Felix Hausdorff - Gesammelte Werke Band III: Mengenlehre (1927,1935) Deskripte Mengenlehre und Topologie (German and English Edition) (v. 3)

0 folgt a = )S. Aus a + /i = ^ + /i oder at/^ = j8/i folgt nicM ec = fi. Subtraktion. Durch (x und P> cc ist, wie wir soeben sahen, eine der Gleichung ^ _l_ | __ ^ geniigende Zahl | stets und eindeutig bestimmbar, wir bezeichnen sie mit sodsiQ(K+ {—(X + p) = p. I ist der Typus von Wifi) — W{(x), also eines Restes (S. 58) von W{P), kurz ein Restiypus von j8. Bei festem j8 ist iibrigens fiir (X<(x^

a^ die Gleichung nach 7) nicht immer auflosbar {a mufl ein Resttypus von /? sein): z. B. ist rj + CD = CO + i unlosbar, da der linksstehende Typus einer Menge ohne letztes Element, der rechtsstehende einer Menge mit letztem Elem^ent entspricht. Wenn die Gleichung auflosbar ist, so hat sie fiir a > m immer unendlich viele Losungen >y = ??o> ^o + 1> ^o + 2, • •., dagegen fiir endliches a nur eine einzige; sie besagt dann namlich, daB T? + (at — 1) der unmittel-

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64

Viertes Kapitel. Ordnungszahlen.

bare Vorganger von )(?, i^ + {oc — 2) der Vorganger von rj + (oc — I) sein soil usw., wodurch nach endlich vielen Schritten tj eindeutig bestimmt ist. Nur in diesem Falle bezeichnen wir die Losung mit so daB (P — oc) + oc = p ist; diese Gleichung bedeutet also, daB (X eine naturliche Zahl ist und rj aus ^ durch Weglassung der oc letzten Elemente entsteht. Z. B. ist /3 — 1 der Vorganger von /S (/8 als isolierte Zahl > 0 vorausgesetzt). Dwision, Jede Zahl f < (x^ ist in der Form

(3)

C = ^^ + l

(i
darstellbar, wo | und rj durch a, p, ^ eindeutig bestimmt sind. Denn sind A^ B wohlgeordnet von den Typen «, /5, so ist ocp der Typus des Produkts (5, A)^ der lexikographisch geordneten Menge der Paare (J, a). C ist Typus eines Abschnittes von (B^ A)^ der durch das Element (i, a) bestimmt sei; dieser Abschnitt wird geblldet durch die Paare {y^x) mit y 0 vorausgesetzt, in der Form (4) ^=.ocrj + ^ {^
K

> ^2)

(^2 > ^3)

mit abnehmenden, daher nur endUch vielen Resten, unter denen also schUeBlich die Null auftreten muB. Das fiihrt dazu, die geordneten Paare von Ordnungszahlen in Kettenbriiche zu entwickeln und analog wie die gewohnlichen Rationalzahlen zu ordnen; wir gehen darauf nicht ein. Ausdehnung der Multiplikation. Wir haben schon S. 48 von Produkten mit unendlich vielen Faktoren gesprochen, etwa , . . oc^ oc^ oc^; diese sind aber nicht gleichzeitig mit den Faktoren immer Ordnungszahlen,

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§ 14. Verlcniipfungen von Ordnungszahlen.

65

z. B. war . . . ojcoco = 1 + A derTypus des Intervalls [0,1). Wir werden jetzt Produkte mit wohlgeordneter Reihenfolge der Faktoren, wie ^1 ^2 ^3 • • •? erklaren; die jetzige Definition hat mit der damaligen zunachst gar nichts zu schaffen, und erst eine spatere Betrachtung (§ 16) wird ims lehren, jiaB beide doch Spezialfalle eines allgemeinen Produktbegriffs sind. Unsere gegenwartige Erklarung beruht auf transfiniter Induktion (S. 62); der Symmetrie wegen wollen wir auch die — schon einfacher und in weiterem Umfang, namlich fur Ordnnngstypen, erklarte — Addition noch einmal auf diese Weise definieren, d. h. auf Addition von zwei Summanden zuriickfiihren. Jeder Ordnungszahl x sei eine Ordnungszahl JUL^ zugeordnet. Wir definieren die — bei festgewShlten Summanden nur noch als Funktion von a anzusehende — Summe W(a)

]{(X) = I" ^^. = /xo + i"i + • • • + /^l + • • • als Ordnungszahl durch folgende induktive Vorschrift: = 0; <^>{(f/(0) Ifiir ^ > 0 sei /(<x) die kleinste Zahl > /(I) + p.^

{fiir alle I < ac). Nehmen wir der Einfachheit wegen alle /i^ > 0 (Summanden = 0 waren wegzulassen), so ist fiir ^ > |

m)+//.«> m > m+/.c > m, die Zahlen /(<%) wie f(oc) + /^^ haben die Ordnung ihrer Argamente oc, Speziell ist also (6) f{oc + l)=^m+fx,, Ist ferner (X eine Limeszahl, so ist (7) /(^) = lim/(|) (l<^); es ist dann namhch mit ^ /(|) identisch, also f((x) mit lim /(|) identisch (es sind (5) und (6) zu vergleichen). DaB diese jetzige Erklarung der Summe mit der friiheren identisch ist, d. h. daB der friihere Summenbegriff die Eigenschaften (5) oder (6)(7) hat, ist leicht einzusehen. Nach (7) ist die Summe der Limes der Partialsummen, wie bei den konvergenten Reihen der Analysis, z. B. f(o)) = lim /(r), /^o + /^i + /^2 H = lim (/^o + iUi + - • + i^^i)In gleicher Weise verfahren wir fiir das Produkt, das wir auf Produkte zweier Faktoren zuriickfiihren. Jeder Ordnungszahl oc sei eine Ordnungszahl jbt^> 0 zugeordnet (Produkte mit einer Null als Faktor soUen selbst gleich Null sein); wir definieren das als Funktion von <x anzusehende Produkt Wia)

]((x) = n = /^o/^i

"'fH'-'

s H a u s d o r f f , Mengenlehre.

5

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Viertes Kapitel. Ordnungszahlen.

als Ordnungszahl durch die Vorschrift: ^^^ Ifiir oc> 0 sei f((K) die kleinste Zahl ^ / ( | ) / ^ | (fur alle I < a ) . Nehmen wir der Einfachheit wegen alle Faktoren > 1 an (Einsen waren wegzulassen), so ist zunachst klar, da6 f((x) > 0, und man erhalt wie zuvor

(9)

m + h-=mi^a

und fur eine Limeszahl oc

(10)

m = iimm

(i<^).

Die Produkte mit endlichem cc stimmen mit unseren friiheren liberein, / ( l ) = /^oi

/ ( 2 ) = iWo/ii, . . . ,

sodann ist f{(o) = lim f(v), /^o/^ii"2 — • = 1™ i^o/^i • • • f^v—i > z. B. 1) 2. 3. 4 . . , . = lim{2, 6, 2 4 , . . . } = o). Speziell wenn alle Faktoren fia — f^> 1> definieren 'wir das Produkt als die Potenz f(oc) = /j/^. Es ist also (11)

/LL''+^

= fx'' ,{.1

und fiir eine Limeszahl (X (12) [x^=^\im^l^ (l<^) z. B. 2^ = lim 2^^ = lim{2, 4, 8,. ..} = co, allgemein 2'«' = 3*^ = 4*** = • • • = co, dagegen co*** = lim coi^ — lim (co, co^^ co^, . . . } , wofiir man wegen l + ( y = ft>, l + c o + (w2 = co(l + a)) = a)2 ^g^ auch schreiben kann c o ' ^ ^ - ^ l + c o + co-H

=

^oj'.

Es gelten die Potenzregeln (13) / ^ « / / = //«+^, (/x«)'* = ^«^, die man am schnellsten durch Induktion beweist (sie sind fiir ^ richtig, wenn sie liiv rj < ^ richtig sind), Ein kommutatives Gesetz kann natiirlich nicht gelten; {^vf = jxv fj,v ist von /n^v^ = JLC/JL VV im allgemeinen verschieden. Wir betonen nochmals, daB die hier definierten Produkte und Potenzen mit den friiheren zunachst gar keinen Zusammenhang haben; es sind im allgemeinen nicht Typen von Mengenprodukten. Daher hat z. B. a^^ nicht notwendig die Machtigkeit a^ (wahrend ^ + /?, ^jS die Machtigkeiten a + b, ab haben); 2"^ = co hat nur die Machtigkeit N^, nicht 2^». ^) In Kardinalzahlen ist 2 . 3 . 4 = 2Xo; die Verwendung der endlichen Zahlen in beiden Bedeutungen konnte hier besonders bedenklich erscheinen und ist es doch nicht.

110

§ 14. Verkniiplungen von Ordnungszahlen.

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Wie eine natiirliche Zahl durch die Potenzen von 10, so laBt sich jede Ordnungszahl durch die Potenzen einer beliebigen Basis ^ > 1 ausdriicken. Sei C > 0 eine Ordnungszahl und ^ die niedrigste Potenz von /5, die > C ist (daB es solche gibt, erkennt man aus der induktiv leicht zu beweisenden Ungleichung /5^ ^ y , wonach j8^+^ > C ist). Dann ist y keine Limeszahl, sonst wgtre fur jedes I < y auch ^ + 1 < y, also Es hat also y ( > 0) einen unmittelbaren Vorganger oc und es ist wobei <x durch C (bei fester Basis) eindeutig bestimmt ist. Die Zahl C < ^^* jS laBt sich nach (3) in der Form darstellen, ^ und Ci durch C bestimmt. Ist noch Ci > 0, so erhalteii wir weiter usw. Da aber C ^ jJ" > Ci^/S'*'> C j ^ • - •, also ^ > ? i > f s > - " » « > «i > a2 > • • •, so muB das Verfahren einmal mit dem Rest 0 endigen und wir haben die Darstellung

worin alles durch C eindeutig bestimmt ist: die Qiederanzahl n + I (fiir n — 0: l^ — p^rj), die Exponenten (X und die Koeffizienten tj, Und zwar ist nicht nur die soeben konstruierte, sondem jede, gleichviel auf welchem Wege gewonnene, Darstellung von der Form (14) eindeutig bestimmt. Denn der Ausdruck (14) ist < ^S'*^^, wie man durch den SchluB von n auf n + i erkennt: es ist dann namlich f < fi'^rj + ^8"^+^ ^ /3*(7/ + 1) ^ ^*+i. Also muB j8* ^ C < fi^'^^ sein und die Exponenten wie die Koeffizienten bestimmen sich genau wie oben. Beispiele. ^ = 2: C = 2* + 2'** H \-T^. P = (o:

(15) C = a>^v +tt>«»yi+ » —+<w'^y„ (v,.. ,^Vn natiirliche Zahlen").

Insbesondere laBt sich Jede Zahl f < j5^ als Polyimm m § fiait endlichen Exponenten) darstellen, und zwar in der Form (14) nur aiaJ eine Weise. Bei der Darstellung (14) kann es iibrigens vorkommen, daB C gs^r nicht durch kleinere Zahlen ausgedriickt wird, sondem die Gleichung (16)

f =. ^f 6*

ill

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Viertes Kapitel. Ordnungszahlen.

besteht (die im endlichen Zahlengebiet fur )S> 1 ja unmoglich ist); so batten wir co = 2** gefunden. Definiert man fiir v = 0 , 1 , 2 , . . . die Zahlen f, durch Co = 1, C.+i = i8f^ so ist (p > 1) C o < C i , also )3S,<^C,^ C i < C 2 , also p^^*

{'}'] < CO*).

Denn ist (rj>0) rj = co^ v + rji (v natiirliche Zahl, 7]i<(jo^) der Anfang der Entwicklung von ^, wobei fi «< ft)^(r + 1) + co« = C0^(V + 1 +(0)

+ Q = (0^+^ + ^ = CO'*,

also t^ + o^'^ = o)^' Da ein Resttypus eines Resttypus von C wieder ein Resttypus von C ist, so folgt noch, daB der kleinste Resttypus einer Zahl C immer eine Potenz. von CO ist (eventuell xo^ == 1); in der Entwicklung (15) ist co'*'* der kleinste Resttypus von CNatiirliche Summen und Produkte, Die Entwicklung (15) stelli eine Ordnungszahl als eine Art Polynom in co dar, im allgemeinen mit unendHchen Exponenten. Wenn man mit diesen Polynomen wie mit gewohnlichen Polynomen rechnet, so erhalt man mit G. H e s s e n b e r g natiirliche Summen a (|,^) und natiirliche Produkte n(^^rj) von Ordnungszahlen: Bildungen, die denen fiir endliche Zahlen wesentlich naher stehen als 1 + 77 und | ^ . Schreiben wir die Entwicklung nach Potenzen von (o in der einfachen Form ^ =^co*:r«== \- co'^'x^ H h co^^Tg + (oxi + XQ, indem wir den Exponenten a alle Ordnungszahlen unterhalb einer geniigend groB gewahlten Schranke durchlaufen lassen und die Koeffizienten x^ als endliche (ganze) Zahlen ^ 0 annehmen; in Wahrheit sind nur endlich viele

112

§ 14. Verkniipfungen von Ordnungszahlen.

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Koeffizienten von 0 verschieden. (Fiir | = 0 sind alle x^^ = 0.) Die Darstellung ist eindeutig bestimmt. Fiir zwei Ordnungszahlen definieren wir dann a(^, ^) = -2? co« (x^ + y^) = a% I ) .

Dies braucht weder mit I + ^ noch mit ?; + I iibereinzustimmen; z. B. ist or(co, co^ + 1) = co^ + CO + 1 von o) + (co^ + 1) = co^ + 1 und von {co2 + l) + a ) = 0)2+ C0 verschieden. Bei gegebenem C hat die Gleichung G (I, ^) = C ^^^^ endlidi pMe Losiingen | , T;. Denn es muB :r^+ ^a = ^a sein, und fiir a:« sind niir die Werte 0, 1 , . . ., z^, zulas^g; die Anzahl aller Losimgen ist das Produkt aller Faktoren 1 + z^, von denen nur endlich viele > 1 sind. Die Ungleichung ^ ^^ Hieraus geht hervor, daB a d , ri) mit jedem seiner Smnmanden wachst: fiir lo < ^ ist cdo, v) < <^(^T V)t Is* ^ s o a(^o, iio) = crCf, ^j) und f o < S, so ist zugleich ^ o > ^• Wenn Co < C = ^(1, ^), so hat die Gleichung a{^o, YJQ) = Co ^ine L5sung mit l o ^ ^5 Vo'^V (winter AusschluB mindestens eines Gleichheitszeichens). Schreiben wir namlich, unter Hervorhebung der ersten Differenzstelle /? fiir Co und C, ^ = 2 (o'^'Xy +0)^x^ rj = ^o)^ijy

+ 2 co%,

+ a)^y^ + 1 ^ ' ' ^ ^ '

Co = ^co*''Cy + C'/c^ + ^ \ o %

mit y > /5 > a, o:.^ + 2/^ = c^, ^fi + y^ > c^- Wir bestimmen dann zwei ganze Zahlen a^,b^ mit 0^a^<x^^ 0 < i & ^ < 2/^, a^ + bp~ c^\ etwa a^ = min [rc^j, c^] und *^ = c^ — a^, Dabei ist mindestens eine der Ungleichungen a^ < x^^ b^ < y^ erfiillt; wenn etwa die erste, so setze man

dann ist a(fo, r\^ = Co, lo < ^T VaSnDie natiirlichen Summen verhalten sich also ganz wie endliehe; wir werden davon mehrfach Gebrauch machen. Das natiirliche Produkt erhalten wir, indem wir

113

70

Viertes Kapitel. Ordnungszahlen.

wie Polynome multiplizieren und dabei die Exponenten natiirlich addieren, also ?r(|, ^) = ^ oj^^'"' ^^x^y^ = 7i(rj, | ) 7

Oder 7i(i, ri) = 2co^Zy, Zy = 2x^y^, /' 2 iiber die (endlich vielen) Paare mit G((X, P) ==y erstreckt. Wir woUen dies nur erwahnen und dem Leser liberlassen, auch hier die Analogic mit endlichen Produkten festzustellen. § 16. Die Alefs. AUe Kardinalzahlen konnen als Machtigkeiten wohlgeordneter Mengen aufgefaBt werden (Wohlordnungssatz) und sind daher vergleichbar. Als Zahlenklasse^ Z{a) bezeichnen wir die Menge aller Ordnungszahlen « , die die Machtigkeit a haben; sie ist Teilmenge der entsprechenden Typenklasse T(a) (S. 49). Fiir endliches n = 0 , 1 , 2 , . . . besteht Z(n) nur aus der einen Ordnungszahl n; aus ZCN^) kennen wir schon unendlich viele Vertreter a>,a) + l , c o + 2 , . . . , f t > 2 , . . . , f t > 3 , . . . , i ? ) ^ , . . . , f t ) ^ , . . . , G ) ' ^ , . . . Ist a 5B gibt (^ eine Menge von Kardinalzahlen), so ist entweder a die kleinste oder in der wohlgeordneten Menge der Kardinalzahlen, die > ^ und < a sind, befmdet sich eine kleinste. (Wir sagen nicht, daB in der Menge der Kardinalzahlen > £ eine kleinste sei, weil diese Menge ebenso undenkbar ist wie die Menge aller Kardinalzahlen.) Die zu einer Kardinalzahl a nachstgroBere b wird, wie leicht einzusehen, so erhalten, daB man zur Zahlenklasse Z{o) die nachstgroBere Ordnungszahl p sucht; deren Machtigkeit ist b. Ob die Kardinalzahl 2^ > a die nachstgroBere nach a ist, ist noch fiir kein unendliches a bekannt; fiir a = No ist diese Frage das Kontinuumproblem (S. 40). Die unendHchen Kardinalzahlen ( ^ N'o) heiBen Alefs. Das erste unter ihnen ist ^
114

§ 15. Die Alefs.

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mit N^^^i bezeichnet usf. D. h. jedes Alef ^^a erhdlt als Index den Typus der Menge alter vorangehenden Alefs, Z. B. ist die Machtigkeit ^< des Kontinuums > NQ, also t<> ^2,. . ., 0)^,, (o^+i^ • • •; jede Anfangszahl o)^ hat als Index den Typus der Menge aller vorangehenden Anfangszahlen. Es ist also Z(N^) = Menge der Zahlen 0}^^fJi< oj^^^i oder, im Sinne der Addition geordneter Mengen (1) (2)

W(co,^^) = W{co,) + Z(K), W(co,) ==W(coo)+.-SZ(^<|),

WO iuT oc = 0 die letzte Summe = 0 zu setzen ist und W(<x) wie friiher die Menge der Ordnungszahlen fc, so daB fiir ihre Machtigkeit gilt Da jede Anfangszahl offenbar Limeszahl ist (eine unendliche Machtigkeit kann sich durch Hinzufiigung eines Elements nicht andern), so ist also fiir jedes Alef ^C^, also nacji dem Aquivalenzsatz erst recht 2i<« = fc<, + N, = « , , j + ^^ = t<^ fiir j < N ^ . Ist j < ^^^, ^ <^oiy SO ist auch noch £ + t| < N^; denn sei j: ^ ^ und 1) ^ X^ mit fj < a (fiir endliches t> ist nichts zu beweisen)^ so ist J + ^ = J + N*^ = N^ < i\\. Daraus folgt weiter, daB Jeder Rest von m^ den Typus Wc6 hat, denn andernfalls ware in a)« = I + i| (^*a = ? + ^) sowohl j wie t) < N*«. Aus (1) ergibt sich also: (3) Z(N*^) hat den Typus co^^.i und die Machtigkeit ^^^.iZ. B. hat Z(NQ) die Machtigkeit i<|, wahrend die entsprechende Typenklasse r(No) die Machtigkeit N des Kontinuums hatte, was wieder die Ungleichung i<^J
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Viertes Kapitel. Ordnungszahlen.

K = ^0 + I « H i = N^ + N\ + - • + N|a.i + • ' •

^^^""^

z. B. Kj^ = ^
N;==N..

Ordnet man namlich die Paare (|, rj) mit f < G}^, T] < co^^ die eine Menge von der Machtigkeit i<^ bilden, nach der naturliclien Summe (S. 69) N^ (wie No, vN^) und solche mit i T^ immer noch < co^^.!Diese Satze regeln den Umfang der Zahlenabschnitte W((o^^i) oder der Zahlenklassen Z(^^). Z. B. gehort zu Z(^Q) mit einer Zahl (X auch deren Nachfolger oc + 1 und mit einer co-Folge von Zahlen aQ < oc^ < oc.2 < * - • auch deren Limes; zu Z(Ni) gehort der Nachfolger jeder Zahl, mit einer ft>-Folge deren Limes und mit einer coj-Folge OCQKOC^K - • • < OC^ < ^u)+i < ' ' ' auch deren Limes. ^) Ist 0)^2= wJ'(a;+ y) das hochste vorkommende Glied von C nnd etwa r > 0, so isi ^= (or x-\ < Wa, also (OT < w^ und jedes Vielfache von w^ auch noch < w^, also c < w'' (z-f-1) < w«-

116

§ 16. Der aUgemeine Produktbegriff,

73

Fiir Anfangszahlen, deren Index eine Limeszahl ist, brauchen die Satze III IV nicht zu gelten; z. B. gehoren zu H^(ct>^) die Zahlen COQ, COJ, cog, • • *, aber nicht der Limes co^ dieser co-Folge. Die Anfangszahlen, fiir die IV gilt, heiUen regular; zu ihnen gehoren also die (o^^i und COQ = ct>. [35] Regulare Anfangszahlen mit Limeszahl-Index sind bisher nicht bekannt; sie miiBten von exorbitanter GroBe sein. § 16. Der aUgemeine Produktbegriff. [36] Es sei JIf = = { . . . , m, . . . , 72, . . . , p , . . ,} eine geordnete Menge, deren Elementen m geordnete IMengen A^ zugewiesen sind; wir erhalten damit das zunachst ungeordnete Produkt M

A = HA^ = ( . . . , A^, . . ., A^^ . . ., Apj , . .) m als die Menge der Komplexe « = (••-, «m> • • -7 «m • « ', %. • • •) i^^m^^m)' Zwei solche Komplexe a und 6 = (..., 6^,, . ., bnj. . .J Ap,. ..) bestimmen die ]VIenge M(a^ b) derjenigen m, fiir die a^^ b^; sie ist > 0 dann und nur dann, wenn die beiden Komplexe verschieden sind, und in diesem Falle eine geordnete Teilmenge von M. Nennen wir der Kiirze halber M das Argument, die Elemente von M{a,b) die Diilerenzstellen zwischen a, b, Fiir drei Komplexe a, b, c ist ofTenbar (1) i¥(a, c) g M(a, b) + M(b, c), denn wenn a^ =t^ c^, so muB mindestens eine der Ungleichungen a^ =|= 6,,^, ^m 4= ^m bestehen. Wir wiesen bereits am Schlusse von § 10 darauf hin, daB im Falle eines wohlgeordneten M eine lexikographische Ordnung des Produkts A moglich ist. Hier hat namhch die Menge M(a, b) fiir a^b stets ein erstes Element m und wir konnen dann a^b definieren, je nachdem ^ w ^ ^ m J daB dies wirklich eine Ordnung, d. h. das Zeichen < transitiv ist, werden wir gleich sehen. Wir verstehen dann unter dem obigen A das lexikographisch geordnete Produkt; seinen Typus miissen wir allerdings mit M* m bezeichnen, wo die Reihenfolge der Faktoren ((X^ Typus von A^) die urngekehrte ist wie im Mengenprodukt und in M. Das umgekehrte Argument JIf* = iV kann passenderweise der Exponent genannt werden. Bei gleichen Faktoren A^~ B entsteht aus dem Produkt die Potenz B^ mit dem Typus /3^* = p' {p, /^, v die Typen von B, M, N). Wir batten z. B. die Potenz co**^* = 1 + A gefunden (S. 48).

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74

Viertes Kapitel. Ordnungszahlen.

Im Falle eines beliebigen M^ das nicht wohlgeordnet zu sein braucht^ sind wir darauf angewiesen, die lexikographische Ordnung soweit zu definieren, wie sie definierbar ist. D. h. wenn i1/{a, b) ein erstes Element m hat, das wir librigens mit m(a, b) bezeichnen woUen, und a^ ^ b^^ so sei a^b, Mit a a und es gilt das transitive Gesetz: mit a < b, b < c ki a < c, Denn sei m = m(a^ J), ji = ?n(b, c) und p — min [m, n'] (namlich p = m f iir m < TZ, p ~ n im n< m), so ist fiir I < p: ai = bi^bi = Ci, also ai= Ci, hingegen a^ b^ ^11^? die mit b > a , b c^ ^ II <^ sein. Um bei diesem Sachverhalt etwas fiir die Ordnungstheorie zu retten, werden wir uns an die geordneten Teilmengen von A halteii miissen, und zwar, da es deren viele gibt, an solche, die moglichst einfach und willkiirfrei defmiert sind und moglichst viele von den Eigenschaften eines Mengenprodukts bewahren. Dazu verhilft uns wieder die Theorie der Wohlordnung. Zwei Komplexe, fiir welche die Menge M(a^ b) der Differenzstellen wohlgeordnet ist, wollen wir etwa mit einem der Zahlentheorie entlehnten Ausdruck kongruent nennen:

a^b

Oder

b^a.

Auch der Fall M(a^b) — 0 soil hierher gerechnet werden: a ^ a, Wegen (1) gilt das transitive Gesetz: mit a^b^ b^ c is>i a^c. Danach ist eine Einteilung von A in Klassen moglich derart, daB kongruente Komplexe derselben Klasse, inkongruente verschiedenen Klassen angehoren; eine solche Klasse A(a), namlich die Menge der mit a und daher untereinander kongruenten Komplexe, ist mit der Klasse A(b) entweder identisch (wenn b^a) oder hat kein Element mit ihr gemein.

118

§ 16. Der allgemeine Produktbegriff.

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Die Komplexe einer Klasse sind lexikographisch vergleichbar und A(a) ist also eine geordnete Menge. Auf die Eigenschaften (z. B. das assoziative Gesetz), die ihr Produktcharakter verleihen, woUen wir nicht eingehen und nur noch feststellen, daB sie eine grbfite^ d. h. nicht mehr erweiterungsffilhige geordnete Teilmenge von A ist (natiirlich ist lexikographische Ordnung gemeint). Ist namlich c=|=a, so spalte man die nicht wohlgeordnete Menge i¥(a, c) in zwei Komplemente P, Q^ wo P wohl- [37] geordnet und Q^Q ohne erstes Element ist (z. B. sei Q die Summe aller Teilmengen von M(a^ c), die kein erstes Element haben, dann hat auch Q keins und das Komplement P kann keine von Null verschiedene Teilmenge ohne erstes Element haben, ist also wohlgeordnet). Definiert man dann einen Komplex h durch ^m ~ ^m ^^r meP^ 6,^ = a^ fiir msM -— P , so ist M(a, b) = P , M(b^ c) = Q^ also b^a^ b\\c^ folglieh: wenn csj=a, so ist c mit mindestens einem Komplex b der Klasse A(a) imvergleiehbitF^ A(a) ist nicht erweiterungsfahig. Ein wichtiges Beispiel liefert der Fall, daB der Exponent N = J/* wohlgeordnet ist (nicht mehr, wie urspriinglich, das Argument M). Hier ist jede Menge il/(a, b) invers wohlgeordnet; soil sie auch wohlgeordiiet sein, so ist sie endlich, d. h. a^b bedeutet, daB sich die Komplexe a^b nur an endlich vielen Stellen unterscheiden. Nehmen wir etwa den Fall iV = = { 0 , 1 , 2 , . . . } , ilf = { , . . , 2 , l , 0 } , N vom Typus o}\ unsere Komplexe sind a = - (. . ., ^2, %, ao), a^sA^. Um die Klasse A{a) und ihren Typus zu untersuchen, sei die durch a^ bewirkte Zerlegung der Menge A^ und ihres Typus; es mogen ferner a;,^, y^^ z^ die Mengen A^^^ B^^ C^ durchlaufen« Die Komplexe ^ a erscheinen dann in folgender Ordnung: ' -1 ^4? Vzi

^ 2 t ^1?

^o)

. . , ^ 4 , a 3 , 2^2f ^ I J

^o)

..,

^ 4 , ^ 3 , a^,

1^1,

XQ)

. . , ^ 4 , ^ 3 , ^25 % ,

2/o)

. .J ^ 4 , % ,

agi % 5

^o)

• M ^4^ % ?

%5

2o)

. .,

^4,

%?

^ 3 , £f2 T % 1 ^®)

119

76

Viertes Kapitel. Ordnungszahlen.

Die Punkte oben und unten bedeuten die weitere Fortsetzung des Schemas; die Punkte innerhalb der Komplexe bedeuten, daB dort Elemente a„, stehen; jeder Komplex auBer dem mittelsten reprasentiert (fur x^e A^^, ym^B^, z^eC^) eine ganze Menge solcher, die lexikographisch zu ordnen sind, und diese Mengen bilden als Summanden, von oben nach unten geordnet, die ganze Menge A (a), Fiir den Typus von A (a) erhalt man demgemaB oc{a) = h ^0^1^2)53 + ^o^i/^a + ^oi^i + i^o + 1 + 70 + ^ori + ^0^172 + ^0^1^273 H ; man sieht, wie er durch eine nach links und rechts fortschreitende Summation gewissermaBen als Limes der Partialprodukte ^0 = i^o + 1 + yo OCQOCJ^ = ^O(/SI + 1 + ri) = ^oA

+ OCQ +

^ori

== ^oh + /5o + 1 + ro + ^071 OCQOC^OC.2 = ^o^ii^a + '^oiSi + i^o + 1 + 7o + ^ori + ^0^172 erscheint. Die Ahnlichkeit mit der Entstehung der C a n t o r schen Produkte von Ordnungszahlen (§ 14) ist unverkennbar; ja diese sind tatsachlich als Spezialfalle in unserem allgemeinen Produktbegriff enthalten. Nimmt man namlich alle Ay^ als wohlgeordnet und die a,,^ als ihre ersten Elemente, so ist /8„j z= 0, (X,^ = 1 + yni zu setzen, also oc(a) = 1 + yo + OCQY^ + ^0^172 H und das ist (alle oc^> 1, 7m > 0 vorausgesetzt) imC an t o rschen Sinneeben OCQOCJ^OC^ . . . =

l i m OCQOCJ^ . . . (X.^^^.

Allgemein erhalt man die Gantorschen Produkte als Typen unserer Klassen A(a), wenn man den Exponenten N und die Mengen A^^^ wohlgeordnet und den Komplex a aus den ersten Elementen a„j der A^^^ bestehend annimmt; mit dieser nicht schwer zu beweisenden Tatsache ist nun auch der Umstand (S. 66) aufgeklart, daB die Can t o rschen Produkte nicht die Machtigkeit der vollen Produkte A — von denen ja die A(a) nur Teilmengen sind — zu haben brauchen. Man kann jene Klassen A(a) noch weiter spalten und damit neue produktartige Mengen gewinnen, wenn man auf die Machtigkeit der Menge M(a,b) achtet. Schreiben wir wenn die Menge M(a,b) wohlgeordnet und von einem Typus < coc (oder einer Machtigkeit < N^) ist, wo co^ eine Anfangszahl bedeutet; auch diese verscharfte Kongruenz ist nach (1) transitiv und hefert eine Einteilung in Klassen A^{a), wobei, fiir I < 17, At {a) Teilmenge von A,, (a) ist; fiir hinlangUch groBes f fallen diese Klassen mit den A (a) zusammen. Die kleinste

120

§ 17. Ringe und Korper.

77

Klasse u4o(a), durch a^b{(o) definiert, besteht aus den Komplexen, die sich von a nur an endlich vielen Stellen unterscheiden; fiir wohlgeordneten Exponenten fallt bereits sie mit A (a) zusammen. 1st das Argument M wohlgeordnet, so gibt es nur eine Klasse A(a) = A; aber A kann auch in diesem Fall in kleinere Klassen A^(a) zerfallen. — Bei gleichen Faktoren A^ = B erhalt man entsprechende Mengen, deren Potenzcharakter aber nur dann ausreichend gewahrt bleibt, wenn man den Komplex a auch aus lauter gleichen Elementen a^ = b bestehen laBt. Naher auf den allgemeinen Produktbegriff einzugehen verbietet der Raum; wir wollten aber doch dem Leser die Aufklarung nicht schuldig bleiben, da6 und wie sich die verschiedenen ProduktbilduBgen, die er kennengelernt hat, unter einen umfassenden Begrilf subsumieren.

Fiinftes

Kapitel.

Mengensysteme* § !?• Binge und Korper.

[38]

Eine Menge von Mengen wollen wir der Deutlichkeit wegen eia System von Mengen nennen; wir bezeichnen die Mengensysteme mit groBen deutschen Buchstaben. MeW bedeutet also, da6 die Menge J / dem System 5W angehort. Die betrachteten Mengen M sind reine Mengen, oline Relationen (Ordnung) zwischen ihren Elementen, so dafi wir in dieser Hinsicht zum Standpunkt der ersten beiden Kapitel zuriickkehren; die inzwischen erlangte Kenntnis der Ordnungszahlen wird uns aber doch niitzlich und bisweilen unentbehrlich sein. Wir richten unser Augenmerk insbesondere auf gropte und kleinste Mengensysteme gewisser Art: Systeme, denen man^ nach einer bestimmten Vorschrift, kein Element hinzufiigen oder keins wegnehmen kann. 1. Ringe. Ein Mengensystem heifie ein Ring^)^ wenn Summe und Durchschnitt i>on zwei Mengen des Systems wieder dem System angehoren. Dasselbe ist dann fur endHch viele Mengen des Systems der Fail. Ein Ring ist also eine Art groBten Mengensystems, ein System, das durch die Operationen Summe und Durchschnitt (an endlich vielen Elementen) nicht erweitert werden kann. Beispiele. Das System aller Teilmengen einer gegebenen Menge ist ein Ring. — Bedeutet / = [a, j8) das Intervall der Zahlen a<x< fi^ so bilden die Summen 5 - i i + /o + • • • + 4 1) Die Namen Ring und Korper beruhen auf einer schwachen Analogic zu den gleichbenannten Begriffen der Zahlentheorie.

121

78

Fiinftes Kapitel. Mengensysteme.

aus endlich vielen disjunkten / , mit Hinzurechnung der NuUmenge, einen Ring. Denn der Durchschnitt zweier / ist ein / oder 0, also nach dem distributiven Gesetz der Durchschnitt zweier S ein S. SchlieBt man S in €in / ein, so ist offenbar I — S ein S] demnach ist / — (iS'^ + S.^) = (/ — 6*1) (/ — S2) ein 5, und das Komplement davon in / , also S^ -j- 1^21 wieder ein S, tjbrigens ist auch die Differenz S — S^ zweier S ein S, denn schlieBt man S in ein / ein, so ist S{I — S^) = S — S^ ein S, Zu einem beliebigen Mengensystem 9K giht es einen eindeutig bestimmten kleinsten Ring ^ 3JJ. Wir werden diesen Ring, d. h. die ihm angehorigen Mengen, hier zwar sofort sehr einfach angeben konnen, woUen aber als Vorbild fiir andere, weniger elementare Falle einen allgemeinen Existenzbeweis geben. Es gibt iiberhaupt Ringe ^ 2R; denn ist S die Summe aller Mengen e 3K, so ist das System @ aller Teilmengen von S ein Ring liber SK. Da der Durchschnitt behebig vieler Ringe offenbar wieder ein Ring ist, so ist der Durchschnitt % aller Ringe SR, fiir die 501 g SR ^ @, ein Ring iiber 3K. Er ist der kleinstmogliche, d. h. in jedem Ringe "St iiber Wl enthalten, da ja 3 R g 3 l @ g © , also %^^(B^m, Dieser kleinste Ring iiber 3K, nennen wir ihn jetzt 91, laBt sich offenbar so bilden: er besteht aus den endlichen Summen /? = i)i 4- 2)2 + • - + i>„. deren Summanden ihrerseits von der Form D = M, M3 . . . M^ d. h, Durchschnitte aus endlich vielen Mengen M(£3R) sind. DaB die genannten Mengen /? zu SR gehoren miissen, ist klar; sie bilden aber schon selb^t einen Ring (also Sfit), da nach dfem assoziativen Gesetz die Summe, nach dem distributiven der Durchschnitt zweier R wieder ein R ist. Offenbar kann man die Operationen Summe und Durchschnitt auch in umgekehrter Rcihenfolge anwenden, d. h. 9? besteht aus den Durchschnitten ^

=

^1 ^2 • • • ^n

aus endUch vielen Mengen 5, die ihrerseits Summen aus endlich vielen Mengen M sind. 2. Korper. Ein Mengensystem heifie ein Korper, wenn Summe^ Durchschnitt und Differenz von zwei Mengen des Systems wieder dem System angehoren. Bei der Differenz ist, wie immer, der Subtrahend als Teilmenge des Minuenden anzunehmen. Es wiirde iibrigens geniigen, die Forderung nur fiir Summe und Differenz zu stellen, da der Durchschnitt auf diese beiden Operationen zuriickfiihrbar ist (S. 17). Ein Korper ist a fortiori ein Ring.

122

§ 17. Ringe und Korper.

79

Beispiel. Die obigen Intervallsummen S bilden einen Korper, wie vorhin bereits bewiesen wurde. Hatte man statt der halboffenen Intervalle / = [a, j3) entweder ollene (a, /3) oder abgeschlossene [a, p] genommen, so wiirden die S zwar noch einen Ring, aber keinen Korper bilden. Da6 liber einem beliebigen Mengensystem 3K ein kleinster Korper ^ existiert, erkennt man genau wie im Fall des Ringes; aber die Darstellung seiner Mengen ist hier nicht ganz so trivial. Da ^, wenn iiberhaupt eine Menge, so jedenfalls die NuUmenge enthalt, so woUen wir diese bereits in 2R aufnehmen; ferner enthalt ^ den kleinsten Ring 9lg3K nnd ist ancb der kleinste Korper liber 91. Wir setzen daher alsbald 3K als Ring voraus, dem die NuUmenge angehort. Betrachten wir dann endlich viele Mengen il/j g Mc, g • • • ^ M„ oder, zur Vereinfachnng der Schreibweise, eine absteigende Mengenfolge von Mengen M (1) M,gM,^.¥,^-^. mit scliliepiich Qersclmindenden Gliedern. Die Differenzen J/^ — M^, M^ — 1/3,. . . sind disjunkt. Die Menge (2) A^(M^M^) + (i¥3 - 1/4) + {M, - i¥,) + - • heifie eine (endliche) Differenzenkette aus dem System 3Jl. Diese Mengen A sind offenbar samtlich in ^ aufzunehmen; wir werden zeigen, da6 sie selbst schon einen Korper bilden, der folglich der gesuchte Korper ^ ist. Die Komplemente M -— A sind wieder Mengen A, Schreibt man A = MA=^ (MM^ - MM^) + (MM^ - MM^) + • • •, was wieder eine Darstellung der Form (2) istj so sieht man, daB man nur zu beweisen braucht: MQ —A ist fiir M^^M^ ein A. Dann ist aber (3) Mo - (Mo - M^) + (Ml - M,) + {M^ _ M3) + • • •, (4) M,-A = (M, - M,) + (M, - M3) + . . . und die Behauptung ist be^esen. Man beacMe noch, daB zu jedem A ein M'^A existiert, z. B. M^. Der Durchschnitt zweier A ist ein A. Hier ist eine ¥@randerte Bezeichnung zweckmaBig: wir setzen (5)

j

^ - ( M o - M ; ) + ( i ¥ , ^ M O + -«' B= (iVr,- iV;,) +iN^N[) + "^

mit schlieBlich verschwindenden ^) if^, M^, N^, N^, die dem System SR angehoren. Defmieren wir nun (die Indizes i, /c, / durchlaufen die ZaMen 0, 1, 2,- • •) ^) Diese Voraussetzung ist tibrigens hier nicht wesentlich; auch die iiiiendlichen Differenzenketten (2) haben die Durchschnittseigenschaft.

123

80

Funftes Kapitel. Mengensysteme.

also

Po = *^o-^o,

-Pi = ^ 0 ^ 1 4- M^No, • . .

so gehoren auch die Pi, P'l dem Ringe SR an und verschwinden schliefilich. Dabei ist Pi^P'i und, wenn man

beaehtet, P\ ^ P^+i, also Wir zeigen nun, da6 (7) AB = (i>o - P',) + (i'l - PI) + • • • und sogar einzein (8)-

.-^^ : ('^^* -

^^»')(^^- -

^*) = ^i -

^;•

Nennen wir die hier links stehende Summe Ci, Wenn xeCi^ so ist etwa xe(M^^ — Ml^)(N^^ — i V ^ also xeMi^N^^^Pi, aber zugleichreiPj. Denn fiir t +A: = 1*0 + ^0 = ^ 1st entweder I^IQ^ M'^N^^M\^ oder i < t o 7 k>kQ, MlNj,^Nj,^^i^Nj^.; also xeMiNj^, ebenso xeMiNi,. Also ist Ci^Pi — P'l, Umgekehrt, ist xePi — P'l g P^ und etwa xeM^Ni,, so ist a;£i¥^, da sonst oieilf^iVjtg P'z w^^re, ebenso a;£i\r;^, xe{Mi — M^) (Nj,-~N'j,)^Ci, also i > i - P j g C ^ Damit ist (8) und (7) bewiesen: AB ist ein A, Die Differenz zweier A ist ein A. Zn A^A^^ wahle man M^A, dann ist A — A^~ A(M — A-^) ein ^ . jDte Summe zweier A ist ein A, Zu ^ 1 , A2 wahle man umXassende Mengen M^, M^ und M = M^ + M^-, dann ist M — (M — A^ (M — A2) = Ai -\- A2 ein A. Damit ist bewiesen, daB die A einen Korper bilden.. 3. Erweiterte Korper. Einer spateren Anwendung (§ 30, II III) wegen woUen wir die Differenzenketten ins Unendliche verlangern. Die griechischen Buchstaben sollen die Ordnungszahlen < co^ durchlaufen, wo. (o^ eine festgewahlte Anfangszahl, die erste Ordnungszahl von der Machtigkeit X^ ist. Aus dem System 9K, das wieder ein Ring sein und die Nullmenge enthalten soil, bilden wir eine absteigend wohlgeordnete Folge Yom Typus 0^^ (9) M^^ i / 2 2 - • g il/a> + l g ^/a, + 2 § • • •> deren Glieder also mit ^¥^4.1 bezeichnet sind, und damit die Menge

124

§ 17. Ringe und Korper.

81

(10) A = (il/i - M^) + (M3 - M4) + . . . + (Jf^+i - M,_,2) + • • • wobei daran zu erinnern ist, daB die Ordnungszahlen entweder gerade (2 i) Oder ungerade (2 | + 1) sind, die Limeszahlen insbesondere gerade. Wir nennen A wieder eine Differenzenkette aus SR, und zwar vom Typus a>^, falls alle Mengen (9) von Null verschieden sind, dagegen vom Typus r) < co,,, falls M^_^i die erste verschwindende Menge in (9) ist; natiirlich hangt der Typus nicht nur von der Menge A selbst, sondern auch von der gewahlten Darstellung ab. Wir behaupten: I. Wenn das System SO? (das ein Ring ist und die Nullmenge enthalt) auch nock so beschaffen ist, dafi der Durchschnitt aus weniger als ^^ Mengen M ein M ist, so bilden die Differenzenkeiten {aus 3K) mm Typus < m^j_ einen Korper, Beweis. M — A ist wieder ein A. Wie oben geniigi es, zu zeigen, dafi MQ — A fiir MQ g M^^ ein A ist. Wir defimeren nocb fiir Limeszahlen r] < oj^ die Mengen

die nach der Durchschnitts-Voraussetzung wieder Mengen M sind. Es bilden jetzt die samtlichen Mengen M^ ein absteigend woMgeordnetes System J f o ^ i l f i ^ ilfg^ • • • i? M^ ^ l / ^ ^ i ^ • . . g i ¥ ^ 2 § . . . , worin jede Menge mit Limesindex der Durchschnitt aller vorangehendeii Mengen ist. Hierbei ist (11) 7¥„ = | { 3 / | - 7 ¥ j + l ) , denn fiir jedes xeM^ gibt es, da die M^ schlieBlich = 0 sind, ein erstes M^ mit xlM^, wobei C > 0 und keine Limeszalil, also C = | + l und xeM^ — i/^+i ist. Durch Trennung der geraden und ungeraden Indizes folgt (12) M^-A = 2(M^ _ M^+^) = (7Jf,-i¥i) + ( M 3 - M 3 ) + • - - + ( i I / „ - ^ „ + i ) + •-•. Der Durcfischnitt zweier A ist wieder ein A *). Wir schreibcH jetzt wieder wie in (5) A=2(MtM\) (13)

J

B = |(^-f - iv|)

^) Hierbei genligt, daB 3Ji ein Ring sei; auch die Voraussetzung des schlieBlichen Verschwindens der Mengen (9) ist entbehrlich, und der Durchschnitt zweier Differenzenketten vom Typus ^ft^a ist wieder eine solche. Hausdorff, Mengenlehre.

6

125

82

Fiinftes Kapitel. Mengensysteme.

Um (6) zu iibertragen, miissen wir die natUrliche Summe verwenden: wir definieren (14) wo <S bedeutet, daB iiber die Paare | , rj mit cr(|, rj) = C summiert werden soli. Da es deren nur endlich viele gibt, gehoren die Mengen P , P ' dem Ringe 2K an. Mit | < co^, rj < co^ ist audi C < ^;x (S. 72 Anm.) und man sieht leicht, daB die P^P' schlieBlich verschwinden, wenn die M^ M' und iV, N' schlieBlich verschwinden. Ferner ist In der Tat folgtjP^^P^ unmittelbar; liberdies ist P^^^P^ fiir Co < CDenn ist xeP^ und etwa xeM^N^ mit a(^,rj) = C, so gibt es (S. 69) ein Zahlenpaar lo, YJQ mit a(^Q, TJQ) = Co und lo = 1? Vo~V'^ ^^^ dann etwa ^0 < I, so ist i l / | g J/^^, N^^N^^ und it^eP^,, ebenso fur t^o < ^. Nun ist wiederum (15) ^ 5 = f(P^-i>:) und sogar einzeln (16) 2(M^~ Ml) (TV, - iV;) = i>5-i>5; der Beweis gestaltet sich genau wie der von (8), weil die natiirliche Summe alle notwendigen Eigenschaften einer gewohnlichen hat (insbesondere: wenn (T(|, r]) = G[^Q, TJQ) und f < ^Q, so ist rj > TJQ). Auch daB Summe und Differenz zweier A wieder ein A ist, folgt wie bei den endlichen Differenzenketten. Damit ist I bewiesen. Fiir (o^^ = COQ = ct>, wo 9)1 nur ein Ring zu sein braucht, erhalten wir wieder das Ergebnis der vorigen Nummer: die endlichen Differenzenketten bilden einen K5rper (den kleinsten iiber 3)1). Fiir (o^= (Oi = X2 ergibt sich, daB die hochstens abzahlbaren Differenzenketten (vom Typus < ^JQ) einen Korper bilden, falls der Durchschnitt abzahlbar vieler M ein M ist. Wenn der Durchschnitt beliebig i>ieler M ein M ist^ so bilden alle Differenzenketten aus H)l einen Korper, Denn alle diese Differenzenketten (jede in einer bestimmten Darstellung) sind vom Typus < co^,, wenn co^ hinlanglich groB gewahlt wird.

§ 18. Borelsche Systeme. 1. Die Prozesse (T, cf. Ein Mengensystem, dem Summe und Durchschnitt von zwei (oder endlich vielen) Mengen des Systems angehort, hieB ein Ring. Dehnen wir diese Forderung auf Summe und Durchschnitt von abzahlbar vielen Mengen aus, so gelangen wir zum Begriff eines Borelschen Systems, Die einfache Art, wie wir den kleinsten Ring iiber einem gegebenen

126

§ 18. Borelsche Systeme.

83

Mengensystem SOI bilden konnten, laBt sich aber auf den gegenwartigen Fall nicht iibertragen; wollten wir etwa wie damals (S. 78) die Durchschnitte D = M^ M^ J/g • • • aus Folgen von Mengen M{e W) und damit die Summen aus Folgen von Mengen D bilden, so bilden diese R noch durchaus kein Borelsches System: die Summe abzahlbar vieler R ist zwar nach dem assoziativen Gesetz wieder ein /?, aber der Durchschnitt abzahlbar vieler R gibt, nach dem distributiven Gesetz entwickelt, eine Summe unabzahlbar vieler D und im allgemeinen also kein R. Diese Verwicklung laBt es ratsam erscheinen, die Forderungen fur Summe und Durchschnitt zunachst einmal zu trennen. _. -. T n • [^-SystemX (die Summe 1 . . Em Mengensystem hei/Se em [^.^ystemi' «''"" [der Burchschnittl ^'^' Folge von Mengen des Systems wieder dem System angehort Wir machen einige Bemerkungen iiber a-Systeme, die sich dann ohne weiteres auf (3-Systeme iibertragen. In einem cr-System gehort aiich die Summe A+B + A+B + '- = A+B zweier und endlich vieler Mengen des Systems wieder dem System an. Das kleinste c-System iiber einem gegebenen Mengensystem Wl (seine Existenz ist wie die des kleinsten Ringes zu erschheBen) heiBe SJl^. Es wird von den Mengen (1) M, = 7¥, 4- M^ + i>/3 + • • — ^M, (M,em) gebildet, d. h. von den Summen aus Folgen von Mengen M s SHI. Denn die M^ miissen zu WQ geheren, bilden aber bereits selbst ein cr-System (Verwandlung einer Doppelfolge in eine einfache). Ist 2Jl ein Ring, so ist auch 3)l<, ein Ring; denn der Durchschnitt von 2wei M^ ist, nach dem distributiven Gesetz, ein M^. Ferner konnen in diesem Fall die Af^ als Summen aufsteigender Folgen von Mengen M dargestellt werden, denn aus (1) folgt wo die S^ wieder Mengen M und S^^S^^^ - - ist. In einem (5-System gehort auch der Durchschnitt von endlich yielen Mengen des Systems dem System an. Das kleinste d-System 3Rj iiber 2K wird von den Mengen (2)

Ms = M^M^M, . . . = %M^

(M^BM)

gebildet: die M^) sind die Durchschnitte aus Folgen von Mengen MeWl* Ist 3K ein Ring, so ist Wis ein Ring, und die Ms konnen ais Durchschnitte absteigender Folgen von Mengen M dargestellt werden: 1/^ = 2) A M

D, =

127

M^M^'M,.

84

Funftes Kapitel. Mengensysteme..

Ein Mengensysiem, das zugleich a-System und d-System ist^ heifle ein (abySystem oder ein Borelsches System. [39] tJber einem Mengensystem 3K existiert wieder ein kleinstes Borelsches System S3 = SK(
«

•

m

mit der Bestimmung, daB fiir jede Folge natiirlicher Zahlen i, k^l^m^ . . . in der Folge der Mengen 2)^-, S^j^^ D^^i^ Sm^.,, schlieBlich lauter Mengen M auftreten sollen. Ebenso sei, indem man die abwechselnde Summenund Durchschnittsbildung mit der letzteren beginnt, i

'

k

w

und in jeder Fqlge Si, D^^, S^n, ^ihim^ - • • sollen schlieBlich lauter Mengen M auftreten. Dann bilden sowohl die 6* als auch die D die von 2R erzeugten Borelschen Mengen. Da namhch die Di der ersten Formelgruppe beliebige Mengen D der zweiten Gruppe sind, so ist jedes D^ (Summe einer Folge von Mengen D) ein S und vice versa, insbesondere ist jedes D = D -\- D + - - selbst ein 5 . Ebenso sind die S^ mit den D identisch und jedes S ein D, Danach sind die S mit den D identisch und bilden ein Borelsches System, das die M enthalt {S = Di = S^ = - - - = M); das kleinste Borelsche System 35 ist darin enthalten, d. h. jede Menge B ist ein S, Umgekehrt ist auch jedes S ein B. Wenn namUch S kein B ware, so miiBte mindestens ein D^ kein B sein, dann mindestens ein Sij^, ein Dij^i usw., es gabe also mindestens eine Zahlenfolge i, k^l^... derart, daB in der Folge Di, Sij^, Dij^i, - - • kein B vorkame, im Widerspruch zu der Festsetzung, daB die Folge schlieBlich aus Mengen M bestehen soil. Die gewonnene Darstellung, die freilich alle Borelschen Mengen mit einem Schlage liefert, ist aber doch nicht durchsichtig genug, und wir versuchen einen sukzessiven Aufbau des Borelschen Systems S3. Wir mussen in dieses, wenn die Bezeichnungen (1)(2) naturgemaB weitergefiihrt werden^ jedenfalls die folgenden Mengen aufnehmen: die Mengen M(eW), die Summen M^ aus Folgen von Mengen ilf, (3) \ die Durchschnitte M„;^ aus Folgen von Mengen i¥^, die Summen M^Sa ^us Folgen von Mengen M^$ usw. wobei wir Summen- und Durchschnittsbildung abwechseln lassen, da z. B. die Mengen M^^, Summen aus Folgen von Mengen M^, mit den Mengen

128

§ 18. Borelsche Systeme.

85

M^ identisch sind. Ebenso hatten wir, mit Durchschnitten statt mit Summen beginnend, die folgenden Mengen aufzunehmen: ' die Mengen Jf (e3K), die Durchschnitte Jl/^ aus Folgen von Mengen M ^ (4) \ die Summen M^^ aus Folgen von Mengen ilf^, die Durchschnitte M^at^ aus Folgen von Mengen M;^^ usw. Die von diesen Mengen gebildeten Systeme waren mit SR, 2R^, SK^j^y, S^arU: • • • Oder SIM, 9K^, 3R,)\,, 3K^<,^,. . . zu bezeichnen (bei der Bezeichnung $8 == Mf^ad) diirfen also die Klammern nicht fehlen). Beispielsweise sind der obere und der untere Limes (S. 20)

M^U^

M^== S^S^S^., .,

S,, = i¥, + if.+i + Mn+2 +

••

von den Mengen M^ (eSK) erzeugte Borelsche Mengen; die 5^„i)^ sind Mengen i / ^ , Ms, der obere Limes M ein M^^^ der untere M em M^^; der Limes einer konvergenten Folge beides zugleich. Wenn wir nun aber auch samtliche Mengen (3) oder (4) mit endlich vielen Indices cr, d gebildet haben, so ist das Borelsche System 35 noch nicht fertig. Wir miissen etwa in Fortsetzung des Verfahrens (3) die Durchschnitte adjungieren, dann die N^^ N^j^* ^aSa* - - '•> schlieBlich wieder und so wetter. Dieses „und so weiter" zu prazisieren, haben wir aber ein Mittel, namlich die Ordmingszahlen, 2. Aufbau des Borelschen Systems ©. Es seien | , rj Ordnungszahlen [40] < i2, wo i2 = coi die Anfangszahl der Zahlenklasse Z(Xi) ist; wir unterscheiden wieder gerade Ordnungszahlen 2 | und ungerade 2 | + 1. Wir ordnen nun jedem | ein System 91^ von Mengen A^ zu durch die induktwe Vorschrift: Die Mengen A^ sind die Mengen M(%^ == 2R); die Mengen A^ sind fiir ungerades tj die Summen^ fiir gerades ?; > 0 die Durchschnitte aus Folgen pom Mengen A^(^ < rj). Dann ist das System alter Mengen A^ das kleinste Borelsche System 33 uher m. Da6 in der Tat alle Mengen A^ zu 85 gehoren miissen^ ist Mar, also nur noch zu zeigen, da6 sie selbst schon ein Borelsches System bilden. Ist nun eine Folge von Mengen A^\ 4^% . . . gegeben^ so sei | die naehstgroBere Ordnungszahl nach l^, fo? • — (wegen § 15, IV ist | < i 2 ) . Eine der Zahlen f, I + 1 ist gerade, die andere ungerade, und unter den Mengen

(

129

86

Fiinftes Kapitel. Mengensysteme.

A^^ ^s+i kommt also Summe und Durchschnitt der gegebenen Folge vor. Man sieht daraus, da6 es keinen Zweck gehabt hatte, die Definition auf ^ = ^ auszudehnen (es wiirde %^ = 91^+^ = . . . = Sg sein). Die Systeme 91^ wachsen mit dem Index, d. h. ^^^W fiir | < ^ . Denn wegen M = M + M -\- * - • = M M .,, ist jedes A^ auch ein ^^+^, ^ ^ + ^ , . . , Daraus folgt, da6 man die A^'^'^ auch als Summen oder Durchschnitte (je nachdem | gerade oder ungerade ist) aus Folgen von Mengen A^ erklarenkann; fiir eine Limeszahl rj sind dieA^ die Durchschnitte aus Folgen von Mengen A^ ( | 0 die Summen aus Folgen von Mengen B'^ (^
i

130

§ 18. Borelsche Systeme.

87

Bemerkt sei noch: wenn, fiir irgend ein f ^ 1, 31^ == 9P+^ sein sollte, so ist W = S3. Denn von den beiden Mengensystemen 91^, 51^+^ ist das eine ein or-System, das andere ein ^-System; fallen sie zusammen, so haben wir ein Borelsches System vor uns. 3. Darstellung der Borelschen Mengen. Wir sahen (um etwa an die zweite Form anzukniipfen), da6 jedes J5^+^ fiir gerades | Durchschnitt, fiir ungerades | Summe einer Folge von Mengen B^ ist. Ist rj eine Limeszahl, so ist (5) B^J == 6\ + ^2 + • • • {Cn ein B^n ^ i t | „ < 7]); diese Form leidet an einer gewissen Willkiirlichkeit, indem die |„ von der darzustellenden Menge B^ abhangen konnen, nnd wir wollen sie in eine solche iiberfiihren, wo die In eine feste, nur von tj abhangige Folge bilden (wie dies fiir ?7 = | + 1 der Fall war, wo f,j = | = ?^ — 1 gewahlt werden konnte). Beispielsweise: wir wollen eine Menge B^^ die sich zunachst in der Form B'^ = B^^ -f- J5^*^ + • • • mit beliebigen endlichen Indices i^ darstellt, in die spezielle Form B^ = B^ + B^^ -j- ^ • - iiberfiihren, wo ^^ = n ist. Wahlen wir eine feste, nur von der Limeszahl tj abhangige Folge von Ordnungszahlen 1 ^ ^1 < V2 < ^?3 < ' - 5

luaVn "== ^;

es soil dann gezeigt werden, daB Jedes B*^ in der spezielen Form (6) ^»y - J5i + ^2 + . . . (B„ ein 5^«) darstellbar ist. Um (5) in (6) iiberzufiihren, konnen wir zunlchst die Indices | „ vergroBern, daB^ ein B^'^^ usw, ist; und da fiir jedes i < 7] ein n mit I ^ rjn existiert, so konnen wir die natiirlichen Zahlen p <.q -< r < - - so wahlen, daB §i < r]p^ ^^ = ^?? f3 ^ '?r? • • • Setzen wir dann C^ = B^^ C2 — Bq^ C3 = i?y, . . ., so erhalten wir statt (5)

B^ = B^ + B^ + B,+

^-',

wo fiir die hier vertretenen n jedes B^ ein J5'^« ist. Um auf die Form (6) zu kommen, hatten wir fiir die noch fehlenden /^ = 1, . . ., p — 1, p + 1, . . . geeignete Summanden B^ einzuschalten. Nun enthalt jedes B^ mit I > 1 gewiB eine Teilmenge der Form. M^ == BK Denn die Eigenschaft, eine solche Teilmenge zu enthalten, iibertragt sich von irgendwelchen Mengen N stets auf die N^ und N^ (N^ enthalt eine Teihaaenge der Form M^^ == M^) und also von den B^ auf die spateren JB\ Ist also B eine Teilmenge von B^^ von der Form J5^, so konnen wir die einzuschaltenden B^ samtlich gleich B wahlen; denn 5 ^ ist als B^ auch ein J^^tn. Damit ist die Form (6) hergestellt. Denken wir uns jeder Mengenfolge Jl^, ifef^, . . . durch irgendeine Vorschrift eine Menge (7) X^0{M^,M^,M^,.,,)

131

88

Fiinftes Kapitel. Mengensysteme.

eindeutig zugeordnet (z.B. X = M^M^M^... oder X = M^\- M2 + M^^ ), so daB also 0 eine eindeutige Funktion der Mengen M^ bedeutet. Wahlt man auf alle moglichen Weisen die Mengen M^ aus einem gegebenen Mengensystem 2K, so durchlauft X ein Mengensystem X. Wir behaupten dann: [42] I. Fiir jedes ^ > 1 ld[k sick eine niir von | abhdngige Funktion (P| so bestimmen^ da^ (8) X = 0^{M,, 714 M,,. ..) (M^em) genau die von SO? erzeugten Borelschen Mengen B^ darstellL DaB X genau die JB^' darstellt, soil naturlicli heiBen, daB X alle B^ und keine andern Mengen darstellt, oder daB X das Mengensystem X = 33^ durchlauft. Der Beweis ist sehr einfach. Setzen wir (9) (&,(ilfi, Mg, M 3 , . . . ) = il/i 3/2 M^.,,^ so stellt X = 0 1 genau die M$ — B^ dar. Wenn fcrner die Funktion 0^ bereits definiert ist, so erhalten wir, gemaB der Bildung der 5^+^ aus den B^^ eine geeignete Funktion 0|-j_i auf folgende Weise. Wir spalten die Menge der natiirlichen Zahlen in abzahlbar viele abzahlbare Teilmengen, etwa nach dem dyadischen Schema S.30. Fiir ungerades | setzen wir dann (10)

= 0^{M,, M,, M,,. . .) + 0^[M.^, M,, M\,,, . .)

