Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, 22. Auflage

Alfred Böge Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik

Lehr- und Lernsystem Technische Mechanik •Technische Mechanik (Lehrbuch) von A. Böge •Aufgabensammlung Technische Mechanik von A. Böge und W. Schlemmer •Lösungen zur Aufgabensammlung Technische Mechanik von A. Böge und W. Schlemmer •Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik von A. Böge

Alfred Böge

Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik 22., erweiterte Auflage unter Mitarbeit von Walter Schlemmer, Gert Böge und Wolfgang Böge STUDIUM

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

1. Auflage 1960 2., verbesserte und erweiterte Auflage 1963 3., überarbeitete Auflage 1966 4., überarbeitete Auflage 1968 5., überarbeitete Auflage 1970, 2 Nachdrucke 6., vollständig neu bearbeitete und erweiterte Auflage 1974, 1 Nachdruck 7., durchgesehene Auflage 1976 8., überarbeitete Auflage 1979 9., überarbeitete und ergänzte Auflage 1980 10., überarbeitete Auflage 1981, 2 Nachdrucke 11., überarbeitete Auflage 1983 12., überarbeitete Auflage 1984, 1 Nachdruck 13., verbesserte Auflage 1986, 3 Nachdrucke 14., überarbeitete Auflage 1991 15., erweiterte Auflage 1992 16., überarbeitete Auflage 1995 17., überarbeitete Auflage 1999 18., überarbeitete und erweiterte Auflage 2000 19., überarbeitete und erweiterte Auflage 2002, 1 Nachdruck 20., überarbeitete Auflage 2006 21., korrigierte Auflage 2009 22., erweiterte Auflage 2011 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg +Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011 Lektorat: Thomas Zipsner | Imke Zander Vieweg+Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Technische Redaktion: Stefan Kreickenbaum, Wiesbaden Druck und buchbinderische Verarbeitung: Stürtz GmbH, Würzburg Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN 978-3-8348-1445-6

Vorwort zur 22. Auflage Diese Formelsammlung ist Teil des vierbändigen Lehr- und Lernsystems Technische Mechanik von A. Böge für Studierende an Fach- und Fachhochschulen Technik. Sie enthält die physikalischen, mathematischen und technischen Daten (Gleichungen, Tabellen, Diagramme) zum Lösen der Aufgaben aus der Aufgabensammlung und beruflicher Arbeit. Die vier Bücher sind in jeder Auflage inhaltlich aufeinander abgestimmt. Im Lehrbuch sind nach jedem größeren Bearbeitungsschritt die Nummern der zugehörigen Aufgaben angegeben. Entsprechend der Bearbeitung des Kapitels Hydrodynamik wurden neu die Formeln zu den drei Erhaltungssätzen für Masse, Energie, Impuls aufgenommen. Die aktuellen Auflagen des Lehr- und Lernsystems sind • • • •

Lehrbuch Aufgabensammlung Lösungsbuch Formelsammlung

29. Auflage 20. Auflage 15. Auflage 22. Auflage.

Das Lehr-und Lernsystem Technische Mechanik hat sich auch an Fachgymnasien, Fachoberschulen, Bundeswehrfachschulen und in Bachelor-Studiengängen bewährt. In Österreich wird damit an den Höheren Technischen Lehranstalten gearbeitet. Bedanken möchte ich mich beim Lektorat Maschinenbau des Vieweg+Teubner Verlags, insbesondere bei Frau Imke Zander und den Herren Thomas Zipsner und Stefan Kreickenbaum für ihre engagierte und immer förderliche Zusammenarbeit bei der Realisierung der vorliegenden Auflage. Für Zuschriften steht die E-Mail-Adresse [email protected] zur Verfügung. Braunschweig, Januar 2011

Alfred Böge

V

Inhalt

1

Statik 1.1 Zentrales Kräftesystem .......................................................................................... 1 1.2 Momentensatz, rechnerisch und zeichnerisch ........................................................ 2 1.3 3-Kräfte-Verfahren ............................................................................................... 2 1.4 4-Kräfte-Verfahren ............................................................................................... 3 1.5 Schlusslinienverfahren ........................................................................................... 3 1.6 Rechnerische Gleichgewichtsbedingungen ........................................................... 3 1.7 Cremonaplan .......................................................................................................... 4 1.8 Culmann’sches Schnittverfahren ........................................................................... 4 1.9 Ritter’sches Schnittverfahren ................................................................................. 4 1.10 Schwerpunktsbestimmung ..................................................................................... 5 1.11 Flächenschwerpunkt .............................................................................................. 5 1.12 Linienschwerpunkt ................................................................................................ 6 1.13 Guldin’sche Regel.................................................................................................. 6 1.14 Reibung, allgemein ................................................................................................ 7 1.15 Reibung auf der schiefen Ebene ............................................................................ 7 1.16 Zylinderführung ..................................................................................................... 9 1.17 Prismenführung...................................................................................................... 9 1.18 Reibung an der Schraube ..................................................................................... 10 1.19 Seilreibung ........................................................................................................... 10 1.20 Reibung am Tragzapfen (Querlager) ................................................................... 10 1.21 Reibung am Spurzapfen (Längslager) ................................................................. 10 1.22 Bremsen ............................................................................................................... 11 1.23 Rollreibung .......................................................................................................... 12 1.24 Fahrwiderstand .................................................................................................... 12 1.25 Feste Rolle ........................................................................................................... 12 1.26 Lose Rolle ............................................................................................................ 12 1.27 Rollenzug (Flaschenzug) ..................................................................................... 12

2

Dynamik 2.1 Gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung ............................................. 2.2 Gleichmäßig verzögerte geradlinige Bewegung .................................................. 2.3 Gleichförmige Kreisbewegung ............................................................................ 2.4 Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung ........................................................ 2.5 Gleichmäßig verzögerte Kreisbewegung ............................................................. 2.6 Waagerechter Wurf .............................................................................................. 2.7 Schräger Wurf ...................................................................................................... 2.8 Schnittgeschwindigkeit ........................................................................................ 2.9 Übersetzung ........................................................................................................ 2.10 Kreuzschubkurbelgetriebe (Kreuzschleife) .........................................................

VI

13 13 14 14 14 15 15 15 15 16

2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28

Schubkurbelgetriebe ........................................................................................... 16 Dynamisches Grundgesetz für Translation ......................................................... 17 Dichte ................................................................................................................... 17 Gewichtskraft ....................................................................................................... 17 Impuls ................................................................................................................. 17 Mechanische Arbeit und Leistung bei Translation ............................................. 17 Wirkungsgrad....................................................................................................... 17 Dynamisches Grundgesetz für Rotation............................................................... 18 Gleichungen für Trägheitsmomente (Massenmomente 2. Grades) ...................... 18 Mechanische Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad bei Rotation ......................... 19 Energie bei Translation ....................................................................................... 19 Gerader zentrischer Stoß ...................................................................................... 19 Energie bei Rotation ............................................................................................ 20 Zentripetalbeschleunigung und Zentripetalkraft ................................................. 20 Gegenüberstellung der translatorischen und rotatorischen Größen ..................... 20 Harmonische Schwingung .................................................................................. 21 Pendelgleichungen .............................................................................................. 22 Harmonische Welle .............................................................................................. 23

3

Fluidmechanik (Hydraulik) .......................................................................................... 24 3.1 Hydrostatik .......................................................................................................... 24 3.2 Hydrodynamik .................................................................................................... 25

4

Festigkeitslehre 4.1 Zug- und Druckbeanspruchung............................................................................ 28 4.2 Abscherbeanspruchung ........................................................................................ 28 4.3 Flächenpressung und Lochleibungsdruck ............................................................ 28 4.4 Flächenmoment 2. Grades zusammengesetzter Flächen ...................................... 29 4.5 Verdrehbeanspruchung (Torsion) ....................................................................... 29 4.6 Biegebeanspruchung ............................................................................................ 29 4.7 Knickbeanspruchung............................................................................................ 30 4.8 Knickung im Stahlbau (DIN 18 800) .................................................................. 30 4.9 Zusammengesetzte Beanspruchung .................................................................... 33 4.10 Kerbspannung ..................................................................................................... 33 4.11 Dauerbruchsicherheit im Maschinenbau ............................................................. 33 4.12 Stützkräfte, Biegemomente und Durchbiegungen bei Biegeträgern von gleich bleibendem Querschnitt ............................................................................. 34 4.13 Axiale Flächenmomente 2. Grades I, Widerstandsmomente W und Trägheitsradius i für Biegung und Knickung ....................................................... 35 4.14 Polare Flächenmomente 2. Grades Ip und Widerstandsmomente Wp für Torsion ........................................................................................................... 37 4.15 Träger gleicher Biegebeanspruchung................................................................... 38 4.16 Festigkeitswerte für Walzstahl ............................................................................. 39 4.17 Festigkeitswerte für verschiedene Stahlsorten .................................................... 39 4.18 Festigkeitswerte für verschiedene Gusseisen-Sorten .......................................... 39 4.19 Richtwerte für die Kerbwirkungszahl β k ............................................................ 40 VII

4.20 4.21 4.22 4.23 4.24 4.25 4.26 4.27 4.28 4.29 4.30 4.31

Oberflächenbeiwert b1 und Größenbeiwert b2 für Kreisquerschnitte ................. 40 Stahlbezeichnungen ............................................................................................ 40 Zulässige Spannungen im Stahlhochbau ............................................................. 41 Zulässige Spannungen im Kranbau für Stahlbauteile und ihre Verbindungsmittel ............................................................................................... 41 Warmgewalzter gleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl ............................. 42 Warmgewalzter ungleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl ......................... 43 Warmgewalzte schmale -Träger ...................................................................... 44 Warmgewalzte T-Träger ..................................................................................... 44 Warmgewalzte -Träger, PE-Reihe ................................................................ 45 Mechanische Eigenschaften von Schrauben ....................................................... 45 Warmgewalzter rundkantiger U-Stahl ................................................................ 46 Niete und zugehörige Schrauben für Stahl- und Kesselbau ................................ 46

5

Gewindetabellen 5.1 Metrisches ISO-Gewinde ..................................................................................... 47 5.2 Metrisches ISO-Trapezgewinde........................................................................... 48

6

Allgemeine Tabellen 6.1 Werte für eμα in Abhängigkeit vom Umschlingungswinkel α und von der Reibungszahl μ ...................................................................................... 49 6.2 Vorsatzzeichen zur Bildung von dezimalen Vielfachen und Teilen ................... 49 6.3 Bevorzugte Maße in Festigkeitsrechnungen ....................................................... 49 6.4 Umrechnungsbeziehungen für die gesetzlichen Einheiten .................................. 50 6.5 Das griechische Alphabet .................................................................................... 51

7

Mathematische Hilfen ................................................................................................... 52

Sachwortverzeichnis ................................................................................................................ 56

VIII

1 Statik 1.1 Zentrales Kräftesystem Wie wird rechnerisch die Resultierende Fr ermittelt?

Lageskizze mit den Komponenten der gegebenen Kräfte zeichnen: mit folgender Tabelle die Komponenten Fx, Fy für jede Kraft berechnen: n Fn αn Fnx = Fn cosαn Fny = Fn sinαn 1 8 N 30° 6,928 N 4N Für αn ist immer der Winkel einzusetzen, den die Kraft Fn mit der positiven x-Achse einschließt (Richtungswinkel).

Die Teilresultierenden Frx und Fry ergeben sich durch algebraische Addition: Frx = F1x + F2x + ... Fnx Fry = F1y + F2y + ... Fny Die Resultierende Fr =

Frx2 + Fry2 und deren

Neigungswinkel β r zur x-Achse berechnen: |Fry | Quadrantenlage und Richtungswinkel α r aus den Vorzeichen β r = arctan |Frx | von F und F bestimmen. rx ry

y

F1

α1

F1y = F1 sin α1

Wie werden rechnerisch unbekannte Kräfte ermittelt? Es muss sein: I. ΣFx = 0 II. ΣFy = 0 (Vorzeichen beachten)

F1x = F1 cos α1

x

Wie wird zeichnerisch die Resultierende Fr ermittelt?

Wie werden zeichnerisch unbekannte Kräfte ermittelt?

Lageskizze mit den Komponenten aller Kräfte zeichnen, auch der noch unbekannten; für diese zunächst den Richtungssinn annehmen; die Komponenten Fnx und Fny der gegebenen Kräfte berechnen: Fnx = Fn cos αn αn = spitzer Winkel zur x-Achse Vorzeichen ( + ) oder (–) aus der Fny = Fn sin αn Lageskizze; Gleichgewichtsbedingungen mit Hilfe der Lageskizze ansetzen (Vorzeichen beachten); Gleichungen auflösen (bei negativem Vorzeichen war der angenommene Richtungssinn falsch; Gegensinn); gefundene Kraftrichtungen in den Lageplan übertragen. Lageplan des frei gemachten Körpers mit den Wirklinien der gegebenen Kräfte zeichnen; Kräfteplan der gegebenen Kräfte F1, F2, F3 zeichnen durch Parallelverschiebung der Wirklinien aus dem Lageplan in den Kräfteplan; Kräfte F1, F2 F3 in beliebiger Reihenfolge maßstabgerecht aneinander reihen, sodass sich ein fortlaufender Kräftezug ergibt; Resultierende Fr zeichnen als Verbindungslinie vom Anfangspunkt A der zuerst gezeichneten zum Endpunkt E der zuletzt gezeichneten Kraft. Lageplan des frei gemachten Körpers mit den Wirklinien aller Kräfte zeichnen, auch der noch unbekannten; Kräfteplan der gegebenen Kräfte zeichnen durch Parallelverschiebung der Wirklinien aus dem Lageplan in den Kräfteplan; Krafteck mit den Wirklinien der gesuchten Gleichgewichtskräfte „schließen“ (Einbahnverkehr); Richtungssinn der gefundenen Kräfte im Kräfteplan ablesen und in den Lageplan übertragen.

A. Böge, Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, DOI 10.1007/978-3-8348-8116-8_1, © Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

1

1 Statik 1.2 Momentensatz, rechnerisch und zeichnerisch Betrag und Richtungssinn der Resultierenden Fr ebenso bestimmen wie beim zentralen Kräftesystem; Lage der Resultierenden berechnen nach dem Momentensatz: Fr l0 = F1 l1 + F2 l2 + ... Fn ln darin sind die gegebenen Kräfte oder deren F1, F2, … , Fn Komponenten Fx und Fy deren Wirkabstände vom gewähll1, l2, … , ln ten (beliebigen) Bezugspunkt D l0 der Wirkabstand der Resultierenden vom gewählten Bezugspunkt F1l1, F2 l2, … , Fn ln die Momente der gegebenen Kräfte für den gewählten Bezugspunkt (Vorzeichen beachten).

Wie wird rechnerisch die Resultierende Fr ermittelt? l4 l3 l1 = 0

l2

D F3 F1

F4

F2 l0

Lageskizze

Fr = – F1 – F2 + F3 –F4

Fr

Wie wird zeichnerisch die Resultierende Fr ermittelt? (Seileckverfahren) 0 F2

F1

Polstrahl

2 1

0

F1

Seilstrahl

1

P

2

S Fr

F2

Fr

Lageplan Längenmaßstab:

Kräfteplan

m cm (1 cm = ... m) ML = ...

Kräftemaßstab: N MK = ... cm (1 cm = ... N)

Lageplan des frei gemachten Körpers mit den Wirklinien der gegebenen Kräfte zeichnen; Kräfteplan der gegebenen Kräfte F1, F2 zeichnen durch Parallelverschiebung der Wirklinien aus dem Lageplan in den Kräfteplan; Resultierende Fr zeichnen als Verbindungslinie vom Anfangspunkt zum Endpunkt des Kräftezugs; damit liegen Betrag und Richtungssinn von Fr fest; Polpunkt P beliebig wählen und Polstrahlen zeichnen; Seilstrahlen im Lageplan zeichnen durch Parallelverschiebung aus dem Kräfteplan, dabei ist der Anfangspunkt beliebig; Anfangs- und Endseilstrahl zum Schnitt S bringen; Schnittpunkt der Seilzugenden ergibt Lage von Fr im Lageplan, Betrag und Richtungssinn aus dem Kräfteplan.

1.3 3-Kräfte-Verfahren Drei nichtparallele Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn das Krafteck geschlossen ist und die Wirklinien sich in einem Punkt schneiden. A

FB

S F1

F1

W L

vo n

F

B

FA

FB

2

B

FA

Lageplan

Kräfteplan

Längenmaßstab: m ML = ... cm (1 cm = ... m)

Kräftemaßstab: N MK = ... cm (1 cm = ... N)

Lageplan des frei gemachten Körpers zeichnen und damit die Wirklinien der Belastungen und der einwertigen Lagerkraft F1 festlegen; bekannte Wirklinien zum Schnitt S bringen; Schnittpunkt S mit zweiwertigem Lagerpunkt B verbinden, womit alle Wirklinien bekannt sein müssen; Krafteck mit nach Betrag, Lage und Richtungssinn bekannter Kraft F1 beginnen; Krafteck zeichnen (schließen); Richtungssinn der gefundenen Kräfte in den Lageplan übertragen.

1 Statik 1.4 4-Kräfte-Verfahren Vier nichtparallele Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn die Resultierenden je zweier Kräfte ein geschlossenes Krafteck bilden und eine gemeinsame Wirklinie (die Culmann’sche Gerade) haben. F1

F1 Cu ad

er

.G lm

F4

Fr3,4

e

F2

F2

Fr1,2 F3

F4

Lageplan

F3

Lageplan des frei gemachten Körpers zeichnen und damit die Wirklinien der Belastungen und Lagerkräfte festlegen; Wirklinien je zweier Kräfte zum Schnitt I und II bringen; gefundene Schnittpunkte zur Wirklinie der beiden Resultierenden verbinden (der Culmann’schen Geraden); Kräfteplan mit der nach Betrag, Lage und Richtungssinn bekannten Kraft beginnen; Die Kräfte eines Schnittpunkts im Lageplan ergeben ein Teildreieck im Kräfteplan.

Kräfteplan

Längenmaßstab: m ML = ... cm (1 cm = ... m)

Kräftemaßstab: N MK = ... cm (1 cm = ... N)

1.5 Schlusslinienverfahren ist universell anwendbar, insbesondere für paral- Lageplan des frei gemachten Körpers mit Wirklinien lele Kräfte bzw. solche, die sich nicht auf dem aller Kräfte zeichnen; Zeichenblatt zum Schnitt bringen lassen. Krafteck aus den gegebenen Belastungskräften zeichnen; Seileck und Krafteck müssen sich schließen. Pol P beliebig wählen; F1

F2 FB

FA

Schlus

slinie S

0 2 Lageplan Längenmaßstab: m ML = ... cm (1 cm = ... m)

1

Polstrahlen zeichnen;

FA

FB

0 Teilpunkt T S F1 P 1 F2

2 Kräfteplan Kräftemaßstab: N MK = ... cm (1 cm = ... N)

Seilstrahlen im Lageplan zeichnen, Anfangspunkt bei parallelen Kräften beliebig, sonst Anfangsseilstrahl durch Lagerpunkt des zweiwertigen Lagers legen; Anfangs- und Endseilstrahl mit den Wirklinien der Stützkräfte zum Schnitt bringen; Verbindungslinie der gefundenen Schnittpunkte als „Schlusslinie“ im Seileck zeichnen; Schlusslinie S in den Kräfteplan übertragen und damit Teilpunkt T festlegen; Stützkräfte nach zugehörigen Seilstrahlen in das Krafteck einzeichnen.

1.6 Rechnerische Gleichgewichtsbedingungen Wie werden rechnerisch unbekannte Kräfte ermittelt?

Lageskizze des frei gemachten Körpers zeichnen; rechtwinkliges Achsenkreuz so legen, dass möglichst wenig Kräfte zerlegt werden müssen; Es muss sein: alle Kräfte – auch die noch unbekannten – in ihre Σ M (I) = 0 I. Σ Fx = 0 Komponenten zerlegen; II. Σ Fy = 0 oder Σ M (II) = 0 Gleichgewichtsbedingungen ansetzen; Meist enthält Gleichung III nur eine Unbekannte; III. Σ M = 0 Σ M (III) = 0 damit beginnen. Die Momentengleichgewichtsbedingungen kön- Auch der dreimalige Ansatz der Momentengleichgenen für jeden beliebigen Punkt (auch außerhalb wichtsbedingung führt zum Ziel. Aber: Die drei Punkte I, II, III dürfen nicht auf einer Geraden liegen. des Körpers) angesetzt werden. 3

1 Statik 1.7 Cremonaplan (zeichnerische Bestimmung der Stabkräfte) Lageplan des Fachwerks zeichnen; Stützkräfte zeichnerisch oder rechnerisch bestimmen; Krafteck der äußeren Kräfte zeichnen; Kraftecke der Stäbe anbauen, für jeden Knoten eins; mit dem Knoten beginnen, an dem nicht mehr als zwei unbekannte Kräfte und mindestens eine bekannte Kraft angreifen, dabei an jedem Knoten den gewählten Kraftfolgesinn beibehalten; Reihenfolge der Knoten beliebig; nach jeder Krafteckzeichnung sofort Richtungssinn der Stabkräfte durch Pfeile im Lageplan kennzeichnen (in Bezug auf den Knoten). Im Kräfteplan Stabkräfte durch (+) oder (–) als Zug- oder Druckkräfte kennzeichnen.

