Elektrische Antriebe - Regelung von Antriebssystemen

Elektrische Antriebe – Regelung von Antriebssystemen

Dierk Schröder

Elektrische Antriebe – Regelung von Antriebssystemen 3. bearbeitete Auflage

123

Univ. Prof. Dr.-Ing. Dr.-Ing. h.c. Dierk Schröder Technische Universität München Lehrstuhl für Elektrische Antriebssysteme und Leistungselektronik Arcisstr. 21, 80333 München [email protected]

ISBN 978-3-540-89612-8

e-ISBN 978-3-540-89613-5

DOI 10.1007/978-3-540-89613-5 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar. c 2009 Springer-Verlag Berlin Heidelberg  Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz: digitale Druckvorlage des Autors Herstellung: le-tex publishing services oHG, Leipzig Einbandgestaltung: eStudioCalamarS.L.,F.Steinen-Broo,Girona,Spain Gedruckt auf säurefreiem Papier 987654321 springer.de

Vorwort zur 3. Auflage

Es ist erfreulich, daß bereits wieder eine Neuauflage des Buches Regelung von ” Antriebssystemen“ notwendig ist. Dieses gibt die Chance, weitere Detailverbesserungen vorzunehmen. Die Detailverbesserungen beruhen u.a. auf erhaltenen Mitteilungen von Lesern, die beispielsweise auf Tippfehler hinweisen. Grundlegende Verbesserungen erfolgten bei der Regelung von Drehfeldmaschinen, bei denen die Parameter-Identifikation v¨ollig neu gestaltet wurde. ¨ Hierf¨ ur besteht Dank an Herrn Professor Michalik, der eine umfassende Ubersicht der Verfahren erstellte. Zus¨atzlich wurde ein Kapitel u ¨ber die Identifikation linearer Systeme eingef¨ ugt. Es ist angedacht, dieses Buch um ein weiterf¨ uhrendes regelungstechnisches Buch mit dem voraussichtlichen Titel Intelligente Verfahren ” zur Systemidentifikation und zur Regelung nichtlinearer Systeme“ zu erg¨anzen. Eine kleine Einf¨ uhrung in dieses hochinteressante Gebiet ist in Kapitel 19.5 zu finden. Damit w¨are die Regelung von Antrieben erweitert, um unbekannte nichtlineare Systeme zu identifizieren, zu modellieren, mit dem nichtlinearen Modell detailgenauer Simulationen durchzuf¨ uhren und pr¨aziser zu regeln. Somit w¨ urde die Regelung von Antriebssystemen auf komplexe mechatronische und technologische Systeme erweitert und eine geschlossene Darstellung erreicht. Eine zweite Umgestaltung erfolgte bei den Darstellungen der Pulsweitenmodulation. Hier wurde von Herrn Professor Steimel ein Kapitel eingef¨ ugt f¨ ur leistungselektronische Schaltungen (selbstgef¨ uhrte Wechselrichter vom Typ einge” pr¨agte Spannung“) mit niedrigen Schaltfrequenzen. Eine dritte wesentliche Erweiterung erfolgte bei der Regelung der Drehfeldmaschinen mit Feldschw¨achung, um das maximale Drehmoment per Statorspannung bzw. Statorstrom zu erhalten. Hierbei m¨ ussen außerdem die Begrenzungen der Statorspannung und/oder des Statorstroms ber¨ ucksichtigt werden. Eine weitere Anpassung an den Stand der Technik erfolgte bei den geberlosen Antrieben. Grundlegende Anpassungen erfolgten weiterhin bei der Darstellung der objektorientierten Modellbildung und Simulation. Ich danke allen wissenschaftlichen Mitarbeitern und insbesondere den Kollegen, die bei der Abfassung der zus¨atzlichen Kapitel und der Detailverbesserungen mir wertvolle Unterst¨ utzung gegeben haben; m¨oge dies alles f¨ ur die Zufriedenheit bei den Lesern f¨ uhren. M¨ unchen, im Sommer 2008

Dierk Schr¨oder

Vorwort zur 2. Auflage

Die erste Auflage des Buches Elektrische Antriebe 2: Regelung von Antrieben“ ” hat eine erfreuliche Aufnahme gefunden, so daß die Neuauflage erforderlich ist. Dies wurde als eine Chance und als Ansporn gesehen, dem neuen Buch erstens eine Neuordnung der Kapitel zu geben. So folgt nach den grundlegenden regelungstechnischen Kapiteln 1 - 5 nun das Kapitel 6: Abtastsysteme. Weiterhin folgt dem Kapitel 7: Regelung der Gleichstrommaschine sowie den Kapiteln wie der regelungstechnischen Modellbildung von netzgef¨ uhrten Stromrichter-Stellgliedern oder Fehlereinfl¨ usse und Genauigkeit bei geregelten Systemen nun die Regelung der Asynchronmaschine und danach die Regelungsvarianten der Synchronmaschinen. Erst nach der Regelungen der Antriebe an sich erfolgt die Erweiterung um mechatronische Fragestellungen. Zweitens wurden einige Kapitel in sich neu geordnet und um neue Aspekte erweitert, um eine durchg¨angigere Folge der Darstellungen zu erzielen. Beispielsweise wurde eine neue und damit geschlossenere Darstellung des regelungstechnischen Verhaltens der netzgef¨ uhrten Stromrichter-Stellglieder erarbeitet. In Kapitel 8.6.3 werden von Herrn Prof. Kennel — in Erweiterung der nicht ausregelbaren und ausregelbaren Fehler sowie der erreichbaren Genauigkeiten von Regelungen — die Auswirkungen der absoluten und differentiellen Genauigkeiten von Drehzahl- und Positionsgebern dargestellt. Weiterhin wurden drei typische Verfahren zur Stromeinpr¨agung bei Drehfeldmaschinen bzw. f¨ ur Stellglieder auf der Netzseite eingef¨ ugt. In Kapitel 15.5.1 wurden außerdem von Herrn Prof. Steimel die Varianten der direkten Selbstregelung ausf¨ uhrlich dargestellt. Es liegt somit nun eine durchg¨angige Beschreibung der Stromeinpr¨agungen bei den unterschiedlichsten Stromrichter-Stellgliedern vor. Drittens wurden neue Fragestellungen aufgenommen. Die selten angesprochene Problematik der Stellgr¨oßen-Beschr¨ankung bzw. der S¨attigung und die entsprechenden Gegenmaßnahmen (Regler-Windup und Strecken-Windup) wird in Kapitel 5.6 von Herrn Dr. Hippe und Herrn Dr. Wurmthaler abgehandelt. Weiterhin wird in Kapitel 14 das sich noch in der Entwicklung befindliche Gebiet der geberlosen Regelung von Asynchronmaschinen dargestellt. Da diese Anforderungen auch f¨ ur die anderen Drehfeldantriebe bestehen, wurden im Literaturverzeichnis zus¨atzlich die entsprechenden Ver¨offentlichungen f¨ ur die anderen Drehfeldantriebe, d.h. der Synchronmaschinen und der Reluktanzmaschinen, angegeben.

VII

In Kapitel 16.5 wird von Herrn Dr. Bauer die feldorientierte Regelung der Synchronmaschine beschrieben. Damit liegen nun die relevanten Regelverfahren sowohl f¨ ur die Asynchronmaschine als auch f¨ ur die Synchronmaschine geschlossen vor. Weiterhin folgt nach dem mechatronischen Grundkapitel 19: Drehzahlregelung bei elastischer Verbindung zur Arbeitsmaschine nun ausgehend von diesem Kapitel die Schwingungsd¨ampfung in Kapitel 20 von Herrn Dr. Filipovi´c. In Kapitel 20 werden ganz neue Ans¨atze wie der Linear Active Resonator (LAR) oder der Bandpass-Absorber (BPA) dargestellt. Ausgehend von diesen einfachsten mechatronischen Grundans¨atzen folgt in Kapitel 21 die Darstellung der objektorientierten Modellierung von Antriebssystemen von Herrn Dr. Otter, so daß mit diesem Werkzeug beliebig komplexe Systeme mittels Simulation analysiert werden und die Reglerentwicklung sowie die Optimierung des Gesamtsystems erfolgen k¨onnen. Abschließend folgt in Kapitel 22 die Darstellung der Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen von Herrn Dr. Wolfermann; dies ist ein langj¨ahriges spezielles Arbeitsgebiet des Lehrstuhls. Außer diesen grundlegenden Verbesserungen und Erweiterungen erfolgte mit großer Unterst¨ utzung der Mitarbeiter eine Vielzahl von zeitraubenden DetailVerbesserungen, die in ihrem Umfang hier nicht aufgez¨ahlt werden k¨onnen. Ich bin sowohl meinen Mitarbeitern f¨ ur die tatkr¨aftige Unterst¨ utzung als auch den vielen externen Autoren außerordentlich dankbar, daß sie neben ihrer beruflichen Arbeitsbelastung meiner Bitte entsprochen haben und einen Beitrag f¨ ur dieses Buch abgefaßt haben. Ein besonderer Dank gilt meiner Sekret¨arin, denn allen diesen Beitr¨agen mußte der entsprechende Rahmen gegeben werden. Ich hoffe sehr, daß unsere vereinten Anstrengungen allen Lesern dieses Buches die Chance gibt, sich in das komplexe Gebiet der Regelung elektrischer Aktoren und der mechatronischen Systeme effizient einzuarbeiten, erworbenes Wissen aufzufrischen und zu vertiefen sowie mit den dargestellten Werkzeugen einen Ansatzpunkt zu finden, die wachsenden Anforderungen an die zu regelnden Systeme erf¨ ullen zu k¨onnen. In Erweiterung des Ihnen vorliegenden Buches liegt inzwischen das Buch Intelligent Observer and Control Design for Nonlinear Systems“ vor, in dem ” insbesondere f¨ ur nichtlineare mechatronische Systeme Verfahren zur Identifikation, Modellierung und Regelung dargestellt werden. M¨ unchen, im Fr¨ uhjahr 2001

Dierk Schr¨oder

Vorwort zur 1. Auflage

Das vorliegende Lehrbuch ist das zweite Buch in der vierb¨andigen Reihe Elek” trische Antriebe“. Die Schwerpunktthemen dieses Bandes sind die Regelungsvarianten sowohl der drehzahlvariablen Gleichstrom- als auch der Drehstrom-Antriebe. Der vorliegende Band baut auf dem ersten Band Elektrische Antriebe 1, ” Grundlagen“ auf. Dies bedeutet, daß Fragen zur Auslegung von Antriebssystemen, die Signalflußpl¨ane f¨ ur Gleichstrom- und Drehstrom-Maschinen, die Steuereingriffe und deren Wirkung sowie die Funktion der Stellgliedvarianten im Ansatz als bekannt vorausgesetzt werden. Dies gilt ebenso f¨ ur die grundlegensten Kenntnisse der Regelungstechnik. Großer Wert wird auf die durchg¨angige Darstellung der mathematischen Behandlung von Regelkreisen, der Stabilit¨at sowie der Optimierungskriterien und deren praktische Anwendung gelegt. Es wird deshalb nicht nur das Betragsoptimum und das symmetrische Optimum, sondern auch das allgemein anwendbare D¨ampfungsoptimum ausf¨ uhrlich behandelt. Ein weiterer Schwerpunkt ist die Darstellung der Regelungen von Drehfeldmaschinen. Aufgrund der Bedeutung dieses Gebiets werden die grundlegenden Signalflußpl¨ane der Asynchron- und Synchron-Maschine und deren Abwandlungen in den verschiedenen Koordinatensystemen und Orientierungen noch einmal kurz wiederholt. Erweitert werden die Darstellungen um die permanent erregten Drehfeldmaschinen. Es folgt eine ausf¨ uhrliche Darstellung von Entkopplungsverfahren zur Regelung von Drehfeldmaschinen. Diese Vorgehensweise hat zwei Vorteile: Erstens wird damit das komplexe Thema der Feldorientierung leichter verst¨andlich und zweitens resultieren die Entkopplungsverfahren in relativ einfach zu realisierenden Regelverfahren. Es folgen die Erl¨auterungen zur feldorientierten Regelung einschließlich der Diskussion verschiedener Modelle und der Parameteradaption. In einem weiteren Kapitel werden die R¨ uckwirkungen mechanischer Systeme auf den elektrischen Antrieb beispielhaft erl¨autert. Um die angestrebte Durchg¨angigkeit des Lehrbuchs zu erreichen wurden auch Sonderfragen wie Fehlereinfl¨ usse, Genauigkeit sowie Schirmung oder Approximationen des dynamischen Stellglied-Verhaltens dargestellt. Das Ziel dieses Lehrbuches ist, sowohl eine Einf¨ uhrung zu geben f¨ ur Studierende der elektrischen Antriebstechnik an den Fachhochschulen und den Techni-

IX

schen Hochschulen als auch den in der Industrie T¨atigen eine Auffrischung des Wissens zu erm¨oglichen. Wiederum m¨ochte ich meiner Familie und meinen wissenschaftlichen Mitarbeitern danken f¨ ur das Verst¨andnis, die Unterst¨ utzung und die hilfreichen Diskussionen bei der Abfassung. Gedankt sei auch den Mitautoren von Lehrg¨angen des VDI-Bildungswerkes, mit denen ich vor vielen Jahren einen intensiven Gedankenaustausch u ¨ber die industriell angewandten Regelungsverfahren hatte. M¨ unchen, im Fr¨ uhjahr 1995

Dierk Schr¨oder

Inhaltsverzeichnis

1

Regelungstechnische Grundbegriffe und Grundregeln

1.1 1.2 1.3 1.3.1 1.3.2 1.4 1.5

Gegen¨ uberstellung von Steuerung und Regelung . . . . . . . . . Beschreibung des dynamischen Verhaltens durch Signalflußpl¨ane Frequenzgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortskurvendarstellung in rechtwinkligen Koordinaten . . . . . . Frequenzkennlinien, Bode-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . Rechenregeln, Umwandlungsregeln, Signalflußplan . . . . . . . . F¨ uhrungs- und St¨orungs¨ ubertragungsfunktion . . . . . . . . . .

1 6 10 13 15 22 26

2

Stabilisierung und Optimierung von Regelkreisen

28

2.1 2.1.1 2.1.2 2.2 2.3

Stabilit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nyquist-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Frequenzkennlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Stabilit¨atspr¨ ufung anhand der Ubertragungsfunktion Optimierung bei offenem Kreis (Bode-Diagramm) . .

3

Standard-Optimierungsverfahren

46

3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.3 3.4 3.5

Betragsoptimum (BO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Herleitung f¨ ur Strecken ohne I-Anteil . . . . . . . . . . . . . . . Verallgemeinerung und Anwendung des Betragsoptimums . . . Mathematische Herleitung des Betragsoptimums . . . . . . . . Symmetrisches Optimum (SO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Herleitung f¨ ur Strecken mit I-Anteil . . . . . . . . . . . . . . . Verallgemeinerung und Anwendung des Symmetrischen Optimums Mathematische Herleitung des Symmetrischen Optimums . . . . Auswahl des Reglers und Bestimmung der Optimierung . . . . . Optimierungstabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F¨ uhrungsverhalten bei rampenf¨ormiger Anregung . . . . . . . .

46 47 50 56 60 60 65 72 74 81 83

4

Verallgemeinerte Optimierungsverfahren

85

4.1

D¨ampfungsoptimum (DO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

1

. . . . .

. . . . .

29 31 34 36 41

XII

Inhaltsverzeichnis

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.2 4.3 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.5 4.6

Herleitung der Doppelverh¨altnisse . . . . . . . . . . . . Standardfunktionen des D¨ampfungsoptimums . . . . . Reglerauslegung nach dem D¨ampfungsoptimum . . . . Beispiele zum D¨ampfungsoptimum . . . . . . . . . . . Z¨ahlerpolynom und ¨aquivalente Sollwertgl¨attung . . . Erweitertes D¨ampfungsoptimum . . . . . . . . . . . . Kompensation des Z¨ahlerpolynoms . . . . . . . . . . . Divisionsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeine Methode f¨ ur Strecken mit Z¨ahlerpolynomen Reglerentwurf durch G¨ utefunktionale . . . . . . . . . . Reglerauslegung mit MATLAB . . . . . . . . . . . . .

5

Regelkreisstrukturen

115

5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.2 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4 5.5 5.5.1 5.5.2 5.5.3 5.5.4 5.5.5 5.5.6 5.5.6.1 5.5.6.2 5.5.6.3 5.5.6.4 5.5.7 5.6

Allgemein vermaschter Regelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . Begrenzungsregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . St¨orgr¨oßenaufschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hilfsstellgr¨oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kaskadenregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modellbasierte Regelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conditional Feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Internal Model Control (IMC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Smith-Pr¨adiktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorsteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubertragungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Auslegung der Vorsteuer¨ ubertragungsfunktion A(s) . . . . . . . Beispiel: Nachlaufregelung mit IT1 -Strecke . . . . . . . . . . . . Beispiel: Nachlaufregelung mit zwei PT1 -Strecken und PI-Regler Zustandsregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zustandsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L¨osung der Zustandsdifferentialgleichung im Zeitbereich . . . . Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . Entwurf einer Zustandsregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zustandsbeobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beobachtung mit Differentiation und Parallelmodell . . . . . . . Luenberger-Beobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zustandsregelung mit Beobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . Kalman-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stellbegrenzungen in Regelkreisen P. Hippe, C. Wurmthaler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeine Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regler-Windup bei PI- und PID-Reglern . . . . . . . . . . . . .

115 115 116 117 118 122 122 123 125 126 127 127 128 129 131 131 133 137 137 139 142 143 144 146 148 149

5.6.1 5.6.2

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

86 87 89 93 98 100 100 100 101 105 111

150 150 151

Inhaltsverzeichnis

5.6.2.1 5.6.2.2

XIII

Beschreibung des Ph¨anomens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Maßnahmen zur Vermeidung des Regler-Windup bei PI- und PIDReglern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Systematisches Vorgehen zur Beseitigung von Regler- und Strecken-Windup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Struktur zur Ber¨ ucksichtigung von Begrenzungen der Stellgeschwindigkeit und der Stellamplitude . . . . . . . . . . . . . . .

165

6

Abtastsysteme

171

6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4 6.3 6.3.1 6.3.2 6.3.3 6.4 6.4.1 6.4.2 6.4.3 6.5 6.5.1 6.5.2 6.5.3 6.5.4

Grundlagen der z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . Abtastvorgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gesetze und Rechenmethoden der z-Transformation . . . . . . Transformationstabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubertragungsfunktionen von Abtastsystemen . . . . . . . . . Stabilit¨at und Pollagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubertragungsverhalten von zeitdiskreten Systemen . . . . . . Frequenzkennlinien-Darstellung von Abtastsystemen . . . . . Systeme mit mehreren nichtsynchronen Abtastern . . . . . . . Einschleifige Abtastregelkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufbau von digitalen Abtastregelkreisen . . . . . . . . . . . . Elementare zeitdiskrete Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . Quasikontinuierlicher Reglerentwurf . . . . . . . . . . . . . . . Optimierung des Reglers bei Abtastregelkreisen . . . . . . . . Realisierungsverfahren von Abtastreglern . . . . . . . . . . . . Parameteroptimierung des Reglers nach einem G¨ utekriterium Entwurf als Kompensationsregler . . . . . . . . . . . . . . . . Entwurf zeitdiskreter Regelkreise auf endliche Einstellzeit . . Reglerentwurf ohne Stellgr¨oßenvorgabe . . . . . . . . . . . . . Reglerentwurf mit Stellgr¨oßenvorgabe . . . . . . . . . . . . . . Wahl der Abtastzeit bei Dead-Beat-Reglern . . . . . . . . . . Beispiel zum Dead-Beat-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Regelung der Gleichstrommaschine

223

7.1 7.1.1 7.1.1.1 7.1.1.2 7.1.1.3 7.1.1.4 7.1.1.5 7.1.2 7.1.2.1

Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Ankerstellbereich Stromregelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EMK-Kompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EMK-Bestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ausf¨ uhrung der EMK-Aufschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . Optimierung des Stromregelkreises . . . . . . . . . . . . . . . . Optimierung des Stromregelkreises mit Meßwertgl¨attung . . . . Drehzahlregelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Optimierung des Drehzahlregelkreises mit Meßwertgl¨attung . .

224 224 225 226 228 229 234 237 240

5.6.3 5.6.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

151 152 155

171 172 173 175 183 187 187 192 194 198 200 200 202 204 207 207 209 209 211 213 217 220 220

XIV

Inhaltsverzeichnis

7.1.2.2 7.1.2.3 7.1.2.4 7.1.3 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.2.5

Regelkreise mit Stromsollwertbegrenzung . . . . . . . . . . . . . Direkte Drehzahlregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strombegrenzungsregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lageregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Feldschw¨achbereich Erregerstromregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schaltungsvarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammelschienenantrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Contiflux-Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spannungsabh¨angige Feldschw¨achung . . . . . . . . . . . . . . .

8

Fehlerein߬ usse und Genauigkeit bei geregelten Systemen 275

8.1 8.2 8.3 8.3.1 8.3.1.1 8.3.1.2 8.3.1.3 8.3.1.4 8.3.1.5 8.4 8.5

8.6.3.1 8.6.3.2 8.7 8.7.1 8.7.2 8.7.3

Ausregelbare Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nicht ausregelbare Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Absch¨atzung der Auswirkung der Fehler . . . . . . . . . . . . . Statische Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fehler des Operationsverst¨arkers . . . . . . . . . . . . . . . . . Last¨anderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sollwertgeber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tachogenerator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Istwertteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erreichbare Genauigkeit analog drehzahlgeregelter Antriebe . . Fehler in Systemen mit digitaler Erfassung von Position und Drehzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Digitale Positionsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Digitale Drehzahlerfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strommessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spannungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gegen¨ uberstellung von Drehzahl- und Positionsgebern R. Kennel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Drehzahlregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Positionsregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EMV, st¨orsichere Signal¨ ubertragung und St¨orschutzmaßnahmen Oberschwingungen, EMV und Normen . . . . . . . . . . . . . . St¨orsichere analoge Signal¨ ubertragung . . . . . . . . . . . . . . St¨orschutzmaßnahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

300 300 302 315 315 317 318

9

Netzgef¨ uhrte Stromrichter

321

9.1 9.2 9.3

Prinzipielle Funktion netzgef¨ uhrter Stellglieder . . . . . Vereinfachte Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . Untersuchung des dynamischen Verhaltens netzgef¨ uhrter richterstellglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.5.1 8.5.2 8.6 8.6.1 8.6.2 8.6.3

. . . . . . . . Strom. . . .

241 245 247 248 252 256 258 260 262 264

275 279 285 285 286 288 289 290 291 291 293 293 294 296 296 299

321 325 330

Inhaltsverzeichnis

9.3.1 9.3.2 9.4 9.5 9.6 9.7

XV

Analyse des Stromrichterstellglieds bei einer Z¨ undwinkelverstellung in Richtung abnehmendem Steuerwinkel . . . . . . . . . . Analyse des Stromrichterstellglieds bei einer Z¨ undwinkelverstellung in Richtung zunehmendem Steuerwinkel . . . . . . . . . . Diskussion der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Laufzeitn¨aherung f¨ ur das Großsignalverhalten, Symmetrierung . Großsignal-Approximationen f¨ ur netzgef¨ uhrte Stromrichterstellglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

331 336 339 345 349 355

10

Untersuchung von Regelkreisen mit Stromrichtern mit der Abtasttheorie 356

10.1 10.2 10.3 10.4 10.4.1 10.4.2 10.4.3 10.5

Untersuchung des Steuerger¨ates ohne dynamische Symmetrierung Untersuchung des Stromrichters . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stromrichterstellglied bei l¨ uckendem Strom . . . . . . . . . . . Adaptive Stromregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeine Betrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Praktische Realisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr¨adiktive Stromf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Beschreibungsfunktion des Stromrichters mit nat¨ urlicher Kommutierung 387

11.1 11.2 11.3 11.4

Allgemeine Einf¨ uhrung . . . . . . . Diskussion der Ergebnisse . . . . . Untersuchung von Regelkreisen mit Grenzen des Verfahrens . . . . . .

12

Vergleich verschiedener Approximationen f¨ ur netzgef¨ uhrte Stromrichter 403

12.1 12.2 12.3 12.4

Ermittlung von Gl (z, m), Sprungf¨ahigkeit . . . . . . . . . . . . Berechnung der ersten Ableitung der Steuersatzeingangsspannung ¨ Uberpr¨ ufung der Stromrichterstellglied-Approximationen . . . . Synthese von Regelkreisen mit Stromrichter-Stellgliedern . . . .

404 407 411 418

13

Asynchronmaschine

423

13.1 13.1.1 13.1.2 13.1.2.1 13.1.2.2 13.1.2.3

Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funktionsprinzip der Drehfeld-Asynchronmaschine Raumzeigerdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . Definition eines Raumzeigers . . . . . . . . . . . . R¨ ucktransformation auf Momentanwerte . . . . . . Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . der . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beschreibungsfunktion . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

358 360 365 370 370 375 384 386

387 390 397 402

423 424 425 425 429 429

XVI

Inhaltsverzeichnis

13.1.2.4 13.1.2.5 13.2 13.2.1 13.2.2

Differentiation im umlaufenden Koordinatensystem . . . . . . . Bestimmung der Raumzeiger aus Motordaten . . . . . . . . . . Signalflußpl¨ane der Asynchronmaschine . . . . . . . . . . . . . Beschreibendes Gleichungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . Verallgemeinerter Signalflußplan der spannungsgesteuerten Asynchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Signalflußplan der stromgesteuerten Asynchronmaschine . . . . Station¨arer Betrieb der Asynchronmaschine . . . . . . . . . . . Umrechnung f¨ ur Stern- und Dreieckschaltung . . . . . . . . . . Steuerverfahren der Asynchronmaschine . . . . . . . . . . . . . Signalflußplan bei Statorflußorientierung . . . . . . . . . . . . . Signalflußplan bei Rotorflußorientierung . . . . . . . . . . . . . Signalflußplan bei Luftspaltflußorientierung . . . . . . . . . . . Regelungsverfahren der Asynchronmaschine . . . . . . . . . . . Entkopplungsregelung der Asynchronmaschine . . . . . . . . . . Entkopplung bei Umrichtern mit eingepr¨agter Spannung . . . . Entkopplung bei Umrichtern mit eingepr¨agtem Strom . . . . . . Feldorientierte Regelung der Asynchronmaschine . . . . . . . . Modellbildung der Asynchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . I1 -Modell (Strommodell) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I1 βL -Modelle und I1 ΩL -Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . U1 I1 -Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U1 I1 ΩL -Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U1 ΩL -Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung der Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parameterbestimmung an Drehstrom-Asynchronmaschinen W. Michalik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubersicht zu Methoden der Parameterbestimmungen an Drehstrom-Asynchronmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . Parameterbestimmungen mit herk¨ommlichen Verfahren der Maschinenpr¨ ufung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parameterbestimmungen mit Parametersch¨atzverfahren . . . . . Prinzip der Parametersch¨atzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parametersch¨atzungen an Asynchronmaschinen bei linearem Parametereinfluss auf die Sch¨atzfehler . . . . . . . . . . . . . . . . Parametersch¨atzungen an Drehstrom-Asynchronmaschinen bei nichtlinearem Parametereinfluss auf die Sch¨atzfehler . . . . . . Asynchronmaschine in normierter Darstellung . . . . . . . . . . Feldschw¨achbetrieb der Asynchronmaschine . . . . . . . . . . . Einschr¨ankungen bei der Realisierung der Regelung von Drehfeldantrieben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abtastender Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S¨attigungseffekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.2.3 13.2.4 13.2.5 13.3 13.3.1 13.3.2 13.3.3 13.4 13.4.1 13.4.2 13.4.3 13.4.4 13.5 13.5.1 13.5.2 13.5.3 13.5.4 13.5.5 13.5.6 13.6 13.6.1 13.6.2 13.6.2.1 13.6.3 13.6.3.1 13.6.3.2 13.6.3.3 13.7 13.8 13.9 13.9.1 13.9.2

432 433 434 434 448 451 452 455 458 459 460 468 473 474 476 485 491 500 500 506 510 514 515 518 523 523 527 529 537 537 538 553 574 579 581 581 583

Inhaltsverzeichnis

XVII

13.9.3 13.9.4

Realisierbare Entkopplungsstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

584 586

14

Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

587

14.1 14.1.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.7.1 14.7.2 14.7.3 14.7.4 14.7.5 14.7.6 14.7.6.1 14.7.6.2 14.8 14.9 14.10 14.11 14.12

Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prinzipielle Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . Grundlegendes nichtadaptives Verfahren . . . . . . . . . . Nichtadaptive Verfahren: Statorspannungsgleichungen . . . Nichtadaptive Verfahren: Flußgleichungen . . . . . . . . . Nichtadaptive Verfahren: Sollgr¨oßenansatz . . . . . . . . . Direkte Sch¨atzung der Rotordrehzahl . . . . . . . . . . . . Adaptive Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MRAS-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problematik bei tiefen Frequenzen . . . . . . . . . . . . . MRAS-Verfahren: EMK-Berechnung . . . . . . . . . . . . MRAS-Verfahren: Flußberechnung . . . . . . . . . . . . . MRAS-Verfahren, basierend auf Blindleistungsberechnung Verfahren mittels Zustandssch¨atzung . . . . . . . . . . . . Verfahren auf Basis eines Luenberger-Beobachters . . . . . Verfahren auf Basis eines Kalman-Filters . . . . . . . . . . Sch¨atzverfahren mit neuronalen Netzen . . . . . . . . . . . Auswertung von Harmonischen . . . . . . . . . . . . . . . Auswertung von hochfrequenten Zusatzsignalen . . . . . . Bewertende Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . Comments on Sensorless Control Methods J. Luomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

587 593 596 600 604 605 607 613 618 619 623 624 626 627 628 637 641 644 646 656

. . .

663

15

Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

666

15.1 15.2 15.3

Regelstrecke und Stellglied der Statorstromregelung . . . . . . . Indirekte Verfahren der Statorstromregelung . . . . . . . . . . . Modulationsverfahren A. Steimel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundfrequenztaktung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nichtsynchronisierte ( freie“) Pulsweitenmodulation . . . . . . ” Sinus-Dreieck-Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Symmetrierte Sinus-Dreieck-Modulation mit Zusatzsignalen . . Str¨ome des Wechselrichters bei symmetrierter Sinus-DreieckModulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Digitale Realisierung der Pulsweitenmodulation . . . . . . . . . Diskontinuierliche Taktungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flat-Top-Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubermodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Synchrone Taktungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

666 671

15.3.1 15.3.2 15.3.2.1 15.3.2.2 15.3.2.3 15.3.2.4 15.3.3 15.3.3.1 15.3.3.2 15.3.4

673 673 677 677 679 683 684 685 685 688 690

XVIII

15.3.4.1 15.3.4.2 15.3.4.3 15.3.4.4 15.3.5 15.4 15.4.1 15.4.2 15.4.3 15.4.4 15.4.5 15.5

Inhaltsverzeichnis

15.5.1 15.5.2 15.5.3

Dreifachtaktung . . . . . . . . . . . . . . . F¨ unffachtaktung . . . . . . . . . . . . . . . Siebenfachtaktung . . . . . . . . . . . . . . Taktfrequenzbereiche, -wechsel . . . . . . . WR-Spannungsfehler . . . . . . . . . . . . . Optimierte Pulsverfahren . . . . . . . . . . Spannungsraumzeigermodulation . . . . . . On-line optimierte Pulsmustererzeugung . . Raumzeiger-Hystereseverfahren . . . . . . . Pr¨adiktive Stromregelung mit Schalttabelle Dead-Beat-Pulsmustererzeugung . . . . . . Direkte Regelungen A. Steimel . . . . . . . . . . . . . . . . . Direkte Selbstregelung . . . . . . . . . . . . Indirekte Statorgr¨oßen-Regelung . . . . . . Direct Torque Control . . . . . . . . . . . .

16

Synchronmaschine

759

16.1 16.1.1 16.1.2 16.1.3 16.1.4 16.1.5 16.2 16.2.1 16.2.2 16.3 16.3.1 16.3.2 16.3.3

Synchron-Schenkelpolmaschine ohne D¨ampferwicklung . . . . . Beschreibendes Gleichungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . Synchron-Schenkelpolmaschine in normierter Darstellung . . . . Signalflußplan bei Spannungseinpr¨agung . . . . . . . . . . . . . Signalflußplan bei Stromeinpr¨agung . . . . . . . . . . . . . . . . Ersatzschaltbild der Synchron-Schenkelpolmaschine . . . . . . . Synchron-Schenkelpolmaschine mit D¨ampferwicklung . . . . . . Beschreibendes Gleichungssystem und Signalflußplan . . . . . . Ersatzschaltbild der Schenkelpolmaschine mit D¨ampferwicklung Synchron-Vollpolmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beschreibendes Gleichungssystem und Signalflußpl¨ane . . . . . Ersatzschaltbild der Synchron-Vollpolmaschine . . . . . . . . . Feldorientierte Darstellung der Synchron-Vollpolmaschine mit D¨ampferwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Steuerbedingungen der Vollpolmaschine ohne D¨ampferwicklung Regelung der Synchronmaschine durch Entkopplung . . . . . . Regelung der Synchronmaschine durch Feldorientierung F. Bauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelle zur Flußermittlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spannungsmodell (U1 I1 -Modell) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spannungsmodell als Wechselgr¨oßenmodell . . . . . . . . . . . . Polares Spannungsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spannungsmodell als Gleichgr¨oßenmodell . . . . . . . . . . . . . Strommodell der Schenkelpolmaschine . . . . . . . . . . . . . . Regelung der Synchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . .

760 760 765 768 772 775 777 777 779 783 783 790

16.3.4 16.4 16.5 16.5.1 16.5.2 16.5.2.1 16.5.2.2 16.5.2.3 16.5.2.4 16.5.3

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

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691 695 696 700 704 706 706 709 716 726 733

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. . . .

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. . . .

. . . .

. . . .

740 740 752 755

794 802 804 814 815 815 816 818 819 822 824

Inhaltsverzeichnis

XIX

16.5.3.1 16.5.4 16.5.5 16.5.6 16.5.7 16.6 16.6.1 16.6.2 16.6.3 16.6.4 16.6.5 16.7 16.7.1 16.7.2 16.7.3 16.7.4 16.7.5 16.7.6 16.7.7 16.7.8

Berechnung des Erregerstroms mit dem Strommodell . . . . . . Abl¨osung verschiedener Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flußregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flußf¨ uhrung im Feldschw¨achbereich . . . . . . . . . . . . . . . . Steuerung des cos ϕ der fremderregten Synchronmaschine . . . . Permanentmagneterregte Synchronmaschine (PM-Maschine) . . Signalflußplan der PM-Maschine . . . . . . . . . . . . . . . . . Regelung der PM-Maschine ohne Reluktanzeinfl¨ usse . . . . . . Rechteckf¨ormige Stromeinpr¨agung ohne Reluktanzeinfl¨ uße . . . Vergleich der sinus- und rechteckf¨ormig gespeisten PM-Maschine Feldschw¨achbereich der PM-Maschine . . . . . . . . . . . . . . PM-Maschine mit Reluktanzeinfl¨ ussen . . . . . . . . . . . . . . Maximales Moment pro Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . Verlustminimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Maximales Moment pro Volt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Feldschw¨achung unter Strom- und Spannungsbegrenzung . . . . Zusammenfassung der Steuerverfahren . . . . . . . . . . . . . . Einbindung in ein Antriebssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . Feldschw¨achregelung mit R¨ uckkopplung . . . . . . . . . . . . . Hybride Feldschw¨achregelungsstruktur . . . . . . . . . . . . . .

825 830 837 838 839 843 843 849 852 856 857 866 870 876 879 881 882 891 895 896

17

Geschaltete Reluktanzmaschine

898

17.1 17.2 17.3 17.4

¨ Uberlappende Bestromung von Statorwicklungen Leistungselektronische Stellglieder . . . . . . . . . Drehmoment-Welligkeit . . . . . . . . . . . . . . Geberloser Betrieb . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Identifikation linearer dynamischer Systeme

18.1 18.1.1 18.1.2 18.2 18.2.1 18.2.1.1 18.2.1.2 18.2.2 18.2.2.1 18.2.2.2 18.3 18.3.1 18.3.2 18.3.3 18.3.4

Grundlagen der Identifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parametrische und nichtparametrische Identifikationsverfahren Identifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineare dynamische Modellstrukturen . . . . . . . . . . . . . Modelle mit Ausgangsr¨ uckkopplung . . . . . . . . . . . . . . . Autoregressive with Exogenous Input Model . . . . . . . . . . Output Error Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelle ohne Ausgangsr¨ uckkopplung . . . . . . . . . . . . . . Finite Impulse Response Model . . . . . . . . . . . . . . . . . Orthonormal Basis Function Model . . . . . . . . . . . . . . . Identifikationsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ARX-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . OE-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FIR-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . OBF-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

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. . . .

. . . .

. . . .

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902 903 905 906 907

. . . . . . . . . . . . . . .

908 908 909 910 912 913 915 917 918 919 924 925 925 933 935

XX

Inhaltsverzeichnis

18.4 18.4.1 18.4.2 18.5 18.6

Lerngesetz: Least-Squares-Verfahren . . . . . . Nichtrekursiver Least-Squares-Algorithmus (LS) Rekursiver Least-Squares-Algorithmus (RLS) . Gradientenabstiegsverfahren . . . . . . . . . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Drehzahlregelung bei elastischer Verbindung zur Arbeitsmaschine 945

19.1 19.1.1 19.1.2 19.1.3 19.2 19.2.1 19.2.2 19.2.3 19.2.4 19.2.5 19.3 19.3.1 19.3.2 19.3.3 19.3.4 19.4 19.5

Regelung der Arbeitsmaschinendrehzahl . . . . . . . . . . . . . Strecken¨ ubertragungsfunktion GS1 (s) . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Analyse der Ubertragungsfunktion GS1 (s) . . . . . . . . . . . . Einfluß der elastischen Kopplung auf den Drehzahlregelkreis . . Regelung der Antriebsmaschinendrehzahl . . . . . . . . . . . . . Strecken¨ ubertragungsfunktion GS2 (s) . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Analyse der Ubertragungsfunktion GS2 (s) . . . . . . . . . . . . Einfluß der elastischen Kopplung auf den Drehzahlregelkreis . . Simulative Untersuchung der Arbeitsmaschinendrehzahl . . . . Bewertung der konventionellen Kaskadenregelung . . . . . . . . Zustandsregelung des Zweimassensystems . . . . . . . . . . . . Zustandsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zustandsregelung ohne I-Anteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . Auslegung einer Zustandsregelung nach dem D¨ampfungsoptimum Zustandsregelung mit I-Anteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verallgemeinerung: Mehrmassensysteme . . . . . . . . . . . . . Nichtlineare Systeme — Intelligente Strategien . . . . . . . . .

947 947 949 950 953 953 953 955 958 962 963 963 965 968 973 977 984

20

Schwingungsd¨ ampfung

993

20.1 20.2

Allgemeine Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . Local Absorption of Vibrations D. Filipovi´c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resonant Absorbers: Linear Active Resonator (LAR) Design of the LAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Single-mass Multi-frequency Resonator . . . . . . . . . Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Absorbers with Local Feedback in Multi-mass Systems Analysis of the Primary System . . . . . . . . . . . . . Combined System with the Absorber . . . . . . . . . Related Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verification of Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bandpass Absorber (BPA) . . . . . . . . . . . . . . . Concept of the BPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20.2.1 20.2.2 20.2.2.1 20.2.2.2 20.2.2.3 20.2.3 20.2.3.1 20.2.3.2 20.2.3.3 20.2.3.4 20.2.3.5 20.2.4 20.2.4.1

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

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. . . . . . . . . . . . . .

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937 938 939 942 944

993 1000 1000 1001 1002 1009 1012 1014 1016 1019 1025 1026 1033 1035 1035

Inhaltsverzeichnis

. . . .

. . . .

. . . .

20.2.4.2 20.2.4.3 20.2.4.4 20.2.5

A Case Study: Paper Mill Vibrations . . . . Simulation Results of the Paper Mill Model Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter 1049

21.1 21.2 21.3 21.4 21.5 21.6

Modulare Signalflusspl¨ane . . . . . . . . . . . . . Objektdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . Ein vollst¨andiges Beispiel . . . . . . . . . . . . . Modelica — Kontinuierliche Systeme . . . . . . . Modelica — Komponenten-Schnittstellen . . . . . Modelica — Modellierung elektrischer Maschinen A. Haumer, Ch. Kral . . . . . . . . . . . . . . . 21.6.1 Ungeregelte elektrische Maschinen . . . . . . . . 21.6.2 Geregelte elektrische Antriebe . . . . . . . . . . . 21.7 Transformationsalgorithmen . . . . . . . . . . . . 21.7.1 Regul¨are Deskriptorsysteme . . . . . . . . . . . . 21.7.2 Singul¨are Deskriptorsysteme . . . . . . . . . . . . 21.7.3 Strukturell inkonsistente Deskriptorsysteme . . . 21.8 Lineare Deskriptorsysteme . . . . . . . . . . . . . 21.9 Modelica — Hybride Systeme . . . . . . . . . . . 21.10 Modelica — Strukturvariable Systeme . . . . . . 21.10.1 Ideale elektrische Schaltelemente . . . . . . . . . 21.10.2 Coulomb-Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.10.3 Reibungsbehaftete Komponenten . . . . . . . . . 22

. . . .

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XXI

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1051 1058 1062 1067 1079

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1087 1087 1095 1105 1105 1112 1119 1121 1130 1144 1144 1150 1160

Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen 1166

W.Wolfermann

22.1 22.2 22.2.1 22.2.1.1 22.2.1.2 22.2.1.3 22.2.2 22.2.3 22.3 22.3.1 22.3.2 22.3.3

1040 1042 1044 1045

Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modellierung des Systems . . . . . . . . . . Technologisches System . . . . . . . . . . . Stoffbahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . Verhalten der Mechanik . . . . . . . . . . . Elektrische Antriebe . . . . . . . . . . . . . Linearer Signalflußplan des Gesamtsystems Systemanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . Regelbarkeit der Bahnkr¨afte . . . . . . . . . Stillstand der Maschine . . . . . . . . . . . Dynamik des ungeregelten Teilsystems . . .

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1166 1167 1167 1168 1174 1176 1176 1176 1177 1178 1179 1179

XXII

22.4 22.4.1 22.4.2 22.4.2.1 22.4.2.2 22.5 22.6 22.6.1 22.6.2 22.6.3 22.6.4 22.6.5 22.6.6 22.6.6.1 22.6.6.2 22.6.6.3 22.7 22.8 22.8.1 22.8.2 22.8.2.1 22.8.2.2 22.8.2.3 22.8.2.4 22.8.2.5 22.8.2.6 22.9 22.9.1 22.9.2 22.9.2.1 22.9.2.2 22.9.2.3 22.9.2.4 22.9.2.5 22.9.2.6 22.9.2.7 22.10

Inhaltsverzeichnis

Drehzahlregelung mit PI-Reglern in Kaskadenstruktur . Nicht schwingf¨ahiges ungeregeltes System . . . . . . . . Schwingf¨ahiges ungeregeltes System . . . . . . . . . . . . Regelung ohne Entkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . Regelung mit Entkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . Bahnkraftregelung mit PI-Reglern . . . . . . . . . . . . Registerfehler bei Rotationsdruckmaschinen . . . . . . . Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ableitung des Registerfehlers . . . . . . . . . . . . . . . Linearisierung des Registerfehlers . . . . . . . . . . . . . Zusammenhang der Registerfehler aufeinanderfolgender werke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linearisierter Signalflußplan . . . . . . . . . . . . . . . . Dynamisches Verhalten des Registerfehlers . . . . . . . . Druckmaschine mit Drehzahlregelung . . . . . . . . . . . Druckmaschine mit Winkelregelung . . . . . . . . . . . . Druckmaschine mit Registerfehlerregelung . . . . . . . . Zustandsregelung des Gesamtsystems . . . . . . . . . . . Dezentrale Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regelung des isolierten Teilsystems . . . . . . . . . . . . Dezentrale Entkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundlagen des Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematische Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . Modaltransformation des Teilsystems . . . . . . . . . . . Berechnung der R¨ uckf¨ uhrkoeffizienten . . . . . . . . . . Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zentrale Beobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dezentrale Beobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Approximation durch St¨ormodelle . . . . . . . . . . . . . Beispiel: Dezentraler Beobachter f¨ ur zwei Teilsysteme . . Parameter¨anderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Informationsaustausch zwischen den Teilbeobachtern . . Zustandsregelung mit dezentralen Beobachtern . . . . . Beinflussung von dezentralen Reglern und Beobachtern . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Variablen¨ ubersicht

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Druck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1182 1183 1184 1184 1185 1187 1191 1191 1192 1193 1194 1195 1195 1196 1199 1199 1200 1202 1202 1206 1206 1207 1208 1208 1209 1209 1212 1212 1213 1213 1214 1216 1219 1221 1223 1224 1225 1226

Inhaltsverzeichnis

XXIII

Literaturverzeichnis Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stellbegrenzungen in Regelkreisen . . . . . . . . . . . . . . z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Antriebstechnik und benachbarte Gebiete . . . . . . . . . Netzgef¨ uhrte Stromrichter: Regelung . . . . . . . . . . . . Direktumrichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Untersynchrone Kaskade (USK) . . . . . . . . . . . . . . . Stromrichtermotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stromzwischenkreis-Umrichter (I-Umrichter) . . . . . . . . Spannungszwischenkreis-Umrichter (U-Umrichter) . . . . . Regelung von Asynchron- und Synchronmaschine . . . . . Motoridentifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Direkte Selbstregelung von Drehfeldmaschinen . . . . . . . Geberlose Regelungen von Drehfeldmaschinen . . . . . . . Comments on Sensorless Control Methods . . . . . . . . . Reluktanzmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geschaltete Reluktanzmaschine: Auslegung und Regelung Geschaltete Reluktanzmaschine: Optimierter Betrieb . . . Geschaltete Reluktanzmaschine: Geberloser Betrieb . . . . Geschaltete Reluktanzmaschine: Synchron-Reluktanzmotor Identifikation linerarer dynamischer Systeme . . . . . . . . Systemintegration elektrischer Antriebe . . . . . . . . . . . Schwingungsd¨ampfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Objektorientierte Modellierung, Deskriptorsysteme . . . . Kontinuierliche Fertigungsanlagen . . . . . . . . . . . . . . Stichwortverzeichnis

1244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1244 1248 1248 1249 1250 1254 1256 1257 1259 1261 1263 1271 1275 1278 1293 1295 1299 1303 1303 1306 1310 1311 1312 1315 1320 1323

1 Regelungstechnische Grundbegriffe und Grundregeln

1.1

Gegenu ¨berstellung von Steuerung und Regelung

Bei technischen — aber auch anderen — Systemen besteht h¨aufig die Aufgabe, bestimmte Gr¨oßen auf einen gew¨ unschten Wert zu bringen und dort zu halten. Diese Gr¨oßen bezeichnet man als Ausgangsgr¨oßen x des Systems. Damit aber die Ausgangsgr¨oßen auf den gew¨ unschten Wert gebracht und dort gehalten werden k¨onnen, m¨ ussen die geeigneten Eingangsgr¨oßen u der Strecke bekannt und zug¨anglich sein. In Abb. 1.1 ist dies symbolisch und am Beispiel der Strecke Gleichstromne” benschlußmaschine“ (GNM) dargestellt. Die Eingangsgr¨oße bzw. die Stellgr¨oße u ist hierbei die Ankerspannung UA . Der Ausgangsgr¨oße x entspricht in diesem Beispiel die Motor-Drehzahl N. Der Block Strecke“ sei in Abb. 1.1 nur die ” Gleichstrommaschine. Die mathematischen bzw. funktionellen Zusammenh¨ange sind im Band Elektrische Antriebe — Grundlagen“ beschrieben [36, 37, 38]. ” IA -

Eingangsgr¨ oße

'$

UA ?

HH

H H &% N M 6 W  % %



IE

Ausgangsgr¨ oße

∧

⇒

u = UA

-

∧

Strecke

x=N -

Abb. 1.1: Steuerung der Gleichstromnebenschlußmaschine (GNM)

Wenn der Zusammenhang zwischen UA und N genau bekannt ist (beispielsweise bei Leerlauf im station¨aren Betrieb N = K UA ), dann kann durch Verstellen von UA die gew¨ unschte Drehzahl N eingestellt und dort gehalten werden. Wesentlich ist im vorliegenden Fall die proportionale Abh¨angigkeit zwischen N und UA . Diesen Vorgang nennt man Steuerung.

2

1 Regelungstechnische Grundbegriffe und Grundregeln

Im allgemeinen ist aber der Zusammenhang zwischen der Stellgr¨oße u und der Ausgangsgr¨oße x nicht genau bekannt, da unbekannte St¨orgr¨oßen z vorhanden sind, deren zeitlicher Verlauf nicht vorhergesagt werden kann. Bei der betrachteten Gleichstromnebenschlußmaschine kann sich beispielsweise im Ankerstellbereich der Erregerstrom IE ¨andern; der Erregerstrom ist in diesem Fall eine der m¨oglichen St¨orgr¨oßen, die Ankerspannung UA die Eingangsgr¨oße. Wenn sich nun der Erregerstrom IE ¨andert und dies nicht bekannt ist, ¨ f¨ uhrt dies auch zu einer — unerw¨ unschten — Anderung der Drehzahl. Eine andere St¨orgr¨oße ist die Belastung der Maschine, das Lastmoment MW , das bei ¨ ¨ Anderungen ebenso Anderungen der Drehzahl N verursacht. Solange diese St¨orgr¨oßen in ihrer Gr¨oße und in ihrem zeitlichen Verlauf nicht genau bekannt sind, werden durch die St¨orgr¨oßen somit unerw¨ unschte Ver¨anderungen der Ausgangsgr¨oße x = N nicht zu vermeiden sein. Um eine gezielte Beeinflussung des Systems zu erreichen, ist es deshalb notwendig, die Ausgangsgr¨oße x zu beobachten und die Stellgr¨oße u so zu ver¨andern, daß die Ausgangsgr¨oße in einem vorher vereinbarten Toleranzbereich bleibt. Der klassische Weg ist die Einf¨ uhrung des Regelkreises (Abb. 1.2). Regeldifferenz xd = w − xr F¨ uhrungs- xd -e gr¨oße w 6–

Regler

xr erfaßte Regelgr¨oße xr

St¨orgr¨oße z Stellgr¨oße u -

? -

Stellglied



 Strecke

Regelgr¨oße x

r

GNM 

Meßeinrichtung 

Abb. 1.2: Regelkreis am Beispiel der Gleichstromnebenschlußmaschine

Wie in Abb. 1.1 ist die Eingangsgr¨oße der Strecke die Stellgr¨oße u und die Ausgangsgr¨oße die Drehzahl N, die in Regelkreisen wie in Abb. 1.2 Regelgr¨oße x genannt wird. Die Strecke besteht jetzt allerdings aus dem leistungselektronischen Stellglied und der GNM. Zus¨atzlich sind die St¨orgr¨oßen z eingetragen, die in der Strecke eingreifen und die Regelgr¨oße x beeinflussen. Um die Regelgr¨oße x auf den gew¨ unschten Wert zu bringen und dort zu halten, wird sie durch eine Meßeinrichtung erfaßt. H¨aufig wird die Regelgr¨oße dabei in eine andere physikalische Gr¨oße umgeformt. In unserem Fall der Drehzahlregelung wird die Drehzahl h¨aufig mit einem Tachogenerator in eine Spannung umgeformt. Diese so erfaßte Regelgr¨oße xr ist der urspr¨ unglichen Regelgr¨oße x proportional; dies gilt zumindest im station¨aren Betriebsfall. Die erfaßte Regel-

1.1 Gegen¨ uberstellung von Steuerung und Regelung

3

gr¨oße xr wird nun mit dem Sollwert w verglichen; der Vergleich erfolgt durch Differenzbildung. Die Ausgangsgr¨oße des Vergleichs ist die Regeldifferenz xd . xd = w − xr = w − Kr x

(1.1)

Gleichung (1.1) besagt, daß die Regeldifferenz xd Null ist, wenn der Sollwert mit der erfaßten Regelgr¨oße xr u ur Kr = 1 gilt ¨bereinstimmt bzw. x = w/Kr ist. F¨ damit x = w. Die Funktion des Regelkreises in Abb. 1.2 kann wie folgt erl¨autert werden. Es wird angenommen, daß bei jedem der Bl¨ocke Regler, Stellglied, GNM und Meßeinrichtung eine Vergr¨oßerung der jeweiligen Eingangsgr¨oße im station¨aren Betrieb auch eine entsprechende Verg¨oßerung der Ausgangsgr¨oße bewirkt. Der Regler sei beispielsweise ein Verst¨arker mit der Verst¨arkung KR , das Stellglied k¨onne mit dem Verst¨arkungsfaktor KSTR , die GNM k¨onne mit der Verst¨arkung KS im station¨aren Zustand approximiert werden. Dann gilt: x = KS KSTR u = KS KSTR KR xd = K xd

(1.2)

Dies bedeutet, je h¨oher die resultierende Verst¨arkung K ist, desto geringer kann das ansteuernde Signal sein, um den gew¨ unschten Ausgangszustand (Arbeitspunkt) zu erhalten. Nun gilt aber zus¨atzlich die Gleichung xd = w − xr = w − x

mit

Kr = 1

(1.3)

Eine erste Erkenntnis aus dieser Gleichung ist, daß die Regelgr¨oße x im station¨aren Zustand der Sollgr¨oße w mit einem Regelfehler xd folgt, der umso kleiner ist, je gr¨oßer die resultierende Verst¨arkung K ist. Die zweite Erkenntnis ist, daß bei nur proportionalem Verhalten im Vorw¨artskanal Regler-Strecke der Istwert x den Sollwert w im station¨aren Betrieb nicht exakt erreichen kann. Der Vorteil der Regelung ergibt sich bei Einwirkung von St¨orgr¨oßen z. Wird eine St¨orgr¨oße z, wie z.B. das verlangte Lastmoment MW an der Welle erh¨oht, dann werden die Drehzahl N bzw. Regelgr¨oße x und damit die erfaßte Regelgr¨oße xr absinken. Die Regeldifferenz xd wird aufgrund xd = w − xr zunehmen, dies gilt ebenso f¨ ur u, so daß die Regelgr¨oße an den Sollwert herangef¨ uhrt wird. Verringert sich eine St¨orgr¨oße, so wird die Drehzahl N bzw. die Regelgr¨oße x zunehmen, die Regeldifferenz xd und die Gr¨oße u dagegen abnehmen, so daß die Regelgr¨oße x wiederum an den Sollwert w zur¨ uckgef¨ uhrt wird. Die Aufgabe der Regelung besteht somit darin, die Auswirkung der St¨orgr¨oße z auf die Regelgr¨oße x zu begrenzen. Die gew¨ahlte Struktur in Abb. 1.2 bewirkt, daß die Regelgr¨oße x der F¨ uhrungsgr¨oße w folgt. Die Regelung hat somit die zweifache Aufgabe, die Regelgr¨oße x auf die F¨ uhrungsgr¨oße w einzuregeln und ¨ St¨orungen auszuregeln. Bei den bisherigen Uberlegungen hat sich im station¨aren Zustand jeweils eine station¨are Regeldifferenz xd ergeben, die umso geringer ist, je gr¨oßer die resultierende Verst¨arkung gew¨ahlt wird. Eine andere L¨osung ist eine Reglerstruktur, die einen Integralanteil enth¨alt und die somit im station¨aren Betrieb xd = 0 erzwingt.

4

1 Regelungstechnische Grundbegriffe und Grundregeln

¨ ¨ Bei einer Anderung der F¨ uhrungsgr¨oße w bzw. bei Anderungen der St¨orgr¨oßen z wird die Regelgr¨oße x allerdings nicht sofort den station¨aren Endzustand erreichen k¨onnen, sondern mit einer gewissen Verz¨ogerung reagieren. Beispielsweise wird eine Erh¨ohung der Drehzahl-F¨ uhrungsgr¨oße w zu einer Erh¨ohung des Reglerausgangssignals u und zu einer Erh¨ohung der Ausgangsgr¨oße des Stellglieds f¨ uhren. Aufgrund des Tr¨agheitsmoments des Rotors der Gleichstrommaschine wird die Regelgr¨oße x (Drehzahl N) aber nicht sofort folgen k¨onnen. Wenn nun die Verst¨arkung KR des Reglers erh¨oht wird, dann wird die Stellgr¨oße u wesentlich mehr ausgesteuert als vorher. Dadurch wird sich die Regelgr¨oße x schneller ¨andern als bei einer kleineren Verst¨arkung des Reglers. Eine Erh¨ohung der Verst¨arkung im Regelkreis f¨ uhrt somit zu einer Verringerung der Verz¨ogerung im F¨ uhrungsverhalten des Regelkreises. Allerdings kann die Verz¨ogerung nicht immer durch eine Erh¨ohung von KR beliebig verringert werden. Die gleiche Aussage gilt f¨ ur das St¨orverhalten. Die grunds¨atzlichen Eigenschaften der Regelung sind (ohne Beweise): • der Wirkungsablauf findet in einem geschlossenen Kreis — dem Regelkreis — statt. • Der Einfluß von Nichtlinearit¨aten und unstetig arbeitenden Systemkomponenten, • der Einfluß der St¨orgr¨oßen und • der Einfluß von Verz¨ogerungen in der Strecke werden in der Auswirkung auf die Regelgr¨oße x verringert. Die Regelung hat gegen¨ uber der Steuerung somit beachtliche Vorteile. Zusammenfassend ergeben sich folgende charakteristische Eigenschaften von Regelungen und Steuerungen, die in der Tabelle Seite 5 oben zusammengestellt sind. Zur Beurteilung der G¨ ute von Regelkreisen dient h¨aufig die Sprungantwort, d.h. der zeitliche Verlauf der Regelgr¨oße bei Beaufschlagung des Regelkreises ¨ mit einer sprunghaften Anderung der F¨ uhrungsgr¨oße oder einer St¨orgr¨oße. Die daf¨ ur wichtigen Definitionen sind einer typischen Sprungantwort (sprunghafte ¨ Anderung der F¨ uhrungsgr¨oße) zu entnehmen, vgl. Abb. 1.3. Es ergeben sich somit drei Forderungen f¨ ur die Regelung: 1. Der Regelkreis muß stabil sein. 2. Die bleibende (station¨are) Regeldifferenz muß innerhalb eines gegebenen Toleranzbandes bleiben bzw. m¨oglichst klein sein. 3. Die Regelgr¨oße x soll der F¨ uhrungsgr¨oße w so schnell wie m¨oglich folgen.

