Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, 20.Auflage GERMAN

Alfred Böge

Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik 20., überarbeitete Auflage unter Mitarbeit von Walter Schlemmer, Gert Böge und Wolfgang Böge

Viewegs Fachbücher der Technik

Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

1. Auflage 1960 2., verbesserte und erweiterte Auflage 1963 3., überarbeitete Auflage 1966 4., überarbeitete Auflage 1968 5., überarbeitete Auflage 1970, 2 Nachdrucke 6., vollständig neu bearbeitete und erweiterte Auflage 1974, 1 Nachdruck 7., durchgesehene Auflage 1976 8., überarbeitete Auflage 1979 9., überarbeitete und ergänzte Auflage 1980 10., überarbeitete Auflage 1981, 2 Nachdrucke 11., überarbeitete Auflage 1983 12., überarbeitete Auflage 1984, 1 Nachdruck 13., verbesserte Auflage 1986, 3 Nachdrucke 14., überarbeitete Auflage 1991 15., erweiterte Auflage 1992 16., überarbeitete Auflage 1995 17., überarbeitete Auflage 1999 18., überarbeitete und erweiterte Auflage November 2000 19., überarbeitete und erweiterte Auflage November 2002, 1 Nachdruck 20., überarbeitete Auflage Juni 2006

Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden, 2006 Lektorat: Thomas Zipsner / Imke Zander Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Technische Redaktion: Hartmut Kühn von Burgsdorff, Wiesbaden Satz: Zerosoft, Temeswar Druck und buchbinderische Verarbeitung: Tesinská Tiskárna, Tschechien Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in the Czech Republic ISBN-10 3-8348-0130-5 ISBN-13 978-3-8348-0130-2

Vorwort zur 20. Auflage Die Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik (Formelsammlung) sind Teil des seit vielen Jahren an den Fachschulen Technik eingeführten Lehr- und Lernsystems Technische Mechanik mit dem Lehrbuch (27. Auflage), der Aufgabensammlung (18. Auflage) und dem Lösungsbuch (13. Auflage). Die Formelsammlung liefert die physikalischen, mathematischen und technischen Daten (Gleichungen, Tabellen, Diagramme) zum Lösen der Aufgaben aus der Aufgabensammlung und der beruflichen Arbeit. Die vorliegende 20. Auflage enthält neue Tabellen zur Berechnung mechanischer Schwingungen und Wellen und einen Arbeitsplan zur Berechnung von Knickstäben im Stahlbau (DIN 18 800). In allen Tabellen der Festigkeitslehre wurden die Werkstoffbezeichnungen für Stahl und Gusseisen sowie alle Festigkeitswerte und Kerbwirkungszahlen erweitert und auf den neuesten Stand gebracht. Außerdem steht nun am Schluss des Buches eine fünfseitige Tabelle „Mathematische Hilfen“ zur Verfügung, in der die Regeln und Formeln aufgeführt sind, die beim rechnerischen Teil einer Lösung gebraucht werden. Mit der Angabe der E-Mail-Adresse möchten Autor und Verlag die Vorstellungen der Lehrer, Studierenden und anderer Anwender noch intensiver nutzen als bisher: [email protected]

Braunschweig, Juni 2006

Alfred Böge

III

Inhalt

1

Statik 1.1 Zentrales Kräftesystem .......................................................................................... 1 1.2 Momentensatz, rechnerisch und zeichnerisch ....................................................... 2 1.3 3-Kräfte-Verfahren ............................................................................................... 2 1.4 4-Kräfte-Verfahren ............................................................................................... 3 1.5 Schlusslinienverfahren........................................................................................... 3 1.6 Rechnerische Gleichgewichtsbedingungen ........................................................... 3 1.7 Cremonaplan.......................................................................................................... 4 1.8 Culmann’sches Schnittverfahren ........................................................................... 4 1.9 Ritter’sches Schnittverfahren ................................................................................ 4 1.10 Schwerpunktsbestimmung..................................................................................... 5 1.11 Flächenschwerpunkt .............................................................................................. 5 1.12 Linienschwerpunkt ................................................................................................ 6 1.13 Guldinsche Regel................................................................................................... 6 1.14 Reibung, allgemein................................................................................................ 7 1.15 Reibung auf der schiefen Ebene ............................................................................ 7 1.16 Formeln für programmierte Stützkraftberechnung ................................................ 9 1.17 Prismenführung ..................................................................................................... 9 1.18 Reibung an der Schraube..................................................................................... 10 1.19 Seilreibung........................................................................................................... 10 1.20 Reibung am Tragzapfen (Querlager) ................................................................... 10 1.21 Reibung am Spurzapfen (Längslager) ................................................................. 10 1.22 Bremsen ............................................................................................................... 11 1.23 Rollreibung .......................................................................................................... 12 1.24 Fahrwiderstand .................................................................................................... 12 1.25 Feste Rolle ........................................................................................................... 12 1.26 Lose Rolle............................................................................................................ 12 1.27 Rollenzug (Flaschenzug) ..................................................................................... 12

2

Dynamik 2.1 Gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung............................................. 2.2 Gleichmäßig verzögerte geradlinige Bewegung.................................................. 2.3 Gleichförmige Kreisbewegung............................................................................ 2.4 Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung........................................................ 2.5 Gleichmäßig verzögerte Kreisbewegung............................................................. 2.6 Waagerechter Wurf ............................................................................................. 2.7 Schräger Wurf ..................................................................................................... 2.8 Schnittgeschwindigkeit........................................................................................ 2.9 Übersetzung ........................................................................................................ 2.10 Kreuzschubkurbelgetriebe (Kreuzschleife) .........................................................

IV

13 13 14 14 14 15 15 15 15 16

2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28

Schubkurbelgetriebe ........................................................................................... Dynamisches Grundgesetz für Translation ......................................................... Dichte................................................................................................................... Gewichtskraft....................................................................................................... Impuls ................................................................................................................. Mechanische Arbeit und Leistung bei Translation ............................................. Wirkungsgrad ...................................................................................................... Dynamisches Grundgesetz für Rotation .............................................................. Gleichungen für Trägheitsmomente (Massenmomente 2. Grades)...................... Mechanische Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad bei Rotation ......................... Energie bei Translation ....................................................................................... Gerader zentrischer Stoß...................................................................................... Energie bei Rotation ........................................................................................... Zentripetalbeschleunigung und Zentripetalkraft ................................................. Gegenüberstellung der translatorischen und rotatorischen Größen ..................... Harmonische Schwingung .................................................................................. Pendelgleichungen .............................................................................................. Harmonische Welle..............................................................................................

16 17 17 17 17 17 17 18 18 19 19 19 20 20 20 21 22 23

3

Fluidmechanik (Hydraulik) ......................................................................................... 24

4

Festigkeitslehre 4.1 Zug- und Druckbeanspruchung ........................................................................... 4.2 Abscherbeanspruchung........................................................................................ 4.3 Flächenpressung und Lochleibungsdruck............................................................ 4.4 Flächenmoment 2. Grades zusammengesetzter Flächen...................................... 4.5 Verdrehbeanspruchung (Torsion) ....................................................................... 4.6 Biegebeanspruchung............................................................................................ 4.7 Knickbeanspruchung ........................................................................................... 4.8 Knickung im Stahlbau (DIN 18 800) .................................................................. 4.9 Zusammengesetzte Beanspruchung .................................................................... 4.10 Kerbspannung ..................................................................................................... 4.11 Dauerbruchsicherheit im Maschinenbau ............................................................. 4.12 Stützkräfte, Biegemomente und Durchbiegungen bei Biegeträgern von gleich bleibendem Querschnitt ............................................................................ 4.13 Axiale Flächenmomente 2. Grades I, Widerstandsmomente W und Trägheitsradius i für Biegung und Knickung ...................................................... 4.14 Polare Flächenmomente 2. Grades Ip und Widerstandsmomente Wp für Torsion ........................................................................................................... 4.15 Träger gleicher Biegebeanspruchung .................................................................. 4.16 Festigkeitswerte für Walzstahl............................................................................. 4.17 Festigkeitswerte für verschiedene Stahlsorten .................................................... 4.18 Festigkeitswerte für verschiedene Graugusssorten ............................................. 4.19 Richtwerte für die Kerbwirkungszahl Ek ............................................................ 4.20 Oberflächenbeiwert b1 und Größenbeiwert b2 für Kreisquerschnitte .................

27 27 27 28 28 28 29 29 32 32 32 33 34 36 37 38 38 38 39 39 V

4.21 4.22 4.23 4.24 4.25 4.26 4.27 4.28 4.29 4.30

Stahlbezeichnungen ............................................................................................ Zulässige Spannungen im Stahlhochbau ............................................................. Zulässige Spannungen im Kranbau für Stahlbauteile und ihre Verbindungsmittel ............................................................................................... Warmgewalzter gleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl ............................. Warmgewalzter ungleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl ......................... Warmgewalzte schmale I-Träger ........................................................................ Warmgewalzte I-Träger, IPE-Reihe ................................................................... Mechanische Eigenschaften von Schrauben ....................................................... Warmgewalzter rundkantiger U-Stahl ................................................................ Niete und zugehörige Schrauben für Stahl- und Kesselbau ...............................

39 40 40 41 42 43 44 44 45 45

5

Gewindetabellen 5.1 Metrisches ISO-Gewinde .................................................................................... 46 5.2 Metrisches ISO-Trapezgewinde .......................................................................... 47

6

Allgemeine Tabellen 6.1 Werte für ePD in Abhängigkeit vom Umschlingungswinkel D und von der Reibzahl P.............................................................................................. 6.2 Vorsatzzeichen zur Bildung von dezimalen Vielfachen und Teilen ................... 6.3 Bevorzugte Maße in Festigkeitsrechnungen ....................................................... 6.4 Umrechnungsbeziehungen für die gesetzlichen Einheiten .................................. 6.5 Das griechische Alphabet ....................................................................................

7

48 48 48 49 50

Mathematische Hilfen................................................................................................... 51

Sachwortverzeichnis ............................................................................................................... 55

VI

1 Statik 1.1 Zentrales Kräftesystem Wie wird rechnerisch die Resultierende Fr ermittelt?

Lageskizze mit den Komponenten der gegebenen Kräfte zeichnen: mit folgender Tabelle die Komponenten Fx, Fy für jede Kraft berechnen: n Fn Dn Fnx = FncosDn Fny = FnsinDn 1 8 N 30° 6,928 N 4N Für Dn ist stets der Winkel einzusetzen, den die Kraft Fn mit der positiven x-Achse einschließt (Richtungswinkel).

Die Teilresultierenden Frx und Fry ergeben sich durch algebraische Addition: Frx = F1x + F2x + ... Fnx Fry = F1y + F2y + ... Fny Die Resultierende Fr =

Frx2 + Fry2 und deren

Neigungswinkel Er zur x-Achse berechnen: |Fry | Quadrantenlage und Richtungswinkel D r aus den Vorzeichen β r = arctan |Frx | von F und F bestimmen. rx ry

y

F1

α1

F1y = F1 sin α1

Wie werden rechnerisch unbekannte Kräfte ermittelt? Es muss sein: I. 6Fx = 0 II. 6Fy = 0 Vorzeichen beachten!

F1x = F1 cos α1

x

Wie wird zeichnerisch die Resultierende Fr ermittelt?

Wie werden zeichnerisch unbekannte Kräfte ermittelt?

Lageskizze mit den Komponenten aller Kräfte zeichnen, auch der noch unbekannten; für diese zunächst Richtungssinn annehmen; die Komponenten Fnx und Fny der gegebenen Kräfte berechnen: Fnx = Fn cos α n Dn = spitzer Winkel zur x-Achse Vorzeichen ( + ) oder (–) aus der Fny = Fn sin α n Lageskizze; Gleichgewichtsbedingungen mit Hilfe der Lageskizze ansetzen (Vorzeichen beachten!); Gleichungen auflösen (bei negativem Vorzeichen war der angenommene Richtungssinn falsch; Gegensinn!); gefundene Kraftrichtungen in den Lageplan übertragen. Lageplan des frei gemachten Körpers mit den Wirklinien der gegebenen Kräfte zeichen; Kräfteplan der gegebenen Kräfte F1, F2, F3 zeichnen durch Parallelverschiebung der Wirklinien aus dem Lageplan in den Kräfteplan; Kräfte F1, F2 F3 in beliebiger Reihenfolge maßstabgerecht aneinander reihen, sodass sich ein fortlaufender Kräftezug ergibt; Resultierende Fr zeichnen als Verbindungslinie vom Anfangspunkt A der zuerst gezeichneten zum Endpunkt E der zuletzt gezeichneten Kraft. Lageplan des frei gemachten Körpers mit den Wirklinien aller Kräfte zeichnen, auch der noch unbekannten; Kräfteplan der gegebenen Kräfte zeichnen durch Parallelverschiebung der Wirklinien aus dem Lageplan in den Kräfteplan; Krafteck mit den Wirklinien der gesuchten Gleichgewichtskräfte „schließen“ (Einbahnverkehr!); Richtungssinn der gefundenen Kräfte im Kräfteplan ablesen und in den Lageplan übertragen. 1

1 Statik 1.2 Momentensatz, rechnerisch und zeichnerisch Wie wird rechnerisch die Resultierende Fr ermittelt?

Betrag und Richtungssinn der Resultierenden Fr ebenso bestimmen wie beim zentralen Kräftesystem; Lage der Resultierenden berechnen nach dem Momentensatz: Fr l0 = F1l1 + F2l2 + ... Fn ln darin sind die gegebenen Kräfte oder deren F 1, F 2, … , F n Komponenten Fx und F l 1, l 2, … , l n deren Wirkabstände vom gewählten (beliebigen) Bezugspunkt D l0 der Wirkabstand der Resultierenden vom gewählten Bezugspunkt F1l1, F2l2, … , Fnln die Momente der gegebenen Kräfte für den gewählten Bezugspunkt (Vorzeichen beachten!).

l4 l3 l1 = 0

l2

D F3 F1

F4

F2 l0

Lageskizze

Fr = – F1 – F2 + F3 –F4

Fr

Wie wird zeichnerisch die Resultierende Fr ermittelt? (Seileckverfahren) 0

Polstrahl

F2

F1

2 1

0

F1

Seilstrahl

1

P

2

S Fr

F2

Fr

Lageplan Längenmaßstab:

Kräfteplan

m cm (1 cm = ... m) ML = ...

Kräftemaßstab: N MK = ... cm (1 cm = ... N)

Lageplan des frei gemachten Körpers mit den Wirklinien der gegebenen Kräfte zeichnen; Kräfteplan der gegebenen Kräfte F1, F2 zeichnen durch Parallelverschiebung der Wirklinien aus dem Lageplan in den Kräfteplan; Resultierende Fr zeichnen als Verbindungslinie vom Anfangspunkt zum Endpunkt des Kräftezugs; damit liegen Betrag und Richtungssinn von Fr fest; Polpunkt P beliebig wählen und Polstrahlen zeichnen; Seilstrahlen im Lageplan zeichnen durch Parallelverschiebung aus dem Kräfteplan, dabei ist der Anfangspunkt beliebig; Anfangs- und Endseilstrahl zum Schnitt S bringen; Schnittpunkt der Seilzugenden ergibt Lage von Fr im Lageplan, Betrag und Richtungssinn aus dem Kräfteplan.

1.3 3-Kräfte-Verfahren Drei nichtparallele Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn das Krafteck geschlossen ist und die Wirklinien sich in einem Punkt schneiden. A

FB

S F1

F1

W L

vo

n

F

B

FA

FB

2

B

FA

Lageplan

Kräfteplan

Längenmaßstab: m ML = ... cm (1 cm = ... m)

Kräftemaßstab: N MK = ... cm (1 cm = ... N)

Lageplan des frei gemachten Körpers zeichnen und damit Wirklinien der Belastungen und der einwertigen Lagerkraft F1 festlegen; bekannte Wirklinien zum Schnitt S bringen; Schnittpunkt S mit zweiwertigem Lagerpunkt B verbinden, womit alle Wirklinien bekannt sein müssen; Krafteck mit nach Betrag, Lage und Richtungssinn bekannter Kraft F1 beginnen; Krafteck zeichnen (schließen!); Richtungssinn der gefundenen Kräfte in den Lageplan übertragen.

1 Statik 1.4 4-Kräfte-Verfahren Vier nichtparallele Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn die Resultierenden je zweier Kräfte ein geschlossenes Krafteck bilden und eine gemeinsame Wirklinie (die Culmann’sche Gerade) haben. F1

F1 Cu .G lm

F4

Fr3,4

ad er e

F2

F2

Fr1,2 F3

F4

Lageplan

F3

Lageplan des frei gemachten Körpers zeichnen und damit Wirklinien der Belastungen und Lagerkräfte festlegen; Wirklinien je zweier Kräfte zum Schnitt I und II bringen; gefundene Schnittpunkte zur Wirklinie der beiden Resultierenden verbinden (der Culmann’schen Geraden); Kräfteplan mit der nach Betrag, Lage und Richtungssinn bekannten Kraft beginnen; Die Kräfte eines Schnittpunkts im Lageplan ergeben ein Teildreieck im Kräfteplan.

Kräfteplan

Längenmaßstab: m ML = ... cm (1 cm = ... m)

Kräftemaßstab: N MK = ... cm (1 cm = ... N)

1.5 Schlusslinienverfahren ist universell anwendbar, insbesondere für paral- Lageplan des frei gemachten Körpers mit Wirklinien lele Kräfte bzw. solche, die sich nicht auf dem aller Kräfte zeichnen; Zeichenblatt zum Schnitt bringen lassen. Krafteck aus den gegebenen Belastungskräften zeichnen; Seileck und Krafteck müssen sich schließen! Pol P beliebig wählen; F1

F2 FB

FA

Schlus

slinie S

0 2 Lageplan Längenmaßstab: m ML = ... cm (1 cm = ... m)

1

Polstrahlen zeichnen;

FA

FB

0 Teilpunkt T S F1 P 1 F2

2 Kräfteplan Kräftemaßstab: N MK = ... cm (1 cm = ... N)

Seilstrahlen im Lageplan zeichnen, Anfangspunkt bei parallelen Kräften beliebig, sonst Anfangsseilstrahl durch Lagerpunkt des zweiwertigen Lagers legen; Anfangs- und Endseilstrahl mit den Wirklinien der Stützkräfte zum Schnitt bringen; Verbindungslinie der gefundenen Schnittpunkte als „Schlusslinie“ im Seileck zeichnen; Schlusslinie S in den Kräfteplan übertragen, damit Teilpunkt T festlegen; Stützkräfte nach zugehörigen Seilstrahlen in das Krafteck einzeichnen.

1.6 Rechnerische Gleichgewichtsbedingungen Wie werden rechnerisch unbekannte Kräfte ermittelt?

Lageskizze des frei gemachten Körpers zeichnen; rechtwinkliges Achsenkreuz so legen, dass möglichst wenig Kräfte zerlegt werden müssen; Es muss sein: alle Kräfte – auch die noch unbekannten – in ihre 6M (I) 0 I. Σ Fx = 0 Komponenten zerlegen; II. Σ Fy = 0 oder 6M (II) 0 Gleichgewichtsbedingungen ansetzen; Meist enthält Gleichung III nur eine Unbekannte; III. Σ M = 0 6M (III) 0 damit beginnen. Die Momentengleichgewichtsbedingungen kön- Auch der dreimalige Ansatz der Momentengleichgenen für jeden beliebigen Punkt (auch außerhalb wichtsbedingung führt zum Ziel. Aber: Die drei Punkte I, II, III dürfen nicht auf einer Geraden liegen. des Körpers) angesetzt werden! 3

1 Statik 1.7 Cremonaplan (zeichnerische Bestimmung der Stabkräfte) Lageplan des Fachwerks zeichnen; Stützkräfte zeichnerisch oder rechnerisch bestimmen; Krafteck der äußeren Kräfte zeichnen; Kraftecke der Stäbe anbauen, für jeden Knoten eins; mit dem Knoten beginnen, an dem nicht mehr als zwei unbekannte Kräfte und mindestens eine bekannte Kraft angreifen, dabei an jedem Knoten den gewählten Kraftfolgesinn beibehalten; Reihenfolge der Knoten beliebig; nach jeder Krafteckzeichnung sofort Richtungssinn der Stabkräfte durch Pfeile im Lageplan kennzeichnen (in Bezug auf den Knoten!). Im Kräfteplan Stabkräfte durch (+) oder (–) als Zug- oder Druckkräfte kennzeichnen.

1.8 Culmann’sches Schnittverfahren (zeichnerische Bestimmung einzelner Stabkräfte) Lageplan des Fachwerks zeichnen; Stützkräfte bestimmen; Fachwerk durch Schnitt in zwei Teile (A) und (B) zerlegen: Schnitt darf höchstens drei Stäbe treffen (4, 5, 6), die nicht zum selben Knoten gehören; für einen Schnittteil (B) die Resultierende (F ) der äußeren Kräfte (einschließlich der Stützkräfte) bestimmen; Resultierende (F ) mit einer der gesuchten Stabkräfte zum Schnitt (II) bringen; Verbindungslinie zwischen diesem und dem Schnittpunkt (I) der beiden anderen gesuchten Stabkräfte ist die Culmann’sche Gerade l, nach „4-Kräfte-Verfahren“ das Krafteck zeichnen.