I

+ 0^(M^. M,,, M.,,, . . . ) + •••

und fiir gerades |

<"'{=*((:{M^,M,,M,,..

,)0^(AL,,M,,M,,,. . .)0^(M,^M,,,M^,, ...)... Fiir eine Limeszahl r] endlich setzen wir, gemaB der Darstellung (6),

(12)

; - 0,^(Mi, M,, M,,. . .) 4- ^ , , ( ^ 2 , M,, M,,, . . .)

+ -^12, ^20, •. •) 4 - • • Damit sind die Funktionen
132

§ 18. Borelsche Systeme.

89

Die hier auftretenden, durch (9) bis (12) induktiv erklarten Funktionen ^^ sind nun alle ^) von einer besonderen Gestalt, namlich Summen pon Durchschnitten aus Teilfolgen der Mengenfolge If^, M^, . . . . Diese besonderen Funktionen 0 werden also so gebildet: jeder Folge V =

(^^l, /zg,

UQ,

. , .)

wachsender natiirlicher Zahlen ordnen wir den Durchschnitt 2u; sodann sei N eine Menge solcher Folgen und (13)

X=^eM,

= 0 (M„ Jf,. 1 / 3 , . . . ) ,

y

wobei das Funktionszeichen 0 und die Menge N einander entsprechen. Wir woUen diese ofters auftretenden Funktionen als ds-Funktionen be- [43] zeichnen. Wenn wir namlich, wie bisher, Summen- und Durchschnittsbildung an abzdhlbar vielen Mengen mit c und 5, an beliebig vielen Mengen mit 5 und d bezeichnen, so ist in (13) jeder Summandilfy ein M^^ die Summe selbst ein M^^ (falls N abzahlbar ist, ein M^^^^ falls N nur ein Element hat, ein M§). Durch Vertauschung der Rollen von Summe und Durchschnitt wCirde man in analoger Weise ad-Funktionen erhalten, Durchschnitte von Summen aus Teilfolgen einer Mengenfolge; die Komplemente der Mengen (13) liefern ein Beispiel. Wir haben nun behauptet, daB die Funktionen 0^ solche (55-Funktionen (13) sind, miissen also zeigen: es gibt fiir jedes ^ > 1 eine nur von I abhangige Menge N^ derart, daB (14)

0^(M^, M^, M^, . , ,)--=^-^ M,, V

Z. B. besteht iV^ aus der einzigen Folge (1, 2, 3 , . . .); N2 aus den Folgen (1, 3, 5 , . ..) (2, 6, 10,. . .) (4,12, 20,. . .) usw. Sei nun (14) fur ein bestimmtes f richtig; dann ist 0^(M,,

1/3,

M,,,..)=^M, a

n *'' ' wobei jedem v = [n-^^ %, ^^3,,..) eine Folge a; = (2/ii — 1, 2n2 — 1, 2/^3 — 1, . . .) aus lauter ungeraden Zahlen und damit der Menge N^ eine bestimmte Menge A^ entspricht; analog sind fi^ B^, y, T^, . . . aufzufassen. Gilt dann (10), so ist ^) In den Satz I konnte man, mit ^Q{M^, M^^ M^,,..) = Mi, auch die Mengen B^ einbeziehen, aber fur diese gilt das Folgende nicht.

133

90

Fiinftes Kapitel. Mengensysteme. 0^^^{M^, M,, M3,....) =

f M,,

iV,.+i ^ ^ ^ + B. + r^ + . . . ,

und analog wird im Falle der Formel (12) die Menge iV^ gefunden. Bei der Durchschnittsbildung (11) tritt zunachst, nach dem distributiven Gesetz, die Summe^) auf, erstreckt iiber (XeA^^ PeB^^ysF^, . . . ; d. h. die Folge (<x, )3, y , . . .) von Folgen durchlauft das Mengenprodukt {-^|, Bs, Ti, . . .)• J^ne Folge von Folgen bestimmt, einfach durch Vereinigung der disjunkten Folgen ^? i^, y , . .., eine einzige Folge v, und das Mengenprodukt bestimmt in diesem Sinne eine Menge N^^i von Folgen v, wonach

wird. Damit ist also folgende prazisere Form des Satzes I bewiesen: 11. Fiir jedes ^ > 1 Idfit sich eine nur von | abhdngige Menge iV|, deren Elemente v = (?Zi, n^^ n^^...) Folgen wachsender natiirlicher Zahlen sind^ so bestimmen, dafi die ds-Funktion (15)

X =

fM,^iM„^M„,M„^...

genau die von 2FI erzeugten Borelschen Mengen J5^ darslellt, Eine analoge Behandlung gestatten natiirlich auch die Borelschen Mengen A^ (S. 85); die 0^ wiirden dann nicht Summen von Durchschnitten, sondern Durchschnitte von Summen aus Teilfolgen der Folge M^ sein, d. h. crcf-Funktionen. § 19, Die Suslinschen Mengen. Beim Anblick des Satzes II im vorigen Paragraphen liegt die Frage nahe, ob es vielleicht eine feste d^-Funktion oder eine feste Menge N von Folgen V == (^Zj, n^^ . . .) wachsender natiirlicher Zahlen gibt, derart, da6 die Menge

(1) X =: lilf, = 1.1/,, M^JI,^., . =
{M^em)

[^^ genau alle von SK erzeugten Borelschen Mengen durchlauft. Diese Frage ist librigens zu verneinen. Wenn man aber den Zusatz ,,genau** streicht, ist sie bejahend zu beanlworten: es gibt eine Darstellung (1), die alle Borelschen Mengen, dariiber hinaus aber im allgemeinen noch andere liefert* Wir kommen darauf am SchluB dieses Paragraphen zuriick und behandeln ^) Die Menge der Summanden ist schon bei den B^ unabzahlbar.

134

§ 19. Die Suslinschen Mengen.

91

die fraglichen Mengen zunachst in einer andern Bezeichnung, in der statt der Mengen M^ Mengen zwar mit mehrfachen, aber unabhangig voneinander variierenden Indices auftreten. Wir ordnen einmal nicht den natiirlichen Zahlen, sondern den (ebenfalls in abzahlbarer Menge vorhandenen) endlichen Komplexen (/ii), (ui^ n<^^ (wi, ^2, Wg), . . . natiirlicher Zahlen Mengen lf„^, M^^^^, M^^^^^^^^ . . . zu; bis auf die auBere Form ist das auch nichts anderes als eine Mengenfolge. Geben wir (ohne Punkte zur Andeutung weiterer Mengen, um das Schema nicht uniibersichtlich zu machen) einige dieser Mengen an: [ i¥i M^ (2)

|ilfn i-'"ill

^12. -^112 -^121 ^ 1 2 2

M^i

^I^

-^*211-^212

^221-^222'

Hiernach ordnen wir Jeder Folge (3)

V = (n^, ii2, % , . « ' )

natiirlicher Zahlen, die jetzt nicht paarweise verschieden zu sein brauchen, den Durchschnitt (4) ^ „ = ^„,M„,„,i¥„.„.„,... ZU, gebildet aus den Mengen, die den endlichen Abschnitten der Folge v entsprechen, und bUden die iiber alle Zahlenfolgen v erstreckte Summe (5) X = @M,. Es ist das also eino Funktion 0 ( M i , il/n, M^^ ,, .) der erzeugenden Mengen (2). Werden diese auf alle moglichen Weisen einem Mengensystem 3K entnommen, so durchlauft X ein Mengensystem 3£, und diese Mengen X heiBen die von 2R (od^r von den Mengen MsW) erzeugten Suslinschen [45] Mengen, Die Summanden M,^ sind dann zwar Mengen M^, aber ihre Menge ist unabzahlbar, wie dies auch bei den Borelschen Mengen B^ fiir 1 ^ 3 der Fall war. Man beachte iibrigens, daB X nicht etwa mit dem Durchschnitt ^M . (S M . (S M (der ein M^;^ ist) iibereinstimmt, denn dieser ist, nach dem distributiven Gesetz entwickelt, gleich wo alle Indices unabhangig voneinander alle natiirlichen Zahlen durchlaufen, wahrend in unserem Falle ^^ = Z>i = c^ = • • • = ^i usw. sein soil. Nennen wir die von 3R erzeugten Suslinschen Mengen etwa Mengen Mg, das von ihnen gebildete System % . Jedes M^ und M^ ist ein M^; die Suslinsche Formel umfaBt also Summen- und Durchschmttsbildung aus Folgen. Denn ist eine Folge von Mengen J/^, i f - , . . . gegeben imd setzt man i¥„^„^. .^^ = ilf% so ist M^ — M^^ und X = ©J/***; setzt man amdererseits M^^^^^j, = ilf*, so ist jedes M^ und demnach -X selbst gleich 3) i#*.

135

Fiinftes Kapitel. Mengensysteme.

92

Die fundamentalste Eigenschaft der Suslinschen Mengen spricht aber der folgende Satz aus: I. Die von Suslinschen Mengen MQ erzeugten Suslinschen Mengen sind meder Mengen M^. Oder kurz: jede Menge M^s ist nur eine Menge M^ (wie jedes M^^ ein M^ ist). Der Suslinsche ProzeB ist derart umfassend, da6 seine Iteration nichts Neues liefert. Der Beweis sieht nur wegen der vielen Indizes schwierig aus, ist aber ganz einfach. Es sei V

eine Suslinsche Menge, deren erzeugende Mengen selbst wieder Suslinsche Mengen sind: JT' =@AC,' ^ttiCCi ^^axO-'iCti iT^^* =@Afr^"^N'n i W a W a

„

Ml'l'

Ml

1-4

1

1 - 3

wobei V == (ni, TZg,...), ^ == (%, «2, • • •), ^ == (^i. 627 • • • ) : • • • unabhangig voneinander alle natiirlichen Zahlenfolgen durchlaufen. Es ist zu zeigen, da6 P als Suslinsche Menge aus den M selber gebildet werden kann. Nach dem distributiven Gesetz ist P die Summe aller Durchschnitte MllMZ^jMll,^^^ (6) .i»/?:"^^^?,t---<^"^"' die Summe erstreckt Zahlen nj.^ %., b}.,.... Schema, die Folge jbt = (mj, mg, . . .)i d.

liber alle Folgen v,oc, p, . .. oder alle natiirlichen Wir verwandeln, etwa wieder nach dem dyadischen der Folgen v^ ^, )8, y , . . . in eine einzige Folge h. so, daU die Matrizen

71^ ^2

723 . . .

Ml m^ m^

m^ me m^o

^1

«2

«3 • • •

61

*2 C2

63 . . .

^l

C3

. . .

mg

^24

^40

einander gleichgesetzt werden. Hierdurch geht (6) in (7) M^' M^' M^' W4 " 17)4 tni9 = ikf (1) M (3) i f (5) . . . i¥(2) i f (6) . . . i/(4) liber, wobei M{k) eine nur von m^, mg, . . ., ^2;^ (im allgemeinen aber nicht von alien diesen Zahlen) abhangige Menge bedeutet und k alle natiiriichen Zahlen einmal durchlauft; denn es ist leicht zu sehen, da6 die oberen Zahlen mi, mg, . . . , m2^_i, von denen eine Menge in (7) abhangt, kleinere Indices aaben als die unteren, die mit m^n beginnen, und da6 also das hochste ntj,.

136

§ 19. Die Suslinschen Mengen.

93

von dem die Menge abhangt, geraden Index hat. Ordnen wir nun schlieBlich die Zahlenpaare (/Woj^^i, W2jb) den natiirlichen Zahlen p;^. eineindeutig zu und definieren die von p ^ , . . . , ipy. oder m^,. .., m<2_]> abhangige Menge

<......» = ^w> so geht (7) in ^p^M^^^^M^^^^^^^ . . . liber und P ist die Summe dieser Durchschnitte, iiber alle Folgen (pi, pg? p3? • • *) natiirlicher Zahlen erstreckt, d. h. eine aus den M gebildete SusUnsche Menge. Damit ist I bewiesen. Die Mengen N = Ms erzeugen keine neuen Suslinschen Mengen; jedes Ns ist ein N, Insbesondere ist also jedes N^o und N^ ein iV, die Mengen N bilden ein Borelsches System $R iiber 2R; das kleinste Borelsche System S5 ist demnach in 9? enthalten: alle mn 9R erzeugten Borelschen Mengen sind auch SusUnsche Mengen, Das Umgekehrte ist im AUgemeinen nicht richtig, wie wir spater (§33,1) sehenweFden. SchlieBlich konnen wir von der Suslinschen Formel (5)(4) leicht zu einer Darstellung der Gestalt (1) zuriickgehen und damit die Frage zu Beginn dieses Paragraphen beantworten. Wir brauchen nur eine eineindeutige Zuordnung zwischen den naturUchen ZaMen p und den endlichen Komplexen naturiicher Zahlen (%, ^ 2 , . . . , %) herzustellen, etwa die aus der dyadischen Schreibweise entspringende (8) p = 2**»~^ + 2'*»+**»~^ _j- . . . _|- 2»'»+»«+*'*+»v-'—1;» sodann setzen wir M^ = M Dann entspricht jeder Folge v = Oh^ /ig, ^ 3 , . . •) behebiger natiirlicher Zahlen eine Folge TZ = (pi, pg, Ps, • • •) wachsender natiirlicher Zahlen der Gestalt P J = : 2 " X - I , P2 = 2"^-^ + 2"^+'^^-^, p __ 2"!—1 _[- 2*^i+"a~^ 4- 2**i+'*»+**~"-'^ (d. h. die Zahlen p^, pg — pi, Ps — P2? • • • bilden eine Teilfolge von 1, 2, 4, 8 , . . .); ist n die Menge aller dieser Folgen n, so geht (5) in JI

X = iSM^^M^^AP-,

..

liber. Damit ist, wenn wir zur Bezeichnung (1) zuriickkehren, der Satz bewiesen: II Es gibt eine jesle Menge N mn Folgen v = fuj, n^^ n^, . . .) wachsender natiirlicher Zahlen derart^ dap die ds-Funktion (1)

X = l M, = i if„, M„,

M^...

genau die von Wl erzeugten Suslinschen Mengen darstdlt.

137

94

Sechstes Kapitel. Punktmengen. Sechstes

KapiteL

Fnnktmengeii. § 20. Entfernung. Wir haben bisher teils reine Mengen, teils solche mit Relationen zwischen den Elementen (geordnete Mengen) betrachtet. Der zweiten Klasse gehoren auch die Mengen an, die wir n u n untersuchen wollen: Mengen, in denen zwei Elemente eine Entfernung haben. [46] 1. Metrische B a u m e . E s sei E eine Menge, deren Elemente wir jetzt Punkte nennen. Jedem P u n k t p a a r (x, y) sei eine reelle Zahl xy, die EnU fernung beider P u n k t e , zugeordnet ^), also eine reelle Funktion xy = f{x^ y) in [E, E) definiert. Hierfiir soUen die folgenden Entfernungsaxiome oder -postulate gelten: (a)

XX =^ 0

(|3) xy = yx> 0 fur x::^y (y) xy +yz>xz. Das Axiom (y), das wichtigste u n t e r ihnen, heiBe das Dreiecksaxiom oder die Dreiecksungleichung (die Summe von zwei Dreiecksseiten ist mindestens gleich der dritten). Die Menge E wird als metrische Menge, Punktmenge oder metrischer Raum bezeichnet; bei der letzten Bezeichnung wird vorwiegend an das Verhaltnis von E zu seinen Teilmengen und P u n k t e n , bei den ersten beiden an das Enthaltenseia von E in einem umfassenden R a u m e gedacht. Das nachstHegende Beispiel ist die Menge E^ der reellen Zahlen, wo als Entfernung der absolute Betrag \x — y\ des Unterschiedes beider Zahlen definiert wird. Sodann der n-dimensionale Euklidische Zahlenraum En] seine Elemente sind die Komplexe X =

(Xiy

X2f • • • } Xf^)

aus n reellen Zahlen; die Gleichheit ist wie (iblich (x = y so viel wie ^1 = 2/i? • • M ^n = yn) und die Entfernung durch

xy == V(x,-y^r

+ (xz -2/2)^ + • • • + K - Vnf

definiert, die Wurzel > 0 genommen. Die Postulate (a)(/S) sind erfiillt, auf den Beweis von (y) kommen wir zuriick. Wenn zwei Raume eineindeutig und entfernungstreu aufeinander abgebildet werden konnen (d. h. die P u n k t e x den P u n k t e n | eineindeutig so entsprechen, dafl xy = |?^), so werden sie isometrisch genannt. Z. B. ist der £ 1 mit der Menge der P u n k t e (a;, 0) des £ 3 isometrisch. Isometrie, im M Wenn Verwechselung mit einem Produkt in Frage kommt, wird statt xy eine andere Bezeichnung zu wahlen sein.

138

§ 20.. Entfemung.

95

Grunde nichts anderes als die Kongruenz in der Elementargeometrie, ist fiir metrische Mengen ein analoger Begriff wie Aquivalenz fiir reine, Ahnlichkeit fiir geordnete Mengen (ein anderes, wichtigeres Analogon ist Homoomorphie, § 38); indessen ist es nicht notig, einen der Kardinalzahl und dem Ordnungstypus entsprechenden Namen einzufuhren. Zwei isometrische Raume, jeder im Verhaltnis zu seinen Punkten und Teilmengen betracMet, konnen einfach als identisch angesehen werden (nicht aber zwei isometrische Mengen in einem umfassenden Raum). Ein dem E^ isometrischer Raum heifit ein n-dimemwmakr Euklidischer Raum; x^,. , ,yX^heifien rechtwinklige Cartesische Koordinatendes Punktes I, der dem Komplex x entspricM. Die isometrische Abbildung ist auf unendhch viele Weisen moglich (Koordinatentransformation, orthogonale Substitution). Unser idealisierteF Anschauunp- und Erfahrungsraum ist ein dreidimensionaler Euklidischer Raum, seine Ebenen und Geraden sind zwei- und eindimensionale Euklidische Raume; hieraus entspringen bekannte geometrische Ausdrucksweisen auch fiir den E^ und andere Raume. 2. Lineare Biiume. Die Punkte des Euklidischen Zahlenraums waren endliche Komplexe reeller Zahlen. Dies Verfahren laBt sich sofort verallgemeinem: wir ordnen jedem Element m einer beliebigen Menge M = {m, n, . ..} eine reelle Zahl x^ zu (oder defmieren in M eine reelle Funktion), wodurch wir den Komplex oder Punkt X = (a;,,j, a;„, . . .)

mit den ^Koordinaten" o;,^, x^^ . , . erhalten. Gleichheit der Punkte bedeutet Gleichheit samtlicher Koordinaten (x — y so viel wie x^^ = Vm ^^^ jedes 1718 M). Der Punkt 0 = (0, 0, . ..) heiBt der Nullpunkt. Wir definieren Multiplikation eines Punktes mit einer reellen Zahl oc und Addition von Punkten durch (XX = {(XX^,

«^m---)

wonach die Bedeutung von Zeichen wie —-x^x—y^ocx + ^y^ocx + ^y-i-yz klar ist. Wir sagen, drei Punkte x, y^ z liegen in gerader Linie oder sind kollinear, wenn es drei reelle^ nicht samtlich verschwindende Zahlen oc, )5, y gibt mit ax + fiy+Yz=-0, a + ^ + y==0. Dabei kann y nicht 0 sein auBer tm x = y (dann liegt feder Punkt z mit X, y in gerader Linie); fiir ^ =fr ^ kann^ da nur die Verhaltnisse (x: fi:y in Betracht kommen, y = — 1 gewahit werden, und es liefert also (1) z = ax + py, a + p=i

139

96

Sechstes Kapitel. Punktmengen.

alle mit x^ y koUinearen Punkte z, deren Menge die durch re, y bestimmte Gerade heiBt; z hangt von einer reellen Variablen oi oder p ab. Wird zu (1) die Beschrankung ^ ^ 0, ^ ^ 0 hinzugefiigt, so erhalt man die durch rr, y bestimmte (abgeschlossene) Strecke [x,y]. Man kann dies fortsetzen. Nennen wir k + 1 Punkte rr^, x^, . . ., % linear abhdngig, wenn es eine Beziehung ^o^'o + ^1^1 ^ 1- ^ic^k = 0, ^0 + ^1 H rOc^^O mit reellen Zahlen OCQ^OC^, . . .^oc^. gibt, die nicht samtlich verschwinden; andernfalls linear unabhdngig. Sind XQ, X^, , ,., XJ^ linear abhangig, jedocb o^i,..., rCfc linear unabhangig, so k a n n OCQ nicht 0 sein, u n d m a n erhalt, indem m a n (XQ= — 1 setzt, alle von x^, ^ - -.Xj^ linear abhangigen P u n k t e % in der Form ^0 = ^1^1 + . . . + ^ j b ^ i b , ^i-i h%-=l; sie hangen von A: — 1 reellen Parametern ab und bilden, wie man sich ausdriickt, den durch rcj, . . ., % bestimmten {k — l)-dimensionalen Raum / ^ i _ i , bei Beschrankung auf ^ i ^ O , . . ., ^^^^ ^^^ durch jene Punkte bestimmte (k — iydimensionale Simplum Sj.__i. (/?i Gerade, R^ Ebene, S^ Strecke, S^ Dreieck, 6*3 Tetraeder.) Eine aus unseren P u n k t e n x gebildete Menge E heiBe linear"^)^ wenn sie mit zwei verschiedenen P u n k t e n a;, y auch die ganze durch sie bestimmte Gerade enthiilt; sie heiBe kom^ex, wenn sie m i t a;, y auch die Strecke [x, y] enthalt. So ist die oben erklarte Menge i ? i _ i linear, ^^—i konvex; einen linearen R a u m erhalt m a n auch, wenn m a n alle P u n k t e nimmt, deren Koordinaten ein System linearer Gleichungen erfiillen. Der Durchschnitt beliebig vieler linearer oder konvexer Mengen ist offenbar wieder linear oder konvex. Ist E ein linearer oder konvexer R a u m , A^E, so ist der Durchschnitt K aller konvexen Mengen ^ A die kleinste konvexe Menge '^A und wird als konvexe Hiille von A bezeichnet 2). K enthalt m i t irgendwelchen linear unabhangigen P u n k t e n von A das ganze durch sie b e stimmte Simplum u n d ist einfach die Summe aller dieser Simpla. Ist a ein fester P u n k t , so werden durch (2) ^ — x-\-a^x='^ —a die P u n k t e x, ^ eineindeutig aufeinander abgebildet; m a n nennt diese^ Beziehung eine Schiebung oder Translation. Dabei geht jeder lineare R a u m wieder in einen solchen uber und kann insbesondere in einen solchen (homo1) Bei C a n t o r u. a. lieiBen die Mengen auf der Geraden E^ linear. 2) Kleinste Mengen g A werden HiiUen^ groBte Mengen ^ A Kerne von A genannt, mit einem kennzeichnenden Adjektiv (konvexe, vollstandige> abgeschlossene HuUe; offener, insichdichter Kern). Die Existenz solcher groBter und kleinster Mengen von irgendwelcher Eigenschaft mufi nattirlich bewiesen werden.

140

§ 20. Entfernung.

97

gen linearen) iibergehen, der den Nullpunkt enthdlt, was wir nun voraussetzen wollen. Ein solcher Raum E enthalt zu jedem Punkt x auch alle Punkte OCX = OCX + (i — oc) ,0, und zu zwei Punkten x, y alle linearen Kombinationen ocx + fiy (nicht nur'die mit ^ + /S = 1). Er wird durch die Schiebungen (2), wenn a ein Punkt von E selbst ist, in sich transformiert. Wir wollen E nun in der Weise zu einem metrischen Raum machen, daB die Schiebungen isometrische Abbildungen werden, d. h. daB die Punkte x^ y dieselbe Entfernung haben wie x + a, 2/ + ^» insbesondere wie a; — t/, 0 oder O^y — x, Dadurch werden alle Entfernungen auf Entfernungen vom NuUpunkte zuriickgefuhrt; bezeichnet man die Entfernung des Punktes x vom Nullpunkt mit | x \ und nennt sie den Betrag von x^ so ist xy = I ^ — ^ I die Entfernung zweier beliebiger Punkte. Man nennt ein geordnetes Punktpaar (a;, y) auch einen Vektor und definiert die Gleiehheit zweier Vektoren (a;, y)^ (|, rj) durch i^ — x = t; — | ; Punktpaare, die gleiche Vektoren liefern, haben also auch gleiche Entfernung (den Betrag oder die Lange des Vektors). Die reelle Funktion | x \ von x muB nun den drei Betragsaxwmen genugen, die den Entfernungsaxiomen entsprechen: («o)|0|=0, (^o)l^l = | - ^ | > 0 fiir a:=t=0,

(ro)\^ + y\^\^\

+ \y\'

Das letzte, das wir das Summenaxiom nennen, ergibt sich aus dem Dreiecksaxiom (y), indem man a:, y^ z durch x^O, — y ersetzt. Umgekehrt, wenn | x \ diesen Betragspostulaten geniigt, so geniigt (3) xy=\x — y\ den Entfernungspostulaten; (y) folgt aus (y^) wegen \x-z\

= \(x-7j)

+ (y -~z)\<\x--y\

+ \y -

z\.

Die in der folgenden Ziffer 3 vorkommenden Betrage werden iibrigens noch die Bedingung.

I a a ; I = 1 ^ il a: I erfiillen (oc eine reelle Zahl), d. h. positiv-homogene Funktionen ersten Grades der Koordinaten sein. In diesem Falle werden, wie auch sonst der Betrag erklart sei, die Geraden unseres Raumes mit E-^ oder mit Euklidischen Geraden isometrisch. Denn fiir zwei Punkte z = x + ^(yx) der Geraden (1) ist % - 2 = (i^i - P)(y -X), \z^-z\^\p,-p\\y-x\, die Punkte z stehen also mit den Zahlen c/3 (c — \y — x \ konstant) in isometrischer Beziehung. Hausdorff, Mengenlehre.

7

141

98

Sechstes EapiteL Ponktmengen.

3. Beispiele linearer Baume. Der Euklidische Raum E^ entsteht, wenn man den Betrag des Punktes (4) X = (x^, x^,..., x^) durch

(5)

|a;|=(a;f + a;| + . . . + 4 ) ^

erklart. Der Beweis des Summenpostulats ergibt sich am kiirzesten durch den bekannten SchluB: da die quadratische Form der reellen Variablen », v ^{X]c u + t/i-vf = au^ + 2buv + cv^ mit a = ^ 4 » ^^^^kVh^ ^^-^Vl nicht negativ ist, ist ihre Determinante > 0,

b
mit E^ identifiziert. Dies Verfahren laBt sich auf jede beliebige Menge iV/, als Trager der Komplexe, ausdehnen, wobei es iibrigens, wenn man iso^ietrische Raume nicht unterscheidet, nur auf die Machtigkeit von M ankommt. Man behalte nur diejenigen x = (a;„j, . . .) bei, in denen nur endlich nele bzw. hochstens abzdhlbar viele rc^, letzterenfalls mit konvergenter Quadratsumme, von Null verschieden sind, und defmiere den Betrag | x | wie oben. Diese

142

§ 20. Entferaung.

99

beiden Raume konnen als Euklidische R^ume, deren Dimensionenzahl die Machtigkeit von M ist, bezeichnet werden. Wenn man nicht an der Quadratsumme ^ + • • • + ^I? sondern an dem 1 Quadratmittel - (ajj + • • • + ^S) den Grenziibergang n -> oo vollzieht, so kommt man auf Integrals, Wenn z. B. M das Intervall a<^t
=\x\==\fx{tfdt\^ \fx(tfdtY

(9)

und die entsprechende Entfernungsdefinition (3) zii einein meirisclien linearen Raume. Dehnt man dies auf Integrale unstetiger Funktionen aus, etwa zunachst auf eigentliche Riemannsche Integrale, so tritt eine Erscheinung auf, die uns auch spater gelegentlich wieder begegnen wird: es kann I a; I = 0 sein, ohne daB im ursprunglich (S. 95) definierten Sinn x = 0 (x (t) == 0 im ganzen Intervall) ist. Um die Axiome (/3) {^Q) aufrechtzuerhalten, muB man die urspriingliche Erklanmg modifizieren und die [47] Gleichheit x == y eben durch xy = 0 definieren. Anders gesagt: nennt man eine Funktion x mit | a: | = 0 eine Nullfunktion, so bedeuten zwei Funktionen, die sich nur um eine Nullfunktion unterscheiden, denselben Punkt des metrischen Funktionenraumes. Der Euklidische Raum, dessen Spielarten und Grenzfalle wir bisher betrachtet haben, beruhte auf der Betragsdefinition (5). In dieser kann man den Exponenten 2, der dem Pythagoreischen Lehrsatz entspricht, durch irgendeinen Exponenten /? > 1 (der nicht ganzzahlig zu sein braucht) ersetzen, als6 den Betrag des Komplexes (4) X = (x^, x^, . . , , x^) durch 1 (10) l x | = (|Xx|P + ( x , p + . - . + |a^„lT (P>1) definieren. Die Summenungleichung, hier Minkowskische Ungleichung genannt, beweisen wir so. Fur positive x^ | gibt die T a y l o r s c h e Formel

o:^ = P + p^^-Hx

- I) + ^^P~^^

er^ix

- 1)^-

d i zwischen a:, | ) , also bei Weglassung des nichtnegaitiven RestgUedes

Ersetzt man darin, fiir positive y^rj, x und | durch

^-•^ = (^ + rjr-il''

x+y

143

^^

.

' I + Jjj

'^ ^-jr—^ ®^

100

Sechstes Kapitel. Pnnktmengen. Vertauscht man ar, | mit y, jj und addiert, so wird a* tp—1

r

7?, P - i

>

{x + yf p—i-

Hierin setze man Xj^, yj^ (A: = 1, 2 , . . ., n) fiir x, t/, ferner

^^^2x1,

if-2yl

und summiere nach A, dann folgt Oder

1 1 1 CSrrp^ + (2yl)v ^ (2(:r, + y,)^yp. Dies gilt fiir positive, natiirlich auch fiir nichtnegative Xj^, j/j^.; fiir beliebige erhalt man, wegen \xj^\ -\- \yj^\^\x^-\y^\, 1 i_ I (2 I x^ \^f + (2\y^ n>^(2\xj, + 2/, I T ,

[48]

also die zu beweisende Ungleichung. Der m i t dem Betrag (10) definierte R a u m m a g etwa der pseudo-Eiiklidische n-dimensionale R a u m £ J genannt werden. Die bisher > 1 angenommene Zahl p k a n n librigens auch = 1 gesetzt werden, also die Betragsdefinition

(11) l ^ l = l^ll + l^2l + - " + l ^ n | . Andererseits kann man sagen, daB dem Grenzfall p = oo die Betragsdefinition (12) | a ; | - : m a x [ | a : J , \x^\, . , .,\x^\-\ entspricht; denn wird dieser groBte unter den Betragen | x^ \ mit ^ bezeichnet, so folgt aus (10) I ^ i ^ I ^ w^-1, also fiir /? -> oo | x | -> | . Fiir diese beiden letzten Betragsdefinitionen ist iibrigens die Summenungleichung trivial. Deutet man x^^ X2 als rechtwinklige Koordinaten in der Euklidischen Ebene, wodurch man den E^ eineindeutig (aber nur fiir p == 2 isometrisch) auf diese abbildet, so ist es nicht ohne Interesse, sich die ,,Eichkurve" | aj^ P + | rcg 1^ = 1, das Biid des „Einheitskreises" | a; ] = 1, vorzustellen. Fiir p — 2 ist es der Euklidische Einheitskreis, fiir p = 1 das ihm eingeschriebene Quadrat mit den Ecken ( ± 1,0) und ( 0 , ± 1), Fig. 1. fiir p = 00 das ihm umschriebene Quadrat mit den Ecken ( ± 1, + 1). Fiir die iibrigen p verlauft die Kurve in den entsprechenden Zwischengebieten. — Fiir n — 2 liefert p = 2 die Euklidische Einheitskugel, p = 1 ein ihr eingeschriebenes Oktaeder, p = 00 einen ihr umschriebenen Wiirfel.

144

§ 20. Entfernung.

101

Die dem Grenziibergang n -• oo entsprechenden Raume ergeben sich wie im Falle p = 2; so der pseudo-Hilbertsclie Raum tP als Raum der Zahlenfolgen, fiir die | a^j |^ + | rcg P + * * * konvergiert. mit der Betragsdefinition 1

(13) \x\ = {\x^\v^\x^\^+ •••)», der Raum der stetigen Funktionen x = x (t) mit

(14)

\x\ = U\x(t)\vdiy

Tisw. Fiir p = oo ist die sachgemaBe fjbertrageng von (12): Rsium der beschrdnkten Zahlenfolgen mit (15) | x | = sop|ar„l;, was sich ohne weiteres auf Komplexe mit beliebigem Trager ausdehnen laBt. Bisher haben wir als Betrag von x stets eine symmetrische Funktion der Koordinaten gewahlt; wenn man darauf verzichtet, laBt sich der Kreis der Beispiele sehr erweitern. So kann man den beschrankten Zahlenfolgen X = (Xi^ 0:2? • • •) die Betrage U' I = ^1! % ! + ^21 ^21 H zuordnen, wo c^ + Cg + * • * eine feste konvergente Reihe positiver Zahlen ist. Oder: wir definieren den Betrag einer (reellen) Matrix X = /Xij . . .

X^^\

^jnl • • • ^mnJ

folgendermaBen: es sei v-i = ^^ik^h (*' = 1, . , ., m; /c - : 1, . . ., n) und I X I das Maximum von (2v\)^ unter der Bedingung 2u\—i. Man sieht leicht, daB | a: j die Betragsaxiome erfiillt, also die Entfernung \x — y \ die Menge der Matrizen (aus mn Elementen) zu einem metrischen Raum macht. Man kann den Exponenten 2 wieder durch p ersetzen und den t)bergang zu unendlichen Matrizen machen. 4. Bairesche Baume. Ist x —(x^^ x^^. -«) eine Folge reeller Zahlen oder [49] auch von Elementen beliebiger Mengen (X^BA^^ und ist m{x^y) die erste Differenzstelle fiir zwei Folgen x^y^ d. h. die durch ^m + Vm,

^n ^ Vfi ^^^ n<

M

defmierte natiiriiche Zahl, so erhalt man eine zulassige Entfemungsdefiiiition durch (16) XX = 0^ xy == 1: m(x^y) fiir x^y. Hier gilt das Dreiecksaxiom sogar in der scharferen Gestalt

145

102

Sechstes Kapitel. Punktmengen.

^2 < max[a;y, yz], Denn unter der Voraussetzung, daB alle drei Folgen verschieden sind (andernfalls ist nichts zu beweisen), hat man m(x, z) > min [m(x, y), m(y,z)], weil, die rechte Seite = m gesetzt, tur n< m Xn = y^ und y^ = z^, also Xn = Zn und daher m(x^ ^)^^ ^^^' Diese Raume heiBen Bairesche Rdume; insbesondere entsteht der Bairesche Nullraum, wenn man die x^ alle natiirlichen Zahlen durchlaufen laBt. »• Der p-adisclie Baum* p sei eine natiirliche Primzahl, i> eine Zahl des Intervalls 0 < ^ < 1, beide fest gewahlt. Man kann dann jeder rationalen Zahl x einen Betrag oder besser, da man hier eine Verwechslung vermeiden muB, eine „Bewertung" ||a;|| in folgender Weise zuordnen: (17) II 0 II = 0 , II aj II = ^«»<*> fiir x^O, wo m(x) diejenige ganze Zahl m ( ^ 0) bedeutet, fiir die x genau durch p"* teilbar, d. h. ar = p^ XQ und XQ Quotient von zwei nicht durch p teilbaren ganzen Zahlen ist. Das Summenaxiom gilt hier wieder in der scharferen Form ||^ + 2/l|<max[||a;|M|2/||]. Denn sind x,y,x + y ::^0 (sonst ist nichts zu beweisen), so ist m(x + y) > min [m{x), m(y)]; ist namlich x = p^ XQ^ y — p^ y^ und etwa m
z^z^ = {{x.x^Y + {y^y^nv

(p ^ 1)

oder (19) ZiZg = inax [x^x^, y^y^l. Nimmt man z. B. p = 2, so wird das Produkt (E^, J?J von zwei Euklidischen Raumen mit dem EukUdischen Raum E^^^ isometrisch. Das zu einem z = (re, y) gehorige x heiBt die Projektion des Punktes z auf den Raum A^ und die Projektionen aller Punkte z einer Menge Z g C bilden die Projektion X von Z, Die Entfernung zweier Punkte ist mindestens

146

§ 21. Konvergenz.

103

gleich der ihrer Projektionen: z^^z^^x-^x^. — Man kann diese Produktbildung ohne weiteres auf jede endliche Zahl von Faktoren ausdehnen. § 21. Konyergenz. 1. Im metrischen Raume E sei (a^j, o^g,. . .) eine Punktfolge. Wenn es in E einen Punkt x gibt derart, daB die Entfernung xx^ mit yi -> oo nach 0 konvergiert: lim xXn=^ 0 oder xx,j^ -> 0, so heiBt die Folge in E konvergent und x ilir Limes (Grenzpunkt), in Zeichen lim x^ — X oder x^-^ x, Es kann natiirlich nur einen solchen Punkt geben, denn aus a:rr„->0, yx^->Q folgt nach dem Dreiecksaxiom xy = 0, x = y. AUgemeiner: fiir zwei in E konvergente Folgen x^-^x^ yn-^V ist (1) ^nVn-^^yDenn nach der Dreiecksungleichung ist ^^iVnS^n^

+ ^y -T-yyn,

Xy

-^-Xnyn -\- yny .

<XX^

\^nyn-^y\S.^^n-\-yyn. woraus fiir 7i-^ oo (1) folgt. Mit einer dem Leser schon jetzt verstandlichen Sprechweise driicken wir (1) so aus: xy ist eine sietige Funktion von X und y. Die Punktfolge (a;i, rrg, . . .) heiBt eine Fundamentalfolge oder C a u c h y sche Folge, wenn es in ihr fiir jedes (noch so kleine) positive s einen Punkt Xfy^ gibt, der von alien folgenden eine Entfernung < e hat: Jede konvergente Folge ist ersichtlich eine Fundamentalfolge. Das Umgekehrte kann nicht allgemein richtig sein, da ja die Definition der Fundamentalfolge nur aus der Folge selbst geschopft ist, die Konvergenz in E aber vom Raume E abhangt. Wenn z.B.E die Menge der rationalen Zahlen ist, so ist eine Folge rationaler Zahlen, die nach einer irrationalen Zahl konvergiert, zwar eine Fundamentalfolge, aber in E nicht konvergent. Wenn in E jede Fundamentalfolge konvergiert^ heipt E ein vollstdndiger Raum (eine vollstandige Punktmenge). Die Menge der rationalen Zahlen ist also nicht voUstandig, wohl aber die der reellen Zahlen: daB jede Fundamentalfolge reeller Zahlen konvergiert, ist ja genau die Aussage des sogenannten allgemeinen Konvergenzkriteriums von C a u c h y , das dem Leser aus den Elementen bekannt ist. 2. Beispiele vollstandiger und imvollstandiger Riiume. Jeder Euklidische Raum, aber auch der Hilbertsche ist voUstandig; beweisen wir es fiir diesen. Der Betrag eines Punktes x

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104

Sechstes Kapitel. Punktmengen.

I ^ I = (^? + ^2 + ' • •)' ist mindestens gleich dem Betrag einer Koordinate, | ^ | > | ^jt I; also die Entfernung \x —• y \>\Xj^ — yj^\. Bilden also die Punkte ^) **/

—

^u/j, o/g, . . . , ^jj., • • • ;

eine Fundamentalfolge, so bilden ihre k-ien Koordinaten erst recht eine und haben einen Limes Xig = lima:]J; n setzen wir dann x = (a-j, % . . ., a;;^, . . . ) • Bei vorgeschriebenem e >0 ist \x^ ~ x^ \< e fiir geeignetes m und jedes n >m^ also J^(a;;^-4")•^<s^ um so mehr fiir jede natiirliche Zahl I

daraus fiir n-^ oo

2ixj:-x^f<e'; hieraus folgt wieder fiir i -> oo k—1

aus der Konvergenz der links stehenden Reihe ergibt sich, dafi x — x"^ und also X dem Hilbertsclien Raum angehort. Weiter ist \x — x^^ \ < e, mit I ^n „ ^»» I ^ g vereinigt also \ x — x"" \ < 2 e iiiT n > m, und dies besagt I re — re" I -> 0 Oder re" -> x, Jener zwischen den Euklidischen Raumen und dem H i l b e r t s c l i e n [50] stehende Raum E = <SEn (S. 98) ist unvollstandig; denn ist x = (x^, x^,...) ein Punkt des Hilbertsclien Raumes, so konvergieren die zu E gehorigen X = (Xi, x^i . . ., rr„, U, (J, . . .) nach X und bilden eine Fundamentalfolge, die aber, falls unendlich viele Koordinaten x^ ^ 0, in E nicht konvergiert. Der Raum der in [a, b] stetigen Funktionen x = x(t) mit der Betragsdefinition ^

|a;| = 1

jx(tfdty

» a

ist nicht vollstandig. Zu jeder (beschrankten, im R i e m a n n s c h e n Sinne) integrablen Funktion | laBt sich eine Folge stetiger Funktionen x^ mit I ^n — ^ I -^ 0 angeben; wenn zugleich eine stetige Funktion x mit n und m sind obere Indizes, nicht Exponenten.

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§ 21. Konvergenz.

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1 o:^ — a; I -> 0, also | a; — 11 = 0 vorhanden sein soil, so mu8 die NuUfunktion re — | an ihren Stetigkeitsstellen verschwinden, x an den Stetigkeitsstellen von f mit I ubereinstimmen. Die einfachsten Beispiele lehren bereits, daB eine solche stetige Funktion x nicht zu existieren braucht: man lasse etwa l{i) an einer einzigen Stelle c zwischen a und h einen Sprung mit |(c — 0) 4= l(c + 0) machen und sonst stetig sein. Auch der Raum der im R i e m a n n s c h e n Sinne integrablen Funktionen ist aber noch nicht voUstandig (erst der Raum der Funktionen, fiir die x(f) und sein Quadrat im L e b e s g u e s c h e n ^) Sinne integrabel ist). Auch die pseudo-Euklidischen und der pseudo-H i l b e r t s c h e Raum sind vollstandig; insbesondere dem Grenzfall p = oo entsprechend der Raum der beschrankten Zahlenfolgen mit der Betragsdefinition ! x I == sup j x^ I. Hier ist auch der Raum der stetigen Funktionen x(l) mit d@p Betragsdefinition I ^. I == jnax I x{i) 1 •vollstandig; denn eine Fundamentalfolge stetiger Funktionen konv«rgiert alsdann gleichmdliig gegen eine, mithin ebenfalls stetige Grenzfunktion x(t). Die reellen Zahlenfolgen a:= {x^^ x^;^.. .) bilden auf Grtmd der Betragsdefinition / 1\1

\x\^m{

[xi + 0^2 -\- ' ' ' + 4 + ; ^ j ^

deren Zulassigkeit der Leser beweisen moge, einen vollstandigen Raum, worin die Konvergenz x^ -^ x mit Konvergenz samtlicher Koordinaten (x\ -> x^^ x\-^ x^^^ . , ,) gleichbedeutend ist. Der B a i r e sche Raum (S. 101) der Elementfolgen X =

(a^i, rCg, - • •)

ist vollstandig, wenn die x^. unabhangig voneinander alle Elemente gegebener Mengen Aj^ durchlaufen. Denn bilden die Punkte X = {Xi^ % , . . .) •1

eine Fundamentalfolge, so ist, fiir jede natiirliche Zahl /c, x^x^ < T fiir geeignetes m und jedes n > in, was aber nach der Definition der Entfernung zur Folge hat, daB x*^ = xf^^ = x^'^^ = «. .. Nennen wir dies Element Xj^ und bilden die Folge SO stimmt x^ in einer, mit n gleichzeitig nach oo strebenden Zahl k won Anfangselementen mit x liberein, d. h. xaf^ -• 0. ^) Die Lebesguesche MaB- und Integraltheorie wird in diesem Buche nicM behandelt und die Bekanntschaft mit ihr nicht vorausgesetzt. Der Leser, der die obige Anspielung auf den RIesz- Fischerschen Satz nicht versteht, betrachte sie als nicht vorhanden.

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106

Sechstes Kapitel. Ponktmengen.

3. VervoUstandigungeinesRaumes. Wie wir in § 11 die Dedekindsche Theorie der Irrationalzahlen als Vorbild zur Ausfiillung derLiicken geordneter Mengen genommen haben, so konnen wir nach dem Muster der Cantor-Merayschen Theorie, welche die Irrationalzahlen durch Fundamentalfolgen rationaler Zahlen definiert, jeden metrischen Raum E zu einem voUstandigen Raum E erweitern, dessen Elemente die Fundamentalfolgen aus Punkten von E sind. Bemerken wir zunachst: (a) Fiir zwei Fundamentalfolgen | , rj existiert immer lim x^y^, m der i at ist ^ «. <^ ^ /« _i_ ^ ^. ji -. «. I ^rnVm -

^nVn \<^m^n

+

yrnVn,

woraus unmittelbar folgt, daB die reellen Zahlen x^ y^ eine Fundamentalfolge bilden und konvergieren. (j8) Von zwei Folgen | , aj mit x^y^-^O ist mit der einen zugleich auch die andere eine Fundamentalfolge. Dies folgt aus i \ Xf^Zn folgt die Dreiecksungleichung irj + riC>SCUm das Entfernungsaxiom (/3) (S. 94) aufrechtzuerhalten, definieren wir zwei Fundamentalfolgen | , r] dann und nur dann als gleich, wenn | i / = 0^ abweichend von der sonstigen Gleichheitserklarung fiir Komplexe (vgL die Bemerkung liber unstetige Funktionen S. 99). Zu den Fundamentalfolgen gehoren gewiB die konstanten Folgen (X, X^ Xj , . ,) ^

die Entfernung von zwei solchen ist xy^ so daB E isometrisch auf eine Teilmenge von E bezogen ist. Wir konnen diese konstanten Folgen ohne Gefahr mit den Punkten x selbst identilizieren, so daB E geradezu Teilmenge von E wird. Die Entfernung zwischen rr = (a:, a;,...) und | = (%> % . . .) ist a;| = lima;a;,t. Insbesondere ist die Entfernung zwischen f und einem seiner eigenen Punkte x^ X^ s ^^^ lllti X^ X^. n

Diese konvergiert fiir m -> oo nach 0; denn wahlt man m so, daB fiir w > m stets x^x^ < €, so ist a:„,| < s, a;^ | < 2e fiir n> m. Daher kann man zu jedem | ein x mit beliebig kleinem xi bestimmen (E ist in E dicht, § 25). Nennen wir fiir den Augenblick, der DeutUchkeit wegen, die Folgen von Elementen | Sequenzen. Ist (l^, ^^i • • •) ^^^^ Fundamentalsequenz, 1 so bestimmen wir zu jedem ^„ ein x^^^ mit x^^^ < " 5 nach der Bemerkung

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§ 21. Konvergenz.

107

(j8) bilden die x^ dann eine Fundamentalsequenz in E oder eine Fundamentalfolge | = (x^, Xz,...) in E. Demnach ist | rr^ -> 0, auBerdem Xn In"^ 0, also ^ | ^ - > 0 nach dem Dreiecksaxiom, d. h. ^^ ko'nvergiert nach ^ und der Raum E ist voUstandig. Nennen wir die Menge E in ihrer Abhangigkeit von E jetzt E (Menge der Fundamentalfolgen aus E). Fiir einen voUstandigen Raum F ist F = V, Ist E in dem voUstandigen Raum V enthalten, so ist E^Y = f\ also auch JB in y enthalten: E ist der kleinste mllstdndigeRaum^ in dem E enthalten ist^ und soil die vollstdndige Hiille ^) von E heiBen. Allerdings haben wir dabei die Punkte x von E mit den konstanten Folgen {x^x^.,,) oder, wegen der Gleicbheitsdefinition fiir Fundamentalfolgen, mit den nach x konvergenten Folgen (rc^, % , . . . ) identifiziert. Will man diese Verwechslung isometrischer Raume vermeiden, so kann man sagen: ist V ein vollstandiger Raum ^ E^ so konvergieren alle Fundamentalfolgen aus E nach Punkten x von F, und die Menge E dieser Punkte x heiBt eine vollstdndige Hiille von E\ alle voUstandigen Hiillen von E sind isometrisch und zwar derart, daB bei der isometrischen Beziehung die Punkte von E sich selbst entsprechen. 4. Kompakte Mengen. Es sei Xj, eine Teilfolge der Folge x^, ausfiihr- [5i] licher: {x^^^ x^^^...) eine TeUfolge von (x^^ x^^. . .), wo pi < pg < ' * * ^^^e Folge wachsender natiirlicher Zahlen ist. Wenn x^ eine konvergente Teilfolge XM *• X hat, so heiBt x ein Hdufungspunkt der ganzen Folge rr„. Dafiir ist notwendig und hinreichend, daB fiir jedes £ > 0 unendlich oft xx^<. e sei (wahrend fiir x^-^x die Bedingung lautet: schlie/ilich xXn< fi). Notwendig: es ist schlieBKch xXp < e, also unendUch oft xx^K s. Hinreichend: es gibt ein p^ mit xx^^ < 1, ein pg > Pi "lit xXj,^ < J, ein P3 > p2 mit xXp^<^ usw., also rr^ -> x. Wir definieren nun: Eine Teilmenge A des Raumes E heijit in E kompakt^ wenn jede Punktfolge XnsA eine in E konvergente Teilfolge^ d. h, einen Hdufungspunkt in E hat. Eine Menge A hei/it bedingt kompakt, wenn jede Punktfolge x^eA eine Fundamentalfolge als Teilfolge hat Eine in sich kompakte Menge E ist pollstdndig, E sei in sich kompakt, d. h. in £ ; jede Fundamentalfolge aus E hat in E einen Haufungspunkt, der aber in diesem FaUe der Limes der ganzen Folge ist. Eine im Raume E kompakte Menge ist bedingt kompakt. Umgekehrt, eine bedingt kompakte Menge A ist in einem geeigneten Raume E^A kompakt, z. B. in einem voUstandigen Raum E fetwa in der voUstandigen ^) Vgl. die Anmerkung S. 96.

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Sechstes Kapitel. Punktmengen.

Hiille A); denn dort hat jede Fundamentalfolge einen Limes, also jede Punktfolge Xf^sA einen Haufungspunkt. Genauer gilt: I. Dann und nur dann^ wenn E vollstdndig ist, ist jede bedingt kompakie Teilmenge von E auch in E kompakt, Denn wenn E nicht vollstandig und x^ eine Fundamentalfolge ohne Limes ist, wobei wir offenbar die x^ paarweise verschieden annehmen konnen, so ist die Menge A = {x^, x^, . . .} zwar bedingt kompakt, aber nicht in E kompakt. Die bedingt kompakten Mengen sind also die, die in geeigneten Raumen kompakt sind. Um die bedingt kompakten Mengen zu charakterisieren, stellen wir noch folgende Definitionen auf. Eifie Menge A hei^t beschrdnkt, wenn die Enifernungen Hirer PunkU paare eine endliche obere Grenze haben; diese wird der Durchmesser d(A) von A genannU Eine Menge A heifit total beschrdnkt^ wenn sie sich fUr jedes d> Q als Siimme endlich vieler Mengen von Durchmessern < 6 darstellen Id/it. Jede total beschrankte Menge ist erst recht beschrankt. Im Euklidischen Raume £p sind beschrankte Mengen auch total beschr&nkt, denn ein Wiirfel laBt sich, indem man seine Kanten in n gleiche Teile teilt, in n^ Teilwiirfel teilen, deren Durchmesser mit wachsendem n beliebig klein werden. Im H i l b e r t s c h e n Raum ist z. B. die Menge der Punkte (1, 0, 0, 0, . . .) (0, 1, 0, 0, , . .) (0, 0, 1, 0, . . 0 zwar beschrankt, aber nicht total beschrankt; denn die Entfernung zweier Punkte ist ^2 und f iir d ^, einen dritten a^ mit a^a^, « 2 ^ 3 ^ ^ usw., kurz, wir suchen, so lange es geht, Punkte, die paarweise Entfernungen > Q haben. Solcher Punkte kann es nur endlich viele geben, etwa %, ag,. . ., «„, da wir andernfalls eine Folge erhielten, von der gewiB keine Teilfolge eine Fundamentalfolge ist. Nunmehr hat jeder Punkt x e A von mindestens einem dieser Punkte ajg eine Entfernung < ^, da man sonst den Punkt x noch den Punkten a^ hatte hinzufiigen konnen. Ist also Aj^ die Menge der Punkte xeA mit xajc < ^, so ist i4 = ^ 1 + ^2 + • • • + ^n uJ^d jede Menge Aj^ ^^^ einen Durchmesser < 2 ^. A ist also total beschrankt.

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§ 22. Innere Piinkte und Randpunkte.

109

Umgekehrt sei A total beschrankt. Stellt man es als Summe endlich vieler Mengen Aj^ mit Durchmessern < 6 dar und ist x^ eine Punktfolge aus A^ so mu6 mindestens ein Summand Aj^ unendlich viele x^ enthalten; wir konnen sagen: jede Punktfolge x^ hat eine Teilfolge x^ von beliebig kleinem Durchmesser < d (d. h. in der zwei Punkte eine Entfernung < d haben). Danach bilden wir von den x^ eine Teilfolge vom Durchmesser < 1, von diesen x^ eine Teilfolge vom Durchmesser < ^ , von diesen x^ eine Teilfolge vom Durchmesser < ^ usw. Da nun Pi <^ fi < f^ < ^2 < ra < — •, so konnen wir die Diagonalfolge ^Pi^nt^n''"

bilden, die vom A-ten Gliede an Teilfolge der A-ten unter den vorangehenden Folgen ist und in der also das k-te Glied von alien folgenden eine Ent1 f e r n u n g ^ T^^^? ^^^ ist also eine Fundamentalfolge, die in der willkiirlich K

gewahlten Teilfolge x^ enthalten ist, und A ist bedingt kompakt. Damit ist II bewiesen. Im Euklidischen Raum E (der ja volistandig ist) sind beschrankte, total beschrankte, bedingt kompakte und in E kompakte Mengen identisch. Der Leser kennt dies als das B o l z a n o - W e i e r s t raBsche Theorem: j'ede beschrankte Punktfolge des Euklidischen Raumes hat einen Hdufungspunkt. Im allgemeinen ist aber nicht Beschranktheit, sondern totale Beschrtoktheit das echte Aquivalent der bedingten Kompaktheit; zu dieser, die eine Eigenschaft der Menge A selbst ist, muB noch eine geeignete Beschaffenheit des Raumes £ , als welche Vollstandigkeit jedenfalls hinreicht, hinzukommen, um A zu einer in E kompakten Menge zu machen. § 22. Innere Pimkte und Bandpunkte* Wir betrachten jetzt Punkte und Teilmengen eines festen metrischen Raumes E. Ist x ein Punkt, Q eine positive Zahl, so heiBt die Menge der Punkte ?/, die von x eine Entfernung < Q haben, eine Umgebung von s, g ihr Radius. Sie wird mit U^^ oder genauer U^{Q) bezeichnet. DaB ein Punkt x Limes (Hdufungspunkt) der Folge x^ ist, drickt sich mit dem Umgebungsbegriff so aus: fede Umgebung V^ enthdlt fast alle (unendlich uiele) Punkte der Folge x^. In der Tat ist doch fiir jedes ^ > 0 schlie/ilich (unendlich oft) xXf^< Q oder rc„£C/a.(^).

153

110

Sechstes Kapitel. Punktmengen.

A sei eine Punktmenge. Wenn ein Punkt x von A so beschaflfen ist, daB es eine Umgebung U^^A gibt, so heiBt er ein innerer Punkt, andernfalls ein Randpunkt von A. Die Menge der inneren Punkte sei Ai, die der Randpunkte i l „ womit die Spaltung in disjunkte Summanden A==Ai + Ar gegeben ist. Ai heiBe der offene Kern (aus einem nachher ersichtlichen Grunde), A^, der Rand von A. Eine Menge, die aus lauter inneren Punkten [52] besteht (A^, = 0), heilie eine offene Menge; eine, die aus lauter Randpunkten besteht (^4^ = 0), eine Randmenge'^), Wir geben einige Beispiele aus der Euklidischen Ebene E mit rechtwinkligen Koordinaten x^, x^, A sei eine Kreisflache mit Peripherie, z. B. ^i + ^ | ^ 1- Die Peripheriepunkte (x\-\- x\=^ i) sind Randpunkte, die iibrigen innere Punkte. A sei eine Kreisflache ohne Peripherie, rcj + a^g < 1; sie ist offen. A sei eine Kreislinie, x\-{- x\=^ i\ das ist eine Randmenge. A sei die Menge der „rationalen Punkte", d. h. derer mit zwei rationalen Koordinaten, E — A die Menge der „irrationalen Punkte", d. h. mit mindestens einer irrationalen Koordinate; beide sind Randmengen. /(^i> ^2) sei eine stetige Funktion. Die Menge [/ > 0], soil heiBen die Menge der Punkte x wo fix^, x^ > 0, ist offen. Z. B. das Innere x^ ofi einer Ellipse: 1 — - | i > 0. Das gilt fiir jeden Raum. Ist jedem Punkt x von E eindeutig ein Punkt y == j{x) eines andern oder desselben metrischen Raumes zugeordnet, so heiBt diese Funktion im Punkte x stetig, wenn eine der beiden gleichwertigen Bedingungen erfiillt ist: (1) Wenn Xn nach x konvergiert, konvergiert y^ =• f{Xn) nach y = f{x). (2) Ist y = f{x), 7} = /(I), so wird, wenn x | hinldnglich klein ist, yrj beliebig klein, d. h. zu jedem o* > 0 laBt sich ein g > 0 so bestimmen, daB mit x^ < Q zugleich yrj < a ist. Dabei ist x festzuhalten. Ist /(re) in jedem Punkte x stetig, so heiBt sie stetig schlechthin. Wir kommen auf die stetigen Funktionen ausfiihrlich zuriick. Einstweilen aber konnen wir sagen: I. Ist f{x) eine reelle stetige Funktion, so ist die Menge [/ > 0] offen. Denn ist y = f{x) > 0, so laBt sich zu gegebenem a > 0 ein passendes ^ > 0 finden derart, daB fiir a ; | < p zugleich \y — rj \< a, also (wenn (^< y gewahlt wird) 7] >y — or > 0 ist. D. h. es gibt eine Umgebung U^{Q), fiir deren Punkte ^ auch noch /(|) > 0; a; ist innerer Punkt der Menge [ / > 0]. Wir woUen uns iiberzeugen, daB auf diese Weise alle offenen Mengen erhalten werden konnen. Bezeichnen wir fiir einen Punkt x und eine Menge Bz^O als untere Entfernung ^) In beiden Fallen ist die NuUmenge mitzuzahlen.

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§ 22. Innere Punkte irnd Randpuokte.

HI

d(x,B) = info;!/ peB

die untere Grenze der Entfernungen des Punktes x von den Punkten y der Menge B. Aus xy<^^y + x^ folgt, indem man beiderseits die untere Grenze fiir ysB nimmt, d(x,B) 0 damit gleichbedeutend, daB x eine von Punkten von B freie, also zu A gehorige Umgebung (mit dem Radius Q = d{x^ B) nlUnlicb) bat, d. b. innerer Punkt von A ist. Also fiir die stetige Funktion f{x) = S{x^ B) ist die Menge [/ > 0] mit -4^, bei offenem A = Ai mit A identiseh. Im Ausnabmefall B =^ 0, A = E konnen vnv etwa die konsfcante Funktion/ (x) = 1 verwenden. Also gilt: II, Zu jeder offenen Menge A existieri eine in E stetige Funktion f{x) derartj daP die Menge [f > 0 ] mit A ideniisch ist. Aus I folgt, daB die Umgebungen offene Mengen sind; denn Q — ax ist stetige Funktion von x und positiv in der Menge UaiQ)Mit A^B ist natiirlich A^^B^; A^ ist eine ^^monotone^^ Funktion von A. Die Menge Ai ist stets offen, da sie oben als Menge [/ > 0] mit stetigem f{x) dargestellt wurde. Ist B offene Teilmenge von A, so ist B = B^^ Ai^ also Ai die grofite offene Teilmenge von A, daher der Name offener Kern von A im Einklang mit der S. 96 getroffenen Verabredung. Die Menge Aj. ist stets eine Randmenge. Sind il, 5 , . . . beliebig (auch unendlich) viele Mengen, deren Summe und Durchschnitt, so folgt aus der Monotonie jedenfalls Si^Ai

+ Bi + -'-,

Di^AiB,^,

Dagegen gilt fiir endlich viele, z. B. zwei Mengen, scharfer: mit D = AB

ist

Di^AiBi.

