens und die Beziehu ngen zwischen den A ufgaben zu beschreiben. Eine andere Möglichkeit besteht darin, vers chiedene, auf Karten no tiert e Rechen aufgaben zu ordnen bzw. Aufgaben zu suchen, die etwas gemeinsa m haben (Schmassmaun/Moscr Opirz 2008a, 103 f.;20tJ7, 9 1 f.)

Problemst rukt uriert e Übungen I Iicrbci sind die zu lösenden Au fgaben vo n eine r übe rgeordneten Problemstellung getragen, un d gerade für lernschwache Schüler können problemstrukturier te Übungen aus Motivationsgrü nden wichtig sein (vgl. Böhm 198-1-; Böhm ct a]. 1990). A bb. 5.7 zeigt das A ufgabenfonnat Z aub erdreieck. bei dem alle Seitensummen gleich sein müsse n (\'gl. z. B. Mctzner 1991; Scherer 2005a, 187 ff.).

5.2

••• =

Prod ukt ives ü be n

I 71

20

Ab b ild ung 5.7 Prob lemo rient iert e Au fgabe zum Format Zauberdreieck

Zur Verfügung ste hen nu r die Za hlen von 1 bis 10, wo bei jede Zahl nu r ein fach vorhand en ist. Bei diesem Fo nna t gibt es Au fgabcn stcllungcu, die dir ekt zu berechnen sind, oder aber solc he, für die eine Problemlösestrategie zu finden ist. Im abgebildeten Beispiel sind auf jeder Seite zwei freie Felder zu vervollstän digen, dabei alle Ec kfelder. Di e Aufgabe kö nnte etwa durch systematisches Pro bieren gelöst werden (bs pw. eine pas sen de Ergänzung zur -I- auf der linken Seite find en durch 10 un d 6). G eschickt wäre es hier, auf die untere Seite (mit der kleinen Zahl I) zu fokussieren, da hier als E rgänzung nur 10 un d 9 infragc kommen. Auf dem \'\'eg zur Problemlösung sind auch (strategische) I lilfen zu ennöglichcn (z. B. das Prob lem in T eilp robleme zu zerlegen; hier etwa das systematische Notieren von p assenden Ergänzungen). Di es ist wichtig, weil viele lemschwache Schüle rinne n und Schüler nur über ein geringes Sclbsrvc rrraucn im Hin blick auf ihr e Mathematikleistungen und spezie ll auf ihre Problemlö sefähigkeiten verfügen. Sie geben oftmals sch nell auf, besitzen nur wenig Frus trationstoleranz und resignie ren vorschnell. Hier sind I Iilfen wichtig, die langfris tig zur Entwicklung allgemeiner Probleml öscstratcgicn un d damit zu größerem Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und Leistungen führen.

Sachst rukt urierte Übungen Beim sachstrukturic rtcn Übe n ordnen sieh mehre re gleichartige ,-\ufgaben in einen Sachzus ammenhang ein. Die E rgebnisse dieser Aufgaben sowie ihre Diskussion sollen das sach kundliche Wissen bere ichern . Auch be i derart igen Übu ngen ist die Struktur hilfreich; es kom m t nicht auf ein reines Memoriere n an. J Iicr ist eine wesentliche Abgrenzung zu üblichen (zusammenhangslo sen) Textaufgaben zu sehen. Beim Unterr ichtsbeispiel ; ragesliinge n im j ahr eslauf (Wittm ann /Mullcr 1992, 87 ff.) sollen die Schü lerinnen und Schü ler mithilfe eines Kalenders oder eines vorber eitete n Ar beitsblatts für einen bestimmten Ze itraum (bspw. 1-1- Tag e) die Z eitspannen zwischen Sonnenaufgang un d Son-

72

I5

Förd erung

ncnunrcrgang berechnen. Dabei stellen sie fest, dass sieh die T ageslängen im J ahreslauf verändern, und sollen dies mit ihrem vorhandenen Sachwissen in Verbindung bringen und dieses ver tiefen bzw. ncucs Sachwissen erwerben. Die Vorteile des sachstrukturicrtcn Üben;; liegen zunächst au f der Hand: Einerseits kann die Sachsituarion das Verstehen des Problems erleichtern, anderersei ts wird durch sachstrukturicrtc Übungen auch Sachwissen vermehrt. Di e Lebcnsbcdcutsamkcit ist gerade bei lernschwachen Schülern von zentraler Bedeu tung. Bedacht werden sollte jedoch, dass die .Sacho (ein Kontext ctc.) auch Lernstoff darstellt und ggf. auch mit Anforderungen an die Lcsckompctenz verbunden ist.

Zugang zur Struktur Der Zusammenhang von Aufgaben kann entweder in der Rückschau (nl1(h dem Lösen der Au fgaben) hervortreten (rcflektivcs Üben) oder von vornherein als übergeordnete Zielsetzung die Bear beit ung der Aufgaben steuern (im manentes Übe n). I läufig kann wenige r das Unterrichtsbeispiel an sich diesen T ypen zugeordnet werden (dies gilt gleichennaßen für operativ und problemstrukturierte Übungen), sondern die Formulierung der Frageste llung un d die vorhandenen Ke nntnisse bestimmen i. d . R. den Zugang zur Struktur. \,\'enn etwa im o. g. Beispiel zu Tageslängen im Jahreslau f bereits vorhandene K enntnisse einge+ bracht werden (rlm Sommer sind die T age länger als im \\'inter0, dann könnte dieses \\'issen bereits die Bearbeitung steue rn, etwa das Auffinden des längs ten bzw. des kürzesten Tages (Sommeranfang am 20./ 2 1. Juni, vgl. \,\'ittrnann /Müllcr 1992, 87 ff.). D enkbar wäre aber auch, dass der Zugang rcflekriv geschieht, wenn erst anhand der rechnerischen Ergebnisse die Naturphänomene bewusst wahrgenommen werden. \\'ir wollen noch einen weiteren Übungstyp ansprechen, der zwar nicht explizit in der darges tellten Terminologie von \\'ittmann (1992) en thalten ist, der jedoch gerade für Schülerinnen und Schüler mit Pro blemen im mathematischen Bereich eine zentrale Bedeut ung hat.

Offene Aufgaben Offene Aufgaben repräsentieren im Sinne eines offenen Unterrichts das aktuelle Verständnis von Lernen und Lehren (vgl. Scherer 200?b; Schütte 19% ) un d bieten viel faltige Möglich keite n für die differenzierte O rganisation von Lernprozessen, insbesondere auch für die For men einer natürlichen D ifferenzierung (vgl. Kap. 5.1). H insichtlich der Ko nstruktion o ffene r Aufgaben sind zahlreiche Variationen m()glich. So kann eine i\ u fb~be vüllig offen gestellt werden, indem Schü lerinnen und Schüler des 3. Sch uljahres bspw. .Aufgaben notieren sollen, die sie kennen . Hier sind verschiedene Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division), ganz unterschiedliches Zahlenmaterial (Z wanziger-, H underte r- oder Tausenderraum) oder auch unterschiedliche Aufgabentypen

5.2

Prod ukt ives ü be n

I 73

(zwciglicdrigc Terme, Kc trcnaufgab cn, vermisc hte O perationen innerhalb einer Aufg abe) möglic h. Ein e Vorgabe könnte aber auch enger gehalten werden, etwa Aufgaben zu einem festen Ergebnis (z. B. 100) zu finden. So sind bei offenen Aufga ben sow oh l strukturie rte als auch unstrukruriertc Übu ngen möglich. Strukturen können z. B. ausgenutz t werden bei der Vorga be eines festen Ergebnisses. Aber auch unst ruk turiertc Übungen sind sinnvoll un d wichtig. Hie r steht allein die \'{'ahl der Z ahle nwerte bzw..Aufgaben im Vorder gru nd. D er Schwierigkeitsgrad der Aufga ben, die die Kinder selbst wählen, ist oftmals hö her, als man annimmt und als man den Kin dern zumuten würde. .Auch we nn einige Schüle rinnen un d Schüler zu Beb>1nn eher einfache 1\ u fgaben wählen , ist langfristig bei veränderte m Selbst konzept eine angemessene \\'ahl des Niveaus zu erw arte n (\'gl. Sche rer 2007b). O ffene Aufgaben können zur Förderung des Selbs tkonzepts beitragen un d sollten als Vorstufe zu einem generell offeneren Unterricht verstanden werden (Böhm 198.J., 6; Schere r 2007 b). Letztlich ist dies dann ein Beitrag zu größerer Selbs tständigkeit. \,'mn diese Art des Le m cns für die Schülerinnen und Schüler neu ist, kann sich in der 1\ nfangsphase - verstandlieberweise - eine gewisse Oricnticrungslosigkcit zeigen . D iese Anfangssc hwierigkeiten können jedoch gut aufgefangen werden, da die Ar t der Übung \"iclf:i ltige Differenz ierungsmöglichkeiten beinhaltet (,"gI. Böhm 198.J.; Bohrn er al. 1990; Scherer 2003b; 200 5a; 2005b). Diese sind nicht vorab festgeleg t, da die Kinder die .A nzahl der Übungsaufgaben und ihr Bearbeitun gsniveau selber wäh len. Es handelt sich hierbei um eine natürliche Diffm n::jmmg (\"gl. auch Kap. 5.1), bei der die Le rnende n ihren momentanen Leisrungssraod sowohl bezogen auf den Umfang als auch auf das l\ 'ivedll der Übung einbringen können (\"gl. Böhm 198.J., 5; K ap. S.! ).

5.2 .5

Auto matisierung

D ie Notwendigkeit automatisierter Ele mente im Bereich der Mathematik wurde bereits zu Beginn dieses Ka pitels ausgeführt. Zentral ist die Einordnung in den Le rn - und Üb ung sp rozess. So wird bspw. im Konzept des .Blitzrechncns. (\'gl. \\'ittmann j llüller 1990, 73 ff.; 1992, 106 ff.) bewusst zwischen zwei Ph asen un tersch ieden :

•

Bei der Gnmdlegung wird un rcr Z uhilfenahme der Veranschaulichung der ents p rechende J.erninhalt einsichtsv oll eingeführt, erarbeitet und wieder holt durchgeführt.

•

D ie A//tomatiJimmg soll nach Abschluss des Ler nprozesses die K inder zu mentalen O perationen fuhren. E s kann spä ter auch darum gehen, bei men talen Operationen das Tempo zu steigern. E s sollte jedoch kein zeitlicher

74

I5

Förd erung

D ruck für die Kinder en tste hen, de nn die Steigerung des Tempos ist u. U. nicht für alle Schulerinnen und Schüler ein sinnvolles Lernziel. Bei der Automatisierung bes teht gru ndsätzlich die G efahr, dass Aufgaben lediglich auswendig gelernt werden. Deshalb ist die Gmndlt;gHfwphasc von zentraler Bedeutu ng. Bei der Au tomatisierung so llte es sich also um das Abrufen verinnerlichter V OrJle//ungen handeln. Das bedeutet, dass die Übersetzung zwischen de n einz elnen Rep räsent ationseben en (verbal, iko nisch, symbolisc h) po tenziell behe rrsc ht (und ggf. auch übcrpriift) werden und dass eine Rückführu ng von der sym bolisch en au f eine andere Ebene ffi()glich sein muss. Das Automatisieren gelingt Schu lerinnen und Schü lern umso besser, wenn die entsprechenden Inhalte in Beziehunge n oder auc h durch eigene Strategien gelernt wurden (vgl. Baro ody 1985; Schipper 1990).

In den vorangegangenen Abschnitten wurden zentrale Aspekte des Übens he rausgestellt und für eine pro d uktive Übungspraxis plädiert. D as Angebot vo n Übungsformen un d -formarcn ist dabei immer kritisch zu analysieren, da sich in Lehrwerk en und Übungsmaterialie n mitunter unpassende Vorschlage finde n (vgl. Krauthausen/Scherer 2006a). U nter den vorgestellten Übungs type n erwei sen sich strukturierte Übungen als äußerst vorteilhaft für Schülerinnen und Schü ler mit Le rn schwachen. .Aus Angs r vor Verwirrung und Über fo rderung werden ihnen derartige Übungen aber häufig vorenthalten, was Biihm (1988) wie folg t beschrieb: )} E~ hat nac h meinem Überblick den Anschein, als ob in der Schule für Lernbehinderte zu viel me chanisch und zu wenig operativ geübt würde. D adurch begeben wir uns zwcie r Ch ancen: einmal für Varia bilität des Übe ns zu sorgen, zu m anderen, Kinder zu m D enkenlernen auch während der Übungsphasen zu führen. [.. .] das mechani sche Üben sollte auf das N ötigste beschränkt werden. D an n werden wir es auch leichter ha ben, die Motivation der Schüler (... ] für das ja ohne Zweifel notwendige Üben zu gewinnen- (cbd., 78) . Z u fragen bleibt, ob diese Einschätzung nach wie vor zutrifft. Die Vorteile anspruchs voller Übungsarten. die u. a. auch einen Beitrag zur D enksc hulung leisten, sind inzwischen durch zahlre iche Unt ersuchungen belegt (vgl. z. B. Ahmcd 1987; Scherer 1999a; van de n Hcuvcl-Pa nhuizen 1991). D abei reicht allein die Bereitstellung geeigneter Übungsform en nic ht aus, vielmehr ist auc h die Rolle der Lehrperson en tscheidend, die das innewohnende Po tenzial geeigne t in Unterricht und Fö rderu ng ums etzen m uss (vgl. Krau th au sen / Sch erer 2006a ; Kap. 3).

S.3

5.3 5.3 .1

Arbeitsm itte l und Ver anschau lich ungen

I 7S

Arbeitsmittel und Veranschaul ichung en Grundsätz liche Überlegun gen

Arbeitsmit tel und Veranschaulichungen nehmen in der mathema tischen Förderung einen zentra len Stellenwert ein und sollen Schülerin nen und Schü lern helfen, Einsicht und Verständnis in mathematische Strukturen au fzubauen bzw. die mat hematische Begriffsbildung zu unterstützen (Söbbckc 2005). l intsprechend um fangreich und auch unü berschau bar sind die Ange bote auf dem Le hrmittelmarkt (K rauthausen/Schercr 2007, 240; Wirtmann 1993, 394). Die \'\'erb ung versprich t o ft, dass die srrockcnc und schwierige Mathematik. durch die Verwendung der angebotenen Materialien .vcrgnuglich. werde un d Spaß mache, dass das damit verbundene spielerische Lernen zu größerem Leistungserfolg führe od er dass das Manipu lieren mit bestimmten Materialien das ma thematische Verstä ndn is schule (vgl. zu ähnlichen Mo tiven einer fragwördigcn Übu ngspraxis in Kap. 5.2). Damit wird manch mal die Bo tschaft transportiert, dass Marhcma rik grundsätzlich schwierig und langweilig sei und du rch ein Vehikel - d. h. durc h Materialien ode r Veran schaulichun gen - anspr echend und einfachc r gema cht werden müsse. O ft wird auch davon ausgegangen, dass das I landein mit Materialien automatisch zu Einsicht und Verst ändn is und damit zu Lern erfolg führe . D ass dem nicht so ist, sondern dass dazu besondere Bemühungen notwendig sind, wird im Folgende n aufgezeigt. E s wird beschrieben, wie sich Zahl - und O perationsvorstellungen aufbauen , wie dieser Pro zess vo n Le hrperso nen unterstützt werden kann und welche geeigne ten Ar beitsmittel und Vera nschaulichungen hierzu eingeset zt werden können. Begriffskläru ng

\,\'enn üb er Arbeitsmirtel und Veranschau lichungen gesprochen wird, muss bcriicksichtigt werden, dass die Begriffsverwendung sowohl in der Fachliteratu r als auch in der Unterrichtspraxis und in \,\'erbebroschüren uneinhcitlich ist (K rauthausen/Scherer 2007, 240). Je nach Quelle und Autor sind Begriffe wie Arbeitsmittel, Arbc itsmaterialien, Lernmaterialien. (mathematische) Materialien, Le rn hilfen. Verans chaulichungen, Anschauu ngshilfen oder mathematische D arstellungen anzutreffen. K rauthausen / Scherer (ebd., 242) schlagen als eine Möglichkeit die - nach eigenen \,\'orten nicht trennscha rfe - Unterscheidung in -Vcranschaulichungsmittele un d .Anschauungsmittcl. vo r. »Ersrere wür den (im traditionellen Sinn) hauptsächlich von der Lehrerin eingesetzt, um bestimmte (mathematische) Ideen und Konzepte zu illusrricren.« Der Fo kus liegt dabei eher au f dem \'\'eitergeben von \,\'issen vo n der Le hrperson an die Schü lerinnen un d Schüler. Anschauungsmirtel dagegen wären l\\'erk-

76

I5

Förd erung

zeuge< in der I land der Kinder (z. B. das Zw anzigerfeld oder der Rcchcnstrich), m ittels derer die Schulerinnen un d Schü ler ihr mathema tisch es Verständnis c1."\VCrbCIl, erweitern und vertiefen. E ntscheidend sind dabei nich t n ur das M aterial selbs t, son dern die (geistigen) Aktiviriircn, die die Kinder damit durchfii hrcn (vgl. Schippe t 1996, 4- 1), bzw. die I Iandlun gcn, die das Material ermöglicht (Rottmann/Schippcr 2002, 53). A ls Arbeits mittel werde n Mat erialien (z. B. \'\'mdcplätt ch en, 1 luggclst cinc, Mehrsystemblöcke bzw. Die-ries-Material, Rechenrahmen) bezeichne t, an dene n Handlungen vo llzogen werden und die als l lilfsm ittel zu m Rechnen eingesetzt werde n können . D iese M aterialien sind jedoch im mer auch als Vcranschaulichungen einsetzbar. D iag ram me, T abellen, der Rechen stric h. d ie Ei nsplusein srafel, das Hu nd er terpunktfeld und die Stellent afel waren im Un ters chied zu den A rbe its mitt eln als Veranschaulichu ngen zu bezeichnen (K rauthausen/Scherer 2007, 2..0 ). G erad e an de n letztge na nnten Beispielen lässt sich jedoch die schwierige Einteilung aufzeigen. J e nach Ko ntext kan n auch die Stellen tafel als Arbeitsmittel verwendet wer den, etwa wenn Plättchen gelegt werden, um Zahlen darzustellen. Auch der Zahlenstrahl und die Hundertertafel werden in der Unterrichtspraxis o ft als Ar beits mittel eingesetzt. Arbeitsmittel und Veransch aulichungen können somit me hreren Zwecken diene n (vgl. ebd., 257):

•

Sie kön nen als Mittel zur Za hlda rstellung verwendet wer den, wenn z. B. eine Z ah l durch gelegte Plättchen am Zwanzigerfeld dargestellt wird oder wenn am Tausenderbuch demonstriert wird, dass sich die 37, die 137, die 237 usw . auf jede r Seite an de rselben Stelle befi nden und damit .\ nalogien und Beziehungen zwisc hen den Zahlen verdeu tlicht werden .

•

Sie können als Mittel zu m Rechnen und zum Veranscha ulichen von Recheno perationen genutzt werden, indem bspw. ein e Rech en au fgabe mit Plättch en gelegt wird ode r we nn Additions- ode r Subtraktionsaufga ben im Za hlenra um bis 100 an l Iundcrrcrp unkrfcldc rn skizzie rt oder m it Zehne rstreifen und E inem dargestellt werden.

•

Sie können als Argumenta tions- und lk weismittel dienen , we nn z. B. am Zw anzigerfeld die Struktur eines o perativen Päckchens aufgezeigt wird ode r wenn am Il und er terpunktfcld das Komm ut ativgesetz bezüglich der Multiplikation dargestellt wird (vgl. auc h Ka p. 6.1.2).

Bei den Arbeits mitteln kö nn en zude m verschiedene Strukturierungsgrade unterschieden werden, die jeweils Vo r- un d Nachteile beinhalten . D abei sind ve rschiedene Kategorisierengen möglich. Radatz et oll. (1996, 36 ff.) unterschei den stru kturierte und unstrukturicrtc Materialien sowie Misch formen. Bei Misch formen handel t es sich auc h um Materialien, die eine Struktur aufweisen, jedoc h weist diese flexible Einheiten auf (dies im G egensatz zu festen Einheit en bei de r Katego rie .srrukruricr tc Matcrialicnc cbd.). \,\'ir wäh len eine Einteilung in unstru ktu rierte und stru kturierte Materialien, wobei letz tere aus feste n od er flexiblen Einheiten besteh en kö n nen.

5.3

Arbeitsm itte l und Ver anschaulichungen

I 77

•

UnJ/mkJmierte Materialien: Lose Plättchen, Muggclsteine, Nüsse, Steine, Steckwürfel usw., mit den en Anz ahlen oder Rechenau fgaben dargestellt werden können (7. . B. die Za hl 5 od er die Aufgabe 3+ 4). Diese Materialien bieten den Vorteil, dass kleine Anzahl en flexibel dargcsrcllr werden kö nnen . Z udem lassen sie sich b'Ut nutzen , um Anzahlen bzw. Mengen durch verschie dene Bündelungen da rzustellen und zu zählen. Nachteil ist, dass diese ab 4/ 5 nicht mehr simulta n, d. h. lauf einen Blicke erfasst werden können . Zudem besteh t die G efahr, dass die Sch ülerinnen un d Schüler beim ll anricrcn mi t größeren Anzahlen rasch den Überblick verlieren und möglicherweise zum einzelnen Abzählen und zählen den Rech nen verleitet werden (ygl. hie-rzu Kap . .1.4).

•

S tm k lun'erte Alaleria/im mit festen E inheiten: Bestimmte Za hlen bzw. Einheiten werden durch die Z usammen fassung einzelner Elemen te dargestellt, z. B. die 10 dur ch einen Z ehn erstab oder -strcifcn oder die 8 dur ch einen farbigen Stab mit der Länge von acht Einheiten (Cuiscnaire-Srab). Solche strukturierten Materialien weisen oft auch eine Fünfer- und/oder Zehnerstruktur au f, und die einzel nen Elemente sind sicht bar (Abb. 5.8).

Abbildung 5.8 Zehnerstab und Zehnerstr eif en

Die Zus ammenfassung zu einer .Einhcit, hat den Vorteil, dass die Schüleri nnen und Schü ler daran weniger abz ählen als an unstruk turicrtcn Materialien, weil sie diese - z. B. einen Ze hnerstab - als .Ganz hci« wahrnehmen. D ie festen Einheiten bieten aber auch Na chteile (Radatz et al. 1996, 36 f.), denn kleine Anza hlen k önn en nicht flexibel darges tellt werden. Zudem kann das Losen von Rechenau fgaben im Zahlenraum bis 100 au fwendi g und auch fehleranfällig sein, wenn bei Au fgaben mit einem Ze hnerübergang gebündelt bzw. entbündelt werden muss: \'('ird bspw. die Aufga be 65- 27 ::: 38 mit Z ehn erstä ben un d Einerwu r fein gelegt, können die Ze hner rasch weggenom men werden. Zu r Subtra ktio n der Einer muss jedoc h ein Z ehne r in 10 Einer getauscht werden. Solche Handlungen sind in der Phase des Erarbeitens vo n Einsicht und Verstän dnis wichtig. \'('enn es jedoch in erster Linie um das Üben bzw. das Lö sen vo n meh reren Aufga ben geht, ist dieses Vorgehen aus den genannten G rün den weniger geeignet.

78

I5

Förd erung

S tmklun'erle Materialien mil ß erv;iblen Einheilen (in de r Terminologie von Radau ct al. 1996: Mischformcn): I licrbei handelt sich i. d. R. um Materialien mit einer klare n Fünfer- und Zehners truktur, die eine quasi-simultane bzw. strukturierte Zahlauffassung (eine Zahlauffassung rauf einen Blick-) unterstützen (ygl. auc h Kap. 5.4). Im Gegensatz zu de n Materialien m it feste n Einheiten kann mit de n flexible n Einheiten operiert werden (z. B. mit de n Plättchen am Zwanzigerfeld oder mit den K ugeln am Rechenrahm en oder arn Abaco, "gI. Abb. 5.17). D iese Materialien können z. T . die Vo rteile der uns rru kruricrrcn und struktu rier ten Materialien mit festen Ei nheiten vereinen und deren Nachtei le aufheben, da sie gleichzeitig eine I landhabeng der .Ganzhcircne und der einzelnen Elem ent e ermöglichen (IbdMZ er al, 19% , :)')).

N ach diesen Begriffsklärungen wo llen wir uns im nächsten Abschn itt mit der Frage auscinandcrserzen, wie durch den Einsatz von Ar beitsmitrcln und Voranschaulichungcn angemessene Vorstellunge n aufgebaut werden können.

Aufbau von Zahl - und Operationsvorstellungen Mit dem Einsatz von Ar beitsmitteln und Veranschaulichungen ve rbunden ist das Ziel bzw, die Iloffnung, dass durch das I landein un d die Auseinandersetzung mit diesen .l lilfsrnittcln. Einsic ht un d Verständnis aufg eba ut werden kann. Insbeso ndere für lernschwac he Schü lerinnen und Schüler wurde (und wird) angenommen, dass Lernprozesse aussc hließlich auf diesem \X'eg m()glich sind, wie ein Zitat aus der traditionellen .l Iilfsschuldid akt ik. illustriert. "Der Schüle r vermag aufgrund der ihm eigenen Abstraktionsschwäche und aufgrund der Verhaftung im konkreten D enken nicht das zu lernen, was den exemplarisch rransfcrierbarcn Bild ungswert des G egenstandes ausm acht. Er lernt - groß gesagt - nur den Gegens tand selbst« (Blcidic k/ I Icckel 1968, 38) . I [inter solchen Aussagen steht eine sensualistisc he Vorstellung von Lernen, die Schülerinnen und Schülern als Wesen betrachtet, die nicht durch geistige Aktivität, sondern durch die Aufnahme von Sinneseindrücken lernen. Diese Vo rstellung wird schon seit vielen J ahren auc h in der .Lcrnbchindcrten pädagogil« kritisc h diskutiert. Willand (1986, 2 1) zitiert dazu den russischen Entwicklungsps ychologen Wygotski, der die .Hilfsechullchrcr. davor warnt, im Unterrich t nur mit realen Gegenständen un d Anschauungsmitteln zu arbeiten und sich nur auf konkrete Vorstellungen zu stütze n. »Dic anschaulichen Unterrichtsmethoden sind zweifel los notwendig, dies bleib t unbestritten. D er Lehrer darf sieh jedoch ... nich t da rauf beschränken. Es ist seine Aufgabe, Kindern zu helfen, von der konkreten Vo rstellung abs trahieren zu lern en und zu den höhere n Formen der Erkenntnis überzugehen - zum logischen, verbalen Vcrallgemcincrn« (\X'illand 1986, 21 f.). Ein Beispiel so ll dies illustriere n: So ist die Fiinfer- und Zehnerstruktur des Zwanzigerfeldes für Kinder im A nfangsunterricht nicht un bedingt direkt ersichtlich, sondern muss erarbeitet werden. D urch die aktive Auseina nde rsetzung, z. B. durch das Zählen der Punkte, durch die Beschreibung der Struktur und durch das Gespräch darü ber kann das Z\vanz igerfeld vorn Kind

5.3

Arbeitsm itte l und Ver anschau lich ungen

I 79

Schritt für Schritt ent dec kt, \\'issen über dessen Stru ktur erwo rben und Besendcrh circn können erkannt werde n (vgl. auch Kap. 5.4). D as Entsch eidende ist somit nicht das I lautieren mit den Plättchen, sondern sind die Erkenn tnisprozcssc, die währe nd dieses IIandclns stattfi nden und die es erlauben, dass das Kind eine Repräsen tation bzw. ein visuelles Vorstellungsbild von >7.wa1l7.ig< erwirbt . Es handelt sich dabei um eine Form von .gcisrigcr I landlung' im Sinn einer (Re-)Konstruktion durch das Individuum (Lorcnz 1998, 45; vgl. auch Kiper 2006, 82). Da s bede utet, dass ein »handlungsoricnricrrcr Unrcrricht« seinen N amen nur dann verdient, »wcnn er nicht im bloßen Aktionismus ver bleibt, sondern zugleich .vorstcllungsoricnticrt- ist in dem Sinne, dass den Kindem die in den Handlungen enthaltenen mathematisch en Strukturen bewu sst (gemacht) werden« (Schippcr 2003, 223). Loren» (1998, 41 ff.) illustriert diesen Pro zess, indem er v crinncrlichungsprozcssc am Beispiel der v isualisierung beschreibt. D arauf wollen wir im Folgenden nähe r eingehen.

Vorstellungsbilder Lo rcnz (cbd.) beschreibt Vorstellungsbilder als eine vorstellungsmäßige Produk tion oder Rep roduktion eines Bildes, das sich auch auf Sachverhal te oder Ilandlungen beziehen kann und in engem Z usammenhang mit dem Vorwissen und den bisher gemachten Erfahrungen steht. D ieses Bild ist sehen statisch, sondern es gestatte t kognitive Operationen in Form vo n D rehungen, Pcrspc krivwcchscln und Detailände rungen. Es handelt sich auch nicht um eine Abbildung im Sinne eines detaillierten Bildes, sondern um ein schemenhaftes Bild, das vage ist und dadurch Symbolfunk tion besitzt. Vo rstellungsbilder bzw. Repr äsentationen sind deshalb nicht identisch mit mathematischen Begriffen, sondern weisen auf die mathematischen Inhalte hin und stellen diese symbolisch dar (S öbbckc 2005, 17 f.).

lk w gen auf das Beispiel der Subtra ktion bedeuten diese Überlegungen, dass am Anfang wohl die Vor stellung einer konkreten Handlung stehen kann (rl n einer Schachtel sind sieben Kekse, drei werde n gegessen, vier bleiben übrig-) . dass dieses Bild aber mit der Zeit ,·ager und allgemeiner wird: In der Grundvorstellung des Abziehuns bzw. \\ 'egnehmens geht von einem G anzen ein Teil \veg, ein Teil bleib t übrig, dieser T eil ist kleiner als das Ganze. Solch vage Vor stellungsbil der erha lten ihren N utzen vor allem dadurch, dass sie au f ähnliche, stru kturgleiche Au fgaben übertragen werden können. Lorcnz (1998, 50) weist in diese m Zusammenhang auch darau f hin, dass Vorstellungsb ilder »idiosynkratisch« sind, d. h. dass es sich um individuelle Konstruktionen ha ndelt, die manchm al brauchbar und ko rrekt, aber auch missverständlich oder ungeeignet sein kö nne n. Abb . 5.9 7.eigt ein solches Beispiel.

80

I5

Förd erung

oooot1& Abbildung 5.9 Pias v eranschaulichung der Aufgabe 4-2

2

=

Pia, eine Zwcirklasslcein mit großen Pro blem en beim Subtrahieren im Zahlen-

raum bis 20, ha t zur vo rgegebenen Aufga be 4--2 = 2 J as dargestellte Bild gezeichnet. Verbal hatte sie eine ko rre kte Veranschaulichung beschrieben: »Es sind vier Eier. Zw ei I luhnchen sind ausgeschlöpft.« Ih r Bild zeigte jedoch, dass sie Schwierigkeiten hatte mit der Vorstellung des G anzen und seiner T eile bzw. mit der Darstellung der von ihr beschriebenen Situation. Sie konnte z. B. nicht erklä ren, wo man im Bild die zwei Eier mit den nicht ausgcschlöpfrcn Hu hnehen sehen kann. Eine ausführliche D iskussion des Bildes und der Situation sowie das D arstellen von weiteren Subrrakrionsaufgabco führten zur Veranschaulichung in Abb. 5.10, in der der Subt rahen d korrekt als T eil des Minuenden dargestell t ist. Pia erzählte zur Zeichnung folge nde Geschichte: »In fün f Familien schauen die Kin der am Abend fern. In zwei Familien sagt der Vater: Kin der, jetzt ist Schluss. D er Fern seher wird ausgeschaltet. In drei Familie n laufen die Fernseher noch. D ie Rechnu ng zu meiner Geschichte laute r 5-2 3(( (Schmassmann/Moscr Opitz 2008b, 47).

=

Abbildun g 5. 10 Pias Veranschaulichung der Auf gabe 5-2 Opit z 2008b, 4 7)

=

3 (Schmassman n/ Moser

Zur ersten D arstellung von Pia sei noch eine grundsätzliche Bemerkung angefügt. E s könnte der Fall sein, dass ein Kind mi t einer selbst erstellten Zeic hnung einen H andlungsablau f repräse ntiert: Zuerst werden die vier ganz en Eier gezeichne t, anschließend die zwei Eier mi t den geschlüpften Küken. Um solche Überlegungen der Le rn enden zu erfa hren, ist es \\ichtjg, dass die Lehrperson

5.3

Arbeitsm itte l und Ver anschau lich ungen

I 81

die Veranschauli chungen mit de n Sc hü lerinnen und Schülern bespricht un d de ren Interp retatio n erfragt. D as Beispiel weist au f verschiedene As pekte hin: Erstens ist es wich tig, dass Le hrperso nen die Vorstellungsbilder der Schülerinnen und Schüler er fragen und sie wenn nötig beim Au fbau von alterna tiven Repräsent atio nen unt erstützen und begle iten. Zweitens wird aber auch deu tlich, dass die D arstellung der Subtraktion grundsätzlich schwierig ist, weil der dynamische Pro zess (hier des \'\'egn eh m ens) re präsentiert werde n m uss. In Schulbüchern und auc h von Sch ülerinnen un d Schülern wird dazu manchmal die D arstellungsfonn .D urc hstre ichen- gewählt (Abb. 5.11).

•••••••••• 0000000000 10 - 3 = ,

• • • • • 00000 •• 00000 1 0 - 3 =

Abbildung 5.1 1 Darstellung der Subtr akt ion mit Durchstre ichen des Subtrah enden (Werner 2007, 47)

D ies kann jedo ch zu Missverstandnissen führen, da das D urchstreichen manchmal als Halbieren interp retier t wird ("gI. z. B. Sclter/Spiegel 1997, 153). .Andere Schülerinnen un d Schü ler sind verwi rrt, weil der d urchgestrich ene Subt rahend nicht '\'leg<, sonde rn immer noch sicht bar ist. Auch D arstellungen wie z. B. volle un d leer getrunkene G läser (Abb. 5.12) werden nicht immer als Subtraktio nsaufgaben erkannt. Schülerinnen und Schü ler argumentie ren bspw. richtig, dass nichts weggenommen wü rde, weil die G läser immer noch vorbanden sind.

10 - 3 = Abb ild ung 5.12 Darstellung einer Subtrakt ion (Witt mann/ Müller 2007 , 53)

D ies zeigt den wich tigen Aspekt der empirischen un d der theoretischen bzw. strukturellen Mehrdeutigkeit von Verans chaulichun gen (vgl. Stein bring 199-1) .

82

I5

Förderung

Bildliehe D arstellungen, wie sie in A bb. 5.12 und 5.13 zu schell sind, können versch iede ne Aufgaben veranschaulichen (empirische Mehrdeutigkeit). Das Bild mit den Vi)gcln und dem Baum kann sowohl die Aufgabe 9-3 ::: 6,9---<) ::: 3, 3+ 6 ::: 9 oder auch 3+? ::: 9 o. ,\.. darstellen. Auch bei Diagrammen sind unterschiedliche D eutungen möglich (stru kturelle Mehrdeutigkeit) wie bspw. die Darstellungen zu r Mul tiplikation in Ab b. 6.9 zeigen.

Abbil du ng 5. 13 Erzählen und Rechnen (Wittmann/M ül1e r 200 7, 60)

D iese Mehrdeutigkeit muss im Unterricht thematisiere und bewusst auch genutzt werden, indem bspw. explizi t verschiedene zum Bild passende Aufgaben gesucht und diskutiert werden (vgl. Kap. 6.2). D ieses Besprechen verschiedener Möglichkeiten und das Aufgreifen individueller Sichtweisen ist generell ein wichtiger Aspekt zum Aufbau vo n Vorstellungsbildern und besonders auc h bei der Subtraktion. Lern en mit allen Sinnen?

In Ratgebern zum Umgang mit lernschwachen Schulerinnen und Schülern wird oft ,'orgeschlagen, zum Au fba u von Vorstellung möglichst viele Sinne einzubeziehen (z. B. Ebhardr 2003; 'x'undcrlicb 2( 02). Die Einmaleinsreihen solle n bspw. an einer Schnur mit K noten in regel mäßigen Abstanden ertastet werden, oder es wird empfohlen, Plusaufgaben au f den auf dem Fußboden ausgelegten Zahlenkarten abzuschreiten. Verbunden mit solchen Vorschlägen ist das Anliegen, durch das Einbeziehen von Tastsin n und Motorik den Erwerb mathem atischer Kompetenzen zu erleichtern und besser .begrcifbar. zu machen. H ier m uss Folgendes beachtet werden: Insbesondere motorische Übungen sind oft obwohl für die motorisc he Förderung sehr wichtig - nicht unbedingt geeignet, um mathematisches Lernen zu unterstützen, da der zu lernende mathematische Inhalt durch die motorischen A ktivirarcn nicht oder nur unvollständig da rgcstellt werden kann. \X'ird eine Plusaufgab e wie im gen annten Beispiel au f am

5.3

Arbeitsm itte l und Ver anschaulichungen

I 83

Boden liegenden Karten >gegangen<, führt dies erstens dazu, dass in Einerschritten abgezählt wird. Zudem werden die Summanden nicht sichtb ar, und es besteht keine 1 liiglichkeit, das Z ustandeko mmen eines cvrl. falschen E rgebn isses zu kor rigieren. Ein weiteres Beispiel: Ta st- oder I lörüb ungen bieten oft keine Hilfe zum Losen einer mathematischen 1\ u fgabe, sondern können sich erschwerend ausw irken . Müssen z. B. Töne gezählt werden, ist das äußerst anspru chsvoll, da einersei ts das Arbcirsgedachrois in hohem Maß belastet wird (>\,{'ie viele Töne waren es bis jerzt?() und zudem die Töne nur kurz hörbar sind und keine Mög lichkeit besteht, den Z ählakt zu kontrollieren. .Lcrncn mit allen Sinnen. unterstü tzt also nich t per sc den mathematischen Lernprozess, son dern nur dann, wen n die Aktivität die St ruktur eines ma themarisehen T.emgegcnstan dcs hervorhebt bzw. desse n Ancign ung unterstützt. In der Regel han delt es sich dabe i um Tätig keiten , die mit geeigneten Arbeitsmitteln durchgeführt werden. Manchmal wird vo n Lc m forrschrin cn in Mathematik etwa durch den Einsatz von Bewegu ngsspielen zu mathematischen Inhalten , durc hgefü hr t bspw. im Sportunterrich t, berich tet (\'gl. z. B. Klcindiens t-Cachay/I loffmann 2009). \X'ir wollen derartige positive E ffekte nicht gru ndsatzlieh negieren, geben aber zu bedenk en, dass diese Erfolge u. U. allein auf das !;!(siilZlic!Je Übungsbzw. Fordcrangcbot, das sich durc h solche Spiele ergibt, zurückgeführt werde n können. Daneben kön nten auch rn o tivationale Aspekte ausschlaggebend sein. Wenn bspw. Sportunterricht beliebter ist als Mathcm atikunrerricht, kann diese positive Einstellung zum Sportunterricht das Le rn en von mathematischen Inhalten im Kontext Spo rt positiv beeinflussen. Tm günstigen Fall üb ert ragen sich solche Effekte auch auf Lernprozesse innerhalb des Mathemat ikunterrichts, Dies muss aber nicht zwangs läufig der Fall sein. Aus diesen Überlegungen erge ben sich Folgerungen für den Einsatz von Arbeitsmitteln un d Verans chaulichu ngen im Mathcmntikunrcrrichr.

5.3.2

Zum Einsat z von Arb eit smitteln und Veransehauliehung en

Zusätzlicher Lernstoff In der Praxis werden Arbcirsmincl und Veranschaulichungen eingesetzt, um die Sache für die Schüleri nnen und Schüler 'ein fache n zu machen. D abei wird nicht berücksichtigt, dass erst ere nicht selbster klärend sind, sondern i. d. R. zusätzli chen Le rnstoff darstellen, den die Schülerinn en und Schüler zuerst erarbeiten müssen (Schipper 1996, 26). D as bed eutet, dass für diesen Lern pro zess Z eit eingeplant werden muss und die Arbeitsmittel und Verans chau lichungen selber zu m I.cm gegens tand gemacht werden sollen (Rottmann/Schippe r 2002, 71). Um die Stru ktur des Hu nderterp unktfeldes (1' 100, 10·10, 2·50 bzw. ~ ' 25) zu verin nerlichen un d anwenden zu kö nnen, muss bspw. erkundet werden, dass

84

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Förd erung

pro Reihe und Sp alte jeweils zehn Pun kte sind und dass die I lälftc des Feldes aus 50 Punkten und ein Viertel aus 25 Punkten besteht. Insbesondere wenn Abbildungen oder Darstellungen den mathematische n Inhalt nicht ins Zentrum rücke n, stellen sie o ft eher ein I Iindcrnis als eine Unt erstützung dar. Vielfach anzutreffen sind Illustrationen, die keine wirkliche Veranschaulichung des Inha lts darstellen, son dern diesen lediglich .vcrp ackcn-. \,\'cnl1 Übungsau fgaben z. B. nicht in der konventionellen Gleichungsschreibweise, sondern in d er Form von Blum en wie in A bb. 5.14 dargestellt sin d, muss

sich die Schulerio oder der Schüler zue rst mi t dem Bild au seinanderse tzen und die Darstellung verstehen. Eine V eranünouli{hung einer Rechnung wie 75~29 wird dab ei nicht gegebm . Beeinträch tigend kommen bei vielen solchen D arstellungen die crhohrcn An forderungen bezüglich \\'ahmehmung und/oder raumlichcr Orientierung dazu. Im hier dargestellten Beisp iel sind die T erme nicht gemäß der Gleichungsschreibweise dargestellt, sondern müssen einmal von links nach rechts, einmal von rechts nac h lin ks und einmal von oben nac h unten erschlossen werden. Gerade lernschwache Schülerinnen und Schüler machen dabei häu fig Fehler, weil sie mit der verwirrenden Anordnung der O peranden nicht klar kommen: Beim Abschreiben der Aufg abe ins f Icft muss z. B. vom Minu enden 46, der rechts in der ers ten Blume steht, ausgegan gen werden, rechts davon mu ss der Subrahend - 29 geschrieben werden, dieser steht jedoc h im Bild links von 46. Dies könnte sinnvoll sein, wenn lediglich die Flexibilität im Umgang mit den O peranden geübt werden soll. Für derartige Ziele sind jedoch aus unserer Sicht and ere, substanzielle Au fgaben formare wie z. B. Zahlenmauern oder Rechendreiecke (vgl. K ap. 5.2) geeign eter.

Bitde Au/gaben und löse sie im Hell.

01

Abbildung 5. 14 übu ngsaufgaben zur Su btrakti on (Burkharr er al. 2009, 19)

G enerell wäre es gün stiger, Aufgaben zu verwenden, die in einem operativen Zusammenhang stehen (wie in der mi ttleren Blume) un d diese ohne das unnötige Blumenbild als strukturiertes Päckchen darzustellen . Die Struktu r (31- 13 = 18, 41-13 = 28 usw.) würde in dieser form alen D arstellung viel deutlicher sichtbar und konnte das Lo sen der Aufgaben erleich tern und zu

S.3

Arbeitsm itte l und Ver anschaulichungen

I 8S

einem tieferen und vcmctzrcn Verständnis der Subtraktion im l Iunderterraum beitragen (vgl. Kap. 5.2). Auswahl von Arbeitsmitteln und Veranschauli chung en

Fiir einen sinnvollen und unterstützenden Einsatz von Arbeitsmitteln und Veranschaulic hungen sind mehrere Aspekte zu berücksichtigen. Es muss sorgfältig bedacht werden, welches arithmetische Ko nzept durch welches Arbeitsmittel bzw. welche Veranschaulichung sinnvoll unte rstützt wird bzw. welche Aktivitäten sich mit welchem Arbeitsmittel sinnv oll ausfü hren lassen (vgl. Schippet 1996, 26; \'{'ittmann/ Mlilkr 2007, 12). Nicht jedes Material eigne t sich für dieselbe O peration bzw. Rechenaufgabe gleich b'll[, und ein einziges Arbeitsmittel oder eine einzige Veranschaulichung kann nicht das ganze Spektrum eines Begriffes oder einer Operation abdec ken (vgl. auch Krauthausen / Scherer 2007, 258). Meist wird nur ein Aspe kt hervorgehoben {Schmassmann / Moscr Opitz 2008b, 39): So betonen das l lunclcrter- oder Tausenderfeld den kardinalen Zahlaspe kt. wäh rend bei der Zahlreihe und dem Zahlenstrahl der ordinale Zahl aspekt im Vordergrund steht. Zudem gibt es Arbeitsmittel, mit denen der Zahlenraum ganzheitlich veranschaulich t werden kann (z. B. die f Iundcrrcrtafcl), während sich andere lediglich auf Ausschnitte, etwa für eine spezifische Aufgabe beziehen. Bestimmte Veranschaulich ungen eigne n sich als Protokollforme n fiir eigene Lösungsstrategie n (z. B. der Rcchcnstrich), währ end andere dies nicht so ohne \'('eiteres ermöglichen. Auch ist nicht jedes Material für jede Operation in gleichem Maß geeignt·t. Einmaleinsaufgaben lassen sich bspw. gut am Hunderterpunktfeld darstellen, während an diesem Material nicht alle Addi tions - und Subtraktionsstrategien leicht zu veranschaulichen sind. Das geling t für die meisten dieser Strategien etwa mit dem Rechenstrich besser, wah rend dieser für die Multiplikation weniger gt'cign et ist. Das bedeutet auch, dass für verschi edene Operationen unterschiedliche Ar beitsmittel geeignet sind. Z ur wohlüberlegten Auswahl von Arbeitsmitteln und Veranschaulichungen insbesondere für lernschwache Schüle rinnen und Schüler gehört als wichtige Konsequenz auch, dass die Anzahl beschrä nkt wird (Scherer 1996b, 53). Das bedeutet, dass nicht viele verschiedene Ar beitsmittel verw endet werden sollen, sondern dass für die verschiedenen Za hlenrä ume nach dem Motto »wcnigcr ist mchr« (Witrmarm /Mullcr 2007, 12) möglichs t strukturgleiche Materialien gewählt werden (z. B. die Zwanziger- und l Iun dcrt errcihc; das Zwanziger-, IIundcrtcr- un d Vierhunderterfeld usw.). Ablösung von Arbeitsmitteln und Veranschaulichungen

Der Einsatz von Arbeitsmitteln ist nur dann sinnvoll, wenn gleichzeitig auch auf die Ablösung vom Material hin gearbei tet wird. »Aus dem Losen vo n Au fgaben mit Hilfe des Arbeitsmittels soll also ein Lösen von Aufgaben .im Kop f, werden- (Schipper 2003, 223). Dies wird im Unterricht nicht immer berücksichtigt. Insbesondere in der Arbei t mit lernsc hwachen Schülerinnen und Schülern

86

I5

Förd erung

kann es vorkommen, dass - basierend auf der falsche n Annahme, dass jede Ak tivitar am Arbeitsmi rtel zu Einsicht und Verständnis führe - Arbeitsmittel als »pcrmancntc Knicke« (Schm assm ann/Mos er Opitz 2008b, 4- 1) eingesetzt werden. Es gibt aber auch die gegenteilige G efahr: Z u schnell wird au f die Ab!()sung vom Material hingearbeitet, und die Schillerinnen un d Schüler können keine ausreichenden Erfahrunge n mac hen und damit auch keine engfähigen Vorstellungen aufbauen (Scherer 199Gb, 56). Insbesondere lernschwache Schülerinnen und Schüler benötigen für das Kennenlernen von Arbeitsmi tteln un d Veranschaulichungen, für deren sinnvolle Nutzung und auch für die Verinncrlichungsprozessc genügend Zeit. D as erfordert sowohl von den Lehrpe rsemen als auch von den Lern end en viel Geduld. Die Schülerinnen und Schüler müssen zudem oft unterstützt und er muntert werden, die Arbeitsmittel als Mittel fiir den Aufbau von E rkennt nis zu nutzen und einzusetzen (ebd.). D amit die I .oslösung gelingt, sind verschiedene Aspe kte zu berücksichtigen.