1.8 Culmann’sches Schnittverfahren (zeichnerische Bestimmung einzelner Stabkräfte) Lageplan des Fachwerks zeichnen; Stützkräfte bestimmen; Fachwerk durch Schnitt in zwei Teile (A) und (B) zerlegen: Schnitt darf höchstens drei Stäbe treffen (4, 5, 6), die nicht zum selben Knoten gehören; für einen Schnittteil (B) die Resultierende (F ) der äußeren Kräfte (einschließlich der Stützkräfte) bestimmen; Resultierende (F ) mit einer der gesuchten Stabkräfte zum Schnitt (II) bringen; Verbindungslinie zwischen diesem und dem Schnittpunkt (I) der beiden anderen gesuchten Stabkräfte ist die Culmann’sche Gerade l, nach „4-Kräfte-Verfahren“ das Krafteck zeichnen.

1.9 Ritter’sches Schnittverfahren (zeichnerische Bestimmung einzelner Stabkräfte) Lageskizze des Fachwerks zeichnen; Stützkräfte bestimmen; Fachwerk wie bei „Culmann“ zerlegen und die drei unbekannten Stabkräfte als Zugkräfte annehmen; Stäbe, für die die Rechnung negative Beträge ergibt, sind Druckstäbe. Wirkabstände, l1, l2 … berechnen oder aus dem Lageplan abgreifen: Momentengleichgewichtsbedingungen für ein Schnittteil (B) ansetzen (mit den gesuchten drei Stabkräften und den äußeren Kräften am Schnittteil), z.B. um Drehpunkt D für Fachwerkteil B: Σ M(D) = + F lF – S4 l4 und daraus S 4 =

4

F lF l4

1 Statik 1.10 Schwerpunktsbestimmung Die Lage des Schwerpunkts einer beliebigen Linie oder Fläche wird rechnerisch mit dem darauf zugeschnittenen Momentensatz (1.2) bestimmt, zeichnerisch mit dem Seileckverfahren (1.2). Dabei fasst man die Einzellinien oder Einzelflächen als parallele Kräfte auf und bestimmt den Wirkabstand der Resultierenden von einer beliebigen Bezugsachse. Das ist dann der gesuchte Schwerpunktsabstand. Momentensatz für zusammengesetzte Flächen (Bohrungen haben entgegengesetzten Drehsinn)

A x0 = A1x 1 + A2 x2 + ... + An xn A y0 = A1 y 1 + A2 y2 + ... + An yn

die bekannten Teilflächen in mm2 oder cm2

A1, A2 … n 1 2 3

An

x n yn

A n xn

An yn

ΣAn xn = ΣAn yn =

A = ΣAn

Momentensatz für zusammengesetzte Linienzüge

x1, x2 … y1, y2 …

die bekannten Schwerpunktsabstände der Teilflächen von den Bezugsachsen in mm oder cm

½ ¾ ¿

A

die Gesamtfläche (A1 + A2 + … + An) in mm2 oder cm2

x 0 , y0

die Schwerpunktsabstände der Gesamtfläche von den Bezugsachsen in mm oder cm

l x0 = l 1x 1 + l2 x2 + ... + ln xn l y0 = l1 y 1 + l2 y2 + ... + ln yn

die bekannten Teillängen in mm oder cm

l1, l2 … n 1 2 3

ln

x n yn

l = Σln

l n xn

ln yn

Σln xn = Σln yn =

x1, x2 … y1, y2 …

die bekannten Schwerpunktsabstände der Teillinien von den Bezugsachsen in mm oder cm

½ ¾ ¿

l

die Gesamtlänge (l1 + l2 + … + ln) des Linienzugs in mm oder cm

x0, y0

die Schwerpunktsabstände des Linienzugs von den Bezugsachsen in mm oder cm

1.11 Flächenschwerpunkt a

y0 =

h 3

A S

y0

y0

h

S

b 2

y’0

h

Seitenhalbierende

b

Dreiecksschwerpunkt a

y0

h

S

Diagonale

B

a 2

Parallelogrammschwerpunkt

y0 =

h 2

b

Trapezschwerpunkt

y0 =

h a + 2b ⋅ 3 a+b

y0' =

h 2a + b ⋅ 3 a+b 5

1 Statik Bogen b

Bogen b Bogenhöhe h

Sehne s

Fläche A

S

S

Sehne s

y0

y0

R

r M

Kreisausschnitt-Schwerpunkt

2 Rα º ʌ 180º s = 2 R sin α

α

M

Kreisringstück-Schwerpunkt

Kreisabschnitt-Schwerpunkt

s3 12 A R(b − s ) + sh A= 2

( R3 − r 3 )sin α y0 = 38,197 · ( R2 − r 2 ) α º

b=

α

sR

sR

Mittelpunkt M

2 Rs y0 = ⋅ 3 b

α

diu

diu

α

α

Ra

Ra

α

y0

S

y0 =

y0 = 0,4244 R für Halbkreisfläche y0 = 0,6002 R für Viertelkreisfläche y0 = 0,6366 R für Sechstelkreisfläche

h = 2 R sin 2 (α / 2)

1.12 Linienschwerpunkt

Kreisbogen Strecke

x0 =

Dreiecksumfang

l 2

y0 =

h a+b ⋅ 2 a+b+c

Rs b

y0 =

2 Rα º ʌ 180º s = 2 R sin α

b=

y0 = 0,6366 R für Halbkreisbogen y0 = 0,9003 R für Viertelkreisbogen y0 = 0,9549 R für Sechstelkreisbogen

1.13 Guldin’sche Regel

Ringfläche ΔA

Δl

Drehachse =

Linienschwerpunkt S

x0

l = Länge der erzeugenden Linie (Profillinie)

Mantelfläche A = 2 ʌ l x0 = 2 ʌ Σ Δ l x

6

für Körperinhalt (Volumen) V Symmetrieachse

x

Beachte: Die Produkte lx0 und Ax0 werden mit dem Momentensatz (Seite 5) berechnet.

x0

S = Flächenschwerpunkt Ringvolumen ΔV

ΔA Drehachse =

Symmetrieachse

für Mantelfläche (Oberfläche) A

x

A = erzeugende Fläche (Profilfläche)

Volumen V = 2 ʌ Ax0 = 2 ʌ Σ Δ A x

1 Statik 1.14 Reibung, allgemein

Reibungskraft FR = Normalkraft FN · Reibungszahl μ FR = FN μ

μ = tan r

Reibungszahl

r Reibungswinkel

maximale FR0 max = Normalkraft FN · Haftreibungszahl μ0 Haftreibungs- μ0 = tan r 0 Haftreibungszahl kraft r 0 Haftreibungswinkel FR0max = FN μ0 Reibungszahlen μ 0 und μ

Werkstoff

(Klammerwerte sind die Gradzahlen für die Stahl auf Stahl Winkel r 0 und r ) Stahl auf Grauguss oder Bronze Grauguss auf Grauguss Holz auf Holz Holz auf Metall Beachte: Lederriemen auf Gusseisen r = arctan μ Gummiriemen auf Gusseisen Textilriemen auf Gusseisen Bremsbelag auf Stahl Lederdichtungen auf Metall

Haftreibungszahl μ0 trocken gefettet 0,15 (8,5) 0,1 (5,7) 0,19 (10,8) 0,1 (5,7) 0,16 (9,1) 0,5 (26,6) 0,16 (9,1) 0,7 (35) 0,11 (6,3) 0,3 (16,7)

0,6 (31)

Gleitreibungszahl μ trocken gefettet 0,15 (8,5) 0,01 (0,6) 0,18 (10,2) 0,01 (0,6) 0,1 (5,7) 0,3 (16,7) 0,08 (4,6) 0,5 (26,6) 0,1 (5,7)

0,4 0,4 0,5 0,2 (11,3) 0,2

(21,8) (21,8) (26,6) 0,4 (21,8) (11,3) 0,12 (6,8)

1.15 Reibung auf der schiefen Ebene 1.15.1 Allgemeine Fälle Verschieben nach oben F = FG

sin α + μ cos α cos ( β − α ) + μ sin ( β − α )

Halten auf der Ebene F = FG

sin α − μ0 cos α cos ( β − α ) − μ0 sin ( β − α )

Verschieben nach unten F = FG

sin α − μ cos α μ sin ( β − α ) − cos ( β − α )

7

1 Statik 1.15.2 Spezielle Fälle

(Beachte: r = arctan μ und r0 = arctan μ0)

Kraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene Verschieben nach oben F = FG

sin (α + r) cos r

F = FG (sin α + μ cos α ) Halten auf der Ebene F = FG

sin ( α − r0 ) cos r0

F = FG (sin α − μ0 cos α ) Verschieben nach unten F = FG

sin (r − α ) cos r

F = FG ( μ cosα − sin α ) Kraft F wirkt waagerecht Verschieben nach oben

F = FG tan (α + r) F = FG

sin α + μ cosα cosα − μ sin α

Halten auf der Ebene

F = FG tan (α − r 0 ) F = FG

sin α − μ 0 cosα cosα + μ 0 sin α

Verschieben nach unten

F = FG tan (r − α ) F = FG

8

μ cos α − sin α cos α + μ sin α

1 Statik 1.16 Zylinderführung

Die Führungsbuchse klemmt sich fest, solange die Wirklinie der resultierenden Verschiebekraft F durch die Überdeckungsfläche der beiden Reibungskegel geht. Dann stehen die Stützkräfte (= Ersatzkräfte aus Reibungskraft FR und Normalkraft FN) mit der Kraft F im Gleichgewicht; ihre Wirklinien schneiden sich in einem Punkt, der innerhalb der Überdeckungsfläche liegt. Die drei Gleichgewichtsbedingungen ergeben: I. ΣFx = 0 = + FR1 + FR2 – F II. ΣFy = 0 = + FN1 – FN2 also FN1 = FN2 und damit auch FR1 = FR2 III.ΣM(II) = 0 = – FR1d + FN1l – F(la – d /2) Mit FR = FN μ und F = 2 FR aus Gleichung I wird Gleichung III weiterentwickelt: III.

⎛ ⎝

d⎞ 2⎠

FN μ · d – FN l + 2FN μ ⎜la – ⎟ = 0

μ d – l + 2μ la – 2μ

d =0 2

Bei l < 2 μ la klemmt sich die Buchse fest, bei l > 2μ la gleitet sie. Festklemmen oder Gleiten ist unabhängig von der verschiebenden Kraft F.

Daraus ergibt sich die Führungslänge l = 2μ la

l la mm mm

Kräfte an der Zylinderführung

μ 1

1.17 Prismenführung

F, FV, FN1, FN 2, FR N

μ, μ ' 1

Verschiebekraft

FV = F

μ1 cos α2 + μ2 cos α 1 sin ( α 1 + α2 )

Normalkräfte

FN1 = F

cos α2 sin ( α 1 + α2 )

FN2 = FN1

Reibungskräfte

cos α1 cos α2

FR1 = FN1 μ1

FR2 = FN2 μ2

Für die symmetrische Prismenführung ist α1 = α2 = α Normalerweise sind auch die Reibungszahlen gleich groß: μ1 = μ2 = μ Unter diesen Bedingungen wird: Verschiebekraft (Reibungskraft FR)

FV = FR = F μ '

Keilreibungszahl

μ' =

μ sin α

α ist der halbe Keilwinkel 9

1 Statik 1.18 Reibung an der Schraube Fu = F tan ( α ± r' )

Umfangskraft

Fu , F

MRG , MA d2 , ra , P

N d = F 2 tan (α ± r' ) 2

Gewindereibungsmoment

M RG

Anzugsmoment

⎡d ⎤ M A = F ⎢ 2 tan (α ± r ' ) + μa ra ⎥ ⎣ 2 ⎦

η=

tan α tan ( α + r' )

mm

Beachte: r' = arc tan μ ' = arc tan

( + ) für Anziehen, (–) für Lösen

Wirkungsgrad für Schraubgetriebe

Nmm

Fu Umfangskraft am Gewinde F Schraubenlängskraft = Vorspannkraft

μ cos ( β / 2)

Selbsthemmung des Schraubgetriebes bei η ≤ 0,5

Größen am Gewinde siehe 5.1 und 5.2 μa Reibungszahl der Mutterauflage (1.14) d2 Flankendurchmesser α Steigungswinkel des Gewindes ra Reibungsradius ≈ 0,7 d bei Sechskantmutter P r' Reibungswinkel im Gewinde d Gewindenenndurchmesser, P Steigung α = arc tan ʌ d2 z.B. bei M10: d = 10 mm (≈ 9° für Stahl auf Stahl)

tan r' = μ ' =

μ cos ( β / 2)

β Flankenwinkel des Gewindes μ ' ≈ 0,16 bei metrischem Regelgewinde und Stahl auf Stahl

1.19 Seilreibung (Werte für e μα siehe 6.1)

Seilzugkraft

F1 = F2 e μα

Seilreibungskraft FR = F1 − F2 = F2 (e μα − 1) = F1

1.20 Reibung am Tragzapfen (Querlager)

PR W=

Nm s

e μα − 1 e μα

1.21 Reibung am Spurzapfen (Längslager)

FR MR

r

ν

N Nm m m/s

ω

μ

rad 1 =s s

1

μ

Tragzapfenreibungszahl und Spurzapfenreibungszahl μ ≈ 0,002 … 0,01

Lagerreibungskraft FR = F μ Reibungsmoment

Reibungsleistung

10

M R = FR r MR = F μ r PR = FR ν PR = M R ω

Reibungsmoment

M R = F μ rm

Reibungsleistung

PR = M R ω

Wirkungsradius der Reibungskraft

rm =

r 1 + r2

2

1 Statik 1.22 Bremsen

F = FN

(l1 ± μ l2 ) l

F = FN

(+) bei Rechtslauf, (–) bei Linkslauf

l1 ≤ μ l2

Selbsthemmungsbedingung

M = FR r = Fr

l μα (e − 1) l1

Bremsmoment Selbsthemmung nicht möglich

(l1 B μ l2 ) l

(–) bei Rechtslauf, (+) bei Linkslauf

l1 ≤ μ l2

l1 l gleiche Hebelkraft F für Rechts- und Linkslauf Selbsthemmung nicht möglich F = FN

Selbsthemmungsbedingung

Wellendrehmoment

M = FG l

Wellenleistung

P=

FG l n 9550

l eμα − 1 M = FR r = Fr · μα l1 e + 1 Bremsmoment Selbsthemmung nicht möglich

Wellendrehmoment Wellenleistung

P

FG l

n

kW N m min–1 Zahlenwertgleichung

M = FR r = Fr l

eμα − 1 l2 − l1 eμα

Bremsmoment l2 = l1 e μα Selbsthemmungsbedingung

M = ( F1 − F2 ) r

P F1, F2 ( F1 − F2 ) r n 9550 kW N Zahlenwertgleichung P=

r

n

m

min–1

11

1 Statik 1.23 Rollreibung

1.24 Fahrwiderstand

Fahrwiderstand Fw = FN μ f Rollbedingung

μ0 ≥ μf

Erfahrungswerte für Fahrwiderstandszahl μ f Rollkraft

f F = FG r

F, FG N

f cm

r cm

Eisenbahn Straßenbahn mit Wälzlagern Straßenbahn mit Gleitlagern Kraftfahrzeug auf Asphalt Drahtseilbahn

f ≈ 0,05 cm für Gusseisen und Stahl auf Stahl f ≈ 0,0005 … 0,001 cm für Wälzlager

1.25 Feste Rolle

0,0025 0,005 0,018 0,025 0,01

1.26 Lose Rolle

ηf =

Wn F s F = G = G Wa Fs F

Wirkungsgrad η = FG f der losen Rolle 2F

Wirkungsgrad der festen Rolle Erfahrungswert: ηf ≈ 0,95 s Kraft- und Lastweg

Zugkraft

F =

FG 1 + ηf

1.27 Rollenzug (Flaschenzug)

Kraftweg

s1 = n s2

Zugkraft

F = FG

Wirkungsgrad des Rollenzugs

ηr =

s2 Lastweg n Anzahl der tragenden Seilstränge

1− η η (1 − ηn )

Wirkungsgrad η ≈ 0,96 für Seile

η (1 − ηn ) n (1 − η)

Werte für den Wirkungsgrad ηr des Rollenzugs in Abhängigkeit von der Anzahl n der tragenden Seilstränge (η = 0,96) n

1 0,960

2 0,941

3 0,922

4 0,904

5 0,886

n

6 0,869

7 0,852

8 0,836

9 0,820

10 0,804

ηr ηr [

12

2 Dynamik 2.1 Gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung

Beachte: Erfolgt die Bewegung aus der Ruhelage heraus, ist in den Gleichungen die Anfangsgeschwindigkeit ν0 = 0 zu setzen. Die Fläche unter der ν -Linie ist dann ein Dreieck. Die Gleichungen gelten mit a = g = 9,81 m/s2 (Fallbeschleunigung) auch für den freien Fall. ǻt

=

ν t2 − ν0 2

v

2 ǻs v-L

νt = ν0 + ǻν = ν0 + a ǻt ν t = ν0

Δs =

v0

Endgeschwindigkeit

2 + 2a ǻs

0

ǻs =

Wegabschnitt ǻs =

Zeitabschnitt

ǻt =

ν0 + ν t 2

ǻt = ν0ǻt +

a (ǻt ) 2 2

inie

v0 + vt Δt 2 Δt

2a

v-

νt − ν0 a

=−

⎛ ν ⎞ 2ǻs ± ⎜ 0⎟ + ⎝a⎠ a a

ν0

t

v

νt2 − ν0 2

2

vt

ν t − ν0

Li

ni

e vt

a=

Δv

Beschleunigung

vt Δt 2

Δs = 0

Δt

t

2.2 Gleichmäßig verzögerte geradlinige Bewegung

Beachte: Wird die Bewegung bis zur Ruhelage verzögert, ist in den Gleichungen die Endgeschwindigkeit νt = 0 zu setzen. Die Fläche unter der ν -Linie ist dann ein Dreieck. Die Gleichungen gelten mit a = g = 9,81 m/s2 (Fallbeschleunigung) auch für den senkrechten Wurf nach oben. Verzögerung

a=

ν0 − νt ǻt

=

ν0 2 − νt2

v

2 ǻs

Δs =

νt = ν0 2 − 2a ǻs

e

a

ni

ǻt =

⎛ ν ⎞2 2ǻs = ± ⎜ 0⎟ − ⎝a⎠ a a

ν0

v

Li

Zeitabschnitt

ν0 − νt

2

v-

ǻt = ν0ǻt − 2 ν 2 − νt2 ǻs = 0 2a

t

a(ǻt )2

v0

Wegabschnitt

ν0 + νt

v0 + vt Δt 2 Δt

0

ǻs =

inie

Δv

v0

Endgeschwindigkeit

νt = ν0 − ǻν = ν0 − a ǻt

vt

v-L

Δs =

0

v0 Δt 2

Δt

A. Böge, Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, DOI 10.1007/978-3-8348-8116-8_2, © Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

t

13

2 Dynamik 2.3 Gleichförmige Kreisbewegung

ω Winkelgeschwindigkeit, n Drehzahl, Δϕ Drehwinkel, νu Umfangsgeschwindigkeit, r Radius, z Anzahl der Umdrehungen, Δt Zeitabschnitt ǻϕ 2 ʌ z = ǻt ǻt ω = 2ʌn

ω=

ω

Grundgleichung der gleichförmigen Drehbewegung

νu = 2 ʌ r n = ω r

rad s

=

Δϕ 1 s

rad

1 rad ≈ 57,3o

z 1

Δt

n

νu

s

1 s

m s

1o ≈ 0,0175 rad

ʌn 30

ω=

ω

n

1 s

1 min

Zahlenwertgleichung

2.4 Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung

Beachte: Erfolgt die Bewegung aus der Ruhelage heraus, ist in den Gleichungen die Anfangswinkelgeschwindigkeit ω 0 = 0 zu setzen. Die Fläche unter der ω -Linie ist dann ein Dreieck.

