Angewandte Funktionalanalysis: Funktionalanalysis, Sobolev-Räume und elliptische Differentialgleichungen German

Dobrowolski Angewandte Funktionalanalysis

Manfred Dobrowolski

Angewandte Funktionalanalysis Funktionalanalysis, Sobolev-Räume und elliptische Differentialgleichungen

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Prof. Dr. Manfred Dobrowolski Institut für Angewandte Mathematik und Statistik Universität Würzburg Am Hubland 97074 Würzburg, Deutschland e-mail: [email protected]

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Mathematics Subject Classification (2000): 46-01, 35-01, 65-01

ISBN-10 3-540-25395-5 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-25395-2 Springer Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: design & production GmbH, Heidelberg Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Satz: Datenerstellung durch den Autor unter Verwendung eines Springer TEX-Makropakets Gedruckt auf säurefreiem Papier 44/3142YL - 5 4 3 2 1 0

F¨ ur Lisa

Vorwort

Das vorliegende Buch ist aus einem Skriptum zu einer zweisemestrigen Vorlesung mit dem Titel H¨ohere Analysis” entstanden, die ich mehrfach an den ” Universit¨aten Erlangen/N¨ urnberg und W¨ urzburg gehalten habe. Die Idee dieser Vorlesung besteht darin, neben der Funktionalanalysis auch Anwendun¨ gen aus der konkreten Analysis darzustellen. Ahnlich wie in einem Grundwortschatz einer Fremdsprache orientiert sich die Auswahl des Stoffs daran, daß der Leser nach der Lekt¨ ure dieses Buches m¨ oglichst viele Originalarbeiten aus dem Bereich Angewandte Analysis, Theorie und Numerik elliptischer Differentialgleichungen lesen und verstehen kann. Eine Ausnahme bilden die Sobolev-R¨aume, die sehr detailliert behandelt werden. Da dieser Stoff trocken und schwierig ist, werden die technischen S¨atze in Kapitel 6 zum Nachschlagen zusammengestellt. In meinen Vorlesungen bespreche ich dieses Kapitel nur kursorisch und stelle die konkreten Resultate erst dann vor, wenn sie tats¨achlich gebraucht werden. Diese Vorgehensweise empfehle ich auch dem Leser. F¨ ur Verbesserungsvorschl¨ age, auch Hinweise auf Tippfehler, bin ich jedem Leser dankbar ([email protected]). Jegliche Reso¨ nanz, auch Fragen zu den Ubungsaufgaben sind erw¨ unscht. F¨ ur die Leser steht eine Internetseite (http://ifamus.mathematik.uni-wuerzburg.de/˜dobro/af/index.html) mit Erg¨anzungen zum Buch zur Verf¨ ugung. Mein Dank gilt allen, die beim Zustandekommen dieses Buches mitgewirkt haben: Frau Gertraud Hein f¨ ur ihre Unterst¨ utzung beim Abfassen des Manuskripts, Herrn Dr. David Seider, Herrn Dipl.-Math. Ralf Winkler und meiner Frau Helga Dobrowolski f¨ ur ihre Anregungen und ihr geduldiges Korrekturlesen, und nicht zuletzt dem Springer-Verlag.

W¨ urzburg, im Juni 2005

Manfred Dobrowolski

Inhaltsverzeichnis

1

Topologische und metrische R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Topologische R¨aume und stetige Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Metrische R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Der Banachsche Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Kompakte R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2

Banach- und Hilbert-R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Banach-R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Endlich dimensionale R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Stetige lineare Abbildungen und der normierte Dualraum . . . . . 2.4 Hilbert-R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 R¨aume stetiger Funktionen und der Satz von Arzela-Ascoli . . . 2.6 Die H¨older-R¨aume C m,α (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 17 19 21 26 31 34

3

Die Prinzipien der Funktionalanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Der Satz von Baire und das Prinzip der gleichm¨ aßigen Beschr¨ anktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Das Prinzip der offenen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Hahn-Banach-S¨ atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Lokalkonvexe topologische Vektorr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Bidualraum und schwache Topologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Schwache Folgenkompaktheit und reflexive R¨ aume . . . . . . . . . . . 3.7 Konvexit¨ at und schwache Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 41 43 45 48 51 55 58

Die 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

65 65 69 72 75 77

4

Lebesgue-R¨ aume Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Lebesgue-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definition der R¨aume Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mollifier und dichte Unterr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konvergenzeigenschaften von Folgen meßbarer Funktionen . . . . Der Dualraum von Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X

5

Inhaltsverzeichnis

Die 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Sobolev-R¨ aume H m,p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Fundamentallemma der Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . Schwache Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definition und grundlegende Eigenschaften der Sobolev-R¨ aume Produkt- und Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differenzenquotienten und schwache Differenzierbarkeit von Lipschitzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85 85 86 89 93 95

6

Fortsetzungs- und Einbettungss¨ atze f¨ ur Sobolev-Funktionen 99 6.1 Gebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.2 C0∞ ( n ) ist dicht in H m,p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.3 Transformationss¨ atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.4 Fortsetzungss¨atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.5 Einbettungen in Lq (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.6 Randwerte von Sobolev-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6.7 Kompakte Einbettungen in Lq (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6.8 Einbettungen in R¨aume stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.9 Dualr¨aume von H m,p (Ω) und die R¨ aume H −m,q (Ω) . . . . . . . . . 119 s,p 6.10 Die gebrochenen Sobolev-R¨ aume H (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7

Elliptische Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 7.1 Starke und schwache L¨osungen der Poisson-Gleichung . . . . . . . . 131 7.2 Existenz von L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen . . . . 134 7.3 Die Differenzenquotienten-Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 7.4 Regularit¨ at auf konvexen Gebieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 7.5 Maximumprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.6 Die Verfahren von Ritz und Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7.7 Finite Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

8

Einf¨ uhrung in die Operatorenrechnung und Spektraltheorie159 8.1 Spektrum und Resolventenmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 8.2 Struktur der Resolventenmenge und des Resolventenoperators . 161 8.3 Kompakte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 8.4 Adjungierte Operatoren, Annihilatoren und Gelfandscher Dreier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 8.5 Quotientenr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 8.6 Operatoren mit abgeschlossenem Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 8.7 Fredholm-Operatoren und die Spektraltheorie kompakter Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 8.8 Integralgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 8.9 G˚ ardingsche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 8.10 Das abstrakte Eigenwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.11 Das Eigenwertproblem f¨ ur den Laplace Operator . . . . . . . . . . . . 189 8.12 Zur Klassifikation partieller Differentialgleichungen . . . . . . . . . . 194

Inhaltsverzeichnis

XI

9

Distributionen und Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . 199 9.1 Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 9.2 Die Fourier-Transformation in S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 9.3 Die Fourier-Transformation in S ′ und in L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 9.4 Sobolev-R¨ aume und Fourier-Transformation, Spurr¨ aume . . . . . . 215 9.5 Die G˚ ardingsche Ungleichung f¨ ur elliptische Operatoren . . . . . . 223

A

Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 A.1 Konvexit¨ at und elementare Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 A.2 Fortsetzung stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 A.3 Der Weierstraßsche Approximationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 A.4 Der lokalkonvexe Raum D(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 A.5 Harmonische Funktionen und der Satz von Liouville . . . . . . . . . 237 A.6 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 A.7 Reelle und komplexe Vektorr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

1 Topologische und metrische R¨ aume

1.1 Topologische R¨ aume und stetige Abbildungen In der Analysis des n kann man mit dem Begriff der offenen Menge die Konvergenz von Folgen definieren: Eine Folge im n konvergiert gegen ein alt, fast alle Folgenglieder x ∈ n , wenn in jeder offenen Menge, die x enth¨ liegen. Durch die topologischen R¨ aume werden diese Strukturen auf allgemeine Mengen u ¨ bertragen. Definition 1.1. Eine Topologie τ auf einer Menge X ist ein System von Teilmengen von X, die offene Mengen genannt werden, mit: (a) ∅ und X sind offen. (b) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen. (c) Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen. Das Paar (X, τ ) ist dann ein topologischer Raum. Ein topologischer Raum heißt Hausdorff-Raum, wenn das folgende Trennungsaxiom erf¨ ullt ist: (T) Zu allen x, y ∈ X mit x = y gibt es offene Mengen A, B mit x ∈ A, y ∈ B und A ∩ B = ∅. Wenn τ1 , τ2 Topologien auf der Menge X sind mit τ1 ⊂ τ2 , so heißt τ1 gr¨ober als τ2 und entsprechend τ2 feiner als τ1 . F¨ ur eine beliebige Menge ist die Potenzmenge von X eine Topologie auf X, die diskrete Topologie genannt wird. Sie macht (X, τ ) zu einem Hausdorff-Raum und ist die feinste u ogliche Topologie. Dagegen besteht die gr¨ obste ¨ berhaupt m¨ Topologie einer Menge X nur aus der leeren Menge und dem ganzen Raum. Wenn X aus mehr als einem Element besteht, so ist f¨ ur diese Topologie das Trennungsaxiom nicht erf¨ ullt. Definition 1.2. Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und A ⊂ X eine beliebige Teilmenge. Dann ist A zusammen mit den Mengen {M ∩ A : M ∈ τ } ein topologischer Raum. Diese Topologie heißt Relativtopologie auf A.

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1 Topologische und metrische R¨ aume

Wenn A nicht selber offen in X ist, so sind die offenen Mengen der Relativtopologie nicht notwendig offen in X. ur Teilmengen A eines toAnalog zu den Begriffen im n definiert man f¨ pologischen Raums X: A ist abgeschlossen ⇔ Ac ist offen, (Ac = X \ A = Komplement von A) int A = Vereinigung aller in A enthaltenen offenen Mengen, A = Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen, die A enthalten. int A heißt das Innere von A, A der Abschluß von A. Nach Definition ist int A offen. Da die abgeschlossenen Mengen durch Komplementbildung definiert sind, gilt: Der beliebige Durchschnitt und die endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen, insbesondere ist A abgeschlossen. In der diskreten Topologie sind alle Mengen A offen und abgeschlossen und es gilt A = int A = A. In der gr¨ obsten Topologie sind nur die leere Menge und der ganze Raum offen und abgeschlossen. Definition 1.3. Sei (X, τ ) ein topologischer Raum. Eine Menge U ⊂ X heißt Umgebung eines x ∈ X, wenn U offen ist mit x ∈ U. x heißt innerer Punkt einer Menge A ⊂ X, wenn eine Umgebung von x in A enthalten ist. x ∈ X heißt Ber¨ uhrpunkt von A ⊂ X, wenn in jeder Umgebung von x mindestens ein Punkt von A liegt. x ∈ X heißt Randpunkt von A ⊂ X, wenn in jeder Umgebung von X mindestens ein Punkt von A und mindestens ein Punkt von Ac liegt. Mit ∂A wird die Menge der Randpunkte von A bezeichnet. Mit diesen Definitionen lassen sich offene und abgeschlossene Mengen auch anders charakterisieren: Lemma 1.4. Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und A ⊂ X. Dann gilt:

(a) (b) (c) (d)

A ist offen ⇔ Jedes x ∈ A ist innerer Punkt von A, A ist abgeschlossen ⇔ Jeder Ber¨ uhrpunkt von A geh¨ort zu A, int A = Menge der inneren Punkte von A, A = Menge der Ber¨ uhrpunkte von A.

Beweis. (a): Die Richtung ⇐“ gilt wegen A = ∪x∈A U (x), wobei U (x) eine ” ganz in A liegende Umgebung von x ist. Wenn umgekehrt A offen ist, so ist A auch eine ganz in A enthaltene Umgebung eines jeden x ∈ A. (b) folgt aus (a) durch Betrachtung des Komplements. (c) und (d) folgen direkt aus (a) bzw. (b). ⊔ ⊓ Definition 1.5. Sei (X, τ ) ein topologischer Raum. Eine Folge (xk )k∈ heißt konvergent gegen ein x ∈ X, wenn in jeder Umgebung von x alle bis auf endlich viele Folgenglieder liegen. In diesem Fall schreiben wir limk→∞ xk = x oder xk → x.


Offenbar ist der Grenzwert nur in einem Hausdorff-Raum immer eindeutig, sofern er existiert. Konvergenz l¨ aßt sich um so leichter erzwingen, je weniger

1.1 Topologische R¨ aume und stetige Abbildungen

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offene Mengen es gibt. Wenn eine Menge X mit der Topologie {∅, X} versehen wird, so ist jede Folge gegen jedes x ∈ X konvergent. Im anderen Extrem, der diskreten Topologie, konvergieren nur die ab einem Index konstanten Folgen. Definition 1.6. Seien X, Y topologische R¨aume. Eine Abbildung f : X → Y heißt stetig, wenn die Urbilder offener Mengen offen sind. Die Abbildung heißt offen, wenn die Bilder offener Mengen offen sind. Auch hier wollen wir uns die Definition an einem Extremfall veranschaulichen. Wenn der Raum X mit der diskreten Topologie ausgestattet ist, so sind unabh¨angig von der Topologie in Y alle Abbildungen stetig. Der Leser mache sich klar, daß man die Stetigkeit einer Abbildung erzwingen kann, indem man gen¨ ugend viele offene Mengen zur Topologie des Definitionsraums hinzuf¨ ugt. Direkt aus der Definition beweist man den bekannten Satz, daß die Komposition stetiger Abbildungen zwischen topologischen R¨ aumen wiederum stetig ist. Weiter folgt aus der Definition der Stetigkeit durch Komplementbildung, daß eine Abbildung genau dann stetig ist, wenn die Urbilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind. Definition 1.7. Seien X, Y topologische R¨aume. Eine Abbildung f : X → Y heißt Hom¨oomorphismus, wenn sie bijektiv, stetig und die inverse Abbildung f −1 ebenfalls stetig ist. Wenn zwischen topologischen R¨aumen eine solche Abbildung existiert, so heißen die R¨aume hom¨ oomorph. Ein Hom¨oomorphismus ist also bijektiv, stetig und offen. Hom¨oomorphe topologische R¨ aume k¨onnen miteinander identifiziert werden, weil beide R¨ aume die gleiche topologische Struktur besitzen. In der Analysis einer Ver¨ anderlicher gilt der Satz, daß die inverse Funktion einer stetigen und bijektiven Funktion ebenfalls stetig ist. In allgemeinen topologischen R¨aumen ist das nicht immer richtig.

f 0

2π

Beispiel 1.8. Sei X das Intervall [0, 2π) und Y der Einheitskreis des 2 , beide R¨aume seien mit der Relativtopologie des 1 bzw. 2 versehen. Die Abbildung f = (f1 , f2 )T mit f1 (x) = cos x,

f2 (x) = sin x,

ist bijektiv und stetig, die Inverse ist dagegen unstetig, denn die relativ offene Menge [0, a) wird nicht auf eine offene Menge abgebildet. Viele Begriffe der Analysis im n lassen sich sowohl mit offenen Mengen als auch mit Hilfe von Folgen unter Verwendung des Konvergenzbegriffs definieren. So gibt es neben dem oben eingef¨ uhrten Begriff der Stetigkeit auch die Folgenstetigkeit einer Abbildung. Ein weiteres Beispiel im n ist die Charakaufungsterisierung des Abschlusses einer Menge A ⊂ n als Menge aller H¨ punkte von Folgen, die man aus Elementen von A bilden kann. In der mengentheoretischen Topologie ist man u ¨ bereingekommen, als richtige“ Definition ”

4

1 Topologische und metrische R¨ aume

immer diejenige zu nehmen, die ohne den Folgenbegriff auskommt, und damit nur unter Verwendung von offenen und abgeschlossenen Mengen formuliert werden kann. Wir wollen uns nun der Frage zuwenden, wann man eine solche rein topologische Definition auch anders mit Hilfe von Folgen ausdr¨ ucken kann und f¨ uhren daher eine weitere Strukturbedingung an den topologischen Raum ein. Definition 1.9. Sei X ein topologischer Raum und x ∈ X. Ein System von offenen Teilmengen {Ui }i∈I heißt Umgebungsbasis von x, wenn jede Umgeullt bung von x eine dieser Mengen Ui enth¨alt. Ein topologischer Raum erf¨ das erste Abz¨ahlbarkeitsaxiom, wenn jedes Element von X eine abz¨ahlbare Umgebungsbasis besitzt. Die offenen Kugeln mit Radius 1/k, k ∈ , und Mittelpunkt x bilden eine Umgebungsbasis f¨ ur die Standardtopologie des n , der damit das erste Abz¨ahlbarkeitsaxiom erf¨ ullt. Wie in der Analysis des n u ¨ blich, nennen wir eine Abbildung f zwischen den topologischen R¨aumen X und Y folgenstetig, wenn f¨ ur alle x ∈ X und alle Folgen in X mit xk → x gilt f (xk ) → f (x). 

Satz 1.10. Seien X, Y topologische R¨aume und f : X → Y eine Abbildung. Dann gilt: (a) f ist stetig ⇒ f ist folgenstetig. (b) Erf¨ ullt X das erste Abz¨ahlbarkeitsaxiom, so ist die Stetigkeit von f mit der Folgenstetigkeit ¨aquivalent.

Beweis. (a) Sei xk → x in X, V eine Umgebung von f (x) und U = f −1 (V ). Da f stetig ist, ist U offen und damit Umgebung von x. Nach Definition der Konvergenz liegen fast alle Folgenglieder in U. Also befinden sich fast alle Folgenglieder auch in V und die f (xk ) konvergieren gegen f (x). (b) Angenommen, f w¨ are folgenstetig, aber nicht stetig. Dann ist f¨ ur eine offene Menge V ⊂ Y die Urbildmenge U = f −1 (V ) nicht offen. Nach Lemma 1.4(a) gibt es daher ein x ∈ U, das keine Umgebung in U besitzt. Sei {Uk } eine ahlen wir ein beliebiabz¨ahlbare Umgebungsbasis von x. Aus jedem ∩ki=1 Ui w¨ / U aus. Dies ist m¨ oglich, denn andernfalls w¨ are ∩ki=1 Ui ⊂ U ges xk mit xk ∈ k / V. und ∩i=1 Ui w¨are Umgebung von x in U. Nun gilt xk → x, aber f (xk ) ∈ Damit ist f nicht folgenstetig. ⊔ ⊓ Lemma 1.11. Wenn der topologische Raum X das erste Abz¨ahlbarkeitsaxiom erf¨ ullt, so gibt es zu jedem Ber¨ uhrpunkt einer Menge in X eine Folge in dieser Menge, die gegen diesen Ber¨ uhrpunkt konvergiert. Insbesondere stimmt der Abschluß einer Menge mit den Grenzwerten der konvergenten Folgen in dieser Menge ¨ uberein. ¨ Beweis. Ahnlich wie im Beweis von Satz 1.10 betrachten wir die Schnitte k uhrpunktes und w¨ ahlen f¨ ur jedes k ein ∩i=1 Ui der Umgebungsbasis Ui des Ber¨ Element der Menge in diesem Schnitt aus. Auf diese Art gewinnen wir eine Folge, die gegen den Ber¨ uhrpunkt konvergiert. ⊔ ⊓

1.1 Topologische R¨ aume und stetige Abbildungen

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Im allgemeinen ist eine Topologie auf einer Menge nicht direkt vorgegeben, sondern wird durch ein einfaches Konstruktionsverfahren erzeugt, das auch bei der Definition der Standardtopologie des n verwendet wird. Definition 1.12. Sei X eine beliebige Menge. Ein nichtleeres System von Teilmengen {Ui (x)}i∈I heißt lokale Basis von x ∈ X, wenn x ∈ Ui (x) und es zu jedem i, j ∈ I ein k ∈ I gibt mit Uk (x) ⊂ Ui (x) ∩ Uj (x). Auf der Menge X sei f¨ ur jedes x ∈ X eine lokale Basis vorgegeben. F¨ ur eine Teilmenge A von X heißt x ∈ A innerer Punkt, wenn es ein Element der lokalen Basis von x gibt mit Ui (x) ⊂ A. A heißt offen, wenn alle Punkte von A innere Punkte sind. Wegen seiner Wichtigkeit formulieren wir das an sich selbstverst¨andliche Ergebnis dieser Konstruktion als Satz. Satz 1.13. Die so definierten offenen Mengen bilden eine Topologie auf X. Sind alle Ui (x) in dieser Topologie offen, so bilden sie eine Umgebungsbasis von x. Beweis. Es ist nur zu bemerken, daß es zu jeder endlichen Indexmenge I0 ⊂ I ein k ∈ I gibt mit Uk (x) ⊂ ∩i∈I0 Ui (x). Dies stellt sicher, daß ein endlicher Durchschnitt von offenen Mengen offen ist. ⊓ ⊔ Anmerkung 1.14. Topologien lassen sich noch einfacher konstruieren, indem art man die man ein Teilmengensystem {Ai }i∈I als offen auszeichnet. Erkl¨ beliebige Vereinigung von endlichen Durchschnitten dieser Mengen als offen, so bilden diese offenen Mengen zusammen mit X und der leeren Menge eine Topologie auf X, die die von {Ai } erzeugte Topologie genannt wird. Sie ist gleichzeitig die gr¨obste Topologie, in der alle Ai offen sind. In diesem Fall heißt die Familie {Ai } Subbasis, die endlichen Durchschnitte der Ai heißen Basis der Topologie, weil jede offene Menge als Vereinigung von Basiselementen dargestellt werden kann. Sind in Satz 1.13 alle lokalen Basiselemente offen, was in unseren Anwendungen immer der Fall ist, so bilden sie eine Basis der Topologie. Das zweite Abz¨ ahlbarkeitsaxiom Offenbar k¨ onnen die Begriffe Basis und Subbasis auf allgemeine topologische R¨ aume ausgedehnt werden. Dies gibt Anlaß zu einer neuen Definition: Ein topologischer Raum erf¨ ullt das zweite Abz¨ ahlbarkeitsaxiom, wenn seine Topologie durch eine abz¨ ahlbare Basis (oder Subbasis) erzeugt werden kann. Das zweite Abz¨ ahlullt das barkeitsaxiom impliziert das erste. Der n mit der Standardtopologie erf¨ zweite Abz¨ ahlbarkeitsaxiom. Als Basis kann man die offenen Intervalle mit rationalen Endpunkten nehmen. 

Aufgabe: Zeigen Sie, daß aus dem zweiten Abz¨ ahlbarkeitsaxiom die Separabilit¨ at des Raums folgt.

Definition 1.15. Eine Teilmenge A eines topologischen Raums X heißt dicht, wenn A = X. Ein topologischer Raum heißt separabel, wenn er eine abz¨ahlbare dichte Teilmenge besitzt.

6

1 Topologische und metrische R¨ aume

Der n mit der Standardtopologie ist separabel, weil die Punkte mit rationalen Koordinaten dicht liegen. Man kann dies wegen Lemma 1.11 mit Hilfe aßt sich durch Punkte des Folgenabschlusses beweisen: Jeder Punkt des n l¨ mit rationalen Koordinaten beliebig genau approximieren. Definition 1.16. Seien (X, τX ), (Y, τY ) topologische R¨aume. Die Produkttopologie auf X × Y ist die gr¨obste Topologie, die alle Mengen der Form A × B mit A ∈ τX , B ∈ τY , umfaßt. Sind {Ui (x)}i∈I , {Vj (y)}j∈J Umgebungsbasen der Punkte x ∈ X und y ∈ Y , so ist {Ui ×Vj }i∈I, j∈J eine Umgebungsbasis von (x, y) bez¨ uglich der Produkttopologie. Gilt in X und Y das erste Abz¨ahlbarkeitsaxiom, so gilt es auch in X × Y . Konvergenz in X × Y bedeutet (xk , yk ) → (x, y)

⇔

xk → x und yk → y.

1.2 Metrische R¨ aume Mit der metrischen Struktur wird der aus dem n bekannte Abstandsbegriff abstrahiert. Wir k¨ onnen uns einen metrischen Raum als eine Punktmenge vorstellen, in der Entfernungen zwischen den Punkten definiert sind, die den folgenden plausiblen Bedingungen gen¨ ugen. Definition 1.17. Sei X eine Menge. Eine Abbildung d : X × X → [0, ∞) heißt Metrik auf X, wenn: (a) d(x, y) = 0 ⇔ x = y, (b) d(x, y) = d(y, x) (Symmetrie), (c) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (Dreiecksungleichung). Das Paar (X, d) heißt dann metrischer Raum. Aus der Definition der Metrik folgt die Vierecksungleichung |d(x, y) − d(x′ , y ′ )| ≤ d(x, x′ ) + d(y, y ′ ),

y’

(1.1)

y

denn die Dreiecksungleichung liefert d(x, y) ≤ d(x, x′ ) + d(x′ , y ′ ) + d(y, y ′ ), d(x′ , y ′ ) ≤ d(x, x′ ) + d(x, y) + d(y, y ′ ),

x

x’

womit (1.1) gezeigt ist. Analog beweist man die umgekehrte Dreiecksungleichung |d(x, y) − d(y, z)| ≤ d(x, z).

Mit der Metrik lassen sich auch die Entfernung zwischen zwei Teilmengen von X angeben, n¨amlich

1.2 Metrische R¨ aume

dist (A, B) =

inf

x∈A, y∈B

7

d(x, y).

Beispiele 1.18 (i) Der n mit d(x, y) = |x − y| ist metrischer Raum. (ii) Auf einer beliebigen Menge X l¨ aßt sich die diskrete Metrik definieren durch d(x, y) = 1 f¨ ur x = y und d(x, x) = 0. (iii) Jede Teilmenge eines metrischen Raums ist mit der gleichen Abstandsfunktion selber ein metrischer Raum. (iv) F¨ ur einen metrischen Raum (X, d) setze 

˜ y) = d(x,

d(x, y) . 1 + d(x, y)

˜ metrischer Raum. Die Dreiecksungleichung erh¨ Dann ist auch (X, d) alt man mit der Funktion f (t) = t/(1 + t), t ≥ 0, die monoton wachsend ist, und f¨ ur die f (b + c) ≤ f (b) + f (c) f¨ ur alle b, c ≥ 0 gilt. F¨ ur a ≤ b + c erhalten wir f (a) ≤ f (b + c) ≤ f (b) + f (c). Mit a = d(x, z), b = d(x, y), c = d(y, z) folgt die behauptete Dreiecksungleichung. (v) (Erlanger Metrik) Um in Erlangen mit dem Bus von einem Ortsteil in den benachbarten zu kommen (Fußweg 5’), muß man zuerst zum zentralen Busbahnhof fahren, dort umsteigen und dann im wesentlichen die gleiche Strecke wieder zur¨ uckfahren. Diese Metrik, die H nicht nur bei den Mathematikern, sondern y auch bei den Benutzern des ¨ offentlichen Nahverkehrs immer wieder neu auf große BegeiHugo sterung st¨oßt, kann folgendermaßen abstrakt H definiert werden: Grundraum ist der 2 mit x dem Ursprung als ausgezeichneten Punkt, die Metrik ist d(x, y) =




|x − y|

|x| + |y|

wenn x = λy f¨ ur ein λ ∈

,

sonst.

Der Beweis der Dreiecksungleichung macht einige Fallunterscheidungen notwendig, ist ansonsten trivial. Ich habe u ¨ brigens diese Metrik unter dem Namen Franz¨osische Eisenbahn Metrik“ kennengelernt (f¨ ahrt immer u ¨ber Paris), in ” einem amerikanischen Buch wird sie Washington D.C. Metrik“ genannt. Die ” Probleme sind also u ¨berall die gleichen. Wir definieren die Kugeln BR (x) = {y ∈ X : d(x, y) < R},

˜R (x) = {y ∈ X : d(x, y) ≤ R}, B

8

1 Topologische und metrische R¨ aume

und machen den metrischen Raum zu einem Hausdorff-Raum, indem wir B1/k (x) zur lokalen Basis von x ∈ X erkl¨aren (siehe Satz 1.13), insbesondere: A ⊂ X ist offen ⇔ Zu jedem x ∈ A gibt es ein k > 0, so daß B1/k ⊂ A.

Wie aus der Dreiecksungleichung sofort folgt, ist B1/k (x) selber offen. Das Mengensystem {B1/k (x)}k∈ ist daher eine Umgebungsbasis des Punktes x, womit die so definierte Topologie das erste Abz¨ahlbarkeitsaxiom erf¨ ullt. Damit ist die Stetigkeit einer Abbidung zwischen metrischen R¨ aumen mit der Folgenstetigkeit ¨aquivalent (siehe Lemma 1.10). Konvergenz einer Folge xk → x bedeutet, daß in jeder Umgebung von x fast alle Folgenglieder liegen m¨ ussen, also: Zu jedem ε > 0 gibt es ein K ∈ , so daß d(xk , x) < ε f¨ ur alle k ≥ K. n ˜ gilt nicht immer BR (x) = BR . F¨ Im Gegensatz zum ur die diskrete Metrik aus Beispiel 1.18(ii), deren induzierte Topologie gerade die diskrete ˜1 (x) = X. Topologie ist, erhalten wir B1 (x) = {x} und B Die Metrik eines metrischen Raums ist folgenstetig, denn wenn xk → x und yk → y, so folgt aus der Vierecksungleichung (1.1)




|d(x, y) − d(xk , yk )| ≤ d(x, xk ) + d(y, yk ) < 2ε, also d(xk , yk ) → d(x, y). Mit dem ersten Abz¨ ahlbarkeitsaxiom auf X × X (vergleiche Definition 1.16) ist die Abstandsfunktion auch stetig. Analog zur Analysis des n definieren wir: Definition 1.19. Eine Folge (xk ) im metrischen Raum X heißt CauchyFolge, wenn es zu jedem ε > 0 ein K ∈ gibt mit 

d(xk , xl ) < ε

f¨ ur alle k, l ≥ K.

X heißt vollst¨andig, wenn jede Cauchy-Folge gegen ein x ∈ X konvergiert. Jede konvergente Folge ist Cauchy-Folge, denn aus d(xk , x) < ε, d(xl , x) < ε f¨ ur alle k, l ≥ K folgt mit der Dreiecksungleichung d(xk , xl ) < 2ε. Weiter ist jede Cauchy-Folge beschr¨ankt, also f¨ ur ein x ∈ X in einer Kugel BR (x) enthalten. Lemma 1.20. Sei X ein vollst¨andiger metrischer Raum und A ⊂ X. Dann gilt: A ist vollst¨andig ⇔ A ist abgeschlossen. Beweis. Sei A abgeschlossene Teilmenge des vollst¨ andigen metrischen Raums uhrpunkt X. Eine Cauchy-Folge (xk ) in A hat einen Grenzwert x ∈ X. x ist Ber¨ von A und geh¨ort nach Lemma 1.4 ebenfalls zu A. Wenn umgekehrt A nicht abgeschlossen ist, so gibt es einen Ber¨ uhrpunkt von A, der nicht zu A geh¨ ort. Nach Lemma 1.11 existiert eine Folge in A, die gegen diesen Ber¨ uhrpunkt konvergiert. Da eine konvergente Folge auch eine Cauchy-Folge ist, ist die Behauptung gezeigt. ⊔ ⊓

1.3 Der Banachsche Fixpunktsatz

9

Definition 1.21. Seien (X, dx ), (Y, dy ) metrische R¨aume. Eine Abbildung T : X → Y heißt Isometrie, wenn f¨ ur alle x, x′ ∈ X gilt dx (x, x′ ) = dy (T (x), T (x′ )). Zwei metrische R¨aume heißen isometrisch, wenn es eine bijektive Isometrie zwischen ihnen gibt. Eine Isometrie ist injektiv und stetig. Die auf dem Bildbereich definierte Umkehrabbildung einer Isometrie ist ebenfalls eine Isometrie. Daher sind isometrische R¨aume als topologische R¨ aume hom¨oomorph und besitzen u ¨ berdies die gleiche metrische Struktur, k¨ onnen also miteinander identifiziert werden. In der elementaren Analysis konstruiert man die reellen aus den rationalen ¨ Zahlen, indem man Cauchy-Folgen in den rationalen Zahlen zu Aquivalenzklassen zusammenfaßt und diese mit einer reellen Zahl identifiziert. Die gleiche Vervollst¨andigung“ kann bei allgemeinen metrischen R¨ aumen durchgef¨ uhrt ” werden. Wir k¨onnen uns daher den Beweis des n¨ achsten Satzes schenken. Satz 1.22. Sei X ein metrischer Raum. Dann gibt es einen vollst¨andigen ˜ und eine Isometrie i : X → X, ˜ so daß i(X) dicht in X ˜ metrischen Raum X ist.

1.3 Der Banachsche Fixpunktsatz F¨ ur eine Abbildung T : X → X in einem metrischen Raum X m¨ ochten wir die Fixpunktgleichung Tx ˜=x ˜ mit Hilfe des einfachsten Verfahrens, der sukzessiven Approximation, xk+1 = T xk ,

x0 ∈ X vorgegeben,

(1.2)

l¨osen. Da schon einfachste Beispiele im 1 zeigen, daß dieses Verfahren auch bei Existenz eines Fixpunktes nicht konvergieren muß, ben¨ otigen wir einschr¨ankende Voraussetzungen an die Abbildung T. Definition 1.23. Seien (X, dx ) und (Y, dy ) metrische R¨aume. T : X → Y heißt lipschitzstetig, wenn es ein L ∈ + gibt mit dy (T x, T x′ ) ≤ Ldx (x, x′ )

∀x, x′ ∈ X.

L heißt dann Lipschitzkonstante. Wenn X = Y und L < 1 in dieser Absch¨atzung gew¨ahlt werden kann, so heißt T Kontraktion. Man weist aus der Definition nach, daß eine lipschitzstetige Abbildung stetig ist.

10

1 Topologische und metrische R¨ aume

Satz 1.24 (Banachscher Fixpunktsatz). Sei (X, d) ein vollst¨andiger metrischer Raum und T : X → X eine Kontraktion. Dann besitzt T genau einen Fixpunkt x ˜ und die Folge der sukzessiven Approximation (1.2) konvergiert f¨ ur ˜. Weiter gilt die Fehlerabsch¨atzung alle Startwerte x0 ∈ X gegen x Lk d(x0 , T x0 ). 1−L Beweis. Es gibt h¨ochstens einen Fixpunkt, denn f¨ ur Fixpunkte x˜, y˜ ∈ X folgt d(xk , x ˜) ≤

d(˜ x, y˜) = d(T x ˜, T y˜) ≤ Ld(˜ x, y˜) und damit d(˜ x, y˜) = 0 und x˜ = y˜. Aus (1.2) erhalten wir d(xk , xk+1 ) = d(T xk−1 , T xk ) ≤ Ld(xk−1 , xk ) ≤ Lk d(x0 , T x0 ) und aus der Dreiecksungleichung d(xk , xk+l ) ≤ =

l−1  i=0

d(xk+i , xk+i+1 ) ≤

l−1 

Lk+i d(x0 , T x0 )

i=0

Lk − Lk+l d(x0 , T x0 ). 1−L

andigkeit von Damit ist (xk ) Cauchy-Folge und konvergiert wegen der Vollst¨ X gegen ein x ∈ X. Aufgrund der Stetigkeit von T kann man in der Gleichung (1.2) zum Grenzwert k → ∞ gehen und erh¨ alt x = T x. Die Fehlerabsch¨ atzung ergibt sich aus der letzten Ungleichung f¨ ur l → ∞. ⊔ ⊓ Beispiel 1.25 (Gew¨ohnliche Differentialgleichungen). F¨ ur f : [0, a]× betrachten wir das Anfangswertproblem x′ (t) = f (t, x(t)),

x(0) = x0 ∈

n

vorgegeben.

n

→

n

(1.3)

Unter einer L¨osung dieses Problems verstehen wir eine Funktion x ∈ C 1 ([0, a])n , f¨ ur die die Differentialgleichung in jedem Punkt des Intervalls erf¨ ullt ist. f sei stetig bez¨ uglich t und lipschitzstetig bez¨ uglich x, d.h. |f (t, x) − f (t, y)| ≤ L|x − y|

f¨ ur alle t ∈ [0, a] und x, y ∈

n

.

(1.4)

Unter diesen Voraussetzungen ist das Anfangswertproblem zur Integralgleichung  t x(t) = x0 + f (τ, x(τ )) dτ 0 n

¨aquivalent: Jede L¨osung x ∈ C([0, a]) dieser Integralgleichung ist aufgrund der Voraussetzungen an f stetig differenzierbar und eine L¨ osung der Anfangswertaufgabe (1.3). Wir zeigen nun, daß die Integralgleichung eine eindeutige L¨osung im Raum C([0, a])n mit Metrik

1.3 Der Banachsche Fixpunktsatz

11

d(x, y) = max |x(t) − y(t)| e−2Lt t∈[0,a]

besitzt. Die Metrik ist aus technischen Gr¨ unden etwas anders gew¨ ahlt als die u onnen ¨bliche Maximumsmetrik (vgl. Abschnitt 2.5), die beiden Metriken k¨ jedoch mit einer Konstanten gegenseitig abgesch¨ atzt werden und erzeugen daher den gleichen Konvergenzbegriff. Somit ist C([0, a])n auch mit der modifizierten Metrik ein vollst¨ andiger metrischer Raum. Der Integralgleichung ordnen wir den Operator  t T x(t) = x0 + f (τ, x(τ )) dτ 0

zu, der wegen

 t      f (τ, x(τ )) − f (τ, y(τ )) dτ  e−2Lt |T x(t) − T y(t)| e−2Lt =  0

≤L



0

t

|x(τ ) − y(τ )| e−2Lτ e2Lτ dτ e−2Lt

≤ Ld(x, y)



0

t

e2Lτ dτ e−2Lt ≤

L d(x, y) 2L

eine Kontraktion auf (C([0, a]) , d) mit Konstante ≤ 21 ist. Nach dem Banachschen Fixpunktsatz besitzt das Anfangswertproblem genau eine L¨ osung. Wenn f : [0, a] × Ω → n nur in einer offenen Menge Ω mit x0 ∈ Ω einer Lipschitzbedingung gen¨ ugt, so erhalten wir Existenz und Eindeutigkeit in einem Intervall [0, a′ ], siehe [Wal72, S. 51f.]. n

Wir wollen uns nun der Bedingung (1.4) zuwenden, also der Frage, wann eine Funktion einer Lipschitzbedingung gen¨ ugt. Lemma 1.26. Sei Ω ⊂ n ein konvexes Gebiet. Dann ist jede in Ω stem mit beschr¨ankter Ableitung tig differenzierbare Funktion f : Ω → supx∈Ω |Df (x)| = K lipschitzstetig in Ω mit Lipschitzkonstante K, |f (x) − f (y)| ≤ K|x − y|

∀x, y ∈ Ω.

Beweis. F¨ ur x, y ∈ Ω ist die Verbindungsstrecke ebenfalls in Ω. Aus (1 − t)y) = Df (. . .)(x − y) folgt  1 f (x) − f (y) = Df (tx + (1 − t)y))(x − y) dt.

(1.5) d dt f (tx +

0

In dieser Gleichung setzen wir Betr¨ age und sch¨ atzen |Df | durch M ab.

⊔ ⊓

Eine differenzierbare Funktion mit unbeschr¨ ankter Ableitung ist nicht lipschitzstetig, wie z.B. die Funktion f (x) = x2 . Die Differentialgleichung x′ = x2 zeigt dann auch, daß das Resultat aus Beispiel 1.25 nicht zu verbessern ist, denn diese Gleichung hat mit x(t) = 1/(c − t) L¨ osungen, die nicht f¨ ur alle t existieren.

12

1 Topologische und metrische R¨ aume

1.4 Kompakte R¨ aume In unz¨ahligen Pr¨ ufungen spielt sich folgendes Gespr¨ ach ab: P: Was ist eine kompakte Menge? S: Eine Menge ist kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschr¨ ankt ist. P: Ich hatte nach einer Definition gefragt, aber Sie antworten mit einem Satz. S: ??? Freilich hat S nicht genug in die B¨ ucher geschaut, aber Kompaktheitsbeweise k¨onnen gef¨ uhrt werden, ohne diesen Begriff u ahnen. Als ¨ berhaupt zu erw¨ Beispiel f¨ ur einen typischen Kompaktheitsschluß, wollen wir den Beweis des Satzes Auf einer beschr¨ ankten und abgeschlossenen Menge nimmt eine ste” tige reellwertige Funktion ihr Minimum an“ kurz rekapitulieren. ∪ {−∞} das Infimum der stetigen Funktion f Sei d = inf x∈K f (x) ∈ auf der beschr¨ankten und abgeschlossenen Menge K. Sei (xk )k∈ eine Minimalfolge in K, d.h. f (xk ) → d. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß gibt es ein x ∈ K und eine Teilfolge (xkl ) mit xkl → x. Wegen der Stetigkeit von f folgt f (xkl ) → f (x) = d. Damit ist d endlich und das Minimum wird in x angenommen. ¨ Eine Uberpr¨ ufung des Beweises zeigt, daß eine stetige Funktion auf jeder Teilmenge des n das Minimum annimmt, die die Bolzano-WeierstraßEigenschaft hat: Jede Folge in K besitzt eine konvergente Teilfolge. Im n sind dies genau die beschr¨ankten und abgeschlossenen Mengen. Allgemeiner definieren wir:


Definition 1.27. Sei X ein topologischer Raum. (a) A ⊂ X heißt kompakt, wenn jedes System von offenen Mengen, das A uberdeckt, eine endliche Teil¨ uberdeckung enth¨alt. ¨ (b) A ⊂ X heißt folgenkompakt, wenn jede Folge in A eine Teilfolge besitzt, die gegen ein x ∈ A konvergiert. (c) A ⊂ X heißt relativ kompakt, wenn A kompakt ist. Diese Definitionen werden nat¨ urlich auch f¨ ur den Fall A = X angewendet. Der Satz, daß beschr¨ ankte und abgeschlossene Mengen kompakt sind, ist in allgemeinen topologischen R¨aumen nicht richtig. Lemma 1.28. Wenn der topologische Raum X das erste Abz¨ahlbarkeitsaxiom erf¨ ullt, so folgt aus der Kompaktheit von X die Folgenkompaktheit von X. Beweis. Sei X kompakt. Wir zeigen durch indirekten Beweis, daß X folgenkompakt ist. Angenommen, es gibt eine Folge (xk )k∈ , die keine konvergente Teilfolge besitzt. Als erstes beweisen wir die Zwischenbehauptung: Zu jedem x ∈ X gibt es eine Umgebung U (x), so daß U (x) nur endlich viele Folgenglieder enth¨alt. Zum Beweis ben¨ otigen wir das erste Abz¨ ahlbarkeitsaxiom. Zur Umgebungsbasis {Um }m∈ des Punktes x definieren wir die Mengen Vm = ∩m i=1 Ui . Wenn in jedem Vm unendlich viele Folgenglieder liegen, so k¨ onnen wir induktiv aus Vm





1.4 Kompakte R¨ aume

13

ein Folgenglied xkm ausw¨ahlen mit km > km−1 . Da jede Umgebung von x ein Vm enth¨alt, enth¨ alt sie auch fast alle Glieder dieser Teilfolge, d.h. xkm → x. Widerspruch! ¨ Die auf diese Art gewonnenen U (x) bilden eine offene Uberdeckung, die wegen der Kompaktheit von X eine endliche Teil¨ uberdeckung enth¨ alt. Nach Konstruktion liegen in dieser Teil¨ uberdeckung nur endlich viele Folgenglieder, was einen Widerspruch bedeutet. ⊔ ⊓ Satz 1.29. Die Teilmengen eines kompakten Hausdorff-Raums sind genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen sind. Beweis. ⇒: Sei A ⊂ X kompakt. Wir zeigen, daß Ac offen ist. Sei z ∈ Ac . Zu jedem x ∈ A gibt es nach dem Trennungsaxiom offene Umgebungen Vx von z und Ux von x mit leerem Durchschnitt. Dann ist {Ux ∩ A : x ∈ A} eine ¨ offene Uberdeckung von A bez¨ uglich der Relativtopologie. Weil A kompakt ist, existieren x1 , . . . , xk ∈ A mit A ⊂ ∪ki=1 Uxi . Dann ist V = ∩ki=1 Vxi eine Umgebung von z mit V ∩ A = ∅, also V ⊂ Ac . ¨ ⇐: Sei A abgeschlossen und {Ui }i∈I eine offene Uberdeckung von A. Dann c ¨ ist das System {Ui }i∈I , A eine offene Uberdeckung des ganzen Raums X, das wegen der Kompaktheit von X eine endliche Teil¨ uberdeckung von X und damit auch von A enth¨ alt. ⊔ ⊓ Im metrischen Raum lassen sich pr¨azisere Aussagen machen. Wenn ein meandig. Um dies einzusehen, trischer Raum folgenkompakt ist, so ist er vollst¨ geben wir uns eine beliebige Cauchy-Folge (xk ) vor. Diese besitzt aufgrund der Folgenkompaktheit eine Teilfolge mit xkl → x. Zu vorgegebenem ε > 0 existiert ein l ∈ und ein M ∈ mit d(xkl , x) < ε und d(xkl , xm ) < ε f¨ ur alle m ≥ M. Daher d(xm , x) < 2ε f¨ ur alle m ≥ M. Eine Cauchy-Folge ist bereits konvergent, wenn eine Teilfolge konvergent ist. 



Definition 1.30. Ein metrischer Raum X heißt pr¨ akompakt, wenn es zu jedem ε > 0 endlich viele offene Kugeln vom Radius ε gibt, die X u ¨berdecken. Satz 1.31. Sei X ein vollst¨andiger metrischer Raum und A eine Teilmenge von X. (a) Die Menge A ist genau dann kompakt, wenn sie folgenkompakt ist. (b) Wenn A abgeschlossen ist, so ist auch die Pr¨akompaktheit von A mit der Kompaktheit ¨aquivalent. Anmerkung 1.32. Man u akompak¨berlege sich, daß der Abschluß einer pr¨ ten Menge ebenfalls pr¨ akompakt ist (vergleiche Aufgabe 1.5). Daher gilt im vollst¨andigen metrischen Raum A pr¨ akompakt

⇔

A relativ kompakt.

Beweis. A kompakt ⇒ A folgenkompakt: Da ein metrischer Raum das erste Abz¨ahlbarkeitsaxiom erf¨ ullt, ist dies eine Konsequenz aus Lemma 1.28.

14

1 Topologische und metrische R¨ aume

A folgenkompakt ⇒ A pr¨ akompakt und abgeschlossen: Da jeder Grenzwert von Folgen in A zu A geh¨oren muß, ist A abgeschlossen. Angenommen, A w¨ are folgenkompakt, aber nicht pr¨ akompakt. Dann gibt es ein ε > 0 und eine Folge (xk ) in A mit d(xk , xl ) ≥ ε. Diese xk besitzen offenbar keine konvergente Teilfolge. A pr¨akompakt und abgeschlossen ⇒ A kompakt: Angenommen, {Ai }i∈I ¨ w¨are eine offene Uberdeckung von A, die keine endliche Teil¨ uberdeckung enth¨alt. Aufgrund der Pr¨akompaktheit l¨aßt sich A durch endlich viele Kugeln vom Radius 1 u ¨berdecken. Unter diesen muß es eine Kugel U1 geben, so daß U1 ∩ A ebenfalls nicht durch endlich viele dieser Ai u ¨ berdeckt werden kann. Wir wiederholen dieses Argument und erhalten eine Kugel U2 vom Raaßt. dius 1/2, so daß sich U2 ∩ U1 ∩ A nicht durch endlich viele Ai u ¨berdecken l¨ Dieses Argument wird mit Kugeln Uk vom Radius 1/k iteriert. Wir erhalten eine Folge von Mengen Vk = Uk ∩. . .∩U1 ∩A, die sich nicht durch endlich viele ur x, y ∈ Uk Ai u ¨ berdecken lassen. Wir w¨ahlen beliebige xk ∈ Vk aus. Da f¨ nach der Dreiecksungleichung d(x, y) < 2/k gilt, folgt d(xk , xl ) < 2/k f¨ ur alle l > k. Damit ist (xk ) Cauchy-Folge, die wegen der in Lemma 1.20 gezeigten Vollst¨andigkeit von A einen Grenzwert x ∈ A besitzt. F¨ ur ein i ist x ∈ Ai und mit Ai offen ist Br (x) ⊂ Ai mit r > 0. F¨ ur gen¨ ugend großes k kann ur alle y ∈ Uk erreicht werden. Daher d(xk , x) < r/2 sowie d(xk , y) < r/2 f¨ Uk ⊂ Ai und damit auch Vk ⊂ Ai f¨ ur gen¨ ugend großes k. Widerspruch! ⊔ ⊓ Als Anwendung dieses Satzes beweisen wir folgende Eigenschaft kompakter metrischer R¨aume. Satz 1.33. Ein kompakter metrischer Raum ist separabel. Beweis. F¨ ur εk = 1/k k¨onnen wir den Raum durch endlich viele Kugeln mit Mittelpunkten xkl , l = 1, . . . , Nk , u ¨berdecken. Diese Mittelpunkte liegen dicht, denn jeder Punkt des Raums l¨aßt sich durch solche Mittelpunkte beliebig genau approximieren. ⊔ ⊓ Nun verallgemeinern wir einen aus der Analysis wohlbekannten Satz. Satz 1.34. Das stetige Bild eines kompakten Raums ist kompakt. Insbesondere nehmen auf kompakten R¨aumen stetige, reellwertige Abbildungen Maximum und Minimum an. Anmerkung 1.35. Wie das Beweisbeispiel zu Beginn dieses Abschnitts zeigt, bleibt der Satz richtig, wenn man kompakt durch folgenkompakt und stetig durch folgenstetig ersetzt. Beweis. Seien X, Y topologische R¨aume mit X kompakt und f : X → Y ¨ sei stetig. Wir betrachten die Urbildmengen einer offenen Uberdeckung von ¨ f (X). Diese bilden eine offene Uberdeckung von X, aus der wir eine endliche Teil¨ uberdeckung ausw¨ ahlen k¨onnen. Die zugeh¨ origen Mengen im Bildbereich ¨ bilden die gesuchte endliche Uberdeckung von f (X). ⊔ ⊓

Aufgaben

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Aufgaben Die den Aufgaben beigef¨ ugten Zahlen sollen eine grobe Information u ¨ber den Schwierigkeitsgrad geben: 1 = trivial, 2 = heminormal, 3 = normal, 4 = doktoral, 5 = suizidal. 1.1. (2) Endliche Mengen in einem Hausdorff-Raum sind abgeschlossen. 1.2. (1) Seien X, Y topologische R¨ aume. Welche Abbildungen f : X → Y sind unabh¨ angig von den Topologien auf X, Y immer stetig ? 1.3. (2) Ein offenes Intervall von ist hom¨ oomorph zu schr¨ anktes Intervall ist nicht hom¨ oomorph zu . 



, ein abgeschlossenes be-



1.4. (4) Sei l der Raum aller reellwertigen Zahlenfolgen. Zu einer Zahlenfolge a = {a(i)} mit a(i) > 0 definieren wir die Mengen Va = ×∞ i=1 (−a(i), a(i)) ⊂ l und Ua (x) = x + Va ⊂ l f¨ ur x ∈ l. Das +“ ist dabei komponentenweise Addition. ” ur alle solchen Folgen a sei die Umgebungsbasis von x ∈ l. Das System {Ua (x)} f¨ Charakterisieren Sie die Folgen (xk ) mit xk → 0 in dieser Topologie und konstruieren Sie eine Menge A ⊂ l, die den Ber¨ uhrpunkt 0 besitzt, ohne eine Folge (xk ), xk ∈ A, zu enthalten mit xk → 0. Bemerkung: Wegen Lemma 1.11 ist damit gezeigt, daß in dieser Topologie das erste Abz¨ ahlbarkeitsaxiom nicht gilt. 1.5. (2) Sei X ein metrischer Raum und A ⊂ X. F¨ ur jedes ε > 0 gilt A ⊂ Aε = ∪x∈A Bε (x). 1.6. Sei l der Raum aller Zahlenfolgen in . a) (1) Jedem x ∈ l ordnen wir die Umgebungsbasis Uk (x) = x + Vk zu mit Vk = 1 1 ×∞ i=1 (− k , k ). Was bedeutet xk → x in der so erzeugten Topologie ? b) (3) Auf l definieren wir die Metrik 

d(x, y) =

∞ X i=1

2−i

|x(i) − y(i)| . 1 + |x(i) − y(i)|

Was bedeutet xk → x in der durch diese Metrik erzeugten Topologie ? Ist (l, d) vollst¨ andig ? 1.7. (3) Eine Teilmenge eines separablen metrischen Raums ist separabel. Bemerkung: Diese Aussage ist f¨ ur allgemeine topologische R¨ aume nicht richtig. 1.8. (3) F¨ ur eine Teilmenge A eines metrischen Raums X definieren wir den Durchmesser durch diam (A) = sup d(x, y). x,y∈A

Beweisen Sie: X ist genau dann vollst¨ andig, wenn eine fallende Folge nichtleerer abgeschlossener Teilmengen Ak mit limk→∞ diam Ak = 0 genau ein Element von X enth¨ alt, d.h. ∩∞ k=1 Ak = {x}.

16

1 Topologische und metrische R¨ aume

1.9. (3) Geben Sie auf eine Metrik an, so daß die Folge (k)k∈ eine CauchyFolge ist, die keinen Grenzwert besitzt. Machen Sie den Raum vollst¨ andig, indem Sie weitere Elemente hinzuf¨ ugen. 



1.10. (3) Geben Sie ein Beispiel f¨ ur hom¨ oomorphe metrische R¨ aume, so daß der eine vollst¨ andig, der andere unvollst¨ andig ist. Bemerkung: Vollst¨ andigkeit ist keine topologische Eigenschaft eines metrischen Raums. 1.11. (4) Der Raum l∞ der beschr¨ ankten Zahlenfolgen ist mit d∞ (x, y) = supi∈ |x(i) − y(i)| offenbar ein metrischer Raum. Beweisen Sie: (Frechet) Jeder separable metrische Raum kann isometrisch auf eine Teilmenge von l∞ abgebildet werden. 

1.12. (2) Sei X = C([0, 1]) versehen mit der Maximumsmetrik. Sei Z t T x(t) = x(ξ) dξ. 0

Zeigen Sie, daß T lipschitz ist und bestimmen Sie die Lipschitzkonstante. Hat T einen Fixpunkt? 1.13. (3) Sei (X, d) ein vollst¨ andiger metrischer Raum und T : X → X eine Abbildung mit der Eigenschaft, daß T m eine Kontraktion ist f¨ ur ein m ∈ . Dann besitzt T einen eindeutigen Fixpunkt. 

1.14. (2) Sei X eine unendliche Menge. Gibt es eine Hausdorff-Topologie auf X, in der jede Teilmenge von X kompakt ist ? 1.15. (3) Seien τ1 ⊂ τ2 Topologien auf der Menge X, so daß (X, τ1 ) ein HausdorffRaum und (X, τ2 ) ein kompakter Raum ist. Dann gilt τ1 = τ2 . 1.16. (2) Ein System {Ai }i∈I von Teilmengen eines topologischen Raums X heißt ur jede endliche Indexzentriert, wenn die Ai abgeschlossen sind und ∩i∈I0 Ai = ∅ f¨ menge I0 ⊂ I. Beweisen Sie: X ist genau dann kompakt, wenn f¨ ur jedes zentrierte System ∩i∈I Ai = ∅ erf¨ ullt ist. 1.17. (2) Sei X ein metrischer Raum. Zu A ⊂ X und x ∈ X hatten wir den Abstand zwischen x und A durch dist (x, A) = inf d(x, y) y∈A

definiert. Im folgenden sei X vollst¨ andig und A abgeschlossen. a) Zeigen Sie, daß dist (x, A) > 0, falls x ∈ / A. b) Zeigen Sie, daß in der Definition des Abstands das Infimum angenommen wird, falls A kompakt ist. 1.18. (1) Zeigen Sie, daß die abgeschlossene Einheitskugel der Erlanger Metrik nicht kompakt ist. 1.19. (4) Jede Isometrie eines kompakten metrischen Raums in sich ist bijektiv.

2 Banach- und Hilbert-R¨ aume

Alle linearen R¨aume in diesem Kapitel sind reell oder komplex, entsprechend wird mit einer der K¨ orper oder bezeichnet. 



2.1 Banach-R¨ aume Definition 2.1. Sei X ein linearer Raum. Eine Abbildung ·X : X → [0, ∞) heißt Norm auf X, wenn die folgenden Bedingungen erf¨ ullt sind: (a) xX > 0 f¨ ur x = 0 (Def initheit), (b) αxX = |α|xX f¨ ur alle α ∈ (positive Homogenit¨at), (c) x + yX ≤ xX + yX (Dreiecksungleichung). 

Das Paar (X, ·X ) heißt dann normierter Raum. ·X : X → [0, ∞) heißt Halbnorm, wenn nur die Axiome (b) und (c) erf¨ ullt sind. Aus den Normaxiomen folgt sofort, daß d(x, y) = x − yX

eine Metrik auf X ist. Jeder normierte Raum ist damit auch ein metrischer Raum, so daß alle Begriffsbildungen aus dem letzten Kapitel verwendet werden k¨onnen. Die Norm  ·  : X → ist stetig wegen x = d(x, 0). Konvergente Folgen sind beschr¨ankt: Wenn xk → x, so gibt es ein K mit xk  ≤ K. Die linearen Operationen Addition und Skalarmultiplikation sind stetig, xk → x und yk → y

⇒

xk + yk → x + y,

αk → α und xk → x

⇒

αk xk → αx.

Die Aussagen folgen aus der Dreiecksungleichung und der Homogenit¨ at der Norm

18

2 Banach- und Hilbert-R¨ aume

(x + y) − (xk + yk ) ≤ x − xk  + y − yk , αx − αk xk  ≤ α(x − xk ) + (α − αk )xk  ≤ |α| x − xk  + |α − αk | xk . Ferner sieht die Topologie eines normierten Raums in jedem Punkt gleich aus: alt jede Die Kugeln {B1/k (0)} bilden eine Nullumgebungsbasis und man erh¨ andere Umgebungsbasis durch Translation, B1/k (x) = x + B1/k (0), wobei wir die fast schon selbsterkl¨ arende Notation A ± B = {z = x ± y : x ∈ A, y ∈ B},

A, B ⊂ X

verwenden. Definition 2.2. Ein vollst¨andiger normierter Raum heißt Banach-Raum. ur 1 ≤ p ≤ ∞ der Raum der Beispiel 2.3 (Die R¨aume lp und c0 ( )). lp ist f¨ Zahlenfolgen x = (x(1), x(2), . . .), x(i) ∈ , f¨ ur die der Ausdruck 



xlp =

∞  i=1

|x(i)|p

1/p

f¨ ur 1 ≤ p < ∞,

xl∞ = sup |x(i)|, i∈




beschr¨ankt ist. c0 = c0 ( ) ist der Raum der Nullfolgen, der ebenfalls mit  · l∞ versehen wird. Wir wollen zeigen, daß diese R¨ aume Banach-R¨ aume unter den angegebenen Ausdr¨ ucken sind. Abgesehen von der Dreiecksungleichung sind die Normaxiome trivialerweise erf¨ ullt. Zu ihrem Nachweis verwenden wir als technisches ur Hilfsmittel die H¨older-Ungleichung: Sei 1 < p < ∞ und p−1 + q −1 = 1. F¨ x ∈ lp , y ∈ lq ist die Folge xy = (x(i)y(i))i∈ ∈ l1 und es gilt 




xyl1 ≤ xlp ylq . F¨ ur xlp = ylq = 1 folgt dies aus der verallgemeinerten CauchyUngleichung (A.4) durch Grenz¨ ubergang, den allgemeinen Fall erh¨ alt man mit einem Homogenit¨ atsargument. Nun zur Dreiecksungleichung: F¨ ur p = 1 ist sie trivial und f¨ ur 1 < p < ∞ gilt f¨ ur x, y ∈ lp   |x(i) + y(i)|p = |x(i) + y(i)| |x(i) + y(i)|p−1 ≤ |x(i)| + |y(i)| |x(i) + y(i)|p−1 , sowie nach Summation und Anwendung der H¨ olderschen Ungleichung mit q = p/(p − 1) (p−1)/p    . x + yplp ≤ xlp + ylp |x(i) + y(i)|p

F¨ ur x + ylp = 0 folgt die Dreiecksungleichung durch Division. Damit ist lp ein Vektorraum mit Norm ·lp . Wir zeigen die Vollst¨ andigkeit und beginnen mit dem Fall 1 ≤ p < ∞. F¨ ur eine Cauchy-Folge (xk )k∈ in lp folgt aus xk − xl lp ≤ ε ∀k, l ≥ K,


2.2 Endlich dimensionale R¨ aume

19

daß (xk (i) eine Cauchy-Folge in ist f¨ ur jedes i. Da vollst¨ andig ist, folgt die punktweise Konvergenz xk (i) → x(i) f¨ ur k → ∞. F¨ ur festes j ∈ gilt 





j  i=1

|xk (i) − xl (i)|p ≤ εp

und nach Grenz¨ ubergang l → ∞ j  i=1

|xk (i) − x(i)|p ≤ εp .

Die rechte Seite h¨ angt nicht von j ab, so daß auch xk − xlp ≤ ε und damit xk → x in lp und x = xk − (xk − x) ∈ lp . uhrt werden, indem die F¨ ur den Raum l∞ kann der Beweis analog gef¨ Summe durch das Supremum ersetzt wird. andigkeit von Sei (xk )k∈ eine Cauchy-Folge in c0 ( ). Wegen der Vollst¨ l∞ gibt es ein x ∈ l∞ mit 




|xk (i) − x(i)| ≤

1 ε 2

f¨ ur alle k ≥ K und i ∈ 

.

ur alle i ≥ I. Aus der mit |xK (i)| ≤ 12 ε f¨ Da xK ∈ c0 ( ), existiert ein I ∈ Dreiecksungleichung folgt f¨ ur diese i auch |x(i)| ≤ |xK (i) − x(i)| + |xK (i)| ≤ ε. Damit ist x ∈ c0 ( ) und der Raum vollst¨andig. 





2.2 Endlich dimensionale R¨ aume Definition 2.4. Zwei Normen  · 1 ,  · 2 eines linearen Raums X heißen a¨quivalent, wenn es Konstanten m, M > 0 gibt mit mx1 ≤ x2 ≤ M x1

∀x ∈ X.

¨ Aquivalente Normen erzeugen die gleiche Topologie. Davon wurde bereits in Beispiel 1.25 Gebrauch gemacht, als die Maximumsnorm auf C([0, a]) durch eine Gewichtsfunktion modifiziert wurde. Die Quintessenz dieses Abschnitts ist die einfache Tatsache, daß man bei endlich dimensionalen R¨ aumen unsere Begriffsbildungen nicht braucht und mit der u ¨blichen linearen Algebra auskommt. Es gibt keine topologischen Fragestellungen, denn jeder endlich dimensionale Raum l¨ aßt sich u ¨ber ein Skalarprodukt normieren. Satz 2.5. Auf einem endlich dimensionalen Raum sind alle Normen ¨aquivalent. Endlich dimensionale R¨aume sind Banach-R¨aume. Endlich dimensionale Unterr¨aume normierter R¨aume sind abgeschlossen und damit vollst¨andig.

20

2 Banach- und Hilbert-R¨ aume

Beweis. Sei e1 , . . . , en eine Basis des endlich dimensionalen n Raums (X,  · ). Jedem x ∈ X ordnen wir in der Entwicklung x = i=1 αi ei den Vektor α = (α1 , . . . , αn )T ∈ n zu. Die Abbildungen α → x → x sind stetig. Daher nimmt x auf der kompakten Menge {α : |α| = 1} Maximum und Minimum an. Das Minimum muß strikt positiv sein, denn α = 0 geh¨ ort nicht zu dieser Menge. Damit sind die Normen |α(x)| und x f¨ ur |α| = 1 ¨ aquivalent. ¨ Ein Homogenit¨atsargument liefert die Aquivalenz f¨ ur allgemeine x. Daher ist eine beliebige Norm ¨ aquivalent zur Norm |α(x)|. Die Vollst¨ andigkeit von X ⊔ ⊓ folgt aus der Vollst¨ andigkeit des Koeffizientenraums ( n , | · |). 



Auch bez¨ uglich der Kompaktheit nehmen endlich dimensionale R¨ aume eine ausgezeichnete Position ein. Wir bereiten das entsprechende Resultat mit einem n¨ utzlichen Lemma vor. Lemma 2.6 (Rieszsches Lemma). Ist U ein abgeschlossener echter Unterraum eines Banach-Raums X, so gibt es zu jedem 0 < λ < 1 ein xλ ∈ X mit xλ  = 1 und xλ − u ≥ λ ∀u ∈ U. Beweis. F¨ ur x ∈ / U gilt d = dist (x, U ) > 0, weil U abgeschlossen ist (siehe Aufgabe 1.17). Wegen λ < 1 gibt es ein uλ ∈ U mit d ≤ x − uλ  ≤ d/λ. Mit γ = 1/x − uλ  ≥ λ/d folgt f¨ ur xλ = γ(x − uλ ), daß xλ  = 1. F¨ ur alle u ∈ U ist dann

 1  λ xλ − u = γ(x − uλ ) − u = γ x − uλ + u ≥ · d = λ. γ d   ∈U

⊔ ⊓

Satz 2.7. Sei X ein Banach-Raum. Dann gilt: ˜1 (0) ist kompakt ⇔ X ist endlich dimensional. B Beweis. ⇐: Im letzten Satz hatten wir gesehen, daß endlich dimensionale R¨aume hom¨oomorph zu ( n , | · |) sind. ⇒: Zu einem beliebigen x1 , x1  = 1, setze U1 = span {x1 } und x2 = x1/2 mit x1/2 aus dem Rieszschen Lemma f¨ ur U = U1 . Mit U2 = span {x1 , x2 } wird die Konstruktion fortgesetzt. Wir erhalten eine Folge (xk ) mit xk  = 1 und ur alle j < k. Diese Folge enth¨ alt offenbar keine konvergente xk − xj  ≥ 1/2 f¨ Teilfolge. ⊔ ⊓ 

Dieses negative Resultat z¨ ahlt zu den entscheidenden Anstoßen, die zur Entwicklung der Funktionalanalysis gef¨ uhrt haben. Um Kompaktheitsschl¨ usse zu gestatten, werden sp¨ ater schwache“ Topologien definiert, die gr¨ ober als ” die Normtopologie sind.

2.3 Stetige lineare Abbildungen und der normierte Dualraum

21

2.3 Stetige lineare Abbildungen und der normierte Dualraum Wie in der linearen Algebra beweist man, daß f¨ ur eine lineare Abbildung T zwischen normierten R¨aumen der Nullraum N (T ) und der Bildraum R(T ) lineare R¨aume sind. Ist T u ¨berdies stetig, so ist der Nullraum als Urbild einer abgeschlossenen Menge ebenfalls abgeschlossen. Lemma 2.8. Seien X, Y normierte R¨aume und T : X → Y eine lineare Abbildung. Dann sind ¨aquivalent: (a) T ist stetig. (b) T ist im Nullpunkt stetig. (c) Der Ausdruck ist beschr¨ankt.

T X→Y =

T xY x∈X, x=0 xX sup

Beweis. (a)⇒(b) ist klar. (b)⇒(c): Zu ε = 1 gibt es ein δ > 0, so daß f¨ ur alle x mit xX = δ gilt ur xX = δ ist der Ausdruck in (c) beschr¨ ankt. F¨ ur allgemeine T xY ≤ 1. F¨ x = 0 setzen wir x ˜ = δx/xX , somit ˜ xX = δ, und erhalten das gew¨ unschte Resultat mit Hilfe der Homogenit¨at der Norm. at von T und aus (c) (c)⇒(a): F¨ ur eine Folge xk → x folgt aus der Linearit¨ T xk − T xY ≤ T X→Y xk − xX → 0.

⊓ ⊔

Aufgrund der Eigenschaft (c) nennen wir stetige lineare Abbildungen zwischen normierten R¨aumen auch beschr¨ankt. Direkt aus der Definition beweist man: Lemma 2.9. Seien X, Y, Z normierte R¨aume und T : X → Y, S : Y → Z stetige lineare Abbildungen. Dann gilt:   (a) T X→Y = sup T xY : x ∈ X, xX = 1 , (b) T xY ≤ T X→Y xX , (c) ST X→Z ≤ SY →Z T X→Y . Mit L(X, Y ) bezeichnen wir den Raum der linearen und beschr¨ ankten Abbildungen zwischen den normierten R¨aumen X und Y. Im Spezialfall X = Y schreiben wir k¨ urzer L(X). Satz 2.10. (L(X, Y ),  · X→Y ) ist ein normierter Raum. Wenn Y ein Banach-Raum ist, so ist auch L(X, Y ) ein Banach-Raum. Beweis. L(X, Y ) ist offenbar Vektorraum mit der Nullabbildung 0 : y → 0. Die Homogenit¨at der Norm folgt aus αT xY = |α| T xY und die Dreiecksungleichung aus

22

2 Banach- und Hilbert-R¨ aume

  (T1 + T2 )xY ≤ T1 xY + T2 xY ≤ T1 X→Y + T2 X→Y xX .

ur Sei nun Y vollst¨ andig und (Tk )k∈ eine Cauchy-Folge in L(X, Y ). F¨ jedes x ∈ X ist auch (Tk x) eine Cauchy-Folge in Y und hat einen Grenzwert, den wir T (x) nennen. Wir m¨ ussen zeigen, daß die so gewonnene Abbildung T linear und stetig ist. Die Linearit¨at folgt aus der punktweisen Konvergenz der Tk x,


T (x + y) = lim Tk (x + y) = lim(Tk x + Tk y) = T (x) + T (y), T (αx) = lim Tk (αx) = lim αTk (x) = αT (x). aßig Als Cauchy-Folge sind die Normen der Tk durch eine Konstante K gleichm¨ beschr¨ankt und es gilt T xY = lim Tk xY ≤ KxX . Nach Lemma 2.8 ist T stetig. In der Beziehung (Tk − Tl )xY ≤ εxX k¨onnen wir wegen Tl x → T x und der Stetigkeit der Norm zum Grenzwert l→∞u ⊔ ⊓ ¨ bergehen und erhalten Tk − T X→Y ≤ ε. Wegen dieses Satzes heißt T X→Y die Operatornorm von T . Definition 2.11. F¨ ur einen normierten Raum X heißt der Raum L(X, ) der Dualraum von X und wird k¨ urzer mit X ′ bezeichnet mit Norm  · X ′ = ′  · X→ . Die f ∈ X heißen stetige lineare Funktionale. 



Als Spezialfall erhalten wir aus dem vorigen Satz, daß der Dualraum eines normierten Raums vollst¨ andig ist. Beispiele 2.12 Da eine gleichm¨ aßige konvergente Folge stetiger Funktionen eine stetige Grenzfunktion besitzt, ist C([0, 1]) Banach-Raum unter der Norm x∞ = maxt∈[0,1] |x(t)| (siehe Abschnitt 2.5). (i) T : C([0, 1]) → C([0, 1]) mit  t x(τ ) dτ T x(t) = 0

ist offenbar linear mit T x∞ ≤ x∞ . Die Funktion x(t) = 1 beweist T ∞→∞ = 1. (ii) Das Funktional f : C([−1, 1]) → mit  0  1 f x(t) = − x(τ ) dτ + x(τ ) dτ −1

0

ist ebenfalls linear mit |f x| ≤ 2x∞ . Dieses Beispiel zeigt, daß in der Definition der Operatornorm das Supremum nicht angenommen werden muß. Es l¨aßt sich leicht eine Folge stetiger, st¨ uckweise linearer Funktionen xk konstruieren mit xk → sign (x) punktweise und |f xk | → 2.

2.3 Stetige lineare Abbildungen und der normierte Dualraum

23

(iii) Sei X der Raum der endlichen Folgen versehen mit der Norm  · l2 . Das Funktional f (x) = i ix(i) ist linear auf X, aber offenbar unbeschr¨ ankt. Die Konstruktion eines unstetigen linearen Funktionals gelingt hier leicht, weil onnen die linear unabh¨ angige Menge (X,  · l2 ) nicht vollst¨andig ist. Wir k¨ {ek }k∈ mit {ei }i∈I zu einer Basis (im Sinne der linearen Algebra) erg¨ anzen und f (ei ) = 0 setzen. Damit ist das unstetige Funktional auf ganz l2 defiahlbar dimensional. niert. Wie in Aufgabe 3.5 bewiesen wird, ist l2 u ¨berabz¨ Daher ist die Indexmenge I u ahlbar und f¨ ur die Angabe von {ei }i∈I ¨berabz¨ wird das Auswahlaxiom verwendet, so daß wir die Struktur dieser Auswahl nicht kennen. Es ist daher nicht m¨ oglich, die Werte f (x) f¨ ur x ∈ / span {ek }k∈ explizit anzugeben. Ist andererseits ein Operator auf einem Banach-Raum definiert und wird er ohne Verwendung des Auswahlaxioms konstruiert, so ist er stetig.





Beispiel 2.13 (Die Dualr¨aume von lp ). Wir setzen das Beispiel 2.3 fort und zeigen, daß f¨ ur 1 < p < ∞ gilt lp′ ∼ = lq mit q = p/(p − 1) sowie l1′ ∼ = l∞ . In Aufgabe 2.18 wird u ¨ berdies bewiesen, daß c0 ( )′ ∼ = l1 . Sei zun¨achst 1 < p < ∞. Jedem f ∈ lp′ k¨ onnen wir mit y(i) = f (ei ) eine Zahlenfolge zuordnen, wobei ei die kanonischen Einheitsvektoren bezeichnen. Wir zeigen nun, daß die Abbildung T : f → y ein isometrischer Isomorphismus ur k → ∞ ist die Reihe T : lp′ → lq ist. Wegen i≥k |x(i)|p → 0 f¨ 

x=

∞ 

x(i)ei

(2.1)

i=1

normkonvergent. Linearit¨ at und Stetigkeit von f liefern daher f (x) = Mit der speziellen Wahl
x(i) =

erhalten wir f¨ ur k ∈ k  i=1

∞ 

x(i)y(i).

i=1

|y(i)|q /y(i)

0

falls i ≤ k und y(i) = 0 sonst



|y(i)|q = f (x) ≤ f lp′ xlp = f lp′

und f¨ ur k → ∞ lp′

ylq ≤ f lp′ .

k  i=1

|y(i)|q

1/p

,

at von T ist klar. Da wir Damit bildet T den Raum auf lq ab. Die Linearit¨ aus der H¨olderschen Ungleichung u ¨ berdies |f (x)| ≤ xlp ylq erhalten, ist gezeigt, daß T eine Isometrie ist. ′ ∼  l1 . Ein Ganz analog beweist man l1′ ∼ = l∞ . Es sei noch bemerkt, daß l∞ = entsprechender Beweisversuch scheitert daran, daß die Reihe (2.1) in l∞ nicht konvergiert.

24

2 Banach- und Hilbert-R¨ aume

Der folgende Satz ist sehr n¨ utzlich f¨ ur die Konstruktion von stetigen linearen Abbildungen. Satz 2.14. Seien X, Y Banach-R¨aume, M ein dichter Unterraum von X und T : M → Y stetig und linear. Dann gibt es genau eine Fortsetzung T˜ ∈ L(X, Y ) mit T˜ |M = T und T M →Y = T˜X→Y . Beweis. Zu x ∈ X gibt es eine Folge (xk ) in M mit xk → x. Aufgrund der Absch¨atzung T (xk − xl )Y ≤ T M →Y xk − xl X (2.2)

ist auch (T xk ) Cauchy-Folge in Y und besitzt einen Grenzwert, den wir T˜x nennen. Dieser Grenzwert ist unabh¨ angig von der Cauchy-Folge, denn wenn zwei Cauchy-Folgen gegen x konvergieren, so ist die Differenzenfolge eine Nullfolge und aus (2.2) folgt die Eindeutigkeit von T˜x. Wie u ¨blich zeigt man direkt ur alle aus der Definition die Linearit¨at von T˜. Aus T xY ≤ T M →Y xX f¨ x ∈ M erh¨alt man f¨ ur eine Folge xk → x, xk ∈ M, durch Grenz¨ ubergang T˜xY ≤ T M →Y xX und daher T˜X→Y ≤ T M →Y . Die umgekehrte Richtung ist trivial. ⊔ ⊓ Definition 2.15. Seien X, Y Banach-R¨aume. Eine Abbildung T : X → Y heißt kompakt, wenn sie beschr¨ankte Mengen in X auf relativ kompakte Mengen in Y abbildet.

Offenbar ist eine kompakte lineare Abbildung stetig, denn das Bild der abgeschlossenen Einheitskugel ist eine beschr¨ankte Menge, so daß T X→Y = supx=1 T x existiert. Wir k¨ onnen kompakte Abbildungen auch ¨ aquivalent dadurch charakterisieren, daß sie beschr¨ ankte Folgen auf Folgen abbildet, die eine konvergente Teilfolge besitzen. Definition 2.16. Seien X, Y Banach-R¨aume mit X ⊂ Y. Wir sagen, daß X eingebettet werden kann in Y und schreiben dann X → Y, wenn X ein Unterraum von Y ist mit stetiger Identit¨at Id : X → Y, Id(x) = x. Es gilt dann die Absch¨atzung xY ≤ cxX

∀x ∈ X.

Die Einbettung X → Y heißt kompakt, wenn die Identit¨at eine kompakte lineare Abbildung ist. Die Einbettung X → Y heißt dicht, wenn Id(X) dicht in Y ist. Wenn X, Y endlich dimensionale R¨aume sind mit X ⊂ Y, dann ist die Einbettung zwischen X und Y kompakt, denn die Identit¨ at bildet beschr¨ ankte Mengen auf beschr¨ ankte und damit relativ kompakte Mengen ab. Im unendlich dimensionalen Banach-Raum sind die Verh¨ altnisse komplizierter; so ist die Einbettung eines unendlich dimensionalen Banach-Raums in sich selbst nie kompakt.

2.3 Stetige lineare Abbildungen und der normierte Dualraum

25

Beispiel 2.17. Seien lp die Banach-R¨ aume aus Beispiel 2.3. Offenbar gilt lp ⊂ l∞ mit stetiger Einbettung wegen xl∞ ≤ xlp . Diese Einbettung ist aber nicht kompakt, denn die Folge (ek ) mit ek (i) = δki ist beschr¨ ankt in lp , besitzt aber keine konvergente Teilfolge in l∞ . Als n¨achstes geben wir ein Beispiel f¨ ur eine nichttriviale kompakte Abbildung. Beispiel 2.18. Wir betrachten die Abbildung T : l∞ → l∞ ,

(T x)(i) =

1 x(i). i

Die R-Kugel wird dabei auf die Menge  R M = x ∈ l∞ : |x(i)| ≤ , i

i∈ 



(2.3)

abgebildet. Wir zeigen nun, daß M und damit T kompakt ist. Dazu beweisen wir, daß jede Folge (xk )k∈ in M eine konvergente Teilfolge besitzt. Dies geschieht durch ein Argument, das Auswahl der Diagonalfolge“ genannt wird. ” aufungspunkt y(1) Da die Folge (xk (1))k∈ beschr¨ankt ist, besitzt sie einen H¨ und es existiert eine Teilfolge (xk )k∈N1 , N1 ⊂ , so daß (xk (1))k∈N1 gegen y(1) konvergiert. Wir schreiben diese Teilfolge in die erste Zeile einer quadratischen Tafel. Aus dieser Teilfolge k¨onnen wir wiederum eine Teilfolge (xk )k∈N2 , N2 ⊂ N1 , ausw¨ahlen mit xk (2) → y(2), k ∈ N2 . Diese Teilfolge schreiben wir in die zweite Zeile der Tafel. Durch fortgesetzte Auswahl von Teilfolgen f¨ ullen wir die gesammte Tafel, so daß die Teilfolge in Zeile k in den ersten k Komponenten konvergiert. Die Teilfolge in der Diagonalen konvergiert damit ur alle i. Wir m¨ ussen die punktweise in allen Komponenten, xk (i) → y(i) f¨ gleichm¨aßige Konvergenz dieser Teilfolge zeigen. Zu einem beliebig vorgegebenem ε > 0 gibt es ein I ∈ mit |x(i)| ≤ ε f¨ ur alle x ∈ M und i > I. Weil punktweise Konvergenz gleichm¨aßig ist auf endlichen Indexmengen, gibt ur 1 ≤ i ≤ I und k ≥ K. F¨ ur k ≥ K gilt es ein K ∈ mit |xk (i) − y(i)| ≤ ε f¨











xk − yl∞ = sup |xk (i) − y(i)| ≤ sup |xk (i) − y(i)| + sup |xk (i) − y(i)| i∈

i≤I




i>I

≤ ε + sup |xk (i)| + sup |y(i)| ≤ 3ε, i>I

i>I

und daher xk → y in der Norm  · l∞ . Ein im Grunde einfacherer Beweis l¨ aßt sich mit Hilfe der Pr¨ akompaktheit ¨ f¨ uhren, was dem Leser als Ubung empfohlen wird. Lemma 2.19. Seien X, Y, Z Banach-R¨aume mit Einbettungen X → Y → Z. Wenn eine dieser Einbettungen kompakt ist, so ist auch die Einbettung X → Z kompakt.

26

2 Banach- und Hilbert-R¨ aume

Beweis. Eine stetige lineare Abbildung bildet beschr¨ ankte Mengen auf beschr¨ankte ab und konvergente Folgen auf konvergente Folgen. Wenn daher (xk ) eine beschr¨ankte Folge in X ist, und die Einbettung X → Y kompakt ist, so k¨onnen wir eine konvergente Teilfolge in Y ausw¨ ahlen, die auf eine konvergente Folge in Z abgebildet wird. Der andere Fall wird analog untersucht. ⊔ ⊓

2.4 Hilbert-R¨ aume Im folgenden bezeichnet der Querstrich die komplexe Konjugation (z = x+iy, z = x − iy). Wenn der zugrunde liegende Vektorraum reell ist, so hat er keine Bedeutung. Definition 2.20. Sei X ein linearer Raum u ¨ber . Eine Abbildung (·, ·) : X ×X → heißt inneres Produkt oder Skalarprodukt in X, wenn die folgenden Bedingungen (a) (α1 x1 + α2 x2 , x3 ) = α1 (x1 , x3 ) + α2 (x2 , x3 ) (Linearit¨at), 



(b) (x1 , x2 ) = (x2 , x1 ) (Antisymmetrie), (c) (x, x) > 0 f¨ ur x = 0 (Definitheit), erf¨ ullt sind, wobei αi ∈ und xi ∈ X. 

Wegen (b) ist (x, x) ∈ . Aus (a) und (b) folgt, daß das innere Produkt eine Sesquilinearform ist, d.h. es ist linear in der ersten Komponente und antilinear in der zweiten, (x1 , α2 x2 + α3 x3 ) = (α2 x2 + α3 x3 , x1 ) = α2 (x1 , x2 ) + α3 (x1 , x3 ). Im Fall reeller R¨ aume ist das innere Produkt eine Bilinearform. Als erstes wollen wir nachweisen, daß ein Raum mit innerem Produkt gleichzeitig ein normierter Raum mit Norm xX = (x, x)1/2 ist. Dazu ben¨ otigen wir ein vorbereitendes Lemma. Lemma 2.21 (Cauchy-Ungleichung). In einem Raum mit innerem Produkt gilt f¨ ur alle x, y |(x, y)| ≤ xX yX . Beweis. Aus den Axiomen f¨ ur das innere Produkt erhalten wir   0 ≤ (αx + y, αx + y) = |α|2 x2X + 2Re α(x, y) + y2X .

Wir k¨onnen x = 0 voraussetzen und w¨ahlen α = −(x, y)/x2X , also 0 ≤ αx + y2X = y2X −

Damit ist die Ungleichung bewiesen.

|(x, y)|2 . x2X ⊔ ⊓

2.4 Hilbert-R¨ aume

27

Lemma 2.22. xX = (x, x)1/2 ist eine Norm auf X. Beweis. Die beiden ersten Normaxiome folgen direkt aus der Definition der Sesquilinearform, die Dreiecksungleichung beweist man mit Hilfe der CauchyUngleichung x + y2X = x2X + 2Re (x, y) + y2X ≤ x2X + 2xX yX + y2X = (xX + yX )2 .

⊔ ⊓

Aus der Cauchy-Ungleichung folgt die Stetigkeit des inneren Produkts ( , ) : X × X → ; f¨ ur xk → x und yk → y gilt 

|(xk , yk ) − (x, y)| = |(xk − x, yk ) + (x, yk − y)| ≤ xk − xX yk X + xX yk − yX → 0. Durch direkte Rechnung beweist man die Parallelogramm-Gleichung 2x2X + 2y2X = x + y2X + x − y2X .

(2.4)

Definition 2.23. Ein linearer Raum mit innerem Produkt, der vollst¨andig ist bez¨ uglich der induzierten Norm  · X = (·, ·)1/2 , heißt Hilbert-Raum. Ein Hilbert-Raum ist damit ein spezieller Banach-Raum. Im Gegensatz zu endlich dimensionalen R¨ aumen geht nicht jeder unendlich dimensionale Banach-Raum aus einem Hilbert-Raum hervor. Beispiele 2.24 (i) Sei (·, ·)X ein inneres Produkt auf X =

n

. Mit

aij = (ei , ej )X gilt f¨ ur die zugeh¨ orige Matrix A = (aij )i,j=1,...,n , daß (x, y)X = (Ax, y). Aus den Axiomen f¨ ur das innere Produkt folgt A = AT und (Ax, x) > 0 f¨ ur x = 0. Damit ist jedes innere Produkt des n von der Form (Ax, y) mit einer symmetrischen und positiv-definiten Matrix A ∈ n×n . Ferner gilt f¨ ur diese Matrizen die Cauchy-Ungleichung |(Ax, y)| ≤ (Ax, x)1/2 (Ay, y)1/2 . (ii) ∞ Der Raum l2 ist Hilbert-Raum mit innerem Produkt (x, y) = i=1 x(i)y(i).  (iii) Auf dem Raum C([0, 1]) ist das innere Produkt (x, y) = x(τ )y(τ ) dτ erkl¨art. Wie in Kapitel 4 ausgef¨ uhrt wird, ist der zugeh¨ orige normierte Raum unvollst¨andig, C([0, 1]) mit diesem inneren Produkt daher kein Hilbert-Raum.

28

2 Banach- und Hilbert-R¨ aume

Jedem x ∈ X kann ein lineares Funktional fx (y) = (y, x) zugeordnet werden, das wegen |fx (y)| ≤ yX xX auch stetig ist. Die Frage, ob die damit verbundene Abbildung j : X → X ′ , x → fx , bijektiv ist, kann positiv beantwortet werden: Satz 2.25 (Rieszscher Darstellungssatz). (a) Zu jedem stetigen linearen Funktional f in einem Hilbert-Raum X gibt es genau ein x ∈ X mit (y, x) = f (y)

∀y ∈ X

(2.5)

und f X ′ = xX , die zugeh¨orige Abbildung j : X → X ′ , x → (·, x), ist eine bijektive, antilineare Isometrie. (b) Das x in (2.5) ist auch die eindeutig bestimmte L¨osung des Problems F (y) = (y, y) − 2Re f (y) → Min

unter allen y ∈ X.

(2.6)

Beweis. Wir zeigen als erstes die Existenz eines Minimums in (2.6). Mit der Youngschen Ungleichung (A.1) folgt F (y) = (y, y) − 2Re f (y) ≥ y2X − 2f X ′ yX ≥ −f X ′ , F ist daher nach unten beschr¨ ankt und d = inf F (y) existiert. Wir w¨ ahlen eine Minimalfolge (yk ), also F (yk ) → d. Aus der Parallelogrammgleichung (2.4) folgt yk − yl 2X = 2yk 2X + 2yl 2X − yk + yl 2X

yk + yl 2  

+ 8Re f yk + yl = 2yk 2X − 4Re f (yk ) + 2yl 2X − 4Re f (yl ) − 4

2 2  yk + yl  = 2F (yk ) + 2F (yl ) − 4F ≤ 2F (yk ) + 2F (yl ) − 4d → 0. 2

Damit ist (yk ) Cauchy-Folge und konvergiert gegen ein x ∈ X. Aus der Steund tigkeit von F folgt F (x) = d und x ist ein Minimum. F¨ ur jedes ξ ∈ y ∈ X gilt folglich F (x) ≤ F (x + ξy), daher 

0 ≤ 2Re ξ(y, x) − 2Re ξf (y) + |ξ|2 y2X . Wir w¨ahlen hier speziell ξ = ta mit reellem t > 0, teilen durch t, gehen zum = Grenzwert t → 0 u ahlen anschließend a = ±1 sowie bei ¨ber und w¨ zus¨atzlich a = ±i. Dann folgt 0 = 2(y, x) − 2f (y), das ist (2.5). Die Gleichung (2.5) besitzt daher mindestens eine L¨ osung. Sind x1 , x2 L¨ osungen, so folgt (y, x1 −x2 ) = 0 f¨ ur alle y ∈ X. Setzen wir hier y = x1 −x2 , so x1 = x2 . Da jede L¨ osung des Minimierungsproblems der Variationsgleichung gen¨ ugt, letztere aber eindeutig l¨osbar ist, ist auch das Minimierungsproblem eindeutig l¨osbar. Die Identit¨at f X ′ = xX folgt zum einen aus der Cauchy-Ungleichung 



2.4 Hilbert-R¨ aume

f X ′ = sup y =0

29

|(y, x)| yX xX ≤ sup = xX , yX yX y =0

und zum anderen aus x2X = (x, x) = f (x) ≤ f X ′ xX . Mit f = j(x) ist j eine bijektive Isometrie. j ist antilinear, weil das innere Produkt antilinear in der zweiten Komponente ist. ⊔ ⊓ Auch wenn die Abbildung j f¨ ur einen komplexen Hilbert-Raum keine lineare Isometrie ist, so ist die Antilinearit¨at offenbar ausreichend, um die R¨ aume X und X ′ miteinander zu identifizieren. Die intuitive Bedeutung des inneren Produkts ist ¨ ahnlich wie im endlich dimensionalen Fall, was durch die folgende Definition unterstrichen wird. Definition 2.26. Zwei Elemente x, y eines Hilbert-Raums heißen orthogonal, wenn (x, y) = 0, was auch mit x ⊥ y bezeichnet wird. Zu einer Teilmenge A eines Hilbert-Raums heißt A⊥ = {x ∈ X : x ⊥ A} das orthogonale Komplement von A. A⊥ ist als Durchschnitt der Nullr¨aume von fy (x) = (x, y), y ∈ A, ein abgeschlossener Unterraum. Die Beziehung A ⊂ A⊥⊥ = (A⊥ )⊥ folgt direkt aus der Definition. Zu einem Hilbert-Raum X und einem Unterx raum A definieren wir ebenfalls in Anlehnung an den endlich dimensionalen Fall die orthogonale Projektion P : X → A durch die Bedingung (P x, y) = (x, y) ∀y ∈ A,

(2.7)

Px 0

also x − P x ⊥ A.

A

Satz 2.27 (Projektionssatz). Sei A ein nichtleerer abgeschlossener Unterraum eines Hilbert-Raums X. (a) Die Abbildung P in (2.7) existiert und ist eindeutig bestimmt. P ist linear und stetig. Falls A = {0}, so P X→X = 1. (b) Zu jedem x ∈ X gibt es eine eindeutige Darstellung x = y + z mit y = P x ∈ A und z ∈ A⊥ . (c) Es gilt A = A⊥⊥ .

