Elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung eine Einführung mit historischen Bemerkungen

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Author: Ernst Wienholtz | Hubert Kalf | Thomas Kriecherbauer

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Elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Ernst Wienholtz · Hubert Kalf · Thomas Kriecherbauer

Elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung Eine Einf¨uhrung mit historischen Bemerkungen

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Prof. Dr. Ernst Wienholtz (1931–2003) Prof. Dr. Thomas Kriecherbauer Ruhr-Universit¨at Bochum Fakult¨at f¨ur Mathematik 44780 Bochum [email protected]

Prof. Dr. Hubert Kalf Universit¨at M¨unchen Mathematisches Institut Theresienstr. 39 80333 M¨unchen [email protected]

ISBN 978-3-540-45717-6 e-ISBN 978-3-540-45721-3 DOI 10.1007/978-3-540-45721-3 Springer Dordrecht Heidelberg London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet u¨ ber http://dnb.d-nb.de abrufbar. Mathematics Subject Classification (2000): 35-01, 31-01, 49-01, 46-01 c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009 Dieses Werk ist urheberrechtlich gesch¨utzt. Die dadurch begr¨undeten Rechte, insbesondere die der ¨ Ubersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielf¨altigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielf¨altigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zul¨assig. Sie ist grunds¨atzlich verg¨utungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten w¨aren und daher von jedermann benutzt werden d¨urften. Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Printed on acid-free paper Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

Vorwort A Preface gives the author his last chance of disarming critics, or, at least, of anticipating them. (T. Chaundy, The Diﬀerential Calculus. Oxford: at the Clarendon Press 1935.)

Anfang der 80er Jahre begann der Springer-Verlag mit einer neuen Reihe, Grundwissen Mathematik“, deren Ziel es war, mathematische Theorien in ” Zusammenhang mit ihrer historischen Entwicklung darzustellen. Den Band Partielle Diﬀerentialgleichungen“ sollte Ernst Wienholtz schreiben, der nicht ” nur die klassischen drei Typen, sondern auch symmetrisch hyperbolische Systeme darstellen wollte, denen seine besondere Liebe und Aufmerksamkeit ¨ galt. Uberdies schwebte ihm f¨ ur den elliptischen Fall ein neuer Beweis der eindeutigen Fortsetzbarkeit der L¨ osungen vor, bei dem Funktionen, die dem allgemeinen Hauptteil angepaßt sind, die Kugelfunktionen verallgemeinern sollten. Dieser Plan, seine ¨ außerst sorgf¨ altige Arbeitsweise und seine Verpﬂichtungen als Hochschullehrer ließen die Fertigstellung des Buches leider mehr und mehr in die Ferne r¨ ucken. Bei seinem Tod 2003 hinterließ er ein mit einem selbst entwickelten Textverarbeitungssystem erstelltes und mit handschriftlichen Korrekturen und Erg¨ anzungen versehenes Manuskript, dessen genauer Umfang aufgrund diverser Versionen verschiedener Kapitel nicht leicht abzusch¨atzen war. Klar war, daß sich in einem einzelnen Band moderater Dicke nur das Material u ¨ber elliptische Gleichungen w¨ urde unterbringen lassen. Bald zeigte sich jedoch, daß auch dieser Teil nicht ohne betr¨ achtliche Ver¨anderungen w¨ urde ver¨oﬀentlicht werden k¨ onnen. Durch die jahrelange Arbeit an dem Manuskript war ein dichtes und nicht leicht zu durchschauendes Gewebe mit einer F¨ ulle komplizierter Querverweise entstanden. Zudem tendierte die Darstellung dazu, eher Methoden als Resultate zu betonen. Ein Gutachter, dem Teile des Textes vorlagen, schrieb, der Stoﬀ m¨ usse ﬂ¨ ussiggemacht“ werden. Dies haben wir zu ” erreichen versucht. Eine Auﬂistung der Ver¨ anderungen, die wir vorgenommen haben, erscheint uns unpassend, da dem Leser eine Bewertung derselben ohne Kenntnis des Wienholtzschen Manuskripts ja unm¨oglich ist. Der Leser wird prim¨ ar wissen wollen, wie sich dieses Buch von anderen B¨ uchern u ¨ber diesen Gegenstand, an denen ja kein Mangel herrscht, unterscheidet. Wie die ber¨ uhmte Gaußsche Arbeit [81] schon suggeriert, werden die zentralen Eigenschaften harmonischer Funktionen (Liouville- und Har-

VI

Vorwort

nackeigenschaft, Maximum- und Minimumeigenschaft sowie Analytizit¨at) aus der Mittelwerteigenschaft und nicht, wie in der Literatur vorherrschend, aus der Poissonschen Integralformel erschlossen. Dies hat den Vorteil, daß analoge Aussagen f¨ ur L¨ osungen anderer Gleichungen hergeleitet werden k¨onnen, wenn diese einer Mittelwertgleichung oder -ungleichung gen¨ ugen. Beispielhaft vorgef¨ uhrt wird dies anhand der Helmholtzschen Schwingungsgleichung, die u ¨berhaupt detaillierter als gemeinhin u ¨blich betrachtet wird. Die Gestalt der Poissonschen Integralformel wird zu Beginn von Kapitel 3 motiviert. Der dann folgende elementare Beweis beruht auf der Beobachtung, daß der Poissonkern f¨ ur die Kugel die Eigenschaften einer δ-Funktion hat. Auch hier verf¨ ahrt das Gros der Literatur anders, n¨amlich u ¨ber die Greensche Darstellungsformel und die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel, Dinge, die hier erst sp¨ ater in Zusammenhang mit der Poissongleichung angesprochen werden. Die Perronsche Methode zur L¨ osung des Dirichletproblems f¨ ur harmonische Funktionen ist nat¨ urlich klassischer Bestandteil der Literatur, aber auch hier und beim sog. Zaremba-Kriterium gibt es Detailvereinfachungen im Beweis. Der Lebesguesche Dorn, f¨ ur den das Dirichletproblem klassisch nicht l¨osbar ist, wird ausf¨ uhrlicher als gemeinhin behandelt. Ungew¨ohnlich f¨ ur die Lehrbuchliteratur ist die gr¨ undliche Behandlung unbeschr¨ankter Gebiete ohne Verwendung der Kelvintransformation. Vereinfachungen ﬁndet man f¨ ur den Nachweis, daß das Newtonpotential die Poissongleichung f¨ ur h¨ olderstetige rechte Seite l¨ost, und es wird Petrinis Gegenbeispiel gebracht, daß Stetigkeit alleine daf¨ ur nicht ausreicht. Die L¨osung des Dirichletproblems f¨ ur die Poissongleichung durch das Greenpotential wird auf den H¨ olderschen Satz zur¨ uckgef¨ uhrt und auf diese Weise bewiesen, daß die Greensche Funktion f¨ ur ein Gebiet genau dann existiert, wenn jeder Randpunkt eine Barriere besitzt. Diese Vorgehensweise gestattet dann auch eine relativ einfache Herleitung der Fredholmschen Alternative in Satz 6.2.5. ochten wir Wienholtzens neuen und eleganten Besonders hervorheben m¨ Beweis der Symmetrie der Greenschen Funktion allein unter Verwendung der ¨ Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen. Ublicherweise beruft man sich hier auf den Gaußschen Satz, was eine gewisse Qualit¨at des Randes und des Gradienten der Greenschen Funktion voraussetzt. Kennzeichnend f¨ ur dieses Buch ist, daß der Gaußsche Satz immer nur f¨ ur Kugeln oder deren Komplemente angewendet wird, in welchem Fall er, wie in Anhang B dargelegt, eine unmittelbare Folge der Transformationsformel f¨ ur Gebietsintegrale ist. Die Integralumformungen, die etwa im Rahmen der Fredholmschen Alternative oder f¨ ur den Zusammenhang zwischen klassischen und schwachen L¨osungen erforderlich sind, werden durch den – vielleicht noch immer nicht genug bekannten – Satz von Giesecke gedeckt, der einen sehr einfachen Beweis gestattet. Unseres Wissens nach neu ist der die Symmetrie der Greenschen Funktion verwendende Wienholtzsche Beweis f¨ ur die Absch¨atzungen der Ableitungen der Greenschen Funktion, wenn der Rand einer gleichm¨aßigen ¨außeren Kugelbedingung gen¨ ugt.

Vorwort

VII

Daß das Greenpotential f¨ ur die Kugel bei h¨ olderstetiger Dichte h¨olderstetige 2. Ableitungen bis zum Rande besitzt, wird mit Hilfe eines wenig bekannten Kunstgriﬀs von Simoda gezeigt. In Kombination mit dem Banachschen Fixpunktsatz ergibt sich dann sofort die lokale L¨ osbarkeit des Beltrami-Systems sowie mit Hilfe der Bernsteinschen Kontinuit¨atsmethode und einer aus einem Kompaktheitsargument folgenden A-Priori-Ungleichung die L¨osbarkeit des Dirichletproblems f¨ ur die Kugel bei kleiner Abweichung des Hauptteils vom Laplaceoperator. Ferner l¨ aßt sich sodann die Leray-Schaudersche Methode am Beispiel des semilinearen Dirichletproblems f¨ ur die Kugel darstellen. Die Untersuchung der Poissongleichung f¨ ur ein Gebiet mit einem C 2,α Rand geschieht nun in der Weise, daß gezeigt wird, daß sich dieser lokal auf einen Teil einer Sph¨ are abbilden l¨ aßt, wobei der Laplaceoperator in einen allgemeinen elliptischen Diﬀerentialoperator 2. Ordnung u uhrt wird, dessen ¨berf¨ Hauptteil sich wenig vom Laplaceoperator unterscheidet. Dies f¨ uhrt zu einem neuen Beweis des Kelloggschen Satzes und in Kombination mit dem Banachschen Satz von der oﬀenen Abbildung zu einer A-Priori-Absch¨atzung, die dann zu einer Herleitung der globalen A-Priori-Absch¨atzung von Schauder verwendet wird. Mit dem Schauderschen Satz und der zugeh¨origen Fredholmschen Alternative in Abschnitt 8.3 und mit Satz 9.1.2 ist dann ein abschließendes Resultat u osbarkeit des Dirichletproblems f¨ ur lineare el¨ber die klassische L¨ liptische Gleichungen 2. Ordnung erreicht. Nun ist nicht zu verkennen, daß sich im Lauf der Zeit die Interessen und Priorit¨ aten in Forschung und Lehre stark gewandelt haben. In dem von uns hinzugef¨ ugten Kapitel 10 gehen wir daher kurz auf schwache L¨osungen einer Gleichung oder eines Randwertproblems ein, wobei der Leser auch hier einiges anders als u ¨blich dargestellt ﬁnden wird. (Wienholtz selbst hatte die S¨atze 10.3.4 und 10.3.9 als Beweisvarianten in das klassische Material von Kapitel 4 eingearbeitet.) F¨ ur eine einf¨ uhrende Vorlesung in die Theorie der partiellen Diﬀerentialgleichungen, in der alle drei Typen angesprochen werden, lassen sich unschwer kleine Teil aus den Kapiteln 2–4 und 10 herausgreifen. Die Schaudersche Theorie k¨ onnte aufgrund des hier gegebenen stufenweisen Aufbaus zum Gegenstand einer Reihe von Seminarvortr¨agen gemacht werden. Dem Konzept der Reihe Grundwissen“ entsprechend, enth¨alt dieses Buch ” eine F¨ ulle historischer Bemerkungen. Gerade bei den partiellen Diﬀerentialgleichungen hat ein Theorem – und erst recht ein Begriﬀ oder eine Technik – meist eine komplizierte Entwicklungslinie, die aus dem Blickwinkel der Gegenwart zu skizzieren versucht wird. Das Wienholtzsche Manuskript enthielt mit Jahreszahlen versehene Autorennamen, so daß eine Identiﬁzierung der Arbeiten, die er zitieren wollte, nahezu immer m¨oglich war. Wir haben die Anzahl der Literaturverweise um gut ein Drittel vermehrt. ¨ Wir sind A. Hinz (M¨ unchen) und C.G. Simader (Bayreuth) f¨ ur die Uberlassung eigener Vorlesungsskripte sowie f¨ ur viele anregende Diskussionen u ¨ber lange Jahre hinweg zu Dank verpﬂichtet. Frau M. Wienholtz-Hatzidaki und ¨ Herrn Dr. D. Wienholtz danken wir f¨ ur die großz¨ ugige Uberlassung aller Rechte gegen¨ uber dem Springer-Verlag. Dem Springer-Verlag danken wir f¨ ur

VIII

Vorwort

die angenehme Zusammenarbeit und insbesondere f¨ ur die M¨oglichkeit, dieses Buch in alter Rechtschreibung erscheinen zu lassen. Ein besonders herzlicher Dank gilt Frau Eberhardt (Bochum) f¨ ur ihre hervorragende Arbeit und Engelsgeduld bei der Erstellung der Druckvorlage.

M¨ unchen und Bochum, im April 2009 Hubert Kalf und Thomas Kriecherbauer

Inhaltsverzeichnis

1

Einleitung mit Bemerkungen zur historischen Entwicklung 1 1.1 Das Potential des Schwerefeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Die Laplacegleichung und die Poissongleichung . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Das Neumannsche und das Dirichletsche Randwertproblem . . . 7 1.4 Das Dirichletsche Randwertproblem im 19. Jahrhundert . . . . . . 10

2

Die Laplacegleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Harmonische Funktionen und Mittelwerteigenschaft . . . . . . . . . . 2.2 Liouville- und Harnackeigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Das Maximum-Minimumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Analytizit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Erweiterung: Helmholtzsche Schwingungsgleichung . . . . . . . . . . . 2.6 Ausblick: Elliptische Gleichungen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Exkurs: Eindeutige Fortsetzbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 19 28 31 35 39 43 47 53

3

Das Dirichletproblem f¨ ur harmonische Funktionen . . . . . . . . . 3.1 Einf¨ uhrung: Eindeutigkeit, Stabilit¨ at und der Fall der Kreisscheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Die Poissonsche Integralformel l¨ ost das Dirichletproblem f¨ ur die Kugel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Superharmonische Funktionen und die Perronsche L¨ osungsmethode f¨ ur beschr¨ anktes Ω ⊆ RN . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 3.4 Uber den lokalen Charakter der Barrierenforderung. Kriterien. 3.5 Behebbare Singularit¨ aten. Dirichletprobleme ohne L¨osung. . . . . 3.6 Unbeschr¨ ankte Gebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Der Satz von Giesecke. Bemerkungen zum Dirichletschen Prinzip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59 59 63 67 75 78 82 92 97

X

Inhaltsverzeichnis

4

Die Poissongleichung −Δu = f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.1 Orientierende Bemerkungen zum Newtonpotential . . . . . . . . . . . 103 4.2 Diﬀerenzierbarkeitseigenschaften des Newtonpotentials und L¨ osung des Dirichletproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.3 Petrinis Gegenbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.4 Die Greensche Funktion zum Dirichletproblem . . . . . . . . . . . . . . 118 4.5 Die Symmetrie der Greenschen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.6 Absch¨ atzungen f¨ ur die Ableitungen der Greenschen Funktion . 126 4.7 Das Newtonpotential verallgemeinernde singul¨are Integrale . . . 134 4.8 Das Dirichletproblem f¨ ur −Δu = f bei am Rand unbeschr¨ anktem f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.9 Erweiterung: Die Greensche Funktion f¨ ur −Δ + 1 . . . . . . . . . . . . 147 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5

Die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel mit Anwendungen . . 165 5.1 Die Greensche Funktion f¨ ur den Halbraum, die Kugel und ihr ¨ Außeres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.2 Einschub: Harmonische Funktionen mit einer isolierten Singularit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.3 Die 2. Ableitungen des Greenpotentials f¨ ur die Kugel . . . . . . . . . 172 5.4 Eine erste Anwendung: Die lokale L¨osbarkeit des Beltrami-Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.5 Das Dirichletproblem f¨ ur die Kugel bei kleiner Abweichung des Hauptteils vom Laplaceoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 5.6 Die Methode von Leray und Schauder am Beispiel des semilinearen Dirichletproblems in der Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

6

Die Fredholmsche Alternative f¨ ur das Dirichletproblem . . . . 207 6.1 Die S¨ atze von Fredholm und ihre Verallgemeinerung. Resolvente und Spektrum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 6.2 Das Dirichletproblem f¨ ur (−Δ + a − λ)u = f . . . . . . . . . . . . . . . . 211 N 6.3 Die Gleichung −Δu + i=1 ai uxi + (a − λ)u = f mit am Rand unbeschr¨ ankten a und f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

7

Der 7.1 7.2 7.3

Kelloggsche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Vorbereitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Umformulierung und Beweis des Kelloggschen Satzes . . . . . . . . . 246 Zwei A-Priori-Ungleichungen im Gefolge des Kelloggschen Satzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Inhaltsverzeichnis

XI

8

Die globale A-Priori-Absch¨ atzung von Schauder und ihre Anwendung auf lineare und quasilineare Dirichletprobleme 263 8.1 Diﬀerentialoperatoren mit konstanten Koeﬃzienten . . . . . . . . . . 264 8.2 Variable Koeﬃzienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 8.3 Die Kontinuit¨ atsmethode zur L¨ osung des allgemeinen 2,α linearen Dirichletproblems in C (Ω). Die Fredholmsche Alternative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 8.4 Ausblick: Das Dirichletproblem f¨ ur die quasilineare elliptische Diﬀerentialgleichung 2. Ordnung nach der Methode von Leray-Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

9

Innere Absch¨ atzungen und innere Regularit¨ at . . . . . . . . . . . . . 281 9.1 Eine innere A-Priori-Absch¨ atzung und ihre Anwendung . . . . . . 281 osungen linearer und 9.2 Innere Regularit¨ at von C 2 -L¨ quasilinearer elliptischer Gleichungen nach E. Hopf . . . . . . . . . . 287 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

10 Schwache L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 10.1 Bemerkungen zur historischen Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 10.2 Existenz schwacher L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 10.3 Innere Regularit¨ at schwacher L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 10.4 Randregularit¨ at f¨ ur L¨ osungen verallgemeinerter Dirichletprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 10.5 Rechtfertigung des Dirichletschen Prinzips . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 A

Partielle Integration. Gl¨ attungsoperatoren. . . . . . . . . . . . . . . . . 343

B

Integration u aren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 ¨ ber Sph¨

C

H¨ olderstetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 Personenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

1 Einleitung mit Bemerkungen zur historischen Entwicklung

Unter den partiellen Diﬀerentialgleichungen bilden die elliptischen eine besondere Klasse. Ihre L¨ osungen haben ein hohes Maß an innerer Regularit¨at und, ¨ ahnlich wie die Funktionentheorie, welche in anderen Bereichen der Mathematik immer wieder Anwendungen hat, so fordert die Theorie der elliptischen Gleichungen nicht nur zu ihrem eigenen Aufbau heraus, sondern sie unterst¨ utzt auch die Behandlung großer Klassen der u ¨brigen Diﬀerentialgleichungen. Die elliptischen Diﬀerentialgleichungen 2. Ordnung sind aus der klassischen Potentialtheorie hervorgegangen, die ihrerseits mit der mathematischen Erforschung der physikalischen Kraftfelder der Gravitation, der Elektrostatik und der Magnetostatik entstanden ist. Zur Unterscheidung der klassischen von der jetzt eng mit Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie einhergehenden modernen Potentialtheorie sei auf repr¨ asentative Lehrb¨ ucher, z.B. O.D. Kellogg [136] ¨ bzw. L.L. Helms [110] und J.L. Doob [52] verwiesen, zur Ubersicht auch auf einen Essay von H. Bauer [12]. Noch heute kann man f¨ ur die Theorie elliptischer Gleichungen nicht auf Bausteine verzichten, die aus der Potentialtheorie stammen. Zugleich kann die klassische Potentialtheorie angesehen werden als eine Theorie der Gleichung zweiter Ordnung − (ux1 x1 + . . . + uxN xN ) = f . Hier bezeichnen die uxi xi die partiellen Ableitungen 2. Ordnung der gesuchten L¨osung u. Dies ist eine elliptische Diﬀerentialgleichung, zwar eine sehr spezielle, aber mit den typischen Eigenschaften. Wir werden uns gr¨ undlich mit ihr befassen, bevor wir uns den allgemeinen elliptischen Gleichungen 2. Ordnung zuwenden werden.

E. Wienholtz et al., Elliptische Diﬀerentialgleichungen zweiter Ordnung, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009 DOI 10.1007/978-3-540-45721-3 1,

2

1 Einleitung mit Bemerkungen zur historischen Entwicklung

1.1 Das Potential des Schwerefeldes Das von Newton [240] um 1665 in Ausdeutung der Keplerschen Gesetze der Planetenbahnen aufgestellte Gravitationsgesetz zwischen K¨orpern wird heute mit der Abstraktion Massepunkt“ formuliert: ” Wenn eine Masse M im Nullpunkt des Koordinatensystems und eine Masse m im Punkte (x, y, z) konzentriert sind und wenn r ihr Abstand ist, dann beschreibt Mm x y z , , k(x, y, z) = −γ 2 r r r r den Vektor der Anziehungskraft im Punkte (x, y, z) zwischen den beiden Massen. Dabei ist γ die Gravitationskonstante. Daniel Bernoulli [16], wenn auch nur indirekt, und Lagrange [162, ∂ 1 ∂ 1 ∂ 1 , ) aus (siehe auch § 12] dr¨ uckten den Vektor − r12 ( xr , yr , zr ) als ( ∂x r , ∂y r ∂z r 2 [161]), also als Gradienten der Funktion 1/r = 1/ x + y 2 + z 2 ; das ist in heutigen Schreibweisen ∂ ∂ ∂ 1 1 1 1 x y z , , = grad = ∇ = , , . − 2 r r r r r r ∂x ∂y ∂z r In k(x, y, z) = m grad(γM/r), was Physiker lieber −m grad(−γM/r) schreiben, kommt dann zum Ausdruck, daß M von einem Schwerefeld umgeben ist, n¨ amlich dem Gradientenfeld der Funktion φ(x, y, z) =

γM x2

+ y2 + z2

,

das von m unabh¨ angig ist. Heute nennen wir φ das Potential oder die Potentialfunktion des Schwerefeldes von M . D. Bernoulli [16, p. 361] und Lagrange [162, § 12ﬀ] untersuchten auch solche Schwerefelder, die von mehreren Massepunkten M1 . . . Mn erzeugt werden, und formulierten das Superpositionsprinzip k(x, y, z) = m grad(φ1 + . . . + φn ) . In Verallgemeinerung davon untersuchte Lagrange [162] 1 Gravitationsfelder von r¨ aumlich oder ﬂ¨ achig verteilten Massen M und stellte auch dabei fest, daß außerhalb der Masseverteilung eine Funktion existiert, deren Gradient das Kraftfeld beschreibt. Wir wollen dies am Beispiel einer r¨ aumlich verteilten Masse verdeutlichen: ¨ Jede experimentelle Uberpr¨ ufung des Newtonschen Gravitationsgesetzes muß 1

Lagrange [163, 164] sind abschließende Arbeiten. Wegen einer manchmal erst dem sp¨ ateren Laplace gemachten Zuordnung siehe A.S. Hathaway [100].

1.1 Das Potential des Schwerefeldes

3

in Kauf nehmen, daß M auf ein kleines Volumen verteilt ist, ebenso m, und daß r nur bis auf die Summe der Durchmesser dieser Volumina bekannt ist. Die G¨ ultigkeit des Newtonschen Gesetzes bedeutet daher, daß es das Anziehungsgesetz zwischen zwei K¨ orpern, die einen relativ großen Abstand voneinander haben, approximiert. Das soll insbesondere heißen, daß der Betrag der Anziehungskraft zwischen den Massen M und m eine der Zahlen γ Mr2m ist, wo r den Abstand zwischen einem Punkt aus dem einen und einem Punkt aus dem anderen K¨ orper mißt. Bei einer r¨ aumlichen Masseverteilung sei die Masse M u ¨ber ein beschr¨anktes Gebiet G verteilt mit der Dichte (x, y, z), so daß (ξ, η, ζ) dξ dη dζ . M= G

Wir wollen die Anziehungskraft berechnen, die an der Stelle (x, y, z) außerhalb von G, dem Abschluß von G, auf einen Massepunkt der Masse m wirkt. Zerlegt man G durch eine Rasterung des R3 der√Maschenweite δ > 0 in endlichviele G1 , G2 , . . . , Gn mit Durchmessern δ1 ≤ δ 3 – ¨ahnlich wie bei der Bestimmung des Jordaninhalts von G – und ist Mi = (ξ, η, ζ) dξ dη dζ (1.1) Gi

die in Gi enthaltene Masse und (ξi , ηi , ζi ) ein in Gi liegender Punkt, dann ubte Kraft nach Obigem approximiert wird die von Mi auf m in (x, y, z) ausge¨ durch Mi m x − ξi y − ηi z − ζi , , −γ 2 ri ri ri ri mit ri = (x − ξi )2 + (y − ηi )2 + (z − ζi )2 . Der Fehler ist O(δ 4 ) f¨ ur δ → 0 f¨ ur jede der drei Komponenten; denn sind (ξi , ηi , ζi ) und (ξi , ηi , ζi ) irgend zwei Punkte in Gi und ist ri der Abstand von (x, y, z) zum ersten und ri der zum zweiten Punkt, so ist ξi − ξi = O(δ) (d.h. |ξi − ξi | ≤ const δ, wobei const eine von δ unabh¨ angige, positive Konstante bezeichne), ri − ri = O(δ), und der Betrag des Unterschieds in der beispielhaften ersten Komponente ist Mi m x − ξi Mi m x − ξi γ · − γ · r2 ri ri2 ri i mMi = γ 3 3 (x − ξi )(ri3 − ri3 ) + (ξi − ξi )ri3 ri ri = Mi O(δ) ; ferner ist der Ausdruck (1.1) von der Ordnung O(δ 3 ), wenn beschr¨ankt ist. Nach dem Superpositionsprinzip ist die Anziehungskraft, die in (x, y, z) zwischen m und der Vereinigung der Mi besteht, gleich der Summe der einzelnen

4

1 Einleitung mit Bemerkungen zur historischen Entwicklung

Kr¨ afte; letztere sind uns bis auf O(δ 4 ) bekannt. Die Anzahl der Summanden geht h¨ ochstens wie δ −3 ; also ist −

n

Mi m x − ξi y − ηi z − ζi γ 2 , , ri ri ri ri i=1

(1.2)

eine Approximation an den zu berechnenden Kraftvektor mit einem Fehler O(δ). Um diesen Ausdruck als Riemannsumme eines Integrals zu deuten, w¨ahlen wir jetzt noch den Punkt (ξi , ηi , ζi ) so in Gi aus, daß Mi = (ξi , ηi , ζi ) dξ dη dζ Gi

gilt, was bei stetigem nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung m¨oglich ist. Damit ist dann (1.2) Riemann-Zwischensumme von mγ(ξ, η, ζ) (x − ξ, y − η, z − ζ) dξ dη dζ − 3/2 [(x − ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2 ] G

Das ist

m grad G

γ(ξ, η, ζ) (x −

ξ)2

+ (y − η)2 + (z − ζ)2

dξ dη dζ ;

und wir haben hergeleitet, daß das Kraftfeld außerhalb von G das Potential γ(ξ, η, ζ) dξ dη dζ (1.3) φ(x, y, z) = 2 (x − ξ) + (y − η)2 + (z − ζ)2 G

besitzt, wenn es von der in G mit der Dichte verteilten Masse M herr¨ uhrt.

1.2 Die Laplacegleichung und die Poissongleichung Laplace [165, § 8], [166, § 2] stellte f¨ ur dieses Potential (1.3) Diﬀerentialgleiugt; und zwar zuerst in Polarkoordinachungen auf, denen es außerhalb G gen¨ ten und dann in rechtwinkligen cartesischen Koordinaten in der Form (siehe auch [167, p. 137f]) φxx + φyy + φzz = 0 , was man heute die Laplacegleichung nennt und h¨auﬁg mit dem erst sp¨ater aufgetretenen Laplaceoperator

1.2 Die Laplacegleichung und die Poissongleichung

Δ=

5

∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

in der Gestalt Δφ(x, y, z) = 0 schreibt. L¨ osungen der Laplacegleichung werden auch harmonische Funktionen genannt. Der Schritt von Laplace hat sich als ¨ außerst fruchtbar erwiesen, sowohl f¨ ur die Potentialtheorie als auch f¨ ur die Entstehung einer Theorie partieller Diﬀerentialgleichungen zweiter Ordnung. Vielleicht war das Interesse an dieser Gleichung seinerzeit dadurch besonders geweckt, daß bereits 1756/57 Euler [63, § 67] bei hydrodynamischen Problemen auf sie gestoßen war; siehe auch Lagrange [159, § 42], [160]. ugt, ist sehr Der Nachweis, daß φ außerhalb von G der Laplacegleichung gen¨ einfach. Man braucht es nur in der Umgebung eines beliebigen Punktes aus R3 \G zu zeigen, und dazu legt man um einen solchen Punkt eine Kugel B, die von G einen positiven Abstand hat. In B ist φ nach klassischen S¨atzen beliebig oft diﬀerenzierbar, und man erh¨ alt die Ableitungen durch Diﬀerentiation in (1.3) unter dem Integral; man rechnet nach, daß Δ

1 (x − ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2

=0

ist. Man kann (1.3) aber auch benutzen, um ein Potential φ(x, y, z) f¨ ur (x, y, z) ∈ G zu deﬁnieren. Zwar ist der Integrand in (1.3) f¨ ur solche (x, y, z) singul¨ ar, trotzdem existiert das Integral. Um das einzusehen, legt man um (x, y, z) ∈ G als Mittelpunkt eine kleine Kugel B ⊆ G mit festem Radius β, und es gen¨ ugt zu zeigen, daß (ξ, η, ζ) dξ dη dζ (1.4) 2 (x − ξ) + (y − η)2 + (z − ζ)2 B

existiert; denn das Restintegral u ¨ber G \ B ist unproblematisch. Nach Einf¨ uhrung von Polarkoordinaten (ξ − x, η − y, ζ − z) = rχ , also r=

(ξ − x)2 + (η − y)2 + (ζ − z)2 , χ ∈ R3 , |χ| = 1 ,

geht (1.4) u ¨ber in das Integral β 0 |χ|=1

(x + rχ1 , y + rχ2 , z + rχ3 ) dS(χ) r2 dr , r

6

1 Einleitung mit Bemerkungen zur historischen Entwicklung

worin dS das Oberﬂ¨ achenelement bezeichnet. Das Integral existiert, da beschr¨ ankt ist. Durch (1.3) ist nun zwar φ auch f¨ ur (x, y, z) ∈ G deﬁniert, aber es gen¨ ugt in G nicht mehr der Laplacegleichung Δφ = 0. Schon die Stetigkeit von φ bedarf einer besonderen Begr¨ undung. Jedenfalls bei in G konstantem (x, y, z) bewies Poisson [265] die Gleichung φxx (x, y, z) + φyy (x, y, z) + φzz (x, y, z) = −4π(x, y, z) , die er allerdings auch f¨ ur ver¨ anderliches zu beweisen versuchte; daher nennt man heute eine Diﬀerentialgleichung vom Typ −Δu = f mit f = 0 eine Poissongleichung. F¨ ur nichtkonstante Dichte f¨ uhrte nach weiteren Bem¨ uhungen von Poisson und anderer Autoren erst Gauß [81] einen strengen Beweis, daß das Potential φ in G dieser Gleichung gen¨ ugt; er mußte allerdings dabei voraussetzen, daß in G stetig diﬀerenzierbar ist. Im Jahre 1882 konnte dann Otto H¨ older [120] in seiner Dissertation Beitr¨ age zur Potentialtheorie“ die Voraussetzung der stetigen Diﬀerenzier” barkeit von durch die schw¨ achere Forderung ersetzen, daß es 0 < α < 1 und eine Konstante gibt, so daß α/2 |(x, y, z) − (x , y , z )| ≤ const (x − x )2 + (y − y )2 + (z − z )2 f¨ ur alle (x, y, z) ∈ G , (x , y , z ) ∈ G. Dies ist eine Forderung 2 , die f¨ ur weniger als Diﬀerenzierbarkeit, aber mehr als Stetigkeit bedeutet. Sie wird uns in diesem Buch noch sehr besch¨ aftigen, da sie f¨ ur die Theorie elliptischer Diﬀerentialgleichungen eine Schl¨ usselrolle spielt. Man nennt sie eine H¨ olderbedingung, und man nennt solche h¨ olderstetig. Es braucht φ in G nicht zweimal diﬀerenzierbar zu sein, wenn lediglich stetig ist. Hierzu hat Petrini [251] ein Beispiel gegeben; siehe Abschnitt 4.3. Die hier angesprochenen Eigenschaften des Potentials (1.3), insbesondere, daß φ bei h¨ olderstetigem der Poissongleichung −Δφ = 4π gen¨ ugt, werden in den Abschnitten 4.1 und 4.2 in etwas allgemeinerem Rahmen behandelt. In der Elektrostatik gilt das nach Coulomb benannte Gesetz eQ x y z , , k(x, y, z) = 2 r r r r f¨ ur die Kraft, die eine im Ursprung des Koordinatensystems beﬁndliche Ladung Q auf eine in (x, y, z) beﬁndliche Ladung e aus¨ ubt. Genauere Literaturangaben und Hinweise auf Coulombs Vorg¨ anger ﬁndet man in [84]. Dabei ist 2

Wohl zuerst bei R. Lipschitz [194], aber dort beim Studium trigonometrischer Reihen.

1.3 Das Neumannsche und das Dirichletsche Randwertproblem

7

wieder r2 = x2 + y 2 + z 2 . Das von der Punktladung Q erzeugte elektrische Feld ist ein Gradientenfeld E(x, y, z) = − grad(Q/r) mit dem Potential φ(x, y, z) =

Q x2 + y 2 + z 2

,

¨ und man erkennt die Ubereinstimmung mit dem vorhin behandelten Fall des Schwerefeldes. ¨ Ahnlich verh¨alt es sich mit der Magnetostatik. Nach Vorarbeiten auf diesen Gebieten von Poisson [264, pp. 5, 30-34] hat Green [86] mit seiner zun¨ achst nur wenig bekannt gewordenen Arbeit3 An Essay on the Application ” of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism“ die Potentialtheorie entscheidend gestaltet; ebenso Gauss [81] mit Allgemeine ” Lehrs¨ atze in Beziehung auf die im umgekehrten Verh¨altnis der Quadrate der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskr¨afte“. Zuerst in diesen beiden Arbeiten wird die Benennung Potential oder Potentialfunktion f¨ ur den bis dahin so wichtig gewordenen Begriﬀ benutzt; siehe aber [14, 28]. F¨ ur historische Studien u older nennen wir die ¨ber die Epoche vor Otto H¨ ¨ Monographien von Todhunter [325] und von Bacharach [10]. Uber die weitere Entwicklung der Potentialtheorie um die Jahrhundertwende berichten die Enzyklop¨ adieartikel von Burkhardt und Meyer [31] und Lichtenstein [190]. Jedoch ist es manchmal notwendig und ein m¨ uhevoller Genuß, in den Originalarbeiten zu lesen.

1.3 Das Neumannsche und das Dirichletsche Randwertproblem Warum interessiert man sich f¨ ur Diﬀerentialgleichungen, denen das Potential φ einer Verteilung von Massen oder Ladungen gen¨ ugt? Anf¨anglich konnte man nur Hoﬀnungen auf weitere Einsicht damit verbinden, und erst die dadurch in Gang gesetzten Forschungen ergaben, daß man aus dem Bestehen der Poissongleichung oder der Laplacegleichung wichtige Eigenschaften von φ, und damit des Kraftfeldes grad φ, ableiten kann. Beispielsweise l¨ aßt sich das Gravitationsfeld in einem beschr¨ankten Teilgebiet D außerhalb der Masseverteilung ohne jede weitere Kenntnis der Massendichte bestimmen, wenn man das Feld nur nahe der (hinreichend glatt 3

Die Verbreitung der Resultate dieser Schrift mehr als anderthalb Jahrzehnte nach ihrem Erscheinen als Privatdruck 1828 ist William Thomson (dem sp¨ ateren Lord Kelvin) zu verdanken, der als Student durch ein Zitat in einer Arbeit von Murphy von ihrer Existenz erfuhr und nach langem vergeblichem Suchen durch Zufall feststellte, daß sein Tutor drei Exemplare besaß. Auf Anregung Thomsons erschien in den Jahren 1850–54 ein Nachdruck in Crelles Journal.

8

1 Einleitung mit Bemerkungen zur historischen Entwicklung

angenommenen) Berandung ∂D von D kennt. Dies ist eine Folge der Diﬀerentialgleichung Δφ = 0 in D. Es gen¨ ugt sogar, daß man die Normalkomponente ∂φ ∂ des Feldes auf ∂D kennt; dabei ist ∂ν die Diﬀerentiation in Richtung der ∂ν außeren Einheitsnormalen ν an D, also ∂φ ¨ ∂ν = ν · grad φ auf ∂D. Freilich, dahinter steht die Konstruktion einer L¨osung des Neumannschen Randwertproblems, das man auch das 2. Randwertproblem nennt und dessen L¨ osung einen der H¨ ohepunkte der Potentialtheorie darstellt. Es lautet in enger Anlehnung an das urspr¨ ungliche Allgemeine Problem“ bei Franz Neumann ” [233, p. 270]: 4 3 ugend glattem Rand, so daß in jedem Punkte Es sei D ⊂⊂ R mit gen¨ (x, y, z) ∈ ∂D die ¨ außere Einheitsnormale ν(x, y, z) an D existiert und der Gaußsche Integralsatz auf D anwendbar ist. Es sei g : ∂D → R stetig. Gesucht ist eine in D einmal stetig diﬀerenzierbare Funktion u 5 , die in D zweimal stetig diﬀerenzierbar ist, der Laplacegleichung Δu = 0 in D und der (Neumannschen) Randbedingung ∂ ugt. ∂ν u(x, y, z) = g(x, y, z) auf ∂D gen¨ Man beachte, daß unsere Formulierung des Neumannschen Randwertproblems keinen R¨ uckgriﬀ auf Potentiale macht, vielmehr ganz im Rahmen partieller Diﬀerentialgleichungen verl¨ auft. Durch diese Losl¨osung formulieren wir es f¨ ur alle stetigen g : ∂D → R, also nicht nur f¨ ur solche g, die auf ∂D Normalkomponente eines Gravitationsfeldes sind. Es gibt aber stetige g, f¨ ur die das Neumannsche Randwertproblem keine osung des Neumannproblems ist L¨osung hat. Wenn n¨ amlich u : D → R eine L¨ = g auf ∂D, dann ist nach dem Integralsatz von Gauß mit ∂u ∂ν ∂u (x, y, z) dS = Δu (x, y, z) dx dy dz = g (x, y, z) dS . 0= ∂ν D

∂D

∂D

Daher ist die Bedingung ∂D g dS = 0 f¨ ur die L¨osbarkeit des Neumannschen Randwertproblems notwendig.6 F¨ ur die Rekonstruktion des Gravitationsfeldes in einem massefreien Gebiet aus der Kenntnis der Normalkomponenten des Feldes auf dem Rande des Gebietes gen¨ ugt es nicht, zu wissen, daß eine L¨osung des Neumannproblems existiert. Vielmehr ist ein Verfahren n¨ otig, eine L¨osung allein aus den Randwerten zu konstruieren, und man muß wissen, daß das Gradientenfeld der konstruierten L¨ osung mit dem gegebenen Gravitationsfeld u ¨bereinstimmt. Es bedarf also auch eines Eindeutigkeitssatzes zum Neumannschen Problem: Wenn u und v L¨ osungen des Neumannschen Randwertproblems in D sind ∂v = auf ∂D, dann ist grad u = grad v. mit ∂u ∂ν ∂ν Wenn das Gebiet D glatt berandet ist, l¨ aßt sich dieser Eindeutigkeitssatz leicht mit dem Gaußschen Integralsatz beweisen, indem man w := u − v 4

5 6

Sind A, B ⊆ RN oﬀen, so verstehen wir unter A ⊂⊂ B, daß A beschr¨ ankt ist mit A ⊆ B. Man sagt dann: A ist kompakt enthalten in B. D.h. die ersten Ableitungen von u besitzen eine stetige Fortsetzung auf D. Auch dieses und der kommende Eindeutigkeitssatz bei Franz Neumann [233] .

1.3 Das Neumannsche und das Dirichletsche Randwertproblem

9

betrachtet. Es ist Δw = 0 und ∂w ∂ν = 0 und daher ∂w 2 dS − | grad w| dx dy dz = w wΔw dx dy dz = 0 ; ∂ν D

∂D

D

mithin ist grad w = 0, und das ist grad u = grad v. Jetzt werden wir das Dirichletsche Randwertproblem vorstellen. Bei elektrischen Feldern beﬁnden sich die Ladungen oft auf Metallen, wo sie frei verschieblich sind, so daß die Ladungsdichte nicht a-priori vorgegeben ist, wie die Massendichte es in unserer Darstellung war, sondern sich erst unter der Wirkung des elektrischen Feldes einstellt. Im statischen Fall kann die Feldst¨ arke im metallischen Leiter keine Komponente haben, die eine Verschiebung bewirkt; also ist φ = const innerhalb jeder Zusammenhangskomponente eines Leiters. Die Diﬀerenzen zwischen den Werten von φ auf verschiedenen Zusammenhangskomponenten lassen sich als Spannungen messen. Man kennt daher im elektrostatischen Fall die Werte des Potentials φ (bis auf eine f¨ ur alle gemeinsame additive Konstante) auf den Leitern, von denen wir annehmen, daß sie ein ladungsfreies Gebiet D beranden; die Bestimmung des elektrischen Feldes E(x, y, z) = − grad φ(x, y, z) in D l¨ auft dann auf die Bestimmung einer Funktion φ in D mit Δφ = 0 hinaus, das auf ∂D die gegebenen Werte annimmt. Das ist ein Spezialfall des Dirichletschen Randwertproblems, das man auch das 1. Randwertproblem nennt. Allgemein lautet es f¨ ur die Laplacegleichung so: Vorgegeben sind ein oﬀenes (nichtleeres) Ω ⊆ RN und eine stetige Funktion g : ∂Ω → R; gesucht ist eine auf Ω stetige Funktion u, die in Ω zweimal stetig diﬀerenzierbar ist, dort der Laplacegleichung Δu = 0 gen¨ ugt, und die auf ∂Ω mit g u ¨bereinstimmt. Manchmal ﬁndet man eine Formulierung, die etwas weiter gefaßt zu sein scheint, die n¨ amlich die Stetigkeit von g : ∂Ω → R nicht nennt und nur u ∈ ur alle x ∈ ∂Ω fordert. C 2 (Ω), Δu = 0 in Ω und limy→x, y∈Ω u(y) = g(x) f¨ Daraus folgt aber die Stetigkeit von u ˜ : Ω → R, wenn man u(x) f¨ ur x ∈ Ω u ˜(x) := g(x) f¨ ur x ∈ ∂Ω setzt, und, wegen g = u ˜|∂Ω , auch die Stetigkeit von g : ∂Ω → R. ˜(x)| < /2 f¨ ur Es gibt ja zu > 0 und x ∈ Ω ein δ(, x) > 0, so daß |u(y)− u y ∈ Ω = Ω\∂Ω mit |y − x| < δ(, x). Zu x , x ∈ Ω mit |x − x | < 12 δ(, x ) u(x ) − u ˜(x )| ≤ gibt es ein y ∈ Ω ∩ Bδ( ,x ) (x ) ∩ Bδ( ,x ) (x ); somit ist |˜ |˜ u(x ) − u(y)| + |u(y) − u ˜(x )| < . Also ist u ˜ : Ω → R stetig. Daher muß auch die Vorgabe g : ∂Ω → R stetig gewesen sein, und man ist wieder in der alten u = 0 in Ω, u ˜|∂Ω = g. Situation u ˜ ∈ C 0 (Ω) ∩ C 2 (Ω) mit Δ˜ Tats¨ achlich ist man aber auch an einer Verallgemeinerung des Dirichletproblems interessiert, bei der g : ∂Ω → R unstetig vorgegeben und eine L¨osung

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1 Einleitung mit Bemerkungen zur historischen Entwicklung

u der Laplacegleichung in Ω gesucht ist, die limx→y, x∈Ω u(x) = g(y) f¨ ur alle solchen y ∈ ∂Ω erf¨ ullt, in denen g stetig ist. Hierzu vergleiche man den Satz 3.3.9. Wir schließen mit einer Bemerkung u ¨ber die Benennung der Randwertprobleme. Das Dirichlet-Problem zuerst von Green 1828 behandelt, verdankt seinen Namen dem Zusammenhang mit dem im n¨achsten Abschnitt zu besprechenden Dirichletschen Prinzip. Es wird heute gemeinhin angenommen, daß es Carl Neumann ist, der mit der Benennung des zweiten Randwertproblems geehrt wird, aber wie auf Seite 8 erw¨ ahnt, war es Franz Neumann, Carls Vater, der diese Aufgabe als erster in der Potentialtheorie formulierosung ein Analogon zur Greenschen Funktion aufstellte7 und zu ihrer L¨ te [233, S. 272]. (Diese Schrift fußt auf Vorlesungen von Franz Neumann aus den Jahren 1852/53 und 1856/57.) Carl Neumann war es, der erstmals ein gemischtes Randwertproblem (Dirichlet-Bedingung auf einem, NeumannBedingung auf einem anderen Teil des Randes) f¨ ur die Potentialgleichung behandelt hat [230]. Dieses Problem heißt heute vielfach Zaremba-Problem (nach [354]). Es sei noch erw¨ ahnt, daß es noch ein weiteres Randwertproblem + γ(x)u(x) auf dem Rande vorgegeben ist. F¨ ur dieses sind gibt, bei dem ∂u(x) ∂ν die Bezeichnungen Robinsche Randwertaufgabe oder drittes Randwertproblem gel¨ auﬁg [90, 91] .

1.4 Das Dirichletsche Randwertproblem im 19. Jahrhundert Diese Randwertaufgabe hat Mathematiker w¨ ahrend des ganzen 19. Jahrhunderts und noch weit im 20. Jahrhundert herausgefordert. Poisson [266] hatte Integralformeln aufgestellt, die die L¨ osung darstellen, wenn Ω eine Kugel in R3 oder eine Kreisscheibe in R2 ist. Aber noch 50 Jahre sp¨ater bedurften die Beweise der Nachbesserung durch H.A. Schwarz [302] . Es hatte Green [86] einen Ansatz gemacht, um solche Formeln f¨ ur allgemeinere Gebiete Ω = D zu bekommen. Er postulierte dabei zu jedem x ∈ D die Existenz einer Funktion, die er sich als elektrostatisches Potential dachte, das von einer in x ∈ D plazierten Einheitsladung und von einer solchen Ladungsverteilung (Inﬂuenzladung) auf ∂D ausgeht, welche von jener Einheitsladung induziert wird, wenn man ∂D erdet, also das Potential dort auf Null h¨ alt. Hier sieht man das Konzept der von C. Neumann [224] und im Buch von Riemann & Hattendorff [284] so benannten Greenschen Funktionen, deren Existenz man seinerzeit nur mit physikalischer Analogie begr¨ undete. Gauss unterstellte f¨ ur die Existenz eines derartigen Gleichgewichtspotentials, daß das Inﬁmum des von ihm eingef¨ uhrten nichtnegativen Funktionals 7

Sie ergibt sich aus seiner großen Abhandlung [232, §§ 7, 8] und ﬁndet sich etwas sp¨ ater auch bei Thomson [323].

1.4 Das Dirichletsche Randwertproblem im 19. Jahrhundert

11

→ ∂D ∂D (x)(y) |x−y| dS(x) dS(y), wenn man alle stetigen Ladungsdichten : ∂D → R+ bei fester Gesamtladung zur Konkurrenz zul¨aßt, ein Minimum 0 sei; vgl. [81, Art. 29f]. Dirichlet hat in seinen Berliner [219, S. 603-605] und G¨ ottinger Vorlesungen [51], durch die von Gauss benutzte Charakterisierung der Gleichgewichtspotentiale beeinﬂußt, die L¨osung der Randwert2 0 aufgabe darin gesehen, daß man unter allen Funktionen

u ∈ C 2(D) ∩ C (D) atte, die | grad u| dx dy dz am mit u|∂D = g die Existenz einer solchen h¨ D kleinsten macht, aber hier¨ uber selbst nichts publiziert. ¨ Ahnlich argumentieren schon vorher Green [87], Thomson [323] und bei einer verwandten Fragestellung Kirchhoff [139]. Dies ist das von B. Riemann [282] so genannte Dirichletsche Prinzip 8 . Daß dabei das Integral als Feldenergie gedeutet werden kann, trug dazu bei, die Existenz eines Minimums als gesichert anzusehen. ur das das Integral minimal Wenn wirklich ein solches u ∈ C 2 (D) existiert, f¨ ist, dann sieht man leicht Δu = 0 ein. Es w¨ are n¨amlich 2 |∇u| dx dy dz ≤ |∇(u + tφ)|2 dx dy dz D

D

f¨ ur alle t ∈ R und alle φ ∈ Cc∞ (D); eine simple Rechnung ergibt 2 0 ≤ 2t ∇u · ∇φ dx dy dz + t |∇φ|2 dx dy dz D

D

f¨ ur alle t ∈ R. Dann muß aber ∇u · ∇φ dx dy dz = 0 D

f¨ ur alle φ ∈ Cc∞ (D) sein. Nimmt man Δu = 0 an, dann gibt es eine Kugel B ⊆ D, in der Δu > 0 oder Δu < 0 ist;

es gibt aber auch ein φ ∈ Cc∞ (B) ⊆ ∞ (Δu)φ dx dy dz > 0 bzw. < 0. Im Cc (D) mit φ ≥ 0 und φ = 0. Dann ist B Gegensatz dazu ist aber nach partieller Integration (siehe Bemerkung A.1) (Δu)φ dx dy dz = − ∇ u · ∇φ dx dy dz B

B ∇u · ∇φ dx dy dz = 0 .

=− D

Riemann [283] st¨ utzte seine Theorie der Abelschen Funktionen auf das Dirichletsche Prinzip, wobei das Randwertproblem in der Ebene, also D ⊆ R2 8

Vorher stand diese Benennung mehr f¨ ur die Eindeutigkeit der L¨ osung der Randwertaufgabe, nicht so sehr f¨ ur diese Methode zur Gewinnung einer L¨ osung, die auch das Thomsonsche Prinzip genannt wurde.

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1 Einleitung mit Bemerkungen zur historischen Entwicklung

und nicht im Raume gestellt ist. Die Dirichletsche Randwertaufgabe, die zun¨ achst f¨ ur die Physik interessant gewesen war, hatte so auch innerhalb der Mathematik an Bedeutung gewonnen. Umso eher regten sich Zweifel an der Schl¨ ussigkeit des Dirichletschen Prinzips. Das fr¨ uheste datierbare Beispiel ist das des russischen Bergbauingenieurs Thieme (G.A. Time), der sich 1862 in G¨ ottingen aufhielt, um bei Riemann Aufkl¨ arung u ¨ber dessen Theorie der Abelschen Funktionen zu erbitten [223, S. 247]. Kronecker nannte Casorati 1864 ein geometrisches Variationsproblem, das kein Minimum besitzt [222, S. 26]. ¨ Die schwelende Kritik hat Riemanns Uberzeugung von der Richtigkeit seiner mit dem Dirichletschen Prinzip begr¨ undeten funktionentheoretischen S¨atze nicht ersch¨ uttert 9 . Erst drei Jahre nach Riemanns Tod erh¨artete Weierstraß [334] die Einw¨ ande durch Publikation eines nach unten beschr¨ankten Funktionals, das keine Minimumstelle in seinem Deﬁnitionsbereich hat. Da

| grad u|2 dx dy dz es sich aber nicht um das Dirichletfunktional φ : u → D handelte, blieb die Frage hierf¨ ur oﬀen; immerhin war die Evidenz“ angeschla” gen, gleichzeitig die Argumentation von Gauss. Zuvor hatte H. Weber [333] den Versuch gemacht, eine konvergente Folge zu konstruieren, auf der das Dirichletsche Funktional gegen sein Inﬁmum strebt. Methodisch kn¨ upft er an seine Arbeit [332] an, mit der die Zeitschrift Mathematische Annalen“ er¨ oﬀnet wurde. ” Prym [270] kritisierte das Dirichletsche Prinzip unter einem anderen Gesichtspunkt als Weierstraß. Er zeigte, daß die L¨osung des Dirichletproblems Δu = 0 in der Kreisscheibe D ⊆ R2 , u|∂D = g, nicht jeder stetigen

bei Randwertvorgabe g : ∂D → R endliches Dirichletintegral D u2x + u2y dx dy zu haben braucht, so daß sich die L¨ osung nicht f¨ ur jedes g aus dem Di” richletschen Prinzip“ ergeben kann. Heine [104] weist auf Annahmen beim ` [8] setzte seine Ergebnisse u Dirichletschen Prinzip hin. Arzela ¨ber Funktionenklassen f¨ ur den Versuch ein, das Dirichletsche Prinzip zu retten. Am Ende des 19. Jahrhunderts formulierte David Hilbert 10 : . . . Das Dirichletsche Prinzip fand nur noch historische W¨ urdigung und ” erschien jedenfalls als Mittel zur L¨ osung der Randwertaufgabe abgetan. Bedauernd spricht C. Neumann aus, daß das so sch¨ one und dereinst so viel benutzte Dirichletsche Prinzip jetzt wohl f¨ ur immer dahingesunken sei; nur A. Brill und M. Noether rufen neue Hoﬀnung in uns wach, indem sie der ¨ Uberzeugung Ausdruck geben, daß das Dirichletsche Prinzip, gewissermaßen der Natur nachgebildet, vielleicht in modiﬁzierter Fassung einmal eine Wiederbelebung erf¨ ahrt.“(Bei den Arbeiten der zitierten Autoren handelt es sich um [228, p. 707], [29, p. 265].)

9 10

F. Klein [142, p. 264] zitierte hierzu Weierstraß. Hilbert [112] Vortrag mit dem Ziel einer Wiederbelebung des Dirichletschen Prinzips auf der Jahresversammlung 1899 der Deutschen MathematikerVereinigung in M¨ unchen.

1.4 Das Dirichletsche Randwertproblem im 19. Jahrhundert

13

Hilbert [113] 11 gelang dann der entscheidende Durchbruch zur Rehabilitation des Dirichletschen Prinzips, indem er, was Weber seinerzeit nicht gelungen war, konvergente Minimalfolgen erzeugen konnte und so die direkten Methoden der Variationsrechnung f¨ ur die Existenz eines Minimums vom Dirichletintegral einleitete. Diese Methoden haben zu der heute sehr weit ausur Randwertaufgaben gef¨ uhrt. Stillschweigend benutzte gebauten L2 -Theorie f¨ Hilbert, daß die Randvorgabe g : ∂D → R eine stetige Fortsetzung auf D mit endlichem Dirichletintegral besitzt. Hierauf hat Hadamard [94] mit einem ber¨ uhmt gewordenen Gegenbeispiel (siehe Aufgabe 3.20) hingewiesen; die fr¨ uhere Aussage von Prym zu diesem Thema war in Vergessenheit geraten. Eine Begr¨ undung des Gaußschen Minimumprinzips erfolgte erst 1935 durch O. Frostman [52, S. 802]. Inzwischen hatte die Weierstraßsche Kritik aber auch andere Ideen zur L¨ osung der Dirichletschen Randwertaufgabe gef¨ordert. In erster Linie sind hier Hermann Amandus Schwarz und Carl Neumann zu nennen. H.A. Schwarz [300, 301] schloß an seinen Beweis der Poissonformel f¨ ur das Dirichletproblem in der Kreisscheibe (siehe Abschnitt 3.1) das alternierende Verfahren (Vorbild bei Murphy [212, p. 93 f.]) an, mit dem er aus der L¨osbarkeit der Dirichletprobleme f¨ ur Gebiete D1 ⊂⊂ R2 und D2 ⊂⊂ R2 mit D1 ∩ D2 = ∅, unter Einschr¨ ankungen, die L¨ osbarkeit in D1 ∪ D2 mit einem Konvergenzprozess anging. So ließe sich aus der L¨osbarkeit f¨ ur Kreisscheiben die L¨ osbarkeit z.B. f¨ ur von Kreisb¨ ogen berandete Gebiete der Ebene gewinur die funktionentheoretischen Bed¨ urfnisse nen. Die Beschr¨ ankung auf R2 war f¨ ausreichend. Die Idee ist, daß man zu dem vorgegebenen g : ∂(D1 ∪D2 ) → R ein stetiges ur Randdatum g1 : ∂D1 → R (beliebig) hinzudeﬁniert, aber mit g1 (x) = g(x) f¨ x∈ / D2 , und dann Δu1 = 0 in D1 , u1 |∂D1 = g1 l¨ost. Sei D1 , falls i ungerade Di := , i = 1, 2, 3, . . . . D2 , falls i gerade und sei schon Δui = 0 in Di , ui |∂Di = gi , gel¨ost; dann deﬁniert man gi+1 : ∂Di+1 → R durch g(x), falls x ∈ ∂Di+1 \Di , gi+1 (x) := ui (x), falls x ∈ (∂Di+1 ) ∩ Di und man l¨ ost Δui+1 = 0 in Di+1 , ui+1 |∂Di+1 = gi+1 . Man l¨ost also abwechselnd in den Gebieten D1 und D2 Dirichletprobleme und erh¨alt eine Folge (ui ), und es ist zu zeigen, daß die Teilfolge mit ungeraden Indizes in D1 gegen ein u ∈ C 2 (D1 ) ∩ C 0 (D1 ), die mit geraden Indizes in D2 gegen ein u ∈ C 2 (D2 ) ∩ C 0 (D2 ) konvergiert, und daß 11

Vortrag 1901 auf dem Festkolloquim zum 150j¨ ahrigen Bestehen der G¨ ottinger Gesellschaft der Wissenschaften.

14

1 Einleitung mit Bemerkungen zur historischen Entwicklung

u(x) :=

u (x) u (x)

f¨ ur x ∈ D1 f¨ ur x ∈ D2

wohldeﬁniert ist und das in D1 ∪ D2 gestellte Dirichletproblem l¨ost. Zu diesem Zweck beachten wir Di+3 = Di+1 und bilden wir ui+3 − ui+1 , also die Diﬀerenz zweier aufeinanderfolgender L¨osungen in Di+1 . Sie ist harmonisch in Di+1 und stetig in Di+1 mit Randwerten 0 f¨ ur x ∈ (∂Di+1 )\Di gi+3 (x) − gi+1 (x) = . ui+2 (x) − ui (x) f¨ ur x ∈ (∂Di+1 ) ∩ Di Nach dem Maximumprinzip (Korollar 2.3.5) folgt |ui+3 (x) − ui+1 (x)| ≤ sup |gi+3 − gi+1 | =

sup

|ui+2 − ui |

(1.5)

(∂Di+1 )∩Di

f¨ ur x ∈ Di+1 . Nunmehr wird von folgendem Lemma Gebrauch gemacht, das wir weiter unten noch diskutieren werden. Lemma: Es gibt eine Konstante 0 < q < 1, so daß alle in Di harmonischen atzung gen¨ ugen: v ∈ C 0 (Di ), die auf (∂Di )\Di+1 Null sind, folgender Absch¨ sup

|v| ≤ q sup |v| . ∂Di

(∂Di+1 )∩Di

Dieses Lemma wird auf (ui+2 − ui ) in (1.5) angewendet. Das ergibt |ui+3 (x) − ui+1 (x)| ≤ q sup |ui+2 − ui | f¨ ur x ∈ Di+1 . ∂Di

Mit der Setzung Mi := sup∂Di |ui+2 − ui | haben wir dann Mi+1 ≤ qMi , und ur i ∈ N mit 0 < q < 1. Daher konvergiert die Teilfolge somit Mi ≤ q i−1 M1 f¨ n mit ungeraden Indizes u2n+1 = u1 + i=1 (u2i+1 −u2i−1 ) gleichm¨aßig auf ∂D1 n−1 und die mit geraden Indizes u2n = u2 + i=1 (u2i+2 − u2i ) gleichm¨aßig auf ∂D2 . Der erste Harnacksche Satz (Korollar 3.1.3) liefert dann die gleichm¨aßige Konvergenz der Folge (u2n+1 ) in D1 und die von (u2n ) in D2 gegen stetige und in D1 bzw. D2 harmonische Funktionen u und u mit den richtigen Randwerten auf ∂(D1 ∪ D2 ). Schließlich stimmen u und u in D1 ∩ D2 u ¨berein, weil die Diﬀferenz u2n − u2n−1 in D1 ∩ D2 gleichm¨ aßig gegen Null geht. Dies wiederum wegen des ersten Harnackschen Satzes; denn auf dem Teil (∂D2 ) ∩ D1 des Randes ahrend auf dem restlichen Teil von D1 ∩ D2 ist u2n (x) − u2n−1 (x) = 0, w¨ ur x ∈ (∂D1 ) ∩ D2 die Absch¨atzung (∂D1 ) ∩ D2 wegen u2n (x) = u2n+1 (x) f¨ sup (∂D1 )∩D2

besteht.

|u2n − u2n−1 | = sup |u2n+1 − u2n−1 | = M2n−1 ≤ q 2n−2 M1 ∂D1

1.4 Das Dirichletsche Randwertproblem im 19. Jahrhundert

15

Zum Beweis des obigen Lemmas, den man auch in Lehrb¨ uchern der Funktionentheorie ﬁndet (z.B. [126, III.6]; man ziehe auch Bemerkung 3.5.6 heran), ben¨ otigt man eine Voraussetzung an den Rand. In beliebigen Dimensionen kann ein Beweis mit Hilfe eines Doppelschichtpotentials gef¨ uhrt werden [46, 267ﬀ]. Man kann aber auch das Lemma vermeiden, indem man die ui als L¨osungen von Integralgleichungen gewinnt [239]. Beides leitet u ¨ber zu einer weiteren L¨ osungsmethode. C. Neumann [225,226] setzte Untersuchungen von A. Beer [13] fort u ¨ber das schon bei Gauss und Green vorkommende, aber erst von Helmholtz [108] herausgehobene und benannte Doppelschichtpotential 1 ∂ 1 dS(y) , x ∈ R3 , μ(y) W (x) := 2π ∂νy |x − y| ∂D

bei hinreichend glatt berandetem D ⊂⊂ R3 . aßt sich stetig auf D fortsetzen; allerdings, auf Es ist W |D harmonisch und l¨ ∂D stimmt die Fortsetzung nicht mit W |∂D u ¨berein, sondern mit −μ + W |∂D . Die Herleitung solcher Sprungrelationen erfordert eine sorgf¨altige Analyse, auf die wir uns nicht einlassen wollen. Die Aufgabe ist nun, μ so einzurichten, daß −μ + W |∂D mit dem vorgegebenen Randwert g : ∂D → R u ¨bereinstimmt. osung der Aufgabe bildete C. Neumann mit den Es sei μ1 := −g. Zur L¨ sukzessive deﬁnierten Doppelschichtpotentialen 1 1 ∂ dS(y) , x ∈ R3 , Wn (x) := μn (y) 2π ∂νy |x − y| ∂D

μn+1 := −Wn |∂D , n = 1, 2, 3, . . . n ∞ die Reihe k=1 (W2k−1 − W2k ). Ihre Teilsumme k=1 (W2k−1 − W2k ) besitzt eine stetige Fortsetzung auf D. Diese stimmt wegen der Sprungrelation auf ∂D mit n

(−μ2k−1 + W2k−1 |∂D + μ2k − W2k |∂D ) =

k=1

n

(μ2k+1 − μ2k−1 ) = g + μ2n+1

k=1

u ¨berein. Wenn diese Folge von Randwerten gleichm¨ aßig konvergiert, konvergiert die Reihe nach dem ersten Harnackschen Satz (Korollar 3.1.3) gleichm¨aßig gegen ein stetiges U : D → R, das in D harmonisch ist. C. Neumann bemerkte, wenn D konvex ist, min μn ≤ min μn+1 ≤ max μn+1 ≤ max μn . Er entnahm dies einer Darstellung (siehe [136, Chap. III.7 und XI.1]) 1 μ ˜(x; ξ) dS(ξ) W (x) = − 2π Σ(x)

(1.6)

16

1 Einleitung mit Bemerkungen zur historischen Entwicklung

mit Σ(x) = {ξ ∈ RN : |ξ| = 1 und es existiert r > 0 mit x + rξ ∈ ∂D} und mit μ ˜(x; ξ) := μ(x + rξ), falls x + rξ ∈ ∂D, r > 0. Im Falle x ∈ ∂D ist 2π = vol Σ(x), und so erscheint −W (x) als Mittelwert von μ ˜ auf Σ(x). Daher sprach C. Neumann von der Methode der arithmetischen Mittel . Seine Methode enth¨ alt aber auch den Begriﬀ einer Konﬁgurationskonstante: W¨ahrend max μn+1 − min μn+1 ≤ max μn − min μn sofort aus (1.6) folgt, stellt C. Neumann [226] zu jedem Gebiet D aus einer großen Klasse konvexer Gebiete eine Konstante κ < 1 auf 12 , mit der max μn+1 − min μn+1 ≤ κ (max μn − min μn )

(1.7)

ist. Aus (1.6) und (1.7) folgt, daß die Folge der μn gleichm¨aßig gegen eine Konstante C konvergiert. Dann ist u := U − C L¨osung des Dirichletproblems. Die Ergebnisse von Schwarz und C. Neumann waren willkommene St¨ utzen f¨ ur Riemanns Theorie. Vielmehr aber waren sie Anlaß zu weiteren ´, Lyapunov und FredEntwicklungen, in die zun¨ achst Robin 13 , Poincare holm eintraten. ´ [263], der bereits einen wiederum neuen Weg zur L¨osung des Poincare Dirichletproblems er¨ oﬀnet hatte, den wir weiter unten beschreiben, sah in Neumanns Methode mehr eine Handhabe f¨ ur die konstruktive Berechnung von L¨ osungen, nicht deren Existenzbeweis, und suchte diese Methode auf nichtkonvexe Gebiete auszudehnen, indem er Vorstellungen anwandte, die er beim Studium der schwingenden Membran entwickelt hatte [261]. Er konnte die Konvergenz von Neumanns Reihe aus dem Verhalten einer meromorphen Funktion des von ihm eingebrachten Parameters λ erschließen. Diese Betrachtung brachte Fredholm [71,72] zu seiner ber¨ uhmten Auﬂ¨osungstheorie linearer Integralgleichungen, mit der sich heute das Dirichletproblem als ein u ¨berschaubares Integralgleichungsproblem darstellen l¨aßt. Freilich, die zur¨ uckgewonnene Energie muß man in die Qualit¨ atsnachweise u ¨ber die Sprungrelationen stecken, und das ist ein langes Kapitel der Potentialtheorie, an dem noch bis zum ersten Drittel des 20. Jahrhunderts hart gearbeitet wurde. Wir werden diesen Pfad nicht betreten und verweisen auf Lehrb¨ ucher wie [66, 89, 154] und f¨ ur den neueren Stand der Dinge auf die Literatur in [315]. 12

13

Der Beweis von κ < 1 bei C. Neumann [226] ist angreifbar. Es werden Minimum und Inﬁmum sogar im Bereich der Zahlen verwechselt,w¨ ahrend die Verwechslung beim Dirichletschen Prinzip bei Funktionalen auf Funktionenr¨ aumen geschehen war und den Anlaß zu Neumanns Arbeiten gegeben hatte. Obwohl C. Neumann [228, § 6] dies mit einem sch¨ onen Lehrbeispiel eingestanden und korrigiert hat, wurde nur die fehlerhafte, ¨ altere Version tradiert. Dies f¨ uhrte zu einer heftigen, aber auch konstruktiven Kritik bei Lebesgue [177] und zu einem Beweis bei Schober [298]. Die von Monna [209] geschilderte Comedy ” of Errors“ bekommt dadurch, daß C. Neumanns Verbesserung in Vergessenheit geriet, eine zus¨ atzliche Pointe. Zur G¨ ultigkeit von (1.7) aus heutiger Sicht siehe [315]. Robin behandelte das zweite und dritte Randwertproblem.

1.4 Das Dirichletsche Randwertproblem im 19. Jahrhundert

17

Die konstruktive Methode der arithmetischen Mittel blieb trotz der Be´, und anschließend von Korn und E.R. Neumann m¨ uhungen von Poincare (einem Neﬀen von Franz Neumann), am Ende des 19. Jahrhunderts in den Augen von C. Neumann [229] selbst ein vorl¨auﬁges Ger¨ ust“, welches durch ” tiefer gehende Forschungen, durch mancherlei Determinationen und Rec” tiﬁcationen, schließlich in ein wirklich festes Geb¨aude sich selbst verwandeln werde“. Eine abschließende Untersuchung von E.R. Neumann ist [231]. ´ [259, 260] bereits mit seiner M´ethode de W¨ahrenddessen hatte Poincare ” balayage“ einen neuen Weg zur L¨ osung des Dirichletschen Randwertproblems gebahnt, der eher die Richtung des alternierenden Verfahrens von Schwarz verfolgt. W¨ ahrend die N¨ aherungen un bei Schwarz und Neumann der Gleichung ugen und ihre Randwerte gegen die Vorgabe konvergieren, Δun = 0 gen¨ erf¨ ullen die Randwerte der un bei Poincar´es Methode des Fegens (siehe [260] f¨ ur N = 3, [246] f¨ ur N = 2) stets die Randwertvorgabe, und es konvergiert ur n → ∞. Δun → 0 f¨ Das Gebiet D ⊂⊂ R2 wird mit einer Folge von sich teils u ¨berlappenullt, und eine weitgehend willk¨ urliche den Kreisscheiben B1 , B2 , B3 , . . . ausgef¨ Funktion f : D → R, die aber auf dem Rande ∂D mit dem Randdatum g u achst in der Kreisscheibe B1 nach Regeln der Poten¨bereinstimmt, wird zun¨ tialtheorie, die wir erst in Abschnitt 3.2 beschreiben werden, so zu f1 : D → R ur (x, y) ∈ D\B1 und Δf1 (x, y) = 0 f¨ ur abge¨ andert, daß f1 (x, y) = f (x, y) f¨ (x, y) ∈ B1 gilt. Sodann wird f1 in B2 in analoger Weise zu f2 : D → R abge¨andert, dann f2 wieder in B1 zu f3 , f3 in B2 zu f4 , f4 in B3 zu f5 , f5 in B1 zu f6 , usw. Man durchl¨ auft die Kreisscheiben in der Abfolge 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, . . . . In physikalischer Interpretation denkt man sich f als Potential einer in D verteilten Masse, welche, soweit sie in B1 enthalten ist, an den Rand von B1 gefegt wird. Das geht, ohne das Potential f außerhalb von B1 zu a¨ndern, und macht Δf1 = 0 in B1 . Anschließend fegt man in B2 an den Rand von B2 , sodann wieder innerhalb B1 , usw. W¨ ahrend also f auf ∂D bei jedem Schritt des unendlichen Prozesses unge¨ andert bleibt, erh¨ alt man von Schritt zu Schritt eine neue stetige Fortsetzung von f |∂D auf D, die auf einem immer gr¨oßeren Teilvolumen von D harmonisch ist. Die so konstruierte Folge (un ) konvergiert gegen eine in D harmonische Funktion u. Unter welchen Voraussetzungen sich u stetig auf D fortsetzen l¨ aßt und wann die Fortsetzung auf ∂D mit f u ¨bereinstimmt, muß dann nat¨ urlich auch noch untersucht werden. Wir verweisen auf [118]. Hieraus ist durch weitere Abstraktion der Existenzbeweis von Perron [248] hervorgegangen, den wir in den Abschnitten 3.3 und 3.6 ausf¨ uhrlich behandeln, und der ohne R¨ uckgriﬀ auf die bis hier angesprochenen Verfahren dargestellt wird.

2 Die Laplacegleichung

L¨ osungen der Laplacegleichung werden durch die Mittelwerteigenschaft charakterisiert (Satz 2.1.1). Hieraus ergeben sich innere A-Priori-Absch¨atzungen (die S¨ atze 2.1.7 und 2.1.9) und Analytizit¨ at (Satz 2.4.4), ferner Liouville- und Harnackeigenschaft (Korollar 2.2.2 bzw. Satz 2.2.5) sowie ein starkes Minimumprinzip (Satz 2.3.1). Analoge Aussagen werden f¨ ur die Helmholtzsche Schwingungsgleichung erzielt. Aus einem schwachen Minimumprinzip (S¨atze 2.3.4 und 2.6.1) werden A-Priori-Ungleichungen von Bernstein gefolgert (Lemmata 2.3.6 und 2.6.3), die sp¨ ater im Rahmen der Schauder-Theorie (Abschnitte 5.5–5.6 und Kapitel 8) verwendet werden. Das Randminimumprinzip (Satz 2.3.8) wird in den Abschnitten 3.6 und 4.4 herangezogen.

2.1 Harmonische Funktionen und Mittelwerteigenschaft Eine reellwertige Funktion u, die auf einer oﬀenen Teilmenge Ω ⊆ RN oder auf einer Ω umfassenden Teilmenge des RN deﬁniert ist, heißt auf Ω harmonisch, ur x ∈ Ω ist. wenn1 u ∈ C 2 (Ω) und ux1 x1 (x) + ux2 x2 (x) + . . . + uxN xN (x) = 0 f¨ Statt auf Ω steht h¨ auﬁg auch in Ω. Die f¨ ur u geforderte Diﬀerentialgleichung ist die (N -dimensionale) Laplacegleichung in Analogie zu dem in Abschnitt 1.2 Gesagten, und sie wird oft Δu(x) = 0 geschrieben mit dem (N -dimensionalen) Laplaceoperator Δ=

∂2 ∂2 ∂2 + + . . . + . ∂x21 ∂x22 ∂x2N

Man schreibt auch Δx u(x) = 0 oder ΔN u = 0, um x = (x1 , . . . , xN ) gerecht zu werden. Das Symbol Δ geht auf Murphy [212, p. 140] zur¨ uck, der Terminus Laplaceoperator auf Maxwell [200], der das Symbol −∇2 statt Δ benutzte2 . 1 2

Die Aussage u ∈ C 2 (Ω) ist nat¨ urlich durch u|Ω ∈ C 2 (Ω) zu interpretieren. Das Minuszeichen r¨ uhrt von einer Quaternionenmultiplikation her. Man vergleiche die Bemerkungen auf S. 188 von [142].

E. Wienholtz et al., Elliptische Diﬀerentialgleichungen zweiter Ordnung, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009 DOI 10.1007/978-3-540-45721-3 2,

20

2 Die Laplacegleichung

Thomson [324] nannte homogene Funktionen auf R3 , die der Laplacegleichung gen¨ ugen, spherical harmonics, womit er sie als r¨aumliche Analoga zu den Kreisfunktionen cos, sin angesprochen haben d¨ urfte. Noch heute ist spherical harmonics die englische Benennung der Kugelfunktionen. In Anlehnung daran hat C. Neumann [227, p. 390] das Wort harmonisch eingef¨ uhrt. Er w¨ ahlte es zur Bezeichnung von Funktionen, die etwas allgemeiner als die in der uhrten obigen Deﬁnition sind 3 . Beispielsweise sind die in der Einleitung eingef¨ Potentiale des Gravitationsfeldes und des elektrostatischen Feldes auf massebzw. ladungsfreien Gebieten des R3 harmonisch. Wir weisen aber auch auf die Cauchy-Riemannschen Diﬀerentialgleichungen der Funktionentheorie hin, wonach Real- und Imagin¨ arteil einer jeden auf einem Gebiet Ω ⊆ C holomorphen Funktion harmonisch sind. Wegen z n = (x + iy)n = rn (cos nφ + i sin nφ) deﬁnieren die Zuordnungen R2 (x, y) → rn cos nφ und R2 (x, y) → rn sin nφ, wobei (r, φ) die Polarkoordinaten von (x, y) sind, zwei harmonische Polynome u(x, y) bzw. v(x, y) auf R2 vom Grade n. Dies kann man auch ohne Benutzung komplexer Zahlen beweisen, wenn man die trigonometrischen Additionstheoreme im Reellen kennt (siehe Aufgabe 2.1). Diese Beipiele zeigen schon, daß die L¨ osungsmenge der partiellen Diﬀerentialgleichung Δu = 0, sogar in eialtiger ist als die L¨ osungsmenge der entsprechenden ner Kugel des RN , vielf¨ gew¨ ohnlichen Diﬀerentialgleichung u = 0 in einer Kugel des R1 (Intervall!), wo notwendig u(t) = at + b ist. Der Leser, welcher das Poissonintegral als Quelle aller Aussagen u ¨ber harmonische Funktionen zu haben w¨ unscht, kann an dieser Stelle direkt zum Abschnitt 3.2 u osung des Dirichletproblems ¨bergehen. Dort wird die L¨ −Δu = 0 in B , u|∂B = g f¨ ur Kugeln B ⊆ RN explizit angegeben. Der dort gegebene Beweis ist besonders einfach, weil er die Hilfsformel R2 − |x|2 1 dS(y) = 1 RωN |y − x|N |y|=1

nicht u ¨ber die sonst u ¨blichen Greenschen Umformungen mit einer Grundl¨osung gewinnt, die am Rande der Kugel verschwindet. Vielmehr werden nur die Kugelsymmetrie und das schwache Minimumprinzip herangezogen, das in Satz 2.3.4 bewiesen ist. In Bemerkung 3.2.4 wird dann erl¨autert, wie man das Poissonintegral einsetzt, um Aussagen u ¨ber die Mittelwerteigenschaft oder z.B. auch die Analytizit¨ at harmonischer Funktionen bequem zu beweisen. Ein derartiger Zugang zur Mittelwerteigenschaft und zu den u ¨brigen lokalen Eigenschaften harmonischer Funktionen muß sich aber den Einwand 3

Hingegen benutzte Harnack [96], auch in Leipzig, harmonisch etwas enger als in obiger Deﬁnition. Jules Riemann [285] deﬁniert harmonisch wie oben. Man vgl. auch die Bemerkung auf S. 300.

2.1 Harmonische Funktionen und Mittelwerteigenschaft

21

gefallen lassen, daß er innere Eigenschaften erst u ¨ber die L¨osung eines Randwertproblems (Poissonintegral) zug¨ anglich macht. Daß dies nicht sachgerecht ist, wenn man die Theorie elliptischer Diﬀerentialgleichungen im Auge hat, erkennt man schon an der Gleichung −Δu + λu = 0 , f¨ ur die es kein Analogon zum Poissonintegral gibt; wohl aber ist es mit den im folgenden entwickelten Methoden m¨ oglich, ihre L¨osungen u durch eine Mittelwerteigenschaft zu charakterisieren und andere innere Eigenschaften wie die Harnackungleichung oder u ∈ C ∞ oder die lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen zu beweisen, ferner, daß der lokal gleichm¨aßige Limes von L¨osungen wieder L¨ osung ist; vgl. die Bemerkungen 2.5.1 und 2.5.3 sowie die Aufgabe 2.13. Hierzu lese man auch das einleitend in Abschnitt 9.2 Gesagte. ullt Die aﬃne Funktion u(t) = at + b auf R1 erf¨ t+s u(t) + u(s) ; u = 2 2 ihr Wert in der Mitte eines Intervalls ist das Mittel ihrer Werte an den Intervallenden. Entsprechendes gilt f¨ ur die aﬃne Funktion u(x) = a1 x1 + a2 x2 + . . . + amlich aN xN + b auf RN ; n¨ 1 u(x) dS(x) , (2.1) u(x0 ) = N −1 r ωN |x−x0 |=r

was ausdr¨ uckt, daß der Wert von u im Zentrum einer Kugel gleich dem Integralmittel der Werte von u, genommen u ¨ber die Oberﬂ¨ache der Kugel, ist. Das ist plausibel, weil die Restriktion von u auf einen Durchmesser eine aﬃne Funktion auf R1 ist und weil wir von einer solchen Funktion wissen, daß das arithmetische Mittel von zwei Werten in antipodischen Punkten gerade den Wert im Zentrum ergibt. Es folgt unmittelbar aus dem Gaußschen Integralsatz f¨ ur die Kugel (siehe Lemma B.7), daß jede in Ω ⊆ RN harmonische Funktion diese Mittelwerteigenschaft besitzt, solange man die Mittelung u ¨ber Kugeln BR (x0 ) ⊂⊂ Ω bildet. Daß Potentiale im Sinne von Abschnitt 1.1 außerhalb der Masseverteilung die Mittelwerteigenschaft haben, wurde zuerst von Gauss [81] bewiesen. B. Riemann [280] bewies die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen f¨ ur N = 2. In diesem Fall kann (2.1) auch als Spezialfall der Cauchyschen Integralformel f¨ ur holomorphe Funktionen angesehen werden; vgl. [278]. Daß stetige Funktionen mit Mittelwerteigenschaft bereits harmonisch sind, wird ebenfalls durch Lemma B.7 nahegelegt. Diese Richtung des folgenden ˆ cher [20]. Satzes stammt von Koebe [143]; siehe auch Bo Satz 2.1.1. Es sei Ω ⊆ RN oﬀen und u : Ω → R. Dann sind ¨aquivalent:

22

2 Die Laplacegleichung

(i) u ist auf Ω harmonisch. ur jedes (ii) u hat die Mittelwerteigenschaft auf Ω, d.h. u ∈ C 0 (Ω) und f¨ x ∈ Ω und jedes r > 0 mit Br (x) := {y ∈ RN : |y − x| < r} ⊂⊂ Ω ist 1 u(y) dS(y) (Mittelwertrelation). u(x) = N −1 r ωN |y−x|=r

(iii) u ∈ C 0 (Ω) und 4 (u(x) − u(y)) dy = 0

f¨ ur alle Br (x) ⊂⊂ Ω .

|y−x|≤r

Bemerkung 2.1.2. Man nennt die in (iii) ausgedr¨ uckte Eigenschaft auch die zweite Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen. Dies ist f¨ ur das Zitieren bequem. Es darf aber nicht dahin mißverstanden werden, als liefere die zweite Mittelwerteigenschaft eine wesentlich neue Information. Vielmehr zeigt ja gerade der Satz, daß es sich um eine mit der Mittelwerteigenschaft a ¨quivalente Eigenschaft handelt. Beweis von Satz 2.1.1. (i) ⇒ (ii): Dies ist wegen u ∈ C 2 (Ω) und Δu(x) = 0 in Ω eine unmittelbare Konsequenz aus dem zum Gaußschen Integralsatz geh¨ origen Lemma B.7. (ii) ⇒ (iii): Nach Multiplikation der Mittelwertrelation mit ωN rN −1 und Integration erh¨ alt man r r u(x)ωN sN −1 ds = u(y) dS(y) ds , 0

0

mithin u(x) Da

1 N N ωN r

ωN r N = N

|y−x|=s

u(y) dy . |y−x|≤r

gerade das Volumen der Kugel Br (x) darstellt, folgt (u(x) − u(y)) dy = 0 |y−x|≤r

f¨ ur Br (x) ⊂⊂ Ω. (iii) ⇒ (ii): Dies folgt aus d (u(x) − u(y)) dy = (u(x) − u(y)) dS(y) 0= dr |y−x|≤r |y−x|=r = u(x)ωN rN −1 − u(y) dS(y) . |y−x|=r

4

F¨ ur weitergehende Aussagen vgl. Aufgaben 3.3 und 3.8 sowie Satz 3.3.12.

2.1 Harmonische Funktionen und Mittelwerteigenschaft

23

¨ (ii) ⇒ (i): Das ist der letzte Teil des Aquivalenzbeweises. Zun¨achst beweisen wir eine bemerkenswerte Regularit¨ atsaussage, n¨amlich u ∈ C ∞ (Ω). Dazu ur k = 0 zutriﬀt, und Dk bezeichne eine parsei schon u ∈ C k (Ω) richtig, was f¨ tielle Ableitung der Ordnung k, wobei wir D0 u = u setzen. Aus (ii) folgt (iii) und somit gilt bei beliebig kleinem r > 0 f¨ ur x ∈ Ωr := {y ∈ Ω : Br (y) ⊂⊂ Ω} die Gleichung (s. Satz A.5) N N k k Dk u(x) = D u(y) dy = D u(x + z) dz ωn r N ωN r N |y−x|≤r

=

N ωN r N

|z|≤r

Dk u(y) dy . |y−x|≤r

Wegen der Stetigkeit des Integranden in Ω ergibt Satz B.8, daß Dk u ∈ C 1 (Ωr ), also u ∈ C k+1 (Ωr ) ist. Da zu jedem x ∈ Ω ein r > 0 existiert mit x ∈ Ωr , folgt u ∈ C k+1 (Ω). Mithin haben wir induktiv gezeigt, daß u ∈ C ∞ (Ω). Da nun u ∈ C 2 (Ω) ist, bilden wir Δu und nehmen an, es g¨abe eine Stelle x0 ∈ Ω ankung der Allgemeinheit sei (Δu)(x0 ) > 0. mit (Δu)(x0 ) = 0. Ohne Einschr¨ Wegen der Stetigkeit von Δu auf der oﬀenen Menge Ω existiert eine Kugel are Br (x0 ) ⊂⊂ Ω, auf der Δu > 0 ist; also w¨ 0< Δu(x) dx f¨ ur 0 < < r |x−x0 |<

und dann nach dem Lemma B.7 1 u(x0 ) < ωN rN −1

u(x) dS(x) , |x−x0 |=r

was der Mittelwerteigenschaft widerspricht.

Korollar 2.1.3. Harmonische Funktionen sind beliebig oft diﬀerenzierbar. Mit u ist auch uxi auf Ω harmonisch. Beweis. Die Harmonizit¨ at ist mit der in Satz 2.1.1 aufgef¨ uhrten Eigenschaft (iii) a quivalent, und es wurde im vorigen Beweis gezeigt, daß aus (iii) die ¨ ∂ C ∞ -Eigenschaft folgt. Sodann ist Δuxi (x) = ∂x Δu(x) = 0 trivial. i Bemerkung 2.1.4. In Abschnitt 2.4 wird gezeigt, daß harmonische Funktionen sogar reell-analytisch, d.h. lokal in Potenzreihen entwickelbar sind. Wenn man den in der Kapiteleinleitung beschriebenen Weg u ¨ber das Poissonintegral aus Abschnitt 3.2 eingeschlagen hat, weiß man schon, daß harmonische Funktionen reell-analytisch sind; siehe Bemerkung 3.2.4. Bemerkung 2.1.5. Die im Beweis von Satz 2.1.1 eingef¨ uhrten Mengen Ωr enthalten gerade diejenigen Punkte aus Ω, deren Abstand vom Rand ∂Ω

24

2 Die Laplacegleichung

gr¨oßer als r ist. Den Abstandsbegriﬀ deﬁnieren wir hierzu f¨ ur x ∈ RN und N A ⊆ R durch dist(x, A) := inf{|x − a| : a ∈ A} , wobei wir gem¨ aß der u ¨blichen Konvention dist(x, ∅) = inf ∅ = +∞ setzen. Die folgenden Beobachtungen a)–c) sind elementarer Natur und werden dem ¨ Leser zur Ubung u ¨berlassen (s. Aufgabe 2.3). a) Im Falle A = ∅ gilt | dist(x, A)−dist(y, A)| ≤ |x−y|, woraus unmittelbar die Stetigkeit von dist(·, A) folgt. Wir deﬁnieren weiter f¨ ur Teilmengen A, B des RN den Abstand dist(B, A) := inf{dist(b, A) : b ∈ B} . Ist dist(B, A) > 0, so sind A und B oﬀensichtlich disjunkt. N¨ utzlich ist die Umkehrung dieser Aussage, die jedoch nur eingeschr¨ankt g¨ ultig ist. b) Ist A ⊆ RN abgeschlossen, B ⊆ RN kompakt und gilt A ∩ B = ∅, so ist dist(B, A) > 0. Man kann die Aussagen a) und b) verwenden, um folgendes zu beweisen: c) F¨ ur U ⊂⊂ V ⊆ RN existiert W ⊆ RN mit U ⊂⊂ W ⊂⊂ V . Hinweis: U ⊂⊂ V impliziert deﬁnitionsgem¨aß U ⊆ V und die Oﬀenheit von V . Also sind U und ∂V disjunkt, und somit gilt δ := dist(U , ∂V ) > 0. F¨ ur 0 < < δ ist W := {x ∈ RN : dist(x, U ) < } wegen a) oﬀen, und es gilt U ⊆ W und W ⊆ V . Der folgende Satz ist ein klassisches Theorem u ¨ber harmonische Funktionen. Satz 2.1.6 (Der lokale Teil des ersten Harnackschen Satzes). 5 Es sei Ω ⊆ RN oﬀen, und (un ) sei eine Folge von auf Ω harmonischen Funktionen, aßig die lokal gleichm¨ aßig konvergiert, d.h. die auf jedem Ω ⊂⊂ Ω gleichm¨ u : Ω → R, die konvergiert. Dann konvergiert (un ) auf Ω gegen eine Funktion auf Ω harmonisch ist. Jede abgeleitete Folge Dk un konvergiert auf jedem Ω ⊂⊂ Ω gleichm¨ aßig gegen Dk u, wobei Dk eine beliebige partielle Ableitung der Ordnung k bezeichne. Beweis. Daß (un ) auf Ω einen Limes u hat, ist trivial. Da Stetigkeit eine lokale Eigenschaft ist, folgt die Stetigkeit von u daraus, daß die stetigen Funktionen 5

Der erste Harnacksche Satz wird als Korollar 3.1.3 auftreten. Er wird auch Konvergenzsatz von Weierstraß genannt, weil Weierstrass den entsprechenden Satz f¨ ur analytische Funktionen bewiesen hatte; jedoch nutzte Weierstraß die Potenzreihenentwicklungen der analytischen Funktionen, w¨ ahrend Harnack [96] bei den harmonischen Funktionen mit der Mittelwerteigenschaft auskam. Diese dem Riemannschen Aspekt der Funktionentheorie n¨ aherliegende Schlußweise wurde ´ f¨ dann von Painleve ur einen potenzreihenfreien Beweis des funktionentheoretischen Weierstraßschen Satzes genutzt; vgl. [278].

2.1 Harmonische Funktionen und Mittelwerteigenschaft

25

un auf jedem Ω ⊂⊂ Ω gleichm¨ aßig gegen u konvergieren. Nach Satz 2.1.1 besteht mit jeder Kugel Br (x) ⊂⊂ Ω die Mittelwertrelation (un (y) − un (x)) dy = 0 . |y−x|≤r

Sie u agt sich wegen der gleichm¨ aßigen Konvergenz auf u. Daher ist u ¨bertr¨ nach Satz 2.1.1 auf Ω harmonisch; nach Korollar 2.1.3 ist u ∈ C ∞ (Ω). Es sei Dk eine partielle Diﬀerentiation der Ordnung k, und es sei die Folge k aßig konvergent, was f¨ ur D0 un := un der (D un ) auf jedem Ω ⊂⊂ Ω gleichm¨ Fall ist. Es sei nun Ω ⊂⊂ Ω0 ⊂⊂ Ω (vgl. Bemerkung 2.1.5). Nach der zweiten Mittelwerteigenschaft ist N k D un (x) = N Dk un (y) dy f¨ ur x ∈ Ω mit r = dist(Ω , ∂Ω0 ) , r ωN Br (x)

und nach Satz B.8 gilt ∂ k N D un (x) = N ∂xi r ωN

Dk un (y)νi (y) dS(y)

f¨ ur x ∈ Ω .

∂Br (x)

Die gleichm¨ aßige Konvergenz der Folge (Dk un ) in Ω0 ⊂⊂ Ω u ¨bertr¨agt sich ∂ k k+1 D u ) in Ω . Mithin ist (D u ) auf Ω ⊂⊂ Ω daher auf die Folge ( ∂x n n i gleichm¨ aßig konvergent. Der Rest ist klassische Analysis (s. Satz A.5). Der folgende Satz gibt eine innere A-Priori-Absch¨ atzung f¨ ur die ersten Ableitungen harmonischer Funktionen. Sie wird f¨ ur solche Punkte x, die nahe am Rande von Ω liegen, schlecht, ist also nur im Inneren von Ω sinnvoll. Nat¨ urlich lassen sich die Ableitungen jeder C 1 (Ω)-Funktion im Inneren von atzen. Das Besondere ist aber hier, daß Ω, sagen wir in Ω0 ⊂⊂ Ω, absch¨ die in der Absch¨ atzung auftretenden Konstanten nicht von der individuellen harmonischen Funktion u abh¨ angen, sondern nur von deren Schranken m und M . Es l¨ aßt sich a priori (d.h. von vornherein) eine Schranke f¨ ur uxi (x) angeben, ganz gleich, um welche in Ω harmonische Funktion u mit m ≤ u ≤ M es sich handelt. Satz 2.1.7. Es sei Ω ⊆ RN oﬀen, und es sei −∞ < m < M < ∞. Dann ist |uxi (x)| ≤

N (M − m) 2r

f¨ ur alle i = 1, . . . , N , Br (x) ⊂⊂ Ω und f¨ ur alle auf Ω harmonischen u mit m ≤ u ≤ M . Insbesondere gilt im Falle ∂Ω = ∅ f¨ ur alle x ∈ Ω |uxi (x)| ≤

N (M − m) . 2 dist(x, ∂Ω)

26

2 Die Laplacegleichung

M −m Beweis. Es sei w(x) := u(x) − m+M 2 . Dann ist |w(x)| ≤ 2 , und die Ableitungen von u und w stimmen miteinander u ¨berein. Nach Korollar 2.1.3 ist wxi auf Ω harmonisch, daher nach der 2. Mittelwerteigenschaft N wxi (x) = wx (y) dy , ωN rN |y−x|≤r i

wenn Br (x) ⊂⊂ Ω, aufgrund des Gaußschen Integralsatzes B.5 also N yi − xi dS(y) |uxi (x)| = |wxi (x)| = w(y) ωN rN |y−x|=r |y − x| ≤

N ωN r N

|y−x|=r

(2.2)

M −m dS(y) . 2

Bemerkung 2.1.8. Tats¨ achlich gilt sogar eine leicht allgemeinere Aussage, von der wir sp¨ ater, z.B. in Abschnitt 2.5, Gebrauch machen werden: Es sei Ω ⊆ RN oﬀen, −∞ < m < M < ∞ und A > 0. Dann ist |uxi (x)| ≤

A (M − m) 2r

f¨ ur i = 1, . . . , N sowie f¨ ur alle u ∈ C 1 (Ω) mit m ≤ u ≤ M und A |uxi (x)| ≤ u (y) dy x wN rN |y−x|≤r i f¨ ur Br (x) ⊂⊂ Ω. Zum Beweis hat man nur zu beachten, daß nunmehr in (2.2) ≤“ und im ” Z¨ahler A anstelle von N steht. Satz 2.1.9. Es sei Ω ⊆ RN oﬀen und U eine Menge von auf Ω harmonischen Funktionen, die auf Ω gleichgradig beschr¨ ankt sind, d.h. es gibt M > 0 mit dem |u(x)| ≤ M f¨ ur alle x ∈ Ω und alle u ∈ U ist. Es sei Ω ⊂⊂ Ω. Dann aßig stetig, d.h. zu > 0 gibt es sind die u ∈ U auf Ω gleichgradig gleichm¨ ur alle x , x ∈ Ω mit |x − x | < δ und alle δ > 0, so daß |u(x ) − u(x )| < f¨ u ∈ U . Mehr noch: Zu Ω gibt es eine Konstante L, so daß |u(x ) − u(x )| ≤ ur alle x , x ∈ Ω . LM |x − x | f¨ Beweis. Es gen¨ ugt, die letzte Absch¨ atzung zu beweisen. Es sei Ω ⊂⊂ Ω und ur x, y ∈ Ω mit |x − y| ≥ R/2 ist 0 < R < dist(Ω , ∂Ω). F¨ |u(x) − u(y)| ≤ 2M ≤

4M |x − y| . R

(2.3)

F¨ ur x, y ∈ Ω mit |x − y| < R/2 ist y ∈ BR/2 (x) ⊆ Ω, und weil u ∈ C 1 (Ω) ist, besteht nach dem Mittelwertsatz der Diﬀerentialrechnung die Absch¨atzung

2.1 Harmonische Funktionen und Mittelwerteigenschaft

27

|u(x) − u(y)| ≤ |x − y| |∇u(x∗ )| mit geeignetem x∗ ∈ BR/2 (x). Nach Satz 2.1.7 ur x, y ∈ Ω mit |x − y| < R/2 ist dann ist |uxi (x∗ )| ≤ N R 2M . F¨ √ 2N N M |x − y| . |u(x) − u(y)| ≤ R Die Behauptung ergibt sich somit aus (2.3) und (2.4).

(2.4)

ankSatz 2.1.10 (Der Kompaktheitssatz). Sei Ω ⊆ RN oﬀen. Jede beschr¨ alt eine Teilfolge, te Folge (un ) von auf Ω harmonischen Funktionen un enth¨ die in Ω lokal gleichm¨ aßig gegen eine auf Ω harmonische Funktion u konvergiert. Alle Ableitungen dieser Teilfolge konvergieren lokal gleichm¨ aßig gegen die entsprechenden Ableitungen von u. Beweis. Wir sch¨ opfen Ω durch eine aufsteigende Folge Ω1 ⊂⊂ Ω2 ⊂⊂ . . . ⊂⊂ Ω von beschr¨ ankten, oﬀenen Mengen Ωn := {x ∈ Ω : dist(x, ∂Ω) < 1/n und |x| < n} aus. Aussch¨ opfen bedeutet, daß es zu jedem kompakten K ⊆ Ω ein Ωi gibt ankt und nach Satz 2.1.9 auf Ω1 gleichmit K ⊆ Ωi . Die Folge (un ) ist beschr¨ gradig gleichm¨ aßig stetig. Nach dem Satz von Arzel` a und Ascoli enth¨alt sie aßig konvergiert 6 . Diese braucht nicht eine Teilfolge (u1,n ), die auf Ω1 gleichm¨ alt aber ihrerseits eine auf Ω2 gleichm¨aßig konverauf Ω2 zu konvergieren, enth¨ alt eine Folge von Folgen, bei der jede eine gente Teilfolge (u2,n ), usw. Man erh¨ Teilfolge der vorangehenden ist; die j-te Folge konvergiert auf Ωj gleichm¨aßig. Die Diagonalfolge v1 , v2 , . . ., bei der vk := uk,k das k-te Glied aus der kten Folge ist, konvergiert auf jedem Ωj gleichm¨aßig; denn vj , vj+1 , vj+2 , . . . ist eine Teilfolge der j-ten Folge. Die Diagonalfolge konvergiert dann aber auch aßig; denn Ω ist in einem Ωj enthalten. Sie ist auf jedem Ω ⊂⊂ Ω gleichm¨ eine Teilfolge von (un ), die nach Satz 2.1.6 die behaupteten Eigenschaften hat. Bemerkung 2.1.11. Der Kompaktheitssatz behauptet nicht, daß eine Teilfolge existiert, die am Rande von Ω konvergiert. Auch dann nicht, wenn die Folge (un ) aus Funktionen besteht, die auf Ω harmonisch und auf Ω stetig sind; insbesondere braucht die Grenzfunktion nicht stetig auf Ω fortsetzbar zu sein.

6

Beweis z.B. in [289, p. 394]. Dieser Satz ist der Kern fast aller Kompaktheitsaussagen in Funktionenr¨ aumen. F¨ ur weitere (auch historische) Bez¨ uge sei auf [278] verwiesen.

28

2 Die Laplacegleichung

2.2 Liouville- und Harnackeigenschaft In der Funktionentheorie bewies Liouville f¨ ur doppeltperiodische Funktionen (und dann sp¨ ater Cauchy f¨ ur in ganz C holomorphe Funktionen) deren Konstanz, wenn sie beschr¨ ankt sind. Siehe hierzu [278]. Wenn sich ¨ ahnliche Aussagen u osungen einer Diﬀerentialgleichung ¨ber L¨ machen lassen, nennt man sie Aussagen vom Liouvilleschen Typ, oder sogar Liouvilles¨ atze. Ein solcher Satz u ¨ber harmonische Funktionen wurde zuerst von H.A. Schwarz [302] bewiesen, dort in § 12. Wie auch sp¨ater bei Harnack [97] war die Darstellung harmonischer Funktionen durch das Poissonintegral (vgl. Abschnitt 3.2) f¨ ur den Beweis wichtig. Man gewann bei harmonischen Funktionen den Satz vom Liouvilleschen Typ aus der Harnackungleichung (siehe Aufgabe 3.5). ˆ cher [19] untersuchte, wie sich harmonische Funktionen mit isolierten Bo Singularit¨ aten verhalten (siehe Satz 5.2.1), und folgerte mittels der Kelvintransformation (Abschnitt 3.6), daß auch nur einseitig beschr¨ankte, u ¨berall harmonische Funktionen konstant sind. Diese Aussage wird u ¨blicherweise nach Picard benannt, der in [252], obwohl er Beschr¨anktheit fordert, eine Variante des Poissonintegrals verwendet, die mit der einseitigen Beschr¨anktheit auskommt. Selbst diese Fassung des Liouvilleschen Satzes ergibt sich leicht aus der Harnackungleichung. Man kann sie aber noch niedriger ansiedeln, sie folgt direkt aus der Mittelwerteigenschaft. Ebenso einfach werden wir eine Harnackabsch¨ atzung aus der Mittelwerteigenschaft ableiten. So gewinnen wir auch diese inneren Eigenschaften harmonischer Funktionen bereits auf dem Niveau von Satz 2.1.1. Satz 2.2.1. Es sei Ω ⊆ RN oﬀen und u auf Ω harmonisch und nichtnegativ; ferner x , x ∈ Ω und d := |x − x |. Dann gilt u(x ) ≤

1+

d r

N

u(x )

(2.5)

f¨ ur alle r > 0 mit Bd+r (x ) ⊂⊂ Ω. Beweis. Wegen Br (x ) ⊆ Bd+r (x ) und u ≥ 0 haben wir aufgrund der zweiten Mittelwerteigenschaft (d + r)N rN ωN u(x ) = ωN u(x ) . u(y) dy ≤ u(y) dy = N N Br (x )

Bd+r (x )

Dieser etwas technisch anmutende Satz hat eine Reihe bedeutender Anwendungen, die wir im Folgenden angeben werden. Zu diesen geh¨oren auch der zweite Harnacksche Satz und eine Harnackabsch¨atzung (siehe S¨atze 2.2.4 und

2.2 Liouville- und Harnackeigenschaft

29

2.2.5). Gew¨ ohnlich beweist man diese beiden S¨atze auf dem l¨angeren Weg u ¨ber die klassische Harnackungleichung (siehe Aufgabe 3.5), welche Harnack [97] aus der Poissonintegraldarstellung harmonischer Funktionen ableitete. Korollar 2.2.2. Jede auf RN harmonische und einseitig beschr¨ ankte Funktion w ist konstant. Beweis. Wir d¨ urfen w ≥ c annehmen. Dann ist u := w − c auf RN harmonisch und ≥ 0, erf¨ ullt also (2.5). F¨ ur r → ∞ ergibt sich u(x ) ≤ u(x ). Da die Rei henfolge der Punkte x , x nicht ausgezeichnet war, ist das die Behauptung. Korollar 2.2.3. Jede auf BR (x0 ) ⊆ RN nichtnegative harmonische Funktion ur alle x , x ∈ BR/4 (x0 ). erf¨ ullt u(x ) ≤ 3N u(x ) f¨ Beweis. In (2.5) ist d < ahlen. r = R4 w¨

R 2,

und wegen B3R/4 (x ) ⊂⊂ BR (x0 ) k¨onnen wir

Satz 2.2.4 (Der zweite Harnacksche Satz). 7 Es sei Ω ⊆ RN oﬀen und zusammenh¨ angend, und (un ) sei eine Folge von auf Ω harmonischen Funktionen, die auf Ω monoton f¨ allt (d.h. un ≥ un+1 ). Dann ist entweder ur alle x ∈ Ω, oder es konvergiert (un ) auf Ω gegen limn→∞ un (x) = −∞ f¨ eine auf Ω harmonische Funktion, und zwar gleichm¨ aßig auf jedem Ω ⊂⊂ Ω. Beweis. Da die Folge (un ) monoton f¨ allt, ist bei festem x ∈ Ω entweder lim un (x) = −∞, oder es existiert lim un (x) > −∞. Daher ist Ω die Vereinigung der zwei disjunkten Mengen Ωdiv := {x ∈ Ω : lim un (x) = −∞} und Ωkonv := {x ∈ Ω : lim un (x) > −∞}. Wegen des Zusammenhangs von Ω ist eine der beiden Mengen Ωdiv und Ωkonv leer, sobald wir wissen, daß beide oﬀen sind. Es sei x0 ∈ Ωkonv und BR (x0 ) ⊆ Ω. Wegen der Monotonie der ur m < n. Korollar 2.2.3 liefert somit f¨ ur alle Folge (un ) gilt um − un ≥ 0 f¨ atzung x ∈ BR/4 (x0 ) und alle m < n die Absch¨ 0 ≤ (um (x) − un (x)) ≤ 3N (um (x0 ) − un (x0 )) .

(2.6)

Daher ist BR/4 (x0 ) ⊆ Ωkonv , wenn x0 ∈ Ωkonv und BR (x0 ) ⊆ Ω. Also ist Ωkonv oﬀen. Es werde nun angenommen, daß Ωdiv nicht oﬀen sei. Dann gibt es ein ahe ein Punkt x0 ∈ Ωkonv liegt. W¨ahle R > 0 mit x ∈ Ωdiv , so daß in jeder N¨ B2R (x) ⊆ Ω und x0 ∈ Ωkonv mit |x − x0 | =: d < R4 . Dann ist BR (x0 ) ⊆ Ω, und nach der vorigen Argumentation ist x ∈ Ωkonv . Dieser Widerspruch zeigt, daß auch Ωdiv oﬀen ist. ur alle x ∈ Ω, oder es konvergiert Daher ist entweder lim un (x) = −∞ f¨ die Folge (un ) in Ω, und zwar wegen (2.6) lokal gleichm¨aßig. Da sich jedes 7

Der sogenannte erste Harnacksche Satz ist Korollar 3.1.3. Harnack [96] hat den fundamtentalen Charakter dieser S¨ atze, die schon in Schl¨ ussen bei C. Neumann und H.A. Schwarz verborgen waren, herausgestellt und sie explizit bewiesen.

30

2 Die Laplacegleichung

Ω ⊂⊂ Ω durch endlichviele Kugeln B ⊆ Ω u ¨berdecken l¨aßt, haben wir gleichm¨ aßige Konvergenz auf jedem Ω ⊂⊂ Ω. Nach dem lokalen Teil des ersten Harnackschen Satzes 2.1.6 konvergiert (un ) auf Ω gegen eine auf Ω harmonische Funktion. Satz 2.2.5 (Harnackabsch¨ atzung harmonischer Funktionen u ≥ 0). angendem Ω0 ⊂⊂ Ω gibt es c0 > 1, Zu oﬀenem Ω ⊆ RN und zusammenh¨ so daß alle in Ω nichtnegativen harmonischen u die Ungleichung u(x) ≤ c0 u(y)

f¨ ur alle x, y ∈ Ω0

erf¨ ullen. Beweis. F¨ ur Ω0 ⊂⊂ Ω ist dist(Ω0 , ∂Ω) > 0 oder = ∞. Im ersten Fall setzen wir d := dist(Ω0 , ∂Ω), sonst d := 1. Nach dem Satz von Heine und Borel gibt es ein System S := {Bd/4 (x1 ), . . . , Bd/4 (xn )} von endlichvielen Kugeln Bd/4 (xi ) vom Radius d/4 und mit Mittelpunkten xi ∈ Ω0 , deren Vereinigung Ω0 u ¨berdeckt. Ihre minimale Anzahl n ist allein durch d und Ω0 , also allein durch Ω und Ω0 bestimmt. Je zwei Punkte x , x ∈ Ω0 lassen sich, wie wir zeigen werden, mit einer Kugelkette verbinden, die aus m ≤ n Kugeln des Systems S besteht, d.h. zu x , x ∈ Ω0 gibt es ein m-Tupel (B 1 , . . . , B m ), m ≤ n, von Kugeln B i ∈ S mit x ∈ B 1 , x ∈ B m und B i ∩ B i+1 = ∅, i = 1, . . . , m − 1. Mit zi ∈ B i ∩ B i+1 ist dann nach Korollar 2.2.3 u(x ) ≤ 3N u(z1 ) ≤ 2N ur 3 u(z2 ) ≤ . . . ≤ 3mN u(x ). Wegen m ≤ n bedeutet das u(x) ≤ c0 u(y) f¨ alle x, y ∈ Ω0 mit der allein durch Ω und Ω0 bestimmten Zahl c0 := 3nN . Zum Nachweis der Kugelkette merken wir zun¨achst an, daß sich je zwei Punkte x , x ∈ Ω0 wegen des Zusammenhangs des oﬀenen Ω0 durch einen Weg φ in Ω0 verbinden lassen, d.h. φ : [0, 1] → Ω0 stetig, φ(0) = x , φ(1) = x . Wir beweisen jetzt mit vollst¨ andiger Induktion nach r, daß sie sich mit einer Kugelkette aus h¨ ochstens r Kugeln von S verbinden lassen, wenn r Kugeln von S ausreichen, einen solchen Weg zu u ur r = n ¨berdecken. Das liefert dann f¨ die behauptete Kette. Als Induktionsanfang nehmen wir den oﬀenbar trivialen Fall r = 1. Es seien nun x , x ∈ Ω0 durch einen Weg φ : [0, 1] → Ω0 verbunden, der von r + 1 Kugeln aus S u ¨berdeckt wird. Zu ihnen geh¨ort ein B ∈ S mit x ∈ B. Wenn auch x ∈ B ist, kommt man mit einer Kette aus 1 ≤ r + 1 Kugeln aus. Sonst sei t∗ := sup{t ∈ [0, 1] : φ(t) ∈ B}. Wegen φ(0) = x ∈ B ist φ(t∗ ) ∈ ∂B und φ(t) ∈ / B f¨ ur t ∈ [t∗ , 1]. Es ist φ|[t∗ ,1] ein Weg in Ω0 , der φ(t∗ ) und x verbindet. Da er Teil des Weges φ ist und außerhalb von B verl¨auft, wird er von den u ¨brigen r Kugeln u ¨berdeckt. Nach Induktionsannahme lassen sich ochstens r Kugeln verbinden. Die φ(t∗ ) und x mit einer Kugelkette aus h¨ Hinzunahme von B liefert eine Kugelkette aus h¨ochstens r + 1 Kugeln, die x und x verbindet. Bemerkung 2.2.6. a) Der Satz besagt, daß das Maximum von u auf Ω0 h¨ ochstens gleich dem c0 -fachen des Minimums von u auf Ω0 ist, ganz gleich,

2.3 Das Maximum-Minimumprinzip

31

um welche auf Ω harmonische nichtnegative Funktion u es sich handelt. Die angt nur von der Geometrie von Ω und Ω0 ab, nicht von u. Konstante c0 h¨ b) Eine f¨ ur die Harnackabsch¨ atzung typische Konsequenz ist folgende: Wenn eine in Ω nichtnegative harmonische Funktion eine Nullstelle y0 hat, dann ist sie Null in der ganzen Zusammenhangskomponente von Ω, die y0 enth¨ alt. Da mit u auch u + const harmonisch ist, kann man daraus die starke Minimumeigenschaft harmonischer Funktionen erschließen, die wir ohne R¨ uckgriﬀ auf Harnackabsch¨ atzungen in Abschnitt 2.3 direkt aus der zweiten Mittelwerteigenschaft herleiten werden. c) F¨ ur sehr allgemeine lineare elliptische Diﬀerentialgleichungen 2. Ordnung besteht, wie J. Moser in einer ber¨ uhmten Arbeit gezeigt hat [211], ein Zusammenhang zwischen der Harnackeigenschaft und der H¨olderstetigkeit der L¨osungen, einer Regularit¨ atseigenschaft, die sich insbesondere f¨ ur schwache L¨osungen von Variationsaufgaben als wichtig erweist (s.a. S. 297). Bei harmonischen Funktionen ist dieser Zusammenhang noch nicht bedeutsam, denn aus der Mittelwerteigenschaft ergibt sich sofort sogar Lipschitzstetigkeit, wie wir in Satz 2.1.9 gesehen haben.

2.3 Das Maximum-Minimumprinzip Eine Minimumstelle der Funktion u : Ω → R ist ein x0 ∈ Ω mit u(x0 ) ≤ u(x) f¨ ur alle x ∈ Ω. Gauss [81] bewies, daß ein Potential außerhalb des Tr¨agers der Masseverteilung keine isolierte Minimumstelle haben kann und folgerte das aus der Mittelwerteigenschaft des Potentials (siehe Einleitung zu Abschnitt 2.1). Ein Punkt außerhalb der Masseverteilung hat demnach keine stabile Gleichgewichtslage; dies wurde unabh¨ angig von Earnshaw [57] bewiesen. Riemann [280, Art. 11.III] leitete das Fehlen isolierter Minimumstellen f¨ ur L¨osungen der Gleichung Δu = 0 her. Man spricht vom starken Minimumprinzip f¨ ur u : Ω → R, wenn jede im Inneren von Ω gelegene Minimumstelle von u : Ω → R eine Umgebung hat, die aus lauter Minimumstellen von u besteht. Bei stetigem u : D → R, wobei D ⊆ RN ein Gebiet, also eine oﬀene und zusammenh¨angende Menge ist, l¨ auft das starke Minimumprinzip darauf hinaus, daß nichtkonstantes u seine Minimumstellen nur auf dem Rand ∂D hat. Im folgenden pr¨azisieren wir das. Satz 2.3.1 (Das starke Minimumprinzip). Es sei Ω ⊆ RN oﬀen, und u : Ω → R sei auf Ω harmonisch. Dann ist die Menge M der Minimumstellen von u oﬀen (evtl. leer). Beweis. Die leere Menge ist oﬀen. Zu x0 ∈ M gibt

es r > 0, so daß Br (x0 ) ⊂⊂ Ω. Nach der zweiten Mittelwerteigenschaft ist |y−x|≤r (u(y) − u(x0 )) dy = 0; der Integrand u−u(x0 ) ist stetig und nach der Bedeutung von x0 nichtnegativ. ur alle y ∈ Br (x0 ), mithin ist Br (x0 ) ⊆ M , d.h. Daher ist u(y) − u(x0 ) = 0 f¨ M ist oﬀen.

32

2 Die Laplacegleichung

Der n¨ achste Satz ist mit Satz 2.3.1 ¨ aquivalent. Auch er wird daher das starke Minimumprinzip genannt. Sein allgemeiner Hintergrund ist die Tatsache, daß die Menge der Minimumstellen einer auf Z ⊆ RN stetigen Funktion relativ Z abgeschlossen ist und daß jede Teilmenge einer zusammenh¨angenden Menge Z, die relativ Z abgeschlossen und relativ Z oﬀen ist, leer oder ganz Z ist. Satz 2.3.2. Es sei Ω ⊆ RN oﬀen. Wenn die auf Ω harmonische Funktion u : Ω → R eine Minimumstelle x0 hat, dann ist u auf derjenigen Zusammenalt. hangskomponente Z von Ω konstant, welche x0 enth¨ Beweis. Es ist Z oﬀen und u auf Z harmonisch. Es sei M die Menge der Minimumstellen von u|Z . Nach dem starken Minimumprinzip ist M oﬀen. Wegen der Stetigkeit von u ist M relativ Z abgeschlossen (d.h. jedes x ∈ Z, welches H¨ aufungspunkt von M ist, liegt in M ). Weil Z zusammenh¨angend ist, ist dann M leer oder M = Z. Es ist x0 ∈ M , also M = Z. Spezialisiert man Ω zu einem Gebiet D in RN und setzt man voraus, daß die auf D harmonische Funktion u : D → R stetig ist und mindestens eine in D gelegene Minimumstelle x0 hat, dann ist u nach Satz 2.3.2 auf D konstant, und wegen der Stetigkeit von u auch auf D konstant. Daher gilt Korollar 2.3.3. Es sei D ⊆ RN ein Gebiet, u : D → R stetig und auf D harmonisch. Dann liegen Minimumstellen von u nur auf dem Rande ∂D, es sei denn u = const. Es braucht u keine Minimumstelle zu haben, wenn D nicht beschr¨ankt ist. Beispiele sind u(x1 , x2 ) = ex1 sin x2 mit D = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : − π < x2 < π}, ur N > 2, und u(x) = − ln |x| f¨ ur N = 2, mit D = {x ∈ oder u(x) = |x|2−N f¨ RN : |x| > 1}. Auch die Aussage des Korollars 2.3.3 wird h¨auﬁg das (starke) Minimumprinzip f¨ ur harmonische Funktionen genannt. Der nun folgende Satz macht eine schw¨ achere Aussage f¨ ur eine gr¨oßere Klasse von Funktionen. Sein Beweis – er geht auf Paraf [246, Chap. III.2] zur¨ uck – ben¨ otigt keine Mittelwertrelation und h¨atte daher auch ganz zu Beginn von Kapitel 2 stehen k¨ onnen. Satz 2.3.4 (Das schwache Minimumprinzip). Es sei Ω ⊂⊂ RN nicht leer. Hat dann u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) auf Ω die Eigenschaft Δu ≤ 0, so liegt mindestens eine Minimumstelle von u auf dem Rand ∂Ω von Ω. Beweis. Bei festem > 0 hat v(x) := u(x)−|x|2 in Ω eine Minimumstelle x . Wenn x ∈ Ω w¨ are, dann w¨ are nach den Regeln der Diﬀerentialrechnung in einer (!) Ver¨ anderlichen vxi xi (x ) ≥ 0 (i = 1, . . . , N ) und somit Δv(x ) ≥ 0, es ist aber Δv = Δu − 2N ≤ −2N < 0. Also ist x ∈ ∂Ω, und daher gilt u(x) = v(x) + |x|2 ≥ v(x) ≥ v(x ) = u(x ) − |x |2 ≥ min u(y) − |x |2 y∈∂Ω

f¨ ur alle x ∈ Ω und > 0. Mit → 0 folgt u(x) ≥ miny∈∂Ω u(y) f¨ ur x ∈ Ω.

2.3 Das Maximum-Minimumprinzip

33

Die eben verwendete Schlußweise l¨ aßt sich ausdehnen auf L¨osungen von partiellen Diﬀerentialgleichungen mit einem variablen Hauptteil (siehe Aufgabe 2.10). Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen und Terme erster Ordnung in die Ungleichung aufnehmen, wie wir in Abschnitt 2.6 zeigen werden. Ersetzen wir in Satz 2.3.4 u durch −u, so erhalten wir Korollar 2.3.5 (Das schwache Maximumprinzip). Ist Ω ⊂⊂ RN nicht leer, und hat u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) auf Ω die Eigenschaft Δu ≥ 0, so liegt mindestens eine Maximumstelle von u auf dem Rand ∂Ω von Ω. Aus dem schwachen Maximum-Minimumprinzip ergeben sich unmittelbar folgende Absch¨ atzungen f¨ ur harmonische Funktionen. Sei Ω ⊆ RN oﬀen und beschr¨ ankt. Ist u : Ω → R stetig und auf Ω harmonisch, so gilt min u ≤ u(x) ≤ max u , ∂Ω

∂Ω

also |u(x)| ≤ max |u(y)|

f¨ ur alle x ∈ Ω .

y∈∂Ω

Dies ist eine globale A-Priori-Absch¨ atzung und nicht nur eine innere, wie wir sie mit Satz 2.1.7 f¨ ur die ersten Ableitungen beschr¨ankter harmonischer Funktionen hergeleitet hatten. Eine Verallgemeinerung dieser Absch¨atzung bietet die folgende spezielle Version eines Lemmas von Bernstein [18], dessen allgemeine Form wir in Abschnitt 2.6 kennenlernen werden. Lemma 2.3.6. Zu nichtleerem Ω ⊂⊂ RN gibt es eine Konstante c0 (Ω) mit der Eigenschaft max |u(x)| ≤ c0 (Ω) sup |Δu| + max |u| x∈Ω

∂Ω

Ω

f¨ ur alle u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω). Beweis. Wir d¨ urfen supΩ |Δu| < ∞ annehmen und w¨ahlen ein x0 ∈ RN mit 2 1 2 |x−x0 | > 0 so bestimmt, f¨ ur alle dist(x0 , Ω) = 1. Weiter sei C daß C ≥ e

x ∈ Ω. Wir deﬁnieren φ(x) := C − e 2 |x−x0 | supΩ |Δu| + max∂Ω |u|. Dann gilt f¨ ur alle x ∈ Ω 1 2 −Δφ(x) = N + |x − x0 |2 e 2 |x−x0 | sup |Δu| ≥ sup |Δu| . 1

2

Ω

Ω

Hieraus folgt Δ(φ ± u)(x) ≤ − supΩ |Δu| + |Δu(x)| ≤ 0. Die Wahl von C ur alle x ∈ Ω und somit gilt (φ±u)|∂Ω ≥ 0. Wendet bewirkt φ(x) ≥ max∂Ω |u| f¨ man das schwache Minimumprinzip auf φ ± u an, so ergibt sich φ ± u ≥ 0 auf Ω, also |u(x)| ≤ φ(x) ≤ C supΩ |Δu| + max∂Ω |u| f¨ ur alle x ∈ Ω. Da die Wahl der Konstanten C nur von Ω abhing, ist das Lemma bewiesen. Zum Abschluß dieses Abschnitts betrachten wir das schwache Minimumprinzip f¨ ur harmonische Funktionen noch unter einem anderen Gesichtspunkt.

34

2 Die Laplacegleichung

Bemerkung 2.3.7. F¨ ur Ω ⊂⊂ RN und stetiges u : Ω → R l¨aßt sich die Aussage, daß auf ∂Ω eine Minimumstelle von u liege, so schreiben: Aus c ∈ R und c ≤ u|∂Ω folgt c ≤ u . Man kann dies auch dadurch ausdr¨ ucken, daß f¨ ur alle c ∈ R gilt: Wenn die Absch¨ atzung c ≤ lim inf n→∞ u(xn ) f¨ ur jede Folge (xn ) ⊆ Ω besteht, die gegen ein y ∈ ∂Ω konvergiert, dann ist c ≤ u. Der Fortschritt bei dieser Formulierung besteht darin, daß sie auch dann sinnvoll bleibt, wenn u nur auf Ω deﬁniert ist. Wir verzichten nun auf die Beschr¨ anktheit von Ω und fordern zus¨atzlich zur Stetigkeit von u : Ω → R, daß die Menge der Minimumstellen von u oﬀen ist. Mit dem nachfolgenden Satz 2.3.8 erhalten wir dann eine Aussage, die zur allgemeinen Analysis stetiger Funktionen geh¨ort und deren Bezug zur Laplacegleichung nur durch das starke Minimumprinzip f¨ ur harmonische Funktionen (Satz 2.3.1) vermittelt wird. Satz 2.3.8 (Das Randminimumprinzip). Es sei Ω ⊆ RN oﬀen, und u : Ω → R sei stetig, und die Menge der Minimumstellen von u sei oﬀen. Es sei c ∈ R. F¨ ur jede Folge (xn ) in Ω, die gegen einen Punkt aus ∂Ω konullt, sei c ≤ lim inf n→∞ u(xn ). Dann ist c ≤ u(x) vergiert oder |xn | → ∞ erf¨ f¨ ur alle x ∈ Ω. Beweis. Es sei g := inf x∈Ω u(x); noch ist g = −∞ m¨oglich. Zu zeigen ist: g ≥ c. Es gibt eine Folge (xn ) in Ω mit lim u(xn ) = g. Eine solche Folge existiert nach Deﬁnition des Inﬁmums. Man nennt sie eine Minimalfolge. Wenn die Minimalfolge (xn ) eine Teilfolge (xn ) enth¨alt, die gegen ein y ∈ ∂Ω konvergiert oder f¨ ur die |xn | → ∞ gilt, dann ist g = lim u(xn ) = lim u(xn ) = lim inf u(xn ) ≥ c, also g ≥ c. Wenn beides nicht der Fall ist, dann ankt, enth¨ alt also eine konvergente Teilfolge xn → x0 ∈ Ω; ist (xn ) beschr¨ / ∂Ω, also x0 ∈ Ω. Wegen der Stetigkeit von u ist dann aber es ist x0 ∈ u(x0 ) = lim u(xn ) = lim u(xn ) = g. Das bedeutet, daß u an der Stelle x0 ∈ Ω sein Inﬁmum annimmt. Daher ist x0 eine Minimumstelle von u, und g ist der Minimalwert von u. Mit der Argumentation wie f¨ ur Satz 2.3.2 f¨ ullt die Menge der Minimumstellen von u diejenige Zusammenhangskomponente Z von Ω, alt; es ist u(z) = g f¨ ur alle z ∈ Z. Nun ist noch anzumerken, daß die x0 enth¨ ∂Z ⊆ ∂Ω ist, weil Z Zusammenhangskomponente des oﬀenen Ω ist. Wenn ∂Z = ∅ ist, gibt es eine Folge (zn ) in Z mit zn → y ∈ ∂Z ⊆ ∂Ω. Wenn aber ∂Z = ∅ ist, gibt es eine Folge (zn ) in Z mit |zn | → ∞. Beidesmal ist g = u(zn ), also g = lim inf u(zn ) ≥ c. Mithin resultiert in jedem Falle g ≥ c. Ersichtlich verk¨ urzt sich der Beweis von Satz 2.3.8 etwas, wenn man Ω zus¨atzlich als beschr¨ ankt voraussetzt. Ersetzt man u durch −u, so folgt Korollar 2.3.9 (Das Randmaximumprinzip). Sei Ω ⊆ RN oﬀen, die Abbildung u : Ω → R stetig, und die Menge der Maximumstellen von u sei oﬀen. Es sei C ∈ R. F¨ ur jede Folge (xn ) in Ω, die gegen ein y ∈ ∂Ω konvergiert

2.4 Analytizit¨ at

35

oder |xn | → ∞ erf¨ ullt, sei lim supn→∞ u(xn ) ≤ C. Dann ist u(x) ≤ C f¨ ur alle x ∈ Ω.

2.4 Analytizit¨ at Traditionellerweise gewinnt man die Analytizit¨at harmonischer Funktionen seit Schwarz [302] aus ihrer Darstellung durch das Poissonintegral (siehe Aufgabe 3.4). Die nachfolgende Argumentation u ¨ber die innere A-PrioriAbsch¨ atzung aus Satz 2.1.7 (sie stammt von Kellogg [138, § 6]) vermeidet es, f¨ ur den Nachweis einer lokalen Eigenschaft die L¨osbarkeit eines Randwertproblems heranzuziehen. Der damit gewonnene Fortschritt wird im n¨achsten Abschnitt sichtbar werden. Das Problem der Analytizit¨at von L¨osungen sehr allgemeiner partieller Diﬀerentialgleichungen werden wir am Ende von Kapitel 9 ansprechen. Satz 2.4.1. Sei Ω ⊆ RN oﬀen. Dann ist k D u(x) ≤ CN k sup |u| rk Br (x)

mit CN k := N k k!ek−1

f¨ ur alle x ∈ Ω, 0 < r < dist(x, ∂Ω) und alle auf Ω harmonischen u. Dabei bezeichnet Dk u irgendeine partielle Ableitung k-ter Ordnung von u. Beweis. Wir wissen seit Korollar 2.1.3, daß harmonische Funktionen beliebig oft diﬀerenzierbar und alle ihre Ableitungen wieder harmonisch sind. F¨ ur k = 1 folgt die Absch¨ atzung unmittelbar aus Satz 2.1.7. Sei sie f¨ ur k k bewiesen, x ∈ Ω, und es sei s := k+1 r mit 0 < r < dist(x, ∂Ω). (Auf diese Wahl von s wird man gef¨ uhrt, wenn man zun¨achst s = (1 − c)r setzt und sp¨ater dann c optimiert.) Dann ist CN k k+1 D u(x) = Dk D u(x) ≤ k sup |D u| , s Bs (x) ferner nach Satz 2.1.7 sup |D u(y)| ≤ y∈Bs (x)

N sup |u| . r − s Br (x)

Schließlich ist CN k N CN k N (k + 1) = sk (r − s) rk+1

1+

1 k

k =

k CN,k+1 1 + k1 . rk+1 e

(2.7)

k Da 1 + k1 mit k monoton w¨ achst und gegen e strebt, ist die Ungleichung bewiesen.

36

2 Die Laplacegleichung

Korollar 2.4.2. Es sei u auf oﬀenem Ω ⊆ RN harmonisch, x ∈ Bs (x0 ) ⊆ Br (x0 ) ⊂⊂ Ω. Dann ist k D u(x) ≤

CN k sup |u| , (r − s)k Br (x0 )

denn f¨ ur x ∈ Bs (x0 ) ist Br−s (x) ⊆ Br (x0 ). Lemma 2.4.3. Es sei u ∈ C ∞ (Bs (x0 )), und mit zwei Konstanten C > 0 und M > 0 gelte |Dk u(x)| ≤ C k k!M f¨ ur x ∈ Bs (x0 ) und k ∈ N0 . Dann ist u in eine Potenzreihe um x0 (im Reellen) entwickelbar. Beweis. Nach der Taylorformel ist u(x0 + h) =

m−1

1 1 (h · ∇)j u (x0 ) + ((h · ∇)m u) (x0 + τ h) j! m!

j=0

f¨ ur h ∈ RN mit |h| < s und mit 0 < τ < 1. Zur Absch¨atzung des Restgliedes N ∂ m achst (h · ∇)m = ( i=1 hi ∂x ) nach dem polynomialen Rm stellt man zun¨ i Satz dar: (a1 + . . . + aN )

m

=

μ1 +...+μN

Nach Voraussetzung ist dann |Rm | ≤ C M m

m! aμ1 1 · . . . · aμNN . μ ! · . . . · μ ! 1 N =m

m!

μ1 +...+μN

|h1 |μ1 . . . |hN |μN μ1 ! . . . μN ! =m

(2.8)

.

N Der Klammerausdruck ist nach (2.8) gleich ( i=1√|hi |)m und kann aufgrund der Schwarzschen Ungleichung durch den Term ( N |h|)m abgesch¨atzt werur m → ∞. den. Ist |h| < √N1 C , so geht Rm gegen Null f¨ Satz 2.4.4 (Die Analytizit¨ at). Es sei Ω ⊆ RN oﬀen, und u sei auf Ω harmonisch. Dann ist u in Ω reell-analytisch, d.h. lokal in eine Potenzreihe entwickelbar: Zu x0 ∈ Ω gibt es > 0, so daß u(x0 + h) = f¨ ur alle h ∈ RN mit |h| < .

∞

1 (h · ∇)j u (x0 ) j! j=0

2.4 Analytizit¨ at

37

Beweis. Es ist u ∈ C ∞ (Ω), und bei ﬁxiertem Br (x0 ) ⊂⊂ Ω gibt es K > 0, so daß |u(x)| ≤ K f¨ ur x ∈ Br (x0 ). Nach Korollar 2.4.2, mit s = r/2, ist Lemma 2.4.3 mit C := 2N e/r, M := K/e erf¨ ullt. Bemerkung 2.4.5. a) Wir haben nur eine lokale Aussage gemacht, weil die Beweismethode zu schwach ist, auch den Konvergenzradius anzugeben. Satz 2.4.4 erm¨ oglicht es aber, a ¨hnlich wie in der Funktionentheorie, aus lokalen Eigenschaften auf globale zu schließen. Eine Konsequenz dieses Satzes ist z.B., daß zwei auf einem Gebiet harmonische Funktionen im ganzen Gebiet u ¨bereinstimmen, wenn sie in der Umgebung eines einzigen seiner Punkte u berein¨ stimmen. Eine solche Eigenschaft nennt man die schwache eindeutige Fortsetzbarkeitseigenschaft. Sie ist von Gauss [81, Art. 21] angesprochen und von Schwarz [302, p. 245], bewiesen worden. Satz 2.4.4 etabliert aber sogar die starke eindeutige Fortsetzbarkeitseigenschaft harmonischer Funktionen: Es sei D ⊆ RN ein Gebiet, und es sei u auf D harmonisch. Wenn x0 ∈ D eine Nullstelle unendlich hoher Ordnung von u ist, also ur alle k ∈ N0 , lim |x − x0 |−k u(x) = 0 ist f¨

x→x0

so ist u(x) = 0 f¨ ur alle x ∈ D. (Dies folgt aus Satz 2.4.4 mit Schlußweisen, wie sie in der Funktionentheorie bei den Identit¨atss¨atzen f¨ ur Potenzreihen verwendet werden; vgl. [278, § 8.1].) Es ist bemerkenswert, daß schwache oder starke eindeutige Fortsetzbarkeitseigenschaft f¨ ur L¨ osungen großer Klassen von partiellen Diﬀerentialgleichungen, sogar Diﬀerentialungleichungen, vorliegen, L¨osungen, die keineswegs analytisch sind. Wir werden darauf in Abschnitt 2.7 eingehen. b) Unabh¨ angig voneinander haben Kiselman [141] und Hayman [103] folgendes gezeigt: Wenn u auf Br (x0 ) harmonisch ist, so konvergiert die Pour := √r2 ; diese Zahl ist bestm¨oglich. tenzreihe von u auf B (x0 ) f¨ Mit einer Anleihe aus der Funktionentheorie l¨aßt sich Satz 2.4.4 sofort ausdehnen und folgendes Resultat beweisen. Satz 2.4.6. Es sei Ω ⊆ RN oﬀen und f in Ω reell-analytisch. Ist dann u ∈ osung von C 2 (Ω) L¨ −Δu(x) = f (x)

f¨ ur x ∈ Ω ,

so ist u reell-analytisch. at (vgl. Lemma B.7) Beweis. Da u auf Br (x) ⊂⊂ Ω der Identit¨ r 1−N u(x + rη) dS(η) − s Δu(y)dy ds u(x)ωN = |η|=1

0

Bs (x)

gen¨ ugt, ist u(x)

ωN r N = N

u(y) dy +

Br (x)

0

r

N −1

s1−N 0

f (x + y)dyds d . (2.9) Bs (0)

38

2 Die Laplacegleichung

Wegen f ∈ C ∞ (Ω) ist nach Satz A.5 das zweite Integral beliebig oft nach x ∈ Ω ⊂⊂ Ω diﬀerenzierbar, wenn 0 < r < dist(Ω , ∂Ω). Das erste Integral ist aus C k+1 (Ω ), wenn u ∈ C k (Ω) ist. Daher ist u ∈ C ∞ (Ω). Ist x ∈ Ω, so besitzt f f¨ ur geeignetes 0 < R < 1 eine auf BR (x) konvergente Potenzreihe. Diese Reihe konvergiert auch auf N 2 2 BR (x, CN ) := z = (z1 , . . . , zN ) ∈ CN : i=1 |zi − xi | < R und deﬁniert eine Funktion f˜: BR (x, CN ) → C. Mit den Zahlen CN k aus Satz 2.4.1 zeigen wir CN k k D u(x) ≤ (2.10) sup |u| + sup |f˜| rk Br (x) Br (x,CN ) f¨ ur alle auf BR (x) reell-analytischen f , alle u ∈ C ∞ (BR (x)), die auf BR (x) die Gleichung −Δu = f erf¨ ullen, und alle 0 < r < R. Die Analytizit¨at von u ergibt sich dann wie beim Beweis von Satz 2.4.4. Da aus (2.9) nach Satz B.8 wN rN yi − xi = dS(y) u(y) uxi (x) N |y − x| |y−x|=r r yi − xi dS(y)ds d + N −1 s1−N f (y) |y − x| 0 0 |y−x|=s folgt, haben wir N |uxi (x)| ≤ r

r2 sup |f | , sup |u| + N + 1 Br (x) Br (x)

(2.11)

woraus sich schon die Behauptung f¨ ur k = 1 ergibt. Des weiteren liefert (2.11) f¨ ur alle y ∈ Bs (x) N (r − s)2 sup |u| + sup |f | . (2.12) |uxi (y)| ≤ r − s Br−s (y) N + 1 Br−s (y) Bei festem z = (z1 , . . . , zN ) ∈ Bs (x, CN ) ist die Funktion f˜(·, z2 , . . . , zN ) auf ur τ ∈ Br−s (z1 , C) der Punkt (τ, z2 , . . . , zN ) in Br−s (z1 , C) holomorph. Da f¨ Br (x, CN ) liegt, liefert die Cauchysche Integralformel 1 ˜ sup |f˜| . (2.13) fz1 (z) ≤ r − s Br (x,CN ) Ist k ∈ N eine Zahl, f¨ ur die die Behauptung (2.10) gilt, so bilden wir Dk+1 u = k k r haben wir dann D D u und beachten, daß −ΔD u = D f ist. Mit s := k+1 wegen (2.12) und (2.13)

2.5 Erweiterung: Helmholtzsche Schwingungsgleichung

CN k k+1 D u(x) ≤ k s

sup |uxi (y)| + y∈Bs (x)

CN k N ≤ k s (r − s)

sup z∈Bs (x,CN )

˜ fzi (z)

(r − s)2 1 sup |u| + + N +1 N Br (x)

39

sup

˜ |f | ,

Br (x,CN )

was wegen (2.7) die Behauptung f¨ ur k + 1 liefert.