ω t2− ω 02 2 ǻϕ

v

ǻω ǻν r= u ǻt ǻt

Tangentialbeschleunigung

aT = α r =

Endwinkelgeschwindigkeit

ω t = ω 0 + ǻω = ω 0 + α ǻt

Zeitabschnitt

ǻϕ = ǻt =

ω0 +ωt 2

ǻt = ω 0ǻt +

Δϕ =

Lin

ie

v0 + vt Δt 2

Δt

0

ω t = ω 0 2 + 2 α ǻϕ Drehwinkel

v-

vt

ǻt

=

t

v

α (ǻt )2 2

=

ω t2 − ω 02 2α

⎛ ω ⎞2 2 ǻϕ ω t− ω 0 ω =− 0 ± ⎜ 0 ⎟ + ⎝ α ⎠ α α α

v

-L

in

vt Δt 2

Δϕ = 0

ie vt

ω t− ω 0

Δv

α=

v0

Winkelbeschleunigung

Δt

t

2.5 Gleichmäßig verzögerte Kreisbewegung

Beachte: Wird die Bewegung bis zur Ruhelage verzögert, ist in den Gleichungen die Endwinkelgeschwindigkeit ω t = 0 zu setzen. Die Fläche unter der ω -Linie ist dann ein Dreieck. ǻt

=

ω 02 − ω t2 2 ǻϕ

Tangentialverzögerung

ǻω ǻν aT = α r = r= u ǻt ǻt

Endwinkelgeschwindigkeit

ω t = ω 0 − ǻω = ω 0 − α ǻt

v v-

Δϕ =

in ie

Zeitabschnitt

-L

ω 02 − ω t2 2α

⎛ ω ⎞2 2 ǻϕ ω −ω t ω0 ǻt = 0 = ± ⎜ 0⎟ − ⎝ α ⎠ α α α

2

=

v0

α (ǻt ) 2

ǻϕ =

14

t

v

Drehwinkel

2

ǻt = ω 0ǻt −

v0 + vt Δt 2

v

ω0+ωt

ie

Δt

0

ω t = ω 02 − 2α ǻϕ

Lin

Δv

ω 0− ω t

vt

α=

v0

Winkelverzögerung

Δϕ =

0

v0 Δt 2

Δt

t

2 Dynamik 2.6 Waagerechter Wurf

h=

g

2 νx2

sx = ν x

2.7 Schräger Wurf

h = sx tan α − sx 2 = k sx 2 Gleichung der Wurfbahn

2h g

Gleichung der Wurfbahn smax =

Wurfweite

g sx 2 = k1sx − k2 sx 2 2ν12 cos 2α

ν12 sin 2α g

größte Wurfweite h=

g 2 νx2

sx 2

T=

2 ν1 sin α g

Wurfzeit

Fallhöhe h max =

ν12 sin 2α 2g

Scheitelhöhe

ǻts =

ν1 sin α g

Steigzeit

2.8 Schnittgeschwindigkeit

ν=

ʌd n 1000

ν m min

d mm

n U min

=

Schnittgeschwindigkeit an Drehmaschinen, Fräsmaschinen usw.

min −1

ν=

ν

ʌd n 60 000

m s

d mm

n U min

= min −1

Schnittgeschwindigkeit für Schleifscheiben

2.9 Übersetzung

Teilkreis-∅ = mz Grundkreis-∅ = d cos αn Kopfkreis-∅ = d + 2 m Fußkreis-∅ = d – 2,5 m Teilung = s + w = π m Modul = p/π (genormt nach DIN 780 von 0,3 … 75 mm) α Herstell-Eingriffswinkel (20°) s Zahndicke = p/2 w Lückenweite = p/2 ha Zahnkopfhöhe = 1 m hf Zahnfußhöhe = 1,25 m EL Eingriffslinie

d db da df p m

i=

n1 ω d z = 1= 2= 2 n2 ω 2 d1 z1

iges =

nan = i1 i2 i3 ... in nab

n=

Anzahl Umdrehungen z Zeitabschnitt ǻt 15

2 Dynamik 2.10 Kreuzschubkurbelgetriebe (Kreuzschleife)

ϕ

ω

Δt

s, r ν, νu , νmax a, amax

rad

1 s

s

m

m s2

m s

Drehwinkel ϕ im Zeitabschnitt Δt

ϕ = ω ǻt

Schieberweg s (Auslenkung)

s = r (1 − cos ϕ )

Geschwindigkeit ν (Hin- und Rückweg)

ν = νu sin ϕ = r ω sin ϕ νmax = νu = r ω νu 2

in Mittelstellung

a=

Beschleunigung a (Hin- und Rückweg)

amax =

r

cos ϕ = r

νu 2 r

ω2

cos ϕ

ʌn 30 νu = r ω

ω

n

νu

r

1 s

1 min

m s

m

ʌn 30 νu = r ω

ω

n

νu

r

1 s

1 min

m s

m

ω=

= rω2

2.11 Schubkurbelgetriebe

ϕ

ω

Δt

s, r ν, νu , νmax a, amax

rad

1 s

s

m

m s

m s2

Drehwinkel ϕ im Zeitabschnitt Δt

ϕ = ω ǻt

Schubstangenverhältnis λ

λ=

Kolbenweg s

s = r (1 − cos ϕ ± 0,5⋅ λ sin 2 ϕ )

Kurbelradius r r = Schubstangenlänge l l

(+) für Hingang, (–) für Rückgang Kolbengeschwindigkeit ν

ν = r ω (sin ϕ ± 0,5 ⋅ λ sin 2ϕ )

νmax = r ω (1+ 0,5 ⋅ λ2 ) Beschleunigung a

a = r ω 2 (cos ϕ ± λ cos 2ϕ ) amax = rω 2 (1+ λ)

16

ω=

2 Dynamik 2.12 Dynamisches Grundgesetz für Translation

resultierende = Masse m ⋅ Beschleunigung a Kraft Fres

Gewichts= Masse m ⋅ Fallbeschleunigung g kraft FG

Fres = m a

Fres

Dynamisches Grundgesetz

N=

kgm s2

m

a

FG = mg

FG n = m g n

kg

m s2

Dynamisches Grundgesetz für Gewichtskräfte

Normgewichtskraft

Dichte r =

2.13 Dichte 2.14 Gewichtskraft

Masse m Volumen V

r=

m V

r kg m3

FG = mg = V r g = Al r g

  

ǻt

m V A

l

kg m3 m2 m

g FG m s2

N

1 N = 1 kgm /s2

Fres (t2 − t1 ) = m (ν2 − ν1 )

2.15 Impuls

gn = 9,80665 m/s2 Normfallbeschleunigung

m ν2 = m ν1 = konstant

 

ǻν

Impulserhaltungssatz

Kraftstoß = Impulsänderung

2.16 Mechanische Arbeit und Leistung bei Translation

W = Fs Arbeit P=Fν

Momentanleistung

Wh = FG h = mgh

Hubarbeit P=

W t

Mittlere Leistung während der Zeit t

WR = FR sR WR = FN μ sR Reibungsarbeit

Wf =

R 2 ( s − s12 ) 2 2

R=

Federarbeit

1 Joule (J) = 1 Nm = 1

Federkraft F Federweg s

Federrate kgm 2 = 1 m 2 kg s−2 s2

J Nm 1 Watt (W) = 1 = 1 = 1 m 2 kgs−3 s s W

P

J = Nm W = Nm s

F, FG s, h ν

m

g

R

t

η

m s

kg

m s2

N m

s

1

N

m

2.17 Wirkungsgrad

η=

Nutzarbeit Wn <1 aufgewendete Arbeit Wa

η=

Wn P P = n = 2 <1 Wa Pa P1

Wirkungsgrad

ηges = η 1 η 2 η 3 ... η n =

Pab P = 2 <1 Pan P1

Gesamtwirkungsgrad Beispiele für Wirkungsgrade: Gleitlager Verzahnung E-Motor Ottomotor

η = 0,98 η = 0,98 η = 0,9 η = 0,25

(98 %) (98 %) (90 %) (25 %) 17

2 Dynamik 2.18 Dynamisches Grundgesetz für Rotation resultierendes Drehmoment M res =

M res = J α

Trägheitsmoment

Mres Nm =

kg m2 s2

Winkel· beschleunigung α

J, J0 , Js α m kgm2

rad s2

l

kg m

ω

t

rad s

s

J 0 = J s + ml 2 Verschiebesatz

mred =

Js r2

mred Ersatzmasse (reduzierte Masse)

M res (t2 − t1 ) = J (ω 2− ω 1) gilt für   

 

M = konstant res Δt Δω

Momentenstoß = Drehimpulsänderung

Js = m i2

Js m

J ω 2 = J ω 1 = konstant

i=

Impulserhaltungssatz für Drehung

Trägheitsradius

Js auf die Schwerachse bezogenes Trägheitsmoment m Masse

2.19 Gleichungen für Trägheitsmomente (Massenmomente 2. Grades)

Körperform

Trägheitsmoment J (Jx um die x-Achse; Jz um die z-Achse)

Kreiszylinder

1 1 1 1 Jx = m r 2 = m d 2 = r ʌ d 4 h = r ʌ r 4 h 2 8 32 2 ⎛ 1 ⎛ 2 4 2⎞ 1 4 ⎞ Jz = m⎜ d + h ⎟= r ʌ d 2 h⎜ d 2 + h 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 16 64 3 3 ⎠

Hohlzylinder

1 1 1 Jx = m ( R 2 + r 2 ) = m ( D 2 + d 2 ) = r ʌ h ( D 4 − d 4 ) 2 8 32 1 Jx = r ʌ h ( R 4 − r 4 ) 2 1 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 4 ⎞ Jz = m⎜ R 2 + r 2 + h 2 ⎟= m⎜ D 2 + d 2 + h 2 ⎟ 4 ⎝ 3 ⎠ 16 ⎝ 3 ⎠

Kugel und Halbkugel

2 1 1 8 Jx = m r 2 = m d 2 = r ʌ d 5 = r ʌ r 5 5 10 60 15

Ring

⎛ 3 ⎞ 1 ⎛ 3 ⎞ Jz = m⎜ R 2 + r 2 ⎟= m⎜ D 2 + d 2 ⎟ ⎝ 4 ⎠ 4 ⎝ 4 ⎠

Jz =

18

⎡ 3⎛ ⎞2 ⎤ ⎛ 1 3 ⎞ 1 r ʌ 2 D d 2⎜ D 2 + d 2 ⎟= m D 2⎢1+ ⎜ d ⎟ ⎥ ⎝ 16 ⎣ 4⎝ D ⎠ ⎦ 4 ⎠ 4

2 Dynamik 2.20 Mechanische Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad bei Rotation

Wrot = FT s = M ϕ

Prot = FTνu

Rotationsarbeit

Prot = M ω = M 2 ʌ n

Wrot

Prot

J = Nm W =

FT

Nm s

N

Mn 9550

Prot =

M Nm

M = 9550

Rotationsleistung

ϕ

νu

ω

rad

m s

rad s

s, r m

Prot n

M

n U s

Prot

Nm kW

1 s

=

=

s− 1

n U min

=

min− 1

Zahlenwertgleichungen

η=

M2 1 ⋅ M1 i

M2 Abtriebsmoment M1 Antriebsmoment

Wirkungsgrad

2.21 Energie bei Translation

2.22 Gerader zentrischer Stoß

potenzielle Energie Epot = Hubarbeit Wh

elastischer Stoß:

Epot = FG h = m g h

potenzielle Energie (Höhenenergie)

Wh = m g (h2 − h 1) = Δ Epot Änderung der potenziellen Energie Spannungsenergie Es = Federarbeit Wf

Es =

Fs R 2 = s 2 2

Wf =

F1 + F2 R Δ s = ( s2 2 − s12 ) = Δ Es 2 2

Spannungsenergie

Änderung der Spannungsenergie kinetische Energie Ekin

Ekin =

m 2 ν 2

Geschwindigkeit beider Körper am Ende des ersten Stoßabschnitts (m1 − m2 ) ν1 + 2 m2 ν2 c1 = Geschwindigkeiten m1 + m2 beider Körper nach (m2 − m1 ) ν2 + 2 m1 ν1 dem Stoß c2 = m1 + m2

c=

m1 ν1 + m2 ν2 m1 + m2

unelastischer Stoß:

ΔE =

η=

1 m1 m2 (ν1 − ν2 ) 2 2 m1 + m2

m2 1 = m1 + m2 1 + m1 m2

Wirkungsgrad beim Schmieden

Energieabnahme beim unelastischen Stoß

η=

Wirkungsgrad beim Rammen

= Beschleunigungsarbeit Wa

wirklicher Stoß:

kinetische Energie (Bewegungsenergie)

1 m1 m2 (ν1 − ν2 ) 2 (1 − k 2 ) ΔE = 2 m1 + m2

m Wa = (ν2 2 − ν12 ) = Δ Ekin 2 Änderung der kinetischen Energie EE = EA + Wzu − Wab Energieerhaltungssatz

k=

c2 − c1 ν1 − ν2

Stoßzahl

k=1 k=0 k = 0,35 k = 0,7

m1 ν1 + m2 ν2 − m2 (ν1 − ν2 ) k m1 + m2 m1 ν1 + m2 ν2 + m1 (ν1 − ν2 ) k c2 = m1 + m2 c1 =

1 m 1+ 2 m1

Energieverlust beim wirklichen Stoß elastischer Stoß unelastischer Stoß Stahl bei 1100 °C Stahl bei 20 °C

Geschwindigkeiten nach dem wirklichen Stoß

19

2 Dynamik 2.23 Energie bei Rotation Rotationsenergie Erot =

Erot =

J 2 ω 2

2.24 Zentripetalbeschleunigung und Zentripetalkraft

Beschleunigungsarbeit Wα

Erot , Wα

az = J

J = Nm kgm2

ω rad s

νu 2

= rs ω 2 Zentripetalbeschleunigung

rs

Fz = m az = m rs ω 2 = m

νu 2

Zentripetalkraft

rs

Rotationsenergie Fz J Wα = (ω 22 − ω 12) = Δ Erot 2

N=

Änderung der Rotationsenergie

kgm s2

m

az

rs

ω

νu

kg

m s2

m

rad s

m s

Beachte: Der Radius rs ist der Abstand des Körperschwerpunkts von der Drehachse.

2.25 Gegenüberstellung der translatorischen und rotatorischen Größen Geradlinige (translatorische) Bewegung

Größe

Definitionsgleichung Einheit

Drehende (rotatorische) Bewegung

Größe

Zeit t

Basisgröße

s

Zeit t

Verschiebeweg s

Basisgröße

m

Drehwinkel ϕ

Definitionsgleichung Einheit Basisgröße

ϕ=

s

b r

rad

b ist der Bogen des Winkels ϕ, s. S. 53

Masse m

Basisgröße

kg

Trägheitsmoment J

J = Σ Δm r 2 Δϕ Δt

Geschwindigkeit ν (ν = konstant)

ν=

Δs Δt

m s

Winkelgeschwindigkeit ω

Arbeit W

W=Fs

J

Dreharbeit Wrot

Wrot = M ϕ = FT r ϕ

W =Fν t

W

Drehleistung Prot

Prot =

Δν Δt

m s2

Winkelbeschleunigung α

N

Beschleunigungsmoment Mres

J

Rotationsenergie Erot

P=

Leistung P Beschleunigung a Beschleunigungskraft Fres kinetische Energie Ekin

a=

Fres = m a Ekin =

m 2 ν 2

Fres (t2 – t1) = m (ν 2 – ν1) Kraftstoß = Impulsänderung 20

ω=

kgm2 rad s

J

Wrot = Mω t

α =

Δω Δt

Mres = J α Erot =

W rad s2

Nm

J 2 ω 2

Mres (t2 – t1) = J (ω 2 – ω1) Momentenstoß = Drehimpulsänderung

J

2 Dynamik 2.26 Harmonische Schwingung

T, t

z

s

1

ω

f Hz =

1 s

Periodendauer T Frequenz f Phasenwinkel Δϕ und Kreisfrequenz ω Auslenkung y (A Amplitude = ymax)

1 s

Δϕ

y, l

νy

ay, g

FR

MR

D, R

Rd

m

J

N m

Nm rad

kg

kgm2

m m N Nm s s2 Zeitabschnitt Δ t Δt 1 = = T= Anzahl der Perioden z z f Anzahl der Perioden z z 1 = = f= Zeitabschnitt Δ t Δt T

rad

m

Δϕ = 2 π z = ω Δt = 2 π f Δt

ω=2π

z 2ʌ = 2ʌ f = T Δt

y

A

y = A sin Δϕ = A sin (ω t) = A sin (2 π f t) = y umlaufender Punkt y = A sin ϕ = A sin (ωt) 2ʌt = A sin T A=y max

y

ϕ

t

t

ω

T = 1 = 2π 2 ω

Momentangeschwindigkeit νy νy = A ω cos Δϕ = A ω cos (ω t) = A ω cos (2 π f t) = vy vu 2ʌt vy vy = vu cos ϕ = A ω cos (ωt) = A ω cos ϕ T vy

ϕ

Momentanbeschleunigung ay

t

t

ω

ay = – A ω 2 sin Δϕ = – A ω 2 sin (ω t) = – A ω 2 sin (2 π f t) = – A ω 2 sin ay = – y ω 2

ay

ay

a y = –a z sin ϕ = –A ω 2 sin (ωt) t

ϕ

az ω

t

ay

Schwingungsbeginn bei Phasenwinkel Δϕ 0

y = A sin (ϕ + Δϕ 0) = A sin (ω t + Δϕ 0)

Rückstellkraft FR

F R = Dy = Ry

D Richtgröße (Federrate R)

und Rückstellmoment MR

MR = Rd Δϕ

Rd Federrate der Torsionsfeder

Periodendauer T

T = 2ʌ

Periodendauer T Überlagerung bei f1 = f2 und A1 ≠ A2 Überlagerung bei f1 ≠ f2 und A1 ≠ A2 Schwebungsfrequenz f

m R (Schraubenfeder)

l T = 2ʌ g (Schwerependel)

T = 2ʌ

J Rd

l 2g (Flüssigkeitssäule)

T = 2ʌ

4 ʌ2 =D T2 J Trägheitsmoment Rd Federrate der Torsionsfeder l Pendellänge und Länge der Flüssigkeitssäule R=m

(Torsionsfeder)

yres = A1 sin Δϕ1 + A2

2ʌt T

ergibt wieder eine harmonische Schwingung

yres = A1 sin Δϕ1 + A2 sin Δϕ 2

ergibt keine harmonische Schwingung

f = f1 – f2 21

2 Dynamik 2.27 Pendelgleichungen

FR, FG MR

m

g

l, s, y, A

RF

Nm rad

kg

m s2

m

N m

N

RT Nm rad

Schwerependel

ϕ

T

ω

J

ν0

ω0

rad

s

1 s

kgm2

m s

1 s

Torsionspendel

Schraubenfederpendel

Pendelart

Rückstellkraft FR Rückstellmoment MR

FR = FG sin α = m g sinα mg FR = s = Ds l

Richtgröße D Federrate RF, RT

D=

FR = RF y = m

mg l

RF = m

4 ʌ2 y T2

MR = RT ϕ

4 ʌ2 T2

RT =

Ip G MR = l Δϕ

(G Schubmodul, Ip polares Flächenmoment 2. Grades)

Periodendauer D

T = 2π

l g

T = 2π

m RF

J RT

T = 2π

J Trägheitsmoment

maximale Geschwindigkeit ν0 maximale Winkelgeschwindigkeit ω 0 experimentelle Bestimmung des Trägheitsmoments J2 eines Körpers

ν0 = 2 g l (1 − cos α max )

ν0 = A

gilt bis αmax < 14°

J2 = J1

T22 − T12 T12

RF m

RT J

ω0 = ϕ

J Trägheitsmoment

J1 bekanntes Trägheitsmoment J2 unbekanntes Trägheitsmoment

T1 gemessene Schwingung bei Körper 1 allein T2 bei Körper 1 und 2 zusammen

l

d

Prüfkörper K 2

h

mit unbekanntem J2

Körper K1

22

r

2 Dynamik 2.28 Harmonische Welle

λ

Ausbreitungsgeschwindigkeit c der Welle

c=

Gleichung der harmonischen Welle

ª § t Δx · º y = Asin « 2 ʌ ¨ − ¸ λ ¹ »¼ ¬ ©T

c, ν B, ν E λ , A, y, l, Δx, x0

Momentanbild der Welle zur Zeit t0

ª §t Δx · º y = A sin « 2 ʌ ¨ 0 − ¸ λ ¹ »¼ ¬ ©T

T, t, t0

f, f0, f1

s

1 s

Auslenkung eines Oszillators der Welle zur beliebigen Zeit t

ª § t x ·º y = A sin « 2 ʌ ¨ − 0 ¸ » ¬ © T λ ¹¼

Bedingung für die größtmögliche Verstärkung der Welle

Δx = ± 2 n

Bedingung für die größtmögliche Schwächung der Welle

Δx = ± (2 n – 1)

T

= λf

λ Wellenlänge

m s

m

λ 2

n natürliche Zahl

λ 2

n natürliche Zahl

λ

Bedingung für die Auslöschung Δx = ± (2 n – 1) 2 der Welle, wenn zugleich n natürliche Zahl A1 = A2 ist. Brechungsgesetz

sin α c = 1 sin β c2

Doppler-Effekt bei still stehendem Erreger und bewegtem Beobachter (ν B)

⎛ ν ⎞ f1 = f0⎜1± B ⎟ ⎝ c ⎠

Doppler-Effekt bei bewegtem Erreger (ν E) und still stehendem Beobachter Grundfrequenz f0 (stehende Welle auf einem Träger der Länge l ) Überlagerung stehender Wellen A1 = A 2 ) ( f 1 = f2

f1 = f 0

f0 =

α Einfallswinkel β Brechungswinkel

– –

1 1B

+

νE c

c 2l

Träger mit zwei festen Enden

+

Beobachter bewegt sich auf den Erreger zu Beobachter entfernt sich vom Erreger Erreger bewegt sich auf den Beobachter zu Erreger entfernt sich vom Beobachter c 4l Träger mit einem festen und einem losen Ende f0 =

⎛ t ⎞ ⎛ x⎞ yres = 2 A sin⎜ 2 ʌ ⎟cos⎜ 2 ʌ ⎟ ⎝ T ⎠ ⎝ λ⎠

23

3 Fluidmechanik (Hydraulik) 3.1 Hydrostatik

p=

Kraft F Fläche A

p

Pa =

F A N m2

N

p

p =rgh

m2

Druck infolge der Schwerkraft

hydrostatischer Druck

Hydraulischer Hebebock

Druckkraft auf gewölbte Böden

r

g

h

kg

m s2

m

m3

F1 A = 1 F2 A2

Die Kolbenkräfte verhalten sich zueinander wie die Kolbenflächen.

s1 A = 2 s2 A1

Die Kolbenwege verhalten sich umgekehrt zueinander wie die Kolbenflächen.

s1 d 2 2 = s2 d12

Die Kolbenwege verhalten sich umgekehrt zueinander wie die Quadrate der Kolbendurchmesser.