Beweis. (a) Als erstes wird gezeigt, daß in d = dist (x, A) = inf x − yX . y∈A

30

2 Banach- und Hilbert-R¨ aume

das Infimum angenommen wird. Das Funktional F (y) = x − y2X = x2X − 2Re (y, x) + y2X ,

y ∈ A,

besitzt die gleiche Struktur wie (2.6): (·, x) ist ein stetiges lineares Funktional und x2X ist lediglich eine Konstante. Da der abgeschlossene Unterraum A selber Hilbert-Raum ist, nimmt nach dem Rieszschen Darstellungssatz 2.25 das Funktional F das Minimum im eindeutig bestimmten Punkt P x ∈ A an, der der Variationsgleichung (y, P x) = (y, x) ∀y ∈ A. gen¨ ugt. P : X → A ist offenbar linear. P X→X ≤ 1 erh¨ alt man mit (P x, P x) = (x, P x) ≤ xX P xX . P X→X = 1 folgt aus P y = y f¨ ur alle y ∈ A. (b) Aus x = y + z folgt (x, w) = (y, w) f¨ ur alle w ∈ A, womit nach (a) y = P x eindeutig bestimmt ist. (c) Bezeichnen wir hier die orthogonale Projektion in den abgeschlossenen Unterraum A mit PA , so folgt aus (b) Id − PA = PA⊥ , also auch Id − PA⊥ = PA⊥⊥ , zusammen daher PA = PA⊥⊥ und A = A⊥⊥ . ⊔ ⊓ Nun beweisen wir eine Verallgemeinerung des Rieszschen Darstellungssatzes auf unsymmetrische Sesquilinearformen. Definition 2.28. Eine Sesquilinearform b : X × X → wenn es eine Konstante cb gibt mit |b(x, y)| ≤ cb xX yX



heißt beschr¨ ankt,

∀x, y ∈ X,

und sie heißt koerziv, wenn es eine Konstante ce > 0 gibt mit |b(x, x)| ≥ ce x2X

∀x ∈ X.

Satz 2.29 (Lax-Milgram). Sei b(·, ·) eine beschr¨ankte und koerzive Sesquilinearform auf dem Hilbert-Raum X. Dann gibt es ein bijektives R ∈ L(X), so daß f¨ ur jedes x ∈ X b(y, Rx) = (y, x)

∀y ∈ X.

(2.8)

−1  ≤ cb . Ferner gilt R ≤ c−1 e , R

Anmerkungen 2.30 (i) Nach dem Rieszschen Darstellungssatz gibt es damit ˜ ) = f (y) f¨ ˜ : X ′ → X mit b(y, Rf ur alle y ∈ X. auch einen stetigen Operator R ˜ Der Operator R gen¨ ugt den gleichen Absch¨ atzungen wie R. (ii) Sei X ∗ der Raum der stetigen, antilinearen Funktionale auf X, also der stetigen f mit f (x + y) = f (x) + f (y) und f (αx) = αf (x). Da die komplexe Konjugation f → f eine bijektive antilineare Isometrie zwischen X ′ und X ∗ ist, besitzen die beiden R¨ aume die gleiche Struktur. Man nennt X ∗ den Antidualraum von X. Im Zusammenhang mit Hilbert-R¨ aumen ist er nat¨ urlicher

2.5 R¨ aume stetiger Funktionen und der Satz von Arzela-Ascoli

31

als der Dualraum, denn in vielen Anwendungen ist zu f ∈ X ∗ ein R∗ f ∈ X gesucht mit b(R∗ f, y) = f (y) ∀y ∈ X. Man f¨ uhrt dieses Problem auf (2.8) zur¨ uck, indem man diese Gleichung auf beiden Seiten komplex konjugiert und b∗ (y, x) = b(x, y) setzt. b∗ ist ebenfalls eine beschr¨ankte, koerzive Sesquilinearform, adjungierte Sesquilinearform genannt, und die zugeh¨orige rechte Seite f liegt in X ′ . R∗ : X ∗ → X besitzt die gleichen Stetigkeitseigenschaften wie R. Beweis. Das Funktional b(·, x) ist linear und stetig mit b(·, x)X ′ ≤ cb xX . Nach dem Darstellungssatz von Riesz existiert daher genau ein T x mit b(y, x) = (y, T x) f¨ ur alle y ∈ X. Da beide Formen sesquilinear sind, ist T : X → X linear und wegen T x2X = (T x, T x) = b(T x, x) ≤ cb T xX xX ,

(2.9)

auch stetig. Wegen ce x2X ≤ |b(x, x)| = |(T x, x)| ≤ T xX xX ,

(2.10)

ist N (T ) = {0}. Weiter folgt aus dieser Absch¨ atzung, daß der Bildraum R(T ) abgeschlossen ist. Denn wenn f¨ ur eine Folge (xk ) gilt T xk → y, so liefert (2.10) xk − xl  ≤ c−1 e T xk − T xl . Damit ist (xk ) eine Cauchy-Folge, also xk → x und wegen der Stetigkeit von T auch T xk → T x = y. Sei x0 ⊥ R(T ). Aus (x0 , T x) = 0 f¨ ur alle x ∈ X folgt 0 = (x0 , T x0 ) = b(x0 , x0 ) ≥ ce x0 2X und damit x0 = 0. Da R(T ) abgeschlossen ist, erhalten wir R(T ) = X. Damit ist T bijektiv und R = T −1 . Die Normabsch¨ atzungen f¨ ur R folgen aus (2.9) und (2.10), indem man dort x durch T −1 x ersetzt. ⊔ ⊓

2.5 R¨ aume stetiger Funktionen und der Satz von Arzela-Ascoli Sei X ein kompakter metrischer Raum und C(X) der Raum der auf X stetigen, -wertigen Funktionen mit Norm 

u∞ = max |u(x)|. x∈X

Da u und | · | stetig sind, existiert das Maximum von |u(·)| wegen Satz 1.34. Der Spezialfall X = K ⊂ n mit einer kompakten Menge K ist f¨ ur viele Anwendungen interessant genug. Mit gleichem Beweis wie in diesem Spezialfall zeigt man, daß die Elemente von C(K) gleichm¨ aßig stetig sind (siehe Aufgabe 2.21). Satz 2.31. (C(X),  · ∞ ) ist Banach-Raum.

32

2 Banach- und Hilbert-R¨ aume

Beweis. Die Axiome einer Norm sind offenbar erf¨ ullt. Die Konvergenz uk → u in dieser Norm ist die gleichm¨aßige Konvergenz. Wenn (uk ) eine Cauchy-Folge ist, so bedeutet das max |uk (x) − ul (x)| < ε x∈X

∀k, l ≥ K,

(2.11)

insbesondere auch, daß (uk (x)) f¨ ur alle x ∈ X Cauchy-Folge in ist. Es gibt also eine Funktion u(x) mit uk (x) → u(x) punktweise in . Da der Betrag stetig ist, k¨onnen wir in (2.11) zum Grenzwert l → ∞ u ¨bergehen und erhalten 



max |uk (x) − u(x)| ≤ ε ∀k ≥ K, x∈X

woraus die gleichm¨ aßige Konvergenz folgt. Wir m¨ ussen nun zeigen, daß diese Grenzfunktion stetig ist, was im Fall X = K ⊂ n ein wohlbekannter Satz der reellen Analysis ist. Der Beweis verl¨auft hier v¨ ollig analog: Sei x ∈ X und ε > 0 vorgegeben. Dann gibt es ein k mit u−uk ∞ ≤ ε und eine Kugel Bδ (x) ur alle y ∈ Bδ (x). Aus der Dreiecksungleichung folgt mit |uk (x) − uk (y)| ≤ ε f¨ dann |u(x) − u(y)| ≤ |u(x) − uk (x)| + |uk (x) − uk (y)| + |uk (y) − u(y)| ≤ 3ε. Damit ist u stetig und (C(X),  · ∞ ) vollst¨ andig.

⊔ ⊓

Nun untersuchen wir die relativ kompakten Teilmengen von C(X). Definition 2.32. Eine Menge E ⊂ C(X) heißt gleichgradig stetig, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit |u(x) − u(y)| ≤ ε

f¨ ur alle x, y ∈ X mit d(x, y) ≤ δ und f¨ ur alle u ∈ E.

In der gleichgradigen Stetigkeit muß das gesuchte δ unabh¨ angig von u ∈ E sein. Ein Beispiel f¨ ur eine nicht gleichgradig stetige Funktionenmenge ist uα (x) = xα ∈ C([0, 1]) f¨ ur 0 < α ≤ 1. Satz 2.33 (Arzela-Ascoli). Wenn die Funktionen in einer Menge E ⊂ C(X) gleichm¨aßig beschr¨ankt und gleichgradig stetig sind, so ist E relativ kompakt in C(X). Beweis. Sei (uk )k∈ eine gleichm¨aßig beschr¨ ankte und gleichgradig stetige Folge von Funktionen. Wir m¨ ussen zeigen, daß sie eine gleichm¨ aßig konvergente Teilfolge besitzt. Nach Satz 1.33 existiert eine abz¨ ahlbare dichte Teilmenge {xm }m∈ von X. Mit dem Diagonalfolgenargument aus Beispiel 2.18 erhalten wir eine Teilfolge, die wieder mit (uk )k∈ bezeichnet wird, mit uk (xm ) → vm f¨ ur alle m ∈ . Im folgenden zeigen wir die gleichm¨ aßige Konvergenz dieser Teilfolge. Sei ε > 0 vorgegeben und sei δ > 0 das zugeh¨orige δ aus der Definition der gleichgradigen Stetigkeit. Aufgrund der Kompaktheit von X gibt es eine endliche










2.5 R¨ aume stetiger Funktionen und der Satz von Arzela-Ascoli

33

¨ Uberdeckung {Bi }1≤i≤I von X mit Kugeln Bi vom Durchmesser δ. Aus der gleichgradigen Stetigkeit erhalten wir |uk (x) − uk (y)| ≤ ε ∀x, y ∈ Bi . Zu jedem Bi gibt es einen Punkt xi in der dichten Teilmenge {xm } mit xi ∈ Bi . Die punktweise Konvergenz der uk liefert ein k0 ∈ mit 

|uk (xi ) − ul (xi )| ≤ ε

f¨ ur alle k, l ≥ k0 und i = 1, . . . , I.

Sei x ∈ X ein beliebiger Punkt und Bi eine Kugel mit x ∈ Bi . Aus den oben hergeleiteten Absch¨ atzungen folgt f¨ ur k, l ≥ k0 |uk (x) − ul (x)| ≤ |uk (x) − uk (xi )| + |uk (xi ) − ul (xi )| + |ul (xi ) − ul (x)| ≤ 3ε. ⊔ ⊓

Damit ist die Teilfolge (uk ) gleichm¨aßig konvergent.

Es gilt auch die umgekehrte Richtung dieses Satzes. Anstatt dies zu beweisen, u ufen wir die Notwendigkeit der Voraussetzungen. Als erstes sieht man ¨berpr¨ leicht, daß die oben angegebene Menge uα (x) = xα nicht relativ kompakt in C([0, 1]) ist. Um zu zeigen, daß auch die Kompaktheit von X notwendig ist, w¨ahlen wir beispielsweise u = x2 (1 − x)2 in (0, 1) und u = 0 in \ (0, 1). Die Folge uk ∈ C( ) mit uk (x) = u(x + k),

k∈ 

.

konvergiert punktweise, aber nicht gleichm¨ aßig gegen die Nullfunktion. Nach Lemma 1.26 gilt aber |uk (x) − uk (y)| ≤ K|x − y|

∀k ∈ 

,

was die gleichgradige Stetigkeit der Funktionenfolge impliziert. Beispiel 2.34. Wir setzen das in Beispiel 1.25 begonnene Studium des Anfangswertproblems x′ (t) = f (t, x(t)), fort, wobei f : [0, a0 ] ×

n

→

x(0) = x0 ∈ n

n

vorgegeben,

(2.12)

hier nur als stetig vorausgesetzt wird.

Satz 2.35. Sei f stetig in einer Umgebung U von (0, x0 ) ∈ n+1 . Dann existiert ein a > 0, so daß das Anfangswertproblem im Intervall [0, a] mindestens eine L¨osung besitzt. Beweis. Wie in Beispiel 1.25 gezeigt, ist die Differentialgleichung ¨ aquivalent zur Aufgabe  t f (τ, x(τ )) dτ. (2.13) x(t) = x0 + 0

F¨ ur α > 0 betrachten wir die Funktionen

34

2 Banach- und Hilbert-R¨ aume

xα (t) =




f¨ ur t ≤ 0,

x0 x0 +

t 0

f (τ, xα (τ − α)) dτ f¨ ur t ≥ 0

.

(2.14)

Durch diese Vorschrift ist xα eindeutig bestimmt, denn um beispielsweise auf das Intervall [0, α] zuzugreifen, werden von xα nur die Werte im Intervall [−α, 0] ben¨otigt. Wegen |f | ≤ K in U ′ ⊂⊂ U folgt |xα (t)| ≤ |x0 | + Kt f¨ ur t ∈ [0, a] f¨ ur gen¨ ugend klein gew¨ ahltes a > 0. Da die Funktionen xα wegen |x′ | ≤ K gleichgradig stetig sind, existiert nach dem Satz von Arzela-Ascoli eine Folge αk → 0 mit xαk → x gleichm¨aßig im Intervall [0, a]. In der Absch¨ atzung |xαk (t − αk ) − x(t)| ≤ |xαk (t − αk ) − xαk (t)| + |xαk (t) − x(t)| konvergieren aufgrund der gleichgradigen Stetigkeit und der gleichm¨ aßigen Konvergenz beide Terme auf der rechten Seite gegen Null. Aus dem Grenz¨ ubergang αk → 0 in (2.14) folgt, daß x eine L¨ osung der Integralgleichung (2.13) ist. ⊔ ⊓ √ Die Differentialgleichung x′ = 2 x, x(0) = 0, besitzt die stetig differenzierbaren L¨osungen
0 f¨ ur t ≤ τ, τ ≥ 0. xτ (t) = (t − τ )2 f¨ ur t ≥ τ, Wir k¨onnen daher keine eindeutige L¨ osung erwarten.

2.6 Die Ho aume C m,α(Ω) ¨lder-R¨ Definition 2.36. Ω ⊂ n heißt Gebiet, wenn Ω offen und zusammenh¨angend ist. Ω0 heißt kompakt enthalten in Ω (Schreibweise Ω0 ⊂⊂ Ω), wenn Ω0 kompakt und in Ω enthalten ist. F¨ ur eine Funktion u : Ω → heißt 

supp(u) = {x ∈ Ω : u(x) = 0} der Tr¨ager (engl. support) von u. Ist Ω0 ⊂⊂ Ω, so besitzen Ω und Ω0 einen positiven Randabstand, dist (∂Ω, ∂Ω0 ) > 0 (Ω0 ist kompakt!). Definition 2.37. Sei Ω ein Gebiet des n . Zu m ∈ 0 ist C m (Ω) der Raum der reell- oder komplexwertigen Funktionen, die auf Ω definiert und dort mm mal stetig differenzierbar sind. Weiter ist C ∞ (Ω) = ∩∞ m=0 C (Ω) der Raum m der unendlich oft differenzierbaren Funktionen. C0 (Ω) und C0∞ (Ω) sind die Unterr¨aume von C m (Ω) bzw. C ∞ (Ω), die aus Funktionen mit kompaktem Tr¨ager in Ω bestehen. 

2.6 Die H¨ older-R¨ aume C m,α (Ω)

35

ager innerhalb von Ω, sie und ihre Die Funktionen in C0m (Ω) besitzen einen Tr¨ Ableitungen m¨ ussen daher in einer Umgebung von ∂Ω verschwinden. ∂ u nach dem i-ten EinheitsDie partiellen Ableitungen erster Ordnung ∂x i urzer als Di u geschrieben. Der Gradient einer Funktion u vektor ei werden k¨ ist der Vektor Du = (D1 u, .., Dn u)T . Entsprechend k¨onnen die partiellen Ableitungen der Ordnung m in Form eines Tensors angeordnet werden, Dm u = (Di1 ,...,im u)1≤ij ≤n . Bei Tensoren bezeichnet der Absolutbetrag die euklidische Norm, beispiels 2 weise ist |D 2 u|2 = i,j |Dij u|2 .

Definition 2.38. Ein Multiindex ist ein Vektor α = (α1 , .., αn )T mit αi ∈ mit den Konventionen |α| =

n  i=1

αi ,

α! =

n 

αi !,

αn 1 xα = xα 1 . . . xn ,

Dα u =

i=1

1 ∂xα 1



0

∂ |α| u, n . . . ∂xα n

sowie α≤β

⇔

αi ≤ βi f¨ ur i = 1, . . . , n.

Der Satz von Schwarz rechtfertigt die Schreibweise D (1,1) u = D1 D2 u = D2 D1 u. ankt zu sein brauchen, definieren Da die Funktionen in C m (Ω) nicht beschr¨ wir außerdem: Definition 2.39. C 0 (Ω) ist der Raum der in Ω beschr¨ankten und gleichm¨aßig stetigen Funktionen. C m (Ω) ist der Unterraum von C m (Ω), der aus den Funktionen besteht, die beschr¨ankte und gleichm¨aßig stetige Ableitungen f¨ ur alle |α| ≤ m besitzen. Auf C m (Ω) definieren wir um,∞ = um,∞;Ω = max sup |Dα u(x)|. |α|≤m x∈Ω

0

Man kann eine Funktion u in C (Ω) auf eindeutige Weise zu einer auf Ω stetigen Funktion fortsetzen. Ist n¨amlich x ein Randpunkt von Ω und (xk ) eine Folge in Ω, die gegen x konvergiert, so ist (xk ) insbesondere eine CauchyFolge und aus der gleichm¨ aßigen Stetigkeit von u folgt, daß auch (u(xk )) eine Cauchy-Folge ist, die einen Grenzwert u(x) besitzt. Dieser Grenzwert ist offenbar unabh¨angig von der gew¨ ahlten Cauchy-Folge. Daß die so konstruierte Fortsetzung von u auch auf Ω stetig ist, beweist man genauso mit Hilfe der definierenden Cauchy-Folgen. Umgekehrt l¨ aßt sich einfach zeigen, daß jede Funktion in C(K) bei kompaktem K gleichm¨ aßig stetig ist (siehe Aufgabe 2.21). Damit stimmt bei beschr¨anktem Ω der Raum C 0 (Ω) mit dem zuvor definierten Raum C(K), K = Ω, u ¨ berein. Man beachte, daß die Schreibweise

36

2 Banach- und Hilbert-R¨ aume

C 0 (Ω) bei unbeschr¨ anktem Ω auch eine unterscheidende Bedeutung hat: Es gilt n = n , aber C 0 ( n ) = C 0 ( n ). Eine auf Ω ⊂ n definierte Funktion heißt h¨olderstetig mit Exponent α, 0 < α < 1, wenn f¨ ur alle x, y ∈ Ω gilt |u(x) − u(y)| ≤ c|x − y|α

(2.15)

mit einer von x und y unabh¨ angigen Konstanten c. F¨ ur α = 1 u ¨bernehmen wir diese Definition und nennen die Funktion u lipschitzstetig. Eine h¨ older- oder lipschitzstetige Funktion ist gleichm¨aßig stetig. Die kleinstm¨ ogliche Konstante c in (2.15) ist gegeben durch [u]C α = sup x=y

|u(x) − u(y)| . |x − y|α

Definition 2.40. C m,α (Ω), m ∈ 0 , 0 < α ≤ 1 ist der Unterraum der Funktionen in C m (Ω), deren Ableitungen von der Ordnung ≤ m h¨olderstetig mit ucke Exponent α bzw. lipschitzstetig sind. Auf C m,α definieren wir die Ausdr¨ 

uC m,α = um,∞ + max [Dγ u]C α . |γ|=m

Im folgenden setzen wir C m,0 = C m und haben damit die C m,α -R¨ aume f¨ ur alle m ∈ 0 und 0 ≤ α ≤ 1 erkl¨art. 

Satz 2.41. C m,α (Ω) ist Banach-Raum unter der Norm  · C m,α . Beweis. Die Normaxiome k¨ onnen unmittelbar nachgewiesen werden. ur |γ| ≤ m Sei (uk )k∈ eine Cauchy-Folge in C m,α (Ω). Dann ist (D γ uk ) f¨ eine Cauchy-Folge bez¨ uglich der Norm  · ∞ und besitzt eine stetige und beschr¨ankte Grenzfunktion uγ . Die gleichm¨ aßige Stetigkeit von uγ folgt aus der gleichm¨aßigen Konvergenz durch Standardargumente. Nun zeigen wir uγ = Dγ u f¨ ur γ = ei . F¨ ur gen¨ ugend kleine h liegt mit x auch x + hei in Ω. Im Hauptsatz  h Di uk (x + tei ) dt uk (x + hei ) − uk (x) =


0

f¨ uhren wir den Grenz¨ ubergang k → ∞ durch und erhalten mit der Stetigkeit von uγ u(x + hei ) − u(x) =



h

uγ (x + tei ) dt = huγ (x) + o(h).

0

Damit ist u im Punkt x nach ei differenzierbar mit Ableitung uγ (x). Durch ur alle γ und damit uk → u in C m (Ω). vollst¨andige Induktion folgt uγ = Dγ u f¨ Sei nun α > 0 und ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit m = 0. F¨ ur x, y ∈ Ω mit x = y f¨ uhren wir in

Aufgaben

37

|uk (x) − uk (y) − (ul (x) − ul (y))| ≤ ε ∀l ≥ k ≥ K |x − y|α

den Grenz¨ ubergang l → ∞ durch. Da die rechte Seite nicht von x, y abh¨ angt, k¨onnen wir zum Supremum u ¨bergehen und erhalten [uk − u]C α ≤ ε. Dies ⊔ ⊓ beweist uk → u in der Norm von C m,α .

Satz 2.42. Sei Ω ein beschr¨anktes Gebiet. F¨ ur alle m ∈ 1 existiert die Einbettung C m,β → C m,α und ist kompakt. 

0

und 0 ≤ α < β ≤

Beweis. Dies braucht nur f¨ ur m = 0 gezeigt zu werden. F¨ ur α = 0 ist die Behauptung klar: Die Einbettung folgt aus der Definition der Norm und die Kompaktheit aus dem Satz von Arzela-Ascoli. Sei also 0 < α < β. F¨ ur jedes d > 0 gilt [u]C α ≤

|u(x) − u(y)| |u(x) − u(y)| + sup α |x − y| |x − y|α |x−y|≥d |x−y|≤d sup

(2.16)

≤ 2d−α u∞ + dβ−α [u]C β . Mit d = 1 ist die behauptete Einbettung gezeigt. Sei (uk ) eine Folge in C β mit uk C β ≤ M. Nach dem Satz von ArzelaAscoli gibt es eine Teilfolge, die genauso bezeichnet wird, mit uk → u gleichm¨aßig. Aus der Definition der C β -Norm folgt uC β ≤ M. Sei ε > 0 vorgegeben. In (2.16) ersetzen wir u durch u − uk und w¨ ahlen d so klein, daß dβ−α u − uk C β ≤ 2M dβ−α = ε/2.

ur alle k ≥ K beschr¨ ankt, Der Term 2d−α u − uk ∞ wird ebenfalls durch ε/2 f¨ ⊔ ⊓ indem K gen¨ ugend groß gew¨ ahlt wird. Damit ist uk → u in C α gezeigt. Ein Gegenbeispiel f¨ ur unbeschr¨anktes Ω konstruiert man wie in Abschnitt 2.5.

Aufgaben 2.1. (3) Eine Reihe in einem normierten Raum X heißt konvergent, wenn es ein x ∈ X gibt mit k X lim x − xj  = 0. k→∞

j=1

P∞ Eine Reihe heißt absolut summierbar, wenn k=1 xk  < ∞. Zeigen Sie, daß X genau dann ein Banach-Raum ist, wenn jede absolut summierbare Reihe konvergent ist. 2.2. (3) Seien A, B Teilmengen eines Banach-Raums X. Beweisen Sie oder widerlegen Sie durch Gegenbeispiel: a) Ist A offen, so ist A + B offen. b) Sind A und B abgeschlossen, so ist A + B abgeschlossen. c) Sind A und B kompakt, so ist A + B kompakt.

38

2 Banach- und Hilbert-R¨ aume

2.3. (3) Wenn ein Banach-Raum X eine Teilmenge M enth¨ alt, die keine abz¨ ahlbare dichte Teilmenge besitzt, so ist X nicht separabel. 2.4. (2) Zeigen Sie, daß l∞ nicht separabel ist, aber den separablen Unterraum c0 ( ) enth¨ alt. Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 2.3. 

2.5. Sei M eine beliebige Menge und c0 (M ) die Menge der Abbildungen u : M → so daß Mε (u) = {x ∈ M : |u(x)| ≥ ε} 

,

endlich ist f¨ ur jedes ε > 0. Dieser Raum wird mit der Norm u∞ = sup |u(x)| x∈M

versehen. a) (1) Zeigen Sie, daß c0 (M ) ein linearer Raum ist. b) (3) Zeigen Sie, daß (c0 (M ),  · ∞ ) ein Banach-Raum ist. 2.6. (3) Eine Teilmenge E von c0 ( ) ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlosur alle i ∈ und x ∈ E. sen ist und es ein y ∈ c0 ( ) gibt mit |x(i)| ≤ y(i) f¨ 





2.7. (3) Eine Menge M ⊂ lp , 1 ≤ p < ∞, ist genau dann pr¨ akompakt, wenn sie beschr¨ ankt ist und wenn lim sup

K→∞ x∈M

∞ X

k=K

|x(k)|p = 0.

2.8. (3) Ist eine Teilmenge eines Banach-Raums relativ kompakt, so ist auch die konvexe H¨ ulle (siehe Definition A.1(d)) dieser Teilmenge relativ kompakt. 2.9. (3) Geben Sie ein Beispiel f¨ ur eine kompakte Teilmenge M eines Banach-Raums X, so daß die konvexe H¨ ulle von M nicht kompakt ist. Hinweis: Verwenden Sie X = c0 ( ) und o n e2 e3 M = 0, e1 , , , . . . ⊂ c0 ( ). 2 3 



2.10. (3) Eine Teilmenge M eines Banach-Raums X heißt σ-konvex, ur jede P∞ wenn f¨ beschr¨ a nkte Folge (x t k ) in M gilt: Ist (tk ) eine Folge in [0, 1] mit k = 1, so ist k=1 P∞ k=1 tk xk ∈ M. Zeigen Sie, daß jede abgeschlossene konvexe Menge σ-konvex ist.

2.11. (3) Auf dem

n



erkl¨ aren wir die Normen x1 =

n X i=1

|xi |,

x2 = max |xi |. 1≤i≤n

Bestimmen Sie f¨ ur n × n-Matrizen A die Normen Ai→j

f¨ ur i, j = 1, 2, (i, j) = (2, 1),

als Funktion der Elemente akl der Matrix A.

Aufgaben

39

2.12. (2) Sind X, Y Banach R¨ aume, so ist offenbar auch X × Y Banach-Raum unter der Norm (x, y) = x + y. Man charakterisiere den Dualraum von X × Y mit Hilfe von X ′ , Y ′ . 2.13. (3) Um Beispiele linearer Operatoren zu gewinnen, definieren wir auf dem Raum l aller Zahlenfolgen die Shiftoperatoren ur i ≥ 2, (Sr x) (1) = 0, (Sr x) (i) = x(i − 1) f¨

(Sl x) (i) = x(i + 1),

(2.17)

und den Multiplikationsoperator (My x) (i) = y(i)x(i) f¨ ur y ∈ l.

(2.18)

Diese Operatoren sind Abbildungen von l in sich. Der Raum l∞ ist wie immer mit der Supremumsnorm  · l∞ versehen. Welche der Abbildungen Sr , Sl , My bilden den Raum l∞ in sich ab ? F¨ ur diese Abbildungen beantworten Sie auch: Welche sind stetig ? Welche sind injektiv, welche surjektiv ? Welche sind kompakt ? ur 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞. 2.14. (3) a) Beweisen Sie die stetige Einbettung lp → lq f¨ b) Zeigen Sie ∪p<∞ lp = c0 . 2.15. (1) Geben Sie ein Beispiel f¨ ur stetige lineare Operatoren S, T : lp → lp , 1 ≤ p ≤ ∞, mit ST = Id, aber T S = Id. 2.16. (3) Definiere ur i → ∞} c( ) = {x ∈ l∞ : x(i) konvergiert f¨ 

versehen mit der Norm  · l∞ . a) Zeigen Sie, daß c( ) ein Banach-Raum ist. b) Konstruieren Sie eine lineare, bijektive, bistetige Abbildung T : c( ) → c0 ( ). Bestimmen Sie T c→c0 , T −1 c0 →c ! Demnach sind c und c0 ¨ aquivalent, d.h. sie lassen sich bistetig durch eine lineare Abbildung aufeinander abbilden. 





2.17. Sind X und Y Banach-R¨ aume, so ist X × Y ebenfalls ein Banach Raum unter der Norm (u, v)X×Y = uX + vY . Konstruieren Sie lineare, bijektive, bistetige Abbildungen zwischen den folgenden reellen R¨ aumen X1 , X2 : a) (2) X1 = c( ), X2 = c( ) × c( ) (c( ) ist in Aufgabe 2.16 definiert) b) (5) X1 = C([0, 1]), X2 = C([0, 1]) × c( ) c) (2) X1 = C([0, 1]), X2 = C([0, 1]) × d) (5) (Borsuk) X1 = C([0, 1]), X2 = C([0, 1]) × C([0, 1]) Hinweis: Bei jedem Aufgabenteil verwende man die vorangegangenen. 











2.18. (1) Zeigen Sie, daß c0 ( )′ ∼ = l1 . 

n

2.19. (2) Sei a ∈ mit |a| = 1. Bestimmen Sie die Matrix der orthogonalen Projektion vom n auf die Hyperebene 



H = {x ∈

n 

: ax = 0}.

Hinweis: Sei z die Projektion von y auf H. Dann ist y − z ⊥ H, also ein Vielfaches von a.

40

2 Banach- und Hilbert-R¨ aume

2.20. (3) Beweisen Sie den folgenden Satz. Sei E ⊂ C 0 ( n ). Wenn E gleichgradig stetig ist und wenn eine beschr¨ ankte mit limt→∞ f (t) = 0 existiert, so daß Funktion f : [0, ∞) → 



|u(x)| ≤ f (|x|) 0

f¨ ur alle x ∈

dann ist E relativ kompakt in (C ( 

n ), 

n 

und u ∈ E,

· ∞ ).

2.21. (3) Sei X ein kompakter metrischer Raum. Dann sind die Funktionen in C(X) gleichm¨ aßig stetig, es gibt also zu jedem ε > 0 ein δ > 0 mit |u(x) − u(y)| ≤ ε

f¨ ur alle x, y ∈ X mit d(x, y) ≤ δ.

2.22. (3) Beweisen Sie: Satz (Dini). Sei X ein kompakter metrischer Raum und seien uk ∈ C(X) reellwertig. Konvergieren f¨ ur alle x ∈ X die Folgen (uk (x)) monoton fallend gegen Null, so gilt uk ∞ → 0. Zeigen Sie auch, daß die Kompaktheit von X eine notwendige Voraussetzung f¨ ur diesen Satz ist. 2.23. (3) X sei der Raum der stetigen und beschr¨ ankten Funktionen auf (0, 1) versehen mit der Norm u∞ = supx∈(0,1) |u(x)|. Zeigen Sie, daß (X,  · ∞ ) ein nicht separabler Banach-Raum ist. 2.24. (2) Sei U der Unterraum von C 0 ( n ) der Funktionen mit lim|x|→∞ |u(x)| = 0. Zeigen Sie, daß U ein abgeschlossener Unterraum ist, der mit dem Abschluß von C00 ( n ) in C 0 ( n ) u ¨bereinstimmt. 





2.25. (3) Sei Ω ein konvexes beschr¨ anktes Gebiet. Dann existiert die Einbettung ur 0 ≤ α ≤ 1. Die Einbettung ist kompakt f¨ ur 0 < α < 1, aber C 1 (Ω) → C 0,α (Ω) f¨ nicht kompakt f¨ ur α = 1.

3 Die Prinzipien der Funktionalanalysis

3.1 Der Satz von Baire und das Prinzip der gleichm¨ aßigen Beschr¨ anktheit Definition 3.1. Sei X ein topologischer Raum und A ⊂ X. A heißt nirgends dicht, wenn A keine inneren Punkte enth¨alt. A heißt mager (oder von erster Kategorie), wenn A sich als abz¨ahlbare Vereinigung nirgends dichter Mengen darstellen l¨aßt. Eine nichtmagere Menge heißt auch von zweiter Kategorie. c

F¨ ur eine nirgends dichte Menge A ist das Komplement A dicht in X. Denn andernfalls g¨abe es eine offene Menge U ⊂ A, was der Definition der nirgends dichten Menge widerspricht. Teilmengen magerer Mengen sind mager. Die abz¨ ahlbare Vereinigung magerer Mengen ist ebenfalls mager. Der Satz von Baire besagt, daß ein vollst¨andiger metrischer Raum nichtmager ist. Durch Verneinung und/oder Komplementbildung gibt es mehrere Versionen. Satz 3.2 (Baire). In einem vollst¨andigen metrischen Raum ist der Durchschnitt von abz¨ahlbar vielen offenen und dichten Mengen dicht. Korollar 3.3. Ein vollst¨andiger metrischer Raum ist nichtmager (als Teilmenge von sich selbst). Korollar 3.4. Sei X ein vollst¨andiger metrischer Raum und seien Ak abz¨ahlbar viele abgeschlossene Teilmengen von X. Wenn ∪k Ak eine offene Kugel enth¨alt, so gibt es ein k, so daß Ak eine offene Kugel enth¨alt. Beweis. Sei (Ak )k∈ eine Folge von offenen und dichten Mengen des vollst¨andigen metrischen Raums X. Sei Bε0 (x0 ) eine beliebige offene Kugel alt von X. Die Menge Bε0 /2 (x0 ) ∩ A1 ist offen und dicht in Bε0 /2 (x0 ) und enth¨ demnach eine weitere offene Kugel Bε1 (x1 ) mit 0 < ε1 < ε0 /2. Durch Fortsetzung dieser Konstruktion erhalten wir eine Folge von offenen Kugeln mit


Bεk (xk ) ⊂ Bεk−1 (xk−1 ) ∩ Ak ,

εk <

1 εk−1 . 2

42

3 Die Prinzipien der Funktionalanalysis

Die Mittelpunkte xk dieser Kugeln bilden eine Cauchy-Folge und wegen der Vollst¨andigkeit von X gilt xk → x. F¨ ur l > k folgt d(xk , x) ≤ d(xk , xl ) + d(xl , x) ≤

1 1 εk + d(xl , x) → εk , 2 2

also x ∈ Bεk (xk ) und daher auch x ∈ Ak . Damit ist x ∈ Bε0 (x0 ) und x ∈ ahlt war, ist ∩k Ak dicht in X. ∩k Ak . Da Bε0 (x0 ) beliebig gew¨ Das Korollar 3.3 beweist man durch Komplementbildung. Sei {Ek }k∈ c eine Familie von nirgends dichten Teilmengen von X. Die Mengen Ak = Ek sind offen und dicht in X. Da der Durchschnitt der Ak nach dem Satz von Baire dicht in X liegt, kann die Vereinigung der Ek nicht mit dem ganzen Raum u ¨bereinstimmen. F¨ ur das Korollar 3.4 verwenden wir eine Folgerung aus dem Beweis des letzten Korollars: Die abz¨ ahlbare Vereinigung nirgends dichter Mengen enth¨ alt keine inneren Punkte. Dies ist gerade der indirekte Beweis von Korollar 3.4. ⊔ ⊓


Da die Vereinigung magerer Mengen mager ist, muß nach Korollar 3.3 im vollst¨andigen metrischen Raum das Komplement einer mageren Menge nichtmager sein. Beispiel 3.5 (Gleichm¨aßige Beschr¨anktheit stetiger Funktionen). Sei H ⊂ C([0, 1]) punktweise beschr¨ ankt, zu jedem x ∈ [0, 1] soll es also ein ur alle u ∈ H. Um einzuseKx geben mit |u(x)| ≤ Kx f¨ hen, daß hieraus nicht die gleichm¨ aßige Beschr¨ anktheit von H folgt, setzen wir f¨ ur beliebiges x0 ∈ (0, 1] und gen¨ ugend großes k ⎧ 0 f¨ ur 0 ≤ x ≤ x0 − 2/k und x ≥ x0 , ⎪ ⎪ ⎨ k f¨ ur x = x0 − 1/k, uk (x) = ⎪ ⎪ 0 x0 1 ⎩ stw. linear sonst.

Diese Funktionenmenge ist offenbar punktweise, aber nicht gleichm¨ aßig beschr¨ankt. Da solche Beispiele f¨ ur verschiedene x0 miteinander kombiniert wer¨ den k¨onnen, ist das folgende Resultat eine Uberraschung: 0 Satz. Ist die Menge H ⊂ C ([0, 1]) punktweise beschr¨ankt, so gibt es ein offenes Intervall I ⊂ [0, 1], auf dem H gleichm¨aßig beschr¨ankt ist, es gibt also eine Konstante K mit |u(x)| ≤ K f¨ ur alle x ∈ I und alle u ∈ H. Beweis. Die Mengen ur alle u ∈ H} Ak = {x ∈ [0, 1] : |u(x)| ≤ k f¨

sind wegen der Stetigkeit der Funktionen u abgeschlossen und es gilt wegen der punktweisen Beschr¨anktheit ∪k Ak = [0, 1]. Nach Korollar 3.4 gibt es ein ur ein k. ⊔ ⊓ offenes Intervall I mit I ⊂ Ak f¨

3.2 Das Prinzip der offenen Abbildung

43

F¨ ur lineare Abbildungen liefert dieses Beispiel noch mehr: Satz 3.6 (Prinzip der gleichm¨ aßigen Beschr¨ anktheit, Satz von Banach-Steinhaus). Seien X, Y Banach R¨aume und die Menge H ⊂ L(X, Y ) sei punktweise beschr¨ankt, also T xY ≤ Kx f¨ ur alle T ∈ H. Dann ist die Menge H gleichm¨aßig beschr¨ankt, T X→Y ≤ K

f¨ ur alle T ∈ H.

Beweis. Setze Ak = {x ∈ X : T xY ≤ k f¨ ur alle T ∈ H}. Da ur jedes T stetig ist, ist {x ∈ X : T x ≤ k} abgeschlosx → T x → T xY f¨ sen und Ak als Durchschnitt dieser Mengen ebenfalls. Es ist X = ∪k Ak , weil H punktweise beschr¨ ankt ist. Nach Korollar 3.4 gibt es eine offene Kugel mit B2d (x0 ) ⊂ Ak f¨ ur ein k ∈ , also T xY ≤ k f¨ ur alle x ∈ B2d (x0 ) und alle T ∈ H. Dann gilt f¨ ur x = 1 

T xY = ≤ daher T X→Y ≤

1 1 T (dx)Y = T (dx + x0 − x0 )Y d d 1 1 k k T (dx + x0 )Y + T x0 Y ≤ + , d d d d

2k d .

⊔ ⊓

3.2 Das Prinzip der offenen Abbildung Wir hatten eine Abbildung offen genannt, wenn offene Mengen auf offene Mengen abgebildet werden. Satz 3.7 (Prinzip der offenen Abbildung, Satz vom inversen Operator). Seien X, Y Banach-R¨aume und T ∈ L(X, Y ) sei surjektiv. Dann ist T offen. Demnach ist die Inverse T −1 stetig, wenn T bijektiv ist. Beweis. Dies ist letztlich eine nichttriviale Folgerung aus dem Satz von Baire. Der Beweis erfolgt in mehreren Schritten: (i) Sei Ua = Ba (0). T (U1 ) enth¨alt eine offene Kugel. Es gilt X = ∪k Uk . Da T surjektiv und linear ist, folgt Y = T (X) = ∪k T (Uk ) = ∪k T (Uk ). Nach Korollar 3.4 gibt es ein l, so daß T (Ul ) eine offene Kugel vom Radius r enth¨alt. Damit enth¨ alt T (U1 ) eine offene Kugel vom Radius r/l. (ii) 0 ist innerer Punkt von T (Uε ) f¨ ur alle ε > 0. Vorausgeschickt sei die Bemerkung, daß der Abschluß einer konvexen Menge A ebenfalls konvex ist, denn wenn (xk ) und (yk ) Folgen in A sind, so ist auch (txk + (1 − t)yk ), t ∈ [0, 1], eine Folge in A.

44

3 Die Prinzipien der Funktionalanalysis

Nach (i) gibt es ein y ∈ X und ein η > 0 mit x − yX < η ⇒ x ∈ T (U1 ). Da U1 symmetrisch bez¨ uglich des Nullpunkts ist, gilt dies auch mit y ersetzt at von T (U1 ) durch −y. F¨ ur x < η folgt aus x ± y ∈ T (U1 ) und der Konvexit¨ x=

1 1 (x − y) + (x + y) ∈ T (U1 ), 2 2

daher Bη (0) ⊂ T (U1 ) und Bηε (0) ⊂ T (Uε ) (iii) 0 ist innerer Punkt von T (Uε ). ∞ Sei εk > 0 eine beliebige Folge mit ε0 = ur Uk = Bεk (0) k=1 εk . F¨ enth¨alt T (Uk ) nach (ii) eine offene Kugel Vk = Bηk (0). Da T stetig ist, gilt limk→∞ ηk = 0. Zu beliebigem y ∈ V0 definiere eine Folge (xk ) durch y ∈ V0 ⇒

y ∈ T (U0 )

⇒ ∃x0 ∈ U0 mit y − T x0 Y < η1 ,

y − T x0 ∈ V1 ⇒ y − T x0 ∈ T (U1 ) ⇒ ∃x1 ∈ U1 mit y − T x0 − T x1 Y < η2 , der k-te Schritt dieser Konstruktion lautet dann ∃xk ∈ Uk mit y −

k  i=0

T xi Y < ηk+1 .

∞ Die ur x = k=0 xk konvergiert wegen xk X < εk . Daher folgt f¨ ∞ Reihe x , daß x < 2ε und y = T x. Somit gibt es zu jedem ε0 > 0 X 0 k=0 k ein η0 mit Bη0 (0) ⊂ T (B2ε0 (0)). Damit ist (iii) gezeigt. (iv) F¨ ur M ⊂ X offen ist T (M ) offen. Da die Translation ein Hom¨ oomorphismus ist, ist nach (iii) jeder Punkt von T (M ) innerer Punkt. ⊔ ⊓ F¨ ur beliebige Mengen X, Y und T : X → Y heißt   G(T ) = (x, T x) : x ∈ X ⊂ X × Y

der Graph von T. Wenn X und Y Banach-R¨ aume sind, so l¨ aßt sich die Produkttopologie auf X × Y durch (x, y)X×Y = xX + yY . zu einem Banach-Raum normieren. Falls T : X → Y linear, so ist der Graph von T ein Unterraum von X × Y. Der Satz vom inversen Operator liefert f¨ ur den Graphen von T : Korollar 3.8 (Satz vom abgeschlossenen Graphen). Seien X, Y Banach-R¨aume und T : X → Y eine lineare Abbildung. Dann gilt T ist stetig

⇔

G(T ) ist abgeschlossen in X × Y.

3.3 Hahn-Banach-S¨ atze

45

Beweis. ⇒: Sei (xk ) eine Folge in X mit xk → x. Weil T stetig ist, gilt T xk → T x. Wenn also (xk , T xk ) in X × Y konvergent ist, so geh¨ ort der Grenzwert ebenfalls zu G(T ). Damit ist G(T ) abgeschlossen. ⇐: G(T ) ist nach Voraussetzung ein abgeschlossener Unterraum von X × Y und damit selber eine Banach-Raum. Die Projektion π : G(T ) → X, (x, T x) → x, ist bijektiv, linear und stetig; nach Satz 3.7 ist auch π −1 stetig. Da die Projektion PY : X × Y → Y stetig ist, ist auch T = PY ◦ π −1 stetig. ⊔ ⊓

3.3 Hahn-Banach-S¨ atze Die Hahn-Banach-S¨ atze besch¨ aftigen sich mit der Existenz stetiger linearer Funktionale f ∈ X ′ . Es gibt zwei Typen: Die Fortsetzungss¨ atze erlauben die stetige Fortsetzung von Funktionalen, die nur auf einem linearen Unterraum definiert sind, und die Trennungss¨ atze sichern die Existenz von Funktionalen, die auf disjunkten, konvexen Mengen verschiedene Werte annehmen. Definition 3.9. Sei X ein reeller Vektorraum und p : X → near, wenn (a) p(tx) = tp(x) f¨ ur alle t ≥ 0 und x ∈ X,

. p heißt subli-

(b) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) f¨ ur alle x, y ∈ X.

Jede Halbnorm ist sublinear. Der Begriff des sublinearen Funktionals ist auch im -Vektorraum sinnvoll, denn jeder -Vektorraum ist auch ein Vektorraum. 



Satz 3.10 (Hahn-Banachscher Fortsetzungssatz). Sei M ein Unterraum eines reellen Vektorraums X (ohne Topologie !) und p : X → sei ein ur alle sublineares Funktional. Weiter sei f : M → linear mit f (x) ≤ p(x) f¨ x ∈ M. Dann gibt es ein lineares F : X → mit F |M = f und −p(−x) ≤ F (x) ≤ p(x)

f¨ ur alle x ∈ X.

Beweis. Sei M = X. W¨ ahle ein x1 ∈ X \ M und setze M1 = {x + tx1 : x ∈ M, t ∈

}.

ur x, y ∈ M gilt M1 ist offenbar ein Vektorraum. F¨ daher

f (x) + f (y) = f (x + y) ≤ p(x + y) ≤ p(x − x1 ) + p(x1 + y), f (x) − p(x − x1 ) ≤ p(y + x1 ) − f (y).

Da die rechte Seite nicht von x abh¨ angt, ist die linke f¨ ur alle x ∈ M durch eine Zahl a beschr¨ankt. Daraus erhalten wir die beiden Absch¨ atzungen f (x) − a ≤ p(x − x1 ),

f (y) + a ≤ p(y + x1 ).

(3.1)

46

3 Die Prinzipien der Funktionalanalysis

Durch f1 (x+tx1 ) = f (x)+ta ist auf M1 ein Funktional mit f1 |M = f definiert. f1 ist nach Definition linear. F¨ ur t > 0 ersetzen wir in (3.1) x durch t−1 x und −1 y durch t y. Wir multiplizieren die beiden Ungleichungen mit t und erhalten f1 ≤ p in M1 . Der zweite Teil des Beweises verwendet transfinite Induktion. Sei P die Menge der Paare (M ′ , f ′ ), wobei M ′ ein Unterraum von X ist, der M enth¨ alt, und f ′ eine lineares Funktional auf M ′ mit f ′ |M = f und f ′ ≤ p in M ′ . Wir ordnen P dadurch, daß wir (M ′ , f ′ ) ≤ (M ′′ , f ′′ ) setzen, wenn M ′ ⊂ M ′′ und ˜ die f ′′ = f ′ in M ′ gilt. Sei κ eine total geordnete Teilmenge von P. Sei M Vereinigung der Elemente von κ. Da die Elemente von κ total geordnet sind, ˜ . F¨ ˜ , d.i. x ∈ M ′ f¨ ur ein M ′ in κ, setze ist M ein Unterraum von M ur x ∈ M ′ ′ ′ ′ ′ ˜ ort. Offenbar ist f˜ linear f (x) = f (x), wobei f zu M im Paar (M , f ) geh¨ ˜ ˜ ˜ ˜ und erf¨ ullt f ≤ p in M . Damit ist (M , f ) ∈ P eine obere Schranke von κ. Nach dem Lemma von Zorn enth¨ alt P ein maximales Element (M ∗ , f ∗ ). W¨ are ∗ M = X, so w¨ urde der erste Teil des Beweises zu einem Widerspruch f¨ uhren. atzung F ≤ p f¨ uhrt zu Damit ist f ∗ das gesuchte Funktional F. Die Absch¨ −p(−x) ≤ −F (−x) = F (x). Damit ist alles bewiesen. ⊔ ⊓ Satz 3.11. Sei M ein Unterraum des -Vektorraums X und p sei eine Halbnorm auf X. Weiter sei f : M → linear mit |f (x)| ≤ p(x) f¨ ur alle x ∈ M. mit F |M = f und |F | ≤ p in X. Dann gibt es ein lineares F : X → 





Beweis. Eine Halbnorm ist sublinear mit p(x) = p(−x). Die Behauptung f¨ ur = folgt daher aus dem letzten Satz. Im Falle = sei f ein lineares Funktional mit |f | ≤ p in M. Da f¨ ur jede komplexe Zahl z = Re z − iRe iz gilt, erhalten wir mit f1 = Re f, 





f (x) = f1 (x) − if1 (ix). f1 ist reell-linear mit |f1 (x)| ≤ p(x) in M. Nach dem letzten Satz gibt es eine reell-lineare Fortsetzung F1 von f1 auf X mit |F1 | ≤ p in X. F¨ ur diese setzen wir entsprechend F (x) = F1 (x) − iF1 (ix). F stimmt auf M mit f u ¨ berein und ist komplex-linear. F¨ ur ein α ∈ mit |α| = 1 gilt 

|F (x)| = αF (x) = F (αx) = F1 (αx) ≤ p(αx) = p(x).

⊔ ⊓

Korollar 3.12. Sei X ein normierter -Vektorraum und M ein Unterraum von X. Ferner sei f : M → linear und stetig. Dann existiert ein F ∈ X ′ mit F |M = f und F X→ = f M → . 







Beweis. F¨ ur p(x) = xX f M → wenden wir den letzten Satz an. F¨ ur die Fortsetzung F gilt dann |F x| ≤ xX f M → , also F  ≤ f . Die umgekehrte Richtung F  ≥ f  ist klar. ⊔ ⊓



¨ Nach unseren bisherigen Uberlegungen ist nicht klar, wie reichhaltig der Dualraum ist, insbesondere, ob es zu allen x = y ein f ∈ X ′ gibt mit f (x) = f (y). Diese Trennungseigenschaft beweisen wir in allgemeinerer Form.

3.3 Hahn-Banach-S¨ atze

47

Satz 3.13 (Hahn-Banachscher Trennungssatz). Sei X ein normierter -Vektorraum und A, B ⊂ X seien disjunkte und konvexe Mengen. A sei offen. Dann gibt es ein F ∈ X ′ und ein γ ∈ mit 

Re F x < γ ≤ Re F y

f¨ ur alle x ∈ A, y ∈ B.

Beweis. Der Satz gilt f¨ ur - wie f¨ ur -Vektorr¨ aume. Im Beweis von Satz 3.11 wurde gezeigt, wie man aus einem reellwertigen Funktional ein komplexwertiges konstruiert. Es gen¨ ugt also, den Fall = zu betrachten. Seien a0 ∈ A, b0 ∈ B beliebig gew¨ ahlt und sei x0 = b0 − a0 . Die Menge   C = x ∈ X : x = a − b + x0 f¨ ur a ∈ A, b ∈ B 



ist konvex (A, B sind konvex), offen (A ist offen) und enth¨ alt die Null (a0 ∈ A, b0 ∈ B). Jedem x ∈ X kann man, wenn der Halbstrahl tx, t ≥ 0, nicht ganz in C enthalten ist, ein x auf dem Rande von C zuordnen. Setze
x/x wenn x existiert, x x p(x) = 0 sonst. 0

p gen¨ ugt den Bedingungen p(x) < 1 f¨ ur x ∈ C,

C

p(x) ≥ 1 f¨ ur x ∈ / C.

(3.2)

Weil C offen ist mit 0 ∈ C, enth¨ alt C auch eine Kugel B1/d (0). Es gilt also p(x) ≤ 1 f¨ ur x ≤ 1/d und, weil nach Definition p(tx) = tp(x) f¨ ur t ≥ 0, p(x) ≤ dx ∀x ∈ X. Wir zeigen die Dreiecksungleichung f¨ ur p. F¨ ur x, y ∈ X mit p(x) < s, p(y) < t, gilt nach (3.2) s−1 x, t−1 y ∈ C. F¨ ur u = s + t folgt aus der Konvexit¨ at von C u−1 (x + y) = und wiederum wegen (3.2),

s −1 t s x + t−1 y ∈ C u u

p(u−1 (x + y)) < 1,

also p(x + y) < u.

Damit gilt p(x + y) ≤ p(x) + p(y) und p ist sublinear. Nun konstruieren wir das gesuchte F, indem wir auf dem von x0 aufgespannten Unterraum M setzen f (tx0 ) = t. F¨ ur t ≥ 0 gilt dann f (tx0 ) = t ≤ tp(x0 ) = p(tx0 ), denn wegen A ∩ B = ∅ ist x0 ∈ / C und daher p(x0 ) ≥ 1. Nach Satz 3.10 gibt es eine Fortsetzung F von f mit F ≤ p. Insbesondere ist F ≤ 1 in C, also auch F ≥ −1 in −C = {c : −c ∈ C}. Da C offen ist und die Null enth¨ alt, erhalten ur gen¨ ugend kleines R > 0, daher F ∈ X ′ . F¨ ur a ∈ A, wir |F | ≤ 1 in BR (0) f¨ b ∈ B folgt

48

3 Die Prinzipien der Funktionalanalysis

F (a) − F (b) + 1 = F (a − b + x0 ) ≤ p(a − b + x0 ) < 1 und daher F (a) < F (b). Da jedes nichtkonstante lineare Funktional eine offene Abbildung ist, also die Bilder offener Mengen offen sind, ist F (A) offen in . Als γ nehmen wir den rechten Endpunkt in F (A). ⊔ ⊓ Die folgende einfache Variante des Trennungsprinzips ist ebenfalls sehr n¨ utzlich. Satz 3.14. Sei M ein abgeschlossener Unterraum des Banach-Raums X und x1 ∈ / M. Dann gibt es ein F ∈ X ′ mit F X ′ = 1, F = 0 auf M und F (x1 ) = dist (x1 , M ) > 0. Beweis. Auf M1 = M ⊕ span {x1 }

definieren wir das lineare Funktional

ur alle y ∈ M und α ∈ f (y + αx1 ) = α dist (x1 , M ) f¨ Da f¨ ur jedes y ∈ M und α = 0 gilt, folgt

dist (x1 , M ) ≤ x1 +



.

y  α

y  = αx1 + y α und damit f ∈ M1′ mit f M1′ ≤ 1. Zu jedem ε > 0 gibt es ein yε ∈ M mit x1 − yε  ≤ (1 + ε)dist (x1 , M ), also |f (y + αx1 )| ≤ |α| x1 +

f (x1 − yε ) = dist (x1 , M ) ≥

1 x1 − yε , 1+ε

daher f M1′ ≥ 1. Die Behauptung folgt nun aus Korollar 3.12.

⊔ ⊓

3.4 Lokalkonvexe topologische Vektorr¨ aume ur eine beliebige Indexmenge Definition 3.15. Sei X ein -Vektorraum und f¨ I sei {pi }i∈I eine Familie von Halbnormen mit folgender Eigenschaft: 

Zu jedem x ∈ X \ {0} existiert ein i ∈ I mit pi (x) = 0.

(3.3)

Setze f¨ ur i ∈ I, r > 0 und x ∈ X Vi,r (x) = {y : pi (y − x) < r} = x + Vi,r (0).

(3.4)

Die von der lokalen Basis von x ∈ X (vgl. Satz 1.13) UI0 ,r (x) = ∩i∈I0 Vi,r (x),

I0 ⊂ I endlich, r > 0,

erzeugte Topologie heißt lokalkonvexe Vektorraumtopologie. (X, {p i }) heißt dann lokalkonvexer topologischer Vektorraum oder kurz lokalkonvexer Raum.

3.4 Lokalkonvexe topologische Vektorr¨ aume

49

Ein Punkt x ∈ A ⊂ X ist genau dann innerer Punkt von A, wenn es ein r > 0 und eine endliche Indexmenge I0 ⊂ I gibt mit {y : pi (x − y) < r, i ∈ I0 } ⊂ A. F¨ ur y ∈ Vi,r (x) folgt mit d = pi (x − y) < r aus der Dreiecksungleichung, daß Vi,r−d (y) ⊂ Vi,r (x). Damit besteht Vi,r (x) nur aus inneren Punkten und die lokale Basis {UI0 ,r (x)} ist gleichzeitig Umgebungsbasis von x ∈ X. Als Durchschnitte konvexer Mengen sind alle Elemente der Umgebungsbasis konvex, was den Namen lokalkonvex“ erkl¨art. ” Wegen Vi,r (x) = x + Vi,r (0) steckt alle Information u ¨ ber die lokalkonvexe Topologie bereits in der Nullumgebungsbasis, insbesondere ist die Translation x → x + y stetig. Axiom (3.3), das bei manchen Autoren auch fehlt, sorgt daf¨ ur, daß ein lokalkonvexer Raum das Trennungsaxiom erf¨ ullt. Zu x, y ∈ X, x = y, gibt es ur r = d/2 gilt dann Vi,r (x) ∩ n¨amlich ein i ∈ I mit pi (x − y) = d > 0. F¨ Vi,r (y) = ∅. Da eine Folge in einem topologischen Raum genau dann konvergiert, wenn in jedem Element der Umgebungsbasis fast alle Folgenglieder liegen, folgt in unserem Fall sofort, xk → x

⇔

pi (xk − x) → 0 ∀i ∈ I.

Beispiele 3.16 (i) Sei l der Raum aller -wertigen Zahlenfolgen. Die Halbnormen pi (x) = |x(i)|, i ∈ , machen l zu einem lokalkonvexen Raum. Die Konvergenz xk → x ist ¨ aquivalent zu xk (i) → x(i) f¨ ur alle i ∈ , also zur punktweisen Konvergenz. l ist mit dieser Topologie offenbar ein lokalkonvexer Raum. An diesem Beispiel sieht man wohl am besten, warum man in manchen F¨allen nicht mit normierten R¨ aumen auskommt: Bei einer Norm m¨ ussen die Konvergenzgeschwindigkeiten der einzelnen Komponenten {xk (i)} miteinander gekoppelt sein. Es ist daher klar, daß l nicht zu einem Banach-Raum normiert werden kann. ur eine aufsteigende Folge von Gebieten Ωi ⊂⊂ Ω (ii) Sei Ω ⊂ n ein Gebiet. F¨ mit ∪i Ωi = Ω setzen wir 





pi (u) = max max |Dα u(x)|. |α|≤i x∈Ωi

Dann ist der Raum C ∞ (Ω) mit diesen Halbnormen ein lokalkonvexer Raum, der manchmal mit E(Ω) = (C ∞ (Ω), {pi }) bezeichnet wird. Konvergenz in E bedeutet gleichm¨aßige Konvergenz aller Ableitungen bis zur Ordnung i auf Ωi . Auf analoge Art lassen sich auch C m (Ω), m ∈ 0 , zu lokalkonvexen R¨ aumen topologisieren. 

Ist die Indexmenge I endlich, I = {1, . . . , n}, so ist p˜(x) =

n 

pi (x)

i=1

eine Norm, die die gleiche Topologie erzeugt. Ist I abz¨ ahlbar wie in den obigen Beispielen, so l¨aßt sich die lokalkonvexe Topologie durch

50

3 Die Prinzipien der Funktionalanalysis

d(x, y) =

∞ 

2−i

i=1

pi (x − y) 1 + pi (x − y)

metrisieren (vgl. Beispiel 1.18(iv)), insbesondere ist das erste Abz¨ ahlbarkeitsaxiom erf¨ ullt. Bei u ¨berabz¨ahlbaren Indexmengen ist insbesondere die Stetigkeit einer Abbildung nicht mehr notwendig zur Folgenstetigkeit ¨ aquivalent. Das n¨ achste Lemma kann daher nicht mit Hilfe von Folgen bewiesen werden. Lemma 3.17. Sei (X, pi ) ein lokalkonvexer Raum. Dann sind die Halbnorsowie Addition X × X → X und Skalarmultiplikation men pi : X → × X → X stetig. 

Beweis. Die Umgebungen sind nat¨ urlich gerade so definiert, daß die pi stetig im Nullpunkt sind. Die Stetigkeit auf X folgt aus der Stetigkeit der Translation. Wie auf Seite 17 f¨ ur Normen vorgef¨ uhrt, zeigt man genauso f¨ ur Halbnormen pi (y − y ′ ) ≤ ε, pi (x − x′ ) ≤ ε

⇒

pi ((x + y) − (x′ + y ′ )) ≤ 2ε,

|α − α′ | ≤ ε, pi (x − x′ ) ≤ ε

⇒

pi (αx − α′ x′ ) ≤ (|α| + pi (x′ ))ε,

Ist (x, y) ∈ (+)−1 (Vi,η (z)), so zeigt die erste Absch¨ atzung zusammen mit ur gen¨ ugend der Dreiecksungleichung, daß Vi,ε (x) × Vi,ε (y) ⊂ (+)−1 (Vi,η (z)) f¨ kleines ε. Damit ist (x, y) innerer Punkt von (+)−1 Vi,η (z). Dieses Argument u ¨bertr¨agt sich auch auf endliche Durchschnitte der Vi,η (z). Die Stetigkeit der Skalarmultiplikation wird genauso bewiesen. ⊔ ⊓ Nun verallgemeinern wir Lemma 2.8 auf den lokalkonvexen Fall: Lemma 3.18. Seien (X, {pi }), (Y, {qj }) lokalkonvexe R¨aume und T : X → Y eine lineare Abbildung. Dann sind ¨ aquivalent: (a) T ist stetig. (b) T ist im Nullpunkt stetig. (c) Zu jedem j ∈ J existieren eine endliche Indexmenge I0 ⊂ I und eine Konstante K mit qj (T x) ≤ K max pi (x) ∀x ∈ X. i∈I0

¨ Beweis. Die Aquivalenz von (a) und (b) folgt aus der Additivit¨ at von T und der Stetigkeit der Translation. (b)⇒(c): Wegen der Stetigkeit muß T −1 (Vj,1 (0)) ein Element der Nullumgebungsbasis enthalten, es gibt also eine endliche Indexmenge I0 und ein r > 0 mit (3.5) max pi (x) < r ⇒ qj (T x) < 1 ∀x ∈ X. i∈I0

3.5 Bidualraum und schwache Topologien

51

Schr¨anken wir dies auf maxi∈I0 pi (x) = ε < r ein, so folgt die behauptete Absch¨atzung mit K = ε−1 f¨ ur diese x. Ist pi (x) = 0 f¨ ur alle i ∈ I0 , so folgt aus (3.5), daß qj (T x) = 0. (c)⇒(b): Zu jeder endlichen Indexmenge J0 ⊂ J gibt es eine endliche Indexmenge I0 ⊂ I und eine Konstante K mit max qj (T x) ≤ K max pi (x) ∀x ∈ X. j∈J0

i∈I0

F¨ ur alle x mit max pi (x) < r/K folgt hieraus max qj (T x) < r, also ∩i∈I0 Vi,K −1 r (0) ⊂ ∩j∈J0 T −1 (Vj,r (0)). ⊔ ⊓ Im Spezialfall Y = erhalten wir: Ein lineares Funktional f : X → ist genau dann stetig, wenn es ein K und eine endliche Indexmenge I0 ⊂ I gibt mit |f (x)| ≤ K max pi (x) ∀x ∈ X. 



i∈I0

Auch im lokalkonvexen Fall wird der Raum der stetigen linearen Funktionale Dualraum genannt und mit X ′ notiert.

3.5 Bidualraum und schwache Topologien Sei X ein normierter Raum. Der Dualraum von X ′ heißt auch Bidualraum und wird mit X ′′ bezeichnet. Auf X × X ′ kann man die Bilinearform x, f  = f (x) ∈ 

,

die Dualit¨atsabbildung, definieren. Diese formale Setzung bringt nat¨ urlich nichts Neues, l¨aßt aber eine andere Interpretation zu: So wie f auf x wirkt, wirkt x auch auf f. Jedes x ∈ X erzeugt daher verm¨ oge f → x, f  eine lineare Abbildung von X ′ nach 

(3.6)

, die wegen

|x, f | ≤ f X ′ xX auch stetig ist. Damit kann jedes x ∈ X durch (3.6) mit einem i(x) ∈ X ′′ identifiziert werden. Lemma 3.19. Die Abbildung i : X → X ′′ ist eine lineare Isometrie, also xX =

sup f ∈X ′ , f X ′ =1

x, f  = i(x)X ′′

∀x ∈ X.

Insbesondere ist i(X) abgeschlossener Unterraum von X ′′ und damit selber Banach-Raum.

52

3 Die Prinzipien der Funktionalanalysis

Beweis. i(x)X ′′ ≤ x haben wir bereits gezeigt. F¨ ur die umgekehrte Richtung schreiben wir i(x)X ′′ =

sup

x, f  ≥ F (x),

f ∈X ′ , f X ′ =1

wobei F mit dem Hahn-Banachschen Fortsetzungssatz folgendermaßen konstruiert wird: Setze M = span {x}, f (x) = x, ansonsten sei f linear auf M, also f (αx) = αx, α ∈ . Dann gilt f M ′ = 1 und es gibt eine Fortsetzung ⊔ ⊓ F ∈ X ′ mit F |M = f und F X ′ = 1. Daher i(x)X ′′ ≥ xX . 

Zusammen mit dem Prinzip der gleichm¨ aßigen Beschr¨ anktheit folgt hieraus ein n¨ utzliches Kriterium f¨ ur die Beschr¨ anktheit von Mengen. Satz 3.20. Sei X ein Banach-Raum. Dann gilt: ur (a) Eine Menge M ⊂ X ist genau dann beschr¨ankt, wenn |f (x)| ≤ Kf f¨ alle x ∈ M und alle f ∈ X ′ .

(b) Eine Menge M ′ ⊂ X ′ ist genau dann beschr¨ankt, wenn |f (x)| ≤ Kx f¨ ur alle f ∈ M ′ und alle x ∈ X. Beweis. (a) Die Richtung ⇒“ ist klar. Zum Beweis der anderen Richtung ” interpretieren wir die Bedingung in X ′′ . Es gilt |i(x)(f )| ≤ Kf , womit i(x) f¨ ur x ∈ M punktweise beschr¨ ankt ist. Nach dem Prinzip der gleichm¨ aßigen ankt. Mit dem Beschr¨anktheit ist die Menge {i(x) : x ∈ M } in X ′′ beschr¨ letzten Lemma ist daher auch M beschr¨ ankt. (b) Dies folgt direkt aus dem Prinzip der gleichm¨ aßigen Beschr¨ anktheit. ⊔ ⊓ Besitzt ein physikalisches System einen Zustandsraum“ X der m¨ oglichen ” Zust¨ande x ∈ X und ein Energiefunktional“ f : X → , so wird der Zustand ” minimaler Energie von der Natur realisiert. F¨ ur die mathematische Physik ist es nat¨ urlich wichtig, die Existenz eines solchen Zustands auch zu beweisen, allein schon zur Rechtfertigung des konkreten physikalischen Modells. Aber auch innerhalb der Mathematik ist dieses Problem von großer Bedeutung. Beispielsweise kann X eine Menge sein, mit der ein Approximationsproblem gel¨ost werden soll, und f ist der Approximationsfehler. Existenz des Minimums bedeutet dann Existenz des Elements bester Approximation. Das Minimum kann mit einem Kompaktheitsargument nachgewiesen werden, wenn X ein folgenkompakter Raum und f unterhalbstetig ist, also xk → x in X

⇒

f (x) ≤ lim inf f (xk ).

Am entsprechenden Beweis in Abschnitt 1.4 hat sich fast nichts ge¨ andert: Sei d = inf f (x) ∈ [−∞, ∞). Aus einer Minimalfolge (xk ) mit f (xk ) → d kann wegen der Folgenkompaktheit eine Teilfolge (xkl ) ausgew¨ ahlt werden mit xkl → x. Aus der Unterhalbstetigkeit folgt f (x) ≤ lim inf f (xkl ). Damit ist f (x) = d und d ∈ . Die folgenden Konstruktionen haben unter anderem das Ziel, diesen wichtigen Beweis zu erm¨ oglichen.

3.5 Bidualraum und schwache Topologien

53

Enth¨alt eine Teilmenge eines unendlich dimensionalen Banach-Raums einen inneren Punkt, so ist sie nach Satz 2.7 nicht kompakt. Als Abhilfe kann man die offenen Mengen ausd¨ unnen, denn die Chancen f¨ ur Kompaktheit werden um so gr¨oßer, je weniger offene Mengen es gibt. Andererseits: Weniger offene Mengen bedeutet weniger stetige (und auch unterhalbstetige) Funktionen. Man steht hier vor einem echten Dilemma. Definition 3.21. Die schwache Topologie eines Banach-Raums X ist die lokalkonvexe Vektorraumtopologie, die von den Halbnormen

erzeugt wird.

pf (x) = |f (x)|,

f ∈ X ′,

Die Trennungseigenschaft (3.3) f¨ ur die schwache Topologie folgt aus dem Trennungssatz von Hahn-Banach. Zu jedem x = 0 gibt es ein f ∈ X ′ , das x von der Null trennt, also |f (x)| = pf (x) > 0. Zur Unterscheidung nennen wir die von der Norm erzeugte Topologie die starke Topologie oder auch Originaltopologie. Ist X endlich dimensional mit Basis e1 , . . . , en , so gibt es Funktionale fi mit fi (ej ) = δij . Damit ist x = i |fi (x)| eine Norm; starke und schwache Topologie stimmen in diesem Fall u ¨berein. Lemma 3.22. Sei X ein unendlich dimensionaler Banach-Raum. Dann hat die schwache Topologie die folgenden Eigenschaften: (a) Die schwache Topologie ist die gr¨obste Topologie, in der alle f ∈ X ′ stetig sind, insbesondere stimmt der Dualraum von (X, {pf }f ∈X ′ ) mit dem Dualraum von X ¨ uberein. (b) Jede schwach offene Menge ist unbeschr¨ankt, insbesondere ist die schwache Topologie echt gr¨ober als die Normtopologie. (c) Eine Folge (xk )k∈ konvergiert genau dann in der schwachen Topologie gegen ein x ∈ X (Schreibweise: xk ⇁ x), wenn


f (xk ) → f (x)

∀f ∈ X ′ .

Beweis. (a) Die erzeugenden Halbnormen einer lokalkonvexen Topologie sind nach Lemma 3.17 stetig. (b) Die Behauptung braucht nur f¨ ur die Elemente der Nullumgebungsbasis gezeigt zu werden. Seien f1 , . . . , fk ∈ X ′ . Da X als unendlich dimensional vorausgesetzt wurde, gibt es linear unabh¨ angige x1 , . . . , xk+1 , die zu einem onnen. Dann ist x = 0 mit fi (x) = 0, i = 1, . . . , k, linear kombiniert werden k¨ die unbeschr¨ankte Menge {tx : t ∈ } im Durchschnitt der Vfi ,r (0). (c) pf (xk − x) → 0 ist ¨aquivalent zu f (xk ) → f (x). ⊔ ⊓ 

Da jede schwach offene Menge offen bez¨ uglich der Normtopologie ist, impliziert die starke Konvergenz (=Normkonvergenz) die schwache. Im unendlich dimensionalen Banach-Raum ist die Umkehrung dieser Aussage meist nicht

54

3 Die Prinzipien der Funktionalanalysis

richtig (vgl. aber Aufgabe 3.22). Als einfaches Beispiel betrachten wir die Folgenr¨aume lp f¨ ur 1 < p < ∞ mit Dualraum lq , q = p/(p−1) (siehe Beispiele 2.3 und 2.13). F¨ ur die Folge (ek ), ek (i) = δki , gilt ek ∈ lp , ek − el lp = 21/p f¨ ur k = l. Damit ist (ek ) keine Cauchy-Folge und kann in der Normtopologie nicht konvergent sein. Da jedes y ∈ lq die Eigenschaft hat, daß limi→∞ y(i) = 0, folgt jedoch ∞  y(i)ek (i) = y(k) → 0 fy (ek ) = i=1

f¨ ur alle y ∈ lq . Daher ek ⇁ 0.

Lemma 3.23. Wenn xk ⇁ x, so gilt xk  ≤ K und lim inf k→∞ xk  ≥ x (=schwache Unterhalbstetigkeit der Norm). Beweis. Wenn lim f (xk ) = f (x), so sind die Mengen {f (xk )}k∈ f¨ ur jedes f ∈ X ′ beschr¨ankt. Die erste Behauptung folgt daher aus Satz 3.20(a). Analog zum Beweis von Lemma 3.19 konstruiert man ein F ∈ X ′ mit F X ′ = 1, F (x) = x. Dann folgt


x = F (x) = lim F (xk ) ≤ F  lim inf xk . ⊔ ⊓ Mit Hilfe der Abbildung i : x →  x, · hatten wir X in einen Unterraum von X ′′ eingebettet. Dies erzeugt auf X ′ eine weitere Topologie: Definition 3.24. Die schwache∗ Topologie auf X ′ eines Banach-Raums X ist die lokalkonvexe Vektorraumtopologie, die von den Halbnormen erzeugt wird.

px (f ) = |f (x)|,

x ∈ X,

Die Trennungseigenschaft (3.3) ist hier trivialerweise erf¨ ullt. Vergleichen wir die schwache und die schwache∗ Topologie auf X ′ : Halbnormen der schwachen Topologie:

pu = |u(·)|, u ∈ X ′′ ,

Halbnormen der schwachen∗ Topologie: px = pi(x) = |i(x)(·)|, x ∈ X. Die schwache∗ Topologie auf X ′ ist gr¨ ober als die schwache Topologie, weil i(X) ⊂ X ′′ . Das folgende Lemma kann genauso wie Lemma 3.22 bewiesen werden. Lemma 3.25. Sei X ein unendlich dimensionaler Banach-Raum. Die schwache∗ Topologie auf X ′ hat die folgenden Eigenschaften: (a) Die schwache∗ Topologie ist die gr¨obste Topologie, so daß alle i(x) ∈ X ′′ stetig sind. (b) Jede schwach∗ offene Menge ist unbeschr¨ankt, insbesondere ist die schwache∗ Topologie echt gr¨ober als die Normtopologie in X ′ .

3.6 Schwache Folgenkompaktheit und reflexive R¨ aume

55

(c) Eine Folge (fk )k∈ ∈ X ′ konvergiert genau dann in der schwachen∗ To∗ pologie gegen ein f ∈ X ′ (Schreibweise: fk ⇁ f ), wenn


fk (x) → f (x)

f¨ ur alle x ∈ X.

Schwache∗ Konvergenz ist damit punktweise Konvergenz. Da f¨ ur eine schwach∗ konvergente Folge |fk (x)| ≤ Kx f¨ ur alle x ∈ X gilt, ist die Folge (fk ) nach Satz 3.20(b) normbeschr¨ ankt, fk X ′ ≤ K. F¨ ur das Grenzfunktional folgt dann f X ′ ≤ lim inf fk X ′ ≤ K. Um den Unterschied zwischen der schwachen und der schwachen∗ Konvergenz herauszuarbeiten, betrachten wir den Raum l1 , der Dualraum von c0 = c0 ( ) ist und l∞ zum Dualraum hat. F¨ ur die Folge (ek )k∈ mit ur jedes x ∈ c0 ek (i) = δki erhalten wir f¨ 




ek (x) =

∞  i=1

ek (i)x(i) = x(k) → 0,

∗

also ek ⇁ 0 in l1 = c′0 , aber f¨ ur u = (1, 1, . . .) ∈ l∞ u(ek ) =

∞ 

u(i)ek (i) = 1.

i=1

Da der schwache und der schwache∗ Grenzwert u ussen, so¨bereinstimmen m¨ fern sie existieren, ist die Folge (ek ) nicht schwach konvergent in l1 . In Aufgabe 3.22 wird gezeigt, daß in l1 starke und schwache Konvergenz u ¨bereinstimmen.

3.6 Schwache Folgenkompaktheit und reflexive R¨ aume In diesem Abschnitt wird zun¨ achst gezeigt, daß die abgeschlossene Einheitsku˜1 (0) schwach∗ folgenkompakt ist, sofern X ein separabler Banach-Raum gel B ist. Als Vorbereitung ben¨ otigen wir das folgende ∗

Lemma 3.26. Sei (fk )k∈ eine Folge in X ′ . Dann gilt fk ⇁ f ∈ X ′ genau dann, wenn die beiden folgenden Bedingungen erf¨ ullt sind:


(a) fk X ′ ≤ K f¨ ur alle k ∈ , ur alle x in einer dichten Teilmenge von X. (b) (fk (x))k∈ ist Cauchy-Folge f¨ 




∗

Beweis. ⇒: Wenn fk ⇁ f, so ist die Bedingung (b) erf¨ ullt. Da die Folgen (fk (x)) f¨ ur alle x ∈ X beschr¨ ankt sind, folgt aus Satz 3.20(b) die Bedingung (a). ⇐: Sei die Bedingung (b) in der dichten Menge A ⊂ X erf¨ ullt. F¨ ur x ∈ A ur y ∈ span A folgt y = ni=1 αi xi , αi ∈ , gilt dann fk (x) → f (x) ∈ . F¨ und n n   αi f (xi ). αi fk (xi ) → fk (y) = 



i=1

i=1

56

3 Die Prinzipien der Funktionalanalysis

n Wir setzen daher f (y) = i=1 αi f (xi ). f ist damit linear auf B = span A und es gilt fk (x) → f (x) f¨ ur alle x ∈ B. Wegen Bedingung (a) ist |f (x)| = lim |fk (x)| ≤ Kx ∀x ∈ B, k→∞

daher f B→ ≤ K. Da B dicht in X ist, kann f nach Satz 2.14 durch f˜ ∈ X ′ mit f˜|B = f und f˜X ′ ≤ K fortgesetzt werden. Sei y ∈ X \ B und ε > 0 beliebig vorgegeben. Dann gilt x−y < ε f¨ ur ein x ∈ B und |fk (x)−f (x)| < ε f¨ ur gen¨ ugend große k. Aus der Dreiecksungleichung erhalten wir f¨ ur diese k

|fk (y) − f˜(y)| ≤ |fk (y) − fk (x)| + |fk (x) − f˜(x)| + |f˜(x) − f˜(y)|   < fk X ′ + f˜X ′ x − y + ε < (2K + 1)ε. ∗

Damit ist fk ⇁ f˜ in X ′ gezeigt.

⊔ ⊓

ur Definition 3.27. (xk ) heißt schwache Cauchy-Folge in X, wenn (f (xk ) f¨ ist. (fk ) heißt schwache∗ Cauchy-Folge in jedes f ∈ X ′ Cauchy-Folge in X ′ , wenn (fk (x) f¨ ur jedes x ∈ X Cauchy-Folge in ist. 



Schwache und schwache∗ Cauchy-Folgen sind normbeschr¨ ankt. Daher ist wegen des letzten Lemmas jede schwache∗ Cauchy-Folge konvergent. F¨ ur die schwache Konvergenz ist ein entsprechendes Resultat nicht immer richtig (siehe Aufgabe 3.19). Schwache Konvergenz in X ist auch schwache∗ Konvergenz im Bidualraum. Ist (xk ) eine schwache Cauchy-Folge, so gibt es ein u ∈ X ′′ mit f (xk ) → u(f ) f¨ ur alle f ∈ X ′ . Satz 3.28. Sei X ein separabler Banach-Raum. Dann enth¨alt jede in X ′ normbeschr¨ankte Folge eine schwach∗ konvergente Teilfolge. Beweis. Durch Auswahl der Diagonalfolge (siehe Beispiel 2.18) wird erreicht, ur jedes x in einer dichten Teilmenge von X eine Cauchy-Folge daß (fk (x)) f¨ ist. Die Behauptung folgt dann aus dem letzten Lemma. ⊔ ⊓ Schwache Kompaktheit Ohne Beweis zitieren wir (siehe z.B. [HS71, S. 62], [Rud74, S. 66]), [Wer97, S. 343]) den folgenden Satz: Satz (Alaoglu-Bourbaki). Sei X ein Banach-Raum. Dann ist die abgeschlos˜1 (0) von X ′ kompakt in der schwachen∗ Topologie. sene Einheitskugel B Dieser Satz ist allgemeing¨ ultiger als der von uns bewiesene Kompaktheitssatz, weil ˜1 (0) ⊂ X ′ X nicht separabel zu sein braucht. Auf die Folgenkompaktheit von B kann aus diesem Satz nicht geschlossen werden, weil die schwache∗ Topologie nicht notwendig das erste Abz¨ ahlbarkeitsaxiom erf¨ ullt (siehe Aufgabe 3.28). Ist die schwache∗ Topologie echt gr¨ ober als die schwache Topologie, der Banach-Raum also nicht reflexiv, so kann nach Aufgabe 1.15 die abgeschlossene Einheitskugel von X ′ nicht schwach kompakt sein.

3.6 Schwache Folgenkompaktheit und reflexive R¨ aume

57

Definition 3.29. Sei X ein Banach-Raum. Ist die kanonische Inklusion i : X → X ′′ bijektiv, also ein isometrischer Isomorphismus, so heißt X reflexiv. In diesem Fall stimmen die schwache und die schwache∗ Topologie auf X ′ u aume ¨berein. Jeder Hilbert-Raum ist reflexiv. Aus der Darstellung der Dualr¨ der Folgenr¨aume lp f¨ ur 1 < p < ∞ in Beispiel 2.13 folgt, daß auch diese reflexiv sind. Satz 3.28 hat im reflexiven Banach-Raum ein einfaches Gegenst¨ uck, zu dessen Formulierung noch einige Vorbereitungen n¨ otig sind. Satz 3.30. Jeder abgeschlossene Unterraum eines reflexiven Banach-Raums ist selber ein reflexiver Banach-Raum. Beweis. Sei M ein abgeschlossener Unterraum des reflexiven Raums X. Zu u ∈ M ′′ setze uM (f ) = u(f |M ), f ∈ X ′ . uM ist offenbar linear mit uM X ′′ ≤ uM ′′ . Da X reflexiv ist, gibt es ein x ∈ X mit f (x) = u(f |M ) ∀f ∈ X ′ . (3.7) Angenommen x ∈ / M. Dann k¨ onnen wir mit Satz 3.14 ein f ∈ X ′ konstruieren mit f = 0 auf M und f (x) = 0, was sofort einen Widerspruch ergibt. Daher ist x ∈ M . Jedes f ∈ M ′ kann mit dem Hahn-Banachschen Fortsetzungssatz zu einem f˜ ∈ X ′ fortgesetzt werden. Mit (3.7) gilt dann u(f ) = u(f˜|M ) = f˜(x) = f (x). Damit ist i : M → M ′′ surjektiv.

⊔ ⊓

Satz 3.31. Sei X ein Banach-Raum. Ist X ′ separabel, so ist X separabel. Beweis. Sei {fk } dicht in X ′ . Nach Definiti on der Norm in X ′ gibt es xk mit |fk (xk )| ≥

1 fk , 2

xk  = 1.

Setze Y = span {xk }. Ist f = 0 auf Y f¨ ur ein f ∈ X ′ , so folgt f¨ ur alle k f − fk  ≥ |f (xk ) − fk (xk )| = |fk (xk )| ≥

1 1 fk  ≥ (f  − fk − f ) 2 2

und damit f  ≤ 3 inf f − fk  = 0, k

′

weil {fk } dicht in X ist. Aus Satz 3.14 folgt Y = X.

⊔ ⊓

Satz 3.32. Der Banach-Raum X sei reflexiv. Dann ist die abgeschlossene Einheitskugel schwach folgenkompakt.

58

3 Die Prinzipien der Funktionalanalysis

˜1 (0). Nach Satz 3.30 ist Beweis. Sei (xk ) eine Folge in B Y = span {x1 , x2 , . . .}. ein reflexiver Banach-Raum. Es gilt also Y ′′ = i(Y ) und mit Y ′′ ist nach Satz 3.31 auch Y ′ separabel. Daher k¨ onnen wir Satz 3.28 auf die Folge (i(xk )) ∗ anwenden und erhalten i(xk ) ⇁ z in Y ′′ f¨ ur eine Teilfolge. Da i ein isometrischer Isomorphismus ist, folgt y ′ (xk ) → y ′ (i−1 (z)) f¨ ur alle y ′ ∈ Y ′ . Wegen −1 −1 xk , i (z) ∈ Y folgt hieraus auch f (xk ) → f (i (z)) f¨ ur alle f ∈ X ′ , also −1 ⊔ ⊓ xk ⇁ i (z) in X.

3.7 Konvexit¨ at und schwache Topologie Satz 3.33. Ist eine Teilmenge M eines Banach-Raums konvex, so stimmt M sowohl mit ihrem Abschluß bez¨ uglich der schwachen Topologie als auch mit ihrem schwachen Folgenabschluß u ¨berein. Insbesondere liegt der schwache Grenzwert einer Folge aus M in M . Beweis. Sei M s der schwache Abschluß von M . Da die Originaltopologie feiner als die schwache Topologie ist, gilt M ⊂ M s . / M . Dann ist Bε (x0 ) ∩ M = ∅ f¨ ur Mit M ist auch M konvex. Sei x0 ∈ gen¨ ugend kleines ε. Nach dem Hahn-Banachschen Trennungssatz gibt es ein Funktional F ∈ X ′ mit Re F (x0 ) < γ ≤ Re F (x) f¨ ur alle x ∈ M . Damit ist {x : Re F (x) < γ} eine schwache Umgebung von x0 , die kein Element von M enth¨alt, also x0 ∈ / M s. F¨ ur den schwachen Folgenabschluß M sf von M gilt ebenfalls M ⊂ M sf , denn M stimmt mit den Grenzwerten von normkonvergenten Folgen aus M u onnen wir / M . Dann k¨ ¨berein. Angenommen, xk ⇁ x0 mit xk ∈ M, aber x0 ∈ wie im vorigen Beweisteil x0 von M trennen, also Re F (x0 ) < γ ≤ Re F (x) f¨ ur alle x ∈ M . Dies ist aber ein Widerspruch zu xk ⇁ x0 . ⊔ ⊓ Man beachte, daß f¨ ur die schwache∗ Topologie dieser Satz nicht richtig ist, siehe Aufgabe 3.25. Der folgende Satz zeigt, wie man aus einer schwach konvergenten Folge eine stark konvergente Folge konstruieren kann. Satz 3.34 (Mazur). Sei X ein Banach-Raum und (xk ) eine Folge in X mit xk ⇁ x. Dann gibt es eine Folge (yk ), die aus endlichen Konvexkombinationen der xk besteht, mit yk → x. Anmerkung 3.35. Der Satz ist so zu verstehen, daß es Zahlen tki ∈ gibt mit ∞ 0 ≤ tki ≤ 1 und i=1 t ur jedes k nur endlich viele tki nicht ki = 1, wobei f¨ verschwinden, mit yk = ∞ t x → x. ki i i=1

Beweis. Auf die konvexe H¨ ulle M von {xk } wenden wir den vorigen Satz an. Demnach liegt x im Abschluß (bez¨ uglich der Normtopologie) von M , also ur eine Folge von Konvexkombinationen yk . ⊔ ⊓ yk → x f¨

Aufgaben

59

F¨ ur die schwache∗ Konvergenz ist dieser Satz nicht richtig, wie das Beispiel ∗ X = c0 , X ′ = l1 , zeigt: F¨ ur die Folge (ek ) gilt ek ⇁ 0 in l1 , aber yl1 = 1 f¨ ur jede Konvexkombination y der ek . Im Hilbert-Raum l¨ aßt sich der Satz von Mazur zum Satz von BanachSaks versch¨arfen: Eine in einem Hilbert-Raum beschr¨ ankte Folge besitzt eine Teilfolge derart, daß die Folge der arithmetischen Mittel stark konvergiert (siehe Aufgabe 3.7). Mit dem Satz von Mazur haben wir alle Hilfsmittel f¨ ur den Kompaktheitsschluß im Banach-Raum bereitgestellt. Satz 3.36. Sei X ein reflexiver Banach-Raum, K ⊂ X sei abgeschlossen und konvex. f : K → sei stetig, konvex und gen¨ uge, falls K unbeschr¨ankt ist, der Bedingung f (x) → ∞ f¨ ur x → ∞, x ∈ K. (3.8)

Dann nimmt f auf K das Minimum an.

Beweis. Sei d = inf x∈K f (x) und (xk ) eine Minimalfolge. Mit (3.8) sind die xk beschr¨ankt. Wegen der schwachen Kompaktheit gilt xk ⇁ x f¨ ur eine Teilfolge. Nach dem Satz von Mazur, angewendet auf die Folge xk , xk+1 , . . . , gibt es eine Folge von Konvexkombinationen yk =

∞ 

tki xi ,

tki > 0 nur f¨ ur endlich viele i,

i=k

mit yk → x in X. Da K konvex und abgeschlossen ist, gilt yk ∈ K und x ∈ K. Aus Stetigkeit und Konvexit¨ at von f folgt f (x) = lim f (yk ) ≤ lim k→∞

k→∞

∞ 

tki f (xk ) = d.

i=k

Damit ist f (x) = d und x das Minimum von f.

⊔ ⊓

Aufgaben 3.1. (2) Sei J die Menge der Irrationalzahlen im Intervall [0,1]. Es gibt keine Darstellung J = ∪∞ k=1 Ak mit abgeschlossenen Mengen Ak . 3.2. a) (4) Es gibt keine Funktion x : [0, 1] → , die in jedem rationalen Punkt stetig und in jedem irrationalen Punkt unstetig ist. b) (3) Konstruieren Sie eine Funktion x : [0, 1] → , die in jedem irrationalen Punkt stetig und in jedem rationalen Punkt unstetig ist. Hinweise und Bemerkung: In a) f¨ uhrt man einen indirekten Beweis unter Verwendung der Aufgabe 3.1. Der Aufgabenteil b) dient nur zur Illustration von a) und kann mit Gymnasialmathematik bew¨ altigt werden. Es gibt eine ganze Reihe solcher S¨ atze u ¨ber reelle Funktionen, die ohne den Satz von Baire nicht zu beweisen sind. Die Aufgaben 3.3 und 3.4 sind weitere Beispiele, eine ganze Sammlung findet man in [Boa60]. 



60

3 Die Prinzipien der Funktionalanalysis

3.3. (3) Sei (xk ) eine Folge in C([a, b]) mit xk (t) → x(t) punktweise in [a, b]. Beweisen Sie f¨ ur die Funktion x die folgenden Aussagen. a) Zu jedem abgeschlossenen Intervall I ⊂ [a, b] mit nichtleerem Innerem und jedem ε > 0 gibt es ein nichtleeres offenes Intervall I˜ ⊂ I mit |x(t1 ) − x(t2 )| ≤ ε f¨ ur alle ˜ t1 , t2 ∈ I. Hinweis: Setze

ε ∀l ≥ k}. 3 b) (Baire) Die Menge der Stetigkeitspunkte von x liegt dicht in [a,b]. Ak = {t ∈ I : |xk (t) − xl (t)| ≤

3.4. Sei X = C([0, 1]) versehen mit der Norm  · ∞;[0,1] . a) (3) Zeigen Sie, daß die Mengen ˘ 1 1 1¯ An = x ∈ X : Es gibt ein t ∈ [0, 1 − ] mit |x(t + h) − x(t)| ≤ n ∀ 0 < h < n h n abgeschlossen in X sind. b) (4) Zeigen Sie, daß das Komplement von An dicht ist in X. c) (1) Zeigen Sie, daß die Menge der in einem Punkt von rechts differenzierbaren Funktionen mager ist in X. Insbesondere gibt es stetige Funktionen, die in keinem Punkt differenzierbar sind. 3.5. (3) Eine Basis eines Vektorraums definiert man wie sonst auch in der linearen Algebra als eine Menge von linear unabh¨ angigen Elementen {xk }k∈I , so daß sich jedes x ∈ X als endliche Linearkombination der xk darstellen l¨ aßt. Zeigen Sie, daß die Basis eines Banach-Raums nicht abz¨ ahlbar sein kann (also nur endlich oder u ahlbar). ¨berabz¨ Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Baire. 3.6. (3) Konstruieren Sie ein Beispiel, das zeigt, daß im Prinzip der gleichm¨ aßigen Beschr¨ anktheit der Raum X vollst¨ andig sein muß. Hinweis: Verwenden Sie den Raum der endlichen Folgen unter der Norm  ·  l∞ . 3.7. (1) Beweisen Sie: Satz (Resonanztheorem). Seien X, Y Banach-R¨ aume und Tk ∈ L(X, Y ) eine Folge mit supk∈ Tk X→Y = ∞. Dann gibt es ein x ∈ X mit supk∈ Tk xY = ∞. 



