Elektrotechnik für Ingenieure 3

Wilfried Weißgerber

Elektrotechnik für Ingenieure 3

Literatur für das Grundstudium

Vieweg Handbuch Elektrotechnik herausgegeben von W. Böge und W. Plaßmann Elemente der angewandten Elektronik von E. Böhmer, D. Ehrhardt und W. Oberschelp Elemente der Elektronik – Repetitorium und Prüfungstrainer von E. Böhmer Grundzusammenhänge der Elektrotechnik von H. Kindler und K.-D. Haim Aufgabensammlung Elektrotechnik Band 1 und 2 von M. Vömel und D. Zastrow Elektrotechnik für Ingenieure – Klausurenrechnen von W. Weißgerber Elektrotechnik für Ingenieure – Formelsammlung von W. Weißgerber Elektrotechnik von D. Zastrow Elektronik von D. Zastrow

vieweg

Wilfried Weißgerber

Elektrotechnik für Ingenieure 3 Ausgleichsvorgänge Fourieranalyse Vierpoltheorie Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium 6., überarbeitete Auflage Mit 261 Abbildungen, zahlreichen Beispielen und 40 Übungsaufgaben mit Lösungen

Viewegs Fachbücher der Technik

Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

1. Auflage 1991 2., überarbeitete Auflage 1993 3., korrigierte Auflage 1996 4., verbesserte Auflage 1999 5., verbesserte Auflage April 2005 6., überarbeitete Auflage 2007 Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden, 2007 Lektorat: Reinhard Dapper Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Technische Redaktion: FROMM Mediadesign GmbH, Selters/Ts. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0192-0

V

Vorwort Das dreibändige Buch „Elektrotechnik für Ingenieure“ ist für Studenten des Grundstudiums der Ingenieurwissenschaften, insbesondere der Elektrotechnik, geschrieben. Bei der Darstellung der physikalischen Zusammenhänge, also der Elektrotechnik als Teil der Physik – sind die wesentlichen Erscheinungsformen dargestellt und erklärt und zwar aus der Sicht des die Elektrotechnik anwendenden Ingenieurs. Für ein vertiefendes Studium der Elektrizitätslehre dienen Lehrbücher der theoretischen Elektrotechnik und theoretischen Physik. Die Herleitungen und Übungsbeispiele sind so ausführlich behandelt, dass es keine mathematischen Schwierigkeiten geben dürfte, diese zu verstehen. Teilgebiete aus der Mathematik werden dargestellt, sofern sie in den üblichen Mathematikvorlesungen des Grundstudiums ausgespart bleiben. Im Band 3 sind mathematische Exkurse häufiger notwendig als im Band 1; dabei erfolgt die Darstellung der Mathematik aus der Sicht des Ingenieurs unter Verzicht auf äußerste Strenge. Die Ausgleichsvorgänge im Kapitel 8 werden sowohl im Zeitbereich durch Lösung der Differentialgleichungen als auch mit Hilfe der Laplacetransformation behandelt. Dabei wird ausführlich auf die mathematischen Zusammenhänge der Laplacetransformation eingegangen. Periodische nichtsinusförmige Wechselgrößen, die analytisch oder durch Stützstellen gegeben sind, und aperiodische Größen lassen sich in diskrete bzw. kontinuierliche Spektren überführen. Im Kapitel 9 wird auf die Fourieranalyse periodischer und aperiodischer Größen eingegangen. Bei periodischen Größen mit Stützstellen werden die trigonometrische Interpolation und das Sprungstellenverfahren vorgestellt. Das abschließende Kapitel 10 ist der Vierpoltheorie gewidmet. Zunächst werden die Zusammenhänge der Vierpolparameter, Betriebskenngrößen und der fünf Arten der Zusammenschaltung erläutert, ehe die Einzelheiten der Vierpoltheorie erklärt und praktische Beispiele berechnet werden. Die Wellenparameter des passiven Vierpols werden schließlich eingeführt. Die 5. Auflage wurde um ein Verzeichnis der verwendeten Formelzeichen und Schreibweisen ergänzt. Die 6. Auflage ist noch einmal überarbeitet und durch Erläuterungen ergänzt worden. Für die vielen helfenden Hinweise darf ich mich herzlich bedanken. Ebenso danken möchte ich den Mitarbeitern des Verlags für die gute Zusammenarbeit. Wedemark, im Juni 2007

Wilfried Weißgerber

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Inhaltsverzeichnis 8

9

Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen .............................................................. 8.1 Grundlagen für die Behandlung von Ausgleichsvorgängen .......................... 8.2 Berechnung von Ausgleichsvorgängen durch Lösung von Differentialgleichungen.................................................................................. 8.2.1 Eingeschwungene und flüchtige Vorgänge....................................... 8.2.2 Ausgleichsvorgänge in einfachen Stromkreisen bei zeitlich konstanter Quellspannung .................................................... 8.2.3 Ausgleichsvorgänge in einfachen Stromkreisen bei zeitlich sinusförmiger Quellspannung............................................... 8.2.4 Ausgleichsvorgänge in Schwingkreisen............................................ 8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation................................................................................. 8.3.1 Grundlagen für die Behandlung der Ausgleichsvorgänge mittels Laplace-Transformation .................................................................... 8.3.2 Lösungsmethoden für die Berechnung von Ausgleichsvorgängen ........................................................................ 8.3.3 Sätze für Operationen im Zeit- und Bildbereich der Laplace-Transformation .................................................................... 8.3.4 Berechnung von Ausgleichsvorgängen in einfachen Stromkreisen bei zeitlich konstanter und zeitlich sinusförmiger Quellspannung mittels Laplace-Transformation ........................................................ 8.3.5 Ermittlung von Übergangsfunktionen ............................................... 8.3.6 Zusammenfassung der Laplace-Operationen und der Laplace-Transformierten (Korrespondenzen) ................................... Übungsaufgaben zu den Abschnitten 8.1 bis 8.3.....................................................

1 1 3 3 7 14 20 30 30 51 56 63 78 85 92

Fourieranalyse von nichtsinusförmigen periodischen Wechselgrößen und nichtperiodischen Größen .................................................. 9.1 Fourierreihenentwicklung von analytisch gegebenen nichtsinusförmigen periodischen Wechselgrößen.......................................... 9.2 Reihenentwicklung von in diskreten Punkten vorgegebenen nichtsinusförmigen periodischen Funktionen ................................................ 9.3 Anwendung der Fourierreihen ....................................................................... 9.4 Die Darstellung nichtsinusförmiger periodischer Wechselgrößen durch komplexe Reihen........................................................ 9.5 Transformation von nichtsinusförmigen nichtperiodischen Größen durch das Fourierintegral .................................................................. Übungsaufgaben zu den Abschnitten 9.1 bis 9.5.....................................................

116 141

10 Vierpoltheorie ........................................................................................................ 10.1 Grundlegende Zusammenhänge der Vierpoltheorie....................................... 10.2 Vierpolgleichungen, Vierpolparameter und Ersatzschaltungen ..................... 10.3 Vierpolparameter passiver Vierpole............................................................... 10.4 Betriebskenngrößen von Vierpolen................................................................

171 171 175 186 189

95 95

150 156 167

Inhaltsverzeichnis 10.5 Leistungsverstärkung und Dämpfung ............................................................ 10.6 Spezielle Vierpole .......................................................................................... 10.7 Zusammenschalten zweier Vierpole .............................................................. 10.7.1 Grundsätzliches über Vierpolzusammenschaltungen........................ 10.7.2 Die Parallel-Parallel-Schaltung zweier Vierpole............................... 10.7.3 Die Reihen-Reihen-Schaltung zweier Vierpole ................................ 10.7.4 Die Reihen-Parallel-Schaltung zweier Vierpole................................ 10.7.5 Die Parallel-Reihen-Schaltung zweier Vierpole................................ 10.7.6 Die Ketten-Schaltung zweier Vierpole.............................................. 10.8 Die Umrechnung von Vierpolparametern von Dreipolen .............................. 10.9 Die Wellenparameter passiver Vierpole ........................................................ Übungsaufgaben zu den Abschnitten 10.1 bis 10.9................................................. Anhang Lösungen der Übungsaufgaben .................................................................................. 8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen......................................................... 9 Fourieranalyse von nichtsinusförmigen periodischen Wechselgrößen und nicht periodischen Größen ............................................ 10 Vierpoltheorie ................................................................................................

VII 203 218 226 226 230 232 236 241 243 248 253 259 264 264 285 298

Verwendete und weiterführende Literatur ............................................................... 316 Sachwortverzeichnis .................................................................................................... 317

VIII

Inhaltsübersicht Band 1 1 Physikalische Grandbegriffe der Elektrotechnik 2 Gleichstromtechnik 3 Das elektromagnetische Feld Anhang mit Lösungen der Übungsaufgaben

Band 2 4 Wechselstromtechnik 5 Ortskurven 6 Der Transformator 7 Mehrphasensysteme Anhang mit Lösungen der Übungsaufgaben

Formelsammlung Kompakte Darstellung der zehn Kapitel der Bände 1 bis 3

Klausurenrechnen 40 Aufgabenblätter mit je vier Aufgaben, ausführlichen Lösungen und Bewertungen

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Schreibweisen, Formelzeichen und Einheiten Schreibweise physikalischer Größen und ihrer Abbildungen u, i Augenblicks- oder Momentanwert zeitabhängiger Größen: kleine lateinische Buchstaben U, I Gleichgrößen, Effektivwerte: große lateinische Buchstaben uˆ , ˆi Maximalwert u, i komplexe Zeitfunktion, dargestellt durch rotierende Zeiger komplexe Amplitude uˆ , ˆi U, I Z, Y, z

komplexer Effektivwert, dargestellt durch ruhende Zeiger komplexe Größen

Z* , Y* , z * G G G E, D, r

konjugiert komplexe Größen vektorielle Größen

Schreibweise von Zehnerpotenzen 10–12 = p = Piko 10–2 = c = Zenti –9 10 = n = Nano 10–1 = d = Dezi 101 = da = Deka 10–6 = P = Mikro –3 102 = h = Hekto 10 = m = Milli

103 = k = Kilo 106 = M = Mega 109 = G = Giga 1012 = T = Tera

Die in diesem Band verwendeten Formelzeichen physikalischer Größen a Vierpolparameter G elektrischer Leitwert Wellendämpfungsmaß Wirkleitwert (Konduktanz) Fourierkoeffizient ak G(s) Übertragungsfunktion, Vierpolparameter A Netzwerkfunktion b Wellenphasenmaß G(jZ) Übertragungsfunktion Fourierkoeffizient bk h Vierpolparameter Vierpolparameter B Blindleitwert (Suszeptanz) H i zeitlich veränderlicher Strom c Vierpolparameter komplexer Fourierkoeffizient (Augenblicks- oder Momentanck Amplitudenspektrum ck wert) C elektrische Kapazität laufender Index ˆi Vierpolparameter Amplitude, Maximalwert C f Frequenz des sinusförmigen Stroms komplexe Zeitfunktion des Stroms Formfaktor i I Stromstärke (Gleichstrom, f(t) Zeitfunktion Effektivwert) F(s) Laplacetransformierte komplexer Effektivwert des Stroms I der Zeitfunktion f(t) F{f(t)}Fouriertransformierte j imaginäre Einheit: 1 der Zeitfunktion f(t) imaginäre Achse F(jZ) Fouriertransformierte k Kopplungsfaktor der Zeitfunktion f(t) Klirrfaktor |F(jZ)| Amplitudenspektrum laufender Index g Wellen-Übertragungsmaß K Konstante

X L Induktivität L{f(t)}Laplacetransformierte der Zeitfunktion f(t) m Anzahl M Gegeninduktivität n Anzahl Drehzahl p Augenblicksleistung Tastverhältnis Größen der Zipperer-Tafel pi P Leistung (Gleichleistung, Wirkleistung) Größen der Zipperer-Tafel qi Q Blindleistung Kreisgüte, Gütefaktor, Resonanzschärfe R elektrischer Widerstand Wirkwiderstand (Resistanz) s komplexe Variable der Laplacetransformation Ordinatensprünge si sn(t) Summenfunktion S Scheinleistung komplexe Leistung S t Zeit T Periodendauer (Dauer einer Schwingung) u zeitlich veränderliche elektrische Spannung (Augenblicks- oder Momentanwert) û Amplitude, Maximalwert der sinusförmigen Spannung komplexe Zeitfunktion der elektriu schen Spannung U elektrische Spannung (Gleichspannung, Effektivwert) komplexer Effektivwert der elektriU schen Spannung v allgemeine zeitlich veränderliche Größe abgelesene Ordinatenwerte vi vi(x) Geradenstücke einer Ersatzfunktion

Schreibweisen, Formelzeichen und Einheiten V

Effektivwert einer allgemeinen Größe v Verstärkung x unabhängige Veränderliche x(t) Eingangs-Zeitfunktion X Blindwiderstand (Reaktanz) X(s) Laplacetransformierte der Eingangs-Zeitfunktion y Vierpolparameter y(t) Ausgangs-Zeitfunktion Y(s) Laplacetransformierte der Ausgangs-Zeitfunktion Y Scheinleitwert (Admittanz) komplexer Leitwert bzw. Y komplexer Leitwertoperator Vierpolparameter z Vierpolparameter Z Scheinwiderstand (Impedanz) komplexer Widerstand bzw. Z komplexer Widerstandsoperator Vierpolparameter G Abklingkonstante Realteil der komplexen Variablen s G(t) Dirac-Impuls oder Dirac’sche Deltafunktion M Phasenverschiebung Anfangsphasenwinkel des Stroms Mi Anfangsphasenwinkel Mu der Spannung Muk Phasenspektrum M(Z) Phasenspektrum N Teil der Lösung der charakteristischen Gleichung O Lösung der charakteristischen Gleichung V(t) Sprungfunktion W Zeitkonstante Z Kreisfrequenz Phasenspektrum
Schreibweisen, Formelzeichen und Einheiten

XI

Einheiten des MKSA-Systems (m, kg, s, A) Basiseinheit der Länge l das Meter, m der Masse m das Kilogramm, kg der Zeit t die Sekunde, s der elektrischen Stromstärke I das Ampere, A der absoluten Temperatur T das Kelvin, K der Lichtstärke I die Candela, cd der Stoffmenge n das Mol, mol von den Basiseinheiten abgeleitete Einheit der Kraft F Newton, der Energie W Joule, der Leistung P Watt, der Ladung Q gleich Coulomb, des Verschiebungsflusses < der elektrischen Spannung U Volt, des elektrischen Widerstandes R Ohm, des elektrischen Leitwertes G Siemens, der Kapazität C Farad, des magnetischen Flusses ) Weber, der Induktivität L Henry, der magnetischen Induktion B Tesla, der Frequenz f Hertz,

1N = 1kg · m · s–2 = 1V · A · s · m–1 1J = 1kg · m2 · s–2 = 1V · A · s 1W = 1kg · m2 · s–3 = 1V · A 1C = 1A · s 1V = 1kg · m2 · s–3 · A–1 = 1W · A–1 1: = 1kg · m2 · s–3 · A–2 = 1V · A–1 1S = 1kg–1 · m–2 · s3 · A2 = 1V–1 · A 1F = 1kg–1 · m–2 · s4 · A2 = 1C · V–1 1Wb = 1kg · m2 · s–2 · A–1 = 1Vs 1H = 1kg · m2 · s–2 · A–2 = 1Wb · A–1 1T = 1kg · s–2 · A–1 = 1Wb · m–2 1Hz = s–1

Die komplette Liste der verwendeten Formelzeichen und Schreibweisen befindet sich in der Formelsammlung vom selben Autor unter dem Titel „Elektrotechnik für Ingenieure – Formelsammlung“.

1

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen 8.1 Grundlagen für die Behandlung von Ausgleichsvorgängen Ausgleichsvorgang Der Begriff des Ausgleichsvorgangs ist von allgemeiner physikalischer Bedeutung: Wird in einem physikalischen System ein stationärer Vorgang durch einen Eingriff gestört, so erfolgt der Übergang von einem eingeschwungenen Vorgang in einen anderen eingeschwungenen Vorgang nicht sprungartig im Änderungszeitpunkt, sondern stetig. Dieser so genannte Ausgleichsvorgang zwischen zwei eingeschwungenen Vorgängen wird durch das Zeitverhalten einer bestimmten physikalischen Größe beschrieben. Beispiel aus der Wärmelehre: Erwärmung eines Körpers von der Temperatur -1 auf eine höhere Temperatur -2 durch Zufuhr von Wärme: Körper hat die Temperatur -1 erster eingeschwungener Vorgang: Eingriff: Wärmezufuhr Ausgleichsvorgang: stetige Änderung der Temperatur in Abhängigkeit von der Zeit - = f (t) zweiter eingeschwungener Vorgang: Körper hat die Temperatur -2

Ausgleichsvorgänge der Elektrotechnik Die häufigste Ursache von Ausgleichsvorgängen in elektrischen Netzen sind die so genannten Schaltvorgänge, das sind Ausgleichsvorgänge nach dem Schließen oder Öffnen eines Schalters im Netzwerk. Beispiel: Zum Zeitpunkt t = 0 wird an eine Spule eine Gleichspannung angelegt. Der Strom ändert sich stetig von Null auf einen Gleichstromwert. Die physikalische Größe, die den Ausgleichsvorgang charakterisiert, ist also der Strom durch die Spule. erster eingeschwungener Vorgang: Eingriff: Ausgleichsvorgang: zweiter eingeschwungener Vorgang:

Bild 8.1 Beispiel eines Schaltvorgangs Strom durch die Spule ist Null: i = 0 Schalter wird im willkürlich festgelegten Zeitpunkt t = 0 geschlossen stetige Erhöhung des Stroms i = f (t) Strom durch die Spule ist ein Gleichstrom ie = Uq/(RL+Ri)

Dieses Beispiel wird im Abschnitt 8.2.2 ausführlich behandelt.

In Wechselstromnetzen können Ausgleichsvorgänge auch eingeleitet werden, wenn sich die Amplitude, die Frequenz oder die Form der Quellspannung oder die Konfiguration des Netzwerks ändern.

2

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

Schaltvorgänge in linearen Netzen mit konzentrierten Schaltelementen Auf die Schaltvorgänge in linearen Netzen mit konzentrierten Schaltelementen sollen sich die folgenden Berechnungen beschränken. „Lineare Netze“ bedeutet, dass in den konzentrierten, also idealen Schaltelementen zwischen der Spannung und dem Strom lineare Beziehungen bestehen. Für die „konzentrierten Schaltelemente“ sollen diese linearen Beziehungen zusammengestellt werden, weil sie für die Berechnung der Ausgleichsvorgänge notwendig sind. Aktive Schaltelemente: ideale Spannungsquelle mit Ri = 0 dargestellt durch die Quellspannung oder EMK: für Gleichspannung Uq oder E (siehe Band 1, Abschnitt 1.3) für Wechselspannung uq (t) oder e(t) (siehe Band 2, Abschnitt 4.1.2)

Bild 8.2 Ideale Spannungsquelle

ideale Stromquelle mit Gi = 0 dargestellt durch den Quellstrom: für Gleichstrom Iq (siehe Band 1, Abschnitt 2.2.5) für Wechselstrom iq (t)

Bild 8.3 Ideale Stromquelle

Passive Schaltelemente: ohmscher Widerstand R (siehe Band 1, Abschnitte 1.5 und 3.2.3): Der Widerstand R ist unabhängig vom Strom durch den Widerstand iR : u R = R ˜ iR

und

iR =

1 ˜ u = G ˜ uR R R

Bild 8.4 Ohmscher Widerstand

Kapazität C (siehe Band 1, Abschnitt 3.3.3 und 3.3.4): Die Kapazität C ist unabhängig von der Spannung am idealen Kondensator u C : du iC = C ˜ C dt

t

und

1 u C = ˜ iC ˜ dt + u C (0) C

³ 0

Bild 8.5 Kapazität

Induktivität L (siehe Band 1, Abschnitt 3.4.7.1): Die Induktivität L ist unabhängig vom Strom durch die ideale Spule iL : uL = L ˜

diL dt

t

und

iL =

1 ˜ u L ˜ dt + iL (0) L

³ 0

Bild 8.6 Induktivität

8.2 Berechnung von Ausgleichsvorgängen

3

Gegeninduktivität M (siehe Band 1, Abschnitt 3.4.7.2): Bei gleichsinniger Kopplung sind die angelegten Spannungen u1 und u2 gleich den Spannungen infolge der ohmschen Widerstände, der Selbstinduktion und der Gegeninduktion: u1 = R1 ˜ i1 + L1 ˜

di1 di +M˜ 2 dt dt

u 2 = R 2 ˜ i2 + L 2 ˜

di2 di +M˜ 1 dt dt Bild 8.7 Gleichsinnige Kopplung

Wegen konstanter Permeabilität P gibt es nur eine Gegeninduktivität M. Bei der Festlegung der Richtungen der zeitlich veränderlichen Ströme und Spannungen im Schaltbild ist unbedingt das oben angegebene Verbraucher-Zählpfeilsystem anzuwenden: Bei Quellspannungen sind Strom und Spannung in umgekehrter Richtung einzutragen, bei passiven Schaltelementen (auch bei geladenen Kondensatoren) haben Strom und Spannung gleiche Richtungen.

8.2 Berechnung von Ausgleichsvorgängen durch Lösung von Differentialgleichungen 8.2.1 Eingeschwungene und flüchtige Vorgänge Zerlegung des Ausgleichsvorgangs Grundsätzlich wird ein Ausgleichsvorgang als Überlagerung des zu erwartenden, also zweiten, eingeschwungenen Vorgangs und eines flüchtigen Vorgangs aufgefasst. Es wird also angenommen, dass bereits zum Zeitpunkt des Eingriffs bei t = 0 der zweite eingeschwungene Vorgang vorhanden ist, dass ihm aber gleichzeitig ein flüchtiger Anteil überlagert ist, der sich natürlich beim Erreichen des eingeschwungenen Vorgangs „verflüchtigt“ hat. Um die Größen des Ausgleichsvorgangs, des eingeschwungenen Vorgangs und des flüchtigen Vorgangs auseinanderhalten zu können, werden die eingeschwungenen Größen mit dem Index e und die flüchtigen Größen mit dem Index f versehen. Die Größen des Ausgleichsvorgangs erhalten keinen zusätzlichen Index. Ist die den Ausgleichsvorgang beschreibende Größe ein Strom i wie im Beispiel im Bild 8.1, dann ist der Ausgleichsstrom gleich der Summe des eingeschwungenen Stroms und des flüchtigen Stroms: (8.1) i = ie + if . Für einen Ausgleichsvorgang sind also der eingeschwungene Vorgang und der flüchtige Vorgang getrennt zu berechnen. Die Ermittlung des eingeschwungenen Anteils bedeutet eine Gleich- oder Wechselstromrechnung, und die Berechnung des flüchtigen Anteils erfordert die Lösung einer homogenen Differentialgleichung. Ist der zu erwartende eingeschwungene Vorgang der physikalischen Größe Null, besteht der Ausgleichsvorgang selbstverständlich nur aus dem flüchtigen Anteil.

4

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

Berechnung des eingeschwungenen Vorgangs Für ein Netzwerk gelten für den eingeschwungenen Vorgang der Maschensatz und die Knotenpunktregel. Bei Wechselspannungserregung führen der Maschensatz und die Knotenpunktregel für Augenblickswerte zu Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Die Ordnung der Differentialgleichung (Dgl.) wird durch die Anzahl der Energiespeicher bestimmt, die nicht zu einem Energiespeicher zusammengefasst werden können: eine Induktivität oder eine Kapazität im Netzwerk ergibt eine Dgl. 1. Ordnung, eine Induktivität und eine Kapazität im Netzwerk ergeben eine Dgl. 2. Ordnung, zwei Kapazitäten im Netzwerk ergeben ebenfalls eine Dgl. 2. Ordnung, eine Induktivität und zwei Kapazitäten ergeben eine Dgl. 3. Ordnung. Bei Gleichspannungserregung lassen sich die eingeschwungenen Größen häufig sofort aus dem Schaltbild oder aus der Differentialgleichung erkennen, bei sinusförmiger Wechselspannungserregung werden die Differentialgleichungen ins Komplexe abgebildet, gelöst und rücktransformiert (siehe Abschnitt 4.2.2) oder die Symbolische Methode mit komplexen Operatoren (siehe Abschnitt 4.2.4) wird angewendet. Ist die Differentialgleichung homogen, dann muss der eingeschwungene Vorgang Null sein, d. h. der Ausgleichsvorgang besteht nur aus dem flüchtigen Anteil. Berechnung des flüchtigen Vorgangs Die Frage nach dem Lösungsansatz für die Berechnung des flüchtigen Vorgangs soll durch den Einschaltvorgang einer zeitlich veränderlichen Spannung u(t) an eine Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes R, einer Induktivität L und einer Kapazität C beantwortet werden (Bild 8.8).

Bild 8.8 Berechnung des flüchtigen Vorgangs

Während des Ausgleichsvorgangs gilt die Maschengleichung für Augenblickswerte der Spannungen, die eine Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten ergibt: u R + u L + uC = u

R ˜i+ L˜

di 1 + ˜ i ˜ dt = u . dt C

³

Auch für den zu erwartenden eingeschwungenen Vorgang, der theoretisch nach unendlich langer Zeit erreicht wird, gilt der Maschensatz für Augenblickswerte der Spannungen: u Re + u Le + u Ce = u R ˜ ie + L ˜

die 1 + ˜ ie ˜ dt = u . dt C

³

8.2 Berechnung von Ausgleichsvorgängen

5

Werden beide Differentialgleichungen wegen if = i  ie

subtrahiert und die Summenregel der Differential- und Integralrechnung angewendet, ergibt sich als Lösungsansatz für den flüchtigen Strom if die entsprechende homogene Differentialgleichung: § di di · 1 R ˜ (i  ie ) + L ˜ ¨  e ¸ + ˜ © dt dt ¹ C R ˜ (i  ie ) + L ˜

( ³ i ˜ dt  ³ i ˜ dt ) = 0 e

d(i  ie ) 1 + ˜ (i  ie ) ˜ dt = 0 dt C

³

dif 1 + ˜ if ˜ dt = 0 . (8.2) dt C Die homogenen Differentialgleichungen für den flüchtigen Vorgang werden also einfach dadurch ermittelt, dass in den Differentialgleichungen für den Ausgleichsvorgang die Störfunktionen Null gesetzt werden und der Index f ergänzt wird. Homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten werden durch den eOt-Ansatz gelöst. Nur bei Differentialgleichungen erster Ordnung kann die Trennung der Variablen angewendet werden, die aber rechnerisch keine Vorteile bringt. Die Lösung der homogenen Differentialgleichung enthält so viele frei wählbare Konstanten wie die Ordnung der Differentialgleichung ist: R ˜ if + L ˜

³

die Lösung einer Differentialgleichung 1. Ordnung enthält eine Konstante, die Lösung von Differentialgleichungen 2. Ordnung enthält jeweils zwei Konstanten. Die Konstanten werden durch die Anfangsbedingungen der Schaltvorgänge, den so genannten Schaltgesetzen, bestimmt: In jedem Zweig eines Netzes, der eine Induktivität enthält, hat der Strom unmittelbar nach Beginn des Schaltvorgangs bei t = 0 denselben Wert, den er vor dem Schaltvorgang hatte: iL (0 ) = iL (0+ ) .

(8.3)

Entsprechendes gilt für die Spannung an einer Kapazität: In jedem Zweig eines Netzes, der eine Kapazität enthält, hat die Spannung unmittelbar nach Beginn des Schaltvorganges bei t = 0 denselben Wert, den sie vor dem Schaltvorgang hatte: u C (0 ) = u C (0+ ) .

(8.4)

Mathematisch bedeutet diese Aussage, dass zum Zeitpunkt t = 0 der linksseitige Grenzwert gleich dem rechtsseitigen Grenzwert ist, dass also der Strom durch die Induktivität und die Spannung an der Kapazität stetig sind. Sprungartige Änderungen der beiden Größen sind deshalb nicht möglich, weil sonst die Spannung an der Induktivität mit uL = L · (diL/dt) und der Strom durch den Kondensator iC = C · (duC/dt) unendlich groß werden würden. Beides ist physikalisch nicht möglich.

6

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

Ab dem Zeitpunkt des Schließens oder Öffnens eines Schalters bei t = 0 wird der Ausgleichsvorgang als Überlagerung des eingeschwungenen und flüchtigen Vorgangs aufgefasst, so dass sich mit den Gln. (8.3) und (8.4) die Gleichungen ergeben, mit denen die Konstanten berechnet werden können: iL (0 ) = iL (0+ ) = iLe (0+ ) + iLf (0+ )

(8.5)

u C (0 ) = u C (0+ ) = u Ce (0+ ) + u Cf (0+ ) .

(8.6)

Um die Konstanten des flüchtigen Vorgangs bestimmen zu können, ist also zu Beginn der Berechnung für ein Netzwerk mit einer Induktivität die Differentialgleichung für den Strom iL und ein Netzwerk mit einer Kapazität die Differentialgleichung für die Spannung uC aufzustellen. Besteht das Netzwerk aus einer Induktivität und einer Kapazität, so sind die Differentialgleichungen für den Strom iL und die Spannung uC zu entwickeln. Entsprechendes gilt für Netzwerke mit zwei Kapazitäten. Zusammenhang zur Mathematik Die Zerlegung des Ausgleichsvorgangs entspricht der rechnerischen Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten: eingeschwungener Vorgang – partikuläre Lösung der inhomogenen Dgl. flüchtiger Vorgang – allgemeine Lösung der homogenen Dgl. mit Konstantenbestimmung Zusammenfassung der Berechnung eines Ausgleichsvorgangs Ein Ausgleichsvorgang in einem elektrischen Netz mit Gleich- oder Wechselspannungserregung und mit einem Schalter kann nach folgendem Schema rechnerisch behandelt werden: 1. Aufstellen der Differentialgleichung bzw. Differentialgleichungen ab t = 0 für den Strom iL bzw. einer Spannung uC 2. Bestimmung des zu erwartenden eingeschwungenen Vorgangs für t o f, das entspricht einer Gleichstrom- oder Wechselstromberechnung (dieser Rechenschritt entfällt, wenn die Differentialgleichung homogen ist) 3. Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung mit dem eOt-Ansatz (flüchtiger Vorgang) Bei Differentialgleichungen erster Ordnung kann auf den eOt-Ansatz verzichtet werden, weil die Lösung immer K · e–t/W ist, wobei W aus der Differentialgleichung abgelesen werden kann: W ist gleich dem Quotient des Koeffizienten der Ableitung dividiert durch den Koeffizienten der Stammfunktion. 4. Bestimmung der Konstanten mit den Anfangsbedingungen nach den Gln. (8.5) und (8.6) und Einsetzen der Konstanten in die allgemeine Lösung 5. Überlagerung des eingeschwungenen Vorgangs und des flüchtigen Vorgangs zum Ausgleichsvorgang (Ist der eingeschwungene Vorgang Null, dann entfällt selbstverständlich die Überlagerung.) 6. Weitere Berechnungen, grafische Darstellungen der Zeitverläufe und Ähnliches. In den folgenden Rechenbeispielen wird auf die Rechenschritte 1 bis 6 Bezug genommen.

8.2 Berechnung von Ausgleichsvorgängen

7

8.2.2 Ausgleichsvorgänge in einfachen Stromkreisen bei zeitlich konstanter Quellspannung Einschaltvorgang einer Gleichspannung an eine Spule Zu 1. Aufstellen der Differentialgleichung: u R + u Ri + u L = U q

(R L + R i ) ˜ i + L ˜

di = Uq dt

Zu 2. Eingeschwungener Strom ie: ie =

Uq

Bild 8.9 Einschaltvorgang einer Gleichspannung an eine Spule

RL + Ri

aus (R L + R i ) ˜ ie + L ˜

mit

L˜

die = Uq dt

die =0 dt

Zu 3. Flüchtiger Strom if : (R L + R i ) ˜ if + L ˜

eOt-Ansatz: differenziert:

dif =0 dt

if = K · eOt , dif = K ˜ O · eOt , dt

in die homogene Differentialgleichung eingesetzt: (RL + Ri) · K · eOt + L · K · O · eOt = 0 K · eOt · [(RL + Ri) + L · O] = 0. K = 0 ergibt keinen flüchtigen Strom und eOt kann nicht Null werden, also ist (RL + Ri) + L · O = 0 und O = 

RL + Ri . L

8

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

Die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung lautet: if = K ˜ e



(R L + R i ) L

t

= K ˜ e t / W

mit

W=

L . RL + Ri

W ist die Zeitkonstante, eine charakteristische Größe des Ausgleichsvorgangs. Zu 4. Bestimmung der Konstanten: i(0–) = i(0+) = ie (0+) + if (0+) 0=

Uq

+ K ˜ e 0/ W

RL + Ri

mit e0 = 1 ist K=

Uq RL + Ri

.

Die partikuläre Lösung der homogenen Differentialgleichung lautet if = 

Uq RL + Ri

˜ e t / W .

Zu 5. Überlagerung des eingeschwungenen und des flüchtigen Stroms: i = ie + if i= i=

Uq RL + Ri Uq RL + Ri



Uq RL + Ri

˜ e t / W

˜ (1  e t / W ) mit W =

L . RL + Ri

(8.7)

Zu 6. Weitere Berechnungen: Berechnung der Spannung an der Induktivität: Uq di § 1· ˜ ( e  t / W ) ˜ ¨  ¸ uL = L ˜ = L ˜ dt R L + Ri © W¹ uL = L ˜

Uq

R L + R i t / W ˜e RL + Ri L

uL = Uq · e–t/W *

˜

(8.8)

8.2 Berechnung von Ausgleichsvorgängen

9

Berechnung der Gesamtleistung, der Leistungen im ohmschen Widerstand und in der Induktivität: Wird die Differentialgleichung (R L + R i ) ˜ i + L ˜

di = Uq dt

mit i multipliziert, dann ergibt sich eine zeitabhängige Leistungsbilanz während des Ausgleichsvorgangs: (R L + R i ) ˜ i2 + L ˜

di ˜ i = Uq ˜ i dt

mit

p = Uq ˜ i =

Uq2 RL + Ri

p R = (R L + R i ) ˜ i2 =

pL = L ˜

˜ (1  e t / W ) Uq2 RL + Ri

(8.9)

˜ (1  e t / W )2

Uq2 di ˜ i = uL ˜ i = ˜ et / W ˜ (1  e t / W ) . RL + Ri dt

(8.10)

(8.11)

Grafische Darstellung der zeitlichen Verläufe von Strom, Spannung und Leistung:

Bild 8.10 Strom- und Spannungsverläufe beim Einschalten einer Gleichspannung an eine Spule

Bild 8.11 Leistungsverläufe beim Einschalten einer Gleichspannung an eine Spule

10

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

Aufladevorgang eines Kondensators über einen Widerstand mittels Gleichspannung Zu 1.

R1 ˜ iC + u C = U

mit iC = C ˜ R1 ˜ C ˜

Zu 2. Zu 3.

Zu 4.

du C dt

du C + uC = U dt

uCe = U du Cf + u Cf = 0 dt u Cf = K ˜ e t / W1 mit W1 = R1 · C

Bild 8.12 Aufladevorgang eines Kondensators über einen Widerstand mittels Gleichspannung

R1 ˜ C ˜

uC(0–) = uC(0+) = uCe (0+) + uCf (0+) 0=U+K d. h. K = – U

Zu 5.

und

uCf = – U · et / W1

uC = uCe + uCf = U – U · et / W1

uC = U · (1 – et / W1 ) Zu 6.

iC = C ˜

(8.12)

du C dt

§ 1· iC = C ˜ U ˜ ( e t / W1 ) ˜ ¨  ¸ © W1 ¹ iC =

C ˜ U t / W ˜e 1 R1 ˜ C

iC =

U t / W ˜e 1 R1

Bild 8.13 Spannungs- und Stromverläufe beim Aufladen eines Kondensators mittels Gleichspannung

(8.13)

Der Aufladevorgang ist nach etwa 5 · W1 abgeschlossen, weil der Kondensator dann praktisch auf U aufgeladen ist: uC = U · (1 – e–5) = 0,993 · U. Wird der Schalter eher als 5 · W1 auf Entladung umgeschaltet, dann ist die erreichte Aufladespannung, die gleich dem Anfangswert für die Entladung ist, kleiner als U.

8.2 Berechnung von Ausgleichsvorgängen

11

Entladevorgang eines Kondensators über ohmsche Widerstände Zu 1. (R1 + R 2 ) ˜ iC + u C = 0 mit iC = C ˜

du C dt

(R1 + R 2 ) ˜ C ˜

du C + uC = 0 dt

Zu 2. uCe = 0, d. h. uC = uCf Zu 3. (R1 + R 2 ) ˜ C ˜

Bild 8.14 Entladevorgang eines Kondensators über Widerstände

du Cf + u Cf = 0 dt

u Cf = K ˜ e t / W 2

mit W 2 = (R1 + R 2 ) ˜ C

Zu 4. uC(0–) = uC(0+) = uCe (0+) + uCf (0+) uC(0) = 0 + K uC = uCf = uC(0) · et / W2

(8.14)

Zu 5. entfällt Zu 6. iC = C ˜

du C dt

§ 1 · iC = C ˜ u C (0) ˜ e t / W2 ˜ ¨  ¸ © W2 ¹ iC = 

u C (0) ˜ e t / W2 . R1 + R 2

(8.15)

Ist die Aufladezeit größer als 5 · W1, dann ist uC(0) = U, und die Formeln für uC und iC lauten: u C = U ˜ et / W2

iC = 

U ˜ et / W2 R1 + R 2

(8.16) (8.17)

Bild 8.15 Strom- und Spannungsverläufe beim Entladen eines Kondensators, der vollständig aufgeladen war

12

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

Aufladung eines Kondensators bei nicht vollständig entladenem Kondensator Für eine weitere Aufladung des Kondensators ist zu berücksichtigen, ob die Entladung vollständig erfolgen konnte oder ob der Schalter eher als 5 · W2 umgelegt wurde. Bei vollständiger Entladung des Kondensators beginnt die Aufladung bei der Spannung Null Volt wie bei der ersten Aufladung. Wurde der Kondensator nur teilweise entladen, dann ist der Endwert der Entladespannung gleich dem Anfangswert der Aufladespannung. Dieser Endwert bestimmt die Konstante der flüchtigen Spannung. Zu 1. bis 3. (siehe Aufladevorgang eines Kondensators) Zu 4. uC(0–) = uC(0+) = uCe (0+) + uCf (0+) uC(0) = U + K d. h.

K = – U + uC(0)

uCf = [ U + u C (0)] ˜ e  t / W1 Zu 5. u C = u Ce + u Cf = U + [U + u C (0)] ˜ e t / W1 u C = U ˜ (1  et / W1 ) + u C (0) ˜ e t / W1

(8.18)

Bild 8.16 Spannungsverlauf beim Aufladen eines Kondensators bei Vorspannung

8.2 Berechnung von Ausgleichsvorgängen

13

Übergangsfunktion einer RC-Schaltung Wird an die beiden Eingangsklemmen eines passiven Netzwerkes zum Zeitpunkt t = 0 ein Spannungssprung u1 mit Hilfe einer Gleichspannung und eines Schalters angelegt, dann entsteht an den beiden Ausgangsklemmen eine Spannung u2, die Sprungantwort oder Übergangsfunktion genannt wird. Für die im Bild 8.17 gezeichnete Schaltung soll die Übergangsfunktion ermittelt werden. Dabei ist zunächst die Spannung am Kondensator zu ermitteln. Zu 1. u R + u C + u 2 = U (R1 + R 2 ) · i + u C = U

mit i = C ˜

du C dt

(R1 + R 2 ) ˜ C ˜

Zu 2.

du C + uC = U dt

uCe = U

Zu 3. (R1 + R 2 ) ˜ C ˜

Bild 8.17 RC-Schaltung

du Cf + u Cf = 0 dt

uCf = K · e–t/W mit W = (R1 + R2) · C Zu 4. uC(0–) = uC(0+) = uCe (0+) + uCf (0+) 0=U+K d. h.

K=–U

uCf = – U · e–t/W Zu 5. uC = uCe + uCf = U – U · e–t/W u C = U ˜ (1  et / W )

Zu 6. u 2 = R 2 ˜ i = R 2 ˜ C ˜

(8.19) du C dt

§ 1· u 2 = R 2 ˜ C ˜ U ˜ ( e  t / W ) ˜ ¨  ¸ © W¹

u2 =

R2 ˜ C ˜ U ˜ e t / W (R1 + R 2 ) ˜ C

u2 =

R2 ˜ U ˜ et / W R1 + R 2

(8.20)

Bild 8.18 Eingangssprung und Übergangsfunktion einer RC-Schaltung

14

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

8.2.3 Ausgleichsvorgänge in einfachen Stromkreisen bei zeitlich sinusförmiger Quellspannung Einschaltvorgang einer Wechselspannung an eine Spule mit zugeschalteten ohmschen Widerständen Zu 1. R1 ˜ i1 + R L ˜ iL + L

diL =u dt

mit i1 = i L + i2

i1 = iL +

R L ˜ iL + L

diL dt

Bild 8.19 Einschaltvorgang einer Wechselspannung an eine Spule

R2

und

u = uˆ ˜ sin(Zt + Mu ) R1 ˜ i L +

R1 ˜ R L R2

˜ iL +

R1 R2

˜L

di L

di + R L ˜ i L + L L = uˆ ˜ sin(Zt + Mu ) dt dt

§ · §R · di R1 ˜ R L + R L ¸¸ ˜ i L + L ˜ ¨¨ 1 + 1¸¸ ˜ L = uˆ ˜ sin(Zt + Mu ) ¨¨ R1 + R2 © ¹ © R2 ¹ dt und mit

(8.21)

§R · R R e rs = R1 + 1 ˜ R L + R L und Lers = L ˜ ¨¨ 1 + 1¸¸ R2 © R2 ¹ lautet die Differentialgleichung di (8.22) R e rs ˜ i L + Lers ˜ L = uˆ ˜ sin(Zt + Mu ) . dt Wird nur eine Spule ohne zusätzliche ohmsche Widerstände an die sinusförmige Wechselspannung angelegt, dann ist die Differentialgleichung prinzipiell gleich: di R L ˜ i L + L L = uˆ ˜ sin(Zt + Mu ) mit R1 = 0 und R 2 = f . (8.23) dt Zu 2. Da bereits die Differentialgleichung vorliegt, eignet sich das Verfahren 2 der Wechselstromberechnung (siehe Band 2, Abschnitte 4.2.2 und 4.2.5) für die Berechnung des eingeschwungenen Stroms iLe : Differentialgleichung für den eingeschwungenen Vorgang: di R e rs ˜ i Le + Lers ˜ Le = uˆ ˜ sin(Zt + Mu ) dt

8.2 Berechnung von Ausgleichsvorgängen

15

algebraische Gleichung: R e rs ˜ i Le + jZLers ˜ i Le = uˆ ˜ e j(Zt +Mu ) Lösung der algebraischen Gleichung: i Le =

uˆ ˜ e j(Zt +Mu ) = R e rs + jZLers

uˆ ˜ e j(Zt +Mu M) R ers 2 + (Z ˜ Lers )2

=

uˆ ˜ e j(Zt +Mu M) Zers

und in den Zeitbereich rücktransformiert:

i Le =

uˆ ˜ sin(Zt + Mu  M) = ˆiLe ˜ sin(Zt + Mie ) Zers

mit M = arc tan

ZLers R e rs

und Zers =

R ers 2 + (Z ˜ Lers )2

Der eingeschwungene Strom hat also die Amplitude ˆi = uˆ Le Zers und den Anfangsphasenwinkel M ie = M u  M = M u  arc tan

ZLers . R ers

Selbstverständlich lässt sich auch das Verfahren 3 der Wechselstromberechnung, die Symbolische Methode (siehe Band 2, Abschnitte 4.2.4 und 4.2.5) für die Berechnung des eingeschwungenen sinusförmigen Stroms anwenden:

Bild 8.20 Schaltung im Bildbereich für die Berechnung des eingeschwungenen Stroms beim Einschaltvorgang einer Wechselspannung an eine Spule

Mit der Stromteilerregel für komplexe Effektivwerte von Strömen ist R2 I Le = , I1e R 2 + R L + jZL der eingeschwungene Gesamtstrom in komplexen Effektivwerten ist I1e =

U . R 2 ˜ (R L + jZL) R1 + R 2 + R L + jZL

16

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

Damit ist I Le = ILe =

i Le =

R2 ˜ U R1 ˜ (R 2 + R L + jZL) + R 2 ˜ (R L + jZL) U § · §R · R1 ˜ R L + R L ¸ + jZL ˜ ¨ 1 + 1¸ ¨ R1 + R R © ¹ © 2 ¹ 2 u R ers + jZLers

mit

=

U R e rs + jZLers

u = uˆ ˜ e j(Zt +Mu ) .

Die Rücktransformation der komplexen Zeitfunktion des eingeschwungenen Stroms in den Zeitbereich ist bei der Behandlung mit dem Verfahren 2 bereits vorgenommen. Zu 3. R e rs ˜ iLf + Lers ˜

diLf =0 dt

iLf = K ˜ et / W mit §R · L ˜ ¨ 1 + 1¸ R Lers L ˜ (R1 + R 2 ) © 2 ¹ W= = = R e rs R + R1 ˜ R + R R1 ˜ R 2 + R1 ˜ R L + R L ˜ R 2 1 L L R2

W=

L ˜ (R1 + R 2 ) L = . R1 ˜ R 2 R1 ˜ R 2 + R L ˜ (R1 + R 2 ) + RL R1 + R 2

(8.24)

Das Ergebnis für die Zeitkonstante lässt sich mit Hilfe des Schaltbildes und der Differentialgleichung bestätigen: Das Nullsetzen der Inhomogenität u in der Differentialgleichung bei der Berechnung des flüchtigen Stroms entspricht im Schaltbild dem Kurzschluss der Spannung u. Dadurch liegen die Widerstände R1 und R2 parallel und mit RL in Reihe bezogen auf die Induktivität L. Dieser Gesamtwiderstand bestimmt mit der Induktivität L die Zeitkonstante W. Zu 4. iL (0 ) = iL (0+ ) = iLe (0+ ) + iLf (0+ )

0=

uˆ ˜ sin(Mu  M) + K Zers

K=

uˆ ˜ sin(Mu  M) Zers

i Lf = 

uˆ uˆ ˜ sin(Mu  M) ˜ e t / W =  ˜ sin Mie ˜ e t / W Zers Zers

8.2 Berechnung von Ausgleichsvorgängen

17

Zu 5. i L = i Le + i Lf =

uˆ ˜ ªsin(Zt + Mie )  sin Mie ˜ e t / W º¼ Zers ¬

(8.25)

und ausführlich iL =

uˆ ˜ ª¬sin(Zt + Mu  M)  sin(Mu  M) ˜ e  t / W º¼ 2

§ · R1 ˜ R L + R L ¸ + Z2 L2 ¨ R1 + R © ¹ 2

§R · ˜ ¨ 1 + 1¸ R © 2 ¹

2

(8.26)

Zu 6. Darstellung des zeitlichen Stromverlaufs:

Bild 8.21 Zeitlicher Stromverlauf beim Einschalten einer Wechselspannung an eine Spule

Erläuterung des zeitlichen Stromverlaufs: Der Strom durch die Spule besteht aus dem eingeschwungenen sinusförmigen Strom und einem flüchtigen Strom, der zum Zeitpunkt des Einschaltens den Augenblickswert des eingeschwungenen Stroms, der bei t = 0 fließen würde, zu Null kompensiert. Das Überschwingen des Ausgleichsstroms hängt also vom Anfangsphasenwinkel des eingeschwungenen Stroms Mie = Mu – M ab. Spezialfälle: Ist Mie = 0 oder Mie = S, dann gibt es kein Überschwingen, weil der flüchtige Strom keinen Augenblickswert des eingeschwungenen Stroms zu Null zu kompensieren braucht: der flüchtige Strom ist dann mit sin (Mu – M) = sin Mie = 0 gleich Null, und der Ausgleichsstrom ist gleich dem eingeschwungenen Strom: iL = iLe

mit

iLf = 0.

Ist Mie = – S/2, dann ist der flüchtige Strom mit sin Mie = – 1 am größten: i Lf = 

uˆ uˆ ˜ sin Mie ˜ e t / W = ˜ e t / W . Zers Zers

18

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

Ist Mie = – M mit Mu = 0, dann wird im Nulldurchgang der Spannung u eingeschaltet. Der Ausgleichsstrom uˆ ˜ ªsin(Zt  M) + sin M ˜ e t / W ¼º (8.27) iL = Zers ¬ ist ein asymmetrisch zur Zt-Achse verlaufender Einschaltstrom, der in der ersten Halbwelle seinen höchsten Wert hat.

Bild 8.22 Einschalten einer Spule beim Nulldurchgang der Spannung

Tritt in einem Wechselstromnetz ein Kurzschluss auf, dann kann dieser höchste Stromwert, auch Stoßkurzschlussstrom IS genannt, zu Zerstörung von Anlagenteilen führen, wenn die Anlage nicht entsprechend mechanisch bemessen ist. Für experimentelle Untersuchungen zur richtigen Auslegung einer elektrischen Anlage ist der so genannte Stoßfaktor N entscheidend, der gleich dem Verhältnis des Stoßkurzschlussstroms IS zur Amplitude des sinusförmigen Dauerkurzschlussstromes ˆiLe ist: N=

IS = ˆi Le

IS 2 ˜ ILe

.

(8.28)

Der Stoßfaktor N lässt sich aus den gegebenen Größen Rers und Lers berechnen, wie folgende Herleitung zeigt: Bei Zt e = M + S /2 bzw. Zt e  M = S /2

ist iL = IS und i Le =

uˆ uˆ uˆ ˜ sin(Zt e  M) = ˜ sin S/2 = = ˆiLe Zers Zers Zers

8.2 Berechnung von Ausgleichsvorgängen

19

und mit sin M ie = sin(M) =  sin M

ist Zt

i Lf =

 e uˆ ˜ sin M ˜ e ZW . Zers

Mit iL = iLe + iLf ist

iL = 1+ iLe

iLf . iLe

Damit ergibt sich für den Stoßfaktor Zt

 e uˆ ˜ sin M ˜ e ZW Zt  e I Z N = S = 1 + ers = 1 + sin M ˜ e ZW ˆi uˆ Le Zers

N = 1 + sin M ˜ e



(M+S/2) ZW

(8.29)

mit W=

Lers R ers

bzw. ZW =

ZLers X Lers . = R ers R ers

Die Phasenverschiebung M hängt mit der Zeitkonstanten W über tan M = ZW =

ZLers R ers

(8.30)

oder cos M =

1 1 + tan 2 M

=

1 1 + Z 2W2

(8.31)

zusammen. Wenn der Blindwiderstand ZLers gegenüber dem ohmschen Widerstand Rers sehr groß ist, dann ist die Phasenverschiebung nahezu S/2 und die Zeitkonstante W ist sehr groß. Der flüchtige Strom iLf ist dann im Bild 8.22 praktisch eine Parallele zur Zt-Achse, und der Stoßkurzschlussstrom IS ist doppelt so groß wie die Amplitude des eingeschwungenen

Kurzschlussstroms ˆiLe . In diesem für eine elektrische Anlage kritischen Fall ist der Stoßfaktor N maximal. Der Wert von 2 kann aber nicht überschritten werden. Ist beispielsweise tan M = ZW = 100, dann erreicht der Stoßfaktor N fast den Wert 2: Mit Gl. (8.29) ist N = 1 + 0,99995 ˜ e



1,56+1,57 100

= 1,97 .

20

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen Beispiel: Für die zeitlichen Verläufe im Bild 8.22 ist tan M = ZW = 8 · S/3 = 8,38. Der Stoßfaktor beträgt dann nach Gl. (8.29) N = 1 + 0,993 · e



1,45 +1,57 8.38 = 1,69.

Weiteres Beispiel: Einschaltvorgang einer Wechselspannung an einen verlustbehafteten Kondensator

Bild 8.23 Einschaltvorgang einer Wechselspannung an einen Kondensator Der zeitliche Verlauf der Kondensatorspannung uC ist der gleiche wie der zeitliche Verlauf des Stroms durch die Induktivität iL, beim Einschaltvorgang einer Wechselspannung an eine Spule.

8.2.4 Ausgleichsvorgänge in Schwingkreisen Entladung eines Kondensators mittels einer Spule Zu 1. Nach der Festlegung der Strom- und Spannungsrichtungen nach dem Verbraucherzählpfeilsystem werden die Differentialgleichungen für die Spannung am Kondensator uC und für den Strom i aufgestellt: Zunächst die Differentialgleichung für die Spannung: u R + u L + uC = 0

R˜i+ L˜

di + uC = 0 dt

mit i = C˜

du C dt

und

d 2uC di = C˜ dt dt 2 R ˜C˜

d2uC dt 2

Bild 8.24 Entladung eines Kondensators mittels einer Spule

du C d 2uC + L˜C˜ + uC = 0 dt dt 2

+

R du C 1 ˜ + ˜u = 0 L dt L˜C C

(8.32)

8.2 Berechnung von Ausgleichsvorgängen

21

Dann lautet die Differentialgleichung für den Strom: u R + u L + uC + 0

R˜i+ L˜ R˜

di 1 + ˜ i ˜ dt = 0 dt C

³

d 2i 1 di + L˜ + ˜i = 0 dt dt 2 C

d 2i dt 2

+

R di 1 ˜ + ˜i = 0. L dt L ˜ C

(8.33)

Beide Differentialgleichungen sind bei zwei Speicherelementen 2. Ordnung und homogen, denn sowohl die Spannung am Kondensator uC wie auch der Strom i werden nach entsprechend langer Zeit Null, wenn der Kondensator entladen ist. Zu 2. Der Ausgleichsvorgang ist mit dem flüchtigen Vorgang identisch, und der eingeschwungene Vorgang ist jeweils Null: u Ce = 0, d. h. u C = u Cf und ie = 0,

d. h.

i = if

Zu 3. d 2 u Cf dt 2

d 2 if dt 2

+

+

R du Cf 1 ˜ + ˜u = 0 L dt L ˜ C Cf

R dif 1 ˜ + ˜i = 0. L dt L ˜ C f

(8.34)

(8.35)

Für beide Differentialgleichungen 2. Ordnung mit den gleichen Koeffizienten ließen sich für uCf und if Lösungen mit dem eOW-Ansatz finden, die jeweils zwei frei wählbare Konstanten enthalten. Da es aber nur zwei Anfangsbedingungen u C (0) =  U q und i(0) = 0 gibt, lassen sich nur zwei Konstanten ermitteln. Deshalb wird der eOW-Ansatz nur für die Differentialgleichung für uCf angewendet und damit die Lösung für uCf ermittelt. Anschließend wird mit dem Zusammenhang zwischen Strom und Spannung des Kondensators die Stromlösung if berechnet, indem die Lösung für uCf differenziert und mit C multipliziert wird: u Cf = K ˜ e Ot du Cf = K ˜ O ˜ e Ot dt d 2 u Cf dt 2

= K ˜ O 2 ˜ e Ot ,

22

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

eingesetzt in die Differentialgleichung ergibt

K ˜ O 2 ˜ e Ot +

R 1 ˜ K ˜ O ˜ e Ot + ˜ K ˜ eOt = 0 L L˜C

ª R 1 º = 0. K ˜ e Ot ˜ « O 2 + ˜ O + L L ˜ C »¼ ¬ Den Faktor K Null zu setzen, ergäbe keine Lösung. Die Funktion eOt = f(O) hat keine Nullstelle, so dass nur die charakteristische Gleichung der Differentialgleichung Lösungen für O1 und O2 ergibt:

O2 +

R 1 ˜O + =0 L L˜C

(8.36)

2

O1,2 = 

R 1 § R · ± ¨ ¸  2L 2L L ˜C © ¹

(8.37)

O1,2 =  G ± G2  Z02 =  G ± N

(8.38)

mit N = G 2  Z 02

G=

R 2L

Z0 =

(8.39)

Abklingkonstante 1 LC

(8.40)

Resonanzkreisfrequenz der stationären Schwingung (siehe Band 2, Gl. (4.114) im Abschnitt 4.5.1).

Die Lösungen der charakteristischen Gleichung hängen von der Größe der Wurzel ab, die entweder positiv, Null oder negativ sein kann. Für O1 z O2, entweder reell und von einander verschieden (aperiodischer Fall) oder konjugiert komplex (periodischer Fall, Schwingfall), lauten die Lösungen der homogenen Differentialgleichung: u Cf = K1 ˜ e O1t + K 2 ˜ e O 2 t if = C ˜

du Cf = C ˜ (K1 ˜ O1 ˜ e O1t + K 2 ˜ O 2 ˜ e O 2 t ) . dt

(8.41) (8.42)

Ist O1 = O2 = O, d. h. die charakteristische Gleichung hat eine Doppelwurzel, dann kann die Lösung für die Spannung für diesen Fall nicht verwendet werden, weil nach dem Ausklammern von e O1t = e O 2 t = e O t die Konstanten K1 und K2 zu einer Konstanten zusammengefasst werden könnten; die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung zweiter Ordnung verlangt aber zwei Konstanten.

8.2 Berechnung von Ausgleichsvorgängen

23

Durch Variation der Konstanten kann die allgemeine Lösung ermittelt werden:

u Cf = K(t) ˜ e Ot du Cf = K c(t) ˜ eOt + K(t) ˜ O ˜ eOt dt d 2 u Cf = K cc(t) ˜ eOt + K c(t) ˜ O ˜ eOt + K c(t) ˜ O ˜ eOt + K(t) ˜ O 2 ˜ eOt , dt 2 eingesetzt in die Differentialgleichung ergibt K cc(t) ˜ eOt + 2 ˜ K c(t) ˜ O ˜ eOt + K(t) ˜ O 2 ˜ eOt +

R R 1 ˜ K c(t) ˜ eOt + ˜ K(t) ˜ O ˜ eOt + ˜ K(t) ˜ eOt = 0 L L L˜C

­ Rº R 1 º½ ª ª eOt ˜ ®K cc(t) + K c(t) ˜ « 2O + » + K(t) ˜ « O 2 + ˜ O + ¾ = 0. L L L ˜ C »¼ ¿ ¬ ¼ ¬ ¯

Mit eOt z 0

und 2O +

R =0 L

R · § ¨ aus Gl. (8.37): O1 = O 2 = O =  ¸ 2L ¹ ©

O2 +

R 1 ˜O + =0 L L˜C

und siehe Gl. (8.36)

bleibt in obiger Gleichung nur K cc(t) übrig und K(t) kann durch zweimalige Integration errechnet und im Ansatz berücksichtigt werden: K cc(t) =

d 2 K(t) =0 dt 2

K c(t) =

dK(t) = K2 dt

K(t) = K1 + K 2 ˜ t . Die Lösung für den Strom wird wieder durch Differentiation und Multiplikation mit C aus der Lösung für die Spannung errechnet.

Für O1 = O 2 = O, also eine reelle Doppelwurzel (aperiodischer Grenzfall), lauten damit die Lösungen der homogenen Differentialgleichung: u Cf = (K1 + K 2 ˜ t) ˜ e Ot if = C ˜

du Cf = C ˜ (K 2 + O ˜ K1 + O ˜ K 2 ˜ t) ˜ eOt dt

(8.43) (8.44)

24

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

Zu 4. Für beide Fälle O1 z O 2 und O1 = O 2 müssen nun jeweils die Konstanten K1 und K2 mit den beiden Anfangsbedingungen berechnet und in die Lösungen eingesetzt werden. Da die eingeschwungene Spannung und der eingeschwungene Strom Null sind, sind die speziellen Lösungen der homogenen Differentialgleichungen die Gleichungen des Ausgleichsvorgangs. O1 z O 2 : uC(0–) = uC(0+) = uCe (0+) + uCf (0+)

(8.45)

– U q = 0 + K1 + K 2 i(0–) = i(0+) = ie (0+) + if (0+)

0 = 0 + C · (K1 · O1 + K2 · O2) (8.46) Die beiden Bestimmungsgleichungen für die beiden Konstanten lassen sich lösen: 0 = K1 ˜ O1 + K 2 ˜ O 2

0 = K1 ˜ O1 + K 2 ˜ O 2 ( U q ˜ O1 = K1 ˜ O1 + K 2 ˜ O1 )

(U q ˜ O 2 = K1 ˜ O 2 + K 2 ˜ O 2 )

U q ˜ O1 = K 2 ˜ (O1  O 2 )

U q ˜ O 2 = K1 ˜ (O1  O 2 )

K1 = u C = u Cf =

i = if =

Uq ˜ O2 O1  O 2 Uq

O1  O 2

K2 = 

(

˜ O 2 ˜ eO1t  O1 ˜ eO 2 t

(

O1 ˜ O 2 · C · Uq · eO1t  eO 2 t O1  O 2

)

)

U q ˜ O1 O1  O 2

(8.47) (8.48)

mit O1,2 = – G ± N O1 = O2 = O: uC(0–) = uC(0+) = uCe (0+) + uCf (0+) – U q = 0 + K1 i(0–) = i(0+) = ie (0+) + if (0+)

(8.49)

0 = C · (K2 + O · K1) K1 = – Uq

und

(8.50)

K 2 = O · Uq

uCf = (– Uq + O · t · Uq) · eOt

(

)

i f = C ˜ O ˜ U q  O ˜ U q + O 2 ˜ U q ˜ t ˜ eOt

oder uC = uCf = – Uq · (1 – O · t) · eOt

(8.51)

i = if = C · Uq · O2 · t · eOt

(8.52)

mit O1 = O2 = O = – G

8.2 Berechnung von Ausgleichsvorgängen

25

Zu 5. Die Überlagerung der eingeschwungenen und flüchtigen Vorgänge entfällt, weil die Ausgleichsvorgänge mit den flüchtigen Vorgängen übereinstimmen. Zu 6. Interpretation der Lösungen: Um die zeitlichen Verläufe uC(t) und i(t) darstellen zu können, werden die drei unterschiedlichen Lösungspaare der charakteristischen Gleichung in die jeweiligen Ergebnisgleichungen (Gln. (8.47) und (8.48) bzw. (8.51) und (8.52)) eingesetzt. Aperiodischer Fall: Ist G > Z0 (siehe Gl. (8.38)),

R > 2L

d. h.

1

oder

LC

R>2·

L C

(siehe Gl. (8.37)),

dann sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung reell und voneinander verschieden: (8.53) und O2 = – G – N . (8.54) O1 = – G + N In die Gl. (8.47) eingesetzt, ergibt sich für die Lösung der Kondensatorspannung: Uq uC = ˜ O 2 ˜ eO1t  O1 ˜ eO 2 t O1  O 2

(

)

mit O1 – O2 = – G + N + G + N = 2N Uq uC = ˜ ª( G  N) ˜ e( G+ N)t  ( G + N) ˜ e( G N )t º¼ 2N ¬ uC =

Uq

ª e Nt  eNt e Nt + eNt º N˜ · e–Gt · «  G ˜ » N 2 2 ¬ ¼

uC = 

Uq N

· e–Gt · ª¬G ˜ sinh(Nt) + N ˜ cosh(Nt) º¼

ªG º N N uC(Gt) = –Uq · e–Gt · « ˜ sinh (Gt) + cosh (Gt) » N G G ¬ ¼ Die Lösung für den Strom entsteht mit Gl. (8.48):

i=

(

O1 ˜ O 2 ˜ C ˜ U q ˜ eO1t  eO 2 t O1  O 2

(8.55)

(8.56)

(8.57) (8.58)

)

mit O1 · O2 = (– G + N) · (– G – N) = – (G – N) · [– (G + N)] = (G – N) · (G + N) O1 · O2 = G2 – N2 = Z 02

(mit Gl. (8.39))

(8.59)

26

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

und O1 – O2 = 2N i=

Z 02 ˜ C ˜ U q ˜ ª¬e(G+N)t  e(GN)t º¼ 2N

1

mit Z0 =

i= i=

(siehe Gl. (8.55))

C ˜ Uq N ˜L˜C Uq N˜L

LC ˜ e Gt ˜

bzw.

Z 02 =

1 LC

Uq eNt  e Nt eNt  e Nt = ˜ e Gt ˜ 2 N˜L 2

˜ e Gt ˜ sinh(Nt)

Uq

(8.60)

N (Gt) . (8.61) G N˜L Im Bild 8.25 sind uC und i in Abhängigkeit von Gt für den aperiodischen Fall dargestellt:

i(Gt) =

˜ e Gt ˜ sinh

Bild 8.25 Zeitliche Verläufe der Kondensatorspannung und des Stroms für den aperiodischen Fall

Aperiodischer Grenzfall: Ist G = Z0 (siehe Gl. (8.38)),

d. h.

R = 2L

1 LC

oder

R=2·

L C

(siehe Gl. (8.37)),

dann sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung gleich und reell: O1 = O2 = O = – G = – Z0 . In Gl. (8.51) eingesetzt ergibt sich für die Lösung der Kondensatorspannung: uC = – Uq · (1 – O · t) · eOt uC(Gt) = – Uq · [l + (Gt)] · e–Gt .

(8.62)

(8.63)

8.2 Berechnung von Ausgleichsvorgängen

27

Mit Gl. (8.52) wird die Lösung für den Strom gebildet: i = C · Uq · O2 · t · eOt mit O2 = Z 02 i = C · Uq · Z 0 2 · t · e–Gt 1

mit Z0 = i=

C ˜ Uq L˜C

i(Gt) =

LC

Z 02 =

1 LC

˜ t ˜ e Gt

Uq G˜L Uq

bzw.

˜ (Gt) ˜ e Gt

(8.64)

R . (8.65) 2L R Der Strom ist maximal, wenn (Gt) = 1 ist, wie durch Differenzieren und Nullsetzen der Stromgleichung nachgewiesen werden kann:

i(Gt) =

· 2 · (Gt) · e–Gt

mit G =

d i(Gt) 2U q = ˜ ª1 · e – Gt – (Gt) · e – Gt ¼º = 0 d (Gt) R ¬ 2U q R

· eGt · [1 – (Gt)] = 0

mit eGt z 0 ist 1 – (Gt) = 0 oder (Gt) = 1. Der Maximalwert des Stroms wird berechnet, indem in der Stromgleichung (G t) = 1 gesetzt wird:

imax =

Uq

˜ 2 ˜ e 1 = 0,736 ˜

(8.66)

Uq

. (8.67) R R Im Bild 8.26 sind uC und i in Abhängigkeit von Gt für den aperiodischen Grenzfall dargestellt:

Bild 8.26 Zeitliche Verläufe der Kondensatorspannung und desStroms für den aperiodischen Grenzfall

28

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

Periodischer Fall – Schwingfall: Ist G < Z0 (siehe Gl. (8.38)), d. h.

R < 2L

1

oder

LC

R<2·

L C

(siehe Gl. (8.37)),

dann sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung konjugiert komplex: O1 = – G + N O2 = – G – N O1 = – G +

G 2  Z 02

O2 = – G – G 2  Z 0 2

O1 = – G + (1) ˜ (Z 0 2  G 2 )

O2 = – G – (1) ˜ (Z 0 2  G 2 )

O1 = – G + j · Z 0 2  G 2

O2 = – G – j · Z 0 2  G 2 (8.68)

O1 = – G + j · Z

mit N = j · Z = j ·

O2 = – G – j · Z

(8.69)

Z 02  G 2 .

Wird in den Lösungsgleichungen für die Kondensatorspannung und den Strom für den aperiodischen Fall in den Gln. (8.57) und (8.60) N durch j · Z ersetzt, dann ergeben sich für den periodischen Fall gedämpfte Schwingungen mit der Abklingkonstanten G und der Kreisfrequenz Z: Uq ˜ e Gt ˜ ª¬ G ˜ sinh(Nt) + N ˜ cosh(Nt) º¼ uC =  N uC = 

Uq

˜ e Gt ˜ ª¬G ˜ sinh( jZt) + jZ ˜ cosh( jZt) º¼ jZ mit sinh( jZt) = j ˜ sin Zt und cosh( jZt) = cos Zt º ªG u C (Zt) = U q ˜ e Gt ˜ « ˜ sin Zt + cos Zt » ¼ ¬Z

u C (Zt) = U q ˜ e Gt

ªG º Z2 Z2 « ˜ 1+ » 1+ Z G 2 ˜ sin Zt + G 2 ˜ cos Zt » ˜ «« » 2 Z2 « 1+ Z » 1+ «¬ »¼ G2 G2

u C (Zt) = U q ˜ e Gt

ª G2 º G2 Z « » +1 ˜ +1 2 2 G Z Z « ˜« ˜ sin Zt + ˜ cos Zt »» 2 Z2 « 1+ Z » 1+ 2 «¬ »¼ G G2

u C (Zt) =  U q ˜

G2 Z2

+ 1 ˜ e Gt

ª º Z « » 1 G ˜« ˜ sin Zt + ˜ cos Zt » « » Z2 Z2 « 1+ » 1 + G2 G2 ¬ ¼

(8.70)

8.2 Berechnung von Ausgleichsvorgängen u C (Zt) =  U q ˜

29

G2 + 1 ˜ e Gt ˜ [cos M ˜ sin Zt + sin M ˜ cos Zt ] Z2 2

G

 (Zt) §G· ˜ sin(Zt + M) u C (Zt) =  Uq ˜ ¨ ¸ + 1 ˜ e Z © Z¹

mit

und

und

cos M =

G = Z0

Z = sin M = Z0

Z0 =

G G2

+

Z2

Z G2 + Z 2

=

1 1+

=

Z2

Z2

1 § Z· 1+ ¨ ¸ © G¹

G2

Z G 1+

=

(8.71)

=

G2

Z G § Z· 1+ ¨ ¸ © G¹

Z Z bzw. M = arctan , G G wie aus Dreiecksbeziehungen im Bild 8.27 zu ersehen ist.

i=

Uq N˜L Uq jZL

i (Zt) =

˜ e Gt ˜ sinh(Nt) ˜ e Gt ˜ sinh( jZt) Uq ZL

2

G2 + Z 2

und tan M =

i=

2

˜e

G  (Zt) Z

Bild 8.27 Zusammenhang zwischen den Größen M, Z0, Z und G für G/Z = 0.75

(siehe Gl. (8.60)) mit

˜ sin Zt .

sinh( jZt) = j ˜ sin Zt

(8.72)

Im Bild 8.28 sind uC und i in Abhängigkeit von Zt für den periodischen Fall dargestellt:

Bild 8.28 Zeitliche Verläufe der Kondensatorspannung und des Stroms für den periodischen Fall

Ist G  Z, also R  2 ˜ L/C, so ist die Phasenverschiebung M zwischen Strom i und Spannung uC nahezu S/2 und die Schwingung ist praktisch ungedämpft. Die Schwingungskreisfrequenz ist dann etwa gleich der Resonanzkreisfrequenz: Z | Z 0 ; das Dreieck im Bild 8.27 wird sehr schmal.

30

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation 8.3.1 Grundlagen für die Behandlung der Ausgleichsvorgänge mittels Laplace-Transformation Prinzip der Transformation Die Berechnung von Netzwerken bei sinusförmiger Erregung, d. h. von Wechselstromnetzen, wird mit Hilfe der komplexen Rechnung erleichtert (siehe Band 2, Abschnitt 4.2.2, S. 8–12). Dabei werden die Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen transformiert und deren Lösungen rücktransformiert:

Bei Ausgleichsvorgängen sind die Ströme und Spannungen in einem Netzwerk weder Gleichgrößen noch sinusförmige Wechselgrößen. Die sie beschreibenden Zeitfunktionen f(t) sind erst von einem Zeitpunkt t = 0 interessant und sind für t < 0 oft Null, können aber auch einen anderen Wert besitzen. Lösungsansatz für Ausgleichsvorgänge sind Differentialgleichungen, die mit Hilfe der Laplace-Transformation auf entsprechende Weise in algebraische Gleichungen überführt und die Lösungen der algebraischen Gleichungen rücktransformiert werden:

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation

31

Transformation Die Transformationsgleichung für die Laplace-Transformation einer Zeitfunktion f(t) in den Bildbereich ist ein uneigentliches Integral L {f (t)} =

f

³ f (t) ˜ es˜ t ˜ dt = F(s)

(8.73)

+0

und ergibt eine eindeutige Funktion F(s) mit der komplexen Variablen s = G + jZ, deren Einheit aus dem Exponenten e–s · t zu ersehen ist: s[ ]= 1/[t]= s –1. Das Laplace-Integral erfasst die Zeitfunktion f(t) von t = 0 bis t = + f , ist also nur für die Abbildung von Zeitfunktionen geeignet, die ab t = 0 interessant sind – und das ist bei Ausgleichsvorgängen der Fall. Beispiele für die Transformationen von Zeitfunktionen: 1. Transformation einer Sprungfunktion Ist für t <0 die Spannung u (t) = 0 und springt sie bei t = 0 auf den Gleichspannungswert U, dann handelt es sich um die Sprungfunktion oder den Einssprung, die als Testfunktion für Übertragungsglieder verwendet wird (siehe Abschnitt 8.3.5). ­ 0 für t < 0 u (t) = U · V(t) = ® ¯ U für t > 0 Wie aus den bisher behandelten Beispielen ersichtlich, wird ein Spannungssprung durch eine Gleichspannung mit einem ideal schließenden Schalter realisiert. Das Laplace-Integral ergibt dann:

U(s) = L {U ˜ V(t)} =

f

³ U ˜ V(t) ˜ es˜t ˜ dt = U ˜ ³ es˜t ˜ dt

+0

U(s) = U ·

f e  s˜ t

s

0

Bild 8.29 Sprungfunktion f

=

0

U U ˜ (ef  1) = s s

U (8.74) L {U ˜ V(t)} = . s Die Laplace-Transformierte der Sprungfunktion existiert aber nur für positive Realteile G der komplexen Variablen s, wie mit obigem Integral deutlich wird: f

f

f

0

0

0

³ es˜t ˜ dt = ³ e(G + jZ)˜t ˜ dt = ³ eG˜t ˜ e jZt ˜ dt

mit e  jZt = cosZt  j ˜ sin Zt f

f

f

³ es˜t ˜ dt = ³ eG˜t ˜ cosZt ˜ dt  j ˜ ³ eG˜t ˜ sin Zt ˜ dt , 0

0

0

beide Teilintegrale lassen sich nur für G > 0 lösen: f

G

Z

³ es˜t ˜ dt = G 2 + Z 2  j ˜ G2 + Z 2 0

=

G  jZ 1 1 = = . (G + jZ)(G  jZ) G + jZ s

32

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

2. Transformation einer Rampenfunktion Ist die Spannung u (t) für t d 0 Null und steigt sie ab t = 0 linear mit der Steigung U/T an, dann handelt es sich um die Rampenfunktion. Sie wird ebenfalls als Testfunktion für Übertragungsglieder verwendet. 0 für t d 0 ­ u(t) = ® ¯(U/T) ˜ t für t > 0

­U ½ U(s) = L ® ˜ t ¾ = ¯T ¿ mit

³x

˜ eax

f

U

³ T ˜ t ˜ es˜t ˜ dt 0

eax ˜ dx = 2 ˜ (a ˜ x  1) a

und a = – s ist

Bild 8.30 Rampenfunktion

f f U es˜t U ª t es˜t º ˜ ˜ ª¬ s ˜ t  1º¼ =  ˜ « + . » T s2 T «¬ s ˜ es ˜ t 0 s 2 »¼ 0 Mit Hilfe der l’Hospitalschen Regel wird t 1 = lim = 0. lim t of s ˜ es˜t t of s 2 ˜ es˜t

U(s) =

Damit ist die Laplace-Transformierte der Rampenfunktion ­U ½ U 1 L ® ˜ t¾ = ˜ . ¯ T ¿ T s2

(8.75)

3. Transformation einer Exponentialfunktion 0 für t < 0 ­° u (t) = ®  t / W für t > 0 °¯U ˜ e

{

U(s) = L U ˜ e t / W

}

f

U(s) =

³ U ˜ e t / W ˜ es˜t ˜ dt

Bild 8.31 Exponentialfunktion

0

f

U(s) =

e (s +1/W)˜ t

³ U ˜ e(s +1/W)˜t ˜ dt = U ˜ (s + 1/W) 0

{

}

L U ˜ e t / W = U ˜

f

= U˜

0

ef  1 (s + 1/W)

1 W = U˜ s + 1/W 1+ s˜W

(8.76)

Erweiterung:

{

}

{

L U ˜ (1  e  t / W ) = L {U}  L U ˜ e t / W

}

mit Gl. (8.74) und (8.76)

{

}

{

}

L U ˜ (1  e  t / W ) =

U U s + 1/W  s  = U˜ s s + 1/W s ˜ (s + 1/W)

L U ˜ (1  e t / W ) = U ˜

1/W 1 = U˜ s ˜ (s + 1/W) s ˜ (1 + s ˜ W)

(8.77)

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation

33

4. Transformation einer sinusförmigen Wechselspannung

u (t) =

{

0 uˆ ˜ sin Zt

für t d 0 für t > 0

U(s) = L {uˆ ˜ sin Zt} =

f

³ uˆ ˜ sin Zt ˜ es˜t ˜ dt 0

mit

eax

³ eax ˜ sin bx ˜ dx = a 2 + b2 ˜ (a ˜ sin bx  b ˜ cos bx)

und

a = s

U(s) =

f uˆ ˜ ªes˜t ˜ (s ˜ sin Zt  Z ˜ cos Zt º¼ 0 s 2 + Z2 ¬

U(s) =

uˆ ˜ [0  1 ˜ (  s ˜ sin 0  Z ˜ cos 0) ] s 2 + Z2

und

L {uˆ ˜ sin Zt} = uˆ ˜

b=Z

Bild 8.32 Sinusförmige Wechselspannung mit dem Anfangsphasenwinkel Mu = 0

Z . s 2 + Z2

(8.78)

Die Laplace-Transformierte der cos-Funktion lässt sich analog berechnen und ergibt L {uˆ ˜ cos Zt} = uˆ ˜

s . s 2 + Z2

(8.79)

5. Transformation einer sinusförmigen Wcchselspannung mit Anfangsphasenwinkel:

u(t) =

{

0 für t < 0 uˆ ˜ sin(Zt + M u ) für t > 0

U(s) = L {uˆ ˜ sin(Zt + Mu )} U(s) = L {a ˜ cos Zt} + L {b ˜ sin Zt} Bild 8.33 Sinusförmige Wechselspannung mit beliebigem Anfangsphasenwinkel

mit

uˆ ˜ sin(Zt + Mu ) = uˆ ˜ sin ˜ Mu ˜ cos Zt + uˆ ˜ cos Mu ˜ sin Zt = a ˜ cos Zt + b ˜ sin Zt. Mit den Gln. (8.78) und (8.79) ergibt sich U(s) = a ˜

s s2 + Z 2

+ b˜

L {uˆ ˜ sin(Zt + Mu )} = uˆ ˜

Z s2 + Z 2

=

a ˜s + b˜Z s2 + Z 2

sin Mu ˜ s + cos Mu ˜ Z s 2 + Z2

(8.80)

34

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

6. Transformation einer abklingenden sinusförmigen Wechselspannung: u (t) =

{

0 für t d 0 U ˜ e Gt ˜ sin Zt für t > 0

{

}

U(s) = L U ˜ e Gt ˜ sin Zt f

U(s) =

³ U ˜ eGt ˜ sin Zt ˜ es˜t ˜ dt 0

1 ˜ e jZt  e jZt 2j

(

)

mit

sin Zt =

U(s) =

U ˜ es˜t ˜ e Gt ˜ e jZt  e jZt ˜ dt 2j

f

(

³

)

Bild 8.34 Abklingende Sinusspannung

0

U(s) =

U(s)

=

U(s)

=

U(s) =

{

f ªf º U « (s+G  jZ)t ˜ e ˜ dt  e (s+G + jZ)t ˜ dt » » 2j « 0 ¬0 ¼ f U ª e(s +G jZ)t e(s +G+ jZ)t º ˜«  » 2 j ¬« (s + G  jZ) (s + G + jZ) ¼» 0

³

³

º U ª 1 1 ˜«  2 j ¬ (s + G)  jZ (s + G) + jZ »¼ 2 jZ U (s + G) + jZ  (s + G) + jZ U ˜ = ˜ 2 j (s + G)2 + Z 2 2j (s + G)2 + Z 2

}

L U ˜ e Gt ˜ sin Zt = U ˜

Z . (s + G)2 + Z2

(8.81)

Die Laplace-Transformierte der abklingenden cos-Funktion lässt sich analog berechnen und ergibt:

{

}

L U ˜ e Gt ˜ cos Zt = U ˜

s+G . (s + G) 2 + Z2

(8.82)

Laplace-Transformierte der Ableitung einer Funktion Um Differentialgleichungen – wie eingangs des Abschnitts erwähnt – in algebraische Gleichungen transformieren zu können, ist es notwendig, die Laplace-Transformierte der Ableitungen der Zeitfunktion bestimmen zu können. Es muss also bestätigt werden, dass die Differentiation im Zeitbereich einer Multiplikation mit einem Operator im Bildbereich entspricht, damit aus den Differentialgleichungen algebraische Gleichungen entstehen können.

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation

35

Zunächst soll die Laplace-Transformierte der Ableitung von stetigen Zeitfunktionen untersucht werden. In elektrischen Ausgleichsvorgängen sind die Kondensatorspannung und der Strom durch eine Spule stetige Zeitfunktionen. Das Laplace-Integral der 1. Ableitung der Zeitfunktion wird mit Hilfe der partiellen Integration hergeleitet: L {f (t)} =

f

³

f (t) ˜ e s ˜ t ˜ dt = 

0

f f (t) ˜ e s ˜ t f 1 + ˜ f c(t) ˜ es ˜ t ˜ dt s s 0

³ 0

mit u = f(t)

dv = e–s · t · dt

du = f c(t) dt

v=

du = f c(t) ˜ dt

1 v =  ˜ e s˜t s

³ es˜t ˜ dt

Mit 

f (t) ˜ e s˜t s

f

=

0

f (f) ˜ e f  f (0) ˜ 1 f (0) = s s

ist

L {f (t)} =

1 1 1 ˜ f (0) + ˜ L {f c(t)} = ˜ ª¬f (0) + L {f c(t)}º¼ s s s

oder L {f c(t)} = s ˜ L {f (t)}  f (0) .

(8.83)

Wenn die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion f (t) berechnet werden kann, dann wird die Laplace-Transformierte der Ableitung dieser Zeitfunktion f c(t) durch Multiplikation mit s und Subtraktion des Anfangswertes der Zeitfunktion f(t) bei t = 0 gebildet. Beispiel: Die Laplace-Transformierte der cos-Funktion ist bekannt, die Laplace-Transformierte der sinFunktion ist gesucht: f (t) = cosZt f c(t) =  Z ˜ sin Zt L {cos Zt} =

s2

s + Z2

(vgl. Gl. (8.79))

L {f c(t)} = s ˜ L {f (t)}  f (0) L {Z ˜ sin Zt} = s ˜ L {sin Zt} =

s2

Z s2 + Z2

s s2 s2  s2  Z2 Z2  cos0 = 2 1= = 2 2 2 2 2 s +Z s +Z s + Z2 +Z

(vgl. Gl. (8.78))

36

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

Das Laplace-Integral der 2. Ableitung der Zeitfunktion wird genauso mit Hilfe der partiellen Integration hergeleitet: L {f c(t)} =

f

³

f c(t) ˜ es ˜ t ˜ dt = 

0

f f c(t) ˜ es ˜ t f 1 + ˜ f cc(t) ˜ es ˜ t ˜ dt s s 0

³ 0

mit u = f c(t)

dv = e–s · t · dt

du = f cc(t) dt

v=

du = f cc(t) ˜ dt

1 v =  ˜ e s˜t s

³ es˜t ˜ dt

Mit 

f c(t) ˜ e s˜t s

f 0

=

f c(f) ˜ e f  f c(0) ˜ 1 f c(0) = s s

ist L {f c(t)} =

1 1 1 ˜ f c(0) + ˜ L {f cc(t)} = ˜ ª¬f c(0) + L {f cc(t)}º¼ s s s

oder L {f cc(t)} = s ˜ L {f c(t)}  f c(0)

und mit Gl. (8.83) ist L {f cc(t)} = s 2 ˜ L {f (t)}  s ˜ f (0)  f c(0) .

(8.84)

Auf die gleiche Weise lassen sich die Laplace-Transformierten von Ableitungen höherer Ordnung herleiten: L {f ccc(t)} = s3 ˜ L {f (t)}  s 2 ˜ f (0)  s ˜ f c(0)  f cc(0)

(8.85)

und allgemein für die n-te Ableitung

{

}

L f (n) (t) = s n ˜ L {f (t)}  s n 1 ˜ f (0)  s n  2 ˜ f c(0)  ...  s ˜ f (n  2) (0)  f (n 1) (0) .

(8.86) Die Bildfunktion der n-mal differenzierten Zeitfunktion enthält also die mit multiplizierte Laplace-Transformierte der Zeitfunktion und die mit sn–i multiplizierten Anfangswerte. Die Anfangswerte werden also gleich bei der Transformation der Differentialgleichung berücksichtigt. sn

Beispiele:

­° du (t) ½° L ®C ˜ C ¾ = C ˜ ª¬s ˜ U C (s)  u C (0) º¼ dt °¿ °¯ d 2 u C (t) °½ °­ L ® LC ˜ ¾ = LC ˜ ª¬s 2 ˜ U C (s)  s ˜ u C (0)  u Cc (0) º¼ dt 2 °¿ °¯

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation

37

Bei der Berechnung von Schaltvorgängen in elektrischen Stromkreisen mit Kondensatoren und Induktivitäten sollte von den Differentialgleichungen für die Kondensatorspannung uC und für den Strom durch die Induktivität iL ausgegangen werden, weil diese Zeitfunktionen auch bei t = 0 stetig sind: uC(0–) = uC(0+) = uC(0) und iL (0–) = iL (0+) = iL (0) (vgl. Gln. (8.3) und (8.4)). Hat die Zeitfunktion f(t) der Differentialgleichung an der Stelle t = 0 eine Sprungstelle, dann ist die Lösung der Differentialgleichung mit Hilfe der Laplace-Transformation auch möglich, weil die Laplace-Transformation die Zeitfunktionen erst ab t = 0+ erfasst, wie bei der Berechnung der Laplace-Transformierten der Sprungfunktion (siehe Beispiel 1, Gl. (8.74)) zu sehen ist. Entscheidend ist dabei die Frage, ob bei der Laplace-Transformierten der Ableitung einer Funktion der linksseitige Grenzwert f (0 ) oder der rechtsseitige Grenzwert f (0+ ) berücksichtigt werden muss. Sie kann beantwortet werden, indem die Laplace-Transformierte der Ableitung f c(t) mit Hilfe der partiellen Integration ermittelt wird: L {f c(t)} =

f

³ f c(t) ˜ es˜ t ˜ dt

(8.87)

+0

L {f c(t)} =

f

³

+0

es ˜ t ˜ f c(t) ˜ dt = ª¬ es ˜ t ˜ f (t) º¼

f +0

f

+s˜

³ f (t) ˜ es˜t ˜ dt

+0

mit u = e–s · t du = s ˜ es˜t dt

dv = f c(t) ˜ dt

v = f(t)

du =  s ˜ e s ˜ t ˜ dt .