2.5 Erweiterung: Helmholtzsche Schwingungsgleichung Nach der Laplacegleichung ist die Gleichung −Δu + λu = 0, λ ∈ R , die einfachste und bestuntersuchte elliptische Diﬀerentialgleichung. Ihren Namen tr¨ agt sie aufgrund der Untersuchungen von Helmholtz [109] u ¨ber Luftschwingungen in R¨ ohren. Eine erste systematische Untersuchung stammt von Heinrich Weber [332]. Der Physiker F. Pockels [258] schrieb auf Anregung von F. Klein eine kleine Monographie u ¨ber diese Gleichung; auch [214] ist ihr zu einem nicht geringen Teil gewidmet. Ein Vergleich mit der gew¨ohnlichen ur λ < 0 Diﬀerentialgleichung −u + λu = 0 zeigt sofort, daß die L¨osungen f¨ und λ > 0 sehr unterschiedliches Verhalten zeigen werden und ein MaximumMinimumprinzip nicht mehr zu erwarten ist. Andererseits bleiben viele der in den vorangegangenen vier Abschnitten f¨ ur harmonische Funktionen erzielten Ergebnisse auch f¨ ur L¨ osungen der Helmholtzschen Schwingungsgleichung erhalten. Da die Beweise der bislang gewonnenen Resultate meist auf der Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen beruhten, werden wir zun¨achst eine modiﬁzierte Mittelwertrelation f¨ ur L¨ osungen der Gleichung Δu = λu herleiten, die zuerst f¨ ur N = 2 von H. Weber [332] bewiesen wurde. Bemerkung 2.5.1. Die Identit¨ at d Δu(y) dy = N −1 d |y−x|<

aus Lemma B.7 und d d

|y−x|<

u(x + ξ) dS(ξ)

|ξ|=1

u(y) dy = N −1

u(x + ξ) dS(ξ)

|ξ|=1

(s. Folgerung B.3 a)) ergeben, wenn λ ∈ R ist, d d d {−Δu(y) + λu(y)} dy = − N −1 φ() + λN −1 φ() , (2.14) d |y−x|< d d

40

2 Die Laplacegleichung

wobei wir φ() := |ξ|=1 u(x + ξ) dS(ξ) gesetzt haben. Wenn nun u ∈ C 2 (BR (x)) der Gleichung −Δu + λu = 0 gen¨ ugt, dann ist φ L¨ osung der gew¨ ohnlichen Diﬀerentialgleichung N −1 φ () − λφ() = 0 , (2.15) −ν √ √ −λ Jν −λ und die f¨ ur λ = 0 die linear unabh¨ angigen L¨ osungen √ √ −ν −λ Nν −λ besitzt. Es ist ν := N 2−2 , und Jν (z) und Nν (z) sind L¨ osungen der Besselschen Diﬀerentialgleichung der Ordnung ν mit komplexem Argument. Dabei bezeichnet φ () +

∞

(−1)m (z/2)ν+2m Jν (z) = m!Γ (m + ν + 1) m=0

(2.16)

die Besselsche Funktion ν-ter Ordnung, w¨ ahrend die (nach Carl Neumann benannte) Neumannsche Funktion ν-ter Ordnung Nν (z) in z = 0 singul¨ar ist. F¨ ur die diversen Notationen f¨ ur die Besselfunktionen verweisen wir auf [1, Sec. 9]. √ √ 2−N So ergibt sich φ() = const −λ 2 J N −2 −λ , und mit = 0 2 berechnet sich die Konstante. Das Resultat ist die Mittelwertrelation √ 2 N2−2 1 √ −λ u(x + ξ) dS(ξ) = u(x)Γ N2 J N −2 −λ 2 ωN |ξ|=1

= u(x)Φ(N, λ; ) .

(2.17)

Es ist Φ(N, λ; 0) = 1, wie ein Vergleich von linker und rechter Seite an der Stelle = 0 ergibt, und es ist Φ(N, λ; ·) : R+ 0 → R stetig. Mit Kenntnissen u ¨ber Besselfunktionen sind folgende Eigenschaften von Φ leicht zu gewinnen: Wenn λ < 0 ist, hat Φ(N, λ; ·) eine kleinste positive Nullstelle (diese wird f¨ ur λ → 0 beliebig groß), w¨ ahrend f¨ ur λ > 0 u ¨berall in R+ die Ungleichung Φ(N, λ; ·) > 0 gilt. F¨ ur ungerades N kann Φ(N, λ; ) durch elementare Funktionen ausgedr¨ uckt werden (vgl. Aufgabe 2.13 b) f¨ ur N = 3). In Aufgabe 2.14 soll weiter gezeigt werden, daß die Mittelwertrelation (2.17) die L¨ osungen der Helmholtzschen Schwingungsgleichung charakterisiert. Zusammen mit Aufgabe 2.13 a) ist dann ein vollst¨andiges Analogon zu Satz 2.1.1 formuliert. Eine genaue Analyse der in den Abschnitten 2.1-2.4 gegebenen Beweise zeigt jedoch, daß sich eine Reihe von Ergebnissen auch ohne genaue Kenntnis der Mittelwertrelation (2.17) auf L¨ osungen der Helmholtzschen Schwingungsgleichung u ¨bertragen lassen. So kann z.B. die C ∞ -Eigenschaft (vgl. Korollar 2.1.3) und der lokale Teil des ersten Harnackschen Satzes (vgl. Satz 2.1.6) f¨ ur L¨osungen der Helmholtzschen Schwingungsgleichung bereits aus der Identit¨at in Lemma B.7 gefolgert werden (vgl. Aufgabe 2.11).

2.5 Erweiterung: Helmholtzsche Schwingungsgleichung

41

Um die Analytizit¨ at der L¨ osungen der Helmholtzschen Schwingungsgleichung zu zeigen, gen¨ ugt die nachfolgende Mittelwertungleichung, die ohne R¨ uckgriﬀ auf Kenntnisse u ¨ber Besselfunktionen hergeleitet werden kann. Wir bringen den Fall λ < 0 und geben den einfacheren Fall λ > 0 als Aufgabe 2.12. Satz 2.5.2. Es sei Ω ⊆ RN oﬀen und λ < 0. Dann gibt es ein (allein von N und λ abh¨ angendes) r0 > 0 mit folgender Eigenschaft: Ist u ∈ C 2 (Ω) eine L¨ osung von −Δu + λu = 0, so gelten die beiden Absch¨ atzungen 2N 2 |u(x)| ≤ N u(y) dS(y) , u(y) dy |u(x)| ≤ N −1 r ωN |y−x|=r r ωN |y−x|
Beweis. Wir deﬁnieren zu gegebenem x und u wieder die Funktion φ() := u(x + ξ) dS(ξ) f¨ ur 0 < ≤ r, wobei Br (x) ⊂⊂ Ω gelte. Aus (2.14) und |ξ|=1 −Δu + λu = 0 folgt durch Integration u ¨ber B (x) λ φ () = N −1 sN −1 φ(s) ds (2.18) 0 Aufgrund der Mittelwerts¨ atze der Diﬀerential- und der Integralrechnung gibt es t ∈ (0, r) und τ ∈ (0, t) mit t r sN −1 φ(s) ds φ(0) = φ(r) − rφ (t) = φ(r) + (−λ) N −1 t 0 t r sN −1 ds (2.19) = φ(r) + (−λ) N −1 φ(τ ) t 0 λ = φ(r) − rtφ(τ ) . N Da die zu beweisenden Absch¨ atzungen f¨ ur u(x) = 0 stets erf¨ ullt sind, und mit u auch −u die Helmholtzsche Schwingungsgleichung erf¨ ullt, gen¨ ugt es den Fall φ(0) = ωN u(x) > 0 zu betrachten. λ 2 r0 = 12 gilt. Sei nun 0 < r ≤ r0 , wobei Wir w¨ ahlen r0 > 0 so, daß − N achst indirekt, daß φ() > 0 f¨ ur weiterhin Br (x) ⊂⊂ Ω gelte. Wir zeigen zun¨ alle 0 ≤ ≤ r. Andernfalls h¨ atte φ eine kleinste positive Nullstelle r∗ ∈ (0, r]. Aus (2.18) folgt, daß φ auf [0, r∗ ] streng monoton f¨allt. Wendet man nun alt man f¨ ur geeignete t∗ ∈ (0, r∗ ) und (2.19) auf r∗ anstelle von r an, so erh¨ ∗ ∗ τ ∈ (0, t ) die Absch¨ atzung φ(0) = φ(r∗ ) −

λ ∗ ∗ λ r t φ(τ ∗ ) ≤ φ(r∗ ) − r∗ t∗ φ(0) N N

Wegen 0 < t∗ < r∗ ≤ r0 und der Wahl von r0 ist φ(0) ≤ φ(r∗ )+ 12 φ(0), woraus φ(r∗ ) ≥ 12 φ(0) > 0 folgt, was im Widerspruch zu der Annahme φ(r∗ ) = 0

42

2 Die Laplacegleichung

steht. Da nun die Positivit¨ at von φ auf [0, r] etabliert ist, folgt wiederum aus (2.18), daß φ auf [0, r] streng monoton f¨ allt. Wie eben ergibt sich aus (2.19) λ rt ≤ 12 die Ungleichung φ(0) ≤ 2φ(r), womit die erste Behauptung und − N bewiesen ist. Die zweite Behauptung folgt f¨ ur 0 < r ≤ r0 und Br (x) ⊂⊂ Ω aus r r tN −1 φ(0) dt ≤ 2 tN −1 φ(t) dt . 0

0

Bemerkung 2.5.3. Da nach Aufgabe 2.11 b) jede L¨osung der Helmholtzschen Schwingungsgleichung beliebig oft diﬀerenzierbar ist, ist auch uxi L¨osung der Helmholtzschen Schwingungsgleichung. Gem¨aß Satz 2.5.2 und Aufgabe 2.12 gibt es ein r0 > 0 derart, daß 2N uxi (y) dy , |uxi (x)| ≤ N r ωN Br (x) mithin nach Bemerkung 2.1.8 |uxi (x)| ≤

2N sup |u| r Br (x)

gilt f¨ ur alle u ∈ C 2 (Ω) mit −Δu + λu = 0, alle 0 < r ≤ r0 und alle Br (x) ⊂⊂ Ω. Dies hat zwei wichtige Konsequenzen. a) In Analogie zu Satz 2.1.9 gilt: Ist U eine auf Ω gleichgradig beschr¨ankte Menge von L¨ osungen der Helmholtzschen Schwingungsgleichung und Ω ⊂⊂ Ω, so sind die u ∈ U auf Ω gleichgradig gleichm¨aßig lipschitzstetig. Somit ist auch das Analogon des Kompaktheitssatzes 2.1.10 f¨ ur beschr¨ankte Folgen ultig. (un ) mit Δun = λun g¨ b) Jede L¨ osung der Helmholtzschen Schwingungsgleichung ist reell-analytisch. (Die Konstanten in Satz 2.4.1 und Lemma 2.4.3 erhalten lediglich einen Faktor 2.) Ebenso sind L¨ osungen der inhomogenen Gleichung −Δu + λu = f reell-analytisch, falls f reell-analytisch ist (vgl. Satz 2.4.6). S¨ atze vom Liouvilleschen Typ existieren f¨ ur L¨osungen der Helmholtzschen Schwingungsgleichung zwar sowohl f¨ ur λ > 0 als auch f¨ ur λ < 0; sie ben¨otigen jedoch Versch¨ arfungen der Voraussetzung der einseitigen Beschr¨anktheit, wie sie in Korollar 2.2.2 formuliert wurde. F¨ ur λ > 0 muß die beidseitige Beschr¨ anktheit der L¨ osung gefordert werden (vgl. Aufgabe 2.15), w¨ahrend f¨ ur λ < 0 die einseitige Beschr¨ anktheit ausreicht, die Schranke jedoch gleich 0 gew¨ ahlt werden k¨ onnen muß (vgl. Aufgabe 2.16 mit u = 0 bzw. v = 0). Mit diesen Zusatzvoraussetzungen kann dann f¨ ur jede L¨osung u ∈ C 2 (RN ) der Gleichung −Δu + λu = 0 gefolgert werden, daß u(x) = 0 f¨ ur alle x ∈ RN . Gegenstand der Aufgabe 2.17 ist es, den zweiten Harnackschen Satz und die Harnackabsch¨ atzung aus Abschnitt 2.2 auf L¨osungen der Helmholtzschen Schwingungsgleichung zu u ur den Beweis dieser beiden S¨atze ¨bertragen. Das f¨

2.6 Ausblick: Elliptische Gleichungen 2. Ordnung

43

2.2.4 und 2.2.5 wesentliche Korollar 2.2.3 wird hierbei durch die Aussage der Teilaufgabe 2.17 a) ersetzt und gleichzeitig verallgemeinert. Wie schon in der Einleitung zu diesem Abschnitt bemerkt, ist f¨ ur L¨osungen der Helmholtzschen Schwingungsgleichung kein allgemeines MaximumMinimumprinzip zu erwarten. Man kann jedoch zeigen, daß f¨ ur jedes Gebiet Ω und jedes reelle λ die Nullfunktion die einzige L¨osung der Gleichung −Δu + λu = 0 ist, die in Ω das Minimum/ Maximum 0 annimmt (vgl. Aufgabe 2.19). F¨ ur λ > 0 gilt zudem, daß u in Ω kein positives Maximum und kein negatives Minimum besitzen kann (vgl. Aufgabe 2.18).

2.6 Ausblick: Elliptische Gleichungen 2. Ordnung Im letzten Abschnitt 2.5 haben wir ausf¨ uhrlich diskutiert, welche Eigenschaften von L¨ osungen der partiellen Diﬀerentialgleichung Lu = 0 erhalten bleiben, unter Umst¨ anden in modiﬁzierter Form, wenn wir L = −Δ durch L = −Δ+λ ersetzen. Zentral in unseren Argumenten waren hierbei Mittelwerteigenschaften der entsprechenden L¨ osungen. Verallgemeinert man den Diﬀerentialoperator L weiter zu einem beliebigen linearen Diﬀerentialoperator zweiter Ordnung mit variablen Koeﬃzienten (Lu)(x) := −

N

aik (x)uxi xk (x) +

i,k=1

N

ai (x)uxi (x) + b(x)u(x) ,

i=1

so gibt es nur noch bedingt brauchbare allgemeine Mittelwertrelationen f¨ ur L¨osungen der Gleichung Lu = 0. In Abschnitt 2.3 haben wir aber gesehen, daß zwei wichtige Resultate, das schwache Minimumprinzip (Satz 2.3.4) und das Lemma 2.3.6 von Bernstein, ohne Verwendung von Mittelwerteigenschaften bewiesen werden konnten. Wir werden in diesem Abschnitt zeigen, wie man durch geschickte Modiﬁkation der Beweise analoge Resultate f¨ ur große Klassen von linearen Diﬀerentialoperatoren zweiter Ordnung herleiten kann. Satz 2.6.1. Es sei Ω ⊂⊂ RN nicht leer. Weiter seien aik und ai auf Ω stetig, ur jedes x ∈ Ω symmetrisch und positiv semideﬁnit. Es sei und (aik (x))ik sei f¨ uge auf Ω der u : Ω → R stetig, in Ω zweimal stetig diﬀerenzierbar und gen¨ Ungleichung (Lu)(x) := −

N

i,k=1

aik (x)uxi xk (x) +

N

ai (x)uxi (x) ≥ 0 .

i=1

Die positiv semideﬁnite Matrix (aik (x)) habe eine Untermatrix, ohne Einschr¨ ankung sei dies (aik (x))i,k=1,...,p (p ≥ 1), die auf Ω positiv deﬁnit ist. Dann liegt mindestens eine Minimumstelle von u auf dem Rande ∂Ω von Ω.

44

2 Die Laplacegleichung

Beweis. Es sei M die Menge der Minimumstellen von u. Es ist M nicht leer, und M ist abgeschlossen. Angenommen, es l¨ age keine Minimumstelle von u auf ∂Ω, dann ist d := dist(M, ∂Ω) > 0. Damit ist U := {x ∈ RN : dist(M, x) < d/2} eine oﬀene Teilmenge von Ω, und es ist M ⊆ U ⊂⊂ Ω. F¨ ur den Rand von U gilt: ∂U = {x ∈ RN : dist(M, x) = d/2} ist kompakt und ∂U ∩ M ist leer. ur ein festes x0 ∈ M . Es sei m das Minimum von u|∂U . Dann ist m > u(x0 ) f¨ Sei α > 0. Wir setzen w(x) := eα

p

2 i=1 (x−x0 )i

und deﬁnieren v := u − w f¨ ur > 0. Es ist v(x0 ) = u(x0 ) − und v|∂U ≥ 2 m−eα[diam Ω] > u(x0 ), wobei wir zu jedem α > 0 ein = (α) > 0 so ﬁxieren, 2 daß eα[diam Ω] < m − u(x0 ) ausf¨ allt. Dann hat v eine Minimumstelle x+ in U . Nach den Regeln der Diﬀerentialrechnung in mehreren Ver¨anderlichen ist ur die Hessesche Matrix (vxi xk (x+ )) positiv semideﬁnit und vxi (x+ ) = 0 f¨ i = 1, . . . , N . Es ist daher N

aik (x+ )vxi xk (x+ ) ≥ 0 ,

i,k=1

denn dies ist die Spur des Produkts zweier positiv semideﬁniter Matrizen (siehe Aufgabe 2.10 a)). Mit der obigen Setzung v = u − w, > 0, und wegen Lu ≥ 0 folgt N

aik (x+ )wxi xk (x+ ) −

N

aj (x+ )wxj (x+ ) ≤ 0 ,

j=1

i,k=1

also 0 ≥ 4α

p

2

aik (x+ ) x+ − x0 i x+ − x0 k

i,k=1 p

p

j=1

j=1

ajj (x+ ) − 2α

+2α

aj (x+ ) x+ − x0 j .

angt zwar von der Wahl von α ab, sie liegt aber f¨ ur alle α in Die Stelle x+ h¨ U . Da U kompakt in Ω enthalten ist, ist die Untermatrix (aik )i,k=1,...,p in U gleichm¨ aßig positiv deﬁnit, d.h. es gibt ein a > 0 mit a

p

j=1

ξj2 ≤

p

aik (x)ξi ξk

i,k=1

f¨ ur alle x ∈ U und alle ξ ∈ Rp . Insbesondere ist a ≤ ajj (x). F¨ ur alle α > 0 ist somit

2.6 Ausblick: Elliptische Gleichungen 2. Ordnung

4aα2

p

x+ − x0

2 j

+ 2αap − 2α

j=1

p

45

aj (x+ ) x+ − x0 j ≤ 0 .

j=1

p

2

(x+ − x0 )j → 0 mit α → p 2 ∞, oder es gibt > 0 und eine Folge αn → ∞, so daß j=1 (x+ − x0 )j ≥ . Im ersten Fall sch¨ atzen wir weiter ab: Nun sind zwei F¨ alle denkbar. Entweder geht

pa −

p

j=1

aj (x+ ) x+ − x0 j ≤ 0 .

j=1

Da aufgrund der Beschr¨ der aj auf der in Ω kompakt enthaltep anktheit + + nen Menge U auch j=1 aj (x ) (x − x0 )j gegen Null geht, resultiert mit α →∞ der Widerspruch pa ≤ 0. Im anderen Fall ist 4aαn2 + 2paαn − p 2αn j=1 aj (x+ ) (x+ − x0 )j ≤ 0, und da die letzte Summe beschr¨ankt bleibt + f¨ ur x ∈ U , folgt mit αn → ∞ auch diesmal ein Widerspruch. Bemerkung 2.6.2. Ist unter den Voraussetzungen von Satz 2.6.1 u also eine L¨ osung von Lu = 0, so liegen wenigstens eine Minimum- und eine Maximumstelle von u auf dem Rand von Ω. Wir haben damit einen ersten Schritt in die Theorie der linearen partiellen Diﬀerentialgleichungen zweiter Ordnung mit variablen Koeﬃzienten getan. Von den f¨ uhrenden Koeﬃzienten aik (x) ben¨ otigen wir, daß die mit ihnen gebildete Matrix semideﬁnit ist, um das schwache Minimum-Maximum-Prinzip beweisen zu k¨onnen. Dies ist nicht nur technisch bedingt. Vielmehr verhalten sich die L¨osungen ganz verschieden, je nach dem algebraischen Typus der Koeﬃzientenmatrix (aik (x)). Man nennt die Gleichungen elliptisch, wenn (aik (x)) symmetrisch und deﬁnit ist. Die Laplacegleichung geh¨ ort dazu; denn bei ihr ist aik = δik . Zu den Gleichungen mit semideﬁniter, aber nicht deﬁniter Matrix geh¨oren die parabolischen, zu denen mit indeﬁniter Matrix die hyperbolischen linearen partiellen Diﬀerentialgleichungen zweiter Ordnung. Diese Benennungen wurden im Falle der Dimension N = 2 von Du Bois-Reymond [54] eingef¨ uhrt und r¨ uhren daher, daß die Deﬁnitheit von (aik ) im Fall der Dimension N = 2 mit dem Vorzeichen von a11 a22 − a212 , bei Annahme von a11 > 0, korrelliert ist. Dieses Vorzeichen bewirkt bei den von a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + a1 x + a2 y + a = 0 dargestellten ebenen Kurven geometrische Eigenschaften, die Apollonios aus Perge [5] auf die Namensgebungen Ellipse, Parabel, bzw. Hyperbel gef¨ uhrt hatten. Eberhard Hopf [121] hat auf dem hier f¨ ur das schwache Minimumprinzip eingeschlagenen Weg, der von Paraf [246] zuerst beschritten wurde, auch das starke Minimumprinzip bei elliptischen Diﬀerentialgleichungen zweiter Ordnung erreicht. Man ﬁndet das z.B. bei Hellwig [107] dargestellt. Besonders verweisen wir auf die Monographie von Protter und Weinberger [269] .

46

2 Die Laplacegleichung

Die Resultate von Hopf [121, p. 149 Fußnote] ben¨otigen keine Stetigkeitseigenschaften der Koeﬃzienten. Dies ist f¨ ur Anwendungen auf nichtlineare Probleme wichtig, und es u ¨bertriﬀt hierin und in dem elementaren Charakter der Herleitung ¨ ahnliche Ergebnisse fr¨ uherer Autoren. Wir wenden uns nun dem Lemma von Bernstein [18] zu, das uns in einer speziellen Form bereits im Lemma 2.3.6 begegnet ist. Lemma 2.6.3. Zu nichtleerem Ω ⊂⊂ RN , m > 0 und K > 0 gibt es eine Konstante c0 (Ω, m, K) mit der Eigenschaft max |u(x)| ≤ c0 (Ω, m, K) sup |Lu| + max |u| x∈Ω

Ω

∂Ω

f¨ ur u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) und f¨ ur alle Diﬀerentialoperatoren L, (Lu)(x) := −

N

bik (x)uxi xk (x) +

N

bi (x)uxi (x) + b(x)u(x) ,

i=1

i,k=1

N mit Koeﬃzienten bik , bi , b : Ω → R, welche i,k=1 bik (x)ξi ξk ≥ m|ξ|2 f¨ ur x ∈ Ω und ξ ∈ RN erf¨ ullen und |bi (x)| ≤ K und b(x) ≥ 0 f¨ ur alle x ∈ Ω. Beweis. Wir d¨ urfen supΩ |Lu| < ∞ annehmen und ﬁxieren ein x0 ∈ RN mit dist(x0 , Ω) = 1. Zu u und positiven Zahlen , λ, C deﬁnieren wir 2 φ(x) := C − eλ|x−x0 | ( + supΩ |Lu|) + max∂Ω |u| . Damit ist (Lφ)(x) = 4λ2

N

bik (x)(x − x0 )i (x − x0 )k + 2λ

i,k=1

−2λ

N

N

bii (x)

i=1

2 bi (x)(x − x0 )i eλ|x−x0 | ( + sup |Lu|)

i=1

+b(x) C − eλ|x−x0 |

2

Ω

( + sup |Lu|) + b(x) max |u| ∂Ω Ω √ 2 ≥ 4λ m + 2λN m − 2λ N K(1 + diam Ω) ( + sup |Lu|) Ω

≥ + sup |Lu| , Ω

wenn λ so groß ﬁxiert ist, daß die eckige Klammer ≥ 1 ist und dann C so, λ|x−x0 |2 > 0 ist f¨ ur x ∈ Ω. Hierzu muß λ nur in Abh¨angigkeit daß C − e von m, N, K und Ω gew¨ ahlt werden und C nur in Abh¨angigkeit von λ und Ω, also in Abh¨ angigkeit von m, K und Ω. Die Abh¨angigkeit von N wird schon

2.7 Exkurs: Eindeutige Fortsetzbarkeit

47

mit Ω ⊆ RN ber¨ ucksichtigt. Mit so ﬁxierten λ und C = C(Ω, m, K) ist φ nur noch von dem Parameter > 0 abh¨ angig. Wir haben jetzt die Ungleichungen L(±u + φ) = ±Lu + Lφ ≥ ±Lu + + sup |Lu| ≥ und (±u + φ)|∂Ω ≥ 0 . Ω

Wenn w := (±u + φ) ein negatives Minimum in Ω h¨atte, dann w¨ urde es in einem Punkt z ∈ Ω angenommen. In z verschwinden die ersten AbleiN tungen, und weil b(z) ≥ 0 ist, folgt Lw(z) ≤ − i,k=1 bik (z)wxi xk (z). Die Doppelsumme ist aber, da Spur des Produkts zweier positiv semideﬁniter Matrizen, nichtnegativ (vgl. Aufgabe 2.10) und somit Lw(z) ≤ 0 im Widerspruch zu L(±u + φ) ≥ . Da w also kein negatives Minimum besitzt, ist ur jedes > 0, und daraus folgt (±u + φ) ≥ 0 in Ω. Also ist |u(x)| ≤ φ(x) f¨ |u(x)| ≤ C supΩ |Lu| + max∂Ω |u| mit C = C(Ω, m, K). Bemerkung 2.6.4. Ist L also ein Diﬀerentialoperator wie in Lemma 2.6.3 und ist man an der L¨ osung des Dirichletproblems Lu = f in Ω, u|∂Ω = g bei gegebenen f und g interessiert, ein Problem, von dessen L¨osung wir noch weit entfernt sind, so wissen wir doch a priori, d.h. bevor wir die Existenz einer L¨osung bewiesen haben, daß jede L¨osung der Absch¨atzung ugt. |u| ≤ c0 (Ω, m, K) supΩ |f | + sup∂Ω |g| gen¨ A-priori-Absch¨ atzungen bilden eine Grundlage f¨ ur Existenzbeweise, wie wir sp¨ ater im Zuge der Theorie von Leray und Schauder zun¨achst in einem Spezialfall in Abschnitt 5.5 und im allgemeinen Fall in Kapitel 8 sehen werden.

2.7 Exkurs: Eindeutige Fortsetzbarkeit Carleman [38] zeigte, daß die L¨ osungen gewisser Systeme partieller Differentialgleichungen in der Ebene, die die Cauchy-Riemannschen Diﬀerentialgleichungen verallgemeinern, obwohl nicht notwendig analytisch, dennoch die starke eindeutige Fortsetzbarkeitseigenschaft haben, also in einem Gebiet D ⊆ RN identisch Null sind, wenn sie eine Nullstelle unendlichhoher Ordnung ur alle k ∈ N0 besitzen, also ein x0 ∈ D existiert derart, daß f¨ lim r(x)−k u(x) = 0

x→x0

gilt. Hierbei ist zur Abk¨ urzung r(x) := |x − x0 | gesetzt. Er leitete zu diesem Zweck eine Integralungleichung f¨ ur r−k u her, aus der sich im Limes k → ∞ ergab, daß u auf einer kleinen Kreisscheibe um x0 verschwand. (Ein Kreiskettenverfahren liefert dann die Behauptung.) Solche Integralungleichungen heißen daher heute Carleman-Ungleichungen. Claus M¨ uller [213] war der erste, der eine Aussage dieser Art f¨ ur L¨ osungen gewisser Diﬀerential(un)gleichungen in beliebig vielen Variablen bewies, n¨ amlich Satz 2.7.4 unten. Er entwickelte u nach Kugelfunktionen und zeigte, daß die Fourierkoeﬃzienten von u alle

48

2 Die Laplacegleichung

Null sind. Mittels einer Carleman-Ungleichung, die ebenfalls durch Reihenentwicklung nach Kugelfunktionen entstand, dehnte Heinz [106] das M¨ ullersche Resultat auf L¨ osungen von Ungleichungen |Δu| ≤ C(|u| + |∇u|) aus. (Die Heinzsche Carleman-Ungleichung wurde kurze Zeit sp¨ater durch Cordes [43, § 3] verallgemeinert.) Wir werden hier das M¨ ullersche Ergebnis u ¨ber eine Carleman-Ungleichung, Lemma 2.7.2, herleiten, die von H¨ ormander [125] stammt, der einen Gedanken von Cordes [42] aufgreift. Dieser Beweis vermeidet Kugelfunktionen. Er wird besonders einfach, wenn man lediglich schwache eindeutige Fortsetzbarkeit zeigen, also nachweisen m¨ ochte, daß jede L¨osung, die auf einer oﬀenen Kugel Null ist, identisch verschwindet, denn dann gibt es bei den partiellen Integrationen im Beweis von Lemma 2.7.2 keine Probleme mit Randtermen und der vorbereitende Hilfssatz 2.7.1 er¨ ubrigt sich (dies ist tats¨achlich die in [125] und [309, p. 519] betrachtete Situation). Es ist bequem, f¨ ur oﬀenes Ω ⊆ RN und stetige u, v : Ω → R 1/2 u(x)v(x) dx sowie uL2 (Ω) := (u, uΩ ) u, vΩ := Ω

zu setzen und im Falle Ω = RN die Angabe Ω bzw. L2 (Ω) fortzulassen. Da sehr h¨ auﬁg Radialableitungen auftreten werden, empﬁehlt sich eine weitere Abk¨ urzung. F¨ ur stetig diﬀerenzierbares u : Ω \ {0} → R setzen wir u (x) :=

x · ∇u(x) . |x|

(2.20)

Zum Beweis des ersten Hilfssatzes verwenden wir eine auf Carleman zur¨ uckgehende Schlußweise [37, p. 176 ﬀ.]. Lemma 2.7.1. Sei f ∈ Cc2 (RN ) eine Funktion, die in x0 ∈ RN eine Nullstelle unendlichhoher Ordnung besitzt und auf einer Kugel um x0 der Ungleichung |Δf | ≤ C|f |

(2.21)

mit geeignetem C > 0 gen¨ ugt. F¨ ur alle k ∈ N hat dann die Funktion ϕ := r−k f die Eigenschaft |∇ϕ(x)|2 dx < ∞ . (2.22) RN

Insbesondere gilt daher lim inf →0

|∇ϕ(x)|2 dS(x) = 0 .

|x−x0 |=

(2.23)

2.7 Exkurs: Eindeutige Fortsetzbarkeit

49

Beweis. Durch eine Verschiebung unseres Koordinatensystems k¨onnen wir x0 = 0 erreichen. Wir wollen u ¨ber A := RN \ B (0) partiell integrieren und dann den Limes → 0 durchf¨ uhren. Aufgrund des kompakten Tr¨agers ur geeignetes von f wird dabei der Gaußsche Satz nur auf BR (0) \ B (0) f¨ R > angewandt, und Integrale u ¨ber ∂BR (0) verschwinden. Wegen −ϕΔϕ = −

N

(ϕϕxk )xk +

k=1

N

ϕ2xk

k=1

ist daher nach Satz B.6 bei Verwendung der Notation (2.20) 2 − ϕ, ΔϕA = ϕ(x)ϕ (x) dS(x) + |∇ϕ(x)| dx |x|=

A

und unter Ber¨ ucksichtigung von Δϕ = f Δr−k + 2∇f · ∇r−k + r−k Δf = k(k + 2 − N )r−2 ϕ − 2kr−(k+1) (rk ϕ) + r−k Δf 2k ϕ + r−k Δf = −k(k + N − 2)r−2 ϕ − r schließlich ϕ 2 T () := − ϕ, r−k Δf A + k(k + N − 2) r L2 (A ) ϕ , ϕ = − ϕ, ΔϕA − 2k r A ϕ 2 1 ≥ ϕ(x)ϕ (x) dS(x) + |∇ϕ(x)|2 dx − 2k 2 , 2 r L2 (A ) |x|=

(2.24)

A

wobei wir die Ungleichung 2

ϕ r

, ϕ

A

≤ ϕ 2L2 (A ) +

1 ϕ 2 2 r L (A )

1 mit = 2k verwendet haben. Da f in 0 eine Nullstelle unendlichhoher Ordnung besitzt und (2.21) gilt, existiert lim→0 T (). In ϕ2 (ξ) dS(ξ) φ() := |ξ|=1

kann unter dem Integralzeichen diﬀerenziert werden (Begr¨ undung wie in Folgerung B.4), so daß sich das Oberﬂ¨ achenintegral in (2.24)

50

2 Die Laplacegleichung

2

ϕ(x)ϕ (x) dS(x) = N −1 φ () = N −2 (φ()) − N −2 φ()

(2.25)

|x|=

schreibt. Es ist lim→0 N −2 φ() = 0. Wir beachten nun, daß es eine monoton fallende Nullfolge (n ) gibt, auf oßer als Null ist. Sonst g¨ abe es ja ein Intervall (0, 0 ] mit welcher (φ()) gr¨ (sφ(s)) ≤ 0

f¨ ur alle s ∈ (0, 0 ] .

(2.26)

Wir k¨ onnen φ(0 ) = 0 annehmen, denn anderenfalls w¨are ϕ ja in einer Umgebung von 0 identisch Null, die Behauptungen (2.22) und (2.23) also trivialerweise richtig. Ungleichung (2.26) h¨ atte aber 0 φ(0 ) ≤ φ()

f¨ ur ∈ (0, 0 ]

zur Folge, was nicht sein kann, da die rechte Seite f¨ ur → 0 gegen Null geht. Wenn wir daher (2.24) und (2.25) auf dieser Nullfolge (n ) betrachten, k¨onnen wir folgern, daß |∇ϕ(x)|2 dx lim n→∞

A n

endlich ist, was (2.22) beweist. Die Behauptung (2.23) ist nun wegen R 1 2 2 |∇ϕ(x)| dx = |∇ϕ(x)| dS(x) d 0 BR (0) |x|= aufgrund der Divergenz des Integrals u ¨ber

1

klar.

Lemma 2.7.2. Ist f ∈ Cc2 (RN ) eine Funktion, die in x0 ∈ RN eine Nullstelle unendlichhoher Ordnung besitzt und auf einer Kugel um x0 der Ungleichung |Δf | ≤ C|f | mit geeignetem C > 0 gen¨ ugt, so gilt f¨ ur alle k ∈ N −k 2 r f ≤ 1 r1−k (−Δ + 1)f 2 . 4k

(2.27)

Beweis. O.B.d.A. sei x0 = 0. Wir verwenden die Bezeichnungsweisen aus Lemma 2.7.1, setzen aber diesmal ϕ := r−(k+1) f . Dann ist N ϕ + x · ∇ϕ , Δ(rk rϕ) = rk Δ(rϕ) + k 2 rk−1 ϕ + 2krk−1 2 so daß wir mit

2.7 Exkurs: Eindeutige Fortsetzbarkeit

51

Sϕ := [r(−Δ + 1)r − k 2 ]ϕ , N Aϕ := ϕ + x · ∇ϕ 2 die Relation 1−k 2 r (−Δ + 1)rk+1 ϕL2 (A ) = (S − 2kA)ϕ, (S − 2kA)ϕA = Sϕ2L2 (A ) + (2k)2 Aϕ2L2 (A ) − 4kSϕ, AϕA erhalten. Wir behaupten nun, daß −Sϕ, AϕA = k 2 I1 () + I2 () + I3 () mit I1 () := ϕ, AϕA

1 =− 2

ϕ2 (x) dS(x) ,

(2.28)

|x|=

I2 () := −r2 ϕ, AϕA = rϕ2L2 (A ) − 2 I1 () ,

(2.29)

I3 () := rΔ(rϕ), AϕA

1 3 N = (N − 1)I1 () + |∇ϕ|2 − 2(ϕ )2 − ϕϕ dS 2 ∂B (0)

(2.30)

ist. Hieraus folgt die Ungleichung (2.27), denn da f in 0 eine Nullstelle unendlichhoher Ordnung hat, gilt lim→0 I1 () = 0, und nach Lemma 2.7.1 gibt es eine Nullfolge, auf der das zweite Integral in (2.30) gegen Null geht. (A posteriori folgt, daß es auf jeder Nullfolge gegen Null geht.) Der Beweis von (2.28) und (2.29) beruht jeweils nur auf einer einzigen partiellen Integration, so daß wir uns darauf beschr¨anken, (2.30) zu zeigen. Zun¨ achst ist rΔ(rϕ), AϕA = (N − 1)ϕ + 2x · ∇ϕ + r2 Δϕ, AϕA

(2.31)

= (N − 1)I1 () + 2x · ∇ϕ2L2 (A ) + N x · ∇ϕ, ϕA + Wegen r2 ϕΔϕ =

N 2 r Δϕ, ϕA + r2 Δϕ, x · ∇ϕA . 2

N

(r2 ϕϕxk )xk − r2 |∇ϕ|2 − 2ϕx · ∇ϕ

k=1

ergibt die Anwendung des Gaußschen Satzes in der Form von Satz B.6 N N x · ∇ϕ, ϕA + r2 Δϕ, ϕA 2 N 2 N =− ϕ(x)ϕ (x) dS(x) − r2 |∇ϕ(x)|2 dx . 2 2 |x|=

A

(2.32)

52

2 Die Laplacegleichung

Des weiteren ist N

r2 (x · ∇ϕ)Δϕ =

(r2 (x · ∇ϕ)ϕxk )xk − 2(x · ∇ϕ)2

k=1

−r2

N

ϕxk (x · ∇ϕ)xk .

k=1

Aufgrund des Schwarzschen Satzes u ¨ber die Vertauschbarkeit partieller Ableitungen haben wir N

N

r2 ϕxk (xj ϕxj )xk = r2 |∇ϕ|2 +

k=1 j=1

k=1

= also

1 2

N

r2 xj |∇ϕ|2

xj

3

j=1

|x|=

1 + 3 2

−

N 2 r |∇ϕ|2 , 2

(ϕ )2 (x) dS(x) − 2x · ∇ϕ2L2 (A )

r Δϕ, x · ∇ϕA = − 2

N N r2 2 ϕxk x xj j 2 j=1

N |∇ϕ(x)| dS(x) + 2

r2 |∇ϕ(x)|2 dx .

2

|x|=

A

Zusammen mit (2.31) und (2.32) ergibt dies die gew¨ unschte Relation (2.30). Lemma 2.7.3. Es sei u ∈ C 2 (B1 (x0 )) eine Funktion, die f¨ ur ein C > 0 auf B := B 12 (x0 ) der Ungleichung |Δu| ≤ C|u| gen¨ ugt und in x0 eine Nullstelle unendlichhoher Ordnung besitzt. Dann gilt u = 0 auf B. Beweis. Es sei X ∈ C 2 (RN ) eine Funktion, die f¨ ur x ∈ B gleich Eins und f¨ ur 1 x ∈ RN \ B3/4 (x0 ) Null ist. Ist k ∈ N so groß, daß 2√ (C + 1) ≤ 1 ausf¨ a llt, so k gilt mit K := (−Δ + 1)X uL2 (RN \B) nach Lemma 2.7.2 1 r−k uL2 (B) ≤ r−k X u ≤ √ r1−k (−Δ + 1)X u 2 k 1 1−k = √ r (−Δ + 1)uL2 (B) + r1−k (−Δ + 1)X uL2 (RN \B) 2 k 1 ≤ √ (C + 1)r1−k uL2 (B) + 2k−1 K 2 k 1 1 ≤ r−k uL2 (B) + √ 2k−1 K , 2 2 k also

2 Aufgaben

53

1 2k uL2 (B) ≤ r−k uL2 (B) ≤ √ 2k−1 K . k 1 Wir haben somit uL2 (B) ≤ 2√ K f¨ ur alle hinreichend großen k ∈ N gezeigt. k Folglich ist uL2 (B) = 0, und die Behauptung ergibt sich aus der Stetigkeit von u.

Satz 2.7.4 (Claus M¨ uller). Es sei D ⊆ RN ein Gebiet und u ∈ C 2 (D) eine Funktion mit der Eigenschaft, daß f¨ ur jedes K ⊂⊂ D eine Zahl C > 0 existiert mit |Δu(x)| ≤ C|u(x)| f¨ ur alle x ∈ K. Dann besitzt u die starke eindeutige Fortsetzbarkeitseigenschaft. Beweis. Sei x0 ∈ D eine Nullstelle unendlichhoher Ordnung von D. Zu x ∈ D, x = x0 , gibt es einen in D liegenden Polygonzug P , der x0 mit x verbindet. Sei 0 < < 12 min{dist(P, ∂D), 1}. Es gibt dann Punkte x1 , . . . , xm−1 , xm = x auf P mit |xj−1 − xj | < . Nach Lemma 2.7.3 ist u auf jeder dieser Kugeln B (xj ) Null. Korollar 2.7.5. Es sei D ⊆ RN ein Gebiet und a : D → R lokal beschr¨ ankt ankt). Dann hat jede L¨ osung (also f¨ ur alle K ⊂⊂ D die Funktion a|K beschr¨ u ∈ C 2 (D) von −Δu + a(x)u = 0 die starke eindeutige Fortsetzbarkeitseigenschaft. S¨ atze u ¨ber schwache eindeutige Fortsetzbarkeit ben¨otigt man bei der Untersuchung der Zahl der Knotengebiete von Eigenfunktionen elliptischer Gleichungen (vgl. [45, Kap. VI.6]). F¨ ur eine weitere Anwendung sei auf [58] verwiesen, wo in § 1.3 auch eine Motivation f¨ ur die Betrachtung des Operators A aus dem Beweis von Lemma 2.7.2 gegeben wird.

Aufgaben 2.1. Man beweise mittels vollst¨ andiger Induktion nach n ∈ N0 und ohne Benutzung komplexer Zahlen, daß die Zuordnungen R2 (x, y) → rn cos nφ

und R2 (x, y) → rn sin nφ ,

wobei (r, φ) die Polarkoordinaten von (x, y) sind, zwei Polynome u(x, y) bzw. v(x, y) auf R2 vom Grade n deﬁnieren, die den Cauchy-Riemannschen Diﬀerentialgleichungen ux (x, y) = vy (x, y), uy (x, y) = −vx (x, y) gen¨ ugen. Man folgere uxx + uyy = 0 und vxx + vyy = 0. 2.2. Es seien B eine reelle N ×N -Matrix, c ∈ RN , Q : RN → RN , x → Bx+c, und u ∈ C 2 (RN ). Man zeige

54

2 Die Laplacegleichung

−Δ(u ◦ Q) = (L0 u) ◦ Q , wobei L0 := −

N

aik

i,k=1

∂2 ∂xi ∂xk

ist und die aik die Elemente der Matrix A := BB t sind. Insbesondere ist also Δ(u ◦ Q) = (Δu) ◦ Q, wenn B eine orthogonale Matrix ist. 2.3. Man veriﬁziere die Aussagen a)–c) der Bemerkung 2.1.5. 2.4. Man bestimme alle Funktionen u auf RN \ {0}, die sowohl rotationssymmetrisch (u(x) = f (|x|)) als auch harmonisch sind. Dazu leite man zun¨achst f¨ ur f ∈ C 2 (R+ ) die Relation Δu(x) = f (|x|) +

N −1 f (|x|) |x|

f¨ ur alle x ∈ RN \ {0} her.

2.5. Es sei u in der punktierten Kugel B˙ R (x0 ) := x ∈ RN : 0 < |x − x0 | < R harmonisch. Man zeige: N 0 )i angig von r. a) F¨ ur r ∈ (0, R) ist i=1 ∂Br (x0 ) (x−x |x−x0 | uxi (x) dS(x) unabh¨ b) Es ist

u(x) dS(x) = ∂Br (x0 )

c0 2−N r

+ d0 rN −1 , falls N ≥ 3

c0 r ln r + d0 r

, falls N = 2

mit Konstanten c0 , d0 . Die Konstante c0 ist der Wert des Integrals in a). Hilfe:

(i) F¨ ur 0 < r1 < r2 < R wende man auf 0 = r1 ≤|x−x0 |≤r2 Δu(x) dx den Gaußschen Satz an.

d u(x0 + rξ) dS(ξ) u (ii) Das Integral in a) stimmt mit rN −1 dr ¨berein. |ξ|=1 2.6. Es seien Ω ⊆ RN oﬀen, Br (x) ⊂⊂ Ω und u ∈ C 2 (Ω). Man zeige u(y) dS(y) − [FN (r) − FN (|x − y|)]Δu(y) dy , ωN u(x) = r1−N ∂Br (x)

mit F2 (s) = ln s und FN (s) =

Br (x) 1 2−N 2−N s

f¨ ur N ≥ 3.

2.7. Man mache sich klar, daß Korollar 2.3.3 falsch wird, wenn D kein Gebiet ist. 2.8. Sei Ω ⊂⊂ RN nichtleer und u eine auf Ω harmonische Funktion, deren Gradient stetig auf Ω fortsetzbar ist. Man zeige mit Korollar 2.3.5, daß mindestens eine Maximumstelle von |∇u|2 auf ∂Ω liegt.

2 Aufgaben

55

2.9. a) Es sei Ω ⊂⊂ RN , u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω), g := u|∂Ω und −Δu(x) + a(x)u(x) = 0 f¨ ur x ∈ Ω mit a > 0. Man zeige min{0, min g} ≤ u(x) ≤ max{0, max g} f¨ ur x ∈ Ω. b) Man mache sich an der gew¨ ohnlichen Diﬀerentialgleichung −u + u = 0 klar, daß man in (a) nicht min g ≤ u(x) ≤ max g erwarten darf. 2.10. a) Es seien A, B symmetrische und positiv semideﬁnite N ×N -Matrizen. Man zeige Spur (AB) ≥ 0. b) Es sei Ω ⊂⊂ RN nicht leer. Weiter seien aik auf Ω stetig und f¨ ur jedes x ∈ Ω sei die Matrix (aik (x)) symmetrisch und positiv semideﬁnit mit N daß jedes u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω), das f¨ ur alle i=1 aii (x) > 0. Man zeige, N ullt, eine seiner x ∈ Ω die Ungleichung − i,k=1 aik (x)uxi xk (x) ≥ 0 erf¨ Minimumstellen auf ∂Ω hat. 2.11. a) Es sei Ω ⊆ RN oﬀen und u ∈ C 2 (Ω) mit −Δu + λu = 0. Man zeige u(x)

wN rN = N

r

u(y) dy − λ

|y−x|≤r

0

N −1

s1−N 0

u(y)dy ds d , |y−x|≤s

falls Br (x) ⊂⊂ Ω. b) Man folgere aus Teilaufgabe a), daß C 2 -L¨osungen der Helmholtzschen Schwingungsgleichung bereits beliebig oft diﬀerenzierbar sind (vgl. Korollar 2.1.3). c) Man formuliere und beweise den lokalen Teil des ersten Harnackschen Satzes (vgl. Satz 2.1.6) f¨ ur L¨ osungen der Helmholtzschen Schwingungsgleichung, ohne die in Bemerkung 2.5.1 formulierte Mittelwerteigenschaft zu benutzen. Hierzu modiﬁziere man den Beweis aus 2.1.6 in der Weise, daß man mit Hilfe von Teilaufgabe a) zeigt, daß s¨amtliche Ableitungen lokal gleichm¨ aßig konvergieren. 2.12. Es sei Ω ⊆ RN oﬀen, und λ > 0, u ∈ C 2 (Ω) und −Δu + λu = 0. Man zeige a uckgriﬀ auf die ¨hnlich wie im Beweis des Satzes 2.5.2, d.h. ohne R¨ Mittelwertrelation (2.17), daß dann f¨ ur alle Br (x) ⊂⊂ Ω die Ungleichungen N 1 |u(x)| ≤ N |u(x)| ≤ N −1 u(y) dS(y) , u(y) dy r ωN |y−x|=r r ωN |y−x|
56

2 Die Laplacegleichung

f¨ ur Br (x) ⊂⊂ Ω

u(y) dy = u(x)Ψ (N, λ; r) |y−x|≤r

r aquivalent ist. Dabei ist Ψ (N, λ; r) := ωN 0 Φ(N, λ; )N −1 d. ¨ b) Man bestimme Φ(3, λ; ·) und Ψ (3, λ; ·), indem man beachte, daß die Diﬀerentialgleichung (2.15) im Falle N = 3 in der Form 1 [(φ()) − λφ()] = 0 geschrieben werden kann. 2.14. a) Analog zum Beweisteil (ii) ⇒ (i) von Satz 2.1.1 zeige man, daß stetiges u mit der Mittelwerteigenschaft aus Bemerkung 2.5.1 beliebig oft diﬀerenzierbar ist. Man beachte, daß man die Untersuchungen nur in Teilgebieten ausf¨ uhren muß, deren Durchmesser kleiner ist als die erste positive Nullstelle von Φ(N, λ; ·). b) Im Anschluß an Teil a) zeige man, daß stetiges u mit der Mittelwerteigenosung von −Δu + λu = 0 ist. schaft aus Bemerkung 2.5.1 eine C ∞ -L¨ 2.15. Man zeige, daß f¨ ur λ > 0 die Nullfunktion die einzige beschr¨ankte L¨ osung u ∈ C 2 (RN ) der Gleichung −Δu + λu = 0 ist. Gilt diese Aussage auch f¨ ur λ < 0? 2.16. Man zeige: Sind u, v ∈ C 2 (RN ) L¨ osungen von −Δw + λw = 0 in RN mit λ < 0 und ist v ≤ u, so gilt v = u. Ist dies auch f¨ ur λ > 0 richtig? Hilfe: Man u ¨berlege sich, daß im Falle λ < 0 die Funktion Φ(N, λ; ·) aus Bemerkung 2.5.1 auch negative Werte annimmt. Zum Vergleich: Sind u, v auf RN harmonische Funktionen mit v ≤ u, so ist nach Korollar 2.2.2 v = u + const. 2.17. Harnackabsch¨ atzung f¨ ur die Helmholtzsche Schwingungsgleichung. Es sei λ ∈ R, λ = 0, und Ω ⊆ RN oﬀen. a) Es sei R > 0 und im Falle λ < 0 kleiner als die erste positive Nullstelle von Φ(N, λ; ·). Man zeige, daß es Zahlen c1 (R) > 1, c2 (R) < 0 mit c1 (r) → 3N

,

c2 (r) → 1 − 3N

(r → 0)

so gibt, daß f¨ ur jede L¨ osung u von −Δu + λu = 0 in BR (x0 ) u(x) ≤ c1 (R)u(y) + c2 (R) inf u BR (x0 )

f¨ ur alle x, y ∈ B R (x0 ) gilt. Zum Vergleich: F¨ ur jede auf BR (x0 ) harmo4 nische Funktion u kann durch eine leichte Modiﬁkation des Beweises von Korollar 2.2.3 gezeigt werden, daß f¨ ur alle x, y ∈ B R (x0 ) gilt

u(x) ≤ 3 u(y) + 1 − 3 N

N

4

inf u .

BR (x0 )

2 Aufgaben

57

b) Man zeige, daß es zu zusammenh¨ angendem Ω0 ⊂⊂ Ω ein c0 > 1 gibt, so daß alle nichtnegativen u ∈ C 2 (Ω) mit −Δu + λu = 0 die Ungleichung u(x) ≤ c0 u(y) f¨ ur alle x, y ∈ Ω0 erf¨ ullen. 2.18. Sei Ω ⊆ RN oﬀen, u ∈ C 2 (Ω) mit −Δu + λu = 0 f¨ ur λ > 0. Man zeige, daß u in Ω weder ein positives Maximum noch ein negatives Minimum annehmen kann. 2.19. Seien Ω ⊆ RN oﬀen, λ ∈ R und f : Ω → R. Man zeige: Sind u, v zwei L¨osungen von −Δw + λw = f in Ω mit v ≤ u und existiert ein x0 ∈ Ω mit ur alle x aus derjenigen Zusammenhangsv(x0 ) = u(x0 ), so ist v(x) = u(x) f¨ alt. komponente von Ω, die x0 enth¨ 2.20. Es sei > 0. Man zeige, daß u(x) :=

e−|x| 0

−

f¨ ur 0 < |x| < 1 f¨ ur x = 0

eine Funktion aus C 2 (B1 (0)) deﬁniert, die mit ihren Ableitungen im Ursprung eine Nullstelle unendlichhoher Ordnung besitzt und auf B1 (0) \ {0} der Differentialgleichung −Δu + a(x)u = 0 mit einer Funktion a gen¨ ugt, die f¨ ur 0 < p < N2 bei geeignetem > 0 die Eigenschaft |a(x)|p dx < ∞ B1 (0)

hat.

3 Das Dirichletproblem fu ¨ r harmonische Funktionen

Im Anschluß an die Poissonsche Integralformel (Satz 3.2.1) wird die Perronsche Methode zur L¨ osung des Dirichletproblems f¨ ur harmonische Funktionen dargestellt, zun¨ achst f¨ ur beschr¨ ankte Gebiete (S¨atze 3.3.6 und 3.3.9) und dann f¨ ur unbeschr¨ ankte (Satz 3.6.3). Kriterien f¨ ur die Regularit¨at eines Randpunktes geben die S¨ atze 3.4.2 und 3.4.3. Satz 3.5.1 verallgemeinert den Riemannschen Hebbarkeitssatz f¨ ur holomorphe Funktionen. Satz 3.6.1 ist ein zentraler Eindeutigkeitssatz f¨ ur unbeschr¨ ankte Gebiete. Satz 3.7.1 von Giesecke wird erst in den Kapiteln 6 und 10 ben¨ otigt.

3.1 Einfu at und der Fall ¨ hrung: Eindeutigkeit, Stabilit¨ der Kreisscheibe Das Dirichletsche Randwertproblem f¨ ur die Laplacegleichung in R3 trat in der Einleitung am Ende von Abschnitt 1.3 im Zusammenhang mit der Potentialtheorie elektrostatischer Felder auf. F¨ ur RN wird es gew¨ohnlich so formuliert: Gegeben sei Ω ⊂⊂ RN und ein stetiges g : ∂Ω → R. Gesucht ist ein stetiges u : Ω → R, das auf Ω harmonisch ist und auf ∂Ω mit gu ¨bereinstimmt. Man nennt u eine L¨ osung des Dirichletproblems. Hiermit verbindet man traditionellerweise ein ganzes Programm von Aufgaben. Dazu geh¨oren Existenzbeweise, das sind Nachweise, daß mindestens eine L¨osung existiert; Konstruktionen von L¨ osungen; Eindeutigkeitsbeweise, die zeigen, daß es h¨ochstens eine L¨ osung geben kann; Stabilit¨ atsaussagen, die kl¨aren, wie sehr sich die L¨ osung ¨ andert, wenn man die Randdaten g oder die Gestalt von Ω ver¨andert; und viele weitere Fragen, die sich mit den Eigenschaften der L¨osungen befassen. Was die L¨ osbarkeit des Dirichletschen Randwertproblems angeht, gibt uns die Mittelwerteigenschaft, welche die L¨ osung ja auf Ω haben muß, ein Gef¨ uhl E. Wienholtz et al., Elliptische Diﬀerentialgleichungen zweiter Ordnung, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009 DOI 10.1007/978-3-540-45721-3 3,

60

3 Das Dirichletproblem f¨ ur harmonische Funktionen

f¨ ur deren Schwierigkeit. Man ist eher geneigt zu verneinen, daß sich jede stetige Funktion g : ∂Ω → R stetig so auf Ω fortsetzen l¨aßt, daß die Fortsetzung die Mittelwerteigenschaft hat. F¨ ur den sehr speziellen Fall, daß Ω die Einheitskreisscheibe ist, werden wir die L¨ osbarkeit bereits weiter unten in Bemerkung 3.1.8 bejahen k¨ onnen. Allgemeineres folgt dann in den Abschnitten 3.2, 3.3, 3.5 und 3.6. Betr¨achtlich leichter sind Eindeutigkeit und Stabilit¨at, weil man bei solchen Fragen von der Existenz von L¨ osungen mit jenen starken inneren Eigenschaften ausgeht und diese Eigenschaften ausnutzen kann. Das ist schon ugung anders, wenn man die starke Eigenschaft u ∈ C 0 (Ω) nicht mehr zur Verf¨ hat (siehe z.B. Korollar 3.5.4 und Bemerkung 3.5.5). Satz 3.1.1 (Der Eindeutigkeitssatz f¨ ur das Dirichletproblem). Es sei Ω ⊂⊂ RN , und g : ∂Ω → R sei stetig. Dann gibt es h¨ ochstens eine stetige Funktion u : Ω → R, die auf Ω harmonisch ist und auf ∂Ω mit g u ¨bereinstimmt. Beweis. Angenommen, u und v seien zwei derartige Funktionen. Dann ist ihre Diﬀerenz w := u − v auf Ω stetig und auf Ω harmonisch. Nach dem schwachen Minimumprinzip 2.3.4 hat w eine Minimumstelle auf ∂Ω. Es ist aber w|∂Ω = 0. Daher ist min w = 0. Es ist u − v ≥ min(u − v) = min w. Mithin ist u ≥ v. Da es auf die Reihenfolge der Funktionen u und v nicht ankam, ist auch v ≥ u bewiesen. Folglich ist u = v. Satz 3.1.2 (Der Stabilit¨ atssatz f¨ ur das Dirichletproblem). Es sei Ω ⊂⊂ RN , u ∈ C 0 (Ω), v ∈ C 0 (Ω), u und v auf Ω harmonisch; es sei > 0 und |u(y) − v(y)| ≤ f¨ ur alle y ∈ ∂Ω. Dann ist |u(x) − v(x)| ≤ f¨ ur alle x ∈ Ω. Beweis. Nach dem schwachen Minimumprinzip 2.3.4 liegt auf ∂Ω eine Minimumstelle von u−v. Wegen − ≤ u(y)−v(y) f¨ ur alle y ∈ ∂Ω ist das Minimum ≥ −. Analog ist das Maximum von u − v h¨ ochstens . Korollar 3.1.3 (Der erste Harnacksche Satz). 1 Es sei Ω ⊂⊂ RN , und (un ) sei eine Folge stetiger Funktionen un : Ω → R, die auf Ω harmonisch aßig konvergiert, dann konvergiert (un ) sind. Wenn (un |∂Ω ) auf ∂Ω gleichm¨ aßig gegen eine auf Ω harmonische Funktion u, die auf Ω stetig auf Ω gleichm¨ ist. Jede Ableitung konvergiert in Ω lokal gleichm¨ aßig gegen die Ableitung von u. Beweis. Zu > 0 gibt es n0 , so daß |un (y) − uk (y)| ≤ f¨ ur n, k ≥ n0 und alle ur n, k ≥ n0 y ∈ ∂Ω. Nach dem Stabilit¨ atssatz ist dann |un (x) − uk (x)| ≤ f¨ und alle x ∈ Ω. Also konvergiert (un ) auf Ω gleichm¨aßig gegen eine Funktion u ∈ C 0 (Ω). Nach Satz 2.1.6 ist sie auf Ω harmonisch, und es konvergieren die abgeleiteten Folgen auf Ω lokal gleichm¨ aßig gegen die entsprechenden Ableitungen von u. 1

Harnack [97]. Man vergleiche auch die Fußnoten zu Satz 2.1.6 und 2.2.4.

3.1 Einf¨ uhrung: Eindeutigkeit, Stabilit¨ at und der Fall der Kreisscheibe

61

Bemerkung 3.1.4. Oﬀenbar gew¨ ahrleistet das schwache Minimumprinzip auch, daß die L¨ osungen des Dirichletproblems monoton von den Randdaten ur y ∈ ∂Ω, dann ist u1 (x) ≥ u2 (x) f¨ ur x ∈ Ω. abh¨ angen: Wenn g1 (y) ≥ g2 (y) f¨ Ein Blick auf den zweiten Harnackschen Satz 2.2.4 legt die Frage nahe, ob die Konvergenz einer monoton fallenden Folge (gn ) von Randdaten gn : ∂Ω → R auch die Konvergenz der zugeh¨ origen L¨ osungen der Dirichletschen Randwertprobleme zur Folge hat. Wenn die gn eine gemeinsame untere Schranke haben, also nach dem Minimumprinzip auch die un , konvergieren diese in Ω gegen eine harmonische Funktion; ist lim gn ein stetiges g : ∂Ω → R, dann konvergiert (gn ) nach einem Satz von U. Dini (siehe etwa [337, p. 250 f.]) gleichm¨aßig, und der erste Harnacksche Satz ist anwendbar. Bemerkung 3.1.5 (Bemerkung zum Stabilit¨ atssatz). Der Stabilit¨atssatz wird h¨ auﬁg auch der Satz u ¨ber die stetige Abh¨angigkeit der L¨osungen von den Randdaten genannt. Er hat prinzipielle Bedeutung f¨ ur die Anwendbarkeit des Dirichletproblems auf Fragen der Physik und f¨ ur die n¨aherungsweise Berechnung von L¨ osungen. Hierauf hat besonders Hadamard [92] hingewiesen. Was die Physik angeht, so muß die physikalische Aussage des mathematischen Modells experimentell u ufbar sein. Ordnet man z.B. einem ¨berpr¨ elektrischen Feld E in Ω ⊂⊂ R3 die Dirichletsche Randwertaufgabe Δu = 0 in Ω, u|∂Ω = g, als mathematisches Modell zu, indem man behauptet, daß deren L¨ osung u mit dem Potential Φ von E u ¨bereinstimmt, wenn g = Φ|∂Ω ist, so w¨ are dies nicht experimentell nachpr¨ ufbar, wenn kleine Abweichungen in g große oder gar sprunghafte Unterschiede f¨ ur u zur Folge h¨atten; denn man kann in das Modell nur ein bis auf Meßungenauigkeiten von Φ|∂Ω bekanntes g f¨ ur die Berechnung von u einsetzen. Der Stabilit¨atssatz versichert, daß kleine Abweichungen bei g auch nur kleine Abweichungen bei u zur Folge haben und gibt sogar quantitative Fehlerschranken an. Wenn man in diesem Beispiel das Dirichletproblem aber nicht nur als ein Modell f¨ ur die Bestimmung des elektrostatischen Potentials Φ in Ω, sondern auch als Modell f¨ ur die Bestimmung von E = − grad Φ in Ω anbieten m¨ ochte, dann kommt es auch darauf an, ob kleine Abweichungen bei g nur kleine Abweichungen bei grad u zur Folge haben. Die innere A-Priori-Absch¨ atzung von Satz 3.1.6 gew¨ahrleistet dies in der Tat, allerdings nicht gleichm¨ aßig auf Ω, wie es f¨ ur u der Fall war, sondern gleichm¨ aßig auf jedem Ω ⊂⊂ Ω: Satz 3.1.6. Wenn u und v L¨ osungen von Δu = 0 auf Ω ⊂⊂ RN , u|∂Ω = g, bzw. Δv = 0, v|∂Ω = h sind, dann ist f¨ ur jedes Ω ⊂⊂ Ω und x ∈ Ω √ N N max |g − h| . | grad u(x) − grad v(x)| ≤ dist(Ω , ∂Ω) Beweis. Man folgert zun¨ achst aus dem Stabilit¨atssatz 3.1.2, daß w := u − v der Absch¨ atzung |w(y)| ≤ max |g −h| f¨ ur alle y ∈ Ω gen¨ ugt. F¨ ur x ∈ Ω liefert Satz 2.1.7 dann: √ √ N max |g − h| . | grad w(x)| ≤ N max |wxi (x)| ≤ N 1≤i≤N dist(Ω , ∂Ω)

62

3 Das Dirichletproblem f¨ ur harmonische Funktionen

Bemerkung 3.1.7. Es liegt die Frage nahe, ob nur unsere Beweistechnik zu einer schlechten Absch¨ atzung am Rande gef¨ uhrt hat, oder ob es tats¨achlich vorkommt, daß der Gradient einer harmonischen Funktion h am Rande von ankt ist, wenn h L¨ osung des Dirichletproblems in Ω ist. Ω ⊂⊂ RN unbeschr¨ Selbst wenn die Berandung von Ω sehr glatt ist, kann dieses eintreten, wie wir ¨ in der auf Bemerkung 3.1.8 beruhenden Ubungsaufgabe 3.20 sehen werden. Die Untersuchung, wann bei L¨ osungen des Dirichletproblems glattes Verhalten der Ableitungen am Rande vorliegt, wird sp¨ ater breiten Raum einnehmen. Bemerkung 3.1.8. Ist Ω die Einheitskreisscheibe E := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1} , so k¨ onnen wir die auf ∂Ω = ∂E gegebene stetige Funktion g als 2π-periodische Funktion G : R → R auﬀassen, G(t) = g(cos t, sin t) (t ∈ R) , und ihre Fourierkoeﬃzienten 1 2π G(t) cos kt dt, ak := π 0

bk :=

1 π

2π

G(t) sin kt dt

(3.1)

0

bilden. Sind (r, ϕ) die Polarkoordinaten von (x, y) ∈ E, so deﬁniert nach Aufgabe 3.1 ∞

h(x, y) = H(r, ϕ) =

a0 k + r (ak cos kϕ + bk sin kϕ) 2

(3.2)

k=1

eine in E harmonische Funktion. F¨ ur r = 1 ist (3.2) die Fourierreihe von G; diese muß jedoch nicht konvergieren, da g ja nur als stetig vorausgesetzt ´r [153, §§ 1,2] l¨aßt sich G jedoch ist [153, § 18]. Nach dem Satz von Feje gleichm¨ aßig durch trigonometrische Polynome approximieren, n¨amlich durch die Folge der arithmetischen Mittel aus den Teilsummen a0

+ (ak cos kϕ + bk sin kϕ) sn (G, ϕ) := 2 n

k=1

der Fourierreihe von G, d.h. es ist lim

n→∞

s1 (G, ϕ) + . . . + sn (G, ϕ) = G(ϕ) n

gleichm¨ aßig in 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Die Partialsummen von (3.2) a0 k + r (ak cos kϕ + bk sin kϕ) 2 n

hn (x, y) = Hn (r, ϕ) =

k=1

(3.3)

3.2 Die Poissonsche Integralformel l¨ ost das Dirichletproblem f¨ ur die Kugel.

63

sind in E stetig und in E harmonisch. Dasselbe gilt dann f¨ ur ihre arithmetischen Mittel h1 (x, y) + . . . + hn (x, y) , (3.4) n die auf dem Rande ∂E nach Konstruktion gleichm¨aßig gegen G konvergieren. Nach dem ersten Harnacksatz (Korollar 3.1.3) konvergieren sie in E ullt, gleichm¨ aßig gegen ein in E harmonisches u ∈ C 0 (E), das u|∂E = g erf¨ ur also das Dirichletsche Randwertproblem Δu = 0 in E, u|∂E = g l¨ost. F¨ 0 ≤ r < 1 hat (3.4) den Grenzwert (3.2), da ja dann (3.2) selbst konvergent ist. Die Reihe (3.2) l¨ aßt sich also auf E als stetige Funktion mit den Randwerten g fortsetzen unabh¨ angig davon, ob die Fourierreihe von G konvergiert oder nicht. Einsetzen von (3.1) in (3.2) liefert nach Aufgabe 3.2 f¨ ur 0 ≤ r < 1 1 H(r, ϕ) = 2π

2π 0

1 − r2 G(t) dt . 1 − 2r cos(t − ϕ) + r2

(3.5)

Dies ist die Poissonsche Integralformel f¨ ur die Einheitskreisscheibe [266]. Prinzipiell kann man f¨ ur die Einheitskugel im RN , N ≥ 3, analog vorgehen (f¨ ur N = 3 wurde dies von Poisson in [267] gemacht), wobei man nun allerdings Kenntnisse u otigt [215, § 9]. Im n¨achsten Paragra¨ber Kugelfunktionen ben¨ phen wird die Poissonsche Integralformel in v¨ ollig anderer Weise betrachtet werden. Daß die Fourierreihe einer stetigen Funktion divergent sein kann, wurde erst 1873 von Du Bois-Reymond durch ein Beispiel belegt [55], [153, § 18]. Poissons Interpretation [268, pp. 406, 408 f.] von limr→1 H(r, ϕ) als Fourierreihe von G heißt heute Abel-Poissonsche Summationsmethode divergenter Reihen. (Der Name Abel erscheint wegen des Zusammenhangs mit dem Abelschen Grenzwertsatz, obwohl Abel die Summation divergenter Reihen fremd war.)

3.2 Die Poissonsche Integralformel l¨ ost das Dirichletproblem fu r die Kugel. ¨ Mit dem folgenden Satz erreichen wir eine explizite L¨osung des Dirichletschen Randwertproblems Δu = 0 in B,

u|∂B = g

f¨ ur die Kugel B ⊆ R . Er geht, wie in Abschnitt 3.1 bereits erw¨ahnt, auf Poisson zur¨ uck ( [266] f¨ ur N = 2, [267] f¨ ur N = 3). Sein Beweis wurde von H.A. Schwarz [302] 2 im Sinne der Weierstraßschen Strenge pr¨azisiert. N

2

Beim Wiederabdruck dieser Arbeit in seinen gesammelten Abhandlungen gab Schwarz in einem Zusatz eine geometrische Interpretation der Formel (3.5). Siehe auch [220].

64

3 Das Dirichletproblem f¨ ur harmonische Funktionen

Diese Arbeit macht auch den damaligen Stand solcher Begriﬀsbildungen wie Stetigkeit einer Funktion von zwei Ver¨ anderlichen oder gleichm¨aßige Stetigkeit deutlich. Schwarz benutzte die von B. Riemann [280] in dessen Inauguraldissertation u ¨ber Grundlagen der Funktionentheorie bewiesenen Greenschen Integralformeln, um mit einer Greenschen Funktion (vgl. Abschnitt 4.4) zun¨ achst zu einer Darstellungsformel f¨ ur Funktionen zu gelangen, die auf einer Kreisscheibe harmonisch sind (Satz 3.2.3), bevor er sich dem Beweis von Satz 3.2.1 zuwandte. Bei dieser die Lehrbuchliteratur weitgehend bestimmenden Vorgehensweise erscheint das Integral (3.7) als Spezialfall der Darstellungsformel f¨ ur Randwert Eins. Der hier gegebene Beweis verzichtet auf die Verwendung der Greenschen Funktion. Der zentrale Beweisschritt besteht nun darin, (3.7) zu etablieren. Hierzu verwenden wir die Symmetrie der Kugel und das schwache Maximum-Minimumprinzip. (F¨ ur N = 2 oder N = 3 k¨onnte das Integral sofort auf elementare Weise berechnet werden.) Eine andere M¨oglichkeit best¨ unde darin zu zeigen, daß die rechte Seite von (3.7) eine f¨ ur |x| < R harmonische Funktion ist, die nur von |x| abh¨angt, also nach dem Ergebnis von Aufgabe 2.4 eine Konstante ist [6, pp. 2, 7]. (Eine andere Beweisvariante ﬁndet man in [9, p. 14].) Satz 3.2.1 (Die Poissonsche Integralformel). Es seien B := BR (0) ⊆ RN, g : ∂B → R stetig und ⎧ |y|2 − |x|2 ⎪ ⎨ 1 g(y) dS(y) f¨ ur |x| < R |y − x|N u(x) := RωN . (3.6) ∂B ⎪ ⎩ g(x) f¨ ur |x| = R Dann ist u harmonisch in B und stetig auf B. Beweis. I. Wir wissen, daß u in B harmonisch ist, wenn wir zeigen, daß u auf jedem U ⊂⊂ B harmonisch ist. Zu U ⊂⊂ B gibt es es δ > 0, so daß |x−y| ≥ δ f¨ ur alle x ∈ U , y ∈ ∂B. Daher ist der Integrand f¨ ur festes y ∈ ∂B beliebig oft nach x ∈ U diﬀerenzierbar, und alle Ableitungen sind beschr¨ankte, stetige Funktionen von (x, y) ∈ U × ∂B. Gem¨ aß Satz A.5 ist das Integral auf U beliebig oft diﬀerenzierbar und |y|2 − |x|2 |y|2 − |x|2 Δu(x) = Δx g(y) dS(y) = Δ g(y) dS(y) . x |y − x|N |y − x|N ∂B

∂B

Nunmehr gen¨ ugt es zu zeigen, daß die Funktion x → |y − x|−N (|y|2 − |x|2 ) auf U harmonisch ist bei festem y ∈ ∂B. Es ist |y|2 − |x|2 = |y|2 − |y + (x − y)|2 = −2y · (x − y) − |x − y|2 . Daher ist f¨ ur N ≥ 3 N |y|2 − |x|2 yi 2 ∂ 1 = − − , N N −2 |y − x| 2 − N i=1 ∂xi |x − y| |x − y|N −2

3.2 Die Poissonsche Integralformel l¨ ost das Dirichletproblem f¨ ur die Kugel.

65

und f¨ ur N = 2 2

|y|2 − |x|2 ∂ = −2 yi ln |x − y| − 1 , |y − x|2 ∂x i i=1

Dies sind Summen von auf U harmonischen Funktionen, weil nach Aufgabe 2.4 die Abbildungen x → |x − y|2−N , N ≥ 3, und x → ln |x − y|, N = 2, harmonisch sind und damit auch ihre Ableitungen (vgl. Korollar 2.1.3). II. F¨ ur den Beweis der restlichen Behauptung ben¨otigen wir die Identit¨at |y|2 − |x|2 1 1= dS(y) f¨ ur |x| < R . (3.7) RωN |y − x|N ∂B

Sie ist eine einfache Konsequenz des schwachen Minimumprinzips, Satz 2.3.4. Das Integral ist n¨ amlich nach I. eine harmonische Funktion f : B → R, so daß f¨ ur < R Punkte x1 , x2 ∈ ∂B (0) existieren mit f (x2 ) ≤ f (x) ≤ f (x1 ) f¨ ur alle |x| ≤ . Zu beliebigem x , x ∈ RN mit |x | = |x | = gibt es eine orthogonale Matrix A mit x = Ax , so daß |y|2 − |Ax |2 |Ay|2 − |Ax |2 1 1 f (x ) = dS(y) = dS(y) = f (x ) RωN |y − Ax |N RωN |Ay − Ax |N ∂B

∂B

wegen der Invarianz des Integrals unter der orthogonalen Substitution y → Ay (vgl. Folgerung B.3 b)) und wegen der L¨ angenerhaltung |Az| = |z|. Also ist |y|2 1 dS(y) = 1 f¨ ur alle |x| ≤ , f (x) = f (0) = RωN |y|N |y|=R

und damit f (x) = 1 f¨ ur |x| < R. III. Es ist u ∈ C 0 (B) bewiesen, sobald nur lim u(x) = g(y0 ) f¨ ur alle y0 ∈ ∂B

x→y0 x∈B

(3.8)

gezeigt ist. Mittels der in II. gewonnenen Darstellung der Eins ist |y|2 − |x|2 1 u(x) − g(y0 ) = (g(y) − g(y0 )) dS(y) f¨ ur |x| < R . RωN |y − x|N ∂B

Zu > 0 gibt es wegen der Stetigkeit von g ein δ > 0, so daß |g(y) − g(y0 )| < /2 f¨ ur alle y ∈ ∂B mit |y − y0 | < 2δ. Zerlegt man die Integration u ¨ber ∂B gem¨ aß |y − y0 | < 2δ und |y − y0 | ≥ 2δ, so l¨aßt sich im ersten Integral der Betrag des Integranden majorisieren durch

66

3 Das Dirichletproblem f¨ ur harmonische Funktionen

|y|2 − |x|2 /2 , |y − x|N und man vergr¨ oßert weiter, wenn man anschließend wieder u ¨ber ganz ∂B integriert. Dies ergibt /2, wieder wegen der in II. gewonnenen Darstellung der Eins. Im zweiten Integral kann man |g(y) − g(y0 )| durch eine Zahl M > 0 absch¨ atzen. Man erh¨ alt so M R2 − |x|2 |u(x) − g(y0 )| ≤ + dS(y) f¨ ur |x| < R . 2 RωN |y − x|N ∂B |y−y0 |≥2δ

F¨ ur |x − y0 | < δ und |y − y0 | ≥ 2δ ist |y − x| ≥ δ und R2 − |x|2 (R + |x|)(|y0 | − |x|) 2R|y0 − x| = ≤ . N N |y − x| |y − x| δN Daher ist schließlich 2M RN −1 + |y0 − x| < 2 δN % δ N f¨ ur x ∈ B mit |x − y0 | < min δ, . 4M RN −1 |u(x) − g(y0 )| ≤

Bemerkung 3.2.2. Ist allgemeiner B die Kugel BR (x0 ) ⊆ RN , PB (x, y) :=

1 R2 − |x − x0 |2 RωN |y − x|N

(x ∈ B, y ∈ ∂B)

(diese Funktion heißt Poisson-Kern f¨ ur B) und g : ∂B → R eine meßbare und beschr¨ ankte Funktion, so zeigt der Beweis von Satz 3.2.1, daß ⎧ ⎪ ⎨ PB (x, y)g(y) dS(y) f¨ ur x ∈ B u(x) := ∂B ⎪ ⎩ g(x) f¨ ur x ∈ ∂B in B harmonisch und in jedem Stetigkeitspunkt von g stetig ist. F¨ ur N = 2 wurden die Voraussetzungen an g namentlich durch Fatou weiter abgeschw¨ acht. [279] unterrichtet dar¨ uber in historischem Kontext. Erw¨ahnenswert ist vielleicht noch, daß im Fall N = 2 das Integral in (3.6) durch eine Variablentransformation in ein Integral u uhrt werden kann, das es gestattet, ¨berf¨ die Relation (3.8) durch Vertauschen von Limes und Integral zu erschließen (vgl. [206]). Der nun folgende Satz unterscheidet sich dadurch von dem vorhergehenden, daß er nicht das Dirichletproblem l¨ ost, sondern lediglich eine Darstellung der Funktion u in der Kugel liefert, wenn u bereits u ¨ber die Kugel hinaus harmonisch ist. Diese Darstellung ist ein Analogon zur Cauchyschen Integralformel f¨ ur holomorphe Funktionen.

3.3 Perronsche L¨ osungsmethode f¨ ur beschr¨ ankte Ω

67

Satz 3.2.3. Es sei u auf Ω harmonisch und PB der Poissonkern f¨ ur B := ur alle x ∈ B BR (x0 ) ⊂⊂ Ω. Dann gilt f¨ PB (x, y)u(y) dS(y) . u(x) = ∂B

Beweis. Das Integral auf der rechten Seite deﬁniert nach Satz 3.2.1 eine Funkur die tion v, die auf BR (x0 ) harmonisch und auf BR (x0 ) stetig ist und f¨ v|∂B = u|∂B gilt. Nach Satz 3.1.1 ist v = u in B. Bemerkung 3.2.4. Wir haben Satz 3.2.1 und damit die L¨osbarkeit des Dirichletproblems f¨ ur die Kugel bewiesen, indem wir von den voraufgegangenen Ergebnissen des Buches lediglich das schwache Minimumprinzip benutzt haben. Gleiches gilt f¨ ur Satz 3.2.3. Da wir aber f¨ ur das schwache Minimumprinzip in 2.3.4 auch einen solchen Beweis gebracht haben, der keine Voruntersuchungen ben¨ otigte, insbesondere nicht von der Mittelwerteigenschaft Gebrauch machte, w¨ aren wir in der Lage gewesen, das Kapitel u ¨ber harmonische Funktionen ganz anders, n¨ amlich mit dem schwachen Minimumprinzip und dem Poissonintegral, zu er¨ oﬀnen. Man bekommt die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen aus Satz 3.2.3, indem man x = x0 spezialisiert. Die C ∞ Eigenschaft folgt ebenfalls aus diesem Satz, sogar die Analytizit¨at; siehe Aufgabe 3.4. Daß Funktionen mit Mittelwerteigenschaft harmonisch sind, ergibt sich bei einem solchen Aufbau wie folgt. In einer Kugel B gibt es nach Poisson eine harmonische Funktion h, die auf ∂B mit u u ¨bereinstimmt. Die Differenz u − h hat die Mittelwerteigenschaft, und es folgt das starke MaximumMinimumprinzip f¨ ur u − h wie zu Beginn des Abschnitts 2.3. Wendet man Satz 2.3.2 auf u − h und h − u an, so folgt aus (u − h)|∂B = 0 schon u − h = 0 auf ganz B. Somit stimmen u und h in ganz B u ¨berein, was die Harmonizit¨at von u in B beweist.

3.3 Superharmonische Funktionen und die Perronsche L¨ osungsmethode fu anktes Ω ⊆ RN ¨ r beschr¨ Zun¨ achst sei Ω ⊆ RN lediglich oﬀen. Es sei u : Ω → R stetig und B := andern jetzt u in der Kugel B ab, und zwar ersetzen wir BR (x0 ) ⊂⊂ Ω. Wir ¨ u|B durch diejenige auf B harmonische Funktion, welche auf B stetig ist und auf dem Rande von B mit u u ¨bereinstimmt. Sie wird vom Poissonintegral (Satz 3.2.1) geliefert. Verwenden wir noch die Abk¨ urzungen aus Bemerkung 3.2.2, so ist das Ergebnis die Funktion QB u : Ω → R mit ⎧ ⎨ PB (x, y)u(y) dS(y) f¨ ur x ∈ B . (QB u) (x) = ∂B ⎩ u(x) f¨ ur x ∈ Ω\B Ist u sogar auf Ω stetig, so kann die obere Festlegung f¨ ur x ∈ Ω\B erfolgen, wovon beim Beweis von Satz 3.3.6 Gebrauch gemacht wird.

68

3 Das Dirichletproblem f¨ ur harmonische Funktionen

Deﬁnition 3.3.1. Es sei Ω ⊆ RN oﬀen. u : Ω → R heißt superharmonisch ur alle Kugeln B ⊂⊂ Ω gilt. (in oder auf Ω), wenn u stetig ist und QB u ≤ u f¨ Bemerkung 3.3.2. Es sei u : Ω → R superharmonisch und B ⊂⊂ Ω eine Kugel. Ist dann h ∈ C 2 (B)∩C 0 B eine harmonische Funktion mit h = u auf ∂B, so gilt h ≤ u auf B, da ja aufgrund der Poissonschen Integralformel h = QB u auf B ist. Dies erkl¨ art die Namengebung. Andere Charakterisierungen superharmonischer Funktionen f¨ ugen wir am Schluß dieses Abschnitts an. ¨ Der Grund f¨ ur den Ubergang von harmonischen zu superharmonischen Funktionen liegt in der gr¨ oßeren Flexibilit¨ at der letzteren. Zum Beispiel ist die letzte Aussage von Satz 3.3.4, der mit Satz 3.3.3 bereits alle Aussagen u ¨ber superharmonische Funktionen etabliert, die wir f¨ ur die Perronsche Methode ben¨ otigen, f¨ ur harmonische Funktionen im allgemeinen nicht richtig. Satz 3.3.3. F¨ ur superharmonische Funktionen gilt das starke und somit auch das schwache Minimumprinzip. Konkret sind damit die beiden folgenden Aussagen gemeint. a) Sei Ω ⊆ RN oﬀen und u : Ω → R sei superharmonisch. Dann ist die Menge der Minimumstellen von u oﬀen. b) Sei Ω ⊂⊂ RN nicht leer und u ∈ C 0 (Ω) auf Ω superharmonisch. Dann liegt mindestens eine Minimumstelle von u auf dem Rand ∂Ω von Ω. Beweis. a) Es sei x0 ∈ Ω eine Minimumstelle von u. Es sei BR (x0 ) ⊂⊂ Ω, 0 < r < R und B := Br (x0 ). Dann hat w := QB u eine Minimumstelle, die in B liegt, denn es ist ja w eine stetige Funktion mit den Eigenschaften w ≤ u,

w|∂B = u|∂B .

Da w|B harmonisch ist, ist w(x) = const f¨ ur x ∈ B nach dem starken Minimumprinzip (Korollar 2.3.3). Dann ist u|∂B = const und u(x) = w(x0 ) ≤ ur x ∈ ∂B. Mithin besteht ∂B aus lauter Minimumstellen von u(x0 ) ≤ u(x) f¨ u, und dann auch BR (x0 ). b) u besitzt, da Ω kompakt ist, mindestens eine Minimumstelle x0 ∈ Ω. Liegt x0 in Ω, so folgt wie zu Beginn des Abschnitts 2.3 (vgl. Satz 2.3.2), daß u auf der Zusammenhangskomponente Z von Ω konstant ist, welche x0 enth¨alt. Somit wird das Minimum auch auf ∂Z ⊆ ∂Ω angenommen. Da ∂Z wegen der Beschr¨ anktheit von Ω nicht die leere Menge sein kann, ist die Behauptung bewiesen. Satz 3.3.4. Es sei Ω ⊆ RN oﬀen. a) Wenn u auf Ω superharmonisch ist und B ⊂⊂ Ω eine Kugel, dann ist auch QB u auf Ω superharmonisch. b) Es sei S eine nichtleere Menge auf Ω superharmonischer Funktionen. Wenn u := inf S auf Ω stetig ist, dann ist u superharmonisch auf Ω.

3.3 Perronsche L¨ osungsmethode f¨ ur beschr¨ ankte Ω

69

c) Das Minimum von endlichvielen auf Ω superharmonischen Funktionen ist superharmonisch auf Ω. Beweis. a) Es ist f¨ ur Kugeln K ⊂⊂ Ω zu zeigen, daß QK QB u ≤ QB u ist. Wegen QB u ≤ u ist QK QB u ≤ QK u nach Aufgabe 3.7 a). Ferner ist (QK u) (x) ≤ ur x ∈ / B. F¨ ur x ∈ / K ist (QK QB u) (x) = (QB u) (x). Daher u(x) = (QB u) (x) f¨ bleibt nur noch x ∈ K ∩ B zu untersuchen. Auf K ∩ B ist h := QB u − QK QB u eine harmonische Funktion. Wie wir soeben gesehen haben, ist h(x) ≥ 0 f¨ ur x ∈ ∂(K ∩ B). Aufgrund des schwachen Minimumprinzips ist daher h ≥ 0 auf K ∩ B. b) Es sei v ∈ S und B ⊂⊂ Ω eine Kugel. Dann ist u ≤ v und folglich ur alle v, also auch f¨ ur das QB u ≤ QB v. Wegen QB v ≤ v ist dann QB u ≤ v f¨ Inﬁmum u. c) Dies folgt sofort aus b), da das Minimum von endlichvielen stetigen Funktionen stetig ist. Bemerkung 3.3.5. Der zu Ende der historischen Einleitung in Kapitel 1 ´ zur L¨osung des Dirichleterw¨ ahnten m´ethode de balayage von Poincare schen Problems lagen bereits, wenn auch etwas verborgen, superharmonische Funktionen zugrunde [260, p. 234]. Explizit treten sie zum erstenmal bei Hartogs [99, § 8] auf, und zwar in Zusammenhang mit den Konvergenzradien analytischer Funktionen mehrerer komplexer Ver¨anderlichen. Die Benen´ und F. Riesz [272]; Perron selbst nung ﬁndet sich erstmals bei T. Rado spricht von Oberfunktionen. Lebesgue [176] nennt Funktionen u ∈ C 2 , die Δu ≤ 0 erf¨ ullen, superharmonisch. Im u ¨brigen sei auf die zweib¨andige Monographie [101, 102] verwiesen. Nun sei die nichtleere,oﬀene Menge Ω beschr¨ankt und g : ∂Ω → R stetig. osung des Dirichletproblems Ist dann h ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 Ω L¨ Δh = 0 auf Ω,

h = g auf ∂Ω ,

so liegt h in der Menge P (g) := v ∈ C 0 (Ω): v ist auf Ω superharmonisch, v|Ω ≤ max g, v|∂Ω ≥ g , denn jede harmonische Funktion ist superharmonisch, und es ist h ≤ max g ¨ aufgrund des schwachen Maximumprinzips. Uberdies erf¨ ullt v − h f¨ ur jedes v ∈ P (g) nach Satz 3.3.3 b) das schwache Minimumprinzip und es gilt h ≤ v f¨ ur alle v ∈ P (g). Perron [248] zeigte nun umgekehrt, daß das Inﬁmum von P (g) eine harmonische Funktion deﬁniert. (Man beachte, daß die auf Ω konstante Funktion max g in P (g) liegt und daß min g eine untere Schranke f¨ ur P (g) ist, denn wegen Satz 3.3.3 b) gen¨ ugen superharmonische Funktionen dem schwachen Minimumprinzip.) Nur drei Monate nach Perron reichte Remak den Mathematischen Annalen ein Manuskript mit dem gleichen Grundgedanken ein. Er konnte den von Perron intermedi¨ ar ben¨ otigten Lebesgueschen Integralbegriﬀ vermeiden.

70

3 Das Dirichletproblem f¨ ur harmonische Funktionen

Der Titel seiner Arbeit [276] stellt die eigenst¨ andige Rolle der superharmonischen Funktionen heraus; [277] enth¨ alt weitere Beweisvereinfachungen. Eine Ausdehnung auf allgemeine elliptische Gleichungen 2.Ordnung erfolgte durch Tautz [319] und O.A. Ole˘inik [242]. Wiener [346] sah die Chancen, die zur Weiterentwicklung seiner Idee des verallgemeinerten Dirichletproblems in Perrons Methode lagen. Ihr Ausbau durch Wiener und durch Brelot [26] hat als PWB-Methode die Verbindung von Potentialtheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie verst¨ arkt. Erw¨ ahnt sei noch, daß die Forderung der gleichm¨aßigen Beschr¨anktheit der superharmonischen Funktionen, die wir in die Deﬁnition von P (g) aufgenommen haben, im Hinblick auf Satz 2.1.9 den Beweis des nachfolgenden Perronschen Satzes 3.3.6 erleichtert. In den u ¨blichen Darstellungen wird der 2. Harnacksche Satz verwendet, ein Beweiselement, das Rad´o-Riesz [272] eingef¨ uhrt haben. N ankt und Satz 3.3.6. Ω ⊂⊂ R nicht leer, ferner g : ∂Ω → R beschr¨ Es sei 0 P (g) := v ∈ C Ω : v ist auf Ω superharmonisch, v ≤ sup g, v|∂Ω ≥ g}. Dann hat die durch

u(x) := inf{v(x) : v ∈ P (g)},

x∈Ω,

deﬁnierte Funktion u : Ω → R die Eigenschaften 1) inf g ≤ u ≤ sup g ; 2) u ist in Ω harmonisch. Beweis. u existiert, da die Menge P (g) nichtleer und nach unten beschr¨ankt ist. Die auf Ω konstante Funktion sup g liegt ja in P (g), und aus Satz 3.3.3 folgt, daß inf g ≤ v f¨ ur alle v ∈ P (g) gilt. Dies beweist 1). F¨ ur jede Kugel B ⊂⊂ Ω zeigen wir nun QB u ≤ u und u ≤ QB u, was dann nach Aufgabe 3.6 Aussage 2) impliziert. F¨ ur die erste Ungleichung gen¨ ugt es nach Satz 3.3.4 b), die Stetigkeit von u nachzuweisen. F¨ ur jedes v ∈ P (g) ist nach Satz 3.3.4 a) vB := QB v superharmonisch, also vB ≤ v ≤ sup g .

(3.9)

Da vB (x) = v(x) ≥ g(x) f¨ ur alle x ∈ ∂Ω, gilt also vB ∈ P (g) .

(3.10)

inf g ≤ u ≤ vB .

(3.11)

Insbesondere ist daher

Die harmonischen vB |B sind also auf B gleichgradig beschr¨ankt. Nach Satz 2.1.9 sind sie auf der kleineren Kugel B ⊂⊂ B gleichgradig gleichm¨aßig stetig, ur x, y ∈ B , und so gibt es zu > 0 ein δ > 0, so daß |vB (x) − vB (y)| < 2 ist f¨ |x − y| < δ, und f¨ ur alle v ∈ P (g). Zu y ∈ B und > 0 gibt es nach Deﬁnition

3.3 Perronsche L¨ osungsmethode f¨ ur beschr¨ ankte Ω

des Inﬁmums ein v ∈ P (g), mit dem v(y) < u(y) + wegen (3.11) und (3.9) f¨ ur alle x ∈ Bδ (y) ∩ B u(x) − u(y) < u(x) − v(y) +

2

71

ist. Folglich haben wir

≤ vB (x) − vB (y) + < 2 2

und ebenso u(y) − u(x) < . Daher ist u stetig in B und damit auch in Ω. Nun zum Nachweis von u ≤ QB u. Weil u das Inﬁmum von P (g) ist, gibt es zu x ∈ Ω und > 0 ein v ∈ P (g) mit v(x) ≤ u(x) +

. 3

Da u und v stetig sind, gibt es eine Kugel B (x) ⊆ Ω, so daß |u(y) − u(x)| <

3

und |v(y) − v(x)| <

3

allt. Es ist also f¨ ur alle y ∈ B (x) ausf¨ v(y) = v(y) − v(x) + v(x) < + u(x) + < u(y) + 3 3

f¨ ur alle y ∈ B (x). Jede Kugel B ⊂⊂ Ω l¨ aßt sich mit endlichvielen derartigen Kugeln B u origen Funktionen in P (g) seien v1 , . . . , vn . Wir ¨berdecken, und die zugeh¨ setzen w := min1≤i≤n vi und haben w(y) ≤ u(y) + f¨ ur alle y ∈ B. Nach Satz 3.3.4 c) ist w ∈ P (g), mithin nach (3.10) wB ∈ P (g). F¨ ur alle y ∈ B ist daher nach Aufgabe 3.7 a) und b) u(y) ≤ wB (y) ≤ (QB (u + )) (y) = (QB u)(y) + . Mithin ist u ≤ QB u.

Auch bei stetigem g : ∂Ω → R kann man ohne eine Voraussetzung an den Rand ∂Ω nicht erwarten, daß die harmonische Funktion u aus Satz 3.3.6 sich aßt und auf ∂Ω gleich g ist. Gegenbeispiele werden stetig auf Ω fortsetzen l¨ wir im Abschnitt 3.5 kennenlernen. Bemerkung 3.3.7. Betrachten wir f¨ ur Ω ⊂⊂ RN und x0 ∈ ∂Ω speziell die ur x ∈ ∂Ω. Wenn es eine harmonische Funktion Funktion g(x) := |x − x0 | f¨ h ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) mit h = g auf ∂Ω gibt, so hat diese die Eigenschaft h > 0 urlich h(x0 ) = 0). Da sie ja keine Konstante ist, nimmt auf Ω\{x0 } (und nat¨ sie aufgrund des starken Minimumprinzips ihr Minimum allein an der Stelle x0 an. Dies motiviert folgende Begriﬀsbildung (vgl. auch Bemerkung 3.3.11), die wir gleich so anlegen, daß sie auch im Abschnitt 3.6 f¨ ur unbeschr¨ankte Gebiete verwendet werden kann.

72

3 Das Dirichletproblem f¨ ur harmonische Funktionen

Deﬁnition 3.3.8. Es sei Ω ⊆ RN oﬀen und x0 ∈ ∂Ω. Eine Funktion b ∈ ur Ω im Punkt x0 , wenn sie superharmonisch in C 0 (Ω) heißt eine Barriere f¨ Ω ist und die Eigenschaften b(x) > 0

f¨ ur x ∈ Ω\{x0 },

b(x0 ) = 0

arer Randpunkt, wenn es eine Barriere f¨ ur Ω im Punkt besitzt. x0 heißt regul¨ x0 gibt. ankt und u Satz 3.3.9. Es seien Ω ⊂⊂ RN nicht leer, g : ∂Ω → R beschr¨ arer die harmonische Funktion aus Satz 3.3.6. Ist dann x0 ∈ ∂Ω ein regul¨ Randpunkt und g stetig in x0 , so gilt lim u(x) = g(x0 ) .

x→x0 x∈Ω

ur x ∈ ∂Ω mit Beweis. Zu > 0 gibt es ein δ0 > 0, so daß |g(x) − g(x0 )| < 2 f¨ ur Ω im Punkt x0 . F¨ ur c > 0 und |x − x0 | < δ0 . Es sei nun b eine Barriere f¨ x ∈ Ω setzen wir u± (x) := g(x0 ) ± + cb(x) 2 und haben dann f¨ ur alle x ∈ ∂Ω, die |x − x0 | < δ0 erf¨ ullen, − [g(x) − g(x0 )] + cb(x) ≥ 0 , 2 u− (x) − g(x) = − − [g(x) − g(x0 )] − cb(x) ≤ 0 . 2 u+ (x) − g(x) =

(3.12) (3.13)

Da b stetig und auf der kompakten Menge K := ∂Ω\Bδ0 (x0 ) positiv ist, gibt es ein k > 0 mit b(x) ≥ k f¨ ur alle x ∈ K. Die Ungleichungen (3.12) und (3.13) gelten daher auch f¨ ur x ∈ K, wenn wir c := k2 sup |g| w¨ahlen. u+ ist eine auf Ω superharmonische Funktion mit der Eigenschaft u+ ≥ g auf ∂Ω. Mit Satz 3.3.4 c) erhalten wir daher min {u+ , sup g} ∈ P (g) und daher ur u ≤ min {u+ , sup g} ≤ u+ auf Ω. Des weiteren ist nach Aufgabe 3.7 b), c) f¨ alle v ∈ P (g) die Funktion v + (−u− ) auf Ω superharmonisch mit v − u− ≥ g − g = 0 auf ∂Ω. Mit Satz 3.3.3 erhalten wir daher u− ≤ v und somit u− ≤ u auf Ω, insgesamt also f¨ ur x ∈ Ω + cb(x) ≤ u(x) − g(x0 ) ≤ + cb(x) . (3.14) − 2 2 Wegen b(x0 ) = 0 und der Stetigkeit von b gibt es nun ein δ > 0, so daß ur x ∈ Ω mit |x − x0 | < δ. 0 < cb(x) < 2 f¨ Mit Satz 3.3.9 haben wir schließlich eine hinreichende Bedingung an Ω gefunden, um die Existenz einer L¨ osung des in der Einf¨ uhrung beschriebenen Dirichletproblems f¨ ur beliebig vorgegebene stetige Randdaten nachweisen zu k¨onnen. Aus Bemerkung 3.3.7 ergibt sich zudem die Notwendigkeit dieser Bedingung. Die Eindeutigkeit der L¨ osungen wurde bereits mit Satz 3.1.1 festgestellt. Zusammenfassend gilt:

3.3 Perronsche L¨ osungsmethode f¨ ur beschr¨ ankte Ω

73

Satz 3.3.10. Es sei Ω ⊂⊂ RN nicht leer. a) Ist jeder Randpunkt von Ω regul¨ ar, so besitzt das Dirichletproblem f¨ ur die Laplacegleichung Δu = 0 auf Ω ;

u|∂Ω = g

(3.15)

f¨ ur jedes vorgegebene stetige g : ∂Ω → R eine eindeutige L¨ osung u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω). b) Besitzt das Dirichletproblem (3.15) f¨ ur jedes stetige g : ∂Ω → R eine L¨ osung, so ist jeder Randpunkt von Ω regul¨ ar. Bemerkung 3.3.11. Das Dirichletproblem hat also genau dann f¨ ur jedes stetige Randdatum eine L¨ osung, wenn jeder Randpunkt eine Barriere besitzt. Dieses Resultat stammt von Lebesgue [176], der in [172] auch den Namen Barriere pr¨ agte; die Benennung erkl¨ art sich aus Ungleichung (3.14). Barrieren ´ bei seiner m´ethode de balayage ben¨ wurden bereits von Poincare utzt [260, pp. 224, 228ﬀ.]. Wiener charakterisierte regul¨are Randpunkte mit Hilfe des von ihm in [344] eingef¨ uhrten Begriﬀs der Kapazit¨at einer Menge. Zeitgleich gab Bouligand eine verwandte Beschreibung, und die beiden Arbeiten erschienen, getrennt durch eine Bemerkung von Lebesgue, hintereinander im selben Band der Comptes Rendus [24, 345] . Die L¨ osbarkeit des Dirichletproblems f¨ ur eine Kugel diente in Aufgabe 3.3 dazu zu zeigen, daß Funktionen, die eine abgeschw¨achte Form der Mittelwer¨ teigenschaft besitzen, harmonisch sind. Ahnlich einfach beweist man ur jede stetiSatz 3.3.12. Es sei Ω ⊂⊂ RN , und es seidas Dirichletproblem f¨ ge Randfunktion l¨ osbar. Dann ist u ∈ C 0 Ω bereits dann harmonisch in Ω, wenn u die eingeschr¨ ankte Mittelwerteigenschaft besitzt, d.h. zu jedem x ∈ Ω ur die u der Mittelwertrelation auch nur eine Kugel Br (x) ⊂⊂ Ω existiert, f¨ 1 u(y) dS(y) u(x) = N −1 r ωN ∂Br (x)

gen¨ ugt.

Beweis. Sei h ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 Ω die in Ω harmonische Funktion mit h|∂Ω = ugt zu zeigen, daß eine Funktion f ∈ C 0 Ω mit der eingeu|∂Ω . Es gen¨ schr¨ ankten Mittelwerteigenschaft ihr Maximum auf dem Rande annimmt. Wendet man dies auf u − h und h − u an, so folgt u = h. Wenn M := max f nicht auf ∂Ω angenommen wird, gibt es in der kompakten Menge K := {x ∈ Ω : f (x) = M } einen Punkt a minimalen Abstands von ∂Ω. Zu diesem a existiert ein r mit Br (a) ⊂⊂ Ω und 1 [M − f (y)] dS(y) = 0 . rN −1 ωN ∂Br (a)

Also ist ∂Br (a) ⊂ K, was der Bedeutung von a widerspricht.

74

3 Das Dirichletproblem f¨ ur harmonische Funktionen

Satz 3.3.12 geht im wesentlichen auf Volterra [329] und Vitali [328] zur¨ uck. Zu diesem Fragenkreis existiert eine umfangreiche Literatur, f¨ ur die wir auf [221] verweisen. F¨ ur superharmonische Funktionen hat man analog zu Satz 2.1.1 und Aufgabe 3.3 folgende Aussagen. aquivalent: Satz 3.3.13. Es sei Ω ⊆ RN oﬀen und u ∈ C 0 (Ω). Dann sind ¨ 1) u ist superharmonisch in Ω.

2) |y−x|= u(y) dS(y) ≤ N −1 ωN u(x) f¨ ur alle Kugeln B (x) ⊂⊂ Ω.

ur alle Kugeln Br (x) ⊂⊂ Ω. 3) |y−x|≤r (u(y) − u(x)) dy ≤ 0 f¨ 4) Zu jedem x ∈ Ω gibt es eine Nullfolge (rj ) mit Brj (x) ⊂⊂ Ω und

(u(y) − u(x)) dy ≤ 0 f¨ ur alle j ∈ N. |y−x|≤rj Beweis. Aus 1) folgt 2); denn f¨ ur B := B (x) ⊂⊂ Ω ist (QB u) (x) ≤ u(x), und nach Deﬁnition ist 2 1 u(y) dS(y) ≤ u(x) . (QB u) (x) = ωN |y−x|= N Also gilt 2). Es folgt 3) aus 2) durch Multiplikation von 2) mit N −1 ωN und Integration u ¨ber 0 ≤ ≤ r. Es ist 4) eine triviale Abschw¨achung von 3). Um nun von 4) zu QB u ≤ u in 1) zu gelangen, sei B ⊂⊂ Ω eine Kugel, und wir ur alle setzen h := QB u. Es sei x ∈ B eine Minimumstelle von (u − h)|B . F¨ j ∈ N mit Brj (x) ⊂⊂ B gilt {(u − h)(y) − (u − h)(x)} dy |y−x|≤rj

=

(u(y) − u(x)) dy −

|y−x|≤rj

(h(y) − h(x)) dy ≤ 0 ,

|y−x|≤rj

da auf u die Aussage 4) zutriﬀt und weil das mit harmonischem h gebildete Integral nach der 2. Mittelwerteigenschaft Null ist. Folglich besteht Brj (x) aus lauter Minimumstellen von (u−h)|B . Somit ist die Menge der Minimumstellen in B oﬀen und relativ abgeschlossen, also leer oder ganz B. Wegen (u−h)|∂B = 0 folgt QB u ≤ u. F¨ ur eine Charakterisierung superharmonischer Funktionen u ∈ C 2 (Ω) siehe Aufgabe 3.8. Interessanterweise hat der f¨ ur harmonische Funktionen g¨ ultige Satz vom Liouvilleschen Typ (siehe Korollar 2.2.2) keine vollst¨andige Entsprechung bei superharmonischen Funktionen. Zum Beispiel ist die Funktion x → 2−N 2 ur N ≥ 3 kon|x| + 1 2 auf RN superharmonisch und beschr¨ankt, ohne f¨ stant zu sein. In der Ebene gilt jedoch

¨ 3.4 Uber den lokalen Charakter der Barrierenforderung. Kriterien.

75

Satz 3.3.14. Es sei u ∈ C 2 (R2 ) superharmonisch und nach unten beschr¨ ankt. Dann ist u konstant. Beweis. Wir folgen einem Argument von E. Heinz in [105]. Nach Aufgabe 3.8 ist Δu ≤ 0, so daß die Funktion v := e−u die Eigenschaft Δv = e−u |∇u|2 − Δu ≥ e−u |∇u|2 hat. Da nach Aufgabe 2.6 f¨ ur alle R > 0 die Identit¨at R 1 ln Δv(y) dy 0 ≤ ω2 v(0) = v(y) dS(y) − R |y| |y|=R

|y|
besteht, haben wir f¨ ur 0 < r < R < ∞ die Ungleichungen R R −u(y) −u(y) 2 ln ln e e |∇u(y)| dy ≤ |∇u(y)|2 dy r |y| |y|
≤

|y|
|y|
R R 1 ln ln Δv(y) dy ≤ Δv(y) dy ≤ e−u(y) dS(y) . |y| |y| R |y|
|y|=R

Mit geeignetem C ∈ R ist daher 2πe−C e−u(y) |∇u(y)|2 dy ≤ . ln Rr |y|
Bilden wir bei festem r > 0 den Limes R → ∞, so folgt die Behauptung.

¨ 3.4 Uber den lokalen Charakter der Barrierenforderung. Kriterien. Es sei Ω ⊂⊂ RN und x0 ∈ ∂Ω. Wir zeigen jetzt, daß die Existenz einer Barriere f¨ ur Ω im Punkt x0 nicht von der globalen Struktur von Ω abh¨angt. Dies und die folgenden hinreichenden Kriterien, Satz 3.4.2 und 3.4.3, zur Existenz ´ zur¨ von Barrieren gehen auf Poincare uck [260, pp. 224, 228ﬀ.]. Dennoch wird das Kriterium in Satz 3.4.3 meist nach Zaremba [353, p. 238] benannt, gelegentlich auch als Kriterium von Poincar´e-Zaremba bezeichnet. Satz 3.4.1. Es seien Ω ⊂⊂ RN , x0 ∈ ∂Ω, r > 0. Es existiert genau dann eine Barriere zu Ω in x0 , wenn eine Barriere zu Ω ∩ Br (x0 ) in x0 existiert. Beweis. Daß jede Barriere zu Ω in x0 Barriere zu Ω ∩ Br (x0 ) in x0 ist, ist selbstverst¨ andlich. Sei jetzt c Barriere zu Ω ∩ Br (x0 ) in x0 und r ν := inf c(x) : x ∈ Ω ∩ Br (x0 ), |x − x0 | ≥ . 2

76

3 Das Dirichletproblem f¨ ur harmonische Funktionen

Wegen Ω ∩Br (x0 ) ⊆ Ω ∩ Br (x0 ) ist ν > 0, und man deﬁniert b : Ω → R durch b(x) :=

min{c(x), ν} ν

f¨ ur x ∈ Ω ∩ Br (x0 ) . sonst in Ω

Solches b hat trivialerweise die Eigenschaften b(x) > 0 f¨ ur x ∈ Ω\{x0 },

b(x0 ) = 0 .

Da Stetigkeit in Ω und Superharmonizit¨ at in Ω beides lokale Eigenschaften sind (letzteres nach Satz 3.3.13, Nr.4), gen¨ ugt es zu zeigen, daß zu jedem a ∈ Ω bzw. a ∈ Ω eine Kugel B (a) existiert, so daß b in Ω ∩ B (a) stetig bzw. in Ω ∩ B (a) superharmonisch ist. Man kann > 0 so klein w¨ahlen, daß nur folgende zwei F¨ alle zu betrachten sind. 1. Fall: B (a) ⊆ Br (x0 ). Dann ist b in Ω ∩ B (a) stetig und in Ω ∩ B (a) superharmonisch als Minimum von zwei in Ω ∩ Br (x0 ) stetigen bzw. in Ω ∩ Br (x0 ) superharmonischen Funktionen. 2. Fall: B (a) ∩ B r2 (x0 ) ist leer. Es sei x ∈ Ω ∩ B (a). Dann ist b(x) = ν oder x ∈ Ω ∩ Br (x0 ). Auch im letzteren Fall gilt wieder b(x) = ν, denn es ist ja |x − x0 | ≥ 2r , also ν ≤ c(x). Mithin ist b in Ω ∩ B (a) konstant, also trivialerweise stetig und in Ω ∩ B (a) superharmonisch. Satz 3.4.2. Es habe Ω ⊂⊂ RN in x0 ∈ ∂Ω die ¨ außere Kugeleigenschaft, d.h. es gebe eine Kugel Br (a), so daß Ω ∩ Br (a) = {x0 } ist. Dann gibt es eine Barriere zu Ω in x0 . Beweis. Es ist r = |x0 − a|. F¨ ur x ∈ RN \{a} deﬁnieren wir b(x) :=

r2−N − |x − a|2−N , falls N ≥ 3 ln |x − a| − ln r

, falls N = 2

.

Nach Aufgabe 2.4 ist b harmonisch auf RN \{a}, insbesondere also stetig auf Ω und superharmonisch auf Ω. Nach Wahl von r ist b(x0 ) = 0. Nach Vorausur diese x setzung hat jedes x ∈ Ω\{x0 } die Eigenschaft |x − a| > r. Also ist f¨ die geforderte Ungleichung b(x) > 0 erf¨ ullt. Der Beweis des nachfolgenden Satzes wurde E. Wienholtz etwa um 1980 von H. Steinlein und J. Voigt mitgeteilt. Satz 3.4.3. Es habe Ω ⊂⊂ RN , N ≥ 3, in x0 ∈ ∂Ω die ¨außere Kegeleigenschaft, d.h. es gebe einen geraden Kreiskegel C(x0 , s, ξ, h) ⊂⊂ RN mit Spitze ¨ s, Achsenrichtung ξ und H¨ ohe h, so daß Ω ∩ C(x0 , s, ξ, h) = in x0 , Oﬀnung {x0 } ist. Dann hat Ω in x0 eine Barriere. Beweis. Wenn es einen solchen (kleinen) Kegel C(x0 , s, ξ, h) gibt, dann liegt der unendliche Kegel C(x0 , s, ξ, ∞) außerhalb von Ω∩BR (x0 ), wenn nur R > 0

¨ 3.4 Uber den lokalen Charakter der Barrierenforderung. Kriterien.

77

hinreichend klein ist. Nach Satz 3.4.1 gen¨ ugt es aber, eine Barriere in x0 zu Ω ∩ BR (x0 ) zu ﬁnden. Daher d¨ urfen wir annehmen, daß Ω ∩ C(x0 , s, ξ, ∞) = {x0 } ist. Die Diﬀerentialgleichung Δu = 0 ist gegen¨ uber Translationen und orthogonalen Transformationen der unabh¨ angigen Ver¨ anderlichen invariant (s. Aufgabe 2.2); wir d¨ urfen daher annehmen, daß x0 = 0 und ξ = (1, 0, . . . , 0) ist. Wir beschreiben ¨ den unendlichen Kegel mit der Oﬀnung s, 0 < s < 1, durch & & C := Bst (tξ) = {x ∈ RN : |x − tξ| < st} . t>0

Sodann deﬁnieren wir

t>0

b(x) :=

1

tr t2−N − |x − tξ|2−N dt

0

mit einer Zahl r aus dem Intervall N − 3 < r < N − 2. Oﬀensichtlich wird b ¨ als Uberlagerung solcher Barrieren deﬁniert, die bei dem Poincar´e-Kriterium auftraten. Da Ω ∩ BR (0) ⊆ RN \C, Ω ∩BR (0) ⊆ RN \C und weil ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit 0 < R < 1 gew¨ ahlt werden kann, gen¨ ugt es zu zeigen, daß durch b eine in RN \C stetige und in RN \C harmonische Funktion deﬁniert wird, die auf B1 (0) \ (C ∪ {0}) bei geeigneter Wahl von r nur positive Werte annimmt. Dazu dienen drei Absch¨ atzungen, die f¨ ur 0 < t < ∞ und x ∈ RN \C gelten:

t

r

t2−N

|x − tξ| ≥ st , − |x − tξ|2−N ≥ −|x|(N − 2)s2−N tr−N +1 , s |x − tξ| ≥ |x| . 2

(3.16) (3.17) (3.18)

W¨ ahrend (3.16) selbstverst¨ andlich ist, ergibt sich (3.17) so: Es ist |x − tξ|N −2 − tN −2 tr t2−N − |x − tξ|2−N = tr N −2 t |x − tξ|N −2 N −3

|x − tξ| − t = t N −2 |x − tξ|N −3−i ti t |x − tξ|N −2 i=0 r

≥ tr (t − |x| − t)t2−N

N −3

i=0

ti , |x − tξ|i+1

und daraus folgt (3.17); denn nach (3.16) ist |x−tξ|−j ≤ (st)−j ≤ s2−N t−j f¨ ur 1 ≤ j ≤ N − 2. Die Ungleichung (3.18) folgt sofort aus (3.16), wenn t ≥ 12 |x| ist. F¨ ur 0 < t < 12 |x| ist aber |x − tξ| ≥ |x| − t ≥

s 1 |x| ≥ |x| . 2 2

78

3 Das Dirichletproblem f¨ ur harmonische Funktionen

Aus (3.16) folgt nicht nur die Existenz von b(x) f¨ ur x ∈ RN \C, sondern auch, daß der Integrand f¨ ur diese x eine von x unabh¨angige und u ¨ber 0 < t < 1 integrable Majorante hat, wenn r > N − 3 ist: r 2−N t t − |x − tξ|2−N ≤ tr+2−N 1 + s2−N . Da der Integrand u ¨berdies bei festem t ∈ (0, 1) stetig in x ∈ RN \C ist, 0 N folgt b ∈ C (R \C) (siehe Satz A.5). Des weiteren ist der Integrand bei festem t ∈ (0, 1) harmonisch. Da f¨ ur x ∈ U ⊂⊂ RN \C die Ungleichung ullt ist, kann b unter dem Integralzeichen beliebig |x − tξ| ≥ dist(U, C) > 0 erf¨ oft diﬀerenziert werden, so daß b auf RN \C harmonisch ist. Es ist also b auf Ω stetig und auf Ω harmonisch, insbesondere also superharmonisch, ferner b(0) = 0. F¨ ur x ∈ B1 (0) \ (C ∪ {0}) liefern die Ungleichungen (3.17) und (3.18) b(x) ≥

|x|

t

r−N +2

0

≥ |x|r−(N −3)

dt − 0

|x|

t |x − tξ| r

2−N

dt − |x|(N − 2)s

1

2−N

tr−N +1 dt |x|

1 1 s 2−N N − 2 2−N − s − r − (N − 3) r + 1 2 N −2−r

,

und die eckige Klammer wird positiv, wenn r ∈ (N − 3, N − 2) hinreichend nahe bei N − 3 gew¨ ahlt wird. Bemerkung 3.4.4. F¨ ur N = 2 hat man schon dann eine Barriere zu Ω in aßig stetigen Kurve φ : (0, 1) → R2 x0 ∈ ∂Ω, wenn x0 Endpunkt einer gleichm¨ ist, die außerhalb Ω verl¨ auft und die eine kleine punktierte Kreisscheibe B˙ (x0 ) := B (x0 )\{x0 } zu einer einfach zusammenh¨angenden Menge aufschneidet: Ohne Einschr¨ ankung d¨ urfen wir x0 = 0, 0 < < 1 annehmen, und wir fassen B˙ (0)\φ ((0, 1)) als einfach zusammenh¨angende Teilmenge der komplexen Ebene C auf. Darin ist z → (ln z)−1 holomorph, also mit harmonischem Realteil. Dann deﬁniert b(x, y) := − Re[(ln z)−1 ] mit z = x + iy eine Barriere zu Ω ∩ B (0) in 0; nach Satz 3.4.1 gibt es eine Barriere zu Ω in 0.

3.5 Behebbare Singularit¨ aten. Dirichletprobleme ohne L¨ osung. Klassisch ist der Riemannsche Hebbarkeitssatz [280, § 12]: Jede auf der punktierten Kreisscheibe holomorphe und beschr¨ ankte Funktion besitzt eine eindeutig bestimmte holomorphe Fortsetzung auf die ganze Kreisscheibe. Analoge Aussagen wurden erstmals von Christoffel [39] f¨ ur harmonische Funktionen im R3 erhalten, wenn die Ausnahmemengen Punkte oder geeignete Kurven sind. (F¨ ur eine Analyse dieser Arbeit siehe [27].) H.A. Schwarz [302, § 8, 12] studierte das Problem bei seinem Beweis der Poissonschen Integralformel in der Ebene, und in der Tat ben¨ otigt man solche Aussagen f¨ ur sein

3.5 Behebbare Singularit¨ aten. Dirichletprobleme ohne L¨ osung.

79

im Abschnitt 1.4 erw¨ ahntes alternierendes Verfahren zur L¨osung des Dirichletproblems. Der nachfolgende Satz 3.5.1 ist durch eine Bemerkung von Lebesgue [175] inspiriert; sein Korollar 3.5.2 stammt im Falle ξ ∈ ∂Ω von Zaremba [352]. Satz 3.5.1. Es sei Ω ⊂⊂ RN nicht leer, es sei T ⊆ Ω, und Ω\T sei oﬀen. Es sei u : Ω\T → R eine Funktion mit folgenden Eigenschaften: (i) u ist harmonisch in Ω\T ; (ii) f¨ ur alle x0 ∈ ∂Ω\T gilt u(x) → 0, wenn x in Ω\T gegen x0 strebt; ur alle (iii) es gibt eine harmonische Funktion wT : Ω\T → (0, ∞) so, daß f¨ |u(x)| ξ ∈ T gilt wT (x) → 0, wenn x in Ω\T gegen ξ strebt. Dann ist u = 0. Beweis. Angenommen, es existiere ein a ∈ Ω\T mit u(a) = 0, also ohne Einschr¨ ankung u(a) > 0. Man w¨ ahle μ > 0 so klein, daß μ [1 + wT (a)] < u(a) ist. Wir deﬁnieren auf Ω \ T die Hilfsfunktionen g := μ(1 + wT ) − u und h := u/(1 + wT ) sowie die Menge Z := {x ∈ Ω\T : g(x) < 0} = {x ∈ Ω\T : h(x) > μ} , die oﬀen und wegen a ∈ Z nicht leer ist. Aus ∂(Ω \T ) ⊆ ∂Ω ∪T = (∂Ω \T )∪T folgt mit (ii) und (iii), daß f¨ ur jede Folge (xj ) in Ω \ T , die gegen ein y0 ∈ ∂(Ω \ T ) strebt, schon gilt limj→∞ h(xj ) = 0. Wegen h|∂Z ≥ μ > 0 sind somit ∂Z und ∂(Ω \ T ) disjunkt, und es folgt Z ⊆ Ω \ T . Da g harmonisch ist, k¨onnen wir nun das schwache Minimumprinzip auf g|Z anwenden und erhalten ur alle z ∈ Z. Dies steht im Widerspruch zur wegen g|∂Z = 0, daß g(z) ≥ 0 f¨ Deﬁnition von g. Korollar 3.5.2. Es sei Ω ⊂⊂ RN und ξ ∈ Ω. Ist dann u ∈ C 0 (Ω\{ξ}) eine auf Ω\{ξ} beschr¨ ankte harmonische Funktion mit der Eigenschaft u|∂Ω\{ξ} = 0, so ist u = 0. Beweis. In Satz 3.5.1 w¨ ahle man T = {ξ} und wT (x) =

|x − ξ|2−N f¨ ur N ≥ 3 |x−ξ| − ln diam ur N = 2 Ω f¨

.

Korollar 3.5.3 (Hebbarkeitssatz). Es sei Ω ⊂⊂ RN und ξ ∈ Ω. Wenn u : Ω \ {ξ} → R harmonisch und beschr¨ ankt ist, dann stimmt u in Ω \ {ξ} mit einer in Ω harmonischen Funktion u ¨berein. Beweis. Es gibt eine Kugel B (ξ) ⊂⊂ Ω. Weil man nur zeigen muß, daß sich u in ξ so erg¨ anzen l¨ aßt, daß u ugt ¨berall lokal die Laplacegleichung besteht, gen¨

80

3 Das Dirichletproblem f¨ ur harmonische Funktionen

es, zu zeigen, daß u in B (ξ) \ {ξ} mit einer in B (ξ) harmonischen Funktion u ¨bereinstimmt. Es sei v ∈ C 0 (B (ξ)) die, etwa durch das Poissonintegral vermittelte, in B (ξ) harmonische Funktion, die auf ∂B (ξ) mit u u ¨bereinstimmt. Nach Korollar 3.5.2 ist daher u − v = 0 auf B (ξ) \ {ξ}. Im Abschnitt 5.2 werden wir eine genaue Beschreibung des Verhaltens insbesondere positiver harmonischer Funktionen in der N¨ahe einer isolierten Singularit¨ at geben. Eine weitere unmittelbare Folge aus Satz 3.5.1 ist Korollar 3.5.4. Es sei Ω ⊂⊂ RN nicht leer, und g : ∂Ω → R sei beschr¨ ankt. Es sei T die Menge der Punkte aus ∂Ω, in denen g unstetig ist oder in denen keine Barriere zu Ω existiert. Wenn es dann eine harmonische Funktion wT : Ω → (0, ∞) mit lim wT (x) = ∞

x→ξ x∈Ω

f¨ ur alle ξ ∈ T gibt, so ist die Perronsche Funktion u : Ω → R aus Satz 3.3.6 die einzige beschr¨ ankte harmonische Funktion mit lim u(x) = g(x0 )

x→x0 x∈Ω

f¨ ur alle x0 ∈ ∂Ω\T .

(3.19)

Bemerkung 3.5.5. Man kann auf die Forderung der Beschr¨anktheit in Korollar 3.5.2 nicht ersatzlos verzichten, wie das folgende von H.A. Schwarz stammende Beispiel zeigt [302, p. 236]. Auf der oﬀenen Einheitskreisscheibe E deﬁniert u(x, y) :=

1 − (x2 + y 2 ) (1 + x)2 + y 2

eine harmonische Funktion, denn mit z = x + iy gilt u(x, y) = Re 1−z 1+z . Setzt man T := {(−1, 0)}, so ist u ∈ C 0 (E\T ) und u|∂E\T = 0. Bemerkung 3.5.6. Korollar 3.5.4 gestattet es, a priori von der Beschr¨anktheit eines harmonischen u : Ω → R mit der Eigenschaft (3.19) auf inf g ≤ u ≤ sup g zu schließen, was f¨ ur die Schwarzsche Methode des alternierenden Verfahrens von Bedeutung ist. Hier treten als T im Falle N = 2 isolierte Punkte auf, im Falle N = 3 Kurven auf der 2-dimensionalenRandmannigP faltigkeit von Ω. F¨ ur N = 2 l¨ aßt sich dann wT (x) = const − i=1 ln |x − ξi | angeben, im Falle N ahle man f¨ ur wT (x) das u ¨ber T erstreckte Kurven = 13 w¨ dTξ . Entsprechendes gilt f¨ ur N > 3, wenn T eine integral wT (x) = T |x−ξ| (N −2)-dimensionale Mannigfaltigkeit auf ∂Ω ist, u ¨ber die sich ξ → |x−ξ|2−N integrieren l¨ aßt.

3.5 Behebbare Singularit¨ aten. Dirichletprobleme ohne L¨ osung.

81

Bemerkung 3.5.7. Ein leichtes, wenn auch etwas k¨ unstliches Beispiel f¨ ur ein Dirichletproblem ohne L¨ osung l¨ aßt sich mit 1 , falls x = 0 Ω := B1 (0)\{0}, g(x) := 0 , falls |x| = 1 bilden. Es stammt von Zaremba [353, p. 199f.]. H¨atte es eine L¨osung u ∈ are nach Korollar 3.5.2 u = 0 auf Ω\{0}, aufgrund der C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω), so w¨ Stetigkeit von u also auch u(0) = 0 im Widerspruch zu u(0) = g(0) = 1. F¨ ur N = 2 k¨ onnte man auch mit dem eingangs genannten Riemannschen Hebbarkeitssatz argumentieren. Erw¨ ahnt sei noch, daß Methoden der komplexen Funktionentheorie es gestatten, das Dirichletproblem f¨ ur jedes beschr¨ ankte einfach zusammenh¨ angende Gebiet in der Ebene zu l¨osen [278, Kap. 8, speziell p. 160]. Das nachfolgende Beispiel eines (einfach zusammenh¨angenden) Gebietes ur das das Dirichletproblem keine L¨ osung besitzt, stammt von Leim R3 , f¨ besgue [173]. Es zeigt u ¨berdies, daß man nicht mehr weit u ¨ber die ¨außere Kegeleigenschaft in Satz 3.4.3 hinausgehen kann, um noch die Existenz von Barrieren zu sichern. Satz 3.5.8. Es sei 1 D := (x, y, z) ∈ R3 : 0 < x < ∞, y 2 + z 2 < e− x der Lebesguesche Dorn mit Spitze in 0 := (0, 0, 0) und Ω := B1 (0)\D. Die Funktion 1 t dt, (x, y, z) ∈ R3 \([0, 1] × {0} × {0}) , v(x, y, z) := 2 (t − x) + y 2 + z 2 0 hat die folgenden Eigenschaften: 1) 2) 3) 4)

v ist in Ω harmonisch und in Ω\{0} stetig; aßt sich nicht stetig auf Ω fortsetzen; v|Ω l¨ aßt sich zu einer auf ∂Ω stetigen Funktion fortsetzen; v|∂Ω\{0} l¨ v ist in Ω beschr¨ ankt.

Aus diesen vier Eigenschaften folgt in Kombination mit Korollar 3.5.2 sofort, daß es keine in Ω harmonische Funktion u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) mit are aufgrund dieses Korollars ja u − v = 0 auf u|∂Ω = v|∂Ω gibt. Andernfalls w¨ Ω\{0}, wegen der Stetigkeit von u auf Ω also v doch auf Ω stetig fortsetzbar. Beweis. 1) Auf R3 \([0, 1] × {0} × {0}) kann v gem¨aß Satz A.5 unter dem Integralzeichen beliebig oft diﬀerenziert werden. Auf dieser Ω\{0} umfassenden Menge ist v harmonisch. 2) Das v deﬁnierende Integral l¨ aßt sich sofort berechnen und man erh¨alt v(x, y, z) = A(x, y, z) − x ln ( x2 + y 2 + z 2 − x)

82

3 Das Dirichletproblem f¨ ur harmonische Funktionen

mit A(x, y, z) :=

(1 − x)2 + y 2 + z 2 − x2 + y 2 + z 2 + x ln (1 − x + (1 − x)2 + y 2 + z 2 ) .

auf Ω stetige Funktion. Es sei 0 < c < 1. F¨ ur kleine x > 0 liegt A ist eine c ur x → 0 gegen den Ursprung. Aus A(0, 0, 0) = 1 x, 0, e− 2x in Ω und strebt f¨ und −x ln ( x2 + y 2 + z 2 − x) = −x ln(y 2 + z 2 ) + x ln ( x2 + y 2 + z 2 + x) f¨ ur y 2 + z 2 > 0 folgt dann c lim v x, 0, e− 2x = 1 + c .

x→0+

Somit kann v|Ω nicht stetig auf Ω ∪ {0} ⊆ Ω fortgesetzt werden. 3) Liegt (x, y, z) auf dem Rand des Dorns mit x > 0, so gilt y 2 + z 2 = 1 2 (x) := e− x , und somit ist v(x, y, z) = A(x, y, z) + 1 + x ln x2 + e−1/x + x . Folglich wird v|∂Ω\{0} zu einer auf ∂Ω stetigen Funktion, wenn man ihr im Ursprung den Wert 2 gibt. 4) Sei (x, y, z) ∈ Ω. Im Falle x ≤ 0 ist 1 t dt √ =1. |v(x, y, z)| ≤ t2 0 F¨ ur x > 0 gilt 1 t dt |v(x, y, z)| ≤ = v(x, 0, (x)) . 2 + 2 (x) (t − x) 0 Wie in 3) sieht man, daß die rechte Seite zu einer auf [0, 1] stetigen Funktion fortgesetzt werden kann.

3.6 Unbeschr¨ ankte Gebiete In diesem Abschnitt besch¨ aftigen wir uns mit dem Dirichletschen Randwertur problem f¨ ur unbeschr¨ ankte oﬀene Teilmengen Ω des RN , d.h. wir suchen f¨ gegebenes stetiges g : ∂Ω → R eine Funktion u mit u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) ;

Δu = 0 in Ω ;

u|∂Ω = g .

(3.20)

Der Fall Ω = RN , der keinerlei Randbedingung enth¨alt, zeigt uns, daß die L¨osungen von (3.20) nicht eindeutig bestimmt sein m¨ ussen, da ja zum Beispiel jede lineare Funktion harmonisch ist. Stellt man jedoch zus¨atzlich eine Randbedingung bei ∞ der Form

3.6 Unbeschr¨ ankte Gebiete

lim u(x) = γ ,

|x|→∞

γ∈R,

83

(3.21)

so folgt aus Korollar 2.2.2, daß u konstant den Wert γ annimmt und insbesondere eindeutig bestimmt ist. Der Fall Ω = RN ist damit abgehandelt und wir betrachten ihn nicht weiter. Wir werden in Satz 3.6.1 mit Hilfe des Randminimumprinzips, Satz 2.3.8, f¨ ur beliebige oﬀene und unbeschr¨ankte Ω nachweisen k¨ onnen, daß es h¨ ochstens eine Funktion u geben kann, die zugleich (3.20) und (3.21) erf¨ ullt. Weiter werden wir dort sehen, daß im Falle N = 2 f¨ ur echte Teilmengen Ω des R2 Eindeutigkeit schon gilt, falls (3.21) durch die Bedingung u beschr¨ ankt

(3.22)

ersetzt wird. Das Beispiel u(x) = |x|2−N − 1

f¨ ur |x| ≥ 1

(3.23)

zeigt f¨ ur N ≥ 3 und Ω = RN \ B1 (0), daß man bei Abschw¨achung von (3.21) auf (3.22) nur in der Ebene (N = 2) Eindeutigkeit erwarten kann. Die Sonderrolle der Raumdimension N = 2 hat etwas damit zu tun, daß die zu (3.23) analoge, nichttriviale harmonische Funktion f¨ ur N = 2 durch u(x) = ln |x| gegeben wird, welche unbeschr¨ ankt ist. F¨ ur die Untersuchung der Frage nach der Existenz von L¨osungen des Dirichletproblems betrachten wir ausschließlich den Fall beschr¨ankter Randdaten g. Mit Satz 3.6.3 u ¨bertragen wir die in Abschnitt 3.3 beschriebene Perronsche Methode auf unbeschr¨ ankte Ω. Die Formulierung dieses Satzes ist sehr allgemein und gilt f¨ ur beliebige oﬀene Ω ⊆ RN . Insbesondere sind auch die S¨ atze 3.3.6 und 3.3.9 f¨ ur beschr¨ ankte Ω darin als Spezialfall enthalten. Im Anschluß an den Beweis von Satz 3.6.3 sind wir in der Lage, S¨atze f¨ ur unbeschr¨ ankte Ω zu formulieren, die dem Satz 3.3.10 entsprechen. Wir unterscheiden hierbei die F¨ alle, ob Ω ein Außenraum ist, oder nicht. Als Außenraum bezeichnet man das Komplement einer kompakten, nichtleeren Teilmenge des RN . Ein wichtiges Verfahren zum Studium harmonischer Funktionen in unbeschr¨ ankten Gebieten besteht in der Anwendung der Kelvintransformation, bei der der Deﬁnitionsbereich einer Funktion an einer Kugeloberﬂ¨ache gespiegelt wird. Auf diese Weise kann der Fall unbeschr¨ ankter Ω auf den Fall beschr¨ankter Ω zur¨ uckgef¨ uhrt werden, falls das Komplement RN \ Ω eine Kugel von positivem Radius enth¨ alt, d.h. falls Ω = RN . Wir werden erst beim Studium ¨ der Greenschen Funktion f¨ ur das Außere der Kugel im Kapitel 5 von dieser Transformation Gebrauch machen; eingef¨ uhrt wird sie aber bereits am Ende des gegenw¨ artigen Abschnitts 3.6. ankt mit RN \ Ω nicht leer. Satz 3.6.1. Es sei Ω ⊆ RN oﬀen und unbeschr¨ Ferner sei g : ∂Ω → R stetig. Dann gibt es im Falle N = 2 h¨ ochstens eine beschr¨ ankte Funktion u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) mit

84

3 Das Dirichletproblem f¨ ur harmonische Funktionen

Δu = 0 in Ω,

u|∂Ω = g .