3.8. (3) Sei (ai ) eine Folge reeller Zahlen mit der Eigenschaft ∞ X i=1

ai bi < ∞

f¨ ur alle reellen Folgen (bi ) mit bi → 0.

P Dann gilt ∞ i=1 |ai | < ∞. Hinweis: Dies l¨ aßt sich sowohl elementar als auch elegant mit einem funktionalanalytischen Prinzip beweisen. 3.9. (3) Seien X, Y Banach-R¨ aume und H ⊂ L(X, Y ). Gilt f¨ ur alle x ∈ X und y′ ∈ Y ′ sup T x, y ′  < ∞, T ∈H

so ist H in L(X, Y ) beschr¨ ankt.

Aufgaben

61

3.10. (3) Seien X, Y Banach-R¨ aume und (Tk ) eine Folge in L(X, Y ). Wir sagen, daß die Tk punktweise konvergieren, wenn T x = lim Tk (x) k→∞

f¨ ur alle x ∈ X existiert. a) Man zeige: T ∈ L(X, Y ) mit T X→Y ≤ lim inf k→∞ Tk X→Y < ∞. b) Man gebe ein Beispiel daf¨ ur an, daß die Tk nicht in der Operatornorm konvergieren m¨ ussen. 3.11. (2) Seien X, Y Banach-R¨ aume und T ∈ L(X, Y ) injektiv mit abgeschlossenem Bild. Dann gibt es ein m > 0 mit mxX ≤ T xY

∀x ∈ X.

3.12. (2) Seien Y, Z abgeschlossene Unterr¨ aume eines Banach-Raums X mit folgender Eigenschaft: Zu jedem x ∈ X gibt es eindeutig bestimmte y ∈ Y und z ∈ Z mit x = y + z. Dann gibt es eine Konstante K mit y ≤ Kx und z ≤ Kx. 3.13. (2) Zeigen Sie ohne Verwendung des Auswahlaxioms: Wenn X ein reeller separabler Banach-Raum ist, M ein Unterraum von X und f ∈ L(M, ), so gibt es eine Fortsetzung f˜ ∈ L(X, ) mit f˜|M = f und f˜M → = f X→ . 







3.14. (3) Sei Sl : l∞ → l∞ der Shift nach links im Raum der beschr¨ ankten Folgen ′ mit den Eigenschaften l∞ . Konstruieren Sie ein f ∈ l∞ f (Sl x) = f (x) f¨ ur alle x ∈ l∞ ,

lim inf x(i) ≤ f (x) ≤ lim sup x(i) f¨ ur alle x ∈ l∞ . i→∞

i→∞

Hinweis und Bemerkung: Definiere fk (x) =

1 (x(1) + . . . + x(k)), k

M = {x ∈ l∞ : lim fk (x) =: f (x) existiert}, k→∞

p(x) = lim sup fk (x), k→∞

und wende Hahn-Banach an. Ein solches Funktional f , das manche Eigenschaften eines echten Grenzwerts besitzt, heißt Banachlimes. 3.15. (3) Sei c00 ⊂ c0 der Raum der Folgen x, die ab einem Index I = I(x) f¨ ur alle i > I verschwinden (=Raum der endlichen Folgen). F¨ ur jede Folge a setzen wir pa (x) = supi∈ |a(i)x(i)|. Offenbar ist pa auf c00 eine wohldefinierte Halbnorm. a) (c00 , {pa }) ist ein lokalkonvexer Raum. b) Warum l¨ aßt sich diese Topologie von c00 nicht durch eine Norm erzeugen ? c) Bestimmen Sie den Dualraum von (c00 , {pa }). 

3.16. (1) Eine in C 0 (Ω) schwach konvergente Folge ist punktweise konvergent.

62

3 Die Prinzipien der Funktionalanalysis

3.17. (2) a) In einem Banach-Raum X ist die schwache Konvergenz xk ⇁ x ¨ aquivalent zu den beiden Bedingungen (i) xk  ≤ M ∀k ∈ , (ii) f (xk ) → f (x) f¨ ur alle f in einer dichten Teilmenge von X ′ . b) Als Anwendung zeige man: 

xk ⇁ x in c0

⇔

xk l∞ ≤ K und xk (i) → x(i) ∀i ∈ 

.

Bemerkung: Man beachte den Unterschied zu Lemma 3.26. Dort kommt der Grenzwert in Bedingung (b) nicht vor (siehe auch Aufgabe 3.19). 3.18. (2) Im Hilbert-Raum gilt xk → x

⇔

xk ⇁ x und xk  → x.

3.19. (2) Geben Sie ein Beispiel f¨ ur eine schwache Cauchy-Folge in c0 , die keinen schwachen Grenzwert besitzt. 3.20. (3) Sei 1 < p < ∞. Beweisen Sie: xk → x in lp

⇔

xk ⇁ x in lp und xk lp → xlp .

3.21. (3) Sei X ein Banach-Raum. Beweisen Sie oder widerlegen Sie durch Gegenbeispiel. a) Ist fk → f in X ′ und xk ⇁ x in X, so fk (xk ) → f (x). ∗

b) Ist fk ⇁ f in X ′ und xk → x in X, so fk (xk ) → f (x). ∗

c) Ist fk ⇁ f in X ′ und xk ⇁ x in X, so fk (xk ) → f (x).

3.22. (5) Beweisen Sie: Eine Folge konvergiert genau dann schwach in l1 , wenn sie stark in l1 konvergiert. 3.23. (3) Sei l2 der Raum der reellwertigen quadratsummierbaren Zahlenfolgen und sei ek ∈ l2 mit ek (i) = δik . Sei M die Teilmenge von l2 mit Elementen xk,l = ek + (k − 1)el , 1 ≤ k < l. a) Bestimmen Sie den schwachen Folgenabschluß M sf von M in l2 , d.h. diejenigen x ∈ l2 , die sich als schwache Grenzwerte von Folgen in M darstellen lassen. b) Zeigen Sie, daß 0 im schwachen Abschluß von M liegt. Bemerkung: Der Folgenabschluß f¨ uhrt also nicht notwendig zu einer abgeschlossenen Menge. Weiter ist mit diesem Beispiel gezeigt, daß die schwache Topologie von l2 nicht das erste Abz¨ ahlbarkeitsaxiom erf¨ ullt (siehe Lemma 1.11). Das Gegenst¨ uck hierzu ist Aufgabe 3.24. 3.24. (3) Ist X ein separabler Banach-Raum und A ⊂ X ′ normbeschr¨ ankt, so erf¨ ullt A versehen mit der schwachen∗ Topologie das erste Abz¨ ahlbarkeitsaxiom. 3.25. (3) Sei M der Raum der endlichen Folgen. Zeigen Sie, daß der Abschluß von M in der Topologie von l∞ der Raum c0 ist, daß aber der Abschluß von M in der schwachen∗ Topologie von l∞ (aufgefaßt als Dualraum von l1 ) mit l∞ u ¨bereinstimmt.

Aufgaben

63

3.26. (3) Seien X, Y Banach-R¨ aume und T : X → Y linear. Dann gilt: T ∈ L(X, Y ) ⇔ T ist stetig bez¨ uglich der schwachen Topologien von X und Y. 3.27. (4) Sei X ein unendlich dimensionaler Banach-Raum. Zeigen Sie, daß X ′ mit der schwachen∗ Topologie mager ist in sich selbst. ′ ist nicht schwach∗ folgenkompakt. 3.28. (3) Die abgeschlossene Einheitskugel von l∞

3.29. (3) Beweisen Sie: (Banach-Saks) Gilt in einem Hilbert-Raum xk ⇁ x, so gibt es eine Teilfolge (xkl ) mit l 1X xk → x. l j=1 j Hinweis: Man darf x = 0 setzen. Definiere die Teilfolge rekursiv durch xk1 = x1 ,

|(xk1 + . . . + xkl−1 , xkl )| gen¨ ugend klein.

3.30. (2) Sei X ein reflexiver Banach-Raum. Dann gibt es zu jedem f ∈ X ′ ein x ∈ X mit x = 1 und |f (x)| = f . 3.31. (3) Sei M ⊂ C([−1, 1]) die Menge der Funktionen mit Z 0 Z 1 x(τ ) dτ = 1. x(τ ) dτ − 0

−1

Dann ist M konvex und abgeschlossen, aber es gibt kein Element in M mit minimaler Norm  · ∞ . Bemerkung: C([−1, 1]) ist damit nicht reflexiv, denn alle anderen Voraussetzungen von Satz 3.36 sind erf¨ ullt.

4 Die Lebesgue-R¨ aume Lp (Ω)

4.1 Das Lebesgue-Integral Es wird vorausgesetzt, daß der Leser mit den Grundlagen der LebesgueIntegration vertraut ist. Dieser Abschnitt soll nur die wichtigsten Begriffe und S¨atze wiederholen. F¨ ur eine genauere Darstellung sei z.B. auf das Buch von Halmos [Hal50] verwiesen. Definition 4.1. Eine Menge Σ von Teilmengen des wenn die folgenden Bedingungen erf¨ ullt sind: n (a) ∈ Σ, (b) Wenn A ∈ Σ, dann ist auch Ac ∈ Σ,

(c) Wenn Ak ∈ Σ f¨ ur k ∈



n

heißt σ-Algebra,

, dann ist auch ∪∞ k=1 Ak ∈ Σ.

ahnliche Weise zeigt Wegen ( n )c = ∅ folgt aus (a) und (b), daß ∅ ∈ Σ. Auf ¨ man, daß ∩∞ ur Ak ∈ Σ und A \ B = A ∩ B c ∈ Σ. k=1 Ak ∈ Σ f¨ Definition 4.2. Sei Σ eine σ-Algebra. Eine Funktion µ : Σ → heißt Maß, wenn µ die folgenden Eigenschaften besitzt:

+

∪ {∞}

(a) µ(A) ≥ 0

f¨ ur alle A ∈ Σ, ∞  (b) µ(∪∞ µ(Ak ) f¨ ur Ak ∈ Σ und Ak ∩ Al = ∅ f¨ ur k = l. A ) = k k=1 k=1

H¨aufig wird ein allgemeinerer Maßbegriff verwendet. In diesem Fall heißt die oben eingef¨ uhrte Maßfunktion ein positives, σ-additives Maß. Satz 4.3. Es gibt eine σ-Algebra Σ von Teilmengen des n und ein Maß µ auf Σ, das Lebesgue-Maß genannt wird, mit den folgenden Eigenschaften: (a) Jede offene Menge des n geh¨ort zu Σ. (b) Zu jedem A ∈ Σ und ε > 0 gibt es eine offene Menge B ⊃ A mit µ(B \ A) ≤ ε,

(c) Wenn A ⊂ B und B ∈ Σ mit µ(B) = 0, dann ist auch A ∈ Σ und µ(A) = 0.

4 Die Lebesgue-R¨ aume Lp (Ω)

66

n (d) Wenn : ak ≤ xk ≤ bk , k = 1, . . . , n}, dann ist A ∈ Σ und nA = {x ∈ µ(A) = k=1 (bk − ak ). (e) µ ist translationsinvariant, d.h.: Wenn x ∈ n und A ∈ Σ, dann gilt µ(A) = µ(x + A).

Die Elemente von Σ heißen die Lebesgue-meßbaren Mengen. Die Eigenschaft (d) zeigt, daß das Lebesgue-Maß die Fortsetzung der Volumenfunktion auf eine gr¨oßere Klasse von Mengen ist, die die offenen Mengen enth¨ alt. Da wir keine anderen Maßfunktionen studieren wollen, wird das Wort Lebesgue“ im ” folgenden weggelassen. Eine besondere Bedeutung f¨ ur die Theorie haben die Mengen vom Maß 0, kurz Nullmengen genannt. Satz 4.3(b) besagt, daß jede Teilmenge einer Nullmenge ebenfalls eine Nullmenge ist. Aus der σ-Additivit¨ at folgt, daß die abz¨ahlbare Vereinigung von Nullmengen wiederum eine Nullmenge ist. Insbesondere sind abz¨ ahlbare Mengen des n Nullmengen. Wir sagen, daß eine ullt ist, wenn es eine Bedingung fast ¨ uberall (f.¨ u.) auf einer Menge A ⊂ n erf¨ Nullmenge B ⊂ A gibt, so daß die Bedingung auf A \ B gilt.

Definition 4.4. Sei A ⊂ n meßbar und sei u : A → ∪ {∞} ∪ {−∞} eine Funktion. u heißt meßbar, wenn die Mengen {x : u(x) > a} meßbar sind f¨ ur alle a ∈ . F¨ ur eine meßbare Funktion u sind die Mengen Ak = {x : u(x) > a −

1 }, k

k∈ 

,

meßbar, damit auch die Menge {x : u(x) ≥ a}. Durch Bildung des Komplements erhalten wir daraus die Meßbarkeit der Mengen {x : u(x) < a} sowie {x : u(x) ≤ a}. Satz 4.5. (a) Wenn u meßbar ist, so sind auch |u|, u+ , u− meßbar. (b) Wenn u, v meßbar sind, so sind auch u + v, uv, max{u, v}, min{u, v} meßbar. (c) Wenn (uk ) eine Folge meßbarer Funktionen ist, so sind auch supk∈ uk , inf k∈ uk , lim supk∈ uk , lim inf k∈ uk meßbar.











(d) Wenn u : m → stetig und jede Komponente von v = (v1 , . . . , vm ) meßbar ist, so ist auch die Funktion u ◦ v(x) = u(v(x)) meßbar. Definition 4.6. Seien A1 , . . . , Am ⊂ n meßbare Mengen und a1 , . . . am ∈ . Dann heißt s(x) = m k=1 ak χAk eine (meßbare) Treppenfunktion.

Satz 4.7. Zu jeder meßbaren Funktion u gibt es eine Folge von Treppenfunktionen (sk ) mit sk → u punktweise. Wenn u positiv ist, so kann (sk ) monoton steigend gew¨ahlt werden. m ur eine Treppenfunktion s(x) = k=1 ak χAk mit Sei A ⊂ n meßbar. F¨ Ak ⊂ A definieren wir

4.1 Das Lebesgue-Integral



s(x) dx = A

m 

67

ak µ(Ak ).

k=1

Wenn u meßbar und positiv ist, so setzen wir   u(x) dx = sup s(x)dx, A

A

wobei das Supremum u ¨ber alle Treppenfunktionen genommen wird, die außerhalb von A verschwinden und der Beziehung 0 ≤ s ≤ u in A gen¨ ugen. Wenn u reellwertig und meßbar ist, und auf der rechten Seite von    u(x) dx := u+ (x)dx − (−u− (x)) dx A

A

A

mindestens eines der Integrale endlich ist, so sagen wir, daß das Integral von u existiert mit Werten in der Menge ∪ {−∞} ∪ {∞}. Wenn beide Integrale  endlich sind, so heißt u integrierbar und A u(x)dx das Integral von u. Die Menge der integrierbaren Funktionen auf A bezeichnen wir mit L1 (A). Satz 4.8. Sei A meßbar und u, v seien meßbare Funktionen auf A.

(a) Wenn a ≤ u(x) ≤ b f¨ ur alle x ∈ A und wenn µ(A) endlich ist, so gilt  aµ(A) ≤ u(x) dx ≤ bµ(A). A

(b) Wenn u(x) ≤ v(x) f¨ ur alle x ∈ A und wenn beide Integrale existieren, so gilt   u(x) dx ≤ v(x) dx. A

A

1

(c) Wenn u, v ∈ L (A), dann ist auch cu + dv ∈ L1 (A) f¨ ur c, d ∈    (cu(x) + dv(x)) dx = c u(x) dx + d v(x) dx. A

A

(d) Wenn µ(A) = 0, so ist



A

und

A

u(x) dx = 0.

Die wichtigsten Eigenschaften des Lebesgue-Integrals sind die S¨ atze u ¨ber die Vertauschung von Integration und Grenz¨ ubergang. Satz 4.9 (Monotone Konvergenz, Satz von Beppo-Levi). Sei A ⊂ n meßbar und (uk ) eine Folge monoton steigender, nichtnegativer und meßbarer Funktionen. Dann gilt   uk (x) dx = lim uk (x) dx. lim k→∞

A

A k→∞

Satz 4.10 (Fatous Lemma). Sei A ⊂ n und (uk ) eine Folge nichtnegativer, meßbarer Funktionen. Dann gilt   lim inf uk (x) dx ≤ lim inf uk (x) dx. A k→∞

k→∞

A

4 Die Lebesgue-R¨ aume Lp (Ω)

68

Satz 4.11 (Satz von Lebesgue). Sei A ⊂ n meßbar und (uk ) eine Folge meßbarer Funktionen, die punktweise konvergiert. Wenn es eine Funktion g ∈ ur alle k und alle x ∈ A, so L1 (A) gibt mit |uk (x)| ≤ g(x) f¨   lim uk (x) dx = lim uk (x) dx. k→∞

A k→∞

A

Ebenso wichtig ist der folgende Satz u ¨ber die Vertauschung der Reihenfolge der Integrationsvariablen. Satz 4.12 (Fubini). Sei u eine meßbare Funktion auf dem n+m , so daß wenigstens eines der folgenden Integrale existiert und endlich ist      I1 = |u(x, y)| dx dy, I2 = |u(x, y)| dx dy, 

n+m



I3 = Dann gilt: (a) u(·, y) ∈ L1 (

n





n







m

) f¨ ur fast alle y ∈

(b) u(x, ·) ∈ L1 ( m ) f¨ ur fast alle x ∈  (c) u(x, ·) dx ∈ L1 ( m ), 

(d)





m



n

 |u(x, y)| dy dx. m

,

n

,

n

m

u(·, y) dy ∈ L1 (

n

),

(e) I1 = I2 = I3 . Der folgende Satz wird manchmal die Absolutstetigkeit des Lebesgue Integrals genannt. Satz 4.13. Sei u integrierbar auf der meßbaren Menge A. Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0, das nur von ε und u abh¨angt, so daß f¨ ur alle meßbaren Teilmengen B von A mit µ(B) < δ gilt  |u| dx < ε. B

Im n¨achsten Satz wird eine u ¨berraschende Stetigkeitseigenschaft meßbarer Funktionen angegeben. Satz 4.14 (Lusin). Sei u meßbar und u = 0 außerhalb einer offenen Menge Ω mit µ(Ω) < ∞. Dann gibt es zu jedem ε > 0 eine Funktion φ ∈ C00 (Ω) mit   sup |φ(x)| ≤ sup |u(x)| und µ {x ∈ Ω : φ(x) = u(x)} < ε. x∈Ω

x∈Ω

4.2 Definition der R¨ aume Lp (Ω)

F¨ ur vektorwertige Funktionen u = (u1 , . . . , um ) ∈    ui (x) dx u(x) dx = A

A

m

i=1,...,m

69

setzen wir

,

und f¨ ur komplexwertige Funktionen u = f + ig    u(x) dx = f (x) dx + i g(x) dx. A

A

A

4.2 Definition der R¨ aume Lp(Ω) In diesem und den folgenden Abschnitten bezeichnen wir mit Ω ein Gebiet ¨ des n . Auf den meßbaren Funktionen auf Ω definieren wir eine Aquivalenzrelation durch u ∼ v ⇔ u = v f.¨ u. auf Ω,

¨ und betrachten statt den meßbaren Funktionen die zugeh¨ origen Aquivalenzklassen. Anders ausgedr¨ uckt: Wir identifizieren meßbare Funktionen, die außerhalb einer Nullmenge u ¨ bereinstimmen.

Definition 4.15. F¨ ur 1 ≤ p < ∞ besteht der Raum Lp (Ω) aus allen meßbaren, reell- oder komplexwertigen Funktionen u, so daß |u|p integrierbar auf Ω ist. Eine meßbare Funktion u geh¨ort zum Raum L∞ (Ω), wenn sie wesentlich beschr¨ankt ist, wenn also sup |u(x)| < ∞

f¨ ur eine Nullmenge N

x∈Ω\N

erf¨ ullt ist. Lploc (Ω) ist der Raum der Funktionen, die f¨ ur jedes offene Teilmenge Ω0 ⊂⊂ Ω zu Lp (Ω0 ) geh¨oren. Als erstes wird gezeigt, daß Lp (Ω) mit den Ausdr¨ ucken  1/p  , 1 ≤ p < ∞, u∞;Ω = inf |u(x)|p dx up;Ω =

sup |u(x)|,

µ(N )=0 x∈Ω\N

Ω

Banach-R¨aume sind. Dazu ben¨ otigen wir ein vorbereitendes Resultat. Lemma 4.16 (H¨ oldersche Ungleichung). Sei 1 < p, q < ∞ mit p−1 + −1 q = 1. Wenn u ∈ Lp (Ω) und v ∈ Lq (Ω), dann ist uv ∈ L1 (Ω) und uv1;Ω ≤ up;Ω vq;Ω . Beweis. Nach Satz 4.5(b) ist das Produkt uv meßbar, so daß wir nur zeigen m¨ ussen, daß uv durch eine integrierbare Funktion abgesch¨ atzt werden kann (siehe Satz 4.8(b)). In der Youngschen Ungleichung (A.2) setzen wir ε = 1 und

70

4 Die Lebesgue-R¨ aume Lp (Ω)

a = |u(x)|,

daher

|u(x)v(x)| ≤

b = |v(x)|,

1 1 |u(x)|p + |v(x)|q . p q

Satz 4.8(b) liefert das gew¨ unschte Ergebnis f¨ ur Funktionen u, v mit up;Ω = vq;Ω = 1. Weil die Ungleichung trivialerweise erf¨ ullt ist, wenn eine der beiden Funktionen verschwindet, folgt die Ungleichung mit einem Homogenit¨atsargument. ⊔ ⊓ Satz 4.17. F¨ ur 1 ≤ p ≤ ∞ sind die R¨aume Lp (Ω) Banach-R¨aume unter der Norm ·p;Ω . Beweis. Als erstes zeigen wir die Dreiecksungleichung, die in diesem Zusammenhang auch als Minkowski-Ungleichung bezeichnet wird. Da die F¨ alle p = 1 und p = ∞ klar sind, sei 1 < p < ∞. F¨ ur u, v ∈ Lp (Ω) folgt aus der Dreiecksungleichung   |u(x)+v(x)|p = |u(x)+v(x)|p−1 |u(x)+v(x)| ≤ |u(x)+v(x)|p−1 |u(x)|+|v(x)| und aus der H¨olderschen Ungleichung f¨ ur q = p/(p − 1)    u + vpp;Ω = |u(x) + v(x)|p dx ≤ u + vp−1 p;Ω up;Ω + vp;Ω . Ω

Da die anderen Normaxiome erf¨ ullt sind, ist Lp (Ω) ein linearer Vektorraum. Es muß noch die Vollst¨ andigkeit gezeigt werden. Sei 1 ≤ p < ∞ und sei (uk )k∈ eine Cauchy-Folge in Lp (Ω). Durch Auswahl einer Teilfolge, die immer noch mit (uk ) bezeichnet wird, kann


uk+1 − uk p;Ω ≤ 2−k

f¨ ur alle k ∈ m erreicht werden. Die Funktion vm (x) = k=1 |uk+1 (x) − uk (x)| gen¨ ugt der Absch¨atzung m  2−k < 1, vm p;Ω ≤ 

k=1

woraus wegen Fatous Lemma 4.10 folgt   |v|p dx = lim |vm |p dx ≤ 1. Ω m→∞

Ω

Daher gilt v(x) < ∞ f.¨ u. in Ω und die Summe u1 +

∞ 

k=1

(uk+1 − uk )

u. konvergiert fast u ¨berall gegen eine Funktion u, also limk→∞ uk (x) = u(x) f.¨ Wiederum aus Fatous Lemma erhalten wir f¨ ur gen¨ ugend große k, l

4.2 Definition der R¨ aume Lp (Ω)



Ω

|u − ul |p dx =



71

lim |uk − ul |p dx ≤ lim uk − ul pp;Ω < ε.

Ω k→∞

k→∞

Also u = (u − ul ) + ul ∈ Lp (Ω) und ul → u in Lp (Ω). Damit ist gezeigt, daß eine Teilfolge der Cauchy-Folge in Lp (Ω) konvergiert. Aus einem allgemeinen Prinzip (siehe S. 13) folgt, daß dann die ganze Folge gegen den gleichen Grenzwert konvergiert. F¨ ur p = ∞ ist die Vollst¨ andigkeit einfacher zu beweisen. Da die abz¨ ahlbare Vereinigung von Nullmengen eine Nullmenge ist, existiert zu einer CauchyFolge (uk )k∈ eine Nullmenge N mit


|uk (x)| ≤ uk ∞;Ω ,

|uk (x) − ul (x)| ≤ uk − ul ∞;Ω

f¨ ur alle x ∈ Ω \ N.

Auf der Menge Ω \N ist die Folge eine Cauchy-Folge bez¨ uglich der gleichm¨ aßi⊔ ⊓ gen Konvergenz. Damit gilt uk → u in L∞ (Ω). Korollar 4.18. L2 (Ω) ist Hilbert-Raum unter dem inneren Produkt  (u, v) = u(x)v(x) dx. Ω

Der folgende Einbettungssatz wird h¨ aufig ben¨ otigt. Schon einfache Beispiele zeigen, daß die Voraussetzung, daß Ω beschr¨ anktes Maß haben muß, nicht fehlen darf. Satz 4.19. Sei µ(Ω) < ∞. Dann gilt:

(a) Sei 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞. Dann geh¨ort jedes u ∈ Lq (Ω) auch zum Raum Lp (Ω) und gen¨ ugt der Absch¨atzung 1

1

up;Ω ≤ µ(Ω) p − q uq;Ω , wobei q −1 = 0 f¨ ur q = ∞ gesetzt wird.

(b) Wenn f¨ ur alle 1 ≤ p < ∞ die Funktion u ∈ Lp (Ω) ist mit up ≤ K, dann ist auch u ∈ L∞ (Ω) mit u∞ ≤ K.

Beweis. (a) Der Fall q = ∞ ist offensichtlich. F¨ ur q < ∞ folgt aus der H¨ olderschen Ungleichung  p up;Ω = 1 · |u|p dx ≤ 1q/(q−p);Ω upq;Ω . Ω

(b) Wir f¨ uhren einen indirekten Beweis und k¨ onnen dazu mit Aufgabe 4.3 annehmen, daß es eine Menge A sowie eine Konstante K1 > K gibt mit µ(A) > 0 und |u(x)| ≥ K1 in A. Dann   |u|p dx ≥ µ(A)K1p |u|p dx ≥ Ω

A

und daher up;Ω > K f¨ ur gen¨ ugend großes p.

⊔ ⊓

72

4 Die Lebesgue-R¨ aume Lp (Ω)

Ist X ein linearer Raum, so bezeichnen wir mit X k den Raum der Vektoren (x1 , . . . , xk ) mit xi ∈ X. Der Raum Lp (Ω)k wird normiert durch  1/p  . up;Ω = |u|p dx Ω

Man beachte, daß |u| immer die euklidische Norm des n-Vektors u bedeutet.

4.3 Mollifier und dichte Unterr¨ aume In diesem Abschnitt wird gezeigt, daß jede Funktion u ∈ Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞, durch Funktionen in C0∞ (Ω) beliebig genau approximiert werden kann, der Raum C0∞ (Ω) also dicht liegt in Lp (Ω). Als erstes beweisen wir ein vorbereitendes Resultat u ¨ber die Approximierbarkeit durch Funktionen im Raum C00 . ur 1 ≤ p < ∞. Satz 4.20. (a) C00 (Ω) ist dicht in Lp (Ω) f¨ (b) Lp (Ω) ist separabel f¨ ur 1 ≤ p < ∞. Beweis. (a) Sei u ∈ Lp (Ω). Aus dem Satz von Lebesgue folgt  lim |u|p dx = upp;Ω . R→∞

Ω∩BR

Daher existiert ein R ∈ , so daß die Funktion u1 mit u1 = u in Ω ∩ BR , u1 = 0 außerhalb von BR , der Absch¨ atzung u − u1 p;Ω < gen¨ ugt. Sei (k) u1 (x)

=




ε 3

u1 (x) wenn |u1 (x)| ≤ k, 0

sonst.

Wegen |u1 |p ∈ L1 (Ω) gilt µ({x : |u1 (x)| > k}) → 0 f¨ ur k → ∞. Aus der Absolutstetigkeit des Lebesgue-Integrals, Satz 4.13, folgt   (k) |u1 − u1 |p dx = |u1 |p dx → 0 f¨ ur k → ∞. |u1 (x)|>k

Ω

(k)

F¨ ur die Funktion u2 = u1

gilt daher f¨ ur gen¨ ugend großes k u2 − u1 p;Ω <

ε . 3

Nach dem Satz von Lusin 4.14 existiert ein φ ∈ C00 (Ω ∩ BR ) mit |φ| ≤ k und    ε p µ {x : φ(x) = u2 (x)} < . 6k

4.3 Mollifier und dichte Unterr¨ aume

73

Aus der Dreiecksungleichung folgt u − φp;Ω ≤ u − u1 p;Ω + u1 − u2 p;Ω + u2 − φp;Ω < <

 1/p 2 ε + u2 − φ∞;Ω µ {x : u2 (x) = φ(x)} 3

2 ε ε + 2k = ε. 3 6k

Also ist C00 (Ω) dicht in Lp (Ω) f¨ ur 1 ≤ p < ∞. (b) Wir verwenden den Weierstraßschen Approximationssatz A.8, der besagt, daß jedes φ ∈ C00 ( n ) auf jeder Kugel BR beliebig genau durch Polynome mit rationalen Koeffizienten approximiert werden kann. Sei Ω = ∪∞ m=1 Km mit Km ⊂ Ω kompakt, zum Beispiel   1 Km = x ∈ Ω : dist (x, ∂Ω) ≥ und |x| ≤ m . m Ferner sei Pm = {qχKm : q ∈ P }, wobei χKm die charakteristische Funktion von Km bezeichnet und P der Raum der Polynome mit rationalen Koeffizienten ist. Nach (a) existiert f¨ ur jedes u ∈ Lp (Ω) ein φ ∈ C00 (Ω) mit ε und ein q ∈ Pm mit u − φp;Ω ≤ 2 . Weiter gibt es zu φ ein m ∈ ε −1/p . Daher supp(φ) ⊂ Km und φ − q∞;Km ≤ 2 µ(Km ) 

ε + φ − q∞;Km µ(Km )1/p = ε. 2 abz¨ahlbar ist, haben wir alles bewiesen. ⊔ ⊓

u − qp;Ω ≤ u − φp;Ω + φ − qp;Km ≤ Da ∪Pm

Satz 4.21. F¨ ur 1 ≤ p < ∞ ist die Translation in Lp ( n gilt also h∈ lim u(· + th) − u(·)p = 0.

n

) stetig, f¨ ur jedes

t→0

Beweis. Nach dem letzten Satz (a) gibt es ein φ ∈ C00 mit u − φp ≤ ε. Da die Funktion φ einen kompakten Tr¨ager besitzt, ist sie gleichm¨ aßig stetig und es gilt φ(· + th) − φ(·)∞ → 0, mit Satz 4.19(a) daher φ(· + th) − φ(·)p → 0 und die Behauptung folgt aus der Dreiecksungleichung. ⊔ ⊓ Nun definieren wir den Mollifier (=gl¨attender Kern). Sei J ∈ C0∞ ( n ) eine Funktion mit den Eigenschaften J ≥ 0,  J(x) = 0 f¨ ur |x| > 1, und J(x) dx = 1. Ein Beispiel f¨ ur einen Mollifier ist die Funktion  
1 k exp − 1−|x| f¨ ur |x| < 1 2 J(x) = 0 sonst

J(x)

-1

1

 wobei die Konstante k so gew¨ahlt wird, daß J dx = 1. Nach der Kettenregel sind die partiellen Ableitungen von J von der Gestalt J(x)q(x) mit einer

74

4 Die Lebesgue-R¨ aume Lp (Ω)

rationalen Funktion q, die nur f¨ ur |x| = 1 singul¨ ar ist. Diese Darstellung zeigt, daß J unendlich oft differenzierbar ist auch in den kritischen Punkten |x| = 1. −n −1 ur |x| ≥ ε und  Wir setzen Jε (x) = ε J(ε x), womit gilt Jε (x) = 0 f¨ Jε = 1. Das Integral  (Jε ∗ u)(x) = Jε (x − y)u(y) dy (4.1) 

n

1

existiert f¨ ur u ∈ L und heißt die regularisierte Funktion zu u. In Jε ∗ u(x) gehen nur die Werte von u in einer ε-Umgebung von x ein. Daher kann Jε ∗u(x) als ein verallgemeinerter Mittelwert von u angesehen werden. Insbesondere ist der Tr¨ager von Jε ∗ u um eine ε-Umgebung gr¨ oßer als der Tr¨ ager von u.

Lemma 4.22. Sei u : Ω → mit u = 0 außerhalb von Ω. Dann gilt: (a) Wenn u ∈ L1 (Ω) und supp(u) ⊂⊂ Ω, dann ist Jε ∗ u ∈ C0∞ (Ω) f¨ ur gen¨ ugend kleines ε. (b) Wenn u ∈ C(Ω) und Ω0 ⊂⊂ Ω, dann gilt Jε ∗ u → u gleichm¨aßig in Ω0 f¨ ur ε → 0. (c) Wenn u ∈ Lp (Ω) f¨ ur 1 ≤ p < ∞, dann ist Jε ∗ u ∈ Lp (Ω) und Jε ∗ up;Ω ≤ up;Ω ,

Jε ∗ u → u in Lp (Ω) f¨ ur ε → 0.

Beweis. (a) W¨ahle ε < dist (supp(u), ∂Ω). Dann gilt Jε ∗ u = 0 in einer Umgebung von ∂Ω. Mit Di+h bezeichnen wir den Differenzenquotienten Di+h v(x) = Dann gilt Di+h Jε

∗ u(x) =



 1 v(x + hei ) − v(x) . h

  h−1 Jε (x + hei − y) − Jε (x − y) u(y) dy.

Der Mittelwertsatz zeigt, daß der Differenzenquotient von Jε gleichm¨ aßig beschr¨ankt in h ist. Da der Differenzenquotient gegen die erste partielle Ableitung konvergiert, erhalten wir aus dem Satz von Lebesgue 4.11  Di Jε ∗ u(x) = Di Jε (x − y)u(y) dy. Der erste Teil des Lemmas folgt durch Induktion. (b) u ∈ C(Ω) ist gleichm¨aßig stetig auf der Menge Ω1 mit Ω0 ⊂⊂ Ω1 ⊂⊂ Ω. F¨ ur gen¨ ugend kleines ε folgt f¨ ur x ∈ Ω0      |Jε ∗ u − u|(x) =  Jε (x − y)(u(y) − u(x)) dy  ≤

sup

|x−y|<ε, x,y∈Ω1

|u(x) − u(y)|



Jε (x − y) dy → 0.

4.4 Konvergenzeigenschaften von Folgen meßbarer Funktionen

75

(c) Mit der H¨olderschen Ungleichung gilt         1−1/p 1/p    |Jε ∗ u(x)| =  Jε (x − y)u(y) dy  =  Jε (x − y) Jε (x − y) u(y) dy  ≤



Jε (x − y) dy

=



Jε (x − y)|u(y)|p dy

1/q 

Jε (x − y)|u(y)|p dy

1/p

1/p

.

Diese Absch¨atzung erheben wir in die p-te Potenz, integrieren bez¨ uglich x und verwenden den Satz von Fubini 4.12,   p (4.2) Jε (x − y)|u(y)|p dx dy = upp . Jε ∗ up ≤ aß Satz 4.20(a) mit Sei φ ∈ C00 (Ω) eine Approximierende von u gem¨ u − φp < η3 . Aus (4.2) folgt Jε ∗ u − Jε ∗ φp = Jε ∗ (u − φ)p ≤ u − φp <

η . 3

Nun w¨ahlen wir ε so klein, daß in Teil (b) des Lemmas gilt Jε ∗ φ − φp < η3 . Die Behauptung folgt aus der Dreiecksungleichung. ⊔ ⊓ Satz 4.23. C0∞ (Ω) ist dicht in Lp (Ω) f¨ ur 1 ≤ p < ∞. Beweis. Kombiniere Satz 4.20(a) mit Lemma 4.22(b) unter Beachtung von Jε ∗ φ ∈ C0∞ (Ω) f¨ ⊔ ⊓ ur φ ∈ C00 (Ω).

4.4 Konvergenzeigenschaften von Folgen meßbarer Funktionen Definition 4.24. Eine Folge (uk )k∈ meßbarer Funktionen heißt maßkonvergent gegen eine meßbare Funktion u, wenn f¨ ur alle ε > 0 gilt   µ {x : |uk (x) − u(x)| ≥ ε} → 0 f¨ ur k → ∞.


Satz 4.25. Sei Ω ein beschr¨anktes Gebiet. Dann gilt: (a) Aus uk → u in Lp (Ω), 1 ≤ p ≤ ∞, folgt uk → u dem Maße nach.

(b) Aus uk → u dem Maße nach, folgt ukl → u f.¨ u. f¨ ur eine Teilfolge (ukl )l∈ .


Beweis. (a) Da aus der Lp -Konvergenz die L1 -Konvergenz auf beschr¨ ankten Mengen Ω folgt, braucht die Behauptung nur f¨ ur p = 1 gezeigt zu werden. F¨ ur uk ∈ L1 (Ω) und n ∈ sei 

76

4 Die Lebesgue-R¨ aume Lp (Ω)

  1 1 , A0,k = x : |uk (x) − u(x)| ≥ 1 . ≤ |uk (x) − u(x)| < n+1 n Daher Ω = ∪n An,k und  ∞   |uk − u| dx → 0, |uk − u| dx =

 An,k = x :

Ω

n=0

An,k

woraus µ(An,k ) → 0 f¨ ur k → ∞ f¨ ur alle n folgt. w¨ ahle nk so groß, daß nk > ur k ∈ (b) Sei uk → u dem Maße nach. F¨ nk−1 und  1  µ {x : |unk (x) − u(x)| ≥ } < 2−k . k Sei ∞   1 . x : |unk (x) − u(x)| ≥ Aj = k 

k=j

Dann ist A1 ⊃ A2 ⊃ . . . und

µ(∩∞ j=1 Aj ) ≤ lim

j→∞

∞ 

2−k = 0.

k=j

Jeder Punkt x im Komplement dieser Nullmenge ist ebenso enthalten im Komplement einer Menge Aj(x) , also x ∈ Acj(x) =

∞  

k=j(x)

y : |unk (y) − u(y)| <

Zu ε > 0 w¨ahle k0 mit k0 ≥ j(x) und

1 k0

1 . k

≤ ε. Dann gilt

|unk (x) − u(x)| ≤ ε f¨ ur alle k ≥ k0 , also unk (x) → u(x) f¨ ur alle x ∈ Ω \ ∩Aj .

p

⊔ ⊓

Anmerkungen 4.26 (i) F¨ ur unbeschr¨ anktes Gebiet gilt: Ist uk → u in L (Ω), u. in Ω. Denn wir 1 ≤ p < ∞, so gibt es eine Teilfolge (ukl ) mit ukl → u f.¨ k¨onnen Ω in abz¨ ahlbar viele beschr¨ankte Teilgebiete zerlegen und sukzessive auf jedem dieser Teilgebiete eine f.¨ u. konvergente Teilfolge ausw¨ ahlen. Die zugeh¨orige Diagonalfolge (siehe Beispiel 2.18) ist dann auf Ω f.¨ u. konvergent. (ii) Die Umkehrung dieses Satzes gilt ebenfalls, sofern die Folge durch eine integrierbare Funktion majorisiert wird. Dies ist gerade der Satz von Lebesgue. Das n¨achste Beispiel zeigt, daß in (b) die punktweise Konvergenz tats¨ achlich nur f¨ ur eine Teilfolge gilt. Beispiel 4.27. Sei n = 1 und Ω = (0, 1). Jedes l ∈ l¨ aßt sich eindeutig in der Form l = 2k + j schreiben mit k ∈ 0 und 0 ≤ j < 2k . Wir betrachten die Folge ul (x) = χ[j2−k ,(j+1)2−k ] , 



wobei χ die charakteristische Funktion des Intervalls bezeichnet. Offenbar gibt es kein x ∈ Ω mit liml→∞ ul (x) = 0, aber ul → 0 dem Maße nach.

4.5 Der Dualraum von Lp (Ω)

77

4.5 Der Dualraum von Lp(Ω) ¨ Ahnlich wie bei den Folgenr¨ aumen lp wollen wir Resultate der Form Lp (Ω)′ ∼ = 1 1 q L (Ω) f¨ ur p + q = 1 beweisen, was allerdings technisch aufwendiger ist. Als Vorbereitung ben¨ otigen wir vier Ungleichungen, die man aus den zugeh¨ origen Ungleichungen f¨ ur reelle Zahlen durch Integration gewinnt (siehe [Ada75, S. 34ff.], [Cla36], [HS71, S. 75ff.]). Lemma 4.28 (Clarksonsche Ungleichungen). 1 < p < ∞ und q = p/(p − 1). (a) Wenn 1 < p ≤ 2, so

Seien u, v ∈ Lp (Ω) f¨ ur

u + v q u − v q  1 q−1 1





,

+

≤ upp + vpp 2 2 2 2 p p

u + v p u − v p 1 1







+

≥ upp + vpp . 2 2 2 2 p p

(4.3) (4.4)

(b) Wenn 2 ≤ p < ∞, so

u + v p u − v p 1 1







+

≤ upp + vpp , 2 2 2 2 p p

u + v q u − v q  1 q−1 1





.

+

≥ upp + vpp 2 2 2 2 p p

(4.5) (4.6)

Satz 4.29. Lp (Ω) ist f¨ ur 1 < p < ∞ gleichm¨ aßig konvex, d.h.: Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0, so daß f¨ ur alle u, v ∈ Lp (Ω) mit up = vp = 1 und u − vp ≥ ε gilt

u + v



≤ 1 − δ.

2 p Beweis. F¨ ur u, v wie im Satz angegeben und f¨ ur 1 < p ≤ 2 folgt aus (4.3)

u + v q





≤ 1 − 2−q εq , 2 p und f¨ ur 2 ≤ p < ∞ aus (4.5)

u + v p



≤ 1 − 2−p εp .

2 p

In beiden F¨allen wurde ein δ > 0 mit den geforderten Eigenschaften gefunden. ⊔ ⊓

Anschaulich bedeutet die gleichm¨aßige Konvexit¨ at, daß die Einheitskugel strikt konvex und unabh¨ angig von u, v gekr¨ ummt ist. Ein Banach-Raum ist genau dann reflexiv, wenn er gleichm¨ aßig konvex ist. Wir ben¨otigen dieses Resultat jedoch nicht, weil die Reflexivit¨ at aus der Charakterisierung der Dualr¨ aume folgen wird.

78

4 Die Lebesgue-R¨ aume Lp (Ω)

Sei q der konjugierte Exponent zu p, also q = p/(p − 1) f¨ ur 1 < p < ∞, q = 1 f¨ ur p = ∞ und q = ∞ f¨ ur p = 1. Jedem u ∈ Lq (Ω) kann ein Lu ∈ Lp (Ω)′ zugeordnet werden durch  Lu (v) = uv dx, (4.7) Ω

denn aufgrund der H¨olderschen Ungleichung gilt |Lu (v)| ≤ uq vp , was die ur welche p die Abbildung Stetigkeit von Lu impliziert. Die Frage ist nun, f¨ u → Lu surjektiv ist:

Satz 4.30 (Rieszscher Darstellungssatz f¨ ur Lp (Ω)). Sei 1 ≤ p < ∞ und p ′ q L ∈ L (Ω) . Dann gibt es genau ein u ∈ L (Ω) mit  L(v) = uv dx f¨ ur alle v ∈ Lp (Ω). Ω

Weiter gilt uq = LLp (Ω)′ , also Lp (Ω)′ ∼ = Lq (Ω).

Beweis. Sei zun¨achst 1 < p < ∞, der Fall p = 1 wird anschließend durch Grenz¨ ubergang p → 1 gezeigt. Sei L ∈ Lp (Ω)′ mit LLp (Ω)′ = 1. Dann gibt es eine Folge (wk ) in Lp (Ω) mit wk p = 1 und |L(wk )| → 1. Die Folge (wk ) kann durch Multiplikation mit αk ∈ , |αk | = 1, so gew¨ ahlt werden, daß L(wk ) reell ist mit L(wk ) → 1. Wir wollen zeigen, daß die so modifizierte are, so g¨ abe Folge eine Cauchy-Folge in Lp (Ω) ist. Wenn das nicht der Fall w¨ es eine Folge ki , li mit ki , li → ∞ und ein ε > 0 mit wki − wli p ≥ ε f¨ ur ki , li ∈ . Aus der uniformen Konvexit¨ at folgt  21 (wki + wli )p ≤ 1 − δ mit einem festen δ > 0. Daher  w + w  w + w −1  w + w 

k ki li ki li li

= i 1≥L

L wki + wli p 2 2 p 



≥

 1 1 · L(wki ) + L(wli ) . 1−δ 2

F¨ ur ki , li → ∞ konvergiert die rechte Seite gegen 1/(1 − δ), was einen Widerspruch ergibt. Daher ist (wk ) Cauchy-Folge und konvergiert gegen ein w ∈ Lp (Ω) mit L(w) = 1 und wp = 1. Wir zeigen nun, daß  uv dx f¨ ur alle v ∈ Lp (4.8) L(v) = Ω

f¨ ur u = |w|p−2 w. Offenbar ist L(w) = 1; (4.8) ist demnach bewiesen, wenn folgendes gezeigt wird: Wenn L1 , L2 ∈ Lp (Ω)′ mit L1 Lp (Ω)′ = L2 Lp (Ω)′ = L1 (w) = L2 (w) = 1 f¨ ur ein w ∈ Lp (Ω) mit wp = 1, so folgt L1 = L2 .

(4.9)

Angenommen, (4.9) gilt nicht. Dann gibt es ein v ∈ Lp mit L1 (v) = L2 (v). Durch Skalarmultiplikation und Addition eines Vielfachen von w k¨ onnen wir

4.5 Der Dualraum von Lp (Ω)

L1 (v) = 1,

79

L2 (v) = −1

erreichen. Aus L1 (w + tv) = 1 + t, L2 (w − tv) = 1 + t, t ≥ 0, folgt wegen L1  = L2  = 1 w + tvp ≥ 1 + t,

w − tvp ≥ 1 + t.

F¨ ur 1 < p ≤ 2 liefert (4.4)

(w + tv) + (w − tv) p (w + tv) − (w − tv) p





1 + tp vpp =

+

2 2 p p ≥

1 1 w + tvpp + w − tvpp ≥ (1 + t)p 2 2

und f¨ ur 2 ≤ p < ∞ erh¨ alt man aus (4.6)

(w + tv) + (w − tv) q (w + tv) − (w − tv) q





1 + tq vqp =

+

2 2 p p ≥

q−1 1 1 w + tvpp + w − tvpp ≥ (1 + t)q . 2 2

Beide Ungleichungen k¨onnen nicht f¨ ur alle t > 0 richtig sein. Damit ist (4.9), also auch (4.8) bewiesen. (4.8) ist nun die gesuchte Darstellung von L und die Abbildung L → u ist auf der Menge der L mit L = 1 eine Isometrie. L = 0 kann auf den Fall L = 1 durch Skalarmultiplikation zur¨ uckgef¨ uhrt werden und f¨ ur L = 0 wird u = 0 gesetzt. Damit ist f¨ ur p > 1 alles bewiesen. F¨ ur p = 1 brauchen wir ebenfalls nur die Darstellung der L ∈ L1 (Ω)′ mit L = 1 zu konstruieren. Zun¨ achst sei Ω maßbeschr¨ ankt. Nach Satz 4.19(a) gilt dann Lp (Ω) ⊂ L1 (Ω) f¨ ur p > 1 und |L(v)| ≤ v1 ≤ M (p)vp = µ(Ω)1−1/p vp . Daher ist L ∈ Lp (Ω)′ f¨ ur alle p ≥ 1 und es gibt eine Darstellung up ∈ Lq (Ω) mit uq ≤ M (p) und  L(v) = up v dx ∀v ∈ Lp (Ω). Ω

∞

F¨ ur alle v ∈ L (Ω) folgt f¨ ur p1 , p2 > 1   up1 v dx = up2 v dx. Ω

Ω

Speziell w¨ahlen wir v = sign (up1 − up2 ) ∈ L∞ (Ω) und erhalten  |up1 − up2 | dx = 0 und up1 = up2 f.¨ u. Damit h¨ angt u gar nicht von p Ω ab und Satz 4.19(b) liefert

80

4 Die Lebesgue-R¨ aume Lp (Ω)

u∞ ≤ lim M (p) = 1. p→1

Da Lp (Ω) dicht liegt in L1 (Ω), kann Lu auf L1 (Ω) stetig fortgesetzt werden, ullt. Daher |Lu (v)| ≤ v1 ist wegen u ∈ L∞ (Ω) erf¨  uv dx ∀v ∈ L1 (Ω). L(v) = Ω

Im Falle eines Gebietes Ω mit unbeschr¨anktem Maß zerlegen wir Ω in abz¨ ahlbar viele meßbare, disjunkte Mengen mit endlichem Maß und wenden obiges Resultat auf jede dieser Teilmengen an. ⊔ ⊓ Die Dualit¨atsabbildung von Lp (Ω) hat die Form  v, L = uv dx, Ω

woraus sofort folgt Satz 4.31. Die R¨aume Lp (Ω) sind reflexiv f¨ ur 1 < p < ∞.

∼ L1 (Ω) zu zeigen, konstruieren wir ein Funktional δ˜ ∈ Um L∞ (Ω)′ = ′ L (Ω) , das nicht durch eine L1 -Funktion dargestellt werden kann. F¨ ur x ∈ Ω ur v ∈ C(Ω) ist δx wohldefiniert und in der L∞ -Norm setze δx (v) = v(x). F¨ auch stetig, |δx (v)| ≤ v∞ . Nach Korollar 3.12 zum Hahn-Banachschen Fortsetzungssatz gibt es eine Fortsetzung von δx auf L∞ (Ω), der offenbar keine L1 -Funktion entspricht. Um die schwache Konvergenz in Lp (Ω) zu untersuchen, identifizieren wir wie in (4.7) jedes u ∈ Lp (Ω) mit einem Lu ∈ Lq (Ω)′ . ∞

Satz 4.32. Eine Folge (uk ) konvergiert genau dann schwach in Lp (Ω), 1 < p < ∞, bzw. schwach∗ in L∞ (Ω), wenn die Folge normbeschr¨ankt ist und wenn f¨ ur alle φ ∈ C0∞ (Ω) die Folgen    uk φ dx k∈ Ω

Cauchy-Folgen in






sind.

Beweis. Da schwache und schwache∗ Konvergenz f¨ ur 1 < p < ∞ u ¨ bereinstimmen, k¨onnen wir Lemma 3.26 anwenden: Eine Folge (uk ) ist genau dann schwach∗ konvergent, wenn sie normbeschr¨ ankt ist und wenn die Folgen ur alle φ in einer dichten Teilmenge von Lq (Ω). Luk (φ) in konvergent sind f¨ Die Behauptung folgt daher aus der Tatsache, daß C0∞ dicht in Lq ist (Satz 4.23). ⊓ ⊔ 

Beispiel 4.33. Sei n = 1, Ω = (0, 1), und uk = sin kπx ∈ L2 (Ω) f¨ ur k ∈ ur φ ∈ C0∞ (Ω) gilt Diese Folge ist normbeschr¨ ankt in L2 (Ω) und f¨ 

.

Aufgaben



0

1

uk (x)φ(x) dx = −

1 kπ



1

1 kπ

(cos kπx)′ φ(x) dx =

0



0

1

81

cos kπx φ′ (x) dx → 0,

also uk ⇁ 0 nach dem letzten Satz. Offenbar konvergiert uk weder punktweise f.¨ u. noch dem Maße nach gegen die Nullfunktion. Die schwache Konvergenz ist also tats¨achlich – schwach.

Aufgaben durch eine 4.1. (1) Sei A eine Menge mit der Eigenschaft, daß sie f¨ ur jedes k ∈ meßbare Menge Zk mit µ(Zk ) → 0 u ¨berdeckt werden kann. Beweisen Sie, daß A meßbar ist und Maß 0 besitzt. 

4.2. (3) Sei x : [a, b] →

2 

die stetig differenzierbare Parametrisierung der Kurve ˘ ¯ C = x(t) : t ∈ [a, b] ⊂ 2 . 

Zeigen Sie mit dem Kriterium aus der letzten Aufgabe, daß µ(C) = 0.

4.3. (2) Die folgenden Schlußweise kommt h¨ aufig in der Maßtheorie vor und soll hier an einem einfachen Beispiel einge¨ ubt werden. Sei u meßbar auf dem n und f¨ ur die Menge Ω = {x : u(x) > 0} gelte µ(Ω) > 0. Beweisen Sie, daß es dann auch ein ε > 0 gibt, so daß µ({x : u(x) > ε}) > 0. 1 , k1 ) f¨ ur k ∈ und G0 = [1, ∞). Mit Ωk = {x : u(x) ∈ Gk } Hinweis: Setze Gk = [ k+1 ∞ gilt dann Ω = ∪k=0 Ωk . 



4.4. (2) Zeigen Sie durch ein Beispiel, daß die punktweise Konvergenz nicht ausreicht, um Integration und Grenzwertbildung zu vertauschen. 4.5. (2) Sei Ω = (0, 1) ⊂ . Geben Sie eine Folge meßbarer, nichtnegativer Funktionen un : Ω → an mit Z Z lim inf un (x) dx < lim inf un dx. 



Ω

Ω

4.6. (3) Um kompliziertere Beispiele von meßbaren Mengen kennenzulernen, wollen wir die sogenannten cantor¨ ahnlichen Mengen konstruieren. Sei J0,1 = [0, 1] ⊂ . ange < 1 mit Mittelpunkt 21 entfernt. Aus J0,1 wird ein offenes Intervall I1,1 der L¨ Es verbleiben zwei abgeschlossene Mengen J1,1 und J1,2 . Damit ist der erste Schritt der Konstruktion abgeschlossen. In jedem weiteren Schritt werden aus den Intervallen Jn,1 , . . . , Jn,2n offene Intervalle 0 1 In+1,1 , . . . , In+1,2n so herausgenommen, daß P1 sie die gleichen Mittelpunkte wie die zuP2 geh¨ origen J-Intervalle, aber eine kleinere P3 L¨ ange besitzen. Jedes Jn,k hat demnach eine L¨ ange kleiner als 2−n . Setze 

n−1

Vn = ∪2k=1 In,k ,

n

Pn = ∪2k=1 Jn,k ,

∞ c P = ∩∞ n=1 Pn = [0, 1] ∩ (∪n=1 Vn ) .

(4.10)

82

4 Die Lebesgue-R¨ aume Lp (Ω)

Definition 4.34. Die Menge P in (4.10) heißt cantor¨ ahnliche Menge. Wenn I1,1 = ange von In+1,k genau ein Drittel von Jn,k betr¨ agt, so heißt P ( 31 , 32 ) und die L¨ Cantor-Menge. F¨ ur die Cantor-Menge gilt also 1 J1,1 = [0, ], 3

1 2 I2,1 = [ , ] 9 9

2 J1,2 = [ , 1], 3

usw.

a) Zeigen Sie, daß die cantor¨ ahnlichen Mengen meßbar und abgeschlossen sind und bestimmen Sie das Maß der Cantor-Menge. b) Zeigen Sie, daß die Cantor-Menge u ahlbar ist. ¨berabz¨ Hinweis: Schreiben Sie die Zahlen im Intervall [0, 1] im Dreiersystem. 4.7. (3) Konstruieren Sie eine meßbare, magere Teilmenge des Intervalls [0, 1] mit Lebesgue-Maß 1. Dabei ist das Intervall [0, 1] mit der u ¨blichen, vom Absolutbetrag erzeugten Metrik versehen. Hinweis und Bemerkung: Verwenden Sie cantor¨ ahnliche Mengen zur Konstruktion. Diese Aufgabe zeigt, daß topologisch-mager nichts mit maßtheoretisch-mager zu tun hat. 4.8. (3) Konstruieren Sie eine Funktion u : (0,R1) → mit folgenden Eigenschaften. 1 / L1 ((0, 1)). F¨ ur jedes ε > 0 ist u ∈ L1 ((ε, 1)) und limε→0 ε u dx existiert, aber u ∈ 

4.9. (3) Konstruieren Sie ein ebenes Gebiet Ω mit {x ∈ ur alle 1 ≤ p < ∞. Ω, so daß u(x) = |x1 |−1 ∈ Lp (Ω) f¨

2



: x2 = 0, 0 < x1 < 1} ⊂

4.10. (4) Beweisen Sie folgende leicht vereinfachte Version eines Satzes von Grothendieck: Ist µ(Ω) = 1 und M ⊂ C 0 (Ω) ein abgeschlossener Unterraum von L2 (Ω), so ist M endlich dimensional. Hinweis: Betrachten Sie Id : M → L∞ (Ω) mit dem Banach-Raum (M, ·2 ). Zeigen Sie zun¨ achst mit dem Prinzip vom abgeschlossenen Graphen, daß es eine Konstante K gibt mit v∞ ≤ Kv2 f¨ ur alle v ∈ M. Dann entwickeln Sie einen Unterraum von M nach einer L2 -Orthonormalbasis und zeigen dim M ≤ K 2 . 4.11. (4) Sei

E = {2k : k ∈

}⊂ ˜ der Vektorraum der endlichen Summen der Form und M X cn einθ , cn ∈ , g(θ) = 





n∈E

˜ in L1 ((0, 2π)). Zeigen Sie: M ist abgeschlossener und sei M der Abschluß von M 4 Unterraum von L ((0, 2π)). Bemerkung und Hinweis: Das Prinzip der letzten Aufgabe ist daher f¨ ur allgemeine Lp -R¨ aume nicht richtig. Bestimmen Sie zun¨ achst g(θ)2 und zeigen damit g4;(0,2π) ≤ Kg2;(0,2π) unter Verwendung von (eimθ , einθ ) = 2πδm,n . 4.12. (2) Geben Sie einen Unterraum von (L∞ (Ω),  · ∞;Ω ) an, der isometrisch isomorph zu (l∞ ,  · l∞ ) ist. Bemerkung: Mit den Aufgaben 2.3 und 2.4 ist damit bewiesen, daß L∞ (Ω) nicht separabel ist.

Aufgaben

83

4.13. (2) Untersuchen Sie auf Konvergenz in L1loc (0, ∞) und in L1 (0, ∞) und bestimmen Sie gegebenenfalls die Grenzfunktion: P P k −kt −kt , b) ∞ . a) ∞ k=1 (−1) e k=1 e R 1/ε 1 Hinweis: Lloc (0, ∞) ist der Raum der meßbaren Funktionen f mit ε |f (t)| dt < ∞. Konvergenz in L1loc (0, ∞) liegt genau dann vor, wenn die Folge in L1 (ε, 1/ε) konvergiert f¨ ur jedes ε > 0. 4.14. (2) Sei n = 1 und Ω = (0, 1). Die Einbettung C 0 (Ω) → L2 (Ω) ist nicht kompakt. ur k ∈ . Hinweis: Verwenden Sie die Folge uk (x) = sin kπx f¨ 

4.15. (3) Sei Ω ein beschr¨ anktes Gebiet und (uk ) eine Folge von Funktionen, die in L2 (Ω) beschr¨ ankt ist, also uk 2;Ω ≤ K, und gegen eine Funktion u in L1 (Ω) (!) konvergiert. Beweisen Sie, daß auch u ∈ L2 (Ω) mit u2;Ω ≤ K. 4.16. (4) L2 (0, 1) ist mager in L1 (0, 1). 4.17. (3) F¨ ur f, g ∈ L2 (

n 

) ist die Faltung definiert durch Z h(x) = f (y)g(x − y) dy. n



Zeigen Sie, daß h definiert und auf dem n stetig ist. Hinweis: Approximieren Sie f und g durch Funktionen in C0∞ . R1 4.18. (3) Sei g ∈ L∞ ( ) mit g(x + 1) = g(x) in und 0 g(t) dt = λ. Dann gilt f¨ ur fn (x) = g(nx), daß fn ⇁ λ in Lp (I), wobei 1 < p < ∞ und I ein beliebiges offenes, beschr¨ anktes Intervall ist. 





anktes Gebiet. Beweisen Sie, daß der Folgenabschluß 4.19. (4) Sei Ω ⊂ n ein beschr¨ uglich der schwachen∗ Topologie von L∞ (Ω) mit dem Raum L∞ (Ω) von C(Ω) bez¨ u ¨bereinstimmt, daß aber andererseits der Raum C(Ω) nicht dicht liegt in L ∞ (Ω) bez¨ uglich der Normtopologie. 

4.20. (3) Untersuchen Sie auf schwache∗ Konvergenz in L∞ ((0, 1)) : a) uk (x) = sin(k/x), k ∈ 

b) uk (x) = sin(1/(kx)), k ∈

,

4.21. (3) Sei n = 1, Ω = (0, 1). F¨ ur 1 < p < ∞ gilt: Z x Z uk ⇁ u in Lp (Ω) ⇔ uk p;Ω ≤ K und uk (t) dt → 0

2

c) (3) uk ⇁ u in L , vk ⇁ v in L

2

⇒

⇒

0

uk vk ⇁ uv in L1 ,

uk vk ⇁ uv in L1 .

.

x

4.22. Beweisen Sie oder widerlegen Sie durch Gegenbeispiel. a) (2) uk → u in L2 , vk → v in L2 ⇒ uk vk → uv in L1 , b) (2) uk ⇁ u in L2 , vk → v in L2



u(t) dt f¨ ur 0 < x < 1.

5 Die Sobolev-R¨ aume H m,p (Ω)

5.1 Das Fundamentallemma der Variationsrechnung In diesem Abschnitt sind ausnahmsweise alle Funktionen reellwertig. Wie zuvor bezeichnen wir mit L1loc (Ω) den Raum der meßbaren Funktionen u, die auf jeder Menge Ω0 ⊂⊂ Ω integrierbar sind. Satz 5.1 (Fundamentallemma der Variationsrechnung). L1loc (Ω) mit  uφ dx ≥ 0 f¨ ur alle φ ∈ C0∞ (Ω) mit φ ≥ 0.

Sei u ∈

(5.1)

Ω

Dann ist u ≥ 0 f.¨ u. in Ω.   ur alle φ ∈ C0∞ (Ω), so Ω uφ dx = 0, Anmerkung 5.2. Wenn Ω uφ dx ≥ 0 f¨ und damit  uφ dx ≥ 0 f¨ ur alle φ ∈ C0∞ (Ω) ⇒ u = 0 f.¨ u. in Ω. (5.2) Ω

Beweis. Um die Idee des Satzes verst¨ andlich zu machen, wird u zun¨ achst als stetig voraussetzen. Angenommen, es gibt einen Punkt x0 ∈ Ω mit u(x0 ) < 0. ur alle x ∈ Da u stetig ist, gibt es eine Umgebung Bε (x0 ) mit u(x) < 0 f¨ ∞ Bε (x0 ). Mit Hilfe des Mollifiers Jε k¨onnen wir eine Funktion φ ∈ C   0 (Bε (x0 )) konstruieren mit φ ≥ 0, φ = 0. Daher Ω uφ dx < 0, was Ω uφ dx ≥ 0 widerspricht. ur φ ∈ C0∞ (Ω0 ) und ε Nun sei u ∈ L1loc (Ω) und Ω0 ⊂⊂ Ω beliebig. F¨ ∞ gen¨ ugend klein gilt Jε ∗ φ ∈ C0 (Ω) und wegen des Satzes von Fubini    0≤ uJε ∗ φ dx = u(x)φ(y)Jε (x − y) dy dx Ω

=



Ω

Ω

φ(y)





|x−y|<ε

|x−y|<ε

 u(x)Jε (y − x) dx =



Ω

Jε ∗ u(y)φ(y) dy.

86

5 Die Sobolev-R¨ aume H m,p (Ω)

Da Jε ∗ u stetig ist, folgt aus dem ersten Teil des Beweises Jε ∗ u ≥ 0 in Ω0 . Mit (5.3) u = u − Jε ∗ u + Jε ∗ u liefert Lemma 4.22(c), daß u − Jε ∗ u1;Ω0 → 0, und mit Satz 4.25 folgt   µ {|u(x) − Jε ∗ u(x)| ≥ η} → 0 f¨ ur ε → 0.

Wegen (5.3) folgt u ≥ −η bis auf eine Menge vom Maß ε′ . Da η, ε′ beliebig klein gew¨ahlt werden k¨onnen, gilt u ≥ 0 f.¨ u. ⊔ ⊓

5.2 Schwache Ableitungen Die Definition der klassischen Ableitung erscheint in vielen F¨ allen als zu streng. Zum Beispiel ist die Funktion u(x) = |x| nahezu“ differenzierbar und ” es ist naheliegend, hier einfach u′ (x) = sign (x) zu setzen. Nur die Definition der Ableitung im Punkte x = 0 ist beliebig, aber der Fundamentalsatz der x Differential- und Integralrechnung bleibt richtig, |x| = 0 sign (ξ) dξ. Trotzare inkonsistent dem muß man vorsichtig sein: Die Definition (sign (x))′ = 0 w¨ x wegen sign (x) = 0 0 dξ. In h¨oheren Raumdimensionen kann man den Begriff der Differenzierbarkeit mit der Formel der partiellen Integration verallgemeinern,   Dα uφ dx ∀φ ∈ C0∞ (Ω), uDα φ dx = (−1)|α| Ω

Ω

was f¨ ur alle u ∈ C |α| (Ω) richtig ist. ¨ Diese Uberlegungen motivieren die folgende Definition. Definition 5.3. Eine Funktion u ∈ L1loc (Ω) besitzt eine α-te schwache Ableitung in Ω, wenn es eine Funktion uα ∈ L1loc (Ω) gibt mit   uDα φ dx = (−1)|α| uα φ dx ∀φ ∈ C0∞ (Ω). Ω

Ω

Wegen des folgenden Lemmas unterscheiden wir zwischen schwacher und klassischer Ableitung nicht und schreiben D α u an Stelle von uα . Lemma 5.4. Die schwache Ableitung ist eindeutig, sofern sie existiert. Wenn eine Funktion klassisch differenzierbar ist, so ist sie auch schwach differenzierbar und beide Ableitungen stimmen ¨ uberein. Beweis. Wenn uα und u′α schwache Ableitungen von u sind, so folgt aus der Definition  ur alle φ ∈ C0∞ (Ω). (uα − u′α )φ dx = 0 f¨ Ω

Das Fundamentallemma liefert uα = u′α . Die zweite Behauptung ergibt sich aus der Motivation zu Anfang dieses Abschnitts. ⊔ ⊓

5.2 Schwache Ableitungen

87

Beispiel 5.5. Wir betrachten den Fall n = 1, Ω = (−1, 1), u(x) = |x|. Mit partieller Integration gilt  0  1  1 ′ ′ uφ dx = −xφ (x) dx + xφ′ (x) dx −1

−1

=



0

−1

=−

0



φ(x) dx − 0 · φ(0) − 1 · φ(−1) +



0

1

−φ(x) dx + 1 · φ(1) − 0 · φ(0)

1

sign (x)φ(x) dx,

−1

wobei φ(−1) = φ(1) = 0 wegen φ ∈ C0∞ (Ω) verwendet werden konnte. Damit ist |x| schwach differenzierbar mit Ableitung sign (x). Nun versuchen wir, |x| ein weiteres Mal zu differenzieren,  0  1  1 sign (x)φ′ (x) dx = −φ′ (x) dx + φ′ (x) dx = −2φ(0). −1

−1

0

Es gibt offenbar kein f ∈ L1loc mit (f, φ) = −2φ(0). Damit existiert die zweite schwache Ableitung von |x| nicht. Beispiel 5.6. In diesem Beispiel untersuchen wir Funktionen mit einer Singularit¨at in einem isolierten Punkt. Sei n = 2, Ω = B1 (0) und uα (x) = |x|α , α ∈ . Mit Polarkoordinaten folgt  1  uα (x) dx = 2π r α+1 dr, B1 (0)

0

und uα ∈ L1 (B1 (0)) f¨ ur α > −2. Wegen Lemma 5.4 ist uα schwach differenzierbar in B1 (0)\{0} mit Ableitung Duα = αr α−2 x. Mit partieller Integration folgt f¨ ur beliebiges φ ∈ C0∞ (B1 (0))   uα (x)Dφ(x) dx = − Duα (x)φ(x) dx B1 (0)\Bε (0)

B1 (0)\Bε (0)

+



νuα (x)φ(x) dσ.

∂Bε (0)

F¨ ur α > −1 besitzen die Integranden der Volumenintegrale die integrierbaren onnen wir Majoranten |uα Dφ| sowie |Duα φ|. Mit dem Satz von Lebesgue k¨ f¨ ur diese Integrale den Grenz¨ ubergang ε → 0 durchf¨ uhren. Das Randintegral wird abgesch¨atzt durch      εα dσ ≤ φ∞ 2πεα+1 → 0. νuα (x)φ(x) dσ  ≤ φ∞  ∂Bε (0)

∂Bε (0)

Damit ist uα schwach differenzierbar f¨ ur α > −1.

5 Die Sobolev-R¨ aume H m,p (Ω)

88

Der n¨achste Satz verallgemeinert das Beispiel 5.5. Satz 5.7. Sei {Ωk }k=1,...,K eine Partition von Ω in st¨ uckweise glatte Teilgeur k = l. Dann ist jedes u ∈ C(Ω) biete, also Ω ⊂ ∪K k=1 Ωk , Ωk ∩ Ωl = ∅ f¨ mit u ∈ C 1 (Ωk ), k = 1, . . . , K, schwach differenzierbar mit beschr¨ankter Ableitung, die auf ∪Ωk mit der klassischen Ableitung u ¨bereinstimmt und beliebig ist auf ∪∂Ωk . Beweis. F¨ ur φ ∈ C0∞ (Ω) folgt mit partieller Integration 

uDφ dx =

Ω

K   k=1

Ωk

uDφ dx = −

K  

k=1

Duφ dx + Ωk

K  

k=1

νuφ dσ.

∂Ωk

Das Integral u ¨ brigen Randin¨ber ∂Ω verschwindet wegen φ ∈ C0∞ (Ω), die u tegrale heben sich gegenseitig auf, weil die a¨ußeren Normaleneinheitsvektoren bei benachbarten Teilgebieten entgegengesetztes Vorzeichen haben. Daher 

Ω

uDφ dx = −

K  

k=1

Ωk

Duφ dx = −



Duφ dx.

Ω

⊔ ⊓

Nun stellen wir einige einfache Rechenregeln f¨ ur schwache Ableitungen auf. Lemma 5.8. (a) Wenn u eine schwache Ableitung D α u in Ω besitzt, so ist u auch schwach differenzierbar in jedem Gebiet Ω0 ⊂ Ω mit gleicher Ableitung. (b) Wenn Dα u eine schwache Ableitung D β (Dα u) besitzt, so existiert die Ableitung D α+β u ebenfalls und D α+β u = Dβ (Dα u). ¨ Beweis. (a) folgt direkt aus der Definition. Als kleine Ubung beweisen wir (b). Aus den beiden Identit¨ aten   uDα φ dx = (−1)|α| Dα uφ dx ∀φ ∈ C0∞ (Ω), Ω



Ω

Dα uDβ ψ dx = (−1)|β|

Ω



Dβ (Dα u)ψ dx

Ω

∀ψ ∈ C0∞ (Ω),

erhalten wir mit φ = D β ψ   uDα+β ψ dx = (−1)|α+β| Dβ (Dα u)ψ dx. Ω

Ω

⊓ ⊔

5.3 Definition und grundlegende Eigenschaften der Sobolev-R¨ aume

89

5.3 Definition und grundlegende Eigenschaften der Sobolev-R¨ aume Definition 5.9. F¨ ur m ∈ 0 und 1 ≤ p ≤ ∞ besteht der Raum H m,p (Ω) aus allen Funktionen u ∈ Lp (Ω), die m-mal schwach differenzierbar sind mit Ableitungen im Raum Lp (Ω). Die R¨aume H m,p (Ω) werden mit den SobolevNormen 1/p   , 1 ≤ p < ∞, Dα upp um,p;Ω = um,p = 

|α|≤m

um,∞;Ω = um,∞ = max Dα u∞ , |α|≤m

versehen. Offenbar ist H 0,p = Lp . Die Normaxiome lassen sich einfach nachweisen. Satz 5.10. H m,p (Ω) ist Banach-Raum f¨ ur alle m ∈ 

0

und 1 ≤ p ≤ ∞.

Beweis. Sei (uk )k∈ eine Cauchy-Folge in H m,p (Ω). Aufgrund der Definition der Sobolev Norm ist die Folge (D α uk )k∈ eine Cauchy-Folge in Lp (Ω) f¨ ur alle 0 ≤ |α| ≤ m und besitzt wegen der Vollst¨ andigkeit von Lp (Ω), einen Grenzwert uα ∈ Lp (Ω). Sei φ ∈ C0∞ (Ω). Wegen D α uk → uα in L1 (supp(φ)) (siehe Satz 4.19(a)) k¨ onnen wir in   α |α| Dα uk φ dx uk D φ dx = (−1)





Ω

Ω

den Grenz¨ ubergang k → ∞ durchf¨ uhren   uDα φ dx = (−1)|α| uα φ dx. Ω

Ω

Daher D α u = uα und uk → u in H m,p (Ω).

⊔ ⊓

Korollar 5.11. H m,2 (Ω) ist Hilbert-Raum mit innerem Produkt   (u, v)m = Dα uDα v dx. 0≤|α|≤m

Ω

Nun nehmen wir den Beweis des Hauptresultats dieses Abschnitts in Angriff, n¨amlich die Approximierbarkeit der Funktionen in H m,p (Ω), 1 ≤ p < ∞, durch Funktionen im Raum C ∞ (Ω) ∩ H m,p (Ω). Mit diesem Ergebnis u ¨bertragen sich die meisten Eigenschaften klassisch differenzierbarer Funktionen auf Sobolev Funktionen. Die beiden folgenden Lemmata u ¨ber die Existenz von Abschneidefunktionen sind einfach.

90

5 Die Sobolev-R¨ aume H m,p (Ω)

Lemma 5.12. Sei K ⊂ Ω eine kompakte Menge. Dann gibt es eine Abschneidefunktion bez¨ uglich {K, Ω}, das ist eine reellwertige Funktion τ ∈ C0∞ (Ω) mit 0 ≤ τ ≤ 1 und τ = 1 in K. Wenn dist (∂K, ∂Ω) = δ, so kann τ so gew¨ahlt werden, daß |Dk τ | ≤ cδ −k in Ω \ K, k ∈ , 

wobei die Konstante c von k und n, aber nicht von Ω und K abh¨angt. Beweis. Wegen der Kompaktheit von K gilt δ > 0. Die Menge ˜ = ∪x∈K Bδ/2 (x) K ˜ hat Abstand δ/2 zu ∂Ω und zu ∂K. Damit ist die Funkist kompakt und ∂ K tion τ = Jδ/4 ∗ χK˜ die gesuchte Abschneidefunktion bez¨ uglich {K, Ω}. Aus |Dk Jδ/4 (x)| ≤ c(k)δ −n−k folgt  |Dk τ (x)| ≤ |Dk Jδ/4 (x−y)|χK˜ (y) dy ≤ c(k)δ −n−k µ(Bδ/4 (x)) = c(k, n)δ −k . Bδ/4

⊔ ⊓

¨ Lemma 5.13 (Zerlegung der Eins). Sei {Ωk }k=1,...,N eine offene Uberdeckung der kompakten Menge K. Dann gibt es reellwertige Funktionen ψk , k = 1, . . . , N, mit ψk ∈

C0∞ (Ωk ),

0 ≤ ψk ≤ 1,

N 

ψk = 1 in K.

k=1

Beweis. Zu jedem x ∈ Ωk gibt es einen Radius r = r(x) > 0, so daß ¨ Bx,k = Br (x) ⊂⊂ Ωk . Das Mengensystem {Bx,k } ist eine offene Uberdeckung der kompakten Menge K und besitzt eine endliche Teil¨ uberdeckung. Seien k die Kugeln mit Index k in dieser endlichen Teil¨ uberdeckung. Die B1k , . . . BN k Nk k Menge Kk = ∪i=1 Bi ist kompakt enthalten in Ωk . Sei ψ˜k eine Abschneidefunktion bez¨ uglich {Kk , Ωk } wie in Lemma 5.12. Die ψ˜k haben die Eigenschaften 0 ≤ ψ˜k ≤ 1,

ψ :=

N 

k=1

ψ˜k ≥ 1 in K,

˜ K ⊂⊂ Ω := ∪N k=1 supp(ψk ).

Es gibt eine offene Menge Ω0 mit K ⊂ Ω0 ⊂⊂ Ω. F¨ ur eine Abschneidefunktion τ bez¨ uglich {K, Ω0 } setze
ur x ∈ Ω0 ψ˜k (x)τ (x)/ψ(x) f¨ . ψk (x) = 0 sonst Die Funktionen ψ1 , . . . , ψN sind die gesuchte Zerlegung der Eins. Nun verallgemeinern wir die Produktregel auf Sobolev-Funktionen.

⊔ ⊓

5.3 Definition und grundlegende Eigenschaften der Sobolev-R¨ aume

91

Lemma 5.14. Wenn τ ∈ C0∞ (Ω) und u ∈ H m,p (Ω), dann ist τ u ∈ H m,p (Ω) und     n   β  βk β α β−α Dβ (τ u) = D τ D u, , = α α αk α≤β

k=1

wobei α ≤ β die komponentenweise Halbordnung bezeichnet. Beweis. Es ist ausreichend, das Lemma f¨ ur |α| = 1 zu beweisen, der allgemeine ur alle φ ∈ C0∞ (Ω) gilt Fall folgt durch Induktion. Sei D α = Di . F¨ (τ u, Di φ) = (u, τ Di φ) = (u, Di (τ φ) − Di τ φ) = (−Di u, τ φ) − (u, Di τ φ) = (−τ Di u − Di τ u, φ). Daher Di (τ u) = Di τ u+τ Di u. Weil τ, Di τ beschr¨ ankt sind, gilt τ u ∈ H 1,p (Ω). ⊔ ⊓ Das n¨achste Lemma zeigt, daß sich Sobolev-Funktionen lokal durch den Mollifier approximieren lassen. Lemma 5.15. Sei u ∈ H m,p (Ω), 1 ≤ p < ∞, und Ω0 ⊂⊂ Ω. Dann gilt ur |α| ≤ m, insbesondere Jε ∗ u → u in H m,p (Ω0 ). Dα (Jε ∗ u) = Jε ∗ Dα u f¨ Beweis. Sei ε < dist (∂Ω0 , ∂Ω). Aus dem Satz von Fubini folgt    α Jε ∗ uD φ dx = Jε (x − y)u(y)D α φ(x) dy dx =

 

Jε (z)u(x − z)D α φ(x) dx dz

= (−1)|α|

 

Jε (z)Dα u(x − z)φ(x) dx dz = (−1)|α|



Jε ∗ Dα uφ dx.

Damit haben wir D α (Jε ∗ u) = Jε ∗ Dα u gezeigt. Wegen D α u ∈ Lp (Ω) f¨ ur |α| ≤ m, folgt aus Lemma 4.22(c), daß D α (Jε ∗ u) → Dα u in Lp (Ω0 ) und Jε ∗ u → u in H m,p (Ω0 ). ⊔ ⊓ Nun kommt das Hauptresultat. Satz 5.16 (Meyers und Serrin [MS64]). C ∞ (Ω) ∩ H m,p (Ω) ist dicht in H m,p (Ω) f¨ ur 1 ≤ p < ∞. Anmerkung 5.17. Die meisten Mathematiker der letzten Jahrzehnte (siehe z.B. [Agm65]) haben geglaubt, daß dieser Satz nur wahr ist, wenn der Rand des Gebietes gen¨ ugend glatt ist. Aus diesem Grund hat man fr¨ uher zwei Typen von Sobolev-R¨ aumen verwendet: Der von uns definierte Raum H m,p hieß W m,p und H m,p bestand f¨ ur 1 ≤ p < ∞ aus den Funktionen, die sich in der Norm von H m,p durch Funktionen in C ∞ (Ω) approximieren lassen. Meyers

92

5 Die Sobolev-R¨ aume H m,p (Ω)

und Serrin haben sich die M¨oglichkeit nicht entgehen lassen, die wissenschaftliche Arbeit mit dem wahrscheinlich k¨ urzesten Titel abzufassen: H = W . Dennoch geistern beide Bezeichnungen durch die Literatur. Es bleibt zu hoffen, daß sich unsere Notation, historisch nicht korrekt ( neuer“ H m,∞ = alter“ ” ” W m,∞ ), aber an David Hilbert erinnernd, durchsetzen wird. Mit einem einfachen Beispiel wollen wir zeigen, daß der Beweis des gleichen aßt. Resultats f¨ ur Lp -Funktionen sich nicht auf den Fall m ≥ 1 u ¨ bertragen l¨ Wir betrachten n = m = p = 1, Ω = (0, 1), u = 1 in Ω. Im Beweis von Lemma 4.22(c) wurde diese Funktion durch Null fortgesetzt. Bezeichnen wir diese ˜. Funktion mit u ˜, so erhalten wir eine Lp -Approximierende durch uε = Jε ∗ u Aber in den Intervallen [−ε/2, ε/2] und [1 − ε/2, 1 + ε/2] verh¨ alt sich u′ε wie 1 ε und daher ist  1 |u′ε | dx ≥ c > 0 f¨ ur alle ε. 0

Damit konvergiert u′ε nicht gegen u′ = 0 in L1 . Der Beweis von Meyers und Serrin vermeidet diesen Effekt, indem er die Fortsetzung von u umgeht. Beweis. F¨ ur k ∈ 

definieren wir die offenen und beschr¨ ankten Mengen

Ωk = {x ∈ Ω : dist (x, ∂Ω) >

1 und |x| < k}. k

Uk

Es gilt offenbar Ω = ∪Ωk . Die Mengen Ωk erzeugen eine Unterteilung von Ω in Streifen und wir fassen diese Streifen paarweise zusammen durch Uk = Ωk+1 ∩ (Ωk−1 )c ,

0

Ω1

Ω

Ω0 = Ω−1 = ∅.

Wie im Beweis von Lemma 5.13 konstruiert man Abschneidefunktionen ψk ∈ ∞ C0∞ (Uk ) mit ψk ≥ 0 und k=1 ψk = 1 in Ω. ager in Ω Sei u ∈ H m,p (Ω). Dann haben die Funktionen ψk u kompakten Tr¨ und wegen Lemma 5.14 gilt ψk u ∈ H m,p (Ω). Zu einem beliebig vorgegebenen ε > 0 w¨ahle εk so klein, daß und mit Lemma 5.15,

supp(Jεk ∗ (ψk u)) ⊂ Uk

Jεk ∗ (ψk u) − ψk um,p;Ω < 2−k ε. Die Funktion φ(x) = ∞ ur jedes x k=1 Jεk ∗ (ψk u)(x) ist wohldefiniert, weil f¨ nur endlich viele Terme nicht verschwinden. Daher φ ∈ C ∞ (Ω). In Ωk gilt u=

k+2  j=1

ψj u,

φ=

k+2  j=1

Jεj ∗ (ψj u),

u − φm,p;Ωk < ε.

 Auf |Dα (u − φ)|p Ω wenden wir Satz 4.9 an und erhalten u − φm,p;Ω ≤ ε. k ⊔ ⊓

5.4 Produkt- und Kettenregel

93

5.4 Produkt- und Kettenregel F¨ ur Sobolev-Funktionen nimmt die Produktregel die folgende Gestalt an. Satz 5.18. Wenn u, v ∈ H 1,2 (Ω), dann ist uv ∈ H 1,1 (Ω) und D(uv) = Du v + uDv. Beweis. Wegen Satz 5.16 gibt es Folgen (uk ), (vk ) in C ∞ (Ω) ∩ H 1,2 (Ω) mit uk → u, vk → v in H 1,2 (Ω). Aus der Normbeschr¨ anktheit konvergenter Folgen erhalten wir Du v − Duk vk 1;Ω ≤ D(u − uk )v1;Ω + Duk (v − vk )1;Ω ≤ D(u − uk )2;Ω v2;Ω + Duk 2;Ω v − vk 2;Ω ≤ c{D(u − uk )2;Ω + v − vk 2;Ω } → 0, also Duk vk → Duv in L1 (Ω). Genauso zeigt man uk Dvk → uDv und uk vk → onnen wir den Grenz¨ ubergang k → ∞ in der Gleichung uv in L1 (Ω). Also k¨    uk vk Dφ dx = − Duk vk φ dx − uk Dvk φ dx ∀φ ∈ C0∞ (Ω) Ω

Ω

Ω

durchf¨ uhren und erhalten D(uv) = Du v + uDv und D(uv) ∈ H 1,1 (Ω).

⊔ ⊓

Der Beweis der Kettenregel ist etwas schwieriger. Außerdem ben¨ otigt man im Gegensatz zur klassischen Kettenregel die zus¨atzliche Voraussetzung, daß die ankte erste Ableitung besitzt. ¨außere Funktion eine beschr¨ Satz 5.19 (Kettenregel). Sei f ∈ C 1 ( ), |f ′ | ≤ M in folgenden Voraussetzungen erf¨ ullt f (0) = 0

oder

, und sei eine der

µ(Ω) < ∞.

Dann ist f¨ ur jede Funktion u ∈ H 1,p (Ω), 1 ≤ p < ∞, auch f (u) in H 1,p (Ω) und Df (u) = f ′ (u)Du. Beweis. Weil f ′ stetig und u meßbar ist, folgt aus Satz 4.5, daß f ′ (u) meßbar ankt ist, gilt f ′ (u) ∈ L∞ (Ω) und f ′ (u)Du ∈ Lp (Ω). Aufgrund ist. Da f ′ beschr¨ der Absch¨atzungen |f (u)| ≤ M |u|

falls f (0) = 0,

|f (u)| ≤ |f (0)| + M |u|

falls µ(Ω) < ∞,

ist f (u) ∈ Lp (Ω). Es verbleibt zu zeigen, daß die schwache Ableitung von f (u) mit f ′ (u)Du u ¨ bereinstimmt. Sei uk ∈ C ∞ (Ω) ∩ H 1,p (Ω) mit uk → u in H 1,p (Ω). Im folgenden wollen wir in der Gleichung

94

5 Die Sobolev-R¨ aume H m,p (Ω)



Ω

′

f (uk )Duk φ dx = −



f (uk )Dφ dx,

Ω

φ ∈ C0∞ (Ω),

(5.4)

den Grenz¨ ubergang k → ∞ durchf¨ uhren. Dazu ist L1 -Konvergenz von f (uk ) ′ und f (uk )Duk auf der kompakten Menge Ω0 = supp(φ) ausreichend. Aus der Absch¨atzung (siehe Satz 4.19) f (uk ) − f (u)1;Ω0 ≤ M uk − u1;Ω0 ≤ cM uk − up;Ω0 → 0, erhalten wir die gew¨ unschte Konvergenz auf der rechten Seite von (5.4). Wegen uk → u in H 1,1 (Ω0 ) erhalten wir aus Lemma 4.25(b), daß ukl → u u. f¨ ur eine Teilfolge (ukl ) von (uk ). Wegen der Stetigkeit von und Dukl → Du f.¨ u.. Da die Konstante M sup Duk 1 f ′ gilt daher f ′ (ukl )Dukl → f ′ (u)Du f.¨ eine L1 -Majorante von f ′ (uk )Duk ist, folgt die Konvergenz auf der linken Seite von (5.4) aus dem Satz von Lebesgue. ⊔ ⊓ Satz 5.20. F¨ ur u ∈ H 1,p (Ω), 1 ≤ p < ∞, geh¨oren auch die Funktionen u+ , u− , |u| zum Raum H 1,p (Ω) und

Du wenn u > 0 0 wenn u ≥ 0 Du+ = , Du− = , 0 wenn u ≤ 0 Du wenn u < 0 ⎧ ⎪ ⎨ Du wenn u > 0 0 wenn u = 0 . D|u| = ⎪ ⎩ −Du wenn u < 0

Beweis. Es gen¨ ugt, die Behauptung f¨ ur u+ zu zeigen. F¨ ur ε > 0 setze
(u2 + ε2 )1/2 − ε wenn u > 0 fε (u) = . 0 sonst Dann fε ∈ C 1 ( ), |fε′ | ≤ 1, und wegen Satz 5.19, Dfε (u) =

(u2

uDu + ε2 )1/2

wenn u > 0.

F¨ ur festes φ ∈ C0∞ (Ω) haben wir die Majoranten |fε (u)Dφ| ≤ cu+ ,

 |Dfε (u)φ| ≤ c|Du|u>0 ,

und k¨onnen daher mit dem Satz von Lebesgue in der Gleichung   fε (u)Dφ dx = − Dfε (u)φ dx Ω

zum Grenzwert ε → 0 u ¨bergehen.

Ω

⊔ ⊓

5.5 Differenzenquotienten und Differenzierbarkeit von Lipschitzfunktionen

95

5.5 Differenzenquotienten und schwache Differenzierbarkeit von Lipschitzfunktionen F¨ ur i = 1, . . . , n verwenden wir den vorw¨arts- und r¨ uckw¨ artsgenommenen Differenzenquotienten, Di+h u(x) =

 1 u(x + hei ) − u(x) , h

Di−h u(x) =

 1 u(x) − u(x − hei ) . (5.5) h

Di± u ist auf einem maximalen Teilgebiet Ω0 = Ω0 (±h, i) erkl¨ art. Durch einfaches Nachrechnen zeigt man die Formel der partiellen Summation: Lemma 5.21. Sind u, v ∈ L2loc (Ω) und hat eine der beiden Funktionen kompakten Tr¨ager in Ω, so gilt f¨ ur gen¨ ugend kleines h (u, Di+h v) = −(Di−h u, v). Satz 5.22. (a) Sei 1 ≤ p < ∞. Dann gilt Di+h up;Ω0 ≤ Di up;Ω

f¨ ur alle u ∈ H 1,p (Ω).

(b) Sei 1 < p ≤ ∞. Ist f¨ ur u ∈ Lp (Ω) die Absch¨atzung Di+h up;Ω0 ≤ K f¨ ur alle Ω0 ⊂⊂ Ω und alle 0 < h ≤ h0 (Ω0 ) erf¨ ullt, so ist u nach xi schwach differenzierbar mit Di up;Ω ≤ K. Beweis. (a) Es gen¨ ugt, die Behauptung in C ∞ (Ω) ∩ H 1,p (Ω) zu zeigen. Aus dem Mittelwertsatz folgt 1 = h

Di+h u(x)



h

Di u(x + ξei ) dξ.

0

Wir setzen Betr¨age, bilden die p-te Potenz, integrieren u atzen ¨ber Ω0 und sch¨ mit der H¨olderschen Ungleichung ab, Di+h upp;Ω0

1 = p h



Ω0

1 h



1 = h



≤

Ω0

0

h

  

h

0



h

p  Di u(x + ξei ) dξ  dx

0

|Di u(x + ξei )|p dξ dx

Ω0

|Di u(x + ξei )|p dx dξ ≤ Di upp;Ω .