Mit s ˜ t ˜ f (t) º ¬ªe ¼

f +0

= e f ˜ f (f)  1 ˜ f (0+ ) = f (0+ )

ist die Laplace-Transformierte von f c(t) L {f c(t)} = s ˜ L {f (t)}  f (0+ ) .

(8.88)

Die Laplace-Transformation der Ableitung einer Zeitfunktion mit einer Sprungstelle bei t = 0 ergibt die mit s multiplizierte Laplace-Transformation f (t) vermindert um den rechtsseitigen Grenzwert f (0+). Bei der Transformation höherer Ableitungen von Zeitfunktionen ist selbstverständlich auch der rechtsseitige Grenzwert zu berücksichtigen. Bei der Transformation einer Differentialgleichung in die algebraische Gleichung ist also bei den Ableitungen der rechtsseitige Grenzwert zu verwenden, wenn die Größe, für die die Differentialgleichung aufgestellt ist, beim Schalten springt.

38

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

Es stellt sich nun die Frage, ob mit Hilfe der Gl. (8.88) die Laplace-Transformierte der Ableitung der Sprungfunktion, also die Laplace-Transformierte des Dirac-Impulses, berechnet werden kann. Wie eingangs des Abschnitts 8.3.1 gezeigt, erfasst die Laplace-Transformation die Sprungfunktion ­0 für t < 0 f(t) = V(t) = ® ¯1 für t > 0 erst vom rechten Grenzwert t = 0+ an: L {V(t)} =

f

³

f

f (t) ˜ es ˜ t ˜ dt =

+0

L {V(t)} =

+0

f

³

³ V(t) ˜ es˜t ˜ dt

1 ˜ es ˜ t ˜ dt =

+0

e s ˜ t f 1 =  ˜ (ef  1) s s +0

1 . s Die Laplace-Transformierte der Ableitung der Sprungfunktion ergibt mit Gl. (8.88) für t > 0, d. h. ab t = 0+: L {V(t)} =

L {f c(t)} = s ˜ L {f (t)}  f (0+ ) L {Vc(t)} = s ˜ L {V(t)}  V(0+ )

mit V(0+) = 1

1 L {Vc(t)} = s ˜  1 = 0 für t > 0 . s Für t > 0 ist die Ableitung der Sprungfunktion Null, denn die Sprungfunktion hat ab t = 0+ den Anstieg Null. Die Laplace-Transformierte von Null ist auch Null. Mit der Gl. (8.88) kann also die Laplace-Transformierte des Dirac-Impulses nicht ermittelt werden, denn der Dirac-Impuls G(t) = V (t) ist mathematisch keine Funktion, sondern eine Distribution (Verallgemeinerung des Funktionsbegriffs). Die Laplace-Transformierte der Ableitung der Sprungfunktion, also des Dirac-Impulses, auch Dirac’sche Deltafunktion genannt, ist L {V (t)} = L {G(t)} = 1 ,

wie in der Korrespondenzentabelle im Abschnitt 8.3.6, Nr. 23, festgehalten ist. Für technische Anwendungen kann mit Hilfe von Grenzbetrachtungen bei einer Exponentialfunktion oder bei einem Rechteckimpuls der Dirac-Impuls veranschaulicht werden (siehe Übungsaufgabe 8.6). Diese Darstellung hält allerdings einer strengen mathematischen Kritik nicht stand.

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation

39

Die Funktion f (t) , die bei t = 0 von f (0–) auf f (0+) um ǻf0 springt, kann für t > 0, aber auch als Überlagerung der stetigen Fortsetzungsfunktion fS(t) und einer Sprungfunktion ǻf0 · V(t) aufgefasst werden (s. Bild 8.35): f(t) = fS(t) + ǻf0 · V(t) (8.89) für t < 0 ­0 mit ǻf0 · V(t) = ® f ' ¯ 0 für t > 0 und ǻf0 = f(0+) – f(0–).

(8.90)

Bild 8.35 Zeitfunktion mit Sprungstelle als Überlagerung der Fortsetzungsfunktion und einer Sprungfunktion

Die Fortsetzungsfunktion fS(t) ist die um 'f0 in Ordinatenrichtung verschobene Zeitfunktion f (t), so dass ihre Ableitungen für t > 0 gleich sind: f c(t) = fSc (t) ,

denn der Anstieg der Sprungfunktion ist für t > 0 Null. Die Laplace-Transformation der Ableitung der Zeitfunktion f c(t) ist damit gleich der Laplace-Transformierten der Ableitung der Fortsetzungsfunktion fSc :

{

}

L {f c(t)} = L fSc (t) , f

mit L {f c(t)} = lim f c(t) ˜ es ˜ t ˜ dt Ho 0

³ H

und mit Gl. (8.88)

{

}

L fSc (t) = s ˜ L {fS (t)}  fS (0+ )

und ist

fS(0+) = f(0–)

(siehe Bild 8.35)

L {f c(t)} = s ˜ L {fS (t)}  f (0 ) .

(8.91) (8.92)

Wird die Zeitfunktion f (t) mit einer Sprungstelle bei t = 0 für t > 0 als Überlagerung der Fortsetzungsfunktion fS(t) und einer Sprungfunktion aufgefasst, dann ergibt die Laplace-Transformierte der Ableitung der Funktion f (t) die mit s multiplizierte LaplaceTransformation der Fortsetzungsfunktion fS(t) vermindert um den linksseitigen Grenzwert.

40

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

Laplace-Transformierte des Integrals einer Funktion Bei der Aufstellung der Differentialgleichungen mit Hilfe der Maschen- und Knotenpunktregel sind auch Integrale zu berücksichtigen, die durch die Spannung an einer Kapazität und durch den Strom durch eine Induktivität gegeben sind. Die Laplace-Transformation ermöglicht auch die Transformation bestimmter und unbestimmter Integrale bei Berücksichtigung der Anfangswerte. Die Herleitung der Transformationsformeln geschieht wieder mit Hilfe der partiellen Integration: L {f (t)} =

f

³

f

f (t) ˜ e s ˜ t ˜ dt =

0

³ es˜ t ˜ f (t) ˜ dt 0

mit u = e–s · t

dv = f(t) · dt

du = s ˜ e s˜t dt

v = F(t) = F(t) + F(0)

t

0

t

du =

s ˜ e s˜t

v=

˜ dt

³ f (t) ˜ dt = ³ f (t) ˜ dt + ª¬ ³ f (t) ˜ dt º¼t=0 0

t

v=

³ f (t) ˜ dt + f 1(0) 0

ª L {f (t)} = « es ˜ t « ¬

§t ·º ˜ ¨ f (t) ˜ dt + f 1 (0) ¸ » ¨ ¸» ©0 ¹¼

f

³

fªt

º + « f (t) ˜ dt + f 1 (0) » ˜ s ˜ es ˜ t ˜ dt « » 0 ¬0 ¼

³³

0

(8.93) Der erste Ausdruck ergibt mit der unteren Grenze t = 0 den Wert –f–1(0), weil die obere Grenze t = f mit e–f = 0 keinen Anteil bringt: ª « e s ˜ t « ¬

§t ·º ˜ ¨ f (t) ˜ dt + f 1 (0) ¸ » ¨ ¸» ©0 ¹¼

f

=

³

0

§f · = e f ˜ ¨ f (t) ˜ dt + f 1 (0) ¸  e0 ¨ ¸ ©0 ¹

³

§0 · ˜ ¨ f (t) ˜ dt + f 1 (0) ¸ = f 1 (0) ¨ ¸ ©0 ¹

³

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation

41

Der zweite Ausdruck in Gl. (8.93) ist die Summe von zwei Integralen: fªt

º « f (t) ˜ dt + f 1 (0) » ˜ s ˜ e s˜t ˜ dt = « » 0 ¬0 ¼

³ ³

fªt

f º s˜t « » ˜ dt + s ˜ f 1 (0) ˜ e s˜t ˜ dt = s˜ f (t) ˜ dt ˜ e « » 0 ¬0 0 ¼

³ ³

³

fªt

mit

½ ­t º ° ° s˜t « » ˜ dt = s ˜ L ® f (t) ˜ dt ¾ s˜ f (t) ˜ dt ˜ e « » °¿ °¯ 0 0 ¬0 ¼

und

s ˜ f 1 (0) ˜ es ˜ t ˜ dt = s ˜ L f 1 (0) = s ˜

³ ³

³

f

{

³

}

0

f 1 (0) = f 1 (0) s

f–1(0)

ist eine Konstante, und die Laplace-Transformierte einer Konstanten ist nach Gl. (8.74) das 1/s-fache der Konstanten. Diese Vereinfachungen werden im zweiten Ausdruck berücksichtigt, so dass sich mit dem ersten Ausdruck für die gesamte Gleichung ergibt: ­° t ½° L {f (t)} = f 1 (0) + s ˜ L ® f (t) ˜ dt ¾ + f 1 (0) °¯ 0 °¿

³

­° t ½° 1 L ® f (t) ˜ dt ¾ = ˜ L {f (t)} . °¯ 0 °¿ s

(8.94)

³

Wird in dem zweiten Ausdruck in Gl. (8.93) für v das unbestimmte Integral eingesetzt, dann lässt sich die Laplace-Transformierte des unbestimmten Integrals angeben:

L {f (t)} =

f

³

f

e s ˜ t

˜ f (t) ˜ dt =

0

f 1 (0)

{³

+ ª f (t) ˜ dt º ˜ s ˜ es ˜ t ˜ dt ¬ ¼

³³

}

0

L {f (t)} = f 1 (0) + s ˜ L ª f (t) ˜ dt º ¬ ¼

L

{³ f (t) ˜ dt} = 1s ˜ L{f (t)} + f

mit

f 1 (0) = ª f (t) ˜ dt º ¬ ¼ t=0

³

1 (0)

s

(8.95)

42

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen Beispiele: ­° t ½° 1 1. L ® e  t / W ˜ dt ¾ = ˜ L e t / W s ¯° 0 ¿°

{

³

{

}

mit L e  t / W =

}

(nach Gl. (8.94))

1 s + 1/W

(nach Gl. (8.76))

­t ½ 1 ° ° L ® e t / W ˜ dt ¾ = °¯ 0 °¿ s ˜ (s + 1/W)

³

Kontrolle: t

³

e t / W ˜ dt =

0

e t / W 1/W

t

=

0

1 ˜ (e t / W  1) 1/W

­° t ½° L ® e  t / W ˜ dt ¾ = W ˜ L e t / W  1 ¯° 0 ¿°

{

³

}

­° t ½° 1· § 1  ¸ L ® e  t / W ˜ dt ¾ = W ˜ ¨ © s + 1/W s ¹ °¯ 0 °¿

(nach Gln. (8.76) und (8.74))

³

­t ½ s  s  1/W 1 ° ° = L ® e t / W ˜ dt ¾ = W ˜ (s + 1/W) ˜ s s ˜ (s + 1/W) °¯ 0 °¿

³

2.

L

{³ e

t / W

˜ dt =

}

1 1 ˜ L e t / W + ˜ ª e  t / W ˜ dt º ¼ t =0 s s ¬

{

}

1 s + 1/W

mit L e  t / W =

{

}

³

(nach Gl. (8.95))

(nach Gl. (8.76))

ª e t / W º =« = W und ª e t / W ˜ dt º ¬ ¼ t =0 « 1/W »» ¼ t =0 ¬

³

L

{³ e

t / W

˜ dt =

}

1 W 1  (s + 1/W) ˜ W s ˜ W  = = s ˜ (s + 1/W) s s ˜ (s + 1/W) s ˜ (s + 1/W)

L

{³ e

t / W

˜ dt =

}

W s + 1/W

Kontrolle: L

{³ e

t / W

}

­° e  t / W ½° 1  t / W = W ˜ ˜ dt = L ® ¾ = W ˜ L e s + 1/W ¯° 1/W ¿°

{

}

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation

43

Beispiel für die Berechnung von zwei einfachen Ausgleichsvorgängen: Die Ergebnisse des Auflade- und Entladevorgangs eines Kondensators, die im Abschnitt 8.2.2, S. 10–11 behandelt wurden, sollen mit Hilfe der Laplace-Transformation bestätigt werden. Dabei können die hergeleiteten Gesetzmäßigkeiten hinsichtlich der rechts- und linksseitigen Grenzwerte erläutert werden (siehe Gln. (8.88) und (8.92)). Aufladevorgang eines Kondensators über einen Widerstand mittels Gleichspannung Differentialgleichung ab t = 0: R 1 ˜ iC + u C = U

mit

iC = C ˜

du C dt

du C

+ u C = u(t) dt Transformationen in den komplexen Bereich: R1 ˜ C ˜

u(t) = U ˜ V(t)

o U (s) =

u C (t)

o U C (s)

du C (t)

Bild 8.36 Aufladevorgang eines Kondensators über einen Widerstand mittels Gleichspannung

U s

o s ˜ U C (s)  u C (0)

dt iC (t)

o IC (s)

algebraische Gleichung: R1 ˜ C ˜ ª¬s ˜ U C (s)  u C (0) º¼ + U C (s) =

mit

U s

u C (0) = 0

U s Lösung der algebraischen Gleichung: s ˜ R1 ˜ C ˜ U C (s) + U C (s) =

U C (s) =

U U = s ˜ (1 + s ˜ R1C) s ˜ (1 + s ˜ W1 )

Rücktransformation in den Zeitbereich: Mit Gl. (8.77) ist ­ ½ U  t / W1 ) uC(t) = L1 ® ¾ = U ˜ (1  e s (1 s ) ˜ + ˜ W ¯ 1 ¿

(vgl. mit Gl. (8.12))

mit W1 = R1 ˜ C .

Die Zeitfunktion des Aufladestroms kann auch mit Hilfe der Laplace-Transformation berechnet werden: iC = C ˜

du C dt

mit u C (0) = 0

o I C (s) = C ˜ ª¬s ˜ U C (s)  u C (0) º¼ und

U C (s) =

U s ˜ (1 + s ˜ W1)

44

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen I C (s) = C ˜ s ˜ U C (s) =

C˜U 1 + s ˜ W1

Mit Gl. (8.76) ist ­ C ˜ U ½ C ˜ U t / W C ˜ U  t / W1 1 = iC (t) = L1 ® ˜e ˜e ¾= 1 s R + ˜ W W 1¿ 1 1˜C ¯

iC (t) =

U t / W 1 mit W = R ˜ C ˜e 1 1 R1

(vgl. mit Gl. (8.13)).

Die Differentialgleichung wurde für die Kondensatorspannung uC aufgestellt, weil sie auch im Zeitpunkt t = 0 stetig ist. Auf den rechts- oder linksseitigen Grenzwert ist nicht zu achten, da es für jeden Zeitpunkt nur einen Grenzwert gibt. Entladevorgang eines Kondensators über ohmsche Widerstände Differentialgleichung ab t = 0: (R1 + R 2 ) ˜ iC + u C = 0

mit

iC = C ˜

du C

(R1 + R 2 ) ˜ C ˜

dt du C dt

+ uC = 0

Transformationen in den komplexen Bereich: u C (t)

Bild 8.37 Entladevorgang eines Kondensators über Widerstände

o U C (s)

du C (t)

o s ˜ U C (s)  u C (0)

dt iC (t)

o IC (s)

algebraische Gleichung: (R1 + R 2 ) ˜ C ˜ ª¬s ˜ U C (s)  u C (0) º¼ + U C (s) = 0

mit u C (0) = U s ˜ (R1 + R 2 ) ˜ C ˜ U C (s)  (R1 + R 2 ) ˜ C ˜ U + U C (s) = 0

Lösung der algebraischen Gleichung: U C (s) =

(R1 + R 2 ) ˜ C ˜ U 1 + s ˜ (R1 + R 2 ) ˜ C

=

W2 ˜ U 1 + s ˜ W2

Rücktransformation in den Zeitbereich: Mit Gl. (8.76) ist ­ W ˜U ½ u C (t) = L1 ® 2 ¾ ¯1 + s ˜ W 2 ¿

u C (t) = U ˜ e  t / W2

mit

W 2 = (R1 + R 2 ) ˜ C

(vgl. mit Gl. (8.16)).

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation

45

Der Entladestrom wird wieder mit der Laplace-Transformation berechnet: iC = C ˜

du C

o IC (s) = C ˜ ª¬s ˜ U C (s)  u C (0) º¼

dt

mit u C (0) = U I C (s) = C ˜ s ˜

U C (s) =

und W2 ˜ U

1 + s ˜ W2

W2 ˜ U 1 + s ˜ W2

C˜U

§ s ˜ W2 · s ˜ W2  1  s ˜ W2 IC (s) = ¨  1¸ ˜ C ˜ U = ˜C˜U 1 s 1 + s ˜ W2 + ˜ W 2 © ¹

I C (s) = 

C˜U . 1 + s ˜ W2

Mit Gl. (8.76) ist ­ C˜U ½ C ˜ U  t / W2 C˜U iC (t) = L1 ® ˜e = ˜ e  t / W2 ¾= 1 s (R + ˜ W W ¯ 2¿ 2 1 + R 2 )C

iC (t) = 

U ˜ e t / W 2 R1 + R 2

(vgl. mit Gl. (8.17)).

Wenn mit der Differentialgleichung für uC gerechnet wird, braucht auf den rechts- oder linksseitigen Grenzwert nicht geachtet zu werden, weil die uC-Funktion stetig ist. Wird von der Differentialgleichung für den bei t = 0 unstetigen Strom iC ausgegangen, dann geht ebenfalls uC(0) als Anfangsbedingung ein, wenn das Integral in der Differentialgleichung stehen bleibt: Differentialgleichung ab t = 0: (R1 + R 2 ) ˜ iC + u C = 0 uC =

mit

1 ˜ iC ˜ dt C

³

(R1 + R 2 ) ˜ iC +

1 ˜ iC ˜ dt = 0 C

³

Transformationen in den komplexen Bereich: iC (t)

o IC (s)

1 ˜ iC (t) ˜ dt C

o

³

IC (s) s˜C

+

I (s) 1 º 1 ª1 ˜ « ˜ iC (t) ˜ dt » = C + ˜ u (0) s ¬C s˜C s C ¼ t =0

³

algebraische Gleichung: (R1 + R 2 ) ˜ IC (s) + mit

u C (0) = U

IC (s) s˜C

+

1 ˜ u (0) = 0 s C

46

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen (R1 + R 2 ) ˜ IC (s) +

I C (s) s˜C

=

U s

Lösung der algebraischen Gleichung: I C (s) = 

I C (s) = 

U C˜U = 1 + s ˜ (R1 + R 2 ) ˜ C ª 1 º s ˜ «(R1 + R 2 ) + » s ˜ C¼ ¬

C˜U 1 + s ˜ W2

mit

W 2 = (R1 + R 2 ) ˜ C .

Die Lösung für IC (s) stimmt mit dem bereits berechneten Ergebnis überein. Wird aber die Differentialgleichung (R1 + R2) · iC +

1 ˜ iC ˜ dt = 0 C

³

nach t differenziert, um auf das Integral verzichten zu können, dann muss die Differentialgleichung mit einer Sprungfunktion gelöst und nach Gl. (8.88) mit dem rechtsseitigen Grenzwert iC (0+) gerechnet werden: Differentialgleichung: (R1 + R 2 ) ˜

diC dt

+

1 ˜i = 0 C C

Transformationen in den komplexen Bereich iC (t)

o IC (s)

diC (t)

o s ˜ IC (s)  iC (0+ ) dt algebraische Gleichung: (R1 + R 2 ) ˜ ª¬s ˜ I C (s)  iC (0+ ) º¼ +

mit

iC (0+ ) = 

1 ˜ I (s) = 0 C C

U R1 + R 2

1 ˜ I (s) = 0 C C Lösung der algebraischen Gleichung: (R1 + R 2 ) ˜ s ˜ IC (s) + U +

I C (s) = 

I C (s) = 

U C˜U = 1 1 + s ˜ (R1 + R 2 ) ˜ C + s ˜ (R1 + R 2 ) C

C˜U 1 + s ˜ W2

mit

W 2 = (R1 + R 2 ) ˜ C .

Die Lösung für IC(s) wird also mit dem rechtsseitigen Grenzwert bestätigt.

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation

47

Der Vorgang der Kondensatorentladung kann aber auch behandelt werden, wenn die Zeitfunktion des Kondensatorstroms iC(t) als Überlagerung der stetigen Fortsetzungsfunktion iCS(t) und der Sprungfunktion

'f0 ˜ V(t) = 

U ˜ V(t) R1 + R 2

aufgefasst wird (siehe Bild 8.38). Die Sprunghöhe ¨f0 = – U/(R1 + R2) ist gleich dem Kondensatorstrom zum Zeitpunkt t = 0+, der aus dem Schaltbild (Bild 8.36) zu ersehen ist: iC(0+) = 

U . R1 + R 2

Nach Gl. (8.92) muss dann mit dem linksseitigen Grenzwert gerechnet werden. Die Lösung ist die Fortsetzungsfunktion iCS(t), die schließlich noch mit der Sprungfunktion überlagert werden muss: Differentialgleichung: (R1 + R 2 ) ˜

diC dt

+

1 ˜i = 0 C C

Transformationen in den komplexen Bereich: diC (t)

o s ˜ ICS (s)  iC (0 ) = s ˜ ICS (s)

dt

mit iC (0 ) = 0 iC (t) = iCS (t) 

U U 1 ˜ V(t) o I CS (s)  ˜ R1 + R 2 R1 + R 2 s

algebraische Gleichung: (R1 + R 2 ) ˜ s ˜ ICS (s) +

1 1 U 1 ˜ ICS (s)  ˜ ˜ =0 C C (R1 + R 2 ) s

s ˜ (R1 + R 2 ) ˜ ICS (s) +

1 U ˜ I (s) = C CS s ˜ (R1 + R 2 )C

Lösung der algebraischen Gleichung: I CS (s) =

U 1 ˜ s ˜ (R1 + R 2 )C s ˜ (R1 + R 2 ) + 1/C

I CS (s) =

U 1 ˜ R1 + R 2 s ˜ ª¬s ˜ (R1 + R1 )C + 1º¼

I CS (s) =

U 1 ˜ R1 + R 2 s ˜ (1 + s ˜ W 2 )

mit W 2 = (R1 + R 2 ) ˜ C

48

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen Rücktransformation in den Zeitbereich: Mit Gl. (8.77) ist

iCS (t)

½° 1 U °­ L1 ® ˜ ¾ s ˜ (1  s ˜ W R  R ) ° 2 2 ¿ ¯° 1

iCS (t)

U ˜ (1  e t / W2 ) R1  R 2

Überlagerung der Fortsetzungsfunktion und der Sprungfunktion:

U ˜ V(t) R1  R 2

iC (t)

iCS (t) 

iC (t)

U U ˜ (1  e t / W2 )  R1  R 2 R1  R 2

iC (t)



U ˜ e t / W 2 R1  R 2

(vgl. mit Gl. (8.17))

Bild 8.38 Überlagerung der Fortsetzungsfunktion und der Sprungfunktion zur Zeitfunktion des Kondensatorstroms

Die bisher behandelten Laplace-Transformationen sind nur wenige ausgewählte Beispiele, mit denen nur einfache Ausgleichsvorgänge berechnet werden können. Die Berechnung von komplizierteren Ausgleichsvorgängen wäre sehr aufwändig, wenn bei jeder Transformation das Laplace-Integral gelöst werden müsste. In ausführlichen Korrespondenzen-Tabellen sind die Zeitfunktionen ihren Transformierten gegenübergestellt: Das Ausrechnen der Integrale bleibt dem Anwender damit erspart. Im Abschnitt 8.3.6, S. 86–91 sind ausgewählte Korrespondenzen in einer Tabelle zusammengefasst, mit denen die wichtigsten elektrischen Ausgleichsvorgänge berechnet werden können.

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation

49

Rücktransformation Mit Hilfe der Korrespondenzen-Tabelle und den Sätzen für Laplace-Operationen, die im Abschnitt 8.3.3 behandelt werden, lassen sich Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen überführen, die sich einfach lösen lassen. Die Lösungen der algebraischen Gleichungen werden mit Hilfe der Korrespondenzen-Tabelle und den genannten Sätzen in den Zeitbereich rücktransformiert. Dabei müssen die Lösungen der algebraischen Gleichungen in die Form gebracht werden, die in der Tabelle enthalten ist. Mathematisch bedeutet die Rücktransformation die Lösung des Integrals f (t) = L1 {F(s)} =

1 ˜ 2S ˜ j

c + j˜f

³

F(s) ˜ es ˜ t ˜ ds .

(8.96)

c  j˜f

Auf den Nachweis, dass dieses Umkehrintegral von den Bildfunktionen F(s) zu den Zeitfunktionen f(t) führt, soll in diesem Rahmen verzichtet werden; für die Rechenbeispiele hat sie keine Bedeutung, weil die Korrespondenzen-Tabellen auch für die Rücktransformation verwendet werden.

Berechnung von Ausgleichsvorgängen bei verschwindenden Anfangsbedingungen Bei vielen Ausgleichsvorgängen sind sämtliche Ströme und Spannungen – insbesondere Ströme durch Induktivitäten und Spannungen an Kapazitäten – bis zum Zeitpunkt des Schaltens t = 0 Null. Damit verschwinden die Anfangsbedingungen, und die Formeln für die Laplace-Transformierte der Ableitung einer Funktion (Gl. 8.83) und für die LaplaceTransformierte des Integrals einer Funktion (Gl. 8.95) vereinfachen sich: Mit f(0) = 0 und f –1(0) = ª f (t) ˜ dt º =0 ¬ ¼ t=0

³

lauten nun die Formeln: L {f c(t)} = s ˜ L {f (t)}

L

{³ f (t) ˜ dt} = 1s ˜ L{f (t)} .

(8.97)

(8.98)

50

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

Zwischen der Laplace-Transformierten des Stroms und der Laplace-Transformierten der Spannung in verschiedenen Bauelementen bestehen damit Zusammenhänge über reelle und komplexe Operatoren: ohmscher Widerstand u=R·i Zeitbereich (Originalbereich)

i=

u R

= G˜u

induktiver Widerstand u=L·

di

dt di u = M˜ dt 1 i = ˜ u ˜ dt L 1 i= ˜ u ˜ dt M

³

kapazitiver Widerstand u=

1 ˜ i ˜ dt C

³

i = C˜

du dt

U(s) =

I(s) sC

³

U(s) = R · I(s) komplexer Bereich (Bildbereich)

U(s) = sL · I(s) U(s) = sM · I(s)

U(s) I(s) = = G ˜ U(s) R

U(s) sL U(s) I(s) = sM

I(s) =

I(s) = sC · U(s)

Für Ausgleichsvorgänge in elektrischen Schaltungen mit verschwindenden Anfangsbedingungen kann deshalb eine Symbolische Methode ähnlich wie in der Wechselstromtechnik (siehe Band 2, Abschnitt 4.2.4, S. 19–22) angewendet werden. Dazu muss das Schaltbild für die zeitlich veränderlichen Größen entsprechend umgeformt werden: Alle Zeitfunktionen werden in entsprechende Laplace-Transformierte überführt. Ohmsche Widerstände R bleiben im Schaltbild unverändert, da der Operator zwischen der Laplace-Transformierten von Strom und Spannung R ist. Induktivitäten L und Gegeninduktivitäten M werden wie induktive Widerstände mit den komplexen Operatoren sL und sM behandelt. Die Operatoren ersetzen im Schaltbild L und M. Kapazitäten C werden als kapazitive Widerstände mit dem Operator 1/sC berücksichtigt, weil die Laplace-Transformierte des Stroms durch Multiplikation mit dem Operator 1/sC in die Laplace-Transformierte der Spannung überführt wird. Anstelle von C wird im Schaltbild 1/sC geschrieben. Nachdem die Operatoren im Schaltbild eingetragen sind, werden die Netzberechnungshilfen Spannungs- und Stromteilerregel im Band 1, Gln. (2.34) und (2.35) bzw. (2.58) und (2.59) angewendet, wodurch sich algebraische Gleichungen für die Laplace-Transformierten ergeben, die dann gelöst werden. Die Lösungen für die Laplace-Transformierten werden dann mit Hilfe der LaplaceKorrespondenzen in den Zeitbereich rücktransformiert.

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation

51

8.3.2 Lösungsmethoden für die Berechnung von Ausgleichsvorgängen Übersicht Wie in den vorhergehenden Abschnitten beschrieben, gibt es drei Lösungsverfahren für die Berechnung von Ausgleichsvorgängen: Verfahren 1: Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich (siehe Abschnitt 8.2) Verfahren 2: Lösung der Differentialgleichung mit Hilfe der LaplaceTransformation (siehe Abschnitt 8.3.1) Verfahren 3: Lösungsmethode mit Operatoren - Symbolische Methode (anwendbar nur bei verschwindenden Anfangsbedingungen, siehe Abschnitt 8.3.1) Rechenschema

52

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

Beispiele für die direkte Lösung von Differentialgleichungen im Zeitbereich (Verfahren 1) sind im Abschnitt 8.2 ausführlich behandelt. Im Abschnitt 8.3.1 ist ein einfaches Beispiel für die Lösung der Differentialgleichung mit Hilfe der Laplace-Transformation (Verfahren 2) ausgeführt. Ein weiteres Beispiel für das Verfahren 2 soll zeigen, dass die Eingangsspannung auch andere Formen als Gleich- oder sinusförmige Wechselspannung haben kann. Anschließend wird das Verfahren 3 mit Hilfe eines RC-Netzwerks erläutert. Beispiel 1: Berechnung eines Ausgleichsvorgangs über die Differentialgleichung mittels Laplace-Transformation (Verfahren 2) Schaltung mit Zeitfunktionen ab t = 0 und linearen Schaltelementen Eingangsspannung: Rampenfunktion 0 ­ u(t) = ® (U / T) ˜t ¯

für t d 0

Bild 8.39 Ausgleichsvorgang mit einer Rampenfunktion im Beispiel 1

für t > 0

Differentialgleichung im Zeitbereich ab t = 0 uR + uC = u R · i + uC = u mit i = C ·

du C dt

du C + uC = u dt Transformationen in den komplexen Bereich:

RC ·

U 1 ˜ T s2

u(t)

ĺ

uC(t)

ĺ UC(s)

du C (t) dt

ĺ s · UC(s) – uC(0)

(nach Gl. (8.75))

(nach Gl. (8.83))

algebraische Gleichung in s

RC · [s · UC(s) – uC(0)] + UC(s) = mit uC(0) = 0 s · RC · UC(s) + UC(s) =

U T ˜ s2

U T ˜ s2

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation

53

Lösung der algebraischen Gleichung in s UC(s) =

T ˜ s2

U U = 2 ˜ (1 + s ˜ RC) T ˜ s ˜ (1 + s ˜ W)

Rücktransformation in den Zeitbereich: Mit Korrespondenz Nr. 51 (siehe Abschnitt 8.3.6, S. 88)

(

­ ½ 1  t /T L–1 ® 2 ¾ = t  T 1 e ¯ s ˜ (1 + s ˜ T) ¿ ist die Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich

uC(t) =

mit

)

U ˜ [t  W ˜ (1  e t / W )] T Bild 8.40 Zeitlicher Verlauf der Kondensatorspannung im Beispiel 1 eines Ausgleichsvorgangs mit Rampenspannung

W=R·C

speziell: für

t=0

ist

uC(t) = 0

für

große t ist uC(t) =

U ˜ (t  W) T

Beispiel 2: Berechnung der Übertragungsfunktion und der Ausgangsspannung bei sinusförmiger Eingangsspannung (Verfahren 3) Schaltung mit Zeitfunktionen ab t = 0 und linearen Schaltelementen

Eingangsspannung u1(t): sinusförmige Wechselspannung ab t = 0 0 für t d 0 ­ u1 (t) = ® ¯uˆ ˜ sin Zt für t > 0

Bild 8.41 Schaltung mit Zeitfunktionen ab t = 0 des Beispiels 2

(siehe Bild 8.32) Schaltung mit transformierten Zeitfunktionen und komplexen Operatoren in s

Bild 8.42 Schaltung mit transformierten Zeitfunktionen und komplexen Operatoren in s des Beispiels 2

54

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen algebraische Gleichung in s Mit Hilfe der Spannungsteilerregel ergibt sich das Verhältnis der transformierten Ausgangsspannung U2 (s) zur transformierten Eingangsspannung U1(s), das Übertragungsfunktion G(s) genannt wird: 1 1 + sC U (s) 1 R = = G(s) = 2 1 1 1 · §1 U1 (s) § · +R+ 1+ ¨R + ¸ ˜ ¨ + sC ¸ 1 sC sC R © ¹ © ¹ + sC R U 2 (s) 1 = U1 (s) 1 + 1 + 1 + sRC + 1 sRC U 2 (s) sRC = = U1 (s) s 2 R 2C2 + 3sRC + 1

mit

s2 +

s 3 1 · § 2 RC ¨ s + s+ 2 2¸ RC R C ¹ ©

3 1 s+ 2 2 =0 RC R C 2

s1,2 = 

3 1 § 3 · ± ¨ ¸  2 2 2RC 2RC R ˜C © ¹

s1,2 = 

3 ± 2RC

s1 =

94 4 ˜ R 2C 2

3 + 5 0,38 = RC 2 ˜ RC

s2 =

3  5 2,62 = RC 2 ˜ RC

s . 0,38 · § 2,62 · § RC ¨ s + s ˜ + ¸ ¨ ¸ RC ¹ © RC ¹ © Die Pole und Nullstellen einer Übertragungsfunktion können in der Gaußschen Zahlenebene, der s-Ebene dargestellt werden. Das Pol-Nullstellen-Diagramm der berechneten Übertragungsfunktion ist im Bild 8.43 gezeichnet.

G(s) =

U 2 (s) s = = U1 (s) RC(s  s1)(s  s 2 )

Beispiel 8.43 Pol-Nullstellen-Diagramm der Übertragungsfunktion des Beispiels 2

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation

55

Lösung der algebraischen Gleichung in s Mit U1(s) = L {uˆ ˜ sin Zt} = uˆ ˜

s2

Z + Z2

(nach Gl. (8.78))

ist die Laplace-Transformierte der Ausgangsspannung U2(s) = U1(s) · G(s) =

Z ˜ uˆ s ˜ RC (s 2 + Z2 )(s  s1 )(s  s 2 )

Rücktransformation in den Zeitbereich: Mit der Korrespondenz Nr. 104 (siehe Abschnitt 8.3.6, S. 91) ­° ½° (d  c)e ct s+d (d  b)e bt L1 ® + + ¾= 2 2 2 2 2 2 ¯° (s + a )(s + b)(s + c) ¿° (c  b)(a + b ) (b  c)(a + c ) +

mit

d2 + a2 a 2 (a 2

+ b2 )(a 2 + c 2 )

˜ sin(at + ))

) = arctan(c/a) – arctan(d/a) – arctan(a/b)

und d = 0, a = Z, b = –s1, ist die Ausgangsspannung

c = –s2,

)=M

Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich

u2 =

s1 ˜ es1t s 2 ˜ es 2 t Z ˜ uˆ ª ˜« + + 2 2 RC « (s1  s 2 )(Z + s1 ) (s 2  s1 )(Z2 + s 2 2 ) ¬

mit

§ Z · § s · M = arctan ¨ 2 ¸  arctan ¨ ¸. Z © ¹ © s1 ¹

º ˜ sin(Zt + M) » »¼ (Z2 + s12 )(Z2 + s 2 2 ) 1

Nachdem die Laplace-Transformation eingeführt und deren Vorteile erkannt sind, stellt sich häufig die Frage, warum die Lösung von Differentialgleichungen im Zeitbereich noch behandelt werden muss, wenn mit der Laplace-Transformation wesentlich vielfältigere Ausgleichsvorgänge berechnet werden können als durch die direkte Lösung der Differentialgleichung. Durch die Lösung von Differentialgleichungen im Zeitbereich werden die Zusammenhänge zwischen den Größen des Ausgleichsvorgangs verständlich. Die Vorstellung, dass ein Ausgleichsvorgang als Überlagerung eines eingeschwungenen Vorgangs und eines flüchtigen Vorgangs aufgefasst werden kann, ist anschaulich. Allerdings lassen sich mit dem Verfahren 1 nur einfache Beispiele von Ausgleichsvorgängen berechnen. Dagegen sind die Lösungsmethoden mit Hilfe der Laplace-Transformation recht formalistisch. Ist das Prinzip der Abbildung in den beiden Verfahren erkannt und liegt eine ausführliche Korrespondenzen-Tabelle vor, dann dürften selbst schwierige Ausgleichsvorgänge lösbar sein.

56

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

Bei der Laplace-Transformation werden Differentialgleichungen durch algebraische Gleichungen ersetzt, die viel einfacher lösbar sind. Beispielsweise sind Ausgleichsvorgänge in gekoppelten Kreisen durch Lösen von Differentialgleichungen schwierig zu behandeln; mit algebraischen Gleichungen ist die Lösung einfach (siehe Abschnitt 8.3.4, Beispiel 2). Mit Hilfe der Laplace-Transformation können aber auch Beispiele berechnet werden, bei denen die Eingangsspannung ungewöhnliche Formen annehmen, z. B. Impulsfolgen (siehe Abschnitt 8.3.3 und Abschnitt 8.3.4, Beispiel 5).

8.3.3 Sätze für Operationen im Zeit- und Bildbereich der Laplace-Transformation Additionssatz Summen von Funktionen mit konstanten Faktoren im Zeitbereich entsprechen Summen von Funktionen mit den konstanten Faktoren im Bildbereich: L {a1 ˜ f1 (t) + a 2 ˜ f 2 (t) + ... + a n ˜ f n (t)} = a1 ˜ F1 (s) + a 2 ˜ F2 (s) + ... + a n ˜ Fn (s)

(8.99) Der Additionssatz folgt aus der Summen- und Faktorregel der Integralrechnung. Beispiel: L{a · sinZt + b · cosZt} = a · L{sinZt} + b · L{cosZt} = a ·

Z s2 + Z 2

+ b˜

s s2 + Z 2

(siehe Beispiel 5 im Abschnitt 8.3.1).

Ähnlichkeitssätze Die Ähnlichkeitssätze betreffen Faktoren a bzw. 1/a im Argument der Zeitfunktion und Bildfunktion mit a > 0 und reell: L {f (a ˜ t)} =

1 §s· ˜ F¨ ¸ a ©a¹

(8.100)

und

­ § t ·½ L ®f ¨ ¸ ¾ = a ˜ F(a ˜ s) ¯ © a ¹¿

(8.101)

Soll im Argument der Zeitfunktion der Faktor a oder 1/a berücksichtigt werden, dann wird in der Bildfunktion statt s ĺ s/a bzw. s ĺ a · s geschrieben, und die Bildfunktion wird mit 1/a bzw. a multipliziert. Der Nachweis über die Richtigkeit der Ähnlichkeitssätze kann mit Hilfe der Substitutionsmethode der Integralrechnung mit den Substitutionsgleichungen x = a · t bzw. x = t/a geführt werden.

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation

57

Beispiel 1: Nach der Korrespondenz Nr. 30, S. 86 ist mit a = 1 1

L{et} = F(s) =

. s1 Nach den Ähnlichkeitssätzen ergibt sich für L{eat} =

1 §s· 1 1 1 ˜ F¨ ¸ = ˜ = a © a ¹ a s/a  1 s  a

und L{et/a} = a · F(a · s) = a ·

1 a ˜s  1

=

1 s 1 / a

(siehe Beispiel 3 im Abschnitt 8.3.1, Gl. (8.76) mit W = – a). Beispiel 2: Nach der Korrespondenz Nr. 79, S. 90 ist mit a = 1 L{sin t} = F(s) =

1

s2 + 1 Nach den Ähnlichkeitsgesetzen ergibt sich für L{sinZt) =

Z 1 §s· 1 1 ˜ F¨ ¸ = ˜ = 2 Z © Z ¹ Z § s ·2 s + Z2 ¨ ¸ +1 © Z¹

(vgl. Gl. (8.78))

und L{sin2Zt} =

1 § s · ˜ F¨ ¸ 2Z © 2Z ¹

1 1 2Z ˜ = 2 2Z § s · 2 s + 4Z2 ¨ ¸ +1 © 2Z ¹

=

Dämpfungssatz

{

}

L e at ˜ f (t) = F(s + a)

mit a beliebig

(8.102)

Wird die Zeitfunktion mit dem Dämpfungsterm e–at multipliziert, dann muss in der Bildfunktion das Argument s in s + a umgewandelt werden. Beispiel 1: L{f(t)} = L{cosZt} = F(s) = L{e–at · cosZt} = F(s + a) =

s s2 + Z 2 s+a (s + a)2 + Z 2

(vgl. Gl. (8.79)) (vgl. Gl. (8.82) mit G = a)

Beispiel 2: ­ tn ½ 1 L {f (t)} = L ® ¾ = F(s) = n s +1 ¯ n! ¿

(nach Korrespondenz Nr. 29, S. 86)

­° t n ½° L ®eat ˜ ¾ n! °¿ °¯

(siehe Korrespondenz Nr. 32, S. 87)

=

F(s  a) =

1 (s  a) n+1

58

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

Verschiebungssätze Eine Rechtsverschiebung einer Zeitfunktion im Zeitdiagramm bedeutet mathematisch eine Änderung des Arguments von t in t – a. Für das Laplace-Integral ändert sich damit die Integrationsvariable, so dass die Substitutionsmethode der Integralrechnung angewendet werden muss: L {f (t  a)} =

f

³ f (t

f

 a) ˜ e s ˜ t

˜ dt =

0

³ f (x) ˜ es˜(x + a) ˜ dx

a

aus der Sustitutionsgleichung x = t – a

oder

dx = 1 und dt

ergibt sich

Integrationsgrenzen:

L {f (t  a)} = es ˜a ˜

t=x+a

dt = dx

t = 0:

x=–a

t= f:

x= f

f

³ f (x) ˜ es˜ x ˜ dx

a

f ª0 º  s ˜ x « ˜ ˜ dx + f (x) ˜ es ˜ x ˜ dx » L {f (t  a)} = f (x) ˜ e « » 0 ¬ a ¼ 0 ª º L {f (t  a)} = ea ˜s ˜ « f (x) ˜ es ˜ x ˜ dx + F(s) » mit a • 0 und x = t – a (8.103) « » ¬ a ¼ In vielen Fällen kann der Verschiebungssatz vereinfacht werden, wenn f(x) = 0 oder f (t – a) = 0 für x = t – a < 0 oder t < a:

e s ˜ a

³

³

³

L {f (t  a)} = ea ˜s ˜ F(s) .

(8.104)

Durch den Verschiebungssatz erfasst die Laplace-Transformation die Zeitfunktion f(t) ab t = a. Beispiel 1: Laplace-Transformierte der verschobenen Sprungfunktion Die Laplace-Transformierte der Sprungfunktion ist im Beispiel 1 im Abschnitt 8.3.1 berechnet:

1 L{V(t)} = F(s) = . s Mit dem Verschiebungssatz ergibt sich die Laplace-Transformierte der nach rechts verschobenen Sprungfunktion: L{V(t – a)} = e–a · s · F(s) =

e a ˜s s

(8.105)

Bild 8.44 Verschobene Sprungfunktion

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation

59

Beispiel 2: Laplace-Transformierte einer Impulsfolge Eine periodische rechteckige Impulsfolge kann als Überlagerung von verschobenen Sprungfunktionen aufgefasst werden, indem von der Sprungfunktion die um a verschobene Sprungfunktion subtrahiert wird und die um 2a verschobene Sprungfunktion addiert wird und die um 3a verschobene Sprungfunktion subtrahiert wird usw. (siehe Bild 8.45): f(t) = V(t) – V(t – a) + V(t – 2a) – V(t – 3a) + V(t – 4a) – + …

Bild 8.45 Verschobene Sprungfunktionen und die Impulsfolge

Die verschobenen Sprungfunktionen lassen sich nach Gl. (8.105) transformieren: L{f(t)} =

1 e as e 2as e 3as e 4as  +  +  + ... s s s s s

L{f(t)} =

1 ª ˜ 1  (e as ) + (e as ) 2  (e as )3 + (e as )4  +...º ¼ s ¬

mit der Potenzreihe 1 = 1  x + x 2  x 3 + x 4  +... 1+ x

mit x < 1 und x = e as

ist die Laplace-Transformierte der Impulsfolge L{f(t)} =

1 s (1 + e as )

(8.106)

60

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen Beispiel 3: Laplace-Transformierte von periodischen Sinusimpulsen Wird einer Sinusfunktion ab t = 0 eine um S/Z verschobene Sinusfunktion gleicher Amplitude und gleicher Frequenz überlagert, dann bleibt nur ein Sinusimpuls übrig. Die weiteren nach rechts verschobenen Sinusimpulse entstehen auf die gleiche Weise:

Bild 8.46 Verschobene Sinusfunktionen und die Impulsfolge

Die Laplace-Transformierte der Sinusimpulse ist gleich der Summe der Laplace-Transformierten der verschobenen Sinusfunktionen (siehe Gl. (8.78)):

L{f(t)} =

Z s2 + Z 2

+

Z s2 + Z 2

S  s ˜e Z

+

Z s2 + Z 2

2S  s ˜e Z

+

Z s2 + Z 2

3S  s ˜e Z

+ ...

ª § S · § S · 2 § S ·3 º Z «1 + ¨ e  Z s ¸ + ¨ e  Z s ¸ + ¨ e Z s ¸ + ...» L{f(t)} = 2 ˜ » ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ s + Z2 « ¨ ¹ © ¹ © ¹ ¬« © ¼»

mit

1 = 1 + x + x 2 + x 3 + ... mit 1 x

L{f(t)}

=

Z s2

+

Z2

˜

1 1 e



S s Z

x <1

und

x=e

S  s Z

(8.107)

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation

61

Beispiel 4: Laplace-Transformierte einer dreieckförmigen Zeitfunktion Die dreieckförmige Zeitfunktion kann aus verschobenen Geraden zusammengesetzt werden, deren Laplace-Transformierten addiert werden:

­1 ½ L ® t¾ ¯a ¿ ­ 2

1

(siehe Gl. (8.75))

as 2

½

2

(t  a) ¾



½ ­2 L ® (t  2a) ¾ ¿ ¯a

2

L ®

¯ a

­ 2

L ®

¯

a

¿

½



¿

e as

e 2as

2 as 2

e 3as usw.

º 2 ª1 ˜ «  e as  e 2as  e 3as  ...» as 2 ¬ 2 ¼

L{f(t)}=

2 as2

1 1 x

mit

as 2

(t  3a) ¾

L{f(t)}=

as 2

L{f(t)}=

L{f(t)}=

ª 1 º ˜ «   (1  e as  (e as )2  (e as )3  ...) » ¬ 2 ¼ 1  x  x 2  x 3  ... und x

ª 1 1 º ˜ «  » as 2 ¬ 2 1  e as ¼ 2

1  e as as 2 ˜ (1  e as )

2 as 2

˜

Bild 8.47 Verschobene Geradenfunktionen und Dreieckfunktion

e as

1  e as  2 2(1  e as )

.

Linksverschiebung bedeutet, dass das Argument der Funktion f(t) durch t + a ersetzt wird. Da die Linksverschiebung für praktische Berechnungen weniger Bedeutung hat, soll nur die Transformationsformel ohne Erläuterung angegeben werden: L ^f (t  a)`

a ª º ea ˜s ˜ « F(s)  f (x) ˜ es ˜ x ˜ dx » « » 0 ¬ ¼

³

mit

a•0

(8.109)

Faltungssatz F1 (s) ˜ F2 (s)

L ^f1 (t) f 2 (t)`

­° t ½° L ® f1 (W) ˜ f 2 (t  W) ˜ dW ¾ °¯ 0 ¿°

³

(8.110)

Bei der Rücktransformation von Bildfunktionen, die aus zwei Faktoren F1(s) und F2(s) bestehen, lässt sich der Faltungssatz anwenden. Dabei müssen die inversen Funktionen von F1(s) und F2(s) bekannt sein: t

f (t)

L1 ^F(s)`

L1 ^F1 (s) ˜ F2 (s)`

³ f1 (W) ˜ f2 (t  W) ˜ dW 0

(8.111)

62

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen Beispiel: Für die Bildfunktion F(s) =

1 (s  a)(s  b)

= F1 (s) ˜ F2 (s)

soll die zugehörige Zeitfunktion mit dem Faltungssatz ermittelt werden. Mit

­ 1 ½ at ¾=e ¯s  a ¿

f1(t) = L–1{F1(s)} = L–1 ®

und

(nach Korrespondenz Nr. 30, S. 86)

­ 1 ½ bt ¾=e ¯s  b ¿

f2(t) = L–1{F2(s)} = L–1 ®

ergibt sich mit dem Faltungssatz t ½ t aW b(t W) ˜ dW = ³ e(a  b) W ˜ ebt ˜ dW ¾ = ³e ˜e ¯ (s  a)(s  b) ¿ 0 0

­ f (t) = L1 ®

1

t

e(a  b)W f (t) = e bt ˜ ³ e(a  b)W ˜dW = e bt ˜ ab 0

t

= e bt ˜ 0

½ eat  e bt ¾= ab ¯ (s  a)(s  b) ¿ ­

1

f (t) = L1 ®

e(a  b)t 1 e bt+at bt e bt = ab ab

(vgl. Korrespondenz Nr. 34, S. 87)

Differenzieren und Integrieren von Bildfunktionen dF(s) = L {t ˜ f (t)} ds

f

­1

½

³ F(s) ˜ ds = L ®¯ t ˜ f (t) ¾¿

(8.112)

(8.113)

s

Beispiel 1: Sprungfunktion und Rampenfunktion 1

F(s) =

­1 ½ L1 {F(s)} = L1 ® ¾ = f(t) = V(t) ¯s ¿

s

dF(s)

= 

ds

­ dF(s) ½ ­1½ ¾ = L1 ® 2 ¾ = t ˜ f (t) = t ˜ V(t) ¯ ds ¿ ¯s ¿

1

L–1 ® 

s2

Beispiel 2:

F(s) =

dF(s) ds

­

1 (s  = 

L–1 {F(s)} = L1 ®

a) 2

1

¯ (s 

2 (s  a)3

a) 2

½ ¾ = f (t) = t ˜ e at ¿

­ 2 ½ ­ dF(s) ½ ¾ = L1 ® ¾ = t ˜ f (t) = t 2 ˜ eat ¯ ds ¿ ¯ (s  a)3 ¿

L–1 ® 

(siehe Korrespondenzen Nr. 31 und 32 mit n = 2, S. 87)

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation

63

Endwertsatz Der Endwertsatz der Laplace-Transformation erlaubt es, den Endwert einer Zeitfunktion f(t) aus ihrer Laplace-Transformierten F(s) zu bestimmen: lim f(t) = lim s ˜ F(s)

tof

(8.114)

so0

Beispiel: f(t) = 1 – e–t/W

F(s) =

1 s(1 + s ˜ W)

(siehe Gl. (8.77))

1 lim (1  e  t / W ) = lim =1 t of s o0 1 + s ˜ W

Anfangswertsatz Mit dem Anfangswertsatz der Laplace-Transformation ist es möglich, den Anfangswert einer Zeitfunktion f(t) aus ihrer Laplace-Transformierten F(s) zu ermitteln: lim f (t) = lim s ˜ F(s)

to0

(8.115)

sof

Beispiel:

f(t) = 1 – e–t/W

F(s) =

1 s(1 + s ˜ W)

(siehe Gl. (8.77))

1 lim (1  e  t / W ) = lim =0 t o0 s of 1 + s ˜ W

8.3.4 Berechnung von Ausgleichsvorgängen in einfachen Stromkreisen bei zeitlich konstanter und zeitlich sinusförmiger Quellspannung mittels Laplace-Transformation Anhand von Rechenbeispielen soll deutlich werden, wann es sinnvoll ist, die LaplaceTransformation für die Berechnung von Ausgleichsvorgängen zu verwenden. Einfache Ausgleichsvorgänge lassen sich im Zeitbereich lösen, wie im Abschnitt 8.2 gezeigt wurde. Diese Beispiele können dann durch Anwendung der Laplace-Transformation kontrolliert werden. Kompliziertere Ausgleichsvorgänge, z. B. in gekoppelten Kreisen, sollten mit Hilfe der Laplace-Transformation gelöst werden. Beispiel 1: Die im Bild 8.48 gezeichnete Schaltung beschreibt einen Ausgleichsvorgang, der im Zeitbereich gelöst und mit der LaplaceTransformation kontrolliert werden soll. 1. Zunächst ist der zeitliche Verlauf der Spannung uC an der Kapazität durch Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich zu berechnen. Anschließend ist der Strom iC zu ermitteln. 2. Dann sind die Ergebnisse mit Hilfe der Laplace-Transformation zu kontrollieren. 3. Schließlich sind die Lösungen mit Ri = 0 zu vereinfachen und die Verläufe uC (t) und iC(t) darzustellen.

Bild 8.48 Schaltbild zum Beispiel 1

64

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen Lösung: Zu 1. uC + uRr + uRp = 0 uC + (Rr + Rp) · iC = 0 uC + (Rr + Rp) · C ·

du C dt

=0

du C

mit iC = C ˜

dt

uCe = 0 uCf = K · e–t/W mit

W = (Rr + Rp) · C

für t = 0: uC(0–) = uC(0+) = uCe(0+) + uCf(0+) R p ˜ Uq Ri + Rp

=0+K

uC(0–) = Rp · iRp = Rp ·

weil für t < 0:

uC = uCf =

iC = 

R p ˜ Uq Ri + Rp

uC

=

Rr + Rp

Uq Ri + Rp

(R r ist stromlos)

˜ e t / W

(8.116) R p ˜ Uq

(R i + R p )(R r + R p )

˜ e t / W

(8.117)

Zu 2. Das Ergebnis kann nur mit dem Verfahren 2 kontrolliert werden, weil die Anfangsbedingung ungleich Null ist. Die Differentialgleichung

du C

=0 dt wird in die algebraische Gleichung transformiert: uC + (Rr + Rp) · C ·

UC(s) + (Rr + Rp) · C · [s · UC(s) – uC(0)] = 0 mit uC(0) = Rp ·

Uq Ri + Rp

UC(s) + (Rr + Rp) · C · s · UC(s) –

(R r + R p ) ˜ C ˜ R p ˜ U q Ri + Rp

(R r + R p ) ˜ C ˜ R p ˜ U q UC(s) =

UC(s) =

Ri + Rp 1 + s ˜ (R r + R p ) ˜ C (R r + R p ) ˜ C ˜ R p ˜ U q Ri + Rp

˜

1 1 + s ˜ (R r + R p ) ˜ C

=0

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation Mit der Korrespondenz Nr. 48, S. 88 1 t / T e T

­ 1 ½ L1 ® ¾ ¯1  sT ¿

ist uC(t) =

uC(t) =

(R r  R p ) ˜ C ˜ R p ˜ U q Ri  Rp R p ˜ Uq

˜

˜ e t / W

Ri  Rp

1 ˜ e t / W (R r  R p ) ˜ C

(vgl. Gl. (8.116)).

Die Stromgleichung

u C (t)

iC(t) = 

Rr  Rp

wird ebenfalls in den Bildbereich transformiert IC(s) = 

IC(s) = 

IC(s) = 

U C (s) Rr  Rp (R r  R p ) ˜ C ˜ R p ˜ U q (R i  R p ) ˜ (R r  R p ) C ˜ R p ˜ Uq Ri  Rp

˜

˜

1 1  s ˜ (R r  R p ) ˜ C

1 1  s ˜ (R r  R p ) ˜ C

und mit der Korrespondenz Nr. 48 (siehe oben) rücktransformiert: iC(t) = 

iC(t) = 

C ˜ R p ˜ Uq Ri  Rp

˜

1 ˜ e t / W (R r  R p ) ˜ C

R p ˜ Uq (R i  R p ) ˜ (R r  R p )

˜ e t / W

Zu 3. Mit Ri = 0 ist nach Gl. (8.116) und nach Gl. (8.117) uC(t) = Uq · e–t/W und iC (t)



Uq Rr  Rp

˜ e t / W

Bild 8.49 Strom- und Spannungsverlauf im Beispiel 1

(vgl. Gl. (8.117))

65

66

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen Beispiel 2: An einen Transformator mit gleichsinnigem Wickelsinn, konstanter Permeabilität P, Kopplungsfaktor k < 1 und einer ohmschen Belastung R wird zum Zeitpunkt t = 0 mit Hilfe eines Schalters eine Gleichspannung U angelegt. Der zeitliche Verlauf des Sekundärstroms i2(t) ist zu berechnen.

Bild 8.50 Schaltbild für das Beispiel 2 Lösung: Der Ausgleichsvorgang wird nach dem Verfahren 2 (siehe Abschnitt 8.3.2) mit Hilfe der Laplace-Transformation (Transformation der Differentialgleichung) berechnet. Differentialgleichungen ab t = 0: Nach Gl. (3.354) (siehe Band 1, Abschnitt 3.4.7.2) und mit M12 = M21 = M wegen P konstant (siehe Band 1, Gl. (3.340) im Abschnitt 3.4.7.2) ist u1 = R1 · i1 + L1 ·

di1 dt

u2 = – R2 · i2 – L2 ·

M˜

di2 dt

di2 dt

+M˜

di1 dt

u2 = R · i 2 algebraische Gleichungen und Lösung für I2(s): Die Laplace-Transformationen u1(t) = U · V(t) o U1(s) = i1(t) di1 (t) dt

U s

o I1(s) o S · I1(S) – i1(0)

u2(t)

o U2(s)

i2(t)

o I2(s)

di2 (t) dt

o s ˜ I 2 (s)  i2 (0)

ergeben das Gleichungssystem U = R1 ˜ I1 (s) + L1 ˜ ª¬s ˜ I1 (s)  i1 (0) º¼  M ˜ ª¬s ˜ I 2 (s)  i2 (0) º¼ s U 2 (s) = R 2 ˜ I 2 (s)  L 2 ˜ ª¬s ˜ I 2 (s)  i2 (0) º¼ + M ˜ ª¬s ˜ I1 (s)  i1 (0) º¼

U 2 (s) = R ˜ I 2 (s)

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation

67

und mit i1(0) = 0 und i2(0) = 0 U = [R1 + s ˜ L1 ] ˜ I1 (s)  s ˜ M ˜ I 2 (s) s

(8.118)

U2(s) = – [R2 + s · L2] · I2(s) + s · M · I1(s)

(8.119)

U2(s) = R · I2(s)

(8.120)

Dieses Gleichungssystem kann auch ermittelt werden, wenn die Schaltung mit Zeitfunktionen ab t = 0 mit linearen Schaltelementen in eine Schaltung mit transformierten Zeitfunktionen und komplexen Operatoren in s (Verfahren 3, Abschnitt 8.3.2) überführt wird (siehe Bild 8.51). Die Transformation ist möglich, weil die Anfangsbedingungen der Ströme Null sind:

Bild 8.51 Schaltung mit transformierten Zeitfunktionen und komplexen Operatoren des Beispiels 2 Gl. (8.119) und Gl. (8.120) werden gleichgesetzt – [R2 + s · L2] · I2(s) + s · M · I1(s) = R · I2(s) und nach I1(s) aufgelöst I1(s) =

R + R 2 + s ˜ L2

˜ I 2 (s) s˜M und in Gl. (8.118) eingesetzt

º U ª (R1 + s ˜ L1 ) ˜ (R + R 2 + s ˜ L 2 ) =«  s ˜ M » ˜ I 2 (s) s s ˜ M ¬ ¼

s 2 ˜ M 2  (R1 + s ˜ L1 ) ˜ (R + R 2 + s ˜ L 2 ) U = ˜ I 2 (s) s s˜M und nach I2(s) aufgelöst I2(s) = 

U s˜M ˜ s s 2 ˜ M 2  (R1 + s ˜ L1 ) ˜ (R + R 2 + s ˜ L 2 )

I2(s) = U ˜ I2(s) = U ˜

I2(s) = U ˜

M s 2 ˜ (L1L 2  M 2 ) + s ˜ ª¬ L1 ˜ (R + R 2 ) + L 2 ˜ R1 º¼ + R1 ˜ (R + R 2 ) M L1L 2 

M2

˜ s2 + s ˜

1 L1 ˜ (R + R 2 ) + L 2 ˜ R1 L1L 2 

M 1 ˜ L1L 2  M 2 s 2 + s ˜ 2A + B

M2

+

R1 ˜ (R + R 2 ) L1L 2  M 2 (8.121)

68

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen mit A =

L1 ˜ (R + R 2 ) + L 2 ˜ R1 2 ˜ (L1L 2  M 2 )

I2(s) = U ˜

M L1L 2 

M2

˜

und B =

R1 ˜ (R + R 2 ) L1L 2  M 2

(8.122)

1 (s  s1 ) ˜ (s  s 2 )

Rücktransformation in den Zeitbereich: Mit der Korrespondenz Nr. 34, S. 87 ­ ½ 1 1 L–1 ® (eat  e bt ) ¾= ¯ (s  a)(s  b) ¿ a  b lässt sich die Rücktransformation vornehmen, wenn nachgewiesen ist, dass die quadratische Gleichung s2 + s · 2A + B = 0 zwei reelle Wurzeln s1 = a und s2 = b hat:

s1,2 = A ± A 2  B = A ± D mit D2 = A2 – B > 0 [L1 ˜ (R + R 2 ) + L 2 ˜ R1 ]2 4 ˜ (L1L 2 

M 2 )2



R1 ˜ (R + R 2 ) L1L 2  M 2

>0

[L1 ˜ (R + R 2 ) + L 2 ˜ R1 ]2  4 ˜ R1 ˜ (R + R 2 )(L1L 2  M 2 ) 4 ˜ (L1L 2  M 2 )2

>0

[L1 ˜ (R + R 2 ) + L 2 ˜ R1 ]2  4 ˜ ª¬ L1 ˜ (R + R 2 ) º¼ ˜ ª¬ L 2 ˜ R1 º¼ + 4 ˜ R1 ˜ (R + R 2 ) ˜ M 2 >0 4 ˜ (L1L 2  M 2 )2 mit u = L1 · (R + R2) und v = L2 · R1 ist (u + v)2 – 4 u v = u2 + 2 u v + v2 – 4 u v = u2 – 2 u v + v2 = (u – v)2 und damit ist D2 =

[L1 ˜ (R + R 2 )  L 2 ˜ R1 ]2 + 4 ˜ R1 ˜ (R + R 2 ) ˜ M 2 4 ˜ (L1L 2  M 2 )2

>0.

Diese Ungleichung ist erfüllt, die Lösungen der quadratischen Gleichung sind reell: s1 = – A + D und s2 = – A – D, und die Lösung für den Sekundärstrom lautet i2(t) = U ˜ mit

(

M 1 ˜ ˜ es1˜t  es2 ˜t L1L 2  M 2 s1  s 2

)

s1 – s2 = 2D

i2(t) = U ˜ i2(t) = U ˜ mit A =

und D =

M D ˜ (L1L 2 

M2 )

M D ˜ (L1L 2  M 2 )

˜ e A ˜t ˜

e D˜t  e D˜t 2

˜ e  A ˜ t ˜ sinh(D ˜ t)

L1 ˜ (R + R 2 ) + L 2 ˜ R1 2 ˜ (L1L 2  M 2 ) [L1 ˜ (R + R 2 )  L 2 ˜ R1 ]2 + 4 ˜ R1 ˜ (R + R 2 ) ˜ M 2 2 ˜ (L1L 2  M 2 )

(8.123)

(8.124)

(8.125)

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation

69

Nach Gl. (3.369) im Band 1, Abschnitt 3.4.7.3 ist k=

M L1L 2

und M 2 = k 2 ˜ L1L 2 .

Da der Koppelfaktor k nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen kann, ist M2 < L1L2

oder

L1L2 – M2 > 0.

Der zeitliche Verlauf des Sekundärstroms ist im Bild 8.52 dargestellt.

Bild 8.52 Zeitlicher Verlauf des Sekundärstroms des Beispiels 2 Beispiel 3: An der mit ohmschen Widerständen beschalteten Spule wird zum Zeitpunkt t = 0 eine sinusförmige Spannung u = uˆ ˜ sin(Zt + Mu ) angelegt. Der Ausgleichsstrom iL soll mit Hilfe der Laplace-Transformation berechnet werden. Da dieser Ausgleichsvorgang im Abschnitt 8.2.3, S. 14–19 durch Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich behandelt ist, soll in diesem Beispiel das Ergebnis der Gl. (8.26) bestätigt werden.

Bild 8.53 Schaltbild für das Beispiel 3 Lösung: Differentialgleichung ab t = 0: Nach Gl. (8.22), S. 14 lautet die Differentialgleichung Rers · iL + Lers · mit Rers = R1 +

di L = uˆ ˜ sin(Zt + Mu ) dt §R · R1 ˜ R L + R L und Lers = L ˜ ¨ 1 + 1¸ R2 R © 2 ¹

algebraische Gleichung und Lösung der algebraischen Gleichung: Mit Gl. (8.80), S. 33

L {û ˜ sin(Zt + Mu )} = û ˜

sin Mu ˜ s + cos Mu ˜ Z s 2 + Z2

70

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen ergibt sich die algebraische Gleichung R ers ˜ IL (s) + Lers ˜ [s ˜ I L (s)  i L (0)] = û ˜

sin Mu ˜ s + cos Mu ˜ Z s 2 + Z2

mit iL(0) = 0

[ R ers + s ˜ Lers ] ˜ IL (s) = û ˜ I L (s) =

sin Mu ˜ s + cos Mu ˜ Z s 2 + Z2

û sin Mu ˜ s + cos Mu ˜ Z ˜ R e rs + s ˜ Lers s 2 + Z2

Mit Korrespondenz Nr. 101, S. 91 ­ ½ s+d db d2 + a 2 L1 ® 2 ˜ e bt + 2 2 ˜ sin(at + ) ) ¾= 2 2 2 a b + a4 ¯ (s + a )(s + b) ¿ a + b mit ) = arctan(b/a) – arctan(d/a) ­ ½ cos Mu s+ ˜Z ° ° sin Mu ° û ˜ sin Mu ° ˜ iL(t) = L1 ® ¾ L § · R ers ° (s 2 + Z2 ) ¨ s + ers ¸ ° °¯ Lers ¹ °¿ ©

mit

d=

cos Mu ˜ Z = Z ˜ cot Mu , sin Mu

a=Z

und

b=

cos Mu R ˜ Z  ers û ˜ sin Mu sin Mu Lers  t / W ˜e ˜ + iL(t) = 2 R Lers Z2 + ers Lers 2 cos 2 Mu ˜ Z2 + Z2 û ˜ sin Mu sin 2 Mu + ˜ ˜ sin(Zt + ) ) R 2 Lers Z2 ˜ ers + Z4 Lers 2

cos Mu ˜ ZLers  sin Mu ˜

iL(t) = û ˜

Z2 L

+û ˜

ers

2

R ers ˜ Lers Lers

R 2 + ers ˜ Lers 2 Lers 2

˜ e t / W +

Z2 ˜ (cos 2 Mu + sin 2 Mu ) ˜ sin(Zt + ) ) Z2 ˜ (R ers 2 + Z2 Lers 2 )

R ers 1 = Lers W

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation iL(t) =

û Zers

mit

Zers = R ers 2 + (ZLers )2

ª§ º ZLers R · ˜ «¨ cos Mu ˜  sin Mu ˜ ers ¸ ˜ e  t / W + sin(Zt + ) )» Z Z © ¹ ers ers ¬ ¼

ZLers = sin M Zers

und

71

und

und

cos2Mu + sin2Mu = 1

R ers = cos M Zers

iL(t) =

uˆ ˜ ª(cos Mu ˜ sin M  sin Mu ˜ cos M) ˜ e  t / W + sin(Zt + ) ) º¼ Zers ¬

mit

cosMu · sinM – sinMu · cosM = –sin(Mu – M) weil sin (D  E) = sin D ˜ cosE  cosD ˜ sinE – sin(Mu –M) = –sinMu · cosM + cosMu · sinM § R · ) = arctan ¨ ers ¸  arctan(cos Mu ) © ZLers ¹

und

mit

tanM =

ZLers R ers

bzw. cot M =

R ers ZLers

) = arctan(cot M)  arctan(cot M u )

mit arctan x = )= iL(t) =

S  arccot x 2

S S  arccot(cot M)  + arccot(cot M u ) = M u  M 2 2

uˆ ˜ ªsin(Zt + Mu  M)  sin(Mu  M) ˜ e  t / W º¼ Zers ¬

(vgl. mit Gl. (8.26), S. 17)

Beispiel 4: An den Reihenschwingkreis wird zum Zeitpunkt t = 0 eine Gleichspannung U angelegt. 1. Durch Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich sind die Spannung uC(t) und der Strom i(t) zu berechnen und darzustellen. 2. Mit Hilfe der Laplace-Transformation sind die Ergebnisse für uC(t) zu kontrollieren.

Bild 8.54 Schaltbild des Beispiels 4

72

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen Lösung: Zu 1. Differentialgleichungen ab t = 0 für die Spannung uC: uR + uL + uC = U di + uC = U dt

R·i+L·

i =C˜

und

d 2uC di = C˜ dt dt 2

R·C·

du C

d 2uC

+

dt

R · i + L·

du C

mit

dt 2

für den Strom i: uR + uL + uC = U

dt

+ L˜C˜

d 2uC dt 2

Cf dt 2

1 ˜ i ˜ dt C

R·i+L·

di 1 + ˜ i ˜ dt = U dt C

di

dt 2

³

+ L˜

dt

d 2i

R du C 1 U ˜ + ˜u = L dt L˜C C L˜C

uCe = U d2u

mit uC =

R·

+ uC = U

di + uC = U dt

³

d 2i dt 2

+

1 C

˜i = 0

R di 1 ˜ + ˜i = 0 L dt L ˜ C

+

ie = 0 d 2 if

R du Cf 1 ˜ + ˜u = 0 L L ˜ C Cf dt

+

dt 2

+

R dif 1 ˜ + ˜i = 0 L dt L˜C f

Die homogenen Differentialgleichungen für die flüchtigen Vorgänge sind identisch mit den Differentialgleichungen der Entladung eines Kondensators mittels Spule im Abschnitt 8.2.4, S. 21, Gln. (8.34) und (8.35). Deshalb kann die weitere Rechnung dort eingesehen werden, und die Lösungen können übernommen werden: für O1 z O 2 :

uCf = K1 · e if = C ˜ für O1

=

O1t

du Cf

dt O2 = O :

+ K2 · e

O2 t

(siehe S. 22, Gl. (8.41))

= C ˜ (K1 ˜ O1 ˜ e O1t + K 2 ˜ O 2 ˜ e O 2 t )

(siehe S. 22, Gl. (8.42))

u Cf = (K1 + K 2 ˜ t) ˜ e Ot if = C ·

du Cf dt

= C ˜ (K 2 + O ˜ K1 + O ˜ K 2 ˜ t) ˜ e Ot

Konstantenbestimmung für O1 z O 2 : uC(0–) = uC(0+) = uCe(0+) + uCf(0+) 0 = U + K1 + K2 oder

(siehe S. 23, Gl. (8.43))

– U = K1 + K2

i(0–) = i(0+) = ie(0+) + if(0+) 0 = 0 + C · (K1 · O1 + K2 · O2)

(siehe S. 23, Gl. (8.44))

für O1 = O 2 = O : uC(0–) = uC(0+) = uCe(0+) + uCf(0+) 0 = U + K1 oder

– U = K1

i(0–) = i(0+) = ie(0+) + if(0+) 0 = C · (K2 + O · K1)

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation

73

Für beide Fälle sind die Bestimmungsgleichungen für die beiden Konstanten mit Uq ĺ U gleich den Gln. (8.45) und (8.46) bzw. Gln. (8.49) und (8.50), siehe S. 24, so dass die Ergebnisgleichungen übernommen werden können. Zu beachten ist, dass das hier die Lösungen für den flüchtigen Vorgang sind. Bei der Kondensatorspannung muss jeweils noch uCe = U überlagert werden, bei den Strömen ist der eingeschwungene Strom Null. Aperiodischer Fall:

(siehe Gln. (8.58) und (8.61), S. 25, 26)

­ ªG º½ N N uC(Gt) = U · ®1  e Gt ˜ « ˜ sinh (Gt) + cosh (Gt) » ¾ G G N °¯ ¬ ¼ °¿ i(Gt) = mit

(8.126)

N U ˜ eGt ˜ sinh (Gt) G N˜L

N = G2 

1 LC

(8.127) G=

und

R 2L

Bild 8.55 Zeitliche Verläufe der Kondensatorspannung und des Stroms für den aperiodischen Fall

Aperiodischer Grenzfall: (siehe Gln. (8.63) und (8.65), S. 26, 27)

{

uC(Gt) = U · 1 – [1 + (Gt)] · e – Gt

i(Gt) =

U ˜ 2 ˜ (Gt) ˜ e Gt R

mit G =

}

(8.128) (8.129)

R 2L

Bild 8.56 Zeitliche Verläufe der Kondensatorspannung und des Stroms für den aperiodischen Grenzfall

74

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen Periodischer Fall – Schwingfall: (siehe Gln. (8.71) und (8.72), S. 29) ½ ­ 2 G  (Zt) § G· ° ° ˜ sin(Zt + M) ¾ uC(Zt) = U · ®1  ¨ ¸ + 1 ˜ e Z © ¹ Z ° ° ¿ ¯

(8.130)

G

 (Zt) U ˜e Z ˜ sinZt ZL

i(Zt) = mit

1  G2 , LC

Z=

G=

(8.131) R 2L

und

M = arc tan

Z G

Bild 8.57 Zeitliche Verläufe der Kondensatorspannung und des Stroms für den aperiodischen Grenzfall Zu 2. Da die Anfangsbedingungen Null sind, kann mit der Schaltung mit transformierten Zeitfunktionen und komplexen Operatoren (Verfahren 3) gerechnet werden: Mit der Spannungsteilerregel ist 1 U C (s) sC = U1 (s) R + sL + 1 sC

UC(s) =

1 ˜ U1 (s) sRC + s 2 LC + 1

mit U1(s) = UC(s) =

U s

U ˜ LC

mit s2 +

1 1 · § 2 R s ˜ ¨s + s + ¸ L LC ¹ ©

R 1 =0 s+ L LC 2

s1,2 = 

§ R· R 1 ± ¨ ¸  = G ± G 2  Z 0 2 = G ± N 2L LC © 2L ¹

Aperiodischer und periodischer Fall für s1 z s 2 ist Gl. (8.132)

UC(s) =

Bild 8.58 Schaltung mit transformierten Zeitfunktionen und komplexen Operatoren des Beispiels 4

U 1 ˜ LC s ˜ (s  s1)(s  s 2 )

(8.132)

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation

75

nach Korrespondenz Nr. 37 (siehe S. 87) ½ ­ º 1 1 ª 1 L1 ® ˜ «1 + (beat  ae bt ) » ¾= s(s  a)(s  b) ab a  b ¬ ¼ ¿ ¯ mit a = s1 und b = s2 ª º U 1 1 ˜ ˜ «1 + s 2 ˜ es1t  s1 ˜ es2 t » uC(t) = LC s1 ˜ s 2 ¬ s1  s 2 ¼

(

mit und

s1 = – G + N,

)

s2 = – G  N und

s1 – s2 = 2N

s1 ˜ s 2 = G 2  N 2 = G 2  G 2 + Z 0 2 = Z 0 2 =

1 LC

­ ½ 1 ª uC(t) = U · ®1 + (G  N) ˜ e(G +N )t  (G + N) ˜ e(G N)t º¼ ¾ ¬ 2N ¯ ¿

ª G e Nt  eNt e Nt + eNt º °½ °­ + uC(t) = U · ®1  eGt ˜ « ˜ »¾ 2 2 ¬N ¼ ¿° ¯° ­ uC(t) = U ˜ ®1  eGt ¯

ªG º½ ˜ « ˜ sinh( Nt) + cosh( Nt) » ¾ ¬N ¼¿

­ N N ªG º½ uC (Gt) = U ˜ ®1  e Gt ˜ « ˜ sinh (Gt) + cosh (Gt) » ¾ N G G ¬ ¼¿ ¯ mit N = jZ ist mit Gl. (8.133) ªG º °½ °­ uC(t) = U · ®1  eGt ˜ « ˜ sinh( jZt) + cosh( jZt) » ¾ Z j ¬ ¼ ¿° ¯° mit sinh (jZt) = j · sin Zt und cosh (jZt) = cos Zt ­ ªG º½ uC(Zt) = U · ®1  eGt ˜ « ˜ sin Zt + cos Zt » ¾ Z ¬ ¼ ¯ ¿ analog umgeformt wie Gl. (8.70) in Gl. (8.71), S. 28, 29 G 2 ­ ½  (Zt) ° ° §G· ˜ sin(Zt + M) ¾ uC(Zt) = U · ®1  ¨ ¸ + 1 ˜ e Z Z © ¹ °¯ °¿ Aperiodischer Grenzfall: für s1 = s2 = s12 ist Gl. (8.132)

(vgl. Gl. (8.126))

(vgl. Gl. (8.130))

U 1 ˜ LC s ˜ (s  s12 ) 2 nach Korrespondenz Nr. 35, (siehe S. 87) ­ ½ 1 1 L1 ® = 2 ˜ ª¬1 + (at  1)eat º¼ 2¾ s(s a)  ¯ ¿ a UC(s) =

mit a = s12 U 1 ª uC(t) = ˜ ˜ 1 + (s12 ˜ t  1) ˜ es12 t º ¼ LC s12 2 ¬ mit s12 = – G = –Z0

{

und

s12 2 =

uC(Gt) = U · 1 – [1 + (Gt)] · e – Gt

}

1 LC

(vgl. Gl. (8.128))

(8.133)

76

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen Beispiel 5: Die gezeichnete Rechteckspannung wird ab t = 0 auf einen Integrierer mit nachfolgendem Verstärker angelegt, wodurch eine dreieckförmige Spannung am Ausgang entsteht.

Bild 8.59 Rechteckspannung des Beispiels 5

Bild 8.60 Schaltbild des Beispiels 5

Die Spannungsverstärkung der Verstärker ist so groß, dass das Übertragungsverhalten durch den Quotient von Rückkopplungswiderstand zu Eingangswiderstand bestimmt ist. Verstärker, die mit entsprechender Beschaltung Gleich- und Wechselspannungen linear verstärken, differenzieren oder integrieren, heißen Operationsverstärker. Da jeder Verstärker die Ausgangsspannung invertiert, ist dem Integrierer ein Verstärker nachgeschaltet. 1. Die Laplace-Transformierte der im Bild 8.59 gezeichneten Rechteckspannung ist zunächst zu entwickeln. 2. Die Übertragungsfunktion G(s) der im Bild 8.60 gezeichneten Schaltung ist dann anzugeben. Wie im folgenden Abschnitt beschrieben, ist die Übertragungsfunktion gleich dem Quotient der Laplace-Transformierten der Ausgangsgröße und der Laplace-Transformierten der Eingangsgröße. 3. Anschließend ist die Ausgangsspannung u2(t) mit Hilfe der Übertragungsfunktion zu berechnen. Der Spannungswert, den die Dreieckkurve bei t = a erreicht, ist anzugeben und zu erläutern. Für den Bereich 0 < t < a ist die Gleichung für die Ausgangsspannung aufzustellen und der Maximalwert zu kontrollieren.

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation

77

Lösung: Zu l. Die periodische Rechteckspannung kann als Überlagerung von verschobenen Sprungfunktionen aufgefasst werden (vgl. Beispiel 2 der Verschiebungssätze im Abschnitt 8.3.3, S. 59): u1(t) = U · [V(t) – 2 · V(t – a) + 2 · V(t –2a) – 2 · V(t – 3a)+ – …]

Bild 8.61 Verschobene Sprungfunktionen, Rechteckfunktion, Dreieckfunktion

Die verschobenen Sprungfunktionen lassen sich nach Gl. (8.105) transformieren:

º ª 1 2 ˜ e as 2 ˜ e 2as 2 ˜ e 3as +  + ...» L {u1 (t)} = U · «  s s s »¼ «¬ s

L {u1 (t)} =

2U ª 1 º ˜  e as + (eas ) 2  (eas )3 + ...» s «¬ 2 ¼

L {u1 (t)} =

2U ª 1 º ˜  + (1  eas + (e as )2  (eas )3 + ...» s «¬ 2 ¼

mit der Potenzreihe 1 = 1  x + x 2  x 3 + ... und x = e as 1+ x

ist die Laplace-Transformierte der Rechteckspannung L {u1 (t)} =

2U § 1 1 · 2U 2  1  e as ˜¨  ¸= ˜  as s ©1 + e 2¹ s 2 ˜ (1 + e as )

L {u1 (t)} = U ·

1  e as = U1(s) s ˜ (1 + e as )

(8.134)

78

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen R2 1 ˜ ˜ u1 (t) ˜ dt R1 R ˜ C

Zu 2. u2(t) =

³

U2(s) = G(s) =

R2

1 ˜ ˜ U1 (s) R1 s ˜ R ˜ C

mit

u 2 (0) = 0

(siehe Gl. (8.95), S. 41)

U 2 (s) R 2 1 = ˜ U1 (s) R1 s ˜ R ˜ C

Zu 3. U2(s) = U1(s) · G(s) = U2(s) =

R2 R1

˜

(8.135)

R2 1 1  e as ˜ ˜U˜ 2 R1 R ˜ C s ˜ (1 + e as )

1 1  e as . ˜U ˜a ˜ 2 R ˜C a ˜ s ˜ (1 + e as )

(8.136)

Im Beispiel 4 der Verschiebungssätze (siehe Abschnitt 8.3.3, S. 61) ist die Laplace-Transformierte der dreieckförmigen Zeitfunktion mit dem Spitzenwert 1 behandelt. Der rechte Teil der Gl. (8.136) stimmt mit Gl. (8.108) überein, so dass die Ausgangsspannung u2(t) dieselbe Dreieckform wie im Bild 8.47 hat, aber mit dem Spitzenwert û2 =

R2 1 ˜ ˜U˜a R1 R ˜ C

bei t = a (siehe Bild 8.61). Der Spannungswert hängt von der Höhe U und der Dauer der Rechteckspannung t = a ab. Das Widerstandsverhältnis R2/R1 ist der Verstärkungsfaktor des nachgeschalteten Verstärkers, der Faktor 1/RC ist durch den Integrierer zu berücksichtigen. Für den ersten Anstieg der Dreieckfunktion 0 < t < a lautet die Spannungsgleichung u2(t) =

R2 1 ˜ ˜U˜t . R1 R ˜ C

Wird t = a berücksichtigt, bestätigt sich das Ergebnis für den Maximalwert.

8.3.5 Ermittlung von Übergangsfunktionen regelungstechnischer Übertragungsglieder Übertragungsfunktion und Übergangsfunktion Das Übertragungsverhalten von Übertragungsgliedern in regelungstechnischen Anlagen wird in vielen Fällen durch die Sprungfunktion (siehe Beispiel 1 im Abschnitt 8.3.1, S. 31) getestet. Die Ausgangs-Zeitfunktion y(t) eines Übertragungsgliedes bei einer sprungförmigen Eingangs-Zeitfunktion x(t) = x · V(t) heißt „Übergangsfunktion“ oder „Sprungantwort“. Beispiel:

Bild 8.62 Eingangsgröße

Bild 8.63 Ausgangsgröße

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation

79

Da die Eingangs-Zeitfunktion und die Ausgangs-Zeitfunktion in Differentialgleichungen miteinander verknüpft sind, lässt sich wohl nicht im Zeitbereich, aber im Bildbereich eine Größe definieren, die das Übertragungsverhalten eines Übertragungsgliedes beschreibt: Die „Übertragungsfunktion“ G(s) eines Übertragungsgliedes ist gleich dem Quotient der Laplace-Transformierten der Ausgangs-Zeitfunktion und der Laplace-Transformierten der Eingangs-Zeitfunktion bei Anfangsbedingungen, die Null sind: L {y(t)} Y(s) G(s) = (8.137) = L {x(t)} X(s)

Bild 8.64 Übertragungsglied

Um die Übergangsfunktion zu ermitteln, sind Anfangsbedingungen nicht zu berücksichtigen, weil die Sprungfunktion für t < 0 Null ist. Die Laplace-Transformierte der Ausgangsgröße ist dann

G(s) s x mit X(s) = L {x ˜ V(t)} = s Y(s) = X(s) · G(s) = x ˜

(8.138) (8.139)

Beispiel: Übertragungsglied: Gleichstrommotor Eingangsgröße: Spannungssprung x(t) = U · V(t) Ausgangsgröße: Drehzahl y(t) = n(t)

In der Literatur wird die Übertragungsfunktion häufig mit F(s) bezeichnet. Um Verwechslungen mit der Laplace-Transformierten F(s) der Zeitfunktion f(t) zu vermeiden, wird die Übertragungsfunktion mit G(s) bezeichnet. Rechenschema für die Berechnung der Übergangsfunktion y(t)= u2(t) eines elektrischen Übertragungsgliedes in Form eines Netzwerkes mit der Eingangsgröße x(t) = u1(t) = U · V(t)

1. Transformation der Schaltung in eine Schaltung mit Operatoren wie in der Wechselstromtechnik mit jZ ĺ s (siehe Abschnitt 8.3.1, S. 49, 50: Berechnung von Ausgleichsvorgängen bei verschwindenden Anfangsbedingungen) 2. Ermittlung der Übertragungsfunktion G(s) mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze mit komplexen Operatoren (insbesondere mit Hilfe der Spannungsteilerregel) 3. Multiplikation der Übertragungsfunktion G(s) mit U/s und Umformung in rücktransformierbare Ausdrücke (siehe Korrespondenzen-Tabelle im Abschnitt 8.3.6) 4. Rücktransformation in den Zeitbereich ergibt die Übergangsfunktion 5. Interpretation und Darstellung der Übergangsfunktion Die Ermittlung der Übergangsfunktion nach obigem Schema entspricht dem Verfahren 3 im Abschnitt (8.3.2, S. 51).