Sprachliche Begleitung von math ematischen Handlungen 'x'ichtig ist zum einen, dass die H andlungen am Arbeitsmittel sprachlich begleitet werden. D urch die Beschreibung von dem, was getan wird od er wurde, erfolgt ein erster Schritt hin zur Abstraktion, un d die Handlung wird bewusster gemacht (Schip pcr 2003, 225; Willend 1986,21). Weiter kann die Sprache dazu dienen, .Übcrscrzungsprozessce vom Kon kreten zum Abstrakten und umgekehrt anzuregen. Insbesondere flir lerns chwache Schülerinnen un d Schüle r ist nicht immer klar, was eine soeben vorgenommene I Iandlung (z. B. das Darst ellen einer Malaufgabe am H undcrtcrpun ktfcld) mit der dazugehörigen symbolischen Notationsform zu tun hat. Durch die Sprache kann die Verbindung zwischen der I landlung und den Symbolen explizit hergestellt un d damit sich tbar gemacht werden (il Iicr sind drei Reihen mit jeweils fünf Punkten. E s sind drei mal fünf Punkre.; vgl. auch die Beispiele zu individuellen Sichtwe isen in Kap. 6.1.2). Eine wichtige Funktion nimmt die Sprache auch ein bei der Versprachlichurig von .l Iandl ongc n. an Materia l, das nich t verfügbar ist. Losungs\vege können bspw, an vorgestelltem Material .durchgcföhr« werden, indem eine Beschreibung od er eine Ha ndbewegu ng .in der Lu ft< erfolgt oder indem eine Zeichnung angefertigt und sprachlich beschrieben wird (L orcnz 1998, (6). \'\'eiter besteht die Möglichkeit, eine Ilandlung, die zu einem früheren Zeitpunkt vollzogen worden ist, später .aus de r Vorstellung, zu beschreiben, ohne sie konkret auszuführen (ilch Helle mir mit dem Malwinkel eine Malaufgabe am Hu nderterpunktfeld vor: Ich lege den \'('inke1 so, dass ich in einer Reihe immer dre i Punkte und fün f Reihe n sebc-).

Wechsel der Repräsentati onsebenen D ie Repräsentationsebenen ,I Iandlunge, .Bild-, .Svmbol. werden oft als hiera rchische Ebenen verstanden, die in einer festgelegten Reihenfolge era rbeitet werden müssen ("gI. hierzu die kritische n Anmerkungen in Kap . 5.4). Wesern-

5.3

Arbeitsm itte l und Ver anschau lich ungen

I 87

lieh ist, dass immer wieder .Übcrs crzungs prozcssc. auf verschiedenen E benen statt finden: Z u einer vorgegebenen G leichung wird eine Rechengeschichte gezeichnet, eine vorgegebene Malaufgabe wi rd am Punktfeld mit dem Malwink el darge stellt, eine mit Plättc hen gelegte Aufgabe wird als Bild gezeichnet bzw. als Zahlensa tz notiert usw. D aneben mu ss auch beachtet wer den, dass erst eine sym bolische Darstellung da s Verst änd nis von Handlungen am Material in vo llem Um fang erm öglich t (Schmassmann/Moscr Opira 2008b, 39). D as Beispiel eines operativen Päckchens mi t Subtraktionsaufgab en (7. . B. 81-13 <, 71- 13 ::: usw.) kann das verdeutlic hen. D ie Beziehung, dass - wenn der Minuend um 10 kleiner bzw. größer wird und sich der Subtrahend nich t verändert - auch das Ergebnis um 10 kleiner bzw. gn'>ßer wird und sich die E iners telle nicht verän dert, wird für die gesamte l\ ufgabenserie erst sichtbar, wenn zusätzlich zur Darstellung mit einem A rbeitsmittel auch die form ale D arstellung vorli egt und diskuti ert wird. llandlungen in Verbindung mi t der symbolische n D arstellung und sprachlicher Begleitung sind somit wichti ge E tappen fü r den Aufbau von Vorstellung un d da mit verbunden zur A blösung von Arbeitsmitteln. Kriterien für den Einsatz von Arbeitsmitteln Schipp cr (1996, 39) hat einen K riterien katalog erstellt, der es Lehrpersonen erleich tern soll, geeignete Arbeitsmittel für den An fangsunterricht auszuwählen . Er unterscheidet zwischen didak tischen und unterrichtsp raktischen Kriterien (\'gl. auch Kra uthausen /Scherer 2007, 262; 'x'i nmann 1993). D idaktische Kriterien:

•

Er laubt das Material zählende Za hlauffassung. zählende Zahldarstellung und zählendes Rechnen?

•

Erlaubt das Material quasi -simultane Z ahlauffassung und Zahldarstellun g bis 20?

• •

Unt ers tützt das Marerial die A blös ung vo rn zähle nde n Rechnen? Erlaubt das Marcrialllandlungcn. die operative Strategien des Rechncn s im Zahlenraum bis 20 entwickeln helfen?

•

Erlaub t das Material den Kindern die En twicklung unterschiedlicher, individucllcr L ösungs wcge?

•

G ibt es zum Material strukturgleiche Fortsetzungen für das Rechnen im Z ahlenraum bis 100?

•

G ibt es zum Schülermarerial passendes D cmon stration srnatcrial?

88

I5

Förd erung

Unterrichtspraktische Kriterien:

•

Ist J as Material für Kinder leicht handhabbar?

•

K ann das Material auch von E rstklässlcm schne ll bereitgestellt und ocr un d wieder wcggc riium t werd en?

•

Ist das Material haltbar?

gcord~

D as erste Kriterium (Möglichkeit des Abv ählens) m ag auf de n ersten Blick erstau nen, da eine wichtige Z ielsetzung des Unrc rric hrs die Ablösung vo rn zählend en Rechnen ist (\'gl. Kap . 5.4). Sicher beherr schte Zählstrategien sind jedoch eine wichtige Vo raussetzu ng, um überh aup t die Struktur eines Ar beitsmittels erarbeiten zu können. W'ir wollen jetzt an einigen Beispielen aufzeigen, wie diese K riterien ko nkret an gc\vcndct werden kö nnen.

\'\'inl das Zwanzigerfel d betrach tet, dann zeigt sich rasch, J ass die Kriterien im gesamt crfiillt werden: Zahlauffassung und D arstellung bzw. zählendes Rechnen und die qua si-simu ltane Z ahlauffassu ng sind mi)glich, letztere unter-stüt zt die Ablösung vo rn zählen den Rechnen. D as Feld eigne t sieh zudem gut zur Anwendung eigener L
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Abbildung 5. 15 Zwei Darstell ungen der Zahl 12 auf dem Zwanzigerfeld

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Abbildu ng 5. 16 Operati ve St rategie zur Aufgabe 7+ 8

5.3

Arbeitsm itte l und Veranschau lich ungen

I 89

Auch die Kri terien der stru kturgleiche n Fo rtsetzung in den erweiterte n Za hlenraum un d des passenden Demonstrationsmaterials sind erfüllt. \\'erden \\'end eplättchen aus Karto n verwendet, ist die Handh abbarkcir des Materials eher kritisch einzuschätzen . Gerade Schülerinnen und Schüler mit feinmotorischen Schwierig keiten haben damit o ft Probleme und arbeiten de shalb ungern mit de n kleinen Plättchen. In solchen Situatio nen ist deshalb zu emp fehlen, mit stru kturgleichen Reche nschiffchen bzw. mit einem Zwanzigerfeld aus f lolz mi t Vertie fungen und entsprechenden Holzpläneb en zu arbeiten. Der Rech enrah men und der ..Ybaco (..\ bb. 5.17) sind Arbeitsm ittel, die vo n ihrer Struktur her dem Zwanzigerfeld ähnlich sind . Beim Abaco können Zahlen dargestellt werde n, ind em Kugeln gedreht werd en, die auf der einen Seite grau un d der anderen rot oder weiß bzw. blau sind .

Abb ild ung 5.17 Rechenrahmen und Abaco

T rotz dem gibt es bedeutsame Un terschiede zum Zwanzigerfeld. Die Farbe der Kugeln ist fest vorgcgcbco, heim Rechenrahmen in der Regel durch jeweils fiinf rote un d fünf weiße (oder blaue) Kugeln nebeneinander, be im Abaco sind je nach Mod ell zehn gleich farbige Kugeln in einer Reihe od er untereinander (D oppelfünfe r) angeordn et. Die -Krafr der F ünf wird beim Rechenr ahmen durch den Farbwechsel markiert, heim Abaco durch eine graue Linie. Der Rechen rahmen und der Abaco weisen wie das Zwanzigerfcl d eine klare Fünfer- un d Zehnerstruktur au f, sodass eine zählende Z ahlauffassung und -darstellung sowie auch die qu asi-simultane Za hlau ffassung bis 20 mi)glich ist. Von beiden Ar beitsmitteln gibt es strukturgleiche Fortse tzunge n für den H underterraum, un d sie sind für die Schüleri nne n und Sch üler leicht handha bbar. \'<;'erde n jedoch die K riterien der operativen Strategien und der eigenen Lösu ngswege betrachtet, zeigen sich deutliche Einschränkungen im Vergleich zum Z wanzigcrfeld. D urch die feste Farbgebung der Kugeln ist es bspw. an beiden Marcria-

90

I5

Förderung

lien nicht m(lglich, die Anzahl 12 wie beim Zwanzigerfeld in einer Farbe darz ustellen, son dern diese erscheint im mer in zwei Farben (Abb. 5.18).

Abbil du ng 5. 18 Mögliche Darste llung der Zahl 12 am Rechenrahmen und am Abaca

Das erschwert u. U. die Anza hlerfassung. Zudem gibt es bspw. auch bezüglich der I.ösungswcgc bei der Addition Einsch ränkungen. Soll z. B. am Rechenrahmen oder am Abaco mit zehn gleichfarbigen Kugeln in einer Z eile die Aufgabe 7+ 8 = 15 gelös t und so dargestellt werden, dass jeder Summand eine Farbe hat, ist nur eine einzige Darstellung möglich (Abb. 5.19).

Abbil du ng 5. 19 Mögliche Darst ell ung der Aufgabe 7+8 am Abaco

\\/ied die Aufgabe am sclbcn Materi al so dargestellt, dass zuerst der Zehner in der Zeile aufgefüllt wird. legt die Farbgebung die Aufgabe 10+5 = 15 nahe (Abb. 5.20), und die urs prünglichen Summanden sind nicht sichtbar.

Abbil du ng 5.20 Mögliche Darstellun g der Aufgabe 7+8 am Abaco

Am Zwanzigerfeld können die Schüleri nne n un d Schüler die Aufgabe je nach individueller Vors tellung auf unterschiedliche \'\'eisen darstellen. sodas s bcidc Summanden sichtbar sind (Abb. 5.21).

5.3

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Arbeitsm itte l und Veranschau lich ungen

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I 91

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Abb ildung 5.2 1 Zwe i Darstellungsmöglichkeiten der Aufgabe 7 + 8 am Zwa nzige rfe ld

Ein weiteres Beispiel: \\'ird ein Rec hen rahmen oder ein Abaco mit zehn gleichfarbigen Kugeln unt ereinander verwendet, ist es nicht möglich, ausgehend von der Verdo pplung operative Beziehungen herzustelle n, da die Farbgebung verhin der t, z. B. be i der Au fgabe 7+7 jeden Summande n in einer Farbe darzustellen. Di e Farbgebung legt die Au fgabe 10+ 4 nahe (Abb. 5.22).

Abb ildung 5.22 Mögliche Da rste llung der Aufga be 7 +7 a m Abaco

D en Vo rteil der feinmotorisch ein fach eren llandhabbarkcit von Rechenrahmen und Aba co erkauft man sich so mit mit einer Einschränkung bezüglich der Verwen dung opera tiver Strategie n und individueller Lernwege. Ein weiteres Beisp iel soll den Blick auf die Unters cheidung zwische n Arbeitsmittel und Veranschaulichu ng rich ten. D er Z ahle nstrahl ist eine zentrale Veranschau lichung, die im Unterricht zwingend erar beitet wer den sollte (" gI. Kap. 6.1.3). Er eign et sich, um dezimale Größenbez iehu nge n darzustellen , zum Ablesen und Einordnen vo n Z ahle n, zum Z ählen in Schritten, zum Bestimmen der N ach barzehner oder -hundertcr (Scherer 2003b, 92 f.; Sehrnassmann/ Moscr Opirz 2008 b, 40) od er als Instru ment zu m Messen von Lä ngen. \\'t'rden jedoch die vorher genannten Kriterien auf den Zahlenstrahl angewendet, dann zeigt sich rasch, dass dieser als IIilfsmi ttel zum Rechnen weniger geeign et ist: D ie simultane bzw. qu asi-simultane Za hlauffassung und -darstellung ist nur sehr eingeschränkt möglich, un d die Markierungsstrich e kön nen zum A bzählen verleiten . O perative Reche nstrategien und individuelle L ösuogswcge lässt der Z ahlenstrahl nur eingeschränkt zu. So lässt sich bspw. der operative Z usammenh ang zwischen den Au fgaben 15-8 = 7 un d 15- 7 = 8 nur mit Aufwand unt er der Verwendung von zwei Strahlen darstellen, indem bspw. an einem Strahl die Ze rlegung 7+8 und am anderen 8+7 eingeze ichnet wird. Am Zwa n-

92

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Förd erung

zigcrfcld lässt sich diese Beziehung durch das Umdrehen eines Plättchens einfacher lind einsichtiger veranschaulichen (Abb . 5.23).

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Abbildung 5.23 Darstell ung der Aufgaben 7+ 8 und 8+7 am Zwanzigerfeld

D er Zahlenstrahl lässt sich somit zur Vorstellung des Zahlenraumes und zur Erarbcirung verschiedener Zahlbcziehu ngcn gu t einsetzen. Er ist auch erwc ircrbar auf andere Zahlbereiche wie negative oder rationale Zahlen, er ist jedoc h wenig geeignet als I Iilfsmittcl zum Rech nen .

Die Ausführungen zeigen, dass es nicht das Arbeitsmittel oder die Vcranschaulichung gibt, das bzw. die sämtliche Krite rien erfüllt oder für alle rnathcmati sehen Inhalte passe nd ist. E s bleibt Au fgabe der Le hrperson. auf der Grundlage von fachlichen und fachdidaktischen Überleg ungen für ihre K lasse oder einzelne Schülerinnen und Schüle r passende Materialien und Darstellungen auszuwählen (K raurbauscn/ Scbcrcr 2007, 261) un d den Aufbau von Vorstellung und damit verbundenen Einsicht in mathema tische Beziehungen anzuleiten.

5.4 5.4 . 1

Abl ösung vom zähl end en Rechn en Problem atik zählender Rech enstrat egi en

Eine Vielzahl an Studien hat sich in den letzten Jahren mit den Besonderheiten mathematischer Lcm scliwicrigkcircn auseinandergese tzt. Cna bhängig von de n diversen Ausrichtungen un d E m pfehlungen sind sich die Autorinnen und A utore n im \\ 'esentlichen einig, dass das ver festigte zählende Rechnen beim Lo sen von (Kop f-jk cchc nau fgabcn ein zentrales Merk mal für Rechenschwache ist (C; eary 2004; lIanich ct al. 200 1; Jordan / I lauich 200 0; Schippcr 20(2). Moscr O pitz (2007) un d Schäfer (2005) haben für den deutschsprachigen Raum nach ge\viesen , dass auch rech ensc hwache Schü lerinnen und Schüler in der Scku ndarstu fe I einfache Kopfrechenaufgebe n du rch Abzahlen losen. O bwoh l erste zählen de Strategien einen wichtigen Schri tt auf dem \\'eg zum E rwerb von Addition und Subtraktion darstellen und zum mat hematischen Lernprozess gehören, ist es wichtig, dass die Kinder im Verlauf der ersten Schuljahre weiterführe nde Strategien en twickeln kö nne n. \\'enn dies nicht geschieht, besteh t die G efahr. dass die Kind er in die .Sackga ssc- des sich immer mehr ver festigenden

5.4

Ablösu ng vom zählenden Rechnen

I 93

zählenden Rech nen s geraten (vgl. G crsrcr / Schulrz 2004-). Eine Ablc)sung von zählenden Rechen strategien ist aus folgenden Gründen zentra l (Gaidoschik 200.3; 2009; Gerste r 1994-; 1996; Krauthausen 1995; Krauthausen /Scherer 2007, 14- f.; Scherer 2003b; 2009a ; Schmass mann z' Moser O pitz 20(8):

•

Kinder, die zählen, haben o ft keine Vorstellung von den Reche nope rarion cn .

•

Zählendes Rechnen ist fehleranf:'illig, vo r allem im Za hlen raum ab ZO und ftir Operation en wie Multiplikation und Division.

•

Zählendes Rechnen füh rt dazu, dass jede Rechn ung als Einzelfaktum, d. h. losgelöst vo n anderen Rechnungen , erfahr en wird.

•

Kinde r, die zählend rechnen, operiere n meistens mit Einerschritten . Sie fassen Zahlen nicht zu größeren Einh eiten zusammen, und Anzahlen werde n nicht strukturie rt erfasst.

•

Zählendes Rechnen erschwer t die Einsicht in die dezimalen Strukturen unseres Zahlsystems . D a die Kinder immer nur in Einerschritten zählen, fallt ihnen das Erkennen vo n größeren Einheiten wie z. B. der Zehnerbündel schwe r. Umge keh rt werden mangelnd e Einsichten ins Stellenwertsystem dazu führen, dass nur zählende Rechenstrategien verwendet werden.

•

Zählende Rech nerinnen un d Rech ner verste he n Zahlen zumeis t nicht oder nich t in erste r Li nie kardinal als eine i\lenge (verknüp ft mit der Frage nach der Anzahl), sondern ausschließlich ordinal als ein Punk t in einer Reihe, als eine Stati on in einer auswendig gelern ten Folge vo n Zahlennamen .

•

Zä hlendes Rechnen ist äußerst resistent gegenüber Veränderu ngen.

Ursach en für verfestigtes zählendes Rechnen Beeinträcht igun g des Arbeitsge dächt nisses Z um einen wird angenommen, dass die Beeinträchtigungen des Arbeitsgedächtnisses das Abrufen von Zahlenfakten bzw. das Automatisieren von Kopfrechenaufgaben erschweren un d zu zählen dem Rechnen führen kön nen . D ies kann sich so äußern, dass betro ffene Kind er Schwierigkeiten haben, gleichzeitig Rechenprozesse auszu führe n und numerische (und verbale) In formationen zu speichern . .Als Komp ensationsstrategie werden dann u. a. Abzählstrategien eingese tzt. Das Arbeitsgedäch tnis besteht nach dem Modell vo n ßaddclcy (1999) aus drei Tei len.

•

Zentrale E..wkutive: Au fmerksamkeitssystem mit limitierter Speicherkapazität; dieses stellt einen zen tralen ausfü hr enden Prozessor dar. Es kontrolliert die phonologische Schlaufe und den visuellen Skizzen block un d verbinde t diese mit dem Langzeitgedäc htnis.

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I5

•

Phon% /ogüche .f{hk/l~fe: Sie ist spezialisiert für das Aufbewahren und Abrufen von verbaler Infonnation (a. B. Za hlcnfak rcn, Zahlwörter).

•

Förd erung

Visueller 5kizzenblo(k: Er beinhaltet Jas Speichern von visuellen und räumlich en Fakten.

Zur Frage, welcher dieser Bereiche bei Kindern mit Schwierigkeiten beim J\Ia+ them atiklernen beeinträchtigt wird, gibt es keine einheitlichen Fo rschungscrgebnisse. \\ 'ähr cnd z. B. Passolungh i/ Siegd (2004) davon ausgehen, dass alle Bereiche betroffen sind, gibt es mehrere Untersuchungen, die der zentralen Exek utive. also dem .Stcucru ngssystcm- besondere Bedeutung zumessen (A ndcrsson / Lyxcll zöü'z: zusammenfassend Schuchardt er al. 2008, 515). Allerdings gibt es auch Un tersuchungen, die Hin weise geben, dass bei einer G rup pe von Kindern mit Schwierig keiten beim Mathematiklernen die Speiche nltlg im wisucllcn Skizzen bloc k. beeinträchtigt ist. So fanden z. B. Schuchardt ct al. (2008), dass Kinder mit schwachen Mathematikleisrung en in diesem Gedäch tnisbereich Schwierigkeiten zeigten. Dies ist für die E nC\vicklung nicht abz ählender Rechenstrategien von besonderer Bedeutung, weil für deren Erarbcitung das Einsetzen von stru kruricr rcn Mongendarstellungen und damit die Verarbeitung von visueller Information zentra l ist.

Unt err ichtl iche Faktoren Die verfestigte Verwendung von abzählenden Rechenstrategien hat ihre Ursache jedoc h nicht nur in Beeinträchtigu ngen des Arbcirsgcdäc hcnisscs. Auch hier spielen unterrichtliche Variablen eine Rolle. Gaidoschik (2009) referiert Studien, in denen einerse its die verwendeten Unterrichtsmaterialien und -konzeptionen hinsichtlich der Präferenz von Abzählstrategien analysiert und andererseits die Rechenstrategien der Kinder erhoben worden waren. Die Ergebnisse geben Hinweise darauf, dass bes timmte Vorgehcnswcisco im Unterricht (intensives Auswendiglernen des Einsplu seins. Gewichtung von \,\'citerzähle n vo rn größeren Summanden aus, kaum Verwendung von Ablcirungsstrarcgicn) die Verwendung von Abzählstrat egien fördern. Praxiserfahrungen zeigen zudem auch, dass im Unte rric ht o ft Arbeitsm ittel un d Veranschaulichungen zum Rechnen eingesetzt werden, die Abzählstrategien fördern: Dies sind einersei ts Arbeitsmittel ohne Fünfer- und Zehnerst ruktur. andererseits lineare D arstellungen wie die Zahlreihe od er der Za hlens trahl (vgl. Kap. 5.3). In einer Längs schni ttstudie mit Schulan fangerinnen un d -an fangern in Son derklassen (Moscr O pitz 2008, 157 ff.) wurde nachgewiesen, dass Kinder, bei denen Gewicht au f das Ar beiten mi t strukturierten Menge nbildern und das Era rbeiten vo n Zahlbeziehungen (Verdoppeln, Halbieren, Ergänzen) gelegt wurde, im Nachtest signifikant weniger abzählten als Kinder, bei denen diese Intervention nicht oder nicht im selbcn Maße stattfand.

5.4

5.4 .2

Ablösu ng vom zählende n Rechnen

I 95

Rechnen ohne Abzählen

D ie Hutwicklung von Rcchcnstrarcgicn, welc he vom Abzählen wegführen, sche int sowohl vom Alter als auc h vo m Unterricht abhäng ig zu sein. Camos e r al. (2003) wies nac h, dass sich das Zählen in Einheiten größer als 1 mit zunehmend em Alte r entwickelt. In verschiedenen Publikationen (z. B. Gaidoschik 2007; Gerster/Schultz 200~; Lo rcna / Radatz 1993) wird darau f hingewiesen, dass das Erfasse n vo n Einheiten größer als 1 im I Iin blick auf die Ablösung vo m zählenden Rechnen ko nseq uent und inte nsiv erarbeitet und geübt werden muss. Beso nders von lernschwache n Sch ulerinnen und Schülern ist aofgrund der vorliegenden Studien bek annt, dass sie diese Fähigkeit nicht von alleine er werben un d dabei Unters tü tzung bra uch en: »\'\'enn wir also erreichen wollen, dass Kinder - alle Kinder - schon im Verlauf des ersten Schuljahres das zählende Rechnen zumindest weitge hen d hint er sich lassen, dann haben wir im Unterricht einiges zu tun« (G aidoschik 2009, 17 1).

Förderun g einer flexiblen Zählkompetenz Eine wichtige Voraussetzung zur Ablösung vom zähl enden Rechnen ist eine sichere und flexible Zählkompetenz (Schrnassmann/ Moscr O pit z 2008; Maser O pi tx 2007); sie ist die Grundlage , um den Anzahlbegriff zu erwerben. Sogenannte »proto numcrischc Kons tru ktioncn« (Schmid t 1983) - d. h. die Er fahrungen mit figura len Mustern oder mit dem simultanen Erfassen kleiner A nza hlen (itlbiti!::jng, vgl. Abschnitt -Anzahlcrfassuog von kleinen Mengen<) werden ers t d urch die In tegration m it dem Z ählen numerisch. »D as Zählen verhil ft - einerseits - zur Quant ifizierung der .p rotonumcrischcn Konstruktionen<, wird aber auch - an de rersei ts - d ur ch diese Integration selbst modifiziert« (Schmid t 1983, 107). D ieser Prozess wurde in jüngerer Zeit von Condry/Spclke (2008) bestätigt. D ie Autoren haben bei drei jährigen Kindem nachgewiesen, dass de r Erwerb des K o nzep tes de r natürlichen Z ahlen parallel bzw. ansc hließend an den Erwerb der Zahlwörter erfolgt. Kinder beginnen im Alter von ca. drei Jahren mit Z ählen (Puso n 1988, 58), un d zwar d urch soziale Vermittlung, indem sie Zählaktivitäten von Erwachsenen und älteren Kindern (und später vo n Vorbildern in der Schule) nachahmen un d durch vielfaltiges Anwenden immer kompetenter erwerben. Z u einer sicheren Z ählkompetenz gehören verschiedene Aspekte. Erstens ist die Ke nntnis de r Zahlwörter wichtig, d. h. das sichere Vorwärts- und Rückwartsxithlcn in Schritten unterschiedl iche r G rö ße in verschiedenen Zahlenraum cn. N eben Einerschritten ist ins besonde re das Zählen in Zweicr-, Fün fer un d Zehners ch ritten zentral. E s ist desh alb wichtig, dass das verbale Zählen nicht nur in de r Schclcingangsphasc, so ndern auch im Unt erricht der Grundschule immer wieder praktiziert wird (\'gl. Scherer 2005b, 18; Kap. 6.1.1).

96

I5

Förd erung

Die Z ahlkompetenz beinhaltet weiter auch das Zählen vo n Objekten un d die Einsicht, dass durch Zählen eine Anz ahl bestim m t werden kann (Fu son 1988, 89 ff.). Gclman/Gallistcl (1978, 52) beschreiben den Zählakt mit drei how-locount- lind mit zwei whal-IIJ-(Vunl-Prinzipicn (" gI. auch Krauthauscn/ Schc rcr 2007, 12 f.).

•

Eindetfligk eibpriniip (one-oneprindple): J edem Obj ekt der zu zählenden - endlichen Kollektion - wird ein und nur ein Zahlwort zugeo rdn et. Vers chiedenc O bjekte erhalten stets verschie dene Zahlwörter.

•

Pnn:;jp der .rlabilen OrdnHn<~ (stable-order primipIe): Die beim Zählen be nutzten Zahlwörter mü ssen in einer stabilen. d. h. ste ts in gleicher \'('eise wiede rholbaren Ordnung vorlie gen.

•

}Grdinalprin~p oder KardinalzaMvortprintfp (IUminal pn"ndple): Das letzte Zahlwort, das bei einem Zählprozess benutzt wird, gibt die Anza hl bzw. die K ardinalzahl der gezählten Kollek tio n an.

•

./l bilrak lionJprim;jp (abJlradion prindple): Die ersten drei Zählprinzipien können auf eine beliebige Anza hl von abgre nzbaren Einheiten, also beliebige Objekte, angewendet werden.

•

Pnn:;jp der lmlet'an z der A nordnH",-~ (onier-irrekoance pnn.iple): Die jeweilige Anordnung der Objekte ist für die Anzahl irrelevant.

Die Einsich t in diese Zä hlprinzipien ist eine wichtige Voraussetzung zum sich eren Urogaog mit dem Z wanziger feld. \'X 'enn diese nich t bzw. nich t \'oBständig erworben ist, können beim Erarbeiten des Z wanzigerfeldes Zähl fehler passieren, die dazu führen, dass Einsich t in die Stru ktu r de s Feldes ( Kraft der 5" -K raft de r 10<) nicht oder nur unvollständig erarbeite t werden kann. In solchen Situa tionen m üssen vielfältige Zählübungen auch ohne Zwanzigerfeld vo rgenommen werden. Konkrete Hinweise finden sich in Keller et al. (2007; 20( 8) oder Ga idoschik (2007, 14 ff.). Anzahlerfassung von kleinen Mengen

Untersuchungen zeigen , das s Kinder unstru kturiertc Anzahlen bis 3 oder 4 -au f einen Blick, durc h sogenanntes mbitizin.'!, erfassen können (L anderl/ Kaufmann 2008, 115; für einen Überblick \'gl. Scherer 200 5a, 2 1 f.). G r ößere Anza hlen können nur erfasst werden, wenn sie (visuell) strukturier t und dadurch in klcincrc Anzahlen zerlegt werden . .Acht kann z. B. als zwei Vierergruppen oder als zwei Dreier- und eine Zweiergruppe vo n Objekten gesehen werden. Radatz er al. (1999, 35) sprechen hier von »q uasj-simul taner« Au ffassung de r Za hlen , da die eigentliche simultane Auffassung nur mit Anzahlen bis vier mö glich ist. Scherer (2005a) spricht von »strukruricrter A nza hlcrfassung«, die vorn Erfassen einzelner Objekte abgegrenzt wird.

5.4

Ablösu ng vom zäh lenden Rech nen

I 97

Die für Vorschulkinder bereits bekann teste Anordnung einer solchen Srrukturierung sind die \\'ür fclbilder. Andere Anordnu ngen (A bb. 5.24) müssen mit de n Kindern erarbeitet werden (für Beispiele, Kopicrvorlagcn un d Vorgehensweisen \"gl. Schere r 2005a). Sie bilden die G rund lage fiir die Ablösung vo m zählenden Rechnen.

•••• ••• •••• • • ••• •• Abbild ung 5.24 Verschiedene Anordnunge n von 6 Plättchen

Bei solchen Übungen zur quasi-simultan en i\ nzahlerfassung ist zum einen wichtig, dass zuerst mit kleinen Anzahlen « 10) gearbeitet wird un d die Sch ülerinnen und Schüle r genügend Zeit haben, diese zunächst ggf. durch Zählen zu besti mme n und dann Struk turen zu er kennen bzw. eine Strukruri crung vo rzunehmen. Zum anderen muss darauf geachtet werden , dass diese Prozesse reflektiert werden. Die Strukturierung sollte dur ch I Iandlung bzw. Zeichnung verdeutlicht und/oder sprachlich begleitet werden . Die Kinder sollen verbalisieren, welche Struk turen bzw. welche G ruppen sie sehen. .Ich sehe hier vier Punkte und noc h zwei Pu nkte. D as sind zusammen scchs., Oder: .Ich sehe hier drei un d drei, (Moscr Opitz 2007b; Scherer 200 5a, 145 f.). I Iicr ist zu beach ten , dass solche Za hld arstellunge n nicht eine o ffensichtliche Struktur ent halten, son dern dass diese vom Individuum ko nstruiert bzw. .hincingcschc nwerden muss und sich somit individue ll un terscheiden können kann (Scherer 2005a,26 Säbekke 2005, 21 ff ; Steinbri ng 2005, 11 ff.). Das kann bedeuten, dass ein Kind eine Z ahldarstellung ande rs sieht als die J.chrpcrson. \'\ 'as dieser als .klar, erscheint, ist für das Kind nicht o ffensichtlich. Es ist somit wichtig, dass J.chrpcrsonen dies im Unterricht be rücksichtigen .

rr..

Erarbeit ung Zwanzigerfeld

Die \'\'eiterführun g der strukturierten Anzahlerfassung von kleinen Anzahlen geschieht idealerweise mit dem Zwanzigerfdd bzw. anderen struktu riert en oder stru kturgleic hen Materialien (vgl. A bb. 5.25 und Kap . 5.3). D urch die Vorsrrukturierung (vier Fünfer bzw. zwei Ze hner) wird der T atsache, dass Anza hlen gn')ßer als 4 nur du rch eine visuelle G ruppierung erfasst werden können, Rechnung getragen.

Lernwege der Kinder unterstütze n Bei der Arbeit mit dem Zwanzigerfdd ist wichtig, dass eine Balance gefunden wird zwischen dem Finden eigener Lernwege und der Vorga be von Vcra bre-

98

I5

Förd erung

J ungen bzw. Konve ntionen, insbesondere wenn die Kin der von sich aus keine erfolgreichen Vergehensweisen finden. »Wcnn Kinder z. B. abwcchslc ngswcisc ro te und blaue Plättchen legen oder zwisc hen diesen Lücken lassen, kann die Regel vorgegeben werden, dass zuerst nur eine Farbe verwendet wird und dass keine Lücken gemacht werden. Es gibt auch Kinder, die beginnen ohne erkennbares Prinzip einmal in der obere n Reihe und einm al in der unteren, einmal links und einmal rech ts mit dem Legen der Plättchen. Mit diesen Kindern kann nach sorgfaltiger Beobachtung der I Iändigk eit und des dominanten Auges z. B. festgelegt werden, wo jeweils mit dem Le gen der Plättchen begonnen wird« (Ma ser Opitz 2007b, 260).

Auch bei der Arbeit am Zwa nzigerfcld ist die verbale Begleitu ng wichtig. Z udem muss darauf geachtet werden, dass bei der Zahldarstellung versc hiedene Anordnungen verwendet werden, in dem 12 z. B. als ein voller Zehner in der oberen Zeile und zwei Punkt e in der zweite n Zeile oder als zwei Sechser untereinander dargestellt wird (ygl. Abb. 5.25 K aufmann / Wessolowski 200 6, 53 ff.; Scherer 200Sa, 162 ff.).

••••• •••••

• 0000 . 0 0 0 0

••••• • ••••

• • 000 00000

Abbildung 5.2 5 Zwei Darstellungen von 12 auf dem zwanzigerfeld

Vorst ell ung aufbauen \'i:'eiter muss berücksichtigt werden, dass die Schülerinnen und Schüler nach un d nach innere Vorstellungen der versc hiedenen Anz ahle n au fbaue n und diese später zum Lösen vo n Rechenaufgaben nutz en können. Diese Vorstellung entwickelt sich jedoch bei K indern mit Lernschwächen oft nicht automatisch, sondern dieser Prozess muss angeleite t und begleitet werden (Moscr O pitz 2007b, 2(0). Dabei muss beachtet werden, dass nicht nur die Varianten .Handlung- oder .Abstrakrion . son dern auch Zwischenstufen bzw. versc hiedene Phasen im Aufbau von mental er Vorstellung existieren (ygl. Flexcr 1989, 23; Scherer 2007a; Kap. 5.3). Zuerst handeln die Schülerinnen und Schülern mit konkreten Objekten (lege n z. B. Plättchen am Zwanxigcrfcld) und sehe n das Ergebnis vo r sich. Anschließend vollziehen sie diese llandlungen mental, in dem sie die O bjekte bctrachrcn und sich innerlich vorstellen, was bei der I landlung mit diesen geschieht. Später ist es ausreichend, wenn eine D arstellung be trachtet wird, auf der die O bjekte abgebildet sind . D ie Operation kann ausgehend vorn Bild innerlich vollzogen werden. In einer weitere n Phase sind die Kinder weder auf Material

5.4

Ablösu ng vom zählenden Rechnen

I 99

noch auf Bilder angewiesen , sondern können die Operation rein mental vollziehen, Der letzte Schritt besteht in der Automatisierun g, dem .blitzar rigcn. Abrufen vo n Ergebnissen . \X'ichtig ist, dass die verschiedenen Ab straktionsebenen durch en tsprechende Übungen mitei nander in Verbindung gebracht werden. Folgendes Beispiel kann einen Ausschnitt aus diesem Prozess veranschaulichen. Schülerin A legt bspw. 13 Plättchen auf das Zwanzigerfeld, Schüler B be stimmt diese Anzahl. Dann wird er au fgefordert, die Augen zu schließen und sich das Punktbild innerlich vorzustellen, während Schülerin A die Plättchen vom Feld wegnimmt. Zur Kontrolle, ob Schüler B wirklich ein .inneres Bild, von der An zah lU hat , kann er die U Plättc hen anschließend wieder in derselben .Anordnung auf das Feld legen od er in ein leeres Zwanzigerfeld einzeichnen. Eine andere Kontrollmöglichkei t besteht darin, dass er aus einer Auswahl von Karren mit Darstellungen von Anzahlen am Zw anzigerfeld die .richtipc Karte" d. h. die 13 in der vorher verwe nd eten Ano rdnung, auswählt.

Beziehung Teil-Ganzes und Zah lzerlegung Ein wich tiger Aspekt für die Abli>sung vom zählenden Rechnen ist die Z erlegung von Anzahlen. Das Verständnis, dass eine Menge in verschiedene Anzahlen zerlegt und wieder zusammengesetzt werd en kann, stellt die Grundlage dar zur Erkenntnis, dass Zahlen auch Beziehungen zwisch en Mengen modellieren (Enncmoscr / K rajcwski 2(07). Diese Einsieht in die Beziehungen des Ganzen und seinen Tei len ist eine \vichtige Voraussetzung zum Erw erb der G rundoperationen. In einer Unte rsuchung mi t Kindern mit schwa chen Mathematikleistungen führte eine Förderu ng dieser Einsicht zu einer Verbesserung der Mathematikleistung (K rajcwski/ E nncmoscr 2( 07). Für die Ablösung vom zählen de n Rechnen und die E nt\vicklung effizienter Rechenstrategien ist insbe sondere die Zerlegung von Zehncr-, l Iundcrrer- und Tausenderzahlen wich tig. Übungen zu Zahlzcrlegungen im Za hlen raum bis 10 lassen sich am Zwanzigerfcld, mit statischen Fingerbildern oder am Rechen rahmen du rchführen (Kaufmann! \,\'cssolO\vski 2006, 8-1- ff.; Radatz ct al. 1996, 70 ff.; Scherer 200Sa). Weite r mus s dem Verdoppeln und dem Halbie ren besondere Bedeutung beigemes sen werde n. Dazu finden sich Übungen bei Schma ssmann /Moscr Opitz (2007, 65 ff.), Gaidoschik (2007, 108 ff.) und Scherer (200Sa, 167 ff.). Die Erarbeitung solcher .Kcrnaufgabcn- (Verdoppeln, Halbieren, Ergänzen bis 10 und 20, Au fgaben mit 10+ x) bilden eine wichtige Grundlage für das Üben und das spätere Automatisieren.

Operatives Oben " 'enn Schülerin nen und Schüler tragfähige Vorstellunge n zur Addition un d Sub traktion erworben haben, geht es in einem näch sten Schritt darum, auf der Gnmdlage der sein fachen . Kern aufgaben schwierigere Aufgaben abzuleiten (vgl. auch Kap. 5.2.4). Dies geschieh t mit hilfe des Zw anzigerfeldes. E ine einfache

100

I5

För d erung

und bekannte 1\ ufgabe wie z. B. 6+6 wird mit Plättchen am Zwanzigerfcld ge+ legt. D urch das \\'eb>TlehmeIl oder llinzulegen eines Plättchens wird eine neue Aufgnbe dargestellt. Aus 6+6 wird z. B. 6+ 7 bzw. 7+ 6. Das Ergebnis ist um 1 größer als das Ergebnis der ein fachen Aufga be 6+6 . Auch hier ist wichtig, dass die Darstellung am Feld durch sprac hliche Begleitung und den zuvor beschriebenen Aufbau von Vorstellung (Augen schließen, sich die Punktdarstellung bzw. die veränderte Aufgabe vorstellen) begleitet wird.

5.4.3

Finger als Hilfsmittel zum Rechn en?

Von Eltern und Lehrpersonen wird häufig die Frage geste llt, ob und in welcher Form die Finger als Hilfsmittel zum Rechnen eingesetzt werden können. Die Ans ichten hierüber sind sehr unterschied lich. Bcfurwortcr argumentieren, dass man dieses Marerial immer -dabei hat.. Dies ist jedoch nur vordergründig ein Vorteil, denn das Fingerrechnen beinhaltet einige wese ntliche Nachteile: Besonders p roblematisch ist der xlynamischc. Einsatz der Finger (Lo renz 1989). D amit ist das A bzählen in Einersehrirren mithilfe der Finger gemeint. "'+ 3 wird z. B. so gerechn et, dass ein Kind vier Finger (einen nach dem anderen) ausstreckt und dan n den zweiten Summanden durch das Ausst recken von weiteren Fingern, die gezä hlt werden, addiert. Dieses Vorgehen ist äußerst fehleranfällig . Oft verzahlen sich die Kinder um 1 oder wissen nicht mehr, wie viele l-inger schon dazu gezäh lt wurden. Der dynamische Gebrauch der Finger beinhaltet all die Nachteile des zählenden Rcchncns, die in Kap. 5..... 1 aufgezählt wo rden sind. Wichtig für die Ablösung vom zählende n Rechnen ist der .starische- Einsatz der Finger (Loren» 1989), insbesondere im Z usammenhang mit der Er arbeitung einer strukturierten Anzahlerfassung. Beim statischen Einsatz werden Anzahlen als -Fingc rbild. gezeigt. 7 wird z. B. mit fünf Fingern der einen f land und zwei Fingern der anderen I land dargestellt, wobei die Finger nicht einzeln nachcinandcr, son dern auf einma l ausgestreckt werde n. D iese verwendeng der Finger kann zur Fö rderung der A nzahlerfasseng eingesetzt werden (weitere Hinweise finden sich bei Gaidoschik 2(1()7, ...... ff.) un d die A blösung vo m zählenden Rechnen unterstützen. Wenn Schülerinnen und Schüler zäh lend rech nen, ist es i. d. R. äußerst aufwendig, mit ihnen andere - effizientere - Strategien zu erarbeiten und eine Ablösung der Zählstrategien zu erreichen. Es ist deshalb wichtig, im Anfangsunterricht darauf zu acht en, dass verfestigte A bzählstrategien gar nicht erst entstehen können. Die Förderung einer flexiblen Z ählkompetenz (insbesondere das Zählen in Schritten), die Anzahlcrfassung, die Einsicht in die Beziehung Te ilGa nzes un d die Zahlzl'flegung sowie op eratives Üben kön nen dazu eine n wichtige n Beitrag leisten .

6

Zentrale Inhalte des Mathemati ku nterrichts

Im vo rliegenden Kapi tel wo llen wir einige Inhalte, die für die F örderu ng lernschwacher Schulerinnen und Schüler im Mathematikunt erricht von zentraler Bed eutung sind, gcn:lllcr beleuchten. D abei handelt es sich nicht um eine vo llständige Au flistung, son de rn lediglich um eine Auswahl. Abged eckt werden in Kap. 6.1, 6.2 und 6.3 die drei Inhaltsbereiche Arithmetik, Geo metrie und Sachrechnen bzw. die en tsprechenden Leitideen (' "gI. Ki\IK 2005). In Kap. 6.1 erfolgt die grobe Ori en tierun g an zentralen T hemen der Schuljahre 1 bis 4 im Primarbcrcieh. Diese Z uo rd nung zu den verschie denen Sch uljahren ist jedoch nicht zu eng zu verst ehen, un d viele Aussage n gelte n jeweils für den gesamten Primarbereich. Dies ist insbesondere für Schüle rinnen un d Schüler mit erheblichen Schwierigkeiten im Mathematikunterri ch t vo n Bedeutung, da immer davon auszugehen ist, dass sie die Lerninhalte nicht im durch den Lehrplan yorgegebe neu Zeit raum erwer ben können. \'('ir werde n deshalb immer wieder die Bede utu ng eines Inhalts in den verschiede nen Sch uljahren oder Z ahlenraumen verdeutliche n.

6.1 Arithm eti k 6 .1.1

Zahlbegriffserwe rb : Fol gerun gen f ür den Anfa ng sunt erricht

Konzeptionen für den mathemat ischen Anfangsunterricht

\\'enn Schülerinnen und Schüler beim Mathematiklernen im Anfangsunterrich t Sehe...-ierigkciten haben, taucht oft die Frage au f, welche Kompetenzen rvo r den Zahlen, erworben werden müssen. In Anleh nung an das Z ahlbegriffskonzept vo n Piager (Piagct /Szcminska 1972) wurde viele Jahre davo n ausgegangen. dass es sogen annte pränum erische Vora ussetz ungen gibt, Erfahrungen bzw. Übungen oh ne Zahlen, deren Kenntnis dem Erwerb numerisc her Kompetenzen vorausgeht (vgl. zusammenfassend Hasemann 2007, 11 ff.; Moscr O pitz 2008, 27 ff.). D as führte dazu, dass mathema tische Lehrginge - insb esondere für lern -

102

I6

Zentrale Inhal te de s Mathem atiku nterricht s

schwache Schü lerinn en und Schüler - so aufgebaut waren , dass vor der Arbeit mit Za hlen übe r längere Zeit solche Übungen durc hgeführt wurden (a. B. Il oenisch/ Niggemeyer 2(07). Im Ansc hlus s dara n wu rden, u. a. um einer Überforderung der Schülerinnen und Schüler vorzubeugen, die Zahlen schrittweise einge führt: Zuerst die 1, dann die 2 U S\v. (ygl. z. 13. \X'em er 2007; auch Klaue r 199 1). Aufgrund verschiedener Untersuchungsergebnisse wird diese Vo rgehensweise heute infrage ges tellt, und zwa r sowohl bezüglich de r Bedeutung der pränumerischen Aufga be n als auch bez üglich des kleinschrittigen Vo rgehens beim Aufbau des Zahlenraums (vgl. zusammen fassend I Iascmann 2007, 11 ff.; Moscr Opitz 2008, 27 ff.). D ies wollen wir im Polgenden exemplarisch aus fiih rcn .

Erwerb numerischer Kompetenzen

D er Erwerb nume rischer Kompetenzen wird i. d. R. als Za hlbegri ffserwe rb bczeichne t. I licr gilt es zu beachten , dass es nicht Iden Za hlbeg riff gibt, sondern dass die Int egra tion verschiedener Za hlaspekte zu eine m um fassenden Z ahlbcgriffsverstandnie füh rt. Freudcnrbal (1977, 159) hat deshalb darau f hingewiese n, dass die Verwend eng des Singulars in Verbindung mit dem Zahlbegriff eigentlich irreführen d sei, Radatz/ Schipper (1983, 49) unterscheiden folgen de Zahlaspekte (vgl. auch Hasemann 2007, 77 f.; Beispiele nach Krauthausen/ Scherer 2007,9):

• •

K ardinalaspekt. z. B. 3 Apfel, 5 G ongsch läge, 9 Za hlen O rdinalaspckt: Z ählzahl (eins, zwei drei, der .. .) und O rdnungszahl (il ch bin der Fünfte im W'artezimmer. <)

•

Maßxahlaspekt: z. B. 10 Minuten, 2 Meter, 5 Euro

• • •

Operatoraspek t. z. B. noch fiinf Mal schlafen bis zu den Ferien Rechenzahlaspekt: z. B. 36 + (17 + 4) ::: (36 + 4)

+ 17

Codi crungsas pckt: z. B. Postleitzahl, Telefonn um mer, ISBN -N ummer

Studien haben aufgezeigt, das s viele Vorsch ulkinder verschiedene un d z. T. vielfaltige Er fahrungen zu Zahlaspekten gemacht haben un d mit entsp rechenden Vorkenntnissen in die Schule komme n (z. B. He ngarmcr/ R örhlisbcrgcr 1995; Moscr er oll. 2005; Moscr Opirz 2008; W'einhold Z ulauf er oll. 2003). .Auch wen n es sich dabei oft um Teilken ntnisse handelt und man nach Scher /Spiegel (1997, 113) nich t in eine »Kompctcnzcuphor ic« verfallen soll (vgl. auch Hasemann 2007,31 f.; Schippe r 1998), gih es do ch, im Unterricht eine rseits vorhandene Vorken ntnisse und andererseits die versc hiedeneu Za hlaspe kte zu beru cksichtigen un d zu systematis ieren (Kraurhauscn/Schcrcr 2007, 10). Bezüglich der Bedeutung nu merisch er Vo rkenntnisse liegen noc h weitere Forsch ungsergebnisse vo r. E s wurde nachgewiesen, da ss zahl- und mengenJpe!"jjiJthe Flibigk eiten wie das Zä hlen, das Benennen vo n Zahlen, das Vergleiche n von

6.1

Arithmet ik

I 103

:-'Ienge n bzw. von Zahlen oder das Erzahlen und Bearbeiten von Rech engeschichten zentrale Pradi ktorcn für die spätere Mathematikleistung sind (7.. B. Dcsoctc er al. 2009; Jordan ct al. 2007; Kraj cws ki 2003; Krajcws kf/ Schncidcr 2009; Lc mbke/ Foegen 20(9). .A ufbauend au f diesen Er kenntnissen wurden Modelle zur Entwicklung des Zahlbegriffs erstellt und empirisch überprüft (K rajewski 2008; Fritz er al. 2007; ' x'eißhaupr/ Pcuckcr 20( 9). G ut abgestützt ist da s Mode ll von Kra jcwski (Krajewski/Scboeider 20( 9), das im Folgenden dargestellt wird.