Denn xeAiBi hat eine Umgebung U^A und eine Umgebung V^B'^ die kleinere der beiden Umgebungen gehort dann zu D.xeDi, Also AiBi^Di; andererseits war Di^AiBi. Hieraus folgt ohne weiteres: III. Die Summe beliebig vieler und der Durchschnitt endlich pieler offener Mengen ist meder eine offene Menge,

155

112

Sechstes Kapitel. Punktmengen.

Denn mit denobigen Bezeichnungen ist S^^S, also 6*^ = 6", und Di=D, — Der Durchschnitt unendlich vieler offener Mengen braucht nicht offen zu sein. In der Euklidischen Ebene ist der Durchschnitt konzentrischer 1 offener Kreisflachen mit den Radien Q ~\- - (n = i^ 2^. . ,) die KreisflSche vom Radius Q mit Peripherie; jeder Punkt ist der Durchschnitt seiner Um1 gebungen mit den Radien —. Eine Summe beliebig vieler Umgebungen ist offen, und jede offene Menge r:^ 0 kann so dargestellt werden, etwa als Summe aller in ihr enthaltenen Umgebungen. Sei B das Komplement von A^ E ~ A + B, Die inneren Punkte von B heiBen auch du/iere Punkte von^) A, und umgekehrt. Die Rander beider Mengen vereinigt ergeben die Begrenzung (Grenze) von A und von B: A^ = Ar + B, = B,. Ist z. B . A eine Kreisflache in der Ebene, gleichviel ob m i t oder ohne Peripherie oder m i t einem Teil der Peripherie, so ist die Begrenzung in jedem Fall die Kreisperipherie. I s t A die Menge der rationalen P u n k t e , so ist Ag gleich der ganzen Ebene. Die Begrenzung einer offenen Menge reduziert sich auf den R a n d des Komplements {Ag = B^), ist also eine Randmenge. Die Begrenzung des ganzen Raumes oder der Nullmenge ist die Nullmenge^). [53]

§ 2 3 . Die a-, /?-, 7 - P u n k t e . A sei eine P u n k t m e n g e im R a u m E , x P u n k t von E (nicht notwendig von A): W i r definieren: x heiBt ein o(-Punkt , /S-Punkt , y-Punkt von A^ wenn jede Umgebung U^ mindestens einen P u n k t ,

unendlich viele, unabzahlbar viele P u n k t e

von A enthalt. Die Mengen der oc-^ jS-, y - P u n k t e seien A^c^ A^^ Ay. Die /3-Punkte heiBen auch Ildufungspunkte, die y - P u n k t e Verdichtungspunkte^ die Menge Aj^ die Ahleiiung von A. Es wird also verlangt, daB der Durchschnitt A U^^ fur jedes U^^ mindestens die Machtigkeit 1, ^
156

§ 23. Die a-, p', y-Pimkte.

113

und sagen: x ist ein A-Punkt von A^ wenn jedes AU^ mindestens die Machtigkeit kx hat; die Menge der A-Punkte sei -4;^ (A = a, ^, y). Ein Haufungspunkt x von A kann auch so erklart werden: jede Umgebung U^ enthalt mindestens einen von x verschiedenen Punkt von A. Beispiele aus der Euklidischen Ebene Ei A Kreisflache ohne Peripherie: ^ ^ = 4 ^ = ^ ^ = Kreisflaehe mit Peripherie. A Menge der rationalen Punkte: ^ « = ^ ^ = JB, Ay = 0. A Menge der irrationalen Punkte: Ag^^ A^ — Ay — E, A Menge der ganzzahligen Punkte: A^ = A^ A^ = Ay = 0. A sei (Fig. 2) die Menge der Punkte (%, a^s) = (—, ~ I, wo /i die Reihe der Zahlen 1, 2, 4, 8, , . . und m alle ganzen ZaMen ^ 0 durchlauft. A^ ist die Gerade Xg = 0, ^ « = ^ + A^^ Ay = 0. Mit dem Limesbegriff, statt mit dem Umgebungsbegriff, lassen sich die A-Punkte folgendermaBen erkliren. Die ac-Punkte sind offenbar genau die Limespunkte x = lim a^i, der (in £ ) , konvergenten Folgen vonPunkten aus A (UnsA); die j8-Punkte dieJenigen unter ihnen, die sich mit . « , . . a; z}z a» darstellen lassen. Oder auch: die jS-Punkte sind ^-Punkte . ] . * jeder Menge, die aus A durch ^ -_^ Tilgung endlich vieler Punkte ent^ig- 2. steht, und vice versa; die y-Punkte sind a-Punkte jeder Menge, die aus A durch Tilgung von endlich oder abzahlbar vielen Punkten besteht, und vice versa. Haufungspunkte von Folgen aus A (S. 107) sind nicht iiotwendig Haufun^punkte von Aj aber jedenfalls ^-Punkte. Wir wollen im AnschluB an die Mengen Ax noch einige Bezeiehnungen einfiihren, deren Fiille den Leser vielleicht am wenigsten verwirren wird, wenn wir radikal verfahren und auch die erst spater mehr hervortretenden Glieder des Systems schon jetzt bringen. Es handelt sich um die Durchschnitte der Ax nait A und die Komplemente dieser Durchschnitte in A^ wobei wir A^ wegen AAg^ = A auBer Spiel lassen konnen. Wir setzen

<M1.'= ^ a ~r Aj = A^ -f- A^. Aji^A^ sind also die Mengen der zu A selbst gehorigen Haufungs- und Verdichtungspunkte; Aj, A^ ihre Komplemente. Ein Punkt a von Aj hat, da er nicht Haufungspunkt ist, eine Umgebung, die nur endlich viele Punkte von A enthalt, also auch eine, die gar keinen Punkt von A auBer a Hausdorff, Mengenlehre.

8

157

114

Sechstes Kapitel. Punktmengen.

selbst enthalt; er heiBt daher ein isolierter Punkt von A und die Menge A^ der isolierten Punkte der isolierte Teil von A. C a n t o r bezeichnet auch Aj [54] als Adhdrenz, Aj^ als Kohdrenz von A. Ein Punkt von Ay, hat, da er nicht Verdichtungspunkt ist, eine Umgebung, die hochstens abzahlbar viele Punkte von A enthalt; er heiBt ein unverdichteier Punkt von A und A^ der unverdichtete Teil von A. Auf die Mengen A^^ A^, kommen wir erst spater (§ 25) zurxick. AuBer den trivialen Relationen

A^^A,

A^^A^^A^.,

A^Aj^^A,

gilt, ebenfalls ganz leicht einzusehen, (2) A^ = A + A^, woraus man mit disjunkten Summanden (3) A, = (A--Aj,)+A^==A + (A^ - ^ , ) erhalt; der isolierte Teil von A ist also (4) Aj=: A - Aj, = A^A^, wahrend A^ — A = A^ — Af^ die Menge der nicht zu A gehorigen Haufungspunkte von A ist. Die Menge A heiBt isoliert^ wenn AJ^ — 0^ Aj = A insichdicht^ wenn Aj = 0^ AJ^ — A^ wenn sie also aus lauter isolierten oder lauter Haufungspunkten besteht. (Wir schreiben insichdicht in einem Wort, da nach einer spateren Definition, § 25, jede Menge in sich dicht ist.) Beispiele. In der Ebene ist die Menge der rationalen Punkte insichdicht, die der ganzzahligen isoliert; jede Menge, die iiberhaupt keinen Haufungspunkt hat, ist isoliert, insbesondere jede endliche Menge. Die Zahlenmenge {1, |^, J, . . .} ist isoliert, da ihr einziger Haufungspunkt 0 ihr nicht angehort; ebenso die Menge A in Fig. 2. Die Menge Aj kann keinen Haufungspunkt ihrer selbst (der ja auch Haufungspunkt von A ware) enthalten, ist also selbst eine isolierte Menge. Wohl aber kann Ah isolierte Punkte ihrer selbst (die dann nicht isolierte Punkte von A sind) enthalten, braucht also nicht insichdicht zu sein. Fiir die Zahlenmenge A = {1, i , I, • • ., 0} ist ^^^ = {0} sogar isoliert. Mit Verwendung mehrerer Indices, die von links nach rechts zu lesen sind, so daB z. B. Ajh = (Aj)f^ und A^j ~ {Ah)j bedeutet, ist also Ajj = Aj^ Ajh = 0, wahrend nicht A^^ = A^^ A^j = 0 zu sein braucht. Die Bedingung der insichdichten Menge kann A ^A^ geschrieben werden. Das veranlaBt zu weiteren Definitionen: die Menge A heiBt

158

§ 23. Die «-, /5-, y-Punkte.

115

insichdicht^ wenn A^A^ abgeschlossen^ wenn ^ ^ ^ ^ perfekt,

wenn ^ = yl^,

[55]

wenn also jeder P u n k t v o n A H a u f u n g s p u n k t ist, bzw. w e n n jeder H a u fungspunkt P u n k t von A selber ist, bzw. wenn beides zugleich gilt. M a n k a n n dies nacli (2) auch durch Gleiclmngen ausdrucken, indem n a m lich Ace einem der S u m m a n d e n A^A^ oder beiden gleich w i r d : die Menge A ist insichdicht, wenn A^ = A^ abgeschlossen, wenn A^== A perfekt^ wenn A^ = A^ == A, Zitieren wir wieder die einfachsten Beispiele aus der E b e n e ; A Kreisflache ohne Peripherie: insichdicht. A Kreisflache m i t Peripherie u n d einem auBerhalb liegenden P u n k t : abgeschlossen. A Kreisflache m i t Peripherie: perfekt. Mengen ohne Haufungspunkte {A^ = 0), insbesondere endliche, zahlen natiiriich zu den abgeschlossenen. Die NuUmenge ist alles: isoliert, insichdicht, abgeschlossen, perfekt (offen, Randmenge).

Mit A^B

ist natiiriich Ai^B^

{K == oc/li,f),

A^^B,,,

A^.^B^;

diese Mengen verhalten sich monoton, aber nicht die K o m p l e m e n t e Aj-, A^* Ferner ist (iiber die B e d e u t u n g mehrfacher Indices s. oben) (5) Aj,^=:Ax (A = ^, i8,y) (6)

A,^, =

A^.

Beweis von (5). Ist a;^^;^^, so enthalt jedes U^ einen Punkt ysA^^ es gibt aber, weil Ua: offen ist, ein Uy g U^^ Uy utid demnach f/j^ enthalt mindestens/c;i Punkte von ^ , ^mxsAi, Demnach ist JL;^^ ^ .4;i, andererseits war Aioc^Ax. (5) hesSigi: Die Mengen A)^sind abgeschlossen. Fiir Jede abgeschlossene Menge B^A gilt B = B^^A^^: A^ ist also die kleinste abgeschlossene Menge Uber A^ die abgeschlossene Hiille von A (S. 96). Beweis von (6). Ist XEA^^P^ so e n t h a l t jedes U^ einen von x verschiedenen P u n k t ysAcc, Man wahle eine U m g e b n n g Uy<:Uj^, die :c nicht e n t h a l t ; C/y e n t h a l t einen P u n k t zeA, Also e n t h a l t jedes U^ einen von x verschiedenen P u n k t zeA^ x ist j8-Piinkt v o n A. Also A^^ g A^^ andererseits ist A^ g u4«^. Aus (6) folgt: Die Mengen A und A^ haben dieselben isolierien Pimkte. Denn Ist A insichdicht,

Aj = A^ — A^^ so ist A^ perfekt,

A^^ - A^^^ == A^j. und vice versa.

Sind wieder ^ , 5 , . . . behebig (auch unendhch) viele Mengen, S=^A+B

+ "^,

159

D--=AB,.,

116

Sechstes KapiteL Punktmengeu.

deren Summe tind Durchschnitt, so folgt aus der Monotonie Scharfer gilt fiir endlich viele, z. B. zwei Mengen: (7) mitS:=^A+B ist S^^^A^ + Bx. (A = a, ^ , y ) . Es braucht nur bewiesen zu werden, daB Si^A^ + Bx oder, daB ein Punkt a;, der nicht zuAi + Bi gehort, auch nicht zu S^ gehort. Nun gibt es, wenn x weder von A noch von B A-Punkt ist, Umgebungen U^, V^ derart, daB A U^^ B V^ von Machtigkeiten < k^ sind, und ist etwa U^ die mit kleinerem Radius, so ist auch SU^ = AU^ -\- BU^ von einer Machtigkeit < ki^ X auch von S kein A-Punkt. Daraus folgt: I. Die Summe endlich vieler und der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen, Dieser Satz ist mit dem Satze § 22, III ganz gleichbedeutend, denn es gilt: II. Die offenen und die abgeschlossenen Mengen sind Komplemente {^oneinander, Denn hi E == A -\- B und x ein Punkt, so enthalt entweder jedes U^ einen Punkt von A {xeA^) oder es gibt ein C/g. mit AIJ^ = 0^ U^^B (xeBi), Also: (8) mit E = A+B ist £ = ^ « + ^^ == 4,. + 5 « . Daraus folgt 11. Die Begrenzung jeder Menge ist abgeschlossen; denn Ag — Af + Br ist Komplement der offenen Menge A^ + Bi^ oder Ag == A;^B^ ist Durchschnitt von zwei abgeschlossenen Mengen. Die abgeschlossenen Mengen konnen danach wie die offenen (§ 22, I I I ) durch reelle, im Raum E stetige Funktionen f(x) charakterisiert werden. Die Mengen [ / > 0], [/ < 0] und ihre Summe [ / ^ O ] sind offen; ihre Komplemente, die Mengen [/ < 0], [/ ^ 0] und deren Durchschnitt [/ = 0] sind abgeschlossen; alle offenen und abgeschlossenen Mengen konnen so erhalten werden. Fiir f(x) = d{x,A) ist [/== 0] = ^a, also = ^ , falls A abgeschlossen ist. Die Kurven und Flachen der analytischen Geometric sind abgeschlossene Mengen, insoweit sie durch Nullsetzen von (einer oder mehreren) stetigen Funktionen der Koordinaten defmiert sind. Nicht dasselbe gilt bei Parameterdarstellungen (die in den Zusammenhang des achten Kapitels gehoren). Fine in der Form ^1 = 9>iW, ^2 = 9^2(0 oder allgemeiner f(Xj^, x^, i) = 0, g(Xj^, x^, t) = 0 mit stetigen Funktionen dargestellte Kurve A der a;ia;2-Ebene (wobei t alle reellen Zahlen durchlauft) ist nicht notwendig abgeschlossen. Das ist kein Widerspruch zum Vorangehenden: wohl definieren diese Glei-

160

§ 23. Die a-, ^-, y^Punkte.

117

chungen eine abgeschlosseneMenge J5im a:la;2^Raum, aber deren Projektion A auf die a^iO^g-Ebene braucht nicht abgeschlossen zu sein. Ein Beispiel fur nicht abgeschlossenes A liefert schon der einfache Fall x^ = T~TT7r> ^2 = 0, wo die Kurve das offene Intervall (— 1, 1) der Abszissenachse wird. Ein zweiter, nicht weniger wichtiger Zusammenhang zwischen ofifenen und abgeschlossenen Mengen ist dieser: III. Jede abgeschlossene Menge ist Durchschniti einer Folge offener^ fede [56] offene Menge ist Summe einer Folge abgeschlossener Mengen, Sei namlich A eine beliebige Menge; wir legen um jeden Punkt xsA die Umgebung U^(Q) mit festem Radius g; die Summe dieser Punktumgebungen (9)

U(A,Q)^iujQ) X

kann passend als Umgebung der Menge A mit dem Radius Q bezeichnet werden. Sie ist eine offene Menge, bestehend aus den Punkten y^ zu denen mindestens ein Punkt a; e 4 mit xy < Q vorhanden ist. Wir behaupten nun (10) A^=^U{A,i)U(A,i)U{A,i)..,, womit A^j also jede abgeschlossene Menge, als Durchschnitt einer Folge offener dargestellt ist. Denn der Durchschnitt rechterhand, der librigens auch der Durchschnitt aller U(A, Q) mit Q> 0 ist, ist ja gerade die Menge aller Punkte t/, zu denen fiir jedes ^ > 0 ein Punkt xeA mit xy < Q vorhanden ist, d. h. aller ^-Punkte von A. Die zweite Halfte des Satzes III folgt aus der ersten durch Komplementbildung. Der Satz ergibt sich auch unmittelbar aus den fiir jede reelle Funktion f(x) giiltigen Identitaten (n = 1, 2, 3,...) [ / > 0] =

n

/^

[ / ^ 0] =

n

/ <

1] n\

r

Uj

wenn man f(x) stetig annimmt. Die zweite Gleichung ist nichts anderes als (10), wenn f(x) = d{x, A) gesetzt wird. Aus der friiheren Formel S = A+B + ' - , Sx^Aj^+B^^ + -' folgt fiir A = i8: IV. Die Summe beliebig vieler insichdichter Mengen ist insichdicht. Dies gestattet, die Summe aller insichdichten Teilmengen von A (zu denen ja jedenfalls die NuUmenge gehort) zu bilden, die nun wieder insichdicht, also die gropte insichdichte Teilmenge oder der insichdichte Kern von -4 ist. Wir nennen sie Aj^^ die nicht zum insichdichten Kern gehorigen

161

118

Sechstes Kapitel. Punktmengen.

Punkte von A separierte Punkte und ihre Menge Ag den separierten Teil von A, womit wir eine neue, letzte Spaltung von A (11) A=A^ + A, in disjunkte Summanden erhalten. Eine nur aus separierten Punkten [57] bestehende Menge {Aj. = 0) heiBt eine separierte Menge, womit wir also ein neues Gegenstuck zu insichdicht erhalten: A ist insichdicht^ wenn ^^ — 0, Aj. — A^ separierte wenn Ajc = O-, A^ = A, Die Menge Ag der separierten Punkte ist offenbar selbst eine separierte Menge, wie die Menge A^ der isolierten Punkte eine isolierte Menge war (womit die Namen separierter Teil, isolierter Teil sprachlich gerechtfertigt sind). Offenbar ist (12) A^^A,, An^A^, da ein isolierter Punkt von A gewiB keiner insichdichten Teilmenge von A angehort; jede insichdichte Teilmenge von A gehort zur Koharenz A^. Aber dann gehort sie auch zur zweiten Koharenz AJ^f^^ zur dritten Koharenz AJ^J^J^ usw.; wir werden spater (§ 30) sehen, wie man durch transfinite Wiederholung der Koharenzbildung schlieBlich zum insichdichten Kern gelangt. Man kann auch sagen: dem separierten Teil A^ gehort nicht nur der isolierte Teil Aj von A an, sondern auch der isolierte Teil Aj^j von -4;^, der isolierte Teil Aj^^^ won Aj^j^ (die erste, zweite, dritte Adharenz von A) usw. I l l Beispiel. A sei die Menge der Zahlen - H [- "> wo p, ^, r die natiir1 1 ichen Zahlen durchlaufen. Dann ist Aj^ die Menge der Zahlen —|- ~ 1 1 1 (die ja in der Form - + ^ - + ff~ zu A gehoren; auBerdem ist nur noch 1 0 Haufungszahl von yi); AJ^h die Menge der Zahlen -, ^^;^;i = 0, also A^ — Q^ die Menge A ist separiert. Als Erganzung zu den Formeln, die sich auf das Verhalten der 1Punkte bei Summen- und Durchschnittsbildung beziehen, geben wir noch folgendes iiber den Durchschnitt von A mit einer offenen Menge an. Es ist (13) {AG)i^Aj,G (G offen) U = oc,p,y), wahrend auBerdem natiirlich die triviale Formel (AG)x^AxGx gilt. Denn ist xeA^G^ U,j; eine Umgebung, so ist GU^ offen und es gibt eine Umgebung V^^GU^; diese enthalt mindestens kx Punkte von A^ die aber auch zu G, also zu AG gehoren. Also enthalt jedes U^ mindestens kx Punkte von AG, xe{AG)x^ Anwendungen hiervon sind:

162

§ 23. Die «-, /?-, y-Punkte.

119

V. Der Durchschnitt einer offenen mit einer msichdichten Menge ist insichdichU Denn aus Ap-^A folgt nach (13) (AG)p^ApG':^AG. Als Gegensatz zu IV und V sei bemerkt, dafi schon der Durchschnitt von zwei insichdichten Mengen nicht insichdicht zu sein braucht. Beispiel: zwei sich schneidende Gerade der Euklidischen Ebene. VI. Eine o§ene Menge^ die keinen isolierten Punkt des Raumes enthalt, ist insichdicht. Denn ist G oflen und g E^, so ist G^ = [EG)^ ^EpG = G, Die fiir jede insichdichte Menge notwendige Bedingung, in E^ enthalten zu sein, ist also ftir offene Mengen auch hinreichend. Ist A eine Menge, die keinen isolierten Punkt des Raumes enthalt, so ist also Ai insichdicht, folglich (14) Ai^.Ai, ^ § ^ . Ist A wieder beliebig, so besteht zwischen isoliertem und separiertem Teil die Beziehung (15) A^^A.^Aj^, deren erste Halfte aus (12) schon bekannt ist. Die zweite besagt, dafl Jeder Punkt xeAg a-Punkt von A^ ist. Andernfalls hatte er eine Umgebung U mit A^V = 0; da U offen ist, ware nach (13) AV==AnU^ApU^(AU)p und AU insichdicht, also AU^Aj^ im Widerspruch zu xeA^. A^ besteht also aus dem isolierten Teil und (gewissen) Haufungspunkten desselben; das ist die scharfere Fassung der Tatsache, dafl mit A^ auch A^ verschwindet (weil dann A insichdicht ist). Als Gegenstiick zu VI beweisen wir noch den Satz VII. Eine abgeschlossene Menge, die keinen isolierten Punkt des Raumes enthdlt, ist eine Ableitung, Das ist also eine notwendige und hinreichende Bedingung, denn jede Ableitung A^ ist abgeschlossen und g E^. Wir griinden den Beweis auf den Hilfssatz VIII. Ist H die Begrenzung der offenen Menge G, so Id^t sich H als Ableitung A^ einer isolierten Menge A^G darstellen^). Wir setzen 11:^0 voraus (fiir H = 0 kann man A = 0 wahlen). H = G^ — G ist die abgeschlossene Menge der nicht zu G gehorigen Haufungspunkte von G (oder der Rand F — Fi des Komplements F ^ E — G). Fiir jeden Punkt xeG ist die untere Entfernung von H positiv: d(x)==d(x,H)>

0.

^) Beispiel in der Euklidischen Ebene: G die Halbebene itj > 0, H die Gerade X2 =^ 0, A die Menge der Fig. 2.

163

120

Sechstes Kapitel. Punktmengen.

Es sei A eine gro/itey nicht erweiterungsfahige Teilmenge^) von G derart, da6 fiir je zwei verschiedene Punkte von ihr

(16)

xy>ld(x)+ld(y).

Dann ist A^ g H. Denn sei x ein Haufungspunkt von A; man kann ihn als Limes x = lim x^ einer Folge paarweise verschiedener Punkte x^sA darstellen. Dann ist, wegen der Stetigkeit der Funktion d{x)^ d{Xn) -> <5(rr), und da in die linke Seite nach 0, die rechte nach d(x) konvergiert, d(x) == 0. x ist also Haufungspunkt von G, ohne zu G zu gehoren, d. h. Punkt von H: A^^H. Andererseits ist H^A^. Sei hsH und ysG mit beliebig kleinem hy < d. Ist ye A, so ist es gut; wenn nicht, so gibt es mindestens ein X sA^ das mit y die Relation (16) nicht erfiillt, da sonst A durch Aufnahme von y erweiterungsfahig ware. Nun schlieBt man:

xy
F = Fi + H^F^ + H^F+J{ F = F^ + H = F^ + A^={F

= F, + A)^,

F ist die Ableitung von F + A. IX. Die Summe Qon endlich i^ielen separierten Mengen ist separiert, Es geniigt, zwei separierte Mengen zu betrachten und zu zeigen, daB ihre Summe S = A-j-B, wenn iilsichdicht, Null ist (dasselbe gilt fiir jede Teilmenge von S, S ist separiert). Da G^E — A^^ offen ist, ist nach V

SG==BG insichdicht, also Null; S^A^,

S^^A^,

A^S^S^=^Ap,

A insichdicht, also ^ = 0, ebenso B = 0. [58]

§ 34. Relative und absolute Begrille. Die in den letzten beiden Paragraphen definierten Mengen und Eigenschaften (^^, yl^, abgeschlossen, offen usw.) hangen naturlich nicht nur von ^) Die Existenz einer solchen kann man kaum anders als durch Wohlordnung von G beweisen. Man ordne (§12) jeder Menge B <:zG als Ansatzelement, wenn moglich, einen Punkt von G — B zn, der zu alien Punkten von B die Relation (16) hat. Ein Abschnitt der resultierenden Wohlordnung liefert eine Menge A der verlangten Beschaffenheit.

164

§ 24. Relative iind absolute Begriffe.

121

der Menge A^ sondern auch von dem sie umfassenden Raum E ab; sie sind relativen Charakters. Dies mu6 unter Umstanden durch eine vollstandigere Bezeichnung zum Ausdruck gebracht werden, indem wir z. B. A^^ (E) statt Act schreiben und im Falle A = A^{E) sagen: A ist in E abgeschlossen, (So hieB es ja auch in § 2 1 : eine Folge ist in E konvergent, A ist in E kompakt.) Dieselbe Punktmenge A kann in einem Raum E abgeschlossen, offen, Randmenge o. dergl. sein, ohne es in einem andern Raum E zu sein. Die Menge der irrationalen Zahlen zwischen 0 und 1 ist im Raume der irrationalen Zahlen abgeschlossen, im Raume der reellen Zahlen nicht. Eine Kreisscheibe (ohne Peripherie) ist in ihrer Ebene offen, im dreidimensionalen Raum Randmenge. Jede Menge ist in sich selbst zugleich abgeschlossen und offen. Solche Begriffe, Eigenschaften, Beziehungen, die Tom umgebenden Raum unabhangig sind, heifien absolut. So ist eine Menge ^4 absolut abgeschlossen zu nennen, wenn sie in jedem Raum E'^A abgeschlossen ist. Die Aussage ,,^1 ist insichdicht" hat absoluten Charakter, denn sie besagt: fiir jeden Punkt aeA und jedes ^ > 0 gibt es unendlich viele Punkte von 4 , die von a eine Entfernung < Q haben, und hierin ist nur von A, nicht von einem umfassenden Raum die Rede. Die Aussage „a; ist A-Punkt von 4 " bedeutet, daU es fiir jedes ^ > 0 mindestens ki Punkte as A mit ax <, Q gibt (S. 112); sie setzt zwar voraus, da6 X und A einem metrischen Raume E angehoren, hangt aber von diesem nicht ab und ist absoluten Charakters. Sind A und D Teilmengen von E, so ist die Menge Ax{D) der zu D gehorigen X-Punkte von A absolut, von E unabhangig definiert. Dabei ist offenbar (1) A^(D)^DA^{E), wobei also die rechte Seite nur scheinbar von E abhangt. Lassen wir nun» zur urspriinglichen Bezeichnung zuriickkehrend, das Argument E wieder fort, so daB sich die Mengen Ai und die Begriffe abgeschlossen, offen auf den Raum E beziehen, so wird (2) A^{D)=^DA^. Die Menge A ist in D abgeschlossen, wenn A = Aj[D), also (3) A = DA„. Die in D abgeschlossenen Mengen sind die Durchschnitie 9on D mit dbgescklossenen Mengen, Denn einerseits ist (3) ein solcher Durchschnitt; andererseits, wenn (4) A=DF Durchschnitt von A mit einer abgeschlossenen Menge F ist, so folgt aus [59] A^A^<^F durch Schneiden mil D: A ^DA^^ A, also (3).

165

122

Sechstes Kapitel. Punktmengen.

1st A + B = D, so ist der offene Kern Bi(D) von B im Raume D als Komplement D — A^(D) zu erklaren. Das gibt nach (2) die Menge D(E - A^) Oder (5) BdD)^DBf^ ^0 B* = E —- A das Komplement von Ain E und Bf dessen auf E beziiglicher offener Kern ist ^). Die Menge B ist in D off en, wenn (6) B = DBt, Die in D offenen Mengen sind die Komplemente (in D) der in D abgeschlossenen oder die Durchsclinitte (7) B^DG von D mit offenen Mengen, (7) geht aus (4) hervor, wenn G = E — F das oflene Komplement von F bezeichnet. DaB ^ in D abgeschlossen ist, ist damit gleichbedeutend, daB A ^D ist und D — A keinen Haufungspunkt von A enthalt: Ao^(D — A) ^A^(D-^A) = 0. Der insichdichte Kern Aj^ von A ist in A abgeschlossen. Denn enthielte A — A^ einen Haufungspunkt h von Aj^, so ware Aj^ + {A} insichdicht und Ajf. nicht die groBte insichdichte Menge ^A. Der insichdichte Kern einer abgeschlossenen Menge ist perfekt. Da (2) nur von A, D und nicht vom umgebenden Raum E abhangt, §o hangen insbesondere die Mengen (8) Ai(A) = AAi nur von A ab, sie haben absoluten Charakter. Die Mengen Aj^ = AA^,

A^ = A Ay

und ihre Komplemente Aj = A

Af^,

A^ = A

A^

sind durch A allein bestimmt. Demnach sind insichdicht und isoliert Absolutbegriffe, und auch der insichdichte Kern Aywie sein Komplement Af,^ A — Aj^ hangen nur von A ab. Es sind also, wenn wir samtliche bisher definierten Mengen noch einmal zusammenstellen, Ai, Ar, Ag, Aa, Aj3, Ay vom Raume E abhangig, Af^, A J, A^, A^, Aj^, Ag vom Raume E unabhangig. Naturlich ist A in D perfekt zu nennen, wenn A insichdicht und in D abgeschlossen ist. Dann ist A ~ DA^, der Durchschnitt von D mit einer perfekten Menge; das ist aber nicht umkehrbar: ein solcher Durchschnitt braucht nicht insichdicht zu sein. A^^ ist in A perfekt. Ist E ein vollstdndiger Raum, so ist oifenbar ^) In (5) rechts helBt es also nicht DBi, wie man analog zu (3) vermuten konnte.

166

§ 24. Relative und absolute Begriffe.

123

(9) A,^AJE)=^A eine i^ollstrndige Hiille (S. 107) von A, Die abgeschlossene Hiille von A in einem vollstdndigen Raiim ist eine vollstdndige Hiille von A\ die in einem vollstdndigen Raum abgeschlossenen Mengen sind vollstdndig. Dieses A hangt im wesentlichen (bis auf die Bezeichnung der Elemente von A — A) nur von A ab, da alle vollstandigen Hiillen in der S. 107 angegebenen Weise isometrisch sind. In diesem Sinne ist A die grofite abgeschlossene Hiille von A; denn ist A ^B und E ein vollstandiger Raum ^ D (den man z. B. durch Vervollstandigung von D erhalten kann), so ist A^{D) Teilmenge voni4^(£') —A, Ist hierbei A selbst vollstandig, so ist^d = A ~ A^, ^ in £ und erst recht in D abgeschlossen {A = DA = D ^ J ; d. h. vollstdndige Mengen sind absolut abgeschlossen (in jedem Raume D^A abgeschlossen) und umgekehrtj denn eine absolut abgeschlossene Menge ist insbesondere in jedem vollstandigen Raume abgeschlossen, also vollstandig. Auch die beiden andern Mengen Ai = Ax{E) (1 = ^, y) hangen, wenn E vollstandig ist, im wesentlichen nur von A ab und sind die groBtmoglichen ihrer Art. Das Seitenstiick zu den absolut abgeschlossenen waren die absolut offenen, d. h. in jedem sie enthaltenden Raum offenen Mengen; indessen ist leicht zu sehen, daB es solche Mengen (abgesehen von der Nullmenge) nicht geben kann. Denn jede Menge A kann in einen Raum E so eingelagert werden, daB sie Randpunkte, sogar lauter Randpunkte enthalt, etwa so wie die Euklidische Ebene in den dreidimensionalen Raum eingebettet ist: man braucht nur (S. 102) das Produkt (A, B) von A mil der Menge B der reellen Zahlen zu bilden; in diesem Raum der Punkte (x, ?/) ist jede „Schicht" y = constans mit A isometrisch und besteht nur aus Randpunkten. Auch Kompaktheit ist ein Relativbegriff; A war in E kompakt genannt worden, wenn jede Punktfolge aus A eine in E konvergente Teilfolge enthalt. Man kann auch sagen: A ist dann und nur dann in E kompakt^ wenn jede unendliche Teilmenge von A mindestens einen Eaufungspunkt in E hat. Die in sich kompakten Mengen sind vollstandig oder absolut abgeschlossen (S. 107); sie konnen auch als absolut kompakt (in jedem umfassenden Raum) bezeichnet werden. Ist A in irgendeinem Raum E kompakt, so ist A bereits in seiner abgeschlossenen Hiille A^ kompakt und diese in sich kompakt; ist A in E zugleich abgeschlossen und kompakt, so ist A in sich kompakt. Die Begriffe vollstandig und kompakt einerseits, abgeschlossen andererseits sind voUig verschiedenen Charakters, wie gegeniiber dem auch hier leider schwankenden Sprachgebrauch betont werden muB; jene fordern in gewissen Fallen Existenz von a-Punkten oder Haufungspunkten, dieser verlangt, wenn sie existieren, ihre Zugehorigkeit zu der betrachteten Menge.

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124

Sechstes Kapitel. Punktmengen.

Bei den Begriffen abgeschlossen und kompakt zeigt sich der Unterschied sehr pragnant in den fiir A^B^C giiltigen SchluBweisen: ist A in C abgeschlossen, so auch in B ; ist ^ in J5 kompakt, so auch in C. Die Erorterungen dieses Paragraphen waren zur Klarung notwendig; sie werden uns aber nicht hindern, auch im folgenden Relativbegriffe wie abgeschlossen, offen, kompakt und die Bezeichnungen A^c usw. ohne Zusatz zu gebrauchen, wp sie sich dann auf den jeweilig betrachteten Raum beziehen. Insbesondere versteht es sich von selbst, daB zwei zugleich vorkommende Relativbegriffe beziiglich desselben Raumes gelten sollen; wenn wir z. B. von einer abgeschlossenen kompakten Menge sprechen, so heiBt das: sie soil in E abgeschlossen und in E kompakt sein.

§ 25. Separable Baume. In diesem und dem folgenden Paragraphen werden Machtigkeitsfragen die HauptroUe spielen, und zwar werden wir die Machtigkeiten (des Raumes und gewisser Teilmengen) zunachst nach oben, sodann nach unten begrenzen. Wie dies geschieht, dariiber orientiert als vorlaufiges Beispiel die Art, wie die Machtigkeit der Menge E der reellen Zahlen x bestimmt wird. Sie ist/iocA^/en^ gleich N = ^^\ weil jedes x als lim r^ von rationalen Zahlen darstellbar, die abzahlbare Menge R der rationalen Zahlen ,,in E dicht" ist; sie ist mindestens gleich N, weil umgekehrt jeder limTrt auch eine reelle Zahl x^ d. h. E die vollstandige Hiille von R oder selbst vollstandig ist. Betrachten wir wieder nur Punkte und Teilmengen eines festen metrischen Raumes E. Wir sagen, A ist zu B dicht^ wenn

A^^B, Das besagt: jeder Punkt beB ist ^-Punkt von A oder als b = lim a^ (a^sA) darstellbar, oder jede Umgebung J/5 enthalt mindestens einen Punkt von A^ oder zu jedem b gibt es ein a mit behebig kleiner Entfernung. Die letzte Fassung oder die Schreibweise B = BA^ = A^(B) besagt nebenbei, daB diese Eigenschaft vom umgebenden Raume E unabhangig ist. Die Dichtigkeit von A zu B liefert fiir die Machtigkeit b von B eine obere Schranke vermoge der Machtigkeit a von A, namlich Denn es gibt nur a*^" Punktfolgen (%, ag,. ..) aus A, also hochstens so viele (in E) konvergente, und A^ hat eine Machtigkeit ^ a*^". Die Ungleichungen A^^B und A^^B^^ sind gleichbedeutend. Zwei zueinander dichte Mengen (A^ = 5 J rechnen wir zu derselben Dichtigkeitsklasse; in jeder solchen Klasse gibt es genau eine abgeschlossene Menge (F = A^ = B^= '' = F J , die groBte Menge der Klasse.

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§ 25. Separable Raume.

125

Wenn A zu B dicht und gleichzeitig Teilmenge von B ist, sagen wir: A ist in B dicht Dann ist -4^ = B^c, beide Mengen gehoren zur selben Dichtigkeitsklasse. Jede Menge A ist in A^ dicht, insbesondere in ihrer vollstandigen Hiille A. Der isolierte Tail A^ ist im separierten Teil Ag dicht, wegen § 23, (15). Im Euklidischen Raum E ist die Menge R der rationalen wie die Menge / der irrationalen Punkte dicht; beide sind zueinander dicht (R^ = J. = E). Betrachten wir alle im Raum E dichten Mengen A: Aoi = E, (Das bedeutet: das Komplement J? = J? — ^ ist eine Randmenge, 5^ = 0.) Lassen wir die endlichen, d. h. aus nur endlich vielen Punkten bestehenden Raume beiseite, so ist A unendlich. Unter den Machtigkeiten aller dieser A ist eine kleinsie ^5^ vorhanden; der Raum hat dann eine Machtigkeit ^ K^*. Der einfachste und wichtigste Fall ist, da6 in E eine abzahlbare Menge R dicht ist; JB = R^ ist also hochstens von der Machtigkeit des Kontinuums NQ" =^<. Eine Menge^ in der eine abzahlbare Menge dicht ist^ heifit separabel, mit einem nicht gerade sehr suggestiven, aber nun einmal eingebiirgerten Ausdruck von M. F r e e h e t . Eine endliche oder separable Menge heiBt hochstens separabeL Beispiele. Wir erwahnten schon, daB der Euklidische Raum E^ separabel ist; in ihm ist die Menge R der Punkte r ~ (r^, rg, . . ., r j mit rationalen Koordinaten dicht, denn zu jedem x — (rcj, ^^g,. . ., x^) gibt es ein r mit beliebig kleiner Entfernung. R ist abzahlbar, von der Machtigkeit H'^ = XQ. — Auch der H i l b e r t s c h e Raum ist separabel; in ihm ist die Menge R der Punkte mit nur endlich vielen von Null verschiedenen, rationalen Koordinaten dicht. Denn zu jedem x = (%, ojg,.. .) mit konvergenter Quadratsumme JSxl gibt es ein (or^, 0*2,..., a;,„ 0, 0 , . . .) und zu diesem ein r mit beliebig kleiner Entfernung. — Der Raum der tiJT a
r{t)=-rQ + r^t +

-'+rJ''

mit rationalen Koeffizienten dicht. Denn nach dem W e i e r s t r a f i s c h e n Approximationssatz gibt es zu x(t) ein Polynom, und zu diesem eins mit rationalen Koeffizienten, mit behebig kleiner Entfernung. Das gilt um so mehr bei der auf \x\ = I I x(t)^ dtV beruhenden Entfernung. R hat, wie auch beim Hilbertschen Raume, die Machtigkeit 5
169

126

Sechstes Kapitel. Punktinengen.

Auch nichtseparable Raume lassen sich leicht bilden. Man mache eine beliebige Menge M = {?n^ n , . ..} zum metrischen Raum, indem man je zwei verschiedenen Elementen die Entfernung 1 zuschreibt; in M ist oifenbar keine Menge ^^o hat, einen nichtseparablen Raum. Ist dieses ilf, oder allgemeiner eine Menge M^ in der zwei verschiedene Punkte eine Entfernung > Q haben {Q eine feste positive Zahl), in einem Raum E gelegen, so hat eine in E dichte Menge niemals eine Machtigkeit < tn. Denn sie mufi zu jedem m e M einen Punkt x^^ mit mx^ <\Q enthalten, und diese Punkte sind paarweise verschieden, da, f iir m =}= ^, x^x^>^inn — mx^ — nx^> 9--29-19 = 0, Man kann diese Bemerkung noch benutzen, um in jedem Raume E eine dichte Menge geringster Machtigkeit zu bilden. Nennen wir eine Menge E(Q), in der je zwei verschiedene Punkte eine Entfernung > ^ haben und die nicht enveiterungsfdhig ist ^), ein Netz des Raumes JB, so hat jede in E dichte Menge mindestens die Machtigkeit jedes Netzes. Ist E{Q) ein Netz, so kann man fiir a < Q offenbar ein Netz E(a) bilden, das E(Q) als Teilmenge enthalt. Zu jedem Punkt x von E existiert ein Punkt y von E{Q) mit xy < Q (sonst ware das Netz durch x erweiterungsfahig). Bildet man eine Folge von Netzen £(1), E(^)^.. ., so ist also (1)

R = E(\) + E(i) + • . .

in E dicht, und wahlt man liberdies jedes Netz so, daB es das vorangehende als Teilmenge enthalt, so ist die Machtigkeit einer beliebigen in E dichten Menge mindestens gleich der von /?. Denn ist a„ die Machtigkeit von E\A~

E \zj-zin^

^1 die von E{i\

m„ =- Qi H

h a„ die von E f-J, so

ist a^ + a2 + • • • die Machtigkeit von R und die kleinste Machtigkeit, die > m n fiir alle n, Wir haben die Netze schon S. 108 in total beschrankten Mengen verwendet, wo sie endlich waren und daher R hdchstens abzahlbar ist, also: jede total beschrankle^ d, II jed-e bedingt kompakte Menge ist endlich oder separabel, Wir nehmen nun E als separabel an; die abzahlbare Menge R sei in E dicht. Fiir jeden Punkt reR betrachten wir die Umgebungen (/^(Q) mit rationalen Radien Q und nennen sie spezielle Umgebungen, Die Menge aller speziellen Umgebungen ist abzahlbar. Wir bezeichnen diese Umgebungen daher mit F^, F g , . . . , eine einzelne spezielle Umgebung auch mit V und, wenn sie den Punkt x enthalt, mit V^. ^) Die Bildung einer solchen Menge geschieht durch Wohlordnung von E ahnlich wie S. 120.

170

§ 26. Separable Raume.

127

Zu jeder Umgebung U^gibt es ein V^ g U^. Denn hat U^ den Radius or, so gibt es ein r mit xr <^ a und eine rationale Zahl g mit xr < Q <^ a. Dann ist t/y(g) ein V^ und ist in U^ enthalten, denn aus ry < Q folgt xy < X7^+ ry <2Q < a, Zu jedem Piinkt x einer offenen Menge G gibt es ein V^ g G, Jede Teilmenge eines separablen Raumes ist hochstens separabeL Es seien V^ (p = pj, pg? • • •) diejenigen unter den F^, die Punkte von A enthalten; man wahle einen Punkt a^^sA F^,. Die Punkte a^ bilden eine hochstens abzahlbare, in A dichte Menge. Denn ist xeA^ U^ eine Umgebung, V^ g C/^., so ist V^ ein V^ und U^ enthalt den Punkt a^. — Die bewiesene Behauptung ist nicht ganz trivial, da eine in E dichte Menge R zunachst nur zu A dicht ist. Erinnern wir uns an die friiheren Bezeichnungen § 23, (1) (2)

A^ = A Ay,

A = A^ -f- i±i45

die Spaltung von A in verdichtete und unverdichtete Punkte beireilend. Ist ui hochstens abzahlbar, so ist ^ ^ = 0 in Jedem Raum. Davon gilt Mer die verscharfte Umkehrung: L Ist der Raum separabel und ^ ^ = 0, so isi A hochstens abzahlbar. Denn ein Punkt xsA hat, da er imverdichtet ist, eine Umgebung U^ A

mit hochstens abzahlbarem A U^; es sei F^-S U^

Dann ist 2>A F^. = A •X

hochstens abzahlbar, da die Summe hochstens abzahlbar viele verschiedene Summanden hat, deren jeder hochstens abzahlbar ist. Dieser Satz oder sogar einer der aus ihm folgenden und daher formal weniger besagenden Satze: Wenn ^4^ = 0, ist A hochstenJi abzahlbar, Wenn A^ == 0, ist A hochstens abzahlbar ist fiir die (endlichen oder) separablen Raume charakteristisch; wenn etwa der letzte fiir jedes A g E gilt, ist E hochstens separabel. Das folgt unmittelbar aus (1), wo jedes Netz E(Q)^ als Menge ohne Haufungspunkt, hochstens abzahlbar ist. Betrachten wir nun die drei Spaltungen A :=A^ + A^ = Aj, + A, = A^ + A,, von A in Haufungs- und isolierte Punkte, Kern- und separierte Punkte, verdichtete und unverdichtete Punkte. A^ ist nach I hochstens abzahlbar, da es keinen Verdichtungspunkt von A^ geschweige von A^ enthalt. Daim ist aber A^ insichdicht, denn A

Demnachist

— A

A — A

S- A

—A

A,^A,^A,.^^A,^.

(3) A.^At^A^, A^^A,-^Af und mit J4„ sind auch A„ Aj hochstens abzahlbar.

171

Also:

128

Sechstes Kapitel. Punktmengen.

II. Der isolierte, der separierte, der unverdichtete Teil jeder Menge eines separablen Raumes ist hochstens abzdhlbar. Insbesondere sind isolierte, separierte, unverdichtete Mengen hoch[60] stens abzahlbar. Ist A unabzahlbar, so sind auch ^^, A^^ A^^ -4«, A^^ Ay, unabzahlbar. Eine Menge mit hochstens abzahlbarer Ableitung A^ ist hochstens abzahlbar; ist Ay hochstens abzahlbar, so ist A hochstens abzahlbar und daher in Wahrheit 4 ^ = 0. AuBer den uns aus § 23, (5) (6) bekannten, allgemeingiiltigen Iterationsformeln //v

\Actoc — ^ « ?

A^f^ — Ap^

Ay^

—

^'/i

erhalten wir hier noch iAy^ = Ay^ = Ayy = Ay I

A^y =

A^y.

Denn wir batten Ay = A^y^Ayy^Ay^^Ay^ = ^r und die zweite Zeile folgt daraus, daB A^ — A^ = Aj hochstens abzahlbar ist. In der ersten ist enthalten, daB Ay perfekt ist. III. Ein System disjunkter o-0ener Mengen des separablen Raumes ist hochstens abzahlbar, Denn zu jeder dieser offenen Mengen G^(>0) wahlen wir einen Punkt xeG und ein F ^ ^ G ; die den verschiedenen G zugeordneten V sind verschieden und es gibt deren hochstens abzahlbar viele. IV. Es gibt im separablen Raume genau i< offene (und ebensoi^iele abgeschlossene) Mengen. Eine oflfene Menge G (^ 0) laBt sich als Summe von speziellen Umgebungen V^^G(x8G) darstellen, also in der Form G = V

4-V

A

mit einer passend gewahlten Menge natiirlicher Zahlen mj, m g , . . . . Es gibt also hochstens so viele G wie Mengen natiiriicher Zahlen (2^'^ = t<). Aber es gibt auch mindestens so viele (was z.B. im Euklidischen Raum trivial ist, da schon die Umgebungen eines Punktes eineindeutig vom Radius abhangen). Sei etwa A eine abzahlbare isolierte Menge; es gibt solche, denn wenn nicht etwa der ganze Raum eine ist, so sei xeE^ und A = {a^, a2»...} eine abzahlbare Menge von Punkten a^ =|= a:, die nach x konvergieren. Legt man um jeden Punkt a„ eine Umgebung t/„, die keinen andern Punkt von A enthalt, so entspricht jeder Teilmenge B von A einB

eindeutig eine offene Menge G = @ f/„, deren Durchschnitt mit A genau B ist, und die Menge dieser G hat die Machtigkeit 2^» = N. V. Wenn der insichdichte Kern des separablen Raumes E nicht ^erschwindet^ gibt es genau ^? perfekte Mengen.

172

§26. Vollstandige Raume.

129

Wir diirfen E durch Ej,. ersetzen (die in E perfekten Mengen sind mit den in i^^ perfekten identisch, da Ej^ in E abgeschlossen ist), also annehmen, daB E selbst insichdicht (perfekt) ist. Es sei xeE und wie soeben A = (a^, a2, . . .} eine Menge von Punkten a„ =}= ^? ^n -^ ^- Die oben verwendeten Un konnen wir, indem wir ihre Radien halbieren, disjunkt annehmen, dann hat nicht nur G =2V^,

sondern auch G^ mit A genau den Durch-

schnitt J5, denn wenn z. B. a^ nicht zu B gehort, so ist GUi — 0 nnd aj auch nicht a-Punkt von G. Die G sind aber insichdicht, die G^ perfekt. — Die den abzahlbaren Mengen B entsprechenden G^ enthalten iiberdies den Punkt x\ es gibt also auch genau ^< perfekte Mengen, die einen festen Punkt des perfekten Raumes enthalten. VI. Ein System offener Mengen im separablen Raume kann, ohne [61] Anderung seiner Summe^ durch ein hochstens abzdhlbares Teikysiem ersetzt werden, Denn ist G = ©G„j, die Summe iiber eine beliebige Menge erstreckt^ so suche man die (hochstens abzahlbar vielen) verschiedenen speadellen Umgebungen F^, die in den Summanden G^ enthalten sind, raid wahle fiir jedes /> ein bestimmtes G,^^ g Fp aus, dann ist

also G == 2G,^... Durch Ubergang zu den Komplementen folgt: VII. Ein System abgeschlossener Mengen im separablen Raume kann, ohne Anderung seines Durchschniits^ durch ein hochstens abzdhlbares Teilsystem ersetzt werden.

§ 26. Vollstandige Raume. 1. Die Durchschnittssatze. Wie die Machtigkeit des Kontimiimns im vorigen Paragraphen als obere, so wird sie in diesem fiir gewisse Mengen als untere Grenze erscheinen. Die Grundlage dafiir bildet der nachher folgende zweite Durchschnittssatz, dem wir als Gegenstiick einen ersten nebst Folgerungen vorausschicken. Dieser bezieht sich auf in sich kompakte, jener auf beschrankte vollstandige Mengen. I (Erster Durchschnittssatz). Eine absteigende Folge j l ^ g J ^ g • — kompakter^ abgeschlossener, von Null verschiedener Mengen hat einen mn Null verschiedenen Durchschnitt. Wir wahlen aus jeder Menge A^ einen Punkt a^. Die Folge |%, % , . . . ) hat als Punktfolge aus A^ eine konvergente Teilfolge mit dem Limes x, der auch Haufungspunkt jeder Restfolge (a^, ^n+ii • • •) i^^. Also ist x ein (X-Punkt jeder Menge ^ „ , d. h. Punkt von A^; xeAiA2.... H a u s d o r f f , Mengenlehre.

9

173

130

Sechstes Kapitel. Punktmengen.

Der Raum E ist hierbei ganz beliebig; wir batten ja auch, statt von kompakten abgeschlossenen^), von in sich kompakten Mengen sprechen konnen. II (Satz von E . B o r e l ) . Ist sine kompakte, abgeschlossene Menge in der Summe einer Folge offener Mengen enthalten^ so ist sie bereits in einer Summe von endlich nelen dieser offenen Mengen enthalten. Essei A^S = Gi + G2 + ' ' ' , A kompakt abgeschlossen, G„ offen. Die Behauptung lautet: es gibt ein n mit ^4 g 5 „ = Gj + • • • + G^nIn der T a t bilden die kompakten abgeschlossenen Mengen A(E — S^) eine absteigende Folge mit dem Durchschnitt A(E — S) = 0] sie konnen also nach I nicht alle von Null verschieden sein, und es gibt ein n mit A(E — S^) = 0, d. h. A^ S^, Aus der Verbindung mit §25, VI folgt eine Verscharfung des B o r e l schen Satzes: [62] III. 1st eine kompakte abgeschlossene Menge des separablen Raumes in der Summe eines beliebigen Systems ofjener Mengen enthalten^ so ist sie bereits in einer Summe ifon endlich vielen dieser offenen Mengen enthalten, Auch der erste Durchschnittssatz laBt sich mit Hilfe von § 25, VII verscharfen: IV. Ist der Raum separabel^ so hat ein System kompakter abgeschlossener Mengen einen von Null verschiedenen Durchschnitt, falls endlich viele Mengen des Systems siets einen von Null verschiedenen Durchschnitt haben. Denn der Durchschnitt des ganzen Systems laBt sich als Durchschnitt ^ 1 ^2 • • • einer Folge von Mengen des Systems darstellen, d. h. als Durchschnitt der absteigenden, von Null verschiedenen, kompakten abgeschlossenen Mengen A^^A^A^^^ - -, V (Zweiter Durchschnittssatz). In einem vollstdndigen Raum hat eine absteigende Folge Ai^A2^' - - beschrdnkter, abgeschlossener, von Null verschiedener Mengen, deren Durchmesser nach 0 konvergieren, genau einen gemeinsamen Punkt, Wir wahlen wieder a„£^„; die Folge {ai, ag,. . .) ist dann eine Fundamentalfolge, da a^ von alien folgenden (auch zu A^ gehorigen) Punkten einen Abstand < d(i4 J hat. Also existiert x = lim a^ und wie bei I sieht man, daB aje^li^g- • •? welcher Durchschnitt hier wegen d(Af^)->0 nur einen Punkt haben kann. Man hatte natiirlich auch hier die Beziehung auf den Raum E beseitigen und einfach von vollstandigen Mengen A^ sprechen konnen. Keiner der Durchschnittssatze ist Folge des andern; der zweite laBt zwar beschrankte statt kompakter Mengen zu, hat aber dafiir die Durchmesser^) Das soil naturlicli helBen: in E kompakten und in E abgeschlossenen; vgl. die SchluBbemerkung von § 24.

174

§ 26. VoUstandige Raume.

131

bedingung. Diese ist nicht zu entbehren, wie das Beispiel A^^ == {x^, x^^i,...} zeigt, worin %, a^g,... Punkte bedeuten, die paarweise die Entfernung 1 haben. In Euklidischen Raumen, wo beschrankte und kompakte Mengen identisch sind, ist der erste Durchschnittssatz inhaltreicher; der einfachste Fall, daB eine absteigende Folge abgeschlossener Intervalle [a„, i„], also mit Un < an^i < bn+i < ft„, als Durchschnitt ein abgeschlossenes Intervall oder einen Punkt hat, ist dem Leser aus den Elementen bekannt. 2. Dyadische Mengen. Iii einem vollstandigen Raume E sei ein System abgeschlossener, beschrdnkter, von Null verschiedener Mengen Vp, y-pq^y^qri' ' ' gegeben, deren Indices die beidenWerte 1, 2 durchlaufen, so dafi wir also zwei Mengen Fi, V^ mit einem Index, vier Mengen F ^ , F^g, F21, F22 niit zwei Indices, allgemein 2" Mengen mit n Indices vor uns haben. Fiir jede dyadische (aus den Ziffern 1, 2 gebildete) Ziffemfolge (p? ?»'*»•••) s^ll iiberdies (1) FpSF^,^Fp,,§... gelten und die Durchmesser dieser Mengen sollen nach 0 konvergieren; nach V besteht der Durchschnitt F^ F^,^ F^^^... tos einem einzigen Punkt a?. Die Menge aller dieser Punkte (2) D^%V^V^J^^,,.,, die Summe xiber alle dyadischen Ziffemfolgen erstreckt, soil eine dyadische Menge heiBen. Der Name bezeichnet nur die Darstellungsforni; was die Natur dieser Mengen selbst betriflt, werden wir gleich sehen, daB dyadische und in sich kompakte Mengen identisch sind. Es gilt (3) i) = @ F ^ . @ F , , , 3 F , , , . . . , so daB sich die Menge D als abgeschlossen (im vollstandigen Raum £), also als voUstandig erweist. In der Tat ist die Menge (2) zunachst in (3) enthalten. Umgekehrt sei x Punkt der Menge (3), etwa xe Vp^ Vp^q^ ^p,?sf, • • • • Bei den hier auftretenden Mengen F muB aber unendlich oft der gleiche erste Index Pn^" P vorkommen, bei diesen F wieder unendlich oft der gleiche zweite Index q^ = q, bei diesen V unendlich oft der gleiche dritte Index r„ = r usw. Dann ist aber xeVp F^^ F^ ^ ^ . . . , a: Punkt der Menge (2). Die fiir die Mengen (1) geforderte Konvergenz der Durchmesser nach 0 ist fiir alle dyadischen Ziffemfolgen gleichmaBig. D. h, wenn (5^ der groBte Durchmesser der Mengen F mit n Indices ist, wobei offenbar <5i ^ ^2 ^ * * * gilt, so ist 5„-^0. Denn seien F^^, F^^^^, F^^^^^^,... Mengen mit den Durchmessern 5^, f\, ^ 3 , . . . ; wie soeben schlieBt man, daB nnendlich oft Pn =• P> dann g„ = q, dann r„ = r usw. sein muB. Also kann nicht ^„ ^ (5 > 0 sein, da sonst F^, Fj,^, F^^^,.. . Durchmesser ^ d hatten. Nach § 21, 4 ist demnach die Menge i) total beschrankt; uberdies war sie voUstandig, also ist sie in sich kompakt.

175

132

Sechstes Kapitel. Punktmengen.

Bevor wir umgekehrt die in sich kompakten Mengen als dyadische darstellen, verallgemeinem wir die letztgenanntenfolgendermaBen. Im voUstandigen Raum E sei ein System abgeschlossener, beschrankter, von Null verschiedener Mengen Wi, Wij^^ Wij^y... gegeben, wo nun jeder Index eine endliche, eventuell von den vorangehenden Indices abhangige Menge von mindestens zwei Ziffern durchlauft. In Wi sei also i = 1, 2, . . ., m; in Wij, sei A = 1, 2 , . . ., m^; in Wij^i sei Z = 1, 2 , . . . , niij^ usw. (m, m^-, m.jt,. . . ^ 2). Fur jede in dieser Weise gebildete Ziffernfolge (i, /c, Z, . . . ) sei mit Durchmessern, die nach 0 konvergieren, so daB der Durchscbnitt dieser Mengen einpunktig ist; die Summe (4) P= ^W,Wi,Wi,i... heiBe eine polyadische Menge. Man schlieBt wie oben, daB und die Konvergenz der Durchmesser iiach 0 gleichmaBig ist. In Wahrheit ist sogar P nichts anderes als eine dyadische Menge, wie wir folgendermaBen erkennen. Wir bezeichnen die Mengen TV^, Wi^,. . . allgemein mit W, die aus einem W durch Anhangung eines weiteren Index entstehenden Mengen mit W^, W^, . . . (z. B. fiir W = Wn^ • W^ — ^iici)- Sodann werden wir Mengen Fp, Vj)qy. . . mit dyadischen Indices (1 oder 2) bilden, die wieder allgemein mit V bezeichnet werden; die aus V durch Anhangung eines weiteren Index entstehenden Mengen seien V^, V-. Dabei soil entweder V gleich einem einzelnen W [oC) V = W, oder V die Summe mehrerer W mit gleiclwielen Indices (iS)

F = T^i + I'Fii 4- • • •

sein, wobei die Summanden in lexikographischer Ordnung der Indices geschrieben sein mogen. Wir beginnen die Definition mit und setzen sie durch Induktion fort, indem wir V\ V- definieren, falls F bereits definiert ist: im Falle (a) sei Fi = Tyi-f. W'34. . . . ^ F2 = T'F2 + IF« + . - . ; im Falle (/3) sei Fi = IFi + IFiii 4- • • •,

F^ = PF„ + TFiv + • • •.

Beispielsweise wiirden sich aus den ersten Mengen W W^

W„

176

Ws

§ 26. Vollstiindige Riiume.