1.1 Gegen¨ uberstellung von Steuerung und Regelung

Eigenschaft

in Steuerungen

in Regelungen

Grundstruktur Wirkungsablauf

Kettenstruktur stets nur in einer Richtung vom Eingang zum Ausgang

Kreisstruktur im geschlossenen Kreis, d.h. R¨ uckkopplung der Regelgr¨oße auf den Eingang zum Sollwert verminderte Auswirkung

Einfluß von Nichtlinea- volle Auswirkung rit¨aten in der Regelstrecke Einfluß von St¨orgr¨oßen voller Einfluß die Regelstrecke Zeitverhalten wie von der Regelstrecke vorgegeben Stabilit¨at

von der Strecke vorgegeben

5

reduzierter Einfluß ¨ z.B. durch Uberverstellung Verringerung der Einstellzeiten m¨oglich die M¨oglichkeit der Instabilit¨at ist gegeben. Instabile Strecken k¨onnen stabilisiert werden

w w0

1

0

t

x w0

t an : Anregelzeit

x max w0

±2%

t aus : Ausregelzeit

1

0

t an

t aus

t

Abb. 1.3: Charakteristische Gr¨ oßen der Sprungantwort eines Regelkreises mit dem Bezugs-Sollwert w0

6

1 Regelungstechnische Grundbegriffe und Grundregeln

Jede dieser Forderungen ist eine Bedingung sowohl f¨ ur das F¨ uhrungsverhalten ¨ als auch f¨ ur das St¨orverhalten des Regelkreises. Ziel der weiteren Uberlegungen muß daher sein, trotz hoher resultierender Verst¨arkung des Regelkreises und damit kleiner station¨arer Regeldifferenz sowie geringem Einfluß von St¨orgr¨oßen, die Stabilit¨at und ein gew¨ unschtes dynamisches Verhalten sicherzustellen. Da¨ zu ist notwendig, daß zun¨achst die Ubertragungsfunktionen der Komponenten des Regelkreises bekannt sind. Mit diesen Kenntnissen wird dann die Analyse des Regelkreises und der Entwurf (Synthese) der geeigneten Regeleinrichtung erm¨oglicht.

1.2

Beschreibung des dynamischen Verhaltens eines Systems durch den Signalflußplan

Der Signalflußplan eines Systems wird in zwei Schritten aufgestellt: 1. Aufgrund der physikalischen Gesetze werden die Funktionalbeziehungen ¨ (Ubertragungsfunktionen) ermittelt, die zwischen den verschiedenen zeitver¨anderlichen Gr¨oßen der betrachteten Komponente bestehen. 2. Durch geeignete (vereinbarte) Symbole werden diese Funktionalbeziehungen im Signalflußplan anschaulich dargestellt. Dieses Vorgehen soll am Beispiel eines unbelasteten RC-Gliedes gezeigt werden (Abb. 1.4).

e

-

R

r

e

I(t) Ue (t)

C ? e

r

Ua (t) ? e

Abb. 1.4: RC-Glied

Bei der Aufstellung der physikalischen Gleichungen empfiehlt es sich meist, mit den Zusammenh¨angen f¨ ur die energietragenden Gr¨oßen zu beginnen. Im Falle des RC-Gliedes wird im elektrischen Feld des Kondensators Energie gespeichert, beschreibbar durch die Ladung oder die Spannung des Kondensators. Im vorliegenden Fall ist die Kondensatorspannung gleichzeitig die Ausgangsgr¨oße des Systems und deswegen zu dessen Beschreibung besonders geeignet.

1.2 Beschreibung des dynamischen Verhaltens durch Signalflußpl¨ ane

7

Aus der Kondensatorgleichung folgt: 1 dQ 1 dUa (t) = · = I(t) dt C dt C

(1.4)

Aus der Schaltung folgt f¨ ur den Strom I(t): I(t) =

1 (Ue (t) − Ua (t)) R

(1.5)

Wird Gl. (1.5) in (1.4) eingesetzt, dann ergibt sich nach Umformung die Differentialgleichung f¨ ur die Ausgangsspannung Ua (t) mit der Zeitkonstante T = RC des RC-Gliedes zu RC T

dUa (t) + Ua (t) = Ue (t) dt

(1.6)

dUa (t) + Ua (t) = T U˙ a + Ua = Ue (t) dt

(1.7)

Die letzte Gleichung stellt die Differentialgleichung 1. Ordnung des RC-Gliedes dar. F¨ ur vorgegebene Verl¨aufe der Eingangsgr¨oße l¨aßt sich durch L¨osung der Differentialgleichung der zugeh¨orige Verlauf der Ausgangsgr¨oße berechnen. F¨ ur den Fall des Einschaltens einer Gleichspannung U0 zum Zeitpunkt t = 0 ergibt sich der bekannte Exponentialverlauf der Ausgangsgr¨oße:  0 f¨ ur t < 0 Ue (t) = (1.8) U0 f¨ ur t ≥ 0   Ua (t) = U0 1 − e−t/T

(1.9)

Wird statt der sprungartigen Eingangsspannung mit der Amplitude U0 eine Eingangsspannung mit der normierten Amplitude Eins an den Eingang geschaltet, dann ist das Eingangssignal die Testfunktion σ(t) (Einheitssprungfunktion) ¨ und das Ausgangssignal wird Sprungantwort oder auch Ubergangsfunktion des ¨ Ubertragungsgliedes genannt. Dies ist im Symbol anschaulich dargestellt (vgl. Abb. 1.5 rechts). Die Ermittlung des Signalflußplanes vereinfacht sich wesentlich, wenn statt der Aufstellung und der L¨osung der Differentialgleichung im Zeitbereich direkt in einem Bildbereich gearbeitet wird. Vorzugsweise wird die Laplace-Transformierte benutzt. Im Fall des RC-Tiefpasses kann die Differentialgleichung in den LaplaceBereich transformiert werden, indem im wesentlichen die Differentiation durch den Laplace-Operator s ersetzt wird. Man erh¨alt (alle Anfangsgr¨oßen Ui (t < 0) = 0) aus Gl. (1.7): Ua (s) (sT + 1) = Ue (s) (1.10)

8

1 Regelungstechnische Grundbegriffe und Grundregeln

6

U

Ue

U0

 

K=1 @ @



Ua

Ue

=⇒



-

T = RC

6

Ua

-

-

  

T

Symbol

-

-

Zeit t ¨ Abb. 1.5: Sprungantwort und Symbol der Ubergangsfunktion

¨ oder mit G(s) als Ubertragungsfunktion des RC-Tiefpasses: G(s) =

1 Ua (s) = Ue (s) 1 + sT

(1.11)

¨ Im Spezialfall eines linearen elektrischen Netzwerks kann die Laplace-Ubertragungsfunktion mittels komplexer Rechnung allerdings viel schneller bestimmt werden, wenn im komplexen Rechnungsgang j ω durch s ersetzt wird.

1 (1.12) Ue (s) = I(s) R + sC Ua (s) = I(s)

1 sC

(1.13)

also mit s = σ + j ω Ua (s) = G(s) = Ue (s)

1 sC 1 R+ sC

=

1 1 = 1 + sRC 1 + sT

(1.14)

¨ Wesentlich ist, daß unterschiedliche physikalische Systeme dieselbe Ubertragungsfunktion haben k¨onnen. Wir betrachten z.B. Abb. 1.6. Es gilt: Ua (s) Ue (s)

(1.15)

Ua (s) = I(s) R

(1.16)

Ue (s) = I(s) (R + sL)

(1.17)

G(s) =

1.2 Beschreibung des dynamischen Verhaltens durch Signalflußpl¨ ane

L

e

r

Ue (t)

e

Ua (t)

R ? e

9

? e

r

Abb. 1.6: LR-Tiefpaß

und mit T = L/R: G(s) =

R = R + sL

1 L 1+s R

=

1 1 + sT

(1.18)

Dieses Verfahren ist insbesondere bei linearen Systemen besonders einfach an¨ zuwenden, da bei Kettenstrukturen von Ubertragungsgliedern die einzelnen ¨ Ubertragungsfunktionen multipliziert werden (vgl. Kap. 1.3.2). Nichtlinearit¨aten m¨ ussen dabei als getrennte Bl¨ocke dargestellt werden. ¨ Wesentlich bei der Ermittlung der Differentialgleichung bzw. der Ubertragungsfunktion ist, daß dabei die Auftrennung des gesamten Systems in Einzelbl¨ocke an r¨ uckwirkungsfreien Stellen erfolgt, d.h. daß sich durch die Verket¨ tung der Einzelfunktionen zum Gesamtsystem nicht die einzelnen Ubertragungsfunktionen an sich ¨andern. Diese Voraussetzung ist allgemein zu beachten. Die Bedeutung der Bedingung der Auftrennung an r¨ uckwirkungsfreien Stellen soll am folgenden Beispiel erl¨autert werden. Es wird der belastete RC-Tiefpaß in Abb. 1.7 betrachtet.

e

-

I(t)

R1

r

Ue (t)





R2

C ? e

Ua (t) ?

r

Abb. 1.7: Belasteter RC-Tiefpaß





10

1 Regelungstechnische Grundbegriffe und Grundregeln

Wenn R2 → ∞ ist, dann gilt mit T = R1 C   = G1 (s) R2 →∞

1 1 + sT

(1.19)

Wenn R2 = ∞ ist, ergibt sich jedoch   G2 (s)

R2 =∞

=

Ua (s) Ue (s)

(1.20) R2 sC

R2 = I(s) 1 1 + sR2 C R2 + sC

R2 Ue (s) = I(s) R1 + 1 + sR2 C  R 

2 G2 (s) = R2 R2 =∞ (1 + sR2 C) R1 + 1 + sR2 C  R2 1  G2 (s) = · R1 R2 R1 + R2 R2 =∞ 1+s C R1 + R2 Ua (s) = I(s)

(1.21)

(1.22) (1.23)

(1.24)

¨ Aus dem Vergleich der beiden Ubertragungsfunktionen G1 (s) und G2 (s) ergibt sich, daß sich sowohl die statische Verst¨arkung als auch die Zeitkonstante des RCTiefpasses ge¨andert hat, d.h. eine Auftrennung an dieser Stelle ist unzul¨assig.

1.3

Frequenzgang

Im letzten Abschnitt wurde das Zeitverhalten einer Strecke untersucht, d.h. es interessierte der zeitliche Verlauf der Ausgangsgr¨oße Ua , z.B. nach einer sprunghaf¨ ten Anderung der Eingangsgr¨oße Ue . Das Verhalten wurde somit im Zeitbereich betrachtet. ¨ Eine andere Betrachtungsweise untersucht die Eigenschaften von Ubertragungsgliedern bei sinusf¨ormiger Anregung in Abh¨angigkeit von der Frequenz. Das Verhalten wird dann im Frequenzbereich betrachtet. Wir betrachten ein physikalisches System (Abb. 1.8), das durch ein sinusf¨ormiges Signal Ue (t) angeregt wird. Die sinusf¨ormige Anregung am Eingang wird beschrieben durch Ue (t) = Uˆe cos ωt (1.25) mit der Amplitude Uˆe und der Kreisfrequenz ω, kurz Frequenz genannt. Da wir uns hier auf die Behandlung linearer Glieder beschr¨anken wollen, wird bei sinusf¨ormiger Anregung Ue (t) auch die Ausgangsgr¨oße Ua (t) im eingeschwungenen

1.3 Frequenzgang

Ue (t)

-

lineares physikalisches System

Ua (t)

11

-

Abb. 1.8: Strecke

Zustand ein sinusf¨ormiges Signal mit der gleichen Frequenz sein. Ver¨andert ist jedoch im allgemeinen die Amplitude und der Phasenwinkel von Ua (t) gegen¨ uber Ue (t). F¨ ur die Ausgangsgr¨oße gilt daher allgemein Ua (t) = Uˆa (ω) cos(ωt + ϕ(ω))

(1.26)

mit der Amplitude Uˆa der Ausgangsschwingung und dem Phasenwinkel ϕ(ω) zwischen Eingangs- und Ausgangsschwingung. Wird ein lineares System mit einem sinusf¨ormigen Signal konstanter Amplitude angeregt, so antwortet das System somit im eingeschwungenen Zustand mit einem ebenfalls sinusf¨ormigen Signal mit ebenfalls konstanter Amplitude. Das Amplitudenverh¨altnis zwischen Eingangs- und Ausgangssignal ist abh¨angig von der Frequenz. Außerdem wird im allgemeinen zwischen Ein- und Ausgangsschwingung eine Phasenverschiebung festzustellen sein, die ebenso von der Frequenz abh¨angig ist. Wenn nun im Frequenzbereich (Bildbereich) der Quotient von Ausgangs- und Eingangsgr¨oße gebildet wird, dann erh¨alt man den Frequenzgang F (jω) (vgl. Abb. 1.9): F (jω) =

Ua (jω) Uˆa (ω) jϕ(ω) = |F (jω)| ejϕ(ω) = e Ue (jω) Uˆe (ω)

(1.27)

Der Frequenzgang stellt somit das Verh¨altnis von Ausgangs- zu Eingangsgr¨oße bei sinusf¨ormiger Anregung in Abh¨angigkeit von der Frequenz dar.

Ue (jω) -

Ua (jω) F (jω)

-

Abb. 1.9: Frequenzbetrachtung

Im allgemeinen sind sowohl das Amplitudenverh¨altnis ˆa (ω) U = Re2 {F (jω)} + Im2 {F (jω)} |F (jω)| = Uˆe (ω)

(1.28)

12

1 Regelungstechnische Grundbegriffe und Grundregeln

als auch der Phasenwinkel ϕ(ω) frequenzabh¨angig: ϕ(ω) = arctan

Im {F (jω)} Re {F (jω)}

(1.29)

Der Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangsgr¨oße wird in der komplexen Zahlenebene dargestellt (Abb. 1.10 rechts). U

Im

^

Ue

^

Ua |F( jw)| = ^ Ue ^

Re {F( jw)}

^

Ua

Ue 1

t

j

Re Im {F( jw)} F( jw)

j

Abb. 1.10: Untersuchung des Frequenzverhaltens

¨ Experimentell erh¨alt man den Frequenzgang eines Ubertragungsglieds durch Oszillographieren und Vergleichen der sinusf¨ormigen Eingangs- und Ausgangsgr¨oße (Verh¨altnis der Amplituden, Phasenverschiebung) oder mit industriell gefertigten Ger¨aten. Die rechnerische Ermittlung des Frequenzganges von F (jω) erfolgt nach den Regeln der komplexen Rechnung. Als Beispiel soll die Berechnung des Frequenzganges des RC-Tiefpasses gem¨aß Abb. 1.11 gezeigt werden.

e

ZR

r

Ue (jω)

e

ZC ? e

r

Ua (jω) ? e

Abb. 1.11: Ermittlung des Frequenzganges durch komplexe Rechnung

1.3 Frequenzgang

13

Mit ZR = R und ZC = 1/(jωC) gilt ZC Ua (jω) = = F (jω) = Ue (jω) ZR + ZC

1 jωC 1 R+ jωC

(1.30)

und f¨ ur T = RC folgt F (jω) =

1 1 + jωT

(1.31)

Der Frequenzgang des RC-Gliedes (Verz¨ogerungsglied) zeigt die zu erwartende Frequenzabh¨angigkeit. F¨ ur ω → ∞ folgt Ua = 0 und f¨ ur √ur ω = 0 gilt Ua = Ue , f¨ ω = 1/T wird Ua = Ue / 2 und ϕ = −45◦ (siehe Abb. 1.10). Aus dem Berechnungsgang ist zu entnehmen, daß der Frequenzgang der Son¨ derfall der Ubertragungsfunktion mit σ = 0 ist: s = σ + jω → jω

(1.32)

Der Grund f¨ ur die besondere Bedeutung der Frequenzdarstellung liegt in der ¨ einfachen meßtechnischen Erfassung. Dies ist insbesondere bei Ubertragungsgliedern wichtig, bei denen die Funktionalbeziehung theoretisch nicht oder nur sehr schwierig zu ermitteln ist. Außerdem ist das Verfahren außerordentlich anschaulich. Der Frequenzgang l¨aßt sich sowohl in rechtwinkliger (Ortskurve) als auch in logarithmischer Darstellung (Frequenzkennlinien, Bode-Diagramm) auftragen. 1.3.1

Darstellung in rechtwinkligen Koordinaten (Ortskurvendarstellung)

F¨ ur jede Frequenz ω ergibt sich nach Kap. 1.3 ein Punkt f¨ ur den Frequenzgang in der komplexen Zahlenebene. Die Verbindung der Punkte mit unterschiedlicher Frequenz ergibt die Ortskurve des Frequenzganges F (jω). Zur Berechnung der Ortskurve wird der komplexe Ausdruck in den Real- und den Imagin¨arteil zerlegt. Der Betrag des Frequenzganges F (jω) ergibt sich dann zu |F (ω)| = Re2 {F (jω)} + Im2 {F (jω)} (1.33) Der Phasenwinkel l¨aßt sich berechnen aus tan ϕ =

Im {F (jω)} Re {F (jω)}

(1.34)

1 (1 + jωT )

(1.35)

F¨ ur das RC-Glied mit F (jω) =

14

1 Regelungstechnische Grundbegriffe und Grundregeln

ergibt sich F (jω) =

jωT 1 − = Re {F } + j Im {F } 2 2 1+ω T 1 + ω 2T 2

tan ϕ = −ωT |F (ω)| = √

1 1 + ω2T 2

(1.36) (1.37) (1.38)

Die Ortskurve des RC-Gliedes beschreibt einen Halbkreis im 4. Quadranten der ¨ komplexen Zahlenebene, vgl. Abb. 1.12. Bei einer Anderung der Zeitkonstanten T ¨andert sich lediglich die ω-Teilung auf dem Halbkreis.

Abb. 1.12: Frequenzgang des RC-Glieds

1.3 Frequenzgang

1.3.2

15

Graphische Darstellung in logarithmischer Form (Frequenzkennlinien, Bode-Diagramm)

Bei dieser Darstellung des Frequenzganges werden der Amplitudengang |F (jω)| und der Phasengang ϕ(ω) getrennt in Abh¨angigkeit von ω aufgetragen. F¨ ur die ω-Achse wird ein logarithmischer Maßstab gew¨ahlt. Als Ordinate wird nicht |F (jω)|, sondern u ¨ blicherweise 20 log |F (jω)| mit der Dimension dB (Dezibel) aufgetragen; Beispiele zur Umrechnung sind der folgenden Tabelle zu entnehmen:   |F (jω)|

dB

= 20 log |F (jω)|

|F (jω)| = 0,1 = 1 = 10 = 100 = 1000

∧

= ∧ = ∧ = ∧ = ∧ =

−20 0 20 40 60

dB dB dB dB dB

(1.39)

F¨ ur ein Verz¨ogerungsglied erster Ordnung mit einer statischen Verst¨arkung K ergeben sich folgende Asymptoten:  K K f¨ ur ωT  1 F (jω) = = (1.40) K/(jωT ) f¨ ur ωT 1 1 + jωT F¨ ur den Amplitudengang folgt daraus: ⎧ 20 log K ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨  K  |F (jω)| = 20 log √ = dB 1 + ω2T 2 ⎪ ⎪ ⎪ 20 log K ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −20 log ωT ⎪ ⎪ ⎩

f¨ ur ωT  1, d.h. Gerade parallel zur Abszisse im Abstand 20 log K

(1.41)

f¨ ur ωT 1, d.h Gerade mit der dB Neigung − 20 Dekade

Die Asymptoten schneiden sich bei ω = 1/T und |F | = 20 log K. Der bei dieser asymtotischen Darstellung maximal auftretende Fehler ist 3dB, √ denn bei ω = 1/T ist |F (jω)| = K/ 2.

16

1 Regelungstechnische Grundbegriffe und Grundregeln

|F | [dB] 6

1 T

1 10T

20 log K

10 T

Q Q

Q

|F |

Q

Q

0 ϕ6 −45

Q

-

Q

Q

Q Q

Q

Q Q

−90◦

ω

Q

Q

Q Q

◦

Q

Q

QQ

Q

Q Q

ϕ

Abb. 1.13: Frequenzkennlinie des RC-Glieds

F¨ ur den Phasengang des gew¨ahlten Beispiels gilt (Abb. 1.13): ϕ(ω) = − arctan(ωT )

(1.42)

N¨aherungsweise kann mit folgendem Phasengang gearbeitet werden: 1 =⇒ ϕ(ω) = 0◦ 10T 10 1 <ω< =⇒ ϕ(ω) = −45◦ · (1 + log ωT ) 10T T 10 < ω < ∞ =⇒ ϕ(ω) = −90◦ T 0<ω<

(1.43) (1.44) (1.45)

¨ In der folgenden Tabelle sind von den wichtigsten linearen Ubertragungsgliedern, ¨ die in Regelkreisen auftreten k¨onnen, die Differentialgleichung, die Ubertragungsfunktion, der Frequenzgang, die Frequenzkennlinie und die Ortskurve aufgef¨ uhrt. Da, wie bereits in Kap. 1.2 nachgewiesen, unterschiedliche physikalische Syste¨ me gleiche Differentialgleichungen, Ubertragungsfunktionen etc. haben k¨onnen, wird im folgenden grunds¨atzlich von den normierten Gr¨oßen (Kleinschreibung) ue und ua ausgegangen.

1.3 Frequenzgang

1 ua (t) · V ue (t)

und

17

ue (t) = σ(t)

6

D=

-

G(s) =

V 1 + 2DT s + T 2 s2

¨ Abb. 1.14: Ubergangsfunktionen des PT2 -Glieds

t = ω0 t T

18

1 Regelungstechnische Grundbegriffe und Grundregeln

System P

Differentialgleichung ua (t) = K ue (t)

¨ Ubergangsfunktion ua 6 K

t

ua 6 P T1

T u˙ a (t) + ua (t) = K ue (t)

K

-

T

t

ua 6 P T2

T1 T2 u¨a (t) + (T1 + T2 ) u˙ a (t) +

aperiodisch

+ ua (t) = K ue (t)

K

t

ua 6 P T2

1 2D u¨a (t) + u˙ a (t) + ω02 ω0

schwingungsf¨ ahig

+ ua (t) = K ue (t)

K

t

ua 6 Tt

ua (t) = ue (t − Tt )

1

-

Tt

 I

ua (t) = KI

t

ua 6 ue (t) dt

KI

  

 

  

-

1

t

ua 6 D

ua (t) = KD u˙ e (t) t

ua 6 PD

ua (t) = K (ue (t) + TV u˙ e (t))

K

t

ua 6 PI

ua (t) =  KP ue (t) + KI ue (t) dt

 



  KP 

1

KP + KI

t

1.3 Frequenzgang

Frequenzgang

6

|F |

0◦ −ϕ |F |

K 1 + jωT

|F |

6

?

|F |

6

H

1/T1



-

K

ω

ϕ

1/T2

j 6

-

K

-ω 1 (jω)2 ω02

KI F (jω) = jω

−180◦ −ϕ

?

|F |

6

−ϕ

?

|F |

6

−90◦ −ϕ

|F |

HH

20 log KI

HH

6

-ω

HH H |F |

 |F | 

1



−ϕ

? 

|F |

6

90◦

ϕ ϕ = 90◦

-ω

j 6

?

|F |

6

j 6 ω

6

 |F | 20 log K

j 6

6 ω

ϕ

20 log KP ϕ

?

K

1/TV

-ω −90◦ −ϕ

ω = KI /KP

-

20 log KD

 

HH H

-

ω 6

-ω −ϕ

-

"!

H

?

j 6 #  ω

1

ϕ

1

F (jω) =

P + jω K KI KP jω KI

-ω



F (jω) =

0

ϕ

F (jω) = KD jω

K(1 + jωTV )

ω

?ω

|F |

|F |

KP

j 6 

20 log K

HH

20 log K

F (jω) = e−jωTt

1

K  ω

ϕ

F (jω) = K 1 + 2D jω + ω0

j 6

-ω @ @ |F | @

−ϕ

-

s

20 log K HH HH HH - ω H H |F |

−45◦ −90◦ −ϕ ? ω = 1/T1

F (jω) = K (1+jωT1)(1+jωT2)

6

K

-ω

ϕ

?

j 6

20 log K

F (jω) = K

F (jω) =

Ortskurve

Frequenzkennlinie |F |

19

j 6

Kp ω

6

-

-

20

1 Regelungstechnische Grundbegriffe und Grundregeln

|F  (ω)| [dB] D=

6

ω ω0 ϕ [◦ ]

D=

6

ω ω0

-

1 G (s) = ; 1 + 2DT s + T 2 s2

1 T = ; ω0

s = jω;

1 ; G (s) = 1 + sT

Abb. 1.15: Amplitudeng¨ ange und Phaseng¨ ange des PT1 - und PT2 -Glieds

Amplitude

1.3 Frequenzgang

0,2

1

1

T

T

5

1 T

Phase (Grad)

j

j

j

Frequenz (rad /s) Abb. 1.16: Konstruktionshilfen f¨ ur Frequenzg¨ ange 1. Ordnung

21

22

1 Regelungstechnische Grundbegriffe und Grundregeln

1.4

Rechenregeln, Umwandlungsregeln, Signalflußplan

In den vorhergehenden Abschnitten wurde gezeigt, wie ausgehend von einem linearen physikalischen System ein Signalflußplan f¨ ur dieses physikalische System entwickelt werden kann. Außerdem wurden einige Darstellungsformen vorgestellt. Wichtig ist, daß abh¨angig vom Vorgehen bei der Aufstellung der Funktional¨ beziehungen bzw. bei der Ermittlung der Ubertragungsfunktionen Unterschiede in den Signalflußpl¨anen auftreten k¨onnen. Diese Unterschiede bewirken aber kein anderes Verhalten des Systems, sondern sind durch das andere Vorgehen und damit durch unterschiedliche Verkn¨ upfungen der einzelnen Gr¨oßen bedingt, ¨ wenn die Ubertragungsfunktionen immer zwischen r¨ uckwirkungsfreien“ Stellen ” bestimmt werden. Die Unterschiede k¨onnen dann aufgehoben werden, wenn die Signalflußpl¨ane entsprechend den Rechenregeln umgeformt werden. Grunds¨atz¨ lich wird im folgenden angenommen, daß die Ubertragungsglieder linear bzw. daß Linearisierungen in den Arbeitspunkten zul¨assig sind. In den folgenden Abbildungen sind die Signalgr¨oßen u ¨blicherweise ohne Argument angegeben. Die Bezeichnung x repr¨asentiert dabei sowohl den Zeitbereich x(t) als auch den Bildbereich x(jω) und x(s). Es wird also im Zeit-, Frequenzund im Laplacebereich die exakt gleiche Signalbezeichnung verwendet. Zeit t und Frequenz ω sind dabei nicht normiert. Wenn in einer Gleichung der zugeh¨orige Bereich nicht aus dem Zusammenhang hervorgeht, wird das entsprechende Argument mit angegeben. Groß- bzw. Kleinschreibung wird zur Unterscheidung von unnormierten und normierten Gr¨oßen eingesetzt. Wie bereits in den Tabellen auf den vorigen Seiten angenommen, werden aus den gleichen Gr¨ unden auch in den folgenden Ableitungen bzw. Darstellungen normierte Gr¨oßen angenommen. ¨ Es k¨onnen drei verschiedene Verbindungsm¨oglichkeiten von Ubertragungsgliedern festgestellt werden: Kettenstruktur (Reihenschaltung) e(s) e(t)

-

G1 (s)

a1 (s)

-

a1 (t)

G2 (s)

a2 (s)

-

a2 (t)

-

a(s) Gn (s)

a(t)

-

Abb. 1.17: Kettenstruktur

Es gilt: a1 (s) = G1 (s) e(s)

(1.46)

¨ analog f¨ ur alle weiteren Ubertragungsglieder. Somit gilt: a(s) = G1 (s) G2 (s) · · · Gn (s) e(s)

(1.47)

1.4 Rechenregeln, Umwandlungsregeln, Signalflußplan

oder G(s) =

a(s) = G1 (s) · · · Gn (s) e(s)

23

(1.48)

(Beachte: r¨ uckwirkungsfreie Trennstellen !) Parallelstruktur (Parallelschaltung)

-

G1 (s) a1 (s)

e

+ ? e + 6

r

-

-

-a

a2 (s) G2 (s)

Abb. 1.18: Parallelstruktur

Es gilt: a1 (s) = G1 (s) e(s) also

und

a2 (s) = G2 (s) e(s)

  a(s) = e(s) G1 (s) + G2 (s)

(1.49) (1.50)

Kreisstruktur (R¨ uckkopplung)

w

+

-e 6−

xd

xr

-

r

G1 (s)

G2 (s)



Abb. 1.19: Kreisstruktur

-x

24

1 Regelungstechnische Grundbegriffe und Grundregeln

Mit den Rechenregeln x(s) = G1 (s) xd (s)

und

xr (s) = G2 (s) x(s)

(1.51)

oder xr (s) = G1 (s) G2 (s) xd (s) = −G0 (s) xd (s)

(1.52)

xd (s) = w(s) − xr (s)

(1.53)

und ergibt sich mit Gv (s) = G1 (s) und Gr (s) = −G2 (s) x(s) =

G1 (s) w(s) = 1 − G0 (s)

oder Gw (s) =

w(s) 1 + G2 (s) G1 (s)

(1.54)

x(s) G1 (s) = w(s) 1 − G0 (s)

(1.55)

¨ mit der F¨ uhrungs-Ubertragungsfunktion Gw (s) des geschlossenen Regelkreises. ¨ G0 (s) = −G1 (s)G2 (s) wird Ubertragungsfunktion des offenen Kreises genannt und spielt bei Stabilit¨atsbetrachtungen eine wichtige Rolle. Rechenregeln der Signalflußplan-Algebra Mit den obigen Rechenregeln sind die folgenden Umwandlungsregeln f¨ ur die Verzweigungsstellen, Additionspunkte und Blockschaltbilder in linearen Systemen leicht zu verstehen:

e

r

-

-

G1 (s)

G2 (s)

a1 = G1 (s) e a2 = G2 (s) e

a1

e

-

a2

-

a1

r

G1 (s)

-

←→

-

-

G2 (s) G1 (s)

a1 = G1 (s) e a2 = G1 (s) Abb. 1.20: Signalflußplan-Algebra 1

G2 (s) e = G2 (s) e G1 (s)

a2

-

1.4 Rechenregeln, Umwandlungsregeln, Signalflußplan

e

-

a1

G1 (s) -r

e

-

-

-

a1

-

G1 (s)

←→

a2

-

G2 (s)

-r

25

-

a2

-

G1 (s) G2(s)

a1 = G1 (s) e

a1 = G1 (s) e

a2 = G2 (s) a1 = G1 G2 (s) e

a2 = G1 (s) G2 (s) e

Abb. 1.21: Signalflußplan-Algebra 2

e1

-

e1

G1 (s) +

e2

a

+

? e 6

G3 (s)

a

-

+

←→ e2

G2 (s) =

  G3 (s) G1 (s) e1 + G2 (s) e2

=

G1 (s) G3 (s) e1 + G2 (s) G3 (s) e2

- G1 (s) · G3 (s)

- G2 (s) · G3 (s)

+

a ? e 6

a = G1 (s) G3 (s) e1 + G2 (s) G3 (s) e2

Abb. 1.22: Signalflußplan-Algebra 3

e1

-

G1 (s)

e1 e1 G1 (s) a1 a a a -e - e - G1 (s) - e- G2 (s) + 6 + 6 G2 (s) + 6 + + + ↔ ↔ a2 G2 (s) G2 (s) e2 G1 (s) 6

e2

e2

6

a = G1 (s) e1 + a = G1 (s) e1 + G2 (s) e2

G2 (s) G1 (s) e2 G1 (s)

= G1 (s) e1 + G2 (s) e2

a = G2 (s)

G1 (s) + e2 e1 G2 (s)

= G1 (s) e1 + G2 (s) e2

Abb. 1.23: Signalflußplan-Algebra 4

26

1 Regelungstechnische Grundbegriffe und Grundregeln

1.5

Fu orungsu ¨hrungs- und St¨ ¨bertragungsfunktion

In der Regelungstechnik werden einl¨aufige Regelkreise von vermaschten Regelkreisen unterschieden. Im folgenden sollen als erstes f¨ ur den einl¨aufigen Regelkreis charakteristische Formeln abgeleitet werden, vermaschte Regelkreisstrukturen werden in Kap. 5 behandelt.

z w - e xdGR (s)

u- e? GS (s)

6

r

x-

Gr (s) = −1 Abb. 1.24: Regelkreis mit F¨ uhrungs- und St¨ orgr¨ oße

Anhand des Signalflußplans des einl¨aufigen Regelkreises (Abb. 1.24) ermitteln wir die Grundgleichungen des Regelkreises. Dabei muß der Unterschied zu Abb. 1.19 und Gl. (1.55) beachtet werden. Die Regelgr¨oße x ergibt sich zu:   x(s) = GS (s) u(s) + z(s) (1.56) mit u(s) = GR (s) xd (s) = GR (s) (w(s) − x(s)) folgt     x(s) = GS (s) GR (s) w(s) − x(s) + z(s)

(1.57)

Daraus folgt: x(s) =

GS (s) GR (s) GS (s) w(s) + z(s) 1 + GR (s) GS (s) 1 + GR (s) GS (s)

(1.58)

und mit G0 (s) = −GR (s) GS (s) folgt x(s) =

GS (s) −G0 (s) w(s) + z(s) 1 − G0 (s) 1 − G0 (s)

(1.59)

−G0 (s) w(s) 1 − G0 (s)

(1.60)

F¨ ur z(s) = 0 ergibt sich x(s) =

¨ Diese Gleichung beschreibt die Reaktion des Regelkreises aufgrund von Anderungen der F¨ uhrungsgr¨oße w.

1.5 F¨ uhrungs- und St¨ orungs¨ ubertragungsfunktion

¨ Die diesen Zusammenhang beschreibende Ubertragungsfunktion  x(s) −G0 (s)  = Gw (s) =  w(s) 1 − G0 (s) 

27

(1.61)

Gr (s)=−1

wird die F¨uhrungs¨ubertragungsfunktion Gw (s) des Regelkreises genannt. F¨ ur w(s) = 0 ergibt sich aus der Grundgleichung x(s) =

GS (s) z(s) 1 − G0 (s)

(1.62)

¨ Diese Gleichung beschreibt die Reaktion des Regelkreises aufgrund von Ande¨ rungen der St¨orgr¨oße z. Die diesen Zusammenhang beschreibende Ubertragungsfunktion x(s) GS (s) = = Gz (s) (1.63) z(s) 1 − G0 (s) wird die St¨or¨ubertragungsfunktion Gz (s) des Regelkreises genannt. Damit l¨aßt sich die Grundgleichung des Regelkreises in folgender Kurzform darstellen: x(s) = Gw (s) w(s) + Gz (s) z(s) G0 (s) = −GR (s)GS (s)

bei

Gw (s) =

−G0 (s) 1 − G0 (s)

Gz (s) =

GS (s) 1 − G0 (s)

(1.64)

Gr (s) = −1

Die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion Gw und die St¨or¨ ubertragungsfunktion Gz eines Regelkreises haben denselben Nenner. Allein die Nullstellen dieses Nenners sind f¨ ur die Stabilit¨at entscheidend. Die Gleichung 1 − G0 (s) = 0

(1.65)

wird deshalb auch die charakteristische Gleichung des Regelkreises genannt. Sie beschreibt den inneren Aufbau des Regelkreises vollst¨andig. Die in dieser Gleichung vorkommende h¨ochste Potenz von s gibt an, wievielter Ordnung die den Regelkreis beschreibende Differentialgleichung ist.

2 Stabilisierung und Optimierung von Regelkreisen

Im vorigen Kapitel wurden grundlegende Begriffe der linearen Regelungstechnik ¨ wie Ubertragungsfunktionen, Signalflußpl¨ane, statisches und dynamisches Ver¨ halten, Ubergangsfunktionen sowie Steuerung und Regelung erl¨autert. In diesem Kapitel werden nun die Bedingungen, die die Stabilit¨at eines linearen Regelkreises und sein optimales Verhalten sicherstellen, dargestellt. Die Regelung einer Anlage (genannt Strecke) hat die Aufgabe, eine vorgegebene Gr¨oße (genannt Regelgr¨oße) auf einen vorbestimmten Wert zu bringen und sie gegen den Einfluß von St¨orungen auf diesem Wert zu halten. Charakteristik der Regelung im Gegensatz zur Steuerung ist dabei, daß zu diesem Zweck die Regelgr¨oße laufend erfaßt wird und eine Abweichung von dem gew¨ unschten Wert dazu benutzt wird, die Strecke so zu beeinflussen, daß der gew¨ unschte Zustand wieder hergestellt wird. Die Regelung ist somit durch einen geschlossenen Wirkungskreis gekennzeichnet. In dem in Abb. 2.1 dargestellten Regelkreis werden die F¨ uhrungsgr¨oße w, die den gew¨ unschten Wert der Regelgr¨oße x darstellt, und die Regelgr¨oße x miteinander verglichen. Die Abweichung der Regelgr¨oße von der F¨ uhrungsgr¨oße (genannt Regelabweichung xd ) wird dem Regler zugef¨ uhrt. Der Regler ist dabei der Teil des Regelkreises, mit dem die statischen und dynamischen Eigenschaften des Regelkreises beeinflußt werden k¨onnen. Die Ausgangsgr¨oße des Reglers ist die Stellgr¨oße u, die gleichzeitig die Eingangsgr¨oße der Regelstrecke ist.

z St¨orgr¨oße

F¨ uhrungsRegelgr¨oße abweichung

w

-e − 6

xd

-

Stellgr¨ oße

GR (s) Regler

u

-

Regelgr¨ oße

?

GS (s) Strecke

Abb. 2.1: Prinzipbild Regelkreis

r

x

-

2.1 Stabilit¨ at

29

Als ¨außere Gr¨oßen wirken auf den Regelkreis ein: 1. Die F¨ uhrungsgr¨oße w, die den Sollwert der Regelgr¨oße x vorgibt, ¨ ¨ 2. die St¨orgr¨oßen z, deren Anderung auch eine Anderung der Regelgr¨oße x bewirken kann, sofern die Regelung dies nicht verhindert.

2.1

Stabilit¨ at

Eine wichtige Voraussetzung, damit der tats¨achliche Wert der Regelgr¨oße (auch Istwert genannt) den Sollwert erreicht, ist die Stabilit¨at des Regelkreises. Die Bedingung daf¨ ur l¨aßt sich anschaulich am folgenden Beispiel im Frequenzbereich erkl¨aren. w

-e − 6

xd

-

u

GR (s)

x1





x2

-

GS (s)

r

x

-

Gr (s) 

Abb. 2.2: Aufgeschnittener Regelkreis

¨ Die Uberpr¨ ufung der Stabilit¨at kann am aufgeschnittenen“ Regelkreis durch” gef¨ uhrt werden. Der Regelkreis muß bei dieser Untersuchung allerdings stets an einer r¨ uckwirkungsfreien Stelle aufgeschnitten werden, um die dynamischen Ei¨ genschaften der Ubertragungselemente nicht zu ver¨andern. Die Untersuchung des aufgeschnittenen Kreises ist im allgemeinen einfacher als die des geschlossenen Kreises. Die Vereinfachung wird erstens dadurch erzielt, daß der Regelkreis aus der Hintereinanderschaltung von Regler, Regelstrecke und R¨ uckf¨ uhrung besteht, de¨ ren Ubertragungsfunktionen meist bekannt sind. Zweitens sind h¨aufig zwar der Regler, die Regelstrecke und die R¨ uckf¨ uhrung f¨ ur sich genommen stabil, der geschlossene Regelkreis kann dagegen instabil sein. Abbildung 2.2 zeigt den aufgeschnittenen Regelkreis mit den drei linearen ¨ Ubertragungselementen GR (s), GS (s) und Gr (s), bzw. im Frequenzbereich Regler FR (jω), Strecke FS (jω) und R¨ uckf¨ uhrung Fr (jω). Durch Zusammenfassen der ¨ drei Ubertragungselemente ergibt sich der Frequenzgang des offenen Regelkreises: F0 (jω) =

x2 (jω) = −FR (jω) FS (jω) Fr (jω) x1 (jω)

(2.1)

¨ Die Vorzeichenumkehr an der Vergleichsstelle wird als proportionale Ubertragungsfunktion mit der Verst¨arkung −1 ber¨ ucksichtigt. Die F¨ uhrungsgr¨oße w wird

30

2 Stabilisierung und Optimierung von Regelkreisen

zu Null gesetzt. Speist man an der Schnittstelle ein sinusf¨ormiges Anregungssignal x1 mit der Kreisfrequenz ω1 und der Amplitude xˆ1 ein, x1 = xˆ1 sin(ω1 t)

(2.2)

dann wird im eingeschwungenen Zustand das Signal x2 ebenfalls ein sinusf¨ormiges Signal mit derselben Frequenz sein. Gegen¨ uber dem Signal x1 hat jedoch das Signal x2 im allgemeinen eine unterschiedliche Amplitude |F0 (jω1 )| x ˆ1 und Phasenlage ϕ0 (ω1 ) (siehe auch Abb. 1.10 und 2.4). x2 = F0 (jω1 ) x1 = −|F0 (jω1 )| ejϕ0 (ω1 ) x1   = −|F0 (jω1 )| x ˆ1 sin ω1 t + ϕ0 (ω1 )

(2.3)

Dabei ist zu beachten, daß ϕ0 (ω) den Phasenwinkel von −F0 (jω) bezeichnet. Auch stellen die Ortskurven immer FR FS Fr dar, also −F0 . Zur Erkl¨arung der Stabilit¨at wird nun folgendes Gedankenexperiment durchgef¨ uhrt. Im ersten Schritt soll die Frequenz des Signals x1 so lange erh¨oht werden, bis die Signale x1 und x2 phasengleich sind; dies wird bei der Kreisfrequenz ωK erreicht sein. Aufgrund der Vorzeichenumkehr gen¨ ugt dazu ein Phasenwinkel ϕ0 = 180◦. Im zweiten Schritt wird dann — bei fester Kreisfrequenz ωK — die statische Verst¨arkung von F0 (jω) erh¨oht, bis das Amplitudenverh¨altnis xˆ2 /ˆ x1 = 1 ist. Die Signale x1 und x2 sind nach diesen zwei Schritten somit in der Phase und in der Amplitude gleich. Bei diesem Betriebszustand x1 = x2 kann das ¨außere, anregende Signal x1 entfernt und der Regelkreis gleichzeitig geschlossen werden; der Betriebszustand des Regelkreises bleibt dabei erhalten, d.h. die Signale im Regelkreis werden mit der Kreisfrequenz ωK weiterschwingen. Wird nun seinerseits das Amplitudenverh¨altnis |F0 | = xˆ2 /ˆ x1 unter den Wert 1 erniedrigt, dann wird die selbsterregte Schwingung abklingen. Die Bedingung f¨ ur die Stabilit¨atsgrenze lautet somit x1 = x2 (2.4) Nach Einsetzen von Gl. (2.3) lautet das Ergebnis F0 (jω) = 1

bzw.

Aus dem Gedankenexperiment ist f¨ ur ⎧  ⎨ <1  =1 |F0 (jω)| ⎩ ϕ0 =−180◦ >1

− F0 (jω) = −1

(2.5)

das gegebene Beispiel somit zu folgern: =⇒ Stabilit¨at =⇒ Stabilit¨atsgrenze =⇒ Instabilit¨at

(2.6)

Gleichung (2.6) gibt die Bedingung f¨ ur die absolute Stabilit¨at an, da nur die Einhaltung dieser Bedingung eine Selbsterregung des Regelkreises verhindert.

2.1 Stabilit¨ at

2.1.1

31

Nyquist-Kriterium

Ein verallgemeinertes Kriterium ist das Stabilit¨atskriterium von Nyquist, das wie folgt lautet: Definition Der geschlossene Regelkreis ist stabil, wenn der vom kritischen Punkt (−1 + j0) zum laufenden Ortskurvenpunkt −F0 (jω) (Frequenzortskurve des aufgeschnittenen Regelkreises) weisende Fahrstrahl f¨ ur wachsendes ω von ω = 0 bis ω → ∞ eine Winkel¨anderung Δφ von ω→∞

Δφsoll = r0 π + a0 ω=0

π 2

(2.7)

erf¨ahrt. Dabei ist: r0 : Anzahl der Pole von G0 (s), die rechts der imagin¨aren Achse liegen, a0 : Anzahl der Pole von G0 (s), die auf der imagin¨aren Achse liegen. Voraussetzung: Bei ω → ∞ muß |F0 (jω)| → 0 erf¨ ullt sein; dies ist, bei realen Systemen immer gegeben (Ordnung des Z¨ahlerpolynoms von G0 (s) < Ordnung des Nennerpolynoms von G0 (s)). Vorteile des Nyquist-Kriteriums 1. Es ist anwendbar, wenn ein analytischer Ausdruck f¨ ur den Frequenzgang F0 (jω) nicht bekannt ist, aber eine Messung des Frequenzganges F0 (jω) vorliegt. 2. Das Kriterium gilt auch f¨ ur Systeme mit Totzeit. 3. Mit dem Kriterium kann auch die D¨ampfung von Einschwingvorg¨angen abgesch¨atzt werden. Abbildung 2.3a zeigt die Nyquist-Ortskurve und Abb. 2.3b einige Beispiele f¨ ur Ortskurven stabiler und instabiler Regelkreise. Absch¨ atzung des Einschwingverhaltens Prinzipiell kann festgestellt werden, daß die D¨ampfung des Einschwingvorgangs um so gr¨oßer ist, je weiter die Ortskurve des Frequenzgangs vom kritischen Punkt (−1, 0) der Frequenzebene entfernt ist. Ein Maß f¨ ur die Entfernung der Ortskurve vom Punkt (−1, 0) ist erstens der Phasenwinkel ϕ0 , bei dem die Ortskurve des Frequenzgangs −F0 (jω) den Einheitskreis schneidet. Der Winkel   ◦ ϕRd = 180 + ϕ0  (2.8) |F0 (jω)| = 1

32

2 Stabilisierung und Optimierung von Regelkreisen

¥

Abb. 2.3: Nyquist-Kriterium

0

2.1 Stabilit¨ at

33

wird Phasenrand genannt. Falls die Ortskurve −F0 (jω) die negative reelle Achse schneidet, kann als zweite Gr¨oße der Amplitudenabstand (auch Amplitudenrand)   1  ARd = (2.9) |F0 (jω)|  ◦ ϕ0 = −180

f¨ ur die Absch¨atzung der D¨ampfung verwendet werden. ARd ist somit der Verst¨arkungsfaktor, der notwendig w¨are, um bei ωK (ϕ0 = −180◦ ) die Verst¨arkung des offenen Regelkreises auf |F0 (ωK )| = 1 anzuheben. -F0 - Ebene

Im( -F0 ) 1− |F0 (jω) | 1

-1 ϕ

ϕ0

Re( -F 0 )

Rd

ω -j

Abb. 2.4: Absch¨atzung des Einschwingverhaltens

F¨ ur die Belange der elektrischen Antriebstechnik gelten ungef¨ahr die folgenden Anhaltswerte. Die Umrechnung des Amplitudenabstands nach dB erfolgt dabei mit ARd,dB = −20 log(ARd ). ¨ 1. Aperiodischer Einschwingvorgang (ohne Uberschwingen) ϕRd ≥ 90◦ ¨ 2. Einschwingvorgang mit 5 bis 10 % Uberschwingen ϕRd ≥ 60◦ ARd ≥ 3 (entspricht − 10 dB) ¨ 3. Einschwingung mit erheblichem Uberschwingen ϕRd ≥ 30◦ ARd ≥ 2 (entspricht − 6 dB) Die angegebenen Werte sind Anhaltswerte und haben bei komplizierten Regelkreisen nicht in jedem Fall G¨ ultigkeit. Eine Erl¨auterung, wie diese Zahlenangaben errechnet werden, erfolgt in Kap. 3.

34

2 Stabilisierung und Optimierung von Regelkreisen

2.1.2

Frequenzkennlinien

¨ Die Ortskurven-Darstellung eignet sich gut f¨ ur grunds¨atzliche Uberlegungen, ¨ wird dagegen aber unhandlich, wenn Ubertragungsfunktionen miteinander zu multiplizieren sind (Kettenstruktur). Bei dieser Aufgabe m¨ ussen im Bereich 0 ≤ ω ≤ ∞ die Betr¨age der einzelnen Frequenzg¨ange multipliziert und die Phasenwinkel addiert werden. n 

|F0 (ω)| =

|Fi (ω)|

(2.10)

ϕi (ω)

(2.11)

i=1 n 

ϕ0 (ω) =

i=1

¨ ¨ Eine weitere Erschwerung tritt bei einer Anderung von Parametern der Ubertragungsfunktionen ein, da der Einfluß eines oder mehrerer Parameter in der Ortskurve des Frequenzgangs nicht mehr erkennbar ist; der Frequenzgang muß neu berechnet werden. Eine wesentliche Vereinfachung der Analyse und Synthese von Regelkreisen wird mit dem Verfahren der Frequenzkennlinien erzielt. Das Verfahren der Frequenzkennlinie beruht auf der Darstellung im logarithmischen Koordinatensystem. Die sich daraus ergebenden Vorteile sind, daß die Multiplikation zweier Frequenzg¨ange auf die Addition der Betr¨age der Einzel-Frequenzg¨ange und die Addition der Phasen der Einzel-Frequenzg¨ange zur¨ uckgef¨ uhrt wird. Sobald allerdings andere Verkn¨ upfungen als Multiplikatio¨ nen, z. B. Parallelschaltungen von Ubertragungsfunktionen vorliegen, bietet das Verfahren der Frequenzkennlinien keine Vorteile mehr. Die Rechenvorschrift f¨ ur das Frequenzkennlinienverfahren bei einer multipli¨ kativen Verkn¨ upfung der Ubertragungselemente lautet somit: log |F0 (ω)| =

n 

log |Fi (ω)|

(2.12)

ϕi (ω)

(2.13)

i=1

ϕ0 (ω) =

n  i=1

Beispiel ¨ Als Beispiel f¨ ur die Anwendung sollen die folgenden Ubertragungsfunktionen dienen, die in einer Kettenstruktur angeordnet sind: G1 (s) =

1 1 · 1 + 2s 1 + 0, 5s

G2 (s) = 4 ·

1 s

G3 (s) = 4 · e−0,05s

2.1 Stabilit¨ at

35

Es ergibt sich die folgende Gesamt¨ ubertragungsfunktion, die aus einem Integrator, zwei PT1 -Gliedern mit den Zeitkonstanten T1 = 2 und T2 = 0, 5, sowie einem Totzeitglied besteht: G(s) = 16 ·

1 1 1 · · · e−0,05s s 1 + 2s 1 + 0, 5s

(2.14)

Mit Hilfe der Tabelle auf den Seiten 18 und 19 kann man nun zun¨achst die Frequenzkennlinien der einzelnen Teil¨ ubertragungsfunktionen ermitteln und danach die Gesamt-Frequenzkennlinie konstruieren. Wie aus der Tabelle zu entnehmen ist, hat der Integrator G1 (s) =

16 s

F1 (jω) =

bzw.

16 16 = −j · jω ω

(2.15)

einen konstanten nacheilenden Phasenwinkel von 90◦ ; der Amplitudengang ist umgekehrt proportional zu ω, d.h. bei einer Erh¨ohung der Kreisfrequenz um den Faktor 10 wird der Betrag des Amplitudengangs auf 0,1 abnehmen. Dies bedeutet in der Frequenzkennliniendarstellung, daß der Integrator durch eine 1:1 fallende Gerade dargestellt wird. Zur Festlegung des Ortes dieser Gerade gen¨ ugt folgende ¨ Uberlegung zur Bestimmung zweier Punkte, durch die die Amplitudengerade gelegt werden kann: |F1 (jω)| =

16 ω

  = 16 |F1 (jω) ω=1   |F1 (jω) = 1

oder

24 dB

oder

0 dB

ω=16

Folglich muß die Gerade durch die beiden (ω, dB)-Punkte (1, 24) und (16, 0) verlaufen. ¨ ¨ Die Uberlegungen zu den Ubertragungsfunktionen der PT1 -Glieder sind bereits ausf¨ uhrlich in Kap. 1 dargestellt und ergeben folgende Eckfrequenzen: G2 (s) =

mit

ω1 =

1 1 · 1 + T1 s 1 + T2 s

1 = 0, 5 T1

und

ω2 =

1 =2 T2

Die letzte Teil¨ ubertragungsfunktion ist das Totzeitglied mit: G3 (s) = e−0,05s

bzw.

F3 (jω) = e−j0,05ω

Es l¨aßt sich erkennen, daß beim Totzeitglied die Amplitude im gesamten Frequenzbereich konstant ist und sich nur der Phasenwinkel ϕ3 (x) ¨andert.

36

2 Stabilisierung und Optimierung von Regelkreisen

A mplitudengang 20 dB

| -F 0|

I-Anteil mit Abfall 20 Totzeitanteil

dB Dekade

0 dB

-20 dB Verzögerungsanteile

-40 dB 0.1

w 1 = 0,5

1

w2 = 2

10

w = 16

100

P hasengang 90°

j0

Verzögerungsanteile

0° Totzeitanteil

-90° I -Anteil

-180° 0.1

10

1

Frequenz w

Abb. 2.5: Frequenzkennlinien der Teil¨ ubertragungsfunktionen (ausschnittsweise)

ϕ3 (ω) = 0, 05 ω ·

180◦ π

(2.16)

Damit liegen die Grundvorstellungen zur Realisierung der Gesamtfrequenz¨ kennlinie vor. Der Ubersichtlichkeit halber werden in Abb. 2.5 die Teilfunktionen noch einmal dargestellt. Bei der genauen Realisierung empfiehlt es sich insbesondere, den Phasenwinkel u ¨ber der Frequenz genau zu ermitteln und aufzutragen. Abbildung 2.6 zeigt die resultierende Gesamtfrequenzkennlinie. Aus der resultierenden Frequenzkennlinie l¨aßt sich nun erkennen, daß der Regelkreis, der beim Schließen der Kettenstruktur entsteht, instabil ist. Der Grund ist, daß bei ϕ = −180◦ (ω ≈ 1, 0) der Betrag von |F |dB ≈ +18 dB ist. Zum Erreichen der Stabilit¨atsgrenze muß somit die Kreisverst¨arkung um ca. 18 dB abgesenkt werden.