(3.24)

Ist N ≥ 3 und γ ∈ R, so gibt es h¨ ochstens eine derartige Funktion mit lim|x|→∞ u(x) = γ. ankte L¨ osungen von (3.24). Dann ist u := Beweis. Es seien u1 , u2 zwei beschr¨ ankte harmonische Funktion mit u|∂Ω = 0. Wir m¨ ussen u1 − u2 eine beschr¨ zeigen, daß u(x) = 0 f¨ ur alle x ∈ Ω. Im Falle N ≥ 3 gilt zudem u(x) → 0 f¨ ur |x| → ∞, und die Aussage folgt unmittelbar aus der Anwendung des Randminimumprinzips (Satz 2.3.8) auf u und −u mit c = 0. ur ein F¨ ur N = 2 werden wir zeigen, daß die Annahme u(x0 ) = 0 f¨ uhrt. Das nun folgende Argument l¨aßt x0 ∈ Ω auf einen Widerspruch f¨ sich auf die Funktionen u und −u gleichermaßen anwenden, und es gen¨ ugt deshalb, u(x0 ) > 0 anzunehmen. Es bezeichne δ := 12 u(x0 ) > 0 und M := sup{u(x) : x ∈ Ω} < ∞. Wegen Ω = R2 ist ∂Ω = ∅. Sei z0 ∈ ∂Ω ur beliebig. Es gilt u(z0 ) = 0 und es existiert ein r > 0 mit |u(x)| ≤ δ f¨ alle x ∈ Ω mit |x − z0 | ≤ r, da u auf Ω stetig ist. Weiter w¨ahlen wir > 0 mit ln(|x0 − z0 |/r) < δ, und dann R > r mit ln(R/r) > M und G := Ω ∩ {x ∈ R2 : r < |x − z0 | < R}. Man beachte, daß |x0 − z0 | > r (da u(x0 ) = 2δ > δ) und |x0 − z0 | < R (da M ≥ 2δ) und somit x0 ∈ G. Die Menge G ist folglich oﬀen, nichtleer und beschr¨ ankt. Die Funktion v: G → R ,

v(x) = u(x) − ln

|x − z0 | r

ist stetig und auf G harmonisch und gen¨ ugt gem¨aß Korollar 2.3.5 dem schwachen Maximumprinzip. Der gew¨ unschte Widerspruch ergibt sich nun aus v(x0 ) = u(x0 ) − ln

|x0 − z0 | > 2δ − δ = δ r

und aus v|∂G ≤ δ. Letztere Eigenschaft sieht man durch Zerlegung des Randes ∂G = R1 ∪ R2 ∪ R3 mit R1 ⊆ ∂Br (z0 ),

R2 ⊆ ∂BR (z0 ),

R3 ⊆ ∂Ω ∩ {x ∈ R2 : r < |x − z0 | < R} .

Es ist n¨ amlich v = u ≤ δ auf R1 (nach Wahl von r), v ≤ 0 auf R2 (nach Wahl von R) und v ≤ u = 0 auf R3 . Bemerkung 3.6.2. a) Wie in der Einleitung zu diesem Abschnitt erl¨autert, gilt wegen Korollar 2.2.2 obiger Satz 3.6.1 im Falle N ≥ 3 auch f¨ ur Ω = RN . 2 anktheit einer harmonischen Funktion u nicht F¨ ur Ω = R ist die Beschr¨ ausreichend, um die Eindeutigkeit zu erhalten; Korollar 2.2.2 erlaubt nur auf die Konstanz von u zu schließen. b) Der Beweis von Satz 3.6.1 verwendet im Falle N = 2 das schwache Maximumprinzip und f¨ ur N ≥ 3 das Randminimumprinzip, welches auf dem starken Maximumprinzip beruht. Auch f¨ ur den Beweis dieses Falles gen¨ ugt es, das schwache Maximumprinzip heranzuziehen (siehe Aufgabe 3.11).

3.6 Unbeschr¨ ankte Gebiete

85

Zum Nachweis der Existenz einer L¨ osung verwenden wir wieder die Perronsche Methode und Barrieren. Zur Vereinfachung der Notation bedienen wir uns der Schreibweise lim sup f (x) := lim (sup{f (x) : x ∈ D und r ≤ |x|}) r→∞

|x|→∞

f¨ ur Funktionen f : D → R. Entsprechend wird lim inf deﬁniert. Der nun folgende Satz formuliert die Ergebnisse der Perronschen Methode in einer relativ allgemeinen Form. F¨ ur eine Diskussion der hierin enthaltenen F¨ alle siehe auch S¨ atze 3.6.4 und 3.6.6. Insbesondere ist auch der in Abschnitt 3.3 behandelte Fall beschr¨ ankter Mengen Ω mit eingeschlossen. F¨ ur diesen Fall erinnern wir an die Konvention sup φ = −∞ und inf φ = +∞, woraus lim sup f (x) = −∞ , |x|→∞

lim inf f (x) = +∞ . |x|→∞

folgt. Satz 3.6.3. Es seien Ω ⊆ RN oﬀen, Ω und RN \ Ω nicht leer, g : ∂Ω → R beschr¨ ankt, γ ∈ R, m := min{γ, inf g}, M := max{γ, sup g}, μ− := min{γ, lim inf g(x)}, |x|→∞

μ+ := max{γ, lim sup g(x)} , |x|→∞

ur N ≥ 3, und schließlich c2 := m, cN := μ− f¨ P := P (g, γ) := {v ∈ C 0 (Ω) : v ist auf Ω superharmonisch, v ≤ M , v|∂Ω ≥ g, lim inf v(x) ≥ cN } . |x|→∞

Dann hat die durch u(x) := inf{v(x) : v ∈ P } ,

x∈Ω,

(3.25)

deﬁnierte Funktion u : Ω → R die folgenden Eigenschaften: 1) m ≤ u ≤ M ; 2) u ist in Ω harmonisch ; 3) f¨ ur N ≥ 3 ist lim sup|x|→∞ u(x) ≤ μ+ , lim inf |x|→∞ u(x) ≥ μ− ; aren Randpunkt x0 , in dem g stetig ist. 4) lim u(x) = g(x0 ) in jedem regul¨ x→x0 x∈Ω

Beweis. Ist Ω ⊂⊂ RN , so ist μ− = min{γ, +∞} = γ und μ+ = max{γ, −∞} = γ, so daß 3) zu der wahren Aussage −∞ ≤ γ ≤ +∞ wird. F¨ ur beschr¨ankte Ω wird die Aussage von Satz 3.6.3 optimal, wenn inf g ≤ γ ≤ sup g gew¨ahlt wird. Da die lim inf-Forderung in P gegenstandslos ist, reduzieren sich die Aussagen von Satz 3.6.3 in diesem Fall auf die von Satz 3.3.6 und Satz 3.3.9. Im weiteren sei nun Ω unbeschr¨ ankt. Man beachte m ≤ cN ≤ μ− ≤ μ+ ≤ M .

(3.26)

86

3 Das Dirichletproblem f¨ ur harmonische Funktionen

1) P ist nichtleer, denn die konstante Funktion M geh¨ort zu P . Ist v ∈ P , so gilt m ≤ g ≤ v|∂Ω

und m ≤ lim inf v(x) ≤ lim inf v(xn ) |x|→∞

n→∞

f¨ ur jede Folge (xn ) aus Ω mit |xn | → ∞, also m ≤ v, da superharmonische Funktionen das starke Minimumprinzip (Satz 3.3.3) und somit das Randminimumprinzip (Satz 2.3.8) erf¨ ullen. Also existiert u und gen¨ ugt den Ungleichungen in 1). ur 2) Ist B ⊂⊂ Ω eine Kugel, so setzen wir f¨ ur v ∈ P wieder vB := QB v. F¨ ur x ∈ ∂Ω und x ∈ Ω\B ist dann vB (x) = v(x). Dies gilt also insbesondere f¨ f¨ ur große |x|. Also ist vB ∈ P . Wie beim Beweis von Satz 3.3.6 zeigt man nun die Stetigkeit und damit die Superharmonizit¨ at von u. Desgleichen bleibt der andert. Beweis von u ≤ QB u unge¨ 3) Es ist μ− ≤ lim inf |x|→∞ g(x), lim sup|x|→∞ g(x) ≤ μ+ . Zu jedem > 0 gibt es daher ein R > 0, so daß μ− − ≤ g(x) ≤ μ+ +

f¨ ur alle x ∈ ∂Ω mit |x| ≥ R .

(3.27)

Es sei nun a ∈ RN \ Ω und v+ (y) = min M, μ+ + + (M − m)

|y − a| R + |a|

2−N ' ,

y ∈ Ω \ {a} .

Oﬀensichtlich ist v+ als Minimum harmonischer Funktionen eine superharmonische Funktion auf Ω (s. Satz 3.3.4 c)). Zudem k¨onnen wir v+ stets als stetige Funktion auf ganz Ω auﬀassen. Dies bedarf nur im Falle a ∈ ∂Ω und M − m > 0 einer Begr¨ undung, welche aber leicht f¨allt, da v+ dann in einer Umgebung von a konstant den Wert M annimmt. Wir verwenden die Absch¨ atzung μ+ + + (M − m) ≥

|y − a| R + |a|

2−N

μ+ + + (M − m) ≥ M μ+ +

f¨ ur |y − a| ≤ R + |a| , f¨ ur |y − a| > R + |a|

wobei wir (3.26) ben¨ utzt haben. Wir u ¨berzeugen uns nun, daß v+ (y) ≥ g(y) f¨ ur alle y ∈ ∂Ω gilt. Ist |y − a| ≤ R + a, so folgt v+ (y) = M ≥ g(y) nach Deﬁnition von M . Ist |y − a| > R + |a|, so gilt notwendigerweise |y| > R, und gem¨ aß (3.27) ist g(y) ≤ min{M, μ+ + } ≤ v+ (y). Schließlich ist lim inf |x|→∞ v+ (x) = min{M, μ+ + }, und wir haben v+ ∈ P gezeigt. ur alle x ∈ Ω, woraus Nach (3.25) gilt also u(x) ≤ v+ (x) f¨ lim sup u(x) ≤ lim v+ (x) = min{M, μ+ + } |x|→∞

|x|→∞

3.6 Unbeschr¨ ankte Gebiete

87

folgt. Da > 0 beliebig gew¨ ahlt werden kann, haben wir die Schranke an lim sup|x|→∞ u(x) gezeigt. Zum Nachweis der zweiten Absch¨ atzung deﬁnieren wir 2−N ' |y − a| , y ∈ Ω \ {a} . v− (y) := min −m, −μ− + + (M − m) R + |a| Die Funktion v− ist ebenfalls auf Ω superharmonisch und auf Ω stetig, bzw. ur |y − a| ≤ R + |a| gilt wegen (3.26) kann stetig auf Ω fortgesetzt werden. F¨ ur |y − a| > R + |a| ist v− (y) ≥ min{−m, −μ− + }. Mit v− (g) ≥ −m und f¨ (3.27) folgt also v− |∂Ω ≥ −g. Sei v ∈ P beliebig. Dann ist v + v− eine auf Ω superharmonische Funktion, f¨ ur die gem¨ aß Satz 3.3.3 a) das starke Minimumprinzip und somit auch das Randminimumprinzip (Satz 2.3.8) gilt. Zudem ist v + v− ∈ C 0 (Ω) mit v + v− |∂Ω ≥ g − g = 0, und es gilt lim inf (v + v− )(x) ≥ μ− + min(−m, −μ− + ) ≥ 0 . |x|→∞

Es folgt somit v + v− ≥ 0 auf Ω. Mithin ist u + v− ≥ 0, und wir haben f¨ ur alle x ∈ Ω 2−N |x − a| , u(x) ≥ −v− (x) ≥ μ− − − (M − m) R + |a| woraus sich die Ungleichung f¨ ur lim inf |x|→∞ u(x) ergibt. ur x ∈ ∂Ω 4) Zu > 0 gibt es ein δ0 > 0, so dass |g(x) − g(x0 )| < 2 f¨ mit |x − x0 | < δ0 . Nach Satz 3.4.1 gibt es eine Barriere c zu Ω ∩ B2δ0 (x0 ) ur Ω mit im Punkt x0 , und der dort gegebene Beweis liefert eine Barriere b f¨ ¨ der Eigenschaft b(x) ≥ ν > 0 f¨ ur alle x ∈ Ω\Bδ0 (x0 ). Uber die f¨ ur x ∈ Ω erkl¨ arten Hilfsfunktionen M −m + b(x) u± (x) := g(x0 ) ± 2 ν streben wir wie beim Beweis von Satz 3.3.9 die Ungleichungen M −m M −m − + b(x) ≤ u(x) − g(x0 ) ≤ + b(x) 2 ν 2 ν

(3.28)

f¨ ur alle x ∈ Ω an, aus denen dann die Behauptung folgt. Konstruktionsgem¨aß ist u+ eine auf Ω superharmonische Funktion mit den Eigenschaften u+ |∂Ω ≥ g und u+ (x) ≥ g(x0 ) +

+M −m>M 2

f¨ ur x ∈ Ω mit |x| > |x0 | + δ0 .

F¨ ur jede Folge (xn ) aus Ω mit |xn | → ∞ gilt daher lim inf n→∞ u+ (xn ) ≥ M ≥ cN . Also ist min{u+ , M } aus P und daher u ≤ u+ auf Ω. Dies liefert die rechte Ungleichung in (3.28).

88

3 Das Dirichletproblem f¨ ur harmonische Funktionen

F¨ ur jedes v ∈ P ist v + (−u− ) superharmonisch auf Ω. Wegen u− |∂Ω ≤ g ist v − u− ≥ 0 auf ∂Ω und −u− (x) ≥ −g(x0 ) +

+ M − m > −m 2

f¨ ur x ∈ Ω, mit |x| > |x0 | + δ0 .

F¨ ur jede Folge (xn ) aus Ω mit |xn | → ∞ gilt also lim inf [v(xn ) − u− (xn )] ≥ lim inf v(xn ) + lim inf [−u− (xn )] ≥ cN − m ≥ 0 . n→∞

n→∞

n→∞

Aufgrund des Randminimumprinzips (Satz 2.3.8) ist daher v ≥ u− , mithin u ≥ u− auf Ω, und dies liefert die linke Ungleichung in (3.28). Wir fassen die bisherigen Ergebnisse f¨ ur die L¨osbarkeit des Dirichletprour die Formulierung unserer blems bei unbeschr¨ anktem Ω ⊆ RN zusammen. F¨ Ergebnisse unterscheiden wir, ob ∂Ω beschr¨ ankt ist oder nicht. Im Falle eines beschr¨ ankten Randes ∂Ω ist Ω das Komplement einer kompakten, nichtleeren Menge, und man nennt das Dirichletproblem auch ein Außenraumproblem. Die folgenden beiden S¨ atze sind Konsequenzen der bisherigen Ergebnisse diese ¨ Abschnitts und werden dem Leser zur Ubung u ¨berlassen (s. Aufgabe 3.12). ankt. Der Rand ∂Ω sei nichtSatz 3.6.4. Es sei Ω ⊆ RN oﬀen und unbeschr¨ leer und beschr¨ ankt, ferner jeder Randpunkt regul¨ ar. Weiter sei g : ∂Ω → R stetig. a) Ist N = 2, so gibt es genau eine beschr¨ ankte L¨ osung des Dirichletproblems (3.20). b) Ist N ≥ 3 und γ ∈ R, so gibt es genau eine L¨ osung des Dirichletproblems (3.20) mit Zusatzbedingung (3.21). ¨ Bemerkung 3.6.5. a) In Ubungsaufgabe 3.16 soll mit Hilfe der Kelvintransformation gezeigt werden, daß die eindeutig bestimmte beschr¨ankte L¨osung u eines Außenraumproblems in der Ebene (s. Satz 3.6.4 a)) f¨ ur |x| → ∞ konvergiert, d.h. γ := lim|x|→∞ u(x) existiert. Im Gegensatz zu h¨oheren Raumdimensionen kann γ jedoch nicht vorgegeben werden. b) Auch im Falle N ≥ 3 liefert die Kelvintransformation, nun zusammen mit dem Satz 5.2.1 von Bˆ ocher, daß jede beschr¨ankte L¨osung u eines Außenraumproblems f¨ ur |x| → ∞ konvergiert. Folglich haben f¨ ur einen Außenraum Ω alle beschr¨ ankten L¨ osungen u des Dirichletproblems (3.20) die Eigenschaft, daß γ := lim|x|→∞ u(x) existiert. Wie wir in Satz 3.6.4 b) gesehen haben, kann γ ∈ R beliebig vorgegeben werden. anktem Rand ∂Ω. Jeder RandSatz 3.6.6. Es sei Ω ⊆ RN oﬀen mit unbeschr¨ punkt von Ω sei zudem regul¨ ar. Weiter sei g : ∂Ω → R stetig und beschr¨ ankt. a) Ist N = 2, so besitzt (3.20) eine eindeutig bestimmte beschr¨ ankte L¨ osung u. F¨ ur diese gilt inf g ≤ u(x) ≤ sup g f¨ ur alle x ∈ Ω. b) Ist N ≥ 3 und existiert γ := lim|x|→∞ g(x), so besitzt (3.20) eine eindeutig bestimmte L¨ osung u mit lim|x|→∞ u(x) = γ.

3.6 Unbeschr¨ ankte Gebiete

89

c) Ist N ≥ 3 und γ− := lim inf |x|→∞ g(x) < lim sup|x|→∞ g(x) =: γ+ , so besitzt (3.20) mindestens eine L¨ osung u mit γ− = lim inf |x|→∞ u(x) und γ+ = lim sup|x|→∞ u(x). Wir beschließen diesen Abschnitt mit einer Diskussion der Kelvintransformation. Wie schon in der Einleitung bemerkt, erlaubt diese, eine auf unbeschr¨ anktem Ω harmonische Funktion in eine auf einer beschr¨ankten Menge harmonische Funktion zu transformieren, sofern RN \ Ω eine Kugel von positivem Radius enth¨ alt. Grundlage der Kelvintransformation sind die bijektiven Abbildungen x → x ˜ := (R/|x|)2 x, die jedem Punkt x ∈ RN \ BR (0) einen Punkt in BR (0) \ {0} zuordnen und umgekehrt die punktierte Kugel ¨ BR (0)\{0} auf ihr Außeres RN \BR (0) abbilden. Diese werden Inversion oder urde der unendSpiegelung an der Sph¨ are ∂BR (0) genannt; dem Ursprung w¨ lichferne Punkt entsprechen. Vielleicht angeregt durch Greens Essay [86, § 10], teilte W. Thomson diese Methode, von ihm Methode der elektrischen Bilder genannt, Liouville mit [321, 322] und entwickelte sie zu großer Meisterschaft. Liouville gab ihr aufgrund der Beziehung |x||˜ x| = R2 den Namen Methode der reziproken Radien [192, p. 276]. Er zeigte in [193] f¨ ur N = 3, daß ¨ neben Translationen und orthogonalen Transformationen sowie Ahnlichkeitstransformationen die einzigen winkeltreuen Abbildungen f¨ ur N ≥ 3 im RN die durch reziproke Radien sind. Als eine rein geometrische Methode ist die Inversion sehr alt; wir verweisen auf [247] und die dort zitierten Enzyklop¨adieArtikel. Um zu sehen, wie sich der Poissonkern PB (x, y) (x ∈ B\{0}, y ∈ ∂B) aus Kapitel 3.2 unter einer Inversion verh¨ alt, setzen wir in der Symmetrierelation von Aufgabe 3.13 a = y, b = R−2 x und erhalten y x x |x| |x| − y 2 = 2 |˜ x − y| , − = R R |x| R R 2 x| − R2 also wegen R2 − |x|2 = |x|2 R−2 |˜ |x|2−N PB (˜ x, y) . R2−N Wir wissen, daß dies eine in x harmonische Funktion ist. Man kann aber auch allgemein zeigen, daß f¨ ur jede harmonische Funktion h die Funktion |x|2−N h(˜ x) ebenfalls harmonisch ist. Der Rechenaufwand dies nachzuweisen, wird etwas reduziert, wenn man den Laplaceoperator als Summe eines in radialer und eines in tangentialer Richtung wirkenden Operators schreibt. An den Begriﬀ der Richtungsableitung wird in Aufgabe 3.14 erinnert. (Der Rechenaufwand w¨ urde minimiert durch Ausn¨ utzung von Eigenschaften homogener Polynome [9, p. 62f.].) PB (x, y) = −

Satz 3.6.7. F¨ ur x = 0 ist Δ=

2 N 1

∂2 ∂ ∂ (N − 1) ∂ + + − x . x k i ∂|x|2 |x| ∂|x| 2|x|2 ∂xi ∂xk i,k=1

90

3 Das Dirichletproblem f¨ ur harmonische Funktionen

Beweis. Es ist 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − xi = xk − xi − xi xk xk ∂xi ∂xk ∂xi ∂xk ∂xi ∂xk 2 ∂ ∂ ∂ ∂2 = xk δik + x2k 2 − xi − xi xk ∂xi ∂xi ∂xi ∂xk ∂xi 2 ∂ ∂ ∂ ∂2 + xi δik + x2i 2 − xk − xi xk . ∂xk ∂xk ∂xk ∂xi ∂xk Mit Aufgabe 3.14 b) folgt 2 N

∂ ∂ ∂2 ∂ − 2|x|2 − xi = 2|x|2 Δ − 2(N − 1)|x| . xk ∂xi ∂xk ∂|x| ∂|x|2 i,k=1

Bemerkung 3.6.8. den in tangentialer Richtung wirkenden OpeN Man nennt ∂ ∂ 2 rator Λ := 12 i,k=1 (xk ∂x − x i ∂xk ) Laplace-Beltrami- oder Beltramii Operator [15]. F¨ ur N = 3 kann Λ als Quadrat des Vektorprodukts von x und ∇, also, physikalisch gesprochen, des Drehimpulsoperators, geschrieben werden. Satz 3.6.9. Es sei u ∈ C 2 (Ω), Ω ⊆ RN \{0} oﬀen, und H ⊆ RN sei das Bild von Ω unter der Inversion x → |x|−2 x. Es sei v : H → R die Kelvintransformierte von u, deﬁniert durch x v(x) := |x|2−N u . |x|2 x −2−N (Δu) . Dann ist Δv(x) = |x| |x|2 Beweis. Wir setzen y := |x|−2 x und haben wegen Aufgabe 3.14 a) N

∂ x ∂ xj −1 ∂u u(y) = |x| ∂|x| ∂yj |x|2 ∂|x| |x| j=1 N

x xj ∂|x|−1 ∂u = ∂yj |x|2 |x| ∂|x| j=1

= −|x|−2 und folglich

∂ u(y) ∂|y|

∂ x ∂ ∂ 2−N v(x) = |x| u(y) ; u = (2 − N )|x|1−N u(y) − |x|−N ∂|x| ∂|x| |x|2 ∂|y| ∂2 ∂ u(y) v(x) = (2 − N )(1 − N )|x|−N u(y) − (2 − N )|x|−1−N ∂|x|2 ∂|y| ∂ ∂2 u(y) + |x|−N −2 + N |x|−N −1 u(y) . ∂|y| ∂|y|2

3.6 Unbeschr¨ ankte Gebiete

91

Ferner ist nach Aufgabe 3.14 c) N

∂ ∂ ∂u ∂ ∂ − xi (y) xk − xi u(y) = yj xk ∂xi ∂xk ∂yj ∂xi ∂xk j=1

N

∂u ∂ ∂ 1 = (y) 2 xk − xi xj ∂yj |x| ∂xi ∂xk j=1 ∂ ∂ = yk − yi u(y) ; ∂yi ∂yk

folglich ∂ ∂ ∂ ∂ 2−N − xi − yi xk v(x) = |x| yk u(y) ; ∂xi ∂xk ∂yi ∂yk 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2−N − xi v(x) = xk − xi − yi |x| yk u(y) xk ∂xi ∂xk ∂xi ∂xk ∂yi ∂yk 2 ∂ ∂ = |x|2−N yk − yi u(y) ; ∂yi ∂yk 2 2 ∂ ∂ ∂ ∂ −N 1 − xi v(x) = |x| − yi u(y) , yk xk ∂xi ∂xk |y|2 ∂yi ∂yk weil |x||y| = 1 ist. Zusammengenommen und unter Anwendung von Satz 3.6.7 folgt Δx v(x) =

2 N 1

∂ ∂ ∂2 N −1 ∂ v(x) + v(x) + − x v(x) x k i ∂|x|2 |x| ∂|x| 2|x|2 ∂xi ∂xk i,k=1

= |x|−2−N

N −1 ∂ ∂2 u(y) u(y) + ∂|y|2 |y| ∂|y|

' 2 N 1

∂ ∂ + − yi u(y) yk 2|y|2 ∂yi ∂yk i,k=1 x −2−N −2−N = |x| Δy u(y) = |x| (Δu) . |x|2 are ∂BR (0) Korollar 3.6.10. Bei der Spiegelung x → (R/|x|)2 x an der Sph¨ sei v(x) := RN −2 |x|2−N u (R/|x|)2 x , die wir die Kelvintransformierte von u bez¨ uglich ∂BR (0) nennen. Dann gilt x 2 Δv(x) = RN +2 |x|−N −2 (Δu) R . |x|2

92

3 Das Dirichletproblem f¨ ur harmonische Funktionen

Beweis. Setzt man f (y) := |y|2−N u(|y|−2 y), so gilt v(x) = R2−N f (x/R2 ). Die Kettenregel zusammen mit Satz 3.6.9, angewendet auf f , ergeben dann −2−N x x 2 R2−N −2−N x = R (Δf ) (Δu) R Δv(x) = . R4 R2 R2 |x|2 Die Tatsache, daß nur in der Ebene die Inversion die Harmonizit¨at einer Funktion erh¨alt, kann man als eine weitere Erkl¨arung daf¨ ur nehmen, daß sich der Eindeutigkeitssatz 3.6.1 f¨ ur N = 2 von dem f¨ ur N ≥ 3 unterschei¨ det. Ubungsaufgabe 3.15 fordert im Fall Ω = RN zu einem Beweis von Satz 3.6.1 auf, der die Kelvintransformation und die Resultate aus Abschnitt 3.5 verwendet.

3.7 Der Satz von Giesecke. Bemerkungen zum Dirichletschen Prinzip. Der folgende Satz [82] zur partiellen Integration u ¨ber oﬀenes Ω ⊆ RN ist dem Gaußschen Integralsatz oder den Greenschen Formeln ¨ahnlich, ist aber nicht an Glattheitseigenschaften des Randes von Ω oder Informationen u ¨ber den Gradienten in Randn¨ ahe gebunden. Sein Beweis benutzt lediglich die klassischen Konvergenzs¨ atze von Beppo Levi und Lebesgue. ur jedes x ∈ Ω sei A(x) symSatz 3.7.1 (Giesecke). Es sei Ω ⊆ RN oﬀen. F¨ metrisch und positiv semideﬁnit mit auf Ω stetig diﬀerenzierbaren Eintr¨ agen, des weiteren q ∈ L1 (Ω) und q ≥ 0. Ferner seien u ∈ C 2 (Ω), v ∈ C 1 (Ω) und f¨ ur jedes > 0 Ω := {x ∈ Ω : |v(x)| > } ⊂⊂ Ω . Schließlich sei [A∇(u − v)] · ∇(u − v) + q(u − v)2 u ¨ber Ω integrierbar (das ist z.B. der Fall, wenn u = v ist). Wenn dann das linke der beiden folgenden Integrale als Lebesgue-Integral existiert, dann auch das rechte, und es ist (− div (A∇u) + qu) v dx = [(A∇u) · ∇v + quv] dx . Ω

Ω

Es gilt dann auch (A∇u) · ∇u + qu2 ∈ L1 (Ω)

und

(A∇v) · ∇v + qv 2 ∈ L1 (Ω) .

Beweis. Mit der Hilfsfunktion φn : R → R, die f¨ ur jedes n ∈ N deﬁniert wird durch ⎧ ⎪ f¨ ur n|t| < 1 ⎨0 ur 1 ≤ n|t| < 2 , φn (t) := n|t| − 1 f¨ ⎪ ⎩1 f¨ ur 2 ≤ n|t|

3.7 Der Satz von Giesecke. Bemerkungen zum Dirichletschen Prinzip.

93

v(x) sei vn (x) := 0 φn (t) dt (dieser Kunstgriﬀ stammt von E. Heinz). Dann ist

|v(x)| φn (t) dt f¨ ur jedes x ∈ Ω eine in n monoton wachsende Folge |vn (x)| = 0 mit |vn (x)| ≤ |v(x)|. Nach dem Konvergenzsatz von Lebesgue ist lim vn (x) = lim

n→∞

n→∞

v(x)

v(x)

φn (t) dt = 0

1 dt = v(x) .

(3.29)

0

Wegen der Stetigkeit von φn ist vn ∈ C 1 (Ω) und ∇vn (x) = φn (v(x)) ∇v(x) .

(3.30)

Es gilt vn (x) = 0 f¨ ur x ∈ / Ω1/n , weil φn (t) = 0 ist f¨ ur |t| ≤ n1 . Also hat vn einen in Ω gelegenen ager.

kompakten Tr¨ Daher gestattet Ω {− div (A∇u) + qu) vn dx die partielle Integration nach Bemerkung A.1, und es ist (− div (A∇u) + qu) vn dx = [(A∇u) · ∇vn + quvn ] dx Ω Ω [φn (v(x)) (A∇u) · ∇v + quvn ] dx = Ω [φn (v(x)) (A∇u) · ∇v + quvn ] dx . = Ω1/n

Da A positiv semideﬁnit und q ≥ 0 ist, gilt [φn (v(x)) (A∇v) · ∇v + qvn2 ] dx = [φn (v(x)) (A∇v) · ∇v + qvn2 ] dx Ω

Ω1/n

2

[φn (v(x)) (A∇(u − v)) · ∇(u − v) + q (u − v + v − vn ) ] dx

≤

Ω1/n

[φn (v(x)) (A∇u) · ∇v + quvn ] dx

+2

Ω1/n

[(A∇(u − v)) · ∇(u − v) + q(u − v)2 ] dx + 2

≤2

Ω1/n

Ω1/n

+2

2

q (v − vn ) dx

(− div (A∇u) + qu) vn dx . Ω1/n

Die drei letzten Integrale sind bei wachsendem n beschr¨ankt, das erste 2 wegen der vorausgesetzten Existenz, das zweite wegen (v − vn ) ≤ 4|v|2 1 und der Beschr¨anktheit von v sowie wegen q ∈ L (Ω). Bei dem dritten ist | − div (A∇u) + qu||v| eine integrierbare Majorante. Folglich ist

[φ (v(x)) (A∇v) · ∇v + qvn2 ] dx ≤ const, und da der Integrand monoton Ω n wachsend konvergiert, liefert der Satz von Beppo Levi, daß lim φn (v(x)) (A∇v) · ∇v + qv 2

n→∞

94

3 Das Dirichletproblem f¨ ur harmonische Funktionen

u ¨ber Ω integrierbar ist. Nun ist lim φn (v(x)) =

n→∞

1, 0,

falls v(x) = 0 , falls v(x) = 0

und somit haben wir zun¨ achst einmal die Integrabilit¨at von (A∇v) · ∇v + qv 2 u ¨ber Ω := {x ∈ Ω : v(x) = 0} erhalten. Die Integrierbarkeit u ¨ber Ω := {x ∈ Ω : ∇v(x) = 0, v(x) = 0} ist klar. Wie man vom Satz u ¨ber implizite Funktionen her erwartet, ist Ω := {x ∈ Ω : ∇v(x) = 0, v(x) = 0} eine Menge vom Maße Null. Dies wird in dem Lemma 3.7.2 in einfacher Weise gezeigt werden. Oﬀenbar ist dann (A∇v) · ∇v + qv 2 ∈ L1 (Ω). Wegen (A∇u) · ∇u + qu2 + |(A∇u) · ∇v| + q|uv| ≤ (A∇(u − v)) · ∇(u − v) + q(u − v)2 + 3 |(A∇u) · ∇v| + 3q|uv| ≤ (A∇(u − v)) · ∇(u − v) + q(u − v)2 + 12 (A∇u) · ∇u + qu2 + 92 (A∇v) · ∇v + qv 2 ist dann auch (A∇u) · ∇u + qu2 ∈ L1 (Ω) und |(A∇u) · ∇v| + q|uv| ∈ L1 (Ω) bewiesen. Dabei wurde von der Schwarzschen Ungleichung |(A∇u) · ∇v| ≤ 1 2 b [(A∇u) · ∇u]1/2 [(A∇v) · ∇v]1/2 und von der Ungleichung |ab| ≤ 2 a2 + 2

1 mit = 3 Gebrauch gemacht. Wir haben damit f¨ ur beide Seiten der Gleichung (− div (A∇u) + qu) vn dx = [φn (v(x)) (A∇u) · ∇v + quvn ] dx Ω

Ω

eine integrable Majorante gefunden. Nach dem Konvergenzsatz von Lebesgue folgt (− div (A∇u) + qu) v dx = ((A∇u) · ∇v + quv) dx , Ω

Ω ∪Ω

und da Ω und Ω ∪ Ω sich nur um die Nullmenge Ω unterscheiden, ist mit dem nachfolgenden Lemma alles bewiesen. Lemma 3.7.2. Es sei Ω ⊂ RN oﬀen, v ∈ C 1 (Ω). Dann ist Ω := {x ∈ Ω : v(x) = 0, ∇v(x) = 0} eine Nullmenge. Beweis. Der Beweis folgt G. Simader [306]. Wir setzen 1 , falls v(x) = 0 , χ(x) := lim φn (v(x)) = n→∞ 0 , falls v(x) = 0 und wir werden beweisen, daß fast u ur x ∈ Ω ¨berall (1−χ(x))∇v(x) = 0 ist. F¨ ist aber oﬀenbar (1 − χ(x))∇v(x) = 0; also ist Ω eine Nullmenge. Zum Beweis von (1 − χ(x))∇v(x) = 0 fast u ur ¨berall in Ω berechnen wir f¨ beliebiges Φ ∈ Cc∞ (Ω)

3.7 Der Satz von Giesecke. Bemerkungen zum Dirichletschen Prinzip.

95

Φ(x)(1 − χ(x))∇v(x) dx = lim

n→∞

Ω

Φ(x)(1 − φn (v(x)))∇v(x) dx Ω

Φ(x) (∇v(x) − ∇vn (x)) dx = − lim (∇Φ(x)) (v(x) − vn (x)) dx = 0 . = lim

n→∞

Ω

n→∞

Ω

Dabei wurde von (3.29) und (3.30) sowie von der partiellen Integration bei einer Funktion mit kompaktem Tr¨ ager Gebrauch gemacht (Bemerkung A.1). Die Behauptung folgt nun aus Satz A.11 b). Als einfache Folgerung aus dem obigen Satz notieren wir Korollar 3.7.3. Es sei Ω ⊆ RN oﬀen, u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω), u|∂Ω = 0, wobei f¨ ur unbeschr¨ anktes Ω zus¨ atzlich lim|x|→∞ u(x) = 0 gelte. Wenn das linke der beiden folgenden Integrale als Lebesgue-Integral existiert, dann auch das rechte, und es ist dann 2 − u(x)Δu(x) dx = |∇u(x)| dx . Ω

Ω

Als eine weitere Anwendung des Satzes von Giesecke beweisen wir eine Extremaleigenschaft von L¨ osungen des Dirichletproblems. Es sei Ω ⊂⊂ RN , und es bezeichne 2 |∇v(x)| dx f¨ ur v ∈ C 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω) . D(v) := Ω

Man nennt D(v) das Dirichletintegral von v. Es ist zugelassen, daß D(v) = ∞ ist. Wenn das Dirichletsche Prinzip (vgl. Abschnitt 1.4) zutr¨afe, g¨abe es zu g) < ∞ stetigem g : ∂Ω → R, das Restriktion eines g˜ ∈ C 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω) mit D(˜ ur ist, unter allen u ∈ C 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω) mit u|∂Ω = g ein gewisses u ∈ C 2 (Ω), f¨ das das Dirichletintegral minimal w¨ are; und dieses u w¨are dann L¨osung des Randwertproblems −Δu = 0 in Ω, u|∂Ω = g. Dies motiviert (vgl. Lebesgue [174]) den folgenden Satz, der etwas irref¨ uhrend manchmal auch das Dirichletsche Prinzip genannt wird. Satz 3.7.4. Es sei Ω ⊂⊂ RN , g : ∂Ω → R stetig, und h ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) sei L¨ osung von Δh = 0 in Ω, h|∂Ω = g. Es sei w ∈ C 1 (Ω)∩C 0 (Ω) mit w|∂Ω = g. Dann ist D(h) ≤ D(w). Dabei wird zugelassen, daß die Dirichletintegrale divergieren. Beweis. Wenn D(w) = ∞ ist, ist nichts zu beweisen. Es sei also D(w) < ∞. Man u uft leicht, daß dann die Voraussetzungen des Satzes 3.7.1 f¨ ur ¨berpr¨ A(x) = Einheitsmatrix, q = 0, u = h und v = h − w erf¨ u llt sind. Hieraus

folgt nicht nur Ω ∇h · ∇(h − w) dx = 0, sondern auch die Integrierbarkeit von |∇h|2 und |∇(h − w)|2 u ¨ber Ω. Somit ist

96

3 Das Dirichletproblem f¨ ur harmonische Funktionen

D(w) = D(h − (h − w)) = D(h) + D(h − w) − 2

∇h · ∇(h − w) dx Ω

= D(h) + D(h − w) ≥ D(h) .

(3.31)

Bemerkung 3.7.5. Ein Analogon zu Satz 3.7.4 l¨aßt sich auch f¨ ur L¨osungen h ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω), Ω ⊂⊂ RN , der selbstadjungierten, elliptischen Diﬀerentialgleichung N

−

i,k=1

∂ ∂h aik (x) (x) + q(x)h(x) = r(x), ∂xk ∂xi

x∈Ω,

mit Randbedingung h|∂Ω = g formulieren, wenn man D(u) :=

N Ω

i,k=1

aik (x)

∂u ∂u (x) (x) + q(x)u(x)2 − 2r(x)u(x) dx ∂xi ∂xk

als Dirichletintegral ansieht. Man setzt die Koeﬃzienten aik , q wie in Satz ur alle 3.7.1 voraus, r ∈ C 0 (Ω) und g ∈ C 0 (∂Ω). Es gilt dann D(h) ≤ D(w) f¨ w ∈ C 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω) mit w|∂Ω = g. Der Beweis stammt von Giesecke [82]. Man kann ihn f¨ uhren, indem man Satz 3.7.1 ganz ¨ahnlich anwendet wie bei Satz 3.7.4. Das ist nicht u ¨berrraschend, denn der Satz 3.7.1 ist ein Destillat aus jener Arbeit von Giesecke. Wenn Ω die Einheitskreisscheibe E in der Ebene ist, kommt man zum Beweis von Satz 3.7.4 mit dem Gaußschen Integralsatz aus, da man dann die Fourierentwicklung folgendermaßen heranziehen kann. F¨ ur 0 ≤ r < 1 setzen wir Er := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < r2 } und 2 Dr (w) := wx + wy2 dx dy . Er

Mit der Funktion hn aus (3.3) in Bemerkung 3.1.8 haben wir dann anstelle von (3.31) Dr (w) ≥ Dr (hn ) − 2Ir , wobei aufgrund des Gaußschen Satzes (s. Satz B.5) und der Harmonizit¨at von hn in Er ξ dS(ξ) Ir := ∇hn · ∇(hn − w) dx dy = (hn − w)(ξ) ∇hn (ξ) · |ξ| Er

∂Er

¨ ist. Ubergang zu Polarkoordinaten (vgl. Bemerkung 3.1.8) ergibt

3 Aufgaben

2π

Ir = =

97

0 n

k=1

(Hn − W ) (r, ϕ) (Hn )r (r, ϕ) r dϕ kr

2π

(ak cos kϕ + bk sin kϕ) (Hn − W ) (r, ϕ) dϕ .

k 0

Ersetzen wir in Ak (r) :=

1 π

2π

(Hn − W )(r, ϕ) cos kϕ dϕ 0

Hn durch (3.3), so ergibt sich aufgrund der Orthogonalit¨at der trigonometrischen Funktionen 1 2π Ak (r) = ak rk − W (r, ϕ) cos kϕ dϕ . π 0 Im Grenz¨ ubergang r → 1 konvergiert dann Ak (r) gegen 1 2π G(ϕ) cos kϕ dϕ = 0 . ak − π 0 Entsprechendes gilt f¨ ur den Term mit Sinus. Also ist limr→1 Ir = 0, mithin ur alle n ∈ N . D(w) ≥ D(hn ) f¨ Aufgrund der Unterhalbstetigkeit des Dirichletintegrals (siehe Aufgabe 3.19) ist aber lim inf D(hn ) ≥ D(h) . n→∞

Wir hatten im Abschnitt 1.4 erw¨ ahnt, daß es durchaus stetige Randwerte g gibt, so daß die L¨ osung des Dirichletproblems f¨ ur die Kreisscheibe mit Randwerten g ein divergentes Dirichletintegral hat. Dann l¨aßt sich diese L¨osung nicht als Minimumstelle des Dirichletfunktionals charakterisieren. Aufgabe 3.20 bringt das Beispiel von Hadamard.

Aufgaben 3.1. Es seien (αk ), (βk ) beschr¨ ankte Zahlenfolgen. Man zeige, daß durch ∞

rk (αk cos kϕ + βk sin kϕ)

k=1

eine auf der Einheitskreisscheibe E harmonische Funktion deﬁniert wird. 3.2. Man beweise f¨ ur die auf E harmonische Funktion (3.2) die Darstellung (3.5).

98

3 Das Dirichletproblem f¨ ur harmonische Funktionen

3.3. Man erg¨ anze den Satz 2.1.1 mit der Feststellung, daß u ∈ C 0 (Ω) genau dann harmonisch ist, wenn es zu jedem x ∈ Ω eine Folge rj → 0 gibt, so daß f¨ ur alle j gilt: Brj (x) ⊂⊂ Ω und (u(x) − u(y)) dy = 0 . |y−x|≤rj

Man zeige zun¨ achst, daß Funktionen mit dieser eingeschr¨ankten Mittelwerteigenschaft das starke (Maximum-)Minimumprinzip erf¨ ullen. 3.4. Man folgere aus der Poissonschen Integralformel, daß sich harmonische Funktionen lokal in eine Potenzreihe entwickeln lassen, indem man den Poissonkern f¨ ur B := BR (x0 ) in der Form PB (x, y) =

R2 − |x − x0 |2 (1 + t)−N/2 R N ωN

mit geeignetem t schreibt. 3.5. Man beweise die klassische Harnackungleichung: Ist u eine nichtnegative harmonische Funktion auf BR (0), so gelten f¨ ur alle x ∈ BR (0) die Ungleichungen R − |x| R + |x| RN −2 u(0) ≤ u(x) ≤ RN −2 u(0) . (R + |x|)N −1 (R − |x|)N −1 Anleitung: Absch¨ atzung des Nenners vom Kern des Poissonintegrals nach oben und nach unten und Anwendung der Mittelwertrelation. 3.6. Es sei Ω ⊆ RN oﬀen. Man mache sich klar, daß stetiges u : Ω → R genau dann auf Ω harmonisch ist, wenn QB u = u f¨ ur alle Kugeln B ⊂⊂ Ω gilt. 3.7. Es seien u, v ∈ C 0 (Ω). Man zeige: a) Im Falle u ≤ v gilt QB u ≤ QB v f¨ ur alle Kugeln B ⊂⊂ Ω. b) Mit u ist f¨ ur jedes c ∈ R auch u + c superharmonisch auf Ω. c) Wenn u und v auf Ω superharmonisch sind, so auch λu + μv f¨ ur alle λ, μ ≥ 0. 3.8. Man zeige, daß f¨ ur u ∈ C 2 (Ω) die folgenden Aussagen ¨aquivalent sind: (i) Δu ≤ 0 auf Ω.

1 (ii) N −1 u(y) dS(y) ≤ u(x) f¨ ur alle Kugeln B (x) ⊂⊂ Ω. ωN ∂B (x)

N (iii) rN ωN Br (x) u(y) dy ≤ u(x) f¨ ur alle Kugeln Br (x) ⊂⊂ Ω. 3.9. Man zeige, daß die Randpunkte von Ω = RN \(RN −1 ×{0}) regul¨ar sind.

3 Aufgaben

99

3.10. Es sei Ω0 ⊆ R3 oﬀen, und Ω0 enthalte die Strecke T := [0, 1]×{0}×{0}. ankt. Man zeige, daß sich u zu Es sei u : Ω0 \ T → R harmonisch und beschr¨ einer in Ω0 harmonischen Funktion fortsetzen l¨aßt. ur das sich das Anleitung: Man w¨ ahle ein Ω ⊂⊂ Ω0 , das T enth¨alt und f¨ Dirichletproblem −Δv = 0 in Ω, v|∂Ω = u|∂Ω l¨osen l¨aßt. Das Potential

1 ullt die Forderungen in Satz wT (x, y, z) := 0 ((t − x)2 + y 2 + z 2 )−1/2 dt erf¨ 3.5.1. 3.11. Es seien Ω ⊆ RN oﬀen und unbeschr¨ ankt, g : ∂Ω → R stetig und γ ∈ R. Man zeige, daß es h¨ ochstens ein auf Ω harmonisches u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) mit u|∂Ω = g und

lim u(x) = γ x∈Ω |x|→∞

gibt, indem man das schwache Maximumprinzip (Korollar 2.3.5) verwende. Man betrachte die Menge Ω := Ω ∩ B (0) f¨ ur geeignetes > 0. 3.12. Man beweise die S¨ atze 3.6.4 und 3.6.6. 3.13. Man zeige f¨ ur a, b ∈ RN \{0} a b |a| − b|a| = |b| − a|b| . 3.14. Es seien Ω ⊆ RN oﬀen, ξ ∈ RN \{0} und u : Ω → R. Der Grenzwert limt→0 1t [u(x + tξ) − u(x)] heißt im Falle seiner Existenz Richtungsableitung ahnlich von u nach dem Vektor ξ im Punkt x ∈ Ω und wird mit ∂u ∂ξ (x) oder ¨ ∂u ur alle ξ ∈ bezeichnet. Ist u im Punkt x diﬀerenzierbar, so existiert ∂ξ (x) f¨ RN \{0}, und es gilt

∂u ∂u (x) = ξi (x) = ξ · ∇u(x) . ∂ξ ∂xi i=1 N

x Im Spezialfall x ∈ Ω\{0} und ξ = |x| heißt ∂u ∂ξ Radialableitung und man ∂u ∂u ∂u schreibt k¨ urzer ∂|x| oder ∂r , auch ∂νx o.¨ a. F¨ ur x ∈ RN \{0} und i = k ist

τ := (0, . . . , 0, xk , 0, . . . , 0, −xi , 0, . . . , 0) (xk steht an der i-ten, −xi an der k-ten Stelle) orthogonal zu x und daher ∂u ∂ ∂ (x) = xk − xi u(x) ∂τ ∂xi ∂xk Richtungsableitung nach einem Tangentialvektor der Sph¨are um 0 mit Radius |x| an der Stelle x. Man zeige:

100

3 Das Dirichletproblem f¨ ur harmonische Funktionen

a) Ist f¨ ur f : S N −1 → R die Funktion x → f (x/|x|), x ∈ Ω\{0}, diﬀerenzierbar, so gilt x ∂ f =0. ∂r |x| b) F¨ ur u ∈ C 2 (Ω\{0}) und x ∈ Ω \ {0} gilt N

∂2u xi xk ∂ 2 u (x) = (x) . ∂r2 |x|2 ∂xi ∂xk i,k=1

c) Ist f ∈ C 1 ((0, ∞)), so gilt f¨ ur x ∈ RN \{0} ∂ ∂ − xi f (|x|) = 0 . xk ∂xi ∂xk 3.15. Man gebe einen alternativen Beweis des Eindeutigkeitssatzes 3.6.1 f¨ ur ur die RN \Ω eine Kugel von positivem Radius unbeschr¨ ankte oﬀene Ω ⊆ RN , f¨ enth¨ alt, der auf der Kelvintransformierten beruht. Zur Untersuchung der am Kugelmittelpunkt entstehenden Singularit¨ at verwende man die Ergebnisse aus Abschnitt 3.5. 3.16. Sei Ω ⊆ R2 ein Außenraum in der Ebene und u eine auf Ω harmonische und beschr¨ ankte Funktion. Man zeige, daß lim|x|→∞ u(x) existiert. N 2 0 3.17. Es sei Ω ⊆ R

oﬀen. Es sei u ∈ C (Ω, C) ∩ C (Ω, C), u|∂Ω = 0, ur v : Ω → C. Man lim|x|→∞ u(x) = 0, Ω |Δu(x)| dx < ∞; und desgleichen f¨ zeige, daß dann die drei folgenden Integrale existieren und − u(x)Δv(x) dx = ∇u(x) · ∇v(x) dx = − Δu(x)v(x) dx Ω

Ω

Ω

gilt. 3.18. Es sei Ω ⊂⊂ RN . Die Funktion u erf¨ ulle zumindest eine der beiden folgenden Bedingungen a) oder b):

a) u ∈ C 1 (Ω, C) ∩ C 0 Ω, C , u|∂Ω = 0, Ω |∇u(x)|2 dx < ∞,

b) u ∈ C 2 (Ω, C) ∩ C 0 Ω, C , u|∂Ω = 0, Ω |Δu(x)| dx < ∞.

2 Ferner sei v ∈ C 2 (Ω, C), Ω |∇v(x)| dx < ∞ und Ω |Δv(x)| dx < ∞. Man zeige, daß die beiden folgenden Integrale existieren und den gleichen Wert annehmen: u(x)Δv(x) dx = ∇u(x) · ∇v(x) dx . − Ω

Ω

3 Aufgaben

101

2 3.19. Es sei Ω ⊂⊂ RN , DΩ (v) := Ω |∇v(x)| dx, und (un ) sei eine Folge 1 aus C (Ω), die auf jedem Ω ⊂⊂ Ω mitsamt Ableitungen erster Ordnung gleichm¨ aßig gegen u ∈ C 1 (Ω) konvergiert. Man zeige DΩ (u) ≤ lim inf DΩ (un ) n→∞

(Unterhalbstetigkeit des Dirichletintegrals). 3.20. Verwendet werde die Notation aus Bemerkung 3.1.8. Es ist dann h2x + h2y = Hr2 +

1 2 H . r2 ϕ

Man zeige, daß D(h) =

∞

2 hx + h2y dx dy = π k a2k + b2k k=1

E

ist und bei Wahl von G(t) =

∞

sin(n!t) , n2 n=1

t∈R,

D(h) = ∞ ausf¨ allt (dazu w¨ urde es schon gen¨ ugen, n! im Argument des Sinus durch n3 zu ersetzen).

4 Die Poissongleichung −Δu = f

Es wird gezeigt, daß die Poissongleichung eine zweimal stetig diﬀerenzierbare L¨ osung besitzt, wenn die rechte Seite lokal h¨olderstetig ist (Satz 4.2.6) und Stetigkeit alleine dazu nicht ausreicht (Satz 4.3.1). Satz 4.4.9 stellt eine ¨ Aquivalenz zwischen L¨ osbarkeit des Dirichletproblems, Existenz der Green¨ schen Funktion und Regularit¨ at der Randpunkte her. Uber die Symmetrie der Greenschen Funktion (Satz 4.5.2) werden Absch¨atzungen f¨ ur ihre Ableitungen hergeleitet (S¨ atze 4.6.2 und 4.6.3). Die S¨atze 4.7.1 und 4.7.2 sind Hilfsmittel, um f¨ ur das Greenpotential zum H¨olderschen Satz 4.2.6 analoge Aussagen beweisen bzw. die Helmholtzsche Schwingungsgleichung in ¨ahnlicher Weise behandeln zu k¨ onnen. Lemma 4.7.4 von E. Hopf wird erst in Abschnitt 9.2 ben¨ otigt.

4.1 Orientierende Bemerkungen zum Newtonpotential Das Dirichletproblem f¨ ur die Poissongleichung in Ω ⊂⊂ RN ist durch − Δu = f in Ω , u|∂Ω = g

(4.1) (4.2)

charakterisiert. Dabei sind f : Ω → R und g : ∂Ω → R vorgegebene Funktionen. Man nennt u : Ω → R in Erweiterung des auf S. 59 Gesagten eine L¨osung dieses Problems, wenn u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) ist und den beiden Gleichungen gen¨ ugt (was nat¨ urlich mindestens die Stetigkeit von f und g voraussetzt). Bemerkung 4.1.1. Nehmen wir an, wir h¨ atten irgendeine Funktion v ∈ C 2 (Ω)∩C 0 (Ω) gefunden, die (4.1) erf¨ ullt. Wenn dann jeder Randpunkt von Ω regul¨ ar ist, so garantiert nach Satz 3.3.9 die Perronsche Methode die Existenz einer Funktion h ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) mit Δh = 0 in Ω ,

h = g − v auf ∂Ω .

E. Wienholtz et al., Elliptische Diﬀerentialgleichungen zweiter Ordnung, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009 DOI 10.1007/978-3-540-45721-3 4,

104

4 Die Poissongleichung −Δu = f

u := v + h ist daher eine L¨ osung des Dirichletproblems (4.1), (4.2). Die Eindeutigkeit ergibt sich sofort aus Satz 3.1.1, da die Diﬀerenz zweier L¨osungen von (4.1) ja eine harmonische Funktion ist. Es liegt nun nahe, nochmals die Linearit¨ at des Problems ausn¨ utzend, eine solche partikul¨ are L¨ osung v aus den bei festem y ∈ RN in RN \ {y} harmonischen Funktionen |x − y|2−N im Falle N ≥ 3 bzw.

ln |x − y| im Falle N = 2

aufzubauen. Diese Funktionen sind uns schon an verschiedenen Stellen begegnet (in Aufgabe 2.4, auf S. 64 bei der Poissonschen Integralformel, bei den Barrieren in Abschnitt 3.4 und bei den behebbaren Singularit¨aten in Abschnitt 3.5). Von jetzt an werden sie noch intensiver benutzt. Deﬁnition 4.1.2. F¨ ur x ∈ RN , y ∈ RN , x = y, sei S(x, y) :=

1 (N −2)ωN

|x − y|2−N f¨ ur N ≥ 3

1 − 2π ln |x − y|

.

f¨ ur N = 2

Wir werden sehen, daß es bequem ist, f¨ ur x ∈ RN noch S(x, x) := 0 zu N N setzen. Man nennt S : R × R → R die Singularit¨atenfunktion oder die Grundl¨ osung zum Laplaceoperator. Ersichtlich gilt S(x, y) = S(y, x) ,

lim S(x, y) = ∞ ,

x→y x =y

0 < S(x, y) f¨ ur x = y im Falle N ≥ 3 und f¨ ur 0 < |x − y| < 1 im Falle N = 2. Die Best¨ atigung der Angaben in der nachfolgenden Bemerkung ist eine leich¨ te Ubungsaufgabe. Aus (iv) erkl¨ art sich die Wahl des dimensionsabh¨angigen Faktors in der Deﬁnition der Funktion S. Bemerkung 4.1.3. a) (i) Es gibt eine Konstante C(N ) mit |S(x, y)| ≤ C(N ) |x − y|2−N + |ln |x − y|| und daher zu jedem R > 0 und γ ∈ (0, 1) eine Zahl CN (R, γ), so daß |S(x, y)| ≤ CN (R, γ)|x − y|2−N −γ

f¨ ur |x − y| ≤ R .

Damit wird eine Unterscheidung der F¨ alle N ≥ 3 und N = 2 vermieden. 1 xi − yi (ii) Es ist Sxi (x, y) = − = −Syi (x, y), und hieraus folgt ωN |x − y|N |∇x S(x, y)| ≤

1 |x − y|1−N . ωN

4.1 Orientierende Bemerkungen zum Newtonpotential

105

(iii) Die zweiten Ableitungen berechnen sich zu % 1 (xi − yi )(xk − yk ) δik − N ; Sxi xk (x, y) = − ωN |x − y|N |x − y|2 ur x = y und mithin ist Δx S(x, y) = 0 = Δy S(x, y) f¨ |Sxi xk (x, y)| ≤

N +1 . ωN |x − y|N

(iv) F¨ ur Ω ⊆ RN oﬀen, x ∈ Ω und f ∈ C 0 (Ω) gilt x−y lim · ∇y S(x, y) dS(y) = f (x) . f (y)

→0 |x − y| ∂B (x)

b) Die Absch¨ atzungen in (i)–(iii) verwendet man h¨auﬁg in Kombination mit der f¨ ur Br (x) ⊂⊂ RN und β > −N g¨ ultigen Formel rN +β . |x − y|β dy = ωN N +β Br (x)

Speziell ist daher f¨ ur Ω ⊂⊂ RN mit D := diam Ω f¨ ur alle x ∈ Ω und γ ∈ (0, 1) ωN D2−γ . |S(x, y)| dy ≤ |S(x, y)| dy ≤ CN (D, γ) 2−γ |y−x|≤D

Ω

Des weiteren hat man |S(x, y)| dS(y) → 0 , ∂B (x)

|Sxi (x, y)| dy → 0 B (x)

f¨ ur → 0. Aufgrund von Bemerkung 4.1.3 b) k¨ onnen wir die folgende Deﬁnition treffen. Deﬁnition 4.1.4. Es sei Ω ⊂⊂ RN , und es sei f : Ω → R meßbar und beschr¨ ankt. Man nennt die durch (4.3) v(x) := S(x, y)f (y) dy Ω

deﬁnierte Funktion v : RN → R das Newtonpotential zu Ω und f . In der ¨ alteren Literatur wurde die Bezeichnung Newtonpotential“ nur f¨ ur ” N = 3 benutzt. Man kontrastierte es mit dem Logarithmischen Potential“ ” f¨ ur N = 2. F¨ ur N = 3 stimmt v bis auf einen Faktor mit dem Potential (1.3)

106

4 Die Poissongleichung −Δu = f

eines Kraftfeldes u ¨berein, das von einer in Ω mit der Dichte f verteilten Masse ausgeht. Wie auf S. 6 erw¨ ahnt, zeigte Gauss, daß v f¨ ur stetig diﬀerenzierbares f zweimal stetig diﬀerenzierbar ist und (4.1) erf¨ ullt. Diﬀerenziert man (4.3) zweimal unter dem Integralzeichen, so erh¨ alt man wegen (iii) in Bemerkung 4.1.3 Terme der Gestalt |x − y|−N , deren Integrierbarkeit also nur durch Voraussetzungen an die Dichte f erreicht werden kann. H¨ older ersetzte dann die Voraussetzung der stetigen Diﬀerenzierbarkeit durch die in der nachfolgenden Deﬁnition 4.1.5 genannte zun¨ achst nur geringf¨ ugig schw¨acher erscheinende Bedingung an den Stetigkeitsmodul von f . Die zentrale Bedeutung seiner Voraussetzung f¨ ur die elliptischen Diﬀerentialgleichungen wurde erst sp¨ater sehr deutlich, als im ersten Drittel des 20. Jahrhunderts Funktionalanalysis und Topologie zum Einsatz kamen. F¨ ur uns wird dieser Aspekt ab dem Abschnitt 5.5 eine große Rolle spielen. Deﬁnition 4.1.5. F¨ ur oﬀenes Ω ⊆ RN ist ur jedes K ⊂⊂ Ω gibt es Zahlen c > 0 und C H (Ω) := {u : Ω → R : f¨ α ∈ (0, 1] mit |u(x) − u(y)| ≤ c|x − y|α f¨ ur x, y ∈ K} der Vektrorraum der auf Ω lokal h¨ olderstetigen Funktionen. (Man beachte, daß H¨ olderschranke c und H¨ olderexponent α lokal variieren k¨ onnen; insbesondere wird kein gemeinsamer H¨ olderexponent f¨ ur alle K ⊂⊂ Ω vorgegeben. Dies wird erst in Abschnitt 5.3 geschehen.) Weiter setzen wir ankt . CbH (Ω) := u ∈ C H (Ω) : u ist beschr¨ Man spricht meist von H¨ olderstetigkeit im Falle α ∈ (0, 1) und Lipschitzstetigkeit im Falle α = 1. Obwohl derartige Funktionen h¨ochst unterschiedliche Eigenschaften haben k¨ onnen – es gibt h¨ olderstetige Funktionen, die nirgends diﬀerenzierbar sind, w¨ ahrend lipschitzstetige Funktionen es nach einem Satz von Rademacher [271] fast u ¨berall sind – lassen sich bei unseren Untersuchungen diese Funktionenklassen weitgehend gemeinsam behandeln. Die Schwierigkeit bei der Untersuchung der Diﬀerenzierbarkeitseigenschaften singul¨ arer Integrale der Gestalt (4.3) besteht darin, daß es nicht m¨oglich ist, den Diﬀerenzenquotienten durch eine von x ∈ Ω unabh¨angige integrierbare Funktion abzusch¨ atzen, also einen klassischen Satz u ¨ber Parameterintegrale anzuwenden (vgl. Satz A.5). Eine M¨ oglichkeit, diese Schwierigkeit zu meistern, besteht darin, den singul¨ aren Kern S durch singularit¨atenfreie Kerne, die mit Hilfe einer Abschneidefunktion erzeugt werden, zu approximieren (s. den Beweis von Satz 4.2.4). Naheliegender ist vielleicht eine Approximation, bei der 1/2 ersetzt und h gegen Null geschickt |x − y| in S(x, y) durch |x − y|2 + h2 wird, ein Gedanke, der von Green [87] stammt (er verwendet ihn in beliebigen Dimensionen) und der f¨ ur das Newtonpotential tats¨achlich sehr bequem ist, sich aber nicht auf allgemeinere singul¨ are Integrale, wie sie in Abschnitt 4.7 vorkommen, u aßt. Lichtenstein verwendet diesen gelegent¨bertragen l¨ lich nach ihm benannten Trick in seiner auf Arbeiten von Korn [150, 151]

4.2 Diﬀerenzierbarkeit des Newtonpotentials, L¨ osung des Dirichletproblems

107

basierenden und f¨ ur seine hydrodynamischen Untersuchungen wichtigen systematischen Darstellung [191] der Eigenschaften des Newtonpotentials. Einen eigenst¨ andigen Charakter hat das Studium singul¨arer Integrale ´ n und Zygmund aus dem Jahre 1952 bedurch eine Arbeit von Caldero kommen. Hier¨ uber unterrichtet das Buch von Mikhlin [205]. Diese Ergebnisse sind besonders f¨ ur die von uns nicht behandelte Lp -Theorie elliptischer Diﬀerentialgleichungen wichtig. Sie enthalten als Spezialfall den Lichtensteinschen Satz, daß das Newtonpotential fast u ¨berall zweimal diﬀerenzierbar ist, wenn die Dichte quadratisch integrierbar ist [187]. In Abschnitt 4.3 werden wir sehen, daß nicht einmal die Stetigkeit der Dichte f¨ ur die u ¨berall zweimalige Diﬀerenzierbarkeit des Potentials ausreicht.

4.2 Diﬀerenzierbarkeitseigenschaften des Newtonpotentials und L¨ osung des Dirichletproblems Wir beginnen mit einer Aussage, deren Beweis nur vom Gaußschen Satz f¨ ur Kugeln Gebrauch macht. Lemma 4.2.1. Es sei Ω ⊂⊂ RN , und es sei σ ∈ C 2 (Ω) eine Funktion, f¨ ur die Δσ beschr¨ ankt ist. Dann gilt S(·, y)Δσ(y) dy ∈ C 2 (Ω) Ω

und f¨ ur x ∈ Ω

−Δ

S(x, y)Δσ(y) dy = Δσ(x) .

(4.4)

Ω

Beweis. Sei B ⊂⊂ Ω eine Kugel, x ∈ B und B (x) ⊂⊂ B f¨ ur ein > 0. Wir zerlegen S(x, y)Δσ(y) dy = S(x, y)Δσ(y) dy + S(x, y)Δσ(y) dy . (4.5) Ω

Ω\B

B

Das erste Integral rechts kann nach dem Standardsatz A.5 u ¨ber Parameterintegrale beliebig oft unter dem Integralzeichen diﬀerenziert werden; es stellt also eine harmonische Funktion dar. Somit verbleibt S(x, y)Δσ(y) dy = S(x, y)Δσ(y) dy + S(x, y)Δσ(y) dy . B

B\B (x)

B (x)

Das zweite Integral rechts geht nach Bemerkung 4.1.3 b) f¨ ur → 0 gegen Null. Auf das erste Integral wenden wir den Gaußschen Satz B.6 an, wobei auf die Richtung der ¨ außeren Einheitsnormalen ν zu achten ist. Wegen Δy S(x, y) = 0 f¨ ur y ∈ B \ B (x) haben wir

108

−

4 Die Poissongleichung −Δu = f

[σ(y)Δy S(x, y) − S(x, y)Δσ(y)] dy

S(x, y)Δσ(y) dy =

B\B (x)

B\B (x)

[σ(y)∇y S(x, y) − S(x, y)∇σ(y)] · ν(y) dS(y)

= ∂B

+

σ(y)

x−y · ∇y S(x, y) dS(y) |x − y|

(4.6)

∂B (x)

−

S(x, y)

x−y · ∇σ(y) dS(y) . |x − y|

∂B (x)

Das erste Integral in (4.6) ist eine in B harmonische Funktion h(x). F¨ ur → 0 strebt das zweite nach Bemerkung 4.1.3 a) gegen σ(x), w¨ahrend das dritte nach Teil b) dieser Bemerkung gegen Null geht. Dies liefert uns f¨ ur x ∈ B, σ(x) = − S(x, y)Δσ(y) dy − h(x) , (4.7) B

was man auch als Greensche Darstellungsformel f¨ ur die Kugel B bezeichnet.

Zusammen mit (4.5) folgt, daß Ω S(·, y)Δσ(y) dy auf B zweimal stetig diﬀerenzierbar ist. Anwendung von Δ auf (4.5) f¨ uhrt wegen der Harmonizit¨at von ur alle x ∈ B. Da B ⊂⊂ Ω h und von Ω\B S(·, y)Δσ(y) dy auf Relation (4.4) f¨ beliebig gew¨ ahlt war, folgt hieraus die Behauptung. Korollar 4.2.2. F¨ ur Ω ⊂⊂ RN gilt die auf S. 6 genannte Poissonsche Aussage u ¨ber das mit einer konstanten Dichte gebildete Newtonpotential, d.h. S(·, y) dy ∈ C ∞ (Ω) und − Δ S(x, y) dy = 1 f¨ ur alle x ∈ Ω . Ω

Ω

1 |x|2 an. Die C ∞ -Eigenschaft Beweis. Man wende Lemma 4.2.1 auf σ(x) = 2N des Newtonpotentials folgt nunmehr sofort aus (4.7).

Korollar 4.2.3. F¨ ur ϕ ∈ Cc2 (RN ) und x ∈ RN gilt −Δ S(x, y)ϕ(y) dy = − S(x, y)Δϕ(y) dy = ϕ(x) . RN

RN

Ist ϕ ∈ Cc∞ (RN ), so ist sein Newtonpotential auf RN beliebig oft diﬀerenzierbar. Beweis. Die Gleichheit rechts folgt sofort aus (4.7), da h identisch Null wird, wenn man B ⊇ supp ϕ w¨ ahlt. Die andere Behauptung ergibt sich aus

4.2 Diﬀerenzierbarkeit des Newtonpotentials, L¨ osung des Dirichletproblems

109

S(x, y)Δϕ(y) dy = RN

S(0, z)Δϕ(x + z) dz RN

=

S(0, z)Δx ϕ(x + z) dz RN

=Δ

S(0, z)ϕ(x + z) dz ,

RN

wobei die Vertauschung von Diﬀerentiation und Integration durch den Standardsatz A.5 gedeckt wird. Die

letzte Behauptung

folgt ebenfalls aus dem Standardsatz A.5, wenn man RN S(x, y)ϕ(y) dy = RN S(0, z)ϕ(x + z) dz verwendet. Wenn man prim¨ ar daran interessiert ist zu zeigen, daß das Newtonpotential eine schwache L¨ osung der Poissongleichung ist, kann man nun direkt zu Satz 10.2.5 u ¨bergehen. Satz 4.2.4. Es sei Ω ⊂⊂ RN , ferner f : Ω → R meßbar und beschr¨ ankt. Dann ist das Newtonpotential (4.3) zu Ω und f aus C 1 (RN ), und es gilt vxi (x) = Sxi (x, y)f (y) dy f¨ ur alle x ∈ RN . (4.8) Ω

Ist M eine Schranke f¨ ur |f |, so besteht |vxi (x)| ≤ c(Ω)M

f¨ ur alle x ∈ RN

(4.9)

mit einer allein von N und von dem Volumen von Ω abh¨ angigen Konstanten c(Ω). Beweis. Die absolute Konvergenz des Integrals (4.8) ergibt sich sofort aus (ii) in Bemerkung 4.1.3 a). Um zu einer Diﬀerenzierbarkeitsaussage f¨ ur v zu kommen, machen wir von einer Abschneidefunktion ϕ : R → R mit den Eigenschaften ϕ ∈ C ∞ (R), 0 ≤ ϕ ≤ 1 und ϕ(t) =

0 f¨ ur t < 1 1 f¨ ur t > 2

Gebrauch und setzen noch ϕ (t) := ϕ (t/) f¨ ur > 0. Es gibt dann ein k > 0 mit |ϕ (t)| ≤

k

(4.10)

110

4 Die Poissongleichung −Δu = f

f¨ ur > 0 und t ∈ R. Damit ist dann ϕ (|x − y|)S(x, y) singularit¨atenfrei, und f¨ ur alle x, y ∈ RN gilt lim ϕ (|x − y|)S(x, y) = S(x, y) ,

→0

denn wir haben ja S(x, x) zu Null deﬁniert. Setzen wir v (x) := ϕ (|x − y|)S(x, y)f (y) dy ,

(4.11)

Ω

so gilt aufgrund des Satzes von der majorisierten Konvergenz lim v (x) = v(x)

→0

f¨ ur alle x ∈ R . F¨ ur jedes > 0 liegt nach dem Standardsatz A.5 u ¨ber Parameterintegrale v in C 1 (RN ) und ∂ ∂ v (x) = f (y) [ϕ (|x − y|)S(x, y)] dy . ∂xi ∂xi N

Ω

Zum Nachweis der Diﬀerenzierbarkeit von v und der Darstellung (4.8) brauchen wir also nur zu zeigen, daß f¨ ur → 0 ∂ v (x) − Sxi (x, y)f (y) dy D (x) := ∂xi Ω

gleichm¨ aßig f¨ ur x ∈ Ω gegen Null geht. Aufgrund der Eigenschaften der Abschneidefunktion ϕ und wegen Bemerkung 4.1.3 1haben wir mit einer geeigur ≤ 2 gilt neten Zahl cN R = 1, γ = 12 =: cN , daß f¨ (|(ϕ (|x − y|) − 1) Sxi (x, y)| + |ϕ (|x − y|) S(x, y)|) dy |D (x)| ≤ M |x−y|≤2

≤M |x−y|≤2

=M

1 1 k |x − y|1−N + cN |x − y|2−N − 2 ωN

3 2k 2 + cN ωN (2) 2 3

dy

.

Die Absch¨ atzung (4.9) ergibt sich schließlich aus M |vxi (x)| ≤ |Sxi (x, y)f (y)| dy ≤ |x − y|1−N dy ωN Ω Ω ⎫ ⎧ ⎪ ⎪ ⎬ ⎨ M 1−N 1−N |x − y| dy + 1 dy ≤ ⎪ ωN ⎪ ⎭ ⎩ B1 (x)

nach Bemerkung 4.1.3.

Ω

4.2 Diﬀerenzierbarkeit des Newtonpotentials, L¨ osung des Dirichletproblems

111

Lemma 4.2.5. Ist B ⊂⊂ RN eine Kugel, so gilt f¨ ur x ∈ B ∂2 S(x, y) dy = − νi (y)Sxk (x, y) dS(y) . ∂xi ∂xk B

∂B

außeren Einheitsnormalen an ∂B im Dabei ist νi (y) die i-te Komponente der ¨ Punkte y. Beweis. Sei x ∈ B und B (x) ⊂⊂ B. Nach Satz 4.2.4 hat das Newtonpotential zu B und 1, v(x) := S(x, y) dy , B

die Eigenschaft

vxi (x) =

Sxi (x, y) dy , B

was nach (ii) in Bemerkung 4.1.3 a) in der Form Syi (x, y) dy − Syi (x, y) dy vxi (x) = − B\B (x)

B (x)

geschrieben werden kann, wobei das zweite Integral nach Punkt b) dieser Bemerkung f¨ ur → 0 gegen Null geht. Wenden wir auf das erste Integral den Gaußschen Satz B.6 an, so erhalten wir xi − yi S(x, y) dS(y) . Syi (x, y) dy = νi (y)S(x, y) dS(y) + |x − y| ∂B

B\B (x)

∂B (x)

Da das zweite Integral ebenfalls in Bemerkung 4.1.3 b) als gegen Null gehend erkannt wurde, haben wir die Darstellung vxi (x) = − νi (y)S(x, y) dS(y) ∂B

erreicht. Die rechte Seite kann nach Satz A.5 aber unter dem Integralzeichen nach xk diﬀerenziert werden. Nachfolgend der Hauptsatz dieses Abschnitts; wir erinnern an Deﬁnition 4.1.5. Satz 4.2.6 (O. H¨ older). Es sei Ω ⊂⊂ RN , und es sei f ∈ CbH (Ω). Dann ur x ∈ Ω gilt ist das zu Ω und f geh¨ orige Newtonpotential v aus C 2 (Ω), und f¨ ∂2 S(x, y) dy . (4.12) vxi xk (x) = [f (y) − f (x)] Sxi xk (x, y) dy + f (x) ∂xi ∂xk Ω

Ω

112

4 Die Poissongleichung −Δu = f

Beweis. Nach Voraussetzung lassen sich zu einer kleinen Kugel B (x) ⊂⊂ Ω um den festen Punkt x ∈ Ω eine H¨ olderschranke c und ein H¨olderexponent α zu dieser Kugel angeben derart, daß f¨ ur y ∈ B (x) |(f (y) − f (x)) Sxi xk (x, y)| ≤ c|x − y|α

N +1 |x − y|−N ωN

ausf¨ allt (siehe (iii) in Bemerkung 4.1.3 a)). F¨ ur y ∈ Ω \ B (x) k¨onnen wir gr¨ ober durch |(f (y) − f (x)) Sxi xk (x, y)| ≤

N +1 2 sup |f | ωN N

absch¨ atzen. Das erste Integral in (4.12) ist also absolut konvergent. ugt zu zeigen, daß v auf B zweimal Es sei B ⊂⊂ Ω eine Kugel. Es gen¨ stetig diﬀerenzierbar ist und die Darstellung (4.12) f¨ ur x ∈ B besteht. Dazu betrachten wir wieder die mit der zu Beginn des Beweises von Satz 4.2.4 eingef¨ uhrten Abschneidefunktion ϕ erzeugte Funktion v aus (4.11), wobei wir annehmen k¨onnen, daß mit der Zahl k > 0 aus (4.10) auch |ϕ (t)| ≤

k 2

(4.13)

f¨ ur > 0 und t ∈ R besteht. Es ist v ∈ C 2 (RN ), wobei unter dem Integralzeichen diﬀerenziert werden kann. Wir schreiben ∂2 ∂2 v (x) = f (y) [ϕ (|x − y|)S(x, y)] dy ∂xi ∂xk ∂xi ∂xk Ω ∂2 [ϕ (|x − y|)S(x, y)] dy + f (x)T (x) = [f (y) − f (x)] ∂xi ∂xk mit

Ω

∂2 T (x) := ∂xi ∂xk

ϕ (|x − y|)S(x, y) dy . Ω

Es sei B eine zu B konzentrische Kugel mit B ⊂⊂ B ⊂⊂ Ω und nunmehr 0<<

1 dist(B , ∂B) . 2

(4.14)

F¨ ur x ∈ B und y ∈ Ω \ B ist dann |x − y| ≥ 2 und daher ϕ (|x − y|) = 1, mithin ∂ ∂2 ∂ T (x) = S(x, y) dy + [ϕ (|x − y|)S(x, y)] dy . ∂xi ∂xk ∂xk ∂xi Ω\B

B

∂ ∂ In dem zweiten Integral k¨ onnen wir ∂x durch − ∂y ersetzen (vgl. (ii) in Bei i merkung 4.1.3 a)) und dann den Gaußschen Satz anwenden:

4.2 Diﬀerenzierbarkeit des Newtonpotentials, L¨ osung des Dirichletproblems

∂ [ϕ (|x − y|)S(x, y)] dy = − ∂xi

B

113

νi (y)S(x, y) dS(y) .

∂B

Nach Lemma 4.2.5 gilt daher f¨ ur , die (4.14) erf¨ ullen, ∂2 ∂2 T (x) = S(x, y) dy + S(x, y) dy , ∂xi ∂xk ∂xi ∂xk B

Ω\B

so daß wir nur noch zeigen m¨ ussen, daß f¨ ur → 0 ∂ 2 v (x) ∂2 D (x) := − [f (y) − f (x)]Sxi xk (x, y) dy −f (x) S(x, y) dy ∂xi ∂xk ∂xi ∂xk Ω Ω ∂2 {S(x, y)[ϕ (|x − y|) − 1]} dy = [f (y) − f (x)] ∂xi ∂xk Ω

gleichm¨ aßig in x ∈ B gegen Null geht. Wir beobachten zun¨achst wieder, daß sich dieses Integral nur u ur die |x − y| ≤ 2 ist. Die ¨ber die y ∈ Ω erstreckt, f¨ Ableitung der geschweiften Klammer liefert die vier Terme Sxi xk (x, y)[ϕ (|x − y|) − 1] , xk − yk xi − yi + Sxk (x, y) ϕ (|x − y|) Sxi (x, y) , |x − y| |x − y| S(x, y)ϕ (|x − y|) S(x, y)

(xi − yi )(xk − yk ) , |x − y|2

ϕ (|x − y|) (xi − yi )(xk − yk ) . δik − |x − y| |x − y|2

Wir sch¨ atzen exemplarisch den ersten Term ab und geben die Absch¨atzung ¨ der drei anderen Terme als Ubungsaufgabe (hier sind (4.10) und (4.13) zu ur x ∈ B . Auf B verwenden). Bei der Wahl von in (4.14) ist B2 (x) ⊆ B f¨ gibt es Zahlen c > 0 und α ∈ (0, 1] mit |f (y) − f (x)| ≤ c|y − x|α

f¨ ur alle x, y ∈ B .

Also kann der erste Term f¨ ur x ∈ B nach Bemerkung 4.1.3 durch (2)α N +1 |x − y|α−N dy = c(N + 1) c ωN α |x−y|≤2

majorisiert werden. Bei den drei anderen Termen sind die Absch¨atzungen ahnlich. ¨

114

4 Die Poissongleichung −Δu = f

Korollar 4.2.7. Unter den Voraussetzungen von Satz 4.2.6 gilt −Δv = f . Beweis. Aus (4.12) folgt ja f¨ ur x ∈ Ω −Δv(x) = − [f (y) − f (x)]Δx S(x, y) dy − f (x) Δ S(x, y) dy . Ω

Ω

Das erste Integral erstreckt sich u ¨ber eine absolutintegrierbare Funktion, die f¨ ur fast alle y ∈ Ω Null ist, so daß die Behauptung aus Korollar 4.2.2 folgt. Bemerkung 4.2.8. F¨ ur Ω ⊂⊂ RN , f ∈ CbH (Ω) und g ∈ C 0 (∂Ω) hat aufgrund der einleitenden Bemerkung 4.1.1 das Dirichletproblem − Δu = f in Ω ,

u|∂Ω = g

(4.15)

genau eine L¨ osung, wenn jeder Punkt von ∂Ω regul¨ar ist. F¨ ur L¨ osungen der Poissongleichung lassen sich nun leicht S¨atze beweisen, die dem Kompaktheitssatz (Satz 2.1.10) und den beiden Harnackschen S¨atzen (Satz 2.2.4 und Korollar 3.1.3) f¨ ur harmonische Funktionen analog sind. Dies geschieht in den Aufgaben 4.4 und 4.5. Einen zu den S¨atzen 3.1.2 und 3.1.6 analogen Stabilit¨atssatz f¨ ur L¨ osungen des Dirichletproblems f¨ ur die Poissongleichung gewinnen wir aus der nachfolgenden A-Priori-Absch¨atzung. Satz 4.2.9. Zu D > 0 und N ≥ 2 gibt es C(N, D), so daß f¨ ur alle nichtleeren Ω ⊂⊂ RN mit diam Ω ≤ D, alle f ∈ CbH (Ω), alle g ∈ C 0 (∂Ω) und alle L¨ osungen u von (4.15) die folgende Absch¨ atzung f¨ ur alle x ∈ Ω besteht: |u(x)| + dist(x, ∂Ω)|∇u(x)| ≤ C(N, D) max |g| + sup |f | . ∂Ω

Ω

Beweis. Es sei v das Newtonpotential zu Ω und f . Dann ist u−v ∈ C 0 (Ω) und in Ω harmonisch, also aufgrund des schwachen Maximumprinzips (s. Korollar 2.3.5 und nachfolgende Bemerkung) |u(x) − v(x)| ≤ max |u(y) − v(y)| ≤ max |g| + max |v| y∈∂Ω

∂Ω

∂Ω

f¨ ur x ∈ Ω, und die innere A-Priori-Absch¨ atzung aus Satz 2.1.7 liefert √ dist(x, ∂Ω) |∇[u(x) − v(x)]| ≤ N N max |u − v| ∂Ω √ ≤ N N max |g| + max |v| . ∂Ω

∂Ω

Die Behauptung folgt nun aus Bemerkung 4.1.3 b) und Ungleichung (4.9).

4.3 Petrinis Gegenbeispiel

115

Korollar 4.2.10 (Stabilit¨ atssatz). Zu Ω ⊂⊂ RN gibt es eine Zahl c(N, D), die allein durch N und D := diam Ω bestimmt ist, so daß folgendes gilt: F¨ ur osungen der Dirichletpobleme i = 1, 2 seien ui L¨ −Δui = fi in Ω mit fi ∈ CbH (Ω),

ui |∂Ω = gi ∈ C 0 (∂Ω) .

Gilt zudem f¨ ur ein > 0, daß |f1 − f2 | ≤ in Ω und |g1 − g2 | ≤ auf ∂Ω, so ist f¨ ur alle x ∈ Ω: |u1 (x) − u2 (x)| ≤ c(N, D),

und

|∇u1 (x) − ∇u2 (x)| ≤

c(N, D) . dist(x, ∂Ω)

Bemerkung 4.2.11. Eine weitere Folgerung ist, daß die L¨osungen ul von aßig konvergieren, wenn die Folgen −Δul = fl in Ω, ul |∂Ω = gl , auf Ω gleichm¨ aßig konvergieren. (ul ) konvergiert aber im allgemeinen (fl ) und (gl ) gleichm¨ nicht gegen eine L¨ osung u von −Δu = liml→∞ fl . Da aufgrund des Weierstraßschen Approximationssatzes jede auf Ω stetige Funktion gleichm¨aßiger Limes einer Folge beschr¨ ankter, h¨ olderstetiger Funktionen ist, w¨ urde dies Bemerkung 4.3.2 widersprechen. Man muß also entweder von der rechten Seite mehr voraussetzen oder den L¨ osungsbegriﬀ abschw¨achen (s. Aufgabe 10.1).

4.3 Petrinis Gegenbeispiel Es blieb lange unklar, ob das Newtonpotential schon unter der Voraussetzung der Stetigkeit der Dichte f zweimal diﬀerenzierbar ist. Daß dem nicht so ist, hat erst der schwedische Mathematiker Petrini [251] durch ein Beispiel f¨ ur N = 2, 3 belegt. Satz 4.3.1. Es sei R < 1, B := BR (0) ⊆ RN , ferner i, k ∈ {1, . . . , N }. Gegeben sei die stetige Funktion ⎧ yy ⎨ 2i k f¨ ur y ∈ B \ {0} |y| | ln |y|| f (y) := , ⎩ 0 f¨ ur y = 0 und es sei v das Newtonpotential zu B und f . Dann existiert vxi xk (0) nicht. Beweis. Wir nehmen widerspruchshalber an, das sei doch der Fall. Ist dann ur 0 < h < R ek := (δk1 , . . . , δkN ), so ist f¨ 1 [vx (hek ) − vx (0)] = 1 |vx (hek )| ≤ konst. (4.16) i i h i h Nach Satz 4.2.4 und (ii) in Bemerkung 4.1.3 a) ist ja 1 yi vxi (0) = f (y) N dy = 0 , ωN |y| B

4 Die Poissongleichung −Δu = f

116

da der Integrand ungerade ist und B bei der Ersetzung von y durch −y unge¨andert bleibt. Es sei nun m > 0, ferner h > 0 so, daß mh < R. Wegen hδki − yi m+1 1 −1 ωN f (y) dy ≤ (h| ln R|) |hek − y|1−N dy = h |hek − y|N | ln R| Bmh (0)

B(m+1)h (hek )

folgt daher aus (4.16) die Beschr¨ anktheit von ⎛ R 1 ⎜1 hδki − yi 1 f (y) dy = ⎝ h |hek − y|N | ln r| h mh

mh<|y|
⎞

h r δki − ηi h ek − η N |η|=1 r

⎟ ηi ηk dS(η)⎠ dr

f¨ ur h → 0. Wir k¨ urzen den Ausdruck in der runden Klammer mit I(h, r) ab und zeigen, daß es ein m > 0 so gibt, daß f¨ ur mh < r < R I(h, r) ≤ −

1 ωN 2(N + 2) r

(4.17)

ausf¨ allt, was den gew¨ unschten Widerspruch liefert. Zum Beweis von (4.17) dient die folgende Darstellung von I(h, r): 1 δik ηi2 ηi2 ηk 1 dS(η) − N dS(η) h h r h ek − η ek − η N |η|=1

1 = r

1 = r

r

δik ηi2

|η|=1

r

δik ηi2

|η|=1

1 dS(η) − h

h ek − η N

r

|η|=1

|η|=1 ηk >0

h ek − η N r

N dS(η) − 2h

1

1

− h h ek − η N ek + η N r r

|η|=1 ηk >0

|

| hr ek +η|

2

|

2 h r ek −η

ηi2 ηk dS(η)

t

−1− N 2

dt ηi2 ηk dS(η) .

2 h h2 hηk F¨ ur |η| = 1 ist ek ± η = 1 + 2 ± 2 , und es folgt r r r 2 2 2 2 2 h − 1 ≤ h ek ± η ≤ h + 1 und h ek + η − h ek − η = 4 hηk . r r r r r r Das ergibt die Absch¨ atzung −N 1 h N 4h I(h, r) ≤ − 1 δik ηi2 dS(η) − r r 2h r |η|=1

⎛

−N 1 ⎜ h ≤ ⎝ − 1 r r

|η|=1

−2−N h ek + η ηk2 ηi2 dS(η) r

|η|=1 ηk >0

⎞ −2−N h ⎟ δik ηi2 dS(η) − N + 1 ηk2 ηi2 dS(η)⎠ . r |η|=1

4.3 Petrinis Gegenbeispiel

117

Die Integrale u are lassen sich mit dem Gaußschen Inte¨ber die Einheitssph¨ gralsatz leicht berechnen. Man beachte auch δik yi yk = δik yk2 . Es ist ωN , ηi2 dS(η) = yi νi (y) dS(y) = (yi )yi dy = dy = N |η|=1

|y|=1

|y|≤1

ηk2 ηi2 dS(η) = |η|=1

(yk2 yi )yi dy = (2δik + 1) |y|≤1

|y|≤1

yk2 dy

|y|≤1

1 ηk2 dS(η)rN +1 dr =

= (2δik + 1) Mithin ist ωN I(h, r) ≤ r

0 |η|=1

1 N

(2δik + 1) ωN . N +2 N

−N −2−N h h 1 − 1 + 1 δik − (2δik + 1) . r N + 2 r

Zu 0 < < 1 l¨aßt sich jetzt m > 0 so ﬁxieren, daß f¨ ur h/r < 1/m die h N h 2+N 1 1 Ungleichungen r − 1 ≥ 1+ und r + 1 ≤ 1− bestehen. Dann ist % 1 + 2(1 − ) 1− ωN − I(h, r) ≤ δik − r N N +2 N +2 f¨ ur hm < r < R, so daß man tats¨ achlich > 0 vorgeben kann, daß (4.17) gilt. Wenn man will, kann man sich nun, ausgehend von der Funktion f aus Satz 4.3.1, mittels des Hankelschen Prinzips von der Verdichtung der Singularit¨ aten, das Du Bois-Reymond in Zusammenhang mit der Divergenz von Fourierreihen stetiger Funktionen verwendete [56, S. 100 ﬀ.], eine auf B stetige und beschr¨ ankte Funktion verschaﬀen, so daß die zweiten Ableitungen des Newtonpotentials zu B und auf einer in B dichten Teilmenge nicht existieren. Bemerkung 4.3.2. Zu dem f aus Satz 4.3.1 gibt es kein u ∈ C 2 (B) mit −Δu = f in B. F¨ ur ein solches u w¨ are ja Δu auf einer konzentrischen Kugel B ⊂⊂ B beschr¨ankt, also nach Lemma 4.2.1 B S(·, y)f (y) dy ∈ C 2 (B ), was Satz 4.3.1 widerspricht. Nat¨ urlich folgt aus all dem nicht, daß die H¨ olderstetigkeit von f notwendig f¨ ur die zweimalige Diﬀerenzierbarkeit des Newtonpotentials ist. Tats¨achlich kann man den Beweis von Satz 4.2.6 bereits unter der schw¨acheren Voraussetzung f¨ uhren, daß lokal |f (x)−f (y)| ≤ ω(|x−y|) gilt, wobei ω eine monoton wachsende stetige Funktion mit der Eigenschaft 1 0

ω(t) dt < ∞ t

118

4 Die Poissongleichung −Δu = f

ist. Dies geht auf Morera [210] zur¨ uck. Auch diese Forderung an den Stetigkeitsmodul entstammt der Theorie der Fourierreihen; sie wurde dort von Dini [50] eingef¨ uhrt. Wir werden auf das Gegenbeispiel von Petrini bei der Abschw¨achung des klassischen L¨ osungsbegriﬀs in Korollar 10.2.6 zur¨ uckkommen.

4.4 Die Greensche Funktion zum Dirichletproblem Bei der L¨ osung des Dirichletproblems (4.1), (4.2) mit Hilfe des Newtonpotentials v ben¨ otigt man nach Bemerkung 4.1.1 eine harmonische Funktion h mit h = g − v auf ∂Ω. H¨ atte man anstelle von v eine L¨osung w der Poissongleichung mit w|∂Ω = 0, so brauchte man diese nur zu der L¨osung des Dirichletproblems f¨ ur die Laplacegleichung zu addieren, um die L¨osung des Problems f¨ ur die Poissongleichung zu erhalten. Wir machen f¨ ur w, das man auch Greenpotential zu Ω und f nennt, den Ansatz w(x) = G(x, y)f (y) dy Ω

und suchen G herzustellen (zur Historie siehe das auf S. 10 ﬀ. Gesagte). Wegen der Forderung w|∂Ω = 0 ist es naheliegend, von G zu verlangen, daß G(x, ·) = 0 ist f¨ ur x ∈ ∂Ω. Da −Δw = f sein soll und das Newtonpotential v schon diese Eigenschaft besitzt, ist es nicht unplausibel, die Harmonizit¨at von G(·, y) − S(·, y) f¨ ur y ∈ Ω zu verlangen. Dies f¨ uhrt uns (die Forderung (iii) wird durch den Wunsch nach Eindeutigkeit motiviert) zu Deﬁnition 4.4.1. Es sei Ω ⊆ RN oﬀen. Man nennt G : Ω×Ω → R Greensche Funktion f¨ ur Ω (genauer: f¨ ur Ω und den Laplaceoperator mit Dirichletscher Randbedingung [sofern ∂Ω nichtleer ist] oder auch Greensche Funktion 1. Art f¨ ur Ω und den Laplaceoperator), wenn f¨ ur jedes y ∈ Ω folgendes gilt: (i) G(·, y) − S(·, y) ist stetig auf Ω und harmonisch auf Ω; (ii) G(·, y) = 0 auf ∂Ω; ur n → ∞ gilt (iii) f¨ ur jede Folge (xn ) aus Ω mit |xn | → ∞ f¨ lim inf G(xn , y) = 0 n→∞

und lim sup G(xn , y) n→∞

<∞

f¨ ur N = 2

=0

f¨ ur N ≥ 3

.

Bemerkung 4.4.2. a) Man beachte, daß wir in Deﬁnition 4.1.2 die Singularit¨ atenfunktion S auf der Diagonalen zu Null deﬁniert haben, so daß f¨ ur y ∈ Ω die Diﬀerenz G(·, y) − S(·, y) tats¨ achlich auf ganz Ω erkl¨art ist. Man veriﬁziert leicht, daß G(·, y) auf Ω \ {y} harmonisch und in Ω \ {y} stetig ist.

4.4 Die Greensche Funktion zum Dirichletproblem

119

b) Die Forderung (iii) entf¨ allt, wenn Ω beschr¨ankt ist. c) Ist N ≥ 3 und Ω = RN , so hat die Singularit¨atenfunktion S oﬀensichtlich alle von G verlangten Eigenschaften. Hingegen gibt es im Fall Ω = R2 keine Funktion G mit den Eigenschaften (i)–(iii). Andernfalls w¨are n¨amlich bei festem y ∈ R2 die Funktion H(·, y) := G(·, y)−S(·, y) harmonisch, also die Menge der Minimumstellen dieser Funktion oﬀen. Die dritte Forderung w¨ urde ur jede Folge (xn ) mit |xn | → ∞ nach sich ziehen. lim inf n→∞ H(xn , y) = ∞ f¨ Aufgrund des Randminimumprinzips (Satz 2.3.8) w¨are dann aber H(·, y) ≥ c f¨ ur jedes c ∈ R, was unm¨ oglich ist. d) Es gibt, wenn u ur N ≥ 3 ¨berhaupt, genau eine Greensche Funktion. F¨ ergibt sich dies sofort, wenn man auf die Diﬀerenz zweier solcher Funktionen das Randminimumprinzip anwendet. Ist N = 2 und Ω unbeschr¨ankt (f¨ ur beschr¨ anktes Ω folgt die Behauptung ja sofort aus dem schwachen Minimumprinzip), so k¨ onnen wir wegen c) annehmen, daß R2 \ Ω nichtleer ist. Dann folgt aber die Behauptung aus dem Eindeutigkeitssatz 3.6.1. Nun zur Existenz der Greenschen Funktion. Satz 4.4.3. Die Greensche Funktion f¨ ur Ω ⊂⊂ RN existiert, wenn jeder Punkt von ∂Ω regul¨ ar ist. Beweis. Sei y ∈ Ω. Nach Satz 3.3.9 gibt es eine in Ω harmonische und auf Ω stetige Funktion H(·, y) mit H(x, y) = −S(x, y) f¨ ur x ∈ ∂Ω, so dass G := S + H das Gew¨ unschte leistet. Ein zentrales Ergebnis dieses Paragraphen wird in der Umkehrung dieses Satzes bestehen (Satz 4.4.9). Zun¨ achst einige allgemein wichtige Informationen u ost von der Frage der Existenz einer ¨ber die Greensche Funktion, losgel¨ solchen Funktion. ur Ω. Ist y ∈ Ω, Lemma 4.4.4. Es sei Ω ⊆ RN und G Greensche Funktion f¨ so gilt 0 ≤ G(x, y) f¨ ur x ∈ Ω \ {y} ; genauer: es ist 0 < G(x, y), wenn sich x und y in derselben Zusammenhangskomponente von Ω beﬁnden und x = y ist, und 0 = G(x, y), wenn x und y in verschiedenen Zusammenhangskomponenten von Ω liegen. F¨ ur x ∈ Ω, y ∈ Ω, x = y, gilt G(x, y) ≤

S(x, y)

,

|x−y| 1 − 2π ln diam Ω ,

falls N ≥ 3 falls N = 2 und Ω ⊂⊂ RN

.

120

4 Die Poissongleichung −Δu = f

Beweis. Wir ﬁxieren y ∈ Ω. Nach 4.4.1 (i) ist G(·, y) in Ω \ {y} harmonisch. Wir werden lim inf n→∞ G(xn , y) ≥ 0 zeigen, wenn (xn ) aus Ω gegen einen Punkt von {y} ∪ ∂Ω strebt oder |xn | → ∞ geht. Mit dem Randminimumprinzip 2.3.8 folgt dann G(x, y) ≥ 0 f¨ ur x ∈ Ω \ {y}, und das gilt dann wegen 4.4.1 (ii) auch f¨ ur x ∈ Ω \ {y}. Wir beginnen mit dem Fall xn → y. Da G(·, y) − S(·, y) nach 4.4.1 (i) in einer Umgebung von y beschr¨ ankt ist und S(xn , y) → ∞ gilt, ist auch lim inf n→∞ G(xn , y) = ∞. Wenn (xn ) gegen einen Punkt aus ∂Ω konvergiert oder |xn | → ∞ geht, folgt lim inf n→∞ G(xn , y) = 0 aus 4.4.1 (ii) (in Verbindung mit der Stetigkeit von G(·, y) auf Ω \ {y}) bzw. 4.4.1 (iii). Es sei Y diejenige Zusammenhangskomponente von Ω, die y enth¨alt. Damit ist G(·, y) in Y \ {y} nach 4.4.1 (i) hamonisch. H¨atte die Funktion dort eine Nullstelle, so w¨ are dies eine Minimumstelle, also nach Satz 2.3.2 G(·, y) konstant. Wegen 4.4.1 (i) m¨ ußte dann aber −S(·, y) in einer Umgebung von y beschr¨ ankt sein. Liegt x in einer Zusammenhangskomponente X von Ω, die y nicht enth¨alt, so liefert im Falle N ≥ 3 das Randminimumprinzip 2.3.8, angewandt auf die in X harmonischen Funktionen ±G(·, y), daß G(x, y) = 0 ist. Im Fall N = 2 folgt diese Behauptung sofort aus Satz 3.6.1. Im Falle N ≥ 3 ist die auf Ω stetige und in Ω harmonische Funktion ur Folgen |xn | → ∞ G(·, y) − S(·, y) auf ∂Ω negativ. Wegen G(xn , y) → 0 f¨ ergibt die Anwendung von Satz 2.3.8, daß G(x, y) − S(x, y) ≤ 0 f¨ ur alle x ∈ Ω ugt es, Korollar 2.3.5 auf die Funktion gilt. Im Falle N = 2 mit Ω ⊂⊂ RN gen¨ 1 [ln | · −y| − ln(diam Ω)] anzuwenden. G(·, y) + 2π Lemma 4.4.5. Ist Ω ⊂⊂ RN und G Greensche Funktion f¨ ur Ω, so gilt H := G − S ∈ C 0 (Ω × Ω) . Beweis. Es gen¨ ugt zu zeigen, daß die Funktion H f¨ ur jedes Ω0 ⊂⊂ Ω auf Ω × Ω0 stetig ist. Deﬁnitionsgem¨ aß ist bei festem y ∈ Ω0 die Funktion H(·, y) ugt zu zeigen, daß H(x, ·) auf Ω0 stetig ist, und auf Ω stetig, so daß es gen¨ zwar gleichm¨ aßig bez¨ uglich x ∈ Ω. Aufgrund von 4.4.1 (ii) gilt H|∂Ω×Ω 0 = −S|∂Ω×Ω 0 , und die Funktion rechts ist gleichm¨ aßig stetig auf dem Kompaktum ∂Ω × Ω0 . Insbesondere gibt es also zu jedem > 0 ein δ > 0, so daß |H(x, y1 ) − allt f¨ ur alle x ∈ ∂Ω und alle y1 , y2 ∈ Ω0 mit |y1 − y2 | < δ. H(x, y2 )| < ausf¨ Da aber H(·, y1 ) und H(·, y2 ) auf Ω stetige und in Ω harmonische Funktionen ur alle x ∈ Ω sind, folgt aus dem Stabilit¨ atssatz 3.1.2 |H(x, y1 )−H(x, y2 )| ≤ f¨ und alle y1 , y2 ∈ Ω0 mit |y1 − y2 | < δ. Bemerkung 4.4.6. Ist Ω ⊂⊂ RN und G Greensche Funktion, so ist G(x, ·) stetig auf Ω \ {x} f¨ ur x ∈ Ω (nach Lemma 4.4.5) und besitzt eine u ¨ber Ω integrierbare Majorante (nach Lemma 4.4.4 in Verbindung mit Bemerkung 4.1.3), so daß f¨ ur meßbares und beschr¨ anktes f : Ω → R das Greenpotential

4.4 Die Greensche Funktion zum Dirichletproblem

121

w(x) :=

G(x, y)f (y) dy ,

x∈Ω,

(4.18)

Ω

existiert. Das Problem, diese Funktion zweimal zu diﬀerenzieren, wird bei dem nachfolgenden Beweis auf das in Abschnitt 4.2 gel¨oste Problem verschoben, das Newtonpotential zweimal zu diﬀerenzieren. Eine Beweisvariante wird in Aufgabe 4.9 vorgestellt, wo auf der Basis der S¨atze 4.7.1 und 4.7.2 f¨ ur das Greenpotential das Analogon zu Relation (4.12) hergestellt werden soll. Daß die Greensche Funktion die Voraussetzungen dieser S¨atze erf¨ ullt, wird sich aus Lemma 4.5.4 ergeben, das auf der Symmetrie der Funktion H := G − S beruht (Satz 4.5.2). Teil c) des nachfolgenden Satzes wird nur im Beweis der S¨atze 6.2.1 und 10.3.9 verwendet. ur Ω. Satz 4.4.7. Es sei Ω ⊂⊂ RN und G die Greensche Funktion f¨ a) Ist f : Ω → R meßbar und beschr¨ ankt, so ist das Greenpotential (4.18) zu Ω und f aus C 0 (Ω) (und nat¨ urlich w = 0 auf ∂Ω). b) Ist f ∈ CbH (Ω) (s. Deﬁnition 4.1.5), so ist u ¨berdies w ∈ C 2 (Ω) und −Δw = f in Ω . c) Ist σ ∈ C 2 (Ω) eine Funktion, f¨ ur die Δσ beschr¨ ankt ist, so ist das Greenpotential w zu Ω und Δσ aus C 2 (Ω) und −Δw = Δσ

in Ω .

Beweis. a) Es seien x0 ∈ Ω, n ∈ N und wn (x) := G(x, y)f (y) dy ,

x∈Ω.

Ω\B 1 (x0 ) n

Die Stetigkeit von wn im Punkte x0 ergibt sich aufgrund der in Lemma 4.4.4 gegebenen Absch¨ atzung mit Hilfe des Satzes A.5. Es gen¨ ugt daher zu zeigen, aßig gegen w konvergiert. Dazu zerlegen wir daß (wn ) auf Ω gleichm¨ w(x) − wn (x) = G(x, y)f (y) dy = I1 (x) + I2 (x) Ω∩B 1 (x0 ) n

mit

I1 (x) := Ω1

I2 (x) := Ω2

G(x, y)f (y) dy , Ω1 := y ∈ B n1 (x0 ) : |y − x| < |y − x0 | ∩ Ω , G(x, y)f (y) dy , Ω2 := y ∈ B n1 (x0 ) : |y − x| ≥ |y − x0 | ∩ Ω .

122

4 Die Poissongleichung −Δu = f

Nach Lemma 4.4.4 und Bemerkung 4.1.3 haben wir f¨ ur geeignetes R > 0 und M := sup |f | die Absch¨ atzungen |I1 (x)| ≤ M cN R, 12

|x − y| 2 −N dy = M cN (R, 12 ) 3

1 |y−x|< n

|I2 (x)| ≤ M cN (R,

|x − y|

1 2)

3 2 −N

2 ωN 3

dy ≤ M cN (R,

1 2)

32 1 , n

|y − x0 | 2 −N dy , 3

1 |y−x0 |< n

Ω2

woraus sofort das Gew¨ unschte folgt. b) Wir setzen H := G − S und schreiben w(x) = v(x) + h(x) f¨ ur x ∈ Ω, wobei v das Newtonpotential zu Ω und f und h(x) := H(x, y)f (y) dy Ω

ist. Im Hinblick auf den H¨ olderschen Satz 4.2.6 zusammen mit Korollar 4.2.7 gen¨ ugt es zu zeigen, dass h in Ω harmonisch ist. Dazu sei Br (x0 ) ⊂⊂ Ω. Auf Br (x0 ) × Ω ist die Funktion (x, y) → [H(x0 , y) − H(x, y)] f (y) nach Lemma 4.4.5 stetig und daher insbesondere meßbar. Ferner existiert das Integral |H(x0 , y) − H(x, y)| |f (y)| dy dx , Br (x0 )

Ω

da f beschr¨ ankt ist und in dem inneren Integral H nach Lemma 4.4.4 durch die Singularit¨ atenfunktion majorisiert werden kann. Nach Fubini-Tonelli ist daher [h(x0 ) − h(x)] dx = [H(x0 , y) − H(x, y)] dx f (y) dy . Br (x0 )

Ω

Br (x0 )

Der Ausdruck in der Klammer ist aber Null, da f¨ ur y ∈ Ω die Funktion H(·, y) harmonisch ist, also die Mittelwerteigenschaft besitzt. Gem¨aß Satz 2.1.1 beweist dies die Harmonizit¨ at von h. c) F¨ ur x ∈ Ω schreiben wir wieder w(x) = S(x, y)Δσ(y) dy + H(x, y)Δσ(y) dy . Ω

Ω

Der zweite Summand ist in Ω harmonisch nach b), wo nur Beschr¨anktheit und Meßbarkeit von f ben¨ utzt wurden. Die Behauptung folgt daher aus Lemma 4.2.1.

4.5 Die Symmetrie der Greenschen Funktion

123

Korollar 4.4.8. Es sei G die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel BR (0) ⊂⊂ ur alle x ∈ BR (0) RN . Dann gilt f¨ 1 (R2 − |x|2 ) . G(x, y) dy = 2N BR (0)

Beweis. Beide Seiten l¨ osen das Dirichletproblem −Δu = 1 in BR (0), u = 0 auf ∂BR (0). Satz 4.4.9. F¨ ur Ω ⊂⊂ RN sind die folgenden Aussagen ¨ aquivalent. (i) Es existiert die Greensche Funktion f¨ ur Ω. (ii) Jeder Punkt von ∂Ω ist regul¨ ar. (iii) Das Dirichletproblem −Δu = f in Ω, u|∂Ω = g hat f¨ ur jedes f ∈ CbH (Ω) 0 osung. und jedes g ∈ C (∂Ω) eine L¨ Beweis. Die Implikationen (ii)⇒(i)“ und (iii)⇒(i)“ ergeben sich aus Satz ” ” 4.4.3 bzw. seinem Beweis. Wir zeigen zun¨ achst (i)⇒(ii)“. Sei x0 ∈ ∂Ω. Dann ” ist 1 |x − x0 |2 + G(x, y) dy , x ∈ Ω , b(x) := 2N Ω

eine Barriere f¨ ur Ω im Punkt x0 . Es ist ja b ∈ C 0 (Ω) nach Satz 4.4.7 a) und Δb(x) = 1 + Δ G(x, y) dy = 0 , x ∈ Ω , Ω

nach Satz 4.4.7 b). Ferner gilt b(x0 ) = 0, und aus Lemma 4.4.4 folgt f¨ ur alle 1 |x − x0 |2 > 0. Die Implikation (ii)⇒(iii)“ haben x ∈ Ω \ {x0 }, daß b(x) ≥ 2N ” wir bereits in Bemerkung 4.2.8 abgehandelt.

4.5 Die Symmetrie der Greenschen Funktion Die Symmetrie der Greenschen Funktion wurde bei Green [86, § 6] aus phy¨ sikalischen Uberlegungen erschlossen und von Kirchhoff [140] gegen einen Einwand verteidigt; Maxwell betont sie in einem Anhang zu Greens Gesammelten Abhandlungen. Heutzutage wird sie in nahezu jedem Buch mit Hilfe des Gaußschen Satzes hergeleitet, was aber Kenntnisse von ∇x G(x, y) in Randn¨ ahe und eine gewisse Glattheit des Randes bedingt1 , es sei denn, man 1

Lyapunov zeigt, daß der regul¨ are Anteil von G auf den nach ihm benannten Fl¨ achen eine Normalenableitung besitzt und beweist damit die Symmetrie von G in so berandeten Gebieten [185, § 24]. F¨ ur glattberandete Gebiete gewinnt P. Lax [169] Existenz und Symmetrie der Greenschen Funktion mit dem Satz von Hahn-Banach u ¨ber die Erweiterung stetiger linearer Funktionale auf normierten R¨ aumen.

4 Die Poissongleichung −Δu = f

124

verwendet den Satz von Giesecke, Satz 3.7.1. Etwas anders argumentiert Kellogg in seinem klasssischen Werk u ¨ber Potentialtheorie [136, pp. 238 ﬀ.]. Er wendet den Gaußschen Satz auf die Niveauﬂ¨achen G(x, y) = const an, ˆ cher beim Beweis seines Satzes u was schon fr¨ uher Bo ¨ber das Verhalten harmonischer Funktionen in der N¨ ahe einer isolierten Singularit¨at getan hatte (s. Abschnitt 5.2). In der Ebene ist dies aufgrund eines Resultates von Osgood [245, p. 588] gerechtfertigt. F¨ ur h¨ ohere Dimensionen scheint er sich auf seine Arbeit [137] zu berufen, ohne dies allerdings zu detaillieren (vgl. [273]). utzt allein die Eigenschaften von G, die in ihDer nachfolgende Beweis2 ben¨ rer Deﬁnition 4.4.1 niedergelegt sind, sowie die direkt aus ihnen folgenden Lemmata 4.4.4 und 4.4.5. Einen anderen einfachen Zugang zur Symmetrie von G werden wir in Satz 10.3.4 kennenlernen. Es sei daran erinnert, daß die Singularit¨ atenfunktionen S zum Laplaceoperator in Deﬁnition 4.1.2 auf der Diagonalen zu Null erkl¨ art wurde. Wir beginnen mit einem Hilfssatz. ur x ∈ Ω Lemma 4.5.1. Es sei G die Greensche Funktion f¨ ur Ω ⊂⊂ RN . F¨ ist H(x, ·) := G(x, ·) − S(x, ·) harmonisch in Ω. Beweis. Es sei Br (y0 ) ⊂⊂ Ω. Die Funktion [H(x, y0 ) − H(x, y)] dy, h(x) :=

x∈Ω,

Br (y0 )

ist stetig, da der Integrand nach Lemma 4.4.5 auf Ω ×Ω stetig ist. Wir zeigen, daß h in Ω harmonisch und Null auf ∂Ω ist. Aufgrund des Maximumprinzips, Korollar 2.3.5, ist daher h identisch Null, nach Satz 2.1.1 H(x, ·) also harmonisch in Ω. F¨ ur den Nachweis, daß h die zweite Mittelwerteigenschaft besitzt, sei B (x0 ) ⊂⊂ Ω. Dann gilt [h(x0 ) − h(x)] dx (4.19) B (x0 )

{[H(x0 , y0 ) − H(x0 , y)] − [H(x, y0 ) − H(x, y)] } dx dy ,

= Br (y0 )

B (x0 )

denn aufgrund der Stetigkeit des Integranden ist die Vertauschung der Integrationsreihenfolge auf kompakten Mengen unproblematisch. Die rechte Seite von (4.19) ist aber Null, da H(·, y0 )−H(·, y) nach Deﬁnition 4.4.1 harmonisch ist. Also ist h in der Tat harmonisch in Ω. Da G(·, y) auf ∂Ω Null ist, haben wir f¨ ur x ∈ ∂Ω h(x) = [−S(x, y0 ) + S(x, y)] dy Br (y0 )

und dies ist Null, da S(x, ·) harmonisch in Ω ist. 2

Wienholtz hat ihn am 24.1.1995 in seinem Oberseminar in M¨ unchen vorgef¨ uhrt.

4.5 Die Symmetrie der Greenschen Funktion

125

Satz 4.5.2. Es sei G die Greensche Funktion f¨ ur Ω ⊂⊂ RN . Dann ist H := G − S auf Ω × Ω symmetrisch, insbesondere also G(x, y) = G(y, x)

f¨ ur (x, y) ∈ Ω × Ω .

Beweis. Es sei y ∈ Ω und x ∈ Ω\{y}. Nach Lemma 4.4.4 ist dann G(x, y) ≥ 0, also H(x, y) − H(y, x) ≥ −S(x, y) − H(y, x) = − [S(y, x) + H(y, x)] = −G(y, x) . Ist daher (yj ) eine Folge aus Ω, die gegen einen Punkt z ∈ ∂Ω konvergiert, so haben wir aufgrund der Stetigkeit von G(·, x) auf Ω lim inf [H(x, yj ) − H(yj , x)] ≥ lim inf [−G(yj , x)] = −G(z, x) = 0 . j→∞

j→∞

Da H(x, ·)−H(·, x) harmonisch ist – f¨ ur H(x, ·) hatten wir dies gerade in Lemma 4.5.1 gezeigt, f¨ ur H(·, x) ist dies deﬁnitionsgem¨aß der Fall –, ist aufgrund des Randminimumprinzips, Satz 2.3.8, H(x, y) − H(y, x) ≥ 0 . Vertauscht man die Rollen von x und y, so ergibt sich die Behauptung.

Zusammen mit Lemma 4.4.5 erhalten wir u ¨berdies Korollar 4.5.3. Es sei G die Greensche Funktion f¨ ur Ω ⊂⊂ RN . Dann besitzt H := G − S eine stetige Fortsetzung auf (Ω × Ω) ∪ (Ω × Ω), und diese ist symmetrisch. F¨ ur x ∈ Ω ist G(x, ·) harmonisch in Ω \ {x} und stetig fortsetzbar auf Ω \ {x}. Diese Fortsetzung ist Null auf ∂Ω. Des weiteren werden in den Abschnitten 4.6 und 4.8 noch die folgenden Aussagen ben¨ otigt. Lemma 4.5.4. Es sei G die Greensche Funktion f¨ ur Ω ⊂⊂ RN und H := G − S. a) Es sei x ∈ Ω. Dann sind Hxi (x, ·) und Hxi xk (x, ·) harmonisch in Ω und stetig fortsetzbar auf Ω. Gxi (x, ·) und Gxi xk (x, ·) sind harmonisch in Ω \ {x} und stetig fortsetzbar auf Ω \ {x}. Diese Fortsetzungen sind Null auf ∂Ω. b) Es sind Hxi , Hxi xk ∈ C 0 (Ω × Ω). Beweis. a) Es seien x, z ∈ Ω. Man w¨ ahle , r > 0 mit B2 (x) ⊂⊂ Ω und Br (z) ⊂⊂ Ω. Wegen Lemma 4.4.5 existiert M := max{|H(w, y)| : w ∈ B2 (x), y ∈ Br (z)} < ∞ .

126

4 Die Poissongleichung −Δu = f

Die A-Priori-Absch¨ atzung aus Satz 2.1.7 liefert wegen der Harmonizit¨at von H(·, y) dann f¨ ur alle w ∈ B (x), y ∈ Br (z) und 1 ≤ i ≤ N |Hxi (w, z)| ≤

NM .

Wir k¨ onnen daher die nach Lemma 4.5.1 geltende Relation [H(x, z) − H(x, y)] dy = 0 Br (z)

unter dem Integral nach xi diﬀerenzieren, was die Harmonizit¨at von Hxi (x, ·) ur in Ω beweist. Ist B ⊂⊂ Ω eine Kugel mit x ∈ B und PB der Poissonkern f¨ B, so haben wir nach Satz 3.2.3 die Darstellung PB (x, y)H(y, z) dS(y) . H(x, z) = ∂B

Diese Darstellung gilt f¨ ur alle z ∈ Ω, da f¨ ur solche z die Funktion H(z, ·) gem¨ aß Lemma 4.5.1 auf Ω harmonisch ist und dort nach Korollar 4.5.3 H(z, ·) ¨ mit H(·, z) u darf rechts unter dem Integralzeichen ¨bereinstimmt. Uberdies diﬀerenziert werden: ∂ PB (x, y)H(y, z) dS(y) . (4.20) Hxi (x, z) = ∂xi ∂B

Erneute Anwendung von Korollar 4.5.3 zeigt, daß f¨ ur x ∈ Ω die Funktion Hxi (x, ·) auf Ω stetig ist. F¨ ur z ∈ ∂Ω ergibt sich mit der Symmetrie von H und S nunmehr H(x, z) = H(z, x) = −S(z, x) = −S(x, z) , also Hxi (x, z) = −Sxi (x, z) .

(4.21)

Damit sind dann auch die Behauptungen bez¨ uglich Gxi (x, ·) bewiesen. F¨ ur die 2. Ableitungen schließt man entsprechend. b) Der Beweis der Aussage f¨ ur Hxi folgt aus der Darstellung (4.20) von ur x ∈ B, z ∈ Ω und Korollar 4.5.3. Die Behauptung f¨ ur die Hxi (x, z) f¨ 2. Ableitungen ergibt sich nat¨ urlich analog.

4.6 Absch¨ atzungen fu ¨ r die Ableitungen der Greenschen Funktion Da die Singularit¨ atenfunktion S das Verhalten der Greenschen Funktion G in der N¨ ahe der Diagonalen bestimmt, liegt die Vermutung nahe, daß sich

4.6 Absch¨ atzungen f¨ ur die Ableitungen der Greenschen Funktion

127

die Ableitungen von G auch durch die Ableitungen von S absch¨atzen lassen, aber es zeigt sich, daß Beweise schwieriger als erwartet ausfallen. Weyl [339] ´vy [183] gelangten u und P. Le ¨ber die Untersuchung einer Fredholmschen Integralgleichung f¨ ur G zu Aussagen u ¨ber deren erste Ableitungen. Genauer betrachtet Weyl die Elastizit¨ atsgleichungen und untersucht deren Greenschen Tensor; diese Arbeit dient Mizohata als Modell f¨ ur eine Absch¨atzung von Gxi in seinem Buch [208, p. 425 ﬀ.]. Die Arbeit [183] wird in [60, 61] kritisiert. Eine Satz 4.6.2 (ii) vergleichbare Aussage wurde in elementarer Weise zum erstenmal von Rosenblatt [288] im 2. Teil des Gedenkbandes f¨ ur Lichtenstein bewiesen. Rosenblatt greift einen Gedanken von Zaremba [351, p. 817] auf, ¨ G zur Greenschen Funktion f¨ ur das Außere von Kreisscheiben in Beziehung zu setzen. Absch¨ atzungen der ersten beiden Ableitungen der Greenschen Funk¨ tion in der H¨ oldernorm k¨ undigt Schauder in dem Ubersichtsartikel [295] an, aber zu einer ausf¨ uhrlichen Darstellung ist es kriegsbedingt nicht mehr gekommen. Absch¨ atzungen der Ableitungen von G f¨ ur sogenannte Lyapunovgebiete ´˘idus [60, 61]. Widman [343] und Gr¨ stammen von E uter-Widman [88] beweisen Satz 4.6.2, zum Teil unter schw¨ acheren Voraussetzungen an den Rand, f¨ ur die Greensche Funktion allgemeinerer Gleichungen. Zhao [357] verwendet die Poissonsche Integralformel, um Absch¨ atzungen von G und Gxi nach unten f¨ ur C 1,1 -Gebiete (vgl. Deﬁnition 7.1.1) zu erhalten. onnen wir die Absch¨atzungen aus Ist Ω ⊂⊂ RN und D := diam Ω, so k¨ Lemma 4.4.4 f¨ ur die Greensche Funktion vereinheitlichen, indem wir schreiben: f¨ ur x ∈ Ω, y ∈ Ω, x = y, gilt x y 0 ≤ G(x, y) ≤ D2−N S , . (4.22) D D Formulierung und Beweis von Satz 4.6.2 werden durch diese geschlossene Schreibweise erleichtert; allerdings ist die Information nicht mehr ganz so gut abzulesen. Zum Beispiel lautet Aussage (4.25) explizit folgendermaßen: ⎧ 6N −2 D ⎪ ⎪ c (N ) 1 + |x − y|1−N f¨ ur N ≥ 3 ⎪ 4 ⎨ R (N − 2)ωN . |∇x G(x, y)| ≤ ⎪ −1 |x − y| D ⎪ ⎪ ln f¨ ur N = 2 ⎩ c4 (2) 1 + R 2π|x − y| 6D Die folgende Hilfsfunktion spielt beim Beweis von Satz 4.6.2 eine wichtige Rolle. Lemma 4.6.1. Es seien Br und B2r konzentrische Kugeln in RN mit Radien r bzw. 2r und Mittelpunkt a. Dann ist durch ⎧ 2−N r − |x − a|2−N ⎪ ⎪ f¨ ur N ≥ 3 ⎨ 2−N r − (2r)2−N ur (x) := ⎪ ⎪ ⎩ − ln r − ln |x − a| f¨ ur N = 2 ln 2

128

4 Die Poissongleichung −Δu = f

eine in der Kugelschale B2r \ B r harmonische Funktion ur ∈ C 0 B 2r \ Br deﬁniert, f¨ ur die ur |∂B2r = 1 und ur |∂Br = 0 ist und die |∇ur (x)| ≤

c(N ) r

f¨ ur r < |x − a| < 2r

erf¨ ullt. Beweis. Von der G¨ ultigkeit der Absch¨ atzung u ¨berzeugt man sich durch Differenzieren; die anderen Behauptungen sind klar. aßige ¨ außere Kugeleigenschaft3 , d.h. Satz 4.6.2. Ω ⊂⊂ RN habe die gleichm¨ es gebe ein R > 0 und zu jedem x0 ∈ ∂Ω eine Kugel BR mit Radius R, die Ω uhrt: Ω ∩ B R = {x0 }. Es sei D := diam Ω (wir k¨ onnen o.B.d.A. nur in x0 ber¨ R < D annehmen) und G die Greensche Funktion f¨ ur Ω 4 . Dann gibt es allein ur 0 < α ≤ 1 und f¨ ur x, y ∈ Ω, durch N bestimmte Zahlen ci (N ), so daß f¨ x = y, mit δ(x) := dist(x, ∂Ω) gilt: x y δ(y) α D , , (4.23) 0 ≤ G(x, y) ≤ c2 (N ) 1 + D2−N S R 3D 3D |x − y| 2 x y δ(x)δ(y) α D 2−N , 0 ≤ G(x, y) ≤ c3 (N ) 1 + D S , (4.24) R 9D 9D |x − y|2 x y 1 D , , (4.25) |∇x G(x, y)| ≤ c4 (N ) 1 + D2−N S R 6D 6D |x − y| 2 x y δ(y)α D |∇x G(x, y)| ≤ c5 (N ) 1 + , D2−N S , (4.26) R 18D 18D |x − y|1+α 2 x y 1 D , |Gxi yk (x, y)| ≤ c6 (N ) 1 + D2−N S . (4.27) R 36D 36D |x − y|2 Beweis. Es sei x ∈ Ω. Es sei P (x, ·) eine in Ω \ {x} harmonische und auf Ω \ {x} stetige Funktion mit P (x, ·) = 0 auf ∂Ω, die der Ungleichung |P (x, y)| ≤ f (x)Q(|x − y|)

f¨ ur alle y ∈ Ω \ {x}

(4.28)

mit f ≥ 0 und monoton fallendem Q : (0, D) → (0, ∞) gen¨ ugt. F¨ ur solches P beweisen wir α |x − y| δ(y) D |P (x, y)| ≤ c0 (N ) 1 + , (4.29) f (x) Q R 3 |x − y| |a − b| 1 D . (4.30) |∇y P (b, a)| ≤ c1 (N ) 1 + f (b) Q R 6 |a − b| Aufgrund von Korollar 4.5.3 und (4.22) gilt (4.28) mit P = G, x Ungleichung y . Im Hinblick auf (4.29) haben wir daher f = 1 und Q(|x−y|) = D2−N S D ,D 3 4

Dieser Begriﬀ geht auf Andrade [4] zur¨ uck. Sie existiert aufgrund der S¨ atze 3.4.2 und 4.4.9.

4.6 Absch¨ atzungen f¨ ur die Ableitungen der Greenschen Funktion

129

(4.23) bewiesen, w¨ ahrend (4.25) aus (4.30) folgt, da aufgrund der Symmetrie von G (Satz 4.5.2) ∇x G(a, b) = ∇y G(b, a)

(4.31)

gilt. Des weiteren folgt aufgrund der Symmetrie von G aus (4.23) auch x y δ(x) α D , . 0 ≤ G(x, y) ≤ c2 (N ) 1 + D2−N S R 3D 3D |x − y| D δ(x)α und (N ) 1 + Wir gen¨ ugen (4.28) dadurch, daß wir P = G, f (x) = c 2 R x y 1 2−N S 3D , 3D |x−y|α spezialisieren, und es folgen mit (4.29) Q(|x − y|) = D und (4.30) jetzt die Behauptungen (4.24) und (4.26) (bei (4.26) ist noch (4.31) zu beachten). F¨ ur den Beweis von man in (4.27) spezialisiert 2−N durch x(4.28) y 1 und Q(|x − y|) = D S , P = Gxi , f (x) = c4 (N ) 1 + D R 6D 6D |x−y| , was wegen Lemma 4.5.4 a) und (4.25) zul¨ assig ist, und erh¨alt verm¨oge (4.30) die gew¨ unschte Behauptung. I. Zum Beweis von (4.29) unterscheiden wir drei F¨alle. 1.Fall: δ(y) ≥ R; dann ist α D |x − y|α δ(y)α δ(y)α |P (x, y)| ≤ f (x) Q(|x − y|) ≤ f (x) Q(|x − y|) α α |x − y| R R |x − y|α |x − y| δ(y)α D ≤ f (x) Q . R 3 |x − y|α 2. Fall: δ(y) ≥

|x−y| 6 ;

dann ist

|x − y| δ(y)α 6α δ(y)α ≤ 6f (x) Q . |P (x, y)| ≤ f (x) Q(|x − y|) |x − y|α 3 |x − y|α 3. Fall: δ(y) < R und δ(y) < |x−y| 6 . Zur Behandlung dieses Falles benutzen wir die Existenz von y0 ∈ ∂Ω mit |y − y0 | = δ(y) und von der Kugel BR mit B R ∩ Ω = {y0 }. Mit dem Radius r := min |x−y| 6 , R gibt es dann Br ⊆ BR mit B r ∩Ω = {y0 }. Es ist δ(y) < r. Wenn daher B2r mit Br konzentrisch ist, dann ist y ∈ B2r , und somit ist |y − z| ≤ 4r f¨ ur alle z ∈ ∂B2r . Folglich gilt |y − x| ≤ 4r + |z − x| ≤

2 |y − x| + |z − x| . 3

Also ist 13 |y − x| ≤ |z − x| f¨ ur z ∈ ∂B2r . Wir bringen jetzt die Kugelschale B2r \B r zum Schnitt mit Ω und erhalten uhren wir die Ωr := Ω ∩ B2r \ B r . Es ist ∂Ωr ⊆ ∂Ω ∪ ∂B2r . Zu B2r \ B r f¨ harmonische Funktion ur wie in Lemma 4.6.1 ein. Wir vergleichen ±P (x, ·) ur z aus jenem Teil von ∂Ωr , der zu und f (x) Q(|x − y|/3)ur (·) auf ∂Ωr . F¨ ∂Ω geh¨ ort, ist ±P (x, z) ≤ f (x) Q(|x − y|/3)ur (z), weil links Null steht. Auf

130

4 Die Poissongleichung −Δu = f

dem Rest von ∂Ωr ist z ∈ ∂B2r und daher ur (z) = 1 und |x − z| ≥ 13 |x − y|; also folgt aus der Monotonie von Q die Absch¨ atzung |x − y| ±P (x, z) ≤ |P (x, z)| ≤ f (x) Q(|x − z|) ≤ f (x) Q ur (z) . 3 In Ωr sind ±P (x, ·) und f (x) Q(|x − y|/3)ur (·) harmonisch und auf Ω r stetig. F¨ ur ±P (x, ·) gilt dies, weil es auf Ω \ {x} harmonisch und auf Ω \ {x} stetig / B 2r . ist und weil x ∈ / Ω r ist; denn es ist y ∈ B2r und |x − y| ≥ 6r, also x ∈ Nach dem Maximumprinzip f¨ ur harmonische Funktionen folgt |x − y| ±P (x, z) ≤ f (x) Q ur (z) 3 f¨ ur z ∈ Ωr , insbesondere f¨ ur z = y. Wegen ur (y0 ) = 0 haben wir daher |x − y| |P (x, y)| ≤ f (x) Q (ur (y) − ur (y0 )) 3 |x − y| δ(y)α |x − y| c(N ) ≤ c(N )f (x) Q , ≤ f (x) Q δ(y) 3 r 3 rα letzteres aufgrund von Lemma 4.6.1 und weil δ(y)/r < 1 ist. Wenn r = ist, dann gilt |x − y| δ(y)α . |P (x, y)| ≤ 6 c(N )f (x) Q 3 |x − y|α

|x−y| 6

Wenn r = R ist, haben wir |x − y| δ(y)α Dα ; |P (x, y)| ≤ c(N )f (x) Q 3 Rα |x − y|α stets ist

|x − y| δ(y)α D , |P (x, y)| ≤ 6 c(N ) 1 + f (x) Q R 3 |x − y|α

und Ungleichung (4.29) ist damit bewiesen. II. Zum Beweis von (4.30) sei r := min{|x − y|, δ(y)}. Dann ist Br (y) ⊆ Ω und P (x, ·) ist in der Kugel Br (y) harmonisch. Wir sch¨atzen nun Pyi (x, ·) im Mittelpunkt y von Br/2 (y) nach Satz 2.1.7 ab: |Pyi (x, y)| ≤

2N sup |P (x, z)| : z ∈ Br/2 (y) . r

F¨ ur z ∈ Br/2 (y) ist δ(z) ≤ δ(y) + r/2 ≤ 32 δ(y) und 1 |x − y| ≤ |x − z| + |z − y| ≤ |x − z| + r/2 ≤ |x − z| + |x − y| , 2

4.6 Absch¨ atzungen f¨ ur die Ableitungen der Greenschen Funktion

131

also |x − z| ≥ 12 |x − y|. Wenn r = |x − y| ist, verwenden wir |x − y| |x − y| |P (x, z)| ≤ f (x) Q(|x − z|) ≤ f (x) Q ≤ f (x) Q , 2 6 so daß |Pyi (x, y)| ≤ 2N f (x) Q(|x − y|/6)|x − y|−1 resultiert. Wenn r = δ(y) ist, ersetzen wir die allgemeine Variable y in (4.29) durch z, w¨ahlen α = 1 und haben |x − z| δ(z) D |P (x, z)| ≤ c0 (N ) 1 + f (x) Q R 3 |x − z| |x − y| δ(y) D , ≤ 3 c0 (N ) 1 + f (x) Q R 6 |x − y| so daß in diesem Falle

D |Pyi (x, y)| ≤ 6N c0 (N ) 1 + R

|x − y| 1 f (x) Q 6 |x − y|

ist. In beiden F¨ allen gilt (4.30).