133

die ersten Mengen V folgendermaBen ergeben: 1^22 -

12

V111 '211

V-1111

121 —

l^'22 +

W,,

"31

V,

212 13-

Man sieht nun unmittelbar: jedes V ist ein W oder Summe endlich vieler PF, also abgeschlossen, beschrankt, von Null verschieden. Es ist V^V^^ V^V^, also sind fiir jede dyadische Ziffernfolge die Ungleichungen (1) erfiilll. Ist V im Falle (j8), so sind F^, V^ Summen mit weniger Gliedern als F, und nach hinreichend oftmaliger Anhangung von Indices kommtimmer ein V des Falles {a) wieder; jede Folge F^, F^^, F^p^^,. . . hat eine Teilfolge Wi^ Wi^, Wi^.^ , , , und demnach Durchmesser, die nach 0 konvergieren, wobei zugleich die Durchschnitte identisch sind. Umgekehrt ist jedes W einem besliiamten V gleich und jede Folge T^^, W^^j.,- T>F^|,|,... bestimmt ^ ^ eine Folge F^, F^^, F ^ ^ ^ , . , . , von der /I 1 sie Teilfolge ist (z. B. W^, W^^,... die fol Folge Fi, Fn, Fill, ^1112. • • •)• Dem> 1 [oj [DJ nach ist die von den W erzeugte poly« adische Menge P gleich der von den V erzeugten dyadischen Menge D. fn] Eine in sich kompakte Menge P [DJ ist als polyadische Menge darstellbar. Denn sie ist Summe endlich vieler Fig. 3. Mengen Wi von beliebig kleinen Durchmessern ^ d^, wobei jede dieser Mengen abgeschlossen (in P), also wieder in sich kompakt und ihre Anzahl ^ 2 angenommen werden kann. Indem man dies fortsetzt, erhalt man P == ^Wi, W, fW^,,, Wa fWi^i,. wobei die W in sich kompakt (also voUstandig und beschrankt), die Durchmesser der Mengen mit n Indices ^ d^ sind und d^-^O; P hi die von den W erzeugte polyadische Menge (4). Dyadische Mengen und in sich kompakte Mengen sind also identisch. Wir betrachten jetzt insbesondere eine dyadische Menge, wo Fj und Fg disjunkt sind ^), ebenso *F^ und Fp2. F^^,i und i?f 2 ? ' .; aEgemein 1) Fig. 3 veranschaulicht den Fall abgeschlossener Rechtecksflaclien F, von denen nur die Umfange (ohne Schraffienmg des Innern) gezeicheet sind.

177

134

Sechstes KapiteL Punktmengen.

sollen, fur jedes w, die Mengen mit n Indices paarweise disjunkt sein. Eine solche Menge heiBe ein dyadisclies Diskontinuum ^). Sie ist aquivalent mit der Menge der dyadischen Ziffernfolgen, also von der Maclitigkeit 2^" = N des Kontinuums; ferner ist sie perfekt nnd sogar genaner jeder Punkt von D Verdichtungspunkt. Denn bei Festhaltung endlich vieler Anfangsziffern erhalt man die Mengen D V^, D F^^, D F^gy, / . . (z. B. D F j = Menge der Punkte xeD mit p = 1), die immer noch von der Machtigkeit K sind und nach 0 konvergente Durchmesser haben; ist x der Durchschnittspunkt dieser Mengen, so enthalt jede Umgebung U^ K Punkte von D. Ein polyadisches Diskontinuum (wo die Mengen W mit n Indices disjunkt sind, fur jedes n) ist mit einem dyadischen identisch. Das klassische Beispiel eines dyadischen Diskontinuums ist das folgende, das wegen seiner Beziehung zu den triadischen Briichen auch als triadische Menge
~ ~

^0 = [0, 3J das linke und Y^ =\^,

IJ

das rechte Drittel von F, ebenso F^o das linke und F^g das rechte Drittel von Yp usw. Hierbei besteht, wie eine leichte Oberlegung lehrt, der Durchschnitt YpYp^Y^qr" - aus der Zahl

^- I+I +^ +•••

(p, ^, r, . . . = 0, 2)

und D ist die Menge der Zahlen x^ die wenigsiens eine solche triadische Entwicklung mit lauter NuUen und Zweien, ohne E^nsen, zulassen. Der Zusatz wenigsiens bezieht sich auf die (triadisch rationalen) Zahlen zwischen 0 und 1, die zwei triadische Entwicklungen haben; wenn eine davon frei von Einsen ist, so soil die Zahl zu D gehoren. Z. B. gehoren die Zahlen 1 0 . 2 2 / 1 J5 ^ \ o " 3 + 32 + 33 V"- 3 + 32 + 33 + * * 7 2 2 ^ 4 - ^ - 1 r _ i . i . - 2 \ 3 " ^ 3 + 3^ + 3^ + *** V ~ 3 " ^ 3 2 + 3« + " j zu i), nicht aber eine Zahl zwischen beiden, da deren erste triadische Ziffer 1) Der Name erklart sich aus § 29, XVI. In § 36, 1 warden wir als Gegenstuck das dyadische Koniinuum einftihren.

178

§ 26. Vollstandige Raume.

135

sicher p = 1 ist. Das offene Komplement E — D besteht, auBer den Halbgeraden (— oo, 0) und (1, oo), aus den mittleren Dritteln von F, Vp^ Vpq,.. ., also aus den offenen Intervallen ( o, o I, I g, o ) ' ( Q ' g ) ' • • • • ^^ ^^^' ^^ leicht zu sehen, in E dicht, so daB D kein noch so kleines Intervall enthalt (D ist in E nirgendsdicht, § 27). Der Grenzwert, dem die Langen der Intervallsummen J^F^, J F ^ ^ , . . . zustreben, wird das (Lebesguesche) 2 4 LangenmaB von D genannt. Hier sind diese Langen o i o? • • •> ^Iso das LangenmaB Null; es erscheint paradox, daB eine Menge vom LangenmaB 0 doch die Machtigkeit K des ganzen Intervalls haben kann. Man kann aber die Intervallangen anders, insbesondere die offenen Intervalle von E — D kleiner und die Langensummen A,, An,. . . von -2'F^, J F ^ ^ , . . . so langsam abnehmend wahlen, daB das LangenmaB X — lim X^ von D positiv wird und sogar beliebig nahe an 1 (wenn auch natlirlich < 1) liegt; dann ist es wieder paradox, daB eine Menge positiven LangenmaBes kein noch so kleines Intervall enthalt. Die t)bertragung dieser einfachen Konstruktion auf die Ebeae ist evident. Man teilt z. B. ein Quadrat F (abgeschlossene Quadratflache, definiert etwa durch Of^Xj < 1 , 0 < a : 2 < l , alsolProdukt zweier Intervalle [0,1]) durch Drittelung der Seiten in neun Teilquadrate, von denen F^, Fj, F3, F^ die an die Ecken von F anstoBenden seien; F — ^ Fpist ein Kreuz, gebildet aus den f iinf librigen Teilquadraten mit teilweise fehlenden Randern. In gleicher Weise werden aus Fp die Teilquadrate F^i, Fp2, Vpz, F ^ gebildet usw. Das von den F erzeugte polyadische Diskontinuum n — VT/ v y yy ist Produkt von zwei Cantorschen triadischen Mengen. Sein FlachenmaB (Grenzwert der Flacheninhalte von ^ F ^ , 3 F p ^ , . . . ) ist 0, kann aber durch abgeanderte Konstruktion auch positiv < 1 gemacht werden. 3. Die Maehtigkeitssatze. [63] VI (G.Cantor). In einem mllstdndigen Raum hmt jede perfekie Menge > 0 mindestens die Machtigkeit H, VII (G. C a n t o r ) . In einem pollstdndigen Raumhat jede abgescMossene Menge^ deren insichdichter Kern nicht perschwindet^ mindestens die MieMigkeit N.

179

136

Sechstes Kapitel. Punktmengen.

VIII ( W . H . Y o u n g ) . In einem vollsldndigen Raiim hat jede Menge Y = Gf) (DurclischniU einer Folge offener Mengen)^ deren insichdichter Kern nicht versckwindet^ mindestens die Mdchtigkeit \^, Dem Beweise mogen einige erlauternde Bemerkungen vorausgehen. Jeder dieser Satze ist Sonderfall des folgenden (eine abgeschlossene Menge F ist Durchschnitt einer Folge offener Mengen G). Andererseits folgt aus VI auch VII; und spater wird sich (wegen der Homoomorphie der G\^ in vollstandigen Raumen mit vollstandigen Raumen selbst; § 38,111) auch VIII als Folgerung aus VII ergeben. Die Mengen G,^ = Durchschnitt einer Folge offener Mengen, F^ = Summe einer Folge abgeschlossener Mengen bilden nach den offenen Mengen G und abgeschlossenen Mengen F die nachste Klasse der Borelschen Mengen (§ 32), auf die wir kiinftig den Machtigkeitssatz ausdehnen werden. Diese Mengencharaktere sind natiirlich relativ, vom Raume E abhangig, und man hatte ausfiihriich F(E) usw. zu schreiben. Flir D ^ E ist aber, wenn das Argument E wieder weggelassen wird,

F(D)^DF,

G(D)=^DG,

F,(B)=DF,,

Gs(D)^DG,^,

die auf D bezlighchen Mengen sind die Durchschnitte von D mit den entsprechenden auf E beziighchen. Es gibt auch absolute F^, Gj, Mengen, die diesen Charakter in jedem sie umfassenden Raume haben. Von den F„ ist das evident; ein absolutes F^ ist (z. B. in seiner vollstandigen Hiille betrachtet) Summe einer Folge absolut abgeschlossener (vollstandiger) Mengen, die einem metrischen Raume angehoren, und vice versa. Gegen die Existenz absoluter G^y scheint zunachst die Nichtexistenz absolut [64] offener Mengen zu sprechen, aber es verhalt sich doch anders: die drei Aussagen A ist ein G^^ in seiner vollstandigen Hulle, A ist ein G^ in einem vollstandigen Raum, A ist ein G,^ in jedem umfassenden Raum, ein absolutes G§ sind gleichbedeutend. Denn ist A ein G,^ in £", so auch in jedem kleineren Raume D (A^ D^E); ist andererseits A ein G,^ in seiner abgeschlossenen Hiille A^, so ist A == A^G,^ auch im Raum E ein G^, weil A^ abgeschlossen, also ein G,^ und der Durchschnitt zweier G^) wieder ein Gs ist. Fiir vollstandiges E geht hieraus die Gleichwertigkeit der drei Aussagen hervor. Die absoluten G^ werden wir mit Riicksicht auf den Youngsclien [65] Satz VIII haufig Youngsche Mengen nennen. — Danach konnen wir in den drei Machtigkeitssatzen die Beziehung auf den Raum tilgen und sagen: IX. Jede absolut perfekie Menge^ jede absolut abgeschlossene (i^ollstdndige) Menge, jedes absolute G,j {Youngsche Menge) hat, wenn ihr insichdichter Kern nicht verschwindet, mindestens die Mdchtigkeit N*.

180

§ 26. Vollstandige Riiume.

137

Gehen wir nun zum Beweise iiber; wir brauchen nur den dritten Satz zu beweisen, werden aber die beiden ersten ohnehin unterwegs vorfinden. Wir werden zeigen, daB die fraglichen Mengen ein dyadisches Diskontinuum D enthalten, und werden die erzeugenden abgeschlossenen (voUstandigen) Mengen V hier speziell als abgeschlossene Kugeln wahlen. Wir unterscheiden namlich offene Kugel U^(Q) = Menge der Punkte y mit xy < Q^ abgeschlossene Kugel V^{Q) = Menge der Punkte y mit xy ^ Q (die offenen Kugeln sind unsere alten Umgebungen); sie mogen, bei gleichem Radius und Mittelpunkt, zusammengehorig oder einander zugehorig heiBen. Zusammengehorige f/, V bezeichnen wir mit denselben Indices. (Im Euklidischen Raum ist dann U der offene Kern von F, V die abgesclilossene Htille von U.) Nun sei A^O eine insichdichte Menge im vollstandigeii Raum E, Wir wahlen in A zwei Punkte %, ag und machen sie zu Mittelpunkteo disjunkter abgeschlossener Kugeln Fj, Fg, denen die offenen Kugeln f/i, U^ zugehoren. Jede der beiden Mengen A f/^ ist ^ 0 und insichdicht (§ 23, V); wir konnen also die Konstruktion wiederholen und zwei ihrer Punkte a^,i,ap2 mit disjunkten abgeschlossenen Kugeln Fj,i, F^g^t^p umgeben. Jede der vier Mengen AU^,,^ ist r:>0 und insichdicht; wir umgeben zwei ihrer Punkte a^,^i, a^^o ^^^t disjunkten abgeschlossenen Kugeln F^^^i, Vpq2 ^ Ujy^ und fahren so fort. iNichts hlndert dabei, die Kugelradien beliebig klein zu wahlen, etwa die der F,p, F^^, Vpqr-f - • • kleiner als 1, i , |-, . . . . Wir erhalten so ein dyadisches Diskontinuum D, und dieses ist in A^ enthalten; denn ein Punkt X von D, der zu V^V^qV^^^j.. . . gehort, ist Limes der Kugelmittelpunkte (Ip^ Clpq^ dpqj.^ . . . .

Also*

X. Ist A eine insichdichte^ i>on Null verschiedene Menge des i'ollstandigen Raumes E^ so enthdlt A^ ein dyadisches Diskontinuum D. Damit ist VI bewiesen (ist A insichdicht, so ist A^^ perfekt, und vice versa), ferner VII: wenn F abgeschlossen ist und A enthalt, so ist F ^ A^ ^ D. Zum Beweis von VIII nehmen wir A ^Y = Oj^G<^G^ . . . {Gn offen) an und konnen die Kugelradien dann auch noch so klein wahlen, daO F^,^6'i (da doch a^eG^), V^,^^G^, V^^.^G^,,,. also j O g Y . Damit sind unsere Satze bewiesen; wir liaben sogar noch etwas mehr gezeigt, namlich dafi die betreffenden Mengen eine perfekte Teilmenge D enthalten. Ferner, um bei dem allgemeinsten Fall (VllI) einer Yooiigschen Menge Y zu bleiben: da DV^ von der Machtigkeit J»? ist und liierbei F | eine beliebig kleine Kugel um einen beliebigen Punkt a^ von ^1 bedeuten kann, so ist jeder Punkt^von A Verdichtungspunkt von 7, und da A eine

181

138

Sechstes Kapitel. Punktmengen.

beliebige insichdichte Teilmenge von Y war, so LeiBt dies: jederPunkt des insichdichten Kerns i>on Y ist Verdicktungspunkt von 7 , Yu^Y.. (5) Kombinieren wir dies alles schlieBlich mit den Tatsachen, die in einem separablen Raume gelten (§25): hier hat jede Punktmenge hochstens die Machtigkeit t^, ferner war dort stets A^'^A^^ also fiir eine Y o u n g s c h e Menge 7;^ = Y^, und A^^A^ hochstens abzahlbar. Also: XL In einem vollstdndigen separablen Raujn ist jede Youngsche Menge Y = Gs entweder hochstens abzahlbar oder von der Machtigkeit J<, je nachdem ihr insichdichter Kern Yj^ = Y^ verschmndet oder nicht, Fiir eine abgeschlossene Menge ist Y^, = 7^, fiir eine perfekte Y = Y^. (Da6 jede Menge Ay perfekt ist, gilt nach S. 128 schon in jedem separablen Raum; hier ergibt sich auch die Umkehrung, da6 jede perfekte Menge ein Ay ist.) In einem separablen Raum laBt sich jede abgeschlossene Menge F vermoge F = Fj^ + F^ in. einen perfekten Teil Fj^ und einen hochstens abzdhlbaren Teil F^ spalten (der insichdichte Kern einer abgeschlossenen Menge ist perfekt, S. 122): eine Tatsache, die als C a n t o r - B e n d i x s o n s c h e r Satz bezeichnet wird. Die Zerlegung A = P + Q einer Menge in einen perfekten Teil P und einen hochstens abzahlbaren Teil Q ist aber im allgemeinen nicht eindeutig; ist z, B. E der Raum der rationalen Zahlen, P die Menge der rationalen Zahlen '^a (a beliebig), so ist JEJ = P + (£ — P) eine solche Zerlegung, denn P ist in E perfekt. Im voUstandigen separablen Raum ist aber diese Spaltung, wenn iiberhaupt, so nur auf eine Weise moglich; man erhalt namlich Ay = Py + Qy = P + 0 = P] die Spaltung ist also nur dann ausfiihrbar, wenn Ay^A (also insbesondere fiir die abgeschlossenen Mengen) und dann nur in der Weise J^ ~ Ay + (A — Ay) = A^ + ^w*, fiir Youngsche Mengen dieser Gattung ist das mit A = Aj^4- ^s identisch. Eine abzahlbare Menge A des voUstandigen Raumes £ , deren insichdichter Kern nicht verschwindet, ist gewiB kein Gj, denn A^, r^ 0 und ^^ = 0 widerspricht der Bedingung Yj^^Y^. Als abzahlbare Menge ist sie aber ein F^, Beispiel: die Menge der rationalen Punkte im EukHdischen Raum. Ihr Komplement E — A ist ein G^, aber kein F^. § 27. Mengen erster und zweiter Kategorie. Wir betrachten einen beliebigen Raum E, Die abgeschlossene Menge F heijie in E nirgendsdicht, wenn ihr offenes Komplement G in E dicht ist. Das ist mit G^ = £, also Fi = 0 gleichbedeutend: abgeschlossene nirgendsdichte Mengen sind mit abgeschlossenen Randmengen identisch, Sie sind auch mit den Begrenzungen offener Mengen identisch; denn ist F nirgendsdicht,

182

§ 27. Mengen erster und zweiter Kategorie.

139

so ist F — Ff die Begrenzung seines Komplements G, und andererseits, ist G eine beliebige offene Menge und F ihr Komplement, so ist die Begrenzung Ff von G eine Randmenge und iiberdies, wie jede Begrenzung, abgeschlossen. Eine beliebige Menge A heifit in E nirgendsdicht^ wenn Hire abgeschlossene Hiille A^^in E nirgendsdichi ist, Pafiir ist notwendig und hinreichend, daU der offene Kern Bi ihres Komplements B = E~ A in E dicht sei. Die gewohnlichen Kurven in der Euklidischen Ebene £2^ die Kurven und Flachen im Raum £3 usw. sind nirgendsdichte Mengen. Genauer: ist /(a?!, x^ eine reelle stetige Funktion, die niemals in einer ganzen Umgebung eines Punktes verschwinden kann, z. B. ein Polynom mit nicht samtlich verschwindenden Koeffizienten, so stellt / = 0 eine nirgendsdichte Menge in E^ dar, denn sie ist abgeschlossen und hat keinen inneren Punkt. Ein dyadisches Diskontinuum i){§ 26, 2) ist im voUstandigen Raume E nirgendsdicht, wenn man noch die scharferen Ungleichungen ^p^

'pi

i

^p2i

^pq^

^pql

I

*^pqZ-i * ' '

(mit AusschluB der Gleichheitszeichen) hinzufiigt. - Denn in beliebiger Nahe Jedes Punktes xeD^ welcher dem Durchschnitt V^V^q. ., angehoren moge, liegen Punkte von wp

*^pl

^7)2/ ~ r v ' 7>(7

' P9l

PQ^f I"

' ' '

und diese gehoren nicht zu i), x ist nicht innerer Punkt von D. Bei der Kugelkonstruktion S. 137 kann man offenbar diese Verscharfung herbeifiihren; es gibt also in jedem voUstandigen Raum, dessen insichdichter Kern nicht verschwindet, nirgendsdichte perfekte Mengen von der Machtigkeit ^<. Das einfachste Beispiel ist die triadische Menge C a n t o r s (S. 134) nebst den durch Abanderung der Intervallangen daraus entstehenden Mengen. Gehen wir zur Erklarung der im Raume E nirgends dichten Mengen A zuriick. Setzen wir zur Abkurzung

E=^A,+

A,,

wo also Ag = E — A^ die Menge der dufieren Punkte von A (der innereB des Komplements E — A) bedeutet, so sind die Aussagen ^ in £ nirgendsdichte ^^ in JB dicht identisch. Wir woUen nun statt E irgendeine Teilmenge M des Rawnes setzen, wobei man statt ^ ^ ( £ ) == A^^ natiirlich A^{M) = MA^ zu setzen hat; dabei soil nicht notwendig A^M^ sondern nur ^ und M als Mengen im Raum E angenommen werden, so da6 wir die allgemeinere Beziehung ,,-4 zu M nirgendsdicht" als Gegenstiick der uns schon bekannten ,,^4 zu M dicht" erhalten. Kurzum, mit der Bezeichnung

183

140

Sechstes Kapitel. Punktmengen.

(oc) P = MA^, Q=^MA,, M = P +Q definieren wir die Aussagen A zn M nirgendsdicht, ^ in ilf dicht als identisch; nach der friiheren Erklarung {M^AJ waren die Aussagen A zu M dicht, Q = 0, P == M identisch. (Das voile Gegenstiick zu dieser ware Q = M^ p = 0, M ^ A^^ M liegt ganz auBerhalb von A; dies hat kein besonderes Interesse). Im Falle A^M w^ihlen wir die Praposition ,,in": A in M nirgendsdicht, A in M dicht. Diese Relationen, wie allgemein die Mengen P und Q^ hangen nur von den Mengen A und M, nicht vom umgebenden Raum E ab. P ist in M abgeschlosBen, ^ in ilf offen. 1st A in M abgeschlossen^ so ist P = ^ , und wir haben die Identitat der Aussagen: A in M nirgendsdicht, M — A in M dicht; ^ in ilf dicht, A = M, Wir stellen einige formale Eigenschaften dieser Begriffe zusammen, deren Beweis, wenn nichts dazu gesagt wird, trivial ist. I. (Transitives Gesetz). Ist A zu B^ B zuC dicht^ so ist A zuC dicht. II. Ist A zu M dicht (nirgendsdicht), so ist A"^ zu 31* dicht (nirgendsdicht), wenn A*, M* Mengen derselben Dichtigkeitsklasse wie A, M sind'^). In der Tat hangen P, Q nur von A^, nicht von A ab. Was M betrifft, so wissen wir, da6, fiir eine offene Menge G, (MG)^^ M^G^ MG, also (MG)^ = (Mc,G)^ ist; setzt man darin G = A^, so folgt (2« = (2*> wenn Q = MA^ und Q* = M* A^ gemaB der Zerlegung ((x) zu M und i¥* gehoren. Die Aussagen ^ = 0 bzw. Q^ = M^ sind also mit denselben fiir (2*, M* gleichbedeutend. III. Ist A zu M dicht, so ist jede Menge ^A zu jeder Menge ^ M dicht, Ist A zu M nirgendsdicht, so ist jede Menge ^A zu M nirgendsdicht] ist A in M nirgendsdicht, so ist A in jeder Menge ^ M nirgendsdicht, Hiervon bedarf nur die letzte Aussage eines Beweises: wir konnen die Menge g M dabei als Raum E wahlen. Es ist

A,^M^

=

Q^^A,^

und zugleich A^^A^^, also E'^A^^, A^ in E dicht. Man darf in dieser letzten Behauptung nicht „zu'' statt „in" setzen (allerdings geniigt statt der Zusatzbedingung ^ g If die mildere vi^ g TlfJ ; das geht schon daraus hervor, daB nach unserer Terminologie jede Menge A zur Nullmenge ilf = 0 nirgendsdicht ist, ohne doch zu jeder Menge g O nirgendsdicht zu sein! IV. G sei offen, Ist A zu M dicht, soAGzu M G. Ist A zu M nirgendsdicht, so A zu MG, D.h. Al^^Aoc, Ml = M,, (S. 124).

184

§ 27. Mengen erster und zweiter Kategorie.

141

Der erste Teil folgt aus {AG)^^A^G^MG, Der zweite stutzt sich auf den ersten und (a): Q ist in M dicht, also QG = MGAg in MG dicht, A zu MG nirgendsdicht. F. Sind Ai^ A2 in M offen und dicht, so ist auch ihr Durchschnitt in M (offen und) dicht. Denn sei A^ — MG^^A^^ MG^(G^, Gg offen). Es ist dicht: ^^ in ilf, nach IV -^^Gg i^ -^^2? d- ^' A^A^ in A^^ weiter A^ in ilf, also (transitives Gesetz) A^A^, in if. VL ^-mrf A -^^ A2 zu M nirgendsdicht, so ist auch ihre Summe zu M nirgendsdicht. Man mache fiir A^, A^ und A — A-^^ A^ die Zerlegungen (a): M - Pi + ^1 = i'a + ^2 = J^ + ^- Dann ist P = P^ + P^^ Q = Q^Q^. Q-^ und ^2 sind in M offen und dicht, also nach V auch Q, Die letzten beiden Satze gelten natiirlich auch fiir endlich viele Mengen ^ j , ^2? • • ^ ^n- ^^ einem (follstdndigen Raume lassen sie sich, in eingeschrankter Weise, auf abzahlbar viele ubertragen. VII. In einem vollstdndigen Raume sei eine Folge pon Mengen A^ (n = 1, 2, 3 , . . . ) mii ^ i « g ^ 2 « ^ * *' ^^^ ^i^^ Folge offener Mengen Gn^A^ gegeben, Dann ist Y = G^G^. - ^ zu A^ dicht. Wir umgeben einen Punkt a^s A^ mit einer abgeschlossenen Kugel Fj (d. h. ai sei ihr Mittelpunkt); in der zugehorigen offenen Kugel U^ liegi^ wegen a^eA^at ein Punkt a2^^2> den wir mit einer abgeschlossenen Kugel F g ^ f / i umgeben; in U^ Hegt ein Punkt a^eA^, den wir mit einer Kugel V^^U2 umgeben usf. Wir lassen dabei die Kugelradien nach 0 konvergieren und nehmen iiberdies F„ g G„, so dafi der Punkt x von \\ Fj . . . zu Y gehort. Da F^ beliebig klein sein kann, ist a-^eY^, also A^'^Y^. VIII. In einem vollsidndigen Raume sei eine Folge Youngscher Mengen y^, Yg, . . . derselben Dichtigkeitsklasse [Y^^ = Y^^c = • * •) gegeben] dann gehort ihr Durchschnitt Y = Y^ Yg • • • ^^^^^^ ^^^ selben Klasse. Sei y,n = G,«i^m2-• • (G„»„ offen); setzen wir Y,^,,=^ Y,^^G^^ und wendenVII auf die Folge 7 ^ , Y^^i ^\u« • • an, so ist % G^„ = 2^F,^ = y zu y^i — y^, d. h. in y^ dicht: y^ = Y^^. Insbesondere: IX. Ist ^4i, ^27 • • • ^i^^ Folge ifon Mengen, die in der Youngschen Menge M dicht und offen sind, so ist auch ihr Durchschnitt in M dicM, Denn die Mengen A^ sind (als M G) selbst Youngsche Mengen und gehoren mit M zu einer Dichtigkeitsklasse, also auch ihr Durchschnitt. X. Ist A I, ^2T • • • ^i^^ Folge von Mengen, die zu der Youngschen [66] Menge M nirgendsdicht sind, und A ihre Summe, soistM — M A in M dichL Machen wir fiir die A^ die Zerlegungen (a), iff == P^ -f Q^, und setzen ^0 — ^1 + Pi + ' ' '1 Qo — Q1Q2'' ' y ^^ sind die Q^ in M offen und dicht, also nach IX QQin M dicht. Uberdies ist MA^^i\, MA^PQ,M— A! A. ^ QQ, also ist M — M A erst recht in M dicht.

185

142

Sechstes Kapitel. Punktmengen.

Wir konnen aber nicht behaupten, dafi A noch zu M nirgendsdicht sei; fiir die zu A gehorige Zerlegung M = P + Q wiirde man ja nur P g PQ, Q^Qo schlieBen konnen, so daB Q nicht mehr in M dicht zu sein braucht. Bringt man die rationalen Zahlen in eine Folge TJ, ^ 2 , . . . und lafit A^ aus der einzigen Zahl r„ bestehen, so ist A^ in der Menge M der reellen Zahlen nirgendsdicht, A aber sogar dicht; der Satz X bleibt trotzdem giiltig, denn M — A ist in M dicht. Versteht man aber unter M die Menge der rationalen Zahlen selbst, die keine Youngsche Menge ist (sie ist in ihrer voUstandigen Hiille, d. h. in der Menge der reellen Zahlen kein G§, S. 138), so ist der Satz X nicht anwendbar: M —• A ist dann Null und nicht in M dicht. Man nennt, mit einer farblosen Bezeichnung (R. Baire), eine Menge i4 [67] i^on erster Kategorie oder von zweiter Kategorie zu M^ je nachdem sie Summe einer Folge zu M nirgendsdichter Mengen ist oder nicht, Ist A^M^ so heiBt sie von erster oder zweiter Kategorie in M; diesen wichtigsten Fall wollen wir abkiirzend bezeichnen: Ml eine Menge erster Kategorie in ilf, Mji eine Menge zweiter Kategorie in AL Der Satz X, auf A ^ M angewendet, lautet dann: XL Ist M eine Youngsche Menge^ so ist M — Mi in M dicht. Aus der Definition sowie aus II, III, IV folgt: XII. Sind die endlich oder abzdhlbar i>ielen Mengen A^ zu M von erster Kategorie^ so auch ihre Summe. XIII. 7^^ A zu M von erster Kategorie^ so auch zu Jf*, wenn ilf* derselben Dichtigkeitsklasse wie M angehort. XIV. Ist A zu M von erster Kategorie^ so auch jede Menge ^ A; ist A in M von erster Kategorie^ so auch in jeder Menge ^ M, XV. Ist A zu M von erster Kategorie^ so auch zu M G (G offen). Diese Satze lassen sicli natxirlich in solche liber Mengen zweiter Kategorie umformen, z. B. statt XIV: ist A zu M von zweiter Kategorie, so auch jede Menge ^ A usw. Es kann sein, daB M selbst ein i / j ist; dann gibt es iiberhaupt kein Mil, d^ lisich XIV alle Teilmengen von M ebenfalls Mi sind, Ist aber M selbst ein Mu, so kann es nach XII nicht die Summe zweier Mi sein, und das Komplement M — Mi eines Mi ist jedenfalls ein Mu (wogegen das Komplement eines Mu sowohl ein Mi als ein Mu sein kann). Eine Youngsche Menge ilf :=> 0 ist gewi/i ein Mu. Denn nach XI ist M — Mi in M dicht und kann nicht Null sein. Auf Grund der Eigenschaft, daB von einer Menge M = Mu nach Tilgung eines Mi immer noch ein Mu zuriickbleibt, kann man sich die Vorstellung bilden, daB die Teilmengen Mi sozusagen entbehrliche Ak-

186

§ 27. Mengen erster und zweiter Kategorie.

143

zidentien von diinner Struktur sind und ihre Komplemente M — Mi die eigentliche Substanz der Menge M enthalten. Diese Vorstellung ist zwar insofern zweckmaBig, als sie den nichtssagenden Bezeichnungen „erste und zweite Kategorie" etwas Farbe verleiht; sie kann aber mit ahnlichen Vorstellungen, die auf Grund anderer Pramissen gebildet sind, koUidieren. Bei der Zerlegung M = Mg+ Mj^ in separierten Teil und insichdichten Kern wiirde man doch diesen als Substanz und jenen als Akzidens betrachten, zumal wenn Mj^ von der Machtigkeit des Kontinuums und M^ nur abzahlbar ist; trotzdem kann Mjg ein Mj und M^ ein il/jj sein. Ist etwa / eine isolierte Menge mit perfekter Ableitung J^ (z. B. / die Menge der Punkte I — , ~ J in Fig. 2 S. 113), so ist ilf = / ^ = / + J^ eine solche Zerlegung, wo J^ ein Mj und J ein Mjj ist (denn M — J^ ist in M dicht; iiberdies stellt jeder einzelne Punkt von / bereits eine Menge M^ dar). — Ein einzelner Punkt von M gibt eine Menge M^ oder ifi, je nachdem er isoliert oder Haufungspunkt ist. Jede Menge M^ ist also in der Koharenz Mj^ enthalten, und jede endliche oder abzahlbare Teilmenge von Mj^ ist ein Jfj. Z. B. ist in der Menge E der reellen Zahlen die Menge R der rationalen Zahlen ein Ei, sogar ein Ri\ die Menge / der irrationalen ist (da E als Youngsche Menge ein E^ ist) ein Eji und erst recht ein / n - — 1st ilf = M^ separiert, so ist Mj^ ein M^^ da M — Mj^~ Mj in M, = ilf dicht ist (§ 23, (15)). Bilden wir also die mit M, M^^ M^j^^,.. beginnende Folge der Koharenzen MQ^ il/^, Mg, . .., M^, . . . , so ist jede dieser Mengen in den vorangehenden von erster Kategorie, aber (solange sie ^ 0 ist) in sich von zweiter Kategorie, weil sie isolierte Punkte hat. Ist die Menge E^ die wir jetzt als Raum annehmen, eine Youngsche Menge, so ist auch jede (in E) abgeschlossene Menge F und jede offene Menge G (sogar jede Menge G^) eine Youngsche Menge, also, falls :=>0, in sich von zweiter Kategorie. Auf Grimd dieser zwei Eigenschaften woUen wir zwei Klassen von Mengen definieren, die als Verallgemeinerung der Youngschen Mengen vielfach eine Rolle spielen. Wir sagen: E hei^t eine F^^-Menge, wenn jede abgeschlossene Menge F:>0 in sick [68] iwn zweiter Kategorie (ein Fn) ist ^). E heifit eineGji'Me?ige, wenn jede ofjene Menge G^O in sich i>on zweiter Kategorie {ein Gjx) ist. Die Bedingung der i^ij-Menge kann dahin eingeschrankt werden^ daB nur jede perjekte Menge P:>0 ein Pji zu sein braucht; denn eine Menge F mit isolierten Punkten ist ohnehin ein Fji, Die Bedingung der Gjx-Menge kann durch dies^ ersetzt werden, daB jede offene Menge G^O ein Ejj ist. Denn: ist G ein Gj, so auch ein Ej (nach XIV); ist G ein JE^j, so auch ein Gj (nach XV)- G ist also in sich und in E von derselben Kategorie" (wogegen eine abgeschlossene Menge F zugleich ein F^ und E^ sein kann, z. B. jede im EukHdischen Raum E nirgends^) Hierzu vgl Nachtrag A.

187

144

Sechstes Kapitel. Punktmengen.

dichte abgeschlossene Menge :::^0), Ferner lassen sich die GjrMengen auch so charakterisieren: E ist dann und nur dann eine Gji-Menge, wenn E — Ei steis in E dicht ist. Denn ist E — Ej stets in E dicht, so ist G :::5 0 kein Ej, ddi E — G = F nicht in E dicht ist (i^^ = F <:E). Ist umgekehrt E eine Gn-Menge und A ein Ej, Gz:>0, so ist in G — (E — A)G + AG der zweite Summand ein Ej, also der erste ein Ejj und jedenfalls :>0. Aus G^O folgt also (E — A)G^O, d. h. E - A ist in E dicht. Mit E ist auch E ~ Ei eine Gn-Menge. Denn sei A in E, B in E — A = D von erster Kategorie, so sind B und A + B auch in E von erster Kategorie, also E — {A + B) = D — B in E und erst recht in D dicht; D ist eine Menge, fiir die D — Djin D dicht ist, also eine Gn-Menge. Jede Youngsche Menge ist eine Fjj-Menge; es gibt aber, wie wir spater (§43,2) sehen werden, auch i^'u-Mengen, die keine Youngschen Mengen sind. Jede Fji'Menge ist eine Gji-Menge, E sei eine i^u-Menge, G^O offen, F == G^, ferner F — G = G^ — G == H die Begrenzung von G. Sie ist in F nirgendsdicht (weil sie abgeschlossen und ihr Komplement F ~ H = G in F dicht ist), also ein Fx; demnach ist G ein Fn und erst recht ein Gu. Es gibt aber auch Gjj-Mengen, die keine i^n-Mengen sind. Sei E die Euklidische Ebene, A die Menge der irrationalen Punkte (i, 0) auf der a:-Achse X; dann ist A ein Ei und D — E —- A wieder eine Gjj-Menge. Sie ist aber keine jPjx'Menge, da die in ihr abgeschlossene Menge D X, die Menge der rationalen Punkte (r, 0) auf der a;-Achse, in sich von erster Kategorie ist. Eine Bemerkung verdienen noch die Mengen F^, Summen von Folgen abgeschlossener Mengen. Jede in E nirgendsdichte Menge A ist Teilmenge einer in E abgeschlossenen nirgendsdichten Menge A^, also jede Menge El Teilmenge einer Menge F^ — Ei\ die Mengen F^, die in E von erster Kategorie sind, sind also die grofiten Mengen erster Kategorie in dem Sinne, da6 sie und ihre Teilmengen alle Ei liefern. Es gilt noch: Damit A =^ F^ ein Ei sei, ist hinreichend und im Fall einer GjyMenge E auch notwendig, dap E — A in E dicht sei. Denn ist A = ^F^ und E — A in E dicht, so ist erst recht E — F„ in E dicht, F^ in E nirgendsdicht und A ein Ej, Die andere Halfte der Behauptung folgt aus der Definition der Gii-Mengen. Ist der Raum E eine Fjj-Menge, so ist jedes A = G^::=>0 in sich von zweiter Kategorie. Denn F = A^ ist ein Fii\ F — A ist ein F^j, also in F von erster Kategorie, da sein Komplement ^ in JP dicht ist; also ist ^ in i^ und erst recht in sich von zweiter Kategorie. In einer

188

§ 28. Mengenraume.

145

Fjj^Menge ist jedes G^, insbesondere j'ede abgeschlossene oder offene Menge eine Fj^-Menge. Jede in einer Gn-Menge offene Menge ist eine G^^-Menge. % 28. Mengenraume.

[69]

1. Entfernimgeu zwischen Mengen. Wir betrachten wieder Punkte und Teilmengen eines Raumes E. Die Entfernungen ab der Punktpaare zweier Mengen A^ B{^ 0) haben stets eine untere Grenze d{A^ B) = d(B,A) und, falls beide Mengen beschrankt sind, eine (endliche) obere Grenze d(A, B) = d(B^ A); wir nennen dies die untere und obere Entfernung zwischen A und B. Insbesondere ist d(A, A) = d(A) der Durchmesser von A. Ist der Punkt b fest, so iBtd(A, b) = d{b,A) die untere, d{A,b) = dib,A) die obere Entfernung des Punktes b von der Menge A. Aus xa ^ya -}- xy folgt, wenn wir beiderseits die obere Grenze fnv as A nehmen (A beschrankt): d{Xy A) -^ d(y^ A) + xy irnd durch Vertauschung von x,y

Idix.A} — diy.A)

l^xy;

auch fiir die unteren Entfernungen gilt dasselbe (S. 111). 5(a:, J ) und d(x,A) sind stetige Funktionen von x. 8{x^A)^0 ist mit xeA^ gleichbedeutend. Fiir ^ > 0 ist «5(a?, ^ ) < ^ damit gleichbedeutend, daC zu X eiii aeA mit ax < Q existiert oder daB x der Umgebung V(A, Q) von A mit dem Radius Q angehort (S. 117). Wir versuchen nun, zwischen zwei Mengen eine den Entfernnngsaxiomen geniigende Entfernung zu erklaren und die Mengen dadurch zu Elementen eines neuen metrischen Raumes zu machen. Die unteren und oberen Entfernungen sind, wie man von vornherein vermuten kann und ein Versuch sofort bestatigen wurde, dazu nicht geeignet. Wir Ziehen nur beschrdnkte Mengen A, B^O in Betracht. Die Relation (^ > 0) (Q)

I fiir jedes bsB ist d(A^ b) < Q I zu jedem beB gibt es ein aeA mit ab < Q

deren dreiFormen gleichbedeutendsind, bestehtjedenfalls fiir Q > d{A^ B) (wQ alle ab < Q) und besteht nicht fwt Q< d(A^ B) (wo alle ab > q). Die untere Grenze der g, fiir die sie besteht, ist eine Zahl . > 0 und werde mit Q(A^B) bezeichnet, was von Q{B^A) ZU Buterscheiden ist; nachderzweiten Form der Relation (q) ist (1)

Q(A,B) =

mi^8(A,b),

ferner (2)

8(A, B) <

Q(A, B)

Hausdorff, Mengenlehre.

< d(A, B). 10

189

146

Seclistes Kapitel. Punktmengeii.

Fiir ^ > ^ ( ^ , B) besteht die Relation (^j, fiir ^ < Q (A^ B) besteht sie nicht (fiir Q = Q(AJB) besteht sie dann und nur dann, wenn das Supremum in (1) fiir kein b erreicht wird). Q(A, B) = 0 heiBt so viel wie J 5 g ^ « , A zu B dicht; in jedem andern Falle ist Q(A,B) > 0. Ferner gilt (3)

Q(A,B) +

Q(B,C)>Q(A,C),

Denn fiir B^U{A, Q), C g U{B, G) ist C^U(A,Q-\G), woraus der SchluB leicht zu ziehen ist. Besteht eine der Mengen aus einem einzigen P u n k t , so ist nach (1) (4)

q [a, B) = sup ab = d(a, B),

Q{A, b) = d(A, b),

heB

Dieses Q{A,B) ist wegen seiner Asymmetrie noch nicht als E n t f e r n u n g b r a u c h b a r ; wir bilden daher (5)

TB

= max [Q(A, B), Q{B, A)] =

BA

und schlieBen aus (3), daB d a m i t d a s Dreiecksaxiom AB -}- BC >^AC erfiillt ist. D a m i t ist also eine Entfernung u n d ein metrischer Mengenraum definiert, in d e m m a n n u r , analog zu friiheren Fallen, zwei Mengen m i t AB — 0, d. h. zwei Mengen derselben Dichtigkeitsklasse als identisch anzusehen h a t ; fiir Zi& = 0 ist auch Q(A,C) = Q(B, C) u n d Q(C, A) == Q(C, B) sowie JC = ^ . Nach (2) liegt die Entfernung AB zwischen der unteren u n d oberen E n t f e r n u n g ; nach (4) ist, wenn die eine Menge einpunktig ist, Ab = mSix[6iA,b),

d(A,b)]

=

d{A,b).

Wir wollen nachher der praziseren Ausdrucksweise halber v o n jeder Dichtigkeitsklasse n u r die groBte (abgeschlossene) Menge beibehalten, verengern also den Definitionsbereich v o n ^ ( . 4 , ^ ) u n d AB auf die abgeschlossenen beschrdnkten Mengen > 0 des Raumes E. I n diesem metrischen Mengenraum ist die Konvergenz A == lim A^ oder A^-^A natiirhch durch AAj^~^0 zu erklaren; die Folge heifie d a n n meirisch konvergent^ A ihr metrischer Limes \ der Limes einer metrisch konvergenten Teilfolge von ^ „ ein metrisches Haufungselement. [70] 2 , Abgeschlossener und offener Limes. AuBerdemkommen, zunachst fiir beliebige Mengenfolgen A^ des metrischen Raumes £ , folgende Grenzmengen in Betracht, die denen fiir reine Mengen (oberer u n d unterer Limes, § 3) analog sind: der obere u n d untere abgeschlossene Limes (6)

i^=^^n,

F =

im Gleichheitsfalle der abgeschlossene Limes (7)

F =

FIA,;

sowie der obere und untere offene Limes

190

FIA,,

§ 28. Mengenraume. (8)

'G=~GIA^,

147

&=GIA^,

im Gleichheitsfalle der o^ene Limes (9) G=^GlA^ (die Abkurzungen Fl^ Gl mogen etwa i^-Limes, G-Limes gelesen werden). Die Punkte dieser Mengen sollen durch folgende Eigenschaften definiert sein: xeF: jede Umgebung U^. hat mit unendlich vielen A^ Punkte gemein. xeF^: jede Umgebung U^ hat mit fast alien A^ Punkte gemein. xeG: es gibt eine Umgebung h\^ die unendlich vielen A^ angehort. XBG^: es gibt eine Umgebung J/^., die fast alien A^ angehort. Es ist F^F, G^G. Sind B^— E — A^^ die Komplemente der An^ so ist, wie eine leichte Uberlegung lehrt, (10)

E^YlA^

+ GIB^ =^FlA^-\' G~bB^.

Da6 G, G offen sind, folgt unmittelbar aus der Definition: es ist G bzw. G die Summe aller Umgebungen, die unendlich Yiden bzw. fast alien A^^ angehoren; fast ebenso unmittelbar oder aus (10) folgt^ daB i^, ^ a b g e schlossen sind. Abanderung, Hinzufiigung, Weglassung eiidlich vieler Mengen ist auf die Grenzmengen ohne EinfluB; beira tlbergang zu einer Teilfolge hat man, wenn sich die griechischen Buchstaben auf diese beziehen, (11) F^0^0^F, G^r^r^G, so daB mit der ganzen Folge auch jede Teilfolge einen abgeschlossenen (offenen) Limes hat. Beispiele. Fiir die Folge ^ , 5 , ^ , i?, . . . ist F_==A, + B,,

F^A^B,,

G = Ai +B,, G = A,B,, Werden die Folgen ^ „ mit den Grenzmengen F, F^ G, G und B^ mit den Grenzmengen 0^0, JT, F zu einer Folge ^ j , B^, ^Ig, 5^, . . . vereinigt, so hat diese die Grenzmengen F+

0,

F0, G + r , GF.

Ist in der Euklidischen Ebene, fiir ^ > 0, A{t) die durch ^i + ( ^ I

=1

definierte ElHpse mit den Scheiteln ( ± 1, 0) und fO, ± t), so ist der abgeschlossene Limes fiir die Folge A {n) mit n = 1, 2, 3^..,, dm Geradenpaar ^1 = i t 1, fiir die Folge ^4 f—j die Strecke — 1 ^ ^i ^ 1, ^2 =^ 0. I (Auswahlsatz). Ist der Raum separabel^ so enthdlt jede Mengenfolge eine Teilfolge, fiir die der abgeschlossene (und eine, fur die der offene) Limes existiert. 10*

191

148

Sechstes Kapitel. Punktmengen.

Wegen (10) genligt es, den Fall des oftenen Limes zu beweisen (iibrigens liefert zweimalige Anwendung des Satzes eine Teilfolge, fiir die sowohl der abgeschlossene als auch der offene Limes existiert). Statt der Umgebungen V benutzen wir wieder die abzahlbar vielen speziellen Umgebungen V (§ 25); die in unendlich vielen ^ ^ enthaltenenF(derenSummeG ist), mogen obere V heiBen, die in fast alien A^^ enthaltenen (deren Summe G ist) untere V^ und diejenigen oberen, die keine nnteren sind, diskrepante F. Beim (Jbergang zu einer Teilfolge wird die Menge der oberen, unteren, diskrepanten V kleiner, groBer, kleiner (im weiteren Sinn, d. h. Gleichbleiben nicht ausgeschlossen); wahlt man die Teilfolge aber geeignet, so kann man ein beliebiges diskrepantes V wirklicli tilgen. Denn wenn V den unendlich vielen Aj,^ aber nicht fast alien An angehort, so geniigt der Ubergang von A^ zur Teilfolge Ap^ won V zu einem unteren V zu machen und demnach aus der Reihe der diskrepanten V zu streichen. Danach verfahre man, falls G^Gj also diskrepante V vorhanden sind, folgendermaBen: man bringe die (hochstens abzahlbar vielen) diskrepanten V in Form einer Folge Fj, F g , . . . und tilge F^ durch tjbergang von A^ zu einer Teilfolge A^,: falls fiir diese noch diskrepante F vorhanden sind, etwa F ^ , . . . , so tilge man das niedrigste F ^ durch tJbergang von A^ zu einer Teilfolge A^ usf. Entweder gelangt man schon nach endlich vielen Schritten zu einer Teilfolge, fiir die keine diskrepanten F mehr vorhanden sind, also der offene Limes existiert, oder das Verfahren ist unbegrenzt fortsetzbar. In diesem Fall bilde man aus den (wachsend geordneten) Zahlenfolgen p, (/, r, . . . die Diagonalfolge ^, d. h. aus V = Vi^ P21

die Folge

P31'"

Q =

^ 1 , ^2» ^3, • • •

r =

Tj, r2, ^3,

...

t = p^, q^, r^, . . . .

Diese liefert, da sie, von endlich vielen Gliedern abgesehen, Teilfolge jeder vorangehenden ist, eine Mengenfolge ^<, fiir die kein diskrepantes F mehr vorhanden ist, also der offene Limes existiert. 3. Beziehimg zwischen abgeschlossenem iind metrischem Limes. Lassen wir jetzt die offenen Grenzmengen beiseite und fragen, ob zwischen dem abgeschlossenen und dem metrischenLimes, jFZ^^und Um Jl„, oder allgemeiner zwischen den beiden abgeschlossenen Grenzmengen und den metrischen Haufungselementen Beziehungen bestehen. Bemerken wir, daB F und F^ unverandert bleiben, wenn wir die A^ durch ihre abgeschlossenen Hiillen ersetzen, denn AIJ^:>Q ist gleichbedeutend mit Ac,l]^z=>0. Wir nehmen daher kiinftig die A^ als abgeschlossen an, iiberdies als be-

192

§ 28. Mengenraume.

149

schrankt und > 0 . Bedeutet a^ einen Punkt von ^ „ , so kann man aiif Grund einer leichten Uberlegung auch sagen: xsF bedeutet: es gibt eine Folge a„ mit dem Haufungspunkt x (d. h. mit einer nach x konvergenten Teilfolge). xeF bedeutet: es gibt eine Folge Un'-^x, Wir erhalten dann folgenden Satz, wo auch X, Y abgeschlossene beschrankte Mengen ^0 bedeuten: _ II. Wenn Q(A^, X) -> 0, so ist X g ^ ; wenn Q(Y, A ^ -> 0, so ist Y^F, Beweis. Sei Q^ = Q(An, X) ->0, xeX; es gibt (weil fiir Q > Q(A^ B) 1 die Relation (Q) besteht) einen Punkt a^^eA^ mit xafi:r, xeF. _ Sei Qn^ Q{Y, An)-^0^ xsF; es gibt eine Folge Ug^sAj^ mit einer konvergenten Teilfolge a^, -> x und zu jedem a^ einen Punkt ,^^ a Y mit 1 ^hiVn < Qn + ~' ^ s o y^-^x^ X ist a-Punkt von 7 , XEY^^ Y. Damit ist II bewiesen. Aus X^F^^F^Y folgfc nun, daB fiir X= Y dicse Menge auch mit F^ = F identisch ist, d.li. III. Wenn der metrische Limes X = lim A^ exisliert^ so ist X = FlAn zugleich der abgeschlossene Limes der Mengenfolge. DaB eine Umkehrung dieser Satze nicht ohne weiteres moglicfa ist zeigt schon ein triviales Beispiel: sei im Raume E der reellen Zahlen A^ das Interval! [— n^ n]^ so existiert der abgeschlossene Limes dieser Folge, namlich E selbst, aber E ist nicht beschrankt und A^E hat keinen Sinn. Diese Folge hat kein Haufungselement, da die Entfernungen A,,^An — \n — m\ von zwei verschiedenen Mengen ^ 1 sind. — Ein anderes Beispiel erhalt man mit ^2

, = {o, i } ,

A^n-i

= {0, n}

(^ - 1, 2, . . .),

wo also jedes A^ aus zwei Zahlen besteht. Hier existiert der abgeschlossene Limes JF, aus der einen Zahl 0 bestehend, er ist zugleich das (einzige) metrische Htlufungselement lim ^2,^, die ganze Folge ist aber nicht metrisch konvergent. AUgemein kann man nur sagen: wenn X mefcrisches Haufungselement von An ist, d. h. eine Teilfolge mit ApX-^Q existiert, so ist nach III und (11) F^X^F] alle etwaigen Haufungselemente der Folge liegen zwischen dem unteren und oberen abgeschlossenen Limes. Ist insbesondere F — FlAn vorhanden, so hat die Folge kein von F verschiedenes Haufungselement; sie braucht aber, wie die Beispiele gezeigt haben, iiberhaupt keins zu haben, Oder sie kann das einzige Hiiufungselement F haben, ohne metrisch zu konvergieren.

193

150

Sechstes Kapitel. Punktmengen.

Wenn aber der Raum E in sich kompakt ist^), lassen sich unsere Satze umkehren. Es gilt zunachst als Gegenstiick zu I I : IV. Wenn E in sich kompakt ist, so isi Q(An^ F)->Q (falls F von Null verscliieden isi) und Q{Fy An)-^0. Beweis. Fiir jeden P u n k t xe F, der j a als lim a„ dargestellt werden kann, ist d(^„, a;) < a^a:->0. Ware n u n , fiir F^:^0, nicht Q(A^,^) -^ 0 , also fiir eine geeignete Teilfolge Q(AJ,^ JD ^ Q ^ ^^ ^^ 8^^^ ^^ nach der Definition (1) einen P u n k t XpsF mit d(Aj,, Xp) > Q. Die x^ haben, wegen der Kompaktheit, eine konvergente Teilfolge x^-^x, wobei x der abgeschlossenen Menge ^ a n g e h o r t und ^(.4^,x) -^0. Aus 16{A^, x^) — d (Ag, x) \ <xxg folgt demnach d(Ag, Xfj) ->0 im Widerspruch zu <5(^p, x^> q. Zum Beweis des zweiten Teils stellen wir zunachst F^Q fest, da jede Folge a^sAn mindestens einen Haufungspunkt xeF hat. Ware nicht Q{F^ An) -* 0, also fiir eine gewisse Teilfolge Q(F, A^) > ^ > 0, SO gabe es einen P u n k t apcA^, m i t 6(F^ ap) > ^, was damit in Widerspruch steht, daU die a^ einen Helufungspunkt x e F haben miissen. Aus IV folgt als Umkehrung von I I I : [71] V. Wenn E in sich kompakt ist und der abgeschlossene Limes X — FIA^ existiert, so ist X = lim A^ zugleich der metrische Limes der Mengenfolge. Da ein kompakter Raum hochstens separabel ist (S. 126), so liefert der Auswahlsatz I in Verbindung mit V: VI. Ist der Raum E in sich kompakt^ so hat jede Mengenfolge A^^^O eine metrisch konvergente Teilfolge, D. h, der metrische Raum der abgeschlossenen Mengen F{0<=zF^E) ist wieder in sich kompakt.

§ 29. Zusammeiihang. 1, Grundlagen,

Eine Zerlegung

(1) A=A^

+ A^ = AF^ + AF^

der Menge A in zwei disjunkte, in A abgeschlossene Summanden heiUt eine Zerstuckelung von A^ falls beide Summanden r^O sind. Eine Menge, die sich zerstiickeln la6t, heiBt unzusammenhangend; eine Menge ^Q^ die sich nicht zerstiickeln Idpt, heifit zusammenhdngend. Die Summanden A^^ A^ sind iibrigens gleichzeitig in A offen, Insbesondere ist also eine abgeschlossene Menge :> 0 zusammenhangend, wenn sie sich nicht in zwei disjunkte abgeschlossene Mengen > 0 spalten laBb, und eine oftene Menge ir^O ist zusammenhangend, wenn sie sich nicht in zwei disjunkte oflene Mengen > 0 spalten laBt. Eine abgeschlossene zusammenhdngende Menge heifit ein Kon1) Es genugt, daB die samtlichen An einer in E kompakten Menge angehoren oder daB ^=<S^n in E kompakt ist; man kann dann So. als Raum annehmen.

194

§ 29. Zusammenhang.

151

iinuum^ eine offene zusaminenhdngende Menge ein Gehiet, Ob eine Menge A zusammenhangend ist oder nicht, hangt nur von ihr selbst, nicht vom umgebenden Raume E ab (wahrend die Begriffe Kontinuum und Gebiet Relativbegriffe bezijglich E sind). Beispiele. Eine Hyperbel ist unzusammenhangend, die Spaltung in ihre beiden Zweige ist eine Zerstiickelung ^). Die Menge der positiven und negativen reellen Zahlen, ohne Null, ist unzusammenhangend. Eine einpunktige Menge gilt als zusammenhangend (Kontinuum). Ein Interval! [a, b] reeller Zahlen ist zusammenhangend; denn sei eine Spaltung ^^ + ^2 in disjunkte Mengen gegeben, a e A^ und c die untere Grenze der Zahlen von ylg. 1st nun A^ abgeschlossen,^ so ist c die kleinste Zahl von A^^ also c > a, und A^^ ist nicht abgeschlossen, da das halboflene Intervall [a, c) zu A^ gehort, c selbst aber nicht. Um eine Menge A (> 0) als zusammenhangend nachzuweisen, ist zu zeigen, da6 bei jeder Spaltung (1) einer der Summanden Null ist. Man beachte hierbei, daB diese Spaltung auch fiir jede Teilmenge B von A eine entsprechende Spaltung hervorruft. B =^ B,^ B,^ BA,^ BA, = BF, +BF, I. Wenn je zwei Punkte von A ^^sich in A verhinden lassen'\ d. /L einer zusammenhdngenden Teilmenge von A angehoren, so ist A zusammenkdngend, Denn gabe es eine Zerstiickelung (1), x^ e Aj, x^ e A^^ so verbinde man x^^ x^ durch eine zusammenhangende Teilmenge B; dann ware aber auch B = B1 + B2 eine Zerstiickelung. II. Die Summe von zwei zusammenhdngenden Mengen^ der en Durchschnitt nieht verschmndet, ist zusammenhangend, Sei S = A -j-B, D = AB^O, Einer Spaltung S = 8^^ + S^ entsprechen A = A^ + A^, B = B^ + B^^ D = D^^ + D^* Weil A zusammenhangt, ist einer der Summanden 0, etwa A^ — 0, also Dg = 0, /)i > 0, B^:^0; weil B zusammenhangt, ist also j^g = 0, iSg = 0: *? ist zusammenhangend. Eine Art Umkehrung von II ist der Satz: III. Zwei abgeschlossene Mengen^ deren Summe und DurchschniU zu^ sammenhdngend istj sind selbst zusammenhangend. Sei wieder S = A -\- B^ D — AB. Einer Spaltung A =^ A^-{- A^ entspricht D == D^-|-D^, also ist etwa Dg = 0, A^B=-Q, Dann ist S = {A-^ •]-B)-\-Ac^\ damit dies keine Zerstiickelung sei, mufi ^2 = 0 sein: A ist zusammenhangend. — Der Satz gilt bereits, wenn A und B in S (das man als Raum wahlen kann) abgeschlossen sind. ^) Wir sind in der Euklidischen Ebene E^, ohne unendlich feme oder uneigentliche Punktel

195

152

Sechstes Kapitel. Punktmengen.

Sagen wir von endlich vielen, in bestimmter Reihenfolge geschriebenen Mengen A^ B^C,,.., daB sie eine Kette bilden, falls je zwei benachbarte Mengen gemeinsame Punkte haben (AB^O^ JSCr^O, . . . ) . Sind diese Mengen zusammenhangend, so ist nach II auch A + B^ {A + B) + C,., . zusammenhangend. Nach I folgt: IV. Die Summe beliebig vieler zusammenhdngender Mengen^ von denen je zwei einer Kette angehoren^ ist zusammenhangend. Insbesondere gilt dies, wenn je zwei Mengen gemeinsame Punkte haben. Eine grofite (in keiner andern enthaltene) zusqmmenhdngende Teilmenge von A heifit eine Komponente vpn A. Eine solche erKalt man, wenn man die Menge A{x) aller Punkte, die sich in A mit einem Punkt xeA verbinden lassen, oder die (nach IV zusammenhangende) Summe aller den Punkt X enthaltenden zusammenhangenden Teilmengen von A bildet. A(x) kann sich auf die einpunktige Menge {x} reduzieren, Zwei Komponenten A(x)^ A(y) sind entweder disjunkt oder identisch. Man erhalt so die Spaltung von A in Komponenten A=A(x) + A(y) + ^^-, (2) deren es eine (falls A zusammenhangt) oder mehrere (endlich oder unendhch viele) geben kann. Eine Menge, deren samtliche Komponenten einpunktig sind, die also keine mehrpunktige zusammenhangende Teilmenge enthalt, heiBe punkthaft (total unzusammenhangend), wahrend eine Menge, die kein mehrpunktiges Kontinuum enthalt, diskontinuierlich genannt werde ^). Die erste Bedingung ist also scharfer, und eine Menge kann diskontinuierlich sein, ohne punkthaft zu sein, sogar diskontinuierlich und zusammenhangend (Beispiele § 31, 2 und § 42, 5). Punkthaft ist ein absoluter, diskontinuierlich ein relativer Begriff. A ist in E diskontinuierlich heiBt: A hat keine mehrpunktige, zusammenhangende, in E abgeschlossene Teilmenge. Eine in sich diskontinuierliche Menge ist auch punkthaft (wegen VI)* V. Mit A ist auch jede Menge zwischen A und AociA^B^A^) zusammenhangend, Einer Spaltung 5 == 5^ + i?2 in relativ abgeschlossene Mengen entspricht A ^ A^ + A^. Hier ist etwa Jig = 0, ^ i = ^ , ^ g Bj^^A^, Bi^ = ^a, und da B^ in B abgeschlossen ist: B^ = BB^^c = BA^ = B, B^ = 0, VI. Die Komponenten i^on A sind in A abgeschlossen. Fur eine Komponente P ist A Pec (zwischen P und P^ gelegen) nach V zusammenhangend, also, da P eine groBte zusammenhangende Menge g ^ ist, AP^=: P, Auch hier herrscht kein einheitlicher Sprachgebrauch.