2.2

¨ Stabilit¨ atspru ¨ fung anhand der Ubertragungsfunktion

In den vorherigen beiden Unterkapiteln wurde die Stabilit¨atspr¨ ufung anschaulich im Frequenzbereich dargestellt. Diese beiden Wege sind immer dann anwendbar, wenn — wie beim Frequenzgang — der Frequenzgang des offenen Re-

¨ 2.2 Stabilit¨ atspr¨ ufung anhand der Ubertragungsfunktion

37

A mplitudengang 40 dB

| -F 0| 0 dB

-40 dB

-80 dB 0.1

1

10

1

10

100

P hasengang 0°

j0 -180°

-360°

-540°

0.1

Frequenz w

Abb. 2.6: Frequenzkennlinie der Gesamt¨ ubertragungsfunktion

gelkreises beispielsweise experimentell ermittelt wurde und somit das NyquistKriterium anwendbar ist. Bei der Frequenzkennlinie wird ebenso der Frequenzbereich gen¨ utzt. Allerdings werden im allgemeinen die Struktur des offenen Re¨ gelkreises und die zugeh¨origen Ubertragungsfunktionen der Komponenten des offenen Regelkreises bekannt sein. Ausgehend von dieser Kenntnis sind daher ¨ sowohl die Ubertragungsfunktion −G0 (s) des offenen als auch die F¨ uhrungs¨ ¨ Gz (s) des geUbertragungsfunktion Gw (s) oder die St¨or-Ubertragungsfunktion schlossenen Regelkreises zu berechnen. In diesem Fall w¨are es vorteilhaft, direkt ¨ mittels dieser Ubertragungsfunktionen die Stabilit¨atspr¨ ufung durchzuf¨ uhren. ¨ Wie bereits in Kap. 1.5 diskutiert, k¨onnen die Ubertragungsfunktionen ein Z¨ahler- und ein Nennerpolynom aufweisen: Gw (s) =

b0 + b1 s + · · · + bm sm−1 Z1 (s) = N(s) a0 + a1 s + · · · + an sn−1

Gz (s) =

Z2 (s) N(s)

m<1

(2.17) (2.18)

Das Nennerpolynom N(s) ist das charakteristische Polynom, welches das Eigenverhalten des betrachteten Systems darstellt und deswegen bei der F¨ uhrungs- und

38

2 Stabilisierung und Optimierung von Regelkreisen

¨ der St¨or-Ubertragungsfunktion gleich sein muß. Die Z¨ahlerpolynome Z1 (s) und Z2 (s) beschreiben, wie das betrachtete System von der Eingangs- bzw. St¨orgr¨oße angeregt wird; die Z¨ahlerpolynome werden deshalb im allgemeinen unterschiedlich sein. F¨ ur die Stabilit¨atspr¨ ufung ist daher das Nennerpolynom N(s) des geschlossenen Regelkreises entscheidend. Die Fragestellung der Stabilit¨atspr¨ ufung anhand des Nennerpolynoms N(s) wurde bereits 1877 von E.I. Routh und in ¨ahnlicher Form 1895 von A. Hurwitz behandelt. Der Grundgedanke des Vorgehens ist zu bestimmen, ob Nullstellen des Nennerpolynoms (Pole) nur in der linken Halbebene der s-Ebene (stabil) oder ob Pole auf der imagin¨aren Achse oder sogar in der rechten Halbene angeordnet sind. Die Aussage stabil oder instabil in Verbindung mit der Pollage l¨aßt sich anschaulich mittels der Tabelle auf Seite 39 darstellen. ¨ Wenn eine Ubertragungsfunktion eines PT1 -Systems angenommen wird, dann ¨ ist der Ubergangsvorgang stabil, und der Pol s1 = −1/T ist in der linken Halbebene auf der negativ reellen Achse der s-Ebene angeordnet. Dies gilt entspre¨ chend f¨ ur das aperiodische PT2 -Ubertragungsverhalten und Systeme h¨oherer Ordnung. Wenn ein reines I-Verhalten angenommen wird, dann ist der Pol bei s1 = 0 angeordnet, d.h. im Ursprung der s-Ebene und somit auf der imagin¨aren Achse und bei einem konstanten Eingangssignal ergibt sich kein konstantes Ausgangssignal; das I-Verhalten ist somit instabil. Wenn ein periodisches PT2 -Verhalten mit D < 1 vorliegt, dann wird ein konjugiert komplexes Polpaar entstehen, wobei mit abnehmender Konstanten 0 < D < 1 (D¨ampfungsfaktor) die Abklingdauer der periodischen Schwingung zunimmt und das konjugiert komplexe Polpaar mit abnehmendem D¨ampfungsfaktor D immer n¨aher zur imagin¨aren Achse wandert und bei D = 0 das Polpaar bei s1,2 = ±jω0 , d.h. auf der imagin¨aren Achse, angeordnet ist. Im Fall s1,2 = ±jω0 liegt ebenso ein instabiles Verhalten vor, denn die angeregte Schwingung klingt nicht ab. Damit ist die obige Aussage, stabiles Verhalten erfordert Pole in der linken Halbebene der s-Halbebene, anschaulich dargestellt. Diese grunds¨atzlichen Aussagen k¨onnen sogar noch erweitert werden, denn ¨ reelle Pole bewirken ein umso langsameres Ubergangsverhalten, je n¨aher sie zum ¨ Ursprung wandern. Weiterhin wird das Ubergangsverhalten bei konjugiert komplexen Pollagen umso unbefriedigender, je n¨aher das betreffende Polpaar zur imagin¨aren Achse wandert. Die prinzipielle Stabilit¨atsaussage l¨aßt sich somit sehr schnell erzielen, wenn das Nennerpolynom in faktorisierter Form, d.h. in Nullstellen-Darstellung, vorliegt. Wenn dies nicht gegeben ist, dann m¨ ussen die Nullstellen numerisch bestimmt werden wie in [6, 18, 19, 33, 35, 48, 53] beschrieben oder mit dem Softwarepaket MATLAB1) (Kap. 4.6, [2]). Es gibt allerdings weitere Kriterien, mit denen die prinzipielle Entscheidung zur Stabilit¨at getroffen werden kann. Wenn der Koeffizient a0 fehlt, beginnt N(s) 1)

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¨ 2.2 Stabilit¨ atspr¨ ufung anhand der Ubertragungsfunktion

39

mit a1 s, der Laplace-Operator s kann als Vorfaktor von N(s) interpretiert wer¨ den; damit hat das Ubergangsverhalten einen I-Anteil (s = 0) und ist somit instabil. Haben die Koeffizienten ai unterschiedliche Vorzeichen, dann ist das System ebenso instabil. Alle diese Aussagen sind aber nur notwendig und nicht ¨ hinreichend. Diese Grundsatz-Uberlegungen werden systematisiert im RouthVerfahren. Bei diesem Verfahren werden die Koeffizienten des Nennerpolynoms N(s) wie folgt zugeordnet: pij = an−l (2.19) mit l = 0, 1, . . . , n sowie i = l−2 int(l/2) und j = int(l/2). Die doppeltindizierten Parameter pij ordnet man in den ersten beiden Zeilen (i = 0 und 1) der nachfolgenden Routh-Tabelle an, d.h. in der ersten Spalte die Koeffizienten p00 = an und p10 = an−1 , in der zweiten Spalte p01 = an−2 und p11 = an−3 usw. In die letzte Spalte mit dem Index k = int(n/2) fallen f¨ ur ungerade Ordnungszahlen n die Elemente p0k = a1 und p1k = a0 , f¨ ur gerade Ordnungszahlen wird p0k = a0 und p1k = 0 gesetzt. Anschließend berechnet man die Elemente der folgenden Zeilen (i = 2, 3, . . . , n) nach dem Algorithmus pi−1,0 pi−2,j+1 − pi−2,0 pi−1,j+1 pij = (2.20) pi−1,0 mit j = 0, 1, . . . , (k − int(i/2)) und tr¨agt diese in die Tabelle ein; die RouthTabelle nimmt damit die gezeigte Dreiecksform an. j i

0

1

2

···

k−2

k−1

k

0 1 2 3 4 5 .. .

p00 p10 p20 p30 p40 p50

p01 p11 p21 p31 p41 p51

p02 p12 p22 p32 p42 p52

··· ··· ··· ··· ··· ···

p0,k−2 p1,k−2 p2,k−2 p3,k−2 p4,k−2 p5,k−2

p0,k−1 p1,k−1 p2,k−1 p3,k−1 0 0

p0k p1k 0 0 0 0

n−1 n

pn−1,0 pn,0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

¨ Das Routh-Kriterium sagt dann zur Stabilit¨at des Ubertragungsglieds folgendes aus: Die Zahl der Nullstellen des Nennerpolynoms N(s), die einen positiven Realteil haben, also in der rechten Halbebene liegen, ist gleich der Zahl der Vorzeichenwechsel der Elemente pi0 in der ersten Spalte der Routh-Tabelle. Tritt also kein Vorzeichenwechsel auf, dann ist das System stabil. Ist man nur an einer Aussage u ¨ber die Stabilit¨at eines vorgegebenen Systems interessiert, kann man die Berechnung der Routh-Tabelle beim ersten Auftreten eines Vorzeichenwechsels in der ersten Spalte abbrechen.

40

2 Stabilisierung und Optimierung von Regelkreisen

Beispiel nach [9]: ¨ Das Nennerpolynom eines linearen Ubertragungsglieds ist durch N(s) = 1 + 6, 1s + 18, 1s2 + 29, 2s3 + 28, 8s4 + 19, 2s5 + 7, 6s6 + 1, 2s7 gegeben. Man bestimme die Stabilit¨at des Systems mit dem Routh-Verfahren. Mit der Ordnungszahl n = 7 wird die gr¨oßte Spaltenkennziffer der RouthTabelle k = int(n/2) = 3. Die Elemente pij der ersten beiden Zeilen erh¨alt man mit der Zuordnung nach Gl. (2.19) zu: p00 = a7 = 1, 2; p10 = a6 = 7, 6; p01 = a5 = 19, 2; p11 = a4 = 28, 8; p02 = a3 = 29, 2; p12 = a2 = 18, 1; p03 = a1 = 6, 1; p13 = a0 = 1. Man berechnet jetzt zeilenweise die Elemente der Routh-Tabelle nach Gl. (2.20); beispielsweise wird: p20 = (p10 p01 − p00 p11 )/p10 = (7, 6 · 19, 2 − 1, 2 · 28, 8)/7, 6 = 14, 7 Man erh¨alt schließlich die folgende Routh-Tabelle. j i

0

1

2

3

0 1 2 3 4 5 6 7

1,2 7,6 14,7 15,1 11,8 8,6 3,6 1,0

19,2 28,8 26,3 15,0 5,0 1,0 0 0

29,2 18,1 5,9 1,0 0 0 0 0

6,1 1,0 0 0 0 0 0 0

Da in der ersten Spalte j = 0 der Tabelle alle Koeffizienten positive Vorzeichen ¨ haben, also kein Vorzeichenwechsel auftritt, ist das Ubertragungsglied stabil. Dieses Ergebnis wird durch die Lage der Nullstellen von N(s) best¨atigt, die man auf numerischem Wege berechnet zu: s1 = −0, 799; s2 = −1, 479; s3 = −2, 758; s4,5 = −0, 303 ± j0, 302; s6,7 = −0, 346 ± j1, 132 Der Vorteil des Routh-Verfahrens ist, daß man mit relativ geringem Aufwand algebraische Ausdr¨ ucke f¨ ur den zul¨assigen Wertebereich der Koeffizienten des Nennerpolynoms N(s) ableiten kann, um Stabilit¨at sicherzustellen. Damit wird ein weiterer Aspekt, der Parameterempfindlichkeit linearer Systeme, angesprochen. Im allgemeinen wird in Lehrb¨ uchern eine genaue Kenntnis der Struktur des zu untersuchenden Systems und der Parameter der Komponenten im Regelkreis vorausgesetzt. Dies ist in der Realit¨at nie gegeben, selbst die Annahme der Linearit¨at ist im allgemeinen unzul¨assig, denn alle Komponenten haben zumindest S¨attigungseffekte.

2.3 Optimierung bei offenem Kreis (Bode-Diagramm)

41

Wenn Linearit¨at vorausgesetzt wird, dann sind folgende Ungenauigkeiten“ zu ” beachten: • Struktur-Ungenauigkeit, d.h. die Modellgleichungen sind zu vereinfacht und damit ist die Ordnung des angenommenen Modells gegen¨ uber der Realit¨at zu gering; • Parameterfehler des Modells, d.h. die im Modell angenommenen Parameter unterscheiden sich von den realen Parametern. Die Gr¨ unde daf¨ ur sind vielf¨altig, wie Temperatureinfluß, Alterung, Verschleiß oder einfach ungenaue Kenntnis. • Kombination von Struktur- und Parameter-Ungenauigkeit. Um eine Absch¨atzung der Einfl¨ usse derartiger Ungenauigkeiten zu erreichen, wurde die Empfindlichkeitsanalyse entwickelt [7, 8, 10, 14].

2.3

Optimierung bei offenem Kreis (Bode-Diagramm)

Alternativ zu den vorangegangenen Betrachtungen eignen sich zur Optimierung des Regelkreises sowohl die Analyse des offenen Kreises mit Hilfe des BodeDiagramms als auch eine Reihe von allgemeinen Optimierungsverfahren, die in Kap. 3 und 4 behandelt werden. Durch die Form und Lage des Amplituden- und Phasenverlaufes im BodeDiagramm f¨ ur den offenen Kreis −F0 (jω) ist der F¨ uhrungsfrequenzgang Fw (jω) und damit auch das F¨ uhrungsverhalten nach Geschwindigkeit und D¨ampfung festgelegt. w

-e 6−j

-

-

GR

GS

-r

x

-

x

?

G0 = −GR · GS



Abb. 2.7: Regelkreis

Bei gegebener Frequenzkennlinie von FS (jω) ist die Frequenzkennlinie von FR (jω) gesucht, so daß −F0 (jω) einen gew¨ unschten Verlauf annimmt. Gesucht sind somit die Kenndaten des offenen Kreises und ihr Zusammenhang mit dem geschlossenen Kreis. Wichtige Kenngr¨oßen der Frequenzkennlinie des offenen Kreises sind der Phasenrand ϕRd und der Amplitudenrand ARd .

42

2 Stabilisierung und Optimierung von Regelkreisen

Ð

Abb. 2.8: Frequenzkennlinie des offenen Kreises

Im Bode-Diagramm haben diese Gr¨oßen folgende anschauliche Bedeutung (siehe Abb. 2.8): ϕRd : die bei der Amplitudendurchtrittsfrequenz ωd zus¨atzlich erlaubte Phasenverschiebung im offenen Kreis, bis die Stabilit¨atsgrenze von −180◦ erreicht ist, ARd : die bei der Phasendurchtrittsfrequenz ωk zus¨atzlich erlaubte Verst¨arkung im offenen Kreis, bis die Stabilit¨atsgrenze von 0 dB erreicht ist. Das in Kap. 2.1.1 behandelte Nyquist-Kriterium benutzt zur Stabilit¨atsanalyse die Ortskurvendarstellung der Frequenzg¨ange. Hier geben ϕRd und ARd den Abstand zum kritischen Punkt (−1 + j0), d.h. zur Stabilit¨atsgrenze mit der D¨ampfung D = 0 an. Phasenrand und Amplitudenrand sind damit ein Maß f¨ ur die Dynamik (Ersatzzeitkonstante Ters und Anregelzeit tan , vgl. Abb. 1.3) sowie f¨ ur die D¨ampfung des geschlossenen Kreises. ¨ Gesucht ist somit die Ubertragungsfunktion des offenen Kreises G0 (s) bei einer vorgegebenen F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion Gw (s); diese wird im folgenden Beispiel durch ein dominierendes komplexes Polpaar beschrieben. Gw (s) =

1 1 + 2DT s + T 2 s2

mit T =

1 ω0

(2.21)

Das schwingungsf¨ahige PT2 ist die einfachste Struktur, bei der der Kompromiß zwischen Stabilit¨at und Dynamik frei gew¨ahlt werden kann. Außerdem soll im station¨aren Betrieb x(t) = w(t), also station¨are Genauigkeit gelten.

2.3 Optimierung bei offenem Kreis (Bode-Diagramm)

43

Abb. 2.9: ϕRd und ARd in der komplexen Ebene

jw w e = w0Ö 1- D

2

s

w0

Dw0

s – Ebene

Abb. 2.10: Pollage in der s−Ebene

¨ ¨ Aus dieser Wunsch-Ubertragungsfunktion Gw (s) soll die Ubertragungsfunktion G0 (s) des offenen Regelkreises bestimmt werden. Gw (s) =

−G0 (s) =

−G0 (s) = 1 − G0 (s) 1 · 2DT s

1

1 1 1− G0 (s)

=⇒

1 1 =1− G0 (s) Gw (s)

(2.22)

(2.23) T s 1+ 2D F¨ ur den offenen Kreis ergibt sich also ein IT1 -Verhalten. Dabei ist der IAnteil f¨ ur die station¨are Genauigkeit verantwortlich. Mit dem PT1 ergibt sich ein

44

2 Stabilisierung und Optimierung von Regelkreisen

2D ¾ T

D

Abb. 2.11: Zusammenhang von F0 , Fw und Zeitverhalten

System 2. Ordnung (wie vorgegeben). Mit der Amplitudendurchtrittsfrequenz  ωd |F0 |=1 und der Phasendurchtrittsfrequenz ωk ϕ0 =−180◦ ergeben sich folgende Forderungen an F0 (ω): 1. ωd < ωk (Stabilit¨atskriterium): Die Amplitudendurchtrittsfrequenz muß unter der Phasendurchtrittsfrequenz liegen, so daß die Ortskurve von −F0 (jω) den kritischen Punkt (−1, j0) nicht umschlingt. ur ω  ωd (station¨are Genauigkeit): Soll kein station¨arer Regel2. |F0 | 1 f¨ fehler auftreten, d.h. Gw (s = 0) = 1 (Grenzwertsatz), so muß |F0 (ω)| f¨ ur kleine ω m¨oglichst groß werden. Im offenen Kreis sollte also ein I-Anteil oder zumindest eine sehr hohe station¨are P-Verst¨arkung vorhanden sein.

2.3 Optimierung bei offenem Kreis (Bode-Diagramm)

45

3. |F0 | ≈ 0 f¨ ur ω ωd (hochfrequente Signale abschw¨achen): F¨ ur Frequenzen jenseits der Durchtrittsfrequenz ist dieser Abfall w¨ unschenswert, damit h¨oherfrequente St¨orsignale abgeschw¨acht werden (St¨orfrequenzgang). 4. |F0 | f¨allt mit 20 dB/Dekade in der N¨ahe von ωd ab (Einschwingverhalten): ¨ Da der mittlere Frequenzbereich das Ubergangsverhalten bestimmt, ergibt sich dadurch ein g¨ unstiger Phasenrand (bei Systemen ohne Totzeit) und ein stabiles Einschwingverhalten. Zusammengeh¨orige Gr¨oßen sind also: tan ⇐⇒ ωd

und

D ⇐⇒ ϕRd

Ein g¨ unstiger Bereich f¨ ur den Phasenrand und damit f¨ ur den D¨ampfungsfaktor sind: 0, 5 ≤ D ≤ 0, 7 50◦ ≤ ϕRd ≤ 65◦

3 Standard-Optimierungsverfahren

Bei der Betrachtung von linearen Regelkreisen wurde bisher schwerpunktm¨aßig die Stabilit¨at behandelt. Im allgemeinen reicht dieses Kriterium allein jedoch nicht aus, um ein zufriedenstellendes Verhalten der Regelung sicherzustellen. Vielmehr werden auch an das station¨are wie an das dynamische Verhalten des Regelkreises unterschiedlichste Anforderungen gestellt, wie • station¨are Genauigkeit (Istwert erreicht Sollwert genau), • F¨ uhrungsverhalten (dynamische Genauigkeit der Regelung) oder • St¨orverhalten (Auswirkung von St¨orgr¨oßen). Die Schwierigkeit der Regelkreisoptimierung besteht folglich darin, daß die Anforderungen wie Stabilit¨at, Genauigkeit und dynamisches Verhalten gegens¨atzliche Reglereinstellungen, d.h. einen Kompromiß, erfordern. Eine Erh¨ohung der Verst¨arkung vergr¨oßert beispielsweise im allgemeinen die Genauigkeit, verringert aber die Stabilit¨at. Aufgrund dieser und ¨ahnlicher Situationen wurden Optimierungskriterien entwickelt. In der elektrischen Antriebstechnik werden f¨ ur die inneren Regelkreise dabei bevorzugt das Betragsoptimum (BO) und das Symmetrische Optimum (SO) angewendet. Ein weiteres verallgemeinertes Optimierungskriterium ist das D¨ampfungsoptimum (siehe Kap. 4). Das Ziel der Optimierung ist, daß sich die Regelgr¨oße x so schnell wie m¨oglich, so genau wie m¨oglich und so gut bed¨ampft wie m¨oglich auf einen neuen Sollwert w einstellt bzw. nach einer St¨orung z den urspr¨ unglichen Wert wieder erreicht. Die ¨ ¨ Uberpr¨ ufung der Reglereinstellung erfolgt meist durch eine sprungartige Anderung der F¨ uhrungsgr¨oße, da diese Anregung am besten reproduzierbar ist. In diesem Kapitel werden das Betragsoptimum und das Symmetrische Optimum mathematisch hergeleitet und an Beispielen erl¨autert. Die Ergebnisse und Einstellregeln sind in einer Tabelle (Seite 81) zusammengefaßt, die eine praxisgerechte Anwendung auch unabh¨angig von der Herleitung erlaubt. Weitere Beispiele zu den verschiedenen Optimierungskriterien runden das Kapitel ab.

3.1

Betragsoptimum (BO)

Das Betragsoptimum ergibt sich aus folgender Forderung: Der Betrag des Frequenzgangs des geschlossenen Regelkreises soll in einem m¨oglichst weiten Bereich

3.1 Betragsoptimum (BO)

47

ideal sein, d.h. die Regelgr¨oße soll bis zu m¨oglichst hohen Frequenzen genau dem Sollwert folgen. Daraus ergibt sich die Forderung, den Betrag des Amplitudengangs des geschlossenen Regelkreises bis zu so hohen Frequenzen wie m¨oglich auf dem Wert Eins und den Phasengang bei Null zu halten (Phasenminimumsystem). ¨ Dies garantiert geringes Uberschwingen bei Sprunganregung durch die F¨ uhrungsgr¨oße und eine rasches Ausregeln von St¨orungen. Das Betragsoptimum kann auf nicht-schwingungsf¨ahige Strecken angewendet werden und kommt in der elektrischen Antriebstechnik z.B. bei Stromregelkreisen zum Einsatz, wenn das dynamische Verhalten des Stromrichter-Stellgliedes nicht vernachl¨assigt werden darf. Teilweise wird das Betragsoptimum auch bei Drehzahlregelkreisen angewendet, wenn der Drehzahlregler keinen Integralanteil besitzt. Der anschaulichen Herleitung an einem Beispiel folgen Hinweise auf verschiedene Anwendungsf¨alle sowie f¨ ur Interessierte eine mathematische Herleitung. 3.1.1

Herleitung f¨ ur Strecken ohne I-Anteil

Allgemeine Strecke ohne I-Anteil Ein allgemeiner Regelkreis mit einer Strecke ohne I-Anteil ist in Abb. 3.1 dargestellt. Die Strecke besteht aus drei Verz¨ogerungsgliedern 1. Ordnung im Vorw¨artszweig. VR Tn 1 w - e -  u − 6

T3

T2

1 -

VS

T1

-

r

x -

Regler Streckenteil Streckenteil Streckenteil

Abb. 3.1: Allgemeiner Regelkreis ohne I-Anteil

Die Strecken¨ ubertragungsfunktion lautet: GS (s) =

n  1 VS 1 1 VS · · = · 1 + sT1 1 + sT2 1 + sT3 1 + sT1 i=2 1 + sTi

(3.1)

Regelkreise dieser Art besitzen meist Zeitkonstanten unterschiedlicher Gr¨oße. Wenn f¨ ur die Zeitkonstanten gilt Ti  T1

(3.2)

wobei ein Unterschied um den Faktor 5 ausreichend ist, dann k¨onnen die kleinen Zeitkonstanten zu einer Summenzeitkonstanten Tσ zusammengefaßt werden, Tσ =

n  i=2

Ti

(3.3)

48

3 Standard-Optimierungsverfahren

ohne daß das Regelkreisverhalten im dynamisch maßgeblichen Bereich entscheidend ver¨andert wird. In realen Anlagen k¨onnen die kleinen Zeitkonstanten z.B. Verz¨ogerungen von Stellgliedern, Ersatzzeitkonstante von unterlagerten Regelkreisen oder Meßgl¨attungen darstellen. Regelkreis zur Herleitung des Betragsoptimums Zur Herleitung des Betragsoptimums wird eine PT2 -Strecke, bestehend aus zwei Verz¨ogerungsgliedern 1. Ordnung mit einer großen Zeitkonstante T1 und einer kleinen Zeitkonstante Tσ nach Gl. (3.3) sowie einem PI-Regler verwendet, wie in Abb. 3.2 dargestellt. Die Optimierung der Reglerparameter nach dem Betragsop¨ timum kann durch einfache physikalische Uberlegungen veranschaulicht werden. VR Tn 1 w- e -  u − 6

Tσ

z

VS

− ? -e -

Regler Streckenanteil

T1 r

x -

Streckenanteil

Abb. 3.2: Regelkreis zur Herleitung des Betragsoptimums

PT2 -Strecke: GS (s) =

VS 1 · 1 + sT1 1 + sTσ

mit VS = Streckenverst¨arkung

(3.4)

T1 = große Zeitkonstante Tσ = kleine Zeitkonstante PI-Regler: GR (s) = VR ·

1 + sTn sTn

mit VR = Reglerverst¨arkung

(3.5)

Tn = Nachstellzeit Die gr¨oßere Zeitkonstante T1 der Strecke entspricht beispielsweise beim Stromregelkreis der Ankerzeitkonstante TA , die kleinere Zeitkonstante Tσ bezieht sich auf die Verz¨ogerung durch das Stellglied und die Meßgl¨attung. F¨ ur den Fall, daß auch das St¨orverhalten des Regelkreises von Interesse ist, sollte die gr¨oßere Zeitkonstante T1 kleiner als oder gleich dem Vierfachen der kleineren Zeitkonstante Tσ sein. Diese Forderung ist durch das St¨orverhalten bedingt und wird in Kap. 3.2.2 noch n¨aher erl¨autert. Tσ < T1 ≤ 4Tσ

(3.6)

F¨ ur den Fall T1 > 4Tσ wird das Symmetrische Optimum bei Strecken ohne IAnteil angewendet (siehe Kap. 3.2.2). Der g¨ unstige Bereich des Betragsoptimums

3.1 Betragsoptimum (BO)

49

wird bei Stromregelkreisen allerdings durch diese Forderung eingeschr¨ankt. Die Begrenzung des G¨ ultigkeitsbereichs ist bedingt durch das Verhalten des geschlossenen Regelkreises bei einer St¨orung. Sollte nur das F¨ uhrungsverhalten von Bedeutung sein, ist die obige Bedingung nicht zu ber¨ ucksichtigen. Der Einsatz eines PI-Reglers bei dem vorliegenden Problem hat zwei Vorteile: Die gr¨oßte Zeitkonstante der Regelstrecke kann kompensiert werden; dies ist, wie die folgende Rechnung zeigen wird, die Voraussetzung f¨ ur bestm¨ogliche Dynamik. Außerdem erzwingt der Integralanteil des Reglers im station¨aren Betrieb eine ¨ exakte Ubereinstimmung von Ist- und Sollwert. Damit ergibt sich die erste Optimierungsbedingung: Zur Kompensation der gr¨oßten Zeitkonstante T1 der Regelstrecke wird die Nachstellzeit Tn des PI-Reglers gleich dieser Zeitkonstante gesetzt, also Tn = T1 . Unter dieser Voraussetzung ¨ lauten die Ubertragungsfunktion G0 (s) des offenen Regelkreises und die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion Gw (s) des geschlossenen Regelkreises nach Abb. 3.2 −G0 (s) = GR (s) · GS (s) = VR · = Gw (s) =

1 + sTn VS 1 · · sTn 1 + sT1 1 + sTσ

VR VS 1 · sT1 1 + sTσ

(3.7)

−G0 (s) x(s) = = w(s) 1 − G0 (s)

1 T1 Tσ T1 1+s + s2 VR VS VR VS

(3.8)

Die Forderung des Betragsoptimums, den Betrag |Fw (jω)| in einem m¨oglichst großen Frequenzbereich konstant zu halten, f¨ uhrt zur zweiten Optimierungsbedingung. Dazu wird der Frequenzgang Fw (jω) der F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion betrachtet (mit s = σ + jω −→ jω). Fw (jω) =

1 T1 T1 Tσ 1 + jω + (jω)2 VR VS VR VS

(3.9)

Mit komplexer Rechnung ergibt sich das Betragsquadrat zu 1 |Fw (jω)|2 =

2

2 T1 2 T1 Tσ 1−ω + ω VR VS VR VS

= 1+ω

2

(3.10)

1

T 2T 2 T12 2T1 Tσ + ω 4 12 σ2 − 2 2 VR VS VR VS VR VS

Damit der Wert von |Fw (jω)| in einem großen Frequenzbereich (beginnend bei Frequenz Null) nahe bei Eins bleibt, muß der Term mit ω 2 verschwinden, da dieser f¨ ur ωT1  1 langsamer gegen Null strebt als derjenige mit ω 4 . Es gilt also die Bedingung T12 /(VR2 VS2 ) = 2T1 Tσ /(VR VS ). Die Optimierungskriterien bei einer

50

3 Standard-Optimierungsverfahren

Strecke mit zwei Verz¨ogerungsgliedern 1. Ordnung lassen sich daher wie folgt zusammenfassen. Betragsoptimum (BO) 1. Kompensiere mit dem Vorhalt des PI-Reglers die gr¨oßere Zeitkonstante T1 : Tn = T1 2. Stelle die Verst¨arkung des PI-Reglers so ein, daß der Betrag der F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion in einem m¨oglichst großen Frequenzbereich nahe 1 bleibt: T1 VR = 2VS Tσ Randbedingung bei Ber¨ ucksichtigung des St¨orverhaltens: Tσ < T1 ≤ 4Tσ

Nach Einsetzen der Reglerparameter ergibt sich f¨ ur den betragsoptimierten Regelkreis die Standard-F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion 2. Ordnung.   1 Gw (s) = (3.11) 2 2 1 + s2T σ + s 2Tσ BO ¨ Diese Ubertragungsfunktion besitzt ein konjugiert komplexes Polpaar und ist ¨ damit schwingungsf¨ a hig. Die Ubertragungsfunktion weist einen D¨ampfungsfak√ ¨ tor D = 1/ 2, ein maximales Uberschwingen von 4 %, eine Anregelzeit tan = 4, 7 Tσ und eine Ausregelzeit taus = 8, 4 Tσ bei ± 2 % Regelfehler auf (Abb. 3.22). ¨ Da diese Ubertragungsfunktion im Frequenzbereich und in der mathematischen Darstellung schwieriger handzuhaben sind (vgl. Abb. 1.15), wird hierf¨ ur h¨aufig auf eine Approximation des betragsoptimierten Regelkreises durch ein Verz¨ogerungsglied 1. Ordnung (Ersatzzeitkonstante Ters ) zur¨ uckgegriffen.   1 = mit Ters = 2Tσ (3.12) Gw,ers (s) 1 + sTers BO Die Frequenzg¨ange des offenen Regelkreises sowie des F¨ uhrungs- und St¨orverhaltens zeigt Abb. 3.3. Eine ausf¨ uhrliche Tabelle mit Einstellregeln f¨ ur alle g¨angigen Streckentypen findet sich auf Seite 81. 3.1.2

Verallgemeinerung und Anwendung des Betragsoptimums

Einfluß der Reglerverst¨ arkung auf die D¨ ampfung des Regelkreises Die vorigen Ergebnisse k¨onnen allgemein gefaßt werden. F¨ uhrt man eine Kreisintegrierzeit T0 = T1 /(VR VS ) ein, so ergibt sich f¨ ur die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion 2. Ordnung folgende Form, wobei T0 durch die Reglerverst¨arkung frei

3.1 Betragsoptimum (BO)

Im ( F 0)

F ührungsfrequenzgang

Störungsfrequenzgang

Im ( F w)

Im ( F z) V

1

Re ( F 0)

-1

0

Re ( F w)

8

Offener Regelkreis

51

Re ( F z)

Abb. 3.3: Frequenzg¨ange beim Betragsoptimum

w¨ahlbar ist:

1 1 + sT0 + s2 T0 Tσ Kennkreisfrequenz ω0 und D¨ampfung D ergeben sich allgemein zu  1 1 T0 ω0 = √ und D = 2 Tσ T0 Tσ Gw (s) =

(3.13)

(3.14)

Der D¨ampfungsfaktor eines betragsoptimierten Regelkreises √ ergibt sich aus der zweiten Optimierungsbedingung mit T0 = 2Tσ zu D = 1/ 2 = 0, 707. Aperiodisches Verhalten (D ≥ 1) stellt sich f¨ ur T0 ≥ 4Tσ ein. In beiden F¨allen gilt f¨ ur die Anregelzeit tan ≈ 2, 5 T0. Abbildung 3.4 zeigt einige Sprungantworten des Regelkreises f¨ ur verschiedene Kreisintegrierzeiten T0 und bei einer Anregung durch die F¨ uhrungsbzw. St¨orgr¨oße (Signalflußplan siehe Abb. 3.2). Aus der Darstellung des F¨ uhrungsverhaltens ist der Kompromiß zwischen Stabilit¨at und Dynamik bei der Wahl der Reglerparameter zu erkennen. Betragsoptimum bei Kompensation einer weiteren Zeitkonstanten Ist außer der großen Zeitkonstanten T1 auch noch die gr¨oßte der weiteren Zeitkonstanten Ti kompensierbar, kann ein PID-Regler eingesetzt werden. Dadurch wird die Dynamik der Regelung erh¨oht, da die verbleibende kleine Zeitkonstante Tσ kleiner als mit PI-Regler wird. Zu beachten ist dabei allerdings, daß insbesondere ¨ durch die Differentiation im Regler keine st¨orenden Ubersteuerungen der Signale im Regelkreis auftreten und die Meßwerte keinen allzu großen Rauschanteil besitzen. Die Nachstellzeit Tn des PID-Reglers kompensiert die große Zeitkonstante T1 , die Differenzierzeitkonstante Tv des PID-Reglers entspricht der zweiten Zeitkonstante T2 . Somit lauten die Einstellregeln f¨ ur den PID-Regler: VR =

T1 , 2VS Tσ

Tn = T1

und

(siehe auch Optimierungstabelle Seite 81, Nr.6).

Tv = T2

(3.15)

52

3 Standard-Optimierungsverfahren

F ührungsverhalten x w 1 1.0

2 4

T0

0.5

Ts 0

0

2

4

=

T1 VR VS Ts

6

8

10

12

14

16

6

8

10

12

14

16

18

Störverhalten x z

0.8 0.6 4 0.4

2

1

0.2 0 0

2

4

Zeit

t Ts

¨ Abb. 3.4: Ubergangsverhalten bei verallgemeinerten Betragsoptimum (Standard-BO f¨ ur T0 /Tσ = 2)

Betragsoptimum bei Meßwertverz¨ ogerung im R¨ uckw¨ artszweig Ein h¨aufig in der Praxis auftretender Fall ist die Istwerterfassung u ¨ber ein verz¨ogerndes Meßglied. Regelungstechnisch gesehen liegt dieses im R¨ uckw¨artszweig des Regelkreises. Anhand einer Strecke 2. Ordnung mit Istwerterfassung u ¨ber ein PT1 -Meßglied mit der Gl¨attungszeitkonstante Tg soll dies n¨aher betrachtet werden (Abb. 3.5). Die Optimierung nach dem Betragsoptimum kann wie f¨ ur die zweifache PT1 Strecke durchgef¨ uhrt werden, wenn sie f¨ ur x erfolgt, d.h. wenn die R¨ uckf¨ uhrung gedanklich der Strecke zugeschlagen wird. Die Zusammenfassung der beiden PT1 -Strecken¨ ubertragungsfunktionen mit den kleinen Zeitkonstanten T2 und Tg ist erlaubt, solange nur das Ein-Ausgangsverhalten des offenen Regelkreises betrachtet wird und die Strecke linear ist (siehe auch Kap.1.4). GS (s) =

VS x (s) 1 Vr = · · u(s) 1 + sT1 1 + sT2 1 + sTg

(3.16)

Mit der kleinen Summenzeitkonstante Tσ = T2 + Tg folgt: GS (s) =

VS x (s) Vr = · u(s) 1 + sT1 1 + sTσ

(3.17)

3.1 Betragsoptimum (BO)

VR Tn 1 w  - e -  u − 6 Regler

VS

T1

-

r

x -

Streckenteil Streckenteil

Vr

x

T2

53

Tg 

Meßwertgl¨ attung Abb. 3.5: Regelkreis mit PT1 -Meßwertgl¨ attung

Damit lautet die Auslegung des PI-Reglers nach dem Betragsoptimum: Tn = T1

und VR =

T1 2VS Vr Tσ

(3.18)

¨ Mit der Gleichung der R¨ uckf¨ uhrung x = x · Vr /(1 + sTg ) ergibt sich die Ubertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises zu Gw (s) =

1 x (s) Vr x(s) = = ·   2 2 w (s) 1 + s2Tσ + s 2Tσ 1 + sTg w (s)

(3.19)

Um die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion des tats¨achlichen Istwertes x/w  zu erhalten, muß u uckgerechnet werden. Man erh¨alt dann: ¨ ber die Meßwertgl¨attung zur¨ Gw (s) =

1 + sTg x(s) 1 = · w  (s) Vr 1 + s2Tσ + s2 2Tσ2

(3.20)

wobei Vr den station¨aren Endwert von x bestimmt, da im station¨aren Betriebs¨ punkt (s → 0) x = w  /Vr gilt. Die Ersatzzeitkonstante dieser Ubertragungsfunktion ist wegen des Z¨ahlerterms u ¨ ber eine Polynomdivision zu ermitteln (Nenner durch Z¨ahler). Der Koeffizient bei der ersten Potenz von s stellt die Ersatzzeit dar. Gw,ers (s) = ≈

1 1 · 2 Vr 1 + sTers1 + s2 Ters2 + ...

(3.21)

1 1 1 = Vers · · Vr 1 + s(2Tσ − Tg ) 1 + sTers

(3.22)

Anders als in Gl. (3.12) ergibt sich hier als Ersatzzeitkonstante nur Ters = 2Tσ − Tg

(3.23)

Dies bedeutet, daß die Regelgr¨oße x gegen¨ uber der f¨ ur die Optimierung verwen¨ deten R¨ uckf¨ uhrgr¨oße x schneller reagiert. Folglich ist auch die Uberschwingweite

54

3 Standard-Optimierungsverfahren

VG w -

TG

VR Tn 1   wu e - − 6

F¨ uhrungsgl¨attung

Regler

x

T2

VS

T1

-

r

x -

Streckenteil Streckenteil

Vr

Tg 

Meßwertgl¨ attung Abb. 3.6: Regelkreis mit PT1 -Meßwertgl¨ attung und F¨ uhrungsgl¨ attung

deutlich gr¨oßer und damit scheinbar der D¨ampfungsfaktor geringer, was durch die Nullstelle in der F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion bedingt ist. Um das gew¨ unschte betragsoptimierte Verhalten der F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion dennoch zu erreichen, muß im Sollwertzweig eine F¨ uhrungsgl¨attung GG (s) mit der Zeitkonstante des Z¨ahlerpolynoms TG = Tg eingef¨ ugt werden. Mit diesem Vorfilter kann gleichzeitig auch Vers kompensiert werden, indem VG = Vr gew¨ahlt wird.

mit

Gw (s) =

x(s) 1 = GG (s) · Gw (s) = w(s) 1 + s2Tσ + s2 2Tσ2

(3.24)

GG (s) =

VG w  (s) Vr = = w(s) 1 + sTG 1 + sTg

(3.25)

Darstellung des Betragsoptimums im Frequenzbereich (Phasenreserve) Die Aussagen des Betragsoptimums k¨onnen in den Frequenzbereich (Frequenzkennlinie) u ¨bertragen werden. Werden die betragsoptimierten Reglerparameter ¨ in die Ubertragungsfunktion des offenen Kreises eingesetzt, ergibt sich beim Amplitudendurchtritt 0 dB (|F0 (jωd )| = 1) der Phasenwinkel   = −114, 5◦ (3.26) ϕ0 = −90◦ − 24, 5◦  |F0 (jωd )| = 1 Aufgrund der approximierten Darstellung des Amplitudenganges wird statt des exakten Winkels (ϕ0 = −114, 5◦ ) oft auch der approximierte Winkel ϕ∗0 angegeben.   ∗ ◦ ◦ = −116, 5◦ ϕ0 = −90 − 26, 5  (3.27) |F0 (jω)| = 1 Dies entspricht einer Phasenreserve von ϕRd = 180◦ + ϕ∗0 = 63, 5◦ (siehe Abb. 2.11).

3.1 Betragsoptimum (BO)

55

Betragsoptimum bei totzeitbehafteten Systemen ¨ Die bisherigen Optimierungsvorschriften wurden nur f¨ ur minimalphasige Uber¨ tragungselemente abgeleitet, d.h. f¨ ur stabile Ubertragungsfunktionen mit Polen und Nullstellen ausschließlich in der linken s−Halbebene. Bei minimalphasigen ¨ Ubertragungsfunktionen besteht ein eindeutiger Zusammenhang zwischen Betragsverlauf und Phasenverlauf im Frequenzbereich. ¨ Ubertragungsfunktionen, bei denen die Pole zwar auf die linke s−Halbebene beschr¨ankt sind, deren Nullstellen jedoch in der gesamten s−Ebene liegen, werden dagegen nicht-minimalphasige Funktionen genannt. H¨aufig auftreten¨ de nicht-minimalphasige Ubertragungsfunktionen sind Allp¨asse und Totzeiten. Ein typisches Allpaßverhalten entsteht durch die Differenzbildung der Ausgangssignale zweier Verz¨ogerungsglieder. Totzeiten (auch Laufzeiten genannt) treten in Form von Transportverz¨ogerungen auf. In der elektrischen Antriebstechnik werden Stromrichter-Stellglieder als Leistungsstellglieder eingesetzt. Die mathematische Beschreibung ihrer dynamischen Eigenschaften ist aufwendig. Nur teilweise existieren auch geeignete Verfahren, um das Verhalten von Regelkreisen mit diesen Stellgliedern geschlossen darzustellen. Aufgrund dieser Schwierigkeit werden diese Systeme oft vereinfacht durch Totzeiten approximiert. Das Stellglied ist ein Teil der Strecke und wird durch eine Totzeit Tt und die Verst¨arkung VSTR angen¨ahert. GSTR (s) = VSTR · e−sTt

(3.28)

F¨ ur die Optimierung von Regelkreisen mit Stromrichter-Stellgliedern ist eine Erweiterung der abgeleiteten Optimierungskriterien somit notwendig. Am u ¨bersichtlichsten und deshalb am meisten angewendet wird bei diesen Problemen das Verfahren der Frequenzkennlinie. F¨ ur die Optimierung nach dem Betragsoptimum kann ein PI-Regler gew¨ahlt ¨ werden. Damit ergeben sich die Ubertragungsfunktionen von Regler GR (s) und Strecke GS (s) allgemein mit Tt  T1 zu 1 + sTn sTn

(3.29)

VS VSTR −sTt ·e 1 + sT1

(3.30)

GR (s) = VR · GS (s) =

Bei Wahl der Nachstellzeit des Reglers nach dem Betragsoptimum Tn = T1 ver¨ einfacht sich die Ubertragungsfunktion des offenen Regelkreises −G0 (s) = VR

1 + sTn VS VSTR −sTt VR VS VSTR −sTt · ·e = ·e sTn 1 + sT1 sT1

(3.31)

Zur Bestimmung der Reglerverst¨arkung VR wird bei der Amplitudendurchtrittsfrequenz |F0 (jωd )| = 1 eine Phasenreserve von ϕRd = 180◦ − 116, 5◦ = 63, 5◦

56

3 Standard-Optimierungsverfahren

gefordert bzw. ein Durchtrittswinkel von ϕ0 =

◦ −90  

−26, 5◦   

= −116, 5◦

I-Anteil von G0

Totzeitanteil von G0

(3.32)

Mit e−sTt −→ e−jωTt gilt weiterhin ωd Tt = 26, 5◦ ·

π 180◦

bzw.

ωd =

26, 5◦ π · Tt 180◦

(3.33)

  F¨ ur beliebige Frequenzen ω ist der Betrag e−jωTt  = 1. Damit ergibt sich bei der Amplitudendurchtrittsfrequenz ωd die Einstellbedingung f¨ ur VR 1 =

VR =

VR VS VSTR ωd T1

(3.34)

ωd T1 T1 26, 5◦ π T1 = · · ≈ VS VSTR VS VSTR Tt 180◦ 2VS VSTR Tt

(3.35)

Vergleicht man dieses Ergebnis mit den Einstellregeln des Betragsoptimums (siehe Seite 50), so ist zu erkennen, daß diese auch bei Systemen mit Totzeit einsetzbar ist, indem Tσ = Tt gesetzt wird. Bei Strecken mit variabler Totzeit (z.B. bei netzgef¨ uhrten oder pulsweitenmodulierten Stromrichtern) kann es g¨ unstig sein, Tσ bei der Auslegung des Reglers auf die im statistischen Mittel auftretende Totzeit zu beziehen. 3.1.3

Mathematische Herleitung des Betragsoptimums

Das Betragsoptimum kann allgemein auch auf Strecken h¨oherer Ordnung angewendet werden. F¨ ur diesen Fall wird die Reglerauslegung im folgenden mathematisch hergeleitet. Die Bedingungen f¨ ur die Optimierung sind dabei 1. Stabilit¨at 2. Betragsanschmiegung im Nutzbereich |Fw (jω)| → 1 Es wird ein allgemeiner Regelkreis mit Einheitsr¨ uckf¨ uhrung nach Abb. 3.7 angenommen mit einer Strecke GS (s) der Ordnung τ und einem Regler GR (s) der Ordnung ν + 1. F¨ ur den Fall c0 = 0 besitzt die Strecke einen Integralanteil; f¨ ur c0 = 0 besteht sie nur aus Proportional- und Verz¨ogerungsgliedern. GS (s) =

1 c 0 + c 1 s + c 2 s 2 + . . . + cτ s τ

GR (s) = r−1 s−1 + r0 + r1 s      I

P

D

+ . . . + rν sν   

(3.36) (3.37)

schwer realisierbar, da mehrfach differenzierend



r0 r−1 r1 2 rν ν+1 · 1+ = s+ s + ...+ s s r−1 r−1 r−1

(3.38)

3.1 Betragsoptimum (BO)

w -e − 6

-

GR Regler

r

GS

57

x -

Strecke

Abb. 3.7: Regelkreis mit Einheitsr¨ uckf¨ uhrung

Die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion Gw (s) ist f¨ ur τ > ν Gw (s) = =

=

−G0 G R · GS GR = = 1 − G0 1 + G R · GS GR + G1S r−1

s−1

r−1 s−1 + r0 + r1 s + . . . + rν sν + (r0 + c0 ) + (r1 + c1 )s + . . . + cτ −1 sτ −1 + cτ sτ

r0 1 ν s + rr−1 s2 + . . . + rr−1 sν+1 r−1 c r0 +c0 −1 τ 1 2 τ s + r1r+c s + . . . + rτ−1 s + rc−1 sτ +1 r−1 −1

1+

1+

(3.39)

(3.40)

ur Regler mit IntegDiese letzte Umformung ist nur f¨ ur r−1 = 0 erlaubt, d.h. f¨ ralanteil. Im Fall eines P-Reglers (r−1 = 0) folgt aus Gl. (3.39) Gw (s) =

r0 · r 0 + c0 1 +

1+ r1 +c1 s r0 +c0

r1 s r0

rν ν s r0 cτ −1 τ −1 r s + r0c+c sτ r0 +c0 0

+ ...+

+ ...+

(3.41)

Man erkennt, daß durch den ersten Term eine station¨are Regelabweichung verursacht wird, falls c0 = 0 , also auch in der Strecke kein integraler Anteil enthalten ist. Im weiteren sei wieder von r−1 = 0 ausgegangen. Zur Vereinfachung werden nun die Koeffizienten der einzelnen s-Potenzen in Z¨ahler und Nenner der F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion aus Gl. (3.40) zusammengefaßt. Gw (s) =

b0 + b1 s + b2 s2 + . . . + bν+1 sν+1 a0 + a1 s + a2 s2 + . . . + aτ sτ + aτ +1 sτ +1

(3.42)

Aus dem Koeffizientenvergleich folgt: a0 a1 .. .

= =

1 r0 +c0 r−1

aν+1 = aν+2 = .. .

rν +cν r−1 cν+1 r−1

aτ = aτ +1 =

cτ −1 r−1 cτ r−1

b0 b1 .. .

= 1 0 = rr−1

bν+1 =

rν r−1

(3.43)

58

3 Standard-Optimierungsverfahren

Damit liegt die sich ergebende F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion fest. Die Koeffizienten ai und bi m¨ ussen nun so bestimmt werden, daß optimales statisches und dynamisches Verhalten erreicht wird. Die Forderung der Betragsanschmiegung |Fw (jω)| = 1 bis zu m¨oglichst hohen Frequenzen und anschließendem Tiefpaßverhalten wird bei dem Betragsquadrat des Frequenzgangs zur Bestimmung der Koeffizienten angewendet. |Fw (jω)|2 =

B0 + B2 ω 2 + B4 ω 4 + . . . A0 + A2 ω 2 + A4 ω 4 + . . .

(3.44)

Dabei ergeben sich im Z¨ahler wie im Nenner nach Potenzen von ω geordnete Polynome der Art B0 + B2 ω 2 + B4 ω 4 + . . . = b20 + (b21 − 2b0 b2 ) ω 2 + (b22 − 2b1 b3 + 2b0 b4 ) ω 4 + . . .        B0

B2

B4

Die Optimierungsbedingung der Betragsanschmiegung fordert, daß die jeweiligen Koeffizienten f¨ ur ω 2i im Z¨ahler und im Nenner bis zu m¨oglichst hohen Frequenzen gleich sein sollen, also A0 = B0 A2 = B2 A4 = B4 .. .

−→ a20 = b20 −→ −2a0 a2 + a21 = b21 − 2b0 b2 −→ 2a0 a4 − 2a1 a3 + a22 = b22 − 2b1 b3 + 2b0 b4 .. .

(3.45)

Durch L¨osen eines Gleichungssystems dieser Art k¨onnen nun die Reglerparameter nach Gl. (3.43) bestimmt werden. Beispiel: PI-Regler f¨ ur PT2 -Strecke Strecke: GS (s) =

VS 1 1 · = 1 + sT1 1 + sTσ c 0 + c1 s + c 2 s 2

(3.46)

Regler: GR (s) = VR ·

1 + sTn = r−1 s−1 + r0 sTn

(3.47)

offener Kreis: −G0 (s) = GR (s) · GS (s) = mit V0 =

1 VR VS

1 + sTn sT0 · (1 + sT1 )(1 + sTσ )

und T0 =

Tn Tn = VR VS V0

(3.48)

3.1 Betragsoptimum (BO)

59

geschlossener Kreis: Gw (s) = =

1 + sTn 1 + s(Tn + T0 ) + s2 (T0 T1 + T0 Tσ ) + s3 T0 T1 Tσ b0 + b1 s a0 + a1 s + a2 s2 + a3 s3

(3.49)

Koeffizienten-Vergleich (alle h¨oheren Koeffizienten ab a4 und b2 sind 0): a0 a1 a2 a3

=1 = Tn + T0 = T0 (T1 + Tσ ) = T0 T1 Tσ

b0 = 1 b1 = Tn

Aus den drei Bedingungen nach Gl. (3.45) a20 = b20 −2a0 a2 + a21 = b21

(3.50)

−2a1 a3 + a22 = 0 k¨onnen VR und Tn bzw. V0 und T0 bestimmt werden. 1 = 1 −2T0 (T1 + Tσ ) + (Tn + T0 )2 = Tn2 −2(Tn + T0 )T0 T1 Tσ +

T02 (T1

+ Tσ )

2

(3.51)

= 0

Mit Tn = T0 V0 eingesetzt in die letzte Zeile von Gl. (3.51) folgt: −2(V0 T0 + T0 )T0 T1 Tσ + T02 (T1 + Tσ )2 = 0 (T1 + Tσ )2 = 2(V0 + 1)T1 Tσ

(T1 + Tσ )2 1 T1 Tσ −1 = · + 2T1 Tσ 2 Tσ T1

V0 1 T1 Tσ = = · + VS 2VS Tσ T1

(3.52)

V0 =

(3.53)

VR

(3.54)

Aus der mittleren Gleichung von (3.51) folgt mit T0 = Tn /V0 :

2 Tn Tn = Tn2 −2 (T1 + Tσ ) + Tn + V0 V0

1 = 0 −(T1 + Tσ ) + Tn 1 + 2V0

(3.55) (3.56)

60

3 Standard-Optimierungsverfahren

Durch Einsetzen der oben abgeleiteten Beziehung f¨ ur V0 ergibt sich:     1 + TTσ1 · TTσ1 + TTσ1 T1 + Tσ T1 + Tσ   = = T1 · Tn = T1 1 + 2V10 1 +  T1 1 Tσ  + Tσ + 1 Tσ

+T

Tσ

1

(3.57)

T1

Wie aus dem Ansatz ersichtlich ist, wurden keine Vorgaben f¨ ur das Verh¨altnis von T1 und Tσ festgelegt. Wird nun Tσ  T1 angenommen, wird V0 ≈ T1 /(2Tσ ), und es ergeben sich die bekannten Optimierungsbedingungen nach dem Betragsoptimum: Tn = T1

3.2

und

VR =

T1 2VS Tσ

(3.58)

Symmetrisches Optimum (SO)

Das Symmetrische Optimum stellt ein weiteres wichtiges Optimierungskriterium in der elektrischen Antriebstechnik dar. Es wird bevorzugt bei Strecken mit integrierendem Anteil eingesetzt, oder in abgewandelter Form, wenn das Verh¨altnis der Zeitkonstanten f¨ ur eine Optimierung nach dem Betragsoptimum ung¨ unstig ist, um ein gutes St¨orverhalten zu erzielen. Der Name Symmetrisches Optimum“ bezieht sich auf den Frequenzgang des ” offenen optimierten Regelkreises, dessen Phasengang symmetrisch zum Amplitudendurchtritt liegt (vgl. Abb. 3.9 und Abb. 3.14). Wie schon beim Betragsoptimum soll zun¨achst eine anschauliche Herleitung des Symmetrischen Optimums an einem Beispiel erfolgen. F¨ ur Interessierte werden die Optimierungskriterien im Anschluß daran auch mathematisch abgeleitet sowie Frequenzgangdarstellung, Sprungantworten und Pol-Nullstellenverteilungen erl¨autert. 3.2.1

Herleitung f¨ ur Strecken mit I-Anteil

Die Besonderheit des Symmetrischen Optimums zeigt sich im Vergleich zum Betragsoptimum, auf das noch einmal kurz eingegangen werden soll. Das Betrags¨ optimum kann Regelkreise optimieren, deren offene Ubertragungsfunktion G0 (s) einen (einfachen) Integralanteil sowie einen oder mehrere Verz¨ogerungsanteile enth¨alt. Dabei kann, abweichend von der Annahme in Kap. 3.1, daß der Integralanteil im Regler enthalten ist (I-, PI- oder PID-Regler), der Integralanteil stattdessen auch Teil der Strecke sein (z.B. PD-Regler und IT2 -Strecke). Solange keine St¨orgr¨oße wirkt, verh¨alt sich auch die zweite Konfiguration optimal, da die station¨are Genauigkeit durch den I-Anteil in der Strecke sichergestellt wird. Greift nun eine St¨orgr¨oße an der Strecke ein (vgl. Abb. 3.8), entsteht dagegen eine station¨are Regelabweichung. Dieser Nachteil kann durch die

3.2 Symmetrisches Optimum (SO)

Tσ

VR Tn 1   wu e - − 6

z

VS

− -? e -

Regler Streckenanteil

61

T1 r

x -

Streckenanteil

Abb. 3.8: Regelkreis zur Herleitung des Symmetrischen Optimums

Verwendung eines Reglers mit Integralanteil beseitigt werden. F¨ ur die Stabilisierung eines derartigen Regelkreises mit insgesamt zwei Integralanteilen wurde das Symmetrische Optimum entwickelt. Dieses Optimierungskriterium kann somit immer dann angewendet werden, wenn ein Regelkreis mit Einheitsr¨ uckf¨ uhrung vorliegt, bei dem die Strecke einen integralen Anteil aufweist und die station¨are Regelabweichung auch bei St¨orungen zu Null geregelt werden soll. Das Symmetrische Optimum ist das typische Optimierungskriterium f¨ ur Drehzahlregelkreise mit unterlagertem Stromregelkreis. F¨ ur eine anschauliche Herleitung sollen eine IT1 -Strecke (einschließlich Stellglied) und ein PI-Regler betrachtet werden (siehe Abb. 3.8). IT1 -Strecke: GS (s) =

VS 1 · sT1 1 + sTσ

mit VS = Streckenverst¨arkung

(3.59)

T1 = (große) Integrationszeitkonstante Tσ = kleine Zeitkonstante PI-Regler: GR (s) = VR ·

1 + sTn sTn

mit VR = Reglerverst¨arkung

(3.60)

Tn = Nachstellzeit Die Zeitkonstante Tσ soll wie beim Betragsoptimum eine nicht kompensierbare Zeitkonstante sein, wie z.B. die Ersatzzeitkonstante eines unterlagerten Stromregelkreises. ¨ Die Ubertragungsfunktion G0 (s) des offenen Regelkreises und die F¨ uhrungsu ¨bertragungsfunktion Gw (s) des geschlossenen Regelkreises lauten: −G0 (s) = GR (s) GS (s) = VR · Gw (s) =

1 + sTn VS 1 · · sTn sT1 1 + sTσ

−G0 (s) x(s) = =  w (s) 1 − G0 (s)

1 + sTn Tn T1 Tn T1 Tσ 1 + sTn + s2 + s3 VR VS VR VS

(3.61) (3.62)

62

3 Standard-Optimierungsverfahren

Beim Symmetrischen Optimum werden die Reglerparameter des PI-Reglers so eingestellt, daß die gr¨oßte Phasenreserve ϕRd beim Amplitudendurchtritt entsteht. Durch die Wahl von beispielsweise Tn = 4Tσ wird bei der Amplitudendurchtrittsfrequenz ωd = 1/2Tσ ein Phasenrand ϕRd = 37◦ erreicht (Abb. 3.9). Bei der Standardeinstellung des Symmetrischen Optimums gelten f¨ ur die Reglerparameter die Bedingungen: Symmetrisches Optimum (SO) — Standardeinstellung Tn = 4Tσ VR =

Tn T1 T1 = 8VS Tσ2 2VS Tσ

Eine ausf¨ uhrliche mathematische Herleitung des Symmetrischen Optimums folgt in Kap. 3.2.3. Nach Einsetzen der Reglerparameter ergibt sich f¨ ur den symmetrisch optimierten Regelkreis eine F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion 3. Ordnung (Index w  in Abb. 3.8). Gw (s) =

1 + s4Tσ x(s) = w (s) 1 + s4Tσ + s2 8Tσ2 + s3 8Tσ3

(3.63)

¨ Bei einer sprungf¨ormigen Anderung der F¨ uhrungsgr¨oße zeigt die obige ¨ ¨ Ubergangsfunktion allerdings große Unterschiede gegen¨ uber der Ubergangsfunktion des betragsoptimierten Kreises. Die Sprungantwort des symmetrisch op¨ timierten Regelkreises weist ein Uberschwingen von ca. 43 %, eine Anregelzeit tan = 3, 1 Tσ und eine Ausregelzeit taus = 17, 8 Tσ bei ± 2 % Regelfehler auf. ¨ Dieses unerw¨ unschte Uberschwingen ist vorrangig auf den Vorhalt (1 + s4Tσ ) im Z¨ahler zur¨ uckzuf¨ uhren (Abb. 3.22). ¨ Um die Ubergangsfunktion dem gew¨ unschten Verlauf anzun¨ahern, muß dieser Z¨ahlerterm durch eine Gl¨attung der F¨ uhrungsgr¨oße kompensiert werden. Dazu wird ein Verz¨ogerungsglied 1. Ordnung mit der Zeitkonstante TG = 4Tσ in den Sollwertzweig eingef¨ ugt (siehe Abb. 3.10). GG (s) =

1 w (s) 1 = = w(s) 1 + sTG 1 + s4Tσ

(3.64)

Alternativ dazu kann auch eine a¨quivalente Sollwertgl¨attung verwendet werden, wie in Kap. 4.3 behandelt. ¨ Unter dieser Voraussetzung stellt sich im Regelkreis ein Uberschwingen von 8 %, eine Anregelzeit tan ≈ 7, 6 Tσ und eine Ausregelzeit taus ≈ 13, 3 Tσ ein (Abb. 3.22). Damit ergibt sich ein Frequenzgang nach Abb. 3.9 (Index w)

3.2 Symmetrisches Optimum (SO) 1 ––– 4Ts

A mplitudengang

1 ––– 2Ts

63

1 –– Ts

symmetrischer Frequenzgang | - F 0|

|F|

|F´w|

0 dB

|Fw,ers|

-20 dB

|Fw|

-40 dB

wd

0.1

10

1

P hasengang 0°

j

j w,ers -90°

j´ w

j0 -180°

j Rd = 37 °

-270°

jw

0.1

1

Frequenz wT s

Abb. 3.9: Frequenzg¨ ange des Symmetrischen Optimums bei Standardeinstellung — Offener (Index 0), geschlossener Regelkreis mit (Index w) und ohne (Index w ) F¨ uhrungsgl¨ attung sowie Ersatzfunktion (Index w, ers)

1 w -

TG

VR Tn 1  wue -  − 6

F¨ uhrungsgl¨attung

Regler

Tσ

VS

T1

-

r

x -

Streckenanteile

Abb. 3.10: Regelkreis mit F¨ uhrungsgl¨ attung

und die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion   x(s) 1 = GG (s) Gw (s) = Gw (s) = 2 8T 2 + s3 8T 3 w(s) 1 + s4T + s σ σ σ SO

(3.65)

Das Nennerpolynom von Gw (s) kann in einen reellen Pol und in ein konjugiert komplexes Polpaar aufgespalten werden: Gw (s) =

1 (1 + s2Tσ )(1 + s2Tσ + s2 4Tσ2 )

(3.66)

64

3 Standard-Optimierungsverfahren

Im ¾ Ö 3 ¾¾ 4T s s-Ebene 60° 1 ¾¾ 2T s

1 ¾¾ 4T s

Re

Abb. 3.11: Polstellen (×) des geschlossenen Kreises beim Symmetrischen Optimum — die Nullstelle (◦) wird durch das Vorfilter kompensiert (F¨ uhrungsgl¨ attung)

mit den Polstellen s1 = −

1 2Tσ

und

s2,3 =

√  1  −1 ± j 3 4Tσ

(3.67)

sowie der Kreiskennfrequenz ω0 = 1/(2Tσ ) und dem D¨ampfungsfaktor D = 0, 5. Die Schwierigkeit bei der Stabilisierung und damit bei der Optimierung von Regelkreisen mit zwei Integralanteilen ist der Phasenwinkel von 2·90◦ = 180◦ und der konstante Verst¨arkungsabfall von 40 dB je Kreisfrequenzdekade, d.h. bei tiefen Frequenzen ist die Kreisverst¨arkung gr¨oßer als 0 dB und damit der Regelkreis zun¨achst instabil. Der grundlegende Gedanke des Symmetrischen Optimums ist, eine Verringerung der Phase des offenen Regelkreises im Bereich der Amplitudendurchtrittsfrequenz ωd = 1/(2Tσ ) durch den Vorhalt (Z¨ahlerpolynom) des Reglers zu erreichen. Der Tiefpaßanteil der Strecke mit der Zeitkonstante Tσ vergr¨oßert die Phase des offenen Regelkreises; daher muß die Eckfrequenz ω = 1/(4Tσ ) des Vorhalts bei tieferen Kreisfrequenzen liegen als die Eckfrequenz ω = 1/Tσ des Tiefpasses. Dieser Zusammenhang ist in Abb. 3.9 dargestellt. Wie daraus zu entnehmen ist, sind die Eckfrequenzen des Vorhalts ω = 1/(4Tσ ) und des Tiefpasses ω = 1/Tσ symmetrisch zur Kreisfrequenz ωd = 1/(2Tσ ) des Amplitudendurchtritts angeordnet; daher kommt die Bezeichnung Symmetrisches Opti” mum“. Wie schon beim Betragsoptimum kann die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion beim Symmetrischen Optimum ebenso durch eine Ersatz¨ ubertragungsfunktion approximiert werden (Index w, ers in Abb. 3.9). Daraus ist allerdings deutlich zu erkennen, daß dies eine sehr grobe N¨aherung ist.   1 Gw,ers (s) = (3.68) 1 + s4Tσ SO

3.2 Symmetrisches Optimum (SO)

65

H¨aufig wird statt der Gl¨attungszeitkonstante TG = 4Tσ auch eine Gl¨attungszeit¨ konstante bis zu TG = 1, 2 · 4Tσ gew¨ahlt, um ein Uberschwingen unterhalb der 5 %-Grenze zu erhalten.