(b) Wegen p > 1 kann Lp (Ω) als Dualraum von Lq (Ω) aufgefaßt werden mit p1 + 1q = 1 f¨ ur p < ∞ und q = 1 f¨ ur p = ∞. Da Di+h up;Ω0 beschr¨ ankt ist, ∗

gilt f¨ ur eine Folge hk → 0, daß Di+hk u ⇁ ui mit ui ∈ Lp (Ω0 ). F¨ ur φ ∈ C0∞ (Ω0 ) folgt daher aus Satz 4.32

96

5 Die Sobolev-R¨ aume H m,p (Ω)



Ω0

Di+hk uφ dx

und wegen Lemma 5.21   Di+hk uφ dx = − Ω0

Ω0

→



ui φ dx,

Ω0

uDi−hk φ dx → −



uDi φ dx,

Ω0

also ui = Di u in Ω0 und aufgrund der schwachen∗ Konvergenz Di up;Ω0 ≤ lim inf Di+hk up;Ω0 ≤ K. Dieses Argument kann f¨ ur eine Folge von Gebieten Ω1 ⊂ Ω2 ⊂ . . . ⊂⊂ Ω u hrt werden. Wegen der Definition der schwachen Abmit Ω = ∪Ωl durchgef¨  leitung ist Di u(Ωl )Ω = Di u(Ωm ) f¨ ur m ≤ l. Die Behauptung des Lemmas m folgt daher aus dem Satz von Beppo-Levi. ⊔ ⊓ F¨ ur p = ∞ liefert der letzte Satz:

Satz 5.23. Eine lipschitzstetige Funktion ist schwach differenzierbar und es gilt C 0,1 (Ω) ⊂ H 1,∞ (Ω) mit Du∞ ≤ [u]C 0,1 .

Aufgaben 5.1. (2) Gilt f¨ ur u ∈ L1loc (Ω) Z

uDφ dx = 0

Ω

∀φ ∈ C0∞ (Ω),

so ist u konstant. Hinweis: Es gilt DJε ∗ φ = Jε ∗ Dφ. 5.2. (2) Wie viele Multiindizes α mit |α| = m gibt es f¨ ur n = 2 und n = 3 ? Bemerkung: Dies ist gleichzeitig die Anzahl der verschiedenen partiellen Ableitungen der Ordnung m f¨ ur u ∈ C m (Ω). 5.3. (4) Geben Sie ein Beispiel f¨ ur ein beschr¨ anktes ebenes Gebiet Ω und eine Funk/ L2 (Ω). tion u ∈ L1loc (Ω) mit Du ∈ L2 (Ω)2 , aber u ∈ 5.4. (3) Sei u ∈ C(Ω) mit schwacher Ableitung Du ∈ C(Ω)n . Dann ist Du auch die klassische Ableitung von u. 5.5. (2) Sei n = 1. In welchen Sobolev-R¨ aumen H 1,p (Ω), 1 ≤ p ≤ ∞, liegen die Funktionen a) u(x) = x3/2 sin( x1 ),

Ω = (0, 1),

b) u(x) = | ln x|−1 ,

Ω = (0, 1/2) ?

Aufgaben

97

5.6. (3) Sei n = 1, Ω = (0, 1). a) Beweisen Sie f¨ ur u ∈ C ∞ (Ω) ∩ H 1,1 (Ω) die Absch¨ atzungen |u(x) − u(y)| ≤ u1,1;(x,y) ,

u∞;Ω ≤ u1,1;Ω ,

und schließen Sie daraus, daß sich jede Funktion u ∈ H 1,1 (Ω) auf einer Nullmenge so ab¨ andern l¨ aßt, daß u ∈ C 0 (Ω). b) Jedes u ∈ H 1,1 (Ω) l¨ aßt sich auf einer Nullmenge so ab¨ andern, daß Z x u(x) − u(y) = u′ (ξ) dξ ∀x, y ∈ (0, 1). y

ur m ∈ 0 und 1 ≤ p < ∞. 5.7. (3) C0∞ ( n ) ist dicht in H m,p ( n ) f¨ ˜R , B2R } sowie φε,R = Hinweis: Man verwende Abschneidefunktionen τR bez¨ uglich {B Jε ∗ (τR u). 





5.8. (3) Beweisen Sie: Sei (uk ) eine Folge in L1 (Ω) mit schwacher Ableitung D α uk ∈ Lp (Ω), 1 < p < ∞, und D α up;Ω ≤ K. Wenn ferner f¨ ur ein u ∈ L1 (Ω) die Bedingung Z Z uk φ dx →

Ω α

∀φ ∈ C0∞ (Ω)

uφ dx

Ω

erf¨ ullt ist, so existiert D u mit D α up;Ω ≤ K. 5.9. Sei Ω ⊂ definiert durch

n 

ein Gebiet. Die totale Variation einer Funktion u ∈ L1 (Ω) ist

uV (Ω) = sup

nZ

Ω

o u div v dx : v ∈ C01 (Ω)n mit v∞;Ω ≤ 1 ,

Pn

wobei div u = i=1 Di vi . BV (Ω) ist der Raum der Funktionen mit beschr¨ ankter totaler Variation und wird mit uBV (Ω) = u1;Ω + uV (Ω) normiert. a) (2) Bestimmen Sie uV (Ω) f¨ ur Ω = (−1, 1) und u(x) = sign (x). b) (3) Weisen Sie nach, daß BV mit der angegebenen Norm ein Banach-Raum ist. c) (2) Zeigen Sie die Absch¨ atzung uBV (Ω) ≤ u1,1;Ω

∀u ∈ H 1,1 (Ω).

d) (4) Zeigen Sie, daß die Normen ·1,1;Ω und  · BV (Ω) auf H 1,1 (Ω) u ¨bereinstimmen. Bemerkung: Damit ist BV (Ω) ein abgeschlossener Unterraum von H 1,1 (Ω) mit BV (Ω) = H 1,1 (Ω). 5.10. (3) Sei f ∈ C 1 ( ), |f ′ (t)| ≤ M |t|p in f¨ ur 1 ≤ p < ∞, und f (0) = 0. Dann ist f¨ ur jedes u ∈ H 1,p (Ω), 1 ≤ p < ∞, die Funktion f (u) in H 1,1 (Ω) und Df (u) = f ′ (u)Du. 



5.11. (2) Sei Ω = (−1, 1) und u ∈ L1 (Ω). Zeigen Sie, daß aus D1+ u1 ≤ K f¨ ur alle h > 0 nicht folgt, daß u im Raum H 1,1 (Ω) liegt.

98

5 Die Sobolev-R¨ aume H m,p (Ω)

5.12. (3) F¨ ur s > 0 sei s = m + σ mit m ∈ 0 und 0 < σ ≤ 1. F¨ ur 1 ≤ p < ∞ definieren wir den Nikolski-Raum N s,p (Ω) als Raum der Funktionen u ∈ H m,p (Ω) mit endlicher Norm Z X |D α u(x + h) − D α u(x)|p upN s,p (Ω) = upm,p;Ω + sup dx, |h|σp h∈ n , η>0, 0<|h|<η Ωη 

|α|=m



wobei Ωη das maximale Teilgebiet von Ω ist mit x, x + h ∈ Ω. Mit Satz 5.22 gilt N m+1,p (Ω) = H m+1,p (Ω) f¨ ur 1 < p < ∞. Durch Einf¨ uhrung von σ ∈ (0, 1] lassen sich auf einfache Weise gebrochene Sobolev-R¨ aume definieren. uckweise glatte Teilgebiete. In welchen a) Sei {Ω1 , . . . , Ωk } eine Partition von Ω in st¨ ur i = 1, . . . , k, ? R¨ aumen N s,2 (Ω) liegt eine Funktion u mit u ∈ C 1 (Ωi ) f¨ b) F¨ ur Ω0 ⊂⊂ Ω und 1 ≤ p < ∞ sowie 0 < s ≤ 1 gilt f¨ ur gen¨ ugend kleines ε > 0 u − Jε ∗ up,Ω0 ≤ εs uN s,p (Ω)

∀u ∈ N s,p (Ω).

Hinweis: In der Literatur wird der Raum N s,p meist mit einer anderen, aber f¨ ur nichtganzzahliges s ¨ aquivalenten Norm versehen. Wie aus b) hervorgeht, dienen die Nikolski-Normen dazu, die Konvergenzgeschwindigkeiten bei der Approximation durch glatte Funktionen zu messen. 5.13. (3) Sei J ein Mollifier mit J(x) = J(−x). Dann gilt u − Jε ∗ u1 ≤ cε2 u2,1

∀u ∈ C0∞ (

n 

).

6 Fortsetzungs- und Einbettungss¨ atze fu ¨r Sobolev-Funktionen

In diesem Kapitel werden alle Gebiete als beschr¨ ankt vorausgesetzt.

6.1 Gebiete n

In der folgenden Definition schreiben wir einen Punkt x ∈ x = (x′ , xn ) mit x′ ∈ n−1 .

in der Form

h(y’) Ω

x0

x0 Β η (0)

U y’

Definition 6.1. Sei m ∈ und α ∈ [0, 1], oder m = 0 und α = 1. Ω ⊂ n m,α heißt von der Klasse C (∂Ω ∈ C m,α ), wenn f¨ ur jeden Randpunkt x0 ∈ ∂Ω das Koordinatensystem so gedreht und verschoben werden kann, daß eine Umgebung U von x0 durch eine Abbildung h : Bη (0) → , Bη (0) ⊂ n−1 , h ∈ C m,α (Bη (0)), in der Form 

x′ = y ′ ,

xn = h(y ′ ) + yn ,

y ′ ∈ Bη (0),

|yn | < r,

dargestellt wird, wobei die Punkte in U ∩ Ω zu yn > 0, die Punkte in U ∩ ∂Ω zu yn = 0, und die Punkte in U ∩ Ω c zu yn < 0 geh¨oren. Ein Gebiet von der Klasse C 0,1 heißt auch Lipschitzgebiet. Definition 6.2. Seien Ω ′ , Ω ⊂ n Gebiete. Eine Abbildung g : Ω ′ → Ω heißt C m,α -Diffeomorphismus, m ∈ , α ∈ [0, 1], wenn g bijektiv ist mit g ∈ C m,α (Ω ′ )n , g −1 ∈ C m,α (Ω)n und det Dg = 0 in Ω ′ . 

100

6 Fortsetzungs- und Einbettungss¨ atze f¨ ur Sobolev-Funktionen

F¨ ur einen C m,α -Diffeomorphismus g gilt wegen det Dg = 0 nach dem Umkehrsatz auch det Dg −1 = 0 und daher 0 < c1 ≤ | det Dy g(y)|, | det Dx g −1 (x)| ≤ c2 .

(6.1)

Satz 6.3. Sei m ∈ . Dann sind ¨aquivalent: (a) ∂Ω ∈ C m,α . (b) Es gibt offene Mengen Uj , j = 1, . . . , J, mit ∪Jj=1 Uj ⊃ ∂Ω und zugeh¨orige C m,α -Diffeomorphismen gj : Uj → B1 (0) mit 

gj (Uj ∩ Ω) = B1+ (0),

gj (Uj ∩ ∂Ω) = B10 (0),

c

gj (Uj ∩ Ω ) = B1− (0),

wobei B1+ (0), B1− (0) die obere und untere H¨alfte der Einheitskugel B1 (0) und B10 (0) die Menge yn = 0 bezeichnen. Ω

Uj gj

Anmerkungen 6.4 (i) In der Literatur ist (b) die Definition von ∂Ω ∈ C m,α f¨ ur m ≥ 1. (ii) Da die Definition des C m,α -Randes f¨ ur jedes x0 ∈ ∂Ω eine lokale Aufl¨ osung durch eine Funktion hx0 garantiert, kommt man wegen der Kompaktheit von ∂Ω mit endlich vielen Funktionen h1 , . . . , hJ aus. Es gibt daher offene Mengen orige hj U1 , . . . , UJ , die eine Umgebung U von ∂Ω u ¨ berdecken, und zugeh¨ bzw. gj , wenn m ≥ 1. Satz 5.13 liefert eine Zerlegung der Eins φ1 , . . . , φJ mit φj ∈ C0∞ (Uj ),

J 

φj (x) = 1 in U.

j=1

Wir nennen (Uj , φj ) eine C m,α -Lokalisierung von Ω. ur m ≥ 1. Sei x0 ∈ ∂Ω. Da Drehung und Beweis. (a)⇒(b): Sei ∂Ω ∈ C m,α f¨ Verschiebung unendlich oft differenzierbare Diffeomorphismen sind, k¨ onnen wir annehmen, daß das Koordinatensystem x = (x′ , xn ) die Form wie in der Definition des C m,α -Randes besitzt. Nach Definition gibt es eine Umgebung U von x0 und ein h, das den Rand lokal darstellt. Durch Verkleinern von U ˜η (0)) erreichen. Die Abbildung g : U → k¨onnen wir x′0 = 0 und h ∈ C m,α (B ′ ′ V (0), (x , xn ) → (y , yn ), yn wie in Definition 6.1, mit

U x0

V(0)

g Bb

6.1 Gebiete

101

U = {(x′ , xn ) : x′ ∈ Bη (0), xn ∈ (h(x′ ) − r, h(x′ ) + r)}, V (0) = {(y ′ , yn ) : y ′ ∈ Bη (0), yn ∈ (−r, r)},

ist bijektiv mit g(x0 ) = 0. Es gibt ein b > 0 mit Bb (0) ⊂ V (0). Mit U ′ = g −1 (Bb (0)) und der Streckung s : y → b−1 y gilt dann g

s

g ′ : U ′ → Bb (0) → B1 (0).

Mit h ∈ C m,α (Bη (0)) sind auch g ′ , g ′−1 ∈ C m,α . Ferner gilt det Dg ′ = 0 wegen det Dg = 1. Damit ist g ′ ein C m,α -Diffeomorphismus. Da es f¨ ur jedes x0 ∈ ∂Ω eine solche Umgebung U gibt, bilden diese Um¨ gebungen eine offene Uberdeckung der kompakten Menge ∂Ω. Eine endliche ullt daher (b). Teil¨ uberdeckung U1 , . . . , UJ erf¨ (b)⇒(a): Sei (b) mit gj : Uj → B1 (0) erf¨ ullt. Setze f : Uj → (−1, 1), f (x) = gj,n (x), wobei gj,n die n-te Komponente von gj bezeichnet. Da Dgj regul¨ar ist, gilt Df (x) = 0. Sei o.B.d.A. Dn f (x0 ) = 0 f¨ ur x0 ∈ Uj ∩ ∂Ω. Nach dem Satz u aßt sich das Nullstellengebilde von f , also ¨ ber implizite Funktionen l¨ osen, f (x′ , h(x′ )) = 0 mit h ∈ C m . Uj ∩ ∂Ω, lokal nach der Variablen xn aufl¨ m,α h∈C erschließt man leicht aus der Formel f¨ ur Dα h und gj , gj−1 ∈ C m,α . ⊔ ⊓ Definition 6.5. Ein Gebiet Ω besitzt die Kegeleigenschaft, wenn es einen beschr¨ankten Kegel C ⊂ n mit nichtleerem Inneren gibt, so daß jeder Punkt ˜ ˜ x ∈ Ω der Eckpunkt eines Kegels C(x) mit C(x) ⊂ Ω ist, der zu C kongruent ist. Gebiete mit st¨ uckweise glattem Rand besitzen die Kegeleigenschaft im wesentlichen dann nicht, wenn der Rand in einem Punkt eine Spitze mit innerem Winkel 0 besitzt, wie es bei einem herzf¨ormigen Gebiet der Fall ist. Im Engli¨ schen heißt eine solche Spitze cusp“, eine gute deutsche Ubersetzung gibt es ” nicht. Jedes Polygongebiet des 2 mit der Eigenschaft, daß alle inneren Winkel durch α < 2π beschr¨ ankt sind, ist Lipschitzgebiet. Zu jedem Eckpunkt x k¨onnen wir das Koordinatensystem so verschieben und drehen, daß x auf die Null abgebildet wird und der Rand des Gebietes durch die Abbildung h(x1 ) = ±L|x1 | dargestellt werden kann. Wenn ein Polygongebiet eine einspringende Ecke mit innerem Winkel 2π besitzt, so ist das Gebiet nicht mehr lipschitz, besitzt aber noch die Kegeleigenschaft. Beispiel 6.6. Auch wenn gelegentlich in der Literatur behauptet wird, daß jeder Polyeder ein Lipschitzgebiet ist, so ist dies dennoch nicht richtig. Der nebenstehende Polyeder, der aus zwei u ullt ¨bereinanderliegenden Quadern besteht, erf¨ im eingezeichneten Punkt x nicht die Definition eines Lipschitzgebiets, weil es nicht gelingt, den Polyeder so zu drehen, daß das Innere hinter“ ” dem Rand zu liegen kommt.

x

102

6 Fortsetzungs- und Einbettungss¨ atze f¨ ur Sobolev-Funktionen

6.2 C0∞(

n

) ist dicht in H m,p(Ω)

In Abschnitt 5.3 hatten wir gesehen, daß der Raum C ∞ ∩ H m,p dicht in H m,p ist f¨ ur alle 1 ≤ p < ∞. F¨ ur Lipschitzgebiete zeigen wir hier ein st¨ arkeres Resultat. Satz 6.7. Sei Ω lipschitz. Dann ist die Einschr¨ankung der Funktionen in C0∞ ( n ) auf Ω dicht in H m,p (Ω) f¨ ur 1 ≤ p < ∞. Beweis. Sei (Uj , φj ), j = 1, . . . , J, eine C 0,1 -Lokalisierung von Ω (siehe Anmerkung 6.4(ii)). Diese kann um (U0 , φ0 ) mit U0 ⊂⊂ Ω, φ0 ∈ C0∞ (U0 ), erweitert werden, indem φ0 = 1 − j φj innerhalb von Ω gesetzt wird. Es gilt dann J m,p (Ω) m¨ ussen wir j=0 φj (x) = 1 in Ω1 ⊃⊃ Ω. Zu einer Funktion u ∈ H zeigen, daß es f¨ ur uj = φj u ein ψj ∈ C0∞ ( n ) gibt mit uj − ψj m,p;Ω < ε. J Die Behauptung folgt dann aus ψ = j=0 ψj und der Dreiecksungleichung. Die Funktion u0 ist wegen Lemma 5.14 in H m,p (Ω) und besitzt einen komugend klein, folgt die behauptete pakten Tr¨ager in Ω. F¨ ur ψ0 = Jη ∗ u0 , η gen¨ Absch¨atzung aus Lemma 5.15. F¨ ur j > 0 wird uj durch Null auf den n fortgesetzt. Ω Ferner wird vorausgesetzt, daß das Koordinatensystem wie in der Definition des Lipschitzgebiets vorliegt. Dann liegt der Tr¨ager der verschobenen Funktion uj,t (x) = uj (x + ten ), t > 0, teilweise außerhalb von Ω. Daher supp u j,t folgt f¨ ur Jη ∗ uj,t ∈ C0∞ ( n ) aus Lemma 5.15 uj,t − ur η → 0. Jη ∗ uj,t m,p;Ω → 0 f¨ Es verbleibt uj,t − uj m,p;Ω → 0 f¨ ur t → 0 zu zeigen, was gleichbedeutend ist mit Dα uj,t − Dα uj p;Ω → 0 f¨ ur |α| ≤ m. Dies ist aber gerade Satz 4.21. Wir w¨ahlen daher zun¨ achst t und anschließend η gen¨ ugend klein, so daß ψj = Jη ∗ uj,t der behaupteten Absch¨ atzung gen¨ ugt. ⊔ ⊓

6.3 Transformationss¨ atze Seien Ω ′ , Ω ⊂ Jedem u : Ω →

Gebiete und g : Ω ′ → Ω ein C m,α -Diffeomorphismus. k¨ onnen wir durch



n

T u(y) = u(g(y)) die transformierte Funktion zuordnen. F¨ ur u ∈ Lp (Ω) folgt aus der Transformationsregel f¨ ur Integrale   |u(x)|p dx = |T u(y)|p | det Dy g(y)| dy Ω

und

Ω′

6.3 Transformationss¨ atze



Ω′

|T u(y)|p dy =



Ω

103

|u(x)|p | det Dx g −1 (x)| dx.

Daher erhalten wir aus (6.1) cup;Ω ≤ T up;Ω ′ ≤ cup;Ω und T transformiert Lp (Ω) stetig auf Lp (Ω ′ ) mit stetiger Inverser. Ein ¨ ahnliches Resultat gilt f¨ ur Sobolev-R¨aume: Satz 6.8. Sei g : Ω ′ → Ω ein C m -Diffeomorphismus. Dann ist die obige Abbildung T : H m,p (Ω) → H m,p (Ω ′ ), 1 ≤ p < ∞, bijektiv und beschr¨ankt mit beschr¨ankter Inverser, d.h. cum,p;Ω ≤ T um,p;Ω ′ ≤ cum,p;Ω . Weiter sind die schwachen Ableitungen von T u durch die Kettenregel gegeben. Beweis. Wir brauchen nur den Fall m = 1 betrachten, m > 1 folgt dann durch Induktion. Ferner wird nur die Absch¨atzung T u1,p;Ω ′ ≤ cu1,p;Ω bewiesen, die andere Richtung erh¨alt man, indem man g durch g −1 ersetzt. Sei u ∈ H 1,p (Ω) und sei uk ∈ C ∞ (Ω) ∩ H 1,p (Ω) eine Folge mit uk → u in 1,p H (Ω). Aus der Kettenregel folgt mit gj,i = Dyi gj Dyi T uk (y) =

n 

Dxj uk (x)gj,i (y) =

n 

T (Dxj uk )(y)gj,i (y).

j=1

j=1

F¨ ur φ ∈ C0∞ (Ω) gilt mit partieller Integration 

Ω′

T uk (y)Dyi φ(y) dy = −

n   j=1

Ω′

T (Dxj uk )(y)gj,i (y)φ(y) dy,

(6.2)

und mit Transformation auf Ω,  uk (x)Dyi φ(g −1 (x)) | det Dg −1 (x)| dx Ω

=−

n   j=1

Ω

Dxj uk (x)gj,i (g −1 (x))φ(g −1 (x)) | det Dg −1 (x)| dx.

Wegen uk → u in H 1,p (Ω) k¨onnen wir in der letzten Gleichung zum Grenzwert k→∞u ucktransformation (6.2) mit uk ersetzt ¨ bergehen und erhalten nach R¨ durch u. Dies beweist die Kettenregel f¨ ur Funktionen in H 1,p . Aufgrund der Beschr¨ anktheit der gj,i (y) erschließt man aus einer einfachen Absch¨atzung

104



Ω′

6 Fortsetzungs- und Einbettungss¨ atze f¨ ur Sobolev-Funktionen

|Dyi T u(y)|p dy =



Ω′

n  p   T (Dxj u)(y)gj,i (y) dy  j=1

≤ c max



|T (Dxj u)(y)|p dy = c max

≤ c max



|Dxj u(x)|p dx ≤ cup1,p;Ω .

j

j

Ω′

Ω

j



Ω

|Dxj u(x)|p | det Dg −1 (x)| dx

⊔ ⊓

In abgeschw¨achter Form gilt der Transformationssatz auch f¨ ur weniger glatte Abbildungen. Der Einfachheit halber beweisen wir nur ein lokales Resultat, das f¨ ur sp¨ ater ausreichend ist. Lemma 6.9. Sei g : Ω ′ → Ω bijektiv mit g und g −1 lipschitz. Die Funktion u ∈ H 1,p (Ω), 1 ≤ p < ∞ besitze kompakten Tr¨ager in Ω. Dann ist T u(y) = u(g(y)) in H 1,p (Ω ′ ) mit Dyi T u = j T (Dxj u)Dyi gj und T u1,p;Ω ′ ≤ cu1,p;Ω . Beweis. Da Ω0 = supp(u) ⊂⊂ Ω und die Abbildung g in beiden Richtungen lipschitz ist, gibt es ein Ω0′ ⊂⊂ Ω ′ mit g(Ω0′ ) ⊃⊃ Ω0 . Daher gen¨ ugt sowohl in Ω als auch in Ω ′ eine lokale Betrachtung. Die Abbildung g bildet jede Kugel vom Radius R in eine Kugel vom Radius LR ab, wobei L die Lipschitzkonstante von g ist. Da gleiches f¨ ur g −1 mit ′ n/p ′ p ′ ′ Lipschitzkonstante L gilt, folgt T u ∈ L (Ω ) mit T up,Ω ≤ (L ) up;Ω . F¨ ur Tε u = u ◦ (Jε ∗ g) gilt nach dem letzten Satz die Kettenregel wie in ussen wir untersuchen, ob in der Behauptung angegeben. F¨ ur φ ∈ C0∞ (Ω0′ ) m¨   n  Tε (Dxj u)Di (Jε ∗ gj )φ dy (6.3) Tε uDi φ dy = − Ω0′

j=1

Ω0′

zum Grenzwert ε → 0 u ¨ bergegangen werden kann, wobei nur die schwierigere rechte Seite ber¨ ucksichtigt wird. Da wie zu Anfang des Beweises gezeigt auch T (Dxj u) ∈ Lp (Ω ′ ) und Tε eine verallgemeinerte Translation ist, folgt wie in Satz 4.21 Tε (Dxj u) → T (Dxj u) in L1 (Ω0′ ). F¨ ur Jε ∗g gilt wegen g ∈ H 1,∞ (Ω ′ ) (Satz 5.23) und D(Jε ∗g) = Jε ∗(Dg), daß D(Jε ∗g)∞;Ω0′ ≤ Dg∞;Ω ′ . Da die ∗ Einheitskugel von L∞ = (L1 )′ schwach∗ folgenkompakt ist, ist DJεk ∗ g ⇁ Dg in L∞ f¨ ur eine Folge εk erf¨ ullt. Die Konvergenz der rechten Seite von (6.3) folgt ∗ damit aus einem allgemeinen Prinzip: Ist X ein Banach-Raum und fk ⇁ f in ′ ⊔ ⊓ X und xk → x in X, so fk (xk ) → f (x) (siehe Aufgabe 3.21b)).

6.4 Fortsetzungss¨ atze Definition 6.10. F¨ ur m ∈ und 1 ≤ p < ∞ ist der Raum H0m,p (Ω) der ∞ uckt Abschluß von C0 (Ω) im Raum H m,p (Ω), anders ausgedr¨ 

6.4 Fortsetzungss¨ atze

105

 H0m,p (Ω) = u ∈ H m,p (Ω) : Es gibt eine Folge uk ∈ C0∞ (Ω)  mit uk → u in H m,p (Ω) .

Weil H m,p mit dem Abschluß von C ∞ ∩ H m,p f¨ ur 1 ≤ p < ∞ u ¨ bereinstimmt, ist der Raum H0m,p ein Unterraum von H m,p . Wenn wir Funktiour Ω ⊂ Ω1 . Diese nen in C0∞ durch 0 fortsetzen, so ist C0∞ (Ω) ⊂ C0∞ (Ω1 ) f¨ Beziehung u urlich auf H0m,p , jede Funktion in H0m,p (Ω) ist ¨bertr¨agt sich nat¨ auch in H0m,p (Ω1 ). Die Struktur von H0m,p (Ω) wird in Abschnitt 6.6 genauer bestimmt. Im folgenden verwenden wir nur die einfache Tatsache, daß f¨ ur u ∈ H m,p (Ω), 1 ≤ p < ∞, und τ ∈ C0∞ (Ω) die Funktion τ u in H0m,p (Ω) liegt. Dies ist eine Folgerung aus Lemma 5.14 und Lemma 5.15. Der n¨achste Satz zeigt, daß man eine Sobolev-Funktion auf ein gr¨ oßeres Gebiet fortsetzen kann, sofern der Rand des Gebietes gen¨ ugend glatt ist. Satz 6.11. Sei m ∈ , ∂Ω ∈ C m−1,1 . Zu jedem Gebiet Ω1 mit Ω ⊂⊂ Ω1 gibt es eine stetige lineare Abbildung E : H k,p (Ω) → H0k,p (Ω1 ), die nicht von 0 ≤ k ≤ m und 1 ≤ p < ∞ abh¨angt, mit 

(a) Eu|Ω = u (Fortsetzungseigenschaft), (b) Euk,p;Ω1 ≤ cuk,p;Ω (Stetigkeit).

Beweis. Der Beweis ist recht technisch, die zugrunde liegende Idee aber einfach. Um das wesentliche Beweishilfsmittel zu zeigen, betrachten wir zun¨ achst den Halbraum Ω = {x ∈ n : xn > 0} und glatte Funktionen u ∈ C m (Ω). Das (m + 1) × (m + 1) lineare Gleichungssystem m+1 

(−j)k λj = 1,

k = 0, 1, . . . , m,

(6.4)

j=1

besitzt eine eindeutige L¨ osung λ1 , . . . , λm+1 , weil die zugeh¨ orige Matrix vom Vandermondschen Typ ist. Mit x = (x1 , . . . , xn ) = (x′ , xn ) definieren wir den Fortsetzungsoperator ⎧ u(x) f¨ ur xn > 0, ⎪ ⎪ ⎨  , (6.5) Eu(x) = m+1 ⎪ λj u(x′ , −jxn ) f¨ ur xn ≤ 0. ⎪ ⎩ j=1

sowie f¨ ur jeden Multiindex α, ⎧ u(x) f¨ ur xn > 0, ⎪ ⎪ ⎨ m+1 Eα u(x) =  ⎪ (−j)αn λj u(x′ , −jxn ) f¨ ur xn ≤ 0. ⎪ ⎩ j=1

F¨ ur alle |α| ≤ m gilt dann D α Eu(x) = Eα Dα u(x) und Dα Eup; cDα up;Ω . Damit wird u zu einer C m -Funktion fortgesetzt mit Euk,p; cuk,p;Ω

n





n

≤ ≤

106

6 Fortsetzungs- und Einbettungss¨ atze f¨ ur Sobolev-Funktionen

Sei Ω von der Klasse C m−1,1 und (Uj , φj ), j = 1, . . . , J, die zugeh¨ orige Lokalisierung nach Anmerkung 6.4(ii). Die Lokalisierung wird erg¨ anzt um J ′ (U0 , φ0 ) mit U0 ⊂⊂ Ω, φ0 ∈ C0∞ (U0 ), so daß j=0 φj = 1 in Ω ⊃⊃ Ω. Nach Drehung und Verschiebung durch die Abbildung τj wird der Rand in (−1) Uj durch eine C m−1,1 -Funktion hj dargestellt. uj = φj u ◦ τj , j ≥ 1, wird fortgesetzt, indem auf Tj uj (y ′ , yn ) = uj (y ′ , hj (y ′ )+yn ), yn > 0, der zu Anfang des Beweises konstruierte Fortsetzungsoperator angewendet wird. Nach Satz 6.8 und Lemma 6.9 gilt die Kettenregel f¨ ur die fortgesetzte Funktion Ej Tj uj , J insbesondere ist Ej Tj uj ∈ C m−1,1 f¨ ur u ∈ C m−1,1 . F¨ ur E ′ u = j=1 τj ◦ Ej Tj uj + φ0 u gilt dann E ′ : C m−1,1 (Ω) → C0m−1,1 (

n

),

E ′ uk,p; 

n

≤ cuk,p;Ω ∀u ∈ H k,p (Ω),

wobei die Konstante c von m, p, hj k,∞ , φj k,∞ abh¨ angt. ahlen wir eine Abschneidefunktion τ bez¨ uglich {Ω, Ω1 }. Zu Ω1 ⊃⊃ Ω w¨ Dann ist E = τ E ′ der gesuchte Fortsetzungsoperator. ⊓ ⊔ Der Calderonsche Fortsetzungssatz kommt ohne h¨ ohere Randregularit¨ at aus (zum Beweis siehe z.B. [Ada75, S. 91ff.], [Wlo82, S. 100ff.]): Satz. Ist Ω ein Lipschitzgebiet mit Ω ⊂⊂ Ω1 und m ∈ 0 , 1 < p < ∞, ˛so existiert ein stetiger linearer Operator Tm,p : H m,p (Ω) → H0m,p (Ω1 ) mit Tm,p u˛Ω = u 

Man beachte, daß im Gegensatz zu Satz 6.11 der Fortsetzungsoperator von m und p abh¨ angt, was seine Verwendbarkeit einschr¨ ankt.

6.5 Einbettungen in Lq (Ω) Satz 6.12 (Sobolev-Ungleichung). Sei Ω ein Lipschitzgebiet. Dann gelten die stetigen Einbettungen H m,p (Ω) → Lnp/(n−mp) (Ω)

f¨ ur 1 ≤ mp < n.

F¨ ur H0m,p (Ω) gilt die gleiche Einbettung ohne Voraussetzung an Ω. Anmerkungen 6.13 (i) Der Satz bleibt richtig, wenn das Gebiet nur die Kegeleigenschaft besitzt, siehe [Ada75, S.95ff]. Nach Aufgabe 6.1 l¨ aßt sich diese Voraussetzung nicht weiter abschw¨ achen. (ii) Die Voraussetzung, daß Ω ein Lipschitzgebiet sein muß, wird nur ben¨ otigt, um den Fortsetzungssatz aus dem letzten Abschnitt anwenden zu k¨ onnen. F¨ ur unseren Beweis gen¨ ugt es aber, daß das Grundgebiet in Lipschitzgebiete aufgeteilt werden kann, weil aus der Einbettung f¨ ur die Teilgebiete die Einbettung f¨ ur das Grundgebiet folgt. Damit haben wir das Resultat f¨ ur alle st¨ uckweise glatten Gebiete bewiesen, insbesondere darf das Innere des Gebiets auf beiden Seiten eines Randst¨ ucks liegen.

6.5 Einbettungen in Lq (Ω)

107

(iii) Eine Sobolev-Funktion ist f¨ ur mp = n ≥ 2 nicht notwendig beschr¨ ankt. Als Gegenbeispiel f¨ ur n = 2, m = 1, betrachten wir das Gebiet Ω = B1/e (0) (ln e = 1) und die Funktion u = ln(| ln |x), die offenbar unbeschr¨ ankt ist, aber  1/e  1/e  |Du|2 dx = 2π |Dr ln(| ln r|)|2 r dr = 2π | ln r|−2 r −1 dr Ω

0

0

1/e  = 2π| ln r|−1  = 2π. 0

Dagegen ergibt der folgende Beweis f¨ ur p = n = 1, H 1,1 (Ω) → C 0 (Ω).

(6.6)

Der Fall n = m > 1 und p = 1 wird in Aufgabe 6.3 behandelt. Beweis. Wir beweisen die Einbettung zun¨ achst f¨ ur H01,p (Ω). Wegen Satz 2.14 ∞ gen¨ ugt es, sie f¨ ur die dichte Teilmenge C0 (Ω) nachzuweisen. Im ersten Teil des Beweises zeigen wir f¨ ur u ∈ C0∞ (Ω) un/(n−1) ≤ n−1/2 Du1 . Aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung folgt  xi |Di u(x1 , . . . , ξi , . . . , xn )| dξi , |u(x)| ≤ −∞

und damit (6.6) f¨ ur n = 1. Da diese Absch¨ atzung f¨ ur alle 1 ≤ i ≤ n, n ≥ 2, richtig ist, gilt n n  ∞ 1/(n−1)  1/(n−1)   . vi = |Di u| dxi |u(x)|n/(n−1) ≤ i=1

−∞

i=1

Diese Ungleichung wird bez¨ uglich x1 integriert. Auf der rechten Seite h¨ angen n − 1 Faktoren von x1 ab. Auf diese Faktoren wenden wir die verallgemeinerte H¨oldersche Ungleichung    1/(n−1) 1/(n−1)   1/(n−1) ... dx1 ≤ (v2 . . . vn ) vn dx1 v2 dx1

an, die durch Induktion bewiesen wird. Wiederholen wir dieses Verfahren f¨ ur die Variablen x2 . . . xn , so erhalten wir mit der Ungleichung f¨ ur das geometrische und arithmetische Mittel (A.5) un/(n−1) ≤

n   i=1

Ω

|Di u| dx

1/n

≤

1 n

  n Ω

1 |Di u| dx ≤ √ Du1 , n i=1

Damit ist die Lq -Einbettung f¨ ur p = 1 bewiesen.

108

6 Fortsetzungs- und Einbettungss¨ atze f¨ ur Sobolev-Funktionen

F¨ ur p > 1 wird |u| in dieser Absch¨atzung durch |u|γ , γ > 1, ersetzt,  γ γ |u|γ−1 |Du| dx ≤ √  |u|γ−1 p′ Dup ,  |u|γ n/(n−1) ≤ √ n Ω n mit p′ = p/(p − 1). Wir w¨ ahlen γ so, daß  |u|γ n/(n−1) und  |u|γ−1 p′ Potenzen von uq sind, also q=

γn (γ − 1)p = n−1 p−1

⇒ γ=

(n − 1)p , n−p

q=

np . n−p

Dies beweist die Einbettung f¨ ur H01,p (Ω) mit Konstante γn−1/2 . Mit Satz 6.11 gibt es einen Fortsetzungsoperator E : H 1,p (Ω) → H01,p (Ω1 ) mit Eu1,p;Ω1 ≤ cu1,p;Ω f¨ ur 1 ≤ p < ∞, f¨ ur ein beschr¨anktes Gebiet Ω1 mit Ω ⊂⊂ Ω1 . Wegen uq;Ω ≤ Euq;Ω1 ≤ cEu1,p;Ω1 ≤ cu1,p;Ω ist der Einbettungssatz f¨ ur m = 1 vollst¨ andig bewiesen. F¨ ur m > 1 wendet man die Einbettung sukzessive auf D α u an, eine strengere Forderung an das Gebiet ist daher nicht erforderlich. ⊔ ⊓ Eine einfache Folgerung aus dem Beweis des letzten Satzes ist die folgende wichtige Ungleichung. Satz 6.14 (Poincar´ e-Ungleichung). F¨ ur 1 ≤ q ≤ np/(n − p), p < n, gilt uq;Ω ≤ cDup;Ω

∀u ∈ H01,p (Ω),

wobei die Konstante c von µ(Ω) abh¨angt, wenn q < np/(n − p). Beweis. Im Beweis von Satz 6.12 haben wir unp/(n−p);Ω ≤ cDup;Ω f¨ ur alle u ∈ H01,p (Ω) gezeigt. Die Behauptung folgt aus Satz 4.19(a). ⊔ ⊓

6.6 Randwerte von Sobolev-Funktionen Zur Definition des Randintegrals und der R¨ aume Lp (∂Ω) gehen wir von der Definition 6.1 aus, die lokal eine explizite Parametrisierung des Randes ∂Ω der Form {(y ′ , h(y ′ ))} erlaubt. Genauer haben wir:

Definition 6.15. Sei Ω ein Lipschitzgebiet mit zugeh¨origer C 0,1 Lokalisierung (Uj , φj ), j = 1, . . . , J (siehe Anmerkung 6.4(ii)). F¨ ur jedes j sei (y ′ , yn ) das zugeh¨orige lokale Koordinatensystem mit (y ′ , hj (y ′ )) ∈ ∂Ω, heißt meßbar y ′ ∈ Uj′ ⊂ n−1 , und einer Lipschitzfunktion hj . u : ∂Ω → auf ∂Ω, wenn die Funktionen uj (y ′ ) = (φj u)(y ′ , hj (y ′ )) in Uj′ meßbar sind. u heißt integrierbar auf ∂Ω, wenn u meßbar ist und die Integrale 

6.6 Randwerte von Sobolev-Funktionen



uj dσ =

∂Ω



Uj′

uj

109

 1 + |Dhj |2 dy ′

im Lebesgueschen Sinne existieren. In diesem Fall heißt 

u dσ =

∂Ω

das Randintegral von u. Mit den Normen  1/p  , up;∂Ω = |u|p dσ ∂Ω

J   j=1

uj dσ

∂Ω

u∞;∂Ω =

inf

sup

µn−1 (N )=0 x∈∂Ω\N

|u(x)|,

ist Lp (∂Ω) definiert als Raum der meßbaren Funktionen mit endlicher Norm.

Die Definition des Randintegrals ist sinnvoll, weil die Funktionen hj in der De1,∞ finition des Lipschitzgebiets  lipschitzstetig sind und nach Satz 5.23 in H 2 liegen. Insbesondere ist 1 + |Dhj | meßbar und beschr¨ ankt. Die Definiti, φ ), denn nach dem Satz des on ist unabh¨angig von der Lokalisierung (U j j  Pythagoras ist 1 + |Dhj |2 gerade die lokale Fl¨ achenverzerrung, die die Ab→ (y ′ , h(y ′ )) auf ein Fl¨ achenst¨ uck in der y ′ -Hyperebene aus¨ ubt, bildung y ′  ′ 2 kurz dσ = 1 + |Dhj | dy . Die Randwerte werden also korrekt aufsummiert. In diesem Abschnitt untersuchen wir das Randverhalten der Funktionen im Raum H 1,p (Ω). Auf den ersten Blick widerspricht dies der Definition der Sobolev-Funktionen, die nur bis auf eine Menge vom Maß Null definiert sind. Das Thema ist daher begrifflich schwierig, wir beweisen den entsprechenden Satz und erl¨autern ihn hinterher. Satz 6.16 (Spursatz). Sei Ω ein Lipschitzgebiet und 1 ≤ p < ∞. Dann gibt es einen eindeutigen stetigen linearen Operator S : H 1,p (Ω) → Lq (∂Ω), ur u ∈ C ∞ (Ω), mit Su = u∂Ω f¨ ⎧ ⎨ (n − 1)p/(n − p) f¨ ur p < n q= . ⎩< ∞ f¨ ur p = n

Anmerkung 6.17. (i) Wie in Abschnitt 6.8 gezeigt wird, kann f¨ ur p > n jede andert werden, daß sie in Funktion u ∈ H 1,p (Ω) auf einer Nullmenge so abge¨ Ω stetig ist. (ii) Die Anmerkung 6.13(ii) gilt sinngem¨ aß. Beispielsweise kann der Doppelquader aus Beispiel 6.6 in zwei Quader zerlegt und auf jedem dieser Quader der Spursatz angewendet werden.  atzung ur Su = u∂Ω die Absch¨ Beweis. F¨ ur u ∈ C ∞ (Ω) zeigen wir f¨ Suq;∂Ω ≤ cu1,p;Ω

f¨ ur 1 ≤ p < n.

(6.7)

110

6 Fortsetzungs- und Einbettungss¨ atze f¨ ur Sobolev-Funktionen

Da nach Satz 6.7 C ∞ (Ω) dicht in H 1,p (Ω) ist, kann S mit Satz 2.14 eindeutig auf H 1,p (Ω) fortgesetzt werden. Damit ist (6.7) auch auf H 1,p (Ω) erf¨ ullt. Wir beginnen mit der Absch¨ atzung auf einem Referenzzylinder und transformieren sie anschließend auf Uj . Sei Q = B1 (0) × (0, 1), B1 (0) ⊂ n−1 , und Γ = B1 (0) × {0}. F¨ ur u ∈ C ∞ (Q) liefert der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung  yn u(y ′ , 0) = − Dn u(y ′ , ξ) dξ + u(y ′ , yn ), y ′ ∈ B1 (0), (6.8) 0

und nach Absch¨ atzen und Integrieren bez¨ uglich yn  1   |Dn u(y ′ , yn )| + |u(y ′ , yn )| dyn . |u(y ′ , 0)| ≤ 0

Wir integrieren diese Ungleichung bez¨ uglich y ′ und erhalten u1;Γ ≤ Dn u1;Q + u1;Q .

In dieser Absch¨atzung wird u durch |u|γ ersetzt,    |u|γ 1;Γ ≤ γ |u|γ dx |Dn u||u|γ−1 dx + Q

Q

≤ cDn up;Q  |u|γ−1 p′ ;Q + uγγ;Q , ahlen wir γ so, daß mit Satz 6.12 H 1,p (Ω) → wobei p′ = p/(p − 1). Nun w¨ (γ−1)p/(p−1) L (Ω),

Dann

(γ − 1)p np = , p−1 n−p

also γ =

(n − 1)p np < . n−p n−p

γ γ uγγ;Γ ≤ cDn up;Q uγ−1 1,p;Q + uγ;Q ≤ cu1,p;Q ,

also Su(n−1)p/(n−p);Γ ≤ cu1,p;Q

f¨ ur alle u ∈ C ∞ (Q). 0,1

(6.9)

Sei Ω ein Lipschitzgebiet mit zugeh¨origer C -Lokalisierung (Uj , φj ), j = 1, . . . , J, und Lipschitzfunktionen hj . Sei u ∈ C ∞ (Ω) und uj = φj u. Das Koordinatensystem sei so gedreht und verschoben, daß in xn = hj (y ′ ) + yn die Punkte mit yn = 0 den Randpunkten in Uj entsprechen. O.B.d.A. k¨ onnen wir |y ′ |, yn < 1 annehmen. Die C ∞ -Funktionen Tε uj (y ′ , yn ) = uj (y ′ , Jε ∗ ugen der Absch¨ atzung (6.9). Wie im Beweis von Lemma hj (y ′ ) + yn ) gen¨ u  → T u 6.9 zeigt man T ε j 1,p;Q  j 1,p;Q und STε uj q;Γ → ST uj q;Γ . Mit   |uj |q 1 + |Dhj |2 dy ′ ≤ c |uj |q dy ′ ist (6.7) gezeigt. ⊔ ⊓

6.6 Randwerte von Sobolev-Funktionen

111

Nach Konstruktion ist S auf C ∞ (Ω) die klassische Einschr¨ ankung einer Funktion auf ∂Ω. Da die Fortsetzung von S auf den Abschluß von C ∞ (Ω), eben H 1,p (Ω), eindeutig ist, bedeutet das, daß die H 1,p -Funktionen als Grenzwerte von Funktionen in C ∞ im Sinne von Lq (∂Ω) eindeutig bestimmt sind. Anders ¨ ausgedr¨ uckt befindet sich in jeder Aquivalenzklasse einer Sobolev-Funktion ein bis auf das (n − 1)-dimensionale Maß eindeutiger Vertreter, der zielsicher atte diesem von jeder approximierenden Folge in C ∞ angesteuert wird. Man h¨ Effekt schon bei der Definition der Sobolev-R¨aume Rechnung tragen und die ¨ zugeh¨origen Aquivalenzklassen kleiner fassen k¨ onnen, allerdings h¨ atte dann der ganze analytische Apparat der letzten Abschnitte bereitliegen m¨ ussen. Aus (6.8) kann man ersehen, wie die Randwerte in Lp angenommen werden. Es folgt n¨amlich  yn |Dn u(y ′ , ξ)| dξ, (6.10) |u(y ′ , yn ) − u(y ′ , 0)| ≤ 0

nach Bildung der p-ten Potenz und Integration bez¨ uglich y ′ ,   yn  |Dn u(y ′ , ξ)|p dξ dy ′ . |u(y ′ , yn ) − u(y ′ , 0)|p dy ′ ≤ c 0

Aufgrund der Absolutstetigkeit des Integrals konvergiert die rechte Seite gegen 0 f¨ ur yn → 0, demnach auch die linke. Diese Formel bleibt auch nach der lokalen Transformation g¨ ultig, f¨ ur Sε uj (y ′ ) = u(y ′ , hj (y ′ ) + ε) gilt Sε uj − Suj p → 0 f¨ ur ε → 0. Mit dem Spursatz lassen sich auch die R¨aume H0m,p (Ω) einfach charakterisieren. Satz 6.18. Sei Ω ein Lipschitzgebiet und m ∈ , 1 ≤ p < ∞. Dann besteht ur |α| ≤ H0m,p (Ω) genau aus den Funktionen u in H m,p (Ω) mit SD α u = 0 f¨ m − 1. 

Beweis. Es gen¨ ugt, den Fall m = 1 zu betrachten, f¨ ur m > 1 wendet man die folgenden Argumente auf D α u an. ur jedes u ∈ H01,p (Ω). Da C0∞ (Ω) dicht in H01,p (Ω) ist, gilt Su = 0 f¨ Nun beweisen wir die umgekehrte Richtung. Sei Q = B1 (0) × (0, 1), ur u ∈ C ∞ (Q) folgt aus (6.8) B1 (0) ⊂ n−1 . F¨  a |Dn u(y ′ , ξ)| dξ + |u(y ′ , 0)|, 0 ≤ yn ≤ a, |u(y ′ , yn )| ≤ 0

und nach Integration bez¨ uglich yn und y ′  a  a |u(y ′ , yn )| dy ′ dyn ≤ a 0

B1 (0)

0

+a

B1 (0)



B1 (0)

|Dn u(y ′ , yn )| dy ′ dyn

|u(y ′ , 0)| dy ′ .

(6.11)

112

6 Fortsetzungs- und Einbettungss¨ atze f¨ ur Sobolev-Funktionen

Diese Absch¨atzung bleibt auch in H 1,1 richtig. Sei Ω ein Lipschitzgebiet mit C 0,1 -Lokalisierung (Uj , φj ). Sei u ∈ C ∞ (Ω) und uj = φj u. Nach Drehung und Verschiebung sei das Koordinatensystem von der Form xn = hj (y ′ ) + yn , wobei yn = 0 den Randpunkten in Uj entspricht. Auf T uj (y ′ , yn ) = uj (y ′ , hj (y ′ ) + yn ) wenden wir (6.11) an. Nach R¨ ucktransformation und Addition bez¨ uglich j erhalten wir f¨ ur gen¨ ugend kleine ε    |u| dx ≤ cε {|Du| + |u|} dx + cε |u| dσ, (6.12) Uε

Uc′ ε

∂Ω

wobei Uε = {x ∈ Ω : dist (x, ∂Ω) < ε}

und c, c′ von den Funktionen hj abh¨angen. ur eine Folge uk ∈ C ∞ (Ω) mit uk → u in Sei u ∈ H 1,p (Ω) mit Su = 0. F¨ 1,p H (Ω) gilt wegen des Spursatzes Suk → 0 in L1 (∂Ω). Daher folgt aus (6.12) durch Grenz¨ ubergang   |u| dx ≤ cε {|Du| + |u|} dx ∀u ∈ H 1,p (Ω) mit Su = 0. (6.13) Uε

Uc′ ε

Nun zeigen wir, daß die durch Null auf den n fortgesetzte Funktion u im n schwach differenzierbar ist. Sei φ ∈ C0∞ ( n ) und τε eine Abschneidefunktion bez¨ uglich {Ω \ Uε , Ω} mit |Dτε | ≤ cε−1 in Uε (siehe Lemma 5.12). In   uDφ dx = uD(φ(τε + (1 − τε ))) dx Ω

Ω

=



uD(φτε ) dx +

Ω



Ω

uDφ(1 − τε ) dx +



Ω

uφD(1 − τε ) dx

gehen wir zu ε → 0 u ¨ber,    Duφ dx, Duφτε → − uD(φτε ) dx = −  

 

Ω



Ω

Ω

Ω

Ω



 uDφ(1 − τε ) dx ≤



Uε

|u| |Dφ| dx → 0 wegen µ(Uε ) → 0,

 uφD(1 − τε ) dx ≤ cε−1 (6.13)

≤

c



Uε



|u| dx

Uc′ ε

{|Du| + |u|} dx → 0 wegen µ(Uc′ ε ) → 0.

Damit ist u ∈ H 1,p ( n ) mit Du = 0 in Ω c gezeigt. Im letzten Schritt des Beweises muß nur noch eine technische Kleinigkeit bew¨altigt werden. Aus Lemma 5.15 folgt, daß Jε ∗ u → u in H 1,p (Ω), aber leioßeren Menge als Ω. Wir nehmen der besitzt Jε ∗u den Tr¨ager in einer etwas gr¨

6.7 Kompakte Einbettungen in Lq (Ω)

113

die Lokalisierung (Uj , φj ), erg¨ anzen diese um (U0 , φ0 ), so daß j φj (x) = 1 in einer Umgebung von Ω. Im lokalen Koordinatensystem (y ′ , yn ) bilden wir zu uj = φj u die Funktion uj,t (y) = uj (y − ten ). Damit ist Jε ∗ uj,t ∈ C0∞ (Ω) f¨ ur gen¨ ugend kleines ε. Die Argumentation ist die gleiche wie im Beweis von Satz ⊔ ⊓ 6.7, nur wird hier die Funktion uj,t in Ω hinein- statt herausgezogen.

6.7 Kompakte Einbettungen in Lq (Ω) In diesem Abschnitt wird gezeigt, daß die Einbettungen aus Abschnitt 6.5 kompakt sind, wenn in einen schw¨acheren Raum eingebettet wird. Satz 6.19 (Rellich-Kondrachov). Sei Ω ein Lipschitzgebiet. Dann ist die ur q < np/(n − p). F¨ ur H01,p (Ω) ist Einbettung H 1,p (Ω) → Lq (Ω) kompakt f¨ die gleiche Einbettung kompakt ohne eine Voraussetzung an ∂Ω. Beweis. Wir verwenden das gleiche Fortsetzungsargument f¨ ur ein Ω1 ⊃⊃ Ω wie im Beweis von Satz 6.12, E

H 1,p (Ω) → H01,p (Ω1 )→Lq (Ω1 )→Lq (Ω). Wir brauchen daher nur die Kompaktheit der Einbettung H01,p (Ω1 ) → Lq (Ω1 ) nachzuweisen, wegen Lemma 2.19 ist dann auch H 1,p (Ω) → Lq (Ω) kompakt. Als erstes zeigen wir die Kompaktheit der Einbettung H01,1 (Ω) → L1 (Ω). ur alle u ∈ A. F¨ ur Sei A die Einheitskugel von H01,1 (Ω), also u1,1;Ω ≤ 1 f¨ uε = Jε ∗ u gilt     |uε (x)| =  Jε (x − y)u(y) dy  ≤ c(ε)u1 ,     |Duε (x)| =  Dx Jε (x − y)u(y) dy  ≤ c(ε)u1 .

Wegen des Mittelwertsatzes sind die Mengen Aε = {uε : u ∈ A} gleichgradig stetig f¨ ur alle ε > 0. Aufgrund des Satzes von Arzela-Ascoli ist die Menge Aε kompakt in C(Ω) und daher auch in L1 (Ω) wegen der Einbettung C(Ω) → L1 (Ω). Mit dem Mittelwertsatz  1 u(x) − u(y) = Du(tx + (1 − t)y) dt · (x − y) 0

gilt f¨ ur u ∈

C0∞ (Ω)

114

6 Fortsetzungs- und Einbettungss¨ atze f¨ ur Sobolev-Funktionen

  |u(x) − Jε ∗ u(x)| = 

|x−y|<ε

  =

|x−y|<ε

≤ε

   Jε (x − y) u(x) − u(y) dy 



1



1

0



|x−y|<ε

  Jε (x − y) Du(tx + (1 − t)y) · (x − y) dt dy  Jε (x − y)|Du(tx + (1 − t)y)| dt dy.

0

Wir integrieren bez¨ uglich x und verwenden die Transformation x − y → z, y → y,  1   Jε (x − y)|Du(tx + (1 − t)y)| dx dy dt |u(x) − Jε ∗ u(x)| dx ≤ ε 0

=ε



1

0



Jε (z)



|Du(tz + y)| dy dz dt.

Das innere angt nicht von tz ab und stimmt mit Du1;Ω u ¨berein.  Integral h¨ Wegen Jε dx = 1 gilt u − Jε ∗ u1;Ω ≤ εDu1;Ω ≤ ε ∀u ∈ C0∞ (Ω) ∩ A.

Nun zeigen wir, daß sich diese Absch¨ atzung auf A u agt. Sei u ∈ A. Zu ¨bertr¨ jedem η > 0 gibt es eine Funktion φ ∈ C0∞ (Ω) mit u − φ1,1;Ω < η. Aus Lemma 4.22(c) folgt Jε ∗ u − Jε ∗ φ1;Ω < η und u − Jε ∗ u1;Ω ≤ u − φ1;Ω + φ − Jε ∗ φ1;Ω + Jε ∗ φ − Jε ∗ u1;Ω < η + εDφ1;Ω + η ≤ η + ε(D(φ − u)1;Ω + Du1;Ω ) + η < 2η + ε(η + 1), daher u − Jε ∗ u1;Ω ≤ ε ∀u ∈ A. Da Aε pr¨akompakt ist, gibt es zu jedem ε > 0 ein N ∈ u1,ε , . . . , uN,ε mit A ε ⊂ ∪N i=1 Bε (ui,ε ),



(6.14) und Funktionen

wobei die Kugeln bez¨ uglich der L1 -Norm definiert sind. Aus (6.14) folgt mit der Dreiecksungleichung A ε ⊂ ∪N i=1 B2ε (ui ), und wiederum aus (6.14) A ⊂ ∪N i=1 B3ε (ui ).

Damit ist die Menge A pr¨akompakt in L1 .

6.7 Kompakte Einbettungen in Lq (Ω)

115

F¨ ur 1 < q < np/(n − p) verwenden wir die H¨ oldersche Ungleichung f¨ ur α>1  1/q |u|1/α |u|q−1/α dx uq = Ω

≤



Ω

|u| dx

Es gibt ein α > 1 mit

daher mit λ =

1 αq ,

1/(αq)  

Ω

|u|(q−1/α)α/(α−1) dx

(α−1)/(αq)

.

αq − 1 np = , α−1 n−p

0 < λ < 1, und der Einbettung H 1,p → Lnp/(n−p) ,

1−λ uq ≤ uλ1 unp/(n−p) ≤ uλ1 cu1−λ 1,p .

(6.15)

Wenn A in H01,p (Ω) beschr¨ankt ist, so ist A ebenfalls in H01,1 (Ω) beschr¨ ankt (siehe Satz 4.19). Zu jedem ε > 0 gibt es daher u1 , . . . , uN in A mit A ⊂ uglich L1 . Aus der letzten Absch¨ atzung folgt A ⊂ ∪N ∪N i=1 Bε (ui ) bez¨ i=1 Bcελ (ui ) q ⊔ ⊓ in L , was die Behauptung beweist. Aus (6.15) erh¨alt man mit der verallgemeinerten Youngschen Ungleichung (A.2) f¨ ur p = 1/λ, q = p/(p − 1) = 1/(1 − λ): Satz 6.20. Sei Ω ein Lipschitzgebiet. F¨ ur 1 ≤ p < n und q < np/(n − p) gibt es zu jedem ε > 0 ein c(ε) mit uq;Ω ≤ εDup;Ω + c(ε)u1;Ω

∀u ∈ H 1,p (Ω).

m,p Definition 6.21. Sei ΓD ⊂ ∂Ω und 1 ≤ p < ∞. Der Raum H0,Γ (Ω) ist der D Abschluß von ∞ C0,Γ (Ω) = {v ∈ C ∞ (Ω) ∩ H m,p (Ω) : v = 0 in Umgebung von ΓD } D

in der Norm ·m,p;Ω . Das im Abschnitt u ¨ ber die Randwerte von Sobolev-Funktionen gesagte bleibt auch lokal g¨ ultig, auf glatten Teilbereichen von ΓD wird f¨ ur Funktionen in 1,p H0,Γ (Ω) die Nullrandbedingung angenommen. D Die folgende Variante der Poincar´e-Ungleichung wird mit einem typischen Kompaktheitsschluß bewiesen. Satz 6.22. Sei 1 ≤ p < ∞. Sei Ω ein Lipschitzgebiet und ΓD eine nichtleere 1,p (Ω) die Poincar´e-Ungleichung offene Teilmenge von ∂Ω. Dann gilt auf H0,Γ D up ≤ cP Dup

1,p ∀u ∈ H0,Γ (Ω). D

116

6 Fortsetzungs- und Einbettungss¨ atze f¨ ur Sobolev-Funktionen

Beweis. Angenommen, die Ungleichung gilt nicht. Dann gibt es Funktionen 1,p (Ω) mit uk p;Ω = 1 und uk ∈ H0,Γ D 1 = uk p;Ω ≥ kDuk p;Ω . Da die uk in H 1,p normbeschr¨ankt sind, gilt f¨ ur eine Teilfolge uk ⇁ u in H 1,p (Ω) und wegen der Kompaktheit der Einbettung auch uk → u in Lp (Ω). ¨ Aus Duk → 0 erhalten wir Du = 0. Mit Ubungsaufgabe 5.1 folgt, daß u konstant ist. Nach dem Spursatz 6.16 impliziert die Konvergenz in H 1,p (Ω) auch Konvergenz in Lp (Γ ′ ), wobei Γ ′ in ΓD enthalten ist, daher u|Γ ′ = 0 und u = 0 in Ω. Widerspruch zu up = 1! ⊔ ⊓ Anmerkung 6.23. Auf die gleiche Weise kann die Poincar´e-Ungleichung in ur Funktionen mit verschwindendem Mittelwert bewiesen. H 1,p (Ω) f¨ Wegen ihrer Wichtigkeit beweisen wir diese Poincar´e-Ungleichung f¨ ur konvexe Gebiete auch direkt: Satz 6.24. Sei Ω konvex und in einer Kugel vom Durchmesser d enthalten. F¨ ur 1 ≤ p < ∞ gilt dann f¨ ur alle u ∈ H 1,p (Ω) mit Ω u dx = 0 up;Ω ≤ 2n/p dDup;Ω .

Beweis. Wegen Satz 5.16 braucht die Ungleichung nur f¨ ur u ∈ C ∞ (Ω) ∩ 1,p H (Ω) bewiesen zu werden. Der Mittelwertsatz kann in der Form  1 u(x) − u(y) = Du(tx + (1 − t)y)(x − y) dt, x, y ∈ Ω, 0

geschrieben werden. Wir integrieren diese Beziehung bez¨ uglich y und erhalten  wegen Ω u dy = 0   1 1 u(x) = Du(tx + (1 − t)y)(x − y) dt dy, µ(Ω) Ω 0 und mit |x − y| ≤ d, |u(x)| ≤

d µ(Ω)

  Ω

1 0

|Du(tx + (1 − t)y)| dt dy.

Diese Absch¨atzung wird in die p-te Potenz gehoben und bez¨ uglich x integriert,     p  1 dp dx |Du(tx + (1 − t)y)| dt dy |u(x)|p dx ≤ µ(Ω)p Ω Ω 0 Ω     1   1   p/q dp p q ≤ |Du(tx + (1 − t)y)| dt dy dx 1 dt dy µ(Ω)p Ω Ω 0 Ω 0    1 dp = |Du(tx + (1 − t)y)|p dt dy dx. µ(Ω) Ω Ω 0

6.8 Einbettungen in R¨ aume stetiger Funktionen

117

Mit dem Satz von Fubini ziehen wir die Integration bez¨ uglich t nach außen und erhalten f¨ ur ein t0 ∈ [0, 1]    dp p |u(x)| dx ≤ |Du(t0 x + (1 − t0 )y)|p dy dx. µ(Ω) Ω Ω Ω Sei f (x) die Fortsetzung von |Du(x)|p in den n durch Null. F¨ ur t0 ∈ [0, 21 ] erhalten wir    dp p |u(x)| dx ≤ f (t0 x + (1 − t0 )y) dy dx µ(Ω) Ω n Ω  = dp f ((1 − t0 )y) dy. 



n

Mit der Transformation z = (1 − t0 )y, dy ≤ 2n dz, kann das Integral auf der rechten Seite durch 2n Dupp abgesch¨atzt werden. Wenn t0 > 21 , vertauschen wir die Rollen von x und y und argumentieren genauso. ⊔ ⊓

6.8 Einbettungen in R¨ aume stetiger Funktionen Satz 6.25 (Morrey). Wenn Ω die Kegeleigenschaft besitzt, so gilt f¨ ur p > n die Einbettung H 1,p (Ω) → C(Ω) ∩ L∞ (Ω),

also u∞;Ω ≤ cu1,p;Ω

∀u ∈ H 1,p (Ω),

was heißen soll, daß eine Funktion u ∈ H 1,p (Ω) auf einer Nullmenge so abge¨andert werden kann, daß u ∈ C(Ω). Beweis. Wie immer in solchen F¨ allen ist es ausreichend, die Absch¨ atzung im dichten Unterraum C ∞ (Ω) ∩ H 1,p (Ω) zu beweisen. Da der Raum aller stetigen und beschr¨ ankten Funktionen auf Ω ein Banach-Raum ist unter der Norm ·∞;Ω , folgt dann aus Satz 2.14, daß H 1,p (Ω) → C(Ω) ∩ L∞ (Ω). Ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit k¨onnen wir annehmen, daß 0 ∈ Ω. Sei C ⊂ Ω der Kegel mit Eckpunkt 0 aus der Kegeleigenschaft. Mit Polarkoordinaten r = |x|, ω = x/|x|, kann C in der Form n

C = {x ∈

: 0 < r < a, ω ∈ S ⊂ S n−1 }

geschrieben werden, wobei S n−1 die Einheitssph¨ are bezeichnet. Aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung folgt  0 u(0) = Dr u(ξ, ω) dξ + u(r, ω), r

und daher

|u(0)| ≤



0

a

|Dr u(ξ, ω)| dξ + |u(r, ω)|,

118

6 Fortsetzungs- und Einbettungss¨ atze f¨ ur Sobolev-Funktionen

und durch Integration bez¨ uglich r und ω,   a   aµ(S)|u(0)| ≤ a |Dr u(r, ω)| dr dω + S

0

S

a

0

|u(r, ω)| dr dω.

Diese Absch¨atzung wir durch aµ(S) dividiert und in die p-te Potenz erhoben. Dann liefert die H¨oldersche Ungleichung p   a   |u(0)|p ≤c |Dr u(r, ω)| + |u(r, ω)| r (n−1)/p r −(n−1)/p dr dω ≤c

S

0

 

a

S

×

0



  S

 |Dr u(r, ω)|p + |u(r, ω)|p r n−1 dr dω × a

(r −(n−1)/p )p/(p−1) dr dω

0

p−1

.

F¨ ur p > n existiert der zweite Faktor auf der rechten Seite und der Satz wird bewiesen durch die Transformationsregel,   a  v(x) dx = v(r, ω) r n−1 dr dω. C

S

0

sowie |Dr u| ≤ |Du| (siehe (A.9)).

⊔ ⊓

Satz 6.26 (Morrey). Ω sei ein Lipschitzgebiet und m ∈ . Dann existiert die Einbettung H m,p (Ω) → C m−1,α (Ω) f¨ ur p > n mit α = 1 − n/p, d.h. es gibt eine nur von Ω abh¨angende Konstante c mit 

uC m−1,α (Ω) ≤ cum,p;Ω

∀u ∈ H m,p (Ω).

Anmerkung 6.27. Zusammen mit Satz 2.42 folgt, daß die Einbettung H m,p (Ω) → C m−1,α (Ω) kompakt ist f¨ ur α < 1 − n/p. Beweis. Sei zun¨ achst m = 1. Die behauptete Absch¨ atzung braucht nur in C0∞ (Ω) bewiesen zu werden (siehe Beweis von Satz 6.12). urfel Sei also u ∈ C0∞ (Ω), x, y beliebige Punkte mit |x − y| = ρ, Qρ ein W¨ mit Kantenl¨ange ρ und x, y ∈ Qρ . Im Mittelwertsatz u(x) − u(z) = −



1

0

Du(x + t(z − x))(z − x) dt

integrieren wir bez¨ uglich z u ¨ ber Qρ und teilen durch µ(Qρ ) = ρn , u(x) − ρ−n



Qρ

u(z) dz = −ρ−n



Qρ



0

Hier setzen wir Betr¨age und sch¨ atzen ab,

1

Du(x + t(z − x))(z − x) dt dz.

6.9 Dualr¨ aume von H m,p (Ω) und die R¨ aume H −m,q (Ω)

   u(x) − ρ−n

Qρ

  √  u(z) dz  ≤ nρ1−n

Qρ



1

0

119

  Du(x + t(z − x) dt dz.

Auf der rechten Seite f¨ uhren wir die Koordinatentransformation z → ξ = tz + (1 − t)x durch mit dz = t−n dξ. F¨ ur festes t ist der Integrationsbereich von ξ ein W¨ urfel mit Kantenl¨ ange tρ. Daher   1    √     Du(ξ) dξ dt t−n u(z) dz  ≤ nρ1−n u(x) − ρ−n 0

Qρ

Qtρ

√ 1−n nρ Dup



1

≤

√ 1−n nρ Dup



1

=

′

t−n µ(Qtρ )1/p dt

0

t−n (tρ)n(p−1)/p dt

0

≤ cρ1−n/p Dup . Da die gleiche Absch¨ atzung f¨ ur x ersetzt durch y gilt, folgt aus der Dreiecksungleichung |u(x) − u(y)| ≤ cρ1−n/p Dup , womit der Fall m = 1 bewiesen ist. Ist u ∈ H 2,p (Ω), so folgt u ∈ C 0,α (Ω) und Du ∈ C 0,α (Ω)n . Aufgrund der Vollst¨andigkeit von C 1,α ist Du auch die klassische Ableitung von u, daher u ∈ C 1,α (Ω). Der Fall m = 2 reicht f¨ ur einen Induktionsschluß offenbar aus. ⊓ ⊔

6.9 Dualr¨ aume von H m,p(Ω) und die R¨ aume H −m,q (Ω) Ist X ein Banach-Raum und X N der Raum der Vektoren (x1 , . . . , xN ) mit xk ∈ X, so gilt (X N )′ = (X ′ )N (siehe Aufgabe 2.12). Ist X reflexiv, so ist auch X N reflexiv. Sei N die Zahl der Multiindizes 0 ≤ |α| ≤ m. Wir betten H m,p (Ω) in den Raum Lp (Ω)N ein mit P : H m,p (Ω) → Lp (Ω)N ,

u → (Dα u)|α|≤m .

(6.16)

Es gilt um,p = P up und wegen der Vollst¨andigkeit von H m,p (Ω) ist das Bild von P ein abgeschlossener Unterraum von Lp (Ω)N . Da abgeschlossene Unterr¨aume reflexiver R¨ aume ebenfalls reflexiv sind (siehe Satz 3.30), haben wir gezeigt: Satz 6.28. F¨ ur 1 < p < ∞ und m ∈



0

ist H m,p (Ω) reflexiv.

Mit Hilfe von (6.16) k¨ onnen auch die Dualr¨ aume von H m,p (Ω) bestimmt werden.

120

6 Fortsetzungs- und Einbettungss¨ atze f¨ ur Sobolev-Funktionen

Satz 6.29. Sei 1 ≤ p < ∞ und q der zugeh¨orige konjugierte Exponent. Zu jedem L ∈ H m,p (Ω)′ gibt es uα ∈ Lq (Ω), 0 ≤ |α| ≤ m, mit   uα Dα v dx. (6.17) L(v) = Ω

|α|≤m

Beweis. Die R¨aume H m,p (Ω) und RP ⊂ Lp (Ω)N sind isometrisch isomorph. Das stetige lineare Funktional L auf dem abgeschlossenen Unterraum RP kann mit dem Satz von Hahn-Banach fortgesetzt werden zu einem Funktional ˜ ∈ (Lp (Ω)′ )N , das nach Satz 4.30 die Darstellung L   ˜ L(v) = uα vα dx, u ∈ Lq (Ω)N Ω

|α|≤m

besitzt. Auf RP hat L die im Satz angegebene Gestalt.

⊔ ⊓

F¨ ur die Anwendungen ist der Dualraum von H0m,p (Ω), der mit H −m,q (Ω), 1 < q ≤ ∞, bezeichnet wird, erheblich wichtiger. Die Darstellung (6.17) wird u ¨ bernommen, es ist aber u ¨ blich geworden, in diesem Fall kurz L = (−1)|α| Dα uα zu schreiben, was aber immer wie in (6.17) interpretiert werden muß. Im Fall p = 2 kann mit Hilfe des Skalarprodukts eine andere Darstellung der Funktionale in H −m,2 (Ω) angegeben werden. Aufgrund der Poincar´e-Ungleichung 6.14, die sukzessive auf D α u angewendet wird, ist auch   Dα uDα v dx (u, v)m,0 = |α|=m

Ω

ein zu (u, v)m a¨quivalentes Skalarprodukt auf H0m,2 (Ω). Der Rieszsche Darstellungssatz ergibt dann: Satz 6.30. Zu jedem L ∈ H −m,2 (Ω) gibt es genau ein u ∈ H0m,2 (Ω) mit   Dα vDα u dx. L(v) = |α|=m

Ω

Beispiel 6.31. Sei n = 1, Ω = (−1, 1), und δ0 die Dirac-Distribution mit δ0 (v) = v(0). Der nat¨ urliche Definitionsbereich der Dirac-Distribution sind die stetigen Funktionen, mit der Einbettung aus Satz 6.25 gilt demnach δ0 ∈ H −1,2 (Ω). Zur Darstellung der Dirac-Distribution muß ein u ∈ H01,2 (Ω) ur alle v ∈ H01,2 (Ω). Auf den Teilingefunden werden mit (u′ , v ′ ) = v(0) f¨ tervallen (−1, 0) und (0, 1) kann mit v ∈ C0∞ getestet werden. Es gilt daher u′′ = 0 und u ist linear auf diesen Teilintervallen. Daher u(x) = (1 − |x|)/2, (u′ , v ′ ) =

1 2



0

−1

v ′ dx +



0

1

 −v ′ dx = v(0).

6.10 Die gebrochenen Sobolev-R¨ aume H s,p (Ω)

121

6.10 Die gebrochenen Sobolev-R¨ aume H s,p(Ω) In diesem Abschnitt definieren und untersuchen wir die Sobolev-R¨ aume H s,p (Ω) f¨ ur reelle Indizes s ≥ 0 auf allgemeinen, nicht notwendig beschr¨ ankur nichtganzzahliges s > 0 schreiben wir s = m + σ ten Gebieten Ω ⊂ n . F¨ mit m ∈ 0 und 0 < σ < 1. F¨ ur 1 ≤ p < ∞ definieren wir p    u(x) − u(y) p dx dy, |u|σ,p;Ω = n+σp Ω Ω |x − y|  ups,p;Ω = upm,p;Ω + |Dα u|pσ,p;Ω . 

|α|=m

Die Ausdr¨ ucke | · |σ,p sind nur Halbnormen, weil sie f¨ ur konstante Funktionen verschwinden. Definition 6.32. F¨ ur nichtganzzahliges s > 0 und 1 ≤ p < ∞ besteht der Raum H s,p (Ω) aus den Funktionen u ∈ H m,p (Ω) mit endlicher Norm us,p;Ω .

Im Grenzfall p = ∞ erhalten wir im wesentlichen die H¨ older-R¨ aume C m,σ (Ω), es wird daher immer p < ∞ vorausgesetzt. F¨ ur die Integrierbarkeitseigenaume eine große Rolle schaften von |x|α , α ∈ , die bei der Definition dieser R¨ spielen, wird auf Abschnitt A.6 hingewiesen. amlich Erinnert Definition des inneren Produkts in H m,2 (Ω), n¨ sei an die α (u, v)m = |α|≤m (D u, Dα v).

Satz 6.33. H s,p (Ω) ist Banach-Raum unter der Norm  · s,p;Ω . H s,2 (Ω) ist Hilbert Raum mit innerem Produkt  (u, v)s = (u, v)m + (Dα u, Dα v)σ , |α|=m

     u(x) − u(y) v(x) − v(y) dx dy. (u, v)σ = |x − y|n+2σ Ω Ω Beweis. Die Normaxiome sind f¨ ur  · s,p erf¨ ullt. Die Vollst¨ andigkeit brauchen wir nur f¨ ur den Fall m = 0 zu untersuchen, weil jede Cauchy-Folge in H s,p auch eine Cauchy-Folge in H m,p ist. Sei (uk ) eine Cauchy-Folge in H s,p (Ω), 0 < s < 1. Dann gibt es nach Anmerkung 4.26(i) eine Teilfolge (ukm ) mit ukm → u punktweise fast u ¨ berall. Damit gilt f¨ ur f (ukm , x, y) =

|(ukl (x) − ukm (x)) − (ukl (y) − ukm (y))|p , |x − y|n+σp

daß f (ukm , x, y) → f (u, x, y) f.¨ u. in Ω × Ω f¨ ur km → ∞. Wir k¨ onnen daher in ubergang km → ∞ |ukl − ukm |σ,p ≤ ε mit dem Fatouschen Lemma den Grenz¨

122

6 Fortsetzungs- und Einbettungss¨ atze f¨ ur Sobolev-Funktionen

durchf¨ uhren und erhalten ukl → u in H s,p . Da eine Cauchy-Folge konvergent ist, wenn eine Teilfolge konvergiert, ist die Vollst¨ andigkeit gezeigt. ⊔ ⊓ Um ein Gef¨ uhl f¨ ur diese etwas unhandlichen R¨ aume zu bekommen, zeigen wir die Einbettung H m+1,p ( n ) → H s,p ( n ), wozu der Fall m = 0 ausreichend ist. Wir schreiben   |u(x) − u(y)|p |u(x) − u(y)|p d(x, y) + d(x, y) |u|pσ,p = n+σp n+σp |x−y|≥1 |x − y| |x−y|<1 |x − y| = A + B.

(6.18)

Den Term A sch¨atzen wir mit dem Mittelwertsatz und der H¨ olderschen Ungleichung ab  1   Du(y + t(x − y))(x − y) dtp 0 A≤ d(x, y) |x − y|n+σp |x−y|<1 ≤



|x−y|<1



0

1

|Du(y + t(x − y))|p |x − y|p dt d(x, y). |x − y|n+σp

Wir f¨ uhren die Koordinatentransformation x − y → z, y → y durch. Mit Du(· + tzp = Dup erhalten wir (cn = µ(∂B1 ))  1  A ≤ Dupp |z|−n+p(1−σ) dz ≤ Dupp cn r −1+p(1−σ) dr = cDupp . |z|<1

0

p

F¨ ur den zweiten Term folgt mit |a − b| ≤ c(p)(|a|p + |b|p )   |u(y + z) − u(y)|p dz dy B= |z|n+σp |z|≥1 ≤c

 

≤ cupp

|z|≥1



1

∞

|u(y + z)|p dz dy + |z|n+σp

 

|z|≥1

 |u(y)|p dz dy n+σp |z|

r −1−σp dr ≤ cupp .

Damit ist die behauptete Einbettung gezeigt. Die letzte Absch¨ atzung l¨ aßt vermuten, daß die Sobolev-Normen keine wirkliche Skala bilden, sondern beim ¨ Ubergang zu den ganzen Zahlen einen Sprung machen. Die Beantwortung dieser Frage wird im n¨achsten Beispiel mit der Untersuchung unstetiger Funktionen verkn¨ upft. Beispiel 6.34. Sei n = 1, Ω = (−b, b). F¨ ur a < b ist die Funktion ua definiert durch ua (x) = 1 in (−a, a) und ua (x) = 0 in Ω \ (−a, a). Dann  b b  b a |ua (x) − ua (y)|2 2 (x − y)−1−2σ dy dx. (6.19) dy dx = 4 |ua |σ,2 = |x − y|1+2σ −b −b a −a

6.10 Die gebrochenen Sobolev-R¨ aume H s,p (Ω)

123

(i) Hieraus folgt elementar weiter  b 4 (x − a)1−2σ − (x + a)1−2σ  . 2σ(1 − 2σ) a

|ua |2σ,2 =

(6.20)

Dies existiert f¨ ur σ < 1/2, aber nicht f¨ ur σ ≥ 1/2. Es d¨ urfte klar sein, daß es hier nur auf die Sprungstelle ankommt. F¨ ur eine st¨ uckweise glatte Funktion mit einer Sprungstelle gilt daher u ∈ H 1/2−ε,2 f¨ ur alle ε > 0 und u ∈ / H 1/2,2 . (ii) F¨ ur 0 < σ < 1/2 gilt in (6.20)

ua 2σ,2;(−b,b) → 0 f¨ ur b → a,

ua 2σ,2;(−b,b) → ca1−2σ f¨ ur b → ∞.

Angesichts von u22 = 2a ist damit gezeigt, daß die Fortsetzung durch Null Eu einer Funktion mit kompaktem Tr¨ ager u kein stetiger Prozeß ist, die Absch¨atzung Eus,2; ≤ cus,2;Ω h¨ angt von Ω ab (siehe das folgende Lemma 6.35). (iii) Nun untersuchen wir in (6.19) den Fall b = ∞ und σ = 0,  ∞   |ua |2σ=0,2 = 4 ln(x + a) − ln(x − a) dx. 

a

Die Taylorentwicklung ln(x±a) = ln x±a/x+O(x−2 ) zeigt, daß dieses Integral unendlich ist. Die Norm us,2 geht f¨ ur s → 0 nicht stetig in die Norm u2 u aume f¨ ur p = 2 durch die ¨ber. Sp¨ater werden die gebrochenen Sobolev-R¨ Fourier-Transformation charakterisiert. Dann verschwindet dieser Effekt, der demnach nur die Normen, aber nicht die R¨ aume betrifft. Das n¨achste Lemma greift Beispiel 6.34(ii) auf. Lemma 6.35. u ∈ H s,p (Ω) besitze einen kompakten Tr¨ager in Ω mit d = dist (supp(u), ∂Ω). Dann ist die mit Null fortgesetzte Funktion Eu im Raum H s,p ( n ) mit Eups,p; n ≤ c(1 + σ −1 d−σp )ups,p;Ω . 

Beweis. Da die Aussage f¨ ur ganzzahliges s richtig ist, k¨ onnen wir uns auf den Fall 0 < s < 1 beschr¨anken. Dann   |u(x)|p |Eu|pσ,p; n = |u|pσ,p;Ω + 2 dy dx. n+σp n \Ω |x − y| Ω 



F¨ ur das innere Integral gilt wegen x ∈ supp(u)    |x−y|−n+σp dy ≤ |z|−n−σp dz = cn 

n \Ω

daher |Eu|pσ,p; 



n

n \B (0) d

≤ |u|pσ,p;Ω + c(p)σ −1 d−σp upp;Ω .

d

∞

r −1−σp dr =

cn −σp d , σp ⊔ ⊓

124

6 Fortsetzungs- und Einbettungss¨ atze f¨ ur Sobolev-Funktionen

Nun steuern wir die Dichteeigenschaften der gebrochenen Sobolev-R¨ aume ¨ an. Eine Uberpr¨ ufung der entsprechenden S¨atze 5.16 und 6.7 zeigt, daß deren Beweise sich sofort u ¨ bertragen, wenn die beiden folgenden Lemmata bereitgestellt werden. Lemma 6.36. Wenn τ ∈ C m+1 (Ω) und u ∈ H s,p (Ω), dann ist τ u ∈ H s,p (Ω) mit uτ s,p;Ω ≤ cus,p;Ω , wobei die Konstante c von τ , aber nicht von u abh¨angt. Beweis. Da die gleiche Eigenschaft f¨ ur ganzzahlige Sobolev-R¨ aume in Lemma 5.14 bewiesen wurde, braucht nur der Fall 0 < s < 1 gezeigt zu werden. Es gilt   |(uτ )(x) − (uτ )(y)|p dx dy |uτ |pσ,p;Ω = |x − y|n+σp Ω Ω     |τ (y)|p |u(x) − u(y)|p |u(x)|p |τ (x) − τ (y)|p ≤c dx dy + c dx dy. |x − y|n+σp |x − y|n+σp Ω Ω Ω Ω Wie in (6.18) zerlegen wir das erste Integral in die Bereiche |x − y| < 1 und |x − y| ≥ 1 und wenden den Mittelwertsatz an,  |u(x)|p |x − y|p p p |uτ |σ,p;Ω ≤cDτ ∞;Ω d(x, y) |x − y|n+σp {|x−y|<1}∩Ω×Ω +

cτ p∞;Ω



{|x−y|≥1}∩Ω×Ω

|u(x)|p d(x, y) + cτ p∞;Ω |u|pσ,p;Ω |x − y|n+σp

≤cDτ p∞;Ω upp;Ω + cτ p∞;Ω upp;Ω + cτ p∞;Ω |u|pσ,p;Ω . ⊔ ⊓ Lemma 6.37. (a) Sei u ∈ H s,p (Ω) und Ω0 ⊂⊂ Ω. Dann gilt Jε ∗ u → u in H s,p (Ω0 ). (b) Besitzt u ∈ H s,p (Ω) einen kompakten Tr¨ager in Ω, so gilt Jε ∗ u → u in H s,p (Ω). Beweis. (a) Da f¨ ur ganzzahliges s die Behauptung in Lemma 5.15 bewiesen wurde, gen¨ ugt auch hier der Fall 0 < s < 1. F¨ ur eine Funktion w folgt aus der H¨olderschen Ungleichung      Jε (z)w(x, y, z) dz p = Jε1−1/p (z)Jε1/p (z)|w(x, y, z)| dz ≤

mit



Jε dx = 1 daher,





Jε (z) dz

p/q



Jε (z)|w(x, y, z)|p dz,

6.10 Die gebrochenen Sobolev-R¨ aume H s,p (Ω)

F¨ ur

 



p Jε (z)w(x, y, z) dz  ≤



125

Jε (z)|w(x, y, z)|p dz.

w(x, y, z) = (u(x − z) − u(y − z)) − (u(x) − u(y)) erhalten wir aus dieser Absch¨ atzung  p     J (z)w(x, y, z) dz  ε |z|<ε p dx dy |Jε ∗w − w|σ,p = n+σp |x − y| Ω0 Ω0 p     Jε (z)(u(x − z) − u(y − z)) − (u(x) − u(y)) ≤ dx dy dz |x − y|n+σp |z|<ε Ω0 Ω0 p    (u(x − z) − u(y − z)) − (u(x) − u(y)) dx dy. ≤ c sup |x − y|n+σp |z|<ε Ω0 Ω0 Der Integrand geht aus der Translation der Funktion |x − y|−n/p−σ (u(x) − u(y)) ∈ Lp (Ω × Ω) hervor. Da die Translation nach Satz 4.21 stetig ist, konvergiert das Integral gegen Null. (b) Kombiniere (a) mit Lemma 6.35. ⊔ ⊓ Satz 6.38. Sei s ≥ 0 und 1 ≤ p < ∞

(a) C ∞ (Ω) ∩ H s (Ω) ist dicht in H s (Ω). (b) Ist Ω ein beschr¨anktes Lipschitzgebiet, so ist die Einschr¨ankung der Funktionen in C0∞ ( n ) auf Ω dicht in H s,p (Ω). Beweis. (a) ist die Verallgemeinerung von Satz 5.16. Dessen Beweis u agt ¨bertr¨ sich unmittelbar mit Hilfe der Lemmata 6.36 und 6.37. (b) ist die Verallgemeinerung von Satz 6.7. In diesem Fall wird zus¨ atzlich otigt, was im Beweis die Stetigkeit der Translation, |u(· − z) − u(·)|σ,p → 0 ben¨ des letzten Lemmas ebenfalls gezeigt wurde. ⊔ ⊓ Als n¨achstes verallgemeinern wir den Fortsetzungssatz 6.11 auf den gebrochenen Fall. Dazu wird das folgende einfache Hilfsmittel verwendet. ur Lemma 6.39. Sei g : Ω ′ → Ω bijektiv mit g und g −1 lipschitz. Dann ist f¨ u ∈ H s,p (Ω), 0 < s < 1, 1 ≤ p < ∞, die Transformierte T u(x′ ) = u(g(x′ )) in H s,p (Ω ′ ) mit T us,p;Ω ′ ≤ cus,p;Ω . Beweis. Da die korrekte Transformation der Lp -Norm bereits in Lemma 6.9 bewiesen wurde, k¨ onnen wir uns auf die Untersuchung von | · |σ,p beschr¨ anken. Mit der Notation x = g(x′ ) folgt |x − y| = |g(x′ ) − g(y ′ )| ≤ L|x′ − y ′ |, daher

|x′ − y ′ | = |g −1 (x) − g −1 (y)| ≤ L′ |x − y|,

126

6 Fortsetzungs- und Einbettungss¨ atze f¨ ur Sobolev-Funktionen

|x′ − y ′ |−n−σp ≤ Ln+σp |x − y|−n−σp ,

dx′ ≤ (L′ )n dx,

also |T u|pσ,p;Ω ′





|u(g(x′ )) − u(g(y ′ ))|p ′ ′ dx dy |x′ − y ′ |n+σp Ω′ Ω′   |u(x) − u(y)|p dx dy = c|u|pσ,p;Ω . ≤ (L′ )2n Ln+σp n+σp Ω Ω |x − y|

=

⊔ ⊓ Satz 6.40. Ω sei ein beschr¨anktes Gebiet von der Klasse C m,1 und Ω1 sei ein Gebiet mit Ω ⊂⊂ Ω1 . Dann ist der Fortsetzungsoperator E = E(m + 1) aus Satz 6.11 auch stetig zwischen den R¨aumen H s,p (Ω) und H s,p (Ω1 ) f¨ ur alle 0 ≤ s ≤ m + 1, 1 ≤ p < ∞, insbesondere gibt es eine Konstante c mit Eus,p;Ω1 ≤ cus,p;Ω . Beweis. Wegen Satz 6.11 k¨onnen wir auch hier 0 < s < 1 annehmen und haben zu zeigen, daß sich der gebrochene Anteil der H s,p -Norm korrekt absch¨atzen l¨aßt. Sei zun¨achst Ω = {x ∈ n : xn > 0}, x = (x′ , xn ). Der Fortsetzungsoperator aus Satz 6.11 ist dann von der Struktur Eu(x) = j λj u(x′ , −jxn ) f¨ ur xn < 0. Zu zeigen ist daher, daß f¨ ur u ∈ H s,p (Ω) die Funktion
u(x) f¨ ur xn > 0 Ej u(x) = ′ u(x , −jxn ) f¨ ur xn ≤ 0 im Raum H s,p ( |Ej u|pσ,p; 

n

n

) ist mit Ej us,p;   =|u|pσ,p;Ω + xn <0

+2



xn >0



yn <0



n

yn <0

≤ cus,p;Ω . Es gilt |u(x′ , −jxn ) − u(y ′ , −jyn )|p dx dy |(x′ , xn ) − (y ′ , yn )|n+σp

|u(x′ , xn ) − u(y ′ , −jyn )|p dx dy. |(x′ , xn ) − (y ′ , yn )|n+σp

Wir verwenden die Transformation yn∗ = −jyn , f¨ ur den mittleren Term zus¨ atzatzen, f¨ ur den letzten lich x∗n = −jxn . Die Nenner lassen sich dann leicht absch¨ Term haben wir zum Beispiel (xn , yn∗ > 0 !)   |(x′ , xn )−(y ′ , −j −1 yn∗ )|2 = |x′ −y ′ |2 +|xn +j −1 yn∗ |2 ≥ j −2 |x′ −y ′ |2 +|xn −yn∗ |2 . Daher

|Ej u|pσ,p; 

n

  ≤ 1 + j n+σp · j −2 + 2j n+σp · j −1 |u|pσ,p;Ω .

Die weitere Konstruktion des Fortsetzungsoperators besteht aus Lokalisieren und Geradebiegen des Randes, was eine Bilipschitztransformation bedeutet. Die Behauptung folgt daher aus den Lemmata 6.36 und 6.39. ⊔ ⊓

Aufgaben

127

Nach diesen grundlegenden Ergebnissen kann man wie im ganzzahligen Fall Einbettungs- und Spurs¨ atze beweisen, die Aufgaben 6.15 und 6.16 geben einige Beispiele zur Fortf¨ uhrung der Theorie. Wir wollen hier die sehr technischen Beweise vermeiden und nehmen das Studium der gebrochenen Sobolev-R¨aume in Abschnitt 9.4 wieder auf, wo im Fall p = 2 mit der FourierTransformation ein einfaches Hilfsmittel zur Verf¨ ugung steht, mit der die Resultate wie von selbst herausfallen.

Aufgaben 6.1. (3) Sei Ω = {(x1 , x2 ) ∈

2 

1,p

Zeigen Sie, daß die Einbettung H p > 2 richtig ist.

: 0 < x1 < 1, 0 < x2 < x21 }.

(Ω) → C 0 (Ω) f¨ ur dieses Gebiet nicht f¨ ur alle

6.2. (3) Sei n = 1, Ω = (−1, 1). Sei H01,2,α (Ω) die Vervollst¨ andigung von C0∞ (Ω) bez¨ uglich der Norm Z 1 |x|α |u′ |2 dx. u21,2,α = −1

ur 0 ≤ α < 1, sie existiert nicht Dann existiert die Einbettung H01,2,α (Ω) → C 0 (Ω) f¨ f¨ ur α ≥ 1. 6.3. (3) a) Beweisen Sie die Einbettung H0n,1 (Ω) → C 0 (Ω), wozu der Nachweis von u∞ ≤ un,1

∀u ∈ C0∞ (

n 

)

ausreichend ist. ur ein ebenes b) Skizzieren Sie auch den Beweis der Einbettung H 2,1 (Ω) → C 0 (Ω) f¨ Gebiet, das die Kegeleigenschaft besitzt. 6.4. (2) Sei Ω ein Lipschitzgebiet und 1 ≤ p < ∞. Dann ist die Norm ` ´1/p u′m,p = D m upp + upp

zur Norm in H m,p ¨ aquivalent ist. Hinweis: Man verwende Satz 6.20.