1.9 Ritter’sches Schnittverfahren (zeichnerische Bestimmung einzelner Stabkräfte) Lageskizze des Fachwerks zeichnen; Stützkräfte bestimmen; Fachwerk wie bei „Culmann“ zerlegen und die drei unbekannten Stabkräfte als Zugkräfte annehmen; Stäbe, für die die Rechnung negative Beträge ergibt, sind Druckstäbe. Wirkabstände, l1, l2 … berechnen oder aus dem Lageplan abgreifen: Momentengleichgewichtsbedingungen für ein Schnittteil (B) ansetzen (mit den gesuchten drei Stabkräften und den äußeren Kräften am Schnittteil), z.B. um Drehpunkt D für Fachwerkteil B: 6 M(D) = + F lF – S4l4 und daraus S4 4

FlF l4

1 Statik 1.10 Schwerpunktsbestimmung Die Lage des Schwerpunkts einer beliebigen Linie oder Fläche wird rechnerisch mit dem darauf zugeschnittenen Momentensatz (1.2) bestimmt, zeichnerisch mit dem Seileckverfahren (1.2). Dabei fasst man die Einzellinien oder Einzelflächen als parallele Kräfte auf und bestimmt den Wirkabstand der Resultierenden von einer beliebigen Bezugsachse. Das ist dann der gesuchte Schwerpunktsabstand. Momentensatz für zusammengesetzte Flächen (Bohrungen haben entgegengesetzten Drehsinn!)

A x0

A1x1  A2 x2  ...  An xn

A y0

A1 y1  A2 y2  ...  An yn

die bekannten Teilflächen in mm2 oder cm2

A 1, A 2 … n 1 2 3

An

xn yn

An xn

An yn

x 1, x 2 … y 1, y 2 …

½ ¾ ¿

die Gesamtfläche (A1 + A2 + … + An) in mm2 oder cm2

A

die Schwerpunktsabstände der Gesamtfläche von den Bezugsachsen in mm oder cm

6An xn = 6An yn = x0 , y0

A = 6An

Momentensatz für zusammengesetzte Linienzüge

l x0

l1x1  l2 x2  ...  ln xn

l y0

l1 y1  l2 y2  ...  ln yn

die bekannten Teillängen in mm oder cm

l 1, l 2 … n 1 2 3

ln

xn yn

l = 6ln

ln x n

ln y n

6ln xn = 6ln yn =

die bekannten Schwerpunktsabstände der Teilflächen von den Bezugsachsen in mm oder cm

x 1, x 2 … y 1, y 2 …

½ ¾ ¿

die bekannten Schwerpunktsabstände der Teillinien von den Bezugsachsen in mm oder cm

l

die Gesamtfläche (l1 + l2 + … + ln) in mm oder cm

x 0, y 0

die Schwerpunktsabstände der Gesamtfläche von den Bezugsachsen in mm oder cm

1.11 Flächenschwerpunkt a

y0

h 3

b 2

A S

y0

y0

h

S

b

y’0

h

Seitenhalbierende

Dreiecksschwerpunkt

b

a

y0

h

S

Diagonale

B

a 2

Parallelogrammschwerpunkt

y0

h 2

Trapezschwerpunkt

y0

h a  2b ˜ 3 ab

y0'

h 2a  b ˜ 3 ab

5

1 Statik Bogen b

Bogen b Bogenhöhe h

Sehne s

Fläche A

S

S

Sehne s

y0

M

Kreisausschnitt-Schwerpunkt

2 Rs ˜ 3 b

2 Rα º ʌ 180º s = 2 R sin α

y0 = 38,197 ·

α

M

Kreisringstück-Schwerpunkt

b=

α

sR

y0

diu

r

R Mittelpunkt M

y0

α

Ra

α

α R

s diu Ra

α

y0

S

Kreisabschnitt-Schwerpunkt

( R3 − r 3 )sin α (R2 − r 2 ) α º

y0 = 0,4244 R für Halbkreisfläche y0 = 0,6002 R für Viertelkreisfläche y0 = 0,6366 R für Sechstelkreisfläche

y0 =

s3 12 A

A

R(b  2)  sh 2

h = 2 R sin 2 ( α / 2)

1.12 Linienschwerpunkt

Kreisbogen Strecke

x0

Dreiecksumfang

l 2

y0

h ab ˜ 2 abc

Rs b

y0

2 Rα º ʌ 180º s = 2 R sin α

b=

y0 = 0,6366 R für Halbkreisbogen y0 = 0,9003 R für Viertelkreisbogen y0 = 0,9549 R für Sechstelkreisbogen

1.13 Guldin’sche Regel

Ringfläche ∆A

∆l

Drehachse =

Linienschwerpunkt S

Mantelfläche A

6

x0

2 ʌ lx0

l = Länge der erzeugenden Linie (Profillinie)

2 ʌ 6 'lx

für Körperinhalt (Volumen) V Symmetrieachse

x

Beachte: Die Produkte lx0 und Ax0 werden mit dem Momentensatz (Seite 5) berechnet.

x0

S = Flächenschwerpunkt Ringvolumen ∆V

Volumen V

∆A Drehachse =

Symmetrieachse

für Mantelfläche (Oberfläche) A

x

2 ʌ Ax0

A = erzeugende Fläche (Profilfläche)

2 ʌ 6 'Ax

1 Statik 1.14 Reibung, allgemein

Reibkraft

Reibzahl

FR = Normalkraft FN · Reibzahl P FR FN P

maximale FR0 max = Normalkraft FN · Haftreibzahl P Haftreibkraft FR0max FN P0 Reibzahlen P 0 und P (Klammerwerte sind die Gradzahlen für die Winkel r 0 und r )

Beachte: r = arctan µ

Werkstoff Stahl auf Stahl Stahl auf Grauguss oder Bronze Grauguss auf Grauguss Holz auf Holz Holz auf Metall Lederriemen auf Gusseisen Gummiriemen auf Gusseisen Textilriemen auf Gusseisen Bremsbelag auf Stahl Lederdichtungen auf Metall

µ = tan r r Reibwinkel

Haftreibzahl

r 0 Haftreibwinkel

Haftreibzahl P0 trocken gefettet 0,15 (8,5) 0,1 (5,7) 0,19 (10,8) 0,1 (5,7) 0,16 (9,1) 0,5 (26,6) 0,16 (9,1) 0,7 (35) 0,11 (6,3) 0,3 (16,7)

0,6 (31)

µ0 = tan r 0

Gleitreibzahl P0 trocken gefettet 0,01 (8,5) 0,01 (0,6) 0,18 (10,2) 0,01 (0,6) 0,1 (5,7) 0,3 (16,7) 0,08 (4,6) 0,5 (26,6) 0,1 (5,7)

0,4 0,4 0,5 0,2 (11,3) 0,2

(21,8) (21,8) (26,6) (11,3)

0,4 (21,8) 0,12 (6,8)

1.15 Reibung auf der schiefen Ebene 1.15.1 Allgemeine Fälle Verschieben nach oben F

FG

sin D  P cosD cos ( E  D )  P sin ( E  D )

Halten auf der Ebene F = FG

sin α − µ0 cos α cos ( β − α ) − µ0 sin ( β − α )

Verschieben nach unten F = FG

sin α − µ cos α µ sin ( β − α ) − cos ( β − α )

7

1 Statik 1.15.2 Spezielle Fälle

(Beachte: r = arctan P und r 0 = arctan P0)

Kraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene Verschieben nach oben F = FG

F

sin (α + r) cos r

FG (sin D  P0 cos D )

Halten auf der Ebene F = FG

sin ( α − r0 ) cos r0

F = FG (sin α − µ0 cos α ) Verschieben nach unten F = FG

F

sin (r − α ) cos r

FG ( P cosD  sin D )

Kraft F wirkt waagerecht Verschieben nach oben

F = FG tan(α + r) F

FG

sin D  P cos D cosD  P sin D

Halten auf der Ebene

F = FG tan (α − r 0) F

FG

sin D  P 0 cos D cosD  P 0 sin D

Verschieben nach unten

F = FG tan (r − α ) F = FG

8

µ cos α − sin α cos α + µ sin α

1 Statik 1.16 Formeln für programmierte Stützkraftberechnung Koordinatenbedingung

Momentenbedingung der Kräfte Fn

Loslagerkraft FL

xn, xL t xF yn, yL t yF

Mxn = – Fncos αn |(yn – yF)| Myn = + Fnsin αn |(xn – xF)|

(I)

FL =

xn, xL < xF yn, yL t yF

Mxn = – Fncos αn |(yn – yF)| Myn = – Fnsin αn |(xn – xF)|

(II)

FL =

xn, xL < xF yn, yL < yF

Mxn = + Fncos αn |(yn – yF)| Myn = – Fnsin αn |(xn – xF)|

(III)

FL =

xn, xL t xF yn, yL < yF

Mxn = + Fncos αn |(yn – yF)| Myn = + Fnsin αn |(xn – xF)|

(IV)

FL =

− Mg sin α L | ( xL − xF ) | − cos αL | ( yL − yF ) | − Mg − sin αL | ( xL − xF ) | − cos αL | ( yL − yF ) |

− Mg − sin αL | ( xL − xF ) | + cos αL | ( yL − yF ) | − Mg sin αL | ( xL − xF ) | + cos αL | ( yL − yF ) |

Festlagerkaft FF und Richtungswinkel DF

Mg = 6Mxn + 6Myn (resultierendes Moment)

Frx = F1 cos D1 + F2 cos α2 + … Fry = F1 sin D1 + F2 sin α2 + …

(IX)

EF

FFx = – (Frx + FLcos αL) FFy = – (Frx + FLsin αL)

(X)

für FFx t 0 für FFx < 0 für FFx < 0 für FFx t 0

FF

2  F2 FFx Fy

FF

[( Frx  FL cos D L )]2  [( Fry  FL sin D L )]2 (XIb)

(XIa)

arctan

| FFy | | FFx |

(V) (VI)

(VII) (VIII)

(XII)

und FFy t 0: DF = EF und FFy t 0: DF = ° – EF und FFy < 0: DF = ° + EF und FFy < 0: DF = ° – EF

1.17 Prismenführung

F, FV, FN1, FN2, FR P P ' N 1 FV

Normalkräfte

FN1

F

FN2

FN1

Reibkräfte

F

P1 cosD 2  P 2 cosD1 sin(D1  D 2 )

Verschiebekraft

cos D 2 sin(D1  D 2 ) cosD 2 sin D 2

FR1 = FN1 µ1

FR2 = FN2 µ 2

Für die symmetrische Prismenführung ist D1 = D2 = D. Normalerweise sind auch die Reibzahlen gleich groß: P1 = P2 = P. Unter diesen Bedingungen wird: Verschiebekraft (Reibkraft FR)

FV

Keilreibzahl

P'

FR

P sin D

FP'

D ist der halbe Keilwinkel

9

1 Statik 1.18 Reibung an der Schraube Fu = F tan(α ± r' )

Umfangskraft

Gewindereibmoment M RG = F

Fu , F

d2 tan(α ± r' ) 2

⎡d ⎤ M A = F ⎢ 2 tan(α ± r' ) + µa ra ⎥ ⎣ 2 ⎦

Anzugsmoment

Beachte:

( + ) für Anziehen, (–) für Lösen

Wirkungsgrad für Schraubgetriebe

η=

tan α tan(α + r' )

P

r' = arc tan µ ' = arc tan

µ cos( β / 2)

Selbsthemmung des Schraubgetriebes bei K d 0,5

Größen am Gewinde siehe 5.1 und 5.2 d2 Flankendurchmesser D Steigungswinkel des Gewindes P r' Reibwinkel im Gewinde D = arc tan ; P Steigung ʌ d2 (| 9° für Stahl auf Stahl) tan r' = P ' =

MRG , MA d2 , ra , P

N Nmm mm Fu Umfangskraft am Gewinde F Schraubenlängskraft = Vorspannkraft

Pa Reibzahl der Mutterauflage (1.14) ra Reibradius | 0,7 d bei Sechskantmutter d Gewindenenndurchmesser, z.B. bei M10: d = 10 mm

E Flankenwinkel des Gewindes P ' | 0,16 bei metrischem Regelgewinde und Stahl auf Stahl

cos( E / 2)

1.19 Seilreibung (Werte für e PD siehe 6.1) Seilzugkraft F1 = F2 e µα Seilreibkraft FR = F1 − F2 = F2 (e µα − 1) = F1

1.20 Reibung am Tragzapfen (Querlager) PR W=

Nm s

e µα − 1  e µα

1.21 Reibung am Spurzapfen (Längslager) F R MR r N Nm m

ν

Z

P

m/s

rad = 1 s s

1

Tragzapfenreibzahl (kurz: Zapfenreibzahl) und Spurzapfenreibzahl P | 0,002 … 0,01

P

Lagerreibkraft FR Reibmoment

MR

FP

FR r FP r

Reibleistung

10

PR = FR ν PR = M R ω

Reibmoment

MR

F P rm

Reibleistung

PR

MR Z

Wirkungsradius der Reibkraft

rm =

r1+ r 2 2

1 Statik 1.22 Bremsen

F = FN

(l1 ± µ l2 ) l

F = FN

(+) bei Rechtslauf, (–) bei Linkslauf

l1 d P l2

M

Selbsthemmungsbedingung

FR r

Fr

l PD (e  1) l1

Bremsmoment Selbsthemmung nicht möglich

(l1 B µ l2 ) l

(–) bei Rechtslauf, (+) bei Linkslauf

Selbsthemmungsbedingung

l1 d P l2

l1 l gleiche Hebelkraft F für Rechts- und Linkslauf Selbsthemmung nicht möglich F

Wellendrehmoment

M

FG l

Wellenleistung

P

FG l n 9550

M

FR r

Wellenleistung

P

FG l

n

kW N m min–1 Zahlenwertgleichung

l ePD  1 Fr · PD l1 e  1

Bremsmoment Selbsthemmung nicht möglich

Wellendrehmoment

FN

M

M

FR r

ePD  1 l2  l1 ePD

Bremsmoment l2 l1ePD Selbsthemmungsbedingung

( F1  F2 ) r

( F1 − F2 ) r n P F1, F2 9550 kW N Zahlenwertgleichung P=

Fr l

r

n

m

min–1

11

1 Statik 1.23 Rollreibung

1.24 Fahrwiderstand Fahrwiderstand Fw Rollbedingung

FN P f

P0 t Pf

Erfahrungswerte für Fahrwiderstandszahl P f f r

F, FG N

f cm

r cm

f | 0,05 cm für Gusseisen und Stahl auf Stahl f | 0,0005 … 0,001 cm für Wälzlager

Eisenbahn Straßenbahn mit Wälzlagern Straßenbahn mit Gleitlagern Kraftfahrzeug auf Asphalt Drahtseilbahn

1.25 Feste Rolle

1.26 Lose Rolle

Rollkraft

F

FG

Kf

Wn Wa

FG s Fs

FG F

0,0025 0,005 0,018 0,025 0,01

Wirkungsgrad K f der losen Rolle

Wirkungsgrad der festen Rolle Erfahrungswert: Kf | 0,95 s Kraft- und Lastweg

Zugkraft

F

FG 2F

FG 1  Kf

1.27 Rollenzug (Flaschenzug) s2 Lastweg n Anzahl der tragenden Seilstränge

Kraftweg

s1

n s2

Zugkraft

F

FG

Wirkungsgrad des Rollenzugs

K

K (1  K n ) n (1  K )

Wirkungsgrad K | 0,96 für Seile

1K K (1  K n )

Werte für den Wirkungsgrad Kr des Rollenzugs in Abhängigkeit von der Anzahl n der tragenden Seilstränge (K = 0,96) n

Kr n

Kr [

12

1 0,960

2 0,941

3 0,922

4 0,904

5 0,886

6 0,869

7 0,852

8 0,836

9 0,820

10 0,804

2 Dynamik 2.1 Gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung Beachte: Erfolgt die Bewegung aus der Ruhelage heraus, dann ist in den Gleichungen die Anfangsgeschwindigkeit Q0 = 0 zu setzen. Die Fläche unter der Q -Linie ist dann ein Dreieck. Die Gleichungen gelten mit a = g = 9,81 m/s2 (Fallbeschleunigung) auch für den freien Fall.

ǻt

=

νt2 − ν02

v

2 ǻs

inie

v-L

νt = ν0 + ǻν = ν0 + a ǻt

∆s =

v0

Endgeschwindigkeit

νt = ν02 + 2a ǻs

v0 + vt ∆t 2

0

ǻs =

Wegabschnitt ǻs =

Zeitabschnitt

ν0 + νt 2

ǻt = ν0ǻt +

a(ǻt ) 2 2

∆t

t

v

νt2 − ν02 2a

e

ni

Li

v-

⎛ ν ⎞2 2ǻs ν − ν0 ν ǻt = t =− 0 ± ⎜ 0 ⎟ + ⎝a⎠ a a a

vt

νt − ν0

vt

a=

∆v

Beschleunigung

vt ∆t 2

∆s = 0

t

∆t

2.2 Gleichmäßig verzögerte geradlinige Bewegung

Beachte: Wird die Bewegung bis zur Ruhelage verzögert, dann ist in den Gleichungen die Endgeschwindigkeit Qt = 0 zu setzen. Die Fläche unter der Q -Linie ist dann ein Dreieck. Die Gleichungen gelten mit a = g = 9,81 m/s2 (Fallbeschleunigung) auch für den senkrechten Wurf nach oben. ǻt

=

ν02 − νt2

v

2 ǻs

v-L

νt = ν0 − ǻν = ν0 − a ǻt νt =

∆s =

ν02 − 2a ǻs a(ǻt ) 2 2

v

e ni ∆s =

Zeitabschnitt

ǻt =

ν0 − νt a

2

⎛ ν ⎞ 2ǻs = ± ⎜ 0⎟ − ⎝a⎠ a a

ν0

t

Li v-

2 2 ν − νt2 ǻs = 0 2a

ǻt = ν0ǻt −

v0

Wegabschnitt

ν0 + νt

v0 + vt ∆t 2 ∆t

0

ǻs =

inie

∆v

νt − ν0

vt

Endgeschwindigkeit

a=

v0

Verzögerung

0

v0 ∆t 2

∆t

t

13

2 Dynamik 2.3 Gleichförmige Kreisbewegung

Z Winkelgeschwindigkeit, n Drehzahl, 'M Drehwinkel, Qu Umfangsgeschwindigkeit, r Radius, z Anzahl der Umdrehungen, 't Zeitabschnitt ǻϕ 2 ʌ z = ǻt ǻt ω = 2ʌn

ω=

Grundgleichung der gleichförmigen Drehbewegung

Z rad s

νu = 2 ʌ r n = ω r

'M 1 s

rad

z

't

n

Qu

s

1 s

m s

1

ʌn 30

Z

Z

n

1 s

1 min

Zahlenwertgleichung

1 rad | 57,3o ; 1o | 0,0175 rad

2.4 Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung

Beachte: Erfolgt die Bewegung aus der Ruhelage heraus, dann ist in den Gleichungen die Anfangswinkelgeschwindigkeit Z 0 = 0 zu setzen. Die Fläche unter der Z 0-Linie ist dann ein Dreieck. ǻt

aT = α r =

=

ω 2t− ω 02 2 ǻϕ

v

v-

∆v

ω t− ω 0

ǻω ǻν r= u ǻt ǻt

∆ϕ =

ω t = ω 0 + ǻω = ω 0 + α ǻt Endwinkelgeschwindigkeit

ωt =

ω 02+ 2 α

Lin

ie

v0 + v t ∆t 2

vt

Tangentialbeschleunigung

α=

v0

Winkelbeschleunigung

∆t

0

t

ǻϕ v

ǻϕ =

ω0 +ωt 2

ǻt = ω 0ǻt +

α (ǻt )2 2

=

ω 2t − ω 20

v

2α

ǻt =

⎛ ω ⎞ 2 ǻϕ ω t− ω 0 ω =− 0 ± ⎜ 0 ⎟ + ⎝ α ⎠ α α α

in

0

ie

vt ∆t 2

∆ϕ =

2

Zeitabschnitt

-L

vt

Drehwinkel

∆t

t

2.5 Gleichmäßig verzögerte Kreisbewegung

Beachte: Wird die Bewegung bis zur Ruhelage verzögert, dann ist in den Gleichungen die Endwinkelgeschwindigkeit Z t = 0 zu setzen. Die Fläche unter der Z -Linie ist dann ein Dreieck.