3.2.2

Verallgemeinerung und Anwendung des Symmetrischen Optimums

Einfluß der Reglerparameter auf das Verhalten des Regelkreises Das Symmetrische Optimum kann verallgemeinert werden, indem ein Faktor a bei der Bestimmung der Reglerparameter eingef¨ uhrt wird. Damit ergeben sich die allgemeinen Einstellregeln: Symmetrisches Optimum (SO) — Allgemein Tn = a2 · Tσ VR =

Tn > Tσ

T1 1 · a VS Tσ

Mit der Herleitung dieser allgemeinen Einstellregeln besch¨aftigt sich das n¨achste Kapitel 3.2.3. 1 w -

TG

VR Tn 1   wu e - − 6

F¨ uhrungsgl¨attung

Tσ

z

VS

− -? e -

Regler Streckenanteil

T1 r

x -

Streckenanteil

¨ Abb. 3.12: Betrachteter Regelkreis f¨ ur Ubergangsverhalten und Frequenzgang beim Symmetrischen Optimum mit Einheitsintegrator

Das F¨ uhrungs- und St¨or¨ ubertragungsverhalten des betrachteten Regelkreises in Abb. 3.12 f¨ ur verschiedene Werte von a zeigt Abb. 3.13. Aus dieser Darstellung ist wiederum der Kompromiß zwischen Stabilit¨at und Dynamik bei der Wahl der Optimierungsparameter zu erkennen. Die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion wird damit zu:   x(s) 1 Gw (s) = (3.69) = GG (s) Gw (s) = 2 T s + a3 T 2 s2 + a3 T 3 s3 w(s) 1 + a σ σ σ SO Wie beim Betragsoptimum wird auch beim Symmetrischen Optimum angestrebt, den Betrag des Frequenzganges |Fw | des geschlossenen Regelkreises bis zu m¨og-

66

3 Standard-Optimierungsverfahren

F ührungsverhalten x w 2 1.0

4 8

15

30

0.5

2

a = 0 0

5

10

15

20

Tn Ts

25

30

35

25

30

35

40

Störverhalten x z

4

30

3 15

2 8

1

4

2

0 0

5

10

15

20

Zeit

t Ts

¨ Abb. 3.13: Ubergangsverhalten bei Symmetrischem Optimum (Standard-SO f¨ ur a2 = Tn /Tσ = 4)

lichst hohen Frequenzen bei Eins zu lassen: Fw (jω) = |Fw (jω)|2 = = =

1 1 + jωa2 Tσ − ω 2 a3 Tσ2 − jω 3 a3 Tσ3

(3.70)

1 (1 − ω 2a3 Tσ2 )2 + (ωa2 Tσ − ω 3 a3 Tσ3 )2 1−

2ω 2a3 Tσ2

+

ω 4 a6 Tσ4

1 + ω 2 a4 Tσ2 − 2ω 4 a5 Tσ4 + ω 6a6 Tσ6

1 1 + ω 2 a3 Tσ2 (a − 2) + ω 4 a5 Tσ4 (a − 2) + ω 6 a6 Tσ6

(3.71)

Der Betrag der Frequenzgangfunktion ist dann u ¨ber einen großen Frequenzbereich Eins, wenn m¨oglichst viele Koeffizienten im Z¨ahler- und Nennerpolynom der Betragsfunktion u ¨bereinstimmen. Es muß also gelten: a = 2 (3.72) Der Kompromiß zwischen Stabilit¨at und Dynamik ist aus Abb. 3.13 gut zu erkennen.

3.2 Symmetrisches Optimum (SO)

67

Amplitudengang

| -F 0|

4

T 2 a = ¾n Ts

40 dB 2

30 0 dB 15 8

-40 dB -80 dB

0.001

0.01

0.1

1

10

1

10

100

Phasengang -90°

j0

-120° 8 30

-150°

15

4 2

-180° -210°

0.001

0.01

0.1

w Frequenz ¾ ws

Abb. 3.14: Frequenz- und Phasengang beim Symmetrischen Optimum

Darstellung des Symmetrischen Optimums im Frequenzbereich (Phasenreserve) F¨ ur die Standard-Auslegung des Symmetrischen Optimums a2 = 4, ergibt sich ein Phasenwinkel von   = −143◦ ϕ0  |F0 (jωd )| = 1 und damit eine Phasenreserve von ϕRd = 180◦ + ϕ0 = 37◦ . Je gr¨oßer dagegen der Faktor a gew¨ahlt wird, desto gr¨oßer wird der Bereich des Frequenzgangs, in dem der Amplitudenabfall |F0 (jω)| ungef¨ahr 20 dB pro Kreisfrequenzdekade ist. Gleichzeitig n¨ahert sich das Maximum des Phasenver¨ laufs dem Wert −90◦ und erh¨oht so die D¨ampfung des Ubergangsverhaltens (vgl. Abb. 3.14). Erweiterter G¨ ultigkeitsbereich f¨ ur Strecken ohne I-Anteil Bei der Ableitung zum Betragsoptimum wurde f¨ ur die Regelkreisstruktur bei Strecken ohne I-Glied (vgl. Abb. 3.15) der G¨ ultigkeitsbereich Tσ < T1 ≤ 4Tσ angegeben. Bei Zeitkonstanten T1 > 4Tσ f¨ uhrt diese Optimierung hinsichtlich des St¨orverhaltens zu unbefriedigenden Ergebnissen.

68

3 Standard-Optimierungsverfahren

Tσ

VR Tn 1   wu e - − 6

z

VS

− ? -e -

Regler Streckenanteil

T1 r

x -

Streckenanteil

Abb. 3.15: Betrachteter Regelkreis f¨ ur erweitertes Symmetrisches Optimum

x z

5 0.2

T1 Ts

10

0.1

25 50

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Zeit

t Ts

Abb. 3.16: St¨orverhalten eines betragsoptimierten Regelkreises bei T1 > 4Tσ und Strecke ohne I-Anteil

Aus Abb. 3.16 ist zu ersehen, daß die Ausregelzeit umso mehr zunimmt, je gr¨oßer die Zeitkonstante T1 im Verh¨altnis zur kleinen Zeitkonstanten Tσ ist. Ein wesentlich besseres St¨orverhalten ist zu erwarten, wenn im Fall einer PT2 Strecke und eines PI-Reglers bei T1 > 4Tσ die Optimierungsbedingungen an das Symmetrischen Optimum angen¨ahert werden (siehe Abb. 3.13 f¨ ur a2 = 4). Die Grund¨ uberlegung bei diesem Ansatz ist, daß bei T1 Tσ die Eckfrequenz ω = 1/T1 des Tiefpaßanteils mit der großen Zeitkonstante bei sehr viel tieferen Kreisfrequenzen liegt als die Eckfrequenz 1/Tσ des Tiefpasses mit der kleinen Zeitkonstante. Damit wird im Bereich der Eckfrequenz des Tiefpasses mit der kleinen Zeitkonstante das Verhalten des Tiefpasses mit der großen Zeitkonstante im Amplitudengang ungef¨ahr 20 dB pro Kreisfrequenzdekade und der Phasenwinkel etwa −90◦ sein, d.h. das Tiefpaßverhalten entspricht dort ungef¨ahr dem Verhal¨ ten eines Integrators. Ausgehend von dieser Uberlegung ergibt sich die folgende ¨ mathematische Ubertragung der Optimierungsbedingungen des Symmetrischen Optimums auf eine Strecke mit zwei PT1 -Anteilen. GS (s) =

VS 1 · 1 + sT1 1 + sTσ

(3.73)

1 + sTn sTn

(3.74)

GR (s) = VR ·

3.2 Symmetrisches Optimum (SO)

69

Es ist bekannt, daß beim Symmetrischen Optimum das charakteristische Nennerpolynom 1 + s4T + s2 8T 2 + s3 8T 3 auftritt. Dieses soll nun auch im vorliegenden Fall erzeugt werden. Dazu werden zwei Korrekturfaktoren k1 und k2 eingef¨ uhrt. Tn = k1 · 4Tσ

VR = k 2 ·

und

T1 2VS Tσ

(3.75)

Durch Einsetzen dieser beiden Gleichungen in die Regler¨ ubertragungsfunk¨ tion erh¨alt man die Ubertragungsfunktion G0 (s) des offenen Kreises sowie die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion Gw (s) des geschlossenen Regelkreises −G0 (s) = Gw (s) =

k2 T1 1 + s4k1 Tσ VS 1 · · · 2VS Tσ s4k1 Tσ 1 + sT1 1 + sTσ

(3.76)

1 + s4k1 Tσ   2 3 k1 Tσ2 1 + s 4k1 Tσ + 8 k2 T1 + s2 8 kk12TTσ1 (T1 + Tσ ) + s3 8 k1kT2σ

(3.77)

k2 1.0

T 0.8

k1 0.6

~ ~ 0

~ ~ 5

10

15

20

25

30

35

40

Verhältnis

T1 Ts

Abb. 3.17: Symmetrisches Optimum: Korrekturfaktoren bei Strecke ohne I-Anteil

Der Nenner dieser F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion wird nun mit dem charakteristischen Standardpolynom des Symmetrischen Optimums gleichgesetzt:

k1 Tσ2 k1 Tσ2 k1 Tσ3 +s2 8 1 + s 4k1 Tσ + 8 (T1 +Tσ ) + s3 8 k2 T1 k2 T1 k2 !

= 1 + s4T + s2 8T 2 + s3 8T 3

(3.78)

Der Koeffizientenvergleich ergibt: 4k1 Tσ + 8 8

k1Tσ2 = 4T k2T1

(3.79)

k1 Tσ2 · (T1 + Tσ ) = 8T 2 k2 T1

(3.80)

k1Tσ3 = 8T 3 k2

(3.81)

8

70

3 Standard-Optimierungsverfahren

1 w -

TG

VR Tn 1   wu e - − 6

F¨ uhrungsgl¨attung

Tσ

z

VS

− ? -e -

T1 r

x -

Regler Streckenanteil 1 Streckenanteil 2

¨ Abb. 3.18: Betrachteter Regelkreis f¨ ur das Ubergangsverhalten des erweiterten Symmetrischen Optimums mit F¨ uhrungsgl¨ attung

Die L¨osung dieses Gleichungssystems mit den drei Unbekannten k1 , k2 und T lautet:  2 1 + TTσ1 k1 =  (3.82) 3 1 + TTσ1 k2 = 1 + T =

Tσ T1

2 (3.83)

T1 Tσ T1 + Tσ

(3.84)

In Abb. 3.17 sind k1 , k2 und T als Funktion des Zeitkonstantenverh¨altnisses T1 /Tσ ≥ 4 aufgetragen. Die mit den Einstellregeln nach Gl. (3.75) unter Verwendung von Gl. (3.82) und (3.83) erreichbaren Ergebnisse mit F¨ uhrungsgl¨attung sind in Abb. 3.19 gezeigt (betrachteter Regelkreis siehe Abb. 3.18). Greift die St¨orung vor dem Stellglied an, ergibt sich ein St¨orverhalten nach Abb. 3.20. Dieses Optimierungskriterium wird in der Antriebstechnik dann angewendet, wenn die Ankerzeitkonstante TA gr¨oßer ist als 4Tσ und das St¨orverhalten des Stromregelkreises von Bedeutung ist. Im allgemeinen ist die Ankerzeitkonstante TA 4Tt , mit der Ersatz-Totzeit Tt des Stromrichterstellglieds. Aus Abb. 3.17 ist weiterhin zu entnehmen, daß f¨ ur T1 /Tσ → ∞ gilt: k1 → 1

und

k2 → 1

Die Einstellregeln nach Gl. (3.75) gehen dann in die Standardform des Symmetrischen Optimums u ¨ber (siehe Seite 62). Verwendet man diese Standard-Einstellregeln zur Vereinfachung auch bei Zeitkonstantenverh¨altnisse T1 /Tσ < ∞, so darf nat¨ urlich kein mit dem Symmetrischen Optimum identisches Verhalten erwartet werden. Statt dessen ergibt sich f¨ ur die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion durch Einsetzen der Faktoren k1 = k2 = 1 in Gl. (3.77): Gw (s) =

1 + s4Tσ   2 Tσ2 1 + s 4Tσ + 8 T1 + s2 8 TTσ1 (T1 + Tσ ) + s3 8Tσ3

(3.85)

3.2 Symmetrisches Optimum (SO)

71

F ührungsverhalten x w

1.0 2

4

0.8

30 15

0.6

T1 Ts

8

0.4 0.2 0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

6

8

10

12

14

16

18

Störverhalten x z

2 0.4 4

0.3

8

0.2

15

0.1

30

0 0

2

4

Zeit

t Ts

¨ Abb.3.19: Ubergangsverhalten des erweiterten Symmetrischen Optimums: F¨ uhrungsverhalten bei Gl¨ attung der F¨ uhrungsgr¨ oße, St¨ orverhalten bei Angreifen der St¨ orung zwischen Streckenanteil 1 und 2

Störverhalten – –xz

0.4 2

0.3

4

0.2

8

0.1

15

0

30 0

2

4

6

8

10

12

14

16

t Zeit –– Ts

¨ Abb. 3.20: Ubergangsverhalten des erweiterten Symmetrischen Optimums: St¨ orverhalten bei Angreifen der St¨ orung vor der Strecke (d.h. vor beiden Streckenanteilen in Abb. 3.18)

72

3 Standard-Optimierungsverfahren

¨ Diese F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion sowie auch das maximale Uberschwingen, die Anregel- und Ausregelzeit h¨angen von T1 /Tσ ab. Die vereinfachten Einstellregeln nach Seite 62 werden auch in der Optimierungstabelle auf Seite 81 verwendet. Das gleiche Ergebnis f¨ ur die Korrekturfaktoren wie in Gl. (3.82) und (3.83) erh¨alt man alternativ auch mit Hilfe des D¨ampfungsoptimums, einem verallgemeinerten Optimierungsverfahren, das in Kap. 4 ausf¨ uhrlich behandelt wird. Das erweiterte Symmetrische Optimum wird damit in der elektrischen Antriebstechnik insbesondere dann angewendet, wenn die Ankerzeitkonstante TA gr¨oßer ist als 4Tσ und das St¨orverhalten des Stromregelkreises von Bedeutung ist. Wenn Tσ die Ersatz-Totzeit Tt des Stromrichterstellglieds darstellt, ist dies h¨aufig der Fall. Eine etwas andere Situation liegt vor, wenn zus¨atzliche Zeitkonstanten (z.B Meßglieder) im Regelkreis vorhanden sind, wie bereits in Kap. 3.1.2 beschrieben. 3.2.3

Mathematische Herleitung des Symmetrischen Optimums

Ausgangspunkt f¨ ur die Herleitung des Symmetrischen Optimums ist die Forderung nach einer maximalen Phasenreserve ϕRd beim Amplitudendurchtritt. Als Rechenbeispiel dient eine IT1 -Strecke und ein PI-Regler (siehe Abb. 3.8). Die ¨ Ubertragungsfunktionen von Regler GR (s) und Strecke GS (s) sind: GS (s) =

VS 1 · sT1 1 + sTσ

GR (s) = VR ·

1 + sTn sTn

(3.86) (3.87)

Durch geeignete Wahl der Nachstellzeit Tn l¨aßt sich eine Phasenreserve ϕRd einstellen, die dem Regelkreis das gew¨ unschte Einschwingverhalten gibt. Zun¨achst gilt der allgemeine Fall mit Tn = a2 · Tσ ; a > 1

(3.88)

Aus dem Frequenzgang des offenen Regelkreises −F0 (jω) = FR (jω) · FS (jω) = =

VR (1 + jωTn ) VS 1 · · jωTn jωT1 1 + jωTσ VR · VS · (1 + jωTn ) −ω 2 Tn · T1 (1 + jωTσ )

wird die Phase ϕ0 des offenen Regelkreises



ωTσ ωTn − arctan +π ϕ0 = ∠Z¨ahler − ∠Nenner = arctan 1 1 ermittelt.

(3.89)

(3.90)

3.2 Symmetrisches Optimum (SO)

73

Mit der Ableitung dϕ0 Tn Tσ ! = − = 0 2 2 dω 1 + ω Tn 1 + ω 2 Tσ2

(3.91)

l¨aßt sich die Kreisfequenz ωmax = √

1 Tn Tσ

(3.92)

bestimmen, bei der ϕ0 den gr¨oßten Wert hat. Dieser maximale Wert von ϕ0 soll bei der Amplitudendurchtrittsfrequenz ωd = ωmax entstehen:   VR · VS · 1 + ω 2Tn2 !   = = 1 (3.93) |−F0 (jω)|  ω = ωD = ωmax ω 2 · Tn · T1 1 + ω 2Tσ2 Mit dieser Forderung folgt f¨ ur die Reglerverst¨arkung:

VR =

2 ωmax



· Tn · T1 ·  VS · 1 +

2 1 + ωmax 2 ωmax · Tn2



·

Tσ2

1 · T · T 1 + 1 · T2 n 1 T ·T Tn · Tσ σ = n σ 1 VS · 1 + T · T · Tn2 n σ

Tσ 1 1+ T T T 1 + 1 + 12 1 1 2 n a  √ a = = = 1 +1 VS · Tσ 1 + a2 T V · T · a n S σ VS · Tσ 1 + T a2 T1

σ

VR =

T1 VS · Tσ · a

(3.94)

Um wie beim Betragsoptimum den Betrag des Frequenzgangs |Fw (jω)| in einem m¨oglichst weiten Frequenzbereich nahe Eins zu halten und damit, wie bei Phasenminimumsystemen u ¨blich, die Phase gering zu halten, muß die in den Gleichungen (3.71) und (3.72) hergeleitete Bedingung erf¨ ullt werden: |Fw (jω)|2 =

1 1 + ω 2 a3 Tσ2 (a − 2) + ω 4a5 Tσ4 (a − 2) + ω 6a6 Tσ6

⇒

a = 2

Damit folgt f¨ ur die Standardeinstellung eines SO-optimierten Regelkreises die ¨ Bedingung Tn = 4Tσ und es ergibt sich die bekannte Ubertragungsfunktion Gw (s) f¨ ur den geschlossenen symmetrisch optimierten Regelkreis: Gw (s) =

1 + s4Tσ 1 + s4Tσ + s2 8Tσ2 + s3 8Tσ3

(3.95)

74

3 Standard-Optimierungsverfahren

3.3

Auswahl des Reglers und Bestimmung der Optimierung

Mit der Kenntnis des Betragsoptimums und des Symmetrischen Optimums wurden in der Vergangenheit die u ¨berwiegende Anzahl der Regelkreisoptimierungen ¨ in der elektrischen Antriebstechnik gel¨ost. Zur Ubersicht sind in Tabelle 3.1 f¨ ur die verschiedenen Aufgabenstellungen noch einmal die m¨oglichen Kombinationen dargestellt. ¨ Tabelle 3.1: Tabellarische Ubersicht zur Reglerauswahl IAnteil T1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

• • • •

Strecke PT1 -Zeitkonstanten große kleine T1

T2

• • • • • • • • • • •

Reglerauslegung

4Tσ > T1 4Tσ ≤ T1 4Tσ T1

• •

• • •

• •

• • •

•

• • • •

I PI PI P (PI) PID PID PD (PID) PI P (PI) PID PD (PID)

Regler Optimierungskriterium BO BO (SO) SO (BO) BO (SO) BO (SO) SO (BO) BO (SO) SO BO (SO) SO BO (SO)

Sollwertgl¨ attung TG — — 0 . . . 4Tσ (4Tσ ) — 0 . . . 4Tσ (4Tσ ) 4Tσ (4Tσ ) 4Tσ (4Tσ )

In den Spalten Strecke“ ist angegeben, ob ein I-Anteil oder eine bzw. zwei ” große Verz¨ogerungszeitkonstanten vorhanden sind. Von der Existenz einer weiteren kleinen Zeitkonstante Tσ wird ausgegangen. Die Spalten kleine“ geben ” Bereiche f¨ ur das zul¨assige Verh¨altnis dieser kleinen Zeitkonstante zur gr¨oßten Zeitkonstante T1 an. Dabei k¨onnen in den Zeilen 1, 8 und 10 f¨ ur mehrere Bereiche die gleichen Einstellungen gew¨ahlt werden. Die Spalten unter Regler“ ” geben den Reglertyp, die Optimierungsvorschrift und die Zeitkonstante f¨ ur die Gl¨attung der F¨ uhrungsgr¨oße vor (Sollwertgl¨attung). Zu beachten sind weiterhin bei den Zeilen 4, 7, 9 und 11, ob aufgrund des Regelfehlers im station¨aren Betrieb der Einsatz eines P- bzw. PD-Reglers anstelle eines Reglers mit I-Anteil zul¨assig ist. Eine F¨ uhrungsgl¨attung ist dabei nur bei Anwendung des Symmetrischen Optimums sinnvoll. Beim Einsatz eines PID-Reglers ist außerdem zu beachten, daß mit dem D-Anteil die zweitgr¨oßte Zeitkonstante T2 der Strecke kompensiert wird. Die Optimierung des verbleibenden PI-Reglers erfolgt dann in Abh¨angigkeit von den restlichen Zeitkonstanten bzw. der Integrationskonstante entweder nach dem Betragsoptimum oder nach dem Symmetrischen Optimum. Ein Sonderfall ist die Strecke 2. Ordnung mit komplexen Zeitkonstanten, d.h. einer (in der Regel ged¨ampften) schwingungsf¨ahigen Strecke, was einem

3.3 Auswahl des Reglers und Bestimmung der Optimierung

75

D¨ampfungsfaktor D < 1 entspricht. Bei diesen Regelstrecken ist zu ber¨ ucksichtigen, daß bei einer Anregung mit Frequenzen in der N¨ahe der Resonanzfrequenz ¨ eine Uberh¨ ohung im Amplitudengang und eine schnelle Phasen¨anderung auftritt. Hohe Regelgeschwindigkeit und definierte D¨ampfungsverh¨altnisse sind nur dann zu erreichen, wenn die Amplitudendurchtrittsfrequenz ωd m¨oglichst weit oberhalb der Resonanzfrequenz ω0 liegt. In diesem Bereich der Kreisfrequenz kann die Regelstrecke durch die Hochfrequenz-Asymptote angen¨ahert werden. Welche statischen und dynamischen Eigenschaften der geschlossene Regelkreis aufweist, wird von den evtl. vorhandenen, anderen Verz¨ogerungszeitkonstanten bestimmt und davon, ob ein Regler mit oder ohne I-Anteil gew¨ahlt werden muß. Wenn ωd < ω0 ist (z.B. kann Tσ durch den unterlagerten Stromregelkreis festgelegt sein), dann muß ωd soweit abgesenkt werden, daß ausreichende D¨ampfung sichergestellt ist. Allerdings muß in diesem Fall im allgemeinen eine wesentliche Verschlechterung der Regeldynamik akzeptiert werden. Alternativ k¨onnen Regler f¨ ur schwingungsf¨ahige Strecken auch nach dem D¨ampfungsoptimum ausgelegt werden (siehe Kap. 4). Abschließend wird der Sonderfall betrachtet, daß die R¨ uckf¨ uhrung der Regelgr¨oße x keine proportionale R¨ uckf¨ uhrung, sondern eine verz¨ogerte R¨ uckf¨ uhrung, ¨ wie z.B. in Kap. 3.1.2, aufweist. In diesem Fall werden auf die Ubertragungsfunktion des offenen Regelkreises −G0 (s) = GR (s)GS (s)Gr (s) die dargestellten Optimierungsvorschriften angewendet. Das F¨ uhrungsverhalten dieses Regelkreises wird dabei von dem optimierten F¨ uhrungsverhalten abweichen, weil die Polstellen des Verz¨ogerungsglieds in der R¨ uckf¨ uhrung als Nullstellen (Vorhalte) in der F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion auftreten. Eine entsprechende Gl¨attung der F¨ uhrungsgr¨oße ist deshalb notwendig (siehe Kap. 3.1.2). Ein anderer Weg ist die Verwendung einer Reglerbeschaltung, bei der die Verz¨ogerungszeit der R¨ uckf¨ uhrung in den Vorw¨artszweig verlegt und somit f¨ ur die F¨ uhrungs- als auch f¨ ur die Regelgr¨oße wirksam wird. Zur Definition der Anregelzeit tan , der Ausregelzeit taus und des maximalen ¨ Uberschwingens xmax siehe Abb. 3.21. Dort sind die Verh¨altnisse bei sprungf¨ormi¨ ger Anderung der F¨ uhrungsgr¨oße w in der linken Spalte, bei sprungf¨ormiger ¨ Anderung der St¨orgr¨oße z in der rechten Spalte dargestellt. F¨ ur den Fall station¨arer Genauigkeit, d.h. x∞ /w0 = 1 bzw. x∞ /z0 = 0, entnehme man die Defini¨ tionen der An- und Ausregelzeit sowie des maximalen Uberschwingens den beiden mittleren Diagrammen. Ist station¨are Genauigkeit nicht gegeben, d.h. x∞ /w0 = 1 bzw. x∞ /z0 = 0, sind die beiden unteren Diagramme maßgeblich. ¨ Abbildung 3.22 zeigt die Ubergangsfunktionen f¨ ur das Betragsoptimum (BO) und dessen Ersatzfunktion (BOe), f¨ ur das Symmetrische Optimum (SO), f¨ ur das Symmetrische Optimum mit Sollwertgl¨attung (SO+Gl) sowie dessen Ersatzfunktion ((SO+Gl)e). In der Tabelle auf Seite 81 sind die bisherigen Ergebnisse u ¨ bersichtlich zusammengefaßt. F¨ ur die Streckentypen PT1 , PT2 , PT3 , IT1 und IT2 sind die nach Betragsoptimum oder Symmetrischen Optimum m¨oglichen Reglerstrukturen mit ihren G¨ ultigkeitsbereichen und der erzielbaren Regelg¨ ute angegeben.

76

3 Standard-Optimierungsverfahren

Führungsgröße w

Störgröße z

w w

z z

1

1

0

0

t

x w0

0 t x Vs z 0

x max w0

± 2%

0 t an

t

t aus

x w0

0 x Vs z 0

x max w0

t an

t

Wendetangente

x max Vs z 0

± 2%

1

Wendetangente

x max Vs z 0

1

x∞ w0

0

x∞ Vs z 0

0 t an

t aus

t

t an

t

t an : Anregelzeit

t aus : Ausregelzeit

Abb.3.21: Sprungantworten bei Regelkreisen mit station¨ arer Genauigkeit (mitte) und ohne station¨ are Genauigkeit (unten)

Eine Analyse des St¨orverhaltens ergibt die Kurven in Abb. 3.23, die die maximale Regelgr¨oßenabweichung bei Sprung der St¨orgr¨oße in Abh¨angigkeit des Zeitkonstantenverh¨altnisses T1 /Tσ zeigen. Man erkennt, daß f¨ ur PT2 -Strecken ¨ mit T1 /Tσ > 4 das Symmetrische Optimum ein geringeres Uberschwingen aufweist als das Betragsoptimum und damit besser ist, w¨ahrend f¨ ur T1 /Tσ ≤ 4 das Betragsoptimum besser ist. Aus diesem Grund wird, falls ein gutes St¨orverhalten gefordert wird und T1 /Tσ > 4 ist, auch f¨ ur PT2 - und PT3 -Strecken das Symmetrische Optimum angewendet (vgl. Tabelle Seite 81). Die in diesem Fall n¨otige Gl¨attungszeitkonstante TG ist Abb. 3.24 zu entnehmen (TG /Tσ als Funktion von T1 /Tσ ). Die

3.3 Auswahl des Reglers und Bestimmung der Optimierung

6

77

x w0

t Tσ

-

BO : Betragsoptimum BOe : Ersatzfunktion des BO, vgl. Gl. (3.12) SO : Symmetrisches Optimum SO+Gl : Symmetrisches Optimum mit Sollwertgl¨attung (SO+Gl)e : Ersatzfunktion des SO+Gl., vgl. Gl. (3.68) ¨ Abb. 3.22: Ubergangsfunktionen bei Betragsoptimum und Symmetrischem Optimum

¨ Anregel- und Ausregelzeiten sowie das maximale Uberschwingen mit und ohne F¨ uhrungsgl¨attung sind f¨ ur das Symmetrische Optimum bei PTn -Strecken in Abb. 3.25 angegeben. Zum Vergleich zeigt die gleiche Grafik auch die mit dem Betragsoptimum erzielbaren Anregel- und Ausregelzeiten; in diesem Fall sind tan und taus unabh¨angig von T1 /Tσ und deshalb konstant. ¨ In Abb. 3.24 ist ferner das maximale Uberschwingen xmax /w bei PTn -Strecken und einem Sprung der F¨ uhrungsgr¨oße f¨ ur das Betragsoptimum sowie f¨ ur das Symmetrische Optimum mit und ohne F¨ uhrungsgl¨attung aufgetragen. Zus¨atzlich ist die bei Verwendung der F¨ uhrungsgl¨attung resultierende Ersatzzeitkonstante Ters beim Symmetrischen Optimum dargestellt.

78

3 Standard-Optimierungsverfahren

6

xmax VS z0

T1 Tσ

-

Abb. 3.23: Maximale Regelgr¨ oßenabweichung bei Sprung der St¨ orgr¨ oße f¨ ur Betragsund Symmetrische Optimierung von Strecken mit IT1 -Verhalten und PT2 -Verhalten

3.3 Auswahl des Reglers und Bestimmung der Optimierung

79

σ

σ

σ

σ

σ

¨ Abb. 3.24: Sollwertgl¨ attung, Ersatzzeitkonstante und maximales Uberschwingen bei Sprung der F¨ uhrungsgr¨ oße f¨ ur Betrags- und Symmetrische Optimierung von Strecken mit PT-Verhalten

80

3 Standard-Optimierungsverfahren

s

s s

s

s

s

s

s

s

Abb. 3.25: Betrags- und Symmetrisches Optimum: Strecken mit PT-Verhalten bei Sprung der F¨ uhrungsgr¨ oße, An- und Ausregelzeit

3.4 Optimierungstabelle

3.4

Optimierungstabelle

z w

81

-

w

GG

-f − 6

-

F¨ uhrungsgl¨attung

− ? -f

GR

GS 

 -

-

GSσ

Regler

 -

GS1

GS2

x

r

-

Strecke

Strecke

Regler Einstellung

Nr.

1

Gs

Typ Bereich

VS sT

PT1

beliebig

1+

2

3

PT2

(1 +

VS sT1

)(1 +

sT

)

4

5

6

PT3

(1 +

sT1

VS sT2

)(1 +

8

sT1

IT1 9

10 IT2 11

)(1 +

sT

T2 > T

7

sT1

VS (1 +

sT

)

T1 T T1 T > T1 T  T1 T T1 T > T1 T  T1 VS T

1

P

1

PI

4

PI

1

PD

1

PID

4

PID

1

)(1 +

beliebig

T1 VS T

VR VR sTsTn n sT VR sT n n 1+

VR VR VR

beliebig

(1 +

(1 +

sTv

)

sTn sTv sTn sTn sTv sTn )(1 +

)(1 +

)

)

VR

(1 +

|

BO

SO

BO

1+

(1 +

BO

BO

VR sTsTn n VR

|

SO

VR

PD

PID

(1 +

sTv

SO

)

sTn sTv sTn )(1 +

BO

)

Tn

BO

BO

1+

P

)

Krit.

1

PI

1

Opt.

VR s

I

)

VS sT2 sT T2 > T

(1 +

GR

G unstiger

0

Typ

SO

T1 T

4

|

T1 T

4

|

T

4

|

T

4

VR Tv TG 1

T VS T1 T VS T1 T VS T1 T VS T1 T VS T1 T VS T1 T VS T1 T VS T1 T VS T1 T VS T1 T VS

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

|

|

|

|

|

|

|

:: T

| 0

T2

4

|

T2

|

T2 :: T  |

0

|

4

|

|

T

| 4

T2 T2

|

|

T

4

82

3 Standard-Optimierungsverfahren

Verhalten bei Sprung der F uhrungsgr oe t

an 

T

4,7 (4,7)

t

aus ( 2%) 

T

8,4 (8,4)

St orgr oe z

w

10

max

x

w0

w0

x

0

0

1,04 104

x

01  0

w0

V

0

T

ers 

T

R VS

2

(4,7)

1 + VR VS

r

1

3,1 ... 4,7

8,4 ... 16,5

1,04 ... 1,43

1

|

4,7 ... 7,6

8,4 ... 13,3

1,04 ... 1,08

1

2 ... 4

(4,7)

(8,4)

R VS

2

4,7

8,4

01  0

1,04

V

V

6,3

1,04

w0

T

2

8,4

x

an 

1

1

4,7

104

t

1 + VR VS 1

2

2

3,1 ... 4,7

8,4 ... 16,5

1,04 ... 1,43

1

|

4,7 ... 7,6

8,4 ... 13,3

1,04 ... 1,08

1

2 ... 4

4,7

8,4

1,04

1

2

3,1

16,5

1,43

1

|

7,6

13,3

1,08

1

4

4,7

8,4

1,04

1

2

3,1

16,5

1,43

1

|

7,6

13,3

1,08

1

4

5,5

4,4

T1 =T

V

2

T2 T



p

T2 =T

0

3

0

4

1 1 + VR VS

5

0

6

0

7



14 ::: 18 T1 =T



p

T2 =T



1

1 V

R VS

T1 =T



T2



V



1

R VS

V

1 8

T2 T

T1 =T



p

T2 =T

R VS 0



1 V

z

2

1 6

10

 10 4





Nr.

1 1 + VR VS

05 ::: 075 T1 =T



(4,7)

r

p

01 0 0

1



R VS

x

0



 1+ 1



r

R VS

T1 =T

T1 T2

T

S

12 ::: 16

T

4+

V

05 ::: 12



T2

 10 4

z

V

 10 s

1

 1+ 1

T1

T

S

0max 0 0

0,64

T

4+

x

R VS 0

8 9 10 11

3.5 F¨ uhrungsverhalten bei rampenf¨ ormiger Anregung

3.5

83

Fu ormiger Anregung ¨hrungsverhalten bei rampenf¨

¨ Bei allen bisherigen Uberlegungen war als typischer F¨ uhrungsgr¨oßenverlauf ein Sollwertsprung angenommen worden.  1 0 f¨ ur t ≤ 0 (3.96) w(t) = bzw. w(s) = 1 f¨ ur t > 0 s F¨ ur eine allgemeine F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion Gw (s) gilt bei einem Sollwertsprung der Grenzwertsatz:   1 (3.97) lim x(t) = lim s · Gw (s) · t→∞ s→0   s x(s) Wird statt des Sollwertsprungs als F¨ uhrungsgr¨oße eine Rampenfunktion  1 0 f¨ ur t ≤ 0 w(t) = (3.98) bzw. w(s) = 2 t/TAN f¨ ur t > 0 s TAN vorgegeben, dann gilt der Grenzwertsatz: 

1 lim x(t) = lim s · Gw (s) · 2 t→∞ s→0 s TAN

 (3.99)

F¨ ur einen Standard-Regelkreis mit Einheitsr¨ uckf¨ uhrung und ¨ der Ubertragungsfunktion −G0 (s) des offenen Kreises bzw. der F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion Gw (s) des geschlossenen Regelkreises gilt allgemein f¨ ur den F¨ uhrungsfehler E(s) = 1 − Gw (s). Dabei entspricht 1 der ¨ idealen und Gw (s) der realen Ubertragungsfunktion. F¨ ur einen nach dem Symmetrischen Optimum ausgelegten Regelkreis mit Sollwertgl¨attung ergibt sich die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion:   1 Gw (s) = (3.100) 1 + s4Tσ + s2 8Tσ2 + s3 8Tσ3 SO Damit folgt f¨ ur den F¨ uhrungsfehler: E(s) = 1 − Gw (s) =

s4Tσ + s2 8Tσ2 + s3 8Tσ3 1 + s4Tσ + s2 8Tσ2 + s3 8Tσ3

(3.101)

Der Grenz¨ ubergang t → ∞ ergibt f¨ ur den F¨ uhrungsfehler e(t):   1 1 ⇒ lim e(t) = lim s · E(s) · = 0 bei w(s) = t→∞ s→0 s s   1 1 4Tσ und bei w(s) = 2 = ⇒ lim e(t) = lim s · E(s) · 2 t→∞ s→0 s TAN s TAN TAN

84

3 Standard-Optimierungsverfahren

Dies bedeutet, daß bei einem Sprung der F¨ uhrungsgr¨oße kein station¨arer Regelfehler verbleibt, bei einer rampenf¨ormigen Anregung dagegen ein station¨arer Regelfehler auftritt. Eine m¨ogliche Abhilfe bei ausschließlich rampenf¨ormiger Anregung besteht in der Einf¨ uhrung eines differenzierenden (PD-) Anteils, was im vorliegenden Beispiel durch den Wegfall der F¨ uhrungsgl¨attung (wie sie bei Sprunganregung eingef¨ uhrt wurde) erreicht werden kann. Damit gilt f¨ ur die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion:   1 + s4Tσ  Gw (s) = (3.102) 2 2 3 3 1 + s4T σ + s 8Tσ + s 8Tσ SO F¨ ur den F¨ uhrungsfehler E  (s) = 1 − Gw (s) =

s2 8Tσ2 + s3 8Tσ3 1 + s4Tσ + s2 8Tσ2 + s3 8Tσ3

(3.103)

ergibt der Grenz¨ ubergang t → ∞ nun: 1 s

⇒

1 s2 TAN

⇒

bei w(s) = und bei w(s) =

  1 lim e(t) = lim s · E  (s) · =0 t→∞ s→0 s   1 =0 lim e(t) = lim s · E  (s) · 2 t→∞ s→0 s TAN

Bei der F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion Gl. (3.102) ist allerdings zu beachten, ¨ daß aufgrund des Z¨ahlerpolynoms 1 + s4Tσ bei sprungf¨ormiger Anderung der ¨ F¨ uhrungsgr¨oße ein erhebliches Uberschwingen auftritt. Somit ist der Verzicht auf eine Sollwertgl¨attung nur dann sinnvoll, wenn sichergestellt ist, daß sich der Sollwert nicht sprungf¨ormig sondern stets nur rampenf¨ormig ¨andert, d.h. seine Steigung einen bestimmten Gradienten nicht u ¨bersteigt, siehe auch Kap. 5.4.

4 Verallgemeinerte Optimierungsverfahren

Die bisher vorgestellten Optimierungsverfahren des Betrags- und des Symmetrischen Optimums ber¨ ucksichtigen speziell die Belange der Antriebstechnik, denn das Betragsoptimum ist f¨ ur Strom- und Drehmomentregelkreise und das Symmetrische Optimum f¨ ur Drehzahlregelkreise geeignet. Beide Verfahren erlauben in der Originalform nur die Behandlung von Strecken mit reellen Polen bis maximal 3. Ordnung. Strecken h¨oherer Ordnung m¨ ussen vereinfacht werden (z.B. durch Zusammenfassung kleiner Zeitkonstanten) oder k¨onnen gar nicht behandelt werden (wie schwingungsf¨ahige Strecken). Aufgrund dieser Einschr¨ankungen wurden unterschiedliche Verfahren zur Optimierung von Regelkreisen entwickelt. Als Beispiel sei der Ansatz des Butterworth-Filters genannt [32, 51]. Wie bereits dargestellt, soll die Regelung station¨are Genauigkeit sowie ein gutes dynamisches F¨ uhrungsverhalten aufweisen. Weiterhin kann gefordert werden, daß oberhalb der Grenzkreisfrequenz der F¨ uhrungsfrequenzgang mit mindestens 20 dB/Dekade abf¨allt, um St¨orsignale zu d¨ampfen. Wenn somit das F¨ uhrungsverhalten festgelegt ist, dann kann aufgrund der Kenntnis der Strecke und des gew¨ unschten Frequenzverhaltens der Regler entwickelt werden [7, 9, 12, 50]. Ein vergleichbarer Ansatz zur Regleroptimierung ist das D¨ampfungsoptimum, welches im folgenden Kapitel dargestellt ist. Andere Ans¨atze sind Verfahren, die ein G¨ utefunktional n¨ utzen.

4.1

D¨ ampfungsoptimum (DO)

¨ Beim D¨ampfungsoptimum wird das Ubertragungsverhalten des geschlossenen Regelkreises vorgegeben, um daraus die Reglerparameter zu berechnen. Dazu wird ein Nennerpolynom beliebiger Ordnung f¨ ur die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion Gw vorgegeben, das optimale D¨ampfung und somit das gew¨ unschte Einschwingverhalten aufweist. Das Verfahren baut dabei auf der Einstellung der Doppelverh¨altnisse auf. Es werden zun¨achst die Grundlagen der Doppelverh¨altnisse und die Bestimmung der Wunschpolynome, anschließend die Reglerauslegung mit Einstellregeln behandelt. Beispiele runden die Darstellung ab.

86

4 Verallgemeinerte Optimierungsverfahren

Die im folgenden dargestellten Ans¨atze und Gedankeng¨ange wurden am Lehrstuhl f¨ ur Elektrische Antriebssysteme der Technischen Universit¨at M¨ unchen entwickelt [17, 30, 52]. 4.1.1

Herleitung der Doppelverh¨ altnisse

Zur Herleitung des D¨ampfungsoptimums werden zun¨achst die verwendeten Doppelverh¨altnisse definiert. Dazu wird die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion eines linearen Regelkreises betrachtet. Die Variable m bezeichnet den h¨ochsten Z¨ahlergrad, n den h¨ochsten Nennergrad. Gw (s) =

e0 + e1 s + e2 s2 + ... + em sm x(s) = w(s) a0 + a1 s + a2 s2 + ... + an sn

(4.1)

Der Z¨ahlerterm entsteht durch den inhomogenen Teil der Differentialgleichung, die durch die Ankopplung der Eingangsgr¨oße bestimmt ist. Der Nennerterm stellt den homogenen Teil der Differentialgleichung dar, also die r¨ uckgekoppelten Zust¨ande des Systems. Der Nennerterm ist deshalb allein f¨ ur die hier betrachtete D¨ampfung des Systems verantwortlich. Als Vorstufe der Doppelverh¨altnisse werden nun Koeffizientenverh¨altnisse aus je zwei benachbarten Koeffizienten des Nenners gebildet; diese Koeffizientenverh¨altnisse besitzen die Dimension Zeit. Vi =

ai ai−1

mit

i = 1 ... n

(4.2)

Das erste und letzte Koeffizientenverh¨altnis V1 und Vn haben dabei besondere Bedeutung. Das erste Verh¨altnis V1 = a1 /a0 beschreibt f¨ ur t → ∞ (und damit f¨ ur s → 0) das langsame Verhalten des Systems e0 e0 e1 e1 +s +s a0 a0 a0 a0 lim Gw (s) = Gw,ers(s) = a1 = 1 + sT s→0 ers 1+s a0

(4.3)

und wird deshalb als Ersatzzeitkonstante Ters bezeichnet. Umgekehrt beschreibt das letzte Verh¨altnis Vn = an /an−1 das schnellste Verhalten des Systems und heißt daher Systemzeit Tsys . Aus den Koeffizientenverh¨altnissen Vi werden nun die dimensionslosen Doppelverh¨altnisse Di des Systems gebildet. Durch Einsetzen der Koeffizientenverh¨altnisse Vi lassen sich die Doppelverh¨altnisse auf die Koeffizienten des Nennerpolynoms von Gw (s) zur¨ uckf¨ uhren. ai Vi ai ai−2 a = ai−1 = Di = i−1 Vi−1 a2i−1 ai−2

mit

i = 2 ... n

(4.4)

4.1 D¨ ampfungsoptimum (DO)

87

Durch Umformen von Gl. (4.4) zu Vi−1 = Vi /Di l¨aßt sich das erste Koeffizientenverh¨altnis V1 und damit die Ersatzzeitkonstante Ters = V1 durch die Systemzeit Tsys = Vn ausdr¨ ucken. Ters = V1 =

V2 V3 Vn Tsys = = ... = =  n D2 D2 D3 D2 D3 · · · Dn Di

(4.5)

i=2

4.1.2

Standardfunktionen des D¨ ampfungsoptimums

Die Grundlage f¨ ur die Reglerauslegung nach dem D¨ampfungsoptimum bilden Standardfunktionen, die auf ihr D¨ampfungsverhalten durch Wahl der Doppelverh¨altnisse zu Di =0,5 optimiert sind. Im folgenden werden typische Standardfunktionen angegeben. Die Analyse der Polverteilung wird an der nachstehenden Standardfunktion 2. Ordnung exemplarisch durchgef¨ uhrt. Gw (s)n=2 =

1 2 1 + s 2Tsys + s2 2Tsys

= 

(4.6)

1 2 2Tsys 

1 1 s+ +j 2Tsys 2Tsys    s1

1 1 s+ −j 2Tsys 2Tsys    s2



(4.7)

¨ Diese Ubertragungsfunktion besitzt ein konjugiert komplexes Polpaar: s1,2 = −

1 1 ± j· = σ ± jω 2Tsys 2Tsys

(4.8)

Da die Realkomponente σ und die Imagin¨arkomponente ω betragsm¨aßig gleich groß sind, liegen die Pole auf der Winkelhalbierenden des 2. und 3. Quadranten (siehe Abb. 4.1 links). Alle Pole mit dieser Eigenschaft besitzen den D¨ampfungsgrad:  1 ◦ d = cos (45 ) = = 0, 707 (4.9) 2 F¨ ur die Ordnungen 2 . . . 4 lauten die Standardfunktionen folgendermaßen: Gw (s)n=2 =

1 2 1 + s 2Tsys + s2 2Tsys

(4.10)

Gw (s)n=3 =

1 2 + s3 8T 3 1 + s 4Tsys + s2 8Tsys sys

(4.11)

Gw (s)n=4 =

1 2 + s3 64T 3 + s4 64T 4 1 + s 8Tsys + s2 32Tsys sys sys

(4.12)

88

4 Verallgemeinerte Optimierungsverfahren

45°

Im

Im

Im

Im

Re

Re

Re

Re

-1 2Tsys

n=3

n=2

n=5

n=4

Abb.4.1: Polverteilung der Standardfunktionen mit Ordnung 2 . . . 5 (man beachte das doppelte konjugiert komplexe Polpaar bei n = 4)

Allgemein l¨aßt sich die Standardfunktion einer beliebigen Ordnung n > 1 nach folgender Formel ermitteln. Der Index i l¨auft dabei im Bereich 1 . . . n. 1

Gw (s) = 1 + ... +

i (2n−i−1) 2 2

i Tsys si + . . . + 2

n (n−1) 2

(4.13) n Tsys sn

¨ xmax Die Anregelzeit tan , die Ausregelzeit taus und das maximale Uberschwingen einiger Standardfunktionen sind in nachstehender Tabelle zusammengefaßt. Dabei wird von einer Kompensation der auftretenden Z¨ahlerterme mit einer entsprechender F¨ uhrungsgl¨attung ausgegangen. Ordnung n

tan Tsys

taus Tsys

xmax x0

2

(= BO)

4,64

8,64

1,05

3

(= SO)

7,52

13,28

1,08

4

14,40

24,00

1,06

5

29,00

49,50

1,06

6

60,00

99,00

1,05

7

117,00

209,00

1,06

¨ Abbildung 4.2 zeigt das Ubergangsverhalten bei Standardfunktionen der Ordnung 2 . . . 6, Abb. 4.3 die zugeh¨origen Frequenzkennlinien. Dabei werden die Kurven in Amplituden- und Phasengang f¨ ur ansteigende Ordnung n qualitativ immer ¨ahnlicher. Daraus folgt auch ein vergleichbares D¨ampfungsverhalten. Praktisch ¨ l¨aßt sich also das Verhalten dieser Ubertragungsfunktionen durch je einen Frequenzgang f¨ ur n = 2, n = 3 und durch eine mittlere Charakteristik f¨ ur n > 3 beschreiben.

4.1 D¨ ampfungsoptimum (DO)

89

F ührungsverhalten x w 2

3

5

4

n=6

1.0

0.5

0

0

20

40

60

80

Zeit

t T sys

¨ Abb. 4.2: Ubergangsverhalten bei Standardfunktionen des D¨ ampfungsoptimums

A mplitudengang 0 dB

| -F 0|

n=2 3

-40 dB

4 5

-80 dB 6 -120 dB

0.1

10

1

P hasengang j

0° n=2

5 -180°

6

3 4

-360° 0.1

1

Frequenz wT sys

Abb. 4.3: Frequenzg¨ange bei Standardfunktionen des D¨ ampfungsoptimums

4.1.3

Reglerauslegung nach dem D¨ ampfungsoptimum

Nachdem die gew¨ unschte F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion Gw wie oben gezeigt ¨ festgelegt ist, besteht die Aufgabe des Reglerentwurfs nun darin, die Ubertragungsfunktion GR (s) des Reglers zu bestimmen (siehe Regelkreisstruktur in Abb. 4.4).

90

4 Verallgemeinerte Optimierungsverfahren

w -e − 6

GR Regler

-

x -

r

GS Strecke

Abb. 4.4: Regelkreis mit Einheitsr¨ uckf¨ uhrung

F¨ ur die Optimierung wird im folgenden eine Regelstrecke mit der ¨ Ubertragungsfunktion der folgenden Form betrachtet. Die Variablen σ und τ geben die niedrigste und h¨ochste s-Potenz des Nenners an. Insbesondere σ kann dabei auch negativ sein, was auf das Vorhandensein eines differenzierenden Streckenanteils hinweist. GS (s) =

1 1 =  τ cσ sσ + cσ+1 sσ+1 + · · · + cτ sτ ci si

(4.14)

i=σ

¨ Die Ber¨ ucksichtigung m¨oglicher Z¨ahlerpolynome in der Ubertragungsfunktion ist aufwendig und wird in einem sp¨ateren Abschnitt behandelt. Die Struktur des zugeh¨origen Reglers lautet allgemein wie folgt. Die Variablen ρ und ν geben die niedrigste und h¨ochste s-Potenz der Regler¨ ubertragungsfunktion an. GR (s) = bρ sρ + bρ+1 sρ+1 + . . . + bν sν =

ν 

bi si

(4.15)

i=ρ

Es sind sowohl positive wie auch negative s-Potenzen erlaubt, was einem Aufbau des Reglers aus parallelgeschaltenen Integral-, Proportional- und Differentialanteilen entspricht. i<0 : i=0 : i>0 :

Integralanteile Proportionalanteil Differentialanteile

(s−1 , s−2 , . . . ) (s0 ) (s1 , s2 , . . . )

Damit l¨aßt sich die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises aufstellen. Die Koeffizienten gleicher Potenzen von s im Nenner k¨onnen dabei zu Summenkoeffizienten ai = bi + ci zusammengefaßt werden. Die Faktoren ci stellen die vorgegeben Koeffizienten der Strecke und bi die noch zu bestimmenden Reglerkoeffizienten dar. Einzelne Koeffizienten k¨onnen dabei den Wert 0 annehmen.

4.1 D¨ ampfungsoptimum (DO) ν 

GR (s) GS (s) Gw (s) = = 1 + GR (s) GS (s)

=

bρ

sρ

+ bρ+1

sρ+1

GR (s) GR (s) +

1 GS (s)

=  ν i=ρ

91

bi si

i=ρ

bi si +

τ 

(4.16) ci si

i=σ

bρ sρ + bρ+1 sρ+1 + · · · + bν sν (4.17) + · · · + bν sν + cσ sσ + cσ+1 sσ+1 + · · · + cτ sτ

ullen: Bei der Wahl der Reglerkoeffizienten bi sind nun zwei Bedingungen zu erf¨ Die Einstellung aller Doppelverh¨altnisse auf den Wert 0,5 muß erm¨oglicht werden, und gleichzeitig soll die station¨are Genauigkeit der Regelung sichergestellt sein. Station¨ are Genauigkeit Aus Gl. (4.17) ist zu erkennen, daß ρ die niedrigste s-Potenz im Z¨ahler ist. Im Nenner dagegen k¨onnte die niedrigste s-Potenz auch durch σ festgelegt sein, falls σ < ρ ist. Wenn station¨are Genauigkeit gefordert wird, muß lims→0 Gw (s) = 1 gelten, d.h. die Terme der niedrigsten s-Potenz in Z¨ahler und Nenner m¨ ussen gleich sein. Damit ist f¨ ur die niedrigste s-Potenz ρ des Reglers zu fordern: ρ

≤ σ−1

(4.18)

Um keinen rein differenzierenden Regler zu bekommen, muß aus Realisierbarkeitsgr¨ unden gleichzeitig ρ ≤ 0 gelten. Um die Ordnung der F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion Gw nicht unn¨otig zu erh¨ohen, w¨ahlt man ρ aber m¨oglichst groß. Damit gilt:  0 f¨ ur σ > 1 ρ = (4.19) σ − 1 f¨ ur σ ≤ 1 Einstellbarkeit der Doppelverh¨ altnisse Die obere Grenze ν der s-Potenzen im Reglerpolynom ergibt sich aus der Anzahl notwendiger Freiheitsgrade, um die gew¨ unschte Anzahl von Doppelverh¨altnissen einstellen zu k¨onnen. F¨ ur die folgende Herleitung werden Strecken mit σ ≤ 1 betrachtet, d.h. es gilt ρ = σ − 1. Das Nennerpolynom der F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion besitzt dann n = τ − ρ + 1 = τ − σ + 2 Koeffizienten. Da jedes Doppelverh¨altnis durch drei Nennerkoeffizienten bestimmt ist, k¨onnen damit n − 2 = τ − σ Doppelverh¨altnisse gebildet werden. F¨ ur jedes einzustellende Doppelverh¨altnis ist ein Reglerparameter notwendig. Damit ergeben sich f¨ ur die Anzahl ν − ρ + 1 = τ − σ der Reglerkoeffizienten die folgenden drei M¨oglichkeiten. Diese gelten auch f¨ ur den Fall ρ = 0. 1. Unterbestimmtes System: ν < τ − 2 Die Anzahl der Reglerparameter reicht zum Einstellen aller Doppelverh¨altnisse nicht aus (z.B. I-Regler bei PT2 -Strecke).