6.5. (3) Zeigen Sie, daß in der Poincar´e-Ungleichung u2;Ω ≤ cp Du2;Ω

f¨ ur alle u ∈ H 1,2 (Ω) mit

Z

u dx = 0

Ω

die optimale Konstante cp = cp (Ω) beliebig groß werden kann, wenn das Gebiet Ω nur vorgegebenen Durchmesser hat. Anders ausgedr¨ uckt: KonstruierenRSie zu k ∈ ein ebenes Gebiet Ωk ⊂ B1 (0) und eine Funktion uk ∈ H 1,2 (Ωk ) mit Ω uk dx = 0 k und uk 2;Ωk ≥ kDuk 2;Ωk . 

128

6 Fortsetzungs- und Einbettungss¨ atze f¨ ur Sobolev-Funktionen

6.6. (3) Zeigen Sie, daß die Poincar´e-Ungleichung ∀u ∈ H 1,2 (Ω)

u2;Ω ≤ cp Du2;Ω f¨ ur Ω =

n 

nicht gilt.

6.7. (3) Sei m ∈ und 1 ≤ p < ∞. Beweisen Sie: m,p a) Zu u ∈ H (Ω) gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom p ∈ Z Z Dα p dx ∀|α| ≤ m − 1. Dα u dx = 



m−1

mit

Ω

Ω

b) Lemma (Bramble-Hilbert). Ist F ein stetiges lineares Funktional auf H m,p (Ω), also |F (u)| ≤ cum,p;Ω , f¨ ur das zus¨ atzlich gilt

F (p) = 0 so

∀p ∈

|F (u)| ≤ cD m up;Ω

m−1 , 

∀u ∈ H m,p (Ω).

Hinweis: Zum Beweis von b) verwenden Sie Teil a) und die Poincar´e-Ungleichung. 6.8. Sei Λ ⊂ n konvex und kompakt. F¨ ur St¨ utzpunkte“ x1 , . . . , xk ∈ Λ und ” Gewichte“ ω1 , . . . , ωk ∈ heißt ” 



IΛ (u) = µ(Λ)

k X

ωi u(xi )

i=1

Kubaturformel. IΛ heißt von der Ordnung m ∈ 0 , wenn Z p dx = IΛ (p) ∀p ∈ m . 



Λ

a) (1) Man beweise, daß f¨ ur beliebiges Λ die Formel k = 1,

x1 = Schwerpunkt,

ω1 = 1,

von der Ordnung m = 1 ist. b) (1) Ist Λ ein ebenes Dreieck, so zeige man, daß die Formel k = 3,

xi = Eckpunkte des Dreiecks,

ωi =

1 , 3

ebenfalls von der Ordnung m = 1 ist. c) (3) Sei Λh ein Dreieck, das in einem Kreis vom Radius h enthalten ist und einen alt. Man zeige, daß f¨ ur eine Formel der Ordnung 1 gilt Kreis vom Radius cR h enth¨ Z ˛ ˛ ˛ (∗) u dx − IΛh (u)˛ ≤ ch2 D2 u1;Λh , Λh

wobei die Konstante c von cR , aber nicht von Λh abh¨ angt.

Aufgaben

129

Hinweis und Bemerkung: Man beweise (∗) zun¨ achst f¨ ur h = 1 mit Hilfe der SobolevUngleichung aus Aufgabe 6.3b) sowie des Bramble-Hilbert-Lemmas aus Aufgabe 6.7. Eine auf einem ebenen Polygongebiet definierte Funktion l¨ aßt sich numerisch integrieren, indem man auf jedem Dreieck einer entsprechenden Zerlegung des Gebiets die Kubaturformel anwendet. Es gilt dann mit (∗) Z X ˛ ˛ ˛ IΛh (u)˛ ≤ ch2 D2 u1;Ω . u dx − Ω

Λh

Nat¨ urlich lassen sich mit Formeln h¨ oherer Ordnung bei entsprechender Glattheit von u bessere Konvergenzordnungen erzielen. 6.9. (3) Man zeige, daß auf H0m,2 (Ω) die Norm u∗m,2 =

n `X i=1

m Di,...,i u22

´1/2

zur  · m,2 -Norm ¨ aquivalent ist. 6.10. (4) F¨ ur Ω = B1 (0) ⊂

2 

gilt

H01,2 (Ω) = H01,2 (Ω \ {0}). 6.11. (3) Konstruieren Sie ein u ∈ C ∞ (0, 1), so daß das Funktional Z 1 uφ dx, φ ∈ C0∞ (0, 1), Lu (φ) = 0

in keinem Raum H

−m,2

(0, 1) liegt f¨ ur alle m ∈ 

.

6.12. (3) Sei γ ⊂⊂ Ω eine Linie. F¨ ur welche m = m(n) ist das Funktional Z Lγ (φ) = φ dτ γ

im Raum H −m,2 (Ω) ? 6.13. (3) Man stelle im Fall n = 1, Ω = (−1, 1), das Funktional δ0′ (v) = v ′ (0) durch ein u ∈ H02,2 (Ω) dar. 6.14. (3) Sei Ω ein beliebiges Gebiet des und 1 ≤ p < ∞ ist die Norm „ X Z upm,p;Ω + |α|=m

n 

Ω×Ω∩{|x−y|<1}

. F¨ ur s = m + σ, m ∈

˛ α ˛ ˛D u(x) − D α u(y)˛p |x − y|n+σp



0,

d(x, y)

0 < σ < 1,

«1/p

zur Norm in H s,p (Ω) ¨ aquivalent. Bemerkung: Diese Norm vermeidet den in Beispiel 6.34(iii) beschriebenen Effekt, wird aber seltener verwendet.

130

6 Fortsetzungs- und Einbettungss¨ atze f¨ ur Sobolev-Funktionen

6.15. (5) F¨ ur u :

→ 



setze

F u(x, y) =

1 2x

y+x

Z

u(z) dz,

y > 0.

y−x

Beweisen Sie: Sei 1 < p < ∞. Ist u ∈ H 1−1/p,p ( ), so ist F u ∈ H 1,p ( × + ) mit F u1,p; × + ≤ cu1−1/p,p; Hinweis und Bemerkung: Man darf u ∈ C0∞ ( ) annehmen. Der Beweis in h¨ oheren Raumdimensionen mit einem entsprechend modifizierten Mittelwertoperator d¨ urfte sich als schwierig erweisen und sei denjenigen Leser(inne)n empfohlen, die sich durch das vorliegende Buch st¨ andig unterfordert f¨ uhlen. F¨ ur p = 2 wird ein analoger Fortsetzungsoperator in Abschnitt 9.4 mit Hilfe der FourierTransformation angegeben. Letzterer ist aber nicht lokal, d.h. F u(x, y) greift f¨ ur x > 0 auf alle Werte von u zu; er ist daher f¨ ur die praktische Bestimmung einer Fortsetzung weniger geeignet. Es gilt auch umgekehrt: Ist u ∈ H 1,p ( × + ), so ist die Spur Su aus Satz 6.16 im Raum H 1−1/p,p ( ) mit Su1−1/p,p; ≤ cu1,p; × + (siehe [Ada75, S. 184ff.]; man kann dies auch mit elementarer Analysis beweisen, ist allerdings schwer). Damit ur die Spur der Funktionen in H 1,p ist gezeigt, daß H 1−1/p,p der richtige“ Raum f¨ ” ist. Diese gebrochenen Sobolev-R¨ aume sind daher wichtiger als die in Aufgabe 5.12 definierten Nikolski-R¨ aume und werden auch Spurr¨ aume genannt (siehe Abschnitt 9.4 f¨ ur p = 2). 

























6.16. (3) Sei Ω ⊂ n beschr¨ ankt, 1 < p < ∞ und 0 < s < 1. Zeigen Sie f¨ ur die Nikolski-R¨ aume aus Aufgabe 5.12 f¨ ur jedes ε > 0 die Einbettung N s,p (Ω) → H s−ε,p (Ω). Bemerkung: Unter den Voraussetzungen wie in der Aufgabe gilt auch H s,p (Ω) → N s,p (Ω) (siehe Aufgabe 9.27 f¨ ur den Fall p = 2). 

7 Elliptische Differentialgleichungen

In diesem Kapitel ist Ω immer ein beschr¨ anktes Gebiet des tionenr¨aume sind reell.

n

und alle Funk-

7.1 Starke und schwache L¨ osungen der Poisson-Gleichung Im ersten Randwertproblem der Poisson-Gleichung suchen wir eine Funktion u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) mit −∆u = f in Ω,

u = g auf ∂Ω, (7.1) n 2 wobei f, g vorgegebene Funktionen sind und ∆ = i=1 Dii den LaplaceOperator bezeichnet. Die L¨ osung u muß die Differentialgleichung in jedem Punkt von Ω erf¨ ullen und die Randwerte g stetig annehmen. Ein solches u nennt man dann klassische L¨osung. Die Poisson-Gleichung kommt in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften in unterschiedlichen Zusammenh¨ angen vor. Das einfachste Beispiel ist eine Membran, die im Gebiet Ω ⊂ 2 lokalisiert ist. u ist die Auslenkung dieser Membran, wenn eine Kraft f, z.B. die Schwerkraft, auf diese wirkt. Die Randvorgabe u = g bedeutet, daß die Membran am Rande eingespannt ist. Ein weiteres Beispiel ist die station¨ are Temperaturverteilung u im K¨ orper Ω, f ist eine Energiequelle und g die vorgegebene Randtemperatur. In beiden F¨ allen h¨angt die Gleichung von einer Materialkonstanten ab, die sich in (7.1) in der rechten Seite befindet. Es muß nicht immer eine solche klassische L¨ osung von (7.1) geben. Da in dieser Problemstellung die Funktionalanalysis nicht greift, wird das Konzept der schwachen L¨ osung eingef¨ uhrt. Sei zun¨ achst g = 0 auf ∂Ω, die inhomogene Randbedingung wird sp¨ater behandelt. Wir multiplizieren (7.1) mit uhren eine partielle Integration durch, v ∈ C0∞ (Ω) und f¨ (Du, Dv) = (f, v) ∀v ∈ C0∞ (Ω).

132

7 Elliptische Differentialgleichungen

In dieser Darstellung braucht u nur einmal (schwach) differenzierbar zu sein. Sei f ∈ L2 (Ω). Ferner soll sich die klassische L¨ osung auch im Raum H01,2 (Ω) ∞ befinden. Dann k¨ onnen wir das auf C0 (Ω) definierte und in H 1,2 (Ω) beschr¨ankte Funktional l(v) = (Du, Dv) − (f, v) nach Satz 2.14 eindeutig auf H01,2 (Ω) fortsetzen. Die schwache L¨osung von Problem (7.1) ist daher folgendermaßen definiert: Gesucht ist u ∈ H01,2 (Ω) mit (Du, Dv) = (f, v)

∀v ∈ H01,2 (Ω).

(7.2)

Liegt die schwache L¨ osung umgekehrt auch im Raum C 2 (Ω)∩C(Ω), was unter zus¨atzlichen Bedingungen an die Daten des Problems (rechte Seite, Rand des Gebiets) sp¨ater bewiesen wird, so ist sie auch eine klassische. Wir k¨ onnen n¨amlich in (7.2) partiell integrieren und erhalten aus dem Fundamentallemma der Variationsrechnung gerade (7.1). Existenz und Eindeutigkeit der schwachen L¨ osung wird mit dem Rieszschen Darstellungssatz 2.25 bewiesen. Da aufgrund der Poincar´e-Ungleichung die Norm D ·2 zur vollen Norm ·1,2 ¨aquivalent ist, kann H01,2 (Ω) auch mit dem inneren Produkt (D·, D·) versehen werden. Im Rieszschen Darstellungssatz setzen wir daher (X, (·, ·)) = (H01,2 (Ω), (D·, D·)). Ferner ist f (v) = (f, v) ein stetiges lineares Funktional wegen f ∈ L2 und |f (v)| ≤ f 2 v2 ≤ cP f 2 Dv2 . Damit existiert eine eindeutige schwache L¨osung, die zudem L¨ osung des Minimierungsproblems  1  F (v) = |Dv|2 − f v dx → Min 2 Ω

ist. Tats¨achlich werden Differentialgleichungen h¨ aufig aus solchen Variations” prinzipien“ hergeleitet. Legen wir als physikalisches Modell die Auslenkung   einer Membran zugrunde, so ist |Dv|2 dx/2 die innere Energie und f v dx (=Kraft×Weg) die potentielle Energie der Membran. Wie so oft in der Physik wird der Zustand angenommen, der die Energiebilanz minimiert. Die inhomogene Randbedingung u = g auf ∂Ω behandelt man, indem man voraussetzt, daß es eine Funktion g˜ ∈ H 1,2 (Ω) mit Randwert g gibt (siehe Abschnitt 9.4). Man bestimmt u0 ∈ H01,2 (Ω) mit (Du0 , Dv) = (f, v) − (D˜ g , Dv) f¨ ur alle v ∈ H01,2 (Ω). u = u0 + g˜ ist dann die schwache L¨ osung des inhomogenen Problems. Was geschieht, wenn an einem Randst¨ uck ΓN gar keine Randbedingung gestellt wird? Im Beispiel der Membran kann man zumindest an einem Teilst¨ uck des Randes die Membran sich frei bewegen lassen. Im Fall der Temperaturverteilung in einem K¨ orper gibt es im Vakuum ebenfalls keine vorgeschriebene Randbedingung. Generell reicht die Differentialgleichung als Modell bei freien Randbedingungen nicht aus: Man ben¨ otigt ein Variationsprinzip oder die schwache Formulierung. In dieser Hinsicht ist der schwache L¨ osungsbegriff ad¨aquater zur Modellierung von Naturvorg¨ angen als der klassische.

7.1 Starke und schwache L¨ osungen der Poisson-Gleichung

133

Wir untersuchen den Fall, daß nur an einem Teilst¨ uck des Randes ΓD die Randbedingung u = 0 gestellt wird, der restliche Rand ΓN = ∂Ω \ ΓD 1,2 (Ω), der in Abschnitt 6.7 als bleibt frei. Als Grundraum w¨ ahlen wir H0,Γ D ∞ 1,2 Abschluß von C0,ΓD (Ω) in H (Ω) definiert ist. Setzen wir nun noch voraus, 1,2 1,2 , (D·, D·)) ein die Poincar´e-Ungleichung 6.22 gilt, so ist (H0,Γ daß in H0,Γ D D 1,2 mit Hilbert-Raum. Die zugeh¨orige schwache L¨ osung u ∈ H0,Γ D 1,2 ∀v ∈ H0,Γ D

(Du, Dv) = (f, v)

(7.3)

ist nach dem Rieszschen Darstellungssatz eindeutig bestimmt. Wir nehmen an, daß diese L¨osung auch im Raum C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) liegt. Testen von (7.3) mit φ ∈ C0∞ liefert wieder −∆u = f in Ω. Nun testen wir (7.3) ein zweites ∞ und erhalten nach partieller Integration Mal mit φ ∈ C0,Γ D 

Ω

f φ dx =



Ω

DuDφ dx = −



∆uφ +

Ω



νDuφ dx, ∂Ω

wobei ν = ν(x), x ∈ ∂Ω, den nach außen gerichteten Normaleneinheitsvektor bezeichnet. Wegen −∆u = f gilt daher  ∞ νDuφ dx = 0 ∀φ ∈ C0,Γ . D ∂Ω

Aus einer Variante des Fundamentallemmas der Variationsrechnung folgt auf glatten Teilst¨ ucken von ΓN die nat¨ urliche Randbedingung Dν u = 0. Im Gegensatz zur erzwungenen“ Randbedingung auf ΓD ist die nat¨ urliche Rand” bedingung implizit in der schwachen Formulierung enthalten und kann nur unter zus¨atzlichen Voraussetzungen (u ∈ C 1 (Ω), ΓN glatt) in starker Form geschrieben werden. (7.3) ist die schwache Form des gemischten Randwertproblems der Poisson-Gleichung −∆u = f in Ω,

u = 0 auf ΓD ,

Dν u = 0 auf ΓN .

Man bezeichnet das erste Randwertproblem auch als Dirichlet-Problem, ΓD entsprechend als Dirichlet-Rand, das zweite Randwertproblem (ΓN = ∂Ω) heißt auch Neumann-Problem, ΓN demnach Neumann-Rand. Das schwache L¨ osungskonzept ist uns bereits in Satz 6.30 begegnet. F¨ ur m = 1 wird jedes f ∈ H −1,2 (Ω) dargestellt durch u ∈ H01,2 (Ω) mit (Du, Dv) = f (v). Damit ist −∆ : H01,2 (Ω) → H −1,2 (Ω) ein isometrischer Isomorphismus, wenn man H01,2 mit der Norm D · 2 versieht.

134

7 Elliptische Differentialgleichungen

7.2 Existenz von L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen Wir betrachten den Differentialoperator Lu = −Di (aij Dj u) + bi Di u + cu

(7.4)

mit beschr¨ankten und meßbaren Koeffizientenfunktionen aij , bi , c. Hier und im folgenden verwenden wir die Summenkonvention, u ¨ ber zweifach auftretende kleine lateinische Indizes wird von 1 bis n summiert. Definition 7.1. L heißt gleichm¨aßig elliptisch, wenn es eine Konstante λ > 0 gibt mit λ|ξ|2 ≤ aij ξi ξj ∀ξ ∈ n . (7.5) Der Laplace-Operator −∆ ist offenbar gleichm¨ aßig elliptisch. Wir ordnen dem Problem eine Bilinearform zu durch    aij Dj uDi v + bi Di uv + cuv dx. a(u, v) = (7.6) Ω

1,2 Wie im vorigen Abschnitt ist ΓD , ΓN eine Partition des Randes und H0,Γ (Ω) D ∞ 1,2 der Abschluß von C0,Γ (Ω) in H (Ω). Es wird vorausgesetzt, daß die PoinD 1,2 (Ω) gilt. car´e-Ungleichung 6.22 in H0,Γ D 1,2 Gesucht ist u ∈ H0,ΓD (Ω) mit 1,2 a(u, v) = (f, v) ∀v ∈ H0,Γ (Ω). D

(7.7)

Bei einer klassischen L¨ osung und gen¨ ugend glatten Daten entspricht dies dem Randwertproblem Lu = f in Ω,

u = 0 auf ΓD ,

νi aij Dj u = 0 auf ΓN .

Es hat sich aber eingeb¨ urgert, auch im Fall unstetiger aij die Gleichung in dieser Form zu schreiben, manchmal mit dem Zusatz in schwacher Form“. ” Wir wollen (7.7) mit Hilfe des Satzes von Lax-Milgram 2.29, Anmerkung 1,2 (Ω), 2.30(i), l¨osen und setzen daher in der abstrakten Theorie X = H0,Γ D 1,2 versehen mit dem Skalarprodukt von H (Ω), (u, v)1 = (u, v) + (Du, Dv), sowie f (v) = (f, v). Um die Voraussetzungen des Satzes von Lax-Milgram zu erf¨ ullen, ist folgendes zu zeigen: 1,2 1. (f, ·) ist ein stetiges lineares Funktional auf H0,Γ (Ω), D 2. Die Bilinearform a(·, ·) ist beschr¨ankt und koerziv, d.h. es gibt positive Konstanten cb , ce mit

7.2 Existenz von L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen

|a(u, v)| ≤ cb u1,2 v1,2

135

1,2 ∀u, v ∈ H0,Γ (Ω), D

1,2 (Ω). ce u21,2 ≤ a(u, u) ∀u ∈ H0,Γ D

(f, ·) ist f¨ ur f ∈ L2 (Ω) ein stetiges lineares Funktional wegen der CauchyUngleichung |(f, v)| ≤ f 2 v2 ≤ f 2 v1,2 . Die Beschr¨anktheit der Bilinearform a(·, ·) folgt aus der Beschr¨ anktheit der Koeffizientenfunktionen,    |a(u, v)| ≤ |aij Dj uDi v| + |bi Di uv| + |cuv| dx Ω

≤ n2 max aij ∞ Du2 Dv2 + n max bi ∞ Du2 v2 + c∞ u2 v2 i,j≤n

i≤n

≤ c u1,2 v1,2 . Offenbar k¨onnen die Bedingungen an bi , c noch abgeschw¨ acht werden, wenn man die Sobolev-Ungleichung, Satz 6.12, f¨ ur u und v anwendet (siehe Aufgabe 7.4). Zum Nachweis der Koerzivit¨ at der Form a(·, ·) setzen wir in der Definition der Elliptizit¨at ξ = Du und erhalten nach Integration  2 λDu2 ≤ aij Dj uDi u dx. (7.8) Ω

Nach den bisherigen Voraussetzungen ist aij Dj uDi v der einzige definite“ ” Term der Differentialgleichung. Der Nachweis der Koerzivit¨ at kann nur gelingen, wenn die Koeffizientenfunktionen bi , c gen¨ ugend klein sind oder eine Vorzeichenbedingung erf¨ ullen. Mit (7.8) und der Poincar´e-Ungleichung 6.22 erhalten wir bei kleinen Koeffizienten    bi Di uu + cu2 dx a(u, u) ≥ λDu22 + Ω

≥ λDu22 − n max bi ∞ Du2 u2 − c∞ u22 i≤n

≥ λDu22 − ncP max bi ∞ Du22 − c2P c∞ Du22 . i≤n

Wenn also ncP max bi ∞ + c2P c∞ < λ, i≤n

(7.9)

so ist die Form a(·, ·) koerziv. Statt (7.9) kann man auch die Bedingung    1 1,1 bi Di v + cv dx ≥ 0 f¨ ur alle v ∈ H0,Γ (Ω) mit v ≥ 0, (7.10) D Ω 2

136

7 Elliptische Differentialgleichungen

verwenden. Im Fall ΓD = ∂Ω und glatten bi ist dies ¨ aquivalent zu − 21 Di bi +c ≥ 0. Es gilt dann    1 a(u, u) ≥ λDu22 + bi Di (u)2 + cu2 dx ≥ λDu22 . 2 Ω Insgesamt haben wir bewiesen: 1,2 Satz 7.2. In H0,Γ (Ω) sei die Poincar´e-Ungleichung 6.22 erf¨ ullt. Ferner sei D 2 f ∈ L (Ω) und der Operator L gleichm¨aßig elliptisch mit beschr¨ankten Koeffizienten. Ist eine der Bedingungen (7.9) oder (7.10) erf¨ ullt, so besitzt die schwache Formulierung (7.7) genau eine L¨osung.

Nat¨ urlich kann man im Falle der Bedingung (7.9) sorgf¨ altiger absch¨ atzen, ebenso kann (7.10) abgeschw¨ acht werden, aber eine Bedingung an c ist wirklich erforderlich, wie schon der eindimensionale Fall −u′′ − u = 0 in (0, π), u(0) = u(π) = 0, mit L¨ osung u(x) = c sin x zeigt. Dagegen wird eine Kleinheitsbedingung an bi oder eine Vorzeichenbedingung an Di bi zwar in vielen Arbeiten verlangt, sie ist aber bei glatten Daten unn¨ otig, wie sp¨ ater in Beispiel 8.38 gezeigt wird. Im Spezialfall bi = 0, aij = aji und c ≥ 0 kann man den Existenzbeweis auch mit dem Rieszschen Darstellungssatz f¨ uhren, denn dann gilt a(u, v) = 1,2 (Ω). a(v, u) und a(·, ·) ist ein zu (·, ·)1 ¨aquivalentes Skalarprodukt auf H0,Γ D Die L¨osung l¨aßt sich hier variationell charakterisieren durch    1,2 aij Dj vDi v + cv 2 − 2f v dx → Min in H0,Γ (Ω). F (v) = D Ω

7.3 Die Differenzenquotienten-Technik In diesem Abschnitt studieren wir die schwachen L¨ osungen u ∈ H01,2 (Ω) von ∀v ∈ H01,2 (Ω)

a(u, v) = (f, v)

(7.11)

mit der Bilinearform a(·, ·) wie in (7.6). Satz 7.3 (Innere Regularit¨ at). Der Operator L in (7.4) sei gleichm¨aßig elliptisch und f¨ ur die Koeffizienten gelte aij ∈ C 1 (Ω), bi , c ∈ L∞ (Ω). Ferner sei u ∈ H01,2 (Ω) eine L¨osung von (7.11). Dann ist u ∈ H 2,2 (Ω0 ) f¨ ur jedes Ω0 ⊂⊂ Ω und   (7.12) u2,2;Ω0 ≤ c f 2;Ω + u1,2;Ω .

Beweis. F¨ ur den Hauptteil von a

a0 (u, v) = gilt



Ω

aij Dj uDi v dx

7.3 Die Differenzenquotienten-Technik

a0 (u, v) = (g, v) ∀v ∈ H01,2 (Ω)

137

(7.13)

mit g = f − bi Di u − cu ∈ L2 (Ω),

g2;Ω ≤ f 2;Ω + cu1,2;Ω .

Wir verwenden den vorw¨ arts- und r¨ uckw¨ artsgenommenen Differenzenquour eine Abschneidefunktion τ ∈ C0∞ (Ω) tienten Dk+h , Dk−h aus Abschnitt 5.5. F¨ mit τ = 1 in Ω0 , Ω1 = supp(τ ) ⊂⊂ Ω, setzen wir v = Dk−h (τ 2 Dk+h u) ∈ H01,2 (Ω) in (7.13) ein und erhalten mit partieller Summation, Lemma 5.21,  Dk+h (aij Dj u)Di (τ 2 Dk+h u) dx = −(g, Dk−h (τ 2 Dk+h u)). Ω

Mit der Produktregel und ihrem diskreten Gegenst¨ uck, Dk+h (vw)(x) = v(x + hek )Dk+h w(x) + Dk+h v(x)w(x), das man leicht nachrechnet, sowie aij 1,∞;Ω1 ≤ c folgt  aij (x + hek )Dk+h Dj uτ 2 Dk+h Di u dx Ω

    = − g, Dk−h (τ 2 Dk+h u) − Dk+ aij Dj u, Di (τ 2 Dk+h u)   − 2 aij (· + hek )Dk+h Dj uτ, Di τ Dk+h u

≤ g2 Dk−h (τ 2 Dk+h u)2 + cDu2 D(τ 2 Dk+h u)2 + cτ Dk+h Du2 Dτ Dk+h u2 . Mit Dk±h v2;Ω1 ≤ Dk v2 aus Lemma 5.22(a) sowie Dτ ∞ ≤ c, τ ≤ 1 und der Youngschen Ungleichung erhalten wir  aij (x + hek )Dk+h Dj uτ 2 Dk+h Di u dx Ω

  ≤ g2 Dk (τ 2 Dk+h u)2 + cDu2 Dk u2 + τ DDk+h u2 + cτ Dk+h Du2 Dk u2

 λ  ≤ c(m) f 22 + u21,2 + τ DDk+h u22 . 2

Auf die linke Seite wird die gleichm¨ aßige Elliptizit¨ at mit ξi = Dk+h Di u angewendet,    λ τ 2 |Dk+h Du|2 dx ≤ c f 22 + u21,2 . 2 Ω Die Behauptung folgt aus Satz 5.22(b).

⊔ ⊓

138

7 Elliptische Differentialgleichungen

Satz 7.3 gilt zwar f¨ ur beliebiges Ω0 ⊂⊂ Ω, aber die Konstante c in (7.12) h¨angt vom Abstand zwischen Ω0 und dem Rande von Ω ab. Der Satz stellt also nur ein lokales Resultat dar. Um Regularit¨at bis zum Rande zu beweisen, wird ∂Ω ∈ C 2 vorausgesetzt. Die Beweisidee ist dann, den Rand lokal gerade zu biegen und anschließend ¨ahnlich zu verfahren wie beim Beweis der inneren Regularit¨ at. Als kleine Vor¨ uberlegung weisen wir die Elliptizit¨at der transformierten Gleichung nach. Seien U, V Gebiete und sei g : U → V ein C 2 -Diffeomorphismus, also g ∈ C 2 (U )n mit g bijektiv und det Dg = 0 in U . F¨ ur u ∈ H 1,2 (U ) setzen wir u(x) = u ˜(g(x)) und erhalten nach der Kettenregel mit y = g(x) und gk,i = Dxi gk , ˜(y)gk,i (x). Dxi u(x) = Dyk u Die Terme niederer Ordnung gehen daher in Terme niederer Ordnung u ¨ber. Der Hauptteil der Bilinearform transformiert sich mit   aij Dj uDi v dx = aij Dl u ˜gl,j Dk v˜gk,i | det Dg −1 | dy, U

daher mit

V

a ˜lk = aij gk,i gl,j | det Dg −1 | ˜ 2, a ˜lk ξl ξk ≥ λ | det Dg −1 | |Dg T ξ|2 ≥ λ|ξ|

da Dg gleichm¨aßig regul¨ ar ist. Halten wir also fest: Ist g ∈ C 2 (U )n ein Diffeomorphismus, so transformiert sich ein elliptischer Operator zweiter Ordnung in einen elliptischen Operator zweiter Ordnung. Ist aij ∈ C 1 , so ist auch a ˜kl ∈ C 1 . Satz 7.4 (Regularit¨ at bis zum Rande). Seien die Voraussetzungen von Satz 7.3 erf¨ ullt. Zus¨atzlich sei aij ∈ C 1 (Ω) und ∂Ω ∈ C 2 . Dann ist jede schwache L¨osung u von (7.11) im Raum H 2,2 (Ω) mit   u2,2;Ω ≤ c f 2;Ω + u1,2;Ω .

Beweis. Sei U eine der Mengen U1 , . . . , UJ aus der Definition des C 2 -Randes wie in Satz 6.3(b). Dann gibt es einen Diffeomorphismus g : U → B1 (0) mit g ∈ C 2 (U )n und g|U∩Ω = B1+ (0), wobei B1+ (0) die obere Halbkugel von B1 (0) bezeichnet. Die bez¨ uglich g transformierte L¨ osung u ˜(y) = u(g −1 (y)) und der ˜ transformierte Operator L sind auf der oberen Halbkugel definiert. F¨ ur beliebiges 0 < α < 1 gibt es eine Abschneidefunktion τ bez¨ uglich (Bα (0), B1 (0)). Da u ˜ = 0 f¨ ur yn = 0, k¨ onnen wir einen Differenzenquotienten der Form v˜ = Dk− (τ 2 Dk+h u ˜) ∈ H01,2 (B1+ (0)) f¨ ur k = n in die schwache Formulierung einsetzen. Genauso wie im Beweis der inneren Regularit¨ at kontrollieren wir 2 damit alle Ableitungen Dkl u ˜ f¨ ur (k, l) = (n, n). Aufgrund der Elliptizit¨ at gilt ˜ so daß a ˜nn ≥ λ,

7.3 Die Differenzenquotienten-Technik 2 Dnn u ˜=−

1 

a ˜nn



(k,l)=(n,n)

2 a ˜kl Dkl u ˜ + a′ (˜ u, D˜ u)



139

∈ L2 (B1+ (0)),

wobei a′ die Terme niederer Ordnung enth¨ alt. Damit ist u ˜ ∈ H 2,2 (Bα+ (0)) und 2,2 damit auch u ∈ H (Ω) gezeigt. ⊔ ⊓ Mit dieser Technik lassen sich unter entsprechenden Voraussetzungen nichtlineare Gleichungen, Probleme mit Nebenbedingungen, Systeme und Gleichungen h¨oherer Ordnung behandeln. Vor allem der letzte Beweisschritt, also die 2 Aufl¨osung der Differentialgleichung nach Dnn u, wird in vielen F¨ allen scheitern. Man kann diesen Schritt h¨ aufig durch ein Fortsetzungsargument ersetzen, wie es im Falle von Gleichungen h¨oherer Ordnung in [Agm65] dargestellt ist. Mit gleichem Beweis erhalten wir f¨ ur ∂Ω ∈ C m , aij ∈ C m−1 (Ω), bi , c ∈ m−2 m,2 (Ω), daß u ∈ H (Ω) mit C   um,2 ≤ c f m−2,2 + u1,2 , m ≥ 2.

Die Voraussetzungen an die Koeffizienten k¨ onnen noch etwas abgeschw¨ acht werden. Aufgrund des Einbettungssatzes 6.26 sind die L¨ osungen elliptischer Gleichungen bei gen¨ ugend glatten Daten auch klassische L¨ osungen, bei Daten in C ∞ ist auch die L¨ osung in C ∞ . Aus dem Beweis von Satz 7.4 geht hervor, daß Regularit¨ at eine lokale Eigenschaft ist. Ist ein Teilst¨ uck Γ des Randes glatt, so ist die L¨ osung in ar. Umgebung eines jeden Γ0 ⊂⊂ Γ regul¨ at geBeim reinen Neumann-Problem ΓN = ∂Ω wird die H 2,2 -Regularit¨ nauso bewiesen. Dagegen sind beim gemischten Randwertproblem auch bei glatten R¨andern keine L¨ osungen in H 2,2 (Ω) zu erwarten. Als Beispiel betrachten wir die Funktion u(r, φ) = r 1/2 cos(φ/2) auf der oberen Halbebene. 2 Wegen ∆ = r −1 Dr (rDr ) + r −2 Dφφ gilt ∆u = 0. Im Nullpunkt wechselt die Randbedingung von Dirichlet (x1 < 0) zu Neumann (x1 > 0).

Beispiel 7.5. Seien Ω0 , Ω glatt berandete Gebiete mit Ω0 ⊂⊂ Ω und sei Ω1 = Ω \ Ω 0 . Wir betrachten −div (a(x)Du) = f in schwacher Form mit a(x) = a0 in Ω0 und a(x) = a1 in Ω1 mit positiven Konstanten a0 , a1 . Obwohl der Koeffizient a unstetig ist, erh¨ alt man mit der DifferenzenquotientenTechnik ein vollst¨ andiges Bild von den Differenzierbarkeitseigenschaften der L¨osung. Zun¨achst beweist man die innere Regularit¨ at in Ω0 und Ω1 . Ferner l¨aßt sich der innere Rand ∂Ω0 genauso behandeln wie im Nachweis der Rand regularit¨at, dies liefert uΩ ∈ H m,2 (Ω0 ), uΩ ∈ H m,2 (Ω1 ), wobei m von 0 1 den abh¨angt. Sei m so groß, daß nach dem Einbettungssatz 6.26 auch  Daten  uΩ0 ∈ C 1 (Ω 0 ), uΩ1 ∈ C 1 (Ω 1 ) erf¨ ullt ist. Dann folgt f¨ ur φ ∈ C0∞ (Ω) aus der schwachen Gleichung mit partieller Integration

140

7 Elliptische Differentialgleichungen

(f, φ) =





a0 DuDφ dx +

Ω0

=−



a1 DuDφ dx

Ω1

a∆uφ dx +

Ω



a0 νDuφ dσ +

∂Ω0



a1 νDuφ dσ.

∂Ω1

Wegen −a∆u = f und ν(∂Ω0 ) = −ν(∂Ω1 ) auf ∂Ω0 folgt hieraus wie bei der Herleitung der nat¨ urlichen Randbedingung die Sprungbedingung a0 Dν u0 = a1 Dν u1 auf ∂Ω0 , wobei mit Dui die Randwerte von Du auf Ωi bezeichnet werden. Man beachte, daß die Glattheit des inneren Randes wesentlich f¨ ur die ganze Argumentation ist. Besitzt er beispielsweise Knicke, so versagt die Technik und es l¨ aßt sich  ullt ist. zeigen, daß schon uΩ ∈ H 2,2 (Ω0 ) i.a. nicht mehr erf¨ 0

7.4 Regularit¨ at auf konvexen Gebieten Wir betrachten die Gleichung Lu = −Di (aDi u) = f in Ω,

u = 0 auf ∂Ω.

(7.14)

L sei gleichm¨aßig elliptisch, also 0 < a0 ≤ a(x) ≤ a1

in Ω.

Das Ziel dieses Abschnitts ist der Beweis von Satz 7.6. Sei Ω konvex, a ∈ H 1,p (Ω) mit p > n und f ∈ L2 (Ω). Dann ist die schwache L¨osung u von (7.14) im Raum H 2,2 (Ω) mit D2 u2;Ω ≤ cf 2;Ω

mit c = 1 f¨ ur L = −∆.

F¨ ur L = −∆ h¨angt die Konstante c von a0 , a1,p;Ω , µ(Ω), aber nicht von Ω ab. Da Regularit¨at eine lokale Eigenschaft ist, liegt die L¨ osung von (7.14) im uckweise glatt ist und keine einspringenden Raum H 2,2 , sofern das Gebiet st¨ Ecken oder Kanten besitzt. Satz 7.6 l¨aßt sich auf den Operator L in (7.4) verallgemeinern. F¨ ur aij ∈ C 1 (Ω) gilt auf konvexen Gebieten f¨ ur schwache L¨ osungen die Absch¨ atzung D2 u2;Ω ≤ c(Lu2;Ω + u1,2;Ω ). Der Beweis ist aufwendig, siehe [Lad85, S. 64ff.]. Der Beweis von Satz 7.6 beruht auf einer Absch¨ atzung f¨ ur den LaplaceOperator, die unabh¨ angig voneinander in [HS67], [Kad64] entdeckt wurde:

7.4 Regularit¨ at auf konvexen Gebieten

141

Lemma 7.7. Sei Ω ein konvexes Gebiet von der Klasse C 2 . Dann gilt f¨ ur alle u ∈ H 3,2 (Ω) ∩ H01,2 (Ω) D2 u2;Ω ≤ ∆u2;Ω .

(7.15)

Beweis. Es gilt (Summenkonvention!) 2 2 2 2 2 2 Dii uDjj u − Dij uDij u = Di (Di uDjj u − Dj uDij u),

daher 

Ω

  |∆u|2 − |D2 u|2 dx =



∂Ω



 1 Dν u∆u − Dν |Du|2 dσ. 2

(7.16)

Nach Verschiebung und Rotation k¨ onnen wir ein Teilst¨ uck des Randes in der Form yn = h(y ′ ), y = (y ′ , yn ), |y ′ | < R,

darstellen, wobei h ∈ C 2 und h konkav ist mit h(0) = Dh(0) = 0. Wegen u = 0 auf ∂Ω erhalten wir mit impliziter Differentiation der Gleichung u(y ′ , h(y ′ )) = 0 f¨ ur i, j = 1, . . . , n − 1

2 2 2 2 2 Di u+Dn uDi h = 0, Dij u+Din uDj h+Dn uDij h+Di h(Dnj u+Dnn uDj h) = 0.

Wegen Di h(0) = 0 folgt aus der ersten Gleichung Di u(0, 0) = 0 und damit aus der zweiten 2 2 u(0, 0) = −Dn u(0, 0)Dij h(0). Dij F¨ ur den Integranden auf der rechten Seite von (7.16) gilt daher im Punkt (0, 0) 2 2 u = Dn u u − Di uDin Dn uDii

weil h konkav ist (siehe Satz A.3).

n−1  i=1

2 u = −(Dn u)2 Dii

n−1  i=1

2 h ≥ 0, Dii

⊔ ⊓

Zum Beweis von Satz 7.6 approximieren wir Ω durch konvexe, glatt berandete Gebiete {Ωk } mit Ωk ⊂ Ωk+1 ⊂ Ω. Man kann solche Gebiete konstruieren, indem man den Nullpunkt innerhalb von Ω legt und eine Funktion definiert durch φ(0) = 0 und φ(x) = λ > 0 mit λ−1 x ∈ ∂Ω f¨ ur φ: n→ x = 0. Diese Funktion ist konvex mit Ω = {x : φ(x) ≤ 1}. Sei ε > 0. Mit φε = φ + ε gilt f¨ ur gen¨ ugend kleines η, daß Ωε,η = {x : Jη ∗ φε ≤ 1} ⊂ Ω. Die Konvexit¨at von Ωε,η folgt aus (t ∈ [0, 1])  Jη ∗ φε (tx1 + (1 − t) x2 ) = Jη (z)φε (t(x1 − z) + (1 − t)(x2 − z)) dz ≤t



Jη (z)φε (x1 − z) dz + (1 − t)



= tJη ∗ φε (x1 ) + (1 − t)Jη ∗ φε (x2 ).

Jη (z)φε (x2 − z) dz

142

7 Elliptische Differentialgleichungen

Sei zun¨achst a ∈ C 2 (Ω) und f ∈ H 1,2 (Ω). Sei uk ∈ H01,2 (Ωk ) die L¨ osung von   f v dx ∀v ∈ H01,2 (Ωk ). aDuk Dv dx = Ωk

Ωk

Nach Satz 7.2 ist diese L¨ osung eindeutig bestimmt mit Duk 2;Ωk ≤ cP

a1 f 2;Ωk ≤ c(a0 , a1 )f 2;Ω , a0

(7.17)

wobei c(a0 , a1 ) nach der Poincar´e-Ungleichung 6.14 auch von µ(Ωk ) ≤ µ(Ω) abh¨angt. Aufgrund der glatten Daten gilt nach dem letzten Abschnitt uk ∈ H 3,2 (Ωk ). Wir schreiben daher −∆uk =

1 (DaDuk + f ). a

Dies wird quadriert und integriert. Aus Lemma 7.7 folgt dann  1 1 a1,p;Ω Duk q;Ωk + f 2;Ω . D2 uk 2;Ωk ≤  (DaDuk + f )2;Ωk ≤ a a0

Mit Satz 6.20 gilt Duk q ≤ εD2 uk 2 + c(ε)Duk 2 , wegen (7.17) daher D2 uk 2;Ωk ≤ c(a0 , a1,p;Ω )f 2;Ω .

(7.18)

Die Funktion uk wird durch Null zur Funktion u˜k fortgesetzt. Da C0∞ (Ωk ) ⊂ C0∞ (Ω), gilt u ˜k ∈ H01,2 (Ω) mit D˜ uk 2;Ω = Duk 2;Ωk . Wegen (7.17) und der Poincar´e-Ungleichung ist ˜ uk 1,2;Ω beschr¨ ankt und besitzt eine in H01,2 (Ω) schwach konvergente Teilfolge, die genauso bezeichnet wird, also u ˜k ⇁ u ∈ ur gen¨ ugend große k H01,2 (Ω). F¨ ur festes φ ∈ C0∞ (Ω) gilt f¨   (f, φ) = aD˜ uk Dφ dx → aDuDφ dx. Ω

Ω

Damit ist u schwache L¨osung von Lu = f . Nach (7.18) ist auch uk 2,2;Ωl f¨ ur k ≥ l beschr¨ ankt. Daher ist wieder f¨ ur eine Teilfolge uk ⇁ u′ in H 2,2 (Ω l ) erf¨ ullt. Aus der Definition der schwachen Konvergenz erschließt man u′ = uΩ . Wegen D 2 uk ⇁ D2 u in L2 (Ωl ), folgt aus der schwachen Unterhalbl stetigkeit der Norm D2 u2;Ωl ≤ lim inf D2 uk 2;Ωl ≤ c(a0 , a1,p;Ω )f 2;Ω . k→∞

Damit ist auchD 2 u2;Ω beschr¨ ankt. Nun zeigen wir die Behauptung f¨ ur a ∈ H 1,p (Ω) und f ∈ L2 (Ω). Seien 1,p ∞ ak , fk ∈ C (Ω) mit ak → a in H (Ω) und fk → f in L2 (Ω). Wegen ak → a in L∞ (Ω) sind die L¨ osungen uk ∈ H01,2 (Ω) von   ak Duk Dφ dx = fk φ dx ∀φ ∈ H01,2 (Ω) Ω

Ω

7.5 Maximumprinzipien

143

in H 1,2 (Ω) beschr¨ ankt. Mit uk ⇁ u in H 1,2 (Ω) f¨ ur eine Teilfolge k¨ onnen wir in dieser Gleichung zum Grenzwert k → ∞ u ¨ bergehen. Da die aangen, ist D 2 uk 2;Ω priori-Absch¨atzungen nur von a0 , a1,p und f 2 abh¨ gleichm¨aßig beschr¨ ankt. Dies impliziert die Beschr¨ anktheit von D 2 u2;Ω und damit die Behauptung.

7.5 Maximumprinzipien Wir kehren zum Operator (7.4) mit Bilinearform    a(u, v) = aij Dj uDi v + bi Di uv + cuv dx.

(7.19)

Ω

zur¨ uck.

Satz 7.8 (Inversmonotonie f¨ ur schwache L¨ osungen). Sei ΓD ⊂ ∂Ω. Ferner sei f¨ ur die Bilinearform in (7.19) die Bedingung a(u, u) ≥ µu21,2 , 1,2 (Ω) erf¨ ullt (siehe Satz 7.2). Wenn f¨ ur u ∈ H 1,2 (Ω) µ > 0, f¨ ur alle u ∈ H0,Γ D gilt u ≥ 0 in ΓD sowie a(u, v) ≥ 0

1,2 f¨ ur alle v ∈ H0,Γ (Ω) mit v ≥ 0 in Ω, D

(7.20)

so folgt u ≥ 0 in Ω. Anmerkungen 7.9 (i) Man schreibt daf¨ ur salopp Lu ≥ 0 in Ω, u ≥ 0 auf ΓD

⇒

u ≥ 0 in Ω.

(ii) Bei allen S¨atzen dieses Typs erh¨ alt man eine Aussage f¨ ur Lu ≤ 0, wenn man u durch −u ersetzt, in diesem Fall Lu ≤ 0 in Ω, u ≤ 0 auf ΓD

⇒

u ≤ 0 in Ω.

Beweis. Sei u− = min{u, 0} der negative Anteil von u. Nach Satz 5.20 ist 1,2 (Ω) mit Du− = 0 f¨ ur {x : u(x) ≥ 0}. Wir setzen daher dann u− ∈ H0,Γ D v = −u− in a(u, v) ≥ 0 ein,    0 ≥ a(u, u− ) = aij Dj uDi u− + bi Di uu− + cuu− dx Ω

=



Ω

  aij Dj u− Di u− + bi Di u− u− + cu− u− dx = a(u− , u− ) ≥ µu− 21,2 ,

⊔ ⊓

daher u− = 0 in Ω.

Satz 7.10 (Maximumprinzip f¨ ur schwache L¨ osungen). Zus¨atzlich zu den Voraussetzungen von Satz 7.8 sei c = 0 erf¨ ullt. Gilt f¨ ur u ∈ H 1,2 (Ω) die Bedingung (7.20), so inf u ≥ inf u. Ω

ΓD

144

7 Elliptische Differentialgleichungen

Beweis. Man verwende im Beweis des letzten Satzes die Funktion v = −(u − inf ΓD u)− . ⊔ ⊓ Wir gehen zu klassischen L¨ osungen u ¨ ber und betrachten den Operator 2 u + bi (x)Di u + c(x)u, Lu = −aij (x)Dij

(7.21)

unter der Voraussetzung aij = aji , was wegen des Satzes von Schwarz keine Einschr¨ankung bedeutet. Wie bereits in Abschnitt 7.1 ausgef¨ uhrt wurde, gibt die Differentialgleichung keine Hinweise auf die nat¨ urliche Randbedingung, so daß hier nur das Dirichlet-Problem ΓD = ∂Ω gestellt wird. Definition 7.11. L heißt elliptisch in x ∈ Ω, wenn es ein λ(x) > 0 gibt mit λ(x)|ξ|2 ≤ aij (x)ξi ξj

∀ξ ∈

n

,

Ist λ(x) > 0 f¨ ur alle x ∈ Ω, so heißt L elliptisch in Ω. Anmerkung 7.12. Man bezeichnet L in (7.4) als Operator in Divergenzform, ahrendweil sich der Hauptteil als div (ADu) schreiben l¨ aßt mit A = (aij ), w¨ dessen L in (7.21) in expliziter Form vorliegt. Beide Formen sind nur bei onnen die Voraussetzungen f¨ ur das glatten aij ¨aquivalent, aber auch dann k¨ Maximumprinzip f¨ ur schwache L¨ osungen nicht mit denen f¨ ur das folgende klassische Maximumprinzip in Einklang gebracht werden. Satz 7.13 (Maximumprinzip f¨ ur klassische L¨ osungen). Der Operator L in (7.21) sei elliptisch in Ω mit c = 0. Ferner gebe es eine Konstante b0 mit |bj (x)| ≤ b0 , f¨ ur ein j ∈ {1, . . . , n}, x ∈ Ω. (7.22) λ(x) Dann wird f¨ ur u ∈ C 2 (Ω)∩C 0 (Ω) mit Lu ≥ 0

in Ω

das Minimum auf ∂Ω angenommen, also inf u = min u. Ω

∂Ω

Beweis. Sei zun¨achst Lu > 0. Angenommen, u besitzt ein Minimum in x0 ∈ Ω. Dann gilt Di u(x0 ) = 0 und die Hesse-Matrix im Punkt x0 2 H = (Dij u(x0 ))i,j=1,...,n

ist positiv-semidefinit. Mit A = (aij (x0 ))i,j=1,...,n gilt 2 u(x0 ). spur (AH)) = spur (aij hjk )i,k=1,...,n = aij hji = aij (x0 )Dij

Da A positiv-definit und H positiv-semidefinit ist, ist −AH negativsemidefinit und

7.5 Maximumprinzipien

145

2 −aij (x0 )Dij u(x0 ) = spur (−AH) ≤ 0.

Daher gilt Lu(x0 ) ≤ 0, was einen Widerspruch zu Lu > 0 in Ω bedeutet. Sei nun Lu ≥ 0. Dann ist wegen ajj ≥ λ, |bj | ≤ b0 λ, L(−eγxj ) = (γ 2 ajj − γbj )eγxj ≥ (λγ 2 − b0 λγ)eγxj > 0 f¨ ur γ gen¨ ugend groß. Damit ist L(u − εeγxj ) > 0 in Ω und nach dem 1. Schritt inf (u − εeγxj ) = min(u − εeγxj ) Ω

∂Ω

∀ε > 0.

Die Behauptung folgt durch Grenz¨ ubergang ε → 0.

⊔ ⊓

Korollar 7.14. Sei L elliptisch in Ω und die Bedingung (7.22) sei erf¨ ullt. Ferner sei c ≥ 0. Dann gilt f¨ ur u ∈ C 2 (Ω)∩C 0 (Ω) mit Lu ≥ 0   inf u ≥ min min u, 0 . Ω

∂Ω

Beweis. Aus Lu ≥ 0 folgt

2 −aij Dij u + bi Di u ≥ −cu ≥ 0 in Ω − = {x ∈ Ω : u(x) < 0}.

Damit kann das Maximumprinzip in Ω − angewendet werden.

⊔ ⊓

Korollar 7.15 (Inversmonotonie f¨ ur klassische L¨ osungen). Seien die Voraussetzungen des letzten Korollars erf¨ ullt. Dann gilt f¨ ur u ∈ C 2 (Ω)∩C 0 (Ω) Lu ≥ 0 in Ω, u ≥ 0 auf ∂Ω

⇒

u ≥ 0 in Ω.

Als Beispiel, daß eine Bedingung an die Koeffizienten niederer Ordnung im schwachen wie im klassischen Maximumprinzip notwendig ist, kann wieder Lu = −u′′ − u = 0 in (0, π) mit L¨ osung u = sin x genommen werden. Das klassische Maximumprinzip ist bei unbeschr¨ anktem Grundgebiet i.a. nicht erf¨ ullt, w¨ ahrend der Beweis des schwachen Maximumprinzips durchgeht. Die Inversmonotonie, ob klassisch oder schwach, sichert die Eindeutigkeit f¨ ur das jeweilige L¨ osungskonzept, denn wenn Lu1 = Lu2 = f, so gilt L(u1 − u2 ) = 0 und damit u1 = u2 . Dar¨ uberhinaus folgt aus der schwachen Inversmonotonie die Existenz einer L¨ osung, was in Abschnitt 8.36 ausgef¨ uhrt wird. Beispiel 7.16. Ausnahmsweise soll hier ein etwas aufwendigeres Beispiel besprochen werden, um die Kraft des scheinbar harmlosen Maximumprinzips zu aren Gases illustrieren. u = (u1 , u2 , u3 ) sei die Geschwindigkeit eines station¨ mit Dichte ρ. Wir nehmen an, daß f¨ ur das Gas keine Quellen und Senken vorliegen, es gilt dann die Masseerhaltung  ν · (ρu) dσ = 0 ∀Ω0 ⊂ Ω. ∂Ω0

146

7 Elliptische Differentialgleichungen

Mit dem Divergenztheorem folgt hieraus div (ρu) = 0 in Ω. F¨ ur die Temperatur T in diesem Gas gilt     −div k(T )DT + div ρucp (T )T = 0.

(7.23)

Diese Differentialgleichung setzt sich zusammen aus einem Diffusionsterm mit W¨armeleitf¨ahigkeit k(T ) > 0 und einem Transportterm mit der spezifischen W¨ arme cp (T ) ≥ 0. Es gilt nun inf T ≤ T ≤ sup T, ∂Ω

∂Ω

denn die Gleichung (7.23) ergibt wegen div (ρu) = 0 −k(T )∆T − k ′ (T )|DT |2 + ρu · (c′p (T )T DT + cp (T )DT ) = 0. Mit a11 = a22 = k(T ) > 0, ′

bi = −k (T )Di T +

ρui (c′p (T )T

a12 = a21 = 0,

+ cp (T )), i = 1, 2, 3,

c = 0,

sind die Voraussetzungen des klassischen Maximumprinzips erf¨ ullt. Auf diese Weise wird u uft, ob das Modell sinnvoll gew¨ ahlt ist, denn wenn die Rei¨berpr¨ bung des Gases nicht ber¨ ucksichtigt wird, so wird die Temperatur nur durch Diffusion und Transport gesteuert, beides sollte keine Extrema im Inneren des Gebiets aufbauen. F¨ ur gleichm¨aßig elliptische Operatoren l¨aßt sich das Maximumprinzip noch versch¨arfen. Satz 7.17 (Starkes Maximumprinzip f¨ ur klassische L¨ osungen). Sei L ullt. in (7.21) gleichm¨aßig elliptisch mit c = 0. F¨ ur u ∈ C 2 (Ω) sei Lu ≥ 0 erf¨ Wenn u das Minimum im Inneren von Ω annimmt, so ist u konstant. ¨ Beweis. siehe Ubungsaufgabe 7.16.

⊔ ⊓

Man kann das starke Maximumprinzip so anwenden: Gilt Lu ≥ 0 in Ω, u = 0 auf ∂Ω und ist u = 0, so folgt u > 0 in Ω. Ist ein Operator inversmonoton, so gilt auch ein Vergleichsprinzip : Lu ≤ Lv in Ω, u ≤ v auf ΓD

⇒

u ≤ v in Ω.

Beispiel 7.18. Hier wollen wir das Verhalten der L¨ osungen von −∆u = f in Umgebung einer Ecke studieren. Wir nehmen an, ¨ unser Grundgebiet enthalte den Kegel mit Offnung 0 < ω ≤ 2π Ωω = {(r, φ) : 0 < r < 1, 0 < φ < ω}, wobei (r, φ) die Polarkoordinaten des 2 sind. Der Rand von Ωω setzt sich zusammen aus den Schenkeln Γs und dem Bogen Γb . Wir betrachten

Γs

Γb

ω Γs

7.6 Die Verfahren von Ritz und Galerkin

−∆u = 0 in Ωω ,

u = 0 auf Γs ,

u = g auf Γb ,

147

(7.24)

und setzen g als glatt auf Γb voraus mit g(0) = g(ω) = 0 Die Funktion π v(r, φ) = r π/ω sin φ ω erf¨ ullt −∆v = 0 in Ωω wegen (vergleiche Abschnitt A.6) 1 2 1 v. −∆v = − Dr (rDr v) − 2 Dφφ r r Ferner gilt v = 0 auf Γs . Da f¨ ur glattes g wegen g(0) = g(ω) = 0 |g(φ)| ≤ c sin

π φ ω

erf¨ ullt ist, k¨onnen wir ±cv als Vergleichsfunktion nehmen und erhalten, π

|u(r, φ)| ≤ cr ω sin

π φ ω

f¨ ur jede L¨osung u ∈ C 2 (Ωω ) ∩ C 0 (Ω ω ) von (7.24). Ist zus¨atzlich g > 0 auf Γb erf¨ ullt mit g ′ (0), g ′ (ω) = 0, so gilt f¨ ur gen¨ ugend kleines m > 0 π m sin φ ≤ g(φ), ω also π π mr π/ω sin φ ≤ u(r, φ) ≤ cr π/ω sin φ. ω ω In diesem Fall ist die L¨ osung nicht regul¨ ar, insbesondere u ∈ / C 1 (Ω ω ), falls ω > π. Ist Ωω Teil eines gr¨oßeren Gebiets Ω und gilt  −∆u ≥ 0 in Ω, so folgt aus dem starken Maximumprinzip bereits g = uΓ > 0 sowie g ′ (0), g ′ (ω) = 0 b (siehe Aufgabe 7.15). Nichtregul¨are L¨osungen sind bei einspringenden Ecken daher die Regel.

7.6 Die Verfahren von Ritz und Galerkin Auf einem Hilbert-Raum X mit Produkt a(·, ·) betrachten wir f¨ ur f ∈ X ′ F (v) =

1 a(v, v) − f (v) → Min in X. 2

(7.25)

Nach dem Rieszschen Darstellungssatz 2.25 besitzt dieses Problem eine eindeutig bestimmte L¨ osung u ∈ X, die außerdem die Variationsgleichung a(u, v) = f (v) l¨ost.

∀v ∈ X

(7.26)

148

7 Elliptische Differentialgleichungen

Um die Probleme (7.25),(7.26) mit einem Verfahren zu approximieren, setzen wir X als separablen Hilbert-Raum voraus. Dann gibt es endlich dimensionale Unterr¨ aume X1 , X2 , . . . ⊂ X mit dim Xk = k, die die folgende und Eigenschaft besitzen: Zu jedem v ∈ X und ε > 0 gibt es ein K ∈ wk ∈ Xk mit (7.27) v − wk X ≤ ε ∀k ≥ K. 

Es wird dabei nicht verlangt, daß es eine Inklusion der Form Xk ⊂ Xk+1 gibt. Die Ritz-Approximation von (7.25),(7.26) ist definiert durch: Gesucht ist Pk u ∈ Xk mit

a(Pk u, vk ) = f (vk )

f¨ ur alle vk ∈ Xk .

(7.28)

Aus der Differenz der Gleichungen (7.26) und (7.28) erhalten wir die Orthogonalit¨atsrelation a(u − Pk u, vk ) = 0 ∀vk ∈ Xk , was nichts anderes besagt als u−Pk u ⊥ Xk . Demnach ist Pk u die aus Satz 2.27 wohlbekannte orthogonale Projektion von u in den Raum Xk . Insbesondere ist Pk u die Bestapproximierende u − Pk uX = inf u − vk X , vk ∈Xk

(7.29)

was durch u−Pk u2X = a(u−Pk u, u−Pk u) = a(u−Pk u, u−vk ) ≤ u−Pk uX u−vk X bewiesen wird. Mit Bedingung (7.27) und Gleichung (7.29) folgt die Konvergenz des Ritzschen Verfahrens Pk u → u f¨ ur k → ∞. Ferner ist Pk u auch die L¨osung des Minimierungsproblems (7.25) in Xk , denn Xk ist ebenfalls Hilbert-Raum mit dem Skalarprodukt a(·, ·). F¨ ur die Berechnung der Pk u verwenden wir eine beliebige Basis {φi }i=1,...,k des Raums Xk . Mit Pk u = kj=1 xj φj und den Testfunktionen vk = φi in (7.28) erhalten wir k 

a(xj φj , φi ) = f (φi ),

i = 1, . . . , k,

j=1

was ¨aquivalent zur L¨osung des linearen Gleichungssystems Ax = b,

A = (a(φj , φi ))i,j=1,...,k ,

b = (f (φi ))i=1,...,k ,

ist. Wie in Beispiel 2.24 ist die Matrix A symmetrisch und positiv definit. Es d¨ urfte klar sein, daß das Ritzsche Verfahren mehr ein Schema als ein Verfahren ist, weil die Ansatzr¨ aume Xk nicht n¨aher spezifiziert sind. Ist a(·, ·) nur eine beschr¨ankte und koerzive Bilinearform auf X, so ist das Problem a(u, v) = f (v) ∀v ∈ X

7.7 Finite Elemente

149

nach dem Satz von Lax-Milgram 2.29 ebenfalls eindeutig l¨ osbar, allerdings gibt es keine variationelle Charakterisierung wie im symmetrischen Fall. F¨ ur osung Pk u ∈ Xk des Galerkinendlich dimensionale Unterr¨aume Xk ist die L¨ Verfahrens (eigentlich Galjorkin“) definiert durch ” a(Pk u, vk ) = f (vk ) ∀vk ∈ Xk . Existenz und Eindeutigkeit folgen wieder aus dem Satz von Lax-Milgram. Entwickelt man Pk u nach einer Basis des Raumes Xk , so l¨ ost der Koeffizientenvektor das Gleichungssystem Ax = b mit einer nun nicht mehr notwendig symmetrischen Matrix A. Da wir im vorliegenden reellen Fall f¨ ur die Bilinearform a(u, u) > 0 f¨ ur u = 0 annehmen k¨ onnen, gilt (Ax, x) > 0 f¨ ur x = 0. Das Galerkin-Verfahren ist keine orthogonale Projektion, es gilt aber ur alle vk ∈ Xk und damit a(u − Pk u, vk ) = 0 f¨ ce u − Pk u2X ≤ a(u − Pk u, u − P uk ) = a(u − Pk u, u − vk ) ≤ cb u − Pk uX u − vk X , also u − Pk uX ≤

cb inf u − vk X , ce vk ∈Xk

(7.30)

was auch Ceas Lemma genannt wird.

7.7 Finite Elemente Wir kehren zur konkreten Bilinearform  a(u, v) = aij Dj uDi v dx Ω

zur¨ uck. Ω ist im folgenden ein ebenes Gebiet und die aij ∈ L∞ (Ω) seien gleichm¨aßig elliptisch, λ|ξ|2 ≤ aij ξi ξj ≤ Λ|ξ|2

∀ξ ∈

2

.

(7.31)

osung u ∈ H01,2 (Ω) von F¨ ur f ∈ L2 (Ω) existiert dann die schwache L¨ a(u, v) = (f, v)

∀v ∈ H01,2 (Ω)

(7.32)

nach Satz 7.2. Das Finite Elemente Verfahren zur Approximation von (7.32) ist das Galerkin-Verfahren mit st¨ uckweise polynomialen Ansatzfunktionen, eben den Finiten Elementen, von denen die einfachste Variante im folgenden besprochen wird. Dazu wird Ω in abgeschlossene Dreiecke {Λ} unterteilt, Ω h = ∪Λ, so daß die folgende Bedingung an die Unterteilung und an die Dreiecke erf¨ ullt ist:

150

7 Elliptische Differentialgleichungen

Bedingung R: Der Durchschnitt zweier Dreiecke ist leer oder besteht aus einer gemeinsamen Kante oder einem gemeinsamen Eckpunkt. Die Eckpunkte auf ∂Ωh sind in ∂Ω enthalten. Jedes Dreieck Λ enth¨alt einen Kreis vom Radius c−1 R h und ist in einem Kreis vom Radius cR h enthalten, wobei die Konstante cR unabh¨angig von der Schrittweite h ist. Diese Bedingung schließt Degenerierungen der Dreiecke f¨ ur h → 0 aus, insbesondere sind die Innenwinkel der Dreiecke nach unten beschr¨ ankt durch ein α > 0 und nach oben durch ein β < π. atzungen darf F¨ ur konvexes Ω gilt offenbar Ωh ⊂ Ω. In all unseren Absch¨ die generische Konstante c von cR , aber nicht vom Diskretisierungsparameter h abh¨angen. Der einfachste Finite Elemente Raum ist definiert durch   S0 = vh ∈ C(Ω h ) : vh |Λ ist linear und vh |∂Ωh = 0 . (7.33) Wir setzen zun¨achst Ω = Ωh voraus, was man f¨ ur jedes polygonale Gebiet Ω erreichen kann. Der allgemeine Fall wird sp¨ ater behandelt. Die Finite Elemente Approximation von (7.32) ist definiert durch: Gesucht ist Ph u ∈ S0 mit a(Ph u, vh ) = (f, vh ) ∀vh ∈ S0 . (7.34) Die nat¨ urliche oder nodale Basis des Raums S0 l¨aßt sich folgendermaßen konstruieren. Seien P1 , . . . , PN die Eckpunkte der Triangulierung {Λ}, die im Inneren von Ω liegen, und seien ϕh,i ∈ S0 die Funktionen mit ϕh,i (Pj ) = δij ,

φ h ,i

Pi

wobei δij das Kroneckersche δ bedeutet. Da jede stetige, st¨ uckweise lineare Funktion durch ihre Werte an den inneren Eckpunkten und die Nullrandbedingung eindeutig bestimmt ist, sind die ϕh,i eindeutig festgelegt. Aus dem gleichen Grunde bilden die {ϕh,i }i=1,...,N eine Basis des Raums S0 und jedes vh ∈ S0 kann in der Form vh (x) =

N 

vh (Pi )ϕh,i (x)

i=1

dargestellt werden. Daher ist die Dimension des Raumes S0 durch die Anzahl N der inneren Eckpunkte gegeben. Wegen Satz 5.7 gilt S0 ⊂ H01,2 (Ω) und (7.34) ist das Galerkin-Verfahren mit dem speziellen Ansatzraum S0 . Zur Bestimmung von Ph u muß wieder ager Ax = b gel¨ost werden mit aij = a(ϕh,j , ϕh,i ) und bi = (f, φh,i ). Der Tr¨

7.7 Finite Elemente

151

eines jeden ϕh,i besteht aus den Dreiecken adjazent zu Pi , sodaß a(ϕh,j , ϕh,i ) verschwindet, wenn die Punkte Pi , Pj nicht benachbart sind. Wenn ein Eckpunkt Pi Ni Nachbarpunkte besitzt, dann enth¨ alt die i-te Zeile von A nicht mehr als Ni + 1 nichtverschwindende Elemente, demnach ist die Matrix schwach besetzt. Bei konstanten Koeffizienten ist der Integrand von a(φj , φi ) st¨ uckweise konstant, aij daher leicht zu berechnen. Bei variablen Koeffizienten und f¨ ur (f, φi ) werden die Integrale n¨aherungsweise mit einer Kubaturformel berechnet (siehe Aufgabe 6.8). F¨ ur u ∈ C(Ω) definieren wir die Interpolierende Ih u ∈ S0 durch Ih u(x) =

N 

u(Pi )ϕh,i (x).

i=1

Die Interpolierende ist die eindeutig bestimmte Funktion in S0 , die mit u in den inneren Knotenpunkten u ¨bereinstimmt und am Rande von ∂Ω verschwindet. Satz 7.19. Sei f¨ ur das Dreieck Λ die Bedingung R erf¨ ullt. F¨ ur u ∈ H 2,2 (Λ) gilt die Fehlerabsch¨atzung D(u − Ih u)2;Λ ≤ cI hD2 u2;Λ ,

(7.35)

wobei die Konstante cI nicht von h, aber von cR aus Bedingung R abh¨angt. Beweis. Mit yi = h−1 xi wird Λ auf ein Dreieck Λˆ vom Durchmesser c transˆ seien die zugeh¨ formiert. φˆ1 , φˆ2 , φˆ3 ∈ 1 (Λ) origen lokalen Basisfunktionen mit ˆ ˆ ˆ φi (Pj ) = δij , wobei Pi die Eckpunkte des Dreiecks Λˆ bezeichnen. Die Inter ˆ ˆ polierende ist dann definiert durch Iˆu ˆ(y) = u ˆ(Pi )φi (y). Bedingung R sorgt daf¨ ur, daß die so entstehenden Dreiecke gleichm¨ aßig lipschitz sind, d.h. die Lipschitzkonstanten der hj in der Definition des Lipschitzgebiets h¨ angen nur von cR ab. Nach Satz 6.12 und Satz 6.26 gilt daher ˆ u∞;Λˆ ≤ cˆ u2,2;Λˆ, woraus die Stabilit¨at der Interpolierenden folgt, 

3





DIˆu ˆ2;Λˆ =

u ˆ(Pˆi )Dφˆi

i=1

ˆ 2;Λ

≤ cˆ u∞;Λˆ ≤ cˆ u2,2;Λˆ.

F¨ ur lineares pˆ gilt wegen Iˆpˆ = pˆ

ˆ u − pˆ) ˆ u − pˆ)2;Λˆ + DI(ˆ D(ˆ u − Iˆu ˆ)2;Λˆ ≤ D(ˆ 2;Λ ≤ (1 + c)ˆ u − pˆ2,2;Λˆ.  Wir w¨ahlen pˆ so, daß Dα u ˆ dy = Dα pˆ dy f¨ ur |α| ≤ 1 (siehe Aufgabe 6.7a)). Dann folgt aus der Poincar´e-Ungleichung 6.24 und D 2 pˆ = 0 

ˆ2;Λˆ D(ˆ u − Iˆu ˆ)2;Λˆ ≤ cD2 u

ˆ ∀ˆ u ∈ H 2,2 (Λ).

R¨ ucktransformation liefert wegen Dy = hDx die behauptete Absch¨ atzung. ⊔ ⊓

152

7 Elliptische Differentialgleichungen

Dieser Beweis verwendet nur konstruktiv bewiesene S¨ atze. Die Konstante cI in (7.35) ist daher moderat. Durch Quadrieren von (7.35) und Summation u ¨ber Λ folgt D(u − Ih u)2;Ω ≤ cI hD2 u2;Ω .

(7.36)

Satz 7.19 l¨aßt sich auf Dreiecke verallP3 gemeinern, deren gr¨oßter Innenwinkel von π wegbeschr¨ankt ist (siehe [AD92]). Von a der Bedingung an den gr¨ oßten InnenwinP1 P2 kel kann man jedoch nicht abgehen, wie (-h, 0) (h, 0) das folgende Beispiel zeigt. Wir betrachten das Dreieck mit den Eckpunkten P1 = (−h, 0), P2 = (h, 0) und P3 = (0, a). F¨ ur a << h hat dieses Dreieck im Punkt P3 einen großen Innenwinkel. F¨ ur die lineare Interpolierende Ih u der Funktion u(x1 , x2 ) = x21 gilt D2 Ih u = −h2 /a, wegen D2 u = 0 also D2 (u − Ih u) =

h2 → ∞ f¨ ur a → 0. a

Definition 7.20. Das Problem (7.32) heißt 2-regul¨ ar, wenn f¨ ur jedes f ∈ L2 (Ω) die schwachen L¨osungen u, u′ von a(u, v) = (f, v)

∀v ∈ H01,2 (Ω),

a(v, u′ ) = (f, v)

∀v ∈ H01,2 (Ω),

existieren und im Raum H 2,2 (Ω) liegen mit D 2 u2;Ω , D2 u′ 2;Ω ≤ cr f 2;Ω . Da Ω noch als Polygongebiet vorausgesetzt ist, k¨ onnen wir nur Satz 7.6 anwenden. Demnach ist −Di (aDi u) = f 2-regul¨ ar, wenn Ω konvex und a ∈ H 1,p (Ω), p > 2, ist. Im Fall des Laplace-Operators gilt cr = 1. Wie in Beispiel 8.19(i) gezeigt wird, folgt die Existenz von u′ ∈ H01,2 (Ω) aus einem allgemeinen Prinzip und braucht nicht vorausgesetzt zu werden, sofern die schwache L¨ osung u immer existiert1 . cb sei eine Schranke f¨ ur die Bilinearform a. Ist a symmetrisch, so kann wegen der Cauchy-Ungleichung cb = Λ mit Λ aus (7.31) gew¨ ahlt werden. Satz 7.21. Sei die Elliptizit¨atsbedingung (7.31) erf¨ ullt. Ist das Problem (7.32) auf dem Polygongebiet Ω 2-regul¨ar, so gelten f¨ ur das Finite Elemente Verfahren (7.34) die Fehlerabsch¨atzungen 1

Dagegen ist es eine offene Frage, ob die Regularit¨ at von u in H 2,2 (Ω) auch die ′ Regularit¨ at von u nach sich zieht. In der Literatur wird dies meist als richtig angesehen und z.B. aus [LM72, S. 155ff.] entnommen. Dort werden jedoch der Rand des Gebiets und die Koeffizienten als unendlich oft differenzierbar vorausgesetzt. Bei praktischen Anwendungen wie der Konvergenz der Finite Elemente Methode spielt die Differenzierbarkeit der Daten aber eine große Rolle. In dieser Hinsicht erweist sich der Beweis aus [LM72] als ausgesprochen ung¨ unstig, es ist daher besser, mit den in den vorigen Abschnitten dargestellten Methoden die Regularit¨ at von u′ separat zu beweisen.

7.7 Finite Elemente

D(u − Ph u)2;Ω ≤

c0 hf 2;Ω , λ

u − Ph u2;Ω ≤

153

c20 2 h f 2;Ω , λ

mit c0 = cb cI cr . Beweis. Die Elliptizit¨ at (7.31) liefert f¨ ur die Bilinearform λDu22;Ω ≤ a(u, u), daher mit Cea’s Lemma (7.30) sowie (7.36) und der 2-Regularit¨ at D(u − Ph u)2;Ω ≤ ≤

cb cb inf D(u − vh )2;Ω ≤ D(u − Ih u)2;Ω v ∈S λ h 0 λ cb cb cI hD2 u2;Ω ≤ cI cr hf 2;Ω . λ λ

F¨ ur die L2 -Absch¨atzung verwenden wir das sogenannte Dualit¨ atsargument. Sei w ∈ H01,2 (Ω) die L¨ osung von a(v, w) = (u − Ph u, v)

∀v ∈ H01,2 (Ω).

(7.37)

w existiert und ist eindeutig bestimmt, aus der 2-Regularit¨ at folgt ferner w ∈ H 2,2 (Ω) mit D2 w2;Ω ≤ cr u − Ph u2;Ω . (7.38)

Wir setzen v = u − Ph u in (7.37) ein und nutzen die Fehlerbeziehung a(u − Ph u, vh ) = 0 aus, u − Ph u22;Ω = a(u − Ph u, w) = a(u − Ph u, w − Ih w) ≤ cb D(u − Ph u)2;Ω D(w − Ih w)2;Ω . Mit der Interpolationsfehlerabsch¨atzung (7.36) und (7.38) folgt u − Ph u22;Ω ≤ cb cI hD(u − Ph u)2;Ω D2 w2;Ω ≤ cb cI cr hD(u − Ph u)2;Ω u − Ph u2;Ω . Division durch u − Ph u2;Ω liefert die behauptete Fehlerabsch¨ atzung.

⊔ ⊓

In Beispiel 8.43 wird gezeigt, daß diese Fehlerabsch¨ atzung abgesehen von einem konstanten Faktor von keinem anderen Ansatzraum Xk des GalerkinVerfahrens u ¨bertroffen werden kann. Es sei noch angemerkt, daß die L2 Fehlerabsch¨atzung ein grundlegendes Prinzip der Numerik verletzt, daß n¨amlich die Konvergenzeigenschaften nur durch das Verfahren, aber nicht durch das zu approximierende Problem bestimmt werden ( Aus Stabilit¨ at ” und Konsistenz folgt sogleich die Konvergenz“, Stabilit¨ at und Konsistenz sind Eigenschaften des Verfahrens). Die reduzierten Konvergenzraten bei einspringenden Ecken in Aufgabe 7.20 stellen sich bei numerischen Tests genau ein, sie sind daher nicht beweistechnisch bedingt.

154

7 Elliptische Differentialgleichungen

Betrachten wir nun allgemeinere Gebiete Ω. Ist Ω konvex, so gilt Ωh ⊂ Ω und wir k¨onnen die Elemente von S0 in der Definition (7.33) durch Null auf Ω fortsetzen. Damit gilt S0 ⊂ H01,2 (Ω) und die Finite Elemente Methode ist immer noch ein Galerkin-Verfahren, insbesondere gilt Cea’s Lemma und damit die Fehlerabsch¨atzung f¨ ur den Gradienten. F¨ ur allgemeinere Ω verl¨ aßt die Finite Elemente Methode den Kontext des Galerkin-Verfahrens, weil nun die R¨aume S0 und H01,2 (Ω) inkompatibel sind. Man nennt das Verfahren dann nichtkonform. Bei 2-regul¨ aren Problemen bleibt Satz 7.21 dennoch richtig, weil die kontinuierliche Randbedingung durch das Verfahren nur leicht verletzt wird (siehe [Dob, S. 43ff.]). Jedes Verfahren zur Approximation von Differentialgleichungen besteht aus einem Ansatzraum und einem Variationsprinzip, durch das die diskre¨ te L¨osung im Ansatzraum bestimmt wird. F¨ ur eine Ubersicht u ¨ber weitere m¨ogliche Variationsprinzipien sei auf [Bra92], [Cia78] und [Vel76] verwiesen.

Aufgaben 7.1. (2) Eine station¨ are W¨ armeverteilung kann durch die Poisson-Gleichung −k∆u = 0

(∗)

beschrieben werden. Oft (z. B. bei Gasen) h¨ angt die W¨ armeleitf¨ ahigkeit k auch von der Temperatur ab, als Modell kommt daher −div (k(v)∇v) = 0 in Betracht mit einer Funktion k : → , k > 0. Diese Gleichung ist nun nichtlinear in v. Wie l¨ aßt sie sich auf die lineare Gleichung (∗) transformieren? R v(x) Hinweis: Verwenden Sie u(x) = 0 k(ξ) dξ. 



orper im Ruhezustand, der unter einer Kraft f ausgelenkt 7.2. (3) Sei Ω ⊂ 3 ein K¨ wird, u = Id + v sei die zugeh¨ orige Abbildung, v = (v1 , v2 , v3 )T heißt Verschiebung. Im einfachsten Fall gen¨ ugt v dem Variationsprinzip Z ˘ ¯ λ|div v|2 + 2µ|Dv|2 − 2f v dx → Min F (v) = 

Ω

unter der Randbedingung v = 0 auf ∂Ω. µ, λ > 0 sind hier Materialkonstanten, Du = 12 (Du + DuT ) ist der symmetrische Anteil von Du. a) Bestimmen Sie eine Konstante m > 0 mit Z Z 2 |Du|2 dx ∀u ∈ H01,2 (Ω)3 . |Du| dx ≤ m Ω

Ω

b) Beweisen Sie Existenz und Eindeutigkeit f¨ ur das Variationsproblem und leiten Sie die notwendige Bedingung in starker und schwacher Form her. Bemerkung: In starker Form erhalten wir ein System von drei partiellen Differentialgleichungen, die elastische Gleichungen genannt werden. In a) ist bemerkenswert, daß 9 partielle Ableitungen von nur 6 Termen in Du kontrolliert werden.

Aufgaben

155

7.3. (3) F¨ ur das reine Neumann-Problem −∆u = f

in Ω, Dν u = 0 auf ∂Ω, R osung u, die beweise man: F¨ ur f ∈ L2 (Ω) mit Ω f (x) dx = 0 gibt R es eine schwache L¨ bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist. F¨ ur Ω f (x) dx = 0 ist das NeumannProblem unl¨ osbar. Hinweis: Verwenden Sie den Raum Z u dx = 0}. X = {u ∈ H 1,2 (Ω) : Ω

7.4. (2) Sei Ω ⊂

3

. Man bestimme die optimalen r und s, so daß die Bilinearform Z {aij Dj uDi v + bi Di uv + cuv} dx a(u, v) =



Ω

f¨ ur bi ∈ Lr , c ∈ Ls auf

H01,2 (Ω)

beschr¨ ankt ist.

7.5. (3) Im unendlichen Streifen Ω = (0, 1) × ⊂ 2 betrachten wir das Problem −∆u = f in Ω, u = 0 auf ∂Ω. osung a) Zeigen Sie: F¨ ur f ∈ L2 (Ω) hat das Problem genau eine schwache L¨ 1,2 u ∈ H0 (Ω) mit u1,2;Ω ≤ cf 2;Ω . b) Geben Sie unendlich viele linear unabh¨ angige L¨ osungen u ∈ C 2 (Ω) f¨ ur das homogene Problem −∆u = 0 in Ω, u = 0 auf ∂Ω an. 

7.6. (4) Seien (r, φ) Polarkoordinaten des

2 



und sei

Ω = {x = (r, φ) : 0 < r < ∞, 0 < φ < ω} ¨ der unendliche Kegel mit Offnung 0 < ω ≤ 2π. Zeigen Sie, daß die Aufgabe −∆u = f in Ω, u = 0 auf ∂Ω f¨ ur alle f ∈ C0∞ (Ω) unter der Bedingung Du ∈ L2 (Ω)2 eindeutig l¨ osbar ist. 7.7. (3) F¨ ur k ∈ lautet das erste Randwertproblem f¨ ur den polyharmonischen Operator in starker Form 

(−1)k ∆k u = f in Ω,

D α u = 0 auf ∂Ω f¨ ur 0 ≤ |α| ≤ k − 1.

Man schreibe dieses Problem in schwacher Form und beweise Existenz und Eindeutigkeit f¨ ur f ∈ L2 . 7.8. (3) Sei f¨ ur 1 < p < ∞ F (v) =

Z

´ `1 |Dv|p − f v dx. p Ω

Zeigen Sie, daß das Problem F (v) → Min in H01,p (Ω) f¨ ur f ∈ L∞ (Ω) eine L¨ osung besitzt. Bestimmen Sie auch die zugeh¨ orige Variationsgleichung und starke Formulierung.

156

7 Elliptische Differentialgleichungen

7.9. (2) F¨ ur fi ∈ L2 (Ω) sei u ∈ H01,2 (Ω) die eindeutig bestimmte L¨ osung von (Du, Dv) = (fi , Di v)

∀v ∈ H01,2 (Ω).

Seien N s,p (Ω) die Nikolski-R¨ aume aus Aufgabe 5.12. Beweisen Sie: F¨ ur ∂Ω ∈ C 2 und s,2 1+s,2 fi ∈ N (Ω), 0 < s ≤ 1, liegt die L¨ osung u im Raum N (Ω) mit uN 1+s,2 (Ω) ≤ c maxi fi N s,2 (Ω) . 7.10. (3) In dieser Aufgabe wollen wir das Verhalten von L¨ osungen elliptischer Gleichungen in Umgebung von Kanten untersuchen. Als Modellproblem betrachten wir das Kantengebiet Ω = Kω,R × (−1, 1) mit Kω,R = {(r, φ) : 0 < r < R, 0 < φ ≤ ω} und 0 < ω ≤ 2π. u ∈ H 1,2 (Ω) erf¨ ulle (Du, Dv) = (f, v)

∀v ∈ H01,2 (Ω).

Wir untersuchen die Regularit¨ at bez¨ uglich der Kante nur lokal, also zum Beispiel in Ω0 = Kω,R/2 × (− 21 , 21 ). Sei f ∈ H m,2 (Ω). Welche Ableitungen liegen in L2 (Ω0 )? Was l¨ aßt sich u aten von u aussagen? ¨ber die Singularit¨ ur das 7.11. (3) Seien F0 , F1 , . . . , Fn : n → stetig differenzierbare Funktionen. F¨ ats- und Wachstumsbedingungen Problem −Di Fi (Du) = F0 (Du) gelten die Elliptizit¨ 



λ|ξ|2 ≤ Fij (p)ξi ξj ≤ Λ|ξ|2

∀ξ ∈

|F0 (p)| ≤ c(1 + |p|)

n

∀p ∈



∀p ∈

n 

n



,

,

wobei

∂ Fi (p). ∂pj u ∈ H 1,2 (Ω) sei eine schwache L¨ osung, d.h. Fij (p) =

(Fi (Du), Di v) = (F0 (Du), v)

∀v ∈ H01,2 (Ω).

Zeigen Sie f¨ ur Ω0 ⊂⊂ Ω, daß u ∈ H 2,2 (Ω0 ). Hinweis: Verwenden Sie Differenzenquotienten und die Profi-Version des Mittelwertsatzes Z 1 Df (tx + (1 − t)y)(x − y) dt. f (x) − f (y) = 0

7.12. (2) Sei Ω ⊂

2 

konvex. Zeigen Sie, daß dann die Norm u′′2,2 = (∆u22 + u22 )1/2

zur  · 2,2 -Norm auf H 2,2 (Ω) ∩ H01,2 (Ω) ¨ aquivalent ist.

ur die L¨ osung 7.13. (3) Eine regul¨ are Matrix A ∈ n×n heißt inversmonoton, wenn f¨ x ∈ n von Ax = b mit b ≥ 0 ebenfalls x ≥ 0 gilt. Das Zeichen ≥ ist hier kompoaquivalent. nentenweise zu verstehen. Die Inversmonotonie ist offenbar zu A−1 ≥ 0 ¨ Ein einfaches, allerdings nur hinreichendes Kriterium dazu bietet der folgende Satz: Satz. A ∈ n×n gen¨ uge den Bedingungen: P (a) A regul¨ ar, (b) aii > 0, aij ≤ 0 f¨ ur i = j, (c) aii ≥ |aij |. j =i Dann ist A invers monoton. Beweisen Sie den Satz! 





Aufgaben

157

2 7.14. (3) Sei Lu = −aij (x)Dij u + bi (x)Di u elliptisch. Der zugeh¨ orige parabolische ur Funktionen u(x, t), x ∈ Ω, t ≥ 0, mit Operator ist dann ut + Lu, der definiert ist f¨ u stetig bis zum Rand, einmal stetig differenzierbar bez¨ uglich t und zweimal stetig differenzierbar bez¨ uglich x. Interpretiert man das elliptische Problem Lu = f als station¨ are W¨ armeverteilung, so beschreibt das parabolische Problem den W¨ armefluß in der Zeit. Beweisen Sie f¨ ur den parabolischen Operator das Maximumprinzip in der Form inf u ≥ inf u, ut + Lu ≥ 0 ⇒ Ω×(0,T )

Ω×{0}∪∂Ω×[0,T ]

Schließen Sie hieraus, daß das Anfangs-, Randwertproblem ut + Lu = f in Ω × (0, T ],

u = g auf ∂Ω × [0, T ],

u(x, 0) = u0 (x) in Ω,

h¨ ochstens eine L¨ osung besitzt. 7.15. (4) Sei Ω ⊂ n ein Gebiet. Ein Punkt x0 ∈ ∂Ω gen¨ ugt einer Innenkugelbedingung, wenn es eine offene Kugel B ⊂ Ω gibt mit x0 ∈ ∂B. 2 Sei Lu = −aij (x)Dij u+bi (x)Di u gleichm¨ aßig elliptisch mit beschr¨ ankten Koeffi2 zienten und f¨ ur u ∈ C (Ω) sei Lu ≥ 0 in Ω. Weiter seien die folgenden Bedingungen erf¨ ullt: (a) x0 ∈ ∂Ω gen¨ ugt einer Innenkugelbedingung, (b) u(x0 ) < u(x) f¨ ur alle x ∈ Ω, (c) u ist stetig in x0 . Zeigen Sie, daß dann Dν u(x0 ) < 0 erf¨ ullt ist, sofern die Normalableitung existiert. Hinweis: Sei BR (y) ⊂ Ω die von der Innenkugelbedingung garantierte Kugel mit Randpunkt x0 . Verwenden Sie die Funktion 

2

2

v(x) = e−αr − e−αR , wobei r = |x−y|. Zeigen Sie, daß f¨ ur gen¨ ugend großes α gilt Lv < 0 in BR (y)\Bρ (y) f¨ ur ein ρ zwischen 0 und R. Untersuchen Sie dann die Funktion u(x) − u(x0 ) − εv in BR (y) \ Bρ (y). 7.16. (3) Beweisen Sie das starke Maximumprinzip 7.17 mit Hilfe von Aufgabe 7.15 mit einem indirekten Beweis. 7.17. (3) Sei L der Operator in (7.21). Es wird vorausgesetzt, daß er beschr¨ ankte Koeffizienten besitzt, der Bedingung c ≥ 0 gen¨ ugt, sowie gleichm¨ aßig elliptisch ist, aij (x)ξi ξj ≥ λ|ξ|2

∀ξ ∈

n



∀x ∈ Ω.

Beweisen Sie f¨ ur jede klassische L¨ osung von Lu = f die Absch¨ atzung 2

u∞;Ω ≤ u∞;∂Ω + cf ∞;Ω .

im Einheitskreis enthalten. Geben Sie eine von K = f ∞;Ω 7.18. (2) Sei Ω ⊂ abh¨ angende Absch¨ atzung der Form |u(x)| ≤ v(x) an f¨ ur die L¨ osung u des Problems 

−∆u = f in Ω,

u = 0 auf ∂Ω,

Bemerkung: Im Gegensatz zur Aufgabe 7.17 soll man hier realistische Absch¨ atzungen anstreben und f¨ ur v ein quadratisches Polynom verwenden. Weicht das Grundgebiet nicht sehr vom Kreis ab, erh¨ alt man einen guten Eindruck von der Gr¨ oßenordnung der L¨ osung. Man teste das Ergebnis an −∆u = 1 im Einheitsquadrat mit Nullrandbedingung, im Mittelpunkt gilt dann u = 0.07 . . ..

158

7 Elliptische Differentialgleichungen

7.19. (3) Beweisen Sie f¨ ur einen reellen, separablen Hilbert-Raum den Satz von Lax-Milgram mit dem Galerkin-Verfahren. 7.20. (4) Das Polygongebiet Ω ⊂ 2 besitze eine einspringende Ecke im Nullpunkt mit innerem Winkel ω, π < ω < 2π. O.B.d.A. kann vorausgesetzt werden, daß B1 (0) den Rand von Ω nur in den anliegenden Schenkeln der einspringenden Ecke ˜1/2 (0), B1 (0)}. F¨ ur die L¨ osung schneidet. Sei τ eine Abschneidefunktion bez¨ uglich {B von −∆u = f in Ω, u = 0 auf ∂Ω, ist in diesem Fall bekannt, daß 

u = ks + w

mit s(r, φ) = τ (r)r π/ω sin

mit dem Spannungskonzentrationsfaktor k = k(f ) ∈ dem regul¨ aren Anteil w ∈ H 2,2 (Ω). Es gilt 

π φ, ω

, der Singul¨ arfunktion s und

D2 w2;Ω + |k(f )| ≤ cf 2;Ω . a) Beweisen Sie f¨ ur die Finite Elemente Methode auf einer Triangulierung, die der Bedingung R gen¨ ugt, die Fehlerabsch¨ atzungen Dk (u − Ph u)2;Ω ≤ ch(2−k)π/ω f 2;Ω ,

k = 0, 1.

b) Erweitern Sie S0 um s und beweisen Sie f¨ ur die Finite Elemente Approximation P˜h u im Raum S0 ⊕ s Dk (u − P˜h u)2;Ω ≤ ch(2−k) f 2;Ω ,

k = 0, 1.

8 Einfu ¨ hrung in die Operatorenrechnung und Spektraltheorie

8.1 Spektrum und Resolventenmenge In diesem Abschnitt bezeichnen wir mit X, Y komplexe Banach-R¨ aume. Eine Grundfrage, die zur Entwicklung der Spektraltheorie f¨ uhrt, ist die L¨osungstheorie f¨ ur die Gleichung T x−λx = y f¨ ur T ∈ L(X). Im n entspricht dies dem linearen Gleichungssystem Ax − λx = y mit einer (n × n)-Matrix A. Die L¨osungstheorie ist hier einfach. Mit N (B) bezeichnen wir den Nullraum T einer Matrix B und setzen B H = B . Dann gilt: 

Es gibt immer genau eine L¨osung, wenn die Matrix A − λId regul¨ ar ist, wenn also λ kein Eigenwert von A ist.

(8.1)

Ist λ ein Eigenwert von A, so ist Ax − λx = y genau dann l¨osbar, wenn y ⊥ N (AH − λId) ist.