ω 02 − ω 2t 2 ǻϕ

∆ϕ =

ω t = ω 0 − ǻω = ω 0 − α ǻt

t

v

α (ǻt ) 2 2

ω 2 − ω 2t = 0 2α

ie

⎛ ω ⎞2 2 ǻϕ ω0 −ω t ω0 = ± ⎜ 0⎟ − ⎝ α ⎠ α α α

in

ǻt =

ǻt = ω 0ǻt −

v0 + v t ∆t 2

-L

Zeitabschnitt

2

ie

v

ǻϕ =

ω0 +ω t

Lin

∆t

0

ω t = ω 02 + 2 α ǻϕ

Drehwinkel

14

v-

v0

Endwinkelgeschwindigkeit

v ∆v

Tangentialverzögerung

ǻω ǻν aT = α r = r= u ǻt ǻt

ǻt

=

vt

α=

v0

ω 0− ω t

Winkelverzögerung

∆ϕ =

0

v0 ∆t 2

∆t

t

2 Dynamik 2.6 Waagerechter Wurf

h=

g 2 sx = k sx2 2 νx2

sx = ν x h=

2h g

g 2 sx 2 νx2

2.7 Schräger Wurf

h = sx tan α − Gleichung der Wurfbahn

ν12 sin 2α

T=

g

größte Wurfweite

Fallhöhe

= k1sx − k2 sx2

Gleichung der Wurfbahn smax =

Wurfweite

g sx2 2 2ν1 cos 2 α

hmax =

2 ν1 sin α g

Wurfzeit

ν12 sin 2 α

ǻts =

2g

Scheitelhöhe

ν1 sin α g

Steigzeit

2.8 Schnittgeschwindigkeit

ν=

ʌd n 1000

Q m min

d

n

mm

U min

min 1

ν=

ʌd n 60 000

Q m s

d mm

n U min

min 1

Schnittgeschwindigkeit für Schleifscheiben

Schnittgeschwindigkeit an Drehmaschinen, Fräsmaschinen usw. 2.9 Übersetzung

d db da df p m

Teilkreis-‡ = mz Grundkreis-‡ = d cos Dn Kopfkreis-‡ = d + 2 m Fußkreis-‡ = d – 2,5 m Teilung = s + w = S m Modul = p/S (genormt nach DIN 780 von 0,3 … 75 mm) α Herstell-Eingriffswinkel (20°) s Zahndicke = p/2 w Lückenweite = p/2 ha Zahnkopfhöhe = 1 m hf Zahnfußhöhe = 1,25 m EL Eingriffslinie i=

n1 ω 1 d 2 z = = = 2 n2 ω2 d1 z1

iges

nan nab

i1 i2 i3 ... in

n

Anzahl Umdrehungen z Zeitabschnitt ǻt

15

2 Dynamik 2.10 Kreuzschubkurbelgetriebe (Kreuzschleife)

M

Z

't

s, r Q, Qu, Qmax a, amax

rad

1 s

s

m

m s2

m s

Drehwinkel M im Zeitabschnitt 't

ϕ = ω ǻt

Schieberweg s (Auslenkung)

s

Geschwindigkeit Q (Hin- und Rückweg)

ν = νu sin ϕ = r ω sin ϕ

r (1  cos M )

νmax = νu = r ω νu2

in Mittelstellung

a=

Beschleunigung a (Hin- und Rückweg)

amax =

r

cos ϕ = r ω 2cos ϕ

νu2 r

ʌn 30 νu = r ω

Z

n

Qu

r

1 s

1 min

m s

m

ʌn 30 νu = r ω

Z

n

Qu

r

1 s

1 min

m s

m

ω=

= rω2

2.11 Schubkurbelgetriebe

M

Z

't

s, r Q, Qu, Qmax a, amax

rad

1 s

s

m

m s

m s2

Drehwinkel M im Zeitabschnitt 't

ϕ = ω ǻt

Schubstangenverhältnis O

λ=

Kolbenweg s

s = r (1 − cos ϕ ± 0,5⋅ λ sin 2 ϕ )

Kurbelradius r r = Schubstangenlänge l l

+ für Hingang, – für Rückgang Kolbengeschwindigkeit Q

ν = r ω (sin ϕ ± 0,5 ⋅ λ sin 2 ϕ )

νmax = r ω (1+ 0,5 ⋅ λ2 ) Beschleunigung a

a = r ω 2(cos ϕ ± λ cos 2 ϕ ) amax = rω 2(1+ λ)

16

ω=

2 Dynamik 2.12 Dynamisches Grundgesetz für Translation

resultierende = Masse m ⋅ Beschleunigung a Kraft Fres

Gewichtskraft FG

Fres = m a

m

a

FG

kg

m s2

Dynamisches Grundgesetz für Gewichtskräfte

Fres

Dynamisches Grundgesetz

N

kgm s2

Masse m Volumen V

Dichte r =

2.13 Dichte 2.14 Gewichtskraft

mg

r=

FG n

m V

  

ǻt

mg n

Normgewichtskraft gn = 9,80665 m/s2 Normfallbeschleunigung

r

m V A

kg m3

m3



FG = mg = V r g = Al r g

kg

l

m2

m

g FG m s2

N

1 N = 1 kgm/s2

Fres (t2 − t1 ) = m (ν2 − ν1 )

2.15 Impuls

Masse m ˜ Fallbeschleunigung g

m ν2 = m ν1 = konstant

 

ǻν

Impulserhaltungssatz

Kraftstoß = Impulsänderung

2.16 Mechanische Arbeit und Leistung bei Translation

W = Fs Arbeit P=Fν

Momentanleistung

Wh = FG h = mgh

WR = FR sR WR = FN µ sR

Wf =

Hubarbeit

Reibarbeit

Federarbeit

P=

W t

Mittlere Leistung während der Zeit t

R 2 ( s − s12 ) 2 2

1 Joule (J) = 1 Nm = 1

R=

Federkraft F Federweg s

Federrate

kgm 2 = 1 m 2 kg s−2 s2

J Nm 1 Watt (W) = 1 = 1 = 1 m 2 kgs−3 s s W

P

J = Nm W = Nm s

F, FG s, h Q N

m

m s

m

g

R

t

K

kg

m s2

N m

s

1

2.17 Wirkungsgrad

η=

Nutzarbeit Wn <1 aufgewendete Arbeit Wa

η=

Wn P P = n = 2 <1 Wa Pa P1

Wirkungsgrad

ηges = η1 η2 η3 ... ηn =

Pab P = 2 <1 Pan P1

Gesamtwirkungsgrad Beispiele für Wirkungsgrade: Gleitlager Verzahnung E-Motor Ottomotor

K = 0,98 K = 0,98 K = 0,9 K = 0,25

(98 %) (98 %) (90 %) (25 %) 17

2 Dynamik 2.18 Dynamisches Grundgesetz für Rotation resultierendes Drehmoment M res

M res

JD

Trägheitsmoment

Mres Nm =

kg m 2 s2

Winkel· beschleunigung D

J, J0, Js D m kgm2

rad s2

l

kg m

J0

J s  ml 2

Verschiebesatz

ω

t

rad s

s

mred

Js r2

mred Ersatzmasse (reduzierte Masse)

M res (t2 − t1 ) = J (ω2 − ω 1) gilt für   

 

M = konstant res ∆t ∆ω

Momentenstoß = Drehimpulsänderung

Js = m i2

Js m

J ω2 = J ω 1 = konstant

i

Impulserhaltungssatz für Drehung

Trägheitsradius

Js auf die Schwerachse bezogenes Trägheitsmoment m Masse

2.19 Gleichungen für Trägheitsmomente (Massenmomente 2. Grades)

Körperform

Trägheitsmoment J (Jx um die x-Achse; Jz um die z-Achse)

Kreiszylinder

1 1 1 1 Jx = m r 2 = m d 2 = r ʌ d 4 h = r ʌ r 4 h 2 8 32 2 ⎛ 2 4 2⎞ 1 ⎛ 2 4 2⎞ 1 2 Jz = m⎜ d + h ⎟= r ʌ d h⎜ d + h ⎟ ⎝ 16 ⎝ 3 ⎠ 64 3 ⎠

Hohlzylinder

1 1 1 Jx = m ( R 2 + r 2 ) = m ( D 2 + d 2 ) = r ʌ h ( D 4 − d 4 ) 2 8 32 1 Jx = r ʌ h ( R 4 − r 4 ) 2 1 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 4 ⎞ Jz = m⎜ R 2 + r 2 + h 2 ⎟= m⎜ D 2 + d 2 + h 2 ⎟ 4 ⎝ 3 ⎠ 16 ⎝ 3 ⎠

Kugel und Halbkugel

2 1 1 8 Jx = m r 2 = m d 2 = r ʌ d 5 = r ʌ r 5 5 10 60 15

Ring

⎛ 3 ⎞ 1 ⎛ 3 ⎞ Jz = m⎜ R 2 + r 2 ⎟= m⎜ D 2 + d 2 ⎟ ⎝ 4 ⎠ 4 ⎝ 4 ⎠

Jz =

18

⎡ 3⎛ ⎞2 ⎤ ⎛ 1 3 ⎞ 1 r ʌ 2 D d 2⎜ D 2 + d 2 ⎟= m D 2⎢1+ ⎜ d ⎟ ⎥ ⎝ 16 ⎣ 4⎝ D ⎠ ⎦ 4 ⎠ 4

2 Dynamik 2.20 Mechanische Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad bei Rotation

Wrot

FT s

Prot = FT νu

MM

Rotationsarbeit Wort

Prot

J = Nm W =

Prot FT

Nm s

N

Mn 9550

Prot

M Nm

M = 9550

Rotationsleistung

MZ

M 2ʌn

s, r m

M

Q u

Z

rad

m s

rad s

Prot n

M Prot Nm kW

n U s

1 s

s 1

n U min

min 1

Zahlenwertgleichungen

K

M2 1 ˜ M1 i

M2 Abtriebsmoment M1 Antriebsmoment

Wirkungsgrad

2.21 Energie bei Translation

2.22 Gerader zentrischer Stoß

potenzielle Energie Epot

elastischer Stoß:

Epot

FG h

mgh

Hubarbeit Wh

potenzielle Energie (Höhenenergie)

Änderung der potenziellen Energie

Es

Fs 2

R 2 s 2

Wf

F1  F2 's 2

unelastischer Stoß:

Spannungsenergie

∆E =

R 2 (s  s2 ) 2 2 1

Ekin =

'Es

Beschleunigungsarbeit Wa

m 2 ν 2

kinetische Energie (Bewegungsenergie)

m Wa = (ν22 − ν12 ) = ∆ Ekin 2 Änderung der kinetischen Energie EE

EA  Wzu  Wab

Energieerhaltungssatz

Geschwindigkeit beider Körper am Ende des ersten Stoßabschnitts

(m1 − m2 ) ν1 + 2 m2 ν2 m1 + m2 Geschwindigkeiten bei(m2 − m1 ) ν2 + 2 m1 ν1 der Körper nach dem c2 = Stoß m1 + m2

Federarbeit Wf

Änderung der Spannungsenergie kinetische Energie Ekin

m1 ν1 + m2 ν2 m1 + m2

c1 =

Wh = m g (h2 − h 1) = ∆ Epot

Spannungsenergie Es

c=

K

1 m1 m2 (ν1 − ν2 ) 2 m1 + m2 2

m2 m1  m2

1 m 1 1 m2

Wirkungsgrad beim Schmieden

Energieabnahme beim unelastischen Stoß

η=

1 m 1+ 2 m1

Wirkungsgrad beim Rammen

wirklicher Stoß: 1 m1 m2 (ν1 − ν2 ) 2 (1 − k 2 ) ∆E = m1 + m2 2

Energieverlust beim wirklichen Stoß

k=1 k=2 k = 0,35 k = 0,7

elastischer Stoß unelastischer Stoß Stahl bei 1100 °C Stahl bei 20 °C

c − c1 k= 2 ν1 − ν2

Stoßzahl

m1 ν1 + m2 ν2 − m2 (ν1 − ν2 ) k m1 + m2 m ν + m2 ν2 + m1 (ν1 − ν2 ) k c2 = 1 1 m1 + m2 c1 =

Geschwindigkeiten nach dem wirklichen Stoß

19

2 Dynamik 2.23 Energie bei Rotation Rotationsenergie Erot =

Erot

J 2 Z 2

2.24 Zentripetalbeschleunigung und Zentripetalkraft

Beschleunigungsarbeit Wα

Erot , WD

az = J

J = Nm kgm2

Z rad s

νu2 rs

= rs ω 2

Zentripetalbeschleunigung

Fz = m az = m rs ω 2 = m

νu2

Zentripetalkraft

rs

Rotationsenergie Fz J Wα = (ω 22 − ω 12) = ∆ Erot 2

N

kgm s2

m

az

kg

m s2

rs

Z

Q u

m

rad s

m s

Beachte: Der Radius rs ist der Abstand des Körperschwerpunkts von der Drehachse!

Änderung der Rotationsenergie

2.25 Gegenüberstellung der translatorischen und rotatorischen Größen Geradlinige (translatorische) Bewegung

Größe

Drehende (rotatorische) Bewegung

Definitionsgleichung Einheit

Größe

Zeit t

Basisgröße

s

Zeit t

Verschiebeweg s

Basisgröße

m

Drehwinkel M

Masse m

Basisgröße

kg

Trägheitsmoment J

Definitionsgleichung Einheit Basisgröße b r

M

rad

J = 6 'm r2

Geschwindigkeit Q (Q = konstant)

ν=

∆s ∆t

m s

Winkelgeschwindigkeit Z

Arbeit W

W=Fs

J

Dreharbeit Wrot

Wrot = M M = FT r M

W =Fν t

W

Drehleistung Prot

Prot

∆ν ∆t

m s2

Winkelbeschleunigung D

D

N

Beschleunigungsmoment Mres

Mres = J D

J

Rotationsenergie Erot

Erot

P=

Leistung P Beschleunigung a Beschleunigungskraft Fres kinetische Energie Ekin

a=

Fres = m a Ekin =

m 2 ν 2

Fres (t2 – t1) = m (Q2 – Q1) Kraftstoß = Impulsänderung 20

Z

s

kgm2 rad s

'M 't

Wrot t

MZ

'Z 't

J 2 Z 2

Mres (t2 – t1) = J (Z2 – Z1) Momentenstoß = Drehimpulsänderung

J W rad s2

Nm J

2 Dynamik 2.26 Harmonische Schwingung

T, t

z

s

1

f Hz

1 s

Periodendauer T Frequenz f Phasenwinkel 'M und Kreisfrequenz ω Auslenkung y (A Amplitude = ymax)

Z

'M

1 s

rad

y, l

Qy ay, g

FR

MR

m m N Nm s s2 Zeitabschnitt ∆ t ∆t 1 = = T= z f Anzahl der Perioden z Anzahl der Perioden z z i = = f= Zeitabschnitt ∆ t ∆t T

m

D, R

Rd

m

J

N m

Nm rad

kg

kgm2

z 2ʌ 2ʌ f T 't y = A sin 'M = A sin (Z t) = A sin (2 S f t) = y umlaufender Punkt y = A sin ϕ = A sin (ωt) 2ʌt = A sin T A=y

'M = 2 S z = Z 't = 2 S f 't

A

y

Z=2S

y

ϕ

max

t

t

ω

T = 1 = 2π 2 ω

Momentangeschwindigkeit Qy Qy = A Z cos 'M = A Z cos (Z t) = A Z cos (2 S f t) = vy vu 2ʌt vy = vu cos ϕ = A ω cos (ωt)  vy ϕ = A Z cos T vy

ϕ

t

t

ω

 Momentanbeschleunigung ay

ay

= – A Z 2 sin 'M = – A Z 2 sin (Z t) = – A Z 2 sin (2 S f t) = – A Z 2 sin

ay = – y Z 2

ay

ay

a y = –a z sin ϕ = –A ω 2 sin (ωt) t

ϕ az ω

y = A sin (M + 'M 0) = A sin (Z t + 'M 0)

Periodendauer T

T = 2ʌ

Periodendauer T Überlagerung bei f1 = f2 und A1 z A2 Überlagerung bei f1 z f2 und A1 z A2 Schwebungsfrequenz f

t

ay

Schwingungsbeginn bei Phasenwinkel 'M  Rückstellkraft FR und Rückstellmoment MR

FR = Dy = Ry MR = Rd 'M

 2ʌt T

D Richtgröße (Federrate R) Rd Federrate der Torsionsfeder J Rd

m R (Schraubenfeder)

(Torsionsfeder)

l T = 2ʌ g (Schwerependel)

l 2g (Flüssigkeitssäule)

T = 2ʌ

T = 2ʌ

4 ʌ2 D T2 J Trägheitsmoment Rd Federrate der Torsionsfeder l Pendellänge und Länge der Flüssigkeitssäule R=m

yres = A1 sin 'M1 + A2 ergibt wieder eine harmonische Schwingung yres = A1 sin 'M1 + A2 sin 'M 2 ergibt keine harmonische Schwingung f = f1 – f2 21

2 Dynamik 2.27 Pendelgleichungen

FR, FG MR N

Nm rad

m

g

kg

m s2

l, s, y, A

RF

m

N m

RT Nm rad

Schwerependel

M rad

T

Z

J

Q 0

Z 0

s

1 s

kgm2

m s

1 s

Schraubenfederpendel

Torsionspendel

Pendelart

Rückstellkraft FR Rückstellmoment MR

FR = FG sin D = m g sin D mg FR = s Ds l

Richtgröße D Federrate RF, RT

D=

mg l

FR = RF y = m

RF = m

4 ʌ2 y T2

MR = RT M

4 ʌ2 T2

RT =

Ip G

MR 'M

l

(G Schubmodul, Ip polares Flächenmoment 2. Grades)

Periodendauer D

T = 2S

l g

T = 2S

m RF

J Trägheitsmoment



maximale Geschwindigkeit Q maximale Winkelgeschwindigkeit Z 0

Q0 = 2 g l (1  cosD max ) gilt bis Dmax < 14°

experimentelle Bestimmung des Trägheitsmoments J2 eines Körpers

J2 = J1

T22  T12 T12

Q0 = A

J RT

T = 2S

RF m

RT J

Z0 = M

J Trägheitsmoment

J1 bekanntes Trägheitsmoment J2 unbekanntes Trägheitsmoment

T1 gemessene Schwingung bei Körper 1 allein T2 bei Körper 1 und 2 zusammen

l

d

Prüfkörper K 2

h

mit unbekanntem J2

Körper K1

22

r

2 Dynamik 2.28 Harmonische Welle

O Ausbreitungsgeschwindigkeit c c= der Welle T

Of

O Wellenlänge

Gleichung der harmonischen Welle

ª § t 'x · º y = Asin « 2 ʌ ¨  ¸ O ¹ »¼ ¬ ©T

Momentanbild der Welle zur Zeit t0

ª §t 'x · º y = A sin « 2 ʌ ¨ 0  ¸ O ¹ »¼ ¬ ©T

c, QB, QE O, A, y, l, 'x, x0 m s

m

T, t, t0

f, f0, f1

s

1 s

Auslenkung eines Oszillators y = A sin ª 2 ʌ § t x0 · º « ¨ T  O ¸» der Welle zur beliebigen Zeit t ¹¼ ¬ ©

O

Bedingung für die größtmögliche Verstärkung der Welle

'x = r 2 n

Bedingung für die größtmögliche Schwächung der Welle

'x = r (2 n – 1)

2

n natürliche Zahl

O 2

n natürliche Zahl

O Bedingung für die Auslöschung 'x = r (2 n – 1) 2 der Welle, wenn zugleich n natürliche Zahl A1 = A2 ist. Brechungsgesetz

sin D sin E

c1 c2

D Einfallswinkel E Brechungswinkel

Doppler-Effekt bei still stehen⎛ ν ⎞ dem Erreger und bewegtem f1 = f0⎜1± B ⎟ ⎝ c ⎠ Beobachter (Q B) Doppler-Effekt bei bewegtem Erreger (Q E) und still stehendem Beobachter Grundfrequenz f0 (stehende Welle auf einem Träger der Länge l ) Überlagerung stehender Wellen ( f1 = f2; A1 = A2)

f1 = f0

f0 =

– –

1 1B

+

νE c

c 2l

Träger mit zwei festen Enden

+

Beobachter bewegt sich auf den Erreger zu Beobachter entfernt sich vom Erreger Erreger bewegt sich auf den Beobachter zu Erreger entfernt sich vom Beobachter c f0 = 4l Träger mit einem festen und einem losen Ende

⎛ t ⎞ ⎛ x⎞ yres = 2 A sin⎜ 2 ʌ ⎟cos⎜ 2 ʌ ⎟ ⎝ T ⎠ ⎝ λ⎠

23

3 Fluidmechanik (Hydraulik) p=

Kräfte F Fläche A

p Pa

F A N m2

p

p =rgh

N m2

Pa

Druck infolge der Schwerkraft

hydrostatischer Druck

d2 s1 = 22 s2 d1

Die Kolbenwege verhalten sich umgekehrt zueinander wie die Quadrate der Kolbendurchmesser.

F2

S p d2 4

F1

F2

F

pd l

F

0,1 p d l

s

s

F1

d 22 d12

pd 2V zul

F1, F2

p d Zahlenwert20 V zul gleichung

Hydraulische Presse 24

F1'

m

p

d

N

bar

mm

F

p

d, l N m2

Pa

m

F N

p bar

d, l mm

s

p

d

Vzul

m

N m2

Pa

m

N m2

s

p

d

Vzul

mm

bar

mm

N mm2

Presskraft bei reibungsfreiem Betrieb

Presskraft bei d 22 K Berücksichtigung d12 der Reibung

d N m2

F1, F2

N

Wanddicke

p Pa

N

h2 d2 h 1  4P 1 d1

1  4P

K F2'

m

m3

Die Kolbenwege verhalten sich umgekehrt zueinander wie die Kolbenflächen.