196

§ 29. Zusammenhang.

153

VII. Eine zusammenhdngende Menge C^ die zwei Punkte a, b {>on Komplementdrmengen A^B(A + B — E) verbindet^ trifft die Begrenzung dieser Mengen, Eine mehrpunktige zusammenhdngende Menge ist insichdicht und mindestens i>on der Mdchtigkeit des Kontinuums, Denn ware CAg = C (A^ + Br) = 0, so hatte man eine Zerstiickelung C = CAi + CBi. Wahlt man speziell A als Menge der Punkte ax^Q, B als Menge der Punkte arr > g, wo 0 < p < aft, so folgt, da6 C fiir jedes dieser Q mindestens einen Punkt mit ax = q enthalten mu6, und damit die zweite Halfte des Satzes. Insbesondere ist ein mehrpunktiges Kontinuum perfekt. Eine endliche Oder abzahlbare Menge ist punkthaft. 2. Lineare und lokal zusammenhangende Raume. In den linearen Raumen (§ 20, 2), wo die Entfernung xy = \x — y\ auf einem Betrage \x\ beruhte, der eine positiv homogene Funktion ersten Grades der Koordinaten ist, sind die Strecken [rr, yl mit reellen Zahlenintervallen [a, A] isometrisch, also zusammenhangend. Nach I sind also die konpexen Mengen (die mit zwei Punkten re, y auch ihre Verbindimgsstrecke [x, y] enthalten) zusammenhangend, so der ganze Raum, eine offene Kugel (Umgebung), eine abgeschlossene Kugel u. dgL Weiter ist ein Streckenzug (o)

[XQ^ Xi^ X^i . . ., ^n—lf

^n\ =

V^m ^ i J ~t~ L^l? **'2J -J- * * * + L ^ n - - 1 ) ^nl

als Spezialfall einer Kette (S. 152) zusammenhangend und damit jede Menge, in der sich zwei Punkte durch einen (der Menge angehorigen) Streckenzug verbinden lassen; so ist in der Euklidischen Ebene (oder im E.,^ fiir m^_2) die Menge J der irrationalen Punkte zusammenhangend, denn sind re, y zwei Punkte von / und z ein dritter Punkt, der auf keiner der (abzahlbar vielen) Geraden liegt, die x oder y mit einem rationalen Punkte verbinden, so sind x^y in J durch den Streckenzug [re, 2, i/] verbunden. — Fiir eine offene Menge im linearen Raum oder in einem konvexen Teilraum ist diese Zusammenhangsbedingung (Verbindung durch einen Streckenzug) nicht nur hinreichend, sondern auch notwendig. Denn ist G off en und G{x) die Menge der Punkte j / , die sich mit XBG durch einen Streckenzug [re,. .., y] in G verbinden lassen, so ist G{x) offen, weil fur Uy^G jeder Punkt zeUy mit y durch [?/, 2]gf/y, also mit re durch [re,. .., ?/, z] verbunden ist. Zwei Mengen ^(re), G{y) sind entweder disjunkt oder identisch. Demnach hat man wie bei der Zerlegung in Komponenten (4) G = G(x) + G{tjy+G{z) + ' - . Ist nur ein Summand vorhanden, so ist G = G{x) zusammenhangend; sind zwei oder mehrere vorhanden, so liefert G^Gix)+[G{y)

+ G(z) +

197

'^']

154

Sechstes Kapitel. Punktmengen.

eine Zerstiickelung. Bildet man hier den Durchschnitt mit einer Teilmenge von G, so wird auch diese zerstiickelt, wenn sie mit mindestens zwei SummandeDj etwaG(rr) und G{y), gemeinsamePunkte hat; eine zusammenhangende Teilmenge von G liegt also ganz in einem einzigen Summanden. d. h. die G(x) sind die Komponenten von G. Wir haben also gezeigt: VIII. 1st der Raum kom^ex^ so sind die Komponenten einer offenen Menge selbst offene Mengen; eine offene Menge ist dann und niir dann zusammenhdngend (ein Gebiet)^ wenn sich je zwei Punkte durch einen Streckenzug in ihr i>erhinden lassen. In den separablen Raumen dieser Art, z. B. im Euklidischen, ist die Menge der Komponenten einer offenen Menge hochstens abzahlbar. Ist E die gerade Linie oder die Menge der reellen Zahlen, so enthalt nach VII eine zusammenhangende Menge nebst zwei Punkten r?, b auch das Intervall [a, b\ woraus leicht folgt, daC es hier koine andern zusammenhangenden Mengen gibt als einzelne Punkte, Intervalle, Halbgerade und die ganze Gerade selbst (die Intervalle konnen offen, halboffen oder abgeschlossen sein, die Halbgeraden offen oder abgeschlossen). Gebiete sind die offenen Intervalle (a, b)^ die offenen Halbgeraden (a, oo) und (— oo, b) sowie die ganze Gerade. Die allgemeinste offene Menge G entsteht durch Addition von endlich oder abzahlbar vielen disjunkten Gebieten. Wenn dabei aneinandergrenzende Intervalle wie (a, b) und (&, c) vorkommen, so wird i ein isolierter Punkt des abgeschlossenen Komplements F = E — C\ trifft dies niemals zu, so wird F perfekt. Die in VIII zuerst genannte Bigenschaft kommt einer allgemeineren Klasse von Raumen zu, wie wir nun zeigen woollen. Nennen wir — zunachst in einem beliebigen Raume — eine Spaltung

(5)

^ -_^ i> + ^ + /? + .. .

der Menge A in disjunkte Summanden r^ 0 eine natiirliche Spaltung, wenn sie die zusammenhangenden Teilmengen von A nicht zerreiBt, die Summanden also Komponentensummen oder, wenn zusammenhangend, Komponenten sind. Natiirliche Spaltungen sind also u. a. die Spaltung in Komponenten, ferner in endlich viele relativ abgeschlossene oder in beliebig viele relativ oft^ene Mengen {P und A — P sind dann gleichzeitig in A abgeschlossen oder offen, woraus die Behauptung leicht folgt). Wenn sich z. B. eine offene Menge G in oft^ene Mengen spalten laBt, so sind diese, insoweit sie zusammenhangend sind, Komponenten von C Ein Gebiet G mit der Begrenzung H ist Komponente von E — i/, denn G^ = G + N ist abgeschlossen, E ~ (G + H) = G^^ offen, E — H = G + G^ eine natiirliche Spaltung. Ein Gebiet ist durch seine Begrenzung und einen seiner Punkte eindeutiff bestimmt.

198

§ 29. Zasammenhang.

155

Der Raum E heiBe lokal zusammenhdngend ^), wenn in jeder Um- [72] gebung U.j^ eines beliebigen Punkies x ein den Punkt x enthaltendes Gebiei G^ t> enthalten ist. Er braucht darum (als Ganzes) nicht zusammenhangend zu sein ^). Ein konvexer Raum ist lokal zusammenhangend, da hier sogar jede Umgebung U^ selbst zusammenhangend ist. Das einfachste Beispiel eines nicht lokal zusammenhangenden Raumes bildet die Menge E == {1, -J^ -JJ . . ., 0); die einzige, den Punkt 0 enthaltende zusammenhangende Menge ist die einpunktige Menge {0} selbst und diese ist in E nicht offen. Ein Beispiel fiir einen zusammenhangenden, aber nicht lokal zusammenhangenden Raum folgt nach Satz XII. Nun gilt: IX. Ist der Raum lokal zusammenhdngend und A = P + Q + R + - - eine naturliche Spaltung if on A, so ist (6) (7)

A, = P, + Qi + R,+ A, = S,,

''^,

s=^P^

A,^P, + Q^ +

+ Q, + R, +

^'-,

R^+^-^.

In dieser einfachen Weise hangen also offener Kern, Rand und Begrenzung der ganzen Menge von denen der Summanden ab. Zum Beweise von (6) erinnern wir uns, daB allgemein A,^P, + Q,+ ^^^, Ar^P, + Q, + ^" gilt. Andrerseits sei xeAi, U^^A und G^ ein Gebiet mit ^BG,^^U^^ dann ist G^ in einem einzigen Summanden der Spaltung enthalten, etwa Ga^^P, xePi, also Ai^Pi +Qi +- ^ ^. Zum Beweise von (7) betrachten wir das Komplement B == E — A, dann ist

E -~ P = B +Q + i? + • • * (E-P),^ B, + Q, +R, + ''' P, = P, + (E- P), ^ Br + Pr +Qr + Rr+-'=B,^A,

= A^,

also Ag^Pg 4- Qf^ + ' ' ' = S und Ag^S^, weil Ag abgeschlossen ist. Andererseits ist (8) A,^S, und diese Halfte der Behauptung gilt sogar (in einem lokal zusammenhangenden Raum) fiir jede Zerlegung A=P + Q + R + ' ' (die keine naturliche Spaltung zu sein und nicht einmal disjunkte Summanden zu haben braucht). Denn sei xeAg, U^ beliebig, G,^^U^; da x oc-Vunkt von A und von B ist, enthalt die Menge G^ Punkte beider Mengen; sie enthalte etwa einen Punkt von P und einen von ^ g E — P, ailso (nach VII) auch einen von Pg oder 6', folglich xsS^. ^) Oder im kleinen zusammenhdngend (H. H ahn). 2) Ein isolierter Raum ist lokal zusammenhangend; jede einpunktige Menge {x) ist ein G.r.

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156

Sechstes Kapitel. Punkfcmengen.

Bei einer natiirlichen Spaltung in endlich viele Summanden vereinfacht sich (7) zu A,j = S = I\ + Qg . X. 1st der Raum lokal zusammenhdugend^ so sind die Komponenten offener Mengen stets Gebiete^ und umgekehrt. Denn ist A offen, so sind naoli (6) auch P^Q^R^ . , , offen, was also insbesondere von den Komponenten gilt. Wenn umgekehrt die Komponenten offener Menge Gebiete sind, so ist die x enthaltende Komponente von JJy. ein Gebiet G^., der Raum lokal zusammenhangend. Eine Anwendung von (8) ist der Satz: Ein zusammenhdngender und lokal zusammenhdngender Raum^ der eine Fji'Menge ist, Id/St sich nicht in abzdhlbar nele disjunkie abgeschlossene Mengen ::>0 spalten. Angenommen, es sei E = Fj^ + F^ + - - - (F^ ^ 0 abgeschlossen); weil E zusammenhangend ist, hat F^i eine Begrenzung II^ == F^r^O; die Summe H = H^-\- IL^-\- - - * ist ebenfalls abgeschlossen (als Komplement von ^i^nt)- ^^^ die Begrenzung von E -- F, = F^ + F, -I- • • . ergibt sich nach (8) / / i g (7^2+ ^ 3 + • - ) . , d. h. //g + i/3 + • • • ist in / / dicht, N^ und jedes //„ in N nirgends dicht, also / / in sich von erster Kategorie im Widerspruch zur Annahme, dafi E eine i^jpMenge sein soil. — Diese Verscharfung des Zusammenhangs, die eine Zerstiickelung nicht nur in endlich, sondern auch in abzahlbar viele abgeschlossene Summanden ausschlieBt, gilt z. B. fiir Euklidische Raume; wir werden sie nachher auf anderem Wege auch fiir kompakte Kontinua beweisen (S. 162). Wir haben bisher den lokalen Zusammenhang schlechthin, fiir alie Punkte des Raumes, definiert. Es lage nahe, E in dem einzelnen Punkt x lokal zusammenhangend zu nennen, wenn jedes U^ ein G^ (Gebietj dem x angehort) enthalt; indessen ist es zweckmaBig, diese Bedingung etwas zu lockern und so zu defmieren: Der Raum E heiUt im Punkte x lokal zusammenhdngend, wenn jede Umgebung U^ eine zusammenhdngende Menge C enthdlt, der x als innerer Punkt angehort (xeC^); man kann dabei unter C die x enthaltende Komponente von U^ verstehen. XL Wenn der Raum E in jedem Punkt x lokal zusammenhdngend ist, so ist er (schlechthin) lokal zusammenhdngend; und umgekehrt, Denn ist C^ die x enthaltende Komponente von C/^., yeC^, Uy^ 0^ und Cy die y enthaltende Komponente von f/y, so ist Cy^C^, weil ^x'+ Cy zusammenhangend und < f_/,„ also mit C^ identisch ist. Nun ist 2/innerer Punkt von Cy, also auch von C^, C^ besteht nur aus inneren

200

§ 29. Zusammenhang.

157

Punkten und ist ein x enthaltendes Gebiet g t/^;. Die Umkehrung ist trivial. Man kann den lokalen Zusammenhang in x noch etwas anders formulieren (St. M a z u r k i e w i c z). Es sei ^ die untere Grenze der Durchmesser d (C) aller beschrdnktenzusammenhdngenden Mengen C, die x und y enthalten; wenn es keine solche gibt, werde J^'uicht definiert. Es ist xy >^xy; wenn ferner xy und y^ existieren, so auch ocz<.xy -}- y~z, auf Grund der leicht ersichtlichen Tatsache, daB d(A+B) 0 und geeignetes o* > 0 ist £^ dejQniert und < g, sobald xy < a. Ist diese Bedingung erfiillt, so seien V^^ V^ die Umgebungen YOU X mit den Radien ^, a. Jedes yeV^ laBt sich mit x durch eine zusammenhangende Menge Cy mit d(Cy) < Q verbinden.

Die Menge C — %Cy ist

nach IV zusammenhangend und in V^, enthalten, da jeder ihrer Punkte von X eine Entfernung < Q hat; sie enthalt V^ und hat demnach x ^um inneren Punkt; E ist in x lokal zusammenhangend. Ist umgekehrt £^ in a; lokal zusammenhangend, so habe V^ den beliebig vorgeschriebenen Radius ^; die a; enthaltende Komponenta C von U^ hat x zum inneren Punkt, enthalt also eine gewisse Umgebung V^ vom Radius G, Fiir xy < a ist dann xy ' n - f - 1 9 . .] des Streckenzuges und hat einen Durchmesser > 2, so

201

158

Sechstes Kapitel. Punktmengen,

da6 ff mit sr nicht nach 0 konvergiert. Ubrigens ist aber jR und E zusammenhangend. S.Distanzeii. Ein endlicher Punktkomplex (x^^ X2,. . ., ^„), worin die Entfernungen X^XQ^ . . ., ^w—i^n benachbarter Punkte <^Q sind, heiBe eine Q-Ketie (^ > 0); wir sagen dann, x^ und x^ lassen sich durch eine p-Kette verbinden, insbesondere durch eine ^-Kette in der Menge A^ wenn alle Punkte der Kette zu A gehoren. Suchen wir fiir zwei Punkte a;, y von A alle sie in A verbindenden o-Ketten; die untere Grenze der dabei auftretenden Zahlen Q heiBe die Distanz der Punkte a;, y und werde mit ccy bezeichnet (sie hangt aber nicht nur von den beiden Punkten, sondern auch von A ab). Fiir Q > xy lassen sich also a;, y durch eine ^-Kette in A verbinden, fiir Q <xy nicht; fiir Q = xy hangt es vom Einzelfall ab. Offenbar ist xy <^xy. Die Distanzen erfiillen das Dreiecksaxiom in der verscharften Fassung (9) xz <^max [ ^ , ^ J ; denn wenn sich x und y durch eine ^-Kette, y und z durch eine or-Kette verbinden lassen, so x und z durch eine r-Kette mit T — max [g, o*]. Wenn X -> f, i/ -> 77, so gilt x"^ -> 0, ylj -^ 0, xy -> Jrj; die Distanz xy ist stetige Fanktion von x^ y, Natiirlich ist o^S = 0 zu setzen; aber x~y ~ 0 besagt nicht etwa, daB x — y, sondern nur, dafi sich x^ y fiir jedes Q > 0 durch eine ^-Kette verbinden lassen. In der Menge der reellen oder der rationalen Zahlen haben je zwei Punkte die Distanz 0. Nun gilt (betreffs der unteren Entfernung 6(l\Q) vgl. S. 145): XIII. Ist A = P + Q mit d(P, Q) = d > 0, so hat jeder Punkt peP von jedem Punkt qsQ eine Distanz jo^ > ^. Haben zwei Punkte p, q i>on A eine Distanz p ^ = o > 0, so ist eine Zerlegung A = P + Q mit peP, qsQ und d{P, Q) ^ Q moglich. Das erste ist evident. Das zweite beweist sich so: P sei die Menge der Punkte xeA mit ^x < Q und Q == A — P, Es ist p e P , qsQ- Ware nun d{P^ Q) < g, so gabe es zwei Punkte xeP^ ysQ mit xy < g; dann ware erst recht ccy < g und, nach (9), jPy ^ max [p^, xy] < g; gegen die Voraussetzung ware also ysP, Da die Zerlegung A = P + Q des Satzes XIII offenbar eine Zerstiickelung ist (P und ^ in ^4 abgeschlossen), so folgt: in einer zusammenhdngenden Menge haben je zwei Punkte die Distanz Null. Das ist aber nicht umkehrbar ^), wie die Menge der rationalen Zahlen zeigt, die nicht zusammenhangend ist, obwohl zwei ihrer Punkte die Distanz Null haben. Die Zerstiickelung von A in zwei Teile mit positiver unterer Entfernung ^) Nach einer Definition C a n t o r s , von der wir abgewichen sind, heiBt eine Menge dann schon zusammenhangend, wenn je zwei ihrer Punkte die Distanz Null haben.

202

§ 29. Zusammenhang.

159

ist eben nur ein sehr grober, sozusagen mit bloBem Auge sichtbarer Mangel an Zusammenhang, wahrend die Menge auch in feinerer, mikroskopischer Weise unzusammenhangend sein, namlich eine Zerstiickelung A = P + Q mit d(Py ^) = 0 gestatten kann (wie die Menge der rationalen Zahlen in die der Zahlen < ]/2 und > yg). In einem wichtigen Falle ist indessen die obige Behauptung umkehrbar. Wenn die in sich kompakte (also kompakte, abgeschlossene) Menge A = P + Q zerstiickelt, d. h. in zwei abgeschlossene Mengen -^ 0 gespalten wird, so ist deren untere Entfernung 6(P^Q) = d > 0. In der Tat wird hier die untere Grenze d der Entfernungen p q wirklich erreicht, das Infimum zum Minimum; denn ist Pn^ln"^ ^t so gibt es eine Teilfolge mit Pn-^P-t "v^on dieser eine Teilfolge mit qn^Qi ^^^ dann ist peP, qeQy d = pq > 0. Hier ist also jede Zerstiickelung „mit bloBem Auge sichtbar", und wenn je zwei Punkte in A die Distanz 0 haben, so ist A zusammenhangend. Ferner ist, wenn A nicht zusammenhangend ist, die den Punkt p enthaltende Komponente P mit der Menge P (0) der Punkte p ^ = 0 identisch. Denn einerseits ist immer P g P (0); andererseits ist P (0) abgeschlossen, weil die Distanz p i eine stetige Funktion von x ist, also in sich kompakt und daher zusammenhangend, da je zwei ihrer Punkte die Distanz Ohaben^), demnach P ( 0 ) g P . Wir haben also gezeigt: XIV. Eine in sich kompakte Menge A ist dann (und nur dann) zusammenhdngendy wenn je zwei Hirer Punkte die Distanz 0 haben. Die den Punkt p enthaltende Komponente ist die Menge der Punkte^ die von p die Distanz 0 haben, Beim Beweise von XIII zeigten w^ir, daB die Menge der Punkte :c mit p^ < Q ebenso wie ihr Komplement abgeschlossen ist; dasselbe gilt auch von der Menge P(Q) der Punkte p S < ^ und ihrem Komplement Q(Q) = ^ — P(^) fiir ^ > 0; man sieht wie dort, daB die untere Entfernung der beiden Mengen > ^ ist (QiQ):^0 vorausgesetzt). Fiir ^ = 0 gilt dies nicht mehr; wohl ist noch die p enthaltende Komponente (10) P(0) = %P{e)^P{i)P{±)P(^)... abgeschlossen, aber ^(0) braucht es nicht zu sein und die untere Entfernung beider kann 0 sein. Die folgenden drei Satze sind Anwendungen der Distanzen auf kompakte Mengen. XV. Eine in sich kompakte Menge hleibt in sich kompakt, wenn man statt der Entf ernungen die Distanzen zugrunde legt^ wobei sie in eine punkthafte Menge ubergeht. Die Menge sei, in Komponenten zerlegt,

A=^P + Q + ^) Hierzu vgl. Nachtrag B.

203

R+'',

160

Sechstes Kapitel. Punktmengen.

[73] macht man sie auf Grund der Distanzen in A zum metrischen Raum A^ so fallen alle Punkte einer Komponente yon A in einen einzigen Punkt zusammen; man kann, indem man aus jeder Komponente je einen Punkt wahlt, J = (p, g^r,.,.} setzen ^). Eine Punktfolge x^ hat in A einen Haufungspunkt rr, d. h. eine Teilfolge mit xXy-^O, und dann ist erst recht xx^-^O^ x^ hat auch in A den Haufungspunkt x. A ist also in sich kompakt, und ebenso entspricht jeder in sich kompakten Teilmenge B von A eine in sich kompakte Teilmenge B von A. Sind p, q Punkte verschiedener Komponenten von A. Q positiv und < 'p~q, so ist die Menge P (Q) der Punkte JX 0 eine groBte Menge von Punkten, die paarweise in A Distanzen > Q (also erst recht Entfernungen > Q) haben; diese Menge ist endlich und bestehe aus rcj, ojg, . . ., a:„. Zu jedem Punkt xeA gibt es dann mindestens ein x^ (i = 1 , 2,'. .., n) mit xXi-^Q (sonst ware jene groBte Menge noch erweiterungsfahig) und auch nur ein einziges (sonst ware 'x^j. ^ Q). Ist ako Ai die Menge der Punkte ocXi ^ q, so ist (11) ^ - ^ l + ^2 + - - + ^n in disjunkte, abgeschlossene kompakte Mengen zerlegt, deren jede einen „Distanzdurchmesser" ^ Q hat, d. h. zwei Punkte von A^ haben eine Distanz ^ ^ . Ist A zweitens zugleich punkthaft, so konvergiert mit der Distanz x^ auch die Entfernung xy ( ^ ^) nach Null, und zwar gleichmaBig, d. h. jedem or > 0 entspricht ein ^ > 0 derart, daB mit xy < Q auch xy < a. Denn andernfalls gabe es eine Folge von Punktpaaren mit x^^ ~^ 0, ^nVn ^ ^? wobei wir mit Beschrankung auf Teilfolgen rr^-^rr, yn-^y ^^^ nehmen konnen, also ^ = 0, xy^o\ die verschiedenen Punkte x, y wiirden derselben Komponente angehoren. A laBt sich also fur jedes (5 > 0 in endhch viele disjunkte, in sich kompakte Mengen von Durchmessern <<5 spalten. 1) A ist tibrigens stetiges Bild von A und XV eine Folge von § 35, III.

204

§ 29. Zusamnienhang.

161

1st drittens A auch noch perfekt, so sind die Summanden einer solchen Spaltung (11) wieder perfekt, da sie in A auch offen, also insichdicht sind. Die A^ sind also Mengen wie A und das Verfahren kann wiederholt werden: A = 2Ai, Ai = HAii,^, Aii, --= ^Aikiy. • . wobei etwa die Durchmesser der Mengen mit n Indizes kleiner als —gewahlt werden konnen, natiirlich auch so klein, daB jede Summe aus mindestens zwei Summanden besteht. Dann ist

A=

2Ai.2Aij,,i:Ai^i,.,

ein polyadisches Diskontinuum (S. 134) und lafit sich in ein dyadisches verwandeln. Umgekehrt ist ein dyadisches Diskontinuum punkthaft. Denn ist C^A zusammenhangend, so kann, damit C^CF^+C^Fg keine Zerstxickelung sei, C nur mit einem V^^ dann nur mit einem F^^, mit einem Vp^r ^sw. gemeinsame Punkte haben, d. h. C = V^V^gVp^^... ist einpunktig. Damit ist XVI bewiesen. XVII (Randsatzvon Z. J a n i s z e w s k i ) . Fseiabgeschlossen, G==E-~F ihr offenes Komplmnent, H = F^ die Begrenzung beider Mengen, C ein kompaktes Kontinuum mit CM z:^ 0 ^). Dann hat (oc) jede Komponente i>on CF Punkte mit H gemein, (j8) jiir CG::^0 jede Komponente ifon CG Hdufungspunkte inH, (y) fUrCFi ^ 0 jede Komponente von CFi Hdufungspunkte in H. Die Figur veranschaulicht den Fall, daB F eine abgeschlossene Kreisflache in der Euklidischen Ebene i?, G das AuBere des Kreises, / / die Kreisperipherie ist. Beweis. (a) Ist CF = P -{- Q in zwei abgeschlossene Mengen gespalten und P ^ O , so ist auch PII ^ Q, Denn wegen C^CF + CGcc ist C = P 4 - ( ^ 4 - C G J ; damit letzteres keine Zerstiickelung sei, muB der Durchschnitt beider Summanden PCG^ = PFG^ = PH von Null verschieden sein. Sei nun peCF und P(Q) die ^*«-^Menge der Punkte x, die in der .abgeschlossenen kompakten Menge CF eine Distanz 'px^q haben, so ist fiir Q>0. wie wir wissen, P(Q) und das Komplement Q{Q) = CF-P(Q) abgeschlossen, also P(Q)H:>Q, Nach dem ersten Durchschnittssatz § 26,1 ist der Durchschnitt der Mengen ^) Diese Voraussetzung ist wegen VII insbesondere erfullt, wenn CG:=>0. Hausdorff, Mengenlehre.

11

205

CF^O,

162

Sechstes Kapitel. Punktmengen.

P(Q)H fur ^ = 1 , 1 , 1 , . . . auch nochr:>0, nach (10) also P ( 0 ) / 7 > 0, wobei P(0) eine beliebige Komponente von CF bedeuten kann. 1 (jS) Sei F^ die abgeschlossene Menge der Punkte d(x,F)^_(n == 1, 2, 3, . . . ) ; es ist G = F^ + F^ + - - - und fiir psCG schlie^lich peCFn- Nach dem unter (a) Bewiesenen hat die p enthaltende Komponente von CFn (C trifft sowohl Fn als E — F^^F^ nach VII also auch den Rand von i^J, um so mehr die von CG, einen Punkt x^ auf dem Rande 1 . von JP„, d. h. mit d[Xn^ F) = - , und diese Punkte haben in C einen Haufungspunkt x mit 6{x^ F) = 0^ xeFG^ = H, (y) C trifft sowohl Fi als E — F^^H^ nach VII also auch die Begrenzung von F^\ nach (j3), auf Fi statt G angewandt, hat jede Komponente von CFi Haufungspunkte in dieser Begrenzung, die gleich Fio, — F^ ^F - Fi^II ist. Anwendungen. Ist C ein kompaktes Kontinuum und A ein Teilkoniinuum c: C, so gibt es ein Kontinuum B mit A c:B czC. Man wahle namlich einen Punkt yeC —A, eine positive Zahl Q < d(y^ A) und setze fiir F die Menge der Punkte d(x^ A) ^ ; andererseits ist y^B^ also Bc:C. Ein kompaktes Kontinuum Idpt sicli niclit in abzdhlbar viele disjunkte abgeschlossene Mengen > 0 spalten'^) (W. S i e r p i i i s k i ) . Angenommen, das kompakte Kontinuum A sei als Summe disjunkter abgeschlossener Mengen ^^r^O darstellbar. Wir zeigen, daB A ein Kontinuum B enthalt, das mit unendlich vielen ^ „ , jedoch nicht mit ^ 1 , Punkte gemein hat: B = BA^^ + BA^^ + . . . = . ^ ^ + 5 p + . . . (1 < Pi < P2 < ' ' *j Bjj:>0), Damit ist schon alles bewiesen; denn die Wiederholung des Verfahrens gibt ein Kontinuum mit C^ > 0, wo die q eine Teilfolge der p bilden und Pi < (]i < go < ' ' ' usw.; hierbei wiirde also ABC * - - = 0 sein im Widerspruch zum ersten Durchschnittssatz. — Um die auf B beziigliche Behauptung zu beweisen, verstehen wir unter 2^ = <5(^i, ^2) > 0 ^i® untere Entfernung von A^, A^ und (etwa im Raume A selbst) unter F die abgeschlossene Menge der Punkte b(x, A^)^q, sodaB A<,^F ^^A — A^, Sei dann B die irgend^) Vgl. den ahnlichen Satz S. 156.

206

§ 29. Zusammenhang.

163

einen Punkt von A^ enthaltende Komponente von JF, SO dafi ^ ^ ^ = 0, Silg ^ 0- ^ ^ ^ enthalt aber nach XVII B einen Randpunkt von F^ d. h. mit d(x^ AT) = g, und dieser gehort nicht zu A^\ B hat also mit mindestens zwei Ant ^Is Kontinuum folglich mit unendlich vielen A^ Punkte gemein, wie behauptet. 4. Folgen zusammenhangender Mengen. XVIII. Eine absteigend^ Folge A^^A^^- - kompakter Kontinua [74] hat als Durchschnitt ein Kontinuum, Bemerken wir voraus: zwei disjunkte abgeschlossene Mengen jPj, F^ lassen sich stets in zwei disjunkte offene Mengen G^, Gg einschlieBen; man braucht nur jeden Punkt Xy^eF^ mit einer Umgebung vom Radius \d{Xi^F^ und ebenso jeden Punkt x^eF.^, mit einer Umgebung vom Radius | d(x2,, Fj) zu versehen. — Ware nun A =^ A^A^^ - * (eine kompakte abgeschlossene Menge > 0) in zwei abgeschlossene Mengen zerstiickelbar, so schlieBen wir diese in disjunkte offene Mengen G^, Gg ein, so daB A=:AGi^ + AG2; mit F ==E—(G^ + Gg) ist AF^ 0. Nach dem ersten Durchschnittssatz miifite dann aber bereits, fiir ein geeignetes n^ A^F == 0, also A^ = A^Gj, + il^Gg zerstiickelbar sein. XIX (Satz von L. Z o r e t t i ) . Ist der Raum in sich kompakt^ so ist der obere abgeschlossene Limes einer Folge zusammenhangender Mengen wieder zusammenhdngend^ falls der uniere abgeschlossene Limes nicht Null ist. Die Mengen A^ seien zusammenhangend, JP = ^ ^4^^ > 0, es soil F = FlAn als zusammenhangend erwiesen werden. Es sei xeF^ ysF; danach (S. 149) gibt es eine Folge a^-^x mit a^^eA^, eine Teilfolge b^^-^y mit bjjsA^y und endlich ist (§ 28, IV) ^ ( F , u4„)->-0, woraus zusammen folgt: zu beliebigem ^ > 0 gibt es eine Menge A^^ A und in ihr zwei Punkte a, b derart, daB ax ^i> • * "n ^n) niit CQ == a, c„ = A verbinden und zu jedem c^ laBt sich ein ZisF mit c^Zi < Q angeben, wobei insbesondere ZQ = x und z^ — y gewahlt werden kann. Dann ist (ZQ, Z i , . . . , z j eine(3g)-Kette, die x und y in F verbindek Da dies fiir jedes Q moghch ist, haben x,y in F die Distanz 0; da dies fiir jedes yeF gilt, so haben je zwei Punkte von F die Distanz 0; da J^ abgeschlossen, also in sich kompakt ist, ist F zusammenhangend. Das Beispiel der Folge A, B, A, B,, . , mit Fr= A^ + B^, F = A^B^ zeigt, daB die Voraussetzung F^O nicht entbehrlich ist und daB F nicht zusammenhangend zu sein braucht. Auch die Kompaktheit des Raumes ist wesentiich: ist in der Euklidischen Ebene A^ = [a, c,^, b] der die Punkte 11*

207

164

Siebentes Kapitel. Punktmengen und Ordnungszahlen.

a = (— 1, 0), c„ = (0,7z), b^ = (1, 0) verbindende Streckenzug, so besteht F = F aus den beiden Halbgeraden a; = ± 1, y > 0 und ist nicht zusammenhangend. Ist der Raum in sich kompakt und hat die Folge der zusammenhangenden Mengen A^ den abgeschlossenen Limes A oder, was nach § 28, III V dasselbe ist, den metrischen Limes A, so ist A ein Kontinuum* Hiervon ist XVIII ein SonderfalL Ist der Raum in sich kompakt, so hat nach § 28, VI jede Folge zusammenhangender Mengen eine metrisch konvergente Teilfolge, deren Limes also wieder ein Kontinuum ist. (Man erinnere sich, daB der metrische Limes abgeschlossen sein sollte.) Die Kontinua eines in sich kompakten Raumes bilden also wieder einen in sich kompakten Raum. Siebentes Kapitel.

Punktmengen und Ordnungszahlen. § 30. Hiillen und Kerne. Die Theorie der Wohlordnung, urspriinglich von Cantor gerade fiir Zwecke der Punktmengenlehre ausgebildet, ist spater von dieser Mission etwas zuriickgedrangt worden (nicht immer aus billigenswerten Motiven), und wir haben selbst im vorigen Kapitel gesehen, was sich ohne sie erreichen laBt. Indessen gibt es doch Falle, wo die Ordnungszahlen zurzeit unentbehrlich, und andere, wo sie zur feineren Ausgestaltung eines ohne sie erzielbaren Ergebnisses mindestens sehr willkommen sind. In der einen oder andern RoUe treten sie besonders in Erscheinung, wenn es sich um Bildung von Mengen oder Mengensystemen handelt, die irgendwie die kleinsten oder gro/iten ihrer Art sind. 1. Schema fiir Hiillen und Kerne. In einem Raume E (der zunachst eine reine Menge sein kann) sei jeder Menge A eindeutig eine Menge A^ zugeordnet (beide also g £ ; 9? ist ein Funktionszeichen). Diese Mengenfunktion sei monoton, d. h. (1) mit AccB ist A^^B^. Ist dann S = A + B + - ", D= AB.,. Summe und Durchschnitt beliebig vieler Mengen, so ist S^^A^ + B^ + ''', D^^A^B^ Es gibt Mengen A, fiir die A ^A^^, z. B. die NuUmenge A = 0; es gibt auch Mengen A, fiir die A^Atp, z. B. der ganze Raum A ^ E. Man erkennt nun sofort: I. Die Summe beliebig vieler Mengen mil A^A^ ist wieder eine solche; der Durchschnitt beliebig vieler Mengen mit A'^Atp ist wieder eine solche.

208

§ 30. Hullen und Kerne.

165

Danach laBt sich fiir eine beliebige Menge M definieren: die Summe M_ aller Mengen A^M mit -4 g ^ 1 ^ (zu denen gewiB ^ = 0 gehdrt) oder die groBte Menge A^M mit; A^A^: der q>-Kern [75] von M\ __ der Durchschnitt M aller Mengen A^M mit A^A^, (zu denen gewiB A = E gehort) oder die kleinste Menge A^M mit A^A^pi die (p'Hulle von M, Das typische Beispiel liefert^^ = A^, die Menge der Haufungspunkte von A in einem (metrischen) Raum. Hier bedeutet A ^A^ : A insichdicht, A^A^ : A abgeschlossen, und wir gelangen zum insichdichten Kern M=Mjc sowie zur abgescMossenen Htdle M == M^, _ Es kann sein, daB stets A ^ A^ ist; dann ist M = M und M die kleinste Menge A^M mit AL = A^, Beispiel A^^ = A^, Menge der a-Punkte von A^ wobei M wieder die abgeschlossene Hiille von M wird Es kann sein, daB stets A^A^p ist; dann ist M = M und M die groBte Menge A^M mit A = A^, Beispiel A^ = A^^ Menge der inneren Punkte von A^ wobei M^ der offene Kern M^ wird. Man kann diese Spezialfalle herbeiflihren, indem man die mit A^^ zugleich monotonen Funktionen (2) A^ = yi -f- A^p^ A^ = AAjp betrachtet i). Hier ist stets A ^ A^^ und A = A^ mit A ^Atp gleichbedeutend; ferner stets A g A^^ und A — A^ mit A ^A^ gleichbedeutend. Fiir Bildung des Kerns kann also A^^ durch A^, fiir Bildung der Hiille A^ durch Ag ersetzt werden, und wir haben: Der (p-Kem Mist die groBte Menge A^M mit A — A^-^ die 9?-Hiille M ist die kleinste Menge A^M mit A = Ag. Beispiel. Fur A^ = A^ ist Ag = ^a, A^ = Af^ (Koharenz von A); mit A = Aj^] die der insichdichte Kern M]^ ist die groBte Menge A^M abgeschlossene Hiille i¥« die kleinste Menge A^M mit A = A^, 2. Eingreifen der Ordnungszahlen. Betrachten wir zuerst M, die groBte Menge A^M mit A = A^* Diese Menge A erfiillt dann, wegen der Monotonie der Funktion A^^ auch die Ungleichung ^4 = Ag^- M^, sie ist nicht nur in Jf, sondern in der (im allgemeinen) kleineren Menge Ma enthalten. Sie ist dann folglich auch in M^^, M^^^,. . . enthalten, womit natiirlich wiederholte Bildung der Mengenfunktion ^4^ gemeint ist: M^a == [M^)^ usw. Sie ist dann auch in dem Durchschnitt MM^M^^,.. der bisher gebildeten Mengen und dariiber hinaus in alien Mengen ent1) .4^ bedeutet hier nicht den separierten Teil von A,

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166

Siebentes Kapitel. Panktmengen und Ordnungszahlen.

halten, die durch weitere Anwendung des Prozesses d entstehen. D. h. [76] wenn wir induktiv jeder Ordnungszahl | eine Menge M^ zuordnen durch die Vorschrift: (Mo = M (3) i M^^, = (M^), J/^ z=z % M^ (rj Limeszah]), so ist unser A ^ M in alien M^ enthalten. Fiir jede Ordnungszahl rj > 0 gilt die Zerlegung ^) (4) M=^:S(M^-M^^,) + M^. Denn wenn xsM nicht zu Jl/^ gehort, so sei M^{0 < C^rj) die Menge mit niedrigstem Index, der x nicht angehort; dieses f kann wegen der dritten Vorschrift (3) keine Limeszahl sein, wir konnen demnach setzen f = | + 1 (0 < | < »;), und xeM^— M^^^, Die disjunkten Summanden M^ — M^^^ konnen aber nicht unaufhoriich :::> 0 sein, da ihre Summe die Machtigkeit von M nicht iiberschreiten darf. Es sei rj die kleinste Ordnungszahl, fiir die M^ = M^^i = M^^. Da diese Menge M^j also auch der Bedingung A — A^ geniigt, so ist sie in der groBten Menge M dieser Art enthalten, andererseits war aber M in jedem M^ enthalten, also ist M = M^. Also: man erhalt den (p-Kevn von M in der Weise, da6 man in dem nach (3) gebildeten System absteigender Mengen (5) Mo, J / j , J / g , . . ., M,,, i / ^ + i , . . ., das mit ilf, M^, ilf^^,. . . beginnt, die erste Menge M^ sucht, die mit M.^^.i iibereinstimmt. Sie stimmt dann auch mit alien folgenden iiberein und ist die kleinste Menge des Systems. Es ist bemerkenswert, dafi der qhKern M, urspriinglich als groBte Menge A^MA^ oder als Summe aller dieser Mengen definiert, jetzt als kleinste Menge des Systems (5) oder Durchschnitt aller Mengen dieses Systems erscheint, also nicht von unten, sondern von oben her erreicht wird. Der „Kern" kommt hier wirklich durch Ablosung der ,,Schale" zum Vorschein. Im Beispiel A^^ = A^, A^ = A^ sind die Mengen (5) die Kohdrenzen M, Mj^, Mhj^,, . . von M, wobei der ProzeB ^^^ == ^ — ^ , i n derAbspaltung der isolierten Punkte besteht; hier sind also die Summanden Mt — il/4-4.1 der Formel (4) isolierte Mengen und man erhalt den insichdichien Kern oder die kleinste Kohdrenz, indem man den ProzeB der Abspaltung isolierter Punkte bis zum Stillstand fortsetzt. — Ist insbe&ondere M abgeschlossen, so ist (5) die Reihe der Ableitungen J/, i¥^, M^p,. . . und der insichdichte, in diesem Fall perfekte Kern ist die kleinste Ableitung. ^) Auch fiir rj =•. 0, wenn statt 2: dann die NuUmenge gesetzt wird.

210

§ 30. Hiillen und Kerne.

167

Bevor wir ein weiteres Beispiel fiir Kernbildung bringen, ist noch die y-Hiille iff, die kleinste Menge A^M mit -4 = ^ „ analog zu behandeln. Wegen der Monotonie von A^ hat man dann A = A^^M^^ A enthalt mit M auch die (im allgemeinen) groBere Menge ilf^, also weiter Mgg, M^gg usf. Definieren wir die Mengen M^ durch die induktive Vorschrift (6)

] ilf H I = (M^), ilf? = <S M^

(ri Limeszahl),

wobei die Zerlegung (7) If? = ilfo _|_ ^ (M^+i _

M')

gilt und die Summanden if^+^ — M^ einmal Null werden miissen, da ihre Summe die Machtigkeit des Raumes nicht iiberschreiten darf, so finden wir die 9^-Hulle von M als groBte Menge des aufsteigenden Systems (8) M^, M\ M2,. . . , M"", l f ^ + \ . . . , d. h. als erste, die mit ihrer Nachfolgerin (und alien folgenden MengeB) iibereinstimmt. In dem Beispiel A^ = A^, A^ = A^ beginnt das System (8) mit M, M^, ^fctai • • • uiid schon die zweiteMenge ist die grofitCj J/^ = J/^^ = . . . die abgeschlossene Hiille von M, Sind die Elemente des Raumes etwa reelle Funktionen x =^ %(t} einer Variablen t^ die ihrerseits die Menge der reellen Zahlen oder irgendeine Menge T durchlauft, versteht man sodann unter A^ die Menge der Funktionen y = y(t), die als Grenzfunktionen y{t) = \imx^^(t) von iiberall (in T) konvergenten Folgen von Funktionen XnsA darstellbar sind, so ist A^ == ^ , ; eine Funktionenmenge oder ein Funktionensystem A = Ag, das also durch Limesbildung nicht erweitert wird, heiBt ein Bairesrkes Funktionensystem^), Das kleinste Bairesche System M liber einem gegefeonen System M wird als groBtes Glied der Reihe (8) gefunden. Hier hat dieses groBte Glied M^ gewiB einen Index r/ <^ i2, wo i3 = 0)^ die Anfangszahl von Z{^-^) ist; denn sind x^^, x^,. , , Funktionen aus M^^- = ® M^ und etwa x^eM^^, so sei ^ ( < fi) die erste, alle | « iibertreffende Ordnuiigszahl, und dann gehoren alle x^ zu M^^ also lima:^ zu M^'^^^M^-, M^^ ist ein Bairesches System. Auch das kleinste Borelsche System (§ 18) iibcr einem gegeben<^n Mengensystem fallt unter dies Schema der ^-Hullen; man hat nur die jetzigen Mengen A durch MengensystemeSl zu ersetzen und etwa 31^ = ^^,^ (kleinstes (5-System liber dem kleinsten o*-System iiber SI) zu wahlen, also je zwei Stufen des damaligen Aufbaus zu einer zusammenEufassen. ^) Genaueres dartiber § 43.

211

168 [77]

Siebentes Kapitel. Punktmengen und Ordnungszahlen.

3 . Residuen. Ein sehr bemerkenswertes Beispiel fiir Kernbildung erhalt m a n auf folgende Weise. Es sei (9) A^ = A,-A die Menge der nicht zu A gehorigen Haufungspunkte von A (der Rand des Komplements E ~ A) und (10) A^ = A^^ die durch zweimalige Anwendung dieses Prozqsses entstehende Menge. Es folgt (11) A^^A^^^,A^, und die Vergleichung der Formeln A, =A^ + A ergibt, daB A^Ay,^ d a 6 Ay, = AA^o, in A abgeschlossen ist und daB (12) A'--Ay, = A,A^, Differenz abgeschlossener Mengen ist. Die Funktion Ay, ist nicht monoton; z. B . ist fiir den ganzen Raum E^ = 0, Ey,^ 0, wahrend etwa fiir eine Menge A, die samt ihrem Komplement in E dicht ist (wie die Menge der rationalen Punkte im Euklidischen Raum), A^ = E — A und Ay, = A wird. Wenn wir aber nicht das System aller Punktmengen, sondern nur das System $ der in einer festen Menge P abgeschlossenen Mengen betrachten, so ist mit Ae^ auch AyjS^ und Ay, in 5P eine monotone Funktion. Denn sei E — P -\- Q; es ist eine (fiir alle A^E

A^ = P(QAX definierte) monotone Funktion von A; schreiben wir

B^QA^,

A^^PB,,

Da j5 in <2 abgeschlogsen ist, ist jedenfalls Afp — Bo, — QB^ = B^^ — B = B^^ und wenn 4 in P abgeschlossen ist, ist ebenso B = A^ A(p = Ay,; dabei ist Ay, in A, also wieder in P abgeschlossen, und Aa = A(p — Ay,. Bilden wir also fiir eine in P abgeschlossene Menge M die Reihe (5), so folgt induktiv, daB auch alle M^ in P abgeschlossen sind und M^^-^ = M^y, ist; wir nennen diese Mengen il/^, deren Reihe mit M, My,, My,y„ . . . beginnt, [78] Residuen von M, Das kleinste Residuum ist der ^-Kern M von M, d. h. (da m a n P =^ M wahlen kann), die grojite in M abgeschlossene Menge A, fiir die A = Ay,, Eine Menge, deren kleinstes Residuum versch\sandet, heiBe reduzibeL Nach § 17, 3 ergibt sich: I I . Die reduziblen Mengen sind die aus abgeschlossenen Mengen gebildeten (endlichen oder unendlichen) Differenzenketten. Zunachst folgt namlich aus (12)

212

§ 30. Hullen und Kerne.

169

Wegen (11), angewendet auf A = M^^ ist F^^F^^^F^^i, ^^^ ^^s $ <TI folgt I + 1 < ??, M^^i ^ M^, FIJ^I § F^. Es ist also (14) i^o'^FrsFigi^i?.-..^,^,^^:^.-. und fiir eine reduzible Menge M liefert (4), worin M,j und i^^ schlieBlich verschwindet, (15) M = 4^(M^ - Mf+i) = f (f',^ - PI), M ist eine Differenzenkette aus abgeschlossenen Mengeu. Dem umgekehrten SchluB schicken wir voraus: ist A in AI = F ~ N abgeschlossen (F abgeschlossen), so ist A^ in N abgeschlossen; denn wegen Aa^F ist A^ — A = (F — M) A^ = NA^. Eine zweimalige Anwendung gibt: ist A in M = (F ~ F') + P abgeschlossen (F und F' abgeschlossen, F^F'^P), so ist A^ in F' — P und A^^= A^ in P abgeschlossen. Sei demnach aus den abgeschlossenen, schlieBlich verschwindenden Mengen (14) eine Differenzenkette

M = -?(i^| - Fl) gebildet und setzen wir es ist

n _

y z,^

rp,^

Po = M, P4- = ( F | ^ i^l) + i>,^+i, P^ =z^% Pt (tj Limeszahl).

Mit einer in M abgeschlossenen Menge A bilden wir die Residuen A^(AQ=A, Ai = A^j A^ = Ayjy,^ . . .). Dann ist AQ in PQ abgeschlossen; ist A^ in P^ abgeschlossen, so folgt nach der vorausgeschickten Betrachtung, daU A^^j in P^^i abgeschlossen ist; ist tj Limeszahl und, fiir | < f^, A^ in P^ abgeschlossen, so ist ^ ^ in P abgeschlossen. Damit ist bewiesen, dafi jedes A^ in P^ abgeschlossen ist und mit P^ schlieBlich Null wird, A ist reduzibeL Jede in der Differenzenkette M abgeschlossene Menge, insbesondei^ M selbst, ist reduzibeL III. Die reduziblen Mengen bilden einen Korper. Dies folgt aus der SchluBbemerkung von § 17, da der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen ist. Zu den reduziblen Mengen gehoren unter vielen andem die separierten, Denn aus (9)(10) folgt A^^A^^ A^^^A^^^A^^ und jedenfalls A^ ^ Ap^ wonach das kleinste Residuum jeder Menge insichdicht ist {A = A^ g A^) und fiir eine separierte Menge verschwindet. Man erhalt auch aus (4), wenn die M^ Koharenzen bedeuten, eine separierte Menge (deren kleinste Koharenz 0 ist) unmittelbar als Differenzenkette aus abgeschlossenen Mengen, weil A^^^A^'^ Aj^^ und A — Ah = A^ — A^ ist, also M^ - M^^, ^F^~ Fi F^ = il/^„ Fl = M^p.

213

170

Siebentes Kapitel, Punktmengen und Ordnungszahlen.

4. Fall eines separablen Baumes. Hier tritt die Vereinfachung ein, daB die kleinste Koharenz oder das kleinste Residuum immer nach hochstens abzahlbar vielen Schritten erreicht wird. Es gilt namlich: [79] IV. 1st der Raum separabel, so ist ein auf- oder absteigend wohlgeordnetes System offener [oder abgeschlossener) Mengen hochsiens abzahlbar, Sei

{Go, G i , . . . , G | , . . . }

( | < fi)

ein aufsteigendes System oftener Mengen, G^ c: G^ fur | < T; ; wir konnen seinen Typus /LC als Limeszahl annehmen. Unter den in G^^i enthaltenen speziellen Umgebungen V (S. 126) gibt es gewiB eine, F^, die in G^ nicht enthalten ist. Dann ist V^ ::^Vf^iuT§
214

§ 30» Hiillen und Kerne.

171

Sei M gleichzeitig F^ und G^, A ihr kleinstes Residuum, also ^ = ^4^^ odermit5 = ^,

^ „ = ^ + £ = 5 « = i^.

A ist in M abgeschlossen, also gleichzeitigi^^ und G$; also ist auch E — A und B = F(E — A) gleichzeitig F^ und G^. ^ und B sind beide in F dicht und, als JF^ mit dichtem Kompletnent, in F von erster Kategorie; danach ist auch F in sich von erster Kategorie, folglich F = 0 (F::>0 ware ein Fn), M ist reduzibel. In einem separablen J^n-Raum, z. B. im separablen vollstandigen Raum sind die reduziblen Mengen identisch mit denen, die gleichzeitig F^ und G^ sind, Es ist merkwiirdig, daB man die Frage, ob eine Menge [80] zugleich F^ und G^ ist, hier durch ein wohlbestimmtes (wenn auch unendliches) Verfahren, namlich Residuenbildung, entscheiden kann, wahrend z. B. fiir die Mengen F^ nichts Ahnliches bekannt ist. Der Satz IV gestattet folgende Verallgemeinerung: VII. Ist der Raum separabel^ so ist ein auf- oder absteigend wM- [8i] geordnetes System reduzibler Mengen Mchstens abzdhlbar, Es geniigt, ein aufsteigendes System zu betrachten (Komplementbildung). Jeder Ordnungszahl j5 < i3 sei eine Feduzible Menge M^ zugeordnet und fur j8 < y sei M^ ^ M^; es ist zu zeigen, daB die M^ schlieBlich gleich werden (M^ = If^+i = «• • fiir geeignetes /5). Es sei M^s^ das |-te Residuum von M^ = M^Q (^ < i3, wie aueh alle noch auftretenden Ordnungszahlen < £2 sind). Nach (13) (15) ist M^ = fiM^^ - Jf^i^i) ^ f{F^^ - i^^^), Nun behaupten wir: es gibt eine feste, von ^ imabhangige Folge abgeschlossener Mengen (16) i^o^^^o^--Si^|§i^|^-derart, daB schlieBlich F^^ = F^ und F'^^ = F'^ wird (fiir ^ ^ /5|, wo man iiberdies die ^^ mit | wachsend annehmen kann). Wenn dies bereits fiir alle i
fur ^ ^ y,

M^ -d.^^i

- ^^) + ^ ^ « '

die M^^ wachsen dann mit ^, und ihre abgescUossenen Hiillen i^^,^, von denen das Gleiche gilt, werden nach IV schlieBlich identisch: F^^^^F^ fiir fi ^ d^. Dann ist aber diese Mengen und ihre abgeschlossenen HiiUen F^^^ mehmen mit wachsendem j8 ah und es ist, wieder nach IV, F'^^ = F'^ fur p^fi^i^S^^y^). Damit ist die Behauptung fiir tj bewiesen (auch der Anfang des induktiven Verfahrens, rj ~ 0^ ist derselbe). Nun werden die Mengen fl6) selbst

215

172

Siebentes KtapiteJ, Punktmengen und Ordnungszahien,

wieder schlieBlich identisch; es sei F^ = Flj = ^ ^ /S^ ist dann

JF;^^.I

=•••==

JP.

Fiir

M^^ das kleinste Residuum von M^, also M^^ = 0 und von j8 unabhangig, womit VII bewiesen ist. Es ist von Interesse, festzustellen, da6 man Mengen mit beliebig gro^em Index ( < i2) der kleinsten Koharenz oder des kleinsten Residuums bilden kann. Betrachten wir z. B. beschrankte abgeschlossene, der Grofie nach wohlgeordnete Mengen reeller Zahlen^) wo also der Index von m^ die Werte ^ = 1, 2 , , . . , /^ (I
^(^^a
A^{M,-~

M,) + (M, - M,) + . . . + (M, ^ M,^,) + . . .

und setzen ^) Wohlgeordnete Mengen reeller Zahlen m sind nach Satz IV hochstens abz^hlbar, da die zugehorigen Halbgeraden (— oo, m] ein wohlgeordnetes System abgeschlossener Mengen bilden.

216

§ 31. Sonstige Anwendungen der Ordnungszahlen.

173

Es ist A = (MQ — Ml) + A-^. T>Si MQ — Mi = M^ der isolierte Teil von M und im separierten Teil (§23, (15)), in diesem Fall in M selbst dicht ist, so ist A in M dicht, A^^ = M^ und A^^ M^ — A = M^^ — A-^. Hier ist ill g 1^2? ^ ^ B ^ i — - ^ 2 i^ -^^1 dicht, und die Wiederholung des Schlusses liefert A^=^ A-^, Das erste Residuum von A ist also A^^ und die induktive Fortsetzung zeigt, da6 A^ das f-te Residuum von A ist; es verschwindet schlieBlich, aber erst dann, wenn M^^ die kleinste Ableitung ( = 0) von M ist, und mit dieser erhalt also das kleinste Residuum von A einen beliebig groBen Index.

§ 31. Sonstige Anwendungen der Ordnungszahlen. 1. Maximal- und Minimalmengen. In den bisherigen Fallen koimten die Ordnungszahlen zur Not entbehrt werden, da die Existenz der HuIIen und Kerne von vornherein feststand; immerhin dienten sie zur Erforschung feinerer Merkmale, z. B. des Index der kleinsten Koharenz. In andem Fallen aber laBt sich sogar der Existenzbeweis fiir gewisse Objekte nicht ohne sie fiihren. Wenn in einem Mengensystem SI keine groBte Menge (die Summe aller Mengen des Systems) existiert, so kann es nichtsdestoweniger (verschiedene) Maximalmengen A in dem Sinne geben, daB im System keine Menge ::> A vorhanden ist. Zu einer solchen Maximalmenge wird man im allgemeinen nur folgendermaBen gelangen. Man wahlt im System eine beliebige Menge AQ^ sodann, wenn Mengen ::='A^ existieren, unter diesen eine Menge A^^ wenn noch Mengen ::^ ^ i existieren, unter diesen eine Menge A^ usw. Gelangt man fiir endliches v zu einer Menge A^ der art, daB keine Menge z:> Ay existiert, so hat man eine Maximalmenge. Andernfalls findet man zunachst eine Mengenfolge AQ^ A-j^^ A,^^ - - - vom Typus ft). Es kann nun sein, daB keine Menge A im System existiert, die alle A^. umfaBt; dann ist das Unternehmen gescheitert ^). Wir machen daher die Annahme, daB eine aufsteigende Mengenfolge ohne letztes Element stets fortsetzbar sei, also: (<x) Ist rj eine Limeszahl und J.0 < ^ 1 <: * - < ^^ < il^^i c:. . . (I < 7?) eine Folge wachsender Mengen des Systems 21 vom Typus 97, so gibt es in 91 eine Menge ^,^, die alle A^ enthalt (A^ 0) als eine alle A^ ( | < ri) ubertreffende Menge ( J ^ c : ^ ^ ) , falls namlich alle A^ bereits definiert sind und eine solche Menge A^ vorhanden ist, wahrend ^) In einem abzahlbaren Raum gibt es unter den endlichen TeilmeEgeo keine Maximalmenge, unter den abzahlbaren keine Mmimalmenge.

217

174

Siebentes Kapitel. Punktmengen und Ordnungszahlen.

andernfalls A^ nicht dejSniert wird, so kann dieMenge der definierten A^ die Machtigkeit des Systems 91 nicht iiberschreiten, und es gibt eine kleinste Ordnungszahl C > 0, fiir die A^ nicht definiert ist. Nach (oc) ist C keine Limeszahl, also C = ?; + 1; ^ ^ ist noch definiert und die Mengen AQ, . . ., ^,y wachsen mit ihren Indizes. Es gibt im System keine Menge ::=>Afj^ da diese sonst als A^j^i gewahlt werden konnte; A^j ist eine Maximalmenge. Der hier geschilderte ProzeB unterscheidet sich von denen in § 30 hauptsachlich durch die mangelnde Zwanglaufigkeit: man hat im allgemeinen fiir jedes A^ die Wahl unter mehreren moghchen Mengen und gelangt so auch zu verschiedenen Maximalmengen. Man kann diese Willkiir nicht beseitigen, nur zuriickverlegen, indem man das System 31 von vornherein zu 91* wohlordnet und dann fiir jedes A^ unter den verfiigbaren Mengen die in 91* erste wahit; eine bestimmte Wohlordnung liefert eine bestimmte Maximalmenge, verschiedene Wohlordnungen konnen verschiedene Maximalmengen liefern. Wenn man das Zermelosche Wohlordnungsverfahren so anwendet, dafi man als Ansatzelement (§ 12) von { ^ , 5 , . . , } , wenn moglich, eine Menge wahlt, die ^ , J 5 , . . . als echte Teilmengen enthalt, so beginnt 91* mit wachsenden Mengen AQ<:ZAI 0 haben. Man wahlt im Raume einen beliebigen Punkt XQ-, sind fiir T; > 0 die Punkte x^ (mit i
die sich als lineare Verbindungen endlich vieler Zahlen x s A mit rationakn Koeffizienten r darstellen lassen (in der Summe sind also nur endlich viele /• 4= 0 zugelassen). Wenn mindestens eine Gleichung ^) Oder allgemeiner fiir einen linearen Raum E.

218

§ 31. Sonstige Anwendungen der Ordnungszahlen,

175

A

(2)

0 = 2'rrr X

mit nicht samtlich verschwindenden r besteht, heiBt A rational abhdngig, andernfalls rational unabhdngig oder eine Basis iiir [A ]; wenn A rational unabhangig ist, laUt sich jede Zahl y von [A] nur auf eine einzige Weise in der G^stalt (1) darstellen. Eine Basis A fiir £, die als Maximalmenge im System aller Basen (iibrigens auch als Minimalmenge im System der Mengen A mit [A]== E) aufzufassen ist, erhalt man so: man wahle eine reelle Zahl XQ 4= 0, dann eine x^^ die nicht rationales Vielfaches TQ XQ von XQ ist, dann eine ojg, die nicht rationale Verbindung r^ XQ -f r^ x^ von a;^, Xj ist; allgemein: ist TJ > 0, sind fiir ^
^rf{x) X

erklart, so ist stets j{y + 2) = j{y) + /(z). Diese Funktionalgleiehung [82] hat also (da die Basis A offenbar von der Machtigkeit des Kontinuums ist) i<^ Losungen; setzt manvoraus, daB /(?/) (an einer einzigen Stelle und infolgedessen iiberall) stetig ist, so hat sie bekanntlich nur die Losungen j[y) — cy mit konstantem c. Fiir Minimalmengen (Mengen -4, zu denen im System % keine Menge < A vorkommt) ist der Existenzbeweis natiirlich analog zu fiihren, unter einer zu (CK) entsprechenden Annahme (/S) iiber Fortsetzbarkeit absteigender Mengenfolgen mit Limestypus. Als Beispiel betrachten wir im Raum E alle Kontinua A (zusammenhangende abgeschlossene Mengen), die zwei feste, verschiedene Punkte x^y enthalten. Eine Minimalmenge A^ die also kein kleineres, die Punkte a;, y verbindendes Kontinuum als Teilmenge hat, heiBt nach L. Z o r e t t i ein zwischen x undy irreduzihles Koniinuum^). Eine Kreisperipherie, auf der x^ y liegen, ist reduzibel, wahrend jeder der beiden Kreisbogen, die x und y zu Endpunkten haben, irreduzibel ist. Die Existenz solcher Minimalmengen ist natiirlich nicht in alien Fallen sicher. Jedoch gilt (Z. J a n i s z e w s k i ) : Ein kompaktes Kontinuum £ , das die Punkte x^ y enthdlt^ hat (minidestens) ein zwischen x^ y irreduzihles Teilkontinuum, 1) Dieser Begrifl hat mit dem in § 30, 3 erklarten Begril! reduzibel nielits zu schaffen. Vgl. § 39.