π F1 = F2 = p d 2 4

F1, F2

π F1 = F2 = 0,1 p d 2 4 Zahlenwertgleichung

F1, F2

p

d

N

bar

mm

Zahlenwertgleichung pd 2σ zul

Pa =

N

N

F = 0,1 p d l

s=

p

F

F = pd l

Beanspruchung einer Kessel- oder Rohrlängsnaht

Pa =

N m2

Wanddicke

s=

p d Zahlenwert20 σ zul gleichung

F2 = F1

d2 2 d12

Presskraft bei reibungsfreiem Betrieb

F2' = F1'

Presskraft bei d2 2 η Berücksichtigung 2 d1 der Reibung

d N m2

p

Pa =

d, l N m2

m

F N

p bar

d, l mm

s

p

d

σzul

m

N m2

m

Pa =

N m2

s

p

d

σzul

mm

bar

mm

N mm2

h2 d2 η= h 1 + 4μ 1 d1 1 − 4μ

Wirkungsgrad

Hydraulische Presse 24

m

A. Böge, Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, DOI 10.1007/978-3-8348-8116-8_3, © Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

3 Fluidmechanik (Hydraulik) h2

h1

A

r2

B

h1 r 2 = h2 r1

Fb = p A = r g h A Bodenkraft

kommunizierende Röhren

r1

Fb

p

N

Pa =

N

r

g

kg

m s2

m3

I

A y0 , y, e

m4 m2

g

h

kg

m s2

m m2

m3

A

y = y0 + e Abstand des Druckmittelpunkts vom Flüssigkeitsspiegel

Fs = r g A y0 Seitenkraft y0 Schwerpunktsabstand der belasteten Seitenfläche vom Flüssigkeitsspiegel

Fs

N m2

r

m

e=

I A y0

Ganz eingetauchter Körper : Verdrängungsschwerpunkt F fällt mit Körperschwerpunkt K V verdrängtes Flüssigkeitszusammen. volumen r Dichte der Flüssigkeit Fa = V r g g Fallbeschleunigung Auftriebskraft

Abstand des Druckmittelpunkts vom Schwerpunkt Schwimmender Körper : Verdrängungsschwerpunkt F liegt unter dem Körperschwerpunkt K. Fa

V

N m3

r

g

kg

m s2

m3

3.2 Hydrodynamik 3.2.1 Strömungsgrößen

Massenstrom m m =

A⋅ Δ s ⋅ ρ

Δt

= A⋅ v ⋅ ρ

Volumenstrom V V =

V

Δt

= Av

m V A ρ Δs kg m3 m2 kg m 3 s m s

Δt s

v m s

m Masse V Volumenstrom A Rohrquerschnittsfläche ρ Dichte des Fluids Δs Strömungsweg Δt Zeitabschnitt v Strömungsgeschwindigkeit

3.2.2 Die drei Erhaltungssätze der Hydrodynamik

1. Massenerhaltungssatz

V = A1 v1 = A2 v2 = konstant Massenerhaltungssatz (Kontinuitätsgleichung)

V A 2 m3 m s

v m s

V Volumenstrom

25

3 Fluidmechanik (Hydraulik) 2. Energieerhaltungssatz Wie für feste Körper gilt auch für reibungsfrei strömende Flüssigkeiten: Die Energie am Ende eines Vorgangs (Querschnitt A2) ist gleich der Energie am Anfang (A1). Das beschreibt auch die Benoulli’sche Gleichung.

r r p1 + v 12 = p2 + v 22 2 2

p

Pa =

Bernoulli’sche Druckgleichung für horizontale Strömung

N m2

r

v

kg

m s

m3

r r p 1 + r g h 1 + v12 = p2 + r g h 2 + v2 2 2 2 Bernoulli’sche Druckgleichung für nichthorizontale Strömung p g r

Pa =

kg

N m2

m s2

m3 1

Impulsstrom

v1

I = m ⋅ v = ρ ⋅ V ⋅ v

m 2 ⋅ v2 = m 1⋅ v1 I2 = I1 = I

Impulskraft

FI = I = m ⋅ v

Hydrostatische Druckkraft

Ausgang m = r ·V1

I

FI = ρ ⋅ V ⋅ v = ρ ⋅ A⋅ v 2

N

FD = p ⋅ A

FD

26

F = FI + FD

FI2 = FI1 v2

v ρ V m kg m 3 s m3 s

m kg s

F1 ,I m

N

Gesamtdruckkraft

m s

Kontrollvolumen KV m = r ·V2

N Impulserhaltungssatz für Fluide

m

d2

FI1

d1

Wie für feste Körper gilt auch für reibungsfrei strömende Flüssigkeiten: Der Impuls am Ende eines Vorgangs (Querschnitt A2) ist gleich dem Impuls am Anfang (A1).

v

2

Eingang

3. Impulserhaltungssatz

h

V

ρ

v

3

kg

m

kg

m

s

s

3

s

m

p Pa =

A N m2

m2

A m2

3 Fluidmechanik (Hydraulik) Ausfluss aus Gefäßen v= h=

2gh

theoretische Ausflussgeschwindigkeit

ve = ϕ v = ϕ 2 g h

wirkliche Ausflussgeschwindigkeit

w2 2g

Geschwindigkeitshöhe

V = Av = A 2 g h

ϕ

theoretischer Volumenstrom

ist abhängig von der Zähigkeit des Fluids und beträgt für Wasser 0,97 … 0,99

V = ȝV = ȝ A 2 g h

wirklicher Volumenstrom

Strahlkontraktion

v

g

h

V

m s

m s2

m

m3 s

A

m2 Pa =

N kg m 2 m3

v=

Ausfluss unter dem Flüssigkeitsspiegel

1 theoretische Ausflussgeschwindigkeit

2 g (h 1 − h 2 )

Ve = μ A 2 g ( h 1 − h 2 )

wirklicher Volumenstrom

⎛ p − p0 ⎞ v = 2 g⎜ h + 1 ⎟ rg ⎠ ⎝

⎛ p − p0 ⎞ Ve = μ Av = μ A 2 g⎜ h + 1 ⎟ rg ⎠ ⎝

theoretische Ausflussgeschwindigkeit

⎛ p ⎞ Ve = μ A 2 g⎜ h + ü ⎟ rg⎠ ⎝

Ausfluss bei Überdruck p1 im Gefäß

wirklicher Volumenstrom

bei teilweiser Entleerung: vm = v 1 − v2 =

Ausfluss bei sinkendem Flüssigkeitsspiegel

Ausflusszahlen für Wasser

r ϕ, μ

p

2g h1 + 2g h 2 2

bei völliger Entleerung: vm =

2g h1 2

mittlere theoretische Ausflussgeschwindigkeit

2g h1 + 2g h 2 Ve m = μ A 2

2g h1 Ve m = μ A 2

V 2 Ve t= e = Ve m μ A( 2 g h 1 + 2 g h 2 )

t=

2 Ve

μ A 2g h1

mittlerer wirklicher Volumenstrom wirkliche Ausflusszeit

27

4 Festigkeitslehre 4.1 Zug- und Druckbeanspruchung

Die Gleichungen gelten mit den entsprechenden Bezeichnungen auch für die Druckbeanspruchung. FN

erforderlicher Querschnitt

Aerf =

vorhandene Spannung

σ z vorh =

maximale Belastung

FN max = σ z zul A

Dehnung

∈=

Hooke’sches Gesetz

σ =∈ E =

σ z zul

sz =

A

FN ≤ σ z zul A

F

FN N in A mm2 F

Stabachse

Δl l − l0 = l0 l0

σ

Δl E l0

N mm2

Δl, l, l0 ∈

F

A

N

mm2

mm

E N mm2

1

E Elastizitätsmodul (4.19 und 4.20)

Reißlänge

lr =

Rm Zugfestigkeit r Dichte g Fallbeschleunigung

Rm rg

Wärmespannung σ ϑ = α l Δ T E Verlängerung

Δ l = l0 α l Δ T

R lr = 103 m rg Zahlenwertgleichung

lr

Rm (σzB)

r

g

km

N mm2

kg m3

m s2

ΔT Temperaturdifferenz α l Längenausdehnungskoeffizient für Stahl ist α l = 12 · 10–6 1/K K Kelvin ist die SI-Basiseinheit der Temperatur (1 K  1° C)

σϑ , E α l ΔT 1 K

N mm2

4.2 Abscherbeanspruchung

erforderlicher Querschnitt

Aerf =

Fq

τ =γ G =

τ a zul Fq

A Stabachse

Hooke’sches Gesetz für Schub

vorhandene Spannung

τ a vorh =

maximale Belastung

Fq max = A τ a zul

A

Δl G l0

τ , Rm F A

≤ τ a zul

N mm2

K

τa =

F

Δl, l0

Fq A

mm

in

N mm 2

F

Δl, l0

γ

G

N mm2 mm

1

N mm 2

τ aB = 0,85 Rm für Stahl τ aB = 1,1 Rm für Gusseisen

G Schubmodul

4.3 Flächenpressung und Lochleibungsdruck

Flächenpressung in Gleitlagern und Bolzenverbindungen

p=

Lochleibungsdruck

σl =

F F = ≤ pzul A proj d l F A proj

=

Flächenpressung im Gewinde

F ≤ σ l zul n d1 s

d1 Durchmesser des geschlagenen Niets n Anzahl der Niete

28

p=

F FP = A proj ʌ d 2 H1 m

½ ¾ ¿

P H1 d2 m

Gewindesteigung Tragtiefe Flankendurchmesser Mutterhöhe

s

kleinste Blechdickensumme in einer Kraftrichtung

A. Böge, Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, DOI 10.1007/978-3-8348-8116-8_4, © Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

Tabellen 5.1 und 5.2

4 Festigkeitslehre 4.4 Flächenmoment 2. Grades zusammengesetzter Flächen

Verschiebesatz von Steiner

I = I1 + A1 l12 + I 2 + A2 l2 2 + ... + I n + An ln 2

Beachte: Fallen Teilschwerachsen und Bezugsachsen zusammen, dann sind die Abstände l1, l2 … gleich null und es wird I = I1 + I2 + … + In, d.h. die Teilflächenmomente 2. Grades werden einfach addiert.

4.5 Verdrehbeanspruchung (Torsion)

M Wperf = T erforderliches τ t zul Widerstandsmoment vorhandene Spannung maximales Torsionsmoment

τ t vorh

M T max = Wp τ t zul

ϕ=

3

Beachte: Das (äußere) Drehmoment M ist gleich dem (inneren) Torsionsmoment MT (M = MT)

ϕ=

ʌ

G Schubmodul (4.18)

tt =

F

MT N in Wp mm2

F MT

N mm2

τ t l 180° ⋅

F

MT

Stabachse

τ t , G MT

16 M T ʌ τ t zul

Gr

M, MT P n Nm kW min–1

P n

Zahlenwertgleichung

M = T ≤ τ t zul Wp

erforderlicher d erf = Durchmesser für Kreisquerschnitt Verdrehwinkel in Grad

M = M T = 9550

F

Wp

l, r ϕ

Ip

Nmm mm3 mm4 mm °

M T l 180° ⋅ Wp r G ʌ

ϕ=

M T l 180° ⋅ ʌ Ip G

Wp , Ip (4.14)

4.6 Biegebeanspruchung

M b max erforderliches Werf = σ b zul Widerstandsmoment vorhandene Spannung

σ b vorh =

M b max W

sb = Mb

F

Mb N in W mm2 Mb

F

≤ σ b zul

maximales M b max = W σ b zul Biegemoment erforderlicher 32 M b d erf = 3 Durchmesser ʌ σ b zul für Kreisquerschnitt

F

σb N mm 2

Stabachse

Mb

W

F

I

Nmm mm3 mm4

e1, e2, d mm

Spannungsverteilung im unsymmetrischen Querschnitt

größte Zugspannung

σ z max =

M b e1 Mb = I W1

größte Druckspannung

σ d max =

M b e2 M b = I W2

29

4 Festigkeitslehre 4.7 Knickbeanspruchung

Knickkraft nach Euler

FK =

E I min ʌ 2 s2

s freie

ν F s2

λ vorh > λ 0

Fall 1 s=2l

Knicklänge

Fall 2 s=l F

erforderliches Flächenmoment 2. Grades nach Euler

I erf =

Knickspannung nach Euler

σK =

Sicherheit gegen Knicken

ν=

FK σK = F σ d vorh

Schlankheitsgrad

λ=

s i

E ʌ2

Fall 3 s = 0,707 l

F

Fall 4 s = 0,5 l F

F

l

E ʌ2

l

l

l

Eulerbedingung

λ2 ν § 3 … 10 im Maschinenbau

Trägheitsradius i =

I A

σ K, E

I

FK, F

A

N mm2

mm4

N

mm2

i, d, s, l λ mm

1

Grenzschlankheitsgrad λ 0 für Euler’sche Knickung und Tetmajergleichungen E-Modul in

Werkstoff Nadelholz Gusseisen S235JR E295 und E335 Al Cu Mg Al Mg3

10 000 100 000 210 000 210 000 70 000 70 000

N mm 2

Tetmajergleichungen N für σK in mm 2 σK = 29,3 – 0,194 · λ σK = 776 – 12 · λ + 0,053 · λ2 σK = 310 – 1,14 · λ σK = 335 – 0,62 · λ

Grenzschlankheitsgrad λ 0 100 80 105 89 66 110

Die Tetmajergleichungen sind Zahlenwertgleichungen mit σK in N/mm2.

4.8 Knickung im Stahlbau

Druckstäbe (Stützen) werden im Stahlbau nach DIN 18 800 auf Tragsicherheit berechnet. Tragsicherheit besteht dann, wenn in der Ausweichrichtung des Stabs bei planmäßig mittigem Druck die Tragsicherheits-Hauptgleichung erfüllt ist. F

κ Fpl

≤1

F

Fpl

κ

N

N

1

F Belastung (Normalkraft) in Richtung der Stabachse, Fpl Normalkraft im vollplastischen Zustand (Tabelle 4.18), κ Abminderungsfaktor (Arbeitsplan, Seite 30, Nr. 8). Eine Bemessung der Stabquerschnitte ist über den Tragsicherheitsnachweis nicht möglich, weil die Tragsicherheits-Hauptgleichung keine direkte Bezugsgröße für einen Stabquerschnitt enthält. Man nimmt daher versuchsweise einen Stabquerschnitt an und ermittelt damit der Reihe nach die im folgenden Arbeitsplan aufgeführten Größen. Ist am Ende die Bedingung F/(κ Fpl) ≤ 1 nicht erfüllt, muss die Rechnung mit geänderten Annahmen wiederholt werden. 30

4 Festigkeitslehre Arbeitsplan zum Tragsicherheitsnachweis für einteilige Knickstäbe

Gegeben: Querschnittsabmessungen (Profil), Werkstoff, Belastung F des Druckstabs Gesucht: Tragsicherheitsnachweis sK mm

sK = β l

1. Knicklänge sK 2. Knicklängenbeiwert β und Systemlänge l nach Bild in 4.7

Fall 1 β=2

3. Trägheitsradius i

i=

4. Schlankheitsgrad λ K

λK =

Fall 2 β=1

β

l mm

1

Fall 3

Fall 4

β = 0,7

β = 0,5

i

I A

mm

I

A

mm4 mm2

sK i

i Trägheitsradius, I Flächenmoment 2. Grades A Querschnittsfläche, (i, I und A in den Tabellen 4.13 – 4.15). 5. bezogener Schlankheitsgrad λ K =

λK λa

λK 1

λ K λa 1

1

λ K Schlankheitsgrad, λa Bezugsschlankheitsgrad 6. Bezugsschlankheitsgrad λ a

λ a= ʌ

E Re

λK

E

Re

1

N mm 2

N mm2

E Elastizitätsmodul = 210 000 N/mm2, Re Streckgrenze nach Tabelle 4.16. Danach ergibt sich λ a für die im Stahlbau verwendeten Werkstoffe: S235JR mit Re = 240 N/mm2 und einer Erzeugnisdicke t ≤ 40 mm zu λ a = 92,9, S335J2G3 mit Re = 360 N/mm2 und einer Erzeugnisdicke t ≤ 40 mm zu λ a = 75,9. Stahlbezeichnungen siehe Tabelle 4.21. 7. Festlegen einer Knickspannungslinie in Abhängigkeit von der gewählten StabQuerschnittsform 1)

Ausknicken Knickrechtwinklig spannungszur Achse linie

Querschnittsformen Gewalzte Doppel-T-Profile (siehe Tabelle 4.26, 4.27) U-, L-, T-Querschnitte (siehe Tabelle 4.24, 4.25) 1)

h/b > 1,2 und

t ≤ 40 mm

h/b > 1,2 und 40 < t ≤ 80 mm h/b ≤ 1,2 und t ≤ 80 mm t ≤ 80 mm

x y x y x und y x und y

a b b c d c

nach DIN 18 800, Teil 2, Tabelle 5

31

4 Festigkeitslehre 8. Abminderungsfaktor κ

Der Abminderungsfaktor κ für die Knickspannungslinien a, b, c und d wird mit den folgenden Formeln berechnet: Bereich λ K ≤ 0,2

Bereich λ K > 0,2

κ=1

κ =

Bereich λ K > 0,3

1

κ=

k 2 − λ K2

k+

1 ⎡ ⎣ λK ⋅ ( λ K + α ) ⎤ ⎦

mit k = 0,5 [1+ α ( λ K – 0,2) + λ K2

9. Der Parameter α ist abhängig von den Knickspannungslinien:

Knickspannungslinie

10. Normalkraft Fpl

Fpl = Re A

α

a

b

c

d

0,21

0,34

0,49

0,76

Fpl

Re

A

N

N mm2

mm2

Fpl ist diejenige Druckkraft, bei der im Werkstoff des Stabs vom Querschnitt A vollplastischer Zustand erreicht wird. Als Widerstandsgröße kann die Streckgrenze Re oder die obere Streckgrenze ReH eingesetzt werden. Normalkraft Fpl = Re A in kN für verschiedene Walzprofile: Profil L40×6 L50×6 L60×6 L70×7 L80×8 L80×10 L90×9 L100×10 L120×13 L140×15 L150×16 L160×19 L180×18 L200×20 1)

A mm2 448 569 691 940 1230 1510 1550 1920 2970 4000 4570 5750 6190 7640

Fpl 1) kN 96 122 149 202 264 325 333 413 639 860 983 1236 1331 1643

Fpl 2) kN 105 134 162 221 289 355 364 451 698 940 1074 1351 1455 1795

32

IPE 80 IPE 100 IPE 120 IPE 140 IPE 160 IPE 180 IPE 200 IPE 220 IPE 240 IPE 270 IPE 300 IPE 360 IPE 400 IPE 500

mit Re = 215 N/mm2 gerechnet,

11. Tragsicherheitsnachweis

Profil

2)

A mm2 764 1000 1320 1640 2010 2390 2850 3340 3910 4590 5380 7270 8450 11600

Fpl 1) kN 164 215 284 353 432 514 613 718 841 987 1157 1563 1817 2494

Fpl 2) kN

Profil

A mm2

Fpl 1) kN

Fpl 2) kN

180 235 310 385 472 562 670 785 919 1079 1264 1708 1986 2726

U50 U80 U100 U140 U160 U180 U200 U220 U240 U260 U280 U300 U350 U400

712 1100 1350 2040 2400 2800 3220 3740 4230 4830 5330 5880 7730 9150

153 237 290 439 516 602 692 804 909 1038 1146 1264 1662 1967

167 259 317 479 564 658 757 879 994 1135 1253 1382 1817 2150

mit Re = 235 N/mm2 gerechnet

Zum Abschluss der Rechnung ist mit der Tragsicherheits-Hauptgleichung F / (κ Fpl) ≤ 1 die zulässige Querschnittswahl nachzuweisen oder mit einem anderen Profil oder mit einem anderen Stabquerschnitt die Prüfung zu wiederholen.

4 Festigkeitslehre 4.9 Zusammengesetzte Beanspruchung Biegung und Zug

resultierende Zug(Druck-)Spannung

σ

Mb F + = σ bz + σ z W A Mb F = − = σ bd − σ z W A

σ res Zug = σ res Druck

Biegung und Torsion (bei Wellen mit Kreisquerschnitt)

Vergleichsspannung

σv =

Vergleichsmoment

Mv =

erforderlicher Wellendurchmesser

d erf =

N mm2

F

A

N

mm2

Mb

Nmm mm3

α0 = Anstrengungsverhältnis = σ b2 + 3 (α0 τ t ) 2

W

σ b zul 1,73 τ t zul

α0 ≈ 1 – wenn σb und τt im gleichen Belastungsfall

M b2 + 0,75 ( α0 M T ) 2 3

α0 ≈ 0,7 – wenn σb wechselnd (III) und τt schwellend (II) oder ruhend (I)

32 M v ʌ σ b zul

σ

α0

Mv , Mb , MT

d

N mm2

1

Nmm

mm

4.10 Kerbspannung

Spannungsspitze infolge Kerbwirkung

σ max = σ n β k σmax Spannungsspitze im Kerbgrund σn rechnerische (Nenn-)spannung

Kerbwirkungszahl

β k = 1 + (α k − 1)ηk

β k-Werte siehe 4.19 α k Kerbformzahl η k Kerbempfindlichkeitszahl

4.11 Dauerbruchsicherheit im Maschinenbau 4.11.1 Sicherheit SD bei ruhender Belastung

Zugehöriger Festigkeitswert ist für Baustahl die Streckgrenze Re des verwendeten Werkstoffs und der vorliegenden Beanspruchungsart (Zug, Druck, Biegung, Torsion). Bei festeren Stahlsorten wie Vergütungsstahl tritt an die Stelle der Streckgrenze die 0,2 %-Dehngrenze Rp 0,2 (siehe Tabelle 4.17). σn ist die Nennspannung. Bei Werkstoffen ohne ausgeprägte Fließgrenze wie Gusseisen werden die Zugfestigkeit Rm und die Bruchfestigkeiten σdB , σbB aus Tabelle 4.18 verwendet.