(8.2)

Implizit wird in dieser Theorie an zahlreichen Stellen verwendet, daß der n ein endlich dimensionaler Raum ist. Z.B. ist eine lineare Abbildung schon dann bijektiv, wenn sie injektiv oder surjektiv ist. Es fragt sich also, inwieweit diese Theorie auch auf Operatoren im BanachRaum X u ¨bertragen werden kann. Die Aussage (8.1) ist jedenfalls in dieser allgemeinen Form nicht richtig. Als Gegenbeispiel nehmen wir den Folgenraum l2 und den Shiftoperator 

(Sr x) (i) = x(i − 1) f¨ ur i ≥ 2,

(Sr x) (1) = 0

(8.3)

(vergleiche Aufgabe 2.13). Offenbar ist die Gleichung Sr x = e1 unl¨ osbar, aber λ = 0 ist kein Eigenwert von Sr . Damit ist die Aussage, daß ein nichtregul¨ arer Operator den Eigenwert λ = 0 besitzen muß, nicht richtig. Die folgende Definition schafft hier Klarheit. Definition 8.1. Sei T ∈ L(X) und Tλ = T − λId. Wenn Tλ injektiv ist, so bezeichnen wir mit Rλ die Inverse von Tλ . Rλ ist dann auf dem Bildbereich von Tλ definiert und heißt Resolventenoperator.

160

8 Einf¨ uhrung in die Operatorenrechnung und Spektraltheorie

Sei T ∈ L(X). λ ∈ heißt regul¨ar bez¨ uglich T, wenn der Resolventenoperator Rλ auf ganz X definiert ist. Wegen des Satzes vom inversen Operator ist Rλ in diesem Fall stetig, daher Rλ ∈ L(X). Die Menge   ρ(T ) = λ ∈ : λ ist regul¨ar bez¨ uglich T 



heißt Resolventenmenge von T. Das Komplement der Resolventenmenge σ(T ) = \ ρ(T ) heißt Spektrum von T, die Elemente von σ(T ) heißen Spektralwerte. σ(T ) wird in drei disjunkte Mengen unterteilt: 

(a) Punktspektrum:   σp (T ) = λ ∈ σ(T ) : Rλ existiert nicht, d.h. Tλ ist nicht injektiv

Da Tλ linear ist, gilt f¨ ur den Nullraum in diesem Fall N (Tλ ) = {0}. λ ∈ heißt daher Eigenwert von T, N (Tλ ) ist der Eigenraum zu λ, dim N (Tλ ) ist die Vielfachheit von λ. (b) Kontinuierliches Spektrum:  σc (T ) = λ ∈ σ(T ) : Rλ existiert, ist auf einer dichten Teilmenge von X  definiert und dort unstetig 

(c) Residuenspektrum:  σr (T ) = λ ∈ σ(T ) : Rλ existiert, ist aber nicht auf einer dichten Teilmenge  von X definiert

Jeder Eigenwert ist damit Spektralwert, aber die Umkehrung ist nach dem obigen Beispiel falsch. Es gilt nun σ(T ) = σp (T ) ∪ σc (T ) ∪ σr (T ) mit drei disjunkten Mengen auf der rechten Seite. Zum Beweis dieser Identit¨ at sei angemerkt, daß der Fall eines dicht definierten, aber stetigen Resolventenoperators nicht vorkommen kann. Nach Satz 2.14 kann n¨ amlich dann der ˜ λ auf ganz X fortgesetzt Resolventenoperator zu einem stetigen Operator R werden. Zu y ∈ X \ R(Tλ ) gibt es eine Folge yk ∈ R(Tλ ) mit yk → y. Wegen ˜ λ folgt xk = R ˜ λ yk → R ˜ λ y = x. Die Stetigkeit von Tλ der Stetigkeit von R f¨ uhrt dann zu Tλ xk → Tλ x = y und damit zu einem Widerspruch. Beim Residuenspektrum wird keine Aussage dar¨ uber gemacht, ob der Resolventenoperator auf dem Bildbereich von Rλ stetig ist oder nicht. Der Name Kontinuierliches Spektrum“ r¨ uhrt daher, daß solche Spektralwerte meist kon” tinuierlich vorkommen, beispielsweise ein ganzes reelles Intervall einnehmen k¨onnen.

8.2 Struktur der Resolventenmenge und des Resolventenoperators

161

Beispiele 8.2 (i) Sei X = l2 und Sr der Shiftoperator aus (8.3). Offenbar ist Sr injektiv, aber nicht surjektiv und es gilt Sr l2 →l2 = 1. Die Inverse ist auf der Menge der x ∈ l2 mit x(1) = 0 definiert und dort auch stetig, aber ort λ = 0 zum dieser Definitionsbereich liegt nicht dicht in l2 . Demnach geh¨ Residuenspektrum von Sr . (ii) Sei X = C 0 (Ω) f¨ ur ein beschr¨ anktes Gebiet Ω ⊂ n und sei T : X → X definiert durch T u = uv f¨ ur ein v ∈ X. Es gilt T u∞ = uv∞ ≤ v∞ u∞ . Daher ist T ∈ L(X) mit T  ≤ v∞ . Der Wertebereich von v auf Ω besteht aus einer kompakten Menge A ⊂ . Die Gleichung 

(v − λ)u = w

(8.4)

besitzt die formale L¨ osung u = w/(v −λ). Damit ist σ(T ) = A und ρ(T ) = \ A. Wenn v −1 (λ), also die Urbildmenge von λ, ein nichtleeres Inneres besitzt, so sind alle Funktionen mit Tr¨ager in diesem Inneren Eigenvektoren. λ ist daher Eigenwert. Andernfalls ist die Gleichung (8.4) h¨ ochstens f¨ ur diejenigen w ∈ X l¨osbar mit w(x) = 0 f¨ ur x ∈ v −1 (λ). Diese Menge liegt aber nicht dicht in X. Damit geh¨ oren diese λ zum Residuenspektrum von T. 

8.2 Struktur der Resolventenmenge und des Resolventenoperators Der folgende St¨ orungssatz zeigt, daß die Menge der bijektiven Operatoren offen in L(X, Y ) ist. Lemma 8.3. Der Operator A ∈ L(X, Y ) sei bijektiv. Wenn f¨ ur B ∈ L(X, Y ) gilt A − BX→Y < so ist auch B bijektiv und B

−1

1 , A−1 Y →X

∞   −1 k A (A − B) A−1 . =

(8.5)

k=0

Beweis. Wir k¨onnen B darstellen durch B = A(Id − A−1 (A − B)) = AS und m¨ ussen zeigen, daß die beiden Faktoren bijektiv in L(X, Y ) beziehungsweise in L(X) sind. Von A wurde dies vorausgesetzt, f¨ ur S verwenden wir die Neumannsche Reihe und setzen

162

8 Einf¨ uhrung in die Operatorenrechnung und Spektraltheorie

Rk =

k   −1 i A (A − B) . i=0

Wegen Rk  ≤

k  i=0

A−1 i A − Bi ≤

k 

αi

mit α < 1

i=0

ist die Reihe konvergent, also Rk → R. Wie bei der geometrischen Reihe erschließt man, daß SRk = Rk S = Rk (Id−A−1 (A−B)) = Id−(A−1 (A−B))k+1 → Id f¨ ur k → ∞. ⊔ ⊓

Damit ist S invertierbar mit Inverser R.

Definition 8.4. Sei D ⊂ eine offene Menge und sei Aλ f¨ ur λ ∈ D eine Menge von Operatoren in L(X). Wir sagen, daß Aλ analytisch von λ abh¨angt, wenn es f¨ ur jedes λ0 ∈ D eine Umgebung U = U (λ0 ) und Operatoren Ak ∈ L(X) gibt mit ∞  (λ − λ0 )k Ak f¨ ur alle λ ∈ U. Aλ = 

k=0

Satz 8.5. Sei T ∈ L(X). Dann ist das Spektrum σ(T ) nichtleer, kompakt und in der Menge {λ ∈ : |λ| ≤ T } 

enthalten. Der Resolventenoperator Rλ = Rλ (T ) h¨angt auf der nichtleeren, offenen Menge ρ(T ) ⊂ analytisch von λ ab mit 

Rλ =

∞ 

(λ − λ0 )k Rλk+1 0

k=0

und die Reihe ist normkonvergent mindestens im Kreis |λ − λ0 | <

1 . Rλ0 

(8.6)

Beweis. F¨ ur invertierbares Tλ ist nach dem vorigen Lemma auch Tλ′ invertierbar, sofern |λ − λ′ | gen¨ ugend klein ist. Damit ist ρ(T ) offen. σ(T ) ist als Komplement von ρ(T ) abgeschlossen. F¨ ur λ > T  setzen wir in Lemma 8.3 A = −λId, B = Tλ , und erhalten A − B = T  < |λ| =

1 . A−1 

Damit ist Tλ bijektiv. σ(T ) ist abgeschlossen und beschr¨ ankt, also kompakt. angt. Wir w¨ ahlen in Nun zeigen wir, daß Rλ in ρ(T ) analytisch von λ abh¨ ur λ wie in (8.6). Dann ist Rλ bijektiv mit Lemma 8.3 A = Tλ0 , B = Tλ f¨

8.3 Kompakte Operatoren

Rλ = Tλ−1 =

163

∞ ∞    −1 k Tλ0 (Tλ0 − Tλ ) Tλ−1 = Rλk 0 (λ − λ0 )k Rλ0 . 0 k=0

k=0

Angenommen, σ(T ) w¨are leer. Dann ist Rλ in ganz stetig, insbesondere auf Menge |λ| ≤ 2T  beschr¨ ankt. F¨ ur |λ| > 2T  folgt aus ((Id− A)−1 = der k kA ) ∞   1 −1 Rλ = −λ−1 Id − T =− T k λ−k−1 λ k=0 die Absch¨atzung 

Rλ  ≤

∞ 

k=0

T k |λ|−k−1 =

1 1 ≤ . |λ| − T  T 

beschr¨ ankt. F¨ ur beliebige x ∈ X, x′ ∈ X ′ , ist auch Also ist Rλ in ganz ′ ankt in . Nach dem Satz von Liouville (siehe Rλ x, x  analytisch und beschr¨ Satz A.11) ist damit Rλ x, x′  in konstant, was angesichts von Rλ = (T − ⊔ ⊓ λId)−1 ein Widerspruch ist. 





8.3 Kompakte Operatoren Seien X, Y Banach-R¨ aume. Einen Operator T : X → Y hatten wir kompakt genannt, wenn er beschr¨ ankte Mengen auf relativ kompakte Mengen abbildet. Weil relativ kompakte Mengen beschr¨ ankt sind, ist ein kompakter linearer Operator stetig. Die linearen kompakten Operatoren bilden damit eine Teilmenge von L(X, Y ), die wir mit K(X, Y ) bezeichnen. Da in endlich dimensionalen R¨aumen beschr¨ankte Mengen relativ kompakt sind, sind alle linearen Operatoren mit endlich dimensionalem Bild kompakt. Da im Banach-Raum Kompaktheit und Folgenkompaktheit a ¨quivalent sind, ist ein Operator genau dann kompakt, wenn er beschr¨ ankte Folgen auf Folgen abbildet, die eine konvergente Teilfolge besitzen. Satz 8.6. Der Raum K(X, Y ) ist ein abgeschlossener Unterraum von L(X, Y ). Insbesondere folgt aus Tk → T in L(X, Y ) mit Tk kompakt, daß auch T kompakt ist. Beweis. Daß die kompakten Operatoren einen linearen Raum bilden, weist man direkt aus der Definition nach. Sei Tk → T in L(X, Y ) mit Tk komankte Folge in X, also xi X ≤ c. Es muß gezeigt pakt und sei (xi ) eine beschr¨ alt. Durch Auswahl der Diawerden, daß (T xi ) eine konvergente Teilfolge enth¨ gonalfolge (siehe Beispiel 2.18) erhalten wir eine Teilfolge, die wieder mit (xi ) bezeichnet wird, so daß (Tk xi )i∈ konvergent ist f¨ ur jedes k ∈ . Zu vorgegebenem ε > 0 sei k so groß, daß Tk − T  ≤ ε/(3c) ausf¨ allt. Weiter gibt es ein I, so daß Tk xi − Tk xj Y ≤ ε/3 f¨ ur alle i, j > I. F¨ ur diese i, j, k folgt aus der Dreiecksungleichung, 




164

8 Einf¨ uhrung in die Operatorenrechnung und Spektraltheorie

T xi − T xj Y ≤ T xi − Tk xi Y + Tk xi − Tk xj Y + Tk xj − T xj Y ≤T − Tk xi Y +

ε ε ε ε + T − Tk xj Y ≤ c + + c = ε. 3 3c 3 3c

Damit ist die Folge (T xi ) eine Cauchy-Folge und konvergiert in Y.

⊔ ⊓

8.4 Adjungierte Operatoren, Annihilatoren und Gelfandscher Dreier F¨ ur Banach-R¨aume X, Y bezeichnen wir mit ·, · das duale Paar in X bezieur x ∈ X und x′ ∈ X ′ . hungsweise Y, also x, x′  = x′ (x) f¨ Definition 8.7. Seien X, Y Banach-R¨aume und T ∈ L(X, Y ). Dann heißt T ′ ∈ L(Y ′ , X ′ ) mit T x, y ′  = x, T ′ y ′ 

∀x ∈ X, y ′ ∈ Y ′

(8.7)

der adjungierte Operator zu T. Der folgende Satz rechtfertigt diese Definition. Satz 8.8. Durch (8.7) ist ein eindeutiger Operator T ′ ∈ L(Y ′ , X ′ ) bestimmt. Ferner gilt: (a) Der Operator ′ : L(X, Y ) → L(Y ′ , X ′ ) ist eine lineare Isometrie, insbeur alle T ∈ L(X, Y ). sondere gilt T  = T ′  f¨

(b) Sind X, Y, Z Banach-R¨aume und T ∈ L(X, Y ), S ∈ L(Y, Z), so (ST )′ = T ′S ′. (c) Ist T ∈ L(X, Y ) invertierbar, so ist auch (T ′ )−1 ∈ L(X ′ , Y ′ ) mit (T ′ )−1 = (T −1 )′ . Beweis. Die Definition in (8.7) ergibt f¨ ur y ′ ∈ Y ′ T ′ y′ = y′ ◦ T ∈ X ′ . (a) Zum Nachweis von T  = T ′  verwenden wir die Identit¨ at aus Lemma 3.19 sup |x, x′ |, xX = also

x′ ∈X ′ , x′ X ′ ≤1

  T  = sup T x, y ′  : xX ≤ 1, y ′ Y ′ ≤ 1   = sup x, T ′ y ′  : xX ≤ 1, y ′ Y ′ ≤ 1 = T ′ .

Aufgrund der Definitionsgleichung (8.7) ist ′ : T → T ′ linear. (b) ST x, z = T x, S ′ z = x, T ′ S ′ z.

8.4 Adjungierte Operatoren, Annihilatoren und Gelfandscher Dreier

165

(c) Ist T invertierbar, so T −1 ∈ L(Y, X) mit IdX = T −1 T, IdY = T T −1 . Aus Id′X = IdX ′ und (b) folgt dann IdX ′ = (T −1 T )′ = T ′ (T −1 )′ ,

IdY ′ = (T T −1 )′ = (T −1 )′ T ′ .

Wegen T ′ (T −1 )′ x′ = x′ folgt aus der ersten Gleichung R(T ′ ) = X ′ und aus der zweiten N (T ′ ) = {0}. Damit ist T ′ invertierbar mit (T ′ )−1 = (T −1 )′ . ⊔ ⊓ Definition 8.9. Sei X ein Banach-Raum, M ein Unterraum von X und N ein Unterraum von X ′ . Die Annihilatoren von M und N sind dann M ⊥ = {x′ ∈ X ′ : x, x′  = 0 f¨ ur alle x ∈ M }, N⊥ = {x ∈ X : x, x′  = 0 f¨ ur alle x′ ∈ N }. Die Annihilatoren sind offenbar Unterr¨ aume von X ′ bzw. X. N⊥ ist als Durchaßt sich schnitt von Nullr¨aumen stetiger Funktionale abgeschlossen in X. M ⊥ l¨ als Durchschnitt der Nullr¨ aume der i(x), x ∈ M , schreiben. Da die i(x) stetig bez¨ uglich der schwach∗-Topologie von X ′ sind, ist M ⊥ sogar schwach∗ abgeschlossen in X ′ . Satz 8.10. Ist M ein Unterraum eines Banach-Raums X, so (M ⊥ )⊥ = M . Beweis. Ist x ∈ M , so gilt x, x′  = 0 f¨ ur alle x′ ∈ M ⊥ , daher x ∈ (M ⊥ )⊥ . Da ⊥ (M )⊥ abgeschlossen ist, enth¨ alt es die Menge M . Sei nun x ∈ / M . Nach dem  0, daher x ∈ / (M ⊥ )⊥ . Trennungssatz 3.14 gibt es ein x′ ∈ M ⊥ mit x, x′  = ⊓ ⊔ Entsprechend stimmt (N⊥ )⊥ mit dem Abschluß von N in der schwachen∗ otigt Topologie von X ′ u ¨ berein (siehe [Rud74, S. 91]), was hier aber nicht ben¨ wird. Satz 8.11. Seien X,Y Banach-R¨aume und T ∈ L(X, Y ). Dann gilt: (a)

N (T ′ ) = R(T )⊥

und

N (T ) = R(T ′ )⊥ .

(b) Es gilt R(T ) = N (T ′ )⊥ , insbesondere ist der adjungierte Operator injektiv, wenn das Bild von T dicht ist in Y . Beweis. (a) y ′ ∈ N (T ′ ) ist ¨ aquivalent zu x, T ′ y ′  = 0 f¨ ur alle x ∈ X. Nach Definition des adjungierten Operators ist dies ¨aquivalent zu y ′ ∈ R(T )⊥ . Die zweite Behauptung beweist man analog. (b) Aus (a) und Satz 8.10 folgt N (T ′ )⊥ = (R(T )⊥ )⊥ = R(T ).

⊔ ⊓

Der letzte Satz liefert ein einfaches Kriterium f¨ ur die L¨ osbarkeit der Gleichung T x = y. Besitzt T ein abgeschlossenes Bild, so folgt aus (b) die Bedingung y ∈ N (T ′ )⊥ . Mit der Frage, wann ein Operator ein abgeschlossenes Bild besitzt, besch¨aftigen wir uns in Abschnitt 8.6.

166

8 Einf¨ uhrung in die Operatorenrechnung und Spektraltheorie

Satz 8.12. Ist T ∈ K(X, Y ), dann ist der adjungierte Operator T ′ ebenfalls kompakt. Beweis. Sei (yk′ ) eine beschr¨ankte Folge in Y ′ , yk′ Y ′ ≤ K. Die yk′ sind auf der kompakten Menge A = T (B1 (0)) gleichm¨aßig beschr¨ ankt wegen |yk′ (y)| ≤ yk′ Y ′ yY ≤ Kc, und sie sind auf A gleichgradig stetig wegen |yk′ (y1 ) − yk′ (y2 )| ≤ yk′ Y ′ y1 − y2 Y ≤ Ky1 − y2 Y . ur eine Teilfolge, also Nach dem Satz von Arzela-Ascoli gilt yk′ → y ′ in C(A) f¨ ur alle k, l ≥ K, daher supy∈A |yk′ (y) − yl′ (y)| ≤ ε f¨ T ′ yk′ − T ′ yl′ X ′ = sup x, T ′ yk′ − T ′ yl′  = sup T x, yk′ − yl′  ≤ ε. xX =1

xX =1

Damit ist (T ′ yk′ ) Cauchy-Folge in X ′ und der Operator T ′ kompakt.

⊔ ⊓

Im Hilbert-Raum kann der adjungierte Operator mit Hilfe des Skalarprodukts dargestellt werden. Definition 8.13. Seien X, Y Hilbert-R¨aume und T ∈ L(X, Y ). Dann heißt T ∗ ∈ L(Y, X) mit (T x, y) = (x, T ∗ y)

∀x ∈ X, y ∈ Y

(8.8)

die Hilbert-Adjungierte zu T. Ist T ∈ L(X) mit T = T ∗, so heißt T selbstadjungiert. Diese Definition erinnert an den adjungierten Operator, der genaue Zusammenhang wird im folgenden herausgearbeitet. Mit jX : X → X ′ bezeichnen wir die Abbildung, die jedem x ∈ X das Funktional l(y) = jX (x)(y) = (y, x) ∈ X ′ zuordnet. Nach dem Rieszschen Darstellungssatz 2.25 ist jX eine antilineare Isometrie. Gleichung (8.8) k¨ onnen wir schreiben als jY (y)(T x) = ur jedes x ∈ X richtig ist, jX (T ∗ y)(x) und, weil dies f¨ jY (y) ◦ T = jX ◦ T ∗ y

∀y ∈ Y.

(8.9)

Andererseits liefert Gleichung (8.7) jY (y)(T x) = T ′ jY (y)(x) oder jY (y) ◦ T = T ′ ◦ jY (y), zusammen mit (8.9) −1 T ∗ = jX ◦ T ′ ◦ jY .

(8.10)

Hilbert-Adjungierte und adjungierter Operator unterscheiden sich nur in der Darstellung des Dualraums.

8.4 Adjungierte Operatoren, Annihilatoren und Gelfandscher Dreier

167

Satz 8.14. Durch (8.8) ist ein eindeutiger Operator T ∗ ∈ L(Y, X) bestimmt. Ferner gilt: (a) Der Operator ∗ : L(X, Y ) → L(Y, X) ist eine antilineare Isometrie, also T  = T ∗ 

sowie

(λ1 T1 + λ2 T2 )∗ = λ1 T1∗ + λ2 T2∗

∀T ∈ L(X, Y ), f¨ ur alle T1 , T2 ∈ L(X, Y ), λ1 , λ2 ∈ 

.

(b) Sind X, Y, Z Hilbert-R¨aume und T ∈ L(X, Y ), S ∈ L(Y, Z), so (ST )∗ = T ∗ S ∗ ,

T ∗∗ = T.

(c) Wenn T ∈ L(X, Y ) regul¨ar, so ist (T ∗ )−1 ∈ L(X, Y ) mit (T ∗ )−1 = (T −1 )∗ . Insbesondere gilt λ ∈ σ(T )

⇔

λ ∈ σ(T ∗ ).

(d) T ist genau dann kompakt, wenn T ∗ kompakt ist. Beweis. Die Behauptungen folgen aus Lemma 8.8, Satz 8.12 und der Darstellung (8.10). ⊔ ⊓ Beispiel 8.15. Sei X = n , Y = m . Eine lineare Abbildung T : n → m n wird mit einer (m × n)-Matrix T identifiziert. Mit (x, y) = k=1 xk yk folgt aus der Definition des adjungierten Operators  tkl xl yk = (x, T H y), (T x, y) = 



k

∗

also ist T = T

H

=T

T





l

die adjungierte Matrix zu T .

Wie Satz 8.11 beweist man: Satz 8.16. (a) F¨ ur T ∈ L(X, Y ) gilt N (T ∗ ) = R(T )⊥

und

N (T ) = R(T ∗ )⊥ .

(b) Es gilt R(T ) = N (T ∗ )⊥ , insbesondere ist der adjungierte Operator injektiv, wenn das Bild von T dicht ist in Y . Seien X, Y Hilbert-R¨ aume mit X → Y dicht. Nach Satz 8.11 besitzt auch die adjungierte Identit¨ at Id′ : Y ′ → X ′ , Id′ : y ′ → y ′ |X , dichtes Bild. Ist die Einbettung X → Y zus¨ atzlich kompakt, was in den Anwendungen fast immer der Fall ist, so ist nach Satz 8.12 auch Id′ : Y ′ → X ′ kompakt. Identifizieren wir Y mit Y ′ , so bekommen wir folgendes Schema: Id

X

→ Y ↔

x

→ x

Y′

Id′

→

X′

 . (·, y)Y → (·, y)Y X

(8.11)

168

8 Einf¨ uhrung in die Operatorenrechnung und Spektraltheorie

Das Bild von Id′ wird nat¨ urlich mit der Norm von X ′ versehen, die in diesem Zusammenhang negative Norm genannt wird, y−1 = (·, y)X ′ = sup

x∈X

(x, y)Y , xX

y ∈ Y.

(8.12)

Es gilt y−1 ≤ KyY bereits aufgrund der Herleitung, die negative Norm kann auch direkt abgesch¨ atzt werden unter Verwendung von xY ≤ KxX . Nach dem Rieszschen Darstellungssatz gibt es zu jedem y ∈ Y ein xy ∈ X mit (·, y)Y = (·, xy )X . Durch eine elementare Rechnung weist man nach, daß das Supremum in (8.12) f¨ ur x = xy angenommen wird mit y−1 = xy X . Ist X → Y kompakt, so kann die negative Norm sehr anschaulich durch eine Fourier-Reihe charakterisiert werden (siehe Seite 188). Die Identifizierung von Y mit Y ′ ist keinesfalls harmlos, denn nun darf X nicht mehr mit X ′ identifiziert werden. Da dieser Fehler schon Arbeiten zu Fall gebracht hat, soll er an einem Spezialfall erl¨ autert werden. Beispiel 8.17. F¨ ur ein beschr¨anktes Gebiet Ω des (X, (·, ·)X ) = (H01,2 (Ω), (D·, D·)),

n

setzen wir

(Y, (·, ·)Y ) = (L2 (Ω), (·, ·)).

Da die Einbettung H01,2 (Ω) → L2 (Ω) dicht und kompakt ist, ist auch L2 (Ω)′ → H01,2 (Ω)′ dicht und kompakt. Die zugeh¨ orige negative Norm wird dann mit  vu dx Ω u−1,2;Ω = sup , u ∈ L2 (Ω), 1,2 Dv 2;Ω v∈H (Ω) 0

bezeichnet, was angesichts der Tatsache, daß H −1,2 (Ω) ein anderer Raum ist, zumindest verwirrend ist. Die negative Norm ist die Norm der Funktionale auf H01,2 (Ω), die sich durch L2 -Funktionen darstellen lassen. F¨ ur w ∈ H01,2 (Ω) 1,2 uhrt u−1 = mit (Dv, Dw) = (v, u) f¨ ur alle v ∈ H0 (Ω) gilt wie oben ausgef¨ Dw. Gleichzeitig ist w die Darstellung von (·, u) durch das Produkt in H01,2 (Ω). Nach dem Rieszschen Darstellungssatz kann H −1,2 (Ω) mit den Funktionalen (D·, Dw) identifiziert werden mit w ∈ H01,2 (Ω). Der Raum R(Id′ ) besteht dagegen aus den Funktionalen mit Darstellung durch ein w ∈ H01,2 (Ω) mit u = −∆w ∈ L2 (Ω). Die Identifizierung von H01,2 (Ω) mit H −1,2 (Ω) w¨ urde bei Beibehaltung des Schemas (8.11) eine Identifizierung von H −1,2 (Ω) mit dem echten Unterraum R(Id′ ) bedeuten. alt Ganz analog definiert man u−m = supv∈H m,2 (v, u)/D m v. Man erh¨ 0 eine Vielzahl von schwachen Normen, die sich in der Numerik partieller Differentialgleichungen großer Beliebtheit erfreuen.1 1

Die vielleicht sch¨ onste Anwendung der negativen Norm in der Konvergenzanalyse der Finite Elemente Methode soll hier skizziert werden. Das erste Randwertproblem von −∆u = f wird unter Verwendung st¨ uckweise quadratischer Elemente diskretisiert, wobei hier alle R¨ aume als reell vorausgesetzt sind. Die genaue

8.4 Adjungierte Operatoren, Annihilatoren und Gelfandscher Dreier

169

Definition 8.18. F¨ ur Hilbert-R¨aume X, Y heißt das Schema X → Y → X ′, wobei beide Einbettungen dicht sind, Gelfandscher Dreier. Nach den obigen Ausf¨ uhrungen gen¨ ugt schon die dichte Einbettung X → Y f¨ ur einen Gelfandschen Dreier. Beispiel 8.19. Wir betrachten wie in (7.4) den Differentialoperator Lu = −Di (aij Dj u) + bi Di u + cu

(8.13)

mit beschr¨ankten und meßbaren Koeffizientenfunktionen aij , bi , c, und das zugeh¨orige erste Randwertproblem Lu = f in Ω, u = 0 auf ∂Ω. Je nach Wahl des funktionalanalytischen Rahmens erhalten wir unterschiedliche adjungierte Operatoren. (i) In der schwachen Formulierung ist eine Funktion u ∈ X = H01,2 (Ω) gesucht mit Konstruktion solcher Elemente ist hier unwichtig, sondern nur die Approximationsabsch¨ atzung f¨ ur den zugeh¨ origen Raum S0 , n¨ amlich inf vh ∈S0 D(u − vh ) ≤ ch2 D3 u. Die Poisson-Gleichung sei 3-regul¨ ar (vgl. Definition 7.20): Zu jeosung von −∆w = g in H 3,2 mit D 3 w ≤ cg1,2 . dem g ∈ H01,2 ist die L¨ F¨ ur (DPh u, Dvh ) = (f, vh ) folgt dann wie in Satz 7.21 die Fehlerabsch¨ atzung Dk (u − Ph u) ≤ ch3−k f 1,2 , k = 1, 2. F¨ ur die negative Norm bekommen wir osung des ersten Randwertproblems. aber mehr: F¨ ur g ∈ H01,2 sei −∆w = g die L¨ Dann gilt mit einer Approximierenden vh von w (u − Ph u, g) = (D(u − Ph u), Dw) = (D(u − Ph u), D(w − vh )) ≤ D(u − Ph u) D(w − vh ) ≤ ch2 D3 u ch2 D3 w ≤ ch4 f 1,2 g1,2 . ¨ Mit g1,2 ≤ Dg erhalten wir nach Division und Ubergang zum Supremum die 4 Absch¨ atzung u − Ph u−1 ≤ ch f 1,2 , also eine Ordnung mehr als in L2 . Mit dieser Erkenntnis l¨ aßt sich eine interessante Folgerung u ¨ber das Verhalten des Fehlers u − Ph u ziehen. F¨ ur Ω0 ⊂⊂ Ω sei τ eine nichtnegative Abschneidefunktion bez¨ uglich {Ω0 , Ω}. F¨ ur eine Funktion v > 0 in Ω l¨ aßt sich R die negative Norm von v mit Hilfe von τ absch¨ atzen zu v−1 ≥ m (τ, v) ≥ m Ω0 v dx, wobei ¨ angt. Diese Uberlegung gilt auch f¨ ur Teilbereiche von Ω. m > 0 von Ω0 und Ω abh¨ 1 Da die Konvergenzrate in L mit der in L2 u ¨ bereinstimmt, ist eine bessere Rate uber L2 nur m¨ oglich, wenn der Fehler st¨ andig oszilliert. F¨ ur die in H −1,2 gegen¨ Methode mit st¨ uckweise linearen Elementen beobachtet man auf dem Einheitsquadrat bei −∆u = 1, daß u − Ph u > 0 und daß die Konvergenz in Umgebung des Mittelpunkts monoton ist. Anschaulich kann man sagen, daß die linearen Elemente nicht so biegsam sind wie die Membran selbst, was der Ingenieur als steif“ ” bezeichnet. Daß der obige Beweis f¨ ur lineare Elemente scheitert, reflektiert also die Tatsachen.

170

8 Einf¨ uhrung in die Operatorenrechnung und Spektraltheorie

a(u, v) = f (v)

wobei a(u, v) =



Ω



∀v ∈ H01,2 (Ω),

 aij Dj uDi v + bi Di uv + cuv dx,

f (v) =



fi Di v dx,

Ω

mit fi ∈ L2 (Ω). Sei zun¨achst alles reell. Da die Bilinearform in X × X beschr¨ankt ist, bildet der schwache Operator Lu(v) = a(u, v) den Raum X stetig auf X ′ ab. Identifizieren wir X mit X ′′ , so gilt f¨ ur den adjungierten Operator L′ v(u) = a(u, v) ebenfalls L′ ∈ L(X, X ′ ). Ist L bijektiv zwischen den angegebenen R¨aumen, was unter den Voraussetzungen von Satz 7.2 erf¨ ullt ist, so ist nach Satz 8.8(c) das adjungierte Problem L′ v = f in Ω, v = 0 auf ∂Ω, ebenfalls eindeutig l¨ osbar. Ist das Ausgangsproblem nicht reell, so muß es in den entsprechenden komplexen Sobolev-R¨ aumen untersucht werden. Der Operator L bildet nun X auf den Antidualraum X ∗ ab, der aus den stetigen, antilinearen Funktionalen auf X besteht. Wie in Anmerkung 2.30(ii) ausgef¨ uhrt ist, gilt der Satz von Lax-Milgram auch in dieser leicht ge¨anderten Situation. Ist L bijektiv, so ist der adjungierte Operator L′ : X → X ′ , der nun antilinear ist, ebenfalls bijektiv. Man kann die Einf¨ uhrung des Antidualraums vermeiden, indem man das zu l¨osende Problem komplex konjugiert und in der Form b(v, u) = f (v) schreibt. Der adjungierte Operator wird dann definiert durch L′ v(u) = b∗ (u, v) = b(v, u). mit der adjungierten Sesquilinearform b∗ . (ii) Nun setzen wir voraus, daß der Operator L in (8.13) den Raum X = H 2,2 (Ω) ∩ H01,2 (Ω) bijektiv auf Y = L2 (Ω) abbildet, was gem¨ aß Satz 7.4 bei einem elliptischen Operator und gen¨ ugend glatten Daten der Fall ist. Um die Diskussionen aus (i) zu vermeiden, betrachten wir nur den reellen Fall. Als funktionalanalytischen Rahmen nehmen wir den Gelfandschen Dreier X → Y → X ′ . Nach Satz 6.29 besitzt jedes f ∈ X ′ die Darstellung α 2 f (u) = |α|≤2 Ω fα D u dx mit fα ∈ L (Ω). Damit gibt es zu jeder Vorgabe von fα ∈ L2 (Ω) ein eindeutig bestimmtes v ∈ L2 (Ω) mit    ′ L v(u) = vLu dx = fα Dα u dx ∀u ∈ X. (8.14) Ω

|α|≤2

Ω

und v2;Ω ≤ c α fα 2;Ω . Betrachten wir nun den Spezialfall L = −∆. Da die L¨ osung von (8.14) einosung u deutig ist, stimmt sie f¨ ur f ∈ H −1,2 mit der schwachen L¨ ¨ berein. Durch (8.14) wird daher −∆ auf den Raum Y = L2 (Ω) eindeutig fortgesetzt. Durch ein Beispiel zeigen wir, daß diese Fortsetzung tats¨ achlich nur dann m¨ oglich ist, wenn die L¨osungen der Poisson-Gleichung f¨ ur f ∈ L2 (Ω) im Raum H 2,2 (Ω) liegen. Sei n = 2, Ω sei ein Polygongebiet, das eine einspringende Ecke im

8.5 Quotientenr¨ aume

171

Nullpunkt mit innerem Winkel ω enth¨ alt. Dann gilt f¨ ur s− = r −α sin αφ, α = π/ω < 1, daß −∆s− = 0. Mit einer Abschneidefunktion τ, die in Umgebung von 0 gleich 1 ist, ist dann −∆(τ s− ) = f in Ω, τ s− = 0 auf ∂Ω. Da f ∈ L2 (Ω), hat die Gleichung (8.14) eine L¨ osung v ∈ H01,2 (Ω). Man rechnet / H 1,2 (Ω), eine leicht nach (vgl. Beispiel 5.6), daß auch τ s− ∈ L2 (Ω), τ s− ∈ L¨osung im Sinne von (8.14) ist. (iii) In der Theorie partieller Differentialgleichungen wird f¨ ur gew¨ ohnlich der adjungierte Operator anders definiert als in (i) oder (ii). Allgemein bezeichnet man einen Differentialoperator L∗ als formal adjungiert zu L, wenn (Lu, v) = (u, L∗ v) f¨ ur alle u, v ∈ C0∞ (Ω). In unserem Fall erh¨ alt man aus der Greenschen Formel f¨ ur u, v ∈ C0∞ (Ω),   ! (Lu, v) = aij Dj uDi v dx = − (8.15) uDj (aij Di v) dx = (u, L∗ v), Ω

Ω

∗

daher L v = −Dj (aij Di v). Ist das Randwertproblem Lu = f , Bu = 0 auf ∂Ω, mit einem linearen Randoperator B vorgegeben, so heißt das Paar (L∗ , B ∗ ) das adjungierte Randwertproblem, wenn (Lu, v) = (u, L∗ v) f¨ ur alle gen¨ ugend oft differenzierbaren Funktionen mit Bu = 0 und B ∗ v = 0 auf ∂Ω. Die in der Rechnung (8.15) f¨ ur allgemeine u, v auftretenden Randintegrale m¨ ussen also durch die homogenen Randbedingungen Bu = 0 und B ∗ v = 0 verschwinden. Zur Randbedingung u = 0 geh¨ ort offenbar die adjungierte Randbedingung alt das gleiche ort νj aij Di v = 0. Man erh¨ v = 0 und zu νi aij Dj u = 0 geh¨ adjungierte Randwertproblem wie in (i) f¨ ur die R¨ aume H01,2 bzw. H 1,2 , nur werden sie hier in starker Form geschrieben. Man beachte, daß in (i) die Abur invertierbares L Bestandteil der bildungseigenschaft L′ : H01,2 ↔ H −1,2 f¨ Theorie ist, w¨ahrenddessen es hier unklar ist, ob aus L : H 2,2 ∩ H01,2 ↔ L2 auch L∗ : H 2,2 ∩ H01,2 ↔ L2 folgt.

8.5 Quotientenr¨ aume ¨ Sei U ein Unterraum eines Banach-Raums X. Die Aquivalenzklassen [x] = {x+U } bilden mit den Operationen [x]+[y] = [x+y], α[x] = [αx], bekanntlich einen linearen Raum, der Quotientenraum genannt und mit X/U bezeichnet wird. Auf X/U definieren wir den Ausdruck [x]X/U = dist (x, U ) = inf x − yX . y∈U

Satz 8.20. Sei U ein Unterraum eines Banach-Raums X. Dann ist [x]X/U eine Halbnorm auf X/U . Ist U abgeschlossen, so ist [x]X/U eine Norm, Quotientennorm genannt, und (X/U, [x]X/U ) ist ein Banach-Raum. Beweis. Der Ausdruck [x]X/U ist offenbar unabh¨ angig vom Vertreter x der ¨ Aquivalenzklasse [x]. [x]X/U ≥ 0 und α[x]X/U = |α|[x]X/U sind ebenfalls klar.

172

8 Einf¨ uhrung in die Operatorenrechnung und Spektraltheorie

Nun zum Beweis der Dreiecksungleichung. Zu x1 , x2 ∈ X seien y1 , y2 ∈ U mit xi − yi X ≤ dist (xi , U ) + ε. Dann [x1 ] + [x2 ]X/U = [x1 + x2 ]X/U = inf x1 + x2 − yX y∈U

≤ x1 + x2 − (y1 + y2 )X ≤ x1 − y1 X + x2 − y2 X ≤ [x1 ]X/U + [x2 ]X/U + 2ε. Damit ist die Dreiecksungleichung gezeigt. Ist U abgeschlossen, so gilt dist (x, U ) > 0 genau dann, wenn x ∈ / U. Daher [x]X/U = 0 genau dann, wenn [x] = 0. Zum Beweis der Vollst¨ andigkeit verwenden wir das Kriterium aus Aufgabe ¨ onnen in jeder Aquivalenzklasse einen Ver2.1. Sei k [xk ]X/U < ∞. Wir k¨ ′ −k ′ treter mit xk X ≤ [xk ]X/U + 2 w¨ahlen. Dann gilt auch x k X < ∞ k und wegen der Vollst¨andigkeit von X gibt es ein x ∈ X mit x = k x′k . Daher k







[xi ]

[x] − i=1

X/U

k

!





= x− xi

i=1

X/U

k







≤ x − x′i , i=1

X

womit die Konvergenz der Reihe in X/U bewiesen ist.

⊔ ⊓

Eine wichtige Anwendung der Quotientenr¨ aume ist das Herausfaktorisieren des Nullraums eines Operators. Lemma 8.21. Seien X, Y Banach-R¨aume und T ∈ L(X, Y ). Dann ist der Operator T˜ : [x] → T x, T˜ : X/N (T ) → R(T ) stetig und bijektiv zwischen den angegebenen R¨aumen. Beweis. Da der Nullraum N (T ) abgeschlossen ist, ist nach Satz 8.20 der Quotientenraum (X/N (T ),  · X/N (T ) ) ein Banach-Raum. T˜ ist stetig, weil f¨ ur geeignet gew¨ahltes z ∈ N (T ) gilt T xY = T (x − z)Y ≤ Kx − zX ≤ K[x]X/N (T ) + ε. Die Bijektivit¨at von T˜ folgt aus der Konstruktion.

⊔ ⊓

8.6 Operatoren mit abgeschlossenem Bild In Satz 8.11(b) hatten wir f¨ ur die L¨osbarkeit der Operatorgleichung T x = y das Kriterium R(T ) = N (T ′ )⊥ bewiesen. Allerdings kann dieses nur sinnvoll angewendet werden, wenn man bereits weiß, daß T ein abgeschlossenes Bild besitzt. Um eine erste Bedingung f¨ ur die Abgeschlossenheit des Bildes eines Operators herzuleiten, ben¨otigen wir zwei einfache Tatsachen.

8.6 Operatoren mit abgeschlossenem Bild

173

Satz 8.22. Sei X ein Banach-Raum und X0 ein endlich dimensionaler Unterraum von X. Dann existiert eine stetige lineare Projektion P von X auf X0 mit abgeschlossenem Nullraum X1 = N (P ). Es gilt X = X0 ⊕ X1 algebraisch und topologisch, d.h. zu jedem x ∈ X existiert eine eindeutige Zerlegung ur i = 0, 1. x = x0 + x1 mit xi ∈ Xi und xi X ≤ KxX f¨ Beweis. Sei {b1 , . . . , bk } eine Basis von X0 . Dann gibt es lineare Funktionale {f1 , . . . , fk } auf X0 mit fi (bj ) = δij . Die fi k¨ onnen mit Hahn-Banach zu Fi ∈ X ′ fortgesetzt werden. P x = i Fi (x)bi ist offenbar eine stetige lineare Projektion auf X0 . X1 ist abgeschlossen, weil P stetig ist. Die Zerlegung X = atzungen folgen aus x = P x + (Id − P )x X0 ⊕ X1 und die behaupteten Absch¨ und der Stetigkeit von P. ⊔ ⊓ Man beachte den Unterschied zum Projektionssatz 2.27 f¨ ur Hilbert-R¨ aume: X0 ist hier endlich dimensional, die Norm von P h¨ angt von der Dimension von X0 ab und X1 h¨ angt wiederum von der Wahl von P ab. Lemma 8.23. Seien X, Y Banach-R¨aume und T ∈ L(X, Y ). Dann sind ¨ aquivalent: (a) R(T ) ist abgeschlossen in Y . (b) Zu jedem y ∈ R(T ) gibt es ein x mit T x = y und xX ≤ KyY mit K unabh¨angig von y. Beweis. (a) ⇒ (b): Sei T˜ der zugeh¨ orige Operator aus Lemma 8.21. Nach dem Satz vom inversen Operator ist T˜−1 stetig, daher [x]X/N (T ) ≤ ¨ T˜−1 T xX . Da wir in jeder Aquivalenzklasse einen Vertreter mit x′ X ≤ 2[x]X/N (T ) finden k¨ onnen, folgt die Behauptung. (b) ⇒ (a): Bedingung (b) bedeutet gerade, daß der Operator T˜ eine stetige Inverse auf R(T ) besitzt. Damit ist R(T ) als Urbild des Banach-Raums ⊔ ⊓ X/N (T ) unter der Abbildung T˜−1 abgeschlossen. Satz 8.24. Seien X, Y, Z Banach-R¨aume mit X → Y kompakt und sei T ∈ L(X, Z). Dann sind ¨ aquivalent: (a) Das Bild von T ist abgeschlossen in Z und der Nullraum N (T ) ist endlich dimensional. (b) Es existiert eine Konstante K mit xX ≤ K(T xZ + xY )

∀x ∈ X.

(8.16)

Beweis. (a) ⇒ (b): Mit X0 = N (T ) gilt nach Satz 8.22 X = X0 ⊕ X1 mit abgeschlossenen R¨ aumen X0 und X1 . Da die Einschr¨ ankung von T auf X1 bijektiv zwischen den Banach-R¨ aumen X1 und R(T ) ist, folgt aus dem Satz vom inversen Operator x1 X ≤ K1 T x1 Z

∀x1 ∈ X1 .

174

8 Einf¨ uhrung in die Operatorenrechnung und Spektraltheorie

Als endlich dimensionaler Raum ist N (T ) auch abgeschlossen in Y , damit ist die Projektion P : Y → N (T ) (in Y ) → N (T ) (in X) stetig, es gilt also Daher

P yX ≤ K0 yY

∀y ∈ Y.

xX ≤ x0 X + x1 X ≤ P xX + K1 T x1 Z ≤ K0 xY + K1 T xZ ≤ K(T xZ + xY ), also gerade (8.16). F¨ ur diese Richtung wurde die Kompaktheit der Einbettung X → Y nicht benutzt. (b) ⇒ (a): Wir setzen wieder X0 = N (T ). Auf X0 reduziert sich (8.16) zu x0 X ≤ Kx0 Y . Wegen der kompakten Einbettung X → Y ist dies ist nur m¨oglich, wenn X0 endlich dimensional ist. Sei X = X0 ⊕ X1 wie in Satz 8.22. Wir zeigen, daß das Bild von T abgeschlossen ist. Dazu wird mit einem Standardschluß (vgl. den Beweis von Satz 6.22) nachgewiesen, daß xX ≤ cT xZ

∀x ∈ X1

(8.17)

gilt. Ist diese Bedingung nicht erf¨ ullt, gibt es eine Folge (xk ) in X1 mit xk X = 1 und

1 = xk X ≥ kT xk Z .

Wegen der kompakten Einbettung X → Y gilt xk → x in Y f¨ ur eine Teilfolge. Ferner ist T xk → 0 in Z. Aus (8.16) folgt dann, daß (xk ) eine Cauchy-Folge in X ist, also xk → x auch in X. Da X1 abgeschlossen ist, folgt x ∈ X1 mit T x = 0, daher x = 0. Widerspruch zu xk → x in X und xk X = 1 ! Die Behauptung folgt aus (8.17) und Lemma 8.23. ⊔ ⊓ Beispiel 8.25. Wir betrachten den Differentialoperator L aus Beispiel 8.19. F¨ ur gen¨ ugend glatte Daten und L elliptisch liefert Satz 7.4 die a-priori Absch¨atzung (f = Lu !) u2,2;Ω ≤ c(Lu2;Ω + u1,2;Ω ). Mit X = H 2,2 (Ω) ∩ H01,2 (Ω), Y = H01,2 (Ω) und Z = L2 (Ω) sind alle Voraussetzungen von Satz 8.24 erf¨ ullt. N (L) ist daher endlich dimensional und R(L) ist abgeschlossen in L2 (Ω). Satz 8.26 (Satz vom abgeschlossenen Bild, Closed Range Theorem). Seien X, Y Banach-R¨aume und T ∈ L(X, Y ). Dann sind ¨aquivalent: (a) R(T ) ist abgeschlossen in Y . (b) R(T ) = N (T ′ )⊥ .

(c) R(T ′ ) ist abgeschlossen in X ′ . (d) R(T ′ ) = N (T )⊥ .

8.6 Operatoren mit abgeschlossenem Bild

175

F¨ ur den Beweis ben¨otigen wir das folgende Lemma. Lemma 8.27. Gibt es ein m > 0 mit my ′ Y ′ ≤ T ′ y ′ X ′ f¨ ur alle y ′ ∈ Y ′ , so ist T offen. Beweis. Sei Ua = Ba (0) ⊂ X und Va = Ba (0) ⊂ Y. Wegen der Homogenit¨ at linearer Abbildungen gen¨ ugt es, Vm ⊂ T (U1 ) zu zeigen. Mit der Methode aus Schritt (iii) des Beweises von Satz 3.7 kann dies auf Vm ⊂ T (U1 ) zur¨ uckgef¨ uhrt werden. F¨ ur einen indirekten Beweis nehmen wir an, es gibt ein y0 ∈ Vm , also / T (U1 ). Da T (U1 ) als Abschluß der konvexen Menge y0 Y < m, aber y0 ∈ T (U1 ) konvex ist, k¨onnen wir die Mengen T (U1 ) und {y0 } mit Hahn-Banach ur alle y ∈ T (U1 ), also trennen, es gibt ein y ′ ∈ Y ′ mit Re y, y ′  < Re y0 , y ′  f¨ Re T x, y ′  < Re y0 , y ′  f¨ ur alle x ∈ U1 . Mit der Darstellung T x, y ′  = αr, |α| = 1, r ≥ 0, folgt Re y0 , y ′  > Re T (αx), y ′  = Re αT x, y ′  = r = |T x, y ′ |, also my ′ Y ′ ≤ T ′ y ′ X ′ = sup |x, T ′ y ′ | = sup |T x, y ′ | x∈U1

x∈U1

≤ |y0 , y ′ | ≤ y0 Y y ′ Y ′ , daher y0 Y ≥ m im Widerspruch zu y0 ∈ Vm .

⊔ ⊓

Beweis von Satz 8.6. (a) ⇔ (b) ist Satz 8.11. (a) ⇒ (d): F¨ ur x ∈ N (T ) gilt 0 = y ′ (T x) = T ′ y ′ (x), daher R(T ′ ) ⊂ ⊥ N (T ) . Zum Beweis der umgekehrten Richtung definieren wir f¨ ur x′ ∈ N (T )⊥ ein Funktional auf R(T ): Zu y ∈ R(T ) w¨ ahlen wir ein x ∈ X mit T x = y und setzen f (y) = x, x′ . f ist wohldefiniert, denn wenn auch T x1 = y erf¨ ullt ist, so ist x − x1 ∈ N (T ) und damit x, x′  = x1 , x′  wegen x′ ∈ N (T )⊥ . f ist offenbar linear. Zum Nachweis der Stetigkeit verwenden wir Lemma 8.23. F¨ ur y ∈ R(T ) und x mit T x = y, xX ≤ KyY , gilt |f (y)| = |x, x′ | ≤ x′ X ′ xX ≤ x′ X ′ KyY . f wird mit Hahn-Banach zu F ∈ Y ′ fortgesetzt. Wegen x, x′  = f (T x) = F (T x) = T ′ F (x) ∀x ∈ X ist T ′ F = x′ . Damit ist N (T )⊥ ⊂ R(T ′ ) gezeigt. (d) ⇒ (c): Der Annihilator N (T ′ )⊥ ist abgeschlossen. (c) ⇒ (a): Sei also R(T ′ ) abgeschlossen. Wir setzen Z = R(T ) und definieren S ∈ L(X, Z) durch Sx = T x. F¨ ur y ′ ∈ Y ′ und x ∈ X gilt   x, T ′ y ′  = T x, y ′  = Sx, y ′ Z  = x, S ′ (y ′ Z ).

176

8 Einf¨ uhrung in die Operatorenrechnung und Spektraltheorie

Diese Identit¨at l¨aßt sich auch von rechts nach links lesen, wenn man y ′ als eine beliebige Fortsetzung von y ′ Z interpretiert. Damit ist R(T ′ ) = R(S ′ ) gezeigt, insbesondere ist nach Voraussetzung R(S ′ ) abgeschlossen. Da das Bild von S dicht liegt, ist nach Satz 8.11(b) S ′ injektiv. S ′ ist also stetig und bijektiv zwischen Z ′ und R(S ′ ). Da die Inverse von S ′ stetig ist, folgt mz ′ Z ′ ≤ S ′ z ′ X ′ . Nach Lemma 8.27 ist R(S) = Z, daher R(T ) = Z = R(T ). ⊔ ⊓

8.7 Fredholm-Operatoren und die Spektraltheorie kompakter Operatoren Definition 8.28. Seien X, Y Banach-R¨aume. T ∈ L(X, Y ) heißt FredholmOperator, wenn N (T ) endlich dimensional und die Kodimension von R(T ), also codim R(T ) = dim Y /R(T ), ebenfalls endlich ist. Die ganze Zahl ind T = dim N (T ) − codim R(T ) heißt Index des Fredholm-Operators. F¨ ur einen Fredholm-Operator vom Index 0 gilt die Fredholmsche Alternative: Entweder ist die Gleichung T x = y f¨ ur alle y ∈ X eindeutig l¨ osbar, d.h. T ist bijektiv, oder die Gleichung ist nicht f¨ ur alle y l¨ osbar. Dann und nur dann gibt es einen endlich dimensionalen Eigenraum von T. Das Bild eines Fredholm-Operators ist abgeschlossen wegen: Satz 8.29. Seien X, Y Banach-R¨aume. Sei T ∈ L(X, Y ) mit codim R(T ) < ∞. Dann besitzt T ein abgeschlossenes Bild. Beweis. Wie in Lemma 8.21 betrachten wir den stetigen Operator T˜ : X/N (T ) → R(T ). W sei ein endlich dimensionaler Komplement¨ arraum zu R(T ), also Y = R(T ) ⊕ W. Setze S : X/N (T ) × W → Y,

S([x], w) = T˜[x] + w.

Die Abbildung S ist linear, stetig und bijektiv auf dem Banach-Raum X/N (T ) × W, nach dem Prinzip vom inversen Operator ist S −1 stetig. Damit ist R(T ) als Urbild der abgeschlossenen Menge X/N (T ) × {0} abgeschlossen. ⊔ ⊓ Aus Satz 8.6 folgt daher, daß der adjungierte Operator T ′ : Y ′ → X ′ eines Fredholm-Operators ebenfalls ein Fredholm-Operator ist mit dim N (T ′ ) = codim R(T ) und codim R(T ′ ) = dim N (T ), daher ind T ′ = −ind T. Nachweisen l¨aßt sich die Fredholm-Eigenschaft eines Operators, indem man die a-priori Absch¨atzungen in Satz 8.24 f¨ ur T und T ′ zeigt, allerdings kann dann nichts u alt man mit ¨ ber den Index ausgesagt werden. Mehr Informationen erh¨ dem folgenden Satz.

8.7 Fredholm-Operatoren und die Spektraltheorie kompakter Operatoren

177

Satz 8.30 (Riesz-Schauder). Sei X ein unendlich dimensionaler BanachRaum und T ∈ K(X). Dann gilt: (a) 0 ist Spektralwert von T. (b) Tλ = T − λId ist f¨ ur λ = 0 ein Fredholm-Operator vom Index 0, insbesondere ist jeder Spektralwert Eigenwert. (c) Es gibt h¨ochstens abz¨ahlbar viele Eigenwerte, die keinen H¨aufungspunkt haben außer eventuell Null. Der Beweis wird in mehreren Schritten erbracht. Sei S = Id − T. Lemma 8.31. Der Nullraum von S n ist endlich dimensional und das Bild von S n ist abgeschlossen. Beweis. Wegen x = Sx + T x gilt x ≤ Sx + T x. Die Behauptungen f¨ ur n = 1 folgen hieraus wie in Satz 8.24, Richtung (b)⇒(a). Mit der binomischen Formel erhalten wir S n = (Id − T )n = Id +

n    n (−T )k = Id − Tn , k

k=1

wobei Tn als Summe kompakter Operatoren kompakt ist. Damit folgt die Behauptung f¨ ur alle n. ⊔ ⊓ Lemma 8.32. Wenn N (S) = {0}, so ist R(S) = X. Beweis. Die Mengen Rj = R(S j ) bilden eine fallende Folge abgeschlossener are echter Unterraum von Rj f¨ ur Unterr¨aume von X. Angenommen, Rj+1 w¨ alle j. Nach dem Rieszschen Lemma 2.6 gibt es dann ein yj ∈ Rj mit yj  = 1 und yj − z ≥ 1/2 f¨ ur alle z ∈ Rj+1 . F¨ ur j > k folgt hieraus T yk − T yj = yk + (−yj − Syk + Syj ) = yk − z

mit einem z ∈ Rk+1 ,

also T yk − T yj  ≥ 1/2, was einen Widerspruch zur Kompaktheit von T bedeutet. Daher Rj+1 = Rj f¨ ur ein j. Sei y ∈ X beliebig gew¨ ahlt. Wegen S j y ∈ Rj = Rj+1 gilt S j y = S j+1 x f¨ ur ein x. Daher S j (y − Sx) = 0 und wegen N (S) = {0} folgt Sx = y. Damit ist S surjektiv. Lemma 8.33. Es gilt codim R(S) = dim N (S).

⊔ ⊓

178

8 Einf¨ uhrung in die Operatorenrechnung und Spektraltheorie

Beweis. Wir zeigen zun¨achst codim R(S) ≤ dim N (S). Nach Lemma 8.31 ist k = dim N (S) endlich. Wir f¨ uhren einen indirekten Beweis und nehmen dazu an, daß dim N (S) < codim R(S). Dann gibt es einen k-dimensionalen Raum Y , so daß Y ⊕ R(S) ein echter Unterraum von X ist. Sei PN : X → N (S) eine stetige Projektion in den endlich dimensionalen Unterraum N (S) gem¨ aß Satz 8.22. Weiter sei J ein Isomorphismus zwischen den k-dimensionalen R¨ aumen N (S) und Y. Der Operator T˜ = T − J ◦ PN ist kompakt, weil T kompakt ist und J ◦ PN ein endlich dimensionales Bild ˜ f¨ besitzt. Betrachte N (S) ur den Operator S˜ = Id − T˜ = S + J ◦ PN . ˜ = 0 folgt x ∈ N (S) und x ∈ N (J ◦ PN ), weil die Operatoren Bilder Aus Sx in den komplement¨ aren Unterr¨ aumen R(S) bzw. Y besitzen. Nach Lemma ˜ = X, andererseits aber auch R(S) ˜ ⊂ Y ⊕ R(S), was einen 8.32 ist also R(S) Widerspruch zu Y ⊕ R(S) = X ergibt. ¨ Die zweite Behauptung beweisen wir durch Ubergang zum adjungierten Operator S ′ = Id′ − T ′ : X ′ → X ′ . Da nach Satz 8.12 auch T ′ kompakt ist, sind die bisher bewiesenen Aussagen auch f¨ ur T ′ g¨ ultig, insbesondere gilt codim R(S ′ ) ≤ dim N (S ′ ). Nach dem Satz vom abgeschlossenen Bild 8.6 folgt dim N (S) ≤ codim R(S). ⊔ ⊓ Mit diesen Lemmata haben wir die Aussagen (a) und (b) von Satz 8.30 f¨ ur den Operator Tλ = T − λId = −λ(Id − λ−1 T ),

λ = 0,

bewiesen. Das n¨achste Lemma gibt Auskunft u ¨ ber die Struktur der Eigenwerte. Lemma 8.34. Ein kompakter Operator hat h¨ochstens abz¨ahlbar viele Eigenwerte, die keinen H¨aufungspunkt in besitzen außer eventuell 0. Jeder Eigenwert ungleich 0 hat endliche Vielfachheit. 

Beweis. Als erstes zeigen wir, daß wie im endlich dimensionalen Fall Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten linear unabh¨ angig sind. Seien λ1 , . . . , λk paarweise verschiedene Eigenwerte des kompakten Operators T . Angenommen, f¨ ur die zugeh¨ origen Eigenvektoren w¨ urde xk =

k−1 

αi xi

i=1

gelten mit linear unabh¨ angigen x1 , . . . , xk−1 . Dann folgt nach Anwendung von T − λk Id,

8.8 Integralgleichungen

0=

k−1  i=1

αi (T − λk Id)xi =

k−1  i=1

179

αi (λi − λk )xi .

Wegen λi = λk widerspricht dies der linearen Unabh¨ angigkeit von x1 , . . . , xk−1 . Sei λ = 0 und seien λk nicht notwendig verschiedene Eigenwerte mit λk → λ. Nach dem vorigen Beweisschritt k¨ onnen wir annehmen, daß die zugeh¨ origen angig sind. Auf Xk = span {x1 , . . . , xk } wenden Eigenvektoren xk linear unabh¨ wir das Rieszsche Lemma 2.6 an: Es gibt ein yk ∈ Xk mit yk  = 1 und ur alle z ∈ Xk−1 . F¨ ur k > l gilt yk − z ≥ 1/2 f¨ −1 −1 −1 λ−1 k T yk − λl T yl = yk + (−yl + λk Tλk yk − λl Tλl yl )

= yk − z

mit einem z ∈ Xk−1 ,

denn der xk -Anteil in Tλk yk verschwindet und Tλl yl bleibt in Xl . Daher −1 λ−1 k T yk − λl T yl  ≥

1 , 2

was wegen der Beschr¨ anktheit der Folge (λ−1 k yk ) der Kompaktheit von T widerspricht. ⊓ ⊔ Damit haben wir Satz 8.30 fast bewiesen – bis auf die Tatsache, daß λ = 0 immer Spektralwert ist. Das ist jedoch trivial, denn andernfalls w¨ are R(T ) = X, was einen Widerspruch zur Kompaktheit von T bedeutet.

8.8 Integralgleichungen ur K ∈ L2 (Ω × Ω) Auf einem beschr¨ ankten Gebiet Ω ⊂ n betrachten wir f¨ die Integralgleichung  λu(x) = K(x, y)u(y) dy. (8.18) Ω

F¨ ur den zugeh¨origen Operator T u(x) =



K(x, y)u(y) dy Ω

gilt im komplexen Hilbert-Raum X = L2 (Ω): Satz 8.35. T ∈ K(X) und der adjungierte Operator berechnet sich zu  ∗ T v(x) = K(y, x)v(y) dy. Ω

180

8 Einf¨ uhrung in die Operatorenrechnung und Spektraltheorie

Beweis. Nach dem Satz von Fubini ist die Funktion K(x, ·) f¨ ur fast alle x aus Ω integrierbar. F¨ ur diese x gilt daher   2    2 2 |T u(x)| =  K(x, y)u(y) dy  ≤ |K(x, y)| dy |u(y)|2 dy. Ω

Ω

Ω

2

Wegen K ∈ L (Ω × Ω) ist die Funktion auf der rechten Seite integrierbar. Daher T u ≤ KL2 (Ω×Ω) u

und T ∈ L(X) mit

T  ≤ KL2 (Ω×Ω) .

(8.19) 2

Zum Nachweis der Kompaktheit von T wird K in L (Ω × Ω) durch eine ˜ ∈ C0∞ (Ω×Ω) approximiert. F¨ Funktion K ur den zugeh¨ origen Integraloperator gilt      ˜ ˜ ′ , y) u(y) dy  K(x, y) − K(x |T˜u(x) − T˜u(x′ )| =  Ω

˜ ˜ ′ , y)| ≤ sup |K(x, y) − K(x y∈Ω



Ω

|u(y)| dy

˜ ˜ ′ , y)| u µ(Ω)1/2 . ≤ sup |K(x, y) − K(x y∈Ω

˜ beschr¨ankte Ableitungen besitzt, ist die Menge {T˜u : Da die Funktion K u ≤ 1} gleichm¨aßig beschr¨ankt und gleichgradig stetig. Damit ist T˜ : X → atzung C(Ω) kompakt und wegen C(Ω) → X auch T˜ ∈ K(X). Die Absch¨ (8.19) angewendet auf T − T˜ zeigt u ¨ berdies, daß T durch T˜ in der Norm von L(X) approximiert wird. Damit kann T als Grenzwert von kompakten Operatoren dargestellt werden und ist nach Satz 8.6 selber kompakt. Der Satz von Fubini liefert       (T u, v) = K(x, y)u(y) dy v(x) dx = K(y, x)v(y) dy dx u(x) Ω

Ω

Ω

Ω

= (u, T ∗ v).

⊓ ⊔ Nach dem letzten Abschnitt hat die Gleichung (8.18) nur f¨ ur abz¨ ahlbar viele λ nichttriviale L¨osungen und die zugeh¨ origen L¨ osungsr¨ aume sind endlich dimensional.

8.9 G˚ ardingsche Ungleichung In diesem Abschnitt werden alle R¨ aume als komplex vorausgesetzt. Die Ergebnisse bleiben jedoch sinngem¨aß auch f¨ ur reelle R¨ aume richtig (siehe Abschnitt A.7).

8.9 G˚ ardingsche Ungleichung

181

Definition 8.36. Sei X → Y → X ′ ein Gelfandscher Dreier mit X → Y kompakt. Eine auf X × X beschr¨ankte Sesquilinearform a(·, ·) erf¨ ullt eine G˚ ardingsche Ungleichung, wenn es ce > 0 und c0 ∈ gibt mit ce x2X − c0 x2Y ≤ Re a(x, x)

∀x ∈ X.

(8.20)

F¨ ur f ∈ X ′ wird im folgenden die L¨ osbarkeit des Problems a(y, x) = f (y)

∀y ∈ X

(8.21)

untersucht. Satz 8.37. Die beschr¨ankte Sesquilinearform a(·, ·) erf¨ ulle eine G˚ ardingsche Ungleichung. Dann gilt: (a) Der zugeh¨orige Operator T : X → X ′ , x → a(·, x), ist ein FredholmOperator vom Index 0. Insbesondere ist das Problem (8.21) entweder f¨ ur jedes f ∈ X ′ eindeutig l¨osbar, oder es gibt ein x = 0 mit a(y, x) = 0 f¨ ur alle y ∈ X. (b) Sei (Xk ) eine aufsteigende Folge endlich dimensionaler Unterr¨aume von X mit ∪Xk = X. Ist x0 = 0 die eindeutige L¨osung des homogenen Problems a(y, x) = 0 f¨ ur alle y ∈ X, so gibt es ein K ∈ , so daß die L¨osung Pk x ∈ Xk des Galerkin-Verfahrens zu (8.21), 

a(yk , Pk x) = f (yk )

∀yk ∈ Xk ,

(8.22)

f¨ ur alle k ≥ K existiert mit Pk x → x in X. Beweis. (a) Die Abbildung J : X → X ′,

Jx(y) = (y, x)Y ∀y ∈ X,

ist kompakt, weil X → Y kompakt ist. Ferner ist nach dem Satz von LaxMilgram der Operator T + c0 J : X → X ′ bijektiv, weil die Sesquilinearform ankt und koerziv ist. Die Gleichung T x = a0 (y, x) = a(y, x) + c0 (y, x)Y beschr¨ f kann daher umgeschrieben werden zu   Id − (T + c0 J)−1 c0 J x = (T + c0 J)−1 f.

Als Komposition eines stetigen und eines kompakten Operators ist (L + c0 J)−1 c0 J : X → X nach Lemma 2.19 kompakt. Die Behauptung folgt aus Satz 8.30. (b) Wir zeigen: Unter den Voraussetzungen von (b) gibt es ein K ∈ und eine Konstante c > 0 mit 

cx ≤ sup

y∈Xk

a(y, x) yX

f¨ ur alle x ∈ Xk und alle k ≥ K.

(8.23)

Angenommen, dies w¨ are nicht richtig. Dann gibt es eine Teilfolge (xk ) mit xk ∈ Xk und

182

8 Einf¨ uhrung in die Operatorenrechnung und Spektraltheorie

1 = xk X ≥ k sup

y∈Xk

a(y, xk ) . yX

(8.24)

Hieraus folgt wieder f¨ ur eine Teilfolge xk ⇁ x in X und xk → x in Y . Sei y ∈ X. Dann gibt es nach (7.27) zu jedem ε > 0 ein l ∈ und ein yl ∈ Xl mit y − yl X ≤ ε. Es gilt a(yl , xk ) → 0 wegen (8.24) und a(yl , x − xk ) → 0 wegen xk ⇁ x, daher 

a(y, x) = a(y − yl , x) + a(yl , x − xk ) + a(yl , xk ) → a(y − yl , x). Wegen |a(y − yl , x)| ≤ cb y − yl  · 1 ≤ cb ε folgt a(y, x) = 0 f¨ ur alle y ∈ X. Aufgrund der vorausgesetzten eindeutigen L¨osbarkeit des homogenen Problems gilt x = 0. Wegen xk → 0 in Y folgt aus der G˚ ardingschen Ungleichung a(xk , xk ) ≥ ce xk 2X − c0 xk 2Y ≥

ce 2

f¨ ur gen¨ ugend große k. Aus (8.24) f¨ ur y = xk folgt a(xk , xk ) → 0, was einen Widerspruch zur letzten Absch¨ atzung bedeutet. (8.23) ist daher gezeigt. Mit (8.23) ist die Matrix des Galerkin-Verfahrens (8.22) f¨ ur gen¨ ugend große k regul¨ar, denn das homogene Problem ist eindeutig l¨ osbar. F¨ ur beliebiges zk ∈ Xk gilt mit a(yk , x) = a(yk , Pk x) x − Pk xX ≤ x − zk X + zk − Pk xX ≤ x − zk X + c−1 sup

a(yk , zk − Pk x) yk X

= x − zk X + c−1 sup

a(yk , zk − x) ≤ (1 + c−1 cb )x − zk , yk X

yk ∈Yk

yk ∈Yk

daher Pk x → x in X.

⊔ ⊓

Beispiel 8.38. Als Anwendung betrachten wir den Operator Lu = −Di (aij Dj u) + bi Di u + cu auf einem beschr¨ ankten Gebiet Ω. Die Koeffizientenfunktionen seien reell, meßbar und beschr¨ankt, der Operator sei elliptisch, λ|ξ|2 ≤ aij ξi ξj

∀ξ ∈

n

.

Die zugeh¨orige Form wird auf nat¨ urliche Weise zur Sesquilinearform    a(v, u) = aij Di vDj u + bi vDi u + cvu dx Ω

auf dem komplexwertigen H 1,2 (Ω) fortgesetzt. Wie man leicht nachrechnet oder in Abschnitt A.7 nachschl¨agt, u ¨ bertragen sich viele Eigenschaften der

8.9 G˚ ardingsche Ungleichung

183

reellen Bilinearform auf die auf diese Weise fortgesetzte Form: Der Hauptteil bleibt koerziv und eine beschr¨ ankte Form bleibt beschr¨ ankt. Es gilt daher  Re a(u, u) ≥ λDu22;Ω − {|bi Di uu| + |cuu|} dx Ω

≥

λDu22;Ω

− cDu2;Ω u2;Ω − cu22;Ω ,

wobei c von Di b∞ , c∞ abh¨ angt. Mit der Youngschen Ungleichung folgt Re a(u, u) ≥

λ Du22;Ω − c0 u22;Ω . 2

In Abschnitt 7.2 wurde bereits gezeigt, daß a(·, ·) auf H 1,2 (Ω) beschr¨ ankt ist. Damit kann der letzte Satz f¨ ur jeden Hilbert-Raum X ⊂ H 1,2 (Ω) angewendet aquivalent ist. Insbesonwerden, sofern seine Norm mit der Norm in H 1,2 (Ω) ¨ dere ist das Problem a(v, u) = f (v) schon dann f¨ ur alle f ∈ X ′ eindeutig in X l¨osbar, wenn die Inversmonotonie f¨ ur schwache L¨ osungen 7.8 erf¨ ullt ist. Sind die Koeffizienten des Hauptteils komplexwertig, so kann man auf die allgemeine G˚ ardingsche Ungleichung in Satz 9.43 zur¨ uckgreifen, in diesem Fall m¨ ussen die aij allerdings stetig sein. Wir betrachten das Dirichlet-Problem f¨ ur Lu = −Di (aij Dj u) + bi Di u unter gleichen Voraussetzungen wie oben. Mit Beispiel 7.16 kann man diesen Operator als ein vereinfachtes Modell f¨ ur eine station¨ are Temperaturverteilung in einem sich bewegenden Medium ansehen, wobei b = (b1 , . . . , bn ) die Geschwindigkeit dieses Mediums ist. F¨ ur das Problem Lu = f in Ω,

u = 0 auf ∂Ω,

(8.25)

wurde in Abschnitt 7.2 Existenz nur gezeigt, wenn bi ∞ klein ist oder Di bi eine Vorzeichenbedingung erf¨ ullt. Da der Operator der Fredholmschen Alternative gen¨ ugt, braucht f¨ ur die Existenz nur die eindeutige schwache L¨ osbarkeit des homogenen Problems Lu = 0 in Ω,

u = 0 auf ∂Ω,

(8.26)

nachgewiesen zu werden. F¨ ur jede schwache L¨ osung u von (8.26) zeigt man bei glatten Daten mit den Methoden aus Abschnitt 7.3, daß sie auch eine klassische L¨osung ist, also u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω). Dann wird auf (8.26) f¨ ur Real- und Imagin¨ arteil das Maximumprinzip f¨ ur klassische L¨ osungen, Satz 7.13, angewendet und man erh¨ alt in der Tat u = 0. Damit ist (8.25) f¨ ur alle f ∈ L2 eindeutig schwach l¨ osbar.

184

8 Einf¨ uhrung in die Operatorenrechnung und Spektraltheorie

8.10 Das abstrakte Eigenwertproblem Seien (X, a(·, ·)) und (Y, (·, ·)) reelle Hilbert-R¨aume mit kompakter und dichter Einbettung X → Y . Die Normen bezeichnen wir mit  · X bzw.  · . Wir betrachten das Eigenwertproblem a(u, v) = λ(u, v) ∀v ∈ X

(8.27)

mit dem Eigenvektor u ∈ X zum Eigenwert λ. Satz 8.39 (Courant-Hilbert). Sei X unendlich dimensional und seien die ubrigen Voraussetzungen an X und Y wie angegeben erf¨ ullt. Dann besitzt ¨ (8.27) abz¨ahlbar unendlich viele Eigenwerte λk , k ∈ , mit Eigenvektoren uk ∈ X, uk  = 1, wobei die Eigenwerte zu mehrfachen Eigenvektoren auch mehrfach gez¨ahlt werden. Diese haben die Eigenschaften: (a) Es gilt 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ . . . → ∞, die Eigenwerte besitzen daher endliche Vielfachheiten und es gibt keine H¨aufungspunkte von Eigenwerten. 

(b) Die Eigenvektoren sind sowohl a(·, ·)-, als auch (·, ·)-orthogonal, (uk , ul ) = δkl ,

a(uk , ul ) = λk δkl .

Die Eigenvektoren bilden ein vollst¨andiges System in X und in Y : Zu v ∈ Y setze ci = (v, ui ) (= i-ter Fourier-Koeffizient) und k  vk = ci ui (= k-ter Fourier-Abschnitt). i=1

Dann gilt vk → v in Y sowie vk → v in X f¨ ur v ∈ X und v =

∞  i=1

c2i

1/2

,

vX =

∞ 

λi c2i

i=1

1/2

falls v ∈ X.

(c) Die Eigenwerte lassen sich variationell charakterisieren durch λk =

min

v⊥Y Ek−1

R(v),

mit dem Rayleighquotienten R(v) = und

a(v, v) (v, v)

Ek−1 = span {u1 , . . . , uk−1 }, wobei das Minimum f¨ ur v = uk angenommen wird (=Rayleighsches Minimumprinzip). (d) Es gilt das Courantsche Minmax-Prinzip:

8.10 Das abstrakte Eigenwertproblem

λk = min



185



max R(v), Mk ⊂ X, dim Mk = k ,

v∈Mk

wobei das Minimum f¨ ur Mk = Ek angenommen wird.

Anmerkungen 8.40 (i) Der Satz gilt auch f¨ ur endlich dimensionale R¨ aume, es gibt dann nur dim X viele Eigenwerte und Eigenvektoren. X dicht in Y “ ” bedeutet in diesem Fall X = Y ∼ = n . Nach Beispiel 2.24 wird jedes innere Produkt durch eine symmetrische und positiv-definite Matrix erzeugt. Das Eigenwertproblem (8.27) ist daher Ax = λBx mit symmetrischen und positivdefiniten Matrizen A und B. (ii) Das Courantsche Minmax-Prinzip hat den Vorteil, daß in der Charakterisierung von λk die Eigenvektoren u1 , . . . , uk−1 nicht vorkommen. Gilt beispielsweise f¨ ur die Rayleighquotienten der Bilinearformen ai (·, ·) die Beziehung R1 (v) ≤ R2 (v) f¨ ur alle v ∈ X, so folgt λk (a1 ) ≤ λk (a2 ) f¨ ur alle k. Diesen Schluß w¨ urde das Rayleighsche Minimumprinzip nur f¨ ur den ersten Eigenwert gestatten. (iii) Mit R : X ′ → X, a(Rg, v) = g(v) f¨ ur alle v ∈ X, und J : X → X ′ , u → (u, ·), ist (8.27) ¨ aquivalent zu u = λRJu oder (Id − λRJ)u = 0. Der Operator RJ : X → X ist kompakt, weil J kompakt ist. Ferner ist er selbstadjungiert wegen a(RJu, v) = Ju(v) = (u, v) = Jv(u) = a(u, RJv). Das abstrakte Eigenwertproblem ist daher die Spektraltheorie des kompakten selbstadjungierten Operators. Beweis. Zum Existenzbeweis verwenden wir die Charakterisierung in (c). Sei ur den Rayleighquotien(vi ) eine mit vi  = 1 normierte Minimalfolge in X f¨ ten, also a(vi , vi ) ց inf R(v) = λ1 . v∈X

Da die Minimalfolge in X beschr¨ ankt und die Einbettung X → Y kompakt ur eine Teilfolge. Wegen der Stetigkeit der Norm ist ist, gilt vi → u1 in Y f¨ u1  = 1. Mit Hilfe der Parallelogramm-Gleichung erhalten wir vi − vj 2X = 2vi 2X + 2vj 2X − vi + vj 2X ≤ 2vi 2X + 2vj 2X − λ1 vi + vj 2

v + v 2

i j

= 2vi 2X + 2vj 2X − 4λ1

2 → 2λ1 + 2λ1 − 4λ1 u1 2 = 0,

wegen u1  = 1. Damit ist (vi ) Cauchy-Folge in X und konvergiert wegen der Einbettung X → Y gegen das gleiche u1 ∈ X. u1 ist also das Minimum des Rayleighquotienten und

186

8 Einf¨ uhrung in die Operatorenrechnung und Spektraltheorie

R(u1 + εv) ≥ R(u1 ) ist f¨ ur alle v ∈ X und ε > 0 erf¨ ullt. Dies wird ausgerechnet,     u1 2X + 2εa(u1 , v) + ε2 v2X u1 2 ≥ u1 2X u1 2 + 2ε(u, v) + ε2 v2 ,

und nach Subtraktion, Division durch ε und Grenz¨ ubergang ε → 0 (u1 2X = 2 λ1 , u1  = 1), a(u1 , v) ≥ λ1 (u1 , v)

und, weil ±v eingesetzt werden kann, a(u1 , v) = λ1 (u1 , v)

∀v ∈ X.

Damit ist u1 = 0 Eigenvektor zum Eigenwert λ1 > 0. Seien Eigenvektoren u1 , . . . , uk−1 zu den Eigenwerten λ1 , . . . , λk−1 konstruiert; als Induktionsvoraussetzung nehmen wir an, daß 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ . . . ≤ λk−1 und daß u1 , . . . , uk−1 orthogonal bez¨ uglich a(·, ·) und (·, ·) sind mit ui 2X = λi und ui  = 1. Mit Ek−1 = span {u1 , . . . , uk−1 } verfahren wir genauso wie beim Existenzbeweis f¨ ur u1 , indem wir setzen λk =

inf

v∈X, v⊥Y Ek−1

R(v) ≥ λk−1 ,

denn der Raum, in dem das Infimum gesucht wird, ist gegen¨ uber dem letzten Schritt kleiner geworden. F¨ ur eine normierte Minimalfolge erhalten wir eine in Y konvergente Teilfolge (vi ), vi → uk ∈ Y. Starke Konvergenz impliziert schwache, 0 = (vi , ul ) → (uk , ul ), l = 1, . . . , k − 1, also uk ⊥Y Ek−1 , und wegen Normkonvergenz uk  = 1. Wie vorher bekommen wir die Konvergenz auch in X, so daß uk die L¨ osung des Minimierungsproblems ist. Die notwendige Bedingung f¨ ur ein Minimum errechnet sich zu ur alle v ∈ X mit v ⊥Y Ek−1 . a(uk , v) = λk (uk , v) f¨ Mit a(uk , ul ) = λl (uk , ul ) = 0, l = 1, . . . , k − 1, ur alle v ∈ X erf¨ ullt ist auch uk ⊥X Ek−1 . Damit ist a(uk , v) = λk (uk , v) f¨ und uk Eigenvektor zum Eigenwert λk . Da X als unendlich dimensional vorausgesetzt wurde, k¨ onnen wir beliebig fortfahren und erhalten eine monoton wachsende Folge 0 < λ1 ≤ . . . von Eigenwerten zu Eigenvektoren {uk }. Nach Bemerkung (iii) zu diesem Satz folgt aus Abschnitt 8.7, daß die Eigenwerte sich nicht im Endlichen h¨ aufen k¨onnen, also λk → ∞.

8.10 Das abstrakte Eigenwertproblem

187

Nun zeigen wir das Minmax-Prinzip. Mit Ek = span{u1 , . . . , uk } liefert k v = i=1 αi ui k λi αi2 R(v) = i=1 ≤ λk k 2 i=1 αi

und daher

min



 max R(v), Mk ⊂ X dim Mk = k ≤ λk .

v∈Mk

F¨ ur Mk ⊂ X mit dim Mk = k k¨onnen wir ein v0 ∈ Mk finden mit v0 ⊥Y Ek−1 . F¨ ur dieses gilt nach (c)   λk = min R(v), v ⊥Y Ek−1 ≤ R(v0 ),

womit das Minmax-Prinzip bewiesen ist. achst f¨ ur v ∈ X bewiesen. Mit vk = kDie Fourier-Entwicklung wird zun¨ i=1 ci ui gilt ci = (v, ui ) = (vk , ui ), also (8.28) v − vk ⊥Y Ek . Das Rayleighsche Minimumprinzip liefert       c i ui + a c i ui λk+1 v − vk 2 ≤ v − vk 2X = v2X − 2a v, c i ui , = v2X − 2



ci λi (v, ui ) +



c2i λi = v2X −

k 

λi c2i .

i=1

Wegen ∞ λk2 → ∞ folgt hieraus vk → v in Y und die Konvergenz der Reihe ur k, l ∈ , k < l gilt i=1 λi ci . F¨ 

vl − vk 2X =

l 

λi c2i

i=k+1

und damit ist (vk ) Cauchy-Folge in X, vk → v auch in X. Nun ur φ ∈ Y mit wird die Konvergenz der Fourier-Reihe in Y bewiesen. F¨ φk = ci ui , ci = (φ, ui ) erhalten wir mit (8.28) demnach

φ − φk 2 = φ2 − φk 2 , φk  ≤ φ.

Sei v ∈ Y vorgegeben. Da X dicht in Y liegt, gibt es zu ε > 0 ein w ∈ X mit w − v < ε. F¨ ur die Fourierabschnitte wk , vk von w, v folgt mit der letzten Absch¨atzung wk − vk  ≤ w − v < ε, f¨ ur gen¨ ugend großes k also auch

188

8 Einf¨ uhrung in die Operatorenrechnung und Spektraltheorie

v − vk  ≤ v − w + w − wk  + wk − vk  < 3ε. Damit vk → v in Y und k  i=1

c2i = vk 2 → v2 .

Angenommen, λ w¨ are ein weiterer Eigenwert mit Eigenvektor u. Dann steht u auf allen Eigenvektoren uk mit λk = λ senkrecht. Wenn u einen schon vorhandenen Eigenraum erg¨ anzt, so k¨onnen wir auf diesem Eigenraum ein Orthogonalisierungsverfahren anwenden. Damit kann immer u ⊥ uk f¨ ur alle k ∈ 

erreicht werden. Die Fourier-Reihe zu u ist der Nullvektor, was ihrer Konvergenz widerspricht. ⊔ ⊓ Als erste Anwendung charakterisieren wir die auf Seite 168 definierte negative Norm. Unter den Voraussetzungen des letzten Satzes bildet ja X → Y → X ′ einen Gelfandschen Dreier mit der zus¨ atzlichen Eigenschaft, daß X → Y kompakt ist. Es ist u−1 = sup

v∈X

(u, v) (u, w) = , vX wX

wobei w die ur alle v ∈ X ist. Mit u = L¨osung von a(w, v) = (u, v) f¨ und w = i λ−1 ci ui folgt hieraus   −1 2 1/2 . λi |ci | u−1 =



i

= c i ui

i

Die Theorie von Courant-Hilbert wird nun auf das Ritzsche Verfahren zur Approximation des Problems a(u, v) = (f, v)

∀v ∈ X,

f ∈ Y.

angewendet. F¨ ur Xk ⊂ X, dim Xk = k, ist die L¨ osung des Ritzschen Verfahrens Pk u ∈ Xk definiert durch a(Pk u, vk ) = (f, vk )

∀vk ∈ Xk .

Wegen X → Y gilt uX , Pk uX ≤ cf , damit existiert eine Konstante ck mit u − Pk uX ≤ ck f  ∀f ∈ Y. (8.29)

Die Frage ist nun, welche Unterr¨aume Xk optimal sind in dem Sinn, daß die Konstante ck in (8.29) am kleinsten wird. Man beachte, daß die gleiche Frage f¨ ur allgemeine rechte Seiten f ∈ X ′ sinnlos ist, wie das Beispiel X = l2 , f ∈ l2′ ∼ = l2 zeigt. In diesem Fall gilt ck = 1, denn zu jedem Xk gibt es ein f mit f ⊥ Xk .

8.11 Das Eigenwertproblem f¨ ur den Laplace Operator

189

Satz 8.41. Die kleinste Konstante ck in (8.29) wird bei der Wahl Xk = Ek = span {u1 , . . . , uk } −1/2

angenommen mit ck = λk+1 . ∞ Beweis. ∞ Mit−1den Fourier-Koeffizienten fi von f gilt f = i=1 fi ui und daher u = i=1 λi fi ui . Da das Ritzsche Verfahren die orthogonale Projektion als L¨osung hat, ist f¨ ur Xk = Ek Pk u =

k 

λ−1 i fi ui ,

i=1

also u − Pk uX =

"

∞ 

2 λi (λ−1 i fi )

i=k+1

#1/2

≤

−1/2 λk+1

"

∞ 

i=k+1

2

|fi |

#1/2

−1/2

≤ λk+1 f .

Sei Xk ein beliebiger k-dimensionaler Unterraum von X. Dann gibt es ein w ∈ Ek+1 mit w = 0 und w ⊥X Xk . Die Ritz-Projektion Pk w von w ist daher k+1 Pk w = 0. Aus w = i=1 wi ui erhalten wir f=

k+1  i=1

λ i w i ui ,

f 2 =

k+1 

λ2i wi2 ,

i=1

w2X =

k+1 

λi wi2 .

i=1

Damit gilt −1/2

w − Pk wX = wX ≥ λk+1 f .

⊓ ⊔

Da die Eigenvektoren uk im allgemeinen nicht bekannt sind, stellt dieser Satz haupts¨achlich eine Meßlatte f¨ ur andere Unterr¨ aume dar, insofern er den bestm¨oglichen Fall charakterisiert.

8.11 Das Eigenwertproblem fu ¨ r den Laplace Operator In diesem Abschnitt ist Ω ein beschr¨anktes Gebiet und alle R¨ aume sind reell. Zun¨achst betrachten wir das Dirichlet-Problem −∆uk = λk uk in Ω,

uk = 0 auf ∂Ω,

oder in schwacher Form: Gesucht sind Eigenvektoren uk ∈ H01,2 (Ω) und Eigenwerte λk ∈ mit a(uk , v) = λk (uk , v) wobei

∀v ∈ H01,2 (Ω),

(8.30)

190

8 Einf¨ uhrung in die Operatorenrechnung und Spektraltheorie

a(u, v) =



DuDv dx.

Ω

Aufgrund der Poincar´e-Ungleichung ist D · 2 = a(·, ·)1/2 eine Norm auf H01,2 (Ω). Wir k¨onnen daher X = H01,2 (Ω) und Y = L2 (Ω) w¨ ahlen und haben wegen der kompakten und dichten Einbettung H01,2 (Ω) → L2 (Ω) alle Voraussetzungen der abstrakten Theorie erf¨ ullt. Demnach gibt es abz¨ ahlbar viele Eigenwerte 0 < λ1 ≤ λ2 . . . → ∞ und die Eigenvektoren {uk } bilden ein vollst¨ andiges Orthogonalsystem in H01,2 (Ω) und in L2 (Ω). Da auf die Gleichungen −∆D α uk = λk Dα uk sukzessive die innere Regularit¨atstechnik, Satz 7.3, angewendet werden kann, sind die Eigenvektoren unendlich oft differenzierbar in Ω. Seien Ω1 , Ω2 zwei Gebiete mit Ω1 ⊂ Ω2 . Wenn auf Ω1 definierte Funktionen mit Null fortgesetzt werden, gilt C0∞ (Ω1 ) ⊂ C0∞ (Ω2 ) und damit H01,2 (Ω1 ) ⊂ H01,2 (Ω2 ). Bezeichnen wir die Eigenwerte der zugeh¨ origen 1. Randwertprobleme mit λk (Ωj ), so folgt aus dem Courantschen MinmaxPrinzip λk (Ω1 ) ≥ λk (Ω2 ), die Eigenwerte sind also gebietsmonoton. Mit Hilfe der Gebietsmonotonie kann die Verteilung der Eigenwerte abgesch¨atzt werden. Sei n = 2 und Q1 = (0, 1)2 . Die Funktionen uij = sin iπx sin jπy sind Eigenfunktionen auf Q1 zu den Eigenwerten λij = π 2 (i2 + j 2 ). Laut Aufgabe 8.19 sind dies auch alle Eigenwerte. Sei K ∈ . Dann liegen im Inter2 vall [ K4 , K 2 ] gerade 0(K 2 ) viele Eigenwerte. Es existieren daher Konstanten m, M > 0 mit (8.31) mk ≤ λk ≤ M k. 

Die asymptotische Verteilung (8.31) gilt f¨ ur alle Quadrate Qa = (0, a)2 , nur m, M h¨angen von a ab. Zu einem Gebiet Ω gibt es Seitenl¨ angen a1 , a2 und Punkte x1 , x2 mit x1 + Qa1 ⊂ Ω ⊂ x2 + Qa2 . Wenden wir hierauf die Gebietsmonotonie sowie (8.31) an, haben wir bewiesen: Satz 8.42. Sei Ω ⊂ 2 ein beschr¨anktes Gebiet. Dann gibt es Konstanten m = m(Ω), M = M (Ω) > 0, so daß f¨ ur den k-ten Eigenwert λk (Ω) des ersten Randwertproblems gilt mk ≤ λk (Ω) ≤ M k. Dieses Ergebnis bleibt auch f¨ ur allgemeinere elliptische Gleichungen 2. Ordnung richtig (siehe Aufgabe 8.21).