Modell zu m Aufbau des Zahlbegriffs K rajcwski (K rajcwski 2007; 2008; Krajcwski/ Schncider 20(9) unterscheidet in ihrem Modell (A bb. 6.1) dre i Ebenen der Za hlbcgriffscnrwicklung:

•

Ebene 1, 13as;{/ert{~keiten: Zu den Basisfe rtigkeiten gehört das Unterscheiden von kleinen Anzahlen ( I bis -l- Elemente; vgl. auch Kap. 5A.2) und das Vergleichen von Mengen im Sinn von >gleich viele, .mch«, .wcnigcr- auf der Basis der raumliehen Ausdehnung vo n Objekten. \'{'ird eine Menge als wick erkannt, bezieht sich dies in erst er Li n ie auf die T atsache, dass die ;\Ienge viel Raum einnimmt (Krajewski 2007, 276) . Der Mengenvergleich geschieh t also no ch nicht auf der numerischen E bene. \\'eiter ist das Au fsagen der Zahlwortreihe wichtig. E s geht dabei noch nicht um das korrekte Zählen von Objekten bzw. um das Bestimmen einer Anzahl, sondern um den Erwerb der Zahlwörter. Erst wenn die Kinder die Z ahlwörter sicher ken nen, ist es ihnen auch m öglich, diese ko rrekt anzuwen den (K rajcwski/Schneidcr 2009, 514).

•

Ebene ll, Anzahlk onzepI: Beim Erwerb des Anzahlkonzepts geh t es um die Erkenntnis, dass Zahlwörte r Mengen repräsentieren, bz w. um die Einsich t, dass Mengen mit Za hlwörtem beschrieben und bestimmt werden können . Krajcwski/ Schncidcr (2009, 51-l-) unterscheiden zwei Phasen: Zuerst ist das Anzahlkonzep t unpräzise in dem Sinne, als dass die Kinder wissen, dass bestimmte Zahlwörter (z. B. I oder 2) )wenig< bedeuten und andere wiek (z. B. 20 od er 100). D arüb er können die Kinder auch ents cheiden, wenn sie die Zahlwortreihe bis 20 noch nicht sicher be herrschen (vgl. auch Samecka er al. 200 7). Allerdings sind exakte Mengenvergleiche noch nicht möglich, da die Zahlen 19 und 20 bspw. bcide zur Kategorie wick gehören. Sobald die Kinder die Zahlwörter korrc-kt de n ;\lcngen zuo rdne n bzw. mit dem kardin alen \'{'ert verbinden können, wird auch das exakte Vergleichen von Mengen möglich. Damit verbunden ist auch das vollstä ndige Verständnis der Zählprinzipien, wie sie in Kap. 5A.2 beschriebe n wor den sind, sowie die E rfahrung, das s sich Mengen durch die Z u- und Abnahme verändern und dass sich Anzahlen in T eile zerlegen lassen.

•

Ebene IIJ, Alengenrehäonen als Anzahlen: Auf dieser Ebene vollzieht sich der Übergang zu einem arith metischen Verständnis von Zahlen. Die Kinder

I6

104

Zentrale Inhal te de s Mathem atiku nterricht s

könn en erkennen, dass sich eine bestim mte An zahl aus (zwei) anderen Anzahlen zusammensetzt und dass dies mit Zahlwortern beschriebe n werde n kann : Fünf Plättchen lassen sieh au fteilen in zwei Plättchen und drei Plattchen. Die Kinder gelangen zudem zur Einsieh t, dass Zahlen auch ßezichungcn zwischen Zahlen modellieren (z. B. .Der Unt erschied zwischen 3 und 7 ist 4<, oder ,6 ist 2 mehr als .j.,). Diese letztgenannte Kompetenz (Beziehung T eil-G anzes) ist eine wichtige Voraussetzun g für den E rwerb de r Grundoperationen (E nocmoscr/ Krajcwski 2007; Krajcwski 2007).

..-~• .a

-~

1:"••

Mengenunter· scheidung

-

exakte

Zählprozedur

Zahlenfolge

w•

m

,----------------------------------------, ,-------------------------, I

i _I ""p'h'""

Menge nrelati one n

,1 1

A""'~

J~~

a) Teil-Ganzes b) Zu·Abnahme

-

~

.....

~

-

[ [b)f'h': " ~""'~O",~ [

.. n :

1

[l _.:: i "!

,

I

I

I

1_.=:=:=:

! !:~~ _!!!".~..~.l!: .•~.~.•~! ._J!

:.... _~.._____.___~__~__._____J

Mengenbewusslheit von Zahlen Zahlen als Anzahlen

Mengenrelalionen als Anzahlen Zusammensetzung und Zerlegung von (An-)Zahlen

r.: .drei" 2

5 JQnr .

I !

Differenzen zwischen (An-)Zahlen

r----;-----j

•• •a

1 i

. '.

.zWfIi'

!

• :. ' l::::::=::.J •

....-

••

.....s

Abbildu ng 6. 1 Modell zum Aufbau des Zahlbegriffs (Krajew ski 2007, 276 )

6.1

Arithme t ik

I 10 5

K rajcwski/ Schncidcr (2009) haben in einer Längssch nittstudie (Kindergarten bis -l. Schuljahr) nachgewiesen, dass die Fähigkeit, Zahlwort und Anzahl mitei nand er zu verbinden, einen zentralen Prädiktor für die spätere Mathematikleistung darstellt. Die Kinder, die im Kindergarren in diesem Bereich Schwierigkeiten hau en, zeigten in Klasse -l schlec htere Mathem atikleistungen als Kinder, die über diese Kompetenzen verfügten . \'('je die zuvor beschriebene Ebene 11 des Modells zeigt, handelt es sich bei der Verbindu ng von Zahlwort und Anzahl um einen ko mplexen Vorgang, bei dem verschiedene Zahlaspekte integriert werden m üssen un d der mittels aktiver Konstru ktio nsp ro zesse der Kind er über längere Zeit und mit vielfältigen Aufgabens tellungen erarb eite t werden muss. Eine wichtige Voraussetzung, um Anzahlen und Zahlwörter miteinander in Verbindung zu bringen, ist die siche re verbale Z ählkompetenz . Zählko mpete nz en Wic htig fiir den Au fbau der Zählkompetenz ist die Einsich t in die Zählprinzipicn: das Eindeutigkeitsprinzip, das Prinzip der stabilen O rd nung, das Ka rdinal- bzw. K ardinalzahlprinzip, das Abstraktionsprinzip und das Prinzip de r Irrelevanz der An ordnung (ygl. K ap. 5.4.2). Mit de n ersten Er fahru ngen der Kinder mi t Zahlw örtern, die sie von Elte rn oder Geschwistern in der früh en Kindheit h ören , beginnt der Prozess der Za hlcnrwicklung, der vo n Fus on (1988) ausfüh rlich untersucht und beschrieben worden ist. Sie unterscheidet fünf verschiedene Phasen (Fuson 1988, 33 ff; ' x'cißhaupt/Pcuckcr 2009, 60 ff):

•

Slnng Level.· D ie Zahlwortreihe wird als unidircktionalc G anzheit aufgefasst und wie ein Lied oder ein Gedicht rezitiert. D abei werden die Z ahlw örter zum T eil noch nicht voneinan der unterschied en. Vier-fünf-sechs kann z. 13 als eine immer wieder vo rkommende Einheit be trach tet werden. Die Elemente werden nicht gezählt, und die Zahlw ör ter hab en keine kardinale Bedeutung.

•

Unbreilkuble LiJ' Level: Die Zahlwörter werden als Einheiten aufge fasst. Die Kinder können die Z ahlwortreihe aufsa gen , allerdings müs sen sie immer wi eder bei I beginnen, eine beliebige Zahl kann noch nicht als Ausgangspunkt genomm en werden. Vo rgä nger und N achfo lger einer bestimmten Z ahl können nur genannt werden, indem das Kind sie innerhalb der Z ahlwortreihe zu bestimmen versucht. Ein s-zu-eins-K o rrespondenz zwischen Z ahlwo rt un d Elem ent kann herges tellt werden. Die Kinder können durch Z ähle n eine bestimmte Anzahl an Ele menten bes timmen (,G ib mir drci-).

•

13reilkable Caain Lel'e!: Die Zahlwortreihe kann von einem beliebigen Z ahlwort aus aufgesagt werde n. Vorginger und N achfolger kö nnen direkt genan nt werden. Rückwärtszähle n gelingt teilweise. Fuson (cbd.) me rkt an, dass sich das Rückwärtszählen z. T . erst zwei J ah re nach dem Vo rwärtszä hlen entwickelt.

10 6

I6

Zentra le In ha lte d e s Mathem atiku nterricht s

•

I\ 'umberable Chain I...eI'eL· Jedes Zahlwort wird als Einheit betrachtet. Vo n jeder Zahl aus kann eine bestim m te Anzahl an Schritten weiter gezählt werde n (>Z ähle von 1--1- aus drei Schritte vorwans-).

•

Bidirrdional Ouin l ...el'el: Es kann von jeder Z ahl aus vo rwärts und rück wärts gezählt werden, Richtungswechsel erfolgen schnell und ohne Schwi crigkcitcn, Vorgänger und Nach folger einer be stimmten Zahl können unvcrz üglieh genannt werden.

D ie deu tsche Za hlsynt ax beinhaltet be sondere Anfo rde ru ngen. Die Z ahlwö rter bis 12 werden gelernt. danach kann von 13 bis 19 nach einem einheitli chen Prinzip ko nstruiert werden (drei.:ehn, "ierzehn usw.). D ie Zahlwö rte r fü r die Z eh ne rzahlen (dreißig, vierz ig usw.) sind verwandt m it de n Za hlwörtern im ersten Z ehner. m üssen jedoch mit de r Endung >zig. D a im \, 'ort ;dreiundrien ig
6.1

Arithmet ik

I 107

D okumente von ZählEihigkeiten von Kindern (Sclter/Spiegcl 1997, 49) un d Untersuchungen (Moser Opitz 1999, 30 f.; Sche rer 1999a, 176 f.) zeigen zudem, dass der Übergang über den Ze hner o ft eine H urde darstellt. Ansrolle vo n neunundzwanzig oder neununddreißig wird z. B. das Za hlwort meunzig< genannt, die Kinder erfinden neue Za hlwörter (»clfzig, einundclfzig, drciundelfzig . .. «. Seher/Spiegel1997, 49) oder zählen wie folgt: I .. . 30, 31, 32, 33 .. . 37,38,39, 30, (ygl. auc h Sche rer 2003b, 25), d. h. sie ken nen das Zahlwort für 40 noch nicht und verwenden en tweder ein beka nntes Wort, das auf IZjg> endet oder erfinden ein Zahlwort. D ie bisherigen Ausführungen zeigen, dass der Zä hlkompetenz für den Au fbau des Za hlbegriffs eine zentrale Rolle zukommt, der in der Förderung und Im Anfangsunterricht besondere Aufmerksamkeit geschenkt werden muss.

Zur Bedeutung pränu merischer Kompetenzen Wie dargeleg t wurde, sind für de n Aufbau des Zahl begriffs zahl - und mengenspezifische Kenntnisse zentral. Dabei stellt sich die Frage, welche Rolle pränum erische K ompetenzen spielen. G rundsätzlich wird davon ausgegangen, dass diese nicht die Bedeutung haben, die ihnen lange Zeit zugesc hriebe n worde n ist (ygl. Moscr Opitz 2(08), dass sie aber dennoch weiter beachtet und gefördert werden müssen. Zu diesen Folgeru ngen führten u. a. die erwähnten Untersuchungen zu den numerischen Kompetenzen von Schu lanfangerinnen un d -anfsngcm . So wurde der Nachweis erbracht, dass auc h Kinder im F örderschwerpunkt Le rne n bei Schuleintritt über hö here numerische Kompetenz en ver fügen, als lange Z eit angen ommen wurde (Moscr O pirz 2008, 139 f.). E s wa r bspw. 70 'l j(l der untersuch ten Lernenden möglich, Zahlen im Zahlenraum vo n 1 bis 10 zu ben enn en, und 55,6 % konnten bis 10 oder weite r zählen (ebd., 142 ff ). G leichzeitig wi esen diese Kinder deutlich schlechtere Leistungen beim Addicrcn un d Subtrahieren auf als K inder in Regelklassen (cbd., 145 f .). Mehrfach untersucht wurde auch die Bedeutung der Anz ahlinva rianz, die in der Zahlbegriffsentwic klung nac h Piaget - und in der Folge in Schulbüchern un d Fordcrkon zep rcn - eine zentrale Rolle spielte (ygl. Moscr Opitz 2008, 19 f.). D abei wird untersucht, ob die Kinder erkenn en, dass zwei Reihen mit gleich vielen Plättchen, die unterschiedlich angeordnet sind, glcichmächtig sind . Zuerst wird mit zwei Plättche nreihen eine Eins-zu-eins-Zuordnung hergestellt (Abb. 6.2 links), und es wi rd die Frage gestell t, ob in beide n Reihen gleich viele oder in einer Reihe mehr oder weniger Plär reben sind. Anschließend werden die Plättchen in einer Reihe zusammengeschoben und die Frage wird wiederholt (Abb. 6.2 rechts). Viele K inder bejahen die ers te Frage. Auf die zweite Frage antworten sie, dass in der oberen Reihe mehr Plattehen sind.

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Zentrale Inhalte de s Mathem atiku nterricht s

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Abbil du ng 6.2 Invarianzaufgab e

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Brainerd (1979) hat aufgezeigt, dass Kinder Additions - und Subrraktionsaufgabc n im Zahlenraum bis 10 beherrsch ten, bevor sie Invarianzaufgaben au f bildlicher Eb ene lösen konnten. Offensichtlich verfügen Kinde r über ein T eilkonzept des Zahlbegriffs, auch wenn das Invarianzkonzept noch nicht verstanden ist (Baroo dy 1987, 125; vgl. zusammenfassend Moser O pirz 2008, 51). Sophian (1995, 559 ff.) hat zudem fesrgc srellr, dass das Zählen die Bearbeitung der Invarianzaufgabe beeinflusse n kann. Kinder, die bei dieser Aufgabe zählten, erzielten bessere Ergebnisse als Kinder , die dies nicht gemacht habe n. D as weist darauf hin, dass der Invarianzbegriff und die Zählkompetenz nicht unabhängig von einan der betrachtet werden können bzw. dass bestimmte numerische Kenntnisse dem Invarianzbegriff vorgeordnet sind bzw. parallel zu diesem verlaufe n (H ascmann 2007, 33). Kritisch diskutiert wird auch die Versuchsanordn ung der Invarianzaufgabe, und zwar au f verschiedenen Ebenen. Untersuchungssi tuationen (und auch Unterrich tssituationen) sind nie frei von vermeintliche n Erwartungen und einem bestimmten Verständnis der gestellten Fragen. D onald son (199 1, 69 ff.; vgl. auch McGarrigle / Donaldson 197-t) hat aufgezeigt, dass die Kinder in der klassische n Versuchsanordnung inne rhalb von kurzer Zeit auf zwei verschiedene Fragen antworten müssen: auf die Frage nach der Gleic hheit der Menge in der 1\ U Sgangssi tuation und anschließend auf die Frage nach der G leichheit der Mengen nach dem Zusa mmensc hieben der einen Reihe. D as kann dazu füh ren, dass die Kinder denken, sie müss ten die zweite Frage anders beantworten als die erste. Da die einzige Verän derung der Versuchs anordnung in der unterschiedlichen Länge der beiden Reihen lx-steht , beziehen die Kinder ihre Antwort darau f. Bei Ver änderungen dieser Versu chsanordnung wurde die Aufgabe besser gel öst. \'('eiter muss beachtet werde n, dass der Erfolg beim Lö sen der Invarianzaufga bc von der spezifische n Au fgabenstelleng bzw. -konsrruktion abhängt. Eine einfachere Möglichkeit als die klassische Pro blemstellung stellt die sogenannte Ident itätsau fgabe dar (Fischer/ Hecke)' 1( 90). Dabei wird nur eine Mcngc vorgege ben, die Objekte werden jeweils nur anders angeordnet, und die Kind er müssen entscheiden, ob gleich viel, mehr oder weniger D inge vor handen sind, bzw. D arstellungen mit gleich vielen O bjekten, jedoch unterschiedliehen Anordnungen finden (vgl. Abb. 6.3).

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6 .1

Arit h me t ik

I 109

Abbildu ng 6.3 Immer 7 (nach Wittmann j Müll er 2007, 16)

\'i/eitere Forschungsresultate liegen zur Bedeutung \"()O Klassifikation, Seriation und Eins-zu-eins-Zuordnung vor. Na ch Zur O cvestc (1987, 121) sind nur die .\ ufgabcn »cinfachc Klaasifikation« (das O rdn en vo n G egt'nständen nach einem Merkma l wie z. B. die Form od er die Farbe) un d »cinfachc Reihenbildung- der Kardinalzahl (im Sinn eines Verglcichs vo n zwei Mengen durch eine Eins -zueins-Z uordnung) entwicklungsmäßig vorgeordnet. Diese Fähigkeiten enrwiekeln sich jedoch schon in der frühen Kindheit, un d es wurde nachg ewiesen, dass auch ein großer T eil der Kinder an der Fordcrschulc/ Schwcrpunkt Lernen beim Schu leintritt über diese Kompetenz en verfiigt (Moser Opirz 2008, 139). So gelang es 79,7 % de r untersuchten Kinder, zwei Mengen durch das Herstellen einer Eins -zu-eins-Zuordnung miteinander zu vergleichen (cbd., 149). Die Ein s-zu -eins-Zuordnung ist eine wichtige Kompetenz im Zusamm enhang mit einer erfolgreiche n Anz ahlbestimmung. Erst wenn die Z uordnung eingehalten wird, ist es möglich, eine Anzahl ko rrekt zu bestimmen (vgl. die Ausführungen zu Zählprinzipien in Kap. 5.4). Es wird davon ausgegangen , dass sich die Einsicht in die Eins -zu-eins-Z uordnu ng und die Zählkompetenz parallel entwickeln un d sich auch gegenseitig beein flussen (Hascmann 2007, 33). D as bedeutet für die Förderung, dass nicht die eine Ko mpetenz als Voraussetzung für die andere betrachtet werden darf, sondern dass durch Aktivität en in einem Bereich auch l-aliigkcitcn im andere n gefördert werden. Dazu eignen sich bspw. \'\'ürfelspicle (Moscr O pirz 2002). Es muss gezä hlt werden, zudem erfolgt beim Vorwärtsgehen mi t der Spielfigu r immer wieder eine Eins-zu-eins-Z uordnung. Für den mathematischen An faogsunrerri cht und insbesondere für die Förderung von lernschwachen Schülerin nen und Sch ülern bedeuten die referierten Ergebnisse erst ens , dass p ränumerische Au fgaben nicht als Vorläuferfertigkeiten des Zahlbegriffs be trach tet werde n dürfen, son dern dass das O rdnen, Z uordnen, Sortieren und Vergleiche n vo n Mengen parallel zum Arbeiren mit Zahlen gefördert werden muss und auch mit num erischen Inhalten in Verbindung zu brin gen ist. D as kann z, B. so geschehen, dass Spielfiguren oder Bauklötze nicht nur nach Form oder Farbe geordnet werden, sondern dass gleichzeitig auch Fragen gestellt werden wie l\'\'ie viele sind es?< oder .Sind es mehr rote oder mehr blaue Klötze? Zähle.<, usw. Zweitens ist spez ifisch numerischen Inh alten besondere Beachtung zu sche nke n, insbesondere dem Zählen.

110

I6

Zentra le Inha lte des Mathem atiku nterricht s

Hinweise zum math ematischen Anfangsunt erricht

Beobacht ung und Aufgreifen von Vorkennt nissen Schulan fangerinnen un d -an fängcr bringen unt erschiedliche numerische Vorkenntnisse mit. Auch wcnn heute davo n ausgegangen werden kann. dass ein Te il der Kinder über um fassende Kennmisse vcrfögt, gibt es andere Le rn ende , denen diese fehlen (,-gI. z. B. Mo scr ct al. 2(05). Es ist deshalb wichtig, die Lernvorau sse tzu ngen der Kinder zu erfassen. Dies kann durch Beobachtung während des Unt errich ts gesche hen oder aber durch den Einsatz geeign eter Ver fahr en (G rundsätzliches zum Th ema Diagn ostik siehe Kap. -l). Als standardisiertes E inzelverfahren steht der O snabrücker Test zur Z ahlbegriffsentwicklung (O T /.) zur Verfügung (van Luir er al. 200 1). Neben prä nume rischen Kompetenzen werde n vor allem die Z ählkomp etenzen umfas send erfasst. Ein weiteres standardisiertes Instrument ist der T est zur Erfass ung nume risch -rechnerischer Fertigkeiten vom Kindergarten bis zur 3. Klasse (I E D I-MAT H; Kaufmann er al. 20(9). E r bietet insbesondere differenz ierte M()glichkeiten zur E rfassung der Zählkom petenz über mehrere Schuljahre hinweg. Teilweise ist auch eine qu alitative Beurteilung der Aufgabcnbcarbcirungen m()glich. \X'eiter gibt es einige qualitative Verfahren, und von Peter-K oop ct al. (2007) liegt bspw. das elcmcnrarmathema rischc Basisinterview (Ei\nH) vor. E s handelt sich um einen materialgestützten Interviewleitfaden zu den Th emen Zahlen un d O perationen. Raum und Farm sowie G rü ßen und Messen. Das Ins trument erlaubt materialgestützte llandlungen und die Beriicksich tigung der verb alen Äußerungen der Kinder. Beim G old srückspiel (Maser Opirz 2002; Scbmassmann/Moscr Opirz 2007, 7 f.) kön nen anh and eines ' x'ü rfclspicls, das mit einem einzelnen Kind oder mit einer Kleingruppe durchgeführt werden kann, pränumerische und numerische Kompetenze n (Z ählen, Anza hlerfas sung. Zahlenlesen usw.) beo bachtet werden. Um fassend

erfasst

werde n

kö nne n

num erische

Kenntnisse

mit

der

Le rn stan d serfassun g von Scherer (2005a, 25). Z u den Bereichen »simultane

bzw. strukturierte Z ahlcr fassung-, .Anzahlbcstimmung: Le sen un d Schreibe n vo n Zahlen; Bestimmen von Gcld bctragcn-, ),\ nzahh-ergleich bzw. G roßenve rgleich zwcier Zahlen' un d .Addirion und Subt raktio n, liegen verschiedene Au fgaben vo r. Diese werden durch D urchführungshinweise. Beispiele und Fördermöglichkeiten ergänzt.

6.1

Arithmetik

I 111

Diskussion ver schied ener Förder ko nzepte \,'ir wollen im Folgenden einige Materialien un d Le hrwerke, die für die vorschulische Förderung bxw. für den Anfa ngsunterricht angeboten werd en, vorstellen bzw. auf ihre Eignung hin kritisch diskutieren (vgl. auch I Iascmann 2007, 22 ff.). Auf dem Markt sind verschiedene F örderko nxep te, mit denen versucht werden soll, die .fantasievolle und spielerisc he "'elt der Kinder' mit der .abstrakren \\'elt der Zahlen' zu verbinden . In diesen Konzepten wird davon ausgegangen, dass Kinder über kindgerechte .Vchikck wie Fantasiegeschichten und Phantasiefiguren zur Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten geführt werde n und Zahlen dadurch ganzheitlich lernen sollen (l-ricdrich 2006; zusammenfassend Maser Opitz 2010). Im Enlderkungen im Zahlenland (Preiß 200"', 3) wird bspw. angemerkt, dass bei der Einführung der Zahlen dem »narrativen Aspckt« besondere Beachtung geschenkt werden soll. Dies geschieht mit Gesch ichten, in denen Zahlen mens chliche Züge annehmen. D ie 5 hat z. B. Geburtstag und lädt die anderen Za hlen zur G eburtstags party ein. Ein ähn liches Konzept liegt von Pricdrich/dc Gal g6cz )' (200"') vor mit Komm mit ins Zahlenland (Fr icd rich/Munz 2003). I Iicr "erkörpern Puppen einzelne Zahlen. Mir den erwähnten Fordcrkon zeptcn werde n einige mathematische Inhalte thematisiert: D as Zählen, das Kennenlernen von Zahlsymbolen. die \\'ürfelbilder und die Auseinandersetzung mit Formen. Die genannten Programme beinhalten jedoch auch eine Reihe vo n problematisc hen Aspekten. Im Mittelpunkt steht nicht die Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten, sondern eine Gesc hichte oder eine Identifikatio nsfigur. Das be inhaltet die Gefahr, dass die Aufmer ksam keit nicht auf die mat hematischen Strukturen und den mathematischen Inhalt an sich gerichtet wird, son dern auf das .Vchikek (Geschichte, Puppe), das den Kindern die Inhalte nahebringen bzw. vermitteln soll. Die Geschichte der 5, die Geburts tag hat, hat z, B. dieselbe Bedeutung wie ein Märchen , oder die Puppe ist ein Spielzeug wie jedes andere. Dass es dabei um die Zahl 5 geht, rückt für die Kinder in de n I lin tergrc nd (vgl. Maser O pitz 20 10). Von Krajcwski (2007) wird zude m ange merkt, dass im Zahlenland wichtige Komp etenzen ungenligend gefördert werden, bspw. auf der Ebene der Basisfertigkeiten die Zahlerfassung und auf der Ebene des Anzahlkonzepts die För derung des präzisen Anzahlkonzepts. Ein weiteres Beispiel für solche vermei ntliche n Hilfen findet sich in Abb. (jA ("gI. \'( 'ittoch 1983, 298) für die Beziehungsrelation >kleiner /größer': D ie Zahlsymbole werden aufsteigend nach \\'ert in größerer räumlicher Ausdehnung dargestellt. Auch hier müsste gena uer analysiert werden, wie nützlich eine solche Hilfe tatsächlich ist un d ob Kinder nicht eher verunsicher t werden. Es bleibt o ffen, wie dieses Must er fortgeführt wird: Ist 10 größer oder kleiner als 9? \\'as macht ein Kind in anderen Kontexten, in der diese Großenverhaltnisse

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Zentrale Inhalte de s Mathem atiku nterricht s

anders sind, etwa wen n alle Zahlsymbole die gleiche Große haben oder wen n auf einem Preisschild das Symbol der 1 zu fallig gn')ßer ist als das der 4? \'{ 'eI· chcs )gelern te< Merkmal (räumliche Ausdehnung oder 1 lächtigkeit) ist jetzt dominant? (Zu weiteren kritisc hen Beispielen, auch für andere Zahlenräume vgl. etwa Scherer 1999a, 70 f.; zur Mehrdeutigkeit derartiger D arstellungen \'gl. auc h das Beispiel in H asemann 2007, 40 f.)

01

234 5 6 7 8 9

Abbild ung 6.4 Darstellung der l iffern zur Verdeut lichung der ,Kleiner/größerRela tio n. (nach Wittoch 1983, 298)

Die Verbindung von Fantasiefiguren. Farben 0, }" mit Zahlen kann sich insbesondere flir lernschwache Schule rin nen und Schüler negativ auswirken. Da diesen der Erwerb abstrakter Lern inhalte oft schwerfallt. besteht die Gefahr, dass durc h die beschriebene Vergehensweise eine Fixierung auf die Figurm aus den G eschichten bzw. die Farben sta tt findet un d numerische Vorstellungen nicht aufgebaut werden können . G rundsätzlich stellt sich die Frage nach Fördermöglichkeiten bzw. nach der Effektivität von bestimmten Programmen . So wurde bspw. das Zahlcnland von Priedrich/de Galgocz)' (1004) im Vergleich mit einem anderen Fördcrprogramm evaluiert (Pauen/Pahnke 1008). Kinder, deren E rzieherinnen das F örderkonzept während zehn \'{'ochen einse tzten, machten große Leistungsfortschritte, ebenso eine Gruppe, die mit einem anderen Program m (DaJ kleine 7.ahlenblith) gefö rdert worden war. D a jedoch eine Kontrollgruppe ohne Förderung fehlte, konnte nich t festgestellt we rden, ob die Fortschritte auf die Intervcnrion zutückgefuhrt werden können oder ob es sich um eine natürliche En twicklung handelte (cbd., 105). Zudem geht aus der Beschreibung der Unt ersuchung nicht hervor, ob die Eingangsvoraussetzungen der verschiedenen G ruppen vergleichbar waren. Die \'('irks amkeit von numerischer Förderung im Vorschulalter wurde auch von G rußing/Pcrcr-Koop (2008) und Pc tcr-K oop et al. (2008) öberpröft. Sie habe n eine große Anzahl von Kindern in Kindertages cinrichtungen bezüglich der mathema tischen Vorkenntnisse untersucht und anschließend .Risikokindcr, - Kinder mit \venig numerischen Vora usse tzunge n - wahrend eines halben Jahres gef()rdert. In der einen Gruppe geschah dies als Einzclförderung nach individu-

6.1

Arithme t ik

I 113

cllcn Fordcrplancn, in der andere n Gruppe durch die Erziehe rinne n im .Kita.Alltag<. Inhaltlich lag der Schwerpunkt im Bereich Zählen und Anwendung von Zahlwissen. methodisch wu rd e ve rsucht, an die ..Allrags- und Spielerfahrungen der Kinder anzuknüpfen. Vor Sch uleintritt und am E nde des 1. Schuljahres wurden die Leistungen der Kinder wiede r überprüft. D ie Ergebnisse zeigten insgesam t einen erfreulichen l cisrungsvuwachs der geförderten Kinder, und zwar in beiden Fördergruppen. Insgesam t hatte der Anteil de r Risikokinder abgenommen, obwohl es nach wie vor Kinder mit seh r sch wachen Le isrungen gab. Am deutlichsten profi tiert hatten die Kinde r mi t Z uwanderungsgeschichte. Obwohl auc h in dieser Untersuchu ng keine Kontrollgruppe ein bezogen war, konnten am Ende des 1. Sch uljahres K inder gdestet werden, die nicht am Fiirderprogramm teilgenommen hatten. D iese zeigten signifikant schwächere Leistungen als die .Pörderkindcr, (G rößing/Pcter-Koop 2008, 81). Diese Ergebnisse weisen darauf hin, dass die Auseinandersetzung mit numerischen Inhalten in dcr vo rschulischen Fördcrung Kin dern helfe n kann, fehlende Vo rauss etzungen zu mindest teilweise zu erwer ben, Im näc hsten A bschnitt wird deshalb auf För dermöglichkeiten eingegangen.

Auseinandersetz ung mit math emat ischen Inhalt en und Mustern D as Ziel eines erfolgreichen mat hemarisehen Anfangsunterrichts muss es sein, Kinder an die \'('elt der Mathematik bzw. We lt der Zahlen heranzuführen un d diese mit ihnen zusamme n zu en tdecken. Zentral sind dabei sicherl ich die »Muster der Ma thematik. (Dcvlin 1998; Steinweg 2001). Kind er haben sehr wohl auch Zugang zu abstrakten m athem atischen Mustern, etwa wenn sie Regelmäßigkeiten und Unregelmäßigkeite n in der Zahlwortreihe en tdec ke n, wenn sie schon im Vorschulalter vers uc hen, m öglichst große Za hlen zu nennen und dabei das .Musrco in diesen Zahlwörtern weiterz ufuhren (tausend, hundertrasJend, ze hn 1 Iillionc n-hunderl/(Jf(J"end), wenn sie Sym metrien erkennen oder her stellen, wenn sie mit Plättchen ein Mus ter legen ode r ein geometrisches Muster erkennen bzw. zeichnen, Zu dieser \'('elt der Zahlen gibt es verschiedene Zugänge, eine rseits Alltagssiruacioncn, andererseits dida ktisierte Situationen, in denen Leh rp ersonen die Aus einandersetzung m it mathematischen Inhalten und geeigneten Materialien bewu sst anrcgen .

A II/agiJi!ua/ionen: Kinder setzen sich auch im Alltag mit nu merischen Inhalten ausein ander, etwa wenn sie beim Spielen (ab)zählen, wenn sie im Fahr stuhl, auf de m Tel efon oder auf de r Fernbedienu ng des Fernsehers Zahlen lesen, wenn sie überp rü fen, o b sie gleic h viele Süßigkeiten erha lte n haben wie ein an deres Kind, oder wenn sie nu merische Informationen zum Beschreiben von Situationen nutzen (ilch muss noch d rei Mal schlafen bis zu meinem G eburtstage}. D iese Situationen gilt es zu nutzen, um m it den Kindern über Mathem atik ins Gespräch zu kommen (>Kennst du die anderen Zahlen auf de r Fernbedienung auc h?<, >\\'ie viele Kinder hast du zu deiner Geburts tagsparty eingeladene) oder sie anzuregen, ihre mat hematisch en Ak tivitäten fortzufuhren bzw. wcirerzu-

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Zentra le Inha lte des Mathem atiku nterricht s

entwickeln (bspw. .Schreibc alle Zahlen au f, die du kcnnst-). Dabei ist wichtig, dass die verschiedenen Za hlaspekte berücksichtig t werden. Dies soll nich t in der Fonn geschehen, dass dies von den Kindern explizit gefordert wird, son dem es geht darum, dass die Lehrkräfte über das entsprechende Hin tergrundwissen yerfügen und Unterrichtssituationen sch affen, in denen die Anseinandcrscr auog und Erfahrungen mit verschiedenen Zahlaspekten erfolgen kann (K rauthausen/ Scherer 2007, 10). M öglichkeiten dafür erge ben sich auch beim Einsatz von >gewöhnlichen< Bilderbüchern , die keine spez ifische mat hematikdidaktisc he Intention un d Kon zeption enthalten. In vielen Büchern (und etw a auch im Rahmen freier Spiele) sind mathematikhaltige Situationen gegeben, die beim Betrach ten und Vorlese n mit den Kindern thematisiert werden und zur Auseinandersetzung mi t Mathematik anregen können (ygl. Scherer er al. 2007; van den I Icuvcl-Panhuizcn er al. 2007; "an den Hcuvel-Panhuizen Zvan de n Boogaard 20(8). \'{'ichtig ist, dass Lehrpersonen das .mathcmatischc Po tenzjak solcher Situationen erkennen und dieses in der beschriebenen Art und \'{'eise nu tzen.

DidaktiJierle Situationen: Die referierten Fors chungsergebnisse zur Förderung von Pc rcr-Koop er al. (2008) und Grüßing/ Peter-Koop (2008) weisen darau f hin, dass der mathematischen Forderung in didaktisicrrcn Situationen insbcsondere für Risikokinder Bedeutu ng zukommt. Dazu müssen Materialien ausgewählt werden, die mathematische Strukturen kindge recht repräsentieren. Geeignet sind dazu etwa D arstellungen in Schulbüchern für den Anfangsunterricht (Bilder mit Allragssiruarioncn, Recbcngcschicb rco, Zählbilder usw.). Mittlcrwei le gibt es auch Lehrwerke, die für den Vorschulbereich entwickelt worden sind un d sich auch für den Einsatz mit lernschwachen Schülerinnen und Schülern eignen. Vielfaltige Möglichkeiten zur Auscioaoderscrauog mit mathematischen Mustern bieten das Schulbuc h Kinder be..~e..~nen Mathematik (Keller/ N oelle Müller 2007a) und das Früh förderprogramm Zahlenbufh (Wittmann/Müller 2009a; 2009b) . Heide Förderwerke sind für Kinder ab vier J ahren konzipiert worden. Zu Kinder be..p,{~nen .J lathematik gehört ein großes Bilderbuch mit Bildern von Situationen, die den Kind ern vert raut sind (Schulho f, Schwimmbad. Zirkus, Festplatz, Kindergeburtstag usw.] und die zur Ause inandersetzung mit mathe matischen Inhalten (Zahlen, Mengen, Formen) anregen. Die Kinder können die Bilder gemeinsam betrachten und zählen un d erzählen, was sie sehen. \'{'enn nötig, kann die Lehrperson die Aktivitäten un d das Gespräch durch Fragen leiten (Kd ler/ N od le Müller 20(8): )\'{'as sieht man auf dem Bild?<, ,Was davon kanns t du zählen?< usw. In J)aJ Zahlenbut'h. Spiele ::;!'r Frii~frirdemng 1 und 2 wird Gewicht gelegt auf die Auseinandersetzung mit mat hema tischen Must ern, Das geschieht durch Aktivitäten wie Zeichnen und Leg en von Figur en, Falten, das Erkennen vo n For me n, das Bestimmen von Anzahlen, das Ordnen von Zahlen usw. (Wittmann /Mullcr 2009a; 2009b).

6.1

Arithmet ik

I 11 5

D ie besc hriebenen Materialien lassen sich sehr gtu im Anfangsunterricht an der Fordcrschulc Schwerpunkt Lernen einsetzen und tragen dazu bei, wichtige mathe matische Kompetenzen aufzubaue n.

Förderun g von Zähl kompe tenzen D ie Zählkompetenz stellt für die Za hlbegriffsentwicklung einen zentralen Faktor dar und muss deshalb im Unterrich t besonders berücksichtigt werden, insbesondere auch, weil Zählen kulturell vermi ttelt wird und Kinder mit dem Zählen beginnen, wenn sie es von Eltern , Geschwis tern oder and eren Personen in ihrem Umfel d hören. Mangelnde Zä hlko mpetenz kan n somit auch mit fehlende n E rfahrungen zusammenhängen.

V erbl1/u Ziih/en: Beim verbalen Zählen geht es um die Kenntnis der Zahlwortreihe, ohne dass dabei zwingend Objekte gezählt werden. Einigen Kindern fallt das verbale Zählen leich ter, wenn sie dazu keine Zählhandlungen ausführen müssen, für andere wiederum stellt gerade dies eine I Iilfe dar. Im Unterricht müssen desha lb bcidc l\[öglich keiten angeboten werden . Sorgfaltig geprüft wer de n muss weiter die Verbindung von Zählen mit Bewegungen (Klatschen, Sta mpfen, I lüp fen usw .). \\'enn die K inder den Zä hlprozess spontan mi t rhythmischen Bewegu ngen wie Klopfe n mit dem Fuß od er einer H andbewegu ng unterstü tzen, sind solche A ktivirarcn au fzune hme n und zu unterstü tzen. O ft ist es jedoc h so, dass die Koordination vo n Bewegu ng un d Zählakt eine zusä tzliche Anforderung darstellt und das Zä hlen für die Kinder erschwert. D ie Ver bindung von Zählen und Bewegung ist deshalb ehe r als H erausforderung für K inder zu sehen, die die Zahlwortreihe schon sicher beherrschen. Grundsatzlieh ist wichtig, dass der Z ahle nraum beim Zählen nicht eingeschränkt wird und dass die Schülerinne n und Sch üler angeregt werden, so weit wie möglic h zäh len. Mit Abz ahlversen un d Liedern, in denen die Zahlwortreihe vorkommt, lassen sieh Aktivi täten durchfüh re n, die der Phase der Ganzheitsauffassung im Modell von Fuson (\"gl. Abschnitt )Zäh lkompetenzen<) entsp reche n und wichtig sind für Schülerinnen und Sch üler, die erst wenige Zahlwö rter ken nen . Im Anschluss daran könne n Z ählaufgaben mit unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad un d unterschiedlichen l\[()glichkeiten für die Formulierung der jeweiligen Aufga be gestellt werden (vgl. z. 13. Scherer 200 5a, 54, 128 f.).

•

Zahlwortreihe vorwärts und rückwärts so weit wie möglich aufsagen, Zählen von verschiedenen Startzahlen aus.

•

Fehler im Zählakt erkennen: Die Lehrperson (oder ein Kind) zählt (z. B. vo n 1 bis 20, von 20 bis 40) und macht dabei absichtlich Fehler, die ande ren Kin der müss en die Fehler entdecke n.

•

Zählen in Z weierschritten (oder in einer andere n Schrirrg r ößc) vorwärts und rüc kwärts, mit geraden oder ungeraden Startzahlen.

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Von 5 drei (Schritte) vorwärts, von 10 vier (Schritte) rückwär ts zählen.

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Zentrale Inha lte des Mathem atiku nterricht s

/.iihlen von O,?jeklen/ReJlimm en ron A nzahlen: Beim Zählen von Objekten geht es darum , dass die Schülerinnen und Schüler die Zählprinzipien (vgl. Kap . 5A.:?:) verstehen und sicher anwenden. Ilier können verschiedene l lilfestellunge n ge~ geben werden, indem bspw. darauf geach tet wird, dass die zu zählenden O bjckre gut unterschieden werde n können (z. 13. Muscheln, Steine , K nopfe), dass die Objekte geordnet werden oder dass durch Verschieben deutlich gemacht wird, welche Objekte schon gezäh lt worden sind un d welche noch nich t. \\'ichtig ist, dass in verschiedenen, für die Kinder interessanten Situationen und Kontexten immer wieder die Frage >\\'ie viele sind es?
Keller/Noelle Müller (2007b, 19) schlagen weiter vor, Zählplakate zu gestalten. Die Kinder erhalten bspw. de n Auftrag, aus Versandkatalogen oder \\'erbeprospokten nach eigenen (oder von der Lehrperson vorgegebenen) Kriterie n eine bes timmte Anzahl von Dingen auszuschneiden und auf einem Plakat aufzukleben. »Man könnte Bilder suchen, auf denen immer fiinf ode r acht od er zehn Dinge abgebild et sind«, »Man kö nnte ein Bild suchen, auf dem man einen G egenstand sieht, dann ein Bild mit zwei Gegens tänden, dann eines mi t drei un d so weitere (cbd.). D iese Aktivirären sind von großer Bedeutu ng, da dadurch das präzise Anzahlkonzept erworben werden kann.

Ganzheitl iche Erarbeit ung des Zahlenraums Es wurde dargelegt, dass die Za hlen insbesondere in den sonderpädagogischen Schu lbüchern o ft schrittweise eingeführt werde n. Dies kann den Aufbau des Zahlbegriffs erschweren, weil die Za hlen nachein ander gelemt werden und dadurch die Übersicht über das Ganze und damit über die »natiirlichcn Einhciten« wie den Zwanziger-, Hu nderter- und T ausender-Raum fehlt (Scherer 1999a, SR). \\'cnn die Zahlen von t bis 10 im Kontext des Zehners erarbeitet werde n (\'gl. z. B. fiir die kardi nale Bedeutung Abb. 6.5), können ausgehend von der .Krafr der Fün f, und der .Krafr der 10< zwischen den verschiedenen Z ahlen Beziehungen hergestellt werden.

6 .1

Arit h me t ik

I 117

Abbild ung 6.5 Die Zahlen von 1 bis 10 (Wittmann jM üller 200 7, 8 f.)

Äußerungen zur Darstellung der Zahlen von 1 bis 10, wie sie in Abb. 6.5 zu sehen sind, können bspw. lauten, dass fünf Plättchen in einer Reihe un d zehn Plättchen in zwei Reihen sind ode r dass bei der Vier noch ein Plättchen fehlt, bis die Reihe vo ll ist. \,\'enn der Za hlenra um als .G anz hci« angeboten wird, bedeutet das jedoch nicht, dass die Schülerinnen und Schüler gleich alle Zahlen .kcnnen. müssen. Diese werden auch hier einzeln betracht et, jedoch immer im Kontext der anderen Zahlen . Die Ausführungen haben gezeigt: Damit Kinder Mengen, Zahlwörter un d Zahlsymbole mi teinander in Verbindung bringen kö nnen, brauchen sie eine Förderung bezüglich mengen- und zahlspcaifisc hcr Inhalte. Besonders wichtig ist dabei die Zählkom petenz. Pränu merische Inh alte wie Ordnen, Sortieren, Ein-zu-eins-Z uordnung dürfen nicht als Vor aussetzung zum Arbeiren mit Zahlen betrachtet werden, sondern sind para llel zu thema tisieren. Zum Au fbau des Zahlenraums ist ein Vorgehen anz ustrebe n, das diesen bis 10 bzw. 20 ganz heitlich als Ange bot zur Verfü6'tmg stellt, die einzelnen Zahlen anschließend im Kontext dieser Ganz heit erarbeite t, vielfaltige Zahlbeziehungen thematisiert und die verschiedenen Zahlaspekte berücksichtig t.

6 .1.2

ErarbeilUn g des Ei nmaleins

Im 2. Schu ljahr geht es üb licherweise zunäc hst um die Erweiterung des Za hlen raumes bis 100; für das Verständn is des Aufbaus des Dezimalsystems durch das Stellenwertprinzip wird hier die Basis gelegt. \\'ir werden diese zentrale Th ematik in Kap. 6.1.3 am Beispiel des Tausenderra ums genauer beleuchten. Bei der Erarbeitung des I Iundcr rcr raumcs werden die Operationen Addition und Sub traktion nun auf größere Za hlen übertragen. Dami t einher geht die Entwicklung von Rccbcnstr arcgicn, die zum einen Bezug auf bereits erarbeitete operativc Strategien des Eins pluseins nehme n, zum ande ren aber auch neue, u. a. auf das Stellenwertprinzi p bezogene Strategien und Vergehensweisen nahe legen. Derartige Rechens trategien werde n in Kap. 6.1.4 mit ihren Bezügen zu schriftlichen Algorithmen thematisiert .