SD =

Re

Rp 0,2

≥ S min = 1,5

σn gilt für Stahl (σn Nennspannung) SD =

σn

=

Rm

σn

≥ Smin = 2,0

(gilt für Gusseisen)

4.11.2 Sicherheit SD bei dynamischer Belastung

σ b b SD = D 1 2 ≥ Smin = 1,2 Der zugehörige Festigkeitswert ist die Dauerfestigkeit σD des βk σn verwendeten Werkstoffs bei der vorliegenden Beanspruchungsart (für Bauteile mit Kerbwirkung) (Zug/Druck, Biegung, Torsion). Bei festeren Stahlsorten wie Verσn Nennspannung gütungsstahl tritt an die Stelle der Streckgrenze die 0,2 %b1 Oberflächenbeiwert, siehe Diagramm 4.20 Dehngrenze Rp 0,2 (siehe Tabelle 4.17). σn ist die Nennspannung. b2 Größenbeiwert, siehe Diagramm 4.20 Die Dauerfestigkeit σD des Probestabs wird durch die Faktoren β k Kerbwirkungszahl siehe Tabelle 4.19 b1, b2, β k verringert. Dauerfestigkeitswerte σD in 4.17 und 4.18. Kerbwirkungszahlen β k sowie Oberflächenbeiwert b1 und Größenbeiwert b2 in 4.19 und 4.20. 33

4 Festigkeitslehre 4.12 Stützkräfte, Biegemomente und Durchbiegungen bei Biegeträgern von gleichbleibendem Querschnitt

FB = F

F A = FB =

Mmax = F l f=

F l3 3EI

tan α =

Mmax =

tan α =

FB = F = F ' l Fl Mmax = 2

tan α =

6EI

=

4f 3l

f=

tan α1 =

F a (l + a) 2 EI

F al 2 EI

FA = FB =

FA = FB = F Mmax = F a 4a⎞ F l3 a2⎛ f= ⎜1 − ⎟ 2 3l ⎠ 2EIl ⎝ 3 ⎛ Fl a 4 a2 ⎞ ⎜1 − 2 ⎟ fmax= 8 E I l⎝ 3l ⎠ tan αA =

F a (a + c) 2EI

tan α C = tan αD =

tan αA =

F ' a2 2 ' F l 2⎡ 1 ⎛ a ⎞2 ⎤ MC = ⎢ −⎜ ⎟ ⎥ 2 ⎣4 ⎝l ⎠ ⎦

MA =

F l3 EI

F l2 16 f = 24 E I 5l

fA= tan αA =

34

F ac 2 EI

§l · F A = FB = F ' ¨ + a ¸ ©2 ¹

F' l 2

Mmax = 0,125 F l f ≈ 0,013

l+a l+a 3a 3b

⎛1 1 ⎞ tan α B = f ⎜ + ⎟ ⎝b 2a ⎠

⎛1 1 ⎞ tan α A = f ⎜ + ⎟ ⎝ a 2b ⎠

F al2 8EI

tan αA =

ab l

F a 2 b2 3EIl

fmax = f

F A = FB = F Mmax = F a F a2 § a l · f1 = ¨ + ¸ E I © 3 2¹ f2 =

F l2 3f = 16 E I l

Mmax = F

F l3 f= 8EI

F l2

Fl 4

F l3 48 E I

f=

F l2 3f = 2 EI 2l

F 2

F 'l 3 ⎡ 1 ⎛ a ⎞2 ⎤ ⎢ −⎜ ⎟ ⎥ 4 EI ⎣ 6 ⎝ l ⎠ ⎦

F 'l 4⎡ a ⎛ a ⎞3 1⎛ a ⎞4 ⎤ ⎢ −⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ 4 EI ⎣ 6 l ⎝ l ⎠ 2⎝ l ⎠ ⎦ fC =

F 'l 4 ⎡ 5 ⎛ a ⎞2 ⎤ ⎢ −⎜ ⎟ ⎥ 16 EI ⎣ 24 ⎝ l ⎠ ⎦

4 Festigkeitslehre 4.13 Axiale Flächenmomente 2. Grades I, Widerstandsmomente W und Trägheitsradius i für Biegung und Knickung

Ix =

b h3 12

b h2 6 ix = 0,289 h

Wx =

Iy =

hb3 12

Ix = Iy = ID =

hb 2 6 iy = 0,289 b

h3 6 i = 0,289 h

Wy =

Wx = Wy =

5 3 4 s = 0,5413 s 4 16 W = 0,5413 s3

6 b 2 + 6 bb 1 + b 12 3 h 36 (2 b + b 1)

6 b 2 + 6 bb 1 + b 12 2 h W = 12 (3 b + 2 b 1) 1 3b + 2 b1 e= h 3 2b + b1 ʌd4 d4 ≈ 64 20

ʌd3 d3 ≈ 32 10 d i = 4

W=

Ix =

ʌ a3 b 4

ʌ a2 b 4 a ix = 2

Wx =

Iy =

a h3 36

2 e= h 3

W=

a h2 24

i = 0,236 h

I =

ʌ ( D4 − d 4 ) 64

W =

ʌ D4 − d 4 32 D

ʌ Ix = (a3 b − a13 b 1) 4 ʌ 2 Ix ≈ a d ( a + 3 b ) 4 I ʌ W = x ≈ a d ( a + 3 b) a 4

ʌ b3 a 4

ʌ b2 a 4 b iy = 2

Wy =

Iy = 0,0245 d 4

Wx1 = 0,0238 d 3

Wx2 = 0,0323 d 3

Wy = 0,049 d 3

ix = 0,132 d

Wy = π

e1 =

R−r R+r

Wx1 =

(R4 − r 4 ) 8R

Wx2 =

Ix = 0,1098 (R4 – r4) – 0,283 R2 r2 R4 − r 4 8

I=

i = 0,25 D 2 + d 2

Ix = 0,0068 d 4

Iy = π

h3 12

I =

i = 0,456 s

I=

WD = 2

5 3 4 s = 0,5413 s 4 16 5 W = s 3 = 0,625 s 3 8 i = 0,456 s

I =

I =

h4 12

4r = 0, 4244 r 3ʌ

Ix e1 Ix e2

e1 =

2 ( D3 − d 3 ) 3ʌ ( D 2 − d 2 )

35

4 Festigkeitslehre Ix =

b ( H 3 − h3 ) 12

Wx =

b ( H 3 − h3 ) 6H

ix =

H 3 − h3 12 ( H − h)

Iy =

b3 ( H − h) 12

Wy =

b2 ( H − h) 6

iy = 0,289 b

I=

b (h3 − h 13) + b 1 (h 13 − h 23) 12

W=

b (h3 − h 13) + b 1 (h 1 − h 23) 6h

3

I=

BH 3 + b h3 12

W=

BH 3 + b h3 6H

I=

BH 3 − b h3 12

W=

BH 3 − b h3 6H

I=

1 ( B e13 − b h3 + a e2 3 ) 3

e1 =

1 a H 2 + bd2 ⋅ 2 a H + bd

e2 = H – e1

1 I = ( B e13 − b h3 + B1 e23 − b 1 h 13) 3 1 a H 2 + b d 2 + b 1 d1 (2 H − d1 ) e1 = ⋅ 2 a H + b d + b 1 d1 e2 = H – e1 36

4 Festigkeitslehre 4.14 Polare Flächenmomente 2. Grades Ip und Widerstandsmomente Wp für Torsion

Querschnitt

Widerstandsmoment Wp

Flächenmoment Ip

Bemerkung

Wp =

ʌ 3 d3 d ≈ 16 5

Ip =

ʌ 4 d4 d ≈ 32 10

größte Spannung in allen Punkten des Umfangs

Wp =

ʌ d a4 − di 4 ⋅ 16 da

Ip =

ʌ (da4 − di 4 ) 32

größte Spannung in allen Punkten des Umfangs

Wp =

ʌ 3 nb 16

Ip =

h = n> 1 b

in den Endpunkten der kleinen Achse: M τ t max = T Wp

ʌ n3 b 4 ⋅ 16 n 2 + 1

in den Endpunkten der großen Achse:

τt =

ha h = i = n> 1 ba bi hi bi = = α< 1 ha ba ʌ Wp = nb 3 (1 − α 4 ) 16 a

Ip =

Wp = 0, 208 a3

I p = 0,14 a 4 =

Wp = 0,05 b3 =

h3 2 I t Wp = = 13 h

h3 7,5 3

n3 ʌ ⋅ 2 ⋅ 16 n +1

⋅ ba4 (1 − α 4 )

Ip =

h4 15 3

b4 Ip = 46, 2

a4 7,1

τ t max n

in den Endpunkten der kleinen Achse: τt max in den Endpunkten der großen Achse:

τt =

τ t max n

in der Mitte der Seite:

τ t max in den Ecken: τ t = 0

in der Mitte der Seite:

τ t max in den Ecken: τ t = 0

37

4 Festigkeitslehre 4.15 Träger gleicher Biegebeanspruchung

Längs- und Querschnitt des Trägers

Begrenzung des Längsschnitts

Gleichungen zur Berechnung der Querschnitts-Abmessungen

Die Last F greift am Ende des Trägers an:

6F x b σ zul

6Fl b σ zul

obere Begrenzung: Gerade

y=

untere Begrenzung: Quadratische Parabel

Durchbiegung in A: f =

y= Gerade

6F x h 2 σ zul

h=

b=

Kubische Parabel

32 F x ʌ σ zul

d=

8 F ⎛ l ⎞3 ⎜ ⎟ b E⎝ h ⎠

6 Fl h 2 σ zul

3

y=

bx l

y= d

3

6 F ⎛ l ⎞3 ⎜ ⎟ b E⎝ h ⎠

Durchbiegung in A: f =

y=3

x l

y=h

32 F l ʌ σ zul

x l

3 F l3 ʌd4 I= Durchbiegung in A: f = ⋅ 5 EI 64

Die Last F ist gleichmäßig über den Träger verteilt:

Gerade

y=x

3F bl σ zul

3Fl b σ zul

h=

y=

hx l

y=

b x2 l2

F = F' l

y= Quadratische Parabel

3 F ⎛ x ⎞2 ⎜ ⎟ l σ zul⎝ h ⎠

b=

3Fl h2

Durchbiegung in A: f =

38

σ zul

3 F ⎛ l ⎞3 ⎜ ⎟ b E⎝ h ⎠

4 Festigkeitslehre 4.16 Festigkeitswerte für Walzstahl (Bau- und Feinkornbaustahl) Werkstoff Baustahl1)

Bezeichnung

Feinkornbaustahl1)

Streckgrenze Re N/mm2

t ≤ 40

240

40 < t ≤ 80

215

S235JR S235JRG1 S235JRG2 S235J0

Baustahl1)

Erzeugnisdicke t mm

t ≤ 40

360

40 < t ≤ 80

325

t ≤ 40

360

40 < t ≤ 80

325

E295 E355

Zugfestigkeit Rm N/mm2

360 510 700

Hinweis: Weitere Festigkeitswerte in DIN 18 800 Teil 1, Tabelle 1. Der Elastizitätsmodul E beträgt für alle Baustähle E = 210 000 N/mm2. 1) Bezeichnungen für Baustähle siehe Tabelle 4.21

4.17 Festigkeitswerte in N/mm2 für verschiedene Stahlsorten1) Werkstoff S235JR S275JO E295 S355JO E335 E360 50CrMo42) 20MnCr53) 34CrAlNi74) 1) 2) 3) 4)

ElastizitätsRm moduls E 210 000 360 210 000 430 210 000 490 210 000 510 210 000 590 210 000 690 210 000 1100 210 000 1200 210 000 900

Re Rp 0,2 235 275 295 355 335 360 900 850 680 5)

Richtwerte für dB < 16 mm, Vergütungsstahl Einsatzstahl Nitrierstahl

6)

σzd Sch

σzd W

σb Sch5)

σb W

τt Sch6)

τt W

158 185 205 215 240 270 385 365 335

160 195 220 230 265 310 495 480 405

270 320 370 380 435 500 785 765 650

180 215 245 255 290 340 525 510 435

115 140 160 165 200 220 350 335 300

105 125 145 150 170 200 315 305 260

Schubmodul G 80 000 80 000 80 000 80 000 80 000 80 000 80 000 80 000 80 000

berechnet mit 1,5 · σbW berechnet mit 1,1 · τtW

4.18 Festigkeitswerte in N/mm2 für verschiedene Gusseisen-Sorten1) Werkstoff GJL-150 GJL-200 GJL-250 GJL-300 GJL-350 GJMW-400-5 GJMB-350-10 1)

Elastizitätsmodul E

Rm

Re Rp 0,2

σdB

σbB

σzd W

σb W

τt W

Schubmodul G

82 000 100 000 110 000 120 000 130 000 175 000 175 000

150 200 250 300 350 400 350

90 130 165 195 228 220 200

600 720 840 960 1 080 1 000 1 200

250 290 340 390 490 800 700

40 50 60 75 85 120 1 000

70 90 120 140 145 140 120

60 75 100 120 125 115 100

35 000 40 000 43 000 49 000 52 000 67 000 67 000

Richtwerte für 15 bis 30 mm Wanddicke; für 8 mm bis 15 mm 10 % höher, für > 30 mm 10 % niedriger, Dauerfestigkeitswerte im bearbeiteten Zustand; für Gusshaut 20 % Abzug.

39

4 Festigkeitslehre 4.19 Richtwerte für die Kerbwirkungszahl β k 1) Kerbform Hinterdrehung in Welle (Rundkerbe) Hinterdrehung in Welle (Rundkerbe) Eindrehung für Axial-Sicherungsring in Welle abgesetzte Welle (Lagerzapfen) abgesetzte Welle (Lagerzapfen) Passfedernut in Welle Passfedernut in Welle Passfedernut in Welle Passfedernut in Welle Querbohrung in Achse (Schmierloch) Flachstab mit Bohrung Flachstab mit Bohrung Welle an Übergangsstelle zu fest sitzender Nabe 1)

Beanspruchung Biegung Torsion Biegung Torsion Biegung Torsion Biegung Biegung Torsion Torsion Biegung und Torsion Zug Biegung Biegung Torsion

genauere und umfangreichere Werte in DIN 743-2

2)

Rm2) 600 600 1000 600 600 600 1000 600 1000 600 360 360 1000

βk

2,2 1,8 3,5 2,5 2,2 1,4 2,5 3,0 1,5 1,8 1,6 1,7 1,4 2,7 1,8

Zugfestigkeit in Rm in N/mm2

4.20 Oberflächenbeiwert b1 und Größenbeiwert b2 für Kreisquerschnitte

Für andere Querschnittsformen kann etwa gesetzt werden: bei Biegung für Quadrat: Kantenlänge = d; für Rechteck: in Biegeebene liegende Kantenlänge = d bei Verdrehung für Quadrat und Rechteck: Flächendiagonale = d

4.21 Stahlbezeichnungen 1) EN10027-1 und ECISS IC 10 (1993) S235JR S235JRG1 S235JRG2 S235JO S235J2G3 S275JR 1)

frühere Bezeichnungen nach EN 10025 DIN 17100 (1990) Fe 360 B St 37-2 Fe 360 FBU U St 37-2 Fe 360 FBN R St 37-2 Fe 360 C St 37-3 U Fe 360 D1 St 37-3 U Fe 430 B St 44-2

EN 10027-1 und ECISS IC 10 (1993) S275J2G3 S355J2G3 E295 E335 E360 S275JO

frühere Bezeichnungen nach EN 10025 DIN 17100 (1990) Fe 430 C St 44-3 U Fe 430 D1 St 44-3 N Fe 510 D1 St 52-3 N Fe 490-2 St 50-2 Fe 590-2 St 60-2 Fe 690-2 St 70-2

Auszug aus der Deutschen Fassung der Europäischen Norm EN 10025 (März 1990) mit Anhang C (1993) Erläuterung der Bezeichnungen (Beispiel): S235JRG2 S → Kennbuchstabe für mechanische Eigenschaft „Streckgrenze ReH“ (H = obere Streckgrenze, von high) 235 → Kennzahl für den Mindestwert der (oberen) Streckgrenze in N/mm2 für Probe-Dicken s ≤ 16 mm: ReH = 235 N/mm2 (mit zunehmender Dicke wird ReH kleiner, z.B. für s > 150 mm < 200 mm wird ReH = 185 N/mm2) J → Kennbuchstabe für Gütegruppe bezüglich Schweißeignung und Kerbschlagarbeit RG2 → Kennbuchstabe und -zahl für Gütegruppen z. B. bezüglich Lieferzustand, Erschmelzungsverfahren, chemische Zusammensetzung

40

4 Festigkeitslehre 4.22 Zulässige Spannungen im Stahlhochbau a) Zulässige Spannungen in N/mm2 für Stahlbauteile 1) S235JR

Spannungsart Druck und Biegedruck, wenn Stabilitätsnachweis nach DIN 18 800 erforderlich ist Zug und Biegezug, Biegedruck, wenn Stabilitätsnachweis nach DIN 18 800 erforderlich ist Schub 1)

Werkstoff S355JO Lastausfall H HZ

H

HZ

140

160

210

160 92

180 104

240 139

E360 H

HZ

240

410

460

270 156

410 240

460 270

Lastfall H: alle Hauptlasten, Lastfall HZ: alle Haupt- und Zusatzlasten

b) Zulässige Spannungen in N/mm2 für Verbindungsmittel 1) Niete (DIN 124 und DIN 302) Passschrauben (DIN 7968) 4.6 5.6 für Bauteile für Bauteile für Bauteile für Bauteile aus S235JR aus S355JO aus S235JR aus S355JO Lastfall H HZ H HZ H HZ H HZ 140 160 210 240 140 160 210 240 280 320 420 480 280 320 420 480 48 54 72 81 112 112 150 150

Spannungsart

Abscheren Lochleibungsdruck Zug 1)

τa zul σl zul σz zul

Rohe Schrauben (DIN 7990) 4.6 H 112 240 112

HZ 126 270 112

Lastfall H: alle Hauptlasten, Lastfall HZ: alle Haupt- und Zusatzlasten

4.23 Zulässige Spannungen im Kranbau für Stahlbauteile und ihre Verbindungsmittel a) Zulässige Spannungen in N/mm2 für Bauteile Spannungsart Zug- und Vergleichsspannung Druckspannung, Nachweis auf Knicken Schubspannung

Werkstoff S235JR S355JO H HZ H HZ 160 180 240 270 140 160 210 240 92 104 138 156

Außer dem Allgemeinen Spannungsnachweis auf Sicherheit gegen Erreichen der Fließgrenze ist für Krane mit mehr als 20 000 Spannungsspielen noch ein Betriebsfestigkeitsnachweis auf Sicherheit gegen Bruch bei zeitlich veränderlichen, häufig wiederholten Spannungen für die Lastfälle H zu führen. Zulässige Spannungen beim Betriebsfestigkeitsnachweis siehe Normblatt.

b) Zulässige Spannungen in N/mm2 für Verbindungsmittel

Spannungsart

Abscheren

einschnittig zweischnittig

Lochleibungsdruck einschnittig zweischnittig Zug

einschnittig zweischnittig

Niete Passschrauben (DIN 7968) Schrauben (DIN 7880) (DIN 124 und DIN 302) 4.6 5.6 4.6 5.6 USt36 USt44 USt36 USt44 USt36 USt44 für Bauteile für Bauteile für Bauteile für Bauteile für Bauteile für Bauteile aus S235JR aus S355JO aus S235JR aus S355JO aus S235JR aus S355JO Lastfall H HZ H HZ H HZ H HZ H HZ H HZ 84 96 126 144 84 96 126 144 70 80 70 80 112 128 168 192 112 128 168 192 210 240 315 360 210 240 315 360 160 180 160 180 280 320 420 480 280 320 420 480 30 30 45 45 100 110 140 154 100 110 140 154 30 30 45 45 100 110 140 154

41

4 Festigkeitslehre 4.24 Warmgewalzter gleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl (Auswahl) Beispiel für die Bezeichnung eines gleichschenkligen Winkelstahls und für das Auswerten der Tabelle: L 40 × 6 – S235JRG1 Schenkelbreite a = 40 mm Schenkeldicke s = 6 mm Flächenmoment 2. Grades Ix = 6,33 · 104 mm4 Widerstandsmoment Wx1 = 5,28 · 103 mm3 Wx2 = 2,26 · 103 mm3 Oberfläche je Meter Länge A'0 = 0,16 m2/m Profilumfang Trägheitsradius Kurzzeichen

20 × 4 25 × 5 30 × 5 35 × 5 40 × 6 45 × 6 50× 6 50× 8 55 × 8 60 × 6 60 × 10 65 × 8 70 × 7 70 × 9 70 × 11 75 × 8 80 × 8 80× 10 80× 12 90 × 9 90 × 11 100 × 10 100 × 14 110× 12 120 × 13 130× 12 130 × 16 140 × 13 140 × 15 150 × 12 150 × 16 150 × 20 160 × 15 160 × 19 180 × 18 180 × 22 200 × 16 200 × 20 200 × 24 200 × 28 1)

42

a/s

Querschnitt A

e1 / e2

Ix = Iy

mm

mm2

mm

· 104 mm4

20/ 4 25/ 5 30/ 5 35/ 5 40/ 6 45/ 6 50/ 6 50/ 8 55/ 8 60/ 6 60/10 65/ 8 70/ 7 70/ 9 70/11 75/ 8 80/ 8 80/10 80/12 90/ 9 90/11 100/10 100/14 110/12 120/13 130/12 130/16 140/13 140/15 150/12 150/16 150/20 160/15 160/19 180/18 180/22 200/16 200/20 200/24 200/28

145 226 278 328 448 509 569 741 823 691 1110 985 940 1190 1430 1150 1230 1510 1790 1550 1870 1920 2620 2510 2970 3000 3930 3500 4000 3480 4570 5630 4610 5750 6190 7470 6180 7640 9060 10500

6,4 / 13,6 8 / 17 9,2 / 20,8 10,4/ 24,6 12 / 28 13,2/ 31,8 14,5/ 35,5 15,2/ 34,8 16,4/ 38,6 16,9/ 43,1 18,5/ 41,5 18,9/ 46,1 19,7/ 50,3 20,5/ 49,5 21,3/ 48,7 21,3/ 53,7 22,6/ 57,4 23,4/ 56,6 24,1/ 55,9 25,4/ 64,6 26,2/ 63,8 28,2/ 71,8 29,8/ 70,2 31,5/ 78,5 34,4/ 85,6 36,4/ 93,6 38,0/ 92 39,2/100,8 40,0/100,0 41,2/108,8 42,9/107,1 44,4/105,6 44,9/115,1 46,5/113,5 51,0/129,0 52,6/127,4 55,2/144,8 56,8/143,2 58,4/141,6 59,9/140,1

0,48 1,18 2,16 3,56 6,33 9,16 12,8 16,3 22,1 22,8 34,9 37,5 42,4 52,6 61,8 58,9 72,3 87,5 102 116 138 177 235 280 394 472 605 638 723 737 949 1150 1100 1350 1870 2210 2340 2850 3330 3780

Wx 1 = Wy 1 Wx 2 = Wy 2

· 103 mm3

· 103 mm3

0,75 1,48 2,35 3,42 5,28 6,94 8,83 10,7 13,5 13,5 18,9 19,8 21,5 25,7 29,0 27,7 32,0 37,4 42,3 45,7 52,7 62,8 78,9 88,9 115 130 159 163 181 179 221 259 245 290 367 420 424 502 570 631

0,35 0,69 1,04 1,45 2,26 2,88 3,61 4,68 5,73 5,29 8,41 8,13 8,43 10,6 12,7 11,0 12,6 15,5 18,2 18,0 21,6 24,7 33,5 35,7 46,0 50,4 65,8 63,3 72,3 67,7 88,7 109 95,6 119 145 174 162 199 235 270

Die Zahlenwerte geben zu gleich den Profilumfang U in m an.