80

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen Beispiel 1: Übergangsfunktion eines Netzwerks mit einer Kapazität Transformation der Schaltung im Zeitbereich in die Schaltung im Bildbereich:

Bild 8.65 Schaltung im Zeitbereich des Beispiels 1

Bild 8.66 Schaltung im Bildbereich des Beispiels 1

Übertragungsfunktion: Mit Hilfe der Spannungsteilerregel für komplexe Größen ist G(s) =

U 2 (s) R2 sR 2C = = 1 U1 (s) R + R + 1 + s(R1 + R 2 )C 1 2 sC

Multiplikation der Übertragungsfunktion mit U/s und Umformung: U2(s) = U ·

R 2C R 2C G(s) = U˜ = U˜ s 1 + s(R1 + R 2 )C 1+ s˜W

Übergangsfunktion durch Rücktransformation: Mit der Korrespondenz Nr. 48 (siehe S. 88) ­ 1 ½ 1 t / T und mit L–1 ® ¾ = ˜e ¯1 + sT ¿ T

T=W

ist u2(t) = U · u2(t) =

R 2C ˜ e t / W (R1 + R 2 )C

R2 ˜ U ˜ e t / W mit R1 + R 2

W = (R1 + R 2 ) ˜ C

Die Übergangsfunktion ist im Abschnitt 8.2.2 durch Lösung der Differentialgleichung berechnet (siehe Gl. (8.20), S. 13) und im Bild 8.18 dargestellt.

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation Beispiel 2: Übergangsfunktion eines Netzwerks mit zwei Kapazitäten Transformation der Schaltung im Zeitbereich in den Bildbereich

Bild 8.67 Schaltung im Zeitbereich des Beispiels 2

Bild 8.68 Schaltung im Bildbereich des Beispiels 2 Übertragungsfunktion: Mit Hilfe der Spannungsteilerregel für komplexe Größen ist 1 1 + sC2 U (s) R2 G(s) = 2 = , 1 1 U1 (s) + 1 1 + sC1 + sC 2 R1 R2 zuerst erweitert mit

G(s) =

1 1 + sC2 , dann erweitert mit + sC1 : R2 R1

1 1 + sC2 R2 +1 1 + sC1 R1

1 + sC1 R1 = 1 1 + sC2 + + sC1 R2 R1

nun erweitert mit R1 · R2: G(s) =

R 2 (1 + sR1C1) R1 + R 2 + s(R1R 2C2 + R 2 R1C1 )

G(s) =

R2 ˜ R1 + R 2

1 + sR1C1 § R1R 2C2 R 2R1C1 · + 1+ s˜¨ ¸ © R1 + R 2 R1 + R 2 ¹

81

82

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen und mit W1 = R1C1 und W2 = R2C2 ist R2 1 + sW1 G(s) = ˜ § R1 · R2 R1 + R 2 ˜ W2 + ˜ W1 ¸ 1+ s˜¨ ¨R +R ¸ R1 + R 2 2 © 1 ¹ Multiplikation der Übertragungsfunktion mit U/s und Umformung: U2(s) = U · U2(s) = U ·

G(s) s R2 R1 + R 2

˜

1 + sW1 § R1 ˜ W2 + R 2 ˜ W1 · s ˜ ¨1 + s ˜ ¸ ¨ ¸ R1 + R 2 © ¹

zerlegt in zwei Summanden:

ª º « » R2 1 W1 « » U2(s) = U · ˜« + » ˜ W + ˜ W R R 1 2 2 1» R1 ˜ W2 + R 2 ˜ W1 · R1 + R 2 « § ¸ 1+ s˜ « s ˜ ¨¨1 + s ˜ » ¸ + R R 1 2 R1 + R 2 ¹ ¬ © ¼ U2(s) = U · mit

W=

R2 R1 + R 2

ª 1 W º ˜« + 1 » ¬ s ˜ (1 + sW) 1 + sW ¼

R1 ˜ W 2 + R 2 ˜ W1 R1 + R 2

Übergangsfunktion durch Rücktransformation: Mit den Korrespondenzen Nr. 49 und 48 (siehe S. 88) ­ ½ 1  t / T und L1 ® ¾ = 1 e s(1 sT) + ¯ ¿

­ 1 ½ 1  t/T L1 ® ¾= ˜ e ¯1 + sT ¿ T

ist R2

u2(t) = U ·

ª º W ˜ «1  e t / W + 1 ˜ e t / W » R1 + R 2 ¬ W ¼

u2(t) = U ·

R2 R1 + R 2

ª §W º · ˜ «1 + ¨ 1  1¸ ˜ e t / W » ¹ ¬ ©W ¼

(8.140)

und mit W1 W1 (R1 + R 2 ) W ˜ R + W ˜ R  R1 ˜ W2  R 2 ˜ W1 1 = 1 = 1 1 1 2 W R1 ˜ W2 + R 2 ˜ W1 R1 ˜ W2 + R 2 ˜ W1 W1 W ˜ R  W 2 ˜ R1 (W1  W2 ) ˜ R1 1 = 1 1 = W W2 ˜ R1 + W1 ˜ R 2 W2 ˜ R1 + W1 ˜ R 2 ist u2(t) = U ·

ª º (W1  W 2 ) ˜ R1 ˜ «1 + ˜ e t / W » R1 + R 2 ¬ W 2 ˜ R1 + W1 ˜ R 2 ¼ R2

(8.141)

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation Interpretation und Darstellung der Übergangsfunktion:

Folgende Fälle können unterschieden werden: 1. W1 = W2: u2(t) = U ·

R2 R1 + R 2

Der Eingangssprung wird vom Übertragungsglied proportional übertragen, zeigt also P-Verhalten (Proportionalverhalten). Bild 8.69 Übergangsfunktion bei P-Verhalten

2. W1 < W2: u2(t) = U · mit K =

R2 ˜ ª1  K ˜ e t / W º¼ R1 + R 2 ¬

(W2  W1 ) ˜ R1 >0 W2 ˜ R1 + W1 ˜ R 2

Das Übertragungsglied überträgt proportional und integriert annähernd den Eingangssprung, zeigt also PI-Verhalten.

Bild 8.70 Übergangsfunktion bei PI-Verhalten

3. W1 > W2: u2(t) = U · mit K =

R2

˜ ª1 + K ˜ e t / W º¼ R1 + R 2 ¬

(W1  W2 ) ˜ R1 >0 W2 ˜ R1 + W1 ˜ R 2

Das Übertragungsglied überträgt proportional und differenziert annähernd den Eingangssprung, zeigt also PD-Verhalten.

Bild 8.71 Übergangsfunktion bei PD-Verhalten

83

84

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen Spezialfall: Mit

R1 = R,

R2 =

sind

W1 = R1 · C1 = R · C,

und

R ˜ W + R 2 ˜ W1 W= 1 2 = R1 + R 2

u2(t) = U ˜

R2 R1 + R 2

R 2

und

C1 = C2 = C

W2 = R2 · C2 =

R˜

R ˜C 2

R ˜C R + ˜R ˜C R ˜ (R ˜ C) 2 2 2 = = ˜R ˜C R 3 3 R+ R˜ 2 2

ª §W º U ª 1 · º ˜ «1 + ¨ 1  1¸ ˜ e t / W » = ˜ «1 + ˜ e  t / W » ¹ ¼ ¬ ©W ¼ 3 ¬ 2

1 ˜R R2 1 = 2 = mit 3 R1 + R 2 ˜R 3 2 und

W1 R ˜C 1 1 = 1 = 2 W 2 ˜R ˜C 3

für t = 0

ist u2 = U/2

für t = f ist u2 = U/3 Bild 8.72 Übergangsfunktion des Spezialfalls

Prinzipielle Berechnung der Ausgangsfunktion eines Übertragungsgliedes für periodische und aperiodische Eingangsgrößen ab t = 0 Für beliebige Eingangsgrößen x(t) ab t = 0 lässt sich die Berechnung der Ausgangsgrößen y(t) mit Hilfe der Übertragungsfunktion (Netzwerkfunktion) G(s) durch folgendes Rechenschema veranschaulichen:

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation

85

Folgende Rechenoperationen sind also für die Ermittlung der Ausgangs-Zeitfunktion vorzunehmen: X(s) = L {x(t)}

Y(s) = X(s) ˜ G(s) y(t) = L1 {Y(s)} = L1 {X(s) ˜ G(s)}

Als Eingangsgrößen ab t = 0 werden am häufigsten verwandt: Sprungfunktionen x(t) = x · V(t),

x ˜ t für t > 0, T sinusförmige Funktionen x(t) = xˆ ˜ sin( Zt + Mx ) . Rampenfunktionen x(t) =

Wie in dem folgenden Kapitel zu sehen ist, werden bei periodischen und aperiodischen Eingangssignalen die Ausgangssignale auf analoge Weise berechnet.

8.3.6 Zusammenfassung der Laplace-Operationen und der Laplace-Transformierten (Korrespondenzen) Operationen Nr.

F(s)

f(t)

f

1

F(s) =

³

f (t) ˜ es˜t ˜ dt

f(t)

+0

2 3

s · F(s) – f(0+) s · FS(s) – f(0–)

df (t) = f c(t) dt

4

s2 · F(s) – s · f(0+) – f c (0+)

d 2f (t) = f cc(t) dt 2

5

s3 · F(s) – s2 · f(0+) – s ˜ f c (0+) – f cc (0+)

d3f (t) = f ccc(t) dt 3

s n ˜ F(s)  s n 1 ˜ f (0+ )  s n  2 ˜ f c(0+ )  ...

d (n)f (t) = f (n) (t) dt n

6

7

...  s ˜ f (n  2) (0

+)

 f (n 1) (0

+)

t

1 ˜ F(s) s

³ f (t) ˜ dt 0

8

º 1 1 ª ˜ F(s) + ˜ « f (t) ˜ dt » s s « » ¬ ¼ t =0

³ f (t) ˜ dt

9

a · F(s)

a · f(t)

10

a1 · F1(s) + a2 · F2(s) + … an · Fn(s)

a1 · f1(t) + a2 · f2(t) + …+ an · fn(t)

11

1 §s· ˜ F¨ ¸ a ©a¹

f(a · t)

³

mit a > 0, reell

86

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

Nr.

F(s)

f(t) §t· f¨ ¸ ©a¹

12

a · F(a · s)

13

F (s – a)

14

F (s + a)

15

F (a · s – b)

16

ª e a˜s ˜ « F(s) + « ¬

³

f(t – a)

mit a t 0

17

a º ª ea˜s ˜ « F(s)  f (x) ˜ e s˜x ˜ dx » » « 0 ¼ ¬

f(t + a)

mit a t 0

18

F1(s) · F2(s)

f1(t) f2(t) =

19

dF(s) ds

– t · f(t)

20

d n F(s) ds n

(– 1)n · tn · f(t)

mit a > 0, reell

eat · f(t) e–at · f(t)

mit a beliebig

b

1 at § t · ˜ e ˜ f ¨ ¸ mit a ©a¹

a > 0, b komplex

0

º f (x) ˜ e s˜x ˜ dx » » a ¼

³

t

³ f1(W) ˜ f 2 (t  W) ˜ dW 0

f

21

³

1 ˜ f (t) t

F(s) ˜ ds

s

Korrespondenzen der Laplace-Transformation

Nr.

F(s)

22

0

23

1

24

e–as

25 26

27 28 29 30 31

0 G(t) für a > 0

1 s 1 as e s 1 s2 1 s3 1 mit n = 0,1,... n s +1 1 sa 1 (s  a)2

f(t)

G(t – a) V(t) bzw. 1 V(t – a)

t 1 2 t 2

tn n! eat teat

a beliebig, z. B. a = G ± jZ

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation Nr.

F(s)

f(t)

32

1 (s  a) n +1

t n at e n!

33

1 s(s  a)

1 at (e  1) a

34

1 (s  a)(s  b)

1 (eat  e bt ) ab

35

1 s(s  a) 2

1 [1 + (at  1)eat ] a2

36

1 s 2 (s  a)

1 at (e  1  at) a2

37

1 s(s  a)(s  b)

1 ª 1 º 1+ (beat  ae bt ) » ab «¬ a  b ¼

38

1 (s  a)(s  b)(s  c)

eat ebt ect + + (b  a)(c  a) (c  b)(a  b) (a  c)(b  c)

39

1 (s  a)(s  b) 2

eat  [1 + (a  b)t] e bt (a  b)2

40

s (s  a)2

(1+at)eat

41

s (s  a)(s  b)

1 (aeat  be bt ) ab

42

s (s  a)(s  b)(s  c)

aeat be bt cect + + (b  a)(c  a) (c  b)(a  b) (a  c)(b  c)

43

s (s  a)(s  b) 2

aeat  [a + b(a  b)t]e bt (a  b)2

44

s (s  a)3

1 2 · at § ¨ t + at ¸ e 2 © ¹

45

s2 (s  a)3

1 2 2 · at § ¨1 + 2at + a t ¸ e 2 © ¹

46

s2 (s  a)(s  b)(s  c)

a 2eat b 2e bt c 2ect + + (b  a)(c  a) (c  b)(a  b) (a  c)(b  c)

47

s2 (s  a)(s  b) 2

a 2eat  [2ab  b 2 + b 2 (a  b)t] e bt (a  b) 2

87

88

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

Nr.

F(s)

f(t)

48

1 1 + sT

1 t / T e T

49

1 s(1 + sT)

1 – e–t/T

50

1 (1 + sT)2

1 t / T te T2

51

1 s 2 (1 + sT)

t – T(1 – e–t/T)

52

1 s(1 + sT) 2

1

53

1 (1 + sT)3

1 2 t / T t e 2T 3

54

1 (1 + sT1 )(1 + sT2 )

1 e t / T1  e t / T2 T1  T2

55

1 s(1 + sT1)(1 + sT2 )

1+

56

1 (1 + sT1 )(1 + sT2 ) 2

T1 ˜ e  t / T1 [(T2  T1 )t  T1T2 ] e  t / T2 + (T2  T1 ) 2 T2 (T2  T1 ) 2

57

1 (1 + sT1 )(1 + sT2 )(1 + sT3 )

58

sT 1 + sT

G(t) –

59

s (1 + sT)2

1 (T  t) e  t / T T3

60

s (1 + sT1)(1 + sT2 )

1 T1 ˜ e t / T2  T2 ˜ e t / T1 T1T2 (T1  T2 )

61

s (1 + sT1)(1 + sT2 )(1 + sT3 )

(T2  T3 ) e  t / T1 + (T3  T1 ) e  t / T2 + (T1  T2 ) e  t / T3 (T1  T2 )(T2  T3 )(T3  T1 )

62

s (1 + sT1)(1 + sT2 ) 2

T2 2e t / T1 + [T2 2 + (T1  T2 )t] e  t / T2 T2 2 (T1  T2 ) 2

63

s (1 + sT)3

§ t t2 · ¨ 3  4 ¸ e t / T 2T ¹ ©T

64

s2 (1 + sT)3

1 (2T 2  4Tt + t 2 ) e  t / T 2T5

T + t t / T e T

(

)

1 (T ˜ e t / T1  T2 ˜ e t / T2 ) T2  T1 1

T1 ˜e t / T1 (T1  T2 )(T1  T3 )

+

T2 ˜e t / T2 (T2  T1 )(T2  T3 )

+

T3 ˜e t / T3 (T3  T1 )(T3  T2 )

1 t / T e T

(

)

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation Nr.

65

F(s) s2 (1 + sT1 )(1 + sT2 )(1 + sT3 )

f(t) e  t / T1 e  t / T2 + + T1 (T1  T2 )(T1  T3 ) T2 (T2  T1 )(T2  T3 ) +

e t / T3 T3 (T3  T1 )(T3  T2 )

e t / T1

66

s2 (1 + sT1 )(1 + sT2 ) 2

67

1 + sA s2

t+A

68

1 + sA s(1 + sT)

1+

69

1 + sA (1 + sT)2

A º t / T ªT  A « T3 t + T 2 » e ¬ ¼

70

1 + sA (1 + sT1 )(1 + sT2 )

T1  A T2  A e t / T1  e t / T2 T1 (T1  T2 ) T2 (T1  T2 )

71

1 + sA s 2 (1 + sT)

T1 (T1  T2

)2

ª T1  2T2 º t +«  » e t / T2 2 3 2 T2 (T1  T2 ) »¼ «¬ T2 (T1  T2 )

A  T t / T e T

(A –T)(1 – e–t/T) + t

72

1 + sA s(1 + sT) 2

§AT · 1 + ¨ 2 t  1¸ e  t / T T © ¹

73

1 + sA s(1 + sT1 )(1 + sT2 )

1+

74

1 + sA (1 + sT1 )(1 + sT2 ) 2

T1  A  t / T1 ª T2  A A  T1 º  t / T2 e t+ +« 2 »e 2 (T1  T2 ) (T2  T1 )2 ¼ ¬ T2 (T2  T1 )

75

1 + sA (1 + sT1 )(1 + sT2 )(1 + sT3 )

T1  A  t / T1 T2  A  t / T2 e  e T2  T1 T2  T1

T1  A T2  A e t / T1 + e t / T2 + (T1  T2 )(T1  T3 ) (T2  T3 )(T2  T1 ) +

T3  A e t / T3 (T3  T1 )(T3  T2 )

76

1 + sA + s 2B s 2 (1 + sT)

B· § t + A  T  ¨ A  T  ¸ e t / T T¹ ©

77

1 + sA + s 2B s(1 + sT) 2

§ B B  AT + T 2 ·  t / T t ¸e 1 – ¨1  2 + T T3 © ¹

78

1 + sA + s 2B s(1 + sT1)(1 + sT2 )

1+

B  AT1 + T12 T1 (T2  T1 )

˜ e t / T1 

B  AT2 + T2 2 T2 (T2  T1 )

˜ e t / T2

89

90

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

Nr.

F(s)

f(t)

1 s2  a 2 1 2 s  a2 1 s(s 2  a 2 )

1 sin at a 1 sinh at a

82

1 s 2 (s 2  a 2 )

t sin at  3 a2 a

83

1 (s 2  a 2 )(s  b)

1 §  bt b · ¨ e  sin at  cos at ¸ a a 2  b2 © ¹

79 80

81

84 85

s(s 2

1  a 2 )(s  b)

s 2 (s 2

1  a 2 )(s  b)

1 (1  cos at) a2

1 1 § sin at b cos at e bt ·  2   ¨ ¸ b ¹ a2 ˜ b a  b2 © a

a2 t

a 2b



1 e  bt cos(at  ) )   mit ) = arctan(b/a) a 2 b 2 (a 2  b 2 )b 2 a 2 a 2  b 2

e bt

86

1 2 2 (s  a )(s  b)(s  c)

(c 

b)(a 2

1 s(s 2  a 2 )(s  b)(s  c)

e ct (b 

c)(a 2



c2 )



sin(at  )) a

a 2 (b

 c)2  (bc  a 2 )2

mit ) = arctan(a/b) + arctan(a/c) 1

87



b2 )



a 2 bc 



e bt ect   2 2 b(b  c)(a  b ) c(c  b)(a 2  c2 ) cos(at  ) )

a 2 (bc  a 2 )  a 2 (b  c) 2 mit ) = arctan(c/a) + arctan(b/a)

88

1 (s 2  a 2 )(s 2  b 2 )

1 § sin at sin bt ·  ¨ ¸ b ¹ b2  a 2 © a

89

1 a 2  (s  b) 2

1  bt e sin at a

90

1 s 2[a 2  (s  b)2 ]

1 § 2b · e  bt sin(at  ) ) t  ¨ ¸ a 2  b2 © a 2  b2 ¹ a(a 2  b 2 ) mit ) = 2 arctan(a/b)

91

[a 2

1  (s  b)2 ]2

1  bt e (sin at  at cos at) 2a 3

92

1 (s 2  a 2 )2

1 (sin at  at cosat) 2a 3

93

1 s(s 2  a 2 ) 2

1 1 (1  cos at)  3 t sin at 4 a 2a

94

s s2  a 2

cos at

8.3 Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation Nr. 95 96

97 98 99

F(s)

f(t)

s s2  a 2

cos h at

1 (cos at  cos bt)  a2

s (s 2

+

a 2 )(s 2

+

b2 )

b2

s [s 2

+ (a +

b)2 ][s 2

+ (a 

s (s 2 + a 2 ) 2 (s 2

s2 + a 2 )2

b)2 ]

mit a 2 z b 2

1 sin at ˜ sin bt 2ab t ˜ sin at 2a 1 (sin at + at ˜ cosat) 2a

s+d s2 + a 2

d2 + a2 sin(at + )) mit ) = arctan(a/d) a

101

s+d (s 2 + a 2 )(s + b)

db

102

s+d s 2 (s 2 + a 2 )

103

s(s 2

100

s+d + a 2 )(s + b)

a2

b2

+

1+ d ˜t a2

d a2b



d2 + a2

e  bt +

sin(at + )) a 2 b2 + a 4 mit ) = arctan(b/a)  arctan(d/a )

a2 + d2

sin(at + )) a6 mit ) = arctan(a /d)



db b(a 2

+

b2 )

d2 + a2

e  bt 

a 4 b2 + a 6

cos(at + ))

mit ) = arctan(b/a)  arctan(d/a)

(s 2

+

s+d + b)(s + c)

a 2 )(s

104

(d 

b)e  bt

(c  b)(a 2 + b 2 )

+

(d  c)e ct (b  c)(a 2 + c 2 )

d2 + a2

+

a 2 (a 2

+ b 2 )(a 2 + c 2 )

+

sin(at + ))

mit ) = arctan(c/a)  arctan(d/a)  arctan(a /b)

105

s+d a 2 + (s + b) 2

106

s ˜ sin b + a ˜ cos b s2 + a 2

107

108 109 110

s ˜ cos b  a ˜ sin b s2 + a 2 1

1 + s 2T 2 1 + sA 1+

s2 T2

s 1 + s 2T 2

1+

(d  b) 2 a2

˜e  bt ˜ sin(at + ) )

) = arctan

sin (at + b)

cos(at + b)

1 sin(t/T) T 1 §t · 1 + (A/T ) 2 sin ¨ + ) ¸ T T © ¹

1 T2

cos(t/T)

) = arctan(A/T )

a d  b

91

92

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 8.1 bis 8.3 8.1

1. Berechnen Sie den zeitlichen Verlauf des Stroms iL und der Spannung uL, wenn der Schalter bei t = 0 geöffnet wird. 2. Vereinfachen Sie anschließend die Lösungen mit Ri = 0, und stellen Sie die Verläufe iL(t) und uL(t) dar.

Bild 8.73 Übungsaufgabe 8.1 8.2

In der gezeichneten Schaltung können jeweils zwei Ausgleichsvorgänge durch einen Umschalter nacheinander ablaufen. Die Schaltzeiten des Umschalters betragen 12ms, so dass für beide Ausgleichsvorgänge die Schaltzeiten größer als 5 · W sind. 1. Ermitteln Sie allgemein den Stromverlauf i(t) und den Spannungsverlauf uL(t), wenn der Schalter geöffnet wird. 2. Nach dem Schließen des Schalters sind ebenfalls der Stromverlauf i(t) und der Spannungsverlauf uL(t) allgemein zu berechnen. 3. Berücksichtigen Sie die Zahlenwerte U = 6V, L = 1,2H, RL = 500:, R = 1k:, und stellen Sie den Strom- und Spannungsverlauf für beide Ausgleichsvorgänge in einem Diagramm dar.

Bild 8.74 Übungsaufgabe 8.2 8.3

Für das gezeichnete Übertragungsglied ist die Übergangsfunktion u2(t) zu ermitteln. 1. Zunächst ist die Differentialgleichung für uC aufzustellen und zu lösen. 2. Dann ist aus der Lösung für uC(t) die Übergangsfunktion zu berechnen. 3. Schließlich sind u1(t) und u2(t) in einem Liniendiagramm darzustellen.

Bild 8.75 Übungsaufgabe 8.3

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 8.1 bis 8.3 8.4.

93

Das Einschalten eines verlustbehafteten Kondensators an eine Wechselspannung u = û · sin(Zt + Mu) lässt sich prinzipiell durch das gezeichnete Schaltbild erfassen. 1. Berechnen Sie allgemein den zeitlichen Verlauf von uCe, uCf und uC . 2. Berücksichtigen Sie in der Lösung für uC(t) folgende Größen U = 220V, M u = 185°
 3,23rad, f = 500Hz, R = 1k:, C = 1PF, RC = 10k:, und stellen Sie uCe(Zt), uCf (Zt) und uC(Zt) von Zt = 0 bis 2S in einem Liniendiagramm dar.

Bild 8.76 Übungsaufgabe 8.4

8.5

Der Ausgleichsvorgang für den gezeichneten Schwingkreis ist rechnerisch zu behandeln. 1. Entwickeln Sie die Differentialgleichungen für uC und i. 2. Geben Sie die allgemeinen Lösungen für die drei charakteristischen Fälle an. Berechnen Sie jeweils die Konstanten, und berücksichtigen Sie diese in den Lösungen für uC und i.

Bild 8.77 Übungsaufgabe 8.5

8.6

Die Sprungfunktion V(t) und die Deltafunktion G(t) können bei technischen Anwendungen für t > 0 als Grenzwerte von Exponentialfunktionen gedeutet werden: V(t) = lim (1  e  t / W ) Wo 0

und

G(t) = lim

1

Wo0 W

˜ e t / W .

Zusätzlich kann die Deltafunktion als Überlagerung der Sprungfunktion und einer um a verschobenen Sprungfunktion aufgefasst werden: 1 ˜ [V(t)  V(t  a) ]. a Mathematisch exakt lässt sich die G(t)-Funktion nur mit Hilfe der Distributionstheorie erfassen. 1. Stellen Sie die beiden Exponentialfunktionen dar, und erklären Sie die beiden Funktionen V(t) und G(t) durch den Grenzübergang. 2. Bilden Sie die Laplace-Transformierte der V(t)-Funktion und die Laplace-Transformierte der Ableitung der V(t)-Funktion, die gleich der G(t)-Funktion ist, mit Hilfe der Grenzwerte von Exponentialfunktionen. Kontrollieren Sie die Ergebnisse mit den Angaben in der Korrespondenzen-Tabelle. 3. Berechnen Sie mit Hilfe des Rechteckimpulses die Laplace-Transformierte der Deltafunktion (Diracimpuls). G(t) = lim

a o0

94

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen 8.7 8.8

Die Ergebnisse der Übungsaufgabe 8.1 sind mit Hilfe der Laplace-Transformation zu bestätigen. Von den beiden folgenden Übertragungsgliedern sind die Übergangsfunktionen gesucht:

Bild 8.78 Übungsaufgabe 8.8

Bild 8.79 Übungsaufgabe 8.8 1. Berechnen Sie die Übergangsfunktion der Schaltung im Bild 8.78 durch Abbildung der Differentialgleichung. 2. Die Übergangsfunktion der Schaltung im Bild 8.79 ist mit Hilfe der Schaltung mit transformierten Zeitfunktionen und komplexen Operatoren zu berechnen. 3. Vergleichen Sie die Übergangsfunktionen beider Übertragungsglieder. 8.9

1. Für das im Bild 8.80 gezeichnete Übertragungsglied mit zwei Kapazitäten ist die Übergangsfunktion mit Hilfe der Laplace-Transformation zu ermitteln. 2. Geben Sie die Übertragungsfunktion an, wenn R1 = R2 = R und C1 = C2 = C.

Bild 8.80 Übungsaufgabe 8.9 8.10

Für den gezeichneten Reihenschwingkreis, an den zum Zeitpunkt t = 0 eine Gleichspannung U angelegt wird, sind die Übergangsfunktionen u2(t) und die Ströme i für folgende Größen zu berechnen und darzustellen: U = 100V, L = 1H, C = 25PF und R = 240 :, 400 : und 500 : .

Bild 8.81 Übungsaufgabe 8.10

8.11

Bestätigen Sie die Ergebnisse der Aufgabe 8.5 mit Hilfe der Laplace-Transformation.

95

9 Fourieranalyse von nichtsinusförmigen periodischen Wechselgrößen und nichtperiodische Größen 9.1 Fourierreihenentwicklung von analytisch gegebenen nichtsinusförmigen periodischen Wechselgrößen Nichtsinusförmige periodische Wechselgrößen Die Annahme sinusförmiger Wechselgrößen v = vˆ ˜ sin(Zt + Mv ) in elektrischen Netzen erleichtert die Berechnung von Wechselstromnetzwerken. Die stationären Vorgänge lassen sich durch die komplexe Rechnung, Zeigerdiagramme und Ortskurven anschaulich beschreiben. In Wirklichkeit weichen die zeitlichen Verläufe von Wechselgrößen mehr oder weniger von der Sinusform ab. Die Abweichungen werden z. B. durch die Konstruktion der Generatoren (Luftspaltinduktion längs des Luftspalts ist nicht exakt sinusförmig), durch Nichtlinearitäten von Netzparametern (ohmsche Widerstände und Induktivitäten mit Eisenkernen sind stromabhängig) und durch nichtlineare Übertragungseigenschaften von aktiven Bauelementen (Transistoren, Röhren) verursacht. Für spezielle Anwendungen werden nichtsinusförmige periodische Wechselgrößen (z. B. Sägezahnfunktionen, Rechteckimpulse) erzeugt, für die Effektivwert- und Leistungsberechnungen notwendig sein können. Darstellung nichtsinusförmiger periodischer Wechselgrößen durch Fourierreihen

Nichtsinusförmige periodische Wechselgrößen v(t) = v(t + k · T)

mit k = 0, ± 1, ± 2, …

(9.1)

mit der Periodendauer T und der Kreisfrequenz Z 2S T lassen sich in eine unendliche Summe von Sinusgrößen vk überführen, wobei deren Kreisfrequenzen ein ganzzahliges Vielfaches der Kreisfrequenz Z betragen, die durch die nichtsinusförmige Wechselgröße vorgegeben ist:

Z = 2S ˜ f =

f

v(t) =

¦

vk =

k =0

f

¦ vˆ k ˜ sin(kZt + Mvk )

(9.2)

k =0

oder ausführlich v(t) = vˆ 0 ˜ sin Mv0 + vˆ 1 ˜ sin(Zt + Mv1 ) + vˆ 2 ˜ sin(2Zt + Mv2 ) + vˆ 3 ˜ sin(3Zt + Mv3 ) + ... Gleichanteil

1. Harmonische oder Grundwelle

2. Harmonische oder 1. Oberwelle

3. Harmonische oder 2. Oberwelle

96

9 Fourieranalyse

Für k = 0 ist die Wechselgröße ein Gleichanteil, für k = 1 stimmt die Kreisfrequenz Z mit der Kreisfrequenz Z der nichtsinusförmigen Größe überein und heißt deshalb Grundwelle, für k = 2 hat der Sinusanteil die doppelte Kreisfrequenz 2·Zund wird deshalb 2. Harmonische oder 1. Oberwelle genannt, für k = 3 hat der Sinusanteil die dreifache Kreisfrequenz 3·Z und heißt deshalb 3. Harmonische oder 2. Oberwelle usw. Die sinusförmigen Anteile der Fourierreihe haben unterschiedliche Amplituden vˆ k und unterschiedliche Anfangsphasenwinkel Mvk. Die Abhängigkeit der Amplituden von der Frequenz, d. h. vˆ k = f(k), heißt Amplitudenspektrum und die Abhängigkeit der Anfangsphasenwinkel von der Frequenz, d. h. Mvk = f(k), wird Phasenspektrum genannt. Damit die Fourierreihe in jedem Zeitpunkt eine beschränkte nichtsinusförmige Wechselgröße ersetzen kann, muss sie konvergent sein. Eine unendliche Reihe ist konvergent, wenn die Folge ihrer zugehörigen Teilsummen einen Grenzwert besitzt. Die Teilsummen sind für die Fourierreihen bis auf den Gleichanteil trigonometrische Summen: s0(t) = vˆ 0 ˜ sin Mv0 s1(t) = vˆ 0 ˜ sin Mv0  vˆ 1 ˜ sin(Zt  Mv1 ) s2(t) = vˆ 0 ˜ sin Mv0  vˆ 1 ˜ sin(Zt  Mv1 )  vˆ 2 ˜ sin(2Zt  Mv2 )

s3(t) = vˆ 0 ˜ sin Mv0  vˆ 1 ˜ sin(Zt  Mv1 )  vˆ 2 ˜ sin(2Zt  Mv2 )  vˆ 3 ˜ sin(3Zt  Mv3 ) usw. und für beliebig viele Summenglieder: n

sn(t) =

¦ vˆ k ˜ sin(kZt  Mvk )

(9.3)

k 0

Konvergenz der Fourierreihen Über die zugelassenen Unstetigkeitsstellen einer beschränkten periodischen Wechselgröße sagt die Dirichletsche Bedingung aus: Ist die Wechselgröße v(t) im Intervall 0 ” t ” T außer in höchstens endlich vielen Sprungstellen stetig und stückweise monoton, so konvergiert ihre Fourierreihe, und zwar gegen v(t), wo v(t) stetig ist. Sie konvergiert an den Sprungstellen gegen v(t  0)  v(t  0) , 2 wobei v(t – 0) der linksseitige Grenzwert und v(t + 0) der rechtsseitige Grenzwert der Funktion v(t) mit der Sprungstelle an der Stelle t ist.

Periodische Funktion v (Zt) Ist die periodische nichtsinusförmige Wechselgröße in Abhängigkeit von Zt gegeben, dann lautet die Bedingung für die Periodizität v(Zt) = v(Zt + k · 2S) mit k = 0, ± 1, ± 2, … (9.4) und die Teilsummen sind ebenfalls Funktionen von Zt: s0(Zt), s1(Zt), s2(Zt), …

9.1 Fourierreihenentwicklung

97

Beispiel: Für die im Bild 9.1 gezeichnete periodische Sägezahnspannung Zt · § u(Zt) = uˆ ˜ ¨1  ¸ 2S ¹ ©

für 0 < Zt < 2S

ist die Fourierreihe entwickelt worden (siehe Beispiel 2 am Ende dieses Abschnitts): u(Zt) =

uˆ uˆ f sin kZt + ˜ 2 S k =1 k

u(Zt) =

uˆ uˆ § sin Zt sin 2Zt sin 3Zt · + ˜¨ + + + ...¸ 2 S © 1 2 3 ¹

u(Zt) =

uˆ uˆ sin Zt uˆ sin 2Zt uˆ sin 3Zt + ˜ + ˜ + ˜ + ... S S 2 S 1 2 3

¦

(9.5)

Die zugehörigen Teilsummen sind s0(Zt) =

uˆ 2

s1(Zt) =

uˆ uˆ sin Zt + ˜ 2 S 1

s2(Zt) =

uˆ uˆ sin Zt uˆ sin 2Zt + ˜ + ˜ S 2 S 1 2

s3(Zt) =

uˆ uˆ sin Zt uˆ sin 2Zt uˆ sin 3Zt + ˜ + ˜ + ˜ S S 2 S 1 2 3

#

sn(Zt) =

uˆ uˆ n sin kZt + ˜ . 2 S k =1 k

¦

Die Sägezahnspannung u(Zt), die Summenglieder und die Teilsummen s1, s2, s3 sind im Bild 9.1 dargestellt.

98

9 Fourieranalyse

Bild 9.1 Trigonometrische Teilsummen einer Sägezahnspannung

ˆ S) ˜ sinZt überlagert, so dass sich Dem Gleichanteil uˆ /2 wird zunächst die Grundwelle (u/ die Teilsumme s1(Zt) ergibt. Dann wird der Teilsumme s1(Zt) die 1. Oberwelle ˆ S) ˜ sin2Zt hinzugefügt, wodurch die Teilsumme s2(Zt) entsteht. Wird zur Teilsumme (u/2 ˆ S) ˜ sin3Zt addiert, dann ergibt sich die Teilsumme s3(Zt). Die s2(Zt) die 2. Oberwelle (u/3 trigonometrischen Reihen nähern sich mit größer werdendem n gegen die gegebene Funktion u(Zt):

u(Zt) =

n uˆ uˆ sin kZt + ˜ lim 2 S n of k =1 k

¦

9.1 Fourierreihenentwicklung

99

Fourierreihe mit Fourierkoeffizienten Die Amplituden und Anfangsphasenwinkel der Fourierreihe werden nicht direkt aus der analytisch gegebenen Funktion berechnet, sondern über die Fourierkoeffizienten ak und bk. Die Fourierreihe wird in eine Form gebracht, in der Kosinus- und Sinusglieder vorkommen. Mit dem Additionstheorem sin(D + E) = sin D · cos E + cos D · sin E lassen sich die Sinusglieder in der Gl. (9.2) umformen: vk = vˆ k ˜ sin(kZt + Mvk ) vk = vˆ k ˜ sin kZt ˜ cos Mvk + vˆ k ˜ cos kZt ˜ sin Mvk vk = vˆ k ˜ sin Mvk ˜ cos kZt + vˆ k ˜ cos Mvk ˜ sin kZt vk = ak · cos kZt + bk · sin kZt mit ak = vˆ k ˜ sin Mvk und bk = vˆ k ˜ cos Mvk .

(9.6) (9.7) (9.8)

Die Fourierreihe enthält dann die Amplituden ak und bk: f

v(t) =

¦

vk =

k=0

f

¦ (a k ˜ cos kZt + bk ˜ sin kZt) .

k=0

Da für k = 0 v0 = a0 · cos 0 + b0 · sin 0 = a0 , kann in der Fourierreihe der Gleichanteil a0 getrennt geschrieben werden: f

v(t) = a0 +

¦ (a k ˜ cos kZt + bk ˜ sin kZt) .

(9.9)

k=1

Ehe die Formeln für die Fourierkoeffizienten hergeleitet werden, kann der Zusammenhang zwischen dem Amplituden- und Phasenspektrum und den Fourierkoeffizienten berechnet werden. Durch Quadrieren der Gl. (9.7) und Gl. (9.8) und anschließendem Addieren wird Mvk eliminiert und durch Dividieren der Gl. (9.7) durch die Gl. (9.8) wird vˆ k eliminiert: a k 2 + b k 2 = vˆ k 2 ˜ (sin 2 Mvk + cos 2 Mvk ) = vˆ k 2

vˆ k = a k 2 + b k 2 ak vˆ ˜ sin Mvk = k = tan Mvk bk vˆ k ˜ cos Mvk

(9.10)

ak (9.11) . bk Sind die Fourierkoeffizienten aus den gegebenen periodischen Funktionen v(t) bzw. v(Zt) ermittelt, können das Amplituden- und Phasenspektrum mit den Gln. (9.10) und (9.11) berechnet werden.

Mvk = arc tan

100

9 Fourieranalyse

Ermittlung der Fourierkoeffizienten Eine gegebene Funktion v(t) ist gleich der unendlichen Fourierreihe. Da aber nur eine endliche trigonometrische Reihe sn(t) aufgestellt werden kann, besteht immer eine Abweichung zwischen der Funktion und der sie ersetzenden Reihe, auch wenn n noch so groß gewählt wird. Bei einer derartigen Approximation soll die Abweichung in Abhängigkeit von den Fourierkoeffizienten möglichst gering sein. Durch Anwendung der Methode der kleinsten Fehlerquadrate lassen sich damit die Formeln für die Fourierkoeffizienten herleiten, d. h. der mittlere Fehler soll in Abhängigkeit von 2n + 1 Fourierkoeffizienten a0, a1, … , an, b1, … , bn ein Minimum sein: T

F=

! 2 1 ˜ ª¬ v(t)  s n (t) º¼ ˜ dt = Min. T

(9.12)

³ 0

2

Tª n ! º 1 F = ˜ « v(t)  a 0  (a k ˜ cos kZt + bk ˜ sin kZt) » ˜ dt = Min. (9.13) T « » k=1 ¼ 0¬ Da sowohl v(t) als auch sn(t) periodisch sind, genügt es, das Fehlerintegral über eine Periode, also von 0 bis T, aufzustellen und nach den 2n + 1 Variablen partiell zu differenzieren, wobei innerhalb der Integrale die Kettenregel der Differentialrechnung anzuwenden ist:

¦

³

T

wF 1 = ˜ 2 ˜ [v(t)  s n (t)] ˜ (1) ˜ dt = 0 wa 0 T

³ 0

T

1 wF = ˜ 2 ˜ [v(t)  s n (t)] ˜ ( cos Zt) ˜ dt = 0 wa1 T

³ 0

T

1 wF = ˜ 2 ˜ [v(t)  s n (t)] ˜ ( cos 2Zt) ˜ dt = 0 wa 2 T

³ 0

# T

1 wF = ˜ 2 ˜ [v(t)  s n (t)] ˜ ( cos nZt) ˜ dt = 0 wa n T

³ 0

T

wF 1 = ˜ 2 ˜ [v(t)  s n (t)] ˜ ( sin Zt) ˜ dt = 0 wb1 T

³ 0

T

1 wF = ˜ 2 ˜ [v(t)  s n (t)] ˜ ( sin 2Zt) ˜ dt = 0 wb2 T

³ 0

# T

wF 1 = ˜ 2 ˜ [v(t)  s n (t)] ˜ ( sin nZt) ˜ dt = 0 wb n T

³ 0

9.1 Fourierreihenentwicklung

101

Der Faktor 2/T braucht wegen den nullgesetzten Gleichungen jeweils nicht beachtet zu werden. Nach Multiplikation mit  cos kZt und  sin kZt lassen sich die Integrale nach der Summenregel der Integralrechnung in jeweils zwei Integrale zerlegen, die auf verschiedene Seiten der Gleichung gebracht werden: T Tª n º «a 0  (a k ˜ cos kZt  bk ˜ sin kZt) » ˜ dt v(t) ˜ dt « » k 1 ¼ 0 0¬

³

¦

³

T

³

Tª

n º «a 0  (a k ˜ cos kZt  bk ˜ sin kZt) » ˜ cos Zt ˜ dt « » k 1 ¼ 0¬

v(t) ˜ cos Zt ˜ dt

T

³

¦

³

0

Tª

n º «a 0  (a k ˜ cos kZt  bk ˜ sin kZt) » ˜ cos 2Zt ˜ dt » « k 1 ¼ 0¬

v(t) ˜ cos 2Zt ˜ dt

¦

³

0

# T

³

Tª

n º «a 0  (a k ˜ cos kZt  bk ˜ sin kZt) » ˜ cos nZt ˜ dt » « k 1 ¼ 0¬

v(t) ˜ cos nZt ˜ dt

T

³

Tª

n º «a 0  (a k ˜ cos kZt  bk ˜ sin kZt) » ˜ sin Zt ˜ dt » « k 1 ¼ 0¬

v(t) ˜ sin Zt ˜ dt

¦

³

0

T

³

¦

³

0

v(t) ˜ sin 2Zt ˜ dt

0

Tª

n º «a 0  (a k ˜ cos kZt  bk ˜ sin kZt) » ˜ sin 2Zt ˜ dt « » k 1 ¼ 0¬

¦

³

# T

³

v(t) ˜ sin nZt ˜ dt

0

Tª

n º (a k ˜ cos kZt  b k ˜ sin kZt) » ˜ sin nZt ˜ dt «a 0  « »¼ k 1 0¬

¦

³

Auf der rechten Seite des Gleichungssystems treten nach Multiplikation mit cos kZt und sin kZt folgende Arten von Integralen auf, die fast alle Null sind: T

³ 0

dt

t

T

T

(9.14)

0

T

³ cos kZt ˜ dt 0

sin kZt kZ

T

³ sin kZt ˜ dt

0 T



sin k2S  sin 0 kZ

0

cos kZt kZ

³ cos PZt ˜ cos QZt ˜ dt 0

T

T

 0

cos k2S  cos 0 kZ

­T/2 für P Q ® für P z Q ¯0

(9.15)

0

0

(9.16)

(9.17)

102

9 Fourieranalyse T

­T/2 für P = Q für P z Q

³ sin PZt ˜ sin QZt ˜ dt = ®¯0 0

(9.18)

T

³ sin PZt ˜ cos QZt ˜ dt = 0 .

(9.19)

0

Die Gln. (9.17) bis (9.19) werden in der Literatur als Orthogonalitätsrelationen der trigonometrischen Funktionen bezeichnet. Sie werden dort häufig in Abhängigkeit von Zt = x angegeben. Mit den Gln. (9.14) bis (9.19) vereinfacht sich das Gleichungssystem: T

³ v(t) ˜ dt = a 0 ˜ T

0 T

³

v(t) ˜ cos Zt ˜ dt = a1 ˜

0

T

T 2

T

T

³ v(t) ˜ sin Zt ˜ dt = b1 ˜ 2 0

T

T

³ v(t) ˜ cos 2Zt ˜ dt = a 2 ˜ 2

T

³ v(t) ˜ sin 2Zt ˜ dt = b 2 ˜ 2

0

0

#

#

T

T

T

³ v(t)cos nZt ˜ dt = a n ˜ 2

T

³ v(t) ˜ sin nZt ˜ dt = bn ˜ 2 .

0

0

Die Formeln für die Fourierkoeffizienten a1 bis an und b1 bis bn lassen sich zusammenfassen: T

1 a0 = ˜ v(t) ˜ dt T

(9.20)

³ 0

T

2 ak = ˜ v(t) ˜ cos kZt ˜ dt T

³

mit k = 1, 2,..., n

(9.21)

0

T

2 bk = ˜ v(t) ˜ sin kZt ˜ dt T

³

mit k = 1, 2,..., n .

(9.22)

0

Ist die periodische nichtsinusförmige Funktion in Abhängigkeit von Zt gegeben, dann müssen die bestimmten Integrale mit Hilfe der Substitutionsmethode der Integralrechnung umgewandelt werden: a0 =

T

2S

³

³ v(x) ˜ Z

1 1 ˜ v(t) ˜ dt = ˜ T T 0

Substitution:

dx

(9.23)

0

x = Zt dx dx = Z, dt = , dt Z

Grenzen: t = 0 t=T

x=0 x = ZT = 2S

9.1 Fourierreihenentwicklung und mit x = Zt und ZT = 2S a0 =

1 ˜ 2S

103 ist

2S

³ v(Zt) ˜ d(Zt)

(9.24)

0

und entsprechend ak =

bk =

1 ˜ S

1 ˜ S

2S

(9.25)

³ v(Zt) ˜ cos k(Zt) ˜ d(Zt) 0

2S

³ v(Zt) ˜ sin k(Zt) ˜ d(Zt) .

(9.26)

0

Die Formeln für die Fourierkoeffizienten können also einfach umgewandelt werden, wenn die nichtsinusförmigen periodischen Größen als unabhängige Variable statt der Zeit t das Bogenmaß Zt enthält: Neben der unabhängigen Variablen wird T durch 2S ersetzt. Andere Schreibweisen der Formeln für die Fourierkoeffizienten Die Fourierkoeffizienten können auch berechnet werden, indem die untere Grenze statt t = 0 irgendein Zeitpunkt t = t0 sein kann, z. B. t = – T/2. Die obere Grenze muss entsprechend in t = t0 + T geändert werden, z. B. in t = T/2. 1 a0 = ˜ T 2 ak = ˜ T

bk =

2 ˜ T

t 0 +T

³

t0 t 0 +T

³

t0

v(t) ˜ dt =

1 ˜ T

T/2

³

T/ 2

2 v(t) ˜ cos kZt ˜ dt = ˜ T

t 0 +T

³

(9.27)

v(t) ˜ dt

v(t) ˜ sin kZt ˜ dt =

t0

2 ˜ T

T/ 2

³

v(t) ˜ cos kZt ˜ dt

(9.28)

v(t) ˜ sin kZt ˜ dt

(9.29)

T / 2 T/ 2

³

T / 2

und entsprechend a0 =

ak =

bk =

1 ˜ 2S

1 ˜ S 1 ˜ S

S

³ v(Zt) ˜ d(Zt)

(9.30)

S

S

³ v(Zt) ˜ cos kZt ˜ d(Zt)

(9.31)

S S

³ v(Zt) ˜ sin kZt ˜ d(Zt)

S

(9.32)

104

9 Fourieranalyse

Andererseits kann auch die nichtsinusförmige Funktion für negative Argumente berücksichtigt werden: 1 ˜ T

a0 =

2 ˜ T

ak =

bk =

T/ 2

³ [v(t) + v(t)] ˜ dt

(9.33)

0

T/ 2

2 ˜ T

³ [v(t) + v(t)] ˜ cos kZt ˜ dt

(9.34)

0

T/ 2

(9.35)

³ [v(t)  v(t)] ˜ sin kZt ˜ dt 0

Vereinfachungen bei der Berechnung der Fourierkoeffizienten Besitzen die nichtsinusförmigen periodischen Funktionen spezielle Symmetrien, dann sind bestimmte Fourierkoeffizienten von vornherein Null. Es empfiehlt sich daher, die Untersuchung der Funktion nach Symmetrien sorgfältig vorzunehmen, weil mit ihr der Rechenaufwand erheblich vermindert werden kann. Wird allerdings eine falsche Symmetrie erkannt, wird die gesamte Fourierreihe falsch. Vier Arten von Symmetrien werden unterschieden. Trifft für eine gegebene Funktion v(t) oder v(Zt) eine Symmetrie zu, dann braucht bei den verbleibenden Fourierkoeffizienten nur bis T/2 bzw. S integriert zu werden. Symmetrie 1. Art: gerade Funktionen mit v(– t) = v(t) bzw. v(– Zt) = v(Zt) Eine gerade Funktion ist spiegelungssymmetrisch zur Ordinate, d. h. durch Spiegelung an der Ordinate kann die Funktion zur Deckung gebracht werden. Ihre zugehörige Fourierreihe enthält nur Kosinus-Glieder, weil diese selbst gerade sind: f

v(t) = a0 +

¦

f

a k ˜ cos kZt

v(Zt) = a0 +

k=1

k=1

mit bk = 0 und a0 =

und ak =

2 ˜ T

4 ˜ T

¦ a k ˜ cos k(Zt)

mit bk = 0 T/ 2

³

S

v(t) ˜ dt

und a0 =

0

0

³ 0

T/ 2

³

1 ˜ v(Zt) ˜ d(Zt) S S

v(t) ˜ cos kZt ˜ dt

und ak =

2 ˜ v(Zt) ˜ cos k(Zt) ˜ d(Zt) S

³ 0

Die Gleichungen für a0, ak und bk ergeben sich mit Hilfe der Gln. (9.33) bis (9.35), indem v(– t) durch v(t) ersetzt wird. Die Integrale für Zt lassen sich mit T ĺ 2S bilden.

9.1 Fourierreihenentwicklung

105

Beispiele:

Bild 9.2 Dreieckförmige Impulse

Bild 9.3 Rechteckförmige Impulse

Symmetrie 2. Art: ungerade Funktionen mit v(– t) = – v(t) bzw. v(– Zt) = – v(Zt) Eine ungerade Funktion ist zentralsymmetrisch, d. h. durch Drehung um den Koordinatenursprung um 180° kann die Funktion zur Deckung gebracht werden. Ihre zugehörige Fourierreihe enthält nur Sinus-Glieder, weil diese selbst ungerade sind: f

v(t) =

¦ bk ˜ sin kZt

k=1

¦ bk ˜ sin k(Zt)

k=1

mit a0 = 0 und ak = 0

mit a0 = 0 und ak = 0 4 und bk = ˜ T

f

v(Zt) =

T/ 2

³

S

v(t) ˜ sin kZt ˜ dt

0

2 und bk = ˜ v(Zt) ˜ sin k(Zt) ˜ d(Zt) S

³ 0

Die Gleichungen für a0, ak und bk ergeben sich mit Hilfe der Gln. (9.33) bis (9.35), indem v(– t) durch – v(t) ersetzt wird. Die Integrale für Zt lassen sich mit T ĺ 2S bilden. Beispiele:

Bild 9.4 Sägezahnfunktion

Bild 9.5 Rechteckfunktion

106

9 Fourieranalyse

Symmetrie 3. Art: v(t + T/2) = – v(t) bzw. v(Zt + S) = – v(Zt) Diese Symmetrie wird an der periodischen Funktion erkannt, indem sie durch Verschieben um T/2 bzw. S und anschließendem Spiegeln an der t-Achse bzw. Zt-Achse zur Deckung gebracht wird. Ihre zugehörige Fourierreihe besteht nur aus ungeraden Kosinus- und Sinus-Gliedern: f

v(t) =

¦ ª¬a 2k+1 ˜ cos(2k + 1)Zt + b2k+1 ˜ sin(2k + 1)Zt º¼

k=0

mit a2k+1 =

und b2k+1 =

4 ˜ T

T/ 2

v(t) ˜ cos(2k + 1)Zt ˜ dt

³

a2k = 0

0

4 ˜ T

T/ 2

v(t) ˜ sin(2k + 1)Zt ˜ dt

³

b2k = 0

0

für k = 0, 1, 2, 3, 4, … oder f

v(Zt) =

¦ ª¬a 2k+1 ˜ cos(2k + 1)Zt + b2k+1 ˜ sin(2k + 1)Zt º¼

k=0

S

mit a2k+1 =

2 ˜ v(Zt) ˜ cos(2k + 1)Zt ˜ d(Zt) S

³

a2k = 0

0

S

und b2k+1 =

2 ˜ v(Zt) ˜ sin(2k + 1)Zt ˜ d(Zt) S

³

b2k = 0

0

für k = 0, 1, 2, 3, 4, … Der Nachweis für das Fehlen geradzahliger cos- und sin-Anteile kann mit Hilfe der Symmetriegleichung – v(Zt) = v(Zt + S) erbracht werden: f

– v(Zt) = – a0 – v(Zt + S) = a0 +

¦

k =1 f

f

a k ˜ cos k(Zt) 

¦ bk ˜ sin k(Zt)

k =1

f

¦ a k ˜ cos k(Zt + S) + ¦ bk ˜ sin k(Zt + S) .

k =1

k =1

Ein Gleichanteil a0 kann nicht existieren, weil das Gleichsetzen der Gleichanteile beider Reihen zu – a0 = a0 führt, und diese Gleichung ist nur für a0 = 0 erfüllt. Für k > 0 kann nun untersucht werden, ob die Faktoren von ak und bk beider Reihen gleichgesetzt sinnvoll sind: – cos k(Zt) = cos k(Zt + S) = cos k S · cos k Zt – sin k S · sin k Zt – sin k(Zt) = sin k(Zt + S) = sin k S · cos k Zt + cos k S · sin k Zt k = 1: – cos Zt = cos S · cos Zt – sin S · sin Zt = – 1 · cos Zt – 0 – sin Zt = sin S · cos Zt + cos S · sin Zt = 0 – 1 · sin Zt Die beiden Gleichungen sind für k = 1 erfüllt, so dass a1 und b1 existieren.

9.1 Fourierreihenentwicklung

107

k = 2: – cos2Zt z cos2S · cos2Zt – sin2S · sin2Zt = 1 · cos2Zt – 0 – sin2Zt z sin2S · cos2Zt + cos2S · sin2Zt = 0 + 1 · sin2Zt Die beiden Gleichungen sind für k = 2 nicht erfüllt, so dass a2 und b2 nicht existieren. Für alle weiteren k gilt Entsprechendes. Beispiele:

Bild 9.6 Abklingende e-Funktion

Bild 9.7 Dreieckfunktion

Symmetrie 4. Art: v(t + T/2) = v(t) bzw. v(Zt + S) = v(Zt) Diese Symmetrie wird an der periodischen Funktion erkannt, indem sie durch Verschieben um T/2 bzw. S zur Deckung gebracht wird. Damit sind diese Funktionen periodisch nach T/2 bzw. S. Da sie häufig aus Sinusfunktionen entstehen, wird die Periode der Ursprungsfunktion beibehalten. Ihre zugehörige Fourierreihe besteht nur aus geraden Kosinus- und Sinus-Gliedern: f

v(t) = a0 +

¦ ª¬a 2k ˜ cos 2kZt + b2k ˜ sin 2kZt º¼

k=1

2 mit a0 = ˜ T

und a2k =

T/ 2

v(t) ˜ dt

³ 0

4 ˜ T

4 und b2k = ˜ T

T/ 2

³

v(t) ˜ cos 2kZt ˜ dt

a2k–1 = 0

v(t) ˜ sin 2kZt ˜ dt

b2k–1 = 0

0

T/ 2

³ 0

für k = 1, 2, 3, 4, …

108

9 Fourieranalyse

oder f

v(Zt) = a0 +

¦ ª¬a 2k ˜ cos 2k(Zt) + b2k ˜ sin 2k(Zt) º¼

k=1 S

mit a0 =

1 ˜ v(Zt) ˜ d(Zt) S

³ 0

S

und a2k =

2 ˜ v(Zt) ˜ cos 2k(Zt) ˜ d(Zt) S

³

a2k–1 = 0

0

S

und b2k =

2 ˜ v(Zt) ˜ sin 2k(Zt) ˜ d(Zt) S

³

b2k–1 = 0

0

für k = 1, 2, 3, 4, … Der Nachweis für das Fehlen ungeradzahliger cos- und sin-Anteile kann mit Hilfe der Symmetriegleichung v(Zt) = v(Zt + S) erbracht werden: f

v(Zt) = a0 +

¦

a k ˜ cos k(Zt) +

k=1

v(Zt + S) = a0 +

f

¦ bk ˜ sin k(Zt)

k=1 f

f

k=1

k=1

¦ a k ˜ cos k(Zt + S) + ¦ bk ˜ sin k(Zt + S) .

Ein Gleichanteil a0 existiert, weil das Gleichsetzen von a0 beider Reihen zu keinem Widerspruch führt. Für k > 0 kann nun untersucht werden, ob die Faktoren von ak und bk beider Reihen gleichgesetzt sinnvoll sind: cos k(Zt) = cos k(Zt + S) = cos k S · cos k Zt – sin k S · sin k Zt sin k(Zt) = sin k(Zt + S) = sin k S · cos k Zt + cos k S · sin k Zt k = l: cos Zt z cos S · cos Zt – sin S · sin Zt = – 1 · cos Zt – 0 sin Zt z sin S · cos Zt + cos S · sin Zt = 0 – 1 · sin Zt Die beiden Gleichungen sind für k = 1 nicht erfüllt, so dass a1 und b1 nicht existieren. k = 2: cos 2Zt = cos 2S · cos 2Zt – sin 2S · sin 2Zt = 1 · cos 2Zt – 0 sin 2Zt = sin 2S · cos 2Zt + cos 2S · sin 2Zt = 0 + sin 2Zt Die beiden Gleichungen sind für k = 2 erfüllt, so dass a2 und b2 existieren.

9.1 Fourierreihenentwicklung

109

Beispiele:

Bild 9.8 Abklingende e-Funktion

Bild 9.9 Dreieckfunktion

Während die Symmetrien 1. und 2. Art nicht gleichzeitig auftreten können, weil sonst sämtliche Fourierkoeffizienten Null wären, können die Symmetrien 1. und 3. Art und 2. und 3. Art gleichzeitig vorkommen. Die Vereinfachungen aufgrund der Symmetrien 1. und 3. Art bzw. 2. und 3. Art werden übernommen. Außerdem braucht nur bis T/4 bzw. S/2 integriert zu werden. Symmetrie 1. und 3. Art: Die Fourierreihe einer geraden Funktion mit der Symmetrie 3. Art besteht nur aus ungeradzahligen Kosinus-Gliedern: f

v(t) =

¦

a 2k+1 ˜ cos(2k + 1)Zt

f

v(Zt) =

¦ a 2k +1 ˜ cos(2k + 1)Zt

k=0

k=0

mit bk = 0,

a2k = 0

und

mit bk = 0,

a2k = 0

und

8 a2k+1 = ˜ T

T/ 4

³

v(t) ˜ cos(2k + 1)Zt ˜ dt

0

Beispiel:

Bild 9.10 Dreieckfunktion

a2k+1 =

4 ˜ S

S/2

³ 0

v(Zt) ˜ cos(2k + 1)Zt ˜ d(Zt)

110

9 Fourieranalyse

Symmetrie 2. und 3. Art: Die Fourierreihe einer ungeraden Funktion mit der Symmetrie 3. Art besteht nur aus ungeradzahligen Sinus-Gliedern: f

v(t) =

¦

b2k+1 ˜ sin(2k + 1)Zt

f

v(Zt) =

¦ b2k +1 ˜ sin(2k + 1)Zt

k=0

k=0

mit a0 = 0,

ak = 0,

b2k = 0

und

mit a0 = 0,

ak = 0,

b2k = 0

und

b2k+1 =

8 ˜ T

T/ 4

³

v(t) ˜ sin(2k + 1)Zt ˜ dt

b2k+1 =

0

4 ˜ S

S/2

³

v(Zt) ˜ sin(2k + 1)Zt ˜ d(Zt)

0

Beispiel:

Bild 9.11 Dreieckfunktion

Die Symmetrien 1. und 4. Art treten gleichzeitig beispielsweise bei der Zweiweg-Gleichrichtung eines sinusförmigen Stroms auf. Es ist nicht untersucht, ob bei dieser Kombination von Symmetrien auch nur bis T/4 bzw. S/2 integriert zu werden braucht. Bei der Zweiweg-Gleichrichtung gäbe das keine Vorteile, weil die Funktion von 0 bis T/2 bzw. 0 bis S durch die Sinusfunktion beschrieben wird. Beispiele von Fourierreihen-Entwicklungen Gang der Berechnungen Bei der Überführung einer analytisch gegebenen, nichtsinusförmigen periodischen Funktion v(t) oder v(Zt) in eine Fourierreihe mit Sinus- und Kosinus-Gliedern sollte nach folgenden Schritten vorgegangen werden: 1. Angabe der Funktionsgleichung und grafische Darstellung der Funktion 2. Untersuchung der Funktion nach Symmetrien 3. Berechnung der Fourierkoeffizienten nach den angegebenen Formeln in t oder Zt 4. Aufstellen der Fourierreihe in Summenform und in ausführlicher Form 5. Weitere Berechnungen, z. B. Effektivwert, Klirrfaktor, Leistungen

9.1 Fourierreihenentwicklung

111

Beispiel 1: Fourierreihe einer Rechteckfunktion Zu 1. Funktionsgleichung: für 0 < t < T/2

­ uˆ u(t) = ® ¯  uˆ

für T/2 < t < T

Grafische Darstellung der Funktion:

Bild 9.12 Rechteckfunktion des Beispiels 1 Zu 2.

Die Funktion besitzt Symmetrien 2. und 3. Art, die Fourierreihe besteht nur aus ungeradzahligen Sinus-Gliedern.

Zu 3.

a0 = 0, ak = 0, b2k = 0, b2k+1 =

b2k+1 =

b2k+1 =

8 ˜ T

T/4

³

8uˆ ˜ T 8uˆ T

v(t) ˜ sin(2k + 1)Zt ˜ dt

0

T/4

³

sin(2k + 1)Zt ˜ dt

0

T/4

ª cos(2k + 1)Zt º ˜ « (2k + 1)Z »¼ 0 ¬

ZT  cos(2k + 1) + cos 0 8uˆ 4 b2k+1 = ˜ ZT 2k + 1

S  cos(2k + 1) + 1 8uˆ 2 b2k+1 = ˜ 2S 2k + 1

b2k+1 =

4uˆ 1 ˜ S 2k + 1

mit cos(2k + 1)

S =0 2

f

Zu 4.

v(t) =

¦ b2k +1 ˜ sin(2k + 1)Zt

k =0

u(t) =

f 4uˆ sin(2k + 1)Zt ˜ 2k + 1 S k =0

u(t) =

4uˆ S

¦

(Summenform)

§ sin Zt sin 3Zt sin 5Zt sin 7Zt · ˜¨ + + + + ... ¸ (ausführliche Form) 3 5 7 © 1 ¹

112

9 Fourieranalyse

Zu 5.

Ermittlung des Amplitudenspektrums: Mit Gl. (9.10) ist vˆ k = a k 2 + b k 2 mit vˆ k = uˆ k , ist uˆ 2k = 0

und

uˆ 2k +1 = b 2k +1 =

a 0 = 0,

a k = 0 und b2k = 0

4uˆ S(2k + 1)

mit k = 0, 1, 2, 3, ...

und im Einzelnen 4uˆ u0 = 0, uˆ 1 = = 1,27 ˜ uˆ S 4uˆ uˆ 2 = 0, uˆ 3 = = 0,424 ˜ uˆ S˜3 4uˆ uˆ 4 = 0, uˆ 5 = = 0,255 ˜ uˆ S˜5 4uˆ uˆ 6 = 0, uˆ 7 = = 0,182 ˜ uˆ S˜7

Berechnung des Effektivwerts und der Klirrfaktoren siehe Abschnitt 9.3 (S. 143 bzw. 145)

Bild 9.13 Amplitudenspektrum der Rechteckkurve des Beispiels 1

Beispiel 2: Fourierreihe einer Sägezahnfunktion Zu 1. Funktionsgleichung Zt · § u(Zt) = uˆ ˜ ¨1  ¸ für 0 < Zt < 2S 2S ¹ ©

Grafische Darstellung der Funktion:

Bild 9.14 Sägezahnfunktion des Beispiels 2

Zu 2. Zu 3.

Die Sägezahnfunktion besitzt keine der beschriebenen Symmetrien. Mit Gl. (9.24) lässt sich der Gleichanteil berechnen: a0 =

a0 =

a0 = a0 =

1 2S 1 2S

2S

³ v(Zt) ˜ d(Zt) 0

2S

³ 0

2S 2S ½° Zt · uˆ ­° 1 § uˆ ˜ ¨ 1  ˜ d( Z t) ˜ Z  d( t) ( Zt) ˜ d( Zt) ¾ = ® ¸ 2S ¹ 2S ° 2S © 0 ¯0 ¿°

uˆ ­° ˜ ®( Zt) 2S °¯

³

2S

 0

1 ( Zt) 2 ˜ 2S 2

³

2S ½ 0

uˆ ­ 1 (2S)2 ½ uˆ ° ˜ ®2S  ˜S ¾= ¾= 2S 2 ¿ 2S °¿ 2 S ¯

uˆ 2

Der Gleichanteil kann auch aus der Funktion abgelesen werden, indem die Dreieckfläche in eine flächengleiche Rechteckfläche mit den Seiten 2S und a0 überführt wird.

9.1 Fourierreihenentwicklung

113

Mit der Gl. (9.25) wird ak berechnet: ak =

ak =

1 S 1 S

2S

³ v(Zt) ˜ cos k(Zt) ˜ d(Zt) 0

2S

§

Zt ·

³ uˆ ˜ ¨©1  2S ¸¹ ˜ cos k(Zt) ˜ d(Zt) 0

ak =

2S 2S ½° uˆ ­° 1 ˜ ® cos k( Zt) ˜ d( Zt)  ( Zt) ˜ cos k( Zt) ˜ d(Zt) ¾ 2S S ° ¯0 ¿° 0

mit

³ x ˜ cos ax ˜ dx =

ak =

uˆ ­° sin k( Zt) ˜® S ¯° k

ak =

uˆ ­ sin k(2S)  sin 0 1 § cos k(2 S)  1 (2S) ˜ sin k(2S) · ½ ˜®  ˜¨ + ¸¾ k 2S © k S ¯ k2 ¹¿

³

³

cos ax x ˜ sin ax + a a2

2S

 0

1 § cos k( Zt) ( Zt) ˜ sin k( Zt) · ˜¨ + ¸ 2S © k k2 ¹

2S ½ 0

° ¾ ¿°

ak = 0

Mit der Gl. (9.26) wird bk berechnet: bk =

bk =

1 S 1 S

2S

³ v(Zt) ˜ sin k(Zt) ˜ d(Zt) 0

2S

§

Zt ·

³ uˆ ˜ ¨©1  2S ¸¹ ˜ sin k(Zt) ˜ d(Zt) 0

bk =

2S 2S ½° uˆ ­° 1 (Zt) ˜ sin k(Zt) ˜ d(Zt) ¾ ˜ ® sin k(Zt) ˜ d(Zt)  S ° 2S 0 ¯0 ¿°

mit

³ x ˜ sin ax ˜ dx =

bk =

uˆ °­  cos k( Zt) ˜® k S °¯

bk =

uˆ ­  cos k(2S) + 1 1 § sin k(2S)  0 (2S) ˜ cos k(2S)  0 · ½ ˜®  ˜¨  ¸¾ S ¯ k 2S © k k2 ¹¿

bk =

uˆ ­ 1 2S ½ ˜® ˜ ¾ S ¯ 2S k ¿

bk =

uˆ Sk

³

³

sin ax x ˜ cos ax  a a2 2S

 0

1 § sin k( Zt) ( Zt) ˜ cos k( Zt) · ˜¨  ¸ 2S © k 2 k ¹

2S ½ 0

° ¾ °¿

114

9 Fourieranalyse f

Zu 4.

v(Zt) = a0 +

¦ (a k ˜ cos kZt + bk ˜ sinkZt) k =1

Zu 5.

u(Zt) =

f uˆ uˆ sin kZt + ˜ 2 S k =1 k

u(Zt) =

uˆ uˆ § sin Zt sin 2Zt sin 3Zt sin 4Zt · + ˜¨ + + + + ... ¸ 2 S © 1 2 3 4 ¹

¦

(Summenform)

(ausführliche Form)

Die Überlagerung des Gleichanteils, der Grundwelle, der 1. und 2. Oberwellen zu trigonometrischen Summen ist im Bild 9.1, S. 98 dargestellt. Wird die Sägezahnfunktion um uˆ /2 nach unten verschoben und damit der Gleichanteil zu Null, wird verständlich, warum in der Reihe keine Kosinusanteile vorhanden sind; sie ist nach der Verschiebung eine ungerade Funktion, die nur aus Sinusanteilen besteht. Berechnung des Effektivwerts siehe Abschnitt 9.3, S. 144.

Beispiel 3: Fourierreihe des gleichgerichteten Stroms bei Einweggleichrichtung Zu 1. Funktionsgleichung:

°­ˆi ˜ sin Zt für 0 d Zt d S i(Zt) = ® für S d Zt d 2S °¯ 0 Grafische Darstellung der Funktion:

Bild 9.15 Einweggleichgerichteter Strom

Zu 2.

Die Funktion des gleichgerichteten Stroms besitzt keine der beschriebenen Symmetrien.

Zu 3.

a0 =

1 2S

2S

³ v(Zt) ˜ d(Zt) 0

S

a0 =

1 ˆ i ˜ sin Zt ˜ d( Zt) 2S

³ 0

a0 =

ˆi ˆi S ˜ [  cos Zt ]0 = ˜ [  cos S + 1] 2S 2S

a0 =

ˆi S

9.1 Fourierreihenentwicklung ak =

1 S

115

2S

³ v(Zt) ˜ cos kZt ˜ d(Zt) 0

S

ak =

1 ˆ i ˜ sin Zt ˜ cos kZt ˜ d( Zt) S

³ 0

mit

³ sin ax ˜ cos bx ˜ dx = 

für a z b ak =

a ˜ cos ax ˜ cos bx + b ˜ sin ax ˜ sin bx a 2  b2

mit a = 1 und b = k

ˆi ª cos Zt ˜ cos kZt + k ˜ sin Zt ˜ sin kZt º S ˜  S ¬« 1  k2 ¼»0

ak = 

ˆi ˜ [cos S ˜ cos kS + k ˜ sin S ˜ sin kS  1] S(1  k 2 )

ak =

i ˜ (cos kS + 1) für k z 1 S(1  k 2 )

a1 =

1 ˆ i ˜ sin Zt ˜ cos Zt ˜ d( Zt) S

S

³ 0

1

mit

³ sin ax ˜ cos ax ˜ dx = 2a ˜ sin 2 ax

a1 =

S i ª 1 º ˜ « ˜ sin 2 Zt » S ¬2 ¼0

a1 = 0 bk =

1 S

2S

³ v(Zt) ˜ sin kZt ˜ d(Zt) 0

S

bk =

1 ˆ i ˜ sin Zt ˜ sin kZt ˜ d( Zt) S

³ 0

mit

³ sin ax ˜ sin bx ˜ dx = 

für a z b

bk =

a ˜ cos ax ˜ sin bx  b ˜ sin ax ˜ cos bx a 2  b2

mit a = 1 und b = k

i ª cos Zt ˜ sin kZt  k ˜ sin Zt ˜ cos kZt º S ˜  »¼ S «¬ 1  k2 0

bk =  bk = 0

i ˜ (cos S ˜ sin kS  k ˜ sin S ˜ cos kS) S(1  k 2 )

für k  1

116

9 Fourieranalyse S

b1 =

1 ˆ i ˜ sin 2 Zt ˜ d( Zt) S

³ 0

x

1

mit

³ sin 2 ax ˜ dx = 2  4a ˜ sin 2ax

b1 =

S i ª Zt 1 º ˜ «  ˜ sin 2Zt » S ¬2 4 ¼0

b1 =

i § S 1 · ˜ ¨  ˜ sin 2S ¸ S ©2 4 ¹

b1 =

i 2

Zu 4. i( Zt) =

ˆi ˆi ˆi ˆi + ˜ sin Zt + ˜ 2 ˜ cos 2Zt + ˜0+ S 2 S(1  4) S(1  9) ˆi ˆi + ˜ 2 ˜ cos 4Zt + ˜0+ S(1  16) S(1  25) i i + ˜ 2 ˜ cos6Zt + ˜ 0 + ... S(1  36) S(1  49)

i(Zt) =

i i 2 ˜ i § cos 2Zt cos 4Zt cos 6Zt · + ˜ sin Zt  ˜¨ + + + ... ¸ 3˜5 5˜7 S 2 S © 3 ¹

9.2 Reihenentwicklung von in diskreten Punkten vorgegebenen nichtsinusförmigen periodischen Funktionen Verfahren zur numerischen Berechnung trigonometrischer Reihen Bei den bisher behandelten Beispielen von Fourierreihen-Entwicklungen, die auch unter dem Begriff Harmonische Analyse bekannt sind, waren die nichtsinusförmigen periodischen Wechselgrößen explizit als Zeitfunktionen gegeben, wodurch sich die Fourierreihen exakt berechnen lassen. In der Praxis liegen häufig nur Kurvenverläufe periodischer Größen vor, die sich nicht ohne weiteres analytisch beschreiben lassen, z. B. das Tangentialdiagramm einer Kolbenkraftmaschine, das Diagramm des Druckverlaufs in einer Pumpe oder Aufzeichnungen von mechanischen, akustischen und elektrischen Schwingungen. Für derartige periodische nichtsinusförmige Funktionen lassen sich diskrete Funktionswerte, so genannte Stützstellen, ablesen und eine angenäherte harmonische Analyse durchführen. Zwei der numerischen Verfahren zur Ermittlung von endlichen trigonometrischen Reihen, die behandelt werden sollen, sind: 1. Direkte trigonometrische Interpolation (Zipperer-Tafel) 2. Harmonische Analyse mit Hilfe einer Ersatzfunktion (Sprungstellenverfahren)

9.2 Fourierreihenentwicklung mit diskreten Punkten

117

Direkte trigonometrische Interpolation Zunächst wird die nichtsinusförmige periodische Funktion v(Zt) = v(x) im Intervall (0,2S) in m Teilintervalle mit gleichen 'x = 2S/m zerlegt. Damit werden für die Periode 2S aus der Funktion v(x) m Stützstellen mit den xi-Werten x i = i ˜ 'x = i ˜

2S m

mit i = 0,1, 2, 3, ... , m  1

und m zugehörigen Funktionwerten vi = f(xi) herausgegriffen. Beispiel: Im Bild 9.16 ist eine analytisch nicht fassbare Funktion mit m = 12 Stützstellen mit den Funktionwerten V0 , v1, v2, … , v10, v11 gezeichnet:

Bild 9.16 Nichtsinusförmige periodische Wechselgröße mit m = 12 Stützstellen

Die Interpolation ist am genauesten, wenn das mittlere Fehlerquadrat in Abhängigkeit von den Fourierkoeffizienten a0, ak und bk minimal ist. Anstelle des Fehlerquadratintegrals in der Gl. (9.12) wird eine Fehlerquadratsumme minimiert: F=

1 m

m 1

!

¦ [Fi  v i ]2 = Min.

(9.36)

i =0

n

mit Fi = a0 +

¦ (a k ˜ cos kx i + bk ˜ sin kx i ) .

k=1

(9.37)

118

9 Fourieranalyse

Durch partielle Differentiation nach den Koeffizienten a0, a1, a2, … , an, b1, b2, … , bn und nach Umformungen ergeben sich die Besselschen Gleichungen, mit denen die Fourierkoeffizienten der trigonometrischen Reihe berechnet werden können: a0 =

ak =

bk =

1 m

m1

2 m

m 1

2 m

m 1

¦ vi

(9.38)

i=0

¦ v i ˜ cos kxi

für k = 1, 2, 3, ... , n  1

(9.39)

für k = 1, 2, 3, ... , n  1

(9.40)

i =0

¦ v i ˜ sin kxi i =0

2S und für i = 0, 1, 2, 3, ... , m  1 m und zusätzlich für gerade m:

mit xi = i ·

am = 2

1 m

m1

¦ (1)i ˜ v i .

(9.41)

i=0

Zwischen der Anzahl der Stützstellen m und der sich ergebenden Anzahl der Reihenglieder gibt es den Zusammenhang m t 2n + 1

bzw.

m 1 t n, 2

(9.42)

so dass bei gerader Anzahl m der Stützstellen die Anzahl der Summenglieder n nicht größer als m/2 sein kann. Die Formel für die Berechnung des Gleichanteils a0 entspricht der Trapezregel für die numerische Integration: a0 =

1 ˜ (v 0 + v1 + v 2 + v 3 + ... + v m1 ) . m

(9.43)

Um genauere Gleichanteile berechnen zu können, wird für eine gerade Anzahl m von Stützstellen die Trapezregel durch die Simpsonregel ersetzt: a0 =

1 ˜ (v 0 + 4v1 + 2v 2 + 4v 3 + ... + 4v m1 + v m ) 3m

(9.44)

und mit v0 = vm a0 =

1 ˜ (2v 0 + 4v1 + 2v 2 + 4v 3 + ... + 4v m1 ) . 3m

(9.45)

Die Besselschen Gleichungen lassen sich in Rechnern mit variabler Stützstellenanzahl programmieren, wodurch die angenäherten Fourierreihen mit beliebiger Genauigkeit errechnet werden können.

9.2 Fourierreihenentwicklung mit diskreten Punkten

119

Beispiel: Mit m = 12 kann die Berechnung der Fourierkoeffizienten schematisiert werden, so dass eine überschlägige Berechnung der trigonometrischen Reihe ohne Rechner möglich ist. Bei 12 abgelesenen diskreten Funktionswerten können sich mit Gl. (9.42) m 1 = 5,5 > n = 5 und m gerade 2 nur die Fourierkoeffizienten a0, a1, … , a5, b1, … , b5, a6 ergeben. Mit der Simpsonformel ist 1 a0 = ˜ (2v0 + 4v1 + 2v 2 + 4v3 + 2v 4 + 4v5 + 2v6 + 4v7 + 2v8 + 4v9 + 2v10 + 4v11 ) 36 und mit der Sonderformel für gerade m ist 1 a6 = ˜ (v0  v1 + v 2  v3 + v 4  v5 + v6  v7 + v8  v9 + v10  v11 ). 12 Entsprechend lassen sich die ak-und bk-Fourierkoeffizienten berechnen:

k = l: 1 ª S· S· S· S ·º § § § § a1 = ˜ « v 0 ˜ cos ¨ 1 ˜ 0 ˜ ¸ + v1 ˜ cos ¨ 1 ˜ 1 ˜ ¸ + v 2 ˜ cos ¨ 1 ˜ 2 ˜ ¸ + ... + v11 ˜ cos ¨ 1 ˜ 11 ˜ ¸ » 6 ¬ 6 6 6 6 ¹¼ © ¹ © ¹ © ¹ © b1 =

1 ª S· S· S· S ·º § § § § ˜ v 0 ˜ sin ¨ 1 ˜ 0 ˜ ¸ + v1 ˜ sin ¨ 1 ˜ 1 ˜ ¸ + v 2 ˜ sin ¨ 1 ˜ 2 ˜ ¸ + ... + v11 ˜ sin ¨ 1 ˜ 11 ˜ ¸ » 6 «¬ 6 6 6 6 ¹¼ © ¹ © ¹ © ¹ ©

k = 2: 1 ª S· S· S· S ·º § § § § a2 = ˜ « v 0 ˜ cos ¨ 2 ˜ 0 ˜ ¸ + v1 ˜ cos ¨ 2 ˜ 1 ˜ ¸ + v 2 ˜ cos ¨ 2 ˜ 2 ˜ ¸ + ... + v11 ˜ cos ¨ 2 ˜ 11 ˜ ¸ » 6 ¬ 6¹ 6¹ 6¹ 6 ¹¼ © © © © S· S· S· S ·º 1 ª § § § § b2 = ˜ « v 0 ˜ sin ¨ 2 ˜ 0 ˜ ¸ + v1 ˜ sin ¨ 2 ˜ 1 ˜ ¸ + v 2 ˜ sin ¨ 2 ˜ 2 ˜ ¸ + ... + v11 ˜ sin ¨ 2 ˜ 11 ˜ ¸ » 6 ¬ 6¹ 6¹ 6¹ 6 ¹¼ © © © © k = 3: S· S· S· S ·º 1 ª § § § § a3 = ˜ « v 0 ˜ cos ¨ 3 ˜ 0 ˜ ¸ + v1 ˜ cos ¨ 3 ˜ 1 ˜ ¸ + v 2 ˜ cos ¨ 3 ˜ 2 ˜ ¸ + ... + v11 ˜ cos ¨ 3 ˜ 11 ˜ ¸ » 6 ¬ 6¹ 6¹ 6¹ 6 ¹¼ © © © © b3 =

1 ª S· S· S· S ·º § § § § ˜ v 0 ˜ sin ¨ 3 ˜ 0 ˜ ¸ + v1 ˜ sin ¨ 3 ˜ 1 ˜ ¸ + v 2 ˜ sin ¨ 3 ˜ 2 ˜ ¸ + ... + v11 ˜ sin ¨ 3 ˜ 11 ˜ ¸ » 6 «¬ 6¹ 6¹ 6¹ 6 ¹¼ © © © ©

k = 4: S· S· S· S ·º 1 ª § § § § a4 = ˜ « v 0 ˜ cos ¨ 4 ˜ 0 ˜ ¸ + v1 ˜ cos ¨ 4 ˜ 1 ˜ ¸ + v 2 ˜ cos ¨ 4 ˜ 2 ˜ ¸ + ... + v11 ˜ cos ¨ 4 ˜ 11 ˜ ¸ » 6 ¬ 6¹ 6¹ 6¹ 6 ¹¼ © © © © S S S S 1 ª § · § · § · § ·º b4 = ˜ « v 0 ˜ sin ¨ 4 ˜ 0 ˜ ¸ + v1 ˜ sin ¨ 4 ˜ 1 ˜ ¸ + v 2 ˜ sin ¨ 4 ˜ 2 ˜ ¸ + ... + v11 ˜ sin ¨ 4 ˜ 11 ˜ ¸ » 6 ¬ 6¹ 6¹ 6¹ 6 ¹¼ © © © © k = 5: 1 ª S· S· S· S ·º § § § § a5 = ˜ « v 0 ˜ cos ¨ 5 ˜ 0 ˜ ¸ + v1 ˜ cos ¨ 5 ˜ 1 ˜ ¸ + v 2 ˜ cos ¨ 5 ˜ 2 ˜ ¸ + ... + v11 ˜ cos ¨ 5 ˜ 11 ˜ ¸ » 6 ¬ 6¹ 6¹ 6¹ 6 ¹¼ © © © © S· S· S· S ·º 1 ª § § § § ˜ v 0 ˜ sin ¨ 5 ˜ 0 ˜ ¸ + v1 ˜ sin ¨ 5 ˜ 1 ˜ ¸ + v 2 ˜ sin ¨ 5 ˜ 2 ˜ ¸ + ... + v11 ˜ sin ¨ 5 ˜ 11 ˜ ¸ » 6 «¬ 6¹ 6¹ 6¹ 6 ¹¼ © © © © Die Argumente der cos- und sin-Faktoren verändern sich bei k = 1 um 30° : 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° bei k = 2 um 60° : 0° 60° 120° 180° 240° 300° 360° 420° 480° 540° 600° 660° bei k = 3 um 90° : 0° 90° 180° 270° 360° 450° 540° 630° 720° 810° 900° 990° bei k = 4 um 120° : 0° 120° 240° 360° 480° 600° 720° 840° 960° 1080° 1200° 1320° bei k = 5 um 150° : 0° 150° 300° 450° 600° 750° 900° 1050° 1200° 1350° 1500° 1650°

b5 =

120

9 Fourieranalyse Wie am Einskreis zu sehen ist, können die cos- und sin-Faktoren für m = 12 nur die Werte 0, ± 0,5, ± 0,866 und ± 1 annehmen, denn sin 30° = cos 60° = 0,5 und cos 30° = sin 60° = 0,5 · 3 = 0,866

Bild 9.17

Einskreis mit den cos- und sin-Faktoren

Die Gleichungen für die Fourierkoeffizienten lauten damit 1 a1 = (v0 ˜ 1 + v1 ˜ 0,866 + v 2 ˜ 0,5 + v3 ˜ 0  v 4 ˜ 0,5  v5 ˜ 0,866 6  v6 ˜ 1  v7 ˜ 0,866  v8 ˜ 0,5 + v9 ˜ 0 + v10 ˜ 0,5 + v11 ˜ 0,866)

1 b1 = (v0 ˜ 0 + v1 ˜ 0,5 + v 2 ˜ 0,866 + v3 ˜ 1 + v 4 ˜ 0,866 + v5 ˜ 0,5 6 + v6 ˜ 0  v7 ˜ 0,5  v8 ˜ 0,866  v9 ˜ 1  v10 ˜ 0,866  v11 ˜ 0,5)

1 a2 = (v0 ˜ 1 + v1 ˜ 0,5  v 2 ˜ 0,5  v3 ˜ 1  v 4 ˜ 0,5 + v5 ˜ 0,5 6 + v6 ˜ 1 + v7 ˜ 0,5  v8 ˜ 0,5  v9 ˜ 1  v10 ˜ 0,5 + v11 ˜ 0,5)

1 b2 = (v 0 ˜ 0 + v1 ˜ 0,866 + v 2 ˜ 0,866  v 3 ˜ 0  v 4 ˜ 0,866  v 5 ˜ 0,866 6 + v6 ˜ 0 + v7 ˜ 0,866 + v8 ˜ 0,866  v9 ˜ 0  v10 ˜ 0,866  v11 ˜ 0,866) 1 a3 = (v0 ˜ 1 + v1 ˜ 0  v 2 ˜ 1 + v3 ˜ 0 + v 4 ˜ 1 + v5 ˜ 0 6

v 6 ˜ 1 + v 7 ˜ 0 + v 8 ˜ 1 + v 9 ˜ 0  v10 ˜ 1 + v11 ˜ 0) 1 b3 = (v0 ˜ 0 + v1 ˜ 1 + v 2 ˜ 0  v3 ˜ 1 + v 4 ˜ 0 + v5 ˜ 1 6

v 6 ˜ 0  v 7 ˜ 1 + v 8 ˜ 0 + v 9 ˜ 1 + v10 ˜ 0  v11 ˜ 1) 1 a4 = (v0 ˜ 1  v1 ˜ 0,5  v 2 ˜ 0,5 + v3 ˜ 1  v 4 ˜ 0,5  v5 ˜ 0,5 6 + v6 ˜ 1  v7 ˜ 0,5  v8 ˜ 0,5 + v9 ˜ 1  v10 ˜ 0,5  v11 ˜ 0,5) 1 b4 = (v0 ˜ 0 + v1 ˜ 0,866  v 2 ˜ 0,866 + v3 ˜ 0 + v 4 ˜ 0,866  v5 ˜ 0,866 6 + v6 ˜ 0 + v7 ˜ 0,866  v8 ˜ 0,866 + v9 ˜ 0 + v10 ˜ 0,866  v11 ˜ 0,866) 1 a5 = (v0 ˜ 1  v1 ˜ 0,866 + v 2 ˜ 0,5 + v3 ˜ 0  v 4 ˜ 0,5 + v5 ˜ 0,866 6  v6 ˜ 1 + v7 ˜ 0,866  v8 ˜ 0,5 + v9 ˜ 0 + v10 ˜ 0,5  v11 ˜ 0,866)

1 b5 = (v 0 ˜ 0 + v1 ˜ 0,5  v 2 ˜ 0,866 + v 3 ˜ 1  v 4 ˜ 0,866 + v 5 ˜ 0,5 6 + v6 ˜ 0  v7 ˜ 0,5 + v8 ˜ 0,866  v9 ˜ 1 + v10 ˜ 0,866  v11 ˜ 0,5)

9.2 Fourierreihenentwicklung mit diskreten Punkten

121

Die Rechenvorschrift für die Berechnung der Fourierkoeffizienten lässt sich übersichtlich in Tafelform angeben, wobei folgende Abkürzungen vereinbart sind: pi = vi · 0,5

und

qi = vi · 0,866

Tafel für die direkte trigonometrische Interpolation mit m = 12 (Zipperer-Tafel)

vi

0

1

2

3

v0

2v0

+ v0

v1

4v1

+ q1

+ p1

+ p1

+ q1

v2

2v2

+ p2

+ q2

– p2

+ q2

v3

4v3

+ v3

– v3

v4

2v4

– p4

+ q4

– p4

– q4

v5

4v5

– q5

+ p5

+ p5

– q5

v6

2v6

– v6

v7

4v7

– q7

– p7

+ p7

+ q7

v8

2v8

– p8

– q8

– p8

+ q8

v9

4v9

– v9

– v9

v10

2v10

+ p10

– q10

– p10

– q10

v11

4v11

+ q11

– p11

+ p11

– q11

36a0

6a1

6b1

6a2

6b2

+ v0

4

+ v0

+ v0 + v1

– v2 – v3

+ v6

+ v4 + v5 – v6

+ v8 + v9 – v10 – v11 6b3

6

+ v0

+ v0

– p1

+ q1

– q1

+ p1

– v1

– p2

– q2

+ p2

– q2

+ v2

+ v3

– v3

+ v3 – p4

+ q4

– p4

– q4

+ v4

– p5

– q5

+ q5

+ p5

– v5

+ v6 – v7

6a3

5

– v6

+ v6

– p7

+ q7

+ q7

– p7

– v7

– p8

– q8

– p8

+ q8

+ v8

+ v9

– v9

– v9

– p10 + q10 + p10

+ q10 + v10

– p11 – q11 – q11

– p11 – v11

6a4

6b4

6a5

6b5

12a6

122

9 Fourieranalyse Die folgende leere Zipperer-Tafel kann für Rechenbeispiele kopiert und nach obiger Vorschrift ausgefüllt werden: 1. Ablesen und Eintragen der 12 Funktionswerte vi 2. Berechnen und Eintragen der pi = vi · 0,5 und qi = vi · 0,866 3. Aufsummieren der Spaltenwerte und Berechnen der ak und bk 4. Aufstellen der trigonometrischen Summe

vi

0

1

2

3

4

5

6

Beispiel: Die im Beispiel 3 des vorigen Abschnitts entwickelte Fourierreihe des gleichgerichteten Stroms bei Einweggleichrichtung (siehe Bild 9.15, S. 114) soll für m = 12 durch direkte trigonometrische Interpolation angenähert werden, damit eine Beurteilung des Verfahrens durch Vergleich der exakten mit der angenäherten Reihe möglich ist. Lösung:

Bild 9.18 Aufteilung der Sinushalbwelle in Teilintervalle für die direkte trigonometrische Interpolation

9.2 Fourierreihenentwicklung mit diskreten Punkten vi

0

0

0

0

0,5

2

0,43

0,25

0,866

1,73

0,43

0,75 – 0,43 0,75 – 0,87

1

4

0,866

1

2

3

0 0,25

1

4

0 0,43

0,5

–1

–1

0,5

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

11,46

0

3

– 1,36

0

a0 =

0,25 – 0,43 0

0

0

– 0,25

0,43 – 0,43 0,25

– 0,5

1

1

0

– 0,25 – 0,43 0,43 0

0 0 0 0

a2 = 

0,25

0

– 0,5 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

– 0,36

0

0

0

– 0,26

a6 =  1,36 =  0, 227 6

–1

0,75 – 0,43 – 0,75 0,87

11, 46 = 0,318 36

a1 = 0

6

0

– 0,43 0,5

0

5

– 0,43 – 0,75 0,43 – 0,75 0,87

1,73 – 0,43 0,75 – 0,43 – 0,75 0,87 – 0,43 0,25

123

a3 = 0

a4 = 

0,26 =  0,022 12

0,36 =  0,06 6

a5 = 0

3 b2 = 0 b3 = 0 b4 = 0 b5 = 0 = 0,5 6 Die trigonometrische Summe der Sinushalbwelle bei m = 12 Stützstellen lautet damit:

b1 =

i(Zt) | i · (0,318 + 0,5 · sin Zt – 0,227 · cos 2Zt – 0,06 · cos 4Zt – 0,022 · cos 6Zt) Zum Vergleich die exakt berechnete Fourierreihe (siehe Beispiel 3, S. 114–116): i(Zt) | i · (0,318 + 0,5 · sin Zt – 0,212 · cos 2Zt – 0,042 · cos 4Zt – 0,018 · cos 6Zt – …) Obwohl nur 12 Stützstellen in die angenäherte Fourieranalyse eingehen, ist die Annäherung bereits relativ genau und für eine überschlägige Beurteilung der Harmonischen verwendbar. Sind genauere Ergebnisse notwendig, muss die Stützstellenanzahl entsprechend erhöht werden oder die Fourieranalyse mit Hilfe einer Näherungsfunktion (Sprungstellen-Verfahren) vorgenommen werden.