Satz 4.6.3. Ω ⊂⊂ RN habe die gleichm¨ aßige ¨ außere Kugeleigenschaft, wobei wir wie in Satz 4.6.2 ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit f¨ ur den Kugelradius R < D := diam Ω annehmen. Es gibt eine allein durch N , R und D bestimmte Zahl k derart, daß die Greensche Funktion G f¨ ur Ω f¨ ur 0 < α ≤ 1, x , x ∈ Ω, y ∈ Ω \ {x , x } den Ungleichungen x y 1 2−N , |G(x , y) − G(x , y)| ≤ kD S 6D 6D |x − y|α x y 1 , +S |x − x |α , 6D 6D |x − y|α x y 1 2−N , |Gyi (x , y) − Gyi (x , y)| ≤ kD S 36D 36D |x − y|1+α x y 1 , +S |x − x |α 36D 36D |x − y|1+α f¨ ur i = 1, . . . , N gen¨ ugt. Beweis. A) Nach (4.22) ist f¨ ur alle a, b ∈ Ω, a = b, a b a b 2−N 2−N , , 0 ≤ G(a, b) ≤ D S S ≤D . D D 6D 6D Wir betrachten zuerst den Fall |x −y| ≤ 2|x −x |. Wegen |x −y| ≤ 3|x −x | haben wir dann

132

4 Die Poissongleichung −Δu = f

x y x y , , |G(x , y) − G(x , y)| ≤ D S +S 6D 6D 6D 6D x y x y 3α 3α 2−N , , ≤D +S S |x − x |α . 6D 6D |x − y|α 6D 6D |x − y|α

2−N

Den komplement¨ aren Fall |x − y| > 2|x − x | behandeln wir zun¨achst unter der Zusatzannahme, daß δ(x ) := dist(x , ∂Ω) ≤ δ(x ) ist. a) Es sei δ(x ) ≤ |x − x |. Da aufgrund der Symmetrie von G (Satz 4.5.2) nach (4.23) f¨ ur alle a, b ∈ Ω, a = b, die Absch¨atzung α a b δ(a) 2−N , S (4.32) 0 ≤ G(a, b) ≤ cD 3D 3D |a − b| mit c := c2 (N ) 1 + D R besteht, haben wir dann α x y |x − x | , |G(x , y) − G(x , y)| ≤ cD2−N S 6D 6D |x − y| α x y |x − x | , +S . 6D 6D |x − y| b) Es sei δ(x ) > |x − x |. Wir setzen % 1 |x − y|, δ(x ) r := min 2 und M :=

sup

(4.33)

G(x, y) .

x∈Br (x )

Man beachte, daß in dem derzeit behandelten Fall |x −x | < r gilt. Weiter ist G(·, y) auf Br (x ) harmonisch, da jedes z ∈ Br (x ) der Ungleichung |z − y| ≥ |x − y| − |x − z| > r gen¨ ugt. Satz 2.1.7 und Lemma 4.4.4 liefern √ N N r |∇x G(z, y)| ≤ M f¨ ur alle z mit |z − x | < . r 2 Der Mittelwertsatz der Diﬀerentialrechnung f¨ uhrt zu √ √ |x − x | ≤ N NM |G(x , y) − G(x , y)| ≤ N N M r

|x − x | r

α

f¨ ur |x − x | < 2r . F¨ ur 2r ≤ |x − x | < r verwenden wir, daß G(·, y) auf Br (x ) nur Werte in [0, M ] annimmt: α √ |x − x | |x − x | ≤ N NM . |G(x , y) − G(x , y)| ≤ M ≤ 2M r r Da nach obiger Bemerkung x ∈ Br (x ) gilt, haben wir die Absch¨atzung

4.6 Absch¨ atzungen f¨ ur die Ableitungen der Greenschen Funktion

√ |G(x , y) − G(x , y)| ≤ N N M

|x − x | r

133

α

etabliert. Im Falle r = 12 |x − y| ist nach (4.22) M ≤ D2−N

sup x∈Br (x )

S

x y x y , ≤ D2−N S , , D D 6D 6D

denn f¨ ur x ∈ Br (x ) gilt ja |x − y| ≥ |x − y| − |x − x| ≥

1 1 |x − y| ≥ |x − y| . 2 6

Im Falle r = δ(x ) haben wir nach (4.32) x y δ(x) α , 3D 3D |x − y| x∈Br (x ) α x y (4r) , ≤ cD2−N S , 6D 6D |x − y|α

M ≤ cD2−N

sup

S

denn f¨ ur x ∈ Br (x ) ist ja δ(x) ≤ δ(x ) + |x − x | ≤ 2r und wegen δ(x ) ≤ 1 |x − y| 2 |x − y| ≥ |x − y| − r = |x − y| − δ(x ) ≥

1 |x − y| . 2

Beidesmal ergibt sich mit einer nur von N , R und D abh¨angenden Zahl k α x y |x − x | 2−N , S , |G(x , y) − G(x , y)| ≤ kD 6D 6D |x − y| und wir haben damit auch den Fall δ(x ) > |x − x | abgeschlossen. Wir befreien uns nun von der Zusatzannahme δ(x ) ≤ δ(x ). Im Falle a) braucht uhrt eine man hierzu nur die Rollen von x und x zu vertauschen. Im Falle b) f¨ solche Vertauschung gerade auf den zweiten Summanden der rechten Seite der zu beweisenden Ungleichung. B) Der Beweis der 2. Ungleichung verl¨ auft ganz ¨ahnlich, so daß wir uns etwas k¨ urzer fassen k¨ onnen. F¨ ur alle a, b ∈ Ω, a = b, haben wir wegen (4.31) D 2 nach (4.25) bzw. (4.26) mit d1 := c4 (N ) 1 + D R bzw. d2 := c5 (N ) 1 + R a b 1 2−N , , (4.34) |Gyi (b, a)| = |Gxi (a, b)| ≤ d1 D S 6D 6D |a − b| a b δ(b)α , |Gyi (b, a)| = |Gxi (a, b)| ≤ d2 D2−N S . (4.35) 18D 18D |a − b|1+α Im Falle |x − y| ≤ 2|x − x | ergibt sich aus (4.34) sofort

134

4 Die Poissongleichung −Δu = f

x y 3α , |Gyi (x , y) − Gyi (x , y)| ≤ d1 D S 36D 36D |x − y|1+α x y 3α , +S |x − x |α . 36D 36D |x − y|1+α

2−N

Im komplement¨ aren Fall liefert (4.35) f¨ ur δ(x ) ≤ δ(x ) ≤ |x − x | x y 1 , |Gyi (x , y) − Gyi (x , y)| ≤ d2 D2−N S 36D 36D |x − y|1+α x y 1 , +S |x − x |α . 36D 36D |x − y|1+α Nun machen wir von der Tatsache Gebrauch, daß wegen (4.31) und Lemma 4.5.4 a) die Funktion Gyi (·, a) = Gxi (a, ·) f¨ ur a ∈ Ω harmonisch in Ω \ {a} ist. In dem verbleibenden Fall haben wir daher bei der alten Wahl von r in (4.33) α √ |x − x | |Gyi (x , y) − Gyi (x , y)| ≤ 2N N M r mit M := supz∈Br (x ) |Gxi (y, z)|. Im Falle r = 12 |x − y| liefert uns (4.34) x y 6 2−N M ≤ d1 D , ; S 36D 36D |x − y| im Falle r = δ(x ) erhalten wir aus (4.35) x y 2(4r)α 2−N , M ≤ d2 D S , 36D 36D |x − y|1+α womit dann alles bewiesen ist.

Eine analoge Ungleichung f¨ ur |Gxi (x , y) − Gxi (x , y)| scheint sich den hier verwendeten elementaren Beweismitteln zu entziehen; sie ergibt sich jedoch u ¨ber eine von Campanato stammende Charakterisierung derjenigen quadratisch integrierbaren Funktionen, die auf einer Kugel h¨olderstetig sind ( [36], [310, p. 2–4]; vgl. auch [43, § 1]).

4.7 Das Newtonpotential verallgemeinernde singul¨ are Integrale Schaut man die in Abschnitt 4.2 gegebenen Beweise der Diﬀerenzierbarkeitseigenschaften des Newtonpotentials genauer an, so sieht man, daß sie gar nicht von der speziellen Gestalt der Singularit¨ atenfunktion S f¨ ur den Laplaceoperator, sondern nur von gewissen Absch¨ atzungen von S und ihren Ableitungen Gebrauch machen. Sie u ¨bertragen sich daher auf Potentiale, die von der Greenschen Funktion (wenn f¨ ur sie – wie in Abschnitt 4.6 – solche Absch¨atzungen

4.7 Das Newtonpotential verallgemeinernde singul¨ are Integrale

135

vorliegen), von den Singularit¨ atenfunktionen anderer Diﬀerentialgleichungen wie z.B. der Helmholtzschen Schwingungsgleichung (Abschnitt 4.9) oder von Funktionen, die den Begriﬀ der Singularit¨ atenfunktion verallgemeinern (sog. Parametrices, s. Bemerkung 9.2.2), erzeugt werden. Besonders leicht ist die Verallgemeinerung von Satz 4.2.4. Satz 4.7.1. Es seien Ω ⊂⊂ RN , U ⊆ RN oﬀen und P : U × Ω → R eine Funktion mit folgenden Eigenschaften: (i) bei festem y ∈ Ω ist P (·, y) : U \ {y} → R stetig diﬀerenzierbar, und bei festem x ∈ U ist P (x, ·) : Ω → R meßbar; (ii) es gibt Zahlen b > 0 und α ∈ (0, 1) mit |P (x, y)| ≤ b|x − y|2−N −α ,

|Pxi (x, y)| ≤ b|x − y|1−N −α

f¨ ur (x, y) ∈ U × Ω und i = 1, . . . , N . Ferner sei f : Ω → R meßbar und beschr¨ ankt. Dann existiert v(x) := P (x, y)f (y) dy

(4.36)

Ω

f¨ ur x ∈ U und deﬁniert eine Funktion v ∈ C 1 (U ). Bei festem x ∈ U sind Pxi (x, ·), i = 1, . . . , N , u ¨ber Ω integrierbar, und es gilt vxi (x) = Pxi (x, y)f (y) dy . (4.37) Ω

Ist M eine Schranke f¨ ur |f |, so besteht |vxi (x)| ≤ c(Ω, α)M b,

x∈U ,

(4.38)

mit einer allein durch Ω und α bestimmten Konstanten c(Ω, α). Beweis. Bei festem x ∈ U sind die Pxi (x, ·) als Limites der meßbaren 1 atzung h [P (x + hei , ·) − P (x, ·)] meßbar, und wegen der geforderten Absch¨ sind sie u ¨ber Ω integrierbar. Damit hat P alle diejenigen Eigenschaften, die beim Beweis von Satz 4.2.4 von der Singularit¨ atenfunktion S benutzt wurden. Die Absch¨ atzung f¨ ur (4.37) lautet nunmehr |x − y|1−N −α dy + 11−N −α dy , |vxi (x)| ≤ M b Ω∩B1 (x)

so daß sich (4.38) aus Bemerkung 4.1.3 b) ergibt.

Ω

Bei der Untersuchung der 2. Ableitungen des Newtonpotentials wurde die starke Singularit¨at der 2. Ableitungen von S durch die lokale H¨olderstetigkeit der Dichte f abgemildert. Entsprechendes geschieht in dem nachfolgenden Satz, der den H¨ olderschen Satz 4.2.6 verallgemeinert. F¨ ur die Notation erinnern wir an Deﬁnition 4.1.5.

136

4 Die Poissongleichung −Δu = f

Satz 4.7.2. Es seien Ω ⊂⊂ RN , U ⊆ Ω oﬀen und P : U × Ω → R eine Funktion mit folgenden Eigenschaften: (i) bei festem y ∈ Ω ist P (·, y) : U \ {y} → R stetig diﬀerenzierbar, und bei festem x ∈ U ist P (x, ·) : Ω → R meßbar; (ii) es gibt ein b > 0 mit |P (x, y)| ≤ b|x − y|1−N (1 + | ln |x − y||) , |Pxi (x, y)| ≤ b|x − y|−N (1 + | ln |x − y||) f¨ ur (x, y) ∈ U × Ω und i = 1, . . . , N . Ferner sei f ∈ CbH (Ω). a) Sei x0 ∈ U . Dann existiert

[f (y) − f (x0 )]P (x, y) dy

w(x) :=

(4.39)

Ω

f¨ ur x ∈ U . Die Funktion w ist an der Stelle x0 diﬀerenzierbar, und es gilt wxi (x0 ) = [f (y) − f (x0 )]Pxi (x0 , y) dy, i = 1, . . . , N . (4.40) b) Es sei

Ω

Ω

P (·, y) dy ∈ C 1 (U ). Dann ist durch v(x) := P (x, y)f (y) dy, x ∈ U , Ω

ein v ∈ C 1 (U ) deﬁniert, und f¨ ur i = 1, . . . , N ist ∂ P (x, y) dy, vxi (x) = [f (y) − f (x)]Pxi (x, y) dy + f (x) ∂xi Ω

x∈U .

Ω

Beweis. a) Die Existenz von |P (x, y)| dy Ω

f¨ ur x ∈ U folgt sofort aus Bemerkung 4.1.3 b). Sei 0 < r0 < 1 so gew¨ahlt, daß Br0 (x0 ) ⊂⊂ U . Dann gibt es nach Voraussetzung eine H¨olderschranke c und einen H¨ olderexponenten α ∈ (0, 1), so daß f¨ ur alle x, y ∈ Br0 (x0 ) |f (y) − f (x)| |Pxi (x, y)| ≤ bc|x − y|α−N (1 + | ln |x − y||)

(4.41)

ausf¨ allt. Das Integral (4.40) ist daher nach Bemerkung 4.1.3 b) absolut konvergent (auf Ω \ Br0 (x0 ) ist der Integrand ja sogar beschr¨ankt; die Pxi (x, ·) sind meßbar als Limites meßbarer Funktionen).

4.7 Das Newtonpotential verallgemeinernde singul¨ are Integrale

137

Es sei nun ei := (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) mit 1 an der i-ten Stelle und 0 < ur |t| < r40 . F¨ 1 I(t) := [w(x0 + tei ) − w(x0 )] − [f (y) − f (x0 )]Pxi (x0 , y) dy t Ω 1 [P (x0 + tei , y) − P (x0 , y)] − Pxi (x0 , y) dy = [f (y) − f (x0 )] t Ω

ist zu zeigen, daß I(t) → 0 f¨ ur t → 0. Wir zerlegen dieses Integral in ein Integral I1 (t), das sich u ¨ber B2|t| (x0 ), und ein Integral I2 (t), das sich u ¨ber Ω \ B2|t| (x0 ) erstreckt. Es ist dann α 1 |I1 (t)| ≤ c(2|t|) |P (x0 + tei , y)| dy + |P (x0 , y)| dy |t| B2|t| (x0 ) B2|t| (x0 ) + |f (y) − f (x0 )||Pxi (x0 , y)| dy , B2|t| (x0 )

und wir erhalten wegen (4.41), wenn wir die beiden ersten Integrale u ¨ber |y − (x0 + tei )| ≤ 3|t| bzw. |y − x0 | ≤ 3|t| erstrecken, 3|t|

|I1 (t)| ≤ b c ωN

2α |t|α−1 2

2|t|

(1 + | ln r|) dr + 0

rα−1 (1 + | ln r|) dr

.

0

Die rechte Seite geht in der Tat f¨ ur t → 0 gegen Null. F¨ ur das Integral I2 (t) liefert uns der Mittelwertsatz mit geeignetem t∗ mit |t∗ | < |t| die Darstellung [f (y) − f (x0 )][Pxi (x0 + t∗ ei , y) − Pxi (x0 , y)] dy . I2 (t) = Ω\B2|t| (x0 )

Sei nun 0 < δ < 14 r0 . Wir zerlegen Ω \B2|t| (x0 ) in die Mengen 2|t| ≤ |y −x0 | ≤ δ und Ω \ Bδ (x0 ). Das Integral I21 (t) u ¨ber das Ringgebiet k¨onnen wir wegen |x0 + t∗ ei − y| ≥ |x0 − y| − |t| ≥ 12 |y − x0 | wie folgt absch¨atzen: |I21 (t)| ≤ |f (y) − f (x0 )| (|Pxi (x0 + t∗ ei , y)| + |Pxi (x0 , y)|) dy 2|t|≤|y−x0 |≤δ

≤ b c ωN

δ

r 2N rα−1 1 + ln + rα−1 (1 + | ln r|) dr . 2

0

Zu vorgegebenem > 0 l¨ aßt sich daher δ > 0 so klein w¨ahlen, daß f¨ ur 0 < |t| < 2δ gilt |I21 (t)| < 2 . Das verbleibende Integral I22 (t) sch¨atzen wir in der Form

138

4 Die Poissongleichung −Δu = f

|I22 (t)| ≤

|f (y) − f (x0 )||Pxi (x0 + t∗ ei , y) − Pxi (x0 , y)| dy

(4.42)

Ω\Bδ (x0 )

ab. F¨ ur y ∈ Ω \ Bδ (x0 ) ist die Funktion Pxi (·, y) an der Stelle x0 stetig. Der Integrand in (4.42) konvergiert also bei festem y f¨ ur t → 0 gegen Null und hat f¨ ur |t| < 2δ die integrierbare Majorante 1 2 −N δ δ −N 2b sup |f | (1 + | ln δ|) . 1 + ln + δ 2 2 Aufgrund des Lebesgueschen Grenzwertsatzes gibt es daher ein δ1 ∈ 0, 2δ mit |I22 (t)| < 2 f¨ ur alle 0 < |t| < δ1 . b) Die Diﬀerenzierbarkeit von v an einer ﬁxierten Stelle x0 ∈ U ergibt sich sofort aus v(x) = [f (y) − f (x0 )]P (x, y) dy + f (x0 ) P (x, y) dy Ω

Ω

aufgrund von a). Zu zeigen bleibt also nur noch die Stetigkeit von ϕ : x → [f (y) − f (x)]Pxi (x, y) dy Ω

an jeder Stelle x0 ∈ U . Dazu bilden wir mit 0 < < r0 < 12 min{dist(x0 , ∂U ), 1} [f (y) − f (x)]Pxi (x, y) dy , ϕ (x) := Ω |y−x0 |≥

und es gen¨ ugt, die folgenden zwei Punkte zu zeigen: (i) lim →0 ϕ (x) = ϕ(x) gleichm¨ aßig f¨ ur x ∈ Br0 (x0 ); (ii) bei festem ist ϕ : Ω → R stetig an der Stelle x0 . √ (i) F¨ ur 0 < < 1 und x ∈ Br0 (x0 ) erhalten wir im Falle |x − x0 | ≤ 2 aufgrund der Absch¨ atzung (4.41), daß |ϕ(x) − ϕ (x)| ≤ |f (y) − f (x)| |Pxi (x, y)| dy |y−x0 |<

√ 3

≤ bcωN

rα−1 (1 + | ln r|) dr . 0

√ √ Ist |x − x0 | > 2 , so kann der Integrand f¨ ur |y − x0 | ≤ < durch N 2b sup |f |− 2 1 + 12 | ln | abgesch¨ atzt werden, woraus sich

4.7 Das Newtonpotential verallgemeinernde singul¨ are Integrale

|ϕ(x) − ϕ (x)| ≤ 2b sup |f |

ωN N 2 N

139

1 1 + | ln | 2

ergibt. Aus diesen beiden Ungleichungen folgt die behauptete gleichm¨aßige Konvergenz. (ii) ergibt sich aus dem Standardsatz A.5 u ¨ber Parameterintegrale. F¨ ur seine Untersuchung der inneren Regularit¨at der L¨osungen elliptischer Gleichungen, die wir in Abschnitt 9.2 darstellen werden, ben¨otigte E. Hopf [123] detailliertere Aussagen u at von Funktionen der Gestalt ¨ber die Qualit¨ (4.36) oder (4.39), deren Beweis eine Verfeinerung der traditionellen Technik verlangt. Der nachfolgende Hilfssatz hat vorbereitenden Charakter. Wir verweisen auch auf Aufgabe 5.4, die f¨ ur den Beweis von Satz 5.6.6 a) von Bedeutung ist. Lemma 4.7.3. Es seien Ω ⊂⊂ RN , D := diam Ω, U ⊆ Ω oﬀen, α ∈ (0, 1] und P : U × Ω → R eine Funktion mit folgenden Eigenschaften: (i) bei festem x ∈ U ist P (x, ·) : Ω → R meßbar; (ii) es gibt ein b > 0 mit |P (x, y)| ≤ b|x − y|α−N

f¨ ur (x, y) ∈ U × Ω , 1 1 |P (x , y) − P (x , y)| ≤ b + |x − x |α |y − x |N |y − x |N

f¨ ur x , x ∈ U, y ∈ Ω mit 2|x − x | ≤ |y − x |. Ferner sei f : Ω → R meßbar und beschr¨ ankt mit |f | ≤ M . Dann existiert v(x) := P (x, y)f (y) dy, x ∈ U , Ω

und es gilt |v(x ) − v(x )| ≤ c(Ω, α, γ)bM ωN |x − x |γ f¨ ur alle x , x ∈ U und alle γ ∈ (0, α) mit 5 2 + c(Ω, α, γ) := Dα−γ . α (α − γ)e Beweis. Zu zeigen ist nur noch die H¨ olderabsch¨atzung. Es seien x , x ∈ U , h := |x − x | > 0. Dann gilt |v(x ) − v(x )| ≤ M (I1 + I2 + I3 ) mit

(4.43)

140

4 Die Poissongleichung −Δu = f

|P (x , y)| dy ≤ b ωN

I1 :=

Ω |y−x |≤2h

|P (x , y)| dy ≤

I2 :=

Ω |y−x |≤2h

(2h)α , α |P (x , y)| dy ≤ b ωN

Ω |y−x |≤3h

|P (x , y) − P (x , y)| dy ≤ b hα

I3 :=

Ω |y−x |≥2h

(3h)α , α

(4.45)

(|y − x |−N + |y − x |−N ) dy

Ω 2h≤|y−x |≤D

≤ bh

(4.44)

−N

α 2h≤|y−x |≤2D

|y − x |

γ

= 2 b ωN Dα (h/D) (D/h)

γ−α

α

dy + h≤|y−x |≤D

−N

|y − x |

dy

ln(D/h) .

(4.46)

γ

Da hα = Dα (h/D) ≤ Dα (h/D) ist und die Funktion t → tγ−α ln t ihr Maximum an der Stelle e1/(α−γ) annimmt, ist das die Behauptung. Lemma 4.7.4 (E. Hopf). Es seien Ω ⊂⊂ RN , α ∈ (0, 1) und K : Ω × RN → R eine Funktion mit folgenden Eigenschaften: (i) bei festem x ∈ Ω ist K(x, ·) : RN → R meßbar; (ii) es gibt ein b > 0 mit |K(x, z)| ≤ b|z|−N

f¨ ur (x, z) ∈ Ω × RN ,

|K(x , z) − K(x , z)| ≤ b|z|−N |x − x |α f¨ ur x , x ∈ Ω, z ∈ RN , |K(x, z ) − K(x, z )| ≤ b |z |−N −1 + |z |−N −1 |z − z | f¨ ur x ∈ Ω und z , z ∈ RN mit 2|z − z | ≤ |z | . Ferner sei f : Ω → R meßbar und beschr¨ ankt, und g : Ω → R sei gleichm¨ aßig α-h¨ olderstetig, d.h. es gibt eine Konstante Cg mit |g(x) − g(y)| ≤ Cg |x − y|α f¨ ur alle x, y ∈ Ω (vgl. Deﬁnition 5.3.1). Dann gilt: a) Das Integral

[g(x) − g(y)] K(x, x − y)f (y) dy

w(x) := Ω

existiert f¨ ur alle x ∈ Ω, und es gibt f¨ ur jedes γ ∈ (0, α) eine Konstante ur alle x , x ∈ Ω. C > 0 mit |w(x ) − w(x )| ≤ C|x − x |γ f¨ b) Hat K die zus¨ atzliche Eigenschaft, daß es Ω0 ⊂⊂ Ω und positive Zahlen c0 , δ0 gibt mit K(x, x − y) dy ≤ c0 Ω |y−x|>δ

4.7 Das Newtonpotential verallgemeinernde singul¨ are Integrale

141

f¨ ur alle x ∈ Ω0 und δ ∈ (0, δ0 ), und existieren β ∈ (0, 1), Cf > 0 mit ur alle x, y ∈ Ω, so existiert eine Konstante |f (x) − f (y)| ≤ Cf |x − y|β f¨ ur alle x , x ∈ Ω0 . A > 0 mit |w(x ) − w(x )| ≤ A|x − x |α f¨ Beweis. a) wird in Aufgabe 4.6 gezeigt. b) Es seien x , x ∈ Ω0 , h := |x − x | > 0, D := diam Ω und P (x, y) := [g(x) − g(y)]K(x, x − y). Wir ersetzen die Absch¨atzungen (4.43)–(4.46) durch 5 α h +I , α wobei wir wieder M := sup |f | abgek¨ urzt haben und [P (x , y) − P (x , y)]f (y) dy I := |w(x ) − w(x )| ≤ bCg M ωN

Ω |y−x |>2h

f¨ ur h < δ0 sorgf¨ altiger behandeln, indem wir von der Identit¨at [P (x , y) − P (x , y)]f (y) = [g(x ) − g(y)][K(x , x − y) − K(x , x − y)]f (y) + [g(x ) − g(y)][K(x , x − y) − K(x , x − y)]f (y) + [g(x ) − g(x )]K(x , x − y)[f (y) − f (x )] + [g(x ) − g(x )]K(x , x − y)f (x )

(4.47)

Gebrauch machen. Die Voraussetzungen an K, f und g liefern f¨ ur h ∈ (0, δ0 ) die Absch¨ atzung Cg |x − y|α b|x − y|−N hα dy I≤M Ω |y−x |>2h

Cg |x − y|α b |x − y|−(N +1) + |x − y|−(N +1) h dy

+ Ω |y−x |>2h

1 + M

−N

Cg h b|x − y| α

β

Cf |y − x | dy + Cg h (c0 + bωN ln 3) . α

Ω |y−x |>2h

Hinsichtlich des letzten Summanden beachte man, daß wir wegen |K(x, z)| ≤ b|z|−N K(x , x − y) dy − K(x , x − y) dy Ω |y−x |>2h

≤

Ω |y−x |>h

|K(x , x − y)| dy

Ω h<|y−x |<3h

≤

bωN ln 3

142

4 Die Poissongleichung −Δu = f

haben. Des weiteren gilt f¨ ur y ∈ Ω mit |y − x | > 2h 2|y − x | ≥ |y − x | + |y − x | − 2h > |y − x | . Mithin ist

1

I ≤ Cg M h

α

D

b ωN

r

α−1

dr + h

2h

Cf + M

2

D

r

β−1

D

1−α

r

D

α

dr + 2

2h

'

dr + ln 3 + c0

α−2

r

α−2

dr

h

,

h

und die geschweifte Klammer kann durch eine von h unabh¨angige Zahl abgesch¨ atzt werden (f¨ ur α = 1 w¨ are das nicht m¨oglich). F¨ ur x , x ∈ Ω0 mit |x − x | ≥ δ0 ist |w(x ) − w(x )| ≤ 2 sup |w|

|x − x |α , δ0α

wobei die Beschr¨anktheit von w nach a) gew¨ ahrleistet ist.

In Lemma 4.7.4 begegnen uns zum erstenmal gleichm¨aßig α-h¨olderstetige Funktionen (vgl. Deﬁnition 5.3.1). Diese sind – wie wir ab dem Abschnitt 5.3 sehen werden – f¨ ur die klassische L¨ osungstheorie elliptischer Diﬀerentialgleichungen von großer Bedeutung.

4.8 Das Dirichletproblem fu ¨ r −Δu = f bei am Rand unbeschr¨ anktem f Wie zu Beginn von Abschnitt 4.4 erw¨ ahnt, l¨ aßt sich f¨ ur die Poissongleichung das Dirichletproblem mit u|∂Ω = g durch Addition einer passenden harmouckf¨ uhren. Das nischen Funktion auf das Randwertproblem mit u|∂Ω = 0 zur¨ Entsprechende w¨ are bei dem allgemeineren Problem − Δv +

N

ai (x)vxi + a(x)v = f˜(x)

f¨ ur x ∈ Ω,

v|∂Ω = g

(4.48)

i=1

nur dann sinnvoll, wenn wir die Dirichletsche Randwertaufgabe f¨ ur (4.48) mit f˜ = 0 beherrschen w¨ urden, was aber nat¨ urlich nicht der Fall ist. Wir k¨onnen ¨ allenfalls harmonische h mit h|∂Ω = g heranziehen. Uber u = v − h und f = f˜ −

N

i=1

sind dann die Probleme (4.48) und

ai hxi − ah

4.8 Das Dirichletproblem f¨ ur −Δu = f bei am Rand unbeschr¨ anktem f

− Δu +

N

ai (x)uxi + a(x)u = f (x)

f¨ ur x ∈ Ω,

u|∂Ω = 0

143

(4.49)

i=1

a¨quivalent. Das Beispiel der in Aufgabe 3.20 betrachteten harmonischen Funktion, deren Ableitung am Rand der Einheitskreisscheibe unbeschr¨ankt ist, zeigt, daß man nun im allgemeinen mit Diﬀerentialgleichungen konfrontiert wird, deren rechte Seiten am Rand unbeschr¨ ankt sind; lediglich wenn die ai = 0 sind oder kompakten, in Ω gelegenen Tr¨ ager haben, tritt diese Schwierigkeit nicht auf. Da aufgrund der inneren A-Priori-Absch¨ atzung harmonischer Funktionen ur x ∈ Ω beschr¨ankt ist, betrachten wir aus Satz 2.1.7 dist(x, ∂Ω)hxi (x) f¨ nun in Verallgemeinerung von Satz 4.4.7 Greenpotentiale, deren Dichten die Eigenschaften (4.50) haben und mit deren Hilfe wir dann in Abschnitt 6.3 zeigen k¨ onnen, daß (4.49) einem Integralgleichungsproblem ¨aquivalent ist. Die Kompaktheit der dann auftretenden Integraloperatoren wird sich aus Korollar 4.8.5 ergeben. aßige ¨ außere Kugeleigenschaft (s. Lemma 4.8.1. Ω ⊂⊂ RN habe die gleichm¨ Satz 4.6.2), und es sei δ(y) := dist(y, ∂Ω). Es sei f : Ω → R eine meßbare Funktion mit der Eigenschaft M := sup |δ(y)f (y)| < ∞ .

(4.50)

Dann existiert f¨ ur alle x ∈ Ω das Greenpotential w(x) := G(x, y)f (y) dy

(4.51)

y∈Ω

Ω

zu Ω und f und deﬁniert eine Funktion w ∈ C 0 (Ω). F¨ ur x ∈ Ω und γ ∈ (0, 1) ist |w(x)| ≤ c(Ω, γ)M δ(x)1−γ

(4.52)

mit einer allein durch Ω und γ bestimmten Konstanten c(Ω, γ). Beweis. Unter Ber¨ ucksichtigung von Bemerkung 4.1.3 (i) ergeben sich aus (4.23) und (4.24) f¨ ur x ∈ Ω, y ∈ Ω, x = y, und γ ∈ (0, 1) die Absch¨atzungen 0 ≤ G(x, y) ≤ const |x − y|1−N −γ δ(y) , 0 ≤ G(x, y) ≤ const |x − y|−N −γ δ(x)δ(y) mit allein von Ω und γ bestimmten Konstanten. Mit Hilfe der ersten Ungleichung erschließt man die Stetigkeit von w wie im Beweis von Satz 4.4.7 a). Verwenden wir die erste Ungleichung f¨ ur |y − x| ≤ δ(x) und die zweite f¨ ur |y − x| > δ(x), so erhalten wir mit Bemerkung 4.1.3 b)

144

4 Die Poissongleichung −Δu = f

|w(x)| ≤ M const

|x − y|1−N −γ dy + δ(x)

|y−x|≤δ(x)

≤ M ωN const

|x − y|−N −γ dy

|y−x|>δ(x)

δ(x)1−γ + δ(x) 1−γ

D r

−γ−1

dr

,

δ(x)

wenn D := diam Ω ist. Dies beweist die Behauptung, da die Abh¨angigkeit der Konstanten von N durch die Angabe von Ω ber¨ ucksichtigt ist. Lemma 4.8.1 impliziert, daß das durch (4.51) deﬁnierte Greenpotential w auf ∂Ω verschwindet. Zusammen mit dem nun folgenden Satz ist dann die Existenz einer L¨osung von −Δu = f in Ω, u|∂Ω = 0 in dem Fall gezeigt, daß aßige ¨ außere Kugeleigenschaft besitzt und f eine auf Ω Ω ⊂⊂ RN die gleichm¨ lokal h¨ olderstetige Funktion ist, die der Bedingung (4.50) gen¨ ugt. aßige ¨ außere Kugeleigenschaft, und Satz 4.8.2. Ω ⊂⊂ RN habe die gleichm¨ es sei δ(y) := dist(y, ∂Ω). a) Ist f : Ω → R eine meßbare Funktion mit der Eigenschaft (4.50), so ist das Greenpotential (4.51) aus C 1 (Ω), und es gilt (4.53) wxi (x) = Gxi (x, y)f (y) dy, x ∈ Ω . Ω

F¨ ur alle x ∈ Ω, γ ∈ (0, 1) und i = 1, . . . , N besteht |wxi (x)| ≤ d(Ω, γ)M δ(x)−γ

(4.54)

mit einer allein durch Ω und γ bestimmten Konstanten d(Ω, γ). b) Ist f ∈ C H (Ω) (s. Deﬁnition 4.1.5) eine Funktion mit der Eigenschaft (4.50), so ist w ∈ C 2 (Ω) und −Δw = f

in Ω .

Beweis. a) Wir zeigen zun¨ achst die Existenz des Integrals in (4.53) und seine Absch¨ atzung (4.54). Aufgrund der Ungleichungen (4.25) und (4.26) haben wir (wieder unter Ber¨ ucksichtigung von Bemerkung 4.1.3 (i)) f¨ ur alle x, y ∈ Ω, x = y und γ ∈ (0, 1) |Gxi (x, y)| ≤ const |x − y|1−N −γ , |Gxi (x, y)| ≤ const |x − y|−N −γ δ(y)

(4.55)

mit allein durch Ω und γ bestimmten Konstanten. Wegen δ(x) ≤ δ(y)+|x−y| besteht im Falle |x − y| ≤ 12 δ(x) die Ungleichung δ(x) ≤ 2δ(y), so daß δ(x)|Gxi (x, y)f (y)| ≤ M const

2|x − y|1−N −γ f¨ ur |x − y| ≤ 12 δ(x) δ(x)|x − y|−N −γ

f¨ ur |x − y| > 12 δ(x)

4.8 Das Dirichletproblem f¨ ur −Δu = f bei am Rand unbeschr¨ anktem f

145

resultiert, woraus sich wie beim Beweis von Lemma 4.8.1 δ(x) |Gxi (x, y)f (y)| dy ≤ d(Ω, γ)M δ(x)1−γ Ω

ergibt. Zum Nachweis der stetigen Diﬀerenzierbarkeit von w sei Ω0 ⊂⊂ Ω und 0 < t < 12 dist(Ω0 , ∂Ω). Dann ist Ω0 ⊂⊂ Ωt := {y ∈ Ω : δ(y) > t} . F¨ ur x ∈ Ω0 schreiben wir w(x) = v(x) + h(x) mit v(x) := G(x, y)f (y) dy ,

(4.56)

Ωt

G(x, y)f (y) dy .

h(x) :=

(4.57)

Ω\Ωt

Es gen¨ ugt zu zeigen, daß v und h auf Ω0 stetig diﬀerenzierbare Funktionen deﬁnieren und daß die Diﬀerentiation unter dem Integralzeichen erfolgen kann. Im Falle von h folgt dies nach dem Standardsatz A.5 u ¨ber Parameterintegrale aus (4.50) und (4.55) zusammen mit der Beobachtung, daß f¨ ur y ∈ Ω \Ωt ein y0 ∈ ∂Ω existiert mit |y − y0 | ≤ t und somit f¨ ur alle x ∈ Ω0 gilt |x − y| ≥ |x − y0 | − |y0 − y| ≥ dist(Ω0 , ∂Ω) − t >

1 dist(Ω0 , ∂Ω) . 2

(4.58)

Im Falle der Funktion v folgt das Gew¨ unschte aus Aufgabe 4.7, die man auf die Funktion ft := f XΩt anwendet, wobei XΩt die charakteristische Funktion aß Bemerkung 2.1.5 a) ist δ stetig und somit der Menge Ωt bezeichnet. Gem¨ atzung |ft (y)| ≤ Mt f¨ ur alle y ∈ Ω folgt, ist Ωt oﬀen. Da aus (4.50) die Absch¨ ankt. ft meßbar und beschr¨ b) Wir werden zeigen, daß die in (4.56) und (4.57) deﬁnierten Funktionen auf Ω0 zweimal stetig diﬀerenzierbar sind und die zweiten Ableitungen durch ∂2 G(x, y) dy (4.59) wxi xk (x) = Gxi xk (x, y)[f (y) − f (x)] + f (x) ∂xi ∂xk Ω

Ω

ur x = y und wegen Satz 4.4.7 b) mit gegeben sind. Wegen Δx G(x, y) = 0 f¨ f = 1 folgt dann −Δw = f auf Ω0 . Da Ω0 ⊂⊂ Ω beliebig gew¨ahlt war, ist dies die Behauptung. Wir wenden uns zun¨ achst der in (4.56) deﬁnierten Funktion v zu und benutzen wiederum, daß die Einschr¨ ankung von f auf Ωt beschr¨ankt ist und damit f |Ωt ∈ CbH (Ωt ). Aussage c) aus Aufgabe 4.9 liefert die zweimalige stetige Diﬀerenzierbarkeit von v auf Ω0 ⊂⊂ Ωt sowie die Darstellung (4.59) f¨ ur vxi xk mit Integrationsbereichen Ωt anstelle von Ω.

146

4 Die Poissongleichung −Δu = f

Die Harmonizit¨ at von Gxi (·, y) und die Absch¨atzungen (4.55) und (4.58) f¨ uhren gem¨ aß Satz 2.1.7 auf |Gxi xk (x, y)| ≤ const δ(y) f¨ ur alle x ∈ Ω0 und y ∈ Ω \ Ωt , wobei die Konstante allein durch Ω und dist(Ω0 , ∂Ω) bestimmt ist. Die Funktion h aus (4.57) kann folglich auch ein zweites Mal nach dem Standardsatz u ¨ber Parameterintegrale diﬀerenziert werden, und wir erhalten f¨ ur x ∈ Ω0 hxi xk (x) = Gxi xk (x, y)f (y) dy . Ω\Ωt

2 Ebenso gilt ∂x∂i ∂xk Ω\Ωt G(·, y) dy = Ω\Ωt Gxi xk (·, y) dy, und wir gewinnen f¨ ur hxi xk ebenso eine Darstellung von der Form (4.59), wobei die Integrationsbereiche nun durch Ω \ Ωt anstelle von Ω gegeben sind. Addition von hxi xk (x) und vxi xk (x) liefert somit (4.59). aßige ¨ außere Kugeleigenschaft. Ist Lemma 4.8.3. Ω ⊂⊂ RN habe die gleichm¨ f : Ω → R eine meßbare Funktion mit der Eigenschaft (4.50), so gibt es zu angende Zahl C jedem Ω0 ⊂⊂ Ω und γ ∈ (0, 1) eine von Ω0 , Ω und γ abh¨ derart, daß die ersten Ableitungen des Greenpotentials (4.51) zu Ω und f f¨ ur x , x ∈ Ω0 der Ungleichung |wxi (x ) − wxi (x )| ≤ M C|x − x |γ f¨ ur alle i = 1, . . . , N gen¨ ugen. Beweis. Wir erinnern zun¨ achst an die Notation Ωs := {y ∈ Ω : δ(y) > s} aus dem Beweis von Satz 4.8.2. Wir setzen t := 14 dist(Ω0 , ∂Ω) > 0 und zerlegen w = v + h wie in (4.56) und (4.57) angegeben. Oﬀensichtlich gen¨ ugt es, entsprechende H¨ olderschranken f¨ ur hxi und vxi herzuleiten. ur x ∈ Ω0 und y ∈ a) Wir betrachten zun¨ achst den Fall |x − x | ≥ t. F¨ ur alle x ∈ Ω0 Ω \ Ωt gilt |x − y| ≥ 3t. Ungleichung (4.55) liefert dann f¨ |hxi (x)| ≤ |Gxi (x, y)| |f (y)| dy ≤ M C1 (Ω, γ, t) , Ω\Ωt

und wir erhalten somit f¨ ur x , x ∈ Ω0 mit |x − x | ≥ t γ |x − x | . |hxi (x ) − hxi (x )| ≤ 2M C1 (Ω, γ, t) t angt, ist dies die gew¨ unschte Absch¨atzung. Da t nur von Ω0 und Ω abh¨ Um den Fall |x − x | < t zu behandeln, bemerken wir zun¨achst, daß wir aufgrund von (4.55), der Harmonizit¨ at von Gxi (·, y) und Satz 2.1.7 Konstanten ﬁnden k¨ onnen, die nur von Ω, γ und t abh¨ angen, so daß

4.9 Erweiterung: Die Greensche Funktion f¨ ur −Δ + 1

147

|Gxi (x, y)| ≤ const δ(y) f¨ ur alle x ∈ Ω2t , y ∈ Ω \ Ωt , |∇x Gxi (x, y)| ≤ const δ(y) f¨ ur alle x ∈ Ω3t , y ∈ Ω \ Ωt . Somit gilt |∇x hxi (x)| ≤

|∇x Gxi (x, y)| |f (y)| dy ≤ M C2 (Ω, γ, t) Ω\Ωt

f¨ ur alle x ∈ Ω3t . Da Ω0 ⊆ Ω4t nach Deﬁnition von t, liegt f¨ ur x , x ∈ Ω0 mit |x − x | < t auch die Strecke zwischen x und x ganz in Ω3t und wir erhalten |hxi (x ) − hxi (x )| ≤ M C2 (Ω, γ, t)|x − x | ≤ M C2 (Ω, γ, t)t1−γ |x − x |γ . b) Aufgabe 4.11 mit U := Ω0 erlaubt uns die Anwendung von Lemma 4.7.3, wobei wir anstelle von f die abgeschnittene Funktion f XΩt einsetzen, ankt wird. Da die Konstante b gem¨aß Aufgabe 4.11 welche durch Mt beschr¨ angt, ist die von Lemma 4.7.3 gelieferte Absch¨atzung nur von Ω0 und Ω abh¨ f¨ ur x , x ∈ Ω0 von der Form |vxi (x ) − vxi (x )| ≤ C3 (Ω, Ω0 , γ, t)M |x − x |γ .

Bemerkung 4.8.4. Die sich aus unserem Beweis ergebende Konstante C in der Formulierung von Lemma 4.8.3 h¨ angt in komplizierter Weise von Ω und Ω0 ab. So gehen zum Beispiel Schranken an die zweiten Ableitungen von ahltem Ω1 (Ω0 ⊂⊂ Ω1 ⊂⊂ Ω) f¨ ur H = G − S auf Ω 1 × Ω mit geeignet gew¨ die Bestimmung der Konstanten b in Aufgabe 4.11 ein. Korollar 4.8.5. Ω ⊂⊂ RN habe die gleichm¨ aßige ¨ außere Kugeleigenschaft. Es sei M > 0 und % F := g : Ω → R : g ist meßbar und sup |δ(y)g(y)| ≤ M . y∈Ω

Dann ist

% Gxi (·, y)f (y) dy : f ∈ F, i ∈ {1, . . . , N }

Ω

eine Menge auf Ω deﬁnierter stetiger Funktionen, die auf jeder kompakten Teilmenge von Ω gleichgradig gleichm¨ aßig stetig ist.

4.9 Erweiterung: Die Greensche Funktion fu ¨ r −Δ + 1 Wir wollen hier die Resultate der Abschnitte 4.2 und 4.4–4.6 auf die Gleichung − Δu + λu = f

(4.60)

148

4 Die Poissongleichung −Δu = f

ausdehnen. Dazu m¨ ussen wir zun¨ achst einmal λ > 0 voraussetzen; im Falle λ < 0 gibt es ein Problem, das in Bemerkung 5.5.7 kurz gestreift und in Abschnitt 6.2 n¨ aher behandelt wird (vgl. insbesondere Satz 6.2.8). Sucht man L¨osungen von (4.60) mit f = 0 in der Form u(x) = U (|x|) (aufgrund der Translationsinvarianz des Laplaceoperators ist dann bei festem y ∈ RN auch U (|x − y|) f¨ ur x = y eine L¨ osung), so wird man auf die gew¨ohnliche Diﬀerentialgleichung gef¨ uhrt, die wir bereits in Bemerkung 2.5.1 kennengelernt haben. Wir k¨ onnen in der dortigen Gleichung (2.15) λ = 1 setzen, also N −1 U (r) − U (r) = 0 (4.61) r √ betrachten, denn wenn wir r durch λr in dem Argument von U ersetzen, erhalten wir eine L¨ osung der allgemeineren Gleichung. Durch die Substitution y(r) := r(N −1)/2 U (r) geht (4.61) in (N − 1)(N − 3) y − 1 + y=0 (4.62) 4r2 U (r) +

u ur ¨ber. Man kann also erwarten, daß (4.62) und damit auch (4.61) eine f¨ r → ∞ exponentiell fallende und eine exponentiell wachsende L¨osung besitzt [98, p. 381]. Wir suchen daher f¨ ur (4.61) eine L¨osung der Gestalt ∞ U (r) =

e−rt ϕ(t) dt

1

mit einer h¨ ochstens polynomial wachsenden Funktion ϕ. Zweimalige Diﬀerentiation unter dem Integralzeichen liefert ∞

U (r) − U (r) =

e−rt (t2 − 1)ϕ(t) dt ,

(4.63)

1

und mit

t sϕ(s) ds

φ(t) := 1

erhalten wir durch partielle Integration

∞

U (r) = −

e

−rt

∞ tϕ(t) dt = −r

1

e−rt φ(t) dt .

1

Gleichung (4.61) ist somit erf¨ ullt, wenn (t2 − 1)ϕ(t) = (N − 1)φ(t) gilt, was uns u ¨ber

(4.64)

4.9 Erweiterung: Die Greensche Funktion f¨ ur −Δ + 1

149

t ϕ (t) = (N − 3) 2 ϕ(t) t −1 auf die Wahl ϕ(t) = (t2 − 1) ∞ U (r) :=

N −3 2

f¨ uhrt. Man u ¨berzeugt sich leicht, daß wir mit

e−rt (t2 − 1)(N −3)/2 dt,

r>0,

(4.65)

1

eine L¨ osung der gew¨ unschten Art gefunden haben. Ein anderer und vielleicht etwas systematischerer Weg h¨ atte darin bestanden, (4.61) oder (4.62) als Differentialgleichung der modiﬁzierten Besselfunktion zu identiﬁzieren (s. Bemerkung 4.9.2 b)). Die Funktion (4.65) wurde f¨ ur N = 2 erstmals von Riemann [281] betrachtet. Um das Verhalten von U f¨ ur r → 0 und r → ∞ zu untersuchen, machen wir in (4.63), (4.64) (mit ϕ(t) = (t2 − 1)(N −3)/2 ) und (4.65) die Variablentransformation s = r(t − 1), was e−r U (r) = N −2 r

∞

e−s (2sr + s2 )(N −3)/2 ds ,

(4.66)

0

e−r U (r) = − (N − 1)rN −1

U (r) = U (r) +

−r

e rN

∞

∞

e−s (2sr + s2 )(N −1)/2 ds ,

(4.67)

0

e−s (2sr + s2 )(N −1)/2 ds

(4.68)

0

liefert. F¨ ur m ∈ N0 ist ∞ e

−s

2

(2sr + s )

m 2

∞ ds ≤

0

e

−s

0

≤

m ∞

m i (r + s) ds = e−s sm−i ds r i i=0 m

0

const const rm

f¨ ur 0 < r < 1 . f¨ ur r ≥ 1

(4.69)

F¨ ur N = 2 haben wir ∞

e−s (2sr + s2 )−1/2 ds ≤

1 (2r)1/2

0

∞

e−s s−1/2 ds,

r>0,

(4.70)

0

was f¨ ur r ≥ 1 eine gute Absch¨ atzung ist. F¨ ur N = 2 und r ∈ (0, 1) empﬁehlt es sich, in (4.64) die Substitution s = rt zu machen: 1 U (r) = − r

∞ r

e−s

s2 − r2 ds .

4 Die Poissongleichung −Δu = f

150

Mit der stetigen Funktion

∞

g(r) := 1 −

e−s

s2 − r2 ds

r

ist

Wegen

∞ 0

1 g(r) U (r) = − + . r r se−s ds = 1 k¨ onnen wir r se

g(r) =

−s

∞ ds + r

0

schreiben. Der erste Term ist ≤ s−

e−s s − s2 − r2 ds

1 2 2r ,

s2 − r2 =

der zweite ≤ r, denn f¨ ur s ≥ r ist ja r2 √ ≤r. s + s2 − r2

Also gilt im Falle N = 2 f¨ ur 0 < r < 1 1 U (r) = − + g1 (r) , r U (r) = − ln r + g2 (r)

(4.71) (4.72)

mit stetigen und beschr¨ ankten Funktionen g1 und g2 . Wir bemerken noch, daß aus (4.67) lim r

r→0

N −1

1 U (r) = − N −1

∞

e−s sN −1 ds = −

0

Γ (N ) = −(N − 2)! (4.73) N −1

folgt. Mit der Funktion U in (4.65) haben wir eine Funktion gefunden, die f¨ ur −Δ + 1 die gleiche Rolle spielt wie die Singularit¨atenfunktion aus Deﬁnition 4.1.2 f¨ ur −Δ. Deﬁnition 4.9.1. F¨ ur x, y ∈ RN sei ⎧ ∞ ⎪ ⎪ 1 ⎨ e−|x−y|t (t2 − 1)(N −3)/2 dt , falls x = y . S(x, y) := (N − 2)!ωN ⎪ 1 ⎪ ⎩ 0 , falls x = y S heißt die Singularit¨ atenfunktion oder die Grundl¨osung zu −Δ + 1. Bemerkung 4.9.2. a) S ist außerhalb der Diagonalen beliebig oft diﬀerenzierbar. F¨ ur x, y ∈ RN ist S(x, y) = S(y, x), ferner f¨ ur x = y Sxi (x, y) = −Syi (x, y) ,

(4.74)

(−Δx + 1)S(x, y) = 0 .

(4.75)

Es gibt eine Zahl c(N ) und f¨ ur jedes γ ∈ (0, 1) eine Zahl c(N, γ), so daß f¨ ur alle x, y ∈ RN mit x = y

4.9 Erweiterung: Die Greensche Funktion f¨ ur −Δ + 1

151

(i) 0 < S(x, y) ≤ c(N, γ)|x − y|2−N −γ e− 2 |x−y| , 1

(ii) |Sxi (x, y)| ≤ c(N )|x − y|1−N e− 2 |x−y| , 1

(iii) |Sxi xk (x, y)| ≤ c(N )|x − y|−N e− 2 |x−y| . 1

(i) folgt aus (4.66), (4.69) und (4.70) und schw¨acht das f¨ ur N = 2 in (4.72) Erreichte ab, um eine Fallunterscheidung bez¨ uglich N zu vermeiden. (ii) ergibt sich aus (4.67) und (4.69). (iii) erh¨ alt man schließlich aus (4.68) und (4.69) in Kombination mit der Absch¨ atzung (i). Das exponentielle Abklingen und die Tatsache, daß die Absch¨ atzung (i) außerhalb der Diagonalen in ganz RN ×RN gilt, unterscheiden diese Singularit¨ atenfunktion in angenehmer Weise von der zu −Δ. Die lokale Singularit¨ at bei x = y ist von der gleichen Art. b) Unter Verwendung der modiﬁzierten Besselfunktion 2. Art Kν der Ordnung ν := (N − 2)/2 kann S in der Form S(x, y) =

Kν (|x − y|) 1 (2π)N/2 |x − y|ν

geschrieben werden [331, p. 172]. F¨ ur ungerade N kann Kν durch elementare Funktionen ausgedr¨ uckt werden [331, p. 80], was mit Hilfe partieller Integration auch unmittelbar aus der Deﬁnition von S erschlossen werden kann. F¨ ur die Singularit¨ atenfunktion S zu −Δ + λ mit λ > 0 hat man die Normierung √ ν √ √ √ λ 1 Kν λ|x − y| = λν S λx, λy Sλ (x, y) = 2π 2π|x − y| zu treﬀen, um analog zu Lemma 4.9.4 b) (−Δ + λ) Sλ (x, y) dy = 1 Ω

zu erhalten. Speziell f¨ ur N = 3 ist Sλ (x, y) =

√ 1 e− λ|x−y| . 4π|x − y|

Wir k¨ onnen nun sehr schnell ein Analogon zu dem H¨olderschen Satz 4.2.6 beweisen, indem wir uns auf Hilfsmittel aus Abschnitt 4.7 st¨ utzen. Wir beginnen mit einer Satz 4.2.4 entsprechenden Aussage. Lemma 4.9.3. Es seien S die Singularit¨ atenfunktion zu −Δ + 1, Ω ⊆ RN oﬀen und f : Ω → R meßbar und beschr¨ ankt. Dann ist v(x) := S(x, y)f (y) dy, x ∈ RN , (4.76) Ω

aus C (R ), und es gilt f¨ ur x ∈ RN vxi (x) = Sxi (x, y)f (y) dy . 1

N

Ω

(4.77)

4 Die Poissongleichung −Δu = f

152

Beweis. Die Existenz des Integrals in (4.76) folgt sofort aus der Absch¨atzung (i) in Bemerkung 4.9.2 a). F¨ ur den Beweis von v ∈ C 1 (RN ) seien B ⊂⊂ B ⊂⊂ N ugt, v ∈ C 1 (B ) zu zeigen. In der Zerlegung R und x ∈ B ; es gen¨ v(x) = S(x, y)f (y) dy + S(x, y)f (y) dy (4.78) Ω\B

Ω∩B

kann der erste Term nach dem Standardsatz A.5 u ¨ber Parameterintegrale beliebig oft unter dem Integralzeichen diﬀerenziert werden. Auf den zweiten Term k¨ onnen wir Satz 4.7.1 mit U = B und Ω ∩ B anstelle des dortigen Ω anwenden, da seine Voraussetzungen aufgrund von Bemerkung 4.9.2 a) erf¨ ullt sind. In Analogie zu Korollar 4.2.2 und Lemma 4.2.5 haben wir Lemma 4.9.4. Es sei S die Singularit¨ atenfunktion zu −Δ + 1. a) Ist B ⊂⊂ RN eine Kugel, so gilt f¨ ur x ∈ B ∂2 S(x, y) dy = − νi (y)Sxk (x, y) dS(y) . ∂xi ∂xk B

∂B

Dabei ist νi (y) die i-te Komponente der ¨ außeren Einheitsnormalen an ∂B im Punkte y. b) Ist Ω ⊆ RN oﬀen, so gilt ∞ S(·, y) dy ∈ C (Ω) und (−Δ + 1) S(·, y) dy = 1 f¨ ur x ∈ Ω . Ω

Ω

Beweis. a) Sei x ∈ B und B (x) ⊂⊂ B. Wir haben (4.77) mit f = 1 zur Verf¨ ugung, und mit (4.74) gilt vxi (x) = − Syi (x, y) dy = − Syi (x, y) dy − Syi (x, y) dy , B

B\B (x)

B (x)

wobei das zweite Integral aufgrund der Absch¨ atzung (ii) in Bemerkung 4.9.2 a) f¨ ur → 0 gegen Null geht. Das erste Integral l¨aßt sich nach dem Gaußschen Satz B.6 in ein Oberﬂ¨ achenintegral verwandeln: xi − yi S(x, y) dS(y) . Syi (x, y) dy = νi (y)S(x, y) dS(y) + |x − y| B\B (x)

∂B

∂B (x)

Da das zweite Integral nach der Absch¨ atzung (i) in Bemerkung 4.9.2 a) f¨ ur → 0 gegen Null geht, resultiert

4.9 Erweiterung: Die Greensche Funktion f¨ ur −Δ + 1

153

vxi (x) = −

νi (y)S(x, y) dS(y) .

∂B

Da die rechte Seite aus C ∞ (B) ist und unter dem Integralzeichen beliebig oft diﬀerenziert werden darf, ist also v ∈ C ∞ (B) und insbesondere vxi xk (x) = − νi (y)Sxk (x, y) dS(y) . ∂B

b) In (4.78) sei speziell f = 1 und B = Br (x) ⊂⊂ Ω. Anwendung von −Δ + 1 auf das erste Integral liefert wegen (4.75) Null. Nach Beweisteil a) haben wir y−x (−Δ + 1) S(x, y) dy = · ∇ S(x, y) dS(y) + S(x, y) dy x |y−x| Br (x)

=−

∂Br (x)

1 (N − 2)! ωN

Br (x)

U (|x − y|) dS(y) +

∂Br (x)

S(x, y) dy .

Br (x)

Die Behauptung folgt nun aus (4.73), da das zweite Integral f¨ ur r → 0 ja gegen Null geht. Nun sind wir in der Lage, ein dem H¨ olderschen Satz 4.2.6 entsprechendes Resultat zu beweisen. atenfunktion zu −Δ + 1 Satz 4.9.5. Es seien Ω ⊆ RN oﬀen, S die Singularit¨ und f ∈ CbH (Ω) (s. Deﬁnition 4.1.5). Dann ist v(x) := S(x, y)f (y) dy, x ∈ RN , Ω

ur x ∈ Ω gilt aus C 2 (Ω), und f¨ vxi xk (x) = [f (y) − f (x)]Sxi xk (x, y) dy + f (x) Ω

∂2 ∂xi ∂xk

S(x, y) dy . (4.79) Ω

Beweis. Es sei B ⊂⊂ Ω eine Kugel. F¨ ur x ∈ B ⊂⊂ B haben wir wegen (4.77) die Zerlegung Sxi (x, y)f (y) dy + Sxi (x, y)f (y) dy . vxi (x) = Ω\B

B

Die Ableitung nach xk in dem ersten Integral ist wieder unproblematisch. Auf das zweite Integral k¨ onnen wir Satz 4.7.2 b) mit U = Ω = B anwenden, denn es ist ja

154

4 Die Poissongleichung −Δu = f

∂ ∂xi

Sxi (·, y) dy ∈ C 1 (B)

S(·, y) dy = B

B

(Lemma 4.9.3 und Lemma 4.9.4 b)). Die anderen Voraussetzungen von Satz 4.7.2 b) sind aufgrund von Bemerkung 4.9.2 a) erf¨ ullt. Es ist also v ∈ C 2 (Ω) und f¨ ur x ∈ B vxi xk (x) = Sxi xk (x, y)f (y) dy + [f (y) − f (x)]Sxi xk (x, y) dy Ω\B 2

+f (x)

∂ ∂xi ∂xk

B

S(x, y) dy . B

Da wir dies in der Form vxi xk (x) = f (x) Sxi xk (x, y) dy + [f (y) − f (x)]Sxi xk (x, y) dy Ω\B 2

+f (x)

∂ ∂xi ∂xk

Ω

S(x, y) dy B

schreiben und in dem ersten Integral die Ableitungen vor das Integral ziehen k¨onnen, ist damit (4.79) bewiesen. In Kombination mit Lemma 4.9.4 b) folgt sofort aus (4.79) und (4.75) Korollar 4.9.6. Unter den Voraussetzungen von Satz 4.9.5 gilt auf Ω (−Δ + 1)v = f . In Analogie zu Deﬁnition 4.4.1 treﬀen wir die Deﬁnition 4.9.7. Es sei Ω ⊆ RN oﬀen und S die Singularit¨ atenfunktion zu ur Ω und den −Δ + 1. Man nennt G : Ω × Ω → R Greensche Funktionen f¨ Operator −Δ + 1 (mit Dirichletscher Randbedingung), wenn f¨ ur jedes y ∈ Ω folgendes gilt: ullt (i) G(·, y) − S(·, y) ist aus C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) und erf¨ (−Δx + 1)[G(x, y) − S(x, y)] = 0

f¨ ur x ∈ Ω ;

(ii) G(·, y) = 0 auf ∂Ω; (iii) f¨ ur jede Folge (xn ) aus Ω mit |xn | → ∞ f¨ ur n → ∞ gilt lim G(xn , y) = 0 .

n→∞

4.9 Erweiterung: Die Greensche Funktion f¨ ur −Δ + 1

155

Bemerkung 4.9.8. a) Im Falle Ω = RN hat die Singularit¨atenfunktion S oﬀensichtlich alle von G verlangten Eigenschaften, diesmal f¨ ur alle N ≥ 2. b) Die Forderung (iii) entf¨ allt, wenn Ω beschr¨ankt ist. c) Es gibt, wenn u ¨berhaupt, genau eine Greensche Funktion. Sei y ∈ Ω. Die Diﬀerenz G zweier Greenscher Funktionen gen¨ ugt n¨amlich auf Ω der Gleichung (−Δx + 1)G(·, y) = 0 . F¨ ur x ∈ ∂Ω ist G(x, y) = 0, ferner limn→∞ G(xn , y) = 0 f¨ ur |xn | → ∞. Da G(·, y) nach Aufgabe 2.18 in Ω kein positives Maximum und kein negatives Minimum annehmen kann, ist also G(x, y) = 0 f¨ ur x ∈ Ω. d) Daß die Greensche Funktion f¨ ur Ω ⊂⊂ RN und −Δ + 1 existiert, wenn jeder Randpunkt von Ω regul¨ ar ist im Sinne von Deﬁnition 3.3.8, wird mit Satz 6.2.7 gezeigt werden. Wir weisen nun nach, daß sich die aus den Abschnitten 4.4–4.6 f¨ ur die Greensche Funktion zu −Δ bekannten Grundeigenschaften u ¨bertragen. ur Ω und Lemma 4.9.9. Es sei Ω ⊆ RN oﬀen und G Greensche Funktion f¨ −Δ + 1. Ist y ∈ Ω, so gilt 0 ≤ G(x, y)

f¨ ur x ∈ Ω \ {y} ;

genauer: es ist 0 < G(x, y), wenn sich x und y in derselben Zusammenhangskomponente von Ω beﬁnden und x = y ist, und 0 = G(x, y), wenn x und y in verschiedenen Zusammenhangskomponenten von Ω liegen. Weiter gilt G(x, y) ≤ S(x, y) f¨ ur alle x ∈ Ω, y ∈ Ω mit x = y. Beweis. Sei y ∈ Ω. Liegt x ∈ Ω in einer Zusammenhangskomponente X von Ω, die y nicht enth¨ alt, so gilt wegen (4.75) (−Δx + 1)G(·, y) = 0

(4.80)

auf X. Auf ∂X ⊆ ∂Ω ist G(·, y) = 0. Ferner gilt f¨ ur unbeschr¨anktes X, daß ur jede Folge (xn ) aus X, die gegen Unendlich strebt. G(xn , y) → 0 strebt f¨ Da G(·, y) nach Aufgabe 2.18 in X weder ein positives Maximum noch ein negatives Minimum haben kann, ist also G(x, y) = 0 f¨ ur jedes solche x ∈ X. Nun sei Y diejenige Zusammenhangskomponente von Ω, die y enth¨alt. Dann besteht dank (4.75) die Gleichung (4.80) auf Y \ {y}. Nach Aufgabe 2.18 kann G(·, y) also dort kein negatives Minimum annehmen. Es ist also G(x, y) ≥ 0 f¨ ur x ∈ Y \ {y}. G¨ abe es ein x0 ∈ Y \ {y} mit G(x0 , y) = 0, so w¨ are nach Aufgabe 2.19 schon G(x, y) = 0 f¨ ur alle x ∈ Y \ {y}, also aufgrund der Eigenschaft (i) in Deﬁnition 4.9.7 −S(·, y) in einer Umgebung von y beschr¨ ankt.

156

4 Die Poissongleichung −Δu = f

Die auf Ω stetige Funktion G(·, y) − S(·, y) ist auf ∂Ω negativ. W¨are sie positiver Werte f¨ahig, so bes¨ aße sie in Ω ein positives Maximum, was nach Aufgabe 2.18 nicht sein kann. Dies beweist die letzte Behauptung. Lemma 4.9.10. Ist Ω ⊂⊂ RN und G Greensche Funktion f¨ ur Ω und −Δ+1, so gilt H := G − S ∈ C 0 (Ω × Ω) . Beweis. Ganz wie im Beweis von Lemma 4.4.5 gen¨ ugt es zu zeigen, daß die Funktion H(x, ·) auf jedem Ω0 ⊂⊂ Ω stetig ist, und zwar gleichm¨aßig bez¨ uglich x ∈ Ω. Aufgrund von 4.9.7 (ii) gilt H|∂Ω×Ω 0 = −S|∂Ω×Ω 0 , wobei die Funktion rechts gleichm¨ aßig stetig ist. Insbesondere gibt es also zu jedem > 0 ein δ > 0, so daß |H(x, y1 ) − H(x, y2 )| < ausf¨allt f¨ ur alle x ∈ ∂Ω und alle y1 , y2 ∈ Ω0 mit |y1 −y2 | < δ. Es l¨ost u := H(·, y1 )−H(·, y2 ) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) die Gleichung (−Δ + 1)u = 0 in Ω, so daß nach Aufgabe 2.9 a) − ≤ H(x, y1 ) − H(x, y2 ) ≤ f¨ ur alle x ∈ Ω und f¨ ur alle y1 , y2 ∈ Ω0 mit |y1 − y2 | < δ gilt.

Bemerkung 4.9.11. Ist Ω ⊂⊂ RN und G Greensche Funktion zu Ω und −Δ + 1, so ist G(x, ·) f¨ ur x ∈ Ω stetig auf Ω \ {x} (nach Lemma 4.9.10) und besitzt eine u ¨ber Ω integrierbare Majorante (nach Lemma 4.9.9 in Verbindung mit Absch¨ atzung (i) aus Bemerkung 4.9.2 a)), so daß f¨ ur meßbares und beschr¨ anktes f : Ω → R (4.81) w(x) := G(x, y)f (y) dy, x ∈ Ω , Ω

existiert. Satz 4.9.12. Es sei Ω ⊂⊂ RN und G Greensche Funktion zu Ω und −Δ + 1. a) Ist f : Ω → R meßbar und beschr¨ ankt, so deﬁniert (4.81) eine Funktion w ∈ C 0 (Ω). (Nat¨ urlich ist w(x) = 0 f¨ ur x ∈ ∂Ω.) b) Ist f ∈ CbH (Ω), so gilt u ¨berdies w ∈ C 2 (Ω) und (−Δ + 1)w = f

in Ω .

Beweis. a) wird wie in Satz 4.4.7 a) bewiesen, wobei nunmehr lediglich Lemma 4.9.9 in Kombination mit der Ungleichung (i) in Bemerkung 4.9.2 a) heranzuziehen ist. b) Wir setzen H := G − S und schreiben w(x) = v(x) + h(x) f¨ ur x ∈ Ω mit

4.9 Erweiterung: Die Greensche Funktion f¨ ur −Δ + 1

v(x) :=

157

S(x, y)f (y) dy, Ω

h(x) :=

H(x, y)f (y) dy . Ω

Da nach Korollar 4.9.6 (−Δ + 1)v = f ist, bleibt also nur (−Δ + 1)h = 0 auf Ω

(4.82)

zu zeigen. F¨ ur jedes y ∈ Ω hat H(·, y) auf Ω deﬁnitionsgem¨aß die Eigenschaft ur (−Δx + 1)H(·, y) = 0, so daß nach Bemerkung 2.5.1 und Aufgabe 2.13 a) f¨ alle Br (x0 ) ⊂⊂ Ω die zweite Mittelwertrelation [RN (r)H(x0 , y) − H(x, y)] dx = 0 (4.83) Br (x0 )

besteht. Dabei ist RN (r) :=

N rN

r

φ(N, 1; )N −1 d

(4.84)

0

und φ(N, 1; ·) die stetige und positive Funktion aus (2.17).5 Auf Br (x0 ) × Ω ist die Funktion (x, y) → [RN (r)H(x0 , y) − H(x, y)]f (y) nach Lemma 4.9.10 stetig, insbesondere also meßbar. Ferner existiert das Integral (|RN (r)H(x0 , y)| + |H(x, y)|) |f (y)| dy dx , (4.85) Br (x0 )

Ω

da f beschr¨ ankt ist und |H| nach Lemma 4.9.9 durch S majorisiert werden kann. Nach Fubini-Tonelli ist daher [RN (r)h(x0 ) − h(x)] dx Br (x0 )

[RN (r)H(x0 , y) − H(x, y)] dx f (y) dy = 0 ,

= Ω

Br (x0 )

so daß nach Aufgabe 2.14 b) die Gleichung (4.82) besteht. Die hierf¨ ur ben¨otigte Stetigkeit von h in jedem Punkte x0 ∈ Ω ergibt sich aus dem Standardsatz A.5 u ¨ber Parameterintegrale, wobei die Majorante in der N¨ahe von x0 gem¨aß Lemma 4.9.10 konstant gew¨ ahlt werden kann und f¨ ur den verbleibenden Integrationsbereich |H| ≤ S genutzt werden kann. 5

Mit ν := (N − 2)/2 hat man φ(N, λ; ) = Γ N2 (2/)ν Iν (), wobei Iν die modiﬁzierte Besselfunktion 1. Art der Ordnung ν ist [331, p. 77]. Speziell ist φ(3, 1; ) = (sinh )/ [331, p. 80]. Vgl. Aufgabe 2.13 b).

158

4 Die Poissongleichung −Δu = f

Die Symmetrie der Greenschen Funktion beweisen wir ¨ahnlich wie fr¨ uher (Lemma 4.5.1 und Satz 4.5.2). Einen anderen Beweis werden wir in Aufgabe 10.10 kennenlernen. Lemma 4.9.13. Es sei Ω ⊂⊂ RN und G Greensche Funktion zu Ω und −Δ+ osung von 1. F¨ ur x ∈ Ω ist H(x, ·) := G(x, ·) − S(x, ·) L¨ (−Δ + 1)u = 0

in Ω .

(4.86)

Beweis. Es sei Br (y0 ) ⊂⊂ Ω und RN (r) wie in (4.84). Die Funktion h(x) := [RN (r)H(x, y0 ) − H(x, y)] dy, x ∈ Ω , Br (y0 )

ist stetig, da der Integrand nach Lemma 4.9.10 auf Ω×Ω stetig ist. Wir zeigen, daß h der 2. Mittelwertrelation gen¨ ugt und auf ∂Ω Null ist. Aus den Aufgaben 2.14 b) und 2.18 folgt dann, daß h in Ω weder ein positives Maximum noch ein negatives Minimum annehmen kann, also identisch Null ist. Mithin gen¨ ugt H(x, ·) f¨ ur x ∈ Ω auf Ω der 2. Mittelwertrelation, was nach Aufgabe 2.14 b) das Bestehen von (4.86) impliziert. F¨ ur B (x0 ) ⊂⊂ Ω gilt (Vertauschung der Integrationsreihenfolge ist unproblematisch) [RN ()h(x0 ) − h(x)] dx B (x0 )

[RN ()H(x0 , y0 ) − H(x, y0 )] dx

RN (r)

= Br (y0 )

B (x0 )

−

[RN ()H(x0 , y) − H(x, y)] dx Br (y0 )

dy

dy .

B (x0 )

Die beiden inneren Integrale sind aber nach (4.83) Null, so daß h in der Tat der 2. Mittelwertrelation gen¨ ugt. F¨ ur x ∈ ∂Ω ist G(x, y) = 0, mithin h(x) = [−RN (r)S(x, y0 ) + S(x, y)] dy . Br (y0 )

Dies ist aber Null, denn aus (4.75) und der Symmetrie von S folgt ja (−Δy + 1)S(x, ·) = 0 , so daß S(x, ·) nach Bemerkung 2.5.1 und Aufgabe 2.13 a) der 2. Mittelwertrelation gen¨ ugt. Satz 4.9.14. Es sei Ω ⊂⊂ RN und G Greensche Funktion zu Ω und −Δ + 1. Dann ist H := G − S auf Ω × Ω symmetrisch, insbesondere also G(x, y) = G(y, x)

f¨ ur (x, y) ∈ Ω × Ω .

4.9 Erweiterung: Die Greensche Funktion f¨ ur −Δ + 1

159

Beweis. Es sei x ∈ Ω und y ∈ Ω \ {x}. Die Funktion u(y) := H(x, y) − H(y, x),

y∈Ω,

ist nach 4.9.7 (i) und Lemma 4.9.13 L¨ osung von (4.86). Wegen G(x, y) ≥ 0 (nach Lemma 4.9.9) und der Symmetrie von S ist u(y) ≥ −[S(x, y) + H(y, x)] = −[S(y, x) + H(y, x)] = −G(y, x)

f¨ ur x = y .

F¨ ur jede Folge (yi ) aus Ω, die gegen einen Punkt z ∈ ∂Ω konvergiert, gilt daher wegen 4.9.7 (i) und (ii) lim inf u(yi ) ≥ 0 . i→∞

Da u nach Aufgabe 2.18 in Ω kein negatives Minimum annehmen kann, ist also u(y) ≥ 0. Vertauscht man die Rollen von x und y, so ergibt sich die Behauptung. Wir zeigen nun noch, wie man sich unter zus¨atzlichen Voraussetzungen an die Qualit¨ at des Randes von Ω Absch¨ atzungen f¨ ur die Ableitung der Greenschen Funktion verschaﬀen kann. Lemma 4.6.1, das im Fall des Laplaceoperators hilfreich war, wird ersetzt durch Lemma 4.9.15. Es seien Br und B2r konzentrische Kugeln in RN mit Radien r bzw. 2r und Mittelpunkt a, ferner U die Funktion aus (4.65). Dann wird durch U (r) − U (|x − a|) , r ≤ |x − a| ≤ 2r , ur (x) := U (r) − U (2r) eine nichtnegative, stetige, in der Kugelschale B2r \ B r beliebig oft diﬀerenzierbare Funktion mit ur |∂B2r = 1, ur |∂Br = 0 und (−Δ + 1)ur = 0

in B2r \ B r

erkl¨ art, die der Absch¨ atzung |∇ur (x)| ≤ 2N −1

er r

f¨ ur r < |x − a| < 2r

(4.87)

gen¨ ugt. Beweis. Wir k¨ onnen uns auf den Beweis der Absch¨atzung beschr¨anken. F¨ ur geeignetes ∈ (r, 2r) ist nach (4.67) re− U (r) − U (2r) = −rU () = (N − 1)N −1

≥

−2r

re (N − 1)(2r)N −1 −r

=

re |U (r)| . 2N −1

∞ 0

∞

e−s (2s + s2 )(N −1)/2 ds

0

e−s (2sr + s2 )(N −1)/2 ds

160

4 Die Poissongleichung −Δu = f

Aus (4.68) folgt, daß U streng monoton w¨ achst. Aus r < |x − a| < 2r folgt daher |∇U (|x − a|)| = |U (|x − a|)| = −U (|x − a|) < −U (r) = |U (r)| ,

was (4.87) beweist.

Den beim Beweis von Satz 4.6.2 verwendeten Mechanismus stellen wir nun in folgendem Hilfssatz heraus. Lemma 4.9.16. Ω ⊂⊂ RN habe die gleichm¨ aßige ¨außere Kugeleigenschaft (s. Satz 4.6.2); es seien D := diam Ω und R < D ein entsprechender Kugelradius. F¨ ur x ∈ Ω sei P (x, ·) ∈ C 2 (Ω \ {x}) ∩ C 0 (Ω \ {x}) eine Funktion mit (−Δy + 1)P (x, ·) = 0 in Ω \ {x},

P (x, ·) = 0 auf ∂Ω ,

die f¨ ur y ∈ Ω \ {x} der Ungleichung |P (x, y)| ≤ f (x)Q(|x − y|)

(4.88)

mit f ≥ 0 und monoton fallendem Q : (0, ∞) → (0, ∞) gen¨ ugt. Dann gibt es allein von N abh¨ angende Zahlen c0 (N ) und c1 (N ), so daß f¨ ur 0 < α ≤ 1 und f¨ ur x, y ∈ Ω, x = y, mit δ(y) := dist(y, ∂Ω) α |x − y| δ(y) D , (4.89) |P (x, y)| ≤ c0 (N ) 1 + eR f (x)Q R 3 |x − y| |x − y| 1 D (4.90) |∇y P (x, y)| ≤ c1 (N ) 1 + eR f (x)Q R 6 |x − y| gilt. Beweis. Die Argumentation im Beweis von Satz 4.6.2 ist nur an den beiden Stellen zu ver¨ andern, an denen von der Harmonizit¨at der fr¨ uheren Funktion P Gebrauch gemacht wurde. Beim Beweis von (4.89) kommt es allein auf den Fall an, daß δ(y) < r := min(|x−y|/6, R) gilt. Wie fr¨ uher sei y0 ∈ ∂Ω so, daß |y−y0 | = δ(y). Weiter sei Br eine Kugel mit Radius r mit B r ∩ Ω = {y0 }, die wegen r ≤ R ja existieren muß. Die Kugel B2r mit Radius 2r sei konzentrisch zu Br , und ur bezeichne die gem¨ aß Lemma 4.9.15 auf B 2r \ Br deﬁnierte zugeh¨orige Funktion. Wir setzen Ωr := Ω ∩ (B2r \ B r ). Die alte Argumentation zeigt, daß die Funktionen |x − y| f (x)Q ur (z) ∓ P (x, z), z ∈ Ω r , 3 auf ∂Ωr nichtnegativ sind. Aus Aufgabe 2.9 a) folgt, daß sie dann auch auf onnen wir mit (4.87) Ωr nichtnegativ sind. Wegen ur (y0 ) = 0 k¨

4 Aufgaben

161

|x − y| (ur (y) − ur (y0 )) 3 |x − y| er ≤ f (x)Q δ(y)2N −1 3 r

|P (x, y)| ≤ f (x)Q

uher. folgern. Wir sch¨ atzen nun er durch eR ab und schließen im u ¨brigen wie fr¨ Zum Beweis von (4.90) sei r := min(|x − y|, δ(y)). Wir k¨onnen Bemerkung 2.5.3 auf die Funktion P (x, ·) anwenden und erhalten |Pyi (x, y)| ≤

4N r

sup

|P (x, z)| .

z∈Br/2 (y)

F¨ ur r = |x − y| k¨ onnen wir nun das alte Argument verwenden. Im Falle r = δ(y) ben¨ utzen wir, daß nach (4.89) f¨ ur alle z ∈ Br/2 (y) |x − z| δ(z) D R |P (x, z)| ≤ c0 (N ) 1 + e f (x)Q R 3 |x − z| ist, und nun verl¨ auft wieder alles wie fr¨ uher.

Satz 4.9.17. Ω ⊂⊂ RN habe die gleichm¨ aßige ¨ außere Kugeleigenschaft, und es sei G die Greensche Funktion zu Ω und −Δ + 1.6 Dann gibt es eine allein durch Ω bestimmte Zahl c(Ω), so daß |∇x G(x, y)| ≤ c(Ω)S

x y 1 , 6 6 |x − y|

f¨ ur x, y ∈ Ω, x = y. Beweis. G gen¨ ugt nach Lemma 4.9.9 der Ungleichung (4.88) mit f = 1 und Q(|x − y|) = S(x, y) und hat nach Aufgabe 4.13 die u ¨brigen in Lemma 4.9.16 verlangten Eigenschaften. Aufgrund der Symmetrie von G (Satz 4.9.14) ist ∇x G(a, b) = ∇y G(b, a) f¨ ur alle a, b ∈ Ω mit a = b, so daß die Behauptung aus (4.90) folgt.

Aufgaben 4.1. Man beweise die Behauptungen in Bemerkung 4.1.3. 4.2. Sei Ω ⊆ RN oﬀen. Man zeige folgende Aussagen u ¨ber den Raum C H (Ω) der lokal h¨ olderstetigen Funktionen. a) Sind f, g ∈ C H (Ω), so gilt auch f · g ∈ C H (Ω). 6

Sie existiert nach den S¨ atzen 3.4.2 und 6.2.7.

162

4 Die Poissongleichung −Δu = f

b) Eine Funktion f : Ω → R liegt genau dann in C H (Ω), wenn es zu jedem x0 ∈ Ω positive Zahlen C, r und ein α ∈ (0, 1] gibt mit |f (x) − f (y)| ≤ ur alle x, y ∈ Br (x0 ). C|x − y|α f¨ c) Jede auf Ω stetig diﬀerenzierbare Funktion liegt in C H (Ω). 4.3. Es sei N ≥ 3, und B ⊂⊂ RN sei eine Kugel und ν(y) die ¨außere Einheitsnormale an B im Punkte y ∈ ∂B. Man zeige, daß die Singularit¨atenfunktion S zum Laplaceoperator f¨ ur x ∈ B B

1

2 i=1 N

S(x, y) dy =

νi (y)(yi − xi )S(x, y) dS(y)

∂B

erf¨ ullt. 4.4. Es sei Ω ⊂⊂ RN , f : Ω → R stetig und (un ) sei eine Folge von L¨osungen der Poissongleichung − Δu = f in Ω .

(4.91)

Man zeige a) Konvergiert un → u gleichm¨ aßig auf jedem Ω ⊂⊂ Ω, so ist u ebenfalls L¨ osung von (4.91) (vgl. Satz 2.1.6). ankte Folge, so besitzt sie eine Teilfolge, die gegen eine b) Ist (un ) beschr¨ L¨ osung von (4.91) konvergiert und zwar gleichm¨aßig auf jedem Ω ⊂⊂ Ω (vgl. Satz 2.1.10). c) Ist Ω zusammenh¨ angend und f¨ allt (un ) monoton, so ist entweder limn→∞ un (x) = −∞ f¨ ur alle x ∈ Ω, oder es konvergiert (un ) gegen eine L¨osung von (4.91), und zwar gleichm¨ aßig auf jedem Ω ⊂⊂ Ω (vgl. Satz 2.2.4). 4.5. Man u ¨bertrage den ersten Harnackschen Satz, Korollar 3.1.3, auf L¨osungen von (4.91) mit stetigem f : Ω → R. 4.6. Man beweise Teil a) des Lemmas 4.7.4 von Hopf. aßige ¨ außere Kugeleigenschaft (s. Satz 4.6.2), 4.7. Ω ⊂⊂ RN habe die gleichm¨ und es bezeichne G die Greensche Funktion zu Ω und −Δ. Weiter sei die Funktion f : Ω → R meßbar und beschr¨ ankt, und w bezeichne das zugeh¨orige Greenpotential w(x) := G(x, y)f (y) dy, x ∈ Ω . Ω

Man zeige mit Hilfe von Satz 4.7.1, daß w auf Ω stetig diﬀerenzierbar ist mit wxi (x) = Ω Gxi (x, y)f (y) dy f¨ ur x ∈ Ω und i = 1, . . . , N . Zudem weise man nach, daß es eine allein durch Ω bestimmte Zahl c(Ω) gibt mit |∇w(x)| ≤ c(Ω) sup |f |

f¨ ur alle x ∈ Ω .

4 Aufgaben

163

4.8. Sei G die Greensche Funktion zu Ω ⊂⊂ RN und −Δ. Man zeige mit Hilfe der in Abschnitt 4.5 gewonnenen Ergebnisse f¨ ur beliebige U ⊂⊂ Ω: a) Die Funktion P : U ×Ω → R, P (x, y) = G(x, y) erf¨ ullt die Voraussetzungen des Satzes 4.7.1. ullen die Vorausb) Die Funktionen Pk : U × Ω → R, Pk (x, y) = Gxk (x, y) erf¨ setzungen des Satzes 4.7.2 f¨ ur k = 1, . . . , N . 4.9. Sei G die Greensche Funktion zu Ω ⊂⊂ RN und −Δ, Ω ⊆ Ω oﬀen ankt. Es sei v(x) := Ω G(x, y)f (y) dy f¨ ur und f : Ω → R meßbar und beschr¨ x ∈ Ω . Man zeige:

a) v ∈ C 1 (Ω ) mit vxi (x) = Ω Gxi (x, y)f (y) dy f¨ ur x ∈ Ω . Hinweis: Man verwende Satz 4.7.1 und Aufgabe 4.8 a).

b) Ω G(·, y) dy ist auf Ω beliebig oft diﬀerenzierbar. Hinweis: Man zerlege G = S + H und verwende Korollar 4.2.2 bzw. die Beweisidee von Satz 4.4.7 b). c) Gilt zus¨ atzlich f ∈ CbH (Ω ), so ist v ∈ C 2 (Ω ) mit Gxi xk (x, y)(f (y) − f (x)) dy + f (x)

vxi xk (x) = Ω

∂2 ∂xi ∂xk

G(x, y) dy Ω

Hinweis: Satz 4.7.2 und Aufgabe 4.8 b). 4.10. a) Es sei Ω ⊂⊂ RN , und die Funktion K : Ω × RN → R gen¨ uge den Voraussetzungen (i) und (ii) von Lemma 4.7.4. Ferner existiere ein α ∈ ur alle x, y ∈ Ω. Man (0, 1] und ein C > 0 mit |g(x) − g(y)| ≤ C|x − y|α f¨ zeige, daß P (x, y) := [g(x) − g(y)]K(x, x − y) die Voraussetzungen von Lemma 4.7.3 erf¨ ullt, indem man die Identit¨at (4.47) mit f = 1 verwende. b) Man zeige, daß unter den Voraussetzungen des H¨olderschen Satzes 4.2.6 die 2. Ableitungen des Newtonpotentials v zu Ω und f in C H (Ω) liegen, ur B ⊂⊂ Ω das indem man in der Darstellungsformel (4.12) f¨ ur vxi xk f¨ erste Integral rechts in die Anteile ϕ(x) := Sxi xk (x, y)[f (y) − f (x)] dy, x ∈ Ω , Ω\B

und

Sxi xk (x, y)[f (y) − f (x)] dy,

ψ(x) :=

x∈Ω,

B

zerlege und auf ψ|B Teil a) und Lemma 4.7.3 anwende.

4 Die Poissongleichung −Δu = f

164

4.11. Es sei G die Greensche Funktion zu Ω ⊂⊂ RN und −Δ. Man zeige f¨ ur jedes U ⊂⊂ Ω und i = 1, . . . , N , daß P : U × Ω → R, P (x, y) = Gxi (x, y) die Voraussetzungen von Lemma 4.7.3 f¨ ur α = 1 erf¨ ullt mit einer Konstanten b, die nur von Ω und U abh¨ angt. ur Sxi sind die Absch¨atzungen Hinweis: Man zerlege Gxi = Sxi + Hxi . F¨ elementar. F¨ ur Hxi verwende man Lemma 4.5.4, wobei die H¨olderabsch¨atzung u ¨ber Schranken an die zweiten Ableitungen von H hergeleitet werden kann (vgl. die Begr¨ undung der H¨ olderabsch¨ atzung f¨ ur hxi im Teil a) des Beweises von Lemma 4.8.3). 4.12. Es seien S die Singularit¨ atenfunktion zu −Δ+1, Ω ⊆ RN oﬀen, f : Ω → R meßbar und beschr¨ ankt und (4.92) v(x) := S(x, y)f (y) dy, x ∈ RN . Man zeige:

Ω

a) Es gibt eine Zahl cN mit |v(x)| + |vxi (x)| ≤ cN sup |f |,

x ∈ RN .

b) Zu Ω ⊂⊂ RN gibt es ein c(Ω) mit |v(x)| + |vxi (x)| ≤ c(Ω)(sup |f |) e− 2 |x| , 1

x ∈ RN .

c) Es sei Ω = RN in (4.92) und k ∈ N0 . Klingt f ∈ C k (RN ) mit allen Ableitungen der Ordnung ≤ k im Unendlichen exponentiell ab, so gilt Dα v(x) = S(x, y)Dα f (y) dy, x ∈ RN , RN

f¨ ur alle Multiindizes α mit |α| ≤ k. Gilt mit geeigneten M, λ > 0 |Dα f (x)| ≤ M e−λ|x| ,

x ∈ RN , f¨ ur alle diese α, so gibt es zu N und 0 < β < min 12 , λ ein cN (β) mit ∂ α |Dα v(x)| + D v(x) ≤ cN (β)M e−β|x| f¨ ur alle x ∈ RN . ∂xi 4.13. Es sei Ω ⊂⊂ RN und G Greensche Funktion zu Ω und −Δ + 1. Es sei x ∈ Ω. Man zeige, daß G(x, ·) ∈ C 2 (Ω \ {x}) ∩ C 0 (Ω \ {x}) ist und (−Δy + 1)G(x, ·) = 0 in Ω \ {x}, gilt.

G(x, ·) = 0 auf ∂Ω

5 Die Greensche Funktion fu ¨ r die Kugel mit Anwendungen

Die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel wird ben¨ utzt, um zu zeigen, daß bei der Kugel die L¨osung des Dirichletproblems f¨ ur die Poissongleichung bei gleichm¨ aßig α-h¨olderstetiger rechter Seite gleichm¨aßig α-h¨olderstetige zweite Ableitungen besitzt (Satz 5.3.4). Mit Hilfe der Kontinuit¨atsmethode von Bernstein wird dieses Resultat in den S¨ atzen 5.5.5 und 5.5.6 auf Gleichungen ausgedehnt, deren Hauptteil wenig vom Laplaceoperator abweicht. Diese S¨ atze bilden die Basis f¨ ur den in Kapitel 7 gegebenen Beweis des Satzes von Kellogg und damit f¨ ur die Herleitung der Schauderschen Absch¨atzungen in Kapitel 8. Unter Heranziehung des Fixpunktsatzes von Leray-Schauder wird in Satz 5.6.6 das Dirichletproblem in der Kugel f¨ ur eine semilineare Gleichung behandelt.

5.1 Die Greensche Funktion fu ¨ r den Halbraum, die ¨ Kugel und ihr Außeres ¨ Aufgrund der in Satz 4.4.9 genannten Aquivalenzen u ¨berrascht es nicht, daß es nur bei sehr spezieller Geometrie von Ω m¨ oglich ist, die Greensche Funktion f¨ ur Ω explizit anzugeben. Besonders einfach ist dies f¨ ur den oberen Halbraum N N := {x ∈ R : x > 0}. Wir spiegeln x ∈ R an der Hyperebene xN = 0 RN N + + x − y| > 0 f¨ ur und erhalten x ˜ := (x1 , . . . , xN −1 , −xN ). Bei festem y ∈ RN + ist |˜ N N N x ∈ R+ , also x → S(˜ x, y) stetig auf R+ und harmonisch in R+ . Es erf¨ ullt also G(x, y) := S(x, y) − S(˜ x, y) ,

N x ∈ RN + , y ∈ R+ ,

alle in Deﬁnition 4.4.1 gestellten Bedingungen. Im Falle der Kugel BR (0) ⊆ RN spiegeln wir wie in Abschnitt 3.6 die are ∂BR (0) – hierzu m¨ ussen wir zwischenzeitlich Punkte x ∈ BR (0) an der Sph¨ 2 x = 0 voraussetzen– und erhalten x ˜ := (R/|x|) x. Wir wissen aus Korollar x, y) f¨ ur 3.6.10, daß bei festem y ∈ RN die Kelvintransformierte (|x|/R)2−N S(˜ x ˜ = y harmonisch in x ist. Es liegt nun nahe, die Greensche Funktion gleich E. Wienholtz et al., Elliptische Diﬀerentialgleichungen zweiter Ordnung, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009 DOI 10.1007/978-3-540-45721-3 5,

166

5 Die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel mit Anwendungen

S(x, y) − (|x|/R)2−N S(˜ x, y)

(5.1)

zu w¨ ahlen, da man sich leicht u ¨berlegt, daß (|x|/R)2−N S(˜ x, y) = S(x, y) f¨ ur alle x ∈ ∂BR (0) und somit die Bedingung (ii) aus Deﬁnition 4.4.1 erf¨ ullt ist. Es bleibt dann nur noch zu zeigen, daß die Funktion (|x|/R)2−N S(˜ x, y) f¨ ur y = 0 eine harmonische Fortsetzung in x = 0 besitzt, bzw. daß im Fall des Außenraumes ullt der Kugel Ω = RN \ BR (0) die Bedingung (iii) aus Deﬁnition 4.4.1 erf¨ ist. F¨ ur N ≥ 3 ist dies der Fall. F¨ ur N = 2 hingegen sind beide Bedingungen verletzt. Dieser Mangel kann jedoch sowohl im Fall der Kugel als auch im Fall des Außenraumes dadurch behoben werden, daß man zu (5.1) noch 1 ln(|x|/R) hinzuaddiert. Um die letztgenannten die harmonische Funktion 2π Behauptungen nachzuweisen, verwende man, daß 2−N 2−N R |x| |x| 1 S(˜ x, y) = (N −2)ω − y im Falle N ≥ 3 , x R |x| R N 2−N R |x| |x| 1 1 im Falle N = 2 , S(˜ x, y) − 2π ln |x| R R = − 2π ln x |x| − y R zusammen mit der Tatsache, daß 1/2 ϕ(x, y) := R2 − 2x · y + R−2 |x|2 |y|2

(5.2)

die Funktion |x(R/|x|) − y(|x|/R)| in x = 0 stetig fortsetzt. Mit dem Hebbarkeitssatz (Korollar 3.5.3) ergibt sich unmittelbar die Harmonizit¨at in x = 0. Im Fall des Außenraums veriﬁziere man ϕ(x, y) → ∞ und

ϕ(x, y) |y| → >1 |x − y| R

f¨ ur |x| → ∞ ,

woraus Eigenschaft 4.4.1 (iii) folgt. Zusammenfassend erh¨alt man die folgende ¨ Darstellung der Greenschen Funktion f¨ ur die Kugel und ihr Außeres. Bemerkung 5.1.1. a) Es sei ϕ(x, y) wie in (5.2) deﬁniert. Dann ist die f¨ ur x ∈ BR (0), y ∈ BR (0) bzw. x ∈ RN \ BR (0), y ∈ RN \ BR (0) durch G(x, y) := S(x, y) +

1 − (N −2)ω [ϕ(x, y)]2−N f¨ ur N ≥ 3 N 1 2π

ln ϕ(x, y)

f¨ ur N = 2

deﬁnierte Funktion die Greensche Funktion f¨ ur BR (0) bzw. RN \ BR (0). b) Eine Besonderheit bei der Kugel bzw. bei deren Außenraum ist, daß der in der Zerlegung G = S + H auftretende Anteil H durch eine Funktion dargestellt wird, die f¨ ur 0 < < R auf BR− (0) × BR2 /(R− ) (0) und auf N (R \ BR2 /(R− ) (0)) × (RN \ BR− (0)) beliebig oft diﬀerenzierbar ist; denn f¨ ur |x||y| = R2 ist ϕ(x, y) > 0, also ϕ > 0, wenn (x, y) einem dieser Gebiete

¨ 5.1 Die Greensche Funktion f¨ ur den Halbraum, die Kugel und ihr Außeres

167

angeh¨ ort. F¨ ur x ∈ BR− (0) besitzt somit H(x, ·) eine glatte Fortsetzung u ¨ber BR (0) hinaus. Speziell k¨ onnen wir daher aufgrund der Symmetrie von H bei ur x ∈ BR (0) in stetigem und beschr¨ anktem f : BR (0) → R f¨ h(x) := H(x, y)f (y) dy = H(y, x)f (y) dy BR (0)

BR (0)

Ableitungen und Integration vertauschen. Wir hatten beim Beweis von Lemma 4.2.1 die Greensche Darstellungsformel (4.7) hergeleitet. F¨ uhrt man den Beweis anstelle von S mit der Greenschen Funktion G = S + H f¨ ur B := BR (0) durch, so ergibt sich aufgrund des in Bemerkung 5.1.1 b) u ur alle x ∈ B ¨ber H Gesagten f¨ σ(x) = [G(x, y)∇σ(y) − σ(y)∇y G(x, y)] · ν(y) dS(y) ∂B

f¨ ur jede Funktion σ ∈ C 0 (B), die auf B harmonisch ist und deren erste Ableitungen eine stetige Fortsetzung auf ∂B besitzen (ν(y) = y/|y| die a¨ußere Einheitsnormale im Punkt y ∈ ∂B). Aufgrund der Symmetrie von G ist nun aber G(x, y) = 0 f¨ ur x ∈ B, y ∈ ∂B, mithin σ(x) = − [ν(y) · ∇y G(x, y)] σ(y) dS(y) ∂B

f¨ ur jedes derartige σ. Andererseits haben wir aufgrund der Poissonschen Integralformel (Satz 3.2.1) in Verbindung mit dem Eindeutigkeitssatz 3.1.1 f¨ ur alle x ∈ B 1 R2 − |x|2 σ(x) = σ(y) dS(y) . RωN |y − x|N ∂B

Ein Vergleich der letzten beiden Formeln legt den Schluß nahe, daß f¨ ur x ∈ B und y ∈ ∂B die Relation − ν(y) · ∇y G(x, y) = −

y 1 R2 − |x|2 · ∇y G(x, y) = |y| RωN |y − x|N

(5.3)

gilt. In der Tat kann man (5.3) f¨ ur alle y ∈ ∂BR (0) und x ∈ RN \ {y} durch einfaches Ausrechnen veriﬁzieren (s. Aufgabe 5.1). Ber¨ ucksichtigen wir zudem Satz 4.4.7 und Satz 3.2.1, so erhalten wir Bemerkung 5.1.2. Es seien B := BR (0) ⊂⊂ RN , f ∈ CbH (B) und g ∈ ur B ist dann die L¨osung des DiC 0 (∂B). Mit der Greenschen Funktion G f¨ richletproblems

168

5 Die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel mit Anwendungen

−Δu = f in B , durch

u(x) =

⎧ ⎪ ⎪ G(x, y)f (y) dy − ⎨ B ⎪ ⎪ ⎩ g(x)

∂B

u = g auf ∂B

y · ∇y G(x, y)g(y) dS(y) |y|

f¨ ur x ∈ B , f¨ ur x ∈ ∂B

gegeben. Satz 5.1.3. Es seien B := BR (0) ⊂⊂ RN und f ∈ CbH (B). Dann ist das Greenpotential w(x) := G(x, y)f (y) dy , x ∈ B , (5.4) B

ur x ∈ B gilt zu B und f aus C 2 (B), und f¨ 1 wxi xk (x) = [f (y) − f (x)]Gxi xk (x, y) dy − f (x)δik . N B

Beweis. Die erste Behauptung folgt aus Satz 4.4.7 oder alternativ aus dem H¨ olderschen Satz 4.2.6 zusammen mit Bemerkung 5.1.1 b). Des weiteren haben wir mit den dortigen Funktionen h und H hxi xk (x) = [f (y) − f (x)]Hxi xk (x, y) dy + f (x) Hxi xk (x, y) dy , B

B

was zusammen mit der Relation (4.12) f¨ ur das Newtonpotential ∂2 wxi xk (x) = [f (y) − f (x)]Gxi xk (x, y) dy + f (x) G(x, y) dy ∂xi ∂xk B

B

liefert, so daß die Behauptung aus Korollar 4.4.8 folgt.

Bemerkung 5.1.4. Aus der expliziten Kenntnis und dem u ¨bersichtlichen Aufbau der Greenschen Funktion G f¨ ur die Kugel B werden wir unmittelbar mit Deﬁnition (5.4) Informationen u ¨ber das Verhalten der 1. und 2. Ableitungen von w(x) bei Ann¨ aherung von x an den Rand ∂B gewinnen. Das geschieht im Abschnitt 5.3, zu dem man im Anschluß an den nachfolgenden Satz 5.1.5 direkt u ¨bergehen kann. Dieser Satz wird vorbereitet durch die Absch¨atzung ϕ(x, y) ≥ |x − y| , die sich sofort aus der Identit¨ at

f¨ ur alle |x| ≤ R , |y| ≤ R ,

(5.5)

¨ 5.1 Die Greensche Funktion f¨ ur den Halbraum, die Kugel und ihr Außeres 2

[ϕ(x, y)] = |x − y|2 +

169

1 2 R − |x|2 R2 − |y|2 R2

ergibt. F¨ ur x = 0 k¨ onnen wir ϕ(x, y) =

R2 |x| |˜ x − y| mit x ˜ := x R |x|2

schreiben. Da ϕ symmetrisch in x und y ist, haben wir f¨ ur y = 0 dann auch ϕ(x, y) =

R2 |y| |x − y˜| mit y˜ := 2 y . R |y|

(5.6)

Satz 5.1.5. In der Notation von Bemerkung 5.1.1 f¨ ur die Greensche Funktion G = S +H f¨ ur die Kugel BR (0) bestehen auf BR (0)×BR (0) die Ungleichungen |Hxi | ≤ const ϕ1−N , |Hxi xk | ≤ const ϕ−N , Hxi xk xj ≤ const ϕ−(N +1) . Insbesondere gilt f¨ ur alle x, y ∈ BR (0) mit x = y |Gxi (x, y)| ≤ const |x − y|1−N , |Gxi xk (x, y)| ≤ const |x − y|−N , Gx x x (x, y) ≤ const |x − y|−(N +1) . i k j Die Konstanten h¨ angen nur von N ab. Beweis. Es ist Hxi = wegen (5.6)

1 ωN

ϕ1−N ϕxi . Wir nehmen zun¨achst y = 0 an. Dann gilt

2 |y| (x − y˜)i , also R ϕ(x, y) 2 |y| 1 = (x − y˜)i ϕ−N ; ωN R

ϕxi (x, y) = Hxi mithin Hxi xk

1 = ωN

|y| R

1

2 ϕ

−N

δik − N

|y| R

2

(x − y˜)i (x − y˜)k ϕ2

2 ,

und schließlich, wieder ohne Beteiligung h¨ oherer Ableitungen von ϕ, Hxi xk xj =

1 ωN

|y| R

2

|y| R

4

(x − y˜)i (x − y˜)k (x − y˜)j ϕ3 ' 2 |y| δik (x − y˜)j + δkj (x − y˜)i + δji (x − y˜)k . −N R ϕ ϕ−(N +1)

Wegen (5.6) haben wir daher

N (N + 2)

170

5 Die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel mit Anwendungen

|Hxi | ≤

N (N + 5) −(N +1) ϕ1−N N + 1 −N , |Hxi xk | ≤ ϕ , Hxi xk xj ≤ ϕ . ωN ωN ωN

Diese Absch¨ atzungen gelten aus Stetigkeitsgr¨ unden auch f¨ ur y = 0. Wegen (5.5) und der entsprechenden Absch¨ atzungen der Singularit¨atenfunktion in Bemerkung 4.1.3 ergibt das die behaupteten Absch¨atzungen der Greenschen Funktion. Man k¨ onnte an dieser Stelle unter Verwendung von Aufgabe 5.4 b) mit der Methode der sukzessiven Approximation (s. Bemerkung 5.4.4 a)) das semilineare Dirichletproblem f¨ ur eine gen¨ ugend kleine Kugel l¨osen. Wir verzichten darauf, da die Methode, die wir in Abschnitt 5.6 vorstellen, ohne eine solche Kleinheitsvoraussetzung auskommt. Erw¨ ahnt sei abschließend noch, daß das Ellipsoid ein Gebiet ist, f¨ ur das die Greensche Funktion zwar nicht durch elementare Funktionen darstellbar, aber dennoch besonders gut untersucht ist. Seit Newtons Zeiten bis zu Ende des 19. Jahrhunderts diente speziell das Rotationsellipsoid als ein bevorzugtes Modell f¨ ur die Gestalt der Erde. Ausgedehnte historische Hinweise ﬁndet der Leser bei [325]; f¨ unf klassische Arbeiten sind in [330] abgedruckt und kommentiert. F¨ ur eine neuere Darstellung verweisen wir auf [305].

5.2 Einschub: Harmonische Funktionen mit einer isolierten Singularit¨ at Der nachfolgende Satz, der von dem amerikanischen Mathematiker Maxime ˆ cher [19] stammt, enth¨ Bo alt als Spezialfall den Hebbarkeitssatz, Korollar 3.5.3. Er geriet erst 20 Jahre sp¨ ater durch eine Publikation von Picard [257], die oﬀenbar ohne Kenntnis dieses Satzes erfolgte, wieder in das Blickfeld der Mathematiker. Der hier gegebene Beweis, der die Greensche Funktion f¨ ur ¨ das Außere einer Kugel ben¨ otigt, dann aber sehr elementar verl¨auft, stammt ahnlichen Beweis gab Raynor [273], der auf eine von Stoz˙ ek [317]1 . Einen ¨ L¨ ucke in Bˆochers urspr¨ unglichem Argument hinwies, worauf wir bereits in Abschnitt 4.5 eingegangen sind. Ein Beweis von Kellogg [135] verwendet eine Reihenentwicklung nach Kugelfunktionen. Das Buch [9] enth¨alt auf den Seiten 50–54 einen eigenen Beweis der Autoren und gibt auf den Seiten 197– ¨ 200 eine Aquivalenz mit der Liouville-Eigenschaft harmonischer Funktionen. Satz 5.2.1 (Bˆ ocher). Es sei S die Singularit¨ atenfunktion zum Laplaceoperator. Jede in der punktierten Kugel B˙ 1 (0) := {x ∈ RN : 0 < |x| < 1} atzung nach unharmonische Funktion u, die f¨ ur alle x ∈ B1 (0) einer Absch¨ ten 1

Stoz˙ ek geh¨ orte zu dem Kreis von Mathematikern um Banach, der sich regelm¨ aßig im Schottischen Caf´e in Lemberg (Lw´ ow) traf. Er wurde 1941 von Deutschen erschossen.

5.2 Einschub: Harmonische Funktionen mit einer isolierten Singularit¨ at

171

u(x) > −[c1 + c2 S(x, 0)] mit von x unabh¨ angigen positiven Zahlen c1 , c2 gen¨ ugt, ist von der Form u(x) = aS(x, 0) + h(x) mit einer eindeutig bestimmten Zahl a und einer eindeutig bestimmten auf ganz B1 (0) harmonischen Funktion h. Beweis. Bei zwei derartigen Darstellungen ist (a1 − a2 )S(·, 0) = h2 − h1 . Die linke Seite ist aber dann und nur dann auf ganz B1 (0) harmonisch, wenn a1 = a2 gilt. Wenn sich von der positiven Funktion v := u+c1 +c2 S(·, 0) die behauptete Darstellung beweisen l¨ aßt, hat auch u eine solche. Daher darf man u > 0 ahlen 0 < R < r < 1 so, daß B (x) ⊂⊂ annehmen. Sei B (x) ⊂⊂ B˙ r (0). Wir w¨ achst und dann R gegen Null schicken. Br (0) \ BR (0) gilt. Wir werden zun¨ urlich Es sei G = S + H die Greensche Funktion f¨ ur RN \ BR (0); sie h¨angt nat¨ von R ab. Da u und G(x, ·) in W := Br (0) \ (BR (0) ∪ B (x)) harmonisch sind, liefert der Gaußsche Satz B.6 0 = [G(x, y)Δu(y) − u(y)Δy G(x, y)] dy W

[G(x, y)∇u(y) − u(y)∇y G(x, y)] · ν(y) dS(y) ,

= ∂W

¨ wobei ν die in das Außere von W (also in das Innere von B (x) und BR (0) weisende) Einheitsnormale bezeichnet. Da die Funktionen u, H(x, ·), uyi und Hyi (x, ·) in einer Umgebung von x stetig sind, gilt [G(x, y)∇u(y) − u(y)∇y G(x, y)] · ν(y) dS(y) lim

→0 ∂B (x)

= lim

→0 ∂B (x)

[S(x, y)∇u(y) − u(y)∇y S(x, y)] · ν(y) dS(y)

= −u(x) , letzteres aufgrund von Bemerkung 4.1.3. Gem¨aß Aufgabe 5.1 gilt f¨ ur y ∈ ∂BR (0) G(x, y) = 0 ,

−

y 1 R2 − |x|2 · ∇y G(x, y) = |y| RωN |y − x|N

(anders als in (5.3) ist dies nunmehr gleich ν(y) · ∇y G(x, y)), so daß

172

5 Die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel mit Anwendungen

[G(x, y)∇u(y) − u(y)∇y G(x, y)] · ν(y) dS(y)

u(x) = ∂Br (0)

−

1 RωN

(5.7)

R2 − |x|2 u(y) dS(y) |y − x|N

∂BR (0)

resultiert. Wegen u > 0 k¨ onnen wir auf das zweite Integral den Mittelwertsatz der Integralrechnung anwenden. Es gibt also ein y ∗ ∈ ∂BR (0) mit R2 − |x|2 1 R2 − |x|2 1 u(y) dS(y) = u(y) dS(y) , I(R) := RωN |y − x|N RωN |y ∗ − x|N ∂BR (0)

∂BR (0)

und das verbleibende Integral kann f¨ ur N ≥ 3 nach Aufgabe 2.5 durch c0 R + d0 RN −1 u(y) dS(y) = 2−N ∂BR (0)

mit geeigneten Zahlen c0 , d0 ausgedr¨ uckt werden. Es ist also lim I(R) =

R→0

c0 |x|2−N . (N − 2)ωN

Da im Falle N ≥ 3 gleichm¨ aßig in y ∈ ∂Br (0) f¨ ur R → 0 N −2 2 S (R/|x|) x, y → S(x, y) G(x, y) = S(x, y) − (R/|x|) N −2

∇y G(x, y) = ∇y S(x, y) − (R/|x|)

2

(R/|x|) x − y 2

ωN | (R/|x|) x − y|N

→ ∇y S(x, y)

gilt, erhalten wir aus (5.7) im Limes R → 0 u(x) = [S(x, y)∇u(y) − u(y)∇y S(x, y)] · ν(y) dS(y) − c0 S(x, 0) . ∂Br (0)

Das Integral h¨ angt f¨ ur r > |x| gar nicht von r ∈ (0, 1) ab und deﬁniert eine auf B1 (0) harmonische Funktion. Den Fall N = 2 stellen wir als Aufgabe 5.7.

5.3 Die 2. Ableitungen des Greenpotentials fu ¨ r die Kugel Es sei B ⊂⊂ RN eine Kugel. Wir wissen aufgrund des H¨olderschen Satzes 4.2.6, daß das Newtonpotential v f¨ ur B und eine h¨olderstetige Dichte f die Poissongleichung l¨ ost. Es liegt nahe zu vermuten, daß dann auch die 2. Ableitungen von v die Qualit¨ at von f haben. Wir werden sogleich sehen, daß dies im Falle eines H¨ olderexponenten α ∈ (0, 1) richtig (Satz 5.3.4), aber im

5.3 Die 2. Ableitungen des Greenpotentials f¨ ur die Kugel

173

Falle α = 1 falsch ist (Satz 5.3.8). Diese Informationen u ¨ber die 2. Ableitungen sind deswegen so wichtig, weil sie die M¨ oglichkeit er¨oﬀnen, funktionalanalytische Methoden in die Theorie einzuf¨ uhren, die es gestatten, die L¨osbarkeit allgemeiner linearer elliptischer Diﬀerentialgleichungen mit variablen Koeﬃzientn und sogar nichtlineare elliptische Diﬀerentialgleichungen zu untersuchen. ur die Kreisscheibe bewies, daß bei Korn2 [151] war der erste, der f¨ gleichm¨ aßig α-h¨ olderstetigem f die 2. Ableitungen des Newtonpotentials ebenfalls gleichm¨ aßig h¨ olderstetig sind mit demselben α ∈ (0, 1). Auch f¨ ur ihn war dies nur ein Hilfsmittel, eine nichtlineare Diﬀerentialgleichung zu untersuchen, n¨amlich durch sukzessive Approximation zu zeigen, daß die Minimalﬂ¨achengleichung eine L¨ osung besitzt, wenn die berandende Kurve wenig von einer ebenen Kurve abweicht, ein Problem, um dessen L¨osbarkeit sich Poisson um 1832 vergeblich bem¨ uht hatte. M¨ untz [216]3 beobachtete, daß es bei diesem Problem bequemer ist, mit dem Greenpotential anstelle des Newtonpotentials zu arbeiten. 40 Jahre nach M¨ untz konnte Simoda [308] mit Lemma 5.3.3 einen neuen beweisvereinfachenden Gedanken einbringen. Im Anschluß an Bemerkung 5.3.6 zum Hauptresultat dieses Abschnitts, Satz 5.3.4, kann der Leser direkt zu Abschnitt 5.4 u ¨bergehen, um einen ersten Eindruck von einer Anwendungsm¨ oglichkeit dieses Satzes zu gewinnen. Weitere Anwendungen, das Dirichletproblem f¨ ur −

N

aik (x)uxi xk = f

i,k=1

in der Kugel, wenn die Koeﬃzienten aik nur wenig von δik abweichen, und das f¨ ur die semilineare Diﬀerentialgleichung −Δu(x) = f (x, u(x), ∇u(x)) , ﬁnden sich in den Abschnitten 5.5 bzw. 5.6. Einen Beweis von Satz 5.3.4, der das Newtonpotential f¨ ur den Halbraum in Kombination mit der Kelvintransformationsformel verwendet, ﬁndet man in [83, § 4.3, 4.4]. Auf eine Ausdehnung von Satz 5.3.4 auf allgemeinere glattberandete Gebiete werden wir in Kapitel 7 zu sprechen kommen. Bei all den genannten Problemen ist es erforderlich, einen H¨olderexponenten vorzugeben. Wir erg¨ anzen daher Deﬁnition 4.1.5 in folgender Weise. 2

3

Arthur Korn erscheint bei uns nur als Urheber einiger recht spezieller potentialtheoretischer Ergebnisse. Er war ein außergew¨ ohnlich vielseitiger Mathematiker und Physiker, auch technischer Physiker. U. a. hat er das – erst sehr viel sp¨ ater so genannte – Fax erfunden [195]. Es ist dies seine bei H.A. Schwarz angefertigte Dissertation. M¨ untz, dessen Verallgemeinerung des Weierstraßschen Approximationssatzes heute zum klassischen Bestand der Approximationstheorie geh¨ ort, gelang es nicht, sich in Deutschland zu habilitieren. Einzelheiten u ¨ber sein Leben sind erst seit kurzem durch [243] leicht zug¨ anglich.

174

5 Die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel mit Anwendungen

Deﬁnition 5.3.1. Es sei Ω ⊆ RN oﬀen und nicht leer. F¨ ur u ∈ C 0 (Ω) und α ∈ (0, 1] deﬁniert man Hα;Ω (u) := sup x,y∈Ω x =y

|u(x) − u(y)| . |x − y|α

Wenn dies endlich ist, nennt man diese Zahl eine (α-) H¨olderschranke von u auf Ω. Es ist C (α) (Ω) := {u ∈ C 0 (Ω) : Hα;Ω (u) < ∞} der Vektorraum der auf Ω gleichm¨ aßig α-h¨ olderstetigen Funktionen (im Falle α = 1 spricht man auch von gleichm¨ aßig lipschitzstetigen Funktionen). Weiter setzen wir noch C 0,α (Ω) := {u ∈ C 0 (Ω) : u beschr¨ ankt und u ∈ C (α) (Ω)} , C 1,α (Ω) := {u ∈ C 1 (Ω) : u, uxi beschr¨ ankt, uxi ∈ C (α) (Ω)} , C 2,α (Ω) := {u ∈ C 2 (Ω) : u, uxi , uxi xk beschr¨ ankt, uxi xk ∈ C (α) (Ω)} , wobei die Indizes i, k die Menge {1, . . . , N } durchlaufen. Bemerkung 5.3.2. a) Jede Funktion u ∈ C (α) (Ω) mit 0 < α ≤ 1 ist gleichm¨ aßig stetig und kann daher eindeutig zu einer stetigen Funktion auf Ω fortgesetzt werden. b) F¨ ur beschr¨ ankte Mengen Ω sind alle Funktionen u ∈ C (α) (Ω) bereits beschr¨ ankt und es gilt C (α) (Ω) = C 0,α (Ω). c) Ist Ω konvex und ist u ∈ C 1 (Ω) eine beschr¨ankte Funktion mit beschr¨ anktem Gradienten, so folgt u ∈ C 0,1 (Ω) aus dem Mittelwertsatz. d) Aus den Aussagen in a) und c) folgt, daß f¨ ur konvexe Mengen Ω ⊆ RN sich jede Funktion u ∈ C m,α (Ω) mit m ∈ {0, 1, 2}, α ∈ (0, 1], eindeutig zu aßt. einer stetigen Funktion auf Ω fortsetzen l¨ Lemma 5.3.3 (Simoda). Seien B ⊂⊂ RN eine Kugel und F ∈ C 0 (B). Gibt es dann Zahlen c > 0 und α ∈ (0, 1] mit |F (x ) − F (x )| ≤ c|x − x |α f¨ ur alle x , x ∈ B mit B2|x −x | (x ) ⊆ B, so gilt 1 + 2α c|x − y|α |F (x) − F (y)| ≤ 1 + 1 − 2−α

f¨ ur alle x, y ∈ B .

Beweis. Wir d¨ urfen B = BR (0) annehmen. Es seien x, y ∈ B und h := |x − y| > 0. Man w¨ ahle zwei Punktfolgen (xi ) und (yi ) in B, die gegen x bzw. y konvergieren und zus¨ atzlich den folgenden Bedingungen gen¨ ugen:

5.3 Die 2. Ableitungen des Greenpotentials f¨ ur die Kugel

h , 2i B2|xi −xi+1 | (xi ) ⊆ B ,

h , 2i B2|yi −yi+1 | (yi ) ⊆ B ,

|xi+1 − xi | ≤

|yi+1 − yi | ≤ 2

175

|x0 − y0 | ≤ h , B2|x0 −y0 | (x0 ) ⊆ B .

Eine explizite Deﬁnition solcher Folgen wird am Ende des Beweises vorgenomucken, men. Wir k¨ onnen nun F (xn ) − F (yn ) durch eine Teleskopsumme ausdr¨ F (x0 ) − F (y0 ) +

n−1

{[F (xi+1 ) − F (xi )] − [F (yi+1 ) − F (yi )]} ,

i=0

und gewinnen so die Absch¨ atzung |F (xn ) − F (yn )| ≤ |F (x0 ) − F (y0 )| + (1 + 2α ) ≤

1+

1 + 2α 1 − 2−α

α ∞

h c i 2 i=0

chα .

Aus der Stetigkeit von F folgt dann 1 + 2α |F (x) − F (y)| ≤ 1 + c|x − y|α . 1 − 2−α Daß solche Folgen (xi ), (yi ) existieren, belegen wir durch explizite Angabe. 1. Fall: |x| ≤ 2h; dann sei xi := 1 − 2−i x , yi := 1 − 2−i y. 2. Fall: 2h < |x|; dann sei xi := 1 − 21−i h/|x| x , yi := 1 − 21−i h/|x| y. Satz 5.3.4. Es sei B ⊂⊂ RN eine Kugel, 0 < α < 1 und f ∈ C (α) (B). Dann hat die L¨ osung u ∈ C 2 (B) ∩ C 0 (B) des Dirichletproblems −Δu = f in B ,

u|∂B = 0

die Qualit¨ at u, uxi ∈ C (1) (B), uxi xk ∈ C (α) (B) f¨ ur alle i, k = 1, . . . , N ; insbesondere ist u ∈ C 2,α (B). Es gibt eine Zahl k > 0, die allein durch B und α bestimmt ist, mit Hα;B (uxi xk ) ≤ kHα;B (f )

f¨ ur alle i, k = 1, . . . , N .

Beweis. Da f nach Bemerkung 5.3.2 b) beschr¨ankt ist, ist die L¨osung u nach Satz 5.1.3 durch das Greenpotential zu B und f gegeben: u(x) = G(x, y)f (y) dy f¨ ur x ∈ B , B

und f¨ ur x ∈ B gilt

[f (y) − f (x)]Gxi xk (x, y) dy −

uxi xk (x) = B

1 f (x)δik . N

176

5 Die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel mit Anwendungen

Das Problem besteht nun darin, Hα;B (uxi xk ) ≤ c(N, α)Hα;B (f ) mit einer allein von N und α abh¨ angenden Zahl c(N, α) zu zeigen (die restlichen Behauptungen folgen dann mit Bemerkung 5.3.2 c). Es gen¨ ugt, die Funktion F (x) = [f (y) − f (x)]Gxi xk (x, y) dy B

abzusch¨ atzen, wobei man sich dank Lemma 5.3.3 auf Punkte x , x ∈ B mit anken darf. Dann ist 2h < R, wobei 0 < h := |x − x | und B2h (x ) ⊆ B beschr¨ R den Radius von B bezeichnet. Setzen wir noch Q(x, y) := Gxi xk (x, y), so haben wir F (x ) − F (x ) = Q(x , y)(f (y) − f (x )) dy − B2h (x )

+

Q(x , y)(f (y) − f (x )) dy

B2h (x )

(Q(x , y) − Q(x , y))(f (y) − f (x )) dy −

B\B2h (x )

Q(x , y)(f (x ) − f (x )) dy

B\B2h (x )

= I1 − I2 + I3 − I4 . I1 und I2 k¨ onnen problemlos abgesch¨ atzt werden. Aufgrund von Satz 5.1.5 und der H¨ olderstetigkeit von f haben wir |I1 | ≤ c(N ) Hα;B (f )

−N +α

|y − x |

2h rα−1 dr

dy = c(N ) Hα;B (f ) ωN

|y−x |≤2h

0

= c1 (N, α) Hα;B (f ) hα , |y − x |−N +α dy |I2 | ≤ c(N ) Hα;B (f ) |y − x |−N +α dy ≤ c(N ) Hα;B (f ) |y−x |≤2h

|y−x |≤3h

= c2 (N, α) Hα;B (f ) hα . F¨ ur die in I3 vorkommenden y ist |x − y| ≥ 2h = 2|x − x |, also f¨ ur t ∈ [0, 1] |tx + (1 − t)x − y| ≥ |x − y| − (1 − t)h ≥

1 |x − y| . 2

Insbesondere ist daher Q(·, y) auf der Strecke zwischen x und x diﬀerenzierbar, und nach dem Mittelwertsatz gibt es ein ϑ ∈ (0, 1) derart, daß mit x∗ := ϑx + (1 − ϑ)x |Q(x , y) − Q(x , y)| ≤ |∇x Q(x∗ , y)||x − x | gilt. Aufgrund der Absch¨ atzung der 3. Ableitungen von G in Satz 5.1.5 haben wir daher

5.3 Die 2. Ableitungen des Greenpotentials f¨ ur die Kugel

177

|x − x ||y − x |−N −1+α dy

|I3 | ≤ c(N ) Hα;B (f )

2h≤|y−x |≤2R

2R

rα−2 dr ≤ c3 (B, α) Hα;B (f ) hα .

= c(N ) Hα;B (f ) ωN h 2h

Setzen wir f¨ ur x ∈ B mit |x − x | < ψ(x , x) :=

h 2

Gxi xk (x, y) dy ,

B\B2h (x )

so verbleibt es, ψ(x , x ) unabh¨ angig von x und x zu beschr¨anken. W¨ahlen wir |x − x | < h/2 und y ∈ B \ B2h (x ), so ist |y − x| = |y − x + x − x + x − x| ≥ 2h − h − also ∂2 ψ(x , x) = ∂xi ∂xk

G(x, y) dy −

B

1 ∂2 = − δik − N ∂xi ∂xk

h h = , 2 2

G(x, y) dy B2h (x )

G(x, y) dy , B2h (x )

letzteres nach Korollar 4.4.8. Gem¨ aß Bemerkung 5.1.1 b) ist also nur noch ∂2 S(x, y) dy + Hxi xk (x, y) dy (5.8) ∂xi ∂xk B2h (x ) B2h (x ) f¨ ur x = x zu betrachten. Das erste Integral ist nach Lemma 4.2.5 gleich yi − xi Sx (x, y) dS(y) . − |y − x | k ∂B2h (x )

aßt sich also nach Bemerkung 4.1.3 durch Sein Betrag an der Stelle x = x l¨ 1 1 1−N |x − y|1−N dS(y) ≤ h ωN (2h)N −1 ωN ωN |y−x |=2h

majorisieren. F¨ ur das zweite Integral in (5.8) haben wir nach Satz 5.1.5 die Absch¨ atzung c(N ) ϕ(x , y)−N dy . (5.9) B2h (x )

Wegen B2h (x ) ⊆ B ist aber |x | ≤ R − 2h, also |x | ≤ R − h, mithin 1/2 |y| ≥h, = R − |x | ϕ(x , h) ≥ R2 − 2|x ||y| + R−2 |x |2 |y|2 R so daß auch (5.9) eine alleine von N abh¨ angende Schranke besitzt.

178

5 Die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel mit Anwendungen

Die beiden folgenden Bemerkungen stellen einen ersten Bezug zu funktionalanalytischen Begriﬀsbildungen her. Bemerkung 5.3.5. Es sei Ω ⊆ RN oﬀen und α ∈ (0, 1]. Da f¨ ur alle konstanten Funktionen u der Ausdruck Hα;Ω (u) verschwindet, bildet Hα;Ω (·) nur eine Halbnorm auf C 0,α (Ω). Zu einer Norm gelangt man, wenn man uΩ;0,α := sup |u| + Hα;Ω (u)

(5.10)

Ω

setzt. Entsprechend werden C 1,α (Ω) und C 2,α (Ω) durch uΩ;1,α := sup |u| + Ω

uΩ;2,α := sup |u| + Ω

N

sup |uxi | +

N

Hα;Ω (uxi )

i=1 Ω

i=1

N

N

sup |uxi | +

i=1 Ω

i,k=1

sup |uxi xk | + Ω

(5.11) N

Hα;Ω (uxi xk )

i,k=1

zu normierten R¨ aumen (vgl. Aufgabe 5.8), und wir k¨onnen Satz 5.3.4 folgendermaßen erweitern: Zur Kugel B ⊂⊂ RN und α ∈ (0, 1) gibt es ein c(B, α) mit uB;2,α ≤ c(B, α)ΔuB;0,α

(5.12)

f¨ ur alle u ∈ C 2,α (B) mit u|∂B = 0.4 Da ja Δu ∈ C 0,α (B) ist, existiert genau ein v ∈ C 2 (B) ∩ C 0 (B) mit −Δv = −Δu in B und v|∂B = 0. Aufgrund der in Bemerkung 4.1.1 formulierten Eindeutigkeitsaussage gilt somit u = v. Satz 5.3.4 ergibt mit f = −Δu unmittelbar die Absch¨atzungen Hα;B (vxi xk ) ≤ c1 (B, α) Hα;B (Δu) . Weiter gilt mit Lemma 4.4.4 und Korollar 4.4.8 (R Radius von B) R2 |v(x)| = G(x, y)Δu(y) dy ≤ sup |Δu| . 2N B B Gem¨ aß Satz 4.2.4, Bemerkung 5.1.1 b) und Satz 5.1.5 ist |vxi (x)| = Gxi (x, y)Δu(y) dy ≤ c(N )ωN 2R sup |Δu| . B

B

Schließlich nutzen wir die Darstellung aus Satz 5.1.3 f¨ ur die zweiten Ableitungen von v und erhalten mit Satz 5.1.5 4

Konvention: Mit u ∈ C 2,α (B), u|∂B = 0“ ist gemeint, daß die gem¨ aß Bemerkung ” 5.3.2 d) eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung von u auf B auf dem Rand Null ist.

5.3 Die 2. Ableitungen des Greenpotentials f¨ ur die Kugel

|vxi xk (x)| ≤

179

(2R)α δik sup |Δu| + c(N )ωN Hαi B (Δu) . N B α

Diese Absch¨ atzungen gelten gleichm¨ aßig f¨ ur alle x ∈ B. Hieraus ergibt sich vB;2,α ≤ c(B, α)ΔuB;0,α f¨ ur eine geeignete Konstante c(B, α), und wegen u = v ist (5.12) bewiesen. In Bemerkung 5.3.7 werden wir f¨ ur Ω ⊂⊂ RN eine Ungleichung der Form (5.12) aus dem Banachschen Satz u ¨ber die Stetigkeit der inversen Abbildung gewinnen. Abschließend stellen wir fest, daß die Konstante c(B, α) in (5.12) nicht von angt. Ist n¨ amlich τ : RN → RN eine Translation der Lage der Kugel in RN abh¨ und B := τ B, so gilt uB ;2,α = u ◦ τ B;2,α ≤ c(B, α)Δ(u ◦ τ )B;0,α = c(B, α)(Δu) ◦ τ B;0,α = c(B, α)ΔuB ;0,α . Bemerkung 5.3.6. Ist BR ⊂⊂ RN eine Kugel mit Radius R, so werden durch uBR ;0,α := sup |u| + Rα Hα;BR (u) , BR

uBR ;1,α := sup |u| + R

N

BR

uBR ;2,α

:= sup |u| + R

i=1 BR N

BR

+R2+α

sup |uxi | + R1+α sup |uxi | + R

i=1 BR

N

N

Hα,BR (uxi ) ,

i=1 2

N

i,k=1

sup |uxi xk | BR

Hα,BR (uxi xk )

i,k=1

Normen deﬁniert, die zu (5.10) bzw. (5.11) jeweils mit Ω = BR ¨aquivalent sind. Zum Beispiel ist ja min{1, Rα }uBR ;0,α ≤ uBR ;0,α ≤ max{1, Rα }uBR ;0,α . Ein Vorteil dieser neuen Normen liegt in ihrer Invarianzeigenschaft uBR (x0 );m,α = u ◦ QB1 (0);m,α = u ◦ QB1 (0);m,α ,

m = 0, 1, 2 ,

wenn Q : RN → RN eine Transformation ist, die sich aus der Dilatation λ : x → Rx und der Translation τ : x → x + x0 zusammensetzt, Q := τ ◦ λ. Die Transformation Q f¨ uhrt die Kugel B1 (0) in die Kugel BR (x0 ) u ¨ber. Zum Beweis der Invarianzeigenschaft bemerken wir (u ◦ Q)xi = R(uxi ◦ Q) , und beispielsweise

(u ◦ Q)xi xk = R2 (uxi xk ◦ Q)

180

5 Die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel mit Anwendungen

Hα;B1 (0) ((u ◦ Q)xi xk ) = R2 Hα;B1 (0) (uxi xk ◦ Q) = R2

|uxi xk (Rx + x0 ) − uxi xk (Rx + x0 )| |x − x |α x ,x ∈B1 (0) sup

x =x

=R

2+α

Hα;BR (x0 ) (uxi xk ) .

Wegen Δ(u ◦ Q) = R2 (Δu) ◦ Q erhalten wir daher anstelle von (5.12): Zu N und α ∈ (0, 1) gibt es ein c(N, α), n¨ amlich c(N, α) := c(B1 (0), α), so daß ur alle u ∈ C 2,α (B) ∩ C 0 (B) mit f¨ ur jede Kugel B ⊂⊂ RN mit Radius R und f¨ u|∂B = 0 uB;2,α ≤ c(N, α)R2 ΔuB;0,α ausf¨ allt. Bemerkung 5.3.7. Der Zusammenhang zwischen Satz 5.3.4 und der Ungleichung (5.12) wird durch die folgende Aussage deutlicher. Es sei Ω ⊂⊂ RN und α ∈ (0, 1). Wenn das Dirichletproblem −Δu = f in Ω ,

u|∂Ω = 0

f¨ ur jedes f ∈ C 0,α (Ω) eine L¨ osung in C 2,α (Ω) hat, so gibt es eine allein durch Ω und α bestimmte Zahl c(Ω, α) mit uΩ;2,α ≤ c(Ω, α)ΔuΩ;0,α f¨ ur alle u ∈ C 2,α (Ω) mit u|∂Ω = 0. Da aufgrund des Banachschen Satzes von der oﬀenen Abbildung bei einer linearen Bijektion T zwischen zwei Banachr¨ aumen X, Y die Stetigkeit von T die von T −1 impliziert (s. z.B. [289, p. 48 f.] oder [337, S. 152 f.]), ergibt sich die obige Aussage wie folgt. Es sind X := u ∈ C 2,α (Ω) : u|∂Ω = 0 und Y := C 0,α (Ω) , versehen mit den Normen · Ω;2,α bzw. · Ω;0,α , Banachr¨aume (vgl. Satz 5.4.1). Die Bedingung u|∂Ω = 0 in der Deﬁnition des Raumes X ist so zu verstehen, daß die stetige Fortsetzbarkeit von u auf Ω zusammen mit der Bedingung u|∂Ω = 0 gefordert wird. Man u ¨berlegt sich leicht, daß dadurch ein abgeschlossener Unterraum von C 2,α (Ω) deﬁniert wird, der dann selbst wieder Banachraum ist. Die Abbildung T: X →Y ,

u → −Δu

ist linear und nach Voraussetzung surjektiv, ferner aufgrund des Eindeutigkeitssatzes 3.1.1 injektiv. Ihre Stetigkeit folgt aus − ΔuΩ;0,α ≤

N

i,k=1

uxi xk Ω;0,α ≤ uΩ;2,α .

5.3 Die 2. Ableitungen des Greenpotentials f¨ ur die Kugel

181

Mithin gibt es eine Konstante c(X, Y, T ), so daß T −1 f Ω;2,α ≤ c(X, Y, T )f Ω;0,α f¨ ur alle f ∈ C 0,α (Ω). Da X, Y und T allein durch Ω, α und Δ bestimmt sind, ist das die Behauptung. Nat¨ urlich sichert der Banachsche Satz nur die Existenz einer solchen Zahl c(Ω, α), w¨ ahrend eine Zahl c(B, α), f¨ ur die (5.12) besteht, explizit angegeben werden k¨ onnte, wenn man sich die M¨ uhe machen w¨ urde, die Konstanten aller im Beweis von Satz 5.3.4 auftretenden Absch¨atzungen genau zu verfolgen. Schauder [293, p. 281] war der erste, der einen Zusammenhang zwischen A-Priori-Absch¨ atzungen bei partiellen Diﬀerentialgleichungen und dem Banachschen Satz von der oﬀenen Abbildung herstellte. Wenn in Satz 5.3.4 die rechte Seite f ∈ C 0,1 (B) ist, liefert die Absch¨atzung von I3 |I3 | ≤ const H1;B (f ) h ln

R , h

w¨ ahrend die erhaltenen Absch¨ atzungen f¨ ur die drei anderen Terme mit α = 1 bestehenbleiben. Also ist die L¨ osung u des Dirichletproblems aus C 2,β (B) f¨ ur jedes β ∈ (0, 1). Das folgende Beispiel belegt, daß man u ∈ C 2,1 (B) im allgemeinen nicht erreichen kann. Satz 5.3.8. Es sei R < 1, B := BR (0) ⊆ RN , ferner ⎧ y12 ⎪ ⎨ f¨ ur y ∈ B \ {0} 2 (y) := |y| | ln |y|| ⎪ ⎩ 0 f¨ ur y = 0 und x1 f (x) := (t, x2 , . . . , xN ) dt f¨ ur x ∈ B . 0

Dann gilt: a) f ist gleichm¨ aßig lipschitzstetig auf B, insbesondere also f ∈ C 0,1 (B). b) Die L¨ osung u ∈ C 2 (B) ∩ C 0 (B) des Dirichletproblems −Δu = f in B,

u = 0 auf ∂B

/ C (1) (B). hat die Eigenschaft ux1 x1 ∈ Beweis. a) Schreiben wir y ∈ B \ {0} in der Form y = (t, z1 , . . . , zN −1 ), so gilt −4t2 z 1 ∇z (t, z) = 2 1+ , (t + |z|2 )2 | ln(t2 + |z|2 )| | ln(t2 + |z|2 )|

182

5 Die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel mit Anwendungen

also |∇z (t, z)| ≤

4|z| 2 (t + |z|2 )| ln R2 |

1+

1 | ln R2 |

,

1 angig von z majorisiert werden kann. F¨ ur x , so daß 0 |∇z (t, z)| dt unabh¨ x ∈ B haben wir x1 (t, x2 , . . . , xN ) dt f (x ) − f (x ) = x 1

x 1

+

[(t, x2 , . . . xN ) − (t, x2 , . . . , xN )] dt .