Zahlenwertgleichung

F2

h

s1 A = 2 s2 A1

S 0,1 p d 2 4 Zahlenwertgleichung

Beanspruchung einer Kessel- oder Rohrlängsnaht

g m s2

Die Kolbenkräfte verhalten sich zueinander wie die Kolbenflächen.

F1 Druckkraft auf gewölbte Böden

r kg

A1 A2

F1 F2

Hydraulischer Hebebock

N m2

Wirkungsgrad

A

h2

h1

3 Fluidmechanik (Hydraulik) r2 B r1

h1 r 2 = h2 r1

Fb = p A = r g h A Bodenkraft Fb

kommunizierende Röhren

p Pa

N

N m2

Fs = r g h Ay0 Seitenkraft

r

g

h

kg

m s2

m m2

m3

y

y0 Schwerpunktsabstand der belasteten Seitenfläche vom Flüssigkeitsspiegel

Fs N

r

g

kg

m s2

m3

I

A y0 , y, e

m4 m2

y0  e Abstand des Druckmittelpunkts vom Flüssigkeitsspiegel Abstand des Druckmittelpunkts vom Schwerpunkt

I A y0

e

m

A

Ganz eingetauchter Körper: Verdrängungsschwerpunkt F fällt mit Körperschwerpunkt K V verdrängtes Flüssigkeitszusammen. volumen r  Dichte der Flüssigkeit Fa = V r g g Fallbeschleunigung Auftriebskraft

Schwimmender Körper: Verdrängungsschwerpunkt F liegt unter dem Körperschwerpunkt K. Fa

V

N m3

qV = A1w1 = A2 w2 = konstant

r

g

kg

m s2

m3

qV A w

Kontinuitätsgleichung

m3 s

qV Volumenstrom

r r p1 + w12 = p2 + w 22 2 2

m2

r w

p

Pa

Bernoulli’sche Druckgleichung für horizontale Strömung

m s

kg

N m2

m3

m s

r r p 1 + r g h 1 + w 12 = p2 + r g h2 + w 22 2 2 Bernoulli’sche Druckgleichung für nichthorizontale Strömung p h g r w Pa

N m2

kg m3

m s2

m

m s

25

3 Fluidmechanik (Hydraulik) Ausfluss aus Gefäßen 2 g h theoretische Ausflussgeschwindigkeit

w

qV

qVe

Geschwindigkeitshöhe

Aw

ȝ qV

Mw

M 2gh

wirkliche Ausflussgeschwindigkeit

w2 2g

h

we

M

theoretischer Volumenstrom

A 2gh

ist abhängig von der Zähigkeit des Fluids und beträgt für Wasser 0,97 … 0,99.

ȝ A 2gh

wirklicher Volumenstrom

Strahlkontraktion

w

g

m s

m s2

h

qV A

m

m3 s

m2 Pa

r M, P Ausflusszahlen für Wasser

p

N kg m 2 m3

w=

Ausfluss unter dem Flüssigkeitsspiegel

Ausfluss bei Überdruck p1 im Gefäß

⎛ p − p0 ⎞ qVe = µ A w = µ A 2 g⎜ h + 1 ⎟ rg ⎠ ⎝

theoretische Ausflussgeschwindigkeit

⎛ p ⎞ qVe = µ A 2 g⎜ h + ü ⎟ rg⎠ ⎝

qVe m = µ A

26

wirklicher Volumenstrom

qVe = µ A 2 g (h 1 − h2 )

⎛ p − p0 ⎞ w = 2 g⎜ h + 1 ⎟ rg ⎠ ⎝

wirklicher Volumenstrom

wm = w 1 − w2 =

t=

theoretische Ausflussgeschwindigkeit

2 g ( h 1 − h2 )

bei teilweiser Entleerung:

Ausfluss bei sinkendem Flüssigkeitsspiegel

1

2 g h 1 + 2 g h2 2

2 g h 1 + 2 g h2 2

Ve 2 Ve = qVe m µ A ( 2 g h 1 + 2 g h2 )

bei völliger Entleerung: wm =

2 g h 1 mittlere theoretische Ausflussgeschwindigkeit 2

qVe m = µ A t=

2g h1 2

2 Ve

µ A 2g h1

mittlerer wirklicher Volumenstrom wirkliche Ausflusszeit

4 Festigkeitslehre 4.1 Zug- und Druckbeanspruchung

Die Gleichungen gelten mit den entsprechenden Bezeichnungen auch für die Druckbeanspruchung. FN

erforderlicher Querschnitt

Aerf =

vorhandene Spannung

σ z vorh =

maximale Belastung

FN max = σ z zul A

Dehnung



'l l0

Hooke’sches Gesetz

V

E

σ z zul

sz =

A

FN ≤ σ z zul A

FN N in A mm2

F

F Stabachse

l  l0 l0

F

V

'l E l0

N mm2

A

E

'l, l, l0 

N mm2

mm

N mm2

1

E Elastizitätsmodul (4.19 und 4.20)

Reißlänge

Wärmespannung

lr =

Rm Zugfestigkeit r Dichte g Fallbeschleunigung

Rm rg

σϑ = α l ∆ T E

lr = 103

Rm rg

Zahlenwertgleichung

g

kg m3

m s2

N mm2

km

'T Temperaturdifferenz

D l Längenausdehnungskoeffizient für Stahl ist D l = 12 · 12–6 1/K

Verlängerung

lr Rm (VzB) r

K

∆ l = l0 α l ∆ T

Kelvin ist die SI-Basiseinheit (1 K = 1° C) der Temperatur

V-, E D l 'T N mm 2

1 K

'l, l0

K

mm

4.2 Abscherbeanspruchung

erforderlicher Querschnitt

Aerf =

Fq

W

τ a zul

Fq

'l G l0

JG

Hooke’sches Gesetz für Schub

vorhandene Spannung

τ a vorh =

maximale Belastung

Fq max = A τ a zul

A

τa =

F

≤ τ a zul

A

N mm2

W aB W aB

0,85 Rm für St 1,1 Rm für GGG

G

N

A

in

N mm 2

F

Stabachse

W , Rm F

Fq

A 'l, l0 J

mm2

mm

1

G N mm2

Schubmodul

4.3 Flächenpressung und Lochleibungsdruck

Flächenpressung in Gleitlagern und Bolzenverbindungen

F Aproj

p

d1 n

Flächenpressung im p Gewinde

F F = ≤ σ l zul Aproj n d1 s

P H1 d Durchmesser des geschlagenen Niets 2 m Anzahl der Niete

σl = Lochleibungsdruck

F d pzul dl

F Aproj

FP ʌ d 2 H1 m

Gewindesteigung Tragtiefe Flankendurchmesser Mutterhöhe

½ ¾ Tabellen ¿ 5.1 und 5.2

27

4 Festigkeitslehre 4.4 Flächenmoment 2. Grades zusammengesetzter Flächen

Verschiebesatz von Steiner

I = I1 + A1 l12 + I 2 + A2 l22 + ... + I n + An ln2

Beachte: Fallen Teilschwerachsen und Bezugsachsen zusammen, dann sind die Abstände l1, l2 … gleich Null und es wird I = I1 + I2 + … + In, d.h. die Teilflächenmomente 2. Grades werden einfach addiert.

4.5 Verdrehbeanspruchung (Torsion)

MT

Wperf erforderliches Widerstandsmoment

W t zul

vorhandene Spannung

W t vorh

MT d W t zul Wp

maximales Torsionsmoment

M T max = Wp τ t zul

erforderlicher d erf Durchmesser für Kreisquerschnitt Verdrehwinkel in Grad

MT

Beachte: Das (äußere) Drehmoment M ist gleich dem (inneren) Torsionsmoment MT (M = MT)

˜

Gr

M, MT Nm

P n F

P n kW min–1

ʌ

MT N in Wp mm2

F MT

MT Stabachse F

N mm2

M

tt =

F

W t , G MT

16 M T ʌ W t zul

3

9550

Zahlenwertgleichung

W t l 180q

M G

M

Nmm

M T l 180q ˜ Wp r G ʌ

Wp

Ip

l, r

M

mm3

mm4

mm

°

M

M T l 180q ˜ ʌ Ip G

Schubmodul (4.18), Wp, Ip (4.14)

4.6 Biegebeanspruchung

erforderliches Werf Widerstandsmoment

M b max

sb =

V b zul

vorhandene V b vorh Spannung maximales M b max Biegemoment erforderlicher d erf = 3 Durchmesser für Kreisquerschnitt

M b max W

Mb

Mb

F

d V b zul

W V b zul

F

Vb

32 M b ʌ σ b zul

N mm 2

Spannungsverteilung im unsymmetrischen Querschnitt

größte Zugspannung

V z max

M b e1 I

größte Druckspannung

σ d max =

M b e2 M b = I W2

28

F

Mb N in W mm2

Mb W1

Stabachse

Mb

W

F

I

Nmm mm3 mm4

e1, e2, d mm

4 Festigkeitslehre 4.7 Knickbeanspruchung

Knickkraft nach Euler

FK =

E I min ʌ 2 s2

Fall 1 s=2l

s freie Knicklänge

Fall 2 s=l F

erforderliches Flächenmoment 2. Grades nach Euler

I erf =

Knickspannung nach Euler

VK

Sicherheit gegen Knicken

ν=

FK σK = F σ d vorh

Schlankheitsgrad

O

s i

s2

νF

Fall 3 s = 0,707 l

F

Fall 4 s = 0,5 l F

F

Ovorh > O0

E ʌ2

l

E ʌ2

l

l

l

Eulerbedingung

O2 ν = 3 … 10 im Maschinenbau

Trägheitsradius i =

I A

VK, E

I

FK, F

A

N mm2

mm4

N

mm2

i, d, s, l O mm

1

Grenzschlankheitsgrad O0 für Euler’sche Knickung und Tetmajergleichungen E-Modul in

Werkstoff Nadelholz Gusseisen S235JR E295 und E335 Al Cu Mg Al Mg3

10 000 100 000 210 000 210 000 70 000 70 000

N mm 2

Grenzschlankheitsgrad O0 100 80 105 89 66 110

Tetmajergleichungen N für Vk in mm 2 VK = 29,3 – 0,194 · O VK = 776 – 12 · O + 0,053 · O2 DK = 310 – 1,14 · O VK = 335 – 0,62 · O Die Tetmajergleichungen sind Zahlenwertgleichungen mit VK in N/mm2!

4.8 Knickung im Stahlbau

Druckstäbe (Stützen) werden im Stahlbau nach DIN 18 800 auf Tragsicherheit berechnet. Tragsicherheit besteht dann, wenn in der Ausweichrichtung des Stabes bei planmäßig mittigem Druck die Tragsicherheits-Hauptgleichung erfüllt ist. F

N Fpl

d1

F

Fpl

N

N

N

1

F Belastung (Normalkraft) in Richtung der Stabachse, Fpl Normalkraft im vollplastischen Zustand (Tabelle 4.18), N Abminderungsfaktor (Arbeitsplan Nr. 8). Eine Bemessung der Stabquerschnitte ist über den Tragsicherheitsnachweis nicht möglich, weil die Tragsicherheits-Hauptgleichung keine direkte Bezugsgröße für einen Stabquerschnitt enthält. Man nimmt daher versuchsweise einen Stabquerschnitt an und ermittelt damit der Reihe nach die im folgenden Arbeitsplan aufgeführten Größen. Ist am Ende die Bedingung F/(N Fpl) d 1 nicht erfüllt, muss die Rechnung mit geänderten Annahmen wiederholt werden. 29

4 Festigkeitslehre Arbeitsplan zum Tragsicherheitsnachweis für einteilige Knickstäbe

Gegeben: Querschnittsabmessungen (Profil), Werkstoff, Belastung F des Druckstabs Gesucht: Tragsicherheitsnachweis sK

1. Knicklänge sk

Fall 1 E = 2

2. Knicklängenbeiwert E und Systemlänge l nach Bild in 4.7

i=

3. Trägheitsradius i

4. Schlankheitsgrad OK

sK mm

El Fall 2 E=1

1

Fall 3

Fall 4

E = 0,7

E = 0,5

i

I A

l mm

E

mm

l

A

mm4 mm2

sK i i Trägheitsradius, I Flächenmoment 2. Grades A Querschnittsfläche, (i, I und A in den Tabellen 4.13 – 4.15).

λK =

λK =

5. bezogener Schlankheitsgrad

λK λa

OK 1

OK O a 1

1

OK Schlankheitsgrad, Oa Bezugsschlankheitsgrad λ a= ʌ

6. Bezugsschlankheitsgrad O a

E Re

OK

E

Re

1

N mm 2

N mm 2

E Elastizitätsmodul = 210 000 N/mm2, Re Streckgrenze nach Tabelle 4.16. Danach ergibt sich O a für die im Stahlbau verwendeten Werkstoffe: S235JR mit Re = 240 N/mm2 und einer Erzeugnisdicke t d 40 mm zu O a = 92,9, S335J2G3 mit Re = 360 N/mm2 und einer Erzeugnisdicke t d 40 mm zu O a = 75,9. Stahlbezeichnungen siehe Tabelle 4.21. 7. Festlegen einer Knickspannungslinie in Abhängigkeit von der gewählten StabQuerschnittsform 1)

Gewalzte Doppel-T-Profile (siehe Tabelle 4.26, 4.27)

h/b > 1,2 und

1)

t d 40 mm

h/b > 1,2 und 40 < t d 80 mm h/b d 1,2 und t d 80 mm t d 80 mm

U-, L-, T-Querschnitte (siehe Tabelle4.24,4.25)

30

Ausknicken Knickrechtwinklig spannungszur Achse linie

Querschnittsformen

nach DIN 18 800, Teil 2, Tabelle 5

x y x y x und y x und y

a b b c d c

4 Festigkeitslehre 8. Abminderungsfaktor N

Der Abminderungsfaktor N für die Knickspannungslinien a, b, c und d wird mit den folgenden Formeln berechnet: Bereich λ K d 0,2

Bereich λ K > 0,2

N=

N=1

Bereich λ K > 0,3

1

κ=

k 2 − λ 2k

k+

1 ⎡ ⎣ λk ⋅ ( λk + α ) ⎤ ⎦

mit k = 0,5 [1+ D ( λ K – 0,2) + λ 2k

9. Der Parameter α ist abhängig von den Knickspannungslinien:

Knickspannungslinie

10. Normalkraft Fpl

Fpl = Re A

D

a

b

c

d

0,21

0,34

0,49

0,76

Fpl

Re

A

N

N mm 2

mm2

Fpl ist diejenige Druckkraft, bei der im Werkstoff des Stabes vom Querschnitt A vollplastischer Zustand erreicht wird. Als Widerstandsgröße kann die Streckgrenze Re oder die obere Streckgrenze ReH eingesetzt werden. Normalkraft Fpl = Re A in kN für verschiedene Walzprofile: Profil L40×6 L50×6 L60×6 L70×7 L80×8 L80×10 L90×9 L100×10 L120×13 L140×15 L150×16 L160×19 L180×18 L200×20 1)

A mm2 448 569 691 940 1230 1510 1550 1920 2970 4000 4570 5750 6190 7640

Fpl 1) kN 96 122 149 202 264 325 333 413 639 860 983 1236 1331 1643

Fpl 2) kN 105 134 162 221 289 355 364 451 698 940 1074 1351 1455 1795

mit Re = 215 N/mm2 gerechnet,

11. Tragsicherheitsnachweis

Profil

A mm2

Fpl 1) kN

IPE 80 IPE 100 IPE 120 IPE 140 IPE 160 IPE 180 IPE 200 IPE 220 IPE 240 IPE 270 IPE 300 IPE 360 IPE 400 IPE 500

764 1000 1320 1640 2010 2390 2850 3340 3910 4590 5380 7270 8450 11600

164 215 284 353 432 514 613 718 841 987 1157 1563 1817 2494

2)

Fpl 2) kN 180 235 310 385 472 562 670 785 919 1079 1264 1708 1986 2726

Profil A mm2 U50 U80 U100 U140 U160 U180 U200 U220 U240 U260 U280 U300 U350 U400

712 1100 1350 2040 2400 2800 3220 3740 4230 4830 5330 5880 7730 9150

Fpl 1) kN 153 237 290 439 516 602 692 804 909 1038 1146 1264 1662 1967

Fpl 2) kN 167 259 317 479 564 658 757 879 994 1135 1253 1382 1817 2150

mit Re = 235 N/mm2 gerechnet

Zum Abschluss der Rechnung ist mit der Tragsicherheits-Hauptgleichung F / (N Fpl) d 1 die zulässige Querschnittswahl nachzuweisen oder mit einem anderen Profil oder mit einem anderen Stabquerschnitt die Prüfung zu wiederholen.

31

4 Festigkeitslehre 4.9 Zusammengesetzte Beanspruchung Biegung und Zug

resultierende Zug(Druck-)Spannung

Mb F + = σ bz + σ z W A Mb F = − = σ bd − σ z W A

σ res Druck

Biegung und Torsion (bei Wellen mit Kreisquerschnitt)

Vergleichsspannung

V

σ res Zug =

Vv

N mm 2

F

A

Mb

N mm2 Nmm mm3

D0 = Anstrengungsverhältnis = V b2  3 (D 0 W t ) 2

W

V b zul 1,73 W t zul

D0 | 1 – wenn Vb und Wt im gleichen Belastungsfall

Vergleichsmoment

Mv =

erforderlicher Wellendurchmesser

derf

M b2 + 3

0,75 ( α0 M T

)2

D0 | 0,7 – wenn Vb wechselnd (III) und Wt schwellend (II) oder ruhend (I)

32 M v ʌ V b zul

σ

α0

Mv, Mb, MT

d

N mm2

1

Nmm

mm

4.10 Kerbspannung

Spannungsspitze infolge Kerbwirkung

V max

V n Ek

Vmax Spannungsspitze im Kerbgrund Vn rechnerische (Nenn-)spannung Ek-Werte siehe 4.19

Kerbwirkungszahl

Ek

1  (D k  1)Kk Dk

Kerbformzahl

Kk Kerbempfindlichkeitszahl

4.11 Dauerbruchsicherheit im Maschinenbau 4.11.1 Sicherheit SD bei ruhender Belastung

Zugehöriger Festigkeitswert ist für Baustahl die Streckgrenze Re des verwendeten Werkstoffs und der vorliegenden Beanspruchungsart (Zug, Druck, Biegung, Torsion). Bei festeren Stahlsorten wie Vergütungsstahl tritt an die Stelle der Streckgrenze die 0,2 %-Dehngrenze Rp 0,2 (siehe Tabelle 4.17). Vn ist die Nennspannung. Bei Werkstoffen ohne ausgeprägte Fließgrenze wie Gusseisen werden die Zugfestigkeit Rm und die Bruchfestigkeiten VdB, VbB aus Tabelle 4.18 verwendet. 4.11.2 Sicherheit SD bei dynamischer Belastung

SD =

Re

Rp0,2

t Smin

1,5

Vn gilt für Stahl (Vn Nennspannung)

SD =

Vn

Rm

Vn

t S min

2,0

(gilt für Gusseisen)

σ bb SD = D 1 2 t Smin = 1,2 Der zugehörige Festigkeitswert ist die Dauerfestigkeit VD des verβk σn wendeten Werkstoffs bei der vorliegenden Beanspruchungsart (für Bauteile mit Kerbwirkung) (Zug/Druck, Biegung, Torsion). Bei festeren Stahlsorten wie VerVn Nennspannung gütungsstahl tritt an die Stelle der Streckgrenze die 0,2 %b1 Oberflächenbeiwert, siehe Diagramm 4.20 Dehngrenze Rp 0,2 (siehe Tabelle 4.17). Vn ist die Nennspannung. b2 Größenbeiwert, siehe Diagramm 4.20 Die Dauerfestigkeit VD des Probestabs wird durch die Faktoren E k Kerbwirkungszahl siehe Tabelle 4.19 b1, b2, Ek verringert. Dauerfestigkeitswerte VD in 4.17 und 4.18. Kerbwirkungszahlen Ek sowie Oberflächenbeiwert b1 und Größenbeiwert b2 in 4.19 und 4.20. 32

4 Festigkeitslehre 4.12 Stützkräfte, Biegemomente und Durchbiegungen bei Biegeträgern von gleichbleibendem Querschnitt

FB = F

FA = FB =

Mmax = F l f=

F l3 3EI

Mmax =

F l2 tan D = 2 EI

f=

3f 2l

tan D = FB = F = F ' l Fl Mmax = 2 f=

f=

F l2 4f = tan D =  6EI 3l

F a (l  a )  2EI

F l2 3f = 16 E I l

F al  2 EI

FA = FB =

FA = FB = F Mmax = F a 4a⎞ F l3 a2⎛ f= ⎜1 − ⎟ 2 3l ⎠ 2EIl ⎝ 3 ⎛ Fl a 4 a2 ⎞ ⎜1 − 2 ⎟ fmax= 8 E I l⎝ 3l ⎠ tan DA =