124

9 Fourieranalyse

Harmonische Analyse mit Hilfe einer Ersatzfunktion Wird die nichtsinusförmige periodische Funktion durch eine Ersatzfunktion angenähert, dann können bei gleicher Stützstellenanzahl im Gegensatz zur direkten trigonometrischen Interpolation beliebig viele Fourierkoeffizienten berechnet werden und zwar nach den Formeln in den Gln. (9.20) bis (9.22) bzw. (9.24) bis (9.26). Die Ersatzfunktion kann selbstverständlich keine geschlossene periodische Funktion in Form einer elementaren Funktion sein, sondern besteht aus stückweise zusammengesetzten Polynomen niedrigen Grades. Ist die nichtsinusförmige periodische Funktion nur durch Stützstellen gegeben, bestimmen zwei, drei oder vier benachbarte Stützstellen den Verlauf der Polynomstücke, je nachdem ob Geradenstücke, Parabeln 2. oder 3. Grades verwendet werden. Werden z. B. zwei Stützstellen durch Geradenstücke verbunden, dann müssen zunächst die Geradengleichungen mit Hilfe der Zwei-Punkte-Form ermittelt und dann die Fourierkoeffizienten errechnet werden. Bei 12 Stützstellen ergeben sich 12 Geraden, die stückweise integriert werden müssen:

Bild 9.19 Geradenstücke als Ersatzfunktion für eine nichtsinusförmige periodische Funktion

Berechnung von a0 nach Gl. (9.24) mit x = Zt: a0 =

a0 =

1 2S

2S

³ v(x) ˜ dx 0

2S /6 2S ½ ­S /6 1 ° ° ˜ ® v1 (x) ˜ dx + v 2 (x) ˜ dx + ... + v12 (x) ˜ dx ¾ 2S ° °¿ S /6 11S /6 ¯ 0

³

³

³

2S ½ ­S /6 1 ° ° ˜ ® (A1,1 ˜ x + A 0,1 ) ˜ dx + ... + (A1,12 ˜ x + A 0,12 ) ˜ dx ¾ . 2S ° °¿ 11S /6 ¯ 0 Entsprechend müssten ak und bk nach den Gln. (9.25) und (9.26) berechnet werden. Der Rechenaufwand wäre allerdings erheblich und würde noch größer werden, wenn Polynome 2. oder gar 3. Grades stückweise die nichtsinusförmige periodische Funktion ersetzen. Auf diese Weise ist es deshalb praktisch nicht möglich, die Fourierkoeffizienten zu ermitteln.

a0 =

³

³

9.2 Fourierreihenentwicklung mit diskreten Punkten

125

Wesentlich einfacher ist das Sprungstellenverfahren, bei dem auf die Integration völlig verzichtet werden kann. Besteht zunächst die periodische Funktion v(x) nur aus Geradenstücken, die parallel zur Zt-Achse verlaufen, dann hat diese Treppenkurve r Sprungstellen an den Stellen ȟi mit den Ordinatensprüngen si = v(ȟi + 0) – v(ȟi – 0) mit v(ȟi – 0) linksseitiger Grenzwert und v(ȟi + 0) rechtsseitiger Grenzwert, so wird bei der Berechnung der Fourierkoeffizienten von Sprungstelle zu Sprungstelle integriert: 2S

S · ak =

³ v(x) ˜ cos kx ˜ dx 0

[2

[1

S · ak =

³

v(x) ˜ cos kx ˜ dx +

³

0

2S

v(x) ˜ cos kx ˜ dx + ... +

[1

³ v(x) ˜ cos kx ˜ dx

[r

und 2S

S · bk =

³ v(x) ˜ sin kx ˜ dx 0

[2

[1

S · bk =

³

v(x) ˜ sin kx ˜ dx +

0

³

2S

v(x) ˜ sin kx ˜ dx + ... +

[1

³ v(x) ˜ sin kx ˜ dx .

[r

Durch partielle Integration lassen sich die Teilintegrale vereinfachen:

³ v(x) ˜ cos kx ˜ dx = v(x) ˜ mit u = v(x)

sin kx  k

³

sin kx ˜ v c(x) ˜ dx k

dv = cos kx · dx

du = v c(x) dx

v = cos kx ˜ dx

du = v c(x) ˜ dx

v=

³

sin kx k

bzw. § cos kx · § cos kx · c ¸  ¨ ¸ ˜ v (x) ˜ dx k ¹ k ¹ ©

³ v(x) ˜ sin kx ˜ dx = v(x) ˜ ¨©  mit u = v(x)

³

dv = sin kx · dx

du = v c(x) dx

v = sin kx ˜ dx

du = v c(x) ˜ dx

v =

³

cos kx k

126

9 Fourieranalyse [1

[ 0

ª sin kx º 1 S · ak = « v(x) ˜ k »¼0 ¬



³ v c(x) ˜ 0

[ 2 0

ª sin kx º + « v(x) ˜  k »¼ [ +0 ¬ 1

[2

2S

+

[r

0

ª cos kx º  « v(x) ˜ + k »¼ [ +0 ¬ 1 2S

ª cos kx º ...  « v(x) ˜ + k »¼ [ +0 ¬ r

und

³ v c(x) ˜

³ v c(x) ˜

[ 2 0

sin kx ˜ dx + ... k

2S

[1

[ 0

ª cos kx º 1 S · bk =  « v(x) ˜ k »¼0 ¬

³ v c(x) ˜

[1

ª sin kx º ... + « v(x) ˜  k »¼ [ +0 ¬ r

bzw.

sin kx ˜ dx k

cos kx ˜ dx k

[2

³ v c(x) ˜

[1

2S

³ v c(x) ˜

[r

sin kx ˜ dx k

cos kx ˜ dx  ... k cos kx ˜ dx k

sin k[1 sin k ˜ 0  v(0) ˜ k k sin k[ 2 sin k[1 +v([ 2  0) ˜  v([1 + 0) ˜ k k sin k[ 3 sin k[ 2 +v([3  0) ˜  v([ 2 + 0) ˜ + ... k k sin k[ r sin k[ r 1 ... + v([ r  0) ˜  v([ r 1 + 0) ˜ k k

S · ak = v([1  0) ˜

sin k[ r 1 sin k ˜ 2S +v(2S) ˜  v([ r + 0) ˜  k k k

bzw.

2S

³ v c(x) ˜ sin kx ˜ dx 0

cos k[1 cos k ˜ 0 + v(0) ˜ k k cos k[ 2 cos k[1 v([ 2  0) ˜ + v([1 + 0) ˜ k k cos k[ 3 cos k[ 2 + v([ 2 + 0) ˜  ... v([3  0) ˜ k k cos k[ r cos k[ r 1 ...  v([ r  0) ˜ + v([ r 1 + 0) ˜ k k

S · bk = v([1  0) ˜

cos k[ r 1 cos k ˜ 2S v(2S) ˜ + v([ r + 0) ˜ + k k k

2S

³ v c(x) ˜ cos kx ˜ dx 0

9.2 Fourierreihenentwicklung mit diskreten Punkten

127

Mit – v(0) ·

sin k ˜ 0 sin k ˜ 2S + v(2S) ˜ =0 k k

und

cos k ˜ 2S cos k ˜ 0  v(2S) ˜ =0 k k wegen v(0) = v(2S) ergibt sich 1 S · ak =  ˜ {[ v( [1 + 0)  v( [1  0)] ˜ sin k ˜ [1 k v(0) ·

+ ª¬ v([ 2 + 0)  v([ 2  0) º¼ ˜ sin k ˜ [ 2

+... + [ v( [r + 0)  v( [r  0)] ˜ sin k ˜ [r } 

1 ˜ k

2S

³ vc(x) ˜ sin kx ˜ dx 0

bzw. S · bk =

1 ˜ {[ v( [1 + 0)  v( [1  0) ] ˜ cos k ˜ [1 k + ª¬ v([ 2 + 0)  v([ 2  0) º¼ ˜ cos k ˜ [ 2

+... + [ v( [r + 0)  v( [r  0)] ˜ cos k ˜ [r } +

1 ˜ k

2S

³ vc(x) ˜ cos kx ˜ dx 0

und mit den Ordinatensprüngen si = v(ȟi + 0) – v(ȟi – 0)

(9.46)

ergeben sich die Formeln für die Fourierkoeffizienten: 1 1 ak =  ˜ (s ˜ sin k[1 + s2 ˜ sin k[ 2 + ... + sr ˜ sin k[ r )  S˜k S˜k 1

2S

³ v c(x) ˜ sin kx ˜ dx 0

(9.47) 1 1 ˜ (s ˜ cos k[1 + s 2 ˜ cos k[ 2 + ... + sr ˜ cos k[ r ) + bk = S˜k S˜k 1

2S

³ v c(x) ˜ cos kx ˜ dx 0

(9.48) Besitzt die nichtsinusförmige periodische Funktion v(x) oder die Ersatzfunktion nur Steigungen Null außer in den Sprungstellen, dann sind die Integrale mit v c(x) Null. Für alle periodischen Rechteckfunktionen und für periodische Funktionen, die durch Treppenkurven angenähert werden, können die Fourierkoeffizienten ohne Integration ermittelt werden.

128

9 Fourieranalyse Beispiel: Fourierreihe einer Rechteckfunktion Funktionsgleichung: ­ uˆ für 0 < Zt < S u(Zt) = ® ¯  uˆ für S < Zt < 2 S Grafische Darstellung der Funktion:

Bild 9.20 Rechteckfunktion

Sprungstellen (Anzahl r = 2): ȟ1 = 0 und ȟ2 = S Ordinatensprünge: s1 = v(ȟ1 + 0) – v(ȟ1 – 0) = û– (– )û = 2û s2 = v(ȟ2 + 0) – v(ȟ2 – 0) = – û– û= – 2û Mit v c(x) = 0 ergibt die Gl. (9.47) ak = 

1 ˜ (s1 ˜ sin k[1 + s 2 ˜ sin k[2 ) S˜k

ak = 

1 ˆ ˜ sin k ˜ S) ˜ (2uˆ ˜ sin k ˜ 0  2u S˜k

ak = 0 und die Gl. (9.48) bk =

1 ˜ (s1 ˜ cos k[1 + s 2 ˜ cos k[2 ) S˜k

bk =

1 ˆ ˜ cos k ˜ S) ˜ (2uˆ ˜ cos k ˜ 0  2u S˜k

bk =

für gerade k ­0 2 ˜ uˆ ° ˜ ª¬1  ( 1) k º¼ = ® 4 ˜ uˆ S˜k °¯ S ˜ k für ungerade k

und damit die Fourierreihe 4 ˜ uˆ § sin Zt sin 3Zt sin 5Zt sin 7Zt · ˜¨ + + + + ... ¸ 3 5 7 S © 1 ¹ (vgl. Fourierreihe im Beispiel 1 des Abschnitts 9.1, S. 111, Bild 9.12). u(Zt) =

Ist die Ersatzfunktion für eine periodische Funktion v(x) eine Treppenkurve, die zwischen den Sprungstellen nur die Steigung Null hat, dann lässt sich das Sprungstellenverfahren entsprechend anwenden. Mit dieser groben Approximation kann selbstverständlich keine genaue Fourierreihe erwartet werden. Für genauere Approximation sollten mindestens Geradenstücke wie im Bild 9.19 oder Parabeln niedrigen Grades verwendet werden.

9.2 Fourierreihenentwicklung mit diskreten Punkten

129

Besteht nun die periodische Funktion v(x) oder die Ersatzfunktion aus Geradenstücken (siehe Bild 9.19) oder aus Parabeln niedrigen Grades, die durch jeweils zwei bzw. drei benachbarte Stützstellen bestimmt sind, dann müssen die Integrale mit v c(x) in den Gln. (9.47) und (9.48) auf die gleiche Weise mit Hilfe der partiellen Integration in Integrale mit v cc(x) , dann mit v ccc(x) , … , v(n)(x) überführt werden, damit diese Null werden. An den r c Stellen [ ic hat die 1. Ableitungsfunktion die Ordinatensprünge sci = v c( [ ci + 0)  v c( [ ci  0) ,

(9.49)

an den r cc Stellen [ cci hat die 2. Ableitungsfunktion die Ordinatensprünge scci = v cc( [ cci + 0)  v cc( [ cci  0) ,

(9.50)

an den r ccc Stellen [ ccc i hat die 3. Ableitungsfunktion die Ordinatensprünge sccc i = v ccc( [ ccc i + 0)  v ccc( [ ccc i  0) ,

(9.51)

an den r(n) Stellen [ (n) hat die n-te Ableitungsfunktion die Ordinatensprünge i (n) (n) (n) (n) s(n) i = v ([ i + 0)  v ([ i  0) .

(9.52)

Für die Fourierkoeffizienten ergibt sich dann ak = 

+

1 ˜ S˜k

¦

si ˜ sin k ˜ [ i 

i=1

r cc

1 S ˜ k3

... ±

r

˜

rc

1 S ˜ k2

¦ sci ˜ cos k ˜ [ci

˜

i=1

r ccc

1

¦ scci ˜ sin k ˜ [cci + S ˜ k4 ˜ ¦ siccc˜ cos k ˜ [ccci  ... i=1

i=1

r (n)

1 S ˜ k n+1

˜

¦

s(n) i ˜

i=1

sin cos

k ˜ [ (n) i ±

1 S ˜ k n+1

2S

˜

sin

³ v(n+1) (x) ˜ cos k ˜ x ˜ dx

(9.53)

0

bzw. bk =



1 ˜ S˜k

1

r

¦ i=l

r cc

˜

¦

S ˜ k3 i=1

... ±

1

si ˜ cos k ˜ [ i 

scci ˜ cos k ˜ [ cci + r (n)

¦

S ˜ k n+1 i=1

s(n) i ˜

cos sin

1

rc

˜

¦ sic ˜ sin k ˜ [ci

S ˜ k 2 i=l

1

r ccc

˜

¦ sccci ˜ sin k ˜ [ccci + ...

S ˜ k 4 i=1

k ˜ [ (n) i ±

1 S ˜ k n+1

2S

˜

cos

³ v(n+1) (x) ˜ sin k ˜ x ˜ dx

(9.54)

0

mit k = 1, 2, 3, … , n. Wird die zu analysierende periodische Funktion v(x) durch Parabelbögen k-ten Grades approximiert, so entfällt jeweils das Integral, und die Fourierkoeffizienten ak und bk lassen sich dann ohne Integration nur aus den Sprungstellen errechnen.

130

9 Fourieranalyse Beispiel: Fourierreihe einer Dreieckfunktion Funktionsgleichung: ­ 2 ˜ uˆ ° S ˜ Zt ° ° 2 ˜ uˆ ˜ Zt + 2 ˜ uˆ u(Zt) = ®  ° S ° 2 ˜ uˆ ° S ˜ Zt  4 ˜ uˆ ¯

für

0 d Zt d S/2

für

S/2 d Zt d 3S/2

für 3S/2 d Zt d 2S

Grafische Darstellung der Funktion und ihrer 1. Ableitung:

Bild 9.21 Dreieckfunktion und ihre 1. Ableitung Die Stammfunktion u(Zt) hat keine Sprungstellen, denn die Funktion ist stetig. Die 1. Ableitungsfunktion u c(Zt) hat r c = 2 Sprungstellen [1c = S/2 und [ c2 = 3S/2 mit den Ordinatensprüngen

s1c = u c( [1c + 0)  u c( [1c  0) = 

sc2 = u c( [c2 + 0)  u c( [c2  0) =

2 ˜ uˆ § 2 ˜ˆu · 4 ˆ˜ u  ¨+ ¸= S S © S ¹

2 ˜ uˆ § 2 ˜ˆu · 4 ˆ˜ u  ¨ . ¸= S S © S ¹

Die höheren Ableitungsfunktionen ab u cc(Zt) sind Null und haben keine Sprungstellen.

9.2 Fourierreihenentwicklung mit diskreten Punkten

131

Damit lassen sich die Formeln für die Fourierkoeffizienten in den Gln. (9.53) und (9.54) reduzieren und die Fourierkoeffizienten mit den festgestellten Sprungstellen berechnen. ak = 

ak =  ak = 

bk = 

bk =  bk =  bk =

2

1

˜

S ˜ k2

¦ sic ˜ cos k ˜ [ ic i=1

1

(

˜ s1c ˜ cos k ˜ [1c + s c2 ˜ cos k ˜ [ 2c

S ˜ k2

)

1 3S · S 4 ˜ˆu § 4 ˜ uˆ ˜¨ ˜ cos k ˜ + ˜ cos k ˜ ¸ = 0 2 S 2 2 ¹ S˜k © S 2

1

˜

S ˜ k2

¦ sci ˜ sin k ˜ [ ic i=1

1

(

˜ s1c ˜ sin k ˜ [1c + s 2c ˜ sin k ˜ [ c2

S ˜ k2

)

1 3S · S 4 ˜ˆu § 4 ˜ uˆ ˜¨ ˜ sin k ˜ + ˜ sin k ˜ ¸ S 2 2 ¹ S ˜ k2 © S

4 ˜ uˆ § 3S · S ˜ ¨ sin k ˜  sin k ˜ ¸ 2 2 2 2 ¹ S ˜k ©

d. h. b1 =

8 ˜ uˆ , S2

b2 = 0

b3 = 

8 ˜ uˆ , 32 ˜ S2

b4 = 0

b5 =

8 ˜ uˆ , ˜ S2

b6 = 0

52

#

Die Fourierreihe der Dreieckfunktion besteht nur aus ungeradzahligen Sinusgliedern, weil sie die Symmetrie 2. und 3. Art erfüllt (siehe Bild 9.11, S. 110): u(Zt) =

8 ˜ uˆ S2

sin 3Zt sin 5Zt § · ˜ ¨ sin Zt  +  + ... ¸ 32 52 © ¹

132

9 Fourieranalyse

Geradenapproximation und Sprungstellenverfahren Wird die nichtsinusförmige periodische Funktion durch Geradenstücke approximiert, die benachbarte Stützstellen verbinden, dann werden bei Anwendung des Sprungstellenverfahrens die gleichen reduzierten Formeln für die Fourierkoeffizienten verwendet wie bei dem eben behandelten Beispiel der Dreieckfunktion: ak = 

bk = 

1 S ˜ k2 1 S ˜ k2

rc

˜

¦ sci ˜ cos k ˜ [ci

(9.55)

i=1 rc

˜

¦ sci ˜ sin k ˜ [ci

(9.56)

i=1

mit den r c Ordinatensprüngen der 1. Ableitungsfunktionen an den Stellen [ ci : sci = v c( [ ci + 0)  v c( [ ci  0) .

(9.57)

Die Geradengleichungen (Stammfunktionen), die 2. Ableitungsfunktionen und die höheren Ableitungsfunktionen gehen nicht in die Formeln für die Fourierkoeffizienten ein, da sie keine Ordinatensprünge aufweisen. Damit die Sprungstellen der 1. Ableitungsfunktion erfasst werden können, müssen also die Geradengleichungen der Geradenstücke vi (x) = A1, i · x + A0, i

(9.58)

differenziert werden: v ci (x) = A1, i .

(9.59)

Die in der 1. Ableitung verbleibenden Steigungen A1, i sind durch die Ordinaten- und Abszissenwerte der Stützstellen gegeben:

v  v i 1 v i  v i 1 = A1, i = i x i  x i 1 'x

bzw. A1, m =

v 0  v m 1 v 0  v m 1 = , x 0  x m 1 'x

(9.60)

wobei die Stützstellen für die Ersatzfunktion in x-Richtung gleiche Abstände 'x haben sollen. Die Ordinatensprünge der 1. Ableitungsfunktionen an den Stellen [ ic können damit durch die Anstiege der Geraden ausgedrückt werden: s1c = v c( [1c + 0)  v c( [1c  0) = A1,1  A1,m

(9.61)

sic = v c([ ic + 0)  v c([ ic  0) = A1,i  A i,i1 .

(9.62)

Sie werden dann in den Formeln für die Fourierkoeffizienten berücksichtigt.

9.2 Fourierreihenentwicklung mit diskreten Punkten

133

Beispiel: Bei m = 12 Stützstellen hat die Ersatzfunktion aus 12 Geradenstücken 12 verschiedene Steigungen. Die 1. Ableitungsfunktion hat damit r c = 12 Ordinatensprünge:

Bild 9.22 Geradenapproximation und Sprungstellenverfahren bei m = 12

Wird die Fourierreihe z. B. bis zur 8. Harmonischen mit n = 8 berechnet, so ergibt sich folgendes Gleichungssystem: k = 1: 1 11S · º ª § S· § 2S · c ˜ cos §¨ 1 ˜ ˜ «s1c ˜ cos (1 ˜ 0 ) + sc2 ˜ cos ¨ 1 ˜ ¸ + s3c ˜ cos ¨ 1 ˜ a1 =  ¸ + ... + s12 ¸ 2 6 6 6 ¹ »¼ S ˜1 ¬ © ¹ © ¹ ©

b1 = 

1 11S · º ª § S· § 2S · c ˜ sin §¨ 1 ˜ ˜ «s1c ˜ sin (1 ˜ 0 ) + sc2 ˜ sin ¨ 1 ˜ ¸ + s3c ˜ sin ¨ 1 ˜ ¸ + ... + s12 ¸ 2 6 6 6 ¹ ¼» S ˜1 ¬ © ¹ © ¹ ©

134

9 Fourieranalyse

k = 2:

1 11S · º ª § S· § 2S · c ˜ cos §¨ 2 ˜ ˜ s1c ˜ cos ( 2 ˜ 0 ) + sc2 ˜ cos ¨ 2 ˜ ¸ + s3c ˜ cos ¨ 2 ˜ ¸ + ... + s12 ¸ 6 6 6 ¹ »¼ S ˜ 22 «¬ © ¹ © ¹ © 1 11S · º ª § S· § 2S · c ˜ sin §¨ 2 ˜ ˜ s1c ˜ sin ( 2 ˜ 0 ) + sc2 ˜ sin ¨ 2 ˜ ¸ + s3c ˜ sin ¨ 2 ˜ b2 =  ¸ + ... + s12 ¸ 6 6 6 ¹ »¼ S ˜ 22 «¬ © ¹ © ¹ ©

a2 = 

k = 3: 1 11S · º ª § S· § 2S · c ˜ cos §¨ 3 ˜ ˜ s1c ˜ cos ( 3 ˜ 0 ) + sc2 ˜ cos ¨ 3 ˜ ¸ + s3c ˜ cos ¨ 3 ˜ ¸ + ... + s12 ¸ 6 6 6 ¹ »¼ S ˜ 32 «¬ © ¹ © ¹ © 1 11S · º ª § S· § 2S · c ˜ sin §¨ 3 ˜ b3 =  ˜ s1c ˜ sin ( 3 ˜ 0 ) + sc2 ˜ sin ¨ 3 ˜ ¸ + s3c ˜ sin ¨ 3 ˜ ¸ + ... + s12 ¸ 6 6 6 ¹ ¼» S ˜ 32 ¬« © ¹ © ¹ ©

a3 = 

k = 4: 11S · º ª § S· § 2S · c ˜ cos §¨ 4 ˜ ˜ «s1c ˜ cos ( 4 ˜ 0 ) + sc2 ˜ cos ¨ 4 ˜ ¸ + s3c ˜ cos ¨ 4 ˜ ¸ + ... + s12 ¸ 6 6 6 ¹ »¼ © ¹ © ¹ © ¬ 1 11S · º ª § S· § 2S · c ˜ sin ¨§ 4 ˜ ˜ s1c ˜ sin ( 4 ˜ 0 ) + sc2 ˜ sin ¨ 4 ˜ ¸ + s3c ˜ sin ¨ 4 ˜ b4 =  ¸ + ... + s12 ¸ 6 ¹ 6 ¹ »¼ S ˜ 42 «¬ © 6¹ © ©

a4 = 

1 S ˜ 42

k = 5: a5 = 

1 S ˜ 52

11S · º ª § S· § 2S · c ˜ cos §¨ 5 ˜ ˜ «s1c ˜ cos ( 5 ˜ 0 ) + sc2 ˜ cos ¨ 5 ˜ ¸ + s3c ˜ cos ¨ 5 ˜ ¸ + ... + s12 ¸ 6 6 6 ¹ ¼» © ¹ © ¹ © ¬ 1 11S · º ª § S· § 2S · c ˜ sin §¨ 5 ˜ b5 =  ˜ s1c ˜ sin ( 5 ˜ 0 ) + sc2 ˜ sin ¨ 5 ˜ ¸ + s3c ˜ sin ¨ 5 ˜ ¸ + ... + s12 ¸ 6 ¹ 6 ¹ »¼ S ˜ 52 «¬ © 6¹ © © k = 6: 1 11S · º ª § S· § 2S · c ˜ cos ¨§ 6 ˜ a6 =  ˜ «s1c ˜ cos ( 6 ˜ 0 ) + sc2 ˜ cos ¨ 6 ˜ ¸ + s3c ˜ cos ¨ 6 ˜ ¸ + ... + s12 ¸ 2 6 ¹ 6 ¹ »¼ S˜6 ¬ © 6¹ © © b6 = 

1 S ˜ 62

11S · º ª § S· § 2S · c ˜ sin ¨§ 6 ˜ ˜ «s1c ˜ sin ( 6 ˜ 0 ) + sc2 ˜ sin ¨ 6 ˜ ¸ + s3c ˜ sin ¨ 6 ˜ ¸ + ... + s12 ¸ 6 ¹ 6 ¹ ¼» © 6¹ © © ¬

k = 7: 11S · º ª § S· § 2S · c ˜ cos §¨ 7 ˜ ˜ «s1c ˜ cos ( 7 ˜ 0 ) + sc2 ˜ cos ¨ 7 ˜ ¸ + s3c ˜ cos ¨ 7 ˜ ¸ + ... + s12 ¸ 6 ¹ 6 ¹ »¼ © 6¹ © © ¬ 1 11S · º ª § S· § 2S · c ˜ sin §¨ 7 ˜ ˜ «s1c ˜ sin ( 7 ˜ 0 ) + sc2 ˜ sin ¨ 7 ˜ ¸ + s3c ˜ sin ¨ 7 ˜ b7 =  ¸ + ... + s12 ¸ 2 6 ¹ 6 ¹ ¼» S˜7 ¬ © 6¹ © ©

a7 = 

1 S ˜ 72

k = 8: 1 11S · º ª § S· § 2S · c ˜ cos §¨ 8 ˜ ˜ «s1c ˜ cos (8 ˜ 0 ) + sc2 ˜ cos ¨ 8 ˜ ¸ + s3c ˜ cos ¨ 8 ˜ ¸ + ... + s12 ¸ 2 6 6 6 ¹ ¼» S˜8 ¬ © ¹ © ¹ © 1 11S · º ª § S· § 2S · c ˜ sin §¨ 8 ˜ ˜ «s1c ˜ sin (8 ˜ 0 ) + sc2 ˜ sin ¨ 8 ˜ ¸ + s3c ˜ sin ¨ 8 ˜ b8 =  ¸ + ... + s12 ¸ 2 6 6 6 ¹ ¼» S˜8 ¬ © ¹ © ¹ ©

a8 = 

9.2 Fourierreihenentwicklung mit diskreten Punkten

135

Bei m = 12 Stützstellen können die Sinus- und Kosinuswerte genauso wie bei der direkten trigonometrischen Interpolation nur die Werte 0, ± 0,5, ± 0,866 und ± 1 annehmen, wie am Einskreis (Bild 9.17) zu sehen ist: a1 = 

b1 = 

a2 = 

b2 = 

a3 = 

b3 = 

a4 = 

b4 = 

a5 = 

b5 = 

1 ˜ (s1c ˜ 1 + s 2c ˜ 0,866 + s3c ˜ 0,5 + s 4c ˜ 0  s5c ˜ 0,5  s6c ˜ 0,866 S  s7c ˜ 1  s8c ˜ 0,866  s9c ˜ 0,5 + s10 c ˜ 0 + s11 c ˜ 0,5 + s12 c ˜ 0,866) 1 ˜ (s1c ˜ 0 + s 2c ˜ 0,5 + s3c ˜ 0,866 + s 4c ˜ 1 + s5c ˜ 0,866 + s6c ˜ 0,5 S + s7c ˜ 0  s8c ˜ 0,5  s9c ˜ 0,866  s10 c ˜ 1  s11 c ˜ 0,866  s12 c ˜ 0,5) 1 ˜ (s1c ˜ 1 + s 2c ˜ 0,5  s3c ˜ 0,5  s 4c ˜ 1  s5c ˜ 0,5 + s6c ˜ 0,5 4S + s7c ˜ 1 + s8c ˜ 0,5  s9c ˜ 0,5  s10 c ˜ 1  s11 c ˜ 0,5 + s12 c ˜ 0,5) 1 ˜ (s1c ˜ 0 + s c2 ˜ 0,866 + s3c ˜ 0,5  s c4 ˜ 0  s5c ˜ 0,866  s6c ˜ 0,866 4S + s7c ˜ 0 + s8c ˜ 0,866 + s9c ˜ 0,866  s10 c ˜ 0  s11 c ˜ 0,866  s12 c ˜ 0,866) 1 ˜ (s1c ˜ 1 + s 2c ˜ 0  s3c ˜ 1  s 4c ˜ 0 + s5c ˜ 1 + s6c ˜ 0 9S  s7c ˜ 1  s8c ˜ 0 + s9c ˜ 1 + s10 c ˜ 0  s11 c ˜ 1  s12 c ˜ 0) 1 ˜ (s1c ˜ 0 + s 2c ˜ 1  s3c ˜ 0  s c4 ˜ 1 + s5c ˜ 0 + s6c ˜ 1 9S  s7c ˜ 0  s8c ˜ 1 + s9c ˜ 0 + s10 c ˜ 1  s11 c ˜ 0  s12 c ˜ 1) 1 ˜ (s1c ˜ 1  s 2c ˜ 0,5  s3c ˜ 0,5 + s 4c ˜ 1  s5c ˜ 0,5  s6c ˜ 0,5 16S + s7c ˜ 1  s8c ˜ 0,5  s9c ˜ 0,5 + s10 c ˜ 1  s11 c ˜ 0,5  s12 c ˜ 0,5) 1 ˜ (s1c ˜ 0 + s 2c ˜ 0,866  s3c ˜ 0,866 + s 4c ˜ 0 + s5c ˜ 0,866  s6c ˜ 0,866 16S + s7c ˜ 0 + s8c ˜ 0,866  s9c ˜ 0,866 + s10 c ˜ 0 + s11 c ˜ 0,866  s12 c ˜ 0,866) 1 ˜ (s1c ˜ 1  s 2c ˜ 0,866 + s3c ˜ 0,5 + s 4c ˜ 0  s5c ˜ 0,5 + s6c ˜ 0,866 25S  s7c ˜ 1 + s8c ˜ 0,866  s9c ˜ 0,5 + s10 c ˜ 0 + s11 c ˜ 0,5  s12 c ˜ 0,866) 1 ˜ (s1c ˜ 0 + s 2c ˜ 0,5  s3c ˜ 0,866 + s 4c ˜ 1  s5c ˜ 0,866 + s6c ˜ 0,5 25S + s7c ˜ 0  s8c ˜ 0,5 + s9c ˜ 0,866  s10 c ˜ 1 + s11 c ˜ 0,866  s12 c ˜ 0,5)

136

9 Fourieranalyse a6 = 

b6 = 

a7 = 

b7 = 

a8 = 

b8 = 

1 ˜ (s1c ˜ 1  s 2c ˜ 1 + s3c ˜ 1  s 4c ˜ 1 + s5c ˜ 1  s6c ˜ 1 36S + s7c ˜ 1  s8c ˜ 1 + s9c ˜ 1  s10 c ˜ 1 + s11 c ˜ 1  s12 c ˜ 1) 1 ˜ (s1c ˜ 0 + s 2c ˜ 0 + s3c ˜ 0 + s c4 ˜ 0 + s5c ˜ 0 + s6c ˜ 0 36S + s7c ˜ 0 + s8c ˜ 0 + s9c ˜ 0 + s10 c ˜ 0 + s11 c ˜ 0 + s12 c ˜ 0) 1 ˜ (s1c ˜ 1  s 2c ˜ 0,866 + s3c ˜ 0,5 + s 4c ˜ 0  s5c ˜ 0,5 + s6c ˜ 0,866 49S  s7c ˜ 1 + s8c ˜ 0,866  s9c ˜ 0,5 + s10 c ˜ 0 + s11 c ˜ 0,5  s12 c ˜ 0,866) 1 ˜ (s1c ˜ 0  s c2 ˜ 0,5 + s3c ˜ 0,866  s 4c ˜ 1 + s5c ˜ 0,866  s6c ˜ 0,5 49S + s7c ˜ 0 + s8c ˜ 0,5  s9c ˜ 0,866 + s10 c ˜ 1  s11 c ˜ 0,866 + s12 c ˜ 0,5) 1 ˜ (s1c ˜ 1  s 2c ˜ 0,5  s3c ˜ 0,5 + s 4c ˜ 1  s5c ˜ 0,5  s6c ˜ 0,5 64S + s7c ˜ 1  s8c ˜ 0,5  s9c ˜ 0,5 + s10 c ˜ 1  s11 c ˜ 0,5  s12 c ˜ 0,5) 1 ˜ (s1c ˜ 0  s c2 ˜ 0,866 + s3c ˜ 0,866 + s 4c ˜ 0  s5c ˜ 0,866 + s6c ˜ 0,866 64S + s7c ˜ 0  s8c ˜ 0,866 + s9c ˜ 0,866 + s10 c ˜ 0  s11 c ˜ 0,866 + s12 c ˜ 0,866)

Tafel für die Berechnung der 8 Fourierkoeffizienten bei Geradenapproximation mit m =12 Stützstellen und Anwendung des Sprungstellenverfahrens Arbeitsschritte: 1. Ablesen und Eintragen der 12 Funktionswerte vi

Bild 9.23 Geradenapproximation

9.2 Fourierreihenentwicklung mit diskreten Punkten

137

2. Eintragen der 2 · vi-Werte bzw. 4 · vi-Werte und Berechnen des Gleichanteils a0 Die Berechnung des Gleichanteils erfolgt nach der Simpsonformel Gl. (9.44). 3. Berechnen und Eintragen der Ordinatensprünge ± sci der Ableitungsfunktion s1c =

6 ˜ (v11  2v 0 + v1 ) S

und

sci =

6 ˜ (v i2  2 ˜ v i1 + v i ) S

Die Ordinatensprünge der Ableitungsfunktion sci = v c( [ic + 0)  v c( [ic  0) ergeben sich nach Gln. (9.61), (9.62) und (9.60) mit ǻx = S/6 und v12 = v0: s1c = A1,1  A1,m = A1,1  A1,12 sci = A1,i  A1,i1 mit i = 2, 3, 4, ... , 12 v  v i1 v  v11 mit A1,i = i und A1,12 = 0 'x 'x

Die Formeln für die Ordinatensprünge lauten dann: v1  v 0 v 0  v11 6  = ˜ (v11  2 ˜ v 0 + v1 ) 'x 'x S v 2  v1 v1  v 0 6 =  = ˜ (v 0  2 ˜ v1 + v 2 ) 'x 'x S v 3  v 2 v 2  v1 6 =  = ˜ (v1  2 ˜ v 2 + v 3 ) 'x 'x S v4  v3 v3  v2 6 =  = ˜ (v 2  2 ˜ v 3 + v 4 ) 'x 'x S

s1c = A1,1  A1,12 = sc2 = A1,2  A1,1 sc3 = A1,3  A1,2 sc4 = A1,4  A1,3 #

c = A1,12  A1,11 = s12

v12  v11 v11  v10 6  = ˜ (v10  2 ˜ v11 + v12 ) 'x 'x S

4. Berechnen und Eintragen der ± pi = ± 0,5 · sci und ± qi = ± 0,866 · sci Die auf den vorigen Seiten entwickelten Formeln für die Fourierkoeffizienten entsprechen den Spalten 1 bis 8 der folgenden Tabelle. 5. Aufsummieren der Spaltenwerte und Berechnen der Fourierkoeffizienten ak und bk Die Aufsummierung erfolgt spaltenweise, und die Spaltensummen müssen noch durch S · k2 dividiert werden. Anm.:

Der Fourierkoeffizient b6 lässt sich bei Geradenapproximation mit m = 12 nicht berechnen.

138

9 Fourieranalyse

vi

0

s ic

v0

2v0

s1c

+ s1c

+ s1c

v1

4v1

s 2c

+ q2

+ p2 + p2

+ q2

v2

2v2

s 3c

+ p3

+ q3 – p3

+ q3 – s 3c

v3

4v3

s 4c

v4

2v4

s5c

– p5

+ q5 – p5

+ q5 + s5c

v5

4v5

s 6c

– q6

+ p6 + p6

– q6

v6

2v6

s 7c

– s 7c

+ s '7

v7

4v7

s8c

– q8

– p8 + p8

+ q8

v8

2v8

s 9c

– p9

– q9 – p9

+ q9 + s 9c

v9

4v9

s10 c

v10

2v10

s11 c

+p

v11

4v11

s12 c

+q

A0

a0 =

1

3

12

–q –p

11

– s 4c

+ s 6c – s 7c – s8c

12

B1

ak = 

+ s1c

+ s1c

12

A2

B2

Ak

B3

bk = 

S ˜ k2

+ s1c

+ s1c

– q2

+ p2 + s 2c

– q2

– p2

– p2

– q2

– q3

+ p3

– q3 + s 3c

+ p3

+ q3

– p3

+ q3

– s 4c

+ s 4c

+ s 4c

+ s 4c

– s 4c

– p5

+ q5

– p5

– q5

+ s5c

– p5

+ q5

– p5

– q5

– p6

– q6

+ q6

+ p6

 s 6c

+ q6

–p6

– p6

+ q6

+ s 7c

– s 7c

– s 7c

+ s 7c

– p8

+ q8

+ q8

– p8 – s8c

+ q8

+ p8

– p8

– q8

– p9

– q9

– p9

+ q9 + s 9c

– p9

– q9

– p9

+ q9

– s10 c – s10 c

+ s10 c + s10 c

– p11 + q11 + p11 + q11 + s11 c

A3

8

+ q2

– s12 c –p

12

7

– p2

+ s10 c + s10 c

–q

6

– p3

+ s 7c

–p11 – q11 – s11 c +p

5

+ s1c + s 2c

– s10 c – s10 c 11

4

+ s1c

+ s 4c + s 4c

A1

A0 36

2

–q

12

A4

12

B4

Bk S ˜ k2

–q

–p

12

A5

12

B5

+ p11 – q11 – p11 – q11

– s12 c

– q12 + p

A6

A7

12

B7

– p12 + q12 A8

B8

mit k = 1, 2, 3, … , 8

Die folgende leere Tafel kann für Rechenbeispiele kopiert und nach obiger Vorschrift ausgefüllt werden: vi

0

s ic

1

2

3

4

5

6

7

8

9.2 Fourierreihenentwicklung mit diskreten Punkten

139

Beispiel: Die im Beispiel 3 des vorigen Abschnitts entwickelte Fourierreihe des gleichgerichteten Stroms bei Einweggleichrichtung (siehe Bild 9.15, S. 114) soll für m = 12 durch Geradenapproximation und mit Hilfe des Sprungstellenverfahrens angenähert werden, damit das Sprungstellenverfahren durch Vergleich der exakten mit der angenäherten Reihe beurteilt werden kann. Lösung:

Bild 9.24 Aufteilung der Sinushalbwelle in Teilintervalle und Approximation durch Geradenstücke

s ic

1

2

3

vi

0

0

0

0,9549 0,9549

2

– 0,2558 – 0,2215– 0,1279 – 0,1279– 0,2215

0,5 0,866

0,9549

0,9549

4

0,866

– 0,5118

– 0,2558 0,2215 – 0,1279 – 0,1279 0,2215

0

0

0,9549 – 0,9549

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0,9549

0,9549 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

– 1,5352 2,609

0,2216 – 0,3838 0,2216 0,3838 – 0,4432

0

0

0

0

7

– 0,9549

8

0,9549

0,9549

0,2215 0,1279 0,1279 0,2215 – 0,2216 – 0,3838 0,2216 – 0,3838

– 0,5118 0,5118

– 0,2558 0,1279 0,2215 – 0,2215– 0,1279 0,2558 – 0,9549

0

0,9549

0,2216 0,3838 – 0,2216 0,3838 – 0,4432

1,732 – 0,4432 0,2216 – 0,3838 0,2216 0,3838 – 0,4432

0

0,9549

0,5118 – 0,5118

2

6

– 0,2558 0,1279 – 0,2215 0,2215 – 0,1279 0,2558

– 0,5118 0,5118

0,5

11,464

5

0,9549

1,732 – 0,4432 – 0,2216– 0,3838 0,2216 – 0,3838 0,4432

1

a0 =

4

0,5118 – 0,5118 0,2216 – 0,3838 0,2216 0,3838 – 0,2215 0,1279 0,1279 – 0,2215

0,9549

– 0,9549

0,9549

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2,097

0

0

0

2,0468

0

0

2,097

0

11,464 = 0,3184 36 b1 = 

a1 = 0 a2 = 

2,609 = 0, 2076 S ˜ 22

a3 = 0 a4 = 

2,097 = 0,0417 S ˜ 42

1,5352 = 0, 4886 S

a5 = 0

b2 = 0

a6 = 

b3 = 0

a7 = 0

b4 = 0

a8 = 

b5 = 0 2,0468 = 0,0181 S ˜ 62

b6 = 0 b7 = 0

2,097 = 0,0104 S ˜ 82

b8 = 0

140

9 Fourieranalyse Die angenäherte trigonometrische Fourierreihe der Sinushalbwelle, angenähert durch m = 12 Geradenstücke, lautet damit: i(Zt) | i ·(0,3184 + 0,4866 · sin Zt – 0,2076 · cos 2Zt – 0,0417 · cos 4Zt – 0,0181 · cos 6Zt – 0,0104 · cos 8Zt – …) . Die Abweichung von der exakt berechneten Fourierreihe (siehe Beispiel 3 im Abschnitt 9.1, S. 114–116) i(Zt) = i ·(0,318 + 0,5 · sin Zt – 0,2122 · cos 2Zt – 0,0424 · cos 4Zt – 0,0182 · cos 6Zt – 0,0101 · cos 8Zt – …) beträgt hinsichtlich der Amplituden maximal 3%. Die Fourierreihe mit Hilfe der GeradenApproximation ist also für dieses Beispiel wesentlich genauer als die endliche Reihe, die mit der direkten trigonometrischen Interpolation berechnet wurde.

In Bereichen starker Krümmung der Originalfunktion weicht die Ersatzfunktion aus Geradenstücken erheblich von der Originalfunktion ab, z. B. bei der Sinushalbwelle im Bereich des Maximums. Um die Fourierreihen mit der Geradenapproximation genauer berechnen zu können, sollte in diesen Bereichen die Anzahl der Stützstellen und damit die Anzahl der Geradenstücke erhöht werden. Bei der Sinushalbwelle sollten z. B. folgende xi-Werte mit zugehörigen Funktionswerten vi berücksichtigt werden: xi

0°

30°

60°

75°

80°

85°

vi

0

0,5

0,866 0,966 0,985 0,996

90° 1

95°

100° 105°

120° 150°

0,996 0,085 0,966 0,866

0,5

180° 0

Werden für die Approximation der nichtsinusförmigen periodischen Funktion statt Geraden Parabeln 2. Grades verwendet, dann muss die Anzahl der Stützstellen gerade sein, denn eine Parabel 2. Grades ist durch drei benachbarte Stützstellen bestimmt. In die Formeln für die Fourierkoeffizienten ak und bk gehen die Ordinatensprünge der Ableitungsfunktion und die Ordinatensprünge der 2. Ableitungsfunktion ein. Zunächst müssen aber die Koeffizienten der Parabeln und dann die Ordinatensprünge berechnet werden. Entsprechende Tafeln lassen sich für m = 12 entwickeln. Wird die Ersatzfunktion aus Parabelstücken 3. Grades aus jeweils vier benachbarten Stützstellen gebildet, dann ist der rechnerische Aufwand nur noch mit Hilfe von Rechnern zu bewältigen.

9.3 Anwendungen der Fourierreihe

141

9.3 Anwendungen der Fourierreihe Wirkleistung bei nichtsinusförmigen Strömen und Spannungen Die Wirkleistung P einer zeitlich veränderlichen periodischen Augenblicksleistung p(t) ist nach Gl. (4.189) im Band 2 gleich dem arithmetischen Mittelwert der Augenblicksleistung T

P=

1 p(t) ˜ dt T

³ 0

T

1 u(t) ˜ i(t) ˜ dt T

(9.63)

³ 0

mit p(t) = u(t) · i(t) . Die nichtsinusförmige Spannung u(t) und der nichtsinusförmige Strom i(t) werden mit Hilfe der beschriebenen Methoden in die Fourierreihen f

u(t) = a0 +

¦ (a k ˜ cos kZt  bk ˜ sin kZt)

k 1

und f

i(t) = a c0 

¦ (ack ˜ cos kZt  bck ˜ sin kZt)

k 1

entwickelt, wobei die Fourierkoeffizienten der Strom-Reihe mit einem Strich versehen werden, damit sie nicht mit den Fourierkoeffizienten der Spannungs-Reihe verwechselt werden können. Keineswegs bedeutet der Strich Differentiation. In das Integral für die Wirkleistung eingesetzt ergibt sich P

1 T

T

f f ª º ª º (a k ˜ cos kZt  b k ˜ sin kZt) » ˜ « a c0  (a ck ˜ cos kZt  bck ˜ sin kZt) » ˜ dt «a 0  « »¼ «¬ »¼ k 1 k 1 0¬

¦

³

¦

Bei Berücksichtigung der Gln. (9.14) bis (9.19), siehe S. 101/102, sind fast alle Teilintegrale Null: T T f ½° 1 ­° (a k ˜ a ck ˜ cos2 kZt  b k ˜ bck ˜ sin 2 kZt) ˜ dt ¾ P = ˜ ® a 0 ˜ a c0 ˜ dt  T ° °¿ ¯0 0k 1

³¦

³

P=

1 T

f ­° T T · ½° § ˜ ®a 0 ˜ a c0 ˜ T  ¨ a k ˜ a ck ˜  b k ˜ bck ˜ ¸ ¾ 2 2 ¹ °¿ °¯ k 1©

¦

f

P = a0 · a c0 

a k ˜ a ck  b k ˜ bck 2 k 1

¦

(9.64)

oder ausführlich a ˜ a c  b1 ˜ b1c a 2 ˜ a c2  b2 ˜ bc2 a 3 ˜ a c3  b3 ˜ bc3    ... P a 0 ˜ a c0  1 1 2 2 2 Die Wirkleistung kann also unmittelbar aus den Fourierkoeffizienten der Spannungs- und Strom-Reihe berechnet werden, wobei in Gleichleistung, Grundwellenleistung, 1. Oberwellenleistung, 2. Oberwellenleistung, … unterschieden wird.

142

9 Fourieranalyse

Mit den Gln. (9.7) und (9.8), siehe S. 99, können die Fourierkoeffizienten der Spannungsund Strom-Reihe in der Formel für die Wirkleistung Gl. (9.64) ersetzt werden: Mit a k = uˆ k ˜ sin Muk a ck = ˆik ˜ sin Mik b k = uˆ k ˜ cos Muk

bc2 = ˆik ˜ cos Mik

ist f

P = U0 · I0 +

¦

k =1

uˆ k ˜ ˆik ˜ (sin Muk ˜ sin Mik + cos Muk ˜ cos Mik ) 2˜ 2

f

P = U0 · I0 +

¦ U k ˜ Ik ˜ cos(Muk  Mik )

(9.65)

k=1

f

P = U0 · I0 +

¦ U k ˜ Ik ˜ cos Mk

mit

M k = M uk  M ik

(9.66)

k=1

oder P = U0 · I0 + U1 · I1 · cos M1 + U2 · I2 · cos M2 + U3 · I3 · cos M3 + … Die Wirkleistung bei nichtsinusförmigen periodischen Spannungen und Strömen ist gleich der Summe der Gleichleistung und der Wechselstromleistungen der Grund- und Oberwellen. Effektivwert einer nichtsinusförmigen periodischen Wechselgröße

Der Effektivwert V einer zeitlich veränderlichen periodischen Wechselgröße v(t) ist nach Gl. (4.5) im Band 2 T

2 1 ª¬ v(t) º¼ ˜ dt . V= T

³ 0

Das Quadrat des Effektivwertes wird formal nach der gleichen Formel berechnet wie die Wirkleistung in Gl. (9.63), T

V2 =

2 1 ª¬ v(t) º¼ ˜ dt T

³ 0

T

und

P=

1 u(t) ˜ i(t) ˜ dt, T

³ 0

wenn in der Leistungsformel sowohl u(t) als auch i(t) durch v(t) ersetzt werden. Die Herleitung der Formeln für V2 ist also gleich, so dass die Ergebnisse entsprechend übernommen werden können.

9.3 Anwendungen der Fourierreihe

143

Für die nichtsinusförmige periodische Wechselgröße v(t) wird zunächst die Fourierreihe entwickelt: f

v(t) = a0 +

¦ (a k ˜ cos kZt + bk ˜ sin kZt) .

k=1

Dann wird Gl. (9.64) entsprechend geändert: f

V2 = a 0 2 +

¦

k=1

a k 2 + bk 2 , 2

(9.67)

so dass der Effektivwert aus den ermittelten Fourierkoeffizienten berechnet werden kann: a12 + b12 a 22 + b22 a 32 + b32 + + + ... . 2 2 2

V = a 02 +

(9.68)

Auch Gl. (9.66) lässt sich formal ändern: V2 = V02 +

f

¦ Vk2

(9.69)

k =1

oder ausführlich V = V0 2 + V12 + V2 2 + V32 + V4 2 + ... .

(9.70)

Der Effektivwert einer nichtsinusförmigen periodischen Wechselgröße ist gleich der geometrischen Summe der Effektivwerte des Gleichanteils, der Grundwelle und der Oberwellen.

Beispiel 1: Effektivwert der Rechteckfunktion im Bild 9.12, S. 111 Die Fourierkoeffizienten der Rechteckfunktion sind im Beispiel 1, S. 111 ermittelt: 4uˆ 1 a0 = 0 ak = 0 b2k = 0 b2k + 1 = ˜ S 2k + 1 Nach Gl. (9.67) ist f

V=

¦

b22k +1

k =0

V=

4uˆ ˜ S 2 f

mit

2

=

f

k =0

f

1

¦ (2k + 1)2

k =0

1

¦ (2k + 1)2 =

k =0

ˆ 2 (4u)

¦ S2 2 ˜ (2k + 1)2

S2 8

=

S2 8 = uˆ S 2

4uˆ ˜

144

9 Fourieranalyse Beispiel 2: Effektivwert der Sägezahnfunktion im Bild 9.14, S. 112 Aus der Fourierreihe der Sägezahnfunktion, ermittelt im Abschnitt 9.1, Beispiel 2, S. 114 u(Zt) =

uˆ uˆ § sin Zt sin 2Zt sin 3Zt sin 4Zt · + ˜¨ + + + + ... ¸ 2 S © 1 2 3 4 ¹

können die Effektivwerte entnommen und in die Gl. (9.70) eingesetzt werden, indem die Amplituden der Grundwelle und der Oberwellen durch 2 dividiert werden: V = V0 2 + V12 + V2 2 + V32 + ... 2

2

1 1 1 § uˆ · § § uˆ · · + ... ¸ U= ¨ ¸ +¨ ¸ ˜ ¨1 + + + 4 9 16 © 2¹ ¹ ©S˜ 2 ¹ © f

1

1

1

1

¦ k2 = 1 + 4 + 9 + 16 + ... =

mit

k =1

U = uˆ ˜ U=

S2 6

1 1 3+1 S2 + 2 ˜ = uˆ ˜ 4 S ˜2 6 12

1 ˜ uˆ = 0,577 ˜ uˆ 3

Beurteilung der Abweichung vom sinusförmigen Verlauf Die Abweichung einer nichtsinusförmigen periodischen Funktion von einer sinusförmigen Wechselgröße wird durch den Verzerrungsfaktor und durch zwei Klirrfaktoren erfasst. Für die Beurteilung der Kurvenform werden noch der Scheitelfaktor und der Formfaktor definiert. Der Verzerrungsfaktor ist gleich dem Quotienten aus Effektivwert der Grundwelle und dem Effektivwert der nichtsinusförmigen periodischen Funktion: kv =

V1 T

1 [v(t)]2 ˜ dt T

³

=

V1 V02 + V12 + V22 + V32 + ...

0

Beispiele: Sinusform (ohne Verzerrung): kv = 1 Rechteckform nach Bild 9.12, S. 111: 4uˆ 4 S kv = ˜ 2 = = 0,9 uˆ S˜ 2

Sägezahnform nach Bild 9.14, S. 112:

uˆ 3 S ˜ 2 = = 0, 4 kv = uˆ S˜ 2 3

(9.71)

9.3 Anwendungen der Fourierreihe

145

Die beiden Definitionen des Klirrfaktors beziehen den Effektivwert der Oberwellen auf den Effektivwert der Gesamtwechselgröße oder auf den Effektivwert der Grundwelle: k=

V2 2  V32  V4 2  ...

(9.72)

V12  V2 2  V32  V4 2  ...

bzw. V22  V32  V42  ... . V1 Zwischen beiden Klirrfaktoren besteht der Zusammenhang

(9.73)

kc

k=

kc

(9.74)

1  k c2

weil V2 2  V32  V4 2  ...

k

V1 ˜ 1 

V2 2  V32  V4 2  ...

V2 2  V32  V4 2  ... V12  V2 2  V32  V4 2  ...

V12

Beispiele: Klirrfaktoren der Rechteckfunktion nach Bild 9.12, S. 111 Aus der Fourierreihe der Rechteckfunktion (siehe Beispiel 1, S. 111 bzw. 143) werden die Effektivwerte der Grundwelle und der Oberwellen entnommen: 2

k=

1 § 4uˆ · § 1 1 ·   ... ¸ ¨ ¸ ˜¨  ¹ © S ˜ 2 ¹ © 9 25 49 2

1 1 1 § 4uˆ · § · ¨ ¸ ˜ ¨ 1  9  25  49  ...¸ 2 S ˜ © ¹ © ¹

S2 1 8 S2 8

0, 435

2

kc

1 § 4uˆ · § 1 1 ·   ... ¸ ¨ ¸ ˜¨  ¹ © S ˜ 2 ¹ © 9 25 49 4uˆ S˜ 2

S2 1 8

f

0, 483

mit

1

¦ (2k  1)2

k 0

Klirrfaktoren der Sägezahnfunktion nach Bild 9.14, S. 112 Entsprechend können die Effektivwerte aus der Fourierreihe der Sägezahnfunktion (siehe Beispiel 2, Effektivwertberechnung, S. 144) entnommen werden: 2

k=

§ uˆ · § 1 1 1 ·  ... ¸ ¨ ¸ ˜¨   ¹ © S ˜ 2 ¹ © 4 9 16 2

1 1 1 § uˆ · § · ¨ ¸ ˜ ¨ 1  4  9  16  ... ¸ ¹ ©S˜ 2¹ ©

S2 1 6 S2 6

0,626

2

kc

§ uˆ · § 1 1 1 ·  ... ¸ ¨ ¸ ˜¨   ¹ © S ˜ 2 ¹ © 4 9 16 uˆ S˜ 2

S2 1 6

f

0,803

mit

1

¦ k2 k=1

S2 6

S2 8

146

9 Fourieranalyse

Der Scheitelfaktor gibt das Verhältnis des Maximalwertes (Scheitelwert) zum Effektivwert der nichtsinusförmigen periodischen Funktion an: vˆ [= (9.75) V Beispiele: Rechteckfunktion nach Bild 9.12, S. 111:

[=1

Sinusfunktion: [ = 2 = 1, 414

Der Formfaktor bezieht den Effektivwert der nichtsinusförmigen periodischen Funktion auf den arithmetischen Mittelwert während einer Halbperiode oder Gleichrichtwert (siehe Gln. (4.3) und (4.4) im Band 2) der nichtsinusförmigen periodischen Funktion: f=

V Va

Beispiele: Rechteckfunktion nach Bild 9.12, S. 111: Sinusfunktion: f = 1,11

(9.76)

f=1

Netzberechnungen bei nichtsinusförmigen periodischen Quellspannungen Die nichtsinusförmige Quellspannung, erzeugt durch spezielle Generatoren, wird zunächst mit Hilfe der beschriebenen Rechenverfahren in eine Fourierreihe entwickelt (Harmonische Analyse). Wenn alle ohmschen Widerstände, Induktivitäten und Kapazitäten lineare Kennlinien haben, kann für die Berechnung der Ströme das Superpositionsverfahren angewendet werden: Auf das Netzwerk wirkt zunächst nur der Gleichanteil (Gleichstromberechnung nach Abschnitt 2.3 im Band 1), dann die Grundwelle (Wechselstromberechnung nach Abschnitt 4.2.2, im Band 2) und dann die 1. Oberwelle (Wechselstromberechnung nach Abschnitt 4.2.2 im Band 2), dann die 2. Oberwelle, usw. Die sich ergebenden Stromanteile werden schließlich überlagert (Harmonische Synthese). Ströme und Spannungen in einem Netzwerk hängen von der Art der Bauelemente ab: Bei ohmschen Widerständen haben die nichtsinusförmige Spannung und der nichtsinusförmige Strom gleichen Verlauf, weil ein ohmscher Widerstand frequenzunabhängig ist. Der induktive Widerstand XL = Z · L wächst proportional mit zunehmender Frequenz. Mit größer werdender Frequenz werden die Oberwellen des Stroms mehr gedämpft. Die induktive Spannung steigt bei höheren Frequenzen, d. h. die Oberschwingungsanteile werden mit höheren Frequenzen größer. Der kapazitive Widerstand – XC = 1/ZC wird mit wachsender Frequenz kleiner. Mit größer werdender Frequenz steigen die Oberwellenanteile des Stroms. Die kapazitive Spannung sinkt bei höheren Frequenzen, d. h. die Oberschwingungsanteile werden mit höheren Frequenzen mehr gedämpft.

9.3 Anwendungen der Fourierreihe

147

Prinzipielle Berechnung der Ausgangsfunktion eines Übertragungsgliedes für periodische Eingangsgrößen Für periodische nichtsinusförmige Eingangsgrößen x(t) lässt sich die Berechnung der Ausgangsfunktion y(t) mit Hilfe der Übertragungsfunktion (Netzwerkfunktion) G(jkZ) durch folgendes Rechenschema veranschaulichen:

Folgende Rechenoperationen sind also für die Ermittlung der periodischen AusgangsZeitfunktion vorzunehmen: 1. Überführung der periodischen nichtsinusförmigen Eingangsgröße x(t) in eine Fourierreihe (Harmonische Analyse) 2. Berechnung des Gleichanteils Y0 der Ausgangsgröße aus dem Gleichanteil X0 der Eingangsgröße 3. Transformation der sinusförmigen Anteile xk in komplexe Zeitfunktionen xk (siehe Band 2, Abschnitt 4.2.2) 4. Ermittlung der Übertragungsfunktion (Netzwerkfunktion) G(jkZ) mit Hilfe der Symbolischen Methode (siehe Band 2, Abschnitt 4.2.4) 5. Berechnung der komplexen Zeitfunktionen der Anteile der Ausgangsgröße yk durch Multiplikation mit der Übertragungsfunktion G(jkZ) 6. Rücktransformation der komplexen Zeitfunktionen in sinusförmige Anteile yk 7. Ermittlung der Fourierreihe der Ausgangsgröße y(t) durch Überlagerung des Gleichanteils Y0 und der sinusförmigen Anteile yk Beispiel: An den Eingang der RC-Schaltung (siehe Bild 9.25) liegt eine Sägezahnspannung Zt · § u1(Zt) = uˆ ˜ ¨ 1  ¸ für 0 < Zt < 2 S , 2S ¹ © deren Funktionsgleichung auf S. 97 angegeben und die im Bild 9.1, S. 98 gezeichnet ist. Die Ausgangsspannung u2(Zt) bezogen auf uˆ ist zu ermitteln, wobei Z = 1/RC betragen soll.

Bild 9.25 RC-Schaltung

148

9 Fourieranalyse Lösung nach den oben angegebenen Rechenschritten: Zu 1. Im Beispiel 2 (siehe Abschnitt 9.1, S. 112–114) ist die Fourierreihe der Eingangsspannung bereits entwickelt: uˆ uˆ § sin Zt sin 2Zt sin 3Zt sin kZt · + ˜¨ + + + ... + + ... ¸ 2 S © 1 2 3 k ¹ u1(Zt) = U10 + u11(Zt) + u12(Zt) + u13(Zt) + … + u1k(Zt) + … u1(Zt) =

Zu 2. U20 = Ul0 =

uˆ 2

uˆ uˆ ˜ sin Zt o u11 ( Zt) = ˜ e jZt S S uˆ uˆ u12 ( Zt) = ˜ sin 2Zt o u12 ( Zt) = ˜ e j2 Zt 2S 2S uˆ uˆ u13 ( Zt) = ˜ sin 3Zt o u13 ( Zt) = ˜ e j3Zt 3S 3S # uˆ uˆ u1k ( Zt) = ˜ sin kZt o u1k ( Zt) = ˜ e jkZt kS kS 1 1 jkZC (Spannungsteilerregel) Zu 4. G(jkZ) = = 1 1 jk + ZRC R+ jkZC

Zu 3. u11 ( Zt) =

G(jkZ) =

1 e  jM k = 1 + jk 1 + k2

mit Z =

1 und Mk = arctan k RC

uˆ ˜ e j( Zt M1 ) S 2 uˆ ˜ e j(2 Zt M2 ) u 22 ( Zt) = u12 ( Zt) ˜ G( j2Z) = 2S 5 uˆ ˜ e j(3Zt M3 ) u 23 ( Zt) = u13 ( Zt) ˜ G( j3Z) = 3S 10 #

Zu 5. u 21 (Zt) = u11 (Zt) ˜ G( jZ) =

u 2k ( Zt) = u1k ( Zt) ˜ G( jkZ) =

Zu 6.

uˆ ˜ e j(kZt Mk ) kS 1 + k 2

mit M1 = arctan1 mit M2 = arctan 2 mit M3 = arctan 3

mit M k = arctan k

u 21 ( Zt) sin( Zt  M1 ) = = 0,2251 ˜ sin( Zt  0,7853) uˆ S˜ 2 u 22 ( Zt) sin(2Zt  M2 ) = = 0,0712 ˜ sin(2Zt  1,107) uˆ 2S ˜ 5 u 23 ( Zt) sin(3Zt  M3 ) = = 0,0335 ˜ sin(3Zt  1,249) uˆ 3S ˜ 10 # u 2k ( Zt ) sin(kZt  M k ) mit Mk = arctan k = uˆ kS ˜ 1 + k 2

9.3 Anwendungen der Fourierreihe

149

Zu 7. u2(Zt) = U20 + u21(Zt) + u22(Zt) + u23(Zt) + … +u2k(Zt) + … u 2 (Zt) = 0,5 + 0,225 · sin(Zt – 0,785) + 0,0712 · sin(2Zt – 1,11) + 0,0335 · sin(3Zt – 1,25) + uˆ

+ 0,0193 · sin(4Zt – 1,33) + 0,0125 · sin(5Zt – 1,37) + 0,0087 · sin(6Zt – 1,41) + + 0,0064 · sin(7Zt – 1,43) + 0,0049 · sin(8Zt – 1,45) + …

Bild 9.26 Fouriersynthese eines übertragenen periodischen Signals

150

9 Fourieranalyse

9.4 Die Darstellung nichtsinusförmiger periodischer Wechselgrößen durch komplexe Reihen Übergang von der reellen Fourierreihe zur komplexen Fourierreihe Eine nichtsinusförmige periodische Wechselgröße lässt sich nicht nur in eine reelle Fourierreihe, sondern auch in eine komplexe Reihe mit e-Anteilen entwickeln, die imaginäre Exponenten haben. Während die Fourierreihe mit Sinus-und Kosinusgliedern messtechnisch mit Analysatoren nachgewiesen werden kann, ist das selbstverständlich bei komplexen Fourierreihen nicht möglich. Die komplexe Fourierreihe lässt sich aus der reellen Fourierreihe wie folgt herleiten: In der reellen Fourierreihe f

v(t) = a0 +

¦ (a k ˜ cos kZt + bk ˜ sin kZt)

k=1

werden die cos- und sin-Anteile ersetzt. Durch Addition und Subtraktion von ejD = cos D + j · sin D und e– jD = cos D – j · sin D entsteht 1 cos D = (ejD + e – jD) 2

und

sin D =

1 jD – jD (e – e ) , 2j

d. h. mit D = kZt ist f

v(t) = a0 +

°­ a

¦ ®¯° 2k ˜ e jkZt +

k =1 f

v(t) = a0 +

­§ a

b ·

a k  jkZt bk jkZt bk  jkZt ½° ˜e + ˜e  ˜e ¾ 2 2j 2j ¿° §a

b ·

½

¦ ®¯¨© 2k + 2kj ¸¹ ˜ e jkZt + ¨© 2k  2kj ¸¹ ˜ e jkZt ¾¿

k =1

v(t) = c0 + mit c k =

f

¦ {ck ˜ e jkZt + ck ˜ e jkZt }

(9.77)

a k bk + 2 2j

(9.78)

k =1

a b c k = k  k 2 2j

und c0 = a 0 .

(9.79) (9.80)

9.4 Komplexe Reihen

151

Durch die folgende Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten ck, c–k und c0 aus den reellen Fourierkoeffizienten wird gezeigt, dass die Indizierung mit –k sinnvoll ist. In den Formeln für die Fourierkoeffizienten ak und bk in den Gln. (9.21) und (9.22), siehe S. 102, werden ebenfalls die cos- und sin-Anteile ersetzt: T

T

³

³

T

T

³

³

2 e jkZt + e  jkZt 2 ak = ˜ v(t) ˜ cos kZt ˜ dt = ˜ v(t) ˜ ˜ dt T 2 T 0

bk =

0

2 2 e jkZt  e  jkZt ˜ v(t) ˜ sin kZt ˜ dt = ˜ v(t) ˜ ˜ dt , 2j T T 0

0

wodurch sich für die komplexen Fourierkoeffizienten ergibt T § e jkZt e  jkZt e jkZt e  jkZt · a b 1 c k = k + k = ˜ v(t) ˜ ¨ +  + ¸ ˜ dt 2 2j T 2 2 2 ¹ © 2 0

³

T

ck =

1 ˜ v(t) ˜ e  jkZt ˜ dt T

³ 0

und T § e jkZt e  jkZt e jkZt e  jkZt a b 1 c  k = k  k = ˜ v(t) ˜ ¨ + +  2 2j T 2 2 2 2 © 0

³

ck =

T

T

³

³

· ¸ ˜ dt ¹

1 1 ˜ v(t) ˜ e jkZt ˜ dt = ˜ v(t) ˜ e  j(k)Zt ˜ dt T T 0

0

und T

c0 = a 0 =

1 ˜ v(t) ˜ dt . T

³ 0

Die komplexen Fourierkoeffizienten lassen sich also durch eine gemeinsame Formel für c k berechnen, indem der Bereich von k um die negativen Zahlen und die Null erweitert wird. Damit lässt sich die Reihenfolge der Glieder der komplexen Fourierreihe ändern; statt k und – k von 1 bis ’ in Gl. (9.77) variiert wird, läuft nun k von – ’ bis + ’: f

v(t) =

¦

ck ˜ e jkZt

(9.81)

k=f

mit ck =

T

T/ 2

³

³

1 1 ˜ v(t) ˜ e jkZt ˜ dt = ˜ T T 0

T/ 2

v(t) ˜ e  jkZt ˜ dt

(9.82)

152

9 Fourieranalyse

Ist die nichtsinusförmige Funktion in Abhängigkeit von Zt gegeben, müssen die Integrationsvariable und die Grenzen geändert werden: f

¦

v(Zt) =

c k ˜ e jkZt

(9.83)

k=f

mit ck =

1 ˜ 2S

2S

³

v(Zt) ˜ e  jk(Zt) ˜ d(Zt) =

0

1 ˜ 2S

S

³ v(Zt) ˜ e jk(Zt) ˜ d(Zt)

(9.84)

S

Bei der komplexen Fourierreihe wird also der Frequenzbereich durch negative Frequenzen erweitert. Die komplexen Fourierkoeffizienten der komplexen Fourierreihe können in algebraischer und in Exponentialschreibweise geschrieben werden: ck =

ak b  j ˜ k = c k ˜ e j˜\ k 2 2

mit c k

Amplitudenspektrum

und \ k

Phasenspektrum.

(9.85)

Da diese beiden Begriffe schon bei der reellen Fourierreihe (siehe S. 96) verwendet wurden, muss es einfache Zusammenhänge zwischen vˆ k und | c k | bzw. Mvk und \k geben: für das Amplitudenspektrum mit Gl. (9.10), S. 99 ck =

1 1 ˜ a k 2 + b k 2 = ˜ vˆ k 2 2

f < k < f

(9.86)

0 d k
und für das Phasenspektrum mit Gl. (9.11), S. 99 tan \k =

bk 1 = =  cot M vk tan M vk ak

oder § b · a S \k = arctan ¨  k ¸ = arctan k  a b 2 k © k¹

d. h.

S \k = M vk  . 2

(9.87)

Bild 9.27 Zusammenhang zwischen den Phasenspektren

Wenn in der Literatur über das Amplituden- und Phasenspektrum einer nichtsinusförmigen periodischen Funktion geschrieben ist, muss aus dem Zusammenhang zu erkennen sein, um welche der beiden Definitionen es sich handelt. Aus den Fourierkoeffizienten ck der komplexen Fourierreihe können mit Gl. (9.85) die Fourierkoeffizienten der reellen Fourierreihe ermittelt werden: ak = Re {2 ˜ c k }

bk = – Im {2 ˜ c k }.

9.4 Komplexe Reihen

153

Beispiel 1: Amplituden- und Phasenspektrum der Rechteckfunktion nach Bild 9.12, S. 111

­ uˆ für 0 < t < T/2 u(t) = ® ¯  uˆ für T/2 < t < T

Mit Gl. (9.82) ist

ck =

1 ˜ T

T/2

v(t) ˜ e  jkZt ˜ dt

³

T / 2

ck =

0 T/2 ½° 1 ­° ˆ ˜ e jkZt ˜ dt + ˜® ( u) uˆ ˜ e  jkZt ˜ dt ¾ T ° °¿ 0 ¯T / 2

ck =

uˆ T

ck =

³

­ ° e  jkZt ˜® °  jkZ ¯

uˆ  jkZT

mit ZT = 2S,

ck = j ˜

³

0

+  T/2

e  jkZt  jkZ

T/2 ½

0

° ¾ ° ¿

ZT · § ZT ­°§ · ½° jk  jk 2  1¸ ¾ ˜ ®¨ 1 + e 2 ¸ + ¨ e ¨ ¸ ¨ ¸ °¯© ¹ © ¹ °¿

e

jk

ZT 2

= e jkS = (1)k

und

e

 jk

ZT 2

= e  jkS = (1)k

uˆ 2uˆ ˜ 1 + ( 1) k + ( 1) k  1 = j ˜ ˜ 1 + ( 1) k k ˜ 2S k ˜ 2S

ck =  j ˜

{

}

{

}

uˆ a b b ˜ 1  ( 1) k = k  j ˜ k =  j ˜ k , d. h. a k = 0 k˜S 2 2 2

{

}

für k > 0 Für k = 0 ist c0 nach obiger Gleichung undefiniert. Da aber c0 = a0, ist c0 = 0, d. h. der Gleichanteil ist Null, wie aus der Kurve zu ersehen ist. 4uˆ uˆ 2uˆ b Für k = l: mit b1 = c1 =  j ˜ ˜ {1  ( 1)} =  j ˜ = j˜ 1 2 S S S uˆ mit b2 = 0 für k = 2: c2 =  j ˜ ˜ 1  ( 1)2 = 0 2S 4uˆ uˆ 2uˆ b für k = 3: mit b3 = c3 =  j ˜ ˜ 1  ( 1)3 =  j ˜ = j˜ 3 3S 3S 2 3S uˆ mit b4 = 0 für k = 4: c4 =  j ˜ ˜ 1  ( 1)4 = 0 4S #

{

}

{

}

{

}

154

9 Fourieranalyse uˆ 2uˆ ˜ 1  ( 1) 1 = j ˜ S S ˆu = j˜ ˜ 1  ( 1) 2 = 0 2 S uˆ 2uˆ = j˜ ˜ 1  ( 1) 3 = j ˜ 3S 3S uˆ = j˜ ˜ 1  ( 1) 4 = 0 4 S

für k = – l:

c 1 =  j ˜

für k = – 2:

c 2

für k = – 3:

c 3

für k = – 4:

c 4

{

}

{

}

{

}

{

}

#

Das Amplitudenspektrum ist der Betrag von c k : ­ 2uˆ ° c k = ® kS ° 0 ¯

für k ungerade für k gerade

Im Bild 9.28 sind das Amplitudenspektrum der reellen und komplexen Fourierreihe gegenübergestellt. Die Amplituden der reellen Reihe werden halbiert und auf den Bereich mit den entsprechenden negativen k verteilt.

Bild 9.28 Amplitudenspektrum der Rechteckfunktion

Das Phasenspektrum \k für ungerade k ist konstant: mit

c k = c k ˜ e j\ k =  j ˜

2uˆ 2uˆ  jS/2 = ˜e kS kS

­ S/2 für k > 0 \k = ® ¯ +S/2 für k < 0

mit \k = Mk – S/2 = – S/2

für k > 0

wegen Mk = 0 (vgl. Beispiel 1 im Abschnitt 9.1, S. 111).

9.4 Komplexe Reihen

155

Beispiel 2: Amplitudenspektrum des gleichgerichteten Stroms bei Einweggleichrichtung nach Bild 9.15, S. 114

­°ˆi ˜ sin Zt für 0 d Zt d S i(Zt) = ® für S d Zt d 2S °¯ 0 Mit Gl. (9.84) ist

1 ˜ 2S

ck =

2S

³ v(Zt) ˜ e jkZt ˜ d ( Zt ) 0

S

ck =

ˆi S 1 ˆ i ˜ sin Zt ˜ e  jkZt d( Zt) = e  jkZt ˜ sin Zt ˜ d( Zt) 2S 2S

³

³

0

0

eax

³ eax ˜ sin bx ˜ dx = a 2 + b2 ˜ (a ˜ sin bx  b ˜ cos bx)

mit und

a = – jk, b = 1, x = Zt S i ª e jkZt º ˜« ˜  ˜ Z  ˜ Z ck = ( jk sin t 1 cos t) » 2S ¬ ( jk)2 + 1 ¼0 i 1 ˜ ˜ ªe jkS ˜ ( jk ˜ sin S  cos S) + 1º¼ ck = 2S 1  k 2 ¬

mit sin S = 0 und cos S = – 1 ˆi 1 ˜ ˜ (e  jkS + 1) ck = 2S 1  k 2 i für k = 0: c0 = a 0 = S i 0 für k = 1 ist c1 = ˜ undefiniert, 2S 0 mit Hilfe der Regel von l’Hospital lässt sich durch Differenzieren nach k und anschließendem k = 1 setzen c1 berechnen: ˆi ˆi jS ˜ e  jS ˆi  jS ˜ e  jkS ˜ lim = ˜ = j˜ mit e  jS = 1 2k 2 S k o1 2S 2 4 i e j2 S + 1 ˆi c2 = mit e  j2 S = 1 ˜ = 2S 1 4 3S

c1 = lim c k = k o1

für k = 2:

c3 = 0 mit e  j3S = 1 i e j4S + 1 i c4 = ˜ = mit e j4S = 1 2S 1  16 15S

für k = 3:

für k = 4:

c5 = 0 mit e  j5S = 1 für k = 5: Amplitudenspektren (siehe Beispiel 3, S. 116) und vgl. mittels Gl. (9.86): i i i i c3 = 0, c0 = , c1 = , c2 = , c4 = , S 4 3S 15S I0 =

i , S

 i1 = i , 2

 i 2 = 2 ˜ i , 3S

i3 = 0,

 i 4 = 2 ˜ i , 15S

c5 = 0...

i5 = 0...

156

9 Fourieranalyse

9.5 Transformation von nichtsinusförmigen nichtperiodischen Größen durch das Fourierintegral Übergang von der komplexen Fourierreihe zur Fouriertransformation Während für eine periodische Funktion eine komplexe Fourierreihe mit einem diskreten Spektrum entwickelt werden kann, ist die Fouriertransformation für die Berechnung kontinuierlicher Spektren von aperiodischen Funktionen behilflich. Aperiodische Funktionen werden wie periodische Funktionen mit der Periode T ĺ ’ aufgefasst. Die Fouriertransformation einer aperiodischen Zeitfunktion v(t) bedeutet die Berechnung eines uneigentlichen Integrals V(jZ), das aus dem Fourierkoeffizient c k hergeleitet werden kann: Ausgegangen wird von den Gln. (9.81) und (9.82) f

v(t) =

¦

ck ˜ e jkZt

k=f

mit ck =

T

T/ 2

³

³

1 1 v(t) ˜ e jkZt ˜ dt = T T 0

v(t) ˜ e  jkZt ˜ dt .

T/ 2

In der periodischen Funktion ist ZT = 2S, d. h. l/T = Z/2S. Um von dem diskreten Spektrum zum kontinuierlichen Spektrum übergehen zu können, wird die Grundfrequenz Z = ¨Z genannt. Damit ist l/T = ¨Z/2S, das in der Gleichung für c k berücksichtigt wird: T/ 2

'Z ck = 2S

v(t) ˜ e  jk ˜'Z˜ t ˜ dt .

³

 T/ 2

Eingesetzt in die Gleichung für v(t) ergibt sich v(t) =

ª « 'Z « 2S k = f ¬ f

¦

T/2

º v( t) ˜ e  jk˜'Z ˜t ˜ dt » ˜ e jk˜'Z ˜t . » T /2 ¼

³

Mit ¨Z ĺ 0 und T ĺ ’ ist f ª T/2 º 1 « v(t) = lim v(t) ˜ e  jk ˜'Z˜ t ˜ dt » ˜ e jk˜'Z˜ t ˜ 'Z . 2S 'Zo 0 k =f « » ¬ T / 2 ¼ T of

¦ ³

Durch den Grenzübergang ¨Z ĺ 0 wird Z = k · ¨Z die kontinuierliche Kreisfrequenz: f ªf º 1 « v(t) ˜ e  jZt ˜ dt » ˜ e jZt ˜ dZ v(t) = » 2S « f ¬ f ¼

³ ³

v(t) = 1

2S

f

³

(9.88)

V( jZ ) ˜ e jZt ˜ dZ

f

f

mit V(jZ) =

³

f

f

v(t) ˜ e jZt ˜ dt

und

³

v(t) ˜ dt < K < f

f

d. h. das uneigentliche Integral der Zeitfunktion muss absolut konvergent sein.