92

4 Verallgemeinerte Optimierungsverfahren

2. Einfach bestimmtes System: ν = τ − 2 Die Zahl der Reglerparameter entspricht der Anzahl aller Doppelverh¨altnisse (z.B. PI-Regler bei PT2 -Strecke). ¨ 3. Uberbestimmtes System: ν > τ − 2 Es stehen mehr Reglerparameter zur Verf¨ ugung als zum Einstellen aller Doppelverh¨altnisse notwendig (z.B. PID-Regler bei PT2 -Strecke). Im weiteren wird nur der Fall einfach bestimmter Systeme behandelt. D¨ ampfungsoptimum (DO) — Reglerauswahl ¨ Ubertragungsfunktion der Strecke (s-Potenzen σ . . . τ ): GS =

1 cσ sσ + cσ+1 sσ+1 + ... + cτ sτ

¨ Ubertragungsfunktion des Reglers (s-Potenzen ρ . . . ν): GR = bρ sρ + bρ+1 sρ+1 + . . . + bν sν mit dem Koeffizientenbereich des Reglers f¨ ur einfach bestimmte Systeme:  0 f¨ ur σ > 1 ρ = σ − 1 f¨ ur σ ≤ 1 ν = τ −2

Reglerauslegung Zur Herleitung der Einstellregeln wird zun¨achst die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion des Regelkreises umgeformt, indem durch den ersten Nennerkoeffizienten gek¨ urzt wird (mit ν = τ − 2). Gw =

bρ sρ + . . . + bν sν bρ sρ + (bρ+1 + cρ+1 )sρ+1 + . . . + (bτ −2 + cτ −2 )sτ −2 + cτ −1 sτ −1 + cτ sτ bρ+1 s + . . . + bbνρ sν−ρ bρ τ −2 τ −ρ−2 + bτ −2b+c s + cτb−1 sτ −ρ−1 ρ ρ

1+ =

1+

bρ+1 +cρ+1 s bρ

+ ...

+

cτ τ −ρ s bρ

(4.20)

Die Forderung, alle Doppelverh¨altnisse auf den Wert 0,5 einzustellen, ergibt f¨ ur diese umgestellte Form das folgende Wunschpolynom der Ordnung n = τ − ρ f¨ ur den Nenner der F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion aus Gl. (4.13): 1 + 2n−1 Tsys s + . . . + 2

i (2n−i−1) 2

i Tsys si + . . . + 2

n (n−1) 2

n Tsys sn

(4.21)

4.2 Beispiele zum D¨ ampfungsoptimum

93

Durch Koeffizientenvergleich mit dem Nenner aus Gl. (4.20) ergibt sich die Einstellbedingung wie folgt. Die Systemzeit Tsys und die Ersatzzeitkonstante Ters sind dabei: Tsys =

cτ cτ −1

Ters = 2n−1 · Tsys

(4.22) (4.23)

Ein in Gl. (4.20) auftretender Z¨ahlerterm der F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion muß durch eine F¨ uhrungsgl¨attung GG kompensiert werden. Ebenso ist auch eine ¨aquivalente Sollwertgl¨attung nach Kap. 4.3 m¨oglich. D¨ ampfungsoptimum (DO) — Einstellregeln Reglerkoeffizienten:

bi = 2

−

(τ − i)(τ − i − 1)

τ − i cτ −1 2 · cτ · − ci cτ

mit dem Laufindex i: ρ ≤i ≤ν F¨ uhrungsgl¨attung: GG (s) =

4.2

1 bρ+1 bν 1+ s + . . . + sν−ρ bρ bρ

Beispiele zum D¨ ampfungsoptimum

Anhand von Beispielen f¨ ur verschiedene Streckenordnungen soll deutlich gemacht werden, daß die bisherigen Optimierungskriterien (Betrags- und Symmetrisches Optimum) nur Spezialf¨alle des D¨ampfungsoptimums darstellen. PT1 -Strecke mit I-Regler ¨ Die Ubertragungsfunktion der Strecke in Abb. 4.5 mit dem Koeffizientenbereich von σ = 0 bis τ = 1 lautet: GS (s) =

VS 1 = 1 Tσ 1 + sTσ +s VS VS

(4.24)

94

4 Verallgemeinerte Optimierungsverfahren

VR w -e − 6

VS

1

1

u-

Regler

Tσ

-

r

x -

Streckenanteile

Abb. 4.5: Regelkreis: PT1 -Strecke mit I-Regler

Daraus ergeben sich die Nennerkoeffizienten c0 = cτ −1 =

1 VS

und

c1 = cτ =

Tσ VS

(4.25)

und die Systemzeit Tsys =

cτ cτ −1

= Tσ

(4.26)

Da σ ≤ 1 ist, wird der Koeffizientenbereich des Reglers festgelegt zu: ρ = σ − 1 = −1

ν = τ − 2 = −1

bis

(4.27)

¨ Der Regler enth¨alt damit nur einen I-Anteil und besitzt die Ubertragungsfunk−1 tion GR = b−1 s . Um den Koeffizienten b−1 zu bestimmen, muß die Gleichung der Einstellregeln (Seite 93) f¨ ur i = −1 ausgewertet werden. Da die Strecke keine negative s-Potenz besitzt, ist c−1 = 0 und man erh¨alt: b−1 = 2 −1 ·

Tσ 1 1 · − c−1 = VS Tσ2 2Tσ VS

(4.28)

Damit ist die Regler¨ ubertragungsfunktion: GR (s) = b−1 s−1 =

1 VR = s 2Tσ VS s

(4.29)

Mit Tsys = Tσ wird die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion des Regelkreises Gw (s) =

1 1 = 2 2 2 1 + s 2Tsys + s2 2Tsys 1 +s 2T σ +s 2Tσ    a0 a1 a2

(4.30)

Das zugeh¨orige Doppelverh¨altnis ist dann: D2 =

2Tσ2 · 1 a2 a0 = = 0, 5 (2Tσ )2 a21

(4.31)

F¨ ur diesen Fall ist das erhaltene Ergebnis identisch dem Betragsoptimum, welches damit einen Spezialfall des D¨ampfungsoptimums darstellt.

4.2 Beispiele zum D¨ ampfungsoptimum

Tσ

VR Tn 1 w  - e -  u − 6 Regler

VS

95

1

-

r

x -

Streckenanteile

Abb. 4.6: Regelkreis: IT1 -Strecke mit PI-Regler

IT1 -Strecke mit PI-Regler ¨ Die Ubertragungsfunktion der Strecke in Abb. 4.6 mit dem Koeffizientenbereich von σ = 1 bis τ = 2 lautet: GS (s) =

VS = s (1 + sTσ )

1 Tσ 1 s + s2 VS VS

(4.32)

Daraus ergeben sich die Nennerkoeffizienten: c1 = cτ −1 =

1 VS

und

c2 = cτ =

Tσ VS

(4.33)

Da σ ≤ 1 ist, wird der Koeffizientenbereich des Reglers festgelegt zu: ρ = σ−1 = 0

bis

ν = τ −2 = 0

(4.34)

¨ Der Regler w¨ urde damit nur einen P-Anteil enthalten und die Ubertragungsfunktion GR = b0 besitzen. Dies w¨ urde ausreichen, damit keine station¨are Regelabweichung bei einem Sprung der F¨ uhrungsgr¨oße auftritt. In diesem Fall soll jedoch der Regler auf eine PI-Struktur erweitert werden, um auch die vollst¨andige Ausregelung von St¨orungen zu erm¨oglichen. Der Regler ¨ erh¨alt damit die Ubertragungsfunktion GR = b−1 s−1 +b0 , was einer neuen unteren Grenze der Koeffizienten von ρ = −1 entspricht. Damit wird auch die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion des Regelkreises um eine Ordnung vergr¨oßert. Um die Koeffizienten b−1 und b0 zu bestimmen, muß die Gleichung der Einstellregeln (Seite 93) f¨ ur i = −1 und i = 0 ausgewertet werden. Da die Strecke keinen Durchgriff und keine negative s-Potenz besitzt, sind c−1 = 0 bzw. c0 = 0 und man erh¨alt: b−1 = 2 −3 ·

Tσ 1 1 · 3 −0 = VS Tσ 8Tσ2 VS

(4.35)

b0 = 2 −1 ·

Tσ 1 1 · −0 = VS Tσ2 2Tσ VS

(4.36)

96

4 Verallgemeinerte Optimierungsverfahren

Damit ist die Regler¨ ubertragungsfunktion in Summen- und Produktform: GR (s) = b−1 s−1 + b0 = =

1 1 + 2 s 8Tσ VS 2Tσ VS

1 1 + s 4Tσ 1 + s Tn · = VR · 2Tσ VS s 4Tσ s Tn

(4.37)

mit VR = 1/(2Tσ VS ) und Tn = 4Tσ darstellbar. Mit Tsys = Tσ wird die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion des Regelkreises: Gw (s) =

1 + s 4Tσ 1 + s 4Tσ + s2 8Tσ2 + s3 8Tσ3     a0 a1 a2 a3

(4.38)

Das Z¨ahlerpolynom der F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion muß mit einem Vorfilter (F¨ uhrungsgl¨attung GG ) kompensiert werden. GG (s) =

1 1 = b0 1 + s4Tσ 1+ s b−1

(4.39)

Die zugeh¨origen Doppelverh¨altnisse sind dann: D2 =

a2 a0 = 0, 5 a21

und

D3 =

a3 a1 = 0, 5 a22

(4.40)

F¨ ur diesen Fall ist das erhaltene Ergebnis identisch mit dem Symmetrischen Optimum. Damit kann auch das Symmetrische Optimum als Spezialfall des D¨ampfungsoptimums gesehen werden. Zweifache PT1 -Strecke mit PI-Regler ¨ Die Ubertragungsfunktion der Strecke in Abb. 4.7 mit dem Koeffizientenbereich von σ = 0 bis τ = 2 lautet: VR Tn 1 w - e -  u − 6 Regler

Tσ

VS -

T1 r

x -

Streckenanteile

Abb. 4.7: Regelkreis: Zweifache PT1 -Strecke mit I-Regler

4.2 Beispiele zum D¨ ampfungsoptimum

VS 1 1 · = T1 + Tσ 1 T1 Tσ 1 + sT1 1 + sTσ +s + s2 VS VS VS Daraus ergeben sich die Nennerkoeffizienten 1 T1 + Tσ T1 Tσ , c1 = cτ −1 = , c2 = c τ = c0 = cτ −2 = VS VS VS und die Systemzeit cτ T1 Tσ = Tsys = cτ −1 T1 + Tσ Da σ ≤ 1 ist, wird der Koeffizientenbereich des Reglers festgelegt zu: GS (s) =

ρ = σ − 1 = −1

97

(4.41)

(4.42)

(4.43)

ν = τ −2 = 0 (4.44) ¨ Der Regler besitzt damit eine PI-Struktur mit der Ubertragungsfunktion GR = b−1 s−1 + b0 . Die Koeffizienten b−1 und b0 ergeben sich mit c−1 = 0 zu:

3 T1 + Tσ (T1 + Tσ )3 −3 T1 Tσ b−1 = 2 · · −0 = (4.45) VS T1 Tσ 8T12 Tσ2 VS

2 1 T 2 + Tσ2 T1 + Tσ −1 T1 Tσ · − = 1 (4.46) b0 = 2 · VS T1 Tσ VS 2T1 Tσ VS bis

Damit ist die Regler¨ ubertragungsfunktion: (T1 + Tσ )3 T12 + Tσ2 + (4.47) s 8T12 Tσ2 VS 2T1 Tσ VS 2 Tσ 1+ T1 1 + s 4Tσ

3 Tσ

1 + T2 T1 1 + s 4Tσ k1 T1 T1 · 1 + σ2 · = · k2 · = 2 2Tσ VS T1 2T V s 4Tσ k1 Tσ σ S 1+ T1 s 4Tσ

3 Tσ 1+ T1

GR (s) = b−1 s−1 + b0 =

Dies entspricht der Form des erweiterten Symmetrischen Optimums mit den Korrekturfaktoren k1 und k2 nach Gl. (3.82) und (3.83). F¨ ur den Fall Tσ  T1 (und damit k1 → 1 bzw. k2 → 1) vereinfacht sich die Regler¨ ubertragungsfunktion n¨aherungsweise zur Standardform bei der Optimierung nach dem Symmetrischen Optimum: T1 1 + s 4Tσ GR (s) ≈ · (4.48) 2Tσ VS s 4Tσ Die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion Gw , das Gl¨attungsfilter GG und die sich ergebenden Doppelverh¨altnisse D2 und D3 entsprechen denen des vorangehenden Beispiels.

98

4 Verallgemeinerte Optimierungsverfahren

4.3

Z¨ ahlerpolynom und ¨ aquivalente Sollwertgl¨ attung

Beim D¨ampfungs- wie auch beim Symmetrischen Optimum tritt h¨aufig ein Z¨ahlerpolynom in der F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion auf. Dieses ist in der Regel nicht erw¨ unscht und kann durch eine entsprechende F¨ uhrungsgl¨attung kompensiert werden (siehe Abb. 4.8). Dazu wird der Sollwert durch ein ¨ Filter mit der inversen Ubertragungsfunktion des Z¨ahlerpolynoms gegl¨attet. ¨ Mit der Ubertragungsfunktion GG der F¨ uhrungsgl¨attung ergibt sich f¨ ur die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion Gw des Regelkreises: G w = GG ·

w -

GG

 we − 6

F¨ uhrungsgl¨ attung

G R GS 1 + G R GS

GR Regler

-

(4.49)

r

GS

x -

Strecke

Abb. 4.8: Regelkreis mit F¨ uhrungsgl¨ attung

Alternativ dazu bietet sich eine Zerlegung des Reglers in zwei Teil¨ ubertragungsfunktionen GR1 und GR2 in Verbindung mit einer Reglerstruktur nach Abb. 4.9 an, so daß weiterhin die gleiche F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion Gw wie in Gl. (4.49) erzielt wird. Dadurch kann die explizite F¨ uhrungsgl¨attung ¨ eingespart und so der Implementierungsaufwand verringert werden. Die Ubertragungsfunktion GR des Reglers wird dazu wie folgt zerlegt: GR = GR1 + GR2 = GG GR + (1 − GG ) · GR       GR1 GR2

w -e GR1 − 6

 w -e − 6

Regler Teil 1 Regler Teil 2

GS

r

x -

Strecke

GR2 6 r

Abb. 4.9: Regelkreis mit ¨ aquivalenter Sollwertgl¨ attung

(4.50)

4.3 Z¨ ahlerpolynom und ¨ aquivalente Sollwertgl¨ attung

99

F¨ ur diese Regelkreisstruktur ver¨andert sich das Nennerpolynom nicht gegen¨ uber dem urspr¨ unglichen Ansatz, und es ergibt sich: Gw (s) =

GS x(s) =  w (s) 1 + GR2 GS

Gw (s) =

GR1 Gw x(s) GR1 GS = =  w(s) 1 + GR1 Gw 1 + GR1 GS + GR2 GS

(4.51)

¨ Damit ergibt sich dieselbe Ubertragungsfunktion wie in Gl. (4.49). Beispiel: PI-Regler bei IT1 -Strecke Am Beispiel einer IT1 -Strecke mit PI-Regler kann die oben hergeleitete Reglerzer¨ legung veranschaulicht werden. Es sind die Ubertragungsfunktionen GS und GR der Strecke bzw. des Reglers eines Regelkreises nach Abb. 4.8 sowie die daraus resultierende F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion Gw ohne F¨ uhrungsgl¨attung gegeben. GS =

VS 1 · sT1 1 + sTσ

GR = V R · Gw =

1 + sTn sTn

1 + sTn Tn T1 Tn T1 Tσ 1 + sTn + s + s3 VR VS VR VS

(4.52) (4.53) (4.54)

2

Um den auftretenden Z¨ahlerterm in Gw zu kompensieren, erfolgt eine ¨ F¨ uhrungsgl¨attung mit der Ubertragungsfunktion: GG =

1 1 + sTn

(4.55)

Um diese explizite F¨ uhrungsgl¨attung durch eine Reglerstruktur nach Abb. 4.9 einzusparen, wird nun der Regler nach Gl. (4.50) in zwei Teil¨ ubertragungsfunktionen zerlegt: 1 1 + sTn VR · VR · = 1 + sTn sTn sTn

1 1 + sTn · VR · = (1 − GG ) · GR = 1 − = VR 1 + sTn sTn

GR1 = GG GR =

(4.56)

GR2

(4.57)

Damit l¨aßt sich die ¨aquivalente Sollwertgl¨attung nach Abb. 4.9 darstellen. Diese ist mathematisch identisch mit der Struktur in Abb. 4.8.

100

4.4

4 Verallgemeinerte Optimierungsverfahren

Erweitertes D¨ ampfungsoptimum

In seiner erweiterten Form kann das D¨ampfungsoptimum auch auf Strecken angewendet werden, die ein Z¨ahlerpolynom und damit einen differenzierenden Anteil enthalten. Grunds¨atzlich gibt es daf¨ ur verschiedene Vorgehensweisen. Neben den Sonderf¨allen, die eine Kompensation oder die Anwendung der Divisionsmethode zulassen, wird die allgemeine Herleitung u ¨ber die Betragsanschmiegung behandelt. ¨ ¨ Im folgenden wird die Ubertragungsfunktion GS der Strecke durch die Ubertragungsfunktionen ZS und NS des Z¨ahlers bzw. des Nenners dargestellt. GS (s) =

4.4.1

ZS (s) NS (s)

(4.58)

Kompensation des Z¨ ahlerpolynoms

In bestimmten F¨allen kann das Z¨ahlerpolynom der Strecke durch ein Gl¨attungsfilter, das zwischen Reglerausgang und Streckeneingang eingef¨ ugt wird, kompen¨ siert werden. Dieses Gl¨attungsfilter GG besitzt die inverse Ubertragungsfunktion des Z¨ahlers: 1 GG (s) = (4.59) ZS (s) Damit ergibt sich f¨ ur die Reglerauslegung die gegl¨attete Strecken¨ ubertragungsfunktion GS , f¨ ur die der Regler in bekannter Weise ermittelt werden kann. GS (s) = GG (s) · GS (s) =

1 NS (s)

(4.60)

Zu beachten ist allerdings, daß Nullstellen des Z¨ahlers ZS , die in der rechten s-Halbebene liegen, nicht kompensierbar sind. 4.4.2

Divisionsmethode

Ist eine direkte Kompensation nicht m¨oglich oder erw¨ unscht, kann zur Reglerauslegung eine Ersatzfunktion gebildet werden. Dazu wird die Strecken¨ ubertragungsfunktion durch Polynomdivision von Nenner durch Z¨ahlerpolynom angen¨ahert. 1 1 ZS (s) GS (s) = ≈  = (4.61) NS (s) NS (s) NS (s) ZS (s) Im allgemeinen wird dabei ein Restglied u ¨brig bleiben. Falls dieses vernachl¨assigbar klein gegen¨ uber der neuen Funktion ist, sind durch diese Methode einfache Ersatzfunktionen f¨ ur die Reglerauslegung zu erhalten.

4.4 Erweitertes D¨ ampfungsoptimum

101

Es sei darauf hingewiesen, daß die Koeffizienten der Ersatzfunktion negativ oder Null sein k¨onnen. In diesem Fall besitzen nicht mehr alle Pole des Ersatzpolynoms 1/NS negative Realteile und die Divisionsmethode ist aus Stabilit¨atsgr¨ unden nicht anwendbar. 4.4.3

Allgemeine Methode f¨ ur Strecken mit Z¨ ahlerpolynomen

Falls die Kompensationsmethode und die Divisionsmethode nicht anwendbar sind, muß eine allgemeine Rechenvorschrift f¨ ur Strecken mit Z¨ahlerpolynomen gefunden werden. Die im folgenden vorgestellte Methode basiert auf der in Kap. 3.1.3 hergeleiteten Bedingung der Betragsanschmiegung. Ausgehend von der Darstellung des Reglers GR (s) =

ZR (s) NR (s)

(4.62)

mit Z¨ahlerpolynom ZR und Nennerpolynom NR ergibt sich die folgende F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion Gw . Dabei treten im Z¨ahler von Gw sowohl die Nullstellen des Reglers als auch die der Strecke auf. Gw (s) =

ZR (s) ZS (s) b0 + b1 s + · · · + bm sm = NR (s) NS (s) + ZR (s) ZS (s) a0 + a1 s + . . . + an sn

(4.63)

Die Forderung der Betragsanschmiegung bedeutet, den Frequenzgang der F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion |Fw (jω)| bis zu m¨oglichst hohen Frequenzen bei dem Wert Eins bzw. den Phasenwinkel gering zu halten (Phasenminimumsystem). |Fw (jω)|2 =

B0 + B2 ω 2 + B4 ω 4 + . . . A0 + A2 ω 2 + A4 ω 4 + . . .

(4.64)

Damit ergeben sich f¨ ur die Koeffizienten ai und bi die Bedingungen nach Gl. (3.45): A0 = B0 A2 = B2 A4 = B4 .. .

−→ a20 = b20 −→ −2a0 a2 + a21 = b21 − 2b0 b2 −→ 2a0 a4 − 2a1 a3 + a22 = b22 − 2b1 b3 + 2b0 b4 .. .

(4.65)

F¨ ur ein System n-ter Ordnung kann eine anschauliche Darstellung von Gl. (4.63) gefunden werden, indem die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion f¨ ur a0 = b0 und m = n − 1 in die folgende Gleichung umgeformt wird (siehe Signalflußplan nach Abb. 4.10). Gw (s) =

1 + sTZn−1 + s2 TZn−2 TZn−1 + . . . + sn−1 TZ1 TZ2 · . . . · TZn−1 1 + sTN n + s2 TN n−1 TN n + · · · + sn TN 1 TN 2 · · · · · TN n

(4.66)

102

4 Verallgemeinerte Optimierungsverfahren

···  r − w -? e-

1 sTNn



-

− · · · - e?

1 sTN1

r

r-



- e6

···

r-

···

sTZn−1



- e x6 - sT



Z1



n − 1 Differenzierer

n Integratoren

Abb. 4.10: Signalflußplan eines Systems n-ter Ordnung

Durch schrittweise Anwendung der obigen Optimierungsbedingungen auf Gl. (4.66) ergibt sich nach l¨angerer Rechnung ein Gleichungssystem (n − 1)-ter Ordnung: 2 TN2 2 − 2TN 1 TN 2 = TZ1 2 TN2 3 − 2TN 2 TN 3 = TZ2 − 2TZ1 TZ2 2 TN2 4 − 2TN 3 TN 4 = TZ3 − 2TZ2 TZ3

(4.67)

.. . 2 TN2 n − 2TN n−1 TN n = TZn−1 − 2TZn−2 TZn−1

Bei diesem Vorgehen wird der Nenner der F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion so festgelegt, daß das Z¨ahlerpolynom ber¨ ucksichtigt und ein d¨ampfungsoptimales F¨ uhrungsverhalten erzwungen wird. Die Integrationskonstanten TN 2 . . . TN n k¨onnen durch Aufl¨osung direkt berechnet werden zu:  2 TN 2 = TN 1 ± TN2 1 + TZ1 2 2 TN 3 = TN 2 ± TN 2 + TZ2 − 2TZ1 TZ2 2 2 TN 4 = TN 3 ± TN 3 + TZ3 − 2TZ2 TZ3 (4.68) .. . TN n = TN n−1 ±

2 TN2 n−1 + TZn−1 − 2TZn−2TZn−1

Die Bestimmungsgleichungen f¨ ur TN i (mit i = 2 . . . n) k¨onnen zu nicht realisierbaren Reglerkoeffizienten f¨ uhren, wenn eine ung¨ unstige Reglerordnung gew¨ahlt wird. In der Tabelle auf Seite 104 sind die bevorzugten Strecken und Reglerkonfigurationen sowie die jeweiligen Beschr¨ankungen angegeben.

4.4 Erweitertes D¨ ampfungsoptimum

103

Die Einschr¨ankungen bei den Realisierungen des D¨ampfungsoptimums, die durch konventionelle Reglerstrukturen bedingt sind, k¨onnen durch Zustandsregelungskonzepte vermieden werden. Abschließend soll festgehalten werden: • Das D¨ampfungsoptimum enth¨alt das Betragsoptimum, das Symmetrische Optimum und das erweiterte Symmetrische Optimum als Spezialf¨alle. • Das Betrags- und das Symmetrische Optimum sind auf nicht-schwingungsf¨ahige Regelstrecken beschr¨ankt und bei Strecken h¨oherer Ordnung nur bedingt einsetzbar. Wesentlich g¨ unstiger ist das Verfahren des D¨ampfungsoptimums, da hier Strecken hoher Ordnung und Strecken mit konjugiert komplexen Polpaaren zugelassen sind. • Im Gegensatz zum Betrags- und Symmetrischen Optimum kann das D¨ampfungsoptimum auf Strecken mit Z¨ahlerpolynom und auf F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktionen mit Z¨ahlerterm erweitert werden. Siehe auch [4, 12, 22, 23, 49] im Literaturverzeichnis.

w -e − 6

1 sTn

-e − 6

VR

-

VS

1 + sb1 2 1 + s2DT11 + s2 T11

r

Abb. 4.11: Besondere Reglerstruktur

r

-

104

4 Verallgemeinerte Optimierungsverfahren

Strecke

VS

Einstellregel

1 + sb1 (1 + sT1 )(1 + sTσ )

VR

VR =

1 T12 + Tσ2 − b21 · 2VS (b1 − T1 )(b1 − Tσ )

1 + sb1 sT1 (1 + sTσ )

VR

VR =

1 T1 · 2VS Tσ − b1

VS

1 T1 Tσ · + 2VS Tσ T1 (T1 + Tσ ) · (T12 + Tσ2 ) Tn = T12 + T1 Tσ + Tσ2

1 (1 + sT1 )(1 + sTσ )

VR

1 + sTn sTn

VR =

1 2 1 + s2DT11 + s2 T11

VR

1 + sTn sTn

VR =

siehe

Tn =

VS

VS

Regler

VS

1 + sb1 (1 + sT1 )(1 + sTσ )

Abb. 4.11

1 (2D2 − 1) VS DT11 · (2D2 − 1) Tn = D2 − 0, 25 2a2 VR VS b1 (a1 + VR VS b1 )2 − 2a2 (1 + VR VS ) √ 1 K1 + K2 VR = · VS K3

Bedingung

VR VS 1 b1 < T σ VR 1 b1 < T σ

—

D > 0.5

b1 < T σ

K1 = a1 (a1 b1 − a2 − b21 ) K2 = a2 (a21 a2 − b1 (a31 + 2a1 a2 )+ +b21 (3a21 + a2 ) − b31 3a1 + b41 ) K3 = b1 (a2 + b1 (b1 − a1 )) a1 = T1 + Tσ a2 = T1 Tσ

VS

1 + sb1 2 1 + s2DT11 + s2 T11

siehe Abb. 4.11

2a2 VR VS b1 (a1 + VR VS b1 )2 − 2a2 (1 + VR VS ) √ 1 K1 + K2 VR = · VS K3 Tn =

K1 = a1 (a1 b1 − a2 − b21 ) K2 = a2 (a21 a2 − b1 (a31 + 2a1 a2 )+ +b21 (3a21 + a2 ) − b31 3a1 + b41 ) K3 = b1 (a2 + b1 (b1 − a1 )) a1 = 2DT11 2 a2 = T11

D > 0.5 b1 < T11

4.5 Reglerentwurf durch G¨ utefunktionale

4.5

105

Reglerentwurf durch Gu ¨tefunktionale

In den vorigen Kapiteln wurde der Regler aufgrund der Streckenstruktur und der Streckendaten sowie des gew¨ unschten F¨ uhrungs- bzw. St¨orverhaltens direkt ermittelt. Ein anderes Vorgehen beim Reglerentwurf verwendet als Ausgangspunkt ein G¨ utekriterium. Dieses G¨ utekriterium bewertet z.B. den zeitlichen Verlauf des Regelfehlers xd (t). Es k¨onnen aber auch andere Gr¨oßen wie die Stellgr¨oße y(t), die Stellenergie oder weitere relevante Gr¨oßen im G¨ utekriterium ber¨ ucksichtigt werden. Das Ziel des Vorgehens ist, entweder das G¨ utekriterium zu maximieren oder als gegens¨atzliches Kriterium das Kostenkriterium“ zu minimieren. ” Prinzipiell gibt es unterschiedliche G¨ ute- bzw. Kosten-Kriterien; die einfachsten Kostenkriterien sind in Tabelle 4.1 zusammengestellt. Tabelle 4.1: Kostenindizes f¨ ur die Parameteroptimierung

Abk¨ urzung

Bezeichung

Kostenindex (Regelfl¨ache) ∞

IAE

Betragslineare Regel߬ache

|xd (t)|dt

0 ∞

ISE

Quadratische Regel߬ache

x2d (t)dt

0 ∞

ITAE

Zeitgewichtete betragslineare Regel߬ache

t|xd (t)|dt 0 ∞

ITSE

Zeitgewichtete quadratische Regel߬ache

tx2d (t)dt

0

Abk¨ urzungen: I: Integral; A: Absolute; E: Error; S: Square; T: Time Bei diesem Vorgehen mit einem Kostenkriterium wird als Eingangsgr¨oße des geschlossenen Regelkreises eine Sprungfunktion σ(t) angenommen. Die Strecke sei linear und zeitinvariant, der Regler sei in der Struktur bekannt und die Parameter des Reglers sind so zu w¨ahlen, daß der Regelkreis stabil, der Regelfehler xd (t → ∞) = 0 und das Kostenkriterium minimiert wird. Die Kostenkriterien aus Tabelle 4.1 bewerten somit den zeitlichen Verlauf von xd (t) insgesamt, entweder alleine mit der Betrags- (Absolute) oder der Parabelfunktion (Square) oder in Kombination mit einer zeitlichen (Time) Zusatzbewertung. Bei den beiden ersten Kriterien wird die anf¨angliche“ Regeldifferenz hoch ” bewertet, so daß eine m¨oglichst schnelle Reaktion auf den Sollwertsprung er¨ folgen wird, dies wird aber ein Uberschwingen des Istwerts zur Folge haben. Demgegen¨ uber wird bei den beiden letzten Kriterien die sp¨atere“ Regeldifferenz ” hoch bewertet, so daß eine weichere“ Anfangsreaktion und damit ein geringeres ”

106

4 Verallgemeinerte Optimierungsverfahren

¨ Uberschwingen die Folge dieser Optimierung ist. Andere Kostenfunktionen sind selbstverst¨andlich entsprechend den Erfordernissen der Anwendung m¨oglich. Als Beispiel wird f¨ ur den Fall der Minimierung der quadratischen Regelfl¨ache (ISE-Kostenkriterium) die optimale Parameterkombination zusammengestellt [11] (siehe auch Rechenbeispiel in Kap. 16.7.1). Es gelte   b0 + b1 s + · · · + bn−1 sn−1 1  xd (s) = ω(s) · = (4.69)  1 + G0 (s) Gr (s) = −1 a0 + a1 s + · · · + an sn und f¨ ur n = 1 bis 4 ergeben sich aus der Berechnung des ISE-Kostenkriteriums die Ergebnisse in Tabelle 4.2. Tabelle 4.2: Quadratische Regelfl¨ achen (ISE) f¨ ur n = 1 bis 4 ∞

n

ISE-Kostenindex J =

x2d (t)dt

0

1

b20 2a1 a0

2

a0 b21 + a2 b20 2a2 a1 a0

3

a0 a1 b22 + a0 a3 (b21 − 2b0 b2 ) + a2 a3 b20 2a3 a0 (a1 a2 − a0 a3 )

4

a0 (a1 a2 −a0 a3 )b23 +a0 a1 a4 (b22 −2b1 b3 )+a0 a3 a4 (b21 −2b0 b2 )+a4(a2 a3 −a1 a4 )b20 2a4 a0 (a1 (a2 a3 − a1 a4 ) − a0 a23 )

Diese Kostenkriterien m¨ ussen zur Bestimmung der optimalen Reglerparameter minimiert werden. Dies kann bei niederer Systemordnung analytisch erfolgen, bei hoher Ordnung kann auf numerische Verfahren jedoch nicht verzichtet werden, da die zu minimierenden Kostenfunktionen sehr kompliziert werden. Faßt man alle Reglerparameter im Vektor p zusammen so stellt sich das zu l¨osende Problem wie folgt dar: L¨ose das, im allgemeinen nichtlineare, Gleichungssystem ∂J =0 (4.70) ∂p nach den gesuchten Reglerparametern p auf. Diese Bedingung ist jedoch nicht hinreichend, und es m¨ ussen somit noch zweite Ableitungen herangezogen werden, ob es sich tats¨achlich um ein Minimum handelt. Das gezeigte Verfahren ist prinzipiell f¨ ur alle linearen Regelkreise anwendbar. Es ist jedoch nicht gesichert, daß es bei jeder Strecken- Reglerkombination auch tats¨achlich ein Minimum geben muß. Das G¨ utekriterium J kann auch eine monoton steigende oder fallende Funktion ohne Extremwerte sein. Das Verfahren

4.5 Reglerentwurf durch G¨ utefunktionale

107

der Kostenminimierung stellt somit nur ein Hilfsmittel, aber keine systematische Vorgehensweise zur Reglereinstellung dar. Diese Problematik soll an den folgenden zwei Beispielen gezeigt werden. Beispiel 1 Gegeben sei die Regler- und Streckenkonfiguration nach dem Betragsoptimum. GS (s) =

KS (1 + T1 s)(1 + T2 s)

GR (s) =

KR · (1 + TR s) s

(T1 > T2 )

(4.71) (4.72)

Wird die große Zeitkonstante T1 mit der Reglerzeitkonstanten TR kompensiert (TR = T1 ), so ergibt sich der Regelfehler xd (s) bei sprungf¨ormiger Anregung zu xd (s) =

1 + T2 s KS KR + s + T2 s2

(4.73)

Gem¨aß Tabelle 4.2 ergibt sich die quadratische Kostenfunktion J (ISE) zu: J=

1 KS KR T22 + T2 · 2 KS KR T2

(4.74)

Die Differentiation von J nach KR liefert keine L¨osung. Der Verlauf von J(KR ) ist in Abb. 4.12 dargestellt. Die physikalische Interpretation von Abb. 4.12 besagt, daß das Kostenkriterium J f¨ ur KR → ∞ am kleinsten wird. Dies kann in Anwendungen jedoch nicht realisiert werden. Das ISE-Kostenfunktional liefert f¨ ur die gew¨ahlte Systemkonfiguration damit keinen optimalen Wert f¨ ur die Reglerverst¨arkung KR . An dieser Stelle sei daran erinnert, daß die Regler- und Streckenkonfiguration nach Gl. (4.71) und (4.72) der Optimierungsaufgabe nach dem Betragsoptimum (BO) entspricht. Die erste Optimierungsbedingung beim BO ist TR = T1 (s.o.) und die zweite Bedingung lautet KR = 1/KS · 1/2T2 .

108

4 Verallgemeinerte Optimierungsverfahren ISE Kostenfunktion 2

1.8

1.6

1.4

R

J(K )

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

2

4

6

8

10 KR

12

14

16

18

20

Abb. 4.12: Verlauf des Kostenindex ISE f¨ ur einen BO-Regelkreis bei Kompensation der großen Zeitkonstanten T1

Beispiel 2 Betrachtet man nun eine Regelstrecke mit einer zus¨atzlichen Summenzeitkonstanten Tσ , und verwendet man ebenfalls einen PI-Regler, so ergibt sich die Systemkonfiguration gem¨aß Gl. (4.75) und (4.76). GS (s) =

KS (1 + T1 s)(1 + T2 s)(1 + Tσ s)

GR (s) =

KR · (1 + TR s) s

(T1 > T2 )

(4.75) (4.76)

Der Regelfehler xd (s) ergibt sich bei sprungf¨ormiger Anregung und Kompensation der großen Zeitkonstante T1 (TR = T1 ) nun zu: xd (s) =

1 + (Tσ + T2 )s + T2 Tσ s2 KS KR + s + (T2 + Tσ )s2 + T2 s3

(4.77)

Die Kostenfunktion kann ebenfalls noch analytisch angegeben werden. Aus Tabelle 4.2 liest man ab: J=

1 (KS KR T22 Tσ2 + KS KR T2 Tσ ((Tσ + T2 )2 − 2T2 Tσ ) + (Tσ + T2 )T2 Tσ ) · 2 T2 Tσ KS KR (Tσ + T2 − KS KR T2 Tσ ) (4.78)

4.5 Reglerentwurf durch G¨ utefunktionale

109

Die Differentiation und anschließende L¨osung der beiden Gleichungen liefert zwei L¨osungen. Ein Extremwert ergibt sich f¨ ur KR > 0 ein weiterer f¨ ur KR < 0. Die Disskussion soll wieder anhand des Verlaufes von J(KR ) erfolgen (siehe Abb. 4.13). Der negative Extremwert scheidet f¨ ur regelungstechnische Betrachtungen aus, da der Regelkreis sonst instabil werden w¨ urde. F¨ ur positive KR ist deutlich genau ein Minimum zu erkennen. Die Stabilit¨atsgrenze des Regelkreises ist erreicht, sobald das G¨ utefunktional zum erstenmal gegen ∞ strebt. Es ergibt sich also genau eine L¨osung bei dem hier angewandten ISE-Kriterium. Die ¨ Sprungantwort des Regelkreises zeigt wie erwartet starkes Uberschwingen, da der Faktor Zeit im G¨ utekriterium nicht ber¨ ucksichtigt wurde (siehe Abb. 4.14). Generell soll angemerkt werden, daß dieser Weg der Parameteroptimierung sehr schnell schwierig wird. Aufgrund der heute verf¨ ugbaren Simulationsprogramme und der zugeh¨origen numerischen Auslegungs- und Optimierungsverfahren ist die Festlegung der Reglerparameter mittels G¨ utefunktional oder Kostenfunktion aber ein interessantes Werkzeug, welches insbesondere bei komplexen Regelstrecken sehr hilfreich sein kann.

110

4 Verallgemeinerte Optimierungsverfahren

ISE Kostenfunktion 2

1.5

1

R

J(K )

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2 -40

-30

-20

-10

0 KR

10

20

30

40

Abb.4.13: Verlauf des Kostenindex ISE f¨ ur eine P T3 -Strecke mit PI-Regler und Kompensation der großen Zeitkonstanten T1

Abb. 4.14: Sprungantwort des nach ISE optimierten Regelkreises

4.6 Reglerauslegung mit MATLAB

4.6

111

Reglerauslegung mit MATLAB

In diesem Abschnitt wird die Reglerauslegung mit Hilfe des Simulationsprogrammes MATLAB1) beschrieben. Voraussetzung hierf¨ ur ist das Vorhandensein der MATLAB Control System Toolbox. Das Vorgehen wird am Beispiel eines Zweimassenschwingers verdeutlicht [2]. Der Zweimassenschwinger wird ausf¨ uhrlich in Kap. 19.3.1 beschrieben. Die ben¨otigte Zustandsdarstellung lautet mit x = [ N1 Δϕ N2 ]T : ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ −d/Θ1 −c/Θ1 d/Θ1 1/Θ1 1 0 −1 ⎦ · x + ⎣ 0 ⎦ · u (4.79) x˙ = ⎣ d/Θ2 0 c/Θ2 −d/Θ2       A b % &T 0 0 1 y = ·x (4.80) Werden f¨ ur den Zweimassenschwinger folgende Werte vorgegeben Θ1 Θ2 c d

= 0, 166 = 0, 33 = 400 = 0, 0106

kg m2 kg m2 Nm/rad Nm s/rad

so ergibt sich die folgende Zustandsdarstellung. Hierbei wurde zwecks besserer Lesbarkeit auf die Einheiten verzichtet. ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ −0, 0639 −2409, 6 0, 0639 6, 0241 ⎦·x+⎣ ⎦ · u (4.81) 1 0 −1 0 x˙ = ⎣ 0, 0321 1212, 1 −0, 0321 0 % &T 0 0 1 y = ·x (4.82) Um die gesuchten Reglerparameter r T zu berechnen, werden als erstes die Systemmatrix A, der Eingangsvektor b und der Ausgangsvektor c eingegeben. Im MATLAB Command Window werden die Systemmatrix und die Vektoren folgendermaßen eingegeben: >> A=[-0.0639,-2409.6,0.0639; 1,0,-1; 0.0321,1212.1,-0.0321] >> B=[6.0241;0;0] >> C=[0,0,1] Die Pole des geregelten Systems legt man mit Hilfe der charakteristischen Gleichung 3. Ordnung fest. W¨ahlt man ein DO-Polynom 3. Ordnung (Kap. 4.1.2) 1)

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112

4 Verallgemeinerte Optimierungsverfahren

und legt man die Ersatzzeit zu T = 0, 1 s fest, so wird folgendes eingegeben: >> T=0.1 >> polynom=[1,4/T,8/T^2,8/T^3] Die Nullstellen dieses Polynoms werden nun mit der MATLAB-Funktion roots berechnet. >> roots(polynom) Mit Hilfe der MATLAB-Funktion place k¨onnen nun die Reglerkoeffizienten berechnet werden. >> R=place(A,B,roots(polynom)) R entspricht rT und enth¨alt nun die gesuchten Reglerparameter. Berechnet man sich die Eigenwerte der Systemmatrix AZR des geregelten Systems, so erh¨alt man die vorgegeben Pole. >> AZR=A-B*R >> eig(AZR) In Abb. 4.15 ist dies anhand eines Bildschirmausdruckes noch einmal zu sehen. Um station¨are Genauigkeit zu erreichen, muß nun noch der Vorfaktor KV berechnet werden (siehe Kap. 5.5.5). >> KV=1/(C’*(B*R-A)^(-1)*B) Wird das Zweimassensystem mit den so ermittelten Reglerparametern geregelt, erh¨alt man z.B die in Abb. 4.16 dargestellte Sprungantwort, bei einem Sprung der Drehzahl von N2 = 0 rad/s auf N2 = 33, 33 rad/s. Soll entsprechend Kap. 19.3.2 ein Zustandsregler mit I-Anteil eingesetzt werden, so erfolgt die Vorgehensweise analog zum obigen Beispiel. In diesem Fall muß die Matrix A um den Zustand des Integrators erweitert werden; die charakteristische Gleichung wird außerdem ein Polynom 4. Ordnung: >> A=[-0.0639,-2409.6,0.0639,0; 1,0,-1,0; 0.0321,1212.1,-0.0321,0; 0,0,1,0] >> B=[6.0241;0;0;0] >> polynom=[1,8/T,32/T^2,64/T^3,64/T^4]

4.6 Reglerauslegung mit MATLAB

Abb. 4.15: Reglerauslegung mit MATLAB

113

2

ist 30

20

15

10

Abb. 4.16: Sprungantwort des Zweimassensystems

soll

1 Zeit[s] 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2

4 Verallgemeinerte Optimierungsverfahren

N2

N2 25

0.1 0 0

114

2

Nsoll ,Nist

40

35

5

5 Regelkreisstrukturen

¨ In vielen F¨allen k¨onnen die Forderungen wie Anregelzeit oder Uberschwingweite sowie die F¨ uhrungs- und die St¨or-Ausregelzeitfl¨ache nicht durch die Optimierung des Reglers allein erf¨ ullt werden. Um dies dennoch zu erreichen, kommen erweiterte Regelkreisstrukturen zum Einsatz, die in diesem Kapitel n¨aher beschrieben werden. Im einzelnen sind dies • allgemein vermaschte Regelkreise, • Kaskadenregelungen, • Conditional Feedback, • Zustandsregelungen. Ein weiterer Grund f¨ ur den Aufbau von erweiterten Regelkreisen ergibt sich aus der M¨oglichkeit, das St¨orungsverhalten und die Inbetriebnahme von Regelkreisen unter bestimmten Voraussetzungen durch Aufbau dezentraler Reglerstrukturen, wie der Kaskadenregelung, erheblich zu verbessern.

5.1

Allgemein vermaschter Regelkreis

Die im folgenden behandelten vermaschten Regelkreisstrukturen zeichnen sich durch die Verwendung mehrerer paralleler Regler aus. Als M¨oglichkeiten f¨ ur allgemein vermaschte Regelkreise kommen u.a. Begrenzungsregelungen, St¨orgr¨oßenaufschaltungen und die Einf¨ uhrung von Hilfsstellgr¨oßen in Betracht. 5.1.1

Begrenzungsregelung

Bei vielen Anwendungen bestehen Restriktionen f¨ ur Zwischengr¨oßen xi , die bestimmte Grenzwerte nicht u urfen. Diese Aufgabe stellt ¨ber- oder unterschreiten d¨ sich z.B. bei der Drehzahlregelung eines Gleichstrommotors. Der Ankerstrom darf einen Maximalwert nicht u ¨ berschreiten. Dies kann bei Kaskadenregelung (Kap. 5.2) durch einen Drehzahlregler mit Begrenzung der Ausgangsgr¨oße (also dem Ankerstromsollwert) realisiert werden. Eine andere L¨osung sind Begrenzungsregelungen.

116

5 Regelkreisstrukturen

− wi- ? d - Begrenzungs-

uBegrenzung

regler

w-d 6 −

Regler

xi − u- d? -

Strecke

r

x-

Abb. 5.1: Regelkreis mit Begrenzungsregelung

Die Begrenzungsaufgaben werden durch Aufbau von parallel zum Regler bei Grenzwert¨ uberschreitung eingreifenden Begrenzungsreglern gel¨ost. Den prinzipiellen Aufbau eines solchen Regelkreises zeigt Abb. 5.1. ¨ Da der Begrenzungsregler nur bei Uberschreitung des Grenzwertes f¨ ur die Hilfsregelgr¨oße xi eingreift, wird dabei scheinbar keine allgemeine Verbesserung des F¨ uhrungs- bzw. St¨orverhaltens erzielt. Durch den Einbau des Begrenzungsreglers wird aber die M¨oglichkeit beim Kleinsignalverhalten geschaffen, die Verst¨arkung des Reglers f¨ ur den ¨außeren Kreis zu erh¨ohen und damit die Re¨ gelgenauigkeit und die Dynamik zu erh¨ohen. Dabei werden große Anderungen der F¨ uhrungsgr¨oße und somit auch der Stellgr¨oße dennoch von der Regelstrecke ferngehalten. Ein weiterer Vorteil dieses Verfahrens liegt darin, daß die Erfassung der Hilfsregelgr¨oße hinsichtlich der Genauigkeits- und Oberschwingungsforderungen nur geringeren Anforderungen gen¨ ugen muß. Da die Begrenzungsaufgabe im allgemeinen nur zum Schutz der Einrichtungen gestellt wird, kann man sich meist schon mit einer bleibenden bzw. vor¨ ubergehenden Regeldifferenz von 10 % des Grenzwertes zufrieden geben. Dieses Regelverfahren wird in Kap. 7.1.2.3 zur direkten Drehzahlregelung der Gleichstrommaschine verwendet. 5.1.2

St¨ orgr¨ oßenaufschaltung

Bei einschleifigen Regelkreisen k¨onnen St¨orgr¨oßen z erst am Streckenausgang erkannt und vom Regler ausgeregelt werden. Damit diese St¨orgr¨oßen, besonders wenn sie auf den Eingang der Regelstrecke wirken, schneller ausgeregelt werden k¨onnen, wird h¨aufig eine St¨orgr¨oßenaufschaltung vorgesehen. Die Verma” schung“ des Regelkreises erfolgt dabei derart, daß die St¨orgr¨oße erfaßt und u ¨ ber ¨ eine entsprechende Ubertragungsfunktion aufgeschaltet wird. Dabei kann diese St¨orgr¨oßenaufschaltung je nach Anwendung auf den Ausgang des Reglers oder auch auch innerhalb des Reglers erfolgen (siehe Abb. 5.2). Beispiele daf¨ ur sind die eA -Aufschaltung bei der Gleichstrommaschine, die in Kap. 7 behandelt wird.

5.1 Allgemein vermaschter Regelkreis

117

z r

- Aufschaltung

uAuf schaltung r

− w -? e 6 −

Regler

− u- e? -

?

Strecke

r

x-

Abb. 5.2: Regelkreis mit St¨orgr¨ oßenaufschaltung

5.1.3

Hilfsstellgr¨ oßen

Das dynamische Verhalten eines Regelkreises kann zum Teil auch dadurch verbessert werden, daß mit einer oder mehreren Hilfsstellgr¨oßen in die Regelstrecke eingegriffen wird. Dies geschieht an Stellen, die dem Streckenausgang n¨aher sind als der Eingriffspunkt f¨ ur die regul¨are Stellgr¨oße u. Mit der Einf¨ uhrung von Hilfsstellgr¨oßen soll in erster Linie ein Teil der Verz¨ogerungen in der Regelstrecke ausgeschaltet werden, um ein m¨oglichst g¨ unstiges F¨ uhrungsverhalten zu erzielen. Man verwendet deshalb im allgemeinen als Hilfsregler reine P-Regler.

w -e 6 −

- Hilfsregler 2

u2

r

- Hilfsregler 1

u1

r

-

u-

Regler

?

?

Strecke

Abb. 5.3: Regelkreis mit Hilfsstellgr¨ oße

r

x-

118

5 Regelkreisstrukturen

Da der Eingriff der Hilfsstellgr¨oßen von der Regeldifferenz gesteuert wird, kann man mit diesem Verfahren zwar das F¨ uhrungsverhalten verbessern, aber im allgemeinen keine wesentliche Verbesserung des St¨orverhaltens erzielen. Den prinzipiellen Aufbau eines vermaschten Regelkreises mit zwei Hilfsstellgr¨oßen u1 und u2 zeigt der Signalflußplan nach Abb. 5.3.

5.2

Kaskadenregelung

Die bisherigen Ableitungen zur Optimierung von Regelkreisen wurden am Beispiel des einschleifigen Regelkreises durchgef¨ uhrt. Eine wesentliche Vereinfachung des Entwurfs von Regelkreisen ist im allgemeinen durch eine Kaskadenregelung zu erreichen. Darunter versteht man den Aufbau geschachtelter bzw. unterlagerter Regelkreise. Dabei werden Zwischengr¨oßen der Regelstrecke als Hilfsregelgr¨oßen verwendet. Dieses Verfahren, das auch die oben geschilderten Vorteile des Aufbaus vermaschter Regelkreise bietet, soll am Beispiel einer Regelstrecke 4. Ordnung n¨aher erl¨autert werden (siehe Abb. 5.4). VR3 Tn3 VR2 Tn2 VR1 Tn1 w - d-  - d-  - d-  6 6 6 − − − Regler GR3

Regler GR2

Regler GR1

1

Tσ

-

Stellglied GSσ

V1

T1

-

Strecke GS1

V2 xr1-

T2

Strecke GS2

V3 xr2-

T3 rx -3

Strecke GS3

Abb. 5.4: Struktur einer Kaskadenregelung

Dazu wird die Regelstrecke beispielsweise in vier Teilstrecken 1. Ordnung aufgespaltet. Die Zwischengr¨oßen x1 und x2 stellen die Hilfsregelgr¨oßen dar. Die ¨ innerste Teilstrecke mit der Ubertragungsfunktion GSσ GS1 wird mit dem Reg¨ ler GR1 geregelt. Die F¨ uhrungs-Ubertragungsfunktion des innersten Regelkreises Gw1 = x∗1 /x1 wird somit hinsichtlich des statischen und dynamischen Verhaltens optimiert. Der geschlossene innerste Regelkreis Gw1 bildet zusammen mit der zweiten Teilstrecke GS2 die Regelstrecke des zweiten Regelkreises, der mit dem Regler GR2 gebildet wird. Dies setzt sich fort, bis zum ¨außersten Regelkreis. Dabei k¨onnen folgende Zwischengr¨oßen begrenzt werden: Die Stellgrenzen von GR2 bestimmt die Aussteuerung des Ausgangs von GS1 , die Stellgrenzen von GR3 bestimmt die Aussteuerung des Ausgangs von GS2 . Zudem wird durch diesen

5.2 Kaskadenregelung

119

Aufbau erreicht, daß der St¨orgr¨oßeneinfluß z.B. auf die innerste Teilstrecke GS1 bereits durch den innersten Regelkreis mit GR1 ausgeregelt wird, ehe er sich auf die a¨ußeren Regelkreise auswirken kann. Ein typisches Beispiel einer Kaskadenregelung ist die Regelung von fremderregten Gleichstrom-Nebenschlußmaschinen. Der innere Regelkreis regelt den Ankerstrom, der zweite die Drehzahl. Weitere unter- oder u ¨berlagerte Regelkreise sind m¨oglich (z.B. Lageregelung). Mathematische Analyse Im folgenden soll die Kaskadenregelung nach Abb. 5.4 mathematisch untersucht werden. Die Regler sind als PI-Regler gew¨ahlt, um die station¨are Genauigkeit ¨ einzuhalten. Zuerst wird der innere Kreis optimiert. Mit T1 > Tσ und der Ubertragungsfunktion GS1 (s) · GSσ (s) = V1

1 1 · 1 + sT1 1 + sTσ

(5.1)

der innersten Teilstrecke einschließlich Stellglied ergibt sich bei einer Optimie¨ rung nach dem Betragsoptimum f¨ ur die Ubertragungsfunktion GR1 des innersten Reglers: GR1 (s) = VR1

1 + sTn1 T1 1 + sT1 = · sTn1 2Tσ V1 sT1

(5.2)

¨ Die Ubertragungsfunktion Gw1 des inneren Regelkreises ergibt sich damit zu: Gw1 (s) =

1 1 ≈ 1 + s 2Tσ + s2 2Tσ2 1 + s 2Tσ

(5.3)

Der innerste Regelkreis kann somit durch ein Verz¨ogerungsglied 1. Ordnung mit einer Ersatzzeitkonstante Ters 1 = 2Tσ approximiert werden. Die verbleibenden Regelkreise werden ebenso optimiert. Die Regelkreisstruktur nach Abb. 5.4 kann damit in eine Struktur nach Abb. 5.5 umgeformt werden. α3 Tσ w -e 6 −

G3

α2 Tσ -e 6 − r

G2

αTσ -e 6 −

1

Tσ

-

r

x-

G1

r

Abb. 5.5: Umgeformte Struktur einer Kaskadenregelung (n = 3)

¨ In den resultierenden Ubertragungsfunktionen Gν seien der jeweilige Regler und die neu hinzukommende Teilstrecke zusammengefaßt, die durch den Vorhalt des Reglers kompensiert wird, so daß f¨ ur Gν jeweils nur ein Integralterm u ¨brigbleibt.

120

5 Regelkreisstrukturen

Gν = GRν · GSν =

1 s Tν

(5.4)

¨ Die Ubertragungsfunktion eines Regelkreises nach Abb. 5.5 lautet bei einer Erweiterung auf n Regelschleifen bei einer Auslegung nach dem Betragsoptimum: Gw1 =

1 1 + Tσ s 1+ G1 1

Gw2 = 1+

1 Gw1 G2 1

Gw3 = 1+

(5.5)

1 Gw2 G3

.. . 1

Gwn = 1+

1 Gw n−1 Gn

¨ F¨ ur das Nennerpolynom N(s) der F¨ uhrungs-Ubertragungsfunktion Gw gilt mit 2 n−1 α = 4D und T1 = Ters = α Tsys sowie Tsys = Tσ die Gleichung: (sT1 )2 (sT1 )3 (sT1 )n+1 + . . . (5.6) + α α · α2 α · α2 · . . . · αn √ Bei einem D¨ampfungsgrad D ≥ 1/ 2 sind beliebig viele Schleifen zul¨assig. Die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktionen bauen sich f¨ ur n = 1...3 Schleifen wie folgt auf (man beachte dabei die Analogie zu den Standardfunktionen des D¨ampfungsoptimums in Kap. 4.1.2): N(s) = 1 + sT1 +

1 2 1 + s 2Tsys + s2 2Tsys 1 = 2 + s3 8T 3 1 + s 4Tsys + s2 8Tsys sys 1 = 2 + s3 64T 3 + s4 64T 4 1 + s 8Tsys + s2 32Tsys sys sys

Gw (s)n=1 =

mit T1 = 2Tσ

Gw (s)n=2

mit T1 = 4Tσ

Gw (s)n=3

mit T1 = 8Tσ

Die Erweiterung auf eine beliebige Zahl von Schleifen erfolgt analog. Zu beachten ist, daß die Ersatzzeitkonstante des Gesamtsystems mit jeder neuen Regelschleife um den Faktor zwei zunimmt (bei einer Auslegung der Regler nach dem Betragsoptimum). Die Ersatzzeitkonstante des innersten Kreises bestimmt somit die Regelgeschwindigkeit des gesamten Regelkreises. Es ist deshalb wichtig, die Verz¨ogerung des innersten Regelkreises m¨oglichst klein zu halten.

5.2 Kaskadenregelung

121

¨ Die obigen Uberlegungen gelten ebenso, wenn die Strecke außer Verz¨ogerungsgliedern auch I-Anteile enth¨alt. Die Optimierung erfolgt dann nach dem Symmetrischen Optimum. Hier nimmt die Ersatzzeitkonstante mit jeder neuen Regelschleife um den Faktor vier zu. Es ist außerdem zul¨assig, durch einen PIDRegler zwei Zeitkonstanten gleichzeitig zu kompensieren und eine Regelschleife einzusparen. Die Vor- und Nachteile der Kaskadenregelung sowie die notwendigen Voraussetzungen sollen abschließend kurz zusammengefaßt werden. Vorteile der Kaskadenregelung • Bei komplizierten Regelstrecken kann der Entwurf des Reglers f¨ ur einen einschleifigen Regelkreis schwierig oder sogar unm¨oglich sein. Die Kaskadenregelung bietet die M¨oglichkeit, die Strecke zu unterteilen und einfache Regelkreise zu entwerfen. • Die in einer Teilstrecke eingreifenden St¨orgr¨oßen werden bei der n¨achsten inneren Regelgr¨oße erfaßt und m¨ ussen nicht den gesamten Regelkreis durchlaufen. St¨orungen werden daher schneller ausgeregelt. • Jede in der Regelstrecke erfaßte Gr¨oße kann, falls dieser Gr¨oße ein Regelkreis zugeordnet ist, u ¨ ber den Sollwert begrenzt werden. Außerdem sind sehr leicht Vorsteuerungen und St¨orgr¨oßenaufschaltungen m¨oglich. • Die Regelung kann in mehreren Schritten — ausgehend vom innersten Regelkreis — in Betrieb genommen werden. ¨ • Die Auswirkung nichtlinearer Ubertragungsglieder wird eingegrenzt. Nachteile der Kaskadenregelung • F¨ ur jeden Regelkreis ist eine Meßwerterfassung und ein eigener Regler notwendig. • Die Ersatzzeitkonstanten der Regelkreise nimmt von innen nach außen zu. Eine Kaskadenregelung kann evtl. langsamer als eine einschleifige Regelung ¨ auf Anderungen der F¨ uhrungsgr¨oße reagieren. Dies gilt nicht f¨ ur St¨orgr¨oßen innerhalb der Regelstrecke; dort ist die Kaskadenregelung stets u ¨berlegen. Voraussetzungen zum Aufbau einer Kaskadenregelung ¨ • Die Regelstrecke muß in eine Kettenschaltung r¨ uckwirkungsfreier Ubertragungselemente aufspaltbar sein. • Der Aufwand f¨ ur mehrere Regler und Meßglieder muß vertretbar sein.