F a ( a  c) 2EI

tan D C = tan DD =

tan DA =

F ' a2 2 F ' l 2⎡ 1 ⎛ a ⎞2 ⎤ MC = ⎢ −⎜ ⎟ ⎥ 2 ⎣4 ⎝l ⎠ ⎦ MA =

F l3 EI

F l2 24 E I

F ac 2 EI

§l · FA = FB = F ' ¨  a ¸ ©2 ¹

F'l 2

Mmax = 0,125 F l f | 0,013

la la 3a 3b

⎛1 1 ⎞ tan DB = f ⎜ + ⎟ b 2 a⎠ ⎝

⎛1 1 ⎞ tan α A = f ⎜ + ⎟ ⎝ a 2b ⎠

F a l2 8EI

tan DA =

ab l

F a 2 b2 3EIl

fmax = f

FA = FB = F Mmax = F a F a2 § a l · f1 = ¨  ¸ E I © 3 2¹

tan D1 =

F l3 48 E I

8EI

f2 =

Fl 4

Mmax = F

F l3

F 2

16 f 5l

fA= tan DA =

F 'l 4 ⎡ a ⎛ a ⎞3 1⎛ a ⎞4 ⎤ ⎢ −⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ 4 EI ⎣ 6 l ⎝ l ⎠ 2⎝ l ⎠ ⎦

F 'l 3 ⎡ 1 ⎛ a ⎞2 ⎤ F 'l 4 ⎡ 5 ⎛ a ⎞2 ⎤ ⎢ −⎜ ⎟ ⎥ f C = ⎢ −⎜ ⎟ ⎥ 4 EI ⎣ 6 ⎝ l ⎠ ⎦ 16 EI ⎣ 24 ⎝ l ⎠ ⎦ 33

4 Festigkeitslehre 4.13 Axiale Flächenmomente 2. Grades I, Widerstandsmomente W und Trägheitsradius i für Biegung und Knickung

Ix =

b h3 12

Iy =

b h2 6 ix = 0,289 h

Wx =

hb3 12

Ix = I y = I D =

hb 2 6 iy = 0,289 b

h3 6 i = 0,289 h

Wx = Wy =

Wy =

5 3 4 s 0,5413 s 4 16 W = 0,5413 s3

W =

6 b 2 + 6 bb 1 + b 12 3 h 36 (2 b + b 1) 2 1 + b1

12 (3 b + 2 b 1) 1 3b + 2 b1 e= h 3 2b + b1

I=

ʌd4 d4 | 64 20

ʌd3 d3 | 32 10 d i = 4 ʌ a3 b 4

ʌ a2 b 4 a ix = 2

ʌ b3 a 4

ʌ b2 a 4 b iy = 2

Wy =

Iy = 0,0245 d 4

Wx1 = 0,0238 d 3

Wx2 = 0,0323 d 3

Wy = 0,049 d 3

ix = 0,132 d

Ix = 0,1098 (R4 – r4) – 0,283 R2 r2 Iy = S

34

 8

r4

2 e= h 3

W=

a h2 24

i = 0,236 h

I =

ʌ (D4  d 4 ) 64

W =

ʌ D4  d 4 32 D

ʌ Ix = (a3 b − a13 b 1) 4 ʌ 2 Ix | a d (a  3 b) 4 I ʌ W = x | a d (a  3 b) a 4

Ix = 0,0068 d 4

R4

a h3 36

i = 0,25 D 2  d 2

Iy =

Wx =

I=

h2

W=

Ix =

h3 12

I =

i = 0,456 s

6 b 2 + 6 bb

WD = 2

5 3 4 0,5413 s 4 s 16 5 W = s 3 0,625 s 3 8 i = 0,456 s

I =

I =

h4 12

Wy = S

(R4

e1 =

Rr Rr r4)

 8R

4r 3ʌ

0, 4244 r

Wx1 =

Ix e1

Wx2 =

Ix e2

e1 =

2 ( D3  d 3 ) 3ʌ ( D 2  d 2 )

4 Festigkeitslehre Ix =

Iy =

b3 ( H  h) 12

Wy =

b2 ( H  h) 6

b ( H 3  h3 ) 12

Wx =

b ( H 3  h3 ) 6H

ix =

H 3  h3 12 ( H  h)

iy = 0,289 b

I=

b (h3 − h 13) + b 1 (h 13 − h 32) 12

W=

b (h3 − h 13) + b 1 (h 1 − h 32) 6h

3

I=

BH 3  b h3 12

W=

BH 3  b h3 6H

I=

BH 3 − b h3 12

W=

BH 3  b h3 6H

1 I = ( B e13  b h3  a e23 ) 3

e1 =

1 a H 2  bd2 ˜ 2 a H  bd

e2 = H – e 1

1 I = ( B e13 − b h3 + B 1 e23 − b 1 h 13) 3 1 a H 2 + b d 2 + b 1 d1 (2 H − d1) e1 = ⋅ 2 a H + b d + b 1 d1 e2 = H – e 1 35

4 Festigkeitslehre 4.14 Polare Flächenmomente 2. Grades Ip und Widerstandsmomente Wp für Torsion

Querschnitt

Widerstandsmoment Wp

Flächenmoment Ip

Bemerkung

Wp

ʌ 3 d3 d | 16 5

Ip

ʌ 4 d4 d | 32 10

größte Spannung in allen Punkten des Umfangs

Wp

ʌ d a4  di4 ˜ da 16

Ip

ʌ 4 (d a  di4 ) 32

größte Spannung in allen Punkten des Umfangs

Wp =

ʌ 3 nb 16

ʌ n3 b 4 ˜ 16 n 2  1

Ip

h = n> 1 b

in den Endpunkten der kleinen Achse: M τ t max = T Wp in den Endpunkten der großen Achse:

Wt

ha h = i = n> 1 ba bi hi bi = = α< 1 ha ba Wp

ʌ 3 nba (1  D 4 ) 16

Wp

0, 208 a3

Wp = 0,05 b3 =

Wp

36

h3 13

2 It h

ʌ n3 ⋅ 2 ⋅ 16 n + 1 ⋅ ba4 (1 − α 4 )

Ip =

Ip

h3 7,5 3

0,14 a 4

a4 7,1

W t max n

in den Endpunkten der kleinen Achse: Wt max in den Endpunkten der großen Achse:

Wt

W t max n

in der Mitte der Seite:

Wt max in den Ecken: Wt = 0

Ip

h4 15 3

in der Mitte der Seite:

Ip

b4 46, 2

in den Ecken: Wt = 0

Wt max

4 Festigkeitslehre 4.15 Träger gleicher Biegebeanspruchung

Längs- und Querschnitt des Trägers

Begrenzung des Längsschnitts

Gleichungen zur Berechnung der Querschnitts-Abmessungen

Die Last F greift am Ende des Trägers an:

6F 6 Fl x h= b σ zul b σ zul

obere Begrenzung: Gerade

y=

untere Begrenzung: Quadratische Parabel

Durchbiegung in A: f =

y= Gerade

y=3 Kubische Parabel

32 F x d= ʌ σ zul

3

x l

8 F ⎛ l ⎞3 ⎜ ⎟ b E⎝ h ⎠

6F 6Fl x b= 2 h 2 σ zul h σ zul

Durchbiegung in A: f =

y=h

y=

bx l

6 F ⎛ l ⎞3 ⎜ ⎟ b E⎝ h ⎠

32 F l ʌ σ zul

y= d

3

x l

3 F l3 ʌd4 I= Durchbiegung in A: f = ⋅ 5 EI 64

Die Last F ist gleichmäßig über den Träger verteilt:

Gerade

y = x⋅

3F bl σ zul

h=

3Fl b σ zul

y=

hx l

F = F' l

y= Quadratische Parabel

3 F ⎛ x ⎞2 3Fl ⎜ ⎟ b= 2 l σ zul ⎝ h ⎠ h σ zul

Durchbiegung in A: f =

y=

b x2 l2

3 F ⎛ l ⎞3 ⎜ ⎟ b E⎝ h ⎠

37

4 Festigkeitslehre 4.16 Festigkeitswerte für Walzstahl (Bau- und Feinkornbaustahl) Werkstoff Baustahl1)

Bezeichnung

Feinkornbaustahl1)

Streckgrenze Re N/mm2

t d 40

240

40 < t d 80

215

t d 40

360

40 < t d 80

325

t d 40

360

40 < t d 80

325

S235JR S235JRG1 S235JRG2 S235J0

Baustahl1)

Erzeugnisdicke t mm

E295 E355

Zugfestigkeit Rm N/mm2 360

510 700

Hinweis: Weitere Festigkeitswerte in DIN 18 800 Teil 1, Tabelle 1. Der Elastizitätsmodul E beträgt für alle Baustähle E = 210 000 N/mm2. 1) Bezeichnungen für Baustähle siehe Tabelle 4.21.

4.17 Festigkeitswerte in N/mm2 für verschiedene Stahlsorten1) Werkstoff 1) S235JR S275JR E295 S355JO E335 E360 50CrMo42) 20MnCr53) 34CrAlNi74) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

ElastizitätsRm moduls E 210 000 360 210 000 430 210 000 490 210 000 510 210 000 590 210 000 690 210 000 1100 210 000 1100 210 000 850

Rm Rp 0,2 235 275 295 355 335 360 900 730 650

Vzd Sch5)

Vz dw

Vb Sch6)

VbW

Wt Sch7)

WtW

180 220 250 270 305 360 570 570 440

140 170 195 205 235 275 440 440 340

270 320 370 380 435 520 825 825 640

180 215 245 255 290 345 550 550 425

115 140 160 165 200 225 360 360 280

105 125 145 150 180 205 330 330 255

Schubmodul G 80 000 80 000 80 000 80 000 80 000 80 000 80 000 80 000 80 000

Richtwerte für db < 16 mm, Vergütungsstahl Einsatzstahl Nitrierstahl berechnet mit 1,3 · VzdW berechnet mit 1,5 · VbW berechnet mit 1,1 · WtW

4.18 Festigkeitswerte in N/mm2 für verschiedene Sorten Gusseisen1) Werkstoff GJL-150 GJL-200 GGJL-250 GJMW-400-5 GJMB-350-4 1)

38

Elastizitätsmodul E

Rm

VbB

VdB

VzdW

VbW

WtW

Vd Sch

Schubmodul G

100 000 120 000 120 000 170 000 170 000

180 220 260 350 350

340 400 460 – –

800 950 1100

50 60 70 100 80

80 100 120 140 120

70 80 90 120 100

200 240 280 250 200

40 000 50 000 50 000 70 000 70 000

Rp0,2 = 190

Richtwerte für 15 bis 30 mm Wanddicke; für 8 mm bis 15 mm 10 % höher, für > 30 mm 10 % niedriger, Dauerfestigkeitswerte im bearbeiteten Zustand; für Gusshaut 20 % Abzug.

4 Festigkeitslehre 4.19 Richtwerte für die Kerbwirkungszahl E k 1) Kerbform Hinterdrehung in Welle (Rundkerbe) Hinterdrehung in Welle (Rundkerbe) Eindrehung für Axial-Sicherungsring in Welle abgesetzte Welle (Lagerzapfen) abgesetzte Welle (Lagerzapfen) Passfedernut in Welle Passfedernut in Welle Passfedernut in Welle Passfedernut in Welle Querbohrung in Achse (Schmierloch) Flachstab mit Bohrung Flachstab mit Bohrung Welle an Übergangsstelle zu fest sitzender Nabe 1)

Beanspruchung Biegung Torsion Biegung Torsion Biegung Torsion Biegung Biegung Torsion Torsion Biegung und Torsion Zug Biegung Biegung Torsion

genauere und umfangreichere Werte in DIN 743-2

2)

Rm2) 600 600 1000 600 600 600 1000 600 1000 600 360 360 1000

Ek 2,2 1,8 3,5 2,5 2,2 1,4 2,5 3,0 1,5 1,8 1,6 1,7 1,4 2,7 1,8

Zugfestigkeit in Rm in N/mm2.

4.20 Oberflächenbeiwert b1 und Größenbeiwert b2 für Kreisquerschnitte

Für andere Querschnittsformen kann etwa gesetzt werden: bei Biegung für Quadrat: Kantenlänge = d; für Rechteck: in Biegeebene liegende Kantenlänge = d bei Verdrehung für Quadrat und Rechteck: Flächendiagonale = d

4.21 Stahlbezeichnungen 1) EN10027-1 und ECISS IC 10 (1993) S235JR S235JRG1 S235JRG2 S235JO S235J2G3 S275JR 1)

frühere Bezeichnungen nach EN 10025 DIN 17100 (1990) Fe 360 B St 37-2 Fe 360 FBU U St 37-2 Fe 360 FBN R St 37-2 Fe 360 C St 37-3 U Fe 360 D1 St 37-3 U Fe 430 B St 44-2

EN 10027-1 und ECISS IC 10 (1993) S275J2G3 S355J2G3 E295 E335 E360 S275JO

frühere Bezeichnungen nach EN 10025 DIN 17100 (1990) Fe 430 C St 44-3 U Fe 430 D1 St 44-3 N Fe 510 D1 St 52-3 N Fe 490-2 St 50-2 Fe 590-2 St 60-2 Fe 690-2 St 70-2

Auszug aus der Deutschen Fassung der Europäischen Norm EN 10025 (März 1990) mit Anhang C (1993)

Erläuterung der Bezeichnungen (Beispiel): S235JRG2 S o Kennbuchstabe für mechanische Eigenschaft „Streckgrenze ReH“ (H = obere Streckgrenze, von high) 235 o Kennzahl für den Mindestwert der (oberen) Streckgrenze in N/mm2 für Probe-Dicken s d 16 mm: ReH = 235 N/mm2 (mit zunehmender Dicke wird ReH kleiner, z.B. für s > 150 mm < 200 mm wird ReH = 185 N/mm2) J o Kennbuchstabe für Gütegruppe bezüglich Schweißeignung und Kerbschlagarbeit RG2 o Kennbuchstabe und -zahl für Gütegruppen z. B. bezüglich Lieferzustand, Erschmelzungsverfahren, chemische Zusammensetzung

39

4 Festigkeitslehre 4.22 Zulässige Spannungen im Stahlhochbau a) Zulässige Spannungen in N/mm2 für Stahlbauteile 1) S235JR

Spannungsart Druck und Biegedruck, wenn Stabilitätsnachweis nach DIN 18 800 erforderlich ist Zug und Biegezug, Biegedruck, wenn Stabilitätsnachweis nach DIN 18 800 erforderlich ist Schub 1)

Werkstoff S35SJO Lastausfall H HZ

H

HZ

140

160

210

160 92

180 104

240 139

E360 H

HZ

240

410

460

270 156

410 240

460 270

Lastfall H: alle Hauptlasten, Lastfall HZ: alle Haupt- und Zusatzlasten

b) Zulässige Spannungen in N/mm2 für Verbindungsmittel 1) Niete (DIN 124 und DIN 302) Passschrauben (DIN 7968) 4.6 5.6 für Bauteile für Bauteile für Bauteile für Bauteile aus S235JR aus S355JO aus S235JR aus S355JO Lastfall H HZ H HZ H HZ H HZ 140 160 210 240 140 160 210 240 280 320 420 480 280 320 420 480 48 54 72 81 112 112 150 150

Spannungsart

Abscheren Lochleibungsdruck Zug 1)

Wa zul Vl zul Vz zul

Rohe Schrauben (DIN 7990) 4.6 H 112 240 112

HZ 126 270 112

Lastfall H: alle Hauptlasten, Lastfall HZ: alle Haupt- und Zusatzlasten

4.23 Zulässige Spannungen im Kranbau für Stahlbauteile und ihre Verbindungsmittel a) Zulässige Spannungen in N/mm2 für Bauteile Spannungsart Zug- und Vergleichsspannung Druckspannung, Nachweis auf Knicken Schubspannung

Werkstoff S235JR S355JR H HZ H HZ 160 180 240 270 140 160 210 240 92 104 138 156

Außer dem Allgemeinen Spannungsnachweis auf Sicherheit gegen Erreichen der Fließgrenze ist für Krane mit mehr als 20 000 Spannungsspielen noch ein Betriebsfestigkeitsnachweis auf Sicherheit gegen Bruch bei zeitlich veränderlichen, häufig wiederholten Spannungen für die Lastfälle H zu führen. Zulässige Spannungen beim Betriebsfestigkeitsnachweis siehe Normblatt.

b) Zulässige Spannungen in N/mm2 für Verbindungsmittel

Spannungsart

Abscheren

einschnittig zweischnittig

Lochleibungsdruck einschnittig zweischnittig Zug

einschnittig zweischnittig

40

Niete Passschrauben (DIN 7968) Schrauben (DIN 7880) (DIN 124 und DIN 302) 4.6 5.6 4.6 5.6 USt36 USt44 USt36 USt44 USt36 USt44 für Bauteile für Bauteile für Bauteile für Bauteile für Bauteile für Bauteile aus S235JR aus S355JO aus S235JR aus S355JO aus S235JR aus S355JO Lastfall H HZ H HZ H HZ H HZ H HZ H HZ 84 96 126 144 84 96 126 144 70 80 70 80 112 128 168 192 112 128 168 192 210 240 315 360 210 240 315 360 160 180 160 180 280 320 420 480 280 320 420 480 30 30 45 45 100 110 140 154 100 110 140 154 30 30 45 45 100 110 140 154

4 Festigkeitslehre 4.24 Warmgewalzter gleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl (Auswahl) Beispiel für die Bezeichnung eines gleichschenkligen Winkelstahls und für das Auswerten der Tabelle: L 40 × 6 – S235JRG1 Schenkelbreite a = 40 mm Schenkeldicke s = 6 mm Flächenmoment 2. Grades Ix = 6,33 · 104 mm4 Widerstandsmoment Wx1 = 5,28 · 103 mm3 Wx2 = 2,26 · 103 mm3

A0'

Oberfläche je Meter Länge Profilumfang Trägheitsradius

Kurzzeichen

20 × 4 25 × 5 30 × 5 35 × 5 40 × 6 45 × 6 50× 6 50× 8 55 × 8 60 × 6 60 × 10 65 × 8 70 × 7 70 × 9 70 × 11 75 × 8 80 × 8 80× 10 80× 12 90 × 9 90 × 11 100 × 10 100 × 14 110× 12 120 × 13 130× 12 130 × 16 140 × 13 140 × 15 150 × 12 150 × 16 150 × 20 160 × 15 160 × 19 180 × 18 180 × 22 200 × 16 200 × 20 200 × 24 200 × 28 1)

a/s

Querschnitt A

e1 / e2

Ix = Iy

mm 20/ 4 25/ 5 30/ 5 35/ 5 40/ 6 45/ 6 50/ 6 50/ 8 55/ 8 60/ 6 60/10 65/ 8 70/ 7 70/ 9 70/11 75/ 8 80/ 8 80/10 80/12 90/ 9 90/11 100/10 100/14 110/12 120/13 130/12 130/16 140/13 140/15 150/12 150/16 150/20 160/15 160/19 180/18 180/22 200/16 200/20 200/24 200/28

mm2

mm

· 104 mm4

145 226 278 328 448 509 569 741 823 691 1110 985 940 1190 1430 1150 1230 1510 1790 1550 1870 1920 2620 2510 2970 3000 3930 3500 4000 3480 4570 5630 4610 5750 6190 7470 6180 7640 9060 10500

6,4 / 13,6 8 / 17 9,2 / 20,8 10,4/ 24,6 12 / 28 13,2/ 31,8 14,5/ 35,5 15,2/ 34,8 16,4/ 38,6 16,9/ 43,1 18,5/ 41,5 18,9/ 46,1 19,7/ 50,3 20,5/ 49,5 21,3/ 48,7 21,3/ 53,7 22,6/ 57,4 23,4/ 56,6 24,1/ 55,9 25,4/ 64,6 26,2/ 63,8 28,2/ 71,8 29,8/ 70,2 31,5/ 78,5 34,4/ 85,6 36,4/ 93,6 38,0/ 92 39,2/100,8 40,0/100,0 41,2/108,8 42,9/107,1 44,4/105,6 44,9/115,1 46,5/113,5 51,0/129,0 52,6/127,4 55,2/144,8 56,8/143,2 58,4/141,6 59,9/140,1

0,48 1,18 2,16 3,56 6,33 9,16 12,8 16,3 22,1 22,8 34,9 37,5 42,4 52,6 61,8 58,9 72,3 87,5 102 116 138 177 235 280 394 472 605 638 723 737 949 1150 1100 1350 1870 2210 2340 2850 3330 3780

Wx 1 = Wy 1 Wx 1 = Wy 1

= 0,16 m2/m

U = 0,16 m ix = I x /A = 11,9 mm

· 103 mm3

· 103 mm3

Oberfläche je Meter Länge A0' 2 m /m 1)

0,75 1,48 2,35 3,42 5,28 6,94 8,83 10,7 13,5 13,5 18,9 19,8 21,5 25,7 29,0 27,7 32,0 37,4 42,3 45,7 52,7 62,8 78,9 88,9 115 130 159 163 181 179 221 259 245 290 367 420 424 502 570 631

0,35 0,69 1,04 1,45 2,26 2,88 3,61 4,68 5,73 5,29 8,41 8,13 8,43 10,6 12,7 11,0 12,6 15,5 18,2 18,0 21,6 24,7 33,5 35,7 46,0 50,4 65,8 63,3 72,3 67,7 88,7 109 95,6 119 145 174 162 199 235 270

0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,17 0,19 0,19 0,21 0,23 0,23 0,25 0,27 0,27 0,27 0,29 0,31 0,31 0,31 0,35 0,36 0,39 0,39 0,43 0,47 0,51 0,51 0,55 0,55 0,59 0,59 0,59 0,63 0,63 0,71 0,71 0,79 0,79 0,79 0,79

Gewichtskraft je Meter Länge FG' N/m 11,2 17,4 21,4 25,3 34,5 39,2 43,8 57,1 63,4 53,2 85,2 75,9 72,4 91,6 110,1 88,6 94,7 116,7 138,3 119,4 144,0 147,9 201,8 193,3 228,7 231,0 302,6 269,5 308,0 268,0 351,9 433,6 355,0 442,8 476,7 575,3 475,9 588,3 697,7 808,6

Die Zahlenwerte geben zu gleich den Profilumfang U in m an.