U = 0,16 m ix = I x /A = 11,9 mm Oberfläche je Meter Länge

Gewichtskraft je Meter Länge

A'0

FG'

2

m /m 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,17 0,19 0,19 0,21 0,23 0,23 0,25 0,27 0,27 0,27 0,29 0,31 0,31 0,31 0,35 0,36 0,39 0,39 0,43 0,47 0,51 0,51 0,55 0,55 0,59 0,59 0,59 0,63 0,63 0,71 0,71 0,79 0,79 0,79 0,79

1)

N/m 11,2 17,4 21,4 25,3 34,5 39,2 43,8 57,1 63,4 53,2 85,2 75,9 72,4 91,6 110,1 88,6 94,7 116,7 138,3 119,4 144,0 147,9 201,8 193,3 228,7 231,0 302,6 269,5 308,0 268,0 351,9 433,6 355,0 442,8 476,7 575,3 475,9 588,3 697,7 808,6

4 Festigkeitslehre 4.25 Warmgewalzter ungleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl (Auswahl) Beispiel für die Bezeichnung eines ungleichschenkligen Winkelstahls und für das Auswerten der Tabelle: L 30 × 20 × 4 – S235JRG1 Schenkelbreite Schenkeldicke Flächenmoment 2. Grades Widerstandsmoment Widerstandsmoment Oberfläche je Meter Länge

U = 0,097 m ix = I x /A = 9,27 mm

Profilumfang Trägheitsradius

Kurzzeichen

Querschnitt

a

b

s

A

mm mm mm mm2 30× 20× 4 40× 20× 4 45× 30× 5 50× 40× 5 60× 30× 7 60× 40× 6 65× 50× 5 65× 50× 9 75× 50× 7 75× 55× 9 80× 40× 6 80× 40× 8 80× 65× 8 90× 60× 6 90× 60× 8 100× 50× 6 100× 50× 8 100× 50×10 100× 65× 9 100× 75× 9 120× 80× 8 120× 80×10 120× 80×12 130× 65×10 130× 75×10 130× 75×12 130× 90×10 130× 90×12 150× 75× 9 150× 75×11 150× 90×10 150× 90×12 150×100×10 150×100×12 150×100×14 160× 80×12 200×100×10 200×100×14 250× 90×10 250× 90×14 1)

a = 30 mm, b = 20 mm s = 4 mm Ix = 1,59 · 104 mm4 Wx1 = 1,54 · 103 mm3 Wx2 = 0,81 · 103 mm3 A'0 = 0,097 m2/m

30 40 45 50 60 60 65 65 75 75 80 80 80 90 90 100 100 100 100 100 120 120 120 130 130 130 130 130 150 150 150 150 150 150 150 160 200 200 250 250

20 20 30 40 30 40 50 50 50 55 40 40 65 60 60 50 50 50 65 75 80 80 80 65 75 75 90 90 75 75 90 90 100 100 100 80 100 100 90 90

4 4 5 5 7 6 5 9 7 9 6 8 8 6 8 6 8 10 9 9 8 10 12 10 10 12 10 12 9 11 10 12 10 12 14 12 10 14 10 14

185 225 353 427 585 568 554 958 830 1090 689 901 1100 869 1140 873 1150 1410 1420 1510 1550 1910 2270 1860 1960 2330 2120 2510 1950 2360 2320 2750 2420 2870 3320 2750 2920 4030 3320 4590

Oberfläche

ex1/ey1 mm 10,3/5,4 14,7/4,8 15,2/7,8 15,6/10,7 22,4/7,6 20,0/10,1 19,9/12,5 21,5/14,1 24,8/12,5 24,7/14,8 28,5/8,8 29,4/9,5 24.7/173 28,9/14,1 29,7/14,9 34,9/10,4 35,9/11,3 36,7/12,0 33,2/15,9 31,5/19,1 38,3/18,7 39,2/19.5 40,0/20.3 46,5/14,5 44,5/17,3 45,3/18,1 41,5/21,8 42,4/22,6 52,8/15,7 53,7/16,5 49,9/20,3 50,8/21,1 48,0/23,4 48,9/24,2 49,7/25,0 57,2/17,7 69,3/20,1 71,2/21,8 94,5/15,6 96,5/17,3

Ix

Wx1

Wx2

Iy

Wy1

Wy2

·104 mm4 ·103 mm3 ·103 mm3 ·104 mm4 ·103 mm3 ·103 mm3 1,59 3,59 6,99 10,4 20,7 20,1 23,1 38,2 46,4 59,4 44,9 57,6 68,1 71,7 92,5 87,7 116 141 141 148 226 276 323 321 337 395 358 420 455 545 532 626 552 650 744 720 1220 1650 2170 2960

1,54 2,44 4,60 6,67 9,24 10,1 11,6 17,8 18,7 24,0 15,8 19,6 27,6 24,8 31,1 25,1 32,3 38,4 42,5 47,0 59,0 70,4 80,8 69,0 75,7 87,2 86,3 99,1 86,2 101 107 123 115 133 150 126 176 232 230 307

0,81 1,42 2,35 3,02 5,50 5,03 5,11 8,77 9,24 11,8 8,73 11,4 12,3 11,7 15,4 13,8 18,0 22,2 21,0 21,5 27,6 34,1 40,4 38,4 39,4 46,6 40,5 48,0 46,8 56,6 53,1 63,1 54,1 64,2 74,1 70,0 93,2 128 140 192

0,55 0,60 2,47 5,89 3,41 7,12 11,9 19,4 16,5 26,8 7,59 9,68 40,1 25,8 33,0 15,3 19,5 23,4 46,7 71,0 80,8 98,1 114 54,2 82,9 96,5 141 165 78,3 93,0 145 170 198 232 264 122 210 282 161 216

1,02 1,25 3,17 5,50 4,49 7,05 9,52 13,8 13,2 18,1 8,63 10,2 23,2 18,3 22,0 14,7 17,3 19,5 29,4 37,0 43,2 50,3 56,0 37,4 47,9 53,3 65,0 73,0 49,9 56,0 71,0 81,0 85,0 96,0 106 69,0 104 129 103 125

0,38 0,39 1,11 2,01 1,52 2,38 3,18 5,39 4,39 6,66 2,44 3,18 8,41 5,61 7,31 3,86 5,04 6,17 9,52 12,7 13,2 16,2 19,1 10,7 14,4 17,0 20,6 24,4 13,2 15,9 20,9 24,7 25,8 30,6 35,2 19,6 26,3 36,1 21,7 29,7

Gewichtskraft

je Meter Länge je Meter Länge A'0 FG'

m2/m1)

N/m

0,097 0,117 0,146 0,177 0,175 0,195 0,224 0,224 0,244 0,254 0,234 0,234 0,283 0,294 0,294 0,292 0,292 0,292 0,321 0,341 0,391 0,391 0,391 0,381 0,401 0,401 0,430 0,430 0,441 0,441 0,469 0,469 0,489 0,489 0,489 0,469 0,587 0,587 0,667 0,667

14,2 17,4 27,2 32,9 45,0 43,7 42,7 73,7 63,8 84,2 53,1 69,3 84,9 66,9 87,9 67,2 88,2 108,9 108,9 115,7 119,6 147,1 174,6 143,2 151,0 179,5 162,8 193,2 150,0 182,4 178,5 211,8 186,3 221,6 255,9 211,8 225,6 309,9 255,9 353,0

Die Zahlenwerte geben zugleich den Profilumfang U in m an.

43

4 Festigkeitslehre 4.26 Warmgewalzte schmale

-Träger (Auswahl) Beispiel für die Bezeichnung eines schmalen -Trägers mit geneigten inneren Flanschflächen und für das Auswerten der Tabelle: 80 DIN 1025 – S235JRG1

h b Ix Wx A0'

Höhe Breite Flächenmoment 2. Grades Widerstandsmoment Oberfläche je Meter Länge

U = 0,304 m ix = I x /A = 32 mm

Profilumfang Trägheitsradius Kurzzeichen

80 100 120 140 160 180 200 220 240 280 320 360 380 425 475 550

Querschnitt

h

b

s

t

A

Ix

Wx

Iy

Wy

mm 80 100 120 140 160 180 200 220 240 280 320 360 380 425 475 550

mm 42 50 58 66 74 82 90 98 106 119 131 143 149 163 178 200

mm 3,9 4,5 5,1 5,7 6,3 6,9 7,5 8,1 8,7 10,1 11,5 13,0 13,7 15,3 17,1 19,0

mm 5,9 6,8 7,7 8,6 9,5 10,4 11,3 12,2 13,1 15,2 17,3 19,5 20,5 23,0 25,6 30,0

mm2 758 1060 1420 1830 2280 2790 3350 3960 4610 6110 7780 9710 10700 13200 16300 21300

·104 mm4 77,8 171 328 573 935 1450 2140 3060 4250 7590 12510 19610 24010 36970 56480 99180

·103 mm3 19,5 34,2 54,7 81,9 117 161 214 278 354 542 782 1090 1260 1740 2380 3610

·104 mm4 6,29 12,2 21,5 35,2 54,7 81,3 117 162 221 364 555 818 975 1440 2090 3490

·103 mm3 3,00 4,88 7,41 10,7 14,8 19,8 26,0 33,1 41,7 61,2 84,7 114 131 176 235 349

Oberfläche

Gewichtskraft

je Meter Länge A'0

je Meter Länge F G'

m2/m1) 0,304 0,370 0,439 0,502 0,575 0,640 0,709 0,775 0,844 0,966 1,09 1,21 1,27 1,41 1,55 1,80

Die Zahlenwerte geben zugleich den Profilumfang U in m an.

4.27 Warmgewalzte T-Träger (Auswahl)

b

y

Beispiel für die Bezeichnung eines T-Trägers und für das Auswerten der Tabelle:

Kurzzeichen T 30 35 40 50 60 70 80 100 120 140

x

Querschnitt b=h mm 30 35 40 50 60 70 80 100 120 140

s

A

mm 4,00 4,50 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 11,00 13,00 15,00

mm2 2,26 2,97 3,77 5,66 7,94 10,60 13,60 20,90 29,60 39,90

2% Profilschwerpunkt s

ex

= b = 80 mm =h = 73,7 · 104 mm4 = 12,8 · 103 mm3

2%

h b Ix Wx

Gewichtskraft

Ix

Wx

Iy

Wy

·104 mm4 ·103 mm3 ·104 mm4 ·103 mm3 1,72 0,80 0,87 0,58 3,10 1,23 1,57 0,90 5,28 1,84 2,58 1,29 12,10 3,36 6,60 2,42 23,80 5,48 12,20 4,07 44,50 8,79 22,10 6,32 73,70 12,80 37,00 9,25 179,00 24,60 88,30 17,70 366,00 42,00 178,00 29,70 660,00 64,70 330,00 47,20

je Meter Länge F G'

N/m 17,35 22,84 29,01 43,51 61,06 81,54 104,87 160,73 227,38 306,76

y

T 80 DIN 10025 – S235JR Höhe Breite Flächenmoment 2. Grades Widerstandsmoment

44

N/m 58,4 81,6 110 141 176 215 258 305 355 471 599 746 824 1020 1256 1638

x

h

1)

= 80 mm = 42 mm = 77 · 104 mm4 = 19,5 · 103 mm3 = 0,304 m2/m

4 Festigkeitslehre 4.28 Warmgewalzte

-Träger,

PE-Reihe (Auswahl) Beispiel für die Bezeichnung eines mittelbreiten -Trägers mit parallelen Flanschflächen und für das Auswerten der Tabelle: PE 80 DIN 1025 – S235JRG1

Höhe h Breite b Flächenmoment 2. Grades Ix Widerstandsmoment Wx Oberfläche je Meter Länge A'0 Profilumfang U Trägheitsradius ix = I x /A

Kurzzeichen

1)

Querschnitt

= 80 mm = 46 mm = 80,1 · 104 mm4 = 20,0 · 103 mm3 = 0,328 m2/m = 0,328 m = 32,4 mm

Oberfläche

b

t

h

s

r

A

Ix

PE

mm

mm

mm

mm

mm

mm2

·104 mm4

80 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300 330 360 400 450 500 550 600

46 55 64 73 82 91 100 110 120 135 150 160 170 180 190 200 210 220

5,2 5,7 6,3 6,9 7,4 8,0 8,5 9,2 9,8 10,2 10,7 11,5 12,7 13,5 14,6 16,0 17,2 19,0

80 3,8 100 4,1 120 4,4 140 4,7 160 5,0 180 5,3 200 5,6 220 5,9 240 6,2 270 6,6 300 7,1 330 7,5 360 8,0 400 8,6 450 9,4 500 10,2 550 11,1 600 12,0

5 7 7 7 9 9 12 12 15 15 15 18 18 21 21 21 24 24

764 1030 1320 1640 2010 2390 2850 3340 3910 4590 5380 6260 7270 8450 9880 11600 13400 15600

80,1 171 318 541 869 1320 1940 2770 3890 5790 8360 11770 16270 23130 33740 48200 67120 92080

Wx

Iy

Wy

·103 mm3 ·104 mm4 ·103 mm3 20,0 34,2 53,0 77,3 109 146 194 252 324 429 557 713 904 1160 1500 1930 2440 3070

8,49 15,9 27,7 44,9 68,3 101 142 205 284 420 604 788 1040 1320 1680 2140 2670 3390

Gewichtskraft

je Meter Länge je Meter Länge A'0 FG'

3,69 5,79 8,65 12,3 16,7 22,2 28,5 37,3 47,3 62,2 80,5 98,5 123 146 176 214 254 308

m2/m1)

N/m

0,328 0,400 0,475 0,551 0,623 0,698 0,768 0,848 0,922 1,041 1,155 1,254 1,348 1,467 1,605 1,738 1,877 2,014

59 79 102 126 155 184 220 257 301 353 414 482 560 651 761 893 1032 1200

Die Zahlenwerte geben zugleich den Profilumfang U in m an.

4.29 Mechanische Eigenschaften von Schrauben Kennzeichen

4.6

Mindest-Zugfestigkeit Rm in N/mm2

4.8

5.6

400

5.8

6.6

500

6.8

6.9

600

8.8

10.9

800

1000 1200

12.9

Mindest-Streckgrenze Re oder Rp 0,2-Dehngrenze in N/mm2

240

320

300

400

360

480

540

640

900

1080

Bruchdehnung A5 in %

25

14

20

10

16

8

12

12

9

8

45

4 Festigkeitslehre 4.30 Warmgewalzter rundkantiger U-Stahl (Auswahl) Beispiel für die Bezeichnung eines U-Stahls und für das Auswerten der Tabelle: U 100 DIN 1026 – S235JRG1 Höhe h = 100 mm Breite b = 50 mm Flächenmoment 2. Grades Ix = 206 · 104 mm4 Widerstandsmoment Wx = 41,2 · 103 mm3 Flächenmoment 2. Grades Iy = 29,3 · 104 mm4 Widerstandsmoment Wy1 = 18,9 · 103 mm3 Wy2 = 8,49 · 103 mm3 Oberfläche je Meter Länge A'0 = 0,372 m2/m

U = 0,372 m ix = I x /A = 39,1 mm

Profilumfang Trägheitsradius Kurzzeichen

Querschnitt

h

b

s

A

U

mm

mm mm

mm2

30 × 15 30 40 × 20 40 50 × 25 50 60 65 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 350 380 400

30 30 40 40 50 50 60 65 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 350 380 400

15 33 20 35 25 38 30 42 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 100 100 102 110

221 544 366 621 492 712 646 903 1100 1350 1700 2040 2400 2800 3220 3740 4230 4830 5330 5880 7580 7730 8040 9150

1)

4 5 5 5 5 5 6 5,5 6 6 7 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10 10 14 14 13,5 14

e1/e2 mm 5,2/ 9,8 13,1/19,9 6,7/13,3 13,3/21,7 8,1/16,9 13,7/24,3 9,1/20,9 14,2/27,8 14,5/30,5 15,5/34,5 16,0/39,0 17,5/42,5 18,4/46,6 19,2/50,8 20,1/54,9 21,4/58,6 22,3/62,7 23,6/66,4 25,3/69,7 27,0/73,0 26,0/74,0 24,0/76,0 23,8/78,2 26,5/83,5

Ix

Wx

Iy

Wy1

Wy2

·104 mm4 ·103 mm3 ·104 mm4 ·103 mm3 ·103 mm3 2,53 6,39 7,58 14,1 16,8 26,4 31,6 57,5 106 206 364 605 925 1350 1910 2690 3600 4820 6280 8030 10870 12840 15760 20350

1,69 4,26 3,79 7,05 6,73 10,6 10,5 17,7 26,5 41,2 60,7 86,4 116 150 191 245 300 371 448 535 679 734 829 1020

0,38 5,33 1,14 6,68 2,49 9,12 4,51 14,1 19,4 29,3 43,2 62,7 85,3 114 148 197 248 317 399 495 597 570 615 846

0,73 4,07 1,70 5,02 3,07 6,66 4,98 9,93 13,4 18,9 27,0 35,8 46,4 59,4 73,6 92,1 111 134 158 183 230 238 258 355

Oberfläche

Gewichtskraft

je Meter Länge A'0

je Meter Länge FG'

0,39 2,68 0,86 3,08 1,47 3,75 2,16 5,07 6,36 8,49 11,1 14,8 18,3 22,4 27,0 33,6 39,6 47,7 57,3 67,8 80,7 75,0 78,6 101

m2/m1)

N/m

0,103 0,174 0,142 0,200 0,181 0,232 0,215 0,273 0,312 0,372 0,434 0,489 0,546 0,611 0,661 0,718 0,775 0,834 0,890 0,950 0,982 1,05 1,11 1,18

17,0 41,9 28,2 47,8 37,9 54,8 49,7 69,5 84,7 104,0 130,9 157,1 184,8 215,6 248,0 288,0 325,7 372 410,5 452,8 583,7 595,3 619,1 704,6

Die Zahlenwerte geben zugleich den Profilumfang U in m an.