0

Aufgrund der Stetigkeit von kann das erste Integral durch const |x1 − x1 | abgesch¨ atzt werden. Das zweite Integral k¨ onnen wir nach Anwendung des Mittelwertsatzes durch const |(x2 , . . . , xN ) − (x2 , . . . , xN )| majorisieren. Hieraus folgt sofort die Behauptung. b) Da die L¨ osung u durch das Greenpotential zu B und f gegeben ist, brauchen wir aufgrund von Satz 5.1.3 nur zu zeigen, daß f¨ ur F (x) := [f (y) − f (x)] Gx1 x1 (x, y) dy , x ∈ B , B

ur h → 0 unbeschr¨ankt ist. Nach der Diﬀerenzenquotient h1 [F (he1 ) − F (0)] f¨ Bemerkung 5.1.1 b) ist der Anteil H in der Zerlegung G = S + H auf B R (0) × 2 B2R (0) beliebig oft diﬀerenzierbar, so daß die Funktion x → Hx1 x1 (x, y)f (y) dy − f (x) Hx1 x1 (x, y) dy B

B

auf B R (0) gleichm¨ aßig lipschitzstetig ist. Es verbleibt also nur die Untersu2 chung von [f (y) − f (x)] Sx1 x1 (x, y) dy = lim [f (y) − f (x)] Sy1 y1 (x, y) dy . B

→0 B\B (x)

Hierf¨ ur gewinnen wir durch partielle Integration wegen x1 − y1 [f (y) − f (x)] Sy1 (x, y) dS(y) ∂B (x) |x − y| const ≤ |x − y|2−N dS(y) = const ωN ∂B (x) den Ausdruck

5.3 Die 2. Ableitungen des Greenpotentials f¨ ur die Kugel

183

ν1 (y) [f (y) − f (x)] Sy1 (x, y) dS(y) −

Sy1 (x, y)(y) dy . B

∂B

Das Randintegral stellt wieder eine auf B R (0) gleichm¨aßig lipschitzstetige 2 Funktion dar. Hingegen hat x1 − y1 1 (y) dy φ(x) := Sy1 (x, y)(y) dy = ωN |x − y|N B

B

die Eigenschaft, daß h1 [φ(he1 ) − φ(0)] = h1 φ(he1 ) f¨ ur h 0 nicht beschr¨ankt bleibt, wie wir beim Beweis von Satz 4.3.1 gezeigt haben. Wir beschließen diesen Paragraphen mit einem Satz, dessen Beweis nur eine kleine Variante des Beweises von Satz 5.3.4 ist; verwendet wird er erst in den Abschnitten 7.2 und 7.3. Satz 5.3.9. Es sei B ⊂⊂ RN eine Kugel, G die Greensche Funktion f¨ ur B, α ∈ (0, 1) und k ∈ {1, . . . , N }. Dann existiert U (x) := Gyk (x, y)f (y) dy , x ∈ B , B

f¨ ur jedes f ∈ C 0,α (B) und deﬁniert U ∈ C 1 (B) mit Uxi ∈ C 0,α (B) f¨ ur i ∈ {1, . . . , N }. Es existiert eine allein durch B und α bestimmte Konstante c˜(B, α), mit U B;1,α ≤ c˜(B, α)f B;0,α ist (vgl. Bemerkung 5.3.5). Beweis. Nach Aufgabe 5.3 ist U ∈ C 1 (B), und es ist Uxi (x) = (f (y) − f (x)) Gyk xi (x, y) dy . B

Analog zu den Rechnungen in Bemerkung 5.3.5 lassen sich die Terme supB |U | und supB |Uxi | leicht durch c1 (B, α)f B;0,α absch¨atzen, wobei nun Aufgabe 5.2 anstelle von Satz 5.1.5 zu verwenden ist. Eine Schranke f¨ ur Hα;B (Uxi ) gewinnt man, indem Q(x, y) := Gyk xi (x, y) gew¨ahlt wird und Uxi (x ) − Uxi (x ) = I1 − I2 + I3 − I4 auf dieselbe Weise wie F (x ) − F (x ) im Beweis des Satzes 5.3.4 zerlegt wird. Ganz wie dort gilt |I1 | + |I2 | + |I3 | ≤ c2 (B, α)Hα;B (f )hα ; denn nach Aufgabe 5.2 gen¨ ugen Q und ∇x Q denselben Absch¨atzungen, die im Beweis von Satz 5.3.4 aus Satz 5.1.5 gewonnen wurden. Nur die Absch¨atzung von I4 muß anders gestaltet werden. Es bezeichne Ψ das Analogon zu ψ im Beweis von Satz 5.3.4:

184

5 Die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel mit Anwendungen

Ψ (x , x ) =

νk (y)Gxi (x , y) dS(y)

Gyk xi (x , y) dy =

B\B2h (x )

=

∂(B\B2h (x ))

νk (y)Gxi (x , y)dS(y) +

νk (y)Gxi (x , y) dS(y) .

∂B2h (x )

∂B

Das Randintegral u ur y ∈ ∂B. ¨ber ∂B verschwindet, denn in B ist G(·, y) = 0 f¨ Es ist also Ψ (x , x ) = νk (y)Gxi (x , y) dS(y) , ∂B2h (x )

und hierin ist |x − y| ≥ h; also ist der Betrag des Integranden ≤ c(N )h−N +1 . Daraus folgt |Ψ (x , x )| ≤ 2N −1 c(N )ωN . Das Lemma 5.3.3 von Simoda vermittelt dann ein c3 (B, α), mit |Uxi (x ) − Uxi (x )| ≤ c3 (B, α)Hα;B (f )|x − x |α

f¨ ur alle x , x ∈ B .

Mithin ist Uxi ∈ C 0,α (B). Zusammenfassend ergibt sich die Behauptung mit c˜(B, α) = (N + 1)c1 (B, α) + N c3 (B, α).

5.4 Eine erste Anwendung: Die lokale L¨ osbarkeit des Beltrami-Systems Das Problem, ein analytisches Fl¨ achenst¨ uck in R3 konform in die Ebene abzubilden, wurde von Gauss in seiner Kopenhagener Preisschrift 1822 gel¨ost [80]. Ist das Fl¨ achenst¨ uck nicht mehr notwendig analytisch und seine Metrik durch die Gaußschen Fundamentalgr¨ oßen E, F und G mit g := EG − F 2 > 0 gegeben, so wird man auf das System partieller Diﬀerentialgleichungen 1. Ordnung ϕx1 ψx1 1 F (x) G(x) =√ (5.13) g −E(x) −F (x) ϕx2 ψx2 gef¨ uhrt, welches in engem Zusammenhang mit dem in Bemerkung 3.6.8 eingef¨ uhrten Beltrami-Operator steht. Der erste, der die Existenz einer L¨osung des Beltrami-Systems (5.13) im Kleinen bewies, wenn die Koeﬃzienten nur lipschitzstetig sind, war Lichtenstein [186]. Mit Hilfe des Newtonpotentials, f¨ ur das er ¨ ahnliche Resultate bewies, wie sie Korn bereits in seiner in Abschnitt 5.3 genannten Arbeit erhalten hatte, u uhrte er (5.13) in eine ¨berf¨ Integralgleichung, die durch sukzessive Approximation gel¨ost wurde. Angeregt durch die Kornsche Arbeit [152], bei der das Verfahren der sukzessiven Approximation direkt auf Diﬀerentialgleichungen 2. Ordnung mit h¨olderstetigen Koeﬃzienten angewandt wurde, konnte er dann in [189] die Voraussetzung der Lipschitzstetigkeit durch H¨ olderstetigkeit ersetzen. L¨ ost u eine semilineare elliptische Gleichung der Gestalt

5.4 Lokale L¨ osbarkeit des Beltrami-Systems

185

Eux1 x1 + 2F ux1 x2 + Gux2 x2 = f (x1 , x2 , u, ux1 , ux2 ) und ist ϕ, ψ eine L¨ osung von (5.13), deren Funktionaldeterminante ϕx1 ψx1 d := det = 0 ϕx2 ψx2 ist, so ist die Koordinatentransformation ξ1 = ϕ(x1 , x2 ), ξ2 = ψ(x1 , x2 ) lokal injektiv und v(ξ) = u(x) gen¨ ugt einer Gleichung der Form vξ1 ξ1 + vξ2 ξ2 = g(ξ1 , ξ2 , v, vξ1 , vξ2 ) (s. etwa [107, II.1]). Allerdings wird man eine solche Vereinfachung des Hauptteils kaum als erstrebenswert ansehen, wenn sie mit der L¨osung einer neuen partiellen Diﬀerentialgleichung erkauft wird, zumal es, wie wir sehen werden, Methoden gibt, Gleichungen mit einem allgemeinen Hauptteil zu behandeln, die nicht auf zwei Dimensionen beschr¨ ankt sind. Bei der Untersuchung von (5.13) ist fast selbstverst¨andlich, daß wir g = 1 und E > 0 annehmen d¨ urfen. Ist x → y = M (x − p) eine injektive, aﬃne Koordinatentransformation und M t die zu M transponierte Matrix, so erhalten wir mit den Setzungen Φy1 Ψy1 Φ(y) = ϕ(x) , Ψ (y) = ψ(x) , D := Φy2 Ψy2 d = det D det M , also d = 0 genau dann, wenn det D = 0 ist, ferner t −1 F (x) G(x) ∇Φ(y) = M M t ∇Ψ (y) . −E(x) −F (x) Deﬁniert man daher neue Funktionen a, b, c durch −1 F (x) G(x) b c Mt , (y) = M t −E(x) −F (x) x=M −1 y+p −a −b so erreicht man mit der Wahl t −1 1 1 F (p) −E(p) 0 −1 M= , also M , = 1 0 E(p) E(p) E(p) F (p) daß a(0) = E(p)G(p) − F 2 (p) = 1 ,

c(0) = 1 ,

b(0) = 0

wird. In den neuen Koordinaten ergibt sich also das System Ψy1 Φy1 − Ψy2 b(y) c(y) − 1 = , Φy2 + Ψy1 1 − a(y) −b(y) Ψ y2

186

5 Die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel mit Anwendungen

das f¨ ur y = 0 in die Cauchy-Riemannschen Diﬀerentialgleichungen u ¨bergeht. F¨ ur eine Verallgemeinerung solcher Systeme beweisen wir nun einen lokalen Existenzsatz, indem wir Satz 5.3.4 mit einem ganz einfachen funktionalanalytischen Hilfsmittel kombinieren, n¨ amlich dem Banachschen Fixpunktsatz, demzufolge eine strikt kontrahierende Abbildung eines vollst¨andigen Raumes in sich genau einen Fixpunkt besitzt. Zun¨ achst zeigen wir die Vollst¨ andigkeit der von uns in Deﬁnition 5.3.1 und in Bemerkung 5.3.5 gew¨ ahlten normierten R¨ aume gleichm¨aßig h¨olderstetiger Funktionen. Satz 5.4.1. F¨ ur nichtleeres oﬀenes Ω ⊆ RN , α ∈ (0, 1] und m ∈ {0, 1, 2} m,α (Ω), versehen mit der Norm · Ω;m,α , einen Banachraum. bildet C Beweis. Wir beschr¨ anken uns auf den Fall m = 1 und zeigen nur, daß der lineare und normierte Raum C 1,α (Ω) vollst¨ andig ist, also zu jeder Folge (ui ) aus C 1,α (Ω) mit ui − uk Ω;1,α → 0 f¨ ur i, k → ∞

(5.14)

ein u ∈ C 1,α (Ω) mit ui − uΩ;1,α → 0 existiert. Dazu zerlegen wir uΩ;1,α in uΩ;1 := sup |u| + Ω

N

sup |uxi |

und HΩ;1,α (u) :=

i=1 Ω

N

Hα;Ω (uxi ) .

i=1

Aus (5.14) folgt nun zum einen ui − uk Ω;1 → 0 f¨ ur i, k → ∞. Es konur jeden Multiindex μ mit |μ| = 1 die vergieren also die Folge (ui ) und f¨ Folge (Dμ ui ) gegen stetige Funktionen u bzw. vμ . Aus dem Hauptsatz der Diﬀerential- und Integralrechnung ergibt sich sofort, daß die vμ die partiellen Ableitungen von u, also u stetig diﬀerenzierbar ist. Zu > 0 gibt es ein N > 0 ur i, k > N . Sei nun i > N . Zu x ∈ Ω gibt es dann ein mit ui − uk Ω;1 < 2 f¨ k > N mit

|uk (x) − u(x)| + |Dμ uk (x) − Dμ u(x)| < , 2 |μ|=1

was uΩ;1 < ∞ und ui − uΩ;1 ≤ impliziert. ur i, k → ∞, so daß es ein C > 0 Zum anderen gilt HΩ;1,α (ui − uk ) → 0 f¨ ur alle i ∈ N. Wir m¨ ussen noch die beiden folgenden gibt mit HΩ;1,α (ui ) ≤ C f¨ Aussagen zeigen: HΩ;1,α (u) < ∞ , HΩ;1,α (ui − u) → ∞

f¨ ur i → ∞ .

(5.15) (5.16)

Zu (5.15): F¨ ur |μ| = 1 und x, y ∈ Ω kann |Dμ u(x) − Dμ u(y)| abgesch¨atzt werden durch

5.4 Lokale L¨ osbarkeit des Beltrami-Systems

187

|Dμ u(x) − Dμ ui (x)| + |Dμ ui (x) − Dμ ui (y)| + |Dμ ui (y) − Dμ u(y)| ≤ 2ui − uΩ;1 + C|x − y|α . Zu jedem Paar x, y ∈ Ω, x = y, l¨ aßt sich i so groß w¨ahlen, daß 2ui − uΩ;1 ≤ |x − y|α wird. Folglich ist u ∈ C 1,α (Ω). Zu (5.16): F¨ ur |μ| = 1 und x, y ∈ Ω gilt |Dμ (ui − u)(x) − Dμ (ui − u)(y)| ≤ |Dμ (ui − uk )(x) − Dμ (ui − uk )(y)| + |Dμ (uk − u)(x) − Dμ (uk − u)(y)| , also uk − uΩ;1 |Dμ (ui − u)(x) − Dμ (ui − u)(y)| ≤ HΩ;1,α (ui − uk ) + 2 . |x − y|α |x − y|α Zu > 0 existiert ein N > 0 mit HΩ;1,α (ui − uk ) < /2 f¨ ur i, k > N , und zu x, y ∈ Ω, x = y, gibt es k > N mit 4uk − uΩ;1 < |x − y|α . Bemerkung 5.4.2. Es sei α ∈ (0, 1). Manchmal begegnet man dem Fehler, andigung von C ∞ (Ω) unter der daß der Raum C m,α (Ω) mit der Vervollst¨ achlich liefert die Vervollst¨andigung Norm · Ω;m,α gleichgesetzt wird. Tats¨ jedoch einen echten Teilraum von C m,α (Ω). Besonders einfach ist dies im Falle des H¨ olderraums C 0,α (Ω) zu sehen, dessen Norm durch (5.10) gegeben ist. 1 Zum Beispiel gilt u ∈ C 0, 2 (B1 (0)), wenn u(x) := |x| ist. Wir nehmen widerspruchshalber an, daß es zu = 14 ein ϕ ∈ C ∞ (B1 (0)) mit u − ϕB1 (0);0, 12 < gibt. F¨ ur 0 < δ < 1 gilt dann auch uBδ (0);0, 12 − ϕBδ (0);0, 12 < . Nun ist aber f¨ ur x ∈ Bδ (0) \ {0} uBδ (0);0, 12 ≥ H 12 ;Bδ (0) ≥

|u(x) − u(0)| =1 |x − 0|1/2

und ϕBδ (0);0, 12 =

sup |ϕ(x)| + x∈Bδ (0)

|ϕ(x) − ϕ(y)| |x − y|1/2 x,y∈Bδ (0) sup x =y

≤

sup |ϕ(x) − u(x)| + x∈Bδ (0)

√ δ+

sup

|x − y|1/2 |∇ϕ(z)| ,

x,y,z∈Bδ (0) x =y

√ √ ur gen¨ ugend kleines δ den also 1 − − δ − 2δ supz∈Bδ (0) |∇ϕ(z)| < , was f¨ gew¨ unschten Widerspruch liefert.

188

5 Die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel mit Anwendungen

Satz 5.4.3. Es sei Ω ⊆ R2 eine oﬀene Menge mit 0 ∈ Ω, und es sei α ∈ (0, 1). Es seien A, B, C : Ω → R(2,2) matrixwertige Funktionen mit A(0) = B(0) = C(0) = 0, deren Eintr¨ age in C (α) (Ω) liegen. Dann gibt es eine Kreisscheibe B := BR (0) und ϕ, ψ ∈ C 1,α (B), die auf B ϕx1 ψx1 ϕ ϕx1 − ψx2 = A(x) + B(x) + C(x) (5.17) ψ ϕx2 + ψx1 ϕx2 ψx2 und

ϕx1 ψx1 det ϕx2 ψx2

>0

(5.18)

erf¨ ullen. Beweis. Aufgrund von Satz 5.4.1 und Bemerkung 5.3.6 ist auch C 1,α (B) × C 1,α (B), versehen mit der Norm (ϕ, ψ) := ϕB;1,α + ψB;1,α , ein Banachraum. F¨ ur ϕ, ψ ∈ C 1,α (B) k¨ urzen wir die rechte Seite von (5.17) mit (f, g) ab. Dann liegen nach Bemerkung 5.3.2 b) und Aufgabe 5.10 die Funktionen f und g in C 0,α (B). Nach Satz 5.3.4 sind die Greenpotentiale zu B und f bzw. g s(x) := G(x, y)f (y) dy , t(x) := G(x, y)g(y) dy , x ∈ B , B

B

aus C 2,α (B), mithin die Funktionen u := −sx1 − tx2 ,

v := sx2 − tx1

aus C 1,α (B). Es deﬁniert also K : (ϕ, ψ) → (u, v) eine lineare und f¨ ur jedes x ∈ R2 L(ϕ, ψ)(x) := x + K(ϕ, ψ)(x) eine aﬃne lineare Abbildung L von C 1,α (B) × C 1,α (B) in sich, und wegen (x1 + u)x1 − (x2 + v)x2 = ux1 − vx2 = −Δs = f , (x1 + u)x2 + (x2 + v)x1 = ux2 + vx1 = −Δt = g hat (5.17) sicher dann eine L¨ osung, wenn L einen Fixpunkt besitzt. Wir m¨ ussen also versuchen zu erreichen, daß f¨ ur geeignetes R > 0 die lineare Abbildung K eine strikte Kontraktion wird. Nun ist

K(ϕ, ψ) = − (sx1 + tx2 )B;1,α + sx2 − tx1 B;1,α

5.4 Lokale L¨ osbarkeit des Beltrami-Systems

189

und beispielsweise sx1 B;1,α = sup |sx1 | + R B

≤

2

sup |sx1 xi | + R1+α

i=1 B

2

Hα;B (sx1 xi )

i=1

1 1 sB;2,α ≤ c(N, α)R2 ΔsB;0,α , R R

wobei wir Bemerkung 5.3.6 verwendet haben. Daher ist K(ϕ, ψ) ≤ 2c(N, α)R f B;0,α + gB;0,α und weiter 2 f B;0,α = i=1 (A1i ϕxi + B1i ψxi ) + C11 ϕ + C12 ψ

B;0,α

.

Nach Aufgabe 5.10 haben wir z.B. A11 ϕx1 B;0,α ≤ A11 B;0,α ϕx1 B;0,α . Nun ist aufgrund der Voraussetzung an die Elemente der Matrixfunktion A A11 B;0,α = sup |A11 | + Rα Hα;BR (A11 ) BR

= sup |A11 (x) − A11 (0)| + Rα Hα;BR (A11 ) |x|
≤ 2Rα Hα;BR (A11 ) , ferner ϕx1 B;0,α = sup |ϕx1 | + Rα Hα;B (ϕx1 ) ≤ B

Schließlich ist f¨ ur R ≤ 1 ϕB;0,α

1 ϕB;1,α . R

= sup |ϕ| + R Hα;B (ϕ) ≤ 2 sup |ϕ| + R α

B

≤

2ϕB;1,α

B

2

k=1

sup |ϕxk | B

,

denn aufgrund des Mittelwertsatzes ist ja mit geeignetem x∗ ∈ BR |ϕ(x) − ϕ(y)| = |(x − y) · ∇ϕ(x∗ )| ≤ |x − y|

2

k=1

also Rα Hα;B (ϕ) ≤ Rα (2R)1−α

2

k=1

sup |ϕxk | , B

sup |ϕxk | . B

Es gibt folglich ein l > 0 so, daß f¨ ur alle ϕ, ψ ∈ C 1,α (B) und R < 1

190

5 Die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel mit Anwendungen

f B;0,α + gB;0,α ≤

l α−1 R ϕB;1,α + ψB;1,α , 2

(5.19)

mithin K(ϕ, ψ) ≤ l c(N, α)Rα (ϕ, ψ) ausf¨ allt. F¨ ur geeignetes R ∈ (0, 1) ist daher etwa K(ϕ, ψ) ≤ 12 (ϕ, ψ), woraus folgt, daß L strikte Kontraktion auf C 1,α (B) × C 1,α (B) ist. Es sei (Φ, Ψ ) Fixpunkt von L, also L¨ osung von (5.17). Wir zeigen nun, daß es gegebenenfalls durch weitere Verkleinerung von R gelingt, (5.18) zu erreichen. Sind S, T die Greenpotentiale zu B und den beiden Zeilen der rechten Seite von (5.17), gebildet mit Φ, Ψ , so erh¨alt man aus (Φ, Ψ )(x) = x + K(Φ, Ψ )(x) Φx1 Ψx2 − Φx2 Ψx1 = (1 − Sx1 x1 − Tx1 x2 ) (1 + Sx2 x2 − Tx2 x1 ) −(−Sx2 x1 − Tx2 x2 )(Sx1 x2 − Tx1 x1 ) . Es bleibt also nur zu zeigen, daß |Sxi xk (x)| + |Txi xk (x)| gleichm¨aßig in x ∈ BR klein werden, wenn R klein wird. Nun gilt aber f¨ ur alle ϕ, ψ ∈ C 1,α (B) und alle x ∈ B nach Bemerkung 5.3.6 f¨ ur die zugeh¨origen Funktionen s und t 1 sB;2,α + tB;2,α 2 R ≤ c(N, α) f B;0,α + gB;0,α ,

|sxi xk (x)| + |txi xk (x)| ≤

und dies ist nach (5.19) ≤

l c(N, α)Rα−1 (ϕ, ψ) . 2

Speziell ergibt sich f¨ ur den Fixpunkt 1 (Φ, Ψ ) = (x1 , x2 ) + K(Φ, Ψ ) ≤ (x1 , x2 ) + (Φ, Ψ ) , 2 also (Φ, Ψ ) ≤ 2(x1 , x2 ) und daher l c(N, α)Rα−1 2 x1 B;1,α + x2 B;1,α 2 l ≤ c(N, α)Rα−1 2 · 4R . 2

|Sxi xk (x)| + |Txi xk (x)| ≤

Bemerkung 5.4.4. a) Wie jeder u ¨ber das Kontraktionsprinzip gewonnene Fixpunkt l¨ aßt sich (Φ, Ψ ) als geometrische Reihe darstellen (welche, wenn es sich um die L¨ osung einer Integralgleichung handelt, im Hinblick auf die auf S. 15 ﬀ. beschriebene L¨ osungsmethode von C. Neumann [225] gerne Neumannsche Reihe genannt wird), deren Partialsummen also eine sukzessive

5.5 Kleine Abweichungen des Hauptteils vom Laplaceoperator

191

Ann¨ aherung an die L¨ osung darstellen. Dieses Verfahren der sukzessiven Approximation hat eine lange Geschichte, z.B. in der St¨orungsrechnung der astronomischen Bahnbestimmung und in der iterativen Approximation von L¨osungen numerischer Gleichungen. Liouville wandte von 1830 ab Iterationsverfahren auf spezielle gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen an (diese und Arbeiten von Cauchy werden in [198, pp. 446–448] diskutiert). H.A. Schwarz gewann in seiner Weierstraß zum 70. Geburtstag gewidmeten Schrift L¨osungen der Minimalﬂ¨ achengleichung durch sukzessive Approximation [303]. Picard, der mit diesem Verfahren prim¨ ar assoziiert wird, obwohl er sich auf Schwarz beruft, behandelte mit ihm elliptische und hyperbolische Diﬀerentialgleichungen 2. Ordnung sowie nichtlineare Systeme gew¨ohnlicher Diﬀerentialgleichungen [253] – etwas fr¨ uher hatte Peano lineare Systeme so behandelt – und zeigte auf diese Weise, daß die L¨ osungen linearer elliptischer Gleichungen 2. Ordnung mit analytischen Koeﬃzienten analytisch sind [254]. b) Aufgrund des engen Bezuges zu den Cauchy-Riemannschen Diﬀerentialgleichungen und wegen vielf¨ altiger Anwendungen ist die Literatur u ¨ber elliptische Systeme der Form (5.17) außerordentlich umfangreich; wir verweisen auf [336].

5.5 Das Dirichletproblem fu ¨ r die Kugel bei kleiner Abweichung des Hauptteils vom Laplaceoperator Das Dirichletproblem f¨ ur einen linearen Diﬀerentialoperator 2. Ordnung, Lu := −

N

aik uxi xk +

N

ai uxi + au ,

(5.20)

i=1

i,k=1

dessen Hauptteil, also −

N

aik uxi xk ,

i,k=1

nur wenig von −Δu abweicht, wurde von Korn in der schon im Abschnitt 5.4 genannten Arbeit [152] mit dem Verfahren der sukzessiven Approximation gel¨ ost. Wir folgen hier der von Schauder in [293, p. 278 f.] gegebenen Anregung, stattdessen die von S.N. Bernstein [18, p. 83] in allgemeinerem Zusammenhang eingef¨ uhrte Kontinuit¨ atsmethode mit geeigneten APriori-Absch¨ atzungen zu kombinieren. Anstelle des einen Operators L werde f¨ ur t ∈ [0, 1] die Schar von Operatoren N N

[taik + (1 − t)δik ] uxi xk + t ai uxi + au Lt u := − i,k=1

i=1

betrachtet. Es bezeichne τ die Menge derjenigen t ∈ [0, 1], f¨ ur welche das Dirichletproblem

192

5 Die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel mit Anwendungen

Lt u = f in B,

u|∂B = 0

bei jeder Wahl von f ∈ C 0,α (B) mit u ∈ C 2,α (B) eindeutig l¨osbar ist. Nach Satz 5.3.4 ist 0 ∈ τ ; das Ziel ist es, 1 ∈ τ zu zeigen. Der Grundgedanke ist nun der, das Intervall [0, 1] mit endlichvielen Intervallen einer festen L¨ange zu u ¨berdecken, welche so geartet sind, daß jedes von ihnen schon dann ganz zu τ geh¨ ort, wenn einer seiner Punkte zu τ geh¨ ort. Dies geschieht mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes unter Verwendung einer A-Priori-Absch¨atzung, die aus dem Bernsteinschen Lemma 2.3.6, der Ungleichung (5.12) aus Bemerkung 5.3.5 und einer nun noch herzuleitenden Interpolationsungleichung besteht, bei der die Norm von C 1,α (B) durch die von C 2,α (B) und die Supremumsnorm abgesch¨ atzt wird. Erinnert sei daran, daß wir f¨ ur m ∈ {0, 1, 2} den H¨ olderraum C m,α (Ω) deﬁniert hatten durch {u ∈ C m (Ω) : f¨ ur jeden Multiindex μ mit |μ| ≤ m ist Dμ u beschr¨ankt, und f¨ ur alle |μ| = m gilt zudem Hα;Ω (Dμ u) < ∞} und mit der Norm uΩ;m,α :=

sup |Dμ u| +

|μ|≤m

Ω

Hα;Ω (Dμ u)

|μ|=m

versehen hatten (s. Deﬁnition 5.3.1 und Bemerkung 5.3.5). F¨ ur konvexes Ω ⊂⊂ RN hat man aufgrund des Mittelwertsatzes sofort die Inklusion C 2,α (Ω) ⊆ C 1,α (Ω). Der Hauptsatz der Diﬀerential- und Integralrechnung legt es nahe, 1. Ableitungen einer Funktion durch 2. Ableitungen und die Funktionswerte selbst abzusch¨ atzen (Nirenberg [238] spricht in diesem Zusammenhang von calculus ” inequalities“ oder einem calculus lemma“). Ist zum Beispiel u eine Funktion ” ur alle n ∈ N die Identit¨at in C 2 ([a, b]), so besteht f¨

y

(b − a)u (y) = a

(x − a)n+1 u (x) dx − (y − a)n ⎡

+ n(n + 1) ⎣−

y a

b y

(b − x)n+1 u (x) dx (b − y)n

(x − a)n−1 u(x) dx + (y − a)n

b y

⎤ (b − x)n−1 u(x) dx⎦ , (b − y)n

wie man durch einmalige partielle Integration in jedem der vier Integrale sieht. Also ist

5.5 Kleine Abweichungen des Hauptteils vom Laplaceoperator

193

⎡ y ⎤ b n+1 n+1 (x − a) (b − x) (b − a) max |u | ≤ ⎣ dx + dx⎦ max |u | (y − a)n (b − y)n ⎡ + n(n + 1) ⎣

a

y a

y

(x − a)n−1 dx + (y − a)n

b y

⎤ (b − x)n−1 ⎦ dx max |u| (b − y)n

(b − a)2 max |u | + 2(n + 1) max |u| . ≤ n+2 ur alle u ∈ C 2 ([a, b]) Es gibt also zu jedem > 0 ein d > 0, so daß f¨ max |u | ≤ max |u | + d max |u| ist. Ungleichungen dieses Typs lassen sich f¨ ur h¨ohere Ableitungen oder andere Normen in einer oder in h¨ oheren Dimensionen herleiten. In Zusammenhang mit einer solchen Ungleichung, der von Ehrling [59], machte nun Fichera [65, p. 27 f.] die bemerkenswerte Beobachtung, daß ihr eine einfache abstrakte Beziehung, kompakte Operatoren betreﬀend, zugrunde liegt. Sind X, Y normierte R¨ aume, so heißt ein (nicht notwendig linearer) Operator K : X → Y kompakt, wenn f¨ ur jede beschr¨ ankte Folge (xn ) aus X die Folge (Kxn ) eine konvergente Teilfolge besitzt. Ist K linear, so folgt aus der Kompaktheit automatisch die Stetigkeit von K. Die nachfolgende Aussage wird auch gerne als Ehrlingsches Lemma bezeichnet, obwohl diese abstrakte Version in [59] nicht vorkommt. Lemma 5.5.1. Es seien X, Y , Z normierte R¨ aume. Es sei K : X → Y linear und kompakt, ferner T : Y → Z linear, stetig und injektiv. Dann gibt es zu jedem > 0 eine Zahl d(, K, T ) > 0, so daß KxY ≤ xX + d(, K, T )T KxZ

f¨ ur alle x ∈ X .

Beweis. Andernfalls g¨ abe es ein 0 > 0 und zu jedem n ∈ N ein xn ∈ X mit Kxn Y > 0 xn X + nT Kxn Z . Wir d¨ urfen xn = 1 annehmen. Wegen der Kompaktheit von K enth¨alt die Folge (Kxn ) eine konvergente Teilfolge: Kxn → y ∈ Y . Es folgt T Kxn Z → 0, also T y = 0 wegen der Stetigkeit von T und dann y = 0 wegen der Injektivit¨ at. Daher gilt Kxn → 0 im Widerspruch zu Kxn Y > 0 . Satz 5.5.2. Es sei Ω ⊂⊂ RN eine nichtleere, konvexe Menge und α ∈ (0, 1]. Dann ist der Einbettungsoperator K : C 2,α (Ω) → C 1,α (Ω), u → u kompakt. Beweis. Es sei (un ) eine Folge aus C 2 (Ω) mit

sup |Dμ un | + Hα;Ω (Dμ un ) ≤ const |μ|≤2

Ω

|μ|=2

194

5 Die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel mit Anwendungen

f¨ ur n ∈ N. Aufgrund des Mittelwertsatzes (in Verbindung mit der Konvexit¨at von Ω) sind dann f¨ ur |μ| ≤ 2 die (Dμ un ) Folgen gleichgradig gleichm¨aßig stetiger Funktionen, die somit auf Ω stetig fortsetzbar sind. Speziell kann also (un ) als eine auf dem Kompaktum Ω deﬁnierte beschr¨ankte Folge gleichgradig gleichm¨ aßig stetiger Funktionen angesehen werden. Nach dem Satz von Arzel` a und Ascoli (s. auch den Beweis von Satz 2.1.10) besitzt sie daur jeden her eine gleichm¨ aßig konvergente Teilfolge (un ). Gleichermaßen hat f¨ Multiindex μ mit 1 ≤ |μ| ≤ 2 die Folge (Dμ un ) gleichm¨aßig konvergente Teilfolgen. F¨ ur |μ| = 2 verwende man die Beschr¨anktheit der Hα;Ω (Dμ un ), um die gleichgradige gleichm¨ aßige Beschr¨ anktheit der Folgen nachzuweisen. Durch sukzessive Teilfolgenbildung k¨ onnen wir eine Teilfolge (un ) von (un ) ur alle |μ| ≤ 2 eine Cauchyfolge bez¨ uglich der so herstellen, daß (Dμ un ) f¨ Supremumsnorm darstellt. Die Konvexit¨ at und Beschr¨anktheit von Ω ausnutzend, zeigt man nun mit dem Mittelwertsatz, daß (un ) Cauchyfolge in C 1,α (Ω) bez¨ uglich der Norm · Ω;1,α ist. Die Vollst¨andigkeit des Raumes (Satz 5.4.1) impliziert nun die gew¨ unschte Konvergenzaussage. Da die Einbettung T von C 1,α (Ω) in C 0 (Ω), versehen mit der Supremumsnorm, ersichtlich stetig und injektiv ist, haben wir Korollar 5.5.3. Es sei Ω ⊂⊂ RN eine nichtleere, konvexe Menge und α ∈ (0, 1]. Dann gibt es zu jedem > 0 ein d(, Ω, α) > 0 mit uΩ;1,α ≤ uΩ;2,α + d(, Ω, α) sup |u|

(5.21)

Ω

f¨ ur alle u ∈ C 2,α (Ω). Bemerkung 5.5.4. a) Wie in Bemerkung 5.3.5 sieht man, daß die Konstante in (5.21) f¨ ur solche Ω und Ω , die durch eine Translation auseinander hervorgehen, dieselbe ist. b) Die Voraussetzung der Konvexit¨ at im Satz 5.5.2 kann wesentlich abgeschw¨ acht werden. Wir werden im Abschnitt 7.3 darauf zur¨ uckkommen (vgl. auch Bemerkung 7.3.6 und die auf Bemerkung C.2 folgende Diskussion in Anhang C und dort insbesondere Satz C.5). Satz 5.5.5 (A-Priori-Absch¨ atzung). Es sei L linearer Diﬀerentialoperator wie in (5.20) angegeben. Weiter seien B ⊂⊂ RN eine Kugel, α ∈ (0, 1) und b > 0. Es sei c(B, α) wie in Ungleichung (5.12) von Bemerkung 5.3.5 und % 1 1 1 , aik − δik B;0,α ≤ n(B, α) := min 2 c(B, α) N f¨ ur alle aik ∈ C 0,α (B), i, k ∈ {1, . . . , N }. Dann gilt: (i) Es gibt zu jedem > 0 eine Zahl d(, B, α) > 0, so daß

5.5 Kleine Abweichungen des Hauptteils vom Laplaceoperator

− Δu − LuB;0,α ≤

1 c(B, α)−1 + 4b uB;2,α 2 +2b(d(, B, α) + 1) max |u| ,

195

(5.22)

B

sowie eine Zahl c(B, α, b) > 0, so daß uB;2,α ≤ c(B, α, b) LuB;0,α + max |u| B

f¨ ur alle diese aik , alle ai und a aus C 0,α (B) mit ai B;0,α ≤ b, aB;0,α ≤ b und alle u ∈ C 2,α (B) mit u|∂B = 0. (ii) Es gibt eine Zahl c˜(B, α, b) > 0 derart, daß f¨ ur alle aik , ai , a und u mit den in (i) genannten Eigenschaften uB;2,α ≤ c˜(B, α, b)LuB;0,α besteht, wenn zus¨ atzlich a ≥ 0 vorausgesetzt wird. Beweis. Zun¨ achst u ur u ∈ C 2,α (B) in ¨berzeugen wir uns davon, daß Lu f¨ 0,α C (B) liegt. Mit dem Mittelwertsatz der Diﬀerentialrechnung ersieht man C 2,α (B) ⊆ C 1,α (B) ⊆ C 0,α (B), so daß u, uxi , uxi xk in C 0,α (B) liegen, und es folgt Lu ∈ C 0,α (B) aus Aufgabe 5.10. Zu (i): Aufgrund der Eigenschaft von c(B, α) haben wir uB;2,α ≤ c(B, α)ΔuB;0,α ≤ c(B, α) ( − Δu − LuB;0,α + LuB;0,α )

(5.23)

und mit Aufgabe 5.10 a) − Δu − LuB;0,α ≤

N

aik − δik B;0,α uxi xk B;0,α

i,k=1

+

N

ai B;0,α uxi B;0,α + aB;0,α uB;0,α

i=1

1 uB;2,α + buB;1,α + bHα;B (u) 2c(B, α) 1 ≤ uB;2,α + 2buB;1,α + 2b sup |u| , 2c(B, α) B

≤

letzteres, da f¨ ur x, y ∈ B mit |x − y| ≥ 1 |u(x) − u(y)| ≤ 2 sup |u| |x − y|α B und f¨ ur x, y ∈ B mit 0 < |x − y| < 1 aufgrund des Mittelwertsatzes

196

5 Die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel mit Anwendungen

|u(x) − u(y)| |(x − y) · ∇u(x∗ )|

≤ ≤ sup |uxi | |x − y|α |x − y|α i=1 B N

ist. Mit Korollar 5.5.3 ergibt dies die Behauptung (5.22). Setzt man die Absch¨ atzung (5.22) in (5.23) ein und w¨ ahlt 0 < = (B, α, b) hinreichend klein, so erh¨ alt man schließlich die zweite Behauptung. ur alle ξ ∈ RN und x ∈ B Zu (ii): Wegen n(B, α)N ≤ 12 haben wir f¨ N

aik (x)ξi ξk =

i,k=1

N

[aik (x) − δik ] ξi ξk + |ξ|2 ≥

i,k=1

1 2 |ξ| , 2

so daß aufgrund des Bernsteinschen Lemmas 2.6.3 max |u| ≤ c0 (B, 12 , b) sup |Lu| B

B

ist. Zusammen mit (i) ergibt das die Behautptung.

Satz 5.5.6 (Existenz und Eindeutigkeit). Es seien B ⊂⊂ RN eine Kugel, α ∈ (0, 1) und n(B, α) die in Satz 5.5.5 deﬁnierte Zahl. F¨ ur i, k ∈ {1, . . . N } seien aik ∈ C 0,α (B) Funktionen mit aik − δik B;0,α ≤ n(B, α), ferner ai ∈ C 0,α (B) und 0 ≤ a ∈ C 0,α (B). Es sei f ∈ C 0,α (B). Dann hat das Dirichletproblem Lu = f in B,

u|∂B = 0

(5.24)

genau eine L¨ osung u ∈ C 0 (B) ∩ C 2 (B), und es ist u ∈ C 2,α (B). Beweis. Die Strategie des Beweises ist eingangs erl¨autert worden; wir verwenden auch die dort eingef¨ uhrten Bezeichnungen. F¨ ur jedes t ∈ [0, 1] hat das Dirichletproblem Lt u = f in B,

u|∂B = 0

(5.25)

nach dem Bernsteinschen Lemma 2.6.3 h¨ ochstens eine L¨osung u ∈ C 0 (B) ∩ 2 ur die ai B;0,α und f¨ ur aB;0,α , so gilt nach C (B). Ist b > 0 eine Schranke f¨ Satz 5.5.5 (ii) f¨ ur alle t ∈ [0, 1] und u ∈ C 2,α (B) mit u|∂B = 0 wegen taik + (1 − t)δik − δik B;0,α = t(aik − δik )B;0,α ≤ n(B, α) , tai B;0,α ≤ b, taB;0,α ≤ b sowie ta ≥ 0 , daß uB;2,α ≤ c˜(B, α, b)Lt uB;0,α .

(5.26)

Oﬀensichtlich sind Lt u = f und Lt0 u = f + (Lt0 − Lt ) u ¨aquivalent. F¨ ur jedes v ∈ C 2,α (B) ist

5.6 Der semilineare Fall und die Methode von Leray und Schauder

(Lt0 − Lt ) v = (t0 − t)(L1 − L0 )v ,

197

(5.27)

und die rechte Seite ist in C 0,α (B). Sei nun f ∈ C 0,α (B) und t0 ∈ τ , also Element der Menge der t ∈ [0, 1], f¨ ur welche (5.25) f¨ ur jede rechte Seite aus C 0,α (B) eindeutig l¨ osbar ist. Wir betrachten die (von t0 , t und f abh¨angende) Abbildung T : C 2,α (B) → z ∈ C 2,α (B) : z|∂B = 0 v → das w ∈ C 2,α (B) mit w|∂B = 0 und Lt0 w = f + (Lt0 − Lt ) v . Wir zeigen, daß es ein allein durch B, α, b bestimmtes δ > 0 gibt, so daß f¨ ur |t0 −t| < δ die Abbildung T einen Fixpunkt u besitzt. Es ist dann u ∈ C 2,α (B) mit u|∂B = T u|∂B = 0, ferner Lt0 u = Lt0 (T u) = f + (Lt0 − Lt ) u, also u L¨ osung von (5.25), mithin t ∈ τ . Wir haben dann also unser eingangs genanntes Ziel erreicht, das Intervall [0, 1] mit endlichvielen Intervallen einer festen L¨ ange zu u ¨berdecken, welche so geartet sind, daß jedes von ihnen schon dann ganz zu τ geh¨ ort, wenn einer seiner Punkte zu τ geh¨ort. Es bleibt zu zeigen, daß T eine strikte Kontraktion ist. F¨ ur v1 , v2 ∈ C 2,α (B) haben wir aufgrund der Linearit¨ at der Operatoren Lt0 und Lt Lt0 (T v1 − T v2 ) = Lt0 T v1 − Lt0 T v2 = (Lt0 − Lt ) (v1 − v2 ) = (t0 − t)(L1 − L0 )(v1 − v2 ) in B ,

(5.28)

letzteres wegen (5.27). Ferner ist (T v1 − T v2 )|∂B = 0. Aus Satz 5.5.5 (ii) folgt T v1 − T v2 B;2,α ≤ c˜(B, α, b)Lt0 (T v1 − T v2 )B;0,α , was sich wegen (5.22) und (5.28) absch¨ atzen l¨ aßt durch 1 + 2b + 2bd(1, B, α) + 2b v1 − v2 B;2,α . |t0 − t| c˜(B, α, b) 2c(B, α) Es gibt also in der Tat ein δ = δ(B, α, b) > 0, so daß f¨ ur |t − t0 | < δ die Abbildung T eine strikte Kontraktion ist. Bemerkung 5.5.7. Wenn die Voraussetzung a ≥ 0 nicht mehr erf¨ ullt ist, kann es nichttriviale u ∈ C 2,α (B) mit u|∂B = 0 und Lu = 0 geben, so daß man nicht mehr erwarten kann, Lv = f f¨ ur jedes f ∈ C 0,α (B) eindeutig l¨osen zu k¨ onnen. Am einfachsten sieht man dies am Beispiel der Helmholtzschen Schwingungsgleichung −Δu+λu = 0, die f¨ ur λ < 0 nichttriviale L¨osungen hat, die f¨ ur geeignetes r > 0 auf ∂Br (0) Null sind (vgl. die Bemerkung im Anschluß an Gleichung (2.17)). Dieses Problem wird in Kapitel 6 eigens behandelt.

5.6 Die Methode von Leray und Schauder am Beispiel des semilinearen Dirichletproblems in der Kugel Wir behandeln nun das semilineare Dirichletproblem

198

5 Die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel mit Anwendungen

−Δu(x) = f (x, u(x), ∇u(x)) f¨ ur x ∈ B := BR (0) ⊂⊂ RN ,

u|∂B = 0

anhand einer Schlußweise, die f¨ ur die Behandlung vieler nichtlinearer Probleme typisch ist. Man spricht von einem semilinearen Problem, wenn, wie hier, in den Termen, die die h¨ ochsten Ableitungen enthalten, die gesuchte Funktion nur linear auftritt. Die Idee ist schnell skizziert: Bemerkung 5.6.1. Gegeben seien 0 < α < 1 und ein nicht notwendig beschr¨ anktes f : B × R × RN → R mit f ∈ C 0,α (B × Q) f¨ ur jedes Q ⊂⊂ R × RN . 2,α Es soll eine L¨ osung u ∈ C (B) gefunden werden (zur Notation s. Deﬁnition 5.3.1). Man ﬁxiert ein γ ∈ (0, 1) und setzt in die rechte Seite f beliebige Funktionen v ∈ C 1,γ (B) ein. Nach Aufgabe 5.9 c) ist dann x → f (x, v(x), ∇v(x)) undet jeweils eine Funktion aus C (αγ) (B). Wie in Bemerkung 5.3.2 b) begr¨ wurde, gilt C (αγ) (B) = C 0,αγ (B). Nach Satz 5.3.4 hat das lineare Dirichletproblem −Δw(x) = f (x, v(x), ∇v(x)) f¨ ur x ∈ B,

w|∂B = 0

eine L¨ osung w in C 02,αγ (B) := u ∈ C 2,αγ (B) : u|∂B = 0 . Der Subindex 0 bringt zum Ausdruck, daß wir nur solche u ∈ C 2,αγ (B) betrachten, deren eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung auf ∂B verschwindet (vgl. Bemerkung 5.3.2 d)). Es ist w eindeutig bestimmt. Die Zuordnung v → w deﬁniert daher eine Abbildung S : C 1,γ (B) → C 02,αγ (B) ⊆ C 1,γ (B) .

(5.29)

Die Inklusion ergibt sich sofort aufgrund des Mittelwertsatzes, da B beschr¨ ankt und konvex ist. Wir haben nach Deﬁnition −Δ(Sv)(x) = f (x, v(x), ∇v(x)) f¨ ur x ∈ B,

(Sv)|∂B = 0 .

Wenn S einen Fixpunkt h¨ atte, also wenn es ein u ∈ C 1,γ (B) g¨abe mit Su = u, 2,αγ dann w¨ are u = Su ∈ C 0 (B) und −Δu(x) = f (x, u(x), ∇u(x)) f¨ ur x ∈ B,

u|∂B = 0 .

Nun tritt ein Regularisierungseﬀekt ein: u ∈ C 2,αγ (B) ⊆ C 1,1 (B) hat nach Aufgabe 5.9 c) zur Folge, daß f (·, u(·), ∇u(·)) ∈ C 0,α (B) ist, und daher liegt u in C 2,α (B) nach Satz 5.3.4. Der Fixpunktsatz, den wir jetzt verwenden, wurde von Leray und Schauder [179] im Rahmen ihrer Verallgemeinerung des Brouwerschen Abbildungsgrades bewiesen. Man gewinnt ihn am einfachsten aus dem Schauderschen Fixpunktsatz [291]. Wir erinnern an die Deﬁnition eines kompakten Operators, die vor der Formulierung von Lemma 5.5.1 gegeben wurde.

5.6 Der semilineare Fall und die Methode von Leray und Schauder

199

Satz 5.6.2 (Fixpunktsatz von Schauder). Es sei M eine nichtleere, beschr¨ ankte, abgeschlossene und konvexe Teilmenge eines Banachraums. Ist dann T : M → M kompakt und stetig, so besitzt T einen Fixpunkt. Satz 5.6.3 (Fixpunktsatz von Leray-Schauder). Es seien X ein Banachraum und die Abbildung S : X → X kompakt und stetig. Weiter nehmen wir an, daß ein A > 0 existiert derart, daß alle x ∈ X, welche die Gleichung x = σS(x) f¨ ur ein σ ∈ (0, 1) erf¨ ullen, der Absch¨ atzung x ≤ A gen¨ ugen. Dann hat S einen Fixpunkt. F¨ ur einen Beweis dieser S¨ atze verweisen wir auf [356, p. 56 f., p. 245]. Man beachte, daß anders als beim Kontraktionsprinzip die Eindeutigkeit des Fixpunktes im allgemeinen nicht mehr gegeben sein wird. Der nachfolgende Satz 5.6.5 ist hinsichtlich seiner Voraussetzungen auf die des Leray-Schauderschen Fixpunktsatzes zugeschnitten und reduziert das Problem der Existenz einer L¨ osung des semilinearen Dirichletproblems auf das des Beweises einer A-Priori-Ungleichung. Auf dieses wird dann in Satz 5.6.6 eingegangen. Bemerkung 5.6.4. Wir ben¨ otigen noch zwei leichte Modiﬁkationen des Einbettungssatzes 5.5.2, die in noch allgemeinerem Rahmen in Anhang C (s. Satz C.5) bewiesen werden: Es sei Ω ⊂⊂ RN konvex und nichtleer. a) F¨ ur a, β ∈ (0, 1] ist die Einbettung von C 2,β (Ω) in C 1,α (Ω) kompakt. b) F¨ ur α ∈ (0, 1] und m ∈ {1, 2} (nur von diesen Werten von m machen wir hier Gebrauch) ist die Einbettung von C m,α (Ω) in C m (Ω) := u ∈ C m (Ω) : uΩ;m := |μ|≤m supΩ |Dμ u| < ∞ kompakt. Der Raum C 1 (Ω) trat implizit bereits beim Beweis von Satz 5.4.1 in Erscheinung. Satz 5.6.5. Es sei B := Br (0) ⊂⊂ RN , 0 < α < 1, und f : B × R × RN → R ur jedes Q ⊂⊂ R × RN . Es gebe ein γ ∈ (0, 1) und erf¨ ulle f ∈ C 0,α (B × Q) f¨ ein A > 0 derart, daß f¨ ur jedes v ∈ C 2,α (B), zu dem es ein σ ∈ (0, 1) mit −Δv(x) = σf (x, v(x), ∇v(x)) f¨ ur x ∈ B,

v|∂B = 0

gibt, die Ungleichung vB;1,γ ≤ A

(5.30)

besteht. Dann gibt es ein u ∈ C 2,α (B) mit −Δu = f (x, u(x), ∇u(x)) f¨ ur x ∈ B,

u|∂B = 0 .

Beweis. Es sei γ ∈ (0, 1), und es sei S wie in (5.29). In Satz 5.4.1 wurde gezeigt, daß C 1,γ (B) ein Banachraum ist. Bei festem σ ∈ (0, 1) sind dann die drei Aussagen

200

(1)

5 Die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel mit Anwendungen

v ∈ C 1,γ (B) , σSv = v ;

(2) v ∈ C 2,αγ (B) , −Δv(x) = σf (x, v(x), ∇v(x)) f¨ ur x ∈ B, 2,α (3) v ∈ C (B) , −Δv(x) = σf (x, v(x), ∇v(x)) f¨ ur x ∈ B,

v|∂B = 0 ; v|∂B = 0

¨ zueinander a ahrend sich die Aquivalenz von (1) und (2) unmittel¨quivalent. W¨ bar aus der Deﬁnition von S ergibt und (3) trivialerweise (2) impliziert, folgt (3) aus (2) mit dem in Bemerkung 5.6.1 geschilderten Regularisierungseﬀekt. Aufgrund von Satz 5.6.3 ist also nur zu zeigen, daß die Abbildung S kompakt und stetig ist. Zun¨ achst die Kompaktheit: Es sei (vn ) eine in C 1,γ (B) beschr¨ankte Folge. Aus Bemerkung 5.6.1 wissen wir Svn ∈ C 02,αγ (B). Nach Bemerkung 5.3.7 gibt es daher eine allein von B und αγ abh¨ angende Zahl c(B, αγ) mit Svn B;2,αγ ≤ c(B, αγ)f (·, vn (·), ∇vn (·))B;0,αγ , so daß die Folge (Svn ) nach Aufgabe 5.12 a) eine in C 2,αγ (B) beschr¨ankte Folge ist. Da die Einbettung von C 2,αγ (B) in C 1,γ (B) nach Bemerkung ur die (Svn ) in C 1,γ (B) 5.6.4 a) kompakt ist, gibt es also eine Teilfolge (vn ), f¨ konvergiert. Was die Stetigkeit anbetriﬀt, so machen wir von der Tatsache Gebrauch, daß eine Abbildung F : X → Y (X, Y normierte R¨aume) genau dann stetig in x ∈ X ist, wenn jede Folge (xn ) aus X mit xn → x eine Teilfolge (xn ) besitzt mit F (xn ) → F (x). Sei nun (vn ) eine Folge in C 1,γ (B), die in der Norm dieses Raumes gegen ein v konvergiert. Sie ist dann insbesondere in C 1,γ (B) beschr¨ ankt, und wie soeben gezeigt wurde, ist auch die in C 02,αγ (B) ankt. Nach Bemerkung 5.6.4 b) existiert eine in liegende Folge (Svn ) beschr¨ C 2 (B) konvergente Teilfolge (Svn ). Ihr Limes sei w; es ist dann w ∈ C 2 (B) und w|∂B = 0. Nach Deﬁnition von S gilt −ΔSvn (x) = f (x, vn (x), ∇vn (x)) f¨ ur x ∈ B,

Svn |∂B = 0 ,

und wegen der Konvergenz von (Svn ) in C 2 (B), der von (vn ) in C 1,γ (B) und der Stetigkeit von f folgt −Δw(x) = f (x, v(x), ∇v(x)) f¨ ur x ∈ B,

w|∂B = 0 .

Nach Aufgabe 5.12 a) ist f (·, v(·), ∇v(·)) ∈ C 0,αγ (B). Aus Satz 5.3.4 ergibt sich w ∈ C 2,αγ (B). Die Deﬁnition von S liefert nun w = Sv. Mithin enth¨alt jede Folge vn → v in C 1,γ (B) eine Teilfolge (vn ) mit Svn → Sv in C 2 (B) ⊆ C 1,γ (B). Der nachfolgende Satz gibt zwei Antworten auf die naheliegende Frage, wann denn die Voraussetzung (5.30) von Satz 5.6.5 erf¨ ullt ist; die zweite ist inspiriert durch ein Resultat in [148, p. 43]. Satz 5.6.6. Es sei B := Br (0) ⊂⊂ RN und α ∈ (0, 1). f : B × R × RN → R gen¨ uge entweder der Bedingung

5.6 Der semilineare Fall und die Methode von Leray und Schauder

201

a) f ∈ C 0,α (B × R × RN ) oder b) erf¨ ulle die Voraussetzungen (i) f ∈ C 0,α (B × Q) f¨ ur alle Q ⊂⊂ R × RN ; (ii) f¨ ur x ∈ B ist f (x, ·, ·) ∈ C 1 (R × RN ); ur alle (x, z, p) ∈ B × R × RN gilt (iii) es gibt c1 , c2 , c3 > 0 derart, daß f¨ |f (x, z, p)| ≤ c1 + c2 (|z| + |p|), fz (x, z, p) ≤ 0, |∇p f (x, z, p)| ≤ c3 . Dann gibt es ein u ∈ C 2,α (B) mit −Δu(x) = f (x, u(x), ∇u(x)) f¨ ur x ∈ B,

u|∂B = 0 .

Beweis. Wir m¨ ussen nur zeigen, daß die Voraussetzung (5.30) von Satz 5.6.5 erf¨ ullt ist. Sei γ ∈ (0, 1). Nach Aufgabe 5.4 b) gibt es eine Zahl c(B, γ) mit wB;1,γ ≤ c(B, γ) sup |Δw| B

f¨ ur alle w ∈ C 2 (B) ∩ C 0 (B) mit w|∂B = 0. Im Falle der Voraussetzung a) ist M := sup |f | < ∞, also f¨ ur alle in Satz 5.6.5 genannten v vB;1,γ ≤ c(B, γ) sup |f (x, v(x), ∇v(x))| ≤ c(B, γ)M . x∈B

Im Falle der Voraussetzung b) gilt f¨ ur alle in Satz 5.6.5 genannten v zun¨achst ≤ c(B, γ)(c1 + c2 vB;1 ) . vB;1,γ ≤ c(B, γ) c1 + c2 sup |v| + sup |∇v| B

B

Nach Bemerkung 5.6.4 b) in Verbindung mit Lemma 5.5.1 gibt es zu jedem > 0 ein d(, B, γ) > 0 mit wB;1 ≤ wB;1,γ + d(, B, γ) sup |w| B

f¨ ur alle w ∈ C 1,γ (B). Es existiert daher ein K(B, γ) so, daß die v aus Satz 5.6.5 die Ungleichung vB;1,γ ≤ K(B, γ)(1 + sup |v|) = K(B, γ)(1 + max |v|) B

B

erf¨ ullen. Wegen 1 −Δv(x) − σf (x, 0, 0) = σ 1 1 =σ

d f (x, tv(x), t∇v(x)) dt dt

0

fz (x, tv(x), t∇v(x))v(x) + 0

N

i=1

2 fpi (x, tv(x), t∇v(x))vxi (x) dt

202

5 Die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel mit Anwendungen

gen¨ ugt v der linearen Diﬀerentialgleichung Lv(x) := −Δv(x) +

N

bi (x)vxi (x) + b(x)v(x) = σf (x, 0, 0)

i=1

mit

1

b(x) := −σ

fz (x, tv(x), t∇v(x)) dt ≥ 0 , 0

bi (x) := −σ

1

fpi (x, tv(x), t∇v(x)) dt . 0

Aufgrund des Bernsteinschen Lemmas 2.6.3 gibt es daher eine Zahl c0 (B, 1, c3 ) mit max |v(x)| ≤ c0 (B, 1, c3 ) c1 . x∈B

Hieraus ergibt sich (5.30) mit A := K(B, γ)(1 + c0 (B, 1, c3 ) c1 ).

Aufgaben 5.1. Es bezeichne G die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel BR (0). Durch Rechnung weise man nach, daß f¨ ur alle y ∈ ∂BR (0) und x ∈ RN \ {y} gilt 1 |x|2 − R2 y · ∇y G(x, y) = . |y| RωN |y − x|N 5.2. Man zeige, daß die Greensche Funktion G f¨ ur die Kugel B ⊂⊂ RN den folgenden Absch¨ atzungen mit allein durch N bestimmten Konstanten gen¨ ugt: |Gyk (x, y)| ≤ const |x − y|1−N , |Gxi yk (x, y)| ≤ const |x − y|−N , Gx y x (x, y) ≤ const |x − y|−(N +1) i k j f¨ ur alle x, y ∈ B mit x = y und alle i, k, j ∈ {1, . . . , N }. 5.3. Es sei B ⊂⊂ RN eine Kugel, G die Greensche Funktion f¨ ur B und k ∈ {1, . . . , N }. Man zeige, daß f¨ ur f ∈ CbH (B) durch U (x) := Gyk (x, y)f (y) dy , x ∈ B , B

eine Funktion U ∈ C (B) deﬁniert wird und daß Uxi (x) = [f (y) − f (x)] Gyk xi (x, y) dy 1

B

f¨ ur x ∈ B und i ∈ {1, . . . , N } gilt.

5 Aufgaben

203

5.4. a) Es sei G die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel B := BR (0) und sei ankt, b ∈ C 0 (B) beschr¨ u(x) := G(x, y)b(y) dy , x ∈ B , B

und γ ∈ (0, 1). Man zeige: Es gibt Konstanten c(N ) und c(N, γ), so daß f¨ ur i ∈ {1, . . . , N } und x ∈ B bzw. x , x ∈ B gilt uxi (x) = Gxi (x, y)b(y) dy , B

|u(x)| ≤ c(N )R dist(x, ∂B) sup |b| ≤ c(N )R2 sup |b| , |uxi (x)| ≤ c(N )R sup |b| ,

|uxi (x ) − uxi (x )| ≤ c(N, γ)R1−γ (sup |b|) |x − x |γ . b) Man folgere aus a): Es sei B ⊂⊂ RN eine Kugel mit Radius R und γ ∈ (0, 1). Dann gibt es Konstanten c(N ) und c(N, γ), so daß f¨ ur alle u ∈ ur alle i ∈ {1, . . . , N } gilt (f¨ ur die C 2 (B) ∩ C 0 (B) mit u|∂B = 0 und f¨ Notation s. Deﬁnition 5.3.1): sup |u| ≤ c(N )R dist(x, ∂B) sup |Δu| ≤ c(N )R2 sup |Δu| , sup |uxi | ≤ c(N )R sup |Δu| , Hγ;B (uxi ) ≤ c(N, γ)R1−γ sup |Δu| . 5.5. Es sei G die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel B := BR (0). Man zeige: Ist v ∈ C 2 (B) ∩ C 0 (B) derart, daß v|∂B = 0 und ∇v in B beschr¨ankt ist, so gilt − lim G(x, y)Δv(y) dy = v(x) f¨ ur alle x ∈ B . R B (0)

5.6. F¨ ur oﬀenes und nichtleeres Ω ⊆ RN und α ∈ (0, 1] erg¨anzen wir Deﬁnition 5.3.1 in der folgenden Weise. Es ist C (α) (Ω) := u ∈ C 0 (Ω) : Hα;Ω0 (u) < ∞ f¨ ur jedes Ω0 ⊂⊂ Ω der Vektorraum der auf Ω lokal gleichm¨ aßig α-h¨ olderstetigen bzw. lokal gleichm¨ aßig lipschitzstetigen Funktionen. Es sei f ∈ C (α) (Ω) f¨ ur ein α ∈ (0, 1) und u ∈ C 2 (Ω) eine Funktion mit −Δu = f in Ω . Man zeige uxi xk ∈ C (α) (Ω) f¨ ur i, k ∈ {1, . . . N }. Diese Eigenschaft der L¨osungen der Poissongleichung nennt man innere Regularit¨ at.

204

5 Die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel mit Anwendungen

Anleitung: Man u achst, daß es gen¨ ugt, uxi xk ∈ C 0,α (B) ¨berlege sich zun¨ f¨ ur jede Kugel B ⊂⊂ Ω zu zeigen. In einer Kugel B mit B ⊂⊂ B ⊂⊂ Ω l¨ose man dann −Δw = f mit w|∂B = 0 und addiere dazu die harmonische Funktion h mit h|∂B = u|∂B . 5.7. Man vollende f¨ ur N = 2 den Beweis des Bˆocherschen Satzes 5.2.1. 5.8. Man zeige f¨ ur oﬀenes Ω ⊆ RN , α ∈ (0, 1] und m = 0, 1, 2, daß C m,α (Ω) ein linearer Raum ist, auf dem · Ω;m,α eine Norm deﬁniert. 5.9. Es seien Ω ⊆ RN oﬀen und α, β ∈ (0, 1]. Man zeige: a) C (α) (Ω) ⊆ C (β) (Ω), falls β ≤ α und Ω ⊂⊂ RN ; b) C 1 (Ω) ⊆ C (α) (Ω) ⊆ C (β) (Ω) ⊆ C H (Ω) ⊆ C 0 (Ω), falls β ≤ α; c) sind Ω, U ⊂⊂ RN , f ∈ C (α) (U ) und liegen die Komponenten von ϕ : Ω → U in C (β) (U ), so ist f ◦ ϕ ∈ C (αβ) (Ω). 5.10. Es sei α ∈ (0, 1]. Man beweise: ur Ω ⊂⊂ RN und f, g ∈ C 0,α (Ω); a) f gΩ;0,α ≤ f Ω;0,α gΩ;0,α f¨ ur alle Kugeln BR ⊂⊂ RN und f¨ ur b) f gBR ;0,α ≤ f BR ;0,α gBR ;0,α f¨ 0,α N alle Funktionen f, g ∈ C (BR ). Hierzu weise man f¨ ur Ω ⊂⊂ R , d := diam Ω, β ∈ (0, 1], λ := min{α, β} und f¨ ur alle f ∈ C 0,α (Ω), g ∈ C 0,β (Ω) die folgenden drei Aussagen nach: (i) f g ∈ C 0,λ (Ω), (ii) Hλ;Ω (f g) ≤ Hα;Ω (f ) dα−λ sup |g| + Hβ;Ω (g) dβ−λ sup |f |, (iii) f gΩ;0,λ ≤ (sup |f |)(sup |g|) + Hλ;Ω (f g) ≤ max{1, d|α−β| }f Ω;0,α gΩ;0,α . Zur Notation siehe Deﬁnition 5.3.1 sowie die Bemerkungen 5.3.5 und 5.3.6. ur x ∈ 5.11. Es sei Ω ⊆ RN oﬀen, 0 < α < 1, u ∈ C 0,α (Ω), u(x) = 0 f¨ Ω \ B2/3 (x0 ). Man zeige: uΩ;0 = uΩ∩B (x0 );0 , ⎧ ur x, y ∈ Ω ∩ B (x0 ) ⎪ Hα;Ω∩B (x0 ) (u) f¨ |u(x) − u(y)| ⎨ 0 f¨ ur x, y ∈ Ω \ B2/3 (x0 ) ≤ ⎪ |x − y|α ⎩ uΩ∩B (x0 );0 f¨ ur x ∈ Ω ∩ B2/3 (x0 ), y ∈ Ω \ B (x0 ) (/3)α und folgere uΩ;0,α ≤ uΩ∩B (x0 );0,α + (/3)−α uΩ∩B (x0 );0 . 5.12. Es sei B := BR (0) ⊂⊂ RN , α ∈ (0, 1), und f : B × R × RN → R erf¨ ulle f ∈ C 0,α (B × Q) f¨ ur jedes Q ⊂⊂ R × RN .

5 Aufgaben

205

a) Es seien γ ∈ (0, 1], λ > 0, Q(λ) := {(z, p) ∈ R×RN : |z| < λ, |p| < λ} und D := max{1, diam B}. Man zeige: F¨ ur alle v ∈ C 1,γ (B) mit vB;1 ≤ λ gen¨ ugt Fv := f (·, v(·), ∇v(·)) der Ungleichung α/2 Fv B;0,αγ ≤ f B×Q(λ);0 + D(1−γ)α 1 + v2B;1,γ Hα;B×Q(λ) (f ) . b) Man folgere im Falle f ∈ C 0,α (B × R × RN ), daß es eine Zahl k(B, α, γ) mit Fv B;0,αγ ≤ k(B, α, γ)f B×R×RN ;0,α (1 + v2B;1,γ )α/2 f¨ ur alle v ∈ C 1,γ (B) gibt.

6 Die Fredholmsche Alternative fu ¨ r das Dirichletproblem

Es wird gezeigt, daß bei einem beschr¨ ankten Gebiet mit regul¨arem Rand die Greensche Funktion zu −Δ einen kompakten Integraloperator deﬁniert (Lemma 6.2.2). Hieraus ergibt sich, daß das Dirichletproblem f¨ ur (−Δ+a−λ)u = f genau dann f¨ ur jede rechte Seite l¨ osbar ist, wenn die homogene Gleichung nur die triviale L¨ osung besitzt (Satz 6.2.5). Wichtige Folgerungen sind die Existenz der Greenschen Funktion f¨ ur −Δ+1 (Satz 6.2.7), die Existenz unendlichvieler Eigenwerte f¨ ur −Δ (Satz 6.2.8) sowie die stetige Abh¨angigkeit der L¨osung des Dirichletproblems von den Koeﬃzienten (Satz 6.2.9). Unter etwas st¨arkeren Voraussetzungen an den Rand wird in Abschnitt 6.3 eine etwas allgemeinere Gleichung betrachtet. Die Behandlung der allgemeinen linearen elliptischen Gleichung 2. Ordnung erfolgt in Abschnitt 8.3.

6.1 Die S¨ atze von Fredholm und ihre Verallgemeinerung. Resolvente und Spektrum. Wir hatten in Bemerkung 5.5.7 am Beispiel der Helmholtzschen Schwingungsgleichung darauf hingewiesen, daß das Dirichletproblem − Δu + a(x)u = f (x) in Ω ⊂⊂ RN ,

u|∂Ω = g

(6.1)

im Falle a < 0 nicht eindeutig l¨ osbar zu sein braucht, da es m¨oglich ist, daß dann das homogene Problem (d.h. f = 0 und g = 0) eine nichttriviale L¨ osung besitzt. F¨ ur lineare Gleichungssysteme Ax = b zwischen Vektoren osungen zur Folge, daß es Vektoren in RN hat die Existenz nichttrivialer L¨ b gibt, f¨ ur welche das Gleichungssystem Ax = b keine L¨osung besitzt. Wir werden sehen, daß auch das Dirichletproblem (6.1) genau dann f¨ ur jede rechte Seite l¨ osbar ist, wenn das homogene Problem nur die triviale L¨osung hat. Daß die Entsprechung zu endlichdimensionalen linearen Gleichungssystemen so weit geht, ist keineswegs selbstverst¨ andlich und liegt daran, daß mittels der Greenschen Funktion f¨ ur Ω und den Laplaceoperator die L¨osung des Problems E. Wienholtz et al., Elliptische Diﬀerentialgleichungen zweiter Ordnung, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009 DOI 10.1007/978-3-540-45721-3 6,

208

6 Die Fredholmsche Alternative f¨ ur das Dirichletproblem

(6.1) ¨ aquivalent ist der L¨ osung einer Fredholmschen Integralgleichung (auch Integralgleichung 2. Art genannt), n¨ amlich der Gleichung (6.7) unten. Geleitet durch den Gedanken, bei vorgegebenen stetigen Funktionen k und f die Integralgleichung 1 k(x, y)u(y) dy = f (x), x ∈ [0, 1] , (6.2) u(x) + λ 0

durch ein lineares Gleichungssystem zu approximieren1 , gelangte Fredholm 1900 zu seiner ber¨ uhmten Alternative: Entweder ist (6.2) f¨ ur jede rechte Seite l¨osbar (die L¨ osung kann dann in Analogie zur Cramerschen Regel als Quotient zweier Funktionen geschrieben werden, die ganze Funktionen in dem Parameter λ ∈ C sind), oder die homogene Gleichung hat eine nichttriviale L¨ osung [71]. In zwei Comptes-Rendus-Noten und der abschließenden Arbeit [72] bewies er erg¨ anzend: Die homogene Gleichung hat h¨ochstens endlichviele linear unabh¨ angige L¨ osungen. Ist r ihre Maximalzahl, so besitzt auch die homogene Gleichung f¨ ur den transponierten Kern k t (x, y) := k(y, x) genau r linear unabh¨ angige L¨ osungen ψ1 , . . . , ψr , und (6.2) ist genau dann l¨osbar, wenn 1 f (x)ψi (x) dx = 0 0

f¨ ur alle i = 1, . . . , r gilt. Ein direkter Nachweis der Berechtigung des Grenz¨ ubergangs von einem endlichen System linearer Gleichungen zu (6.2) stammt von Hilbert [114], der die erste Fredholmsche Arbeit durch einen Vortrag von Holmgren in G¨ottingen im Fr¨ uhjahr 1901 kennenlernte. In seiner determinantenfreien Theorie der quadratischen Formen von unendlichvielen Variablen kristallisierte sich als Haupteigenschaft einer Abbildung, f¨ ur die noch eine Analogie zur Hauptachsentransformation in der linearen Algebra besteht, die Kompaktheit (in Hilberts Terminologie: Vollstetigkeit) heraus [115, S. 201]. 1916 ¨ bewies F. Riesz [286] auf eine elegante Weise, die nahezu ohne Anderung in die Lehrbuchliteratur u ¨bernommen werden konnte (wir nennen beispielhaft [154, Chapter 3]), den folgenden Satz 6.1.1 (Fredholmsche Alternative). Es seien X ein normierter Raum und K : X → X ein linearer kompakter Operator. Dann hat T := 1 − K (wir schreiben 1“ f¨ ur die Identit¨ at auf X) einen endlichdimensionalen Nullraum ” ¨ und einen abgeschlossenen Wertebereich. Uberdies gilt: Entweder ist die Gleichung T u = f f¨ ur alle f ∈ X l¨ osbar oder T u = 0 hat nichttriviale L¨ osungen. 1

Etwa gleichzeitig versuchte Hadamard mehrere Jahre vergeblich, diesen Gedanken auf die Integralgleichung 1. Art anzuwenden, bei der der Term u(x) in (6.2) fehlt. Das sei, schreibt er in [95, p. 52, p. 128], ein Mißerfolg gewesen, den er besonders bedauere, der aber durch die Tatsache gemildert werde, daß seine Deter¨ minantenabsch¨ atzung f¨ ur die Fredholmschen Uberlegungen wesentlich sei.

6.1 Die S¨ atze von Fredholm. Resolvente und Spektrum.

209

(Mit anderen Worten: Der Operator T ist genau dann surjektiv, wenn er injektiv ist.) Dieser Satz wurde 1930 von Schauder [292] durch die Aussage erg¨anzt, daß ein linearer Operator A von dem Banachraum X in den Banachraum Y genau dann kompakt ist, wenn der Operator A von dem topologischen Dualraum Y in den Raum X diese Eigenschaft hat. Man spricht daher auch h¨auﬁg von der Riesz-Schauder-Theorie. In Zusammenhang mit dem Dirichletproblem ist es jedoch nicht zweckm¨ aßig, den normierten Raum der stetigen Funktionen zu verlassen und zum Dualraum u ¨berzugehen. Vielmehr bietet es sich an, unabh¨ angig von der Norm noch ein Skalarprodukt einzuf¨ uhren und den transponierten Operator zu betrachten, der sich bez¨ uglich dieses Skalarprodukts ergibt. Eine abstrakte Theorie, die dem, aber auch dem urspr¨ unglichen Schauderschen Resultat Rechnung tr¨ agt, wurde in den 60er Jahren von Heuser, J¨ orgens, Kreß und Wendland entwickelt und basiert auf dem folgenden Begriﬀ (vgl. auch [155]). Deﬁnition 6.1.2. Es seien X, Y normierte R¨ aume (¨ uber K, dem K¨ orper der reellen oder dem der komplexen Zahlen) und b : X ×Y → K eine nichtentartete Bilinearform (d.h. zu jedem x ∈ X \ {0} gibt es ein y ∈ Y \ {0} mit b(x, y) = 0 und umgekehrt zu jedem y ∈ Y \ {0} ein x ∈ X \ {0} mit dieser Eigenschaft). Dann heißt (X, Y ) ein Dualsystem bez¨ uglich b. uglich b und A : X → X Bemerkung 6.1.3. Ist (X, Y ) ein Dualsystem bez¨ ein linearer Operator, so gibt es h¨ ochstens einen Operator At : Y → Y mit ur alle x ∈ X, y ∈ Y . b(Ax, y) = b(x, At y) f¨ Er ist notwendigerweise linear und heißt der zu A transponierte Operator . Die nachfolgenden Aussagen a), b) werden vielfach 1. bzw. 2. Fredholmscher Satz genannt. Satz 6.1.4. Es sei (X, Y ) ein Dualsystem bez¨ uglich b. Weiter seien die beiden Operatoren K : X → X, K t : Y → Y linear und kompakt. Dann gilt: a) Die Nullr¨ aume von T := 1 − K, T t = 1 − K t sind endlichdimensional und haben die gleiche Dimension. b) Ist f ∈ X, so ist die Gleichung T u = f genau dann l¨ osbar, wenn b(f, ψ) = 0 ist f¨ ur alle ψ aus dem Nullraum N (T t ) des transponierten Operators. F¨ ur einen Beweis und weitere Literaturhinweise sei auf [154, Chapter 4] verwiesen. Sind X, Y normierte R¨ aume u ¨ber K, also u ¨ber R oder C, und A ein linearer Operator mit Deﬁnitionsbereich D(A) ⊆ X und Wertebereich W (A) ⊆ Y , so versteht man unter seiner Resolventenmenge (oder Resolventmenge) (A) die Menge alle λ ∈ K mit den beiden folgenden Eigenschaften (anstelle von λ id schreiben wir λ):

210

6 Die Fredholmsche Alternative f¨ ur das Dirichletproblem

(i) R := W (A − λ) ist dicht in Y , d.h. zu jedem > 0 und f ∈ Y gibt es ein u ∈ D(A) mit f − (A − λ)uY < ; (ii) (A − λ)−1 : R → X existiert und ist beschr¨ankt, d.h. es gibt ein α > 0 ur alle ϕ ∈ R. mit (A − λ)−1 ϕX ≤ αϕY f¨ Der stetige lineare Operator R(A, λ) := (A − λ)−1 : R → X heißt dann die Resolvente von A an der Stelle λ ∈ (A). F¨ ur jedes ϕ ∈ R l¨ost ja u := R(A, λ)ϕ die Gleichung (A − λ)u = ϕ, und jedes f ∈ Y kann durch ein solches ϕ approximiert werden. Begriﬀ und Namengebung stammen von Hilbert [115], desgleichen der Name Spektrum f¨ ur das Komplement σ(A) := K \ (A). Bemerkenswerterweise zeigte sich mehr als zwei Jahrzehnte sp¨ater, daß f¨ ur gewisse Operatoren A der Quantenmechanik σ(A) in der Tat das Spektrum von Atomen oder Molek¨ ulen beschreibt. Speziell geh¨oren nat¨ urlich Eigenwerte von A, also λ, zu denen es u ∈ D(A), u = 0, mit Au = λu gibt, zum Spektrum ur diese ja (A − λ)−1 nicht existiert. Es wird sich zeigen, daß die von A, da f¨ von uns betrachteten Diﬀerentialoperatoren die Besonderheit haben, daß ihr Spektrum genau aus Eigenwerten besteht (s. Korollar 6.2.6). Der nachfolgende Satz stammt ebenfalls von F. Riesz [286]; er verallgemeinert den historisch fr¨ uheren, aber hier nachgestellten Satz 6.1.7. Satz 6.1.5 (Spektralsatz f¨ ur kompakte Operatoren). Es seien X ein unendlichdimensionaler normierter Raum und K : X → X ein linearer kompakter Operator. Dann ist 0 ∈ σ(K) und σ(K) \ {0} besteht aus h¨ ochstens abz¨ ahlbar vielen Eigenwerten. Sie haben endliche Vielfachheit und 0 als einzigen m¨ oglichen H¨ aufungspunkt. Bemerkung 6.1.6. Es gibt einfache Beispiele linearer kompakter Operatoren K, die keine Eigenwerte besitzen. F¨ ur solche Operatoren gilt σ(K) = {0}. F¨ ur einen Beweis von Satz 6.1.5 und der Aussage aus Bemerkung 6.1.6 verweisen wir wieder auf [154, Chapter 3]. Es sei nun X ein Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist, also ein Pr¨ ahilbertraum (im endlichdimensionalen Fall spricht man auch von einem euklidischen Raum (K = R) oder von einem unit¨ aren Raum (K = C)) und K : X → X ein linearer Operator mit der Eigenschaft Kx, y = x, Ky

f¨ ur alle x, y ∈ X ,

also ein symmetrischer Operator . Er besitzt, wenn er kompakt ist, wenigstens einen (notwendigerweise reellen) Eigenwert. Dieses von Hilbert [114, p. 78] stammende Resultat verallgemeinert den Satz, daß jede symmetrische Matrix wenigstens einen Eigenwert besitzt. Allgemeiner gilt folgender ebenfalls auf Hilbert zur¨ uckgehender und von Erhard Schmidt [297] von einer u ¨berﬂ¨ ussigen Voraussetzung befreiter Satz 6.1.7 (Spektralsatz f¨ ur symmetrische kompakte Operatoren). Es seien X ein Pr¨ ahilbertraum und K : X → X ein symmetrischer kompakter

6.2 Das Dirichletproblem f¨ ur (−Δ + a − λ)u = f

211

Operator mit unendlichdimensionalem Wertebereich. Dann besitzt K abz¨ ahlbar unendlichviele von Null verschiedene Eigenwerte. Sie haben alle endliche Vielfachheit und 0 als einzigen H¨ aufungspunkt. F¨ ur einen Beweis dieses Satzes, der meistens f¨ ur vollst¨andige R¨aume betrachtet wird, verweisen wir auf [320, p. 335 f.].

6.2 Das Dirichletproblem fu ¨ r (−Δ + a − λ)u = f Es sei Ω ⊂⊂ RN . Anstelle des Dirichletproblems (−Δ + a − λ)v = f˜ in Ω,

v|∂Ω = g

(6.3)

u|∂Ω = 0

(6.4)

k¨ onnen wir das Problem (−Δ + a − λ)u = f in Ω,

betrachten, indem wir wie zu Beginn von Abschnitt 4.8 vorgehen: Ist g stetig und jeder Randpunkt von Ω regul¨ ar, so gibt es nach Satz 3.3.9 genau ein ¨ u = v − h und f = harmonisches h ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) mit h|∂Ω = g. Uber f˜ − (a − λ)h sind dann (6.3) und (6.4) ¨ aquivalent. Bei der Poissongleichung −Δu = f konnten wir uns auf reellwertige f und u beschr¨ anken, weil der komplexwertige Fall nur das Bestehen der beiden ungekoppelten Gleichungen −Δ Re u = Re f und −Δ Im u = Im f bedeutete. Wollte man aber bei den Gleichungen (6.3) oder (6.4) mit komplexwertigen Koeﬃzienten und L¨ osungen Real- und Imagin¨arteil trennen, so bek¨ame man ein gekoppeltes System von Gleichungen f¨ ur Re u und Im u. Daher empﬁehlt es sich hier, gleich alles im Komplexen zu behandeln. W¨ ahrend wir im Falle a − λ ≥ 0 aufgrund des Bersteinschen Lemmas 2.6.3 bereits wissen, daß das Dirichletproblem (6.4) mit f = 0 nur die triviale L¨ osung hat, kann es bei a − λ < 0 oder komplexwertigen a oder λ auch nichttriviale L¨ osungen geben. Wir werden jedoch sehen, daß dies bei vorgegebenem a nur f¨ ur diskret liegende Werte von λ ∈ C der Fall sein kann. Dies entspricht bei dem Gleichungssystem (A − λ)x = 0 im Vektorraum RN , daß det(A − λ) = 0 nur endlichviele Nullstellen hat. Einerseits ist man bei vielen Problemen an der Existenz solcher Eigenwerte interessiert; andererseits hat die Existenz solcher λ zur Folge, daß das inhomogenen Problem nicht mehr f¨ ur jede rechte Seite l¨ osbar ist. F¨ ur oﬀenes Ω ⊆ RN setzen wir C 0 (Ω, C) := {u ∈ C 0 (Ω, C) : u ist beschr¨ankt} . Versehen mit der Norm u∞ := sup |u(x)| , x∈Ω

(6.5)

212

6 Die Fredholmsche Alternative f¨ ur das Dirichletproblem

wird C 0 (Ω, C) f¨ ur nichtleeres Ω zu einem Banachraum (Aufgabe 6.1 a)). Das nun folgende Resultat bildet die Basis f¨ ur die Anwendung der S¨atze 6.1.1 und 6.1.4 sowie 6.1.5 und 6.1.7 auf unser Dirichletproblem in Satz 6.2.5. Die Kompaktheit des Integraloperators in (6.7) wird in Lemma 6.2.2 gezeigt. Ein Problem erw¨ achst noch aus der Tatsache, daß das Dirichletproblem aufgrund des in Satz 4.3.1 genannten Gegenbeispiels von Petrini nicht f¨ ur alle f ∈ C 0 (Ω, C) klassisch l¨ osbar ist (s. Bemerkung 4.3.2). Immerhin haben wir aber die L¨ osbarkeit auf einer Menge, die nach Lemma 6.2.4 dicht in C 0 (Ω, C) liegt. ¨ Satz 6.2.1 (Aquivalenzsatz). Es sei jeder Randpunkt von Ω ⊂⊂ RN regul¨ ar (s. Deﬁnition 3.3.8), so daß nach Satz 4.4.9 die Greensche Funktion G f¨ ur Ω und den Laplaceoperator existiert. Ferner seien a, f ∈ CbH (Ω, C) (vgl. Deﬁnition 4.1.5) und λ ∈ C. Dann sind das Diﬀerentialgleichungsproblem u ∈ C 2 (Ω, C) ∩ C 0 (Ω, C) −Δu(x) + [a(x) − λ]u(x) = f (x),

x ∈ Ω,

u|∂Ω = 0 ,

(6.6)

und das Integralgleichungsproblem ψ ∈ C 0 (Ω, C) , ψ(x) + [a(x) − λ]

Ω

G(x, y)ψ(y) dy = f (x),

x∈Ω,

(6.7)

in folgendem Sinne ¨ aquivalent: Wenn f¨ ur u die Aussage (6.6) zutriﬀt, dann erf¨ ullt ψ := −Δu die Aussage (6.7); wenn f¨ ur ψ die Aussage (6.7) zutriﬀt, dann hat das Dirichletproblem −Δu = ψ in Ω,

u|∂Ω = 0

genau eine osung u ∈ C 2 (Ω, C) ∩ C 0 (Ω, C). Diese L¨ osung ist gegeben durch

L¨ ullt zudem (6.6). Ferner haben u(x) = Ω G(x, y)ψ(y) dy, x ∈ Ω, und sie erf¨ (6.6) und (6.7) im Falle f = 0 gleichviel linear unabh¨ angige L¨ osungen. Beweis. a) Wenn u die Eigenschaft (6.6) hat, so liegt insbesondere ψ := −Δu in C 0 (Ω, C). Da u das Dirichletproblem −Δu = ψ in Ω,

u|∂Ω = 0

l¨ost, ist u(x) =

G(x, y)ψ(y) dy

f¨ ur x ∈ Ω .

Ω

Nach Satz 4.4.7 a) und c) l¨ osen ja G(x, y) Re ψ(y) dy und Ω

G(x, y) Im ψ(y) dy Ω

6.2 Das Dirichletproblem f¨ ur (−Δ + a − λ)u = f

213

dasselbe Dirichletproblem wie Re u bzw. Im u. Die Funktion ψ = −Δu erf¨ ullt daher in der Tat (6.7). b) Sei ψ eine L¨ osung von (6.7). Aufgrund der Beschr¨anktheit von ψ folgt dann aus Satz 4.4.7 a) zun¨ achst, daß u := G(·, y)ψ(y) dy Ω

ankt ist. Nach Aufgabe 4.9 ist u ∈ C 1 (Ω, C) aus C (Ω, C) und somit beschr¨ und liegt gem¨ aß Aufgabe 4.2 c) in CbH (Ω, C). Aufgrund der Gleichung in (6.7) und Aufgabe 4.2 a) ist dann ψ ∈ CbH (Ω, C), woraus nach Satz 4.4.7 b) folgt, daß u ∈ C 2 (Ω, C) ist und das Dirichletproblem 0

−Δu = ψ in Ω,

u|∂Ω = 0

l¨ost. Die Gleichung in (6.7), der ψ gen¨ ugt, schreibt sich daher wie in (6.6) angegeben. angige L¨osungen von (6.6) mit c) Es seien nun u1 , . . . , ur linear unabh¨ f = 0. Dann sind ψ1 := −Δu1 , . . . , ψr := −Δur L¨osungen von (6.7). Sie sind auch linear unabh¨ angig. G¨ abe es n¨ amlich eine nichttriviale Linearkombination are c1 ψ1 + . . . + cr ψr = 0, so w¨ −Δ(c1 u1 + . . . + cr ur ) = 0 in Ω,

(c1 u1 + . . . + cr ur )|∂Ω = 0 ,

also c1 u1 +. . .+cr ur = 0 auf Ω. Umgekehrt seien ψ1 , . . . , ψr linear unabh¨angige L¨ osungen von (6.7). F¨ ur i ∈ {1, . . . , r} ist die L¨osung ui von −Δu = ψi in Ω,

u|∂Ω = 0

auch L¨ osung von (6.6). G¨ abe es eine nichttriviale Linearkombination c1 u1 + are auch −Δ(c1 u1 +. . .+cr ur ) = 0, also c1 ψ1 +. . .+cr ψr = . . .+cr ur = 0, so w¨ 0. arer Kern Ist K ⊆ RN ein Kompaktum, so erzeugt ein schwach singul¨ einen kompakten Operator in C 0 (K) [154, p. 21]. Diese Aussage und ihr Beweis bleiben g¨ ultig f¨ ur unseren Integraloperator in (6.7). Beim Beweis macht man am bequemsten von einer elementaren Aussage u ¨ber Folgen kompakter ur jedes Operatoren Gebrauch: Ist X ein Banachraum und An : X → X f¨ n ∈ N ein linearer kompakter Operator und konvergiert (An ) in der Operatornorm gegen einen Operator A : X → X, so ist A ein linearer kompakter Operator [154, p. 18]. Lemma 6.2.2. Es sei jeder Randpunkt von Ω ⊂⊂ R regul¨ ar und G die Greensche Funktion f¨ ur Ω und den Laplaceoperator. Dann wird durch Γ f (x) := G(x, y)f (y) dy, x ∈ Ω , Ω

ein linearer kompakter Operator Γ : C 0 (Ω, C) → C 0 (Ω, C) deﬁniert.

214

6 Die Fredholmsche Alternative f¨ ur das Dirichletproblem

Beweis. a) Wir zeigen, daß f¨ ur k ∈ C 0 (Ω × Ω) durch Kf (x) := k(x, y)f (y) dy, x ∈ Ω , Ω

ein (nat¨ urlich linearer) kompakter Operator K : C 0 (Ω, C) → C 0 (Ω, C) deﬁankte Folge in C 0 (Ω, C), mit geeignetem niert wird. Es sei (fn ) eine beschr¨ ur alle n ∈ N. Aufgrund der gleichm¨aßigen SteM > 0 also fn ∞ ≤ M f¨ ur alle tigkeit von k auf Ω × Ω gibt es zu jedem > 0 ein δ > 0, so daß f¨ (x, y), (w, z) ∈ Ω × Ω gilt: |(x, y) − (w, z)| < δ ⇒ |k(x, y) − k(w, z)| <

. M (1 + vol(Ω))

F¨ ur alle n ∈ N und |x − w| < δ folgt die Ungleichung |Kfn (x) − Kfn (w)| < . Es ist also (Kfn ) eine auf Ω gleichgradig gleichm¨aßig stetige Folge mit max |Kfn (x)| ≤ M C vol(Ω), x∈Ω

n∈N,

f¨ ur geeignetes C > 0. Nach Arzel`a-Ascoli enth¨ alt daher (Kfn ) eine gleichm¨aßig konvergente Teilfolge. b) Es sei ϕ die Abschneidefunktion aus dem Beweis von Satz 4.2.4. F¨ ur n ∈ N und x, y ∈ Ω setzen wir kn (x, y) := ϕ(n|x − y|)ϕ(n dist(y, ∂Ω))G(x, y) . Nach Korollar 4.5.3 ist kn ∈ C 0 (Ω × Ω), und gem¨aß a) deﬁniert Kn f (x) := kn (x, y)f (y) dy Ω

einen linearen kompakten Operator Kn : C 0 (Ω, C) → C 0 (Ω, C) f¨ ur jedes n ∈ N. Wir betrachten nun zun¨ achst den Fall N ≥ 3. Lemma 4.4.4 f¨ uhrt f¨ ur atzung f ∈ C 0 (Ω, C) und x ∈ Ω auf die Absch¨ |(Kn − Γ )f (x)| ≤ f ∞ |kn (x, y) − G(x, y)| dy Ω

≤ f ∞

G(x, y) dy

Ωn,x

≤ f ∞

S(x, y) dy

Ωn,x

mit Ωn,x := Ωn ∪ (Ω ∩ B2/n (x)) und Ωn := y ∈ Ω : dist(y, ∂Ω) ≤ Konvergenzsatz von Lebesgue liefert

2 n

. Der

6.2 Das Dirichletproblem f¨ ur (−Δ + a − λ)u = f

vol(Ωn,x ) ≤

ωN (2/n)N + vol(Ωn ) =: Vn → 0 N

f¨ ur n → ∞ ,

215

(6.8)

und wir erhalten mit der in Aufgabe 6.2 deﬁnierten Funktion EN f¨ ur alle x ∈ Ω: |(Kn − Γ )f (x)| ≤ EN (Vn )f ∞ . Somit ist Kn − Γ ∞ := sup{(Kn − Γ )f ∞ : f ∞ ≤ 1} ≤ EN (Vn ). Aus ur n → ∞, d.h. (Kn ) ist eine (6.8) und Aufgabe 6.2 folgt Kn − Γ ∞ → 0 f¨ Folge linearer kompakter Operatoren in C 0 (Ω, C), die in der Operatornorm gegen Γ konvergiert. Also ist Γ kompakt. Im Falle N = 2 f¨ uhrt Lemma 4.4.4 mit obiger Argumentation auf Kn − Γ ∞ ≤ E2 (Vn ) +

Vn ln(diam Ω) → 0 f¨ ur n → ∞ . 2π

Somit ist die Kompaktheit von Γ auch in diesem Falle bewiesen.

Bemerkung 6.2.3. Das Produkt aus einem linearen beschr¨ankten und einem linearen kompakten Operator ist wieder kompakt. Ist speziell Γ der kompakte Operator aus Lemma 6.2.2 und a ∈ C 0 (Ω, C), so ist aΓ : C 0 (Ω, C) → C 0 (Ω, C) kompakt. Wir ben¨ otigen noch die Dichtheit von CbH (Ω, C) in C 0 (Ω, C); sie folgt aus Lemma 6.2.4. Ist Ω ⊆ RN oﬀen und nicht leer, so ist C ∞ (Ω, C) ∩ C 0 (Ω, C) dicht in C 0 (Ω, C). ¨ von Ω und (ψn ) eine Beweis. Es sei (Ωn ), n ∈ N0 , eine oﬀene Uberdeckung ¨ ur Ω bez¨ uglich dieser Uberdeckung (s. Satz A.13). C ∞ -Zerlegung der Eins f¨ Sei n ∈ N0 und f ∈ C 0 (Ω, C). Wegen supp ψn ⊂ Ωn gibt es ein ˆn > 0 so, daß ager von j ∗ (f ψn ), der Gl¨attung von f ψn , noch f¨ ur ∈ (0, ˆn ) auch der Tr¨ in Ωn liegt (vgl. Satz A.6). Ferner konvergiert j ∗ (f ψn ) nach Satz A.6 (iv) aßig gegen f ψn . Zu jedem η > 0 gibt es daher ein f¨ ur → 0 auf Ωn gleichm¨ ur x ∈ Ωn n > 0 so, daß en := j n ∗ (f ψn ) in Cc∞ (Ωn , C) liegt und f¨ |f (x)ψn (x) − en (x)| ≤

η 2n+1

ausf¨ allt. Es ist e :=

∞

en

n=0

aus C ∞ (Ω, C), denn f¨ ur jedes Ω ⊂⊂ Ω sind h¨ ochstens endlichviele Summanden dieser Reihe von Null verschieden. Ferner ist f=

∞

n=0

f ψn ,

216

6 Die Fredholmsche Alternative f¨ ur das Dirichletproblem

also |f (x) − e(x)| ≤ η

∞

1 =η; n+1 2 n=0

mithin ist e beschr¨ ankt und f − e∞ ≤ η.

Es sei D := {u ∈ C (Ω, C) ∩ C (Ω, C) : Δu ∈ u|∂Ω = 0}. onnen wir gem¨ aß Aufgabe 4.2 einen linearen Operator L F¨ ur a ∈ CbH (Ω, C) k¨ deﬁnieren durch 2

CbH (Ω, C),

0

L : D → CbH (Ω, C)

,

u → −Δu + au ,

(6.9)

¨ den wir im Hinblick auf das auf dem Aquivalenzsatz 6.2.1 beruhenden Korollar 6.2.6 als einen Operator in dem Banachraum (C 0 (Ω, C), · ∞ ) ansehen. In diesem Banachraum deﬁnieren wir ein Skalarprodukt durch u, v := u(x)v(x) dx . Ω

(Es ist dann (C 0 (Ω, C), ·, ·) ein Pr¨ ahilbertraum; mit der von dem Skalarurden wir den normierten Raum produkt erzeugten Norm · 2 := ·, ·1/2 w¨ andig ist.) Die Vollst¨andigkeit von (C 0 (Ω, C), · 2 ) erhalten, der nicht vollst¨ (C 0 (Ω, C), · ∞ ) wurde beim Beweis von Lemma 6.2.2 und wird bei dem von Satz 6.2.9 ben¨ utzt. Aufgrund des Satzes von Giesecke (in der Version von Aufgabe 3.17) gilt f¨ ur alle u, v ∈ D Lu, v = (∇u · ∇v + auv) , Ω

ohne daß die Qualit¨ at der Berandung von Ω ⊂⊂ RN eine Rolle spielt. Speziell ist also (|∇u|2 + a|u|2 ) (6.10) Lu, u = Ω

und

Lu, v − u, Lv =

(a − a)uv .

(6.11)

Ω

Ist λ ein Eigenwert von L und u eine zugeh¨orige Eigenfunktion, so folgt aus (6.10) 2 2 (Re λ) |u| = |∇u| + (Re a)|u|2 , Ω Ω Ω 2 2 |u| = (Im a)|u| . (Im λ)

Ω

Ω

Gilt Ω |∇u| = 0, so ist u auf jeder Zusammenhangskomponente von Ω kononnen m¨ogliche Eigenwerte von L stant, wegen u|∂Ω = 0 also Null. Folglich k¨ nur in dem Streifen 2

6.2 Das Dirichletproblem f¨ ur (−Δ + a − λ)u = f

S := {λ ∈ C : Re λ > inf Re a, | Im λ| ≤ sup | Im a|}

217

(6.12)

liegen. Ist a reellwertig, so ersieht man aus (6.11), daß L ein symmetrischer Operator ist. Satz 6.2.5 (Fredholmsche Alternative). Jeder Randpunkt von Ω ⊂⊂ RN sei regul¨ ar (s. Deﬁnition 3.3.8), a ∈ CbH (Ω, C) und λ ∈ C. Dann gilt: a) Entweder hat das Dirichletproblem −Δu + a(x)u − λu = f (x) in Ω,

u|∂Ω = g

f¨ ur jedes f ∈ CbH (Ω, C) und jedes g ∈ C 0 (∂Ω, C) eine L¨ osung u aus osung u = 0 in C 2 (Ω, C) ∩ C 2 (Ω, C) ∩ C 0 (Ω, C), oder es gibt eine L¨ ur das homogene Problem C 0 (Ω, C) f¨ −Δu + a(x)u − λu = 0 in Ω,

u|∂Ω = 0 .

Im ersten Fall ist u eindeutig bestimmt; im zweiten Fall ist λ ein Eigenwert des Operators L aus (6.9). b) L hat h¨ ochstens abz¨ ahlbar viele Eigenwerte. Sie haben endliche Vielfachheit und keinen endlichen H¨ aufungspunkt und liegen in dem Streifen (6.12). ¨ Beweis. a) Aufgrund der Aquivalenz der Probleme (6.3) und (6.4) (mit der dortigen harmonischen Funktion h gilt gem¨aß Aufgabe 4.2 (a − λ)h ∈ CbH (Ω, C)) gen¨ ugt es, den Satz unter der Annahme g = 0 zu beweisen. Wir ¨ beﬁnden uns damit in der Situation des Aquivalenzsatzes 6.2.1. Nach Lemma 6.2.2 und Bemerkung 6.2.3 ist der Operator Kλ := (λ − a)Γ : C 0 (Ω, C) → C 0 (Ω, C) , mit dem sich die Gleichung (6.7) in der Form (1 − Kλ )ψ = f

(6.13)

schreibt, kompakt. Wenn also (6.6) f¨ ur alle f aus der nach Lemma 6.2.4 in C 0 (Ω, C) dichten Menge CbH (Ω, C) l¨ osbar ist, so gilt dies auch f¨ ur (6.13). Da der Wertebereich von 1 − Kλ nach Satz 6.1.1 abgeschlossen ist, ist also (6.13) osbar, so daß wieder nach Satz 6.1.1 f¨ ur alle f ∈ C 0 (Ω, C) l¨ (1 − Kλ )ψ = 0

(6.14)

¨ nur die triviale L¨ osung besitzt. Aufgrund des Aquivalenzsatzes 6.2.1 hat daher die Gleichung (6.6) mit f = 0 nur die triviale L¨osung, d.h. λ ist kein Eigenwert von L. Die eindeutige L¨ osbarkeit des Dirichletproblems ist klar, da L − λ ja injektiv ist. Umgekehrt: Wenn λ kein Eigenwert von L ist, so hat nach Satz 6.2.1 die Gleichung (6.14) nur die triviale L¨ osung. Nach Satz 6.1.1 ist daher (6.13) f¨ ur

218

6 Die Fredholmsche Alternative f¨ ur das Dirichletproblem

¨ alle f ∈ C 0 (Ω, C), insbesondere also f¨ ur f ∈ CbH (Ω, C) l¨osbar. Der AquivaH lenzsatz 6.2.1 garantiert daher die L¨ osbarkeit von (6.6) f¨ ur alle f ∈ Cb (Ω, C). b) Ist S der in (6.12) deﬁnierte Streifen und λ0 ∈ C\S, so ist λ0 kein Eigenwert von L, also der beschr¨ ankte Operator 1 − Kλ0 nach Satz 6.1.1 bijektiv, mithin nach dem Banachschen Satz von der oﬀenen Abbildung (wir haben ihn schon in Bemerkung 5.3.7 verwendet) auch (1 − Kλ0 )−1 : C 0 (Ω, C) → C 0 (Ω, C) beschr¨ankt. Sei nun λ ein Eigenwert von L. Wir schreiben die dann bestehende Gleichung (6.14) in der Form 0 = (λ0 − λ)Γ ψ + (1 − Kλ0 )ψ . Es ist also μ := (λ − λ0 )−1 ein Eigenwert des nach Bemerkung 6.2.3 kompakur jeden von Null verschiedenen ten Operators (1 − Kλ0 )−1 Γ . (Umgekehrt ist f¨ Eigenwert μ dieses Operators λ := λ0 + μ1 ein Eigenwert von L.) Der Spektralsatz 6.1.5 f¨ ur kompakte Operatoren liefert nun in Verbindung mit dem ¨ Aquivalenzsatz 6.2.1 die Behauptung. Als Korollar zu dem Beweis von Satz 6.2.5 halten wir fest: Korollar 6.2.6. Es sei jeder Randpunkt von Ω ⊂⊂ RN regul¨ ar, a ∈ CbH (Ω, C) und L = −Δ + a der in (6.9) deﬁnierte Operator. Dann gilt: a) Ist λ kein Eigenwert von L, so ist der Wertebereich (L − λ)(D) von L − λ gleich CbH (Ω, C). b) Das Spektrum σ(L) von L besteht nur aus Eigenwerten. Beweis. a) Die komplexe Zahl λ sei kein Eigenwert von L. Wie im Beweis von Satz 6.2.5 a) folgt, daß zu jedem f ∈ CbH (Ω, C) ein u ∈ C 2 (Ω, C) ∩ C 0 (Ω, C) existiert mit −Δu + a(x)u − λu = f (x) in Ω,

u|∂Ω = 0 .

Wegen a ∈ CbH (Ω, C) ist gem¨ aß Aufgabe 4.2 auch Δu ∈ CbH (Ω, C), also u ∈ D mit (L − λ)u = f . Da mit Aufgabe 4.2 zudem (L − λ)(D) ⊆ CbH (Ω, C) gezeigt werden kann, ist Aussage a) bewiesen. b) Sei λ ∈ C kein Eigenwert von L. Aus a) und Lemma 6.2.4 folgt unmit¨ telbar, daß der Wertebereich von L − λ in C 0 (Ω, C) dicht liegt. Dem Aquivalenzsatz 6.2.1 entnehmen wir folgende Darstellung der Resolvente: (L − λ)−1 f = Γ (1 − Kλ )−1 f

f¨ ur f ∈ CbH (Ω, C) .

Die Beschr¨ anktheit der Resolvente und damit die Zugeh¨origkeit von λ zur Resolventenmenge (L) ergibt sich aus der Beschr¨anktheit von (1 − Kλ )−1 (s. Beweis von Satz 6.2.5 b)) und der Kompaktheit von Γ . Eine weitere bemerkenswerte Konsequenz von Satz 6.2.5 ist folgender Satz 6.2.7. Es sei jeder Randpunkt von Ω ⊂⊂ RN regul¨ ar. Dann existiert die Greensche Funktion zu Ω und −Δ + 1 (s. Deﬁnition 4.9.7).

6.2 Das Dirichletproblem f¨ ur (−Δ + a − λ)u = f

219

Beweis. F¨ ur a = 1 ist λ = 0 nicht in der zugeh¨origen Menge S enthalten, und folglich ist 0 kein Eigenwert von L = −Δ + 1. Somit besitzt das Problem −Δu + u = 0 in Ω,

u|∂Ω = 0

nur die triviale L¨ osung (vgl. auch Aufgabe 2.9 a) oder Lemma 2.6.3), so daß nach Satz 6.2.5 das Problem −Δu + u = 0 in Ω,

u|∂Ω = g

f¨ ur jedes stetige g : ∂Ω → R genau eine L¨ osung u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) besitzt. Sei S die Singularit¨ atenfunktion zu −Δ + 1 (s. Deﬁnition 4.9.1). Dann gibt es also zu jedem y ∈ Ω ein H(·, y) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) mit −Δx H(x, y) + H(x, y) = 0 f¨ ur x ∈ Ω,

H(x, y) = −S(x, y) f¨ ur x ∈ ∂Ω ,

und G := S + H ist die gesuchte Greensche Funktion.

Satz 6.2.8. Es sei jeder Randpunkt der nichtleeren Menge Ω ⊂⊂ RN regul¨ ar. a) Das Problem u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω),

−Δu = λu in Ω,

u|∂Ω = 0

(6.15)

besitzt abz¨ ahlbar unendlichviele Eigenwerte. Sie sind positiv, haben endliche Vielfachheit und +∞ als einzigen H¨ aufungspunkt. b) Es seien λ ein Eigenwert des Problems (6.15) und f ∈ CbH (Ω). Dann ist das Problem u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω),

−Δu − λu = f (x), x ∈ Ω,

u|∂Ω = 0

genau dann l¨ osbar, wenn f (x)v(x) dx = 0

(6.16)

Ω

f¨ ur alle v mit der Eigenschaft (6.15) gilt. Beweis. a) F¨ ur jede L¨ osung u von (6.15) gilt wegen Aufgabe 4.2 c), daß −Δu = λu ∈ CbH (Ω). Mithin ist u aus dem Deﬁnitionsbereich des Operators L aus (6.9), den wir f¨ ur a = 0 betrachten. Aus (6.12) folgt sofort, daß Eigenwerte von L notwendigerweise auf der positiven reellen Achse liegen. Gleichung (6.14) lautet nun einfach Γψ =

1 ψ. λ

Es ist also λ genau dann Eigenwert von L, wenn λ1 Eigenwert des kompakten Operators Γ ist. Dieser ist nach Aufgabe 6.3 b) symmetrisch, so daß die Behauptung aus dem Spektralsatz 6.1.7 folgt. Daß der Wertebereich von Γ

220

6 Die Fredholmsche Alternative f¨ ur das Dirichletproblem

unendlichdimensional ist, ergibt sich aus dim CbH (Ω) = ∞ und aus der Injektivit¨ at von Γ |CbH (Ω) , die ihrerseits aus Satz 4.4.7 b) folgt. b) Nach Aufgabe 6.3 a) gilt Γ t = Γ bez¨ uglich der dortigen Bilinearform b. Nach Satz 6.1.4 b) ist daher T ψ = (1 − λΓ )ψ = f genau dann l¨ osbar, wenn f¨ ur alle ψ ∈ N (T ) 0 = b(f, ψ) = fψ

(6.17)

Ω

¨ gilt. Aufgrund des Aquivalenzsatzes 6.2.1 besteht zwischen den L¨osungen der Gleichung (6.7) mit f = 0 und den L¨ osungen v der Gleichung (6.6) mit f = 0 der Zusammenhang −Δv = ψ, so daß (6.17) in der Tat zu (6.16) ¨aquivalent ist. H.A. Schwarz bewies in seiner wegen der Methode der sukzessiven Approximation bereits in Bemerkung 5.4.4 a) genannten Schrift [303] aus dem Jahre 1885, daß das Problem (6.15) einen kleinsten Eigenwert und eine zugeh¨ orige, in Ω nullstellenfreie Eigenfunktion besitzt (er betrachtet eine etwas allgemeinere Gleichung, aber N = 2). Zum Nachweis der Konvergenz der Iterierten leitet er die nach ihm benannte Ungleichung her [303, Art. 15]; daß Bunyakovski˘i sie schon 1859 gefunden hatte, war unbemerkt geblieben. ´ [261, 262] bewies dann die Existenz von unendlichvielen EigenPoincare werten. Erhard Schmidt [297] bediente sich der Schwarzschen Iterierten beim Beweis des (so nat¨ urlich noch nicht formulierten) Satzes 6.1.7. Hil¨ bert [115] war der erste, der u ¨ber eine Greensche Funktion die Aquivalenz des Dirichletproblems f¨ ur eine partielle Diﬀerentialgleichung mit einer Fredholmschen Integralgleichung herstellte und dann zum Nachweis der Existenz unendlichvieler Eigenwerte seinen Satz u ¨ber Eigenwerte kompakter symmetrischer Operatoren heranzog. Der Gedanke, nur mit der Greenschen Funktion f¨ ur den Laplaceoperator zu arbeiten, ﬁndet sich bei [256]. In Bemerkung 3.1.5 hatten wir beim Dirichletproblem f¨ ur harmonische Funktionen auf die Bedeutung der stetigen Abh¨angigkeit der L¨osungen von den Randdaten hingewiesen. Wir wollen nun analog die Abh¨ angigkeit der L¨osung u des Dirichletproblems −Δu + a(x)u = f (x) in Ω,

u|∂Ω = g

von den vorgegebenen Daten f und g untersuchen. Um von einer eindeutigen L¨ osung des Dirichletproblems sprechen zu k¨ onnen, darf gem¨aß Satz 6.2.5 Null kein Eigenwert des in (6.9) deﬁnierten Operators L sein. Wegen Korollar 6.2.6 wissen wir sogar, daß 0 ∈ (L) und L(D) = CbH (Ω, C). Somit existiert ein α > 0 mit

6.2 Das Dirichletproblem f¨ ur (−Δ + a − λ)u = f

L−1 f ∞ ≤ αf ∞

f¨ ur alle f ∈ CbH (Ω, C) .

221

(6.18)

Seien nun f¨ ur j = 1, 2 die Funktionen fj ∈ CbH (Ω, C) und gj ∈ C 0 (∂Ω, C) gegeben, und es bezeichne uj ∈ C 2 (Ω, C)∩C 0 (Ω, C) die eindeutig bestimmten L¨ osungen von −Δu + a(x)u = fj (x) in Ω,

u|∂Ω = gj .

Weiter seien hj ∈ C 2 (Ω, C)∩C 0 (Ω, C) die harmonischen Funktionen mit hj = gj auf ∂Ω. Man u ¨berlegt sich leicht, daß wj := uj − hj im Deﬁnitionsbereich D des Operators L liegt mit Lwj = fj − ahj . Verwendet man schließlich (6.18) und die aus dem schwachen Maximumprinzip (s. Satz 2.3.4 und Korollar 2.3.5) folgende Relation h1 − h2 ∞ = unschte Absch¨atzung g1 − g2 ∞ , so ergibt sich die gew¨ u1 − u2 ∞ < αf1 − f2 ∞ + (1 + αa∞ )g1 − g2 ∞ . Etwas schwieriger gestaltet sich der Nachweis der stetigen Abh¨angigkeit der L¨ osungen von den Koeﬃzienten a, λ. Satz 6.2.9 (Stabilit¨ at bez¨ uglich der Koeﬃzienten). Es sei jeder Randpunkt von Ω ⊂⊂ RN regul¨ ar, ferner a0 ∈ CbH (Ω, C) und λ0 ∈ C. Das homogene Dirichletproblem w ∈ C 2 (Ω, C) ∩ C 0 (Ω, C), −Δw + a0 (x)w − λ0 w = 0 in Ω,

w|∂Ω = 0

(6.19)

habe nur die triviale L¨ osung. Dann gibt es ein allein von a0 , λ0 und Ω ur alle a ∈ CbH (Ω, C) und λ ∈ C mit abh¨ angendes δ0 > 0, so daß f¨ a − a0 ∞ + |λ − λ0 | < δ0 das Dirichletproblem u ∈ C 2 (Ω, C) ∩ C 0 (Ω, C), −Δu + a(x)u − λu = f (x) in Ω,

u|∂Ω = g

(6.20)

f¨ ur alle f ∈ CbH (Ω, C) und g ∈ C 0 (∂Ω, C) l¨ osbar ist. Es sei u0 die L¨ osung im ur Falle a = a0 , λ = λ0 . Dann gibt es zu jedem > 0 ein δ ∈ (0, δ0 ), so daß f¨ alle a ∈ CbH (Ω, C) und λ ∈ C a − a0 ∞ + |λ − λ0 | < δ ⇒ u − u0 ∞ ≤ (f ∞ + g∞ ) besteht.

(6.21)

222

6 Die Fredholmsche Alternative f¨ ur das Dirichletproblem

Beweis. Wir behandeln zun¨ achst den Fall g = 0. Ist Γ der lineare kompakte Operator aus Lemma 6.2.2, so setzen wir K0 := (λ0 − a0 )Γ

,

K := (λ − a)Γ .

¨ Da (6.19) nur die triviale L¨ osung hat, triﬀt dies aufgrund des Aquivalenzsatzes 6.2.1 auch auf die zu (1 − K0 )ψ0 = f geh¨ orende homogene Gleichung zu. Es ist also der lineare und beschr¨ ankte Operator 1 − K0 : C 0 (Ω, C) → C 0 (Ω, C) nach Satz 6.1.1 bijektiv, so daß es aufgrund des Banachschen Satzes von der oﬀenen Abbildung ein α0 > 0 gibt, das von a0 , λ0 und u ¨ber die Greensche Funktion von Ω abh¨ angt, mit (1 − K0 )−1 ϕ∞ ≤ α0 ϕ∞

f¨ ur alle ϕ ∈ C 0 (Ω, C) .

(6.22)

Speziell gilt also f¨ ur ψ0 = (1 − K0 )−1 f ψ0 ∞ ≤ α0 f ∞ . Um zu zeigen, daß auch (1 − K)ψ = f

(6.23)

eine L¨ osung besitzt, wenn a, λ nur wenig von a0 bzw. λ0 abweichen, schreiben wir diese Gleichung in der Form [1 − K0 − (K − K0 )]ψ = f oder [1 − (1 − K0 )−1 (K − K0 )]ψ = (1 − K0 )−1 f = ψ0 . Zun¨ achst ist wegen (6.22) f¨ ur ψ ∈ C 0 (Ω, C) (1 − K0 )−1 (K − K0 )ψ∞ ≤ α0 (K − K0 )ψ∞ . Aus

(6.24)

(K − K0 )ψ(x) = [a0 (x) − a(x) + λ − λ0 ]

G(x, y)ψ(y) dy,

x∈Ω,

Ω

folgt mit den Absch¨ atzungen aus Lemma 4.4.4 und Bemerkung 4.1.3 |(K − K0 )ψ(x)| ≤ (a − a0 ∞ + |λ − λ0 |)ψ∞ c(Ω, N )|x − y|3/2−N dy |y−x|
mit einer durch diam Ω und N bestimmten Konstante c(Ω, N ). Somit gilt (K − K0 )ψ∞ ≤ (a − a0 ∞ + |λ − λ0 |)c0 (Ω)ψ∞

(6.25)

mit einer allein durch Ω bestimmten Zahl c0 (Ω). Daß f¨ ur a − a0 ∞ + |λ − λ0 | < δ0 := [α0 c0 (Ω)]−1 die Gleichung (6.23) eine ¨ L¨osung besitzt (und damit aufgrund des Aquivalenzsatzes 6.2.1 auch (6.20) H mit g = 0 und f ∈ Cb (Ω, C)), ist nun leicht zu sehen. Mit

6.2 Das Dirichletproblem f¨ ur (−Δ + a − λ)u = f

223

U := (1 − K0 )−1 (K − K0 ) erhalten wir aus (6.24) und (6.25) mittels vollst¨andiger Induktion f¨ ur n ∈ N0 U n ψ0 ∞ ≤ q n ψ0 ∞ ≤ α0 q n f ∞ , wobei q := (a − a0 ∞ + |λ − λ0 |)α0 c0 (Ω) < 1 . m Es ist daher ( n=0 U n ψ0 ) Cauchyfolge in dem Banachraum C 0 (Ω, C), die in diesem Zusammenhang gerne Neumannsche Reihe (vgl. die historische Bemerkung 5.4.4 a)) genannte geometrische Reihe ψ :=

∞

U n ψ0

n=0

also konvergent, und es gilt (1 − U )ψ = ψ0 . Die verbleibende Behauptung des Satzes ergibt sich nun folgendermaßen. Zun¨ achst ist ψ − ψ0 ∞ ≤

∞

U n ψ0 ∞ ≤

n=1

α0 q f ∞ . 1−q

(6.26)

¨ Gem¨ aß Aquivalenzsatz 6.2.1 ist u = Γ ψ und u0 = Γ ψ0 , also |u(x) − u0 (x)| = G(x, y)(ψ − ψ0 )(y) dy ≤ c0 (Ω)ψ − ψ0 ∞ Ω

mit der Konstanten c0 (Ω) aus (6.25). Zusammen mit (6.26) beweist dies ¨ uhrt man mit Hilfe der Aqui(6.21). Den Fall beliebiger g ∈ C 0 (∂Ω, C) f¨ valenz von (6.3) und (6.4) auf den Fall g = 0 zur¨ uck, indem man f durch f − (a − λ)h ersetzt, wobei h die auf Ω harmonische Funktion mit h|∂Ω = g ist. Aus dem schwachen Maximumprinzip (Satz 2.3.4 und Korollar 2.3.5) folgt h∞ = g∞ und somit (6.21). Bemerkung 6.2.10. Hat Ω ⊂⊂ RN die gleichm¨aßige ¨außere Kugeleigenschaft (s. Satz 4.6.2), so haben wir unter den u ¨brigen Voraussetzungen von Satz 6.2.9 f¨ ur gen¨ ugend kleine a − a0 ∞ + |λ − λ0 | sogar die Ungleichung u − u0 ∞ +

N

uxi − (u0 )xi ∞ ≤ (f ∞ + g∞ ) ,

i=1

denn nach Aufgabe 4.7 gilt dann |∇u(x) − ∇u0 (x)| ≤ c(Ω)ψ − ψ0 ∞

f¨ ur alle x ∈ Ω .

224

6 Die Fredholmsche Alternative f¨ ur das Dirichletproblem

6.3 Die Gleichung −Δu + N i=1 aiuxi + (a − λ)u = f mit am Rand unbeschr¨ ankten a und f In diesem Abschnitt sollen die Resultate des vorangegangenen Abschnitts auf ¨ das Dirichletproblem f¨ ur die in der Uberschrift genannte Gleichung ausgedehnt werden. Die Betrachtung am Rand unbeschr¨ ankter f wurde in Abschnitt 4.8 motiviert. Aufgrund der dortigen Vorarbeiten bietet es sich an, f¨ ur Ω ⊂⊂ RN die Funktion δ(x) := dist(x, ∂Ω), x ∈ Ω, heranzuziehen und C 0 (Ω, C) aus (6.5) durch den gewichteten Raum stetiger Funktionen C∗0 (Ω, C) := {u ∈ C 0 (Ω, C) : δ · u ist beschr¨ankt} zu ersetzen, der, versehen mit der Norm u∗ := sup |δ(x)u(x)| , x∈Ω

ebenfalls ein Banachraum ist (s. Aufgabe 6.4). Die Analysis in diesem Abschnitt erlaubt es, ohne Mehraufwand auch den Fall unbeschr¨ankter a zu ¨ behandeln. Die Aquivalenz der L¨ osung des Dirichletproblems mit der L¨osung einer Fredholmschen Integralgleichung wird durch folgenden Satz hergestellt. ¨ aßige ¨ außere KuSatz 6.3.1 (Aquivalenzsatz). Ω ⊂⊂ RN habe die gleichm¨ geleigenschaft (s. Satz 4.6.2), so daß insbesondere die Greensche Funktion G f¨ ur Ω und den Laplaceoperator existiert. Ferner seien a, f ∈ C H (Ω, C) ∩ 0 C∗ (Ω, C), a1 , . . . , aN ∈ CbH (Ω, C) (vgl. Deﬁnition 4.1.5) und λ ∈ C. Dann sind das Diﬀerentialgleichungsproblem u ∈ C 2 (Ω, C) ∩ C 0 (Ω, C), uxi ∈ C∗0 (Ω, C), i = 1, . . . , N , N −Δu(x) + i=1 ai (x)uxi (x) + [a(x) − λ]u(x) = f (x), x ∈ Ω , (6.27) u|∂Ω = 0 und das Integralgleichungsproblem ψ ∈ C∗0 (Ω, C), und f¨ ur x ∈ Ω ist (6.28) N

ai (x) Gxi (x, y)ψ(y) dy + [a(x) − λ] G(x, y)ψ(y) dy = f (x) , ψ(x) + i=1

Ω

Ω

in folgendem Sinne ¨ aquivalent: Wenn f¨ ur u die Aussage (6.27) zutriﬀt, dann erf¨ ullt ψ := −Δu die Aussage (6.28); wenn f¨ ur ψ die Aussage (6.28) zutriﬀt, dann hat das Dirichletproblem −Δu = ψ in Ω,

u|∂Ω = 0

osung ist gegeben durch genau eine osung u ∈ C 2 (Ω, C) ∩ C 0 (Ω, C). Diese L¨

L¨ ullt (6.27). Ferner haben (6.27) u(x) = Ω G(x, y)ψ(y) dy, x ∈ Ω, und sie erf¨ und (6.28) im Falle f = 0 gleichviel linear unabh¨ angige L¨ osungen.

6.3 −Δu+

N i=1

ai uxi +(a−λ)u = f mit am Rand unbeschr¨ ankten a und f

225

Beweis. a) Wenn u die Eigenschaft (6.27) hat, so folgt mit Aufgabe 4.2, daß (a − λ)u, ai uxi ∈ C H (Ω, C) ∩ C∗0 (Ω, C). Somit l¨ost u das Dirichletproblem − Δu = ψ in Ω,

u|∂Ω = 0

(6.29)

mit ψ := −Δu ∈ C H (Ω, C) ∩ C∗0 (Ω, C). Nach Lemma 4.8.1 und Satz 4.8.2 b) ist daher u(x) = G(x, y)ψ(y) dy, x ∈ Ω , Ω

die eindeutig bestimmte L¨ osung von (6.29). Satz 4.8.2 a) vermittelt uxi (x) = Gxi (x, y)ψ(y) dy, x ∈ Ω . Ω

Die Gleichung in (6.27) l¨ aßt sich also in der in (6.28) behaupteten Weise schreiben. b) Sei ψ eine L¨ osung von (6.28). Dann ist das Greenpotential G(·, y)ψ(y) dy (6.30) Ω

zu Ω und ψ nach Lemma 4.8.1 und Satz 4.8.2 a) aus C 0 (Ω, C) ∩ C 1 (Ω, C), insbesondere also aus CbH (Ω, C). Da nach Lemma 4.8.3 auch Gxi (·, y)ψ(y) dy ∈ C H (Ω, C) Ω

ist, folgt aus Satz 4.8.2 a) und (6.28), daß ψ ∈ C H (Ω, C) ∩ C∗0 (Ω, C). Das Dirichletproblem −Δu = ψ in Ω,

u|∂Ω=0

hat also genau eine L¨ osung u ∈ C 2 (Ω, C) ∩ C 0 (Ω, C), und diese ist nach Satz 4.8.2 b) durch (6.30) gegeben. Wie schon bemerkt, gilt nach Satz 4.8.2 a) uxi = Gxi (·, y)ψ(y) dy ∈ C∗0 (Ω, C) . Ω

Die Gleichung in (6.28), der ψ gen¨ ugt, schreibt sich nun ersichtlich wie in (6.27) angegeben. Der Beweis der Behauptung, die die homogenen Gleichungen betriﬀt, ist identisch mit dem betreﬀenden Beweisteil von Satz 6.2.1. Nun zur Kompaktheit der in (6.28) auftretenden Integraloperatoren.

226

6 Die Fredholmsche Alternative f¨ ur das Dirichletproblem

Lemma 6.3.2. Ω ⊂⊂ RN habe die gleichm¨ aßige ¨ außere Kugeleigenschaft. Es sei G die Greensche Funktion f¨ ur Ω und den Laplaceoperator und i ∈ {1, . . . , N }. Dann ist Γi : C∗0 (Ω, C) → C∗0 (Ω, C), f → Gxi (·, y)f (y) dy Ω

ein linearer kompakter Operator. ur f ∈ C∗0 (Ω, C) deﬁniert Beweis. Daß der (nat¨ urlich lineare) Operator Γi f¨ 0 ist und f nach C∗ (Ω, C) abbildet, folgt aus Satz 4.8.2 a). Sei (fn ) eine Folge ur ein M > 0 und alle n ∈ N. Wir setzen in C∗0 (Ω, C) mit fn ∗ ≤ M f¨ un := G(·, y)fn (y) dy . Ω

Auf jeder kompakten Teilmenge von Ω ist die Folge (∂xi un ) nach Satz 4.8.2 a) gleichgradig beschr¨ ankt und nach Korollar 4.8.5 gleichgradig gleichm¨aßig stetig, besitzt also dort nach Arzel` a-Ascoli eine gleichm¨aßig konvergente Teilfolge. Sei nun Ω0 ⊂⊂ Ω1 ⊂⊂ . . . ⊂⊂ Ω eine abz¨ahlbare Aussch¨opfung von Ω. Es gibt dann eine Teilfolge (∂xi u0n ), die auf Ω 0 gleichm¨aßig konvergiert; sie enth¨ alt ihrerseits eine Teilfolge (∂xi u1n ), die auf Ω 1 gleichm¨aßig konvergiert usw. Die Diagonalfolge (∂xi unn ) ist dann auf jeder kompakten Teilmenge von Ω gleichm¨ aßig konvergent. Wir zeigen, daß sie Cauchyfolge in C∗0 (Ω, C) und daher konvergent ist. Es sei d(Ω, 1/2) die Konstante aus Satz 4.8.2 a) mit ur alle n, m ∈ N γ = 12 . Zu > 0 gibt es dann ein t > 0 so, daß f¨ 1/2 sup |δ(x)∂xi [unn (x) − um < m (x)]| ≤ 2d(Ω, 1/2)M t x∈Ω δ(x)
. 2

Ferner existiert ein n ∈ N mit sup |δ(x)∂xi [unn (x) − um m (x)]| < x∈Ω δ(x)≥t

2

f¨ ur n, m ≥ n

wegen der Beschr¨ anktheit der Funktion δ und der gleichm¨aßigen Konvergenz von (∂xi unn ) auf {x ∈ Ω : δ(x) ≥ t}. Damit ist die Kompaktheit von Γi bewiesen. N 0 ankt sind, ist also Da die ai stetig und beschr¨ i=1 ai Γi : C∗ (Ω, C) → 0 C∗ (Ω, C) ein kompakter Operator. Der Nachweis der Kompaktheit des an¨ deren Integraloperators in (6.28) sei als Ubungsaufgabe gestellt (Aufgabe ∞ 6.6), desgleichen der Nachweis, daß C (Ω, C) ∩ C∗0 (Ω, C) und daher auch C H (Ω, C) ∩ C∗0 (Ω, C) in C∗0 (Ω, C) dicht ist (Aufgabe 6.5). Wir deﬁnieren nun den zu der Diﬀerentialgleichung (6.27) geh¨origen Operator. Sei

6.3 −Δu+

N i=1

ai uxi +(a−λ)u = f mit am Rand unbeschr¨ ankten a und f

227

D := {u ∈ C 2 (Ω, C) ∩ C 0 (Ω, C) : Δu ∈ C H (Ω, C) ∩ C∗0 (Ω, C) , ∇u ∈ C∗0 (Ω, CN ),

u|∂Ω = 0} .

F¨ ur a ∈ C H (Ω, C)∩C∗0 (Ω, C) und a1 , . . . , aN ∈ CbH (Ω, C) deﬁnieren wir einen linearen Operator L durch L : D → C H (Ω, C) ∩ C∗0 (Ω, C),

u → −Δu +

N

ai uxi + au .

(6.31)

i=1

(Man beachte wieder, daß gem¨ aß Aufgabe 4.2 f¨ ur u ∈ C 2 (Ω, C) schon uxi ∈ H C (Ω, C) gilt.) Es bietet sich an, L als einen Operator in dem Banachraum C∗0 (Ω, C) zu betrachten. Im Hinblick auf gewisse Stabilit¨atsaussagen (Satz 6.3.5 oder Aufgabe 6.8) kann man L aber auch als einen Operator aus dem Banachraum (s. Aufgabe 6.4) C∗1 (Ω, C) := {u ∈ C 1 (Ω, C) : u, δ · uxi beschr¨ankt f¨ ur alle i = 1, . . . , N } mit der Norm u∗,1 := sup |u(x)| + x∈Ω

N

sup |δ(x)uxi (x)|

i=1 x∈Ω

in den Banachraum (C∗0 (Ω, C), · ∗ ) ansehen. Lemma 6.3.3. Ω ⊂⊂ RN habe die gleichm¨ aßige ¨ außere Kugeleigenschaft. Ferner seien a ∈ C H (Ω, C) ∩ C∗0 (Ω, C) und a1 , . . . , aN ∈ CbH (Ω, C). Ist dann λ ∈ C ein Eigenwert des Operators L in (6.31) und u eine zugeh¨ orige Eigenfunktion, so existieren die Integrale rechts in (6.32) (als Lebesgue-Integrale), und es gilt

|u| =

|∇u| +

2

λ Ω

2

Ω

N

i=1 Ω

Ist A := inf Re a(x) endlich und B := sup x∈Ω

a|u|2 .

ai uxi u +

x∈Ω

(6.32)

Ω

N i=1

|ai (x)|2 , so liegt λ in der

Halbebene H := μ ∈ C : Re μ ≥ A −

B 4

.

(6.33)

Beweis. Wir haben λ|u|2 = (−Δu)u +

N

ai uxi u + a|u|2 ,

(6.34)

i=1

¨ und aufgrund des Aquivalenzsatzes 6.3.1 hat ψ := −Δu die Eigenschaft

228

6 Die Fredholmsche Alternative f¨ ur das Dirichletproblem

ψ = (λ − a)

G(·, y)ψ(y) dy −

N

i=1

Ω

ai

Gxi (·, y)ψ(y) dy . Ω

Ist daher M eine Schranke f¨ ur supy∈Ω |δ(y)a(y)|, supy∈Ω |δ(y)ψ(y)| und ur alle γ ∈ (0, 1) |a1 |, . . . , |aN |, so folgt aus Lemma 4.8.1 und Satz 4.8.2 a) f¨ und x ∈ Ω |Δu(x)| = |ψ(x)| ≤ M [(|λ| diam Ω + M )c(Ω, γ) + N M d(Ω, γ)] δ(x)−γ , |u(x)| ≤ M c(Ω, γ)δ(x)1−γ . W¨ ahlt man 0 < γ ≤ 12 , so erkennt man die Beschr¨anktheit und folglich die Integrierbarkeit von |u(x)Δu(x)| auf Ω. Wendet man den Satz von Giesecke in der Version von Korollar 3.7.3 auf Re u und Im u an, so erh¨alt man (−Δu)u = |∇u|2 . Ω

Ω

Aus 1 2|ai uxi u| ≤ |uxi |2 + |ai |2 |u|2 ,

>0,

(6.35)

ergibt sich nun die Integrierbarkeit der linken Seite von (6.35) und aus (6.34) schließlich die von a|u|2 . Wenn nun A endlich ist, so folgt aus (6.32) und (6.35) (mit = 2) B (Re λ) |u|2 ≥ A − |u|2 . 4 Ω Ω Satz 6.3.4 (Fredholmsche Alternative). Ω ⊂⊂ RN habe die gleichm¨ aßige außere Kugeleigenschaft. Es seien a ∈ C H (Ω, C) ∩ C∗0 (Ω, C), a1 , . . . , aN ∈ ¨ CbH (Ω, C) und λ ∈ C. Dann gilt: a) Entweder hat das Dirichletproblem −Δu +

N

ai (x)uxi + a(x)u − λu = f (x) in Ω,

u|∂Ω = g

i=1

f¨ ur jedes f ∈ C H (Ω, C) ∩ C∗0 (Ω, C) und jedes g ∈ C 0 (∂Ω, C) eine L¨ osung osung u ∈ C 2 (Ω, C) ∩ C 0 (Ω, C) mit ∇u ∈ C∗0 (Ω, CN ), oder es gibt eine L¨ ur das homogene u = 0 in C 2 (Ω, C) ∩ C 0 (Ω, C) mit ∇u ∈ C∗0 (Ω, CN ) f¨ Problem −Δu +

N

ai (x)uxi + a(x)u − λu = 0 in Ω,

u|∂Ω = 0 .

i=1

Im ersten Fall ist u eindeutig bestimmt; im zweiten Fall ist λ ein Eigenwert des Operators L aus (6.31).