41

4 Festigkeitslehre 4.25 Warmgewalzter ungleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl (Auswahl) Beispiel für die Bezeichnung eines ungleichschenkligen Winkelstahls und für das Auswerten der Tabelle: L 30 × 20 × 4 – S235JRG1 Schenkelbreite Schenkeldicke Flächenmoment 2. Grades Widerstandsmoment Widerstandsmoment

a = 30 mm, b = 20 mm s = 4 mm Ix = 1,59 · 104 mm4 Wx1 = 1,54 · 103 mm3 Wx2 = 0,81 · 103 mm3 A0' = 0,097 m2/m

Oberfläche je Meter Länge Profilumfang Trägheitsradius

Kurzzeichen

Querschnitt

a

b

s

A

mm mm mm mm2 30× 20× 4 40× 20× 4 45× 30× 5 50× 40× 5 60× 30× 7 60× 40× 6 65× 50× 5 65× 50× 9 75× 50× 7 75× 55× 9 80× 40× 6 80× 40× 8 80× 65× 8 90× 60× 6 90× 60× 8 100× 50× 6 100× 50× 8 100× 50×10 100× 65× 9 100× 75× 9 120× 80× 8 120× 80×10 120× 80×12 130× 65×10 130× 75×10 130× 75×12 130× 90×10 130× 90×12 150× 75× 9 150× 75×11 150× 90×10 150× 90×12 150×100×10 150×100×12 150×100×14 160× 80×12 200×100×10 200×100×14 250× 90×10 250× 90×14 1)

42

U = 0,097 m ix = I x /A = 9,27 mm

30 40 45 50 60 60 65 65 75 75 80 80 80 90 90 100 100 100 100 100 120 120 120 130 130 130 130 130 150 150 150 150 150 150 150 160 200 200 250 250

20 20 30 40 30 40 50 50 50 55 40 40 65 60 60 50 50 50 65 75 80 80 80 65 75 75 90 90 75 75 90 90 100 100 100 80 100 100 90 90

4 4 5 5 7 6 5 9 7 9 6 8 8 6 8 6 8 10 9 9 8 10 12 10 10 12 10 12 9 11 10 12 10 12 14 12 10 14 10 14

185 225 353 427 585 568 554 958 830 1090 689 901 1100 869 1140 873 1150 1410 1420 1510 1550 1910 2270 1860 1960 2330 2120 2510 1950 2360 2320 2750 2420 2870 3320 2750 2920 4030 3320 4590

Oberfläche

ex1/ey1 mm 10,3/5,4 14,7/4,8 15,2/7,8 15,6/10,7 22,4/7,6 20,0/10,1 19,9/12,5 21,5/14,1 24,8/12,5 24,7/14,8 28,5/8,8 29,4/9,5 24.7/173 28,9/14,1 29,7/14,9 34,9/10,4 35,9/11,3 36,7/12,0 33,2/15,9 31,5/19,1 38,3/18,7 39,2/19.5 40,0/20.3 46,5/14,5 44,5/17,3 45,3/18,1 41,5/21,8 42,4/22,6 52,8/15,7 53,7/16,5 49,9/20,3 50,8/21,1 48,0/23,4 48,9/24,2 49,7/25,0 57,2/17,7 69,3/20,1 71,2/21,8 94,5/15,6 96,5/17,3

Ix

Wx1

Wx2

Iy

Wy1

Wy2

·104 mm4 ·103 mm3 ·103 mm3 ·104 mm4 ·103 mm3 ·103 mm3 1,59 3,59 6,99 10,4 20,7 20,1 23,1 38,2 46,4 59,4 44,9 57,6 68,1 71,7 92,5 87,7 116 141 141 148 226 276 323 321 337 395 358 420 455 545 532 626 552 650 744 720 1220 1650 2170 2960

1,54 2,44 4,60 6,67 9,24 10,1 11,6 17,8 18,7 24,0 15,8 19,6 27,6 24,8 31,1 25,1 32,3 38,4 42,5 47,0 59,0 70,4 80,8 69,0 75,7 87,2 86,3 99,1 86,2 101 107 123 115 133 150 126 176 232 230 307

Die Zahlenwerte geben zugleich den Profilumfang U in m an.

0,81 1,42 2,35 3,02 5,50 5,03 5,11 8,77 9,24 11,8 8,73 11,4 12,3 11,7 15,4 13,8 18,0 22,2 21,0 21,5 27,6 34,1 40,4 38,4 39,4 46,6 40,5 48,0 46,8 56,6 53,1 63,1 54,1 64,2 74,1 70,0 93,2 128 140 192

0,55 0,60 2,47 5,89 3,41 7,12 11,9 19,4 16,5 26,8 7,59 9,68 40,1 25,8 33,0 15,3 19,5 23,4 46,7 71,0 80,8 98,1 114 54,2 82,9 96,5 141 165 78,3 93,0 145 170 198 232 264 122 210 282 161 216

1,02 1,25 3,17 5,50 4,49 7,05 9,52 13,8 13,2 18,1 8,63 10,2 23,2 18,3 22,0 14,7 17,3 19,5 29,4 37,0 43,2 50,3 56,0 37,4 47,9 53,3 65,0 73,0 49,9 56,0 71,0 81,0 85,0 96,0 106 69,0 104 129 103 125

0,38 0,39 1,11 2,01 1,52 2,38 3,18 5,39 4,39 6,66 2,44 3,18 8,41 5,61 7,31 3,86 5,04 6,17 9,52 12,7 13,2 16,2 19,1 10,7 14,4 17,0 20,6 24,4 13,2 15,9 20,9 24,7 25,8 30,6 35,2 19,6 26,3 36,1 21,7 29,7

Gewichtskraft

je Meter Länge je Meter Länge A0' FG'

m2/m1)

N/m

0,097 0,117 0,146 0,177 0,175 0,195 0,224 0,224 0,244 0,254 0,234 0,234 0,283 0,294 0,294 0,292 0,292 0,292 0,321 0,341 0,391 0,391 0,391 0,381 0,401 0,401 0,430 0,430 0,441 0,441 0,469 0,469 0,489 0,489 0,489 0,469 0,587 0,587 0,667 0,667

14,2 17,4 27,2 32,9 45,0 43,7 42,7 73,7 63,8 84,2 53,1 69,3 84,9 66,9 87,9 67,2 88,2 108,9 108,9 115,7 119,6 147,1 174,6 143,2 151,0 179,5 162,8 193,2 150,0 182,4 178,5 211,8 186,3 221,6 255,9 211,8 225,6 309,9 255,9 353,0

4 Festigkeitslehre 4.26 Warmgewalzte schmale

-Träger (Auswahl) Beispiel für die Bezeichnung eines schmalen -Trägers mit geneigten inneren Flanschflächen und für das Auswerten der Tabelle: 80 DIN 1025 – S235JRG1 Höhe Breite Flächenmoment 2. Grades Widerstandsmoment

h b Ix Wx

Oberfläche je Meter Länge

A0' = 0,304 m2/m

Profilumfang Trägheitsradius

80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 425 450 475 500 550 600 1)

U = 0,304 m ix = I x /A = 32 mm

Querschnitt

Kurzzeichen

a

b

s

t

A

Ix

Wx

Iy

Wy

mm

mm

mm

mm

mm2

·104 mm4

·103 mm3

·104 mm4

·103 mm3

80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 425 450 475 500 550 600

42 50 58 66 74 82 90 98 106 113 119 125 131 137 143 149 155 163 170 178 185 200 215

3,9 4,5 5,1 5,7 6,3 6,9 7,5 8,1 8,7 9,4 10,1 10,8 11,5 12,2 13,0 13,7 14,4 15,3 16,2 17,1 18,0 19,0 21,6

5,9 6,8 7,7 8,6 9,5 10,4 11,3 12,2 13,1 14,1 15,2 16,2 17,3 18,3 19,5 20,5 21,6 23,0 24,3 25,6 27,0 30,0 32,4

758 1060 1420 1830 2280 2790 3350 3960 4610 5340 6110 6910 7780 8680 9710 10700 11800 13200 14700 16300 18000 21300 25400

77,8 171 328 573 935 1450 2140 3060 4250 5740 7590 9800 12510 15700 19610 24010 29210 36970 45850 56480 68740 99180 139000

19,5 34,2 54,7 81,9 117 161 214 278 354 442 542 653 782 923 1090 1260 1460 1740 2040 2380 2750 3610 4630

6,29 12,2 21,5 35,2 54,7 81,3 117 162 221 288 364 451 555 674 818 975 1160 1440 1730 2090 2480 3490 4670

= 80 mm = 42 mm = 77 · 104mm4 = 19,5 · 103mm3

3,00 4,88 7,41 10,7 14,8 19,8 26,0 33,1 41,7 51,0 61,2 72,2 84,7 98,4 114 131 149 176 203 235 268 349 434

Oberflache Gewichtskraft je Meter je Meter Länge Länge FG' N/m A0' m2/m1) 0,304 0,370 0,439 0,502 0,575 0,640 0,709 0,775 0,844 0,906 0,966 1,03 1,09 1,15 1,21 1,27 1,33 1,41 1,48 1,55 1,63 1,80 1,92

58,4 81,6 110 141 176 215 258 305 355 411 471 532 599 668 746 824 908 1020 1128 1256 1383 1638 1952

Die Zahlenwerte geben zugleich den Profilumfang U in m an.

43

4 Festigkeitslehre 4.27 Warmgewalzte

-Träger,

PE-Reihe (Auswahl) Beispiel für die Bezeichnung eines mittelbreiten -Trägers mit parallelen Flanschflächen und für das Auswerten der Tabelle: PE 80 DIN 1025 – S235JRG1

Höhe h Breite b Flächenmoment 2. Grades Ix Widerstandsmoment Wx Oberfläche je Meter Länge A0' Profilumfang U Trägheitsradius ix = I x /A

Querschnitt

Kurzzeichen

1)

= 80 mm = 46 mm = 80,1 · 104 mm4 = 20,0 · 103 mm3 = 0,328 m2/m = 0,328 m = 32,4 mm

Oberfläche

b

t

h

s

r

A

Ix

PE

mm

mm

mm

mm

mm

mm2

·104 mm4

80 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300 330 360 400 450 500 550 600

46 55 64 73 82 91 100 110 120 135 150 160 170 180 190 200 210 220

5,2 5,7 6,3 6,9 7,4 8,0 8,5 9,2 9,8 10,2 10,7 11,5 12,7 13,5 14,6 16,0 17,2 19,0

80 3,8 100 4,1 120 4,4 140 4,7 160 5,0 180 5,3 200 5,6 220 5,9 240 6,2 270 6,6 300 7,1 330 7,5 360 8,0 400 8,6 450 9,4 500 10,2 550 11,1 600 12,0

5 7 7 7 9 9 12 12 15 15 15 18 18 21 21 21 24 24

764 1030 1320 1640 2010 2390 2850 3340 3910 4590 5380 6260 7270 8450 9880 11600 13400 15600

80,1 171 318 541 869 1320 1940 2770 3890 5790 8360 11770 16270 23130 33740 48200 67120 92080

Wx

Iy

Wy

·103 mm3 ·104 mm4 ·103 mm3 20,0 34,2 53,0 77,3 109 146 194 252 324 429 557 713 904 1160 1500 1930 2440 3070

8,49 15,9 27,7 44,9 68,3 101 142 205 284 420 604 788 1040 1320 1680 2140 2670 3390

Gewichtskraft

je Meter Länge je Meter Länge A0' FG'

3,69 5,79 8,65 12,3 16,7 22,2 28,5 37,3 47,3 62,2 80,5 98,5 123 146 176 214 254 308

m2/m1)

N/m

0,328 0,400 0,475 0,551 0,623 0,698 0,768 0,848 0,922 1,041 1,155 1,254 1,348 1,467 1,605 1,738 1,877 2,014

59 79 102 126 155 184 220 257 301 353 414 482 560 651 761 893 1032 1200

Die Zahlenwerte geben zugleich den Profilumfang U in m an.

4.28 Mechanische Eigenschaften von Schrauben Kennzeichen

4.6 2

Mindest-Zugfestigkeit Rm in N/mm

4.8

5.6

400

5.8

6.6

500

6.8

6.9

600

8.8

10.9

12.9

800

1000 1200

Mindest-Streckgrenze Re oder Rp 0,2-Dehngrenze in N/mm2

240

320

300

400

360

480

540

640

900

1080

Bruchdehnung A5 in %

25

14

20

10

16

8

12

12

9

8

44

4 Festigkeitslehre 4.29 Warmgewalzter rundkantiger U-Stahl (Auswahl) Beispiel für die Bezeichnung eines U-Stahls und für das Auswerten der Tabelle: U 100 DIN 1026 – S235JRG1 Höhe h = 100 mm Breite b = 50 mm Flächenmoment 2. Grades Ix = 206 · 104 mm4 Widerstandsmoment Wx = 41,2 · 103 mm3 Flächenmoment 2. Grades Iy = 29,3 · 104 mm4 Widerstandsmoment Wy1 = 18,9 · 103 mm3 Wy2 = 8,49 · 103 mm3 Oberfläche je Meter Länge A0' = 0,372 m2/m Profilumfang

U = 0,372 m

Trägheitsradius Kurzzeichen

Querschnitt

h

b

s

A

U

mm

mm mm

mm2

30 × 15 30 40 × 20 40 50 × 25 50 60 65 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 350 380 400

30 30 40 40 50 50 60 65 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 350 380 400

15 33 20 35 25 38 30 42 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 100 100 102 110

221 544 366 621 492 712 646 903 1100 1350 1700 2040 2400 2800 3220 3740 4230 4830 5330 5880 7580 7730 8040 9150

1)

ix = I x /A

4 5 5 5 5 5 6 5,5 6 6 7 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10 10 14 14 13,5 14

e1/e2 mm 5,2/ 9,8 13,1/19,9 6,7/13,3 13,3/21,7 8,1/16,9 13,7/24,3 9,1/20,9 14,2/27,8 14,5/30,5 15,5/34,5 16,0/39,0 17,5/42,5 18,4/46,6 19,2/50,8 20,1/54,9 21,4/58,6 22,3/62,7 23,6/66,4 25,3/69,7 27,0/73,0 26,0/74,0 24,0/76,0 23,8/78,2 26,5/83,5

Ix

Wx

Iy

Wy1

Wy2

·104 mm4 ·103 mm3 ·104 mm4 ·103 mm3 ·103 mm3 2,53 6,39 7,58 14,1 16,8 26,4 31,6 57,5 106 206 364 605 925 1350 1910 2690 3600 4820 6280 8030 10870 12840 15760 20350

1,69 4,26 3,79 7,05 6,73 10,6 10,5 17,7 26,5 41,2 60,7 86,4 116 150 191 245 300 371 448 535 679 734 829 1020

0,38 5,33 1,14 6,68 2,49 9,12 4,51 14,1 19,4 29,3 43,2 62,7 85,3 114 148 197 248 317 399 495 597 570 615 846

0,73 4,07 1,70 5,02 3,07 6,66 4,98 9,93 13,4 18,9 27,0 35,8 46,4 59,4 73,6 92,1 111 134 158 183 230 238 258 355

= 39,1 mm

Oberflache je Meter Länge A0' m2/m1)

0,39 2,68 0,86 3,08 1,47 3,75 2,16 5,07 6,36 8,49 11,1 14,8 18,3 22,4 27,0 33,6 39,6 47,7 57,3 67,8 80,7 75,0 78,6 101

Gewichtskraft je Meter Länge FG' N/m

0,103 0,174 0,142 0,200 0,181 0,232 0,215 0,273 0,312 0,372 0,434 0,489 0,546 0,611 0,661 0,718 0,775 0,834 0,890 0,950 0,982 1,05 1,11 1,18

17,0 41,9 28,2 47,8 37,9 54,8 49,7 69,5 84,7 104,0 130,9 157,1 184,8 215,6 248,0 288,0 325,7 372 410,5 452,8 583,7 595,3 619,1 704,6

Die Zahlenwerte geben zugleich den Profilumfang U in m an.

4.30 Niete und zugehörige Schrauben für Stahl- und Kesselbau d1 in mm ʌ A1 in mm2 = d12 4 d in mm (Rohnietdurchmesser) Sechskantschraube

11

13

(15)

17

(19)

21

23

25

28

31

(34)

95

133

177

227

284

346

415

491

616

755

908 1075

10 12 M10 M12

(14) –

16 M16

(18) –

20 M20

22 M22

24 27 30 (33) 36 M24 M27 M30 M33 M36

d1 Durchmesser des geschlagenen Nietes = Nietlochdurchmesser

37

Größen in ( ) möglichst vermeiden

45

5 Gewindetabellen 5.1 Metrisches ISO-Gewinde

Bezeichnung des Metrischen Regelgewindes z.B. M 12

Gewinde-Nenndurchmesser d = D = 12 mm

Maße in mm GewindeSteigung Steigungs- FlankenNenndurchmesser winkel durchmesser d=D P d2 = D2 D in Grad Reihe 1 Reihe 2 3 3,5 4 4,5 5 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 27 30 33 36 39 42 45 48 52 56 60 64 68 1)

46

Kerndurchmesser d3

D1

Gewindetiefe 1) Spannungs- polares Widerquerschnitt standsmoment As Wps mm2 mm3 h3 H1

0,5 0,6 0,7 0,75

3,40 3,51 3,60 3,40

2,675 3,110 3,545 4,013

2,387 2,764 3,141 3,580

2,459 2,850 3,242 3,688

0,307 0,368 0,429 0,460

0,271 0,325 0,379 0,406

5,03 6,78 8,73 11,3

3,18 4,98 7,28 10,72

0,8 1 1,25 1,5

3,25 3,40 3,17 3,03

4,480 5,350 7,188 9,026

4,019 4,773 6,466 8,160

4,134 4,917 6,647 8,376

0,491 0,613 0,767 0,920

0,433 0,541 0,677 0,812

14,2 20,1 36,6 58,0

15,09 25,42 62,46 124,6

1,75 2

2,94 2,87

10,863 12,701

9,853 10,106 11,546 11,835

1,074 1,227

0,947 1,083

84,3 115

218,3 347,9

2 2,5 2,5

2,48 2,78 2,48

14,701 16,376 18,376

13,546 13,835 14,933 15,294 16,933 17,294

1,227 1,534 1,534

1,083 1,353 1,353

157 192 245

554,9 750,5 1082

2,5 3 3

2,24 2,48 2,18

20,376 22,051 25,051

18,933 19,294 20,319 20,752 23,319 23,752

1,534 1,840 1,840

1,353 1,624 1,624

303 353 459

1488 1871 2774

3,5 3,5 4

2,30 2,08 2,18

27,727 30,727 33,402

25,706 26,211 28,706 29,211 31,093 31,670

2,147 2,147 2,454

1,894 1,894 2,165

561 694 817

3748 5157 6588

4 4,5 4,5 5 5 5,5

2,00 2,10 1,95 2,04 1,87 1,91

36,402 39,077 42,077 44,752 48,752 52,428

34,093 36,479 39,479 41,866 45,866 49,252

34,670 37,129 40,129 42,587 46,587 50,046

2,454 2,760 2,760 3,067 3,067 3,374

2,165 2,436 2,436 2,706 2,706 2,977

976 1120 1300 1470 1760 2030

8601 10574 13222 15899 20829 25801

5,5 6 6

1,78 1,82 1,71

56,428 60,103 64,103

53,252 54,046 56,639 57,505 60,639 61,505

3,374 3,681 3,681

2,977 3,248 3,248

2360 2680 3060

32342 39138 47750

H1 ist die Tragtiefe (siehe Festigkeitslehre: Flächenpressung im Gewinde)

5 Gewindetabellen 5.2 Metrisches ISO-Trapezgewinde Bezeichnung für a) eingängiges Gewinde z.B.

Tr 75 × 10

Gewindedurchmesser d = 75 mm, Steigung P = 10 mm = Teilung

b) zweigängiges Gewinde z.B.