122

5.3 5.3.1

5 Regelkreisstrukturen

Modellbasierte Regelungen Conditional Feedback

Wie bereits in Kap. 1.5 dargestellt, besitzen F¨ uhrungs- und St¨or¨ ubertragungsfunktion bei einschleifigen Regelkreisstrukturen dasselbe Nennerpolynom und damit dieselbe charakteristische Gleichung. F¨ uhrungs- und St¨orverhalten unterscheiden sich daher nur durch das zugeh¨orige Z¨ahlerpolynom der ¨ Ubertragungsfunktionen. - A(s)

Vorsteuerung

w

r

- B(s)

F¨ uhrungsverhalten

z

-e 6 −

GR (s)

?-e

Regler

GS (s)

? -e

r

x-

Strecke

H(s)  R¨ uckf¨ uhrung Abb. 5.6: Regelkreisstruktur bei Conditional Feedback

Ein L¨osungsansatz, um diese Festlegung und die damit verbundene Beschr¨ankung aufzuheben, ist das Conditional Feedback [26]. In Abb. 5.6 ist die ¨ zugrundeliegende Struktur dargestellt. Dabei sind GS (s) und GR (s) die Ubertragungsfunktionen der Strecke bzw. des Reglers. Zus¨atzlich werden drei weitere ¨ Ubertragungsfunktionen A(s), B(s) und H(s) verwendet, wobei H(s) das Verhalten der Meßwerterfassung beschreibt. Die frei w¨ahlbare Vorsteuerung A(s) wird im ersten Entwurfsschritt so gew¨ahlt, daß sich ein gew¨ unschtes F¨ uhrungs¨ ubertragungsverhalten G∗w ergibt. G∗w (s) = A(s) · GS (s)

(5.7)

¨ Im zweiten Entwurfsschritt wird nun die Ubertragungsfunktion B zu B(s) = A(s) · GS (s) · H(s)

(5.8)

gew¨ahlt. Unter der Annahme vollst¨andiger Linearit¨at und exakter Streckenkenntnis wird damit das Eingangssignal des Reglers GR gleich Null sein, soweit keine St¨orung an der Strecke angreift. Es kann also mit A(s) und B(s) ein gew¨ unschtes F¨ uhrungsverhalten realisiert werden. F¨ ur den Spezialfall H(s) = 1 bedeutet dies, daß B(s) das gew¨ unschte F¨ uhrungsverhalten beschreibt bzw. ein Modell des gew¨ unschten Systems ist.

5.3 Modellbasierte Regelungen

123

Die St¨or¨ ubertragungsfunktion Gz lautet dagegen: Gz (s) =

1 1 + GR (s) · GS (s) · H(s)

(5.9)

Daraus folgt, daß der Regler GR bei obiger Auslegung lediglich die St¨orung z ausregeln und Einfl¨ usse von Parameterschwankungen und Nichtlinearit¨aten unterdr¨ ucken muß. Zu beachten ist allerdings auch, daß bei Fehlanpassung der Funktion B(s), z.B. durch Parameter¨anderungen bei Temperaturschwankungen ein unerw¨ unschter Regelvorgang mit der Dynamik der St¨or¨ ubertragungsfunktion auftritt. Wesentliche Merkmale bei der Struktur mit Conditional Feedback sind somit: ¨ • eine Vorsteuerung mit der Ubertragungsfunktion A(s) zum Einstellen des F¨ uhrungsverhaltens, ¨ • ein Modellansatz des F¨ uhrungsverhaltens, der in die Ubertragungsfunktion B(s) eingeht, • und eine St¨orunterdr¨ uckung durch den Regler GR (s). Diese Struktur ist auch dann vorteilhaft anwendbar, wenn die Strecke Nichtlinearit¨aten enth¨alt. Falls Struktur und Parameter der Nichtlinearit¨aten bekannt sind, k¨onnen diese auch direkt in der Funktion B(s) ber¨ ucksichtigt werden. 5.3.2

Internal Model Control (IMC)

Wie im vorherigen Kapitel 5.3.1 und Abb. 5.6 dargestellt, kann durch eine Vorsteuerung A(s) das F¨ uhrungsverhalten G∗w (s) (siehe Gl. (5.7)) vorgegeben wer¨ den. Indem die Ubertragungsfunktion B(s) = G∗w (s) gew¨ahlt wird, ist bei fehlerfreier Anpassung von B(s) (Gl. (5.8)) und bei z = 0 der Regler GR (s) nur bei G∗w (s) = B(s) und z = 0 wirksam. Ein ¨ahnlicher Ansatz wird beim IMC-Verfahren gew¨ahlt (Abb. 5.7). Bei diesem Ansatz wird — wie in Abb. 5.7 — der realen Regelstrecke GS (s) ein Streckenˆ S (s) parallelgeschaltet und die Differenz der Streckenausg¨ange y− yˆ dem modell G ˆ S (s) ist, dann ist das R¨ Regler GIM C (s) zur¨ uckgef¨ uhrt. Wenn GS (s) = G uckf¨ uhrsignal y − yˆ = 0 und GIM C (s) wirkt als Vorsteuer¨ ubertragungsfunktion (entsprechend A(s) in Abb. 5.6). Damit ist — bei y− yˆ = 0 — kein Regelkreis geschlossen, es besteht nur eine Vorsteuerung, und somit gibt es keine Stabilit¨atsprobleme wie in einem geschlossenen Regelkreis. Dieser Gedankenansatz wird sp¨ater bei totzeitbehafteten Strecken und HIL-Regelkreisen vorteilhaft genutzt. ˆ S (s) = GS (s) und/oder z = 0 ist, dann gilt: Wenn G y(s) = GS (s)u(s) + z(s)

(5.10)

'S (s)u(s) y'(s) = G

(5.11)

124

5 Regelkreisstrukturen

z IMC-Regler

w

G IMC (s)

-

Regelstrecke

u

y

G S (s) Streckenmodell

G S (s)

y -

y-y

z IMC-Regler

w -

+

G IMC (s)

Regelstrecke

u

G S (s)

y

Streckenmodell

G S (s)

Abb. 5.7: Struktur des IMC-Regelkreises

und man erh¨alt das R¨ uckf¨ uhrsignal 'S (s))u(s) + z(s) y(s) − y'(s) = (GS (s) − G

(5.12)

ˆ S (s) = GS (s) und/oder Der Regelkreis in Abb. 5.7 wird somit geschlossen, wenn G ˆ z = 0 ist. Da das Streckenmodell GS (s) beim Entwurf des Reglers GIM C (s) zu ber¨ ucksichtigen ist, wird in Abb. 5.7 unten das Streckenmodell dem Regler zugeschlagen. Es gilt: GIM C (s) GR (s) = (5.13) ˆ S (s) 1 − GIM C G ¨ Eine kurze Rechnung zeigt, daß die Ubertragungsfunktion des Regelkreises bei ˆ GS (s) = GS (s) gleich G(s) = GIM C (s)GS (s) ist, d.h. die Vorsteuerfunktion ˆ S (s) und/oder z = 0 best¨atigt sich. Der Entwurf des IMC-Reglers bei GS (s) = G ist ein Optimierungsproblem, welches h¨aufig durch eine H2 -Optimierung unter Festlegung des quadratischen G¨ utefunktionals ∞ e2 (t)dt

J =

(5.14)

0

gel¨ost wird. Als Anregungssignal f¨ ur Eingangsgr¨oße und St¨orung werden zweckm¨aßigerweise Sprung- und Dirac-Funktionen verwendet. Bei der Optimie-

5.3 Modellbasierte Regelungen

125

rung wird nicht nur nach m¨oglichst optimalen Reglerparametern, sondern auch nach einer m¨oglichst optimalen Struktur von GIM C (s) gesucht. 5.3.3

Smith-Pr¨ adiktor

Eine spezielle Art von modellbasierter Regelung einer Regelstrecke stellt der sogenannte Smith-Pr¨adiktor dar. Dieses regelungstechnische Verfahren ist besonders f¨ ur Regelstrecken geeignet, deren dynamisches Verhalten sehr von den darin enthaltenen Totzeiten gepr¨agt ist. Typische Beispiele sind Regelstrecken von Heizungs- oder K¨ uhlkreisl¨aufen, Hardware-in-the-Loop (HIL)-Pr¨ ufst¨anden ¨ mit langen Ubertragungszeiten oder die Walzspaltregelung in Walzwerken. ˜ S (s) Beim Streckenmodell geht man prinzipiell von einem totzeitfreien Anteil G −sTt und einem verbleibenden Totzeitglied e aus. ˜ GS (s) = GS (s)e−sTt (5.15) Wegen des Einflusses der Totzeit kann ein Stelleingriff fr¨ uhestens zur Zeit t + Tt ¨ am Ausgang der Regelstrecke erkannt werden. Ahnlich wie bei der IMC-Regelung kann auf die durch einen Stelleingriff in der Regelung hervorgerufene Wirkung schneller reagiert werden, wenn man die Wirkung mit einem Modell der Regel˜ S (s) vorhersagt (Abb. 5.8). strecke G Smith-Prädiktor

w -

-

G PR (s)

Regelstrecke ~ G S (s) e -sT t

u

~

G S (s)

~

y e

-sT t

y

y -

Abb. 5.8: Grundidee des Smith-Pr¨ adiktors

Auch bei dieser Regelstruktur wird an den Regler nur die Differenz zwischen Streckenmodell und Regelstrecke zur¨ uckgef¨ uhrt, wobei jedoch in diesem Falle auch die Ausgangsgr¨oße der totzeitfreien Strecke ber¨ ucksichtigt wird. Aus diesem Grund wird diese Regelstruktur auch nach seinem Erfinder Smith-Pr¨adiktor bezeichnet, da die Wirkung der Stellgr¨oße auf die Regelstrecke vorhergesagt wird. ¨ Bei der Auslegung der Ubertragungsfunktion GP R (s) des Reglers kann so vorgegangen werden, als ob die Totzeit in der Regelstrecke gar nicht vorhanden w¨are. Der Smith-Pr¨adiktor ist auch geeignet, wenn in der Regelstrecke St¨orgr¨oßen vorhanden sind, da diese dann, wie bei der im vorhergehenden Absatz angef¨ uhrten modellbasierten Regelung schon gezeigt, als Regelabweichung erkannt und ausgeregelt werden k¨onnen.

126

5 Regelkreisstrukturen Smith-Prädiktor G SP (s)

w

u

G PR (s)

-

y -

~

e

-sT t

y

Regelstrecke ~ G S (s) e -sT t

y

~

G S (s)

Abb. 5.9: Smith-Pr¨ adiktor

¨ Die Ubertragungsfunktion GSP (s) des Smith-Pr¨adiktors kann aus dem Blockschaltbild in Abb. 5.9 abgeleitet werden und ergibt sich zu: GSP (s) =

GP R (s) ˜ S (s)(1 − e−sTt ) 1 + GP R (s)G

(5.16)

Bei der Bewertung der Regelg¨ ute ist zu ber¨ ucksichtigen, daß die Ausgangsgr¨oße y(t) noch um die Totzeit Tt zu verschieben ist.

5.4

Vorsteuerung

Um bei einer Regelung das F¨ uhrungsverhalten zu verbessern, kann der Sollwert w u uhrt ¨ ber eine Vorsteuerfunktion A(s) direkt auf den Streckeneingang gef¨ werden. Dies ist vor allem sinnvoll bei Folgeregelungen, bei denen der Streckenausgang x einem sich ¨anderndem Sollwert w folgen soll. Abbildung 5.10 zeigt die grunds¨atzliche Regelkreisstruktur der Vorsteuerung, die aus der Conditional ¨ Feedback-Struktur (Abb. 5.6) durch Setzen der Ubertragungsfunktion B(s) zu eins hervorgeht. Die Regelung mit Vorsteuerung stellt somit einen Spezialfall der Regelung nach Conditional Feedback dar. - A(s)

Vorsteuerung

w

r

- exd- GR (s) 6 −

Regler

z

-? e - GS (s)

-? e

r

Strecke

H(s)  R¨ uckf¨ uhrung

Abb. 5.10: Regelkreisstruktur bei Vorsteuerung

x-

5.4 Vorsteuerung

127

¨ Ubertragungsfunktionen

5.4.1

¨ Zur Beurteilung des Streckenverhaltens werden die Ubertragungsfunktionen f¨ ur F¨ uhrung Gw (s), Regelabweichung Gxd (s) und St¨orung Gz (s) aufgestellt. F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion: Gw (s) =

x(s) G R G S + A GS = w(s) 1 + G R GS H

=

(GR + A) GS 1 + G R GS H

(5.17)

Fehler¨ ubertragungsfunktion: Gxd (s) =

xd (s) 1 − A GS H = w(s) 1 + G R GS H

(5.18)

St¨ orungs¨ ubertragungsfunktion: Gz (s) =

1 x(s) = z(s) 1 + G R GS H

(5.19)

¨ Die einzelnen Ubertragungsfunktionen lassen sich darstellen als GS (s) =

PS ; QS

GR (s) =

PR ; QR

A(s) =

PA ; QA

H(s) =

PH QH

mit den Z¨ahlerpolynomen Pi (s) und den Nennerpolynomen Qi (s). ¨ Die Ubertragungsfunktionen Gl. (5.17) und (5.18) lauten dann Gw (s) =

PS QH PR QA + QR PA · QA QR QS QH + PR PS PH

(5.20)

Gxd (s) =

QR QA QS QH − PA PS PH · QA QR QS QH + PR PS PH

(5.21)

mit dem charakteristischen Polynom

Qw (s) = Qxd (s) = QA · QR QS QH + PR PS PH

(5.22)

Auslegung der Vorsteuer¨ ubertragungsfunktion A(s)

5.4.2

Damit die Regelabweichung xd station¨ar verschwindet, muß der Z¨ahler der Fehler¨ ubertragungsfunktion Gxd zu Null werden, es muß also folgende Bedingung erf¨ ullt werden: !

0 = 1 − A(s) GS (s) H(s)

⇒

A(s) =

QS QH 1 = GS (s) H(s) PS PH

(5.23)

128

5 Regelkreisstrukturen

¨ Die Ubertragungsfunktion A(s) der Vorsteuerung hat folglich das inverse Ver¨ halten der Ubertragungsfunktionen GS (s) und H(s) aufzuweisen. Setzt man nun A(s) aus Gl. (5.23) mit PA = QS QH und QA = PS PH in Gl. (5.20) ein, so ergibt sich f¨ ur die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion: Gw (s) =

PS QH PR PS PH + QR QS QH QH · = PS PH QR QS QH + PR PS PH PH

(5.24)

¨ H(s) unNimmt die Ubertragungsfunktion H(s) station¨ar einen Wert tlim →∞ gleich 1 an, so erreicht x nie den Sollwert w, sondern verharrt auf x = w/lim H(s). t →∞ Um diesen station¨aren Fehler auszugleichen, kann eine Sollwertanpassung mit  w = w · tlim H(s) erfolgen oder der Sollwert w wird zus¨atzlich u ¨ber ein Vorfil→∞ ter auf die Summationstelle der Regelabweichung xd gef¨ uhrt, wie in Kap. 5.3.1 (Conditional Feedback) gezeigt (Abb. 5.6). Im weiteren wird nun von H(s) = 1 ausgegangen, so daß die Vorsteuerung gew¨ahlt wird zu: 1 A(s) = =⇒ Gw (s) ≡ 1 (5.25) GS (s) Dieser ideale Fall erf¨ahrt in der Realit¨at jedoch einige Einschr¨ankungen: 1. Besitzt GS (s) Nullstellen in der rechten Halbebene, so sind dies Polstellen von A(s) mit einem Realteil gr¨oßer Null, so daß das Teilsystem A(s) instabil und ergo auch das Gesamtsystem instabil ist. 2. Da die Strecken¨ ubertragungsfunktion in der Regel nicht sprungf¨ahig ist, der Nennergrad also gr¨oßer der Z¨ahlergrad, ergibt sich f¨ ur A(s) inverses Verhalten. Dies erfordert Differentiations-Glieder, die meist unerw¨ unscht sind und deren Realisierung schwierig ist. 3. Weitere Probleme sind die oft nicht exakte Modellierung der Strecke, nicht genau bekannte Streckenparameter oder zeitabh¨angige Schwankungen der Parameter. 5.4.3

Beispiel: Nachlaufregelung mit IT1 -Strecke

Als Beispiel soll nun eine IT1 -Strecke mit rampenf¨ormigem Sollwertverlauf betrachtet werden. Als Regler dient ein nach Betragsoptimum eingestellter PRegler, die R¨ uckf¨ uhrung wird zu 1 gesetzt. Die weiteren Parameter sind: 10 1 VS 1 · ; · = s T1 1 + s TS s 1 1 + s 0, 2

Strecke:

GS (s)

=

Regler:

GR (s)

= VR =

Vorsteuerung:

A(s)

=

T1 = 0, 25 2 VS TS

s KV 1 + s TV

(BO)

KS =

VS T1

5.4 Vorsteuerung

129

Die folgenden drei F¨alle wurden simulativ untersucht; die Ergebnisse f¨ ur die Regelgr¨oße x und die Regelabweichung xd sind in Abb. 5.11 dargestellt. a. Keine Vorsteuerung:

KV

=

b. Ideale Vorsteuerung:

KV

=

c. Ideale Vorsteuerung:

KV

=

0

TV = 0, 0

1 KS 1 KS

TV = 0, 9

(langsam)

TV = 0, 1

(schnell)

¨ der VorIm idealen Fall von A(s) = 1/GS (s) w¨are die Ubertragungsfunktion steuerung eine Serienschaltung eines D- und eines PD-Gliedes; dies ist aus oben genannten Gr¨ unden unerw¨ unscht. Es wird f¨ ur A(s) also DT1 -Verhalten gew¨ahlt. Die Fehler¨ ubertragungsfunktion nach Gl. (5.21) lautet in diesem Fall: % & s · T1 − KV VS + s T1 (TV + TS ) + s2 T1 TV TS (5.26) Gxd (s) = (VR VS + s T1 + s2 T1 TS ) · (1 + s TV ) Mit dem Grenzwertsatz nach Gl. (3.99) folgt f¨ ur den station¨aren Endwert der Regelabweichung bei Rampenanregung:   % & s · T1 − KV VS + s T1 (TV + TS ) + s2 T1 TV TS 1 lim xd (t) = lim s · · 2 t→∞ s→0 (VR VS + s T1 + s2 T1 TS ) · (1 + s TV ) s =

T1 − KV VS VR VS

(5.27)

Die station¨are Regelabweichung im Fall a ohne Vorsteuerung ergibt sich also zu: xd∞ =

T1 = VR VS

T1 T1 V 2VS TS S

= 2 · TS = 0, 4

(5.28)

Wie aus Abb. 5.11 abzulesen, kann u ¨ber die Zeitkonstante TV der Vorsteuerung die Geschwindigkeit bestimmt werden, mit der sich x an w angleicht. 5.4.4

Beispiel: Nachlaufregelung mit zwei PT1 -Strecken und PI-Regler

Als zweites Beispiel sollen nun zwei in Reihe geschaltete PT1 -Strecken mit rampenf¨ormigem Sollwertverlauf betrachtet werden. Als Regler dient ein nach dem Betragsoptimum eingestellter PI-Regler, die R¨ uckf¨ uhrung wird zu H(s) = 1 gesetzt. Die weiteren Parameter sind:

130

5 Regelkreisstrukturen x 3 2 1

.... .......... .... ... ... ... ..... .... ..... .... ..... ... ...... . ... ...... ......... . . . .... .. .... .... ... .... ........ ....... . . . . .. ... .......... ..... . ..... .... ......... ........ . ...... .... ......... ....... ... .......... ...... ............ . . . ...... ... .... ... ... ......... .... .... ....... .... ..... ... ... .... ....... ..... ...... .. ..... ... . . . . . . ... .. .. .... ..... ... ...... .... ...... .. .... ...... .... ... ... ...... ....... ........... ..... .......... ..... ........................ .... . ......... . . .. . .. . .. .... .... .. .... .... .... .. .. .... ... .... ... ......... ... ..................................... ............ . ... . ....... ............................... .. .......................................................................................................................................................................

a

w

b

0

c

0

1

2

3

xd 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

t

Streckenausgang x

.... ......... ..... ... .. .... .... ... .... .................... .... ..................... .... .............................................. .... ... ... .... .. . . .... .. . .. ..... ...... ... . . . .... .... ... . .... ... .... ... . ... ....... ... . ... ...... ... .... ..... ... . ... .... ....... .... . .. . ... .... .. .. .... ....... .. ..... .. ..... ..... ...... .. .... ...... .. ...... .. ....... ...... .. ...... ... ... ........ ... ...... . ... ..... ...... ...... ...... ... . ..............................................................................................................................................................................................

a

b

c

0

1

2

3

KV a. −

TV −

b.

1 KS

0,9

c.

1 KS

0,1

t

Regelabweichung xd

Abb. 5.11: Streckenausgang x und Regelabweichung xd f¨ ur verschiedene Parameter

Strecke:

GS (s) =

VS 1 · ; 1 + s T1 1 + s Tσ

Regler:

GR (s) =

T1 1 + sT1 · 2 VS Tσ sT1

Vorsteuerung: A(s) =

VS = 1; T1 = 0, 1 ; Tσ = 0, 05 (BO)

1 (1 + s T1 ) · (1 + s Tσ ) · KV (1 + s Ta )2

¨ Auch hier wird f¨ ur die Ubertragungsfunktion A(s) nicht die ideale inverse Streckenfunktion verwendet, da diese doppelt differenzierendes Verhalten aufweisen w¨ urde, sondern eine Funktion mit D2 T2 -Verhalten. F¨ ur die Fehler¨ ubertragungsfunktion folgt: Fehler¨ ubertragungsfunktion ohne Vorsteuerung: Gxd (s) =

2 Tσ s · (1 + sTσ ) 1 + 2 Tσ s + 2 Tσ2 s2

(5.29)

Fehler¨ ubertragungsfunktion mit Vorsteuerung: Gxd (s) =

2 Tσ s · (1 + sTσ ) KV (1 + sTa )2 − VS · 1 + 2 Tσ s + 2 Tσ2 s2 KV (1 + sTa )2

(5.30)

Der station¨are Endwert der Regelabweichung bei Rampenanregung ergibt sich mit dem Grenzwertsatz Gl. (3.99) zu:

2 Tσ (KV − VS ) 1 lim xd (t) = lim s · Gxd · 2 = (5.31) t→∞ s→0 s KV Wie in Kap. 5.4.3 h¨angt auch hier das Erreichen des Sollwertes w nur vom Verh¨altnis der beiden Verst¨arkungen KV und VS ab, Ta bestimmt nur die Geschwindigkeit des Einschwingvorgangs. Abbildung 5.12 zeigt wieder Regelgr¨oße x

5.5 Zustandsregelung

131

und die Regelabweichung xd f¨ ur drei simulativ untersuchte F¨alle: Keine Vorsteuerung (Fall a), ideale Vorsteuerung mit Ta = 0, 1 (Fall b) und Ta = 0, 01 (Fall c). Die station¨are Regelabweichung im Fall a ohne Vorsteuerung ergibt sich also nach Gl. (3.99) und Gl. (5.29) zu: xd∞ = 2 Tσ = 2 · 0, 05 = 0, 1 x

0.4

0.2

... ........... . .... .. .... .. ..... .... ........ ........ ... ....... ... ........... . . . .... .......... ....... .... .... ......... ..... ... ...... ... ... .......... .... ......... .... . . . . . . . . . .... ..... . . ... ... ..... ... ... ..... .. ..... .... ... .... ...... .... .... ................ ..... . .... ..... ... ...... . . . .... .. ... .... ..... .. ..... .... ...... ... .. .... ... ................ .... . .. ..... ....... ... ........ .... ..... .................. . . . . . ... .. ..... ....... ... ............ ..... ........ .... .. ......... .... ... .... ... ...... ....... ... ............ .............................................. . ......... ... .......... ................ .. ........................................................................................................................................................................

0.1

b

b

c

0.0

0.2

0.4

t

Streckenausgang x

..... .......... . .... .. ... .... .... ... ........................................ .... ........................................... ..... .... .... ..... .. ... . . .. ... . . .... ... .. ..... ...... .... .... .. . .. .. .. ..... ... .... .. .... ..... ...... . .... ..... ... . . ... ...... .... . .... ..... ..... .... ... .. ..... ... .... ..... . .. .. ..... ... ..... ...... ............. .. .. .. .. ...... .. .. .......... ...... .. . ...................................................................................... ................................. .......................................................................................... . ...... .. .. .. .. . . .... . .... ....

a

a

w

0.0

xd

(5.32)

c

0.0

0.0

0.2

0.4

0.6

KV

Ta

a. −

−

b. VS

0,1

c. VS

0,01

t

Regelabweichung xd

Abb.5.12: Streckenausgang x und die Regelabweichung xd f¨ ur verschiedene Parameter

5.5

Zustandsregelung

Die bisher behandelten Regelkreisstrukturen sind aus verteilten Reglern aufgebaut, die getrennt ausgelegt werden. Demgegen¨ uber erm¨oglicht eine Zustandsregelung den geschlossenen Reglerentwurf f¨ ur die gesamte Regelstrecke. Als Voraussetzung daf¨ ur werden zun¨achst verschieden Zustandsdarstellungen einer Regelstrecke erl¨autert. Anschließend wird der Entwurf von Zustandsregelungen und die Verwendung von Beobachterans¨atzen zur Zustandsregelung behandelt. 5.5.1

Zustandsdarstellung

Allgemein l¨aßt sich eine lineare Regelstrecke durch eine Differentialgleichung h¨oherer Ordnung beschreiben. F¨ ur die Zustandsdarstellung wird diese jedoch in einen Satz von Differentialgleichungen 1. Ordnung aufgespaltet. Die Anzahl der Gleichungen entspricht dabei der Anzahl der unabh¨angigen Energiespeicher in der Regelstrecke und ist damit gleich der Streckenordnung. Jeder Energiespeicher wird durch einen Integrator beschrieben, dessen Ausgang eine Zustandsgr¨oße darstellt. Damit l¨aßt sich dieses Gleichungssystem gut in Matrizenschreibweise darstellen; n sei die Anzahl der Zust¨ande im Zustandsvektor x und m die der Elemente im Eingangsvektor u. Die Systemmatrix wird mit A bezeichnet, die Steuermatrix mit B.

132

5 Regelkreisstrukturen

Der Ausgangsvektor y mit der Dimension k wird u ¨ber die Ausgangsmatrix C aus den Zust¨anden gebildet. Eine Durchschaltmatrix D tritt auf, wenn der Ausgangsvektor zus¨atzlich direkt von Streckeneing¨angen abh¨angt. F¨ ur die weitere Behandlung der Zustandsregelung wird eine lineare und zeitinvariante Regelstrecke vorausgesetzt, d.h. alle Elemente der oben eingef¨ uhrten Matrizen (und damit alle Koeffizienten des Differentialgleichungssystems) sind zeitlich konstant. Es wird der MIMO-Fall (Multiple Input Multiple Output, d.h. mehrere Einund Ausgangsgr¨oßen) sowie der SISO-Fall (Single Input Single Output, d.h. jeweils eine Ein- und Ausgangsgr¨oße) betrachtet. F¨ ur Mischformen (MISO bzw. SIMO) gelten die Gleichungen entsprechend. Zustandsdarstellung Multiple Input Multiple Output (MIMO): x˙ = Ax + Bu y = Cx + Du Single Input Single Output (SISO): x˙ = Ax + bu y = cT x + du In der nachfolgenden Tabelle sind die hier verwendeten Bezeichnungen sowie die Dimensionen (Zeilen × Spalten) der Vektoren und Matrizen angegeben. Im SISO-Fall werden die Steuermatrix und die Ausgangsmatrix zu Vektoren (man beachte, daß alle Vektoren Spaltenvektoren sind, folglich ist cT ein Zeilenvektor). Ebenso werden der Eingangsvektor und der Ausgangsvektor im SISO-Fall zu skalaren Gr¨oßen. MIMO Symbol

SISO Dimension

Symbol

Dimension

Zustandsvektor

x

n×1

x

n×1

Eingangsvektor / Eingang

u

m×1

u

1

Ausgangsvektor / Ausgang

y

k ×1

y

1

Zustandsmatrix

A

n×n

A

n×n

Steuermatrix / -vektor

B

n×m

b

n×1

Ausgangsmatrix / -vektor

C

k ×n

c

T

1×n

Durchschaltmatrix / Durchgriff

D

k ×m

d

1

5.5 Zustandsregelung

133

Anhand der obigen Gleichungen l¨aßt sich der Signalflußplan einer MIMOStrecke in Zustandsdarstellung ableiten (siehe Abb. 5.13). Die verst¨arkten Pfeile kennzeichnen dabei vektorielle Gr¨oßen. -

D

Durchschaltmatrix

u

r

-

x˙

x r

-e 6

B

Eingangsmatrix

Integrator

-

y

C

? -e

Ausgangsmatrix

A  Systemmatrix Abb. 5.13: Zustandsdarstellung einer Regelstrecke

¨ Die Ubertragungsfunktion des i-ten Eingangs zum k-ten Ausgang eines Systems in Zustandsdarstellung ergibt sich im Laplacebereich wie folgt: yk (s) = cTk (sE − A)−1 bi + dk,i ui (s) Mit E wird dabei die Einheitsmatrix bezeichnet, bi ist die i-te Spalte der Steuermatrix B und cTk die k-te Zeile der Ausgangsmatrix C. dk,i ist das entsprechende Element der Durchschaltmatrix D. F¨ ur den SISO-Fall vereinfacht sich die Darstellung wie folgt: ¨ Ubertragungsfunktion bei Zustandsdarstellung (SISO) y(s) = cT (sE − A)−1 b + d u(s)

Die notwendige Matrixinvertierung kann auch durch Adjungierte und Determinante ausgedr¨ uckt werden: 1 · adj (sE − A) (sE − A)−1 = det (sE − A) 5.5.2

Normalformen

In der Praxis entf¨allt h¨aufig der Durchschaltanteil D, da die meisten Strecken ein Tiefpaßverhalten aufweisen. Deshalb soll f¨ ur die weiteren Betrachtungen D = 0 sein.

134

5 Regelkreisstrukturen

Prinzipiell werden f¨ ur Systembeschreibungen im Zustandsraum vier Darstellungsformen, die nat¨ urliche, die Regelungs- und Beobachternormalform sowie die Jordansche Normalform, unterschieden. Zur Vereinfachung werden in den folgenden Ausf¨ uhrungen lediglich SISO-Systeme betrachtet. Nat¨ urliche Zustandsdarstellung Diese Darstellung besitzt direkten physikalischen Bezug, wobei die Zustandsvariablen den Energiespeichern in der Strecke entsprechen. Regelungsnormalform Die Regelungsnormalform (oder auch Phasenvariablenform) gestattet es, auf einfache Weise die Zustandsdarstellung in die skalare Differentialgleichung bzw. in ¨ die Ubertragungsfunktion umzurechnen und umgekehrt. Ausgangspunkt ist die ¨ Ubertragungsfunktion G(s) =

c0 + c1 s + · · · + cm sm a0 + a1 s + · · · + an sn

Daraus erh¨alt man die Zustandsgleichungen ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ 0 1 0 ··· 0 0 ⎥ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎥ 0 1 ··· 0 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ . ⎥ .. .. .. .. x˙ = ⎢ ... ⎥ x + ⎢ .. ⎥ u . . . . ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎦ ⎣ 0 ⎣ 0 ⎦ 0 0 ··· 1 −a0 −a1 −a2 · · · −an−1 1       AR bR % & c 0 c 1 c 2 · · · cm 0 · · · 0 x y =    cTR

(5.33)

(5.34)

Abbildung 5.14 zeigt den zugeh¨origen Signalflußplan. Beobachternormalform Zur Regelungsnormalform existiert eine duale Darstellung, die Beobachternormalform (siehe Abb. 5.15). Die Systemmatrix der Beobachternormalform (Index B) ergibt sich durch Spiegelung an der Hauptdiagonalen aus der Systemmatrix der Regelungsnormalform (Index R). Ebenso lassen sich der Eingangs- und Ausgangsvektor umrechnen. AB = ATR ,

bB = cR ,

cTB = bTR

(5.35)

5.5 Zustandsregelung -

y

-e 6

··· ···

cm

c0

6

u -e 6 −

xn r

-

···

-

xm+1 r

?

an−1 ? e

6 -

···

-

x1 r

?

···

am ? e

··· 

135

?

···

a0

··· 

Abb. 5.14: Signalflußplan der Regelungsnormalform

Die Zustandsgleichungen bei Beobachternormalform ergeben sich zu: ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ c0 0 0 · · · 0 −a0 ⎢ .. ⎥ ⎢ 1 0 · · · 0 −a1 ⎥ ⎢ . ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ c ⎥ x˙ = ⎢ 0 1 · · · 0 −a2 ⎥ x + ⎢ m ⎥ u ⎥ ⎢ .. .. . . .. ⎢ 0 ⎥ .. ⎢ . ⎥ ⎦ ⎣ . . . . . ⎣ .. ⎦ 0 0 · · · 1 −an−1    0    AB bB % & 0 ··· 0 1 x y =    T cB

(5.36)

Jordansche Normalform Die Jordansche Normalform ist dadurch gekennzeichnet, daß die Systemmatrix (Index J) Diagonalform aufweist. Diese wird u ¨ ber eine Modaltransformation mit der invertierbaren Transformationsmatrix M aus der nat¨ urlichen Zustandsdarstellung erhalten. AJ = M−1 AM , bJ

= M−1 b ,

x ˜

= Mx

cTJ = MT cT

(5.37)

Die Systemmatrix bei der Jordanschen Normalform enth¨alt die Eigenwerte λi der Strecke in der Diagonalen.

136

u

5 Regelkreisstrukturen -

r

···

?

?

···

c0 x1-

? e 6 −

cm

···

a0

xm+1 -

? ··· - e 6 −

xn r

y-

· · · an−1

am

6

··· - e 6 −

6

6

···  r

···  r

Abb. 5.15: Signalflußplan der Beobachternormalform

Die Zustandsgleichungen bei Jordanscher Normalform ergeben sich damit zu: ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ˜b0 λ1 · · · 0 ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ˜ + ⎣ ... ⎦ u (5.38) x ˜˙ = ⎣ ... . . . ... ⎦ x ˜bn 0 · · · λn       AJ bJ % & c˜1 · · · c˜n x y = ˜    cTJ Abbildung 5.16 zeigt den Signalflußplan bei Darstellung in Jordanscher Normalform bei einfachen Eigenwerten. 1/λ1 -

u

˜b1

.. . 1/λn

.. .

r -

˜bn

x˜1-

-

-

c˜1 .. .

x˜n-

? ye 6

c˜n

Abb. 5.16: Signalflußplan einer Strecke in Jordanscher Normalform

5.5 Zustandsregelung

5.5.3

137

L¨ osung der Zustandsdifferentialgleichung im Zeitbereich

Um das Anfangswertproblem x˙ = Ax + bu

mit

x(t0 ) = x0

(5.39)

im Zeitbereich zu l¨osen, bedient man sich der sog. Transitionsmatrix Φ(t). Diese berechnet sich mit der inversen Laplacetransformation L−1 und der Matrixexponentialfunktion eAt 1) aus der Systemmatrix A zu: Φ(t) = eAt =

∞ k  t k=0

k!

* + · Ak = L−1 (sE − A)−1

(5.40)

Die Gesamtl¨osung setzt sich dann aus einem homogenen Teil xh und einem partikul¨aren Teil xp zusammen: x = xh + xp = eA(t − t0 ) · x0 +

(5.41) t

eA(t − τ ) Bu(τ ) dτ

(5.42)

t0

5.5.4

Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit

Das dynamische Verhalten eines linearen Systems wird durch die internen Zust¨ande vollst¨andig beschrieben. Diese Zust¨ande sind aber im allgemeinen nicht alle bekannt (z.B. nicht meßbar). Es sind lediglich die Eingangsgr¨oßen und die Ausgangsgr¨oßen des Systems vollst¨andig erfaßbar. F¨ ur den Entwurf von Regelkreisen im Zustandsraum sind daher die Begriffe der Steuerbarkeit und der Beobachtbarkeit, die von Kalman eingef¨ uhrt wurden, von grundlegender Bedeutung. Beobachtbarkeit Die Beobachtbarkeitsbedingung gibt Auskunft dar¨ uber, ob alle inneren Zust¨ande u ¨ber die Messung der Ausgangsgr¨oßen in endlicher Zeit rekonstruiert (d.h. beobachtet) werden k¨onnen. Dies ist der Fall, wenn die Beobachtbarkeitsmatrix QB vollen Rang besitzt, d.h. wenn ihre Determinante nicht Null wird. Die Strecke wird dann als vollst¨andig beobachtbar bezeichnet. Anschaulich gesagt bedeutet die Beobachtbarkeit eines Systems, daß der Ausgangsvektor von allen Eigenbewegungen des Systems beeinflußt wird. Eine vollst¨andige Beobachtbarkeit ist z.B. f¨ ur eine vollst¨andige Zustandsregelung oder ¨ f¨ ur Uberwachungsaufgaben notwendig. Die zwei wichtigsten Beobachtertypen sind der sog. Luenberger-Beobachter (siehe Kap. 5.5.6.2) und das sog. KalmanFilter (siehe Kap. 5.5.6.4). 1) Falls die Matrix A Diagonalgestalt aufweist, kann die Matrixexponentialfunktion eAt durch elementweise Anwendung der skalaren Exponentialfunktion gebildet werden.

138

5 Regelkreisstrukturen

Steuerbarkeit Die Steuerbarkeitsbedingung gibt Auskunft dar¨ uber, ob alle inneren Zust¨ande aus jedem beliebigen Anfangszustand x0 in endlicher Zeit durch eine Steuerfunktion u(t) in einen Endzustand x∗ u uhrt werden k¨onnen. Dies ist der Fall, ¨berf¨ wenn die Steuerbarkeitsmatrix QS vollen Rang besitzt. Die Strecke wird dann als vollst¨andig steuerbar bezeichnet. Anschaulich gesagt bedeutet dies, daß der Streckeneingang u alle Eigenbewegungen des Systems beeinflußt. Ein System, bei dem dies nicht m¨oglich ist, kann durch eine Regelung naturgem¨aß nicht beherrscht werden. Die Definitionen der Beobachtbarkeit und der Steuerbarkeit k¨onnen sinngem¨aß auch auf einzelne Zust¨ande angewandt werden. Bei linearen Systemen kann der Zusatz vollst¨andig auch entfallen. Zur Verdeutlichung der beiden Begriffe Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit dient Abb. 5.17. Dort ist f¨ ur jedes Teilsystem die Steuerbarkeit bzw. Beobachtbarkeit angegeben und aus der Struktur ersichtlich. F¨ ur das Gesamtsystem in Abb. 5.17 gilt jedoch, daß es weder vollst¨andig steuerbar noch vollst¨andig beobachtbar ist. Im folgenden werden die Bedingungen f¨ ur die (vollst¨andige) Beobachtbarkeit und Steuerbarkeit eines SISO-Systems zusammengefaßt.

Beobachtbarkeit und Steuerbarkeit SISO-System: x˙ = Ax + bu y = cT x + du Beobachtbarkeitsbedingung: ⎡ det QB

⎢ ⎢ ⎢ = det ⎢ ⎢ ⎣

cT cT A cT A 2 .. .

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = 0 ⎥ ⎦

cT An−1 Steuerbarkeitsbedingung: % & det QS = det b Ab A2 b · · · An−1 b = 0

5.5 Zustandsregelung

u

r

x1- e y-

-

G1

-

G2

-

G3

x3-

nur steuerbar

-

G4

x4-

weder steuer- noch beobachtbar

6

x2

139

steuerbar und beobachtbar

nur beobachtbar

Teilstrecken Abb. 5.17: Zur Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit linearer Systeme

5.5.5

Entwurf einer Zustandsregelung

F¨ ur den Entwurf von Zustandsreglern soll zun¨achst nur der Wunsch nach m¨oglichst schnellem F¨ uhrungsverhalten stehen. Somit sollen St¨orgr¨oßen zun¨achst vernachl¨assigt werden. Um die Ordnung des Systems nicht unn¨otig zu erh¨ohen, liegt der Gedanke nahe, jede Zustandsgr¨oße der Strecke u ¨ber einen proportionalen R¨ uckf¨ uhrkoeffizienten an den Stelleingang zur¨ uckzuf¨ uhren, was einer P-Regelung jedes Streckenzustandes entspricht. Abbildung 5.18 zeigt die Struktur der betrachteten SISO-Regelstrecke mit Zustandsregler.

w KV

- e u6 −

b

Korrekturfaktor Eingangsvektor Regelvektor



x r

Integrator

A 

rT 6



x˙

-e 6

-

y-

cT

Ausgangsvektor r

Systemmatrix

 

Zustandsregeler



Strecke

Abb. 5.18: Regelstrecke und Zustandsregler



140

5 Regelkreisstrukturen

Reglerentwurf durch Polvorgabe Wie aus der linearen Regelungstheorie bekannt ist, k¨onnen durch eine R¨ uckkoppelschleife die Eigenwerte bzw. Pole des zu regelnden Systems ver¨andert werden. Dies wird durch Einf¨ uhrung der Reglermatrix R bzw. (im Fall einer skalaren Stellgr¨oße) des Reglervektors rT (Zeilenvektor) erreicht. Dadurch kann dem r¨ uckgef¨ uhrten System (zumindest theoretisch) ein frei w¨ahlbares Zeitverhalten vorgegeben werden. Um gleichzeitig die station¨are Genauigkeit des F¨ uhrungsverhaltens zu erzielen, wird außerdem ein Vorfilterfaktor KV eingef¨ uhrt. Somit besteht der Entwurf einer Zustandsregelung aus zwei Schritten: 1. Reglervektor r T berechnen (Polvorgabe), 2. Vorfilterfaktor KV bestimmen (station¨are Genauigkeit). Aus Abb. 5.18 l¨aßt sich das durch die R¨ uckf¨ uhrung modifizierte Steuergesetz ableiten: u = KV w − rT x (5.43) Dieses neue Steuergesetz, abh¨angig vom Sollwert und den Zustandsgr¨oßen, wird nun in die Zustandsdarstellung der Strecke eingesetzt. x˙ = Ax + bu = Ax − b r T x + b KV w   = A − b r T x + b KV w

(5.44)

Die homogene Zustandsdifferentialgleichung des geregelten Systems wird nun durch eine neue Systemmatrix (A − b r T ) beschrieben. Das Eigenverhalten des geregelten Systems kann durch L¨osung dieser homogenen Zustandsdifferentialgleichung (f¨ ur w = 0) bestimmt werden. Diese wird im Laplacebereich durchgef¨ uhrt und dazu der homogene Teil der Systemgleichung (5.44) transformiert.   sX(s) − x0 = A − b r T X(s) (5.45) Mit Verwendung der Einheitsmatrix E erh¨alt man durch Umformung:    sE − A − b rT X(s) = x0

(5.46)

Aufl¨osen nach dem Zustandsvektor X(s) ergibt: −1  x0 X(s) = sE − A + b r T

(5.47)

=

  1 · adj sE − A + b rT x0 T det (sE − A + b r )

(5.48)

Die Pole bzw. Eigenwerte des geschlossenen Systems mit Zustandsr¨ uckf¨ uhrung k¨onnen nun aus der Determinante im Nenner ermittelt werden.

5.5 Zustandsregelung

141

Bei der Auswertung der Determinante ergibt sich ein charakteristisches Polynom n-ter Ordnung, da der proportionale Zustandsregler die Ordnung der Strecke nicht erh¨oht. Dieses Polynom ist von den Reglerkoeffizienten abh¨angig. F¨ ur die Berechnung des Reglervektors r T wird ein Wunschpolynom n-ter Ordnung vorgegeben. Die Reglerkoeffizienten werden durch L¨osen eines linearen Gleichungssystems n-ter Ordnung ermittelt (Koeffizientenvergleich zwischen charakteristischem und Wunschpolynom). Dieses Verfahren wird als Polvorgabe bezeichnet. Im zweiten Entwurfsschritt muß der Vorfilterfaktor KV f¨ ur das station¨are Verhalten (t → ∞) bestimmt werden. Da im station¨aren Zustand x˙ ∞ = 0 ist, wird zun¨achst der Wert von x∞ aus der station¨aren Zustandsgleichung bestimmt.   (5.49) 0 = x˙ ∞ = A − b rT x∞ + b KV w  T −1 x∞ = b r − A b KV w (5.50) ur Eingesetzt in die Ausgangsgleichung ergibt sich mit der Bedingung y∞ = w f¨ das gew¨ unschte station¨are Verhalten die Bestimmungsgleichung f¨ ur den Vorfilterfaktor.  −1 w = y ∞ = cT x ∞ = cT b r T − A (5.51) b KV w    =1 Aufgel¨ost nach KV erh¨alt man schließlich 1 cT (b rT − A)−1 b

KV =

(5.52)

Die wichtigsten Gleichungen zur Auslegung eines Zustandsreglers sind im folgenden nochmals zusammengefaßt. Zustandsregelung SISO-System: x˙ =



 A − b r T x + b KV w

y = cT x Polvorgabe (Nullstellen der Determinante):   det sE − A + b rT = 0 Vorfilterfaktor (station¨are Genauigkeit): KV =

cT

(b r T

1 − A)−1 b

142

5 Regelkreisstrukturen

Reglerentwurf auf endliche Einstellzeit Allgemein werden an einen Regelkreis die drei Grundforderungen Stabilit¨at, gutes St¨orverhalten und gutes F¨ uhrungsverhalten gestellt, wobei letzteres im Vordergrund steht. Ein f¨ ur den Reglerentwurf oft verwendeter G¨ uteindex ist die Einstellzeit, d.h. das Zeitintervall zwischen dem Beginn des Regelvorgangs und dem Erreichen des Endzustands. Die Minimierung dieses Zeitintervalls f¨ uhrt im allgemeinen zu einem nichtlinearen Regler, der in Abh¨angigkeit des Systemzustandes jeweils die gr¨oßte positive oder negative Stellgr¨oße aufschaltet. Bei Abtastsystemen geht die zeitoptimale Regelung im kontinuierlichen Fall u ¨ber in eine schrittoptimale Regelung, wobei hier nicht mehr die Umschaltzeitpunkte, sondern die Stellamplituden zu bestimmen sind (siehe Dead-Beat-Regler in Kap. 6.2). Der schrittoptimale Entwurf liefert im Gegensatz zum zeitoptimalen Entwurf einen linearen Regler, der sich durch große Einfachheit auszeichnet. Modale Zustandsregelung Der Reglerentwurf in Zustandsdarstellung l¨aßt sich wesentlich vereinfachen, wenn jeder Streckenzustand getrennt regelbar ist. Kann die Systemmatrix durch eine geeignete (Modal-) Transformation diagonalisiert werden, l¨aßt sich eine Zustandsdarstellung gewinnen, in der s¨amtliche Zustandsvariablen voneinander entkoppelt und deshalb auch getrennt voneinander regelbar sind. Zur Ansteuerung der realen Strecke ist ein entsprechendes Entkopplungsnetzwerk vorzuschalten, wie es auch in Kap. 13 bei der Asynchronmaschine eingesetzt wird. Das genaue Vorgehen bei der Modaltransformation ist in der Literatur ausreichend beschrieben und soll daher hier nicht weiter aufgef¨ uhrt werden (z.B. [12]). 5.5.6

Zustandsbeobachter

Eine wesentliche Voraussetzung bei der Anwendung von Zustandsreglern ist die Kenntnis aller Streckenzust¨ande. Da wegen des hohen Aufwands oft nicht alle Zust¨ande als Meßgr¨oßen vorliegen, m¨ ussen die unbekannten Zust¨ande aus den gemessenen rekonstruiert, d.h. beobachtet werden. w - Zustandsregler

- Stellglied

ur -

r

Strecke

6 - Zustands- 

beobachter

Messung 

x ' Abb. 5.19: Gesamtsystem mit Beobachter und Zustandsregler

y-

5.5 Zustandsregelung

143

F¨ ur diesen Zweck wurden Beobachter entwickelt. Ein Beobachter hat die Aufgabe, die Zustandsgr¨oßen eines Systems dynamisch genau zu rekonstruieren. Im folgenden wird nun n¨aher auf die Struktur eines Zustandsbeobachters eingegangen. Eine m¨ogliche Gesamtstruktur mit Zustandsbeobachter und Zustandsregler zeigt Abb. 5.19. 5.5.6.1 Beobachtung mit Differentiation und Parallelmodell Das Ziel jeder Beobachterstruktur ist, alle Systemzust¨ande m¨oglichst genau und verz¨ogerungsfrei nachzubilden. Im folgenden soll von zwei BeobachterGrundformen ausgegangen werden. Diese bauen auf der Verwendung von Differenzierern bzw. eines Parallelmodells auf. u

r

x1-

-

PT1

···

···

xn−1 -

-

PT1

x '1-

-

x2-

PT1

r

PT1

x 'n−1 ··· 

···

PT1



 Rekonstruktion durch Parallelmodell

xn-



PD









Rekonstruktion durch Differentiation

Abb. 5.20: Beobachter mit Differentiation und Parallelmodell

Die einfachste M¨oglichkeit, nicht meßbare Zust¨ande eines Systems zu rekonstruieren, ist die Realisierung eines Parallelmodells nach Abb. 5.20 (links). In diesem Fall wird nicht mehr die Ausgangsgr¨oße eines Systems, sondern die Eingangsgr¨oße zur Rekonstruktion herangezogen. Dieses Modell arbeitet aber nur dann optimal im Sinne einer genauen Nachbildung der Zust¨ande x1 , x2 usw., wenn sowohl die Struktur als auch die Parameter der Strecke genau bekannt sind. Zudem ergibt sich die Forderung, daß im System keine weiteren St¨orgr¨oßen einwirken d¨ urfen, welche im Parallelmodell nicht exakt bekannt sind. Abbildung 5.20 (rechts) zeigt die Rekonstruktion eines Zustandes durch Differentiation. Ziel ist es hierbei, auf der Basis des gemessenen Zustandes xn , welcher in diesem Fall gleichzeitig Ausgangsgr¨oße ist, s¨amtliche davorliegende“ Zust¨ande ” zu rekonstruieren. Dies setzt aber die Invertierung des PT1 -Gliedes voraus. Unter der (idealen) Annahme, daß ein dazu n¨otiges PD-Glied realisierbar w¨are, k¨onnte der Zustand xn−1 optimal und ohne direkte Messung nachgebildet werden. Man h¨atte dadurch einen sogenannten Identit¨ atsbeobachter geschaffen. Zum einen ¨ kann aber in der Realit¨at ein solches Ubertragungsglied nicht realisiert werden und zum anderen werden m¨ogliche Rauschanteile im Meßsignal xn verst¨arkt. Bei

144

5 Regelkreisstrukturen

der Rekonstruktion der weiteren Zust¨ande, d.h. xn−2 , xn−3 usw., w¨ urde dieser Nachteil noch st¨arker zum Tragen kommen. Beide hier beschriebenen Modelle zeigen also erhebliche Schw¨achen. Luenberger gelang es schließlich, einen Beobachter zu entwickeln, der die Vorteile der hier erl¨auterten Strukturen vereint. 5.5.6.2 Luenberger-Beobachter Dieser Entwurf ben¨ utzt sowohl die Eingangsgr¨oßen als auch die Ausgangsgr¨oßen eines Systems zur Rekonstruktion der Zust¨ande. Abbildung 5.21 zeigt die allgemeine Struktur des Beobachters nach Luenberger. u

r

-

b

x r

-e 6

-

c

T

r

y-

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

A 

Fehlerr¨ uckkopplung ? e k  Δy −6

-

'b

x r '

-? e 6

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬

-

' cT

'  A

r

y'-

Strecke

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ Beobachter ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

Abb. 5.21: Beobachter nach Luenberger

Der Beobachter besteht zun¨achst einmal aus einem vollst¨andigen Parallelmodell der Strecke, welches mit der gleichen Stellgr¨oße u wie die Strecke angesteuert wird. Sind die Parameter im Parallelmodell mit denen der realen Strecke identisch, ist der rekonstruierte Zustandsvektor x ' dem realen Zustandsvektor x gleich. Durch unvermeidliche Abweichungen aufgrund nicht exakt bekannter Streckenparameter bzw. abweichender Anfangszust¨ande, ergibt sich ein Fehler zwischen den Zust¨anden ' x des Beobachters und den Zust¨anden x der Strecke. Zur Korrektur dieser Abweichung wird der Fehler Δy aus dem Vergleich des Strecken- und Beobachterausgangs y bzw. y' gebildet. Mit diesem Fehlersignal werden nun alle Beobachterzust¨ande laufend in Richtung der realen Streckenzust¨ande korrigiert.

5.5 Zustandsregelung

145

Durch diese R¨ uckkopplung wird der Beobachter selbst ein schwingungsf¨ahiges System mit eigener Dynamik. Das Einschwingverhalten (d.h. von x ' auf x) des Beobachters und seine Stabilit¨at k¨onnen durch die sogenannten LuenbergerKoeffizienten im Vektor k vorgegeben werden. F¨ ur den Beobachter eines SISOSystems gelten nach Abb. 5.21 die Gleichungen: ' x˙ = A' x + bu + k Δy

(5.53)

Δy = y − y' = c x − c ' x T

T

(5.54)

Durch Zusammenfassen der Matrix A und des r¨ uckgef¨ uhrten Anteils ergibt sich die Zustandsdarstellung des Beobachters zu: '˙ = A' x x + bu + k cT x − k cT ' x   = A − k cT ' x + bu + k cT x

(5.55) (5.56)

Die Eigenwerte des Beobachters ergeben sich aus den Nullstellen der Determinante   det sE − A + k cT = 0 (5.57) und sollten dabei m¨oglichst weit links in die komplexe Ebene gelegt werden, um ein schnelles Einschwingverhalten zu erreichen. Als Richtwert gilt, die (negativen) Eigenwerte des Beobachters betragsm¨aßig gr¨oßer zu w¨ahlen als die der Strecke (Matrix A), damit der Beobachter schneller einschwingt als das beobachtete System.

Luenberger-Beobachter Zustandsdarstellung SISO-Beobachter:   '˙ = A − k cT ' x x + bu + k cT x Beobachterpole (Nullstellen der Determinante):   det sE − A + k cT = 0 Luenberger-Koeffizienten: ⎡

⎤ k1 ⎢ ⎥ k = ⎣ ... ⎦ kn

146

5 Regelkreisstrukturen

In der bisherigen Betrachtung hatte der Beobachter die gleiche Ordnung wie die Regelstrecke; man spricht daher in diesem Fall von einem Einheitsbeobachter. Der damit verbundene Aufwand ist in vielen Anwendungen betr¨achtlich. Sind Zwischenzust¨ande in der Strecke meßbar, k¨onnen diese direkt als Eingangsgr¨oßen f¨ ur den Beobachter verwendet werden. Die Ordnung des Beobachters kann dann reduziert werden, in diesem Fall spricht man von einem reduzierten Beobachter. Ein allgemeiner Nachteil der Luenberger-Beobachter [520, 521, 522] ist, daß — aufgrund des Entwurfs — die Einschwingzeit des Luenberger-Beobachters theoretisch bis t → ∞ dauert. Es ist daher eine wichtige Erweiterung Beobachter ¨ mit vorgebbarer Einschwingzeit zu entwickeln. Eine Ubersicht u ¨ ber dieses Gebiet wird in [545] gegeben [444, 462, 474, 494, 500, 522, 525, 526, 527, 528, 546, 578]. 5.5.6.3 Zustandsregelung mit Beobachter Abschließend sollen die Kombination von Zustandsregler und Beobachter betrachtet werden. Beim Entwurf des Zustandsreglers durch Polvorgabe wird zun¨achst die etwaige Verwendung eines Beobachters nicht ber¨ ucksichtigt. Vielmehr wird so verfahren, als ob ein direkt gemessener Zustandsvektor zur Verf¨ ugung stehen w¨ urde. Bei Verwendung eines Beobachters wird nun aber ein zus¨atzliches dynamisches System in den Regelkreis eingef¨ uhrt. Dabei stellt sich die Frage, wie sich dies auf das dynamische Verhalten und auf die Stabilit¨at des gesamten Regelsystems auswirkt. Betrachtet wird im folgenden ein SISO-System, welches beobachtbar und steuerbar sei, ein Luenberger-Beobachter mit obiger Struktur, sowie eine Zustandsregelung mit dem folgenden Regelgesetz (man beachte die Abh¨angigkeit vom Beobachterzustandsvektor ' x). u = KV w − rT ' x

(5.58)

Damit ergeben sich die Zustandsgleichungen der Strecke mit Zustandsregler bzw. des Beobachters zu: x˙ = Ax + bKV w − br T ' x

(5.59)

'˙ = A' x x + bKV w − br ' x + kc x − kc x ' T

T

T

(5.60)

Faßt man sowohl die zustandsgeregelte Strecke als auch den Beobachter zu einem System zusammen, ergibt sich        x˙ A −b r T x b = + KV w (5.61) ' k cT A − k cT − b r T x ' b x˙ Die Eigenwerte des Gesamtsystems ergeben sich aus den Nullstellen der Determinante, die vor der Auswertung in eine einfachere Form gebracht werden soll. Dabei wird die Eigenschaft genutzt, daß zu einer Zeile Linearkombinationen anderer Zeilen addiert werden k¨onnen, ohne den Wert der Determinante zu ¨andern. Gleiches gilt auch f¨ ur Spalten.