6.3 −Δu+

N i=1

ai uxi +(a−λ)u = f mit am Rand unbeschr¨ ankten a und f

229

b) Sei inf Re a endlich. Dann hat L h¨ ochstens abz¨ ahlbar viele Eigenwerte. Sie haben endliche Vielfachheit und keinen endlichen H¨ aufungspunkt und liegen in der Halbebene (6.33). ¨ Beweis. a) Aufgrund der Aquivalenz der Probleme (4.48) und (4.49) aus Abschnitt 4.8 und wegen Satz 2.1.7 braucht nur der Fall g = 0 behandelt zu ¨ werden, so daß wir uns auf den Aquivalenzsatz 6.3.1 st¨ utzen k¨onnen. Nach Lemma 6.3.2, Bemerkung 6.2.3 und Aufgabe 6.6 ist der Operator Kλ := (λ − a)Γ −

N

ai Γi : C∗0 (Ω, C) → C∗0 (Ω, C) ,

i=1

mit dem sich die Gleichung (6.28) in der Form (1 − Kλ )ψ = f schreibt, kompakt. Die Argumentation ist nun die gleiche wie beim Beweis des Teils a) von Satz 6.2.5; die dortigen R¨ aume C 0 (Ω, C) und CbH (Ω, C) sind 0 H lediglich durch C∗ (Ω, C) bzw. C (Ω, C) ∩ C∗0 (Ω, C) zu ersetzen. b) Auch der Beweis des Teils b) von Satz 6.2.5 u ¨bertr¨agt sich nahezu wortw¨ ortlich, wenn man beachtet, daß die Rolle des Streifens S aus (6.12) nun von der Halbebene H aus (6.33) u ¨bernommen wird. Der Beweis des nachfolgenden Satzes ergibt sich durch eine sinngem¨aße ¨ Ab¨ anderung des Beweises von Satz 6.2.9 und sei daher als eine Ubungsaufgabe gestellt. Satz 6.3.5 (Stabilit¨ at bez¨ uglich der Koeﬃzienten). Ω ⊂⊂ RN habe die gleichm¨ aßige ¨ außere Kugeleigenschaft. Es seien a ∈ C H (Ω, C) ∩ C∗0 (Ω, C), a1 , . . . , aN ∈ CbH (Ω, C) und λ0 ∈ C. Das homogene Dirichletproblem w ∈ C 2 (Ω, C) ∩ C 0 (Ω, C), −Δw +

N

∇w ∈ C∗0 (Ω, CN ) ,

ai (x)wxi + a(x)w − λ0 w = 0 in Ω,

w|∂Ω = 0 ,

i=1

habe nur die triviale L¨ osung. Dann gibt es ein allein von a, a1 , . . . , aN , λ0 und ur alle b ∈ C H (Ω, C) ∩ C∗0 (Ω, C), b1 , . . . , bN ∈ Ω abh¨ angendes δ0 > 0, so daß f¨ H Cb (Ω, C) und λ ∈ C mit b − a∗ +

N

bi − ai ∞ + |λ − λ0 | < δ0

i=1

das Dirichletproblem u ∈ C 2 (Ω, C) ∩ C 0 (Ω, C), −Δu +

N

i=1

∇u ∈ C∗0 (Ω, CN ) ,

bi (x)uxi + b(x)u − λu = f (x) in Ω,

u|∂Ω = g ,

230

6 Die Fredholmsche Alternative f¨ ur das Dirichletproblem

f¨ ur alle f ∈ C H (Ω, C) ∩ C∗0 (Ω, C) und g ∈ C 0 (∂Ω, C) l¨ osbar ist. Es sei u0 die L¨ osung im Falle b = a, bi = ai , λ = λ0 . Dann existiert zu jedem > 0 ein ur alle b ∈ C H (Ω, C) ∩ C∗0 (Ω, C), b1 , . . . , bN ∈ CbH (Ω, C) δ ∈ (0, δ0 ), so daß f¨ und λ ∈ C mit b − a∗ +

N

bi − ai ∞ + |λ − λ0 | < δ

(6.36)

i=1

folgender Sachverhalt besteht: F¨ ur alle x ∈ Ω und γ ∈ (0, 1) gilt mit einer (aus den Absch¨ atzungen in Lemma 4.8.1 und Satz 4.8.2 resultierenden) Zahl c0 (Ω, γ) |u(x) − u0 (x)| + δ(x)|∇u(x) − ∇u0 (x)| ≤ c0 (Ω, γ)δ(x)1−γ (f ∗ + g∞ ) . Insbesondere gibt es also zu jedem > 0 ein δ ∈ (0, δ0 ) derart, daß f¨ ur alle Koeﬃzienten mit der Eigenschaft (6.36) u − u0 ∗,1 ≤ (f ∗ + g∞ ) gilt.

Aufgaben 6.1. a) Es sei Ω ⊆ RN oﬀen und nicht leer. Man zeige, daß der Vektorraum C 0 (Ω, C) := {u ∈ C 0 (Ω, C) : u ist beschr¨ ankt}, versehen mit der Norm andig ist. u∞ := sup |u|, vollst¨ b) Man zeige, daß der Banachraum aus a) bez¨ uglich der Bilinearform b(u, v) := u(x)v(x) dx, u, v ∈ C 0 (Ω, C) , Ω

ein Dualsystem bildet. 6.2. Es bezeichne S die Singularit¨ atenfunktion in Deﬁnition 4.1.2. Man zeige, daß f¨ ur jedes N ≥ 2 eine Funktion EN : R+ 0 → R existiert mit limv→0 EN (v) = 0 und S(x, y) dy ≤ EN (vol(M )) M N ur alle meßbaren f¨ ur alle x ∈ R und f¨

Mengen M ⊆ R endlichen Volumens. Hinweis: Man w¨ ahle EN (v) := Br (0) S(0, y) dy, wobei der Radius r so gew¨ ahlt sei, daß v = vol(Br (0)) gilt. N

6.3. Es sei jeder Randpunkt von Ω ⊂⊂ RN regul¨ar, ferner a ∈ C 0 (Ω, C) und λ ∈ C. Es sei Γ der Operator aus Lemma 6.2.2.

6 Aufgaben

231

a) Man bestimme den zu K := (λ − a)Γ : C 0 (Ω, C) → C 0 (Ω, C) uglich der Bilinearform aus Aufgabe 6.1 b) transponierten Operator K t bz¨ und zeige, daß dieser kompakt ist. b) Man zeige, daß Γ ein symmetrischer Operator ist, wenn man C 0 (Ω, C) mit dem Skalarprodukt u, v := u(x)v(x) dx Ω

versieht. ur x ∈ Ω. Man zeige, 6.4. Es sei Ω ⊂⊂ RN nichtleer und δ(x) := dist(x, ∂Ω) f¨ daß die Vektorr¨ aume C∗0 (Ω, C) := {u ∈ C 0 (Ω, C) : δ · u ist beschr¨ankt} , C∗1 (Ω, C) := {u ∈ C 1 (Ω, C) : u, δ · uxi beschr¨ankt f¨ ur alle i = 1, . . . , N } vollst¨ andig sind, wenn sie mit den Normen u∗ := supx∈Ω |δ(x)u(x)| bzw. N u∗,1 := supx∈Ω |u(x)| + i=1 supx∈Ω |δ(x)uxi (x)| versehen werden. 6.5. Man zeige, daß C ∞ (Ω, C) ∩ C∗0 (Ω, C) dicht in C∗0 (Ω, C) ist. 6.6. Es seien die Voraussetzungen von Lemma 6.3.2 erf¨ ullt und a ∈ C∗0 (Ω, C). Man zeige, daß mittels Γ : f → G(·, y)f (y) dy Ω

ein Operator aΓ :

C∗0 (Ω, C)

→

C∗0 (Ω, C)

deﬁniert wird, der kompakt ist.

6.7. Es seien Ω, a und a1 , . . . , aN wie in Satz 6.3.4, und es bezeichne L den in (6.31) deﬁnierten zugeh¨ origen Operator. Man zeige: a) Ist λ ∈ C kein Eigenwert von L, so ist der Wertebereich von L − λ gegeben durch C H (Ω, C) ∩ C∗0 (Ω, C). b) Das Spektrum von L besteht ausschließlich aus Eigenwerten. ur j ∈ {1, 2} sei fj ∈ 6.8. Es seien Ω, a und a1 , . . . , aN wie in Satz 6.3.4. F¨ C H (Ω, C) ∩ C∗0 (Ω, C), gj ∈ C 0 (∂Ω, C) und uj L¨osung von −Δuj +

N

ai (uj )xi + auj = fj in Ω,

uj |∂Ω = gj .

i=1

Man zeige: Ist Null kein Eigenwert des Operators L aus (6.31) (vgl. Aufgabe 6.7), so gibt es ein c > 0 mit u1 − u2 ∗,1 ≤ c(f1 − f2 ∗ + max |g1 − g2 |) . 6.9. Man beweise Satz 6.3.5.

7 Der Kelloggsche Satz

Zur Vorbereitung der Schauderschen Absch¨ atzungen in Kapitel 8 wird gezeigt, daß die L¨ osung des Dirichletproblems f¨ ur die Poissongleichung bei gleichm¨aßig α- h¨ olderstetiger rechter Seite gleichm¨ aßig α-h¨olderstetige Ableitungen bis zur Ordnung 2 besitzt, wenn der Rand des beschr¨ ankten Gebietes diese Qualit¨at hat (Satz 7.2.1 bzw. Korollar 7.2.2). Der Beweis geschieht in der Weise, daß ein Diﬀeomorphismus angegeben wird, der den Rand des Gebietes lokal auf einen Teil der Oberﬂ¨ ache der Kugel abbildet, wobei der Laplaceoperator in einen allgemeinen elliptischen Operator 2. Ordnung u uhrt wird, dessen ¨berf¨ Hauptteil sich nur wenig von diesem unterscheidet, so daß auf die S¨atze 5.3.4 und 5.5.6 zur¨ uckgegriﬀen werden kann. Des weiteren werden f¨ ur die Schauderabsch¨ atzungen noch die Interpolationsungleichungen aus Lemma 7.3.3 und Korollar 7.3.4 ben¨ otigt. Kellogg [138] untersuchte 1931 das Verhalten harmonischer Funktionen in der N¨ ahe eines Randst¨ ucks z.B. der Qualtit¨ at C 2,α (s. Deﬁnition 7.1.1), indem er das Poissonintegral f¨ ur eine den Rand von innen her ber¨ uhrende Kugel betrachtete. Vielfach heißt aber seit langem die folgende Aussage (zur Deﬁnition der H¨ olderr¨ aume s. Deﬁnition 5.3.1) Kelloggscher Satz (s. Korollar 7.2.2): ur ein α ∈ (0, 1). Es seien Ω ⊂⊂ RN mit ∂Ω ∈ C 2,α und f ∈ C 0,α (Ω) f¨ Dann hat das Dirichletproblem −Δu = f in Ω,

u|∂Ω = 0

eine L¨ osung u ∈ C 2,α (Ω). Der Grund f¨ ur die Namengebung ergibt sich aus folgendem Beweisgedanken, den man auf p. 337 der amerikanischen Ausgabe von [46] ﬁndet. Ist B ⊃ Ω eine Kugel, so hat f eine Fortsetzung f˜ ∈ C 0,α (B) mit Tr¨ager in B (einen Beweis ﬁndet man in [83, § 6.9]). Ist v das Newtonpotential zu B und f˜, so besitzt die harmonische Funktion h, die auf ∂Ω gleich v ist, aufgrund der Kelloggschen Untersuchungen [138] die gew¨ unschte Qualit¨at, und es ist u := v −h die gesuchte L¨ osung. E. Wienholtz et al., Elliptische Diﬀerentialgleichungen zweiter Ordnung, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009 DOI 10.1007/978-3-540-45721-3 7,

234

7 Der Kelloggsche Satz

Der Kelloggsche Satz wurde von Schauder [293] mit Hilfe seiner ber¨ uhmten A-Priori-Absch¨ atzung bewiesen. Mit der Bernsteinschen Kontinuit¨atsur methode zeigte er dann die L¨ osbarkeit des Dirichletproblems in C 2,α (Ω) f¨ allgemeine lineare elliptische Diﬀerentialgleichungen 2. Ordnung und mit dem Leray-Schauderschen Fixpunktsatz f¨ ur gewisse nichtlineare elliptische Gleichungen. Darauf werden wir in Kapitel 8 n¨ aher eingehen. Ein in sich abgeschlossener und direkter, also die nicht leicht herzuleitende A-Priori-Absch¨ atzung von Schauder vermeidender Beweis wurde von Manfred K¨ onig gegeben [146]. Gleichzeitig zeigte K¨onig in [147], eine Bemerkung von Schauder in [293, p. 281] aufgreifend (wir haben bereits in Bemerkung 5.3.7 auf sie verwiesen), wie man bei Verwendung des Kelloggschen Satzes mit Hilfe des Banachschen Satzes von der oﬀenen Abbildung zu der Schauderschen A-Priori-Absch¨ atzung gelangen kann. Wir werden darauf ebenfalls in Kapitel 8 zur¨ uckkommen. Wie es in der Literatur u ¨blich ist, bedeutet die C 2,α -Regularit¨at von ∂Ω, daß wir zu jedem Randpunkt eine in RN oﬀene Umgebung U und einen C 2,α onnen, der U ∩ Ω in den HalbDiﬀeomorphismus φ : U → D ⊆ RN ﬁnden k¨ raum RN + und den Rand U ∩ ∂Ω in die den Halbraum begrenzende Hyperur ebene RN −1 × {0} abbildet (s. Deﬁnition 7.1.1 und Bemerkung 7.1.4). F¨ den Beweis des Kelloggschen Satzes werden wir jedoch nicht diese Diﬀeomorphismen verwenden, sondern solche, die den Rand ∂Ω lokal auf einen Teil einer Kugeloberﬂ¨ ache transformieren. Dabei geht der Laplaceoperator in einen linearen elliptischen Diﬀerentialoperator 2. Ordnung u ¨ber, dessen Hauptteil nur wenig von −Δ abweicht. F¨ ur diesen Operator kennen wir die L¨osbarkeit des Dirichletproblems in der Klasse C 2,α (B) aufgrund der S¨atze 5.3.4 und 5.5.6. Allerdings machen wir auch noch von einer Eigenschaft des Gradienten des Greenpotentials f¨ ur −Δ und Ω Gebrauch (s. den Beweis von Korollar 7.2.2), die uns in Aufgabe 4.7 nur f¨ ur den Fall zur Verf¨ ugung steht, daß Ω die gleichm¨ aßige a ußere Kugeleigenschaft besitzt (s. Satz 4.6.2). Dies ist jedoch, ¨ wie wir sehen werden, f¨ ur alle Ω ⊂⊂ RN mit C 2,α -Rand der Fall.

7.1 Vorbereitungen Wir beginnen mit der Deﬁnition der C 2,α -Regularit¨at f¨ ur den Rand einer oﬀenen Teilmenge des RN . Deﬁnition 7.1.1. F¨ ur oﬀenes Ω ⊆ RN , α ∈ (0, 1] bedeute ∂Ω ∈ C 2,α , daß alt, zu jedem x0 ∈ ∂Ω eine in RN oﬀene Umgebung U existiere, die x0 enth¨ und eine Abbildung η ∈ C 2,α (U ) mit ∇η(x0 ) = 0 und U ∩ Ω = {x ∈ U : η(x) > 0} .

(7.1)

Bemerkung 7.1.2. a) F¨ ur Ω ⊂⊂ RN und 0 < β < α ≤ 1 ergibt sich aus Aufgabe 5.9 a) und Deﬁnition 7.1.1, daß ∂Ω ∈ C 2,α bereits ∂Ω ∈ C 2,β impliziert.

7.1 Vorbereitungen

235

b) Zus¨ atzlich zu den in Deﬁnition 7.1.1 geforderten Eigenschaften, k¨onnen wir stets annehmen, daß U so gew¨ ahlt ist, daß ∇η(x) = 0 f¨ ur alle x ∈ U gilt. Dann gilt η(x) < 0 f¨ ur jedes x ∈ U \ Ω, da im Falle η(x) = 0 die Funktion η in jeder Umgebung von x auch positive Werte annimmt, und somit jede Umgebung von x einen nichtleeren Schnitt mit Ω besitzt. Wegen ∂Ω = Ω \ Ω ist η(x) = 0 f¨ ur alle x ∈ U ∩ ∂Ω. Da jedes x ∈ U genau einer der drei Mengen ort, folgt U ∩ Ω, U ∩ ∂Ω oder U \ Ω angeh¨ U ∩ ∂Ω = {x ∈ U : η(x) = 0} , U \ Ω = {x ∈ U : η(x) < 0} . Es ist eine unmittelbare Konsequenz des Satzes u ¨ber implizite Funktionen, daß sich C 2,α -R¨ ander lokal als Graphen von C 2,α -Funktionen darstellen lassen. Dies wird in folgendem Lemma formuliert, wobei wir zudem eine Wahl des Koordinatensystems treﬀen, die sich f¨ ur die weiteren Betrachtungen als vorteilhaft erweisen wird. Lemma 7.1.3. Die oﬀene Menge Ω ⊆ RN besitze einen Rand ∂Ω ∈ C 2,α f¨ ur ein α ∈ (0, 1]. Dann existieren zu jedem x0 ∈ ∂Ω eine Zahl r > 0, eine orthogonale N ×N Matrix T und eine Abbildung ϕ ∈ C 2,α (B ), B := Br (0) ⊆ RN −1 , mit den Eigenschaften ϕ(0) = 0 , ∇ϕ(0) = 0 , J(∂Ω ∩ Br (x0 )) = {(x , xN ) ∈ Br (0) : xN = ϕ(x )} , J(Ω ∩ Br (x0 )) = {(x , xN ) ∈ Br (0) : xN > ϕ(x )} . Hierbei beschreibt J(x) := T (x − x0 ), x ∈ RN , die Wahl eines geeigneten kartesischen Koordinatensystems. Beweis. Zu x0 ∈ ∂Ω seien U ⊆ RN , η ∈ C 2,α (U ) gew¨ahlt wie in Deﬁnition 7.1.1. Wegen ∇η(x0 ) = 0 existiert eine orthogonale N × N Matrix T mit ur ein λ > 0. Es bezeichne J die isometrische Abbildung T ∇η(x0 ) = λeN f¨ J(x) = T (x − x0 ). Weiter sei Q : J(U ) → R , Q(x) := η J −1 (x) . F¨ ur die stetig diﬀerenzierbare Funktion Q gilt t Q(0) = η(x0 ) = 0 , ∇Q(0) = η (x0 )T −1 = T ∇η(x0 ) = λeN . Der Satz u ¨ber implizite Funktionen liefert nun eine Zahl r > 0 und eine stetig diﬀerenzierbare Funktion ϕ : B → R mit B = {x ∈ RN −1 : |x| < r} und {(x , xN ) ∈ B × (−r, r) : Q(x , xN ) = 0} = {(x , ϕ(x )) : x ∈ B } . (7.2) Aus Q(0) = 0 folgt ϕ(0) = 0. Diﬀerenzieren der Identit¨at Q(x , ϕ(x )) = 0 f¨ uhrt auf

236

7 Der Kelloggsche Satz

ϕxk (x ) = −

Qxk (x , ϕ(x )) QxN

f¨ ur 1 ≤ k ≤ N − 1 und x ∈ B . Wegen ∇Q(0) = λeN gilt somit ∇ϕ(0) = 0. Da Q zweimal stetig diﬀerenzierbar ist, gilt auch ϕ ∈ C 2 (B ) mit Qx x Qxk QxN xl + Qxl Qxk xN Qxk Qxl QxN xN − ϕxk xl (x )= − k l + (x , ϕ(x )) QxN Q2xN Q3xN f¨ ur 1 ≤ k, l ≤ N − 1 und x ∈ B . Aus der Konvexit¨at von B folgt C 1 (B ) ⊆ C (λ) (B ) f¨ ur jedes λ ∈ (0, 1]. Da wir zudem die Beschr¨anktheit von 1/QxN auf B durch Verkleinerung von r stets erreichen k¨onnen, ergibt sich aus Q ∈ C 2,α (J(U )) mit Hilfe der Aufgaben 5.9 c) und 5.10 a), daß ϕ ∈ C 2,α (B ). Man beachte, daß J −1 die Kugel Br (0) auf Br (x0 ) ⊆ U abbildet. Gem¨aß Bemerkung 7.1.2 b) gilt Br (x0 ) ∩ Ω = {x ∈ Br (x0 ) : η(x) > 0} , Br (x0 ) ∩ ∂Ω = {x ∈ Br (x0 ) : η(x) = 0} . Hieraus folgt unmittelbar J(Br (x0 ) ∩ Ω) = {x ∈ Br (0) : Q(x) > 0} , J(Br (x0 ) ∩ ∂Ω) = {x ∈ Br (0) : Q(x) = 0} . Da Br (0) ⊆ Z := B × (−r, r) ist, gilt mit (7.2) {x ∈ Br (0) : Q(x) = 0} = {(x , xN ) ∈ Br (0) : xN = ϕ(x )} . Da Z± := {(x , xN ) ∈ Z : 0 < ±(xN − ϕ(x ))} zusammenh¨angende Mengen sind, die keine Nullstellen von Q enthalten, und QxN (0) = λ > 0 gilt, nimmt Q auf Z+ nur positive und auf Z− nur negative Werte an. Folglich ist {x ∈ Br (0) : Q(x) > 0} = Br (0) ∩ Z+ = {(x , xN ) ∈ Br (0) : xN > ϕ(x )} . Bemerkung 7.1.4. Eine andere Art, die C 2,α -Regularit¨at des Randes einer ur jedes x0 ∈ ∂Ω die oﬀenen Menge Ω ⊆ RN zu deﬁnieren, besteht darin, f¨ Existenz einer oﬀenen Umgebung U von x0 , einer oﬀenen Menge D ⊆ RN , sowie eines C 2,α -Diﬀeomorphismus φ : U → D (d.h. φ ist bijektiv und alle Komponenten von φ und φ−1 sind C 2,α -Funktionen) zu fordern mit der zus¨ atzlichen Eigenschaft φ(U ∩ Ω) = D ∩ RN +,

N wobei RN + := {x ∈ R : xN > 0} .

Man beachte, daß dann η := φN die Bedingungen von Deﬁnition 7.1.1 erf¨ ullt, wobei ∇η(x0 ) = 0 aus der Invertierbarkeit von φ (x0 ) folgt. Insbesondere gilt gem¨ aß Bemerkung 7.1.2 b)

7.1 Vorbereitungen

237

φ(U ∩ ∂Ω) = D ∩ RN −1 × {0} . Mit Hilfe des Satzes u ¨ber implizite Funktionen kann man zeigen (vgl. Aufgabe 7.1), daß aus der Existenz einer Funktion η mit den in Deﬁnition 7.1.1 geforderten Eigenschaften auf die Existenz eines C 2,α -Diﬀeomorphismus φ mit den oben beschriebenen Eigenschaften geschlossen werden kann. Die obige Deﬁniat ist somit ¨ aquivalent zu der Deﬁnition 7.1.1. tion der C 2,α -Regularit¨ Bemerkung 7.1.5. Wir k¨ onnen in Bemerkung 7.1.4 die Menge U so w¨ahlen, daß D zu einer oﬀenen Kugel um φ(x0 ) wird. Dann ist D ∩ RN + zusammenh¨ angend und somit auch U ∩ Ω. Dies bedeutet, daß es zu jedem Punkt x0 eines C 2,α -Randes ∂Ω eine oﬀene Umgebung U gibt, welche nur eine Zusammenhangskomponente von Ω schneidet. Diese Beobachtung hat folgende n¨ utzliche Konsequenzen. ur ein α ∈ (0, 1]. Dann gilt: Sei Ω ⊂⊂ RN mit ∂Ω ∈ C 2,α f¨ a) Ω besteht aus endlichvielen Zusammenhangskomponenten. b) Es gibt ein δ > 0 derart, daß |x − y| ≥ δ f¨ ur alle x und y, die in verschiedenen Zusammenhangskomponenten von Ω liegen. c) Es bezeichne Ω1 , . . . , Ωk die Zusammenhangskomponenten von Ω. Weiter ur alle seien m ∈ N0 , β ∈ (0, 1] und u : Ω → R mit u|Ωp ∈ C m,β (Ωp ) f¨ p = 1, . . . , k. Dann gilt schon u ∈ C m,β (Ω) und uΩ;m,β ≤ (1 + δ −β )

k

u|Ωp Ωp ;m,β .

p=1

Die ersten beiden Aussagen beweisen wir indirekt. Angenommen, Ω enth¨alt unendlichviele Zusammenhangskomponenten Ωp , p ≥ 1. W¨ahle xp ∈ ∂Ωp ⊆ ∂Ω beliebig. Da ∂Ω kompakt ist, enth¨ alt die Folge (xp )p≥1 einen H¨aufungspunkt x0 ∈ ∂Ω. Jede Umgebung von x0 schneidet somit unendlichviele Zusammenhangskomponenten, was den gew¨ unschten Widerspruch liefert. Um Aussage b) zu beweisen, nehmen wir an, es g¨abe eine Folge von Paaur j → ∞, wobei xj und yj jeweils in ren (xj , yj )j≥1 mit |xj − yj | → 0 f¨ verschiedenen Zusammenhangskomponenten von Ω liegen. Da es nur endlichviele Zusammenhangskomponenten gibt, k¨ onnen wir annehmen, daß xj ∈ Ω und yj ∈ Ω f¨ ur alle j ≥ 1, wobei Ω und Ω zwei verschiedene Zusammenhangskomponenten von Ω bezeichnen. Aus der Beschr¨anktheit von Ω folgt, daß die Folgen (xj )j≥1 , (yj )j≥1 einen gemeinsamen H¨aufungspunkt x0 besitzen, der dann notwendig in ∂Ω ∩ ∂Ω ⊆ ∂Ω liegt. Somit schneidet jede Umgebung von x0 mindestens zwei Zusammenhangskomponenten von Ω, was im Widerspruch zu der zu Beginn dieser Bemerkung gemachten Beobachtung steht. Aussage c) folgt schließlich aus den leicht zu veriﬁzierenden Ungleichungen uΩ;m ≤

k

p=1

uΩp ;m

(7.3)

238

7 Der Kelloggsche Satz

und Hβ;Ω (D u) ≤ μ

k

μ

Hβ;Ωp (D u) + δ

−β

k

sup |Dμ u| ,

p=1 Ωp

p=1

wobei δ die positive Konstante aus Aussage b) bezeichnet. Das folgende Lemma zeigt, daß es f¨ ur jeden Punkt x0 eines C 2,α -Randes ¨ ∂Ω Kugeln gibt, die im Inneren bzw. im Außeren von Ω liegen und den Rand uhren. Zudem wird nachgewiesen, daß nur in dem vorgegebenen Punkt x0 ber¨ der Radius dieser Kugeln lokal konstant gew¨ ahlt werden kann. Lemma 7.1.6. Sei Ω ⊆ RN oﬀen mit C 2,α -Rand f¨ ur ein α ∈ (0, 1]. Dann gibt ur alle x ∈ Br (x0 ) ∩ ∂Ω es zu jedem x0 ∈ ∂Ω positive Zahlen r und R so, daß f¨ Kugeln BxI , BxA vom Radius R existieren mit I

B x ∩ (RN \ Ω) = {x}

,

A

B x ∩ Ω = {x} .

Beweis. Die Isometrie der Abbildung J in Lemma 7.1.3 erlaubt es, sich ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit auf den Fall x0 = 0 zur¨ uckzuziehen mit Ω ∩ B (0) = {(x , xN ) ∈ B (0) : xN > ϕ(x )}

(7.4)

f¨ ur geeignetes > 0 und ϕ ∈ C 2,α (B (0)). Wir wollen nun die Aussage des Lemmas f¨ ur % 1 , r := , R := min , C := sup |Hϕ(x )| 2 4 C +1 x ∈B (0) beweisen, wobei C eine obere Schranke an die mit der euklidischen Vektornorm vertr¨ agliche Matrixnorm (|A| = sup|x|≤1 |Ax|) der Hessematrix Hϕ = (ϕxk xl ) ˆ = (ˆ x , ϕ(ˆ x )). Als Mittelpunkt bezeichnet. Sei nun x ˆ ∈ Br (0)∩∂Ω und somit x I ahlen wir mI := x ˆ + v, wobei f¨ ur die Kugel Bxˆ w¨ −∇ϕ(ˆ x ) R v := 1 1 + |∇ϕ(ˆ x )|2 der Vektor der L¨ange R ist, der senkrecht auf dem Tangentialraum zu ∂Ω im ullt. Der Punkt x ˆ liegt somit auf dem Rand der Punkt x ˆ steht und vN > 0 erf¨ Kugel BxˆI := BR (mI ) . Die Tangentialr¨ aume zu ∂Ω und ∂BxˆI stimmen in dem Punkt x ˆu ¨berein. Es x} in Ω enthalten ist. Zun¨achst gilt |mI | ≤ |ˆ x|+|v| < bleibt zu zeigen, daß B Ixˆ \{ˆ ugt es, r + R ≤ 3/4, und somit haben wir B Ixˆ ⊆ B (0). Wegen (7.4) gen¨ x } nachzuweisen: folgende Ungleichung f¨ ur alle x ∈ B R (mI ) \ {ˆ

7.1 Vorbereitungen

h(x ) := (mI )N −

7

R2 − |x − mI | − ϕ(x ) > 0 .

7

2

239

(7.5)

Man beachte, daß {(x , (mI )N − R2 − |x − mI | ) : |x −mI | ≤ R} die Menge der auf der unteren Halbkugel beﬁndlichen Randpunkte von BxˆI beschreibt. Nach Konstruktion liegt x ˆ wegen vN > 0 auf der unteren H¨alfte von ∂BxˆI , und ¨ der Tangentialr¨aume zu ∂Ω und es gilt h(ˆ x ) = 0. Aus der Ubereinstimmung ˆ folgt ∇h(ˆ x ) = 0. Die Funktion h l¨aßt sich demgem¨aß auf ∂BxˆI im Punkt x B R (mI ) darstellen durch h(x ) =

1

2

(1 − t)(x − x ˆ ) · [Hh(ˆ x + t(x − x ˆ ))(x − x ˆ )] dt .

0

Die gew¨ unschte Relation (7.5) ist nun eine Konsequenz der positiven Deﬁnitheit der Hessematrix Hh. Diese folgt wegen C < R−1 aus einer einfachen (mI ) und y ∈ RN −1 \ {0} gilt n¨amlich Rechnung. F¨ ur x ∈ BR −1/2 2 |y| − y · [Hϕ(x )y] y · [Hh(x )y] ≥ R2 − |x − mI |2 1 ≥ |y|2 − C|y|2 > 0 . R Somit ist (7.5) gezeigt, was die gew¨ unschten Eigenschaften von BxˆI nachweist. A ˆ − v. Die geforderte InAnalog deﬁniert man Bxˆ := BR (mA ) mit mA := x N \ {ˆ x } ⊆ R \ Ω kann nachgewiesen werden, indem man die aus klusion B A x ˆ Lemma 7.1.3 unmittelbar folgende Relation B (0) ∩ (RN \ Ω) = {(x , xN ) ∈ B (0) : xN < ϕ(x )} ˜ ) der auf benutzt sowie die negative Deﬁnitheit der Hessematrizen H h(x B R (mA ) deﬁnierten Funktion 7 ˜ ) := (mA )N + R2 − |x − m |2 − ϕ(x ) . h(x A Korollar 7.1.7. Jede Teilmenge Ω ⊂⊂ RN mit C 2,α -Rand f¨ ur ein α ∈ (0, 1] erf¨ ullt die gleichm¨ aßige ¨ außere Kugeleigenschaft (s. Satz 4.6.2). Beweis. F¨ ur jedes x0 ∈ ∂Ω bezeichne r(x0 ), R(x0 ) die in Lemma 7.1.6 be¨ stimmten positiven Zahlen. Es ist (Br(y) (y)) mit y ∈ ∂Ω eine oﬀene Uberdeckung der kompakten Menge ∂Ω, die folglich eine endliche Teil¨ uberdeckung ahle R := min1≤j≤k R(yj ) > 0. Sei (Br(yj ) (yj )) mit j = 1, . . . , k besitzt. W¨ y ∈ ∂Ω und 1 ≤ j ≤ k so gew¨ ahlt, daß y ∈ Br(yj ) (yj ). Gem¨aß Lemma 7.1.6 existiert eine Kugel ByA mit Radius R(yj ) so, daß ByA ∩ Ω = {y} gilt. Wegen ˜ A mit Radius R ≤ R(yj ) l¨ aßt sich dann auch eine in ByA enthaltene Kugel B y R ﬁnden, die ebenfalls Ω nur in dem Punkt y ber¨ uhrt.

240

7 Der Kelloggsche Satz

Wir f¨ uhren nun eine weitere Regularit¨ atsbedingung f¨ ur die Berandung oﬀener Mengen ein. Diese zielt darauf ab, den Rand lokal durch C 2,α -Diﬀeomorphismen auf Teile einer Kugeloberﬂ¨ ache abzubilden. Zudem werden Bedingungen gestellt, die daf¨ ur sorgen, daß der Hauptteil der mit Hilfe dieser Diﬀeomorphismen transformierten Poissongleichung sich nur wenig von −Δ unterscheidet. Um den lokalen Charakter des Kelloggschen Satzes (s. Satz 7.2.1) zum Ausdruck bringen zu k¨ onnen, formulieren wir die nun folgende Regularit¨ atsbedingung auch f¨ ur Teilmengen Γ des Randes ∂Ω. Deﬁnition 7.1.8. F¨ ur oﬀenes Ω ⊆ RN , Γ ⊆ ∂Ω und α ∈ (0, 1] bedeute Γ ∈ K 2,α , daß zu jedem x0 ∈ Γ eine oﬀene Kugel B ⊆ Ω mit x0 ∈ ∂B und positive Zahlen h0 , c existieren derart, daß es f¨ ur jedes h ∈ (0, h0 ) eine stetige Abbildung ψh : B → RN mit ψh (x0 ) = x0 und eine Zahl h > 0 mit folgenden Eigenschaften gibt: (i) (ii) (iii) (iv) (v)

ψh (B) ⊆ Ω ∪ Γ . Jede Komponente (ψh )k von ψh liegt in C 2,α (B). Ω ∩ Bh (x0 ) ⊆ ψh (B). ur 1 ≤ k ≤ N (s. Bemerkung 5.6.4 b)). (ψh )k B;2 ≤ c f¨ limh→0 supB |ψh − I| = 0 (ψh ist die Jacobimatrix von ψh und I die N -dimensionale Einheitsmatrix).

Um ein Gef¨ uhl f¨ ur diese Deﬁnition zu vermitteln, zeigen wir zun¨achst, daß at des Randes die K 2,α -Regularit¨at impliziert. die C 2,α -Regularit¨ Lemma 7.1.9. F¨ ur oﬀenes Ω ⊆ RN und α ∈ (0, 1] folgt aus ∂Ω ∈ C 2,α 2,α bereits ∂Ω ∈ K . Beweis. Gem¨ aß Lemma 7.1.3 beschr¨ anken wir uns zun¨achst auf den Fall, daß x0 = 0 und Ω ∩ Br (0) = {(x , xN ) ∈ Br (0) : xN > ϕ(x )} , ∂Ω ∩ Br (0) = {(x , xN ) ∈ Br (0) : xN = ϕ(x )}

(7.6)

f¨ ur ein r > 0 und ϕ ∈ C 2,α (Br (0)) mit ϕ(0) = 0 und ∇ϕ(0) = 0 ist. Man w¨ahle wie im Beweis von Lemma 7.1.6 % r 1 , C := sup{|Hϕ(x )| : |x | < r} und R := min . (7.7) 4 C +1 Dann ist B0I aus Lemma 7.1.6 gegeben durch B := BR ((0, R)) und besitzt die Eigenschaft B ∩ (RN \ Ω) = {0}. Insbesondere gilt B ⊆ Ω und 0 ∈ ∂B. Wir deﬁnieren nun eine Abbildung

7.1 Vorbereitungen

ψ : B → RN

,

ψ(x , xN ) := x , xN + ϕ(x ) − R +

R2 − |x |2

241

.

Man beachte, daß diese Abbildung die Randpunkte (x , R − R2 − |x |2 ), alfte der Kugel B auf (x , ϕ(x )) und somit auf ∂Ω |x | ≤ R, der unteren H¨ ur solche abbildet. Die Abbildungen ψh gewinnt man nun dadurch, daß man f¨ ur |x | > 2h x = (x , xN ) mit |x | < h die Abbildung ψ verwendet, w¨ahrend f¨ die Abbildung durch die Identit¨ at gegeben wird. Die glatte Fortsetzung dieser Abbildung auf ganz B wird durch folgende Deﬁnition gew¨ahrleistet. Sei φ ∈ C ∞ (R) mit 1 0

φ(t) =

f¨ ur |t| < 1 f¨ ur |t| > 2

eine Abschneidefunktion. Dann sei ψh : B → RN gegeben durch |x | 2 2 ϕ(x ) − R + R − |x | ψh (x , xN ) := x , xN + φ . h Oﬀensichtlich gilt ψh (0) ur jedes = 0. Nach Wahl von R (s. Lemma 7.1.6) gilt f¨ ur jedes 0 < |x | ≤ R, daß R − R2 − |x |2 > ϕ(x ). Dies hat zur Folge, daß f¨ x = (x , xN ) ∈ B die Ungleichungen xN ≥ (ψh )N (x) ≥ ϕ(x ) erf¨ ullt sind. Aus (7.6) und B ⊆ Ω folgt ψh (B) ⊆ Ω = Ω ∪ ∂Ω f¨ ur beliebige h > 0. Bedingung (i) ist somit gezeigt. F¨ ur den Nachweis der verbleibenden vier Bedingungen (ii)-(v) w¨ ahlen wir h0 > 0 so, daß 4h0 < R

und

C 2 h + h0 ≤ R 2 0

(7.8)

gelten (s. (7.7) f¨ ur die Deﬁnition von C und R). Durch diese Wahl ist sichergeur |x | > R2 mit der Identit¨at stellt, daß f¨ ur alle h ∈ (0, h0 ) die Abbildung ψh f¨ u amtliche Komponenten von ψh in C 2,α (B). Als ¨bereinstimmt. Damit liegen s¨ n¨ achstes zeigen wir, daß Bedingung (iii) mit h := h erf¨ ullt ist. Dazu bemerken wir zun¨ achst, daß wegen ϕ(0) = 0, ∇ϕ(0) = 0 und der Setzungen in (7.7) und (7.8) f¨ ur alle |x | < h0 gilt: ϕ(x ) + R ≥ R −

C 2 C |x | ≥ R − h20 ≥ h0 . 2 2

(7.9)

F¨ ur h ∈ (0, h0 ) gilt dann mit (7.6) und (7.9), daß Ω ∩ Bh (0) = Ω ∩ Bh (0) ⊆ {(x , xN ) ∈ RN : |x | < h und ϕ(x ) < xN < h} ⊆ {(x , xN ) ∈ RN : |x | < h und ϕ(x ) < xN < ϕ(x ) + R} ⊆ ψh (B) .

242

7 Der Kelloggsche Satz

Die letzte Inklusion ergibt sich aus den folgenden Relationen f¨ ur |x | < h < h0 < R/4: B ∩ ({x } × R) = {x } × R − R2 − |x |2 , R + R2 − |x |2 , ψh (B ∩ ({x } × R)) = ψ(B ∩ ({x } × R)) = {x } × ϕ(x ), ϕ(x ) + 2 R2 − |x |2 , 2 R2 − |x |2 ≥ 2 R2 − (R/4)2 > R . Um die letzten beiden Bedingungen (iv) und (v) nachzuweisen, schreiben wir f¨ ur x ∈ B |x | ψh (x) = x + 0, φ f (x ) mit f (x ) := ϕ(x ) − R + R2 − |x |2 . h Weil f (0) = 0 und ∇f (0) = 0 gilt, gibt es D > 0 derart, daß f¨ ur alle |x | ≤ gilt |f (x )| ≤ D|x |2

,

|∇f (x )| ≤ D|x | ,

R 2

|Hf (x )| ≤ D .

Da die Funktion x → φ (|x |/h) f¨ ur |x | > 2h identisch verschwindet und wegen 2h < 2h0 < R/2 erhalten wir schließlich die verbleibenden Eigenschaften (iv) und (v). Die zu Beginn des Beweises gew¨ ahlte Beschr¨ankung auf die spezielle Situation (7.6) l¨ osen wir dadurch auf, daß wir im allgemeinen Fall Lemma 7.1.3 zu Hilfe nehmen und ψh ersetzen durch ψ˜h : J −1 (B) → RN

,

ψ˜h (x) := J −1 ψh (Jx) ,

wobei J die in Lemma 7.1.3 eingef¨ uhrte Isometrie bezeichnet. Es ist nicht amtliche gew¨ unschten Eigenschaften beschwer zu sehen, daß (ψ˜h )0
(7.10)

Da wir in Lemma 7.1.13 (iii) sehen werden, daß die Qualit¨at von w durch die von vh := w ◦ ψh bestimmt wird, konstruieren wir auf der Kugel B eine Diﬀerentialgleichung f¨ ur vh , deren Hauptteil sich nur wenig von −Δ unterscheidet. Zur Abk¨ urzung lassen wir den Index h fort und bilden f¨ ur y ∈ B

7.1 Vorbereitungen

vyi (y) =

N

243

wxm (ψ(y))ψmyi (y) ,

m=1

vyi yk (y) =

N

wxm xn (ψ(y))ψnyk (y)ψmyi (y) +

m,n=1

N

wxm (ψ(y))ψmyi yk (y) .

m=1

Wir suchen aik (y) und ak (y) so zu bestimmen, daß v der Diﬀerentialgleichung −

N

aik (y)vyi yk (y) +

i,k=1

N

ak (y)vyk (y) = −

N

wxn xn (ψ(y))

n=1

k=1

gen¨ ugt. Da sich die linke Seite in der Form −

N

wxm xn ψmyi aik ψnyk −

i,k=1 m,n=1

N

N

wxm aik ψmyi yk +

wxm ak ψmyk

k,m=1

i,k=1 m=1

darstellt, reicht es aus, folgendes System f¨ ur die aik und ak zu l¨osen: N

ψmyi aik ψnyk = δmn ,

i,k=1

−

N

aik ψmyi yk +

i,k=1

N

ak ψmyk = 0 .

k=1

Die ersten N 2 Gleichungen lassen sich zu ψ Aψ t = I zusammenfassen, wobei ψ t die Transponierte von ψ bezeichnet. Wir setzen daher, wobei wir den Index h wieder einf¨ uhren, Ah := (ψh )−1 (ψh t )−1 .

(7.11)

Die letzten Gleichungen k¨ onnen als System ψ a = b mit bn :=

N

aik ψnyi yk

i,k=1

geschrieben werden. Wir setzen daher ah := (ψh )−1 bh .

(7.12)

Aus den beiden nun folgenden Hilfss¨ atzen ergibt sich, daß die mit den Koeﬃzienten aus (7.11) und (7.12) gebildete Diﬀerentialgleichung (7.13) von dem Typus ist, der in Satz 5.5.6 behandelt wurde. Lemma 7.1.11. In der Situation von Deﬁnition 7.1.8 k¨ onnen h0 , c > 0 so atzlich gilt: gew¨ ahlt werden, daß f¨ ur h ∈ (0, h0 ) zus¨

244

7 Der Kelloggsche Satz

a) | det ψh (y)| ≥ 12 ,

y∈B;

b) die Eintr¨ age von (ψ )−1 sind in C 1,α (B), und es ist (ψh )−1 B;1 ≤ c ; −1 t h−1 c) lim sup (ψh ) (ψh ) − I = 0 . h→0 B

Beweis. a) Eine Determinante h¨ angt stetig von ihren Eintr¨agen ab, so daß die Behauptung sofort aus Deﬁnition 7.1.8 (v) folgt. Z b) Wie immer bei Inversen, sind die Elemente von (ψh )−1 von der Form N , wobei Z Adjunkten von ψh sind und N := det ψh ist. Wegen (ii) in Deﬁnition 7.1.8 sind beide aus C 1,α (B). Aus a) folgt daher, daß die Eintr¨age von (ψh )−1 in der Tat in C 1,α (B) liegen. Die restliche Behauptung ergibt sich nun wegen Z 1 = 2 (N Zyi − Nyi Z) N yi N aus (iv) in Deﬁnition 7.1.8 und a). c) Es ist (ψh )−1 (ψh t )−1 − I = (ψh )−1 I − ψh ψh t (ψh t )−1 . Da die Eintr¨ age der beiden ¨ außeren Matrizen nach b) beschr¨ankt sind, kommt es nur auf I − ψh ψh t = I − ψh t + (I − ψh )ψh t an. Die Behauptung ergibt sich nun aus (iv) und (v) der Deﬁnition 7.1.8. Lemma 7.1.12. In der Situation von Deﬁnition 7.1.8 mit α < 1 k¨ onnen h0 , c > 0 so gew¨ ahlt werden, daß zus¨ atzlich zu den dortigen Aussagen und denen von Lemma 7.1.11 f¨ ur h ∈ (0, h0 ) folgendes besteht. Ist w ∈ C 2 (ψh (B)) ∩ 0 ugt vh := w ◦ ψh auf B einer Diﬀerentialgleichung der C (ψh (B)), so gen¨ Form ⎡ ⎤ N N 2

∂ ∂ ⎣− ⎦ vh (y) = −(Δw)(ψh (y)) , (7.13) ahik (y) + ahk (y) ∂yi ∂yk ∂yk i,k=1

k=1

deren Koeﬃzienten allein durch ψh bestimmt sind und die die Eigenschaften α) ahik ∈ C 1,α (B) , ahik B;1 ≤ c ; β) ahk ∈ C 0,α (B) , sup ahk ≤ c ; B γ) lim ahik − δik B;0,α = 0 h→0

besitzen. Beweis. Die Diﬀerentialgleichung wurde bereits in Bemerkung 7.1.10 hergeleitet. Die Aussagen in α) folgen aus (7.11) und Lemma 7.1.11 b), die in β)

7.1 Vorbereitungen

245

aus (7.12) zusammen mit (ii), (iv) in Deﬁnition 7.1.8 sowie Lemma 7.1.11 b) und α). Da f¨ ur α < 1 die Einbettung von C 1 (B) ⊆ C 0,α (B) in C 0,α (B) kompakt (s. Satz C.5) und die von C 0,α (B) in C 0 (B), versehen mit der Supremumsnorm, injektiv und stetig ist, gibt es nach dem Ehrlingschen Lemma 5.5.1 zu jedem > 0 ein d() > 0, so daß h aik − δik ≤ ahik − δik B;1 + d() sup ahik − δik . B;0,α B

Der zweite Term rechts geht wegen (7.11) und Lemma 7.1.11 c) f¨ ur h → 0 gegen Null, w¨ ahrend der erste Term rechts nach α) beschr¨ankt bleibt. Damit ist dann auch γ) bewiesen. Die letzte Aussage des nachfolgenden Lemmas spricht das Ziel an, das mit der Transformation ψh erreicht werden soll: Wenn die rechte Seite von (7.13), also die Funktion −Δw aus (7.10), in C 0,α (ψh (B)) liegt (dies nachzuweisen wird das Kernproblem unseres Beweises des Kelloggschen Satzes sein), so folgt mit Satz 5.5.6 f¨ ur kleine h > 0, daß vh ∈ C 2,α (B), also w = ϕu und damit u 2,α aus C (ψh (B)) ist. Lemma 7.1.13. In der Situation von Deﬁnition 7.1.8 kann h0 > 0 so gew¨ ahlt werden, daß zus¨ atzlich zu den bisherigen Aussagen folgendes gilt: (i) ψh−1 (x ) − ψh−1 (x ) ≤ 2|x − x | , x , x ∈ ψh (B); (ii) s¨ amtliche Komponenten von ψh−1 liegen in C 2,α (ψh (B)); (iii) f¨ ur n ∈ {1, 2} folgt aus w : ψh (B) → R, vh := w ◦ ψh und vh ∈ C n,α (B), daß auch w ∈ C n,α (ψh (B)).

Beweis. (i) F¨ ur y , y ∈ B ist

1

ψh (y ) − ψh (y ) = 0

=

1

d ψh (ty + (1 − t)y ) dt dt ψh (ty + (1 − t)y )(y − y ) dt

0

= y − y +

1

[ψh (ty + (1 − t)y ) − I] (y − y ) dt ,

0

mithin |ψh (y ) − ψh (y )| ≥

1 − sup |ψh − I| |y − y | . B

Da nach (v) in Deﬁnition 7.1.8 supB |ψh − I| ≤ 12 f¨ ur kleine h > 0 ausf¨allt, ist das die Behauptung. (ii) Aus (ii) und (iv) in Deﬁnition 7.1.8 folgt nach den klassischen Regeln der Diﬀerentiation einer Umkehrfunktion zun¨achst, daß die Umkehrfunktion

246

7 Der Kelloggsche Satz

Xh := ψh−1 aus C 2 (ψh (B)) ist und zwischen den Jacobimatrizen Xh und ψh die Beziehung Xh (x) = [ψh (Xh (x))]

−1

x ∈ ψh (B) ,

,

besteht. In Kombination mit Lemma 7.1.11 b) besagt dies, daß die Eintr¨age der Matrixfunktion Xh Kompositionen von C 1,α (B)-Funktionen mit Xh sind. Unterdr¨ ucken wir wieder den Index h, so haben wir Xixk (x) = f ik (X (x)) mit gewissen f ik ∈ C 1,α (B) . Es ist also Xixk xl (x) =

N

fyikm (X (x))Xmxl (x) =

m=1

N

fyikm (X (x))f ml (X (x)) .

m=1

Da X nach (i) lipschitzstetig ist, folgt mit Aufgabe 5.9 c) und Aufgabe 5.10 a), daß die 2. Ableitungen von X zu C (α) (ψ(B)) geh¨oren. (iii) Wir unterdr¨ ucken wieder den Index h und schreiben w = v ◦ X , so daß wxk (x) =

N

vyi (X (x))Xixk (x) ,

i=1

wxk xl (x) =

N

vyi yj (X (x))Xixk (x)Xjxl (x) +

i,j=1

N

vyi (X (x))Xixk xl (x)

i=1

f¨ ur x ∈ ψ(B) gilt. Hieraus ergibt sich die Behauptung wieder u ¨ber (i), Aufgabe 5.9 c) und Aufgabe 5.10 a).

7.2 Umformulierung und Beweis des Kelloggschen Satzes Um den lokalen Charakter der Regularit¨ atsaussage des Kelloggschen Satzes st¨arker herauszustellen, formulieren wir ihn wie folgt. Satz 7.2.1. Es seien Ω ⊆ RN oﬀen, Γ ⊆ ∂Ω und α ∈ (0, 1), ferner ω ⊆ Ω oﬀen, nichtleer und beschr¨ ankt, ω \ Γ ⊆ Ω und ω ∩ Γ ∈ K 2,α , wobei in Deﬁnition 7.1.8 Ω durch ω ersetzt wird. Es sei u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω ∪ Γ ),

u|Γ = 0 und Δu ∈ C 0,α (Ω) .

Gilt dann u ∈ C 1 (ω), so ist u ∈ C 2,α (ω) .

7.2 Umformulierung und Beweis des Kelloggschen Satzes

247

Korollar 7.2.2. Sei Ω ⊂⊂ RN mit ∂Ω ∈ C 2,α f¨ ur ein α ∈ (0, 1). Dann hat das Dirichletproblem −Δu = f in Ω,

u|∂Ω = 0

f¨ ur jedes f ∈ C 0,α (Ω) genau eine L¨ osung in C 2,α (Ω). Beweis. Wir wissen schon seit Bemerkung 4.2.8 und Satz 3.4.2, daß es genau eine L¨ osung u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) gibt, weil gem¨aß Korollar 7.1.7 Ω die gleichm¨ aßige ¨ außere Kugeleigenschaft besitzt. Mit Aufgabe 4.7 gilt zudem u ∈ C 1 (Ω). Die Behauptung folgt daher aus Satz 7.2.1 mit ω = Ω und Γ = ∂Ω. Der Beweis von Satz 7.2.1 wird darin bestehen nachzuweisen, daß die Voraussetzungen des nachfolgenden Hilfssatzes erf¨ ullt sind. Lemma 7.2.3. Es seien ω ⊂⊂ RN , u : ω → R, n ∈ {1, 2} und 0 < α < 1. Zu jedem x0 ∈ ω existiere eine (in RN oﬀene) Umgebung Ux0 , so daß u in C n,α (ω ∩ Ux0 ) liegt. Dann ist u ∈ C n,α (ω). Beweis. Es seien x0 und Ux0 wie angegeben und r(x0 ) > 0 so gew¨ahlt, daß ¨ (Br(x0 ) (x0 )), x0 ∈ ω, von B2r(x0 ) (x0 ) ⊆ Ux0 . Das oﬀene Uberdeckungssystem ¨ ω besitzt ein endliches Uberdeckungssystem (Br(xk ) (xk )) mit 1 ≤ k ≤ p. Es ur 1 ≤ k ≤ p, bezeichne Bk := B2r(xk ) (xk ) ∩ ω f¨ C := max u|Bk Bk ;n,α 1≤k≤p

r := min r(xk ) . 1≤k≤p

8p Wegen ω = k=1 Bk gilt u ∈ C n (ω) mit uω;n ≤ C. Sei nun x = y ∈ ω und μ Multiindex mit |μ| = n. Ist |x − y| < r, so existiert ein k ∈ {1, . . . , p} mit x, y ∈ Bk . Folglich ist |Dμ u(x) − Dμ u(y)| ≤ Hα;Bk (Dμ u|Bk ) ≤ C . |x − y|α F¨ ur |x − y| ≥ r gilt andererseits |Dμ u(x) − Dμ u(y)| 2uω;n 2C ≤ ≤ α |x − y|α rα r Zusammenfassend haben wir Hα;ω (Dμ u) ≤ C max(1, 2r−α ) f¨ ur jedes |μ| = n gezeigt. Der Beweis von Satz 7.2.1 erfolgt nun in vier Schritten. 1. Schritt. Es sei x0 ∈ ω. Wegen ω = (ω \ Γ ) ∪ (ω ∩ Γ ) ⊆ Ω ∪ (ω ∩ Γ ) ist dann entweder x0 ∈ Ω oder x0 ∈ ω ∩ Γ . Im ersten Fall gibt es Kugeln BR := BR (x0 ) ⊂⊂ B2R := B2R (x0 ) ⊂⊂ Ω. Sei ϕ ∈ Cc∞ (B2R ) eine Funktion

248

7 Der Kelloggsche Satz

mit der Eigenschaft ϕ|BR = 1. Es ist dann w := ϕu ∈ C 2 (B2R ) ∩ C 0 (B 2R ) L¨ osung des Dirichletproblems −Δw = F := −(ϕΔu + 2∇ϕ · ∇u + uΔϕ) in B2R ,

w|∂B2R = 0 .

Nach Voraussetzung ist ϕΔu ∈ C 0,α (B2R ), und es ist 2∇ϕ·∇u+uΔϕ sogar in Cc1 (B2R ), mithin F ∈ C 0,α (B2R ) und daher nach Satz 5.3.4 w ∈ C 2,α (B2R ). F¨ ur n ∈ {1, 2} ist daher u ∈ C n,α (BR ) und folglich

u ∈ C n,α (ω ∩ Ux0 ) mit Ux0 := BR (x0 ) .

Wir haben damit die innere Regularit¨ at der L¨ osung bewiesen. Mit einer etwas anderen Schlußweise geschah dasselbe bereits in Aufgabe 5.6. Im Falle x0 ∈ ω ∩ Γ gibt es nach Deﬁnition 7.1.8 (ω und ω ∩ Γ u ¨bernehmen ur h ∈ (0, h0 ) nun die Rolle von Ω bzw. Γ ) eine Kugel B ⊆ ω mit x0 ∈ ∂B und f¨ eine Abbildung ψh : B → ω ∪(ω ∩ Γ ) und eine Zahl h mit den dort genannten Eigenschaften. Nach (iii) in Deﬁnition 7.1.8 ist dann insbesondere ω ∩ Ux0 ⊆ ψh (B) mit Ux0 := B 41 h (x0 ) . Sei ϕh ∈ C ∞ (RN ) eine Funktion mit ϕh (x) =

1

f¨ ur |x − x0 | < 14 h

0

f¨ ur |x − x0 | > 12 h

.

ur n ∈ Da auf Ux0 die Funktionen u und ϕh u u ¨bereinstimmen, haben wir f¨ {1, 2} nach Lemma 7.2.3 also die gew¨ unschte Beziehung u ∈ C n,α (ω), sofern nur ϕh u ∈ C n,α (ψh (B))

(7.14)

ist. Wir zeigen im n¨ achsten Schritt, daß es tats¨ achlich gen¨ ugt, (7.14) f¨ ur n = 1 zu beweisen. 2. Schritt. Sei h ∈ (0, h0 ) und wh := ϕh u. Wegen ψh (B) ⊆ ω ⊆ Ω und ψh (B) = ψh (B) ⊆ ω ∪ (ω ∩ Γ ) ⊆ ω ∪ Γ ⊆ Ω ∪ Γ

(7.15)

ist wh ∈ C 2 (ψh (B)) ∩ C 0 (ψh (B)). Des weiteren gilt −Δwh = Fh := −(ϕh Δu + 2∇ϕh · ∇u + uΔϕh ) in ψh (B) , wh |∂ψh (B) = 0 .

(7.16)

Letzteres ergibt sich wie folgt. Wegen (iii) in Deﬁnition 7.1.8 und (7.15) ist ∂ψh (B) = ψh (B) \ ψh (B) ⊆ (ω ∪ Γ ) \ (ω ∩ Bh (x0 )) ⊆ Γ ∪ (ω \ Bh (x0 )) . Nach Voraussetzung ist u auf Γ Null, und konstruktionsgem¨aß verschwindet ϕh außerhalb B 21 h (x0 ). Nach Lemma 7.1.12 ist daher vh := wh ◦ψh ∈ C 2 (B)∩ C 0 (B) L¨ osung des Dirichletproblems

7.2 Umformulierung und Beweis des Kelloggschen Satzes

N 2 N − i,k=1 ahik (y) ∂y∂i ∂yk + k=1 ahk (y) ∂y∂k vh (y) = Fh (ψh (y)), y ∈ B , vh |∂B = 0

249

(7.17)

mit Koeﬃzienten ahik ∈ C 1,α (B), ahk ∈ C 0,α (B). Der Parameter h > 0 kann so klein gew¨ ahlt werden, daß % h 1 aik − δik ≤ min n(B, α), (7.18) B;0,α 2N 2 c˜(B, α) wird, wobei n(B, α) bzw. c˜(B, α) die in Satz 5.5.5 bzw. Satz 5.3.9 auftretenden Zahlen sind. Nach Satz 5.5.6 w¨ are vh ∈ C 2,α (B) ⊆ C 1,α (B) und mit Lemma 7.1.13 (iii) auch (7.14) bewiesen, wenn wir w¨ ußten, daß Fh ◦ ψh ∈ C 0,α (B) 1 ist. Da die Komponenten von ψh aus C (B) und daher lipschitzstetig sind, erhalten wir aus den Voraussetzungen an u in Kombination mit den Aufgaben 5.9 c) und 5.10 b) (ϕh Δu) ◦ ψh = (ϕh ◦ ψh )(Δu) ◦ ψh ∈ C 0,α (B) , (uΔϕh ) ◦ ψh = [(Δϕh ) ◦ ψh ] u ◦ ψh ∈ C 1 (B) ⊆ C 0,α (B) . Es verbleibt der Term (∇ϕh · ∇u) ◦ ψh in (7.16); er ist sicher dann in C 0,α (B), wenn u ∈ C 1,α (ω) ist. Diese Eigenschaft – sie ergibt sich noch nicht direkt aus Abschnitt 4.6 – werden wir nun in den n¨ achsten beiden Schritten herleiten. 3. Schritt. Wir w¨ ahlen ein h ∈ (0, h0 ) so, daß (7.18) besteht, und lassen in der Folge den so ﬁxierten Index h fort, um die Notation zu entlasten. Mit ik (y) := aik (y) − δik schreibt sich dann (7.17) − Δv(y) −

N

ik (y)vyi yk (y) +

i,k=1

N

ak (y)vyk (y) = F (ψ(y)),

y ∈ B .(7.19)

k=1

Wegen u ∈ C 1 (ω) und Δu ∈ C 0,α (Ω) ist F auf ω stetig und beschr¨ankt, also F ◦ ψ auf B stetig und beschr¨ ankt; ebenso ist vyk (y) =

N

wxl (ψ(y))ψlyk (y)

l=1

auf B stetig und beschr¨ ankt, also v ∈ C 2 (B) ∩ C 0 (B) ∩ C 1 (B). Wir multiplizieren (7.19) mit der Greenschen Funktion f¨ ur B und integrie⊂⊂ B: ren u ber eine mit B konzentrische Kugel B ¨ N

− G(x, y)Δv(y) dy − Tik (x) (7.20) i,k=1

B

1 G(x, y) F (ψ(y)) −

= B

N

k=1

2 ak (y)vyk (y) dy .

250

7 Der Kelloggsche Satz

Dabei ist (zun¨ achst Aussparung der Singularit¨ at durch eine kleine Kugel wie beim Beweis von Lemma 4.2.1) Tik (x) := G(x, y)ik (y)vyi yk (y) dy (7.21) B

G(x, y)ik (y)vyi (y)νk (y) dS(y) −

=

vyi (y)

∂ [G(x, y)ik (y)] dy . ∂yk

B

∂B

Da aufgrund der Symmetrie der Greenschen Funktion G(x, y) f¨ ur festes x ∈ B gleichm¨ aßig in y ∈ ∂B gegen Null geht, wenn gegen den Radius B von B ankt ist, geht das Oberﬂ¨achenintegral in (7.21) f¨ ur strebt, und ik vyi beschr¨ ubergang → B gegen Null. Da das Integral links in (7.20) bei diesem Grenz¨ nach Aufgabe 5.5 gegen v(x) strebt, erhalten wir f¨ ur x ∈ B v(x) +

N

Gyk (x, y)ik (y)vyi (y) dy = F˜ (x) :=

i,k=1 B

G(x, y)b(y) dy B

mit b(y) := F (ψ(y)) −

N

ak (y)vyk (y) −

k=1

N

vyi (y)

i,k=1

∂ ik (y) . ∂yk

Wegen ak ∈ C 0,α (B), ik ∈ C 1,α (B) ist b ∈ C 0 (B) beschr¨ankt, mithin nach Aufgabe 5.4 a) F˜ ∈ C 1,α (B). 4. Schritt. Wir behaupten jetzt: (I) Die Gleichung z(x) +

N

Gyk (x, y)ik (y)zyi (y) dy = F˜ (x),

x∈B,

(7.22)

i,k=1 B

hat eine L¨ osung z ∈ C 1,α (B). (II) Die Gleichung hat in C 1 (B) h¨ ochstens eine L¨osung. osung ist, folgt aus (I) und (II) v ∈ C 1,α (B). Nach Da v ∈ C 1 (B) ja eine L¨ Lemma 7.1.13 (iii) besteht daher (7.14) mit n = 1, und das Ziel u ∈ C 1,α (ω) ist erreicht. Beweis von (I). Mit z ∈ C 1,α (B) ist ik zyi ∈ C 0,α (B). Nach Satz 5.3.9 ist ugt also zu zeigen, daß die daher das Integral in (7.22) aus C 1,α (B). Es gen¨ Abbildung T : C 1,α (B) → C 1,α (B),

z → F˜ −

N

i,k=1 B

Gyk (·, y)ik (y)zyi (y) dy

7.2 Umformulierung und Beweis des Kelloggschen Satzes

251

einen Fixpunkt besitzt. Wir beweisen, daß T kontrahierend ist. Mit der Konstanten c˜(B, α) aus Satz 5.3.9 gilt f¨ ur z1 , z2 ∈ C 1,α (B) T (z1 − z2 )B;1,α ≤ c˜(B, α)

N

ik (z1 − z2 )yi B;0,α .

i,k=1

Da nach Aufgabe 5.10 a) ik (z1 − z2 )yi B;0,α ≤ ik B;0,α (z1 − z2 )yi B;0,α ist, haben wir wegen (7.18) in der Tat N z1 − z2 B;1,α T (z1 − z2 )B;1,α ≤ c˜(B, α) ik B;0,α i,k=1 ≤

1 z1 − z2 B;1,α . 2

Beweis von (II). Die Diﬀerenz z zweier L¨ osungen von (7.22) gen¨ ugt der Gleichung z(x) +

N

Gyk (x, y)ik (y)zyi (y) dy = 0 f¨ ur alle x ∈ B .

(7.23)

i,k=1 B

z ∈ C 1 (B) hat eine stetige Fortsetzung auf B. Wir zeigen zun¨achst, daß diese ugt zu zeigen, daß auf ∂B Null ist. Sei x0 ∈ ∂B. Es gen¨ |Gyk (x, y)| dy = |Gyk (x, y)| dy + |Gyk (x, y)| dy (7.24) B

{y∈B : |y−x0 |≤δ}

{y∈B : |y−x0 |>δ}

gegen Null geht, wenn x ∈ B gegen x0 strebt. Das erste Integral in (7.24) kann aufgrund der ersten Absch¨ atzungen in Aufgabe 5.2 durch Wahl von δ > 0 kleiner als /2 gemacht werden, wobei δ unabh¨angig von x ∈ B gew¨ahlt werden kann. Da nach dem Mittelwertsatz Gyk (x, y) = Gyk (x, y) − Gyk (x0 , y) = (x − x0 ) · ∇x Gyk (ξ, y) ist, wird aufgrund der zweiten Absch¨ atzung in Aufgabe 5.2 das zweite Integral in (7.24) f¨ ur hinreichend kleine |x − x0 | ebenfalls kleiner als /2. Sei nun φ ∈ C 2,α (B) und φ|∂B = 0. Dann folgt aus (7.23) nach Vertauschung der Integrationsreihenfolge ⎛ ⎞ N

z(x)Δφ(x) dx + ik (y)zyi (y) ⎝ Gyk (x, y)Δφ(x) dx⎠dy = 0.(7.25) B

i,k=1 B

B

Da die Greensche Funktion symmetrisch ist, haben wir

252

7 Der Kelloggsche Satz

∂ Gyk (x, y)Δφ(x) dx = ∂yk

B

∂ G(x, y)Δφ(x) dx = ∂yk

B

G(y, x)Δφ(x) dx B

(vgl. etwa Aufgabe 5.4 a)). Des weiteren ist G(y, x)Δφ(x) dx = −φ(y) , B

denn es gen¨ ugen beide Seiten demselben Dirichletproblem (vgl. Satz 4.4.7 b)). Wegen ik zφyk ∈ C 1 (B) kann gem¨ aß Bemerkung 5.3.2 a) und Satz B.5 − ik (y)zyi (y)φyk (y) dy B

partiell bez¨ uglich yi integriert werden, wobei das Oberﬂ¨achenintegral verschwindet, weil z|∂B = 0 gilt. Also kann (7.25) in die Form ⎤ ⎡ N

0 = z(y) ⎣Δφ(y) + (ik (y)φyk (y))yi ⎦ dy B

= B

⎡ z(y) ⎣

i,k=1 N

i,k=1

aik (y)φyi yk

⎤ N N

∂ + aik (y) φyk (y)⎦ dy ∂yi i=1 k=1

gebracht werden. Aufgrund der in (7.18) getroﬀenen Wahl der aik gibt es nach ur das die eckige Klammer gleich z(y) wird. Also Satz 5.5.6 ein φ ∈ C 2,α (B), f¨ ist tats¨ achlich z = 0.

7.3 Zwei A-Priori-Ungleichungen im Gefolge des Kelloggschen Satzes Es seien B ⊂⊂ RN eine Kugel und α, γ ∈ (0, 1). In Kapitel 5 hatten wir gesehen, daß es Zahlen c(B, α) und c(B, γ) gibt, so daß f¨ ur alle u ∈ C 2,α (B) mit u|∂B = 0 uB;2,α ≤ c(B, α)ΔuB;0,α

(vgl. (5.12))

gilt und f¨ ur alle u ∈ C (B) mit u|∂B = 0 2

uB;1,γ ≤ c(B, γ) sup |Δu|

(vgl. Aufgabe 5.4 b))

(7.26)

besteht. Die erste Ungleichung ergab sich entweder durch direkte Absch¨atzung des Greenpotentials zu B und Δu (Bemerkung 5.3.5) oder durch Kombination von Satz 5.3.4 mit dem Banachschen Satz von der oﬀenen Abbildung, wie in Bemerkung 5.3.7 erl¨ autert. Da die dort vorausgesetzte L¨osbarkeit des Dirichletproblems nunmehr dank Korollar 7.2.2 f¨ ur ∂Ω ∈ C 2,α gew¨ahrleistet ist, haben wir

7.3 Zwei A-Priori-Ungleichungen im Gefolge des Kelloggschen Satzes

253

Satz 7.3.1. Es sei Ω ⊂⊂ RN und ∂Ω ∈ C 2,α f¨ ur ein α ∈ (0, 1). Dann gibt es eine allein durch Ω und α bestimmte Konstante c(Ω, α), so daß uΩ;2,α ≤ c(Ω, α)ΔuΩ;0,α

(7.27)

f¨ ur alle u ∈ C 2,α (Ω) mit u|∂Ω = 0. Beweis. Die in Bemerkung 5.3.7 deﬁnierte lineare injektive und stetige Abbildung T ist nach Korollar 7.2.2 auch surjektiv. Nach dem Banachschen Satz von der oﬀenen Abbildung ist daher auch die lineare Abbildung T −1 stetig, also beschr¨ ankt. Wie in Abschnitt 5.5 f¨ ur die Kugel erl¨ autert, k¨onnte man nun auf der Basis der A-Priori-Ungleichung (7.27) das Dirichletproblem in Ω f¨ ur allgemeine lineare elliptische Diﬀerentialgleichungen 2. Ordnung, deren Hauptteil wenig vom Laplaceoperator abweicht, l¨ osen. Wir werden im n¨achsten Kapitel jedoch sehen, daß man tats¨ achlich ohne eine solche Kleinheitsbedingung auskommt. Ungleichung (7.26) wurde in Aufgabe 5.4 b) durch Absch¨atzung des Greenpotentials zu B und Δu gewonnen. Eine A-Priori-Ungleichung dieses Typs spielte bei der in Abschnitt 5.6 erl¨ auterten L¨ osung des semilinearen Dirichletproblems nach der Methode von Leray-Schauder eine Rolle. Wir wollen nun das Analogon zu (7.26) f¨ ur Ω ⊂⊂ RN mit ∂Ω ∈ C 2,α u ¨ber die Integralgleichung (7.22) herleiten, die bei unserem Beweis des Kelloggschen Satzes eine zentrale Rolle spielte. Hierzu und f¨ ur ¨ahnliche Zwecke in Kapitel 8 ben¨ otigen wir Einbettungsresultate wie in Satz 5.5.2 oder Bemerkung 5.6.4 f¨ ur allgemeinere als konvexe Gebiete. Die folgende Klasse von Gebieten, die in anderem Zusammenhang von Whitney [342] eingef¨ uhrt wurde, gestattet es, die H¨ olderschranke einer Funktion durch die Funktion und ihre Ableitung abzusch¨ atzen. Deﬁnition 7.3.2. Es sei Ω ⊆ RN zusammenh¨ angend. Ω heißt ein Gebiet von endlicher L¨ ange, wenn es eine Zahl ω ≥ 1 gibt, so daß sich je zwei Punkte x, y ∈ Ω durch einen stetig diﬀerenzierbaren Weg innerhalb Ω verbinden lassen, dessen L¨ ange ≤ ω|x − y| ist. Bei den nachfolgenden Resultaten interessieren uns prim¨ar die F¨alle m ∈ {1, 2}. Lemma 7.3.3. Es seien Ω ⊆ RN ein nichtleeres Gebiet von endlicher L¨ ange, ω wie in Deﬁnition7.3.2 und m ∈ N. Dann gilt f¨ ur alle γ ∈ (0, 1] und u ∈ C m (Ω)

Hγ;Ω (Dμ u) ≤ N ω sup |Dμ u| |μ|=m−1

m−1≤|μ|≤m

Ω

Beweis. Nach Voraussetzung gibt es ein ω ≥ 1 und zu x, y ∈ Ω, x = y, eine stetig diﬀerenzierbare Funktion ϕ : [0, 1] → Ω mit ϕ(0) = x, ϕ(1) = y und

254

7 Der Kelloggsche Satz

1

|ϕ (t)| dt ≤ ω|x − y| .

0

Ist μ ein Multiindex mit |μ| = m − 1, so gilt daher aufgrund der Schwarzschen Ungleichung 1 1 d μ μ μ μ |D u(x) − D u(y)| = D u(ϕ(t)) dt = ∇D u(ϕ(t)) · ϕ (t) dt 0 dt 0 1N 2 21/2 1 1

∂ μ μ ≤ |∇D u(ϕ(t))| |ϕ (t)| dt ≤ D u(x) |ϕ (t)| dt , sup ∂x i 0 0 i=1 x∈Ω also

⎧ N ⎪ ∂ μ ⎪ ⎨ω sup ∂x D u(x) , falls |x − y| ≤ 1 i

|Dμ u(x) − Dμ u(y)| i=1 x∈Ω ≤ ⎪ |x − y|γ ⎪ 2 sup |Dμ u(x)| ⎩ x∈Ω

Mithin ist

Hγ;Ω (Dμ u) ≤ 2ω

|μ|=m−1

.

, falls |x − y| > 1

sup |Dμ u| + N ω

|μ|=m−1

sup |Dμ u| .

|μ|=m

Aus Lemma 7.3.3 folgt unmittelbar, daß f¨ ur jedes m ∈ N0 der Raum C m+1 (Ω) m,1 (Ω) enthalten und der zugeh¨ orige Einbettungsoperator stetig ist (vgl. in C (C.19)). Daß die Voraussetzung an Ω, ein Gebiet endlicher L¨ange zu sein, nicht einfach fortgelassen werden darf, belegen die Aufgaben 7.3 und 7.4, in denen zu beliebigen 0 < α, β ≤ 1 Funktionen u konstruiert werden mit u ∈ C 1,β (Ω) ur beliebige oﬀene und u ∈ / C 0,α (Ω). Es ist nicht schwer zu zeigen, daß f¨ N Ω ⊆ R , m ∈ N0 und 0 < β < α ≤ 1 die stetigen Inklusionen C m,α (Ω) ⊆ C m,β (Ω) ⊆ C m (Ω) gelten (s. (C.16)–(C.18)). F¨ ur Gebiete Ω ⊆ RN von endlicher L¨ange ergibt sich somit die Stetigkeit folgender Einbettungen f¨ ur m, n ∈ N und 0 < α, β ≤ 1: C m (Ω) ⊆ C n (Ω), C m (Ω) ⊆ C n,β (Ω), C m,α (Ω) ⊆ C n (Ω), C m,α (Ω) ⊆ C n,β (Ω),

falls falls falls falls

m≥n, m>n, m≥n, m > n oder (m = n und α ≥ β) .

All diese Aussagen werden in Satz C.4 bequem zusammengefaßt, indem den aumen C m,α (Ω) der Grad m + α R¨ aumen C m (Ω) der Grad m und den R¨ zugeordnet wird (s. Deﬁnition C.3).

7.3 Zwei A-Priori-Ungleichungen im Gefolge des Kelloggschen Satzes

255

In Anhang C wird mit Satz C.5 noch mehr gezeigt: Ist Ω ein beschr¨anktes Gebiet von endlicher L¨ ange, so sind die oben genannten Einbettungen schon kompakt, wenn der Grad des einzubettenden Raumes echt gr¨oßer ist als der Grad des Raumes, in den eingebettet wird. Spezialf¨alle dieses Satzes sind uns bereits in Satz 5.5.2, Bemerkung 5.6.4 und im Beweis von Lemma 7.1.12 begegnet. Eine einfache Folgerung aus Satz C.5 und dem Ehrlingschen Lemma 5.5.1 ist wegen der Injektivit¨ at der Einbettung von C m (Ω) in C k (Ω), 0 ≤ k < m, das folgende Korollar 7.3.4. Es seien Ω ⊂⊂ RN ein Gebiet von endlicher L¨ ange, m ∈ N und γ ∈ (0, 1]. Dann gibt es zu jedem > 0 ein d(, Ω, m, γ) > 0 mit uΩ;m ≤ uΩ;m,γ + d(, Ω, m, γ)uΩ;k f¨ ur alle u ∈ C m,γ (Ω) und 0 ≤ k < m. Wir zeigen nun, daß jedes Gebiet mit glattem Rand (in unserem Fall C 2,α Rand) ein Gebiet endlicher L¨ ange ist. Satz 7.3.5. Es sei Ω ⊂⊂ RN zusammenh¨ angend und ∂Ω ∈ C 2,α f¨ ur ein α ∈ (0, 1]. Dann ist Ω ein Gebiet von endlicher L¨ ange. Beweis. Wir u achst, daß zu jedem y ∈ Ω ein r(y) > 0 so ¨berzeugen uns zun¨ gew¨ ahlt werden kann, daß B2r(y) (y)∩Ω ein Gebiet von endlicher L¨ange ist mit ω ≤ 2 (ω wie in Deﬁnition 7.3.2). Im Falle y ∈ Ω w¨ahle man hierzu r(y) > 0 ur y ∈ ∂Ω verwende man Lemma 7.1.9 und w¨ahle mit B2r(y) (y) ⊆ Ω. F¨ ur die gem¨ aß Deﬁnition 7.1.8 zu dem Randpunkt r(y) := h /2 mit h := h0 /2 f¨ origen Gr¨ oßen h0 und h . Daß B2r(y) (y) ∩ Ω in diesem Fall ein x0 = y geh¨ Gebiet endlicher L¨ ange ist, folgt aus Bh (y) ∩ Ω ⊆ ψh (B) (s. (iii) in Deﬁnition ur alle x ∈ B, was gem¨aß (v) in Deﬁnition 7.1.8 7.1.8) und aus |ψh (x)| ≤ 2 f¨ durch Verkleinerung von h stets erreicht werden kann. Es bildet (Br(y) (y)), ¨ y ∈ Ω, eine oﬀene Uberdeckung der kompakten Menge Ω. Wir w¨ahlen yj ∈ Ω, 1 ≤ j ≤ k, derart, daß (Br(yj ) (yj )), 1 ≤ j ≤ k, ebenfalls Ω u ¨berdeckt. Es bezeichne δ := min1≤j≤k r(yj ) > 0. Wir zeigen nun, daß Ω ein Gebiet endlicher L¨ ange ist. Sind x = y ∈ Ω mit |x − y| < δ, so ﬁndet sich ein j ∈ {1, . . . , k} mit x ∈ Br(yj ) (yj ) und folglich y ∈ B2r(yj ) (yj ). Gem¨aß Konstruktion wissen wir, daß in Ω ein stetig diﬀerenzierbarer Weg der L¨ ange ≤ 2|x − y| existiert, der x und y miteinander verbindet. Seien schließlich x, y ∈ Ω mit |x − y| ≥ δ. Wie im Beweis von Satz 2.2.5 erl¨ autert, l¨ aßt sich x und y durch eine Kugelkette, bestehend aus Kugeln Br(yj ) (yj ), miteinander verbinden. Hieraus kann man einen x und y verbindenden stetig diﬀerenzierbaren Weg in Ω konstruieren, dessen L¨ ange innerhalb jeder der in der Kette auftretenden Kugeln Br(yj ) (yj ) durch 4r(yj ) beschr¨ ankt ist. Trivialerweise kann die Kette so gew¨ahlt werden, daß jede Kugel h¨ ochstens einmal vorkommt. Die Gesamtl¨ange des verbindenk den Weges l¨ aßt sich somit durch 4 j=1 r(yj ) absch¨atzen. Wir haben also gezeigt, daß Ω ein Gebiet endlicher L¨ ange ist mit

256

7 Der Kelloggsche Satz

% 4 k ω ≤ max 2, r(yj ) . δ j=1 Bemerkung 7.3.6. Satz C.5 u ¨ber die Kompaktheit von Einbettungen l¨aßt sich gem¨ aß Satz 7.3.5 auch auf Gebiete Ω ⊂⊂ RN mit ∂Ω ∈ C 2,α f¨ ur ein α ∈ (0, 1] u ¨bertragen. In Aufgabe 7.5 soll mit Hilfe von Bemerkung 7.1.5 andern auf die Voraussetzung des gezeigt werden, daß in dem Fall von C 2,α -R¨ Zusammenhangs verzichtet werden kann: ur ein α ∈ (0, 1]. Weiter seien Sei Ω ⊂⊂ RN mit ∂Ω ∈ C 2,α f¨ X, Y ∈ {C m,γ (Ω) : m ∈ N0 , 0 < γ ≤ 1} ∪ {C m (Ω) : m ∈ N0 } . Ist der Grad von X kleiner als der Grad von Y , so ist die Einbettung T : Y → X kompakt. Satz 7.3.7. Es sei Ω ⊂⊂ RN nichtleer und ∂Ω ∈ C 2,α f¨ ur ein α ∈ (0, 1]. Dann gibt es f¨ ur jedes γ ∈ (0, 1) eine allein von Ω und γ abh¨ angende Zahl c(Ω, γ) mit uΩ;1,γ ≤ c(Ω, γ) sup |Δu|

(7.28)

Ω

f¨ ur alle u ∈ C 2 (Ω) mit u|∂Ω = 0. Beweis. Wegen Bemerkung 7.1.5 gen¨ ugt es, den Fall zusammenh¨angender Ω zu betrachten. Gem¨ aß Satz 7.3.5 k¨ onnen wir somit annehmen, daß Ω ein Gebiet von endlicher L¨ ange ist. Zu jedem x0 ∈ ∂Ω gibt es eine Kugel B ⊆ Ω ur jedes h ∈ (0, h0 ) eine mit x0 ∈ ∂B und Zahlen h0 , c > 0 derart, daß f¨ Abbildung ψh und eine Zahl h > 0 mit den in Deﬁnition 7.1.8 genannten Eigenschaften (i)–(v) existieren. Nach Lemma 7.1.12 gibt es ein h ∈ (0, h0 ) und Funktionen ahik ∈ C 1,α (B) mit % h 1 1 aik − δik , ≤ min n(B, α), . (7.29) B;0,α 2N 2 c˜(B, α) 2N 2 c˜(B, γ) Dabei ist n(B, α) die in Satz 5.5.5 deﬁnierte Zahl, und die Zahlen c˜(B, α), c˜(B, γ) sind wie in Satz 5.3.9 angegeben. Man beachte, daß wir wegen Bemerkung 7.1.2 a) α < 1 annehmen k¨ onnen. Da B durch x0 und Ω bestimmt ist und α durch Ω, ist die Wahl von h urlich im folgenden ﬁxiert allein durch x0 , Ω und γ bestimmt. Da Ω und γ nat¨ angig. Wir umgeben jetzt jedes sind, ist also r(x0 ) := 18 h allein von x0 abh¨ x0 ∈ ∂Ω mit der Kugel Br(x0 ) (x0 ) und jedes x0 ∈ Ω mit Bd(x0 ) (x0 ), wobei ¨ d(x0 ) := 1 dist(x0 , ∂Ω) ist. Dies liefert uns ein oﬀenes Uberdeckungssystem 8

S von Ω, welches nach dem Satz von Heine-Borel ein endliches Teilsystem alt, das Ω u (Bσj (xj )), 1 ≤ j ≤ q, enth¨ ¨berdeckt; es ist allein durch Ω und γ bestimmt, da dies ja auf S zutriﬀt. Dies gilt also insbesondere f¨ ur q und die xj

7.3 Zwei A-Priori-Ungleichungen im Gefolge des Kelloggschen Satzes

257

und σj und daher f¨ ur := min{σ1 , . . . , σq } sowie f¨ ur die Abbildung ψhj : B → Ω, die zu dem Punkt xj geh¨ ort, falls dieser ein Randpunkt ist. Setzen wir h := hj und hik := ahik − δik , wobei die ahik gem¨aß (7.11) durch ψh gegeben sind, so sind die hik B;0,α allein durch Ω und γ bestimmte Zahlen, die der Ungleichung (7.29) gen¨ ugen. Desgleichen haben dann auch die in Deﬁnition 7.1.8 (iv), Lemma 7.1.12 (α), (β) und Aufgabe 7.2 auftretenden Zahlen diese Eigenschaft. Wir u ugt, die Existenz einer allein ¨berzeugen uns nun davon, daß es gen¨ von Ω und γ abh¨ angenden Zahl k(Ω, γ) zu beweisen, mit der uΩ∩B2σj (xj );1,γ ≤ k(Ω, γ) (uΩ;1 + supΩ |Δu|)

(7.30)

f¨ ur alle j ∈ {1, . . . , q} und f¨ ur alle u ∈ C 2 (Ω) mit u|∂Ω = 0 besteht. Es seien x, y ∈ Ω. Dann gibt es ein j ∈ {1, . . . , q} mit x ∈ Bσj (xj ). Im Falle |x − y| < ur x = y sind dann x, y ∈ Ω ∩ B2σj (xj ), so daß f¨ |uxk (x) − uxk (y)| ≤ uΩ∩B2σj (xj );1,γ |x − y|γ gilt. Im Falle |x − y| ≥ ist |uxk (x) − uxk (y)| 2 ≤ γ uΩ;1 . γ |x − y| Es ist dann also u ∈ C 1,γ (Ω) und uΩ;1,γ = uΩ;1 +

N

Hγ;Ω (uxk )

(7.31)

k=1

2N ≤ 1 + γ + N k(Ω, γ) uΩ;1 + N k(Ω, γ) sup |Δu| . Ω Aus Korollar 7.3.4 (Ω ist gem¨ aß der zu Beginn des Beweises gemachten Bemerkung ein Gebiet endlicher L¨ ange) ergibt sich, daß zu jedem > 0 ein d(, Ω, 1, γ) > 0 existiert, so daß uΩ;1 ≤ uΩ;1,γ + d(, Ω, 1, γ) max |u|

(7.32)

Ω

f¨ ur alle u ∈ C 1,γ (Ω). Des weiteren ist nach dem Bernsteinschen Lemma 2.6.3 max |u| ≤ c0 (Ω, 1, 1) sup |Δu| , Ω

(7.33)

Ω

so daß die gew¨ unschte Ungleichung (7.28) aus (7.31), (7.32) und (7.33) folgt. F¨ ur den Beweis von (7.30) unterscheiden wir zwei F¨alle. 1. Fall. Eines der xj ist aus Ω. Dann gilt Bj := B4σj (xj ) = B4d(xj ) (xj ) ⊂⊂ Ω, und es l¨ ost die mit der Abschneidefunktion ϕ ∈ Cc∞ (Bj ), 0 ≤ ϕ ≤ 1 und ϕ(x) = 1 f¨ ur x ∈ B2σj (xj ) gebildete Funktion w := ϕu das Dirichletproblem

258

7 Der Kelloggsche Satz

−Δw = F := −(ϕΔu + 2∇ϕ · ∇u + uΔϕ) in Bj ,

w|∂Bj = 0 ,

so daß wegen (7.26) die Ungleichung uΩ∩B2σj (xj );1,γ ≤ wBj ;1,γ ≤ c(Bj , γ) sup |F | Bj

besteht. Da es eine Zahl k > 0 mit sup |∇ϕ| ≤ Bj

k σj

,

sup |Δϕ| ≤ Bj

k σj2

gibt und σj ≥ ist, beweist dies (7.30). 2. Fall. Eines der xj ist aus ∂Ω. Zu jedem solchen xj gibt es dann eine Kugel B ⊆ Ω mit xj ∈ ∂B, und mit der zu xj geh¨orenden Abbildung ψhj besteht insbesondere die Inklusion Ω ∩ B2σj (xj ) ⊆ ψhj (B) ⊆ Ω. Wie im 1. Schritt des Beweises des Kelloggschen Satzes 7.2.1 w¨ahlen wir nun ein ϕhj ∈ C ∞ (RN ) mit ϕhj (x) =

f¨ ur |x − xj | < 14 hj = 2σj

1

f¨ ur |x − xj | > 12 hj = 4σj und bilden whj := ϕhj u ∈ C 2 (ψhj (B)) ∩ C 0 ψhj (B) . Wir unterdr¨ ucken nun den Index hj und beachten 0

uΩ∩B2σj (xj );1,γ = wΩ∩B2σj (xj );1,γ ≤ wψ(B);1,γ , so daß es oﬀensichtlich gen¨ ugt, wψ(B);1,γ ≤ k(Ω, γ)(uΩ;1 + sup |Δu|)

(7.34)

Ω

zu beweisen. Wir setzen v := w ◦ ψ und X := ψ −1 , so daß also v ◦ X ψ(B);1,γ abzusch¨ atzen ist. Zun¨ achst haben wir N

sup |wxk (x)| = sup vyi (X (x))Xixk (x) x∈ψ(B) x∈ψ(B) i=1

≤ max sup |Xlxk | l

ψ(B)

N

sup |vyi | .

i=1 B

F¨ ur x , x ∈ ψ(B), x = x , schreiben wir vyi (X (x ))Xixk (x ) − vyi (X (x ))Xixk (x ) = Xixk (x )

vyi (X (x )) − vyi (X (x )) |X (x ) − X (x )|γ |X (x ) − X (x )|γ

+ vyi (X (x )) [Xixk (x ) − Xixk (x )] ,

7.3 Zwei A-Priori-Ungleichungen im Gefolge des Kelloggschen Satzes

259

woraus sich wegen Lemma 7.1.13 (i) Hγ;B ((vyi ◦ X )Xixk ) ≤ 2γ sup |Xixk |Hγ;B (vyi ) + sup |vyi |Hγ;ψ(B) (Xixk ) , B

ψ(B)

also N

Hγ;B ((vyi ◦ X )Xixk )

i=1

N N

≤ 2 max sup |Xlxk | Hγ;B (vyi ) + max Hγ;ψ(B) (Xlxk ) sup |vyi | γ

l

ψ(B)

l

i=1

i=1 B

ergibt. Es ist somit wψ(B);1,γ = v ◦ X ψ(B);1,γ ≤ 2γ

N

ψl−1 ψ(B);1,γ vB;1,γ ,

(7.35)

l=1

wobei die ψl−1 ψ(B);1,γ nach Aufgabe 7.2 durch eine Konstante abgesch¨atzt werden k¨ onnen, die, wie eingangs begr¨ undet, allein durch Ω und γ bestimmt ist. Wir sind damit zu dem Problem gelangt, eine Ungleichung der Form ˜ (7.36) vB;1,γ ≤ k(Ω, γ) uΩ;1 + sup |Δu| Ω

herzustellen. Wir hatten zu Ende des 3. Schrittes im Beweis von Satz 7.2.1 gesehen, daß v f¨ ur x ∈ B der Integralgleichung v(x) +

N

Gyk (x, y)ik (y)vyi (y) dy =

i,k=1 B

G(x, y)b(y) dy B

mit b(y) := F (ψ(y)) −

N

k=1

ak (y)vyk (y) −

N

vyi (y)

i,k=1

∂ ik (y) ∂yk

gen¨ ugt, wobei die ak durch (7.12) deﬁniert sind und F := −(ϕΔu + 2∇ϕ · ∇u + uΔϕ) ist. Bei den nachfolgenden Absch¨ atzungen bezeichnen wir der Einfachheit halber mit c(Ω, γ) immer wieder neue Konstanten, die aber alle die Eigenschaft haben, allein durch Ω und γ bestimmt zu sein. Zun¨achst ist sup |F ◦ ψ| ≤ sup |F | ≤ c(Ω, γ) uΩ;1 + sup |Δu| , (7.37) B

Ω

dann nach Deﬁnition 7.1.8 (iv)

Ω

260

7 Der Kelloggsche Satz

sup |vyk | ≤ B

N

l=1

sup |wxl ◦ ψ| sup |ψlyk | B

B

≤ c(Ω, γ)wΩ;1 ≤ c(Ω, γ)uΩ;1 .

(7.38)

Aus (7.37) und (7.38) ergibt sich zusammen mit Lemma 7.1.12 α), β) sup |b| ≤ sup |F ◦ ψ| + B

B

N

sup |ak | sup |vyk | +

k=1

B

B

≤ c(Ω, γ) uΩ;1 + sup |Δu| ,

N

i,k=1

sup |(ik )yk | sup |vyi | B

B

Ω

mithin nach Aufgabe 5.4 a) G(·, y)b(y) dy B

≤ c(Ω, γ) uΩ;1 + sup |Δu| . Ω

B;1,γ

Wegen vyi ∈ C 1 (B) ⊆ C 0,γ (B) und ik ∈ C 1,α (B) ⊆ C 0,γ (B) (s. Satz C.4) ist auch ik vyi ∈ C 0,γ (B) (s. Aufgabe 5.10 b)), so daß wir mit der Konstanten c˜(B, γ) aus Satz 5.3.9 nach nochmaliger Anwendung von Aufgabe 5.10 b) Gy (·, y)ik (y)vy (y) dy ≤ c˜(B, γ)ik vyi B;0,γ i k B

B;1,γ

% ≤ c˜(B, γ) sup |ik | sup |vyi | + Hγ;B (vyi ) + Hγ;B (ik ) sup |vyi | B

B

B

erhalten. Insgesamt ergibt sich also aufgrund unserer Wahl in (7.29) N N vB;1,γ ≤ c˜(B, γ) sup | | v + H ( ) v ik B;1,γ B;1 i,k=1 i,k=1 γ;B ik B + c(Ω, γ) uΩ;1 + sup |Δu| Ω

1 N ≤ vB;1,γ + H ( ) c(Ω, γ)uΩ;1 γ;B ik i,k=1 2 + c(Ω, γ) uΩ;1 + sup |Δu|

.

Ω

N Da auch i,k=1 Hγ;B (ik ) eine Zahl ist, die allein durch Ω und γ bestimmt ist, haben wir daher (7.36) und damit u ur die ¨ber (7.34) und (7.35) auch die f¨ angestrebte Absch¨ atzung (7.28) hinreichende Beziehung (7.30) bewiesen.

Aufgaben ¨ 7.1. Man zeige die Aquivalenz der in 7.1.1 und 7.1.4 gegebenen Deﬁnitionen 2,α at des Randes einer oﬀenen Menge Ω ⊆ RN . f¨ ur die C -Regularit¨

7 Aufgaben

261

7.2. Man zeige, daß in der Situation von Deﬁnition 7.1.8 h0 , c > 0 so gew¨ahlt werden k¨ onnen, daß zus¨ atzlich zu den Aussagen der Lemmata 7.1.11–7.1.13 f¨ ur alle h ∈ (0, h0 ) −1 ψ ≤c h ψ(B);1,1 gilt. 7.3. Es ist Ω := {x ∈ R2 : 1 < |x| < 2} \ {x ∈ R2 : x = (0, x2 ), x2 > 0} ein geschlitzter Kreisring in der Ebene, und es sei l¨ angs der positiven x2 -Achse −1 , wenn x1 < 0, x2 > 0, u ∈ C 2 (Ω) mit u(x) = +1 , wenn x1 > 0, x2 > 0. Man beweise f¨ ur 0 ≤ α, β ≤ 1, daß u ∈ C 1,β (Ω) ist, aber u ∈ / C 0,α (Ω). 7.4. a) Es sei −2 Ωk := (x1 , x2 ) ∈ R × R+ : 3 > |x1 | > e−x2 , 2−k < x2 < 3 · 2−k−1 8∞ und Ω := k=1 Ωk . Da die Ωk paarweise disjunkt sind, ist die Deﬁnition ur (x1 , x2 ) ∈ Ω sinnvoll. u(x1 , x2 ) := 2−k sgn x1 , wenn (x1 , x2 ) ∈ Ωk , f¨ Hierbei bezeichnet sgn die Signumfunktion, welche 0 auf 0 abbildet und x = 0 den Wert x/|x| zuordnet. Man zeige f¨ ur 0 < α, β ≤ 1, daß u ∈ C 1,β (Ω), aber u ∈ / C 0,α (Ω) ist. b) Man mache Ω aus a) zusammenh¨ angend, indem man Ω := {(x1 , x2 ) ∈ R × R : 2 < |x1 | < 3, −1 < x2 < 1} und Ω := {(x1 , x2 ) ∈ R × R : − 3 < x1 < 3, x2 < 0} hinzunimmt, also Ω :=

∞ &

Ωk ∪ Ω ∪ Ω

k=1

deﬁniert. Es bezeichne φ ∈ C 2 (R \ {0}) eine feste Funktion mit φ(x1 ) = ur |x1 | < 1, φ(x1 ) = 0 f¨ ur |x1 | > 2, und es sei sgn x1 f¨ −k 2 φ(x1 ) , falls (x1 , x2 ) ∈ Ωk , u(x1 , x2 ) := 0 , falls (x1 , x2 ) ∈ Ω ∪ Ω . / C 0,α (Ω). Man beweise f¨ ur 0 < α, β ≤ 1, daß u ∈ C 1,β (Ω), aber u ∈ Zudem zeige man, daß u gleichm¨ aßig stetig ist. 7.5. Man leite die Aussage der Bemerkung 7.3.6 aus den S¨atzen C.5 und 7.3.5 und der Bemerkung 7.1.5 ab.

8 Die globale A-Priori-Absch¨ atzung von Schauder und ihre Anwendung auf lineare und quasilineare Dirichletprobleme

In der Klasse der h¨ olderstetigen Funktionen wurde das Dirichletproblem f¨ ur die allgemeine lineare elliptische Diﬀerentialgleichung 2. Ordnung von Schauder [293, 294] gel¨ ost. Dabei war es seine erkl¨ arte Absicht, die von Giraud in zahlreichen umfangreichen Arbeiten1 verwendete Methode der Konstruktion einer Grundl¨ osung in Kombination mit der L¨osung einer Integralgleichung durch A-Priori-Absch¨ atzungen zu ersetzen, die dann auch f¨ ur die L¨osung nichtlinearer Probleme mit topologischen Mitteln eine entscheidende Rolle spielen. Zur Herleitung seiner A-Priori-Ungleichung bezog sich Schauder auf nicht leicht zu beweisende und in der ben¨ otigten Form nicht bequem zur Verf¨ ugung stehende potentialtheoretische Hilfss¨ atze, f¨ ur die er auf Lichtensteins Enzyklop¨ adieartikel [190, S. 286 f.] und damit auf die dort auf S. 200 zitierte Literatur verwies, was sp¨ atere Lehrb¨ ucher mitunter zu der Taktik verleitete, verk¨ urzt und ohne Beweis zu referieren. Erste detailliertere Bearbeitungen des Schauderschen Beweises stammen von Barrar [11] (im Anschluß an ein Seminar von E.M. Rothe aus dem Jahre 1951) und Graves [85]. Diese Darstellungen sowie die in Gilbarg-Trudinger [83, Chapter 6] und [290, Kap. IX, 4–7] (diese Abschnitte gehen auf eine Vorlesung von E. Heinz aus dem Jahre 1976 zur¨ uck) beruhen auf der Untersuchung einer L¨osung der Poissongleichung auf dem Schnitt einer Kugel mit einem Halbraum, die auf dem Hyperebenenteil des Randes verschwindet. Etwa zur gleichen Zeit wie Schauder (aber nach dessen Besprechung von [33] im Zentralblatt f¨ ur Mathematik 9, S. 68, 1934, von ihm nicht ganz unabh¨ angig2 ) publizierte Caccioppoli in der kurzen Arbeit [33] ein ¨ahnli1

2

Diese waren von vorneherein auf eine allgemeinere Fassung des Dirichletproblems ausgelegt, z.B. auf Gleichungen mit auf Ausnahmemengen oder am Rande unbeschr¨ ankten Koeﬃzienten. Wir verweisen auf [207, Ch. III, IV.26, V.36], wo auf einige seiner Arbeiten eingegangen wird. Das Verh¨ altnis von Schauder zu Caccioppoli war gespannt, da dieser in [32] zwei Vorarbeiten Schauders f¨ ur [291] nicht erw¨ ahnt hatte [67]. [32] enth¨ alt u ¨brigens

E. Wienholtz et al., Elliptische Diﬀerentialgleichungen zweiter Ordnung, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009 DOI 10.1007/978-3-540-45721-3 8,

264

8 Absch¨ atzung von Schauder – Lineare und quasilineare Dirichletprobleme

ches Resultat. Eine detailliertere Darstellung gab Miranda erstmals in der 1. Auﬂage seines Buches [207]. Die Entwicklungslinie f¨ ur den hier gegebenen Beweis wurde schon zu Beginn der Abschnitte 5.5 und 7 angedeutet. Wir beweisen die A-PrioriAbsch¨ atzung von Satz 8.2.1 auf der Basis der A-Priori-Absch¨atzung von Satz 7.3.1, die ihrerseits einer Verbindung des Kelloggschen Satzes, Korollar 7.2.2, mit dem Banachschen Satz von der oﬀenen Abbildung entspringt. Satz 7.3.1 ben¨ utzt und verallgemeinert die in Satz 5.3.4 gegebene Absch¨atzung des Greenpotentials f¨ ur die Kugel.

8.1 Diﬀerentialoperatoren mit konstanten Koeﬃzienten Es soll zun¨ achst eine Absch¨ atzung wie in Satz 7.3.1 f¨ ur den Fall gewonnen werden, daß anstelle des Laplaceoperators −Δ ein Diﬀerentialoperator L0 := −

N

aik

i,k=1

∂2 ∂xi ∂xk

mit konstanten Koeﬃzienten aik steht, die Elemente einer symmetrischen und positiv deﬁniten Matrix A sind. Die Eigenwerte λ1 , . . . , λN von A sind dann positiv, und es gibt eine orthogonale Matrix U mit ⎞ ⎛ 0 λ1 ⎟ ⎜ U t AU = ⎝ . . . ⎠. 0

λN

Die symmetrische und positiv deﬁnite Matrix ⎛√ ⎞ λ1 0 ⎜ ⎟ .. B := U t ⎝ ⎠U . √ 0 λN hat dann die Eigenschaft B 2 = A. Ist Q : RN → RN ,

x → Bx

(8.1)

und u ∈ C 2 (RN ), so liefert die Argumentation in Aufgabe 2.2 sofort (L0 u) ◦ Q = −Δ(u ◦ Q) .

(8.2)

die Beobachtung, daß die lineare Struktur eines normierten Raumes f¨ ur das Kontraktionsprinzip unwesentlich ist, dieses also in jedem vollst¨ andigen metrischen Raum gilt. F¨ ur Caccioppolis Vorreiterrolle beim Begriﬀ der schwachen L¨ osung s. Abschnitt 10.3. Es existiert nur sp¨ arliches biographisches Material u ¨ber Schauder, ¨ der 1943 von Deutschen ermordet wurde (s. [67,68,180]). Uber Caccioppoli hingegen gibt es eine Biographie [326] und sogar einen Film, Morte di un matematico napolitano, von Mario Martone (1992).

8.1 Diﬀerentialoperatoren mit konstanten Koeﬃzienten

265

Lemma 8.1.1. Es seien Ω ⊂⊂ RN , k ∈ N0 und α ∈ (0, 1], ferner Q : RN → RN linear, symmetrisch und positiv deﬁnit. Es gilt u◦Q ∈ C k,α (Q−1 Ω) genau dann, wenn u ∈ C k,α (Ω) ist, und mit einer allein von Q, k und α bestimmten Zahl c(Q, k, α) ist dann u ◦ QQ−1 Ω;k,α ≤ c(Q, k, α)uΩ;k,α , uΩ;k,α ≤ c(Q, k, α)u ◦ QQ−1 Ω;k,α .

(8.3) (8.4)

Beweis. 1. Wir behandeln zun¨ achst den Fall k = 0. Trivialerweise gilt sup |u ◦ Q| = sup |u| .

Q−1 Ω

Ω

ur y , y ∈ Q−1 Ω mit Sei nun α ∈ (0, 1] und u ∈ C 0,α (Ω). Dann besteht f¨ y = y |u(Qy ) − u(Qy )| |u(Qy ) − u(Qy )| |Q(y − y )|α = |y − y |α |Qy − Qy |α |y − y |α

(8.5)

≤ Hα;Ω (u)|Q| , α

wenn |Q| die mit der euklidischen Vektornorm vertr¨agliche Matrixnorm bezeichnet. F¨ ur α ∈ (0, 1] und u ∈ C 0,α (Ω) ist also u ◦ Q ∈ C 0,α (Q−1 Ω) und u ◦ QQ−1 Ω;0,α ≤ (1 + |Q|α )uΩ;0,α bewiesen. Mit Q ist auch Q−1 linear, symmetrisch und positiv deﬁnit. Ersetzen wir daher u : Ω → R durch u ◦ Q : Q−1 Ω → R und Q durch Q−1 , so k¨onnen wir aus u ◦ Q ∈ C 0,α (Q−1 Ω) folgern, daß u ∈ C 0,α (Ω) ist und uΩ;0,α ≤ (1 + |Q−1 |)u ◦ QΩ −1 ;0,α gilt. 2. Es sei jetzt k ∈ N und u ∈ C k,α (Ω). Aufgrund der Kettenregel ist (u ◦ Q)xj eine Linearkombination der uxi ◦ Q mit Koeﬃzienten, die allein durch Q bestimmt sind, mithin u ◦ QQ−1 Ω;1 ≤ c(Q)uΩ;1 . Entsprechendes gilt f¨ ur die h¨ oheren Ableitungen. Es ist also mit einer allein durch k und Q bestimmten Konstanten u ◦ QQ−1 Ω;k ≤ c(k, Q)uΩ;k .

(8.6)

Wenden wir nun (8.5) auf alle Ableitungen von u der Ordnung k an, so ergibt sich u ◦ Q ∈ C k,α (Q−1 Ω) und mit (8.6) die Behauptung (8.3). Wieder kann man nun u◦Q anstelle von u und Q−1 anstelle von Q nehmen, was den Beweis des Lemmas vollendet.

266

8 Absch¨ atzung von Schauder – Lineare und quasilineare Dirichletprobleme

Lemma 8.1.2. Es sei Ω ⊂⊂ RN und ∂Ω ∈ C 2,α f¨ ur ein α ∈ (0, 1], ferner Q : RN → RN linear, symmetrisch und positiv deﬁnit. Dann ist QΩ ⊂⊂ RN und ∂(QΩ) ∈ C 2,α . Beweis. Die Abbildung Q ist ein Hom¨ oormophismus, woraus QΩ ⊂⊂ RN folgt. Zudem gilt ∂(QΩ) = Q(∂Ω). Sei nun y0 ∈ ∂(QΩ) und η ∈ C 2,α (U ) die gem¨ aß Deﬁnition 7.1.1 zum Punkt x0 := Q−1 y0 ∈ ∂Ω geh¨orige Funktion. aß Lemma 8.1.1 die Kriterien von Dann erf¨ ullt η˜(y) := η(Q−1 y), y ∈ QU , gem¨ Deﬁnition 7.1.1 f¨ ur y0 . ur ein α ∈ (0, 1), ferner Satz 8.1.3. Es sei Ω ⊂⊂ RN und ∂Ω ∈ C 2,α f¨ A eine symmetrische und positiv deﬁnite N × N -Matrix. Dann gibt es eine allein durch Ω, α und A bestimmte Konstante c(Ω, α, A) mit N uΩ;2,α ≤ c(Ω, α, A) i,k=1 aik uxi xk Ω;0,α

f¨ ur alle u ∈ C 2,α (Ω) mit u|∂Ω = 0. Beweis. Wir betrachten die Abbildung Q aus (8.1). Es ist (u◦Q)|∂(Q−1 Ω) = 0. Lemma 8.1.1 vermittelt u ◦ Q ∈ C 2,α (Q−1 Ω). Nach Lemma 8.1.2 mit Q−1 statt Q ist Q−1 Ω ⊂⊂ RN und ∂(Q−1 Ω) ∈ C 2,α , so daß nach Satz 7.3.1 u ◦ QQ−1 Ω,2,α ≤ c(Q−1 Ω, α)Δ(u ◦ Q)Q−1 Ω;0,α gilt. Mit (8.4), (8.2) und (8.3) haben wir daher uΩ;2,α ≤ c(Q, 2, α)u ◦ QQ−1 Ω;2,α ≤ c(Q, 2, α)c(Q−1 Ω, α)(L0 u) ◦ QQ−1 Ω;0,α ≤ c(Q, 2, α)c(Q−1 Ω, α)c(Q, 0, α)L0 uΩ;0,α . Da Q allein durch A bestimmt ist, ist das die Behauptung.

Satz 8.1.3 hat noch den Mangel, daß die Zahl c(Ω, α, A) von der individu¨ ellen Matrix A abh¨ angt. Man gewinnt aber mit einem Uberdeckungsargument daraus den folgenden Satz, der eine Konstante aufstellt, die f¨ ur eine Klasse von Matrizen A gilt. Satz 8.1.4 (A-Priori-Absch¨ atzung bei konstanten Koeﬃzienten). Es ur ein α ∈ (0, 1), ferner 0 < m < M . Dann sei Ω ⊂⊂ RN und ∂Ω ∈ C 2,α f¨ gibt es eine Zahl c(Ω, α, m, M ), so daß f¨ ur alle symmetrischen Matrizen A, deren Elemente m|ξ|2 ≤

N

aik ξi ξk ≤ M |ξ|2

f¨ ur alle ξ ∈ RN

i,k=1

erf¨ ullen, und alle u ∈ C 2,α (Ω) mit u|∂Ω = 0 N uΩ;2,α ≤ c(Ω, α, m, M ) i,k=1 aik uxi xk

Ω;0,α

gilt.

(8.7)

8.2 Variable Koeﬃzienten

267 2

Beweis. Jede reelle N × N -Matrix A = (aik ) fassen wir als Punkt in RN auf. 2 Es ist bequem, RN mit der Norm |A|∞ := max{|aik | : 1 ≤ i, k ≤ N } zu versehen. Die Menge der symmetrischen Matrizen A mit der Eigenschaft 2 (8.7) bildet eine kompakte Teilmenge Pm,M von RN . Wir deﬁnieren nun eine Funktion 1 φ : Pm,M → R , A → [1 + c(Ω, α, A)]−1 , 2 wobei c(Ω, α, A) die in Satz 8.1.3 auftretende Zahl ist. F¨ ur A ∈ Pm,M sei 2 Wφ(A) (A) der (oﬀene) Quader in RN mit Mittelpunkt A und Seitenl¨ange ¨ 2φ(A). Das oﬀene Uberdeckungssystem S := (Wφ(A) (A)), A ∈ Pm,M , von Pm,M besitzt ein endliches Teilsystem (Wφ(Aj ) (Aj )), 1 ≤ j ≤ q, welches Pm,M u ¨berdeckt. Es ist allein bestimmt durch Pm,M und S, also durch m, M und φ und daher durch m, M , Ω und α; die Abh¨ angigkeit von N wird schon durch die Angabe von Ω ber¨ ucksichtigt. Zu A ∈ Pm,M gibt es ein j ∈ {1, . . . , q} mit |A − Aj |∞ < φ(Aj ) . ur alle u ∈ C 2,α (Ω) mit u|∂Ω = 0 die F¨ ur Aj besteht nach Satz 8.1.3 f¨ Absch¨ atzung N uΩ;2,α ≤ c(Ω, α, Aj ) i,k=1 ajik uxi xk Ω;0,α N N j ≤ c(Ω, α, Aj ) i,k=1 (aik − aik )uxi xk + i,k=1 aik uxi xk . Ω;0,α

Nun ist

N j i,k=1 (aik − aik )uxi xk

Ω;0,α

≤ |A − Aj |∞ uΩ;2,α ≤

und folglich uΩ;2,α ≤ 2

max

j∈{1,...,q}

Ω;0,α

1 [1 + c(Ω, α, Aj )]−1 uΩ;2,α 2

N c(Ω, α, Aj ) i,k=1 aik uxi xk

Ω;0,α

.

Dies ist die behauptete A-Priori-Absch¨ atzung, da q und A1 , . . . , Aq allein durch Pm,M und S, also durch Ω, α, m und M bestimmt sind.

8.2 Variable Koeﬃzienten Satz 8.2.1 (Globale A-Priori-Absch¨ atzung von Schauder). Es sei ur ein α ∈ (0, 1), ferner 0 < m < M und Ω ⊂⊂ RN und ∂Ω ∈ C 2,α f¨ b > 0. Dann gibt es eine Zahl c(Ω, α, m, M, b), so daß

268

8 Absch¨ atzung von Schauder – Lineare und quasilineare Dirichletprobleme

uΩ;2,α ≤ c(Ω, α, m, M, b)(LuΩ;0,α + supΩ |u|) ist f¨ ur alle u ∈ C 2,α (Ω) mit u|∂Ω = 0 und alle Diﬀerentialoperatoren des Typs Lu(x) := −

N

aik (x)uxi xk (x) +

N

ai (x)uxi (x) + a(x)u(x) ,

i=1

i,k=1

wenn nur aik = aki , ai , a ∈ C 0,α (Ω) sind, N

m|ξ|2 ≤

aik (x)ξi ξk ≤ M |ξ|2

i,k=1

f¨ ur x ∈ Ω und ξ ∈ RN gilt und aik Ω;0,α ≤ b,

ai Ω;0,α ≤ b,

aΩ;0,α ≤ b

(8.8)

f¨ ur i, k ∈ {1, . . . , N } ist. Beweis. Wegen Bemerkung 7.1.5 gen¨ ugt es, den Fall zusammenh¨angender Ω zu betrachten. Gem¨ aß Satz 7.3.5 k¨ onnen wir somit annehmen, daß Ω ein Gebiet von endlicher L¨ ange ist. Ist c(Ω, α, m, M ) die Zahl aus Satz 8.1.4 und −1 , := 1 + [b(1 + 2c(Ω, α, m, M ))]1/α so gilt nach Voraussetzung (8.8) f¨ ur x, x0 ∈ Ω mit |x − x0 | < |aik (x) − aik (x0 )| ≤ b|x − x0 |α ≤ bα ≤

1 . 1 + 2c(Ω, α, m, M )

(8.9)

¨ Es ist S := (B/3 (x0 )), x0 ∈ Ω, ein oﬀenes Uberdeckungssystem von Ω, und es ist v¨ ollig bestimmt durch Ω und , also durch Ω, α, m, M und b. Gleiches gilt dann f¨ ur ein endliches Teilsystem (B/3 (xj )), 1 ≤ j ≤ q, das Ω u ¨berdeckt. Sei X ∈ C ∞ (R), 0 ≤ X ≤ 1 und 1 f¨ ur t < 12 X (t) = 0 f¨ ur t > 23 und K ≥ 1 so, daß |X (t)| + |X (t)| + |X (t)| ≤ K Auf Ω ∗ := durch

8q j=1

f¨ ur alle t ∈ R .

B/2 (xj ) ⊇ Ω deﬁnieren wir eine endliche Zerlegung der Eins

ϕj := ψj /

q

m=1

ψm

mit

ψj (x) := X (|x − xj |/) .

8.2 Variable Koeﬃzienten

Auf Ω ∗ ist dann 1 ≤ j ∈ {1, . . . , q} gilt

q m=1

269

ψm ≤ q und 0 ≤ ϕj ≤ 1. F¨ ur k ∈ {0, 1, 2} und

ϕj ∈ C k,α (Ω),

ϕj Ω;k,α ≤

Kc(q, Ω) k+1

(8.10)

mit einer allein von q und Ω abh¨ angenden Zahl c(q, Ω). Wir zeigen dies f¨ ur k = 0 und verweisen f¨ ur k ∈ {1, 2} auf Aufgabe 8.1. Wegen ∇ψj (x) =

1 x − xj X (|x − xj |/) |x − xj |

gilt f¨ ur x ∈ Ω die Ungleichung |∇ψj (x)| ≤ |∇ϕj | ≤ |∇ψj | +

q

K ,

so daß

|∇ψm | ≤

m=1

1 K(1 + q)

folgt. Seien x, y ∈ Ω. Im Falle 0 < |x − y| < liefert der Mittelwertsatz 1 |ϕj (x) − ϕj (y)| ≤ |x − y|1−α |∇ϕj (ξ)| ≤ α K(1 + q) , α |x − y| w¨ahrend f¨ ur |x − y| ≥ |ϕj (x) − ϕj (y)| 1 1 ≤ α |ϕj (x) − ϕj (y)| ≤ α |x − y|α ist. Dies beweist (8.10) f¨ ur k = 0. ¨ Uber Aufgabe 5.10 a) folgt nun ϕj u ∈ C 2,α (Ω) und daher q q uΩ;2,α = j=1 ϕj u ≤ j=1 ϕj uΩ;2,α . Ω;2,α

Wegen ϕj u|∂Ω = 0 haben wir mit der Zahl c(Ω, α, m, M ) aus Satz 8.1.4 die Absch¨ atzung N ϕj uΩ;2,α ≤ c(Ω, α, m, M ) i,k=1 aik (xj )(ϕj u)xi xk , (8.11) Ω;0,α

denn es ist ja (aik (xj )) eine konstante symmetrische Matrix mit der Eigenschaft (8.7). Wir schreiben3 −

N

aik (xj )(ϕj u)xi xk = −

i,k=1

N

[aik (xj ) − aik (x)] (ϕj u)xi xk + ϕj Lu

i,k=1

−2

N

i,k=1

−

N

aik (x)ϕjxi uxk −

N

aik (x)ϕjxi xk u

i,k=1

ai (x)ϕj uxi − a(x)ϕj u .

i=1 3

Dieser Kunstgriﬀ wird h¨ auﬁg Einfrieren der Koeﬃzienten genannt; er geht auf Korn zur¨ uck [152].

270

8 Absch¨ atzung von Schauder – Lineare und quasilineare Dirichletprobleme

Nach Aufgabe 5.11 ist [aik (xj ) − aik ](ϕj u)xi xk Ω;0,α ≤ [aik (xj ) − aik ](ϕj u)xi xk Ω∩B (xj );0,α + (/3)−α

|(ϕj u)xi xk | .

sup Ω∩B (xj )

Der erste Summand gestattet nach (8.9) sowie (iii) und (ii) in Aufgabe 5.10 b) die Absch¨ atzung 1 (ϕj u)xi xk Ω;0,α + sup |(ϕj u)xi xk | Hα;Ω (aik ) . 1 + 2c(Ω, α, m, M ) Ω Aus (8.11) folgt daher wegen (8.8) ϕj uΩ;2,α ≤

c(Ω, α, m, M ) ϕj uΩ;2,α 1 + 2c(Ω, α, m, M ) 6 +c(Ω, α, m, M ) ((3/)α b + b)T1 + l=2 Tl .

Die verbleibenden sechs Terme sch¨ atzen wir wie folgt ab. Wegen (8.10) ist T1 :=

N

i,k=1

sup |(ϕj u)xi xk | Ω

N

≤ sup |ϕjxi xk | sup |u| + 2 sup |ϕjxi | sup |uxk | + sup |ϕj | sup |uxi xk | i,k=1

≤

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

N N

Kc(q, Ω) 2Kc(q, Ω)

sup |u| + sup |u | + sup |uxi xk | x k 3 2 Ω Ω Ω k=1

≤

Ω

i,k=1

2Kc(q, Ω) uΩ;2 , 3

denn wir k¨ onnen ohne weiteres c(q, Ω) ≥ 1 annehmen. Unter Verwendung von Aufgabe 5.10 erhalten wir mit (8.8) und (8.10) T2 := ϕj LuΩ;0,α ≤ T3 := 2

N

Kc(q, Ω) LuΩ;0,α ,

aik ϕjxi uxk Ω;0,α

i,k=1

≤ 2

N

(aik Ω;0,α ϕjxi Ω;0,α uxk Ω;0,α )

i,k=1

≤ 2bϕj Ω;1,α uΩ;1,α ≤

2bKc(q, Ω) uΩ;1,α , 2

8.2 Variable Koeﬃzienten

T4 :=

N

N

aik ϕjxi xk uΩ;0,α ≤

i,k=1

271

(aik Ω;0,α ϕjxi xk Ω;0,α uΩ;0,α )

i,k=1

bKc(q, Ω) uΩ;0,α , 3 N

bKc(q, Ω) uΩ;1,α , T5 := ai ϕj uxi Ω;0,α ≤ i=1 ≤

T6 := aϕj uΩ;0,α ≤

bKc(q, Ω) uΩ;0,α .

Insgesamt ergibt sich daher 1 ϕj uΩ;2,α ≤ c0 (Ω, α, m, M, b) (uΩ;2 + LuΩ;0,α + uΩ;1,α + uΩ;0,α ) . 2 Gem¨ aß Lemma 7.3.3 (wie zu Beginn des Beweises begr¨ undet, betrachten wir den Fall, daß Ω ein Gebiet von endlicher L¨ ange ist) haben wir f¨ ur ein geeignetes ω ≥ 1 N

Hα,Ω (uxi ) ≤ N ωuΩ;2 , Hα,Ω (u) ≤ N ωuΩ;1 , i=1

also u2;Ω,α ≤

q

ϕj uΩ;2,α

j=1

≤ 2qc0 (Ω, α, m, M, b) LuΩ;0,α + 2(1 + N ω)uΩ;2 + sup |u| . Ω

Nach Korollar 7.3.4 (Ω ist ein Gebiet von endlicher L¨ange) gibt es zu jedem > 0 ein d(, Ω, 2, α) > 0 mit uΩ;2 ≤ uΩ;2,α + d(, Ω, 2, α) sup |u| . Ω

Wir w¨ ahlen nun > 0 so klein, daß 4qc0 (Ω, α, m, M, b)(1 + N ω) =

1 2

ausf¨ allt. und damit d(, Ω, 2, α) sind dann allein durch Ω, α, m, M und b bestimmt, und es resultiert die behauptete Absch¨atzung. Korollar 8.2.2. Wenn zus¨ atzlich a ≥ 0 ist, so gilt mit einer allein durch Ω, α, m, M und b bestimmten Konstanten uΩ;2,α ≤ c(Ω, α, m, M, b)LuΩ;0,α f¨ ur alle u ∈ C 2,α (Ω) mit u|∂Ω = 0. Beweis. Im Falle a ≥ 0 k¨ onnen wir supΩ |u| = maxΩ |u| aufgrund des Bern steinschen Lemmas 2.6.3 durch supΩ |Lu| absch¨atzen.

272

8 Absch¨ atzung von Schauder – Lineare und quasilineare Dirichletprobleme

8.3 Die Kontinuit¨ atsmethode zur L¨ osung des 2,α allgemeinen linearen Dirichletproblems in C (Ω). Die Fredholmsche Alternative. Wir hatten bereits in Abschnitt 5.5 die Kontinuit¨atsmethode vorgestellt und in Satz 5.5.6 auf das Dirichletproblem in der Kugel B angewendet, wenn der Hauptteil der Diﬀerentialgleichung wenig von −Δ abweicht. Entscheidendes Hilfsmittel daf¨ ur war die A-Priori-Absch¨ atzung aus Satz 5.5.5 gewesen, die sich daraus ergab, daß wir f¨ ur jedes f ∈ C 0,α (B) das Dirichletproblem −Δu = osen konnten (vgl. Bemerkung 5.3.7). f in B, u|∂B = 0 in der Klasse C 2,α (B) l¨ Wir leiten jetzt auf dem gleichen Wege aus dem Kelloggschen Satz (Korollar 7.2.2) und aus der A-Priori-Absch¨ atzung von Korollar 8.2.2 den folgenden Satz ab. ur ein α ∈ (0, 1), Satz 8.3.1 (Schauder). Es sei Ω ⊂⊂ RN mit ∂Ω ∈ C 2,α f¨ ferner m > 0. Es sei L := −

N

∂2 ∂ + ai (x) + a(x) ∂xi ∂xk i=1 ∂xi N

aik (x)

i,k=1

ein linearer Diﬀerentialoperator mit Koeﬃzienten aik = aki ,

ai ,

und m|ξ|2 ≤

0 ≤ a ∈ C 0,α (Ω)

N

aik (x)ξi ξk

i,k=1

f¨ ur alle x ∈ Ω und ξ ∈ RN . Dann hat das Dirichletproblem Lu = f in Ω,

u|∂Ω = 0

osung u ∈ C 2,α (Ω). f¨ ur jedes f ∈ C 0,α (Ω) genau eine L¨ Beweis. Die Eindeutigkeit folgt bereits aus dem Bernsteinschen Lemma 2.6.3. Wegen Bemerkung 7.1.5 und Satz 7.3.5 gen¨ ugt es wiederum, den Fall zu betrachten, daß Ω ein Gebiet von endlicher L¨ ange ist. Zum Nachweis der Existenz betten wir L, wie eingangs von Abschnitt 5.5 erl¨autert, in eine Schar von Operatoren Lt := −(1 − t)Δ + tL,

0≤t≤1,

ein. Dann ist L0 = −Δ und L1 = L. Die Koeﬃzienten von Lt sind aus C 0,α (Ω) und erf¨ ullen − (1 − t)δik − taik Ω;0,α ≤ 1 + aik Ω;0,α , tai Ω;0,α ≤ ai Ω;0,α ,

taΩ;0,α ≤ aΩ;0,α ,

8.3 Das allgemeine lineare Dirichletproblem in C

2,α

(Ω)

273

so daß ein b > 0 existiert, welches diese Gr¨ oßen gleichm¨aßig beschr¨ankt. Aufgrund der Schwarzschen Ungleichung hat dann M := N b die Eigenschaft N

aik (x)ξi ξk ≤ M |ξ|2

i,k=1

f¨ ur x ∈ Ω und ξ ∈ RN . Wir d¨ urfen m ≤ 1 ≤ M annehmen. Dann ist auch m|ξ|2 ≤ (1 − t + tm)|ξ|2 ≤

N

[(1 − t)δik + taik (x)] ξi ξk ≤ (1 − t + tM )|ξ|2

i,k=1

≤ M |ξ|2 . Schließlich ist ta ≥ 0. Es sei τ die Menge derjenigen t ∈ [0, 1], f¨ ur welche das Dirichletproblem Lt u = f in Ω,

u|∂Ω = 0

f¨ ur jedes f ∈ C 0,α (Ω) mit u ∈ C 2,α (Ω) eindeutig l¨osbar ist. Nach Korollar 7.2.2 ist 0 ∈ τ , und es ist 1 ∈ τ zu beweisen. Wenn t0 ∈ τ ist, so ist das Dirichletproblem Lt0 w = f + (Lt0 − Lt )v in Ω,

w|∂Ω = 0

(8.12)

f¨ ur jedes v ∈ C 2,α (Ω) eindeutig l¨ osbar, so daß wir die (von t0 , t und f abh¨ angende) Abbildung T : C 2,α (Ω) → {z ∈ C 2,α (Ω) : z|∂Ω = 0} , v → das w mit der Eigenschaft (8.12) betrachten k¨ onnen. Wenn T f¨ ur jedes f ∈ C 0,α (Ω) einen Fixpunkt besitzt, so ist t ∈ τ . Wir wollen daher nun nachweisen, daß die Abbildung T bei geeigneter ur v1 , v2 ∈ C 2,α (Ω) Einschr¨ ankung von |t − t0 | eine strikte Kontraktion ist. F¨ ist T v1 − T v2 ∈ C 2,α (Ω), (T v1 − T v2 )|∂Ω = 0 und Lt0 (T v1 − T v2 ) = (Lt0 − Lt )(v1 − v2 ) = (t0 − t)(Δ + L)(v1 − v2 ) . Daher gibt es nach Korollar 8.2.2 eine von t0 und t unabh¨angige Zahl c(Ω, α, m, M, b) mit T v1 − T v2 Ω;2,α ≤ |t0 − t|c(Ω, α, m, M, b)(Δ + L)(v1 − v2 )Ω;0,α . F¨ ur w := v1 − v2 erhalten wir nun mit Aufgabe 5.10 a) und Lemma 7.3.3 (wie zu Beginn des Beweises begr¨ undet, betrachten wir den Fall, daß Ω ein Gebiet von endlicher L¨ ange ist) f¨ ur ein geeignetes ω ≥ 1 die Absch¨atzung

274

8 Absch¨ atzung von Schauder – Lineare und quasilineare Dirichletprobleme

(Δ + L)wΩ;0,α

N

≤ (1 + b) sup |wxi xk | + Hα,Ω (wxi xk ) Ω

Ni,k=1

+b sup |wxi | + Hα,Ω (wxi ) + sup |w| + Hα,Ω (w) i=1

Ω

Ω

≤ (1 + b) [wΩ;2,α + N ω(wΩ;2 + wΩ;1 )] ≤ (1 + b)3N ωwΩ;2,α . F¨ ur |t0 − t| < δ :=

1 [1 + c(Ω, α, m, M, b)](1 + b)3N ω

hat daher T nach dem Banachschen Satz einen Fixpunkt. Wir k¨onnen also [0, 1] mit endlichvielen Intervallen der L¨ ange δ (sie h¨angt nicht von f , t0 oder t ab) u ¨berdecken, die alle die Eigenschaft haben, daß jedes von ihnen schon dann ganz zu τ geh¨ ort, wenn dies f¨ ur einen seiner Punkte zutriﬀt. Mit 0 ist daher auch in der Tat 1 aus τ . Bemerkung 8.3.2. a) Wenn u|∂Ω = g sein soll, dann ist das kein neues Problem, solange g : ∂Ω → R eine Fortsetzung g˜ : Ω → R mit g˜ ∈ C 2,α (Ω) besitzt (eine solche existiert, wenn g ∈ C 2,α (∂Ω) ist [83, p. 137]). Da nach Satz 8.3.1 zu f ∈ C 0,α (Ω) genau ein v ∈ C 2,α (Ω) mit Lv = f − L˜ g in Ω,

v|∂Ω = 0

existiert, l¨ ost u := v + g˜ Lu = f in Ω,

u|∂Ω = g .

b) W¨ ahrend die L¨ osbarkeit des linearen Dirichletproblems in der Klasse C 2,α (Ω) f¨ ur die Behandlung nichtlinearer Probleme von entscheidender Wichtigkeit ist, bleibt es f¨ ur das lineare Problem aber eine nat¨ urliche Frage, ob L¨osungen u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) existieren mit u|∂Ω = g, wenn von g : ∂Ω → R nur noch die Stetigkeit vorausgesetzt wird. Ein solches g l¨aßt sich nach einem klassischen Erweiterungssatz, dem von Tietze [337, p. 472], zu einer Funktion g˜ fortsetzen, die auf einem Ω enthaltenden Quader in RN stetig ist. Nach Weierstraß l¨ aßt sich daher g gleichm¨ aßig durch eine Folge von Polynomen Pn approximieren. Nach Teil a) dieser Bemerkung existiert daher f¨ ur jedes n eine L¨ osung un ∈ C 2,α (Ω) mit Lun = f in Ω,

un |∂Ω = Pn |∂Ω .

Die Folge (un ) konvergiert gleichm¨ aßig auf Ω gegen ein u ∈ C 0 (Ω). Dies folgt aus dem Bernsteinschen Lemma 2.6.3. Nat¨ urlich ist dann u|∂Ω = g. Es ist aber trotz der globalen A-Priori-Absch¨ atzung nicht klar, ob u ∈ C 2 (Ω)

8.3 Das allgemeine lineare Dirichletproblem in C

2,α

(Ω)

275

und Lu = f ist. Dazu m¨ ussen vielmehr neue A-Priori-Absch¨atzungen lokaler Natur, die inneren“ Absch¨ atzungen vom kommenden Kapitel 9, herangezo” gen werden. Daher behandeln wir das allgemeine Dirichletproblem mit nur stetigen Randdaten erst im Kapitel 9. Satz 8.3.3 (Fredholmsche Alternative). Es sei Ω ⊂⊂ RN und ∂Ω ∈ C 2,α f¨ ur ein α ∈ (0, 1), ferner m > 0. Die Koeﬃzienten in L := −

N

i,k=1

∂2 ∂ + ai (x) + a(x) ∂xi ∂xk i=1 ∂xi N

aik (x)

m¨ ogen aik = aki ,

ai ,

und m|ξ|2 ≤

N

a ∈ C 0,α (Ω)

aik (x)ξi ξk

i,k=1

f¨ ur alle x ∈ Ω und ξ ∈ RN erf¨ ullen. Ferner sei λ ∈ R. Dann gilt: a) Entweder hat das Dirichletproblem Lu − λu = f in Ω,

u|∂Ω = g

osung u ∈ C 2,α (Ω), oder es f¨ ur alle f ∈ C 0,α (Ω) und g ∈ C 2,α (Ω)4 eine L¨ 2,α ur das homogene Problem gibt eine L¨ osung u = 0 in C (Ω) f¨ Lu − λu = 0 in Ω,

u|∂Ω = 0 .

Im ersten Fall ist u eindeutig bestimmt; im zweiten Fall ist λ ein Eigenwert des linearen Operators L : C 02,α (Ω) → C 0,α (Ω),

u → Lu ,

wobei C 02,α (Ω) = {u ∈ C 2,α (Ω) : u|∂Ω = 0} als Unterraum des Banachraums C 0,α (Ω) aufgefaßt wird. b) L hat h¨ ochstens abz¨ ahlbar viele Eigenwerte. Sie haben endliche Vielfachheit und +∞ als einzig m¨ oglichen H¨ aufungspunkt. Beweis. a) Wegen Bemerkung 8.3.2 a) d¨ urfen wir uns auf den Fall g = 0 ur alle x ∈ Ω gilt. beschr¨ anken. Wir ﬁxieren ein λ0 ∈ R so, daß a(x) − λ0 > 0 f¨ Nach Satz 8.3.1 gibt es dann zu jedem f ∈ C 0,α (Ω) genau ein w ∈ C 2,α (Ω) mit (L − λ0 )w = f in Ω, 4

0,α

w|∂Ω = 0 ,

Nach Bemerkung 7.3.6 ist g in C (Ω) enthalten und damit gleichm¨ aßig stetig. Folglich kann g in eindeutiger Weise zu einer stetigen Funktion auf Ω fortgesetzt werden.

276

8 Absch¨ atzung von Schauder – Lineare und quasilineare Dirichletprobleme

so daß der Operator L − λ0 insbesondere injektiv ist. Nach Korollar 8.2.2 ist die lineare Abbildung (L − λ0 )−1 : C 0,α (Ω) → C 02,α (Ω),

f → w

beschr¨ ankt, d.h. es gilt (L − λ0 )−1 f Ω;2,α ≤ cf Ω;0,α mit einer allein durch Ω, α, λ0 und die Koeﬃzienten von L bestimmten Zahl c > 0. Da nach Bemerkung 7.3.6 die Einbettung I : C 02,α (Ω) → C 0,α (Ω),

u → u

kompakt ist, ist daher auch K := I(L − λ0 )−1 : C 0,α (Ω) → C 0,α (Ω) ein linearer kompakter Operator. F¨ ur λ ∈ R und f ∈ C 0,α (Ω) sind nun die Gleichungen u ∈ C 2,α (Ω),

(L − λ)u = f,

u|∂Ω = 0

(8.13)

und ψ ∈ C 0,α (Ω),

[1 − (λ − λ0 )K]ψ = f

(8.14)

in folgendem Sinne a ugt u den Bedingungen von (8.13), so ist ¨quivalent. Gen¨ ψ := (L − λ0 )u aus C 0,α (Ω) und ψ − (λ − λ0 )Kψ = (L − λ0 )u − (λ − λ0 )Iu = (L − λ0 )u − (λ − λ0 )u = f . Ist umgekehrt ψ ∈ C 0,α (Ω) L¨ osung von (8.14), so ist u := (L − λ0 )−1 ψ aus C 02,α (Ω) und f = (L − λ0 )u − (λ − λ0 )Iu = (L − λ0 )u − (λ − λ0 )u . Auf (8.14) l¨ aß sich nun die in Satz 6.1.1 formulierte Fredholmsche Alternative anwenden. Daher haben wir auch f¨ ur unser Dirichletproblem die in a) behauptete Alternative. b) Ist λ ∈ R ein Eigenwert von L, so ist λ > λ0 (im Falle λ ≤ λ0 w¨are ja auch a − λ ≥ 0, so daß nach Satz 8.3.1 (L − λ)u = 0 nur die triviale L¨osung bes¨ aße), und es besitzt (8.14) mit f = 0 eine nichttriviale L¨osung. Es ist also μ := (λ − λ0 )−1 ein Eigenwert des kompakten Operators K. (Umgekehrt ur jeden Eigenwert μ = 0 von K ein Eigenwert von L.) ist λ := λ0 + μ−1 f¨ Die Behauptung in b) folgt daher aus dem Spektralsatz 6.1.5 f¨ ur kompakte Operatoren. Zudem folgt aus der Injektivit¨ at von L − λ0 , daß die Dimension des Nullraumes von L − λ nicht gr¨ oßer sein kann als die von K − μ. S¨amtliche Eigenwerte von λ sind daher gem¨ aß Satz 6.1.5 von endlicher Vielfachheit.