Tr 75 u 20 P 10 Gewindedurchmesser d = 75 mm, Steigung Ph = 20 mm, Teilung P = 10 mm Ganzahl z

Steigung Ph Teilung P

20 mm 10 mm

2

Maße in mm Gewinde- Steigung Steigungs- Tragtiefe FlankenKerndurchmesser winkel durchmesser durchmesser d P H1 D2 = d2 d3 D in Grad H1 = 0,5 P D2 = d – Hl

Kernquerschnitt

polares Widerstandsmoment

A3 = ʌ d32 4 mm2

Wp = ʌ d33 16 mm3

8 10 12 16 20

1,5 2 3 4 4

3,77 4,05 5,20 5,20 4,05

0,75 1 1,5 2 2

7,25 9 10,5 14 18

6,2 7,5 9 11,5 15,5

30,2 44,2 63,6 104 189

46,8 82,8 143 299 731

24 28 32 36 40

5 5 6 6 7

4,23 3,57 3,77 3,31 3,49

2,5 2,5 3 3 3,5

21,5 25,5 29 33 36,5

18,5 22,5 25 29 32

269 398 491 661 804

1243 2237 3068 4789 6434

44 48 52 60

7 8 8 9

3,15 3,31 3,04 2,95

3,5 4 4 4,5

40,5 44 48 55,5

36 39 43 50

1018 1195 1452 1963

9161 11647 15611 24544

65 70 75 80

10 10 10 10

3,04 2,80 2,60 2,43

5 5 5 5

60 65 70 75

54 59 64 69

2290 2734 3217 3739

30918 40326 51472 64503

85 90 95 100

12 12 12 12

2,77 2,60 2,46 2,33

6 6 6 6

79 84 89 94

72 77 82 87

4071 4656 5281 5945

73287 89640 108261 129297

110 120

12 14

2,10 2,26

6 7

104 113

97 104

7390 8495

179203 220867

47

6 Allgemeine Tabellen 6.1 Werte für e PD in Abhängigkeit vom Umschlingungswinkel D und von der Reibzahl P D°

D

36 72 108 144 180 216 252 288 324 360 540 720 900 1080 1260 1440 1620 1800

0,2 S 0,4 S 0,6 S 0,8 S 1,0 S 1,2 S 1,4 S 1,6 S 1,8 S 2,0 S 3S 4S 5S 6S 7S 8S 9S 10 S

0,05 0,1 1,032 1,065 1,065 1,134 1,099 1,207 1,134 1,286 1,170 1,369 1,207 1,458 1,246 1,552 1,286 1,653 1,327 1,760 1,369 1,874 1,602 2,566 1,874 3,514 2,193 4,810 2,566 6,586 3,003 9,017 3,514 12,35 4,111 16,90 4,810 23,14

Reibzahlen 0,15 0,2 0,25 0,3 1,099 1,134 1,170 1,207 1,207 1,286 1,369 1,458 1,327 1,458 1,602 1,760 1,458 1,653 1,874 2,125 1,602 1,874 2,193 2,566 1,760 2,125 2,566 3,099 1,934 2,410 3,003 3,741 2,125 2,733 3,514 4,518 2,336 3,099 4,111 5,455 2,566 3,514 4,810 6,586 4,111 6,586 10,55 16,90 6,586 12,35 23,14 43,38 10,55 23,14 50,75 111,3 16,90 43,38 111,3 285,7 27,08 81,31 244,2 733,1 43,38 152,4 535,5 1881 69,49 285,7 1174 4829 111,3 535,5 2576 12 390

0,35 1,246 1,552 1,934 2,410 3,003 3,741 4,662 5,808 7,237 9,017 27,08 81,31 244,2 733,1 2202 6611 19 850 59 610

0,4 1,286 1,653 2,125 2,733 3,514 4,518 5,808 7,468 9,602 12,35 43,38 152,1 535,5 1881 6611 23 230 81 610 286 800

0,45 0,5 1,327 1,369 1,760 1,874 2,336 2,566 3,099 3,514 4,111 4,810 5,455 6,586 7,237 9,017 9,602 12,35 12,74 16,90 16,90 23,14 69,49 111,3 285,7 535,5 1174 2576 4829 12 390 19850 59 610 81 610 286 800 335 500 1 379 000 1 379 000 6 636 000

Die Tabelle gibt einen Überblick über den Verlauf der ePD-Werte. Zur Berechnung beliebiger Werte benutzt man die  lnx-oder ex-Taste des Taschenrechners. Dabei ist D im Bogenmaß einzusetzen: D = D° S/180°.

6.2 Vorsatzzeichen zur Bildung von dezimalen Vielfachen und Teilen von Basiseinheiten oder abgeleiteten Einheiten mit selbständigem Namen Vorsatz Tera Giga Mega Kilo Hekto Deka Dezi Zenti Milli Mikro Nano Pico

Kurzzeichen T G M k h da d c m

P n P

1012 109 106 103 102 101 10–1 10–2 10–3 10–6 10–9 10–12

Bedeutung Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten

1 Terameter (Tm) 1 Gigagramm (Gg) 1 Megagramm (Mg) 1 Kilogramm (kg) 1 Hektoliter (hl) 1 Dekameter (dam) 1 Deziliter (dl) 1 Zentimeter (cm) 1 Millisekunde (ms) 1 Mikrometer (Pm) 1 Nanosekunde (ns) 1 Picofarad (pF)

Beispiel = 1012 m = 109 g = 106 kg = 103 t = 1000 t = 106 g = 103 kg = 1 t = 103 g = 1000 g = 102 l = 100 l = 10 m = 0,1 l = 0,01 m = 10–2 m = 0,001 s = 10–3 s = 0,000 001 m = 10–6 m = 10–9 s = 10–12 F

6.3 Bevorzugte Maße in Festigkeitsrechnungen Beispiel: Die Wellenberechnung ergibt als erforderlichen Durchmesser derf = 20,4 mm. Als Ergebnis wird d = 21 mm festgelegt. 0,1 1 4 10 24 46 70 100 170 280 390 550

48

0,12 1,1 4,5 11 25 48 71 105 175 290 400 560

0,16 1,2 5 12 26 50 72 110 180 300 410 580

0,2 1,4 5,5 13 28 52 75 115 185 310 420 600

0,25 1,5 6 14 30 53 78 120 190 315 430 630

0,3 1,6 7 15 32 55 80 125 195 320 440 650

0,4 1,8 8 16 34 56 82 130 200 330 450 670

0,5 2 9 17 35 58 85 135 210 340 460 700

0,6 2,2

0,8 2,5

2,8

18 36 60 88 140 220 350 470 710

19 38 62 90 145 230 355 480 750

20 40 63 92 150 240 360 490 800

3

3,2

3,5

21 42 65 95 155 250 370 500 850

22 44 67 98 160 260 375 520 900

23 45 68 165 270 380 530 950

6 Allgemeine Tabellen 6.4 Umrechnungsbeziehungen für die gesetzlichen Einheiten Gesetzliche Einheit Größe

Name und Einheitenzeichen

Kraft F

Newton N

Druck p

Newton N Quadratmeter m 2

Früher gebräuchliche Einheit (nicht mehr zulässig) und Umrechnungsbeausgedrückt als Potenzprodukt der Basiseinheiten ziehung 1 N = 1 m kg s–2

N = 1 m–1 kgs–2 m2

1

N = 1 Pascal Pa m2 1 bar = 105 Pa 1

Die gebräuchlichsten Vorsätze und deren Kurzzeichen

Mechanische Spannung V, W, ebenso Festigkeit, Flächenpressung, Lochleibungsdruck

für das Millionenfache (106fache) der Einheit: für das Tausendfache (103fache) der Einheit: für das Zehnfache (10fache) den Einheit: für das Hundertstel (10–2fache) der Einheit: für das Tausendstel (10–3fache) der Einheit: für das Millionstel (10–6fache) der Einheit: Newton Quadratmillimeter N mm 2 N 1 mm 2

Mega M Kilo k Deka da Zenti c Milli m Mikro P

1

N mm 2

106 m 1 kg s 2

N 106 Pa m2 = 1 MPa = 10 bar 106

Kilopond kp 1 kp = 9,80665 N | 10 N 1 kp | 1 daN Meter Wassersäule mWS 1 mWS = 9,806 65 · 103 Pa 1 mWS | 0,1 bar Millimeter Wassersäule mm WS N 1 mm WS | 9,806 65 2 | 10 Pa m Millimeter Quecksilbersäule mmHg 1 mmHg = 133,3224 Pa Torr 1 Torr = 133,3224 Pa Technische Atmosphäre at kp 1 at = 1 = 9,80665 · 104 Pa cm 2 1 at | 1 bar Physikalische Atmosphäre atm 1 atm = 1,01325 · 105 Pa | 1,01 bar kp kp und mm 2 cm 2 kp N N 1 = 9,80665 ≈ 10 mm 2 mm 2 mm 2 kp N N ≈ 0,1 1 2 = 0,0980665 cm mm 2 mm 2

Drehmoment M, Biegemoment Mb, Torsionsmoment MT

Newtonmeter Nm

1 Nm = 1 m2 kg s–2

Arbeit W, Energie E

Joule J

1 J = 1 Nm = 1 m2 kg s–2 Kilopondmeter kpm 1 kpm = 9,80665 J | 10 J

1 J = 1 Nm = 1 Ws Leistung P

1 W = 1 m2 kg s–3

Watt W 1 W =1

J s

1

Nm s

Kilopondmeter kpm 1 kpm = 9,80665 Nm | 10 Nm Kilopondzentimeter kpcm 1 kpcm = 0,0980665 Nm | 0,1 Nm

Kilopondmeter kpm Sekunde s kpm 1 = 9,80665 W | 10 W s Pferdestärke PS kpm = 735,49875 W 1 PS = 75 s

49

6 Allgemeine Tabellen Gesetzliche Einheit Größe

Name und Einheitenzeichen

ausgedrückt als Potenzprodukt der Basiseinheiten

Früher gebräuchliche Einheit (nicht mehr zulässig) und Umrechnungsbeziehung

Impuls F 't

Newtonsekunde Ns kgm 1 Ns = 1 s

1 Ns = 1 m kg s–1

Kilopondsekunde kps 1 kps = 9,80665 Ns | 10 Ns

Drehimpuls M 't

Newtonmetersekunde Nms kgm 2 1 Nms = 1 s

1 Nms = 1 m2 kg s–1

Kilopondmetersekunde kpms 1 kpms = 9,80665 Nms | 10 Nms

Trägheitsmoment J

Kilogrammmeterquadrat kgm2

1 m2 kg

Kilopondmetersekundequadrat kpms2 1 kpms2 = 9,80665 kgm2 | 10 kgm2

Wärme, Wärmemenge Q

Joule J 1 J = 1 Nm = 1 Ws

1 J = 1 Nm = 1 m2 kg s–2

Kalorie cal 1 cal = 4,1868 J Kilokalorie kcal 1 kcal = 4186,8 J

Temperatur T

Kelvin K

Basiseinheit Kelvin K

Grad Kelvin °K 1 °K = 1 K

Temperaturintervall 'T

Kelvin K und Grad Celsius °C

Basiseinheit Kelvin K

Grad grd 1 grd = 1 K = 1 °C

Celsius-Temperatur t, -

Grad Celsius °C

Basiseinheit °C

Längenausdehnungskoeffizient D l

Eins durch Kelvin

1 K

1 = K–1 K

1 1 , grd °C 1 1 grd °C

1 K

6.5 Das griechische Alphabet Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta

50

A B * ' E Z H 4

α β γ δ ε ζ η -

Jota Kappa Lambda My Ny Xi Omikron Pi

I K / M N ; O 3

L N O P Q [ R S

Rho P Sigma 6 Tau T Ypsilon Y Phi ) Chi X Pst < Omega :

r

V W X M F \ Z

7 Mathematische Hilfen 1 Rechnen mit Null 2 Quotient Binomische

3 Formel,

Polygon

4 arithmetisches Mittel

a · b = 0 heißt a = 0 oder b = 0; 0 · a = 0; 0 : a = 0

b = b : n; n z 0; b Dividend; n = Divisor n Division durch Null gibt es nicht. (a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + 2 ab + b2 (a – b)2 = (a – b) (a – b) = a2 – 2 ab + b2 a2 – b2 = (a + b) (a – b) (a + b + c)3 = a3 ± 3a2b + 3 ab2 ± b3 x  x2  ...  xn 236 xa = 1 z.B. xa = 3 n a=

3,67

geometrisches

xg = n x1 ⋅ x2 ⋅ ...⋅ xn z.B. xg = 3 2 ˜ 3 ˜ 6 3 36 3,3 5 Mittel z.B. 71 = 7; 70 = 1 6 erste und nullte Potenz a1 = a; a0 = 1 1 1 1 1 a–n = n ; a 1 z.B. 7–2 = 2 ; 7 1 7 negativer Exponent a 7 a 7 100 = 1 106 = 1 Million 10–1 = 0,1 101 = 10 109 = 1 Milliarde 10–2 = 0,01 8 Zehnerpotenzen 102 = 100 1012 = 1 Billion 10–3 = 0,001 3 15 10 = 1000 10 = 1 Billiarde usw. 10–4 = 0,0001 usw. n

9 Wurzel-Definition

c aoa c a t 0 und c t 0

4

81

4

81 = 811/ 4 = 3

3 o 34

81

immer positiv Wurzeln sind Potenzen mit gebrochenen Expo10 nenten, es gelten die Regeln der Potenzrechnung Quadratische Gleichung 11 allgemeine Form Quadratische 12 Gleichung Normalform

n

c1/ n

c

n

c 1/ n

c

1 c1/ n

x2 +

a1 a x 0 a2 a2

x2  p x  q

2 p § p· r ¨ ¸ q 2 ©2¹ Beispiel:

25 x 2 − 70 x + 13 = 0⎫ ⎪ ⎬ 70 13 x 2 − x + = 0⎪ ⎭ 25 25

x1 + x2 = – p Kontrolle der

14 Lösungen (Viéta)

c

n

1 c

n 1 c

a2 x2 + a1 x + a0 = 0 (a2 z 0)

x1,2 =  Quadratische Gleichung 13 Lösungsformel mit Beispiel

1 n

x1 · x2 = q

0

Die Lösungen x1 und x2 sind a) beide verschieden und reell, wenn der Wurzelwert positiv ist; b) beide gleich und reell, 2 ⎛ ⎞ 70 70 13 wenn der Wurzelwert x1,2 =+ ± ⎜ ⎟ − Null ist; 50 ⎝ 50 ⎠ 25 c) beide konjugiert komplex, 7 49 13 13 1 wenn der Wurzelwert − = ;x = x1 =+ + 5 25 25 5 2 5 negativ ist.

70 13 und q , also 25 25 13 1 14 70 x1 + x2 =  p 5 5 5 25 13 1 13 x1 · x2 = ˜ q 5 5 25

Im Beispiel ist p = 

51

7 Mathematische Hilfen a2 3 4 a r 3 3 a r= 3 6 A

15 Dreieck (gleichseitiges)

Viereck (Quadrat)

a2 25  10 5 4 a r 25  10 5 10 a r= 25 + 10 5 10

3 A = a2 3 2 r=a

A

16 Fünfeck

A = a2 a r= 2 2 a r= 2

Sechseck

r=

a 3 2

A = a h = ab sin α

17

A

ah

U

4a

d1 d 2 2

U = 2 (a + b) Parallelogramm

Rhombus

A 18 Trapez

m A

19 regelmäßiges Sechseck

ac h 2 mh ac 2

d1 =

(a + h cot α )2 + h 2

d2 =

( a − h cot α ) 2 + h 2

A

A1  A2  A3 c1 h1  c2 h2  c2 h3 2

Vieleck

3 2 a 3 2

Schlüsselweite: Eckenmaß:

S=a 3 e = 2a

A Dreieck

A

d2 ʌ ʌ A 4 U = 2 r S= d S r2

20 Kreis

21 Kreissektor

52

s

S = 3,141592 Kreisring

ϕ° br = ʌ r2 2 360° ϕ r2 = 2 Bogenlänge b: Mq ʌ r b =M r 180q

A=

gh 2

dm

ʌ (ra2  ri2 ) ʌ 2 (d a  di2 ) 4 dm ʌ s d a  di 2 d a  di 2

Mq ˜ ʌ

(R2  r 2 ) l s 360q mittlere Bogenlänge l: Rr ʌ Mq l ˜ 2 180q Ringbreite s: s=R–r A

7 Mathematische Hilfen ⎞ r 2⎛ ϕ ° ʌ ⎜ − sin ϕ ⎟ ⎠ 2 ⎝180° 1 = [ r (b − s ) + s h ] 2 2 ≈ sh 3 Sehnenlänge s:

A=

22 Kreisabschnitt

s

2 r sin

M 2

Kreisradius r : 2

§ s ·  h2 ¨ ¸ r © 2¹ 2h Bogenhöhe h: M· § h r ¨1  cos ¸ 2¹ © M s tan 2 4

Bogenhöhe b: 16 b s 2  h2 3 Mqʌ r Mr b 180q

Der ebene Winkel α (kurz: Winkel D, im Gegensatz zum Begriff des ebe- Raumwinkel) zwischen den beiden Strahlen g1, g2 ist die 23 nen Winkels Länge des Kreisbogens b auf dem Einheitskreis, der im Gegenuhrzeigersinn von Punkt P1 zum Punkt P2 führt. Bogenmaß des ebenen Winkels kohärente Ein25 heit des ebenen Winkels 24

26

Vollwinkel und rechter Winkel

Die Länge des Bogens b auf dem Einheitskreis ist das Bogenmaß des Winkels. Die kohärente Einheit (SI-Einheit) des ebenen Winkels ist der Radiant (rad). Der Radiant ist der ebene Winkel, für den das Verhält- 1 rad b r nis der Länge des Kreisbogens b zu seinem Radius r gleich eins ist. Für den Vollwinkel α beträgt der Kreisbogen b = 2 S r. Es ist demnach: b 2π r rad = 2 π rad D= = Vollwinkel = 2 S rad r r Ebenso ist für den rechten Winkel (1Ŋ ): b 2ʌ r ʌ ʌ rad rad rechter Winkel 1Ŋ = rad D = 1Ŋ = r 4r 2 2

1

Ein Grad (1°) ist der 360ste Teil des Vollwinkels (360°). Folglich gilt: b 2ʌ r 2ʌ ʌ 1° = rad rad rad r 360 r 360 180 27

ʌ 1q ˜ 180 rad | 0,0175 rad oder durch Umstellen: 1 rad = Umrechnung von 1° = 180 ʌ Winkeleinheiten ʌ ʌ Beispiel: a) D = 90° = 90q rad rad 180q 2 180q b) D = S rad = S 180q ʌ

Sinus Kosinus 28

Tangens Kotangens Sekans Kosekans

Gegenkathete Hypotenuse Ankathete Hypotenuse Gegenkathete Ankathete Ankathete Gegenkathete Hypotenuse Ankathete Hypotenuse Gegenkathete

sin D

BC

cos D

OB

tan D

AD

cot D

EF

sec D

OD

cosec D

OF

a½ c °° von ¾ b ° 1...  1 c °¿ a½ b °° von ¾ b ° f ...  f a °¿ c ½ von b °° f ...  f ¾ c ° und d °¿ 1...  f

180q | 57,3q ʌ

Beachte: Winkel werden vom festen Radius OA aus linksdrehend gemessen.