(9.89)

9.5 Transformation durch das Fourierintegral

157

Sinusförmige und nichtsinusförmige periodische Wechselgrößen sind bisher mit v(t) bzw. v(t) und V bezeichnet worden. Bei der Laplacetransformation und auch bei der Fouriertransformation, bei denen nichtperiodische Zeitfunktionen abgebildet werden, sollten die Bezeichnungen f(t) bzw. F(s) und F(jZ), wie in der Literatur üblich, verwendet werden. Die Transformationsgleichungen der Fouriertransformation lauten dann: f(t) =

1 ˜ 2S

f

³ F( jZ) ˜ e jZt ˜ dZ

(9.90)

f

f

mit F(jZ) =

³ f (t) ˜ e jZt ˜ dt = F{f (t)}

(9.91)

f

f

und

³

f (t) ˜ dt < K < f .

f

Zu jeder aperiodischen Zeitfunktion f(t), deren Fourierintegral konvergent ist, gehört also eine Fouriertransformierte F(jZ), die eine Funktion von der kontinuierlich veränderlichen Kreisfrequenz Z ist (Fouriertransformation). Deshalb wird F(jZ) auch Spektrum von f(t) genannt. Umgekehrt kann aus der Fouriertransformierten F(jZ) die zugehörige Zeitfunktion f(t) berechnet werden (Rücktransformation: Inversion der Fouriertransformation). Darstellungsformen der Fouriertransformierten Mit e– jZt = cosZt – j · sinZt ist f

F(jZ) =

³

f

f (t) ˜ cosZt ˜ dt  j ˜

f

³ f (t) ˜ sin Zt ˜ dt

(9.92)

f

F(jZ) = R(Z) + j ˜ X(Z) = F( jZ) ˜ e jM(Z)

(9.93)

f

mit

R(Z) =

³ f (t) ˜ cos Zt ˜ dt

(9.94)

f

f

und

X(Z) = 

³ f (t) ˜ sin Zt ˜ dt

(9.95)

f

bzw. F( jZ) = [R(Z)]2 + [X(Z)]2

M (Z) = arctan

X(Z) . R(Z)

(9.96) (9.97)

Der Betrag der Fouriertransformierten | F(jZ) | ist das Amplitudenspektrum, das Argument M(Z) der Fouriertransformierten das Phasenspektrum der aperiodischen Zeitfunktion f(t).

158

9 Fourieranalyse Beispiel 1: Fouriertransformierte eines Rechteckimpulses

­° A für  T < t < +T f(t) = ® °¯0 für t > T mit T > 0 Mit Gl. (9.91) f

F(jZ) =

³ f (t) ˜ e jZt ˜ dt

f T

F(jZ) =

³ A ˜ e jZt ˜ dt = A ˜

T

F(jZ) = mit

e  jZt  jZ

+T

Bild 9.29 Rechteckimpuls

T

A 2A e jZT  e  jZT ˜ (e  jZT  e jZT ) = ˜  jZ Z 2j

e j D  e  jD = sin D 2j

F(jZ) = 2A ·

sin ZT sin ZT = 2A ˜ T ˜ = 2AT ˜ si(ZT) , Z ZT

(9.98)

wobei

sin x x Spaltfunktion genannt wird. Die Fouriertransformierte des Rechteckimpulses ist also reell: si(x) =

F(jZ) = R(Z) mit X(Z) = 0, und bei Z = 0 ist F(jZ) undefiniert. Deshalb muss dort der Grenzwert berechnet werden: lim F( jZ) = 2A ˜ T ˜ lim

Zo 0

ZT o 0

sin ZT = 2A ˜ T ZT

mit

lim

x o0

sin x =1 . x

Die Nullstellen liegen bei ZT = ± S, ± 2S, … also bei Z = ± S/T, ± 2S/T, …

Bild 9.30 Spektrum eines Rechteckimpulses

Für die Übertragung eines Rechtecksignals der Breite 2T wird also theoretisch der gesamte Frequenzbereich benötigt. Da das nicht möglich ist, wird das übertragene Signal mehr oder weniger verzerrt sein, je nachdem ab welcher Frequenz die Anteile nicht mehr übertragen werden (Grenzfrequenz).

9.5 Transformation durch das Fourierintegral

159

Beispiel 2: Fouriertransformierte des Diracimpulses Der Diracimpuls wird als Grenzwert eines Rechteckimpulses aufgefasst, der durch Überlagerung zweier verschobener Sprungfunktionen entsteht: f(t) = G(t – t0) = lim

1

T o0 T

­f für t = t 0 ˜ [V(t  t 0 )  V(t  t 0  T)] = ® ¯0 für t z t 0

Mit Gl. (9.91) f

F(jZ) =

³ f (t) ˜ e jZt ˜ dt

f

t0 +T

F(jZ) = lim

T o0

³

t0

1  j Zt ˜e ˜ dt T

1 e  jZt ˜ To0 T  jZ

F(jZ) = lim

t0 + T t0

e  j Zt 0 ˜ e  j Z T  e  jZ t 0 T o0  jZ T

F(jZ) = lim

F(jZ) = lim e jZt 0 ˜ T o0

e  j ZT  1 0 = .  jZ T 0

Mit Hilfe der Regel von l’Hospital lässt sich der Grenzwert berechnen:  jZ ˜ e  jZT = e  jZt0 ˜ 1  jZ To0

F(jZ) = e  jZt0 ˜ lim

F(jZ) = F {G(t  t 0 )} = e  jZt 0

Bild 9.31 Erläuterung des Diracimpulses für technische Anwendungen

(9.99)

mit F( jZ) = 1 und M(Z) = Zt 0

Liegt der Diracimpuls bei t0 = 0, dann ist die Fouriertransformierte F{G(t)} = 1.

Bild 9.32 Amplituden- und Phasenspektrum des Diracimpulses

160

9 Fourieranalyse Beispiel 3: Zeitfunktion der rechteckförmigen Frequenzfunktion (inverse Fouriertransformation) Mit Gl. (9.90) f(t) =

f(t) =

f(t) =

1 ˜ 2S 1 ˜ 2S

f

³ F( jZ) ˜ e jZt ˜ dZ

f Z0

³

A ˜ e jZt ˜ dZ

Z0

A e jZt ˜ 2S jt

+Z 0 Z 0

f(t) =

A e jZ0 t  e jZ0 t ˜ S˜t 2j

f(t) =

A ˜ Z0 sin Z0 t A ˜ Z0 ˜ = ˜ si ( Z0 t) S Z0 t S

Bild 9.33 Rechteck-Frequenzkurve

(9.100)

für t = 0 muss wieder der Grenzwert berechnet werden: lim

Z0 t o 0

sin Z0 t =1 Z0 t

Bild 9.34 Zeitfunktion der Rechteck-Frequenzkurve Die Zeitfunktion f(t), deren Fouriertransformierte ideales Tiefpassverhalten zeigt, weil alle Frequenzanteile bis Z0 nicht gedämpft werden, ist ebenso eine Spaltfunktion.

9.5 Transformation durch das Fourierintegral

161

Beispiel 4: Zeitfunktion der Frequenzfunktion F(jZ) = 1 (inverse Fouriertransformation) Nach dem Beispiel 2, S. 159, ist die Fouriertransformierte des Diracimpulses, der bei t = 0 auftritt, gleich 1, so dass die Zeitfunktion selbstverständlich der Diracimpuls ist: F(jZ) = F {G(t)} =

f

³ G(t) ˜ e jZt ˜ dt = 1

mit e jZt0 = e0 = 1 .

f

Durch die inverse Abbildung der Frequenzfunktion entsteht aber eine weitere mathematische Beschreibung des Diracimpulses, die in der System- und Signaltheorie angewendet wird: f(t) =

1 ˜ 2S

f f

1 ˜ 2S

G(t) =

³ F( jZ) ˜ e jZt ˜ dZ f

³ e jZt ˜ dZ

(9.101)

f

1 ˜ Z0 of 2 S

Z0

G(t) = lim

³

1 e jZt ˜ Z0 of 2 S jt

e jZt ˜ dZ = lim

Z0

+Z0 Z0

1 e jZ 0 t  e  jZ 0 t ˜ 2j Z0 o f S ˜ t

G(t) = lim

sin Z0 t Z0 of S ˜ t

G(t) = lim

(9.102)

Beispiel 5: Fouriertransformierte der Zeitfunktion f(t) = 1

F(jZ) = F{f (t)} =

f

³ f (t) ˜ e jZt ˜ dt

f

F{1} =

f

³

f

e  jZt ˜ dt =

f

³ e j( Z)t ˜ dt

f

In der Gl. (9.101) f

³ e jtZ ˜ dZ = 2S ˜ G(t)

f

wird formal t durch – Z und Z durch t ersetzt und G(– Z) = G(Z) berücksichtigt: f

³ e j(Z)t ˜ dt = 2S ˜ G(Z) = 2S ˜ G(Z) .

f

Damit ergibt sich für die Fouriertransformierten von f(t) = 1

F{1} = 2 S ˜ G( Z), d. h. im Frequenzbereich befindet sich bei Z = 0 ein Diracimpuls.

162

9 Fourieranalyse

Zusammenhang zwischen der Laplacetransformation und der Fouriertransformation Die Fouriertransformierte F(jZ) hat Ähnlichkeit mit der Laplacetransformierten F(s) nach Gl. (8.73), S. 31: f

F(s) =

³

f

f (t) ˜ e s˜t ˜ dt

und

³ f (t) ˜ e jZt ˜ dt

F( jZ)

0

f f

mit s = G + jZ

mit

³

f (t) ˜ dt  f ,

f

so dass man geneigt ist, die Korrespondenzentafeln der Laplacetransformierten für die Ermittlung des Frequenzverhaltens aperiodischer Zeitfunktionen zu verwenden. Formal besteht also Identität zwischen der Laplacetransformierten mit s = jZ und der Fouriertransformierten F(s = jZ) = F(jZ), wenn die Fouriertransformierte die Zusatzbedingung f(t) = 0 für t <0 erhält. Zusätzlich muss das uneigentliche Integral der absoluten Zeitfunktion konvergent sein. Die Konvergenzuntersuchung sollte auch im Bildbereich vorgenommen werden, indem die Konvergenz der Laplacetransformierten F(s) = F(G + jZ) geprüft wird: Befindet sich die jZ-Achse innerhalb des Konvergenzbereichs von s = G + jZ, ist die Transformation der Laplacetransformation F(s = jZ) = F(jZ) ohne Einschränkung möglich. Liegt die jZ-Achse außerhalb des Konvergenzbereiches, so existiert für die Zeitfunktion keine Fouriertransformierte. Ist die jZ-Achse Grenze des Konvergenzbereichs, dann kann es wohl eine Fouriertransformierte geben, aber diese lässt sich nicht einfach durch s = j Z aus der Laplacetransformierten bilden.

9.5 Transformation durch das Fourierintegral

163

Beispiel: f(t) = V(t) · eat f

{

} ³

F(s) = L V(t) ˜ eat =

f

V(t) ˜ eat ˜ e st ˜ dt =

+0

F(s) =

e  ( G+ jZ a)t  ( G + jZ  a)

f 0

e (s  a)t

f

³ e(s  a)t ˜ dt =  (s  a) 0

+0

=

e  ( G a)t ˜ e  jZt ( G  a) + jZ

f

mit s = G + jZ

0

1. a < 0 (z. B. a = – 2) Die Laplacetransformierte existiert für G – a = G + 2 > 0 oder G > a = – 2, denn e–(G – a)’ ist dann Null: F(s) =

1 1 1 = = . G  a + jZ s  a s + 2

Die Fouriertransformierte existiert, weil die jZ-Achse im Konvergenzbereich von F(s) liegt und weil das uneigentliche Integral der absoluten Zeitfunktion konvergent ist: f

³

f

f (t) ˜ dt =

1

³ e2t ˜ dt = 2 . 0

f

2. a > 0 z. B. a = 2:

Bild 9.35 Konvergenz von F(s) für a < 0

Die Laplacetransformierte existiert für G – a = G – 2 > 0 oder G > a = 2, denn e–(G – a)’ ist dann Null: F(s) =

1 1 1 = = . G  a + jZ s  a s  2

Die Fouriertransformierte existiert nicht, weil die jZ-Achse nicht im Konvergenzbereich von F(s) liegt und weil das uneigentliche Integral der absoluten Zeitfunktion divergent ist: f

³

f

f

f (t) ˜ dt = e 2t ˜ dt = f .

³ 0

3. a = 0: Die Laplacetransformierte und die Fouriertransformierte existieren, ergeben sich aber nicht durch s = jZ, weil die jZ-Achse die Grenze für den Konvergenzbereich ist und das uneigentliche Integral divergent ist.

Bild 9.36 Konvergenz von F(s) für a > 0

164

9 Fourieranalyse

Korrespondenzen der Fouriertransformation f(t)

F(jZ)

G(t)

1

G(t – t0)

e jZt0

1

2S · G(Z) 1  S ˜ G (Z ) jZ S · [G(Z – Z0) + G(Z + Z0)] S ˜ [G(Z  Z 0 )  G(Z  Z 0 )] j

V(t) cos Z0t sin Z0t V(t) · cos Z0t

jZ 2

Z0 

Z2

Z0

V(t) · sin Z0t

2

Z0 

Z2

1 a  jZ

V(t) · e– at e at n! mit n = 0, 1, 2, …



S ˜ [G(Z  Z 0 )  G(Z  Z 0 )] 2



S ˜ [G(Z  Z 0 )  G(Z  Z 0 )] 2j

mit a ! 0 bzw. Re ^a` ! 0

V(t) · tn ·

1 (a  jZ) n 1

V(t) · e– at · cos Z0t

jZ  a ( jZ  a)2  Z02

mit a ! 0 bzw. Re ^a` ! 0

V(t) · e– at · sin Z0t

Z0 ( jZ  a)2  Z02

mit a ! 0 bzw. Re ^a` ! 0

Rechteckimpuls: ­°1 qT(t) = ® °¯0

für t  T für t ! T

2 ˜ sin ZT Z

Doppel-Rechteckimpuls: qT(t – T) – qT(t + T) t2

a  a2

sin Tt t

4j ˜

sin 2 ZT Z

mit Re ^a` ! 0

S · e–aZ

mit T ! 0

S · qT(Z)

mit a ! 0 bzw. Re ^a` ! 0

9.5 Transformation durch das Fourierintegral

165

Prinzipielle Berechnung der Ausgangsfunktion eines Übertragungsgliedes für aperiodische Eingangsgrößen Für ein lineares Übertragungsglied ist die Übertragungsfunktion (Frequenzgang) G(jZ) der komplexe Operator, der das Übertragungsverhalten für sinusförmige Signale kennzeichnet. Die Übertragungsfunktion ist gleich dem Quotient der komplexen AusgangsFouriertransformierten Y(jZ) zur komplexen Eingangs-Fouriertransformierten X(jZ): G( jZ) =

Y( jZ) . X( jZ)

(9.101)

Die Zerlegung des aperiodischen Eingangssignals in sinusförmige Signale verschiedener Frequenzen bedeutet, dass die Übertragungsfunktion (Frequenzgang) des Übertragungsgliedes für alle diese Frequenzen bekannt sein muss. Der Frequenzgang von Übertragungsgliedern kann messtechnisch ermittelt oder berechnet und in Ortskurven oder in Frequenz-Kennliniendiagrammen (Bodediagramm) dargestellt werden. Für aperiodische Eingangsgrößen x(t) lässt sich die Berechnung der Ausgangsfunktion y(t) mit Hilfe der Übertragungsfunktion (Frequenzgang) G(jZ) durch folgendes Rechenschema veranschaulichen:

Folgende Rechenoperationen sind also für die Ermittlung der Ausgangs-Zeitfunktion vorzunehmen: X(jZ) = F {x(t)} =

f

³ x(t) ˜ e jZt ˜ dt

f

Y(jZ) = X(jZ) · G(jZ) y(t)

= F 1

1 {Y( jZ)} = ˜ 2S

f

³ Y( jZ) ˜ e jZt ˜ dZ

f

166

9 Fourieranalyse Beispiel: Für die im Bild 9.37 gezeichnete RC-Schaltung soll im Zeitpunkt t = 0 ein Dirac-Impuls angelegt werden. Die Impulsantwort soll berechnet werden.

Lösung: x(t) = G(t) X(jZ) = F G(t) = 1

(siehe Korrespondenzen S. 164)

Y(jZ) = X(jZ) · G(jZ) mit

1 1 j ZC G(jZ) = = 1 1 j + ZRC +R j ZC

Y(jZ) =

1 ˜1 = 1 + jZRC

1 § 1 · + jZ ¸ RC ˜ ¨ © RC ¹

mit

­ 1 ½ F 1 ® ¾ = V(t) ˜ e at ¯ a + jZ ¿

y(t) =

1 ˜ V(t) ˜ e t / RC RC

y(t) =

1 ˜ V(t) ˜ e t / W W

mit a =

(siehe Korrespondenzen S. 164)

1 RC

mit W = RC

Bild 9.38 Impulsantwort einer RC-Schaltung

Die Impulsfunktion und die Impulsantwort, die so genannte Gewichtsfünktion y(t) = g(t), spielen in der Signal- und Systemtheorie der Nachrichtentechnik eine große Rolle.

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 9.1 bis 9.5

167

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 9.1 bis 9.5 9.1

Für die gezeichnete Sägezahnfunktion 2uˆ T T u(t) = ˜t für  < t < T 2 2 ist eine Fourieranalyse vorzunehmen.

Bild 9.39 Übungsaufgabe 9.1 1. Ermitteln Sie die Fourierkoeffizienten und die Fourierreihe in Summenform und in ausführlicher Form, wenn die Maximalspannung û = 314V beträgt. 2. Geben Sie das Amplituden- und Phasenspektrum an, und stellen Sie das Amplitudenspektrum bis zur 5. Oberwelle dar. 3. Berechnen Sie den Klirrfaktor kc. 9.2

Auf einem Oszilloskop ist der gezeichnete Verlauf einer dreieckförmigen Spannung abgebildet.

Bild 9.40 Übungsaufgabe 9.2 1. Entwickeln Sie für die periodische Spannung die beiden Fourierreihen in ausführlicher Form, indem Sie die Funktion einmal als gerade und einmal als ungerade Funktion auffassen. 2. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie eine Verschiebung längs der Abszisse vornehmen. 9.3

Führen Sie von dem sinusförmigen Strom i(Zt) = i ˜ sin Zt eine Zweiweggleichrichtung und anschließend eine Fourieranalyse durch: 1. Stellen Sie die gleichgerichtete Sinusfunktion analytisch und zeichnerisch dar. 2. Berechnen Sie die Amplituden i k der zweiten, dritten und vierten Oberwelle des gleichgerichteten sinusförmigen Stroms.

168 9.4

9 Fourieranalyse Berechnen Sie die Amplituden uˆ k der zweiten und dritten Oberwelle der angeschnittenen sinusförmigen Spannung u(Zt) mit der Amplitude uˆ = \ = S/2.

2 ˜ 220V und dem Anschnittwinkel

Bild 9.41 Übungsaufgabe 9.4 9.5

Für die gezeichnete Rechteckimpulsfolge soll eine Fourieranalyse vorgenommen werden:

Bild 9.42 Übungsaufgabe 9.5 1. Ermitteln Sie die reelle Fourierreihe in ausführlicher Form. 2. Kontrollieren Sie die Reihe mit Hilfe des Sprungstellenverfahrens. 3. Geben Sie das Amplitudenspektrum uˆ k und das Phasenspektrum Muk an. 4. Berechnen Sie schließlich das Amplitudenspektrum | c k | und das Phasenspektrum \k

der komplexen Fourierreihe über den Ansatz für c k . Stellen Sie den Zusammenhang zur reellen Fourierreihe dar. 9.6

Für die gezeichnete dreieckförmige Impulsspannung u(Zt) ist die Fourierreihe zu entwickeln.

Bild 9.43 Übungsaufgabe 9.6

1. Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten und geben Sie die Fourierreihe in Summenform und in ausführlicher Form bis zur zweiten Oberwelle an. 2. Bestätigen Sie das Ergebnis mit Hilfe des Sprungstellenverfahrens. 3. Aus dieser Reihe ist dann die Fourierreihe der Dreieckkurve mit a = S herzuleiten. 4. Berechnen Sie schließlich für die spezielle Dreieckkurve den Klirrfaktor kc. Hierfür gilt: f

1

S4

¦ (2n  1)4 = 96

n =1

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 9.1 bis 9.5 9.7

169

Für die skizzierte Rechteckimpulsfolge soll eine Fourieranalyse vorgenommen werden:

Bild 9.44 Übungsaufgabe 9.7 1. Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten der reellen Fourierreihe. 2. Kontrollieren Sie die Ergebnisse, indem Sie die Fourierkoeffizienten c k der komplexen Fourierreihe berechnen. 3. Ermitteln Sie anschließend die Amplitudenspektren der reellen und komplexen Fourierreihen. 4. Berechnen Sie für das Tastverhältnis p = 0,2 das Amplitudenspektrum der reellen Fourierreihe mit bezogenen Größen für k = 1, 2, 3, … , 10 und stellen Sie es dar. 9.8

Anhand der Fourierreihe eines periodischen Stroms f

i(Zt) =

¦ ik ˜ sin(kZ + Mik )

k =0

soll erläutert werden, dass der Effektivwert und der Klirrfaktor von den Anfangsphasenwinkeln M ik unabhängig sind. Zur Vereinfachung bestehe der nichtsinusförmige Strom nur aus der ersten und dritten Harmonischen: i(Zt) = i1 ˜ sin Zt + i3 ˜ sin(3Zt + Mi3 )

mit i1 = 3 ˜ i3

1. Stellen Sie den Stromverlauf i(Zt) für Mi3 = 0 und Mi3 = S durch Überlagerung der Grundwelle und der Oberwelle grafisch dar. 2. Ermitteln Sie den Effektivwert des nichtsinusförmigen Stroms i(Zt) in Bezug auf den Effektivwert der Grundwelle. 3. Berechnen Sie die Klirrfaktoren k und kc. 9.9

1. Berechnen Sie die Fouriertransformierte der Zeitfunktion ­°e  at mit a > 0 für t t 0 f(t) = ® für t <0 °¯0 und stellen Sie F(jZ) durch eine Ortskurve dar. 2. Geben Sie die Fouriertransformierte in Real- und Imaginärteil und in Betrag und Phase an. 3. Stellen Sie das Amplitudenspektrum und das Phasenspektrum dar.

Bild 9.45 Übungsaufgabe 9.9

170 9.10.

9 Fourieranalyse 1. Weisen Sie nach, dass die Fouriertransformierte der Signum-Funktion ­1 für t < 0 sgn t = ® ¯ 1 für t > 0 F {sgn t} =

2 jZ

ist, und stellen Sie X(Z) dar.

2. Fassen Sie die Sprungfunktion V(t) als eine verschobene Signumfunktion auf und ermitteln Sie mit der Fouriertransformierten der Signumfunktion die Fouriertransformierte der Sprungfunktion.

Bild 9.46 Übungsaufgabe 9.10

9.11

Für die im Bild 9.47 gezeichnete Schaltung ist die Impulsantwort zu berechnen.

Bild 9.47 Übungsaufgabe 9.11

9.12

1. Für die im Bild 9.48 gezeichnete Schaltung ist die Übertragungsfunktion G(jZ) zu berechnen. 2. Konstruieren Sie anschließend die Ortskurve des Frequenzgangs G(jZ) mit Rr = 5kŸ Rp = 10kŸ

Cr = 2nF Cp = 1nF

Bild 9.48 Übungsaufgabe 9.12

171

10 Vierpoltheorie

10.1 Grundlegende Zusammenhänge der Vierpoltheorie Aufgabe der Vierpoltheorie Elektrische Schaltungen zur Übertragung von Energien oder zur Verarbeitung von Informationen sind in den meisten Fällen „Zweitore“ oder „Vierpole“, also Schaltungen mit zwei Eingangsklemmen und zwei Ausgangsklemmen. Sie erhalten die Energie bzw. die Information von einem Netzwerk, das an den Eingang des Vierpols geschaltet ist und durch einen aktiven Zweipol ersetzt werden kann. Sie geben die Energie bzw. die Information an ein Netzwerk weiter, das an den Ausgang des Vierpols geschaltet ist und durch einen passiven Zweipol ersetzt werden kann.

Bild 10.1 Prinzipielle Vierpolschaltung

Beispiel: Empfangseinrichtung einer Nachrichten-Übertragung aktiver Zweipol: Antenne Vierpol: Übertragungsstrecke mit Verstärkern passiver Zweipol: Endgerät, z. B. Lautsprecher

Vierpolschaltungen findet man in vielen Anwendungsbereichen der Nachrichten- und Schaltungstechnik, z. B. bei Transformatoren und Übertragern, Filter- und Siebschaltungen, Verstärkerschaltungen mit Transistoren und Röhren, Oszillatorschaltungen und Leitungen. Für derartige Schaltungen gibt es unter bestimmten Voraussetzungen allgemeingültige Gesetzmäßigkeiten, die unter dem Begriff „Vierpoltheorie“ zusammengefasst sind. Mit Hilfe dieser Theorie ist es möglich, das Übertragungsverhalten von Vierpolen allgemeingültig zu beschreiben, Vierpolschaltungen zu analysieren, Vierpolschaltungen für vorgegebene Kenngrößen zu entwickeln (Vierpolsynthese) und die Vierpole in Zusammenschaltung ihrer elektrischen Umgebung zu erfassen. Voraussetzungen für eine allgemeingültige Behandlung von Vierpolschaltungen sind die Linearität und die Stabilität der Vierpole: „Lineare Vierpole“ sind Schaltungen mit strom- und spannungsunabhängigen ohmschen Widerständen, Induktivitäten und Kapazitäten und mit Transistoren und Röhren, deren Kennlinien in Bereichen linear angenommen werden.

172

10 Vierpoltheorie

„Stabile Vierpole“ liegen vor, wenn ohne anliegende Spannungen die Ströme des Vierpols Null sind. Strom- oder Spannungsquellen dürfen sich also nicht unabhängig verändern, sondern müssen von anliegenden Spannungen oder Strömen gesteuert sein. Wie im vorigen Kapitel beschrieben, lassen sich periodische und aperiodische Größen durch Summen von sinusförmigen Größen mit diskreten und kontinuierlichen Spektren darstellen. Deshalb kann sich die Vierpoltheorie auf die Behandlung sinusförmiger Ströme und Spannungen beschränken, die nach den Erfahrungen mit der „Symbolischen Methode“ im Kapitel 4 im Band 2 selbstverständlich im Bildbereich erfolgt. Die Vierpolschaltung mit den sinusförmigen Eingangsgrößen u1, i1 und den sinusförmigen Ausgangsgrößen u2, i2 wird also in komplexen Effektivwerten mit den im Bild 10.2 festgelegten Richtungen angegeben.

Bild 10.2 Prinzipielle Vierpolschaltung im Bildbereich

Diese Richtungsdefinitionen sind in der nachrichtentechnischen Literatur üblich. Autoren der theoretischen Elektrotechnik bevorzugen die umgekehrte Richtung des Ausgangsstroms I2, so dass bei der Übernahme von Ergebnissen auf Vorzeichen zu achten ist. Welchen Einfluss geänderte Richtungen von Strömen und Spannungen auf Größen haben, die den Vierpol beschreiben, wird später erläutert. Ist bei einem Vierpol eine Eingangsklemme mit einer Ausgangsklemme durch eine durchgehende Leitung verbunden, dann handelt es sich um den Sonderfall eines Vierpols, den Dreipol, der genauso wie ein echter Vierpol behandelt wird (z. B. Transistor). Ehe auf Einzelheiten von Vierpolschaltungen eingegangen werden kann, sollen die grundsätzlichen Zusammenhänge zwischen den Betriebskenngrößen, den Vierpolzusammenschaltungen, den Vierpolgleichungen, den Vierpolparametern und den Ersatzschaltungen erläutert werden. Betriebskenngrößen von Vierpolschaltungen Die Energieübertragung erfolgt also vom aktiven Zweipol (Sender) über den Übertragungsvierpol zum passiven Zweipol (Empfänger). Diese normale Betriebsschaltung heißt „Vorwärtsbetrieb“, wobei der aktive Zweipol häufig als Ersatzstromquelle angenommen und der passive Zweipol durch einen Leitwert ersetzt wird:

Bild 10.3 Vierpolschaltung in Vorwärtsbetrieb

10.1 Grundlegende Zusammenhänge der Vierpoltheorie

173

Für die Beschreibung der Übertragungseigenschaften eines Vierpols in Vorwärtsbetrieb werden sechs Betriebskenngrößen definiert: Eingangsleitwert: I1 U1 Eingangswiderstand: Y in

Zin

U1 I1

1 Y in

Übertragungsleitwert vorwärts: Y üf

I2 U1

V uf

Übertragungswiderstand vorwärts: Z üf

Spannungsübersetzung vorwärts:

U2 I1

U2 U1

Stromübersetzung vorwärts:

V if

I2 I1

Zwischen den Betriebskenngrößen in Vorwärtsbetrieb gibt es folgende Zusammenhänge: (10.1) und Vif = Zin · Yüf (10.2) Vuf = Yin · Züf Die Indizierungen bedeuten: u = Spannung und i = Strom, in = input (Eingang), ü = Übertragung, f = forward (vorwärts). Dem normalen Vorwärtsbetrieb ist stets eine Rückwirkung vom Ausgang zum Eingang überlagert, die auch zu Störungen bei der Signalübertragung führen kann; diese Betriebsschaltung wird „Rückwärtsbetrieb“ genannt:

Bild 10.4 Vierpolschaltung in Rückwärtsbetrieb

Für die Beschreibung der Übertragungseigenschaften einer Vierpolschaltung in Rückwärtsbetrieb werden ebenfalls sechs Betriebskenngrößen definiert: Ausgangsleitwert:

I2 U2 Ausgangswiderstand: Y out

Zout

U2 I2

1 Y out

Übertragungsleitwert rückwärts: Y ür

I1 U2

V ur

Übertragungswiderstand rückwärts: Z ür

Spannungsrückwirkung:

U1 I2

U1 U2

Stromrückwirkung:

V ir

I1 I2

Die Zusammenhänge zwischen den Betriebskenngrößen in Rückwärtsbetrieb lauten entsprechend: Vur = Yout · Zür

(10.3)

und

Vir = Zout · Yür

Die Indizierungen bedeuten: u = Spannung und i = Strom, out = output (Ausgang), ü = Übertragung, r = reverse (rückwärts).

(10.4)

174

10 Vierpoltheorie

Arten des Zusammenschaltens von Vierpolen: Kompliziertere Schaltungen, z. B. eine Verstärkerstufe, können durch Zusammenschalten von Elementar-Vierpolen analysiert werden, wie später beschrieben wird. Grundsätzlich gibt es fünf Arten der Zusammenschaltung zweier Vierpole:

Bild 10.5 Arten der Vierpolzusammenschaltung

Vierpolgleichungen und Vierpolparameter: Die linearen Zusammenhänge zwischen den komplexen Effektivwerten der Ströme und Spannungen eines Vierpols werden grundsätzlich von zwei Vierpolgleichungen mit vier komplexen Vierpolparametern (Vierpolkonstanten) erfasst. Die vier Vierpolparameter beschreiben also das Wechselstromverhalten eines Vierpols. Da es fünf Arten der Zusammenschaltung von Vierpolen gibt, werden auch fünf verschiedene Arten von jeweils zwei Vierpolgleichungen mit jeweils vier Vierpolparametern unterschieden: Zusammenschaltung: Parallel-Parallel-Schaltung Reihen-Reihen-Schaltung Reihen-Parallel-Schaltung Parallel-Reihen-Schaltung Ketten-Schaltung

Vierpolgleichungen: in Leitwertform in Widerstandsform in Reihen-Parallel-Form in Parallel-Reihen-Form in Kettenform

Vierpolparameter: Y-Parameter Z-Parameter H-Parameter C-Parameter A-Parameter

Nach den Regeln der Matrizenmultiplikation (siehe Band 1, Abschnitt 2.3.6.1, S. 111–113) lassen sich die beiden Vierpolgleichungen jeweils in Matrizenschreibweise angeben. Zusammenhang zwischen Betriebskenngrößen und Vierpolparametern Die Vierpolparameter sind Betriebskenngrößen für den Vorwärts- und Rückwärtsbetrieb bei Leerlauf oder Kurzschluss. Im folgenden werden die einzelnen Vierpolparameter nach den entsprechenden Betriebskenngrößen benannt und durch entsprechende Definitionsgleichungen erfasst. Ersatzschaltungen von Vierpolen Da der innere Schaltungsaufbau eines Vierpols kompliziert sein kann oder der Vierpol wie beim Transistor einer Netzberechnung nicht zugänglich ist, wäre ein Schaltungsentwurf mit einem solchen Vierpol aufwändig oder überhaupt nicht möglich. Deshalb werden für die verschiedenen Arten von Vierpolen Ersatzschaltungen verwendet, die die gleichen Wechselstromeigenschaften wie die betreffenden Vierpole haben müssen. Die Vierpolgleichungen, die den Vierpolschaltungen genügen, müssen auch für die Ersatzschaltungen gelten.

10.2 Vierpolgleichungen, Vierpolparameter und Ersatzschaltungen

175

10.2 Vierpolgleichungen, Vierpolparameter und Ersatzschaltungen Leitwertform der Vierpolgleichungen: Die Vierpolgleichungen in Leitwert- oder Admittanzform sind Stromgleichungen in komplexen Effektivwerten: § I1 · § Y11 Y12 · § U1 · (10.5) ¸ ¨ ¸ ¨ ¸˜¨ © I 2 ¹ © Y 21 Y 22 ¹ © U 2 ¹ Die Y-Parameter werden aus den Vierpolgleichungen ermittelt, indem entweder U2 oder U1 Null gesetzt werden; sie sind also Betriebskenngrößen bei Kurzschluss in Vorwärtsbzw. in Rückwärtsbetrieb: Kurzschluss-Eingangsleitwert: Kurzschluss-Übertragungsleitwert rückwärts: § I · § I · Y11 ¨ 1 ¸ (Y in ) Y a f Y12 ¨ 1 ¸ (Y ür ) Y i f U © 1 ¹ U2 0 © U 2 ¹ U1 0

I1 = Y11 · U1 + Y12 · U2 I2 = Y21 · U1 + Y22 · U2

Kurzschluss-Übertragungsleitwert vorwärts: §I · Y 21 ¨ 2 ¸ (Y üf ) Y a f © U1 ¹ U 2 0

oder

Kurzschluss-Ausgangsleitwert:

Y 22

§ I2 · ¨ ¸ © U 2 ¹ U1

(Y out ) Y i 0

f

Für Vierpolschaltungen, deren Y-Parameter bekannt sind, gibt es zwei Ersatzschaltungen, die den Vierpolgleichungen in Leitwertform genügen: U-Ersatzschaltung mit zwei Stromquellen: In diesem Ersatzschaltbild kann die Energie vom Eingang zum Ausgang nur über die Stromquelle Y21 · U1 übertragen werden. Die Rückwirkung erfasst die Stromquelle Y12 · U2. Deshalb müssen auch bei Ersatzschaltungen passiver Vierpole die Stromquellen erhalten bleiben.

Bild 10.6 U-Ersatzschaltung mit Y-Parametern

S-Ersatzschaltung mit einer Stromquelle: Für passive Vierpole ist die Stromquelle in der Ersatzschaltung Null, weil der Vierpol auch ohne Stromquelle Energie vom Eingang zum Ausgang und umgekehrt übertragen kann (siehe Abschnitt 10.6).

Bild 10.7 S-Ersatzschaltung mit Y-Parametern

176

10 Vierpoltheorie

Widerstandsform der Vierpolgleichungen Die Vierpolgleichungen in Widerstands- oder Impedanzform sind Spannungsgleichungen in komplexen Effektivwerten: § U1 · § Z11 Z12 · § I1 · (10.6) ¨ ¸ ¨ ¸˜¨ ¸ © U 2 ¹ © Z21 Z22 ¹ © I 2 ¹ Die Z-Parameter werden aus den Vierpolgleichungen ermittelt, indem entweder I2 oder I1 Null gesetzt werden; sie sind also Betriebskenngrößen bei Leerlauf in Vorwärts- bzw. in Rückwärtsbetrieb: Leerlauf-Eingangswiderstand: Leerlauf-Übertragungswiderstand rückwärts: §U · §U · Z11 ¨ 1 ¸ (Zin ) Y a 0 Z12 ¨ 1 ¸ (Z ür ) Y i 0 © I1 ¹ I 0 © I2 ¹I 0

U1 = Z11 · I1 + Z12 · I2 U2 = Z21 · I1 + Z22 · I2

oder

2

Leerlauf-Übertragungswiderstand vorwärts: §U · Z21 ¨ 2 ¸ (Z üf ) Y a 0 © I1 ¹ I 0 2

1

Leerlauf-Ausgangswiderstand: Z22

§ U2 · ¨ ¸ © I 2 ¹ I1

(Zout ) Y i

0

0

Für Vierpolschaltungen, deren Z-Parameter bekannt sind, gibt es zwei Ersatzschaltungen, die den Vierpolgleichungen in Widerstandsform genügen: U-Ersatzschaltung mit zwei Spannungsquellen: In diesem Ersatzschaltbild kann die Energie vom Eingang zum Ausgang nur über die Spannungsquelle Z21 · I1 übertragen werden. Die Rückwirkung erfasst die Spannungsquelle Z12 · I2. Deshalb müssen auch bei Ersatzschaltungen passiver Vierpole die Spannungsquellen erhalten bleiben.

Bild 10.8 U-Ersatzschaltung mit Z-Parametern

T-Ersatzschaltung mit einer Spannungsquelle: Für passive Vierpole ist die Spannungsquelle in der Ersatzschaltung Null, weil der Vierpol auch ohne Spannungsquelle vom Eingang zum Ausgang und umgekehrt Energie übertragen kann (siehe Abschnitt 10.6).

Bild 10.9 T-Ersatzschaltung mit Z-Parametern

10.2 Vierpolgleichungen, Vierpolparameter und Ersatzschaltungen

177

Reihen-Parallel-Form der Vierpolgleichungen Die erste Vierpolgleichung in Reihen-Parallel-Form oder Hybrid-Form ist eine Spannungsgleichung, die zweite eine Stromgleichung in komplexen Effektivwerten: U1 = H11 · I1 + H12 · U2 I2 = H21 · I1 + H22 · U2

oder

§ U1 · ¨ ¸ © I2 ¹

§ H11 H12 · § I1 · ¸ ¨ ¸˜¨ © H 21 H 22 ¹ © U 2 ¹

(10.7)

Die H-Parameter werden aus den Vierpolgleichungen ermittelt, indem entweder U2 oder I1 Null gesetzt werden; sie sind also Betriebskenngrößen bei Kurzschluss in Vorwärtsbetrieb und bei Leerlauf in Rückwärtsbetrieb: Kurzschluss-Eingangswiderstand:

H11

§ U1 · ¨ ¸ © I1 ¹ U 2

(Zin ) Y a 0

f

Kurzschluss-Stromübersetzung vorwärts:

H 21

§ I2 · ¨ ¸ © I1 ¹ U 2

(Vif ) Y a 0

f

Leerlauf-Spannungsrückwirkung:

H12

§ U1 · ¨ ¸ © U 2 ¹ I1

(V ur ) Y i

0

0

Leerlauf-Ausgangsleitwert:

H 22

§ I2 · ¨ ¸ © U 2 ¹ I1

(Y out ) Y i

0

0

Für Vierpolschaltungen oder Elementarvierpole (z. B. Transistor), deren H-Parameter bekannt sind, kann eine Ersatzschaltung angegeben werden, die den Vierpolgleichungen in Reihen-Parallel-Form genügt: U-Ersatzschaltung mit einer Spannungsquelle und einer Stromquelle: In diesem Ersatzschaltbild kann die Energie vom Eingang zum Ausgang nur über die Stromquelle H21 · I1 übertragen werden. Die Rückwirkung erfasst die Spannungsquelle H12 · U2. Deshalb müssen auch bei Ersatzschaltungen passiver Vierpole die Spannungsund die Stromquelle erhalten bleiben.

Bild 10.10 U-Ersatzschaltung mit H-Parametern

In der Schaltungstechnik ist es üblich, die Vierpolparameter mit kleinen Buchstaben zu bezeichnen, z. B. für Transistoren in Datenbüchern oder in Schaltungsbüchern der Nachrichtentechnik und angewandten Elektronik. Für Transistoren werden die Parameter in Leitwertform oder Hybridform angegeben. In den meisten Anwendungen sind sie reell, so dass auf die Unterstreichung verzichtet werden kann: I1 = y11 · U1 + y12 · U2 I2 = y21 · U1 + y22 · U2

U1 = h11 · I1 + h12 · U2 I2 = h21 · I1 + h22 · U2

178

10 Vierpoltheorie

Parallel-Reihen-Form der Vierpolgleichungen Die erste Vierpolgleichung in Parallel-Reihen-Form ist eine Stromgleichung, die zweite eine Spannungsgleichung in komplexen Effektivwerten: I1 = C11 · U1 + C12 · I2 U2 = C21 · U1 + C22 · I2

oder

§ I1 · ¨ ¸ © U2 ¹

§ C11 C12 · § U1 · ¨ ¸˜¨ ¸ © C21 C22 ¹ © I 2 ¹

(10.8)

Die C-Parameter werden aus den Vierpolgleichungen ermittelt, indem entweder I2 oder U1 Null gesetzt werden; sie sind also Betriebskenngrößen bei Leerlauf in Vorwärtsbetrieb und bei Kurzschluss in Rückwärtsbetrieb: Leerlauf-Eingangsleitwert:

C11

§ I1 · ¨ ¸ © U1 ¹I 2

(Y in ) Y a

Kurzschluss-Stromrückwirkung: 0

0

Leerlauf-Spannungsübersetzung vorwärts:

C21

§ U2 · ¨ ¸ © U1 ¹ I2

C12

(V uf ) Y a 0

0

§ I1 · ¨ ¸ © I 2 ¹ U1

(Vir ) Y i 0

f

Kurzschluss-Ausgangswiderstand:

C22

§ U2 · ¨ ¸ © I 2 ¹ U1

(Zout ) Y i 0

f

Für Vierpolschaltungen, deren C-Parameter bekannt sind, kann eine Ersatzschaltung angegeben werden, die den Vierpolgleichungen in Reihen-Parallel-Form genügt: U-Ersatzschaltung mit einer Stromquelle und einer Spannungsquelle: In diesem Ersatzschaltbild kann die Energie vom Eingang zum Ausgang nur über die Spannungsquelle C21 · U1 übertragen werden. Die Rückwirkung erfasst die Stromquelle C12 · I2. Deshalb müssen auch bei Ersatzschaltungen passiver Zweipole die Stromquellen erhalten bleiben.

Bild 10.11 U-Ersatzschaltung mit C-Parametern

Die C-Parameter haben in der Schaltungstechnik und Nachrichtentechnik keine Bedeutung, weil die entsprechenden Parallel-Reihen-Schaltungen kaum Anwendung finden. Für die Umrechnung von Vierpolparametern von Dreipolen im Abschnitt 10.8 kann aber eine derartige Zusammenschaltung angegeben werden.

10.2 Vierpolgleichungen, Vierpolparameter und Ersatzschaltungen

179

Kettenform der Vierpolgleichungen Die erste Vierpolgleichung in Kettenform ist eine Spannungsgleichung, die zweite eine Stromgleichung in komplexen Effektivwerten: U1 = A11 · U2 + A12 · (–I2) I1 = A21 · U2 + A22 · (–I2)

§U · oder ¨ 1 ¸ © I1 ¹

§ A11 A12 · § U 2 · ¸ ¨ ¸˜¨ © A 21 A 22 ¹ ©  I 2 ¹

(10.9)

Auffällig an den beiden Vierpolgleichungen ist, dass die A-Parameter für den umgekehrten Ausgangsstrom – I2 definiert sind. Die Kettenform der Vierpolgleichungen wird für die Kettenschaltung von Vierpolen angewendet, wie im Abschnitt 10.7 beschrieben wird. Da der Ausgangsstrom des ersten Vierpols umgekehrt zum Eingangsstrom des zweiten Vierpols gerichtet ist, wird die Definition der A-Parameter auf einen Strom zwischen beiden Vierpolen festgelegt – und das ist der Eingangsstrom des nächstfolgenden Vierpols:

Bild 10.12 Definition der A-Parameter mittels Kettenschaltung

Die A-Parameter werden aus den Vierpolgleichungen ermittelt, indem entweder I2 oder U2 Null gesetzt werden; sie sind also reziproke Betriebskenngrößen bei Leerlauf und bei Kurzschluss in Vorwärtsbetrieb: reziproke Leerlauf-Spannungsübersetzung vorwärts:

A11

§ U1 · ¨ ¸ © U 2 ¹I2

0

§ 1 · ¨ ¸ © V uf ¹ Y a

A12 0

reziproker Leerlauf-Übertragungswiderstand vorwärts:

A 21

§ I1 · ¨ ¸ © U 2 ¹I2

0

§ 1 · ¨ ¸ © Züf ¹ Y a

negativer reziproker Kurzschluss-Übertragungsleitwert vorwärts:

0

§ 1 · ¨ ¸ ©  Y üf ¹ Y a

f

negative reziproke Kurzschluss-Stromübersetzung vorwärts:

A 22 0

§ U1 · ¨ ¸ © I2 ¹U2

§ I1 · ¨ ¸ © I2 ¹ U2

0

§ 1 · ¨ ¸ ©  Vif ¹ Y a

f

Eine Ersatzschaltung mit A-Parametern ist nicht bekannt. In der Leitungstheorie und bei analogen Filterschaltungen werden die A-Parameter angewendet. Im Abschnitt 10.9 werden die Wellenparameter eines passiven Vierpols mit Hilfe der A-Parameter beschrieben.

180

10 Vierpoltheorie

Umrechnung der Vierpolparameter von einer Form in eine andere Wie im einleitenden Abschnitt im Bild 10.5 dargestellt, gibt es fünf verschiedene Arten der Zusammenschaltung zweier Vierpole. Aus den Vierpolparametern der Einzelvierpole ergeben sich durch Matrizenoperationen die Vierpolparameter des Gesamtvierpols. Im Abschnitt 10.7 wird nachgewiesen, dass diese Operationen nur mit den Vierpolparametern möglich sind, die den Zusammenschaltungen entsprechen: die Parallel-Parallel-Schaltung mit Y-Parametern, die Reihen-Reihen-Schaltung mit Z-Parametern, die Reihen-Parallel-Schaltung mit H-Parametern, die Parallel-Reihen-Schaltung mit C-Parametern und die Kettenschaltung mit A-Parametern. Sind von einem Einzelvierpol die Vierpolparameter bekannt, die nicht der Zusammenschaltung mit einem anderen Vierpol entsprechen, dann müssen die Vierpolparameter in die Form umgerechnet werden, die für die Zusammenschaltung verwendet werden kann. Sind z. B. von einem Vierpol, der mit einem anderen Vierpol in Parallel-ParallelSchaltung zusammengeschaltet ist, die Z-Parameter bekannt, dann müssen die ZParameter in die Y-Parameter umgerechnet werden und diese mit den Y-Parametern des zweiten Vierpols zusammengefasst werden. Bei den fünf verschiedenen Formen der Vierpolgleichungen handelt es sich um ein lineares Gleichungssystem zweier Gleichungen mit zwei impliziten und zwei expliziten Variablen. Mit Hilfe des Eliminationsverfahrens ist es möglich, jede Form der Vierpolgleichungen in eine andere Form zu überführen. Beispiel: Umrechnung der Z-Parametcr in die Y-Parameter 1. Berechnung von Y11 und Y12:

U1

Z11 ˜ I1  Z12 ˜ I 2 | ˜ Z22

U2

Z21 ˜ I1  Z22 ˜ I 2 | ˜ Z12

Z22 ˜ U1

Z11 ˜ Z22 ˜ I1  Z12 ˜ Z22 ˜ I 2

  Z12 ˜ U 2

Z12 ˜ Z21 ˜ I1  Z12 ˜ Z22 ˜ I 2

Z 22 ˜ U1  Z12 ˜ U 2

(Z11 ˜ Z 22  Z12 ˜ Z 21 ) ˜ I1

mit

Z11 ˜ Z22  Z12 ˜ Z21

Z11 Z12 Z21 Z22

det Z

(siehe Band 1, Abschnitt 2.3.6.2, S. 114, Determinanten …) ist

I1

Z22 Z ˜ U  12 ˜ U det Z 1 det Z 2

Y11 ˜ U1  Y12 ˜ U 2

d. h.

Y11

Z22 det Z

und

Y12



Z12 det Z

10.2 Vierpolgleichungen, Vierpolparameter und Ersatzschaltungen

181

2. Berechnung von Y12 und Y22:

U1

Z11 ˜ I1  Z12 ˜ I 2 | ˜ Z21

U2

Z21 ˜ I1  Z22 ˜ I 2 | ˜ Z11

Z21 ˜ U1

  Z11 ˜ U 2

Z11 ˜ Z21 ˜ I1  Z12 ˜ Z21 ˜ I 2

Z11 ˜ Z21 ˜ I1  Z11 ˜ Z22 ˜ I2

Z 21 ˜ U1  Z11 ˜ U 2

(Z12 ˜ Z 21  Z11 ˜ Z22 ) ˜ I 2

Z21 ˜ U1  Z11 ˜ U 2

(Z11 ˜ Z22  Z12 ˜ Z21 ) ˜ I 2

mit

Z11 · Z22 – Z12 · Z21 = det Z

I2

 Z21 Z ˜ U  11 ˜ U det Z 1 det Z 2

ist

Y 21 ˜ U1  Y 22 ˜ U 2

d. h.

Y 21

Z21 det Z

und

Y 22

Z11 det Z

Sämtliche Umrechnungsformen lassen sich in einer Tabelle zusammenfassen: Y11

Y12

Z22 det Z

 Z12 det Z

1 H11

H12 H11

det C C 22

C12 C22

A 22 A12

 det A A12

Y21

Y22

 Z21 det Z

Z11 det Z

H 21 H11

det H H11

C 21 C 22

1 C22

1 A12

A11 A12

Y 22 det Y

Y12 det Y

Z11

Z12

det H H 22

H12 H 22

1 C11

C12 C11

A11 A 21

det A A 21

Y 21 det Y

Y11 det Y

Z21

Z22

H 21 H 22

1 H 22

C21 C11

det C C11

1 A 21

A 22 A 21

1 Y11

Y12 Y11

det Z Z22

Z12 Z22

H11

H12

C 22 det C

C12 det C

A12 A 22

det A A 22

Y 21 Y11

det Y Y11

 Z21 Z22

1 Z22

H21

H22

C 21 det C

C11 det C

1 A 22

A 21 A 22

det Y Y 22

Y12 Y 22

1 Z11

 Z12 Z11

H 22 det H

H12 det H

C11

C12

A 21 A11

 det A A11

Y 21 Y 22

1 Y 22

Z21 Z11

det Z Z11

H 21 det H

H11 det H

C21

C22

1 A11

A12 A11

Y 22 Y 21

1 Y 21

Z11 Z21

det Z Z21

 det H H 21

 H11 H 21

1 C21

C22 C21

A11

A12

 det Y Y 21

 Y11 Y 21

1 Z21

Z22 Z21

H 22 H 21

1 H 21

C11 C21

det C C 21

A21

A22

(Y)

(Z)

(H)

(C)

(A)

182

10 Vierpoltheorie Formeln für Vierpoldeterminanten:

H 22 H11

1 det Z

det Y

Y11 Y 22  Y12 Y 21

det Z

1 det Y

Z11 Z22  Z12 Z21

det H

Y 22 Y11

Z11 Z22

H11 H 22  H12 H 21

det C

Y11 Y 22

Z22 Z11

1 det H

det A

Y12 Y 21

Z12 Z21



H12 H 21

H11 H 22

C11 C22

C22 C11

C12 C21

A12 A 21 A11 A 22

1 det C

C11 C22  C12C21 

A 21 A12

A 22 A11

A11 A 22  A12 A 21

Anwendungsbeispiele: 1. Für den im Bild 10.13 gezeichneten T-Vierpol sollen die Z-Parameter mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze ermittelt werden.

Bild 10.13 Anwendungsbeispiel 1 Lösung:

U1

Z1 ˜ I1  Z2 (I1  I2 )

(Z1  Z2 ) ˜ I1  Z2 ˜ I2

Z11 ˜ I1  Z12 ˜ I2

U2

Z3 ˜ I 2  Z2 (I1  I 2 )

Z2 ˜ I1  (Z2  Z3 ) ˜ I 2

(Z)

§ Z1  Z2 ¨ © Z2

1 § ¨ R L1  jZL1  jZC ¨ 1 ¨ ¨ jZC ©

Z21 ˜ I1  Z22 ˜ I 2

d. h. Z2

· ¸ Z 2  Z3 ¹

1 jZC

R L2

· ¸ ¸ 1 ¸  jZL2  jZC ¸¹

2. Mit Hilfe der Definitionsgleichungen sind die Y-Parameter des T-Vierpols im Bild 10.14 zu ermitteln.

Bild 10.14 Anwendungsbeispiel 2

10.2 Vierpolgleichungen, Vierpolparameter und Ersatzschaltungen

183

Lösung: Kurzschluss am Ausgang: Y11

Y 21

§ I1 · ¨ ¸ © U1 ¹ U 2 § I2 · ¨ ¸ © U1 ¹ U 2

0

1 Z1 

0

1  jZC RC

1 Z1

§ 1 · ¨  jZC ¸ © RC ¹

1 Z1

§ 1 · ¨  jZC ¸ © RC ¹

Bild 10.15 Beispiel 2, Kurzschluss am Ausgang

Kurzschluss am Eingang: Y12

Y 22

§ I1 · ¨ ¸ © U 2 ¹ U1 § I2 · ¨ ¸ © U 2 ¹ U1

 0

0

1 1  Z1 Z2

1 1  jZC  RC R L  jZL

Bild 10.16 Beispiel 2, Kurzschluss am Eingang

3. Für einen verlustlosen Übertrager mit gleichsinnigem Wickelsinn sollen die T-Ersatzschaltung und die S-Ersatzschaltung ermittelt werden.

Bild 10.17 Anwendungsbeispiel 3

Lösung: Für die T-Ersatzschaltung sind nach Bild 10.9 die Z-Parameter des Übertragers zu bestimmen, die sich aus den Spannungsgleichungen des Transformators ergeben.

Bild 10.18 T-Ersatzschaltung

Bild 10.19 Ersatzschaltung des Transformators

Im Band 2, Abschnitt 6.2, S. 221 sind die Spannungsgleichungen für die Ersatzschaltung des Transformators (siehe Bild 6.4) mit den Gln. (6.4) und (6.5) angegeben:

U1

R1 ˜ I1  jZL1 ˜ I1  jZM ˜ I2

U2

R 2 ˜ I2  jZL2 ˜ I2  jZM ˜ I1

(R1  jZL1 ) ˜ I1  jZM ˜ (I2 ) jZM ˜ I1  (R 2  jZL2 ) ˜ (I2 )

Da der Übertrager verlustlos sein soll, sind R1 = 0 und R2 = 0.

184

10 Vierpoltheorie Nach den Richtungsdefinitionen eines Vierpols ist der Ausgangsstrom I2 umgekehrt anzunehmen als sich beim Transformator nach der Rechte-Hand-Regel ergibt, d. h. mit – I2 o I2 lauten die Spannungsgleichungen:

U1

jZL1 ˜ I1  jZM ˜ I2

Z11 ˜ I1  Z12 ˜ I2

U2

jZM ˜ I1  jZL2 ˜ I2

Z21 ˜ I1  Z22 ˜ I2

§ jZL1 jZM · ¨ ¸. © jZM jZL2 ¹ Die T-Ersatzschaltung mit den Elementen d. h. (Z)

Z11  Z12

jZ(L1  M)

Z22  Z12

jZ(L2  M)

Z12

Bild 10.20 T-Ersatzschaltung eines Übertragers

jZM und

(Z21  Z12 ) ˜ I1

0 wegen Z12

Z21

stimmt mit der Ersatzschaltung im Bild 6.14 (im Band 2, S. 230) mit R1 = 0 und R2 = 0 überein. Für die S-Ersatzschaltung im Bild 10.7 sind die Y-Parameter erforderlich, die mit Hilfe der Umrechnungsformeln (siehe Tabelle S. 181) berechnet werden: Mit det Z

jZL1 ˜ jZL 2  ( jZM)2

Z11 ˜ Z 22  Z12 ˜ Z21

Z22  Z12 det Z

Y11  Y12

Y 22  Y12

jZ(L 2  M)

Y11  Y12

( jZ)2 (L1L 2

1 Y11  Y12

jZ ˜ Z12 det Z

Y12



1  Y12

jZ ˜

Bild 10.21 S-Ersatzschaltung



M2 )

L1L 2  M 2 L2  M

Y 22  Y12

1 Y 22  Y12

( jZ)2 (L1L 2  M 2 )

Z11  Z12 det Z jZ(L1  M) ( jZ)2 (L1L 2  M 2 )

jZ ˜

L1L 2  M 2 L1  M

jZM ( jZ)2 (L1L 2  M 2 )

L1L 2  M 2 M

(Y 21  Y12 ) ˜ U1

0 wegen Y21 = Y12 Bild 10.22 S-Ersatzschaltung eines Übertragers

10.2 Vierpolgleichungen, Vierpolparameter und Ersatzschaltungen

185

4. Ersatzschaltbilder von Transistoren: Um eine elektronische Schaltung mit Transistoren für analoge Signalverarbeitungen mit den behandelten Netzberechnungs-Verfahren, in der nur Spannungsquellen, Stromquellen und Wechselstromwiderstände zugelassen sind, berechnen zu können, werden die Transistoren durch Ersatzschaltbilder ersetzt. In den Datenbüchern der Transistor-Hersteller werden die Y-Parameter oder die H-Parameter angegeben, wobei die Kleinschrift bevorzugt wird. Als Ersatzschaltbilder werden die in den Bildern 10.6 und 10.10 angegebenen U-Vierpole verwendet: Die Vierpolparameter von Vierpolen werden aus den Kennlinien abgelesen und sind im Niederfrequenzbereich praktisch reell, so dass die Striche unter den Bezeichnungen entfallen können. Im Hochfrequenzbereich sind sie komplex.

Bild 10.23 Ersatzschaltbilder von Transistoren mit y- und h-Parametern Für bestimmte Frequenzbereiche können auch physikalische Ersatzschaltbilder angegeben werden, die Stromquellen, ohmsche Widerstände und Kapazitäten enthalten. Beispiel:

Bild 10.24 Physikalisches Ersatzschaltbild eines MOSFET (Metal-Oxide-Semiconductor, Feldeffekt-Transistor)

186

10 Vierpoltheorie

10.3 Vierpolparameter passiver Vierpole Wie in den Anwendungsbeispielen im vorigen Abschnitt gezeigt, können die Vierpolparameter passiver Vierpole entweder mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze oder mit den Definitionsgleichungen ermittelt werden. Da sie für die Zusammenschaltung von Vierpolen in verschiedenen Formen gebraucht werden, müssen sie mit den Umrechnungsformeln entsprechend umgewandelt werden. In der folgenden Tabelle sind die Vierpolparameter für einige passive Vierpole zusammengestellt. (Z)

(Y) 1 Z 

1 Z

(A) 1 0



1 Z

1 Z

(Z) existiert nicht (Matrixelemente sind unendlich)

(H) Z 1

(C)

Z –1

1 0

0 1

(Y)

(Z)

(Y) existiert nicht (Matrixelemente sind unendlich) (A)

–1 Z

Z

Z

Z

Z

(H)

(C)

1

0

0

1

1 Z

–1

1 Z

1

–1

1 Z

1

0

(Y) 1 1  Z1 Z2 

1 1 Z1



1 Z2

(A)

(Z) 1 Z2

1 Z2

Z1

Z1

Z1

Z1 + Z2

(H) Z2 1

Z2 Z1

Z1 ˜ Z2 Z1  Z2 

Z1 Z1  Z2

(C) Z1 Z1  Z2

1 Z1

–1

1 Z1  Z2

1

Z2

10.3 Vierpolparameter passiver Vierpole

187 (Y)

1 Z1 

1

Z1 Z2

1 Z2



1 Z1

(A)

(Z) 1 Z1

1 1  Z1 Z2

Z1 + Z2

Z2

Z2

Z2

(H)

(C)

Z1

Z1

1

1 Z1  Z2

1

–1

1 Z2

Z2 Z1  Z2



Z1 ˜ Z2 Z1  Z2

(Y) Z2  Z3 K



mit K = Z1 Z2 + Z1 Z3 + Z2 Z3

(A) 1

Z1 Z2

Z2 K

Z1  Z2 K

Z1 + Z2

Z2

Z2

Z2 + Z3

(H)

Z1  Z3 

1 Z2

(Z) 

Z2 K

1

Z1 Z3 Z2

Z3 Z2

(C)

K Z2  Z3

Z2 Z 2  Z3

1 Z1  Z2



Z2 Z2  Z3

1 Z 2  Z3

Z2 Z1  Z2

Z3 

–

(Y) 1 1  Z1 Z2 

Z2 Z3

Z 1 1   2 Z1 Z3 Z1 Z3

1 Z2

1

Z2 Z1

Z1 ˜ Z2 Z1  Z2 

Z1 Z1  Z2

Z1 Z2 Z1  Z2

1 1  Z2 Z3

Z1 (Z 2  Z3 ) Z1  Z 2  Z3

Z1 Z3 Z1  Z2  Z3

Z1 Z3 Z1  Z 2  Z3

Z3 (Z1  Z2 ) Z1  Z2  Z3

(H) Z2

Z2 Z1  Z2

(Z) 

1 Z2

(A) 1

Z2 Z1  Z2

(C) Z1 Z1  Z2

Z1  Z2  Z3 Z1 (Z2  Z3 )

Z1  Z2  Z3 Z3 (Z1  Z2 )

Z3 Z 2  Z3



Z3 Z 2  Z3

Z 2 Z3 Z 2  Z3

188

10 Vierpoltheorie (Y)

(Z)

existiert nicht

existiert nicht

(H)

(C)

(A) –1

0

0

–1

0

1

0

–1

1

0

–1

0

(Y)

(Z)

1§ 1 1 ·  ¨ ¸ 2 ¨© Z1 Z2 ¸¹

1§ 1 1 ·  ¨ ¸ 2 ¨© Z1 Z2 ¸¹

1 (Z  Z2 ) 2 1

1 (Z  Z2 ) 2 1

1§ 1 1 ·  ¨ ¸ 2 ¨© Z1 Z2 ¸¹

1§ 1 1 ·  ¨ ¸ 2 ¨© Z1 Z2 ¸¹

1 (Z  Z2 ) 2 1

1 (Z  Z2 ) 2 1

(A)

(H)

Z1  Z2 Z1  Z2

2 ˜ Z1 ˜ Z2 Z1  Z2

2 Z1  Z2

Z1  Z2 Z1  Z2

(C)

2 ˜ Z1 ˜ Z2 Z1  Z2

Z1  Z2 Z1  Z2

2 Z1  Z2



Z1  Z2 Z1  Z2

2 Z1  Z2

Z1  Z2 Z1  Z2

2 ˜ Z1 ˜ Z2 Z1  Z2



Z1  Z2 Z1  Z2

(Y) Z1  Z2 2 Z1

 2 ˜ Z1 ˜ Z2



1 Z3

§ Z2 1 · ¨ 2  ¸ ¨Z  2˜Z ˜Z Z3 ¸¹ 1 2 © 1

Z1  Z2

§ Z2 1 · ¨ 2  ¸ ¨Z  2˜Z ˜Z ¸ Z 3¹ 1 2 © 1

2 Z1

 2 ˜ Z1 ˜ Z2



1 Z3

(Z) 2

Z1  Z1 ˜ Z3  Z2 2 ˜ Z1  Z3 2

Z1  Z2 2 ˜ Z1  Z3

2

Z1  Z2 2 ˜ Z1  Z3 2

Z1  Z1 ˜ Z3  Z2 2 ˜ Z1  Z3

10.4 Betriebskenngrößen von Vierpolen

189

10.4 Betriebskenngrößen von Vierpolen Das Wechselstrom-Übertragungsverhalten von Vierpolschaltungen wird durch die Betriebskenngrößen erfasst. Wie im einleitenden Abschnitt erwähnt, wird der Vorwärtsbetrieb durch die meist unerwünschte Rückwirkung überlagert, so dass sowohl für den Vorwärtsbetrieb als auch für den Rückwärtsbetrieb jeweils sechs Betriebskenngrößen definiert werden. Kenngrößen eines Vierpols im Vorwärtsbetrieb Befindet sich der aktive Zweipol (Sender, Generator) am Eingang und der passive Zweipol (Empfänger, Verbraucher) am Ausgang des Übertragungsvierpols, dann handelt es sich um die normale Vorwärtsbetriebsschaltung:

Bild 10.25 Vierpol in Vorwärtsbetrieb

Die sechs Kenngrößen des Vorwärtsbetriebs sind abhängig von den Vierpolparametern und dem Belastungsleitwert Ya und sind bei Leerlauf mit Ya = 0 und bei Kurzschluss mit Ya = f gleich bestimmten Vierpolparametern, wie bereits bei den Definitionsgleichungen der Vierpolparameter zu erkennen war: Betriebskenngröße

Leerlauf

Kurzschluss

Eingangsleitwert

Yin

I1 U1

C11

Y11

Eingangswiderstand

Zin

U1 I1

Z11

H11

Übertragungsleitwert vorwärts

Y üf

I2 U1

0

Y 21

Übertragungswiderstand vorwärts

Züf

U2 I1

Z21

1 A 21

0

Spannungsübersetzung vorwärts

V uf

U2 U1

C21

1 A11

0

Stromübersetzung vorwärts

V if

I2 I1

0

H 21



1 A12



1 A 22

Die Formeln für die Betriebskenngrößen bei normalem Betrieb, also bei beliebiger Belastung Ya, werden aus den Vierpolgleichungen und der Gleichung für die Belastung ermittelt.

190

10 Vierpoltheorie

Beispiel: Formeln für die Betriebskenngrößen in Leitwertform

Aus den Vierpolgleichungen in Leitwertform I1 = Y11 · U1 + Y12 · U2 I2 = Y21 · U1 + Y22 · U2

(10.10) (10.11)

und der Gleichung für den passiven Zweipol I2 = – Ya · U2 können die sechs Betriebskenngrößen in Leitwertform errechnet werden:

(10.12)

Eingangsleitwert: Mit Gl. (10.10) ist Y in

I1 U1

Y11  Y12 ˜

U2 U1

und mit den Gln. (10.11) und (10.12) I2 = Y21 · U1 + Y22 · U2 = – Ya · U2 Y21 · U1 = –(Y22 · Ya) · U2 ergibt sich U2 U1



Y 21 Y 22  Y a

(10.13)

und damit Y12 ˜ Y 21 Y 22  Y a

(10.14)

Y in

Y11 

Y in

Y11 ˜ Y 22  Y12 ˜ Y 21  Y11 ˜ Y a Y 22  Y a

Y in

det Y  Y11 ˜ Y a Y 22  Y a

mit det Y = Y11 · Y22 – Y12 · Y21

Der Eingangsleitwert ist bei Leerlauf am Ausgang mit Ya = 0: Y in

det Y Y 22

C11

(10.15)

Kurzschluss am Ausgang mit Ya = f: Yin = Y11

Eingangswiderstand: Zin

1 Y in

Y 22  Y a det Y  Y11 ˜ Y a

Der Eingangswiderstand ist bei Leerlauf am Ausgang mit Ya = 0:

Zin

Y 22 det Y

Z11

(10.16)

Kurzschluss am Ausgang mit Ya = f:

Zin

1 Y11

H11

10.4 Betriebskenngrößen von Vierpolen

191

Übertragungsleitwert vorwärts: Aus Gl. (10.11) ergibt sich U I2 Y üf Y 21  Y 22 ˜ 2 U1 U1 und mit Gl. (10.13) Y 22 ˜ Y 21 Y 22  Y a

Y üf

Y 21 

Y üf

Y 21 ˜ Y 22  Y 21 ˜ Y a  Y 22 ˜ Y 21 Y 22  Y a

Y üf

Y 21 ˜ Y a Y 22  Y a

(10.17)

Der Übertragungsleitwert vorwärts ist bei Leerlauf am Ausgang mit Ya = 0: Yüf = 0

Kurzschluss am Ausgang mit Ya = f: Yüf = Y21 = 

1 A12

Übertragungswiderstand vorwärts: Aus Gl. (10.10) ergibt sich I1 U2

Y11 ˜

U1  Y12 U2

und mit Gl. (10.13) Y 22  Y a  Y12 Y 21

I1 U2

Y11 ˜

I1 U2

Y ˜ Y  Y12 ˜ Y 21  Y11 ˜ Y a  11 22 Y 21

und mit Y11 · Y22 – Y12 · Y21 = det Y Z üf

U2 I1



Y 21 det Y  Y11 ˜ Y a

(10.18)

Der Übertragungswiderstand vorwärts ist bei Leerlauf am Ausgang mit Ya = 0: Züf = 

Y 21 det Y

Z21

1 A 21

Kurzschluss am Ausgang mit Ya = f: Züf = 0

192

10 Vierpoltheorie

Spannungsübersetzung vorwärts: Nach Gl. (10.13) ist V uf

U2 U1



Y 21 Y 22  Y a

(10.19)

Die Spannungsübersetzung vorwärts ist bei Leerlauf am Ausgang mit Ya = 0:

V uf



Y 21 Y 22

C21

Kurzschluss am Ausgang mit Ya = f:

1 A11

V uf

0

Der Betrag der Spannungsübersetzung wird häufig in Dezibel angegeben:

§U · 20 ˜ lg ¨ 2 ¸ in dB © U1 ¹ Stromübersetzung vorwärts: Mit den Gln. (10.10) und (10.11) ist Vuf

I2 I1

(10.20)

U2 U1 U ˜ 2 U1

Y 21  Y 22 ˜

Y 21 ˜ U1  Y 22 ˜ U 2 Y11 ˜ U1  Y12 ˜ U 2

Y11  Y12

und mit Gl. (10.13) I2 I1

§ Y 21 · Y 21  Y 22 ˜ ¨  ¸ © Y 22  Y a ¹ § Y 21 · Y11  Y12 ˜ ¨  ¸ © Y 22  Y a ¹

I2 I1

Y 21 ˜ Y 22  Y 21 ˜ Y a  Y 22 ˜ Y 21 Y11 ˜ Y 22  Y11 ˜ Y a  Y12 ˜ Y 21

und mit Y11 ˜ Y 22  Y12 ˜ Y 21 V if

I2 I1

det Y

Y 21 ˜ Y a det Y  Y11 ˜ Y a

(10.21)

Die Stromübersetzung vorwärts ist bei Leerlauf am Ausgang mit Ya = 0:

Kurzschluss am Ausgang mit Ya = f: Y 21 1 Vif = 0 V if H 21  A 22 Y11 Mit Hilfe der Umrechnungsformeln für Vierpolparameter in der Tabelle auf S. 181 können die Y-Parameter in den hergeleiteten Formeln für die Betriebskenngrößen durch die anderen Vierpolparameter ersetzt werden. Am Ende dieses Abschnitts sind sämtliche Formeln für die Betriebskenngrößen in Abhängigkeit von allen Vierpolparametern zusammengestellt.

10.4 Betriebskenngrößen von Vierpolen

193

Kenngrößen eines Vierpols im Rückwärtsbetrieb Beim Rückwärtsbetrieb eines Vierpols, der die Rückwirkung eines Ausgangssignals auf den Eingang erfasst, befindet sich der aktive Zweipol am Ausgang und der passive Zweipol am Eingang des Vierpols:

Bild 10.26 Vierpol in Rückwärtsbetrieb

Die sechs Kenngrößen des Rückwärtsbetriebs sind abhängig von den Vierpolparametern und dem Belastungsleitwert Yi und sind bei Leerlauf mit Yi = 0 und bei Kurzschluss mit Yi = f gleich bestimmten Vierpolparametern, wie bereits bei den Definitionsgleichungen der Vierpolparameter zu erkennen war: Betriebskenngröße

Leerlauf

Kurzschluss

Ausgangsleitwert

Y out

I2 U2

H22

Y22

Ausgangswiderstand

Zout

U2 I2

Z22

C22

Übertragungsleitwert rückwärts

Y ür

I1 U2

0

Y12

Übertragungswiderstand rückwärts

Zür

U1 I2

Z12

0

Spannungsrückwirkung

V ur

U1 U2

H12

0

Stromrückwirkung

Vir

I1 I2

0

C12

Die Formeln für die Betriebskenngrößen in Rückwärtsbetrieb brauchen nicht wie beim Vorwärtsbetrieb berechnet zu werden, weil die beiden Betriebsschaltungen und die drei Gleichungen in Leitwertform identisch sind, wenn in der Vorwärtsschaltung (Bild 10.25) und in den Gln. (10.10) bis (10.21) die Indizes 1 durch 2, 2 durch 1 und a durch i ersetzt werden: Die Vorwärtsbetriebsschaltung (Bild 10.25) mit den ersetzten Indizes ist dann nur seitenverkehrt die Rückwärtsbetriebsschaltung (Bild 10.26).

194

10 Vierpoltheorie

Die drei Gleichungen (10.10) bis (10.12) mit den ersetzten Indizes lauten:

I2

Y 22 ˜ U 2  Y 21 ˜ U1

I1

Y i ˜ U1

I1

Y12 ˜ U 2  Y11 ˜ U1 Das sind die den Rückwärtsbetrieb bestimmenden drei Gleichungen mit den Eingangsgrößen U2 und I2 und den Ausgangsgrößen U1 und I1. Die Formeln für die Betriebskenngrößen in Rückwärtsbetrieb mit Y-Parametern können deshalb aus den Formeln der Betriebskenngrößen in Vorwärtsbetrieb mit Y-Parametern übernommen werden, indem ebenfalls die Indizes vertauscht werden. Auch die Determinante der Y-Parameter, die in den Formeln vorkommen, bleibt durch Ersetzen der Indizes unverändert: det Y = Y11 · Y22 – Y12 · Y21 = Y22 · Y11 – Y21 · Y12 Ausgangsleitwert: In Gl. (10.15) Y in

det Y  Y11 ˜ Y a Y 22  Y a

werden die Indizes 1 durch 2, 2 durch 1 und a durch i ersetzt: Y out

det Y  Y 22 ˜ Y i . Y11  Y i

Der Ausgangsleitwert ist bei Leerlauf am Eingang mit Yi = 0:

Y out

det Y Y11

H 22

(10.22)

Kurzschluss am Eingang mit Yi = f:

Yout = Y22

Ausgangswiderstand: Mit Gl. (10.16) ergibt sich

Zout

Y11  Y i det Y  Y 22 ˜ Y i

Der Ausgangswiderstand ist bei Leerlauf am Eingang mit Yi = 0: Zout

Y11 det Y

Z22

(10.23)

Kurzschluss am Eingang mit Yi = f: Zout =

1 Y 22

C22

Übertragungsleitwert rückwärts: Mit Gl. (10.17) ergibt sich Y ür

Y12 ˜ Y i Y11  Y i

Der Übertragungsleitwert rückwärts ist bei Leerlauf am Eingang mit Yi = 0: Yür = 0

(10.24)

Kurzschluss am Eingang mit Yi = f: Yür = Y12

10.4 Betriebskenngrößen von Vierpolen

195

Übertragungswiderstand rückwärts: Mit Gl. (10.18) ergibt sich Z ür



Y12 det Y  Y 22 ˜ Y i

(10.25)

Der Übertragungswiderstand rückwärts ist bei Kurzschluss am Eingang mit Yi = f: Leerlauf am Eingang mit Yi = 0: Z ür



Y12 det Y

Z12

Zür = 0

Spannungsrückwirkung: Mit Gl. (10.19) ergibt sich V ur



Y12 Y11  Y i

Die Spannungsrückwirkung ist bei Leerlauf am Eingang mit Yi = 0:

V ur

Y  12 Y11

H12

(10.26)

Kurzschluss am Eingang mit Yi = f:

Vur = 0

Stromrückwirkung:

Mit Gl. (10.21) ergibt sich V ir

Y12 ˜ Y i det Y  Y 22 ˜ Y i

Die Stromrückwirkung ist bei Leerlauf am Eingang mit Yi = 0: Vir = 0

(10.27)

Kurzschluss am Eingang mit Yi = f: V ir

Y12 Y 22

C12

Mit Hilfe der Umrechnungsformeln für die Vierpolparameter auf S. 181 können wieder die Y-Parameter in den hergeleiteten Formeln durch die anderen Vierpolparameter ersetzt werden. Sämtliche Formeln für die Betriebskenngrößen in Vorwärts- und Rückwärtsbetrieb sind in den folgenden Tabellen zusammengefasst. Die Formeln für die Betriebskenngrößen des Rückwärtsbetriebs lassen sich nur aus den Formeln für den Vorwärtsbetrieb durch Ersetzen der Indizes herleiten, wenn die Y- oder die Z-Parameter in den Formeln vorkommen, wie in der folgenden Tabelle überprüft werden kann. Bei den Formeln mit den anderen Parametern führt das Ersetzen der Indizes zu falschen Formeln, weil auch die entsprechenden Vierpolgleichungen des Vorwärtsbetriebs nicht durch Ersetzen der Indizes zu den Vierpolgleichungen des Rückwärtsbetriebs führen. Das Überführen der Formeln ist nur deshalb möglich, weil hinsichtlich des Stroms I2 „symmetrische Strompfeile“ vereinbart wurden.

196

10 Vierpoltheorie

Kenngrößen des beschalteten Vierpols im Vorwärtsbetrieb (Y)

(Z)

(H)

(C)

(A)

Yin

detY + Y11· Y a Y 22 + Y a

1  Z22 ˜ Y a H 22  Y a Z11  Y a ˜ det Z det H  H11 ˜ Y a

C11  Y a ˜ det C 1  C 22 ˜ Y a

A 21  A 22 ˜ Y a A11  A12 ˜ Y a

Zin

Y 22 + Y a detY + Y11· Y a

Z11  Y a ˜ det Z det H  H11 ˜ Y a 1  Z22 ˜ Y a H 22  Y a

1  C 22 ˜ Y a C11  Y a ˜ det C

A11  A12 ˜ Y a A 21  A 22 ˜ Y a

Yüf

Y 21· Y a Y 22 + Y a

 Z21 ˜ Y a H 21 ˜ Y a Z11  Y a ˜ det Z det H  H11 ˜ Y a

C 21 ˜ Y a 1  C22 ˜ Y a

Ya A11  A12 ˜ Y a

Züf

Y 21 det Y  Y11 ˜ Y a

C 21 C11  Y a ˜ det C

1 A 21  A 22 ˜ Y a

Vuf

 Y 21 Y 22 + Y a

C 21 1  C 22 ˜ Y a

1 A11  A12 ˜ Y a

Vif

Y 21 ˜ Y a detY + Y11 Ƴ Y a

 C 21 ˜ Y a C11  Y a ˜ det C

 Ya A 21  A 22 ˜ Y a

Z21 1  Z22 ˜ Y a

H 21 H 22  Y a

Z21  H 21 Z11  Y a ˜ det Z det H  H11 ˜ Y a  Z21 ˜ Y a 1  Z22 ˜ Y a

H 21 ˜ Y a H 22  Y a

Kenngrößen des beschalteten Vierpols im Rückwärtsbetrieb (Y)

(Z)

(H)

(C)

(A)

Yout

detY + Y 22 · Yi Y11 + Yi

1  Z11 ˜ Y i Z22  Y i ˜ det Z

C11  Y i H 22  Y i ˜ det H det C  C 22 ˜ Y i 1  H11 ˜ Y i

A 21  A11 ˜ Y i A 22  A12 ˜ Y i

Zout

Y11 + Yi detY + Y 22 · Yi

Z22  Y i ˜ det Z 1  Z11 ˜ Y i

det C  C 22 ˜ Y i 1  H11 ˜ Y i C11  Y i H 22  Y i ˜ det H

A 22  A12 ˜ Y i A 21  A11 ˜ Yi

Yür

Y12 · Yi Y11 + Y i

 Z12 ˜ Y i Z22  Y i ˜ det Z

 H12 ˜ Y i 1  H11 ˜ Y i

C12 ˜ Y i det C  C 22 ˜ Y i

 Y i ˜ det A A 22  A12 ˜ Y i

Zür

Y12 det Y  Y 22 ˜ Y i

Z12 1  Z11 ˜ Yi

H12 H 22  Y i ˜ det H

 C12 C11  Y i

det A A 21  A11 ˜ Y i

Vur

 Y12 Y11 + Yi

Z12 Z22  Y i ˜ det Z

H12 1  H11 ˜ Y i

 C12 det C  C 22 ˜ Y i

det A A 22  A12 ˜ Yi

Vir

Y12 ˜ Y i detY + Y 22 Ƴ Y i

 Z12 ˜ Y i 1  Z11 ˜ Y i

 H12 ˜ Y i H 22  Y i ˜ det H

C12 ˜ Y i C11  Y i

 Y i ˜ det A A 21  A11 ˜ Y i

10.4 Betriebskenngrößen von Vierpolen

197

Anwendungsbeispiele: 1. Für den im Bild 10.27 gezeichneten passiven Vierpol sollen sämtliche VorwärtsBetriebskenngrößen bei Leerlauf und Kurzschluss am Ausgang ermittelt werden.

Bild 10.27 Anwendungsbeispiel 1

Lösung: Bei der gezeichneten Schaltung handelt es sich um einen *-Vierpol II mit 1 Z1 = RLr + jZLr und Z2 = , 1  jZC p R Cp

dessen Vierpolparameter in der Tabelle auf S. 187 zu finden sind. Die Vorwärts-Betriebskenngrößen bei Leerlauf und Kurzschluss sind in der Tabelle im Abschnitt 10.4 zusammengestellt. Leerlauf-Betriebskenngrößen:

Y in

Zin

C11

Z11

1 Z1  Z2

Z1  Z2

1

R Lr  jZL r 

Z üf

Yüf = 0

V uf

V uf

C21

1 A11

1 1  jZC p R Cp

R Lr  jZL r 

1 Z 1 1 Z2

1 1  jZC p R Cp

Z21

1 1  Z1 ˜ Y 2

Z2

1 1  jZC p R Cp 1

§ 1 ·  jZC p ¸ 1   R Lr  jZL r ˜ ¨ ¨ R Cp ¸ © ¹

1 § · § R Lr L ·  Z2 L r C p ¸  jZ ˜ ¨ R Lr Cp  r ¸ ¨¨ 1  ¸ ¨ R Cp R Cp ¸¹ © ¹ ©

(vgl. Band 2, Abschnitt 4.4, S. 67–69 Beispiel 3 bzw. S.73–74 Beispiel 7) Vif = 0 Kurzschluss-Betriebskenngrößen: Yin

Y11

1 Z1

Y üf

Y 21



Vif

H 21

1

1 Z1

1 R Lr  jZLr 

1 R Lr  jZL r

Zin

H11 Züf

Z1 0

R Lr  jZL r V uf

0

198

10 Vierpoltheorie 2. Für einen stabilisierten Transistor-Verstärker in Emitterschaltung mit einem Bipolartransistor BC 237 sollen der Eingangswiderstand, die Spannungsverstärkung, die Stromverstärkung und der Ausgangswiderstand berechnet werden, wenn die Belastung Ra = 3k: beträgt.

Bild 10.28 Anwendungsbeispiel 2: Transistorverstärker In der Schaltungstechnik werden die Vierpolparameter der Transistoren mit kleinen Buchstaben bezeichnet. Außerdem werden sie nicht unterstrichen, wenn sie im Anwendungsbereich (Niederfrequenzbereich) praktisch reell sind. Im Hochfrequenzbereich werden die y -Parameter und S-Parameter verwendet, die komplex sind. Die S-Parameter werden hier nicht behandelt. Für den Transistor BC237 betragen die he-Parameter: Kurzschluss-Eingangswiderstand (input) h11e = hi = rBE = 2,7k: Leerlauf-Spannungsrückwirkung (reverse) h12e = hr = 1,5 · 10–4 Kurzschluss-Stromverstärkung (forward) h21e = hf = E0 = 220 Leerlauf-Ausgangsleitwert (output) h22e = ho = 1/rCE = 18PS Neben der Indizierung, die durch die Matrizenrechnung bestimmt ist, werden auch Indizierungen i, r, f, o verwendet, die mit den Betriebskenngrößen zusammenhängen (vorzugsweise im anglo-amerikanischen Schrifttum). Die Transistor-Vierpolparameter sind meistens in h-Form, aber auch in y-Form in den Datenblättern gegeben. Sie können aber auch grafisch aus den Kennlinienfeldern abgelesen werden, indem Bereiche linearisiert und Steigungsmaße berechnet werden. Lösung: Die Kondensatoren mit den hohen Kapazitätswerten sind in dem Frequenzbereich, in dem die Schaltung betrieben wird, zu vernachlässigen, weil sie jeweils praktisch einen Kurzschluss bedeuten; der Emitterwiderstand RE braucht also nicht beachtet zu werden. Auch die Gleichspannungsquelle mit der Spannung UB stellt für den Wechselstrombetrieb einen Kurzschluss dar, so dass das Wechselstrom-Ersatzschaltbild in Vierpolzusammenschaltung gezeichnet werden kann:

Bild 10.29 Anwendungsbeispiel 2: Ersatzschaltbild

10.4 Betriebskenngrößen von Vierpolen

199

Wenn die Vierpolparameter der Verstärkerschaltung zu berechnen wären, müssten die Basisspannungsteiler-Widerstände RB1 und RB2 und der Kollektorwiderstand RC mit dem Transistor zusammengefasst werden, wobei drei Vierpole in Kette geschaltet sind (siehe Abschnitt 10.7.6, Beispiel 3, S. 245–246). Da nur die Betriebskenngrößen berechnet werden sollen, können die Matrizenoperationen entfallen. Eingangswiderstand: Zin

U1 I1

1 1 1  R B Zin T 1 1 1  R B1 R B2

mit R B

1 1 1  50 k: 7,5k:

RB

6,52 k:

und dem Eingangswiderstand des belasteten Transistors

Zin

det h e  h11e ˜ Y ages T

mit

h 22e  Y ages det he = h11e · h22e – h12e · h21e det he = 2,7 · 103: · 18 · 10–6S – 1,5 · 10–4 · 220 = 15,6 · 10–3

und

Yages =

ZinT

Zin

1 1  RC Ra

1 1  4,7 k: 3 k:

546 PS

15,6 ˜ 103  2,7 ˜ 103 : ˜ 546 ˜ 106 S 18 ˜ 106 S  546 ˜ 106 S

1 1 1  6,52k: 2,64k:

2,64k:

1,88k:

Der Kollektorwiderstand RC, der zum Belastungswiderstand Ra parallel liegt, wird als Gesamtbelastung Yages des Transistors aufgefasst. Spannungsverstärkung: V uf



h 21e det h e  h11e ˜ Y ages

V uf



220 15,6 ˜ 103  2,7 ˜ 103 : ˜ 546 ˜ 106 S

148

bzw. in Dezibel: Vuf 20 ˜ lg | 148 | 43,4dB. Das Minuszeichen bedeutet, dass die Ausgangsspannung gegenüber der Eingangsspannung eine Phasenverschiebung von 180° hat; beide Spannungen verlaufen gegenphasig.