8.4 Quasilineare elliptische Diﬀerentialgleichungen nach Leray-Schauder

277

8.4 Ausblick: Das Dirichletproblem fu ¨ r die quasilineare elliptische Diﬀerentialgleichung 2. Ordnung nach der Methode von Leray-Schauder Man spricht von einer quasilinearen Diﬀerentialgleichung 2. Ordnung, wenn die Koeﬃzienten der 2. Ableitungen von u Funktionen allein von x, u und den 1. Ableitungen von u sind. Der Beweis des nachfolgenden Satzes gestaltet sich ganz ¨ ahnlich wie der von Satz 5.6.5. ur ein α ∈ (0, 1), ferner Satz 8.4.1. Es sei Ω ⊂⊂ RN und ∂Ω ∈ C 2,α f¨ 0 < m < M . Es seien aik = aki : Ω × R × RN → R Funktionen mit der Eigenschaft m|ξ|2 ≤

N

aik (x, z, p) ≤ M |ξ|2

(8.15)

i,k=1

f¨ ur alle (x, z, p) ∈ Ω × R × RN und ξ ∈ RN , ferner die aik aus C 0,α (Ω × R × ulle f ∈ C 0,α (Ω ×Q) f¨ ur jedes Q ⊂⊂ R×RN . Es RN ). f : Ω ×R×RN → R erf¨ gebe schließlich ein γ ∈ (0, 1) und ein A > 0 derart, daß f¨ ur jedes v ∈ C 2,α (Ω), zu dem ein σ ∈ (0, 1) mit N

−

aik (x, v(x), ∇v(x))vxi xk (x) = σf (x, v(x), ∇v(x)) f¨ ur x ∈ Ω, v|∂Ω = 0

i,k=1

existiert, die Ungleichung vΩ;1,γ ≤ A

(8.16)

besteht. Dann gibt es ein u ∈ C 2,α (Ω) mit N

−

aik (x, u(x), ∇u(x))uxi xk (x) = f (x, u(x), ∇u(x)) f¨ ur x ∈ Ω, u|∂Ω = 0 .

i,k=1

Beweis. Sei γ ∈ (0, 1) und v ∈ C 1,γ (Ω). Nach Aufgabe 5.9 c), Bemerkung 5.3.2 b) und Aufgabe 8.2 sind dann die Funktionen x → aik (x, v(x), ∇v(x)) und x → f (x, v(x), ∇v(x)) aus C 0,αγ (Ω). Nach Bemerkung 7.1.2 a) ist auch ∂Ω ∈ C 2,αγ . Nach dem Schauderschen Satz 8.3.1 besitzt daher das lineare Dirichletproblem −

N

aik (x, v(x), ∇v(x))wxi xk (x) = f (x, v(x), ∇v(x)) f¨ ur x ∈ Ω, w|∂Ω = 0

i,k=1

genau eine L¨ osung w in C 02,αγ (Ω) = u ∈ C 2,αγ (Ω) : u|∂Ω = 0 . Wie in Abschnitt 5.6 k¨ onnen wir daher die Abbildung

278

8 Absch¨ atzung von Schauder – Lineare und quasilineare Dirichletprobleme

S : C 1,γ (Ω) → C 02,αγ (Ω) ⊆ C 1,γ (Ω),

v → w

betrachten, wobei die Inklusion nunmehr auf Bemerkung 7.3.6 beruht. Wenn S einen Fixpunkt u besitzt, so ist Su = u ∈ C 02,αγ (Ω) ⊆ C 1,γ (Ω), mithin nach Aufgabe 5.9 c) f (·, u(·), ∇u(·)) ∈ C 0,α (Ω), so daß nach Satz 8.3.1 u ∈ C 2,α (Ω) ¨ ist. Ebenso erh¨ alt man f¨ ur σ ∈ (0, 1) die Aquivalenz der folgenden Aussagen (i) und (ii): (i) v ∈ C 1,γ (Ω), (ii) v ∈ C 02,α (Ω),

σSv = v ; N − i,k=1 aik (·, v(·), ∇v(·))vxi xk = σf (·, v(·), ∇v(·)) .

Daß S einen Fixpunkt besitzt, folgt nun aufgrund unserer Voraussetzung (8.16) sofort aus dem Leray-Schauderschen Fixpunktsatz 5.6.3, sobald gezeigt ist, daß S kompakt und stetig ist. ankte Folge, so ist (Svn ) aus C 02,αγ (Ω), Ist (vn ) eine in C 1,γ (Ω) beschr¨ also nach Korollar 8.2.2 (denn nach Bemerkung 7.1.2 a) ist ∂Ω ∈ C 2,αγ ) Svn Ω;2,αγ ≤ c(Ω, αγ, m, M, b)f (·, vn (·), ∇vn (·))Ω;0,αγ (b sei eine Schranke f¨ ur die C 0,α (Ω × R × RN )-Norm der aik ), so daß (Svn ) ankte Folge ist. Die Einbettung von nach Aufgabe 8.2 eine in C 2,αγ (Ω) beschr¨ C 2,αγ (Ω) in C 1,γ (Ω) ist nach Bemerkung 7.3.6 kompakt. Es gibt also eine ur die (Svn ) in C 1,γ (Ω) konvergiert. Teilfolge (vn ), f¨ Zum Beweis der Stetigkeit von S sei (vn ) eine in C 1,γ (Ω) konvergente Folge mit Grenzwert v. Sie ist dann insbesondere in C 1,γ (Ω) beschr¨ankt. Wie wir gerade gesehen haben, ist dann aber (Svn ) eine in C 2,αγ (Ω) beschr¨ankte Folge. Da die Einbettung von C 2,αγ (Ω) in C 2 (Ω) nach Bemerkung 7.3.6 kompakt ist, existiert also eine in C 2 (Ω) konvergente Teilfolge (Svn ) mit Grenzwert w, so daß aus −

N

aik (·, vn (·), ∇vn (·))(Svn )xi xk = f (·, vn (·), ∇vn (·)),

Svn |∂Ω = 0 ,

i,k=1

aufgrund der Stetigkeit der Funktionen aik und f −

N

aik (·, v(·), ∇v(·))wxi xk = f (·, v(·), ∇v(·)),

w|∂Ω = 0 ,

i,k=1

folgt. Nach Aufgabe 8.2 ist f (·, v(·), ∇v(·)) ∈ C 0,αγ (Ω), so daß wegen ∂Ω ∈ C 2,αγ nach dem Schauderschen Satz 8.3.1 w ∈ C 2,αγ (Ω) ist. Die Deﬁnition von S liefert nun Sv = w. Jede Folge (vn ) mit vn → v in C 1,γ (Ω) hat also eine Teilfolge (vn ) mit Svn → Sv in C 2 (Ω) ⊆ C 1,γ (Ω). Das schwierige Problem der Herstellung einer A-Priori-Ungleichung der Form (8.16) wurde f¨ ur beliebiges N erstmals von Cordes gel¨ost, und zwar unter einer sp¨ ater nach ihm benannten Bedingung an den Hauptteil, der die

8 Aufgaben

279

Elliptizit¨ atsforderung (8.15) im Falle N ≥ 3 versch¨arft [43,44]. F¨ ur die Resultate von Ladyzhenskaya und Ural’tseva verweisen wir auf [83, Chapter 12] und die dort zitierte Literatur sowie auf [157]. Eine kritische W¨ urdigung der Pionierarbeiten von S.N. Bernstein ﬁndet man in [304, pp. 443, 473, 491 f.].

Aufgaben 8.1. Man zeige, daß die Aussage (8.10) im Beweis von Satz 8.2.1 f¨ ur k ∈ {1, 2} gilt. 8.2. Man beweise die Aussage von Aufgabe 5.12 f¨ ur Ω ⊂⊂ RN und ∂Ω ∈ C 2,α anstelle von B. 8.3. Man beweise die Aussage von Satz 5.6.6 mit Ω ⊂⊂ RN und ∂Ω ∈ C 2,α anstelle von B.

9 Innere Absch¨ atzungen und innere Regularit¨ at

Aus der globalen A-Priori-Absch¨ atzung von Schauder (Satz 8.2.1) wird eine innere Absch¨ atzung hergeleitet (Satz 9.1.1) und aus dieser die Existenz einer L¨ osung des Dirichletproblems f¨ ur die allgemeine lineare elliptische Diﬀerentialgleichung 2. Ordnung bei nur stetigem Randdatum gefolgert (Satz 9.1.2). Mit Hilfe der in (9.12) deﬁnierten Parametrix wird gezeigt, daß jede L¨osung lokal gleichm¨ aßig α-h¨ olderstetige Ableitungen bis zur 2. Ordnung besitzt, wenn die Koeﬃzienten und die rechte Seite lokal gleichm¨aßig α-h¨olderstetig sind (Satz 9.2.5 von E. Hopf). Satz 9.2.6 dehnt diese innere Regularit¨atsaussage auf L¨ osungen quasilinearer elliptischer Gleichungen aus.

9.1 Eine innere A-Priori-Absch¨ atzung und ihre Anwendung Im Gefolge der Kelloggschen Untersuchungen [138] gewann Schauder [293] als Vorstufe f¨ ur die globale A-Priori-Absch¨ atzung von Satz 8.2.1 Absch¨atzungen, die den Abstand des inneren Bereichs“ vom Rand involvieren. Ein ver” einfachter Beweis wurde von Douglis und Nirenberg gegeben und auf Systeme ausgedehnt [53]. Auf innere Absch¨ atzungen gr¨ undet J.H. Michael [202] eine Behandlung des Dirichletproblems in C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω), die die 2,α Ω -Theorie vermeidet. Dabei wird die stetige Annahme der Randwerte a¨hnlich wie bei der in Abschnitt 3.3 dargestellten Perronschen Methode mittels Barrieren bewiesen (vgl. auch [83, pp. 112–116]). Wir leiten hier umgekehrt eine lokale Absch¨ atzung, Ungleichung (9.2), aus der globalen Absch¨atzung von Satz 8.2.1 ab, was nurmehr uns schon vertraute Argumentationen verlangt, sich aber doch verzwickter gestaltet, als man zun¨achst erwarten w¨ urde. F¨ ur die Untersuchung von L¨ osungen im Inneren von Ω ist es g¨ unstig, aßig α-h¨ olderstetiger Funktionen durch entspredie R¨ aume C m,α (Ω) gleichm¨ chende R¨ aume lokal gleichm¨ aßiger H¨ olderr¨ aume zu ersetzen. Sei m ∈ N0 und α ∈ (0, 1]. Wir deﬁnieren f¨ ur oﬀene und nichtleere Mengen Ω ⊆ RN E. Wienholtz et al., Elliptische Diﬀerentialgleichungen zweiter Ordnung, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009 DOI 10.1007/978-3-540-45721-3 9,

282

9 Innere Absch¨ atzungen und innere Regularit¨ at

C m,α (Ω) := {u ∈ C 0 (Ω) : u|K ∈ C m,α (K) f¨ ur alle K ⊂⊂ Ω} .

(9.1)

Daß solche R¨ aume f¨ ur die Formulierung innerer Regularit¨atseigenschaften von L¨osungen der Poissongleichung geeignet sind, haben wir bereits in Aufgabe 5.6 gesehen, wobei selbstredend C (α) (Ω) = C 0,α (Ω) gilt. Satz 9.1.1 (Innere A-Priori-Absch¨ atzung). Es sei Ω ⊆ RN oﬀen, α ∈ (0, 1), 0 < m < M und b > 0. Es sei L := −

N

∂2 ∂ + ai (x) + a(x) ∂xi ∂xk i=1 ∂xi N

aik (x)

i,k=1

ein Diﬀerentialoperator mit Koeﬃzienten aik = aki , ai , a ∈ C 0,α (Ω), die m|ξ|2 ≤

N

aik (x)ξi ξk ≤ M |ξ|2

i,k=1

f¨ ur x ∈ Ω und ξ ∈ RN sowie aik Ω;0,α ≤ b,

ai Ω;0,α ≤ b,

aΩ;0,α ≤ b

f¨ ur i, k ∈ {1, . . . , N } erf¨ ullen. Dann gibt es eine Zahl c(N, α, m, M, b) derart, daß f¨ ur je zwei konzentrische Kugeln BR ⊂⊂ B4R ⊂⊂ Ω mit Radius R bzw. atzung 4R < 1 und alle u ∈ C 2,α (Ω) die Absch¨ uBR ;2,α ≤ c(N, α, m, M, b) R2 LuB4R ;0,α + sup |u| (9.2) B4R

besteht. (Die mit dem Strich versehenen Normen wurden in Bemerkung 5.3.6 eingef¨ uhrt.) Beweis. Sind R und u wie angegeben, so setzen wir x := ur x ∈ B4R und Bx := Bx (x) f¨

1 4

dist(x, ∂B4R ),

U (x) := uBx ;2,α . Es gibt dann ein x1 ∈ B4R , f¨ ur das U (x1 ) ≥

1 sup U 2 B4R

gilt. Mit R1 := x1 und BR1 := BR1 (x1 ) besteht daher uBx ;2,α ≤ 2uBR1 ;2,α

(9.3)

f¨ ur alle x ∈ B4R . W¨ ahlen wir speziell f¨ ur x den Mittelpunkt der Kugel B4R , so ist x = R, also

9.1 Eine innere A-Priori-Absch¨ atzung und ihre Anwendung

uBR ;2,α ≤ 2uBR1 ;2,α . Nat¨ urlich h¨ angt R1 von u ab. Sei nun X ∈ C ∞ (R), 0 ≤ X ≤ 1, und 1 f¨ ur t < X (t) = 0 f¨ ur t >

1 2 2 3

283

(9.4)

.

Wir legen jetzt um BR1 die konzentrische Kugel BR2 := B2R1 (x1 ) und setzen ϕ := X (|·−x1 |/R2 ). Es gibt dann eine allein durch die Wahl von X bestimmte Zahl K ≥ 1 mit sup |ϕxi | ≤

K , R2

sup |ϕxi xk | ≤

K , R22

sup |ϕxi xk xl | ≤

K . R23

(9.5)

Ist Q : RN → RN , Qx := R2 x + x1 , eine aﬃne Transformation, die die Kugel uhrt, so haben wir aufgrund der in Bemerkung B1 (0) in die Kugel BR2 u ¨berf¨ 5.3.6 erl¨ auterten Invarianzeigenschaft unserer Norm uBR1 ;2,α ≤ ϕuBR2 ;2,α = (ϕu) ◦ QB1 (0);2,α .

(9.6)

Auf die rechte Seite k¨ onnen wir Satz 8.2.1, die globale A-Priori-Absch¨atzung von Schauder, anwenden, und zwar f¨ ur N

˜ := − L

i,k=1

∂2 ∂ + a ˜i +a ˜ ∂xi ∂xk i=1 ∂xi N

a ˜ik

mit a ˜ik := aik ◦ Q,

a ˜i := R2 ai ◦ Q,

a ˜ := R22 a ◦ Q

anstelle des dortigen L. Die Voraussetzungen dieses Satzes sind erf¨ ullt, denn aufgrund der Invarianzeigenschaft der Norm und wegen R2 < 1 haben wir ˜ aik B1 (0);0,α = aik BR2 ;0,α ≤ aik BR2 ;0,α ≤ b , ˜ ai B1 (0);0,α = R2 ai BR2 ;0,α ≤ R2 ai BR2 ;0,α ≤ b , ˜ aB1 (0);0,α = R22 aBR2 ;0,α ≤ R22 aBR2 ;0,α ≤ b sowie m|ξ|2 ≤

N

a ˜ik (x)ξi ξk ≤ M |ξ|2

f¨ ur alle x ∈ B1 (0) und ξ ∈ RN .

i,k=1

Also ist (ϕu) ◦ QB1 (0);2,α ≤ c1

˜ L((ϕu) ◦ Q)B1 (0);0,α + sup |(ϕu) ◦ Q|

B1 (0)

mit c1 := c(B1 (0), α, m, M, b). Wegen

(9.7)

284

9 Innere Absch¨ atzungen und innere Regularit¨ at

((ϕu) ◦ Q)xi = R2 (ϕu)xi ◦ Q,

((ϕu) ◦ Q)xi xk = R22 (ϕu)xi xk ◦ Q

haben wir ˜ L((ϕu) ◦ Q)B1 (0);0,α = R22 (L(ϕu)) ◦ QB1 (0);0,α = R22 L(ϕu)BR2 ;0,α N

≤ R22 ϕLuBR2 ;0,α + aik ϕxi xk uBR2 ;0,α + 2aik ϕxi uxk BR2 ;0,α i,k=1

+

N

ai ϕxi uBR2 ;0,α

.

i=1

Nun folgt aus (9.5) ϕBR2 ;0,α = sup |ϕ| + R2α Hα;BR2 (ϕ) BR2

sup |∇ϕ|

≤ 1+

R2α

≤ 1+

K R2α

BR2

√

N

R2

sup

x ,x ∈BR2

|x − x |1−α

√ (2R2 )1−α ≤ 3K N

und analog ϕxi BR2 ;0,α

√ 3K N ≤ , R2

ϕxi xk BR2 ;0,α

√ 3K N ≤ , R22

also wegen Aufgabe 5.10 b) √ ˜ L((ϕu) ◦ Q)B1 (0);0,α ≤ 3K N R22 LuBR2 ;0,α N

√ +3bK N N 2 uBR2 ;0,α + 2N R2 uxi BR2 ;0,α +N R2 uBR2 ;0,α

i=1

.

Im Hinblick auf (9.6) und (9.7) haben wir daher wegen BR2 ⊆ B4R und R2 ≤ 2R < 1 die Ungleichung √ uBR1 ;2,α ≤ c1 12K N R2 LuB4R ;0,α + sup |u| B4R

N

√ +6bKN N N uBR2 ;0,α + R2 uxi BR2 ;0,α i=1

gewonnen. Wir wollen nun die Normen in der runden Klammer durch

9.1 Eine innere A-Priori-Absch¨ atzung und ihre Anwendung

uBR2 ;2 := sup |u| + R2 BR2

N

N

sup |uxi | + R22

i=1 BR2

i,k=1

sup |uxi xk |

285

(9.8)

BR2

absch¨ atzen. Wegen Hα;BR2 (u) ≤ (2R2 )1−α

N

k=1

ist uBR2 ;0,α

≤ sup |u| + 2R2 BR2

N

k=1

ferner

uxi BR2 ;0,α ≤ sup |uxi | + 2R2 BR2

sup |uxk |

BR2

sup |uxk | ≤ 2uBR2 ;2 ,

BR2

N

k=1

sup |uxi xk |

BR2

⎛ ⎞ N N

2 ⎝

≤ R2 sup |uxk | + R22 sup |uxi xk |⎠ R2 BR2 BR2 k=1

i,k=1

2 ≤ uBR2 ;2 , R2 insgesamt also N uBR2 ;0,α + R2

N

uxi BR2 ;0,α ≤ 4N uBR2 ;2 .

i=1

Da f¨ ur x ∈ BR2 4x = dist(x, ∂B4R ) ≥ dist(x1 , ∂B4R ) − R2 = 4R1 − R2 = R2 ist, gilt beispielsweise

R2 sup |uxi | ≤ sup BR2

x∈BR2

≤ 4 sup

x∈BR2

R2 sup |uxi | ≤ 4 sup x sup |uxi | Bx

uBx ;2

x∈BR2

Bx

,

so daß wir die Norm (9.8) ihrerseits durch uBR2 ;2 ≤ (1 + 4N + 16N 2 ) sup uBx ;2 x∈BR2

majorisieren k¨ onnen. Bei festem x ∈ BR2 sei nun T : RN → RN , T y := x y + x, eine aﬃne uhrt. Da es nach Transformation, die die Kugel B1 (0) in die Kugel Bx u ¨berf¨ Korollar 7.3.4 zu jedem > 0 eine Zahl d := d(, B1 (0); 2, α) > 0 mit u ◦ T B1 (0);2 ≤ u ◦ T B1 (0);2,α + d sup |u ◦ T | B1 (0)

286

9 Innere Absch¨ atzungen und innere Regularit¨ at

gibt, ist uBx ;2 = u ◦ T B1 (0);2 ≤ uBx ;2,α + d sup |u| , Bx

also wegen (9.3) uBR2 ;2

≤ 21N

2

2uBR1 ;2,α

+ d sup |u| , B4R

mithin

√ uBR1 ;2,α ≤ c1 12K N R2 LuB4R ;0,α + sup |u| B4R √ 2 2 +24bKN N 21N 2uBR1 ;2,α + d sup |u| . B4R

Wenn wir daher > 0 so w¨ ahlen, daß √ 1 c1 24bKN 2 N 21N 2 2 = 2 ist, so ergibt sich wegen (9.4) die behauptete Absch¨atzung.

Als eine unmittelbare Konsequenz innerer A-Priori-Absch¨atzungen resultiert ur ein α ∈ (0, 1), ferner m > 0. Satz 9.1.2. Es sei Ω ⊂⊂ RN und ∂Ω ∈ C 2,α f¨ Die Koeﬃzienten in L := −

N

∂2 ∂ + ai (x) + a(x) ∂xi ∂xk i=1 ∂xi N

aik (x)

i,k=1

m¨ ogen aik = aki , ai , 0 ≤ a ∈ C 0,α (Ω) und m|ξ|2 ≤

N

aik (x)ξi ξk

i,k=1

f¨ ur x ∈ Ω und ξ ∈ RN erf¨ ullen. Dann hat das Dirichletproblem Lu = f in Ω,

u|∂Ω = g

osung u aus f¨ ur jedes f ∈ C 0,α (Ω) und jedes stetige g : ∂Ω → R genau eine L¨ C 2,α (Ω) ∩ C 0 (Ω). Beweis. Die Eindeutigkeit folgt sofort aus dem Bernsteinschen Lemma 2.6.3. Sei (un ) die in Bemerkung 8.3.2 b) deﬁnierte Funktionenfolge aus C 2,α (Ω). Sie konvergiert nach dem Bernsteinschen Lemma gegen ein u ∈ C 0 (Ω), welches ullt. Nach Satz 9.1.1 gibt es eine allein durch N , α und die u|∂Ω = g erf¨ Koeﬃzienten von L bestimmte Zahl c > 0 mit

9.2 Innere Regularit¨ at von C 2 -L¨ osungen nach E. Hopf

287

un − um BR ;2,α ≤ c sup |un − um | B4R

f¨ ur alle n, m ∈ N und alle konzentrischen Kugeln BR ⊂⊂ B4R ⊂⊂ Ω mit 4R < 1. Es konvergiert also (un ) mitsamt Ableitungen erster und zweiter Ordnung lokal gleichm¨ aßig in Ω gegen ein u ∈ C 2,α (Ω), und es folgt Lu = f . Bez¨ uglich der Fredholmschen Alternative l¨ aßt sich mit den bisherigen Mitteln kein Analogon zu Satz 8.3.3 gewinnen, das in C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) gilt. Als wesentliches Bindeglied fehlt, daß die obige Folge (un ) auch dann gleichm¨aßig konvergiert, wenn die Funktion a negativer Werte f¨ahig ist.

9.2 Innere Regularit¨ at von C 2 -L¨ osungen linearer und quasilinearer elliptischer Gleichungen nach E. Hopf Wenn man den globalen Existenzsatz 8.3.1 von Schauder zur Verf¨ ugung hat, ist es leicht zu zeigen, daß im Falle α ∈ (0, 1) jede L¨osung u ∈ C 2 (Ω) von Lu := −

N

∂u ∂2u + ai + au = f ∂xi ∂xk i=1 ∂xi N

aik

i,k=1

(9.9)

tats¨ achlich in C 2,α (Ω) liegt, sofern die Funktionen aik = aki , ai , a und f aus 0,α C (Ω) sind und u ¨berdies a ≥ 0 und N

aik (x)ξi ξk > 0

i,k=1

at der f¨ ur alle x ∈ Ω und ξ ∈ RN \ {0} gilt. Dies nennt man innere Regularit¨ L¨osungen elliptischer Diﬀerentialgleichungen. Der Grundgedanke des Beweises war bereits in Aufgabe 5.6 enthalten. Es ur jede Kugel B ⊂⊂ Ω zu zeigen. Sei B eine Kugel mit gen¨ ugt, u ∈ C 2,α (B) f¨ B ⊂⊂ B ⊂⊂ Ω und ϕ ∈ Cc∞ (B ) eine Funktion mit ϕ|B = 1. Es ist dann v := ϕu ∈ C 2 (B ) ∩ C 0 (B ) L¨ osung des Dirichletproblems Lv = f˜ in B , f¨ ur f˜ := ϕf −

N

i=1

2

N

k=1

v|∂B = 0

aik uxk − ai u ϕxi −

N

aik ϕxi xk u .

i,k=1

Wegen f˜ ∈ C 0,α (B ) ist nach Satz 8.3.1 v ∈ C 2,α (B ), mithin u ∈ C 2,α (B). Nun wird man fragen, ob es sachgem¨ aß ist, lokale Eigenschaften einer L¨osung aus einem globalen Existenzsatz zu gewinnen. Insbesondere stellt sich die Frage, ob die Voraussetzung a ≥ 0, die der globalen Theorie entstammt,

288

9 Innere Absch¨ atzungen und innere Regularit¨ at

f¨ ur lokale Regularit¨ atsfragen von Bedeutung ist (vgl. Satz 9.2.5). Tats¨achlich hat Eberhard Hopf [123] einige Jahre vor Entstehung der Schauderschen Absch¨ atzungen die innere Regularit¨ at von L¨ osungen nicht notwendig linearer elliptischer Gleichungen mit rein lokalen Methoden bewiesen, die wir jetzt darstellen wollen. Dazu betrachten wir wie zu Beginn von Abschnitt 8.1 eine konstante symmetrische und positiv deﬁnite Matrix A und die Abbildung Q : RN → RN

,

z → A1/2 z .

Es sei S die Singularit¨ atenfunktion des Laplaceoperators aus Deﬁnition 4.1.2 und N ≥ 3. Aufgrund von Aufgabe 2.2 und der Transformationsformel f¨ ur Gebietsintegrale haben wir dann f¨ ur alle x ∈ RN und ϕ ∈ Cc2 (RN ) N

(det A−1 )1/2 [A−1 (x − y) · (x − y)](2−N )/2 aik ϕyi yk (y) dy (N − 2)ωN i,k=1 N R −1 = (det Q ) S(Q−1 x, Q−1 y)(Δ(ϕ ◦ Q))(Q−1 y) dy =

RN

S(Q−1 x, y )(Δ(ϕ ◦ Q))(y ) dy ,

Q−1 RN

was wegen Q−1 RN = RN nach Korollar 4.2.3 gleich −(ϕ ◦ Q)(Q−1 x) ist. Dies f¨ uhrt uns zu Bemerkung 9.2.1. Ist N ≥ 3, Ω ⊆ RN oﬀen und A : Ω → RN ×N eine symmetrische und positiv deﬁnite Matrixfunktion, so hat die durch H(x, z) :=

[det A−1 (x)]1/2 −1 [A (x)z · z](2−N )/2 (N − 2)ωN

(9.10)

deﬁnierte Funktion H : Ω × (RN \ {0}) → R die Eigenschaft −

H(x0 , x − y)

RN

N

aik (x0 )ϕyi yk (y) dy = ϕ(x)

(9.11)

i,k=1

f¨ ur x0 ∈ Ω, x ∈ RN und ϕ ∈ Cc2 (RN ). Da mit A auch A−1 symmetrisch ist, haben wir Hzn (x, z) = −

1 [det A−1 (x)]1/2 (A−1 (x)z)n , ωN [A−1 (x)z · z]N/2

(9.12)

[det A−1 (x)]1/2 (A−1 (x)z)n (A−1 (x)z)m −1 − (A (x))nm Hzn zm (x, z) = N A−1 (x)z · z ωN [A−1 (x)z · z]N/2 (9.13)

9.2 Innere Regularit¨ at von C 2 -L¨ osungen nach E. Hopf

289

Im Falle N = 2 ist die rechte Seite von (9.10) durch −

[det A−1 (x)]1/2 ln[A−1 (x)z · z]1/2 2π

zu ersetzen. Bei den hier angestrebten Regularit¨ atsaussagen ist eine Fallunterscheidung bez¨ uglich N u ussig, weil man aus jeder L¨ osung u in der Ebene durch die ¨berﬂ¨ Setzung w(x1 , x2 , x3 ) := u(x1 , x2 ) eine L¨ osung in Ω × R f¨ ur den um −∂ 2 /∂x23 erg¨ anzten Diﬀerentialausdruck L machen kann, die ihre Regularit¨at mit der von u teilt. Wir k¨ onnen in der Folge daher o.B.d.A. N ≥ 3 annehmen. Bemerkung 9.2.2. Es seien aik = aki ∈ C 1 (Ω), ai , a ∈ C 0 (Ω) und bi := N ∂ 1 ur u ∈ C 2 (Ω) und ϕ ∈ Cc2 (Ω) k=1 ∂xk aik + ai ∈ C (Ω). Dann erhalten wir f¨ durch zweimalige partielle Integration (s. Bemerkung A.1) uLϕ = ϕL∗ u , Ω

Ω

wobei L∗ u := −

N

i,k=1

∂ ∂xi

aik

∂u ∂xk

−

N

∂ (bi u) + au ∂x i i=1

ist. (L∗ u nennt man den zu (9.9) adjungierten Diﬀerentialausdruck.) Gilt zus¨ atzlich mit geeigneten 0 < m < M m|ξ|2 ≤

N

aik (x)ξi ξk ≤ M |ξ|2

i,k=1

f¨ ur alle x ∈ Ω und ξ ∈ RN und sind die ai und a beschr¨ankt, so haben wir mit ur L erhalten, d.h. eine Funktion P (x, y) := H(y, x − y) eine Parametrix 1 f¨ P : (Ω × Ω) \ {(x, x) : x ∈ Ω} → R mit folgenden Eigenschaften: F¨ ur jedes y ∈ Ω ist die Funktion P (·, y) aus C 2 (Ω \ {y}), und es gilt |P (x, y)| dx < ∞ , |Lx P (x, y)| dx < ∞ Ω

sowie

Ω

[P (x, y)L∗ ϕ(x) − ϕ(x)Lx P (x, y)] dx = ϕ(y)

Ω

f¨ ur alle ϕ ∈ Cc2 (Ω). Eine Parametrix Γ mit der zus¨atzlichen Eigenschaft 1

Solche Funktionen traten zuerst bei Hilbert [116] und E.E. Levi [182] auf. Die Namengebung stammt von Hilbert [117].

290

9 Innere Absch¨ atzungen und innere Regularit¨ at

Lx Γ (x, y) = 0

f¨ ur x, y ∈ Ω, x = y ,

heißt Grundl¨ osung 2 der Gleichung Lu = 0. In Analogie zum Newtonpotential erh¨ alt man dann eine L¨ osung von Lu = f durch Faltung von f mit Γ . Eine solche Grundl¨ osung kann man sich nach E.E. Levi u ¨ber eine L¨osung der Integralgleichung (9.14) γ(x, y) − Lx P (x, z)γ(z, y) dz = Lx P (x, y) Ω

verschaﬀen. Da aus (9.13) N

i,k=1

folgt, kann N

i,k=1

aik (x)

aik (y)

∂2 P (x, y) = 0 ∂xi ∂xk

N

∂2 ∂2 P (x, y) = [aik (x) − aik (y)] P (x, y) ∂xi ∂xk ∂xi ∂xk i,k=1

im Falle aik ∈ C (α) (Ω) durch konst. |x − y|α−N abgesch¨atzt werden, so daß es sich bei (9.14) um eine Fredholmsche Integralgleichung 2. Art mit einem schwach singul¨ aren Kern handelt (vgl. S. 213 in Abschnitt 6.2). F¨ ur Einzelheiten und weitere Informationen sei auf [129] verwiesen. Wir machen hier nur von Bemerkung 9.2.1 Gebrauch. Wir leiten in Lemma 9.2.4 eine Integralgleichung f¨ ur die 2. Ableitungen einer L¨osung u von Lu = f her. Die H¨ olderstetigkeit von uxi xk ergibt sich dann in Satz 9.2.5 u ¨ber den Hopfschen Hilfssatz 4.7.4. Daß die Voraussetzungen dieses Hilfssatzes erf¨ ullt sind, wird durch folgendes Lemma sichergestellt. Lemma 9.2.3. Es seien B ⊂⊂ RN eine Kugel , α ∈ (0, 1), 0 < m < M , ferner A : B → RN ×N eine symmetrische und positiv deﬁnite Matrixfunktion mit Elementen aik ∈ C 0,α (B) und m|ξ|2 ≤ A(x)ξ · ξ ≤ M |ξ|2

(9.15)

f¨ ur alle x ∈ B und ξ ∈ RN , schließlich H die Funktion aus (9.10). 1. Es gibt eine allein von m, M und N abh¨ angende Zahl b und eine allein durch m, M , N und die H¨ olderkoeﬃzienten Hα;B (aik ) der aik bestimmte Zahl c mit folgenden Eigenschaften: a) F¨ ur alle x, x , x ∈ B, z ∈ RN \ {0} und n ∈ {1, . . . , N } ist |H(x, z)| ≤ b|z|2−N ,

|Hzn (x, z)| ≤ b|z|1−N ;

|Hzn (x , z) − Hzn (x , z)| ≤ c|z| 2

1−N

α

|x − x | .

(9.16) (9.17)

Dieser Begriﬀ geht auf Picard [255, p. 687] zur¨ uck. Weitere Hinweise auf die fr¨ uhe Literatur ﬁndet man bei Hadamard [93].

9.2 Innere Regularit¨ at von C 2 -L¨ osungen nach E. Hopf

291

b) F¨ ur alle x, x , x ∈ B, z, z , z ∈ RN \ {0} und n, m ∈ {1, . . . , N } gilt mit K(x, z) := Hzn zm (x, z) |K(x, z)| ≤ b|z|−N ; |K(x , z) − K(x , z)| ≤ c|z|−N |x − x |α ;

(9.18) (9.19)

|K(x, z ) − K(x, z )| ≤ b|z |−(N +1) |z − z | f¨ ur 2|z − z | ≤ |z |. (9.20) 2. Ist B0 ⊂⊂ B, δ0 := dist(B0 , ∂B) und K wie in b), so gilt f¨ ur alle x ∈ B0 und δ ∈ (0, δ0 ) K(x, x − y) dy ≤ b0 B |y−x|>δ

mit einer allein von m, M , N , δ0 und von dem Radius von B abh¨ angenden Zahl b0 . Beweis. 1. Aus (9.15) folgt 1 2 1 |ξ| ≤ A−1 (x)ξ · ξ ≤ |ξ|2 M m

(9.21)

f¨ ur alle x ∈ B und ξ ∈ RN , so daß die Eigenwerte von A−1 (x) zwischen M −1 und m−1 liegen. Da die Determinante einer symmetrischen Matrix gleich dem Produkt ihrer Eigenwerte ist, erhalten wir M −N ≤ det A−1 (x) ≤ m−N . Ferner ist −1 A (x) := max A−1 (x)ξ = max A−1 (x)ξ · ξ ≤ 1 . m |ξ|=1 |ξ|=1 Die Absch¨ atzungen in (9.16) ergeben sich nun sofort aus (9.10) bzw. (9.12). Zum Beweis der Absch¨ atzung (9.17) setzen wir 1/2 d(x) := det A−1 (x) ,

N/2 (x, z) := A−1 (x)z · z

und schreiben Hzn (x , z) − Hzn (x , z) = − [ωN (x , z)(x , z)]

−1

T ,

wobei wir T := d(x )(x , z) A−1 (x )z n − d(x )(x , z) A−1 (x )z n in drei Summanden zerlegen:

292

9 Innere Absch¨ atzungen und innere Regularit¨ at

T1 := (d(x ) − d(x ))(x , z) A−1 (x )z n , T2 := d(x )(x , z) A−1 (x ) − A−1 (x ) z n , T3 := d(x ) A−1 (x )z n ((x , z) − (x , z)) . aßige α-H¨olderstetigkeit von d sofort Da det A ≥ mN ist, folgt die gleichm¨ aus der von det A, die ja aus Summen und Produkten der aik ∈ C 0,α (B) besteht. Die Elemente von A−1 bestehen aus mit (det A)−1 multiplizierten ur s, t ≥ 0 Unterdeterminanten von A, sind also ebenfalls aus C 0,α (B). Da f¨ aufgrund des Mittelwertsatzes N N N N N 2 s − t 2 ≤ |s − t| max s 2 −1 , t 2 −1 2 ist, haben wir |(x , z) − (x , z)| ≤

N −1 A (x ) − A−1 (x ) z · z · 2 N −1 N −1 · max A−1 (x )z · z 2 , A−1 (x )z · z 2

und damit die gleichm¨ aßige α-H¨ olderstetigkeit auch des letzten Terms, so daß sich (9.17) u ugung stehende Absch¨atzung von A−1 ergibt. ¨ber die zur Verf¨ Ungleichung (9.18) resultiert sofort aus (9.13) und (9.21), w¨ahrend der Beweis von (9.19) v¨ ollig analog zu dem von (9.17) verl¨auft. Auf die Diﬀerenz aßt sich f¨ ur 2|z − z | ≤ |z | der Mittelwertsatz anwenden, K(x, z ) − K(x, z ) l¨ weil dann die Strecke zwischen z und z in RN \ {0} liegt, wo K(x, ·) stetig diﬀerenzierbar ist. Es gilt also |K(x, z ) − K(x, z )| ≤ |z − z | |∇z K(x, z ∗ )| ≤ const |z ∗ |−(N +1) |z − z | und mit geeignetem t∗ ∈ [0, 1] |z ∗ | = |(1 − t∗ )z + t∗ z | ≥ |z | − |z − z | ≥

1 |z | . 2

Dies beweist (9.20). 2. F¨ ur x ∈ B0 und δ ∈ (0, δ0 ) gilt aufgrund des Gaußschen Satzes B.6 I := Hyn ym (x, x − y) dy = Hyn (x, x − y)νm (y) dS(y) B |y−x|>δ

|y−x|=δ

+

Hyn (x, x − y)νm (y) dS(y) ,

∂B

wenn νm die m-te Komponente des jeweiligen ¨ außeren Einheitsnormalenfeldes bezeichnet. Wegen (9.16) haben wir daher

9.2 Innere Regularit¨ at von C 2 -L¨ osungen nach E. Hopf

|I| ≤ b δ 1−N ωN δ N −1 + δ01−N

293

dS(y) ,

∂B

womit auch die letzte Behauptung bewiesen ist.

Lemma 9.2.4. Es seien B ⊂⊂ R eine Kugel, α ∈ (0, 1), 0 < m < M und aik = aki ∈ C 0,α (B) Funktionen mit N

m|ξ|2 ≤

N

aik (x)ξi ξk ≤ M |ξ|2

i,k=1

f¨ ur x ∈ B und ξ ∈ RN . Es sei v ∈ Cc2 (B) eine Funktion mit der Eigenschaft N

−

aik vxi xk =: F ∈ C 0,α (B) .

i,k=1

Dann gilt f¨ ur alle x ∈ B und n, m ∈ {1, . . . , N } mit der Funktion H aus (9.10) − vxn xm (x) = I1 (x) + I2 (x) + I3 (x) , wobei I1 , I2 , I3 gegeben sind durch N

I1 (x) := Hzn zm (x, x − y) [aik (x) − aik (y)]vyi yk (y) dy ,

(9.22)

(9.23)

i,k=1

B

Hzn zm (x, x − y)[F (x) − F (y)] dy ,

I2 (x) := B

(9.24)

Hzm (x, x − y)νn (y) dS(y) .

I3 (x) := F (x)

(9.25)

∂B

Beweis. Sei x0 ∈ B. F¨ ur v haben wir nach (9.11) die Darstellung N

v(x) = − H(x0 , x − y) aik (x0 )vyi yk (y) dy, x ∈ B . i,k=1

B

Nach Satz 4.7.1, dessen Voraussetzungen wegen (9.16) erf¨ ullt sind, k¨onnen wir unter dem Integral diﬀerenzieren und erhalten N

aik (x0 )vyi yk (y) dy vxn (x) = − Hzn (x0 , x − y)

i,k=1

B

Hzn (x0 , x − y)

= B

N

[aik (y) − aik (x0 )]vyi yk (y) dy

i,k=1

Hzn (x0 , x − y)F (y) dy .

+ B

294

9 Innere Absch¨ atzungen und innere Regularit¨ at

Nach Satz 4.7.2 a), dessen Voraussetzungen aufgrund der Absch¨atzungen (9.16) und (9.18) gegeben sind, liefert die Diﬀerentiation des ersten Terms nach xm an der Stelle x0 Hzn zm (x0 , x0 − y)

N

[aik (y) − aik (x0 )]vyi yk (y) dy .

i,k=1

B

Auf den zweiten Term k¨ onnen wir wegen3 ∂ Hzn (x0 , · − y) dy = − H(x0 , · − y) dy ∂yn B B = − H(x0 , · − y)νn (y) dS(y) ∈ C ∞ (B) ∂B

Satz 4.7.2 b) anwenden und erhalten dann f¨ ur die Ableitung des zweiten Summanden nach xm an der Stelle x0 Hzn zm (x0 , x0 − y)[F (y) − F (x0 )] dy − F (x0 ) Hzm (x0 , x0 − y)νn (y) dS(y) . B

∂B

Da x0 ∈ B keiner weiteren Einschr¨ ankung unterlag, ist damit die behauptete Darstellung erreicht. Nun sind wir in der Lage zu zeigen, daß jede C 2 -L¨osung einer linearen oder quasilinearen elliptischen Gleichung 2. Ordnung mit h¨olderstetigen Koefﬁzienten bereits h¨ olderstetige 2. Ableitungen besitzt. Um diese Aussage durch Induktion auf h¨ohere Ableitungen ausdehnen zu k¨onnen, ist es wichtig, die nachfolgende Information u ¨ber den C 3 -Charakter einer L¨osung zu haben. Satz 9.2.5 (E. Hopf ). Es sei Ω ⊆ RN oﬀen, α ∈ (0, 1), aik = aki , ai , a, f ∈ C 0,α (Ω) und N

aik (x)ξi ξk > 0 (9.26) i,k=1

f¨ ur alle x ∈ Ω und ξ ∈ RN \ {0}. Dann ist jede L¨ osung u ∈ C 2 (Ω) von −

N

i,k=1

aik (x)uxi xk (x) +

N

ai (x)uxi (x) + a(x)u(x) = f (x),

x∈Ω,

i=1

aus C 2,α (Ω). Gilt aik = aki , ai , a, f ∈ C 1,α (Ω) und (9.26), so ist u ∈ C 3 (Ω). 3

Ist x ∈ B, so integriere man zun¨ achst u ¨ber B \ B (x) und lasse gegen Null gehen, wobei man Lemma 9.2.3 verwendet.

9.2 Innere Regularit¨ at von C 2 -L¨ osungen nach E. Hopf

295

Beweis. Es sei BR eine Kugel mit BR ⊂⊂ B2R ⊂⊂ Ω und ϕ ∈ Cc∞ (B2R ) eine Funktion mit ϕ|BR = 1. a) Was die erste Behauptung betriﬀt, so gen¨ ugt es zu zeigen, daß die gleichm¨ a ßig α-h¨olderstetig sind. Die zweiten Ableitungen von v := ϕu auf B R N Funktion v erf¨ ullt die Gleichung − i,k=1 aik vxi xk = F , wobei ⎞ 2 ⎛ N 1 N N

aik uxk + ai uxi ϕ − ⎝ aik ϕxi xk + aϕ⎠ u F := ϕf − 2ϕxi i=1

k=1

i,k=1

aus C 0,α (B2R ) ist. Nach Lemma 9.2.4 besteht daher die Darstellung (9.22)(9.25) mit B = B2R . Aufgrund des Hopfschen Lemmas 4.7.4 a) (dessen Voraussetzungen nach ur jedes γ ∈ (0, α) Teil 1 von Lemma 9.2.3 erf¨ ullt sind) ist die Funktion I1 f¨ ahrend die Funktion I2 nach Lemma gleichm¨ aßig γ-h¨ olderstetig auf B2R , w¨ 4.7.4 b) (hier ben¨ otigen wir Teil 2 von Lemma 9.2.3) auf BR gleichm¨aßig αh¨olderstetig ist. F¨ ur x , x ∈ BR und y ∈ ∂B2R schreiben wir Hzm (x , x − y) − Hzm (x , x − y) = Hzm (x , x − y) − Hzm (x , x − y) + Hzm (x , x − y) − Hzm (x , x − y) . Die ersten beiden Terme k¨ onnen nach (9.17) durch b|x − y|1−N |x − x |α ≤ bR1−N |x − x |α abgesch¨ atzt werden, wobei in die Zahl b nur Schranken der aik und die Dimension N eingehen. F¨ ur x ∈ BR ist x → Hzm (x , x − y) stetig diﬀerenzierbar, also sogar gleichm¨ aßig lipschitzstetig. Insgesamt ergibt sich, daß I3 auf aßig α-h¨ olderstetig ist. Damit ist vxn xm |BR ∈ C 0,γ (BR ) f¨ ur jedes BR gleichm¨ γ ∈ (0, α), also u ∈ C 2,γ (Ω) erreicht. Mit dieser neuen Information folgt nun aber verm¨ oge Lemma 4.7.4 b), daß die Funktion I1 auf BR sogar gleichm¨aßig α-h¨ olderstetig ist. Das ergibt vxn xm |BR ∈ C 0,α (BR ). b) Wir zeigen nun, daß die Funktionen I1 , I2 und I3 unter den versch¨arften ur I3 ergibt sich das sofort, da nunmehr Voraussetzungen aus C 1 (BR ) sind. F¨ F ∈ C 1,α (B2R ) gilt und mit Aufgabe 9.1 folgt, daß das Randintegral in (9.25) onnen wir in I2 partiell integrieren aus C 1 (BR ) ist. Wegen supp F ⊆ B2R k¨ (vgl. auch die Fußnote auf S. 294): ∂ Hz (x, x − y)[F (x) − F (y)] dy (9.27) I2 (x) = − ∂ym n B2R Hzn (x, x − y)νm (y) dS(y) . = − Hzn (x, x − y)Fym (y) dy − F (x) B2R

∂B2R

Die stetige Diﬀerenzierbarkeit des zweiten Terms auf B2R folgt aus Aufgabe 9.1. Teil b) von Satz 4.7.2 sichert nun, daß auch der erste Term in C 1 (B2R ) liegt, denn es ist ja

296

9 Innere Absch¨ atzungen und innere Regularit¨ at

−

∂ H(·, · − y) dy ∂yn

Hzn (·, · − y) dy =

B2R

B2R

H(·, · − y)νn (y) dS(y) ∈ C 1 (B2R ) ,

= ∂B2R

und die u ullt. ¨brigen Voraussetzungen dieses Satzes sind nach Aufgabe 9.1 erf¨ In gleicher Weise k¨ onnen wir mit Satz 4.7.2 b) I1 ∈ C 1 (B2R ) erschließen, sofern nur Hzn zm (·, · − y)[aik (·) − aik (y)] dy ∈ C 1 (B2R ) I := − B2R

ist. Dies ist aber der Fall, denn f¨ ur x ∈ B2R liefert der Gaußsche Satz (vgl. die Fußnote auf S. 294) ∂ I(x) = Hzn (x, x − y) [aik (x) − aik (y)] dy ∂ym B2R Hzn (x, x − y)[aik (x) − aik (y)]νm (y) dS(y) = ∂B2R

Hzn (x, x − y)

+

∂ aik (y) dy . ∂ym

B2R

Das Oberﬂ¨ achenintegral ist ersichtlich stetig diﬀerenzierbar; das zweite Integral ist vom gleichen Typ wie der erste Summand in (9.27), also ebenfalls aus C 1 (B2R ). Mit Satz 9.2.5 lassen sich nun leicht innere Regularit¨atsaussagen auch im quasilinearen Fall beweisen. Satz 9.2.6 (E. Hopf ). Es sei Ω ⊆ RN oﬀen, α ∈ (0, 1), 0 < m < M und n ∈ N0 . Es seien aik = aki , f ∈ C n,α (Ω × R × RN ) und m|ξ|2 ≤

N

aik (x, z, p)ξi ξk ≤ M |ξ|2

i,k=1

f¨ ur (x, z, p) ∈ Ω × R × RN und ξ ∈ RN . Dann ist jede L¨ osung u ∈ C 2 (Ω) von −

N

aik (x, u(x), ∇u(x))uxi xk (x) = f (x, u(x), ∇u(x)),

x∈Ω,

(9.28)

i,k=1

aus C n+2,α (Ω). Insbesondere ist also u beliebig oft diﬀerenzierbar, wenn die aik und f diese Eigenschaft haben.

9.2 Innere Regularit¨ at von C 2 -L¨ osungen nach E. Hopf

297

Beweis. Aus u ∈ C 2 (Ω) folgen u, uxi ∈ C 0,1 (Ω), also verm¨oge Aufgabe 5.9 c) ur n = 0 folgt die Behauptung aik (·, u(·), ∇u(·)), f (·, u(·), ∇u(·)) ∈ C 0,α (Ω). F¨ ur die die Behauptung wahr daher aus Satz 9.2.5. Sei nun n ∈ N0 eine Zahl, f¨ ur den Induktionsschritt haben wir ist. Es ist dann also u ∈ C n+2,α (Ω), und f¨ ugung. F¨ ur jeden die Voraussetzungen aik , f ∈ C n+1,α (Ω × R × RN ) zur Verf¨ Multiindex μ mit |μ| = n k¨ onnen wir daher Dμ auf (9.28) anwenden. Rechts haben wir dann eine Summe von Produkten von Ableitungen von f und u der Ordnung ≤ n bzw. ≤ n + 1 (f¨ ur eine explizite Formel s. [69]); entsprechend links, wobei wir zus¨ atzlich noch die Leibnizsche Regel anwenden m¨ ussen. Es resultiert, daß Dμ u einer linearen elliptischen Gleichung −

N

aik (x, u(x), ∇u(x))(Dμ u)xi xk (x)

i,k=1

= F (x, u(x), ux1 (x), . . . , uxn (x), . . . , Dμ ux1 (x), . . . , Dμ uxn (x)) ugt. Nach Satz 9.2.5 ist mit Koeﬃzienten und rechter Seite in C 1,α (Ω) gen¨ daher u ∈ C n+3 (Ω), was aber zur Folge hat, daß wir (9.28) auch (n + 1)ugt also f¨ ur |μ| = n + 1 einer linearen mal diﬀerenzieren d¨ urfen. Dμ u gen¨ elliptischen Gleichung mit Koeﬃzienten in C 0,α (Ω), so daß nach Satz 9.2.5 Dμ u ∈ C 2,α (Ω) ist. Mithin ist u ∈ C (n+1)+2,α (Ω), was zu zeigen war. Die S¨ atze 9.2.5 und 9.2.6 waren f¨ ur E. Hopf Mittel zur L¨osung eines noch tieferliegenden Problems. Wir hatten in Bemerkung 5.4.4 a) erw¨ahnt, daß Picard [254] mit Hilfe der Methode der sukzessiven Approximation bewies (Korrekturen wurden sp¨ ater von ihm selbst und von Dini vorgenommen), daß die L¨ osungen linearer elliptischer Diﬀerentialgleichungen 2. Ordnung mit analytischen Koeﬃzienten analytisch sind. Hilbert vermutete, daß die Elliptizit¨ at und nicht die Linearit¨ at hierf¨ ur entscheidend sind, und stellte auf dem 2. Internationalen Mathematikerkongreß 1900 in Paris die Frage Sind ” die L¨ osungen regul¨ arer Variationsprobleme stets notwendig analytisch?“ (In der gedruckten Version seines Vortrags [111] ist dies das 19. seiner ber¨ uhmten 23 Probleme.) Schon 1903 konnte S.N. Bernstein [17] zeigen, daß jede C 3 -L¨osung von φ(x, u(x), ∇u(x), D2 u(x)) = 0,

x ∈ Ω ⊆ RN ,

(9.29)

im Falle N = 2 f¨ ur elliptisches und analytisches φ analytisch ist (sein Beweis – er wird in [3] analysiert – bedurfte allerdings noch sp¨aterer Verbesserungen). Schon in [18, p. 132] vermutete Bernstein, daß es m¨oglich sein m¨ usse, die ucken. Dies gelang dann LichAusgangsannahme u ∈ C 3 auf u ∈ C 2 zu dr¨ tenstein [188] im quasilinearen Fall durch eine Diﬀerenzenapproximation. Diesen Kunstgriﬀ kann man auch ben¨ utzen, um den zweiten Teil von Satz 9.2.5 zu beweisen; man ﬁndet das in [83, p. 104 f.] dargestellt. Satz 9.2.5 diente E. Hopf als Hilfsmittel zu zeigen, daß f¨ ur beliebiges N osung von (9.29) (φ elliptisch und analytisch) analytisch ist. Nijede C 2,α -L¨ renberg bewies schließlich in [236], daß in dieser Situation jede C 2 -L¨osung

298

9 Innere Absch¨ atzungen und innere Regularit¨ at

schon aus C 2,α ist. (F¨ ur N = 2 hatte dies bereits Caccioppoli angek¨ undigt; s. jedoch Schauders Besprechung dieser Arbeit im Zentralblatt f¨ ur Mathematik 13, 164, 1936.) Die Analytizit¨ at verallgemeinerter L¨osungen regul¨arer Variationsprobleme wurde schließlich unabh¨ angig voneinander von De Giorgi [47] und Nash [218], dem sp¨ ateren Nobelpreistr¨ager f¨ ur Wirtschaftswissenschaften, bewiesen. Weitere Literaturangaben ﬁndet man in [207, § 44].

Aufgaben 9.1. Zus¨ atzlich zu den Voraussetzungen von Lemma 9.2.3 werde angenommen, ankte Ableitungen besitzen. Sei y ∈ RN . daß die aik ∈ C 1 (B) sind und beschr¨ Man zeige, daß H(·, · − y),

Hzn (·, · − y),

Hzn zm (·, · − y) ∈ C 1 (B \ {y})

gilt und daß es eine allein durch m, M , N und Schranken der aik und ihrer Ableitungen bestimmte Zahl c gibt mit ∂ −N f¨ ur alle x ∈ B \ {y} . ∂xj Hzn (x, x − y) ≤ c|x − y| 9.2. Man zeige: Ist n ∈ N0 und gilt zus¨ atzlich zu den Voraussetzungen von Satz 9.2.5 aik , ai , a, f ∈ C n,α (Ω), so ist jede L¨osung u ∈ C 2 (Ω) aus C n+2,α (Ω).

10 Schwache L¨ osungen

Daß das Newtonpotential bei beschr¨ ankter Grundmenge und integrierbarer Dichte eine schwache L¨ osung der Poissongleichung ist, wird in Satz 10.2.5 gezeigt. Das schwach formulierte Dirichletproblem f¨ ur diese Gleichung wird unter der notwendigen und hinreichenden Voraussetzung (A) auf S. 310 mit Hilfe des Darstellungssatzes von Fr´echet-Riesz gel¨ost (Satz 10.2.13). Die Regularit¨ at schwacher L¨ osungen von (−Δ + a)u = f nach Maßgabe der Regularit¨ at der Koeﬃzienten a und f wird in Satz 10.3.10 und seinem Korollar behandelt. Der Prototyp solcher S¨ atze, der Fall a = f = 0 (Satz 10.3.2), wird f¨ ur einen Beweis der Symmetrie der Greenschen Funktion des Laplaceoperators herangezogen (Satz 10.3.4). Im Falle a = 0 wird auch das Problem der Randregularit¨ at schwacher L¨ osungen behandelt, und zwar wird Satz 3.7.1 von Giesecke ben¨ utzt, um zu zeigen, daß jede klassische L¨osung des Dirichletproblems auch das schwach formulierte Dirichletproblem l¨ost (Satz 10.2.12). F¨ ur die Umkehrung werden zwei Beweise gegeben; der eine ben¨ utzt die Perronsche Methode in vollem Umfang (Satz 10.4.1), der andere eine Absch¨atzung des Gradienten der Greenschen Funktion (Satz 10.4.2). Das Dirichletsche Prinzip wird auf zwei Arten gerechtfertigt: einmal u ¨ber den Nachweis, daß jede Minimalfolge konvergent ist (Satz 10.5.2), alternativ u ¨ber eine Variante des Projektionssatzes (Satz 10.5.4).

10.1 Bemerkungen zur historischen Entwicklung In Satz 4.3.1 hatten wir das Petrinische Beispiel einer stetigen Funktion kennengelernt, deren Newtonpotential keine zweiten Ableitungen besitzt. Petrini zeigte in [249], daß das Newtonpotential v einer stetigen Dichtefunktion f jedoch einer Poissongleichung gen¨ ugt, in der der Laplaceoperator durch eine Diﬀerenzenapproximation ersetzt ist, die erste Ableitungen von v enth¨alt, und er gab in [250] notwendige und hinreichende Bedingungen f¨ ur die Existenz zweiter Ableitungen von v. Wenig sp¨ ater ersetzte Zaremba [350] die Poissongleichung durch E. Wienholtz et al., Elliptische Diﬀerentialgleichungen zweiter Ordnung, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009 DOI 10.1007/978-3-540-45721-3 10,

300

10 Schwache L¨ osungen

− lim Δh u = f ,

wobei

h→0

Δh u(x) :=

(10.1)

N 1

[u(x + hei ) + u(x − hei ) − 2N u(x)] h2 i=1

ist. F¨ ur N = 1 ist limh→0 Δh u die nach B. Riemann oder H.A. Schwarz benannte symmetrische zweite Ableitung, die in der Theorie der Fourierreihen eine Rolle spielt. Zaremba zeigte nicht nur, daß f¨ ur f ∈ C 0 (Ω), Ω ⊆ RN oﬀen und nichtleer, das Newtonpotential zu Ω und f (10.1) erf¨ ullt; aus seinen Betrachtungen ergibt sich auch, daß jedes u ∈ C 0 (Ω), dessen Ableitungen ugen, uxi xi , i = 1, . . . , N , in Ω existieren und dort der Gleichung Δu = 0 gen¨ eine im Sinne der auf S. 19 gegebenen Deﬁnition harmonische Funktion ist [122, 350]. (In [122] ﬁndet man auch eine von Blaschke 1916 gegebene und 1927 von Wiener erneut gefundene scheinbare Abschw¨achung des Begriﬀes harmonisch, die sich dem Zarembaschen Satz unterordnet.) In einer Fußnote in [338, S. 182] deﬁnierte Weyl als Laplaceoperator von ˜ ∈ u ∈ C 1 (Ω) die (im Falle ihrer Existenz eindeutig bestimmte) Funktion Δu 0 ur alle Kugeln B ⊂⊂ Ω C (Ω), mit welcher f¨ ˜ Δu = ν · ∇u B

∂B

˜ = gilt (ν das ¨ außere Einheitsnormalenfeld auf ∂B). F¨ ur u ∈ C 2 (Ω) ist ja Δu 0 Δu aufgrund des Gaußschen Satzes. Ist f ∈ C (Ω), so kann man zeigen, daß das Newtonpotential zu Ω und f f¨ ur alle Kugeln B ⊂⊂ Ω der Gleichung ˜ = Δu − f B

B

˜ = f auch punktweise auf Ω besteht. gen¨ ugt, so daß −Δu ˆ Bocher hatte – f¨ ur die Ebene – in der vor Satz 2.1.1 zitierten Arbeit [20] gezeigt, daß eine Funktion u ∈ C 1 (Ω), die ν · ∇u = 0 ∂B

f¨ ur alle Kugeln B ⊂⊂ Ω erf¨ ullt, harmonisch in Ω ist. F¨ ur seinen Sch¨ uler G.C. Evans war dies der Ausgangspunkt, einen verallgemeinerten Gradienten und verallgemeinerte L¨ osungen der Poissongleichung in der Ebene und der eindimensionalen W¨ armeleitungsgleichung zu deﬁnieren. Auf diese Arbeiten wird in [197, §§ 31–35] und [318, § 2.1] eingegangen. In einer umfangreichen Abhandlung aus dem Jahre 1894 versuchte Poin´ das dritte Randwertproblem care − Δu = f in Ω ,

hu + ν · ∇u = g auf ∂Ω

(10.2)

zu l¨ osen, indem er u als Potenzreihe in h ansetzte. Da er aber die Existenz von ∇u nur in Ω zeigen konnte, ersetzte er (10.2) durch das Problem, ein u ∈ C 0 (Ω) mit der Eigenschaft

10.1 Bemerkungen zur historischen Entwicklung

fϕ +

[u(hϕ + ν · ∇ϕ) − gϕ]

uΔϕ =

Ω

301

Ω

(10.3)

∂Ω

f¨ ur ϕ ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) mit auf Ω stetig fortsetzbaren ersten Ableitungen zu ﬁnden [262, pp. 100, 121]. Zu (10.2) sei dieses modiﬁzierte Problem (10.3) ´evidemment ´equivalente. . . au point de vue physique“. Kurze Zeit sp¨ater ” konnte Zaremba [349] zeigen, daß der von Poincar´e eingeschlagene Weg unter geeigneten Voraussetzungen tats¨ achlich sogar zu einer L¨osung von (10.2) f¨ uhrt, und das modiﬁzierte Problem geriet in Vergessenheit. Nat¨ urlich war die Poissongleichung nicht die einzige Gleichung, f¨ ur die es unter Umst¨ anden w¨ unschenswert erschien, den L¨osungsbegriﬀ zu verallgemeinern. In Zusammenhang mit dem 20. seiner 23 mathematischen Probleme schreibt Hilbert [111], daß der Grundgedanke, der ihn zur Rechtfertigung des Dirichletschen Prinzips f¨ uhrte, uns dann vielleicht in den Stand setzen ” wird, der Frage n¨ aherzutreten, ob nicht jedes regul¨ are Variationsproblem eine L¨ osung besitzt, sobald hinsichtlich der gegebenen Grenzbedingungen gewisse Annahmen . . . erf¨ ullt sind und n¨ otigenfalls der Begriﬀ der L¨ osung eine sinngem¨ aße Erweiterung erf¨ ahrt.“ Die Gleichung f¨ ur die schwingende Saite uxx − utt = 0 ,

(10.4)

von der man seit D’Alembert und Euler weiß, daß ihre L¨osungen die Gestalt u(x, t) = f (x − t) + g(x + t) haben, m¨ ochte man aus physikalischen Gr¨ unden auch Funktionen f oder g zulassen, die nicht zweimal stetig diﬀerenzierbar sind. Gleichung (10.4) motivierte Wiener zu der Deﬁnition, daß die Gleichung Lu := −

N

aik uxi xk +

N

ai uxi + au = 0

(10.5)

i=1

i,k=1

eine L¨ osung in einem verallgemeinerten Sinne habe, wenn es eine Lebesgueintegrierbare Funktion v mit der Eigenschaft vL∗ ϕ = 0 (10.6) Ω

Cc∞ (Ω)

f¨ ur alle ϕ ∈ gibt [347, § 8]. Hat man n¨ amlich eine L¨osung u im u ¨blichen Sinne, so ergibt sich f¨ ur ϕ ∈ Cc∞ (Ω) aus 0= Lu · ϕ Ω

durch partielle Integration die Relation (10.6) mit v = u; L∗ ist der in Bemerkung 9.2.2 deﬁnierte zu L adjungierte Diﬀerentialausdruck. In der genannten Arbeit von Wiener [347] (dort geht es um die Rechtfertigung der

302

10 Schwache L¨ osungen

Heavisideschen Methode zur L¨ osung von Diﬀerentialgleichungen wie der Telegraphengleichung) steht diese Deﬁnition v¨ ollig isoliert da, so daß sie in der sehr ausf¨ uhrlichen Besprechung im Jahrbuch u ¨ber die Fortschritte der Mathematik (52, 416–418, 1926 [1935]) gar nicht erw¨ ahnt wird. Wiener selbst kam auch nie wieder auf sie zur¨ uck.1 Erst durch die Untersuchungen von Leray, Sobolev und Friedrichs, die unabh¨ angig von Wiener erfolgten, wurde sie zu der heute u ¨blichen Deﬁnition der schwachen Ableitung (diese Namengebung stammt von Friedrichs [74, p. 524]) einer lokal integrierbaren Funktion (vgl. Deﬁnitionen 10.2.1 und 10.2.3). In der 1934 erschienenen Arbeit [178], einer bahnbrechenden Untersuchung zeitabh¨ angiger L¨ osungen der Navier-Stokes-Gleichungen in drei Dimensionen, triﬀt Leray die folgende Deﬁnition. Eine Funktion u ∈ L2 (R3 ) besitzt eine Quasi-Ableitung bez¨ uglich der Variablen xi , wenn es eine Funktion ur alle a ∈ C 1 (R3 ) mit a, axi ∈ L2 (R3 ) die ui ∈ L2 (R3 ) gibt derart, daß f¨ Beziehung (uaxi + ui a) = 0 R3

besteht. Er zeigt unter anderem, daß bei glatten Anfangsbedingungen die mit Quasi-Ableitungen ausgestatteten L¨ osungen f¨ ur ein gewisses kompaktes Zeitintervall eindeutig bestimmte glatte L¨ osungen sind. Wenig sp¨ ater betrachtet S.L. Sobolev [311] L¨osungen der hyperbolischen Diﬀerentialgleichung Lu − utt = f , L wie in (10.5), als lineare Funktionale auf einem Vektorraum glatter Funktionen mit kompaktem Tr¨ ager (den Ausdruck Testfunktionen f¨ ur solche Funktionen scheint Bochner [22, p. 203] gepr¨ agt zu haben) und gibt dann die heute u ¨bliche Deﬁnition der schwachen Ableitung einer (lokal) integrierbaren ater in der Distributionstheorie von Funktion.2 Hier deutet sich an, was sp¨ Laurent Schwartz st¨ arker in den Vordergrund gestellt wird, n¨amlich, daß es n¨ utzlich sein kann, nicht nur den Begriﬀ der Ableitung, sondern auch den der Funktion zu verallgemeinern [131]. Sobolevs Arbeit [312] enth¨ alt im wesentlichen bereits seinen ber¨ uhmten Einbettungssatz : Hat u ∈ L2 (Ω) schwache Ableitungen bis zur Ordnung l ≥ m := [N/2] + 1, die allesamt in L2 (Ω) liegen, so stimmt u fast u ¨berall mit einer Funktion aus C l−m (Ω) u ¨berein. In [313, § 6] macht er die folgende 1

2

Kurz zuvor hatte er durch die vor Satz 3.3.6 und in Bemerkung 3.3.11 genannten Arbeiten, aus denen hervorgeht, daß eine harmonische Funktion eine stetige Randvorgabe in einem nichtregul¨ aren Randpunkt nicht annehmen kann (vgl. Satz 3.5.8), der Potentialtheorie eine neue Richtung gegeben. Sie ﬁndet sich auch auf S. 469 f. des heute klassischen Werkes von CourantHilbert [46]. Die auf S. 469 angek¨ undigte Arbeit von Friedrichs ist [74].

10.1 Bemerkungen zur historischen Entwicklung

303

Beobachtung: Es sei I ⊆ R ein oﬀenes Intervall, und u ∈ L1loc (I) besitze eine schwache erste Ableitung, also ein v ∈ L1loc (I) mit uϕ = − vϕ I

I

f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (I). Hieraus folgt durch partielle Integration, wenn V eine Stammfunktion von v ist, (u − V )ϕ = 0 I

f¨ ur alle diese ϕ. Nach einer Verallgemeinerung des von Du Bois-Reymond stammenden Fundamentallemmas der Variationsrechnung [23, S. 28 f.] (vgl. Satz A.11 b)) gibt es dann eine Konstante, mit der u − V fast u ¨berall u ¨bereinstimmt. Umgekehrt hat f¨ ur jedes C ∈ R und jedes v ∈ L1loc (I) die durch x v(t) dt , x, x0 ∈ I , u(x) := C + x0

deﬁnierte stetige Funktion die schwache Ableitung v. In einer Dimension haben also genau die Funktionen eine schwache erste Ableitung, die lokal absolutstetig sind. In einer Dimension wird man also zwangsl¨auﬁg auf die Funktionenklasse gef¨ uhrt, die in der Lebesgueschen Integrationstheorie die Rolle der stetig diﬀerenzierbaren Funktionen u ¨bernimmt. Im Rahmen seiner Untersuchungen u ¨ber die Fortsetzung eines symmetrischen Operators zu einem selbstadjungierten Operator in einem Hilbertraum betrachtete Friedrichs Cauchyfolgen glatter Funktionen und ihrer Ableitungen [73, speziell S. 687 ﬀ.]. Eine solche Betrachtung wird auch durch die Behandlung von Rand- und Eigenwertproblemen mit Methoden der Variationsrechnung nahegelegt; vgl. Kapitel 7 von [46], das einer Zusammenarbeit von Courant und Friedrichs entstammt [274, p. 198 f.]. In [74] bezeichnete er ihre Grenzelemente als starke Ableitungen und zeigte im Falle von Operatoren der Gestalt −Δ+a(x) in L2 (RN ), daß starke und schwache Ableitungen u ¨ber¨ einstimmen. Uberdies bewies er eine Variante des Sobolevschen Einbettungssatzes, bei der nicht alle schwachen Ableitungen bis zur Ordnung l existieren m¨ ussen. Prim¨ ar f¨ ur das Dirichletsche und das Neumannsche Randwertproblem bei der Poissongleichung gab Cimmino [40, 41] eine Verallgemeinerung des L¨ osungsbegriﬀs, die ebenfalls auf der Verwendung approximierender Folgen beruhte. In a uher ein ¨hnlicher Weise hatte D.C. Lewis [184] bereits etwas fr¨ spezielles Anfangs-Randwertproblem f¨ ur die schwingende Saite mit nichtlinearer rechter Seite behandelt. Diese Arbeiten wurden durch die von Friedrichs und Sobolev in Gang gesetzte Entwicklung u ¨berschattet. Als einﬂußreich erwies sich ein Gedanke von Zaremba, der in engem Zusammenhang mit Hilberts Rechtfertigung des Dirichletschen Prinzips steht.

304

10 Schwache L¨ osungen

Es sei Ω ⊂⊂ RN ein glattberandetes Gebiet, und g : ∂Ω → R lasse sich zu einer Funktion aus C 1 (Ω)∩C 0 (Ω) mit endlichem Dirichletintegral (vgl. (10.13)) fortsetzen. Ferner sei u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) eine L¨osung des Problems Δu = 0 in Ω ,

u|∂Ω = g ,

die ein endliches Dirichletintegral besitzt. Dann gilt aufgrund des Gaußschen Satzes f¨ ur alle auf Ω harmonischen Funktionen h mit endlichem Dirichletintegral ∇h · ∇(u − g) . 0 = − (u − g)Δh = Ω

Ω

Dies motivierte Zaremba in [353, 355] dazu, ein von ihm transformiertes ” Dirichletproblem“ genanntes Problem zu l¨ osen, n¨amlich zu vorgegebenem 1 1 ur alle auf Ω harmonischen g ∈ C (Ω) ein u ∈ C (Ω) zu ﬁnden, so daß f¨ Funktionen h ∇h · ∇(u − g) = 0 Ω

besteht, wobei g, u und h ein endliches Dirichletintegral besitzen sollen. Geometrisch ist u die orthogonale Projektion von g – orthogonal hinsichtlich der von dem Dirichletintegral erzeugten Form (vgl. (10.12)) – auf die harmonischen Funktionen mit endlichem Dirichletintgral. Diese Interpretation des Zarembaschen Problems wurde aber erst von Nikodym [234, 235] gegeben, und gr¨ oßere Aufmerksamkeit erlangte diese Methode der orthogonalen Projektion erst durch eine auch im Hinblick auf die Regularit¨at schwacher L¨osungen vielzitierte Arbeit von Weyl [340].

10.2 Existenz schwacher L¨ osungen Die in C 2 (Ω) liegenden L¨ osungen, die wir bis einschließlich Kapitel 9 betrachtet haben, werden h¨ auﬁg auch als klassische L¨ osungen bezeichnet, um sie von den nachfolgend deﬁnierten schwachen L¨ osungen (s. Def. 10.2.3) zu unterscheiden. Schwache L¨ osungen, die zudem in einem gewissen Sinne ein Randwertproblem l¨ osen, werden uns in Deﬁnition 10.2.9 und in (10.17) begegnen. Wir bezeichnen diese als L¨ osungen eines verallgemeinerten Dirichletproblems. ¨ Am Anfang unserer Uberlegungen steht der in der Einleitung 10.1 motivierte Begriﬀ der schwachen Ableitung. Deﬁnition 10.2.1. Es seien Ω ⊆ RN oﬀen, μ ein Multiindex der Ordnung |μ| und u ∈ L1loc (Ω). Eine Funktion v ∈ L1loc (Ω) heißt schwache μ-te Ableitung von u, wenn |μ| v(x)ϕ(x) dx = (−1) u(x)Dμ ϕ(x) dx Ω

f¨ ur alle ϕ ∈

Cc∞ (Ω)

Ω

besteht.

10.2 Existenz schwacher L¨ osungen

305

Bemerkung 10.2.2. Existiert die μ-te schwache Ableitung von u, so ist diese wegen Satz A.11 b) fast u ¨berall eindeutig bestimmt und wir bezeichnen sie mit wμ (u). Ist u ∈ C m (Ω), so liefert partielle Integration (s. Bemerkung A.1) sofort, daß s¨ amtliche schwachen Ableitungen von u bis zur Ordnung m existieren. F¨ ur alle |μ| ≤ m gilt dann Dμ u = wμ (u) fast u ¨berall auf Ω. Aus diesem Grund k¨ onnen wir f¨ ur die schwachen Ableitungen wieder die f¨ ur die partiellen Ableitungen glatter Funktionen u ¨blichen Notationen verwenden. Der Begriﬀ der schwachen L¨ osung einer Diﬀerentialgleichung Lu = f entspricht dem der schwachen Ableitung Dμ u = f , wenn man Dμ durch den Diﬀerentialoperator L ersetzt und dann partiell integriert. F¨ ur Diﬀerentialoperatoren L der Form (10.5) ist u schwache L¨ o sung von Lu = f , wenn

∗ ∞ ∗ f ϕ = uL ϕ f¨ u r alle ϕ ∈ C (Ω) gilt, wobei L der in Bemerkung 9.2.2 c Ω Ω erkl¨ arte adjungierte Diﬀerentialausdruck ist, dessen Deﬁnition gewisse Regularit¨ atsanforderungen an die Koeﬃzienten mit sich bringt. Wir pr¨azisieren dies nun in dem Spezialfall L = −Δ + a. Deﬁnition 10.2.3. Es seien Ω ⊆ RN oﬀen und a, f ∈ L1loc (Ω). Eine Funktiosung von on u ∈ L1loc (Ω) heißt schwache L¨ − Δu + au = f , wenn au ∈ L1loc (Ω) ist und

(10.7)

u(−Δϕ + aϕ) =

Ω

fϕ .

(10.8)

Ω

f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) besteht. Bemerkung 10.2.4. Sind a, f (mindestens) lokal integrierbar und ist u ∈ C 2 (Ω) eine Funktion, die (10.7) erf¨ ullt, also eine klassische L¨osung dieser Gleichung, so ersieht man nach Multiplikation mit ϕ ∈ Cc∞ (Ω) und partieller Integration, die nach Bemerkung A.1 nur den Satz von Fubini beansprucht, daß u auch eine schwache L¨ osung ist. Umgekehrt folgt aus (10.8) f¨ ur eine schwache L¨ osung, von der man die Zusatzinformation hat, daß sie einer Funkaquivalent ist, tion aus C 2 (Ω) ¨ (−Δu + au − f )ϕ = 0 Ω

f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω), so daß (10.7) wegen Satz A.11 b) fast u ¨berall auf Ω gilt. Im Falle a = 0 erhalten wir f¨ ur eine große Klasse rechter Seiten mit dem Newtonpotential eine schwache L¨ osung von (10.7). Satz 10.2.5. Es seien Ω ⊂⊂ RN , S die Singularit¨ atenfunktion zum Laplaceoperator (s. Deﬁnition 4.1.2) und f ∈ L1 (Ω). Dann existiert

306

10 Schwache L¨ osungen

v(x) :=

S(x, y)f (y) dy

(10.9)

Ω

f¨ ur fast alle x ∈ Ω und deﬁniert eine Funktion aus L1 (Ω) (sie heißt wieder Newtonpotential zu Ω und f ), die schwache L¨ osung der Poissongleichung ist. Beweis. Aus unseren Voraussetzungen und Bemerkung 4.1.3 b) folgt, daß T : (x, y) → S(x, y)f (y) eine auf Ω × Ω deﬁnierte meßbare Funktion ist, f¨ ur die |T (x, y)|dx dy Ω

Ω

exisitert. Nach Tonelli ist daher T ∈ L1 (Ω × Ω), so daß nach Fubini (10.9) f¨ ur fast alle x ∈ Ω existiert und eine Funktion aus L1 (Ω) deﬁniert. Ebenso hat man nach Fubini-Tonelli f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) v(x)Δϕ(x) dx = S(x, y)Δϕ(x) dx f (y) dy . Ω

Ω

Ω

Das innere Integral ist aufgrund der Symmetrie von S nach Korollar 4.2.3 gleich −ϕ(y). Korollar 10.2.6. Speziell ist das Newtonpotential zur Kugel B und dem Petrinischen Beispiel f aus Satz 4.3.1 eine schwache L¨ osung der Poissongleichung. Entsprechend kann man f¨ ur konstantes und positives a verfahren, da dann gem¨ aß Deﬁnition 4.9.1 und Bemerkung 4.9.2 b) eine zu S analoge Singularit¨ atenfunktion oder Grundl¨ osung zur Verf¨ ugung steht. F¨ ur a = 1 soll das in Aufgabe 10.3 ausgef¨ uhrt werden. Erw¨ ahnt sei, daß jede lineare partielle Diﬀerentialgleichung mit konstanten Koeﬃzienten eine Grundl¨osung besitzt. F¨ ur diesen Satz, der um 1954 unabh¨ angig voneinander von Ehrenpreis und Malgrange bewiesen wurde, sei auf [244] und die dort zitierte Literatur verwiesen. F¨ ur nichtkonstantes a bietet die in Bemerkung 9.2.2 angedeutete Integralgleichungsmethode eine M¨ oglichkeit, sich eine solche Grundl¨osung zu verschaﬀen. Wir wenden uns nun einer ganz anderen Methode zu, die Existenz schwacher L¨ osungen nachzuweisen. Sie ist von bestechender Einfachheit und ba´chet-Riesz in Hilbertsiert auf dem fundamentalen Darstellungssatz von Fre r¨aumen, liefert aber keine explizite Darstellung der L¨osung u ¨ber ein Integral. Dazu und auch im Hinblick auf eine Rechtfertigung des Dirichletschen Prinzips in Abschnitt 10.5 f¨ uhren wir nun zwei Arten von Funktionenr¨aumen ein, die den Einsatz funktionalanalytischer Hilfsmittel gestatten, da ihre Elemente – anders als die aus Deﬁnition 10.2.3 – global integrierbar sind. Im Hinblick auf einige sp¨ atere Bemerkungen beginnen wir etwas allgemeiner als unbedingt erforderlich; ben¨ otigt wird in den beiden nachfolgenden Deﬁnitionen nur der Fall m = 1 und p = 2.

10.2 Existenz schwacher L¨ osungen

307

Deﬁnition 10.2.7. Es seien Ω ⊆ RN oﬀen und nichtleer, m ∈ N und 1 ≤ p < ∞. Mit H m,p (Ω) werde die Menge bzw. der Vektorraum aller u ∈ Lp (Ω) bezeichnet, zu denen Folgen (un ) aus C ∞ (Ω) mit der Eigenschaft existieren, daß f¨ ur jeden Multiindex μ mit |μ| ≤ m p |Dμ un | < ∞ Ω

ist und

un − up → 0 ,

Dμ un − Dμ um p → 0

f¨ ur n, m → ∞ besteht. Es bezeichne v das Grenzelement von (Dμ u n ) in Lp (Ω) f¨ ur ein |μ| ≤ m. Da

μ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) nach Bemerkung A.1 Ω (D un )ϕ = (−1)|μ| Ω un Dμ ϕ f¨ gilt, folgt im Falle p = 1 sofort und f¨ ur p > 1 aufgrund der H¨olderschen Ungleichung vϕ = (−1)|μ| uDμ ϕ f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) . Ω

Ω

schwache μ-te Ableitung von u und nach BeSomit ist v ∈ L (Ω) ⊆ merkung 10.2.2 eindeutig (als Element von Lp (Ω)) durch u und μ bestimmt. Insbesondere h¨ angt der Limes der Folge (Dμ un ) nicht von der Wahl der approximierenden Folge (un ) ab. In der Terminologie von Friedrichs [74] ist limn→∞ Dμ un (im Lp -Sinne) die starke μ-te Ableitung von u, die wir mit sμ (u) oder auch wieder mit Dμ u bezeichnen (vgl. Bemerkung 10.2.2). Der Raum H m,p (Ω), versehen mit der Norm p

L1loc (Ω)

um,p :=

1/p Dμ upp

,

(10.10)

|μ|≤m

stellt einen Banachraum3 dar. Zudem kann man zeigen, daß jedes u ∈ C m (Ω) ur alle |μ| ≤ m in H m,p (Ω) liegt, wobei die klassische mit Ω |Dμ u|p < ∞ f¨ asentanten von sμ (u) darstellt (s. Aufgabe partielle Ableitung Dμ u einen Repr¨ 10.4 b)). Deﬁnition 10.2.8. F¨ ur oﬀenes und nichtleeres Ω ⊆ RN , m ∈ N und 1 ≤ p < ∞ wird die Abschließung von Cc∞ (Ω) in der Norm (10.10) mit H0m,p (Ω) bezeichnet. ur Ersichtlich ist H0m,p (Ω) ein abgeschlossener Teilraum von H m,p (Ω). F¨ beschr¨ anktes Ω ist H0m,p (Ω) sogar ein echter Unterraum von H m,p (Ω). Dies wird in Aufgabe 10.5 f¨ ur einen Spezialfall, der aber typisch ist, gezeigt. 3

Mitunter (so in [66, p. 220]) versteht man unter H m,p (Ω) die Abschließung von ∞ C (Ω) in der Norm (10.10). In diesem Fall besteht die Gleichung (10.37) nur unter Glattheitsvoraussetzungen an den Rand von Ω, z.B. der Segmentbedingung [66, p. 221 f.].

308

10 Schwache L¨ osungen

Nunmehr sei m = 1 und p = 2. Wir setzen H01 (Ω) := H01,2 (Ω)

H 1 (Ω) := H 1,2 (Ω) ,

und · f¨ ur die L2 -Norm · 2 . Die Norm (10.10) schreibt sich dann 1/2 N u1,2 := u2 + i=1 uxi 2 . Ist ·, · das Skalarprodukt in L2 (Ω) und ∇u · ∇v , D(u, v) :=

(10.11)

(10.12)

Ω

so werden H 1 (Ω) und H01 (Ω), versehen mit dem Skalarprodukt u, v1,2 := u, v + D(u, v) , zu Hilbertr¨ aumen. Schließlich setzen wir noch zur Vereinfachung der Notation D(u) := D(u, u)

(10.13)

f¨ ur das Dirichletintegral, das uns bereits in Abschnitt 3.7 auf S. 95 begegnet ist. Funktionen aus H01 (Ω) lassen sich in der ·1,2 -Norm durch glatte Funktionen approximieren, deren Tr¨ ager kompakt in Ω enthalten ist, und die somit auf ∂Ω verschwinden. Damit ist aber nicht unmittelbar klar, welches Verhalten die Funktionen aus H01 (Ω) nahe des Randes von Ω haben k¨onnen. In diesem Zusammenhang sei daran erinnert, daß jede L2 -Funktion beliebig uglich der L2 -Norm approximiert werden kann. gut durch Cc∞ -Funktionen bez¨ Wir werden aber in Abschnitt 10.4 sehen, daß die Approximierbarkeit durch uglich der · 1,2 -Norm eine st¨arkere Bedingung darstellt. Cc∞ -Funktionen bez¨ Die beiden S¨ atze von Abschnitt 10.4 zeigen n¨ amlich, daß die Randbedingung allen durch die Forderung u − g ∈ H01 (Ω) u|∂Ω = g in den betrachteten F¨ ersetzt werden kann. Hierbei wird vorausgesetzt, daß sich das auf ∂Ω deﬁnierte vorgegebene Randdatum g zu einer H 1 -Funktion auf Ω fortsetzen l¨aßt. Die Formulierung der Randvorgabe macht insbesondere von der Existenz der schwachen Ableitungen erster Ordnung der L¨ osung Gebrauch. Es ist deshalb nat¨ urlich, bei der Formulierung der Diﬀerentialgleichung nur eine Ableitung auf die Testfunktion u alzen. Die hierbei auftretenden Bilinearformen ¨berzuw¨ (vgl. (10.16)) sind f¨ ur die funktionalanalytische Betrachtungsweise vorteilhaft. Im Fall des Laplaceoperators ist diese Bilinearform gerade durch D aus (10.12) ¨ gegeben. F¨ ur die Poissongleichung erhalten wir mit diesen Uberlegungen folgende Aufgabenstellung: Deﬁnition 10.2.9. Es seien Ω ⊆ RN eine nichtleere oﬀene Menge, f ∈ ost das verallgemeinerte L2 (Ω) und g ∈ H 1 (Ω). Wir sagen, u ∈ H 1 (Ω) l¨ Dirichletproblem f¨ ur die Poissongleichung, wenn (i) und (ii) gilt mit

10.2 Existenz schwacher L¨ osungen

309

f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) ,

(i) D(u, ϕ) = f, ϕ (ii) u − g ∈ H01 (Ω) .

Jedes u ∈ H 1 (Ω) mit der Eigenschaft (i) ist eine schwache L¨osung der Poissongleichung im Sinne von Deﬁnition 10.2.3, denn es ist ja u ∈ L1loc (Ω), und f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) gilt fϕ = ∇u · ∇ϕ = u(−Δϕ) , Ω

Ω

Ω

wobei die zweite Umformung durch Bemerkung A.1 gerechtfertigt wird, wenn u durch C ∞ -Funktionen approximiert wird. Bemerkung 10.2.10. L¨ ost u das verallgemeinerte Dirichletproblem f¨ ur die ullt Poissongleichung, so ist v := u − g aus H01 (Ω) und erf¨ D(v, ϕ) = f, ϕ − D(g, ϕ)

f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) .

Hat man umgekehrt ein v ∈ H01 (Ω) mit dieser Eigenschaft, so ist u := v + g ullt (i), (ii). aus H 1 (Ω) und erf¨ Wir wollen nun zeigen, daß im Fall der Poissongleichung klassische L¨osungen des Dirichletproblems auch das verallgemeinerte Dirichletproblem l¨osen. Dazu ben¨ otigen wir folgendes Lemma 10.2.11. Es sei Ω ⊂⊂ RN nichtleer und w ∈ C 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω) eine Funktion mit den Eigenschaften ∇w ∈ L2 (Ω, RN ) und w|∂Ω = 0. Dann liegt w in H01 (Ω). uhrte Beweis. Es bezeichne φn die zu Beginn des Beweises von Satz 3.7.1 eingef¨ Hilfsfunktion, und es sei w(x) φn (t) dt . wn (x) := 0

Die auf diese Weise deﬁnierte Funktion wn ist stetig diﬀerenzierbar mit Tr¨ager supp wn ⊆ {x ∈ Ω : |wn (x)| ≥ n1 } ⊆ Ω. Folglich liegt wn in Cc1 (Ω). Aus der Beschr¨ anktheit von Ω und aus 2 |w(x) − wn (x)| ≤ , |∇w(x) − ∇wn (x)| = [1 − φn (w(x))]|∇w(x)| n f¨ ur alle x ∈ Ω folgt mit dem Lebesgueschen Konvergenzsatz w − wn 1,2 → 0 f¨ ur n → ∞. Zu vorgegebenem > 0 existiert somit w ˜ = wn0 ∈ Cc1 (Ω) mit attungsschar (vgl. Deﬁnition A.3). w − w ˜ 1,2 < /2. Es bezeichne (jδ ) eine Gl¨ Da der Tr¨ ager von w ˜ kompakt in Ω enthalten ist, gibt es ein δ0 > 0 so, daß ˜ ∈ Cc∞ (Ω) f¨ ur δ < δ0 . Gem¨ aß Satz A.6 konvergieren zudem w ˜δ w ˜δ := jδ ∗ w und ∇w ˜δ gleichm¨ aßig gegen w ˜ und ∇w, ˜ da die Tr¨ager all dieser Funktionen kompakt in Ω enthalten sind. Aus der Beschr¨ anktheit von Ω folgt nun, daß onnen mit w ˜δ1 − w ˜ 1,2 < 2 . Zusammenfassend gilt wir ein δ1 < δ0 ﬁnden k¨ ˜δ1 1,2 < , wobei > 0 beliebig vorgegeben war. w ˜δ1 ∈ Cc∞ (Ω) mit w − w Dies beweist w ∈ H01 (Ω).

310

10 Schwache L¨ osungen

N Satz 10.2.12. f ∈ C 0 (Ω) und g ∈ C 1 (Ω) ∩

Es2 seien Ω ⊂⊂ R nichtleer, 0 2 C (Ω) mit Ω |f | < ∞ und Ω |∇g| < ∞. Ist dann u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) klassische L¨ osung des Dirichletproblems

−Δu = f in Ω ,

u = g auf ∂Ω ,

so gilt u ∈ H 1 (Ω) und D(u, ϕ) = f, ϕ

f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) ,

u − g ∈ H01 (Ω) .

Beweis. Partielle Integration gem¨ aß Bemerkung A.1 liefert D(u, ϕ) = ∇u · ∇ϕ = − (Δu)ϕ = f ϕ = f, ϕ Ω

Ω

Ω

Cc∞ (Ω).

f¨ ur alle ϕ ∈ Wendet man nun den Satz 3.7.1 von Giesecke mit v =

u − g an, so folgt aus Ω |∇g|2 < ∞ und Ω | − (Δu)v| ≤ f u − g < ∞ aß Aufgabe 10.4 b) liegt u in H 1 (Ω), und Lemma auch Ω |∇u|2 < ∞. Gem¨ 1 10.2.11 liefert u − g ∈ H0 (Ω). Wir f¨ uhren nun folgende zun¨ achst etwas willk¨ urlich erscheinende Annahme ein: Es gibt ein C > 0, so daß ϕ2 ≤ CD(ϕ) f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) gilt.

(A)

Hieraus folgt sofort, daß sogar f¨ ur alle u ∈ H01 (Ω) u2 ≤ CD(u) und daher D(u) ≤ u21,2 ≤ (C + 1)D(u) gilt. Es ist also D(·) eine Norm auf H01 (Ω), die zu der Norm (10.11) ¨aquivalent ist. Insbesondere ist daher (H01 (Ω), D(·, ·)) ein Hilbertraum. Unter der Voraussetzung (A) erhalten wir nun m¨ uhelos die Existenz (genau) einer L¨ osung des verallgemeinerten Dirichletproblems f¨ ur die Poissonglei´chet-Riesz, demzufolge zu jedem chung u ¨ber den Darstellungssatz von Fre stetigen linearen Funktional l auf einem Hilbertraum H genau ein v ∈ H mit l(u) = u, v

f¨ ur alle u ∈ H

existiert. (Die Norm des Elements v ist dann gleich der Norm von l [337, S. 197].) Das Problem wird dann darin bestehen zu untersuchen, inwieweit eine L¨ osung im Sinne von Deﬁnition 10.2.9 noch Eigenschaften einer klassischen L¨ osung des Dirichletproblems besitzt. Diesem Problem werden wir uns in den beiden folgenden Abschnitten zuwenden und dabei sehen, daß zu seiner Bearbeitung Techniken und Resultate ben¨ otigt werden, wie wir sie vor allem in den Kapiteln 3, 4 und 9 vorgestellt haben. Andererseits ist jedoch zu sagen, daß viele numerische Verfahren nicht auf dem klassischen L¨osungsbegriﬀ, sondern auf dem von Deﬁnition 10.2.9 basieren.

10.2 Existenz schwacher L¨ osungen

311

Satz 10.2.13. Es seien Ω ⊆ RN eine nichtleere oﬀene Menge, f ∈ L2 (Ω) und g ∈ H 1 (Ω). Unter der Voraussetzung (A) hat dann das verallgemeinerte Dirichletproblem f¨ ur die Poissongleichung genau eine L¨ osung. Beweis. Durch l : (H01 (Ω), D(·, ·)) → R ,

w → f, w − D(g, w)

wird ein lineares Funktional deﬁniert. Mit √ K := Cf + D(g)1/2 gilt f¨ ur alle w ∈ H01 (Ω) aufgrund der Schwarzschen Ungleichung |l(w)| ≤ f w + D(g)1/2 D(w)1/2 ≤ KD(w)1/2 . Es ist also l stetig, so daß nach Fr´echet-Riesz genau ein v ∈ H01 (Ω) mit D(v, w) = f, w − D(g, w) f¨ ur alle w ∈ H01 (Ω) existiert. Mit Bemerkung 10.2.10 ist die Existenz gezeigt. Da l stetig ist und Cc∞ (Ω) in H01 (Ω) dicht liegt, ergibt sich die Eindeutigkeit aus der Eindeutigkeitsaussage des Satzes von Fr´echet-Riesz. Aus dem nachfolgenden Resultat ergibt sich, daß insbesondere f¨ ur jede beschr¨ ankte oﬀene Menge Ω die Annahme (A) richtig ist. Lemma 10.2.14. Es sei Ω ⊆ RN eine oﬀene Menge, die in einer Koordinatenrichtung beschr¨ ankt ist, also etwa Ω ⊆ x = (x , xN ) ∈ RN −1 × R : |xN | ≤ α f¨ ur ein α > 0 erf¨ ullt. Dann gilt f¨ ur alle u ∈ H01 (Ω) u2 ≤ (2α)2 D(u) .

(10.14)

Beweis. Es gen¨ ugt, die Behauptung f¨ ur ϕ ∈ Cc∞ (Ω) zu beweisen. Wir setzen N ϕ auf R \ Ω durch Null fort. Anwendung der Schwarzschen Ungleichung auf xN ϕ(x) = 1 · ϕxN (x , t) dt −α

liefert

|ϕ(x , xN )| ≤

α

2

α

2

1 dt −α

−α

|ϕxN (x , t)| dt ≤ 2α

α

2

−α

|∇ϕ(x , t)|2 dt ,

so daß wir durch zweimalige Anwendung des Satzes von Fubini

312

10 Schwache L¨ osungen

|ϕ| =

|ϕ| = α

2

α

2

RN

Ω

≤ 2α

−α α

|ϕ(x , xN )| dx dxN % 2 |∇ϕ(x , t)| dt dx dxN

RN −1 α

RN −1

−α

|∇ϕ|2 dxN

= 2α −α

−α

2

Ω

erhalten, und dies ist die gew¨ unschte Ungleichung f¨ ur ϕ.

Ungleichung (10.14) kann man als mehrdimensionales Analogon der Ungleichung 2 b b π 2 u ≤ (u )2 b−a a a ansehen, die von Scheeffer f¨ ur u ∈ C 1 ([a, b]) mit u(a) = u(b) = 0 bewiesen wurde; sie ﬁndet sich auf S. 207 seiner postum erschienen Arbeit [296]. F¨ ur N = 2 bewies H.A. Schwarz eine Ungleichung des Typs (10.14) im Rahmen seiner im Anschluß an Satz 6.2.8 genannten Untersuchung. Meist wird ´ benannt, der in [260, p. 258] eine solche Ungleichung aber nach Poincare und [262, Abschnitt III] eine Ungleichung der Gestalt (10.14) f¨ ur beschr¨ankte konvexe Gebiete des R3 und Funktionen mit Mittelwert Null bewies, also eine Ungleichung der Form 2 2 2 |u| ≤ const |∇u| + u . Ω

Ω

Ω

¨ Die am Ende unseres historischen Uberblicks in 10.1 genannten Arbeiten von Zaremba stehen in enger Beziehung zu den Betrachtungen dieses Abschnitts, und in [353, p. 223 f.] wird (10.14) f¨ ur beschr¨ anktes Ω und Funktionen, die am Rand von Ω verschwinden, bewiesen. Daß die Voraussetzung (A) in einer gewissen Weise auch notwendig f¨ ur die L¨osbarkeit des verallgemeinerten Dirichletproblems f¨ ur die Poissongleichung ist, ergibt sich aus der nachfolgenden Beobachtung. Bemerkung 10.2.15. Wir nehmen an, daß zu jedem vorgegebenem f ∈ L2 (Ω) und g ∈ H 1 (Ω) ein v ∈ H01 (Ω) existiert mit D(v, ψ) = f, ψ − D(g, ψ)

f¨ ur alle ψ ∈ Cc∞ (Ω) .

Speziell ist dann f¨ ur alle ψ ∈ Cc∞ (Ω) mit D(ψ) = 1 aufgrund der Schwarzschen Ungleichung, die auch f¨ ur semideﬁnite symmetrische Bilinearformen gilt (s. Aufgabe 10.13 a)), |f, ψ| = |D(v + g, ψ)| ≤ D(v + g)1/2 =: Kv , d.h. der beschr¨ ankte lineare Operator

10.2 Existenz schwacher L¨ osungen

Tψ : L2 (Ω) → R ,

313

f → f, ψ

erf¨ ullt |Tψ (f )| ≤ Kv . Aufgrund des Satzes von Banach-Steinhaus [337, S. 141] gibt es daher ein C > 0 mit √ Tψ ≤ C f¨ ur alle obigen ψ. Nun ist die Operatornorm Tψ das Inﬁmum aller k ≥ 0, f¨ ur die f¨ ur alle f ∈ L2 (Ω) |Tψ (f )| ≤ kf besteht. Aufgrund der Schwarzschen Ungleichung ist aber |f, ψ| ≤ f ψ, wobei das Gleichheitszeichen genau dann gilt, wenn f und ψ linear abh¨angig sind. Also ist Tψ = ψ, mithin √ D(ϕ)−1/2 ϕ ≤ C f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) mit D(ϕ) = 0, also mit ϕ = 0. Im verbleibenden Teil dieses Abschnitts u ¨bertragen wir die Deﬁnition 10.2.9 des verallgemeinerten Dirichletproblems f¨ ur die Poissongleichung auf allgemeine lineare Diﬀerentialgleichungen 2. Ordnung. Wie im Fall der klassischen L¨ osungen werden wir sehen, daß die Elliptizit¨at des Diﬀerentialoperators wesentlich f¨ ur den Nachweis der Existenz von L¨osungen ist. Es sei nun L := −

N

∂2 ∂ + ai (x) + a(x) ∂xi ∂xk i=1 ∂xi N

aik (x)

i,k=1

ein Diﬀerentialoperator mit Koeﬃzienten aik ∈ C 1 (Ω), ai , a ∈ C 0 (Ω). Ist osung von dann f ∈ C 0 (Ω) und u ∈ C 2 (Ω) L¨ Lu = f , so erhalten wir mit bi :=

N

∂ aik + ai ∂xk

k=1

f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) durch partielle Integration f, ϕ = Lu, ϕ =

N Ω

i,k=1

aik uxi ϕxk +

N

i=1

bi uxi ϕ + auϕ . (10.15)

314

10 Schwache L¨ osungen

Durch (10.15) wird uns die Deﬁnition einer Bilinearform

N N

b(u, v) := aik uxi vxk + bi uxi v + auv Ω

(10.16)

i=1

i,k=1

1

auf H (Ω) nahegelegt, und wir nennen in Analogie zu Deﬁnition 10.2.9 eine osung des verallgemeinerten Dirichletproblems f¨ ur Funktion v ∈ H 1 (Ω) L¨ Lu = f ,

u|∂Ω = g

zu vorgegebenen f ∈ L (Ω), g ∈ H (Ω), wenn 2

b(u, ϕ) = f, ϕ

1

f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) ;

u − g ∈ H01 (Ω) .

(10.17)

Wie in Bemerkung 10.2.10 beschrieben, ist dieses Problem ¨aquivalent dazu, ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω). ein v ∈ H01 (Ω) zu ﬁnden mit b(v, ϕ) = f, ϕ − b(g, ϕ) f¨ Anders als die Dirichletform D ist die Bilinearform b im allgemeinen nicht symmetrisch, so daß man f¨ ur sie nicht mehr wie im Beweis von Satz 10.2.13 mit dem Darstellungssatz von Fr´echet-Riesz argumentieren kann. Man kann diesen und den f¨ ur einen abgeschlossenen Teilraum L eines Hilbertraums H geltenden Zerlegungssatz H = L ⊕ L⊥

(10.18)

jedoch dazu ben¨ utzen, folgenden Darstellungssatz [170] f¨ ur allgemeine beschr¨ ankte Bilinearformen herzuleiten. F¨ ur den einfachen Beweis sei auf [66, p. 249] verwiesen (s.a. [119]). Lemma 10.2.16 (Lax-Milgram). Es sei H ein Hilbertraum und weiter sei b : H × H → R eine Bilinearform mit der Eigenschaft, daß ein c > 0 mit |b(u, v)| ≤ cuv

f¨ ur alle u, v ∈ H

existiert. Man nennt dann b eine beschr¨ ankte Bilinearform. Dann gilt: (i) Es gibt genau einen Operator A : H → H mit b(u, v) = u, Av f¨ ur alle u, v ∈ H. A ist linear und A ≤ c. (ii) Wenn zus¨ atzlich ein d > 0 existiert mit |b(u, u)| ≥ du2

f¨ ur alle u ∈ H ,

so ist der Operator A aus (i) bijektiv und A−1 ≤ d1 . Korollar 10.2.17. Die Bilinearform b erf¨ ulle die Voraussetzungen von Lemma 10.2.16. Es sei l ein stetiges lineares Funktional auf H und h ∈ H das nach Fr´echet-Riesz existierende Element mit l(w) = w, h f¨ ur w ∈ H. Dann ist v := A−1 h das eindeutig bestimmte Element mit l(w) = b(w, v)

f¨ ur alle w ∈ H .

10.2 Existenz schwacher L¨ osungen

315

Wir deﬁnieren nun eine Klasse von Bilinearformen, welche die in (10.16) angegebenen beinhaltet, und diskutieren, unter welchen Bedingungen die Voraussetzungen von Lemma 10.2.16 erf¨ ullt sind. Unter der generellen Annahme ur i, k ∈ {1, . . . , N } sind Ω ⊆ RN ist oﬀen und nichtleer, und f¨ ankt aik , bi , ci , a : Ω → R meßbar und beschr¨ betrachten wir nun f¨ ur u, v ∈ H 1 (Ω) die Bilinearform

N N

B(u, v) := aik uxi vxk + (bi uxi v + ci uvxi ) + auv . Ω

(B1)

(10.19)

i=1

i,k=1

Aufgrund der Schwarzschen Ungleichung gibt es dann ein K > 0 mit |B(u, v)| ≤ Ku1,2 v1,2

f¨ ur alle u, v ∈ H 1 (Ω) .

(10.20)

Um auch noch die zweite Voraussetzung in Lemma 10.2.16 befriedigen zu k¨onnen, machen wir folgende weitere Annahme: Die Bilinearform (10.19) ist koerzitiv u ¨ber H01 (Ω), d.h. es gibt k1 > 0 und k2 ≥ 0 mit B(u) := B(u, u) ≥

k1 u21,2

− k2 u f¨ ur alle u ∈ 2

H01 (Ω)

(B2) .

B heißt streng koerzitiv u ¨ber H01 (Ω), wenn diese Ungleichung mit k2 = 0 gilt. Satz 10.2.18. Es gelte (B1), und die Bilinearform B aus (10.19) sei streng koerzitiv u ¨ber H01 (Ω). Sind dann f ∈ L2 (Ω) und g ∈ H 1 (Ω), so gibt es genau ein v ∈ H01 (Ω) mit B(v, ϕ) = f, ϕ − B(g, ϕ)

f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) .

Beweis. Auf dem Hilbertraum (H01 (Ω), · 1,2 ) deﬁnieren wir ein lineares Funktional durch l(w) := f, w − B(g, w) . Wegen (10.20) ist f¨ ur alle w ∈ H01 (Ω) |l(w)| ≤ wf + Kw1,2 g1,2 ≤ (f + Kg1,2 )w1,2 , ¨ also l stetig. Uberdies gibt es nach Voraussetzung ein k > 0 mit |B(u)| ≥ B(u) ≥ ku21,2 f¨ ur alle u ∈ H01 (Ω). Nach Korollar 10.2.17 existiert daher genau ein v ∈ H01 (Ω) mit l(w) = B(v, w) f¨ ur alle w ∈ H01 (Ω) , womit die Existenz gezeigt ist. Da l und B beschr¨ankt sind, folgt aus l(ϕ) = B(v, ϕ) f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω), daß auch l(w) = B(v, w) f¨ ur alle w ∈ H01 (Ω) gilt. Dies beweist die Eindeutigkeit.

316

10 Schwache L¨ osungen

Ersetzt man in Satz 10.2.18 die Voraussetzung der strengen Koerzitivit¨at durch Koerzitivit¨ at, so zeigt folgende Bemerkung f¨ ur den Fall g = 0, daß noch die Fredholmsche Alternative gilt, welche wie im Fall klassischer L¨osungen (vgl. Bemerkung 5.5.7 und Satz 6.2.5) besagt, daß die Existenz von nichttrivialen L¨ osungen der homogenen Gleichung die uneingeschr¨ankte L¨osbarkeit der inhomogenen Gleichung zerst¨ ort. Bemerkung 10.2.19. Sei Ω ⊂⊂ RN und B : H01 (Ω) × H01 (Ω) → R eine beschr¨ ankte und koerzitive Bilinearform. Dann gilt: Entweder gibt es zu jedem f ∈ L2 (Ω) genau ein u ∈ H01 (Ω) mit B(v, ϕ) = f, ϕ

f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) ,

(10.21)

oder es gibt eine maximale Zahl d ∈ N derart, daß in H01 (Ω) linear unabh¨ angiur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) und ge Elemente u1 , . . . , ud existieren mit B(ϕ, uj ) = 0 f¨ j ∈ {1, . . . , d}. Im 2. Fall ist (10.21) genau dann l¨ osbar, wenn f, uj = 0 ist f¨ ur alle j ∈ {1, . . . , d}. Die in Bemerkung 10.2.19 formulierte Aussage ist ein Spezialfall von S¨ atzen, die unabh¨ angig voneinander etwa zeitgleich von F.E. Browder [30], G˚ arding [78] und M.I. Viˇ sik [327] bewiesen wurden. Ihr Beweis (s. etwa [66, p. 249 ﬀ.]) beruht darauf, daß f¨ ur Ω ⊂⊂ RN die Einbettung von H01 (Ω) 2 in L (Ω) kompakt ist [337, S. 192]. Den Anstoß zu einem solchen Resultat gab Rellich [275], der unter gewissen Voraussetzungen an den Rand von Ω ⊂⊂ R2 zeigte, daß aus jeder Menge von Funktionen, die in der · 1,2 -Norm beschr¨ ankt ist, eine in L2 (Ω) konvergente Folge ausgew¨ahlt werden kann. Eine systematische Einbeziehung von Sobolevr¨ aumen wurde dann von Sobolevs Sch¨ uler V.I. Kondraˇ sov beschrieben [144, 145]. Beide Satztypen – Komur Ω ⊂⊂ RN und Kompaktheit paktheit der Einbettung H01 (Ω) in L2 (Ω) f¨ 1 2 ur Ω ⊂⊂ RN unter einer Voraussetder Einbettung von H (Ω) in L (Ω) f¨ zung an ∂Ω (z.B. der Segmentbedingung) sowie deren Verallgemeinerungen – werden heute nach Rellich und Kondraˇsov benannt. Wir zeigen nun, daß Elliptizit¨ at zusammen mit (B1) die Koerzitivit¨at bereits impliziert. Lemma 10.2.20. Es sei die Voraussetzung (B1) erf¨ ullt. Wenn es dann ein δ > 0 mit N

aik (x)ξi ξk ≥ δ|ξ|2

(10.22)

i,k=1

f¨ ur alle x ∈ Ω und ξ ∈ RN gibt, so ist die Bilinearform (10.19) koerzitiv u ¨ber H 1 (Ω) und daher erst recht u ¨ber H01 (Ω). Beweis. Da es Zahlen C1 > 0 und C2 > 0 mit

10.2 Existenz schwacher L¨ osungen N

(bi + ci )uuxi ≥ −2C1 |∇u||u| ≥ −C1

i=1

1 |∇u| + u2 2

317

,

au2 ≥ −C2 u2 f¨ ur alle u ∈ H 1 (Ω) und > 0 gibt, haben wir B(u) ≥ (δ − C1 )|∇u|2 − −1 C1 + C2 u2 Ω

= (δ − C1 )u21,2 − δ − C1 + −1 C1 + C2 u2 , so daß die Behauptung f¨ ur 0 < < δC1−1 folgt.

Eine Ungleichung, wie sie in (B2) gefordert wird, nennt man gerne G˚ ardingsche Ungleichung. Diese Namengebung ist vielleicht etwas erkl¨arungsbed¨ urftig, da eine solche Ungleichung ja unter der Elliptizit¨atsbedingung (10.22), wie wir gerade gesehen haben, sofort elementar herstellbar ist. Zu beachten ist jedoch, daß unsere Bilinearform (10.19), die nur Ableitungen h¨ ochstens erster Ordnung enth¨ alt, nicht typisch f¨ ur den Fall ist, daß Ableitungen bis zur Ordnung m ≥ 2 auftreten. Es zeigt sich dann, daß eine zu (10.22) analoge Bedingung notwendig und hinreichend f¨ ur Koerzitivit¨at u ¨ber H0m,2 (Ω) ist (s. [78], insbesondere Beweis von Theorem 2.1; Koerzitivit¨at u ¨ber H m,2 (Ω) ist i.a. nicht mehr gegeben). Wir beschließen diesen Abschnitt, indem wir einige Situationen diskutieren, in denen strenge Koerzitivit¨ at gilt. Bemerkung 10.2.21. a) Zus¨ atzlich zu (B1) gelte (B2) mit k2 > 0. Erf¨ ullt dann Ω die Voraussetzung von Lemma 10.2.14, so gilt aufgrund dieses Hilfssatzes f¨ ur alle u ∈ H01 (Ω) B(u) ≥ [k1 − (2α)2 k2 ]u21,2 , d.h. im Falle 0 < α < 12 k1 /k2 ist B streng koerzitiv u ¨ber H01 (Ω). b) Es m¨ ogen die Voraussetzungen von Lemma 10.2.14 gelten und die Koeﬃzienten der Bilinearform (10.19) den Voraussetzungen (B1) und (10.22) gen¨ ugen. Dann ist diese Bilinearform streng koerzitiv u ¨ber H01 (Ω), wenn α 1 klein“ ist (siehe a)) oder die bi , ci aus C (Ω) sind, beschr¨ankte Ableitungen N ” haben und a ≥ 12 i=1 (bi + ci )xi gilt. Letzteres ergibt sich mit Bemerkung A.1 aus folgender Identit¨ at f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω): N

i=1

1

1

[(bi + ci )ϕ2 ]xi − (bi + ci )xi ϕ2 . 2 i=1 2 i=1 N

(bi + ci )ϕϕxi =

N

318

10 Schwache L¨ osungen

10.3 Innere Regularit¨ at schwacher L¨ osungen Am Beispiel der Gleichung −Δu + au = f wollen wir untersuchen, unter welchen Voraussetzungen an a und f von einer schwachen L¨osung dieser Gleichung (im Sinne von Deﬁnition 10.2.3) gezeigt werden kann, daß diese auch osung darstellt. eine in C 2 (Ω) liegende klassische L¨ Ein Ergebnis der nachfolgenden Untersuchungen wird sein, daß im Falle osung von (10.7) einer Funktion aus C ∞ (Ω) a, f ∈ C ∞ (Ω) jede schwache L¨ a quivalent ist. Dieser Satz stammt im wesentlichen von Friedrichs. Seine ¨ verallgemeinerten L¨ osungen sind allerdings Funktionen u ∈ L2loc (Ω), f¨ ur die ∇u und Δu im schwachen Sinne existieren und in L2loc (Ω) liegen. Er beweist mit seiner Variante des Sobolevschen Einbettungssatzes u.a., daß im Falle a, f ∈ C l (Ω), l ≥ m := N2 + 1, jede seiner verallgemeinerten L¨osungen von (10.7) einer Funktion aus C l−m (Ω) ¨ aquivalent ist [74, Theorem 15.3]. Der Grundgedanke seines Beweises, mit Hilfe der Gl¨attungsoperatoren aus Satz A.7 eine Integraldarstellung f¨ ur die schwachen L¨osungen herzustellen, die die Singularit¨ atenfunktion des Laplaceoperators enth¨alt, wird beim Beweis von Lemma 10.3.5 beibehalten, der daraus resultierende Regularit¨atssatz 10.3.10 dann aber mit Ergebnissen von E. Hopf kombiniert, um eine Dimensionsabh¨ angigkeit bei den Glattheitsvoraussetzungen an die Koeﬃzienten der Gleichung zu vermeiden (Korollar 10.3.11). Wir beginnen mit dem Spezialfall a = f = 0, Satz 10.3.2, der einen besonders einfachen Beweis und direkt eine interessante Anwendung in Satz 10.3.4 gestattet. Satz 10.3.2 stammt in der Substanz von Caccioppoli [34,35], wurde von diesem aber anders formuliert. In seiner Untersuchung der Poissongleichung auf Riemannschen Fl¨ achen zeigt er, daß gewisse stetige lineare Funktionale genau dann Null sind, wenn sie von harmonischen Funktionen erzeugt werden. Satz 10.3.2 wird meist Lemma von Weyl genannt nach [340, Lemma 2]. Unter dem Einﬂuß von [77] hat es sich sogar eingeb¨ urgert, jede Aussage u at schwacher L¨ osungen elliptischer Gleichungen als ein ¨ber die Regularit¨ Weylsches Lemma zu bezeichnen, ein Sprachgebrauch, der historisch ungl¨ ucklich, aber vermutlich kaum noch zu ¨ andern ist. Es ist bequem, die folgende einfache Beobachtung an den Anfang zu stellen. Lemma 10.3.1. Sei Ω ⊆ RN oﬀen und u ∈ L1loc (Ω). Wenn es zu jeder Kugel B ⊂⊂ Ω ein v ∈ C 0 (B) mit (u − v)ϕ = 0 f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (B) , (10.23) B

also mit u(x) = v(x) f¨ ur fast alle x ∈ B gibt (s. Satz A.11), so ist u einer Funktion aus C 0 (Ω) ¨aquivalent. Beweis. Seien B1 , B2 ⊂⊂ Ω zwei Kugeln mit B1 ∩ B2 = ∅ und zugeh¨origen ur die (10.23) besteht. Dann gilt f¨ ur ϕ ∈ Cc∞ (B1 ∩ B2 ) v1 , v2 , f¨

10.3 Innere Regularit¨ at schwacher L¨ osungen

(v1 − v2 )ϕ = B1 ∩B2

319

(u − v2 )ϕ −

B2

(u − v1 )ϕ = 0 . B1

Aufgrund der Stetigkeit von v1 und v2 ist dann (v1 − v2 )|B1 ∩B2 = 0. ahlung der Punkte in Ω mit rationalen Koordinaten Sei nun (xj ) eine Abz¨ und rj := Dann gilt Ω =

8∞ j=1

1 2

dist(xj , ∂Ω) , falls ∂Ω = ∅

1

, falls ∂Ω = ∅

.

Brj (xj ), und f¨ ur j ∈ N wird durch v(x) := vj (x)

,

x ∈ Brj (xj ) ,

eine Funktion v ∈ C 0 (Ω) deﬁniert. Auf jeder solchen Kugel stimmt u fast u ahlbare Vereinigung von Nullmengen wieder ¨berall mit vj u ¨berein. Da die abz¨ eine Nullmenge ist, stimmt u fast u ¨berall mit v u ¨berein. Den eleganten und einfachen Beweis des nachfolgenden Satzes pr¨asentierte Simader seit Anfang der 70er Jahre in Vortr¨ agen, ver¨oﬀentlichte ihn aber erst sp¨at in [306]. Den gleichen Beweis gab unabh¨ angig Folland in der 1. Auﬂage seines Buches [66]. Satz 10.3.2. Sei Ω ⊆ RN oﬀen und u ∈ L1loc (Ω) eine Funktion mit der Eigenschaft uΔϕ = 0 f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) . (10.24) Ω

Dann gibt es eine harmonische Funktion h : Ω → R, mit der u fast u ¨berall u ¨bereinstimmt. Beweis. Sei x0 ∈ Ω und R :=

1 2

dist(x0 , ∂Ω) , falls ∂Ω = ∅

1

, falls ∂Ω = ∅

.

F¨ ur x ∈ BR (x0 ) und ∈ (0, R] liegt dann j (x − ·), der Kern des Gl¨attungsoperators aus Deﬁnition A.3, in Cc∞ (Ω). Er kann daher als Testfunktion in (10.24) eingesetzt werden, und wir erhalten mit Satz A.6 Δu (x) = u(y)Δx j (x − y) dy = 0 , (10.25) Ω

d.h. es ist u , die Gl¨ attung von u, auf BR (x0 ) harmonisch, besitzt also nach Satz 2.1.1 die zweite Mittelwerteigenschaft. F¨ ur alle r, ∈ (0, R] gilt daher

320

10 Schwache L¨ osungen

N |u (x) − u (x)| = N r ωN ≤

N rN ω

N

[u (y) − u (y)] dy Br (x) |u (y) − u (y)| dy . Br (x)

Nach Satz A.11 strebt die rechte Seite f¨ ur , → 0 gegen Null. Es ist also aßig konvergent, strebt also dort gegen eine stetige (u ) auf BR (x0 ) gleichm¨ Funktion h0 . Andererseits gibt es nach dem Lemma von Riesz eine Nullfolge (j ) mit lim u j = u

j→∞

fast u ¨berall auf BR (x0 ) .

Mithin stimmt u fast u ¨berein. Aus ¨berall auf BR (x0 ) mit h0 u N u (x) = N u (y) dy r ωN Br (x)

folgt die Relation N h0 (x) = N r ωN

h0 (y) dy . Br (x)

Nach Satz 2.1.1 ist also die Funktion h0 , mit der u fast u ¨berall auf BR (x0 ) u ¨bereinstimmt, harmonisch. Mit Lemma 10.3.1 ergibt sich nun die Behauptung. Korollar 10.3.3. Hat u ∈ C 0 (Ω) die Eigenschaft (10.24), so ist u selbst harmonisch auf Ω. Satz 10.3.2 gestattet in Kombination mit dem Randminimumprinzip (Satz 2.3.8), Lemma 4.4.4–4.4.5 und Satz 4.4.7 c) einen anderen Beweis f¨ ur die Symmetrie der Greenschen Funktion (Satz 4.5.2). ur Ω und den LaplaSatz 10.3.4. Sei Ω ⊂⊂ RN und G Greensche Funktion f¨ ceoperator mit Dirichletscher Randbedingung (s. Deﬁnition 4.4.1). Dann gilt f¨ ur alle (x, y) ∈ Ω × Ω G(x, y) = G(y, x) . Beweis. Es gen¨ ugt, G(y, x) ≤ G(x, y) f¨ ur je zwei Punkte x, y ∈ Ω zu beweisen. Sei H := G − S und x ∈ Ω. Da die Singularit¨ atenfunktion S symmetrisch ist, erhalten wir f¨ ur ϕ ∈ Cc∞ (Ω) − G(z, x)Δϕ(z) dz = − S(x, z)Δϕ(z) dz − H(z, x)Δϕ(z) dz . Ω

Ω

Ω

10.3 Innere Regularit¨ at schwacher L¨ osungen

321

Das erste Integral rechts ist nach Korollar 4.2.3 gleich ϕ(x); das zweite Integral ist Null, denn wir k¨ onnen zweimal partiell integrieren (wozu nach Bemerkung A.1 nur der Satz von Fubini ben¨ otigt wird), und H(·, x) ist harmonisch auf Ω. Des weiteren ist ϕ(x) = − G(x, z)Δϕ(z) dz , Ω

denn nach Satz 4.4.7 c) l¨ osen beide Seiten das Dirichletproblem −Δϕ = −Δϕ in Ω , Also ist

ϕ|∂Ω = 0 .

[G(x, z) − G(z, x)]Δϕ(z) dz = 0 . Ω

Da G(x, ·) − G(·, x) = G(x, ·) − S(x, ·) − [G(·, x) − S(·, x)] nach Lemma 4.4.5 aus C 0 (Ω) ist, folgt mit Korollar 10.3.3 die Harmonizit¨at von G(x, ·) − G(·, x) auf Ω. Das Randminimumprinzip 2.3.8 liefert nun G(x, y) − G(y, x) ≥ 0 f¨ ur alle y ∈ Ω, denn f¨ ur jede Folge (xn ) aus Ω mit xn → z ∈ ∂Ω und xn = x gilt wegen G(x, xn ) ≥ 0 (Lemma 4.4.4) lim inf [G(x, xn ) − G(xn , x)] ≥ lim inf [−G(xn , x)] = − lim G(xn , x) = 0 . n→∞

n→∞

n→∞

Wir erschließen, wie eingangs angedeutet, die innere Regularit¨at schwacher L¨osungen von (10.7) aus einer Integralidentit¨ at. Lemma 10.3.5. Es seien Ω ⊆ RN oﬀen, B ⊂⊂ B ⊂⊂ Ω konzentrische ur y ∈ B , F ∈ L1loc (Ω) und Kugeln, ζ ∈ Cc∞ (B) eine Funktion mit ζ(y) = 1 f¨ 1 u ∈ Lloc (Ω) so, daß ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) . (10.26) − uΔϕ = F ϕ f¨ Ω

Ω

Mit der Singularit¨ atenfunktion S des Laplaceoperators gilt dann f¨ ur fast alle x ∈ B u(x) = S(x, y)ζ(y)F (y) dy (10.27) Ω

u(y)[S(x, y)Δζ(y) + 2∇y S(x, y) · ∇ζ(y)] dy .

+ Ω

322

10 Schwache L¨ osungen

Beweis. Sei x ∈ B . Dann gilt nach Korollar 4.2.3 f¨ ur ϕ ∈ Cc∞ (Ω) ϕ(x) = − S(x, y)Δϕ(y) dy .

(10.28)

Ω

Ist 0 < < dist(B, ∂Ω) und y ∈ B, so liegt j (y − ·), der Kern des Gl¨attungsoperators, in Cc∞ (Ω), und aus (10.26) erhalten wir anstelle von (10.25) nunmehr F (y) = F (z)j (y − z) dz = − u(z)Δy j (y − z) dz = −Δu (y) . Ω

Ω

Aus (10.28) mit ϕ = u ζ ergibt sich daher u (x) = − S(x, y)[u (y)Δζ(y) + 2∇u (y) · ∇ζ(y) − F (y)ζ(y)] dy . Ω

In dem mittleren Integral k¨ onnen wir die Ableitung von u durch partielle Integration u alzen, da sich die Integration nur u ¨berw¨ ¨ber B \ B erstreckt: (10.29) u (x) = S(x, y)F (y)ζ(y) dy Ω

u (y)[S(x, y)Δζ(y) + 2∇y S(x, y) · ∇ζ(y)] dy .

+ Ω

Hieraus resultiert die Behauptung (10.27) im Limes → 0 wie folgt. Zun¨achst ist nach Satz A.11 lim |u − u| = 0 ,

→0

B

so daß es nach dem Lemma von Riesz (vgl. [62, VI.2.5]) eine Nullfolge (j ) und eine Funktion U ∈ L1 (B) gibt derart, daß fast u ¨berall auf B lim u j = u und u j ≤ U j→∞

f¨ ur alle j ∈ N gilt. Die linke Seite von (10.29) konvergiert daher auf dieser Nullfolge f¨ ur fast alle x ∈ B gegen u(x). Da nach Satz 10.2.5 S(x, y)U (y)Δζ(y) dy Ω

f¨ ur fast alle x ∈ B existiert, liefert der Satz von der majorisierten Konvergenz lim S(x, y)u j (y)Δζ(y) dy = S(x, y)u(y)Δζ(y) dy j→∞

Ω

Ω

10.3 Innere Regularit¨ at schwacher L¨ osungen

323

f¨ ur fast alle x ∈ B . Entsprechend folgt u j (y)∇y S(x, y) · ∇ζ(y) dy = u(y)∇y S(x, y) · ∇ζ(y) dy lim j→∞

Ω

Ω

f¨ ur fast alle x ∈ B . Wegen limj→∞ B F j − F = 0 garantiert das Lemma von Riesz die Existenz einer Nullfolge (jk ) und einer Funktion Φ ∈ L1 (B) mit lim F jk = F und F jk ≤ Φ , k ∈ N , k→∞

fast u ¨berall auf B. Auf dieser Nullfolge konvergiert dann das verbleibende Integral rechts in (10.29) gegen den gew¨ unschten Term. Wir behandeln zun¨ achst den einfacheren Fall a = 0 in (10.7). Satz 10.3.6. Ist Ω ⊆ RN oﬀen, f ∈ C ∞ (Ω) und u ∈ L1loc (Ω) eine schwache L¨ osung der Poissongleichung, so ist u einer Funktion v ∈ C ∞ (Ω) mit −Δv = f ¨ aquivalent. Beweis. Nach Lemma 10.3.1 gen¨ ugt es zu zeigen, daß u auf jeder Kugel B ⊂⊂ Ω einer solchen Funktion v ¨ aquivalent ist. Sei B eine zu B konzentrische Kugel ur y ∈ B . mit B ⊂⊂ B ⊂⊂ Ω und ζ ∈ Cc∞ (B) eine Funktion mit ζ(y) = 1 f¨ Nach Lemma 10.3.5 gen¨ ugt u f¨ ur fast alle x ∈ B der Identit¨at (10.30) u(x) = S(x, y)ζ(y)f (y) dy B

+

u(y)[S(x, y)Δζ(y) + 2∇y S(x, y) · ∇ζ(y)] dy .

B\B

Der erste Term rechts deﬁniert nach Korollar 4.2.3 eine Funktion aus C ∞ (B ), w¨ ahrend der zweite Term nach dem Standardsatz A.5 aus C ∞ (B ) ist. Es ist aquivalent. Die letzte Behauptung also u in der Tat einer Funktion v ∈ C ∞ (Ω) ¨ ist nun klar aufgrund des zweiten Teils von Bemerkung 10.2.4. Bemerkung 10.3.7. a) Aus Satz 10.3.6 folgt insbesondere, daß die L¨osung des verallgemeinerten Dirichletproblems aus Satz 10.2.13 einen Repr¨asentanten aus C ∞ (Ω) besitzt, wenn f diese Eigenschaft hat (vgl. Bemerkung nach Deﬁnition 10.2.9). b) Wenn man zeigen m¨ ochte, daß f¨ ur f ∈ C H (Ω) (s. Deﬁnition 4.1.5) jede schwache L¨osung der Poissongleichung einer klassischen L¨osung ¨aquivalent ist, so muß man den tieferliegenden H¨ olderschen Satz 4.2.6 heranziehen, demzufolge der erste Term rechts in (10.30) in C 2 (B ) liegt (es ist dann ja ζf ∈ CbH (B)). Aufgrund des Hopfschen Satzes 9.2.5 b) sind u ¨berdies die zweiten Ableitungen lokal h¨ olderstetig mit Exponent α ∈ (0, 1), wenn f lokal den H¨olderexponenten α besitzt.

324

10 Schwache L¨ osungen

Bemerkung 10.3.8. Es ist bemerkenswert, daß man die Polynome in N komur jedes plexen Ver¨ anderlichen P (z1 , . . . , zN ), die die Eigenschaft haben, daß f¨ osung von f ∈ C ∞ (Ω) jede schwache L¨ ∂ ∂ , . . . , −i u=f P −i ∂x1 ∂xN aquivalent ist, durch ihre Nullstellenmannigfaleiner Funktion aus C ∞ (Ω) ¨ tigkeit charakterisieren kann. Dies gelang H¨ ormander in seiner Dissertation [124], f¨ ur die er 1962 auf dem Internationalen Mathematikerkongreß in Stockholm die Fieldsmedaille erhielt. Solche Polynome bzw. die zugeh¨origen Diﬀerentialgleichungen heißen hypoelliptisch. Zu ihnen geh¨oren speziell die Polynome vom Grad zwei, deren Hauptteil deﬁnit oder semideﬁnit ist (vgl. Bemerkung 2.6.2). Zur Namengebung s. [299, p. 288]. Bemerkung 10.3.7 b) gestattet es, einen anderen Beweis f¨ ur Satz 4.8.2 b) zu geben. Satz 10.3.9. Ω ⊂⊂ RN habe die gleichm¨ aßige ¨ außere Kugeleigenschaft (s. Satz 4.6.2), und es sei δ(y) := dist(y, ∂Ω). Es sei f ∈ C H (Ω) eine Funktion mit der Eigenschaft supy∈Ω |δ(y)f (y)| < ∞ und G die Greensche Funktion f¨ ur Ω und −Δ. Dann ist das Greenpotential w(x) := G(x, y)f (y) dy , x ∈ Ω , Ω 2

ullt zu Ω und f aus C (Ω) und erf¨ −Δw = f

in Ω .

Beweis. Es gen¨ ugt zu zeigen, daß w schwache L¨osung der Poissongleichung ist, denn dann ist ja w nach Bemerkung 10.3.7 b) einer klassischen L¨osung v ¨aquivalent. Nach Lemma 4.8.1 ist aber w ∈ C 0 (Ω), mithin w = v. Der Beweis, daß w eine schwache L¨ osung der Poissongleichung ist, verl¨auft analog zu dem von Satz 10.2.5. Sei ϕ ∈ Cc∞ (Ω). Dann existiert |G(x, y)f (y)| dy |Δϕ(x)| dx Ω

Ω

aufgrund von Absch¨ atzung (4.52). Ferner ist die Funktion (x, y) → G(x, y)f (y)Δϕ(x) meßbar, nach Fubini-Tonelli daher w(x)Δϕ(x) dx = f (y) G(x, y)Δϕ(x) dx dy . Ω

Ω

Ω

Das innere Integral ist aufgrund der Symmetrie der Greenschen Funktion (Satz 4.5.2 oder Satz 10.3.4) nach Satz 4.4.7 c) gleich −ϕ(y).

10.3 Innere Regularit¨ at schwacher L¨ osungen

325

Nun zu der allgemeinen Gleichung (10.31). Satz 10.3.10. Es seien Ω ⊆ RN oﬀen und a, f ∈ C H (Ω). Ist dann u eine Funktion in L1loc (Ω) mit der Eigenschaft u(−Δϕ + aϕ) = f ϕ f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) , (10.31) Ω

Ω

so ist u einer klassischen L¨ osung von (−Δ + a)u = f ¨ aquivalent. Beweis. F¨ ur j ∈ N seien Bj+1 ⊂⊂ Bj ⊂⊂ Ω konzentrische Kugeln und ∞ ζ ∈ Cc (Bj ) eine Funktion mit ζ(y) = 1 f¨ ur y ∈ Bj+1 . Nach Lemma 10.3.5 der Gleichung gen¨ ugt u f¨ ur fast alle x ∈ Bj+1 u(x) = − S(x, y)ζ(y)a(y)u(y) dy + S(x, y)ζ(y)f (y) dy (10.32) Bj

Bj

+

u(y)[S(x, y)Δζ(y) + 2∇y S(x, y) · ∇ζ(y)] dy .

Bj \Bj+1

Das letzte Integral ist nach dem Standardsatz aus C ∞ (Bj+1 ), w¨ahrend das H olderschen Satz 4.2.6 aus C 2 (Bj+1 ) mittlere wegen ζf ∈ Cb (Bj ) nach dem H¨ ist. Wenn wir w¨ ußten, daß u fast u urde ¨berall auf Bj beschr¨ankt ist, so w¨ aus Satz 4.2.4 folgen, daß das erste Integral in (10.32) aus C 1 (RN ) ist. Mit dieser Information w¨ are dann aber ζau ∈ CbH (Bj ), mithin die rechte Seite von 2 (10.32) aus C (Bj+1 ) und damit nach Lemma 10.3.1 alles bewiesen. Es gen¨ ugt also zu zeigen, daß man zu jedem x ∈ Ω eine x umgebende Kugel ﬁnden kann, auf der u fast u ankt ist. Betrachten wir (10.32) ¨berall beschr¨ , so sind das zweite und das dritte Integral auf einer Kugel Bj+1 ⊂⊂ Bj+1 dort beschr¨ ankt. Das erste Integral k¨ onnen wir gem¨aß Bemerkung 4.1.3 a) absch¨ atzen. F¨ ur alle γ ∈ (0, 1) und f¨ ur jedes j ∈ N existiert also ein aj > 0, so daß f¨ ur fast alle x ∈ Bj+1 |u(y)| |u(x)| ≤ aj dy + 1 (10.33) N −(2−γ) Bj |x − y|

ausf¨ allt. Wir w¨ ahlen γ irrational, um sicherzustellen, daß N − j(2 − γ) = 0 ist f¨ ur alle j ∈ N, und behaupten, daß es f¨ ur jedes j ∈ N ein bj > 0 gibt, so daß f¨ ur fast alle y ∈ Bj+1 im Falle N − j(2 − γ) > 0 |u(z)| dz + 1 (10.34) |u(y)| ≤ bj N −j(2−γ) B1 |y − z| und im Falle N − j(2 − γ) < 0

|u(y)| ≤ bj B1

|u(z)| dz + 1

(10.35)

326

10 Schwache L¨ osungen

gilt. Der Induktionsanfang ist mit j = 1 in (10.33) gemacht. Sei also j ∈ N eine Zahl, f¨ ur die (10.34) besteht (im Fall (10.35) ist nichts mehr zu beweisen). F¨ ur alle x ∈ Bj+2 folgt daher aus (10.33) ' bj |u(z)| |u(x)| ≤ aj+1 dz + 1 dy + 1 N −(2−γ) N −j(2−γ) Bj+1 |x − y| B1 |y − z| dy = aj+1 bj |u(z)| dz N −(2−γ) |y − z|N −j(2−γ) B1 Bj+1 |x − y| dy + aj+1 bj +1 . (10.36) N −(2−γ) Bj+1 |x − y| Im Falle N − (j + 1)(2 − γ) > 0 kann das innere Integral in (10.36) nach Aufgabe 10.11 a) durch cj |x − z|2−γ−N +j(2−γ)−N +N abgesch¨ atzt werden, w¨ ahrend das zweite Integral ≤ dj ist; cj und dj h¨angen außer von j nur noch von N und γ ab. Die Ungleichung (10.34) besteht daher auch f¨ ur j + 1. Ist N − (j + 1)(2 − γ) < 0, so ist das innere Integral in (10.36) nach Aufgabe 10.11 b) beschr¨ ankt, und wir haben Relation (10.35) mit j + 1 anstelle von j erreicht. Die schwache L¨ osung ist daher fast u ¨berall auf der Kugel Bj+1 beschr¨ankt, sobald j > N/(2 − γ) ist. In Kombination mit dem Hopfschen Satz 9.2.5 bzw. Aufgabe 9.2 ergibt sich Korollar 10.3.11. Sind a, f ∈ C n,α (Ω) (s. (9.1)) f¨ ur ein n ∈ N0 und α ∈ osung aus (0, 1), so ist jedes u ∈ L1loc (Ω) mit der Eigenschaft (10.31) einer L¨ aquivalent. Insbesondere ist also im Falle a, f ∈ C ∞ (Ω) u einer C n+2,α (Ω) ¨ aquivalent. L¨ osung aus C ∞ (Ω) ¨ ¨ Bemerkung 10.3.12. Ohne gr¨ oßere Anderung der Beweise von Lemma 10.3.5 und Satz 10.3.10 k¨ onnte man auch Terme mit Ableitungen erster Ordnung einbeziehen. Will man aber Aussagen u ¨ber die Regularit¨at schwacher L¨osungen der allgemeinen elliptischen Gleichung −

N

i,k=1

aik uxi xk +

N

ai uxi + au = f

i=1

machen, so empﬁehlt sich die Ben¨ utzung der Parametrix aus Bemerkung 9.2.2 anstelle der Singularit¨ atenfunktion f¨ ur den Laplaceoperator. Dies hat Wienholtz in [107, S. 189–196] ausgef¨ uhrt.