53

7 Mathematische Hilfen Trigonometrische Funktionen: y = cos x 29 y = sin x, y = tan x, y = cot x

30

Vorzeichen der Funktion (richtet sich nach dem Quadranten, in dem der bewegliche Radius liegt)

Funktionen für 30 Winkel zwischen 90° … 360°

Quadrant I II III IV

Größe des Winkels von 0° bis 90° von 90° bis 180° von 180° bis 270° von 270° bis 360°

Funktion sin E cos E tan E cot E

E = 90° ± D + cos D ӏ sin D ӏ cot D ӏ tan D

sin + + – –

cos + – – +

tan + – + –

E = 180° ± D ӏ sin D – cos D ± tan D ± cot D

cot + – + –

E = 210° ± D – cos D ± sin D ӏ cot D ӏ tan D

sec + – – +

cosec + + – –

E = 360° – D – sin D + cos D – tan D – cot D

Beispiel 1): sin 205° = sin (180 + 25°) = – (sin 25°) = – 0,4226

Funktionen für negative Winkel werden auf solche für positive Winkel zurückgeführt: sin (– D) = – sin D cos (– D) = cos D 31 tan (– D) = – tan D cot (– D) = – cot D Beispiel 1) : sin (– 205°) = – 205°

Funktionen für Winkel über 360° werden auf solche von Winkeln zwischen 0° … 360° zurückgeführt (bzw. zwischen 0° … 180° ); „n“ ist ganzzahlig: sin (360° · n + D) = sin D 32 Beispiel 1): cos (360° · n + D) = cos D sin (– 660°) = – sin 660° = – sin (360° · 1 + 300°) = tan (180° · n + D) = tan D cot (180° · n + D) = cot D = – sin 300° = – sin (270° + 30°) = + cos 30° = 0,8660. sin D 1 cosD sin2 D + cos2 D = 1; tan D = ; cot D = 33 Grundformeln cos D tan D sin D sin D

Umrechnung zwischen Funktionen desselben Winkels 34 (die Wurzel erhält das Vorzeichen des Quadranten, in dem der Winkel D liegt)

cos D

sin D =

sin D

1  cos 2 D

cos D =

1  sin 2 D

cos a

sin D

1  cos 2 D cosD

tan D =

1  sin 2 D

tan D

cot D

tan D

1

1

1  cot 2 D cot D

1  tan 2 D

1  cot 2 D

tan D

1 cot D

1

tan 2 D

cosD 1 1  sin 2 D cot D 2D D tan 1 cos  sin D sin (D +E ) = sin D · cos E + cos D · sin E ; cos (D +E ) = cos D · cos E – sin D · sin E sin (D – E ) = sin D · cos E – cos D · sin E ; cos (D – E ) = cos D · cos E + sin D · sin E tan D  tan E cot D ˜ cot E  1 tan (D + E ) = cot (D + E ) = 1  tan D ˜ tan E cot D  cot E cot D =

35

AdditionsTheoreme

tan (D – E ) = 1)

54

tan D  tan E 1  tan D ˜ tan E

cot (D – E ) =

cot α ⋅ cot β + 1 cot β − cot α

Der Rechner liefert die Funktionswerte direkt, z.B. ist sin (– 660°) = 0,866 025 403 8.

7 Mathematische Hilfen α− β cos 2 2 α+ β α− β sin α − sin β = 2sin sin 2 2 sin (α + β ) tan α + tan β = cos α cos β sin(α − β ) tan α − tan β = cos α cos β sin (α + β ) + sin (α − β ) = 2 sin α cos β ; sin α + sin β = 2sin

36

Summenformeln

α+ β

sin (α + β ) − sin ( α − β ) = 2 cos α sin β ;

cos α + sin α = 2 sin(45°+ α ) = 2 cos(45°− α )

α− β cos 2 2 α+ β α− β cos α − cos β =−2sin sin 2 2 sin ( β + α ) cot α + cot β = sin α sin β sin (α − β ) cot α − cot β = sin α sin β cos (α + β ) + cos (α − β ) = 2 cos α cos β cos α + cos β = 2cos

α+ β

cos (α + β ) − cos ( α − β ) = 2 sin α sin β

cos α − sin α = 2 cos (45°+ α )

1+ tan α = tan (45°+ α ) 1− tan α

= 2 sin (45°− α )

cot α +1 = cot (45°− α ) cot α −1

Sachwortverzeichnis 3-Kräfte-Verfahren 2 4-Kräfte-Verfahren 3 A Abminderungsfaktor 29, 31 Abscherbeanspruchung 27 Abtriebsmoment 19 Additions-Theoreme 54 Amplitude 21 Antriebsmoment 19 Anzugsmoment 10 Arbeit 17, 49 –, mechanische 17 Arbeitsplan zum Tragsicherheitsnachweis 30 Arithmetisches Mittel 51 Auftriebskraft 25 Ausbreitungsgeschwindigkeit 23 Ausfluss 26 – aus Gefäßen 26 Ausflussgeschwindigkeit 26 Ausflusszahl 26 Ausflusszeit 26 Auslenkung 21, 23 B Backenbremszaum 11 Bandbremszaum 11 Basiseinheiten 48 f. Baustahl 38 Bernoulli’sche Druckgleichung 25

Beschleunigung 13, 16 Beschleunigungsarbeit 19 f. Bewegung, gleichmäßig beschleunigte geradlinige 13 – – verzögerte geradlinige 13 Bezugspunkt 2 Bezugsschlankheitsgrad 30 Biegebeanspruchung 28 –, Träger gleicher 37 Biegemoment 28, 33, 49 Biegeträger 33 Biegung 34 – und Torsion 32 – und Zug 32 Binomische Formel 51 Boden, gewölbter 24 Bodenkraft 25 Bogen 6, 53 Bogenhöhe 6, 53 Bogenlänge 52 Bogenmaß 48 – des ebenen Winkels 53 Bolzenverbindung 27 Brechungsgesetz 23 Brechungswinkel 23 Bremsband 11 Bremsen 11 Bremsmoment 11 Bremsscheibe 11

C Celsius-Temperatur 50 Cremonaplan 4 Culmann’sche Gerade 4 Culmann’sches Schnittverfahren 4 D Dauerbruchsicherheit im Maschinenbau 32 Dauerfestigkeitswert 32, 38 Dehnung 27 Dichte 17 – der Flüssigkeit 25 Division 51 Doppler-Effekt 23 Drehimpuls 50 Drehmoment 49 Drehwinkel 14, 16 Dreieck 52 Dreiecksschwerpunkt 5 Dreiecksumfang 6 Druck 24, 49 –, hydrostatischer 24 Druckbeanspruchung 27 Druckmittelpunkt 25 Druckstab 29 Durchbiegung 33, 37 Durchmesser, erforderlicher 28 Dynamisches Grundgesetz für Rotation 18 – – – Translation 17

55

7 Mathematische Hilfen α− β cos 2 2 α+ β α− β sin α − sin β = 2sin sin 2 2 sin (α + β ) tan α + tan β = cos α cos β sin(α − β ) tan α − tan β = cos α cos β sin (α + β ) + sin (α − β ) = 2 sin α cos β ; sin α + sin β = 2sin

36

Summenformeln

α+ β

sin (α + β ) − sin ( α − β ) = 2 cos α sin β ;

cos α + sin α = 2 sin(45°+ α ) = 2 cos(45°− α )

α− β cos 2 2 α+ β α− β cos α − cos β =−2sin sin 2 2 sin ( β + α ) cot α + cot β = sin α sin β sin (α − β ) cot α − cot β = sin α sin β cos (α + β ) + cos (α − β ) = 2 cos α cos β cos α + cos β = 2cos

α+ β

cos (α + β ) − cos ( α − β ) = 2 sin α sin β

cos α − sin α = 2 cos (45°+ α )

1+ tan α = tan (45°+ α ) 1− tan α

= 2 sin (45°− α )

cot α +1 = cot (45°− α ) cot α −1

Sachwortverzeichnis 3-Kräfte-Verfahren 2 4-Kräfte-Verfahren 3 A Abminderungsfaktor 29, 31 Abscherbeanspruchung 27 Abtriebsmoment 19 Additions-Theoreme 54 Amplitude 21 Antriebsmoment 19 Anzugsmoment 10 Arbeit 17, 49 –, mechanische 17 Arbeitsplan zum Tragsicherheitsnachweis 30 Arithmetisches Mittel 51 Auftriebskraft 25 Ausbreitungsgeschwindigkeit 23 Ausfluss 26 – aus Gefäßen 26 Ausflussgeschwindigkeit 26 Ausflusszahl 26 Ausflusszeit 26 Auslenkung 21, 23 B Backenbremszaum 11 Bandbremszaum 11 Basiseinheiten 48 f. Baustahl 38 Bernoulli’sche Druckgleichung 25

Beschleunigung 13, 16 Beschleunigungsarbeit 19 f. Bewegung, gleichmäßig beschleunigte geradlinige 13 – – verzögerte geradlinige 13 Bezugspunkt 2 Bezugsschlankheitsgrad 30 Biegebeanspruchung 28 –, Träger gleicher 37 Biegemoment 28, 33, 49 Biegeträger 33 Biegung 34 – und Torsion 32 – und Zug 32 Binomische Formel 51 Boden, gewölbter 24 Bodenkraft 25 Bogen 6, 53 Bogenhöhe 6, 53 Bogenlänge 52 Bogenmaß 48 – des ebenen Winkels 53 Bolzenverbindung 27 Brechungsgesetz 23 Brechungswinkel 23 Bremsband 11 Bremsen 11 Bremsmoment 11 Bremsscheibe 11

C Celsius-Temperatur 50 Cremonaplan 4 Culmann’sche Gerade 4 Culmann’sches Schnittverfahren 4 D Dauerbruchsicherheit im Maschinenbau 32 Dauerfestigkeitswert 32, 38 Dehnung 27 Dichte 17 – der Flüssigkeit 25 Division 51 Doppler-Effekt 23 Drehimpuls 50 Drehmoment 49 Drehwinkel 14, 16 Dreieck 52 Dreiecksschwerpunkt 5 Dreiecksumfang 6 Druck 24, 49 –, hydrostatischer 24 Druckbeanspruchung 27 Druckmittelpunkt 25 Druckstab 29 Durchbiegung 33, 37 Durchmesser, erforderlicher 28 Dynamisches Grundgesetz für Rotation 18 – – – Translation 17

55

E Eckenmaß 52 Einbahnverkehr 1 Einfallswinkel 23 Eingriffslinie 15 Eingriffswinkel 15 Einheit, abgeleitete 48 Einheitenzeichen 49 Einheitskreis 53 Einsatzstahl 38 Elastischer Stoß 19 Elastizitätsmodul 38 Endgeschwindigkeit 13 Energie 49 – bei Rotation 20 –, potenzielle 19 Energieerhaltungssatz 19 Erreger 23 Euler’sche Knickung 29 Eulerbedingung 29 Exponent 51 F Fachwerk 4 Fahrwiderstand 12 Fahrwiderstandszahl 12 Fallhöhe 15 Faserschicht, neutrale 28 Federarbeit 17, 19 Federkraft 17 Federrate 17, 21 f. Federweg 17 Feinkornbaustahl 38 Feste Rolle 12 Festigkeitsrechnung, bevorzugte Maße 48 Festigkeitswerte für verschiedene Graugusssorten 38 – – – Stahlsorten 38 – – Walzstahl 38 Flächenmoment 28, 34 – 2. Grades 41 –, polarer 36 Flächenpressung 27, 49 – im Gewinde 27, 46 Flächenschwerpunkt 5 Flankendurchmesser 10, 27, 46 f. Flankenwinkel des Gewindes 10 Fluidmechanik, Hydraulik 24 Flüssigkeitssäule 21 Flüssigkeitsvolumen 25 Freier Fall 13 Frequenz 21 Fünfeck 52 Funktion, trigonometrische 54 –, Umrechnung 54 Fußkreisdurchmesser 15 G Ganzzahl 47

56

Geometrisches Mittel 51 Gesamtwirkungsgrad 17 Geschwindigkeitshöhe 26 gesetzliche Einheiten, Umrechnungsbeziehungen 49 Gewichtskraft 17 Gewindedurchmesser 47 Gewindenenndurchmesser 46 Gewindereibmoment 10 Gewindesteigung 27 Gewindetiefe 46 Gleichgewichtsbedingung 3 Gleichgewichtskraft 1 Gleichung, quadratische 51 Gleitreibzahl 7 Grenzschlankheitsgrad 29 Griechisches Alphabet 50 Größe, translatorische und rotatorische 20 Größenbeiwert 32, 39 Grundfrequenz 23 Grundkreisdurchmesser 15 Guldin’sche Regel 6 H Haftreibkraft 7 Haftreibwinkel 7 Haftreibzahl 7 Halbkreisfläche 6 Harmonische Schwingung 21 – Welle 23 Hebebock, hydraulischer 24 Höhenenergie 19 Hooke’sches Gesetz 27 – –, Schub 27 Hubarbeit 17 I Impuls 17, 50 Impulserhaltungssatz für Drehung 18 I-Träger 43 –, IPE-Reihe 44 J Joule 49 K Keilreibzahl 9 Keilwinkel 9 Kelvin 50 Kerbwirkung 32 Kerbwirkungszahl 32, 39 Kerndurchmesser 46 f. Kernquerschnitt 47 Kessellängsnaht 24 Kilopond 49 Kinetische Energie 19 –, Bewegungsenergie 19 Knickbeanspruchung 29

Knickkraft, Euler 29 Knicklänge 29 f. Knicklängenbeiwert 30 Knickspannung 29 Knickspannungslinie 30 f. Knickstab 30 Knickung 34 – im Stahlbau 29 Knoten 4 Kolbendurchmesser 24 Kolbenfläche 24 Kolbengeschwindigkeit 16 Kolbenkraft 24 Kolbenweg 16, 24 Kommunizierende Röhren 25 Komponente 1 Kontinuitätsgleichung 25 Kopfkreisdurchmesser 15 Körper, schwimmender 25 Körperinhalt (Volumen) 6 Kosekans 53 Kosinus 53 Kotangens 53 Kraft 49 Krafteck 3 Kräfteplan 1 ff. Kräftesystem, zentrales 1 Kräftezug 2 Kraftweg 12 Kreis 52 Kreisabschnitt 53 – -Schwerpunkt 6 Kreisausschnitt-Schwerpunkt 6 Kreisbewegung, gleichförmige 14 –, gleichmäßig beschleunigte 14 –, gleichmäßig verzögerte 14 Kreisbogen 6 Kreisfrequenz 21 Kreisradius 53 Kreisring 52 Kreisringstück-Schwerpunkt 6 Kreissektor 52 Kreuzschubkurbelgetriebe, Kreuzschleife 16 Kulissenstein 16 Kurbelradius 16 Kurzzeichen 49 L Lageplan 1 ff. Lagerkraft 2 Lagerreibkraft 10 Lageskizze 1 ff. Längenausdehnungskoeffizient 50 Lastkolben 24 Lastweg 12 Leistung 49 Linienschwerpunkt 6 Linienzug 5 Lochleibungsdruck 27, 40, 49

Lose Rolle 12 Lückenweite 15 M Mantelfläche, Oberfläche 6 Massenmoment 18 Mechanische Arbeit 17 – –, Leistung und Wirkungsgrad bei Rotation 19 Metrisches ISO-Gewinde 46 – ISO-Trapezgewinde 47 Modul 15 Momentanbeschleunigung 21 Momentangeschwindigkeit 21 Momentengleichgewichtsbedingung 3 Momentensatz 2, 5 Mutterauflage 10 Mutterhöhe 27 N Neigungswinkel 1 Newton 49 Newtonmeter 49 Niete 40, 45 Nietlochdurchmesser 45 Nitrierstahl 38 Normalkraft 9 – für verschiedene Walzprofile 31 Normfallbeschleunigung 17 Normgewichtskraft 17 Nutzarbeit 17 O Oberfläche für Winkelstahl 41 Oberflächenbeiwert 32, 39 Oszillator 23 P Parallele Kraft 3 Parallelogramm 52 Parallelogrammschwerpunkt 5 Parallelverschiebung 1 Passschrauben 40 Pendelart 22 Pendelgleichung 22 Pendellänge 21 Periodendauer 21 f. Phasenwinkel 21 Polpunkt 2 Polstrahl 2 f. Polygon 51 Potenzen mit gebrochenen Exponenten 51 Potenzielle Energie, Höhenenergie 19 Presse, hydraulische 24 Presskraft 24 Prismenführung 9 –, symmetrische 9

Profilfläche 6 Profilschwerpunkt 41 Profilumfang 41 Q Quadrantenlage 1 Quadratische Gleichung 51 Querschnitt, erforderlicher 27 Querschnittswahl 31 Quotient 51 Radiant 53 Rechter Winkel 53 Regelgewinde 46 Reibarbeit 17 Reibkraft 7, 9 Reibleistung 10 Reibmoment 10 Reibradius 10 Reibung, allgemein 7 – am Spurzapfen 10 – – Tragzapfen 10 – an der Schraube 10 – auf der schiefen Ebene 7 Reibwinkel 7 – im Gewinde 10 Reibzahl 7, 48 Reißlänge 27 Resultierende 2 Rhombus 52 Richtgröße 21 f. Richtungssinn 2 Richtungswinkel 1 Ringbreite 52 Ringvolumen 6 Ritter’sches Schnittverfahren 4 Rohnietdurchmesser 45 Röhren, kommunizierende 25 Rohrlängsnaht 24 Rollbedingung 12 Rollenzug, Flaschenzug 12 Rollkraft 12 Rollreibung 12 Rotationsarbeit 19 Rotationsenergie 20 Rotationsleistung 19 Rückstellkraft 21 f. Rückstellmoment 21 f. S Scheitelhöhe 15 Schenkelbreite 41 Schenkeldicke 41 Schieber 16 Schieberweg, Auslenkung 16 Schlankheitsgrad 29 f. Schlüsselweite 52 Schlusslinie 3 Schlusslinienverfahren 3 Schnittgeschwindigkeit 15 Schräger Wurf 15

Schrauben 40, 44 – für Stahl- und Kesselbau 45 Schraubenfeder 21 Schraubenfederpendel 22 Schraubenlängskraft 10 Schraubgetriebe, Selbsthemmung 10 Schubkurbelgetriebe 16 Schubmodul 27 f., 38 Schubstangenlänge 16 Schubstangenverhältnis 16 Schwebungsfrequenz 21 Schwerependel 21 f. Schwerpunktsabstand 5 Schwerpunktsbestimmung 5 Sechseck 52 –, regelmäßiges 52 Sechstelkreisfläche 6 Sehnenlänge 53 Seileck 3 Seileckverfahren 2, 5 Seilreibkraft 10 Seilreibung 10 Seilstrahl 2 f. Seilzugkraft 10 Seitenkraft 25 Sekans 53 Selbsthemmung des Schraubgetriebes 10 Selbsthemmungsbedingung 11 Senkrechter Wurf 13 Sicherheit gegen Knicken 29 Sinus 53 Spannung, vorhandene 27 Spannungsenergie 19 Spannungsquerschnitt 46 Spannungsverteilung 28 Spurzapfenreibzahl 10 Stabkraft 4 Stahlbau 29 Stahlbauteile, zulässige Spannungen 40 Stahlbezeichnung 39 Steigung 46 f. Steigungswinkel 46 f. Steigzeit 15 Stoß 19 Streckgrenze 31, 38 Strömung, horizontale 25 Stütze 29 Stützkraft 33 Stützkraftberechnung, programmierte 9 Summenformel 55 Systemlänge 30 T Tangens 53 Tangentialbeschleunigung 14 Tangentialkraft 19 Tangentialverzögerung 14

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Teilkreisdurchmesser 15 Teilschwerachse 28 Teilung 15 Temperatur 50 Temperaturintervall 50 Tetmajergleichung 29 Torsionsfeder 21 Torsionsmoment 28, 49 Torsionspendel 22 Träger gleicher Biegebeanspruchung 37 Trägheitsmoment 18, 21 f., 50 Trägheitsradius 30, 34, 41 Tragsicherheit 29 – Arbeitsplan 30 – Hauptgleichung 29 – Nachweis 29, 31 Tragtiefe 27, 47 Tragzapfenreibzahl 10 Translation 19 –, Leistung 17 Trapez 52 Trapezschwerpunkt 5 Triebkolben 24 Trigonometrische Funktion 54 U Überdruck 26 Überlagerung 21 – stehender Wellen 23 Übersetzung 15 Umfangskraft 10 – am Gewinde 10 Umrechnung zwischen Funktionen 54 Umschlingungswinkel 48 U-Stahl 45

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V Verdrängungsschwerpunkt 25 Verdrehbeanspruchung, Torsion 28 Verdrehwinkel 28 Vergleichsmoment 32 Vergleichsspannung 32 Vergütungsstahl 38 Verlängerung 27 Verschiebekraft 9 Verschiebesatz 18 – von Steiner 28 Verzögerung 13 Vieleck 52 Viereck 52 Viertelkreisfläche 6 Vollwinkel 53 Volumenstrom 25 f. Vorsatz 49 Vorsatzzeichen 48 Vorspannkraft 10

–, negativer 54 –, rechter 53 Winkelbeschleunigung 14, 18 Winkeleinheit 53 Winkelstahl 41 –, gleichschenkliger 41 –, Oberfläche 41 –, ungleichschenkliger 42 Winkelverzögerung 14 Wirkabstand 2 Wirklinie 1 Wirkungsgrad 17, 19, 24 – der losen Rolle 12 – des Rollenzugs 12 –, Schraubgetriebe 10 Wurf, schräger 15 Wurfbahn 15 Wurfweite 15 Wurfzeit 15 Wurzel-Definition 51

W Waagerechter Wurf 15 Wärme 50 Wärmemenge 50 Wärmespannung 27 Wassersäule 49 Wegabschnitt 13 Welle, Auslöschung 23 –, Schwächung 23 –, Verstärkung 23 Wellendurchmesser 32 Werte für e PD 48 Widerstandsmoment 28, 34, 41 – für Torsion 36 –, erforderliches 28 –, polares 46 f. Winkel 53 –, ebener 53

Z Zahndicke 15 Zahnfußhöhe 15 Zahnkopfhöhe 15 Zapfenreibzahl 10 Zehnerpotenz 51 Zeitabschnitt 13 Zentrales Kräftesystem 1 Zentripetalbeschleunigung 20 Zentripetalkraft 20 Zugbeanspruchung 27 Zugfestigkeit 38 Zulässige Spannungen für Stahlbauteile 40 – – – Verbindungsmittel 40 – – im Kranbau 40 – – – Stahlhochbau 40