8.11 Das Eigenwertproblem f¨ ur den Laplace Operator

191

Beispiel 8.43. Als Anwendung dieses Satzes untersuchen wir die Finite Elemente Methode aus Abschnitt 7.7 zur Approximation von −∆u = f in Ω, u = 0 auf ∂Ω. In Satz 7.21 wurde f¨ ur 2-regul¨ are Probleme die Fehlerabsch¨atzung (8.32) D(u − Ph u)2;Ω ≤ chf 2;Ω ∀f ∈ L2 (Ω) bewiesen. F¨ ur die Fehlerkonstante ck des optimalen Ansatzraums Xk = Ek −1/2 hatten wir in Satz 8.41 ck = λk+1 gezeigt, mit Satz 8.42 folgt daher −1/2

ck ∼ k−1/2 . In (8.32) ist andererseits auch h ∼ dim S0 = k−1/2 . Damit ist der Fehler der Finite Elemente Methode nur um einen Faktor c = c(k) vom optimalen Ansatzraum entfernt. Ein solches Verfahren nennt man quasioptimal. Satz 8.44. Das Nullstellengebilde der k-ten Eigenfunktion von (8.30) unterteilt das Grundgebiet in h¨ochstens k Teilgebiete. Ferner ist der erste Eigenwert einfach, es gilt also 0 < λ1 < λ2 , und die erste Eigenfunktion kann strikt positiv in Ω gew¨ahlt werden. Beweis. Seien Ω1 , . . . , Ωl die Teilgebiete, in denen uk ein festes Vorzeichen besitzt. Die Funktion vj stimme auf Ωj mit uk u ¨ berein und verschwinde außerhalb von Ωj . Nach Konstruktion der vj ist der Raum Ml = span {v1 , . . . , vl } l-dimensional und mit Satz 5.20 gilt Ml ⊂ H01,2 (Ω). F¨ ur jedes v ∈ Ml ist R(v) = λk , daher l ≤ k wegen des Minmax-Prinzips. Der erste Eigenvektor kann demnach nichtnegativ gew¨ ahlt werden. Er erf¨ ullt −∆u1 = λ1 u1 ≥ 0 und ist nach dem starken Maximumprinzip, Satz 7.17, strikt positiv in Ω. W¨are λ2 = λ1 , so h¨ atten wir zwei linear unabh¨ angige Eigenvektoren u1 , u2 zu λ. Dann gibt es eine Linearkombination von u1 , u2 mit wechselndem Vorzeichen, was einen Widerspruch zum ersten Teil des Beweises bedeutet. ⊔ ⊓ Der obige Beweis versagt bei Gleichungen h¨ oherer Ordnung (siehe Aufgaben 7.7 und 8.22), weil der Rayleighquotient in diesem Fall auf einem Unterraum von H m,2 (Ω) mit m > 1 definiert ist. Wenn eine Funktion in diesem Raum abgeschnitten wird, so liegt sie i. a. nur noch in H 1,2 . F¨ ur eine Partition (ΓD , ΓN ) des Randes ∂Ω betrachten wir −∆uk = λk uk in Ω,

uk = 0 auf ΓD ,

Dν uk = 0 auf ΓN ,

1,2 (Ω) und λk ∈ oder in schwacher Form: Gesucht ist uk ∈ H0,Γ D

a(uk , v) = λk (uk , v)

1,2 (Ω). ∀v ∈ H0,Γ D

mit (8.33)

ΓD sei so beschaffen, daß die Poincar´e-Ungleichung 6.22 gilt. Alternativ kann ΓN = ∂Ω gew¨ahlt werden. In diesem Fall setzen wir λ1 = 0, u1 konstant, und wenden die abstrakte Theorie auf den Raum    1,2 v dx = 0 X = v ∈ H (Ω) : Ω

192

8 Einf¨ uhrung in die Operatorenrechnung und Spektraltheorie

an. Da auf X die Poincar´e-Ungleichung erf¨ ullt ist (vgl. Bemerkung 6.23), gilt 0 = λ 1 < λ2 ≤ . . . . Die zu (8.33) geh¨ orende Fourier-Entwicklung wird auf die W¨ armeleitungsgleichung (8.34) vt − ∆v = 0 in Ω × + , v = 0 auf ΓD × + , Dν v = 0 auf ΓN ×

+,

v(x, 0) = v0 (x) in Ω,

angewendet. v(x, t) kann man sich als Temperatur eines K¨ orpers im Punkt x zur Zeit t vorstellen, v0 (x) ist die vorgegebene Temperaturverteilung am ur Anfang. Zun¨achst suchen wir partikul¨ are L¨ osungen der Form ki (t)ui (x). F¨ diese sind die Randbedingungen erf¨ ullt und aus (8.34) folgt die gew¨ ohnliche Differentialgleichung ki′ (t) + λi ki (t) = 0 mit L¨osung ki (t) = ci e−λi t . Die zun¨ achst formale L¨ osung von (8.34) ist daher v(x, t) =

∞ 

v0,i e−λi t ui (x),

(8.35)

i=1

wobei v0,i die Fourier-Koeffizienten von v0 sind, v0 (x) =

∞ 

v0,i ui (x),

v0,i = (v0 , ui ).

i=1

Gleichung (8.35) zeigt sehr sch¨ on den gl¨attenden Charakter des W¨ armeleitungsprozesses. Ist beispielsweise v0 ∈ L2 , so konvergieren alle zeitlichen Ableitungen von v f¨ ur t > 0 wegen ∞  i=1

−2λi t |v0,i |2 λ2k ≤ c(t, k)v0 2 . i e

Betrachten wir nun den Fall ΓN = ∂Ω etwas genauer. Mit (8.35) folgt ur t → ∞. Ingenieure haben beobachtet, daß in diesem Fall v(x, t) → v0,1 f¨ der heißeste und k¨ uhlste Punkt mit der Zeit zum Rand laufen. Da zu λ1 der konstante Eigenvektor geh¨ ort, kann dies nur an u2 liegen, der im Vergleich zu den anderen Eigenvektoren am l¨ angsten lebt. Wir k¨ onnen daher die Vermutung aussprechen, daß Maxima und Minima von u2 auf dem Rande von Ω angenommen werden. Dies ist auch f¨ ur viele Gebiete numerisch best¨ atigt worden, aber ein strenger Beweis steht immer noch aus. Die schwingende Membran wird durch das Anfangs-, Randwertproblem der Wellengleichung vtt − ∆v = 0 in Ω ×

+,

v = 0 auf ΓD ×

v(x, 0) = v0 (x) in Ω,

+,

Dν v = 0 auf ΓN ×

vt (x, 0) = v1 (x) in Ω,

+,

8.11 Das Eigenwertproblem f¨ ur den Laplace Operator

193

beschrieben. v(x, t) ist die Auslenkung der Membran im Ort x zur Zeit t. Der gleiche Ansatz f¨ ur eine partikul¨are L¨ osung wie bei der W¨ armeleitungsgleiosung chung f¨ uhrt hier zu ki′′ (t) + λi ki (t) = 0 mit der allgemeinen L¨   ki (t) = ci sin λi t + di cos λi t. Die L¨osung der Wellengleichung ist daher v(x, t) =

∞      ci sin λi t + di cos λi t ui (x), i=1

wobei ci , di leicht aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden k¨ onnen. Im Gegensatz zur W¨armeleitungsgleichung ist die L¨ osung zu jedem Zeitpunkt so glatt, wie es die Funktionen v0 , v1 vorgeben. Beim gemischten Randwertproblem sind die Eigenwerte im allgemeinen nicht gebietsmonoton. Ist aber Γ eine niederdimensionale Menge, so gilt λk (Ω) ≥ λk (Ω \ Γ ), denn die Differenzierbarkeitsbedingung an eine Sobolev-Funktion ist auf Ω \ Γ schw¨acher als auf Ω. Dies gilt f¨ ur alle Modelle (Gleichungen h¨oherer Ordnung, Systeme usw.), die man der Schwingung zugrunde legen kann. Das blaue Telephon Der Dekan der physikalischen Fakult¨ at besucht den Dekan der Mathematik und entdeckt auf dessen Schreibtisch neben dem u ¨blichen grauen auch ein blaues Telephon. Was das f¨ ur ein Telephon sei, fragt der Physiker. Das Telephon zu Gott, antwortet der Mathematiker. Ob er einmal telephonieren k¨ onne, fragt der Physiker. Leider nein“, antwortet der Mathematiker, ein einziges Gespr¨ ach verschlingt ” ” den gesamten Jahresetat der mathematischen Fakult¨ at. Das blaue Telephon wird nur f¨ ur die letzten Fragen der Mathematik benutzt.“ Einige Zeit sp¨ ater besucht der Dekan der mathematischen Fakult¨ at den Dekan der Physik und entdeckt auf dessen Schreibtisch neben dem u ¨blichen grauen auch ein blaues Telephon. Was das f¨ ur ein Telephon sei, fragt der Mathematiker. Das Telephon zu Gott, antwortet der Physiker. Ob er einmal telephonieren k¨ onne, fragt der Mathematiker. Aber nat¨ urlich, bei uns ist das ein Ortsgespr¨ ach“. ”

Klopft man gegen einen Blumentopf, so m¨ ußten Grund- und Obert¨ one tiefer werden, wenn ein Riß vorliegt. Tats¨achlich wird der Ton scheppernd, was m¨oglicherweise dadurch zu erkl¨ aren ist, daß der Riß die Symmetrien des K¨orpers zerst¨ort und die Obert¨ one nicht mehr so gut zum Grundton passen. Aber wird der Grundton tats¨ achlich tiefer? Ich habe u ¨ ber dieses Paradox mehrere Physiker befragt und dabei verschiedene Antworten bekommen, die unm¨oglich alle gleichzeitig richtig sein k¨ onnen. Interessanterweise zeigte sich kein Physiker dar¨ uber beunruhigt, w¨ ahrenddessen die Mathematik bei einem analogen Beispiel sofort zusammengebrochen w¨ are.

194

8 Einf¨ uhrung in die Operatorenrechnung und Spektraltheorie

8.12 Zur Klassifikation partieller Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen werden in elliptische, parabolische und hyperbolische klassifiziert, was den grundlegenden Naturvorg¨ angen entspricht: Station¨are Zust¨ande, Diffusionsprozesse und Transport. Vor allem bei Systemen von Differentialgleichungen begegnet man allerdings unterschiedlichen Definitionen, weil die Analysis mehr methoden- als ergebnisorientiert ist. Diesem Ph¨anomen sind wir in Kapitel 7 mehrfach begegnet. Dort wurde der Existenzbeweis mit dem Satz von Lax-Milgram gef¨ uhrt, gleichzeitig erkennt der Leser sofort das allgemeine Prinzip, daß n¨ amlich die Elliptizit¨ at in manchen F¨allen zu koerziven Bilinearformen f¨ uhrt, und er kann es bei Gleichungen h¨oherer Ordnung oder Systemen von Differentialgleichungen selber anwenden. Die Differenzenquotienten-Technik ist ein weiteres universelles Argument, die Aufgaben dazu geben nur einen kleinen Ausschnitt ihrer m¨ oglichen Anwendungen wieder. In allen F¨allen tritt das konkrete Resultat hinter dem analytischen Argument zur¨ uck. Dies f¨ uhrt oft dazu, daß Autoren die Definition des Typs einer Differentialgleichung umkehren: Elliptisch ist eine Differentialgleichung genau dann, wenn die konkrete elliptische“ Beweistechnik des Autors ” funktioniert. 2 u stimmen allerdings die meisten Bei Operatoren 2. Ordnung Lu = −aij Dij Definitionen u ¨ berein. Der elliptische Fall ist der klarste. Dazu muß in unserer Definition die Matrix A = (aij ) positiv-definit sein, was ¨ aquivalent dazu ist, daß ihre Eigenwerte positiv sind. Verwendet man als Untersuchungsmethode die Fourier-Transformation (siehe Kapitel 9), so nimmt man aij ξi ξj = 0 f¨ ur alle ξ ∈ n \ {0} als Definition. F¨ ur n ≥ 2 ist die Menge n \ {0} zusammenh¨angend, die Funktion aij ξi ξj hat daher ein Vorzeichen. Bis auf das Vorzeichen sind also die beiden Definitionen a¨quivalent. Was sagt Elliptizit¨ at u ber die Struktur der L¨ o sungen? Die wichtigste Eigenschaft ist vielleicht die ¨ Ausbreitung der Information in allen Richtungen. Wenn die Daten des Problems lokal in einer kleinen Kugel ver¨andert werden, so merkt das die L¨ osung u berall. Ein sch¨ o nes Beispiel daf¨ u r ist das starke Maximumprinzip f¨ u r klas¨ sische L¨osungen. Ist die rechte Seite f > 0 in einer kleinen Kugel, ansonsten Null, so ist u ullt. ¨berall u > 0 erf¨ 2 Lu = −aij Dij u heißt hyperbolisch, wenn ein Eigenwert von A = (aij ) negativ und die anderen positiv sind. Dies gilt f¨ ur die Wellengleichung utt − ∆u = 0. Im Fall n = 1 und Ω = lautet die allgemeine L¨ osung von utt −u′′ = 0 u(x, t) = F (x − t) + G(x + t), F, G : → . Die Funktionen F und G lassen sich offenbar aus den Anfangsbedingungen u(x, 0) = u0 (x), ut (x, 0) = u1 (x) eindeutig bestimmen. Ferner gilt die Formel auch f¨ ur das homogene Randwertproblem, wenn man die zugeh¨ orige Fourierfortsetzt. Damit verl¨ auft der Fluß der L¨osung in der Ortsvariablen auf Information entlang der Charakteristiken x − t = c und x + t = c mit endlicher Geschwindigkeit, insbesondere h¨angt der Wert von u(x, t) nur von den

Aufgaben

195

Werten der Anfangsbedingungen in zwei Punkten ab. Multiplikation der Wellengleichung utt − ∆u = 0 mit ut und Integration u ¨ ber Ω × (0, T ) ergibt die Energieerhaltung    1 |ut (x, T )|2 + |Du(x, T )|2 dx = const. E(T ) = 2 Ω

Die Definition des parabolischen Operators allein mit Hilfe der Eigenwerte der Matrix A (einer Null, die anderen positiv), wie es in manchen B¨ uchern geschieht, ist angesichts der W¨armeleitungsgleichung mit umgekehrter Zei trichtung −ut − ∆u = 0 mit formaler L¨ osung u(x, t) = ci exp(λi t)ui problematisch, denn u existiert auch bei einer glatten Anfangsbedingung nicht notwendig f¨ ur alle t > 0. Diese Gleichung entsteht bei der Rekonstruktion der Vergangenheit eines Diffusionsprozesses und zeigt, daß in der klassischen Physik die Vergangenheit ohne Zusatzannahmen unbestimmt ist. Auch die Schr¨odinger-Gleichung in Aufgabe 8.23 w¨ are bei der eingangs erw¨ ahnten Definition parabolisch, ¨ ahnelt in ihrem L¨osungsverhalten aber mehr einer hyperbolischen Gleichung. Gilt f¨ ur die Anfangsbedingung in der W¨ armeleitungsgleichung u0 ≥ 0 mit u0 = 0, so besagt das starke parabolische Maximumprinzip, daß u > 0 u ur t > 0. Die Information breitet sich hier mit unendlicher ¨berall f¨ Geschwindigkeit aus, was die W¨armeleitungsgleichung zu einer Gleichung der klassischen, nichtrelativistischen Physik macht. Eine Energieerhaltung gibt es f¨ ur ut − ∆u = 0 nur im Vakuum. Integrieren wir die ¨ber  Gleichung u  Ω × (0, T ) und nutzen Dν u = 0 auf ∂Ω aus, so folgt E(T ) = Ω u(x, T ) dx = Ω u0 (x) dx.

Aufgaben 8.1. (3) Sei X ein komplexer Banach-Raum und T ∈ L(X). Sei λ ∈ σc (T ). Dann gibt es eine Folge (xk ) in X mit xk  = 1 und (T − λId)xk  → 0. 8.2. (3) Sei X = l2 und T : X → X mit T x(j) = αj x(j), wobei die Menge {αj } ⊂ [0, 1] dicht im Intervall [0, 1] liegt. Bestimmen Sie die Mengen ρ(T ), σp (T ), σc (T ), σr (T ) ⊂ .

8.3. (3) Seien X, Y Banach-R¨ aume und S : X → Y, T : Y ′ → X ′ linear mit Sx, y ′  = x, T y ′ 

∀x ∈ X, y ′ ∈ Y ′ .

Dann sind die Operatoren S und T stetig. 8.4. (3) Beweisen Sie mit Hilfe des Satzes vom abgeschlossenen Graphen: (HellingerToeplitz) Ist X ein Hilbert-Raum und T : X → X linear mit (T x, y) = (x, T y) so ist T stetig.

∀x, y ∈ X,

196

8 Einf¨ uhrung in die Operatorenrechnung und Spektraltheorie

8.5. (1) Bestimmen Sie die Hilbert-Adjungierten der Operatoren Sr , Sl , My : l2 → l2 aus Aufgabe 2.13. 8.6. Gibt es einen Operator T ∈ K(X) mit σ(T ) = {0} und

a) (1) σp (T ) = {0},

b) (2) σc (T ) = {0},

c) (3) σr (T ) = {0} ?

8.7. (2) Seien X, Y Banach-R¨ aume und T : X → Y sei nuklear, d.h. es gibt λk ∈ x′k ∈ X ′ , yk ∈ Y mit ∞ X k=1

x′k X ′ = 1,

|λk | < ∞,



,

yk Y = 1,

so daß Tx =

∞ X k=1

λk x, x′k yk

f¨ ur alle x ∈ X.

Zeigen Sie, daß T kompakt ist. 8.8. (3) Sei X ein normierter Raum und U ein Unterraum von X. Sind U und der Quotientenraum X/U Banach-R¨ aume, dann ist auch X ein Banach-Raum. ¨ 8.9. (2) Zeigen Sie, daß f¨ ur jeden Operator T ∈ K(X) die Aquivalenz gilt.

S(Id − T ) = Id

⇔

(Id − T )S = Id

8.10. (4) Sei X = L2 ((0, ∞)) und T u(x) =

1 x

Z

x

u(y) dy, 0

0 < x < ∞.

Dann ist T ∈ L(X), aber T ∈ K(X). 8.11. Beweisen Sie die folgenden Aussagen: a) (4) Wenn X ein reflexiver Banach-Raum ist, so ist L(X, l1 ) = K(X, l1 ). Insbesondere gibt es keine surjektive stetige lineare Abbildung eines reflexiven Banach-Raums nach l1 . b) (1) Wenn Y ein reflexiver Banach-Raum ist, so ist L(c0 , Y ) = K(c0 , Y ). Hinweis: Bei b) k¨ onnen Sie ohne Beweis verwenden, daß ein Banach-Raum genau dann reflexiv ist, wenn sein Dualraum reflexiv ist. 8.12. (1) Geben Sie f¨ ur jedes k ∈ Operator vom Index k an. 

ein Beispiel Tk ∈ L(X) f¨ ur einen Fredholm-

8.13. (3) Bestimmen Sie σp , σc , σr f¨ ur den Operator Z t x(ξ) dξ, T ∈ L(X) T x(t) = im Grundraum a) X = L2 ((0, 1)),

0

b) X = C([0, 1]).

Aufgaben n

8.14. (3) Sei Ω ⊂ 

197

ein beschr¨ anktes Gebiet, K(·, ·) ∈ L2 (Ω × Ω) und Z T u(x) = K(x, y)u(y) dy Ω

der zugeh¨ orige Integraloperator. Formulieren Sie eine Bedingung an K, so daß das Problem u + T u = f f¨ ur alle f ∈ L2 (Ω) eindeutig l¨ osbar ist. Geben Sie ein Beispiel, daß ohne eine solche Bedingung das homogene Problem u + Ku = 0 nichttriviale L¨ osungen besitzen kann. 8.15. (3) Sei K auf meßbar und periodisch mit Periode 1 sowie K1 = R1 |K(x)| dx < ∞. Zeigen Sie: Der Integraloperator 0 Z 1 K(x − y)u(y) dy T u(x) = 

0

p

ur 1 ≤ p < ∞ mit einer durch K1 beschr¨ ankten Operatornorm. ist in K(L (0, 1)) f¨ 8.16. (3) Beim abstrakten Eigenwertproblem konnten die Normen in X und Y mit den Fourier-Koeffizienen ci der Funktion u charakterisiert werden: uX =

∞ “X i=1

λi |ci |2

”1/2

,

u =

∞ “X i=1

|ci |2

”1/2

.

Allgemeiner definieren wir f¨ ur eine Folge λi mit 0 < λ 1 ≤ λ2 ≤ . . . → ∞ das Produkt (x = (x(1), x(2), . . .)) (x, y)α =

∞ “X i=1

”1/2 , λα i (x(i) y(i)

α∈ 

.

X α ist definiert als Raum aller Zahlenfolgen x mit xα < ∞. a) Zeigen Sie, daß (X α , (·, ·)α ) ein Hilbert-Raum ist. Man nennt daher (X α )α∈ auch eine Skala von Hilbert-R¨ aumen. b) F¨ ur α < β existiert die stetige Einbettung X β → X α und ist kompakt.

8.17. (2) Sei n = 1 und Ω = (0, 1). Die drei wichtigsten Orthonormalsysteme vom Fourier-Typ f¨ ur diesen Fall erh¨ alt man aus dem Eigenwertproblem: Gesucht ist uk ∈ X mit (u′k , v ′ ) = λk (uk , v) ∀v ∈ X. ur Bestimmen Sie uk und λk f¨

b) X = H01,2 (Ω),

a) X = H 1,2 (Ω), c) X =

1,2 Hper (Ω)

= {v ∈ H 1,2 (Ω) : v(0) = v(1)}.

8.18. (3) Sei Ω = 2 \ B1 (0) und g ∈ H 1,2 (0, 2π) mit g(0) = g(2π), Man konstruiere die klassische L¨ osung von 

−∆u = 0 in Ω,

u = g auf ∂Ω,

R 2π 0

g(φ) dφ = 0.

u(x) → 0 f¨ ur |x| → ∞.

Hinweis: Man verwende die Eigenvektoren aus Aufgabe 8.17 und bestimme abklingende L¨ osungen von −∆u = 0 der Form r αk uk (φ). Zur Erinnerung: ∆ = −1 2 r Dr (rDr ) + r−2 Dφφ .

198

8 Einf¨ uhrung in die Operatorenrechnung und Spektraltheorie

8.19. (3) Sei Q = (0, 1)2 das Einheitsquadrat. Das Eigenwertproblem −∆u = λu in Q,

u = 0 auf ∂Q,

besitzt die Eigenvektoren i, j ∈

uij (x, y) = sin iπx sin jπy,



.

Zeigen Sie, daß dies alle Eigenvektoren sind. 8.20. (2) Sei f ∈ C0∞ (Ω) und ci die Fourier-Koeffizienten von f bez¨ uglich der Eigenvektoren ui des Laplace-Operators. Zeigen Sie, daß ∞ X i=1

λki |ci |2 < ∞

∀k ∈ 

.

8.21. (2) Sei n = 2 und L = −Di (aij Dj u) elliptisch mit aij ∈ L∞ (Ω) und aij = aji . Beweisen Sie: Es gibt Konstanten m, M > 0, die von aij und Ω abh¨ angen, so daß f¨ ur die Eigenwerte von Luk = λk uk in Ω, uk = 0 auf ∂Ω, die Absch¨ atzung mk ≤ λk ≤ M k gilt.

8.22. Sei Ω ⊂ 2 ein beschr¨ anktes Gebiet. Das erste Randwertproblem f¨ ur die biharmonische Gleichung lautet 

∆2 u = f in Ω,

u = Dν u = 0 auf ∂Ω,

oder in schwacher Form: Gesucht ist u ∈ H02,2 (Ω) mit (∗)

(∆u, ∆v) = (f, v)

∀v ∈ H02,2 (Ω).

a) (2) Zeigen Sie ∆v2 = D 2 v2 f¨ ur alle v ∈ H02,2 (Ω) und beweisen Sie damit die eindeutige L¨ osbarkeit von (∗). b) (3) Zeigen Sie f¨ ur das zugeh¨ orige Eigenwertproblem ∀v ∈ H02,2 (Ω)

(∆uk , ∆v) = λk (uk , v) mit einem einzeiligen Beweis die Absch¨ atzung λk ≥ ck2 .

c) (4) Geben Sie auch die Beweisidee f¨ ur die analoge Absch¨ atzung in b) nach oben an, ohne den sehr technischen Beweis auszuf¨ uhren. 8.23. (2) Das Anfangs-, Randwertproblem der Schr¨ odinger-Gleichung ist ivt − ∆v = 0 in Ω × + , v = 0 auf ∂Ω × + , v(x, 0) = v0 (x) in Ω, √ wobei v komplexwertig ist und i = −1. Bestimmen Sie die L¨ osung mit Hilfe einer Fourier-Reihe. Weisen Sie auch die Erhaltung der Energie v(·, t)2 = v0 2 nach. 



8.24. (3) Beweisen Sie, daß das Problem

utt + ∆u = 0 in Ω × (0, 1), u(x, 0) = 0 in Ω, H01,2 (Ω)

u = 0 auf ∂Ω × (0, 1),

ut (x, 0) = u1 (x) in Ω,

nicht f¨ ur alle u1 ∈ l¨ osbar ist. Bemerkung: Analog zeigt man, daß f¨ ur utt − ∆u = 0 das Randwertproblem ur alle u0 , u1 ∈ H01,2 (Ω) l¨ osbar ist. Ellipu(x, 0) = u0 (x), u(x, 1) = u1 (x) nicht f¨ tische Probleme sind daher Randwertprobleme und hyperbolische Probleme sind Anfangswertprobleme.

9 Distributionen und Fourier-Transformation

In diesem Kapitel werden alle Funktionenr¨ aume als komplex vorausgesetzt.

9.1 Distributionen Definition 9.1. Sei Ω ⊂ n ein Gebiet und (φk ) eine Folge in C0∞ (Ω). Wir D sagen, (φk ) konvergiert gegen φ ∈ C0∞ (Ω) (Schreibweise φk → φ), wenn es eine kompakte Menge K ⊂⊂ Ω gibt mit supp(φk ), supp(φ) ⊂ K und wenn ur alle Multiindizes α gilt. C0∞ (Ω) mit Dα φk → Dα φ gleichm¨aßig in Ω f¨ diesem Konvergenzbegriff wird mit D(Ω) bezeichnet. φ ∈ D(Ω) werden auch als Testfunktionen bezeichnet. Diese Begriffsbildungen lassen vermuten, daß es sich bei D(Ω) um einen lokalkonvexen Raum handelt, was in der Tat der Fall ist. Da die Konstruktion der zugeh¨origen Topologie unanschaulich ist, bauen wir die Theorie nur mit dem Konvergenzbegriff in D(Ω) auf. Der an topologischen Fragestellungen interessierte Leser sei auf Abschnitt A.4 verwiesen. heißt Distribution, wenn T linear und folDefinition 9.2. T : D(Ω) → D ur alle Folgen genstetig bez¨ uglich des Konvergenzbegriffs →“ ist, wenn also f¨ ” (φk ) in D(Ω) gilt D φk → φ ⇒ T (φk ) → T (φ). 

Die Menge der Distributionen wird mit D ′ (Ω) bezeichnet.

Aus der Definition folgt sofort, daß die Distributionen mit den punktweisen Operationen einen Vektorraum bilden. Wenn n¨ amlich S und T Distributionen sind, so ist offenbar auch (αS + βT )(φ) = αS(φ) + βT (φ),

α, β ∈ 

,

eine Distribution. Die ¨aquivalente Bedingung des n¨ achsten Satzes wird manchmal auch zur Definition der Distribution herangezogen.

200

9 Distributionen und Fourier-Transformation

Satz 9.3. Ein lineares Funktional T : D(Ω) → ist genau dann eine Distribution, wenn es zu jeder Menge K ⊂⊂ Ω Konstanten c und N gibt mit 

|T (φ)| ≤ cφN,∞;K wobei D(K) aus allen Funktionen in C

∞

∀φ ∈ D(K),

(9.1)

mit Tr¨ager in K besteht. D

Beweis. Ist (9.1) erf¨ ullt, so ist T offenbar folgenstetig bez¨ uglich → und damit eine Distribution. F¨ ur einen Widerspruchsbeweis nehmen wir an, daß T eine Distribution ur die wir ist, die (9.1) nicht erf¨ ullt. Dann gibt es eine Menge K0 ⊂⊂ Ω, f¨ onnen mit |T (φk )| = 1 und f¨ ur jedes c = N = k ein φk ∈ D(K0 ) finden k¨ D φk,∞;K0 ≤ 1/k. Damit gilt φk → 0, aber |T (φk )| = 1. T ist unstetig und damit keine Distribution. ⊔ ⊓ Wir ordnen einer Funktion f ∈ L1loc (Ω) das Funktional  Tf (φ) = f φ dx Ω

D

zu. Wenn φk → φ, so gilt supp(φk ), supp(φ) ⊂ K ⊂⊂ Ω und wegen f ∈ L1 (K),      f (φ − φ) dx |φ − φ| |f | dx → 0. ≤ max   k k K

Ω

K

Damit ist Tf eine Distribution. Die Zuordnung f → Tf ist injektiv, denn wenn   T (φ) = f φ dx = gφ dx ∀φ ∈ D(Ω), Ω

Ω

so folgt aus dem Fundamentallemma der Variationsrechnung 5.1 f = g f.¨ u. Definition 9.4. Distributionen, die auf die angegebene Weise einer Funktion are Distributionen. f ∈ L1loc (Ω) zugeordnet sind, heißen regul¨

Definition 9.5. T ∈ D ′ (Ω) heißt von endlicher Ordnung, wenn es ein c und ein N ∈ 0 gibt mit 

|T (φ)| ≤ cφN,∞;Ω

∀φ ∈ D(Ω).

(9.2)

In diesem Fall heißt das minimale N in (9.2) die Ordnung von T . Regul¨are Distributionen Tf mit f ∈ L1 (Ω) sind von der Ordnung 0. Regul¨are Distributionen und Distributionen von endlicher Ordnung bilden ullt ein Funktional die Bedingung (9.2), offenbar Unterr¨aume von D ′ (Ω). Erf¨ so ist es wegen Satz 9.3 bereits eine Distribution. Ferner ersehen wir aus dem Vergleich mit Satz 9.3, daß anschaulich gesprochen nur das Verhalten am Rande und im Unendlichen dazu f¨ uhrt, daß eine Distribution von unendlicher Ordnung ist. Wenn es nicht zu Zweideutigkeiten f¨ uhrt, identifizieren wir eine regul¨ are Distribution Tf mit ihrer Darstellung f .

9.1 Distributionen

201

Beispiele 9.6 (i) Zu a ∈ Ω definieren wir die Dirac-Distribution durch δa (φ) = φ(a) ∀φ ∈ D(Ω). urde mit δa ist nicht regul¨ar, denn wenn es ein f ∈ L1loc (Ω) geben w¨  δa (φ) = φ(a) = f (x)φ(x) dx, Ω

so w¨ urde aus dem Fundamentallemma folgen f = 0 f.¨ u. in Ω \ {a}, was gleichbedeutend mit f = 0 f.¨ u. in Ω ist. Wegen |δa (φ)| ≤ φ∞ ist δa von endlicher Ordnung und besitzt die Ordnung 0. (ii) F¨ ur f ∈ L1loc und einen Multiindex α ist T˜f (φ) = (−1)|α| Tf (Dα φ) = (−1)|α|



f Dα φ dx

Ω

D

eine Distribution, denn wenn φk → φ, so     |T˜f (φk − φ)| =  f Dα (φk − φ) dx ≤ Dα (φk − φ)∞;K f 1;K → 0. K

Existiert die α-te schwache Ableitung von f, so ist auch T˜f eine regul¨ are Distribution mit T˜f = TDα f , Dα f ∈ L1loc (Ω). F¨ ur p ∈ C ∞ (Ω) definieren wir die Multiplikation durch pT (φ) = T (pφ) ∀φ ∈ D(Ω) und f¨ ur einen Multiindex α die Differentiation durch Dα T (φ) = (−1)|α| T (Dα φ) ∀φ ∈ D(Ω).

Satz 9.7. (a) Ist T ∈ D ′ (Ω), so ist f¨ ur p ∈ C ∞ (Ω) auch pT ∈ D ′ (Ω). (b) Ist α ein Multiindex, so ist mit T ∈ D ′ (Ω) auch D α T ∈ D′ (Ω). (c) Ist Tf eine regul¨are Distribution, so ist f¨ ur p ∈ C ∞ (Ω) auch pTf = Tpf eine regul¨are Distribution. (d) F¨ ur p ∈ C ∞ (Ω) gilt Di (pT ) = Di pT + pDi T. (e) F¨ ur Multiindizes α, β gilt Dα+β T = Dα (Dβ T ) = Dβ (Dα T ). Beweis. (a)–(c) folgen direkt aus den Definitionen. (d) Es gilt

202

9 Distributionen und Fourier-Transformation

Di (pT )(φ) = −pT (Di φ) = −T (pDi φ) = −T (Di (pφ) − Di pφ) = Di T (pφ) + Di pT (φ) = pDi T (φ) + Di pT (φ). (e) Mit Hilfe des Satzes von Schwarz erhalten wir Dα+β T (φ) = (−1)|α+β| T (Dα+β φ) = (−1)|α+β| T (Dα (Dβ φ)) = (−1)|β| Dα T (Dβ φ) = Dβ (Dα T (φ)). ⊔ ⊓ Wie in Beispiel 9.6(ii) gezeigt wurde, unterscheidet sich die schwache Ableitung von der distributionellen Ableitung nur dadurch, daß die abgeleitete Funktion eine regul¨are Distribution sein muß. Der Verzicht auf diese Forderung f¨ uhrt dazu, daß jede Distribution beliebig oft differenziert werden kann. Diese sch¨one Eigenschaft wird jedoch erstens dadurch erkauft, daß die Multiplikation pT f¨ ur allgemeinere Funktionen als p ∈ C ∞ (Ω) nicht definiert ist. Zum zweiten liest man am Raum H −m,q direkt ab, daß seine Funktionale aus der m-ten distributionellen Ableitung einer Lp -Funktion hervorgehen. Die Sobolev-R¨aume differenzieren die Glattheit“ der Funktionale besser aus. ” Beispiele 9.8 (i) Sei n = 1 und Ω = . Die Heaviside-Funktion H ist definiert durch
1 f¨ ur x > 0 . H(x) = 0 sonst Es gilt d TH (φ) = − dx ′ = δ0 . daher TH



∞

∞

′

Hφ dx = −



∞

φ′ (x) dx = φ(0),

0

(ii) F¨ ur die Dirac-Distribution δa ∈ D′ (Ω) erhalten wir Dα δa (φ) = (−1)|α| δa (Dα φ) = (−1)|α| Dα φ(a) und f¨ ur p ∈ C ∞ (Ω), pδa (φ) = δa (pφ) = p(a)φ(a). (iii) Bei der Ableitung einer Distribution muß der Definitionsbereich beachtet ur x > 0 und fλ (x) = 0 sonst. Tf werden. Sei −1 < λ < 0 und fλ (x) = xλ f¨ ist sowohl auf Ω = (0, ∞) als auch auf Ω = eine regul¨ are Distribution. Im ersten Fall gilt nat¨ urlich Dx Tfλ = Tfλ′ , w¨ ahrenddessen f¨ ur φ ∈ D( ) −



fλ φ′ dx = − lim

εց0



ε

∞

xλ (φ(x) − φ(ε))′ dx = λ



0

∞

xλ−1 (φ(x) − φ(0)) dx

gilt. Der letzte Grenz¨ ubergang ist erlaubt wegen |φ(x) − φ(0)| ≤ cx.

9.1 Distributionen

203

Ist Ω0 ein Teilgebiet von Ω, so ist die Einschr¨ankung von T auf Ω0 definiert durch T |Ω0 (φ) = T (φ) ∀φ ∈ D(Ω0 ).

Nat¨ urlich ist T |Ω0 ∈ D′ (Ω0 ).

Definition 9.9. F¨ ur T ∈ D ′ (Ω) heißt supp(T ) = {x ∈ Ω : ∀δ > 0 ist T |Ω∩Bδ (x) = 0} der Tr¨ager von T. Satz 9.10. (a) supp(T ) ist abgeschlossen und es gilt T (φ) = 0, falls supp(T )∩ supp(φ) = ∅. (b) Ist Tf regul¨ar, so l¨aßt sich f auf einer Nullmenge so ab¨andern, daß supp(Tf ) ⊂ supp(f ). (c) Ist Tf regul¨ar mit f ∈ C(Ω), so gilt supp(Tf ) = supp(f ).  Beweis. (a) x ∈ supp(T )c bedeutet, daß es ein δ > 0 gibt mit T Ω∩B (x) = 0. δ Also ist supp(T )c offen. (b) Ist x ∈ supp(f )c , so gibt es ein δ > 0 mit Bδ (x) ⊂ supp(f )c . Dann ist offenbar Tf (φ) = 0 f¨ ur alle φ ∈ D(Bδ (x)), also x ∈ supp(Tf )c . (c) Wegen (b) braucht nur supp(f ) ⊂ supp(Tf ) gezeigt zu werden. Die Menge Ω ′ = {y ∈ Ω : f (y) = 0} ist offen, weil f stetig ist. Sei x ∈ supp(f ) = Ω ′ . Zu jedem δ > 0 gibt es ein y ∈ Bδ (x) ∩ Ω ′ . Da f stetig und y innerer Punkt von Bδ (x) ∩ Ω ′ ist, gilt f (z)Jε (y − z) dz = 0 f¨ ur gen¨ ugend kleine ε. Damit ist x ∈ supp(Tf ). ⊔ ⊓ Satz 9.11. Besitzt T ∈ D(Ω) einen kompakten Tr¨ager in Ω, so ist T von endlicher Ordnung, es gibt also ein N ∈ 0 und ein c mit 

|T (φ)| ≤ cφN,∞;Ω

∀φ ∈ D(Ω). ⊔ ⊓

Beweis. Dies folgt aus Satz 9.3.

Satz 9.12. Sei T ∈ D ′ (Ω), a ∈ Ω und supp(T ) = {a}. Dann gibt es ein N ∈ 0 und bα ∈ mit  bα Dα δa (φ). T (φ) = 



|α|≤N

Beweis. Sei a = 0. Nach dem letzten Satz ist |T (φ)| ≤ c sup sup |Dα φ(x)|. |α|≤N x∈Ω

Mit Lemma 5.12 gibt es ψ ∈ C ∞ (

n

) mit

204

9 Distributionen und Fourier-Transformation

0 ≤ ψ ≤ 1,

ψ(x) =




1 f¨ ur |x| ≥ ε 0 f¨ ur |x| ≤

ε 2

,

|Dα ψ| ≤ cε−k f¨ ur |α| = k ≤ N.

ur |α| ≤ N. Nach Taylor gilt Sei φ ∈ D(Ω) eine Funktion mit D α φ(0) = 0 f¨ dann wegen |D N +1 φ| ≤ c |Dα φ(x)| ≤ c|x|N +1−|α| ,

|α| ≤ N + 1.

Wegen T (φψ) = 0 folgt |T (φ)| = |T (φ(1 − ψ))| ≤ c sup sup |Dα (φ(1 − ψ))| |α|≤N x∈Ω

≤c ≤c



|α|+|β|≤N



sup |Dα φ| sup |Dβ (1 − ψ)|

|x|≤ε

|x|≤ε

cεN +1−|α| ε−|β| = cN ε.

|α|+|β|≤N

Da ε > 0 beliebig gew¨ ahlt werden kann, ist T (φ) = 0. F¨ ur beliebiges φ ∈ D(Ω) erhalten wir aus dem Satz von Taylor  cα Dα φ(0)xα + φ1 (x) φ(x) = |α|≤N

mit φ1 ∈ C ∞ (Ω) und Dα φ1 (0) = 0 f¨ ur |α| ≤ N. Mit ψ wie im ersten Teil des Beweises gilt dann  T (φ) = T (φ(1 − ψ)) = cα Dα φ(0)T (xα (1 − ψ)) + T (φ1 (1 − ψ)). |α|≤N

Wegen T (φ1 (1 − ψ)) = 0 folgt die behauptete Darstellung von T mit bα = (−1)|α| cα T (xα (1 − ψ)).

⊓ ⊔

Definition 9.13. Eine Folge (Tk ) in D ′ (Ω) konvergiert gegen T ∈ D ′ (Ω) D′

(Schreibweise Tk → T ), wenn Tk (φ) → T (φ) f¨ ur alle φ ∈ D(Ω).

Den folgenden Satz u andigkeit des Distributionenraums ben¨ oti¨ ber die Vollst¨ gen wir nicht, er kommt aber in manchen Anwendungen vor. Satz 9.14. Sei Tk eine Folge in D ′ (Ω), so daß (Tk (φ)) konvergiert f¨ ur alle D′

φ ∈ D(Ω). Dann gibt es ein T ∈ D ′ (Ω) mit Tk → T.

9.1 Distributionen

205

Beweis. Setze T (φ) = lim Tk (φ). Die Linearit¨ at von T zeigt man mit Standardargumenten. Da die Stetigkeit von T ¨ aquivalent zur Stetigkeit im D Nullpunkt ist, muß gezeigt werden, daß aus φl → 0 die Konvergenz T (φl ) → 0 folgt. Wir f¨ uhren einen Widerspruchsbeweis und nehmen dazu an, daß ur eine Teilfolge. Die Tr¨ ager der φl liegen in einer kom|T (φl )| ≥ c > 0 f¨ pakten Teilmenge K von Ω. In K konvergieren alle partiellen Ableitungen der φl gegen Null. Durch Auswahl einer weiteren Teilfolge erreichen wir D φl l,∞;K ≤ 4−l . F¨ ur ψl = 2l φl gilt dann ψl → 0 und |T (ψl )| → ∞. Wir konstruieren rekursiv eine Teilfolge (Tk′ ) von (Tk ) und eine Teilfolge ′ (ψl ) von (ψl ). Zun¨achst w¨ahlen wir ψ1′ mit |T (ψ1′ )| > 1. Wegen Tk (ψ1′ ) → ur 1 ≤ j < k T (ψ1′ ) k¨onnen wir ein T1′ finden mit |T1′ (ψ1′ )| > 1. Seien Tj′ und ψj′ f¨ bereits konstruiert. Wegen ψl → 0 und |T (ψl )| → ∞ gibt es ein ψk′ mit |Tj′ (ψk′ )| < 2−k+j |T ′ (ψk′ )| >

k−1  j=1

f¨ ur j = 1, . . . , k − 1,

|T ′ (ψj′ )| + k.

(9.3) (9.4)

Wegen Tk (ψ) → T (ψ) liefert (9.4) ein Tk′ mit |Tk′ (ψk′ )| >

k−1  j=1

|Tk′ (ψj′ )| + k.

(9.5)

′ ′ Die Reihe ψ = ∞ ugen ebenfalls l=1 ψl konvergiert in D(Ω), denn die ψl gen¨ −l ′ der Absch¨atzung ψl l,∞;K ≤ 2 . Aus (9.5) und (9.3) folgt ∞   k−1    ′ ′ Tk′ (ψj′ ) |Tk′ (ψ)| =  Tk (ψj ) + Tk′ (ψk′ ) + j=1

(9.6)

j=k+1

  k−1   ∞  ′ ′    ′ ′  ≥ |Tk′ (ψk′ )| −  Tk (ψj ) > k − 1. Tk (ψj ) −  j=1

j=k+1

Daher existiert der Grenzwert von Tk′ (ψ) nicht, was einen Widerspruch bedeutet. ⊔ ⊓ Mit einem ¨ahnlichem Argument beweisen wir die Folgenstetigkeit der Bilinearform φ, T  = T (φ). D′

D

Satz 9.15. Ist Tk → T und φk → φ, so Tk (φk ) → T (φ). Beweis. Es gilt (Tk − T )(φk − φ) = Tk (φk ) − T (φk ) − Tk (φ) + T (φ). Wegen Tk (φ) → T (φ) und T (φk ) → T (φ) muß

206

9 Distributionen und Fourier-Transformation D′

D

Tk → 0, φk → 0

⇒

Tk (φk ) → 0.

gezeigt werden. Zum Beweis gehen wir wie im letzten Satz vor, indem wir eine D Teilfolge der φk zu einer Folge ψk normieren mit ψk → 0, |Tk (ψk )| → ∞ und k ψk konvergent in D. Hieraus bestimmen wir eine Teilfolge kl wie folgt: ahle kj so, daß Sind k1 , . . . , kj−1 bereits konstruiert, so w¨ |Tkj (ψkl )| klein

f¨ ur l = 1, . . . , j − 1,

|Tkj (ψkj )|

(wegen Tk (ψk ) → ∞),

groß

(wegen Tk (ψ) → 0),

|Tkl (ψkj )| klein f¨ ur l = 1, . . . , j − 1, (wegen ψk → 0). Setze ψ = l ψkl . Der Widerspruch Tkl (ψ) → ∞ folgt dann wie in (9.6).

⊔ ⊓

Im Rest dieses Abschnitts ist das Grundgebiet immer Ω = n . F¨ ur stetige Funktionen u, v, von denen eine kompakten Tr¨ ager hat, ist die Faltung definiert durch   u ∗ v(x) = u(x − y)v(y) dy = u(y)v(x − y) dy = v ∗ u(x). (9.7) Der Faltung sind wir bereits bei der Gl¨attung von Funktionen begegnet. Dort wurde auch ausgenutzt, daß man sich bei der Differentiation der Faltung aussuchen kann, auf welche Funktion die Ableitung f¨ allt, Dα (u ∗ v) = D α u ∗ v = u ∗ D α v, was direkt aus (9.7) folgt. F¨ ur eine Funktion f ∈ L1loc und φ, ψ ∈ D liefert (9.7),    f ∗ ψ(x)φ(x) dx = f (y)ψ(x − y)φ(x) dy dx, was die folgende Definition motiviert.

Definition 9.16. F¨ ur T ∈ D′ und ψ ∈ D ist die Faltung definiert durch (T ∗ ψ)(x) = T (ψ(x − •)), wobei der Punkt die Variable bezeichnet, auf die T wirkt. Die Faltung ist damit eine Funktion. Satz 9.17. Sei T ∈ D ′ und ψ ∈ D. Dann ist T ∗ ψ in differenzierbar mit supp(T ∗ ψ) ⊂ supp(T ) + supp(ψ) und Dα (T ∗ ψ) = (D α T ) ∗ ψ = T ∗ (D α ψ).

n

unendlich oft

9.1 Distributionen

207

Beweis. Die Behauptung f¨ ur den Tr¨ager folgt aus T (φ) = 0, wenn supp(T ) ∩ supp(φ) = ∅. Wir verwenden den Differenzenquotienten und die Definition der Faltung, 1   1 (T ∗ ψ)(x + hei ) − (T ∗ ψ)(x) = T ψ(x + hei − •) − ψ(x − •) . h h

Der Differenzenquotient (ψ(x + hei − y) − ψ(x − y))/h konvergiert bei festem x in D gegen Di ψ(x − y), daher Di (T ∗ ψ) = T ∗ (Di ψ) und mit Induktion Dα (T ∗ ψ) = T ∗ (D α ψ). Die Behauptung folgt aus T ∗ (Dα ψ)(x) = T (D α ψ(x − •)) = (−1)|α| T (D•α ψ(x − •)) = (D α T ) ∗ ψ(x).

⊔ ⊓

Lemma 9.18. F¨ ur T ∈ D ′ und φ, ψ ∈ D gilt (T ∗ φ) ∗ ψ = T ∗ (φ ∗ ψ). Beweis. Wir approximieren das Integral  φ ∗ ψ(x) = φ(x − y)ψ(y) dy durch Riemannsche Summen fh (x) = hn



α∈

n

φ(x − αh)ψ(αh).



Es gilt fh ∈ D und, weil die Riemannschen Summen auch f¨ ur die Ableitungen D konvergieren, fh → φ ∗ ψ. Da in der Summe nur endlich viele Summanden nicht verschwinden, k¨onnen wir die Linearit¨ at von T ausnutzen,     φ(x − αh − •)ψ(αh) = hn T (φ(x − αh − •))ψ(αh) T ∗ fh (x) = T hn α

→



α

T (φ(x − y − •)ψ(y) dy = (T ∗ φ) ∗ ψ(x). ⊔ ⊓

Im folgenden Satz sei an die Identifizierung einer Funktion f mit der zugeh¨ origen Distribution Tf erinnert. D′

Satz 9.19. F¨ ur alle Distributionen gilt T ∗ Jε → T, insbesondere ist C ∞ dicht ′ ∞ in D und C0 ist dicht im Raum der Distributionen mit kompaktem Tr¨ager. Beweis. Es ist T (φ) = T ∗ φ(−•)(0) und daher mit dem letzten Lemma,   (T ∗ Jε )(φ) = (T ∗ Jε ) ∗ φ(−•) (0) = T ∗ (Jε ∗ φ(−•))(0) = T (Jε ∗ φ). D

Wegen D α (Jε ∗ φ) = Jε ∗ Dα φ gilt Jε ∗ φ → φ. Die Behauptung folgt aus der Stetigkeit von T . ⊔ ⊓

208

9 Distributionen und Fourier-Transformation

9.2 Die Fourier-Transformation in S Definition 9.20. Setze f¨ ur k, l ∈

0 

pk,l (φ) = sup (|x|k + 1) x∈

Eine Funktion φ : C ∞ (

n



n



|α|≤l

|Dα φ(x)|.

) heißt schnell fallend, wenn

pk,l (φ) < ∞

∀k, l ∈ 

0.

Mit S = S( n ) wird die Menge der schnell fallenden Funktionen bezeichnet. S Wir sagen, (φk ) konvergiert gegen φ in S (Schreibweise φk → φ), wenn pk,l (φj − φ) → 0

∀k, l ∈ 

0.

Konvergenz in S ist damit polynomial gewichtete gleichm¨ aßige Konvergenz aller partieller Ableitungen. Da die Funktionen in S lediglich schneller als jedes |x|−k gegen 0 fallen 2 m¨ ussen, ist φ(x) = e−|x| ein Beispiel f¨ ur eine Funktion, die in S, aber nicht in D liegt. ˜R (0), B2R (0)}, so gilt f¨ Ist τR eine Abschneidefunktion bez¨ uglich {B ur φ ∈ S S, daß τR φ → φ f¨ ur R → ∞. D ist daher dicht in S. Definition 9.21. Sei φ ∈ S. Dann heißt  e−ix·ξ φ(x) dx, Fφ(ξ) = (2π)−n/2 

n

ξ∈

n

die Fourier-Transformierte von φ. Der auf S definierte Operator heißt FourierTransformation. Da f¨ ur φ ∈ S die Absch¨ atzung |φ(x)| ≤ c(1 + |x|)−n−1 gilt, folgt |Fφ(ξ)| ≤ c





n

|e−ix·ξ |(1 + |x|)−n−1 dx ≤ c.

Fφ existiert also und ist beschr¨ ankt. Satz 9.22. Mit φ ∈ S sind auch xα φ, Dα φ, Fφ, Dα Fφ, F(Dα φ) ∈ S und es gilt Dα Fφ = (−i)|α| F(xα φ), ξ α Fφ = (−i)|α| F(Dα φ).

9.2 Die Fourier-Transformation in S

209

Beweis. Nat¨ urlich sind xα φ und Dα φ in S. Wir brauchen daher nur die beiden Identit¨aten nachzuweisen, um zu zeigen, daß auch die Fourier-Transformierte unendlich oft differenzierbar und schnell fallend ist, mithin in S liegt. Mit dem Differenzenquotienten 1 (v(ξ + hej ) − v(ξ)) h  Dj+h e−ix·ξ φ(x) dx. Dj+h F(φ)(ξ) = (2π)−n/2 Dj+h v(ξ) =

folgt



(9.8)

n

Der Mittelwertsatz liefert

Dj+h e−ix·ξ = −ixj e−ix·η mit η ∈ (ξ, ξ + hej ) und daher |Dj+h e−ix·ξ | ≤ |xj |. Auf der rechten Seite von (9.8) k¨onnen wir mit der Majorante |φ(x)| ≤ c(1 + |x|)−n−2 nach dem Satz von Lebesgue zum Grenzwert u ¨ bergehen,  Dj F(φ)(ξ) = (2π)−n/2 −ixj e−ix·ξ φ(x) dx = −iF(xj φ). 

n

Damit ist der erste Teil der Behauptung gezeigt. Zum Nachweis der zweiten Identit¨at verwenden wir  (−i)−1 Dxj e−ix·ξ φ(x) dx, ξj Fφ(ξ) = (2π)−n/2 lim R→∞

(9.9)

BR (0)

denn φ ist schnell fallend. Mit partieller Integration folgt   (−i)−1 Dxj e−ix·ξ φ(x) dx = i−1 e−ix·ξ Dxj φ(x) dx BR (0)

BR (0)

+



(−i)−1 νj e−ix·ξ φ(x) dx.

∂BR (0)

Wegen |φ(x)| ≤ c|x|−n konvergiert das Randintegral gegen 0 f¨ ur R → ∞ und wir erhalten  ξj Fφ(ξ) = (2π)−n/2 (−i)e−ix·ξ Dxj φ(x) dx = (−i)F(Dxj φ)(ξ). 

n

⊔ ⊓

Satz 9.23. F : S → S ist stetig, d. h. S

φk → φ

⇒

S

Fφk → Fφ.

210

9 Distributionen und Fourier-Transformation

Beweis. Nach dem Beweis des letzten Satzes lassen sich |ξ|j Dα Fφ durch die Normen pk,l (φ) absch¨atzen. Ersetzen wir hier φ durch φk − φ, folgt die Behauptung. ⊔ ⊓ Korollar 9.24. Die Fourier-Transformation ist auch stetig zwischen den ur R¨aumen L1 ( n ) und C 0 ( n ) mit Fu∞ ≤ (2π)−n/2 u1 . Ferner gilt f¨ u ∈ L1 ( n ), daß lim|ξ|→∞ |Fu(ξ)| → 0. Beweis. Die Absch¨ atzung folgt aus der Definition der Fourier-Transformation. Da S dicht in L1 ist, liegt Fu im Abschluß von S im Raum C 0 ( n ) (vgl. Aufgabe 2.24). ⊔ ⊓ Im Fourier-Raum wird eine partielle Ableitung zu einer Multiplikation mit einem Monom, eine lineare partielle Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten wird zu einer Multiplikation mit einem Polynom. Aus der Analysis wird Algebra. Dieses m¨achtige Instrument Fourier-Transformation kann aber nur verwendet werden, wenn es eine Umkehrtransformation gibt. Die Herleitung dieser Umkehrtransformation beruht auf dem folgenden technischen Lemma. Lemma 9.25. Beweis. F¨ ur die Funktion

  2 2 F e−|x| /2 (ξ) = e−|ξ| /2 .

h(ξ) =



∞

x2 2

e−

−ixξ

−∞

2

dx,

ξ∈

,

2

gilt h(ξ) = (2π)1/2 F(e−x /2 )(ξ). Mit e−x /2 ∈ S ist auch h ∈ S. Daher  ∞  ∞ x2 d −x2 /2 −ixξ )e dx (e h′ (ξ) = −ixe− 2 −ixξ dx = i −∞ dx −∞  ∞ 2 = −i(−iξ) e−x /2 e−ixξ dx = −ξh(ξ). −∞

Aus der elementaren Analysis ist bekannt, daß  ∞ √ 2 e−x /2 dx = 2π, h(0) = −∞

also folgt mit

h′ (ξ) d ln h(ξ) = = −ξ, dξ h(ξ) daß ln h(r) − ln daher

√

2π =



0

r

d 1 ln h(ξ) dξ = − r 2 , dξ 2

9.2 Die Fourier-Transformation in S

√

h(ξ) =

2πe−ξ

2

/2

211

.

n

Im erhalten wir aus dem Satz von Fubini durch mehrfache Anwendung dieser Identit¨at  2 x2 x2 1 n −n/2 − |x| 2 )(ξ) = (2π) e− 2 −ix1 ξ1 . . . e− 2 −ixn ξn dx1 . . . dxn F(e √ √ 2 2 2 = (2π)−n/2 2πe−ξ1 /2 . . . 2πe−ξn /2 = e−|ξ| /2 .

⊔ ⊓ Satz 9.26. F : S → S ist bijektiv und bistetig mit Umkehrabbildung (= inverse Fourier-Transformation)  (F −1 φ)(x) = (2π)−n/2 eix·ξ φ(ξ) dξ, φ ∈ S. Anmerkung 9.27. Offenbar ist (F −1 φ)(x) = (Fφ)(−x). Demnach ist F 4-periodisch, φ → Fφ → F(F(φ)) = φ(−x). Beweis. Aufgrund der Anmerkung existiert die in der Behauptung angegebene Transformation und bildet S auf S ab. F¨ ur φ, ψ ∈ S folgt aus dem Satz von Fubini    φ(y)e−iy·ξ ψ(ξ)eix·ξ dy dξ Fφ(ξ)ψ(ξ)eix·ξ dξ = (2π)−n/2 = (2π)−n/2



φ(y)

  ψ(ξ)ei(x−y)·ξ dξ dy = φ(y)Fψ(y − x) dy.



Wir setzen nun z = y − x und haben damit gezeigt   Fφ(ξ)ψ(ξ)eix·ξ dξ = φ(z + x)Fψ(z) dz. 2

2

F¨ ur die Funktion ψ(x) = e−ε |x| und der Substitution xi = yi /ε

/2

Fψ(z) = (2π)−n/2 = (2π)

(9.10)

erhalten wir mit Hilfe des letzten Lemmas



e−ε

−n/2 −n

ε

2

= ε−n F(e−|x|



/2

2

|x|2 /2 −ix·z

e

2

e−|y|

dx

/2 −iy·z/ε

e

dy

2 2 z )( ) = ε−n e−|z| /(2ε ) . ε

212

9 Distributionen und Fourier-Transformation

Zusammen mit (9.10) folgt hieraus   2 2 2 2 Fφ(ξ)e−ε |x| /2 eix·ξ dξ = ε−n e−|z| /(2ε ) φ(z + x) dz =



2

e−|y|

/2

(9.11)

φ(x + εy) dy,

wobei wir zum Schluß die Substitution zi = εyi verwendet haben. Auf beiden Seiten von (9.11) existieren die punktweisen Grenzwerte der Integranden f¨ ur ε → 0. Da φ und Fφ schnell fallend sind, k¨ onnen wir den Satz von Lebesgue anwenden und erhalten  2 n/2 −1 (2π) F (Fφ)(x) = e−|y| /2 φ(x) dy = φ(x)(2π)n/2 , daher φ(x) = F −1 (Fφ)(x), insbesondere ist F injektiv. Genauso zeigt man at von F −1 impliziert. ⊔ ⊓ φ(x) = F(F −1 φ)(x), was die Injektivit¨

9.3 Die Fourier-Transformation in S ′ und in L2 Mit S ′ bezeichnen wir den Raum der linearen Funktionale T : S → folgenstetig bez¨ uglich der Konvergenz in S sind, also S

φk → φ

Wegen D

⇒



, die

T φk → T φ.

S

φk → φ ⇒ φ k → φ ⇒ T φ k → T φ

ist jedes T ∈ S ′ eine Distribution.

Beispiele 9.28 (i) Jede Distribution mit kompaktem Tr¨ ager kann zu einem Element von S ′ fortgesetzt werden wegen |T (φ)| ≤ cφN,∞;Ω ≤ cp0,N (φ). (ii) F¨ ur f ∈ Lp (

n

) ⊂ L1loc (

n

) setze  Tf (φ) = f φ dx ∈ D ′ .

aßt. F¨ ur p = 1 ist das sofort klar Wir zeigen, daß sich Tf auf S fortsetzen l¨ ur 1 < p < ∞ sei q = p/(p − 1) und f¨ ur p = ∞ wegen |Tf (φ)| ≤ f 1 p0,0 (φ). F¨ sei q = 1 . Es gibt ein k ∈ mit  (1 + |x|)−kq dx < ∞, 

daher folgt f¨ ur φ ∈ S mit der H¨olderschen Ungleichung

9.3 Die Fourier-Transformation in S ′ und in L2

|Tf (φ)| ≤



|f |(1 + |x|)−k (1 + |x|)k |φ| dx ≤



213

|f |(1 + |x|)−k dx pk,0 (φ)

≤ f p (1 + |x|)−k q pk,0 (φ) ≤ cf p pk,0 (φ). Damit ist Tf ∈ S ′ . (iii) Ist q(x) ein Polynom vom Grade ≤ k, so gehen wir wie in (ii) vor,  |Tq (φ)| ≤ c |q|(1 + |x|)−k−n−1 dx pk+n+1,0 (φ) ≤c also Tq ∈ S ′ .



(1 + |x|)k (1 + |x|)−k−n−1 dx pk+n+1,0 (φ) ≤ c pk+n+1,0 (φ),

2

(iv) f (x) = e|x| ist eine regul¨are Distribution, die sich nicht auf S fortsetzen S ur viele l¨aßt. Ist n¨amlich (φk ) eine Folge in D mit φk → f −1 , so Tf (φk ) → ∞. F¨ andere regul¨are Distributionen mit exponentiellem Wachstum kann analog argumentiert werden. Aufgrund des letzten Beispiels nennt man S ′ den Raum der langsam wachsenden oder temperierten Distributionen, was aber angesichts von Aufgabe 9.20 irref¨ uhrend ist. Definition 9.29. F¨ ur T ∈ S ′ heißt FT (φ) = T (Fφ) die Fourier-Transformierte von T. Satz 9.30. (a) Ist Tψ ∈ S ′ regul¨ar mit ψ ∈ S, so gilt FTψ = TF ψ . (b) F¨ ur T ∈ S ′ ist FT ∈ S ′ . Beweis. (a) F¨ ur φ ∈ S gilt   −ix·ξ −n/2 FTψ (φ) = (2π) e φ(x)ψ(ξ) dx dξ = φ(x)Fψ(x) dx = TF ψ (φ). S

(b) Wenn φk → φ, so gilt aufgrund der Stetigkeit von F, Lemma 9.23, S ⊔ ⊓ Fφk → Fφ. Mit

F −1 T (φ) = T (F −1 φ)

gilt der Satz 9.31. F, F −1 : S ′ → S ′ sind bijektiv mit FF −1 T = F −1 FT = T.

214

9 Distributionen und Fourier-Transformation

⊔ ⊓

Beweis. folgt sofort aus der Definition. Satz 9.32. F¨ ur T ∈ S ′ gilt F −1 T (φ(ξ)) = FT (φ(−ξ)) sowie T

FT

F −1 T

D α δ0

(2π)−n/2 i|α| xα

(2π)−n/2 (−i)|α| xα

xα

(2π)n/2 i|α| Dα δ0

(2π)n/2 (−i)|α| Dα δ0

Dα T

i|α| xα FT

(−i)|α| xα F −1 T

xα T

i|α| Dα FT

(−i)|α| Dα (F −1 T )

Beweis. Alle Aussagen lassen sich leicht aus den bisher bewiesenen Rechenregeln ableiten. Mit F −1 T (φ) = T (F −1 (φ(ξ)) = T (Fφ(−ξ)) = FT (φ(−ξ)). brauchen wir nur die Spalte f¨ ur FT nachzuweisen. Es gilt  Fδ0 (φ) = δ0 (Fφ) = F(φ)(0) = (2π)−n/2 φ(x) dx = (2π)−n/2 T1 (φ). 

n

F¨ ur die Ableitung einer Distribution in S ′ erhalten wir FDα T (φ) = Dα T (Fφ) = (−1)|α| T (Dα Fφ) = i|α| T (F(xα φ)) = i|α| FT (xα φ) = i|α| xα FT (φ). Die Beziehung F(xα T (φ)) = (−i)|α| Dα (FT )(φ) beweist man genauso.

⊔ ⊓

Satz 9.33. F¨ ur φ, ψ ∈ S gilt die Parsevalsche Gleichung (φ, ψ) = (Fφ, Fψ),

(9.12)

φ2 = Fφ2 .

(9.13)

insbesondere Beweis. F¨ ur φ, ψ ∈ S ist wegen φ = F −1 Fφ    φψ dx = (2π)−n/2 ψ Fφ(ξ)eix·ξ dξ dx = (2π)−n/2



Fφ(ξ)



ψeix·ξ dx dξ =



Fφ(ξ)Fψ(ξ) dξ. ⊔ ⊓

Gleichung (9.12) gilt wegen F −1 = F auch f¨ ur F −1 . Da S dicht in L2 ist, 2 k¨onnen die auf L ∩ S isometrischen Abbildungen F und F −1 nach Satz 2.14 eindeutig zu auf L2 stetigen Abbildungen fortgesetzt werden.

9.4 Sobolev-R¨ aume und Fourier-Transformation, Spurr¨ aume

215

Definition 9.34. Die eindeutige Fortsetzung von F auf L2 heißt FourierPlancherel-Transformation und wird ebenso mit F bezeichnet. Satz 9.35. F¨ ur die Fourier-Plancherel-Transformation gelten (9.12) und (9.13) f¨ ur alle φ, ψ ∈ L2 . Ferner stimmt die Fourier-PlancherelTransformation, abgesehen von der Identifizierung Tf ↔ f , mit der Fourieruberein, es gilt FTf = TF f f¨ ur alle f ∈ L2 . Transformation in S ′ ¨ Beweis. Da das innere Produkt stetig ist, bleiben (9.12) und (9.13) auch f¨ ur den fortgesetzten Operator richtig. Zu zeigen bleibt, daß die distributionelle Definition von F in S ′ auf L2 mit der Fourier-Plancherel-Transformation u ¨ bereinstimmt. Sei f ∈ L2 und (fk ) 2 ur φ ∈ S eine Folge in S mit fk → f in L . Dann gilt f¨   FTfk (φ) = fk Fφ dx → f Fφ dx = FTf (φ), andererseits mit Satz 9.30,   FTfk (φ) = fk Fφ dx = Ffk φ dx → TF f (φ).

⊔ ⊓

¨ Wir haben die folgende Ubersicht f¨ ur den Operator F: R¨aume

Eigenschaften

Herleitung

S→S

bijektiv, bistetig

Definition

bijektiv, bistetig

Bildung durch Dualisierung“ ” Definition und Kor. 9.24

′

1

S →S

′

0

L →C (

n)

L2 → L2

stetig isom. Isomorphismus

Fortsetzung von F : S → S auf L2

9.4 Sobolev-R¨ aume und Fourier-Transformation, Spurr¨ aume Die vor allem im nichtganzzahligen Fall unhandlichen Sobolev-Normen lassen sich mit Hilfe der Fourier-Transformation sehr einfach charakterisieren. Wir beginnen mit dem Ganzraumfall Ω = n . Satz 9.36. Sei s ≥ 0. Es gibt Konstanten c1 , c2 > 0, die von s abh¨angen, mit  2 c1 us,2; n ≤ (1 + |ξ|)2s |Fu|2 dx ≤ c2 u2s,2; n 





f¨ ur alle u ∈ H s,2 (

n

).

n

216

9 Distributionen und Fourier-Transformation

Beweis. Sei zun¨achst s = m ganzzahlig. F¨ ur u ∈ H m,2 ( alle |α| ≤ m und mit der Parsevalschen Gleichung folgt

n

) ist Dα u ∈ L2 f¨ ur

Dα u2 = F(D α u)2 = ξ α Fu2 .

Da es Konstanten c1 , c2 > 0 gibt mit   c1 |ξ α |2 ≤ (1 + |ξ|)2m ≤ c2 |ξ α |2 , |α|≤m

|α|≤m

folgt die Behauptung f¨ ur diesen Fall. Sei nun s = σ mit 0 < σ < 1. Mit u(x) = F −1 (Fu)(x) gilt    u(x + z) − u(x) = (2π)−n/2 eix·ξ (eiz·ξ − 1)Fu(ξ) dξ = F −1 (eiz·ξ − 1)Fu (x)

und mit der Parsevalschen Gleichung (9.13)   |u(x + z) − u(x)|2 dx = |Fu(ξ)|2 |(eiz·ξ − 1)|2 dξ, daher  

|u(x + z) − u(x)|2 dx dz = |z|n+2σ



|ξ|2σ |Fu(ξ)|2



|(eiz·ξ − 1)|2 dz dξ. |ξ|2σ |z|n+2σ

Im inneren Integral f¨ uhren wir die Koordinatentransformation z = |ξ|−1 y mit −n dz = |ξ| dy durch    |(eiω·y − 1)|2 2(1 − cos(ω · y)) |(eiz·ξ − 1)|2 dz = dy = dy, |ω| = 1. 2σ n+2σ n+2σ |ξ| |z| |y| |y|n+2σ

Wie man sich durch eine Drehung des Koordinatensystems u angt ¨berzeugt, h¨ dieses Integral nicht von ω ab. F¨ ur den Z¨ ahler verwenden wir die Absch¨ atzung anktheit des Integrals folgt. 2(1−cos(ω ·y)) ≤ min{4, c|y|2 }, woraus die Beschr¨ Damit ist  |u|22,σ; n = cn,σ |ξ|2σ |Fφ(ξ)|2 dξ 

gezeigt, wobei sich aus der Herleitung ergibt, daß cn,σ → ∞ f¨ ur σ → 0, 1. Der allgemeine Fall s = m + σ ergibt sich unmittelbar aus den beiden vorigen Beweisteilen. ⊔ ⊓ Lassen sich die Sobolev-Funktionen auf einem Gebiet stetig fortsetzen, so kann der Sobolev-Raum ebenfalls durch die Fourier-Transformation charakterisiert werden:

Satz 9.37. Sei s ≥ 0. Auf Ω ⊂ n gebe es einen stetigen Operator E : H s,2 (Ω) → H s,2 ( n ) mit EuΩ = u. Dann stimmt der Raum H s,2 (Ω) mit der Einschr¨ankung der Funktionen in H s,2 ( n ) auf Ω u ¨berein und die Norm    u′s,2;Ω = inf (1 + | · |)s F u ˜ Ω = u ˜ ∈ H s,2 ( n ) mit u ˜2; n : u 

ist zur Norm in H s,2 (Ω) ¨aquivalent.

9.4 Sobolev-R¨ aume und Fourier-Transformation, Spurr¨ aume

217

Beweis. Mit dem letzten Satz ist das eigentlich klar. Einerseits gilt u′s,2;Ω ≤ (1 + | · |)s FEu2; 

≤ cEus,2;

n



n

≤ cus,2;Ω ,

andererseits f¨ ur jede H s,2 -Fortsetzung u ˜ von u us,2;Ω ≤ ˜ us,2; 

n

≤ c(1 + | · |)s F u ˜2; 

n

.

Hier bilden wir das Infimum und haben auch diese Richtung gezeigt.

⊔ ⊓

¨ Aus dem Fortsetzungssatz 6.40 folgt demnach die Aquivalenz der Normen  · s,2 und  · ′s,2 f¨ ur beschr¨ankte Gebiete der Klasse C m,1 . F¨ ur ganzzahliges s kann alternativ der Calderonsche Fortsetzungssatz von Seite 106 angewendet werden, der bereits f¨ ur beschr¨ ankte Lipschitzgebiete richtig ist. Als Anwendung zeigen wir, wie einfach der Beweis einer SobolevUngleichung mit Hilfe der Fourier-Transformation ist. ur das Satz 9.38. Sei s − n/2 = l + α mit l ∈ 0 und 0 < α < 1. Gibt es f¨ Gebiet Ω ⊂ n einen stetigen Fortsetzungsoperator E : H s,2 (Ω) → H s,2 ( n ), so gilt die Einbettung H s,2 (Ω) → C l,α (Ω). 

Beweis. Sei 0 < s − n/2 < 1, also l = 0. l > 0 wird auf diesen Fall zur¨ uckgef¨ uhrt, indem man die Ableitungen D β u mit |β| < l betrachtet. Aufgrund der Voraussetzung an Ω und des letzten Satzes k¨ onnen wir Ω = n annehmen. Aus u(x + z) − u(x) = F −1 ((eiz·ξ − 1)Fu)(x) folgt   |u(x + z) − u(x)|   −s+n/2 ix·ξ −iz·ξ |z| = e (e − 1)Fu(ξ) dξ   |z|s−n/2  1/2 1/2   −2s+n −iz·ξ 2 −2s |z| ≤ . |e − 1| (1 + |ξ|) dξ (1 + |ξ|)2s |Fu(ξ)|2 dξ F¨ ur den ersten Faktor auf der rechten Seite verwenden wir die Transformation ξ = |z|−1 ξ ′ , dξ = |z|−n dξ ′ . Mit ω ∈ n , |ω| = 1, gilt dann   ′ |z|−2s+n |e−iz·ξ − 1|2 (1 + |ξ|)−2s dξ = |e−iω·ξ − 1|2 (|z| + |ξ ′ |)−2s dξ ′ ≤



min{4, c|ξ ′ |2 }|ξ ′ |−2s dξ ′ .

Wegen 2 − 2s > −n und −2s < −n existieren die Integrale u ¨ ber |ξ ′ | < 1 und ′ |ξ | ≥ 1.  ur s > n/2 Nun zeigen wir u∞ ≤ cus,2 . Wegen (1 + |ξ|)−2s dξ < ∞ f¨ gilt     2 |Fu| dξ ≤ |Fu|2 (1 + |ξ|)2s dξ (1 + |ξ|)−2s dξ ≤ cu2s,2 , daher Fu ∈ L1 . Die Behauptung folgt aus u∞ ≤ (2π)−n/2 Fu1 .

⊔ ⊓

218

9 Distributionen und Fourier-Transformation

Wir hatten in Abschnitt 6.6 bewiesen, daß jede Funktion u in H 1,p (Ω) ′ eine Spur Su ∈ Lp (∂Ω) besitzt, wobei Su die eindeutige Fortsetzung des ˜ = u|∂Ω ist. Von diesem Resultat gibt es aber klassischen Spuroperators Su ′ keine Umkehrung: Wir k¨onnen eine beliebige Funktion in Lp (∂Ω) nicht zu einer Funktion in H 1,p (Ω) fortsetzen, weil dazu auch etwas Glattheit erforderlich ist. Umgekehrt l¨ aßt sich jede Funktion in H 1,p (∂Ω) trivialerweise zu 1,p einer Funktion in H (Ω) fortsetzen, aber dann scheitert es am Spuroperator. In diese L¨ ucke treten die gebrochenen Sobolev-R¨ aume, f¨ ur die es bei richtig gew¨ahlten Exponenten beides gibt, einen Spur- und einen Fortsetzungssatz. Als erstes dehnen wir die Definition 6.15 auf allgemeine Sobolev-R¨ aume aus, wobei nur der Fall p = 2 ber¨ ucksichtigt wird. Auch hier wird auf die explizite Parametrisierung des Randes in Definition 6.1 zur¨ uckgegriffen. Definition 9.39. Sei m ∈ 0 , s = m+σ mit 0 ≤ σ < 1. Sei Ω ein beschr¨anktes Gebiet der Klasse C m,1 mit zugeh¨origer Lokalisierung (Uj , φj ), j = 1, . . . J liegt im Raum H s,2 (∂Ω), wenn fol(siehe Anmerkung 6.4(ii)). u : ∂Ω → gendes gilt. Nach Drehung und Verschiebung gestattet es die Definition 6.1 des Gebiets der Klasse C m,1 , den Rand lokal in der Form {(y ′ , hj (y ′ ))} darzustellen. Es wird verlangt, daß die Funktionen uj (y ′ ) = (φj u)(y ′ , hj (y ′ )) im Raum H s,2 (Uj′ ) liegen, wobei Uj′ ⊂ n−1 der Definitionsbereich des Parameters y ′ ist. Mit Dα uj = Dyα′ uj wird H s,2 (∂Ω) normiert durch 



u2m,2;∂Ω = |u|2σ,2;∂Ω =

J    j=1 |α|≤m

J   j=1

∂Ω

∂Ω



∂Ω

u2s,2;∂Ω = u2m,2;∂Ω +

|Dα uj |2 dσ

f¨ ur σ = 0,

|uj (x) − uj (y)|2 dσx dσy , |x − y|n−1+2σ 

|α|=m

|Dα u|2σ,2;∂Ω

f¨ ur 0 < σ < 1.

Um die Problematik dieser Definition zu verstehen, betrachten wir den Fall m = 1 und n = 2. F¨ ur u ∈ H 1,2 (∂Ω) existiert die schwache Tangentialablei tung und ist in jeder kompakten Teilmenge von supp(φj ∂Ω ) auch in L2 . Die Transformation y ′ → (y ′ , hj (y ′ )) gibt aber die Gr¨ oße der Tangentialableitung nicht korrekt wieder, weil sie i.a. keine Parametrisierung nach der Bogenl¨ ange ist. Dies m¨ ußte kompensiert werden, wie es in der Definition der Lp (∂Ω)R¨aume durch dσ = (1 + |Dhj |2 )1/2 dy ′ geschieht. Darauf wird hier verzichtet, weil es sp¨atestens im gebrochenen Fall aussichtslos ist, eine von der Lokalisierung unabh¨angige Definition anzugeben. Im gebrochenen Fall h¨ angt n¨ amlich nach Beispiel 6.34(ii) die Norm der Funktion uj auch von der Wahl von Uj′ ab, die in gewissen Grenzen beliebig ist. Die Normen zu zwei verschiedenen Lokalisierungen sind aber ¨ aquivalent. Satz 9.40 (Spur- und Fortsetzungssatz). Sei Ω ein beschr¨anktes Gebiet der Klasse C m,1 . Sei s = m + σ > 1/2 mit 0 ≤ σ < 1.

9.4 Sobolev-R¨ aume und Fourier-Transformation, Spurr¨ aume

219

(a) Der Spuroperator aus Satz 6.16 ist auch stetig zwischen den R¨aumen H s,2 (Ω) und H s−1/2,2 (∂Ω). (b) Es existiert ein stetiger Fortsetzungsoperator F : H s−1/2,2 (∂Ω) → H s,2 (Ω) mit SF = Id. Beweis. In beiden Beweisteilen beginnen wir mit dem Halbraum und schreiben wieder x = (x′ , xn ). Mit F ′ bezeichnen wir die Fourier-Transformation bez¨ uglich der Variablen x′ , entsprechend ist F n die Fourier-Transformation bez¨ uglich xn . (a) Sei Ω = {(x′ , xn ) : xn > 0} und u ∈ C ∞ (Ω) mit kompaktem Tr¨ ager in n . u kann wie in Satz 6.11 zu einer Funktion in C0m+1 ( n ) fortgesetzt werden, die genauso bezeichnet wird. F¨ ur u0 (x′ ) = u(x′ , 0), gilt mit (F n )−1 F n = Id ′

u0 (x ) = (2π)

−1/2

 

x′ ∈

n−1

,

ei0·ξn F n u(x′ , ξn ) dξn .

Mit Fourier-Transformation bez¨ uglich x′ folgt  ′ ′ −1/2 F u0 (ξ ) = (2π) Fu(ξ ′ , ξn ) dξn , 

und mit der H¨olderschen Ungleichung f¨ ur das innere Integral   2    Fu(ξ ′ , ξn ) dξn  dξ ′ (1 + |ξ ′ |)2s−1 |F ′ u0 |2 dξ ′ ≤ c (1 + |ξ ′ |)2s−1  

n−1

≤c





n−1 

(1 + |ξ ′ |)2s−1





n−1



(1 + |ξ|)2s |Fu(ξ ′ , ξn )|2 dξn





(1 + |ξ|)−2s dξn dξ ′ .

F¨ ur das letzte Integral verwenden wir die Absch¨ atzung  (1 + |ξ|)−2s dξn 

≤ 2s

 

(1 + |ξ ′ | + |ξn |)−2s dξn = 2s

2 (1 + |ξ ′ |)−2s+1 , 2s − 1

(9.14)

daher u0 s−1/2,2; n−1 ≤ cus,2; n . Sei (Uj , φj ) eine C m,1 -Lokalisierung von Ω. Wir wenden die zuletzt bewiesene Absch¨atzung auf 



uj (y ′ , yn ) = (φj u)(y ′ , hj (y ′ ) + yn ) an. F¨ ur den ganzzahligen Anteil der Sobolev-Normen verwenden wir dazu die Produktregel 5.14 und die Kettenregel 6.9, f¨ ur den gebrochenen Anteil die entsprechenden Lemmata, n¨ amlich 6.36 und 6.39.

220

9 Distributionen und Fourier-Transformation

(b) F¨ ur u0 ∈ C0∞ (

n−1

) setze  −(n−1)/2 2s − 1 F u0 (x) = (2π) 2 

eix·ξ n

(1 + |ξ ′ |)2s−1 F ′ u0 (ξ ′ ) dξ. (9.15) (1 + |ξ ′ | + |ξn |)2s

F¨ ur xn = 0 erhalten wir aus dieser Definition mit Hilfe von (9.14)  ′ ′ ′ −(n−1)/2 2s − 1 eix ·ξ (1 + |ξ ′ |)2s−1 F ′ u0 (ξ ′ ) × F u0 (x , 0) = (2π) 2 n−1   (1 + |ξ ′ | + |ξn |)−2s dξn dξ ′ 



= (2π)−(n−1)/2



′



n−1

′

eix ·ξ F ′ u0 (ξ ′ ) dξ ′ ,

also F u0 (x′ , 0) = u0 (x′ ). Zum Nachweis der Stetigkeit von F interpretieren wir (9.15) so, daß F u0 die inverse Fourier-Transformation des Integranden auf der rechten Seite ist. Es folgt  (1 + |ξ ′ | + |ξn |)2s |FF u0 (ξ)|2 dξ F u0 2s,2; n ≤ c 

n



≤c

 

n−1

 

(1 + |ξ ′ |)4s−2 |F ′ u0 (ξ ′ )|2 dξn dξ ′ . (1 + |ξ ′ | + |ξn |)2s

Das innere Integral wird mit (9.14) ausgerechnet,  2 (1 + |ξ ′ |)2s−1 |F ′ u0 (ξ ′ )|2 dξ ′ ≤ cu0 2s−1/2,2; F u0 s,2; n ≤ c 





n−1

.

n−1

Die Transformation auf die lokale Situation am Rande des Gebiets erfolgt genauso wie bei (a). ⊔ ⊓ In Aufgabe 6.15 wird ein alternativer, in mancherlei Hinsicht besserer“ Fort” setzungsoperator behandelt. Beispiel 9.41. Auf dem beschr¨ ankten Lipschitzgebiet Ω ⊂ den gleichm¨aßig elliptischen Operator Lu = −Di (aij Dj u),

n

betrachten wir

aij ∈ L∞ (Ω),

mit zugeh¨origer Form (alles reell) a(u, v) =



aij Dj uDi v dx.

Ω

(i) Das inhomogene Dirichlet-Problem Lu = f in Ω, u = g auf ∂Ω ist f¨ ur f ∈ H −1,2 (Ω) und g ∈ H 1/2,2 (Ω) eindeutig in schwacher Form l¨ osbar. Mit

9.4 Sobolev-R¨ aume und Fourier-Transformation, Spurr¨ aume

221

dem Operator F aus dem letzten Satz bestimmen wir n¨ amlich u0 ∈ H01,2 (Ω) 1,2 ur alle v ∈ H0 (Ω), es ist dann u = u0 + F g mit a(u0 , v) = f (v) − a(F g, v) f¨ mit u1,2;Ω ≤ u0 1,2;Ω + F g1,2;Ω ≤ cf −1,2;Ω + cg1/2,2;∂Ω . Die schwache Form zur Bestimmung von u0 kann auch zum Nachweis der Regularit¨at verwendet werden. F¨ ur gen¨ ugend glatte Daten gilt dann u ∈ H 2,2 (Ω) aßt sich das Problem mit u2,2;Ω ≤ c(f 2;Ω + g3/2,2;∂Ω ). In diesem Fall l¨ funktionalanalytisch auch anders deuten: L : H 2,2 (Ω) → L2 (Ω) × H 3/2,2 (∂Ω),

u → (Lu, Su),

(9.16)

wobei S den Spuroperator aus dem letzten Satz bezeichnet, ist bijektiv und bistetig zwischen den angegebenen R¨aumen. (ii) Das inhomogene Neumann-Problem, in klassischer Form νi aij Dj u = g, behandelt man, indem man eine L¨osung u ∈ H 1,2 (Ω) von  a(u, v) = f (v) + g(v) ∀v ∈ H 1,2 (Ω), g(v) = gv dσ, (9.17) ∂Ω

sucht. Man nutzt hier den Gelfandschen Dreier H −1/2,2 (∂Ω) = H 1/2,2 (∂Ω)′ → L2 (∂Ω) → H 1/2,2 (∂Ω) und kann das Problem auch f¨ ur g ∈ H −1/2,2 (∂Ω) l¨ osen, wenn man g durch ein offensichtlich zu definierendes inneres Produkt auf H 1/2,2 (∂Ω) darstellt (vergleiche Beispiel 8.17, die Verh¨ altnisse sind hier genauso). Die Bilinearform ist auf H 1,2 (Ω) nicht koerziv, es gilt aber die G˚ ardingsche Ungleichung λu21,2;Ω ≤ a(u, u) + λu22;Ω , wobei λ die Elliptizit¨atskonstante von L bezeichnet. Das Problem (9.17) ist daher l¨ osbar, wenn die rechte Seite auf dem Nullraum von L′ : v → a(·, v) verschwindet, 1 wegen N (L′ ) = span {1} also  f (1) + g(1) = 0. Sind f, g durch L -Funktionen darstellbar, bedeutet das Ω f dx + ∂Ω g dσ = 0. Die Notwendigkeit dieser Bedingung kann man auch durch Integration von Lu = f u ¨ber Ω ableiten. Die L¨osbarkeitsbedingung unterstreicht, daß funktionalanalytisch betrachtet eine inhomogene rechte Seite und eine inhomogene Neumann-Randbedingung ein und dasselbe sind. In dieser Hinsicht instruktiv ist Aufgabe 9.29, in der eine rechte Seite in stetiger Weise verschwindet und gleichzeitig in der Randbedingung wiederersteht. Zum Nachweis der Regularit¨ at kann man mit einer Variante des letzten Satzes die inhomogene Neumann-Randbedingung heraustransformieren, alternativ kann man die schwache Form in (9.17) belassen und direkt mit Differenzenquotienten angehen. F¨ ur ∂Ω ∈ C 2 , aij ∈ C 1 (Ω), f ∈ L2 (Ω) und 1/2,2 g ∈ H (∂Ω) ist die L¨osung dann im Raum H 2,2 (Ω) und die zugeh¨ orige a-priori-Absch¨atzung ist erf¨ ullt. (iii) Mit einem kleinen Trick lassen sich auch allgemeinere Randbedingungen behandeln. Um Rechenarbeit zu sparen, betrachten wir nur den Fall n = 2 und ur u, v ∈ H 1,2 (Ω) L = −∆. F¨ ur b ∈ L∞ (∂Ω) und d ∈ H 1,∞ (Ω) definieren wir f¨

222

9 Distributionen und Fourier-Transformation

a(u, v) =



DuDv dx +

Ω

+



buv dx

(9.18)

∂Ω



Ω



 dD1 uD2 v + D2 dD1 uv − dD2 uD1 v − D1 dD2 uv dx.

Zu f ∈ L2 (Ω) ist ein u ∈ H 1,2 (Ω) gesucht mit a(u, v) = (f, v) f¨ ur alle v ∈ H 1,2 (Ω). Wir integrieren partiell in a(u, v), beachten dabei, daß die Terme im letzten Teil der Bilinearform nur Randintegrale hinterlassen, und erhalten die klassische Form −∆u = f in Ω,

Dν u + bu + dDt u = 0 auf ∂Ω,

(9.19)

wobei Dt die Tangentialableitung bezeichnet, t = (−ν2 , ν1 ). Ein Spezialfall ist d = 0, was Randbedingung der dritten Art genannt wird, und bei W¨ armeleitungsproblemen dazu dient, die Aufheizung eines K¨ orpers von außen durch Strahlung zu modellieren. F¨ ur b = 0 erh¨alt man die weniger bedeutsame, aber bei Mathematikern beliebte Randbedingung mit schiefer Ableitung. Da man in (9.19) auch durch b oder d teilen kann, sind nur die Randbedingungen, die keine Normalableitung enthalten, nicht darstellbar. Diese sind mit Ausnahme des reinen Dirichlet-Problems in jeder anderen Theorie elliptischer Differentialgleichungen1 ebenfalls verboten. Zum Nachweis der G˚ ardingschen Ungleichung f¨ ur die Bilinearform a zeigen wir zun¨achst f¨ ur jedes ε > 0 die Absch¨atzung u2;∂Ω ≤ εu1,2;Ω + c(ε)u2;Ω 1

∀u ∈ H 1,2 (Ω).

(9.20)

Damit ist haupts¨ achlich die starke Theorie elliptischer Operatoren gemeint, in der das Problem a ¨hnlich wie in (9.16) in der Form ` ´ si ,2 (∂Ω), u → Lu, ×m L : H 2m,2 → L2 (Ω) ×m i=1 H i=1 Bi u ,

geschrieben wird, wobei L ein Operator der Ordnung 2m und Bi Randoperatoren der Ordnung mi , 0 ≤ mi ≤ 2m − 1, sind. Mit si = 2m − mi − 1/2 bildet L korrekt ab. Unter geeigneten Bedingungen an L und die Randoperatoren wird gezeigt, daß L ein Fredholm-Operator vom Index 0 ist. Der Beweis besteht im wesentlichen in der Konstruktion von L¨ osungen im Ganz- und Halbraum mit Hilfe der Fourier-Transformation, stellt daher eine sch¨ one Anwendung der Funktionalanalysis dar (siehe [Wlo82]). Die Methode funktioniert auch bei elliptischen Systemen (siehe [Agm64], [WRL95, Kapitel 9]) und ist sp¨ atestens hier der schwachen Theorie an Allgemeinheit u ¨berlegen. Gravierender Nachteil der Methode ist die starke Regularit¨ atsanforderung an den Rand (∂Ω ∈ C 2m ), der aber durch eine (ebenfalls starke) Eckentheorie ausgeglichen werden kann (siehe [Kon67, 1. Kapitel], [MNP91]). Insgesamt erh¨ alt man eine f¨ ur die Numerik elliptischer Differentialgleichungen n¨ utzliche Theorie auf st¨ uckweise glatten Gebieten, die nach geringen Modifikationen auch auf Probleme mit unstetigen Koeffizienten angewendet werden kann, was leider von den Autoren meist nicht erw¨ ahnt wird. Alle hier genannten B¨ ucher und Artikel stellen eine Empfehlung zum Weiterlesen dar; der erste Eindruck, daß die schwache Theorie einfach und n¨ utzlich, w¨ ahrenddessen die starke nur n¨ utzlich ist, verschwindet bald.

9.5 Die G˚ ardingsche Ungleichung f¨ ur elliptische Operatoren

223

Aus dem letzten Satz folgt f¨ ur jedes η > 0, daß u2;∂Ω ≤ u1/2+η,2;Ω . Da wir Ω als Lipschitzgebiet vorausgesetzt haben, k¨ onnen wir die Charakterisierung der Sobolev-R¨aume in Satz 9.37 zur weiteren Absch¨ atzung von u1/2+η,2;Ω verwenden. Mit der verallgemeinerten Youngschen Ungleichung (A.2) gilt f¨ ur η < 1/2 (1 + |ξ|)1+2η ≤ c(1 + |ξ|1+2η ) ≤ ε|ξ|2 + c(ε), (9.21) daher mit der Notation wie in Satz 9.37  u21/2+η,2;Ω ≤ c (1 + |ξ|)1+2η |F u ˜|2 dξ ≤ cεDu22;Ω + c(ε)u22;Ω ,

woraus (9.20) folgt. F¨ ur die Bilinearform gilt daher  2 2 a(u, u) ≥ Du2;Ω − b∞;∂Ω u2;∂Ω − d1,∞;Ω {|D1 u| |u| + |D2 u| |u|} dx Ω

≥

1 u21,2;Ω − c(b∞;∂Ω , d1,∞;Ω )u22;Ω . 2

Diese G˚ ardingschen Ungleichung bleibt auch f¨ ur die ins Komplexe fortgesetzte Form richtig (siehe Abschnitt A.7). Satz 8.37 liefert die Fredholmsche Alternative und damit die Charakterisierung des Bildraums durch den adjungierten Operator. Erw¨ahnenswert ist vielleicht noch, daß im Fall d = const, b ≥ 0 auf ∂Ω uck Γ des Randes, das Problem (9.19) und b ≥ c0 > 0 auf einem offenen Teilst¨ eindeutig l¨osbar ist, weil dann a(u, u) ≥ Du22;Ω + c0 u22;Γ ≥ c1 u21,2;Ω ,

c1 > 0,

erf¨ ullt ist. Die letzte Absch¨ atzung zeigt man wie in Satz 6.22.

9.5 Die G˚ ardingsche Ungleichung fu ¨ r elliptische Operatoren In diesem Abschnitt ist Ω ein beschr¨ anktes Gebiet des n und alle R¨ aume werden als komplex vorausgesetzt. Wir betrachten Differentialoperatoren der Ordnung 2m und definieren: Definition 9.42. Sei m ∈ und aαβ auf Ω definierte komplexwertige Funktionen. Der Differentialoperator  Lu = (−1)|α| Dα (aαβ Dβ u) 

|α|,|β|≤m

heißt gleichm¨aßig elliptisch, wenn es eine Konstante λ > 0 gibt mit  λ|ξ|2m ≤ Re aαβ (x)ξ α ξ β f¨ ur alle x ∈ Ω und alle ξ ∈ |α|,|β|=m

n

.