118

I6

Zentrale Inha lte des Mathem atiku nterricht s

Ein weiterer wichtige r Inhalt bei der Bearbeitung des l lun dertcrraumes stellt die Einführung der Operationen Multiplikationen und Division dar. Wichtige Aspekte für die Erarbeitung des Einmaleins werden im folgend en A bschnitt ausgeführt. Ein sicheres Verständnis dieser O peration sowie die Automarisierung gewisser Basisfer tigkeiten sind für spätere Inhalte und Lern prozesse zwingend erforderlich . Festzustellen sind hierbei hä ufig, gerade bei leistun gsschwa chen Schülerinnen und Schülern, Schwierigkeiten, die wir im Folgenden kurz skizzieren wollen (vgl. Scherer 2003a; 2005b). Mögl iche Probl em berei che

Autom ati sieru ng Im Vergleich zur Automatisierung des Einspluseins fallt es vielen lernsc hwachcn Schulerinnen und Schülern schwere r, das Einmaleins \'ollständig zu automatisieren, un d selbst in höheren Klassen sind nicht alle Aufgaben verfügbar: Viele Kinder müssen eine Aufgabe wie 6·7 immer wieder neu berechnen, oftmals durch Aufsagen der gesamten Einm aleins-Reihe (I, 14, 21, 28, 35, 42; vgl. auch Lorenz/ Radatz 1993, 138; Sche rer 2003a). Oftmals damit verbunden ist das Fingerrechnen bzw. xahk-ndes Rechnen, wobei diese I Iilfe für die Multiplikation recht anspruchsvoll und damit fehleranfällig ist: Die T eilergebnisse der einzelnen Zählschritte un d der Multiplikator müssen gleichzeitig im Blick behalten werden (vgl. Anghilcri 1997; Krauthausen /Scherer 2007, 14 f.; Scherer 2003a ; Kap. 5.4). D as stellt hohe An forderungen an das Arbeitsged äch tnis. an einen Bereich, der gerade bei lernschwachen Schülerinnen un d Schülern oft beeinträchtigt ist (vgl. Kap. 5.4-. 1)_ Ein Beispiel soll dies illustrieren: Im Rahmen eines Miniprojektes. in dem Pünfrklässlcr der F ördcrschule/Schwcrpunkr Lern en gemessen und berechnet hatten, dass sie in einer Stunde vier Kilometer wandern/laufen können, brac hten sie selbst die Frage ein, wie viele Kilometer sie wohl an einem Tag, in 24 Stunde n, schaffen würden. Aufgaben wie 24-· ... waren im aktuellen Unterricht noch nicht behandelt worden (zur ausführlichen Darstellung vgl. Scherer 1997a). Die folgende Abbildung zeigt zwei Schülerstrategien. Sandrina notierte die Aufgaben von 1-4 bis 2-1-- 4, ohne diese zunächst ausz urechnen (Abb. 6.6 links). Sie begann mit der ersten, vermutlich leichtesten Aufgabe un d bere chnete nach und nach die weiteren Ergebnisse, wobei sie in den Zeilen verrutschte und irgendwann diesen mühseligen \X'eg aufgab . Jan wollte die Aufgabe 24 ' -1- zerlegen in 10' -1- + 10-4 + 4- ' -1-, und auch er berechnete zunächst die Ergebnisse des Einm aleins in tabellarischer Form (A bb. 6.6 rechts). J.eidcr unterlief ihm in der Tabelle ein Fehler, der sich dann weiter durchzog: E r erhielt fiir die Aufgabe 9'4- das Ergebnis 34, das er zwar später korrigie rte; für die Aufgabe 10'4 ging er aber einen Viererschritt weiter un d notierte das Resultat 38.

6.1

Arit h me t ik

I 119

j

g

1

Abbild ung 6.6 Sandrinas (li nks) und jans (rechts) Lösungsstrategien (Scherer 1997a, 39 f.)

Diese beiden D oku mente zeigen. dass eine ein fache Au fgabe wie 10-4, eine sogenannte Kcrn- , Anker- od er Schlusselau fgabe. nich t selbstve rstandlieh un d direkt abgeru fen und noti ert wird. Dies kann im ob igen Beispiel u. a. auf die beschriebene. für die Kind er neuar tige ,-\ufgabe und damit u. U, komplexe An forderurig zurückzuführen sein. \'Cenn \\'issenselemen te automatisiert sind, sollte jedoch genau dies möglich sein. Dass sich eine mangelnde Au tomatisierung negativ auf spä tere mathematische Inhalte auswirken kann. Zl'igt eine Unt ersuchung von Cawlcy ct aL (1998), Hier ging es vorrangig um Testleistun gen bei den schri ftlichen Algorithmen (im T ausender- und Z ehntauscnder-Raum). wobei Bezüge zu den Hasisfertigkeiten hergestellt wurden. Die Teilanforderungen der am häu figsten falsch gelösten Au fgaben (schriftlicher Algori thmus) wurden in Einzel aufgaben umgesetzt und genaue r unt ersuch t. Die Aufgabe 4%,348 wu rde u. a. in folgende Einaelaufgaben, die ggf, zur Berechn ung der Ausgangsaufgabe no twendig wären . zerlegt: 4 ' 3, 4'4,4 ' 8. 9'3.9 '4, . ..• 49 ,3, 49, 4.49, 8, . ' .• um auf diese \'{'eise die Ver fügbarkcit der Basisfertigkeiten zu üb erprüfen. Es zeigte sich hier beim Vergleich lern schwacher un d durchsch nittlicher Schülerinn en und Schü ler. dass Nachteile

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Zentrale Inha lte des Mathem atiku nterricht s

insbesondere bei den Basisfer tigkeiten des Einmaleins bestanden. Beim Vergleich 12- / 13-/1 4-jähriger Schüler los ten fast alle durchschnittlichen Schulerioncn und Schüler diese Aufgaben problemlos, während die Lernschwachen eine erhöhte Fehl errate zeigten.

Beziehun gen zwischen einzeln en Aufgaben Au fgaben wie 6· 7 oder 9 ·7 werden nicht von einfacheren Au fgaben (5' 7 bzw. 10' 7) abgeleitet, Bei lerns chwachen Schülerinnen und Schülern werden mei stens keinerlei Stüt zpunktvorstellungen zu den Kemaufgaben genutz t, wie auch im Beispiel von Sandrina und Jan deutlich wurde.

Rechengesetze Auch Rechengesetze wie etwa das Komm utativgesetz werden nicht ge nu tzt: Stellt man Kindern die Aufgabe 6 ' 7 und nach er folgreiche r Berechnung so fo rt im Anschluss die Au fgab e 7 ' 6, so be rechnen nicht wen ige diese Aufgabe wieder völlig neu. Beto nt werden soll hier, dass diese Schwierigkeiten nicht unbedingt als Merkmale der Schü lerinnen und Schüler zu verstehen sind , sondern auc h Folge des erlebten Unterrichts sein können. \,\'enn bspw. das Einmaleins in einer eh er klcin schrittigcn Un terrich tskonzep tio n erarbeitet wird (E in ftihn mg un d Durcharbeitung der Einmaleins-Reihen isoliert voneinander), dan n lerne n die Kinder die Aufgabe 7 ·6 in der (icr-Reihc und zu einem and er en Z eitpunkt die .I\ ufgabe 6·7 in der 7er-Reih e. D ass die Schüler die Beziehung dann nicht nutzen, mag nicht verwu ndern . Er fahru ngen ...eigen zud em , dass selbs t ein e im Schulbuch vo rgeschlagene ganzheitliche Konzeption zu r Erarbeitung des Einm aleins nich t unbedingt vo n Lehrp ersonen umgesetzt wird und manche die eher traditio nelle, kleins chri ttige E rarbeitung bevorzugen .

Erweiterungen Erweiten mgen zum sogenannten Stu feneinm aleins werden d urch eher me chanisch es Ausnut zen von Regeln vollzogen: Für die Au fgabe 3·60 wird bsp w. die Einm aleinsau fgabe 3 ·6 herangezogen und eine Regel abgeleitet: -Fiir das neue Ergebnis muss eine N ull angehängt wcrdcn.. En tsprechend werden bei der Aufgabe 30·60 zwei Null en ange hängt ()l\ ddiere die Anzahl der N ullen bei de n Faktoren und hänge genauso viele N ullen beim Ergebnis an) . Solch eine eher bedeutungslos verinnerlich te Regel kann Schülerinnen und Schüler aber in Verwi rrun g b ringen , wenn das Ergebnis der ursprü nglichen Einm aleinsaufgabe schon eine Endnull aufweist: Soll bspw. 50'60 berechnet werden, kan n de r Rückgr iff auf 5'6 ::: 30 er folgen . Viele Kinder notieren als E rgebnis fi il schlieherweise 300 un d berücksich tigen nicht, dass bereits das ursprü ngliche Erg ebnis eine E ndnull aufwies (vgl. Scherer 2003 a; Moscr Opitz 2007a, 197 E). Bei weiteren Rechnungen über 1000 hina us un d damit einhergehend einer größeren A nzahl von N ullen können sich diese Unsicherheiten verstärken,

6 .1

Arit h me t ik

I 121

Wechsel der Repr äsent at ionsebene Rückübersetzungen au f die anschauliche Ebene gelingen häufig nicht mehr. So sind viele lernschwache Schüleri nne n und Schüler nicht in der Lage, eine rein symbolische Aufgabe wie 7 ' 8 am Punktfeld zu veranschaulichen oder eine Kontextsituation zu diesem Zahlensatz anzugeben. Symbolische und anschauli che bzw. handelnde Ebenen sind für manche Ki nder zu unterschiedlichen, völ lig voneinander cutkoppelten \',;;'elten gewo rden. \'{'ir wollen nu n einige zentrale Schritte bei der Erarbeitung des Einmaleins konkretisieren und zunächst die zugehörigen Grundvorstellungen beleuchten: Als Grundvorstellung der Multiplikation liegen verschiedene Modell e vor: das zeitlich -sukzessive Modell, das kombi natorische Mode ll sowie das raumlie hsimultane Modell (vgl. Krauthausen/Scherer 2007, 27 ff.). Dabei wurden die beiden erstgenannten Modelle lange Z eit bevorzugt. Inzwischen findet überwiegend das räumlic h-simultane Mode ll in Schulbüchern Verwendung. Sein Vorteil ist, dass es verschiedene Vera nsch aulichungen der Multiplikation zulässt wie lineare Darstellungen, Zahl- oder Wü rfelbilde r. zusammengefasste Mengen und Punktfelder (vgl. \'\'ittmann/I\ [üller 1990, 108 f.). So kann die Aufgabe S'4 bzw. 4 ' S bspw. durch vier Ser-Bün del od er fün f -tcr-Bündcl dargestellt werden (Abb. 6.7 oben, unten) oder aber durch Felderstrukturen (Abb . 6.8 links, rechts).

• ••• •• •• • •• •• ••• • •••

... ... .

: •• ••• •• • • ••

Abbildu ng 6.7 Darstellun g der Auf gaben 5· 4 (oben) und 4 · 5 (unten) durch Bündel

•••• •••• •••• •••• ••••

••••• ••••• ••••• •••••

Abbildung 6.B Darstell ung der Aufgaben 5 ·4 (links) und 4 · 5 (rechts) durch Punktfel-

'oe

12 2

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Zentra le In ha lte d e s Mathem ati ku nterricht s

D abei spricht ein e Reihe vo n l\ rgumenten für die Verwendung von Feldern (vgl. \'\'ittmann/i\lüller 1990, 109; auch Scherer 200 5b, 58 f.; Sclrcr 1994a, 86 f.): Zahlreich e multiplikative Muster des tägliche n Lebens haben von sich aus die Felderstruktur (z. B. Flaschenkasrcn, Eierkartons. Malkasten, Regale , Fc nstcrfronten}. So bringen die Schülerin nen und Schüler verschiedene Erfahrungen aus ihrem Erfahrungsbereich mit, die aufgegriffen und für die weiteren Le r npro zesse genutzt werden kö nne n. •\ u fgrund de r leichten Umin ter preticrbarkci t der beiden Faktoren lassen sich an Feldern am besten Ccscrzmaßigkeircn entdecken und veranschaulichen. Insbesondere können an ein und demselben Feld Aufgabe und Tauschaufgabe abgelesen werden: Ein solches Feld xcileuweise zu lesen (.,)·4- r eld wird interp retiert als fünf Vicn-rzr-ile-n), ist lediglich eine Konvention, und auch die sp altenweise Deutung ist möglic h (s. u.). Felder betonen außerdem im Gegensatz zu linearen Anordnungen die E igenständigkeif der Multiplikation gege nüber der Additio n und führen zur Vera nschaulichung von Produkten mithilfe vo n Flächen. Darüber hinaus können die durch das Feld definierte Malaofgabc und ihr Erge bnis ökonomisch bestimm t werd en.

Wichtige Etappen bei der Behandlung des Einmaleins \'\'ie bereits anfangs festgehalten. ist die A utomatisierung des Einmaleins als langfris tiges Ziel zu sehen. Der Weg dorthin ist dabei von entscheidender Bedeutung und soll im Folgenden kurz skizziert werden. 'x'csentlich ist, dass die Schülerinnen und Schüler sich auch diesen Inhalt in aktiv-entdeckender Weise aneigne n (vgl. Kap. 3.1) und schon bei der Einführung ihre individuellen Sicht weisen einbringen können. Für ein erfolgreiches Lösen, auch zunächs t unbekannter Aufgaben, erscheint es wesentlich, gerade lernschwache Kinder zu eigenen \'\'egen zu ermuntern. D iese sollten im Unterricht explizit thematisiert un d besprochen werden. Nur so erfahren diese Kinder, dass sie se/b-,1 Aufgaben oder allgem ein Probleme mit eigenen Idee n lösen können. D ie Einsicht in vielEiltige Beziehungen kan n grundlegendes Verständnis sichern, erleichtert das Erlerne n, Verinnerlichen und Behalten und trägt somit zu einer erfolgreichen Automatisierung bei (vgl. Anth on y/Knighr 1999; Calkins 1998, 2 1 und die do rt angegeb. Literatur; Schippcr 1990, 22; vgl. auch K ap. 5.2).

Verstä ndnisbasierte Einführung mit vielfältigen Bezügen G eneren ist es im Mathem atikunterricht wichtig, Beziehungen zwischen Za hlen, Aufgaben un d zwischen den versc hiedenen Operationen sehen und nutzen zu lernen. Solche Beziehungen m üssen im mer aktiv vorn Individuum konstruiert werden; sie werden auch nicht aut omatisch ausgebildet, sondern müssen d urch geeignete Aufgabeosrellungcn ausdrücklich herausgefordert werden . Im 1. Schuljahr werden üblicherweise Beziehu ngen zwischen Operationen herausgearbeitet: D ie Beziehung zwische n Addi tion und Subtraktion sollte durch die Reversibilität, das Rlickgingigmacht'n der Operationen, angesprochen werden, d. h., die Umkebmpera tion wird durch Aufgabe und Um kehrau fga be thc -

6.1

Arithmetik

I 123

matisicrt. Bei der Einführu ng der Multiplika tion (dem ncucn Le rnsto ff ist dariibcr hinaus auch die Beziehung zur Ad ditio n (dem bekannten Lemsroff) zu erar beite n (vgl. auch Scherer 200.3a). \,\'ie bereits oben verdeutlicht, können für eine n ganzheitlichen Einstieg in die Multiplikation mit dem Fokus des räumlich -simultanen Modells reale Objekte mi t Feld erstruk tu ren genutz t werden, Eine ers te Aktivirar wäre, die Aufgaben zu ne nnen und zu notieren, die die Schülerinnen und Schüle r in de n jeweiligen O b jekten sehen (vgl. hierzu etwa Kobd/ Doebdi 1999; Müller 1990; Sclter 199.fa; Sche rer 2002; 200 5b). Z u einem (eher ungewohnten) Her- Eierkartön no tier ten Forderschiilerinncn und Fordcrsch ulcr bspw. die Aufgaben, wie in Abb. 6.9 gezeigt.

Ab b ild ung 6.9 Sichtw eis en zu einem 8er -Eierk arton

\'\'esentlich bei dieser Aktivität ist das Verdeutlichen der jeweiligen Sichtweise durch Einkreisen (am Bild) bzw. Umfahren der Tei le bzw. G rup pieru ngen (am realen Objekt). So können die Schülerin nen und Schüler erkennen, dass zu ein und derselben Sichtweise unterschiedliche N ota tionen geh ()ren können : .f Eier und .f Eier zu sehen, kann als .f+.f oder aber als 2 m al .f bzw. 2' .f notiert wer de n. D ies macht eine zentrale Beziehu ng zwische n Addition und Multiplikation de utlich. Einige Sichtweisen können nur additiv und nicht multiplikativ notiert werden: Diese verkürzte Notationsform kann lediglich bei gleichen Summande n gewählt werden, nicht aber bei unterschiedlichen Summanden (z. B. 6+ 2 oder 5+3). D ies muss explizit the m atisiert werden. Beto nt werden soll an dieser Stelle ooch einmal, dass die mathematische Stru ktur erst durch einen geistigen Akt in eine solche Darstellung hineingelesen wird: »Es gibt keinen direkten \\'eg von Vcranschaulichungsmittcln zum Denken des Schülcrs« (Lo renz 1995, 10; vgl. auch K ap, 5,3). Gerade in einer solchen Einstiegsphase ins Thema Multiplikation kann es Diskrepanzen geben zwischen dem Bene nnen vo n Au fgaben und der zugehörigen Notation: Eine Fordcrschulcrin äußerte zu einem .f·5-Briefm arkenbogen: »lch sehe die Aufgabe 20 mal die 1((, und begann anschließend mit der N otation 1+1+1+1+1+ . . .. In ihrer Vorstellung no tierte sie 20-mal eine 1, aber eben in

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Zentrale Inhalte de s Mathem atiku nterricht s

additiver \X'eise. Derartige Schwierigkeiten zu Beginn eine s Le rn pro zesses sind nic ht unbedingt als problema tisch anzusehen, sondern können hilfreich sein, um das Spezifische eines ncucn In halts, hier der Multiplikation und ihrer N otation (als vcrkurzrc Addition), herauszuarbeiten . Insgesam t sollen die Schülerinnen un d Sch üler verstehen, dass zu ein un d derselben Anordnung, allgemein zu eine m Diagramm, ganz unterschiedliche Sich tweisen existie ren (zu dieser strukturel len Mehrdeutigkeit vgl. Steinbring 199-l-; s. u. Vemetzung verschiedener Rcprascn ta tionsc bcnen). D ies ist gerade auc h im l linblick auf das Verste hen von Rechengesetzen usw. wichtig. Im vorliegenden Fall kann diese Einsicht außerdem zum Finden weiterer Aufgaben verhelfen (,Kannst du 10 + 10 auch als l\Ialau fgnbe sc hrcibcnö). D er Übergang zur ko nveutionellen Sichtweise (etwa das zeilenweise Lesen eines Feldes) sollt e erst zu einem sp äteren Z eitpunkt erfolgen. Fok ussiert man zu früh auf solche .Endformcn-, wird die Einsicht in die vieWiltigen Beziehungen und damit die Fle xibilität nicht gesichert oder manchm al gar nicht erst aufgebaut. Nur wenn eine cagfäbige Ve rbindung zwischen eigenen Vorstellungen, Strategien und K on ventionen gescha ffen wird, besteht die Chance, Flexibilität im Mathematikunterrich t zu entwickeln und zu erhalten. Sinnvoll für die Einführungsphase ist auch die umgekehrte Übung: D ie Voranschauliehurig eines bestim m ten Za hlensatzes (Abb . 6.10, z. B. Veranschaulichen der Aufgabe 3--l- mithilfe von Plättchen]. D abei kann die symbolische D arstellung sowohl auf die ikonis che (d urch Bilder) als auch auf die cna krivc (durch IIandlung) Ebene übersetzt werden; hier ist ebenfalls das Einkreisen oder allgemein das Verdeutlichen der Faktoren empfehlenswert. Unter den D arstellun gen der Schülerinnen und Schüler kö nnen sich neben Felderstrukturen auc h lineare oder unstrukturicrte Anordnungen finden (Ab b. 6.10). D iese D arstellungen sind alle korrekt; für unterschiedliche Zwecke ist die eine oder andere D arstellung aber mehr oder we niger effizient, der Übergang zu Konventionen erfolgt jedoch erst spä ter (s. o.). D a die Felderstru ktur eine zentrale Bedeutung hat, sollte diese von allen verstanden und in jedem Fall auch nachgelegt werden. Auch hie r zeigt sich, dass ein und derselben Anordnung (vgl. die mittleren beiden Darstellungen in der unteren Ze ile) unterschiedliche Sichtweisen zugrunde liegen k önnen. • • • • 1 • • • • 1• • • •

• •y• •

• •1• •

••••

I:

•••• • •••

Abbildung 6. 10 Von Kindern mit Plätt chen gelegt e Malaufgaben zu 3 · 4

6.1

Arithmet ik

I 125

Zur weiteren Erh()hung der Flexibilität kan n auch das Finden von Rechengeschichten bzw. das Au ffinden vo n realen Situatione n zu einer gege benen Aufgabe beitragen (z. B. D r(>ge 1991; \"gl. auc h Kap. 6.2).

Operat ive Dur charb eit ung Nach vielfältigen einführenden Übu ngen geht es anschli eßend um die operative D urcharbeitung, d. h. das systema tische I Icrausarbcircn von Beziehungen. Flexibles Rechnen bzw. allgemein die Flexibilität im Umgang mit Zahlen sind ein wesentliches Ziel des Mathcmatikunrerrichrs. Beim Einm aleins geht es um die Beziehungen inne rhalb der O peration, aber auch um Beziehungen zu anderen Operationen. Vemetzung von Aufgaben inne rhalb einer Operation: Die Beziehung zwischen Aufg aben innerhalb einer Operation kann un d soll durchaus au f den verschie de nen Repräsen tationsebenen verdeutlicht werden. Z u den wich tigen Beziehungen zählt einerseits das Kom mutativgesetz (vgl. auch Barocdy 1999; McIntosh 1971; Schipper 1990): Die Kinder sollten erfahren un d verstehen, dass zu l\ ufgabe un d zugehiiriger T(JJ(s(h(J~{g(Jbe das gleiche Ergebnis gehiirt (\"gl. auch die einführenden Übungen ob en). Dies kann spontan von den Kindern gefunde n (im Beispiel des 8er-Eierkartons: vier ma l zwei Eier oder zwei mal vier Eier, 4· 2 = 2' 4) und ansc hließend besproc hen werden. Finden die Schü lerinnen und Schüler diese Au fgaben nicht auf Anhi eb von sich aus, bietet die Tb cmarisicrung dieser Beziehung die Möglichkeit, weitere Aufga ben au fzufin de n (;h nde und zeige die T auschaufgabe zu 5' 4 oder zu 20 · 1!,). Im Vergleich zu linearen Darstellungen bietet die Felderstruktur die Möglichke it, Aufga be und T auschau fgabe in ein und derselben Darstellung zu repräsentieren (\"gl. Sche rer 2005b, 58; \'\ 'ittmann!Müller 1990, 109; Abb. 6.8). Manchmal können die in Schulbüchern verwendeten Fclderdarsrclluogcn diesen Verstehensprozess aber auch erschweren (Abb. 6.11).

... ...

•••• ••• •••• ••• •••• ••• 5·

~

8 -= -~_...

Abb ildun g 6.1 1 Felderdarst ellungen zur Mult ipl ikat ion (Klauer 199 1, 211, 22 3)

Die linke Darstellung in Abb . 6.11 nutzt nicht die .Kra fr der 5<, son dern wählt eine Zäsur nac h vier Punkten, was zu erheblichen Verwirrungen führen kann .

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Zentrale Inhalte de s Mathem atiku nterricht s

Bei beide n Darstellungen ist kritisch anzumerken, dass Aufgabe und zugehörige T auschaufgabe nicht die gleiche Art der Darstellung haben (links wird zcilcuweise abgelesen, rechts müssen die halben Zeilen abgelesen und zwei Päckchen erfasst werden). I Iier sind Lehrpersonen gefordert, ungeeignete D arstellungen zu identifizieren und ggf. auszutausc hen, in jedem Fall aber durch angemesse+ nc rc zu eq.,>anzell. A uf dem \'\'l'g zum Erlernen und Verinne rlichen aller Einmaleinsaufgaben kommt auch den .i\ rl1thbl1raujgl1ben eine besondere Bedeu tung zu. Die Schülerinnen und Schüler können leichte, möglichenveise schon automatisierte, Aufg aben nutzen, um sich anspruchsvollere Aufg aben abzuleiten: Allgemein ausge+ druckt: "Die Schüler müssen I...) die gru ndlegende Strategie lernen : Schwierige Aufgaben löst man übe r geeignete leichte Au fgaben- (\'i/inter 1996a, 43). Viele Kinder haben bspw. frühze itig die Quadratzahle n automatisiert, da vermut lich deren Struktur einen besonderen Reiz ausübt. Ist u-u = 3u schon verinne rlicht, lässt sich die Aufgabe 7· (j herleiten (7·u = (j·u + l ·u = 36 + 6 = 42; vgl. auch Haroody 1999, 182). \'\'ichtig ist, dass dies nicht nur formal geschi eht, sondern auch auf der anschaulichen Ebene verdeutlicht wird (Abb. 6.12).

..... ••••• •••••

•••• •••• •••• •••• •••• '

•••••

Abbildung 6. 12 Ableiten von 7 ·6 aus 6 ·6 , dargestellt am Punktfeld

Analog können alle Aufgaben des Einmaleins aus den sogenannten kurzen Rcihen oder Kernaufgaben (Wirtma nn/Mullcr 1990, 115 ff.; auch T er I leege 1985) abgeleite t werden (etwa 7·3 aus den Aufgaben der kurzen Reihe 5·3 + 2·3 oder 9·8 aus den Aufgaben 10'8 -1'8). Auch diese Strategien zur I Icrlcitung neuer Aufgaben sind nicht als Schema tismus zu verstehen, son dern müssen von den Schülern aktiv konstruiert werden. Zudem ist wichtig, dass Strategien flexibel angewendet werden: So kann die Aufgabe 4 ' 8 abgeleitet werden aus den Au fgaben 2'8 + 2'8 oder aus 5'8 - 1'8 oder du rch Verdopplung des E rgebnisses der Aufgabe 2'8 entstehen (z. B. Anthon y/ Knight 1999,3 1).

6.1

Arithmet ik

I 127

Als operative Beziehungen sollten in jedem Fall auch die elementaren Strategien des V erdoppeln! und Halhierens angesprochen werden (vgl. To r l Iccgc 1999): crwa das Verdoppeln und H albieren des ersten Faktors (Multiplikator) bei gleichem zweiten Faktor (z. B. 2' 4- = H; 4 '4- = 16; H·..j. = 32) oder auch das Verdop peln un d l lalbicren bei konstantem Ergebnis (Ko ns tanz des Produkts, z. B. 4 . 6 = 8 . 3). D iese Strategien sind wichtig, um weitere Aufgaben ableiten zu können. Zudem haben Mabbo n / Bisanz (2003, 1098) nachgewiesen, dass Aufgaben mit dem Faktor 2 (d. h. verdop peln) und 5 (als Hälfte von lO-mal) schneller gelöst werden als z. B. Aufgaben mit dem Faktor 3 und 4. Auch dieses Ergebnis weist au f die Bedeutung des Verdoppelas un d l lalbicrcns hin. D ie jeweiligen f\ llfWllw n sollten nich t nur auf der symbolischen Ehr-ru- gdiisf, son dern auc h an Punkt fcldcrn oder linearen D arstellungen (durchaus auf unterschiedliche Weise) veranschaulicht werden. D ie Schülcrinnen und Schüler sollten möglichst auch versuchen, die Gemeinsam keiten der jeweiligen Aufga benpärchen zu beschreiben und zu begründen. Wichtig erscheint, auch Aufgaben mit 0 zu integrieren, um nich t langfristig Fehlvo rstellungen entstehen zu lassen. G erster (1989) vermuret, dass Fehler mit der Null nach dem Einführen der Multipli katio n häufiger auftre ten und die Kinder in Analogie zur Addition und Subtraktion bspw. 3'0 3 rechnen. Hier sollte vermieden werden, dass die Kinder sich Regeln ohne Bedeutung (z. B. .Drei mal N ull ist Null.) aneignen. Dies kann erreicht werden, wenn Au fgaben. in denen eine Null vorkommt, bewu sst au fgenommen und diskutiert werden.

=

Vert iefende Übungen Im weiteren Verlauf des Lernprozesses sind vielfaltige Aktivitäten zur Vertiefung des Einmaleins denkbar. D iese können bspw. in Fo rm operativer Päc kchen, substanzielle r Aufgabenfo rmate oder auch sinnvoller spielerischer Akrivitäten substanzieller Aufgabenformare realisiert werden (vgl. z. B. Sche rer 200Sb, 68 ff.; Verboom 2002; Wirtmann/Müller 1990, 133 ff.). Bedacht werden sollte, dass auch bei Aktivitäten, die vorrangig auf der symbolischen Ebene du rchgeführt werde n, die Verne tzung der verschiedenen Rcp räscntationscbcnen mit einzubeziehen ist: D iese Vernerzeng ist nicht als Einbahnstraße zu verstehen im Sinne des Ziels, vorrangig auf der symbolischen Eb ene operieren zu können. Im Math ematik unterricht sollen Schülerinnen und Schüler auch in der Lage sein, symbolische D arstellun gen zu d ecodieren , d. h. flexibel zwischen verschiedenen Rep räsentationsebenen hin und her wechs eln können. Da bei sind die Übersetzungsprozesse wiederum aktiver Natur und müssen von den Sch ülerinnen und Schülern selbst kons truiert werden. Auch bei solchen Übersetzungen ist die Mehrdeutigkeit zu berüc ksichtigen, d. h . zuzulassen, aber ggf. auch explizit zu provo zieren. D ie Le hrp erson muss sich generell der Mehrdeutigkeit von Darstellungen, Sprache oder auch Ilandlungen bewusst sein (\"gl. auch Kap. 5.3).

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Zentra le In ha lte d e s Mathem atiku nterricht s

Au t omati s ie run g

G erade bei einem Inhalt wie dem E inm aleins gerät leicht das Automatisieren in den Blick, jedoch ist vor einer vorschnellen Automatisierung zu warnen. A uch wenn als lang fristiges Ziel das geläu fige Beherrschen einer Grund fertigkei t wie der des Einmaleins, d. h. dessen Automa tisierung zu sehen ist (vgl. z. B. Anthony/Knight 1999, 29 f.), so ist damit nicht ein einseitiges Abru fen von Aufga ben (vgl. auc h Calkins 1995; Mc l n rosh 1971) im Sinne des bloßen Abs pcichcrns isolier ter Einze lfakten gemeint (vgl. auch K ap. 5.2). D as flexible Er fassen und Anwenden von m ultiplikativcn Situ ationen und D arstellungen so wie das Ausnutzen von Beziehungen - und dies von Anfang an - stellen da bei eine zentrale Vo raussetzung für das Autom atisieren dar. D ies wird da bei keineswegs vernachläss igt, aber eben auch nicht vorschnell zum Lem gegenstand gemacht. D er \'\'eg über das Verstehen und flexible Ausnutze n zentraler Beziehungen fördert insgesam t den Automatisieru ngsprozess (Anrhony/K niglrr 1999, 29) . Es geht dann eben nicht nur um bloßes Auswcndigl cmen, sondern um ein verständnisvolles Verinnerlichen, was auch die Reko nstru ktio n vo n Ve rgessenem ermöglicht. G ru ndsätzlich ist zu berücksichtigen, dass lernschwache Schülerinnen und Schü ler bezüglich des Automatisicrcns von Malaufgaben unter schiedlich weit ko mmen werden. \'{'ährend es einigen Lernenden gelingen wir d, das gesam te Einm aleins zu automatisieren, wird es andere ge ben, die nur auf einen T eil dieser Aufgabe n flexibel zugreifen kö nnen (z. B. au f die Kerna ufgaben un d einige davon direkt abgeleitete Aufgaben). Auch solche T eilkenntnisse sind jedoc h eine wichtige G run dlage für den weiteren mathematischen Lern prozess und sind insgesam t als wic bcgcr zu bewerte n als auswendig gelern te Einmaleinsreihcn. In diesem Kapitel wurden wesentliche As pekte für einsichtiges un d flexibles Rechn en am Beispiel der Multip likation, ausgehend vo n Fcldcr stru kturcn, verdeutlicht. Z u berücksich tigen sind daneben die verschie denen Grundvorstellungen zur Multiplikation, weitere Darstellun gsm öglich keiten zu den jeweiligen G ru ndvorstellungen oder auch das Spannungsfel d zwischen Anwendu ngserientierung und Stru ktu ro rientie ru ng (vgl. 1[S\\' 200S b). E ine wichtige Rolle spielen die Arbeitsmittel und Veranschaulich ungen, um Strategien und Beziehungen zu zeigen, aber auch um Vorgc hc nswei scn zu beschreiben und zu begrü nden . ' x'circr soll die Versprachlichung, an band von D arstellungen oder Symbolen, ein durchgängiges Z iel des Mathem atikunterrichts sein . D ie Flexibilität kann auch gefö rdert wer den, indem eine Aufgabe b xw. eine m athematische Beziehung in vielfaltiger We ise ausged rückt wird: )12 geteilt durch -1- ist 3< o dcrö m al -1- ist 12< oder )12 ist in der 4c-r-Rcihe oder )12 ist in der Scr-Reiho .. . (\'gl. Mc ln tos h 1971, 2; auch Calkins 1998, 20 f.). Berücksich tig t werden müssen siche rlich auch weitere Basisfert igkciren, die für das Lösen von Multiplikation saufgaben sowi e für die D ivisio n wesentlich sind:

6.1

Arithmet ik

I 129

D ies sind etw a das Zählen in Schritt en, die Addition und Subtraktion im Zwanzigerraum oder auch das simultane bzw. strukturierte Erfassen von Punktm ustern ode r ähnlichen D arstellungen (\"gl. hierzu bspvv. K ap. 5.4 oder 6.1.1). Nicht unterschätzt werden sollte die Auswahl des Z ahle nmaterials: Um einerseits den individuellen Leistungen gerec ht zu werden, empfiehlt sich die Varia tion von leichten un d anspruchsv olleren Aufgaben. Dies kann u. a. durch sogenannte offene Aufga ben realisiert we rden, zudem natü rlich auch durch Aufga ben mit I (als seh r leich te) oder Aufgaben mi t 0 (als wer meintlieh. anspruclisvo lle l\ ufgaben). D ie vorher disku tierte häu figer anzutreffende Fehlvorstellung 3'{) = 3 (m(lglicherweise als Analogie zur Addition) kann unter Nutzung des Kontextes besprochen werden (vgl. bspw. in A bb. 6.35 die D arstellung des \\'urfspicls, in der etwa der Bereich außerhalb der \\'urfscheibe mit 0 bczeichnct werden kon nte). D arüber hinaus sollten aber auch durc h das gewählte Zahlenmaterial die wesentlichen Beziehu ngen wie Ta uschaufgaben. Um kehraufgaben und abgeleitete Aufgaben exp lizit geübt werde n.

6.1.3

Dezimale s Stellen wertsyst em

Im 3. Schuljahr stellt die Behandlung des T ausenderraums einen der wichtigs ten Lerninhalte dar. Bisher erworbene Ke nntnisse zum dezimalen Srcllcuwcrtsystem aus dem Zahlenraum bis 100 werden erwei tert bzw. auf den ncucn Za hlenr aum üb ert ragen un d dadurch ver tieft. D ie Einsicht in die dezimale Stru ktur des Tausenderraums ist Voraussetzung für das Vers tändnis des Zahlsystems allgemein und um die G run doperationen auf grüßere Za hlen übe rtragen zu können. Wir zeigen in diesem K apitel am Beispiel des Tausenderraums einerseits die gru ndlege nde Bedeutung des dezimalen Stellenwertsystems au f und weisen an dererseits auf wichtige Aspe kte bei der Era rbcitung hin. D iese Hinweise gelten grundsä ralieh auch fiir die kleineren und größeren Zahlcnräume, und wir werde n an den entsprechenden Stellen einzelne Beispiele dazu einfügen. Zunächst werden die Bedeutung des dezi malen Stellenwertsystems und einige Forschungsergebnisse aufgezeigt. Am Beispiel der G rundp rinzipien .fongcserarc Bundclung, und -Srellenwcrtprinzipe folge n anschließend Ausführungen zum de kadischen Aufbau des Zahlsystems und zu häufig auft re tenden Schwierigkcircn. D arauf aufbauend werden Folgerungen für die Förderung abgeleite t. Bedeutung des dezimalen St ellenwertsystems

D ie D arstellung von Zahlen im dezimalen Stellenwe rtsystem ist nicht nur ein äußerst wichtiger Lernin halt der G rundschul marhematik, sondern stellt auch eine zentrale mathematische Grundidee dar (vgl. z. B. \'('inter 2(X)l ; \\ 'ittmann 1994). »Das Besondere, Fundamentale an der Srcllcnwendarsrclluog von Zah-

130

I6

Zentra le Inha lte des Mathem atiku nterricht s

lcn als Sym bolik ist ihre höchst effizien te System atik. Mit einer endlichen Anzahl von Ziffern (in un serem D ezimalsystem zehn) kann jede Zahl (bis ins Unendliche) unter N ut zung des Schreibraumes (Stelle) eindeutig dargestellt wer-

den, (cbd., 2). \'('enn Schülerinnen und Schüler nicht bzw. nu r teilweise üb er Einsich t ins dezim ale Stellenwertsystem ver fügen , fehlen wichtige Voraussetzungen für erfolgreiche arithmetische Lernprozesse: das Verständnis von Zahlen und damit verbunden die Basis für den E rwerb der G run doperationen (m ündliches Rechn en, halbschri ftlich es Rechnen, schriftliches Rechne n; vgl. auch Kap. 6.1...1-); das Verst ändnis von großen Za hlen , Z ahlvorstellungen , D ezim alzahlen und Gn')· ßen; die Basis für das Schätzen, Übersch lagen und das Runden von Zahlen kurz die G ru ndlage für arithmetisch es Lernen überhaupt (Cawlcy er al. 2007, 2:2; Scherer 2009a; Sehrnassma nn 20(9).

Einige Forschungsergebnisse In einer Reihe von Untersuchungen wurde die Bedeutu ng des dezimalen Stellenw ert systems fiir den arit hm etisch en Le rnprozess nac hgewiesen. Carpcnter ct al. (1997) haben aufgezeigt , dass Schülerinnen und Schüler mit gu ten Kenntnissen des dezimalen Stellenwertsystem s wen iger Fehler beim Ad dieren und Subtrahieren machten und vielfaltigere Strategien anwendet en als Le rnende mit sch lechter en K enntnissen. ,\ hnliche Ergebnisse liegen von l Iiebert/Wearne (1996) vor. Sie wiesen nach, dass eine spez ifische Forderung bezuglieh der Ei nsicht ins D ezimalsystem länger fristig zu einer Lcisrungsvcrbesscruog in Mathem atik führt. A uch aus dem deutschsprachigen Raum liegen mehrere Studien vor, die die Bedeutung des dezimalen Stellenwertsystems für den arithmetischen Lern pro zess hervorheben. Moscr Opitz (2007a, 2 17 f.) hat in einer Untersu chung mit lern schwachen Schülerinnen und Schülern und einer Vergleichs gruppe ohne Reehens chwache in Klas se 5 un d 8 aufgezeigt, dass die K enntnis des D ezim alsystems eine n zentralen Prädiktor für die Mathem atikleistu ng im ent sprec henden Schu ljahr darstellt. Schülerinnen und Schüler, die Aufga ben aus der G rundschulmath em atik zum Bündeln, Entbündeln, zur Stellenwert tafel un d zum teilweise beschri fteten Z ahlenstrahl nicht bzw, feh lerh aft losten, gehiir ten zu de n leistungsschwa chen Lernenden. Z udem zeigte eine Fchlcranalvse, dass insbcso ndere be im Multiplizie ren un d D ividieren sehr häufig Stellenwertfehler in de r Art von 30·4-{) ::: 120 oder 160:40 ::: 400 auftraten (ebd., 198 ff.; vgl. zu derartigen Schwierigkeiten auch Kap. 6. 1.2). Z u einem ähnlichen Erg ebnis bC7.üglich der Schwierigkeiten mit dem Dezimalsystem ist Schäfer (2005, 184) in einer Studie im 5. Schuljahr an H auptschulen g<,'komm en. I Ium bach (200 8; 20(9) hat Jugendliche in J ahrgangsstu fe 10 untersucht un d festgestellt, dass 25 % dieser Schülcrinnen und Schüler nur über ein Verständnis des Zahlenraums bis 20 000 verfugten und nur im Zahlenraum bis 1000 sicher rechnen konnten. Sie hat nachgewie sen, dass die Fehlerquoten anstiegen, je größer die Zahlen wurden

6.1

Arithmet ik

I 131

und je mehr Stellen in einer Zahl mit einer Null besetzt waren. Diese Schwic rigkcircn zeigten sich insbesondere bei den Schü lerinnen und Schülern an den Haup t- un d Gesamtschulen. Die Feh lerqu oten bei den entsprechenden Testaufgaben stiegen für diese Schulforme n zum Teil auf 40 % an (I lumbach 2008, 120). \'i/eitere Erge bnisse liegen vo n Scherer (2009a) vor. In einer In terviewstudie wurden Schülerinnen und Schülern im 5. und 6. Schuljahr der Fürderschule Schwerpunkt Lernen verschiedene Aufgabenstellungen zum Verständnis des Stellenwertsystems im Tausenderraum gestellt. Hier zeigte sich eine Reihe vo n Pro blemen, insbesondere bei Aufgaben typ en. die nicht den üblichen Standardaufgaben entsprachen. Es wurden u. a. Au fgaben zum Z erlegen und Zusammensetzen von Zahlen aus Stellenwerten vorg elegt. Eine Aufgabe wie 70+ 200 +3, in der die Stellenwerte nicht in der üblichen Reihenfolg e (11, Z, E) \'orgegebe n waren, führte etwa zu Feh llosungen wie 723 oder 7023 (ebd., 836). Für diesen Aufgabentyp wurde zudem sehr häufig der schriftliche Algorithmus angewendet, anstarr die Zahlen xlire ktc zusa mmenzusetzen. D iese Ergebnisse zeigen insgesamt, dass viele lernschwa che Schülerinnen un d Sch üler in höheren Schuljahren das dezimale Stellenwertsystem nicht ode r unzureic hend verstanden haben und dass dadurch arithmetische Lernprozesse beeinträchtigt sind. Das bedeu tet auch, dass der Erarbeitung des dezimalen Srcllcowcrrsysrcms in der Grundschule eine zentrale Bedeutung zukommen muss, um den beschriebenen Schwierigk eiten vorzubeugen . Im Folgenden werden wichtige Aspekte, mögliche Schwierigkeiten und geeignete Vorgehensweisen dargestellt.

Dekadis cher Aufbau des Zahl system s Stellenwe rtsys teme werd en durch zwei Prinzipien charakterisiert: das Prinzip der fortgesetzten Blindd ung un d das Stellenwertprinzip.

Prinzip der for tgesetzte n Bündelung Beim B ündeln werden die Elemente einer vorgegebenen Menge zu gleich gro ßen (iglcichmäch tigcn-) Gruppen und damit zu einer nächst größeren Einheit zusamm engefasst, bis keine weiteren Gruppen me hr gebild et werden können (Kraurhauscn/Schcrcr 2007, 17; Sch massmann/Moscr O pitz 2008b, 51). Im Zehnersystem werden die Einer zu Ze hnern, die Zehner zu I lundertern usw. zusammengefasst. Mullcr/Witrmann (1984, 192) weisen darauf hin, dass das Bün deln für die Einsicht ins de kadische System als grundlegendes und dur ch gän!-,>1ges Prinzip herausgestellt werden muss . Das Bündclungsprinzip gilt jedoch nicht nur fiir das Dezimalsystem, son dern für versc hiedene Zahlsys teme (Krauthauscn/Schcrcr 2007, 17; Padberg 2005, 58 ff.) . Im Fünfersystem werden z. H. imm er fünf Elemente zu l-unfcrbundcln zus ammengefass t, fünf dieser Bündel gebe n ein 25er-Bündd usw. Die .Basis,

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Zentra le In ha lte d e s Mathem atiku nterricht s

der Bundclungsvo rschrifr gibt vo r, wie viele Elemente jeweils zu einem Bündel gehören, ob es drei, vier, fünf oder wie im Dezimalsystem zehn sind (K rau thauscn/Scherer 2007,17). Die Bedeutung der nicht dezimale n Bündclung für die Grundschule wird in der Fach literatur unterschiedlich gesehen. Kra uthausen/Scherer (2007 , 17) weise n darau f hin, dass solche Bön d clungsaktivitarcn im Ma thematikunterricht der G ru nd schule ihren Platz haben können, solange sie nicht formal durchgeführt werden. Pad berg (2005, 61 f.) betont den Nutzen der nicht dezimalen Bündelung. Er argumentiert, dass der Au fwand für die Schülerinnen und Schüler bei der enaktivcn Era rbeitung des Bünddungsprinzip s mit der Basis 10 sehr groß sei, da zum l Icrs rcllcn von zehn Zehnerbundein viel Zeit und Mar erial benö tigt werde. Er geht somit davon aus, dass dieser Aufwand durch eine kleinere Basis reduziert werden kann. Zudem würde das Aufbauprinzip des dezim alen Stellenwertsystems durch das Ken nenlernen von verschiedenen Systemen verbosscrt. Im Unterricht mit lernschwachen Schülerinnen un d Schülern muss beachtet werden, dass die Behandlung des Bündcl ungsprinzips mit einer anderen Basis als 10 vor bzw. parallel zum Zehnersystem zu Schwierigkeiten führe n kann, da die no twendigen Transferleistungen oft nic ht gelingen und der Blick auf das \X'esendiche verloren geht. Gemäß dem Prinzip der Konzentration auf die Grundideen der Arithmetik (Wirtmaon / Müllcr 2004 , 7 f.) ist es jedoch wichtig, dass lernschwache Schülerinnen und Schüler zuerst über sichere K ennt nisse der Bündelung mit der Basis 10 ve rfügen. D as schließt nicht aus, dass zu einem späteren Zeitpunkt, wenn die Ei nsicht ins dezimale Stellenwertsystem erworben worden ist, auch Büodcluogsakcvitärcn m it einer anderen Basis als Ausgaogs punkt fiir Entdeckungen in anderen Za hlsystemen genutzt werden kö nnen.

D as -Enrbundcln. stellt den umgekehrten Vorgang zum Bündeln dar: Einheiten werden in kleine re Einheiten umgetauscht (>aufgebrochen,). Ein Ze hne rs ta b (Dieocs-Marcrial) wird z. B. umgetauscht in zehn Einerwürfel oder eine H underterplatte in zehn Zehncrsrabe. D ieser Vorgang ermöglicht es, Elem ente von der nächst kleineren Einheit wegz unehmen : Von ein em H u nderter können bspw. d rei Einer oder zwei Zehner ,veggenommen werden. Die Einsicht in Entbüodclungsvorgängc stellt eine Voraussetzung dar für das Verständnis der Subtraktion mit Übergängen (über Zehner/ Hunderter/Tausender usw.) und kann auch beim Rückw ärtszählcn bede utsam sein: Bei den Übergängen (bspw. über einen Ilunderter) muss die Erkenntn is erfolgen, dass sich die l lundcrrerstelle verandere (z. B. beim Rüc kwärtszählen in Zehnerschritten: 817, 807, 797, 787). D a lernschwache Schülerinnen und Schüler hier oft Schwierigkeiten zeigen, muss darauf im Unterricht besonders geac htet werden (vgl. Abschnitt -Folgcrungcn für den Unterrichte).