4.31 Niete und zugehörige Schrauben für Stahl- und Kesselbau d1 in mm ʌ A1 in mm2 = d12 4 d in mm (Rohnietdurchmesser) Sechskantschraube

11

13

(15)

17

(19)

21

23

25

28

31

(34)

95

133

177

227

284

346

415

491

616

755

908 1075

10 12 M10 M12

(14) –

16 M16

(18) –

20 M20

22 24 27 30 (33) 36 M22 M24 M27 M30 M33 M36

d1 Durchmesser des geschlagenen Nietes = Nietlochdurchmesser

46

37

Größen in ( ) möglichst vermeiden

5 Gewindetabellen 5.1 Metrisches ISO-Gewinde

Bezeichnung des Metrischen Regelgewindes z.B. M 12

Gewinde-Nenndurchmesser d = D = 12 mm

Maße in mm GewindeStei- Steigungs- FlankenNenndurchmesser gung winkel durchmesser d=D d2 = D2 α P in Grad Reihe 1 Reihe 2 3 3,5 4 4,5 5 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 27 30 33 36 39 42 45 48 52 56 60 64 68 1)

Kerndurchmesser

d3

D1

Gewindetiefe 1) Spannungsquerschnitt As mm2 h3 H1

polares Widerstandsmoment Wps mm3

0,5 0,6 0,7 0,75

3,40 3,51 3,60 3,40

2,675 3,110 3,545 4,013

2,387 2,764 3,141 3,580

2,459 2,850 3,242 3,688

0,307 0,368 0,429 0,460

0,271 0,325 0,379 0,406

5,03 6,78 8,73 11,3

3,18 4,98 7,28 10,72

0,8 1 1,25 1,5

3,25 3,40 3,17 3,03

4,480 5,350 7,188 9,026

4,019 4,773 6,466 8,160

4,134 4,917 6,647 8,376

0,491 0,613 0,767 0,920

0,433 0,541 0,677 0,812

14,2 20,1 36,6 58,0

15,09 25,42 62,46 124,6

1,75 2

2,94 2,87

10,863 12,701

9,853 10,106 1,074 11,546 11,835 1,227

0,947 1,083

84,3 115

218,3 347,9

2 2,5 2,5

2,48 2,78 2,48

14,701 16,376 18,376

13,546 13,835 1,227 14,933 15,294 1,534 16,933 17,294 1,534

1,083 1,353 1,353

157 192 245

554,9 750,5 1082

2,5 3 3

2,24 2,48 2,18

20,376 22,051 25,051

18,933 19,294 1,534 20,319 20,752 1,840 23,319 23,752 1,840

1,353 1,624 1,624

303 353 459

1488 1871 2774

3,5 3,5 4

2,30 2,08 2,18

27,727 30,727 33,402

25,706 26,211 2,147 28,706 29,211 2,147 31,093 31,670 2,454

1,894 1,894 2,165

561 694 817

3748 5157 6588

4 4,5 4,5 5 5 5,5

2,00 2,10 1,95 2,04 1,87 1,91

36,402 39,077 42,077 44,752 48,752 52,428

34,093 36,479 39,479 41,866 45,866 49,252

2,454 2,760 2,760 3,067 3,067 3,374

2,165 2,436 2,436 2,706 2,706 2,977

976 1120 1300 1470 1760 2030

8601 10574 13222 15899 20829 25801

5,5 6 6

1,78 1,82 1,71

56,428 60,103 64,103

53,252 54,046 3,374 56,639 57,505 3,681 60,639 61,505 3,681

2,977 3,248 3,248

2360 2680 3060

32342 39138 47750

34,670 37,129 40,129 42,587 46,587 50,046

H1 ist die Tragtiefe (siehe Festigkeitslehre: Flächenpressung im Gewinde)

A. Böge, Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, DOI 10.1007/978-3-8348-8116-8_5, © Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

47

5 Gewindetabellen 5.2 Metrisches ISO-Trapezgewinde Bezeichnung für a) eingängiges Gewinde z.B.

Tr 75 × 10

Gewindedurchmesser d = 75 mm Steigung P = 10 mm = Teilung

b) zweigängiges Gewinde z.B.

Tr 75 × 20 P 10 Gewindedurchmesser d = 75 mm Steigung Ph = 20 mm Teilung P = 10 mm Gangzahl z =

Steigung Ph 20 mm = = 2 Teilung P 10 mm

Maße in mm Gewinde- Steigung Steigungsdurchmesser winkel d P α

48

Tragtiefe H1

FlankenKerndurchmesser durchmesser D2 = d 2 d3

in Grad

H1 = 0,5 P

D2 = d – Hl

Kernquerschnitt

polares Widerstandsmoment

A3 = ʌ4 d32 mm2

ʌ 3 Wp = 16 d3

mm3

8 10 12 16 20

1,5 2 3 4 4

3,77 4,05 5,20 5,20 4,05

0,75 1 1,5 2 2

7,25 9 10,5 14 18

6,2 7,5 9 11,5 15,5

30,2 44,2 63,6 104 189

46,8 82,8 143 299 731

24 28 32 36 40

5 5 6 6 7

4,23 3,57 3,77 3,31 3,49

2,5 2,5 3 3 3,5

21,5 25,5 29 33 36,5

18,5 22,5 25 29 32

269 398 491 661 804

1243 2237 3068 4789 6434

44 48 52 60

7 8 8 9

3,15 3,31 3,04 2,95

3,5 4 4 4,5

40,5 44 48 55,5

36 39 43 50

1018 1195 1452 1963

9161 11647 15611 24544

65 70 75 80

10 10 10 10

3,04 2,80 2,60 2,43

5 5 5 5

60 65 70 75

54 59 64 69

2290 2734 3217 3739

30918 40326 51472 64503

85 90 95 100

12 12 12 12

2,77 2,60 2,46 2,33

6 6 6 6

79 84 89 94

72 77 82 87

4071 4656 5281 5945

73287 89640 108261 129297

110 120

12 14

2,10 2,26

6 7

104 113

97 104

7390 8495

179203 220867

6 Allgemeine Tabellen 6.1 Werte für e μα in Abhängigkeit vom Umschlingungswinkel α und von der Reibungszahl μ α°

36 72 108 144 180 216 252 288 324 360 540 720 900 1080 1260 1440 1620 1800

α

0,2 π 0,4 π 0,6 π 0,8 π 1,0 π 1,2 π 1,4 π 1,6 π 1,8 π 2,0 π 3π 4π 5π 6π 7π 8π 9π 10 π

0,05 1,032 1,065 1,099 1,134 1,170 1,207 1,246 1,286 1,327 1,369 1,602 1,874 2,193 2,566 3,003 3,514 4,111 4,810

Reibungszahlen 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 1,065 1,099 1,134 1,170 1,207 1,246 1,134 1,207 1,286 1,369 1,458 1,552 1,207 1,327 1,458 1,602 1,760 1,934 1,286 1,458 1,653 1,874 2,125 2,410 1,369 1,602 1,874 2,193 2,566 3,003 1,458 1,760 2,125 2,566 3,099 3,741 1,552 1,934 2,410 3,003 3 741 4,662 1,653 2,125 2,733 3,514 4,518 5,808 1,760 2,336 3,099 4,111 5,455 7,237 1,874 2,566 3,514 4,810 6,586 9,017 2,566 4,111 6,586 10,55 16,90 27,08 3,514 6,586 12,35 23,14 43,38 81,31 4,810 10,55 23,14 50,75 111,3 244,2 6,586 16,90 43,38 111,3 285,7 733,1 9,017 27,08 81,31 244,2 733,1 2202 12,35 43,38 152,4 535,5 1881 6611 16,90 69,49 285,7 1174 4829 19 850 23,14 111,3 535,5 576 12 390 59 610

0,4 1,286 1,653 2,125 2,733 3,514 4,518 5,808 7,468 9,602 12,35 43,38 152,1 535,5 1881 6611 23 230 81 610 286 800

0,45 0,5 1,327 1,369 1,760 1,874 2,336 2,566 3,099 3,514 4,111 4,810 5,455 6,586 7,237 9,017 9,602 12,35 12,74 16,90 16,90 23,14 69,49 111,3 285,7 535,5 1174 2576 4829 12 90 19850 59 610 81 610 286 800 335 500 1 379 000 1 379 000 6 636 000

Die Tabelle gibt einen Überblick über den Verlauf der eμα-Werte. Zur Berechnung beliebiger Werte benutzt man die  lnx-oder ex-Taste des Taschenrechners. Dabei ist α im Bogenmaß einzusetzen: α = α ° π /180°.

6.2 Vorsatzzeichen zur Bildung von dezimalen Vielfachen und Teilen von Basiseinheiten oder abgeleiteten Einheiten mit selbständigem Namen Vorsatz Tera Giga Mega Kilo Hekto Deka Dezi Zenti Milli Mikro Nano Pico

Kurzzeichen T G M k h da d c m

μ n P

1012 109 106 103 102 101 10–1 10–2 10–3 10–6 10–9 10–12

Bedeutung Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten

1 Terameter (Tm) 1 Gigagramm (Gg) 1 Megagramm (Mg) 1 Kilogramm (kg) 1 Hektoliter (hl) 1 Dekameter (dam) 1 Deziliter (dl) 1 Zentimeter (cm) 1 Millisekunde (ms) 1 Mikrometer (μm) 1 Nanosekunde (ns) 1 Picofarad (pF)

Beispiel = 1012 m = 109 g = 106 kg = 103 t = 1000 t = 106 g = 103 kg = 1 t = 103 g = 1000 g = 102 l = 100 l = 10 m = 0,1 l = 0,01 m = 10–2 m = 0,001 s = 10–3 s = 0,000 001 m = 10–6 m = 10–9 s = 10–12 F

6.3 Bevorzugte Maße in Festigkeitsrechnungen

Beispiel: Die Wellenberechnung ergibt als erforderlichen Durchmesser derf = 20,4 mm. Als Ergebnis wird d = 21 mm festgelegt. 0,1 1 4 10 24 46 70 100 170 280 390 550

0,12 1,1 4,5 11 25 48 71 105 175 290 400 560

0,16 1,2 5 12 26 50 72 110 180 300 410 580

0,2 1,4 5,5 13 28 52 75 115 185 310 420 600

0,25 1,5 6 14 30 53 78 120 190 315 430 630

0,3 1,6 7 15 32 55 80 125 195 320 440 650

0,4 1,8 8 16 34 56 82 130 200 330 450 670

0,5 2 9 17 35 58 85 135 210 340 460 700

0,6 2,2

0,8 2,5

2,8

3

3,2

3,5

18 36 60 88 140 220 350 470 710

19 38 62 90 145 230 355 480 750

20 40 63 92 150 240 360 490 800

21 42 65 95 155 250 370 500 850

22 44 67 98 160 260 375 520 900

23 45 68

A. Böge, Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, DOI 10.1007/978-3-8348-8116-8_6, © Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

165 270 380 530 950

49

6 Allgemeine Tabellen 6.4 Umrechnungsbeziehungen für gesetzliche Einheiten Gesetzliche Einheit Größe

Name und Einheitenzeichen

Kraft F

Newton N

Druck p

Newton N Quadratmeter m 2

Früher gebräuchliche Einheit (nicht mehr zulässig) und Umrechnungsbeausgedrückt als Potenzprodukt der Basiseinheiten ziehung 1 N = 1 m kg s–2

N = 1 m–1 kg s–2 m2

1

N = 1 Pascal Pa m2 1 bar = 105 Pa

1

Die gebräuchlichsten Vorsätze und deren Kurzzeichen

Mechanische Spannung σ, τ, ebenso Festigkeit, Flächenpressung, Lochleibungsdruck

für das Millionenfache (106fache) der Einheit: für das Tausendfache (103fache) der Einheit: für das Zehnfache (10fache) der Einheit: für das Hundertstel (10–2fache) der Einheit: für das Tausendstel (10–3fache) der Einheit: für das Millionstel (10–6fache) der Einheit: Newton N Quadratmillimeter mm 2 1

Mega M Kilo k Deka da Zenti c Milli m Mikro μ

1

N = 106 m −1 kg s −2 mm 2

N N = 106 2 = 106 Pa mm 2 m = 1 MPa = 10 bar

Kilopond kp 1 kp = 9,80665 N ≈ 10 N 1 kp ≈ 1 daN Meter Wassersäule mWS 1 mWS = 9,806 65 · 103 Pa 1 mWS ≈ 0,1 bar Millimeter Wassersäule mm WS N 1 mm WS ≈ 9,806 65 2 ≈ 10 Pa m Millimeter Quecksilbersäule mmHg 1 mmHg = 133,3224 Pa Torr 1 Torr = 133,3224 Pa Technische Atmosphäre at kp = 9,80665 · 104 Pa 1 at = 1 cm 2 1 at ≈ 1 bar Physikalische Atmosphäre atm 1 atm = 1,01325 · 105 Pa ≈ 1,01 bar kp kp und mm 2 cm 2 1

kp N N = 9,80665 ≈ 10 mm 2 mm 2 mm 2

1

kp N N = 0,0980665 ≈ 0,1 cm 2 mm 2 mm 2

Drehmoment M Biegemoment Mb Torsionsmoment MT

Newtonmeter Nm

1 Nm = 1 m2 kg s–2

Kilopondmeter kpm 1 kpm = 9,80665 Nm ≈ 10 Nm Kilopondzentimeter kpcm 1 kpcm = 0,0980665 Nm ≈ 0,1 Nm

Arbeit W Energie E

Joule J

1 J = 1 Nm = 1 m2 kg s–2

Kilopondmeter kpm 1 kpm = 9,80665 J ≈ 10 J

Leistung P

Watt W

1 W = 1 m2 kg s–3

Kilopondmeter kpm Sekunde s kpm 1 = 9,80665 W ≈ 10 W s Pferdestärke PS kpm 1 PS = 75 = 735,49875 W s

1 J = 1 Nm = 1 Ws

J Nm 1 W =1 = 1 s s

50

6 Allgemeine Tabellen Gesetzliche Einheit Größe

Name und Einheitenzeichen

ausgedrückt als Potenzprodukt der Basiseinheiten

Früher gebräuchliche Einheit (nicht mehr zulässig) und Umrechnungsbeziehung

Impuls F Δt

Newtonsekunde Ns kgm 1 Ns = 1 s

1 Ns = 1 m kg s–1

Kilopondsekunde kps 1 kps = 9,80665 Ns ≈ 10 Ns

Drehimpuls M Δt

Newtonmetersekunde Nms kgm 2 1 Nms = 1 s

1 Nms = 1 m2 kg s–1

Kilopondmetersekunde kpms 1 kpms = 9,80665 Nms ≈ 10 Nms

Trägheitsmoment J

Kilogrammmeterquadrat kgm2

1 m2 kg

Kilopondmetersekundequadrat kpms2 1 kpms2 = 9,80665 kgm2 ≈ 10 kgm2

Wärme, Wärmemenge Q

Joule J 1 J = 1 Nm = 1 Ws

1 J = 1 Nm = 1 m2 kg s–2

Kalorie cal 1 cal = 4,1868 J Kilokalorie kcal 1 kcal = 4186,8 J

Temperatur T

Kelvin K

Basiseinheit Kelvin K

Grad Kelvin °K 1 °K = 1 K

Temperaturintervall ΔT

Kelvin K und Grad Celsius °C

Basiseinheit Kelvin K

Grad grd 1 grd = 1 K = 1 °C

Celsius-Temperatur t, ϑ

Grad Celsius °C

Basiseinheit °C

Längenausdehnungskoeffizient α l

Eins durch Kelvin

1 K

1 = K–1 K

1 1 , grd °C 1 1 1 = = grd °C K

6.5 Das griechische Alphabet

Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta

A B Γ Δ E Z H Θ

α β γ δ ε ζ η ϑ

Jota Kappa Lambda My Ny Xi Omikron Pi

I K Λ M N Ξ O Π

ι κ λ μ ν ξ ο π

Rho Sigma Tau Ypsilon Phi Chi Psi Omega

P Σ T Y Φ X Ψ Ω

r

σ τ υ ϕ χ ψ ω

51

7 Mathematische Hilfen 1 Rechnen mit null 2 Quotient Binomische

3 Formel,

Polygon

4 arithmetisches Mittel

a · b = 0 heißt a = 0 oder b = 0

0·a=0

0:a=0

b a = = b : n n ≠ 0 b Dividend n Divisor n Division durch null gibt es nicht. (a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + 2 ab + b2 (a – b)2 = (a – b) (a – b) = a2 – 2 ab + b2 a2 – b2 = (a + b) (a – b) (a + b + c)3 = a3 ± 3a2b + 3 ab2 ± b3 x + x2 + ... + xn 2+3+6 xa = 1 Beispiel: xa = = 3,67 n 3

geometrisches

xg = n x1 ⋅ x2 ⋅ ...⋅ xn Beispiel: xg = 3 2 ⋅ 3 ⋅ 6 = 3 36 = 3,3 5 Mittel Beispiel: 71 = 7 70 = 1 6 erste und nullte Potenz a1 = a a0 = 1 1 1 1 1 a–n = n a− 1 = Beispiel: 7–2 = 2 7− 1 = 7 negativer Exponent a 7 a 7 100 = 1 106 = 1 Million 10–1 = 0,1 101 = 10 109 = 1 Milliarde 10–2 = 0,01 8 Zehnerpotenzen 102 = 100 1012 = 1 Billion 10–3 = 0,001 3 15 10 = 1000 10 = 1 Billiarde usw. 10–4 = 0,0001 usw. n

9 Wurzel-Definition

c = a → an = c a ≥ 0 und c ≥ 0

Beispiel:

4

1 = c

Beispiel:

81 = 3 → 34 = 81

immer positiv Wurzeln sind Potenzen mit gebrochenen Ex10 ponenten, es gelten die Regeln der Potenzrechnung Quadratische Gleichung

11 (allgemeine Form) Quadratische

12 Gleichung

(Normalform)

n

1

c = cn

−n

−

c= c

1 n

=

1 1

cn

=

1 = nc

Quadratische Gleichung mit Beispiel)

x2 +

Kontrolle der

52

4 81 =

1

81 4 = 3

a1 a x + 0 = x2 + p x + q = 0 a2 a2

2 p § p· ± ¨ ¸ −q 2 ©2¹ Beispiel:

25 x 2 − 70 x + 13 = 0⎫ ⎪ ⎬ 70 13 2 x − x + = 0⎪ ⎭ 25 25

x1 + x2 = – p 14 Lösungen (Viëta)

n −1 c

a2 x2 + a1 x + a0 = 0 (a2 ≠ 0)

x1,2 = − 13 (Lösungsformel

n

x1 · x2 = q

Die Lösungen x1 und x2 sind a) beide verschieden und reell, wenn der Wurzelwert positiv ist b) beide gleich und reell, 2 70 ⎛ 70 ⎞ 13 wenn der Wurzelwert x1,2 =+ ± ⎜ ⎟ − null ist 50 ⎝ 50 ⎠ 25 c) beide konjugiert komplex, 7 49 13 13 1 wenn der Wurzelwert x1 =+ + − = ;x = 5 25 25 5 2 5 negativ ist.

70 13 und q = also 25 25 13 1 14 70 x1 + x2 = + = = = −p 5 5 5 25 13 1 13 x1 · x2 = ⋅ = =q 5 5 25

Im Beispiel ist p = −

A. Böge, Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, DOI 10.1007/978-3-8348-8116-8_7, © Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

7 Mathematische Hilfen a2 3 4 a r= 3 3 a r= 3 6 A=

15 Dreieck (gleichseitiges)

Viereck (Quadrat)

a2 25 + 10 5 4 a 50 + 10 5 r = 10 a r= 25 + 10 5 10

3 A = a2 3 2 r=a

A= 16 Fünfeck

17 Rhombus

Sechseck

Trapez

Parallelogramm

a+ c h 2 A = mh a+ c m= 2 A=

19 regelmäßiges Sechseck

r=

a 3 2

A = a h = ab sin α U = 2 ( a + b)

d d A = ah = 1 2 2 U = 4a

A=

18

A = a2 a 2 r= 2 a r= 2

d1 =

(a + h cot α ) 2 + h 2

d2 =

(a − h cot α ) 2 + h 2

A = A1 + A2 + A3 c1 h1 + c2 h2 + c2 h3 2

A= Vieleck

3 2 a 3 2

Schlüsselweite: Eckenmaß:

S=a 3 e=2a

A=

gh 2

Dreieck

A = ʌ (ra2 − ri2 )

20 Kreis

π = 3,141592

ϕ° br = ʌ r2 2 360° ϕ r2 = 2 Bogenlänge b: ϕ°ʌ r b =ϕ r = 180°

A=

21 Kreissektor

ʌ 2 (d a − di2 ) 4 = dm ʌ s d − di s= a 2 da + di dm = 2

=

d2 ʌ ʌ= A= 4 U=2rπ=dπ r2

Kreisring

ϕ° ⋅ ʌ

( R2 − r 2 ) = l s 360° mittlere Bogenlänge l: R+ r ʌ ϕ° l= ⋅ 2 180° Ringbreite s: s=R–r A=

53

7 Mathematische Hilfen ⎞ r 2⎛ ϕ ° ʌ ⎜ − sin ϕ ⎟ ⎠ 2 ⎝180° 1 A = [ r (b − s ) + s h ] 2 2 A ≈ sh 3 Sehnenlänge s:

A=

22 Kreisabschnitt

s = 2 r sin

ϕ 2

Kreisradius r :

Bogenhöhe b:

2

§ s · + h2 ¨ ¸ r = © 2¹ 2h Bogenhöhe h: ⎛ ϕ⎞ h = r ⎜1 − cos ⎟ ⎝ 2⎠ s ϕ h = tan 2 4

b=

b=

s2 +

ϕ°ʌ r 180°

16 2 h 3 = ϕr

Der ebene Winkel α (kurz: Winkel α , im Gegensatz zum Begriff des Raumwinkel) zwischen den beiden Strahlen g1, g2 ist die 23 ebenen Winkels Länge des Kreisbogens b auf dem Einheitskreis, der im Gegenuhrzeigersinn von Punkt P1 zum Punkt P2 führt. Bogenmaß des ebenen Winkels kohärente Ein25 heit des ebenen Winkels 24

26

Vollwinkel und rechter Winkel

Die Länge des Bogens b auf dem Einheitskreis ist das Bogenmaß des Winkels. Die kohärente Einheit (SI-Einheit) des ebenen Winkels ist der Radiant (rad). Der Radiant ist der ebene Winkel, für den das Verhält- 1 rad = b = 1 r nis der Länge des Kreisbogens b zu seinem Radius r gleich eins ist. Für den Vollwinkel α beträgt der Kreisbogen b = 2 π r. Es ist demnach: b 2π r rad = 2 π rad α= = Vollwinkel = 2 π rad r r Ebenso ist für den rechten Winkel (1Ŋ): b 2ʌ r ʌ ʌ α = 1Ŋ = = rechter Winkel 1Ŋ = rad rad = rad 2 r 4r 2 Ein Grad (1°) ist der 360ste Teil des Vollwinkels (360°). Folglich gilt: b 2ʌ r 2ʌ ʌ rad = rad = rad 1° = = r 360 r 360 180

27

ʌ 1° ⋅ 180 180° rad ≈ 0,0175 rad oder durch Umstellen: 1 rad = = ≈ 57,3° Umrechnung von 1° = 180 ʌ ʌ Winkeleinheiten ʌ ʌ Beispiel: a) α = 90° = 90° rad = rad 180° 2 180° b) α = π rad = π = 180° ʌ

Sinus = Kosinus = 28

Tangens = Kotangens = Sekans = Kosekans =

54

Gegenkathete Hypotenuse Ankathete Hypotenuse Gegenkathete Ankathete Ankathete Gegenkathete Hypotenuse Ankathete Hypotenuse Gegenkathete

a½ c °° von ¾ b −1... + 1 cos α = OB = ° c °¿ a½ tan α = AD = ° b ° von ¾ b −∞ ... + ∞ cot α = EF = ° a °¿ c ½ von secα = OD = ° b ° −∞ ... + ∞ ¾ und c cosec α = OF = ° d °¿ +1... + ∞ sin α = BC =

Beachte: Winkel werden vom festen Radius OA aus linksdrehend gemessen.