224

9 Distributionen und Fourier-Transformation

Wir betrachten das zugeh¨orige Dirichlet-Randwertproblem in schwacher Form: Zu f ∈ H −m,2 (Ω) ist u ∈ H0m,2 (Ω) gesucht mit a(v, u) = f (v) ∀v ∈ H m,2 (Ω),

wobei



a(v, u) =

|α|,|β|≤m



(9.22)

aαβ Dα vDβ u dx.

Bei gen¨ ugend glatten Daten ist das gleichbedeutend mit Lu = f in Ω und, ur k = 0, . . . , m − 1. wegen Satz 6.18, D k u = 0 auf ∂Ω f¨ Satz 9.43. Sei L gleichm¨aßig elliptisch mit meßbaren und beschr¨ankten Kour |α| = |β| = m. Dann gen¨ ugt die effizienten aαβ . Ferner sei aαβ ∈ C(Ω) f¨ m,2 ardingschen Ungleichung, Sesquilinearform a(·, ·) auf X = H0 (Ω) einer G˚ es gibt also Konstanten ce > 0 und c0 mit ce u2m,2;Ω ≤ Re a(u, u) + c0 u22;Ω . onnen durch Null zu Funktionen in Beweis. Funktionen in H0m,2 (Ω) k¨ H m,2 ( n ) fortgesetzt werden. Nach Satz 9.36 ist die Norm von H m,2 ( n ) ¨aquivalent zu  (1 + |ξ|)2m |Fu|2 dξ.

Aus der H¨olderschen und der Youngschen Ungleichung mit ε, (A.1), folgt daher, daß es zu jedem ε > 0 ein c(ε) gibt mit (vergleiche (9.21)) um−1,2 ≤ εum,2 + c(ε)u2

∀u ∈ H0m,2 (Ω).

Mit dieser Absch¨ atzung brauchen wir uns nicht mehr um die Terme niederer Ordnung zu k¨ ummern,       aαβ Dα uDβ u dx ≤ εu2m,2 + c(ε)u22 .  |α|+|β|<2m

Wir bezeichnen daher mit a0 (v, u) den Hauptteil der Sesquilinearform, der nur die Terme mit |α| = |β| = m umfaßt, und betrachten zun¨ achst den Fall konstanter Koeffizienten. Aus der Parsevalschen Gleichung, Satz 9.33, und der gleichm¨aßigen Elliptizit¨ at folgt   aαβ ξ α ξ β |Fu|2 dξ Re a0 (u, u) = Re |α|=|β|=m

≥λ



|ξ|2m |Fu|2 dξ = λD m u22 .

Sp¨atestens an dieser Stelle erf¨ ahrt der Leser, warum die Variable ξ in der Definition der Elliptizit¨ at so heißt.

9.5 Die G˚ ardingsche Ungleichung f¨ ur elliptische Operatoren

225

Die nun wieder variablen aαβ sind auf Ω gleichm¨ aßig stetig, insbesondere gibt es endlich viele Kugeln Bi , die Ω u ¨berdecken, mit |aαβ (x) − aαβ (y)| ≤ η

∀x, y ∈ Bi ∩ Ω,

(9.23)

wobei η sp¨ater gen¨ ugend klein gew¨ ahlt wird. Wir verwenden eine etwas moamlich φi ∈ C0∞ (Bi ) mit difizierte Zerlegung der Eins bez¨ u glich der Bi , n¨ 2 0 ≤ φi ≤ 1 und i φi = 1 in Ω. Man erh¨ alt solche φi aus einer u ¨blichen Zerlegung der Eins {ψi }, indem man setzt, φi (x) =



ψ 2 (x) i 2 i ψi (x)

1/2

.

Nach diesen Vorbereitungen d¨ urfte der Abschluß des Beweises klar sein: Wir streben lokal die bereits bewiesene G˚ ardingsche Ungleichung f¨ ur konstante Koeffizienten an und bekommen die Oszillationen der aαβ mit (9.23) in den ˆαβ = Griff. In jedem Bi ∩ Ω w¨ahlen wir ein beliebiges x0 aus und setzen a aαβ (x0 ). Dann gilt   aαβ φ2i Dα uDβ u dx aαβ Dα uDβ u dx = Re Re a0 (u, u) = Re α,β

≥ Re



= Re

 

i

i

≥

 i

α,β

α,β

λD

m

Ω

Ω

Ω

α,β

i

Ω

aαβ Dα (φi u)Dβ (φi u) dx − cum,2 um−1,2  a ˆαβ − (ˆ aαβ − aαβ ) Dα (φi u)Dβ (φi u) dx − cum,2 um−1,2

(φi u)22

−η

 α,β

i

Ω

|Dα (φi u)Dβ (φi u)| dx − cum,2 um−1,2 .

In den beiden ersten Summanden werden die Terme, f¨ ur die alle Ableitungen auf u fallen, zusammengefaßt und i φ2i = 1 ausgenutzt,  |Dα u| |Dβ u| dx − cum,2 um−1,2 . Re a0 (u, u) ≥ λD m u22 − η α,β

Ω

Nun kann η unabh¨ angig von φi gen¨ ugend klein gew¨ ahlt werden, f¨ ur den letzten Summanden verwenden wir die Youngsche Ungleichung mit ε, (A.1). ⊔ ⊓ F¨ ur das Problem (9.22) gelten demnach alle Aussagen von Satz 8.37: Es ist genau dann eindeutig l¨ osbar, wenn es keine nichttriviale L¨ osung des homogenen Problems gibt, und es kann in diesem Fall erfolgreich mit dem GalerkinVerfahren approximiert werden. Man beachte den Unterschied zwischen dem vorliegenden Satz und der G˚ ardingschen Ungleichung f¨ ur Probleme zweiter Ordnung in Abschnitt 8.9

226

9 Distributionen und Fourier-Transformation

und in Beispiel 9.41. Dort durften die Koeffizienten des Hauptteils unstetig ullt. sein. Ferner war die G˚ ardingsche Ungleichung auch auf dem Raum H 1,2 erf¨ Zumindest die letzte Eigenschaft ist bei Operatoren h¨ oherer Ordnung nicht richtig. Als Beispiel betrachten wir f¨ ur n = 2 den biharmonischen Operator Lu = ∆2 u mit a(u, v) = (∆u, ∆v). Wegen  aαβ ξ α ξ β = ξ14 + 2ξ12 ξ22 + ξ24 = |ξ|4 . α,β

ist ∆2 gleichm¨aßig elliptisch. Das Problem u ∈ H 2,2 (Ω) :

(∆u, ∆v) = (f, v) ∀v ∈ H 2,2 (Ω)

besitzt als homogene L¨ osungen die harmonischen Funktionen, also Funktionen u ∈ C 2 mit ∆u = 0. Daher besitzt dieses Problem einen unendlich dimensionalen Nullraum, es ist nicht fredholmsch und die G˚ ardingsche Ungleichung ist ullt. auf H 2,2 (Ω) nicht erf¨

Aufgaben 9.1. (3) Verallgemeinern Sie Lemma A.7 auf folgenden Fall: Sei φ ∈ C0∞ ( n ), R > 0 und m ∈ . Dann gibt es zu jedem ε > 0 ein Polynom p mit rationalen Koeffizienten mit φ − pm,∞;BR ≤ ε. 



9.2. (3) D( n ) ist separabel. Hinweis: Man w¨ ahle eine beliebige Funktion ψ ∈ C0∞ ( Funktionen 

φ(x) = p(x)ψ(x/r),

n 

) mit ψ = 1 in B1 (0). Die

p rationales Polynom,

r∈ 

,

liegen dann dicht. Verwenden Sie Aufgabe 9.1. 9.3. (3) Sei Ω = . Sei fk (x) = k f¨ ur 0 < x < 1/k und fk (x) = 0 sonst. Ferner sei δ(v) = v(0) die Dirac-Distribution. Untersuchen Sie auf Konvergenz in D ′ ( ) und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert: a) (Tfk ), b) Tf 2 , c) Tf 2 − kδ. 



k

k

9.4. (2) Eine Reihe von Distributionen darf gliedweise differenziert werP P konvergente den, D α k Tk = k Dα Tk . D′

9.5. (3) Sei Ω = . Zeigen Sie f¨ ur fk (x) = sin kx, daß Tfk → 0, aber fk Tfk ist nicht konvergent in D ′ . Bemerkung: Die Multiplikation in D ′ ist auch dann keine stetige Operation, wenn sie definiert ist. 

9.6. (3) Bestimmen Sie in D ′ ( ), 

lim

aց0

a . x2 + a2

Aufgaben

227

9.7. (2) Sei Ω = (0, ∞). Definiere Tφ =

∞ X k=1

1 Dk φ( ). k

′

a) Zeigen Sie, daß T ∈ D (Ω). b) Zeigen Sie, daß T nicht fortgesetzt werden kann zu einer Distribution auf gibt also kein T0 ∈ D ′ ( ) mit T0 |Ω = T.

, es 



9.8. (3) Bestimmen Sie die Ordnung von Txk ∈ D ′ ( ), k ∈ 

0. 

9.9. (3) Hier diskutieren wir die folgende Aussage: ager K, so gilt f¨ ur p ∈ D( Ist T ∈ D ′ ( n ) eine Distribution mit kompaktem Tr¨ mit p = 0 in K, daß pT = 0. a) Die Aussage ist falsch, wenn K nur aus einem isolierten Punkt besteht. ˜1 (0), so ist die Aussage richtig. b) Ist dagegen K = B 

n 

)

9.10. (3) Man bestimme die Distributionen T ∈ D ′ ( ), die der Gleichung 

(x − a)(x − b)T = 0 gen¨ ugen, f¨ ur a) a = b,

b) a = b

9.11. (3) Definieren Sie zu T ∈ D ′ ( ) eine Stammfunktion“ S ∈ D ′ ( ) mit der ” Eigenschaft S ′ = T. 



9.12. (4) Sei Ω = ∪∞ ankt. F¨ ur Distributionen Ti ∈ i=1 Ωi ˛mit Ωi offen ˛ und beschr¨ D(Ωi ) sei die Bedingung Ti ˛Ω ∩Ω = Tj ˛Ω ∩Ω f¨ ur alle i, j ∈ erf¨ ullt. Dann gibt es i j i˛ j ˛ = Ti . ein eindeutig bestimmtes T ∈ D(Ω) mit T 

Ωi

1

9.13. (3) Ist f ∈ L (

\ [−a, a]) f¨ ur alle a > 0, so bezeichnen wir mit „Z −a Z ∞ « Z ∞ f (x) dx + f (x) dx = lim HW 

aց0

−∞

−∞

a

den Hauptwert von f, sofern der Grenzwert existiert. F¨ ur φ ∈ D( ) setze Z ∞ φ(x) ln |x| dx. T (φ) = 

−∞

Zeigen Sie T ′ (φ) = Hw

Z

∞

−∞

φ(x) dx, x

T ′′ (φ) = −Hw

Z

∞ −∞

9.14. (3) Bestimmen Sie den Grenzwert in D ′ ( ) von 

lim

a→0

1 1 1 (Hw − Hw ). a a+x x−a

Der Hauptwert Hw ist in Aufgabe 9.13 definiert.

φ(x) − φ(0) dx. x2

228

9 Distributionen und Fourier-Transformation

9.15. (3) T ∈ D ′ (0, ∞) mit T (φ) =

Z

∞

e1/x φ(x) dx

0

l¨ aßt sich nicht zu einer Distribution T˜ ∈ D( ) mit T˜|(0,∞) = T fortsetzen. 

9.16. (4) Sei Ω ⊂ n ein Gebiet. Geben sie eine Folge meßbarer Funktionen (fk ) an mit fk → 0 punktweise fast u ¨berall und fk → 1 in D ′ (Ω). 

9.17. (3) Sei f ∈ L1loc (

\ {0}) mit 

|f (x)| ≤ c|x|−m ,

|x| < 1,

f¨ ur ein m > 0. Zeigen Sie, daß Tf sich zu einer Distribution auf dem l¨ aßt und bestimmen Sie die Ordnung dieser Distribution.

n 

fortsetzen

9.18. (3) Sei f¨ ur φ ∈ D( ) 

Cλ (φ) = lim

ε→0

Z

|x|≥ε

cos λx φ(x) dx, x

λ > 0.

a) Zeigen Sie, daß Cλ eine Distribution ist und bestimmen sie deren Ordnung. b) Bestimmen sie die Grenzwerte λ → 0 und λ → ∞ in D ′ ( ). 

9.19. (3) Sei f (x, y) = 1/(x + iy). a) Zeigen Sie Tf ∈ D ′ ( 2 ). b) Bestimmen Sie die Distribution (Dx + iDy )f. c) Ist g ∈ C ∞ (Ω), Ω ein Gebiet des 2 , so sind die distributionellen L¨ osungen der Gleichung Dx T + iDy T = g 



in C ∞ (Ω). 9.20. (3) Sei n = 1. Es ist ex ∈ S ′ , aber ex cos ex ∈ S ′ . 9.21. (2) Eine Distribution T ∈ D ′ ( n ) heißt gerade, wenn T (φ(·)) = T (φ(−·)), sie heißt ungerade, wenn T (φ(·)) = −T (φ(−·)). a) Jedes T ∈ D ′ ( n ) l¨ aßt sich eindeutig als Summe einer geraden und einer ungeraden Distribution darstellen. b) Was l¨ aßt sich u ¨ber D α T aussagen, wenn T gerade oder ungerade ist? c) Was l¨ aßt sich u ¨ber F T , T ∈ S ′ , aussagen, wenn T gerade oder ungerade ist? 



9.22. (3) Sei f (x) = e−a|x| f¨ ur x ∈ 

. Dann gilt

F f (ξ) = (2π)−1/2

2a . a2 + x2

9.23. (3) a) Zeigen Sie r π 1 F (Hw ) = −i sign x, x 2 wobei der in Aufgabe 9.13 definierte Hauptwert inR einem solchen Zusammenhang als Distribution interpretiert wird, Hwf (φ) = Hw f φ dx. b) Bestimmen Sie F H f¨ ur die Heaviside-Funktion H.

Aufgaben 9.24. (3) Sei f ∈ L1 (

n 

) und λ ∈

229

mit F f = λf. Was l¨ aßt sich u ¨ber λ sagen ?

9.25. (4) Sei u meßbar in mit |u(x)|eb|x| integrierbar in f¨ ur ein b > 0. Dann ist F u reell-analytisch in . Insbesondere ist F u f¨ ur jedes integrierbare u mit kompaktem Tr¨ ager reell-analytisch. Hinweis: Eine auf einem Gebiet Ω ⊂ n definierte Funktion heißt reell-analytisch, wenn sie in C ∞ (Ω) ist und die Taylor-Reihe zu jedem Entwicklungspunkt in einer Umgebung dieses Entwicklungspunktes konvergiert. 







9.26. Sei Ω = . Wir betrachten f¨ ur a > 0 die Reihen P P∞ n n (i) T1 = ∞ a δ , (ii) T n 2 = n=0 n=−∞ a δn , 

wobei δn (φ) = φ(n) die Dirac-Distribution bezeichnet. Untersuchen Sie die Reihen auf Konvergenz und Divergenz in b) (3) S ′ . a) (2) D ′ ( ), c) (3) F¨ ur die a > 0, die in b) zu konvergenten Reihen f¨ uhren, bestimmen Sie auch die Fourier-Transformation der Reihe. 

9.27. (3) Ist Ω ein beschr¨ anktes, gen¨ ugend glatt berandetes Gebiet des n , so gilt ur die Definition von N s,2 siehe Aufgabe die Einbettung H s,2 (Ω) → N s,2 (Ω), s ≥ 0 (f¨ 5.12). 

beliebig. F¨ ur u0 ∈ C0∞ ( n−1 ) setze (x = (x′ , xn )) Z ′ ′ ′ 2 1/2 F u(x′ , xn ) = (2π)−(n−1)/2 eix ·ξ F ′ u0 (ξ ′ )e−(1+|ξ | ) xn dξ ′ , xn ≥ 0.

9.28. (3) Sei m ∈

0





n−1



a) F u erf¨ ullt −∆F u + F u = 0 in Ω = {(x′ , xn ) : xn > 0} und F u(x′ , 0) = u0 (x′ ). b) Es gilt ||F u||m,2;Ω ≤ c||u0 ||m−1/2,2; n−1 . Hinweis und Bemerkung: F¨ ur (b) stelle man die rechte Seite der Definition mit Hilfe von (F ′ )−1 dar. Diese Definition des Fortsetzungsoperators h¨ angt im Gegensatz zu Satz 9.40(b) nicht von m ab und liefert u ur m = 1, weil ¨berdies die optimale Fortsetzung f¨ ur nichtganzzahliges s ist die F u21,2;Ω minimal ist wegen −∆F u + F u = 0. F¨ uhsam. Bestimmung von F us,2;Ω allerdings m¨

anktes Gebiet, fk ∈ C0∞ (Ω) mit fk → 1 in L2 (Ω). 9.29. (3) Sei Ω ⊂ n ein beschr¨ Zeigen Sie, daß die schwache L¨ osung uk ∈ H 1,2 (Ω) von Z uk dx = 0, −∆uk = Di fk in Ω, Dn uk = 0 auf ∂Ω, 

Ω

1,2

existiert und daß uk → u in H (Ω). Bestimmen Sie die Differentialgleichung und die nat¨ urliche Randbedingung f¨ ur u und geben Sie u explizit an.

A Anhang

A.1 Konvexit¨ at und elementare Ungleichungen Definition A.1. Sei X ein -Vektorraum ( = oder ). (a) Eine Teilmenge A von X heißt konvex, wenn mit x, y ∈ A auch die Verbindungsstrecke in A liegt, wenn also tx + (1 − t)y ∈ A f¨ ur alle t ∈ [0, 1]. 





(b) Eine auf einer konvexen Teilmenge A des Vektorraums X definierte reellwertige Funktion f heißt konvex, wenn f¨ ur alle x, y ∈ A und t ∈ [0, 1] gilt f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y).

f heißt konkav, wenn −f konvex ist. (c) Sind mit 0 ≤ ti ≤ 1 und i ti = 1, so x1 , . . . , xk ∈ X und t1 , . . . , tk ∈ heißt i ti xi Konvexkombination der xi . (d) Die konvexe H¨ ulle einer Menge A ⊂ X besteht aus allen Konvexkombinationen von Elementen von A. Satz A.2. Sei X ein -Vektorraum. (a) Eine Menge A ⊂ X ist genau dann konvex, wenn alle Konvexkombinationen von Elementen von A in A liegen. 

ist genau dann konvex, (b) Sei A ⊂ X konvex. Eine Funktion f : A → wenn f¨ ur alle Konvexkombinationen i ti xi , xi ∈ A, gilt f

k  i=1

k   t i xi ≤ ti f (xi ). i=1

(c) Die konvexe H¨ ulle einer Menge A ⊂ X ist konvex. Beweis. (a) F¨ ur konvexes A ist die Behauptung f¨ ur k = 2 erf¨ ullt. F¨ ur k > 2 k verwenden wir Induktion u ur eine Konvexkombination i=1 ti xi mit ¨ber k. F¨ 0 < tk < 1 folgt aus

232

A Anhang

y=

k−1  i=1

daß

k  i=1

1 ti xi ∈ A, 1 − tk

ti xi = (1 − tk )y + tk xk ∈ A.

(b) ist wie (a). (c) folgt aus der Tatsache, daß eine Konvexkombination von Konvexkombinationen wiederum eine Konvexkombination ergibt. ⊔ ⊓ Satz A.3. Sei Ω ⊂ n ein konvexes Gebiet. f ∈ C 2 (Ω) ist genau dann konur alle x ∈ Ω positiv (negativ) vex (konkav), wenn die Matrix (D 2 f (x)) f¨ semidefinit ist. Beweis. Sei x0 ∈ Ω und y ∈ n \ {0}. Die Funktion φ(t) = f (x0 + ty) ist in einer Umgebung von 0 definiert. Wir schreiben den Satz von Taylor in der Form 1 φ(t) − φ(0) − φ′ (0) t = φ′′ (τ ) t2 , τ ∈ (0, t). 2 Ist f und damit φ konvex, so ist die linke Seite nichtnegativ, weil die Tangente einer konvexen Funktion unterhalb ihres Graphen liegt. Division durch t2 und Grenz¨ ubergang t → 0 liefern φ′′ (0) ≥ 0 und damit nach der Kettenregel T 2 y D f (x0 )y ≥ 0. Die umgekehrte Richtung zeigt man analog. ⊔ ⊓ Die Youngsche Ungleichung mit ε ab ≤

ε 2 1 a + b2 2 2ε

∀a, b ≥ 0, ε > 0,

(A.1)

l¨aßt sich mit der binomischen Formel beweisen. Die verallgemeinerte Youngsche Ungleichung ab ≤

1 p p 1 −q q ε a + ε b p q

∀a, b ≥ 0, ε > 0,

(A.2)

ur a, b > 0, indem man mit p−1 + q −1 = 1, 1 < p, q < ∞, beweist man f¨ ausnutzt, daß der Logarithmus konkav ist, ln

 1 p p 1 −q q  1 1 ε a + ε b ≥ ln(εp ap ) + ln(ε−q bq ) = ln(ab). p q p q

Ein anderer Typ von Ungleichung ist die Cauchy-Ungleichung |(x, y)| ≤ |x| |y| ∀x, y ∈

n 

,

(A.3)

die mit einem Homogenit¨atsargument bewiesen wird, das in dieser Form h¨ aufig vorkommt. Zun¨achst ist die Ungleichung richtig, wenn einer der beiden Vektoren verschwindet. F¨ ur x ˜, y˜ = 0 kann man die Cauchy-Ungleichung durch die

A.2 Fortsetzung stetiger Funktionen

233

Setzung x = |˜ x|−1 x ˜, y = |˜ y |−1 y˜ auf den Fall |x| = |y| = 1 zur¨ uckf¨ uhren und dadurch die Homogenit¨ at der Cauchy-Ungleichung ausnutzen. F¨ ur solche x, y erhalten wir aus der Youngschen Ungleichung mit ε = 1 n n n n    1 1   |(x, y)| =  xi yi  ≤ |xi |2 + |yi |2 = 1. |xi ||yi | ≤ 2 2 i=1 i=1 i=1 i=1

Die verallgemeinerte Cauchy-Ungleichung |(x, y)| ≤

n  i=1

|xi |p

n 1/p   i=1

|yi |q

1/q

∀x, y ∈

n 

(A.4)

mit p−1 + q −1 = 1, 1 < p, q < ∞, beweist man genauso mit Hilfe der verallgemeinerten Youngschen Ungleichung. F¨ ur die Ungleichung des geometrischen und des arithmetischen Mittels n 

i=1

ai

1/n

n

≤

1 ai , n i=1

ai > 0,

(A.5)

gibt es eine Vielzahl von Beweisen. Am elegantesten nutzt man die Monotonie des nat¨ urlichen Logarithmus ln aus, (A.5) ist ¨ aquivalent zu n

n

1   1 ln ai ≤ ln ai . n i=1 n i=1 Diese Ungleichung ist richtig, weil der Logarithmus konkav ist.

A.2 Fortsetzung stetiger Funktionen In diesem Abschnitt besch¨aftigen wir uns mit der stetigen Fortsetzung von Funktionen, die auf einer Teilmenge eines metrischen Raums definiert sind. Wir ben¨otigen zwei Lemmata: Lemma A.4. Sei A eine beliebige Teilmenge eines metrischen Raums X. Dann ist die Abstandsfunktion f (x) = dist (x, A) lipschitzstetig. Beweis. Zu jedem ε > 0 gibt es ein a ∈ A mit dist (y, A) ≥ dist (y, a) − ε. Daher d(x, A) − d(y, A) ≤ d(x, a) − d(y, a) + ε ≤ d(x, y) + ε,

also d(x, A)−d(y, A) ≤ d(x, y). Die umgekehrte Richtung beweist man, indem man die Rollen von x und y vertauscht. ⊔ ⊓ Lemma A.5 (Lemma von Urysohn). Seien A, B nichtleere, abgeschlossene, disjunkte Teilmengen eines metrischen Raums X. Dann gibt es eine reellwertige stetige Funktion φ(x) = φ(x; A, B) auf X mit φ(x) = 1 in A, φ(x) = −1 in B und |φ(x)| ≤ 1 in X.

234

A Anhang

Beweis. Setze φ(x; A, B) =

dist (x, B) − dist (x, A) . dist (x, A) + dist (x, B)

Nach Aufgabe 1.17a) gilt dist (x, A) > 0 f¨ ur x ∈ / A, weil A abgeschlossen ist. Der Nenner ist daher immer positiv, die Behauptung folgt aus dem vorigen Lemma. ⊔ ⊓ Satz A.6 (Fortsetzungssatz von Tietze). Sei f stetig auf der abgeschlossenen Teilmenge D eines metrischen Raums X. Dann gibt es eine auf X stetige Fortsetzung F von f mit supX F = supD f und inf X F = inf D f. Beweis. Wir zeigen die Behauptung zun¨ achst f¨ ur beschr¨ anktes f . Sei u eine auf D definierte stetige und beschr¨ ankte Funktion und a = u∞;D . Falls a > 0 sei A die Menge der Punkte mit u ≥ a/3 und B die Menge der Punkte mit u ≤ −a/3. Definiere einen Operator T durch T u = 0 f¨ ur a = 0 und, f¨ ur a > 0, ⎧a φ(x; A, B) falls A = ∅ und B = ∅ ⎪ ⎪ ⎨3 − a3 falls A = ∅ T u(x) = , x ∈ X, ⎪ ⎪ ⎩ a falls B = ∅ 3

wobei φ(x; A, B) die Funktion aus dem Urysohnschen Lemma ist. Genau eine der drei Alternativen muß im Fall a > 0 zutreffen. Es gilt dann T u∞;X =

1 u∞;D , 3

u − T u∞;D =

2 u∞;D . 3

(A.6)

F¨ ur eine auf D definierte stetige und beschr¨ ankte Funktion u definieren wir den Operator Su = u − T (u − f ), f¨ ur den nach (A.6) gilt Su − f ∞;D = u − f − T (u − f )∞;D ≤

2 u − f ∞;D . 3

(A.7)

Fortgesetzte Anwendung von S verbessert die Approximation von f . Wir setzen daher u0 = 0 und uk+1 = Suk . Aus (A.7) folgt Su1 − f ∞;D ≤ 23 f ∞;D und  2 k f ∞;D , Suk − f ∞;D ≤ 3 daher uk → f gleichm¨aßig in D. Wir zeigen die Existenz einer stetigen Grenzfunktion der uk auf X. Wegen uk+1 − uk = −T (uk − f ) folgt aus (A.6) und (A.7)  2 k 1 uk+1 − uk ∞;X = T (uk − f )∞;X = uk − f ∞;D ≤ c . 3 3 Damit ist

F = lim uk = k→∞

∞ 

(uk − uk−1 )

k=1

A.3 Der Weierstraßsche Approximationssatz

235

stetig in X, weil die Reihe (uk − uk−1 ) gleichm¨ aßig konvergent ist. Ist f auf D unbeschr¨ankt, wenden wir die gleiche Konstruktion auf f˜ = arctan f an. Die daraus resultierende Fortsetzung F˜ wird oben und unten durch supD f˜ bzw. inf D f˜ abgeschnitten. Die abgeschnittene Funktion ist immer noch stetig. ⊔ ⊓

A.3 Der Weierstraßsche Approximationssatz Lemma A.7. Sei φ ∈ C00 ( n ) und R > 0. Dann gibt es zu jedem ε > 0 ein k ∈ und ein Polynom p(x) = |α|≤k aα xα mit rationalen Koeffizienten aα mit φ − p∞;BR (0) ≤ ε. 

Beweis. Wir k¨onnen R = 1/2 und g ∈ C00 (B1/2 (0)) annehmen, der allgemeine Fall folgt durch eine einfache Streckung des Koordinatensystems. Auf dem W¨ urfel Q1 = [−1, 1]n setze n 1  (1 − x2i )k φk (x) = ck i=1

mit ck =



1

−1

(1 − t2 )k dt

n



und φk (x) = 0 auf n \ Q1 . Es gilt dann φk dx = 1 und φk (x) → 0, ur jedes (feste) δ > 0. φk hat daher ¨ ahnliche k → ∞, gleichm¨aßig in Q1 \ Qδ f¨ Eigenschaften wie ein Mollifier und wird im folgenden als solcher verwendet. Wegen g ∈ C00 (B1/2 ) stellt die Funktion φk ∗ g(x) =

 

1 φk (x − y)g(y)dy = c n k



n 

(1 − (xi − yi )2 )k g(y) dy

B1/2 i=1

ein Polynom im Bereich |x| ≤ 1/2 dar.  Zu zeigen bleibt die Approximationseigenschaft von φk ∗ g. Wegen φk dx = 1 gilt  φk ∗ g − g∞ ≤ sup |g(x − y) − g(x)| φk (y) dy n

x∈

≤





n

sup x∈ 

n , |y|≤δ

|g(x − y) − g(x)| + 2||g||∞



φk (y) dy. 

n \B (0) δ

Zu vorgegebenem ε > 0 k¨onnen wir wegen der gleichm¨ aßigen Stetigkeit von g das δ > 0 so w¨ahlen, daß der erste Term auf der rechten Seite < ε/2 ausf¨ allt. Durch die anschließende Wahl eines gen¨ ugend großen k wird auch der zweite Term klein. Jedes Polynom kann auf einer kompakten Menge durch ein Polynom mit rationalen Koeffizienten approximiert werden. Damit ist die Behauptung vollst¨andig bewiesen. ⊔ ⊓

236

A Anhang

Satz A.8 (Weierstraßscher Approximationssatz). Sei K ⊂ n kompakt. Dann liegen die Polynome mit rationalen Koeffizienten dicht in C(K). Beweis. Jede auf K stetige Funktion kann mit Satz A.6 zu einer auf dem stetigen Funktion fortgesetzt und anschließend zu einer Funktion in C00 ( abgeschnitten werden. Das vorige Lemma liefert dann die Behauptung.

n n

) ⊔ ⊓

Interessanterweise ben¨ otigt man f¨ ur den Weierstraßschen Approximationssatz nicht den vollst¨ andigen Polynomraum. Im Fall n = 1 l¨ aßt sich dazu eine pr¨azise Aussage machen: Satz A.9 (M¨ untz-Theorem). Ist 0 = n0 < n1 < n2 < . . . eine Folge in , so liegt span {xn0 , xn1 , xn2 , . . .} genau dann dicht in C([0, 1]), wenn k 1/nk = ∞. 

Beweis. Mit einem sch¨onen und einfachen Argument aus [Gol83] zeigen wir, daß die Bedingung k 1/nk = ∞ hinreichend ist. Sei m = nk . Definiere Funktionen qk der Form qk (x) = xm −

k 

aik xni ,

i=1

0 < x ≤ 1,

durch die Rekursion q0 (x) = xm ,  1 nk qk−1 (t)t−1−nk dt, qk (x) = (nk − m)x

k = 1, 2, . . . .

x

Da q0 ∞ = 1 und qk ∞ ≤ |1 − (m/nk )| qk−1 ∞ , gilt qk ∞ ≤

k 

i=1

|1 − (m/ni )|.

Wegen ln

  m     m m = =− 1− + O(n−2 ln 1 − i ) ni ni ni n >m n >m n >m i

i

i

konvergiert das Produkt genau dann gegen Null, wenn



i

1/ni = ∞.

⊔ ⊓

A.4 Der lokalkonvexe Raum D(Ω) In diesem Abschnitt geben wir Halbnormen an, die auf D(Ω) den KonverD D genzbegriff →“ erzeugen. In Abschnitt 9.1 hatten wir definiert, daß φk → φ ” genau dann, wenn φk − φl,∞ → 0 f¨ ur alle l sowie supp(φk ) ⊂ K ⊂⊂ Ω. Vor allem die zweite Bedingung bereitet hier Schwierigkeiten. Naheliegend ist die Wahl der Halbnormen pK,l (φ) = φl,∞;K f¨ ur jede kompakte Menge K ⊂ Ω

A.5 Harmonische Funktionen und der Satz von Liouville

237

und jedes l ∈ . Die Konvergenz einer Folge in C0∞ (Ω) bez¨ uglich dieser Halbnormen garantiert aber nicht, daß die Grenzfunktion einen kompakten Tr¨ ager besitzt. Als Beispiel kann man eine beliebige Funktion φ ∈ C0∞ ( ) nehmen und φk (x) = kj=1 φ(x + j)/j setzen. Wir versehen daher C0∞ (Ω) mit allen auf diesem Raum definierten Halbnormen p mit der Eigenschaft: F¨ ur jedes K ⊂ Ω gibt es eine Konstante c und ein l ∈ mit p(φ) ≤ cpK,l (φ) f¨ ur alle φ ∈ C ∞ (Ω) mit Tr¨ager in K. Es gilt dann: 



Satz A.10. C0∞ (Ω) versehen mit den angegebenen Halbnormen ist ein loD kalkonvexer Raum D(Ω) = (C0∞ (Ω), {p}), dessen Konvergenzbegriff mit → u ¨bereinstimmt. Beweis. F¨ ur eine Folge (φk ) mit p(φk ) → 0 sorgen die Halbnormen pK,l daf¨ ur, daß alle partiellen Ableitungen gleichm¨aßig in jeder kompakten Teilmenge konvergieren. Es muß gezeigt werden, daß die φk einen gemeinsamen kompakten Tr¨ager besitzen. Angenommen, dies w¨ are nicht der Fall. Dann gibt es eine aufsteigende Folge kompakter Teilmengen Kk mit ∪K k = Ω und Punkte ur eine Teilfolge. p(φ) = k |φk (xk )|−1 |φ(xk )| xk ∈ Kk \Kk−1 mit φk (xk ) = 0 f¨ ur jedes komist eine auf C0∞ (Ω) definierte Halbnorm mit p(φ) ≤ cpK,0 (φ) f¨ pakte K ⊂ Ω. Es gilt p(φk ) ≥ 1, was der Konvergenz φk → 0 widerspricht. ⊔ ⊓

A.5 Harmonische Funktionen und der Satz von Liouville Wir k¨onnen Definition 8.4 als Definition der komplexen Differenzierbarkeit u einer Funktion f : D → ¨ bernehmen. Wie im Reellen zeigt man aufgrund der Darstellung durch eine konvergente Potenzreihe, daß f = u(x, y) + iv(x, y) nach den Variablen x und y reell differenzierbar ist. Ferner gelten die CauchyRiemannschen Differentialgleichungen 

Dx u = Dy v,

Dy u = −Dx v,

weil sie f¨ ur die einzelnen Glieder der Potenzreihe (z − z0 )n erf¨ ullt sind. Differenzieren wir die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen weiter, so folgt ∆u = ∆v = 0 in D. Der Satz von Liouville besagt, daß eine auf ganz komplex differenzierbare und beschr¨ankte Funktion f konstant ist. Er folgt daher aus: 

Satz A.11. Sei Lu = −Di (aij Dj u) gleichm¨aßig elliptisch in 2 (siehe Definition 7.1) mit beschr¨ankten und meßbaren Koeffizienten aij . Sei u ∈ 1,2 Hloc ( 2 ) eine schwache L¨osung von Lu = 0. Ist u beschr¨ankt, so ist u konstant. ˜R , B2R } mit |Dτ | ≤ cR−1 Beweis. Sei τ eine Abschneidefunktion bez¨ uglich {B 2 in B2R \ BR . Wir setzen v = τ u in die schwache Form ein und erhalten

238

A Anhang



2

aij Dj uDi uτ dx = −



aij Dj uuDi τ 2 dx.

Auf die linke Seite wenden wir die gleichm¨ aßige Elliptizit¨ at an und die rechte Seite sch¨atzen wir mit der H¨ olderschen und der Youngschen Ungleichung ab,     1 λ |Du|2 τ 2 dx ≤ c |Du| |u|τ |Dτ | dx ≤ λ |Du|2 τ 2 dx+c |u|2 |Dτ |2 dx. 2 Mit |u| ≤ M erhalten wir hieraus   |Du|2 dx ≤ cM 2

B2R \BR

BR

|Dτ |2 dx ≤ cM 2 .

Da die rechte Seite dieser Absch¨ atzung unabh¨ angig von R ist, folgt Du ∈ L2 ( 2 )2 . Mit der Poincar´e-Ungleichung in Bemerkung 6.23 gilt f¨ ur u ∈ H 1,2 (B2 \B1 )   |u − u ¯|2 dx ≤ c |Du|2 dx. B2 \B1

B2 \B1

wobei u ¯ den Mittelwert von u u ¨ ber B2 \ B1 bezeichnet. Dies wird mit x = R−1 y, Dx = RDy , transformiert zu   |Du|2 dx. (A.8) |u − u ¯|2 dx ≤ cR2 B2R \BR

B2R \BR

¯), u ¯ ist der Wir testen nun die schwache Gleichung mit v = τ 2 (u − u Mittelwert von u u uglich ¨ ber B2R \ BR und τ eine Abschneidefunktion bez¨ ˜R , B2R }. V¨ollig analog zum ersten Teil des Beweises erhalten wir {B    2 2 2 −2 |Du| dx ≤ c |u − u ¯|2 dx |Dτ | |u − u ¯| dx ≤ cR BR

und mit (A.8)

B2R \BR

B2R \BR



BR

|Du|2 dx ≤ c 



B2R \BR

|Du|2 dx.

Wir addieren auf beiden Seiten c B2R \BR |Du|2 dx und erhalten mit einem θ < 1 (=Lochf¨ ulltechnik)   2 |Du| dx ≤ θ |Du|2 dx. BR

B2R

Diese Absch¨atzung kann iteriert werden, so daß ist.



BR

|Du|2 dx = 0 bewiesen ⊔ ⊓

A.6 Polarkoordinaten

239

A.6 Polarkoordinaten F¨ ur x ∈ n setzen wir r = |x| und ω = x/|x|. F¨ ur eine Funktion u(x) = u(r, ω) folgt dann mit Di |x| = |x|−1 xi aus der Kettenregel Di u(x) = Dr u(r, ω)|x|−1 xi +

n  j=1

= Dr u ωi +

1 r

n  j=1

Dωj u(r, ω)(|x|−1 δij − |x|−3 xi xj )

Dωj u (δij − ωi ωj ).

Diese Gleichung wird mit dem kanonischen Einheitsvektor ei multipliziert und u ¨ber i summiert. Mit der Definition Dω u =

n  n  i=1 j=1

und D =



i ei Di

Dωj u (δij − ωi ωj ) ei

gilt daher 1 Du = Dr u ω + Dω u. r

(A.9)

Bereits aufgrund der Herleitung ist ω · Dω = 0, man kann dies mit Hilfe von i |ωi |2 = 1 auch sofort nachrechnen. Aus (A.9) folgt daher die h¨ aufig verwendete Beziehung |Du|2 = |Dr u|2 + r −2 |Dω u|2 , insbesondere |Dr u| ≤ |Du|. Wegen x = rω, ω ∈ S n−1 , gilt   ∞ u(x) dx = u(r, ω) r n−1 dω dr, (A.10) 

n

0

S n−1

wobei dω das Fl¨achenelement der Einheitssph¨ are bezeichnet. F¨ ur die Funktion u(x) = |x|α , α ∈ , ist insbesondere |x|α ∈ L1 (B1 (0)) ⇔ α > −n,

|x|α ∈ L1 (

n

\ B1 (0)) ⇔ α < −n.

|x|α ist damit f¨ ur kein α u ¨ ber dem n integrierbar. Mit (A.9) und (A.10) bringen wir die schwache Form des LaplaceOperators auf Polarkoordinaten    1 1 DuDv dx = (Dr u ω + Dω u)(Dr v ω + Dω v)r n−1 dr dω, r r nach partieller Integration wegen ω · Dω = 0 −∆ = −

1 1 Dr (r n−1 Dr ) − 2 ∆ω r n−1 r

mit dem Laplace-Beltrami-Operator −∆ω = Dω′ Dω .

240

A Anhang

In zwei Dimensionen verwenden wir die Parametrisierung ω = (cos φ, sin φ) mit Dω u = Dφ u(− sin φ, cos φ), daher 1 1 2 −∆ = − Dr (rDr ) − 2 Dφφ . r r Selbstverst¨andlich l¨aßt sich dies auch direkt aus u(r, φ) = u(r cos φ, r sin φ) und Dr u = D1 u cos φ + D2 u sin φ,

Dφ u = −D1 u r sin φ + D2 u r cos φ,

herleiten.

A.7 Reelle und komplexe Vektorr¨ aume Die meisten Aussagen aus den Kapiteln 8 und 9 sind nur f¨ ur komplexe R¨ aume formuliert, sie lassen sich durch die folgende Konstruktion sinngem¨ aß auch auf ˆ = X × X. reelle R¨aume u ¨ bertragen. Ist X ein reeller Vektorraum, so setze X F¨ ur α = a + ib und x ˆ = (x1 , x2 ) = x1 + ix2 definieren wir αx = ax1 − bx2 + i (bx1 + ax2 ),

x = x1 − ix2 .

ˆ zu einem Zusammen mit der u ¨blichen komponentenweisen Addition wird X komplexen Vektorraum. F¨ ur eine auf X definierte Bilinearform a(·, ·) setzen wir a ˆ(ˆ x, yˆ) = a(x1 , y1 ) + a(x2 , y2 ) + i (−a(x1 , y2 ) + a(x2 , y1 )). ˆ mit a a ˆ ist offenbar sesquilinear auf X ˆ(ˆ x, x ˆ) = a(x1 , x1 )+a(x2 , x2 ). Koerzivit¨ at und Beschr¨anktheit u ˆ. Ferner wird ein Skalarprodukt ¨bertragen sich von a auf a ˆ mit zugeh¨ a auf X zu einem Skalarprodukt a ˆ auf X origer Norm x2Xˆ = ˆ ein Hilbert-Raum, wenn X ein Hilbert-Raum ist. x1 2 + x2 2 . Daher ist X ˆ durch Im Fall eines normierten Raums X definieren wir die Norm auf X   x2Xˆ = sup (αx)1 2 + (αx)2 2 . α∈ , |α|=1 

Auf diese Weise erreichen wir β x ˆXˆ = |β| ˆ ur komplexes β. xXˆ auch f¨

L¨ osungen

Es werden haupts¨achlich die Aufgaben besprochen, auf denen im Text Bezug genommen wird.

Aufgaben aus Kapitel 1 1.5 Ist x ein Ber¨ uhrpunkt von A, so gibt es zu jedem ε > 0 ein yε ∈ A mit yε ∈ Bε (x). 1.7 Sei X ein metrischer Raum mit {xk }k∈ dicht in X. Zu A ⊂ X konstruieren wir eine dichte Teilmenge von A, indem wir zu jedem j und k ein ajk ∈ B1/j (xk ) ∩ A w¨ ahlen, sofern diese Menge nichtleer ist. Die Menge {ajk }j,k∈ ist dann abz¨ahlbar. Zu beliebigem a ∈ A gibt es ein k mit d(a, xk ) < 1/j und ein ajk mit d(xk , ajk ) < 1/j. Aus der Dreiecksungleichung folgt dann d(a, ajk ) < 2/j. Damit ist {ajk } dicht in A.





1.8 ⇒: Wir w¨ahlen aus jedem Ak ein Element xk aus. Nach Voraussetzung bilden diese Elemente eine Cauchy-Folge, die gegen ein x ∈ X konvergiert. uhrpunkt aller Mengen Da f¨ ur l ≥ k alle xl in Ak enthalten sind, ist x Ber¨ Ak . Da diese abgeschlossen sind, gilt x ∈ ∩Ak . Wenn es zwei Punkte x, x′ im Durchschnitt der Ak gibt, so folgt d(x, x′ ) ≤ diam Ak f¨ ur alle k, also x = x′ . ⇐: Sei (xk ) eine Cauchy-Folge in X. Setze Ak = ∪∞ i=k {xi }. Die Ak sind nichtleer, abgeschlossen und der Durchmesser konvergiert gegen Null. Nach Voraussetzung gibt es ein x im Durchschnitt dieser Ak , das offensichtlich der Grenzwert der Folge ist. 1.11 Sei M = {xk }k∈ die dichte Teilmenge des metrischen Raums X. Setze T x(i) = d(xi , x) − d(xi , x1 ). Mit der umgekehrten Dreiecksungleichung gilt dann d∞ (T x, T y) = sup |d(xi , x) − d(xi , y)| ≤ d(x, y).


i

Mit xi → x, xi ∈ M , erh¨ alt man Gleichheit in dieser Absch¨ atzung. T x ∈ l∞ folgt aus

242

L¨ osungen

sup |T x(i)| = d∞ (T x, T x1 ) ≤ d(x, x1 ). 1.15 Aus den Definitionen des kompakten und des Hausdorff-Raums folgt, daß beide R¨aume (X, τ1 ) und (X, τ2 ) kompakte Hausdorff-R¨ aume sind. Es gilt f¨ ur jedes A ⊂ X A ist τ2 -kompakt ⇒ A ist τ1 -kompakt. Nach Satz 1.29 ist eine Teilmenge eines kompakten Hausdorff Raums genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen ist. Daher A ist τ2 -abgeschlossen ⇒ A ist τ1 -abgeschlossen. Da τ2 mehr offene Mengen als τ1 enth¨alt, ist dies nur m¨ oglich, wenn τ1 = τ2 . 1.17 a) Ist dist (x, A) = 0, so gibt es eine Folge (xk ) in A mit d(x, xk ) → 0. Da A abgeschlossen ist, liegt auch x in A. b) Sei (xk ) eine Minimalfolge in A, also d(x, xk ) → dist (x, A). Da A kompakt ist, besitzt (xk ) eine konvergente Teilfolge, die wieder mit (xk ) bezeichnet wird. Aus xk → y folgt dann wegen der Stetigkeit der Metrik d(x, xk ) → d(x, y).

Aufgaben aus Kapitel 2 2.1 Die Partialsummen einer absolut summierbaren Reihe bilden eine Cauchy-Folge. Ist also X vollst¨ andig, so konvergiert die absolut summierbare Reihe. Ist umgekehrt (xk ) eine Cauchy-Folge, so gibt es eine Teilfolge (xkl ) mit xkl − xkl+1  ≤ 2−l . Die zugeh¨orige Reihe ist damit absolut summierbar. Da sie nach Voraussetzung auch konvergent ist, konvergiert die Teilfolge (xkl ). Wenn eine Teilfolge einer Cauchy-Folge konvergiert, so konvergiert die gesamte Folge. 2.3 Angenommen, X w¨are separabel. Dann gibt es eine abz¨ ahlbare dichte Menge S = {si }i∈ ⊂ X. Zu jedem i ∈ und n ∈ w¨ ahlen wir ein uin ∈ M mit 1 uin − si  ≤ , n sofern ein solches Element existiert. Die Menge {uin } ist abz¨ ahlbar; man beachte, daß f¨ ur ihre Bildung das Auswahlaxiom verwendet wurde. und u ∈ M gibt es ein si mit u − si  ≤ 1/n. Zu vorgegebenem n ∈ Damit existiert auch ein uin mit uin − si  ≤ 1/n. Aus der Dreiecksungleichung folgt u − uin  ≤ 2/n. Damit ist die Menge {uin } dicht in M , was einen Widerspruch bedeutet. 








2.4 Als M w¨ahlen wir die Menge der {0, 1}-Folgen. Diese Menge ist u ¨berabz¨ahlbar und enth¨alt keine abz¨ahlbare dichte Teilmenge.

L¨ osungen

243

Die Folgen mit rationalen Gliedern, die nur endlich viele nichtverschwinahlbar. dende Elemente enthalten, liegen dicht in c0 ( ) und sind abz¨ 

′

′

2.12 F¨ ur f ∈ X , g ∈ Y ist (f, g)(x, y) = f (x) + g(y) linear und stetig. Ist umgekehrt l ein stetiges lineares Funktional auf X × Y , so setze f (x) = l(x, 0) und g(y) = l(0, y). Die Abbildung T : (X × Y )′ → X ′ × Y ′ , l → (f, g) ist offenbar ein isometrischer Isomorphismus. 2.21 Angenommen, die Bedingung der gleichm¨ aßigen Stetigkeit ist nicht erf¨ ullt. Dann gibt es ein ε > 0 und eine Folge δk → 0, so daß f¨ ur xk , yk ∈ X |u(xk ) − u(yk )| ≥ ε,

d(xk , yk ) ≤ δk .

Da X kompakt ist, besitzt (xk ) eine konvergente Teilfolge (xkl ) und (ykl ) enth¨alt ebenfalls eine konvergente Teilfolge. Insgesamt bekommen wir konvergente Teilfolgen (xl ) und (yl ) mit d(xl , yl ) ≤ δl . Es gilt daher xl , yl → x, aber |u(xl ) − u(yl )| ≥ ε, was einen Widerspruch zur Stetigkeit von u im Punkt x bedeutet. 2.24 Sei (uk ) eine Folge in U mit uk → u gleichm¨ aßig. Zu beliebigem ε > 0 gibt es ein k ∈ mit u − uk ∞ ≤ ε. Ferner gibt es ein R mit |u(x)| ≤ ε f¨ ur alle |x| ≥ R. Aus der Dreiecksungleichung folgt |u(x)| ≤ 2ε f¨ ur alle |x| ≥ R. ˜R , BR+1 }. F¨ Sei τR eine Abschneidefunktion bez¨ uglich {B ur u ∈ U ist τR u ∈ C00 ( n ) mit u − τR u∞ ≤ u∞;|x|≥R → 0 f¨ ur R → ∞. 

Aufgaben aus Kapitel 3 3.5 Endlich dimensionale Teilr¨ aume eines Banach Raums sind nach Satz 2.5 abgeschlossen. Da sie ferner keine offene Kugel enthalten, sind sie nirgends nicht. G¨abe es eine abz¨ ahlbare Basis eines Banach Raumes, so k¨ onnte man den Raum als abz¨ ahlbare Vereinigung von endlich dimensionalen R¨ aumen darstellen, was dem Satz von Baire widerspricht. 3.10 a) Da eine konvergente Folge beschr¨ankt ist, gilt Tk x ≤ Kx . Nach ankt. dem Prinzip der gleichm¨ aßigen Beschr¨anktheit sind die Tk normbeschr¨ Die Absch¨atzung folgt aus T x ≤ lim inf Tk  x. b) F¨ ur X = Y = l2 und Tk x = x(k)ek gilt Tk x = |x(k)| → 0, aber Tk  = 1. 3.21 a) Mit xk  ≤ K gilt |fk (xk ) − f (x)| ≤ |fk (xk ) − f (xk )| + |f (xk ) − f (x)| ≤ fk − f K + |f (xk ) − f (x)| → 0. b) Entsprechend folgt aus fk  ≤ K

244

L¨ osungen

|fk (xk ) − f (x)| ≤ |fk (xk ) − fk (x)| + |fk (x) − f (x)| ≤ Kxk − x + |fk (x) − f (x)| → 0. c) Diese Behauptung ist nicht richtig. In l2 sei xk = ek und fk (x) = x(k). ∗ Dann gilt fk (xk ) = 1, aber fk ⇁ 0 und xk ⇁ 0. 3.25 Der Abschluß von M in l∞ ist c0 , weil die endlichen Abschnitte einer Folge in c0 gegen diese konvergieren. Wir m¨ ussen zeigen: In jeder schwachen∗ Umgebung eines f0 ∈ l∞ , ∩i∈I0 Vxi ,r (f0 ) = {f : |f (xi ) − f0 (xi )| < r},

I0 endlich,

liegt ein f ∈ M . Sei y1 , . . . , yI eine Basis von span {xi }i∈I0 . Es gibt ein J, ur 1 ≤ i ≤ I linear unabh¨ angig so daß auch die Vektoren (yi (1), . . . , yi (J)) f¨ sind. Damit besitzt die Matrix (yi (j))1≤i≤I, 1≤j≤J Rang I und das lineare J Gleichungssystem j=1 z(j)yi (j) osung. Das = f0 (yi ), 1 ≤ i ≤ I, hat eine L¨ zugeh¨orige Funktional f (y) = j z(j)y(j) erf¨ ullt f (yi ) = f0 (yi ), daher auch ur alle i ∈ I0 . f (xi ) = f0 (xi ) f¨

3.26 ⇒: F¨ ur g ∈ Y ′ ist die Menge T −1 (g −1 (Br (α))) = (g ◦ T )−1 (Br (α)) schwach offen in X, weil g ◦ T ∈ X ′ . Da die Br (α) eine Basis der Topologie bilden, ist die Behauptung gezeigt. auf ⇐: F¨ ur g ∈ Y ′ ist (g ◦ T )−1 (Br (α)) schwach offen in X, daher g ◦ T ∈ X ′ . ur x ≤ 1 folgt aus F¨ ur x ≤ 1 gilt demnach |g ◦ T (x)| ≤ Kg . T x ≤ K f¨ Satz 3.20(a). 

Aufgaben aus Kapitel 4 4.1 Die Schnittmenge der Zk ist meßbar und besitzt Maß 0. Nach Satz 4.3(c) ist auch A eine Nullmenge. 4.3 Da die Mengen Ωk meßbar und disjunkt sind, folgt aus der σ-Additivit¨ at, daß µ(Ω) = ∞ µ(Ω ) > 0, also auch µ(Ω ) > 0 f¨ u r ein k. k k k=0 4.12 Seien Ωi ⊂ Ω, i ∈ , disjunkte meßbare Mengen mit positivem Maß. Der gesuchte Unterraum sind die Funktionen u mit u = 0 außerhalb ∪Ωi und u konstant auf jeder Menge Ωi . Der isometrische Isomorphismus auf diesen Unterraum ist y → u(x) = y(i) f¨ ur x ∈ Ωi . 

4.22 a) uk vk − uv1 =(uk − u)vk + u(vk − v)1 ≤uk − u2 vk 2 + u2 vk − v2 → 0. b) F¨ ur φ ∈ L∞ (Ω) gilt

L¨ osungen



Ω



(uk vk − uv)φ dx =

Ω

245

(uk (vk − v) + (uk − u)v)φ dx

≤uk 2 vk − v2 φ∞ +



Ω

(uk − u)vφ dx.

Der erste Term konvergiert gegen 0 wegen uk 2 ≤ M und vk → v in L2 , der zweite Term wegen uk ⇁ u und vφ ∈ L2 . c) Dies ist nicht richtig, wie das Beispiel uk (x) = vk (x) = sin kx mit uk , vk ⇁ 0, aber  π uk vk φ dx → d(φ) > 0 f¨ ur φ > 0, 0

zeigt.

Aufgaben aus Kapitel 5 5.1 Aus dem Satz von Fubini folgt     u(x)Jε (x − y)φ(y) dx dy = Jε ∗ u(y)φ(y). u(x)Jε ∗ φ(x) dx = Wir setzen DJε ∗ φ = Jε ∗ Dφ in die Bedingung ein,   0 = uJε ∗ Dφ dx = Jε ∗ uDφ dx ∀φ ∈ C0∞ (Ω). Daher Jε ∗ u = const und wegen Jε ∗ u → u in L1loc (Ω) folgt u = const.

Aufgaben aus Kapitel 6 α−1 6.1 Sei u(x) = xα , 0)T . Dann gilt 1 mit Du = (αx1



Ω

|Du|p dx = |α|p



0

1



0

x21

(α−1)p

x1

dx2 dx1 = |α|p

Das letzte Integral existiert f¨ ur z. B. α = − 14 und p =



1

0

(α−1)p+2

x1

dx1 .

11 5 .

6.3 a) Mit x = (x1 , x′ ) gilt f¨ ur u ∈ C0∞ ( n )  u(y) = D1 u(x1 , y ′ ) dx1 . x1
Eine analoge Formel kann f¨ ur den Integranden bez¨ uglich der u ¨brigen Variablen angewendet werden,

246

L¨ osungen

u(y) =



D1 . . . Dn u(x) dx,

x
wobei x < y komponentenweise zu verstehen ist. Das Integral l¨ aßt sich offenbar durch un,1 absch¨atzen. b) Wegen Satz 6.7 gen¨ ugt es, die Absch¨atzung u∞ ≤ u2,1 f¨ ur alle u ∈ C ∞ (Ω) zu zeigen. Zu x ∈ Ω gibt es einen Kegel C ⊂ Ω, der wie in der nebenstehenden Skizze von den linear unabh¨ angigen Einheitsvektoren e1 , e2 aufgespannt wird. τ sei eine glatte Funktion mit τ (x) = 1 und τ = 0 in einer Umgebung des Kegelbogens. Die Funktion u ˜ = τ u wird durch 0 auf den zugeh¨origen unendlichen Kegel fortgesetzt. Mit diesen Modifikationen kann wie in a) geschlossen werden:

u ˜(x) = − =



∞

0

 i,j

Dξ u ˜(x + ξe1 ) dξ =



∞

0

C



e2

C e1

x

supp τ

C

∞

Dξ Dρ u ˜(x + ξe1 + ρe2 ) dξ dρ

0

2 Dij u ˜ e1,i e2,j |det (e1 , e2 )|−1 dx ≤ cD 2 u ˜1;C ≤ cu2,1;C .

Die Konstante c h¨ angt dabei vom Winkel zwischen e1 und e2 sowie den Ableitungen von τ ab. Beides kann unabh¨ angig von x gew¨ ahlt werden. 6.7 a) Die Matrix Mαβ =



Dα xβ dx,

|α|, |β| ≤ m − 1,

Ω

ist regul¨ar, denn andernfalls g¨abe es ein Polynom p =  Dα p dx = 0, |α| ≤ m − 1.



a β xβ ∈ 

m−1

mit

Hieraus folgt jedoch p = 0. Damit ist das lineare Gleichungssystem in (aβ )|β|≤m−1    α β D (aβ x ) dx = Dα u dx, |α| ≤ m − 1, |β|≤m−1

Ω

Ω

eindeutig l¨osbar. b) Wir w¨ahlen p wie in a) und erhalten

L¨ osungen



247

|F (u)| = |F (u − p)| ≤ cu − pm,p;Ω .

α

Wegen D (u − p) dx = 0 f¨ ur |α| ≤ m − 1 k¨ onnen wir die Poincar´eUngleichung anwenden beginnend mit |α| = 0 und erhalten |F (u)| ≤ cD m up;Ω .

6.10 Setze rk (x) =




min{| ln | ln x||, k} f¨ ur |x| < e−1 0

sonst

und r˜k = 1 − Dann gilt r˜k (x) =




1 rk . k

1 f¨ ur |x| > e−1 0 in einer Umgebung von 0

.

Zu φ ∈ C0∞ (Ω) setze φk = r˜k φ. Es gilt φk = 0 in einer Umgebung von 0 sowie c φ − φk 1,2 ≤ c1 − r˜k 1,2 = rk 1,2 . k In Anmerkung 6.13(iii) wird gezeigt, daß rk ∈ H 1,2 mit rk 1,2 ≤ c. Damit ist Jε ∗ φk ∈ C0∞ (Ω \ {0}) die gesuchte Approximation von φ. 6.15 

Vorausgeschickt sei die Bemerkung, daß man Integrale der Form v(z) dz nach der Variablen x ableitet, indem man das Integral auf ein von Ω(x) x unabh¨angiges Gebiet transformiert, dann ableitet und anschließend zur¨ ucktransformiert. In unserem eindimensionalen Fall schreibt man einfacher  y+x  u(z) dz = U (y + x) − U (y − x), U (x) = u(z) dz. y−x

′

Mit U = u gilt Dx F u(x, y) = − =−

1 2x2



y+x

1 2x2



y+x

u(z) dz +

y−x

y−x

 1  u(y + x) + u(y − x) 2x

(u(z) − u(y)) dz +

 1  u(y + x) − 2u(y) + u(y − x) . 2x

Dies wird in die p-te Potenz erhoben und bez¨ uglich x ∈ und y ∈ integriert       y+x p   |Dx F u|p dx dy =2−p (u(z) − u(y)) dz  dx dy x−2p  y−x

+ 2−p

 

=A + B.

p  x−p u(y + x) − 2u(y) + u(y − x) dx dy

+

248

L¨ osungen

Wir untersuchen A. Aus der Taylor-Entwicklung 1 u(z) − u(y) = u′ (y)(z − y) + u′′ (ξ)(z − y)2 2 erhalten wir

  

y+x y−x

p  (u(z) − u(y)) dz  ≤ cx3p .

Daher darf in folgender Form partiell integriert werden     y+x p   (u(z) − u(y)) dx dy A≤c Dx x−2p+1  y−x

≤c

 

 p−1   |u(y + x) − u(y)| + |u(y − x) − u(y)| dx dy x−2p+1  . . . 

=c

 

≤c

 

 p−1 −1   x−2p+2  . . .  . . . dx dy x x



−2p 

1−1/p  p . . .  dx dy

 

1/p  p . x−p . . . dx dy

Wir teilen durch den ersten Faktor und verwenden die Transformation y → y + x und anschließend z = y + x    p A≤c x−p |u(y + x) − u(y)| + |u(y − x) − u(y)| dx dy ≤c

 

x−p |u(y + x) − u(y)|p dx dy = c|u|p1−1/p,p .

F¨ ur den Term B liefert die Dreiecksungleichung mit den gleichen Transformationen wie im letzten Schritt     B≤c x−p |u(y + x) − u(y)|p + |u(y − x) − u(y)|p dx dy = c|u|p1−1/p,p . F¨ ur die y-Ableitung gilt einfach

 1  1  |Dy F u(x, y)| =  (u(y+x)−u(y−x)) ≤ |u(y+x)−u(y)|+|u(y)−u(y−x)|. 2x 2x

Nach Bildung der p-ten Potenz und Integration folgt die Behauptung wie bei der Absch¨atzung von Dx F u.

Aufgaben aus Kapitel 7 7.4 Aus u, v ∈ H01,2 (Ω) folgt Di u ∈ L2 (Ω) und u, v ∈ L6 (Ω). Daher

L¨ osungen

Di u ∈ L2 , v ∈ L6 ⇒

1 1 1 + + = 1 ⇒ r = 3, r 2 6

u ∈ L6 , v ∈ L 6 ⇒

3 1 1 1 + + =1 ⇒ s= . s 6 6 2

249

Damit sind bi ∈ L3 und c ∈ L3/2 optimal.

7.5 a) Auf H01,2 (0, 1) gilt die Poincar´e-Ungleichung, daher 

1 2

0

|u(x1 , x2 )| dx1 ≤ c



0

1

|D1 u(x1 , x2 )|2 dx1 .

Durch Integration bez¨ uglich x2 folgt die Poincar´e-Ungleichung auf Ω. osungen. b) uk (x, y) = ekπx sin kπy, k ∈ , sind die gesuchten L¨ 

7.15 F¨ ur die im Hinweis definierte Funktion 2

v(x) = e−αr − e−αR

2

gilt aufgrund der Elliptizit¨ at von (aij ) 2

2

Lv(x) = −e−αr {4α2 aij (xi − yi )(xj − yj ) − 2αaii } − 2αbi e−αr (xi − yi ) ≤ −e−αr

2



 4α2 λr 2 − 2αaii − cαr .

F¨ ur gen¨ ugend großes α ist daher Lv < 0 in A = BR (y) \ Bρ (y). Wegen u(x) − u(x0 ) > 0 und der Stetigkeit von u gibt es ein ε > 0 mit u(x) − u(x0 ) − εv(x) > 0 auf ∂Bρ (y). Diese Ungleichung ist ebenso auf ∂BR (y) erf¨ ullt, da dort v = 0 gilt. Also L(u − u(x0 ) − εv) ≥ 0 in A und u − u(x0 ) − εv ≥ 0 auf ∂A. Nach dem Maximumprinzip ist daher u − u(x0 ) − εv ≥ 0 in A. F¨ ur die Normalableitung im Punkt x0 gilt daher Dν u(x0 ) ≤ εDν v(x0 ) < 0. 7.16 Angenommen, das Minimum m von u wird im Inneren von Ω angenommen. Setze Ω + = {x ∈ Ω : u(x) > m}.

Nach Voraussetzung gibt es mindestens einen Randpunkt von Ω + , der inaher an einen nerhalb von Ω liegt. Es gibt daher einen Punkt y ∈ Ω + , der n¨ solchen inneren Randpunkt liegt als an ∂Ω. Die maximale Kugel BR (y) innerhalb von Ω + ber¨ uhrt daher ∂Ω + in einem Punkt x0 ∈ Ω. Es gilt u(x0 ) < u(x) in dieser Kugel. Nach Aufgabe 7.15 gilt daher Dν u(x0 ) < 0 im Widerspruch zur Tatsache, daß x0 Minimumpunkt von u ist. 7.20 Das einzige Problem bei dieser Aufgabe ist der Beweis der Fehlerabsch¨atzung D(s − Ih s)2;Ω ≤ chπ/ω .

250

L¨ osungen

F¨ ur ein am Nullpunkt anliegendes Dreieck Λ erhalten wir mit α = π/ω  D(s − Ih s)22;Λ ≤ 2 (|Ds|2 + |DIh s|2 ) dx Λ

≤c



ch

0

r 2α−2 r dr + ch2α−2 µ(Λ) ≤ ch2α .

Wegen Bedingung R h¨ angt die Anzahl dieser Dreiecke nur von der Konstanten cR ab. Außerhalb der am Nullpunkt anliegenden Dreiecke (= Ωr ⊂ Ω) verwenden wir die Interpolationsfehlerabsch¨atzung aus Satz 7.19  c  r 2α−4 r dr ≤ ch2α . |D2 s|2 dx ≤ ch2 D(s − Ih s)22;Ωr ≤ ch2 ch

Ωr

Aufgaben aus Kapitel 8 8.17 In allen F¨allen gilt −u′′k = λk u in (0, 1). Hinzu kommen die erzwungenen und/oder nat¨ urlichen Randbedingungen: a): u′ (0) = u′ (1) = 0, b): u(0) = u(1) = 0, c): u(0) = u(1), u′ (0) = u′ (1). Wir erhalten daher die Eigenfunktionen: a): uk (x) = cos kπx, k ∈ 0 , b): uk (x) = sin kπx, k ∈ , c): uk (x) = cos 2kπx, k ∈ 0 , sowie vk (x) = sin 2kπx, k ∈ . Die Eigenvektoren in c) werden gerne komplex geschrieben, 







φk (x) = e2kπix ,

k∈ . 

andige Orthogonalsysteme der komMan u ¨berlegt sich leicht, daß die φk vollst¨ 1,2 (0, 1) sind. plexen R¨aume L2 (0, 1) und Hper 8.19 F¨ ur u(x, y) gilt u(x, y) =

∞ 

sin(iπx) ti (y).

i=1

In die schwache Form des Eigenwertproblems setzen wir diesen Ansatz ein und testen mit v(x, y) = sin(jπx) vj (y),  1  1  2 2  j π tj (y)vj (y) + t′j (y)vj′ (y) dy = λ tj (y)vj (y) dy, 0

also

0

−t′′j + j 2 π 2 tj = λtj in (0, 1),

mit L¨osung tj (y) = sin jπy.

tj (0) = tj (1) = 0,

L¨ osungen

251

8.21 Die zugeh¨ orige Bilinearform a(u, v) =



aij Dj uDi v dx

Ω

ist symmetrisch mit

λDu22 ≤ a(u, u) ≤ ΛDu22 . F¨ ur den Rayleighquotienten RL (u) = a(u, u)/u2 folgt daher λR−∆ (u) ≤ RL (u) ≤ ΛR−∆ (u). Die Behauptung folgt aus Satz 8.42 und dem MinmaxPrinzip. 8.23 Wie in (8.35) leitet man die L¨osungsdarstellung (∗)

v(x, t) =

∞ 

v0,i eiλi t ui (x)

i=1

her. ui sind die Eigenvektoren des Laplace-Operators und v0,i die FourierKoeffizienten von v0 . Zum Beweis der Energieerhaltung multiplizieren wir die Schr¨ odingerGleichung mit u und integrieren u arteil von −∆uu dx = ¨ ber Ω. Der Imagin¨ ur die zeitliche Ableitung gilt Du2 verschwindet und f¨   d 2 1 Im i ut u dx = |u| dx. 2 dt Ω Ω Integration bez¨ uglich t liefert die behauptete Gleichung. Man kann dies auch aus (∗) herleiten, das hier verwendete Argument gilt auch f¨ ur allgemeinere Gleichungen.

Aufgaben aus Kapitel 9 9.12 Sei φ ∈ D(Ω). Da K = supp(φ) kompakt ist, gibt es endlich viele orige Ωi , sagen wir Ω1 , . . . , ΩI , die K u ¨berdecken. Sei ψ1 , . . . , ψI die zugeh¨ Zerlegung der 1. Setze I  Ti (ψi φ). T (φ) = i=1

¨ Diese Definition ist unabh¨ angig von der endlichen Uberdeckung {Ωi }. Ist ¨ n¨amlich {Ωj′ } eine andere endliche Uberdeckung von K mit Zerlegung der Eins {ψj′ }, so setze ψij = ψi ψj′ ∈ D(Ωi ∩ Ωj′ ). Es gilt dann    Ti (ψij φ) = Tj (ψij φ) = Tj (ψj′ φ). T (φ) = i

j

j

i

j

¨ Aus dieser Uberlegung folgt auch die Eindeutigkeit von T .

252

L¨ osungen D

Nun beweisen wir, daß T eine Distribution ist. Sei φk → φ. Dann gibt es ein K ⊂⊂ Ω mit supp(φk ) ⊂ K. K kann mit endlich vielen Ωi u ¨ berdeckt werden, sagen wir i = 1, . . . , I. Mit der zugeh¨origen Zerlegung der Eins {ψi } D folgt dann f¨ ur diese i, daß Ti (ψi φk ) → Ti (ψi φ), denn ψi φk → ψi φ. Daher auch T (φk ) → T (φ). ager von φ u Wenn φ ∈ D(Ωi ), so gilt T (φ) = Ti (φ), weil Ωi den Tr¨ ¨ berdeckt und die Definition von T unabh¨ angig von der Wahl des u ¨ berdeckenden Mengensystems ist. Daher T Ω = Ti . i

′

9.28 a) F u0 ist stark fallend. Daher darf unter dem Integral differenziert werden,  ′ ′ ′ 2 1/2 −∆x′ F u(x′ , xn ) = (2π)−(n−1)/2 eix ·ξ |ξ ′ |2 F ′ u0 (ξ ′ )e−(1+|ξ | ) xn dξ ′ . 

n−1

Dies hebt sich mit den Termen F u und Dnn F u in −∆F u + F u auf. b) Es gilt ′ 2 1/2

F ′ F u(·, xn )(ξ ′ ) = F ′ u0 (ξ ′ )e−(1+|ξ |

(∗)

)

xn

,

daher 

0

∞

 

=

n−1



0

(1 + |ξ ′ |)2m |F ′ F u(·, xn )|2 dξ ′ dxn

∞



′ 2 1/2



n−1

(1 + |ξ ′ |)2m |F ′ u0 (ξ ′ )|2 e−2(1+|ξ |

)

xn

dξ ′ dxn .

Wir ziehen das Integral bez¨ uglich xn nach Innen und erhalten  ∞ ′ 2 1/2 1 . e−2(1+|ξ | ) xn dxn = ′ |2 )1/2 2(1 + |ξ 0 Damit folgt die Behauptung f¨ ur die Ableitungen D1 , . . . , Dn−1 . Zum Nachweis atzen analog ab. von Dm F u ∈ L2 differenzieren wir (∗) nach xn und sch¨

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Symbolverzeichnis

Allgemeines 

0 



i Re α Im α α |α| c χA δij ei ln x ez Ω ν u+ u− supp(u) supp(T ) u∗v T ∗ψ R(T )

nat¨ urliche Zahlen nat¨ urliche Zahlen einschließlich Null oder √ −1 Realteil von α Imagin¨ arteil von α komplexe Konjugation Betrag von α ∈ generische Konstante, muß nicht an jeder Stelle den gleichen Wert besitzen charakteristische Funktion der Menge A Kroneckersymbol (= 0 f¨ ur i = j, sonst = 0) kanonische Einheitsvektoren (ei (j) = δij ) reeller nat¨ urlicher Logarithmus komplexe Exponentialfunktion Gebiet des n ¨außerer Normaleneinheitsvektor positiver Anteil der Funktion u (u+ = max{u, 0}) negativer Anteil der Funktion u (u− = min{u, 0}) 



Tr¨ager der Funktion u (= {x : u(x) = 0}) Tr¨ager der Distribution T , 203 Faltung der Funktionen u und v, 206 Faltung der Distribution T mit ψ, 206 Bild der Abbildung T

258

Symbolverzeichnis

Ac 

m

Komplement von A Raum der Polynome vom Grad ≤ m

Multiindex und Differentialoperatoren α |α| xα α! α≤β Di

Multiindex (∈ n0 ), 35 Ordnung des Multiindex (= α1 + . . . + αn ) αn 1 Monom (= xα 1 . . . xn ) Fakult¨ at des Multiindex (= α1 ! . . . αn !) Halbordnung f¨ ur Multiindizes (⇔ αi ≤ βi ) ∂ ) partielle Ableitung nach xi (= ∂x i

D 2 Dij Dm Dα ∆

Gradient (= (D1 , . . . , Dn )T ) partielle Ableitung h¨oherer Ordnung Tensor s¨ amtlicher partieller Ableitungen der Ordnung m, 35 partielle Ableitung nach dem Multiindex α, 35 2 Laplace-Operator (= ni=1 Dii )



Topologische und metrische R¨ aume int A A ∂A d(x, y) Br (x) ˜r (x) B dist (A, B) diam A D ⊂⊂ Ω

Inneres von A, 2 Abschluß von A, 2 Menge der Randpunkte von A, 2 Metrik offene Kugel um x vom Radius r Menge der Punkte y mit d(x, y) ≤ r Abstand der Mengen A und B, 6 Durchmesser von A, 15 D kompakt mit D ⊂ Ω

Lineare R¨ aume N (T ) dim U codim U Id span A x p(x) (x, y)

Nullraum der linearen Abbildung T Dimension des Unterraums U Kodimension des Unterraums U , 176 Identit¨ at lineare H¨ ulle von A Norm auf einem Vektorraum, 17 Halbnorm auf einem Vektorraum, 17 inneres Produkt auf einem Vektorraum, 26

Symbolverzeichnis

x, x′  L(X, Y ) L(X) K(X, Y ) X′ X∗ X ′′ T′ T∗ x⊥y A⊥ M ⊥ , N⊥ j i Tλ Rλ

259

Dualit¨atsabbildung, 51 Raum der stetigen linearen Operatoren, 21 L(X, X) Raum der kompakten Operatoren, 163 Dualraum des normierten Raums X, 22 Antidualraum des normierten Raums X, 30 Bidualraum des normierten Raums X, 51 adjungierte Abbildung zu T , 164 Hilbert-Adjungierte zu T , 166 x und y sind orthogonal, 29 orthogonales Komplement von A, 29 Annihilatoren, 165 f¨ ur einen Hilbert-Raum ist j : x → (·, x), 29 kanonische Inklusion, i : X → X ′′ , 51 T − λId, 159 Tλ−1 , 159

Konkrete R¨ aume und Normen l Raum aller Zahlenfolgen, 49 lp Raum der in p-ter Potenz summierbaren Zahlenfolgen, 18 xlp Norm in lp c = c( ) Raum der konvergenten Folgen, 39 c0 = c 0 ( ) Raum der Nullfolgen, 18 xl∞ Supremumsnorm in l∞ , c, c0 , 18 c00 = c00 ( ) Raum der endlichen Folgen, 61 C(X) stetige Funktionen auf dem kompakten Hausdorff-Raum X u∞ Maximumsnorm in C(X) m C (Ω) Raum der m-mal stetig diff’baren Funktionen in Ω, m ∈ 0 m C0 (Ω) Funktionen in C m (Ω) mit kompaktem Tr¨ ager in Ω m C (Ω) Funktionen in C m (Ω) mit gleichm¨ aßig stetigen Ableitungen, 35 







um,∞;Ω C m,α (Ω) [u]C α

Norm in C m (Ω), 35 H¨older- bzw. Lipschitzr¨aume, 36 Halbnorm in C α (Ω), 36

uC m,α Lp (Ω) up;Ω Lploc (Ω)

Norm in C m,α (Ω), 36 Raum der in p-ter Potenz integrierbaren Funktionen, 69 Norm in Lp (Ω), 69 Raum der Funktionen in Lp (Ω0 ) f¨ ur alle Ω0 ⊂⊂ Ω

260

Symbolverzeichnis

Lp (∂Ω) H m,p (Ω) um,p;Ω H s,p (Ω) H s,2 (∂Ω) N s,p (Ω) uN s,p (Ω) D(Ω) D′ (Ω) S pK,l (φ) S′ E(Ω) Fu

Lp -Raum auf ∂Ω, 108 Sobolev-Raum, 89 Norm in H m,p (Ω) Sobolev-Raum gebrochener Ordnung, 121 Sobolev-Raum gebrochener Ordnung auf ∂Ω, 218 Nikolski-Raum, 98 Norm in N s,p (Ω) Raum der Testfunktionen auf Ω, 199 Raum der Distributionen auf Ω, 199 Raum der schnell fallenden Funktionen, 208 Halbnorm in S, 208 Raum der langsam wachsenden Distributionen, 212 Raum der Funktionen in C ∞ , 49 Fourier-Transformation in S, S ′ oder L2

Sachverzeichnis

C m,α -Diffeomorphismus, 99 C m,α -Lokalisierung, 100 σ-Algebra, 65 σ-additiv, 65 Abbildung beschr¨ ankte, 21 folgenstetige, 4 kompakte, 24 lipschitzstetige, 9 offene, 3 stetige, 3 abgeschlossene Menge, 2 Abschluß einer Menge, 2 Abschneidefunktion, 90 Absolutstetigkeit des Lebesgue Integrals, 68 Abz¨ ahlbarkeitsaxiom erstes, 4 zweites, 5 Alaoglu-Bourbaki Satz von, 56 Annihilator, 165 Antidualraum, 30 antilinear, 26 Approximation Finite Elemente, 150 Ritz-, 148 sukzessive, 9 Approximationssatz von Weierstraß, 236 Arzela-Ascoli Satz von, 32 Auswahl der Diagonalfolge, 25

Baire Satz von, 41 Banach-Raum, 18 gleichm¨ aßig konvexer, 77 reflexiver, 57 Banach-Saks Satz von, 63 Banach-Steinhaus Satz von, 43 Banachlimes, 61 Banachscher Fixpunktsatz, 10 Beppo-Levi Satz von, 67 Ber¨ uhrpunkt, 2 Bestapproximierende, 148 Bidualraum, 51 biharmonische Gleichung, 198 biharmonischer Operator, 226 Bramble-Hilbert Lemma von, 128 Calderon Fortsetzungssatz von, 106 Cantor-Menge, 81 cantor¨ ahnliche Menge, 81 Cauchy-Folge im metrischen Raum, 8 schwache, 56 schwache∗, 56 Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen, 237 Cauchy-Ungleichung, 26, 232 verallgemeinerte, 233

262

Sachverzeichnis

Ceas Lemma, 149 Clarksonsche Ungleichungen, 77 Closed Range Theorem, 174 Courant-Hilbert Satz von, 184 Courantsches Minmax-Prinzip, 184 Diagonalfolgenargument, 25 dicht, 5 Diffeomorphismus, 99 Differentialgleichungen Cauchy-Riemannsche, 237 elliptische, 131, 194 gew¨ ohnliche, 10, 33 hyperbolische, 194 parabolische, 195 Differentialoperator elliptisch, 144 gleichm¨ aßig elliptisch, 134, 223 Differenzenquotient, 95 ∼en-Technik, 136 Dirac-Distribution, 201 Dirichlet-Problem, 133 Distribution, 199 Differentiation einer ∼, 201 Dirac-∼, 201 Einschr¨ ankung einer ∼, 203 gerade, ungerade, 228 langsam wachsende, 213 mit kompaktem Tr¨ ager, 203 Multiplikation einer ∼, 201 regul¨ are, 200 temperierte, 213 Tr¨ ager einer ∼, 203 von endlicher Ordnung, 200 Dreiecksungleichung, 6, 17 umgekehrte, 6 Dualit¨ atsabbildung, 51 Dualit¨ atsargument, 153 Dualraum, 22, 51 von S, 212 von c0 , 23 von H0m,2 , 120 von H m,p , 120 von Lp , 78 von lp , 23 Durchmesser, 15 Eigenraum, 160

Eigenwert, 160 Vielfachheit eines ∼s, 160 Eigenwertproblem abstraktes, 184 fur den Laplace Operator, 189 Einbettung, 24 dichte, 24 kompakte, 24 kompakte von H 1,p nach Lq , 113 von H 1,p nach C α , 118 von H 1,p nach L∞ , 117 von H m,p nach Lq , 106 von H s,2 nach C α , 217 Elastische Gleichungen, 154 elliptisch, 144 aßig, 134, 223 gleichm¨ Energieerhaltung, 195 Erlanger Metrik, 7 Faltung einer Distribution, 206 von Funktionen, 206 fast u ¨berall, 66 Fatous Lemma, 67 Finite Elemente Verfahren, 149 folgenkompakt, 12 folgenstetig, 4 Fortsetzung ∼ssatz von Calderon, 106 ∼ssatz f¨ ur Sobolev-Funktionen, 105, 126, 130, 218 ∼ssatz von Hahn-Banach, 45 ∼ssatz von Tietze, 234 stetiger linearer Abbildungen, 24 Fourier -Abschnitt, 184 -Koeffizient, 184 Fourier-Plancherel-Transformation, 215 Fourier-Transformation in S, 208 in S ′ , 213 inverse, 211 Fredholm-Operator, 176 Fredholmsche Alternative, 176 Fubini Satz von, 68 Fundamentallemma der Variationsrechnung, 85 Funktion

Sachverzeichnis gleichm¨ aßig stetige, 40 h¨ olderstetige, 36 harmonische, 226 integrierbare, 67 konkave, 231 konvexe, 231 lipschitzstetige, 36 meßbare, 66 mit beschr¨ ankter totaler Variation, 97 nirgends differenzierbare, 60 schnell fallende, 208 Funktional, 22 antilineares, 30 stetiges lineares, 22 sublineares, 45 unstetiges, 23 G˚ ardingsche Ungleichung, 180 f¨ ur Operatoren der Ordnung 2m, 224 f¨ ur Operatoren zweiter Ordnung, 183 Galerkin-Verfahren, 149 Gebiet, 34 kompakt enthalten, 34 Lipschitz∼, 99 von der Klasse C m,α , 99 Gebietsmonotonie, 190 Gelfandscher Dreier, 169 gleichgradig stetig, 32 gleichm¨ aßig konvex, 77 gleichm¨ aßig stetig, 40 Gradient, 35 Graph einer Abbildung, 44 H¨ oldersche Ungleichung, 69 h¨ olderstetig, 36 Hahn-Banach-S¨ atze, 45 Halbnorm, 17 in D(Ω), 237 in S, 208 in C ∞ , 49 in c00 , 61 in l, 49 Hauptwert, 227 Hausdorff-Raum, 1 Heaviside-Funktion, 202 Hellinger-Toeplitz Satz von, 195

263

Hilbert-Adjungierte, 166 Hilbert-Raum, 27 Hom¨ oomorphismus, 3 Homogenit¨ atsargument, 232 Index eines Fredholm-Operators, 176 Innenkugelbedingung, 157 innerer Punkt, 2 Inneres einer Menge, 2 inneres Produkt, 26 Integral, 67 Integralgleichung, 179 integrierbare Funktion, 67 Interpolierende, 151 Inversmonotonie f¨ ur klassische L¨ osungen, 145 f¨ ur Matrizen, 156 fur schwache L¨ osungen, 143 Isometrie, 9 Kategorie von erster, 41 von zweiter, 41 Kegeleigenschaft, 101 Kettenregel, 93 klassische Losung, 131 kompakt, 12 folgen∼, 12 pr¨ a∼, 13 relativ ∼, 12 Kontinuierliches Spektrum, 160 Kontraktion, 9 Konvergenz, 2 konvex σ-∼, 38 ∼e Funktion, 231 ∼e H¨ ulle, 231 ∼e Menge, 231 Konvexkombination, 231 Kubaturformel, 128 L¨ osung klassische, 131 schwache, 132 Laplace-Beltrami-Operator, 239 Laplace-Operator, 131 Lax-Milgram Satz von, 30 Lebesgue -Integral, 65

264

Sachverzeichnis

-Maß, 65 -Raum, 69 -Raum auf ∂Ω, 109 Satz von, 68 Lemma Rieszsches, 20 von Bramble-Hilbert, 128 von Cea, 149 von Fatou, 67 von Urysohn, 233 Liouville Satz von, 237 Lipschitzgebiet, 99 Lipschitzkonstante, 9 lipschitzstetig, 9, 36 Lochf¨ ulltechnik, 238 lokale Basis, 5 Lokalisierung, 100 lokalkonvexer Raum, 48 metrisierbarer, 49 Lusin Satz von, 68 M¨ untz-Theorem, 236 mager, 41 Matrix adjungierte, 167 inversmonotone, 156 Maximumprinzip f¨ ur klassische L¨ osungen, 144 f¨ ur parabolische Gleichungen, 157 f¨ ur schwache L¨ osungen, 143 starkes, 146, 157 Mazur Satz von, 58 Maß, 65 maßkonvergent, 75 Metrik, 6 metrischer Raum, 6 Meyers und Serrin Satz von, 91 meßbare Funktion, 66 Menge, 66 Treppenfunktion, 66 Minkowski-Ungleichung, 70 Mollifier, 73 Monotone Konvergenz Satz von der, 67

Morrey Einbettungssatz von, 117, 118 Multiindex, 35 Multiplikationsoperator, 39 negative Norm, 168 Neumann-Problem, 155, 221 Neumannsche Reihe, 161 Nikolski-Raum, 98 nirgends dicht, 41 nirgends differenzierbare Funktion, 60 Norm, 17 aquivalente, 19 ¨ euklidische, 35 in H m,p , 89 in H s,2 , 215 in H s,2 (∂Ω), 218 in H s,p , 121 in Lp , 69 in Lp (∂Ω), 108 in lp , 18 in N s,p , 98 negative, 168 normierter Raum, 17 Nullmenge, 66 Nullumgebungsbasis, 49 offene Abbildung, 3 offene Menge, 1 Operator adjungierter, 164 analytisch abh¨ angender, 162 biharmonischer, 226 formal adjungierter, 171 Fredholm-, 176 Hilbert-Adjungierte eines ∼s, 166 in Divergenzform, 144 in expliziter Form, 144 mit abgeschlossenem Bild, 172 nuklearer, 196 parabolischer, 157 polyharmonischer, 155 regul¨ arer, 160 selbstadjungierter, 166 Operatornorm, 22 Ordnung einer Distribution, 200 orthogonal, 29 ∼e Projektion, 29 ∼es Komplement, 29

Sachverzeichnis Orthogonalitatsrelation, 148 Parallelogrammgleichung, 27 Parsevalsche Gleichung, 214 partielle Integration, 86 Summation, 95 Poincar´e-Ungleichung, 108, 115 Poisson-Gleichung, 131 polyharmonischer Operator, 155 pr¨ akompakt, 13 Prinzip der gleichm¨ aßigen Beschr¨ anktheit, 43 Prinzip der offenen Abbildung, 43 Produktregel, 91, 93 Produkttopologie, 6 Projektion im Banach-Raum, 173 orthogonale, 29 Projektionssatz, 29 Punktspektrum, 160 Quotientennorm, 171 Quotientenraum, 171 Randbedingung der dritten Art, 222 Dirichlet-, 133 erzwungene, 133 mit schiefer Ableitung, 222 nat¨ urliche, 133 Neumann-, 133 Randintegral, 108 Randwertproblem adjungiertes, 171 erstes, 131 gemischtes, 133 zweites, 133 Raum Banach-, 18 Hausdorff-, 1 Hilbert- , 27 hom¨ oomorpher, 3 isometrischer, 9 kompakter, 12 lokalkonvexer, 48 metrischer, 6 normierter, 17 topologischer, 1

265

vollst¨ andiger metrischer, 8 Rayleighquotient, 184 Rayleighsches Minimumprinzip, 184 reflexiver Banach-Raum, 57 regul¨ ar ∼er Operator, 160 2-∼, 152 Reihe absolut summierbar, 37 konvergent, 37 relativ kompakt, 12 Relativtopologie, 1 Residuenspektrum, 160 Resolventenmenge, 160 Resolventenoperator, 159 Riesz-Schauder Satz von, 177 Rieszscher Darstellungssatz, 28 Rieszsches Lemma, 20 Ritz-Approximation, 148 Satz Darstellungs∼ von Riesz, 28 Fixpunkt∼ von Banach, 10 Fortsetzungs∼ von Hahn-Banach, 45 Fortsetzungs∼ von Tietze, 234 Projektions∼, 29 Trennungs∼ von Hahn-Banach, 47 vom abgeschlossenen Bild, 174 vom abgeschlossenen Graphen, 44 vom inversen Operator, 43 von Alaoglu-Bourbaki, 56 von Arzela-Ascoli, 32 von Baire, 41 von Banach-Saks, 63 von Banach-Steinhaus, 43 von Beppo-Levi, 67 von Courant-Hilbert, 184 von der monotonen Konvergenz, 67 von Dini, 40 von Fubini, 68 von Hellinger-Toeplitz, 195 von Lax-Milgram, 30 von Lebesgue, 68 von Liouville, 237 von Lusin, 68 von M¨ untz, 236 von Mazur, 58 von Meyers und Serrin, 91

266

Sachverzeichnis

von Rellich-Kondrachov, 113 von Riesz-Schauder, 177 Schr¨ odinger-Gleichung, 198 schwach konvergent, 53 schwach∗ folgenkompakt, 56 kompakt, 56 konvergent, 55 schwache Ableitung, 86 schwache Konvergenz, 53 in Lp , 80 in l1 , 62 schwache L¨ osung, 132 schwache Topologie, 53 schwache∗ Konvergenz, 55 in L∞ , 80 in l1 , 55 schwache∗ Topologie, 54 separabel, 5 Sesquilinearform, 26 adjungierte, 31, 170 beschr¨ ankte, 30 koerzive, 30 Shiftoperator, 39 Singul¨ arfunktion, 158 Skalarprodukt, 26 Sobolev-Norm, 89 Sobolev-Raum, 89 auf ∂Ω, 218 gebrochener Ordnung, 121 mit Gewicht, 127 Sobolev-Ungleichung, 106 Spannungskonzentrationsfaktor, 158 Spektralwerte, 160 Spektrum, 160 Spursatz, 109, 218 stetig, 3 folgen∼, 4 gleichgradig, 32 gleichm¨ aßig ∼, 40 h¨ older∼, 36 lipschitz∼, 36 sublineares Funktional, 45 Summenkonvention, 134

Topologie, 1 Basis einer ∼, 5 feinere, 1 gr¨ obere, 1 schwache, 53 schwache∗, 54 Subbasis einer ∼, 5 topologischer Raum, 1 totale Variation, 97 Tr¨ ager einer Distribution, 203 einer Funktion, 34 Transformationssatz fur lipschitzstetige Transformationen, 104 fur stetig differenzierbare Transformationen, 103 Trennungsaxiom, 1 Trennungssatz, 47, 48 Treppenfunktion, 66

Tietze Fortsetzungssatz von, 234

zentriertes System, 16 Zerlegung der Eins, 90

Umgebung, 2 Umgebungsbasis, 4 Ungleichung des geometrischen und arithmetischen Mittels, 233 Urysohn Lemma von, 233 Variationsprinzip, 132 Verfahren von Galerkin, 149 von Ritz, 148 Vergleichsprinzip, 146 Vervollst¨ andigung, 9 Vierecksungleichung, 6 W¨ armeleitungsgleichung, 192 Weierstraßscher Approximationssatz, 236 Wellengleichung, 192 ankt, 69 wesentlich beschr¨ Youngsche Ungleichung, 232 verallgemeinerte, 232