6.1

Arithmet ik

I 133

Stellenwert prinzip Das Srcllenwcrrprinzip bet rifft die Notation der Bundelungeergebnisse. Jede Ziffer liefert dabei Informationen über die Anzahl der Bündel, hat aber gleichzeitig auch einen Stellenwert. »Dic Position oder die Stelle (daher der Name Positions- oder Stcllcnwcrrsystcm) einer Z iffer innerhalb einer Zahl gibt Aufschluss über den \'\'ert dieser Ziffer: Di e Ziffer 2 hat in den Zahlen 2, 527 od er 3209 jeweils einen andere n \X 'ert, einmal sind es zwei Einer, im zweiten Beispiel Z\\Ti Z ehner, und im dritten Beispiel ist die Zi ffer 2 zwei Hunderter -wcr t-« (Kraurhauscn/Schcrer 2007, 18). Ein wichtiger Faktor ist auch die Null, un d zwar in jedem Stellenwertsystem (\,'inter 20(H). Sie zeigt an, dass an einer bestim mten Stelle in der Stellenwerttafel kein Bündel vorhanden ist. Die Null kann daher beim Schreiben einer Za hl nicht einfach \veggelassen werden (z. B. in der Zahl 4( 37), denn dann verä ndert sieh der \\'ert der Zahl (437). Nod/ Turconi (1999) beschr eiben die Einsicht, die bei der Erarbeitung des Stellenwertsystems erworben werden mu ss, als einen Tra nscodicrungsprozcss und un terscheiden zwei Phasen: das Za hlverständnis und die Zahlproduktion. Beim Za hlverständnis geht es daru m, eine geschriebe ne Za hl zu ver stehen: 437 bedeutet 4 H underter, 3 Zehner un d 7 Einer. Bei der Zahlproduktion werden Zahlen vo m Kind selbst gesp rochen und geschrieben. Hier kann es vorkom men, dass bestimmte Regeln übergeneralisiert werden und die gehi>rle Za hl 102 bspw. als 1002 (einhundert und zwei) geschrieben wird . Der Prozess der Zahlp roduktion kann insbesondere für Sch ülerinne n und Sch üler mit einer anderen Erstsprache als D eutsch ein Problem darstellen, da die Sprechweise der Za hlen in der deutschen Sprache nicht einem stringenten Prin...ip folgt (z. B. werden bei zweistelligen Zahlen die Einer zuerst genannt , bei dre isrolligen Z ahlen zuerst der H under ter; bei vicrsrclligcn Za hlen zuerst der Tausender, dann der H underter, dann die E iner und zuletzt die Ze hner; vgl. Scherer 199% , 163 ff.;

K' p. 6.1.1). Damit Zahlen im dezimalen Stellenwertsystem interpretiert werden können, müssen verschiedene \'('issenselemente mi teinand er in Verb indung gebrncht werden (Ross 1989,47):

•

Stellenwert (Position der Ziffer innerha lb der Z ahl).

•

AI!//tip/ikatit't Eigens,"hq/!: De r ' x'ert der einzelnen Stelle kann gefunden wer-

•

A dditive

•

EigenJ"t1)ajt der Basis 10: Die \\'('Ite der Positionen wachsen um Ze hnerpotenzen von rechts nach links bzw. nehmen von links nach rechts um 1 ab: 1000 10\ 100 = 102, 10 = 101,

den, wenn die Anzahl der Ein heiten (Ziffer) mit dem \\'ert der jeweiligen Einheit (Position) multi pliziert wird. Di e 4 in der Z ahl 429 bedeutet 4 ' 100, die 2 bedeutet 2'10, und die 9 bedeutet 9 '1. Der \\'er t der Z ahl setz t sich zusammen aus der Summe der Stellenwerte (400+ 20+ 9).

=

E(~enHh ajt:

134

I6

Zentrale Inhalte de s Mathem atiku nterricht s

Mögli che Schwierigkeite n \'\'ir wollen im Folgenden häufige Schwierigkeiten beim Verständnis des Bündelungs- und Stellenwertprinzips ausführen. In der Untersuchung vo n Moscr Opitz (1007a, 2(1) zeigte sich, dass 30 % der untersuchten Lernenden im 5. Schuljahr und 25 % im H. Schuljahr die Frage, wie viele Zehner bxw. Zehnerbündel in der Zahl 57 stecken (Abb. 6.14), falsch beantworteten. Schäfer (1005, 109) hat Lernende im 5. Schuljahr der Haup tsch ule untersucht und ebenfalls gro ße Schwierigkeiten beim Bündeln festgestellt. Einige Beispiele sollen veranschaulichen, welche Probleme sich für Schülerinnen und Schüler stellen können. Bei Melissa (7. Schuljahr, Fordcrschwerpunkr Lerne n) zeigten sich Schwierigkeiten beim Notieren von Za hlen außerhalb der Stellenwerttafel. wenn die Srcllcnwerre in ungewohnter Art vorgegeben waren (Abb. 6.13). a) Schre i.... 01>Zahl auf: 1 T ou",ndor. 3 Il undnta. 4 Ei....

7..ahl in de r S tellcn Lofd:

Zah l in der Stel len..fel:

Pf9If9 ~

10) Sclon:ihe 01< 7..a1>1 ou f: 2 It ulkk" ... 13 7..,hncr . 4 Einer

134

IM Zahl h
~

LLLtJ

Abbildu ng 6. 13 Melissas Notation von Zahlen innerhalb und außerhalb der Stellenweruafel

D as erste Beispiel in Abb. 6.13 weist darauf hin, dass Melisse die Bedeutung des unbesetzten Stellenwe rts innerhalb der Stellenwertta fel scheinbar verstanden hat, sie notiert bei der Zehnerstelle keine Zahl - allerdings auch keine Null. Das Notieren der Null ist innerhalb des spezi fischen Kontexts der Stellenwentafel auch nicht notwendig, wohl aber außerhalb dieses Kontexts (vgl. Scherer ct al. 2008, 40). Mclissa kann ihre Schreibweise in der Stellenwerttafel jedoc h nicht auf die Notation der Zah l außerhalb der Stellenwerttafel übert ragen, was daz u führ t, dass sie als Ergebnis die Zahl 134 erhält {anstarr 1304). Im zweiten Beispiel in Abb. 6.13 schrei bt sie die Zah len richtig in die Stellenwerttafel (zur Notation von mchrstclligc n Za hlen an einer Stelle vgl. Scherer/Steinbring 2004, 166 und Abschnitt .Erarbcitung des Bundelengsprinzips und der Srcllcnwertc-). Sie kann jedoch die mchrstclligc Za hl 13 an der Zehnerstelle nicht als Za hl .lcscn. bzw. schreiben. Sie nimmt keine korrekte Deutung der Zah l vor und schreibt die Ziffern außerhalb der Srellenwert rafel so auf, wie sie in der Stellen wcrtrafcl stehen: 2134 anstarr 334. D ie Interviewstudie von Schere r (2009a) an der F ördcrschulc Schwerpunkt Lernen weist darauf hin, dass solche Schwierigkeiten kein Einzelfall sind. Sie stellte bspw. fest, dass beim Zerlegen vo n Zahle n

6.1

Arithmet ik

I 135

in Stellenwerte insbesondere bei unbese tzten Stellenwerten wie z. B. 209 interessante Notationen wie 209 = 200 + 0+ 9 od er 200, on, 9 auftraten. Gerade das letztgenannte Beispiel weist darau f hin, dass Schwierigkeiten manchmal erst bei eher unryp ischcn Aufgaben o ffenkundig werden, we nn Vergehensweisen bedingt durch das .Unrypischc- - nicht mehr routinemäßig ange\vendet werden können. Probleme beim Verständnis des Bun delungeprinzips und des Stcllcnwertsys tcms könne n auch an eine r Aufgabenbearbeitung \"011 Patricia, einer lcrn schwachen Schü lerin im 5. Schuljahr (G esam tschule), aufgezeigt werden. Sie hat ver standen, dass sieh die Zahl 57 aus fünf Zehnerbündcl n und sieben Eine m zusammensetzt (Abb. 6.14).

Hier sind 51 schwarze Pul>kle . W.. viele .lehnerpOCkchflrl" ooer ZehJlflfb(jnclfll kannSl du machfIn ?

• ••••••••• •• ••• •••• ••••• • •••••• •••••• •••• •• • • •• • •••• • ••••

..S... H<~.'l.(,.o" C:;"1'IO.1 1-

"

HieI' sind 124 sd'rwarze Punkte . W ie vifIlfI.zehnflrplckchfln" ode!' l ahne rbii ndfll kanns! du

machen? Antwort

1P....1c.hll.V U"

4

124

Abbild ung 6.14 sameras Bearbeit ung einer Bündelung saufg abe

Bei der Z ahl 124 findet sie jedoch keine richtige Lösung. Sie antwortet mündlich, dass 124 aus 20 Z ehnern un d vier Einem bestehen wurde, un d notiert dies als »20 zchncr, ein ·h \'\'ah rschcinlich hat sie erkann t, dass die 2, also 20, an der Zehnerstelle ste ht. Sie bezeichnet diese jedoc h als ))20 Z chn cr«. Zudem ha t Patricia nicht berücksichtigt, dass auch im I Iundcrt cr noch ...chn Zehner enthalten sind. Das weist darauf hin, dass sie das Bündeiungsprinzip - und im Zusammenhang damit auch das Stellenwertpri nzip - noch nicht vollständig ver standen hat .

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Zentrale Inhalte de s Mathem atiku nterricht s

Ob die Schü lerinnen und Schüler die Idee des E nrbundclns vers tanden haben, lässt sich m('lglicherweise auch beim Ruc kwar tszahlcn feststelle n (\'gl. auch Schäfe r 2005, 108; Scherer 2009a). \'('ird z. B. in Ze hne rschritten nickwarrs ge:t.ählt, muss beim Cbergnng ein I Iundcr tcr .au fgebrochcn. werden: 710, 700, 690. Hie r zeigen sich bei lernsc hwache n Schüleri nne n un d Schü lern vermehrt Schwierigkeiten . In der Studie von Moscr O pirz (2007a, 189 f.) haben diese Le rnenden beim mündliche n Zä hlen bei solche n Übergängen mehr Fehler gem acht als die Vergleichsgruppe oh ne Rccbcnscbwicrigkcircn. D as Beisp iel vo n Le a (5. Schuljahr H aup tschule; Ab b. 6.15) :t.eigt mögliche Schwierigkeite n auf. b) Zähle in Zehnerschritten rur kwärt... und schreibe die Zahlen in die Kästchen. 19730

cl Zähle in lIunderterschrillen rü ckwärts und schreibe die Zahlen in die Kä~tchcn .

20 356

Abbil du ng 6. 15 teas schriftlic he Bearbeitung einer Aufgabe zum Zäh len in Sch ri tten

Zum Bearbeiten dieser - auf der sym bo lischen Ebene zu losenden - Aufgabe sind verschieden e Vorgehensweisen möglich. Es kann z. B. in Stellenwerten gedacht werden (der I Iun derter muss mental -cntbiinclclt. werden), oder es kann versucht werden, das Za hlenmuster zu notieren (im ersten Beispiel etwa 19'7 10, 19'700,1 9'(90). Bei l ca :t.eigen sich Schwierigkeiten beim Übergang über den I lundcr rer und den T ausender. Sie verändert beim I Iunder teriibergang nich t die I Iundcr ter-, sondern die T ausend erstelle. Zudem lässt sie bei diesem Zählschri tt die I lunderter und die Ze hner weg und nennt die Zahl »18'00l}«. A nsch ließend notiert sie die Ze hnerstelle rich tig (18'790, 18'780), jedoch mit einer falschen I lunderter- und einer falsche n T ausen derstelle . Beim Rilckwartszahle n in Hund ert erschritten tritt ebenfalls ein Fehler auf. Lc a erkennt hier richtig, dass 19'000 der .neuc Ta usender. ist. Sie notiert jedoch nur 1'900 un d lässt wieder die Zehner un d die Einer (56) weg. Interessanterweise werden die folgenden Zählschritte trotz des Feh lers beim Übergang richtig ausgeführt. Bei Le a wäre zu erfragen, wie sie beim Lö sen der Aufgabe vo rgegangen ist, ob sie miiglieherweise die glatten Tausender bzw. Ze hntause nder als .Bni cke. für de n Übergnng no tier t hat. Es könnte auc h sein, dass 1'900 ein Fo lgefehler ist und Lea sich an der Zahl 18' 000 in der ers ten Aufgabe orienti ert hat. Zudem m üsste mit weiteren l\ ufgaben - auc h in andere n Za hlenräu men - überprüft werde n,

6.1

Arithme t ik

I 137

ob dort ähnliche Fehle r auftrete n, und es mü sste beobachtet werden, welche Übergänge sie in welchen Zahlenräumen be he rrscht. Erst auf der Basis solcher Inform atio nen kann entschieden werden, welche Fotde rmaßnahmen notwendig sind . Le hrp erso nen berichten häufig, dass bei lernschwachen Schülerinnen un d Schülern bei m Lesen und Sch reiben vo n Zahlen sog enannte Inversionen vo rkommen und bspw. die Zahl 23-1- als 2-1-3 gelesen oder geschrieb en wird. Solche Fehler können eine rseits mit fehlender Einsicht ins Bündelungsprinzip un d in die Stellenwertsc hreibwe ise zusa mmenhängen. Ande rerseits ist es auch möglich, dass die Aussprache der deutschen Z ahlwörter (vgl. Kap. 6. 1.1) oder auch Schwierigkeiten im Bereich der räu mliche n O rientieru ng zum Vertauschen der Stellen führen . eiernde wenn die beiden letztgenannten G rü nde zutreffen, kann die ve rtiefte Einsicht in die Stellenwerts chreibweise he lfen, mit diesen Schwierigkeite n umzugehen.

Veranschaulichungen und Zahlaspekte In Kap. 5.3 wurde dargelegt, dass nicht jede Veransch aulichung bzw. jedes Ar beitsmittel für jede n mathematische n In halt in gleicher Arr und \,\'eise geeignet ist. Da s betrifft ins besondere auch die konventio nellen mathem atischen Vera nschaulichungen (z. B. H underter- und 'Iauscnd crp unktfcld, H undcrrcrrafel, Tausenderbuch. Zahlreihe. Za hlens trah l). Diese repräsentieren jeweils verschiedene Z ahlas pekte bzw. ste hen je nach Ver anschaulich ung unterschiedliche Zahlaspekte im Vordergrund (vgJ. Scherer 1995; Scbrnassmann/ Moscr O pitz 2008b, ,f(l). D as 1 lenderter- end TaIfHndetplfnk!ft/d bzw. die Punktsei te des Tausenderbuchs veranschaulicht bspw. den kardi nalen Zahlaspe kt und ist geeignet zur Entwi cklung der G r ößenvo rstellung. zum strukturier ten D arstellen und Ablesen von Anzahlen und zum Zerlegen vo n 100 oder 1000 (Scherer 1995, 15-1-). Bei der Ilunderlertu,fel und der Zahlseite des ·JiJlfJenderl)lf(hJ geht es vorrangig um de n ordinalcn Zahlaspekt bzw. um die Positio n der Zahlen (Radatz ct al. 1998, 30). Somit steht die A nordmwg der Zahlen vo n 1 bis 100 bzw. I bis 1000 im Vo rdergrund und nich t die A nzahl (100 bzw. 1000 Felder), obwohl diese auc h sich tb ar ist. Mit der H unde rtertafel bzw. mit dem Tausenderbuch können Gesctzmäßigkcircn des Zahlau fbaus und der Za hlschrei bweise deutlich gernacht werden, un d die Ta fel und das Feld sind g(.'eignet zu m Entdecken vo n Struktu rcn un d Zahlenmus tern (Scherer 1995, 155 ff.). An de r Zahlreihe sind sowohl der ordinale als auch der kardinale Zahlaspekt sichtbar: Die Anzahl de r Kreise beto nt die Kardinalzahl, die lineare Anord nung und die geschriebenen Zahlen jedoch die Reihenfolge un d damit die Ordinalzahl. Die Z ah lreihe ist des hal b bes onders geeigne t zur Erarbeitung der Rango rd nung der Z ahlen (bspw. Bestimm en von Nachbarzahle n bzw. von Nachbar zeh nern und -hundc rtcrn) un d die Entwicklung vo n Za hls trat egien. Allerdings

138

I6

Zentrale Inhal te de s Mathem atiku nterricht s

ist die H underterreihe in den Sch ulbüche rn i. d. R. nicht als Material beigelegt un d auch nicht immer vollständig abge bildet. Die T ausenderreihe ist - wenn überhaupt - nur in Ausschnitten vorhanden und wird meistens durch den Zahlenstrahl ersetzt. Zur Behandlung der zuvor genannten Inha lte kann es notwendig sein, dass die H underterreihe und Ausschnitte aus der T ausenderreihe insbesondere mit I lunderteriibergängen - als Arbeitsmaterial hergestellt bzw. dargestellt werden. Auch beim Zablen"lmbl, der zentrale Bedeutung für den Umgang mi t G rößen un d für das \'('iegen, Messen und A bmessen hat, müssen der ordinale und der kardinale Zahlaspekt miteinander in Verbindung gebracht werden, Der Zahlenstrahl ist jedoch von der Sache her komplex und für lernschwache Schulerinn en un d Schüler oft schwierig zu verstehen (vgl. auch I löhtker/Selter 1995, 124; Radatz er al. 1998, 38). Im Verg leich zur Za hlreihe weist er mehrere wese ntliche Unterschiede auf: Der in der Grundsc hu le vcrwcudere Zahlenstrahl begin n t i. d. R. bei 0 und nicht bei I, und die Einheiten sind keine eindeutigen Objekte. \\/ährend die Kreise oder Planehen an der Zahl reihe für die Schülerinnen und Schüler meist problemlos als Ein heiten zu deuten sind, müssen am Zahlenstrahl unterschiedliche Deutungen vorge nommen werden. Der Zahlenstrahl weist Markierungen (senkrechte Striche, z. T. mit Zahlsymbolen beschriftet) sowie die zugehörigen Zwischenabsta nde auf un d kann kardinal (Anzahl der Ein heiten, d. h. der Abstände), aber auch ordinal (O rdnung der Zahlen en tspre eile nd der Markicrungse rrichc) gedeutet werden. Für lernschwache Schülerirrncn un d Schüler entstehen hier oft Konflikte; für sie ist nicht nachvollzieh bar, was die verschiedenen Markierungsstriche und die Abstände bedeuten. So kan n es einige verwirren, dass bspw. der sechste Strich die Z ahl 5 kennzeichnet.

'x'citcre Schwierigkeiten ergeben sich aufgrun d der unterschiedlichen Einteilungen au f verschiedenen Stra hlen (vgl. Krauth amen/Scherer 2007, 252 f.). Ein -voll standig bcschrifrcrcc Za hlens rrahl, bspw. fiir den Zahlenraum bis 100, rrägt eine Skalierung mit 100 Striche n, die alle mit Zahlen (von 1 bis 100) beschri ftet sind. Diese Form wird eher selten verwendet, da sie unübersichtlich ist und zum zählenden Rechnen verleite n kann (vgl. Kap. 5.4). Beim teilweise beschri fteten Zahlenstrahl sind die Abstände der Za hlen ebenfalls eindeutig festgelegt; sie sind proportional zueinander, d. h., zu gleiche n arithmetischen A bständen gehören gleiche geom etrische Abs tände (\"gl. Scherer /Steinbring 2001,192). So hat der steilweise beschriftete. I Iundcrt erst rahl ebenfalls eine Skalienmg mit 100 Strichen, meist mit hervorgehobenen Fünfer- und Zehnerstrichen. von denen nur einige Stü tzpunkte (Z ehner) mit Za hlen benannt sind (A bb. 6.16). Das erfordert, dass erst e strukturelle Beziehungen (7.. B. Abstande) zwische n de n Zahlen gedeutet werden müssen. \'('eitere Mchrdcurigkcircn entstehen, wenn bspw. an zwei identischen Zahlenstrahlen eine andere Beschriftung gewählt wird (vgl. Abb. 6.16): Wird der Za hlenra um größer, sind nicht mehr alle Einereinheiten markiert, je nach Skala bspw, nur no ch die Tauscndcr-, Hunderter- und Zehnerstriche. Der gleiche Abstand kann also einmal fiir eine 1 stehen,

6.1

Arithmet ik

I 139

dann aber auch für eine 10, und was im ersten Fall ein Zehnerintervall war, muss nun als llundcrrerintercall verstanden werden (vgl. Krauthausen/Scherer 2007,252).

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Abb ild ung 6.16 Verschiedene Deutungen eines zahlenstrahls durch unterschiedliche Beschriftu ng (KrauthausenrScherer 200 7, 252)

Für jeden Zahlenstrahl können somit je nach Bedarf eine feinere oder eine gröbere Skalierung und die Art der Beschriftung gewählt werden. D ie Schüle rinnen und Schüler müssen dabei gleiche Striche und Abstände auf unterschiedlichen Skalen als jeweils etwas anderes deuten lernen. Gerade diese Flexibilität ist aber fiir das Verständnis des Zahlsystems anzustreb en und für die Arbeit mit dem lemn Zl1hlenJ"lmhl (bzw. Zahlenstrid) od er Ru hens/rieh) zen tral. Dieser besteht aus einer Linie, auf der die Za hlen in der richtige n Reihenfolge an ihrem ungefahren Platz eingetragen werden. Urigefa hre G rößenverhältnisse werden dabei akzeptiert (vgl. T rcffcrs 1991j Scherer/Stein bring 200 1, 192 ff.). Am Zahlenstrahl (vollständig, teilweise besc hriftet od er leer und una bhängig vom Zah1enraum) können Zahlen platziert und abgelesen werden. Am '"011ständig ode r teilweise beschrifteten Za hlenstrahl bietet sich das Bestimmen von Nachbarzehnern. -hundc rtcrn un d -rauscndern an, oder es kann in Schritten gezählt werden. Am leeren Za hlenstrahl bzw. Zahlens trich oder Reche nstrich können die Lernenden selbstständig arithmetische Aufga ben und Rechenopera tione n darstellen (vgl. Kap. 6.1.4). Z udem kann er als Kommunikationsmittel zu m Argumentieren und Begründen genutz t werden. Ungcfah rc G röß env erhältnisse werden akzeptiert, lind die maßgetreue Anordnung der Zahlen spielt eine un tergeordn ete Rolle (K raurhauscn/Schcrcr 2007, 253; vgl. Kap. Cl.l A). Im Unrerrichr ist som it einers eits zu berücksichtigen, welcher Zahlaspekt bei welche r Veranschaulichung im Vordergrund steht und fiir welche Aktivitäten sich diese besonders eigne t. Ande rerseits muss darauf geachtet werden, dass geeignete Vergehensweisen gewählt werden (vgl. Kap. 5.3). Sowohl eine ungeeignete Vorgchcnswcisc als auch die \'rahl eines ungeeigneten Materials können zu Schwierigkeiten führen. \'{'ird z. B. die I Iundertertafel, bei der der ordinale Zahlaspe kt und die Position der Z ahlen im Vo rdergrund stehen, einseitig als Veranschaulichung für die Anza hl 100 (kardinal) eingesetzt, kann dies zu Verwirru ngen führen . Ein lernsc hwac her Sch üler im 5. Schuljahr (G esamtschule), mi t dem der kardinale Zahlaspekt im Zahlenra um bis 100 in der G rundschule ausschließlich mit der l lun dcrrcrrafel erarbeitet worden war, zeichnete die An-

140

I6

Zentrale Inha lte des Mathem atiku nterricht s

zahl 100 als ein Rech teck mit 6 mal 8 Feldern. Er hatte sich - bedingt durch das Vorgehen im Unterricht - an der -außcren Gcstal« der T afel und nicht an der Anzahl orientiert. Für ihn war 100 ein Feld mit Quadraten, unabhän!-,.-ig von deren Anzahl. Er hatte in der Folge keinen adäquaten Anzahlbegriff erwerben können, was zu großen Pro blemen beim Mathematiklernen führte . Diese Ausführungen weisen darauf hin, dass die Schülerinnen und Schüle r im Unterricht Gelegenheit erhalte n müsse-n, die verschiedenen Veranschaulichu ngen zum Dezimalsystem zu erkunden, zu verstehen un d flexibel zu nutzen (vgl. Kap . 5.3). Das braucht einerseits oft viel Z eit und entsprechende Bemühungen. Andererseits bietet die besc hrie bene Komplexität gerade auch die Chance, Flexibilität im Umgang mit Darstellunge n und Veranschaulichungen zu erwer ben .

Folgerungen für den Unterricht Ganzheitli che Erarbeit ung der Zahlen räume D amit Einsicht in das Bündc1ungsprinzip und das Stellenwertsystem entstehen, sollte der Zahlenraum grundsätzlich Jf'nzbeillidJ und nicht kleinsehrirrig erarbeitet werden. Scherer (1995, 151) nenn t folgende Vorteile des gnnzheitlichen Vorgehens:

•

»Bcsscrc Berücksichtigun g der individuellen Fähigkeiten und Vorkenntmsse,

• • •

Berücksichtigung der Zone der nächsten Entwicklung, Lern erleichteru ng durch Einsich t in größere Zusammenhänge, vielfältige Möglichkeiten der natürlichen Diffcrcnvierung.«

Für die Behandlung der erweite rte n Z ahlenräume gilt dasselbe wie für de n Zwanzigerraum im Anfangsunterricht (vgl. Kap. 6.1.1): Den Zahlenraum ganz heitlich anzubieten, meint nicht, dass die Schulerinnen und Schüler diesen gleich in vollem Umfang verstehen müssen, son dern der Überblick über xlas Ga nze soll helfen, die einzelnen Schritte bess er zu verst ehe n (" gI. Donaldson 1991; Scherer 1( 95). Besondere Anmerkungen sind no ch zum Zeitpunkt der 'Ih cmatisicrung des T ausenderraums zu machen. D ie E rweiterung des Zahlenraums bis 1000 beginnt an der Forderschule Schwe rp un kt Lernen oft erst im 5. Schuljahr (z. B. Angendohr ct al. 2000; Armbruster 2005). Dieses Vorgehen ist kritisch zu betrachten, weil wich tige Le rninhalte erst spät thematisi ert werden und dadurch Einsicht in grundlegende Prinzipien verhinde rt wird : Die Grundidee der dezimalen Struktur wird erst im Za hlenraum bis 1000 richtig sichtbar. Erst wen n zehn Hunderter zu einem T ausender gebü ndelt werden, findet eine Bündelung dritrc r Ordnung sta tt, und das Prinzi p der fortgesetzten Bündclung wird deutlich. Auch kann die für viele Schüleri nnen und Schüler anspruchsvolle The ma-

6.1

Arithme t ik

I 14 1

tik des Übertrags bei Addition und Subtraktion erst beim Rechnen mit dreistelligen Zahlen, d. h. im Tauscn derraurn , um fassend bearbeitet werden (Fuso n 1998, 276). 1\ ufgaben mit nur einem Über trag ermögliche n diese Erkenntn is nur teilweise. \'{'ird der Z ahle nraum bis 1000 erst im 5. Schuljahr erweitert, fehlen den Lernenden zudem die Vers tänd nisgnmdlagen und Voraussetzungen für de n L'mgang mit Geld und mit Größen und dam it K o mpetenzen fiir die Bewäl tigung von Allragsanforderungen. Es muss auch bedacht werden, dass insbesondere ältere Schülerinnen und Sch üler oft demotiviert sind, wenn sie über mehr ere Jahre hinweg nur in kleinen Zahlenräumen rechnen müssen. Die Motivation kann erhöht werd en, wenn de r Za hlenraum erweiter t wird, Gemäß de m Spiralprinzip ist es auch möglich , ;\ n fgah cn aus d em Zwanzigcr- und dem H unde rterraum durch Ana logie bildung mit Au fgaben im Tausenderraum zu verknüpfen (z. B. 3+ '" = 7 -) 13+ '" = 17 -) 130+"'0 = 170 oder 37+26 = 63 -) 370+ 260 = 630 ode r 3· ... = 12 -) 3· ...0 = 120 7 30·...0 = 1200). Aufgaben aus kleineren Z ahlc nräumen, die cvtl. no ch nicht bewältig t werden, können so in (-inc n erweiterten Kontex t gestdlt werden.

Erarbeit ung des Bünd elung sprinzips und der Stellenw erte Z ur Erarbeitung des Bündelengsprinzip s m it lernschwachen Schulerinnen und Schülern können zusätzlich zu de n konventionellen ikonischen Veranschaulich unge n Ta usenderbuch. Tausenderpunktfeld un d Zahlenstrahl (bzw. H undc rtcr tafcl , I Iundc rtc rpunkrfcld. Zahlreihe) auch cnaktivc Bcarbcitungsm ögl ichkciten angeboten werden. D amit diese jedoch zu Eins icht ins Stellenwertsystem führen, müssen sie zwingend mit der sym bolisc hen Notation der Zahlen in der Stellenwerttafel verbunden werd en. N ur so kann gewährleist et werden, dass die verschiedenen Repräsentationsebenen auc h miteinander vernetzt werden können. Schwierigkeiten bei m Verständnis des Prinzips der fortgesetzten Bündelung un d des Stellenwertprinzips können u. a. auch entstehen, wenn dieser Vernetzung nicht genügend Beachtu ng gesc he nkt wi rd. Im Folgenden werden einige Möglic hkeiten zur Behandlung des B ündelungeprinzips in Verbindung mi t der Stelle nwertschreibweise am Beispiel des Hunderter- un d T ausenderra um s aufgezeigt. Biindeln durch Jtruk tun'erles ZiJ"hIen im l/underietTaum: In Fonn von Zählaufgaben könn en größe re Mengen von Gegens tände n (K nö p fe, Flascbcndcckel, W'ende plätrchcn) gezählt und die Anzahl in der Stellenwerttafel notiert werden. Hie r ist wichtig, dass zunächst ein ma l beobachtet wird, welche Zählstrategien spontan ge nutzt werden. Es gibt Sch üleri nne n und Schüler, die bspw. in Einerschritten zählen, sich verzählen und den Z äh lpro zess im mer wieder vo n vorn beginnen. And ere nehmen zwar Bündelungen vo r, bilden jedoch ungleich große Gruppen, zäh len z. B. einmal ach t, ein m al zeh n ode r einmal zwölf O bjekt e ab und addieren diese Zahlen ansch ließen d. Solche Stra tegien füh ren i. d. R. nicht oder nur mi t großem Au fwand zum Er folg. Sie kö nnen jedoch als Allsganb~punkt genommen werd en für Di skussio nen über geeignetere bzw. effiz i-

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I6

Zentrale Inha lte des Mathem atiku nterricht s

entere Vergehensweisen wie etw a das Bündeln in Zehnergruppen (Schm assmann /Moscr Opirx 2008a , 51; Van de \'\'alle :2007, 193). \'\'ie schon erwähnt, ist die N ota tio n der Bunclclungscrgcbnissc in der Stellen werttafcl von großer Bedeutung. D ie Schülerinnen und Schüler müssen die cnaktive bzw. ikonische Repräsentationsebene beim Bündelungevorgang mit der symbolischen Notarionsform verbinden. Für einige kann es deshalb hilfreich sein, wenn im Tabellenkopf die Einheiten vorerst ausgeschrieben werden: .l lundcrrcr, Zehner, Einer, oder auch -H underrcrbiindcl, Zehnerbündcl, Ein er.. Parallel dazu oder später können dann die Abkürzungen >11, Z , E, verwendet werden.

Windeln mit dem Dienes-Aldlendl im Tasaendaraion: Für die fortgesetzte Bündelung im T ausenderraum eignet sich besonders das Die nes -Material {Abb. 6,17), wieder in Verbindung mit der Srcllcnwertrafcl (Fuson 1998, 277; Radatz er al. 1999, 12), D as Material betont den kardinalen Zahlaspekt. und das Prinzip der fortge setz ten Bündelung kann gut veranschaulicht werden. E s lässt sich handelnd .bcgrön dcn-, dass ein Zehncrstab aus zehn Eincrwu rfcln, eine Hunderterplatte aus zehn Zehnerstäben (bzw. aus 100 Eincrw ör fcln) und ein T ausenderwü rfel aus zehn Hunderterplatten (bzw. zeh n Ze hners täbe n oder 1000 Einc rwu rfcln) besteht (Scbmassmann/ Mos cr O pitz :2008b, 72).

Abbildung 6. 17 Tausenderwürf el, Hundert erplatt e, Zehnerstab, Einerwürfel des DienesMaterials

D as Prinzip kann gedanklich auch auf den Zahlenraum bis zu einer Millio n übertragen werden: zehn Ta usenderwürfel ergeben einen Zehntausendcrsrab, zehn Zehntausenderstäbe eine H underttausenderp latte und zehn Hunderttausenderplatten einen Millionwürfel. Auch hier ist die Verbindung von der cnaktivcn zur symbolischen Repräsentationsebene zentral, und das Ziel solcher Ak tivitäte n sind ein flexibler Umgang mit dem Material und die Entwicklung mentaler Vorstellungen.

6.1

Arithmet ik

I 143

Einsichtig erarbeitet werden kann auch das Entbiindcln, indem bspw . ein T auscnderwiirfel umgetauscht wird in neu n l Iundcrrcrplatrcn, neun Ze hnerstäbe und zehn Einerw ürfel. Ansc hließend kann z. B. ein Einer oder ein Z ehner (oder eine andere Anzahl) weggenommen werden (A bb. 6.1H). Die verbleib ende Anz ahl von l Iundcrtcrplattcn, Zehnerstäben und Rincrwurfeln kann ge:t.ählt und in der Stellenwerttafel notiert werden, bzw. es können passende Rechnungen (bspw. 1000- 1 = 999 oder 1000-10 = 990) form uliert werden (Schmassrriann /Moscr Opirz 2008b, 72).

Abb ild ung 6.18 Veranschaulichung von 1000- 1 mit dem Dienes- Material

UnterHhiedlirhe Darstellung und l\ 'otation ron Za hlnr. \'{'ichtig für die Einsicht ins Prin zip der fortgesetzten Bündclung und der Stellenwertschreibweise ist die Darstellung von Zahlen au f möglichst versc hiede ne \'{'eisen und auf unterschiedlichen Rcprascnrationscbcncn (,"gi. Sche rer 1995; Van dc \X'alle 2007, 1( 7). Cbefb>inge un d Beziehungen zwische n den Stellenwerten könnten so herausgearbeitet werden (Scherer/Steinbring 2004, 167). Das lässt sich gut mit de m Dienes-Material in Verbindung mit der Stellenwentafel realisieren. D ie Zahl 159 kann u. a. als ein H underter, fünf Zehner und neun Einer, als 159 Einer oder als 15 Zehner und neun Einer da rgestellt werden (Abb. 6.19). ,

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Abbild ung 6.19 Verschiedene Darstell ungen der Zahl 159 mit dem Dienes- Material

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I6

Zentrale Inhalte des Mathem atiku nterricht s

Auch dies ist eine Übung, die schon im Hu nderterraum durchgefüh rt werden sollte, die aber erst im Zahlenraum bis 1000 ihr e \'\'irkung \ "011 en tfalte n kann un d die eine gedankliche D urchdringung der Stellenwertbeziehungen und damit eine umfassende Einsicht ins dezi male Stellenwertsystem erlaubt. \\'ichtig ist dabei wiederum die Notation in der Stellenwerttafel. Üblicherwe ise wird an einer Stelle nur eine einstellige Zahl notiert, was ein leichtes Ablesen von Zahlen erm öglicht. Um den Zusammenhang zwischen Bündd ung und Stellenwert deutlich zu ma chen, kann es auch hilfreich sein, an eine r Positio n eine mehrstdlige Zahl zu notieren. Seherer/Sreinbring (2004-, 166) merken an, das s dies eine cinsichtsvolle Unterstu rzurig der Beziehu ngen und Übergänge zwischen den einzelnen Srcllcnwertcu erm öglichen kann, mat hematisch nicht zu beanstanden ist und neue Deutungen für die dezimale Stru ktu r der Zahlen eröffnet. Mir den Schülerinnen un d Schülern kann bspw, diskutie rt werden, o b und warum es sich bei den in Abb. 6.20 notierten Zahlen wir klich im mer um dieselbe Zahl handelt.

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1

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Abbildu ng 6.20 Verschiedene Darst ellu ngen der Zahl 159 in der Stellenwerttafel

D ie Schülerinnen und Schüler können auch an anderen Arbeitsmitteln ein und dieselbe Zahl darstellen und aufgefordert werden zu begründen, warum es sich immer um dieselbe Anzahl handelt.

Aktivitäte n an Zahlreihe und Zahlenst rahl \'{'ie weit er oben dargestellt wurde, ist das Verständnis und der Umgang mi t dem Zahlenstrahl nicht un problema tisch. Deshalb solle n einige Anmerkungen zur Behandlung im Unterricht gemac ht werden. \'{'ichtig ist, das s Schülerinnen un d Schülern die "[()glichkei t gege ben wird, die Skalen von Strahlen in ve rschiedenen Zahlenriiurnen zu ve rs tehe n und zu erkunden. D azu gibt es ve rschie dene Zugänge. .i\ usga ngspunkt kann bspw. der leere bzw. der teilweise bcschriftete Hunderterstrahl sein . De r leere Z ah lenst rahl kann aber auch ausge· hcnd von Ilandlungen an der Hunderte rkette erarbeitet werden (l lö htker/ Seher 1995, 125 ff.; vgl. auch Ka ufman n/Wessolow ski 2006, 65 f.), indem die Schülerinnen und Schüler an der Kette zuerst de n Ort von bestimmten Zahlen lok alisieren ()O rte finde n-) bzw. bes tim m ten Orten an der Kette die rich tige Zahl zuweisen (>Z ahlen findcn.; vgl. Abb. 6.2 1).

6.1

Arithmet ik

I 145

Abbil d ung G." 1 Or te f inden und Zah len fi nd en (r reesem an n / wtnrc h 200 9 , 35)

Davo n ausgehend können anschlie ße nd der leere l lundcr rerstrahl (Abb. 6.22) und der T ausenderstrahl entwickelt werde n.

Abbild ung 6.22 Der Übergang von der Hundert erkett e zum leeren 2ahlenstr ahl

Um gang m it Geld

Diskutiert werden mu ss auch, ob un d in welcher Art und \"/ eise sich G eld für die Behandlung des dezimalen Stellenwertsys tems eignet. Au f der einen Seite ist Geld .kon krc«, und die Schü lerinnen und Schüler bringen Alltagserfahrungen mit. Andere rseits ist G eld aber auch sehr abs trakt. Ein G eldstück ist nur ein Stück Metall, ein Schein ein Stück Papier, deren \\'ert nicht unmittelbar ersichtlich ist (" gI. auch Scherer 2005a, 180 f.; Steinb ring 1997). Man muss wissen und "erstanden haben, dass z. B. zehn lO-Euro- Scheine dem \'('er t eines lOO-EuroScheins ent sprechen . Z udem sagt die G röße der Münzen un d Scheine nichts über de ren \'('ert aus. Das bede utet, dass die Beziehung einer Größe aus einem Sechbereich und ihre mathematische Symbolisierung " erstanden werden müssen (Steinbring 1997, 293). Deshalb muss beachtet werden, dass einerseits für de n sicheren Umgang mit G eld das Verstän dnis des dezimalen Stcllenwerts ys-

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Zentrale Inhalte de s Mathem atiku nterricht s

rem s vo rausgesetzt wird, dass aber dieses ande rers eits d urch Erfahru ngen mit G eld auc h angeregt und ge f()rder t werden kann (vgl. Schmassm ann / Moser Opitz 2008a, 87; Radatz et al. 1998, 4 1), etwa w enn beim H erausgeben vo n Rückgeld -cnt biindclt- wird. \'{'en n Schülerinnen und Sch üler jedoch wenige E rfahrungen mit G eld haben , stellt der Einsatz dieses Arbeitsmittels für sie nicht immer eine Erleich terung dar. Bu nira (1. Schu ljahr, P örd crsc hw erp un kr Lernen) hat an sp ruchsvolle Aufga ben mit meh rsrelligcn Z ahlen in der Stcllc nwerrtafcl, wi e sie in Abb . 6.13 dargestellt sind, richtig gelöst. Bei einer Aufgabe zu m Bündeln mit G eld zeigten sich jedoc h Schwierigkeiten (Abb. 6.23). Pia und Max zählen das Geld in der Klassen kasse. Sie zänren:

4 13 Wie viel Geld ist insgesamt in der Klassenkasse?

Antwort: E~ sind insgesamt

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Euro in der Klassenkasse.

Abbildung 6.23 Bunitas Aufgabenbearbeit ung zum Bündeln mit Geld

Sie hat Hu nderter, Zehner und Einer als dieselbe Ein heit betrachtet, diese addiert und so das falsche Ergebn is 18 € erhal ten. Dieses kann auf vers chiedene A rt un d \'{'eise zust ande geko m men sein. E s könnt e sein, dass Bunita die Au fga be au fgrund m angelnder E rfahrungen mit Geld falsch gelüst hat. Möglicherweis e hat sie den Kontex t überhaupt nicht beachtet (vgL K ap. 6.2). E s könnte weite r sein, dass sie das Aufgaben for m at mit der gegenüber der Stellen werttafel ve r änderten Tabelle, in der die Stellen untereinander und nicht nebeneinander notiert sind , nicht verstanden hat. Möglich ist auch, dass sie sich wie beim schriftlichen Additionsalgorithmus nur an den senkrech t notierten Zahlen orientiert ha t. Für den Eins atz vo n Geld als Arbeits mitt el im K ont ext der Behandlung de s de zimal en Stellenwertsystems müs sen Leh rp erso nen so rgfaltig prü fen, wann Geld als Veranschaulichung bzw. A rbeitsm irtel eingese tz t werden soll un d wan n durch dessen Einsatz zusätzliche A nforde ru ngen an die Lern enden gestellt werden (vgl. auch Steinbring 1997).

6.1

Arithmet ik

I 147

Koord inieru ng süb ungen F ür das Verständnis des dezimale n Stellenwcrrsysrcms im Ta usend erraum m üssen die zentralen Veranschaulichungen Ta usenderpun kt feld. Tausenderbuch. Zahlenstrahl und Stellenwerttafel eingeführt werden (im Hunderterraum die analogen Veranschaulichungen). Ne be n der sorgfaltigen Einführung der verschiedenen Veranschaulichungen darf auc h die Vemetzung der Dars tellunge n bzw. die Verbindung der Z ahlaspekte nicht yerges~en werd en. D ie Schülerinnen und Schüler müssen einers eits mit den einzelnen Darstellungen vertraut werden un d diese -lescn. und verstehen lernen, andererseits jedoc h auch angeregt werde n, diese zu verne tzen und flexibel einzusetzen (Scherer 2005a, 20; Schmassmann/ il.loser Opitz 2UOSa, 51). I Iilfreich sind dazu Koordinierungsübungen, in denen eine Zahl an verschiedene n Verans chaulich ungen bzw. Arbeitsmitteln darzustellen ist (vgl. Scherer 1995; 200 5a, 171; Schmassmann/ Moscr Opirz 200Sb, SO): D ie Schülerinne n und Schüler wäh len bspw. eine Z ahl zwischen 1 und 1000 aus. Ein Kind stellt die Zahl mit Geld dar, ein and eres zeichnet sie auf dem Zahlenstrahl ein, eines legt sie mit I Iundcctcrpla ttcn, Z eh nerstäben und Einerw ürfeln. eines stellt sie am T ausenderfeld dar, das nächste im Tausenderbuch. usw. D ie Übung kann im 2. Sch uljahr analog auch für den H un derterraum durchgeführt werden (vgl. z. B. Scherer 1999a, 232 ff.) bzw. ist generell auf andere Zahlenraume zu übertragen . Dabei ist auch wichtig, dass die Beziehungen zwisch en den verschiedene n Za hlenräumen un d zwisch en den entsprechenden Veransc haulichungen hergestellt und thematisiert werden: \'('as sind bspw. die Gemeinsamkeiten von Ilunderterfeld un d Tausenderbuch od er von f Iundcrtcr- un d Tausenderstrah l. und was sind die Un terschiede? Solche Aktivitäten bieten die r-. röglichkeit, flexibel mit den Veranschaulichungen um zugehen und dadureh Eins ich t ins dezimale Stellenwer tsystem zu erwerben.

In diesem Kapitel wurde au f die grundlegend e Bedeutung des dezimalen Stdlcnwcrtsysrems für arithmetische Lernp rozesse hingewiesen. Am Beispiel des Ta usenderraums wurden Möglichk eiten zu unterrichtlichen v ergehensweisen aufgezeigt, die auf andere Za hlenraume zu übertragen sind. \'\'ichtig ist grun dsätzlich, dass ein flexibler Umgang mit den verschiede nen Rep räsentationsebenen einerseits und den konventionelle n Veranschaulichungen andererseits angeregt und gefö rdert wird.

6 .1.4

Informell e Rechen strategi en und schr ift liche Reche nverfa hren

In der Mathematik und speziell auch im Mathematikunterricht für den Primarbereich existieren seit jeher eine Reihe festgelegter Rechenstrategien un d -vcrfabrcn, die jeweils für aktuelle und weitere Lernprozesse wesentlic h sind. Daneben haben mi ttlerweile aber auch in formelle bzw. individuelle Rechenstrategien und allgemein das halbschriftliche Rechnen eine zentrale Bedeutung. D a-

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I6

Zentrale Inha lte des Mathem atiku nterricht s

bei losen Schülerinnen und Schüler kompliziertere, miiglichel."\veise noch unbckannte Rechnungen durch leichtere T eilau fgaben unter Verwendung von Rechengesetzen un d Rechenvo n eilen. Die Vorgc hc nswciscn, Rechenschritte und T eilrechnungen und -crgcbnissc kön nen schriftlich festgehalten werden, wobei es keine verpflichtenden Notationsvorschritten gibt (ygl. hierzu Krauthausen 1993; 2009; Plunkcrt 1987). Verste ht man Mathematiklernen als aktiven Prozess der Individuen (vgl. Kap . 3.1), dann sollten II//e Schülerinnen und Schüle r auf dem \'X 'eg zu ehe r konventionellen Vergebenswe isen zunächst Gelegenheit erhalten, ihre eigenen Lös ungswege und D arstellungsweisen zu entwickeln. Dazu sind Lern - und Entwicklungspr ozesse no twendig, in denen individuelle Strategien im Ausrausch mit anderen gezielt verglichen werden und so zu zum-hrm-nd effiz ienteren Vergehensweisen führen. Beim Übergang von den individuellen Strategien zu Konventionen, b spw. den schriftlichen Algorithmen, sollten die eigenen Ideen und \'X 'ege aber weiterhin ihre Relevanz behalten: Nur über individucllc Kenntnisse und Vorstell unge n kann man zu Verallgemeinerungen und Abstraktionen gelangen, und auch der Rückweg - d. h. der \'\'eg von der Kon vcnrion zurück zum individuellen \X'eg - muss potenziell verfogbar und reaktivicrbar bleiben. Gerade die Verkn üp fung von informellem Vorgehen und konventionellem \\'eg verspricht Erfolg für ein besseres Verstehen von Kon ventioncn, wie etwa der Algorithm en (ygl. . \ nghileri er a]. 2(02). I Ialbsc hrifrlichc Strategien in größeren Za hlenrä umen greifen auf vo rangegangene Inhalte zurück, zum einen auf Basiskompetenzen (z. B. Einpluseins oder Einmaleins), aber eben auch au f Strategiewissen. Dieser W'issensel."\verb muss sich bereits im Anfangsunterricht vollziehen. Schon hier sollte die Le h rp erson ihr besonderes Augenmerk darauf richten, dass die Schülerinnen und Schüler Flexibilität entwick eln, vielfältige Zahlzcrlcgungcn kennen lernen ode r bspw. auch Aufgaben des Einsp luseins mit hilfe unterschiedlicher Strategien verinnerlichen . D as l lcrausarbeitcn der cha rakte ristischen Merkmale un d auch das Benennen von Strategien sind dabei wese ntlich.

Im Folgenden wollen wir vorrangig am Beispiel der Addition einige wich tige Etappen aus führen. \'i/ir gehen dabei vorn Zwanzigerraum über den Hunderte rraum bis zur schriftlichen Addition im T ausen derraum un d werden an vcrschiedenen Stellen exemplarisch wichtige Aspekte für die weiteren Grundoperationen ergänzen. Addit ion im Zwanzig erraum

In Kap. 5,4 sowie 6.1.1 wurden bereits zentrale Aspekte für diesen Zahlenraum he rausgearbeitet. Wichtige Aktivitäten und Voraussetzungen für die Enrwic klung crwcircrbarcr Rechenstrategien stellen ein sicherer Zahlbegriff und Zä hlkompctcnzcn, die Anzahlerfassung kleinerer Mengen, insbesondere an strukturierten Darstellungen, sowie der Aufbau von Operationsvorstellungen dar. Dabei ist eine ganzh eitliche Behand lung des Zahlenraumes anzustreben (vgl. z. B. Sche rer 2005a).