200

10 Vierpoltheorie Stromverstärkung: V if

I2 I1

mit

I2 I 2T

RC RC  Ra

I2 I 2T

4,7k: 4,7k:  3k:

I 2T I1T

h 21e ˜ Y ages

und

und

I1T I 2T I 2 ˜ ˜ I1 I1T I 2T

(Stromteiler) 0,61

h 22e  Y ages

I 2T I1T

18 ˜ 106 S  546 ˜ 106 S

I1T I1

RB (Stromteiler) R B  Zin T

I1T I1

6,52 k: 6,52 k:  2,64 k:

220 ˜ 546 ˜ 106 S

= 213

0,71

Vif = 0,61 · 213 · 0,71 = 92,2 Ausgangswiderstand: Zout

1 1 1  R C Zout T

mit dem Ausgangswiderstand des belasteten Transistors

ZoutT mit

1  h11e ˜ Y i h 22e  Y i ˜ det h e Yi

1 RB

1 6,52k:

1  2,7 ˜ 103 : ˜ 153,3 ˜ 106 S 18 ˜ 106  153,3 ˜ 106 S ˜ 15,6 ˜ 103

69,3k:

153,3 ˜ 106 S

Für den Rückwärtsbetrieb ist der Basisspannungsteiler die Belastung für den Transistor.

Zout

1 1 1  4,7k: 69,3k:

4,4k:

Der Eingangswiderstand eines Transistors in Emitterschaltung, d. h. ohne Berücksichtigung des Basisspannungsteilers, ist praktisch gleich dem Kurzschluss-Eingangswiderstand h11e und beträgt 300: bis 3k:. Der Ausgangswiderstand des Transistors in Emitterschaltung ohne Kollektorwiderstand nimmt Werte von 10k: bis 100k: an.

10.4 Betriebskenngrößen von Vierpolen

201

3. Für den Transistor BC 237 sind die Vierpolparameter in Emitterschaltung gegeben: h11e = 2,7k: h12e = 1,5 · 10–4 h21e = 220 h22e = 18PS Dieser Transistor soll zunächst in der Kollektorschaltung (Bild 10.30) und dann in der Basisschaltung (Bild 10.31) verwendet werden.

Bild 10.30 Kollektorschaltung mit Wechselstrom-Ersatzschaltung

Bild 10.31 Basisschaltung mit Wechselstrom-Ersatzschaltung Für diese Transistorschaltungen sind die (hc)-Parameter und die (hb)-Parameter notwendig, die aus den (he)-Parametern mit folgenden Formeln berechnet werden sollen:

 hc

1  h12e · § h11e ¨ ¸ (h 1) h 22e ¹   21e ©

 hb

§ h11e ¨1  h 21e ¨ ¨  h 21e ¨1  h 21e ©

det h e  h12e · 1  h 21e ¸ ¸ ¸ h 22e 1  h 21e ¸¹

Diese Umrechnungsformeln für Transistor-Vierpolparameter werden im Abschnitt 10.8 hergeleitet. Anschließend sollen die Betriebskenngrößen Eingangs- und Ausgangswiderstand und Spannungs- und Stromverstärkung ohne Belastung Ya berechnet werden, wobei für die Vorwärtsbetriebskenngrößen die ohmschen Widerstände am Eingang nicht berücksichtigt werden sollen. Auf Grund der Rechenergebnisse soll nachgewiesen werden, dass die beiden Schaltungen komplementär sind.

202

10 Vierpoltheorie Lösung:

 hc

§ 2,7 ˜ 103 : 1  1,5 ˜ 104 · ¨ ¸ 6 © (220  1) 18 ˜ 10 S ¹

 hc

1 · § 2,7k: ¨ ¸ ©  221 18 PS ¹

und mit

mit det hc = 221

det he = h11e · h22e – h12e · h21e det he = 2,7 · 103: · 18 · 10–6 – 1,5 · 104 · 220 = 15,6 · 10–3

§ 2,7 ˜ 103 : 15,6 ˜ 103  1,5 ˜ 104 · ¨ ¸ § 12, 2: 69,9 ˜ 106 · 1  220 1  220 ¸ = ¨ (h b ) ¨ ¸  3 ¨ 220 ¸ © 995 ˜ 10 81, 4 nS ¹ 18 ˜ 106 S ¨ ¸ 1  220 © 1  220 ¹ –6 mit det hb = 70,5 · 10

Betriebskenngrößen der Kollektorschaltung: Zin Zout V uf V if

det hc  h11c ˜ 1/ R E h 22c  1/R E

221  2,7k:/10k: 18 PS  1/10 k:

1,88 M: (sehr hoch)

1  2,7k:/50 k: 18 PS  221/50k:

237: (niedrig)

1  h11c ˜ 1/ R B h 22c  1/R B ˜ det h c 

h 21c



det hc  h11c /R E h 21c /R E

h 22c  1/R E

 221 221  2,7k:/10 k:

221/10 k: 18 PS  1/10 k:

0,999

(praktisch 1)

187 (hoch)

Betriebskenngrößen der Basisschaltung:

Zin Zout

det h b  h11b /R C h 22b  1/R C

70,5 ˜ 106  12,2:/10k: 81,4nS  1/10k:

12,9: (niedrig)

1  h11b / R E

1  12,2:/5k:

h 22b  1/R E ˜ det h b

81,4nS  70,5 ˜ 106 /5k:

h 21b

V uf



Vif

h 21b /R C h 22b  1/R C

det h b  h11b /R C



 995 ˜ 103 70,5 ˜ 106  12,2/10k:

995 ˜ 103 /10k: 81,4 nS  1/10k:

 0,994

Vergleich der beiden komplementären Schaltungen: Kollektorschaltung Eingangswiderstand sehr hoch Ausgangswiderstand niedrig Spannungsübersetzung praktisch 1 Stromübersetzung hoch

10,5M: (sehr hoch)

771 (hoch) (praktisch – 1)

Basisschaltung niedrig sehr hoch hoch praktisch – 1

10.5 Leistungsverstärkung und Dämpfung

203

10.5 Leistungsverstärkung und Dämpfung Leistungsübertragung des Übertragungsvierpols vom aktiven Zweipol auf den passiven Zweipol Ein Übertragungsvierpol nimmt am Eingang eine bestimmte Wechselstromleistung vom aktiven Zweipol auf und gibt am Ausgang eine bestimmte Wechselstromleistung an den passiven Zweipol ab. Genutzt werden kann nur die Wirkleistung im Verbraucher am Vierpolausgang. Die Übertragung der Leistung vom aktiven Zweipol auf den mit Ya belasteten Vierpol ist gleichbedeutend mit der Übertragung der Leistung vom aktiven Zweipol auf den ErsatzZweipol, der dem belasteten Vierpol entspricht. Der Ersatzleitwert des belasteten Vierpols ist der Eingangsleitwert Yin, wie im Abschnitt 10.4 bereits rechnerisch nachgewiesen wurde. Der aktive Zweipol wird also hinsichtlich des Vierpoleingangs mit dem Eingangsleitwert belastet:

Bild 10.32 Leistungsübertragung am Vierpoleingang

Genauso kann die Leistungsübertragung am Vierpolausgang auf die Belastung Ya durch eine Leistungsübertragung von einem aktiven Ersatz-Zweipol auf die Belastung Ya beschrieben werden, indem von der Stromquelle und dem Vierpol eine Ersatz-Stromquelle gebildet wird:

Bild 10.33 Leistungsübertragung am Vierpolausgang

204

10 Vierpoltheorie

Nachgewiesen wird die Richtigkeit der Ersatzschaltung mit Hilfe der Zweipoltheorie. Der Ersatz-Innenleitwert Yiers ist gleich dem wirksamen Leitwert des Vierpols im Rückwärtsbetrieb, dem Ausgangsleitwert Yout:

Bild 10.34 Ermittlung des Ersatz-Innenleitwerts

Der Ersatz-Quellstrom Iqers wird durch Kurzschluss am Vierpolausgang ermittelt und kann in Abhängigkeit von Y-Parametern angegeben werden:

Bild 10.35 Ermittlung der Ersatz-Stromquelle

In der Ersatzschaltung sind Quellstrom und Kurzschlussstrom entgegengerichtet: I qers

mit

(I 2 ) U 2

§ I2 · ¨ ¸ © U1 ¹ U 2

0

0

Y 21 ˜ U1

 Y üf Y

a f

Y 21

(siehe Abschnitt 10.2, S. 175)

Nun wird die Eingangsspannung U1 durch den Quellstrom Iq ersetzt: Iq

Y i ˜ U1  I1

mit

§ I1 · ¨ ¸ © U1 ¹ U 2

0

 Y in Y

a f

Y11

oder I1 = Y11 · U1 Iq = Yi · U1 + Y11 · U1 = (Yi + Y11) · U1

(siehe Abschnitt 10.2, S. 175)

10.5 Leistungsverstärkung und Dämpfung

205

Damit ist

1 ˜I Y i  Y11 q

U1 und

Iqers



Y 21 ˜I Y i  Y11 q

(10.28)

Da die Leistungsübertragung am Vierpoleingang und am Vierpolausgang jeweils eine Leistungsübertragung von einem aktiven auf einen passiven Zweipol darstellt, können die im Band 2, Abschnitt 4.7.4 für den Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle hergeleiteten Formeln für die Wirkleistung Pa übernommen werden: Pa = U2 · Ga = I2 · Ra

(10.29)

und

Pa

Iq 2 ˜ G a (G i  G a )2  (Bi  Ba )2

(vgl. Gl. (4.283) und Bild 4.173 im Band 2)

Bild 10.36 Grundstromkreis

Bei Anpassung muss die Bedingung nach den Gln. (4.284) bis (4.286) *

Ya = Y i

d. h. Ga = Gi und Ba = – Bi erfüllt sein. Die Wirkleistung Pa ist dann maximal nach Gl. (4.287): Pa max

Iq 2 4 ˜ Gi

(10.30)

Die maximale Wirkleistung wird auch verfügbare Leistung Pv genannt. Genauso wie im Grundstromkreis gibt es bei einer Vierpolschaltung eine Anpassung am Vierpoleingang und eine Anpassung am Vierpolausgang.

206

10 Vierpoltheorie

Leistungsverstärkung und Dämpfung Bei aktiven Vierpolschaltungen wird für die Beurteilung der Leistungsübertragung die Leistungsverstärkung Vp definiert: Die Leistungsverstärkung (Klemmen-Leistungsverstärkung, power gain) ist gleich dem Verhältnis der Wirkleistung am Vierpolausgang Pout zur Wirkleistung am Vierpoleingang Pin: Pout (10.31) Vp . Pin Die Leistungsverstärkungen werden meistens in Dezibel (dB) angegeben: §P · (10.32) Vp 10 ˜ lg ¨ out ¸ in dB. © Pin ¹ Bei passiven Vierpolen wird der Kehrwert der Leistungsverstärkung als Leistungskenngröße verwendet und Dämpfung genannt. Die Leistungsverstärkung kann durch andere Betriebskenngrößen im Vorwärtsbetrieb berechnet werden: Vp

Pout Pin

mit

Pout = U 2 2 ˜ G a

I 22 ˜ R a

(nach Bild 10.33 und Gl. (10.29))

mit

Pin = U12 ˜ G in

I12 ˜ R in

(nach Bild 10.32 und Gl. (10.29))

2

Vp Vp

§ U2 · Ga ¨ ¸ ˜ © U1 ¹ G in 2 G V uf ˜ a G in

2

§ I2 · R a ¨ ¸ ˜ © I1 ¹ R in

mit Gin = Re ^Y in `

(10.33)

oder Ra mit Rin = Re ^Zin ` . (10.34) R in Sind der Eingangswiderstand und der Belastungswiderstand reell, dann kann die Leistungsverstärkung auch aus der Strom- und Spannungsverstärkung errechnet werden: 2

Vp

V if

Vp

I2 I2 ˜ R a ˜ I1 I1 ˜ R in

˜

I2 U2 ˜ I1 U1

V if ˜ V uf

(10.35)

Anwendungsbeispiel: Berechnung der Leistungsverstärkung des Transistor-Verstärkers in Emitterschaltung im Anwendungsbeispiel 2 im Abschnitt 10.4, S. 198–200 (Bild 10.28): Vp

V uf

2

˜

Ga G in

1482 ˜

1/3k: 1/1,88k:

bzw. in Dezibel Vp = 10 · lg 13 727 = 41,38dB

13727

10.5 Leistungsverstärkung und Dämpfung

207

oder Vp = | V if |2 ˜

Ra

92,22 ˜

R in

3k: 1,88k:

13565

bzw. in Dezibel Vp = 10 · lg 13565 = 41,32dB oder Vp = | V if | ˜ | V uf |

92,2 ˜ 148

13646

bzw. in Dezibel Vp = 10 · lg 13646 = 41,35dB.

Da die Betriebskenngrößen Vuf, Vif, Yin und Zin in Abhängigkeit von den Vierpolparametern angegeben werden können (siehe Tabelle auf S. 196), lassen sich auch die Formeln für Vp mit den verschiedenen Vierpolparametern entwickeln. Vp-Formel mit H-Parametern: Mit

V uf

H 21 det H  H11 ˜ Y a

und

G in

­ H 22  Y a ½ Re ^Y in ` = Re ® ¾ ¯ detH  H11 ˜ Y a ¿

ist Vp

V uf

2

˜

Ga G in

2

H 21 ˜ G a 2 °­ H 22  Y a °½ det H  H11 ˜ Y a ˜ Re ® ¾ °¯ detH  H11 ˜ Y a ¿° 2

Vp

mit

H 21 ˜ G a 2½ ­ detH  H11 ˜ Y a ° ° Re ®(H 22 +Y a ) ˜ ¾ detH  H11 ˜ Y a ° ° ¿ ¯

| z |2 z

z · z* = | z |2 bzw.

z*

2

H 21 ˜ G a (10.36) * Re (H 22 +Y a ) ˜ ª (detH)*  H11 ˜ Y*a º ¬ ¼ Sind die H-Parameter reell, dann vereinfacht sich die Formel für die Leistungsverstärkung: Vp

Vp

^

`

H 212 ˜ G a (H 22 +Y a ) ˜ (det H  H11 ˜ Y a )

(10.37)

und mit ohmscher Belastung Ya = Ga = 1/Ra ergibt sich Vp

H 212 ˜ R a  R a ˜ H 22 +1 ˜  R a ˜ det H + H11

(10.38)

208

10 Vierpoltheorie

Vp-Formel mit Y-Parametern: Mit

V uf

Y 21 Y 22  Y a

und

­ det Y  Y11 ˜ Y a ½ Re ^Y in ` = Re ® ¾ ¯ Y 22  Y a ¿

G in

ist Vp

V uf

2

˜

Ga G in

2

Y 21 ˜ G a Y 22  Y a

2

­ det Y  Y11 ˜ Y a ½ ˜ Re ® ¾ °¯ Y 22  Y a °¿

2

Vp

mit

Y 21 ˜ G a 2 ­° Y  Y a ½° Re ® det Y  Y11 ˜ Y a ˜ 22 ¾ Y 22  Y a ° ¯° ¿

| z |2 z

z · z* = | z |2 bzw.

z*

2

Vp

Y 21 ˜ G a

^



`

und

G in

Re  det Y  Y11 ˜ Y a ˜ Y*22  Y*a

Vp-Formel mit A-Parametern: Mit 1 V uf A11  A12 ˜ Y a

(10.39)

­ A  A 22 ˜ Y a ½ Re ^Y in ` = Re ® 21 ¾ ¯ A11  A12 ˜ Y a ¿

ist

Vp

Vp

mit

Vp

V uf

2

˜

Ga G in

Ga A11  A12 ˜ Ya

2

­ A  A 22 ˜ Y a ½ ˜ Re ® 21 ¾ ¯° A11  A12 ˜ Y a ¿°

Ga 2 ­° A  A12 ˜ Y a ½° Re ® A21  A 22 ˜ Y a ˜ 11 ¾ A11  A12 ˜ Y a ° °¯ ¿

z · z* = | z |2 bzw.

| z |2 z

z*

Ga

^



* * Re  A21  A 22 ˜ Y a ˜ A11  A12 ˜ Y*a

`

(10.40)

Für das Anwendungsbeispiel 2 im Abschnitt 10.4 (S. 198–200) werden im Abschnitt 10.7 (S. 245–246) die A-Parameter des gesamten Verstärkers berechnet, so dass obiges Rechenergebnis für die Leistungsverstärkung mit Gl. (10.40) bestätigt werden kann.

10.5 Leistungsverstärkung und Dämpfung

209

Rechenbeispiele: 1. Für das Anwendungsbeispiel 2 im Abschnitt 10.4, S. 198–200 kann die Leistungsverstärkung auch gleich aus den gegebenen he-Parametern des Transistors errechnet werden, wobei zunächst nur die Leistungsverstärkung VpT des belasteten Transistors berechnet wird. Mit Gl. (10.37) und Yages = Gages = 546PS ist VpT

VpT VpT

h 21e 2 ˜ G ages (h 22e  G ages ) ˜ (det he  h11e ˜ G ages )

2202 ˜ 546PS (18PS  546PS) ˜ (15,6 ˜ 103  2,7k: ˜ 546PS) 31451

oder in Dezibel VpT

10 ˜ lg31451

44,98

Die Leistungsverstärkung des Transistors VpT

I 2T I1T

˜

U2 U1

wird durch die Widerstände reduziert, d. h. die Leistungsverstärkung der gesamten Stufe ist entsprechend der Stromverhältnisse geringer. Die Gl. (10.35) Vp

I2 U 2 ˜ I1 U1

wird durch Stromverhältnisse erweitert: Vp

I1T I 2T I 2 U 2 ˜ ˜ ˜ I1 I1T I 2T U1

Vp

I1T I 2 ˜ ˜ VpT I1 I2T

Vp

RB RC ˜ ˜ VpT R B  R inT R C  R a

Vp

0,71 ˜ 0,61 ˜ 31451

13622

oder in Dezibel Vp = 10 · lg 0,71 + 10 · lg 0,61 + 10 · lg 31451 Vp = – 1,49dB – 2,15dB + 44,98dB = 41,34dB

(10.41)

210

10 Vierpoltheorie 2. Ein HF-Transistor BFY 90 wird bei einer Frequenz f = 500MHz am Eingang und Ausgang mit Parallelschwingkreisen beschaltet, deren Induktivität Lp = 6,4nH und deren Leerlaufgüte Qp = 25 betragen.

Bild 10.37 Rechenbeispiel 2: HF-Verstärker 2.1 Zunächst sind die Leitwertparameter des Transistors aus einem Datenbuch zu entnehmen und gegebenenfalls zu interpretieren. 2.2 Dann ist für den im Bild 10.37 gezeichneten Transistorverstärker eine Ersatzschaltung anzugeben, wobei die Kapazitäten und die reellen Resonanzwiderstände und -leitwerte bei Leerlauf zu berechnen sind. 2.3 Anschließend sind die Spannungsverstärkung und die Leistungsverstärkung zu ermitteln. 2.4 Schließlich ist zu untersuchen, auf welche Werte sich die Güte des Eingangs- und Ausgangs-Resonanzkreises aufgrund des Transistors verändern und wie die Güte unter Umständen angehoben werden kann. Lösung: Zu 2.1 Bei einem Gleichstrom-Arbeitspunkt mit IC = 2mA und UCE = 5V werden in Datenbüchern für f = 500MHz folgende Leitwertparameter angegeben: Kurzschluss-Eingangsadmittanz:

gie = 16mS

bie = 12mS

Kurzschluss-Rückwärtssteilheit:

yre = 1,55mS

– Mre = 102°

Kurzschluss-Vorwärtssteilheit:

yfe = 45mS

– Mfe = 75°

Kurzschluss-Ausgangsadmittanz: goe = 190PS

boe = 6mS

Die Indizierung der Parameter aus dem anglo-amerikanischen Schrifttum bedeutet: i
 input, Eingang r  reverse, rückwärts f
 forward, vorwärts o  Output, Ausgang Die Indizes entsprechen den hier verwendeten Indizes der Matrizenrechnung: (ye )

§ y11e ¨ ¨y © 21e

y

(ye )

§ yie ¨ ¨y © fe

(ye )

§ 16mS  j ˜ 12mS 1,55mS ˜ e  j˜102º · ¨ ¸  j˜75º 190PS  j ˜ 6mS ¹ © 45mS ˜ e

· ¸ y ¸ 22e ¹ 12e

y · re ¸ y ¸ oe ¹

§ g11e  jb11e ¨ ¨ | y | ˜ e jM21e © 21e § gie  jbie ¨ ¨ | y | ˜e jMfe © fe

|y

|y

12e

g 22e re

g oe

| ˜ e jM12e · ¸  jb22e ¸ ¹

| ˜ e jMre · ¸  jboe ¸ ¹

10.5 Leistungsverstärkung und Dämpfung

211

Zu 2.2 Mit Gl. (4.142) im Band 2, S. 113 können die Werte der beiden Parallelschwingkreise berechnet werden:

Qp

Bkp

Rp

Gp

Zo L p

,

für den reellen Resonanzwiderstand ergibt sich Rp = Zo · Lp · Qp Rp = 2 · S · 500 · 106s–1 · 6,4nH · 25 = 502,6: d. h. Rp = 500: und Gp = 2mS. Mit Gl. (4.142) kann auch die notwendige Kapazität der Schwingkreise berechnet werden: Bkp Qp ZoCp R p Gp

Qp

25 Zo R p 2S ˜ 500 ˜ 106 s1 ˜ 502,6: Dieser Wert kann kontrolliert werden: Cp

fo

1

1

2S L p C p

2S 6,4nH ˜ 15,83pF

15,83pF | 16pF.

500MHz.

Die Kapazitäten im Basisspannungsteiler, in der Emitterzuleitung und in der Gleichspannungsversorgung stellen für hochfrequenten Betrieb einen Kurzschluss dar, so dass entsprechende ohmsche Widerstände im Bild 10.37 entfallen. Es entsteht damit ein einfaches Wechselstrom-Ersatzschaltbild (Bild 10.38):

Bild 10.38 Rechenbeispiel 2: Ersatzschaltbild Wird der Transistor durch eine U-Ersatzschaltung (siehe Bild 10.6, S. 175) ersetzt, dann wird ersichtlich, dass der Kurzschluss-Eingangsleitwert y

11e

= g11e + j b11e = g11e + j Zo C11

den Eingangs-Parallelschwingkreis und der Kurzschluss-Ausgangsleitwert y

22e

= g22e + j b22e = g22e + j Zo C22

den Ausgangs-Parallelschwingkreis beeinflussen (Bild 10.39):

Bild 10.39 Rechenbeispiel 2: Transistor als U-Vierpol

212

10 Vierpoltheorie Der Transistor liefert also für die beiden Schwingkreise jeweils einen kapazitiven und einen ohmschen Anteil. Die berechnete Kapazität Cp besteht also aus der Parallelschaltung von jeweils zwei Kapazitäten am Eingang und Ausgang: Mit b11e = Zo C11 ist C11

b11e

12mS

Zo

2S ˜ 500 ˜ 106 s 1

3,82pF

und Cp1 = Cp – C11 = 15,83pF – 3,82pF = 12,01pF

d. h. Cp1 = 12pF

und mit b22e = Zo C22 ist C22

b22e

6mS

2Sf

2 S ˜ 500 ˜ 106 s 1

1,91pF

und Cp2 = Cp – C22 = 15,83pF – 1,91pF = 13,92pF

d. h. Cp2 = 14pF.

Damit entsteht ein Ersatzschaltbild, mit dessen Hilfe die Spannungs- und Leistungsverstärkung ermittelt werden kann (Bild 10.40), in dem die Induktivitäten und Kapazitäten entfallen können, weil sie sich bei Resonanz kompensieren:

Bild 10.40 Rechenbeispiel 2: Ersatzschaltbild

10.5 Leistungsverstärkung und Dämpfung

213

Zu 2.3 Die Spannungsverstärkung wird mit Gl. (10.19), S. 192 berechnet:

Vuf mit

U2 U1



y

21e

y22e  Y a

y22e = g22e = 190PS, da kompensiert

und Ya = Gp = 2mS 45mS ˜ e  j ˜75º 190PS  2mS

Vuf



Vuf

20,55 ˜ e j ˜(180º 75º)

Vuf

U2 U1



45mS ˜ e  j ˜75º 2,19mS

mit e j ˜180º

1

20,6 ˜ e j˜105º .

Für die Leistungsverstärkung des Verstärkers bleibt der Resonanzwiderstand Rp am Eingang zunächst unberücksichtigt. Sie kann nach Gl. (10.33) mit Hilfe der Spannungsverstärkung und des Eingangsleitwertes errechnet werden: VpT

V uf

mit V uf

2

Ga

˜

G in

Vuf

20,6

und Ga = Gp = 2mS und Gin = Re ^Yin ` mit Gl. (10.14), S. 190

Yin

y

11e

mit y 11e



y

12e

y

22e

g11e

˜y

21e

 Ya 16mS

und y

22e

16mS 

Y in

16mS  31,85mS ˜ e  j˜177º

Yin

47,8mS  j ˜ 1,67mS, d. h. Gin

d. h.

190PS

1,55mS ˜ e  j ˜102º ˜ 45mS ˜ e  j ˜75º 190PS  2mS

Y in

VpT = 20,62 ˜

g 22e

2mS 47,8mS

17,7

VpT = 18 oder 12,5dB.

16mS  31,85mS  j ˜ 1,67mS

47,8mS

214

10 Vierpoltheorie Dieses Ergebnis kann auch mit Hilfe der Gl. (10.39) erzielt werden, indem nur von den y -Parametern ausgegangen wird: y

VpT =

^

2 21e

Re det y  y e

11e

˜ Ga

˜ Ya

 y*22e  Ya* `

mit y

45mS

21

und

Ga

Gp

2mS

und det ye

y11e · y

22e

y

12e

˜y

21e

= g11e · g 22e  y

12

˜y

21

det y = 16mS · 0,19mS – 1,55mS · 45mS · e–j · (102° + 75° ) e

det y = 3,04PS – 69,75PS · e–j · 177° e

det y = 3,04PS + 69,65PS + j · 3,65PS = 72,69PS + j · 3,65PS e

und y

11e

˜ Ya

g11e ˜ G p

16mS ˜ 2mS

32PS

und *

*

y 22e +Y a = g 22e + G p = 0,19mS + 2mS = 2,19mS

VpT =

(45mS)2 ˜ 2mS Re ^ 72,69PS  j ˜ 3,65PS  32PS ˜ 2,19mS`

VpT =

(45mS)2 ˜ 2mS 229,27nS

17,7

d. h. VpT = 18 oder 12,5dB. Bei Berücksichtigung des Eingangs-Resonanzwiderstandes reduziert sich entsprechend der Stromteilerregel die Leistungsverstärkung: Rp Vp ˜ VpT R p  R in mit R in Vp =

Re ^Zin `

°­ 1 °½ Re ® ¾ °¯ Y in °¿

500: ˜ 17,7 500:  20,9:

Vp = 17 oder 12,3dB.

­ ½ 1 Re ® ¾ ¯ (47,8  j ˜ 1,67)mS ¿

0,96 ˜ 17,7

20,9:

10.5 Leistungsverstärkung und Dämpfung

215

Zu 2.4 Bei Berücksichtigung des Eingangs- und Ausgangsleitwertes vermindert sich die Güte des Eingangs-Schwingkreises auf Z o ˜ Cp

Q p1

2S ˜ 500 ˜ 106 s 1 ˜ 16pF 2mS  47,8mS

G p  G in

1,0

und die Güte des Ausgangsschwingkreises auf Z o ˜ Cp

Q p2

2S ˜ 500 ˜ 106 s 1 ˜ 16pF 2mS  3,93mS

G p  G out

8,5

mit Gout = Re ^Y out `

Y out mit

y y

22e

22e



y

21e

y

11e

g 22e

˜y

12e

 Yi 190PS und y

11e

g11e

16mS , da jeweils kompensiert

45mS ˜ e  j˜75º ˜ 1,5mS ˜ e  j˜102º 16mS  2mS

Y out

0,19mS 

Y out

0,19mS  3,75mS ˜ e  j˜177º

Yout

3,93mS  j ˜ 0,2mS, d. h. G out

0,19mS  3,74mS  j ˜ 0, 20mS

3,93mS.

Da die Betriebsdämpfung zwischen 20 und 30 betragen sollte, um brauchbare Selektionseigenschaften zu gewährleisten, müssen die wirksamen ohmschen Widerstände durch eine Übersetzung vergrößert werden. Am Eingang kann eine kapazitive Widerstandstransformation vorgenommen werden, so dass sich der zu Rp parallel zu schaltende Widerstand Gin entsprechend vergrößert. Die Gleichspannungsversorgung muss dann allerdings über einen hochohmigen Spannungsteiler erfolgen, weil der kapazitive Spannungsteiler die Gleichspannung sperrt. Am Ausgang wird die Widerstandstransformation wegen des höheren Stromflusses im Kollektorkreis über eine Anzapfung der Schwingkreisspule ausgeführt. Die mögliche Gleichspannungsversorgung über einen parallelen ohmschen Widerstand bei kapazitiver Transformation führt zu unnötigen Belastungen und Verlusten.

Bild 10.41 Rechenbeispiel 2: Geänderter HF-Verstärker

216

10 Vierpoltheorie

Übertragungs-Leistungsverstärkung (transducer gain) Bei der bisher behandelten Leistungsverstärkung Vp ist die Ausgangswirkleistung auf die am Vierpoleingang aufgenommene Wirkleistung bezogen. Diese Klemmen-Leistungsverstärkung ermöglicht allerdings keine Aussage darüber, inwieweit die verfügbare Leistung des aktiven Zweipols von dem belasteten Vierpol aufgenommen wird. Deshalb wird die Ausgangswirkleistung auch auf die verfügbare Leistung des aktiven Zweipols bezogen: Pout (10.42) Vpü Pv mit Pout

Vpü

U 22 ˜ G a

Iq 2

und Pv

(siehe Gl. 10.30)

4 ˜ Gi 2

U 22 ˜ G a Iq 2

4 ˜ Ga ˜ Gi ˜

U2 . Iq

4 ˜ Gi Wird der Betragsanteil durch U1 erweitert, dann kann Vpü mit Hilfe von Betriebskenngrößen berechnet werden: U2 Iq

und

U 2 U1 ˜ U1 I q

U1 Iq

V uf ˜

1 Y i  Y in

1 Y i  Y in

aus I q

U2 U1

mit V uf

U1 ˜ (Y i  Y in )

(10.43)

(siehe Bild 10.32, S. 203)

2

Vpü

4 ˜ Ga ˜ Gi ˜

V uf . Y i  Y in

(10.44)

Da die Betriebskenngrößen durch die Vierpolparameter bestimmt werden, kann auch die Formel für die Übertragungs-Leistungsverstärkung z. B. durch Y-Parameter angegeben werden: Y 21 Y ˜ Y 21 und Gl. (10.14) Mit Gl. (10.19) V uf  Y in Y11  12 Y 22  Y a Y 22  Ya ist V uf Y 21 1  ˜ Y ˜ Y 21 Y i  Y in Y 22  Y a Y i  Y11  12 Y 22  Y a V uf Y i  Y in

Vpü



Y 21 (Y 22  Y a ) ˜ (Y i  Y11 )  Y12 ˜ Y 21

4 ˜ G a ˜ G i ˜ Y 21

(10.45)

2

(Y 22  Y a ) ˜ (Y i  Y11 )  Y12 ˜ Y 21

2

(10.46)

10.5 Leistungsverstärkung und Dämpfung

217

Verfügbare Leistungsverstärkung (available power gain) Die verfügbare Leistung am Vierpolausgang kann genauso auf die verfügbare Leistung des aktiven Zweipols Pv bezogen werden: Pv out Vpv (10.47) Pv Iq 2

(siehe Gl. (10.30)) . 4 ˜ Gi Für die verfügbare Ausgangsleistung sind die vorbereitenden Berechnungen am Anfang dieses Abschnitts vorgenommen, indem der belastete Vierpol im Bild 10.33 ausgangsseitig in einen Grundstromkreis überführt wurde (siehe Gl. (10.28) und Bild 10.34): mit

Pv

Pv out

2

I qers2

Y21

4 ˜ G iers

Y i  Y11

2

˜

Iq 2 4 ˜ G out

(10.48)

.

Die Formel für die verfügbare Leistungsverstärkung lautet dann in Y-Parametern: 2

Vpv

Y 21 Gi ˜ G out Y  Y 2 i 11

und mit Gl. (10.22)

Vpv

wegen

G out

(10.49) ­ det Y  Y 22 ˜ Y i ½ Re ® ¾ ist Y11  Y i °¿ °¯

Gi

˜

Y 21

2

­ det Y  Y 22 ˜ Y i ½ Y  Y 2 Re ® i 11 ¾ Y i  Y11 ¿° ¯°

| z |2 z

z*

oder

| z |2 = z · z*

ist Vpv

G i ˜ Y 21

^

2



* Re  det Y  Y 22 ˜ Y i Y*i  Y11

`

.

(10.50)

Maximale Leistungsverstärkung (maximum power gain) Können der Innenleitwert Yi des aktiven Zweipols und der Außenleitwert Ya des passiven Zweipols so gewählt werden, dass am Eingang des Vierpols mit *

(10.51)

*

(10.52)

Yi = Y in und am Ausgang des Vierpols mit Ya = Y out jeweils komplexe Anpassung herrscht, dann sind mit Pin = Pv und Pout = Pv out = Pv out max alle Leistungsverstärkungen gleich der maximalen Leistungsverstärkung: Vp = Vpü = Vpv = Vp max

(10.53)

218

10 Vierpoltheorie

10.6 Spezielle Vierpole Umkehrbare Vierpole Ein Vierpol ist umkehrbar (reziprok, übertragungssymmetrisch), wenn für diesen Vierpol der Kirchhoffsche Umkehrungssatz gilt: Wird ein Vierpol im Vorwärtsbetrieb und anschließend im Rückwärtsbetrieb mit der gleichen Stromquelle Iq eingespeist und sind für beide Fälle die Ausgangsspannungen gleich, U2 = U1c , dann heißt der Vierpol umkehrbar:

Bild 10.42 Umkehrbarer Vierpol mit Stromquellen-Einspeisung

Entsprechendes gilt für die Ausgangsströme I2 = Ic1 , wenn der Vierpol im Vorwärtsund Rückwärtsbetrieb mit der gleichen Spannungsquelle Uq betrieben wird:

Bild 10.43 Umkehrbarer Vierpol mit Spannungsquellen-Einspeisung

Beispiel: Ein *-Vierpol II ist umkehrbar, wie mit der Spannungsquellen-Einspeisung nachgewiesen werden kann:

Bild 10.44 Beispiel für einen umkehrbaren Vierpol

10.6 Spezielle Vierpole

219

Vorwärtsbetrieb:

Rückwärtsbetrieb:

I2 I1

 Ic1

mit I1

I2

I2

Z2 Z 2  Za Uq

mit Ic2

Z Z Zi  Z1  2 a Z 2  Za Z2 ˜ Z 2  Za

Uq Z 2 Za Zi  Z1  Z 2  Za

Z2 ˜ U q (Z2  Za )(Zi  Z1 )  Z2 Za I2

Z2 Zi  Z1  Z2

Ic2

 Ic1

 Ic1

Uq (Z  Z1 )Z2 Za  i Zi  Z1  Z2

Z2 ˜ Zi  Z1  Z2

Uq (Z  Z1 )Z2 Za  i Zi  Z1  Z2

Z2 ˜ U q (Zi  Z1  Z2 )Za  (Zi  Z1 )Z2

Z2 ˜ U q Z2 Zi  Z2 Z1  Za Zi  Za Z1  Z2 Za

 Ic1

Es wäre zu mühsam, jeden Vierpol zu untersuchen, ob er den Umkehrungssatz erfüllt, also umkehrbar ist. Da das Wechselstromverhalten eines Vierpols durch die Vierpolparameter erfasst wird, muss auch aus den Vierpolparametern zu ersehen sein, ob er diese Eigenschaft besitzt oder nicht. Für den umkehrbaren Vierpol mit Stromquellen-Einspeisung (siehe Bild 10.42) sind die jeweiligen Ausgangsspannungen gleich: U2

U1c

Diese lassen sich durch Betriebskenngrößen, also auch in Y-Parametern, darstellen: Für den Vorwärtsbetrieb ist das Verhältnis U2/Iq ab Gl. (10.43) hergeleitet, so dass das Endergebnis in Gl. (10.45) übernommen werden kann: U2



Y 21 ˜I (Y 22  Y a )(Y i  Y11 )  Y12 ˜ Y 21 q

Für den Rückwärtsbetrieb kann die Gleichung für die Ausgangsspannung aus obiger Gleichung abgelesen werden, indem genauso wie im Abschnitt 10.4 (Kenngrößen eines Vierpols im Rückwärtsbetrieb) die Indizes 1 durch 2, 2 durch 1, a durch i und zusätzlich i durch a ersetzt werden: U1c



Y12 ˜I (Y11  Y i )(Y a  Y 22 )  Y 21 ˜ Y12 q

In beiden Gleichungen ist der Nenner gleich, und der Zähler ergibt die Bedingungsgleichung für umkehrbare Vierpole in Y-Parametern: Y12 = Y21

(10.54)

220

10 Vierpoltheorie

Mit Hilfe der Umrechnungsformeln für Vierpolparameter (Tabelle S. 181) können die Bedingungsgleichungen in den anderen Formen angegeben werden: Aus Z12 det Z

Z21 det Z

folgt

Z12 = Z21

(10.55)

H12 H11

H 21 H11

folgt

H12 = – H21

(10.56)

C21 C22

folgt

C12 = – C21

(10.57)

folgt

det A = 1

(10.58)

aus

aus

C12 C22 aus  det A A12

1 A12

Passive Vierpole sind umkehrbar, da für passive Vierpole die S-Ersatzschaltung (siehe Bild 10.7, S. 175) nur sinnvoll ist, wenn die Stromquelle entfällt: (Y21 – Y12) · U1 = 0

d. h.

Y12 = Y21

Entsprechendes gilt für die Spannungsquelle in der T-Ersatzschaltung (siehe Bild 10.9, S. 176): (Z21 – Z12) · I1 = 0

d. h.

Z12 = Z21

Wie in der Tabelle der Vierpolparameter passiver Vierpole im Abschnitt 10.3, S. 186–188 überprüft werden kann, erfüllen sämtliche dort angegebenen Vierpolparameter die Bedingungsgleichungen für umkehrbare Vierpole. Das Wechselstromverhalten passiver Vierpole ist also bei Y- und Z-Parametern nur durch drei Vierpolparameter bestimmt: Y11, Y12 = Y21

und

Y22

Z11, Z12 = Z21

und

Z22

10.6 Spezielle Vierpole

221

Symmetrische Vierpole Ein symmetrischer oder widerstandslängssymmetrischer Vierpol hat gleiches Übertragungsverhalten in Vorwärts- und Rückwärtsrichtung. Das ist nur dann möglich, wenn ein Vierpol sowohl den Umkehrungssatz als auch die Bedingung der Richtungssymmetrie erfüllt. Richtungssymmetrische Vierpole besitzen gleiche Eingangsleitwerte in Vorwärts- und Rückwärtsbetrieb: Wird der Ausgang eines Vierpols mit einem beliebigen Leitwert Y abgeschlossen, dann besitzt der Vierpol einen Eingangsleitwert Yin. Entsprechend hat er einen Ausgangsleitwert Yout, wenn er am Eingang mit dem gleichen Leitwert Y abgeschlossen wird. Gibt es für einen Vierpol einen Leitwert Y, für den der Eingangsleitwert gleich dem Ausgleichsleitwert ist, dann ist der Vierpol richtungssymmetrisch: Yin(Y) = Yout(Y)

Bild 10.45 Richtungssymmetrischer Vierpol Beispiel: Wird eine symmetrische S-Schaltung zuerst am Eingang und dann am Ausgang mit einem beliebigen Leitwert Y abgeschlossen, dann erfüllt der Vierpol die Richtungssymmetrie, denn der Eingangsleitwert ist gleich dem Ausgangsleitwert: Yin (Y)

1 1  Z1 1  Z2 Y  1/Z1

Yout (Y)

Bild 10.46 Beispiel für die Richtungssymmetrie eines Vierpols

Ob ein passiver Vierpol auch richtungssymmetrisch ist, lässt sich aus den Vierpolparametern erkennen, denn der Eingangsleitwert und der Ausgangsleitwert können durch die Vierpolparameter beschrieben werden: Nach Gl. (10.14) ist und mit Indizesvertauschung ist Y12 Y 21 Y Y Y in (Ya ) Y11  Y out (Y i ) Y 22  21 12 Y 22  Ya Y11  Y i Mit Y in (Y) Y out (Y) ist Y11 

Y12 Y 21 Y 22  Y

Y 22 

Y 21 Y12 Y11  Y

222

10 Vierpoltheorie

Diese Gleichung kann nur erfüllt sein, wenn Y11 = Y22

(10.59)

gilt. Mit Hilfe der Umrechnungsformeln für Vierpolparameter in der Tabelle auf S. 181 können die Bedingungsgleichungen für die anderen Formen der Vierpolparameter abgelesen werden: Aus Z11 det Z

folgt

Z11 = Z22

(10.60)

1 H11

det H H11

folgt

det H = 1

(10.61)

det C C22

1 C22

folgt

det C = 1

(10.62)

A 22 A12

A11 A12

folgt

A11 = A22 .

(10.63)

Z22 det Z

aus

aus

aus

Ein symmetrischer Vierpol erfüllt also gleichzeitig den Umkehrungssatz und die Bedingung der Richtungssymmetrie: Y11 = Y22 Y12 = Y21

Z11 = Z22 Z12 = Z21

det H = 1 H12 = – H21

det C = 1 C12 = – C21

A11 = A22 det A = 1

Er wird bei Y- und Z-Parametern nur noch durch zwei Vierpolparameter bestimmt. Wie eingangs ausgesagt, hat ein symmetrischer Vierpol in Vorwärts- und Rückwärtsrichtung gleiches Übertragungsverhalten, wie durch die Vierpolgleichungen in Leitwertform gezeigt werden kann: Vorwärtsbetrieb:

Rückwärtsbetrieb:

I1 = Y11 · U1 + Y12 · U2

I2 = Y11 · U2 + Y12 · U1

I2 = Y12 · U1 + Y11 · U2

I1 = Y12 · U2 + Y11 · U1

Die Vierpolgleichungen des Vorwärtsbetriebs brauchen nur nach Eingangs- und Ausgangsgrößen des Rückwärtsbetriebs umsortiert zu werden, um zu sehen, dass die Vierpolmatrizen gleich sind.

10.6 Spezielle Vierpole

223

Wenn die Originalschaltungen symmetrisch sind, müssen es die Ersatzschaltungen selbstverständlich auch sein. Die S-Ersatzschaltung in Leitwertparametern (siehe Bild 10.7, S. 175) und die T-Ersatzschaltung in Widerstandsparametern (siehe Bild 10.9, S. 176) vereinfachen sich mit oben zusammengestellten Bedingungsgleichungen:

Bild 10.47 Ersatzschaltungen symmetrischer Vierpole Beispiele symmetrischer Vierpole: Homogene Leitungen, spezielle Dämpfungsglieder, Filterschaltungen in T- und S-Form (Tiefund Hochpässe, Bandsperren), Symmetrische X-Schaltung, Brücken-T-Vierpol (siehe Abschnitt 10.3, S. 188)

Rückwirkungsfreie Vierpole Wird bei einem Vierpol eine Ausgangsgröße nicht auf den Eingang übertragen, dann ist der Vierpol rückwirkungsfrei; ein Rückwärtsbetrieb ist nicht möglich. Praktisch gibt es keine rückwirkungsfreien Vierpole: passive Vierpole übertragen in beiden Richtungen, bei aktiven Vierpolen wie Transistoren sind die Hersteller bestrebt, die Rückwirkung möglichst klein zu halten. In den Vierpolgleichungen werden Abhängigkeiten des Vorwärts- und Rückwärtsbetriebs erfasst, wie in den Definitionsgleichungen für Vierpolparameter im Abschnitt 10.2, S. 175–178 dargestellt ist. Soll der Rückwärtsbetrieb ausgeschlossen sein, dann müssen die Vierpolparameter Null sein, die die Abhängigkeit einer Eingangsgröße (U1 oder I1 von einer Ausgangsgröße U2 oder I2 beschreiben. Zum Beispiel wird in der 1. Vierpolgleichung in Leitwertform (siehe S. 175) die Abhängigkeit des Eingangsstroms I1 von der Ausgangsspannung U2 durch den Vierpolparameter Y12 erfasst: I1 = Y11 · U1 + Y12 · U2 I2 = Y21 · U1 + Y22 · U2 Die Bedingungsgleichung für einen rückwirkungsfreien Vierpol, dessen Y-Parameter bekannt sind, lautet demnach: Y12 = 0

(10.64)

224

10 Vierpoltheorie

Mit Hilfe der Umrechnungsformeln für Vierpolparameter (Tabelle S. 181) können die Bedingungsgleichungen in den anderen Formen angegeben werden: Aus Z12 det Z

0

folgt

Z12 = 0

(10.65)

H12 H11

0

folgt

H12 = 0

(10.66)

folgt

C12 = 0

(10.67)

folgt

det A = 0

(10.68)

aus

aus C12 C22

0

aus  det A A12

0

Bei der Behandlung der U-Ersatzschaltungen mit zwei Stromquellen (Bild 10.6, S. 175) und mit zwei Spannungsquellen (Bild 10.8, S. 176) wurde darauf hingewiesen, dass die Stromquelle Y12 · U2 bzw. die Spannungsquelle Z12 · I2 für die Rückwirkung verantwortlich sind. Für rückwirkungsfreie Vierpole entfallen mit obigen Bedingungen diese Stromquelle bzw. diese Spannungsquelle:

Bild 10.48 Ersatzschaltungen rückwirkungsfreier Vierpole

Die Betriebskenngrößen eines rückwirkungsfreien Vierpols vereinfachen sich oder sind Null, wobei mit Y12 = 0 die Determinante det Y = Y11 · Y22 ist: Mit Gl. (10.14) ist Y in

Y11 

Y12 ˜ Y 21 Y 22  Ya

(10.69)

Y11

und mit Gl. (10.22) ist

Y out

det Y  Y 22 ˜ Y i Y11  Y i

Y11 ˜ Y 22  Y i ˜ Y 22 Y11  Y i

Y 22

(10.70)

10.6 Spezielle Vierpole

225

mit den Gln. (10.24) bis (10.27) sind folgende Betriebskenngrößen des Rückwärtsbetriebs Null: Y ür

Y12 ˜ Y i Y11  Y i

V ur



Y12 Y11  Y i

0

0

Y12 det Y  Y 22 ˜ Y i

Z ür



V ir

Y12 ˜ Y i det Y  Y 22 ˜ Y i

0

0

Rückwirkungsfreie Vierpole sind für die Übertragung von Signalen anzustreben, weil sich Störungen am Ausgang nicht am Eingang bemerkbar machen sollten. Transistoren sind nicht rückwirkungsfrei. Bei vielen Typen ist allerdings der Vierpolparameter y12e so klein, dass er bei Berechnungen vernachlässigt werden kann. Rechenbeispiele: 1. Für das Anwendungsbeispiel 2 im Abschnitt 10.4, S. 198–200 bzw. 10.5, S. 209 weichen die Ergebnisse für die Spannungs- und Leistungsverstärkung nur unwesentlich ab, wenn der Transistor rückwirkungsfrei angenommen wird: Mit h12e = 0 ist det he = h11e · h22e = 2,7 · 103: · 18 · 10–6S = 48,6 · 10–3 beträgt die Spannungsverstärkung – 144 gegenüber – 148: V uf



h 21e h11e ˜ h 22e  h11e ˜ Y ages



220 48,6 ˜ 103  2,7 ˜ 103 : ˜ 546 ˜ 106 S

144

und die Leistungsverstärkung des Transistors 30769 gegenüber 31451:

V pT

V pT

h 21e 2 ˜ G a ges (h 22e  G a ges ) ˜ (h11e ˜ h 22e  h11e ˜ G a ges )

2202 ˜ 546 PS (18PS  546 PS) ˜ (48,6 ˜ 103  2,7k: ˜ 546 PS)

30769

2. Für das Rechenbeispiel 2 im Abschnitt 10.5, S. 210–215 (Bild 10.37) kann die Rückwirkung für die Berechnung der Leistungsverstärkung des Transistors nicht vernachlässigt werden, weil die Leistungsverstärkung 53 gegenüber 18 betragen würde: Mit y12e = 0 ist nach Gl. (10.69) Yin = y11e und damit Gin = g11e = 16mS gegenüber 47,8mS | V uf |2 ˜

Ga g11e

20,62 ˜

2mS 16mS

53

Um die Rückwirkung eines Transistors zu vermindern, können auch Neutralisationsschaltungen verwendet werden. Zum Transistor werden geeignete Rückkopplungsvierpole geschaltet, um z. B. den y12e -Parameter möglichst klein zu halten. Die Zusammenschaltung von Vierpolen wird im folgenden Abschnitt behandelt.

226

10 Vierpoltheorie

10.7 Zusammenschalten zweier Vierpole 10.7.1 Grundsätzliches über Vierpolzusammenschaltungen Vierpolparameter einer Vierpolzusammenschaltung Um das Wechselstromverhalten von nicht einfachen passiven Vierpolen (z. B. Symmetrische X-Schaltung, Symmetrischer Brücken-T-Vierpol, Phasenketten, Laufzeitketten) und von rückgekoppelten aktiven Vierpolen (z. B. einstufige und mehrstufige Transistorverstärker im Kleinsignalbetrieb) mit Hilfe der Betriebskenngrößen beschreiben zu können, sind deren Vierpolparameter zu berechnen. Die Parameter können aber erst ermittelt werden, wenn die Vierpolzusammenschaltung entwickelt ist, d. h. wenn untersucht ist, auf welche Art die vorkommenden einfachen Vierpole wechselstrommäßig zusammengeschaltet sind. Bei einem Verstärker z. B. sollte beim Vierpol „Transistor“ begonnen werden und dann die Zusammenschaltung des Transistors mit den Widerständen untersucht werden. Sind mehr als zwei einfache Vierpole zusammengeschaltet, dann werden zunächst zwei Vierpole zu einem Vierpol zusammengefasst und dann der dritte Vierpol mit dem zusammengefassten Vierpol vereinigt, usw. Dabei ist darauf zu achten, dass die Reihenfolge nicht vertauschbar ist. Es handelt sich also immer nur um die Zusammenschaltung von jeweils zwei Vierpolen. Wie im einleitenden Abschnitt 10.1 erwähnt, gibt es fünf verschiedene Arten der Zusammenschaltung zweier Vierpole „1“ und „2“ (siehe Bild 10.49), für die mit Hilfe von Matrizenoperationen aus bestimmten Vierpolparametern der Einzelvierpole die Parameter der Zusammenschaltung berechnet werden: Parallel-Parallel-Schaltung (Matrizen-Addition der Y-Parameter), Reihen-Reihen-Schaltung (Matrizen-Addition der Z-Parameter), Reihen-Parallel-Schaltung (Matrizen-Addition bzw. -Subtraktion der H-Parameter), Parallel-Reihen-Schaltung (Matrizen-Addition der C-Parameter) und Kettenschaltung (Matrizen-Multiplikation der A-Parameter).

Bild 10.49 Arten der Vierpolzusammenschaltung

Werden zwei Dreipole (z. B. Transistor und * -Vierpol) zusammen geschaltet, dann muss bei der Zusammenschaltung die durchgehende Verbindung mit der gestrichelten Linie in den Prinzipschaltungen (siehe Bild 10.49) übereinstimmen.

10.7 Zusammenschalten zweier Vierpole

227

Beispiel: Vierpol-Zusammenschaltung eines zweistufigen Verstärkers Die Vierpol-Zusammenschaltung des im Bild 10.50 gezeichneten zweistufigen Verstärkers besteht aus der Kettenschaltung von vier Vierpolen, wobei der Vierpol 3 eine Reihen-ReihenSchaltung von zwei Vierpolen ist.

Bild 10.50 Vierpolzusammenschaltung eines zweistufigen Verstärkers Für die Reihen-Reihen-Schaltung der Vierpole 3.1 und 3.2 müssen die Z-Parameter beider Vierpole bekannt sein. Da für Transistoren (Vierpol 3.1) in Datenbüchern nur Y oder H-Parameter angegeben werden, müssen diese mit der Tabelle mit den Umrechnungsformeln im Abschnitt 10.2, S. 181 in die Z-Parameter umgerechnet werden. Die Z-Parameter des Querwiderstandes (Vierpol 3.2) werden aus der Tabelle im Abschnitt 10.3, S. 186 entnommen. Diese Z-Parameter der beiden Einzelvierpole werden durch Matrizenaddition zu den Z-Parametern des Vierpols 3 zusammengefasst. Für die Behandlung der Kettenschaltung der vier Vierpole 1 bis 4 müssen jeweils die A-Parameter bekannt sein. Vom Vierpol 3 müssen also zunächst aus den Z-Parametern die A-Parameter mit den entsprechenden Umrechnungsformeln aus der Tabelle auf S. 181 errechnet werden, ehe die Matrizenmultiplikationen der Kettenschaltungen vorgenommen werden können. Zuerst werden die Parameter für die Kettenschaltung der beiden Vierpole 1 und 2 errechnet; der zusammengefasste Vierpol wird mit 1/2 bezeichnet. Dann werden die Parameter für die Kettenschaltung des Vierpols 1/2 mit dem Vierpol 3 ermittelt und schließlich werden die Parameter für die Kettenschaltung des Vierpols 1/2/3 mit dem Vierpol 4 berechnet. In den Abschnitten 10.7.3, S. 235 und 10.7.6, S. 247 wird dieses Beispiel mit Zahlenwerten behandelt.

228

10 Vierpoltheorie

Rückkopplungs-Vierpole Wie im Abschnitt 10.4, S. 199 gezeigt, verstärkt eine Transistorstufe die Eingangsspannung auf ein bestimmtes Vielfaches, das nur von den Vierpolparametern des Transistors und der Belastung abhängt. Um die Spannungsverstärkung auf einen vorgegebenen Wert einstellen zu können, wird dem Transistor ein passiver Rückkopplungsvierpol zugeschaltet. Dadurch bestimmen nun die Vierpolparameter des rückgekoppelten Transistors die Spannungsverstärkung. Der Transistor wird dabei in Vorwärtsrichtung, der passive Rückkopplungsvierpol in Rückwärtsrichtung betrieben. Beispiel: Rückgekoppelter Transistorverstärker in Reihen-Reihen-Schaltung

Bild 10.51 Rückgekoppelter Transistorverstärker (stromgegengekoppelte Emitterschaltung)

Es gibt prinzipiell vier Arten von derartigen Rückkopplungsvierpolen, die den vier Zusammenschaltungen entsprechen, bei denen eine Matrizenaddition zu den Vierpolparametern der Vierpolzusammenschaltung führt. Beim Rückkopplungsvierpol wird dann am Ausgang entweder die Spannung (Parallelschaltung am Ausgang) oder der Strom (Reihenschaltung am Ausgang) erfasst und im Rückwärtsbetrieb übertragen. Am Eingang des Rückkopplungsvierpols entsteht dann entweder eine Spannung, die zu der Spannung des übertragenden Transistors addiert wird (Reihenschaltung am Eingang), oder ein Strom, der dem Eingangsstrom des Transistors überlagert wird (Parallelschaltung am Eingang).

10.7 Zusammenschalten zweier Vierpole

229

Die vier folgenden Zusammenschaltungen werden deshalb auch Grundschaltungen der Rückkopplung genannt: Parallel-Parallel-Schaltung (Spannung-Strom-Rückkopplung), Reihen-Reihen-Schaltung (Strom-Spannung-Rückkopplung), Reihen-Parallel-Schaltung (Spannung-Spannung-Rückkopplung), Parallel-Reihen-Schaltung (Strom-Strom-Rückkopplung). Mit- und Gegenkopplung Ist die Klemmenleistungsverstärkung Vp (siehe Abschnitt 10.5, S. 206) des rückgekoppelten Vierpols größer als die des Vierpols 1 allein, d. h. ohne Rückkopplung, dann wird die Art der Rückkopplung Mitkopplung (positive, regenerative Rückkopplung, direct feedback) genannt. Um eine Gegenkopplung (negative, degenerative Rückkopplung, inverse feedback) handelt es sich, wenn die Klemmenleistungsverstärkung Vp des rückgekoppelten Vierpols kleiner ist als die des Vierpols 1 allein. Ob es sich bei einer Rückkopplungsschaltung um eine Mitkopplung oder Gegenkopplung handelt, hängt von den Vierpolparametern beider Vierpole ab. Weil die Vierpolparameter frequenzabhängig sind, kann eine Rückkopplungsschaltung in einem bestimmten Frequenzbereich als Gegenkopplung und in einem anderen Frequenzbereich als Mitkopplung wirken. Technische Anwendungen von Rückkopplungsschaltungen: Mitkopplung: Erhöhung der Verstärkung in Verstärkerstufen Verringern der Bandbreite in selektiven Verstärkern Erzeugen von Schwingungen in Oszillatorschaltungen Gegenkopplung: Verringern der Verzerrungen des übertragenen Signals Erhöhen der Bandbreite in Verstärkerschaltungen Verringern innerer Störungen (Rauschen oder Netzbrummen) im Vergleich zum übertragenen Signal in Verstärkern Vierpolzusammenschaltung und Matrizenrechnung Im folgenden werden die fünf Arten der Zusammenschaltung zweier Vierpole gesondert behandelt. Für die Berechnung der Vierpolparameter der Gesamtvierpole aus den Vierpolparametern von zwei Einzelvierpolen sind folgende Rechenregeln der Matrizenrechnung anzuwenden, die im Band 1, Abschnitt 2.3.6.1, S 109–113 ausführlich behandelt sind: Gleichheit zweier Matrizen: siehe Gl. (2.171), S. 110 Addition und Subtraktion zweier Matrizen: siehe Gl. (2.172), S. 110 Multiplikation zweier Matrizen: siehe Falksches Schema, siehe S. 112 Distributionsgesetz: siehe Gl. (2.178), S. 113: (A + B) · C = A · C + B · C

230

10 Vierpoltheorie

10.7.2 Die Parallel-Parallel-Schaltung zweier Vierpole Prinzipielle Zusammenschaltung

Bild 10.52 Parallel-Parallel-Schaltung zweier Vierpole

Wegen der Parallelschaltung der beiden Vierpole 1 und 2 sind die Spannungen des Gesamtvierpols gleich den Spannungen der Einzelvierpole und die Ströme des Gesamtvierpols gleich den Stromsummen der Einzelvierpole: '

"

U1

U1

I1

I1  I1

'

U1

U2

"

I2

'

"

U2 '

U2 "

I2  I2

Vierpolparameter der Parallel-Parallel-Schaltung Die Vierpolgleichungen der Einzelvierpole 1 und 2 in Matrizenschreibweise können nur in Leitwertform § I' · ¨ 1¸ ¨ I' ¸ © 2¹

§ Y' ¨ 11 ¨ Y' © 21

' · § ' · U Y12 ¸˜¨ 1¸ ' ¸ ¨ ' ¸ Y 22 ¹ © U 2 ¹

§ I" · und ¨ 1 ¸ ¨ I" ¸ © 2¹

§ Y" ¨ 11 ¨ Y" © 21

" · § "· U Y12 ¸˜¨ 1¸ " ¸ ¨ "¸ Y 22 ¹ © U 2 ¹

in die Vierpolgleichungen des Gesamtvierpols in Leitwertform überführt werden, weil nach obiger Beziehung für die Ströme die Matrizengleichungen beider Vierpole addiert werden müssen: § I' · § I" · ¨ 1¸ ¨ 1¸ ¨ I' ¸ ¨ I" ¸ © 2¹ © 2¹

§ Y' ¨ 11 ¨ Y' © 21

' · § ' · § " U Y12 Y ¸ ˜ ¨ 1 ¸  ¨ 11 ' ¸ ¨ ' ¸ ¨ " Y 22 ¹ © U 2 ¹ © Y 21

" · § "· U Y12 ¸ ˜ ¨ 1 ¸. " ¸ ¨ "¸ Y 22 ¹ © U 2 ¹

Die beiden Spaltenmatrizen der Ströme addiert ergeben die Spaltenmatrix der Gesamtströme. Wird gleichzeitig berücksichtigt, dass die Spannungen gleich sind, dann können mit § U' · ¨ 1¸ ¨ U' ¸ © 2¹

§ U" · ¨ 1¸ ¨ U" ¸ © 2¹

§U · ¨ 1¸ ¨U ¸ © 2¹

10.7 Zusammenschalten zweier Vierpole

231

die Striche an den Spannungen entfallen § I'  ¨ 1 ¨ I'  © 2

I1" · ¸ I"2 ¸¹

§ Y' ¨ 11 ¨ Y' © 21

' · § " · § U · § Y" U · Y12 Y12 ¸ ˜ ¨ 1 ¸  ¨ 11 ¸ ˜ ¨ 1 ¸, Y '22 ¸¹ ¨© U 2 ¸¹ ¨© Y"21 Y"22 ¸¹ ¨© U 2 ¸¹

die Spannungsmatrizen ausgeklammert §I · ¨ 1¸ ¨I ¸ © 2¹

ª§ Y ' «¨ 11 «¨© Y '21 ¬

' · § " Y12 Y ¸  ¨ 11 ' ¸ ¨ " Y 22 ¹ © Y 21

" ·º § U · Y12 ¸» ˜ ¨ 1 ¸ Y"22 ¸¹ »¼ ¨© U 2 ¸¹

und die Leitwertmatrizen addiert werden: §I · ¨ 1¸ ¨I ¸ © 2¹

§ Y '  Y" 11 ¨ 11 ¨ Y '  Y" 21 © 21

' " · § U ·  Y12 Y12 ¸ ˜ ¨ 1 ¸. Y '22  Y"22 ¸¹ ¨© U 2 ¸¹

Mit den Vierpolgleichungen des Gesamtvierpols § I1 · ¨I ¸ © 2¹

§ Y11 ¨Y © 21

Y12 · § U1 · ˜ Y 22 ¸¹ ¨© U 2 ¸¹

ergibt sich der Zusammenhang zwischen den Vierpolparametern der Einzelvierpole und den Vierpolparametern des Gesamtvierpols in Leitwertform: §Y ¨ 11 ¨Y © 21

Y12 · ¸ Y 22 ¸¹

' " · § Y '  Y" 11 Y12  Y12 ¨ 11 ¸. ' " ¸ ¨ Y '  Y"  Y Y 21 22 22 ¹ © 21

(10.71)

Die Leitwertmatrix von zwei Vierpolen in Parallel-Parallel-Schaltung wird berechnet, indem die entsprechenden Leitwert-Vierpolparameter der Einzelvierpole addiert werden. Beispiele: 1. Symmetrischer Brücken-T-Vierpol:

Bild 10.53 Brücken-T-Vierpol als Parallel-Parallel-Schaltung

232

10 Vierpoltheorie 2. Rückgekoppelter Transistor in Emitterschaltung:

Bild 10.54 Transistorstufe in Parallel-Parallel-Schaltung Bei dieser Rückkopplungsart handelt es sich um eine Spannung-Strom-Rückkopplung.

10.73 Die Reihen-Reihen-Schaltung zweier Vierpole Prinzipielle Zusammenschaltung

Bild 10.55 Reihen-Reihen-Schaltung zweier Vierpole

Wegen der Reihenschaltung der beiden Vierpole 1 und 2 sind die Ströme des Gesamtvierpols gleich den Strömen der Einzelvierpole und die Spannungen des Gesamtvierpols gleich den Spannungssummen der Einzelvierpole: I1 U1

I1'

I1" '

I2 "

U1  U1

U2

'

"

I2

I2 '

"

U2  U2

10.7 Zusammenschalten zweier Vierpole

233

Vierpolparameter der Reihen-Reihen-Schaltung Die Vierpolgleichungen der Einzelvierpole 1 und 2 in Matrizenschreibweise können nur in Widerstandsform ' · § ' · § U ' · § Z' § U" · § Z" Z" · § I" · Z12 I 12 ¨ 1 ¸ ¨ 11 ¸ ˜ ¨ 1 ¸ und ¨ 1 ¸ ¨ 11 ¸˜¨ 1¸ "¸ ¨ " ' ¸ ¨ ' ¸ " ¸ ¨ "¸ ¨ U ' ¸ ¨ Z' ¨ © 2 ¹ © 21 Z22 ¹ © I 2 ¹ © U 2 ¹ © Z21 Z22 ¹ © I 2 ¹ in die Vierpolgleichungen des Gesamtvierpols in Widerstandsform überführt werden, weil nach obiger Beziehung für die Spannungen die Matrizengleichungen beider Vierpole addiert werden müssen: ' · § ' · § " " · § "· § U ' · § U" · § Z ' Z12 I Z Z12 I ¨ 1 ¸  ¨ 1 ¸ ¨ 11 ¸ ˜ ¨ 1 ¸  ¨ 11 ¸ ˜ ¨ 1 ¸. ' ¸ ¨ ' ¸ ¨ " " ¸ ¨ "¸ ¨ U ' ¸ ¨ U" ¸ ¨ Z' © 2 ¹ © 2 ¹ © 21 Z22 ¹ © I 2 ¹ © Z21 Z22 ¹ © I 2 ¹ Die beiden Spaltenmatrizen der Spannungen addiert ergeben die Spaltenmatrix der Gesamtspannungen. Wird gleichzeitig berücksichtigt, dass die Ströme gleich sind, dann können mit

§ I' · § I" · § I · ¨ 1¸ ¨ 1¸ ¨ 1¸ ¨ I' ¸ ¨ I" ¸ ¨ I ¸ © 2¹ © 2¹ © 2¹ die Striche an den Strömen entfallen ' · § · § " " · § · § U '  U" · § Z' Z12 I Z Z12 I 1¸ ¨ 1 ¨ 11 ¸ ˜ ¨ 1 ¸  ¨ 11 ¸ ˜ ¨ 1 ¸, ' ¸ ¨ ¸ ¨ " " ¸ ¨ ¸ ¨ U '  U" ¸ ¨ Z' 2 ¹ © 21 Z 22 ¹ © I 2 ¹ © Z21 Z22 ¹ © I 2 ¹ © 2 die Strommatrizen ausgeklammert ' · § " " ·º § · § U · ª § Z' Z12 Z Z12 I ¨ 1 ¸ « ¨ 11 ¸  ¨ 11 ¸» ˜ ¨ 1 ¸ ' ¸ ¨ " " ¸ ¨ ¸ ¨ ' ¨ ¸ © U 2 ¹ ¬«© Z21 Z22 ¹ © Z21 Z22 ¹ ¼» © I 2 ¹ und die Widerstandsmatrizen addiert werden: ' " · § · § U · § Z'  Z" I 11 Z12  Z12 ¨ 1 ¸ ¨ 11 ¸ ˜ ¨ 1 ¸. " ' " ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ' © U 2 ¹ © Z21  Z21 Z22  Z22 ¹ © I 2 ¹ Mit den Vierpolgleichungen des Gesamtvierpols

§ U1 · ¨U ¸ © 2¹

§ Z11 Z12 · § I1 · ¨Z ¸˜¨ ¸ © 21 Z22 ¹ © I 2 ¹

ergibt sich der Zusammenhang zwischen den Vierpolparametern der Einzelvierpole und den Vierpolparametern des Gesamtvierpols in Widerstandsform: §Z Z12 · ¨ 11 ¸ ¨Z ¸ Z 22 ¹ © 21

' " · § Z'  Z" 11 Z12  Z12 ¨ 11 ¸ ' " ¸ ¨ Z'  Z"  Z Z 21 22 22 ¹ © 21

(10.72)

Die Widerstandsmatrix von zwei Vierpolen in Reihen-Reihen-Schaltung wird berechnet, indem die entsprechenden Widerstand-Vierpolparameter der Einzelvierpole addiert werden.

234

10 Vierpoltheorie

Vorzeichen der Vierpolparameter des Rückkopplungsvierpols In der prinzipiellen Zusammenschaltung der Reihen-Reihen-Schaltung im Bild 10.55 fällt auf, dass der Vierpol 2 als Dreipol die durchgehende Verbindung oben hat, während die im Abschnitt 10.3, S. 186–188 zusammengestellten Dreipole immer die durchgehende Verbindung unten haben. Es muss also die Frage beantwortet werden, ob die dort angegebenen Z-Parameter ohne Vorzeichenänderung für die Matrizenaddition übernommen werden können. Für die im Abschnitt 10.3 angegebenen Dreipole bedeutet die Änderung der durchgehenden Verbindung eine Richtungsumkehr sämtlicher Ströme und Spannungen:

Bild 10.56 Richtungsumkehr sämtlicher Strom- und Spannungsgrößen

Um aus den Vierpolgleichungen für das linke Bild zu den Vierpolgleichungen für das rechte Bild zu kommen, müssen alle Ströme und Spannungen negativ werden, weil alle negativen Ströme und Spannungen umgekehrt gerichtet sind; das bedeutet rechnerisch eine Multiplikation der Gleichungen mit – 1: "

U1 "

U2

"

"

"

"

"

"

"

Z11 ˜ I1  Z12 ˜ I 2 "

Z21 ˜ I1  Z22 ˜ I 2

"

 U1 "

 U2

"

"

"

"

"

"

"

"

Z11 ˜ ( I1 )  Z12 ˜ ( I 2 ) Z21 ˜ (I1 )  Z22 ˜ ( I 2 )

Das Übertragungsverhalten eines Dreipols, das durch die Z-Parameter bestimmt ist, verändert sich also nicht, wenn alle Größen umgedreht werden. Die Vorzeichen der Z-Parameter bleiben damit unverändert, wenn der Dreipol auf den Kopf gestellt wird. Die in der Tabelle 10.3, S. 186–188 angegebenen Z-Parameter können also unverändert zu den Z-Parametern des Vierpols 1 addiert werden. Im Bild 10.55 sind selbstverständlich die Ströme und Spannungen wie gewohnt mit positiven Größen bezeichnet. Beispiele: 1. Symmetrischer Brücken-T-Vierpol:

Bild 10.57 Brücken-T-Vierpol als Reihen-Reihen-Schaltung

10.7 Zusammenschalten zweier Vierpole

235

2. Rückgekoppelter Transistor in Emitterschaltung: (Strom-Spannung-Rückkopplung)

Bild 10.58 Transistorstufe in Reihen-Reihen-Schaltung

Zum Beispiel im Abschnitt 10.7.1: Zweistufiger Verstärker im Bild 10.50, S. 227 Der Vierpol 3 des zweistufigen Verstärkers ist eine Reihen-Reihen-Schaltung wie die Transistorstufe im Bild 10.58, für die die Z-Parameter addiert werden müssen. Für den Transistor BC 237 (Vierpol 3.1) sind die H-Parameter für die Emitterschaltung aus Datenbüchern gegeben (siehe S. 198): h12e = 1,5 · 10–4,

h11e = 2,7k:,

h21e = 220,

h22e = 18PS,

die mit Hilfe der Umrechnungsformeln (siehe Tabelle S. 181) in Z-Parameter umgewandelt werden:

(z e )

§ det h e ¨ h ¨ 22e ¨  h 21e ¨ h © 22e

h12e · h 22e ¸ ¸ 1 ¸ h 22e ¸¹

§ 15,6 ˜ 103 ¨ ¨ 18PS ¨ 220 ¨  18PS ©

1,5 ˜ 104 · ¸ 18PS ¸ ¸ 1 ¸ 18PS ¹

8,33 : · § 866,7 : ¨ 12,2 M: 55,56 k: ¸ © ¹

Der Emitterwiderstand RE beträgt 3,3k: und ist ein Querwiderstand (Vierpol 3.2). In der Tabelle auf S. 186 sind die Z -Parameter des Querwiderstandes angegeben: (ZQ )

§ Z Z· ¨ Z Z¸ © ¹

§ RE ¨R © E

RE · R E ¸¹

§ 3,3k: 3,3k: · ¨ 3,3k: 3,3k: ¸ © ¹

Die Z-Parameter des Vierpols 3 betragen dann (ZVP3 )

8,33 :  3,3k: · § 866,7 :  3,3k: ¨ ¸  :  : 12, 2 M 3,3k 55,6 k:  3,3k: ¹ ©

§ 4,167 k: 3,308k: · ¨ ¸ © 12, 2 M: 58,86 k: ¹

236

10 Vierpoltheorie

10.7.4 Die Reihen-Parallel-Schaltung zweier Vierpole Prinzipielle Zusammenschaltung

Bild 10.59 Reihen-Parallel-Schaltung zweier Vierpole

Wegen der Reihenschaltung der Eingänge der beiden Vierpole ist der Eingangsstrom des Gesamtvierpols gleich den Eingangsströmen der beiden Einzelvierpole und die Eingangsspannung des Gesamtvierpols gleich der Summe der Eingangsspannungen der beiden Einzelvierpole und wegen der Parallelschaltung der Ausgänge der beiden Vierpole ist die Ausgangsspannung des Gesamtvierpols gleich den Ausgangsspannungen der beiden Einzelvierpole und der Ausgangsstrom des Gesamtvierpols gleich der Summe der Ausgangsströme der beiden Einzelvierpole: I1

'

"

I1

U1

U2

I1 '

"

U1  U1

I2

'

"

U2 '

U2 "

I2  I2

Vierpolparameter der Reihen-Parallel-Schaltung: Die Vierpolgleichungen der Einzelvierpole 1 und 2 in Matrizenschreibweise können nur in Hybridform § U' · ¨ 1¸ ¨ I' ¸ © 2¹

§ H' ¨ 11 ¨ H' © 21

' · § ' · I H12 ¸˜¨ 1 ¸ ' ¸ ¨ ' ¸ H 22 ¹ © U 2 ¹

§ U" · und ¨ 1 ¸ ¨ I" ¸ © 2¹

§ H" ¨ 11 ¨ H" © 21

" · § " · I H12 ¸˜¨ 1 ¸ " ¸ ¨ "¸ H 22 ¹ © U 2 ¹

in die Vierpolgleichungen des Gesamtvierpols in Hybridform überführt werden, weil nach obigen Beziehungen die expliziten Spaltenmatrizen addiert werden müssen: § U ' · § U" · ¨ 1¸  ¨ 1¸ ¨ I' ¸ ¨ I" ¸ © 2¹ © 2¹

§ H' ¨ 11 ¨ H' © 21

' · § ' · § " I H12 H ¸ ˜ ¨ 1 ¸  ¨ 11 ' ¸ ¨ ' ¸ ¨ " H 22 ¹ © U 2 ¹ © H 21

" · § " · I H12 ¸˜¨ 1 ¸ " ¸ ¨ "¸ H 22 ¹ © U 2 ¹

10.7 Zusammenschalten zweier Vierpole

237

Die beiden expliziten Spaltenmatrizen addiert ergeben die Spaltenmatrix des Gesamtvierpols. Wird gleichzeitig berücksichtigt, dass die Eingangsströme und die Ausgangsspannungen gleich sind, dann können mit § I1' · ¨ ¸ ¨ U' ¸ © 2¹

§ I1" · ¨ ¸ ¨ U" ¸ © 2¹

§ I1 · ¨ ¸ ¨U ¸ © 2¹

die Striche in den impliziten Spaltenmatrizen entfallen § U '  U" · 1¸ ¨ 1 ¨ I'  I" ¸ 2 ¹ © 2

§ H' ¨ 11 ¨ ' © H 21

' · § I · § H" H12 ¸ ˜ ¨ 1 ¸  ¨ 11 H '22 ¹¸ ©¨ U 2 ¹¸ ©¨ H"21

" · § I · H12 ¸ ˜ ¨ 1 ¸, H"22 ¹¸ ©¨ U 2 ¹¸

die impliziten Spaltenmatrizen ausgeklammert §U · ¨ 1¸ ¨I ¸ © 2¹

ª§ H ' «¨ 11 «¨© H '21 ¬

' · § " H12 H ¸  ¨ 11 H '22 ¸¹ ¨© H"21

" ·º § I · H12 ¸» ˜ ¨ 1 ¸ H"22 ¸¹ »¼ ¨© U 2 ¸¹

und die Hybridmatrizen addiert werden: §U · ¨ 1¸ ¨ ¸ © I2 ¹

§ H '  H" 11 ¨ 11 ¨ H '  H" 21 © 21

' " · § I ·  H12 H12 ¸ ˜ ¨ 1 ¸. H '22  H"22 ¹¸ ©¨ U 2 ¹¸

Mit den Vierpolgleichungen des Gesamtvierpols § U1 · ¨I ¸ © 2¹

§ H11 ¨H © 21

H12 · § I1 · ˜ H 22 ¸¹ ¨© U 2 ¸¹

ergibt sich der Zusammenhang zwischen den Vierpolparametern der Einzelvierpole und den Vierpolparametern des Gesamtvierpols in Hybridform: §H H12 · ¨ 11 ¸ ¨H ¸ H © 21 22 ¹

' " · § H '  H" 11 H12  H12 ¸ ¨ 11 ' " ¸ ¨ H '  H" © 21 21 H 22  H 22 ¹

(10.73)

Die Hybridmatrix von zwei Vierpolen in Reihen-Parallel-Schaltung wird berechnet, indem die entsprechenden Hybrid-Vierpolparameter der Einzelvierpole addiert werden. Vorzeichen der Vierpolparameter des Rückkopplungsvierpols Im Vierpol 2 der prinzipiellen Zusammenschaltung im Bild 10.59 geht die durchgehende Verbindung eines Dreipols von links oben nach rechts unten, während die in der Tabelle der Vierpolparameter passiver Vierpole, S. 186–188 zusammengestellten Dreipole die durchgehende Verbindung unten haben. Daraus ergibt sich die Frage, ob und wie die Vorzeichen der Vierpolparameter geändert werden müssen, ehe sie zu den Parametern des Vierpols 1 addiert werden können.

238

10 Vierpoltheorie

Für die in der Tabelle angegebenen Dreipole bedeutet die Änderung der durchgehenden Verbindung nur eine Richtungsumkehr der beiden Eingangsgrößen:

Bild 10.60 Richtungsumkehr der beiden Eingangsgrößen

Um aus den Vierpolgleichungen für das linke Bild zu den Vierpolgleichungen für das rechte Bild zu kommen, müssen der Eingangsstrom und die Eingangsspannung negativ werden, weil die negativen Größen umgekehrt gerichtet sind; das bedeutet rechnerisch eine Multiplikation der ersten Gleichung mit – 1 und in der zweiten Gleichung eine Erweiterung mit – 1:

U1"

" " H11 ˜ I1"  H12 ˜ U"2

 U1"

I"2

H"21 ˜ I1"  H"22 ˜ U"2

I"2

" " H11 ˜ (  I1" )  (  H12 ) ˜ U"2

(  H"21 ) ˜ (  I1" ) 

H"22 ˜ U"2

Das Übertragungsverhalten eines Dreipols, das durch die H-Parameter bestimmt ist, ändert sich also, wenn die Größen am Eingang umgedreht werden. Die Parameter H12 und H21 erhalten umgekehrte Vorzeichen. Die in der Tabelle S. 186–188 angegebenen H-Parameter müssen also hinsichtlich dieser beiden Parameter geändert werden, ehe sie zu den H-Parametern des Vierpols 1 addiert werden. Im Bild 10.59 sind selbstverständlich die Eingangsgrößen wie gewohnt mit positiven Größen bezeichnet. Geänderte prinzipielle Zusammenschaltung Damit die Vierpolparameter des Rückkopplungsvierpols unverändert mit den Parametern des Vierpols 1 zusammengefasst werden können, lässt sich auch die Zusammenschaltung so verändern, dass die durchgehende Verbindung des Vierpols 2 wie bei der Reihen-ReihenSchaltung oben liegt. Dadurch werden die Ausgangsgrößen des Rückkopplungsvierpols umgedreht, also der Ausgang „umgepolt“:

Bild 10.61 Geänderte Reihen-Parallel-Schaltung

10.7 Zusammenschalten zweier Vierpole

239

Für die Eingangs- und Ausgangsgrößen gelten dann folgende Bedingungen: '

"

I1

I1 U1

I1

U2

'

"

U1  U1

I2

'

"

U2 '

U 2 "

I2  I2

Vierpolgleichungen der geänderten Reihen-Parallel-Schaltung Die Vierpolgleichungen des Vierpols 1 § U' · ¨ 1¸ ¨ I' ¸ © 2¹

§ H' ¨ 11 ¨ H' © 21

' · § ' · I H12 ¸˜¨ 1 ¸ ' ¸ ¨ ' ¸ H 22 ¹ © U 2 ¹

und die Vierpolgleichungen des Vierpols 2 "

U1 "

I2

"

"

"

"

"

"

"

"

H11 ˜ I1  H12 ˜ U 2 H 21 ˜ I1  H 22 ˜ U 2

mit – 1 erweitert bzw. mit – 1 multipliziert "

U1 "

I 2

"

"

"

"

H11 ˜ I1  ( H12 ) ˜ ( U 2 ) "

"

"

"

(H 21 ) ˜ I1  H 22 ˜ ( U 2 )

und in Matrizenform geschrieben § U" · ¨ 1¸ ¨ "¸ ©  I2 ¹

" · § " · § H" I  H12 ¨ 11 ¸˜¨ 1 ¸ " ¸ ¨ ¨  H" H 22 ¹ ©  U"2 ¹¸ 21 ©

werden bei Beachtung obiger Beziehungen genauso zusammengefasst wie bei der ursprünglichen Zusammenschaltung:

§U · ¨ 1¸ ¨ ¸ © I2 ¹

§ U ' · § U" · ¨ 1¸  ¨ 1 ¸ ¨ ' ¸ ¨ "¸ © I2 ¹ ©  I2 ¹

' · § " ·º § ª§ H ' I · H12 H"  H12 «¨ 11 ¸  ¨ 11 ¸» ˜ ¨ 1 ¸ ' ¸ ¨ " " ¸» ¨ ¸ «¨ ' ¬© H 21 H 22 ¹ ©  H 21 H 22 ¹ ¼ © U 2 ¹

d. h. §H ¨ 11 ¨H © 21

H12 · ¸ H 22 ¸¹

' " · § H '  H" 11 H12  H12 ¨ 11 ¸ ' " ¸ ¨ H '  H"  H H 21 22 22 ¹ © 21

(10.74)

Bei der geänderten Reihen-Parallel-Schaltung nach Bild 10.61 werden die Vierpolparameter der Gesamtschaltung berechnet, indem bei den H11- und H22-Parametern die Summen und bei den H12- und H21-Parametern die Differenzen gebildet werden. Während also bei der ursprünglichen Reihen-Parallelschaltung zuerst die beiden Parameter " und H " des Vierpols 2 hinsichtlich des Vorzeichens geändert werden müssen, bleiH12 21 ben die Parameter in der geänderten Reihen-Parallel-Schaltung unverändert und die Summen bzw. Differenzen nach Gl. 10.74 werden gebildet. Die bisherigen Untersuchungen ergeben aber auch, dass bei Umpolung eines Vierpols am Eingang oder am Ausgang die Parameter H12 und H21 hinsichtlich des Vorzeichens geändert werden müssen.

240

10 Vierpoltheorie Beispiele: 1. Kollektorschaltung als rückgekoppelter Transistor in Emitterschaltung ohne Kollektorwiderstand (Spannung-Spannung-Rückkopplung):

Bild 10.62 Kollektorschaltung als rückgekoppelte Emitterschaltung ohne RC Die im Bild 10.62 gezeichnete rückgekoppelte Emitterschaltung stimmt bis auf den Ausgang der Gesamtschaltung, der nochmals umgepolt ist, mit der geänderten ReihenParallel-Schaltung im Bild 10.61 überein. Deshalb müssen die H-Parameter der Gesamtschaltung nochmals entsprechend geändert werden:

H

'  H" '  H" ) · § H11 (H12 11 12 ¨ ¸ ' " ' H 22  H"22 ¹ © (H 21  H 21 )

2. Kollektorschaltung als rückgekoppelter Transistor in Emitterschaltung mit Kollektorwiderstand:

Bild 10.63 Kollektorschaltung als rückgekoppelte Emitterschaltung mit RC Der Kollektorwiderstand ist als Längswiderstand in Kette zum Transistor geschaltet und verändert dessen Parameter. Wie die Vierpolparameter einer Kettenschaltung berechnet werden, wird im Abschnitt 10.7.6, S. 244 behandelt.

10.7 Zusammenschalten zweier Vierpole

241

3. Phasenumkehrstufe

Bild 10.64 Phasenumkehrstufe

Umpolung eines Vierpols am Ausgang oder am Eingang Auf die gleiche Weise wie bei den H-Parametern kann nachgewiesen werden, dass sich jeweils auch die Vorzeichen von Y12 und Y21, Z12 und Z21 sowie C12 und C21 ändern, wenn der Ausgang des Vierpols umgepolt wird. Dagegen ändern sich sämtliche A-Parameter bei Umpolung des Vierpols am Ausgang:

I1  I2

Y11 ˜ U1  (  Y12 ) ˜ (  U 2 ) (  Y 21 ) ˜ U1 

Y 22 ˜ (  U 2 )

U1

Z11 ˜ I1  (  Z12 ) ˜ (  U 2 )

 U2

(  Z21 ) ˜ I1 

Z22 ˜ (  I 2 )

bzw.