10.3 Innere Regularit¨ at schwacher L¨ osungen

327

Schwache L¨ osungen, deren Existenz aus Satz 10.2.13 oder aus Satz 10.2.18 gefolgert wird, sind mit verallgemeinerten Ableitungen erster Ordnung ausgestattet. Die Formulierung der zugrunde liegenden Diﬀerentialgleichung beinhaltet jedoch zweite Ableitungen. Es liegt daher nahe, auch noch einen anderen Typus als den klassischer innerer Regularit¨at zu untersuchen. Als Spezialfall eines Satzes von J. Kadlec [128] erw¨ahnen wir hier nur folgendes Resultat: Ist Ω ⊂⊂ RN konvex und f ∈ L2 (Ω), so ist die nach Satz 10.2.13 existierende Funktion u ∈ H01 (Ω) mit D(u, ϕ) = f, ϕ

f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω)

aus H 2 (Ω). F¨ ur einen Beweis verweisen wir auf [314], wo man weitere Hinweise auf die umfangreiche Literatur ﬁndet. Zum Abschluß dieses Abschnitts zeigen wir noch, wie Satz 10.3.10 zur Behandlung eines anderen Problems herangezogen werden kann. W¨ahrend die Arbeiten von Friedrichs wesentlich durch die Funktionenr¨aume aus Deﬁnition 10.2.7 bestimmt sind, betrachtet Sobolev in [313] zu vorgegebenem m ∈ N ur alle Multiindizes μ der Ordnung m zun¨ achst Funktionen u ∈ L1 (Ω), die f¨ eine in Lp (Ω) liegende schwache μ-te Ableitung haben. Solche Funktionen m¨ ussen nicht notwendig schwache Ableitungen niedriger Ordnung besitzen. Um die Funktionenr¨ aume, die sich aus den verschiedenen Zug¨angen von Friedrichs (starke Ableitungen) und Sobolev (schwache Ableitungen) ergeben, besser miteinander vergleichen zu k¨ onnen, schließen wir anders als Sobolev, aber wie heute in der Literatur u ¨blich [2, 3.2], die Existenz s¨amtlicher Ableitungen der Ordnung ≤ m in die Deﬁnition mit ein. Deﬁnition 10.3.13. Es seien Ω ⊆ RN oﬀen und nichtleer, m ∈ N und 1 ≤ p < ∞. Mit W m,p (Ω) werde die Menge bzw. der Vektorraum aller ur alle Multiindizes μ mit |μ| ≤ m eine schwache u ∈ Lp (Ω) bezeichnet, die f¨ μ-te Ableitung wμ (u) ∈ Lp (Ω) besitzen. Versehen mit der Norm · m,p aus (10.10), wird W m,p (Ω) zu einem Banachraum. Im Falle p = 2 wird diese Norm in nat¨ urlicher Weise von einem Skalarprodukt ·, ·m,2 erzeugt, mit welchem W m (Ω) := W m,2 (Ω) zu einem Hilbertraum wird. Den Deﬁnitionen 10.2.7 und 10.3.13 (inklusive der nach Deﬁnition 10.2.7 begr¨ undeten Bemerkung, daß starke Ableitungen auch schwache Ableitungen sind) entnimmt man sofort die Inklusion H m,p (Ω) ⊆ W m,p (Ω). Satz 10.3.14. Es sei Ω ⊆ RN oﬀen und nichtleer. Dann gilt H 1 (Ω) = W 1 (Ω). Beweis. Zu w ∈ W 1 (Ω) existieren aufgrund des Zerlegungssatzes (10.18) eindeutig bestimmte Elemente v ∈ H 1 (Ω) und u ∈ H 1 (Ω)⊥ mit w = v + u.

328

10 Schwache L¨ osungen

F¨ u r alle ϕ ∈ C c∞ (Ω) ⊆ H 1 (Ω) gilt − Ω uϕxi = Ω wi (u)ϕ und somit auch − Ω uϕxi xi = Ω wi (u)ϕxi , mithin N uϕ + i=1 wi (u)ϕxi = u(1 − Δ)ϕ . 0 = u, ϕ1,2 = Ω

Ω

Nach Satz 10.3.10 (oder Aufgabe 10.12 in Verbindung mit Aufgabe 2.11 b)) ist u einer Funktion aus C ∞ (Ω) ¨ aquivalent und damit auch u ∈ H 1 (Ω). T. Kasuga [132] zeigte auf diese Weise allgemein H m,p (Ω) = W m,p (Ω)

(10.37)

f¨ ur p = 2; die Idee, den Zerlegungssatz zu ben¨ utzen, entnahm er der Arbeit [217]. F¨ ur beliebiges p ≥ 1 wurde dann (10.37) von N.G. Meyers und J. Serrin [201] mit einer Zerlegung der Eins wie in Satz A.13 bewiesen. Es war ihnen unbekannt, daß J. Deny und J.L.Lions eine solche Zerlegung der Eins bereits benutzt hatten, um die Dichtheit der C ∞ (Ω)-Funktionen in einem etwas allgemeineren Raum als H m,p (Ω) zu zeigen [48, Th´eor`eme 2.3].

10.4 Randregularit¨ at fu osungen verallgemeinerter ¨ r L¨ Dirichletprobleme Wir wollen die Frage, unter welchen Voraussetzungen die L¨osung eines verallgemeinerten Dirichletproblems (s. Deﬁnition 10.2.9 bzw. (10.17)) auch klassische L¨ osung des zugeh¨ origen Dirichletproblems ist, am Beispiel des Operators L = −Δ+a diskutieren. Es sei daran erinnert, daß im Falle Ω ⊂⊂ RN die Existenz von L¨ osungen des verallgemeinerten Dirichletproblems f¨ ur beschr¨ankte und meßbare a ≥ 0 bereits aus Satz 10.2.18 und Lemma 10.2.14 folgt. Nimmt a auch negative Werte an, so vermittelt die Fredholmsche Alternative (vgl. Bemerkung 10.2.19) Kriterien, welche die Existenz von L¨osungen gew¨ahrleisten. Sei nun u ∈ H 1 (Ω) mit ∇u · ∇ϕ + auϕ = f ϕ f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) ; u − g ∈ H01 (Ω) Ω

Ω

zu vorgegebenen f ∈ L2 (Ω) und g ∈ H 1 (Ω). Approximation von u durch eine Folge (un ) in C ∞ (Ω) mit u − un 1,2 →

0 und Anwendung partieller Integration im Sinne von Bemerkung A.1 auf Ω ∇un · ∇ϕ ergibt unmittelbar, daß u schwache L¨ osung von −Δu + au = f ist (s. Deﬁnition 10.2.3), d.h. u(−Δϕ + aϕ) = f ϕ f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) . Ω

Ω

10.4 Randregularit¨ at f¨ ur L¨ osungen verallgemeinerter Dirichletprobleme

329

Wir k¨ onnen somit die Ergebnisse aus Abschnitt 10.3 zur inneren Regularit¨at schwacher L¨ osungen anwenden. So folgt zum Beispiel aus Satz 10.3.10 f¨ ur oﬀene Ω ⊆ RN und a, f ∈ C H (Ω), daß u klassische L¨osung von −Δu+au = f in Ω ist. Das zentrale Thema des gegenw¨ artigen Abschnitts ist jedoch die Randregularit¨ at der L¨ osung, d.h. die Frage, ob u auf ganz Ω stetig fortsetzbar ist und ob gegebenenfalls u auf ∂Ω mit dem Randdatum g u ¨bereinstimmt. ˇˇ V.A. Il’in und I.A. Si smarev [127] zeigen – endlich, wie der Referent im Zentralblatt f¨ ur Mathematik 98, 302, 1963 schreibt –, daß die L¨osung aus Satz 10.2.18 mit g = 0 unter minimalen Voraussetzungen an die Koeﬃzienten und an ∂Ω auch eine klassische L¨ osung ist. Es war eine Motivation f¨ ur die Arbeit von Giesecke, den dabei verwendeten komplizierten Aussch¨opfungsprozeß von Ω durch glattere Gebiete zu vermeiden. Wir beschr¨ anken uns hier zun¨ achst auf den Fall der Poissongleichung (a = 0) und zeigen, wie mit Hilfe von Satz 10.2.12, dessen Beweis ja gerade auf dem Satz von Giesecke fußte, die Randregularit¨at f¨ ur L¨osungen des verallgemeinerten Dirichletproblems nachgewiesen werden kann. Satz 10.4.1. Jeder Randpunkt der nichtleeren Menge Ω ⊂⊂ RN sei regul¨ ar (s. Deﬁnition 3.3.8). Es sei f ∈ CbH (Ω) (s. Deﬁnition 4.1.5), und ulle Ω |∇g|2 < ∞. Dann hat die (nach Satz 10.2.13 g ∈ C 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω) erf¨ und Lemma 10.2.14 existierende) L¨ osung u ∈ H 1 (Ω) des verallgemeinerten Dirichletproblems D(u, ϕ) = f, ϕ

f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) ;

u − g ∈ H01 (Ω)

einen Repr¨ asentanten aus C 0 (Ω), der auf ∂Ω gleich g ist. Beweis. Die Perronsche Methode garantiert nach Satz 3.3.9 in Kombination mit dem H¨ olderschen Satz 4.2.6 (s. auch Bemerkung 4.2.8) die Existenz (genau) einer Funktion v ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) mit −Δv = f in Ω ,

v = g auf ∂Ω .

Nach Satz 10.2.12 ist v eine L¨ osung des verallgemeinerten Dirichletproblems. Dieses besitzt nach Satz 10.2.13 genau eine L¨osung u, da Voraussetzung (A) nach Lemma 10.2.14 erf¨ ullt ist. Also ist v ein Repr¨asentant von u. Ein Randpunkt, der regul¨ ar f¨ ur den Laplaceoperator ist, ist es unter gewissen Voraussetzungen an die Koeﬃzienten auch f¨ ur die allgemeine elliptische Diﬀerentialgleichung 2. Ordnung. Im Falle einer Gleichung in Divergenzform bewiesen dies Littman, Stampacchia und Weinberger [196] f¨ ur meßbare und beschr¨ ankte Koeﬃzienten, wobei eine L¨ osung dann nat¨ urlich im schwachen Sinne zu verstehen ist. Satz 10.4.1 kann auch als Spezialfall dieses sehr allgemeinen Resultates aufgefaßt werden. Man kann es als einen Nachteil des Beweises von Satz 10.4.1 ansehen, daß die Resultate von Abschnitt 3.3 in vollem Umfang ben¨ utzt werden. Dies

330

10 Schwache L¨ osungen

kann man vermeiden, indem man Teile der Perronschen Methode f¨ ur H 1 (Ω)Funktionen neu darstellt [307]. Ein anderer Weg wird in [118] beschritten. Dort wird die Auswahl einer Minimalfolge mit dem Balayage-Verfahren verkn¨ upft, was an das in der Bemerkung nach Satz 10.5.4 erw¨ahnte Vorgehen von Zaremba erinnert. Auch bei diesen Zug¨ angen ergibt sich jedoch das folgende vielleicht etwas kurios anmutende Bild. Zwar kann durch den Einsatz einfacher funktionalanalytischer Hilfsmittel die Existenz von L¨osungen verallgemeinerter Dirichletprobleme auf elegantem Wege hergeleitet werden; ist man jedoch an klassischen L¨ osungen interessiert, so werden zumindest f¨ ur den Nachweis der Randregularit¨ at Ideen verwendet, wie sie f¨ ur den Existenzbeweis klassischer L¨ osungen entwickelt wurden. Etwas anders gestaltet sich die Situation, wenn man die Frage der Randregularit¨ at mit Hilfe der Sobolevschen Einbettungss¨atze angeht. Dieser Zugang basiert auf einer Arbeit von Friedrichs [76], in der er in sehr allgemeinen F¨ allen innere Regularit¨ at beweisen konnte, indem er zeigte, daß die L¨osung lokal f¨ ur gen¨ ugend großes m in H m (Ω) lag. Nirenberg [237] beweist dies global, indem er die Gl¨ attungsoperatoren durch Diﬀerenzenapproximationen ersetzt, ein Kunstgriﬀ, den, wie am Ende von Abschnitt 9.2 erw¨ahnt, Lichtenstein zur Regularit¨ atsverbesserung verwendet hatte. Ein Sobolevscher Einbettungssatz liefert dann Regularit¨ at bis zum Rande. Die Methode liefert dimensionsabh¨ angige und daher keine scharfen Resultate, aber sie ist sehr allgemein verwendbar. Man ﬁndet sie in [64, 6.3.2] und [66, Ch. 7 F] dargestellt. Wir beschließen diesen Abschnitt, indem wir wie angek¨ undigt Randregularit¨ at f¨ ur L¨ osungen verallgemeinerter Dirichletprobleme zu dem Diﬀerentialausdruck −Δ + a beweisen. Hierbei wird wiederum von den Ergebnissen der klassischen Theorie f¨ ur den Laplaceoperator Gebrauch gemacht, die wir in den Kapiteln 3 und 4 behandelt haben. Genauer gesagt, wird die Greensche Funktion G zum Laplaceoperator, deren Existenz die Perronsche Methode liefert, dazu ben¨ utzt, um stetige Annahme der Randwerte zu zeigen. Die Argumentation ist ganz a ur Satz 10.3.10. ¨hnlich wie die f¨ aßige ¨ außere Kugeleigenschaft, (s. Satz 10.4.2. Ω ⊂⊂ RN habe die gleichm¨ asenSatz 4.6.2), und es seien a, f ∈ CbH (Ω). g ∈ H 1 (Ω) besitze einen Repr¨ tanten, dessen schwache Ableitungen 1. Ordnung beschr¨ ankt sind und der zu einer Funktion aus C 0 (Ω) fortsetzbar ist. Dann hat jede Funktion u ∈ H 1 (Ω) mit den Eigenschaften (∇u · ∇ϕ + auϕ) = f, ϕ f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) , (10.38) Ω

u − g ∈ H01 (Ω)

(10.39)

einen Repr¨ asentanten aus C 0 (Ω), der auf ∂Ω mit g u ¨bereinstimmt. Beweis. Nach Satz 4.4.3 existiert die Greensche Funktion f¨ ur Ω und den Laplaceoperator.

10.4 Randregularit¨ at f¨ ur L¨ osungen verallgemeinerter Dirichletprobleme

1. Wir zeigen zun¨ achst, daß durch g0 (x) := g(x) + G(x, y)f (y) dy − ∇y G(x, y) · ∇g(y) dy Ω

331

(10.40)

Ω

eine Funktion aus C 0 (Ω) deﬁniert wird und u f¨ ur fast alle x ∈ Ω der Integralgleichung u(x) = g0 (x) − G(x, y)a(y)u(y) dy (10.41) Ω

gen¨ ugt. Der mittlere Term in (10.40), das Greenpotential zu Ω und f , ist nach Satz ur den rechten Term ist zu beachten, daß wir aufgrund 4.4.7 a) aus C 0 (Ω). F¨ der Relation (4.31) (die der Symmetrie der Greenschen Funktion entspringt) und der Ungleichung (4.25) die Absch¨ atzung |∇y G(x, y)| ≤ const |x − y| 2 −N 1

(10.42)

haben, so daß f¨ ur ihn der Beweis von Satz 4.4.7 a) in Kraft bleibt. Ferner beobachten wir, daß das Integral in (10.41) nach Tonelli-Fubini f¨ ur fast alle x ∈ Ω existiert, denn aufgrund von Lemma 4.4.4 existiert ja |a(y)u(y)| |G(x, y)| dx dy . Ω

Ω

Sei nun ϕ ∈ Cc∞ (Ω). Aufgrund der Symmetrie der Greenschen Funktion k¨ onnen wir Satz 4.4.7 auf G(x, y)ϕ(x) dx , y ∈ Ω , φ(y) := Ω

anwenden, demzufolge φ ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) ist und die Eigenschaft − Δφ = ϕ

in Ω

(10.43)

besitzt. Ferner ist nat¨ urlich φ(y) = 0 f¨ ur y ∈ ∂Ω. Da ∇φ nach Aufgabe 4.7 beschr¨ ankt ist, erhalten wir mit Lemma 10.2.11 die Information φ ∈ H01 (Ω), was es uns gestattet, φ in (10.38) einzusetzen. Bezeichnen wir die rechte Seite von (10.41) mit v(x), so erhalten wir durch Vertauschung der Integrationsreihenfolge vϕ = gϕ + fφ − ∇g(y) ∇y G(x, y)ϕ(x) dx dy − auφ , Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

wobei sich die Integrierbarkeit von |∇y G(·, y)| aus (10.42) ergibt. Da wir nach Aufgabe 4.7 Diﬀerentiation und Integration vertauschen d¨ urfen, ergibt sich

332

10 Schwache L¨ osungen

vϕ =

(f − au)φ −

gϕ + Ω

Ω

Ω

∇(u − g) · ∇φ ,

gϕ +

=

∇g · ∇φ Ω

Ω

Ω

wobei wir (10.38), ausgedehnt auf H01 (Ω)-Funktionen, verwendet haben. Wegen (10.39) kann u − g durch eine Folge (ϕn ) aus Cc∞ (Ω) in der · 1,2 -Norm approximiert werden. Partielle Integration (s. Bemerkung A.1) und Relation (10.43) liefern nun ∇(u − g) · ∇φ = lim ∇ϕn · ∇φ = − lim ϕn Δφ n→∞ Ω n→∞ Ω Ω ϕn ϕ = (u − g)ϕ = lim n→∞

und damit

Ω

Ω

vϕ = Ω

uϕ , Ω

was mit Satz A.11 b) die G¨ ultigkeit von (10.41) f¨ ur fast alle x ∈ Ω beweist. 2. Da g0 ∈ C 0 (Ω) ist und die Greensche Funktion nach Lemma 4.4.4 durch die Singularit¨ atenfunktion abgesch¨ atzt werden kann, folgt aus (10.41) und (10.42), daß es zu jedem γ ∈ (0, 1) eine allein von γ, Ω, a, f und g abh¨ angende Zahl c > 0 mit |x − y|2−γ−N |u(y)| dy |u(x)| ≤ c 1 + Ω

f¨ ur fast alle x ∈ Ω gibt. Durch Iteration dieser Ungleichung kann die Singularit¨ at im Integranden abgebaut werden, wie wir dies am Ende des Beweises von Satz 10.3.10 ausf¨ uhrlich dargelegt haben, und es ergibt sich schließlich, daß u fast u ankt ist. Mit dieser Information sagt uns Satz 4.4.7 a), ¨berall auf Ω beschr¨ ur daß auch der rechte Term in (10.41) aus C 0 (Ω) ist. Wegen G(·, y)|∂Ω = 0 f¨ ur y ∈ Ω folgt, ist die rechte Seite von y ∈ Ω, woraus auch ∇y G(·, y)|∂Ω = 0 f¨ (10.41) auf ∂Ω gleich g. Unter milden Voraussetzungen an die Koeﬃzienten der allgemeinen linearen elliptischen Gleichung 2. Ordnung bewies Wienholtz im Falle ∂Ω ∈ C 3 in [107, S. 174–185] stetige Annahme der Randwerte, wobei er eine Parametrix verwandte, die auf einer Hyperebene Null ist.

10.5 Rechtfertigung des Dirichletschen Prinzips Mit dem Dirichletschen Prinzip wurde der Wunsch ausgesprochen, die L¨osung u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) des Problems − Δu = 0 in Ω ,

u = g auf ∂Ω ,

(10.44)

10.5 Rechtfertigung des Dirichletschen Prinzips

333

durch Minimierung des Integrals |∇u|2

D(u) =

(10.45)

Ω

zu gewinnen. Die Beispiele von Prym und Hadamard (s. Aufgabe 3.20) belegten, daß es selbst bei glattem Ω ⊂⊂ RN einer u ¨ber die Stetigkeit von g : ∂Ω → R hinausgehenden Voraussetzung bedarf, um u ¨berhaupt die Existenz des Integrals (10.45) sicherzustellen. Mit Satz 10.2.13 und Lemma 10.2.14 hatten wir gesehen, daß das Dirichletproblem in der schwachen Formulierung von Deﬁnition 10.2.9, in die die Existenz des Dirichletintegrals eingearbeitet war, f¨ ur Ω ⊂⊂ RN genau eine L¨osung besaß. Wir wollen nun einen Beweis des Spezialfalls f = 0 von Satz 10.2.13 geben, bei dem die L¨osung als die das Dirichletintegral minimierende Funktion erscheint. Basis dieses Beweises ist die nachfolgende Ungleichung (10.46), die von Beppo Levi stammt [181, p. 330 f.]; sie zeigt, daß jede Minimalfolge ur das Dirichletinte f¨ gral eine Cauchyfolge in der Norm oder Halbnorm D(·) ist. Lemma 10.5.1. Es sei V Vektorraum u ¨ber R und b : V × V → R eine symmetrische Bilinearform. Wenn es eine Menge S ⊆ V mit den Eigenschaften su + tv ∈ S f¨ ur alle s, t ∈ R mit s + t = 0 , s+t (ii) es gibt ein d ≥ 0 mit b(u) := b(u, u) ≥ d f¨ ur alle u ∈ S (i) u, v ∈ S ⇒

gibt, so gilt [b(u − v)]1/2 ≤ [b(u) − d]1/2 + [b(v) − d]1/2

f¨ ur alle u, v ∈ S . (10.46)

Beweis. Wir zeigen [b(u, v) − d]2 ≤ [b(u) − d][b(v) − d] .

(10.47)

Hieraus folgt dann sofort 2 [b(u) − d]1/2 + [b(v) − d]1/2 − b(u − v) = b(u) + b(v) − 2d − [b(u) + b(v) − 2b(u, v)] + 2[b(u) − d]1/2 [b(v) − d]1/2 ≥ 2(|b(u, v) − d| + b(u, v) − d) ≥ 0 . F¨ ur s + t = 0 haben wir b su+tv ≥ d, also f¨ ur alle s, t ∈ R s+t 0 ≤ b(su + tv) − (s + t)2 d = s2 [b(u) − d] + 2st[b(u, v) − d] + t2 [b(v) − d] . Folglich ist die Diskriminante dieser quadratischen Form in s und t nichtnegativ, d.h. es gilt (10.47).

334

10 Schwache L¨ osungen

F¨ ur oﬀenes Ω ⊆ RN und u, v ∈ H 1 (Ω) setzen wir wie fr¨ uher D(u, v) = ∇u · ∇v , D(u) = D(u, u) . Ω

Satz 10.5.2 (Das Dirichletsche Prinzip). Es seien Ω ⊆ RN eine nichtleere oﬀene Menge, g ∈ H 1 (Ω), und es sei die Voraussetzung (A) auf Seite ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω). 310 erf¨ ullt, d.h. es gibt ein C > 0 mit ϕ2 ≤ CD(ϕ) f¨ 1 Dann gibt es genau ein u ∈ H (Ω) mit D(u, ϕ) = 0

f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) ;

u − g ∈ H01 (Ω) .

(10.48)

Es ist u die einzige Minimumstelle des Dirichletintegrals D(·), eingeschr¨ ankt auf die Menge S := {w ∈ H 1 (Ω) : w − g ∈ H01 (Ω)}, also D(u) = min D(v) . v∈S

Beweis. Aufgrund der Voraussetzung (A) ist D(·) eine Norm auf H01 (Ω), aquivalent ist (s. Seite 310). die zu der Norm · 1,2 = [ · 2 + D(·)]1/2 ¨ a) Zum Nachweis der Eindeutigkeit brauchen wir nur zu zeigen, daß jedes v ∈ H01 (Ω) mit D(v, ϕ) = 0

f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) ,

fast u ¨berall auf Ω gleich Null ist. Dazu betrachten wir eine Folge (vj ) aus Cc∞ (Ω) mit D(vj − v) → 0. Aus D(v) = D(v, v − vj ) folgt dann D(v) = 0, mithin v = 0 fast u ¨berall auf Ω. b) Das Dirichletintegral ist stets ≥ 0 und somit existiert d := inf v∈S D(v). Es gibt dann eine Folge (uj ) in S mit limj→∞ D(uj ) = d. Wegen Lemma 10.5.1 ist [D(uj − g − (uk − g))]1/2 ≤ [D(uj ) − d]1/2 + [D(uk ) − d]1/2 , so daß durch vj := uj − g eine Cauchyfolge in (H01 (Ω), D(·)) deﬁniert wird. Sei v ihr Grenzelement. Dann ist u := v + g aus S und aufgrund der Stetigkeit des Skalarprodukts D(u) = D(v + g) = lim D(vj + g) = d . j→∞

Sei nun ϕ ∈ Cc∞ (Ω). F¨ ur h ∈ R wird dann durch f (h) := D(u + hϕ) = D(u) + h2 D(ϕ) + 2hD(u, ϕ) eine diﬀerenzierbare Funktion mit der Eigenschaft f (h) ≥ f (0) deﬁniert. Also ist f (0) = 0, womit auch (10.48) bewiesen ist.

10.5 Rechtfertigung des Dirichletschen Prinzips

335

Die Beweismethoden f¨ ur Satz 10.2.13 und Satz 10.5.2, der Darstellungssatz von Fr´echet-Riesz und die Verwendung einer Minimalfolge, sind eng miteinander verwandt. Zwei g¨ angige Beweise des Darstellungssatzes – sie stammen beide von Riesz [287] – beruhen auf der L¨ osbarkeit einer Variationsaufgabe: Man beweist, daß |l(w)| auf w = 1 ein Maximum besitzt, oder zeigt, daß es ein z0 = 0 gibt, welches auf dem Nullraum N (l) des linearen Funktionals l senkrecht steht, was auf den Nachweis hinausl¨auft, daß minw∈N (l) v0 − w / N (l) existiert, also der Projektionssatz gilt. f¨ ur v0 ∈ Der Darstellungssatz von Fr´echet-Riesz l¨ aßt aber eine weitergehende Verallgemeinerung zu als das Dirichletsche Prinzip. Minimiert n¨amlich u ∈ C 2 (Ω) die quadratische Form B(v) :=

N Ω

i,k=1

aik vxi vxk +

N

ai vxi v + av 2 ,

i=1

so gilt f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) mit f (h) := B(u + hϕ) 0 = f (0) =

N Ω

i,k=1

aik (uxi ϕxk + uxk ϕxi ) +

N

ai (uxi ϕ + uϕxi ) + 2auϕ ,

i=1

d.h. es ist −

N

i,k=1

2 1 N

∂ ∂ai (x) ∂u(x) u(x) = 0 . (aik (x) + aki (x)) + 2a(x) − ∂xk ∂xi ∂xi i=1

u ist also L¨ osung einer speziellen linearen Diﬀerentialgleichung 2. Ordnung, n¨ amlich einer, die Divergenzstruktur (vgl. Bemerkung 3.7.5) besitzt. Wir hatten jedoch gesehen, daß das Lemma von Lax-Milgram, Lemma 10.2.16, welches auf dem Darstellungssatz von Fr´echet-Riesz basiert, Bilinearformen zu behandeln gestattet, die von einer allgemeinen (nat¨ urlich elliptischen) linearen Diﬀerentialgleichung 2. Ordnung herr¨ uhren. Bemerkung 10.5.3. Erw¨ ahnt sei folgende Beweisvariante f¨ ur Satz 10.5.2. Ist (uj ) Minimalfolge und vj := uj − g, so gilt D(vj − vk ) = D(uj − uk ) ≤ D(uj − uk )4 [D ((uj + uk )/2) − d] = D(uj − uk ) + D(uj + uk ) − 4d = 2[D(uj ) + D(uk )] − 4d , unscht, Cauchyfolge ist. Dieser Beweis ist ganz ¨ahnlich so daß (vj ), wie gew¨ einem Beweis des Projektionssatzes [337, S. 194 f.]. Wir stellen nun die Verbindung zu Zarembas transformiertem Dirichletproblem [353, 355] her, das wir am Ende von Abschnitt 10.1 erw¨ahnt haben. Dabei w¨ ahlen wir eine etwas abstraktere Version, welche das verallgemeinerte

336

10 Schwache L¨ osungen

Dirichletproblem durch orthogonale Projektion l¨ost (vgl. Satz 10.5.4) und die in ihrem wesentlichen Gehalt von Nikodym [235] stammt. Hierbei ben¨otigen wir eine etwas allgemeinere Version des Projektionssatzes f¨ ur Hilbertr¨aume, die der Tatsache Rechnung tr¨ agt, daß das Dirichletintegral D zumindest im Fall beschr¨ ankter Ω keine Norm auf H 1 (Ω) darstellt, da aus D(u) = 0 nur folgt, daß u lokal konstant ist (s. Aufgabe 10.7). Seien also Ω ⊂⊂ RN , V := H 1 (Ω) und W := H01 (Ω), und es bezeichne D : V × V → R das Dirichletintegral, das eine positiv semideﬁnite, symmetrische Bilinearform auf V darstellt. Allerdings gilt wegen Lemma 10.2.14 die Bedingung (A), und (W, D|W ×W ) ist Hilbertraum. In dieser Situation gilt der Zerlegungssatz V = W ⊕ W ⊥ mit W ⊥ := {z ∈ V : D(z, w) = 0 f¨ ur alle w ∈ W } (vgl. Aufgabe 10.13). Zerlegt man entsprechend g ∈ H 1 (Ω), so ist der Anteil osung des verallgemeinerten Dirichletproblems, da ja D(u, ϕ) = 0 u in W ⊥ L¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) gilt und da g − u ∈ f¨ ur alle ϕ ∈ W = H01 (Ω) und somit f¨ 1 onnen wir die L¨ osung u als orthogonale Projektion von W = H0 (Ω). Zudem k¨ ur alle h ∈ g auf W ⊥ interpretieren, da u − g ∈ W und somit D(u − g, h) = 0 f¨ onnen wir den Raum W ⊥ noch besser charakterisieren. W ⊥ gilt. Schließlich k¨ Zun¨ achst gilt W ⊥ = Cc∞ (Ω)⊥ , wobei die nichttriviale Inklusion Cc∞ (Ω)⊥ ⊆ ⊥ ∞ 1 ¨ W aus der Dichtheit von Cc (Ω) in H0 (Ω), der Aquivalenz der Normen D(·) und ·1,2 und aus der Schwarzschen Ungleichung (s. Aufgabe 10.13 a)) folgt. ur alle h ∈ H 1 (Ω) und ϕ ∈ Cc∞ (Ω) die Relation D(h, ϕ) =

Zudem gilt f¨ − Ω hΔϕ (man approximiere h durch C ∞ -Funktionen und wende Bemerkung A.1 an). Mit Satz 10.3.2 ergibt sich daher H01 (Ω)⊥ = {h ∈ H 1 (Ω) : hΔϕ = 0 f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω)} Ω

= {h ∈ H (Ω) : h besitzt einen harmonischen Repr¨asentanten} . 1

¨ Wir fassen unsere Uberlegungen zusammen: Satz 10.5.4. Es seien Ω ⊂⊂ RN eine nichtleere Menge und g ∈ H 1 (Ω). Dann gibt es genau ein u ∈ H 1 (Ω) mit D(u, ϕ) = 0 f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) ;

u − g ∈ H01 (Ω) .

Es ist dies die orthogonale Projektion von g auf 1 ⊥ 1 H0 (Ω) = {h ∈ H (Ω) : hΔϕ = 0 f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω)} , Ω

den Raum der harmonischen Funktionen mit endlichem Dirichletintegral. Nachdem die Existenz einer L¨ osung des verallgemeinerten Dirichletproblems durch das Dirichletsche Prinzip nachgewiesen ist, wenden wir uns der

10 Aufgaben

337

Frage zu, unter welchen Bedingungen an g und Ω gezeigt werden kann, daß diese L¨ osung auch klassische L¨ osung von (10.44) ist. Die Harmonizit¨at eines Repr¨ asentanten von u folgt bereits aus Satz 10.3.2, da, wie oben begr¨ undet,

ur alle u ∈ H 1 (Ω) und ϕ ∈ Cc∞ (Ω) gilt. Es verbleibt das D(u, ϕ) = − Ω uΔϕ f¨ Problem zu diskutieren, ob dieser Repr¨ asentant von u auf Ω stetig fortgesetzt werden kann und dort mit dem vorgegebenen Randdatum u ¨bereinstimmt. F¨ ur sein transformiertes Dirichletproblem zeigte Zaremba dies in jedem Punkt von ∂Ω, der einer ¨ außeren Kegelbedingung gen¨ ugt, wobei er sich des Balayage-Verfahrens von Poincar´e bediente [353]. F¨ ur die L¨osung des ebenfalls noch mit klassischen Ableitungen formulierten Dirichletschen Prinzips wird in [46, S. 495 ﬀ.] f¨ ur N = 2 ein Beweis gegeben, wenn die Randkurve stetig ist, w¨ ahrend Kamke und Lorentz [130] recht allgemeine Ω ⊂⊂ RN zulassen. Lax beweist stetige Annahme des Randwertes f¨ ur die L¨osung von Satz 10.5.4, wenn der Rand von Ω ⊂⊂ R2 die gleichm¨aßige innere und ¨außere Kugeleigenschaft besitzt [168]. Wir k¨ onnen zur Beantwortung der Frage nach der Randregularit¨at nat¨ urlich unseren Satz 10.4.1 heranziehen. Dieser garantiert, daß die L¨osungen aus Satz 10.5.2 schon einen Repr¨ asentanten in C 0 (Ω) besitzt, der auf ∂Ω mit g u von Ω ⊂⊂ RN regul¨ar ist und g ∈ ¨bereinstimmt, falls jeder Randpunkt

1 0 2 ugt. C (Ω) ∩ C (Ω) der Bedingung Ω |∇g| < ∞ gen¨ Wir schließen mit einer Bemerkung, die Aufschluß dar¨ uber gibt, ob zu einer auf ∂Ω deﬁnierten Funktion eine Fortsetzung in H 1 (Ω) existiert. Bemerkung 10.5.5. Von Aronszajn [7] stammt der Satz, daß etwa unter der Voraussetzung ∂Ω ∈ C 1 eine Funktion G ∈ L2 (∂Ω) genau dann eine Fortsetzung g ∈ H 1 (Ω) besitzt, wenn |G(x) − G(y)| dS(x) dS(y) < ∞ (10.49) |x − y|N ∂Ω ∂Ω ist. (Dieser Raum wird in der Literatur meist mit H 1/2 (∂Ω) bezeichnet.) Ist Ω die Einheitskreisscheibe E und G ∈ L2 (0, 2π), so gilt (10.49) genau dann, wenn die Fourierkoeﬃzienten (ak ), (bk ) von G die Eigenschaft ∞

k(a2k + b2k ) < ∞

(10.50)

k=1

besitzen (s. [203, S. 351 ﬀ.]) – in Einklang mit dem in Aufgabe 3.20 behandelten Hadamardschen Gegenbeispiel. Einen direkten Beweis, daß G ∈ L2 (0, 2π) genau dann eine Fortsetzung g ∈ H 1 (E) besitzt, wenn (10.50) besteht, ﬁndet man in [204, pp. 200–203].

Aufgaben 10.1. Sei Ω ⊆ RN oﬀen. F¨ ur l ∈ N sei fl ∈ C 0 (Ω) und ul ∈ C 2 (Ω) eine Funktion mit −Δul = fl in Ω. Man zeige:

338

10 Schwache L¨ osungen

a) Sind (ul ), (fl ) in Ω lokal gleichm¨ aßig konvergent mit Grenzfunktion u bzw. f , so ist u schwache L¨ osung von −Δu = f . b) Ist zus¨ atzlich Ω beschr¨ ankt und gilt Hα;Ω (fk − fl ) → 0

f¨ ur k, l → ∞

f¨ ur ein α ∈ (0, 1) (s. Deﬁnition 5.3.1), so ist u klassische L¨osung. 10.2. Es seien Ω ⊂⊂ RN , S die Singularit¨ atenfunktion des Laplaceoperators, ur fast alle x ∈ Ω das Integral i ∈ {1, . . . , N } und f ∈ L1 (Ω). Man zeige, daß f¨ vi (x) := Sxi (x, y)f (y) dy Ω

existiert und eine Funktion aus L1 (Ω) deﬁniert, die schwache Ableitung des Newtonpotentials v aus Satz 10.2.5 bez¨ uglich der Variablen xi ist, d.h. es gilt vϕxi = − vi ϕ f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) . Ω

Ω

atenfunktion zu −Δ+1 (s. Deﬁnition 10.3. Sei Ω ⊆ RN oﬀen, S die Singularit¨ 4.9.1) und f ∈ L1 (Ω). Man zeige, daß v(x) := S(x, y)f (y) dy Ω

f¨ ur fast alle x ∈ Ω existiert und eine Funktion aus L1 (Ω) deﬁniert, die schwache L¨ osung von (−Δ + 1)u = f ist. 10.4. Sei Ω ⊆ RN oﬀen, m ∈ N und 1 ≤ p < ∞. a) Man zeige, daß Ccm (Ω) in H0m,p (Ω) enthalten ist. ur alle b) Man beweise, daß jede Funktion u ∈ C m (Ω) mit Dμ u ∈ Lp (Ω) f¨ |μ| ≤ m bereits in H m,p (Ω) liegt. Hinweis: F¨ ur Teilaufgabe a) verwende man die Gl¨attungsoperatoren aus Anhang A. F¨ ur Teilaufgabe b) benutze man zus¨ atzlich eine Zerlegung der Eins auf Ω. 10.5. Es sei Ω ⊂⊂ RN eine nichtleere Menge mit Durchmesser d und Volumen V . Man zeige, daß f (x) := 1, x ∈ Ω, in H 1 (Ω), aber nicht in H01 (Ω) liegt, indem man f¨ ur ϕ ∈ Cc∞ (Ω) f − ϕ1,2 ≥ V 1/2 − df − ϕ1,2 beweise.

10 Aufgaben

339

10.6. Es sei Ω ⊂⊂ RN eine nichtleere Menge mit Durchmesser d. Man bewiese die folgende Variante von Lemma 10.2.14, ϕ2 ≤

2d N

2 D(ϕ) ,

ϕ ∈ Cc∞ (Ω) ,

indem man von ϕ2 =

N 1

∂ ϕ2 (x) (xi − yi ) dx , N i=1 Ω ∂xi

y∈Ω,

ausgehe. 10.7. Es sei Ω ⊆ RN oﬀen und zusammenh¨ angend. Man zeige f¨ ur v ∈ H 1 (Ω): |∇v|2 = 0 ⇒ v = const fast u ¨berall auf Ω . Ω

10.8. Es sei Ω ⊂⊂ RN nichtleer, und es bestehe die Poincar´esche Ungleichung, d.h. es gebe ein C > 0 mit 2 u2 ≤ C |∇u|2 + u (10.51) f¨ ur alle u ∈ H 1 (Ω) . Ω

Ω

Ω

Man zeige: a) Der Vektorraum (·, · bezeichnet das Skalarprogukt in L2 (Ω)) N := {w ∈ H 1 (Ω) : w, 1 = 0} , versehen mit

∇v · ∇w ,

D(v, w) := Ω

ist ein Hilbertraum. b) Zu jedem f ∈ L2 (Ω) gibt es genau ein u ∈ N mit D(u, ϕ) = f, ϕ

f¨ ur alle ϕ ∈ N .

10.9. Es sei Ω ⊂⊂ RN zusammenh¨ angend, und die Einbettung von H 1 (Ω) 2 in L (Ω) sei kompakt. Man zeige durch einen Widerspruchsbeweis, daß dann die Poincar´esche Ungleichung (10.51) besteht. 10.10. Sei Ω ⊆ RN oﬀen. Man erschließe die Symmetrie der Greenschen Funktion f¨ ur Ω und −Δ + 1 (s. Deﬁnition 4.9.7) wie beim Beweis von Satz 10.3.4.

340

10 Schwache L¨ osungen

10.11. a) Es seien α, β Zahlen mit α < N , β < N und α + β > N . Man zeige dy I = f¨ ur x, z ∈ RN , x = z , |x − y|α |y − z|β |x − z|α+β−N RN

mit

I := RN

dw , |w − e|α |w|β

e :=

x−z . |x − z|

Zum Nachweis der Existenz von I mache man die Fallunterscheidungen |w| ≥ 2, 12 < |w| < 2, |w| ≤ 12 . b) Es seien Ω ⊂⊂ RN und α, β ∈ (0, N ) Zahlen mit α + β < N . Man zeige, daß es ein c > 0 mit dy ≤ c f¨ ur alle x, z ∈ RN |x − y|α |y − z|β Ω

gibt. 10.12. Es sei Ω ⊆ RN oﬀen, f ∈ C H (Ω) und u ∈ L1loc (Ω) eine schwache L¨ osung von (−Δ+1)u = f . Man zeige, ohne sich auf Satz 10.3.10 zu beziehen, daß u einer Funktion v ∈ C 2 (Ω) mit (−Δ+1)v = f ¨aquivalent ist, indem man folgendermaßen vorgehe. Es seien B ⊂⊂ B ⊂⊂ Ω konzentrische Kugeln, ζ ∈ ur y ∈ B , S die Singularit¨atenfunktion Cc∞ (B) eine Funktion mit ζ(y) = 1 f¨ ∞ zu −Δ + 1, ϕ ∈ Cc (B ) und S(x, y)ϕ(x) dx f¨ ur y ∈ B . ψ(y) := ζ(y) B

Dann gilt:

a) Es ist B u(−Δ + 1)ψ = B f ψ. b) F¨ ur x ∈ B wird durch S(x, y)ζ(y)f (y) dy − v(x) := B

B\B

u(y)(−Δy + 1)[S(x, y)ζ(y)] dy

2 eine Funktion aus

C (B ) deﬁniert.

c) Es ist B vϕ = B ψf − B\B u(−Δ + 1)ψ. d) u stimmt fast u ¨berein. ¨berall auf B mit v u

10.13. Sei V reeller Vektorraum und B : V × V → R eine positiv semideﬁnite, symmetrische Bilinearform. Weiter sei W Untervektorraum von V und (W, B|W ×W ) sei Hilbertraum. Man zeige: a) Es gilt die Schwarzsche Ungleichung |B(u, v)| ≤ B(u)B(v) f¨ ur alle u, v ∈ V , wobei B(u) := B(u, u) bezeichnet.

10 Aufgaben

341

Sei nun v ∈ V . Die folgenden zwei Teilaufgaben dienen dem Ziel zu zeigen, ur daß es genau ein w0 ∈ W gibt mit v − w0 ∈ W ⊥ = {z ∈ V : B(z, w) = 0 f¨ alle w ∈ W }. Damit ist dann der Zerlegungssatz V = W ⊕ W ⊥ bewiesen. b) Seien w0 , w1 ∈ W mit v − w0 , v − w1 ∈ W ⊥ . Man schließe w0 = w1 , indem man nachweist, daß w0 − w1 ∈ W ∩ W ⊥ gilt. c) Warum existiert d := inf w∈W B(v − w)? Man zeige wie im Beweisteil b) von Satz 10.5.2, daß ein w0 ∈ W existiert mit B(v − w0 ) = d, und man folgere hieraus v − w0 ∈ W ⊥ .

A Partielle Integration. Gl¨ attungsoperatoren.

Ein besonders einfacher Fall einer partiellen Integration bei mehrdimensionalen Integralen, der zum Begriﬀ des adjungierten Diﬀerentialausdrucks f¨ uhrt (vgl. Bemerkung 9.2.2), kommt schon bei Lagrange [158, § 45] vor und besagt, daß fxk g = − f gxk f¨ ur alle k ∈ {1, . . . , N } (A.1) Ω

Ω

ist, wenn eine der Funktionen am Rand von Ω Null ist. Wir pr¨azisieren dies in der nachfolgenden Bemerkung, die wir zum Beweis von Satz A.6 (iii) ben¨otigen. Bemerkung A.1. Seien Ω ⊆ RN oﬀen und f, g ∈ C 1 (Ω). Dann gilt (A.1), wenn f g außerhalb einer Menge Ω ⊂⊂ Ω Null ist. In diesem Fall kann f g zu einer Funktion F ∈ C 1 (RN ) fortgesetzt werden, die auf RN \ Ω verschwindet. Der Satz von Fubini erlaubt koordinatenweise Integration und wir erhalten Fxk (x) dx = (f g)xk = (f g)xk . 0= Ω

RN

Ω

Bemerkung A.1 kann leicht noch etwas versch¨arft werden. Satz A.2. Es sei Ω ⊂⊂ RN , k ∈ {1, . . . , N } und f ∈ C 0 (Ω) in Ω nach xk partiell stetig diﬀerenzierbar, ferner fxk u ¨ber Ω integrierbar und f |∂Ω = 0. Dann gilt fxk (x) dx = 0 . Ω

Beweis. Es gen¨ ugt, k = N zu betrachten. Der Satz von Fubini liefert fxN (x) dx = Ω

RN −1

fxN (x, t) dt

dx ,

(A.2)

T (x)

E. Wienholtz et al., Elliptische Diﬀerentialgleichungen zweiter Ordnung, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009 DOI 10.1007/978-3-540-45721-3 BM2,

344

A Partielle Integration. Gl¨ attungsoperatoren.

wobei f¨ ur x ∈ RN −1 T (x) := {t ∈ R : (x, t) ∈ Ω} gesetzt ist. Dies ist eine oﬀene und beschr¨ ankte Menge in R, also, wenn nichtleer, h¨ ochstens abz¨ ahlbare disjunkte Vereinigung von nichtleeren, beschr¨ankten, oﬀenen Intervallen in R, mithin 8 T (x) = j (aj , bj ) mit (x, aj ), (x, bj ) ∈ ∂Ω . ur solche x Das innere Integral in (A.2) existiert f¨ ur fast alle x ∈ RN −1 , und f¨ haben wir aufgrund der σ-Additivit¨ at des Lebesgueintegrals

bj fxN (x, t) dt = fxN (x, t) dt . T (x)

j

aj

F¨ ur x ∈ RN −1 ist aber f (x, ·) stetig auf [aj , bj ] und stetig diﬀerenzierbar auf (aj , bj ), also nach dem Hauptsatz der Diﬀerential- und Integralrechnung

bj

fxN (x, t) dt = f (x, bj ) − f (x, aj ) = 0 ,

aj

letzteres wegen f |∂Ω = 0.

Zum Beweis seines ber¨ uhmten Satzes, daß jede auf einem kompakten Intervall stetige Funktion gleichm¨ aßig durch Polynome approximiert werden kann, ging Weierstraß [335] von der Beobachtung aus, daß f¨ ur jede stetige und beschr¨ ankte Funktion f : R → R mit x−y 1 F (x, k) := ψ f (y) dy (A.3) 2kω R k (A.4) lim F (x, k) = f (x) k→∞

gilt, und zwar gleichm¨ aßig auf jedem kompakten Teilintervall. Hierbei ist ψ eine nichtnegative stetige und beschr¨ ankte gerade Funktion, f¨ ur die ∞ ω := ψ(x) dx 0

existiert. Ersetzt man die Forderung der Stetigkeit durch die, daß in jedem Punkt x ∈ R rechts- und linksseitiger Grenzwert f+ (x) bzw. f− (x) existieren, so gilt anstelle von (A.4) lim F (x, k) =

k→0

1 [f+ (x) + f− (x)] . 2

(A.5)

1 ψ k· hat bereits fast alle Eigenschaften, die unten in Die Funktion 2kω Deﬁnition A.3 von einem Gl¨ attungskern verlangt werden – nur noch keinen

A Partielle Integration. Gl¨ attungsoperatoren.

345

kompakten Tr¨ ager. Motiviert war Weierstraß durch die Funktion s → e−s , also durch x−y 2 x−y 1 1 ψ (A.6) = √ e −( k ) , 2kω k k π √ in welchem Falle u(x, t) := F x, 2 t die Eigenschaft ut = uxx hat, also eine L¨ osung der eindimensionalen W¨ armeleitungsgleichung ist. Zur gleichm¨aßigen Approximation einer stetigen Funktion N Ver¨anderlichen nahm Weier xNvon −yN 1 · . . . · ψ , und zum Beweis seines Satstraß die Funktion ψ x1 −y k k zes, daß jede stetige periodische Funktion durch trigonometrische Polynome gleichm¨ aßig approximiert werden kann, betrachtete er komplexwertige ψ. Aus der F¨ ulle von Untersuchungen in der Nachfolge der Weierstraßschen Arbeit (s. etwa [70, S. 1146–1153]) greifen wir drei heraus. L. Maurer [199] machte die Beobachtung, daß die durch 2

f0 (x) = f (x) ,

1 fn (x) = 2h

h

−h

fn−1 (x + t) dt

(A.7)

√ ur rekursiv deﬁnierte Folge arithmetischer Mittel bei der Wahl h = 32 k/ n f¨ 2 n → ∞ gegen (A.3) strebt mit ψ(s) = e−s . Lebesgue [171] gab notwendige und hinreichende Bedingungen daf¨ ur, daß eine Funktion durch Faltungsintegrale approximiert werden kann. Die von ihm betrachteten Kerne enthalten als Spezialf¨ alle den Weierstraßschen Kern (oder W¨armeleitungskern) (A.6), den ur die Gerade sowie die in der Theorie Poissonkern s → [πn(s2 + ( n1 )2 )]−1 f¨ der Fourierreihen wichtigen Kerne von Fourier-Dirichlet bzw. Fej´er1 sin(n + 12 )s 2 sin 2s

bzw.

1 2n

sin ns 2 sin 2s

2 .

Die Arbeit von Ogura [241, pp. 110 f., 119–126] – er betrachtet auch Kerne mit kompaktem Tr¨ ager – inspirierte Friedrichs [74] zu den h¨auﬁg nach ihm benannten Gl¨ attungsoperatoren, nachdem er in [73, § 5] Mittelungen des Typs (A.7) betrachtet hatte. Kurz zuvor hatten gleiche Gl¨attungen in Lerays Untersuchung der Navier-Stokes-Gleichungen bereits eine wichtige Rolle gespielt [178, p. 206]. S.L. Sobolev gelangte durch seinen Lehrer N.M. G¨ unter zu den Gl¨ attungsoperatoren. G¨ unter seinerseits war beeinﬂußt von V.A. Steklov, der in [316, p. 6] Mittelungen der Gestalt (A.7) bei Entwicklungen nach orthogonalen Funktionen verwandt hatte (in dem von V.I. Smirnov und S.L. Sobolev verfaßten biographischen Anhang zu [89] ﬁndet man diesbez¨ ugliche Arbeiten von G¨ unter zitiert). In der russischen Literatur spricht man daher meist von Mittelungskernen und Mittelfunktionen oder Steklov-Funktionen. 1

All diese Kerne sowie die aus Deﬁnition A.3 approximieren Diracs improper ” function“ δ und sind daher der Vorgeschichte der Distributionstheorie zuzuordnen (s. [197, 318]).

346

A Partielle Integration. Gl¨ attungsoperatoren.

Beginnend mit der Arbeit [75], verwendet Friedrichs den Ausdruck molliﬁers“ ” (to mollify = bes¨ anftigen; hierzu gibt es eine anekdotische Bemerkung von P. Lax in seinem Kommentar zu [75] in den Selecta von Friedrichs). Schließlich sei noch erw¨ ahnt, daß sich eine fr¨ uhe Anwendung von Gl¨attungsoperatoren bei Bray [25] ﬁndet, der sie zum Beweis einer Version der Transformationsformel f¨ ur Gebietsintegrale unter abgeschw¨ achten Voraussetzungen verwendet. Deﬁnition A.3. Eine Familie von Funktionen (j ) >0 heißt Gl¨attungsschar, wenn f¨ ur jedes > 0 die Funktion j die Eigenschaften (α) 0 ≤ j ∈ C ∞ (RN ) , (β) j (x) = 0 f¨ ur |x| ≥ ,

(γ) j (x) dx = 1 RN

attungskern. Gelegentlich kann es bequem oder erforbesitzt. j selbst heißt Gl¨ derlich sein, zus¨ atzlich (δ)

j (x) = j (−x)

f¨ ur x ∈ RN

zu fordern (z.B. wenn man – nach Faltung mit einer Funktion f – eine Relation wie (A.5) herstellen m¨ ochte). Bemerkung A.4. Ausgangspunkt f¨ ur die Konstruktion einer Gl¨attungsschar ist meist das von Cauchy stammende Beispiel ϕ(s) :=

e−1/s , falls s > 0 0

, falls s ≤ 0

f¨ ur eine beliebig oft diﬀerenzierbare Funktion, die nicht reell-analytisch ist. Man zeigt leicht, daß es f¨ ur jedes n ∈ N ein Polynom Pn vom Grad ≤ 2n mit 1 (n) ϕ (s) = Pn ϕ(s) s f¨ ur s > 0 gibt. Hieraus folgt ϕ ∈ C ∞ (R) und ϕ(n) (0) = 0. Setzt man dann 1 j(t) := ϕ(1 + t)ϕ(1 − t) , c := ϕ(1 + τ )ϕ(1 − τ ) dτ , c R so hat man eine Funktion, die (α)-(δ) f¨ ur N = 1 und = 1 erf¨ ullt. a) Sind j1 , . . . , jN Funktionen, die den Forderungen (α), (β), (γ) f¨ ur N = 1 und = 1 gen¨ ugen, so deﬁniert x 1 x1 N . . . jN , > 0, x ∈ RN , j (x) := N j1 eine Gl¨ attungsschar, wobei Eigenschaft (β) in nur leicht modiﬁzierter Form gilt.

b) Ist j(t) := k1 ϕ(1 − t2 ) mit k := RN ϕ(1 − |x|2 ) dx, so deﬁniert

A Partielle Integration. Gl¨ attungsoperatoren.

347

j (x) := −N j(|x|/) f¨ ur > 0 und x ∈ RN eine radialsymmetrische Gl¨attungsschar. Daß eine lokal integrierbare Funktion durch Faltung mit einem Gl¨attungskern beliebig oft diﬀerenzierbar wird, ergibt sich sofort aus dem nachfolgenden Satz u angige Integrale, den wir ohne Beweis notieren (er ¨ber parameterabh¨ folgt unmittelbar aus dem Lebesgueschen Grenzwertsatz; vgl. [149, S. 282 f.]). Satz A.5 (Standardsatz u ¨ ber Parameterintegrale). Es seien X ⊆ Rm , n Y ⊆ R und f : X × Y → R. Dann ist die durch F (x) := f (x, y) dy, x ∈ X , Y

deﬁnierte Funktion stetig, falls folgendes gilt: (i) Bei festem x ∈ X ist die Funktion f (x, ·) u ¨ber Y integrierbar. (ii) F¨ ur fast alle y ∈ Y ist f (·, y) ∈ C 0 (X). (iii) Es gibt eine u ¨ber Y integrierbare Funktion b mit |f (x, y)| ≤ b(y)

f¨ ur alle x ∈ X und fast alle y ∈ Y .

Ist X oﬀen, so ist F stetig diﬀerenzierbar und Fxi (x) = fxi (x, y) dy, x ∈ X, i ∈ {1, . . . , m} , Y

falls zus¨ atzlich zu (i) gilt: (ii) F¨ ur fast alle y ∈ Y ist f (·, y) ∈ C 1 (X). (iii) Es gibt eine u ¨ber Y integrierbare Funktion b mit |fxi (x, y)| ≤ b(y),

i ∈ {1, . . . , m} ,

f¨ ur alle x ∈ X und fast alle y ∈ Y . Satz A.6 (Lokal deﬁnierte Gl¨ attungsoperatoren). Sei Ω ⊆ RN oﬀen attungsschar. F¨ ur > 0 sei und (j ) eine Gl¨ Ω := {x ∈ Ω : B (x) ⊂⊂ Ω} . Ist dann f ∈ L1loc (Ω), so existiert f¨ ur x ∈ Ω

f (x) := (j ∗ f )(x) := j (x − y)f (y) dy und hat folgende Eigenschaften:

(A.8)

Ω

(i) supp f ⊆ Ω2 ⇒ supp f ⊆ Ω . ur jeden Multiindex μ und alle x ∈ Ω gilt (ii) Es ist f ∈ C ∞ (Ω ), und f¨ Dμ f (x) = ((Dμ j ) ∗ f ) (x) .

(A.9)

348

A Partielle Integration. Gl¨ attungsoperatoren.

(iii) Ist μ ein Multiindex und f ∈ C |μ| (Ω), so gilt Dμ f (x) = (Dμ f ) (x),

x ∈ Ω .

(iv) Ist k ∈ N0 , f ∈ C k (Ω) und Ω0 ⊂⊂ Ω, so gilt f¨ ur alle Multiindizes μ mit |μ| ≤ k lim max |Dμ f − Dμ f | = 0 .

→0 Ω 0

(v) Sei Ω0 ⊂⊂ Ω ⊂⊂ Ω. Gibt es dann Zahlen α ∈ (0, 1] und c > 0 mit |f (x ) − f (x )| ≤ c|x − x |α ,

x , x ∈ Ω ,

so gilt |f (x ) − f (x )| ≤ c|x − x |α f¨ ur alle x , x ∈ Ω0 und alle 0 < < dist(Ω0 , ∂Ω ). Beweis. Ist x ∈ Ω , so erstreckt sich wegen j (x − y) = 0 f¨ ur |x − y| ≥ die Integration in (A.8) h¨ ochstens u ¨ber B (x) ⊂⊂ Ω, so daß f wohldeﬁniert ist. Zu (i): Wenn f kompakten Tr¨ ager besitzt, wird dieser durch die Faltung h¨ochstens um einen Streifen der Breite vergr¨ oßert. Zu (ii): Aufgrund der Eigenschaften (α), (β) des Gl¨attungskerns gibt es eine allein von und μ abh¨ angende Zahl C(, μ) mit |Dμ j (z)| ≤ C(, μ)

f¨ ur alle z ∈ RN .

(A.10)

Mithin existiert f¨ ur jedes Ω ⊂⊂ Ω ein allein von abh¨angendes Kompaktum K ⊆ Ω mit |Dxμ j (x − y)f (y)| ≤ C(, μ)|f (y)| f¨ ur alle x ∈ Ω und y ∈ K . F¨ ur |μ| = 1 folgen f ∈ C 1 (Ω ) und (A.9) daher aus Satz A.5. Die allgemeine Behauptung ergibt sich dann durch vollst¨andige Induktion. Zu (iii): Wir schreiben (A.9) als μ |μ| f (y)Dyμ j (x − y) dy , D f (x) = (−1) Ω

was nach |μ|-maliger Anwendung von Bemerkung A.1 (−1)|μ| (−1)|μ| j (x − y)Dμ f (y) dy Ω

liefert.

A Partielle Integration. Gl¨ attungsoperatoren.

349

Zu (iv): Sei Ω0 ⊂⊂ Ω ⊂⊂ Ω und μ wie angegeben. Dann existiert zu jedem η > 0 ein δ > 0, so daß f¨ ur alle x, y ∈ Ω mit |x − y| < δ |Dμ f (x) − Dμ f (y)| ≤ η ur y ∈ Ω \ Ω ausf¨ allt. Sei nun 0 < < min{dist(Ω0 , ∂Ω ), δ} und x ∈ Ω 0 . F¨ ist dann j (x − y) = 0, also aufgrund der Eigenschaft (γ) j (x − y) dy = 1 Ω

und daher wegen (iii) Dμ f (x) − Dμ f (x) =

j (x − y) [Dμ f (y) − Dμ f (x)] dy , Ω

mithin

|D f (x) − D f (x)| ≤ η μ

j (x − y) dy = η .

μ

Ω

Zu (v): Ist wie angegeben und x ∈ Ω0 , so gilt j (x − y) = 0 f¨ ur y ∈ Ω \ Ω , mithin f¨ ur alle x , x ∈ Ω0 f (x ) − f (x ) = [j (x − y) − j (x − y)] f (y) dy Ω

=

j (z) [f (x − z) − f (x − z)] dz ,

|z|<

woraus sofort die Behauptung folgt.

Satz A.7 (Global deﬁnierte Gl¨ attungsoperatoren). Sei Ω ⊆ RN oﬀen atttungsschar. Sei > 0, 1 ≤ p < ∞ und f ∈ Lp (Ω). Dann und (j ) eine Gl¨ existiert j (x − y)f (y) dy (A.11) f (x) := (j ∗ f )(x) := Ω

f¨ ur alle x ∈ RN und hat folgende Eigenschaften: (i) Es ist f ∈ Lp (RN ) und f Lp (RN ) ≤ f Lp (Ω) . (ii) Es ist f ∈ C ∞ (RN ); f¨ ur jeden Multiindex μ gilt Dμ f = (Dμ j ) ∗ f ∈ Lp (RN ) ,

und mit c(μ, , N ) := RN |Dμ j (z)| dz besteht Dμ f Lp (RN ) ≤ c(μ, , N )f Lp (Ω) .

(A.12)

350

A Partielle Integration. Gl¨ attungsoperatoren.

Beweis. F¨ ur jedes x ∈ RN erstreckt sich die Integration in (A.11) u ¨ber die beschr¨ ankte Menge Ω∩B (x), u ¨ber die |f | im Falle p = 1 voraussetzungsgem¨aß und im Falle p > 1 aufgrund der H¨ olderschen Ungleichung integrierbar ist. p gilt ja Mit q := p−1

1/q

|f (y)| dy ≤

1/p |f (y)| dy p

dy

Ω∩B (x)

Ω∩B (x)

Zu (i): F¨ ur p > 1 und q := mit

p p−1

.

Ω∩B (x)

ergibt die H¨ oldersche Ungleichung, zusammen 1

1

j (x − y) = [j (x − y)] q [j (x − y)] p , |f (x)| ≤

p/q j (x − y) dy

p

≤

j (x − y)|f (y)|p dy

Ω

(A.13)

Ω

j (x − y)|f (y)|p dy , Ω

nachdem wir die erste Integration rechts in (A.13) u ¨ber RN erstreckt haben. F¨ ur p = 1 ist die erhaltene Ungleichung nat¨ urlich trivial. F¨ ur p ≥ 1 haben wir daher, wenn wir nach Fubini-Tonelli die Integrationsreihenfolge rechts vertauschen, p p |f (x)| dx ≤ |f (y)| j (x − y) dx dy , RN

RN

Ω

was (i) beweist. Zu (ii): Die Aussage f ∈ C ∞ (RN ) und die erste Behauptung in (A.12) folgen wie fr¨ uher aus der Absch¨ atzung (A.10) in Kombination mit dem Standardsatz oldersche Ungleichung an, so erhalten A.5. Wenden wir auf (Dμ j ) ∗ f die H¨ wir p/q μ p μ |D f (x)| ≤ |Dx j (x − y)| dy |Dxμ j (x − y)||f (y)|p dy Ω Ω ≤ [c(μ, , N )]p/q |Dxμ j (x − y)||f (y)|p dy Ω

und daher |Dμ f (x)|p dx ≤ [c(μ, , N )]p/q |f (y)|p RN

Ω

womit auch die letzte Behauptung bewiesen ist.

RN

|Dxμ j (x − y)| dx

dy ,

Bemerkung A.8. Sei k ∈ N. Selbst im Falle f ∈ C k (Ω) und Dμ f ∈ Lp (Ω) f¨ ur alle Multiindizes μ mit |μ| ≤ k vertauscht die Ableitung Dμ mit der Gl¨attung i.a. nur auf Ω (s. Satz A.6), denn diese Vertauschung fußt ja auf einer partiellen Integration mit einer Funktion, die ihren Tr¨ager in Ω hat.

A Partielle Integration. Gl¨ attungsoperatoren.

351

Wir hatten in Satz A.6 (iv) gesehen, daß die Faltung einer stetigen Funktion mit einer Gl¨ attungsschar diese Funktion lokal gleichm¨aßig approximiert. Wir wollen nun zeigen, daß f¨ ur f ∈ Lp (Ω) die Gl¨attung f die Funktion f in der p-Norm approximiert (Satz A.11 a)). Dabei machen wir von der in den meisten Einf¨ uhrungen in die Theorie des Lebesgue-Integrals vorkommenden Aussage Gebrauch, daß die Treppenfunktionen mit Tr¨ager in Ω dicht in Lp (Ω) liegen. Teil b) von Satz A.11 ist eine Variante des Fundamentallemmas der Variationsrechnung. Lemma A.9. Sei (j ) eine Gl¨ attungsschar, Q ⊂⊂ RN ein Quader und 1 ≤ p < ∞. Dann gilt lim j ∗ XQ − XQ Lp (RN ) = 0 .

→0

Beweis. Sei x ∈ RN und > 0. Setzen wir f¨ ur z ∈ RN X˜Q (x, z) := |XQ (x − z) − XQ (x)| , so haben wir

|j ∗ XQ (x) − XQ (x)| = j (x − y)[XQ (y) − XQ (x)] dy N R ≤ j (z)X˜Q (x, z) dz RN

und im Falle p > 1 nach H¨ older ¨ ahnlich wie in (A.13) p p |j ∗ XQ (x) − XQ (x)| ≤ j (z) X˜Q (x, z) dz , RN

also f¨ ur alle p ≥ 1 |j ∗ XQ (x) − XQ (x)|p dx ≤ RN

B (0)

j (z)

RN

p X˜Q (x, z) dx dz .

Nun gibt es zu jedem η > 0 ein δ > 0, so daß f¨ ur alle z ∈ Bδ (0) p X˜Q (x, z) dx ≤ η p RN

ausf¨ allt. F¨ ur ∈ (0, δ] ist daher j ∗ XQ − XQ Lp (RN ) ≤ η . Da die Gl¨ attung gem¨ aß Satz A.7 eine lineare Operation ist, haben wir

352

A Partielle Integration. Gl¨ attungsoperatoren.

Korollar A.10. Ist Ω ⊆ RN oﬀen und t eine Treppenfunktion mit supp t ⊆ Ω, so gilt lim t − tLp (Ω) = 0 .

→0

Satz A.11. Sei Ω ⊆ RN oﬀen. a) Ist 1 ≤ p < ∞, f ∈ Lp (Ω) und (f ) wie in Satz A.7, so gilt lim f − f Lp (Ω) = 0 .

→0

b) Ist f ∈ L1loc (Ω) und fϕ = 0

f¨ ur alle 0 ≤ ϕ ∈ Cc∞ (Ω) ,

Ω

so ist f = 0 fast u ¨berall auf Ω. Beweis. a) Sei η > 0. Wie eingangs vor Lemma A.9 erw¨ahnt, gibt es dann eine Treppenfunktion t mit Tr¨ ager in Ω und t − f Lp (Ω) ≤

η . 3

Nach Korollar A.10 existiert ein 0 > 0 mit t − tLp (Ω) ≤

η 3

f¨ ur alle ∈ (0, 0 ] .

Nach Satz A.7 (i) ist f − t Lp (Ω) = (f − t) Lp (Ω) ≤ f − tLp (Ω) , mithin f − f Lp (Ω) ≤ η

f¨ ur alle ∈ (0, 0 ] .

b) Sei x ∈ Ω0 ⊂⊂ Ω. und 0 < < dist(Ω0 , ∂Ω). Dann ist 0 ≤ j (x − ·) ∈ Cc∞ (Ω), also 0 = j (x − y)f (y) dy = f (x) . Ω

Nach a) ist daher f L1 (Ω0 ) = 0, also f = 0 fast u ¨berall in Ω0 und dann auch fast u ¨berall in Ω. H¨ auﬁg und in recht unterschiedlichen Situationen stellt sich das Problem, die charakteristische Funktion einer Menge durch glatte Funktionen zu approximieren, deren Tr¨ ager in vorgegebenen Mengen liegen. Eine einfache Version einer solchen Zerlegung der Eins stammt von Wiener [348, Lemma II b]. F¨ ur

A Partielle Integration. Gl¨ attungsoperatoren.

353

seinen Fortsetzungssatz beweist Whitney [341] schon eine komplizierte derartige Zerlegung (in dieser Arbeit ﬁndet sich auch erstmals die MultiindexSchreibweise f¨ ur Diﬀerentialoperatoren). Die Arbeiten von Bochner [21] und Dieudonn´e [49], mit denen man die Technik der Zerlegung der Eins oft assoziiert, erschienen zeitgleich etwas sp¨ ater. Wir beginnen mit einer einfachen und f¨ ur sich schon sehr n¨ utzlichen Aussage. Lemma A.12. Es seien A ⊂⊂ RN , B ⊆ RN nichtleere Mengen mit δ := dist(A, B) > 0. Dann gibt es eine Funktion ψ ∈ C ∞ (RN ) mit 0 ≤ ψ ≤ 1 sowie eine nur von N abh¨ angige Zahl c mit ψ(x) =

1 f¨ ur x ∈ A 0 f¨ ur x ∈ B

und |ψxi (x)| ≤

c f¨ ur x ∈ RN und i ∈ {1, . . . , N } . δ

attungsschar. Man w¨ahle := 3δ und Ω0 := {x ∈ Beweis. Es sei (j ) eine Gl¨ δ N R : dist(x, A) < 2 }. Dann ist j (x − y)XΩ0 (y) dy, x ∈ RN , ψ(x) := RN

nach Satz A.7 aus C ∞ (RN ). Im Falle x ∈ A liegt jedes y ∈ RN mit |x − y| ≤ in Ω0 , so daß ψ(x) = j (x − y) dy = 1 |x−y|<

ist. Im Falle x ∈ B und y ∈ Ω0 ist |x − y| ≥ 2δ > , also j (x − y) = 0. Gem¨aß ahlt werden, daß ein C > 0 existiert mit Bemerkung A.4 kann (j ) so gew¨ ∂ −N −1 ∂xi j (x) ≤ C f¨ ur alle x ∈ RN , 1 ≤ i ≤ N und > 0. Da auch die Ableitungen von j außer halb von B (0) verschwinden, folgt die letzte Behauptung aus Satz A.7 (ii). Satz A.13 (Zerlegung der Eins). Sei Ω ⊆ RN oﬀen und nichtleer. Dann ¨ gibt es eine oﬀene Uberdeckung (Ωn ), n ∈ N0 , von Ω mit der Eigenschaft, daß ur h¨ ochstens endlichviele n ∈ N0 einen nichtleeren Schnitt jedes Ω ⊂⊂ Ω f¨ mit Ωn besitzt. Weiter existiert eine Funktionenfolge (ψn ) aus C ∞ (RN ) mit 0 ≤ ψn ≤ 1 , supp ψn ⊆ Ωn , ∞ (iii) n=0 ψn (x) = 1

(i) (ii)

f¨ ur alle x ∈ Ω .

354

A Partielle Integration. Gl¨ attungsoperatoren.

Beweis. 1. F¨ ur n ∈ N ist Mn := x ∈ Ω : n−1 < dist(x, ∂Ω), |x| < n eine beschr¨ ankte oﬀene Menge. Mit M0 := ∅ gilt f¨ ur alle n ∈ N0 Mn ⊂⊂ Mn+1 ⊂⊂ Ω

und Mn+2 \ M n+1 ⊂⊂ Mn+3 \ M n =: Ωn .

F¨ ur jedes x ∈ Ω gibt es ein kleinstes k ∈ N mit x ∈ M k . Im Falle k = 1 ist x ∈ M 1 ⊆ M3 = Ω0 , im Falle k ≥ 2 gilt x ∈ M k ⊆ Mk+2 \ M k−1 = Ωk−1 . Daher ist Ω⊆

∞ &

Ωn ⊆ Ω .

n=0

ur geeignetes n ∈ N0 . F¨ ur alle n ≥ n ist Ist Ω ⊂⊂ Ω, so gilt Ω ⊆ Mn f¨ dann wegen M n ⊆ M n Ω ∩ Ωn = Ω ∩ Mn+3 \ M n ⊆ Mn ∩ Mn+3 \ M n = ∅ . 2. F¨ ur jedes n ∈ N gibt es eine Menge Un mit Mn+2 \M n+1 ⊂⊂ Un ⊂⊂ Ωn und nach Lemma A.12 ein ϕn ∈ C ∞ (RN ) mit 0 ≤ ϕn ≤ 1 und ϕn (x) =

1

f¨ ur x ∈ Mn+2 \ M n+1

0

f¨ ur x ∈ RN \ Un

.

F¨ ur n = 0 w¨ ahle man M2 ⊂⊂ U0 ⊂⊂ Ω0 und ein entsprechendes ϕ0 ∈ C ∞ (RN ) mit 0 ≤ ϕ0 ≤ 1, ϕ0 |M2 = 1 und Tr¨ager in RN \ U0 . Da jedes nichtleeren Schnitt mit nur endlichvielen der Ωn besitzt, Ω ⊂⊂ Ω einem ∞ ∞ deﬁniert φ := n=0 ϕn auf jedem Ω ⊂⊂ Ω eine C -Funktion. Aus der ur alle x ∈ M n+2 \ M n+1 f¨ ur n ≥ 1 Stetigkeit der ϕn folgt zudem ϕn (x) = 1 f¨ ur alle x ∈ M 2 . Da und ϕ0 (x) = 1 f¨ 8∞ Ω ⊆ M 2 ∪ n=1 M n+2 \ M n+1 ist, gilt φ(x) ≥ 1 f¨ ur alle x ∈ Ω. Die Funktionen ψn := ϕn /φ haben daher alle gew¨ unschten Eigenschaften.

B Integration u aren ¨ ber Sph¨

Ein Großteil der Untersuchung von Gauß u ¨ber die Anziehung eines homogenen Ellipsoids auf einen Punkt in R3 ist der Reduktion eines Volumenintegrals auf ein Integral u ache gewidmet [79]. Zur Geschichte solcher ¨ber die Randﬂ¨ Integrals¨ atze, die man als mehrdimensionale Versionen der Formel der partiellen Integration und damit letztlich des Hauptsatzes der Diﬀerential- und Integralrechnung ansehen kann und die an die Namen von Gauß, Green und Ostrogradski˘i gekn¨ upft sind, sei auf [133] verwiesen. Obwohl wir bei der Behandlung des Dirichletproblems allgemeine R¨ander einbeziehen, wird die Problematik, wie allgemein der Rand bei der Verwendung dieser Integrals¨ atze sein darf, vermieden,1 denn es wird stets nur u ¨ber Sph¨aren integriert. Wir gewinnen die entsprechende Version des Gaußschen Satzes, Satz B.5, aus der Transformationsformel f¨ ur Gebietsintegrale, die f¨ ur N > 3 ebenfalls auf Ostrogradski˘i zur¨ uckgeht (zur Historie dieser Formel s. [134]). Wir formulieren sie wie folgt und verweisen f¨ ur einen Beweis auf [62, S. 210]. Satz B.1 (Transformationsformel, Substitutionsregel in RN ). Es sei Ω ⊆ RN oﬀen, h : Ω → RN injektiv und stetig diﬀerenzierbar, ferner f : h(Ω) → R. Mit ∂hi (x) , x∈Ω, h (x) = ∂xk 1≤i,k≤N gilt dann: Wenn eines der zwei Integrale f (y) dy und f (h(x))| det h (x)| dx h(Ω)

Ω

(als Lebesgue-Integral) existiert, dann existieren beide und sind gleich. 1

Eine recht allgemeine Version des Gaußschen Satzes wird in [149, S. 387–392] bewiesen.

356

B Integration u aren ¨ber Sph¨

Wir ziehen aus diesem Satz drei wichtige Folgerungen, indem wir Polarkoordinaten in RN \ {0} betrachten. Sei U := {u ∈ RN −1 : |u| < 1} . Dann ist die Funktion h : (0, ∞) × U → RN

,

y → ru, r 1 − |u|2

injektiv und stetig diﬀerenzierbar und ihre Jacobimatrix h (r, u) gleich ⎞ ⎛ u1 r ... 0 ⎟ ⎜ 0 ... 0 u2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. .. .. ⎟ . ⎜ . . . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ uN −1 0 ... r ⎠ ⎝ ru ru N −1 1 1 − |u|2 − √ −√ 2 2 1−|u|

1−|u|

Addiert man f¨ ur i ∈ {1, . . . , N −1} das ui / 1 − |u|2 -fache der i-ten zur letzten Zeile, so ergibt sich | det h (r, u)| =

rN −1 1 − |u|2

.

Sei R > 0. Mit + BR (0) := {y ∈ RN : |y| < R, yN > 0}

gilt daher

f (y) dy =

+ BR (0)

(0,R)×U

rN −1 f ru, 1 − |u|2 d(r, u) =: I+ , 1 − |u|2

falls eines dieser beiden Integrale existiert. Wenn I+ existiert, so existiert nach Fubini f¨ ur fast alle r ∈ (0, R) rN −1 f (y) dS(y) = f ru, r 1 − |u|2 du , 1 − |u|2 Sr+

U

was als Integral u are Sr+ := {y ∈ RN : |y| = r und ¨ber die obere Hemisph¨ N yN > 0} mit Radius r in R deﬁniert oder identiﬁziert werden kann, und es ist R I+ = f (y) dS(y) dr . 0

Sr+

+ Umgekehrt: Ist f : BR (0) → R meßbar und existiert eines der Integrale

B Integration u aren ¨ber Sph¨

R rN −1 du dr , f ru, r 1 − |u|2 1 − |u|2 0 U R rN −1 2 dr du , f ru, r 1 − |u| 1 − |u|2 U 0

357

(B.1) (B.2)

so existiert nach Tonelli auch das Integral I+ , und daher existieren nach Fubini beide Integrale (B.1), (B.2). − (0) verfahEntsprechend kann man nat¨ urlich f¨ ur die untere Halbkugel BR + − ren. Da sich BR (0) ∪ BR (0) und BR (0) nur um eine Nullmenge unterscheiden ur r ∈ (0, R), erhalten wir und ebenso Sr+ ∪ Sr− relativ ∂Br (0) f¨ rN −1 f (ru, r 1 − |u|2 ) + f (ru, −r 1 − |u|2 ) f (y) dS(y) = du , 1 − |u|2 ∂Br (0)

U

(B.3) mithin nach Anwendung einer Translation die Folgerung B.2. Sei BR (x) ⊂⊂ RN . Ist f : BR (x) → R meßbar, so existiert

R

|f (y)| dy genau dann, wenn 0 ( ∂B (x) |f (y)| dS(y)) d existiert, und BR (x) es ist dann

R f (y) dy =

BR (x)

R f (y) dS(y) d =

0 ∂B (x)

N −1 f (x + η) dS(η) d .

(B.4)

S N −1

0

Speziell gilt f¨ ur meßbares f : (0, R) → R

R f (|y|) dy = ωN

N −1 f () d ,

(B.5)

0

BR (0)

wenn eines der Integrale existiert. Dabei ist ωN := 1 dS(η) S N −1

der Fl¨ acheninhalt der Einheitssph¨ are in RN . Folgerung B.3. Sei BR (x) ⊂⊂ RN und f ∈ C 0 (BR (x)). Dann gilt f¨ ur alle r ∈ (0, R):

a) Die durch V (r) := Br (x) f (y) dy deﬁnierte Funktion ist stetig diﬀerenzierbar und N −1 V (r) = r f (x + rη) dS(η) . S N −1

358

B Integration u aren ¨ber Sph¨

b) F¨ ur jede orthogonale Transformation A : RN → RN ist f (x + rη) dS(η) = f (Ax + rAη) dS(η) . S N −1

S N −1

Beweis. In der Tat ergibt sich a) sofort aus (B.4), wenn wir dort R durch r ersetzen und diﬀerenzieren. F¨ ur b) brauchen wir nur zu beachten, daß aufgrund der Transformationsformel und wegen | det A| = 1 f (z) dz = f (Ay)| det A| dy = f (Ay) dy ABr (x)

Br (x)

ist. Das Integral links ist aber gleich sich nun aus a).

Br (x)

Br (x)

f (z) dz. Die Behauptung ergibt

Folgerung B.4. Sei BR (x) ⊂⊂ RN und f ∈ C 1 (BR (x)) eine beschr¨ankte Funktion, deren partielle Ableitungen beschr¨ ankt sind. Dann ist die durch f (x + rη) dS(η), r ∈ (0, R) , φ(r) := S N −1

deﬁnierte Funktion stetig diﬀerenzierbar und η · ∇f (x + rη) dS(η) f¨ ur alle r ∈ (0, R) . φ (r) =

(B.6)

S N −1

Beweis. Wir k¨ onnen uns auf den Fall x = 0 beschr¨anken, da dies durch eine Translation zu erreichen ist. Nach (B.3) ist 1 f ru, r 1 − |u|2 + f ru, −r 1 − |u|2 du . φ(r) = 1 − |u|2 U

Wegen

U

du 1 − |u|2

<∞

(dies ist f¨ ur N = 2 klar und folgt f¨ ur N ≥ 3 aus (B.5), wenn man dort N durch N − 1 ersetzt) ergibt sich die Behauptung daher unmittelbar aus dem Standardsatz A.5 u ¨ber Parameterintegrale. Satz B.5 (Der Gaußsche Satz f¨ ur die Kugel). Es seien BR (x) ⊂⊂ RN , f ∈ C 0 (BR (x)) ∩ C 1 (BR (x)) und k ∈ {1, . . . , N }. Dann gilt (y − x)k lim fyk (y) dy = f (y)νk (y) dS(y), wobei νk (y) := r R |y − x| Br (x)

∂BR (x)

die k-te Komponente der ¨ außeren Einheitsnormalen an ∂BR (x) im Punkte y ist.

B Integration u aren ¨ber Sph¨

359

Beweis. Wir k¨ onnen wieder x = 0 annehmen und etwa k = N betrachten. Sei r ∈ (0, R). Mit B(r; N − 1) := y ∈ RN −1 : |y| < r gilt nach Fubini

√ 2 r −|y|2

fyN (y) dy = B(r;N −1)

Br (0)

−

√

r 2 −|y|2

fyN (y, yN ) dyN

dy

f y, r2 − |y|2 − f y, − r2 − |y|2 dy

= B(r;N −1)

= rN −1

f ru, r 1 − |u|2 − f ru, −r 1 − |u|2 du .

U

Mit der Funktion g(y) := f (y)yN |y|−1 , y ∈ RN , schreibt sich dies rN −1 g ru, r 1 − |u|2 + g ru, −r 1 − |u|2 du , 1 − |u|2

U

was nach (B.3) gleich im Limes r R.

∂Br (0)

g(y) dS(y) ist. Die Behauptung ergibt sich nun

Wir ben¨ otigen noch eine kleine Variante des Gaußschen Satzes f¨ ur die Kugel. Satz B.6. F¨ ur i ∈ {0, 1, 2} seien Bi := Bri (xi ) ⊂⊂ RN Kugeln in der speziellen Lage B1 ⊂⊂ B0

,

B2 ⊂⊂ B0

,

B1 ∩ B2 = ∅

und Ω := B0 \ (B 1 ∪ B 2 ). (Eine der Kugeln B1 , B2 darf auch leer sein.) Es sei k ∈ {1, . . . , N }, f ∈ C 0 (Ω) ∩ C 1 (Ω) und fyk u ¨ber Ω integrierbar. Dann gilt

2

(y − x0 )k (y − xi )k fyk (y) dy = f (y) dS(y) − f (y) dS(y) . r ri 0 Ω ∂B0 i=1 ∂Bi

Beweis. Sei > 0 und ϕ ∈ C 1 (R) eine Funktion mit 0 ≤ ϕ ≤ 1 und ϕ (t) =

0

f¨ ur t ≤ 1

1

f¨ ur t ≥ 1 +

.

Die Existenz einer solchen Funktion erh¨ alt man u ¨ber Lemma A.12. Wir setzen

360

B Integration u aren ¨ber Sph¨

f (y) :=

f (y)ϕ (|y − x1 |/r1 ) ϕ (|y − x2 |/r2 )

f¨ ur y ∈ Ω

0

sonst

und Bi := B(1+ )ri (xi ). Dann ist fyk (y) dy = lim

→0

Ω

B0 \(B 1 ∪B 2 )

fyk (y) dy

(f )yk (y) dy −

= lim

→0

B0

2

' (f )yk (y) dy

.

Bi

i=1

Auf jedes dieser Integrale l¨ aßt sich Satz B.5 anwenden, und die Behauptung folgt im Limes → 0 aufgrund der Stetigkeit von f . Der Gaußsche Satz f¨ ur die Kugel gestattet es, Folgerung B.4 zu erg¨anzen. Lemma B.7. Es seien Ω ⊆ RN oﬀen, BR (x) ⊂⊂ Ω und u ∈ C 2 (Ω). F¨ ur r ∈ (0, R) gilt dann mit φ(r) := S N −1 u(x + rη) dS(η) Δu(y) dy (B.7) rN −1 φ (r) = Br (x)

sowie

ωN u(x) = φ(r) −

r 1−N

0

Δu(y) dy

d .

(B.8)

B (x)

Beweis. Sei ∈ (0, R). Dann gilt nach Satz B.5 Δu(y) dy = B (x)

N

k=1 N −1

=

uyk yk (y) dy =

B (x) N

k=1

S N −1

N

k=1

uyk (y)νk (y) dS(y)

∂B (x)

uyk (x + η)ηk dS(η) ,

was wegen (B.6) die Relation (B.7) beweist. Wir integrieren nun φ () = 1−N Δu(y) dy B (x)

von s bis r. Ber¨ ucksichtigen wir, daß der Grenzwert von φ(s) f¨ ur s gegen 0

existiert und gleich S N −1 u(x) dS(η) = ωN u(x) ist (dies folgt aus (B.3) in Kombination mit dem ersten Teil von Satz A.5), so erhalten wir (B.8). Wie Satz B.5 kann auch die nachfolgende Aussage als ein mehrdimensionales Analogon des Hauptsatzes der Diﬀerential- und Integralrechnung angesehen werden.

B Integration u aren ¨ber Sph¨

361

Satz B.8. Sei Ω ⊆ RN oﬀen, r > 0 und Ωr := {x ∈ Ω : Br (x) ⊂⊂ Ω} . Im Falle f ∈ C 0 (Ω) ist dann die durch f (y) dy, F (x) :=

x ∈ Ωr ,

Br (x)

deﬁnierte Funktion aus C 1 (Ωr ), und f¨ ur k ∈ {1, . . . , N } gilt (y − x)k . Fxk (x) = f (y)νk (y) dS(y) mit νk (y) := |y − x| ∂Br (x) Beweis. Es gen¨ ugt, daß wir die Diﬀerenzierbarkeitsaussage in der Umgebung eines beliebigen Punktes x0 ∈ Ωr beweisen. F¨ ur geeignetes R > r ist BR (x0 ) ⊂⊂ Ω, und es reicht aus, die x mit Br (x) ⊂⊂ BR (x0 ) zu betrachten. Wenn wir zus¨ atzlich f ∈ C 1 (BR (x0 )) voraussetzen, ist F (x) = f (x + z) dz Br (0)

nach dem Standardsatz A.5 stetig diﬀerenzierbar und ∂ ∂ f (x + z) dz = f (x + z) dz . Fxk (x) = Br (0) ∂xk Br (0) ∂zk Das letzte Integral kann nach dem Gaußschen Satz B.5 zu zk f (x + z) dS(z) = f (y)νk (y) dS(y) |z| ∂Br (0) ∂Br (x) umgeformt werden. Ohne die Zusatzvoraussetzung ist f immerhin auf BR (x0 ) stetig, und daher gibt es eine Funktionenfolge (fn ) aus C 1 (BR (x0 )), die auf Br (x) gleichm¨aßig gegen f konvergiert. Dazu kann man sich auf Satz A.6 (iv) oder auf den Weierstraßschen Approximationssatz berufen. Aus F (x) = lim fn (y) dy n→∞

Br (x)

und aus der gleichm¨ aßigen Konvergenz der Ableitungen ∂ fn (y) dy = fn (y)νk (y) dS(y) −→ f (y)νk (y) dS(y) ∂xk Br (x) ∂Br (x) ∂Br (x) folgt die stetige Diﬀerenzierbarkeit von F und die behauptete Formel f¨ ur Fxk (x).

C H¨ olderstetigkeit

Wir fassen in diesem Anhang die Deﬁnitionen und Ergebnisse u ¨ber h¨olderstetige Funktionen zusammen, die in dem Buch verwendet werden. Der Ausgangspunkt f¨ ur die Einf¨ uhrung h¨ olderstetiger Funktionen ist das Gegenbeispiel von Petrini (vgl. Abschnitt 4.3), welches belegt, daß das Newtonpotential einer stetigen und beschr¨ ankten Funktion nicht zweimal diﬀerenzierbar zu sein braucht. Wie in Bemerkung 4.3.2 ausgef¨ uhrt wird, ist H¨olderstetigkeit keineswegs eine minimale Forderung, um die zweimalige Diﬀerenzierbarkeit des Newtonpotentials zu erreichen. Die Ergebnisse, die ab Kapitel 5 erzielt werden, zeigen aber in vielf¨ altiger Weise, daß h¨olderstetige Funktionen außerst zweckm¨ aßig sind f¨ ur die Betrachtung klassischer L¨osungen allgemeiner ¨ elliptischer Diﬀerentialgleichungen zweiter Ordnung. Der Grundgedanke bei der Einf¨ uhrung der H¨olderstetigkeit ist, eine n¨ utzliche Absch¨ atzung f¨ ur die Abweichung der Funktionswerte in Abh¨angigkeit von dem Abstand der Urbildpunkte in die Hand zu bekommen. Konkret wird f¨ ur Funktionen u : Ω → R, Ω ⊆ RN oﬀen, gefordert, daß eine Ungleichung der Form1 |u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|α

(C.1)

bestehen soll. Damit diese Absch¨ atzung nichttrivial und damit n¨ utzlich sein kann, muß festgelegt werden, in welcher Weise die H¨olderschranke C und der H¨olderexponent α von x, y ∈ Ω abh¨ angen d¨ urfen. Die minimale Forderung ist, daß C und α nur lokal gleichm¨ aßig in x und y zu sein brauchen. Dies f¨ uhrt auf den Raum ur jedes K ⊂⊂ Ω gibt es Zahlen c > 0 und C H (Ω) := {u : Ω → R : f¨ α ∈ (0, 1] mit |u(x) − u(y)| ≤ c|x − y|α f¨ ur x, y ∈ K} (C.2) in Deﬁnition 4.1.5 (vgl. auch Aufgabe 4.2 b)). Man beachte, daß nur Werte α > 0 von Interesse sind, da wir ja an einer Versch¨arfung der Stetigkeitsbe1

In [156, p. 4] wird der Begriﬀ der H¨ olderstetigkeit etwas weiter gefaßt.

364

C H¨ olderstetigkeit

dingung interessiert sind. Andererseits impliziert eine lokal gleichm¨aßig bestehende Absch¨ atzung (C.1) f¨ ur α > 1, daß der Gradient von u verschwindet und u somit lokal konstant ist. Es kommen also nur H¨olderexponenten α ∈ (0, 1] in Frage, wobei im Fall α = 1 der Begriﬀ der Lipschitzstetigkeit anstelle der H¨ olderstetigkeit gebr¨ auchlich ist. Mit dem H¨olderschen Satz 4.2.6 wird das ur beschr¨ankte eingangs erw¨ ahnte Ergebnis erreicht, daß f¨ ur Ω ⊂⊂ RN und f¨ H orige Newtonpotential zweimal stetig diﬀerenf ∈ C (Ω) das zu Ω und f geh¨ zierbar ist. Um die stete Voraussetzung der Beschr¨anktheit von f nicht eigens erw¨ ahnen zu m¨ ussen, wird in Deﬁnition 4.1.5 noch CbH (Ω) := {u ∈ C H (Ω) : u ist beschr¨ankt}

(C.3)

eingef¨ uhrt. Beginnend mit Kapitel 5 werden haupts¨ achlich solche h¨olderstetigen Funktionen betrachtet, deren H¨ olderexponent α in ganz Ω einheitlich gew¨ahlt werden kann. Dazu f¨ uhren wir f¨ ur u : Ω → R, α ∈ (0, 1] und V ⊆ Ω, die α-H¨olderschranke Hα;V (u) := sup x,y∈V x =y

|u(x) − u(y)| . |x − y|α

(C.4)

ein, (vgl. Deﬁnition 5.3.1), welche die bestm¨ ogliche Konstante C angibt, mit der (C.1) f¨ ur alle x, y ∈ V erf¨ ullt ist. Der Raum der lokal gleichm¨aßig α-h¨olderstetigen, beziehungsweise im Fall α = 1 der lokal gleichm¨aßig lipschitzstetigen Funktionen auf Ω wird dann durch C (α) (Ω) := {u ∈ C 0 (Ω) : Hα;K (u) < ∞

f¨ ur jedes K ⊂⊂ Ω}

(C.5)

in Aufgabe 5.6 eingef¨ uhrt (vgl. auch (9.1) und Bemerkung C.2 e)). R¨aume lokal gleichm¨ aßig α-h¨ olderstetiger Funktionen sind gut geeignet, um die innere Regularit¨ at von L¨ osungen elliptischer Diﬀerentialgleichungen zu formulieren. osung der Poissongleichung −Δu = f f¨ ur ein Ist z.B. u ∈ C 2 (Ω) klassische L¨ f ∈ C (α) (Ω), so liegen die zweiten Ableitungen von u ebenfalls in C (α) (Ω) (vgl. Aufgabe 5.6). Dieses Ergebnis wird in Kapitel 9 auf allgemeine elliptische Diﬀerentialgleichungen 2. Ordnung verallgemeinert. Man kann sich mit Hilfe des Mittelwertsatzes leicht u ¨berlegen, daß die bislang deﬁnierten Funktionenr¨ aume zwischen den R¨aumen der stetigen und der stetig diﬀerenzierbaren Funktionen interpolieren. Genauer wird mit Aufgabe 5.9 b) gezeigt, daß f¨ ur Ω ⊆ RN oﬀen und 0 < β < α ≤ 1 gilt: C 1 (Ω) ⊆ C (α) (Ω) ⊆ C (β) (Ω) ⊆ C H (Ω) ⊆ C 0 (Ω) .

(C.6)

Aus funktionalanalytischer Sicht sind diejenigen Funktionenr¨aume zu bevorzugen, deren Elemente die Ungleichung (C.1) nicht nur mit einem festen H¨ olderexponenten sondern auch mit einer festen H¨olderschranke C gleichm¨ aßig f¨ ur alle x, y ∈ Ω erf¨ ullen. Dies f¨ uhrt auf

C H¨ olderstetigkeit

C (α) (Ω) := {u ∈ C 0 (Ω) : Hα;Ω (u) < ∞} ,

365

(C.7)

den Vektorraum der auf Ω gleichm¨ aßig α-h¨ olderstetigen (im Falle α = 1: gleichm¨ aßig lipschitzstetigen) Funktionen (s. Deﬁnition 5.3.1). Da f¨ ur jede konstante Funktion u gilt Hα;Ω (u) = 0, stellt Hα;Ω keine Norm auf C (α) (Ω) dar. Einen normierten Raum erh¨ alt man jedoch, wenn man C (α) (Ω) mit dem 0 ankten Funktionen schneidet. Wir setzen Raum C (Ω) der stetigen und beschr¨ deshalb C 0,α (Ω) := {u ∈ C 0 (Ω) : u beschr¨ ankt und u ∈ C (α) (Ω)} .

(C.8)

Dieser Raum wird mit uΩ;0,α := sup |u| + Hα;Ω (u)

(C.9)

Ω

zum normierten Raum (s. Deﬁnition 5.3.1, Bemerkung 5.3.5 und Aufgabe 5.8). Man beachte, daß im Fall beschr¨ ankter Mengen Ω jede Funktion in C (α) (Ω) (α) beschr¨ ankt ist und somit C (Ω) = C 0,α (Ω) gilt (vgl. Bemerkung 5.3.2 b)). F¨ ur die funktionalanalytische Betrachtungsweise elliptischer Diﬀerentialoperatoren (siehe z.B. Bemerkung 5.3.7 f¨ ur den Laplaceoperator) ben¨otigen wir noch R¨ aume stetig diﬀerenzierbarer Funktionen, deren s¨amtliche Ableitungen von einem vorgegebenem Grad m gleichm¨aßig α-h¨olderstetig sind. Basierend auf den Banachr¨ aumen (C m (Ω), · Ω;m ) mit C m (Ω) := u ∈ C m (Ω) : uΩ;m := |μ|≤m supΩ |Dμ u| < ∞ (C.10) (s. Bemerkung 5.6.4), deﬁnieren wir f¨ ur alle m ∈ N0 C m,α (Ω) := {u ∈ C m (Ω) : Hα;Ω (Dμ u) < ∞ f¨ ur alle |μ| = m} (C.11) und versehen diese R¨ aume mit der Norm (vgl. Aufgabe 5.8)

Hα;Ω (Dμ u) . uΩ;m,α := uΩ;m +

(C.12)

|μ|=m

Man u ¨berzeuge sich, daß diese Deﬁnition die oben gegebene Deﬁnition von (C 0,α , · Ω;0,α ) im Fall m = 0 beeinhaltet (vgl. auch Deﬁnition 5.3.1, Bemerkung 5.3.5 und die Einleitung zu Abschnitt 5.5). Als erstes Resultat u ¨ber die in (C.11), (C.12) deﬁnierten normierten R¨ aume halten wir deren Vollst¨ andigkeit fest. Satz C.1. F¨ ur nichtleeres, oﬀenes Ω ⊆ RN , α ∈ (0, 1] und m ∈ N0 bildet m,α C (Ω), versehen mit der Norm · Ω;m,α , einen Banachraum. Im dem Satz 5.4.1 wird diese Aussage f¨ ur m = 0, 1, 2 formuliert und f¨ ur m = 1 bewiesen. Der Beweis u agt sich unmittelbar auf den Fall be¨bertr¨ liebiger m ∈ N0 . Eine erste einfache funktionalanalytische Konsequenz der Vollst¨ andigkeit dieser R¨ aume wird bereits in Bemerkung 5.3.7 diskutiert.

366

C H¨ olderstetigkeit

Bemerkung C.2. a) Produkte und Verkettungen h¨olderstetiger Funktionen sind wieder h¨ olderstetig. Konkrete Aussagen hierzu ﬁnden sich in den Aufgaben 4.2 a), 5.9 c) und 5.10. b) Im Fall, daß Ω = BR (x0 ) eine Kugel mit Radius R > 0 ist, wird in Bemerkung 5.3.6 f¨ ur m = 0, 1, 2 eine Norm · BR (x0 );m,α auf C m,α (BR (x0 )) deﬁniert, welche zu der Standardnorm · BR (x0 );m,α ¨aquivalent ist. Die Setzungen in Bemerkung 5.3.6 folgen den allgemeinen Deﬁnitionen

uBR (x0 );m := R|μ| sup |Dμ u| , (C.13) |μ|≤m

BR (x0 )

uBR (x0 );m,α := uBR (x0 );m + Rm+α

Hα;BR (x0 ) (Dμ u) , (C.14)

|μ|=m

deren wesentlicher Vorteil in der Invarianzeigenschaft uBR (x0 );m,α = u ◦ QB1 (0);m,α = u ◦ QB1 (0);m,α

(C.15)

liegt, wobei Q(x) := Rx + x0 eine Abbildung des RN bezeichne, welche B1 (0) auf BR (x0 ) abbildet. c) Aussagen dar¨ uber, wie in verschiedenen Situationen globale H¨oldernormen durch lokale H¨ oldernormen abgesch¨ atzt werden k¨onnen, ﬁnden sich in Aufgabe 5.11, Bemerkung 7.1.5 und im Beweis von Lemma 7.2.3. d) In Lemma 6.2.4 wird gezeigt, daß C ∞ (Ω) ∩ C 0 (Ω) in C 0 (Ω) dicht liegt bez¨ uglich der Supremumsnorm · Ω;0 . In Bemerkung 5.4.2 wird darauf verwiesen, daß eine analoge Aussage f¨ ur H¨ olderr¨aume C m,α (Ω) mit 0 < α < 1 nicht gilt und die beliebig oft diﬀerenzierbaren Funktionen in diesen nicht dicht liegen. Belegt wird diese Aussage dort am Beispiel des Raums C 0,1/2 (B1 (0)). e) F¨ ur nichtleeres und oﬀenes Ω ⊆ RN , m ∈ N0 , α ∈ (0, 1] wird der Raum C m,α (Ω) der Funktionen, deren Ableitungen vom Grad m allesamt lokal gleichm¨ aßig α-h¨ olderstetig sind, in (9.1) eingef¨ uhrt. Diese R¨aume sind f¨ ur die Formulierung von Resultaten zur inneren Regularit¨at (vgl. Kapitel 9) von besonderem Interesse. Wir kommen nun zu der Frage, welche Inklusionsrelationen zwischen den verschiedenen R¨ aumen C m (Ω), C n,α (Ω) gelten. Wir orientieren uns zun¨achst an der Inklusionskette (C.6). Es ist nicht schwer zu sehen, daß f¨ ur m ∈ N0 und 0 < β < α ≤ 1 gilt: C m,α (Ω) ⊆ C m,β (Ω) ⊆ C m (Ω) .

(C.16)

Zudem sind die zugeh¨ origen Einbettungsoperatoren stetig, da uΩ;m ≤ uΩ;m,β uΩ;m,β ≤ 3uΩ;m,α

f¨ ur alle u ∈ C m,β (Ω) ,

(C.17)

f¨ ur alle u ∈ C

(C.18)

m,α

(Ω) .

Daß die erste Inklusion von (C.6) keine Entsprechung f¨ ur R¨aume gleichm¨aßig h¨olderstetiger Funktionen zu haben braucht, entnimmt man den Beispielen

C H¨ olderstetigkeit

367

der Aufgaben 7.3 und 7.4. Dort werden f¨ ur spezielle Ω ⊆ RN Funktionen konstruiert, die zwar f¨ ur jedes β ∈ (0, 1] in C 1,β (Ω) und damit in C 1 (Ω) liegen, aber f¨ ur kein α ∈ (0, 1] in C 0,α (Ω) enthalten sind. Ein wesentliches Konstruktionsmerkmal dieser Beispiele ist, daß es Folgen von Punktepaaren (xn , yn ) ∈ Ω × Ω gibt, deren Abstand gegen Null konvergiert, die aber entweder in verschiedenen Zusammenhangskomponenten von Ω liegen, oder aber die Eigenschaft haben, daß das Inﬁmum ln der L¨angen aller in Ω liegenden Wege, die xn mit yn verbinden, beliebig groß wird im Vergleich zu |xn − yn |α , ur n → ∞. In diesen F¨allen liefert der Mittelwertsatz d.h. ln /|xn − yn |α → ∞ f¨ keine gleichm¨ aßigen H¨ olderschranken f¨ ur den H¨olderexponent α. Um Beispiele dieser Art auszuschließen, wird in Deﬁnition 7.3.2 der Begriﬀ des Gebiets endlicher L¨ ange eingef¨ uhrt. Dort wird gefordert, daß eine Zahl ω ≥ 1 existiert mit der Eigenschaft, daß sich zwei Punkte x, y des Gebiets stets durch einen in dem Gebiet verlaufenden stetig diﬀerenzierbaren Weg verbinden lassen, dessen L¨ ange ≤ ω|x − y| ist. Man beachte, daß konvexe Mengen diese Eigenschaft mit ω = 1 erf¨ ullen. In Lemma 7.3.3 wird mit Hilfe des Mittelwertsatzes f¨ ur Gebiete Ω ⊆ RN endlicher L¨ange und ω wie oben eine Absch¨ atzung gewonnen, aus der unmittelbar die stetige Einbettbarkeit ur alle m ∈ N und γ ∈ (0, 1] folgt mit von C m (Ω) in C m−1,γ (Ω) f¨ uΩ;m−1,γ ≤ (1 + N ω)uΩ;m

f¨ ur alle u ∈ C m (Ω) .

(C.19)

Um die gerade beschriebenen Resultate (C.17)–(C.19) zur stetigen Einbettbarkeit pr¨ agnant zu formulieren, f¨ uhren wir den Begriﬀ des Grades f¨ ur die R¨ aume C m (Ω) und C m,α (Ω) ein. Deﬁnition C.3. Seien m ∈ N0 , α ∈ (0, 1] und Ω ⊆ RN eine oﬀene, nichtleere Menge. Dann ordnen wir dem Raum C m (Ω) den Grad m zu und dem Raum C m,α (Ω) den Grad m + α. Die Absch¨ atzungen (C.17)–(C.19) zusammen mit uΩ;m ≤ uΩ;n

f¨ ur alle u ∈ C n (Ω)

im Falle m ≤ n beweisen folgenden Satz. ange. Satz C.4. Sei Ω ⊆ RN ein nichtleeres Gebiet von endlicher L¨ a) Seien X, Y ∈ {C m,γ (Ω) : m ∈ N0 , 0 < γ ≤ 1} ∪ {C m (Ω) : m ∈ N0 } mit Grad X < Grad Y . Dann gilt Y ⊆ X, und der Einbettungsoperator T : Y → X, u → u ist stetig. orige Einbetb) F¨ ur m ∈ N0 gilt C m+1 (Ω) ⊆ C m,1 (Ω), und der zugeh¨ tungsoperator ist stetig. Weiß man in der Situation von Satz C.4 a) noch zus¨atzlich, daß Ω beschr¨ ankt ist, so folgt sogar schon die Kompaktheit des Einbettungsoperators T : Y → X. Dies bedeutet, daß jede in Y beschr¨ankte Folge eine in X konvergente Teilfolge besitzt. Wir formulieren diesen h¨auﬁg verwendeten Sachverhalt, der in einem Spezialfall bereits in Satz 5.5.2 bewiesen wurde, in

368

C H¨ olderstetigkeit

Satz C.5. Sei Ω ⊂⊂ RN ein Gebiet von endlicher L¨ ange und seien X, Y ∈ {C m,γ (Ω) : m ∈ N0 , 0 < γ ≤ 1} ∪ {C m (Ω) : m ∈ N0 } mit Grad X < Grad Y . Dann ist der Einbettungsoperator T : Y → X kompakt. Da Kompositionen von kompakten und stetigen Operatoren wieder kompakt sind, gen¨ ugt es wegen Satz C.4, folgenden Spezialfall zu betrachten. Lemma C.6. Es seien Ω ⊂⊂ RN ein nichtleeres Gebiet von endlicher L¨ ange ur 0 < β < γ ≤ 1 die Einbettung von C m,γ (Ω) in und m ∈ N0 . Dann ist f¨ C m,β (Ω) kompakt. Beweis. Sei (un ) beschr¨ ankte Folge in C m,γ (Ω). Wir zeigen zun¨achst, daß f¨ ur jeden Multiindex |μ| ≤ m der Satz von Arzel` a und Ascoli auf die Folge (Dμ un ) angewendet werden kann. Die gleichgradige Beschr¨anktheit dieser Folgen ergibt sich unmittelbar aus der Beschr¨ anktheit der un Ω;m,γ . Zudem k¨onnen wir die gleichgradige gleichm¨ aßige Stetigkeit der (Dμ un ) auf Ω und damit anktheit der (Hγ;Ω (Dμ un )) folauch auf Ω im Falle |μ| = m aus der Beschr¨ gern und im Falle |μ| < m aus der wegen Satz C.4 geltenden Beschr¨anktheit ankt vorausgesetzt wurde und Ω somit der (H1;Ω (Dμ un )). Da Ω als beschr¨ kompakt ist, vermittelt der Satz von Arzel` a und Ascoli durch sukzessive Teilfolgenbildung die Existenz einer Teilfolge (un ), von (un ) mit der Eigenschaft, ur jeden Multiindex |μ| ≤ m auf Ω gleichm¨aßig konvergiert. daß (Dμ un ) f¨ Insbesondere stellt (un ) somit eine Cauchyfolge in C m (Ω) dar. Wegen der ugt es zu zeigen, daß Vollst¨ andigkeit des Raumes C m,β (Ω) (s. Satz C.1) gen¨ f¨ ur |μ| = m Hβ;Ω (Dμ uk − Dμ un ) → 0

f¨ ur k, n → ∞

(C.20)

gilt. Um dies einzusehen, betrachten wir die Identit¨at

|u(x) − u(y)| |x − y|β

γ

= |u(x) − u(y)|

γ−β

|u(x) − u(y)| |x − y|γ

β ,

welche f¨ ur u ∈ C 0,γ (Ω) auf die Ungleichung Hβ;Ω (u)γ ≤ (2uΩ;0 )γ−β Hγ;Ω (u)β f¨ uhrt. W¨ ahlt man u = Dμ uk − Dμ un f¨ ur ein |μ| = m, so ergibt sich aus der bereits gezeigten Konvergenz Dμ uk − Dμ un Ω;0 → 0 f¨ ur k, n → ∞ die gew¨ unschte Aussage (C.20).

C H¨ olderstetigkeit

369

Bemerkung C.7. a) Im Beweis von Lemma C.6 wurde die Voraussetzung, daß Ω ein Gebiet endlicher L¨ ange ist, nur dazu benutzt, um f¨ ur |μ| < m die Beschr¨ anktheit der Folge (Dμ un ) in C 0,1 (Ω) und damit deren gleichgradige gleichm¨ aßige Stetigkeit nachzuweisen. Die Aussage, daß C 0,γ (Ω) kompakt in 0,β C (Ω) enthalten ist f¨ ur 0 < β < γ ≤ 1, gilt somit f¨ ur beliebige Ω ⊂⊂ RN . b) Die Aussage von Satz C.5 gilt auch, wenn von Ω ⊂⊂ RN vorausgesetzt wird, daß der Rand ∂Ω hinreichend regul¨ ar ist. F¨ ur uns ist hier insbesondere der Fall ∂Ω ∈ C 2,α interessant. In Bemerkung 7.3.6 wird darauf hingewiesen, daß in diesem Fall die Aussage von Satz C.5 g¨ ultig ist. Man kann dies begr¨ unden, indem man zun¨ achst mit Bemerkung 7.1.5 a) und Satz 7.3.5 u ¨berlegt, daß Ω aus endlichvielen Zusammenhangskomponenten besteht, die alle Gebiete endlicher L¨ ange sind. Wendet man nun Satz C.5 sukzessive auf jede dieser Zusammenhangskomponenten an, so folgt mit Bemerkung 7.1.5 c), daß jede in Y beschr¨ ankte Folge eine in X konvergente Teilfolge besitzt.

Symbolverzeichnis

∂ ∂ξ ∂ ∂ν

·, · ·, ·1,2 f, gΩ a·b |·| · Ω;m · B;m · Ω;m,α · B;m,α · ∞ · ∗ · ∗,1 · · p · m,p f ∗g A ⊂⊂ B ∇ O Δ (A) σ(A) XA ωN

Diﬀerentiation in Richtung des Vektors ξ 99 Diﬀerentiation in Richtung der ¨außeren Einheitsnormalen 8 308 Standardskalarprodukt auf L2 (Ω) 1,2 Standardskalarprodukt auf H (Ω) = H 1 (Ω) 308

f (x)g(x) dx 48 Ω 8 Standardskalarprodukt im RN 3 Euklidische Norm in RN Norm auf C m (Ω) 199 Norm auf C m (B) mit Invarianzeigenschaft; B ⊆ RN Kugel 366 Norm auf C m,α (Ω) 192 Norm auf C m,α (B) mit Invarianzeigenschaft; B ⊆ RN Kugel 366 Supremumsnorm auf C 0 (D, C) 211 Norm auf C∗0 (D, C) 224 Norm auf C∗1 (Ω, C) 227 308 Abk¨ urzung f¨ ur die Norm · 2 auf L2 (Ω) Norm auf Lp (Ω) 307 Norm auf H m,p (Ω) 307 Faltung der Funktionen f und g 347 A kompakt enthalten in B 8 Gradient 2 Landausymbol 3 Laplaceoperator 19 Resolventenmenge des Operators A 209 Spektrum des Operators A 210 Charakteristische Funktion der Menge A 145 Fl¨ acheninhalt der Einheitssph¨are in RN 357

372

Symbolverzeichnis

Br (x) B˙ R (x) Br (x, CN ) C 0 (D) C 0 (D, C) C 0 (D, C) C∗0 (D, C) C∗1 (Ω, C) C k (Ω) Cck (Ω) C m (Ω) C k (Ω, C) C ∞ (Ω) C ∞ (Ω, C) Cc∞ (Ω) Cc∞ (Ω, C) C H (Ω) CbH (Ω) C H (Ω, C) CbH (Ω, C) C (α) (Ω) C (α) (Ω) C m,α (Ω)

C m,α (Ω)

oﬀene Kugel in RN mit Mittelpunkt x und Radius r > 0 21 punktierte Kugel BR (x) \ {x} 54 oﬀene Kugel in CN mit Mittelpunkt x und Radius r > 0 38 Raum der auf D stetigen Funktionen 9 Raum der auf D stetigen, komplexwertigen Funktionen 100 Raum der beschr¨ ankten Funktionen in C 0 (D, C) 211 Raum der Funktionen u aus C 0 (D, C), f¨ ur die u · dist(·, ∂D) beschr¨ ankt ist 224 Raum der beschr¨ ankten Funktionen in C 1 (Ω, C), f¨ ur die ur alle partiellen Ableitungen 1. Ordnung uxi · dist(·, ∂Ω) f¨ beschr¨ ankt ist 227 Raum der auf Ω k-mal stetig diﬀerenzierbaren Funktionen; 9 Ω ⊆ RN oﬀen Raum der Funktionen in C k (Ω) mit kompaktem Tr¨ager, der in Ω enthalten ist 48 Raum der Funktionen in C m (Ω), deren partiellen Ableitungen bis zur Ordnung m beschr¨ankt sind 199 Raum der auf Ω k-mal stetig diﬀerenzierbaren, komplexwer100 tigen Funktionen; Ω ⊆ RN oﬀen Raum der auf Ω beliebig oft diﬀerenzierbaren Funktionen; 21 Ω ⊆ RN oﬀen Raum der auf Ω beliebig oft diﬀerenzierbaren, komplexwer215 tigen Funktionen; Ω ⊆ RN oﬀen Raum der Funktionen in C ∞ (Ω) mit kompaktem Tr¨ager, der in Ω enthalten ist 11 Raum der Funktionen in C ∞ (Ω, C) mit kompaktem Tr¨ager, der in Ω enthalten ist 215 Raum der auf Ω lokal h¨ olderstetigen Funktionen 106 Raum der beschr¨ ankten Funktionen in C H (Ω) 106 Raum der auf Ω lokal h¨ olderstetigen, komplexwertigen Funktionen 225 Raum der beschr¨ ankten Funktionen in C H (Ω, C) 212 Raum der auf Ω lokal gleichm¨aßig α-h¨olderstetigen Funktionen 203 Raum der auf Ω gleichm¨ aßig α-h¨olderstetigen Funktionen 174 Raum der Funktionen in C m (Ω), deren partiellen Ableitungen der Ordnung m lokal gleichm¨aßig α-h¨olderstetig sind 282 Raum der Funktionen in C m (Ω), deren partiellen Ableitungen bis zur Ordnung m beschr¨ankt sind, wobei die Ablei192 tungen der Ordnung m s¨ amtlich in C (α) (Ω) liegen

Symbolverzeichnis

C 0m,α (Ω) C 2,α D(·) D(·, ·) D(A) Dα Dk diam Ω dist(A, B) dist(x, A) div F E G G Grad grad Hf Hα;Ω (u) H 1 (Ω) H01 (Ω) H m,p (Ω) H0m,p (Ω) Iν Jν K Kν K 2,α K (m,n) Lp (Ω) L1loc (Ω) Nν N (A) PB QB R(A, λ) S S

373

Raum der Funktionen in C m,α (Ω), die sich stetig auf Ω fortsetzen lassen und deren Fortsetzung auf ∂Ω verschwindet 198 Regularit¨ atsbedingung an den Rand einer oﬀenen Teilmenge 234 des RN Dirichletintegral 95 zum Dirichletintegral geh¨ orende Bilinearform 308 Deﬁnitionsbereich des Operators A 209 partielle Ableitung zum Multiindex α ∈ NN 164 0 beliebige partielle Ableitung der Ordnung k 23 Durchmesser der Menge Ω 46 Abstand zwischen den Mengen A und B 24 Abstand des Punktes x von der Menge A 24 Divergenz des Vektorfeldes F 92 oﬀene Einheitskreisscheibe in der Ebene 62 Greensche Funktion f¨ ur Ω und den Laplaceoperator 118 Greensche Funktion f¨ ur Ω und den Operator −Δ + 1 154 Maß f¨ ur die Diﬀerenzierbarkeitsordnung der R¨aume C m (Ω) 367 und C m,α (Ω) Gradient 2 Hessematrix der Funktion f 239 α-H¨ olderschranke von u auf Ω 174 Abk¨ urzung f¨ ur H 1,2 (Ω) 308 Abk¨ urzung f¨ ur H01,2 (Ω) 308 Sobolevraum 307 Abschließung von Cc∞ (Ω) in (H m,p (Ω), · m,p ) 307 modiﬁzierte Besselfunktion 1. Art 157 Besselsche Funktion ν-ter Ordnung 40 K¨ orper der reellen oder der komplexen Zahlen 209 modiﬁzierte Besselfunktion 2. Art 151 Regularit¨ atsbedingung an den Rand einer oﬀenen Teilmenge 240 des RN Raum der m × n Matrizen mit Eintr¨agen 188

in K Raum der Funktionen in L1loc (Ω) mit Ω | f |p < ∞ 307 Raum der auf Ω lokal Lebesgue-integrierbaren Funktionen 304 Neumannsche Funktion ν-ter Ordnung 40 Nullraum des Operators A 209 Poissonkern f¨ ur B 66 Operator, der f¨ ur die Perronsche Methode wesentlich ist 67 Resolvente des Operators A an der Stelle λ ∈ (A) 210 Singularit¨ atenfunktion, Grundl¨osung zum Laplaceoperator 104 Singularit¨ atenfunktion, Grundl¨osung zu −Δ + 1 150

374

Symbolverzeichnis

S N −1 Spur (M ) sμ (u) supp f Mt vol(Ω) W (A) W m,p (Ω) wμ (u)

Einheitssph¨ are in RN 357 Summe der Diagonaleintr¨ age von M 55 starke μ-te Ableitung von u 307 108 Tr¨ ager von f = {x : f (x) = 0} zu M transponierte Matrix 185 Volumen von Ω 214 Wertebereich des Operators A 209 Sobolevraum 327 schwache μ-te Ableitung von u 305

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Personenverzeichnis

Abel, N.H., 63 Andrade, J., 128 Apollonios von Perge, 45 Aronszajn, N., 337 Arzel` a, C., 12, 194 Ascoli, G., 194 Bacharach, M., 7 Banach, S., 180, 234 Barrar, R.B., 263 Bauer, H., 1 Beer, A., 15 Beltrami, E., 90 Bernoulli, D., 2 Bernstein, S.N., 33, 46, 191, 192, 234, 279, 297 Blaschke, W., 300 Bˆ ocher, M., 21, 28, 88, 124, 170, 300 Bochner, S., 302, 353 Bouligand, G., 73 Bray, H.E., 346 Brelot, M., 70 Brill, A., 12 Brouwer, L.E.J., 198 Browder, F.E., 316 Bunyakovski˘i, V.Ya., 220 Burkhardt, H., 7 Caccioppoli, R., 263, 264, 298, 318 Calder´ on, A., 107 Campanato, S., 134 Carleman, T., 47, 48 Cauchy, A.-L., 28, 191 Christoﬀel, E.B., 78

Cimmino, G., 303 Cordes, H.O., 48, 278 Coulomb, C.A., 6 Courant, R., 302, 303 D’Alembert, J., 301 De Giorgi, E., 298 Deny, J., 328 Dieudonn´e, J., 353 Dini, U., 61, 118, 297 Dirac, P., 345 Dirichlet, G. Lejeune, 11 Doob, J.L., 1 Douglis, A., 281 Du Bois-Reymond, P., 45, 63, 117, 303 Earnshaw, S., 31 Ehrenpreis, L., 306 Ehrling, G., 193, 245, 255 ´ ıdus, D.M, 127 E˘ Euler, L., 5, 301 Evans, G.C., 300 Fatou, P., 66 Fej´er, L., 62 Fichera, G., 193 Folland, G.B., 319 Fredholm, I., 16, 208, 217 Friedrichs, K.O., 302, 303, 307, 318, 327, 330, 345 Frostman, O., 13 G˚ arding, L., 316, 317

396

Personenverzeichnis

Gauß, C.F., 6, 7, 10–12, 15, 21, 31, 37, 106, 184, 355 Giesecke, B., 92, 96, 124, 216, 228, 329 Gilbarg, D., 263 Giraud, G., 263 Graves, L.M., 263 Green, G., 7, 10, 11, 15, 106, 123, 355 Gr¨ uter, M, 127 G¨ unter, N.M., 345 Hadamard, J., 13, 61, 208, 290, 333 Hankel, H., 117 Harnack, A., 20, 24, 28, 29, 60 Hartogs, F., 69 Hathaway, A.S., 2 Hattendorﬀ, K., 10 Hayman, W.K., 37 Heine, E., 12 Heinz, E., 48, 75, 93, 263 Hellwig, G., 45 Helmholtz, H. von, 15, 39 Helms, L.L., 1 Heuser, H., 209 Hilbert, D., 12, 13, 208, 210, 220, 289, 297, 301–303 H¨ older, O., 6, 7, 106, 111 Holmgren, E., 208 Hopf, E., 45, 46, 139, 140, 281, 287, 288, 290, 294, 296, 297, 300, 318 H¨ ormander, L., 48, 324 Il’in, V.A., 329 J¨ orgens, K., 209 Kadlec, J., 327 Kamke, E., 337 Kasuga, T., 328 Kellogg, O.D., 1, 35, 124, 170, 233, 281 Kirchhoﬀ, G., 11, 123 Kiselman, C.O., 37 Klein, F., 12, 39 Koebe, P., 21 Kondraˇsov, V.I., 316 K¨ onig, M., 234 Korn, A., 17, 106, 173, 184, 191, 269

Kreß, R., 209 Kronecker, L., 12 Ladyzhenskaya, O.A., 279 Lagrange, J.L., 2, 5, 343 Laplace, P.S., 2, 4, 5 Lax, P.D., 123, 314, 335, 337 Lebesgue, H., 16, 69, 73, 79, 81, 95, 345 Leray, J., 47, 198, 199, 234, 277, 302, 345 Levi, B., 333 Levi, E.E., 289, 290 L´evy, P., 127 Lewis, D.C., 303 Lichtenstein, L., 7, 106, 107, 127, 184, 263, 297 Lions, J.L., 328 Liouville, J., 28, 89, 191 Lipschitz, R., 6 Littman, W., 329 Lord Kelvin, siehe Thomson, W. Lorentz, G.G., 337 Lyapunov, A.M., 16, 123 Malgrange, B., 306 Maurer, L., 345 Maxwell, J.C., 19, 123 Meyer, W.F., 7 Meyers, N.G., 328 Michael, J.H., 281 Mikhlin, S.G., 107 Milgram, A.N., 314, 335 Miranda, C., 264 Mizohata, S., 127 Monna, A.F., 16 Morera, G., 118 Moser, J., 31 M¨ uller, Cl., 47, 53 M¨ untz, Ch., 173 Murphy, R., 7, 13, 19 Nash, J., 298 Neumann, C., 10, 12, 13, 15–17, 20, 29, 40, 190 Neumann, E.R., 17 Neumann, F., 8, 10 Newton, I., 2 Nikodym, O., 304, 336

Personenverzeichnis Nirenberg, L., 192, 281, 297, 330 Noether, M., 12 Ogura, K., 345 Ole˘ınik, O.A., 70 Osgood, W.F., 124 Ostrogradski˘i, M.V., 355 Painlev´e, P., 24 Paraf, A., 32, 45 Peano, G., 191 Perron, O., 17, 69, 70, 281 Petrini, H., 6, 115, 118, 299, 306 ´ 28, 170, 191, 290, 297 Picard, E., Pockels, F., 39 Poincar´e, H., 16, 17, 69, 73, 75, 220, 300, 301, 312 Poisson, S.D., 6, 7, 10, 63, 108, 173 Protter, M.H., 45 Prym, F.E., 12, 13, 333 Rademacher, H., 106 Rad´ o, T., 69, 70 Raynor, G.E., 170 Rellich, F., 316 Remak, R., 69 Riemann, B., 10, 11, 21, 31, 64, 149, 300 Riemann, J., 20 Riesz, F., 69, 70, 208–210, 335 Robin, G., 10, 16 Rosenblatt, A., 127 Rothe, E.M., 263 Schauder, J., 47, 127, 181, 191, 198, 199, 209, 234, 263, 264, 267, 272, 277, 281, 298 Scheeﬀer, L., 312 Schmidt, E., 210, 220 Schober, G., 16 Schwartz, L., 302 Schwarz, H.A., 10, 13, 16, 17, 28, 29, 35, 37, 63, 64, 78, 80, 191, 220, 300, 312 Serrin, J., 328 Simader, C.G., 319 Simoda, S., 173, 174 ˇ smarev, I.A., 329 Siˇ Sobolev, S.L., 302, 303, 327, 345

Stampacchia, G., 329 Steinlein, H., 76 Steklov, V.A., 345 Sto˙zek, W., 170 Tautz, G., 70 Thieme, G.A., 12 Thomson, W., 7, 10, 11, 20, 89 Tietze, H., 274 Todhunter, J., 7 Trudinger, N.S., 263 Ural’tseva, N.N., 279 Viˇsik, M.I., 316 Vitali, G., 74 Voigt, J., 76 Volterra, V., 74 Weber, H., 12, 13, 39 Weierstraß, K., 12, 24, 344 Weinberger, H.F., 45, 329 Wendland, W., 209 Weyl, H., 127, 300, 304 Whitney, H., 253, 353 Widman, O., 127 Wiener, N., 70, 73, 300, 301, 352 Zaremba, S., 10, 75, 79, 81, 127, 299–301, 303, 304, 312, 335, 337 Zhao, Z., 127 Zygmund, A.S., 107

397

Sachverzeichnis

A-Priori-Absch¨ atzung, 47, 114, 234 globale, 33 innere, 25 Ableitung schwache, 302, 304 starke, 303, 307 alternierendes Verfahren von Schwarz, 13, 17, 79, 80 außere Kegeleigenschaft, 76, 81 ¨ außere Kugeleigenschaft, 76 ¨ gleichm¨ aßige, 128 Außenraum, 83, 100 Außenraumproblem, 88 Banach-Steinhaus, Satz von, 313 Banachscher Fixpunktsatz, 186, 192, 264, 274 Banachscher Satz u ¨ber die Stetigkeit der Inversen, 179 Banachscher Satz von der oﬀenen Abbildung, 180, 234, 252, 264 Barriere, 72, 73, 75 Beltrami-Operator, 90, 184 Beltrami-System, 184 Bernstein, Lemma von, 33, 43, 46, 192, 196, 271, 272, 274 Bilinearform beschr¨ ankte, 314 koerzitive, 315 streng koerzitive, 315 Bˆ ocher, Satz von, 28, 88, 124, 170

calculus inequalities, 192 Carleman-Ungleichungen, 47 Cauchy-Riemannsche Diﬀerentialgleichungen, 20, 47, 53, 186, 191 Darstellungssatz von Fr´echet-Riesz, 310, 314, 335 Diﬀerentialgleichung elliptische, 45 selbstadjungierte, 96 hyperbolische, 45 parabolische, 45 quasilineare, 277 semilineare, 198 Dirichletintegral, 95, 304 Dirichletproblem, 9, 10, 59, 73 semilineares, 197 transformiertes, 304, 335 verallgemeinertes, 304, 308 Dirichletsches Prinzip, 10, 11, 95 Doppelschichtpotential, 15 Dualsystem, 209 Ehrling, Lemma von, 193 Einbettungssatz, 193, 199 eindeutige Fortsetzbarkeit, 47 schwache, 37, 48 starke, 37, 47 Einfrieren der Koeﬃzienten, 269 Fixpunktsatz von Leray-Schauder, 199 Fortsetzungssatz von Tietze, 274

400

Sachverzeichnis

Fredholm, Satz von erster, 209 zweiter, 209 Fredholmsche Alternative, 208, 217, 228, 275, 316 Fundamentallemma der Variationsrechnung, 303, 351 Gebiet von endlicher L¨ ange, 253, 367 Giesecke, Satz von, 92 Gl¨ attungskern, 346 Gl¨ attungsoperator, 345 Gl¨ attungsschar, 346 Greenpotential, 118 Greensche Darstellungsformel, 108, 167 Greensche Funktion, 10, 118, 154 Grundl¨ osung, 104, 150, 290 harmonisch (Deﬁnition), 5, 19, 300 Harnack, Satz von erster, 14, 15, 24, 29, 55, 60 zweiter, 29, 42 Harnackabsch¨ atzung, 28, 30, 42, 56 Harnackungleichung, 28 klassisch, 98 Helmholtzsche Schwingungsgleichung, 39 H¨ olderbedingung, 6 H¨ olderexponent, 106, 363 H¨ olderschranke, 106, 174, 363 h¨ olderstetig, 6, 363 gleichm¨ aßig α-, 174, 365 lokal, 106 lokal gleichm¨ aßig α-, 203, 364 hypoelliptisch, 324 innere Regularit¨ at, 139, 203, 248, 287 Integralgleichung 1. Art, 208 2. Art, 208 Fredholmsch, 208 Integralkern, schwach singul¨ arer, 213 Interpolationsungleichung, 192 Kellogg, Satz von, 233, 246, 247 Kelvintransformation, 28, 83, 89, 90 bez¨ uglich ∂BR (0), 91 Kompaktheitssatz, 27

Kontinuit¨ atsmethode, 191 Kontraktionsprinzip, 186, 192, 264, 274 Konvergenz, lokal gleichm¨ aßige, 24 Laplace-Beltrami-Operator, 90 Laplacegleichung, 4, 7, 19, 59, 73 Laplaceoperator, 4, 19 Lax-Milgram, Lemma von, 314, 335 Lebesguescher Dorn, 81 Lemma von Bernstein, 33, 46 Ehrling, 193 Lax-Milgram, 314 Weyl, 318, 319 Lichtenstein-Trick, 106 Liouville, Satz von, 28 Liouville-Eigenschaft, 28, 74 lipschitzstetig, 364 gleichm¨ aßig, 174, 365 lokal gleichm¨ aßig, 203, 364 L¨ osung klasssische, 304 partikul¨ are, 104 schwache, 304, 305 Maximumprinzip, 14 schwaches, 33 Methode der arithmetischen Mittel, 16 der elektrischen Bilder, 89 der orthogonalen Projektion, 304, 336 der reziproken Radien, 89 M´ethode de balayage, 17, 69, 73 Minimalfolge, 299, 335 Minimumprinzip schwaches, 20, 32, 43, 64, 68 starkes, 31, 45, 68 Mittelfunktion, 345 Mittelungskern, 345 Mittelwerteigenschaft, 20–22, 28 eingeschr¨ ankte, 73, 98 Mittelwertrelation, 40 zweite, 55 molliﬁer, 346 Neumannsche Reihe, 190, 223 Newtonpotential, 105, 306

Sachverzeichnis Operator kompakter, 193 symmetrischer, 210 transponierter, 209 Parametrix, 135, 289 Perronsche Methode, 67, 83, 85 Poincar´e, Ungleichung von, 339 Poissonformel, 13 Poissongleichung, 6, 7 Poissonintegral, 20, 28 Poissonkern, 66 Poissonsche Integralformel, 64 Potential, 2, 4 Potentialtheorie, 1, 5, 7, 8, 10, 16, 70 Pr¨ ahilbertraum, 210 Projektionssatz, 299, 335, 336 quasilinear, 277 Radialableitung, 48, 99 Randmaximumprinzip, 34 Randminimumprinzip, 34 Randpunkt, regul¨ arer, 72 Randwertproblem, 10 Dirichletsches, erstes, 9, 10 Neumannsches, zweites, 8, 10 Robinsches, drittes, 10 Zaremba-Problem, 10 Resolvente, 210 Resolventenmenge, 209 Richtungsableitung, 99 Riemannscher Hebbarkeitssatz, 78 Satz von Banach-Steinhaus, 313 Banach (Fixpunktsatz), 186 Banach (oﬀene Abbildung), 180 Bˆ ocher, 170 Fr´echet-Riesz, 310 Fredholm, 209 Giesecke, 92 Harnack erster, 24, 60 zweiter, 29 Kellogg, 233, 246, 247 Leray-Schauder (Fixpunktsatz), 199 Riemann (Hebbarkeitssatz), 78

401

Sobolev (Einbettungssatz), 302 Tietze, 274 semilinear, 184, 197 Singularit¨ at behebbar, 78 isoliert, 80 Singularit¨ atenfunktion, 104, 150 Sobolev, Einbettungssatz von, 302 Spektrum, 210 Spiegelung an einer Sph¨ are, 89 Stabilit¨ atss¨ atze, 60, 221, 229 Steklov-Funktion, 345 superharmonisch, 68 Testfunktion, 302 Ungleichung von Poincar´e, 339 Unterhalbstetigkeit, 97, 101 Weyl, Lemma von, 318, 319 Zerlegung der Eins, 352, 353 Zerlegungssatz, 314