219

176

Siebentes Kapitel. Punktmengen und Ordnungszahlen.

Wir definieren fiir ^ < ii (ii Anfangszahl von Z(KI), wie immer) die Mengen A^ folgendermaBen: A, = E; ^l-fi 6in x,y enthaltendes Kontinuum < 4 ^ , wenn es ein solches gibt, andernfalls ^ l + i = vl^; Atj= ^A^ (§ p), das in G^^ aber nicht in 6?! enthalten ist, einen moglichst kleinen Index hat, und fahre so fort. Entweder ist ein G^ mit endlichem Index oder spatestens Ga> = ^1 + Gg + • * • ein maximales G, also A^ — E — G^ oder A^== E — G^^ irreduzibel Wir geben noch ein weiteres Beispiel fiir Anwendung der Ordnungszahlen, wo es sich nicht mehr um Maximal- oder Minimalmengen handelt. 2. Total imperfekte Mengen, E sei ein perfekter, separabler, voUstandiger Raum (z. B. ein Euklidischer). Das System der perfekten Mengen P > 0 hat die Machtigkeit >* (§ 25, V) und jede Menge P auch E selbst, hat die Machtigkeit ^^ (§26, XI). Eine Menge, die kein P als Teilmenge enthiilt, heiBe nach F. B e r n s t e i n total imperfekt^ so z. B. jede hochstens abzahlbare Menge oder jede Menge von der Machtigkeit < N. Es gibt aber auch total imperfekte Mengen von der Machtigkeit N% und dies scheint wiederum nicht ohne Ordnungszahlen beweisbar zu sein. Es sei i< = i<^, wo fjb eine unbekannte Ordnungszahl ^ 1 ist, co^ die Anfangszahl der Zahlenklasse Z(N*^). Wir konnen die samthchen perfekten Mengen P::^0 in eine Folge vom Typus o)^ bringen P,. Pi. . .., Pco,. • ., A% • • • (I < co^). Wir wahlen zwei verschiedene Punkte XQ^ y^ e PQ, Sind, im 0
220

§ 32. Die Borelschen und Suslinschen Mengen.

177

A„ + B^ niclit angehoren; zwei verschiedene solche mogen als x^^y^j definiert werden. Aus dieser Erklarung folgt, daB iwc ^
oder

P^^A,

Wir haben also E in zwei total imperfekte Mengen -4, B gespalten. Das ist auch fiir die Theorie des Zusammenhangs interessant; denn A und B sind diskontinuierlich (S. 152) und doch, falls E ein Euklidischer Raum von mindestens zwei Dimensionen ist, zusammenhdngend. Es gilt namlich: In einem Euklidischen Raum von mindestens zwei Dimensionen isi das Komplement einer total imperfekten Menge zusammenhdngend (W. S i e r pinski). Nehmen wir etwa E als Euklidische Ebene an; es ist die Unmoglichkeit einer Zerlegung E = A + B zu zeigen, in der A total imperfekt und B unzusammenhangend ist. Sei B = P -\- Q eine Zerstuckelung in zwei relativ abgeschlossene Mengen P == BP^^^ Q^BQ^', wegen PQ = BP^Qc,=0 ist die abgeschlossene Menge F = P^^Q^ in A enthalten. Verbinden wir zwei Punkte p eP^ qeQ durch einen Streckenzug, etwa C = [/>, m, g,], wo m auf der Mittelsenkrechten von /?, q Uegt. Jede (abgeschlossene) Teilstrecke von C ist perfekt, also nicht in A enthalten, enthalt demnach Punkte von i?; C B ist in. C dicht, C^B^.^ C = CBc^^CPcc + CQc^ wo nun, damit dies keine Zerstuckelung des Kontinuums C sei, beide Summanden (die ::> 0 sind) gemeinsame Punkte haben miissen: CPaQa= CF^O. Die abgeschlossene Menge F wird also von C getroffen, und zwar in Punkten ^ p, ^, da diese zu B gehoren und F^A ist. LaBt man m die Mittellinie durchwandern und damit C variieren, so ergibt sich, daB JF von der Machtigkeit des Kontinuums und sein perfekter Kern in A enthalten ist, im Widerspruch zur Annahme eines total imperfekten A,

§ 32. Die Borelschen und Suslinschen Mengen. Die von den abgeschlossenen Mengen JF erzeugten Borelschen und [83] Suslinschen Mengen (§ 18, 19) heiBen die Borelschen und Suslinschen [84] Mengen des Raumes E. ^) Da der Durchschnitt Fs einer Folge abgeschlossener Mengen (sogar beliebig vieler) auch noch abgeschlossen ist, so wird man bei Erzeugung 1) Die tibliche Bezeichnung ist: j9-Mengen und .4-Mengen (ensembles mesurables J5, ensembles A). Hausdorff, Mengenlehre.

12

221

178

Siebentes Kapitel. Punktraengen und Ordnungszahlen.

der Borelschen Mengen mit den F^ beginnen, also wie in § 18, (3) oder gemafi der dortigen Vorschrift (a); m a n h a t also folgende Definition fiir die Ordnungszahlen | < i 2 : [85]

f Die Mengen F^ sind die Mengen F, (a) I Die Mengen F^ sind fiir ungerades r} die Summen, fiir gerades I ^ > 0 die Durchschnitte aus Folgen von Mengen F^ (^ < rj).

Die Mengen F^,F\F\F\,.. sind die F, F^, F^s, F^$^,.,,, dann kommen die F*^ als Durchschnitte aus Folgen friiherer Mengen usw. Betrachten wir auch noch die von den offenen Mengen G erzeugten Borelschen Mengen, wobei man mit den G§ beginnen wird, also wie in § 18, (4) oder gemaB der Vorschrift (]8); man hat dann folgende Definition: Die Mengen G^ sind die Mengen G, Die Mengen C sind fiir ungerades rj die Durchschnitte, fiir gerades ?7 > 0 die Summen aus Folgen von Mengen G^ ( | < rj). Die G^, G\ G^, G^,.,, sind die G, Gs, G^^.G^aH, - --, dann kommen die G^ als Summen aus Fdlgen friiherer Mengen usw. Offenbar sind die F^ und G^ Komplemente voneinander. tJberdies aber sind beide Borelschen Systeme identisch, also auch die G^ bilden in ihrer Gesamtheit die Borelschen Mengen des Raumes, n^mUch: Jedes F^ ist ein G^+\ jedes G^ ein F^^'^. Dies gilt fiir 1 = 0 (jedes F ist ein G^, jedes G ein F^^ § 23, III) und iibertragt sich induktiv auf r? > 0, wenn es fiir | < ij gilt: ist rj ungerade, so ist F^ Summe einer Folge von Mengen F^, diese sind Mengen G^+^, also jedenfalls auch Mengen C , und die Summe einer Folge von G^ ist ein C + ^ . Analog fiir gerades T]. Auch folgendes ist induktiv leicht einzusehen. Die F^ bilden einen Ring ^), auBerdem fiir ungerades | ein o'-System, fiir gerades | ein (5-System. Die G^ bilden einen Ring und fiir ungerades | ein (5-System, fiir gerades ^ ein (T-System. Ist Y} Limeszahl, so ist das System aller F^{^ < rj) mit dem aller G^ identisch und ein Korper, aber im allgemeinen weder ein a- noch ein ^-System; die Summen aus Folgen von Mengen dieses Systems sind die C , die Durchschnitte die F^K Das ganze Borelsche System ist ein Korper und gleichzeitig a- und <5-System. Die Mengen, die gleichzeitig F^ und G^ sind {zweiseitige oder ambige Borelsche Mengen), bilden ebenfalls einen Korper: so die Mengen, die zugleich offen und abgeschlossen sind (was in einem zusammenhangenden Raume nur fiir die beiden Mengen E und 0 zutrifit), sodann die Mengen, die zugleich F^ und G,^ sind (im separablen vollstandigen Raum sind das die reduziblen Mengen). Die Differenz zweier F^, oder die zweier G , oder der Durchschnitt F^ G^ eines F^ mit einem G^, ist gleichzeitig i^^+^ und G^+^

I

^) tJber die Begriite Ring, Korper, of-System, J-System vgl. § 17, 18,

222

§ 32. Die Borelschen iind Suslinschen Mengen.

179

Die Suslinschen Mengen des Raumes sind die von abgeschlossenen Mengen F^^ usw. erzeugten Mengen i^5 =

@ Fn^ Fn^n^ F^^n^n^ • • •

in der aus § 19 bekannten Bezeichnung. Wir erinnern uns, daB alle Borelschen Mengen auch Suslinsche sind und daB die Iteration des Suslinschen Prozesses nichts Neues liefert: jedes Fss ist ein Fs- Die von den offenen Mengen erzeugten Suslinschen Mengen sind in ihrer Gesamtheit mit den Fs identisch; denn jedes G ist ein F^^ also ^ein Fs, und Gs ein Fss = Fs, ebenso Fs ein Gs- Die Gs sind aber nicht die Komplemente der Fs, die ja vielmehr so aussehen wiirden: E-Fs=^

3)(Gn, + G«, n. + G^^r^^r.^ + • • • ) ,

und die Suslinschen Mengen bilden, wie wir noch sehen werden, im allgemeinen keinen Korper. Der Charakter einer Menge als Borelscher oder Suslinscher Menge ist relativ und bezieht sich auf den Raum E; man hatte also ausfiihrlicher F''(E) usw. zu schreiben. Wir haben fiir die F^ G, F^, Gs davon schon gesprochen (§ 26, 3); ist D^E und wird das Argument E wieder weggelassen, so ist ^(2)) ^ D F^, G^D) = D G^, d. h. die Borelschen Mengen des Raumes D sind die Durchschnitte von D mit den entsprechenden Borelschen Mengen des Raumes E. Der induktive Beweis liegt auf der Hand. Dasselbe gilt von den Suslinschen Mengen:

Fs{D)^DFs,

Gs(D) = DGs.

Es gibt auch absolut Borelsche u n d absolut Suslinsche Mengen, d. h. solche, [86] die in jedem umgebenden R a u m e diesen Charakter haben, u n d zwar gibt es absolute F^^ ferner fiir | ^ 1 absolute G^ (nicht fiir I == 0, absolut offene Mengen gab es ja nicht), u n d absolute Fs oder Gs, und d e r Leser wird leicht (wie S. 136) erkennen, daB eine Menge A einen dieser Gharaktere absolut besitzt, wenn sie ihn in irgendeinem voUstandigen R a u m e , speziell in ihrer voUstandigen Hiille J besitzt. DaB die Nichtexistenz absoluter G der Existenz absoluter G*(f ^ 1) nicht widerspricht, haben wir uns damals fiiT^ — i schon k l a r g e m a c h t ; auch in Gs t r e t e n j a n u r S u m m a n d e n der F o r m Gs = G^ auf. Wir beweisen n u n den Mdchtigkeitssatz:

[87]

I. In einem voUstandigen separabUn Raum ist fede Suslinsche^ also insbesondere jede Borelsche Menge entweder hochstens abzdhlhar oder von der Mdchtigkeit K. Das ist eine Verallgemeinerung von § 26, X I ; jedoch entscheidet iiber die Machtigkeit nicht mehr wie dort das Verschwinden oder Nichtverschwinden des insichdichten Kerns. Die Menge der rationalen Zahlen 12*

223

180

Siebentes Kapitel. Punktmengen imd Ordnungszahlen.

(ein Fff) ist insichdicht und doch nur abzahlbar. Wir werden wie damals zeigen, daB eine unabzahlbare Suslinsche Menge ein dyadisches Diskontinuum D als Teilmenge enthalt, miissen aber bei der Kugelkonstruktion statt der Haufungspunkte jetzt Verdichtungspunkte benutzen. Es sei ^ = © F(i) F(i, k) F(i, kj),,, eine von abgeschlossenen Mengen F erzeugte Suslinsche Menge, die Summe iiber alle natiirlichen Zahlenfolgen (i, k^l^...) erstreckt, wahrend, wie wir sogleich bemerken woUen, (p, q^r^. . .) eine aus den Ziffern 1, 2 gebildete dyadische Zahlenfolge bedeuten soil. Zur Vereinfachung konnen wir fiir jede Folge natiirlicher Zahlen

F(i)^F{i,k)^F{i,k,l)^'

"

annehmen (indem wir statt der urspriinglichen F die Durchschnitte mit den vorangehenden einfiihren). Halt man Anfangsindizes fest, so entstehen die Mengen A{i) = © F{i) F(i, k) F(i, A:, Z ) . . . , kl...

A(i, k) = © F(i) F(i, k) F(i, k, I). usw., wobei ^ = © A(i), A{i) = © A(i, k), A{i, A:) =- © A{i, k, I),,., i

k

.

I

Nun sei A und folglich auch A^ = A Ay unabzahlbar; wir wahlen zwei Punkte aj,, ag dieser Menge (Verdichtungspunkte von und in A) und machen sie zu Mittelpunkten disjunkter abgeschlossener Kugeln F^, Fg: fiir die zugehorigen offenen Kugeln U^^ U^ ist also jede der beiden Mengen A Up unabzahlbar. Dann ist mindestens ein Summand von A Up =
-^(^pi

'^pg)

^pqt

-^K^pi

^pq-i

^pqr)

^pqn

' •*

unabzahlbar sind, um so mehr also die abgeschlossenen Mengen ^\^p)

'pj

-^(^pj

'^pq)

^pqi

^K^pt

'^pqt

^'pqr)

'pqn

• • •

(da A(i) g F{i) usw. ist). Hat man nun, woran nichts hindert, die Kugeln Vpi VpqyVpqn ' ' ' Miit Radien < 1, | , | , . . . gewahlt, so bilden die zuletzt genannten abgeschlossenen Mengen eine absteigende Folge mit Durch-

224

§ 33. Existenzbeweise.

181

messern -»- 0, haben also einen einzigen Durchschnittspunkt x, der sowohl dem dyadischen Diskontinuum als der Menge A angehort. Dies gilt fiir jede dyadische Folge, also jeden Punkt X e D^ und D ist Teilmenge von A. Der Satz I ist der umfassendste Machtigkeitssatz, den wir kennen. Aber er bezieht sich doch nur auf ein verschwindend kleines Teilsystem im System aller Punktmengen. Es gibt im separablen Raum ^5 abgeschlossene Mengen (§ 25, IV), also i^^^ = i< Folgen abgeschlossener Mengen oder Komplexe (i^i, F^^ F^, jFg, Fi2^ i^gu ^iii? • • •)? wie sie zur Definition einer Suslinschen Menge dienen, also N Suslinsche Mengen (auch N Borelsche Mengen). Der separable voUstandige Raum ist, wenn sein perfekter Kern nicht verschwindet ^), von der Machtigkeit J< nnd hat 2^ > 5< Teilmengen. Fiir die iiberwiegende Mehrheit der Punktmengen bleibt also die Machtigkeitsfrage und damit das Kontinuumproblem ungeklart.

§ 33. Existenzbeweise. Bei der Definition der Borelschen Mengen B in der Form JF^ oder G^ erhebt sich die Frage, ob hier alle Indizes i <: Q wirklich notwendig sind, um das ganze Borelsche System 95 zu erhalten. Das hangt natiirlich vom Raume E ab. Besteht E aus lauter isoiierten Punkten, so ist jede Punktmenge zugleich abgeschlossen und offen, und schon der erste Schritt des Verfahrens ist iiberflussig. Ist der Raum abzahlbar, so isfc jede Punktmenge zugleich ein F^ und G^, und die F^s ^sw. liefern nichts Neues. Wenn wir also sagen: eine Menge G^ ist genau ein ff? oder gehort genau der Borelschen Klasse ®^ an, wenn sie nicht schon ein G^(| < i]) ist, so bleibt die Frage, unter welchen Umstanden es fiir jeden Index rj < £i Mengen gibt, die genau Mengen G^ sind. Dazu ist zu bemerken, daC in entweder lauter Ungleichungszeichen oder von einem Index an lauter Gleichheitszeichen gelteUj denn wenn O"^ = (g'^+\ so ist ©*? bereits das ganze Borelsche System (S. 87). Ferner war jede Borelsche Menge B auch eine Suslinsche Menge S, und man wird fragen, ob es Mengen S gibt, die keine B sind. In den obigen trivialen Raumen waren ja alle Punktmengen Borelsche Mengen, und jedes AS war auch ein B. Damit ein S ein B sei, ist jedenfalls notwendig, daB ihr Komplement E — S auch (ein B^ also) ein S sei, weil die B einen Korper bilden, und ein S, dessen Komplement kein S ist, ist also gewifi kein B. Beide Fragen lassen sich zusammen behandeln und finden ihre Antwort in dem Existenzsatz: [^8] I Andernfalls ist er abzahlbar und alle seine Punktmengen sind Mengen Fa,

225

182

Siebentes Kapitel. Punktmengen und Ordnungszahlen.

I. In einem vollstdndigen Raum^ dessert perfekter Kern nicht verschmndet^ gibt es Suslinsche Mengen^ die keine Borelschen sind^ und fur jede Ordnungszahl ^ < H Borelsche Mengen^ die genau Mengen G* {oder F^) und nicht von niederer Klasse sind. Zum Beweise bilden wir im voUstandigen Raum E mit Ej. ::=> 0 ein dyadisches Diskontinuum in der bekannten Weise (S. 131); die dyadischen Folgen (pj, p^^. ,.) sind aus den Ziffern 1, 2 gebildet, und jeder solchen Folge entspricht umkehrbar eindeutig ein Punkt x von D, namlich der Durchschnittspunkt der Mengen deren Durchmesser nach 0 konvergieren. Es gibt abzahlbar viele Zillernfolgen, die nur endlich viele Einsen enthalten; tilgen wir die zugehorigen Punkte, so bleibt die Menge C der x mit unendlich vielen /?„ = 1 iibrig, die aus der perfekten Menge D durch Weglassung einer Menge F^ (einer abzahlbaren) entsteht und daher ein G^ ist. Wir woUen die Punkte x tC etwas anders, namlich nicht mit dyadischen, sondern mit natiirlichen Zahlenfolgen {x^^ x^^...) darstellen. Fiir eine naturllche Zahl x sei unter [a;] ein dyadischer Komplex verstanden, der erst rr — 1 Ziffern 2 und zuletzt eine Ziffer 1 hat, z. B. [1] = (1), [2] = (2,1), [3] = ( 2 , 2 , 1 ) , . . . . , ferner bedeute [rr^, x^^. . ., x^ den durch Aneinanderreihung von [ajj], [Xg],. . ., \x-i^ in dieser Reihenfolge entstehenden dyadischen Komplex, z. B. [2, 3, 1] = (2,1, 2, 2,1,1), und ebenso \x^, x^^ Xg,. . . ] die in gleicher Weise entstehende dyadische Ziffernfolge mit unendhch vielen Einsen (namlich p^^ = p^^^^^ = p^^^^^^^^ = . . . = 1, die ubrigen /?« = 2). Setzt man dann so ist fiir jede Folge natiirlicher Zahlen ^%^ ^ Px.x, ^ I^z,x,x,^

' ''

mit Durchmessern -> 0, die Mengen F mit k Indizes sind disjunkt (z. B. ^2 =

^21 ^^^

P3 =

^221 '^ ^22)1 ^ ^ d ^s ^s*

(1) C = 2F,^. 2F^^,^. 2^F,^.,., • • • , wobei jeder Punkt x eineindeutig einer Folge natiirlicher Zahlen (x^, x^^.. .) entspricht (derart, daB x der einzige Punkt des Durchschnitts F^^F^^^^... ist). [89] Es geniigt nun, den Satz I fiir den (nicht voUstandigen) Raum C zu beweisen. Denn Suslinsche Mengen in C und Borelsche Mengen G^ in C ( | ^ 1) sind ebensolche in E, weil C in £ ein Gs = G^ ist, und umgekehrt, Mengen dieses Charakters in E haben ihn, falls sie Teilmengen von C sind, auch in C,

226

§ 33. Existenzbeweise.

183

Die Mengen D und C sind separabel (z. B. ist die abzahlbare Menge D — Cm D dicht). Wir betrachten in dem separablen Raume C die schon so haufig verwendeten speziellen Umgebungen (S. 126 mit V bezeichnet); nennen wir sie hier C/i, C/g,... und bilden mit ihnen das Mengensystem [90] (2) 2K = { f / i , t / 2 , . . . } . Die von 2R erzeugten Borelschen Mengen B^(B^ = J/, £ i == M^^ B^ = M^c-i''') u^d Suslinschen Mengen AS sind mit denen des Raumes C identisch, da bereits die Mengen M^ (also jedenfalls die B^) alle offenen Mengen G dieses Raumes umfassen. Jedes B^ ist ein G'y und jedes G^ jedenfalls ein 5^+^ (fur f ^ CO ein # ) . Nun sei y = (TIJ, jrigj • • 0 ^i^^® Folge wachsender naturlicher Zahlen, N eine Menge solcher Folgen und (3)

X^(BM,^M^^,,.^0(M^,M^,.,.)

{M,sm\

wo die 6^-Funktion 0 ihrer Argumente (die beliebige Mengen aus 21 sind) durch die Menge N bestimmt ist. Wir wissen, daB bei geeignetem N oder 0 die Menge X genau die Mengen S oder auch die Mengen 6^(1 ^ f < fi) darstellt, nach den Satzen § 18, II und § 19, II. Eine bestimmte Fnnktiont 0 , gleichviel welche, werde gewahlt und festgehalten; die damit in der Form (3) darstellbaren Mengen mogen die Mengen 0 heiBen. Jedem Punkt x eC ordnen wir nun, vermoge der durch ihn bestimmten Folge naturlicher Zahlen x-^^ ojg,..., die von x abhangige Menge (4) 0(x)^0(U,^,V,^,,,.) eindeutig zu. Das ist also eine Menge 0 , und jede Menge 0 ist so darstellbar, denn M^ s M heiBt doch eben, daB M^ == U^e^eins der U sein soil. (Die natiirlichen Zahlen %, ojg,.. . sind ganz beliebig, nicht etwa wachsend oder paarweise verschieden.) Jedes 0 ist also ein 0(x)^ wobei ubrigens recht wohl 0(x) = 0(y) sein kann trotz x:^y. Der Punkt x kann nun der ihm zugeordneten Menge 0(x) angehorea oder nicht. Es sei A die Menge der x s0(x), B die Menge der x e0(x); [9i] J[ + 5 r= (7. Dann ist B von alien 0(x) verschieden, da von den beiden Mengen B und 0(x) eine, und nur eine, den Punkt x enthalt. B gehort alsa nicht zu den Mengen 0. Fiir eine natiirliche Zahl n sei A^ die Menge der a;, fiir die x e U^. Dann ist (5) A^0{A^,A^,,.,) mit derselben Funktion 0 wie zuvor. Denn XBA oder x B0(X) besagt: fiir eine in N vorkommende Zahlenfolge v = (BJ, %* - - -) gehort x dem Summanden Jf„^ M^^... = U^^^ U^^^. . . von 0iMy^, M^,...) = 0(Ujp^j C/a;^,. . .) an, dann ist aber x e A^^ A^^... und x gehort dem entsprechenden Summanden von ^ ( ^ i , ^21 • - •) ^R- Und umgekehrt.

227

184

Siebentes Kapitel. Punktmengen und Ordnungszahlen.

Wir haben schlieBlich noch zu erkennen, daB die An Borelsche Mengen sind. 1st k eine natiirliche ZahL so sei A^j^ die Menge der x^ fiir die x^ == k* Das heiBt so viel, daB x einer der (in C) abgeschlossenen Mengen (fiir n = i der Menge C F^) angehort, mit beliebigen natiirlichen Zahlen a?i,...,a;^_i; Ani ist die Summe dieser Mengen nach rcj,. . ., a;„_i, also ein Fa (in C), Endlich ist k

also ebenfalls eine Borelsche Menge; denn x s U^^ besagt doch, daB es eine natiirliche Zahl k gibt mit x e Uj^, x^ = k, d. h. x e A^h Uj^^ Damit ist unser Ziel erreicht, namUch: Stellt 0 genau die Suslinschen Mengen S dar, so ist nach (5) A eine von Suslinschen (sogar Borelschen) Mengen A^ erzeugte Suslinsche Menge, also selbst eine Menge S. Ihr Komplement B ist aber kein S, und danach ist A keine Borelsche Menge. Stellt 0 genau die Borelschen Mengen B^ dar, so ist nach (5) A eine von Borelschen Mengen ^^^ erzeugte Borelsche Menge, also selbst eine Borelsche Menge des Raumes C. Ihr Komplement B ist dann auch eine Borelsche Menge, aber kein 5^, sondern also genau ein B*^ mit t) > | . Es gibt also in C Borelsche Mengen, die genau B'l sind mit beliebig hohem Index, und das gilt dann auch fiir die C . Dann gibt es aber fiir jeden Index 7] Mengen, die genau C sind. Das gilt zunachst fiir Indizes | + 1 • ware jedes G^+^ ein G^, so ware ®^ = ®^+-'- das ganze Borelsche System und alle G^ waren schon Mengen GK E S gilt aber auch fiir Limeszahlen rf: ware jedes G^ ein G^(| < ^), also ein JF^"^^, SO ware jedes C + ^ ein F^^ jedes F'^^'^ ein G^ und jedes C + ^ ein C . Damit ist der Existenzsatz bewiesen. [92]

§ 34. Kriterien fiir Borelsche Mengen. 1. Notwendige Bedingungen. Der Existenzsatz hat uns belehrt, daB es in einem geeigneten Raume SusHnsche Mengen S gibt, die keine Borelschen Mengen B sind. Wir miissen demgemaB nach Kriterien dafiir fragen, daB ein S ein B sei. Zwei Bedingungen sind dafiir aufgestellt worden: die erste von M. S u s l i n , daB das Komplement E — S wieder ein S sei, die zweite von N. L u s i n , daB iS" mit disjunkten Summanden darstellhar sei, daB es namlich eine (d. h. unter den verschiedenen moglichen Darstellungen wenigstens eine) Darstellung S = 2 Fn^Fn^n^. . . gebe, bei der die zu verschiedenen Zahlenfolgen (n^, TZg,. ..) und (v^-, ^'2, • • •) gehorigen Summanden F^^F^^n^. . . und F^^F^^^^. . . stets disjunkt sind (weswegen wir das Summenzeichen JS statt © gesetzt haben). Wir zeigen

228

§ 34. Kriterien fur Borelsche Mengen.

185

zunachst, daB beide Bedingungen notwendig sind, gleichviel wie der Raum beschaifen sei. I. Wenn die Suslinsche Menge S eine Borelsche isi, so ist ihr Komplement E — S wieder eine Suslinsche Menge. Denn E — S ist ja sogar eine Borelsche Menge. Wir haben diese evidente Tatsache schon im Existenzsatz verwendet. II. Wenn die Suslinsche Menge S eine Borelsche ist, so isi sie mil disjunkten Summanden darstellbar. b e r Beweis beruht auf folgenden Schltissen, bei denen wir der Kiirze halber eine mit disjunkten Summanden darstellbare Suslinsche Menge als jL-Menge und eine Menge A^ die nebst ihrem Komplement E — A eine Z/-Menge ist, als 5-Menge bezeichnen woUen. (A) Die Summe einer Folge disjunkter L-Mengen ist eine L-Menge. Man kann diese L-Mengen in der Form

darstellen; setzt man noch JP^ = E (der ganze Raum)j so ist eine L-Menge. (B) Der Durchschnitt einer Folge pon L-Mengen ist eine L-Menge. Es seien A = 2 A^^ A^^^^ ^a,a,a, • • • B =- :EBf,^ Bfy^j,^ J^6,d,d, • • • abzahlbar viele L-Mengen (A^^^ usw. abgeschlossen). Man vereinige, etwa nach dem Diagonalschema, die samtlichen Indizesfolgen zu einer einzigen Til 722 ^3 =

%

ag

^A '^S » « • • •

^1 ag

^2

^

• • • ^

dann wird A B C , . . = ^ An^ ^niTit ^sit ^ » i nj«4 -^„^„j Cf^ . . .

= 2F

F

F

WO i^ni...njfe diejenige von den dariiberstehenden Mengen bedeutet, deren hochster Index njc ist (so daB Fn^^n^ ^^^ ^^^ % , . . . , n^, wenn auch nicht von alien diesen Zahlen abhangt, z. B. F^^^^^^ = B^^), Wir haben ABC... damit als L-Menge dargestellt. Natiirlich ist auch der Dmrchschnitt endlich vieler L-Mengen eine L-Menge. (C) Summe und Durchschnitt einer Folge von B- Mengen ist eine B-Menge. Die Mengen Aj^^ A^, .. . und ihre Komplemente 5^, B.^^. . . seien L-Mengen. Nach (B) ist der Durchschnitt A^A^-^ -, unter Zuziehung von (A) aber auch die Summe

229

186

Siebentes Kapite]. Panktmengen und Ordnungszahlen.

^ 1 4- ^2 + ^ 3 + • • • = ^ 1 + ^1 "42 + J?i ^2 -^3 + • • • eine L-Menge, und zwar eine 5-Menge, da von den B^ dasselbe gilt. [93] (D) Die Mengen F^ sind L-Mengen, Eine Menge F^j . . .

A==F, + F, + F, + '^' kann mit aufsteigenden abgeschlossenen Summanden angenommen werden, dann ist A=:.F^ + (F,- F,) + (^3 _ iT,) -f . . . mit disjunkten Summanden, die als Differenzen abgeschlossener Mengen wieder (spezielle) Mengen F^ sind. So ergibt sich

A =

—1)

n,

- F usw.

(FQ

17

-- . .

-1

• = 0). Wegen n, ~ -^nifi, = * ' '

ist dann A = ^A„, A = ^Pn^Fn^n^ als L-Menge dargestellt. Hierzu werde noch die augenblicklich uberfliissige, spater zu verwendende Bemerkung gemacht: wenn der Raum separabel ist, kann die Darstellung von A mit disjunkten Summanden so eingerichtet werden, daB die Durchmesser der Mengen i^,^^ . ^k ^^* k -^ co nach 0 konvergieren. Denn E kann als Summe einer Folge abgeschlossener Mengen mit beliebig kleinen Durchmessern ^ 6 dargestellt werden (z. B. voh abgeschlossenen Kugeln mit Radien | 6, deren Mittelpunkte eine in E dichtfe Menge bilden); das gleiche gilt von jeder abgeschlossenen Menge und jeder Menge Fc. Schreibt man demnach ^ = T^l 4- n + • • • , -Fn == ^1 4- • • • + Fn, wo die V^ abgeschlossen sind und Durchmesser ^ d haben, so hat auch An = Fn — i^n~i ^ ^n eincu Durchmesser ^ <5. Setzt man dies fort, so kann man also etwa erreichen, daB die Mengen A^ n> Du^rchmesser < -j^ bekommen.

Der Durchmesser der etwa auftretenden Nullmengen

ist natiirlich = 0 zu setzen. Nach (D) sind insbesondere die abgeschlossenen und die offenen Mengen jL-Mengen, d. h. jB-Mengen, und da nach (C) die J5-Mengen ein Borelsches System bilden, so sind die Borelschen Mengen des Raumes sicherlich J?-Mengen, womit II bewiesen ist. Wesentlich tiefer liegt der Beweis, daB die beiden Bedingungen unter Umstanden auch hinreichend sind. Wir miissen dazu eine merkwiirdige Darstellung der Suslinschen Mengen als Summen und Durchschnitte von Nj Borelschen Mengen vorausschicken.

230

§ S4. Kriterien fiir Borelsche Mengen.

187

2. Die Indizes. Es sei [94] (1) A = (B jF(ni) F(ni, n^) F(n^, n^, Wg)... eine Suslinsche Menge des Raumes £ , B = E — A ihr Komplement. Hierbei ist also jedem endlichen Komplex natiirlicher Zahlen, den wir abkiirzend mit (2) r = (7^l, ^2, . . . , Wi) bezeichnen, eine abgeschlossene Menge (3) F(r) = F(n^, n^, .. , n,) zugeordnet, und die Summe in (1) erstreckt sich iiber alle Folgen (^i, n^,...) natiirlicher Zahlen. Wir diirfen dabei wie schon friiher (4) F{nj)^F{n^, n.,)^F(ni, n^, n^)^-voraussetzen. Wenn wir an den Komplex (2) eine weitere natiirliche ZaM anhangeii, so entsteht ein Komplex (r, n) = (?ii,..., %, n), den wir einen Nachfolger von r neimen; r heiBt der Vorganger von (r, n), Sei RQ eine beliebige Menge von Komplexen r. Wenn r, aber kein Nachfolger von r zu RQ gehort, heiBe r ein EndeUment von R^. Durch Weglassung der Endelemente entsteht aus i?© eine neue Komplexmenge fij, und indem wir diese Streichung der Endelemente wiederholen, gelangen wir zu einer absteigenden Folge / I Q ) ^ 1 ? ^2? • • •) ^^ufi ^(a-\-li

' "'

von Komplexmengen, die induktiv dadurch definiert sind, daB R^^i aus R^ durch Tilgung der Endelemente entsteht und fiir eine limeszahl rj Da RQ hochstens abzahlbar ist, konnen von den disjunkten Mengen /?! — R^+i (dies ist die Menge der Endelemente von R^) hochstens abzahlbar viele von Null verschieden sein und wir gelangen fur einen ersten Index rj (O^ri < i2) zu einer Menge /?^ = R^^i^ die also keine Endelemente mehr hat, aber natiirlich Null sein kann. Nennen wir dies rj den Index der Menge R^; fiir i J ? | + i . Die Menge R = R^ = R^^i = - . . werde etwa der Kern von R^ genannt (er ist die groBte Menge g J?^, die keine Endelemente hat). Prozesse dieser Art sind uns aus § 30 gelaufig; der gegenwartige hat groBe Ahnhchkeit mit der Abspaltung der isolierten Punkte und der Bildung der kleinsten Koharenz. Nun bestimmt jeder Punkt x des Raumes die Menge RQ(X) derjenigen r, fiir die x s jF(r), und wenn wir mit dieser Menge den eben geschilderten ProzeB ausfiihren, so gelangen wir zu den Mengen R^(x)^ endigend mit dem Kern R{x) == Rr^ix) = i?^a.i(a;) = • •. ; der von x abhangige Index Y] = YI[X)

231

188

Siebentes Kapitel. Punktmengen und Ordnungszahlen.

der Menge RQ(X) werde auch der Index des Punktes x genannt. Wir haben also fur die Mengen A^B eine Spaltung nach den Indizes ihrer Punkte: (5) A^2A^, B = 2B^ (^ ^ gilt. Beilaufig werden aber im AUgemeinen die absteigenden Mengen

Fo(r)^F{(r)^''^

^i^»^--

nicht etwa schHeBlich identisch, denn die Relation Rjj(x) = Rrj+ii^) gi^^ j ^ nicht ,,gleichmaBig" fiir irgendein festes rj^ sondern fiir ein von x abhangiges rj = rj{x) oder rj ^ rj{x), Aus (6) folgt ferner (8) F^{r,n)^F^(r), Die Mengen F^ stellen sich nun folgendermaBen dar: F,(r) = F(r) F^+i(r) = (BF^(r,n) (9) F^(r) =^2) F^(r)

{rj Limeszahl).

Hiervon entspringt die erste Gleichung aus der Definition von Ro(x)j die dritte aus der von Ry^ix), wonach (7) dann und nur dann fiir rj gilt, wenn es fiir alle ^
232

§ 34. Kriterien fiir Borelsche Mengen.

189

die Menge der Punkte x mit R^{x)-:^0\ denn das heiBt ja, daB es ein r gibt, wofiir (7) gilt. Und es ist (11)

n = (S>[F^(r) - i^^+i(r)] r

die Menge der Punkte x mit i?|(^) ^ i?^+i(^); denn dies bedeutet, daB es ein r gibt, das Endelement von R^{x) ist, wofiir also d. h.

reR^(x\ X e F^(r),

reR^^i(x), x e F^^i(r)

Oder X e F^(r) — F^^i(r), Fiir diese Mengen gilt aber nun

Zunachst ist namlich der Kern R(x) von ji!?o(^) dann und nur dann > 0, wenn x e A, Ist a: e ^ und etwa x e F(ni) F(n^^ n^)..., so gehoren die sUmtlichen Komplexe (n^), (%, ng), (%, Wg? ^z)^.. . zu /?o(^); sie sind Bieht Endelemente und gehoren also zu Ri(x); so weiterschliefiend erkennt man, daB sie zu jedem Ri(x)^ also zum Kern R(x) gehoren, der demnach r:^ 0 ist. Wenn umgekehrt der Kern R{x) :=> 0 ist und daher nach (6) einen eingHedrigen Komplex (%) enthalt, so enthalt er, als Menge ohne Endelemente, auch einen zweigliedrigen (nj, ng), einen dreigliedrigen (/ij, Tig? ^z) usf., alle diese Komplexe gehoren auch zu RQ(X), d. h. X e F(n^) F(n^, n^ F(n^, n^, n^)..

.^A.

Fiir X sB und nur in diesem Falle ist R(x) = 0. Nach der Definition der Indizes rj{x) ist nun R^(x) ^ R^-^i{x) mit I < rj(x), R^{x) = R^j^^(x) ^ R{x) mit ^^7](x) gleichbedeutend. Danach ist T^ die Menge der Punkte, deren Index > | ist, wahrend S^ (durch R^(x) > 0 definiert) genau alle Punkte von A und diejenigen Punkte von B, deren Index > | , enthalt. Damit ist (12) bewiesen. Man erhalt daraus noch ^ ^

j S^-T^=A,+ A^+'^' \ E~S^ = Bo + B, +

+ A^ -'+B^.

Nun ergibt sich aus (9), von den abgeschlossenen Mengen FQ(r) ausgehend, durch Induktion, daB alle Mengen F^(r) Borelsche Mengen des Raumes sind, aus (10) und (11), daB die S^^ T^ Borelsche Mengen sind; dasselbe folgt fiir die A^^ B^^ etwa aus (13) durch Induktion. Nach (5) ist also die Suslinsche Menge A und ihr Komplement B als Summe i^on i<x

233

190

Siebentes Kapitel. Punktmerigen und Ordnungszahlen.

Borelschen Mengen dargestellt^); beide Mengen sind dann auch Durchschnitte von X^ Borelschen Mengen, insbesondere nach (12) einfach (14) .4 = 3)6'^ Die S^ und T^ nehmen mit wachsendem Index ab, die Mengen (13) nehmen zu; der Durchschnitt aller T^ ist 0. Wir bemerken noch, daB man fiir (10) auf Grund von (8) auch (15) S^= (BF^(n) n

schreiben, also die samtlichen Komplexe r durch die eingliedrigen ersetzen kann; fiir T^ ist dies nicht zulassig. tJberdies ist (16) n^.^®P^(r)F^(Q), wo I + CO die erste auf | , ^ + 1, f + 2 , . . . folgende Ordnungszahl und die Summe rechts liber alle Paare verschiedener Komplexe gleicher Ziflerzahl (17) r = (/ii,. .., njfe), Q = ( v i , . .., vj,) (r 4^ Q) zu erstrecken ist. Sei in der T a t x e T^^.^, also (18) xeFt^Jr)^F^+^^^(r) fiir ein gewisses r. Fiir m = 0, 1, 2, . . . ist demnach wegen (9) X e i^|+^+i(r), X e F^^Jr, nj mit geeignetem n^; diese Zahlen HQ, n^,. . . konnen aber nicht samtUch gleich sein, denn aus x e F^j^J^r^ n) bei festem n wiirde folgen x e F^^^^ir^ n) ^F^j^^^i(r) im Widerspruch zu (18). Demnach gibt es mindestens zwei Zahlen m, /m mit /i^ 4= w^ und es ist ^ e F^+m(r, nj F^^^{r, n^) g F^(r, nj F^(r, n^), X gehort also der in (16) rechtsstehenden Menge an. 3. Hinreichende Bedingungen 2). Schicken wir zwei Hilfsbetrachtungen voraus. (oc) Sind jedem i < i2 abzahlbar viele Mengen D^ (etwa fiir n = 1 , 2 , . . . ) zugeordnet, die mit wachsendem | abnehmen {D^^D^ fiir i 0 , n

so gibt es ein n derart, daB fiir jedes | auch D^ > 0. Denn zu jedem i gibt es zunachst ein n(^) mit Z)p^ :^ 0. Die Funktion n{i)^ die nur abzahlbar vieler Werte fahig ist, muB mindestens einen Wert n unabzahlbar oft annehmen; dann ist Z ) | > 0 fiir unabzahlbar viele | , also (wegen der monotonen Abnahme mit wachsendem | ) fiir alle | . [95]

1) Im separablen vollstandigen Raume schlieBt man daraus, daB die Mengen J5, die Komplemente Suslinscher Mengen, entweder hochstens abzahlbar Oder von einer der Machtigkeiten Ki, K sind: das ist wegen des ungelosten Kontinuumproblems ein weniger prazises Resultat als der fiir die Suslinschen Mengen selbst giiltige Satz § 32, I. '') Hierzu vgJ. § 46, 1,

234

§ 34. Kriterien fiir Borelsche Mengen,

191

(j5) 1st der Raum separabel, so kann in der Darstellung (1) der Suslinschen Mengen angenommen werden, daB die Durchmesser der Mengen F ( / i i , . . . , % ) mit A: -»- 00 nach 0 konvergieren. (Der Durchmesser der Nullmenge ist natiirlich = 0 zu setzen.) Wir hatten oben (S. 186) bei Punkt (D) bemerkt, dafi die Mengen F^^ also insbesondere der Raum selbst, einer solchen Darstellung und zwar mit disjunkten Summanden fahig sind. Setzt man demgemaB JS = :^ E(m-j) E(mi, mg). . . , . wo die £(mi,. .., m^^) abgeschlossen sind und mit k -^ co nach 0 konvergente Durchmesser haben^), bringt dies mit der Menge (1) zum Durchschnitt, ordnet den Zahlenpaaren (m^t, njg) die natiirlichen Zahlen p^ eineindeutig zu und setzt so wird

A==-QF^^

F^^^^...

eine Darstellung der verlangten Form, die iibrigens, wie wir beaehten woUen, disjunkte Summanden hat, sobald dies fiir (1) der Fall ist. Auch die Nebenbedingung F^^^Fp^p^^- - - laBt sich aufrechterhalten, wenn man E(mi) § E{mi, m^) § • • * voraussetzt. Dies vorausgeschickt, woUen wir nun die Sat^e I^ II umkehren. III. Ist der Raum i>ollstdndig und separabel, so ist eine Suslinsche Menge^ [96] deren Komplement eine Suslinsche Menge ist, eine Borelsche. Zwei disjunkte Suslinsche Mengen sind in ihrer Summe Borelsche Mengen, Zum Beweise betrachten wir zwei Suslinsche Mengen A, A mit den entsprechenden Borelschen Mengen F^(r), F^(r) und 6*^, S^. Die Darstellungen (1) von A und A mogen die Durchmesserbedingung (p) erfiillen. Wir zeigen dann: wenn S^S^::>0 fiir jedes i, so ist ^ ^ > 0. [97] In der Tat ist, nach (15), fiir jedes ^ (so auch im folgenden)

&F^(n)F^(v)^0, die Summe liber alle Paare naturlicher Zahlen n, v erstreckt. Hilfsbetrachtung (oc) existiert ein Summand F^(n^)F^iv^)z>0, Ersetzen wir hierin i durch f + 1« so hi

Nach der

& F^(nj^, n) F^ivj, p) ^ (^. es existiert ein Summand Fiin^,n^)F^(v^,v^):=:>0 ^) Umgekehrt ist ein solcher Raum hochstens separabel; denn w^hlt man aus jeder Menge E(mi,..., nik) :> 0 einen Punkt, so ist die Menge dieser Punkte in E dicht.

235

192

Siebentes Kapitel. Punktmengen und Ordnungszahlen.

usf. Wir erhalten also zwei Zahlenfolgen (%, Ai2,...)»(^i» ^'2? • • •) derart, daB fiir jedes k (f = 0 gesetzt) F{n^,..., Tij,) F(v^,. . ., ^jb) ::> 0 . Diese abgeschlossenen, mit wachsendem k abnehmenden Mengen mit Durchmessern ~^0 haben nach dem zweiten Durchschnittssatz einen (einzigen) gemeinsamen Durchschnittspunkt x^ der sowohl zu A als auch zu A gehort; also A A^O. Wenn, fiir jedes | , 6"^ Z i::^ 0, so ist nach (12) oder (14) erst recht 5^ AS| > 0 und daher A A::=>0. Also umgekehrt: Wenn yl A = 0, so muB einmal fiir ein | (und alle folgenden) 6*1 Z = 0 sein, also A-= AS^ = {A + A)S^, A ist der Durchschnitt von A -\- A mit einer Borelschen Menge. Zwei disjunkte Suslinsche Mengen sind also in ihrer Summe Borelsche Mengen. Insbesondere, wenn das Komplement B = E — A einer Suslinschen Menge auch eine ist, so sind beide Borelsche Mengen {in A -\- B = £ ) , und zwar von einem gewissen Index an ^ = S^, Damit ist I I I bewiesen; die Suslinsche Bedingung ist hinreichend, falls der Raum vollstandig und separabel ist. Der Nachsatz von I I I zeigt iibrigens, daB der Satz auch gilt, wenn der Raum eine Suslinsche Menge M in einem vollstandigen separablen Raum E ist. [98] Ebenso laBt sich d a s L u s i n s c h e Kriterium als hinreichend erweisen: [99] IV. Ist der Raum vollstandig und separabel^ so ist jede mit disjunkten Summanden darstellbare Suslinsche Menge eine Borelsche. Nach (12) und (13) ist S^— T^^A^S^; wenn T^ = 0, so ist A == S^ eine Borelsche Menge. Ist also A keine Borelsche Menge, so ist r ^ > 0 fiir jedes | (so auch im folgenden), also nach (16). (BF^(r)F^(Q)^0, die Summe iiber die (abzahlbar vielen) Paare von verschiedenen Komplexen gleicher Zifferzahl erstreckt. Nach der SchluBweise {oc) existiert ein Summand F^(r)Fi(Q)^0 mit einem Komplexpaar (17). Ersetzt man | durch f + 1, so ist (BFi{r,n)Fi{Q,v)::>0 nv

und es existiert ein Summand ^^(^ nj,^i) F^(Q, n+i) ^ 0 .

So fortfahrend erhalt man zwei (wegen r ^ Q) verschiedene Zahlenfolgen (Wj, Tig,. . .) und (vi, ^ 2 , . . .) derart, daB ( | = 0) F(ni, . . . , % ) F ( r i , . . . , rft)r:^0

236

§ 35. Stetige Abbildung.

193

fiir jedes h\ die Anwendung des zweiten Durchschnittsatzes lehrt, daB die beiden verschiedenen Summanden F{n^ F{n-^^ n^... und F(v^ F{vi^ v^)... denselben Punkt liefern. Wenn also A keine Borelsche Menge ist, so ist sie gewiB nicht mit disjunkten Summanden darstellbar (weder mit noch ohne Durchmesserbedingung, wie wir bei.(/?) bemerkt haben), und damit ist IV bewiesen.

Achtes

Kapitel.

Abbildung zweier Raume. § 36. Stetige Abbildung. 1. Grundlagen. Wie schon in § 2 gehen wir von einer vorgegebenen Menge geordneter Paare (x^y) aus; die Mengen der hierin auftretenden Elemente x^y seien A^B, Jedem xsA sind hierdurch ein oder mehrere Bilder (Bildpunkte) y =
+ •• •

was man am einfachsten dadurch erkennt, daB die Menge A jetzt in disjunkte Teilmengen ^F(i/), die Urbilder der einzelnen Punkte y von B^ zerfallt. (Praziser ware ^P{{y))-, Urbild der einpunktigen Menge {?/}, zu schreiben.) Wir betrachten kiinftig nur den Fall^ dap (p{x) eindeutig ist^ ohne die inverse Funktion als eindeutig vorauszusetzen; damit ist also wirkliche Asymmetric zwischen A^ B eingetreten. Nun seien A^ B metrische Raume. Die Funktion 9(0:). In einem isolierten Punkt von A ist jede Funktion stetig. Eine stetige Funktion von einer stetigen Funktion ist wieder stetig. Ausfiihrlicher: y = (p(x) und z — x{y) seien eindeutige Funktionen, wobei a;, 2/, z die Mengen A^B^C durchlaufen, und ZQ. Eine in jedem Punkte von A stetige Funktion heiBt in A stetig oder (scblechthin) stetig\ in diesem Falle heifit B stetiges Bild von A, Eine in A stetige Funktion ist bekannt, wenn man die Bilder der Punkte einer in A dichten Menge R kennt. Denn jedes x e A ist als x — lim r„ (r„ e R) darstellbar, also (f(x) = lim ^(r^). Mit einer leichtverstandlichen Bezeichnung kann man sagen: die Gesamtfunktion (p[x) = (p{x \ A) ist durch die Teilfunktion (p{x | R) bestimmt. DaB dies die Machtigkeit des Systems der stetigen Funktionen gegeniiber dem aller Funktionen herabdriicken kann, ist uns bekannt (S. 41). Die Stetigkeit an der Stelle a besagt, daB mit der Entfernung a x audi b y nach 0 konvergieren soil, wobei b = (p(a)^ y — (p(x). Dies laBt sich nach einer aus den Elementen bekannten SchluBweise auch so ausdriicken: zu jedem (beliebig kleinen) a>0 laBt sich ein (hinlanglich klemes) ^ > 0 angeben derart, dafi mit ax
238

§ 35. Stetige Abbildung.

195

Der Zusatz, den die eingeklammerten Worte aussprechen, wird durch Komplementbildung bewiesen, weil V(B — Q) = A — "PiQ)* Ein spezieller Fall des Satzes ist uns aus §22,1 bekannt; ist (p(x) erne reelle stetige Funktion, B also eine Menge reeller Zahlen, so ist die dort mit [cp > 0] bezeichnete Menge ja nichts ander,es als das Urbild der Menge Q, die der Durchschnitt von B mit der Halbgeraden 2/ > 0, also eine in B offene Menge ist, Aus I folgt wegen der Formeln (2) noch roehr: II. Ist B stetiges Bild von A, so haben die Borelschen und Suslinschen Mengen des Raumes B als Urbilder Borelsche und Suslinsche Mengen des Raumes A^ und zwar enisprechen den Mengen F^(B)^ G^{B) als Urbilder Mengen F^A), G^A). In der Tat geht dies eben daraus hervor, dafi die Urbilder von Siimmen und Durchschnitten die Summen und Durchschnitte der Urbilder sind. Hat man also z. B. schon bewiesen, dafi iiir i
239

196

Achtes KapiteJ. Abbildung zweier Raume.

morphes Bild von A (ebenso A von B) und die zwischen beiden Mengen bestehende schlichte Abbildung eine Homoomorphie; ferner sagt man, daB A und B zueinander homoomorph seien^ was wir durch das Zeichen

B^A

Oder

A^B

ausdriicken woUen. Um die Begriffe also nochmals zusammenzustellen, SO hat man je nacli der Beschaffenheit der Funkiion x = y)(y) folgende Falle (y = (p(x) als stetig vorausgesetzt): B stetiges Bild von A: y)(y) kann mehrdeutig sein. B schlichtes stetiges Bild von A: y)(y) eindeutig. B homoomorphes Bild von A: y)(y) stetig. Der dritte Fall ist als Sonderfall des zweiten, dieser als Sonderfall des ersten anzusehen. Im dritten Fall ist die Asymmetrie zwischen A^B wieder verschwunden. [101] 2. InsichkoinpakteMengen. Die Satze I, II gelten nur fiir die Urbilder, nicht fiir die Bilder. Ist B stetiges Bild von yi, so braucht das Bild einer in A abgeschlossenen Menge keine in B abgeschlossene zu sein; wenn A isoliert ist und demnach jede mit A aquivalente Menge B als schlichtes stetiges Bild von A angesehen werden kann, so ist jede Teilmenge von A in A abgeschlossen, jede Teilmenge von B also Bild einer in A abgeschlossenen. Wir sahen, daU sogar das schlichte stetige Bild einer absolut abgeschlossenen (voUstandigen) Menge A noch ganz beUebig sein kann, bis auf die Aquivalenz mit A. Dagegen gilt ein einfaches und prazises Resultat, wenn A eine in sich kompakte (also kompakte, absolut abgeschlossene) Menge ist: III. Das sietige Bild B einer in sich kompakicn Menge A ist wieder in sich kompakt] ist die Abbildung schlicht^ so ist sie eine IIomoomorphie. Die Voraussetzung besagt, daB jede Punktfolge aus A eine konvergente Teilfolge hat, deren Limes zu A gehort. Dasselbe ist fiir B zu zeigen. Ist yn eB, Xn= y>(yn) <^iii Urbild von 7/^, so gibt es eine konvergente Teilfolge Xp -^x e A^ demnach (p(Xj,) -> (p{x) oder y^-^y eB^ B ist in sich kompakt. Der zweite Teil der Behauptung folgt nun am einfachsten so: jede in A abgeschlossene Menge P ist in sich kompakt, ihr Bild Q = 0{P) in sich kompakt, also absolut und daher in B abgeschlossen, dies aber besagt nach I, daB die als eindeutig vorausgesetzte Funktion x = y)(y) stetig ist. Im Eukhdischen Raume ist eine Menge A dann und nur dann in sich kompakt, wenn sie beschrankt und abgeschlossen ist; ihr — wieder in einem Eukhdischen Raum angenommenes — stetiges Bild B ist wieder beschrankt und abgeschlossen. Insbesondere durchlauft eine in A stetige reelle Funktion eine abgeschlossene und beschrankte Zahlenmenge, hat

240

§ 36. Stetige Abbildung.

197

also einen groBten und kleinsten Wert (d. h. die obere Grenze ist ein wirklich erreichtes Maximum, die untere ein Minimum). Nennt man eine in sich kompakte Menge Z , die Summe einer Folge solcher Mengen Z^, so ist das stetige Bild eines K wieder ein X, das eines Kff wieder ein K^. (Man vergleiche die mittlere Formel (1)), Der Euklidisohe Raum ist ein K^ (z. B. Summe konzentrischer abgeschlossener Kugeln mit Radien AI = 1, 2, 3 , . . , ) , also auch jede in ihm abgeschlossene Menge; deren stetiges Bild ist also ein K^^ braucht aber, wenn in einem Euklidischen Raum gelegen, nicht abgeschlossen zu sein. Jede eindimensionale Menge Ffj^ 5 = JBJ + ^2 + • • M ist Projektion einer ebenen abgeschlossenen Menge 7l = ^ i + i4.2 + - * ; i^sin lasse einfach dem Punkte (a^i, 0) von B^^ den Punkt (rci, n) von A^ entsprechen, d, h. iibertrage die Menge B^ von der Geraden x^ = 0 auf X2 = n, Auch das stetige Bild eines Euklidischen F^ ist ein K^^ insbesondere das einer offenen Menge. Es sei bemerkt^ daB aber der H i 1 b e r t sche Raum kein Kaj vielmehr in ihm jedes K^ von erster Kategorie ist, wShrend er selbst, als voUstandiger Raum, in sich von zweiter Kategorie ist. Denn jede Umgebung des Nullpunktes (0, 0, 0 , . . . ) enthalt eine Menge von Punkten (^, 0, 0 , . . . ) , (0, ^, 0 , . . . ) , . . . , die paarweise die Entfernung 1/2 Q haben und also keinem K angehoren; dasselbe gilt von jedem Punkt, und das Komplement eines K ist also im H i l b e r t schen Raume dicht, K nirgendsdicht. Es sei hier der Begriff der gleichmaBigen Stetigkeit erwahnt; die eindeutige Funktion y — (p{x) heifit in A ^Uichmdpig stetige wenn fiir jede Folge von Punktpaaren mit x^ 1,^ •-> 0 zugleich y^ rjn -^ 0. (Bei festem |» = ^ ist das die Stetigkeitsforderung fiir die Stelle | ) . Diese Bedingung ist, wie in iiblicher Weise zu erkennen, damit gleichbedeutend: jedem 0 entspricht ein (nur von or abhangiges) ^ > 0 derart, daB mit x ^ < Q zugleich y 7] < a ist. Es gilt dann: IV. Ist A in sich kompakt^ so ist jede in A stetige Funktion gleickmd/iig stetig, Sei x^$y^-*0; x^ hat eine konvergente Teilfolge also auch Ip-^o;; fiir die Bilder gilt dann y^^-^y, %-^y, 2/p>/p->0. D. h. y,,rin hat eine nach 0 konvergente Teilfolge. Das Gleiche gOt von jeder Teilfolge y^ rjv, also muB die ganze Folge y„^^ nach 0 konvergiaren (sonst hatte sie eine Teilfolge y^ ri^.'^o 0). V. Jede in sich kompakte Menge ist stetiges BUd einer hompakten perfekten punkthaften Menge, Zwei kompakte perfekte punMhape Mengen sind stets homoomorph. Eine kompakte perfekte punkthafte Menge A laBt sich nach § 29^ XVI als dyadisches Diskontinuum A = 2V

V

241

V

198

Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.

darstellen (§ 26, 2), wobei die Mengen F in ^ abgeschlossen, also in sich kompakt angenommen werden konnen (indem man V durch AV ersetzt). Bei festem n haben die disjunkten Mengen V mit n Indizes paarweise positive untere Entfernungen, unter denen e^ die kleinste sei. Sind a:, f verschiedene Punkte von A und unterscheiden sich die zugehorigen dyadischen Ziffernfolgen in der 7i-ten Ziffer, so ist x^^e^^ hieraus folgt, dafi fiir X ^ ->Q die beiden zugehorigen Ziffernfolgen in einer liber alle Grenzen wachsenden Zahl von Anfangsziffern iibereinstimmen. — Eine in sich kompakte Menge B laBt sich (S. 133) als dyadische Menge darstellen. Man ordne dem einzigen Punkt x des Durchschnitts V^, Vj,^ Vpqr- • • ^^^ einzigen Punkt y des (zur gleichen dyadischen Folge gehorigen) Durchschnitts W^WpqW^gj,,.. zu. Durch diese Zuordnung y = q)(x) wird B stetiges Bild von A, Denn ist dn der grofite Durchmesser der Mengen W mit n Indizes, so ist yrj :^ ^„, falls y und rj zu zwei dyadischen Ziffernfolgen mit n iibereinstimmenden Anfangsziffern gehoren; aus dn-^0 und dem zuvor Gesagten folgt dann, daB fiir x ^ ->0 auch y rj -^ 0, — Ist schliefihch auch B kompakt, perfekt und punkthaft, also als dyadisches Diskontinuum darstellbar, so ist die besprochene Abbildung schlicht, also eine Homoomorphie. Wenn wir also ein bestimmtes dyadisches Diskontinuum A wahlen, z. B. die Cantorsche triadische Menge oderauch die Menge der dyadischen Zifferfolgen (p, q,r^. ..) selbst mit der § 20, 4 erklarten Entfernung (den dyadischen Baireschen Raum), so erhalten wir alle in sich kompakten Mengen als stetige, alle kompakten perfekten punkthaften Mengen als homoomorphe Bilder von A. Umgekehrt ist jedes stetige Bild von A in sich kompakt, jedes homoomorphe liberdies insichdicht (perfekt) und. wie sich sofort zeigen wird, auch punkthaft. 3. Erhaltung des Zusammenhanges. VI. Das stetige Bild einer zusammenhdngenden Menge ist wieder zusammenhdngend. Das stetige Bild einer beliebigen Menge hat nicht mehr Komponenten als diese, 1st B stetiges Bild von A und B = Bi + B^ eine Zerstiickelung von B in zwei (in B) abgeschlossene Mengen, so entspricht dieser e|ne Zerstiickelung von A = *F(Bj) + W(B2) = Ai + A2 in zwei (in A) abgeschlossene Mengen. Mit B ist also A unzusammenhangend, mit A ist B zusammenhangend. — Da mit
242

§ 35. Stetige Abbildung.