5.5 Zustandsregelung

147

Damit erh¨alt man:  0 = det 

sE − A b rT T −k c sE − A + k cT + b rT



 sE − A + b r T b rT = det sE − A + b r T sE − A + k cT + b rT   sE − A + b r T b rT = det 0 sE − A + k cT % & % & = det sE − A + b rT · det sE − A + k cT

(5.62)

Hierbei zeigt sich, daß die Eigenwerte der Strecke durch die R¨ uckf¨ uhrkoeffizienten rT des Zustandsreglers eingestellt werden, die Eigenwerte des Beobachters dagegen durch die Luenberger-Koeffizienten k. Diese Erl¨auterungen f¨ uhren zum sogenannten Separationstheorem. Separationstheorem Sofern eine Strecke vollst¨andig steuerbar und beobachtbar ist, k¨onnen die Eigenwerte des geschlossenen Regelkreis und die Eigenwerte des Beobachters unabh¨angig voneinander festgelegt werden. Dies bedeutet, daß durch Hinzuf¨ ugen eines (stabilen) Zustandsbeobachters die Stabilit¨at des Gesamtsystems mit Zustandsregler nicht beeinflußt wird. Das Separationstheorem wurde f¨ ur ideale Strecken aufgestellt. Dagegen muß bei realen Strecken darauf hingewiesen werden, daß die Polstellen des Beobachters durchaus Einfluß auf das dynamische Verhalten des Zustandsreglers haben. Dies gilt insbesondere f¨ ur den Einschwingvorgang des Beobachters und bei Abweichungen zwischen den Parametern der realen Strecke und den im Beobachter angenommenen Parametern. Deshalb m¨ ussen die Beobachtereigenwerte im Vergleich zu den Eigenwerten des Zustandsreglers m¨oglichst schnell einschwingen, um eine gute Regeldynamik zu erzielen. Dies bedeutet, daß dessen Eigenwerte m¨oglichst weit links auf der imagin¨aren Achse liegen sollen, um den getrennt vom Beobachter entworfenen Zustandsregler nur wenig zu beeinflussen. Doch auch hier sind dem Entwurf Grenzen gesetzt: Werden die Eigenwerte des Beobachters zu schnell eingestellt, so w¨achst auch seine Rauschempfindlichkeit (differenzierendes Verhalten). Es muß an dieser Stelle also beim Beobachterentwurf ein Kompromiß zwischen schnellem Einschwingen und geringer Rauschverst¨arkung getroffen werden. Abbildung 5.22 zeigt die Struktur einer Zustandsregelung mit LuenbergerBeobachter f¨ ur eine Strecke 2. Ordnung.

148

5 Regelkreisstrukturen

V1 w KV

-e 6 −

ur

T1

Strecke

V2

x1

-

T2 x2

-

-e 6

Messung r

r2 6

x'2

r1 6

x'1

oder

?

Δy

r

y

-

  ? e 6 −

?

K2

K1 V'

1

? -e

T'

1

V'2 x'r1 - e? -

T'2 x'2 r

y' -

x2

Zustandsregler

Beobachter

Abb. 5.22: Zustandsregelung mit Beobachter

5.5.6.4 Kalman-Filter Das sogenannte Kalman-Optimal-Filter hat dieselbe Struktur wie der oben beschriebene Luenberger-Beobachter. Der Unterschied zwischen diesen beiden Systemen besteht in der Berechnung der Fehlerr¨ uckkopplung. Neben der Struktur und den Parametern des Gesamtsystems wird beim Entwurf des Filters zus¨atzlich weißes Prozeß- und Meßrauschen ber¨ ucksichtigt. Beide St¨orgr¨oßen seien gaußverteilt. Diese Annahme ist auf viele technische Prozesse u ¨ bertragbar. Man spricht deshalb auch von einem stochastischen ” Filter“. Geht man von derartigen St¨orungen in einem System aus, so liefert das Kalman-Filter eine optimale Zustandssch¨atzung hinsichtlich eines definierten G¨ utefunktionals (Optimales Filter). Trifft die Annahme einer gaußverteilten St¨orgr¨oße nicht zu, so liefert das Filter nur eine suboptimale L¨osung. In Bezug auf das G¨ utefunktional ist dieses Ergebnis dennoch besser als die Zustandssch¨atzung anderer linearer Beobachter. Diese Tatsache deutet schon darauf hin, daß der Luenberger-Beobachter eine Untermenge des Kalman-Filters darstellt, zumal dieses auch eine Berechnungsgrundlage f¨ ur zeitinvariante Systeme liefert. Zudem ist es m¨oglich, die Zustandsbeobachtung um eine Parametersch¨atzung zu erweitern. Auf die mathematische Herleitung der Berechnung der R¨ uckf¨ uhrmatrix des Filters sei an dieser Stelle verzichtet und auf [31] verwiesen.

5.5 Zustandsregelung

5.5.7

149

Zusammenfassung

Abschließend sollen einige wichtige Hinweise zum Einsatz und Entwurf einer Zustandsregelung zusammengefaßt werden. • Wird ein sehr schnelles Regelverhalten des Zustandsreglers durch Polvorgabe eingestellt, k¨onnen sehr hohe, nicht realisierbare Stellamplituden auftreten. Ein m¨ogliches Problem dabei ist die Parameterempfindlichkeit. Anders als bei der in Kap. 5.2 behandelten Kaskadenregelung kann sich bei der Zustandsregelung eine gr¨oßere Parameterempfindlichkeit einstellen, die gesondert zu untersuchen ist. Dies gilt insbesondere bei großen R¨ uckf¨ uhrkoeffizienten sowie bei Unsicherheit der Streckenparameter, die eine unvermeidliche Reglerfehlanpassung zur Folge hat. • In der bisherigen Konzeption ist die Zustandsregelung als Proportionalregler ausgef¨ uhrt, woraus beim Auftreten von St¨orgr¨oßen eine bleibende Regelabweichung resultiert. Die station¨are Genauigkeit kann nun auch beim Entwurf einer Zustandsregelung durch Einf¨ uhrung eines Integralanteils verbessert werden. F¨ ur die Einbeziehung eines I-Anteils in die Zustandsregelung gibt es verschiedene Ans¨atze, wovon einer als Beispiel in Kap. 19.3.4 gezeigt wird. Die Ausf¨ uhrungen in diesem Kapitel sollten zun¨achst ein prinzipielles Verst¨andnis des Vorgehens erm¨oglichen. Mit diesen Kenntnissen k¨onnen aber bereits die Darstellungen f¨ ur Gleich- und Drehstromantriebe in die Zustandsform u uhrt ¨berf¨ werden. Dies soll aber in diesem Buch hier noch nicht erfolgen, da im allgemeinen reale Strecken nicht absolut linear sind und somit erweiterte Ans¨atze zu verwenden sind, die diese Nichtlinearit¨aten ber¨ ucksichtigen. Eine ausf¨ uhrliche Behandlung ist in der Literatur zu finden [297, 789, 790].

150

5 Regelkreisstrukturen

5.6

Stellbegrenzungen in Regelkreisen Dr. P. Hippe, Dr. C. Wurmthaler, Erlangen

5.6.1

Allgemeine Vorbemerkungen

Die meisten Reglertypen im industriellen Einsatz sind durch lineare Differentialgleichungen beschreibbar, und auch die zum Reglerentwurf herangezogenen Streckenmodelle sind in der Regel linear. Obwohl es im strengen Sinne keine (praktisch realisierten) linearen Strecken gibt, ist die lineare Modellbeschreibung solange ausreichend, wie sich der Regelkreis im Arbeitspunkt befindet, f¨ ur den die Regelung ausgelegt wurde. Durch die Einwirkung gr¨oßerer St¨orungen oder bei sogenannten Weitbereichs¨ uberg¨angen, wie sie z.B. bei Anfahrvorg¨angen stattfinden, k¨onnen erhebliche Regelabweichungen auftreten. Dies f¨ uhrt zu großen Stellsignalen, die von den vorhandenen Stellgliedern entweder aus ger¨atetechnischen Gr¨ unden nicht umsetzbar sind, oder die aus Sicherheitsgr¨ unden vermieden werden m¨ ussen. Es existiert also eine Stellbegrenzung, welche die wohl am h¨aufigsten auftretende Nichtlinearit¨at in Regelkreisen darstellt. In linearen Regelkreisen ist die Ausregelzeit, z.B. nach F¨ uhrungsspr¨ ungen, unabh¨angig von der Eingangsamplitude. Sobald die Stellbegrenzung anspricht, ist die auf die Strecke einwirkende Stellgr¨oße kleiner als das vom linearen Regler generierte Ausgangssignal, so dass sich die Ann¨aherung an den Endwert gegen¨ uber dem unbegrenzten Fall verlangsamt. Diese verz¨ogernde Wirkung von Stellbegrenzungen ist nicht vermeidbar, und man w¨ urde vermuten, dass sie auch ¨ zu besser ged¨ampften Ubergangsvorg¨ angen f¨ uhrt. Sobald der Regler jedoch einen Integralanteil besitzt, kann es beim Ansprechen der Stellsignalbegrenzung zu er¨ heblichen Uberschwingern z.B. in den F¨ uhrungssprungantworten kommen, die sehr st¨orend sind. Die Ursache f¨ ur diese unerw¨ unschten Ph¨anomene ist eine ¨ Uberreaktion des Integrierers ( Vollaufen“ des Integrierers), die im internatio” nalen Schrifttum mit Integral Windup“, Reset Windup“ oder kurz Windup“ ” ” ” bezeichnet wird. Im folgenden Abschnitt soll dieser Windup n¨aher untersucht, und Methoden f¨ ur seine Beseitigung in klassischen Reglern mit I-Anteil vorgestellt werden. Bei genauerer Untersuchung von Regelkreisen mit begrenzenden Stellgliedern zeigt sich jedoch, dass der sogenannte Integral Windup“ nicht die einzige un” erw¨ unschte Auswirkung dieser Nichtlinearit¨at darstellt. Auch ohne integrierenden Regleranteil kann es, wie z.B. im Falle konstanter, und damit v¨ollig dynamikloser, Zustandsregelung zu Schwingneigung oder sogar Grenzzyklen im Regelkreis kommen, wenn das Reglerausgangssignal die Begrenzungsamplitude u ¨berschreitet. Dieses Ph¨anomen h¨angt folglich nicht mit der Reglerdynamik (I-Anteil), sondern mit der Dynamik des geschlossenen Regelkreises zusammen, so dass es naheliegt, die beiden unterschiedlichen Windup-Ph¨anomene begrifflich zu unterscheiden, und sie in Regler- und Strecken-Windup zu unterteilen. Dies geschieht in Kap. 5.6.3, das auch die Vermeidungsmaßnahmen f¨ ur beide Formen des Windup enth¨alt.

5.6 Stellbegrenzungen in Regelkreisen

P. Hippe, C. Wurmthaler

151

In Kap. 5.6.4 wird schließlich eine einfache L¨osung f¨ ur die Windup-Probleme vorgeschlagen die durch Stellglieder mit begrenzter Stellgeschwindigkeit entstehen. Eine ausf¨ uhrliche Behandlung der durch Stellbegrenzung ausgel¨osten Ph¨anomene und ihrer Beseitigung findet man in [57]. 5.6.2

Regler-Windup bei PI- und PID-Reglern

5.6.2.1 Beschreibung des Ph¨ anomens Bei erheblichen Sollwert¨anderungen oder auch bei St¨orungen mit großer Amplitude erzeugt der Regler Stellsignale, welche die maximal umsetzbaren (oder erlaubten) Amplituden u ¨ berschreiten. Die Strecke wird dann mit einem reduzierten Stelleingriff beaufschlagt, wodurch sich eine gr¨oßere Regelabweichung einstellt als im unbegrenzten Fall. Diese vergr¨oßerte Regelabweichung bewirkt ihrerseits ein ¨ u der ¨berh¨ohtes Reglerausgangssignal, was zu einem deutlichen Uberschwingen Regelgr¨oße im Vergleich zum linearen Verhalten f¨ uhrt. An einem Beispiel sei demonstriert, dass der I-Anteil im Regler den wesentlichen Beitrag zu diesem unerw¨ unschten Effekt liefert. umax nw

1 sTn +1

ub VR ui

1 (1+sTersi )sTI

n

umin

1 sTn

Abb. 5.23: Drehzahlregelkreis mit PI-Regler und Stellbegrenzung

Abbildung 5.23 zeigt einen Drehzahlregelkreis, bei dem der stromgeregelte Antrieb als IT1 -System modelliert ist (Zeitkonstanten Ters i = 0, 01s, TI = 1s). Der Stromsollwert sei auf die zul¨assigen Extremwerte beschr¨ankt. Als Drehzahlregler kommt ein PI-Regler mit PT1 -Sollwertgl¨attung (TG = Tn ) zum Einsatz, der nach dem symmetrischen Optimum dimensioniert ist (VR = 50, Tn = 0, 04s). In Abb. 5.24 sind die Drehzahl n und der auf die maximal zul¨assige Gr¨oße begrenzte Stromsollwert ub f¨ ur einen Drehzahl-Sollwertsprung nw (t) = 1(t) und unterschiedliche Begrenzungswerte umax = imax , umin = imin gezeigt, die im betrachteten Arbeitspunkt symmetrisch um den Mittelwert Null liegen m¨ogen. Man erkennt, dass die Strombegrenzung wie erwartet den Drehzahlanstieg verlangsamt. Je kleiner der Begrenzungswert jedoch ist, desto gr¨oßer f¨allt das ¨ Uberschwingen u ¨ber den Sollwert aus, obwohl die Ann¨aherung an diesen Endwert immer langsamer erfolgt. Die Ursache f¨ ur dieses Verhalten macht Abb. 5.24c

152 n

5 Regelkreisstrukturen a)

ub

1.8

imax = 25;15; 10; 5

1.6

b)

ui

25

c) 90 80

20

imax = 25;15; 10; 5

1.4

70

15

60

1.2 1

10

0.8

5

50 40

20

0 0.4

10 -5

0.2 0

imax = 25;15; 10; 5

30

0.6

0 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Zeit in Sekunden

0.35

0.4

-10 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Zeit in Sekunden

0.35

0.4

-10 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Zeit in Sekunden

Abb. 5.24: F¨ uhrungs¨ uberg¨ ange des Regelkreises bei verschiedenen Begrenzungswerten imax , imin

deutlich, wo der Anteil ui des Stellsignals aufgetragen ist, der vom Integrierer geliefert wird. Aufgrund der f¨ ur kleinere Begrenzungswerte l¨anger andauernden und gr¨oßer werdenden Regelabweichung kommt es zu einer unn¨otig hohen Stellsignalamplitude im Integralanteil ( Vollaufen“ des Integrierers), die erst durch Um” ¨ kehr des Vorzeichens in der Regelabweichung, also durch Uberschwingen, abgebaut werden kann. Diesen auch Integral Windup genannten Effekt kann man eindeutig der Reglerdynamik zuordnen, und deshalb wurde f¨ ur ihn die Bezeichnung Regler-Windup eingef¨ uhrt [56]. 5.6.2.2

Maßnahmen zur Vermeidung des Regler-Windup bei PI- und PID-Reglern Es gibt eine Reihe unterschiedlicher Maßnahmen, den oben beschriebenen Effekt zu bek¨ampfen. Abbildung 5.25a zeigt eine Anordnung, die den Eingang des Integrierers auf Null setzt, sobald das Stellsignal bestimmte Grenzen u ¨ berschreitet. Dadurch kann der Integrierer w¨ahrend der Begrenzungsphase nicht mehr vol” laufen“. Er tritt nur in Aktion, wenn das Stellsignal unterhalb der eingestellten Grenze ist. Eine andere M¨oglichkeit zur Reduzierung des Regler-Windup besteht darin, den Integrationsvorgang nur f¨ ur kleine Regelabweichungen zuzulassen (vergl. Abb. 5.25b). In Abb. 5.26a sind Abl¨oseregler (Begrenzungsregler) eingesetzt, die daf¨ ur sorgen, dass das Reglerausgangssignal die einstellbaren Begrenzungswerte umin und ¨ umax nicht u wirkt die in Abb. 5.26b gezeigte Anordnung. ¨berschreitet. Ahnlich Abbildung 5.27 zeigt F¨ uhrungs¨ uberg¨ange des Regelkreises von Abb. 5.23 sowie die Verl¨aufe des entsprechenden Integrierer-Ausgangssignals ui und des begrenzten Stellsignals ub f¨ ur verschiedene Werte des R¨ uckf¨ uhrfaktors Kf in einer Windup-Vermeidungsstruktur nach Abb. 5.26b. Es zeigt sich, dass man den R¨ uckf¨ uhrfaktor Kf in weiten Bereichen variieren ¨ kann, und dass er einen deutlichen Einfluss auf das resultierende Uberschwingen der F¨ uhrungssprungantworten hat.

5.6 Stellbegrenzungen in Regelkreisen

P. Hippe, C. Wurmthaler

a)

153

umax ub

VR umin ui 1 sTn

1 0

b)

umax ub

VR ui

umin

1 sTn

1 0

Abb. 5.25: PI-Regler mit Integralabschaltung bei: ¨ a) Uberschreiten von Grenzen f¨ ur das Stellsignal, ¨ b) Uberschreiten von Grenzen f¨ ur die Regelabweichung

154

5 Regelkreisstrukturen

a)

umax

Kb

u VR ui 1 sTn

umin

Kb

b) umax ub

u VR ui

umin

1 sTn

Kf

Abb. 5.26: PI-Regler mit Nachf¨ uhren des Integralanteils u ¨ber: a) Begrenzungsregler mit einstellbaren Grenzen, b) Regelung der Differenz zwischen Reglerausgang und Begrenzungswert

P. Hippe, C. Wurmthaler

5.6 Stellbegrenzungen in Regelkreisen

n

a)

ub

1.5

Kf = 0; 10; 30; 50

b)

ui

10

Kf = 0; 10; 30; 50

8

155

c) 35 30

6 25 4

1

0

15

-2 0.5

Kf = 0; 10; 30; 50

20

2

10

-4 5 -6 0

-8 0

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Zeit in Sekunden

0.35

0.4

-10 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

-5 0

0.05

Zeit in Sekunden

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Zeit in Sekunden

Abb. 5.27: Verlauf der F¨ uhrungssprungantworten, der Integriereramplituden und des Stellsignals in Abh¨ angigkeit von Kf

5.6.3

Systematisches Vorgehen zur Beseitigung von Regler- und Strecken-Windup

¨ Die Uberlegungen im vorangehenden Abschnitt hatten Maßnahmen zum Inhalt, den sogenannten Integral Windup in klassischen Reglern mit I-Anteil zu vermeiden. Die unerw¨ unschten Auswirkungen begrenzender Stellglieder beschr¨anken sich jedoch bei weitem nicht nur auf dieses Vollaufen“ des Integrierers. ” Im folgenden ist angenommen, dass die zeitinvarianten Strecken n-ter Ordnung bis auf die Stellbegrenzung linear und stabil sind (wobei einfache Eigenwerte auf der imagin¨aren Achse zul¨assig sind). Die Nichtlinearit¨at am Streckeneingang sei so geartet, dass Stellsignale u(t) bis zu einer Amplitude u0 mit Verst¨arkung 1 u ur |u(t)| > u0 am Ausgang der Wert u0 sign[u(t)] ¨bertragen werden, und f¨ anliegt. Ein Ansprechen dieser Nichtlinearit¨at im Stellorgan kann vermieden werden, wenn man ein Modell ub (t) = satu0 [u(t)] dieser Nichtlinearit¨at vor die Strecke schaltet, wobei gilt ⎧ ⎨ u0 wenn u > u0 u wenn − u0 ≤ u ≤ u0 ; u0 > 0 satu0 (u) = (5.63) ⎩ −u0 wenn u < −u0 ¨ F¨ ur die weiteren Uberlegungen ist daher nur diese Modell-Nichtlinearit¨at am Streckeneingang zu ber¨ ucksichtigen w¨ahrend man die eigentliche StellgliedNichtlinearit¨at vernachl¨assigen kann. Damit die Untersuchungen auf beliebige lineare Reglertypen u ¨bertragbar sind (klassische Regelungen, Zustandsregelungen), wird eine Frequenzbereichsbeschreibung f¨ ur Strecken und Regler zugrunde gelegt, wie sie Abb. 5.28 zeigt. Hierbei wird eine Struktur angesetzt, die unterschiedliche Einspeisungen der F¨ uhrungsgr¨oße w u ¨ber ZRW (s) und der Messgr¨oßen y u ¨ber ZRT (s) in den Regler

156

5 Regelkreisstrukturen

zul¨asst. Wenn p > 1 Messgr¨oßen yi (t) vorhanden sind, stellt Z(s) einen Spaltenvektor dar, der aus den Polynomen Zi (s) der Einzel¨ ubertragungsfunktionen yi (s) Zi (s) = , i = 1, 2, ..., p gebildet ist. Entsprechend ist ZRT (s) dann ein Zeilenu(s) N (s) ubertragungsfunktionen vektor, der die Polynome ZRi (s) der Einzel¨ des Reglers enth¨alt.

w

=

ZRi (s) NR (s)

y

u

ZRW (s) NR (s)

uR (s) yi (s)

Z(s) N1(s)

uR 1 Z T (s) NR (s) R

Abb. 5.28: Sonst linearer Regelkreis mit Stellbegrenzung

satu0 w

ub

u

ZRW (s) Δ(s)

y Z(s) N1(s)

u˜ ZU (s) Δ(s) 1 Z T (s) Δ(s) R

Abb. 5.29: Systematische Vermeidung des Regler-Windup

Sobald die Stellbegrenzung anspricht, ist der Regelkreis offen. Wenn der Regler nun grenz- oder instabile Pole besitzt (wie z.B. bei Reglern mit I-Anteil), kommt es im offenen Regelkreis zu einem unkontrollierten Weglaufen der entsprechenden Reglerzust¨ande, was die Ursache f¨ ur das im vorhergehenden ¨ Abschnitt diskutierte unerw¨ unschte Uberschwingen der Regelgr¨oße ist. Dieses Ph¨anomen bezeichnet man als Regler-Windup, da es durch die Reglerdynamik hervorgerufen wird. Sorgt man durch geeignete Maßnahmen daf¨ ur, dass der Regler beim Ansprechen der Stellbegrenzung ein stabiles Nennerpolynom erh¨alt, tritt dieser Effekt

5.6 Stellbegrenzungen in Regelkreisen

P. Hippe, C. Wurmthaler

157

nicht mehr auf. Abbildung 5.29 zeigt eine Struktur zur systematischen Vermeidung des Regler-Windup, die ein Modell der in der Strecke vorhandenen Stellbegrenzung beinhaltet. Damit die beiden Regelkreise in Abb. 5.28 und 5.29 im linearen Falle (ub = u) identisches Verhalten zeigen, muss das Polynom ZU (s) die Form ZU (s) = NR (s) − Δ(s)

(5.64)

besitzen. Wenn das Polynom Δ(s) ein Hurwitz-Polynom ist, es also nur Nullstellen in der linken s-Halbebene besitzt, kommt es beim Ansprechen der Stellbegrenzung auch bei einem grenz- oder instabilen Regler zu keinem unkontrollierten Weglaufen der entsprechenden Zust¨ande. Damit tritt der sogenannte Regler-Windup nicht mehr auf. F¨ ur die Wahl des Polynoms Δ(s), das denselben Grad wie NR (s) besitzt, gibt es in der regelungstechnischen Literatur verschiedene Vorschl¨age. Im Rahmen der sogenannten Conditioning Technique“ [54] legt man die Nullstellen von Δ(s) so fest, ” dass sie mit den Nullstellen von ZRW (s) u ¨bereinstimmen. Bei der sogenannten Beobachtertechnik [55] wird Δ(s) aus entsprechend vielen Nullstellen des charakteristischen Polynoms CP (s) = ZRT (s)Z(s) + NR (s)N (s)

(5.65)

des Regelkreises gebildet. Dies hat den Vorteil, dass man eine systematische Trennung der unerw¨ unschten Auswirkungen der Stellbegrenzung durchf¨ uhren kann in einen Anteil, der von der Reglerdynamik abh¨angt (Regler-Windup) und einen von den dynamischen Eigenschaften des Reglers v¨ollig unabh¨angigen Anteil, den Strecken-Windup. Wenn Δ(s) kein Teiler des charakteristischen Polynoms CP (s) des geschlossenen Regelkreises ist, l¨asst sich diese systematische Unterscheidung nicht mehr durchf¨ uhren. Nach Anwendung der Beobachtertechnik zur Vermeidung des Regler-Windup sind eventuell verbleibende unerw¨ unschte Auswirkungen der Stellbegrenzung exakt dieselben, als wenn man einen dynamiklosen proportionalen Zustandsregler zur Festlegung der verbleibenden Nullstellen von CP (s) eingesetzt h¨atte [56], [57]. Aber selbst wenn der Regler u ¨berhaupt keine dynamischen Elemente enth¨alt, kann im nichtlinearen Regelkreis eine unerw¨ unschte Schwingneigung bis hin zu nichtlinearen Grenzzyklen auftreten. Ob ein Regelkreis mit begrenzendem Stellglied stabil ist oder Grenzschwingungen ausf¨ uhren kann, l¨asst sich anhand des Frequenzgangs des linearen Teils der R¨ uckkopplungsschleife beurteilen. In Abb. 5.30 ist der Regelkreis nach Abb. 5.29 unter Vernachl¨assigung des Sollwerteingangs so umgezeichnet, dass er die Standardstruktur eines Regelkreises mit einer isolierten Nichtlinearit¨at besitzt.

158

5 Regelkreisstrukturen

u

ub

-

GL (s)

u˜

Abb. 5.30: Regelkreis mit isolierter Nichtlinearit¨ at

¨ Der Linearteil GL (s) des Regelkreises in Abb. 5.29 (d.h. das Ubertragungsverhalten −u(s) = GL (s)ub(s)) besitzt die Form GL (s) =

CP (s) −1 N(s)Δ(s)

(5.66)

was man mit linearer Blockschaltbild-Algebra leicht nachvollziehen kann. Liegt nun die Ortskurve FP H (jω) = GL (s = jω) + 1 =

CP (jω) N(jω)Δ(jω)

(5.67)

vollst¨andig im rechten Teil der komplexen Ebene, l¨asst sich die Stabilit¨at des nichtlinearen Regelkreises nach Abb. 5.30 (und damit auch nach Abb. 5.29) z.B. mit Hilfe des Kreiskriteriums streng nachweisen. Langj¨ahrige praktische Erfahrungen haben jedoch gezeigt, dass diese Forderung an den Frequenzgang FP H (jω) (was bedeutet, dass die Phase von FP H (jω) im Bereich −90◦ ≤ arg(FP H (jω)) ≤ 90◦ verl¨auft) zu scharf ist. Die Stellbegrenzung regt auch dann keine Schwingneigung im Regelkreis an, wenn die Phase arg(FP H (jω)) den Bereich −130◦ ≤ arg(FP H (jω)) ≤ 130◦ nicht verl¨asst [56]. Wenn also bei Wahl eines Hurwitz-Polynoms Δ(s) die Phase von FP H (jω) in den in Abb. 5.31 grau eingezeichneten verbotenen Bereich eintritt, besteht die Gefahr des Auftretens unerw¨ unschter Schwingneigung durch die Stellbegrenzung. Dies l¨asst sich nun auf zwei verschiedene Arten vermeiden: 1. Man kann versuchen, durch geeignete Modifikation der Nullstellen von Δ(s) (sie m¨ ussen nat¨ urlich negativen Realteil haben) die Phase von FP H (jω) in den erlaubten Bereich zu bringen, oder, wenn dies nicht gelingt, 2. den gew¨ unschten Phasenverlauf des Linearteils durch Einsatz eines Zusatznetzwerkes sicherstellen. Die Struktur eines solchen Zusatznetzwerkes zeigt Abb. 5.32.

Winkel in Grad

5.6 Stellbegrenzungen in Regelkreisen

P. Hippe, C. Wurmthaler

159

150 100 50 0 -50 -100 -150 -1 10

0 10

1 10

2 10

Frequenz in rad/sec

Abb. 5.31: Erlaubter und verbotener Bereich f¨ ur die Phase von FP H (jω)

Zusatznetzwerk ZNS (s)−ZNL (s) ZNL (s)

satu0 w

ub

u

ZRW (s) Δ(s)

y Z(s) N1(s)

u˜ ZU (s) Δ(s)

1 Z T (s) Δ(s) R

Abb. 5.32: Zusatznetzwerk zur Vermeidung von Strecken-Windup

160

5 Regelkreisstrukturen

Durch dieses Zusatznetzwerk ver¨andert sich der Linearteil der R¨ uckkopplungs¨ schleife und die Ubertragungsfunktion des Linearteils −u(s) = GL (s)ub(s) erh¨alt die Form CP (s)ZN L (s) −1 (5.68) GL (s) = N(s)Δ(s)ZN S (s) so dass man ZN L (s) und ZN S (s) als Hurwitz-Polynome (gleichen Grades) so zu w¨ahlen hat, dass die Phase von FP H (jω) =

CP (jω)ZN L (jω) N(jω)Δ(jω)ZN S (jω)

(5.69)

den in Abb. 5.31 dargestellten erlaubten Bereich nicht mehr verl¨asst. Der Grad der Polynome ZN L (s) und ZN S (s) kann beliebig sein; meist reichen jedoch Polynome ersten Grades, um die erw¨ unschte Phasen-Anhebung (-Absenkung) zu erzielen. Polynome niedrigen Grades f¨ uhren jedoch u.U. zu relativ langsamem Einschwingen, was durch Polynome h¨oheren Grades verbessert werden kann (siehe Beispiel 5.6.3). Eine weitere M¨oglichkeit zur Vermeidung des Strecken-Windup besteht darin, einen modellgest¨ utzten nichtlinearen F¨ uhrungsgr¨oßenformer so einzusetzen, dass die Stellbegrenzung am Streckeneingang u ¨berhaupt nicht anspricht. Dieses in [57] ausf¨ uhrlich dargestellte Verfahren ist auch f¨ ur exponentiell instabile Strecken anwendbar. Beispiel 1: F¨ ur das demonstrierende Beispiel liegt eine einfache Strecke, bestehend aus drei Verz¨ogerungsgliedern mit der Zeitkonstante 1 s zugrunde. Ihre ¨ Ubertragungsfunktion lautet G(s) =

Z(s) 1 = 3 N(s) s + 3s2 + 3s + 1

Mit einem einfachen PI-Regler gelingt es nicht, einen Strecken-Windup zu erzeugen, weil daf¨ ur eine schnelle Regelkreisdynamik erforderlich ist. Daher sei hier ein Regler 3. Ordnung mit I-Anteil betrachtet, der ein charakteristisches Polynom CP (s) = (s + 10)3 (s + 6)3 f¨ ur den Regelkreis erzeugt. Die Polynome dieses Reglers haben die Form ZR (s) = 7290s3 + 54405s2 + 171990s + 216000 NR (s) = s3 + 45s2 + 810s ZRW (s) = 1000s3 + 18000s2 + 108000s + 216000 womit sich die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion des Regelkreises 1000 y(s) = w(s) (s + 10)3

5.6 Stellbegrenzungen in Regelkreisen

P. Hippe, C. Wurmthaler

161

Regelgröße

ergibt, welche u uhrungs¨ uberg¨ange erwarten l¨asst. ¨berschwingungsfreie F¨ Die Stellbegrenzung werde bei |u| = 1 aktiv, so dass die u ¨ ber das Streckeneingangssignal maximal erreichbare Ausgangsamplitude gerade y = 1 betr¨agt. Bringt man in diesem Regelkreis F¨ uhrungsspr¨ unge der Amplitude 0,5 auf, ergeben sich die in Abb. 5.33 gezeigten F¨ uhrungssprungantworten, welche Grenzzyklen ausf¨ uhren. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Zeit in Sekunden

Abb. 5.33: F¨ uhrungssprungantworten des nichtlinearen Beispiel-Regelkreises

Diese Grenzzyklen sind offensichtlich eine Folge der Stellbegrenzung. Als erste Maßnahme sollte man auf jeden Fall den Regler-Windup vermeiden, was durch die in Abb. 5.29 gezeigte Struktur m¨oglich ist. W¨ahlt man f¨ ur das Polynom Δ(s) die drei Nullstellen des charakteristischen Polynoms der geregelten Strecke bei s = −6, so ergibt sich mit Δ(s) = Δa (s) = s3 + 18s2 + 108s + 216 das Polynom ZU (s) u ¨ber Gl. (5.64) zu ZU (s) = ZUa (s) = 27s2 + 702s − 216 Mit der Reglerrealisierung in der in Abb. 5.29 gezeigten Struktur ergeben sich die in Abb. 5.34 dargestellten F¨ uhrungssprungantworten, die erheblich besser ged¨ampft verlaufen, aber immer noch deutlich oszillieren. Trotz der Beseitigung des Regler-Windup bewirkt die Stellbegrenzung also eine Schwingneigung des Regelkreises; es tritt ein Strecken-Windup auf.

5 Regelkreisstrukturen

Regelgröße

162

0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 0

5

10

15

20

25

30

Zeit in Sekunden

Winkel in Grad

Abb. 5.34: F¨ uhrungssprungantworten des nichtlinearen Beispiel-Regelkreises nach Vermeidung des Regler-Windup mit Δa (s)

0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160 -180 -1 10

0

10

1

10

2

10

Frequenz in rad/sec

Abb.5.35: Phasenkurven f¨ ur FP H (jω) bei Vermeidung des Regler-Windup mit Δa (s) (gestrichelt) und Δb (s) (durchgezogen)

Dies wird deutlich, wenn man die Phase des Frequenzgangs FPa H (jω) von

5.6 Stellbegrenzungen in Regelkreisen

FPa H (jω) =

P. Hippe, C. Wurmthaler

163

(jω + 10)3 CP (jω) = N(jω)Δa (jω) (jω + 1)3

betrachtet (vgl. Gl. (5.67)), die in Abb. 5.35 gestrichelt eingetragen ist. Sie tritt deutlich in den verbotenen Bereich (vgl. Abb. 5.31) ein, was auf die Gefahr eines Strecken-Windup hinweist. Verwendet man zur Bildung von Δ(s) stattdessen die drei Nullstellen von CP (s) bei s = −10, also Δ(s) = Δb (s) = s3 + 30s2 + 300s + 1000 dann ergibt sich ein Phasenverlauf des Frequenzgangs FPb H (jω) von FPb H (jω) =

CP (jω) (jω + 6)3 = N(jω)Δb (jω) (jω + 1)3

der in Abb. 5.35 durchgezogen eingetragen ist. Er tritt nur noch wenig in den verbotenen Bereich ein, und folglich zeigt der Regelkreis mit Δ(s) = Δb (s) und ZU (s) = ZUb (s) = 15s2 + 510s − 1000 keine Schwingneigung mehr, was die F¨ uhrungssprungantworten in Abb. 5.36 demonstrieren. Um die Wirkung des Zusatznetzwerks aus Abb. 5.32 zu demonstrieren, ist f¨ ur das folgende wiederum angenommen, dass der Regler-Windup mit dem Polynom Δ(s) = Δa (s) beseitigt wurde, so dass der in Abb. 5.34 gezeigte Strecken-Windup auftritt. Abbildung 5.35 zeigt, dass die Phase von FPa H (jω) bei der Frequenz 3,16 rad/s um 35◦ angehoben werden muss, damit sie im erlaubten Bereich bleibt und folglich kein Strecken-Windup mehr auftritt. Dies l¨asst sich mit einem einfachen Zusatznetzwerk bewerkstelligen, dessen Polynome ZN L (s) und ZN S (s) die ¨ Ubertragungsfunktion s + 3,16 ZN L (s) 2 = ZN S (s) s + 3, 16 · 2 bilden. Mit diesen Polynomen meidet die Phase des Frequenzgangs (5.69) den schraffierten Bereich in Abb.5.31. Simulationen mit diesem Zusatznetzwerk (und Δ(s) = Δa (s)) zeigt Abb. 5.37 gestrichelt. Man erkennt, dass das Einlaufen in den Endwert verz¨ogert geschieht. Ein g¨ unstigeres Verhalten kann man mit einem Zusatznetzwerk 3. Ordnung erzielen. ¨ Ein Zusatznetzwerk, dessen Polynome die Ubertragungsfunktion ZN L (s) (s + 5)3 = ZN S (s) (s + 9)3 bilden, liefert bei der Frequenz 3,16 rad/s ebenfalls eine Phasenanhebung von 35◦ . Die durchgezogene Kurve in Abbildung 5.37 zeigt das deutlich schnellere Einschwingen mit diesem Zusatznetzwerk.

5 Regelkreisstrukturen

Regelgröße

164

0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 0

5

10

15

20

25

30

Zeit in Sekunden

Regelgröße

Abb. 5.36: F¨ uhrungssprungantworten des nichtlinearen Beispiel-Regelkreises nach Vermeidung des Regler-Windup mit Δb (s)

0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 0

5

10

15

20

25

30

Zeit in Sekunden

Abb. 5.37: F¨ uhrungssprungantworten des nichtlinearen Beispiel-Regelkreises (f¨ ur Δ(s) = Δa (s)) mit Zusatznetzwerk 1. Ordnung (gestrichelt) und 3. Ordnung (durchgezogen)

5.6 Stellbegrenzungen in Regelkreisen

5.6.4

P. Hippe, C. Wurmthaler

165

Struktur zur Ber¨ ucksichtigung von Begrenzungen der Stellgeschwindigkeit und der Stellamplitude

Aufgrund technologischer Begrenzungen kann es vorkommen, dass nicht nur die ¨ umsetzbare Stellamplitude, sondern auch die erzielbare Anderungsgeschwindigkeit des Stelleingriffs begrenzt ist. Dies ist z.B. der Fall, wenn das Stellorgan Hydraulikzylinder oder einen Antrieb u ¨ber Gewindestangen enth¨alt. Sowohl der Zufluss in den Hydraulik-Zylinder als auch die Geschwindigkeit des die Spindel antreibenden Motors sind endlich. Dadurch kommt es zu einer Begrenzung der Stellgeschwindigkeit, die ebenfalls eine destabilisierende Wirkung auf den Regelkreis aus¨ uben kann, wenn man sie nicht geeignet ber¨ ucksichtigt. Das u ¨bliche Vorgehen zur Vermeidung von Problemen, die durch eine Amplitudenbegrenzung im Stellglied hervorgerufen werden besteht darin, dass man ein Modell (5.63) dieser Begrenzung am Reglerausgang anf¨ ugt, so dass die auf die Strecke einwirkenden Signale die Nichtlinearit¨at im Stellorgan nicht aktivieren. Der Modellausgang l¨asst sich dann zur Vermeidung negativer Folgen der Stellbegrenzung nutzen. Dies l¨asst sich auch mit einem Modell f¨ ur eine gleichzeitige Amplituden- und Geschwindigkeitsbegrenzung gem¨aß |u(t)| ≤ u0 und |u(t)| ˙ ≤ uV erreichen. Abb. 5.38 zeigt ein Simulationsmodell eines Stellglieds mit gleichzeitiger Amplituden- und Stellbegrenzung. Der Verst¨arkungsfaktor V sollte so groß gew¨ahlt werden, dass die resultierende Zeitkonstante des (linearen) PT1 -Gliedes gegen¨ uber der Regelstrecke vernachl¨assigbar ist. F¨ ur V → ∞ liefert dieses Modell eine exakte Nachbildung eines Stellgliedes mit gleichzeitiger Beschr¨ankung der Stellamplitude ub und der Stellgeschwindigkeit u˙ b . u

satu0

satuV u¯b

V

1 s

ub

Abb.5.38: Simulationsmodell welches das Verhalten eines amplituden- und geschwindigkeitsbegrenzten Stellgliedes bei hinreichend großem V nachbildet

Im folgenden wird die Kurzbezeichnung ub (t) = satuuV0 [u(t)]

(5.70)

f¨ ur diese Nichtlinearit¨at verwendet. Im Blockschaltbild geschieht die Kennzeichnung eines amplituden- und geschwindigkeitsbegrenzten Stellgliedes durch das in Abb. 5.39 gezeigte Symbol.

166

5 Regelkreisstrukturen

satuuV0 ub

u

Abb. 5.39: Blockschaltbild-Symbol f¨ ur ein Stellglied mit Amplituden- und Geschwindigkeitsbegrenzung

Wenn man das Modell ub (t) = satuuV0 [u(t)] am Eingang der Strecke einf¨ ugt, tritt zwar keine der Begrenzungen im eigentlichen Stellglied in Aktion, die Untersuchungen des Regelkreises, der aus der linearen Strecke und der ModellNichtlinearit¨at am Eingang besteht, gestalten sich dennoch relativ aufwendig. Der Hintergrund hierf¨ ur ist die Tatsache, dass die u ¨blichen Kriterien zur Untersuchung der Regelkreisstabilit¨at (Kreiskriterium, Popov-Kriterium, Phasenkriterium,...) voraussetzen, dass nur eine isolierte Nichtlinearit¨at vom SektorTyp vorhanden ist. Die oben betrachteten Modelle f¨ ur geschwindigkeitsbegrenzte Stellglieder enthalten jedoch zwei nichtlineare Elemente. Eine einfache L¨osung des Problems wird m¨oglich, wenn man das in Abb. 5.40 gezeigte Ersatz-Modell f¨ ur ein Stellglied mit gleichzeitiger Amplituden- und Geschwindigkeitsbegrenzung verwendet. satu0 u

u¯b

1 TV s+1

ub

Abb. 5.40: Ersatz-Modell f¨ ur ein begrenzendes Stellglied mit maximal umsetzbarer Amplitude u0 und maximal umsetzbarer Stellgeschwindigkeit uV

Durch Verz¨ogerung des begrenzten Stellsignals u¯b (t) in einem PT1 -Glied mit der Zeitkonstante 2u0 TV = (5.71) uV erh¨alt man ein auf die Maximalamplitude u0 begrenztes Ausgangssignal ub (t), ¨ dessen Anderungsgeschwindigkeit im ung¨ unstigsten Falle, n¨amlich bei einem Umschlagen des Signals u¯b (t) von einem Stellanschlag zum gegen¨ uberliegenden, die vom Stellglied maximal umsetzbare Geschwindigkeit uV nicht u ¨berschreitet. Setzt man dieses Ersatz-Modell an den Strecken-Eingang, spricht weder die Amplituden- noch die Geschwindigkeitsbegrenzung im eigentlichen Stellglied an.

5.6 Stellbegrenzungen in Regelkreisen

P. Hippe, C. Wurmthaler

167

Dieses Modell besteht aus nur einer Begrenzung am Eingang, wodurch das Problem der Windup-Vermeidung f¨ ur Stellglieder mit gleichzeitiger Amplitudenund Geschwindigkeitsbegrenzung zur¨ uckgef¨ uhrt ist auf das bekannte WindupVermeidungsproblem mit Amplitudenbegrenzung u¯b(t) = satu0 [u(t)]. Allerdings ist im linearen Streckenmodell das hinzugef¨ ugte PT1 -Glied zu ber¨ ucksichtigen. Man entwirft also den linearen Regler f¨ ur die erweiterte Strecke, wendet die bekannten Verfahren f¨ ur die Vermeidung des Regler-Windup an und u uft ¨berpr¨ dann, ob im resultierenden Regelkreis die Gefahr eines Strecken-Windup besteht. Wenn dies der Fall ist, wobei die Intensit¨at des Strecken-Windup durch die Erweiterung der urspr¨ unglichen Strecke um ein PT1 -System in der Regel erh¨oht wird, kann man ihn durch ein geeignet dimensioniertes Zusatz-Netzwerk (siehe 5.6.3) vermeiden. Der Ausgang ub(t) des PT1 -Gliedes ist messbar, so dass er bei einem Entwurf beobachterbasierter Regler als zus¨atzlicher Messausgang zur Verf¨ ugung steht. Dies hat zur Folge, dass der Regler f¨ ur eine beliebige Eigenwertzuweisung der erweiterten Strecke dieselbe Ordnung hat wie der Polzuweisungsregler f¨ ur die urspr¨ ungliche Strecke. Anhand des Regelkreises aus Beispiel 5.6.3 seien die auftretenden Ph¨anomene demonstriert. Beispiel 2: Betrachtet wird die Strecke aus Beispiel 5.6.3, f¨ ur die ein Regler mit I-Anteil so entworfen wurde, dass neben dem Regler-Windup (aufgrund des I-Anteils) auch ein erheblicher Strecken-Windup auftritt, wenn man das Polynom Δa (s) zur Vermeidung des Regler-Windup verwendet (siehe Sprungantworten in Abb.5.34). Vermeidet man diesen Strecken-Windup mit dem im Beispiel 5.6.3 dimensionierten Zusatznetzwerk dritter Ordnung, erh¨alt man die in Abb. 5.37 durchgezogen eingezeichneten F¨ uhrungs¨ uberg¨ange, die trotz Stellbegrenzung gut ged¨ampft verlaufen. Ist nun zus¨atzlich die Stellgeschwindigkeit u˙ b auf uV = 4 begrenzt, liefern F¨ uhrungsspr¨ unge mit einer Amplitude 0, 1 in dieser Regelanordnung die in Abb. 5.41 durchgezogen eingetragenen F¨ uhrungs¨ uberg¨ange. Sie zeigen eine starke Schwingneigung, die durch die nicht ber¨ ucksichtigte Begrenzung der Stellgeschwindigkeit auf |u(t)| ˙ ≤ 4 bedingt ist. Mit u0 = 1 und uV = 4 hat die Zeitkonstante des Ersatzmodells in Abb. 5.40 den Wert TV = 0, 5s. Erweitert man die Strecken-Beschreibung y(s) Z(s) = ub(s) N(s)

(5.72)

¨ (siehe Beispiel 5.6.3) um dieses PT1 -System mit der Ubertragungsfunktion 2 ub (s) = u¯b (s) s+2

(5.73)

¨ so erh¨alt man formal das Ubertragungsverhalten 1 ¯ y¯(s) = Z(s) ¯ (s) u¯b (s) N

(5.74)

u(t) ˙

5 Regelkreisstrukturen

y(t)

168

Zeit in Sekunden

Zeit in Sekunden

(a) Ausgangsgr¨ oße

(b) Stellgeschwindigkeit (Ausschnitt)

Abb. 5.41: F¨ uhrungs¨ uberg¨ ange des Regelkreises ohne und mit Ber¨ ucksichtigung der Stellgeschwindigkeitsbegrenzung

der erweiterten Strecke mit ¯ (s) = N(s)(s + 2) = s4 + 5s3 + 9s2 + 7s + 2 N und dem Vektor

 ¯ Z(s) =

Z¯1 (s) Z¯2 (s)



 =

2

(5.75)



2s3 + 6s2 + 6s + 2

(5.76)

¨ wobei Z¯1 (s) den Z¨ahler der Ubertragungsfunktion vom neuen Eingang u¯b zum ¨ Streckenausgang y und Z¯2 (s) den Z¨ahler der Ubertragungsfunktion vom neuen Eingang u¯b zum Ausgang ub des PT1 -Systems charakterisiert. Die erweiterte Strecke besitzt also die Ordnung 4. Verschiebt man den durch das Modell der Geschwindigkeitsbegrenzung hinzugekommenen Pol ebenfalls nach s = −10, ergibt sich das charakteristische Polynom der geregelten Strecke ˜ (s) = (s + 10)4 . Ein Zustandsregler minimaler Ordnung mit I-Anteil f¨ zu N ur diese Strecke besitzt die Ordnung drei, und das charakteristische Polynom des zugeh¨origen Beobachters sei wiederum Δ(s) = (s + 6)3 . ¨ Der Ubertragungsvektor FR (s) =

1 Z T (s) mit ZRT (s) = [ZR1 (s) ZR2 (s)] NR (s) R

(5.77)

5.6 Stellbegrenzungen in Regelkreisen

P. Hippe, C. Wurmthaler

169

˜ (s) des Regelkreides Reglers, der das charakteristische Polynom CP (s) = Δ(s)N ses sicherstellt, besitzt die Polynome ZR1 (s) = 52717, 5s3 + 347085s2 + 964305s + 1080000

(5.78)

ZR2 (s) = 17, 5s3 + 314, 5s2 + 7100s

(5.79)

3

2

NR (s) = s + 18s + 595s

und

ZRW (s) = 5000s3 + 90000s2 + 540000s + 1080000

(5.80) (5.81)

Vermeidet man den Regler-Windup in einer Regelkreis-Struktur nach Abb. 5.29, wozu das Polynom ZU (s) = NR (s) − Δ(s) = 487s − 216 bestimmt werden muss, zeigt sich, dass die Phasenkurve des Frequenzgangs von FP H (jω) =

˜ (jω) CP (jω) (jω + 10)4 N = ˆ = N(jω)Δ(jω) N(jω) (jω + 1)4

(5.82)

bis auf −205◦ abf¨allt, so dass ein Ansprechen der Stellbegrenzung zu Grenzzyklen im Regelkreis f¨ uhren kann (d.h. bei entsprechender Anregung besteht die Gefahr eines sehr intensiven Strecken-Windup). Dieser Strecken-Windup l¨asst sich durch ein Zusatz-Netzwerk mit den Polynomen ZN L (s) = s2 + 6s + 9 und ZN S (s) = s2 + 60s + 900 beseitigen, weil dann die Phase des Frequenzgangs (5.69) den verbotenen Bereich in Abb. 5.31 meidet. Abb.5.42 zeigt den betrachteten Regelkreis, bestehend aus der Regelstrecke aus Beispiel 5.6.3, einem Stellglied mit gleichzeitiger Amplituden- und Geschwindigkeitsbegrenzung, einem Ersatz-Modell f¨ ur dieses Stellglied, den Regler mit I-Anteil f¨ ur die erweiterte Strecke, die Maßnahme zur Beseitigung des ZU (s) Regler-Windup (R¨ uckf¨ uhrung des begrenzten Stellsignals u ) und das ¨ ber Δ(s) Zusatz-Netzwerk zur Vermeidung des Strecken-Windup. Abb. 5.41 zeigt gestrichelt die resultierenden F¨ uhrungs¨ uberg¨ange des Regelkreises aus Abb. 5.42, die nun trotz eines amplituden- und geschwindigkeitsbegrenzten Stellglieds keinerlei Schwingneigung mehr aufweisen. Durch das vorgeschaltete Ersatzmodell f¨ ur ein solches Stellglied wird sichergestellt, dass weder die Amplituden- noch die Geschwindigkeitsbegrenzung im Stellglied anspricht. Da dieses Ersatzmodell nur eine amplitudenbegrenzende Nichtlinearit¨at enth¨alt, lassen sich die auftretenden Windup-Probleme (Reglerund Strecken-Windup) in der in Abschnitt 5.6.3 behandelten Weise vermeiden.

170

5 Regelkreisstrukturen

Zusatznetzwerk ZNS (s)−ZNL (s) ZNL (s)

w

satuuV0

satu0 ZRW (s) Δ(s)

u

u¯b

2 s+2

ub

y¯1

Z(s) N (s)

y¯2 Ersatz-Modell ZU (s) Δ(s)

ZR2 (s) Δ(s)

ZR1 (s) Δ(s)

Abb. 5.42: Regelkreis mit amplituden- und geschwindigkeitsbegrenztem Stellglied und Maßnahmen zur Vermeidung von Regler- und Strecken-Windup

6 Abtastsysteme

In diesem Kapitel werden die Grundlagen abgetasteter Systeme dargestellt, um auch Regelkreise mit digitaler Signalverarbeitung und Abtastung der analogen Signale behandeln zu k¨onnen. Da f¨ ur dieses Gebiet eine umfangreiche Literatur vorliegt, sollen sich die folgenden Ausf¨ uhrungen auf das notwendigste beschr¨anken.

6.1

Grundlagen der z-Transformation

Im folgenden werden Systeme wie in Abb. 6.1 gezeigt betrachtet. Wie die folgenden Ableitungen zeigen werden, m¨ ussen die Eingangssignale xe0 bei einem Abtastvorgang bandbegrenzt sein. Um das sicherzustellen, muß am Eingang ein Anti-Aliasing-Filter vorgesehen werden; das so bandbegrenzte Signal wird mit xe (t) bezeichnet. Bei einer nachfolgenden digitalen Signalverarbeitung folgt eine Abtastung mittels eines A/D-Wandlers, der aus einem Abtaster mit der Abtastperiode T (Signal x∗e ), einem Halteglied H0 (Signal xh ) sowie einer Quantisierung besteht. Wird am Ausgang wieder ein Analogsignal ben¨otigt, erfolgt nach der digitalen Signalverarbeitung (DSP) eine D/A-Wandlung. Im folgenden sollen nun einige der wesentlichen Komponenten und ihre Funktion beschrieben werden. T

T xe0(t)

x*e

xe(t)

Anti-Aliasing Filter

Abtaster

H0

T xh

Halteglied

A/D Umsetzer

DSP Quantisierung

Digitale Verarbeitung

T

wertdiskret zu amplitudendiskret

H0

Wandler

Halteglied

ya(t)

D/A Umsetzer

Abb.6.1: System mit digitaler Signalverarbeitung und analogen Ein- und Ausgangssignalen

172

6 Abtastsysteme

6.1.1

Abtastvorgang

Es wird zun¨achst ein Abtastsystem mit einem Halteglied nullter Ordnung (H0 ) betrachtet. (Hinweis: Es muß unterschieden werden zwischen T beim Abtastsystem und T = 1/(fN p) beim Stromrichter-Stellglied.) T xe (t)

?  x∗e (kT ) - e e - H(s) 

xh (kT )

H(s) = H0 (s)

-

Abb. 6.2: Halteglied nullter Ordnung

xe 6 x∗e xh

xe

xh 6 6

x∗e

6 6

6

6

6

6

6 6 -

1

2

3

4

5

6

7

8

9

t T

Abb. 6.3: Abtastsystem und Abtastvorgang (Abtastperiode = T )

Dabei sei angenommen, daß das Signal xe bandbegrenzt ist. Tritt zum Abtastzeitpunkt bei nichtstetigen Funktionen eine Unstetigkeit auf, so wird der rechtsseitige Grenzwert der Funktion verwendet: xe (kT ) = xe (kT + 0)

f¨ ur

0≤k≤∞

(6.1)

Der Abtastvorgang l¨aßt sich mathematisch durch eine Multiplikation der abzutastenden Funktion xe (t) mit einer Impulsfolge δT beschreiben. Das abgetastete Signal x∗e (kT ) wird somit berechnet gem¨aß x∗e (kT ) = xe (t)

∞ 

δ(t − kT ) =

k=0

∞ 

(xe (kT ) · δ(t − kT )) = xe (t) · δT (t)

(6.2)

k=0

wobei δT (t) eine unendliche Impulsfolge von Einheits-Dirac-Impulsen mit der Periodendauer T darstellt. Die Laplace-Transformierte des abgetasteten Eingangssignals wird zu: x∗e (s) = L{x∗e (t)} =

∞  k=0

xe (kT ) · e−kT s = xe (s) ∗ δT (s)

(6.3)

6.1 Grundlagen der z-Transformation

173

Aus der Multiplikation im Zeitbereich mit der Dirac-Impulsfolge wird im LaplaceBereich eine Faltung (Symbol ∗) mit der zugeh¨origen Transformierten δT (s). Dabei gilt: 1 δT (s) = 1 + e−T s + e−2T s + · · · = (6.4) 1 − e−T s Die Abtastung im Zeitbereich bewirkt eine periodische Fortsetzung des Originalspektrums im Frequenzbereich. Daher darf das Eingangssignal xe0 nur Frequenzanteile kleiner als ωA /2 = π/T enthalten, damit keine Frequenzanteile aus den Seitenb¨andern nωA in das Grundfrequenzband ± ωA /2 gespiegelt werden. Andernfalls ist das urspr¨ ungliche Signal nicht mehr zu rekonstruieren. Umgekehrt bedeutet dies, daß Signale nur bis zur halben Abtastfrequenz rekonstruiert werden k¨onnen (Shannon-Theorem). Das Halteglied nullter Ordnung h¨alt den letzten Abtastwert bis zur n¨achsten Abtastung fest. Dies kann mathematisch durch zwei Sprungfunktionen, die um eine Abtastperiode verschoben sind, dargestellt werden. Mit dem Einheitssprung σ(t) besitzt das Halteglied damit die Impulsantwort gH (t) und mit dem Rechtsverschiebungssatz (s.u.) die zugeh¨orige Laplace-Transformierte H0 (s) wie folgt: gH (t) = σ(t) − σ(t − T ) H0 (s) = L{gH (t)} =

1 1 − e−sT 1 − e−sT = s s s

(6.5) (6.6)

Damit wird die Laplace-Transformierte der Treppenfunktion xh (t) zu: ∞ 1 − e−sT  xe (kT ) · e−kT s s    k=0   Halten Abtasten

xh (s) = L{xh (t)} = x∗e (s) · H0 (s) =

1

6 e

ee t

(6.7)

gH (t)



  e

t+T

-

Abb. 6.4: Impulsantwort des Halteglieds nullter Ordnung

6.1.2

z-Transformation

Wird eine beliebige Zeitfunktion f (t) abgetastet, erh¨alt man die abgetastete Zeitfunktion f ∗ (t). Von dieser kann ebenfalls eine Laplace-Transformierte F ∗ (s) gebildet werden. Aus F ∗ (s) kann durch Einf¨ uhrung der Abk¨ urzung z = esT direkt die z-Transformierte f (z) der abgetasteten Zeitfunktion angegeben werden.

174

6 Abtastsysteme

Definition:

z = eT s Zeitfunktion

Transformierte

f (t)

F (s)

∗

F ∗ (s) ∞  F ∗ (s) = L{f ∗(kT )} = f (kT ) · e−kT s f (kT )

(6.8)

k=0

f (z) = Z{f ∗ (kT )} =

∞ 

f (kT ) · z −k

(6.9)

k=0

Anhand zweier Beispiele (abgetasteter Einheitssprung und abgetastete Rampe) soll die analytische Berechnung einer z-Transformierten aus der Definitionsformel gezeigt werden. F¨ ur kompliziertere Zeitfunktionen muß auf die untenstehende Transformationstabelle verwiesen werden. Beispiel 1: f (t) = σ(t) f ∗ (s) =

∞ 

◦− −•

f (s) =

1 s

1 · e−sT k = 1 + e−sT + e−2T s + . . .

(6.10) (6.11)

k=0

f (z) = 1 + z −1 + z −2 + . . .