6.1

Arithmet ik

I 149

Um ein tragfa higes Beziehungsnetz im Sinne des produktiven Übens (vgl. K ap. 5.2) au fzubauen, sind daneben auch sogenannte operative Übungen und Srrareb>1en zu behandeln ( Tab. 6.1; vgl. Radatz et al. 1996, 84-; \'('ittm ann 1985). Tabelle 6 .1 Operati ve Übu ngen zur Aufgabe 8+ 7 (nach Radatz et al. 1996, 84 )

Grundaufqa ben umkehraufg aben

Tauschaufgabe

Nachbaraufg aben

15-8

7+ 8

7+ 7 bzw. 9 + 7

15- 7

8+6 bzw . 8 + 8

8+ 2+5

7+ 7+ I

10 +5

8+1 0-3

8 +8 - 1

[aus (8 + 2) + (7- 2)]

Zerlegen und Zusam mensetze n

Verdoppel n und Halb ieren

Gegensinni ges Verändern bei Addit ion (Kon stan z der Summe)

Grundst rat egien

Solche Cbungen sind mit den entsprech end en Rechengeserzen un d Beziehungen natürlich auch für die Subtraktion durchzu führen und auf andere Zahlenwerte zu übertragen sowie auf geeignete Veranscha ulichungen abzustützen (vgl. auch Kap . 5.3), um grundlegende Kompetenz en zu sichern (\"gl. Scherer 2005a). D as langfristige Z iel ist hierbei die Automatisierung von Einspluseins und Einsmiu uscins, um diese Basiskomp etenzen in den weiteren Zahlenräumen sicher einsetzen zu k ön nen (vgl. auch Kap. 5.2.5). D ie Bedeutu ng automatisiert er Elemente wird ins besondere für lerns chwache Schü lerinnen un d Schüler in verschiedenen konzeptionellen Vorschlägen be ton t (\"gl. z. B. das Verdoppeln und Halbieren sowie die Zerlcguogcn bzw. das Ergä nzen zur 10 bei Mennc 1999; 20 f.; Mcnnc 200l , 79 ff.; auch Gerster 2007; vgl. auch die Ausfübrungcn zur Multiplikation in K ap. 6.1.2). Addition im Hunderterraum D ie elementaren Stra tegien und Einsich ten aus dem Zw anziger raum gilt es auf größere Zahlen im H un derterraum. Ta usenderraum und dariiber hinaus zu übertragen und zu erweitern. Die Behandlun g der O perationen sollte auch hier ganz heitlich erfolgen, um relevan te Beziehungen zu verdeutlichen. So ist es aus unserer Sicht wenig sinnvoll, die versc hiedenen Additionstypen nach (verm eintlichem) Schwierigkeitsgrad gestu ft einzuführen, etwa beginnend mit dem Typ ZE+E (zunächst ohne, dann mit Zc hncrübcrschrcirung). D ieser Au fgabenty p kön nte Schülerinnen und Schüler dazu verleiten, das Ergebnis au fgrund des kleinen zweite n Summanden du rch zählen des Rechnen zu bestimmen. I Iingcgen kann eine komplexere An forde rung, z. B. du rch den Aufgabentyp ZE +Z E

150

I6

Zentra le In ha lte d e s Mathem atiku nterricht s

schon für die Einführung der Addi tion die E ntwicklung neuer Strategien herausfordern (" gI. auch Scherer 1999a). Betrachtet man bspw. die Addition gemischter Ze hnerzahlen (ohne Überschreitung), dann sind verschiedene halbsc hrift liche Str ategien möglich, die wir in sym bolischer Form am Beispiel der Aufgabe 35+23 systematisch beleuch ten wollen . Die (I Iaupt-)Strategien sind -Srcllcnwcrtc extra" -Schrittweisc- ,I Iilfsaufgab e< und .Vcreinfachcn, (vgl. \'\'iu man n/ t\[üller 1990, 82 ff.; K rauthausen 1993). Im Unterr ich t mit lernschwachen Schülerinnen un d Schülern ist zu beachten, dass es bei der Behandlung halbschriftlicher Strategien im ersten Schritt nicht darum geht, alle Strategien kcn ncnzu ternc n , zu verstehen und anzuwcn den. \"richtig ist, dass die Le rnenden eine n für sie geeigneten \"'\'eg finden , um eine bestimmte i\ ufgabe zu losen (Schmassmann/ Moscr Opitz 2008a, 4-3).

Stellenwerte ex tra: Hie rbei werden beide Sum man den in ihre Stellenwerte zerlegt un d die jeweiligen Stellenwerte zusammengefasst. 35 + 23 ::: 50 + 8 ::: 58 30 + 20 ::: 50 5+

3 ::: 8

D iese Strategie wird häufig von Schülerinnen und Schülern, auch lerus chwaeben, favorisiert und durchaus erfolgreich ange\vendel (\"gl. z. B. Sche rer 1999a; SeIter 2000). G ründe für die Wahl liegen siche rlich in den leichten arithmetischen An forderungen, da lediglich Aufg aben des Einspluseins bzw. deren An alogien mit glatten Zehnern berechnet werden müs sen. Zudem kann diese Strategie bei allen Aufgaben in gleiche r Arr angewende t werden und lässt sich du rch einige Materialien (z. B. Die nes-Materi al oder Reche ngeld) gut veranschaulichen (vgl. auch Scherer 1999a, 2-1-4- ff.). D ie Strategie ist auch aus dida ktischer Sicht fiir den Übergang zum schriftlichen Additionsalgorithmus (s. u.) bedeutsam, weist abe r auch Nachteile auf: Im Vergleich zu anderen Strate gien sind mehr Teilrechnungen auszuführ en, was ins besondere im T ausenderr aum sehr aufwen dig wird. An einer Veranschaulichung wie dem Rechenstrich lässt sie sich nicht dars tellen (\"gl. im Gegensatz dazu die Da rstellung des schritrwcisen Rcchncns in Abb. 6.26 bzw. 6.27). Z udem ist die Strategie -Srcllcuwcrtc extra. für die Sub traktion nicht unproblematisch (vgl. z. B. Radatz er al. 1998, 4--1-). Bei Aufgaben ohne Zehnerüberschreitung kann die Verarbeitung der T eilergebnisse einige Schü lerinnen und Schüler verwirren: O bwohl es insgesamt um eine 5ublmktion geht, müssen die Tei lergebnisse addiert werden. 58 -23 =30+5 =35 50 -20 =30

8- 3 = 5

6.1

Arithme t ik

I 151

Noch gn')ßere Problem e bereiten Aufgaben mit Überschreirungen. D ie folgende n fehlerhaftem Vergehensweis en können mijglic he1"\veise auftreten (ygl. auch Rad atz et al. 1998, 44).

53 - 28 ::: 30+ 5 ::: 35

53 - 28 ::: 30 - 5::: 25

50 -20 ::: 30

50 - 20 ::: 30

8 -3:::5

8-

3:::5

Bei beide n Varianten werden für die Subtrak tio n der Einerstelle Minuend und Subtrahend ein fach verrauscht, da die Aufgabe 3--8 nicht gerechnet werden kann. Bei der zweiten Variante wird zudem für die Vera rbeitung der Tcile rgcbnisse falschlieherweise die Subtraktion anstelle der Ad dition gewählt. Fatalerweise führt diese falsche Strategi e hier zur korrekten Lö sung. D ie Tatsache, dass Schülerinnen und Sch üler die Strategie S tellenwerte extra. verwenden, auch wenn sie im Unterricht nic ht gelehrt wurde un d sie dabei wenig erfolgreich sind (ygl. z. B. Bcishuiz cn ct al. 1997; Scher 2000), macht eine sorgfaltige Beo bachtu ng und Planun g für deren Th ematisierung unumgänglich: Einerseits sollte eine Aus einanderse tzung mit verschiedenen halbschriftliehen Strategie n für alle O perationen ennöglicht werden, so dass die Sc hülerin nen und Schüler alternative Vergehensweisen zur Ver fügung haben. An de rerseits muss die Strategie .Srclk-nwcrrc ext ra. sorgfahig thematisiert werden, wenn diese von den Lernenden favo risiert wird. 'x'in mann/Müllcr (1990, 83 f.) schlagen etwa folgenden \\'eg vor, bei dem sym bolische Fonn und gee ignet e sprachliche Formulieru ng verbunden werden. Für die Aufgabe 53- 28 wird gerechnet und erklärt .von 50 nehme ich 20 weg. D ann habe ich noc h 30. J etzt muss ich noch 8 wegnehmen. Ich nehme erst 3 weg und muss dann von 30 noch 5 wegnehmen. E rgebnis: 25.
53 - 28 ::: 30 -5 ::: 25 50 - 20 3-

8

D ie Strategie .Srcllcnwcrtc extra. wu rde für die Addition oben in einer bestim mten (eher standardis ierten) Notationsform angegeben, die abe r nicht z\\langsläu fig erforderlich ist. Vielme hr kann die Ar t und \\'eise de r Notation sehr unrc rschiedlich geschehen, wie die beide n folge nden D okum ent e von Fördcrschü lern des 3. Schuljahrs zeigen (vgl. Scherer 2009c, ·1-39). Sandra zerlegt zunä chst die beiden Summanden in ihre Stellenwerte und belässt alle in einer Summe, an schließend addiert sie ers t die Ei ner, dann die Z ehner (A bb. 6.24). Sie nutzt dabei in natürlicher \\'cise das Assoziativgesetz sowie das Kommu tativgesetz.

152

I6

Zentrale Inhalte de s Mathem atiku nterricht s

35 + 23 =

J er +5 +-J H er .::8'+ 5 c: .: 5S

Abbildu ng 6.24 Sandras Strategie zur Addit ion 35+ 23

Andi notiert seine Zerlegu ngen in einer ncuc n Z eile (Abb. 6.25), wobei die Additio n der Z ehn er direkt im Kop f berechnet und nich t mehr explizit notiert wird. D ie Eine r werden noch separat notiert, um dann das Gesamtergebni s zu be stimmen.

35 + 23 -

8

Abbild ung 6.25 Andis Strategie zur Addit ion 35+ 23

Sollten Schü lerin nen und Schüler nicht vo n sich aus geeignete Notationen entwickeln, dann ist zum einen die Absrü tzuo g au f eine Veranscha ulichung eine mögliche I lilfc. Zum anderen können die Schülerinnen und Sch üler verbale Besch reibungen des \'X 'eges od er der T eilschritte zusamm en mi t der Lehrperson in eine symboli sche Form üb ersetzen. E igene Lösungswege zu verbalisieren bzw. zu verschriftlichen. stellt u. U. recht hohe Anforderungen gerade an lernschwache Schülerinnen un d Schüler, sollte jedoch als Ziel angestrebt werden. Die Kinder »k önncn auf diese \'\'eis e mehr von dem zeigen, was sie wirklich können, und die Lehre rin hat me hr Gelegenheit, etwas über das Denken der Kind er zu crfahrcn « (Spiegel 1993,7). Der Schwierigkeit, individuelle Vorgeheusweisen korrekt zu notieren, kann vo m 1. Schuljahr an begegIl(·t werd en. Das heißt nicht , die Schülerinnen und Schüler so fort auf die konventionellen Notation sformen zu verp flichten. Vielmehr sollten sie mit ihren individuelle n Notation en E rfahrungen sammeln und dabei auch unt erscheiden k önnen zwisehen N otatio nen, die für sie selbs t als Denk- und Rechenhilfe gedacht sind, un d den auch für and ere nac hvollzieh baren un d mathematisch korrekten N otation sformen. Um Scbülcrinn en und Schülern die Freiheit zur Verwendung dieser Notation sform en zu lassen, ist fachliches und fachdidaktisches Hin tergrundwissen der Lehrperson erfo rderlich (" gl. Kap . 3). I licr ist es das Wissen, dass halbschriftli-

6.1

Arithmet ik

I 153

ehe Strategien in ihrer N otation - anders als die schriftlichen ..\Igorithme n nicht festgelegt sind: Es ist egal, in welcher Reihenfolge die Zehner und Eine r notier t werden, ob alles in einer Sum me belassen oder getre nnt notiert ode r ob ein Teilergebnis im Ko p f berechnet wird. Z udem sollte die Kenntnis über die verschiedenen halbschriftliehen Stra tegien zu allen Rechenoperationen vorhande n sein, die im \'{'eiteren exemplarisch für die Addition aufgeftih rt werden.

SthrittweiJ"e: I Iierbei wird ein Summand belassen, der andere wird geeignet zerlegt {z. B. in seine Stellenwerte), und die jeweiligen Tei lrechnungen werde n durchgeführt. 35 +23 =58 35 + 20 = 55 S5 +

3 = 58

Auch diese Strategie ist für beliebiges Z ahlenmaterial anwen dbar und weist im Vergleich zur vorangegangenen Strategie weniger T eilrechnungen au f. Sie erfordert aber bspw. die arithmetische Kompetenz, zu gemischten Z ehn erzah len beliebige Zehner zu addieren. D ies kann gerade für lernschwache Schülerinnen und Schüler eine hohe Anforderung darstellen und sollte speziell geübt werden (vgl. Mcnnc 1999): So kö nnen bspw. an der Hunderterkette (mi t Färbung der F ünfer- bzw. Zehnerstruktur) Zehnersprünge ausgeführt und bestimmte Muster entdeck t werd en. Später können auch Vielfache von 10 gesprungen werden, und eine Übertragung auf den (leeren) Za hlenstrahl kann erfolgen. So rechnete Saskia die Aufga be 35+23 schrittweise (mit Ze hnersprüngen) un d veranschaulichte dies am leeren Zahlenstrahl (Abb. 6.26).

Abbildung 6.26 Saskta s schrittw eises Rechnen am leeren Zahle nst rahl (Menne 20 0 1, 89)

Mir ihr konnte im Il inblick au f die Forderung daran gearbe itet werden, me hrere Zehnersprünge zu einem Sprung (hier Zwa nzigersprung) zusammenzu fassen .

/ !i!f.iaJ~[gabe: llierbei wird eine verwa ndte, ein fachere oder bekannte Aufgabe berechnet (hier ein Summand zu einem glatte n Zehner verkleinert). Anseliließe nd ist noch die Veränderung zu berüc ksichtigen un d zu berechnen.

154

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Zentrale Inha lte des Mathem atiku nterricht s

35+23 = 58 35 + 20 = 55 55+ 3 = 58 O der: 35 + 23 = 58 30 + 23 = 53 53 + 5 =58 D ie erste Variante zu dieser Strategie verdeutlicht, dass unterschiedliche Intentionen für das v orge hen (l Iilfsaufgabc bilden oder schrittweise rechnen) durchaus zu gleichen Za hlzerlegengen und Te ilrech nungen führen können. V ereinfm hen: Diese Strategie ähnelt der Hilfsau fgabe. denn auch hier wird eine einfach ere Aufgabe gesuc ht. Allerdings wird die Veränderung unter Ausnu tzung der Konstanz der Summe in einem Schritt vo llzogen. I licr muss anschlicßend nichts mehr korrigiert werden, da man die inten dierte Veränderung direkt ausgeglichen hat.

35+ 23 = 58 30 + 28 = 58 aus (35-5) + (23+ 5) Bei den beiden letzten Strategien wird deutlich, dass diese sich nicht für jedes Z ahlenm aterial eigne n un d dass besond ere Z ahlbeziehungen erkannt und genutz t werden müssen. Dies fallt lern schwachen Schüleri nne n un d Schüle m o ft schwer. J e me hr aber Zahlbeziehungen und Muster generell im Unterricht thematisiert werde n, desto wahrschei nlicher kann sich Verständnis da für einstellen und flir den flexiblen Eins atz vo n verschiede nen Strategien genutzt werden. D eutlich wird an den verschieden en Strategien, dass sowoh l ein sicheres Srellenwcrtvcrsrandnis (vgl. Kap . 6.1.3) als auch die operativen Strategien aus dem Z wanzigerraum zur An wen dung ko mmen. Im Unterricht sollten nicht nur die forma len Notationen, sondern auc h geeignete Veranschau lichu ngen (z. B. Dienos-Material, Reche nrahm en oder auch der leere Z ahlcnstrabl: vgl. z. B. Scherer 1999a, 243 ff.; Scherer 2003b, 112 ff.; Kap. 5.3 bzw. 6.1.3) angeboten werden, ohne dass allerdings Lösungswege vorgegeben werden. \'X 'ie bereits in Kap. 5.3 erläutert, können bestimmte Arbeitsmi rtel und Vera nschaulichungen eine bestimmte Strategie nahelegen oder die Strategiewahl einschränk en (vgl. z. B. Sche rer 1999a, 243 f.).

6.1

Arithmet ik

I 155

Im Unterricht sollten im mer auch Phasen der Reflexion über verschiedene Stra tcgicn erfolgen. D ie Wege und Notationsformen können verglichen un d lintsprechungen sowie Vorteile der einen oder anderen Strategie gesucht werden. Ein wichtiger Punkt scheint dabei auch das Benennen der einzelnen Seraregien. um einerseits den Schülerinnen und Schulern das D okumen tieren ihrer Srraregie zu erleichtern. •vndc rcrscirs kann dadurch de r Blick auch auf das Cbarakreristischc und Allgemeine einer Strat egie gerichtet werden, so dass allgemeines D enken und nicht die speziellen, gerade im vorliege nde n Beispiel verwendeten Zahlen in den Vordergrund tre ten (vgl. auch l luinkcr er al. 2(03). So ist das Charakteristische de s schri ttweisen Rechn cns das Zerlegen einer der be iden Zahlen (s. n.). D ies kan n, wie oben ko nkr etisiert, die Ze rlegun g in die Stellen werte sein. Sehrirrweise kann aber auch gerec hne t werden, indem Zahlen so zerlegt werden, dass bei den Teilrechn unge n glatte Zehner oder Hunde rter er reicht werden . .Abb. 6.27 zeigt verschiedene M öglichkeiten des schrittweisen Rcchnens am leeren Zahlenstrahl fiir die Aufg abe 65-38. \'('ährend ganz links zunächst die einzelnen Ze hner und dann der Eine r subtrahier t werden, findet sich bei den anderen \'('egen das Zerlegen des Eine rs. So kann im Verlauf von einem glatten Zehner aus weitergerechnet werden, was einigen Schülerinnen und Schülern leichte r fallt.

zr

JO

Abbild ung 6.27 Verschiedene Möglichkeite n der schrit tweisen Subtraktion am leeren Zahlenst rahl (Menne 200 1, 196)

Le rn schwache Schülerinnen und Schüler haben diese Einsicht allerdings nicht im mer und vor allem nicht vo n Anfa ng an. Sie m üssen dabe i unt erstützt wer de n, etwa indem im Klasse nverband immer wieder gemeinsam nach dem pas senden Namen gesucht wird oder indem diskutiert wird, welche Le rnen den die gleiche Stra tegie verwendet haben (vgl. Lorcnz 2003a, 39 f.). D ie Frage, welche Strategien sich bei welchen Aufgaben anbieten, lässt sich nicht pauschal beantworten. Natürlich kann das gegebene Zahlenmaterial eine bestim mte Strategie nahelegen. diese Wahl ist aber immer abhängig von der K enntnis der jeweiligen Strategie und der individuel len G eläufigkeit/ Sicherheit un d den individuellen Rechen fertigkei ten (vgl. Th rclfall 20(2). Mitunter kön nen verschiedene Einflussfaktor en konkurrieren wie bspw. die Anzahl der Teilaufgaben, leichte oder anspruchsv ollere arithmetische An forderungen (Einspleseins bzw. Analogien) un d Strategiewissen (7. . B. bei der Strategie )1Iilfsaufgabc-

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Zentrale Inhalte de s Mathem atiku nterricht s

die vo rzunehm enden ge~ c hi ck ten Ver änderungen und das entsprechende Ruckgängigm achen) mit entsprechendem Blick auf Z ahlbeziehungen oder geei6l'11ete Ze r!egungen (vgl. z. B. Sche rer/ I Io ffrogge 200-1-).

Addition im Tausenderraum Bei der Addition im Tausenderraum kom men zunächst die bekannten Strategien des H underterraumes zur Anwendu ng, die es nun zu erweitern gilt. D ie verschiedenen Strategien we rden nun insofern komplexer, als dass hier mehr T eilschritte oder mehr Zerlegungen vorzunehmen sind. Zudem sind u. U. die arithmetischen An forderungen der erforderlichen Teilrechnungen erhö ht. Für die l\ ufga be 2.3-1-+ 126 verwendete Scnad (4. Schuljahr, Fö rdcrschulc Schwerpunkt Le rn en) die Strategi e .Srcllcnwerrc extra-, allerdin gs zerlegt e er die beide n Summ anden nicht in die Stellenwerte Hundert er, Zehner und Einer, so ndern beließ Z ehner und Einer zusam m en (Abb. 6.28). Er adaptierte die Stra tegie entsprech end seiner arithmetischen Kompetenzen: D ie Au fga be .3-1-+ 26 führt zu einer glatte n Z ehnerzahl und gehörte fiir Scnad m()glicheC\vei ~ e zu den lcichrcrcn Au fgaben.

Abbildung 6.28 Senads halbschriftliche Strategie zur Aufgabe 234 + 126

G ru ndsätzlich w äre es wünschenswert, dass alle Schüle rinnen und Schüler halbschriftliche Strategien flexibel nutzen könnten . Die s gelingt aber nicht unbedingt allen. So w ählte auch Senads Klassen kam eradin Jennifer für die Aufgabe 2 10+ 5-1-3 die Strategie -Srellcnwerte extra. und dies in eher standardisier ter Form (Abb. 6.29). Diese ist inso fern beme rkenswert, als beim ersten Summanden die Einerstelle nicht besetz t ist und Jennifer explizit die Rechnung 0+3 = 3 notierte. Hier mag m an den E indruck hab en, dass sie diese Strategie eher rezeptha ft (im Sinne: es m üssen immer drei Teilrechnungen passend zu den Srcllcnwertcu 11, Z, E notiert werden) als m it umfassender Einsicht verw endet hat. Ihre N otatio n sollte in jedem Fall noch einm al besprochen werden, und m()gli. eherweise kö nnte J ennifer ent decken, dass sie die Zehner und de n Einer direkt (im Kopf) hätte addi ere n könn en.

6.1

'J. 00 f J AO

t

Arithmet ik

I 157

00 -=- ':j. C!IiO

C
O f '), - ~ Abbild ung 6.29 je nnüe rs halbschrift liche Strategi e zur Aufgabe 2 10+ 543

Schriftliches Rechn en Bei der Ausführung von Algorithm('n geht es im Gegensa tz zu den individuclIm halbschriftlichen \'('(ogen um festgelegte Vorgehcnsweiscn: Eine bestimmte Aufg abe wird auf ein und demselben \'\'log, nach festgelegten Schritten, in fest gelegter Reihenfolge und mit verbindlich vorgeschrieb ener Notation (und auch festgelegter Spr echweise) gelöst. D iese Schritte und Notationen unterscheiden sich bei den einzelnen Rechenope rationen z. T. erhe blich: So verlangt die bei uns üblic he Fo rm der schri ftlichen Add ition eine n Beginn mit dem kleinsten Stellenwert, wahrend bei der schriftlichen D ivision xunachsc die größten Stellenwerte verarbeitet werden. Hier wird klar, dass die Vorgehensweise bei einem Algorithmus für die Lernenden nicht unbedingt universell cinsehbar ist, son dern für jedes Verfahren neu überlegt werden muss. .Algorithmen sind allgemeingültig und unabhängig von gegebenem Zahlenmaterial (vgl. Krauthausen 1993). .Anders als beim halbschriftlichen Rechnen geht ( 'S um ein Rechnen mit ZIffern. Währen d beim halbschri ftlichen Rechnen die Zahlen in ihrer Gesamtheit im Blick sind, wird nun stellenweis e gearbeitet. Letz tlich beruh en schri ftliche Rechenverfahren in ihrer Funktionsweise auf der Darstellung der Zahlen im D ezimalsystem, was die Bedeutung eines sicheren Stellenwcrrvcrstandnisses erneu t be ton t (vgl. Kap. 6.1.3). Damit verbunden müssen insbeso ndere entstehende Überträge vc rarbcirer werden. 'x 'circr sind verschie de ne Basiskompetenzen wichtig, für die schriftlic he Addition bspw, die auto matisierte vcrfügbarkeir des Einspluseins. Algorith men kann man sich not falls oh ne Verständn is einprägen un d u. U. zu verlässig nutzen, und diese G efahr ist gerade bei lernschw achen Schülerinnen und Schülern gege ben . Allerdings sind nicht verstandene schriftliche Verfahren auch feh leranfällig. In einer Untersuchung vo n Moser Opitz (2007a, 221) verwendeten lernschwache Schülerin nen und Sch üler auch bei einfachen Kopfrechenaufgaben deutlich häu figer schriftliche Verfahren als Lern ende ohne Schwierigkeiten, zeigten jedoch signifikant schlechtere Leistungen (cbd., 183 f.). Daher kommen der Einführung und der Reflexion der schriftlichen Rechenverfahren in Unterricht und Förderung eine wesentliche Bedeutung zu (vgl. auch

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Zentrale Inhalte de s Mathem atiku nterricht s

Schippet 2009 , 125). Eine einsichtsvo lle Durchfiihruog der schriftlic hen ..\ddi· tion - wie auch der anderen schriftlichen Verfahren - basiert auf einem bcwusste n Verstehen der Übergänge und Beziehungen zwischen den einzelnen Stellenwerten der Zahl en (vgl. Sche rer/Steinbring 200-1-). Die unterschiedliche Darstellung von Zahlen in der Stellenwe rttafel stellt hierzu eine geei6l'11ete Aktivirär dar und wurde bereits in Kap. 6.1.3 ausge führt. Üblichenveise erfolgt im Tausenderrau m die Behandlung der schriftlichen Ad dition. Dabei stehen häufig das Ausführen der Prozedur un d ihre geläufige Beherrschung, wenige r das Verständn is des Verfahrens mit seiner Verbindung zu den halbschriftlichen Strategien im Ze ntrum (vgl. auch Ma 1999). Die Verbindung zwischen halbschriftlichem und schriftlichem Rechnen, das En twickeln eines schriftlichen Verfahrens aus den halbschriftlichen Strategien heraus, ist dabei keineswegs ein trivialer Übergang. I Iicr existieren bei den einzeln en Opcrationeu unterschiedliche ..\ nfo rderungen, und die Verbindung ist auch nicht für jede halbschriftliche Strategie möglich (vgl. z. B. Pepper 2( 02). Der Übe rgang von der halbschriftlichen zur schri ftlichen Addition ist verständnisbasiert möglich (vgl. z. B. Seherer/Sreinbring 200-1-), un d wir wollen diesen im Folgenden genauer betrachten. Bei der schri ftlichen Ad ditio n werden die Steilenwerte von rech ts nach links jeweils separat addiert. Der .Algorithmus hat also eine Nähe zur halbsc hrift liehen Strategie .Stellenwcn c extrac. ..\ llerdings wird hier mit Ziffern in einer festgelegten Reihenfolge gearbeitet, und ein m öglicherweise auftretender Übertrag (wenn die Summe an einem Stellenwert größer ist als 9) wird direk t vcra rbcitct. Abb. 6.30 zeigt diese Beziehu ng und verdeutlicht gleichzeitig, dass bei einem verkurz ten Anwenden der halbs chriftlichen Strategie (hier sofortiges ..\ ddicrcn der gemischten Zehnerzah len) diese Beziehung nicht so direk t im Verarbeitungsprozess sichtbar ist. Um das Verfahren der schriftlichen Addition verständnisbasiert einzu führen, ist deshalb die Strategie .Stcllcnwcrtc extra. in ihrer Standard form ge eign eter.

;;Lo 0

H O04/00

%§ +~ : 9 1

'70 -"10 ~J'O

5-/. ' =-1-:1 Abbildung 6.30 Beziehunq zwischen schriftlicher Addit ion und der Strategie -steuenwerte extra,

6.1

Arithmet ik

I 159

Auch wenn die schriftliche Addition im Vergleich zu den anderen O perationen als vergleichsweise leichter .A lgori th mu ~ b>1h, so sind dennoch typische Fehler anzutreffen: I:ür die l\ ufgabe 275+6 16 gab Sarah (4. Schu ljahr, Fordcrschulc Schwe rpunkt Lernen) das Ergebnis H811 an. Sie addierte die jeweiligen Stellenwerte un d erh ielt an der Einerstelle das E rgebni ~ 11, welch es sie ohne Umbündelung direkt notierte. Ihr Klassenkamerad Andrcas notierte zunächst das E rgebn is HH6 {Abb. 6.31).

Abbild ung 6.3 1 Andreas' Lösung zur Aufg abe 275+ 6 16

Bei ihm Hellte sich im ansc hließen den Gespräch heraus, dass er nicht wusste, wie er die Einerstelle verarbeiten sollte und deshalb einfach die Ziffe r des zweiten Summanden notie rte. Die nach folgende Reflexion übe r die entstehe nden Stellenwe rte konnte ihm helfen, die richtige Lösung zu finden. Dabei musste herausgearbeitet werden, dass der Übe rtrag in der schriftlichen Addition zwcicr Zahlen im Tausenderraum (die .klcinc Eins-) einen \,\'echscl zum nächst höheren Stellenwen bedeutet. Im Rahm en einer bewu ssten Th cmatisicrung der Umde utung von Zahlen in der Stellenwe rtta fel (vgl. Kap. 6.1.3) kann die -klcinc Eins, einsichtsvoll begründet werde n. E ~ kann bspw. erforderlich sein, die einzelnen Stellenwert e der Summanden, aber auch des Ergebnisses sowie den Umtausc h von zehn Einern in einen Ze hner no ch einmal zu verdeutlichen ("gI. Abb. 6.32).

Abbild ung 6.3 2 Verdeut lichung des Übert rags durch die Stellenwertt afel

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Zentrale Inha lte des Mathem atiku nterricht s

Insbesondere beim Auftre ten der N ull an einem Stellenwert kiinnen Unsicherheiten und Fehler entstehen. So berechnete Christian (4-. Schuljahr, Fo rdcrschulc Schwe rpunkt Lernen) die Einerstelle eigen tlich korrekt, erhielt die Sum me 10, notierte aber do rt falschliehe rweise nicht die 0, sondern die 1 (Abb. 6..3.3). Auch hier konnte im ansc hließe nd en Gespräch der Fehler aufgeklärt werden.

Abbild ung 6.33 Christians schriftliche Addit io n 234+ 126

Für die anderen Operationen ist der Übergang vom halbschriftlichen zum schriftlichen Rechnen deutlich anspruc hsvoller und aufwendiger, und wir verweisen hier auf einige konz eptionelle Vorsc hläge (Subtraktion: Schipper 2009; Schmassmann/Moser Opirz 2008b, t 13 ff.; Söbbc kc 2006; \'\'ittmann/Müller 1990,3-1- ff.; Multiplikation: Treffers 1983; \'\'ittmann/}.[üller 1992, 134- ff.; Division: \'\'ittmann/Müller 1992, 151 ff.; bzw. für verschiedene O perationen: G erster 2(07). Man kann nicht davo n ausgehe n, dass schon bei der Einführung des ersten schriftlichen Verfahrens umfas sende Einsich ten, ein flexibler Umgang mit de n Stellenbeziehungen und angemessene Beschreibungen und Bezeichnungen vorhandcn sind und fehlerfrei beherrscht werden. Diese Prozesse brauchen insbesondere mit lernschwachen Schülerinnen und Schülern viel Zeit. Eine einsichtsvolle Thcmausicrung mit dem Nutzen op erativer Beziehungen vo n Anfang an wird jedoch die \'\'ahrscheinlichk eit erhöhen, dass auch lernschwache Schülerinnen und Schüler Rechenwege, ob individuelle Strategien oder schriftliche Verfahren, mit tieferer E insicht und sicherer verwenden.

6.2

Sachre chn en

N ach den Ausführungen zur Arithmetik, dem zentralen Inhaltsbereich der G rundscbulm athematik, wollen wir uns in diesem Kapitel mit dem Lernen \'( 1Il Mathematik in Sachzusammenhängen, dem sogenannten Sachrcchncn, besc häftigen. D abei werden konkrete Lern- und Bearbeitungsprozesse mi t ihren Miiglichkeitcn, aber auch Schwierigkeite n genauer beleuchtet.

6.2

6 .2 .1

Sac hre chne n

I 161

Rechn en mit der Sache - Hilfe oder Hind ern is?

Le rn en allgemein und das Mathematiklernen speziell können in unterschi cdlichcn Kontexten stattfinden, die als solche die Lernpro zesse und Lernerfolge beeinflussen. Einen mathematischen In halt kookrexrbcaogcn oder aber kontex tfre i zu bearbeiten, kann für die Sch üleri nnen und Schüler eine Le rnerleichterung sein, es kann den Lernprozess aber auch erschweren (vgl. "an den H euvcl- Panhuizen 2005). Le rn en in Kontexten find et im Mathema tikunterricht der Prim arstu fe vor allem in Form von Sachaufgaben statt, d. h. in anwe ndungsorientierten Aufgaben, und bietet die i\.J()g Lich keit, leben sweltliche E rfah rung en aufzugreifen. Anwcndungsorientierte Beispiele werden häu fig als i\ usgangspunkt für die Erarbeitu ng mathematischer Inhalte genutz t (\"gl. \X'inter 1996b). Gleichzeitig bietet die Umwelt ein Feld für die Anwendung mat he matischer Inhalte und kann so den Nutzen de r Mathematik verdeutlichen (ebd.). Inso fern scheinen Kontextbezüge das Verständnis mathematischer Sachverha lte zu erleichtern. D ie Bewältif:,'Ung kontextbezogener Problem stellungen bzw. von Sechaufgaben sch eint aber auch ein schwieriger Bereich des Mathem atikunterrichts zu sein, sowohl für Lehrpersonen als auc h für Sch ülerinnen und Schüler (vgl. z. B. Ben der 1980; Radatz 1983; Kliemc er al. 2( 0 1). I läufig wird dabei Sachrcchncn vorrangig auf das Bearbeiten von T extaufgaben reduziert (zu unterschiedlichen Aufgabentypen vgl. z. B. K rautbausen/ Sch erer 2007; Kap. 6.2.5) und ist zudem möglicherweise mit negativen Erfahru ngen de r Lehrpersonen verbunden, die diese auch in ihre spätere Unterrichtspraxis hineintragen. D ie m athem atikdidaktische Forschung ha t sich in der Vergangenheit mit verschiedensten Aspekten beschäftigt, um E rkenntnisse für auftretende Schwierigkeiten, aber auch für M{)glichk eiten der Ver änderung und Verbesserung der Sachrechcnpraxis zu erlangen:

•

Durchgeführt wurden vers chiedene Untersuchungen zu Schülerleistungen im Bereich des Sachrechncns (z. B. Bender 1980). In ncucrcn Veröffentli chungen zeigte sich bspw. im te ndenziellen Vergleich zu arithmetischen oder geometrischen Leistungen (\'gl. z. B. G rassmann 1(99), dass insbesondere bei der Bearbeitung kontextbezogener Aufgabenstellungen viele Schülerinnen und Schüler Pro bleme haben (vgl. auc h Kap. 1).

•

Mehrere Studien untersuchten detaillierter den Umgang mit de r Sache und zeigten auf, dass Schülerinnen und Schüler den in den Aufga ben gegebenen Kontext b'llr nicht ernst nahmen und erfassten (\.gl. z. B. Grccr 1993; Verschaffel ct al. 2(00) und u. a. auch T extaufgaben losen, die übe rhaupt keinen Sinn machen und unlösbar sind (sogen annte Kapiransaufgaben. Baruk 198 1; Radatz 1983; Scher 1994 b).

I6

162

Zentrale Inha lte des Mathem atiku nterricht s

•

Unte rsuchungen zu den jeweiligen Au fgabentypen, bsp w. unter ge+ scblcchrsspcz ifiscbcr Perspektive (van den I Ieuvcl-Pan huizcn / Vcrmccr 1999) oder ihrer sema ntischen Struktur (Stern 199-1-), verdeutlichen, dass auch diese Aspe kte einen wichtigen Einflussfaktor darstellen.

•

In verschiedenen Studien zeigten sich negative Einstellungen zum Sachrechn en (z. B. Eidt 1987; Radatz 1983).

D ie nähere Beschäftigung mit ko nkreten J.ernprozessen im Bereich des Sachrcchnens und entsprechenden Aufga ben stellt somit einen zentralen Faktor dar für die mathematische F örderung.

6.2 .2

Bear beitun gspr ozess bei Sachaufgaben

\,\'as ist nun das Besondere, möglicherweise auch das besond ers Schwierige des Sachrcc hnens? Z u nennen ist zunäc hs t die Relevanz der Sache, die Relevanz eines gegebenen Kontextes. Auc h zu arithme tischen Au fgaben bilden sich Kinder häufig ihren eigenen Kontext, dieser ist jedoc h nicht vorgegeben. D eshalb kann es Kindern schwerfallen. wenn sie sich mit einem m()glicherweise wenig bekannten oder unb ekannt en Kontext auseinand ersetzen müssen. Das Bewältigen vo n Sachsituationen mit mathema tischen Mitteln erforder t des \,\'eiteren die Übersetzung de r Sache (bzw. der \,( 'clt oder Umwelt) auf die Ebene der Mathem atik, den sogenannten Mode llbildungs p rozess (Abb . 6.3-1-).

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Abbildung 6.34 Lösungsprozess (Klieme et al. 200 1.' 144)

6.2

Sac hrechnen

I 163

Oftmals durc hlaufen Schülerinnen und Schüler diesen Prozess nicht vollstaudig, sondern sind ausschließlich auf das Finden/Losen einer pass enden Rechnung fixiert (z. B. Sowdcr 1989, 105) und neh men keine angemessene Mathematisierung vor. II ollenstein/ Eggenberg nennen diesen unvollständigen Pro zess »kurzgeschlosscncs Schema« (ebd. 1998, 120). Genauso ist es nötig, die au f der mat hematischen Ebene erhaltenen Ergebnisse zu inte rpretieren und zu validieren, ob es sich bspw. um ein realistisches Ergebnis handelt oder ob die Sachsitua tion mö glicherweise eine weitere arithmetische Operation erfordert wie etwa das Auf- oder Abrunden bei einer erhaltenen Dezimalzahl. Das Bewältigen von Sachsi ruarioncn ist also charakterisiert durch ein wechselweises Ar beiten auf de n Ebene n der Sache und der Math ematik. Die Beziehung zwischen Mathematik und \'>;'eh stellt dabei keine einfache .Gl cichhcit. dar. Es gilt, sowohl in der Sachsiruat ion als auch in der Mathematik Strukturen und Beziehungen herauszufinden und diese miteinander zu vergleichen. Diese Beziehungen sind keine direkten, unmittelbaren Abbilder, sondern Modelle un d Idcalisicrungen (\'>;'inter 1994, 11), die aktiv konstruiert werden m u sscn.

Im Folgenden werden Fördcrmö glichk citcn einerseits bezogen au f die Art der Bearbeitung, andererseits be zogen auf die Art der Aufgabenstellung diskutie rt. Im Anschluss daran werden weitere Aspekte für die Fö rderung im Mathematikunterric ht im Bereich des Sachrcch ncns vorgestellt.

6 .2 .3

Sc hwierigkeite n im Bearb eitung spro zess

\,\'ill man den Umgang mit Sachau fgaben gen auer analysieren, dann sind die einzelnen Phasen des Bearbeitungsprozesses (vgl. Abb. 6..34) zu bet rachten. Dies erfolgt an ausgewählten 1\ ufgabenbeispielen.

Probleme bei der Mathematisierung bzw. ModelIierung Z unächst sei ein Beispiel zur Bearbeitung einer kontextbezogenen Aufgabe aus Sche rer (2003a; vgl. auch Scherer 2005b, t l ff.) vorangestellt. Im Rahmen einer diagnostischen Überprü fung wurden versc hiedene Au fgaben zur Multiplikation und Division sowohl in Form von schriftlichen T ests als auch in Form vo n Einzelinterviews gestellt (vgl. auch Kap . ·1-.1.2). Die kontextbezogene Multiplikation wurde im Kontext eines Wur fspid s überprü ft (vgl. Abb. 6.35) mit der Aufgabenstellung. ,Wie viele Punkte hat der J unge beim Wurfspiel insgesamt?(. Vladimir, ein Vicrtklassler der Fördcrschulc, gab im Interview als erstes E rgebnis 24 an. Vermutlich hat er alle Za hlen des Spielbretts addiert, wobei ihm ein Rechenfehler unterlief (3+ 4+ 5+ 6+ 7; Abweichung um 1). Diese Hyporbese liegt nahe , da Vladimir im schri ftlichen T est für versc hiedene Zahlenboispiele dieses Aufgabentyps (andere Anzahl von Pfeilen auf anderen Ringen platzier t)

164

I6

Zentrale Inha lte des Mathem atiku nterricht s

immer dasselbe Erge bn is anga b (dort: 23). Wäh rend des In terviews gab die lntervieweriu einen I linweis au f die P feile, indem sie fragte wie viele Punkte der Ju nge für einen geworfenen Pfeil erhält, was VIadimir zum \X'eiterzählen eines Punktes pro Pfeil un d zum ncuen E rgebnis 29 führte. Die Inrcrviewcrin thcma tisierte anschließend den Kontext genauer: I:

So, jetzt stell D ir das noch mal gen au vor, wir würden jetzt so ein Spiel machen. Du wirfst diese P feile an diese \X'aml, ja. So, und jeder Pfeil gibt ja Pun kte, je nachdem, wo er auf diesem Brett landet. Und hier gibt es für jeden P feil drei Punkte, ja. [deutet auf den zugehii rigen Ring)

Vladimir interpretierte nun den Ko ntext ko rrekt, rechnete die Punkte zusammen un d kam - bedingt durc h einen Rechen fehler - zum Ergebnis 16, \Varum hast du's jetz t ande rs gemacht? Vladimir:

' x'cgcn .,. Wir haben gespielt. J etzt eben gerade.

I,

Was ist denn jetzt das richtige E rgebnis? \'X 'enn man wissen will, wie viele Punkte der J unge gesam melt hat, bei diesem Spiel?

VIadimir:

[deutet auf sein erst es Erge bnis] Ne unundzwanzig.

Abbildung 6.3 S Kontextbezogene Mult iplikation (Scherer 200Sb, 4 1)

Es wird deutlich, dass für Vladimir die simulierte Spielsitu ation 1Il einer bestimmten \Vc!t sta ttfin de t un d das Lösen der gege benen Au fgabe in einer andc-

6.2

Sac hrechnen

I 16 5

rcn \\'elt, m()glicherweise eher in einer Art .Rcchcnwclt., und es ihm nich t gelingt, die beiden \\'elten miteinander zu verbinden. Bezogen au f den Prozess der Mod eliierung scheinen für Vladimir die Z ahlen, hier Zahlsymbole in der Abbildung, das dominante Merkmal einer l\ ufgabe zu sein, die er direkt vcrarbcirct, ohne den Kontext zu beachten. Dass er die gegebene Situation grundsätzlich ver steh t und auch modellieren kann, macht das Simulieren der Spielsituation klar. Das dort erhaltene Ergebn is ist jedoch für ihn nicht die mathe matische Lö sung der ..\ ufgabe. \'('ir wollen nun den Mod cllicrungsprozcss etwas genauer beleuchten: Abb. 6.36 zeigt eine konrcxtbezo gene Au fgabe zur Division und Multiplikation aus einem Lehrwerk für das 3. Schuljahr der Fordcrschulc Schwerpunkt Lernen . Beim vorliegenden Aufg abentyp handelt es sich um eine sogenannte eingekleidete Aufgabe (vgl. Krauthausen/ Scherer 2007, 8-1- f.). In der erst en Aufgabe des oberen Aufg abenpaars ist den Schulerinn en un d Schülern der Prozess der Moddlbildung \'ollständig abgenommen, und das Ergebnis 7 könn te ohne Beach tung der gege benen Situation bestim mt werden. Auc h bei den weiteren Au fgaben müs sen sie die Modeliierung nur bedingt selbs t vollziehen, da die Operntion durch den lückenhaften Za hlcnsatz berei ts vorgegeben ist und für die Schülcrinncn und Schüler klar ist, dass nur eine einzige Rechnung erforderlich ist. Dies kann die Lernenden langfristig dazu verleiten, bei Sachaufgaben nur nach pass enden Rechnungen zu suchen und nicht die Sachsituation zu durchdringen. \\'ären sie geforder t, eigen ständig die Mode liierung vorzunehmen, würde u. U. eine weitere Anforderung deutlich, nämlich da s Sprach- und Textvcrstandnis: So beinhalten die beiden Au fgabens tdlungen in Abb. 6.36 Formulierungen wie .mir je 7 Kindern- oder >5 Murmeln in jeder D ose., die für das Aufgabenverständnis zentral, aber für Kinder keine swegs trivial sind (vgl. z. B. Radatx/ Schippcr 1983, 137 f.). Gerade Kind er, deren Ersts prache nicht Deutsch ist, stellt allein die sprachliche G estaltung einer Sachaufgabc, u. U. bei gleichem Kontext, o ft vor große Schw ierigkeiten (Radatz 1983; vgl. auch Penner 19(6). Derartige sprachliche Anforderungen mü ssen explizit geklärt werden (s. u.), und ggf. sind auch Umfonnulierungen vorzuneh men (il-rau Miillcr ru ft zwei Mannschaften zusammen. In einer (bzw. jeder) Mannschaft sind 7 Kind cr-) . Es wäre nur eine kurz fristige Lö sung, den Schülerinnen und Schüle rn diese An forderuog durch Vo rgabe der Struktur der Rechnu ng abzunehmen.

166

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Zentrale Inhalte de s Mathem atiku nterrichts

In der Klasse sind 1 4 Se helee Frau Mütter le ill die Klasse in zwei Mann schaften .

Fra u Mülle r ruHzwei Man nschall en mit je t Kindern zusa mmen .

••••• Murat soll 1 0 Murmeln in 2 Dosen

Er hai 5 Murmeln in jeder Dose.

verieilen.

..."'. Abbildung 6.36 Kontex tbez ogene Aufgabe (Burkhart et al. 20 08 , 8 1)

Nimmt man den Prozess der Modellbildung erns t, dann geht es um weir mehr als um das Finden einer passenden Rechnu ng. Vielme hr erfordert der Prozess das E rfassen und Verstehen der Situation und gg f. auch eine ausdrückliche Diskussion der Aufg abcosrcllungc n mit den Sch ülerinnen und Schülern. Mögliche Vorgc hcnswcisen, bevor mit dem Rechnen oder allgemein mit der Verarbeitung der gegebenen Daten bego nn en wird:

•

D ie Lernenden, bzw. einzelne Lernende, werden gefragt, wie sie die Aufga be vers tehen, un d geben die Situation in eigenen \X'o rten wieder. Sie müs sen dabei nich t so fort alle numerischen Details au fführen, son dern kön nten zunächst die Situa tion an sich beschreibe n (z. B. }Es sollen gleich große Mannschaften gebilde t wcrdc n.). D ies kann der Lehrperson bereits wcrrvollc Hinweise geben, ob der Kontext bekannt ist und die Situa tion grundsätz lich versta nden wurde oder ob das Textverständnis vo rhan den ist. An noch unv ollständigen Äußerungen der Schülerinnen un d Schüler kann dann auch weite r gear beitet werden .

•

Daneben besteht die Möglichkeit, eine gegebene Aufgabe auf andere Repräs entationse benen zu übersetzen, etwa in I landlung oder Grafiken. G erade das Nac hspielen von Sachsitua tion cn, auch mit Material, sollte im mathematischen An fangsunt erricht eine zentrale Rolle spielen (\"gl. auc h

6.2

Sac hrechnen

I 167

Schmassmann/ Moser Opitz 2008, -I-8b; \'('ittmann/Müller 200-1-, 1.3; s. u. Verarbeitung der Daten).

•

Des \'{'eiteren kann die Le hrperson gcaicltc Fragen zur Aufgabe stellen, um die Bedeutung und die Bezieh ung der relevanten Daten zu klären ()Wie viele Kinder sind in einer Mannscha ft>, )\'{'je viele Mannschaften werden gebildet?<).