199

von A, — Sind A und B homoomorph, so entsprechen einander die Komponenten beider Mengen; ist die eine punkthaft, so auch die andere. Insbesondere hat eine in der zusammenhangenden Menge A (z. B. in einem reellen Zahlenintervall) stetige reelle Funktion eine zusammenhangende Wertmenge B^ nimmt also zugleich mit zwei Werten y-^ < y^ auch jeden Wert y zwischen ihnen (yi 0, so hat f(x) im abgeschlossenen Intervall [Xi, Xg] ein Minimum, das sicher nicht an den Intervallgrenzen eintritt, und dort ist f{x) = 0; aus diesem Spezialfall laBt sich der allgemeine leicht herleiten. Ein radikaleres Beispiel gibt H. L e b e s g u e : es sei x = 0, a^^Xg . . • die Dezimalbruchentwicklung (in dubio mit unendhch vielen NuUen) einer Zahl x mit 0 ^ a: < 1; falls die Ziffernfolge Xi, rcg, rCg,.., schlieBlich periodisch ist und die (kiirzeste) Periode aus n Ziffern besteht, sei f(x) — 0 , X2n ^2»4-2 ^ 2 n + 4 '

' -)

andernfalls etwa f(x) = x, Der Leser iiberzeuge sich, daB f(x) uberall unstetig ist, aber in jedem noch so kleinen Intervall alle Werte O^y ^A annimmt. Der lokale Zusammenhang {§ 29, 2) bleibt bei stetiger Abbildung im allgemeinen nicht erhalten; wir verweisen immer wieder auf das triviale Beispiel, daB jede Menge stetiges Bild einer isoherten, also lokal zusammenhangenden Menge ist. Jedoch gilt: VIL Ist die Menge A in sich kompakt und in jedem Urbildpunkie X == ip(y) if on y lokal zusammenhdngend^ so ist ihr stetiges Bild B in y lokal z usammenhdngend. B ist wie A in sich kompakt, also jedenfalls beschrankt. Sei 2/,i -^y; wir haben nach § 29, XII zu beweisen, daB die dort erldarten Zahlen yy^ nach 0 konvergieren. Seien x^ == y)(yn) irgendwelche Urbilder der y^-^ die Xn haben eine konvergente Teilfolge Xp ->a;, dann ist y^ = <^(a;), also y = q)(x)^ x = 'ip(y) ein Urbild von y, ^4. ist in a; lokal zusammenhangend, xXp --*0; das heiBt, daB (von endlich vielen p abgesehen) x und Xp durch eine zusammenhangende Menge Ap^A verbunden werden, deren Durchmesser mit p -* 00 nach 0 konvergiert. Dann sind y und y^ durch das zusammenhangende Bild Bp ~ ^{A^ verbunden, dessen Durchmesser wegen der gleichmd^igen Stetigkeit (Satz IV) ebenfalls nach 0 konvergiert, also yyp -> 0. Also: die (teilweise vielleicht nicht definierten) yyn haben eine nach 0 konvergente Teilfolge; das Gleiche gilt von jeder

243

200

Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.

Teilfolge yyy^ und daher mu6 die ganze Folge nach 0 konvergieren, da es sonst eine Teilfolge yy^ gabe, deren Glieder entweder undefiniert oder ^ (T > 0 waren. Aus III und VII folgt: VIII. Das steiige Bild einer in sich kompakten und (in alien Punkten) lokal zusammenhdngenden Menge ist wieder eine solche,

§ 36. Streckenbilder* 1. DyadiseheKontinua. Ein stetiges Bild einer abgeschlossenen geradlinigen Strecke, etwa des Intervalls T — [0,1] der reellen Zahlen 0 ^ i^ ^ 1, wird eine stetige Kurve^ ein schlichtes stetiges und daher (§ 35, III) homoomorphes Bild von T eine einfache Kurve genannt. Stetige Kurven wollen wir indes lieber Streckenhilder nennen, da sie, wie wir sehen [102] werden, mit dem, was der Anschauung als Kurve vorschwebt, wenig Ahnlichkeit zu haben brauchen. T ist in sich kompakt, zusammenhangend und lokal zusammenhangend; nach den Satzen VI VIII des vorigen Paragraphen miissen diese Eigenschaften auf jedes Streckenbild iibergehen, und wir werden zeigen, daB ihr Besitz auch hinreicht. Zuvor wollen wir eine einfache Erzeugung der Streckenhilder kennen lernen. Wir bilden, wie schon oft, eine dyadische Menge, indem wir jeder dyadischen, aus den Ziffern 1, 2 gebildeten Folge (p, q,r, . , .) abgeschlossene beschrankte, von Null verschiedene Mengen eines voUstandigen Raumes E entsprechen lassen mit Durchmessern, die nach 0 konvergieren; wie wir wissen(S. 131), ist diese Konvergenz gleichmaBig, d. h. der groBte Durchmesser d^ der Mengen V mit n Indizes konvergiert nach 0 fiir n -^ co. Wenn wir die Mengen mit n Indizes disjunkt annahmen, erhielten wir ein dyadisches Diskontinuum\ Jetzt wollen wir das andere Extrem voraussetzen: die genannten Mengen soUen in lexikographischer Anordnung eine Kette bilden, d. h. in (2)

@ F , = F , + F2, @ F , , = = F n + F , , + F 2 i + F , , , . . .

haben benachbarte Mengen gem'einsame Punkte. Die von den F erzeugte dyadische Menge (3) C = ©F,F^,F^,,..., wofiir wir, wie bekannt, auch (4)

C-©F^.@F^,.@F^,,.-.-

schreiben konnen, heiBe dann ein dyadisches Kontinuum; die Berechtigung des Namens wird sich sofort ergeben. I. Streckenhilder und dyadische Kontinua sind identisch.

244

§ 36. Streckenbilder.

201

Es sei Ti = [0, | ] die linke und T^ = [J, 1] die rechte Halfte des Intervalls T, ebenso T^i die linke und T^^ ^i® rechte Halfte von Tp, T^qx die linke und T^^g die rechte Halfte von T^q usw. 1st C stetiges Bild von T, wobei den Teilintervallen T^, T ^ ^ , . . . die Bilder C^, C^^, . . . entsprechen, so sind dies kompakte abgeschlossene Mengen (iibrigens Kontinua), deren Durchmesser, wegen der gleichmaBigen Stetigkeit der Abbildungsfunktion, mit wachsender Zahl der Indizes nach 0 konvergieren, und die Summen bilden in lexikographischer Anordnung Ketten. Ein Streckenbild ist also ein dyadisches Kontinuum. Umgekehrt sei C ein dyadisches Kontinuum (3), Wir lassen fiir jede dyadische Zifferfolge den einzigen Punkt x von V^V^qV^q^ ^ ,. dem einzigen Punkt t von T^ T^q T^qj.. . . entsprechen. Diese Funktion x = q}(t) ist eindeutig, obwohl gewisse t (die bei den Halbierungen der Intervalle auftretenden Teilpunkte) zu zwei dyadischen Ziffernfolgen gehoren. So ist t ~ ^ Punkt der beiden (und nur der beiden) Durchschnitte T^ T^^ 3^122 • • •» Tg ^21 ^211 — Aber auch die entsprechenden Durchschnitte V-^ V^t ^122* • •? Fo F21 F211 • • • sind identisch; denn da F^ Fg > 0, F12 Fgi > 0 , . . . , so haben die Mengen V^ + Fg, V^^ -f- F g i , . . . Durchmesser ^ 2di, 2^2? • • • und ihr Durchschnitt ist einpunktig. — Die Funktion x = (p(t) ist femer stetig: mit t — r konvergiert x | nach 0.

Denn sobald \t — x\ < ^ ^ so

gehoren t und r entweder zu einem oder zu zwei benachbarten T** (Teilintervallen mit n Indizes), also x und | zu einem oder zu zwei lexikographisch benachbarten F** (Mengen F mit n Indizes), und es ist a; | ^ 2 dnEin dyadisches Kontinuum ist also Streckenbild. Bemerken wir folgenden Zusatz zu I. Wenn m samtlichen Ketten (2) die Durchschnitte lexikographisch benachbarter F und nur diese von Null verschieden sind, so ist C schlichtes, also homoomorphes Bild von T. Ein Punkt X kann dann namlich nur dann zu zwei dyadischen Ziffernfolgen gehoren, wenn diese lexikographisch benachbart sind, und hat also auch in diesem Falle nur ein einziges Urbild t = y)(x), Wenn z. B. x z,u den Zifferfolgen (1, q^, TJ, . . . ) und (2, grg, r g , . . . ) gehort, so ist xeViq^ Fg,, und das ist jetzt nur fiir gr^ == 2, ^2 = ^ moglich; sodann x e V^^r^ Vur^f was nur fiir r^ = 2, rg = 1 moglich ist, usf.;. x gehort zu (1, 2, 2 , . ..) und (2, 1, 1,. . . ) , sein einziges Urbild ist t = iMan kann die dyadische Konstruktion dahin abandern, daB jede der Ziffern p,q,r,... nicht zwei, sondern irgendeine endliche, vielleicht auch von den vorangehenden Ziflern abhangige Zahl ( ^ 2) von Werten durchlauft; durch die entsprechende Einteilung von T ergibt sich auch dann noch das „polyadische'' Kontinuum (3) als Streckenbild.

245

202

Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.

Unter den Beispielen zum Satz I sind einige sehr iiberraschend: eine abgeschlossene Dreiecks-, Quadrat-, Krekfldche ist Streckenbild, ebenso ein dreidimensionaler Tetraeder-, Wiirfel-, Kugelkdrper\ d. h. es gibt stetige Kurveri^ die in einem Euklidischen E^ {n ^ 2) gelegen sind und innere Punkte haben, also in diesem Sinne /i-dimensionale Gebilde sind. Man nennt sie nach ihrem Entdecker Peanosche Kurven, Um etwa mit K. K n o p p ein Dreieck V (es ist die abgeschlossene Dreiecksflache gemeint), das wir der bestimmten Vorstellung wegen rechtwinklig

Fig. 8

und gleichsclienklig annehmen, als Streckenbild darzustellen, fallen wir von der Spitze das Lot auf die Grundlinie und erhalten zwei wiederum rechtwinklige und gleichschenklige Dreiecke Fj, Fg; jedes Fp wird auf die gleiche Weise in F^i, F^a usw. zerlegt, wobei die Numerierung durch die lexikographische Kettenforderung bestimmt ist. Es ist <:^ = F = © Fp = © Fp, = © F , , , = •. • und, da die Durchmesser bei jeder Operation im Verhaltnis ]/2 : 1 verkleinert werden, C ein dyadisches Kontinuum. Ein Quadrat F kann man (D. H i l b e r t ) durch Halbierung der Seiten in vier Quadrate F^, V^y 33 Z3 32 ^3? ^4? jedes dieser Vp 22 3 2 wieder ebenso in F^,i, 34 31 2^ 2t Vpi, ^p3> Vpi zerlegen usw.; die Numerierung n 13 fyZ m laBt sich so einrichten, 4 t daB die lexikographische 4^ 43 12 11 Bedingung erfiillt ist. Fig. 9. Die von G. P e a n o zuerst gegebene arithmetische Darstellung ist geometrisch mit Seitendrittelung und Teilung in neun Teilquadrate gleichbedeutend. Eine arithmetisch sehr durchsichtige Abbildung der Strecke T auf das Quadrat (0 ^ aj^ ^ 1, 0 ^ rcg ^ 1) stammt von H. L e b e s g u e . Es sei P die Cantorsche triadische Menge der Zahlen t e T^ die als triadische Briiche mit lauter NuUen und Zweien darstellbar sind:

(l+r^+^3 + ---) (^« = o,i)

246

§ 36. Streckenbilder.

203

Diese Darstellung ist einzig; wenn zwei solche Zahlen /, T zuerst in der 1 /i-ten Ziffer differieren, so ist \t — r \^:^, und wenn also t nach r konvergiert, so stimmt t in einer iiber alle Grenzen wachsenden Zahl von Anfangsziffern mit r liberein. Hieraus erkennt man, daB ^i = -J + Y^+-"=

9iii)^

^^2 = - f + ^ + • ' • == %(0

in P stetige Funktionen von t sind; schon hierbei durchlauft x = (x-^^ x^) das ganze Quadrat. Endlich dehnt man diese Funktionen auf das ganze Intervall T aus, indem man sie in den offenen Intervallen (cc, p) (den Komponenten) von T — P — Q linear verlaufen laBt, d. h.

und ebenso (p2(t) definiert (^, j8 gehoren zu P), Diese erweiterten Funktionen sind auch noch stetig, da durch die lineare Interpolation nur Mittelwerte zwischen den schon vorhandenen eingefiihrt werden. Wenn teQ monoton nach r s P konvergiert (der einzige Fall, der einer tJberlegong bedarf) und (a, /3) das t einschlieBende Intervall ist, so konvergieren auch oc und /8 nach r und (piioc)^(pi(P)^ ^t{t) nach (pi(T^): es sei denn^ daB I schlieBlich in einem festen Intervall (oc^ j8) bleibt und nach einem der Endpunkte konvergiert, wobei q)i(t) -* q>^{r) trivial ist. Man kann, indem man die Folge der t^ in drei oder mehr Teilfolgen spaltet, auch den drei- oder mehrdimensionalen Wiirfel als Streckenbild erhalten, ja sogar bis zu ^Q Dimensionen gehen. Spaltet man etwa nach dem dyadischen Schema S. 30, so werden die Funktionen x^ =
X2 =

U, ^2 ^6 ^10 ' ' ' 1

^ 3 ^^ ^> ^4 ^12 *2e * • • 1 • • •

erklart und wie oben auf das Intervall T auszudehnen sind^ allesamt stetig und durchlaufen unabhangig voneinander alle Werte der Intervalle 0 ^ a;„ ^ 1; die Zahlenfolge x — (Xj^^ x^^ % , . . .) durchlauft den ganzen, durch diese Ungleichungen Q ^x^^i definierten ^o-dimen^onalen Wiirfel W, Die so definierte Funktion x = 0 . Mit denPeanoschen Kurven erhalt Aei^B^gn^Dimensioneinen zweiten StoB; nachdem schon das Quadrat schlichtes Bild der Streeke sein konnte

247

204

Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.

(wegen der Aquivalenz), kann es nun auch stetiges Bild sein. Erst die Forderung der Homoomorphie setzt den Dimensionsbegriff wieder in seine Rechte ein; denn es gilt der (in voUer AUgemeinheit zuerst von L. E. J. B r o u w e r bewiesene) Satz von der Invarianz der Dimensionenzahl: Eine Menge A im Euklidischen E^ und eine Menge B im Euklidischen En sind, wenn n> m und B innere Punkte hat^ niemals homoomorph. Da wir den allgemeinen Beweis in diesem Buche nicht bringen konnen, sei wenigstens der ganz einfache Fall ?n= i besprochen: nehmen wir, indem wir B durch eine Teilmenge ersetzen, B als (abgeschlossenen) Wiirfel im En an, so bleibt B nach Tilgung eines Punktes zusammenhangend, wahrend A durch Tilgung jedes zwischenzwei anderen gelegenen Punktes unzusammenhangend wird. Daher kann A nicht schlichtes stetiges Bild von B sein. (Wohl aber B von A! Denn B ist Streckenbild, stetiges Bild von T; behalt man von den Urbildern jedes Punktes von B nur ein einziges bei, so erhalt man eine Menge A <: T, von der B schlichtes stetiges Bild ist.) Insbesondere kann eine einfache Kurve^ im E^ fiir n> i gelegen, keine inneren Punkte haben; dies kommt der anschauKchen Vorstellung einer „Kurve" schon naher als die stetige Kurve. Auch einfache Kurven merkwiirdiger Art lassen sich als dyadische Kontinua leicht erzeugen. Gehen wir zur K n o p p schen Dreieckskonstruktion zuriick.

V sei ein gleichschenkliges Dreieck mit den Basiswinkeln-F

und dem Winkel an der Spitze - F - ; durch Drittelung des letzteren entstehen drei Dreiecke, von denen wir das mittlere weglassen uiid die beiden auBeren (abgeschlossen) mit Fi, Fg bezeichnen; sie sind mit F ahnlich und haben nur einen Punkt gemein. Mit F^ verfahren wir wie mit F und erhalten ^wei neue Dreiecke F^^, Fp2 usw. Hier sind bei passender Numerierung die Zusatzbedingungen erfuUt, die das dyadische Kontinuum C

Fig. 10.

als homoomorphes Streckenbild sichern. Diese einfache Kurve C hat nirgends eine Tangente, da sich in beliebiger Nachbarschaft ein,es Punktes xsVpVpq.,, Dreiecke mit festen Winkeln (Vj^^Vp^,.,.) befinden, in denen X liegt und deren Ecken zu C gehoren; gabe es eine Tangente in a:, so miissten die Winkel dieser Dreiecke nach 0 oder jc konvergieren. — Andert man die Konstruktion unter Verzicht auf feste Winkel und gleichschenklige Dreiecke ab, mit Beibehaltung des Prinzips, daB jedes Dreieck von einer passenden Ecke aus in drei Dreiecke zerlegt und davon das mittelste weg-

248

§ 36. Streckenbilder.

205

gelassen wird, so kann man auch erreichen, daB die Flacheninhalte der Dreieckpsummen © Fp, © F^ j , . . . beliebig langsam abnehmen und ihr Limes, das FlachenmaB von C, positiv wird. Es gibt also einfache Kurven posttiven Fldchemnapes^ was uns iibrigens insofern nicht mehr liberraschen wird, als wir ja sogar punkthafte ebene Mengen positiven Fl&chenmafles kennen (S. 135). 2. Bedingungen fiir Streckenbilder. II (Satz von W. S i e r p i A s k i ) . Die Menge A ist dann undnur dann ein Streckenbild^ wenn sie ein kompaktes Koniinuum ist und sick fiir jedes d > 0 als Summe endlich vieler kompakter Kontinua mit Durchmessern ^ d darstellen Id/iL Der Ausdruck kompaktes Kontinuum konnte iibrigens an beiden Stellen des Satzes durch vollstandiges oder absolutes Kontinuum (zusammenhangende Menge, die voUstandig oder absolut abgeschlossen ist) ersetzt werden, da von A ja zugleich totale Beschranktheit (S. 108) gefordert wird. DaB die Bedingung notwendig ist, ist evident (Zerlegung von T in w gleiclie Teilintervalle; die Durchmesser ihrer Bilder konvergieren mit n -^ oo nach 0). Es ist zu zeigen, daB sie hinreicM. Nennen wir zur Abkiirzung eine der Bedingung des Satzes geniigende Menge A ein iS-Kontinuum. Die Hauptsache ist, zu zeigen, daB bei einer Zerlegung ^) (5) A^QA^ p

von A in Kontinua A^ von Durchmessern ^ S diese selbst wieder als iS-Kontinua angenommen werden konnen. Und dazu wieder mufi bewiesen werden: Ist C ein Kontinuum
(6) (7)

V

c„^@c„.

Q

cej,>o, CpCj„^o,

^pq^pqr

^

"j

^) All 6 hier auftretenden Summen sollen nur endlich viele Summanden haben.

249

206

Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume. Jede Menge C mit n Indices hat einen Durchmesser ^<5„. Die Menge

B==C + (BC^ + ^C^,+

"^

PQ

V

ist zusammenhangend und hat einen Durchmesser d{B) ^ 5 + 2 <3i + 2 (52 + • • In der Tat sind zweiPunkte von B, etwa x sCj^gj. und f e C^ ^, durch die Menge verbunden, die wegen (7) als Kette zusammenhangender Mengen zusammenhangend ist und deren Durchmesser hochstens gleich der Summe der Durchmesser der Kettenglieder, also ^ ^2 + ^i + <5 + <5i + <32+ <53 < ^ + 2 (5i + 2 ($2 + ' * • ist. Also ist 5 ^ ein Kontinuum, dessen Durchmesser d{Bc) = d{B) bei hinlanghcher Kleinheit von (5^ -f- ^2 + * * ' beliebig wenig den Durchmesser d{C) == d iibertrifft. 5 ^ ist aber ein 6"-Kontinuum. Denn setzen wir weiter qr

q

^pq=

(^vq + ^Cpqr

+ '* *

usw., SO sind diese genau wie B gebildeten Mengen wiederum zusammenhangend, ihre Durchmesser d(B^) ^ ^1 + 2 ^2 + 2 ^3 + • • •, d(Bpq) ^ (52 + 2 ^3 + • • usw. Man hat dann wegen (6) B = (SB^ = (BB.^q='-' B^ = (BBp^ = @ J ? ^ ^ « - • • •, P

PQ

und das gibt Zerlegungen von B^ in endlich viele Kontinua, deren Durchmesser im Falle von n Indices ^6^ + 2 dn+i - [ - • • • sind. Damit ist also unsere Behauptung, die EinschlieCung von C in ein iS-Kontinuum betreffend, bewiesen und gezeigt, da6 man A in endlich viele 6'-Kontinua von beliebig kleinen Durchmessern zerlegen und also mit diesen das Verfahren fortsetzen kann: (8)

A = (B Aj,,

Ap = (B Aj,q,

A^^ = © yl^^,, . . . ,

wo alle diese Mengen 5-Kontinua und die Durchmesser der A^"- mit n Indices ^ dn sind (dn -^ 0). Wir zeigen noch, daB bei passender Numerierung die Mengen A^ in lexikographischer Anordnung eine Kette bilden. Bei der ersten Zerlegung (5) betrachten wir alle Ketten, die aus den Aj^^ wiederholte Verwendung derselben Menge zugelassen, gebildet werden konnen, z. B. ^ 1 , ^2) ^i»-^3^-^37 ^1.^2) ^4 (wenn AiA2::=^0, A^A^:::>0, ^2^4=^0)Wenn A^ mit A^^ Aj^ mit JL^ durch eine solche Kette verbunden werden kann, so auch A^ mit Ai. Auf Grund dieses transitiven Verhaltens laBt sich jedes Ap mit jedem andern durch eine Kette verbinden; denn wenn etwa Aj^ mit den Ai verbunden werden konnte, mit den Aj^ nicht, so kann kein

250

§ 36. Streckenbilder.

207

A mit keinem Aj^. verbunden werden, was insbesondere ^4^ ^^5.= 0 bedingt, und dann ware A = ® ^ ^ + @^Ar ^^^^ Zerstiickelung. Sind nun re, y zwei beliebige Punkte von A^ xeAi^ y ^ ^h (wobei auch i==A sein darf), so kann man, indem man etwa A^ mit A^^ A^ mit ^g? ^ 2 ^^^ -^3 usw., schlieBlich das letzte A^ mit Aj^. verbindet, eine Kette ^ i + • • • + ^ * herstellen, die alle A^ mindestens einmal enthalt, also = A ist, und deren Anfangsglied a;, deren Endglied y enthalt; eine solche Kette (d. h. die Summe ihrer Glieder) heiBe K[x, y), Nebenbei sei bemerkt, dafi man die Gliederzahl der Kette durch wiederholtes Setzen eines Gliedes beliebig vergroBern und demnach in (8) annehmen kann, daB p von 1 bis i% q von 1 bis Q (unabhangig von p), r von 1 bis R (unabhangig von p, q) lauft usw. Man kann dann

^ =.4i4-

'-^-Ap^K{x,y)

annehmen (x^y beliebige Punkte von ^4; x e A^^^y e Ap)^ sodann ^ p = ^2,1 -f ' • • + Aj,q = K(x^, yp)

{Xp^ ^p beliebige Punkte von Ap^x^s ^^j_, y^ B A^Q) USL Wahlt man Met

yp =

yeAp,

so bilden die Mengen A^^ in lexikographischer Ordnung eine Kette, da z. B. A^Q A21 den Punkt y^ = x^ enthalt, und es ist evident, daB das Verfahren unbegrenzt fortsetzbar ist. Dann ist A polyadisches Kontinuum (S. 201), also Streckenbild und II bewiesen. I l l (Satzvon H . H a h n u n d S t . M a z u r k i e w i c z ) * DieMenge A istdemn uad nur dann ein Streckenbild^ wenn sie ein kompaktes, lokal zusammenhdngendes Kontinuum ist. Um die Bedingung als hinreichend zu erweisen, zeigen wir, daB ein kompaktes, lokal zusammenhangendes Kontinuum A die S i e r p i 6 s k i s c h e Bedingung des Satzes II erfiillt (ein 6*-Kontinuum ist). Umgeben wir jeden Punkt X 8 A mit einer abgeschlossenen Kugel V^ (auf A als Raum bezogen) vom Radius ^, so ist die x enthaltende Komponente A^ von V^ ein kompaktes Kontinuum und hat x als inneren Punkt (wegen des lokalen Zusammenhangs), enthalt also eine Umgebung U^. Nach dem B o r e l schen Satz § 26, II ist A bereits in einer Summe endlich vieler U^ eiithalten, also fiir eine geeignete endliche Teilmenge B von A

A = QU,=

SA,,

A als Summe endlich vieler Kontinua mit Durchmessern ^ 2 ^ darstellbar, DaB die Bedingung in III notwendig ist, folgt aus § 35, VI, V l I I ; iibrigens laBt sich auch unmittelbar zeigen, daB ein i?-Kontinuum lokal zusammenhangend ist. Denn ist (5) eine Zerlegung von A in endlich viele

251

208

Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.

Kontinua mit Durchmessern ^ 5, und ist x in den Kontinuen A^ enthalten, in den Aj^ nicht, so ist C = © -4^ ein ic enthaltendes Kontinnum vom Durchmesser ^ 2 5, das x als inneren Punkt hat, weil x in der abgeschlossenen Menge ^ A-^ nicht enthalten ist; A ist in x lokal zusammenhangend. § 37. Bilder Suslinscher Mengen. Bei den Versuchen, aus der Art einer Menge A auf die Art ihres stetigen Biides B zu schlieBen, haben wir bisher eigentlich nur das eine Ergebnis erzielt: das stetige Bild einer in sich kompakten Menge K ist wieder ein iT; abgesehen von den Zusatzen, die sich auf Erhaltung des Zusammenhanges und des lokalen Zusammenhanges beziehen. Und es scheint auch zunachst gar keine Aussicht zu bestehen, iiher dies eine Ergebnis hinauszugelangen, da schon eine dbsolut abgeschlossene Menge F eine beliebige Menge (natiirlich von hochstens derselben Mglchtigkeit wie JF) zum stetigen Bilde haben konnte. Wenn wir indessen Mengen in separablen Qollstdndigen Raumen betrachten, so lafit sich doch ein einigermafien scharfes Resultat gewinnen: die stetigen Bilder Suslinscher Mengen sind Suslinsche^ und die schlichten stetigen Bilder Eorelscher Mengen sindBorelsche Mengen. Suslinsche und Borelsche Mengen eines voUstandigen Raumes haben ja librigens diesen Charakter in jedem Raume, sind dbsolut Suslinsche und Borelsche Mengen, so daB wir also auch hier von separablen absoluten S und B sprechen konnen. Bevor wir die ausgesprocbene Behauptung prazisieren und beweisen, seien noch einige Bemerkungen liber Raumprodukte sowie tiber die Projektion (S. 102) vorausgeschickt, die wir als Beispiel einer stetigen Abbildung schon ofter verwendet haben und verwenden werden. Das Produkt Z — (X, Y) zweier metrischer Raume, also die Menge der Paare z = (a:, y) mit xeX^ y ^^i wurde durch eine Festsetzung wie § 20, (18) oder (19) zum metrischen Raum gemacht; es kommt nicht sehr darauf an, welche Wahl wir treffen, da alle diese Raume Z homoomorph sind. Jedes Paar z ~ (a;, y) bestimmt sein erstes Element x = 9?(z), die Projektion von z auf X; das ist eine stetige, sogar gleichmaBig stetige Funktion. Das Bild A = (P(C) einer Teilmenge von Z ist die Projektion von C auf X. Zu den Teilmengen des Produkts gehoren insbesondere die Produkte von Teilmengen, C = (A^B) mit ^ g X, 5 ^ 7 ; diese konnen sich auf einzelne Punkte reduzieren, und es sei z. B. (A^y) die (mit A isometrische) Menge der Punkte (x^ y) mit festem y und x e A. Das Produkt C = (^, B) ist gegeniiber Summe und Durchschnitt distributiv; es ist (© A^, B) = ©(^,„ B), (S) A,,, B) = ®(4,„ B), natiirlich ebenso fiir den zweiten Faktor. Sind X, Y vollstandig, so ist Z vollstandig, und umgekehrt» Ist ^ in X abgeschlossen, so ist (A, Y)

252

§ 37. Bilder Suslinscher Mengren.

209

in (X, Y) abgeschlossen und umgekehrt; durch Komplementbildung und distributives Gesetz erkennt man: ist A in X offen oder eine Borelsche Menge F^, G^ oder eine Suslinsche Menge S, so ist (A, Y) in (Z, Y) offen oder ein F^^ G^, S^ und umgekehrt. Ist A in X und B in Y ein F% so ist in Z sowohl (yi, Y) als (X, B) als auch ihr Durchschnitt {A, B) ein -F^ und umgekehrt: ist (A^ B) ein i^^ in Z = (Z, 7), so auch in (Z, B)^ und ^ ist ein F^ in X; auch dies gilt fiir die G^ und S, Nun sei J5 stetiges Bild von A^ A liege in einem Raume X, 5 in einem Raume 7. Durch die abbildende Funktion y =
(1)

Q = mA P)h

zuordnen; d. h. wir suchen das Bild von A P und erweitem es in Y zer abgeschlossenen Hiille. Driicken wir diese Beziehung durch Q = A(P) aus. Dann gilt: I. Wenn die Mengen Pi^P^^''' ^i^^ absteigende Folge bUden^ nach 0 korn>ergente Durclimesser und einen (einzigen) zu A gehorigen Durchschnittspunkt x Jiaben^ so haben die Mengen Q^ = A(Pn) ^inen einzigen Durchschnittspunkt y = (p(oo)^ das Bild von x, DOiXe A P„, ist y e 0(A P^) ^ Qnt fur jedes n, also y sQ == Q^Qz^ ^ ^ ^ Es ist nur zu zeigen, dafi Q keinen von y verschiedenen Punkt hat. Sei z eQ^ zeQ^j also z ein a-Punkt von 0{A P^); es gibt demnach einen Punkt 1 yne0(A Pn) luit zyn< ~ . Dies wieder bedeutet Vorhandensein eines Punktes x^^ s A P^ niit y^ = (p(x^^. Da x^ und x zu P^ gehoren, ist xx^ x, q)(xj->(p(x), y^-^y] da zugleich yn-^z, ist z = y. Nun konnen wir zeigen: XL Das stetige Bild einer separahlen^ absolut Suslinschen Menge ist [103] wieder eine solche (wenn es nicht endlich ist) ^). Das schlichte stetige BUd einer separablen^ absolut Borelschen Menge ist wieder eine solche. Wir bringen die Behauptung auf die Form: A liege im separablen vollstandigen Raum X, der z. B. als voUstandige Hiille von A gedacht werden kann, B in einem beliebigen Raum Y, B sei stetiges (oder schlichtes stetiges) Bild von A; wenn dann A eine Suslinsche (oder Borelsche) Menge in X ist, so auch B in Y, Sei

A^(BPn,Pn.n,"'

eine Suslinsche Menge; die in X abgeschlossenen Mengen P^^^ni konnen so angenommen werden, daB ihre Durchmesser mit A -^ oo nach 0 konvergieren; ferner sei P^^ ^ P^^^^ § — •. Vermoge der Abbildung y =
Mengenlehre.

14

253

210

Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.

ordnen wir gemafi (1) jeder dieser Mengen die in Y abgeschlossene Menge zu Dann ist Q,^ Q,^,^. , . = 0(P,^ P„^,^. ..) • Denn seien P , Q diese Durchschnitte; entweder besteht P aus einem einzigen Pimkt X e Ay und nach I besteht dann Q aus dem einzigen Punkt y = (p(x)'y Oder JP == 0, dann muB aber nach den Eigenschaften eines voUstandigen Raumes (zweiter Durchschnittssatz) Pn,...nk schlieBlich 0 sein, also auch Qn^.,.n]c— 0 und ^ == 0. Also ist eine Suslinsche Menge. Ist A eine Borelsche Menge, also (§34, II) mit disjunkten Summanden A = 2 P^^ Pn^n^''' darstellbar und B schlichtes stetiges Bild von A, so ist auch mit disjunkten Summanden darstellbar; da B wie A separabel ist und der Raum Y demnach als voUstandig und separabel angenommen werden kann, so ist B eine Borelsche Menge. Die Unterschiede des Satzes II von § 35, II sind sehr zu beachten. Damals handelte es sich um relativ Borelsche und Suslinsche Mengen (in A^ in J5), es wurde von Mengen g i ? auf ihre Urbilder ^A geschlossen, die Borelschen Klassencharaktere JF^, G^ blieben erhalten. Jetzt ist von absolut Borelschen und Suslinschen Mengen die Rede, der SchluB geht von der Menge A auf ihr Bild 5 , und die Borelschen Klassencharaktere brauchen nicht erhalten zu bleiben. In dieser Beziehung gilt vielmehr das extreme Gegenteil: alle separablen, absolut Suslinschen Mengen sind stetige Bilder [104] separabler, absolut abgeschlossener Mengen, ja sogar einer einzigen solchen Menge, namlich des Baireschen Nullraums, Hierunter verstanden vrir die Menge A der F'olgen natiirlicher Zahlen X =

(^^l, AZ2, . . . )

mit der in § 20, 4 erklarten Entfernungsdefinition; daB A voUstandig oder absolut abgeschlossen ist, haben wir schon S. 105 bemerkt, und A ist separabel, da z. B. die abzahlbare Menge der x^ in denen schlieBlich lauter Einsen stehen, in A dicht ist. Der Bairesche Nullraum ist mit der Menge der irrationalen Zahlen homoomorph (die ein absolutes Gg ist). Denn ordnen wir der Zahlenfolge x eineindeutig die irrationale Zahl

^•=^+^+--zwischen 0 und 1 zu, so wird die Menge dieser Zahlen stetiges Bild von A und umgekehrt: die Konvergenz bedeutet namlich, daB x^ in einer mit m nach oo strebenden Zahl von Anfangsziffern mit x iibereinstimmt,

254

§ 37. Bilder Suslinscher Mengen.

211

und daraus folgt i,„-^i, ebenso umgekehrt. Das offene Intervall (0,1) laBt sich nun homoomorph und mit Erhaltung des rationalen oder irrationalen Gharakters auf die Menge aller reellen Zahlen abbilden, etwa durch

'^"~1~|2^^-1|'

2ti-~ 1 = , , . ,

""

" ~ l + kl

(0
wodurch die Menge der irrationalen Zahlen zwischen 0 und 1 homoomorph auf die Menge aller irrationalen Zahlen abgebildet wird. Nach dieser Vorbemerkung beweisen wir den Satz III. Jede separable^ absolut Suslinsche Menge isi stetiges Bild des [105] Baireschen Nullraums A (oder der Menge I aller irrationalen Zahlen), Jede separable^ absolut Borelsche Menge ist schlichtes stetiges Bild einer in A (oder I) abgeschlossenen Menge, Es sei wie oben A der Bairesche Raum der Folgen x = (n^^ z^^,...) und eine Suslinsche Menge in einem separablen voUstandigen Raum; fiir Jede Folge X mogen die abgeschlossenen Mengen F^^^F^^n^^' ^' ®™ absteigende Folge mit Durchmessern-^ 0 bilden; der Durchschnitt F(X)=:F^^F^^^^.,. ist entweder einpunktig oder leer, Im ersten Fall ordnen wir seinen einzigen Punkt y — (p(x) dem x als Bild zu, womit bereits alle Punkte von B erhalten werden. Um audi im zweiten Fall (wo die Mengen JP^^, . . . schiieBlich verschwinden) einen solchen Punkt q)(x) zu definieren, wahlen wir aus B einen festen Punkt yQ und aus jeder Menge BF^^^^j^^O einen festen Punkt yn^...nki wenn dann in der Folge der Mengen B Fn^, B Fn^n,^ . . . bereits die erste Menge verschwindet, sei (p(x) = ?/o; wenn jBi^„^>0 und -^^n,...njt di® letzte nicht verschwindende Menge ist, sei q^(^) ~ yn^^.n^Hiermit ist q>{x) in A eindeutig erklart und B das Bild von ^1; wir behaupten, daB q)(x) stetig ist. Sei |-*a:, tj == ^ ( | ) , y = (p(x). Die Anzahl k der Anfangsstellen, in denen I = (^'i, ^'a* • • •) ^^ ^ = ('^u ^21 - - -) ubereinstimmt, strebt nach + 0 0 . 1st i^(a;)>0, so gehoren tj und y derselben Menge Pn,,.,n]c ^li) deren Durchmesser mit A-> 00 nach 0 konvergiert: i^y-*0. Ist F(x) = 0, so ist einfach tj = y fm k> h oder schon fiir A > 0, je nachdem B F^^^nj^ die letzte nichtverschwindende Menge oder bereits B Fn^ = 0 ist. Damit ist die erste Halfte von III bewiesen. — Zum Beweise der zweiten bemerken wir, daB die Menge der x mit F(x) > 0 in ^ abgeschlossen oder die der x mit F(x) = 0 oifen ist. Denn ist F{x) = 0 und F^^ „^ die 1 erste verschwindende Menge, so haben alle | m i t | x <--r (F^^^,,^ = Pn,.,.nk) ebenfalls die Eigenschaft F(i) = 0. Wir stellen sodann die Borelsche Menge B wie zuvor als Suslinsche Menge mit disjunkten Summanden dar und be14*

255

212

Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.

schranken die Definition von y = (p(x) auf F(x) •> 0; dann wird B schlichtes stetiges Bild einer in A abgeschlossenen Menge. — DaB man in beiden Behauptungen von III die Menge A durch die homoomorphe Menge / ersetzen kann, ist evident. Die Suslinschen (Borelschen) Mengen in separablen voUstandigen Ranmen sind also stetige (schlichte stetige) Bilder von absolut abgeschlossenen Mengen oder reellen G^-Mengen — nicht aber von reellen oder Euklidischen abgeschlossenen Mengen (deren stetige Bilder immer nur absolute F^ sind). Man kann sie in entsprechender Weise auch als Projektionen darstellen. Die Suslinsche Menge B im separablen voUstandigen Raum Y sei vermoge y == (p{x) stetiges, die Borelsche Menge B schhchtes stetiges Bild der Menge A im separablen voUstandigen Raum X. Die Punktpaare(a;, y) mit xe X^ y EY bilden den separablen voUstandigen Raum Z — (X, Y), etwa mit der Entfernungsdefinition ^x^^ + yTf. Die Menge C der Punkte (a;, €p{x))^ also durch xeA, y=^
256

§ 38. Homoomorphie.

213

§ 38. Homoomorphie. Eine Homoomorphie zwischen A und B {A^ B) war als schlichte, in beiden Richtungen stetige Abbildung y == (p(x)^ x = y(?/) zwischen beiden Mengen erklart worden. Wir halten, trotz der Symmetrie dieser Beziehung, an den Bezeichnungen Bild und Urbild fest. An die Betrachtungen des vorigen Paragraphen ankniipfend, die sich hier erheblich umgestalten werden, beweisen wir zunachst einen dem dortigen Satz I ungefahr analogen Satz: I. Es sei A^=^B^ A in einem vollstdndigen Raume X, B in einem be- [107] liebigen Raume Y gelegen. In X sei eine Folge opener Mengen P^, ^2? • • • gegeben, Diesen kann man offene Mengen Q^, Q21 - - • des Raumes Y so zuordnen^ da/i fur jede Folge v = (?ix, ;I2T • • *) vi^cichsender natUrlicker Zahlen^ fiir die P^ = P^^ P^^. . . g ^ , zugleich Qv = Qn, Qn^- • ^^^ ^i^d pon P^ isL Um zu erkennen, was eigentlich bewiesen werden soll^ bemerken wir: die Mengen An = A P^ sind in A offen, ihre Bilder J5,j in J? often (well die Funktion x = y)(y) stetig ist!); und weil hier das Bild des Durchschnitts der Durchschnitt der Bilder ist, so ist B^ = B^^ B^^., . das Bild von Ay = Af^^ An^.... Wenn wir also irgendwie B^ ~ BQ^ als Durchschnitt von B mit einer offenen Menge Q^ darstellen, so ist BQ^ das Bild von A P^; es ist zu zeigen, daB man diese offenen Mengen Qn so „klein" wahlen kann ^), dafl mit P^^A auch Q^ ^ B, Wir verfahren so: zu jedem Punkt x e A^ wahlen wir eine Umgebung f/^(:r), die mitsamt ihrer abgeschlossenen Hiille in der offenen Menge Pn Hegt, und zu dem Bildpunkt y = (p{x) e B^ eine Umgebung V^iy) so, da6 das Urbild von B V^iy) in UJx) liegt (was wegen der Stetigkeit der Funktion x~,.y)(y) moglich ist); liberdies sollen die 1 Radien beider Umgebungen < — sein. Unter Q^ verstehen wir dann die Summe der Umgebungen V^iy), erstreckt iiber y eB^] es ist klar, daU BQn = Bny denn die Menge B VJy) hat ein in A U^ix) ^A^ gelegenes Urbild, ist also selbst gj5„, daher BQn^B^^ wahrend zugleich B Q^^ alle Punkte y sB^ enthalt. — Nunmehr ist in der Tat Qv^B fiir i \ g A. Seien m
257

214

Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.

fiir jedes m gilt, so isi xePr^A^. x hat also ein Bild y ^ (p{x)eB, und aus folgt 2/„~>y, also z^yeB, was zu beweisen war. Betrachten wir nun, wie schon mehrmals, eine M^nge N von Folgen [108] V = (/ii, 7i2,...) wachsender naturlicher Zahlen und bilden mit den in X offenen Mengen P^ die Menge (^^-Funktion)

SO laBt sich jede mit A homoomorphe Menge B nach I in der Gestalt B == f ( ? . - f
^'^

•^<^'^'^) = . , + 6(.,'i^) + %,ir)-

Dieser in x, y symmetrische Ausdruck hat den Charakter einer Entfernung; er verschwindet fiir x = y, ist andernfalls positiv ( < 1) und

258

§ 38. Homoomorphie.

215

erfUlU das Dreiecksaxiom^ denn schreibt man kurz d^^ fiir d(x^ F) und beachtet dy^dz + yz^ dy-^da: + xy, so ist

^y

yz

xy + yz

xz

^y + Sx + ^v yz+ dy + d;,— xy + yz + d^ + d^ ~ xz + d^ + 6^ Indem man noch dy-^d^^ xy in (1) anwendet, erhalt man

Nun sei A — G^G^- * - ein G^, das Komplement J5 = i^i + ^2 + * * * ^^^ Ffj\ man wahle eine konvergente Reihe positiver Zahlen c^ + Cg + • • * und definiere fiir Punkte von A xy = 2c,,(p{x, y I i^J. Dies hat wieder Entfernungscharakter, und durch Beilegung dieser Entfernungen wird die Menge A ein (von A verschiedener) metrischer Raum A, der schlicht auf A abgebildet ist (Jedem Punkt xeA entspricht derselbe Pnnkt xe A). Wir woUen zeigen, daB ^4 und A Merdurch homoomorph werden, d, h. daB, bei festem x, aus x^~> 0 zugleich xy-^O folgt und umgekehrt. In der Tat folgt aus (2)

fiir xy -^0 konvergiert, wegen d(x^ F^) > 0, jedes Glied der Reibe nach 0 und wegen der gleichmaBigen Konvergenz auch die Reibensumme. Andererseits ist nach (2) Cj

xy

und mit xy konvergiert xy nach 0. Endlich sei xy = max [a: 2^, xy]; das ist wieder eine Entfernung und erzeugt einen dritten, mit A und A homoomorphen Raum J4. Dieser ist nun vollstandig, wenn E voUstandig ist, was den Beweis von III voUendet, Sei namlich s^eine Fundamentalfolge in A^ also (wegen xy^xy) auch eine in A und mA; me hat also, im Sinne der urspriinglichen Entfernungen xy, einen Limes in E. Dieser kann kein Punkt t von B sein; denn ware etwa teF^^ so wiirde aus (3) iiir m < n XtnXn

also fiir n-^ 00 (x^ Xn-^ x,„ t > 0, d{Xf^, F^)-^ 0) lim inf x^x^ ^ -1 n

2

259

216

Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.

folgen, und dann ist ir„ in ^ , also erst recht in A^ keine Fundamentalfolge, da doch fiir eine solche sogar lim sup 5^^n ^ i * wachsendem m nach 0 konn

vergieren miifite. Also gibt es einen Punkt xeA mit xx^-^0^ xx^-^Q^ der Raum ^4 ist vollstandig. Ein Beispiel ist uns schon bekannt (S. 210): die Menge der irrationalen Zahlen, ein absolutes G^, ist mit dem absolut abgeschlossenen Baireschen NuUraum homoomorph. Sind zwei in Euklidischen Raumen gelegene Mengen A^ B homoomorph und A abgeschlossen, so ist B ein G^, aber zugleich ein F^ (ein K^, S. 197), also reduzibel. Die nicht reduzible Menge der irrationalen Zahlen kann also mit keiner Euklidischen abgeschlossenen Menge homoomorph sein. Wir wollen den Satz II noch auf einem andern, etwas weiter fuhrenden Wege beweisen. [Ill] IV (Satz von M. L a v r e n t i e f f). Eine Homoomorphie zmschen A undB Idfit sich zu einer Homoomorphie zwischen zwei ahsoluten G^-Mengen X '^A und Y ^B erweitern. Es sei zunachst nur B stetiges Bild von A, vermoge der stetigen Funktion y = 9?(a:); A^ und BQ seien voUstandige Hiillen von A und B. Betrachten wir einen Punkt xeA^^ der also Limes mindestens einer Folge von Punkten ansA ist; i„ = (pia^) seien deren Bilder. Die b^ konnen eine Fundamentalfolge bilden oder nicht; im ersten Fall konvergieren sie nach einem Punkt yeB^, Es kann nun sein, daB alien nach x konvergenten Folgen a^ Fundamentalfolgen b^ entsprechen (wie dies z. B. fiir xeA der Fall ist, wo stets b^^-^y = (p{x) ist); dann konvergieren alle diese Fundamentalfolgen b^ nach einem und demselben Punkte ysBQ] denn wenn den beiden Folgen a„->a;, a^^ -^-x zwei Folgen b^-^y, K -^y mit y ^y entsprachen, so wiirde die Folge %, %, ag, 02? • • • nach x konvergieren und ihre Bilder 6^, Sj, b^^ 52> • • • keine Fundamentalfolge liefern. Nennen wir ^ 1 die Menge der Punkte XSAQ, welche die angegebene Eigenschaft haben (alien Folgen a^-^x entsprechen Fundamentalfolgen 6„), so entspricht also jedem Punkte xsA^ ein ganz bestimmter Punkt y = (pi{x) von BQ, namlich so, dafi fiir a^-^-x stetsft^-*?/; wir haben hier eine eindeutige Funktion 0 ein ^ > 0 der-

260

J 38. Honioomorphie.

217

art, da6 iixv xa = 9?(aj nach y^q)(x)^ demnach mu6 a^ nach y){y) konvergieren, d. h. a; = y)(y) sein. Wegen y)(y)eAi ist iiberdies 2/£i53. Also: aus xeA^^y = (p(x) folgt yeB^^x = ip{y) und umgekehrt; J?3 ist vermoge y ==
261

218

Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume. Beispiel.

Es sei A = (0,1) + (1, 2) + (2, 3)

die Summe der drei offenen Zahlenintervalle (0, 1), (1, 2), (2, 3); in diesen werde die Funktion y =
1

0

1

2

3

2

3

A

Pig. 11.

die beiden ersten Intervalle an ihren Mittelpunkten gespiegelt werden, das dritte Punkt fiir Punkt in Ruhe bleibt. Da die Abbildung involutorisch, d. h. die inverse Funktion rpiy) mit cpiy) identisch ist, so stimmen AQ, ^ 1 , A^j A^ mit ^0, 5 j , j&2» ^ 3 iiberein. Man hat ^0 = ^ + { 0 , 1 , 2 , 3 } A, = A + {0, 3} A,=^A+ {1, 3} ^ 3 = ^ + {3} . Die zweite Formel ergibt sich so: fiir rc->0 ist y-^i und fiir x-^3 ist 2/ ->3; die Punkte 0, 3 sind also in A^^ und ihre Bilder 1, 3 in A2 aufzunehmen. Dagegen sind 1 und 2 nicht in ^ 1 aufzunehmen, denn wenn x von links oder rechts nach 1 konvergiert, so konvergiert y nach 0 oder 2, so daB nicht jeder Folge x-^l eine Fundamentalfolge entspricht; analog verhalt sich der Punkt 2. Aus IV folgt nun der Satz II noch einmal mit dem Zusatz: [112] II*. Das homoomorphe Bild einer absolut Borelschen Menge F^^ ^ 2) ist wieder eine solcke (mit demselben Index | ) . Nachdem namlich die Homoomorphie auf die absoluten G^-Mengen X, Y ausgedehnt ist, konnen wir den Satz § 35, II anwenden. Ist A ein absolutes G ^ ( | ^ l ) , so auch in X; dann ist, wegen der Stetigkeit von X — y)(y)^ B ein G^ in F, also ein absolutes G^, da Y ein absolutes G^ ist. Ebenso ist, falls A ein absolutes F^i ^ 2) ist, B ein F^ in 7, also ein absolutes F\ da Y ein absolutes G^ und F^^ ist. Analog ist der Beweis fiir die absolut Suslinschen Mengen zu fiihren. Einige weitere, bei Homoomorphie invariante Mengencharaktere kann man aus IV durch Betrachtung der Komplemente X -' A, Y — B erhalten Z. B. gehen die Komplemente absolut Suslinscher Mengen (in einem vollstandigen Raum) durch Homoomorphie wieder in solche liber. Die Dif-

262

§ 39. Einfache Kurven.

219

ferenzen von zwei absoluten G^ gehen wieder in solche liber; denn ist A =:: Ai — A2 Differenz von zwei absoluten G^, die man wegen XA = XA-i^— XA2 als Teilmengen von X annehmen kann, so ist B =^ B^ — B^ auch eine solche Differenz. Das trifft insbesondere auf die absoluten Mengen F^ = Fa zu. Wir stellen in einer kleinen Tabelle die wichtigsten Ergebnisse zusammen, die sich auf stetige, schlichte stetige und homoomorphe Bilder von Mengen beziehen; K bedeutet eine in sich kompakte Menge; die Charaktere F (abgeschlossen), F^^ G^, B (Borelsche Menge), S (Suslinsche Menge) sind absolut zu verstehen; der Zusatz sep. bedeutet separabel; ein leerer Platz bedeutet, daB sich nichts aussagen lafit.

A stetig K F pi G^ S sep, i? sep. 5 sep. S

K

Bild von A schlicht stetig homoomorph K K

Gs i^(l^2)

GHS^i) S S S

s

B B S

Gs B S

§ 39. Einfache Kurven. 1. Bedingungen fiir einfache Kurven. Unser Streckenbild, d. h. das stetige Bild einer abgeschlossenen Strecke Oder des Zahlenintervalls T= [0,1] brauchte mit dera, was man sich anschaulich unter einer Kurve vorstellt, wenig Ahnlichkeit zu haben. Etwas naher kommt dieser Vorstellung die einfache Kurve ^), namlich das homoomorphe Bild von T. Damit C ein solches sei, sind jedenfalls folgende Eigenschaften notwendig, deren Verzeichnis leicht noch weiterzuiuhren ware und bei deren Fassung wir die Begriffe abgeschlossen, Kontinuum usw. auf C selbst als Raum beziehen: (oC) C ist in sich kompakt. (j8) C hat zwei Punkte a. J, zwischen denen es irreduziblss Kontinuum ist; d. h. C selbst ist Kontinuum, aber kein Kontinuum
263

[113]

220

Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.

(y) C hat zwei Punkte a, b, zwischen denen es irreduzibel zusammenhdngend ist; d. h. C selbst ist zusammenhangend, aber keine zusammenhangende Menge c C enthalt die Punkte a, b, (d) C ist zusammenhangend und hat zwei Punkte a, b folgender Art: fur jeden Punkt xeC gibt es eine Zerlegung C ~A + B, wo A^B abgeschlossen sind, nur den Punkt x gemein haben und aeA^ beB, (e) C ist lokal zusammenhangend. In der Tat folgt die Notwendigkeit von (a)(e) aus § 36, III. Die iibrigen Bedingungen ergeben sich, wenn man unter a, b die Bilder der Endpunkte 0,1 von T versteht; keine zusammenhangende Menge < T enthSlt die Punkte 0 , 1 , woraus (y) und um so mehr (P) folgt; und fiir jedes isT gibt T = [0, t] 4- [^ 1] eine Zerlegung, die auf C iibertragen die Eigenschaft ((5) hat (unter [0, 0] und [1, 1] sind die einpunktigen Mengen {0} und {1} zu verstehen). Wir werden nun zeigen, da6 die Bedingungen (a, )9, B) oder ((K, y) oder ((x^ d) auch hinreichend sind. I. Die Bedingungen (y) und (6) sind gleichbedeutend. Da6 (y) aus (d) folgt, ist sehr einfach einzusehen. Wenn DczC die Punkte a, & enthalt, sei xeC — D und C^A+B eine gemafl (d) zu x gehorige Zerlegung; dann ist DAB = 0 und D == DA + DB eine Zerstiickelung, D nicht zusammenhangend. Umgekehrt, sei (y) erfiillt oder auch nur folgende Teilannahme: C sei zwischen a, b irreduzibles Kontinuum im Sinne von (jS) und werde durch Tilgung eines von a, b verschiedenen Punktes unzusammenhangend. Um daraus (d) zu beweisen, konnen wir x von a, b verschieden annehmen, da iuT X == a und x ~ b die Zerlegungen C ~ a + C — C -\-b den gestellten Forderungen geniigen (wir bezeichnen jetzt einpunktige Mengen [x] einfach mit x), Dann ist C — x unzusammenhangend, also in C — x =^ P + Q zerstuckelbar, wo -P, ^ in C — re abgeschlossen sind. Dann sind die Mengen A = P-^x^B^Q + x (in C) abgeschlossen, uberdies sind sie nach § 29, III zusammenhangend, da ihre Summe C und ihr Durchschnitt x zusammenhangend sind. Keines der Kontinua ^ cr C, B
264

§ 39, Einfache Kurven.

221

(1) fiir o^iC^g ist Ai^A2^ Es ist namlich ^2 + ^i> ^'s Summe zusammenhangender Mengen mit dem gemeinsamen Punkt Xi, zusammenhangend; da sie a,J enthalt, ist nacli (y) C = A2 + B^^ mit -4^ geschnitten A^ = ^ ^ -^2 + ^1 = ^ 1 -^g. Fur 1 —

2

folgt hieraus A^^ = -^2, ebenso natiiriich JSj = fig? d. h. die zu X gehorige Zerlegung C = A -\- B i%i durch x eindeutig hestimmU Nennen wir ^4. das zu x gehorige Anfangsstiick von C (B das Endstiick). Zu X = a gehort das Anfangsstiick a^ zu x ~b das Anfangsstiick C. Wenn aber in (1) x^^ rcg, so ist (2) A1CZA2, X2eA2'-A^. Ware namlich zugleich % f ^ 2 ^^^ ^2^-^11 ^^ wiirde ^4^ — ytg folgen, also -^1 — Xi = ^2 "^ ^2> ^ 1 + ^^2 = -^2 + ^v I^ dieser letzten Gleichung, die eine Zerlegung in Komponenten ausspricht, miiBte Bj = x^^ B^ = x^ sein; aber B^ und i?2 enthalten J, und man gelangt zum Widerspruch x^== X2 = b, Also: sind oji,ojg verschieden und x^sA^^ so ist nichi X2eAi, womit (2) bewiesen ist. Natiirlich konnen fiir % =t=^ X2 auch die Relationen x^sB^^ X.^BB^ nicht gleichzeitig bestehen. Es besteht also eine und nur eine der Relationen X-^GA.2I

A.i^A.2'i

X2SA.2

-^1?

Oder ^2^^i? ^ 2 ^ ^ i ? x^eA^ — A2* Die zu verschiedenen Punkten gehorigen Anfangsstiicke stehen also immer in der Beziehung A^^AzWir machen C zu einer geordneien Menge, indem wir ... . . Xi < rTg fur A^ c: ^2 definieren. Dies ist mit XisAz^ ^1 4^ ^2 gleichbedeutend; auBerdem enthalt ^^2 noch den Punkt X2^ Nach geschehener Ordnung ist also A die Menge der Punkte <, x, B die Menge der Punkte ^ x; wir schreiben dafilr, analog zur Bezeichnung reeller Zaiilenintervalle, A = [a, x], B = [a;, fc]. Diese Mengen sind abgeschlossen, ebenso allgemein die Meoge [^Cj, X2] der Punkte Xi^x^X2 (der Durchschnitt ^2^1)- Mengen wie C — B — A — X ^ [a,x) (die Menge der Punkte < x)^ (x^ b\ (x^^ X2) sind offen (in C). Natiirlich ist [tf, a] = a, [a, a) = 0 zu setzen. Die geordnete Menge C hat das erste Element a und das letzte b. Sie ist rftc/ii (S. 50), d. h. fiir x^ < X2 gibt es immer noch ein Element x mit x^<.x < rco. Denn die zusammenhangende Menge A^ kann nicht = Aj^ + x^ sein, also enthalt ^2 ^ ^ 1 gewiU noch einen von % verschiedenen Punkt x, Sie ist ferner stetig (S. 53). Denn sei C — Ci + C2 in zwei disjunkte Mengen > 0 gespalten, fiir deren Elemente stets x^ < X2* Wenn C^ kein letztes Element hat, so ist sie gleich der Summe (iiber x^ e Cj) der Mengen

265

222

Achtes Kapitel. Abbildung zweier Riiume.

[a, a^i), also offen; ebenso ist C^ offen, falls sie kein erstes Element hat. Beides zagleich wiirde eine Zerstiickelung von C bedeuten, also hat entweder C^ ein letztes oder C^ ein erstes Element. Wenn ferner C separabel ist, also eine abzahlbare Menge i? in C dicht ist (im metrischen Sinn), so ist R auch im ordinalen Sinn (S. 54) in C dicht. Denn (o^i, x^ lir x^ < x^ ist offen, enthalt also einen Punkt r von /?, d. h. x^
266

§ 39. Einfache Kurven.

223

es sei P„ die a enthaltende, Q^ die b enthaltende Komponente von i^„ (solange noch afif/„, werde JP„ = 0 gesetzt; analog Q^. Die Mengen (wobei die Summanden mit n zunehmen) sind disjunkt und zusammenhangend. Hierbei enthalt nach dem Randsatz § 29, XVII P^ einen Punkt 1 auf dem Rande von F„, also in der Entfernung —von x\ xi^% HaufungsTV

punkt von P und Q\ P -\- Q -{- x zusammenhangend, als Summe der zusammenhangenden Mengen A = P -\- x^ B — Q + x. Wenn nun noch gezelgt wird, daB A und B abgeschlossen sind, so ist der Beweis erbracht; denn aus der Irreduzibilitat (P) folgt dann C ~ P + Q + x = A -j- B^ die gewiinscbte Zerlegung. Es ist also zu zeigen: wenn c^x a-Punkt von P ist, so ist ceP, Sei R^ die c enthaltende Komponente von F^ und R = QRn (schlieBlich ist ceFn] vorher sei wieder R^ == 0). Nun ist scHieBlich c innerer Punkt von F^ und wegen des lokalen Zusammenhangs innerer Punkt von R^ (schon die c enthaltende Komponente von F^^^ hat c zum inneren Punkt); R^ enthalt also Punkte von P, Danach ist R^P^O, RP:=>0 und fur hinlanglich groBes n auch R^P^^O^ d. k R^ = P^ und R = P, also ceP, Damit ist IV bewiesen. Ein kompaktes, lokal zusammenhangendes Kontinuum war immer stetiges Bild einer Strecke; ist es iiberdies zwischen zwei gewissen Punkten irreduzibel, so ist es homoomorphes Streckenbild. 2. Primteile eines Kontinuums ^). C sei mehrpunktig, zusammenhangend und werde wieder als Raum angenommen, auf den sich die Relativbegriffe beziehen. Die Punkte r, in denen C lokal zusammenhangend ist, mogen reguldre Punkte, die iibrigen s singuldre Punkte heiBen; ist R die Menge der regularen, S die der singularen Punkte, so ist C=.RJ^S^R, + S^, Die Punkte (einpunktigen Mengen) i^on Ri und die Komponenten von S^ heipen die Primteile i^on C (H. H a h n ) . Falls i?^ = 0, 6* in C dicht ist, hat C sich selbst als einzigen Primteil und heiBe ein Primkontinuum. Ist R^ ::=> 0, so ist diese insichdichte Menge lokal zusammenhangend, da einer ihrer Punkte mit einem hinlanglich benachbarten durch eine zusammenhangende Menge g C von beliebig kleinem Durchmesser, also g i?^, verbunden werden kann; ilire Komponenten sind in /?| offen und mehrpunktig, R^ also (§ 29, VII) mindestens von der Machtigkeit fc<. Tn diesem Fall hat alsoC mindestens XPrimteile und heiBe ein zusammengesetztes Kontinuum; die Primteile sind selbst Kontinua. Fiihren wir fur zwei Punkte re, y einen der (immer verschwindenden) Distanz in C analogen Begrifl, die singuldre Distanz ein, die ym wieder mit ~xy bezeichnen wollen. Eine g-Kette (S. 158) *) Hierzu vgl. Nachtrag C.