7 Mathematische Hilfen Trigonometrische Funktionen: y = cos x 29 y = sin x y = tan x y = cot x

30

Vorzeichen der Funktion (richtet sich nach dem Quadranten, in dem der bewegliche Radius liegt)

Quadrant I II III IV Funktion sin β cos β tan β cot β

Funktionen für 31 Winkel zwischen 90° … 360°

Größe des Winkels von 0° bis 90° von 90° bis 180° von 180° bis 270° von 270° bis 360°

β = 90° ± α + cos α ӏ sin α ӏ cot α ӏ tan α

sin + + – –

cos + – – +

tan + – + –

β = 180° ± α ӏ sin α – cos α ± tan α ± cot α

cot + – + –

β = 210° ± α – cos α ± sin α ӏ cot α ӏ tan α

sec + – – +

cosec + + – –

β = 360° – α – sin α + cos α – tan α – cot α

Beispiel 1): sin 205° = sin (180 + 25°) = – (sin 25°) = – 0,4226

Sinussatz 32 Kosinussatz (bei stumpfem Winkel α wird cos α negativ)

a b

=

sin α b sin β c sin γ ; = ; = sin β c sin γ a sin α

a2 = b2 + c2 – 2 b c cos α ; … a2 = (b + c)2 – 4 b c cos2 (α/2) ; … a2 = (b – c)2 + 4 b c sin2 (α/2) ; …

Die Punkte weisen darauf hin, dass sich durch zyklisches Vertauschen von a, b, c und α, β, γ, zwei weitere Gleichungen ergeben.

Funktionen für negative Winkel werden auf solche für positive Winkel zurückgeführt: sin (– α) = – sin α cos (– α) = cos α 33 tan (– α) = – tan α cot (– α) = – cot α Beispiel 1) : sin (– 205°) = –sin 205°

Funktionen für Winkel über 360° werden auf solche von Winkeln zwischen 0° … 360° zurückgeführt (bzw. zwischen 0° … 180° ); „n“ ist ganzzahlig: sin (360° · n + α) = sin α 34 Beispiel 1): cos (360° · n + α) = cos α sin (– 660°) = – sin 660° = – sin (360° · 1 + 300°) = tan (180° · n + α) = tan α cot (180° · n + α) = cot α = – sin 300° = – sin (270° + 30°) = + cos 30° = 0,8660 sin α 1 cosα 2 2 sin α + cos α = 1 tan α = cot α = = 35 Grundformeln cos α tan α sin α sin α Umrechnung zwischen Funktionen desselben Winkels 36 (die Wurzel erhält das Vorzeichen des Quadranten, in dem der Winkel α liegt)

sin α =

sin α

1 − cos 2 α

cos α =

1 − sin 2 α

cos a

sin α

1 − cos 2 α cosα

tan α = cot α =

1)

cos α

1 − sin 2 α 1 − sin 2 α sin α

cosα 1 − cos 2 α

tan α

cot α

tan α

1

1

1 + cot 2 α cot α

1 + tan 2 α

1 + cot 2 α

tan α

1 cot α

1 tan α

cot α

1+

tan 2 α

Der Rechner liefert die Funktionswerte direkt, z.B. ist sin (– 660°) = 0,866 025 403 8

55

7 Mathematische Hilfen

37

AdditionsTheoreme

sin (α +β ) = sin α · cos β + cos α · sin β ; sin (α – β ) = sin α · cos β – cos α · sin β ; tan α + tan β tan (α + β ) = 1 − tan α ⋅ tan β tan (α – β ) =

tan α − tan β 1 + tan α ⋅ tan β

α− β cos 2 2 α+ β α− β sin α − sin β = 2sin sin 2 2 sin ( α + β ) tan α + tan β = cos α cos β sin( α − β ) tan α − tan β = cos α cos β sin (α + β ) + sin ( α − β ) = 2 sin α cos β sin α + sin β = 2sin

38

Summenformeln

α+ β

sin (α + β ) − sin (α − β ) = 2 cos α sin β

cos α + sin α = 2 sin(45°+ α )

cos (α +β ) = cos α · cos β – sin α · sin β cos (α – β ) = cos α · cos β + sin α · sin β cot α ⋅ cot β − 1 cot (α + β ) = cot α + cot β cot (α – β ) =

cot α ⋅ cot β + 1 cot β − cot α

α− β cos 2 2 α+ β α− β cos α − cos β =−2sin sin 2 2 sin ( β + α ) cot α + cot β = sin α sin β sin ( α − β ) cot α − cot β = sin α sin β cos ( α + β ) + cos ( α − β ) = 2 cos α cos β cos α + cos β = 2cos

α+ β

cos ( α + β ) − cos ( α − β ) = 2 sin α sin β

cos α − sin α = 2 cos (45°+ α )

= 2 cos(45°− α ) 1+ tan α = tan (45°+ α ) 1− tan α

= 2 sin (45°− α) cot α +1 = cot (45°− α ) cot α −1

Sachwortverzeichnis 3-Kräfte-Verfahren 2 4-Kräfte-Verfahren 3

Ausflusszeit 27 Auslenkung 21, 23

A Abminderungsfaktor 30, 32 Abscherbeanspruchung 28 Abtriebsmoment 19 Additions-Theoreme 56 Amplitude 21 Antriebsmoment 19 Anzugsmoment 10 Arbeit 17, 50 –, mechanische 17 Arbeitsplan zum Tragsicherheitsnachweis 31 arithmetisches Mittel 52 Auftriebskraft 25 Ausbreitungsgeschwindigkeit 23 Ausfluss 27 – aus Gefäßen 27 Ausflussgeschwindigkeit 27 Ausflusszahl 27

B Backenbremszaum 11 Bandbremszaum 11 Basiseinheiten 49 f. Baustahl 39 Bernoulli’sche Druckgleichung 26 Beschleunigung 13, 16 Beschleunigungsarbeit 19 f. Bewegung, gleichmäßig beschleunigte geradlinige 13 – – verzögerte geradlinige 13 Bezugspunkt 2 Bezugsschlankheitsgrad 31 Biegebeanspruchung 29 –, Träger gleicher 38 Biegemoment 29, 34, 50 Biegeträger 34 Biegung 35 – und Torsion 33

56

– und Zug 33 Binomische Formel 52 Boden, gewölbter 24 Bodenkraft 25 Bogen 6, 54 Bogenhöhe 6, 54 Bogenlänge 53 Bogenmaß 49 – des ebenen Winkels 54 Bolzenverbindung 28 Brechungsgesetz 23 Brechungswinkel 23 Bremsband 11 Bremsen 11 Bremsmoment 11 Bremsscheibe 11 C Celsius-Temperatur 51 Cremonaplan 4 Culmann’sche Gerade 4 Culmann’sches Schnittverfahren 4

A. Böge, Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, DOI 10.1007/978-3-8348-8116-8, © Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

D Dauerbruchsicherheit im Maschinenbau 33 Dauerfestigkeitswert 33, 39 Dehnung 28 Dichte 17 – der Flüssigkeit 25 Division 52 Doppler-Effekt 23 Drehimpuls 51 Drehmoment 50 Drehwinkel 14, 16 Dreieck 53 Dreiecksschwerpunkt 5 Dreiecksumfang 6 Druck 24, 50 –, hydrostatischer 24 Druckbeanspruchung 28 Druckmittelpunkt 25 Druckstab 30 Durchbiegung 34, 38 Durchmesser, erforderlicher 29 Dynamisches Grundgesetz für Rotation 18 Dynamisches Grundgesetz für Translation 17 E Eckenmaß 53 Einbahnverkehr 1 Einfallswinkel 23 Eingriffslinie 15 Eingriffswinkel 15 Einheit, abgeleitete 49 Einheitenzeichen 50 Einheitskreis 54 Einsatzstahl 39 elastischer Stoß 19 Elastizitätsmodul 39 Endgeschwindigkeit 13 Energie 50 – bei Rotation 20 Energieerhaltungssatz 19, 26 Erreger 23 Euler’sche Knickung 30 Eulerbedingung 30 Exponent 52 F Fachwerk 4 Fahrwiderstand 12 Fahrwiderstandszahl 12 Fallhöhe 15 Faserschicht, neutrale 29 Federarbeit 17, 19 Federkraft 17 Federrate 17, 21, 22 Federweg 17 Feinkornbaustahl 39 feste Rolle 12

Festigkeitsrechnung, bevorzugte Maße 49 Festigkeitswerte für verschiedene Graugusssorten 39 – – – Stahlsorten 39 – – Walzstahl 39 Flächenmoment 29, 35 – 2. Grades 42 –, polarer 37 Flächenpressung 28, 50 Flächenpressung im Gewinde 28, 47 Flächenschwerpunkt 5 Flankendurchmesser 10, 28, 47, 48 Flankenwinkel des Gewindes 10 Fluidmechanik, Hydraulik 24 Flüssigkeitssäule 21 Flüssigkeitsvolumen 25 freier Fall 13 Frequenz 21 Führungslänge 9 Fünfeck 53 Fußkreisdurchmesser 15 G Ganzzahl 48 geometrisches Mittel 52 Gesamtwirkungsgrad 17 Geschwindigkeitshöhe 27 gesetzliche Einheiten, Umrechnungsbeziehungen 50 Gewichtskraft 17 Gewindedurchmesser 48 Gewinde-Nenndurchmesser 47 Gewindereibungsmoment 10 Gewindesteigung 28 Gewindetiefe 47 Gleichgewichtsbedingung 3 Gleichgewichtskraft 1 Gleichung, quadratische 52 Gleitreibungszahl 7 Grenzschlankheitsgrad 30 griechisches Alphabet 51 Größe, translatorische und rotatorische 20 Größenbeiwert 33, 40 Grundfrequenz 23 Grundkreisdurchmesser 15 Guldin’sche Regel 6 H Haftreibungskraft 7 Haftreibungswinkel 7 Haftreibungszahl 7 Halbkreisfläche 6 harmonische Schwingung 21 harmonische Welle 23 Hebebock, hydraulischer 24 Höhenenergie 19 Hooke’sches Gesetz 28 Hubarbeit 17

I Impuls 17, 51 Impulserhaltungssatz 26 Impulserhaltungssatz für Drehung 18 Impulskraft 26 I-Träger 44 IPE-Reihe 45 J Joule 50 K Keilreibungszahl 9 Keilwinkel 9 Kelvin 51 Kerbwirkung 33 Kerbwirkungszahl 33, 40 Kerndurchmesser 47, 48 Kernquerschnitt 48 Kessellängsnaht 24 Kilopond 50 kinetische Energie 19 –, Bewegungsenergie 19 Knickbeanspruchung 30 Knickkraft, Euler 30 Knicklänge 30, 31 Knicklängenbeiwert 31 Knickspannung 30 Knickspannungslinie 31, 32 Knickstab 31 Knickung 35 – im Stahlbau 30 Knoten 4 Kolbendurchmesser 24 Kolbenfläche 24 Kolbengeschwindigkeit 16 Kolbenkraft 24 Kolbenweg 16, 24 kommunizierende Röhren 25 Komponente 1 Kopfkreisdurchmesser 15 Körper, schwimmender 25 Körperinhalt (Volumen) 6 Kosekans 54 Kosinus 54 Kotangens 54 Kraft 50 Krafteck 3 Kräfteplan 1 ff. Kräftesystem, zentrales 1 Kräftezug 2 Kraftweg 12 Kreis 53 Kreisabschnitt 54 – -Schwerpunkt 6 Kreisausschnitt-Schwerpunkt 6 Kreisbewegung, gleichförmige 14 –, gleichmäßig beschleunigte 14 –, gleichmäßig verzögerte 14

57

Kreisbogen 6 Kreisfrequenz 21 Kreisradius 54 Kreisring 53 Kreisringstück-Schwerpunkt 6 Kreissektor 53 Kreuzschubkurbelgetriebe, Kreuzschleife 16 Kulissenstein 16 Kurbelradius 16 Kurzzeichen 50 L Lageplan 1, 2, 3, 4 Lagerkraft 2 Lagerreibkraft 10 Lageskizze 1, 2, 4 Längenausdehnungskoeffizient 51 Lastkolben 24 Lastweg 12 Leistung 50 Linienschwerpunkt 6 Linienzug 5 Lochleibungsdruck 28, 41, 50 Lose Rolle 12 Lückenweite 15 M Mantelfläche, (Oberfläche) 6 Massenmoment 18 Massenstrom 25 Mechanische Arbeit 17 – –, Leistung und Wirkungsgrad bei Rotation 19 Metrisches ISO-Gewinde 47 Metrisches ISO-Trapezgewinde 48 Modul 15 Momentanbeschleunigung 21 Momentangeschwindigkeit 21 Momentengleichgewichtsbedingung 3 Momentensatz 2, 5 Mutterauflage 10 Mutterhöhe 28 N Neigungswinkel 1 Newton 50 Newtonmeter 50 Niete 41, 46 Nietlochdurchmesser 46 Nitrierstahl 39 Normalkraft 9 – für verschiedene Walzprofile 32 Normfallbeschleunigung 17 Normgewichtskraft 17 Nutzarbeit 17 O Oberfläche für Winkelstahl 42

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Oberflächenbeiwert 33, 40 Oszillator 23 P parallele Kraft 3 Parallelogramm 53 Parallelogrammschwerpunkt 5 Parallelverschiebung 1 Passschrauben 41 Pendelart 22 Pendelgleichung 22 Pendellänge 21 Periodendauer 21, 22 Phasenwinkel 21 Polpunkt 2 Polstrahl 2, 3 Polygon 52 Potenzen mit gebrochenen Exponenten 52 potenzielle Energie, Höhenenergie 19 Presse, hydraulische 24 Presskraft 24 Prismenführung 9 –, symmetrische 9 Profilfläche 6 Profilschwerpunkt 42 Profilumfang 42 Q Quadrantenlage 1 quadratische Gleichung 52 Querschnitt, erforderlicher 28 Querschnittswahl 32 Quotient 52 R Radiant 54 rechter Winkel 54 Regelgewinde 47 Reibradius 10 Reibung, allgemein 7 – am Spurzapfen 10 – am Tragzapfen 10 – an der Schraube 10 – auf der schiefen Ebene 7 Reibungsarbeit 17 Reibungskraft 7, 9 Reibungsleistung 10 Reibungsmoment 10 Reibungswinkel 7 – im Gewinde 10 Reibungszahl 7, 49 Reißlänge 28 Resultierende 2 Rhombus 53 Richtgröße 21, 22 Richtungssinn 2 Richtungswinkel 1 Ringbreite 53

Ringvolumen 6 Ritter’sches Schnittverfahren 4 Rohnietdurchmesser 46 Rohrlängsnaht 24 Rollbedingung 12 Rollenzug, Flaschenzug 12 Rollkraft 12 Rollreibung 12 Rotationsarbeit 19 Rotationsenergie 20 Rotationsleistung 19 Rückstellkraft 21, 22 Rückstellmoment 21, 22 S Scheitelhöhe 15 Schenkelbreite 42 Schenkeldicke 42 Schieber 16 Schieberweg, Auslenkung 16 Schlankheitsgrad 30, 31 Schlüsselweite 53 Schlusslinie 3 Schlusslinienverfahren 3 Schnittgeschwindigkeit 15 schräger Wurf 15 Schraube 41, 45 Schrauben für Stahl- und Kesselbau 46 Schraubenfeder 21 Schraubenfederpendel 22 Schraubenlängskraft 10 Schubkurbelgetriebe 16 Schubmodul 28, 29, 39 Schubstangenlänge 16 Schubstangenverhältnis 16 Schwebungsfrequenz 21 Schwerependel 21, 22 Schwerpunktsabstand 5 Schwerpunktsbestimmung 5 Sechseck 53 –, regelmäßiges 53 Sechstelkreisfläche 6 Sehnenlänge 54 Seileck 3 Seileckverfahren 2, 5 Seilreibung 10 Seilreibungskraft 10 Seilstrahl 2, 3 Seilzugkraft 10 Seitenkraft 25 Sekans 54 Selbsthemmung des Schraubgetriebes 10 Selbsthemmungsbedingung 11 senkrechter Wurf 13 Sicherheit gegen Knicken 30 Sinus 54 Spannung, vorhandene 28 Spannungsenergie 19

Spannungsquerschnitt 47 Spannungsverteilung 29 Spurzapfenreibungszahl 10 Stabkraft 4 Stahlbau 30 Stahlbauteile, zulässige Spannungen 41 Stahlbezeichnung 40 Steigung 47, 48 Steigungswinkel 47, 48 Steigzeit 15 Stoß 19 Streckgrenze 32, 39 Strömung, horizontale 26 Stütze 30 Stützkraft 34 Stützkraftberechnung, programmierte 9 Summenformel 56 Systemlänge 31 T T-Träger 44 Tangens 54 Tangentialbeschleunigung 14 Tangentialkraft 19 Tangentialverzögerung 14 Teilkreisdurchmesser 15 Teilschwerachse 29 Teilung 15 Temperatur 51 Temperaturintervall 51 Tetmajergleichung 30 Torsionsfeder 21 Torsionsmoment 29, 50 Torsionspendel 22 Träger gleicher Biegebeanspruchung 38 Trägheitsmoment 18, 21, 22, 51 Trägheitsradius 31, 35, 42 Tragsicherheit 30 –, Arbeitsplan 31 – Hauptgleichung 30 – Nachweis 30, 32 Tragtiefe 28, 48 Tragzapfenreibungszahl 10 Translation 19 –, Leistung 17

Trapez 53 Trapezschwerpunkt 5 Triebkolben 24 trigonometrische Funktion 55 U Überdruck 27 Überlagerung 21 – stehender Wellen 23 Übersetzung 15 Umfangskraft 10 – am Gewinde 10 Umrechnung zwischen Funktionen 55 Umschlingungswinkel 49 U-Stahl 46 V Verdrängungsschwerpunkt 25 Verdrehbeanspruchung, Torsion 29 Verdrehwinkel 29 Vergleichsmoment 33 Vergleichsspannung 33 Vergütungsstahl 39 Verlängerung 28 Verschiebekraft 9 Verschiebesatz 18 – von Steiner 29 Verzögerung 13 Vieleck 53 Viereck 53 Viertelkreisfläche 6 Vollwinkel 54 Volumenstrom 27 Vorsatz 50 Vorsatzzeichen 49 Vorspannkraft 10 W waagerechter Wurf 15 Wärme 51 Wärmemenge 51 Wärmespannung 28 Wassersäule 50 Wegabschnitt 13 Welle, Auslöschung 23 –, Schwächung 23 –, Verstärkung 23

Wellendurchmesser 33 Werte für e μα 49 Widerstandsmoment 29, 35, 42 – für Torsion 37 –, erforderliches 29 –, polares 47, 48 Winkel 54 –, ebener 54 –, negativer 55 –, rechter 54 Winkelbeschleunigung 14, 18 Winkeleinheit 54 Winkelstahl 42 –, gleichschenkliger 42 –, Oberfläche 42 –, ungleichschenkliger 43 Winkelverzögerung 14 Wirkabstand 2 Wirklinie 1 Wirkungsgrad 17, 19, 24 – der losen Rolle 12 – des Rollenzugs 12 –, Schraubgetriebe 10 Wurf, schräger 15 Wurfbahn 15 Wurfweite 15 Wurfzeit 15 Wurzel-Definition 52 Z Zahndicke 15 Zahnfußhöhe 15 Zahnkopfhöhe 15 Zapfenreibungszahl 10 Zehnerpotenz 52 Zeitabschnitt 13 Zentrales Kräftesystem 1 Zentripetalbeschleunigung 20 Zentripetalkraft 20 Zugbeanspruchung 28 Zugfestigkeit 39 zulässige Spannungen für Stahlbauteile 41 – – – Verbindungsmittel 41 – – im Kranbau 41 – – im Stahlhochbau 41

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