Über die spezifische Aufgabe hinaus, kön nen Übu ngen zur Förderung der Modellierungskompetenz durchgeführt werden (vgl. auch Nestle 1999):

•

$0 können bspw . durch Fragen, Alter nativen und Ilandlungen neue Perspcktivcn entwickelt und die Vorstellungen der Schülerinnen und Schüler

gefi)rdert werden (z. B. )\'{·'as wäre, wen n drei Mannschaften gebildet werden sollcnö).

•

Die Schulerinnen und Schü ler kö nnen selbst Veränderungen am Te xt vornehmen, ihn verkürzen oder verlängern. Möglich ist darüber hinaus auch eine Veränderung der Stru ktur, des Z ahlenmaterials oder auch der vorge gebenen Situation (z. B. )Wie würde die l\ ufgabe für unsere Klasse heißen?<).

Grundsätzlich sollten bei gegebenen Da ten, bspw. auch in bildlieber Form, die individuelle Sichtweise und Interpretation der Schulerinnen und Schüler erfragt werden, um langfristig die Modc llicrungskompe rcnz zu fördern. So biete t sich für Unte rricht und Förderung nebe n den eher standardisierten Darstellungen (vgl. A bb. 6.36; vgl. auch K rauthausen/ Scherer 2007, 83 ff.; Steinbring 199-1-) der bewusste Einsatz offener D arstellungen an, in denen verschiedene Deutungen un d Aufgaben möglich sind (vgl. z. B. Pusr 2(06). Aufgabe der Schulcrinncn und Schüler wäre dann, eine gegeb ene, komplexere Situation vielfaltig zu er fassen und viele verschiedene Aspekte mathematisch umzusetzen un d zu erlaurcrn. Ein Beispiel liefer t A bb. 6.37, die von den Kindem unter numerischen Aspe kten betra chtet werden soll, Wir werden diese Abbildung in Kap . 6.3 noch einmal unter geometrischen Gesichtspu nkten ansprechen, wollen hier aber bewusst den Blick auf numerische Zusammenhänge lenken. Die Schülerinnen und Schüler könnten zun ächst Anzahlen erfassen, wie etwa zwei Bäume, ein Auto, ein Ballon, zwei Frauen, drei Jungen mit Ball, drei Kinder an der Schaukel, zwei Fenster, eine T ür, insgesamt neun Kinder crc. Des \'{'eiteren können die dargestell ten Situatio nen auch in Form von Situati o nsbesc hreibungen und Zahlensä tzen gedeutet werden, wie z. H.: 3+3 = 6 oder 2· 3 = 6 (drei Kinder, die Ball spielen und drei Kinder, die vo n der Seite kommen) 2+ 1 = 3 oder 1+2 = 3 (zwei Erwach sene, die vor dem G ebäude stehen und ein Erwachsener, der im Auto sitzt)

168

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Zentrale Inhalte de s Mathem atiku nterricht s

Auch sicht bare und unsichtbare Objekte könn en in die Überl egungen miteinbezogen werden:

2+2 = -I oder 2' 2 = -I (zwei Räder des Aut os, die m an sieh t und zwei, die man nich t sieht)

Abbil du ng 6.3 7 .rormen in der Umwelt, (Moser Opitz al . 2008; 137; Waldow /Witt mann 200 1, 25 1)

Die s sind nur einige In terpretationen, und die Le hrperso n sollte diese bewusst heraus fordern und nich t vorschnell nur auf die Operation foku ssieren , die ge~ radc im Unt erricht themati siert wird (\'gl. auch Stein brin g 199-1). Solche Mathematisierungen bzw, Model lbildunge n sollten von Beginn an im Unterricht statt finden, um auch eine grundsätzlich aktive und konstruktive E instellung zum Sachrcchncn anzubahnen und die Kinder nicht zum schematischen Arbeiten zu verleiten. So war en im Anfangsunterricht Fordc rschulerinncn und -schülcr au fgefordert, eigene Rechengeschichten zu zeichnen und ansch ließend ihr e G eschic hte der Le hrperson zu erzählen. Mattc o (7 Jahre) zcichnute mehrere Tier e und no tiert e die noc h nicht vollständige Rechnung >2 - 1 1, (A bb. 6.38). Er erzählte daz u die folgende Ge schichte: »Zwci kleine i\ ngo rakat+ zen spielen miteinander. D a kom mt ein Tiger und frisst eine ,« Solche A k civirärcn können in natürliche r Weise die verschie denen Repräsentationenebenen sowie die Ebene der Sache und der Mathem atik vernetzen. D as Riesenbilderbuch Kinder b~~~~nen Mathematik (K eller / N oelle Müller 2008) bietet dazu viele Anregu ngen.

6.2

Sac hrechnen

I 169

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Abbildung 6.3 8 Zeichnung von Matteo

Probleme bei der Verarbeitung der Daten

Für die Bearbeitung vo n Sechaufgaben existieren i. d. R. verschiedene Rcp rascnrarionse bcnen, die von den Schülerinnen und Schu lern genutzt werden kön nen. So wurden bspw, vo n Wirtmann/ Müller (2004, 13) folgende Möglichkei ten he rausgearbeitet: Legen (z. B. mit Material), Ze ichnen und Aufschreiben (z. B. eine Rechnung oder eine T abelle). D ie Auto ren betonen bei allen Ebenen, dass diese immer mit ,Übcrk gung
170

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Zentra le In ha lte d e s Mathem ati ku nterricht s

nach altcruativcu \\'egen und E benen der A ufgabenlos ung au f untcrsc hicdlichcn Repr äsentationsebenen dieses starre Vorgehen aufbrechen. \'\'ir wollen auch hier anhand einer konkre ten Aufgabe exemp larische Erfa hrungen mit lernschwachen Schülerinnen und Schü lern schildern, um die diesbe zügliche n Schwierigkeiten, abe r auch Chancen für erfolgreiche Lernprozesse zu dokumen tieren. Fokussiert wird vorrangig au f die Darstellung des Losung swegs, daneben aber auch auf da s Aufgabcnvc rstaodnis , die Mod eliierung und die arithmetischen Kompeten zen.

Aufgabe (aus Verscha ffel er al. 2000, 19 f.): »Carsrcn hat -1- Brett er gekauft. Jedes Brett ist 2,5 Meter lang. Wie viele Bretter von 1 Meter Länge kan n er dara us m acbcn>«

Bei der Modclli erung und der Datenverarbeitung dieser ,\ u fgabe ist zu unterscheiden zwisc hen einem eindeutig falsche n Verständnis von Begriffen, Zusamme nhängen oder der gesamten Aufg abe einerseits und einer individuellen D eutung andererseits. Manche Kinder fokussieren nu r au f die Z ahlen, suchen nach einer svrnboli scheu Lösung und rechn en ohne wirkliche Bcrucksichtigung der gegebene n Situation miiglieherweise: >4 ' 2,5 m ::: 10 m, damit also 10 Brettere Diese aussch ließliche Orientierung an den Za hlen liefert eine unrealistisch e Losung. Wie eingangs verdeutlicht, geh t es bei Sech aufg aben nicht nur um die symbolische N otation eines Zahlcn sarzcs, und bei der vorliegenden Aufg abe bietet sich u. a. eine Lö sung auf der ikoni sche n Ebene an. So zeichnete Danicl die vier Brett er und trug die Länge 2,5 ein (A bb. 6.39 links). Das Sägen wurde jeweils durch eine hori zontale Abtrenneng verdeutlicht. Ans chließend wurden die jeweils verbleibenden Länge n der Reste eingetragen un d die korrekte Lösung als Antwortsatz notiert. Die Zeich nu ng ist sehr konkret, der Pro zess der Datenverarbeitung kann nachvollzogen werden und dem Schüler als Pro tokoll seiner Lo sungs strategi e dien en. Zu bedenken ist, dass Daniel die Längen mi t keinerlei Einheiten verschell ha t, was die Lehrperson in unterschiedliche n Phasen im Lernprozess untersc hiedlich bewerten wird: \\'enn es darum geht, dass die Schü lerinn en und Schü ler erst e E rfahrungen mi t eigellständigen Darstellunge n machen und diese Kompetenz erst noch en twi ckeln sollen, dan n wird man nicht sofort perfekte und komplette Darstellungen einfordern. Ist das D arstellen vo n Kontextsituationen aber berei ts fester Bestandteil bei der Bearbeitung vo n Sachaufgaben und sind die verwend eten Größen ein wich tiger Lerninhalt, dann wird man zusammen mit den Schülerinnen und Sch ülern diskutieren , dass die Längenbezeichnungen vollständig no tiert werd en sollten und von anderen Z ahlen zu unter scheiden sind. So kann in Abb. 6.39 links nur verm uret werd en, dass Daniel mit der einge kreisten 1 die I-rn-Stücke meinte und nicht die jeweiligen Zählmarken für jedes Bre tt.

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Abbi ld ung 6.39 Daniels (links) und Lenas (rechts) Lösungen

Lc na zeichnete nur ein Brett, welches ihr als Modell für alle vier Bretter diente (Abb. 6.39 rechts). Sie fertigte eine maß stabsgetreue Zeichnung (1:100) an, in die sie das i\Iaß 2,5 m sowie die erfo rderlichen Schn itte einzeichnete. Das ge8 zeichnete Brett lieferte zwei Bretter und sie folgerte, dass insgesamt 4 ·2 Brette r entstehen.

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Für diese beiden Lernenden wären vermutlich ausschließlich symbolische Lösunge n weitaus schwieriger gewesen (verschiedene Operationen; Umgang mit de m Rest). Die Schvvierigkeit beim Sechrechnen kann also manchmal in der Datenverarbeitung, hier der Notation, bestehen und weniger in der Bcv....ältigung der Sache. Im weitesten Sinne handelt es sich dann um Schv....ierigkeiten mit der .Di daktik.. Natürlich ist das O perieren auf der ma thematischen Ebene ein wichtiges Ziel des Sachrcchncns, jedoc h darf dies nicht zu einem völligen Ausblende n der Sache führ en. D as Nutzen alternativer Notationsformen. wie oben beschrie ben, kann hier helfen. Manche Fehllösungen lassen vermute n, dass bestimmte Begriffe oder Situa tionen unklar sind, bzw. zeigen ma ngelnde Er fahrung mit der Verarbeitung kom plexerer D aten. Scnad erhielt die Lö sung Ho Bretter, (Abb. 6.40), wobei keinerlei Rechnung oder Zeichnung angefertigt wurde. Er ha tte vo n jedem vo rhandenen Brett 1,5 m entfernt, dann jedoch de n Prozess nicht fortgeführt.

Abbild ung 6.40 Senads Lösung

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Zentra le Inha lte des Mathem atiku nterricht s

llier offenbart sich ein -falschcs. oder besse r .abwcichcndcs. Verständnis der gegebenen Situation (vgl. auch die vorangegange nen Ausführungen zur 1\[0+ dellbildung). Die Konsequenz sollte nun nicht sein, zur Unterstützung des Schu lcrs einfach nach .bcsse rcn. sprich -cindcutigcrcn- Formulierungen zu suchen (a. B. .Vcrsuche , möglichs t viele Bretter zu erhalten!" .Ü bcrpru fc, ob du noch weitere Bretter erhalten kannst!'). Solche vermeintlichen Hilfestellungen führen nich t unbedingt zu einem besse ren Verständnis der Situation, und manchmal verleiten sie Kinder sogar zu Fehllösungen. Ange strebt werden sollte vielmehr eine bewusste Diskussion über Deutun gen und das Aufg abenverständnis (z. B. .Ich habe ich noch nicht vers tanden, wie du das gemeint hast. Besch reib e lind zeichne, was Carsn-n m ach rk). D ies ist erfahmngsgemäf1 auch

mit lernschwachen Kind ern möglich. Beachtet werden mus s auch der emgang mit den Notationen der Ergebnisse un d Strategien. Grundsätzlich ist das eigenstä ndige Notieren einer Losungsserategie, z. B. einer Rechnung und eines Antwo rtsarzes, nicht unproblematisch . Oftmals weisen durchaus korrekte L ösungen unvollständige Notationen auf (vgl. bspw. lIäsel 2001, 154 ff.). Bereitet das verschriftlichen des Lösungswegs (und damit vermutlich das eigene E rfinden von Aufgaben) noch größere Schwierigkeiten, biete n sich Übergangsformen an, wie bspw. die Zuordnun g vo n Gle ichungen zu einer bestim mten Aufga be (vgl. Mongel 2004). Insbesondere bei jüngeren Kindern kann es auch notwendig sein, dass sie ihre Notationen und Darstellungen mündlich erläutern. D as bietet der Lehrperson eine n vertieften Einblick in die Mathematisicrungs- und Modcllicrungskom petcnzcn der Schulerinnen un d Schüler. Probleme beim Interpreti eren

D ie beide n Phasen des Interpretiercns und Validicrcns werden bei der Bearbeitung von Sachaufgaben häu fig außer Acht gelassen, da in der Unterrichtspraxis das Operieren au f der numerischen Ebene dominiert. \'{'ie schon in Kap. 6.2.2 ausgeführt, ist bei Sechaufgaben der Bezug zur Sache ein wesentlicher Aspekt. Dies sind u. a. Bezüge zu Größen mit den relevanten E inheiten, aber auch die Frage, welche Art von Zahlen bei einem bestimmten Kont ext überhaupt infra ge kommt. So wurde F ördcrschüle r innen un d -sch ülcrn die folgende Aufgabe im Kontext Ausflu g gestellt: »L isa und Kar! machen eine Radtour nach Socsr. Das sind 50 Kilometer. Nach siebenundzwanzig Kilometern machen sie eine Pause. Wie viele Kilometer müssen sie noc h fahrcn?« (Hasel 20lH, 165 f.), ergänz t durch die Darstellung in Ab b. 6.41. Viele der Kinder nannten das rcm arithmetische E rgebnis ohne die Anga be -kmc (ebd., 222).

6 .2

Sac hrech nen

I 173

Abb ild ung 6.4 1 Unterstüt zende Darstellung zu einer Sachaufgabe (Hasel 2001, 355)

In derartigen Fällen kann man nicht sicher sein, ob der Kontext vollständig ausgeblendet wurde ode r bspw . bei Nac hfrage die Längenangabe ohne Probleme ergänzt werden könnte. Grundsätzlich sollte die J.ehrperson diese mit den Schülerinnen und Schüler thematisie ren und dabei die Unterschiede zwisch en kontextbezogenen Aufgaben un d rein arithmetischen Aufg aben herausarbeiten und die jeweilige Bedeutung der Zahlen (bspw. Anzahl von Objekten, J.äogcn, Gewichten o. A ) einfordern, Bei A ufgaben, in denen das numerische Ergebnis noch nicht die U >sung der Kontextsituation liefert, sind ein zu isoliertes O perieren auf der symbolischen Ebene und damit ein fehlende r Bezug zum Kontext bzw. eine fehlende Inte rpretation schon deutlicher zu identifiz ieren. So liefert die Aufga be ).34 Eier werden in ßcr- Kar tons verpac kt. \\'ie viele Kartons werden ben{>tigt?< auf der numerischen Ebene u. a. die folgenden möglichen E rgebnisse: 3.J. : 6 = 5 Rest 4 (Rcstschrcibwcisc) 34

= 5 . 6 + 4 (Z crleguogsschrcibwcise)

Für die gege bene Kontextsi tuation müsste das num erische Ergebnis jetzt int erpr etiert un d ausgedrückt werden, dass sechs Kartons benötigt werden, um auch die verb leibenden vier Eier no ch zu verpacke n. Als Konseque nz für Unterricht und Förderung bleibt festzuli alten, dass gena u solche Aufgaben die Schülerinnen un d Schü ler zum Nachdenken anregen, da sie nich t routinemäßig zu bearbe iten sind, sondern eine Auseinandersetzung mit dem Kontext zwingend erfordern. Aufgabe der Lehrperson dabei ist, solche Aufg abeIl immer wieder einzusetzen, zu diskutieren und die Schülerinn en un d Sch üler anzuregen, sieh aktiv mit der Sache auseinanderzusetzen.

174

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Zentra le In ha lte d e s Mathem atiku nterricht s

Probleme beim Validieren Auc h die Phase des Validicrc ns ist explizit im Unterricht zu erarbeiten, etwa durch die Frage -Kan n das E rgebnis stimme n>, D ies setz t na türlich versc hiedene Kompetenzen voraus: H at ein Schüler oder eine Schüle rirr bei einer Aufgabe das Ergebnis erhalten, dass ein Mensch -100 Jahre alt oder sechs Meter groß ist, so sind Erfahrungswerte bzw... Kennt nisse in den verschiedenen Größenbereichen erforderlich, um diese Lö sungen als falsch zu iden tifizieren , Bei andere n Ko ntex ten, die nicht zum direkten Er fahrungsbereich der Kind er geh()ren, ist eine solche Bewertung mitunter nicht möglich. O b eine monatliche Stromrechnung einer Familie über 70 t: ode r 110 € realistisch ist, setzt spezielles \\'issen voraus, über das auch Erwachse ne nich t immer ver fügen. D ie Leh rpe rson m uss somit in der jeweiligen Situation berücksich tigen, bei welchen Aufga ben Erfahrungswer te als Validic rungskritcrium eingese tzt werden kön nen und wo dies u. U. nicht m()glich ist . Grundsätzlich sollten im Unte rricht Mi)glichke iten crarbcircr we rden, Ergebnisse von Kontexta u fgaben zu bewerte n. Di es kann bspw. so umgesetzt werden, dass die Schülerinnen und Schüler angehalten werden, ihr e Mo dellbildung und die D arenverarbcirung grundsä tzlich zu kontrollieren, Proberechnungen durchzufüh ren oder alternative Mod ellbildungen un d D atenverarbeitungen vorzunehmen. Di es kann auch in Partnerarbeit geschehen, in dem die Sehülerinnen un d Schüle r diese Kontrolle für den Partner bzw. die Partnerin vornehmen. In jedem Fall sollten die Phasen des In tcrp rcticrcn s und Validicrcns explizit thematisiert un d du rch geeignete Aufgabenstellungen immer wieder herausgefordert werden .

6.2.4

Veränderte Aufga ben

A lternative Aufga bentypeIl bzw. Lcrnumgebungeu für den Bereich des Sachrcchnc ns sind mittlerweile in vielen Lehrwer ken und didaktischen Vo rschläge n zu finden, etwa Sachrcxre (vgl. Erichso n 2(03) oder offene Sachsituationcn im Math ematikunterrich t (\'gl. Eggenberg/ l lollenstein 199&--2000; 7.U weitere n Ausführungen hinsich tlich der .i\ u f~ b en typ en bzw. Bearbeitungsm ög lich keiten \'gl. z. B. K raut hausen /Scherer 200 7, 83 ff.; Franke 2003, 3 1 ff.; Rasch 20(3) . Wir wollen im Folgenden zwei verä nderte Aufga bentypen vo rstellen, die sich aus unserer Sicht für die Förderung bei mathematischen Lernschwierigkeiten besonders eignen . Geöffnete T extaufg aben Ahmed/ \X'illiams (1997) schlagen uovollstandigc Textaufgaben vor (Abb. 6A2). I Iier gilt es für die Schülerinnen und Sch üler, .reibst vernünftige bzw. adäquate Zahlen einzutragen und zu vera rbeiten. D abei können dies zunä chs t fiktive Werte sein, dann aber auch G rößen (im Beispiel die Körpergröße eines K indes bzw. des größeren Bruders), bei dene n durchaus nu r gewisse We rrc bzw. Inter-

6.2

Sachrechnen

I 17 5

vallc ange messen sind. Derartig ge()ffnete Sachaufgaben liefern zusätzl ich auch Informationen über vo rhandene G ro ßenvorstellungen der Sch ülerinnen un d Sch üler. Zudem besteht die Il o ffnun g, dass durch das bewliJSfe Einsetzen der Za hlen diese auch ansc hließe nd beuuaster ver arbeitet werden und nicht sofort de r Rechenau tomatismu s in Gang gesetzt wird (zu weite ren Beispielen \"gl. auc h Sche rer 2003b, 156 f.).

Jens ist _ _ crn groß . Sein jüngerer Brude r ist

crn groß.

Wie vie l grö ßer ist Jens?

Abb ild ung 6.42 Geöffnete Textaufgabe (übersetz t aus Ahmed/Will iams 1997, 10)

\'i;'eiter sind die vorh andenen arithm etische n Komp etenzen für das Lösen von Sacbaufgabcn bedeutsam. Um Schülerinnen un d Schülern auch bei eingeschränkten Rechenfertigkeiten das Bearbeiten von Sachaufgaben zu crmöglichcn, sollte unt erschiedliches Za hlenmaterial (leich tes und anspruchsvolles) genutzt werden, damit alle Le rnend en die Möglichkeit haben, Sechaufgabe n gemäß ihren individuellen arithmetischen Ken nmissen zu lösen. Insbesond ere bei solche n geö ffneten Aufgabenst ellu ngen ist dies gu t möglic h. Em pirische Erprobunge n dieses Au fgabentyps konnten zeigen, dass Grundschü lerinnen und G rundschüler die geforderten Wen c ums o besse r einsetzen konnten, je vertrauter ihnen die jeweilige Situation war. Daten zum eigenen Körp er (G röße oder G ewi ch t) wurden besser gesch ätzt / angegeben als etwa die eines Erwachsenen ode r größ eren Brud ers (vgl. Scherer/Scheiding 2006). D abei muss ein weroüofrigc« \'i:'ert nicht un bedingt .arith mcrisch ans pruchsvollere \'\'ert bedeuten. So setzten Z weit- und D rink liisslcr bei diesen Aufga bcnrypco häufig glatte Ze hne rzah len als leichte Z ahlenwerte ein (z. B. 80 kg oder 90 kg für das G ewicht des Vaters). Diese \'\'erte sind an sich sinn voll un d zeigen, dass eine angemessene Au seinandersetz ung mit dem Kon text stattgefu nden hat (ebd.). Di e \'\'ahl des Zahlenmaterials kann von verschie denen Faktoren beeinflusst sein, :1. . B. durch den im Un terrich t behandelten Z ahlenrnum, die eigenen arithme tischen Kompete nze n oder die Kenntnisse in den verschiedene n G roßcnb crcichcn , aber auch einfac h durch die Motivation , sich die Au fgabe mi>glieh st ein fach oder aber mögl ichst schwierig zu gesta lten . Dies kann insbeson dere für lernschwache Schillerinnen und Schüler von Vorteil sein (vgl. auch die

176

I6

Zentra le Inha lte des Mathem atiku nterricht s

o ffene Lemumgebung zum Kontext .Einkaufcn. in Kap . 5.1.3), da durch das o ffene Aufgaben format Individualisierung in hohem Maß ermi>glicht wird .

Aufgaben , die die Berücksichtigung der Sache erfordern Ein weiterer Typ sind vollständige Aufgaben, die zwingen d das Berücksichtigen der Sache erfordern und die Auseinandersetzung mit dem Kontext fördern bzw. herausfordern . Hierzu ein Beispiel (Verscha ffe! er al. 2000, 19 f.; siehe auch die Beispielaufgabe zur Datenverarbeitu ng in Kap. 6.2.3), das keine eindeutige Lö sung hat , sondern vielmehr individuell gedeutet und bearbeitet werden sollte: »Scbastians schnellste Z eit für 100 Meter ist 17 Sekunden. \X'ie lange braucht er für 1000 Mercr>« Die unreflektierte Verarbeitung der gegebe nen Z ahlen wurde hier zu Fchllosungcn führen und könnte leicht ab solche identifiziert werden. Manche Schülerinne n und Schüler rechnen bspw. bei der zweiten Aufgabe, dass 10' 100 m = 1000 m sind und folgern fälschlicherweise. dass auch die Zeit mit 10 multipliziert werd en muss: 10'17 sec = 170 sec = 2 min SO sec. Mögliche angemessene Bearbeitungen dieser Aufga ben wären etwa .Sebastian beni>tigt auf jeden Fall mehr als 170 Sckundcn-, lieh schä tze, er wird auf 1000 Metern langsamer und beni>tigt vielleicht vier Minutenc Akzeptabel warc aber sicherlich auch die Aussage .Man kann nicht sagen, wie viel Zeit er für die längere Strecke bcnocigr., Solche Lösungen setzen - wie schon an mehreren Stellen betont - immer auch Kennt nisse im jeweiligen Kontext vo raus. Gegebenen falls müssen solche Kenntnisse erst noch geschaffen werd en, bspw. auch durch Simulation eines solchen Kontexts, indem diskutiert (oder sogar ausprobiert) wird, was geschieh t, wenn man eine längere Strecke rennt. Es ist noch hervorzuheben, dass sich bei geöffneten oder meh rde utigen Aufgaben immer Differenzien mgen anbieten. N eben der individuellen Ent scheidu ng über das arithmetische Material können die Kind er einerseits entscheiden, ob sie Veranschaulichungen zu I Iilfe nehmen oder die Aufgaben im Kop f losen. Andererseits bieten sich unterschiedliche Strategien an, die letztlich leichte oder anspruchsvollere Rechn ungen nach sich ziehen.

6.2.5

Weitere grund sät zli che Aspekt e zur Förderung

Fur eine Sachrccbcnpraxis. die sowo hl die Auseinandersetzung mit der Sache als auch die individuellen Lcrnvorausscrz ungcn in den Blick nimmt, sind weitere grundsätzliche Aspekte zu beachten, unabhängig vo n bestimmten Aufgabentypen oder Bearbeitungsebenen. Diese Aspekte treffen bedingt auch für die Bereiche Arithmetik und Geometrie zu, insbesondere jedoch fiir das Sachrcchncn.

6.2

Sac hrechne n

I 177

Vermeiden von Aversionen und mechanischen Arbeitsweisen

Gerade gegenü ber Sechaufgaben hab en viele Schülerinnen und Schüler eine ablehnende I Ialtung. D ies liegt häufig an den komplexen Anforderungen aus de n Bereichen Mathematik, Sache und Sprache, kann aber auch in dauernden Misserfolgserlebnissen beim Bearbeiten vo n Sechaufgaben begründet liegen. Es ersc heint erforderlich, ein gewisses Spektrum an Aufgaben und an Bear beitungsebenen anzubieten, um negative und mechanische Einstellungen zu ver hindern oder ggf. aufzubrechen. Hilfreich sind dazu sicherlich die genannten unterschiedlichen Niveaus der Bearbeitun g, z. B. N achs pielen einer Sachsituario n oder das Arbeiten auf der ikonischen E bene ode r auch reale Anwendungen von E rken ntnissen. D aneben bieten sich offene Aufgaben an, um den Schwierigkeitsgrad selbst zu bestimmen und Fragestellungen nach individuellem In teresse auszuwählen (s. o .). Emp fehlenswert sind darüber hinaus auch lebenspraktisch orientierte Lcrnumgebungen . Schüleri nnen und Schüler kön nen dann erworbenes \X'issen in realen Situationen ein bringen, so dass auch hier posi tive Einstellungen zu erwarten sind. Einbe ziehen der sachrechnerischen Vorkenntnisse

D as Einbeziehen vorhandenen \Vissens ist für jede Art von Lernprozess entscheidend, um Neues in Beziehung zu Bekanntem zu setzen un d lang fristig nutzen zu k önnen. Von daher sol lte bewusst Zeit un d Raum einkalkuliert werde n, sachrcchnerischcs Vorwiss en der Kinder zu thematisieren . So können die Kontexte für Sachaufgabcn zum eine n aus den Erfahrungsbereichen der SchüIcrinnen und Schüle r entnommen werden (an Bekanntes anknüp fen bzw. Bekanntes flexibel anwenden), zum ande ren sollen natürlich durch das Sachrechnen neue Kontexte erschlossen werden. Di e Neuartigkeit der Kontexte ist bei der Behandlung sorgfaltig zu berücksichtigen . Förderung der Basisfertigkeiten

Zum Lö sen von Sachaufgalx-n sind sowohl Kenntnisse im Bereich der Arit hmctik und der Geometrie als auch ein Verständ nis der Sache erforderlich. Diese Kom petenzen müssen zudem kombiniert werden, und so ist verständlich, dass Sechaufgaben immer sowohl Le rn hilfe als auch ein Pro blem sein kön nen . Daher ersc heint es sinnvoll, auch für de n Bereich des Sachrcchncns sogenannte Basisfertigkeiten in den Blick zu nehmen. Mangelnde Basisfertigkeiten z. B. im Bereich der Arithmetik können die Ausein andersetzung mit Sechaufgaben erschweren. Besonders zu fördern sind etwa Kompetenzen im Bereich der Großen (z. B. jeweilige Einheiten und Beziehungen dieser untereinander in einem bestimmten Größenbereich; en tsprechende Grö ßcnvorstcllungcn), um sie bei komplexeren Sechau fgaben siche r anzuwenden . \X'ir nennen an dieser Stelle beispielhaft die Sachn-chcnkartci lGriißen, (Abb. 6.-1-3), die zu den verschiedenen relevanten G roßenbereichen einfache Aufg aben, D arstellungen und Sch ätzaufg aben anbietet (ygl. Müller/ Witt mann 2( 02). Die Aufgabenstellungen

178

I6

Zentra le In ha lte d e s Mathem atiku nterricht s

beinhalten durch die Verwe ndung vo n Bildern und nur wenig T ext keine hohen sprac hlichen Anforderungen, so dass eine Konzentration auf den jeweiligen G roßenbereich (im Beispiel G ewicht) mit der arithmetischen Anforderung ermöglicht wird . Gleichzeitig wird das Entwickeln von Großenvorstellungen gef()rdert: Beim Fluggepäck sind häufig 20 kg als maxima les Gewicht erlaubt. D ieses realitätsnahe Beispiel erlaubt es den Schüle rinnen und Schülern, diese S äehinformation mit en tsprechenden Vorstellunge n zu verbinden .

fluggepäck 20 kg

? kg we niger a ls 20 kg Abb ildung 6.43 Beispielauf gabe zum Größenbereich -Gewlc hte (Müll er / Wittmann 2002 )

Anwendung s- und Strukturorientierung

Dass der Anwendungsorientierung für das Sachrcchncn besondere Bedeutung zukommt, liegt auf der I land. Dies kann einerseits durch die Verwendung von realitätsnahen Kontexten gesc hehen . Es ist dabei aber andererseits auch durchaus legitim und sinnvoll, mit dem Z iel der D enkförderu ng unrealistische Aufgaben oder fiktive Kontexte zu präsentieren. \\'icht ig ist, dass Kinder einschätzen lernen, ob etwas realistisch ist oder nicht (\'gl. Krauthausen/Scherer 2007, 8S ff.). Die Strukturorientierung hat auch für das Sachrcchncn zentrale Bedeutung: Es geht um das Aufdecke n von Strukturen in der Umwelt und das Ausnurzen mathematische r Strukturen . Letz tlich bietet die Struktur den Schü lerinnen und Schü lern eine llilfe, manchmal sogar eher als die Realitätsbezüge (vgl. Ilasemann/Stern 20(2) . D as Ineinandergreifen beider Bereiche ist unabdingbar und kann eine Lernerleichterung darstellen. In diesem Kapitel wurden verschiedene Beispiele für ein verän dertes Sach rcchnen beleuch tet und Hinweise für die Forderung sachrcchncrischc r Korn pctenzcn gegeben. Förderlich sind sicherlich Spaß an Sacbaufgabcn und ein echt es Interesse, so dass auch über den Mathematikunterricht hinaus Lerneffekte zu erzielen sind.

6 .3 Geometrie

I 179

6.3 Geom etrie D er Inhaltsbereich .Gcomcrric. läuft nach wie vor G efahr, im Mathematikunterricht nicht hinreichend gewü rdigt zu wer den (vgl. Krau thausen/Scherer 2007, 55 ff.), obwohl die zentrale Bedeutu ng geometrischer Fäh igkeiten immer wieder betont wird (vgl. u. a. Bauersfeld 1992; Franke 2000; K rauthausen / Scherer 2007, 59 ff.; Radara/ Rickmeyer 199 1; \'{'inter 1976). G erade für lernschwa che Schüle rinnen un d Schüler kann eine unzureichende Berücksich tigu ng geometrischer Inhalte vielfaltige negative Ko nsequenzen ha ben : Viele Situa tionen des alltäglichen Lebens er fordern geo metrische K om petenzen (vgl. z. B. l Icllrnich 2007; Werner 200 tJ, 226 f.). Da neben muss gerade für die G eometrie die Eicher- bzw. inhaltsüb ergreifend e Relevanz gesehen werden : So ist bspw. die Raumvo rstellung bedeutsam für das E rkennen/ Anwenden von Schrift (Meier 1999) und bei älteren Schülerin nen und Sch ülern für die kognitive Flexibilität im Zusammenhang mit dem Probl emlösen (Le hmann/J üling 2002). Auch die Beziehung allgemein für die A rith metik steht außer Frage: »Das Ausbilden arithmetischer Begriffe hängt eng mit der Entwicklung geometrischer Grundvorstellungen zusammcn« (Bauers fcld 1992, 7). Inso fern sind in beiden Inhaltsbereich en wichtige Kompetenz en zu fordern. Z u bedenk en ist auch, dass Schülerinnen und Schüler mit Schwierigkeiten im Bereich der Arithmetik m öglicherweise Erfolge im Bereich der Geometrie haben kon nten. \'{'ir wollen in Kapi tel 6.3.1 zu nächst die unrcrricb dichc Behandlung geometrischer Inhalte genauer in den Blick zu nehmen. D a sich für diesen Inhaltsbereich im Vergleich zur Arithmetik kein hierarchischer Aufbau, wie etwa entsprechend der Zahlenraume oder auch der O perationen, findet, werden wir zunächst den Bezug zu den Bildungsstandards hers tellen (vgl. K MK 2005), die eine O rientierung fiir die Gestaltung des G eometrieunterr ichts liefern kö nnen, und werden einzelne ge forderte Komp ete nzen du rch konkrete Aufga benbei spiele illustrieren (Kap. 6.3.1). In Kap. 6.3.2 wer den wir uns genauer mit dem raumliehen vorstcllungsvcrmögcn (kurz: Raum vo rstcllong) befassen un d einige ausgewä hlte Forschungsergebnisse zu diesbezüglichen Kompeten zen lern schwacher Schu lerinnen un d Schüler p r äsentieren. In Kap. 6.3.3 folgen dann konkrete Beispiele zur Förderung geometrischer Ko mpe tenzen.

6 .3 .1 Zur Leitid ee .Raurn un d Form\'{'ie bereits angedeutet, ist für den G eometrieunterrich t im Pri marber eich kein strikter hierar chischer Aufbau vorzufinden. Einen O rien tierungsrahmen können etwa die »Rahmcnthcmcn« von Radata/ Rickrncycr (199 1, 9 f.), die »Kcrnbcrcichc« von dc Moor/van den Brink (1997, 17) oder auch die »fundamcntalcn Ideen der Geomcrrie« (Witrmann 1999) bieten (vgl. hierz u auch Krauthausen / Sche rer 2007, 58 f f.). Wir wollen im Folgenden die Leitidee .Raum un d Forme

180

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Zentrale Inhalte de s Mathem atiku nterricht s

der Bildungss tandards (KMK 20(5) beleuchten, deren Konkretisienmgen sich auch in vielen Lehrplänen widerspiegeln (ygl. z. B. 1\[S\,\' 200Hb, 63 ff.). der Le itidee .Raum und Fo rme werden die folgenden inhaltsbezogene n Kompetenzen in Form von Standards für das E nde der Grundschulzeit fonnulicrt (KMK 2005, 10), die wir durch einige Au fgabenstellungen und Bearbeitun gen konkretisieren werden.

1\ US

Orientierung im Raum D ie Schülerinnen und Schüler sollen

•

über räumlic hes Vorstellungsvermögen verfüge n,

•

räumliche Beziehungen erkennen, bes chreiben un d nutzen (Anordnungen, Wege, Pläne, Ansichten),

•

zwei- un d dreidimensionale Darstellungen von Bauwerken (z. B. \\'ürfelge+ banden) zueinander in Beziehung setze n (nach Vorlage bauen, zu Bauten Baupläne erstellen, Kantenmodelle und Netz e untersuchen).

Ein Beispiel zum Erkennen und N urzen räumlich er Beziehungen zeigen etwa die Sitzplanaufgabe in Abb. 6A9 od er auch die \'i/ürfelkomplexaufgabe in A bb. 6.50 bzw. Abb. 6.51. Das Erkennen und Einzeichnen von \'('egen ist in Abb. 6A4 gefordert. Ivo (2. Schuljahr, Grundschule) kann das gegebene Raster nut zen, um einen k ürzeren \'{'eg zu finden . Vermutlich hat er zunächst seinen \\'('g nur un gen au eingezeichnet un d diesen anschließend noch einmal korrigiert. D.rgelll
Z.oelv..w.en kUruren Wes . on Ar.och S_

B Abbildung 6.4 4 Kürze re Wege

6 .3 Geometrie

I 18 1

Erkennen, Benennen und Darstellen geometrischer Figuren D ie Schülerinnen und Schüler sollen

•

Körper und ebene Figu ren nach Eigenscha ften sortieren und Fachbegriffe zuo rdnen,

•

Körper und ebene Figuren in der Umwelt wiedere rkennen,

•

Modelle vo n Körpern und ebenen f
•

Zeic hnungen mi t I Iilfsmir teln sowie Freihand zeichnungen anfertig en.

Z um Erkennen von Körpe rn und Figuren in der Umwelt haben wir in Kap . 6.2.3 ein Beispiel aufgeführ t (Abb. 6.37). In Abb. 6,45 sollen Schülerinnen un d Schüler die korrekte Bezeichnung der dargstellten Formen notieren. D er Schü ler verwendete korrekte Bezeichnu ngen (Viereck fiir Rechteck un d Q uadrat). D ie Begriffe .langc fireg< und >fireg< weisen zudem darauf hin, dass er Rechteck und Q uadrat unterschieden ha t, obwoh l er noch nich t die geometrischen Fach begriffe verwendet. I Iicr muss auch bedacht werden , dass die Rechtschr eibkomp etenz die Lo su ng beeinflusst haben kann. .Vicrcck . ist z. B. einfacher zu schreiben als .Quadrat-. E s kann also sein, dass ein Kind diesen Begriff ken nt, ihn aber nich t schrei bt, weil die Vers chriftunp (Quadrat) zu anspruchsv oll ist (vgl. Moser Opice 2007c).

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Abbild ung 6.45 .wte heißen die Formen?, (Maser Opitz 2007( , 13)

I6

182

Zentrale Inhalte de s Mathem atiku nterricht s

Erkennen, Benennen und Darstellen einfacher geometrischer Abbildungen Di e Schülerinnen und Schüler sollen

• • •

ebene Figuren in G itterne tzen abbi lden (verkleinern un d wrgn')ßern), Eigenschaften der Achsen sym m etr ie erke nne n, beschreiben und nutzen, symme trische Muste r fortsetzen und selbst entwickeln.

A bb. 6.46 zeigt eine A ufgabe zur Verkleinerung einer yorgegebenen Figur im G itterplan. Michelle (2. Schu ljahr, Fotd erschule Schwe rpu nk t Lern en) scheint di e .A u fg
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Abbildung 6.46 Verk leinern einer Form im Gitte rp lan

Flächen - und Raum inhalte vergleichen und messen Di e Sch ülerinnen un d Schüler sollen

•

die Fl achenin halte ebener Figuren du rch Zerlegen vergleichen und du rch Auslegen mit Einheitsfläche n messen,

•

Umfang und l-lachcninhalr von ebe ne n Figuren untersuchen,

6 .3 Geometrie

•

I 183

Rau minhalte vergleichen un d durch die enthaltene A nzah l von Einheitswiirfcln bestimmen.

D er Flachenin haltsvergleich durc h Zerlegen wird etwa d urch Le gespiele wie Taugram gefördert (vgl. Abb. 6.58). Folgerunge n für die unterrichtliche Gestaltung Für den Unterricht erscheint grundsätzlich die O rientieru ng an diesen inhaltsbezogenen K omporenzen sinnvoll, auch für lernschwache Schülerinoen und Schüler (vgl. H ellmich 2007, 636 ff.), wobei es im mer wieder zu einer Auswahl von Inhalten kom men wird. Im Mat hematikunterricht sollten geomcrrische Aktiviraren von An fang an integriert werden, und zwar unter Berücksichtigung vorhandener bzw. nur teilweise vorhandener Kom petenzen: »Als Vo raussetzung für den E rwerb geometrischer Kompetenz werden insbesondere in de n ersten Schuljah ren visuelle \'\'ahm ehmungsHihigkeiten - wie die visuomotorischc Koordination, die Figu r-G ru nd-Unt erscheidung, die \\ 'ahmehmungskonstanz, die \'\'ahmehmung der Rau mlage sowie die Wahmehmung räum licher Beziehungen - und visue lle Gedächtnisleistu ngen erachtet. Diese Fähigkeiten gilt es zunächst [.. . 1 zu entwickeln und zu for dern« (H cllmich 2007, 636; ygl. auc h Lorenz 2003a, 51 ff.). Zudem sollten sowohl die l Iandlu ngso ricnricrung als auch das Spiralprinzip als grundlege nde Prinzipien berücksichtigt wer de n (vgl. Franke 2000, 2 1 ff ).

6.3 .2 Raumvorstellun g Bevo r wir im D etail au f den Bereich der Raumvo rstellung eingehen, möchten wir ein ige grundsätzliche Vorbemerku ngen zu Leisrungen im geometrischen Bereich und den diesbezüglichen Aufgabc os relluogen anführen. \Vie bereits in K ap. 1.3 ausgeführt, wurde auch im Rahmen nationaler wie internationaler Vergleichsstudien die Bearbeitung geometrischer Aufgabenstellengen überp rüft. Hier zeigten sich bspw. im Bereich G eome trie im Vergleich zur Arithmetik bessere Leisru ngen (vgl. z. B. i\[SW 2008a; Walther er al. 2008a, 74), wobei die geometrischen Leistungen insgesamt im mittleren Bereich lagen. E s zeichnete sich auch ab, dass der Bereich Geometrie (neben dem Bereich Daten) den Mädchen eher liegt als der Bereich Arith metik (ygI. \\'alther et al. 2008a, 75 ff.). Zu berücksichtigen ist bei diesen Ergebniss en jedo ch, dass die einz elnen In haltsboreiche nicht immer gleichmäßig, d. h. durc h die gleiche Anzahl an Au fgaben abgedeck t ist (vgl. z. B. cbd., 58). D arü ber hinaus wurde in Kap. 1.3 angeme rkt, dass im mer auch die Ums etz ung eines bestimmten mathematischen Inhalts, d. h. die konkrete Aufga be nstellung (z. B. mit ihren sprachlichen An forde rungen), kritisc h zu reflektieren ist (vgl. auch Scherer 2004a). An einem Au fgaben beispiel aus der Geometrie wird nachfolgend illus triert, dass ver meintli ch .marginalc . Unterschie de erhöhte Anforderungen stellen und

184

I6

Zentrale Inha lte des Mathem atiku nterricht s

sehr unterschiedliche Ergebnisse in der Lö sun gshäufigkeit bewirken können (ygl. Scherer 2004a , 275 ff.): In einer L' ntersuchung zu Vo rkenntnissen von Schulan fangerinnen und -an fangcrn sollten zwei räumlich abgebildete \'('ÜrfcI· konfigurationen hinsich tlich ihrer Anzahl verglichen werde n (Abb . 6...1-7).

Abbildung 6.47 Testaufgabe (Scherer 2004a, 27 S, nach Grassmann et al. 2002, 13)

Di e Aufgabe wurde von insge samt 25 % der Kinder korrekt bewältigt (N 830). In einer früheren Studie (im Jahre 1995) wurde eine ähnliche Aufgabe einge setzt (ygL A bb. 6...1-8), die damals immerhin 57 % der Kinder bewältigten, G rassmann er al. vermuten als Ursache für die un terschiedlichen Lö sungshaufigkeiten, »dass in der A bbildung vo n 1995 alle \'('ürfd beider Gebäude zu sehen ware n, während bei der neuen Aufgabenstellung ein -u nsi ch rbarere \,\'ürfcl zu berücksichtigen war« (cbd. 2002, 33). Da s Erfassen unsi chtbarer \'\'ür fel spricht somit für ein weit erentwickeltes Raumvorstellungsvermögen . Geht man jedoc h von der Kompetenz .Umserzcn einer ebenen Darstellung in ein menta lräumlich es Bilde aus, geh()ren bcide Varianten in ein und dieselbe Kategorie.

I, Abbildung 6.48 Testaufgabe der früheren Studie (Scherer 2004a, 276, nach Grassmann 2000, 7)

A uch in der IGLU/ E-Studie wurde eine vergleichbare - für v icrtklässlcrinncn und Vicrtklasslcr komplexere - Au fgabe zur räumlichen Geometrie eingesetzt. Sie gehörte dort zur zwcirhochsu -n Kompetenzstu fe IV, Die Schülerinnen und

6 .3 Geometrie

I 18 5

Sch üler müssen "bei \'('ürfeln oder \\'ür felbamverken, die im Schrägbild dargestellt sind , mit begri fflichem \\'iss('n .hintcr. die sichtbaren Elemente gehen und so lche verdeckten E lemente bei Anzahlbestimmungen bcrucksichtigcn« (\'('alther ct al. 2003, 2(3) . Auc h entsprechen d dem Niv eau der Viert kliisslcrinncn und Viert klasslcr könnte ma n sicherlich verschiedene Aufgaben konstru iere n, die alle de r genannten Kompetenzstu fe zuzuordnen wären, jedoch einen unte rsch iedlichen Scbwierigkcirsgrad darstellen . Um fassende Forschungsergebnisse für Schülcrinnen un d Schüler mit crhcbliehen Schwierigkeiten im ma the matischen Bereich liegen noch nicht in system atischer Fonn vo r (vgl. H ellmich 2007), schwerpunktmäßig wurden K o mpetenzen und Schwierigkeiten für den Bereich der Raumvo rstellung erhoben. D aher werden wir im Folgenden die T eilko mpo nenten der Raumv o rstellung erläutern (vgl. Franke 2000, 32 ff.) und hierz u begle itend einige exem plarisch e Erge bnisse herausgreifen, die beleuchten, welche spezifische n Probleme Kinder (verschiede ner Leisrungsnivcaus) im Bereich de r Rau mvorstellung haben können.

Teilkompone nten der Raumvorstellung D er Begriff .raum liche s Vorstellungsvermögen. bzw. .Raumvorstc llcng. wird nicht immer einh eitlich verwendet, und auch die zugeh()rigen Strukturmodelle weise n diverse Variationen auf (vgl. etwa Fr an ke 200n, 32 ff.; Maicr 1999, 31 ff). \'('ir folgen der D arstellung von Franke (2000, 33 ff.), basierend auf den Subfaktoren von Thurstouc, bei der fünf T eilko mponenten zugrunde gelegt werden (\'gl. dazu auch Maicr 1999):

•

Rfilfmlithe If7ahrnehmlfng (JPdlia!perteplion): Diese Teilkomponente beschreibt die Fähigkeit, räumliche Beziehunge n in Bezug auf den eigenen Kürper zu erfassen.

•

Hiilfmliolle Ue::jehlfn.gen (spalial relaliom): Di ese Ko mpo nent e beinhaltet das Erfassen räumlicher Gruppierungen vo n O bjek ten bzw. T eilen der Grup pieru ng und deren Beziehungen unt ereinander,

•

V emnsol}(Julirhungen (l'iJ'ualizalion): D iese Ko mpo nen te umfasst die gedankliche Vorstellung WlO raumliehen Bewegu ngen, z. B. Verschiebe n, Falten von O bjekten, ohne Verwendung ansc haulicher Hilfen.

•

Rfülmlirhe Orienlierung (Jpa fial orien/a/ion): I herbei handelt es sich um die Fähigkeit, sich real oder me ntal im Raum zu rechtzufinden.