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224

Achtes Kapitel. Abbildung zweier Eaume. (3)

(X, 5x, ^2? • • M ^n-li

y)y

deren Zwischenpunkte s^^ ^2? • • ^ ^n-i singulai* sind (wozu wir auch fiir xy^Q die Kette (x^y) ohne Zwischenpunkte rechnen), heiBe eine^mgziIdre Q'Kette, Verbinden wir rr, y durch alle moglichen singularen {)-Ketten; die untere Grenze der hierbei auftretenden Zahlen Q sei als die singulare Distanz xy definiert. Es ist xy ^ xy und es gilt das Dreiecksaxiom ^ + y^^ ^1 denn wenn sicha^und y durch eine singulare ^-Kette, y und z durch eine singulare cr-Kette verbinden lassen, so x und z durch eine singulare Q + o'-Kette. Wenn wir statt der singularen ^-Ketten solche (4)

{x, ^1, t^,..., ^n-i, y)

verwenden, deren Zwischenpunkte aus 6"^ entnommen sind, so andert sich die untere Grenze der Q nicht; denn eine ^-Kette (3) ist eine spezielle ^-Kette (4), und andererseits gehort zu einer ^-Kette (4) eine ^ + ^Kette (3), indem man zu jedem tj^ ein Sj^. mit S]ch 0 beliebig klein). Die singulare Distanz xy verschwindet natiirlich fiir x — y^ fiir x^y dann und nur dann, wenn beide Punkte zu S^c gehoren und in dieser Menge die Distanz 0 haben. Nehmen wir von jetzt an C als kompaktes Kontinuum an, so i s t - ^ = 0 damit gleichbedeutend, dafi x, y demselben Primteil angehoren. Durch diese Distanzen wird C zu einem neuen metrischen Raum JT, worin die Punkte eines Primteils als identisch anzusehen sind. Man kann dies auch so ausdriicken: jedcm Punkt xeC wird eindeutig ein Punkt I — (p{x) zugeordnet, mit der Vorschrift, daB dann und nur dann (p{x) = cp[y) sein soil, wenn x^ y demselben Primteil von C angehoren; die Menge F der Punkte | wird eindeutiges Bild von C, wahrend umgekehrt das Urbild von ^ ein ganzer Primteil ist. Durch die Entfernung irj=coy wird F zum metrischen Raum und, wegen xy ^ xy, steiiges Bild von C, also wieder ein kompaktes Kontinuum: nennen wir es das Kontinuum der Primteile von C. Das Urbild eines Kontinuums A ^ F ist ein Kontinuum D ^C. Denn D ist abgeschlossen; ware D = Di + D2 zerstiickelbar, so kann kein Primteil (weil er Kontinuum ist) mit beiden Summanden Punkte gemein haben; dann sind die Bilder Ai und A2 von D^ und Dg disjunkt und kompakte abgeschlossene Mengen, Zl = zJ^ + Zlg zerstiickelbar. — Es folgt daraus: wenn C zwischen x, y irreduzibel ist, so ist F zwischen den Bildpunkten i, 1] irreduzibel (irreduzibel im Sinne von (^8), also irreduzibles Kontinuum). Dabei setzen wir ^ 4= ^> ^ und y verschiedenen Primteilen angehorig voraus; im ausgeschlossenen Fall ware C Primkontinuum, F einpunktig. Das Bild 0{G) einer in C offenen Menge G braucht in F nicht oflen zu sein. Wenn jedoch G den ganzen Primteil A, das Urbild des Punktes | ,

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§ 39. Einfache Kurven.

225

enthalt, so hat 0(G) den Punkt | zum inneren Punkt. Denn ist JP = C — G, so ist das Bild 0(F) abgeschlossen (als sletiges Bild einer kompakten abgeschlossenen Menge) und enthalt | nicht, hat also von | eine positive untere Entfernung Q; alle Punkte rj mit ^r] < Q gehoren demnach zu 0(G), Wir wollen nun das eigentliche Ziel dieser Untersuchung erreichen, namlich beweisen, daB das Kontinuum der Primteile lokal zusammenhdngend ist. V. Ist C kompaktes Kontinuum^ F (in C) abgeschlossen^ P eine Komponente von F, so ist jeder Punkt x von F^ P(F — P)^ singular, und der x enthaltende Primteil A trifft den Rand F^ von F. Folgendes sei vorausbemerkt. Damit der Satz einen Inhalt habe, d. h. ein Punkt x vorhanden sei, muB Fi^O und F^P sein, also F unzusammenhangend und insbesondere F <:C. Da der Raum C zusammenhangend ist, kann F nicht zugleich offen sein, also F^ > 0. Der Randsatz § 29, XVII, auf dem hauptsachlich der Beweis des jetzigen Satzes beruht, sagt aus, daB jede Komponente von CF = F den Rand F,. trifft, ferner: wenn Q ein Kontinuum ist, das F^ und Fi trifft, so hat jede Komponente von QFi Haufungspunkte in F^^ Nun kann x nicht regular sein; denn ist U^^Fi^ so miifite x innerer Punkt der ihn enthaltenden Komponente von f/^., also erst recht von P sein und ware nicht Haufungspunkt von F — P, Sei weiter F = P + 2 Q^^ die Zerlegung von F in Komponenten. Wegen d(x^ (^w) > 0 muB es, weil x Haufungspunkt von F — P sein soil, eine Folge von Komponenten Q^^ mit d(x, Q^ -^ 0 geben; nach dem Auswahlsatz konnen wir annehmen, daB der abgeschlossene Limes Q ~ Fl Q^ existiert. Er ist wieder ein KontinuumgjF (Satz von Z o r e t t i ) und enthalt X, ist also in P enthalten, iiberdies natiirlich in (F — P)^] nach dem bereits Bewiesenen sind also alle Punkte (zu denen x gehort) von QF^ singular, QFi g S. Wie oben bereits vorausbemerkt wurde, treffen alle Q^ den Rand F^., also ist auch ^i^^r^O, und die x enthaltende Komponente X von QFi hat Haufungspunkte in F^, X^F^^Q, Da nun X^S, Xcc^Sat und X^ zusammenhangend ist, ist X^, in dem zu x gehorigen Primteil A enthalten und AF^z^O, VI. Ist A ein Primteil des kompakten Kontinuums C, JF die Menge der Punkte mit d(x, A) ^ Q(Q > 0)^ P die A enthaltende Komponente von JF, SO ist A g Pi, Denn ist xeA^Fi P, so darf x nicht zu (F — P)« gehoren, da sonst, nach V, A den Rand von F treffen miiBte; es gibt also eine Umgebung U^ g Fi, die zu F — P disjunkt ist, d. h. U^^P, x ist innerer Punkt von P, VIL (Satz von R. L. Moore). Das Kontinuum der Primteile eines kompakten Kontinuums ist lokal zusammenhangend, Hausdorff, Mengenlehre.

15

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226

Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.

Sei leJT, das Urbild von | der Primteil A von C; FQ eine Umgebung von f, ihr Urbild eine in C offene Menge G^^A. 1st ^ positiv und kleiner als die untere Entfernung zwischen A und der Begrenzung ^) von GQ (beides sind kompakte Kontinua), so ist die Menge F des Satzes VI in G^ enthalten; P sei wie dort die A enthaltende Komponente von F und A^G^P^GQ^ wo G = Pi oflen ist. Fiir die Bilder folgt 0{G)^0(P)^0{GQ) ^ F^, Hierbei enthalt, wie wir oben sahen, 0(G) den Punkt | als inneren Punkt, und 0(P) ist ein Kontinuum g JTQ, das f als inneren Punkt enthalt, womit also der lokale Zusammenhang von F in ^ bewiesen ist. VIII. (Satz von H. H a h n ) . Ist C ein kompaktes, zusammengesetzteSy zwischen zwei gewissen Punkten irreduzibles Kontinuum^ so ist das Kontinuum seiner Primteile mit dent Intervall 7(0 ^ i ^ 1) homoomorph. T ist stetiges Bild von C in der Weise^ dafi die Urbilder der Punkte t die Primteile ifon C sind, Denn /*, das Kontinuum der Primteile, ist kompakt, mehrpunktig, zwischen zwei Punkten irreduzibel und lokal zusammenhangend, also nach IV mit T homoomorph. T ist stetiges Bild von JP, F von C, also T von C, wobei jedem t genau ein Punkt von F und ein Primteil von C entspricht. Ein einfaches Beispiel in der (x^^ X2)-Ebene ist die aus den beiden Mengen /? : 0 < ajj ^ 1,

S : Xi = 0,

X2 = sin

— 1 ^ 0^2 ^ 1

gebildete Menge C = R + S, wobei zugleich R die Menge der regularen, S die der singularen Punkte ist -). Die Primteile sind S und die Punkte von /?; die Projektion auf die x^-Achse liefert [0, 1] als stetiges Bild von C. Zwischen jedem Punkt aeS und dem Punkt b(Xj^ = 1, rpg = 0) ist C irreduzibles Kontinuum, zwischen alien andern Punktpaaren ist es reduzibel. Irreduzibel zusammenhangend im Sinne von (y) ist es auch zwischen a und b nicht, da a + / ? zusammenhangend ist; dagegen ist die Menge a + R zwischen a und b irreduzibel zusammenhangend und nach II T schlichtes stetiges Bild von ihr (wieder durch Projektion). [114]

§ 40. Topologische Raume. Homdomorphien werden auch topologische Abbildungen und homoomorphe Mengen topologisch aquivalent genannt; Eigenschaften, die homoomorphen Mengen gemeinsam sind, heiBen topologische Invarianten. So ist die Eigenschaft, ein absolutes G ^ ( | ^ 1) zu sein, topologisch invariant, nicht aber absolute Abgeschlossenheit (Vollstandigkeit); relative ^) Wenn diese verschwindet (Go = C), kann ^ > 0 beliebig sein. 2) Dasselbe leistet die Menge in Fig. 6 (S. 157).

270

§ 40. Topologische Raume.

227

Abgeschlossenheit und Oflenheit sind hingegen wieder topologisch invariant, d. h. ist A in E abgeschlossen (offen) und E mit E, A mit einer entsprechenden Teilmenge.Z homoomorph, so ist A in E abgeschlossen (offen). Die mathematische Disziplin, die sich mit diesen Dingen beschaftigt, heifit Topologie oder (mit einem von R i e m a n n wieder aufgegriffenen Leibnizschen Ausdruck) Analysis situs. Wir haben in sie nicht tiefer eindringen und nur wenige, allgemein gehaltene Satze daraus beweisen konnen. Es ist dies aber der passende AnlaB, in aller Kiirze diejenigen Punktmengentheorien zu streifen, die den topologischen Standpunkt von vornherein zur Geltung bringen und nur mit topologisch invarianten Begriffen arbeiten; ein so definierter topologischer Raum ist von homoomorphen Raumen in demselben Sinne ununterscheidbar, wie in unserer Jheorie ein metrischer Raum von isometrischen Raumen. Dabei handelt es sich nicht bloB um eine formale Umgestaltung der metrischen Theorie, sondern um einen neuen, weiteren Raumbegriff; die metrisierbaren^ d. h. mit metrischen Raumen homoomorphen Raume bilden nur einen Spezialfall unter den topologischen Raumen. Das Primare im topologischen Raum E sind die (in E) abgescMossenen und ihre Komplemente, die offenen Mengen; hierauf stiitzt sich der Stetigkeitsbegriff^ namlich (§ 35, I ) : die eindeutige Funktion x = f(x)^ die den Raum E auf den Raum E abbildet, heifit stetig, wenn jeder in E abgeschlossenen (offenen) Menge als Urbild eine in E abgeschlossene (offene) Menge entspricht. Eine schlichte, beiderseits stetige Abbildung heifit Homoomorphie. Die abgeschlossenen oder offenen Mengen konnen unerklart an die Spitze gestellt oder auf verwandte Begriffe (abgeschlossene Hiille, Limespunkt, Haufungspunkt; offener Kern, Umgebung) zuriickgefiihrt werden, immer unter Wahrung des topologisch in varianten Charakters; die nahere Beschaffenheit des Raumes wird dann durch eine passende Auswahl von Axiomen geregelt, von denen wir nur die drei Hauptgruppen in Betracht Ziehen: Summen- und Durchschnittsaxiome, Trennungsaxiome, Mdchtigkeitsaxiome. Solche Axiome konnen z. B. der metrischen Raumtheorie entlehnt werden, wo sie als beweisbare Theoreme auftreten. I. Summen- und Durchschnittsaxiome, Die abgeschlossenen Mengen soUen unter alien Umstanden den Forderungen geniigen: (1) Der Raum E und die Nullmenge 0 ist abgeschlossen. (2) Die Summe von zwei abgeschlossenen Mengen ist abgeschlossen. (3) Der Durchschnitt von beliebig vielen abgeschlossenen Mengen ist abgeschlossen. Hiernach kann die abgeschlossene Hiille A^ als Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen ^A (zu denen jedenfalls E gehort) definiert werden; sie hat folgende Eigenschaften: 15*

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Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.

(a) 0,-0 (b) A^^A (c) A^^ = A^ (d) (A + BU = A, + B,, Man konnte auch diese Eigenschaften als Axiome liber die Mengenfunktion A^ an die Spitze stellen (K. K u r a t o w s k i ) , abgeschlossene Mengen durch A^ = A definieren und damit die Satze iiber abgeschlossene Mengen beweisen; z. B. folgt (3) daraus, daB wegen (d) ^ « eine monotone Mengenfunktion, d. h. mit A^B auch Acc^Boi^ ist. Fiir die offenen Mengen gelten die entsprechenden Satze: (1) Der Raum E und die NuUmenge 0 sind offen. (2) Der Durchschnitt von zwei offenen Mengen ist offen. (3) Die Summe von beliebig vielen offenen Mengen ist offen. Die Summe aller offenen Mengen g A heiBt der offene Kern A^ und hat analoge Eigenschaften (a, 6, c, d) wie ^ , . Man kann natiirlich auch diese Eigenschaften oder die Satze iiber offene Mengen als Axiome an die Spitze stellen. Eine Modilikation davon bilden die Axiome iiber Urngehungen. Bezeichnen wir die den Punkt x enthaltenden offenen Mengen (zu denen jedenfalls E gehort) mit G^. und greifen aus ihnen ein Teilsystem von Mengen V^ derart heraus, daB jedes G^ ein V^ enthalt; diese U^ heiBen Umgebungen von x^ und die Umgebungen aller Punkte bilden ein {>olles Umgehungssystem fiir den Raum E, Solcher Systeme wird es im allgemeinen verschiedene geben; das groBte besteht aus alien offenen Mengen '>0\ im metrischen Raume bilden die in § 22 eingefiihrten ,,spharischen" Umgebungen Vr^iq) mit positiven Radien q ein solches, aber auch schon dann, wenn man sich auf rationale Q oder ^ = 1, J, i, • • • beschrankt; im separablen Raume bilden die „speziellen'' Umgebungen V von § 25 ein voiles Umgehungssystem; im lokal zusammenhangenden Raum gibt es ein voiles System aus zusammenhangenden Umgebungen. Zwei voile Systeme, mit den Umgebungen U^ und F^., stehen in der Beziehung: jedes U^ enthalt ein V^ und jedes V^ ein V^, Ist der Raum E, mit den Umgebungen f/^, homoomorph mit E, so geben die Bilder der U^ ein voiles Umgehungssystem fiir E: AUS den Satzen iiber offene Mengen ergeben sich folgende Eigenschaften der Umgebungen: (A) Jeder Punkt x hat mindestens eine Umgebung V^\ es ist stet& XBV^,

(B) Zu zwei Umgebungen f/^., V^ desselben Punktes gibt es eine dritte W^ g V^ F^. (C) Jeder Punkt yef/^, hat eine Umgebung Uy^U^, Nun kann man wieder die Umgebungen als unerklarten Begriff an die Spitze stellen und die Satze (A, B, C) als Umgebungsaxiome postu-

272

§ 40. Topologische Raume.

229

lieren ^). Offene Mengen G sind dann als Summen von Umgebungen oder als solche Mengen zu definieren, wo jeder Punkt xeG eine Umgebung U^^G hat (hierzu die NuUmenge mitgerechnet). Dann werden die Satze (1,2,3) liber offene Mengen beweisbar. Mit den bisherigen Axiomen, mag man diese oder jene der erwahnten Formen vorziehen, ist der Raum natiirlich noch sehr arm an Eigenschaften. Es ist sogar noch nicht einmal dafiir gesorgt, da6 einpunktige (und damit nach (2) auch endliche) Mengen abgeschlossen sind. Dies kann man entAveder durch ein Axiom eben dieses Inhalts oder lieber durch folgende Forderung erreichen: Zu zwei verschiedenen Punkten x^ y gibt es eine abgeschlossene Menge, die rr, aber nicht y enthalt. Denn die abgeschlossene Hiille der einpunktigen Menge {%] ist dann diese Menge selbst. — In dieser Forderung kann man das Wort abgeschlossen auch durch offen ersetzen; dann geht sie in das erste der folgenden Trennungsaxiome liber. II. Trennungsaxiome, (4) Ist x^ =1= 0^2, so gibt es eine offene Menge G^, die x^, aber nicM x.^ enthalt. (5) Ist x^ 4= ^2> so gibt es zwei disjunkte offene Mengen G^, G^ mit X-^ B ^\^

X^ S Cr2.

(6) Ist F2 eine den Punkt % nicht enthaltende abgeschlossene Menge^ so gibt es zwei disjunkte offene Mengen Gi^G^ mit x^eG^^ F^^G^, (7) Sind Fi, F^ zwei disjunkte abgeschlossene Mengen, so gibt es zwei disjunkte offene Mengen G^, G2 ^^ ^i = ^i» ^2 S ^2(8) Sind ^ 1 , A2 zwei disjunkte, in ihrer Sunmie abgeschlossene Mengen, so gibt es zwei disjunkte offene Mengen Gj, G^ mit A^^G^, Jedes dieser Axiome, dabei (4) festgehalten, ist eine Verscharfung des vorangehenden, und man erhalt auf diese Weise topologische Raume zunehmender Spezialisierung. In metrischen Raumen gilt das letzte Trennungsaxiom, also alle (vgl. S. 163; der Beweis reicht auch fiir (8) aus). III. Mdchtigkeitsaxiome. Hier wiirde es sich vor allem (wenn man die trivialen endlichen Rtome ausschlieSt) um die Beziehungen zum Abzahlbaren handeln; wir sprechen sie mit Hilfe der Umgebungen in den beiden Abzdhlbarkeitsaxiomen aus: (9) Es gibt ein voiles Umgebungssystem, wo jeder Punkt hochstens abzahlbar viele Umgebungen hat. (10) Es gibt ein abzslhlbares voiles Umgebungssystem. ^) Eine solche Umgebungstheorie wurde in der ersten Auflage dieses Buches durchgeltihrt.

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Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.

Das erste ist in jedem metrischen Raume, das zweite in jedem separablen Raume erfiillt. Das hier gegebene Verzeichnis von Axiomen kann natiirlich erganzt werden; aber die Axiome der Gruppe I und wenigstens eins der Trennungsaxiome sind wohl das Minimum dessen, was man von einem topologischen Raume fordern muB, wenn er nicht gar zu abnorm ausfallen soil. Mit dem zweiten Trennungs- und dem ersten Abzahlbarkeitsaxiom, also mit ( 1 , 2 , 3 , 5 , 9 ) laBt sich schon eine der metrischen annahernd ahnliche Raumtheorie begriinden. Zur Metrisierbarkeit des Raumes ist aber das scharfste Trennungsaxiom, also ( 1 , 2 , 3 , 8 , 9 ) jedenfalls notwendig; es sei hier ohne Beweis erwahnt, da6 zur Homoomorphie mit einem separablen metrischen Raume die Giiltigkeit der Axiome (1, 2, 3, 6,10) notwendig und hinreichend ist (Satz von P. U r y s o h n , etwas verscharft von A. T y c h o n o f f ) . Eine interessante Kategorie topologischer Raume hat M. F r e c h e t aufgestellt: sie legt den BegriiBf der konvergenten Folge oder des Limes (Grenzpunkts) zugrunde. Gewissen Punktfolgen (a:i, o^g,...) des Raumes E sollen eindeutig Punkte x von E zugeordnet sein; eine solche Punktfolge heiBt konvergent (nach x) und der zugeordnete Punkt x = lim x^ ihr Limes. Hierbei sollen die beiden Limesaxiome gelten: (oc) Jede konstante Folge (rr, rr, a:, . . . ) konvergiert nach x. (^) Jede Teilfolge einer nach x konvergenten Folge konvergiert nach X, Der mit einer solchen Limesdefmition ausgestattete Raum heiBe ein L'Raum, Ist ^ g J? und konvergiert eine Punktfolge aus A nach x, so heiBe X ein Limespunkt^) von A\ die Menge der Limespunkte von A sei Ax* Nach dem Axiom (a) ist Ai^A*, die Mengen mit A^ — A werden als abgeschlossen definiert. Dann gelten die Satze (1, 2, 3) iiber abgeschlossene Mengen; das folgt leicht daraus, daB Ax eine monotone Mengenfunktion und wegen ()5) offenbar {A + B)x = Ax + Bx ist. Die abgeschlossene Hiille A^ von A ergibt sich dann nach § 30, 2 als groBte Menge der Folge A^,A\. , ., ^ ^ . . ., die durch A^ = A, ^^+1 = ^ 1 , A"^ == @ .1^' (ri Limeszahl) "^ induktiv definiert ist und mit A^ Ax^ Axx^ - - - beginnt; librigens ist, vermoge derselben Dberlegung wie im Fall eines Baireschen Funktionensystems (S. 167), jedenfalls A^ = A^, d. h. die groBte Menge A^ = A'f wird schon fiir einen Index rj ^ i2 erreicht. ^) Die Limespunkte sind hier, wie wir sogleich sehen werden, nicht notwendig mit den «-Punkten (Punkten der abgeschlossenen Hiille) identisch, sondern bilden nur einen Teil von ihnen.

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§ 40. Topologische Raume.

231

tjbrigens bilden die Funktionensysteme^ auf die eben zuriickverwiesen wurde, das einfachste Beispiel fiir i-Raume; ein Beispiel, aus dem zugleich hervorgeht, da6 im allgemeinen, anders als in metrischen Raumen, Ax noch nicht abgeschlossen ist und die Limespunkte nur einen Teil der durch unbegrenzt wiederholte Limesbildung entstehenden a-Punkte bilden. Die Elemente von E („Punkte'*) seien die in einem Raume T definierten reellen Funktionen x = x(t), und die Konvergenz x — lim x^ werde durch x(t) = limXn(t) erklart, d. h. es soil im gewohnlichen Sinne uberall, fiir jedes teT*^ x^it) nach x(t) konvergieren. Eine Menge A^E ist also ein Funktionensystem, eine abgeschlossene Menge ein Bairesches Funktionensystem (S. 167 und § 43), die abgeschlossene Hiille das kleinste Bairesche System liber A, Ist nun z. B. T die Menge der reellen Zahlen, A das System der stetigen Funktionen x^Ax das der Funktionen y = lim x^^ AXX das der Funktionen z = lim2/n> so ist Ax'^^Axx] die Funktionen y haben namlich, wie wir in § 42 sehen werden, immer noch Stetigkeitspunkte, wahrend die Funktionen z schon uberall unstetig sein konnen. Die abgeschlossene Hiille A^, = A^ wird hier erst fiir TJ = £2 erreicht. Man halte sich das metrische Gegenstiick vor Augen: wenn wir das System Eder beschrankten Funktionen durch die Entfernung xy = Bnjf\x(t)—y(t)\ zum metrischen Raum machen, so bedeutet lim x^ = x gleichmdssige Konvergenz von x^{t) nach x{t) fiir alle t; dann ist Az stets abgeschlossen und Ai = All = . . . = ^^. Eine weitere Abweichung der L-Raume von den metrischen ist, daB in ihnen schon das zweite Trennungsaxiom (5) nicht zu gelten braucht (das erste (4) gilt, da die einpunktigen Mengen wegen des Limesaxioms (oc) abgeschlossen sind). Es kann sogar in einer ganz flagranten Weise verletzt werden. Nennen wir den Raum E zerlegbar, wenn er als Summe Fi -f F2 von zwei abgeschlossenen Mengen < E darstellbar ist (falls JPI, F2 iiberdies disjunkt sind, handelt es sich um eine Zerstiickelung, so daB unzusammenhangende Raume gewiB zerlegbar, unzerlegbare gewiB zusammenhangend sind, jedoch nicht umgekehrt). Wir batten in unserer Theorie niemals AnlaB, diesen BegrifE zu erwahnen, weil, abgesehen von einpunktigen Raumen, die natiirlich unzerlegbar sind, jeder metrische Raum zerlegbar ist. Sogar ist jeder Raum, in dem das zweite Trennungsaxiom (5) gilt, zwischen zwei beliebigen seiner Punkte x^ 4=^ Xg zerlegbar, d. h. so, daB Xj^ nur zu F^ und nicht zu F2, x^ nur zu F^ und nicht zu F^ gehort: man braucht unter i^i, F^ nur die Komplemente (JF^ = E — G^J F2 = E — Gj) der in (5) genannten offenen Mengen zu verstehen. — Da offenbar das stetige Bild eines unzerlegbaren Raumes wieder unzerlegbar ist (wie das eines zusammenhangenden wieder zusammenhangend war), so muB dieses Bild, falls es ein metrischer Raum ist, einpunktig sein: insbesondere ist in einem unzerlegbaren Raum jede reelle stetige Funktion

275

232

Neuntes KapiteL Reelle Funktionen.

konstant, Bei dieser paradoxen Beschaffenheit der unzerlegbaren Raume ist es besonders merkwiirdig, daB ein (mehrpunktiger) L-Raum unzerlegbar sein kann^ wie folgendes Beispiel zeigt. E sei eine Kreisperipherie, fiir deren Drehungen um den Mittelpunkt wir einen positiven Sinn festsetzen; das Zeichen q> bedeute eine Drehung um den festen Winkel 27cd,vfO d irrational ist; der Punkt x von E gehe hierdurch in a;^, die Menge A^E in A^^ iiber. Als konvergent definieren wir erstens die konstanten Folgen (re, re, X,. . .) mit dem Limes Xy zweitens die aus lauter verschiedenen Punkten bestehenden, im gewohnlichen Sinn (auf Grund der elementargeometrischen Entfernungen) nach einem Punkt x konvergenten Folgen, diesen geben wir aber den Limes Xfp. Die beiden Limesaxiome sind erfiillt. Dann ist Ai == A + (A')^, wo A' die Menge der Haufungspunkte von A im gewohnlichen Sinn bedeutet. Wir behaupten nun, daB iiir E ~ A + B mindestens eine der Gleichungen ^4^ = £ , B^ = E besteht, wo mit die Unzerlegbarkeit von E gezeigt ist. Liegen auf jedem Kreisbogen Punkte von Ay so ist A' = E, Ax = £ , also erst recht A^^ = E. Ist das Gegenteil der Fall, so enthalt B einen Kreisbogen C (mit Endpunkten). Dann ist

C=^C,Cx = C+C^,Cu

= C + C^+C^^ usw., C,^C + C^ + 6^,^+ -

und diese Menge ist die ganze I^eisperipherie, denn wenn x der mittelste Punkt von C ist, so ist die Menge {a;, a;^, rc^^^,.. .} in E dicht (im gewohnlichen Sinn). Also ist C^ = E, B^= E.

Neuntes

Kapitel.

Reelle Funktionen. [115]

§ 41. Funktionen und Urbildmengen. 1. Urbildmengen. Im Raume A (der zun^chst iibrigens nur eine reine Menge, kein metrischer Raum zu sein braucht) sei eine eindeutige reelle Funktion f(x) definiert, d. h. jedem Punkt xeA eine reelle Zahl f{x) zugeordnet. Die Menge der Punkte rr, wo f(x)>y {y eine gegebene reelle Zahl), werde wie in § 22 kurz mit [/ > y] bezeichnet; ebenso sind Mengen wie [/ ^ ?/], [y y] uJ^d [/ < y] zu betrachten; statt der letzteren nehmen wir lieber 1) Ist auch X eine reelle Variable, so kommt noch Unterscheidung zwischeii rechts und links in Frage.

276

§ 41. Funktionen und Urbildmengen.

233

ihre Komplemente und nennen die Mengen U>yl U^y] die zur Funktion / gehorigen Urbildmengen (oder Lebesgueschen Mengen), [116] Zwischen beiden Arten bestehen aber Relatione!); es ist

U^y] (1)

2) n

[/ > y] = ® f^y

(n=i,2,3,

+

Eine Funktion b^stimmt ihre Urbildmengen, aber auch umgekehrt; und zwar sieht man aus (1), da6 bereits die Mengen [/ > y] zur Bestimmung von / ausreichen, denn dann sind aucb die Mengen [/ ^ y] und, als Differenzen, die Mengen [/ = y] bekannt. Auch die Mengen [/ > y] brauchen nicht samtlich bekannt zu sein, da zwischen ihnen weitere Relationen bestehen; es genxigen z. B. die Mengen [/ > r] fur rationales r, da Zwischen den Mengen [/ > r] bestehen nooh die Relationen [ / > r ] = ® [/>e], ^ = @ [ / > r ] , 0 = S r / > r ] , (t>r

r

r

und der Leser wird sich leicht iiberzeugen, daB ein diesen Bedingumgen geniigendes System von Mengen M(r) wirklich eine (und nur eine) Fiinktion / mit [f > r ] = M(r) definiert. Der Zusammenhang zwischen den Eigenschaften einer Fuaktion und denen ihrer Urbildmengen wird der Hauptgegenstand dieses Kapitels sein. Ein Ergebnis dieser Art ist uns bereits bekannt: ist / eine stetige Funktion, so ist jede Menge [f > y] offen (in A), jede Menge [f^y] abgeschlossen. Hiervon gilt auch die Umkehrung: wenn alle Mengen [/ > y] und [/ < z] offen sind, so auch ihre Durchschnitte [y < f yl = [/i > y] + [/a > 2/] [/ ^ y] = [/i ^ 2/] + [ft ^ y] (2)

I

[f>y]=Ui>y'iU2>y] U^y'i=[fi^y]Ut^y]-

111

234

Neuntes Kapitel. Reelle Fanktionen.

Fur die Summe / = /x+/2 besagt f>y oder h> y — fz die Existenz einer (von der betrachteten Stelle X abhangigen) rationalen Zahl r mit fi> r> y — f2 oder /^ > r, /g > 2/ —- r, woraus man die erste der beiden Formeln

r

erhalt; die zweite ergibt sich durch entsprechende Behandlung von U
f [g > 2/] = f [/n > y] [h^y]==^Un^y], ^

n

walirend sich die mittleren Formeln (2) nicht auf unendlich viele Funktionen iibertragen lassen. Es erscheint nach (5) nicht unpassend, die Funktionen s u p / ^ mit /^, die Funktionen inf/n wiit fs zu bezeichnen. Die obere Grenze /^^ einer Folge von Funktionen /^ ist wieder ein /^, denn statt g = supg^, g^ = sup/,„„ m

n

kann man schreiben: g = sup /^„ = sup [/ii, /i2, /21,. . .] mn

mit Verwandlung der Doppelfolge in eine einfache; ebenso ist /^^ ein /
278

§ 41. Fcinktionen und Urbildmengen.

235

schreiben kann; die g^ sind Funktionen /^, lim/„ also ein /^^, ebenso [119] limfn ein fsa- Die Grenzfunktion lim/^ einer konvergenten Folge ist beides zugleich. Im Falle gleichmafliger Konvergenz tritt eine wesentliche Vereinfachung ein: die Grenzfunktion lim /„ einer gleichmdpig koni^ergenten Folge ist zugleich ein f^ und /^, vorausgesetzt, daB wir die Funktionen / einem System entnehmen, dem zugleich mit / auch / + constans angehort. Denn wenn | 99 — /n I ^ e„, e^-^O, so ist (p = inf (/« + e„) =^ sup (/„ — g„). Um den Aussagen fiber Urbildmengen eine bequeme Form zu geben, treilen wir folgende Verabredung. Die Mengen M^N soUen gegebene Mengensysteme SJJJ, ^ durchlaufen. Wenn dann [/ >*t/] fiir jedes y ein M ist, so sagen wir: die Funhiion / ist von der Klasse ( 1 / , *). Wenn [/ ^ y] stets ein N ist, sagen wir: / ist von der Klasse (*, N), Wenn beides gilt: / ist von der Klasse (ikf, iV). Z. B. sind die stetigen Funktionen des metri- [120] schen Raumes A von der Klasse (G, JF), wo G die offenen, F die abgeschlossenen Mengen des Raumes -4 durcMauft, und vice versa. Wenn insbesondere die N die Komplemente A -- M der M sind, so sind die Aussagen gleichbedeutend: / ist von der Klasse (M^ *), — / ist von der Klasse (*, iV). Nehmen wir jetzt an, da6 die M wie die N einen Ring bilden (Summe und Durchschnitt zweier M ist ein J/, Summe und Dinrchschnitt zwei^ N ist ein N), Dann konnen wir folgende Satze aussprechen: I. Wenn die Funktionen f von der Klasse (ilf, *) sind^ so ist max [/i, /g] und min [/i, /j] ebenfalls von der Klasse (Jf, *), fs = inf fn von der Klasse (*, M^), fa = sup fn und /i + /2 ^^'^ ^^^ Klasse (ilf^, *). II. Wenn die Funktionen f von der Klasse (*, N) sind^ so ist max[/i, f^] und min[/i, /j] ebenfalls von der Klasse (*, iV), f„ = sup fn von der Klasse {N^^ *), /a = inf fn und f^ + /j von der Klasse (*, iVj). Alle diese Behauptungen folgen unmittelbar aus (2) (3) (5); nur bei den mittleren hat man noch (1) heranzuziehen. Sind die / von der Klasse (Jlf, *), so sind sie zugleich von der Klasse (*, M^) und /^ ist von der Klasse (*, M^^^) = (*, M^). Sind die / von der Klasse (*, iV), so auch von der Klasse {N^, *) und /^ von der Klasse (JV^^, *) = (iV^, *). Wir woUen ein System von Funktionen / ein gewohnliches Funktionensystem nennen, wenn es folgenden Postulaten genligt: (a) Jede konstante Funktion ist ein /. (P) Maximum und Minimum zweier f ist ein f. (y) Summe^ Differenz^ Produkt und Quotient (mit nirgends verschwindendem Divisor) zvi^eier f ist ein f.

279

236

Nenntes Kapitel. Reelle Fanktionen. Wegen der Identitaten | / | = max[/,

-/]

kann die Forderung (j9) durch diese ersetzt werden: der Betrag jedes f ist ein /. Ein gewohnliches Funktionensystem heiBe vollstdndig^ wenn es auch noeh dem Postulat geniigt: (d) Der Limes einer gleichmd/iig konvergenten Folge von Funktionen f ist ein /. Wir haben dann folgenden Satz: III. Die Mengen M, zu denen der ganze Raum A und die Nullmenge gehort^ sollen einen a-Ring^) bilden, ihre Komplemente N = A — M demgemd^ einen d-Ring, Dann bilden alle Funktionen f der Klasse (M, N) ein vollstdndiges System, Denn (a) ist erfiillt, da A und 0 Mengen ilf, N sind; (j5) gilt, weil nach I I I max [/j, /g] und min [/j, /g] von der Klasse (M^N) sind. Ferner ist nunmehr /^ und fi + f^ von der Klasse (if/,*), fs und fi + fz ^^n der Klasse (*, iV), also /^ + /j und der gleichmaBige Limes von Funktionen / von der Klasse (ilf, iV); (d) ist erfiillt. Mit der Summe ist auch die Differenz zweier / ein /, da — / ein / ist. Das Quadrat eines / ist ein / ; denn [f > y] ist f iir y < 0 der ganze Raum, tur y^O Summe der beiden Mengen [/ > ]ly] und [/ < — ]/y], also ein ilf; ebenso [p ^ y] ein N. Danach ist das Produkt zweier /

/./.=m-M ein /. Mit / 4= 0 ist 7 ein / ; denn U > 2/ ist fiir a/ > 0 mit ^ < / < ^ h welches Durchschnitt zweier M ist, identisch, fiir y = 0 mit [/ > 0], fiir y <0 mit der Summe der Mengen [/ > 0] und / < - • Also -^ 1 1 und ~ T sind von der Klasse (M, *), 7 von der Klasse (ifef, iV). Damit ist auch die Giiltigkeit von (y) bewiesen. [121] 2. Erweiterung gewohnlicher Systeme. Es durchlaufe / ein gewohnliches Funktionensystem. Sodann bedeute /* den Limes einer (iiberall) konvergenten Folge von Funktionen /, speziell g den einer aufsteigenden (/i ^ /2 ^ • * *)) ^^ den einer absteigenden (/i ^ /2 ^ • • •)» ^ cine Funktion, die zugleich ein g und ein h ist. In dem Schema

f k I r* d. h. einen Ring und ein c-System (jedes Ma ist ein M).

280

§ 41. Funktionen und Urbildmengen.

237

ist jede Funktion Spezialfall der rechts folgenden; es ist iibrigens mit - /

- k

~^

-/*

identisch. Von den auf g und h beziiglichen Tatsachen werden wir kiinftig meist nur die eine Halfte beweisen. Jedes g ist ein /^ = sup /„, aber auch umgekehrt, weil sup /n = lim max [/j, /g,. . ., / „ ] . Zu den k (die gleichzeitig /^ und j§ sind) geh5ren insbesondere die Limites gleichmaBig konvergenter Folgen /^. Der Limes gleichmaBig konvergenter g„, A„, /c„ ist ein g, A, k (lim g^ ist ein g^ = g, lim 4i ein Aj = h). Maximum y Minimum^ Summe zweier g isi ein g. Denn weim tnyfn aufsteigend nach g, g' konvergieren, so konYergiereiii m a x [ ^ , / i ] ^ niin [/«,/;], /„ + / ; aufsteigend nach max [ g , g ' l min [g,g'], g-^-g'. Maximum, Minimum, Summe, Differenz, Produkt zweier/* ist naturlich ein /*, aber auch der Quotient (mit nirgends verschwindendem Divisor). 1 Es geniigt zu zeigen, daB mit q>^0 auch — ein /* ist. Ist iiberall 9? > 0 und (p — lim /^, so kann man auch /« > 0 annehmen, indem man es durch max /„,

ersetzt, welches nach max [y^, 0] = 9? konvergiert, und dann

,. 1 ist (p = \\vci~r'

. ^ . . 1 1 ^ , 1st 9 5 ^ 0 , so ist — = 95-—2 Produkt zweier /*, also [122]

ein /*. Die /* bilden also ein gewohnliches System, aber dariiber hinaus gilt: IV. Der Limes einer gleichmaBig koriQergenten Folge von Funktionen /* isi ein /*; die /* bilden ein vollstdndiges System. Zunachst bemerke man: wenn /* = lim/„ vom Betrage ^ e ist, so kann man auch | /« | ^ e voraussetzen, denn /4 — max [/^, — e] und f^ = min [/^, e] konvergieren ebenfalis nach /*. — Nun sei F gleichmaBiger Limes von Funktionen FQ, F^, , . . , die Funktionen /* sind; man kann mit Beschrankung auf eine Teilfolge voraussetzen, daB jP^ von alien folgenden um hochstens Cwt+i abweicht (M = 0 , 1 , . . . ) , wo ^1 + ^2 + ' • * ^i^® konvergente Reihe positiTer Zahlen ist, und demnach schreiben

F~F^=iF^~F^}+iF^~F,)+ Oder

fp = ^^^

^^^

«^

,..

wo die 99^ (m = 1 , 2 , . . . ) Funktionen /* vom Betrage ^ e^ sind; lu zeigen ist, daB 9? ein /* ist. Nach dem oben Gesagten kann man

281

238 annehmen.

Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen. Dann konvergiert aber fn = fin + fzn + • • • + fnn

nach 99, womit die Behauptung bewiesen ist. In

In der Tat ist iur n>

m

' v/ln + • • • + Jmn) ^^^ /m+l,n - } - • • • - } - /„^

vom Betrage ^ e^^^ H gesetzt wird; aus

h ^n < ^m, wenn 6^ == e^+i + ^^+2 + • • •

/in + • • • + imn — <3^ < /» < /in + * ' * + /mn + ^w

folgt fiir n-^ CO 9^1 H \-%^-d^^lnrifn^lirrif^^(p^-{ und daraus fiir m -^ 00

\-(Pm + &m

lim/„ = ^^i + ^'aH "=9^ Wir bezeichnen nun die Urbildmengen [f>y] [f^y] [g>y] [h^y] [f* > y] [^^y] mit M . N P Q M"^ iV* ; also bedeutet z. B. M alle Mengen, die als [/ > yl erscheinen, wenn / das betrachtete Funktionensystem und y die reellen Zahlen durchlauft, wobei man iibrigens y fest, etwa y = 0 annehmen kann, ddif — y wieder ein / ist. Definitionsgemafi sind die Funktionen /, g, A, A;, /* von den Klassen {M,N), (P, *), (*, 0}\ dann erfiillt /' == max [/, 0] die Forderung. Dasselbe tut iibrigens f = min[/', e] fiir £ > 0, d. h. die in (A) geforderte Funktion kann noch beliebig klein (0 ^ / ^ e) angenommen werden.

282

§ 41. Funktionen und Urbildmengen.

239

(B) Zu jedem M^ gibt es eine Funktion F, die Limes einer gleichmdpig konvergenten Folge von Funktionen /, ferner in M^ positiv ist und sonst verschwindeL Sei ilft, = ilfi -}- ^ 2 + * * *' £i + ^2 + • • • eine konvergente Reihe positiver Zahlen; man bestimme nach (A) eine Funktion /„ mit 0 ^ /„ ^ «„, die in M^ positiv ist und sonst verschwindet. Dann ist

F = h + U+'eine Funktion der verlangten Art. (C) Zu jedem M gibt es ein g, das in M gleich 1 und sonst gleich 0 ist. Wir wahlen / wie in (A), dann sind z. B.

nf

g = hm j q — ^ ,

g = hm mm [nf, 1]

Funktionen der verlangten Art. (D) Zu jedem M^ gibt es ein g, das in M^ gleich 1 und sonst gleich 0 ist. Ist il/<, = Jfi + -^2 + * • 'j so sei gemaB (C) g^ eine Funktiofi^ di@ in Mn gleich 1 und sonst 0 ist; dann ist g = sup gn (welches noch ein g ist) eine Funktion der verlangten Art. Nunmehr konnen wir V umkehren: VI. Die Mengen M^, Ns, Qc, Ps sind Mengen P, 0] ein P ; natiirlich auch jedes N^ ein Q. Zugleich ist aber M^ = [g ^ 1] ein N* (da g ein /* ist), also jedes P ein iV*, jedes Q ein 1/*, jedes Q^f ein il/*. Wendet man dann (B) an, aber nicht auf die/, sondern auf die /*, wobei nun die in (B) genannte Funktion F wegen IV ein /* ist, so folgt, daB jedes M* = [^ > 0] ein J/* ist. Also ist jedes Q^j ein M"^^ ebenso jedes Ps ein N*. Es sind also die P, Q, JIf*, N* identisch mit den If^, N^^ Q^, P§ Oder (bei Elimination der P, Q) die JW"*, iV* mit den iV^^, 1/^^; der Obergang von den / zu den /* induziert fiir die Urbildmengen den a- und ^-ProzeB. 3. Umkehrung der Klassensatze. Wir kommen nun zum Hauptsatz der ganzen Theorie, namlich: VII. Die Funktionen der Klasse (P, Q) sind identisch mit den Funktionen i\ die das kleinste vollstdndige System iiber dem System der f bilden, Eine Halfte der Behauptung folgt aus III. Die P bilden einen Ring, dem (wegen des Postulats (oc) fiir gewohnliche Systeme) der Raum A und die NuUmenge angehort; sie bilden liberdies wegen ihrer Identitat mit den M^ ein or-System (P^ ist ein P), Das Entsprechende gilt von ihren Komplementen Q = A — P, Die Funktionen der Klasse (P, Q)

283

240

Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen.

bilden demnacli ein voUstandiges System iiber dem System der / ; das kleinste voUstandige System dieser Art mu6 in ihm enthalten sein, d. b. jede Funktion v ist von der Klasse (P, Q). Um zu zeigen, da6 auch umgekehrt jede Funktion (p der Klasse (P, Q) ein V ist, schicken wir voraus: falls y^ < y^^ so gibt es stets eine Funktion v derart, daB fiir t;==0, 0 2/1], P2= [(f < 2/2]- Zu diesen Mengen p = M^ gibt es nach dem Hilfssatz (B) Funktionen v-^^ v^ (Limites gleichmaBig konvergenter Folgen /,»), die in diesen Mengen positiv sind und in ihren Komplementen ^ 1 = [9? ^ ^i], ^ 2 = [9^^2/2] verschwinden. Da ^1^2 = 0, so verschwinden v^, v^ nicht zugleich, es ist v-^ + V2> 0 und die Funktion v = — ;

erfiillt die gestellte Forderung ^). In der Tat

ist in den obigen drei Mengen QiP^ Vj^ = 0

P1P2 v^> 0

P1Q2 ^1 > 0

Vg > 0

^2 > 0

^2 =

0

-^ = 0 0 < v < l V = 1, Ist nun zunachst q) beschrdnkt^ etwa 0 ^ 99 ^ 1, so wahle man eine (beliebig groBe) natiirliche Zahl n^ bestimme fiir m = 1, 2, . . ., AI eine Funktion i;^ so, daB fiir m—1 m—1 m m

1 und setze v = ~ {v-^ + * • * + ^n) (die Bedeutung von v^^ v.^,^ v ist anders als oben).

Ist, in einem Punkt x^

% = • • • = ^m-i = 1,

^cp^—,

so ist

0 ^ t;,^ ^ 1, i;^a.i == . . . =t;« = 0,

TtX

dort m—1 also —^

1

< ! ? < — , demnach iiberall \w — v\<—. Man kann also w durch ein V gleichmaBig approximieren, wonach cp selbst ein v ist. Ist 0 von der Klasse (P, Q)^ aber nicht beschrankt, so ist

(')

^ = 11^01

beschrankt (— 1 < 99 < 1) und von derselben Klasse. Beziehung

Denn durch die

^) V braucht nicht mehr gleichmaBiger Limes von Funktionen / zu sein, gehort aber dem kleinsten vollstSindigen System tiber den / an.

284

§ 41. Funktionen und Urbildmengen.

241

y-i+\Y\^ 1-12/1 wird das offene Intervall — i y] ist, fiir — 1 < z/ < 1, eine Menge [0 > Y] und umgekehrt; zu jenen tritt, fiir ^ ^ — 1 und 2 / ^ 1 , noch der ganze Raum und die NuUmenge hinzu, die aber, wie schon gesagt wurde, ebenfalls Mengen P sind. Mit 0 ist also auch q? von der Klasse (P, *), und umgekehrt; das namliche gilt von (*, Q). Danach ist q> wieder ein v^ folglich aber auch (8)

0 = r-^,

ein V, und der Satz VII ist bewiesen. Diese „Beschrankungstransformation", die Ersetzung der unbeschrankten Funktion 0 durch die beschrankte q>^ wird noch weiterhin anzuwenden sein. VIII. Bilden die Funktionen f ein i^ollstdndiges System^ so bilden die M einen a-Ring^ die N einen d-Ring^ und die Funktionen der Klasse (M, N) sind mit den f identiseh. Denn Hilfssatz (B), wo F nunmehr ein / ist, zeigi, daB jedes M„ ein M ist. Die P, Q werden dann mit den M^ N identisch, die Funktionen v mit den /, und der Rest der Behauptung folgt aus VII. Der Satz VIII ist gleichzeitig die Umkehrung von III. Die Voraussetzung der VoUstandigkeit triflt nun nach IV jedenfalls fiir die /* zu, also: IX. Die Funktionen der Klasse (ilf*, N*) sind mit den f* identiseh. Suchen wir nun die Umkehrung der Tatsache, daB jedes g von der Klasse (P, *) ist. DefinitionsgemaB gibt es zu jedem g ein f^g^ eine Minorante f. Umgekehrt gilt nun auch: X. Jede Funktion der Klasse (P, *), die eine Minorante f hat, ist ein g. Sei q> von der Klasse (P, *) und 0. Auch 99 + / ist von der Klasse (P, *), wie aus (3) vermoge P = M^ folgt, und wir konnen also mit vertoderter Schreibweise q>> 0 annehmen. Fiir ein <5 > 0 und /i = 1, 2 , . . . suchen wir zu der Menge [(p> nd]^ die ein P = M^ ist, nach dem Hilfssatz (D) ein g„, das in dieser Menge 1 und sonst 0 ist. Die iiberall konvergente Reihe g == ^ (gl + g2 + • • •), der en Glieder ja fiir jedes x schlieBlich verschwinden, stellt als Limes aufsteigender g ein g dar. Ist in einem Punkt (n — i)d < (p
' -

=

gn~-l = 1 ,

gn =

gn+1 = • • • - = 0,

H a u s d o r f l , Mengenlehre.

g == (n -

I) d 16

285

242

Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen.

und also iiberall 0 < 9? — g ^ <5. q> laBt sich also durch Funktionen g gleichmaBig approximieren und ist selbst ein g. XL Jede Funktion der Klasse (P, *) ist Limes einer aufsteigenden Folge von Funktionen v der Klasse (P, Q), Fiir eine beschrankte Funktion ist dies in X enthalten. Ist 0 unbeschrankt und von der Klasse (P, *), so machen wir wieder die Beschrankungstransformation (7); q> ist von der Klasse (P, *) und beschrankt (— 1 < 9? < 1), also ein g; 9? = lim f^ mit /^ ^ /g ^ • • •, wobei man — l^fn^q>
/n+l + T /n+2 H

,

dies ist als Summe einer gleichmaBig konvergenten Reihe von Funktionen / ein V (sogar ein k), Offenbar ist /„ ^ t?„ ^ v^^i ^ 9?, v^ konvergiert aufsteigend nach 9?. In v^ ^ /^ kann das Gleichheitszeichen nur gelten, wenn fn = /n+l = fn+2 = * * ' , ^Iso v^ =

— 1; audemfalls ist Vn > /n ^ —1Da also stets — 1 < -y^ < 1, so konnen wir die Funktionen

bilden, die wieder Funktionen v sind und aufsteigend nach 7~---j—r = 0 konvergieren. Die entsprechenden Satze gelten liber die Funktionen der Klasse (*, (2); sie sind, wenn sie eine Majorante / haben, Funktionen fe, jedenfalls aber Limites absteigender Folgen von Funktionen v, Jede zwischen zwei Funktionen / verlaufende Funktion v der Klasse (P, Q) ist zugleich ein g und A, also ein k. Da also insbesondere jede beschrankte Funktion v ein k ist, so folgt aus der Beschrankungstransformation, dafi man jede Funktion k V in der Gestalt . . , . mit \k\
286

§ 41. FuDktionen und Urbildmengen.

243

Bilden die / nur ein gewohnliches System, so ist XII auf die v anwendbar: die v, v^, vs, «?* sind identisch mit den Funktionen der Klassen (P, Q), (P, *), (*, Q), (Qa, P$). Dabei sind nach IX die /* mit den f* identisch, wahrend die /, g, h (oder /, ^ , /^) nur einen Teil der v, v^^ v$ bilden; die g sind identisch mit den v^j, die eine Minorante / haben; die h mit den v,^, die eine Majorante / haben; die k (von denen wieder die / nm* ein Teil sind) mit den v^ die zwischen zwei Funktionen / verlaufen. Der Leser moge die bisherigen Betrachtungen noch einmal liberblicken und sich etwa folgendes einfaches Beispiel vor Augen halten: die / seien die Funktionen, die nur endlich viele Werte annehmen; dann sind die g die nach unten beschrankten, die h die nach oben beschrankten, die k die beiderseits beschrankten, die v und /* die voUig willkiirlichen Funktionen. DaB in der Tat jede nach unten beschrankte Funktion, etwa
, - , . . .,

, —[ sei fn(x) die grofite Zahl

fn ist ein / und konvergiert nach 9?, denn fiir ?i > 9? ist /„ ^ 9? < Da /?^ < i?2„, ist fj, < f2n, die Funktionen / j , /o, f^, /g, • • • kon-

vergieren aufsteigend nach 9?. Die tibrigen Behauptungen sind ganz leicht einzusehen. Schon die Mengen if, iVund um so mehr die P, Q^ 1/*, iV* sind die willkiirlichen Teilmengen von A. Hiernach verfolge man die Umkehrung der Klassensatze, z. B. dafi nicht jede Funktion der Klasse (ilf, N) ein / ist oder da6 in X die Einschrankung, wonach die fragliche Funktion eine Minorante / haben (d. h. nach unten beschrankt sein) soil, nicht wegbleiben darf. 4. Einschiebungs- und Erweiterungssatz. [123] XIII (Einschiebungssatz). Wenii g eine Funktion g, h eine Funktion k g^k^h. and uberall g^h ist^ so gibt es eine Funktion k mit Wir setzen zur Abkiirzung tur reelles t (9) {t} = max[t,0] = i \ t \ + l t ; das ist eine stetige Funktion von ^, die nichtnegativ ist und mit w^achsendem f zunimmt (genauer: nicht abnimmt). Sodann stellen wir folgende Betrachtung an, auf die wir nachher (beim Beweise von XVI) noch einmal zuriickgreifen werden. Sei 9) = lim9?„, (Pi2^ ' * ' y) = lim y)n, ^1 ^ y^g ^ * ' * und (p^y).

Es ist

(10) tPi~(Pi^y)i — (p2^W2 — 92^V2 — 9z^' "y daher auch iWi - 9^1} ^ {^1 - (P2} ^ {W2 " 9^2} ^ {V2 - 9^3} ^ - • 16*

287

244

Neuntes Eapitel. Reelle Funktionen.

und diese Funktionen konvergieren nach {y; — 9?} = 0. Die alternierende Reihe (11) o)-=i- 9?i} - {fi - 9^2} + {^2 - n] - {W2 - Vz] +konvergiert daher iiberall; wir behaupten, daB ^ p ^ c o ^ y . Unterscheiden wir die Punkte mit q) = y) und (p> ip. Isi

y)^ so werden die Glieder (10) schliefilich negativ. 1st das erste negative Glied y)^ — (Pnt also 9? ^ 9?^ > -^^ ^ y;, so ist (^=^ W' Ist das erste negative Glied ^n — 9^n+ij also q) ^ q>n-\-i > Wn^% so ist ^ = 9^1 + (Vl ~ 9^1) V (Wn — 0) ^ y>' Um nun XIII zu beweisen, sei 9? := g, y = A; die Funktionen 9?^, y„ seien Funktionen /. Auch die Glieder und Partialsummen der Reihe co sind Funktionen / ; da die Partialsummen mit ungerader Gliederzahl eine aufsteigende, mit gerader eine absteigende Folge bilden, ist co gleichzeitig ein g und ein A, also ein k. Bei dem folgenden Satz handelt es sich darum, eine in der Menge B y] der Durchschnitt von B mit einem M ist, und entsprechend fiir die Klassen (*, N) und (ilf, N), XIV (Erweiterungssatz). Ist QQ eine Menge Q^ so la/it sich eine in Qo definierte Funktion von der Klasse (P, Q) zu einer im ganzen Raum A definierten Funktion 9on der Klasse (P, Q)^ d, h, zu einer Funktion v erweitern, Es sei PQ = A — QQ] (p sei in QQ definiert, von der Klasse (P, Q) und zunachst beschrankt, etwa — 1 ^ 9? ^ 1. Wir defmieren die Funktion h: h ~ q) in QQ, h = — 1 in PQ und behaupten, daB dies ein h ist. Sie ist namlich von der Klasse (*, Q), da [h^y] iiir y> — 1 mit [q) ^ y] (welches ein ^0 Q^ also ein Q ist) libereinstimmt, fiir y ^ — I aber der ganze Raum ist; uberdies ist h beschrankt. also nach X ein h. Ebenso schlieBt man, daB die Funktion g: g = q) in QQ, g ==: I in PQ ein g ist (— g ist ein A). Da g ^ h, laBt sich eine Funktion k einschieben, g ^ k "^ h] in QQ isi k = q), q) laBt sich hier speziell zu einem k erweitern. Wir woUen noch zeigen, daB fiir | 9) | < 1 auch \k\ < i erreicht werden kann. Bestimmen wir k wie soeben, so ist | A: | ^ 1; das Gleiohheitszeichen kann nur in Punkten von PQ gelten. Wir bestimmen nun nach

288

§ 41. Funktionen und Urbildmengen.

245

Hilfssatz (B) ZUPQ? welches ein M^ ist, eine Funktion Ao (wieder ein A*), die in PQ positiv ist und in QQ verschwindet. Die Funktion v = . , ist jedenfalls ein v (wegen der Beschrtoktheit aber immer noch ein k)\ in QQ ist v = k == (p, in P© 1 '^ I < I * I ^^^^ ^^ ~ ^» ^^^^ durchweg | i; | < 1. Ist endlich 0 in QQ definiert, von der Klasse (P, Q) und nicht beschrankt, so machen wir die Beschrankungstransformation (7). Auf (p treffen die vorigen Voraussetzungen zu, es laBt sich zu einem v mit V

11; I < 1 erweitern, und 0 laBt sich zu F = T \—r erweitern, d. h. 1 — IVI ' * ' ' zu einer Funktion v. 5. Absolute Konvergenz. Die Funktionen /* lassen sich als Summen konvergenter Reihen von Funktionen / darstellen: /* = lim/« - /i + (/2 ~ /i) + (/a - /2) + • • • = 9^1 + ^2 + 9^3 + • • •

Wenn wir hier statt der einfachen absolute Konvergenz fordern (d. h. I 9^11 + I 9^2 I + • ' • soil iiberall konvergieren), so werden wir nur einen Teil der Funktionen /* erhalten: bezeichnen wir diese Funktionen mit d, Sie bilden wieder ein gewohnliches System, Denn zun^chst ist Summe, Differenz und Produkt zweier d wieder ein d. Sodann ist der Betrag | d \ eines d wieder ein d] denn wegen |I i3 | — | ^ || ^ | j3 — ^ | ist mit der Reihe /^ + (/2 — /i) + * * • auch diejenige absolut konvergent, die aus ihr durch Vertauschung von /^ mit | /„ \ entsteht. Es ist nur noch zu be1 weisen, da6 mit d 4= 0 auch ^ ein d ist. Sei zunachst d = lim/„ > 0; setzt man /^ = max /n, '^ I» welche Funktion ebenfalls nach d konvergiert, so erhalt man, am raschesten aus der evidenten Ungleichung max [^1, /SJ - max [oc, /3] ^ max [^^ - ^, /5i ~ jS] ^^^ die Abschatzung | /;^.i - /i I ^ I /n+i ~ /n I + (" - ^T+Jp ^^^ daher /„ durch /^ ersetzen, also von vornherein /« > 0 annehmen. Dann j - — ^, , ^^ zugleich mit /« . i — L das ist :v = lim 7- und i d

fn

/n+l

/n

/n/n+1

^

^**^^

'

1 allgemeine Glied einer absolut konvergenten Reihe; -j ist ein d. Ist endlich 1 1 d ^ 0, so ist -1 = d • -^ als Produkt zweier d wieder ein d, Aus der Zerlegung

folgt, dafl bei absoluter Konvergenz 289

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Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen.

d = :S(Pn = :S{(pn}-2{-(Pn} Differenz von zwei konvergenten Reihen mit Gliedern ^ 0 ist; d. h. jede Funktion d ist als Differenz g — g* zweier Funktionen g darstellbar, wofiir man (mit g = ^ h\g^ = — h) auch h — h' oder g + h setzen kann: Differenz zweier Funktionen h oder Summe eines g und eines h. (Wogegen g -~ h == g + g^ wieder eing^h — g = h + h' wieder ein h ist.) Umgekehrt ist klar, da6 die Funktionen g, h und ihre Summen und Differenzen wieder Funktionen d sind. Bei Beschrankung auf absolute Konvergenz entstehen also aus den / die Funktionen (12) d = g-^g' = h~h'-^g + h. Nennen wir eine reelle Funktion, deren Wertmenge isoliert ist, eine Treppenfunktion, so gilt: XV. Jede Funktion /*, die zugleich eine Treppenfunktion istj ist eine Funktion d, Dem Beweise schicken wir folgende Bemerkung voraus. Bezeichnen wir diejenigen Mengen, die gleichzeitig M* und iV* sind, mit i?, so ist jede Funktion 9?, die eine Treppenfunktion /* ist, von der Klasse (R, R). Denn die Menge [(p > y] ist, wenn

0 mit [(p^y~\-d] identisch; ebenso die Menge [y] oder mit [

y — d]\ beide Mengen sind zugleich M* und iV*. Die Mengen R bilden offenbar einen Korper. Bei jeder Funktion der Klasse (/?, R) sind auch die Mengen [