I1  U2

C11 ˜ U1  (  C12 ) ˜ (  I 2 ) ( C21 ) ˜ U1 

C22 ˜ (  I 2 )

U1

(  A11 ) ˜ (  U 2 )  (  A12 ) ˜ I 2

I1

(  A21 ) ˜ (  U 2 )  (  A22 ) ˜ I 2

Bei Umpolung am Eingang werden entsprechend die Eingangsgrößen mit Minuszeichen versehen, wodurch sich die gleichen Vorzeichenänderungen bei den Vierpolparametern ergeben wie bei Umpolung am Ausgang. 10.7.5 Die Parallel-Reihen-Schaltung zweier Vierpole Prinzipielle Zusammenschaltung

Bild 10.65 Parallel-Reihen-Schaltung zweier Vierpole

242

10 Vierpoltheorie

Wegen der Parallelschaltung der Eingänge der beiden Vierpole ist die Eingangsspannung des Gesamtvierpols gleich den Eingangsspannungen der beiden Einzelvierpole und der Eingangsstrom des Gesamtvierpols gleich der Summe der Eingangsströme der beiden Einzelvierpole und wegen der Reihenschaltung der Ausgänge der beiden Vierpole ist der Ausgangsstrom des Gesamtvierpols gleich den Ausgangsströmen der beiden Einzelvierpole und die Ausgangsspannung des Gesamtvierpols gleich der Summe der Ausgangsspannungen der beiden Einzelvierpole: '

"

U1

U1

I1

I1  I1

'

I2

U1 "

U2

'

"

I2

I2 '

"

U2  U2

Vierpolparameter der Parallel-Reihen-Schaltung Die Vierpolgleichungen der Einzelvierpole 1 und 2 in Matrizenschreibweise können nur in Parallel-Reihen-Form § I1' · ¨ ¸ ¨ U' ¸ © 2¹

' · § ' · § C' C12 U ¨ 11 ¸ ˜ ¨ 1¸ ' ¸ ¨ ' ¸ ¨ C' © 21 C22 ¹ © I 2 ¹

§ I" · und ¨ 1 ¸ ¨ U" ¸ © 2¹

§ C" C" · § U" · 12 ¸ ¨ 11 ˜ ¨ 1¸ ¨ C" C" ¸ ¨ I" ¸ 22 ¹ © 2 ¹ © 21

in die Vierpolgleichungen des Gesamtvierpols in Parallel-Reihen-Form überführt werden, weil nach obigen Beziehungen die expliziten Spaltenmatrizen addiert und die impliziten Spaltenmatrizen ausgeklammert werden müssen:

§I · ¨ 1 ¸ ¨ ¸ © U2 ¹

§ I' · § I" · ¨ 1 ¸¨ 1 ¸ ¨ ' ¸ ¨ "¸ © U2 ¹ © U2 ¹

' · § " " ·º § ª § C' C12 C C12 U · «¨ 11 ¸  ¨ 11 ¸» ˜ ¨ 1 ¸ ' ' " " ¸ ¨ ¸» ¨ ¸ «¨ ¬© C21 C22 ¹ © C21 C22 ¹ ¼ © I 2 ¹

d. h. §C C12 · ¨ 11 ¸ ¨C ¸ © 21 C22 ¹

' " · § C'  C" 11 C12  C12 ¸ ¨ 11 . ¨ C'  C" C'  C" ¸ 21 22 22 ¹ © 21

(10.75)

Die C-Parameter von zwei Vierpolen in Parallel-Reihen-Schaltung werden berechnet, indem die entsprechenden C-Parameter der Einzelvierpole addiert werden. Bei zwei zusammengeschalteten Dreipolen müssen die Vorzeichen der Parameter C12 und C21 geändert werden, weil der Ausgang oder der Eingang des Rückkopplungsvierpols umgepolt werden muss, wie im vorigen Abschnitt nachgewiesen wurde. Transistoren in Parallel-Reihen-Schaltung finden in der Praxis keine Anwendung. Bei der Umrechnung von he-Parameter in hb-Parameter im Abschnitt 10.8 (Bild 10.69, S. 248) wird von einer Parallel-Reihen-Schaltung ausgegangen.

10.7 Zusammenschalten zweier Vierpole

243

10.7.6 Die Ketten-Schaltung zweier Vierpole Prinzipielle Zusammenschaltung

Bild 10.66 Kettenschaltung zweier Vierpole

Bei der Kettenschaltung wird das Signal am Eingang über beide Vierpole zum Ausgang übertragen, so dass es sich bei dieser Schaltung um keine Rückkopplungsschaltung handeln kann wie bei den anderen vier Arten der Zusammenschaltung. Die Eingangsgrößen des Gesamtvierpols sind gleich den Eingangsgrößen des Vierpols 1 und die Ausgangsgrößen des Gesamtvierpols sind gleich den Ausgangsgrößen des Vierpols 2. Zwischen den beiden Vierpolen ist die Ausgangsspannung des Vierpols 1 gleich der Eingangsspannung des Vierpols 2 und der Ausgangsstrom des Vierpols 1 ist umgekehrt gerichtet wie der Eingangsstrom des Vierpols 2: '

U1

U1 I1

U2

'

I1

I2

"

'

U2

U2

"

'

I2

 I2

"

U1 "

I1

Vierpolparameter der Ketten-Schaltung Die Vierpolgleichungen der Einzelvierpole 1 und 2 in Matrizenschreibweise können nur in Kettenform § U' · ¨ 1¸ ¨ I' ¸ © 1¹

' · § ' · § A' A12 U ¨ 11 ¸˜¨ 2 ¸ ' ¸ ¨ ' ¸ ¨ A' © 21 A 22 ¹ ©  I 2 ¹

§ U '' · ¨ 1¸ ¨ I'' ¸ © 1¹

und

'' · § '' · § A'' A12 U ¨ 11 ¸˜¨ 2 ¸ '' ¸ ¨ '' ¸ ¨ A'' © 21 A 22 ¹ ©  I 2 ¹

in die Vierpolgleichungen des Gesamtvierpols in Kettenform überführt werden, indem die Matrizengleichung des Vierpols 2 in die Matrizengleichung des Vierpols 1 eingesetzt wird: Mit §U · ¨ 1¸ ¨I ¸ © 1 ¹

§ U' · ¨ 1¸ , ¨ I' ¸ © 1¹

§U · ¨ 1¸ ¨ ¸ © I1 ¹

ª§ A' A' · § A" A" · º § U · «¨ 11 12 ¸ ˜ ¨ 11 12 ¸ » ˜ ¨ 2 ¸ . ' ¸ ¨ " " ¸» ¨ ¸ «¨ ' ¬© A 21 A 22 ¹ © A 21 A 22 ¹ ¼ ©  I 2 ¹

§U · ¨ 2¸ ¨I ¸ © 2¹

§ U" · ¨ 2¸ ¨  I" ¸ © 2¹

§ U' · und ¨ 2 ¸ ¨  I' ¸ © 2¹

ist

Mit den Vierpolgleichungen des Gesamtvierpols § U1 · ¨I ¸ © 1¹

§ A11 A12 · § U 2 · ¨A A ¸ ˜ ¨I ¸ © 21 22 ¹ © 2 ¹

§ U" · ¨ 1¸ ¨ I" ¸ © 1¹

244

10 Vierpoltheorie

ergibt sich der Zusammenhang zwischen den Vierpolparametern der Einzelvierpole und den Vierpolparametern des Gesamtvierpols bei Kettenschaltung: §A A12 · ¨ 11 ¸ ¨A ¸ © 21 A 22 ¹

' · § " " · § A' A12 A A12 ¨ 11 ¸ ˜ ¨ 11 ¸. ' ¸ ¨ " " ¸ ¨ A' © 21 A 22 ¹ © A 21 A 22 ¹

(10.76)

Die beiden Matrizen können übersichtlich multipliziert werden, wenn das Falksche Schema angewendet wird (siehe Band 1, Abschnitt 2.3.6.1, S. 112). Sowohl die Vierpole 1 und 2 in der Kettenschaltung wie auch die Faktoren der Matrizenmultiplikation dürfen nicht vertauscht werden, weil sich sonst eine andere Schaltung ergäbe und weil die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist. Falksches Schema der Matrizenmultiplikation: "

"

A11

A12

"

"

A 21 '

'

A11 '

'

"

'

"

'

"

'

"

A11 · A11 + A12 · A 21

A12 '

A 21

A 22

A 21 · A11 + A 22 · A 21

A 22

'

"

'

"

'

"

'

"

A11 · A12 + A12 · A 22 A 21 · A12 + A 22 · A 22

Beispiele: 1. Die T-Schaltung soll als Kettenschaltung eines *-Vierpols II und eines Längswiderstandes aufgefasst werden. Aus den Vierpolparametern der Einzelvierpole sollen die Vierpolparameter der Kettenschaltung bestimmt und mit den Angaben in der Tabelle im Abschnitt 10.3, S. 186–188 kontrolliert werden.

Bild 10.67 Beispiel 1: T-Schaltung als Kettenschaltung Lösung: Die A-Parameter des *-Vierpols II (siehe S. 187) und die A-Parameter des Längswiderstandes (siehe S. 186), werden im Falkschen Schema eingetragen, in der die Matrizenmultiplikation vorgenommen werden kann: 1 Z3 0

1

Z1 Z2

1 Z2

Z1 1

1

Z1 Z2

1 Z2

1

§ Z1 · ¨¨1  ¸¸ ˜ Z3  Z1 Z 2¹ © Z3 1 Z2

Die sich durch die Matrizenmultiplikation ergebenden A-Parameter des T-Vierpols stimmen mit den Angaben auf S. 187 überein.

10.7 Zusammenschalten zweier Vierpole

245

2. Von der im Bild 10.68 gezeichneten Filterkette, die als Kettenschaltung zweier Vierpole aufgefasst wird, soll die reziproke Leerlauf-Spannungsübersetzung berechnet werden:

Bild 10.68 RC-Filterkette des Beispiels der Kettenschaltung Lösung: Die Filterkette ist eine Kettenschaltung einer T-Schaltung und einer S-Schaltung, deren A-Parameter in der Tabelle auf S. 187 gegeben sind. Die reziproke Leerlauf-Spannungsübersetzung ist gleich dem Vierpolparameter A11 (siehe S. 179: Kettenform der Vierpolgleichungen), der sich aus den A-Parametern der Einzelvierpole berechnen lässt:

A11 mit

'

"

'

"

A11 ˜ A11  A12 ˜ A 21 '

A11 "

A11 '

A12 "

A 21

'

1

Z1

1  jZRC

'

Z2 "

1

Z2

1  jZRC

"

Z3

'

'

'

Z1  Z3  1 "

Z1



1 "

Z3

'

Z1 Z3 ' Z2

2R  jZR 2 C

"



Z2 " "

Z1 Z3

2 jZC  Z 2 RC2

A11

(1  jZRC) 2  (2R  jZR 2C)(2 jZC  Z2 RC 2 )

A11

1  2 jZRC  Z2 R 2C 2  4 jZRC  2Z2 R 2C 2  2Z2 R 2C 2  jZ3R 3C3

A11

(1  5Z2 R 2C 2 )  jZRC(6  Z2 R 2C 2 )

3. Im Abschnitt 10.4 sind im Anwendungsbeispiel 2, S. 198–200 bzw. S. 209 die Betriebskenngrößen eines Transistorverstärkers berechnet worden. Für das Ersatzschaltbild im Bild 10.29, S. 198 können nun mit Hilfe der Matrizenmultiplikation die A-Parameter der Kettenschaltung und anschließend die Betriebskenngrößen berechnet werden. Querwiderstand Basisspannungsteiler:

 A'

§ 1 0· ¨ ¸ ¨ 1 1¸ ¨Z ¸ © ¹

§ 1 ¨ ¨ 1 ¨R © B

0· ¸ 1 ¸¸ ¹

1 0· § ¨ ¸ 1 ¨ ¸ 1 ¨ 6,52 k: ¸ © ¹

1 0· § ¨ 153,3 ˜ 106 S 1 ¸ © ¹

246

10 Vierpoltheorie

Transistor: Umrechnung der he-Parameter in die A-Parameter

A

§ det h e ¨ h 21e ¨ ¨ h 22e ¨  © h 21e

A

§ 70,91 ˜ 106 12,27 : · ¨ 9 S 4,545 ˜ 103 ¸ 81,82 10  ˜ © ¹

"

"

h11e · h 21e ¸¸ 1 ¸  ¸ h 21e ¹

§ 15,6 ˜ 103 ¨ 220 ¨ ¨ 18 PS ¨  220 ©





2,7 k: · ¸ 220 ¸ 1 ¸  ¸ 220 ¹

Querwiderstand Kollektorwiderstand:

 A'"

§ 1 0· ¨ ¸ ¨ 1 1¸ ¨Z ¸ © ¹

§ 1 ¨ ¨ 1 ¨R © C

0· ¸ 1 ¸¸ ¹

0· § 1 ¨ ¸ 1 ¨ ¸ 1 ¨ 4,7 k: ¸ © ¹

1 0· § ¨ ¸ 6  © 212,8 ˜ 10 S 1 ¹

Matrizenmultiplikationen: – 70,91 · 10–6 1 153,3 ·

0 10–6S

1

– 81,82 · – 70,91 ·

10–6

– 92,69 ·

10–9S

– 4,545 ·

10–3

212,8 ·

10–6S

– 2,682 ·

– 12,27: – 6,426 ·

0

1

– 12,27:

10–9S

10–3

10–3

10–6S

– 1,46 ·

1 – 12,27: – 6,426 · 10–3

Die Ergebnisse für die Betriebskenngrößen können nun mit den A-Parametern bestätigt werden, indem die Rechenergebnisse mit denen auf S. 199–200 bzw. S. 209 verglichen werden:

Zin

A11  A12 ˜ Ya A 21  A 22 ˜ Ya

1,46 ˜ 106 S  6,426 ˜ 103 / 3k:

V uf

1 A11  A12 ˜ Y a

2,682 ˜ 103

V if



Zout

Z22

 2,682 ˜ 103  12,27 : / 3k: 1

Ya A 21  A 22 ˜ Y a

A 22 A 21



 12,27 : / 3k:

1,88k:

148

1 / 3k: 1,46 ˜ 10 6 S  6,426 ˜ 103 / 3k:

6, 426 ˜ 103 1, 46 ˜ 106 S

92,5

4, 4 k:

In der Gl. (10.40) auf S. 208 für Leistungsverstärkung

Vp

^

Ga



* * Re  A 21  A 22 ˜ Ya ˜ A11  A12 ˜ Ya*

`

sind die A-Parameter reell: Vp

Ga (A 21  A 22 ˜ G a ) (A11  A12 ˜ G a )

Vp

1/ 3k: ( 1,46 ˜ 106 S  6,426 ˜ 103 /3k:) ( 2,682 ˜ 103  12,27:/ 3k:)

Vp

13665  41,35dB

10.7 Zusammenschalten zweier Vierpole

247

4. Für den zweistufigen Verstärker im Bild 10.50 (siehe Abschnitt 10.7.1, S. 227) können nun die A-Parameter mit Hilfe der Matrizenmultiplikation berechnet werden. Transistor (Vierpol 1): Umrechnung der he-Parameter in A-Parameter Der Transistor BC 307 hat die gleichen he-Parameter wie der Transistor BC 237 im vorigen Beispiel, deshalb können die Vierpolparameter in Kettenform übernommen werden:

A '

§ 70,91 ˜ 106 12,27 : · ¨ 9  3 ¸ © 81,82 ˜ 10 S 4,545 ˜ 10 ¹

Querwiderstand (Vierpol 2): 15k: || 82k: || 820k: = 12,49k:

1 0· § 1 0· § 1 0· § ¨ 1/Z 1 ¸ ¨ 1/12,49 k: 1 ¸ ¨ 80,08 ˜ 106 S 1 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ Reihen-Reihen-Schaltung (Vierpol 3): Umrechnung der Z-Parameter in A-Parameter Im Abschnitt 10.7.3, S. 235 wurden die Z-Parameter der Reihen-Reihen-Schaltung bereits berechnet, die für die Kettenschaltung umgerechnet werden müssen (siehe Tabelle S. 181):

A "

A

§ Z11 ¨Z ¨ 21 ¨ 1 ¨ © Z21

A

§ 341,0 ˜ 106 3,328k: · ¨ 9 S 4,817 ˜ 103 ¸  ˜ 81,83 10 © ¹

'"

'"

det Z · Z21 ¸¸ Z 22 ¸ ¸ Z21 ¹

§ 4,167 k: ¨ ¨ 12,2M: ¨ 1 ¨ © 12,2M:

40,67 ˜ 109 : 2 · ¸ 12,2M: ¸ 58,86k: ¸ ¸ 12,2M: ¹

Querwiderstand (Vierpol 4): Kollektorwiderstand 15k:

§ 1 0· ¨ 1/Z 1 ¸ © ¹ Matrizenmultiplikationen (A"" )

– 70,91 · 10–6 – 81,82 · 10–9S

– 1,053 · 10–3 – 445,8 · 10–9S

1,363 · 10–6 523,9 · 10–12S

0· § 1 ¨ 1/15k: 1 ¸ © ¹

1 0· § ¨ 66,67 ˜ 106 S 1 ¸ © ¹ 1 80,08 · 10–6S – 1,053 · 10–3 – 445,8 · 10–9S

12,27: – 4,545 · 10–3

– 341,0 · 10–6 – 81,83 · 10–9S

– 3,328 · 103: – 4,817 · 10–3

– 12,27: – 4,545 · 10–3

1,363 · 10–6 523,9 · 10–12 S

3,563: 1,506 · 10–3 0 1

3,563: 1,506 · 10–3

1 66,67 · 10–6S 238,9 · 10–6 100,9 · 10–9S

– 12,27: – 4,545 · 10–3

0 1

3,563: 1,506 · 10–3

Mit Hilfe der A-Parameter können nun die Betriebskenngrößen berechnet werden, z. B. beträgt die Spannungsverstärkung des zweistufigen Verstärkers: V uf

1 A11

1 238,9 ˜ 106

4186  72,4dB

248

10 Vierpoltheorie

10.8 Die Umrechnung von Vierpolparametern von Dreipolen Notwendigkeit der Umrechnung Im Bild 10.62, S. 240 ist die Kollektorschaltung als rückgekoppelte Emitterschaltung dargestellt, weil für Transistoren die he-Parameter in Datenbüchern angegeben sind. Wären die hc-Parameter bekannt, könnten die Betriebskenngrößen einfacher berechnet werden, indem nur von dem Transistor ausgegangen wird, der mit dem Emitterwiderstand belastet ist. Im Anwendungsbeispiel 3 des Abschnitts 10.4, S. 201–202 sind die Betriebskenngrößen der Emitterschaltung mit den Betriebskenngrößen der Kollektor- und Basisschaltung verglichen worden. In die Formeln der Betriebskenngrößen gehen die hc- und hbParameter ein, die aus den he-Parametern errechnet werden müssen. Die in der Praxis geltenden Formeln für die Umrechnung, die auf S. 201 angegeben sind, sollen im folgenden mit verschiedenen Verfahren hergeleitet werden. Umrechnung der Vierpolparameter mittels Umpoler-Zusammenschaltungen Die Kollektorschaltung kann als Reihen-Parallel-Schaltung und die Basisschaltung als Parallel-Reihen-Schaltung des Transistors in Emitterschaltung und des Umpolers aufgefasst werden:

Bild 10.69 Kollektor- und Basisschaltung als Rückkopplungsschaltungen

Für die im Bild 10.69 links gezeichnete Kollektorschaltung sollen die Umrechnungsformeln hc = f (he) hergeleitet werden: Abgesehen von dem am Ausgang in Kette geschalteten Umpoler stimmt die ReihenParallel-Schaltung mit der im Bild 10.59, S. 236 überein. Der Umpoler am Ausgang bedeutet eine Vorzeichenumkehr der Parameter h12 und h21, wie im Abschnitt 10.7.4 beschrieben ist. Die h-Parameter der Gesamtschaltung (nach Gl. (10.73), S. 237) sind die hc-Parameter: '  h" '  h" ) · (h12 § h11c h12c · § h11 11 12 ¨ ¸, ¨h ¸ h '22  h"22 ¹ © 21c h 22c ¹ © (h '21  h"21 ) wobei die einfach gestrichenen Parameter die Transistorparameter in Emitterschaltung und die zweifach gestrichenen Parameter die des Umpolers sind, die in der Tabelle auf S. 188 stehen: Mit ' ' · §h " · § 0 1 · § h11 § h" h12 h12 11e h12e · und ¨ 11 ¨ ' ¸ ¨ ¸ ¸ ' " " ¸ ¨ © h 21 h 22 ¹ © h 21e h 22e ¹ © h 21 h 22 ¹ © 1 0 ¹

10.8 Die Umrechnung von Vierpolparametern von Dreipolen

249

ergeben sich die Umrechnungsformeln:

§ h11c ¨h © 21c

h12c · h 22c ¹¸

h11e (h12e  1) · § ¨ (h h 22e ¹¸ 21e  1) ©

d. h. h11c = h11e h12c = 1 – h12e h21c = – (h21e + 1) h22c = h22e

(10.77) (10.78) (10.79) (10.80)

Die Vierpolparameter der Basisschaltung ergeben sich durch Addition der c-Parameter, die in die h-Parameter umgerechnet werden müssen. Umrechnung der Vierpolparameter mittels vollständiger Leitwertmatrix Für einen Dreipol als Übertragungsvierpol in Vorwärtsbetrieb gibt es sechs verschiedene Möglichkeiten der Zusammenschaltung: Die Klemmen 1, 2 und 3 des Dreipols können an der durchgehenden Verbindung liegen und die übrigen beiden Klemmen können dann jeweils am Eingang bzw. Ausgang angeschlossen sein. Für Transistoren gibt es allerdings nur drei praktische Anwendungen, denn z. B. in der Basisschaltung liegt der Emitter am Eingang und der Kollektor am Ausgang und nicht umgekehrt. Grundsätzlich werden Vierpolparameter in Leitwertform umgerechnet: Sind die y-Parameter einer der sechs Grundschaltungen bekannt, dann lassen sich die y-Parameter der übrigen fünf Grundschaltungen mit Hilfe der vollständigen Leitwertmatrix des Dreipols (indefinite admittance matrix) berechnen. Beispiel: Die Leitwertmatrix eines Transistors in Emitterschaltung ist gegeben. Mit Hilfe der vollständigen Leitwertmatrix des Transistors lässt sich für die Basisschaltung die Leitwertmatrix ermitteln (siehe Bild 10.70):

Bild 10.70 Aufgabenstellung bei der Parameter-Umrechnung

250

10 Vierpoltheorie

Zunächst wird der Dreipol aus der Betriebsschaltung herausgelöst, so dass die drei Anschlussklemmen des Dreipols gleichberechtigt sind. Die drei Klemmen haben die Ströme I1, I2, I3 und die Spannungen U10, U20, U30 gegenüber dem Nullpotential. Das Gleichungssystem für den allgemeinen Dreipol in Matrizenschreibweise mit Leitwertparametern, die so genannten allgemeinen Leitwertgleichungen, § I1 · § y11 y12 y13 · § U10 · ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ I 2 ¸ ¨ y 21 y 22 y 23 ¸ ˜ ¨ U 20 ¸ ¸ ¨ ¨I ¸ ¨y ¸ © 3 ¹ © 31 y32 y33 ¹ © U 30 ¹ enthält die vollständige Leitwertmatrix, in der die Parameter y11, y12, y21 und y22 gegeben sind und die Parameter der 3. Zeile und 3. Spalte ergänzt werden müssen. Bild 10.71 Allgemeiner Dreipol In der vollständigen Leitwertmatrix sind die Zeilen- und Spaltensummen Null, wie mit den Kirchhoffschen Sätzen nachgewiesen werden kann:

y11  y12  y13 y21  y22  y23

0 0

y11  y21  y31 y12  y22  y32

0 0

y31  y32  y33 0 y13  y23  y33 0 Damit kann von einer gegebenen Leitwertmatrix die vollständige Leitwertmatrix gebildet werden. Zum Beispiel: gegeben: § I1 · ¨ ¸ © I2 ¹

§ y11 y12 · § U1 · ¸ ¨ ¸˜¨ © y 21 y 22 ¹ © U 2 ¹

Gleichungssystem mit vollständiger Leitwertmatrix: § I1 · ¨ ¸ ¨ I2 ¸ ¨ ¸ © I3 ¹

(y11  y12 ) y11 y12 § · § U10 · ¸ ¨ ¸ ¨   y y (y y ) 21 22 21 22 ¨ ¸ ˜ ¨ U 20 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © (y11  y 21 ) (y12  y 22 ) y11  y12  y 21  y 22 ¹ © U 30 ¹

Nun wird in dem Gleichungssystem die Zeile und Spalte gestrichen, die der gesuchten Schaltung mit der entsprechenden durchgehenden Verbindung bzw. der gemeinsamen Klemme entspricht. Zum Beispiel: Die durchgehende Verbindung bzw. gemeinsame Klemme ist „1“, d. h. die 1. Zeile und die 1. Spalte des Gleichungssystems werden gestrichen: y11 y12 ( y11  y12 ) · § U10 · § I1 · § ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ y 21 y 22 (y 21  y 22 ) ¸ ˜ ¨ U 20 ¸ ¨ I2 ¸ ¨ ¨ I ¸ ¨ ( y  y ) (y  y ) ¸ ¨ ¸ 6y 11 21 12 22 © 3¹ © ¹ © U 30 ¹ mit 6y = y11 + y12 + y21 + y22

10.8 Die Umrechnung von Vierpolparametern von Dreipolen

251

Schließlich wird der Rest der allgemeinen Leitwertgleichungen in Vierpolschreibweise zusammengefasst und nach Eingangs- und Ausgangsgrößen geordnet. Zum Beispiel: § I2 · ¨I ¸ © 3¹

y 22 (y 21  y 22 ) · § U 2 · § ¨ (y  y ) ¸˜¨U ¸ 6y 12 22 © ¹ © 3¹

Wie im Bild 10.70 zu sehen, ist der Eingangsstrom I3, die Eingangsspannung U3, der Ausgangsstrom I2 und die Ausgangsspannung U2. In den Vierpolgleichungen in Leitwertform befinden sich die Eingangsgrößen in der Spaltenmatrix oben und die Ausgangsgrößen unten. Da das in der entstehenden Matrizengleichung nicht der Fall ist, müssen die Gleichungen umgestellt werden: Aus I2 I3

y 22 ˜ U 2  (y 21  y 22 ) ˜ U3 (y12  y 22 ) ˜ U 2 

6y ˜ U 3

ergibt sich

I3 I2

6y ˜ U 3  (y12  y22 ) ˜ U 2 (y21  y22 ) ˜ U 3 

y22 ˜ U 2

Die Elemente der Leitwertmatrix müssen also in diesem Fall kreuzweise vertauscht werden: 6y (y12  y 22 · § U 3 · § I3 · § ¨ ¸ ¨ ¸ ˜ ¨U ¸ y 22 ¹ © 2¹ © I 2 ¹ © (y 21  y 22 Anwendungsbeispiel: Die he-Parameter des Transistors können damit in die hb-Parameter umgerechnet werden: § IB · ¨ ¸ ¨ IC ¸ ¨I ¸ © E¹

( y11e  y12e ) · § U B0 · y11e y12e § ¨ ¸ ¨ ¸ (y 21e  y 22e ) ¸ ˜ ¨ U C0 ¸ y 21e y 22e ¨ ¨ ( y  y ) (y  y ) ¸ ¨ ¸ 6y e 11e 21e 12e 22e © ¹ © U E0 ¹

§ IE · ¨I ¸ © C¹

6y e § ¨ (y  y 21e 22e ©

§ IE · ¨ ¸ © IC ¹

§ y11b ¨ © y 21b

(y12e  y 22e · § U E · ¸ ˜¨U ¸ y 22e ¹ © C¹

y12b · § U E · ¸ ¸˜¨ y 22b ¹ © U C ¹

d. h. y11b = 6ye = y11e + y12e + y21e + y22e y12b = – (y12e + y22e) y21b = – (y21e + y22e) y22b = y22e

(10.81) (10.82) (10.83) (10.84)

Mit den Umrechnungsformeln für die Vierpolparameter in der Tabelle S. 181 ergeben sich die Formeln für die gesuchten hb-Parameter: h11b = h11b

1 y11b

1 y11e  y12e  y 21e  y 22e 1

1 h11e



h12e h11e



h 21e h11e



det h e h11e

252

10 Vierpoltheorie h11b

h11e 1  h12e  h 21e  det he

|

h11e

(10.85)

1  h 21e

mit h12e
 h21e und det he
 h21e h12e det h e  h11e h11e 1 h12e h 21e det h e    h11e h11e h11e h11e

h12b

h12b

 h12e  det h e det h e  h12e | 1  h12e  h 21e  det h e 1  h 21e

mit

h 21b

h 21b

y11e

(y12e  y 22e )  y12e  y 21e  y 22e



y  12b y11b

(10.86)

h12e
 h21e und det he
 h21e

y 21b y11b

(y 21e  y 22e ) y11e  y12e  y 21e  y 22e

 (h 21e  det h e ) 1  h12e  h 21e  det he

|

§h det h e ·  ¨ 21e  ¸ h11e ¹ © h11e 1 h h det h e  12e  21e  h11e h11e h11e h11e

h 21e

(10.87)

1  h 21e

mit h12e
 h21e und det he
 h21e

h 22b

h 22b

h 22b h 22b

h 22b

h 22b

det y b

y11b ˜ y22b  y12b ˜ y21b

y11b

y11b

(y11e  y12e  y 21e  y 22e ) ˜ y 22e  (y12e  y 22e )(y 21e  y 22e ) y11e  y12e  y 21e  y 22e

y11e y22e  y12e y22e  y21e y22e  y22e 2  y12e y21e  y12e y22e  y22e y21e  y22e 2 y11e  y12e  y21e  y22e y11e ˜ y22e  y12e ˜ y21e

det ye

y11e  y12e  y21e  y22e

y11e  y12e  y21e  y22e

h 22e h11e 1 h12e h 21e det h e    h11e h11e h11e h11e h 22e 1  h12e  h 21e  det he

|

h 22e 1  h 21e

(10.88)

mit h12e
 h21e und det he
 h21e Die hc-Parameter können auf entsprechende Weise mit Hilfe der vollständigen Leitwertmatrix errechnet werden.

10.9 Die Wellenparameter passiver Vierpole

253

10.9 Die Wellenparameter passiver Vierpole Wellenparameter in der Vierpoltheorie Elektrische Leitungen sind Vierpole. Die Leitungstheorie ist deshalb ein Teil der Vierpoltheorie, obwohl das häufig nicht zu erkennen ist, weil in der Leitungstheorie weniger mit Vierpolparametern als mit Wellenparametern gearbeitet wird. Die wichtigsten Zusammenhänge zwischen diesen Parametern, die auch für das Verständnis von Sieb- und Filterschaltungen notwendig sind, sollen zusammengestellt werden. Wellenwiderstände passiver Vierpole Für einen linearen passiven Vierpol gibt es die beiden charakteristischen komplexen Widerstände: Eingangs-Wellenwiderstand Zw1 und Ausgangs-Wellenwiderstand Zw2. Wird ein passiver Vierpol am Ausgang mit dem Ausgangswellenwiderstand belastet, dann ist sein Eingangswiderstand Zin gleich dem Eingangswellenwiderstand und umgekehrt: wird an den Eingang dieses Vierpols der Eingangswellenwiderstand geschaltet, dann ist sein Ausgangswiderstand Zout gleich dem Ausgangswellenwiderstand:

Bild 10.72 Definition der Wellenwiderstände

Diese Definition der Wellenwiderstände ist nur für passive, also umkehrbare Vierpole sinnvoll. Beide Wellenwiderstände können mit den Formeln für die Betriebskenngrößen im Abschnitt 10.4, S. 196 aus den Vierpolparametern errechnet werden: Zin

Zout

A11  A12 ˜ Ya A 21  A 22 ˜ Y a

A11 ˜ Za  A12 A 21 ˜ Za  A 22

A11 ˜ Zw 2  A12 A 21 ˜ Zw 2  A 22

Zw1

A 22  A12 ˜ Y i A 21  A11 ˜ Y i

A 22 ˜ Zi  A12 A 21 ˜ Zi  A11

A 22 ˜ Zw1  A12 A 21 ˜ Zw1  A11

Zw 2

der rechte Teil der beiden Gleichungen ergibt A 21 ˜ Zw1 ˜ Zw 2  A 22 ˜ Zw1  A11 ˜ Zw 2  A12

0

A 21 ˜ Zw1 ˜ Zw 2  A11 ˜ Zw 2  A 22 ˜ Zw1  A12

0

254

10 Vierpoltheorie

Durch Addieren der beiden Gleichungen entsteht 2 ˜ A 21 ˜ Zw1 ˜ Zw 2

Durch Subtrahieren der beiden Gleichungen entsteht 2 ˜ A 22 ˜ Zw1

2 ˜ A12

oder

2 ˜ A11 ˜ Zw 2

oder Zw1 ˜ Zw 2

A12 A 21

(10.89)

Zw1 Zw 2

A11 A 22

(10.90)

Durch Multiplizieren und Dividieren der Gln. (10.89) und (10.90) entstehen Formeln, mit denen die Abhängigkeit der Wellenparameter von den Kettenparametern beschrieben wird:

Zw1

A11 ˜ A12 A 21 ˜ A 22

(10.91)

A 22 ˜ A12 A 21 ˜ A11

Zw 2

(10.92)

Mit den Betriebskenngrößen für Kurzschluss und Leerlauf im Abschnitt 10.4, S. 189 und S. 193 und den Umrechnungsformeln im Abschnitt 10.2, S. 181 Zin l

Z11

Zin k

H11

A11 A 21

A12 A 22

Zout l

Z22

A 22 A 21

Zout k

C22

A12 A11

können die Wellenwiderstände auch durch Eingangswiderstände und Ausgangswiderstände bei Kurzschluss und bei Leerlauf ermittelt werden: Zw1

Zin l ˜ Zin k

(10.93)

Zw 2

Zout l ˜ Zout k

(10.94)

Wellenwiderstand eines symmetrischen Vierpols Da ein symmetrischer Vierpol vorwärts und rückwärts die gleichen Übertragungseigenschaften hat, wie im Abschnitt 10.6, S. 221–223 beschrieben, hat er auch nur einen Wellenwiderstand Zw: Wird ein symmetrischer Vierpol am Ausgang mit dem Wellenwiderstand belastet, dann ist der Eingangswiderstand Zin gleich diesem Wellenwiderstand und umgekehrt: wird an den Eingang eines symmetrischen Vierpols der Wellenwiderstand geschaltet, dann ist der Ausgangswiderstand Zout gleich diesem Wellenwiderstand:

Bild 10.73 Wellenwiderstand eines symmetrischen Vierpols

10.9 Die Wellenparameter passiver Vierpole

255

Mit den Bedingungen für symmetrische Vierpole (siehe Tabelle S. 222) A11 = A22

und

det A = 1,

eingesetzt in die Formeln für die Wellenwiderstände Gln. (10.91) und (10.92), bestätigt sich, dass es bei einem symmetrischen Vierpol nur einen Wellenwiderstand gibt: Zw1

Zw 2

A12 . A 21

Zw

(10.95)

Es gibt auch nur noch einen Leerlaufwiderstand und einen Kurzschlusswiderstand am Eingang und Ausgang:

Zin l

A11 A 21

Zout l

Zl

(10.96)

Zin k

Zout k

A12 A11

Zk ,

(10.97)

die die Größe des Wellenwiderstandes bestimmen Zw

Zin l ˜ Zin k

Zout l ˜ Zout k

Zl ˜ Zk

(10.98)

Die Vierpolparameter eines symmetrischen Vierpols lassen sich damit durch Messung der Leerlauf- und Kurzschlusswiderstände ermitteln: det A = A11 · A22 – A12 · A21 = 1 mit

A11 = A22

und

A12 = A11 · Zk

und

A21 =

det A

nach Gl. (10.97)

A11 Zl

nach Gl. (10.96)

Z A112  A112 ˜ k Zl

§ Z · A112 ˜ ¨ 1  k ¸ Zl ¹ ©

1

d. h. A11

A 22

A12

A11 ˜ Zk

A 21

A11 Zl

1 Z 1 k Zl

Zk ˜

Zl Zl  Zk

Zl Zl  Zk

1 Zl ˜ (Zl  Zk )

(10.99)

(10.100)

(10.101)

256

10 Vierpoltheorie

Übertragungsmaß Die Übertragungseigenschaften eines passiven Vierpols, der mit dem Ausgangswellenwiderstand Za = Zw2 abgeschlossen ist, können durch das Wellenübertragungsmaß beschrieben werden: Strom-Wellenübertragungsmaß Spannungs-Wellenübertragungsmaß U I (10.102) g u ln 1 g i ln 1 (10.103) U2  I2 mittleres Wellenübertragungsmaß 1 ˜ (g u  g i ) a  j ˜ b g (10.104) 2 mit a Re ^g` Wellendämpfungsmaß und b

Im ^g`

Wellenphasenmaß (Winkelmaß).

Das mittlere Wellenübertragungsmaß g kann berechnet werden, wenn von einem passiven Vierpol die A-Parameter bekannt sind. Die hierfür gültige Formel soll hergeleitet werden. e gu  gi

e 2g

U1 I1 ˜ U 2  I2

egu ˜ egi

mit U1 U2

e gu

1 V uf

A11  A12 ˜ Y a

A11 

A12 Za

A 21  A 22 ˜ Y a I1 1 A 21 ˜ Za  A 22 I 2 V if Ya Die Formeln für Vuf und Vif sind in der Tabelle auf S. 196 zu finden. e gi

Mit Za

A 22 ˜ A12 A 21 ˜ A11

Zw 2

e gu

U1 U2

A11 

e gi

I1 I 2

A 22  A 21 ˜ Zw 2

A12 Zw 2

A11 

A12 ˜ A 21 ˜ A11 A 22

A 22 

A12 ˜ A 21 ˜ A 22 A11

A12 ˜ A21 ˜ A11 · § ¸¸ ˜ ¨¨ A 22  A22 ¹ ©

A12 ˜ A 21 ˜ A 22 A11

e2g

§ ¨¨ A11  ©

e 2g

A11 ˜ A 22  A11 ˜

2

2

nach Gl. (10.92)

2

(10.105)

(10.106)

· ¸¸ ¹

A12 ˜ A 21 ˜ A 22 2 A ˜ A 21 ˜ A11  A 22 ˜ 12  A11 A 22

A12 ˜ A 21 ˜ A11 ˜ A 22  A11 ˜ A 22

10.9 Die Wellenparameter passiver Vierpole



eg

A11 ˜ A 22  A12 ˜ A 21

g

A11 ˜ A 22

a  j˜ b

ln





2

e2g

257

 2 ˜ A11 ˜ A22 ˜ A12 ˜ A21 



A12 ˜ A21



2

(10.107)



A11 ˜ A 22  A12 ˜ A 21 .

(10.108)

Für passive Vierpole ist das Dämpfungsmaß positiv, a > 0, weil das Spannungs- und Stromverhältnis jeweils größer 1 und der natürliche Logarithmus positiv sein muss: e 2g

U1 I1 ˜ U 2  I2

e 2a

U1 I1 ˜ U 2 I2

U1 I1 e j(M u1 M i1 ) ˜ ˜ U 2 I 2 e j(M u2 M i2 S)

e 2a ˜ e j˜2b

bzw. a

1 §U I · ˜ ln ¨ 1 ˜ 1 ¸ . 2 © U 2 I2 ¹

(10.109)

Übertragungsmaß symmetrischer passiver Vierpole Für symmetrische Vierpole vereinfachen sich mit den Bedingungsgleichungen für symmetrische Vierpole nach S. 222 mit det A = 1 und A11 = A22 die Formeln für das Übertragungsmaß: eg

2

A11  A12 ˜ A 21

A11  A11  1

(10.110)

ln §¨ A11  A112  1 ·¸ . (10.111) © ¹ Das mittlere Wellenübertragungsmaß g ist gleich dem Spannungs- und Strom-Wellenübertragungsmaß (vgl. Gln. (10.105) und (10.106) mit A11 = A22): g

a  j˜ b

g

gu

gi

mit a

ln



ln A11  A12 ˜ A 21

ln U1 U2

U1 U2

ln



I1  I2

I ln 1 I2

Beispiel: Für einen unbekannten passiven symmetrischen Vierpol sind die komplexen Leerlauf- und Kurzschlusswiderstände messtechnisch bestimmt: Zl

(40,0  j ˜ 56,57):

69, 28 : ˜ e j˜(54,7º  k ˜360º)

Zk

(30,0  j ˜ 42, 43):

51,96 : ˜ e  j˜(54,7º  k ˜360º)

Berechnet werden sollen der Wellenwiderstand und das Dämpfungsmaß.

258

10 Vierpoltheorie Lösung: Nach Gl. (10.98) ist

Zw

Zl ˜ Z k

69,28 ˜ 51,96 :

60 :

und nach Gl. (10.104) ist das Dämpfungsmaß

Re ^g`

a mit

§ · 2 ln ¨ A11  A11  1¸ © ¹

g

Zl Zl  Z k

mit A11

a

nach Gl. (10.111)

nach Gl. (10.99)

g

ª Zl ln «  Z «¬ l  Zk

º Zl  1» Zl  Zk ¼»

g

ª Zl  ln « «¬ Zl  Z k

Zl  Zl  Z k º » Zl  Z k »¼

ln

Zl  Z k Zl  Z k

Zl  Z k

ln

(10.112)

Zl  Z k

und mit Zahlenwerten: Zl

69,28 : ˜ e

Zk

51,96 :

54,7º  k360º 2

54,7º  k 360º j˜ 2 ˜e

r (7,39  j ˜ 3,83) : r (6,40  j ˜ 3,31) :

­° r(13,79  j ˜ 0,52) : ® ¯° r (0,99  j ˜ 7,14) :

Zl  Z k

Zl 

j˜

°­13,8 : ® °¯7,21 :

Zk

Zl  Zk

(40  j ˜ 56,57):  (30  j ˜ 42,43):

Zl  Z k

(10  j ˜ 99):

Zl  Zk a1

ln

a2

ln

99,5:

13,8 : 9,97 : 7,21 : 9,97 :

99,5 : ˜ e j˜(84,23º  k 360º) 9,97 :

ln1,384

 0,325

ln 0,723

 0,325  0 , entfällt.

d. h. U1 U2

I1 I2

1,384

oder

U2 U1

I2 I1

0,722

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 10.1 bis 10.9

259

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 10.1 bis 10.9 10.1

1. Mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze sind die Z-Parameter der gezeichneten T-Schaltung zu berechnen. 2. Kontrollieren Sie die Ergebnisse mit den Angaben im Abschnitt 10.3. 3. Ist der passive Vierpol ein spezieller Vierpol nach Abschnitt 10.6?

Bild 10.74 Übungsaufgabe 10.1 10.2

1. Berechnen Sie für die gezeichnete S-Schaltung die Y-Parameter nach den Definitionsgleichungen des Abschnitts 10.2. 2. Kontrollieren Sie die Ergebnisse mit den Angaben des Abschnitts 10.3.

Bild 10.75 Übungsaufgabe 10.2 10.3

Für den gezeichneten passiven Vierpol ist die T-Ersatzschaltung für eine bestimmte Resonanzfrequenz gesucht. 1. Berechnen Sie die Ersatzschaltelemente der T-Ersatzschaltung mit Hilfe der Definitionsgleichungen des Abschnitts 10.2, wobei Sie folgende Bedingungen berücksichtigen: L 2 L3 1 L1 L und ZL 2 2 ZC 2. Stellen Sie das realisierbare Ersatzschaltbild dar.

Bild 10.76 Übungsaufgabe 10.3

10.4

1. Entwickeln Sie für das HF-Ersatzschaltbild eines MOSFET-Transistors (Bild 10.24) die Formel für die Spannungsübersetzung vorwärts, wobei Sie das Ersatzschaltbild als S-Ersatzschaltung auffassen. 2. Bestätigen Sie das Ergebnis mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze.

10.5

1. Für die gezeichnete RC-Schaltung ist die Spannungsübersetzung vorwärts in Form eines algebraischen Operators zu berechnen. 2. Kontrollieren Sie das Ergebnis mit Hilfe der Symbolischen Methode. 3. Bei welcher Kreisfrequenz Z ist die Spannungsübersetzung vorwärts reell? 4. Wie groß ist bei dieser Frequenz die Spannungsübersetzung, wenn die ohmschen Widerstände und die Kapazitäten gleich sind?

Bild 10.77 Übungsaufgabe 10.5

260

10 Vierpoltheorie

10.6

Für die gezeichnete Empfangsantenne soll das Leerlauf- und Kurzschlussverhalten beschrieben werden. 1. Geben Sie die Vierpolschaltung der Antenne an. 2. Ermitteln Sie die Leerlaufspannungsübersetzung und den Kurzschlusseingangswiderstand. 3. Wie ändern sich die Formeln für die Spannungsübersetzung und den Eingangswiderstand, wenn an die Antenne eine Leitung mit dem Ersatzwiderstand R angeschlossen wird?

Bild 10.78 Übungsaufgabe 10.6 10.7

Die Leerlaufspannungsübersetzung des Differenziergliedes und des Integriergliedes ist prinzipiell nach der gleichen Formel zu berechnen:

 Vuf Ya

0

K˜

1  jZT1 1  jZT2

Bild 10.79 Übungsaufgabe 10.7 1. Ermitteln Sie für die beiden Vierpole die A-Parameter. 2. Berechnen Sie dann für die beiden Vierpole die Leerlaufspannungsübersetzung und damit jeweils K, T1 und T2. 3. Ermitteln Sie schließlich Vuf bei Leerlauf für reine RC-Glieder, indem Sie bei dem Differenzierglied Rp o f und bei dem Integrierglied Rr = 0 setzen. 10.8

Fassen Sie die gezeichnete überbrückte T-Schaltung (Brücken-T-Vierpol) als Zusammenschaltung zweier Vierpole auf. 1. Geben Sie die Vierpolzusammenschaltung an. 2. Errechnen Sie die Vierpolparameter der Gesamtschaltung aus den Parametern der Einzelvierpole. 3. Entwickeln Sie die Formel für die Leerlaufspannungsübersetzung vorwärts in Abhängigkeit von R, L und C.

Bild 10.80 Übungsaufgabe 10.8

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 10.1 bis 10.9 10.9

261

Es ist nachzuweisen, dass die gezeichnete symmetrische X-Schaltung ein phasendrehender Vierpol ist. 1. Ermitteln Sie Betrag und Phase der Leerlaufspannungsübersetzung.

Bild 10.81 Übungsaufgabe 10.9 2. Führen Sie in die Gleichung für die Phase Z0 = 1/RC ein, berechnen Sie Phasenwerte für Z/Z0 = 0 0,25 0,5 0,75 1 4/3 2 4 und f, und stellen Sie die Funktion M = f(Z/Z0) für 0 t M t 180° dar. Es gilt: arctan(– x) = – arctan x. 10.10 1. Stellen Sie das gezeichnete Doppel-T-RC-Glied (Hoch- und Tiefpass) als Vierpolzusammenschaltung dar. Um welche Zusammenschaltung handelt es sich? Wie lassen sich die Parameter des Vierpols prinzipiell ermitteln?

Bild 10.82 Übungsaufgabe 10.10 2. Die Vierpolelemente R1, R2, R und C sollen so dimensioniert werden, dass bei einer bestimmten Kreisfrequenz Z0 die Spannungsübersetzung vorwärts zu Null wird. Es ist also von dem Vierpol nur der Vierpolparameter zu berechnen und Null zu setzen, der diese Forderung erfüllt. Geben Sie die Dimensionierungsgleichung für Z0 und R in Abhängigkeit von R1, R2 und C an. 10.11 1. Für die gezeichnete RC-Phasenkette ist die Leerlaufspannungsübersetzung zu ermitteln. 2. Ermitteln Sie die Kreisfrequenzen, bei denen die Spannungsübersetzung reell und imaginär ist.

Bild 10.83 Übungsaufgabe 10.11 10.12 Ein Transistor BC 237 mit den Parametern (h e )

§ 2,7k: 1,5 ˜ 104 · ¨ ¸ 18 PS ¹ © 220

wird auf unterschiedliche Weise in Rückkopplungsschaltungen verwendet, für die jeweils die Betriebskenngrößen Eingangswiderstand, Ausgangswiderstand und Spannungsübersetzung gesucht sind.

262

10 Vierpoltheorie 1. Geben Sie an, um welche Rückkopplungsschaltungen es sich bei den drei Transistorstufen handelt.

Bild 10.84 Übungsaufgabe 10.12

Bild 10.85 Übungsaufgabe 10.12

Bild 10.86 Übungsaufgabe 10.12 2. Für die im Bild 10.84 gezeichnete Transistorstufe sollen zunächst die Vierpolparameter und dann die Betriebskenngrößen berechnet werden. 3. Die Vierpolparameter und die Betriebskenngrößen sind dann für die Transistorstufe im Bild 10.85 zu berechnen. 4. Für die im Bild 10.86 gezeichnete Transistorschaltung sind nur die Betriebskenngrößen zu berechnen. Welche Anwendung ergibt sich aus den berechneten Ergebnissen? 10.13 Die im Bild 10.87 gezeichnete Phasenumkehrstufe ist als rückgekoppelter Transistor in Emitterschaltung zu behandeln. 1. Geben Sie die Vierpolzusammenschaltung an. 2. Entwickeln Sie allgemein die Formeln für die Vierpolparameter der Gesamtschaltung. 3. Berechnen Sie mit R1 = R2 = 10k: und den he-Parametern des Transistors die Spannungsverstärkung der Phasenumkehrstufe.

(h e )

§ 5k: 1 ˜ 104 · ¨ ¸ © 200 1/ 50 k: ¹

Bild 10.87 Übungsaufgabe 10.13

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 10.1 bis 10.9

263

10.14 Zwei Transistoren gleichen Typs sind, wie im Bild 10.88 gezeichnet, zusammengeschaltet.

Bild 10.88 Übungsaufgabe 10.14 Die he-Parameter der Transistoren sind gegeben: (h e )

§ 4,5k: 2 ˜ 104 · ¨ ¸ 30PS ¹ © 330

1. Stellen Sie die Zusammenschaltung der Vierpole dar, und berechnen Sie die Vierpolparameter mit den angegebenen Zahlenwerten. 2. Berechnen Sie die Spannungsübersetzung des Verstärkers. 10.15 1. Wie im Bild 10.69 rechts dargestellt, lässt sich die Basisschaltung als Rückkopplungsschaltung eines Transistors in Emitterschaltung mit einem Umpoler auffassen, wobei der Eingang zusätzlich umgepolt wird. Entwickeln Sie die Formeln für die hb-Parameter in Abhängigkeit von den he-Parametern, und vergleichen Sie die Ergebnisse mit den Gln. (10.85) bis (10.88). 2. Mit Hilfe der vollständigen Leitwertmatrix sind die Formeln für die hc-Parameter in Abhängigkeit von den he-Parametern herzuleiten und die Ergebnisse mit den Gln. (10.77) bis (10.80) zu vergleichen. 10.16 1. Entwickeln Sie für den allgemeinen *-Vierpol II nach Abschnitt 10.3 die Formeln für die beiden Wellenwiderstände in Abhängigkeit von Z1 und Z2. 2. Berechnen Sie für den im Bild 10.89 gezeichneten *-Vierpol den Wellenwiderstand Zw1. 3. Bei welchen Kreisfrequenzen Z ist dieser Wellenwiderstand Zw1 gleich Null?

Bild 10.88 Übungsaufgabe 10.16 10.17 Bei der Widerstandsmessung am Eingang und Ausgang eines Vierpols ergeben sich die gleichen Leerlauf- und Kurzschlusswiderstände Zl = 90: und Zk = 80:. 1. Dimensionieren Sie für diesen Vierpol eine T- und eine S-Ersatzschaltung. 2. Kontrollieren Sie die Ergebnisse mit Hilfe einer Stern-Dreieck-Transformation.

264

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben 8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen 8.1 Zu 1.

uL + (RL + Rp) · iL = 0 L˜

di L  (R L  R p ) ˜ i L dt

i Le

0

i Lf

K ˜ et / W

mit u L

0

mit W

L˜

di L dt

L RL  Rp

für t = 0 i L (0_ )

i L (0 )

R p ˜ Uq R i (R L  R p )  R L R p

i Le (0 )  i Lf (0 )

0K

weil für t < 0: iL

Rp

i

RL  Rp

mit

i

Uq Ri 

iL

iL

i Lf

R p ˜ Uq R i (R L  R p )  R L R p Uq

i Lf Ri iL

i Lf

RL  Rp Rp

RLRp RL  Rp

Uq Rp ˜ R LR p RL  Rp Ri  RL  Rp R p ˜ Uq R i (R L  R p )  R L R p ˜ e t / W

˜ e t / W  RL Uq

§ R · R i ˜ ¨1  L ¸  R L ¨ R p ¸¹ ©

˜ e t / W

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen uL

L˜

uL

di L dt

Ri

RL  Rp Rp

˜

Ri



 RL

L

˜ e t / W

˜ e t / W

RL RL  Rp

Ri = 0:

Uq

iL

˜ e t / W

RL

RL  Rp

˜ e t / W

uL

 Uq ˜

uL

R p · t / W § Uq ˜ ¨1  ¸˜e RL ¹ ©

RL

Bild A-140 Übungsaufgabe 8.1

8.2

Zu 1.

§ 1· ˜ ¨  ¸ ˜ e t / W © W¹

RL  Rp

 RL

Uq



Rp Zu2.

Rp

L ˜ Uq



uL

Ri

L ˜ Uq RL  Rp

265

U

u L  (R L  R) ˜ i

U

L˜

ie

U RL  R

di  (R L  R) ˜ i dt

mit u L

L˜

di dt

dif  (R L  R) ˜ if dt

0

L˜

if

K ˜ e t / W

mit

W

L RL  R

für t = 0: i(0_ )

i(0 )

U RL if

i

ie (0 )  i f (0 )

U K RL  R

d. h.

K

U U  RL RL  R

§ 1 1 · t / W U˜¨  ¸˜e © RL RL  R ¹ ie  if

§ 1 U 1 · t / W  U˜¨  ¸˜e RL  R © RL RL  R ¹

266

Zu 2.

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben di dt

§ 1 1 · t / W § 1 · L˜U˜¨  ˜¨ ¸ ¸˜e © W¹ © RL RL  R ¹

uL

L˜

uL

§ 1 1 · t / W R L  R L ˜ U ˜ ¨  ˜ ¸˜e L © RL RL  R ¹

uL

§R R · U ˜ ¨ L  1¸ ˜ e  t / W R L © ¹

U ˜

R ˜ e t / W RL

U = uL + RL · i

U

L˜

ie

U RL

di  RL ˜ i dt

mit u L

L˜

di dt

dif  R L ˜ if dt

0

L˜

if

K ˜ e t / W

mit

W

L RL

für t = 0: i(0_ )

i(0 )

U RL  R if

i

ie (0 )  i f (0 )

U K RL

d. h.

K

U U  RL  R RL

§ 1 1 · t / W  U˜¨ ¸˜e  R R R © L L¹ § U 1 1 · t / W  U˜¨  ¸˜e  RL R R R © L L¹

ie  if di dt

§ 1 1 · t / W § 1 ·  ˜¨ ¸ L˜U˜¨ ¸˜e © W¹ © RL  R RL ¹

uL

L˜

uL

§ 1 1 · t / W R L L ˜ U ˜ ¨  ˜ ¸˜e R R R L  L¹ © L

uL

§ RL · U ˜ ¨  1¸ ˜ e  t / W © RL  R ¹

uL

U ˜

uL

U˜

RL  RL  R RL  R

R ˜ e t / W RL  R

˜ e t / W

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen Zu 3.

267

1. Öffnen des Schalters:

i uL

6V 1 · t / W § 1  6V ˜ ¨  ¸˜e 1,5k: © 500: 1,5k: ¹  6V ˜

1k: ˜ e t / W 500:

12V ˜ e  t / W

4mA  8mA ˜ e  t / W mit W

1,2H 1,5k:

0,8ms

2. Schließen des Schalters:

i uL

6V 1 · t / W § 1  6V ˜ ¨  ¸˜e 500: © 1,5k: 500: ¹ 6V ˜

1k: 1,5k:

4V ˜ e t / W

mit

W

12mA  8mA ˜ e  t / W 1,2H 500:

Bild A-141 Übungsaufgabe 8.2 8.3

Zu 1.

U

(R1  R 2 ) ˜ i  u C

U

(R1  R 2 ) ˜ C ˜

u Ce

0

u Cf

du C dt

 uC

mit i

C˜

du C dt

U

(R1  R 2 ) ˜ C ˜

K ˜ e t / W

du Cf dt

mit

 u Cf

W

(R1  R 2 ) ˜ C

für t = 0: u C (0 )

u C (0 ) 0

u Cf uC

u Ce (0 )  u Cf (0 ) UK

d. h.

K

U

U ˜ e t / W u Ce  u Cf

U  U ˜ e t / W

U ˜ (1  e t / W )

2,4ms

268 Zu 2.

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben u2 = R2 · i + uC mit

du C dt

§ 1· U ˜ C ˜  e t / W ˜ ¨  ¸ © W¹





i

C˜

i

U ˜C ˜ e t / W (R1  R 2 ) ˜ C

U ˜ e t / W R1  R 2

u2

R2 ˜ U ˜ e t / W  U ˜ 1  e t / W R1  R 2

u2

ª § R2 º · U ˜ «1  ¨  1¸ ˜ e  t / W » R R  2 ¹ ¬ © 1 ¼

u2

ª R  R1  R 2 t / W º U ˜ «1  2 ˜e » R1  R 2 ¬ ¼

u2

ª º R1 U ˜ «1  ˜ e t / W » R1  R 2 ¬ ¼

u2

ª R1 º U ˜ «1  » R ¬ 1  R2 ¼

u2

U˜





t = 0:

u2

R1  R 2  R1 R1  R 2

R2 R1  R 2

˜U

Bild A-142 Übungsaufgabe 8.3

8.4

Zu 1.

uR + uC = u R ˜ i  uC

uˆ ˜ sin (Zt  Mu )

mit i = i R  iC

uC du  C˜ C RC dt

§u du · R ˜ ¨ C  C ˜ C ¸  uC dt ¹ © RC RC ˜

· du C § R ¨  1¸ ˜ u C dt © RC ¹

uˆ ˜ sin (Zt  Mu )

uˆ ˜ sin ( Zt  M u )

Differentialgleichung für den eingeschwungenen Vorgang: RC ˜

· du Ce § R ¨  1¸ ˜ u Ce dt R © C ¹

uˆ ˜ sin ( Zt  M u )

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

269

algebraische Gleichung: § R ·  1¸ ˜ u Ce RC ˜ jZ ˜ u Ce  ¨ R © C ¹

uˆ ˜ e j(Zt Mu )

Lösung der algebraischen Gleichung: u Ce

uˆ ˜ e j (Zt Mu ) § R ·  1¸  jZRC ¨ R © C ¹

uˆ ˜ e j (Zt Mu M) 2

§ R ·  1¸  (ZRC)2 ¨ © RC ¹

uˆ ˜ e j (Zt Mu M) Vu

und in den Zeitbereich rücktransformiert: uˆ u Ce ˜ sin (Zt  Mu  M) uˆ Ce ˜ sin (Zt  Mue ) Vu 2

mit

Vu =

§ R ·  1¸  (ZRC) 2 ¨ R © C ¹

und

arc tan

M

ZRC R 1 RC

Die eingeschwungene Kondensatorspannung hat also die Amplitude uˆ Ce und den Anfangsphasenwinkel Mue: uˆ Ce

uˆ Vu

und

M ue

Mu  M

M u  arc tan

ZRC R 1 RC

Differentialgleichung für den flüchtigen Vorgang: RC ˜

u Cf

· du Cf § R ¨  1¸ ˜ u Cf dt R © C ¹

K ˜ et / W

mit

W

0 RC R 1 RC

Konstantenbestimmung: u C (0 )

u C (0 )

0 u Cf



u Ce (0 )  u Cf (0 )

uˆ ˜ sin (M u  M)  K, Vu

uˆ ˜ sin (Mu  M) ˜ e  t / W Vu



d. h. K



uˆ ˜ sin (M u  M) Vu

uˆ ˜ sin Mue ˜ e t / W Vu

Überlagerung: uC

uC

u Ce  u Cf

uˆ ˜ ªsin (Zt  Mu  M)  sin (Mu  M) ˜ e t / W º¼ Vu ¬

uˆ ˜ ª¬sin ( Zt  M u  M)  sin (M u  M) ˜ e  t / W º¼ 2

§ R ·  1¸  ( ZRC)2 ¨ © RC ¹

270 Zu 2.

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben uˆ Vu

uˆ Ce

2 ˜ 220V 2

93,47V

§ 1k: ·  1¸  2 S ˜ 500s 1 ˜ 1k: ˜ 1PF ¨ © 10k: ¹



185q  arc tan

M ue

Mu  M

M ue

185q  70,7q

u Cf



u Cf

85, 2V ˜ e

2S ˜ 500s 1 ˜ 1k: ˜ 1PF 1k: 1 10k:

114,3q  (3,23  1,23) rad

uˆ ˜ sin M ue ˜ e Zt / ZW Vu 

Zt 2,8 rad



2

2,0rad

 93,47V ˜ sin 114,3q ˜ e Zt / ZW

mit ZW

2S ˜ 500s1 ˜

1k: ˜ 1PF 1,1

2,86 rad

Bild A-143 Übungsaufgabe 8.4 8.5 Zu 1.

Differentialgleichungen ab t = 0 für die Spannung uC:

für den Strom i:

uR + uL + uC = 0

uR + uL + uC = 0

R ˜i  L˜

mit i und

C˜

di dt

R ˜C˜

di  uC dt

0

R ˜i  L˜

du C dt

C˜

mit i

d 2u C dt 2

d 2 u C R du C 1  ˜  ˜ uC L dt L˜C dt 2 uCe = 0

0

0

0

1 ˜ i ˜ dt C

R ˜i  L˜

du C d 2u C  L˜C˜  uC dt dt 2

di  uC dt

³

di 1  ˜ i ˜ dt dt C

0

³

di d 2i 1  L˜ 2  ˜i dt C dt

0

d 2i R di 1  ˜  ˜i 2 L dt L ˜ C dt

0

R˜

ie = 0

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

271

Zu 2. Die Differentialgleichungen sind identisch mit den Differentialgleichungen der Entladung eines Kondensators mittels Spule im Abschnitt 8.2.4, Gln. (8.34) und (8.35). Deshalb kann die weitere Rechnung dort eingesehen und deren Ergebnisse übernommen werden: für O1 z O2:

uC i

K1 ˜ eO1 t  K 2 ˜ eO 2 t

u Cf

(siehe Gl. (8.41))

C ˜ (K1 ˜ O1 ˜ eO1t  K 2 ˜ O 2 ˜ eO 2 t )

if

(siehe Gl. (8.42))

2

mit

O1,2



§ R· R 1 r ¨ ¸  2L LC © 2L ¹

G r G 2  Z 0 2

G r jZ

G r N

für O1 = O2 = O:

i

(K1  K 2 ˜ t) ˜ e Ot

u Cf

uC

(siehe Gl. (8.43))

C ˜ (K 2  O ˜ K1  O ˜ K 2 ˜ t) ˜ eOt

if

(siehe Gl. (8.44))

R G Z 0 2L Konstantenbestimmung mit den Anfangswerten: für O1 z O2:

mit

O1

u C (0 )

O2

u C (0 )

Uq R  Ri

˜R

O



u Ce (0 )  u Cf (0 )

0  K1  K 2

§ Uq ˜ R ¨ O2 © R  Ri Uq  (R  R i ) C

·½ K1 ˜ O 2  K 2 ˜ O 2 ¸ ° ¹° ¾ K1 ˜ O1  K 2 ˜ O 2 °° ¿ Uq 1  O 2 RC  ˜ (R  R i ) C O1  O 2

K1

i (0 )



i (0 )

ie (0 )  if (0 )

Uq

0  C ˜ (K1 ˜ O1  K 2 ˜ O 2 )

R  Ri Uq ˜ R

½ K1 ˜ O1  K 2 ˜ O1 ° R  Ri ° ¾ Uq § ·° ¨ K1 ˜ O1  K 2 ˜ O 2 ¸ © (R  R i ) C ¹ ¿° Uq 1  O1RC K2 ˜ (R  R i ) C O1  O 2 O1

für O1 = O2 = O: u C (0 )

u C (0 )

Uq R  Ri

K1

˜R

Uq R  R1

u Ce (0 )  u Cf (0 )

i (0 )

0  K1  0



˜R

i (0 )

Uq R  Ri

K2



K2



K2



ie (0 )  if (0 )

0  C ˜ (K 2  O ˜ K1 ) Uq

(R  R i ) C Uq (R  R i ) C Uq (R  R i ) C

 O ˜ K1



O ˜ Uq ˜ R R  Ri

˜ (1  ORC)

272

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

Einsetzen der Konstanten in die Lösungen: für O1 z O2 (aperiodischer und periodischer Fall):

uC



i



Uq

1 ª(1  O 2 RC) ˜ eO1 t  (1  O1RC) ˜ eO 2 t º ¼ (R  R i ) C O1  O 2 ¬ ˜

Uq

1 ˜ ª(1  O 2 RC) ˜ O1 ˜ e O1 t  (1  O1RC) ˜ O 2 ˜ e O 2 t º ¼ (R  R i ) O1  O 2 ¬ ˜

aperiodischer Fall: mit

O1

und

O1  O 2

uC



uC



i



i



i



i(Gt)

O1 ˜ O 2

G2  N 2

Z 02

ª G  1/ RC º ˜ eGt « ˜ sin h ( Nt)  cos h ( Nt) » N ¬ ¼

Uq ˜ R R  Ri Uq

R  Ri Uq R  Ri

º ª G  1/RC N N ˜ e Gt « ˜ sin h (Gt)  cos h (Gt) » N G G ¼ ¬

˜

1 ˜ ª(O1  O1O 2 RC) ˜ eO1 t  (O 2  O1O 2 RC) ˜ eO 2 t º¼ 2N ¬

˜

1 ª§ RC · ( GN) t § RC · ( GN ) t º ˜ «¨ G  N   ¨ G  N  ¸˜e ¸˜e » 2 N ¬© LC ¹ LC ¹ © ¼

Uq

ª§ G  R / L e Nt  eNt e Nt  eNt · º ˜ e G t ˜ «¨ ˜  ¸» R  Ri 2 2 N «¬© ¹ »¼

Uq

º ªG ˜ e Gt ˜ « ˜ sin h (Nt)  cos h (Nt) » R  Ri ¼ ¬N 

periodischer Fall:

Uq R  Ri O1

mit R/L

2G

º ªG N N ˜ e Gt ˜ « ˜ sin h (Gt)  cos h (Gt) » N G G ¼ ¬ G  jZ

O2

G  jZ

d. h. N

Uq ˜ R

jZ

uC

º ª G  1 / RC ˜ e Gt ˜ « ˜ sin h ( jZt)  cos h ( jZt) » R  Ri jZ ¼ ¬

mit

sin h (jZt) = j · sin Zt

uC

1 LC

ª1  G RC e Nt  eNt e Nt  eNt º ˜ e Gt ˜ « ˜  RC ˜ » (R  R i ) C 2 2 ¬ N ¼

u C (Gt)



2N

G  N

Uq

R  Ri

i

O2

Uq ˜ ª[1  (G  N)RC] ˜ e(G N)t  [1  (G  N)RC] ˜ e(G N)t º¼ (R  R i ) C ˜ 2N ¬

Uq ˜ R

uC

G  N

Uq ˜ R R  Ri

und

cos h (jZt) = cos Zt

ª G  1 / RC º ˜ e Gt ˜ « ˜ sin Zt  cos Zt » Z ¬ ¼

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

273

Wird diese Gleichung genauso umgewandelt wie die Gl. (8.70) in die Gl. (8.71), indem G durch G – 1/RC ersetzt wird, dann ergibt sich 2

Uq ˜ R

G

u C ( Zt)

 ( Zt) § G  1/RC · ˜ ¨ ˜ sin ( Zt  M* ) ¸  1 ˜e Z R  Ri Z © ¹

mit M*

arc tan

i



Uq R  Ri

Z G  1/ RC

ªG º ˜ eGt ˜ « ˜ sin h ( jZt)  cos h ( jZt) » Z j ¬ ¼

mit sin h ( jZt)

i



Uq R  Ri

j ˜ sin Zt

und

cos h ( jZt)

cos Zt

ªG º ˜ e Gt ˜ « ˜ sin Zt  cos Zt » ¬Z ¼

Bei gleicher Umformung wie die der Gl. (8.70) in die Gl. (8.71) ergibt sich i( Zt)



mit M

2

Uq

G

 ( Zt) §G· ˜ ¨ ¸  1 ˜e Z ˜ sin ( Zt  M) R  Ri Z © ¹

arc tan

Z G

für O1 = O2 = O (aperiodischer Grenzfall): uC

U q ˜ R ª 1  ORC º ˜ 1 ˜ t » ˜ e Ot RC R  R i «¬ ¼

uC

Uq ˜ R ª § 1 · º Gt ˜ 1  ¨G  ¸˜t ˜e R  R i ¬« © RC ¹ ¼» Uq ˜ R ª § 1 · º Gt ˜ 1  ¨1  ¸ ˜ (Gt) » ˜ e R  R i «¬ © GRC ¹ ¼

u C (Gt)

i



i



i



i



i(Gt)

Uq

˜ ª(1  ORC)  ORC  O ˜ (1  ORC) ˜ t º¼ ˜ e Ot R  Ri ¬ Uq

˜ ª1  (O  O 2 ˜ RC) ˜ t º¼ ˜ e Ot R  Ri ¬ Uq

RC · º Gt ª § ˜ «1  ¨ G  ¸˜t ˜e R  Ri ¬ © LC ¹ ¼» Uq R  Ri 

˜ >1  ( G  2G) ˜ t @ ˜ e Gt

Uq

˜ ª1  (Gt) º¼ ˜ e Gt R  Ri ¬

mit O 2 mit

R L

Z02 2G

1 LC

274

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

8.6 Zu 1.

Bild A-145 Übungsaufgabe 8.6 Mit kleiner werdender Zeitkonstante W schmiegt sich die e-Funktion an die Ordinate, wobei gleichzeitig der Achsenabschnitt 1/W größer wird.

Bild A-144 Übungsaufgabe 8.6 Je kleiner die Zeitkonstante Wwird, umso mehr ähnelt die e-Funktion der Sprungfunktion V(t).

Zu 2.

L ^V(t)`

L ^V(t)`

^

`

L lim (1  e  t / W ) Wo 0

1

§ lim ¨

Wo 0 © s ˜ (1 

· ¸ sW) ¹

^

lim L 1  e  t / W

Wo 0

1 s

`

mit Gl. (8.77)

Mit V (t)

lim

Wo 0

d(1  e  t / W ) dt

§ 1· lim ( e  t / W ) ˜ ¨  ¸ © W¹

lim

1

Wo 0 W

Wo 0

˜ e t / W

ist 1 ­ ½ L ® lim ˜ e  t / W ¾ Wo 0 W ¯ ¿

L ^V (t)`

L ^G(t)`

L ^G(t)`

W · §1 lim ¨ ˜ ¸ Wo 0 © W 1  sW ¹

­1 ½ lim L ® ˜ e t / W ¾ W ¯ ¿

Wo 0

§ 1 · lim ¨ ¸ Wo 0 © 1  sW ¹

1

mit Gl. (8.76)

(vgl. Korrespondenzen Nr. 23 und 25 im Abschnitt 8.3.6) Zu 3. Mit L ^V(t)`

1 s

und

L ^G(t)`

lim

1 1  e  a ˜s ˜ a s

L ^V(t  a)`

e  a ˜s s

(vgl. Gl. (8.105))

ist a o0

s ˜ e  a ˜s a o0 s lim

(mit der l’Hospitalschen Regel)

lim e  a ˜s

a o0

1

G(t)

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

275

8.7 Kontrolle für den Strom iL: Differentialgleichung:

di L  (R L  R p ) ˜ i L dt algebraische Gleichung: L˜

0

L ˜ ª¬s ˜ I L (s)  iL (0) º¼  (R L  R p ) ˜ I L (s)

0

R p ˜ Uq

mit i L (0)

R i ˜ (R L  R p )  R L R p

º ª R p ˜ Uq L ˜ «s ˜ I L (s)  »  (R L  R p ) ˜ I L (s) R i ˜ (R L  R p )  R L R p »¼ «¬

0

Lösung der algebraischen Gleichung: I L (s)

L ˜ R p ˜ Uq

1 ˜ R i ˜ (R L  R p )  R L R p (R L  R p )  s ˜ L R p ˜ Uq

1 ˜ R i ˜ (R L  R p )  R L R p R L  R p s L Rücktransformation in den Zeitbereich: nach der Korrespondenz Nr. 30 (siehe Abschnitt 8.3.6) I L (s)

­ 1 ½ L1 ® ¾ ¯s  a ¿

eat

ist i L (t)

R p ˜ Uq R i ˜ (R L  R p )  R L R p

˜ e t / W

mit a



RL  Rp L



1 W

Kontrolle für die Spannung uL: u L (t)

L˜

di L dt

U L (s)

L ˜ ª¬s ˜ I L (s)  iL (0) º¼

U L (s)

s˜L˜

U L (s)

U L (s)

s ˜ L ˜ I L (s) 

R p ˜ Uq R i ˜ (R L  R p )  R L R p

˜

L ˜ R p ˜ Uq R i ˜ (R L  R p )  R L R p

1 RL  Rp

 s

L § · ¨ ¸ L ˜ R p ˜ Uq s ˜¨  1¸ R i ˜ (R L  R p )  R L R p ¨ R L  R p ¸ s ¨ ¸ L © ¹ L ˜ R p ˜ Uq R i ˜ (R L  R p )  R L R p



˜

RL  Rp

L RL  Rp L

s

L ˜ R p ˜ Uq R i ˜ (R L  R p )  R L R p

276

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

Rücktransformation in den Zeitbereich: (nach der Korrespondenz Nr. 30, siehe oben)

u L (t)



L ˜ R p ˜ Uq ˜

RL  Rp

L ˜ e t / W R i ˜ (R L  R p )  R L R p



Uq Ri Rp



RL

˜ e t / W

RL  Rp

8.8 Zu 1.

R · i + u2 = u1 mit i i

i Rc  iC

u2 du C 2 RC dt

R du u 2  RC 2  u 2 RC dt RC

u1

· du 2 § R ¨  1¸ ˜ u 2 dt R © C ¹

Bild A-146 Übungsaufgabe 8.8 Teil 1 u1

§ R · RC >s ˜ U 2 (s)  u 2 (0)@  ¨  1¸ ˜ U 2 (s) R © C ¹

U 2 (s) U1 (s)

U 2 (s)

1 § R · ¨1  ¸  sRC R C¹ ©

U ª§ º R · s ˜ «¨ 1  ¸  sRC » R C¹ ¬© ¼

mit U1 (s)

U ˜ R 1 RC

U1 (s)

mit u 2 (0)

0

U s

1 § ¨ RC s ˜ ¨1  s ˜ R ¨ 1 ¨ RC ©

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

nach Korrespondenz Nr. 49 (siehe Abschnitt 8.3.6): ­ ½ 1 L1 ® ¾ ¯ s(1  sT) ¿

u 2 (t)

mit W

1  e t / T

U ˜ (1  e  t / W ) R 1 RC R ˜C R 1 RC

C 1 1  R RC

Bild A-147 Übungsaufgabe 8.8 Teil 1

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen Zu 2.

U 2 (s) U1 (s)

U 2 (s) U1 (s)

R R

1 1  sC RC

§ 1 ·  sC ¸ R ˜¨ R © C ¹ § 1 · R ˜¨  sC ¸  1 © RC ¹

U 2 (s)

U 2 (s)

277

R  sRC RC § R ·  1¸  sRC ¨ © RC ¹

Bild A-148 Übungsaufgabe 8.8 Teil 2

ª º R « » RC RC « » U˜  « ª§ R » º § · R · « s ˜ «¨  1¸  sRC »  1¸  sRC» ¨ «¬ ¬© R C »¼ ¹ ¹ ¼ © RC

mit U1 (s)

U s

ª º « » « » R « » « » U RC RC ˜«  » R RC · 1 s˜ »  1 « ¨§ R « » RC RC ¸  1» ¸ « s ˜ ¨1  s ˜ R RC « ¨¨ »  1 ¸¸ RC «¬ © »¼ ¹

Mit den Korrespondenzen Nr. 49 und Nr. 48 ½ ­ 1 L1 ® ¾ ¯ s(1  sT) ¿

u 2 (t)

u 2 (t)

u 2 (t)

mit W

­ 1 ½ 1 t / T 1  e t / T und L1 ® ˜e ¾ ¯1  sT ¿ T R ª º 1 « » U R RC  W  W t / t / ˜« ˜ 1 e  RC ˜ ˜e » R RC »  1 « RC «¬ »¼ RC





ª R º R R ˜«  ˜ e t / W  ˜ e t / W  e t / W » R R RC RC »¼  1 «¬ C RC U

ª R º RC  ˜ e t / W » U˜«   R R R R C C ¬ ¼ RC R 1 RC

C 1 1  RC R

Bild A-149 Übungsaufgabe 8.8 Teil 2

Zu 3. Das Übertragungsglied im Bild 8.78 zeigt integrierendes Verhalten und das Übertragungsglied im Bild 8.79 differenzierendes Verhalten.

278

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

8.9 Zu 1.

G(s) =

mit

U 2 (s) U1 (s)

U 2 (s) U C1(s) ˜ U C1 (s) U1 (s)

1 sC2

U 2 (s) U C1 (s)

R2 

1 sC2

Bild A-150 Übungsaufgabe 8.9

1 sC1  U C1 (s) und U1 (s)

R2  1

sC1 

1 sC2

1 R1sC1 

1 R2 

1 sC2

R1 R2 

1 sC2

1

1 1 ˜ R1 § 1 · R sC  1 sC 2 ¨ R 2  ¸ 1 1 1 sC 2¹ © R2  sC2

G(s)

G(s)

1 (sC2 R 2  1) ˜ R1sC1  sC2 R1  sC2 R 2  1

G(s)

1 s 2 R1C1R 2C2  s ˜ (R1C1  R1C2  R 2C2 )  1 1 1 ˜ 1 R1C1R 2C2 s 2  s ˜ R1C1  R1C2  R 2C2  R1C1R 2C2 R1C1R 2C 2

G(s)

mit

R1 

1

U1 (s) =

U s

U 2 (s)

U ˜ R1C1R 2 C2

U 2 (s)

U 1 ˜ R1C1R 2C2 s ˜ (s  s1 ) (s  s 2 )

mit s 2  s ˜

1 § · R C  R1C2  R 2 C2 1 s ˜ ¨ s2  s ˜ 1 1  ¸ R1C1R 2 C2 R1C1R 2 C2 ¹ ©

R1C1  R1C2  R 2C2 1  R1C1R 2C2 R1C1R 2C2

R1C1  R1C2  R 2C2 r 2 ˜ R1C1R 2C2

s1,2



s1,2

G r N

0

(R1C1  R1C2  R 2C2 )2  4 ˜ R1C1R 2C 2 4 ˜ (R1C1R 2C2 ) 2

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

279

Die quadratische Gleichung kann nur zwei reelle Lösungen haben, die voneinander verschieden sind, weil (R1C1 + R1C2 + R2C2) 2 – 4 · R1C1R2C2 > 0 [(R1C1 + R2C2) + R1C2]2 – 4 · R1C1R2C2 > 0 (R1C1 + R2C2)2 + 2 · (R1C1 + R2C2) R1C2 + (R1C2)2 – 4 · R1C1R2C2 > 0 (R1C1)2 + 2 · R1C1R2C2 + (R2C2)2 + 2 · (R1C1 + R2C2) R1C2 + (R1C2)2 – 4 · R1C1R2C2 > 0 (R1C1)2 – 2 · R1C1R2C2 + (R2C2)2 + 2 · (R1C1 + R2C2) R1C2 + (R1C2)2 > 0 (R1C1 – R2C2)2 + 2(R1C1 + R2C2) R1C2 + (R1C2)2 > 0, denn die Summe von drei positiven Summanden ist größer Null. Nach der Korrespondenz Nr. 37 (siehe Abschnitt 8.3.6) ½ ­ 1 L1 ® ¾ s(s  a) (s  b) ¿ ¯ U 1 ˜ R1C1R 2C2 s1 ˜ s 2

u 2 (t)

mit s1

G  N,

mit s1 ˜ s 2

1 ab

ª º 1 ˜ «1  (beat  ae bt ) » a  b ¬ ¼

ª º 1 ˜ «1  ˜ (s 2 ˜ es1t  s1 ˜ es2 t ) » ¬ s1  s 2 ¼

s2

G  N,

s1  s 2

2N

(G  N) ( G  N)

s1 ˜ s 2

G2  N 2

s1 ˜ s 2

(R1C1  R1C 2  R 2C2 ) 2 (R1C1  R1C2  R 2C2 ) 2  4 ˜ R1C1R 2C 2  4 ˜ (R1C1R 2C2 ) 2 4 ˜ (R1C1R 2C2 ) 2

s1 ˜ s 2

1 R1C1R 2C2

u 2 (t)

½ ­ 1 ª U ˜ ®1  ˜ ¬( G  N ) ˜ e( G N ) t  ( G  N ) ˜ e( G N ) t º¼ ¾ 2 N ¿ ¯

u 2 (t)

°­ U ˜ ®1  e Gt °¯

ª G e Nt  eNt e Nt  eNt º °½ ˜ « ˜  »¾ 2 2 ¬ N ¼ °¿

u 2 (t)

­ U ˜ ®1  eGt ¯

ªG º½ ˜ « ˜ sin h ( Nt)  cos h ( Nt) » ¾ ¬N ¼¿

u 2 (Gt)

­ U ˜ ®1  eGt ¯

mit G

N N ªG º½ ˜ « ˜ sin h (Gt)  cos h (Gt) » ¾ G G ¬N ¼¿

R1C1  R1C2  R 2C2 2 R1C1R 2C2

und N

G2 

1 R1C1R 2C2

Das Übertragungsglied hat prinzipiell das gleiche Übertragungsverhalten wie der Reihenschwingkreis für den aperiodischen Fall (siehe Abschnitt 8.3.4, Beispiel 4, Gl. (8.126)).

280 Zu 2.

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben Mit R1 = R2 = R und C1 = C2 = C ist 1 1 ˜ 2 3 1 (RC) s 2  s ˜  RC (RC) 2

G(s)

mit s1,2



d. h. s1



3 r 2 RC

94 4 ˜ R 2C 2

0,38 und s 2 R



1 1 ˜ 2 (RC) (s  s1 ) (s  s 2 )



3 r 5 2 ˜ RC

2,62 RC

GrN

(vgl. Beispiel 2 im Abschnitt 8.3.2)

8.10 Der im Bild 8.81 gezeichnete Ausgleichsvorgang ist im Abschnitt 8.3.4, Beispiel 4 im Zeitbereich und mit Hilfe der Laplacetransformation vollständig berechnet, so dass hier nur noch die Interpretation der Ergebnisse mit Zahlenwerten notwendig ist. Ob es sich um den aperiodischen Fall, aperiodischen Grenzfall oder periodischen Fall handelt, wird durch die Lösung der charakteristischen Gleichung (siehe Gln. (8.36) und (8.37)) unterschieden: 2

§ R · ! 1 ¨ ¸ © 2L ¹  LC

oder

R

! L 2˜  C

2˜

1H 25PF

400:

1. R = 240: < 400:: periodischer Fall. Nach Gl. (8.130) (uC = u2) und (8.131) ist mit G

und Z

R 2L

240: 2 ˜ 1H

1  G2 LC

120s 1 1  (120s 1 )2 1H ˜ 25PF

u 2 ( Zt)

G 2 ­ ½  ( Zt) ° ° §G· ˜ sin ( Zt  M) ¾ U ˜ ®1  ¨ ¸  1 ˜ e Z Z © ¹ °¯ °¿

u 2 ( Zt)

Z ­ ½  ° ° 100V ˜ ®1  1, 25 ˜ e 1,33 ˜ sin ( Zt  0,93) ¾ °¯ °¿

1 0,75

d. h.