•

VOl"J"fellungif(ihigkeit von Rotationen (men/al rotation): Diese Komponente umfasst die Fäh ig keit, sich schnell und exakt Ro tatio nen von zwei- und drei dimensionalen O bjekten vorxusrellcn.

D ie Entwicklung der Raumvo rstellu ng hängt eng mit der Enrwicklunq geometrischer Kompetenz allgem ein zusamme n und erfordert de n Einsa tz un d die Koo rdinatio n verschiedener Fähigkeiten und K om petenzen (Fähigkeit zur Per-

186

I6

Zentrale Inhalte de s Mathem atiku nterricht s

spc ktiviibcrnalirne, Grafomotorik, diverse \\'ahmehmungsaspekte, Zeichnungs. cnrwicklung, \'gl. Hellmich 2007, 636; Mos cr Opirz er al. 20(8). Bestimmte Kompetenzen sind altersabhängig: So entwickeln sich bspw, die verbalen Bezeichnungen für links und rechts im Verlauf der erste n Schuljahre (Lohaus ct al. 1999, .f9), und auch die G rafomotorik wird zunehmend sicherer. \'{'ir werden im Folgenden an einigen Stellen aufzeigen, welche Bedeutung diese Komponenten für die Bearbei tung geometrischer Aufgabenstellungen haben.

Ausgewä hlte Forschun gsergebnisse Moser Opitz er al. (2008) setzten einen Geometrietest (\X'aldow/\X'ittmann 2001) bei 89 Kindergartenkindem ein. Überprü ft wurden in Form eines Gruppentests die G rundideen -gcomcrrischc Formen und ihre Konstruktion-, .Opericrcn mit Form ern, -K oordinaten-, -Maßo , -gcomctrischc Gcsctzmäßigkcitcn un d Mustere, .Formcn in der Umwelt. sowie . Übcrscrzung in die Sprache der G eometrie- (ebd.). Bei dieser Studie zeigte sich, dass Aufgaben zum räumlichen Denken unterschiedlich gut gelös t wurden. Am schwierigsten erwies sich dabei die .Sitzplanaufgabc. (Abb. 6A9): .Aufgabe für die Kinder war, den freien Stuhl zu finden un d anschließend den Namen des Kindes einzukreisen , das fehlt (\'{'aldow/\'{'ittmann 20(11, 252). Diese Aufg abe erfordert neben basalen Lese ko mpc tcnzcn etwa die Fähigkeit zur Perspe ktivübernahme und die RechtsLink s-Unterscheidung (Mo scr Opirz er al. 2008, H 6), eine Kompetenz, die in Kap . 2 bereits als bedeutsam herausgearbeitet wurde. D ie Aufgabe verlang t ncbcn der D eutung derartiger Pläne und D arstellungen das H erstellen räumlicher Beziehungen.

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Abbildung 6.49 -Sirzplanaufqab ec (Waldow /Wittman n 200 1, 2S0)

6 .3 Geometrie

I 187

G rassmann (1996) stellte knapp 600 Schu lan fangerinnen und Schulanfangern u. a. auch geometrische Aufgaben. Schwierigkeiten bereiteten ins besondere AufgabensteIlungen, die begri ffliche Anfor deru ngen stellten oder auch sichere Kom pe tenzen bezüglich der räu mliche n O rientieru ng sowie der Lagebeziehungen erforderten. J unker (1999) un tersuchte in einer Interviewstudie mit Fordcrschulcrinncu und F ördc rschülcm (Schwerp unkt Lcrn cn. vl. bis 7. Sch uljahr), wie sogenannte \'\'ürfelkomplcxaufgaben (dc Moor 1991, 127) gelüs t werden. Aus den gege benen Ansi chren (Abb. 6.50) ist mit \\'ürfeln das passende W'ürfelgebäude zu bauen, was sowohl das Erkennen räumlicher Beziehungen als auc h die räumliche O ricnticrunp erfordert. J unker variierte diesen Aufga bentyp zum eine n hinsichtlich der Darstellungsform, bei der die einzelnen \\'ürfel in allen Ansichten zu erkennen waren (Abb. 6.51). Zum anderen konnten die jeweiligen K arten der Vorder- und Seitenansich t aufrech t in Schie nen und in die entsprechen de Position ges tellt werden, um die jeweilige Perspektive nic ht aussc hließlich mental vornehm en zu müssen.

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Abbild ung 6.50 Würfelkomplex aufgabe (de Moor 199 1, 127)

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I Abb ildung 6.5 1 Würfelkomplexauf gabe (Jun ker 1999)

Es zeigte sich, dass den jünge ren Sch ülerinne n und Schülern das .richtigc Sehcn- und das Einnehmen de r verschiedene n Perspektiven Probleme bereiteten, wahrend die älteren Schülerinne n und Sch üler eher in der Lage waren, flexibel und geda nklich mi t den räumlichen Inhalten umzugehen (lunker 1999, 23 f.). D ie gewählte Variation erfordert e dami t unterschiedliche Komponenten der

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I6

Zentrale Inha lte des Mathem atiku nterricht s

Raurnvorsrcllunjz \\'ährend eine Präsentatio n der Karten in der ursprünglichen Fonn (alle drei Ansichten liegen vor dem Kind auf dem Tisc h) die räumliche Orientierung erfordern, kann dies mit dem Positionieren einer Karte in aufrechter Position und bspw. passe nder Platzierung an der Seite umgangen werden. (2003a) berichtet vo n zahlreichen Fallbeispielen lernschwacher Schülerinnen und Schüler, die \Vahrnehmungssc hwächen, Schwierigkeiten im visuellen Bereich, im Sprachverständnis (bspw. in der Unte rscheidung srcchts- und .Iinks-) oder auch hinsichtlich geometrischer Vorläuferkompetenzen aus dem Kindergartenalter aufweisen. Ivo (2. Schuljahr, Grundschule) kann das in Abb. 6.52 \"(lrgegebene Muster nicht fort führe n. Seine Pro bleme scheinen weniger im grafomotorischen Bereich zu liegen (vgl. seine Li)sung in Abb. 6.44), sondern eher in der konkreten \Vahrnehmung und Ausführung der verschiedenen Richtungswec hsel. Seine diesbezüglichen Fähigkeiten müssten genau er überprüft werde n. Lorcnz

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Abbildu ng 6.52 Weiterf ührung eines Musters

Schwierigkeiten bei der Rechts -links-Orientierung können sich u. a. auch bei arithmetischen Inhalten bemerkbar machen, etwa im Umgang mit Arbeitsmitteln und Veranschaulichungen. So erfordert der Zahlenstrahl. der in Kap. 5.3 un d 6.1.3 unter versc hiedenen Aspekten g<.'nauer vorgestellt wurde, eine sichere Rechts-links-Orientierung (vgl. Sch massmannyMoser Opitz 2008a, 9f.; 2008b, 8 f. lind 79 f.). Es kann nun Kinder geben, die bspw. mit der üblichen Fonn Schwierigkeiten haben, aber bspw, problemlos mit dem Thermometer - und damit der senk rechten Ausricbruog dieser Veranschaulichung - umgehen. In solchen Fällen kann rrorz intensiver, aber erfolgloser Förderung der Rech ts-

6 .3 Geometrie

I 189

Li nks-O rientierung überle gt werden, eine senkre cht orientierte Variante des Zahlenstrahls einzusetzen.

6 .3 .3 Au sgewäh lt e Aspekt e für di e Fö rderung \'{'ir wollen im folgenden Kapitel Forderakrivirarcn für ausgewählte geome trische Ideen vorstellen, die sich für verschiedene Altersstufen eignen un d damit der Fo rderu ng nach geöffne ten Aktivitäten im Sinne des geforderten Spiralc urriculums (s. o.) gerecht wer den.

Förderaktivitäten im Anfangsunterri cht Im Anfangsunterricht können u. a. vo rschulische , z. T. spiele rische, Aktivirarcn aufgegriffen werden (z. B. Keller/Noelle Müller 2007c; 2007d). E ingesetz t werde n können bspw. mathematikhaltige Bilderbücher (vgl. z. 13. Keller /Noelle Mullcr 2008 ; Scherer er al. 2007; van den l leuvel-Pan huizcn ct al. 20(7), in de nen sich neben arithmetischen Aspekten (vgl. auch Kap. 6.1.1) häufig auch geometrische Aspekte finde n. Im Bilderbu ch ftin.fier sein (lan dl/ jungc 1997; Abb. 6.53) sind sowohl räumliche Beziehu ngen als auc h geometrische Fo rmen und Körper dargestellt, und auch der zugehörige Text fokussiert au f den As pekt de r räumlichen Orientierung.

Abbild ung 6 .S3 Zwei Seit en aus dem Bilderbuch fünfter sein Uandl /Junge 199 7)

D ie Kinder kö nnen au f den Bildern geometrische Form en oder Körper besch reiben (lD ie Lampe oder das Rad der Ente sind rund, die T ür bz w. de ren Sch atten sind eckig< erc.). D aneben können sie räumliche Beziehungen erke nnen und beschreiben (>D ie Tür ist auf; >Die Lampe schwingt zur Seile oder hängt nadJ unfefl<; -Dc r Frosch sitzt auf dem Stuh l. ctc.). Bei den Beschreibungen sollte berücksichtigt werden, dass unterschiedliche Perspek tiven eingenommen wer de n können , bspw. in der Fo nn .Dcr Frosch sitz t neben Pinoc chio, oder auc h sPinocchio sitzt neben dem Frosche Bei gewissen Beschreibungen kann eine eher äußere, neutral e Perspe ktive (>Pinocchio sitz t g
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I6

Zentrale Inhalte des Mat hem atiku nterricht s

Pinocchios Perspektive bzw. Position eingenommen werden (>Der Fro sch sitzt links von Pinocchio.; \'gl. Scherer et al. 20(7) . In diesem Buch ist die Pcrspckrivc auch beim i"ortgang der Geschichte relevan t, wen n sich die einzelnen Spielzeuge ins Beh andlu ngszimmer begeben bzw. dieses wieder verlassen. Nimmt ein Kind die Per spektive des \,\'ar tezimm ers ein, dann >gehen die T iere hinaus. (aus dem \\'artezimmer) und .kommen wieder he rein. (ins \\'ar tezimmer). Der T ext hingegen nimm t die Perspektive des Behand lungszimmers ein: .eincr reine (ins Behandlungszimmer) bzw. seiner raus. (aus dem Behandlungszimmer). Hie r kann es zu Irritationen und Konflikten kommen (vgl. Scherer ct al. 2007; van den Hcuvel-Panhuizcn ct al. 2007; van den Hcovcl-Panhuizcn / van de n Boogaard 200R), die aher fiir die Entwicklung geomet rischen Dcn kcn s fruch rbar sind.

Förderakti vitäten zu r Orient ierung im Raum In Kap. 6.3.1 wurden im Rahm en einer diagnostischen Studie ber eits die )\\'ü r~ fclkomplcxau fgaben- vorgestellt, die auch für die Förderung gecib>1let sind. Eine spielerische Variante zu Würfelgebäuden stellt PotzKlotz (Sp iegel/Spiegel 2003) dar: Verschiedene Würfelgebäude mit genau fünf w ürfeln sind auf Karten abgebildet (Abb. 6.54), und alle Spieler erhalten eine be stim mte Anzahl von Kart en. Ein Gebäude wird mit w ürfeln au f einem G itterp lan aufgebaut, un d es mu ss reihu m versucht werden, durch Umlegen vo n genau einem \\'ürfel ein G ebäud e au f einer eigenen Karte herzustellen. E s ist dabei nicht erlaubt, den G itterplan zu drehen oder \\ 'ürfcl pro beweise umzusetzen . D. h. hicr ist die räumliche Orientienmg erforderlich. Falls notwendi g, kann
Abbildung 6.54 Spielkarte n aus PotzKlot z (Spiegel / Spiegel 2003 )

Ist der Umgang mit \\'ürfc1gebäude n neu und müssen die Schülerinnen un d Schüler zunächst Erfahrungen mit der Da rstellun g räum licher Ob jekte sammeln , dan n könnte eine erst e zentrale Aktivität im Nachba uen de r verschiede-

6 .3 Geometrie

I 191

ncn G ebäud e auf der G rundlage der Karten besteh en. Dab ei beinhalten die einzclncu G ebäude dur chau s unterschied liche Schwierigkeitsgrade (etwa durch teilweise verdeckte \\'ürfel bzw. wenn die \'{'ür fel nicht alle in einer E bene liegen wie in A bb. 6.; .f rechts). Da aber imm er fün f W'ürfel verbaut werden müssen, können die Schülerinnen und Schüler selbst die l j isung finden . Ilingewiesen sei an dieser Stelle auch auf die zweidimensionale Variante .Digit. die mit Streichholzmehrlingen (hier. Vierlinge) gespielt wird (vgl. Carnicl et al, 2002, 65 ff.) . Auch bei dieser spick-riechen Idee wird versu ch t, durch Umlegen genau eines O b jekts (hier: eines Streichh olzes] eine n anderen Vierling herzustellen .

Förderaktivlt äten zu geometrischen Abbildungen Ein Beispiel zum Fortsetzen von Mustern wurde bereit s in Abb. 6.52 prä sentiert. Abb. 6.55 zeigt ein un vollständiges Muster aus T rape zen, das vo n den Kindern zu komplett ieren ist. Sieh t man zunächst vo n der Färbung der kleinen T rape ze ab, dan n zeigt die gegebene Ab bildung verschiedene Symmetrien: eine horizontale Achsensym metrie und eine vertikale Pu nktsymm etrie. Die gleich gefarbte n Trapeze sind durc h Verschiebung ineinander 7.U überführen. .Ardian , ein Zw citklasslcr, hat Schwierigkeiten, mit dieser Kom plexität umzugeh en.

Der Pcssbcdeo ist noch nicht fertig. Zeichne den Fussboden fert ig.

Abb ildu ng 6.5 5 Vervoll ständig en ein es Muster s

Als wichtige Abbildung sollte in jedem Fall die Achse nsymmetrie thematisiert werden. Vielfaltige Erfahrungen könn en Schülerinne n und Schüler durch Faltaktivitäten sowie Aktivitäten mit dem Spiegel sammeln (vgl. z. B. Camiel er al, 2002, 15 ff.; Franke 2000, 212 f.; Radata /Rickrncycr 1991, 79 ff.). Eine spielerische Variante stellt das Spicgclmcmory, bei dem zwei spiegelgleiche Hälften einer Figur ein Pärchen bilden (Carnicl er al. 2002, 15 ff.; Abb. 6.56).

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Zentrale Inhalte des Mathe mat iku nt e rricht s

Abbildu ng 6.56 Belspielkarte 'Schmetterli ng< des Spiegelmemory (Carni el et al. 2002 ,

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Das Erzeugen symmetrischer Fib'1.1fen oder das E rkenn en von Symmetrien kann aber auch im Rahmen anderer Materialien erfolgen, wie etwa bei Aktivitäten zum G eobrcrt. Hier könnte eine Spiegelachse markiert werden, und die Schülerinnen und Schüler spa nne n zu vorgegebenen Figuren die gespiegelte Figur. Oder aber die Schülerinnen und Schüler suchen bei gespannten Figuren nach Symmetrieachsen (Abb. 6.57).

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Abbildu ng 6.57 Spiegelachsen bei Figuren am Genbrett

6 .3 Geometrie

I 193

Hie rbei ist oftmals festzustellen, dass lediglich eine Achse gefunden wird oder dass der Fokus eher auf hori zon talen und vertika len Achsen liegt und diagonale Ac hsen yergessen werden . Verstanden werden muss darü ber hinaus, dass Spiegclac hsen innerhalb ein er Figur zu find en sind oder dass auch eine Figur komplett gespiegelt wird . D aher sind Yielfalcige Beispiele einzusetze n, um die Flexibilität im Umgang m it symm etrischen Figu ren zu fördern.

Förderaktivitäten zum Messen von Flächen- und Raumi nhalte n E mpfehlenswer t sind für diesen Inhalts bereich Legespi ele wie Tangram bzw. die vereinfachte Variante )L(~ge schlaue (Müller/ \'\'ittm ann 20(6) oder auch Ubongo (Kosmos Verlag) . D as klassische Tangram best eht aus sieben verschiedenen Fo nnen: einem Q uadrat, einem Parallelogramm sowie fünf gleich schenklig rechtwinkligen Dreiecken (zwei große , ein mittleres, zwei kleine). D iese Fon n en entstehen aus einem gro ßen Quadrat durch l lalbierung vo n Stre cke n und geclgneter Verbindung vo n Te ilpunkten (ygl. z. B. \\'ittm ann 1997, 19). In Abbildung 6.58 sind die einzelnen T eile mit Zahlen versehen, die das Verhältnis der Flacheninh alte zeige n, ausgehend vorn kleinen Dreieck mit de m Inhalt I.

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Abb ild ung 6.5 8 l egespiel Tangram

Eine erste Aktivität mit dem Ta ogram kann das K ennenler nen und Benennen der einzelnen Fo rm en sein. D aneben können weitere geometrische G ru nd fo rmen mit einzelnen Taogram-Teilen erzeugt werden (z. B. ein Rech teck oder ein Trapez mit dem Quadrat und zwei kleinen D reiecken). D ie bekannteste T ätigkeit besteht im Auslegen vo n vo rgegebenen Figuren mit allen Teilen. Je nach

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Zentrale Inhalte de s Mathematiku nterrichts

Vorgabe kann dies unterschiedlich anspru chsvo ll sein . .Abbil dung 6.59 zeigt eine eher einfac he Variante (hier von einer Schülerin nachgezeichnet), da die Konturen der Figur sehr unregel mäßig und mehrere Einzelteile erkennbar sind. Sinnvoll kann es aber auch sein, eine beliebige Anzahl an Teilen zuzulassen bzw. bewusst die Zer!egung der Formen untereinander zu untersuchen (etwa in der Art: .Mir zwei kleinen Dreiecken lässt sich das Quadrat auslegen oder das Parallelogramm oder das mit tlere Dreiecke Oder: -Das große D reieck lässt sich mit dem mittleren und zwei kleine n D reiecken auslegen- usw.}, Hier machen die Schülerinnen und Schüle r erste E rfahrungen zur Placheninhaltsgleichheit durc h Zcrlegungsglcichhcit. Ken nzeichner man die einzelnen G rundformen des T :mgr:lms (wie in Ahh. (i.SR), sn kann eine elementare Poem der ,Berechn ung' von Flachenin halten erfah re n werden.

Abbildung 6.59 Gelegte Figur mit Tangram-Teilen

Auch zum Messen von Rauminhalten ist ein handlungsorientierte r Zugang zu empfehle n, der dan n zu Berechnu ngen füh re n kann (ygl. z. B. Franke 2000 , 257 ff.; Prediger 2009): Gegeben sind z. B. 2-1- Holzwürfel mit der Aufforderung ,\\ 'elche Quader könnt ihr damit bauen? Notiert, welche ihr schon gefunden habt. \\'ie viele findet ihr>, (Prediger 2009; vgl. zu ähnliche n Pro blemstellungen auch Franke 2000, 258 f.). Auch hierbei wird deutlich, dass eine ge\'lisse Offenheit der Pro blemstellungen und die damit verbund eneu D ifferenzierungsm oglichkcircn wich tig sind.

6 .3 Geometrie

I 19 5

Computergestützte Förderaktlvitäten Z ur Effektivität computerun terstützter F örderu ng von räumlich-geometrischen Fähigkeiten liegen verschiedene Stu die n vor (för einen Überblick vgl. Hellmich 2007, 648 ff .). D ie Ergebnisse sind allerd ings un cinhcirlich: Während etwa in der Studie von Souvignicr (2000) eine Verbesserung der räumlichen Fähigkeiten bei lernbehinder ten Sekundarstufenschülerin nen und -schulcrn durch einen computerunterstützten, sp ielerischen Umgang mit räumlichem Material nachgewies en we rden konnte, zeigte sich in anderen Studien un d Pördcrprogram m cn kein genereller positiver E ffekt: Festzustellen waren u. U. lediglich E ffekte bei Tcsraufga bcn, die eng mit dem Trainingsm arerial vcrknup fr waren, oder aber kein nachweisbarer Effekt (' "gI. Hellmich 2007, 649 f.). Ein geeignetes Programm für die Förderung geometrischer Kompe tenze n stellt das Com puterp rogr am m B iJHWIJJ" (Mcschcnmoscr 1997) dar (vgl. z. B. K ösch 1997; Sande r 2003). D urch Mausklick können in diesem Programm beliebige \'{'ür felgebäud e aus gleich großen Einheitswürfeln konstruiert werden. Es han delt sich um ein recht offenes Programm, und der Ko nstruk tionsraum lässt sich bis zu einem 10-10 lO-\,\'ürfcl frei definieren. N eben der Darstellung im Schrägbild (Abb. 6.60) sind weitere A nsichre n m üglich. Um Aufgab enstellungen zur räu mliche n Orientierung zu bearbeiten , ist darii ber hinaus auc h die M('lglichkeit gegeben, die \'Cürfclgeb äude in alle Richtungen zu dre hen (daneben auch zu ve rgr öß ern , zu verkleinern, zu animieren und auszu d ruc ken). 'jA

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Abbildun g 6.60 Screenshot aus dem Computerprogramm

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D iese i\Iöglichkcit der Persp ektiveinnahme mi thilfe des Computers kann einerseits ein Vorteil sein, um eigene Ergeb nisse zu kontrollieren, abe r auch um die Vorstellung zu sch ulen . Als vorteilhaft erac hten wir auch, da ss die Möglichkeit de r I linzunahm e von Mate rial zur Unt ers tütz ung gegeben ist un d somit wicde-

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Zentrale Inhalte de s Mathematiku nterrichts

rum ein handlungsorientiertes Vorge he n crmoglichr wird . Di e Programmoption kann sich u. U. aber als problematisch erweise n, wenn die m('lgliche Kontrolle durch das Progr am m von den Sch ülerin nen und Schülern zum Find en der Losun g eingesetzt wird , d. h., letztendlich findet dann keine Ak tivität zur Fördenmg der Raumvorstellung statt . \'{'ir haben in diesem Kapitel aufgezeigt, dass der Fördenmg geometrischer Kompetenz en im Mathematikunterricht des Primarbereichs zentrale Bedeutu ng zuko mmt un d dies Folgerungen für die Lernprozesse in anderen Bereichen haben kann. Nicht unterschätzt werden sollte auch der motivatiouale Aspekt : O ftmals sammeln lernschwache Schü lerinnen und Schü ler im geometrischen Bereich Erfolgserlebnisse, die positive E ffekte au f den gesamten Mathematikunterricht haben kön nen (ygl. I lcllrnich 200 7, 652). Die unzureichenden Fo rsch ungserkenntnisse hinsichtlich der Diagnose und präziseren Aussagen, was etwa räumlic he Fähigkeiten ausmac ht (ygl. etwa Lohaus er al. 1999, 13) sowie auch die fehlende Evaluation von unterrichtlieben Interventionen und Forderprogrammen stellen nach wie vor ein Problem dar .

7

Rückblick und Ausblick

\\'ir haben in K apitel 1 aufgezeigt, dass die heterogenen mathemati schen Leistungen von Schulerinnen un d Schulern einen veränderten Mathematikunterrieh t erfordern, eine n Unterrich t, de r sich vermeh rt mit individ uellen Schwierigkeiten und Problemen befasst. Auch we nn es kein einh eitliche s Pro fil vo n sogenannten Risikokindem gibt und der Begriff Rechenschwache kritisch diskutiert wird (" gl. K ap. 2.1), ist un bestritte n, dass es unabhängig vom Förderort eine große Anzahl vo n Le rnenden gibt, die auf besondere Unterst ützung un d Förderung beim Mathematiklernen aogcwiescn sind (" gI. Kap . 2.2). Diese findet optimalerweise im Rah men des regulären Unterrichts statt und erforder t von den Lehrp ersonen vielfältige K ompetenzen auf unterschiedliche n Ebenen (Kap . 3). Im vorlie genden Buch haben wir de n Verweh unternommen, diese Kom pe tenzen genauer zu beschreibe n und konkrete I Iinwcis c zu geben für einen fördernden Mathematikunterricht. Ge mäß der Komplexität der Thematik und der vielfaltigen mathematische n In halte, die im Primarbereich behandelt werden , konnte dies nicht für jeden Lerninhalt ausführlich erfolgen. \X'ir haben uns deshalb auf ausgewählte Th emen besc hr änk t und versucht, an diesen exemplarisch aufzuzeigen, welche grundsätzlichen Aspekte es in einem Mathematikun rcrricht, der aktiv-entdeckendes Lernen für alle Schülerinnen und Schüler anstrebt, zu beachten gilt. Auf diese wollen wir zusa mmen fassend eingehen un d davon ausgehend Folgerun gen ziehe n.

7.1

Kompetenzen der Lehrper sonen

Für die Realisieru ng eines fördernden Mathematikunt errich ts spielen die Kompetenzen der Lehrperlon und deren I laltu ng eine wichtige Rolle. Hier nimmt die Ausbildung der Le hrerinnen und Lehrer einen wichtigen Stellenwert ein. Zukün ftige Le hrpersonen sollen lernen, Leistun gen von Schülerinnen und Schü lern angemessen wahrzunehmen, den Leisrungen der Le rn en den zu vertrauen und ihnen etwas zuzutrauen. D as ist insbesonder e wichtig für lerns chwach e Schülerinn en und Sch üler. \\'enn diese die Erfahrung mache n kön nen, dass sie anband geeigneter Au fgaben selbs t Entdeckungen machen und Lösun gen finde n, 6>1bt das einerseits Vert rauen in die eigenen Leistu ngen und fordert andererseits die Motivation . I licr gilt es auch zu bcn icksichrigcn, dass gerade diese Le rn en den nicht alles entdecken müssen, sondern dass es zuerst darum gehen kann, dass sie mit Unrcrstü raung der Le hr person und mithilfe geeigneter Materialien zu eigenen Lösungen und I..ösungs\vegen kommen . D amit dies gelingen

198

I7

Rückb lick und Ausbl ick

kann, muss die Lehrperson die Le rninh alte gezielt auswählen und sich anhand geeib>Tleter Unterlagen einen Überblick versc ha ffen, welche Inhalte zum basale n Lernstoff bzw. zum mathematische n Basisstoff gehiiren. \\'ir haben an den en tsprechenden Stellen au f solche Unt erlagen hingewi esen. Die Auswahl der Le rninhalte erfordert einerseits diagnostische, andererseits fachliche und fachdidaktische Kompetenzen. Kennzeichen einer professionellen D iagn ostik sind die Durch führung vo n in tersubj ektiv nachvollziehbaren Diagnosen sowie eine Beurteilung bzw. In terpretation der Ergebnisse anha nd \"(lrgegebener Kategorien, Theorien, Begriffe od er Konzepte (K ap. .t). D abei gilt es, unterschiedlic he Zielsetzungen \"011 diagnosti schen Überprü fungen zu beriicksic htigen: Im Unterrichtsalltag geht es i. d. R. um eine lcmprozcssbcglcirende bzw. -oricn ricr rc Diagnos tik, deren Z iel das Optimieren von Lernprozcsscn ist. Eine andere Z ielsetzung kann in der Erteilung von Qualifikationen ode r der Zuweisung zu bestim m ten l-ordermaß nahm cn oder -orten bestehen. \X'ich+ tig ist, dass Instrumen te und Met hoden passend zur angestrebten Zielsetzung ausgewählt und dass bei der D urchfü hru ng die G ütekriterien bcrücksicb rigr werden. Z ur D iagnoseko mpe tenz gehört ferner ein positiver und produktiver Umgang mit Fehlern (vgl. Kap. S.2.3), der es den Lern enden erlaubt, sich mit ihren - auch fehlerhaften - Lernprozessen und Lernwegen konstruktiv auscinandcrzuscrzcn. Bei den fachlichen und fachdidaktischen Kompetenzen geht es einerseits um \\'issen zum Curriculum, zu den Lerninhalten und zu deren Aufbau, andererseits aber auch um \\'issen, was bestim mte Inhalte einfach oder schwierig macht, welche Strategien geeignet sind, was günstige v orgcbenswcisco und Materialien sind usw. D iese Kom petenzen können in erster Linie in der eigenen Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten und konkreten Lern prozessen erworben werden, un d in der Ausbildeng von Lehrpersonen sollen dazu vielfä ltige Möglichkeiten angeboten werden.

7.2

Förderung

Fürdemder Mathematikunterricht umfasst eine Vielzah l von wichtigen Inhalten un d As pek ten, die wir nu r exemp larisch dargestellt haben.

7.2.1 Grund sätz lic he Überl egungen D er anspruchsvoll en Aufga be, Sch ülerin nen und Schüler auf unterschiedliche n Leistungsniveaus zu fördern, kann mi t verschiedenen Formen der Differenzie-

nmg begegnet werden. Besonders g(·eignet sind Maßnahmen der in neren D ifferenz ierung und darunter die natü rliche D ifferenzierung. Innere Di fferenzierun g wird oft mit Fonnen o ffene n Un terrich ts realisiert. Hier ist zu beachten, dass

7.2

Fö rderun g

I 199

diese bestimmten Anforderungen bezüglich Strukturierung und Q ualität der Aufgaben genügen müssen. Besonders gut lassen sich Fonnen der natürlichen Differenzieru ng für einen individualisieren den Mathematikunterricht einsetzen, bei der die Lernenden am gleiche n Lerngegenstand, jedoc h auf verschiedenen Stufen bzw. .A nspruchsniveaus arbeiten . O ffene Au fgaben und komplexe Lernumgebungen, deren Anforderungsniveaus vo n der Sache her vielfältig sind und die sich damit in natürlicher \'('eise an die Voraussetzungen der lernschwaeben Sch ülerinne n und Schüler anpassen können, bieten daxu vielfältige Möglichkei ten (vgl. Kap. 5.1.3). Ein wichtige r Bestandteil des Mathcmatikun rerrich rs - gerade für lernsc hwa che Sch ülerinnen un d Schü ler - stellt das pro duk tive Übe n dar, weil dad urch das Gedächtnis entlastet wird un d diese Fo rmen des Cbens bei der Konstruktion generalisierbare r, beweglicher, kognitiver Strukturen hel fen kön nen ('"gI. Kap . 5.2). Produktive Übungen können in untersch iedlicher Fo nn vorliegen. Bedeutsam ist erstens der Strukturierungsgrad der Aufgaben, d. h. der Zusammenhang der Aufgaben, der das I {erstellen von Beziehungen ermöglicht. Z weite ns ist insbesondere bei lernsc hwache n Sch ülerin nen und Schülern darauf zu acht en , dass gestütztes Üben stattfinden kann , d. h. dass Aufgaben mithil fe geeigneter Vera nsch aulichungen gelöst werden können. Die jeweiligen Akrivirarcn sollen zum langfristigen Ziel beitragen, trag fähige Vorstellungen au fzubauen. Damit ist die Bedeutung von Arbeitsmitteln und Veranschaulichungen für den mathematischen Lernprozess angesproc hen ('"gI. Kap. 5.3). Zum einen ist darauf zu ach ten , dass - abgestimmt auf den Ler ninh alt - geeignete Materialien eingesetzt werden. G ünstig sind insbesondere Arbe itsmittel und Veranschaulichungen die das Er fassen der dezi malen Stru ktur (mit der Unterstruktur der 5) ermöglich en. Zu m anderen ist wichtig, dass die Arbeitsmittel und Veranschaulichunge n so eingesetzt werden, dass Vorstellung aufgebaut werden kann. Das kann durch geeignete Aufgabenstellungen erreicht werden, indem die Sprac he als handlengsbegleitendes Mirtel eingesetz t wird. Die Ab li>sung vom zählend en Rechnen ist ein spezifi sches, jedoch zentrales Thema im mathematischen Anfa ngsunterricht (vgl. Kap 5.4), mit dem wir exem plarisch aufgezeigt haben , wie fordernd er Mathernatikun terricht pr äventiv gestaltet werden kann. D as Fordern der Zähl kompetenzen und das Fokussieren der strukturie rten Anzahlerfassunp und der Beziehu ng Tei l-Gau...es können dazu beitragen, dass auch lernschwache Schülerinnen und Schüler zuverlässigere St rategien als das Abzä hlen erwerben .

200

I7

Rückb lick und Ausbl ick

7.2.2 Förd erhin weise zu verschiedenen Inhaltsbereichen In Kap. 6 haben wir exemplarisch F ördcrhinwcisc zu den drei Inhaltsboreiche n Ari thm etik, Geometrie und Sachrcchnc n bzw. zu ents prechenden Leitide en gegeben.

Arithmeti k In der Arithmetik habe n wir uns an zentralen Themen der Schuljahre t bis 4 im Primarbereich orientiert und für jedes Schuljahr exemplarisch einen Inhaltsbereich ausgewählt. Für den An fangsunterricht haben wir uns für die Thematik des Zahl begriffserwer bs r-ntschicdr-n. Aktuelle Porscbungsergcbnisse legen fiir die Förderung nahe, vor allem me ngen- und zahls pezifische Inhalte zu behandeln (vgl. Kap. 6.1.1). Pränumerische Kompetenzen haben fiir den mathema tischen Lernprozess nicht die Bedeutung, die ihnen lange Zeit zugeschrieben wurden, sind jedoch in Verbindung mit numerischen Inhalten auch zu berücksichtigen. Diese sollen im ganzheitlich angebotenen Zahlenraum. unter der Beriicksichtigung der verschie denen Z ahlaspekte und im Kontext vielfaltiger Zahlbczicbungcn, thematisiert werden. \'\'ich lig ist die Zählkompetenz als Voraussetzung zum Erwerb des Anza hlaspekts. Im 2. Schuljahr stellt die Behandlung der Multiplikation einen zentralen Lern inhal t dar. Scliwicrig kcircn zeigen sich hier oft bezüglich des I Icrsrellcns von Beziehungen zwischen den Aufga ben und O perationen, der N utzung von Rechengesetzen sowie hinsichtlich der Au toma tisierung (vgl. Kap. 6.1.2). Für einen ganzheitlichen Einstieg in die Multiplikation sind das räumlich-simulta ne Modell bzw. reale O bjekte mit Felderstrukturen geeignet. Die Schülerinnen und Schü ler sollen sich diesen Inhalt in aktiv-en tdec kender " 'eise aneignen und ihre individuellen Sichtweisen einbringen kö nne n. .A uf dem \'('eg zur Automa risierung ist darau f zu achten, dass diese in Form produktiver und bcziehungsrcieher Übungen erfolgt, da ein reines Auswendiglernen der Einmaleinsreihen i. d. R. nur kurzfristig zum Erfolg fiihrt. Im 3. Schuljahr stellt der T ausenderraum und damit verbunden das dezimale Stellenwertsystem einen der wichtigsten Lerninhalte dar. Viele lernschwache Schü lerinnen un d Schüler - auch in h öheren Schu ljahren - weisen hier Schwie rigkeiten auf. Das Bundelunge- und Stellenwertprinzip müssen deshal b sorg faltig und mi t geeignetl'n Veranschaulichu ngen erarbeitet werden (Kap. 6.1.3). Auch hier ist der Zahlenraum ganzhei tlich anzubieten, da dies die Einsicht ins Stellenwertsystem erleichtert. Insbesondere fiir den Fordcrschwcrpunkt Le r nen ist dabei zu beachten, dass der Tausenderraum nicht erst in höh eren Schuljähren bearbeitet werden sollte, weil den Lernenden sonst wichtige Voraussetzungen zur Bewältigung von Alltagsanforderungen - z. B. im Umgang mit Geld fehlen. Die Bedeutung info rmelle r Rechens trategien haben wir - gerade auc h im Hinblick au f die schri ftlichen Verfahren - für das 4. Schuljahr exem plarisch am

7.3

Ausblick

I 20 1

Beispiel der Addition aufgezeigt. Wir haben dargelegt, dass alle Schü lerinnen und Schüler auf dem \\'eg zu ehe r konventionellen Vergehensweisen Gelegen heit erhalten sollen, ihre eigenen I.iisu ngs\vege und D arstellungsweisen zu entwickeln und dadurch notwendige Vora usse tzungen zum Verständnis der schri ftlichen Verfah ren zu erwerben (Kap . 6.1...1-). Das ist insbesondere für lernschwache Schülerinnen un d Schüler anzustreben, da diese die schriftlichen Algorithmen häufig fehlerhaft anwenden. Sachrechnen

Die Bewältigu ng von Sacliaufgabcn scheint sowoh l für die L....hrpcrsoncu als auch für die Schülerinnen und Schüler ein schwierige r Bereich des Mathematikuntcrrichts zu sein, insb esondere für lern schwache Lern ende. Di es kann verschiedene Gründe haben: Erstens müssen sich die Schülerinnen un d Schüler mit einer Sache und mit Kontexten auscinanderscrzcn, was sich erschwerend auf den Bearbeitungsprozess auswirke n kann . \'('eiter ist die Über setzung der Sache (bzw . der \\'elt oder Umwelt) auf die Ebene der Mathematik anspruchsvoll. An bcide Anforderungen müssen die Lernend en sorgfaltig bcraogcfübn werden. D amit dies gelingen kan n, ist die Aufga benauswahl wichtig, und es ist ein breites Spektrum an Au fgaben und an Bearbeitungsebenen (z. B. Na chspielen einer Sachsiruation, Arbei ten auf der ikonischen Ebene) anzubieten. Auch hier sind o ffene Aufgaben besonders geeignet. Geometri e

Fo rderun g im G eometrieunterricht ist für lernschwache Schü lerinne n un d Sch üler aus verschiedenen G ründen von Bedeu tung. Zum einen gibt es einige Le rn ende, die hier weniger Schwierigkeiten haben als in der Arithmetik und deshalb bei geometrischen Aufgaben besonders motiviert sind. Zum anderen erfordern viele Situationen des alltägliche n Lebens geometrische Kompetenzen, und die Raumvo rstellung ist bedeu tsam für versch iedenste Bereiche im Alltag und im Le rn p ro zess. D ie Le itidee n zu de n inh altsbez ogenen Kompetenzen in Form von Standards für das Ende der G rundschulzeit bieten vielfaltige Hinweise zu Fö rdennöglichkeiten.

7.3

Au sblick

Unse re Ausfö hrungen haben geZt'igt: Fiirdenmg im Mathematikun terricht ist nicht in erst er Linie vorn Einsa tz bestimm ter Fü rderprogramme oder Methode n abh änb>1g, sondern es geht um einen guten und zeitgemäßen Mathematikunr erricht: einen Mathcm atiku nrerrichr, der u. a. die Voraussetzungen der Lernend en einbezieht, das Lernen auf eigenen Wege n ermöglicht, lerupr ozessoricnticrt ist, Z ahlenraume ganzheitlich anbiete t, produktive Übungen sowie geeignete Veransc haulichungen und Arbe itsmit tel zur Verfügung stellt und eine

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I7

Rück blick und Ausblick

lernbegeleitende Unt erstü tzu ng durc h die Le hrperson an bietet. D abei kann es durchaus auc h erforderlich sein , für lernschwache Schüle rinnen un d Schü ler beso ndere Ents chei dungen zu treffen . So ist es u. U. sinnv oll, m it einem bcstimmten Kind halbsch riftliche Strategi en zu them atisieren, aber da nn frü he r als üblich schriftliche Rec henverfahren oder den T aschenrechner einzusetze n (ygl. Schippcr 2009, 132 f.). Bei einem anderen Kind kann es im G egensatz dazu ange bra cht sein, die schriftliche n Ver fahren gar nicht zu th em atisieren . Auch der generelle Taschenrech nereinsatz kann im Bereich des Sachrcchnc ns für lerns chwach e Schü lerinnen und Schüler ein zulässiges H ilfsm ittel sein, um wich tige Sacht hemen trotz eingesc hrä nkter arithm etischer Kompeten zen erfnl grt~i ch hnvii ltigen zu k önnen . Die Umsetzung eines aktiv-ent deckende n Unterricht s m it lern schwachen Schulerin nen und Schülern wird in der Prim arstufe zum T eil realisiert und ist dort in Lehrplanen und Schu lbü chern zumindest teilweise umgesetzt. Für den Fo rdcrschwe rpu nkt Lernen gibt es diesb ezüglich noch E ntwicklungsmöglichkeiten, un d zwar au f der Ebene der Le hrp läne, der Schu lbücher und auch de r Aus bildu ng vo n Lehrperso nen. Im Kontext de r aktuellen Bestrebungen zu vermehrter in tcgrativcr Schu lung komm t dieser For deru ng beso ndere Bede utung zu . G ru ndsätzlich b>11t es zu beachten , dass es trotz vielfaltiger Fordermaßnahmcn un d eines zeitgemäßen und b'Uten Mathem atikunterricht s im me r Schülerin nen und Schüler gebe n wird, die beim Math ematiklernen Schwierigke iten habe n, und dass nicht alle Pro blem e beh oben werden kö nn en. In jedem Fall geh t es aber daru m, die Lernenden zu unte rstü tzen, mit ihren Schw ierigkeiten bestmöglich umzugeh en, math em atisch e Einsichten zu erwerben , dadurch Vertrauen in die eigenen Leistungen und dam it verbun den auch Freu de am mathe m atischen Lernen zu en twickeln.

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Z ur O evesre, 11. (1987): Kognitive I logrefe

Enlll'kklun,~

im Vor- und Gmnds,hulallef. Gii ttinh'Cn:

Index

A Abacc 78, 89ff. Ak nv -cnrdc ckc ndcs

Lern en

10,

1711. Anwendungs- und Srrukruroric n ticrung 128, 178 Anza hlerfassung 110, 116, 148 Arithmeti k 4 f., 13, 29, 61, iour, 17M., 179, 183 ..Aufgabenforma t 2M., 39, 4 1, 70f., 84, 127, H6, 176 Au tomatisieru ng 13, 61, 73f., 93, 99, 118ff., 128f., 149

B basaler mat hem atisch er Ler nsto ff 29, 38ff., Basiskompeten zen 29, 148, 149, 157,1 77 Bildungsstandards 5, 179, isort Bündclungsprinzip 14, 131ff., 1-l0f.

c Computer 195

D D efizitorientierung 25 14, D ezimales Stellenwertsystem 38, 129ff. D iagn ostik 11 r, 3 1ff., 110 D iagn ostische Kompetenz en 22ff. D idaktisches Rechteck 20,65

D ien es Material 76, 132, 142 f., 150 f., 154D ifferenzieru ng äußere 49ff. innere 51 ff. natürliche 57ff., 140 D iskrep anz 11 D vskalkulie 9ff.

E Einm aleins 27ff., 117ff., 148

F Fachliche, fachdidaktische Kompetenz en 2Uf., 25ff., 36f. Fehler 20, 42ff., 56, 62, 66ff., 106, 115, 118, 127, 130, 1.36f., 159f., (R echen fehler 163f.) Fehleranalyse 31f., 37, 40, 42ff., 130 Fehlerkategori en 37, 42ff. Fingerr echnen 100, 118 F örderschulc 2, 9f., 49, 62 f., 109, 115, 118, 131, H f , 140, 156, 159, 163, 165, 182

G Geld 141, 145ff. G cschk chterdiffc n -nzen 3, 162 G eo met rie 4f., 101, 176f., 179ff. G rondbalruog der I.chrpersoo 19f. Giirekrirericn 33ff.

236

I Inde x

H

N

IIalbsc hriftlichcs Rechnen 130, 150ff. Heterogenität 49f. Hundert ertafel 76,85,137,139

Nachbaraufgaben 28, 69f., 126, 149 Normierun g 35 Null 14, 23f., 120, 127, 129, 131, 133, 13., [60

o [G LU!E irr, 18. Instrumente 3 1ff.,l 10 Intelligenz lOf. Intersub jektiv nachvollzi ehbar 33ff., 37, . 7 Invarianz 108

Objektivitä t 33ff. Offene Aufgaben 4Of., 58f., 72 f., 129, 17M., 17-1f. Offener Unterricht Slff. , 73 O perativ strukturiertes Üben 69f., 99f., 125, 149

K

p

Kerna ufgabe 119f., 126, 128 Klinische Methode 34 Kommutativgesetz 4 1, 120 125, 151 Konstruktivismus 17f. Koordinicrongs übungen 147

P ISA 1ff. Pranumcrik 101 r, 107 rr, 11Off., 117 Problemlö sen 13, 14f., 179 Problem strukturiertes Üben 70 f. Prod uktives Üben 61ff., 149 Prozentrang 35 Punktfeld 121, 12M., 137, 1-11 , 171

L t .cisrungsrücksrand 13, 15 Lernbehin derung 9, 21, 62f. Lcm sraodscrfassung 32, 41f., 110 Lernschwache 9ff., 21f., 29 Lernschwierigkeiten 18, 20 f., 30,

[7. Lernumgebung 5 1, 59f., 70, 174, [ 76f, t .csc-Rcchtschrciblcistung 11

M Mathematisierung 163ff.,1 72 Mehrdeutigkeit 82, 112, 124, 127, 138, 167f. Migrarionshintcrgrond 3f. Mode llbildungsprozess 162ff. Motivation 7, 63f., 70, 74, 141, 175 Must er 5, 64, 11 1, 113ff., 122, 154, 182,1 86, 188, 191

R Raumvo rstellung 180, 183ff. Rechengesetz 120,124,1 -18,1 49 Rechenr ahmen 39, 76ff., 89ff., 154 Rechenschwäche 9ff., 130 Rechenstörung 9ff. Rechenstrich 67, 76, 85, 139, 150, 153, 155 Reliabilität 34,36 Repräsent ationsebene 28, 68f., 87, 121, 12-1, 125, 127, 141, 143, 147,

[70

5 Sachaufgaben 161, 162ff., 169ff. Sechrechnen -r, 160ff. Sachs truk ruricrtcs Üben 7 1f. Schri ftlicher Algo rithmus 23f., 119, 147f., 150, 157ff.

Index

Selbs thilfe 2H. Simultanerfassung 77f., 87ff., 96f. Sozia lstatus 3f. So ndcrpadagog. Fo rdcrbcdarf 9 Sprache 49, 86,1 27, 133,177,1 86 Standardisierung 33ff., 38, 42, 47 Stcllcnwerrprinvip 117, 129ff., 13311., 1-11 Stellenwertsystem 129ff., 140ff., I-Im . Stellenwerttafel 14, BO, 1.11ff., I-IHf., 15811. Struktur 54ff., 59, 63, 64 ff., 69ff., 76ff., 84f., 111, 114, 123, 126, 129, 140,1 44, 162,1 63, 165, 167, 178

T Tauschaufgabe 28, 41, 122, 125f., 129, 149 Tcil-Ganzcs-Bczich ung 99, 104 Teilleistungsstörung 9, 11 Textaufgaben 13,1 5, 161, 174ff. Tlf-., [SS 183

irr.

U

Üben 18, 61ff. Umkehraufgabe 28, 123, 129, 149

v Validität 34ff. VERA -rr; 183

I 23 7

Veranschau lichungen 38f., 55, 68, 73, 75ff., 121, 128, 137ff., 147, 149, 154, 176, 185, 188 Vergleichsstudien Hf., 183f. Vor kenn misse 102, 110ff., 177, 184 Vo rstellungsbilder 79ff.

w \X'dtgcsundhcitsorganisation 10

z Z ahlasp ekt 102, lOS, 114, 117, 137ff., 142, 147 Z ahlbegriff ioirr, 115f., 148 Z ahlbeziehungen 26, 28, 64, 92ff., 117, 154 Z ahlenstrahl 76, 85, 9H., 94, 136, 138f., 144f. Z ahlreihe 85, 94, 137ff., 144f. Z ahlwortbildung 95, 106f., 137 Z ählendes Rechnen 13f., 87f., 92ff., 118, 1-19 Z ählen 14, osrr, 102ff., 129, 136, 1-11 Z ählkompetenz 14, iosrr, n srt Z ählprinzipien 96, 109 Zehnerstab 77, 132, 142f. Zehnerstrei fen 77 Zw anzigerfeld 55, 76f., ssrr, 97ff.