G Z

0,75

53,13D  0,93 rad

mit M

arc tan

i ( Zt)

U  Z( Zt) ˜e ˜ sin Zt ZL

Zt

G

Zt

160s 1 ,

 100V ˜ e 1,33 ˜ sin Zt  1 160s ˜ 1H

in grad

10

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

360

in rad

S 18

S 6

S 3

S 2

2S 3

5S 6

S

7S 6

4S 3

3S 2

5S 3

2S

108

95

98

100

101

u2 in V

2,2 16,2 47,6 76,9

96,9

107

110

i in mA

95

113

44

0

211 247 193

Darstellung siehe Bild A-151

– 20 – 23 – 18 – 11

0

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen

281

Bild A-151 Übungsaufgabe 8.10, periodischer Fall 2. R = 400:: aperiodischer Grenzfall. Nach Gl. (8.128) (uC = u2) und (8.129) ist R 2L

mit G

u 2 ( Gt)

400: 2 ˜ 1H

200s 1

^

U ˜ 1  >1  ( Gt)@ ˜ e Gt U ˜ 2 ˜ (Gt) ˜ e Gt R

i (Gt)

`

^

100V ˜ 1  >1  (Gt) @ ˜ e Gt

`

100V ˜ 2 ˜ (Gt) ˜ e Gt 400:

Gt

0

0,25

0,5

0,75

1,0

1,5

2,0

3,0

4,0

5,0

u2 in V

0

2,65

9,02

17,3

26,4

44,2

59,4

80,1

90,1

96,0

i in mA

0

97,4

152

177

184

167

135

74,7

36,6

16,8

Darstellung siehe Bild A-152

Bild A-152 Übungsaufgabe 8.10, aperiodischer Grenzfall

3. R = 500: > 400:: aperiodischer Fall. Nach Gln. (8.126) (uC = u2) und (8.127) ist mit G und N und

N G

R 2L

500: 2 ˜ 1H

250s1

G 2  1/LC 150 s 1 250 s 1

(250s 1 )2  1/(1H ˜ 25PF)

150s 1

0,6

u 2 (Gt)

­ U ˜ ®1  eGt ¯

u 2 (Gt)

ª 1 º °½ °­ 100V ˜ ®1  e Gt ˜ « ˜ sin h 0,6 ˜ (Gt)  cos h 0,6 ˜ (Gt) » ¾ 0,6 ¬ ¼ ¿° ¯°

i (Gt)

N N ªG º½ ˜ « ˜ sin h (Gt)  cos h (Gt) » ¾ G G ¬N ¼¿

N U ˜ e Gt ˜ sin h (Gt) G N˜L

100V 150s 1 ˜ 1H

˜ e Gt ˜ sin h 0,6 ˜ (Gt)

282

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben Gt

0

0,25

0,5

0,75

1

2

3

4

5

u2 in V

0

1,7

5,82

9,1

17,4

41,4

60,1

73,1

82,0

i in mA

0

78

123

152

156

136

98

67

45

Darstellung siehe Bild A-153

Bild A-153 Übungsaufgabe 8.10, aperiodischer Fall 8.11 d 2uC dt 2

R du C 1 ˜  ˜u L dt LC C



0

ªs 2 ˜ U (s)  s ˜ u (0)  u c (0) º  R ˜ ªs ˜ U (s)  u (0) º  1 ˜ U (s) C C C C C C ¼ LC ¬ ¼ L ¬

mit u C (0)

Uq R  Ri

s2 ˜ U C (s)  s ˜ s˜ UC

R

Uq ˜ R R  Ri

Uq ˜ R

i(0) C

und u Cc (0)



Uq (R  R i ) C

s˜

Uq ˜ R § R 1 · ˜¨  ¸ R  R i R  R i © L RC ¹ R 1 s2  s ˜  L LC



Uq (R  R i )C

R R Uq ˜ R 1 ˜ U C (s)  ˜  ˜ U C (s) L L R  R i LC 1 · §R s¨  ¸ L RC ¹ © ˜ R  R i s2  s ˜ R  1 L LC



Uq ˜ R

2

s1,2



R 1 § R · r ¨ ¸  2L LC © 2L ¹

G r N

G r jZ

s1 z s2 (aperiodischer und periodischer Fall)

U C (s)

0

1 · §R s¨  ¸ L RC © ¹ ˜ R  R i (s  s1 ) (s  s2 ) Uq ˜ R

nach den Korrespondenzen Nr. 41 und 34 (siehe Abschnitt 8.3.6) ­ ½ s L1 ® ¾ (s  a) (s  b) ¯ ¿

1 ˜ (aeat  be bt ) ab

½ ­ 1 L1 ® ¾ ¯ (s  a) (s  b) ¿

1 ˜ (eat  e bt ) ab

0

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen Uq ˜ R

u C (t)

1 ˜ R  R i s1  s2

mit s1

G  N,

u C (t)

Uq ˜ R 1 ˜ R  Ri 2 N

mit

R L

u C (t)

u C (t)

u C (t)

s2

283

1 · ª §R st s t º ˜ «s1 ˜ es1t  s2 ˜ es2 t  ¨  ¸˜ e1 e 2 » © L RC ¹ ¬ ¼



G  N

und

s1  s 2



2N

R 1 · ( G N ) t § R 1 · ( GN ) t º ª§ ˜ «¨ G  N    ¨ G  N   ¸˜e ¸˜e » L RC L RC © ¹ © ¹ ¬ ¼

2G

Uq ˜ R R  Ri

˜ e Gt ˜

1 ª§ 1 · Nt § 1 · N t º ˜ ¨G  N  ¸ ˜ e  ¨G  N  ¸˜e » 2 N «¬© RC ¹ RC © ¹ ¼

Uq ˜ R

ª G  1 / RC eN t  e N t eN t  e N t º ˜ e Gt ˜ « ˜  » R  Ri 2 2 N «¬ »¼

Uq ˜ R R  Ri

º ª G  1 / RC ˜ e Gt ˜ « ˜ sin h (Nt)  cos h (Nt) » N ¼ ¬

mit N = jZ periodischer Fall (siehe Lösung der Aufgabe 8.5) iC

I(s)

I(s)

C

du C dt

C ˜ ª¬s ˜ U C (s)  u C (0) º¼

ª º Uq ˜ R» C ˜ «s ˜ U C (s)  R  Ri «¬ »¼

1 · §R s2  s ˜ ¨  ¸ U ˜ RC L RC © ¹ q ˜ R 1 R  Ri R  Ri s2  s ˜  L RC

U q ˜ RC

I(s)

1 · § 2 R 1 ·º ª 2 §R s s˜¨  ¸  ¨s  s ˜  ¸ U q ˜ RC « L RC ¹ © L LC ¹ » © » ˜« R 1 R  Ri « » s2  s ˜  «¬ »¼ L LC

I(s)

1 1  RC LC  ˜ R 1 R  Ri s2  s ˜  L LC

I(s)

R L  ˜ R  Ri 2 R 1 s s˜  L LC

U q ˜ RC

Uq

s˜

s

R L  ˜ mit s1 z s 2 R  R i (s  s1 ) (s  s 2 ) Uq

s

284

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben nach den Korrespondenzen Nr. 41 und 34 (siehe oben) ist

i(t)



mit s1

Uq R  Ri

˜

1 s1  s2

G  N,

s2

Uq 1 ˜ R  Ri 2 N

i(t)

R ª º ˜ «s1 ˜ es1t  s2 ˜ es2 t  ˜ es1t  es2 t » L ¬ ¼



G  N

und

s1  s 2



2N

R· R· ª§ º § ˜ «¨ G  N  ¸ ˜ e( G N ) t  ¨ G  N  ¸ ˜ e( G N ) t » L L © ¹ © ¹ ¬ ¼

weiter siehe Lösung der Aufgabe 8.5 s1 = s2 aperiodischer Grenzfall

1 · §R s¨  ¸ L RC ¹ © mit a ˜ 2 R  Ri (s  a) Uq ˜ R

U C (s)

G

nach den Korrespondenzen Nr. 40 und 31 (siehe Abschnitt 8.3.6)

­° s ½° L1 ® ¾ 2 °¯ (s  a) °¿

­° 1 ½° L1 ® ¾ °¯ (s  a)2 °¿

(1  at) eat

t ˜ eat

u C (t)

Uq ˜ R ª 1 · §R Gt º ˜ «(1  Gt) ˜ e Gt  ¨  ¸˜t˜e » R  Ri ¬ © L RC ¹ ¼

u C (t)

Uq ˜ R ª § R 1 · º Gt ˜ 1  ¨ G   ¸˜t ˜e R  R i ¬« © L RC ¹ ¼»

mit

R L

Uq ˜ R ª § 1 · º Gt ˜ 1  ¨G  ¸˜t ˜e R  R i ¬« © RC ¹ ¼»

u C (t)

i(t)

2G

R L  ˜ R  R i (s  a)2 Uq

(vgl. Lösung der Aufgabe 8.5)

s

mit a

G

nach den Korrespondenzen Nr. 40 und 31 (siehe oben) ist i(t)



i(t)



mit

i(t)

R L 

Uq

R ª º ˜ «(1  Gt) ˜ e Gt  ˜ t ˜ e Gt » R  Ri ¬ L ¼ Uq

ª § º R· ˜ «1  ¨ G  ¸ ˜ t ˜ e Gt » R  Ri ¬ © L¹ ¼

2G Uq

˜ ª1  Gt º¼ ˜ e Gt R  Ri ¬

(vgl. Lösung der Aufgabe 8.5)

9 Fourieranalyse

285

9 Fourieranalyse von nichtsinusförmigen periodischen Wechselgrößen und nichtperiodischen Größen 9.1 Zu 1. Symmetrie 2. Art, a0 = 0, ak = 0

Zu 2.

v(t) ˜ sin k Zt ˜ dt

³ 0

8uˆ T2

bk mit

T/2

4 T

bk

4 T

T/2

2uˆ ˜ t ˜ sin k Zt ˜ dt T

³ 0

T/2

³

t ˜ sin k Zt ˜ dt

0

sin ax x ˜ cos ax  a a2

³ x ˜ sin ax ˜ dx

T/2

bk

8uˆ T2

ª sin kZt t ˜ cos kZt º ˜«  2 kZ ¼» 0 ¬ (kZ)

bk

8uˆ T2

ZT ZT T ª º « sin k 2  0 2 ˜ cos k 2  0 » ˜«  » 2 kZ « (kZ) » ¬ ¼

bk

8uˆ ª sin kS T/2 ˜ cos k S º ˜«  » kZ T 2 ¬ (kZ)2 ¼

bk





8uˆ T ˜ cos kS ˜ 2 ˜ kZ T2



8uˆ cos kS ˜ 2 ˜ ZT k

2uˆ ( 1) k ˜ k S

u (t)



2uˆ f (1) k ˜ ˜ sin k Zt S k 1 k

u (t)



2uˆ S

u (t)

§ sin Zt sin 2 Zt sin 3 Zt sin 4 Zt · 200V ˜ ¨     ... ¸ 2 3 4 © 1 ¹

uˆ k

a k 2  bk 2

¦

§ sin Zt sin 2 Zt sin 3 Zt sin 4 Zt · ˜¨     ... ¸ 1 2 3 4 © ¹

bk

uˆ k

2uˆ S˜k

M1

0D

M2

180D

M3

0D

M4

180D

200V k

uzw. Zu 3.

kc

1 1 1    ... 4 9 16

S2 1 6

0,803

Bild A-154 Übungsaufgabe 9.1

286

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

9.2 Zu 1. Gerade Funktion: 2uˆ u( Zt)  ˜ Zt  uˆ S d. h. Symmetrie 1. und 3. Art mit bk = 0 und a2k = 0

a 2k 1

a 2k 1 mit

4 ˜ S



S/ 2

³

u(Zt) ˜ cos (2k  1) Zt ˜ d (Zt)

0

4 ˜ 2uˆ ˜ S2

Bild A-155 Übungsaufgabe 9.2 Gerade Funktion

S/ 2

³

(Zt) ˜ cos (2k  1) Zt ˜ d (Zt) 

0

³ x ˜ cos ax ˜ dx

4uˆ ˜ S

S/ 2

a 2k 1

a 2k 1 u (Zt)

0

cos ax x ˜ sin ax  a a2 S

a 2k 1

³ cos (2k  1) Zt ˜ d (Zt)

8uˆ ª cos (2k  1) Zt Zt ˜ sin (2k  1) Zt º 2 4uˆ  2 ˜«  »  S 2k  1 S ¬ (2k  1)2 ¼0

S

ª sin (2k  1) Zt º 2 ˜« »¼ 2k  1 ¬ 0

S S Sº Sº ª ª ˜ sin (2k  1) » cos (2k  1)  1 sin (2k  1) » 8uˆ « 4uˆ « 2 2 2 2  2 ˜«  ˜« » » 2k  1 2k  1 (2k  1) 2 S « » S « » ¬ ¼ ¬ ¼ S S sin (2k  1) sin (2k  1) 8uˆ 1 4uˆ 1 2  4uˆ ˜ 2 8uˆ ˜ ˜  ˜ 2k  1 2k  1 S S S2 (2k  1)2 S2 (2k  1) 2 f 8uˆ cos (2k  1) Zt ˜ 2 S k 0 (2k  1)2

¦

8uˆ S2

§ cos Zt cos 3 Zt cos 5 Zt · ˜¨    ... ¸ 9 25 © 1 ¹

Ungerade Funktion 2uˆ u(Zt) ˜ Zt S d. h. Symmetrie 2. und 3. Art

mit a0 = 0, ak = 0 und b2k = 0 b 2k 1

b 2k 1 mit

4 ˜ S

S/ 2

³

u(Zt) ˜ sin (2k  1) Zt ˜ d (Zt)

0

4 ˜ 2uˆ ˜ S2

S/ 2

³ (Zt) ˜ sin (2k  1) Zt ˜ d (Zt) 0

³ x ˜ sin ax ˜ dx

sin ax x ˜ cos ax  a a2

Bild A-156 Übungsaufgabe 9.2 Ungerade Funktion

9 Fourieranalyse

Zu 2.

287 S

b2k 1

8uˆ S2

b2k 1

S S S ª º ˜ cos (2k  1)  0 » sin 8uˆ « (2k  1) 2 2 2 ˜«  » 2k  1 S2 « (2k  1) 2 » ¬ ¼

u ( Zt)

f 8uˆ ( 1) k ˜ sin (2k  1) Zt ˜ 2 S k 0 (2k  1)2

ª sin (2k  1) Zt Zt ˜ cos (2k  1) Zt º 2 ˜«  » 2 2k  1 ¬ (2k  1) ¼0

8uˆ S2

¦

8uˆ ( 1) k ˜ 2 S (2k  1)2

§ sin Zt sin 3 Zt sin 5 Zt · ˜¨    ... ¸ 9 25 © 1 ¹

sin (Zt + S/2) = cos Zt sin (3 Zt + 3S/2) = – cos 3Zt sin (5 Zt + 5S/2) = cos 5 Zt usw.

9.3 Zu 1.

i (Zt)

ˆi ˜ sin Zt

i ( Zt)

­° ˆi ˜ sin Zt für 0 d Zt d S ® °¯  ˆi ˜ sin Zt für S d Zt d 2S

mit Symmetrien 1. und 4. Art, d. h. bk = 0 und a2k – 1 = 0 Zu 2.

Bild A-157 Übungsaufgabe 9.3

Zu berechnen sind: ˆi 3

a 32  b32

ˆi 4

a 4 2  b4 2

ˆi 5

a 52  b 52

0,

weil a3 = 0 und b3 = 0

a4 , 0,

weil b4 = 0 weil a5 = 0 und b5 = 0

S

a4

2 ˜ i( Zt) ˜ cos 4 Zt ˜ d ( Zt) S

³ 0

S

2 ˆi ˜ sin Zt ˜ cos 4 Zt ˜ d (Zt) S

³ 0

a ˜ cos ax ˜ cos bx  b ˜ sin ax ˜ sin bx a 2  b2

mit

³ sin ax ˜ cos bx ˜ dx

mit

a

a4



a4

2 ˆi ˜ >cos S ˜ cos 4 S  4 ˜ sin S ˜ sin 4 S  cos 0 ˜ cos 0@ 15S

a4

2 ˆi ˜ ( 2) 15 S

ˆi 4

4 ˆi 15 S

1 und b



4

2 ˆi ª cos Zt ˜ cos 4 Zt  4 ˜ sin Zt ˜ sin 4 Zt º ˜ »¼ S «¬ 1  16 0

S



0,085 ˜ ˆi

4 ˆi 15 S

für

a z b

288 9.4 Zu 1.

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben Die Funktion hat die Symmetrie 3. Art, deshalb sind a2k = 0 und b2k = 0. Zu berechnen sind: uˆ 3

a 32  b32

uˆ 4

a 42  b42

0,

weil a4 = 0 und b4 = 0

S

a3

2 u ( Zt) ˜ cos 3 Zt ˜ d ( Zt) S

³ 0

2 uˆ S

sin Zt ˜ cos 3 Zt ˜ d ( Zt)

³

S/2

cos (a  b) x cos (a  b) x  2 (a  b) 2 (a  b)

mit

³ sin ax ˜ cos bx ˜ dx

mit

a = 1 und b = 3

a3

2uˆ ª cos (2) Zt cos 4 Zt º ˜ «  » 2 ˜ (2) 2˜4 ¼S S ¬



S

für a 2 z b2

S

2

a3

2uˆ S

ª cos 2S  cos S cos 4S  cos 2S º ˜«  » 4 8 ¬ ¼

a3

2uˆ S

ª1  1 1  1 º ˜« ˜ 8 »¼ ¬ 4

b3

2 u ( Zt) ˜ sin 3 Zt ˜ d ( Zt) S

uˆ S

S

³ 0

mit

³ sin ax ˜ sin bx ˜ dx

mit

a = 1 und b = 3

b3

2 uˆ S

2 uˆ S

S

³

sin Zt ˜ sin 3 Zt ˜ d ( Zt)

S/2

sin (a  b) x sin (a  b) x  2 (a  b) 2 (a  b)

S

2uˆ S

ª sin (2) Zt sin 4 Zt º ˜«  » 2˜4 ¼ S ¬ 2 ˜ (2) 2

2 uˆ ª sin 2S  sin S sin 4 S  sin 2S º ˜  » S «¬ 4 8 ¼

uˆ 3

a3

220V ˜ 2 S

S

ª sin 2 Zt sin 4 Zt º ˜«  8 »¼ S ¬ 4

b3

uˆ S

für a z b

2

0

99V

9.5 Zu 1. Symmetrie 1. Art (gerade Funktion) mit bk = 0 S

a0

1 ˜ u (Zt) ˜ d (Zt) S

³ 0

a

uˆ ˜ d (Zt) S

³ 0

S

ak

2 ˜ u ( Zt) ˜ cos k Zt ˜ d ( Zt) S

³ 0

ak

2 uˆ sin kZt ˜ S k

a 0

2 uˆ sin ka ˜ S k

uˆ ˜ a S a

2 uˆ ˜ cos k Zt ˜ d ( Zt) S

³ 0

9 Fourieranalyse

Zu 2.

289

u (Zt)

uˆ ˜ a 2uˆ f sin ka  ˜ ˜ cos k Zt S S k 1 k

u (Zt)

2uˆ S

¦

sin 2a § a sin a · ˜¨  ˜ cos Zt  ˜ cos 2 Zt  ... ¸ 1 2 ©2 ¹

s1

u ( [1  0)  u ( [1  0)

s1

0  uˆ

 uˆ

s2

u ([ 2  0)  u ([ 2  0)

s2

uˆ  0

Mit u c(x)

uˆ 0 ergibt die Gl. (9.47)

1 ak  ˜ (s1 ˜ sin k [1  s 2 ˜ sin k [ 2 ) Bild A-158 Übungsaufgabe 9.5 S˜k 1 2uˆ sin ka ak  ˜ >  uˆ ˜ sin ka  uˆ ˜ sin k (2S  a)@ ˜ S˜k S k mit sin k (2S – a) = – sin ka und die Gl. (9.48) 1 bk ˜ (s1 ˜ cos k [1  s 2 ˜ cos k [2 ) S˜k bk

1 ˜ >  uˆ ˜ cos ka  uˆ ˜ cos k (2S  a)@ S˜k

mit cos k (2S  a) Zu 3.

uˆ k

Zu 4.

ck

ck

ck ck

a k 2  bk 2

1 2S

ck ck

cos ka

ak

2uˆ sin ka , ˜ k S

M uk

arc tan

ak bk

2S

³ u (Zt) ˜ e jkZt ˜ d (Zt)

nach Gl. (9.84)

0

a 2S º 1 ª uˆ ˜ e  jkZt ˜ d( Zt) » ˜ « uˆ ˜ e  jkZt ˜ d( Zt)  2S « »¼ 2 S a ¬0

³

³

a 2S º uˆ ª e  jkZt e  jkZt » ˜«   jk 2 S a » 2 S «  jk 0 ¬ ¼ uˆ ˜ ªe  jka  1  e  jk2 S  e  jk (2 S a) º¼  j ˜ 2kS ¬

mit e jk2 S

ck

0

1

e  jka

und e jka

e jk(2S a) e jka

e  jk2S ˜ e jka e  jka

e jka

  uˆ uˆ ˜ ˜ 2 j kS kS 2j uˆ sin ka a k b ak ˜  j˜ k , weil b k 0 S k 2 2 2 uˆ sin ka ˜ und \ k 0, weil ck reell und positiv S k

S 2

290

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

Zusammenhänge zwischen den Amplituden- und Phasenspektren nach Gln. (9.86) und (9.87) für k = 0 … f bzw. k = – f … + f: uˆ k

2uˆ sin ka ˜ k S

2 ˜ ck

und M uk

\k 

S 2

S 2

9.6 Zu 1. Symmetrie 1. Art mit bk = 0 a

S

a0

1 u( Zt) ˜ d ( Zt) S

1 Zt · § uˆ ˜ ¨ 1  ¸ ˜ d ( Zt) S a ¹ © 0

³

³

0

a0

a a º uˆ ª 1 ˜ « d ( Zt)  Zt ˜ d( Zt) » S « a »¼ 0 ¬0

a0

uˆ ª 1 a2 º ˜ «a  ˜ » S ¬ a 2¼

ak

2 u ( Zt) ˜ cos k Zt ˜ d ( Zt) S

³

³

uˆ ˜ a 2S

S

S

2 Zt · § uˆ ˜ ¨ 1  ¸ ˜ cos k Zt ˜ d ( Zt) S a ¹ © 0

³

³

0

ak

mit

a

uˆ ª 1 ( Zt)2 º ˜ « Zt  ˜ » S ¬ a 2 ¼0

a a º 2uˆ ª 1 ( Zt) ˜ cos k ( Zt) ˜ d ( Zt) » ˜ « cos k Zt ˜ d ( Zt)  a S « »¼ 0 ¬0

³

³ x ˜ cos ax ˜ dx

³

cos ax x ˜ sin ax  a a2 a

ak

2uˆ ª sin k Zt 1 § cos k (Zt) (Zt) ˜ sin k (Zt) · º ˜  ˜¨  ¸» S «¬ k a © k k2 ¹¼ 0

ak

2uˆ ª sin ka 1 § cos ka a ˜ sin ka · 1 1 º ˜  ˜¨  ¸ ˜ » a © k2 k S ¬« k ¹ a k2 ¼

ak

2uˆ S

ak

2uˆ 1  cos ka ˜ Sa k2

1 º ª sin ka cos ka a ˜ sin ka ˜«    a˜k a ˜ k2 a ˜ k 2 »¼ ¬ k

u ( Zt)

f uˆ ˜ a 2uˆ 1  cos ka  ˜ ˜ cos k Zt 2S Sa k 1 k2

u ( Zt)

uˆ ˜ a 2uˆ § 1  cos a 1  cos 2a 1  cos 3a ·  ˜¨ ˜ cos Zt  ˜ cos 2 Zt  ˜ cos 3 Zt  ... ¸ Sa © 2S 1 4 9 ¹

¦

9 Fourieranalyse

291

Zu 2. In Gl. (9.49) i = 1,2 und 3 sind die Ordinatensprünge der 1. Ableitung:

s1c

u c( [1c  0)  u c( [1c  0)

s1c



s 2c

u c( [ c2  0)  u c( [ c2  0)

sc2

§ uˆ · 0  ¨ ¸ © a¹

s3c

u c( [ 3c  0)  u c( [ 3c  0)

uˆ uˆ  a a



2uˆ a

uˆ a

uˆ uˆ 0 a a Nach Gl. (9.53) ist s3c

ak





1 S ˜ k2

Bild A-159 Übungsaufgabe 9.6

3

˜

¦ sic ˜ cos k [ ci i 1

1





˜ s1c ˜ cos k [1c  sc2 ˜ cos k [ 2c  s3c ˜ cos k [ 3c S ˜ k2 1 uˆ uˆ ª 2uˆ º ak  ˜  ˜ cos k ˜ 0  ˜ cos k ˜ a  ˜ cos k (2S  a) » a a S ˜ k 2 «¬ a ¼ mit cos k (2S  a) cos ka

ak



2uˆ 1  cos ka ˜ Sa k2 und nach Gl. (9.54) ak

bk



1 S ˜ k2

3

˜

1

¦ sci ˜ cos k [ ci i 1





˜ s1c ˜ sin k [1c  sc2 ˜ sin k [ 2c  s3c ˜ sin k [ 3c S ˜ k2 1 uˆ uˆ ª 2uˆ º bk  ˜  ˜ sin k ˜ 0  ˜ sin k ˜ a  ˜ sin k (2S  a) » a a S ˜ k 2 «¬ a ¼ mit sin k (2S – a) = – sin ka bk = 0 Zu 3. Mit a = S: uˆ ˜ S 2uˆ § 1  cos S 1  cos 2S 1  cos 3S · u (Zt)=  ˜¨ ˜ cos Zt  ˜ cos 2 Zt  ˜ cos 3 Zt  ... ¸ S˜S © 2S 1 4 9 ¹

bk



u (Zt)=

uˆ 2uˆ § 1  ( 1) 11 1  (1) ·  2 ˜¨ ˜ cos Zt  ˜ cos 2 Zt  ˜ cos 3 Zt  ... ¸ 2 S © 1 4 9 ¹

u (Zt)=

uˆ 4uˆ  2 S2

§ cos Zt cos 3 Zt cos 5 Zt · ˜¨    ... ¸ 9 25 © 1 ¹

Zu 4. k'

1 1 1    ... (32 ) 2 (52 ) 2 (7 2 ) 2 1

S4 1 96

0,121

292

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

9.7 Zu 1. Die Funktion hat keine Symmetrien. a0

2S

1 ˜ 2S

³

uˆ ˜ 2S

u ( Zt) ˜ d ( Zt)

0

p2 S

³

uˆ p2 S ˜ > Zt @0 2S

d ( Zt)

0

uˆ ˜ p ˜ 2S uˆ ˜ p 2S Der Gleichanteil kann auch aus der Rechteckfläche A ermittelt werden: a0

a0

A 2S

ak

1 ˜ S

uˆ ˜ p2S 2S

uˆ ˜ p

2S

u (Zt) ˜ cos k Zt ˜ d (Zt)

³ 0

p2 S

ak

uˆ ª sin k Zt º ˜ S ¬« k ¼» 0

bk

1 ˜ S

u (Zt) ˜ sin k Zt ˜ d (Zt)

0

p2 S

Zu 2.

bk

uˆ ª cos k Zt º ˜  » S ¬« k ¼0

ck

1 ˜ 2S

u (Zt) ˜ e jk Zt ˜ d (Zt)

0

p2 S

Zu 3.

cos k Zt ˜ d (Zt)

³ 0

uˆ ˜ S

p2 S

³

sin k Zt ˜ d (Zt)

0

uˆ ˜ (1  cos k p2S) S˜k

2S

³

p2 S

uˆ ˜ sin k p2S S˜k

2S

³

uˆ ˜ S

1 ˜ 2S

p2 S

³

uˆ ˜ e jk Zt ˜ d (Zt)

0

ck

uˆ ª e jk Zt º ˜« » 2S ¬  jk ¼ 0

uˆ e  jkp 2S  1 ˜ j 2Sk

ck

uˆ cos k p 2S  j ˜ sin kp 2 S  1 ˜ j 2Sk

ck

uˆ uˆ ˜ sin k p 2S  j ˜ ˜ (1  cos kp 2 S) 2Sk 2Sk

uˆ k

a k 2  bk 2

uˆ k

§ uˆ · ª uˆ º ˜ sin kp2 S ¸  « ˜ (1  cos kp2S) » ¨ © Sk ¹ ¬ Sk ¼

2

ak b  j˜ k 2 2

2

uˆ k

uˆ ˜ sin 2 kp 2S  1  2 ˜ cos kp 2S  cos 2 kp 2S Sk

uˆ k

uˆ ˜ 2  2 ˜ cos kp 2S Sk

ck

1 ˜ uˆ k 2

2 ˜ uˆ ˜ 1  cos kp 2S Sk

uˆ ˜ 1  cos kp 2S 2 ˜ Sk

9 Fourieranalyse Zu 4.

293 1  cos kp 2S k

uˆ k 2 ˜ uˆ S

uˆ k bez.

k

1

2

uˆ k bez.

0,83

3

4

5

0,672 0,448 0,208

6

0

7

8

9

0,139 0,192 0,168 0,092

Bild A-160 Übungsaufgabe 9.7

9.8 Zu 1.

Bild A-161 Übungsaufgabe 9.8 f

Zu 2.

I

¦ Ik2

I12  I32

I12 

k 0

I I1

1,05

mit

ˆi 3 ˆi 1

I3 I1

f

¦ Ik2

Zu 3.

k

k 2

f

¦ Ik

2

1 ˜ I1

f

¦ Ik2

k 2

1 oder I3 3

I12  I 32

I32 I1

§ I1 · ¨ ¸ ©3¹ 2 §I · I12  ¨ 1 ¸ ©3¹

0,333

1,05 ˜ I1

1 ˜ I1 3 2

I 32

k 1

kc

1 2 ˜I 9 1

1 9 1

1 9

0,316

10 0

294

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

9.9 f

Zu 1.

F( jZ)

f

f (t) ˜ e  jZt ˜ dt

³

³ eat ˜ e jZt ˜ dt 0

f f

F( jZ)

³ e(a  jZ) t ˜ dt 0

F( jZ)

e (a  jZ) t (a  jZ)

f

1 a  jZ

0

Bild A-162 Übungsaufgabe 9.9

(vgl. Korrespondenz)

Die Ortskurve mit Z = p · Z ist ein „Kreis durch den Nullpunkt“ (siehe Band 2, Abschnitt 5.3). Zu 2. Nach Gl. (9.93) F( jZ)

R( Z)  j ˜ X( Z)

a und X(Z) a 2  Z2

mit R(Z) F( jZ)

1 a  jZ ˜ a  j Z a  jZ



a2

Z a  j˜ 2 2 Z a  Z2

Z a 2  Z2

F( jZ) ˜ e j ˜M ( Z)

1 a  jZ

mit F( jZ)

1 a 2  Z2

und M ( Z)

arc tan

X ( Z) R ( Z)

arc tan

Z a

 arc tan

Zu 3.

Bild A-163 Übungsaufgabe 9.9 9.10 0

Zu 1.

F( jZ )

f

³ (1) ˜ e jZt ˜ dt  ³ (1) ˜ e jZt ˜ dt 0

f

F( jZ ) F( jZ ) F( jZ)



e  jZ t  jZ

0

 f

1 1  jZ jZ

e  jZ t  jZ

0

2 jZ

R(Z)  j ˜ X(Z)

d. h. R( Z)

f

j˜

0 und X( Z)

2 Z 

2 Z

Bild A-164 Übungsaufgabe 9.10

Z a

9 Fourieranalyse Zu 2.

V(t)

295

1 1 ˜ sgn t  2 2

F ^V(t)`

­1 ½ ­1 ½ F ® ˜ sgn t ¾  F ® ¾ ¯2 ¿ ¯2 ¿

­1 ½ mit F ® ˜ sgn t ¾ ¯2 ¿ ­1 ½ und F ® ¾ ¯2 ¿

1 (siehe unter 1.) jZ

1 ˜ 2S ˜ G(Z) 2

Bild A-165 Übungsaufgabe 9.10

(vgl. Beispiel 5) 1  S ˜ G ( Z) jZ

F ^V(t)`

(vgl. Korrespondenz)

9.11

x(t)

Y( jZ)

G(t) und X( jZ)

X( jZ) ˜ G( jZ) 1 1  jZ C RC 1 R 1  j ZC RC

mit G( jZ)

Y( jZ)

F ^G(t)` 1

1˜

1 § R · ¨1  ¸  jZRC RC ¹ ©

­ 1 ½ mit F 1 ® ¾ ¯ a  jZ ¿

1 § 1 · R ˜¨  j ZC ¸  1 R © C ¹

1 § R · ¨1  ¸  jZRC RC ¹ ©

1 ª§ 1 º 1 ·  RC ˜ «¨ ¸  jZ» RC R C C ¹ ¬© ¼

V(t) ˜ e at

(siehe Korrespondenz)

y(t) mit W

1 ˜ V(t) ˜ e  t / W RC 1 ˜C 1 1  R RC

Bild A-166 Übungsaufgabe 9.11

9.12

Zu 1.

G( jZ)

U2 U1

Rr  Rr 

1 j ZC r

1 1  1 j ZC r  jZ C p Rp

296

Zu 2.

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

G( jZ)

· § 1 ·§ 1  jZ C p ¸ ¨ Rr  ¸ ¨¨ ¸ Z j C R r ¹© p © ¹ · § 1 ·§ 1  jZ C p ¸ 1  ¨ Rr  ¸ ¨¨ ¸ j ZC r ¹ © R p © ¹

G( jZ)

§ R r Cp · § 1 ·  ¨ ¸  j ˜ ¨ ZR r C p  ¸ ¨ R p Cr ¸ ¨ ¸ R Z pC r ¹ © ¹ © § § Cp · R 1 · ¨¨1  r  ¸¸  j ˜ ¨¨ ZR r Cp  ¸¸ Z R C R p r ¹ pCr ¹ © ©

mit Z

p ˜ Z0

G( jZ)

§R § · Cp · 1 ¨ r  ¸  j ˜ ¨ p ˜ Z0 ˜ R r ˜ C p  ¸ ¨ R p Cr ¸ ¨ ¸ ˜ Z ˜ ˜ p R C 0 p r¹ © ¹ © § § · R r Cp · 1  ¨¨1  ¸¸  j ˜ ¨¨ p ˜ Z0 ˜ R r ˜ Cp  ¸¸ ˜ Z ˜ ˜ R C p R C p r ¹ 0 p r¹ © ©

Die Ortskurve ist ein „Kreis in allgemeiner Lage“ (siehe Band 2, Abschnitt 5.4) mit der Bezugsfrequenz Z0, die aus 1 Z0 R r Cp Z0 R pC r

berechnet wird: 1 R r Cr R pCp

Z0

Z0

1 5 ˜ 103 : ˜ 2 ˜ 109 F ˜ 10 ˜ 103 : ˜ 1 ˜ 109 F

100 ˜ 103 s 1

bzw. f0

1 ˜ 100 ˜ 103 s 1 2S

15,9 kHz.

Mit 100 ˜ 103 s 1 ˜ 5 ˜ 103 : ˜ 1 ˜ 109 F

Z0 R r Cp

0,5

und 1 Z0 R pCr

1 100 ˜ 103 s 1 ˜ 10 ˜ 103 : ˜ 2 ˜ 109 F

ist

G( jZ)

§ 0,5 · §1 1· ¸ ¨  ¸  j ˜ ¨ p ˜ 0,5  p ¹ © 2 2¹ © § 1 1· 0,5 · § ¸ ¨1   ¸  j ˜ ¨ p ˜ 0,5  2 2¹ p ¹ © ©

G( jZ)

§ 1· 1  j ˜ 0,5 ˜ ¨ p  ¸ p¹ © § 1· 2  j ˜ 0,5 ˜ ¨ p  ¸ p¹ ©

mit B

D

j ˜ 0,5

§ 1· A  ¨p  ¸ ˜ B p¹ © § 1· C  ¨p  ¸ ˜ D p¹ ©

0,5

9 Fourieranalyse

297

Nach der Konstruktionsvorschrift im Band 2, Abschnitt 5.4 wird die Ortskurve konstruiert: B˜C Zu 1. N A A  C 1  2 1 D Zu 2.

G

C § 1· D  ¨p  ¸ ˜ N © p¹ N

2 § 1 · j ˜ 0,5  ¨p  ¸ ˜ 1 © p ¹ 1

§ 1· 2  j ˜ 0,5 ˜ ¨ p  ¸ p¹ ©

Zu 3. und 4. siehe Bild A-167 1 N 1 1 Zu 5.  2E 2C 2 ˜ 2 4 Da der Kreis mit dem Geradenmaßstab zu klein werden würde, wird für den Abstand 1/4 für den Kreismittelpunkt ein neuer, doppelt so großer Maßstab gewählt. Zu 6. und 7. siehe Bild A-167 Zu 8. – L = – B/D = – 1 p 0 1/4 1/3 1/2 1 2 3 4 f

f = p · f0 in kHz 0 4,0 5,3 8,0 15,9 31,8 47,7 63,7 f

Bild A-167 Übungsaufgabe 9.12

Rechnerische Kontrolle einiger Ortskurvenpunkte: p  j ˜ 0,5 p2  j ˜ 0,5 p 0 : G ( jZ) lim 1 p o 0 2p  j ˜ 0,5 p2  j ˜ 0,5 p

1:

G ( jZ)

p

2:

G ( jZ)

p

f:

G ( jZ)

1 2 1  j ˜ 0,5 ˜ 1,5 1  j ˜ 0,75 2  j ˜ 0,75 ˜ 2  j ˜ 0,5 ˜ 1,5 2  j ˜ 0,75 2  j ˜ 0,75 1 1  j ˜ 0,5  j ˜ 0,5 2 p p lim 1 1 p of 2  j ˜ 0,5  j ˜ 0,5 2 p p

0,56  j ˜ 0,16

298

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

10 Vierpoltheorie 10.1 Zu 1.

1 ˜ ( I1  I 2) j ZC

U1

R ˜ I 1

U2

(R L  jZL) ˜ I 2 

1 ˜ ( I 1  I 2) jZC

Bild A-168 Übungsaufgabe 10.1

bzw. U1

Zu 2.

Zu 3.

10.2 Zu l.

§ 1 · 1 ˜ I2 ¨R  ¸ ˜ I1  Z Z j C j C © ¹

Z11 ˜ I 1 Z12 ˜ I 2

U2

1 1 ·º ª § ˜ I 1  « R L  j ˜ ¨ ZL  ¸ ˜I ZC ¹ ¼» 2 jZC © ¬

(Z)

§ Z1  Z2 ¨ Z 2 ©

Wegen Z12

Z2 · Z2  Z3 ¸¹

1 § ¨ R  jZC ¨ ¨ 1 ¨ © jZC

Z21 ˜ I 1 Z22 ˜ I 2 1 jZC

· ¸ ¸ 1 ·¸ § R L  j ˜ ¨ ZL  ¸¸ ZC ¹ ¹ ©

1 ist der Vierpol umkehrbar. j ZC

Z21

Die S-Schaltung im Bild 10.75 ist symmetrisch, d. h. nach Gln. (10.59) und (10.54) ist Y11 = Y22 und Y12 = Y21:

Y11

§ I1 · ¨ ¸ © U1 ¹ U 2

jZ (C  Ck )  0

Y11

1 º ª j ˜ «Z (C  Ck )  ZL »¼ ¬

Y21

§ I2 · ¨ ¸ © U1 ¹ U 2

 jZC k

1 j ZL

Y22 Bild A-169 Übungsaufgabe 10.2 Y12

0

Zu 2.

(Y)

1 § 1 ¨Z  Z 1 2 ¨ ¨ 1 ¨ Z 2 ©

1 Z2

· ¸ ¸ 1 1 ¸  Z2 Z3 ¸¹ 

1 · § § ¨ j ˜ ¨ ZC  ZL ¸  jZC k © ¹ ¨ ¨  jZC k ¨ ©

· ¸ ¸ 1 ·¸ § jZCk  j ˜ ¨ ZC  ¸¸ ZL ¹ ¹ ©  jZC k

10 Vierpoltheorie 10.3 Zu 1.

299

Die T-Ersatzschaltung mit Z-Parametern (siehe Bild 10.9) enthält wegen Z12 = Z21 keine Spannungsquelle, weil passive Vierpole umkehrbar sind (siehe Abschnitt 10.6 und Gl. (10.55)). Die Definitionsgleichungen für die Z-Parameter stehen im Abschnitt 10.2. Z11

Z11

§ U1 · ¨ ¸ © I1 ¹ I2

0

ª 1 º R« & jZ (L1  L2 ) » j C Z ¬ ¼

mit L1  L 2

Z11

3L

1 ˜ jZ3L jZC jZC R ˜ 1 jZC  jZ3L jZC

Bild A-171 Übungsaufgabe 10.3

jZ3L 3 R  j˜ Z ˜ ˜ L 2 1  3Z 2 LC 1 1 mit  jZL ˜ ZL j j ZC Z11

R

Z11

R

Z12

§ U1 · ¨ ¸ © I2 ¹I

mit

Z12

Bild A-170 Übungsaufgabe 10.3

U1 1 jZC I2 U1 I2

mit Z 2 LC

1

3 1 ˜ 2 j ZC Bild A-172 Übungsaufgabe 10.3

1 0

jZL 2 jZ(L1  L 2 )  1 ˜ jZC

1 jZC

jZL 2

jZL 2

1 jZ(L1  L 2 )  jZC

1  Z 2 (L1  L 2 )C

Z12

jZ 2L 1  Z2 3LC

jZ2L 1 3

Z12

1 j ZC

mit  jZL

Z22

§ U2 · ¨ ¸ © I 2 ¹ I1

Z21

wegen jZL1 

0

1 j ZC

(Stromteilerregel)

 jZL

mit L1  L2 1 ˜ ZL j

1 j ZC

0

und Z2 LC

1 j ZC

ª § 1 ·º jZL3  « jZL2 & ¨ jZL1  ¸» jZC ¹ ¼ © ¬ jZL 

3L

und

L3

jZL3 2L

jZ 2L

1

300

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben Die Schaltelemente des realisierbaren Ersatzschaltbildes sind: Z11  Z12

R

3 1 1 ˜  2 j ZC j Z C

Z11  Z12

R

1 1 ˜ 2 j ZC

Z22  Z12

jZ 2L  jZL

1 jZ 2C

jZ 3L

Bild A-173 Übungsaufgabe 10.3

1 jZ C

Z12 10.4 Zu 1.

R

Die Leerlaufspannungsübersetzung vorwärts in Abhängigkeit von den Y- Parametern errechnet sich nach Gl. (10.19) aus (Vuf ) Ya

0



Y21 Y22

Bild A-174 Übungsaufgabe 10.4

Durch Vergleich der HF-Ersatzschaltung und der S-Ersatzschaltung ergeben sich folgende Zusammenhänge: Y11  Y12

jZC1

 Y12

Y22  Y12

1  jZ C 2 R

Sm

jZC12 Y21  Y12

d. h. 0



(Vuf ) Y

0

jZC12  Sm 1  jZ (C2  C12 ) R

a

a

Zu 2.

Sm  Y12 1  jZC2  Y12 R

(Vuf ) Y

U1



Sm  jZC12 1  jZC2  jZC12 R

1 U § · ˜ ¨ Sm ˜ U1  2  jZC2 ˜ U 2 ¸  U 2 jZC12 © R ¹

jZC12 ˜ U1

(Vuf ) Y

a

0

Sm ˜ U1 

1 ˜ U 2  jZC2 ˜ U 2  jZC12 ˜ U 2 R

U2

jZC12  Sm

U1

1  jZ (C2  C12 ) R

10 Vierpoltheorie

301

10.5 Zu 1.

1 (siehe Tabelle im Abschnitt 10.4) A11 Die A-Parameter des *-Vierpols II sind im Abschnitt 10.3 angegeben: (Vuf ) Ya

A11

1

Z1 Z2

0

1 ZR pCr

ZR r Cp Zu 4.

10.6 Zu 1.

(Vuf ) Ya

Zu 3.

0

1 R r R pCr Cp

ergibt Z

1 R r Cp  1 R p Cr

1 3

Siehe Bild A-175: Es handelt sich um einen *-Vierpol II, dessen Parameter im Abschnitt 10.3 angegeben sind:

(A)

Zu 2.

· § 1 ·§ 1  jZCp ¸ 1  ¨ Rr  ¸ ¨¨ ¸ Z j C R r ¹© p © ¹

1  Z1 ˜ Y2

1 § · § Cp R 1 · ¨¨1  r  ¸¸  j ˜ ¨¨ ZR r C p  ¸ R p Cr ¹ ZR p Cr ¸¹ © © siehe Abschnitt 4.4, Beispiel 5. Die Leerlaufspannungsübersetzung ist reell, wenn der Imaginärteil des Operators Null ist: (Vuf ) Ya

Zu 2. Zu 3.

C21

0

Z1 § ¨1  Z 2 ¨ ¨ 1 ¨ © Z2

(Vuf ) Y

a

0

(Zin ) Ya

f

Vuf

Vuf

· Z1 ¸ ¸ ¸ 1¸ ¹

1 A11

Bild A-175 Übungsaufgabe 10.6

1 Z 1 1 Z2

H11

Z1

1 1  (R L  jZL) ˜ jZC

1 (1 

Z 2 LC)

 jZR L C

R L  jZL

1 A11  A12 ˜ Ya

1

1 Z1 Z2



Z1

mit Ya

1 R

R

1 R  jZL 1  Z2 LC  jZR L C  L R





Zin

Z1  Z2

R L  jZL 

Zin

RL L· § · §  Z2 LC ¸  jZ ˜ ¨ R LC  ¸ ¨1  R R¹ © ¹ © 1  jZ C R

1 1  jZC R

1 R § L  Z2 LC ·  jZ ˜ § R C  L · ¨1  ¸ ¨ L ¸ R R¹ © ¹ ©

302 10.7 Zu 1.

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben Bei den beiden Vierpolen handelt es sich um den Typ *-Vierpol II, dessen A-Parameter allgemein im Abschnitt 10.3 angegeben sind (siehe Lösung 10.6). Differenzierglied:

Z1

1 jZC p 1 Rp  jZC p

Z2

R

Rp ˜

Rp

(A D )

1  jZR p Cp

Rp § ¨1  R(1  jZR p C p ) ¨ ¨ 1 ¨ R ©

Integrierglied:

Zu 2.

Z1

R

Z2

Rr 

(Vuf ) Ya

1 jZCr

(A I )

1 A11

0

K˜

R § ¨1  1 Rr  ¨ jZC r ¨ ¨ 1 ¨ ¨ R  1 r ¨ jZCr ©

1  jZT1 1  jZT2

Differenzierglied: 1 A11 1 A11

1

1 Rp R ˜ (1  jZR pCp )

1  jZR p C p Rp  R  jZR p C p R

R ˜ Rp  R

(Vuf D ) Y

a 0

R , Rp  R

mit K

1  j ZR p C p Rp 1  jZ R p C p  R 1  jZR p C p Rp  R § R · ˜ ¨ 1  jZR p C p ˜ ¸¸ ¨ R R p R¹ ©

1  jZR p C p 1  jZ ˜

T1

Rp ˜ R Rp  R

˜ Cp

R p ˜ Cp und T2

Rp ˜ R Rp  R

Integrierglied: 1 A11

R

1

Rr 

(Vuf I ) Ya mit K

1 j ZC r 1 Rr  R j ZC r Rr 

1 1 j ZC r

1  jZR r C r 1  jZ (R r  R)C r

0

1,

T1

R r ˜ Cr

und

T2

(R r  R) ˜ C r

˜ Cp

· R¸ ¸ ¸ ¸ 1¸ ¸ ¸ ¹

Rp

· ¸ 1  jZR p C p ¸ ¸ 1 ¸ ¹

10 Vierpoltheorie Zu 3.

303

Differenzierglied mit Rp o f: 1 A11

1 A11

lim

R p of

lim

R p of

(Vuf D )Ya

0

1  jZR p C p 1  jZR p C p 

Rp R

1  jZCp Rp 1 1  jZC p  Rp R

jZCp jZCp 

1 R

jZRCp 1  jZRCp

Integrierglied mit Rr = 0: 1 A11

lim

R r o0

(Vuf I ) Ya

10.8 Zu 1.

0

1  jZR r Cr 1  jZ (R r  R)Cr 1 1  jZRCr

Der Brücken-T-Vierpol kann als Parallel-Parallel-Schaltung (Bild 10.53) oder als Reihen-Reihen-Schaltung (Bild 10.57) aufgefasst werden. Die Schaltung soll als Reihen-Reihen-Schaltung behandelt werden:

Bild A-176 Übungsaufgabe 10.8

304 Zu 2.

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben Die Z-Parameter der Gesamtschaltung ergeben sich durch Addition der Z-Parameter des S-Vierpols und des Querwiderstandes, deren Z-Parameter aus der Tabelle im Abschnitt 10.3 entnommen werden: § Z1 (Z1  Z3 ) · Z12  Z2  Z2 ¸ ¨   2 Z Z 2 Z Z 1 3 1 3 ¸ (Z) (Z' )  (Z'' ) ¨ ¨ ¸ Z12 Z1 (Z1  Z3 ) ¨¨  Z2  Z2 ¸¸ 2 Z1  Z3 © 2 Z1  Z3 ¹

(Z)

Zu 3.

(Vuf ) Y

a 0

(Vuf ) Ya

1 R2  2R  jZL jZC

Z21

C21

jZR 2 C  2R  jZL

R 2  jZLR 1  2R  jZL jZC

Z11



2R  jZ R 2 C  L 0

R2 1 ·  ¸ 2R  jZL jZC ¸ R(R  jZL) 1 ¸  ¸ 2R  jZL jZC ¸¹

§ R(R  jZL) 1  ¨ jZC ¨ 2R  jZL ¨ R2 1  ¨¨  Z Z 2R j L j C ©

L· § 2  jZ ˜ ¨ RC  ¸ R¹ © L· § 2  Z2 LC  jZ ˜ ¨ RC  ¸ R¹ ©





2R  Z2 LCR  jZ R 2 C  L

jZC(R 2  jZLR)  2R  jZL



10.9

Zu 1.

(Vuf ) Ya

0

mit Vuf

1 A11

Z1  Z2 Z1  Z2

1  (ZRC) 2 ˜ e jM1 1  (ZRC) 2 ˜ e jM2

1 R j ZC 1 R j ZC

1  jZRC 1  jZRC

1 ˜ e j˜(M1 M2 )

d. h. Vuf

und M = M1 – M2 = arc tan (– ZRC) – arc tan (ZRC) Zu 2.

M = – 2 · arc tan (ZRC) Mit Z0

1 RC

ist M

2 ˜ arc tan

Z Z0

Z Z0 0 0,25 0,5 0,75 1 1,33 2 4 f

Vuf ˜ e jM

Vuf

1

mit arc tan (– x) = – arc tan x

M 0 – 28,1° – 53,1° – 73,3° – 90° – 106° – 127° – 152° – 180°

Bild A-177 Übungsaufgabe 10.9

10 Vierpoltheorie

305

10.10 Zu 1. Bei dem Doppel-T-RC-Glied handelt es sich um die Parallel-Parallel-Schaltung zweier T-Vierpole. Die Vierpolparameter der Gesamtschaltung in Leitwertform ergeben sich durch Addition der Y-Parameter der Einzelvierpole, die in der Tabelle im Abschnitt 10.3 zu finden sind. Zu 2. Mit (Vuf ) Y



0

a

Y21

0

Y22

Bild A-178 Übungsaufgabe 10.10

ist der Parameter Y21 des Doppel-T-Vierpols gesucht. Der Y21-Parameter eines T-Vierpols mit allgemeinen komplexen Widerständen (Abschnitt 10.3) ist Y21T



Z2 Z1Z2  Z1Z3  Z2 Z3

so dass sich für die Parallel-Parallel-Schaltung ergibt: § · 1 ¨ ¸ R jZC ¨ ¸ ¨  2¸ R1 R2 2R § 1 · ¸   R1R 2 ¨  ¨ jZC jZC jZC ©¨ jZC ¹¸ ¹¸ ©

Y21

c cc  Y 21 Y 21

Y21

§ 1 ( jZC) 2 R · ¨  ¸ R R j CR R j C 2R  1 ¹   Z Z 2 1 2 © 1

mit Z Y21

Z0

Z 0 2 C2 R 1  R1  R 2  jZ 0 CR1R 2 jZ 0 C 2R  1

0

ergibt sich die Gleichung jZ 0 C 2R  1

Z 0 2 C2 R ˜(R1  R 2  jZ 0 C R1R 2 ) ,

in der die Imaginärteile und die Realteile beider Seiten gleichgesetzt werden: jZ 0 C 2R 2

Z0

jZ 03C3 R R1R 2

Z 0 2 C 2 R1R 2

2 1 ˜ R 1R 2 C

1

Z 0 2 C2 R (R1  R 2 )

mit Z 02C2

1 R

2 R1R 2

2 R (R1  R 2 ) R1R 2 R1R 2 2(R1  R 2 )

306

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

10.11 Zu 1. Die RC-Phasenkette kann als eine Kettenschaltung eines T-Vierpols und eines S-Vierpols aufgefasst werden. Aus den A-Parametern der Einzelvierpole werden die A-Parameter des Gesamtvierpols durch Matrizenmultiplikation errechnet. Da aber nur die Spannungsübersetzung Vuf gesucht ist, braucht nur der Parameter A11 ermittelt zu werden: (Vuf ) Ya

1 A11

0

mit

A11

' ˜ A ''  A ' ˜ A '' A11 11 12 21

(siehe Abschnitt 10.7.6) Bild A-179 Übungsaufgabe 10.11

A11

§ Z1' · § Z''2 · § ' Z1' Z'3 · § 1 1 Z''2 · ' ¨ 1  ' ¸ ˜ ¨ 1  '' ¸  ¨ Z1  Z3  ' ¸ ˜ ¨ ''  ''  '' '' ¸ Z2 ¹ © Z3 ¹ © Z2 ¹ © Z1 Z3 Z1Z3 ¹ ©

A11

1 · 1 1 · § 1 · § § ˜ ¨ ¨ 1 1 jZC ¸ jZC jZC ¸ ¨ 1 1 jZC ¸ ¨1  ¸ ¨ ¸˜¨   ¸   R ¸ R ¨ ¨ jZC jZC ¸ ¨R R R˜R¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ © ¹

A11

§ 2 · §2 § 1 · 1 1 ·  2 ¸˜¨  ¨1  ¸ ¨ 2 2 ¸ jZRC ¹ © © jZC Z RC ¹ © R jZR C ¹

A11

1

2 1 4 2 2 1      jZRC Z2 R 2C2 jZRC Z2 R 2C 2 Z2 R 2C2 jZ3R 3C3

A11

1

5 6 1  j˜  j˜ 3 3 3 ZRC Z2 R 2C2 ZR C

2

2

(Vuf ) Ya

0

1 5 1 § · § 6 ·  3 3 3¸ ¨1  2 2 2 ¸  j ˜ ¨ Z RC Z Z R C R C © ¹ © ¹

Zu 2. Vuf ist reell, wenn der Imaginärteil Null ist: 6 ZRC Z

1 Z3R 3C3 1 6 ˜ RC

0, 41 RC

Vuf ist imaginär, wenn der Realteil Null ist: 1

Z

5 Z2 R 2C2 5 RC

2, 24 RC

10 Vierpoltheorie

307

10.12 Zu 1. Die Transistorstufe im Bild 10.84 ist eine Parallel-Parallel-Schaltung (Spannung-StromRückkopplung) mit einem Längswiderstand am Eingang in Kette (siehe Bild A-180). Die Transistorstufe im Bild 10.85 ist eine Reihen-Reihen-Schaltung (Strom-SpannungRückkopplung) wie in den Bildern 10.51 und 10.58. Sie stellt also eine stromgegengekoppelte Emitterschaltung dar. Im Bild 10.86 ist eine Kollektorschaltung dargestellt, die als rückgekoppelte Emitterschaltung (Spannung-Spannung-Rückkopplung) aufgefasst werden kann, wie im Bild 10.62 nachgewiesen ist. Zu 2.

Parallel-Parallel-Schaltung des Transistors mit einem *-Vierpol II:

(Y)

1 § 1 ¨h  R 2 ¨ 11e ¨ h 21e 1  ¨ © h11e R 2

h12e 1  h11e R 2

· ¸ ¸ det h e 1 1 ¸   ¸ h11e R2 RC ¹ 

Bild A-180 Übungsaufgabe 10.12

(Y)

§ 1 1  ¨ ¨ 2,7k: 47k: ¨ 220 1  ¨ : : 2,7k 47k ©

(Y)

§ 391,65PS 21,332PS · ¨ ¸, © 81,46mS 35,388PS ¹

 2,7k: ˜ 18PS  220 ˜ 1,5 ˜ 104 2,7k:

1,5 ˜ 104 1 ·  ¸ 2,7k: 47k: ¸ 1 1 ¸   ¸ 47k: 120k: ¹

umgewandelt in A-Parameter wegen der Kettenschaltung:

(A)

§ Y22 ¨ Y 21 ¨ ¨ det Y ¨ Y 21 ©

1 · Y21 ¸ ¸ Y ¸  11 ¸ Y21 ¹ 

§ 434,4 ˜ 106 12,276: · ¨ 6 S 4,808 ˜ 10 3 ¸  ˜ 21,502 10 © ¹

Kettenschaltung des Längswiderstandes und des beschalteten Transistors: (Matrizenmultiplikation)

434,4 ˜ 106

12,276:

21,502 ˜ 106 S 4,808 ˜ 103 1 4,7k: 0 1

§ 101,5 ˜ 103 · 34,87: ¨ ¸   6 3 © 21,502 ˜ 10 S 4,808 ˜ 10 ¹

(A)

308

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben Betriebskenngrößen: Zin

Zout Vuf Zu 3.

A11

101,5 ˜ 103

A 21

21,502 ˜ 106 : 1

A 22

4,808 ˜ 103

A 21

21,502 ˜ 106 :1

1 A11

1 101,5 ˜ 103

4,72k: | R1

224:

9,85 | 10, d. h. gleich 

R2 . R1

Die Parallelschaltung der beiden Basiswiderstände bildet einen Querwiderstand, der mit der Reihen-Reihen-Schaltung des Transistors in Kette geschaltet ist: (A ' )

§ 1 0· ¨ ¸ © 1/Z 1 ¹

0· § 1 ¨ ¸ © 13,41PS 1 ¹

mit

1 Z

1 1  820k: 82k:

13,41PS

Die Reihen-Reihen-Schaltung des Transistors mit dem Querwiderstand ist identisch mit dem Vierpol 3 des zweistufigen Verstärkers im Bild 10.50, deren Z-Parameter im Abschnitt 10.7.3 berechnet wurden: (Zcc)

§ 4,167k: 3,308k: · ¨ 12,2M: 58,86k: ¸ . © ¹

Diese wurden im Abschnitt 10.7.6 (Beispiel 4) in A-Parameter umgewandelt: (A cc)

§ 341,0 ˜ 106 3,328 ˜ 103 : · . ¨  3 ¸ 9 © 81,83 ˜ 10 S 4,817 ˜ 10 ¹

Der Kollektorwiderstand ist ein Querwiderstand, der in Kette geschaltet ist: (A ccc)

§ 1 0· ¨ 1/Z 1 ¸ © ¹

1 0· § ¨ 66,67PS 1 ¸ © ¹

mit

1 Z

1 RC

1 15k:

66,67PS

Durch zweimalige Matrizenmultiplikation ergeben sich die A-Parameter der gesamten Stufe:

1

0

13,41 ˜ 106 S 1

3,328 ˜ 103 :

81,83 ˜ 109 S 4,817 ˜ 103

1 66,67 ˜ 106 S

3,328 ˜ 103 :

222,2 ˜ 103

341,0 ˜ 106

341,0 ˜ 106

86,40 ˜ 109 S 49,445 ˜ 103

Betriebskenngrößen: Zin

Zout Vuf

A11

222,2 ˜ 103

A 21

3,383 ˜ 106 :1

A 22

49,445 ˜ 103

A 21

3,383 ˜ 106 : 1

1 A11

1 222, 2 ˜ 103

65,7k:

4,5

14,6k:

0 1 3,328 ˜ 103 :

3,383 ˜ 106 S 49,445 ˜ 103

10 Vierpoltheorie Zu 4.

309

Mit den H-Parametern des Querwiderstandes 1 · §0 1 · §0 1 · §0 ¨ 1 1/R ¸ ¨ 1 1/5k: ¸ ¨ 1 0,2mS ¸ E¹ © © ¹ © ¹ ergibt sich mit den he-Parametern (Hc) des Transistors: (H cc)

(H)

'  H '' '  H '' ) · § H11  (H12 11 12 ¨ ¸ ' '' H '22  H ''22 ¹ © (H 21  H 21 )

§ 2,7k:  0  (1,5 ˜ 10 4  1) · ¨ ¸ ©  (220  1) 18PS  0,2mS ¹

1 · § 2,7k: ¨ ¸  PS ¹ 221 218 © Betriebskenngrößen: (H)

Zin

det H H 22

221,6

218 ˜ 106 S

218 ˜ 106 S

1 1 1 1   R B1 R B2 Zin

Zin ges

1  H11 ˜ Yi H 22  Yi ˜ det H

Zout

1 1 1 1   120k: 270k: 1M:

1M:

77k:

Zi  H11 H 22 ˜ Zi  det H

1 1 1  120k: 270k:

mit Zi

Zout

2,7 ˜ 103 : ˜ 218 ˜ 106 S  221

83,1k:

83,1k:  2,7k: 218 ˜ 106 S ˜ 83,1k:  221,6

358:

H 21 221 0,997 | 1  det H 221,6 Wegen des hohen Eingangswiderstandes und des niedrigen Ausgangswiderstandes bei einer Spannungsübersetzung von 1 eignet sich die Kollektorschaltung als Impedanzwandler. Vuf



10.13

Zu 1. Die Vierpolzusammenschaltung der Phasenumkehrstufe ist bereits im Bild 10.64 angege ben. Sie ist also eine Reihen-Parallel-Schaltung nach Bild 10.61. Zu 2. Die H-Parameter der Gesamtschaltung werden nach Gl. (10.74) berechnet: § H11 H12 · ¨ ¸ © H 21 H 22 ¹

'  H '' ' '' § H11 11 H12  H12 · ¨ ' '' ' '' ¸ © H 21  H 21 H 22  H 22 ¹

Die he-Parameter des Transistors sind die Hc-Parameter, und die H-Parameter des *-Vierpols I sind die Hs-Parameter, die im Abschnitt 10.3 zu finden sind und sich nicht ändern, wenn der Vierpol auf den Kopf gestellt wird (siehe Abschnitt 10.7.3): § H11 H12 · ¨ ¸ © H 21 H 22 ¹

R1 ˜ R 2 § ¨ h11e  R  R 1 2 ¨ ¨ R1 ¨ h 21e  R1  R 2 ©

R1 · R1  R 2 ¸¸ ¸ 1  ¸ R1  R 2 ¹

h12e  h 22e

310

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

Zu 3. Mit § H11 ¨ © H 21

§ 5k:  5k: 104  0,5 · ¨ ¸ 1 1 ¨ ¸  ¨ 200  0,5 ¸ 50k: 20k: ¹ ©

H12 · ¸ H 22 ¹

(Vuf ) Y

a

0



H 21 det H



200 10k: ˜ 70 ˜ 106  100

§ 10k:  0,5 · ¨ ¸ © | 200 70PS ¹

2

10.14

Zu 1.

Bild A-181 Übungsaufgabe 10.14 Transistor T1: Umrechnung der he-Parameter in Ac-Parameter

(A ' )

§ det h e ¨ h 21e ¨ ¨ h 22e ¨ h © 21e

mit det h e

h11e · h 21e ¸ ¸ 1 ¸  h 21e ¸¹ 

§ 209 ˜ 106 13,64: · ¨  3 ¸ 9 © 90,9 ˜ 10 S 3,03 ˜ 10 ¹

4,5k: ˜ 30PS  2 ˜ 104 ˜ 330

69 ˜ 103

Querwiderstand 100 k:: (A cc)

§ 1 0· ¨ 1/Z 1 ¸ © ¹

1 0· § ¨ 10 ˜ 106 S 1 ¸ © ¹

Reihen-Parallel-Schaltung T2/8,3 k:: (siehe Abschnitt 10.7.4, Beispiel 1)

(H ccc)

(h12e  H12Q ) · § h11e  H11Q ¨ (h h 22e  H 22Q ¸¹ 21e  H 21Q ) ©

mit den HQ-Parametern des Querwiderstandes: (H Q )

1 §0 · ¨ ¸ © 1 1/8,3k: ¹

1 · §0 ¨ ¸ © 1 120PS ¹

(H ccc)

§ 4,5k:  (2 ˜ 104  1) · ¨ ¸ ©  (330  1) 30PS  120PS ¹

§ 4,5 ˜ 103 : · 1 ¨ 6 S ¸ 331 150 10  ˜ © ¹

10 Vierpoltheorie

311

Umrechnung in A-Parameter:

§ det H ''' ¨ ''' ¨ H 21 ¨ H ''' ¨¨  22 ''' © H 21

(A ccc)

''' · H11 ¸ ''' H 21 ¸ 1 ¸  ''' ¸¸ H 21 ¹



1 13,6: · § ¨ 453 ˜ 109 S 3,02 ˜ 103 ¸ © ¹

mit det H''' = 331,7 A-Parameter der Kettenschaltung (zweifache Matrizenmultiplikation):

1 10 ˜ 106 S 209 ˜ 106 90,9 ˜ 109 S

345 ˜ 106 121, 2 ˜ 109 S

0 1

1 453 ˜ 109 S

13,64:

351 ˜ 106 123 ˜ 109 S

3,03 ˜ 103

13,6: 3,02 ˜ 103

45,9 ˜ 103 : 10,8 ˜ 106

13,64: 3,03 ˜ 103

Zu 2.

(Vuf ) Y

a 0

1 A11

1  351˜106

2850

Vuf = 2850, das sind 69dB (nach Gl. (10.20)) 10.15 Zu 1. Abgesehen von dem am Eingang in Kette geschalteten Umpoler stimmt die Parallel-ReihenSchaltung mit der im Bild 10.65 überein. Der Umpoler am Eingang bedeutet eine Vorzeichenumkehr der Parameter c12 und c21, wie im Abschnitt 10.7.4 beschrieben ist. Die c-Parameter der Gesamtschaltung sind die cb-Parameter der Basisschaltung § c11b ¨c © 21b

c12b · c22b ¸¹

'  c'' '  c'' ) · § c11  (c12 11 12 ¨ ¸ ' '' ' '' (c c ) c c    21 21 22 22 ¹ ©

Die einfach gestrichenen Parameter sind die Transistorparameter in Emitterschaltung, die von der he-Form in die ce-Form umgerechnet werden müssen: h § h 22e ·  12e ¸ ¨ det h e ¸ § c11e c12e · ¨ det h e ¨ ¸ h11e ¸ © c21e c22e ¹ ¨  h 21e ¨ ¸ det h det he ¹ e © Die zweifach gestrichenen Parameter sind die des Umpolers, die im Abschnitt 10.3 zu finden sind: ' § c11 ¨ ' © c 21

' · c12 ¸ ' c22 ¹

'' '' · § c11 c12 ¨ '' ¸ '' © c21 c22 ¹

§ 0 1· ¨ 1 0 ¸ © ¹

Damit ergeben sich die c-Parameter der Basisschaltung § c11b ¨ © c21b

c12b · ¸ c 22b ¹

h12e § h 22e ·  1¸ ¨ det h det h e e ¨ ¸ ¨ h 21e h11e ¸ 1 ¨ ¸ det h e ¹ © det h e

312

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben und damit die Umrechnungsformeln für die hb-Parameter

h11b

h11b

h11b

c 22b det cb

h11e det h e § h ·§ h · h 22e h ˜ 11e  ¨ 12e  1¸ ¨ 21e  1¸ det h e det h e © det h e ¹ © det h e ¹

h11e h 22e ˜ h11e (h12e  det h e ) (h 21e  det h e )  det h e det h e

h11e (h 22e ˜ h11e  h12e ˜ h 21e )  det h e ˜ h 21e  h12e ˜ det h e  (det h e )2 det h e

h11b

h11e 1  h 21e  h12e  det h e

h12b

c  12b det c b

h12b

h12b

vgl. mit Gl. (10.85)

h12e det h e  det h e det h e  § h ·§ h · h 22e h ˜ 11e  ¨ 12e  1¸ ¨ 21e  1¸ det h e det h e © det h e ¹ © det h e ¹

h12e  det h e h 22e ˜ h11e (h12e  det h e ) (h 21e  det h e )  det h e det h e

det he  h12e (h 22e ˜ h11e  h12e ˜ h 21e )  det he ˜ h 21e  h12e ˜ det he  (det he )2 det h e

h12b

det h e  h12e 1  h 21e  h12e  det h e

h 21b

c  21b det c b

h 21b



h 22b

c11b det c b

h 22b

vgl. mit Gl. (10.86)

h 21e det h e  det h e det h e  § h ·§ h · h 22e h ˜ 11e  ¨ 12e  1¸ ¨ 21e  1¸ det h e det h e © det h e ¹ © det h e ¹

h 21e  det h e 1  h 21e  h12e  det h e

vgl. mit Gl. (10.87)

h 22e det h e § h ·§ h · h 22e h ˜ 11e  ¨ 12e  1¸ ¨ 21e  1¸ det h e det h e © det h e ¹ © det h e ¹ h 22e

1  h 21e  h12e  det he

vgl. mit Gl. (10.88)

10 Vierpoltheorie

313

Zu 2.

§ IB · ¨ ¸ ¨ IC ¸ ¨I ¸ © E¹ § I B· ¨ ¸ © I E¹

(y11e  y12e ) · § U B0 · y11e y12e § ¨ ( y 21e  y 22e ) ¸¸ ˜ ¨¨ U C0 ¸¸ y 21e y 22e ¨ ¨ (y  y ) ( y  y ) ¸ ¨U ¸ 6y e 11e 21e 12e 22e © ¹ © E0 ¹ y11e  (y11e  y12e ) · § U B · § ¨ ¸˜¨ ¸ (y y )   6y e 11e 21e © ¹ © UE ¹

d. h. y11c = y11e y12c = – (y11e + y12e) y21c = – (y11e + y21e) y22b = 6ye = y11e + y12e + y21e + y22e Mit den Umrechnungsformeln für die Vierpolparameter im Abschnitt 10.2 ergeben sich die Formeln für die gesuchten hc-Parameter: h11c =

1 y11c

h12c

y  12c y11c

h 21c

1 y11e

h11e

y11e  y12e y11e

y21c

 (y11e  y21e )

y11c

y11e

vgl. mit Gl. (10.77) 1 h  12e h11e h11e 1 h11e 

1  h12e

h 1  21e h11e h11e 1

vgl. mit Gl. (10.78)

 (1  h 21e )

vgl. mit Gl. (10.79)

h11e

h 22c

det yc y11c

h 22c

y11e ˜ (y11e  y12e  y 21e  y 22e )  (y11e  y12e ) (y11e  y 21e ) y11e

h 22c

h 22c

y11c ˜ y 22c  y12c ˜ y 21c y11c

y11e 2  y11e y12e  y11e y21e  y11e y22e  y11e 2  y11e y21e  y12e y11e  y12e y21e y11e y11e ˜ y 22e  y12e ˜ y 21e y11e

det ye y11e

h 22e h11e 1 h11e

h 22e

vgl. mit Gl. (10.80)

314

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

10.16 Zu 1. Mit den Gln. (10.91) und (10.92) können die Wellenwiderstände ermittelt werden: Z w1

A11 ˜ A12 A 21 ˜ A 22

A 22 ˜ A12 , A 21 ˜ A11

Zw 2

im Abschnitt 10.3 stehen die A-Parameter des *-Vierpols II:

(A)

Z1 § ¨1  Z 2 ¨ ¨ 1 ¨ © Z2

· Z1 ¸ ¸, ¸ 1¸ ¹

in obige Formeln eingesetzt ergeben sich

Z w1

§ Z1 · ¨1  ¸ ˜ Z1 Z © 2¹ 1 ˜1 Z2

§ Z · Z1 ˜ Z2 ˜ ¨1  1 ¸ Z © 2¹

Z1 ˜ (Z1  Z2 )

und Zw 2

1 ˜ Z1 § Z · ˜ ¨1  1 ¸ Z 2¹ ©

1 Z2

Z1 ˜ Z2 Z 1 1 Z2

Zu 2. Mit Z1

jZL 

1 jZC1

und

Z2

1 jZC2

ist

Zu 3.

Z w1

§ 1 · § 1 1 ·  ¨ jZL  ¸ ˜ ¨ jZL  ¸ jZC1 ¹ © jZC1 jZC2 ¹ ©

Z w1

ª § 1 · 1 § 1 1 ·º j ˜ ¨ ZL   ¸ ˜ j ˜ « ZL  ˜ ¨ ¸» ZC1 ¹ Z © C1 C2 ¹ ¼ © ¬

Z w1

§ 1 · ª 1 § 1 1 ·º  ZL ¸ ˜ « ZL  ˜ ¨  ¨ ¸» Z © C1 C2 ¹ ¼ © ZC1 ¹ ¬

1 ZC1

ZL

ZL

Z1

1 L ˜ C1

Z2

1 § 1 1 · ˜¨  ¸ Z © C1 C2 ¹ C1  C 2 L ˜ C1 ˜ C 2

10 Vierpoltheorie

315

10.17 Zu l. Mit den Gln. (10.99), (10.100) und (10.101) lassen sich die A-Parameter für symmetrische Vierpole berechnen: Zl

A11

A 22

A12

A11 ˜ Zk

90: 90:  80:

Zl  Zk 3 ˜ 80:

240:

3

A12

A11 Zl

3 90:

1 30:

Die Ersatzschaltungen symmetrischer Vierpole (s. Bild 10.47) enthalten Z- bzw. Y-Parameter, die aus den A-Parametern errechnet werden. T-Ersatzschaltung Z11

Z22

Z12

Z21

Z11  Z12

A11 A 21

1 A 21

S-Ersatzschaltung: 3 ˜ 30:

90:

30:

90:  30:

Y11

Y22

Y12

Y21

Y11  Y12

60:

A11

3 240:

A12



1 A12



1 80:

1 240:

3 1  240: 240:

1 120:

Bild A-182 Übungsaufgabe 10.17

Zu 2. Kontrolle mit Dreieck-Stem-Transformation nach den Gln. (4.100) bis (4.102) im Band 2: 240: ˜ 120: 120:  240:  120:

60:

und

120: ˜ 120: 120:  240:  120:

30:

316

Verwendete und weiterführende Literatur [1] Lunze, K.: Theorie der Wechselstromschaltungen, VEB Verlag Technik 1981 [2] Lunze, K.: Berechnung elektrischer Stromkreise, Arbeitsbuch VEB Verlag Technik, Berlin 1970 [3] Philippow, E.: Grundlagen der Elektrotechnik, Akademische Verlagsgesellschaft, Geest & Portig K.G., Leipzig, 1967 [4] Führer, Heidemann, Nerreter: Grundgebiete der Elektrotechnik, 2 Bände, Hanser Verlag München, Wien, 1984 [5] Ameling, Walter.: Grundlagen der Elektrotechnik, 2 Bände, Vieweg-Verlag Braunschweig, 1985 [6] Lindner, H.: Elektro-Aufgaben, VEB Fachbuchverlag Leipzig, 3 Bände, 1968 bis 1977, Neuauflage im Vieweg-Verlag Braunschweig, Wiesbaden 1989 [7] Book, D. und Struß, C: Harmonische Analyse einer in diskreten Punkten vorgegebenen Funktion, Diplomarbeit an der FH Hannover, 1982 [8] Köhler, G. und Walther, A.: Fouriersche Analyse von Funktionen mit Sprüngen, Ecken und ähnlichen Besonderheiten, Archiv für Elektrotechnik 25 (1931), S. 747–758 [9] Doetsch, G.: Einführung in Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation, Birkhäuser Verlag, Basel 1958 [10] Doetsch, G.: Anleitung zum praktischen Gebrauch der Laplace-Transformation, R. Oldenbourg Verlag, München 1967 [11] Holbrook, J. G.: Laplace-Transformation, Vieweg-Verlag Braunschweig, 1984 [12] Dirschmid, H. J.: Mathematische Grundlagen der Elektrotechnik, Vieweg-Verlag, Braunschweig, 1987 [13] Mildenberger, O.: System- und Signaltheorie, Vieweg-Verlag Braunschweig, 1988 [14] Fritzsche, G.: Theoretische Grundlagen der Nachrichtentechnik, VEB Verlag Technik Berlin 1972 [15] Pauli, W.: Vierpoltheorie: Akademie-Verlag Berlin, 1973 [16] Telefunken-Fachbuch: Röhre und Transistor als Vierpol, 1967 [17] Tholl, H.: Bauelemente der Halbleiterelektronik, Teubner Verlag Stuttgart, 1976 [18] Bystron, Borgmeyer: Grundlagen der Technischen Elektronik, Hanser Verlag München, Wien, 1987 [19] Stoll, D.: Schaltungen der Nachrichtentechnik, Vieweg-Verlag Braunschweig 1986

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Sachwortverzeichnis A abklingende Wechselspannung, Laplacetransformation 34 Abklingkonstante 22 absolute Konvergenz des Fourierintegrals 156 ff. Additionssatz der Laplacetransformation 56 Ähnlichkeitssätze der Laplacetransformation 56 ff. algebraische Gleichung 51, 54 ff. allgemeine Leitwertgleichungen 250 Amplitudenspektrum 96, 152 – des gleichgerichteten Stroms 155 – einer Rechteckfunktion 112, 153 ff. Anfangsbedingungen 5 Anfangswertsatz der Laplacetransformation 63 aktive Schaltelemente 2 A-Parameter von Vierpolen 179 aperiodischer Fall 22, 25 ff., 73 aperiodischer Grenzfall 22 ff., 26 ff., 73 Aufladevorgang eines Kondensators 10, 12, 43 ff. Ausgangsleitwert 173, 194 Ausgangs-Wellenwiderstand 253 ff. Ausgangswiderstand 173, 194 Ausgleichsvorgänge 1 – bei einem Transformator 66 ff. – bei Gleichspannung 7 ff., 63 ff., 92 – bei sinusförmiger Quellspannung 14 ff., 69 ff., 93 – bei verschwindenden Anfangsbedingungen 49 ff. – in Schwingkreisen 20 ff., 71 ff., 93 B Basisschaltung – als Rückkopplungsschaltung 248 ff. – eines Transistors 201 ff. Betriebskenngrößen – eines Transistorverstärkers 198 ff., 245 ff. – von Vierpolschaltungen 172 ff., 189 ff. Besselsche Gleichungen 118 Brücken-T-Vierpol 188, 231, 234, 260 C charakteristische Gleichung 22 C-Parameter von Vierpolen 178 D Dämpfung 206 Dämpfungssatz der Laplacetransformation 57 Deltafunktion 93

Differenzieren von Bildfunktionen 62 Differenzierglied 260 direkte trigonometrische Interpolation 117 ff. Dirichletsche Bedingung 96 Diracimpuls 38, 93 Distribution 38, 93 Dreipole 248 ff. E Effektivwert einer – nichtsinusförmigen Wechselgröße 142 ff. – Rechteckfunktion 143 – Sägezahnfunktion 144 Eingangsleitwert 173, 189, 190, 196 Eingangs-Wellenwiderstand 253 ff. Eingangswiderstand 173, 189, 190, 196 eingeschwungener Vorgang 3 ff. Einschaltvorgang einer – Gleichspannung an eine Spule 7 – Wechselspannung an eine Spule 14 ff. Endwertsatz der Laplacetransformation 62 ff. Entladevorgang eines Kondensators – über eine Spule 20 ff. – über ohmsche Widerstände 11, 44 ff. Ersatzfunktion 124 Ersatzschaltungen von Vierpolen 174 – mit C-Parametern 178 – mit H-Parametern 177 – mit Y-Parametern 175 – mit Z-Parametern 176 – von Transistoren 185 Exponentialfunktion, Laplacetransformation 32 F Faltungssatz der Laplacetransformation 61 ff. Fehlerquadratintegral 100 Fehlerquadratsumme 117 Filterkette 245 flüchtiger Vorgang 3 ff. Fortsetzungsfunktion 39 Fourieranalyse 95 ff. Fourierintegral 156 ff. Fourierkoeffizienten, Berechnung 100 ff. – Formeln für die Berechnung 103 ff. – Vereinfachung für die Berechnung 104 ff. Fourierreihe – einer Dreiecksfunktion 130 ff. – einer Ersatzfunktion 124 ff. – einer Rechteckfunktion 111 ff., 128 – einer Sägezahnspannung 97 ff., 112 ff.

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eines gleichgerichteten Stroms 114 ff., 123, 139 – mit Fourierkoeffizienten 99 Fouriersynthese 147 ff. Fouriertransformation 156 ff. Fouriertransformierte – Darstellungsformen 157 – der Signum-Funktion 170 – der Zeitfunktion f(t) = 1 161 – des Diracimpulses 159 – eines Rechteckimpulses 158 Frequenzgang 165, 170 Frequenz-Kennlinien-Diagramm 165 G *-Vierpol I 186 *-Vierpol II 187 Gegenkopplung 229 gerade Funktionen 104 ff. Geradenapproximation und Sprungstellenverfahren 132 ff. Gleichanteil einer Fourierreihe 95 H H-Parameter von Vierpolen 177 Harmonische einer Fourierreihe 95 Hybridform der Vierpolgleichungen 177 I Impulsantwort einer RC-Schaltung 166, 170 Integrieren von Bildfunktionen 62 Integrierglied 260 inverse Fouriertransformation 157, 160 inverse Laplacetransformation 49 K Kenngrößen von Vierpolen – in Rückwärtsbetrieb 193 ff., 196 – in Vorwärtsbetrieb 189 ff., 196 Kettenform der Vierpolparameter 179 Kettenschaltung zweier Vierpole 243 ff. Klemmen-Leistungsverstärkung 206 Klirrfaktoren 145 – einer Rechteckfunktion 145 – einer Sägezahnfunktion 145 Kollektorschaltung – als Rückkopplungsschaltung 248 – eines Transistors 201 komplementäre Schaltungen eines Transistors 202 komplexe Fourierreihe 150 ff. Konvergenz – der Fourierreihen 96 – der Laplacetransformierten 162 ff. Korrespondenzen – der Fouriertransformation 164 – der Laplacetransformation 86 ff.

Sachwortverzeichnis L Längswiderstand 186 Laplaceintegral 31 Laplaceoperationen 85 ff. Laplacetransformation 30 ff. – der Ableitung einer Funktion 34 ff. – der Ableitung einer Funktion mit Fortsetzungsfunktion 39 – der abklingenden sinusförmigen Wechselspannung 34 – der sinusförmigen Wechselspannung 33 – der verschobenen Sprungfunktion 58 – des Integrals einer Funktion 40 ff. – einer dreieckförmigen Zeitfunktion 61 – einer Impulsfolge 59 – einer Rampenfunktion 32 – einer Sprungfunktion 31 – von Exponentialfunktionen 32 – von periodischen Sinusimpulsen 60 Leistungsverstärkung 206 – eines HF-Transistors 210 ff. – eines NF-Transistors 209, 245 ff. Leistungsübertragung – am Vierpolausgang 203 ff. – am Vierpoleingang 203 Leitwertform der Vierpolgleichungen 175 Lineare Vierpole 171 Lösungsmethoden für die Berechnung von Ausgleichsvorgängen 51 M Matrizenschaltung und Vierpolzusammenschaltung 229 Maximale Leistungsverstärkung 217 Methode der kleinsten Fehlerquadrate 100 Mitkopplung 229 N Netzberechnung bei nichtsinusförmigen periodischen Quellspannungen 146 Netzwertfunktion 147 Neutralisationsschaltungen 225 numerische Berechnung von trigonometrischen Reihen 116 ff. O Oberwellen einer Fourierreihe 95 Operationsverstärker 76 Operatoren der Laplacetransformation 50 Ordinatensprünge 125 ff. Orthogonalitätsrelationen 102 P Parallel-Parallel-Schaltung zweier Vierpole 229, 230 ff. Parallel-Reihen-Form der Vierpolgleichungen 178

Sachwortverzeichnis Parallel-Reihen-Schaltung zweier Vierpole 229, 241 passive Schaltelemente 2 periodischer Fall 22, 28 ff., 74 Phasenkette 261 Phasenspektrum 96, 152 – einer Rechteckfunktion 153 ff. Phasenumkehrstufe 241, 262 S-Ersatzschaltung – eines Übertragers 184 – von Vierpolen 175 S-Schaltung 187 Pol-Nullstellen-Diagramm 54 P-, PI-, PD-Verhalten einer RC-Schaltung 83 Q Querwiderstand 186 R Rampenfunktion 32 Rechteck-Frequenzkurve 160 Rechteckspannung am Operationsverstärker 76 ff. Reihen-Parallel-Form der Vierpolgleichungen 177 Reihen-Parallel-Schaltung zweier Vierpole 229, 236 ff. Reihen-Reihen-Schaltung zweier Vierpole 228 ff., 232 ff. richtungssymmetrischer Vierpol 221 rückgekoppelter Transistorverstärker 228 Rückkopplungsvierpole 228 ff. Rücktransformation der Laplacetransformation 49 rückwirkungsfreie Vierpole 223 ff. S Sätze der Laplacetransformation 56 ff. Schaltgesetze 5 Schaltvorgang 1 Scheitelfaktor 146 Schwingfall 22, 28 ff., 74 ff. Simpsonregel 118 Spaltfunktion 158 Spannungsrückwirkung 173, 195, 196 Spannungsteilerregel 54 Spannungsübersetzung 173, 192, 196 Spektrum eines Rechteckimpulses 158 spezielle Vierpole 218 ff. Sprungantwort 13, 78 ff., 94 Sprungfunktion 31 Sprungstellenverfahren 116, 124 ff., 136 ff. Stabile Vierpole 172 Stoßfaktor 18 Stoßkurzschlußstrom 18 stromgegengekoppelte Emitterschaltung 228 Stromrückwirkung 173, 195, 196 Stromübersetzung 173, 192, 196

319 Stützstellen von Funktionen 117 Symbolische Methode 50 symmetrische Vierpole 221 Symmetrische X-Schaltung 188, 261 Symmetrien von periodischen Funktionen 104 ff. T T-Ersatzschaltung – eines Übertragers 184 – von Vierpolen 176 Teilsummen einer Fourierreihe 96 Transistorstufe – in Parallel-Parallel-Schaltung 232 – in Reihen-Reihen-Schaltung 235 Trapezregel 118 T-Schaltung 187 U Übergangsfunktion 78 ff. – von RC-Schaltungen 13, 80 ff., 94 Übertragungsfunktion 54, 78 ff., 165 Übertragungsmaß – passiver Vierpole 256 – symmetrischer passiver Vierpole 257 Übertragungs-Leistungsverstärkung 216 Übertragungsleitwert 173, 191, 194, 196 Übertragungsvierpol 171 Übertragungswiderstand 173, 191, 195, 196 U-Ersatzschaltung – mit einer Spannungsquelle und einer Stromquelle 177, 178 – mit zwei Spannungsstellen 176 – mit zwei Stromquellen 175 umkehrbare Vierpole 218 ff. Umpoler 188 Umpoler-Zusammenschaltungen 248 Umrechnung der Vierpolparameter 180, 181 – von Dreipolen 248 Umrechnungsformeln für Transistorparameter 249, 251 ff. ungerade Funktionen 105 V Variation der Konstanten 23 verfügbare Leistung 205 verfügbare Leistungsverstärkung 217 Verschiebungssätze der Laplacetransformation 58 ff. Verzerrungsfaktor 144 Vierpolgleichungen und Vierpolparameter 174 – in Ketten-Form 179 – in Leitwertform 175 – in Parallel-Reihen-Form 178 – in Reihen-Parallel-Form 177 – in Widerstandsform 176 Vierpolparameter – der Kettenschaltung 244

320 – der Parallel-Parallel-Schaltung 231 – der Parallel-Reihen-Schaltung 242 – der Reihen-Parallel-Schaltung 236 – der Reihen-Reihen-Schaltung 233 – passiver Vierpole 186 ff. Vierpolschaltung – in Rückwärtsbetrieb 173 – in Vorwärtsbetrieb 172 Vierpoltheorie 171 ff. Vierpolzusammenschaltungen 226 ff. – eines zweistufigen Verstärkers 227 ff., 235 vollständige Leitwertmatrix eines Dreipols 249 ff. Vorzeichen der Vierpolparameter des Rückkopplungsvierpols 234, 237 ff. W Wechselspannung, Laplacetransformation 33 Wellendämpfungsmaß 256 Wellenparameter passiver Vierpole 253 ff. Wellenphasenmaß 256

Sachwortverzeichnis Wellenwiderstand – passiver Vierpole 253 ff. – symmetrischer Vierpole 254 ff. Widerstandsform der Vierpolgleichungen 176 Winkelmaß 256 Wirkleistung bei nichtsinusförmigen Strömen und Spannungen 141 ff. Y Y-Parameter von Vierpolen 175 Z Zeitfunktion der Frequenzkurve 157 – der Frequenzfunktion F( jZ) 1 161 – der rechteckigen Frequenzfunktion 160 Z-Parameter von Vierpolen 176 Zipperer-Tafel 121 ff. Zusammenhang zwischen Laplace- und Fouriertransformation 162 ff. Zusammenschaltung von Vierpolen 174, 225 ff. zweistufiger Transistorverstärker 227, 235, 247, 263