(6.12)

Die Umformung mit der Binomischen Reihe (1 − x)−1 = 1 + x + x2 + x3 + . . . ergibt: 1 1 z f (z) = = (6.13) = 1 z−1 1 − z −1 1− z Beispiel 2: f (t) = t · σ(t)

◦− −•

f (s) =

1 s2

(6.14)

f ∗ (s) = 0 + T · e−T s + 2T · e−2T s + 3T · e−3T s + . . .

(6.15)

= T · e−T s · (1 + 2e−T s + 3e−2T s + . . .)

(6.16)

Die Umformung mit der Reihe (1 − x)−m = 1 + mx + m(m + 1)x2 /2! + . . . ergibt mit m = 2: T z −1 Tz f (z) = (6.17)

2 = (z − 1)2 1 1− z

6.1 Grundlagen der z-Transformation

6.1.3

175

Gesetze und Rechenmethoden der z-Transformation

Im folgenden sollen einige Rechenregeln der z-Transformation aufgef¨ uhrt werden. Sie sind sehr ¨ahnlich zu denen der Laplace-Transformation. 1. Linearit¨ at Z{af (kT ) + bg(kT )} = a · Z{f (kT )} + b · Z{g(kT )}

(6.18)

T ? f (t) 

- e e 

a ? e 6

T ? g(t) 

- e e 

b ⇓

f (t)

-

? e 6

-

synchron arbeitende Abtaster T

b

g(t)

-

?  - e e 

a Abb. 6.5: Linearit¨ at

2. Rechtsverschiebung einer Folge:

n≥0

Verschiebt man eine Folge x(kT ) auf der Zeitachse um n Abtastintervalle nach rechts (das entspricht einer Verz¨ogerung des Signals x), so wird dies durch eine Multiplikation der z-Transformierten mit z −n ausgedr¨ uckt. Z{x(kT − nT )} = z −n · Z{x(kT )} 3. Linksverschiebung einer Folge:

(6.19)

n>0

Bei einer Linksverschiebung werden die Glieder der Folge, die nach der Verschiebung links vom Nullpunkt sind, unterdr¨ uckt.   n−1  n −m (6.20) Z{x(kT + nT )} = z · Z{x(kT )} − x(mT )z m=0

176

6 Abtastsysteme

x6 d

d

n=2

d

d d

d d

t T

d d

d

Abb. 6.6: Rechtsverschiebung

4. D¨ ampfungssatz:

Z{x(kT ) · e−akT } = x(zeaT )

(6.21)

5. Erste Differenz einer Folge: Δx(kT ) = x((k + 1)T ) − x(kT ) Z{Δx(kT )} = (z − 1) · Z{x(kT )} − x(+0) · z

(6.22) (6.23)

6. Anfangswert und Endwert einer Folge: x(+0) = x(∞) =

lim x(z)

(6.24)

z→∞

lim x(kT ) = lim((z − 1)x(z)) z→1

k→∞

7. Differentiation einer Folge nach einem Parameter:  / ∂ ∂ Z x(t, a) = Z{x(t, a)} ∂a ∂a

(6.25)

(6.26)

8. Inverse z-Transformation: Es gilt: x(z) =

∞ 

x(kT )z −k

(6.27)

k=0

Die Koeffizienten dieser Laurent-Reihe ergeben sich zu: 0 1 −1 x(z)z k−1 dz x(kT ) = Z {x(z)} = 2πj

(6.28)

Das Integral kann mit dem Cauchyschen Residuensatz berechnet werden, wenn x(z) rational ist.

6.1 Grundlagen der z-Transformation

x(kT ) =



% &  Res x(z)z k−1 

z=zi

i

= Z −1 {x(z)}

177

(6.29)

Zur Veranschaulichung der verschiedenen m¨oglichen Vorgehensweisen sollen einige Beispiele dienen. Wir der Anfangswertsatz x(+0) = limz→∞ x(z) auf Gl. (6.27) angewendet x(z) =

∞ 

x(kT )z −k = x(0) + x(1)z −1 + . . . + x(n)z −n + . . . (6.30)

k=0

so ist x(0) bestimmbar. Wenn nun der Linksverschiebungssatz (Abschn. 3) angewandt wird, dann k¨onnen die Terme x(k) nacheinander bestimmt werden. Generell m¨ ussen die Koeffizienten der Potenzreihe durch die Anwendung des Cauchyschen Residuensatzes entwickelt werden. Voraussetzung ist allerdings, daß die Pole z∞r der im allgemeinen gebrochen rationalen Funktion x(z) = y(z)/u(z) bekannt sind. Andernfalls kann die Funktion z.B. durch Partialbruchzerlegung oder Potenzreihen in eine Summe einfacher Partialbr¨ uche zerlegt werden. Wenn nun die Pole z∞r bekannt sind, m¨ ussen verschiedene F¨alle unterschieden werden. (a) n einfache Pole z∞r :  y(z) y(z) = n = x(0) + u(z) r=1 (z − z∞r ) r=1 n

x(z) =

 y(z) u(z) z=z∞r z − z∞r

 Res

(6.31)

n Polstellen z∞r x(0) =  Res

y(z) u(z)

 = z=z∞r

lim x(z)

(6.32)

y(z∞r ) u (z∞r )

(6.33)

z→∞

(b) m-facher Pol z∞r : Res [x(z)]z=z∞r =

1 dm−1 · m−1 [x(z)(z − z∞r )m ]z=z∞r (m − 1)! dz

(6.34)

Im vorliegenden Fall der inversen z-Transformation ist allerding statt x(z) der Ausdruck x(z)z k−1 zu integrieren. Analog gilt dann: f¨ ur (a): & % & % Rr = Res x(z)z k−1 z=z∞r = lim (z − z∞r ) · x(z)z k−1 z→z∞r

178

6 Abtastsysteme

f¨ ur (b): % & Rr = Res x(z)z k−1 z=z∞r =

& dm−1 % 1 lim (z − z∞r x(z)z k−1 m−1 (m − 1)! z→z∞r dz

Generell gilt dann f¨ ur die gesuchte Potenzreihe mit den Residuen Rr : x(z) =

∞ 

Rr z −k

(6.35)

k=0

Bei konjugiert komplexen Polen sei auf die Spezialliteratur verwiesen. 9. Faltungssatz: y(nT ) =

∞ 

u(kT ) · h [(n − k)T ]

(6.36)

k=0

Z{y(nT )} = Z{u(kT )} ∗ Z{h(kT )}

(6.37)

10. Modifizierte z-Transformation: Bisher wurden bei der z-Transformation eines Signals x(t) nur die Amplituden im rechtsseitigen Grenzwert x(kT + 0) ber¨ ucksichtigt. F¨ ur bestimmte Anwendungsf¨alle, muß auch die Amplitudenwerte zwischen den Abtastzeitpunkten bekannt sein. Typische Anwendungen sind die Erkennung von hidden oscillations“ bei der Stabilit¨atsanalyse oder spezielle Anwen” dungsf¨alle in der Leistungselektronik. Immer dann, wenn zum Zeitpunkt t = (k + γ)T

mit

0≤γ<1

(6.38)

die Signalwerte des Signals x(t) ermittelt werden sollen, muß die modifizierte z-Transformation verwendet werden. Prinzipiell kann die Modifikation wie folgt veranschaulicht werden: Das Signal x(t) wird um (1 − γ)T zeitlich verschoben und dann erst abgetastet, was einem Laufzeitglied e−(1−γ)T s vor dem Abtaster entspricht. Die Berechnung von x∗ (s, γ) erfolgt mit der komplexen Faltung (ParsevalGleichung). In Sonderf¨allen wird zur Konvergenz des Integrals γ = 1 − m gesetzt. x∗ (s, γ) = L{x(t + γT ) · δT (t)}  c+j∞ 1 1 x(ε)eγεT dε = 2πj c−j∞ 1 − e−T (s−ε)

(6.39) (6.40)

Anschließend l¨aßt sich daraus die z-Transformierte x(z, γ) bestimmen.

6.1 Grundlagen der z-Transformation

179

T −(1−γ)sT

e x(t)

-r

?  - e e - x(kT, γ) 

T

synchron arbeitende Abtaster

?  - e e - x(kT ) 

Abb. 6.7: Modifizierte z-Transformation

11. Zusammenschaltung einfacher Abtastsysteme Im folgenden sollen einige Rechenregeln f¨ ur die z-Transformation von Systemen mit Abtastern angegeben werden. Insbesondere ist dabei zu beachten, ob die Teilsysteme durch Abtaster voneinander isoliert“ sind oder ” nicht. Zur Vereinfachung der Schreibweise wird die folgende Abk¨ urzung eingef¨ uhrt, die es in der Praxis vielfach erlaubt, in der untenstehenden Korrespondenztabelle direkt von der Laplace-Spalte in die z-Spalte zu gehen.  % & ZL−1 {G(s)} = Z L−1 {G(s)}t=kT (6.41) In den folgenden Abbildungen wird angenommen, daß alle Abtaster synchron arbeiten, so lange nicht explizit eine andere Arbeitsweise angegeben wird. Bei der Anordnung nach Abb. 6.8 ist das Ausgangssignal xa1 ein konti¨ nuierliches Signal, das als Eingangssignal f¨ ur den Ubertragungsblock mit ¨ der Ubertragungsfunktion G2 (s) wirkt. Aufgrund des kontinuierlichen Eingangssignals xa1 m¨ ussen G1 (s) · G2 (s) gemeinsam in den z-Bereich transformiert werden. Im Gegensatz dazu sind bei der Struktur nach Abb. 6.9 die Eingangssignale ¨ jeweils abgetastet. Daher m¨ ussen die Ubertragungsfunktionen getrennt in den z-Bereich transformiert werden. Die Struktur von Abb. 6.12 entspricht der Struktur von kontinuierlichen Regelkreisen mit einem leistungselektronischen Stellglied. Die Anordnung Abb. 6.13 entspricht einer m¨oglichen digitalen Regelkreisstruktur. Weitere Anordnungen k¨onnen aufgrund dieser Vorkenntnisse leicht selbst erarbeitet werden.

180

6 Abtastsysteme

T xe

T

?  x∗e - e e 

G1 (s)

xa1

-

G2 (s)

?  x∗a - e e 

xa

G0 (z) = ZL−1 {G1 (s) · G2 (s)} xa (z) = G0 (z) · xe (z) Abb. 6.8: Abtastsystem zur gemeinsamen z-Transformation von G1 und G2

T xe

T

?  x∗e - e e 

G1 (s)

T

?  x∗a1 - e e 

xa1

G2 (s)

?  x∗a - e e 

xa

G0 (z) = G1 (z) · G2 (z) = ZL−1 {G1 (s)} · ZL−1 {G2 (s)} xa (z) = G1 (z) · G2 (z) · xe (z) Abb. 6.9: Abtastsystem zur getrennten z-Transformation von G1 und G2

T xe

-

G1 (s)

T

?  - e e 

G2 (s)

?  x∗a - e e 

xa

% & xa (z) = ZL−1 {xe (s) · G1 (s)} · G2 (z) Abb. 6.10: Abtastsystem zur gemischten z-Transformation von G1 und G2

T xe

-

?  x∗e - e e -r  -

G1 (s)

T ? xa  x∗a ? e - e e 6 

G2 (s)

G(z) = ZL−1 {G1 (s) + G2 (s)} xa (z) = G(z) · xe (z) Abb. 6.11: Abtastsystem mit parallelen Signalpfaden

6.1 Grundlagen der z-Transformation

T xe

T

? 

-e − 6

G1 (s)

181

u - e e u∗G2 (s)

xa

-r



?  x∗a - e e 

u(z) = ZL−1 {xe (s) · G1 (s)} − ZL−1 {G1 (s) · G2 (s)} · u(z) xa (z) = ZL−1 {G2 (s)} · u(z) = G2 (z) · u(z) =

G2 (z) · ZL−1 {xe (s) · G1 (s)} 1 + ZL−1 {G1 (s) · G2 (s)}

Abb. 6.12: Regelkreis Anordnung 1

T xe

T

?  - e - e e −  6

T

? ∗ u(t)  u (t)

G1 (s)

- e e 

G2 (s)

?  x∗a - e e 

xa

-r

u(z) = G1 (z) · xe (z) − G1 (z) · G2 (z) · u(z) xa (z) = G2 (z) · u(z) =

G1 (z) · G2 (z) · xe (z) 1 + G1 (z) · G2 (z)

Abb. 6.13: Regelkreis Anordnung 2

T xe

T

? xd  x∗d - e - e e 6 − 

G1 (s)

? xa 

- e e r 

xr G2 (s) 

xa (z) =

G1 (z) · xe (z) 1 + G1 (z) · G2 (z)

Abb. 6.14: Regelkreis Anordnung 3

x∗a

-

182

6 Abtastsysteme

T xe

T

? xd  x∗d - e - e e 6  −

G1 (s)

xa

r

?  x∗a - e e 

xr G2 (s)  xr (z) = xd (z) · ZL−1 {G1 (s) · G2 (s)} * + xe (z) = xd (z) 1 + ZL−1 (G1 (s) · G2 (s)) G1 (z) · xe (z) 1 + ZL−1 {G1 (s) · G2 (z)}

xa (z) = xd (z) · G1 (z) =

Abb. 6.15: Regelkreis Anordnung 4

T xe

xd

-e 6 −

G1 (s)

? xa 

- e e r 

xr G2 (s)  xa (z) =

ZL−1 {G1 (s) · xe (s)} 1 + ZL−1 {G1 (s) · G2 (s)}

Abb. 6.16: Regelkreis Anordnung 5

x∗a

-

6.1 Grundlagen der z-Transformation

6.1.4

183

Transformationstabelle

f (t)

F (s) = L{f (t)}

1

1 s

z z−1

t

1 s2

Tz (z − 1)2

t2

2 s3

T 2 z(z + 1) (z − 1)3

t3

6 s4

T 3 z(z 2 + 4z + 1) (z − 1)4

tn

n! sn+1

∂n a→0 ∂an

e−at

1 s+a

z z − e−aT

te−at

1 (s + a)2

T ze−aT (z − e−aT )2

t2 e−at

2 (s + a)3

T 2 ze−aT (z + e−aT ) (z − e−aT )3

n at

t e

n! (s − a)n+1

1 − e−at

a s(s + a)

at − 1 + e−at

a2 2 s · (s + a)

f (z) = Z{f (kT )}



lim

z z − eaT

/

/ z z − eaT  1 − e−aT z (z − 1) (z − e−aT ) ∂n ∂an 





   aT − 1 + e−aT z 2 + 1 − aT e−aT − e−aT z (z − 1)2 (z − e−aT )

184

6 Abtastsysteme

f (z, γ) = Z{f (kT + γT )}

mit

0≤γ<1

f (t)

z z−1

1

T z[γz + (1 − γ)] (z − 1)2

t

T 2 z [γ 2 z 2 + (1 + 2γ − 2γ 2 )z + (1 − γ)2 ] (z − 1)3

t2

T 3 z [γ 3 z 3 + (1 + 3γ + 3γ 2 − 3γ 3 )z 2 + (4 − 6γ 2 + 3γ 3 )z + (1 − γ)3 ] (z − 1)4

t3

∂n a→0 ∂an



lim

zeaγT z − eaT

/ tn

ze−aγT z − e−aT

e−at

% & T ze−aγT γz + (1 − γ)e−aT (z − e−aT )2

te−at

& T 2 ze−aγT % 2 2 2 −aT z + (1 − γ)2 e−2aT 3 γ z + (1 + 2γ − 2γ )e −aT (z − e )

t2 e−at

 aγT / ∂n ze ∂an z − eaT     1 − e−aγT z 2 + e−aγT − e−aT z (z − 1) (z − e−aT )

tn eat 1 − e−at

*  z aγT − 1 + e−aγT z 2 (z − 1)2 (z − e−aT )  & %  + aT 1 − γ − γe−aT + 1 − 2e−aγT + e−aT z &+ % + e−aγT − aT e−aT (1 − γ) − e−aT

at − 1 +e−at

6.1 Grundlagen der z-Transformation

F (s) = L{f (t)}

f (t) −at

e

−bt

−e

(a − b) −at

+be

−bt

− ae

ab(a − b)t +(b2 − a2 )

f (z) = Z{f (kT )}

b−a (s + a)(s + b)

  z e−aT − e−bT (z − e−aT ) (z − e−bT )

ab(a − b) s(s + a)(s + b)

(a − b)z bz az + − z−1 z − e−aT z − e−bT

a2 b2 (a − b) + a)(s + b)

s2 (s

−b2 e−at

ab(a − b)T z (b2 − a2 ) z + (z − 1)2 z−1 −

+a2 e−bt

b2 z a2 z + z − e−aT z − e−bT

sin ω0 t

ω0 s2 + ω02

z sin ω0 T z 2 − 2z cos ω0 T + 1

cos ω0 t

s s2 + ω02

z(z − cos ω0 T ) z 2 − 2z cos ω0 T + 1 Spezialfall: + * ω0 T = π : Z (−1)k =

z z+1

e−at sin ω0 t

ω0 (s + a)2 + ω02

ze−aT sin ω0 T z 2 − 2ze−aT cos ω0 T + e−2aT

e−at cos ω0 t

s+a (s + a)2 + ω02

z2

z 2 − ze−aT cos ω0 T − 2ze−aT cos ω0 T + e−2aT

Spezialfall: 1 k 2 = ω0 T = π : Z −e−aT

z z + e−aT

185

186

6 Abtastsysteme

f (z, γ) = Z{f (kT + γT )} 

mit

0≤γ<1

   e−aγT − e−bγT z 2 + e−T (a+bγ) − e−T (b+aγ) (z − e−aT ) (z − e−bT )

(a − b)z bze−aγT aze−bγT + − −aT z−1 z−e z − e−bT ab(a − b)T z [ab(a − b)γT + b2 − a2 ] z + (z − 1)2 z−1 −

b2 ze−aγT a2 ze−bγT + z − e−aT z − e−bT

f (t) e−at − e−bt (a − b) +be−at − ae−bt ab(a − b)t +(b2 − a2 ) −b2 e−at +a2 e−bt

z 2 sin γω0 T + z sin(1 − γ)ω0 T z 2 − 2z cos ω0 T + 1

sin ω0 t

z 2 cos γω0 T − z cos(1 − γ)ω0 T z 2 − 2z cos ω0 T + 1

cos ω0 t

% & z sin γω0 T + e−aT sin(1 − γ)ω0 T ze−aγT z 2 − 2ze−aT cos ω0 T + e−2aT % & z cos γω0 T − e−aT cos(1 − γ)ω0 T ze−aγT z 2 − 2ze−aT cos ω0 T + e−2aT

e−at sin ω0 t e−at cos ω0 t

¨ 6.2 Ubertragungsfunktionen von Abtastsystemen

6.2

187

¨ Ubertragungsfunktionen von Abtastsystemen

Im Kap. 6.1.3 waren Rechenregeln f¨ ur zeitdiskrete Systeme angegeben worden. ¨ Grunds¨atzlich kann ein Signal x(z), das eine gebrochen rationale z-Ubertragungsfunktion hat, auch durch eine Regelkreisanordnung mit einem oder mehreren Abtastsystemen hervorgerufen werden (siehe Abb. 6.17). T ?  x∗d -e −  6

w - e e

T GR (s)

?  - e e - GS (s) 

T ?  -r 

x - e e

x-∗

Abb. 6.17: Standardregelkreis

Mit m ≤ n gilt: x(z) = bzw.

GR (z) · GS (z) d0 + d1 z −1 + . . . + dm z −m · w(z) · w(z) = 1 + GR (z) · GS (z) a0 + a1 z −1 + . . . + an z −n

  x(z) 1 + GR (z) · GS (z) = GR (z) · GS (z) · w(z)

    x(z) a0 + a1 z −1 + · · · + an z −n = d0 + d1 z −1 + · · · + dm z −m w(z) Dabei beschreiben die Terme mit dr Vorsteuergr¨oßen und diejenigen mit ar R¨ uckkopplungsgr¨oßen. Es ergeben sich somit entsprechende Bezeichnungen wie bei kontinuierlichen Systemen. Damit k¨onnen alle Verfahren der Analyse und Synthese von kontinuierlichen Systemen auf Abtastsysteme u ¨bertragen werden. 6.2.1

Stabilit¨ at und Pollagen

¨ Aufgrund der obigen Uberlegungen bleiben die Verfahren der Stabilit¨atsanalyse, Wurzelortskurve, Nyquist-Ortskurve und Nichols-Diagramm somit weiter – in ¨ entsprechender Ubertragung in den z-Bereich — anwendbar. ¨ Als erstes Beispiel soll eine Ubertragung der Bedingungen f¨ ur die Stabilit¨atsanalyse erfolgen. Generell gilt f¨ ur die notwendige und hinreichende Stabilit¨at im s-Bereich, daß keine Pole des geschlossenen Regelkreises in der rechten Halbebene vorhanden sind. Die Stabilit¨atsgrenze ist somit die imagin¨are Achse der s-Ebene. Diese Aussage muß nun in den z-Bereich u ¨ bertragen werden.

188

6 Abtastsysteme

Mit s = σ + jω gilt: z = esT = e(σ+jω)T = eσT · ejωT

(6.42)

|z| = eσT = f (σ)

(6.43)

Ein Pol in der s-Ebene mit wird somit in den z-Bereich in die Koordinaten mit dem Betrag eσT und den Winkel ejωT u ¨ bertragen. Wenn nun die imagin¨are Achse als Pollage angenommen wird, dann ist σ = 0 und es ergibt sich als Stabilit¨atsgrenze im z-Bereich z = ejωT , d.h. ein Kreis mit dem Betrag Eins. Die imagin¨are Achse im s-Bereich wird somit auf den Einheitskreis abgebildet (siehe Abb. 6.18). zm

Im(z) = v 6

Im(s) = ω 6

sm

'$

stabil

instabil =u

1 @ Re(z) R @ &%

stabil

instabil Re(s) = σ

Abb. 6.18: Analogie zur Stabilit¨ atsbedingung in der s-Ebene: σ < 0

Alle Pole in der linken s-Halbebene werden somit in Pole innerhalb des Einheitskreises in der z-Ebene abgebildet. Ein Regelkreis mit Abtastsystemen ist somit stabil, wenn die z-Pole des geschlossenen Regelkreises innerhalb des Einheitskreises liegen; liegen Pole auf dem Kreis, dann befindet sich der Regelkreis an der Stabilit¨atsgrenze; liegen die Pole außerhalb des Kreises in der z-Ebene, dann ist der Regelkreis instabil. Wesentlich ist, daß entsprechend Gl. (6.42) die Abtastperiode T gleichzeitig den Winkel und den Betrag der Pole im z-Bereich bestimmt, andererseits σ nur auf den Betrag und ω nur auf die Phasenlage wirkt. Folglich h¨angt die Stabilit¨at eines Regelkreises im z-Bereich maßgeblich von der Abtastperiode T ab. In diesem Sinne k¨onnen nun verschiedene Pollagen der s-Ebene in die zEbene abgebildet werden (Abb. 6.19). Geraden in der linken Halbebene, parallel zur imagin¨aren Achse in der s-Ebene, werden somit zu Kreisen mit r < 1 in der z-Ebene abgebildet. Analog werden Geraden, parallel zur reellen Achse in der s-Ebene, zu Geraden mit dem Winkel ejωT in der z-Ebene abgebildet. In gleicher Weise k¨onnen die Pollagen dem Zeitverhalten zugeordnet werden (Abb. 6.20 und 6.21). √ Abbildung 6.21 zeigt Linien konstanten D¨ampfungsgrads f¨ ur D = 1/ 2, D = 0, 5 und D = 0, 35, sowie Kreise f¨ ur Werte der nat¨ urlichen Frequenz ωn . Sie sind hier mit der Abtastperiode T normiert und f¨ ur 0 ≤ ωn T ≤ 90◦ dargestellt. Der

¨ 6.2 Ubertragungsfunktionen von Abtastsystemen

Geraden mit

189

σ = const. −→ Kreise ω = const. −→ Geraden Abb. 6.19: z-Transformation, Stabilit¨ at, Pollagen

gr¨oßte Kreis mit ωn = 90◦ entspricht einem Viertel der Abtastkreisfrequenz ωA , da f¨ ur ωA /4 = 2π/(4T ) = ωn auch ωn T = π/2 gilt. Zur weiteren Vertiefung soll noch der einfache Fall eines Systems 2. Ordnung mit konstantem D¨ampfungsgrad D = const. angenommen werden. Im s-Bereich gilt f¨ ur dieses System:   σ σ D =   =  = cos(α) = const (6.44) ω0 σ 2 + ωe2 √ Beim Betragsoptimum gilt z.B. |σ| = |ωe | und damit D = cos(α) = 1/ 2. Dies ergibt im z-Bereich mit σ < 0 z = esT = eσT · ejωe T

(6.45)

eine logarithmische Spirale mit dem Betrag eσT und dem Winkel ωe T . Die Gerade mit D = const. wird somit im z-Bereich in eine logarithmische Spirale abgebildet. Wenn nun die Wurzelortskurve (WOK) des offenen Regelkreises bekannt ist, dann kann das dynamische Verhalten des geschlossenen Regelkreises festgelegt werden.

190

6 Abtastsysteme

s

ω

σ = const. 2

1 4

π Τ

3 2 1

4 3

1

2

3

4

t T

=k

1

2

3

4

t T

=k

1

2

3

4

t T

=k

1

2

3

4

t T

=k

1 σ 4

2 1

2 z

v 1

3 1

4

2

1

3

1 u 1

σ = const.

4

4

Abb. 6.20: z-Pollagen und Zeitverhalten

Allgemein gilt: G0 (z) = K ·

(z − z01 )(z − z02 ) . . . Z(z) =K· N(z) (z − z∞1 )(z − z∞2 )(z − z∞3 ) . . .

(6.46)

Das WOK-Verfahren fordert: ! 1 + GR (z) · GS (z) = 0 ⇒ G0 (z) = −1 bzw.

N(z) + K · Z(z) = 0

(6.47) (6.48)

Die Wurzelortskurve ist somit der geometrische Ort, f¨ ur den Gl. (6.48) erf¨ ullt ist. Damit kann wie folgt formuliert werden: G0 (z) = K ·

| z − z01 | ejβ1 . . . | z − z0m | ejβm | z − z∞1 | ejα1 · · · | z − z∞n | ejαn

(6.49)

¨ 6.2 Ubertragungsfunktionen von Abtastsystemen

jw 0,35

s–Ebene

j Im (z)

jwA /4

0,5

wn T = 75°

j

45° 0,35

75°

z–Ebene

60°

D = 1/ 2

wn T = 90°

191

30°

0,5 60°

45°

30°

15°

d = 1/ 2 15° s

0

0,46

1 Re (z)

Abb. 6.21: Linien konstanter D¨ ampfung und konstanter nat¨ urlicher Frequenz

s-Ebene

Im(s) 6 @ ωe   A @ I @ ω0 @ α@@ R

-

σ

Re(s)

  A

Abb. 6.22: Pollage und D¨ampfung

Wenn G0 (z) = −1 sein soll, dann muß mit c = ±1, ±2, . . . somit gelten: G0 (z) = −1 = ejcπ β1 + · · · + βm − α1 − . . . − αn = cπ und K·

mit c = ±1, ±2, . . .

| z − z01 | · · · | z − z0m | =1 | z − z∞1 | · · · | z − z∞n |

(6.50) (6.51)

(6.52)

wobei z0i und z∞i bzw. K entsprechend dem oben gew¨ unschten Verhalten gew¨ahlt werden k¨onnen. Entsprechende Konstruktionsverfahren sind in allen Lehrb¨ uchern der Regelungs- bzw. Automatisierungstechnik beschrieben [58, 62]. In entsprechender Weise k¨onnen die Methoden der Polvorgabe etc. angewandt werden. Eine Besonderheit bei Abtastsystemen ist die Pollage bei z = 0. In diesem Fall spricht man von Dead-Beat-Verhalten. Dabei l¨aßt sich bei Abtastsystemen

192

6 Abtastsysteme

¨ ein Ubergangsvorgang mit definierter Einstellzeit erreichen. Dies ist ein Idealfall gegen¨ uber dem kontinuierlichen System, bei denen die Ausregelzeit prinzipiell unendlich ist. Ein System im z-Bereich mit Dead-Beat-Verhalten besitzt daher ein charakteristisches Polynom endlicher Ordnung. Allerdings muß bei der Dead-Beat-Regelung beachtet werden, daß die ben¨otigten Stellgliedsignale sehr groß werden k¨onnen. Dies kann dazu f¨ uhren, daß — insbesondere bei schwingungsf¨ahigen Systemen, bei denen die Eigenfrequenzen oder deren Harmonische im Bereich der Abtastfrequenzen liegen — der DeadBeat-Reglerentwurf nicht gen¨ utzt werden kann. Der Dead-Beat-Entwurf ist somit insbesondere vorteilhaft, wenn Systeme mit reellen Eigenwerten oder mit Totzeiten vorliegen. Ein weiterer wichtiger Punkt bei Abtastsystemen ist die Wahl der Abtastperiode T . Je h¨oher die Abtastfrequenz bzw. je k¨ urzer die Abtastperiode T gew¨ahlt wird, desto mehr n¨ahert sich das Abtastsystem dem kontinuierlichen System an. Allerdings ist eine sehr hohe Abtastfrequenz aus verschiedenen Gr¨ unden nicht immer erw¨ unscht. Eine hohe Abtastfrequenz erh¨oht nicht nur die Bandbreite der zu verarbeitenden Signale (Shannon-Theorem), sondern auch die Kosten bei der Realisierung des Systems. Weiterhin nehmen im allgemeinen die Stellamplituden mit der Erh¨ohung der Abtastfrequenz bzw. der Bandbreite zu. Die Wahl der Abtastperiode ist somit immer ein Kompromiß. 6.2.2

¨ Ubertragungsverhalten von zeitdiskreten Systemen

¨ In diesem Kapitel soll das Ubertragungsverhalten von zeitdiskreten Systemen dargestellt werden. Grunds¨atzlich muß nun unterschieden werden, ob hinter dem Abtaster ein Halteglied angeordnet ist oder nicht. Im folgenden wird ein einfaches Abtastsystem mit einem Halteglied nullter Ordnung H0 (s) nach Abb. 6.23 betrachtet. T ? ∗ xe (s)  xe (s)

- e e 

T H0 (s)

xeh

-

G1 (s)

? ∗ xa (s)  xa (s)

- e e 

Abb. 6.23: Diskretes System mit Halteglied H0

Wie schon im Kap. 6.1.1 dargestellt, hat das Halteglied nullter Ordnung die ¨ Ubertragungsfunktion 1 − e−sT (6.53) H0 (s) = s ¨ Die Ubertragungsfunktion des Systems in Abb. 6.23 im z-Bereich ergibt sich nach den Rechenregeln wie folgt, wobei der Ausdruck f¨ ur G1 (s)/s der Korrespondenztabelle entnommen werden kann. Man beachte insbesondere, daß hierbei ¨ ¨ die Ubertragungsfunktion des Halteglieds nullter Ordnung mit der Aquivalenz

¨ 6.2 Ubertragungsfunktionen von Abtastsystemen

193

z = esT in einen Teil 1/s im s-Bereich und einen Teil (z − 1)/z im z-Bereich aufgespaltet wird.   /  xa (z) 1 − e−sT  −1 = H0 G1 (z) = Z L G1 (s) ·   xe (z) s t=kT    /  (s) G z−1  1 Z L−1 =   z s

(6.54)

(6.55)

t=kT

Ein weiterer zu betrachtender Fall ist eine zus¨atzlich vorhandene Totzeit, wobei die Totzeit ein Vielfaches der Abtastperiode T sei. G(s) = G1 (s) · e−sTt

Tt = d · T

mit

(6.56)

Da f¨ ur die Totzeit e−sTt = e−sdT = z −d gilt, erh¨alt man mit obigem Ansatz:      −1 −sTt (6.57) · G1 (s)} H0 G(z) = Z L {H0 · e  t=kT   /  G1 (s)  z − 1 −d −1 ·z ·Z L (6.58) =   z s t=kT

Der vorliegende Fall ist insbesondere bei digitalen Systemen von Bedeutung, bei denen das informationsverarbeitende System (Abb. 6.1) d Abtastperioden zur Berechnung des Ausgangssignals ben¨otigt und unter der Bedingung, daß Berechnung und Abtastung synchronisiert sind. Aus Gl. (6.58) ist zu erkennen, daß durch die Totzeit z −d insgesamt d zus¨atzliche Pole bei z = 0 zu beachten sind. Ein anderer Fall liegt vor, wenn die Totzeit Tt nicht ein Vielfaches der Abtastperiode T ist, wie z.B. bei gleichzeitiger Verwendung mehrerer unabh¨angiger digitaler Signalverarbeitungssysteme. In diesem Fall muß mit der modifizierten z-Transformation gearbeitet werden. Allgemein wird nun die Totzeit durch Tt = mT − γT

(6.59)

dargestellt, mit ganzzahligem m und 0 ≤ γ < 1, d.h. mT > Tt . Analog erh¨alt man dann H0 Gγ (z) bzw. mit der Schreibweise in der Transformationstabelle (Kap. 6.1.4) H0 Gγ (z, γ): ⎡ ⎤ /  z − 1 ⎣ −1 G1 (s)  ⎦ H0 Gγ (z) = m+1 Z L (6.60)   z s t=kT +γT

bzw. H0 G(z, γ) =

z−1 · Zγ · z m+1



G1 (s) s

/ (6.61)

194

6 Abtastsysteme

6.2.3

Frequenzkennlinien-Darstellung von Abtastsystemen

In Kap. 2.1.2 waren die Vorz¨ uge der Frequenzkennlinien-Darstellung (Bode¨ Diagramm) im Laplace-Bereich bei der Kettenschaltung von Ubertragungsfunktionen dargestellt worden. Vorteilhaft war insbesondere die approximierte Darstellung im logarithmischen Bereich, da u ¨berschl¨agig grunds¨atzliche Fragestellungen wie Stabilit¨at, Stabilit¨atsgrenze sowie Phasenreserve abgesch¨atzt werden k¨onnen. In Kap. 6.2.1 waren die Pollagen im Laplace- und in Relation dazu im zBereich diskutiert worden. Eines der Ergebnisse war, daß außer der Pollage im s-Bereich auch die Abtastzeit T im z-Bereich von Bedeutung ist, d.h. die Abtastzeit T und die Pollage im s-Bereich beeinflussen die resultierende Pollage im z-Bereich. Um diesen Zusammenhang aus dem mathematischen Gesichtspunkt zu kom¨ mentieren, sei erinnert, daß die lineare Ubertragungsfunktion G(s) als ein Quo¨ tient zweier Polynome in s — rationale Ubertragungsfunktion vorausgesetzt — ¨ dargestellt werden kann; derartige rationale Ubertragungsfunktionen erlauben eine einfache Darstellung durch ihre Frequenzkennlinie f¨ ur s = jω. ¨ Wenn wir stattdessen eine rationale Ubertragungsfunktion G(z) betrachten, ¨ dann ist diese Ubertragungsfunktion einerseits rational in z aber andererseits — aufgrund von z = eT s und s = jω — eine transzendente Funktion in ω. Es besteht somit der Wunsch, die rationale Funktion im s-Bereich — mit speziellem Ansatz s = jω nach [9] — in eine rationale Funktion von w im Abtastbereich zu transformieren. Wenn dies gelingt, dann k¨onnten die Vorteile der FrequenzkennlinienDarstellung in den Abtastbereich u ¨bertragen werden. Die Transformationsgleichung ist T 1+ ·w Ts 2 z=e = (6.62) T 1− ·w 2 mit der komplexen Gr¨oße w w=ξ+jΩ (6.63) Die obige Transformationsgleichung orientiert sich an der Pad´e-Approximation 1. Ordnung f¨ ur eine Totzeit. F¨ ur die Frequenzkennlinien-Darstellung ist insbesondere die Abbildung der jw-Achse in der s-Ebene auf die imagin¨are Achse in der w-Ebene interessant. Durch Einsetzen von s = jω einerseits und w = jΩ andererseits und Einsetzung in die umgeformte Gleichung (6.62) ergibt sich die Gleichung: T eT s − 1 w = Ts 2 e +1

(6.64)

¨ 6.2 Ubertragungsfunktionen von Abtastsystemen

195

Nach dem Einsetzen von s = jω und w = jΩ T eT jω − 1 jΩ = T jω 2 e +1

(6.65)

und mit tanh(x/2) = (1 − e−x )/(1 + e−x ) sowie j tan(x) = tanh(jx) ergibt sich endg¨ ultig:

T T Ω = tan ω (6.66) 2 2 Der realen Kreisfrequenz ω wird somit eine transformierte Kreisfrequenz Ω zugeordnet. Wesentlich ist, daß die halbe Abtastzeit T /2 als Parameter besteht, der die quantitative Beziehung zwischen ω und Ω bestimmt. ¨ Eine Verallgemeinerung der obigen Uberlegungen f¨ uhrt zu Abb. 6.24, in der ¨ die s-, z- und w-Ebenen sowie die wesentlichen Uberg¨ ange und Beziehungen dargestellt sind. Wesentlich bei dem Ergebnis der Transformation in Gl. (6.66) ist, s-Ebene

z-Ebene

T jW 2

w-Ebene

Tjw jp

j

jp 2

Ts -2

-1.5

-1

-0.5

0

2j

jIm(z)

p Tw = 2

3p Tw = 4

j

p Tw = 2

s Tw = p -1

-j p 2

-1

-0.5

0

w=0 1 Re(z)

Tw = -

-1 -2

p -j 2

-0.5 0 s

-1

T x 2

-j

-jp

p Tw = - 2

-2j 3p Tw = - 4

a)

b)

c)

Abb. 6.24: Abbildung des Grundstreifens der s-Ebene (a) in den Einheitskreis der z-Ebene (b) und die linke H¨ alfte der w-Ebene (c)

daß gilt: T T Ω  1 und ω1 2 2 Mit zunehmendem T ω/2 gegen T ω/2 ⇒ π/2 wird allerdings T Ω/2 ⇒ ∞ gehen. Dies bedeutet letztendlich, bei sehr hohen Abtastfrequenzen bzw. sehr kleinen Abtastzeiten T kann in einem unteren Kreisfrequenzbereich die Ω≈ω

f¨ ur

196

6 Abtastsysteme

Abtastung vernachl¨assigt werden bzw. der Abtastregelkreis wie ein kontinuierlich arbeitender Regelkreis behandelt werden. ¨ Zur Veranschaulichung dieser Absch¨atzung soll die Ubertragungsfunktion im s-Bereich 1 G(s) = 1 + T1 s mit der Verz¨ogerungszeit T1 und mit einer zus¨atzlichen Abtast-Halteglied H0 Kombination im w-Bereich dargestellt werden. Entsprechend Gl. (6.58) und Abb. 6.23 gilt f¨ ur die Serienschaltung Abtastung-Halteglied H0 -G1 (s)“ ”  /  xa (z) G1 (s) z−1 −1 = H0 G1 (z) = Z L (6.67) xe (z) z s F¨ ur den Anteil G1 (s)/s ergibt sich nach der Partialbruchzerlegung 1 1 G1 (s) = = − s s(1 + sT1 ) s

1 s+

1 T1

(6.68)

und somit f¨ ur G1 (s)/s  ZL−1

G1 (s) s

/ =

z z − z − 1 z − e−T /T1

(6.69)

insgesamt mit Halteglied H0 z−1 ZL−1 H0 G1 (z) = z



G1 (s) s

/ =

1 − e−T /T1 z − e−T /T1

(6.70)

Die Transformation in den w-Bereich erfolgt, indem Gl. (6.62) in Gl. (6.70) eingesetzt wird; das Ergebnis ist: 1− H0 G1 (w) =

T w 2

1 + e−T /T1 T 1+ · w 1 − e−T /T1 2

(6.71)

Durch Verwendung der transformierten Verz¨ogerungszeit τ1 in Gl. (6.71) erh¨alt man: τ1 =

T 1 + e−T /T1 · 2 1 − e−T /T1

T w 2 H0 G1 (w) = 1 + τ1 w

(6.72)

1−

(6.73)

¨ 6.2 Ubertragungsfunktionen von Abtastsystemen

197

Wird nun w = jΩ gesetzt, ergibt sich der Abtast-Frequenzgang: T jΩ 2 H0 G1 (jΩ) = 1 + τ1 jΩ 1−

(6.74)

Entsprechend dem Vorgehen beim Bode-Diagramm im Frequenzbereich (kontinuierliches System) wird nun beim Abtast-Frequenzgang (Abtastsystem) vorgegangen. Es ist offensichtlich, daß es einen Pol, d.h. Nullstelle des Nennerpolynoms und damit einen Knick in der asymptotischen Darstellung bei Ω1 = −1/τ1 in der linken w-Halbebene gibt — entsprechend s = −1/T1 im Frequenzbereich des G1 (s)-Tiefpasses. Weiterhin wird es eine Nullstelle des Z¨ahlerpolynoms bei Ω = 2/π in der rechten w-Halbebene geben, diese Nullstelle des Z¨ahlerpolynoms hat — wie auch im Frequenzbereich der kontinuierlichen Systeme — eine Amplitudenanhebung mit 20 dB/Dekade und einen — allerdings — weiter verz¨ogernden drehenden Phasenwinkel zur Folge, d.h. der resultierende Phasenwinkel dreht von 0◦ auf −90◦ (τ1 ) auf −180◦ (T /2); dies ber¨ ucksichtigt die zus¨atzliche Phasendrehung durch den Abtastvorgang (Abb. 6.25) |G|

j

w 1=

|Gw|

1 T1

jw

W 1=

1 t1

2 T W

0dB, 0°

0dB, 0°

w

|Gw|

|G| j

jw0

-90° -90° jw

jw1

-180°

Abb.6.25: Frequenzkennlinien zum Frequenzgang G(jω) (a) und Abtast-Frequenzgang Gw (jΩ) (b) eines Verz¨ ogerungsgliedes 1. Ordnung (ϕw0 , ϕw1 : Phaseng¨ ange zu den einzelnen Eckfrequenzen im transformierten Bereich)

Wesentlich ist somit, daß sich bei tiefen Kreisfrequenzen ω im Frequenzbereich und bei tiefen Kreisfrequenzen Ω im Abtast-Frequenzbereich ¨ahnliche Verl¨aufe bei der approximierten Darstellung ergeben, d.h. bei sehr hohen Abtastfrequenzen bzw. sehr kleinen Abtastzeiten T n¨ahert sich das Verhalten des Systems Abtastung-Halteglied H0 -Tiefpaß 1. Ordnung“ einem Tiefpaßverhalten alleine ” mit der transformierten Verz¨ogerungszeit τ1 in der Abtast-Frequenzdarstellung statt der Zeitkonstante T1 im Frequenzbereich an. Bei kleinen Abtastfrequenzen

198

6 Abtastsysteme

bzw. großen Abtastzeiten T n¨ahert sich τ1 an T /2 an, und es dominiert das Abtastverhalten, d.h. es wird der mittlere Wartezeitwert bzw. der Erwartungswert T w = TE = T /2 als resultierende Zeitkonstante relevant. ¨ Die hier nur grunds¨atzlich dargestellten Uberlegungen k¨onnen auf alle ratio¨ nalen Ubertragungsfunktionen im s-Bereich und auf Systeme mit zus¨atzlichen Totzeiten u uhrt. ¨bertragen werden. In [9, 15, 21] ist dies exemplarisch ausgef¨ In [25, 34] wird statt der Transformationsgleichung (6.62) die Transformationsgleichung 1+w z= (6.75) 1−w vorgeschlagen; allerdings muß dabei beachtet werden, daß bei dieser zweiten ¨ Transformationsgleichung der Ubergang vom abgetasteten System zu einem kontinuierlichen System bei der Abtastzeit T → 0 verloren geht. Die vorgestellte Darstellung in der w-Ebene ist somit recht anschaulich und hat prinzipiell die gleichen Vorteile wie die Darstellung mit dem Bode-Diagramm. Allerdings muß beachtet werden, daß inzwischen Simulations- und Optimierungsprogramme wie beispielsweise MATLAB/SIMULINK verf¨ ugbar sind und diese ¨ Programme einen problemlosen Ubergang von kontinuierlich arbeitenden zu Abtastsystemen erm¨oglichen, so daß f¨ ur die Darstellung im w-Bereich im wesentlichen die Anschaulichkeit verbleibt. 6.2.4

Systeme mit mehreren nichtsynchronen Abtastern

Bisher wurde angenommen, daß im Regelkreis nur ein Abtastglied oder mehrere synchron arbeitende Abtastglieder sind. Generell k¨onnen nun aber Systeme auch mehrere Abtastglieder besitzen, die nicht synchron arbeiten. Der allereinfachste Fall betrifft ein System mit mehreren Abtastgliedern mit der gleichen Abtastperiode aber unterschiedlichen Abtastzeitpunkten (Abb. 6.26). T ? 

w - e- e e H0 −  6 II

T x3

-

G1 (s)

?  - e e - H 0 

x1

x4

-

G2 (s)

I

Abtaster I tastet bei t = kT Abtaster II tastet bei t = kT + γ Abb. 6.26: Regelkreis mit zwei nicht synchronen Abtastern

r

x2

-

¨ 6.2 Ubertragungsfunktionen von Abtastsystemen

199

Die erste Transition findet bei x4 (kT + ) = x1 (kT − )

(6.76)

statt. Auf dieses Signal k¨onnen die bekannten Gleichungen aus der Transformationstabelle (Kap. 6.1.4) angewandt werden, um das System H0 · G2 (s) im z-Bereich zu beschreiben. Die zweite Transition findet zum Zeitpunkt t = kT + γ statt: x3 (kT + τ + ) = −x2 (kT + τ − ) + w(kT + τ ) (6.77) Durch Anwendung der gleichen Gleichung f¨ ur das System mit H0 G1 (s) erh¨alt man die z-Transformierte H0 G1 (z, γ) (Kap. 6.1.3). Durch Zusammenfassung der Gleichungen f¨ ur die Intervalle ergibt sich die Gesamt-Differenzengleichung zum Zeitpunkt kT + bzw. die z-Transformierte des Systems. Eine ausf¨ uhrliche Ab¨ leitung ist in [58] zu finden. Ahnlich ist der Fall bei einem Abtastsystem mit mehreren Eing¨angen, die zyklisch nacheinander abgefragt werden. H¨aufig ist der Fall, daß im Regelkreis Abtastsysteme mit unterschiedlichen Abtastperioden auftreten. Beispielsweise wird bei einer Kaskadenregelung der innere Stromregelkreis mit einer kleineren Abtastperiode als der ¨außere Drehzahlregelkreis betrieben. Vorausgesetzt wird dabei, daß die unterschiedlichen Abtastperioden ein ganzzahliges Vielfaches zueinander sind. Ist dies nicht der Fall, f¨ uhrt dies zu Schwebungen im System und sollte nicht realisiert werden. Es wird somit vorausgesetzt, daß die ¨außere Abtastperiode TN = NT ist, wobei T die Abtastperiode des inneren Abtastregelkreises ist. Das Problem kann f¨ ur das Gesamtsystem wie folgt gel¨ost werden: Das innere System wird mit der Abtastperiode T betrachtet und die Differenzengleichung zu den Zeitpunkten kT aufgestellt. x∗ (kT + T ) = A∗ x∗ (kT ) + b∗ w(kT )

(6.78)

Die Signale dieses inneren Systems werden aber nur zu den Zeitpunkten (iTN ) mit der Abtastperiode TN = NT u ¨bernommen. Mit m = iN und i = 1, 2 . . . gilt z.B. f¨ ur den Sollwert: w(mT ) = w(mT + T ) = · · · = w(mT + NT − T )

(6.79)

Somit gilt: x∗ (iNT +T ) = A∗ x∗ (iNT )+b∗ w(iNT ) x∗ (iNT +2T ) = (A∗ )2 x∗ (iNT )+(A∗ b∗ +b∗ )w(iNT ) .. .   x∗ (iNT +NT ) = (A∗ )N x∗ (iNT )+ (A∗ )N −1 b∗ +(A∗)N −2 b∗ +· · ·+b∗ w(iNT ) Mit TN = NT gilt dann: x∗ (iTN + TN ) = AN x∗ (iTN ) + bN w(iTN )

(6.80)

Diese Differenzengleichung kann in das u ¨bergeordnete System mit der Abtastperiode T eingeordnet werden.

200

6 Abtastsysteme

6.3

Einschleifige Abtastregelkreise

In diesem Abschnitt soll ein kurzer Abriß u ¨ber den Aufbau und das Verhalten digitaler Regelkreise gegeben werden. 6.3.1

Aufbau von digitalen Abtastregelkreisen

Die typische Struktur eines Abtastregelkreises ist in Abb. 6.27 dargestellt. A/Dbzw. D/A-Wandler werden als synchron arbeitende Abtastsysteme angesehen. r 6

T

w(t) xd (t) -e 6

-A

x(t)

?

D

xd (kT ) 6

I 6

Abtaster I und A/D-Wandler

-

μC

T

u(kT ) 6

-D

Regler diskrete digitale Signale (Impulsfolgen) zu den Zeitpunkten t = kT ; k ≥ 0

?

A II 6

T = Abtastzeit

u(t)

-

Kontin.

r

x(t)

-

Regelstrecke

D/A-Wandler und Halteglied

Abb. 6.27: Abtastregelkreis

Beim Abtaster I ist somit der analoge kontinuierliche Regelfehler xd (t) mittels eines Antialiasing-Filters bandzubegrenzen. Dieses analoge und kontinuierliche Signal wird mit der Abtastperiode T abgetastet und ergibt das analoge Signal x∗d (kT ). Dieses wird mit einem A/D-Wandler in das diskrete digitale Signal xd (kT ) gewandelt. Der Mikrorechner μC bzw. ein Digitaler Signalprozessor (DSP) verarbeitet als Regler dieses diskrete digitale Signal. Das Eingangssignal xd (kT ) und das Ausgangssignal u(kT ) sind beides digitale Zahlenfolgen. Anschließend wird im D/A-Wandler die digitale Zahlenfolge u(kT ) in eine analoge, zeitdiskrete Amplitudenfolge gewandelt und in einem Halteglied gehalten. Das endg¨ ultige Ausgangssignal ist das analoge Signal u(t). Charakteristisch sind somit zwei Effekte: 1. Zeitdiskretisierung: (Abtastung)

linearer Effekt: t = kT ; k = 0, 1, 2, . . .

2. Amplitudendiskretisierung: nichtlinearer Effekt, bedingt durch (A/D- bzw. D/A-Wandlung) die begrenzte Genauigkeit der Zahlendarstellung Der in Abb. 6.27 dargestellte digitale Regelkreis kann in verschiedenen Anordnungen realisiert werden. Die Version in Abb. 6.27 ist beispielsweise un¨ ublich, da die Regelabweichung xd (t) analog gebildet wird. G¨ unstiger verh¨alt sich in dieser

6.3 Einschleifige Abtastregelkreise

201

Hinsicht die L¨osung in Abb. 6.28.a, bei der Soll- und Istwert bereits als digitale Zahlenfolge vorliegen. Falls der Regelkreis in einen u ¨berlagerten digitalen Regelkreis integriert ist, ergibt sich Abb. 6.28.b. Zur Vereinfachung der Zeichnung soll nun angenommen werden, daß die Einund Ausgangssignale des Reglers digital, das Eingangssignal der Regelstrecke analog und kontinuierlich, das Ausgangssignal der Strecke aber diskret und digital sei (Abb. 6.28c). a) r 6

T

w(t)

-

A

?

D

xd (kT )

-e − 6

-

T

u(kT )

-D

μC

?

A

u(t)

Kontin.

-

r

x(t)

-

Regelstrecke

Regler

D

A



6 T

b) 6

w(kT ) xd (kT ) -e − 6

-

u(kT )

μC

-D

r T ?

A

T

u(t)

-

Kontin.

A

Regelstrecke

?

D

x(kT ) r

-

Regler

c) w(kT )

xd (kT )

-e − 6

-

u(kT ) μC

-

Kontin. Regelstrecke

x(kT ) r

-

mit D/A- und A/D-Wandler

Regler

¨ Abb. 6.28: Aquivalente digitale Regelkreise

Diese ¨aquivalenten Regelkreise in Abb. 6.27 und 6.28 k¨onnen in den StandardRegelkreis nach Abb. 6.29 u uhrt werden; dabei soll jetzt die Amplitu¨berf¨ dendiskretisierung vernachl¨assigt werden. Bei dem Standard-Regelkreis k¨onnen die bekannten Regeln der z-Transformation aus Kap. 6.1.3 angewandt werden. Insbesondere ist dabei zu beachten, daß im Fall mehrerer Teil¨ ubertragungsfunktionen in GS (s), die nicht durch Abtaster getrennt sind, die z-Transformation auf das gesamte GS (s) mit Halteglied angewandt werden muß.

202

6 Abtastsysteme

T w(kT ) w(z)

xd (kT ) xd (z)

-e − 6

-

u(kT ) u(z) GR (z)

-

H0

-

x(kT ) ? x(t)  x(z) GS (s)

- e e r 

-

x(kT ) x(z) Abb. 6.29: Standard-Abtastregelkreis

Es gilt somit: x(z) = xd (z) · GR (z) · H0 GS (z) = (w(z) − x(z)) · GR (z) · H0 GS (z)

(6.81)

GR (z) · H0 GS (z) x(z) = w(z) 1 + GR (z) · H0 GS (z)

(6.82)

Gw (z) =

Die Pole zν von Gw (z) ergeben sich als L¨osung der folgenden Gleichung: 1 + GR (z) · H0 GS (z) = 0

(6.83)

Bei der Anregung des geschlossenen Regelkreises durch einen abgetasteten Einheitssprung w(kT ) = 1 f¨ ur k = 0, 1, 2, . . . w(z) =

z 1 = 1 − z −1 z−1

(6.84) (6.85)

ergeben sich Anfangs- und Endwert zu: x(k = 0) =

lim x(z) = lim Gw (z)

z→∞

z→∞

x(k → ∞) = lim (z − 1)x(z) = lim Gw (z) z→1

6.3.2

z→1

(6.86) (6.87)

Elementare zeitdiskrete Regler

Abtastregelungen treten u ¨berwiegend in Verbindung mit digitaler Signalverarbeitung auf. Die dabei verwendeten digitalen Regler verarbeiten die Zahlenfolge von xd (kT ) am Eingang und erzeugen das Reglerausgangssignal u(kT ) ¨ ebenfalls als Zahlenfolge. Dadurch wird die Ubertragungsfunktion des Reglers im z-Bereich bestimmt. u(z) GR (z) = (6.88) xd (z)

6.3 Einschleifige Abtastregelkreise

Regler

Sprungantwort

GR (z)

u(k) 6 b0 d

b0

P

d

d

d

d

1

2

3

4

-

d

−1

u(k) 6 −1

I

b1 z b1 = 1 − z −1 z−1

d

−1

b1

d

d

1

u(k) 6 PI

b0 + b1 z −1 1 − z −1

b0 d

d

d

d

5

t T

5

t T

d

-

2

d

3

d

4 d

b0 − b1 z −1

? 6

-

1

2

3

d

d

d

1

2

3

−1 b1 (1 − z −1 )

PID

5

t T

=k

d ?d

b0 − b1 4 65

-

t T

=k

wie PD mit b0 = b1

u(k) 6 b0 + b1 z −1 + b2 z −2 1 − z −1

4

u(k) 6 b0 d d

D

=k

b0 + b1

d

−1

PD

=k

b0 d b0 − b2 q

d

d

d

d

1

2

3

?

b0 + b1 + b2 6

6 2b

+ b1

4

5

0

d

−1

d

-

t T

=k

203

204

6 Abtastsysteme

Im folgenden werden einige einfache digitale Regler beschrieben. Das Eingangssignal xd (z) soll ein Einheitssprung sein. xd (z) =

1 z = z−1 1 − z −1

(6.89)

Wie bereits im vorigen Kapitel wird nur die Zeitdiskretisierung, nicht aber die Amplitudendiskretisierung ber¨ ucksichtigt. 6.3.3

Quasikontinuierlicher Reglerentwurf

In Kap. 6.2.3 wurde die Darstellung von Abtastsystemen in der w-Ebene vorgestellt. Eine der wesentlichen Erkenntnisse war, daß bei kleinen Abtastzei¨ ten T gegen¨ uber den Zeitkonstanten der rationalen kontinuierlichen Ubertragungsfunktionen im s-Bereich die Abtastfrequenzkennlinien-Darstellung und die Frequenzkennlinien-Darstellung sehr ¨ahnlich sind. Aufgrund dieser Erkenntnis wird h¨aufig vereinfachend statt der Analyse, Synthese und Optimierung von Regelkreisen mit diskreter Signalverarbeitung im zoder w-Bereich eine quasikontinuierliche“ Bearbeitung vorgezogen. Dieser qua” ¨ sikontinuierlicher Ansatz geht von der Uberlegung aus, die Differentialgleichung f¨ ur kontinuierliche Systeme durch Diskretisierungen in eine f¨ ur die zeitdiskrete Signale geeignete Form zu u uhren und somit die Verfahren der kontinuier¨berf¨ lichen Signalverarbeitung z.B. beim Reglerentwurf zu n¨ utzen. Beispielsweise gilt f¨ ur einen PID-Regler beim Stellungsalgorithmus    t dxd (t) 1 u(t) = VR xd (t) + (6.90) xd (τ )dτ + TD TI 0 dt Bei kleinen Abtastzeiten T kann die Differenzierung durch die Differenzbildung ersetzt werden:   dxd (t) 1 xd (kT ) − xd ((k − 1)T ) (6.91) ≈ dt T Die Integration wird mit der Rechteckregel angen¨ahert: kT xd (τ )dτ ≈ T xd ((k − 1)T )

(6.92)

(k−1)T

Somit ergibt sich bei Anwendung der Rechteckregel f¨ ur die Integration:   k−1 4 T  TD 3 xd (kT ) − xd ((k − 1)T ) xd (iT ) + (6.93) u(kT ) = VR xd (kT ) + TI i=0 T In gleicher Weise kann der Geschwindigkeitsalgorithmus verwendet werden; ¨ dies ist immer dann von Vorteil, wenn in der Strecke ein Ubertragungsglied mit

6.3 Einschleifige Abtastregelkreise

205

integrierendem Verhalten enthalten ist. Beim Geschwindigkeitsalgorithmus wird der letzte Wert aus Gl. (6.93) gespeichert  k−2 T  u((k − 1)T ) = VR xd ((k − 1)T ) + xd (iT ) + TI i=0  4 TD 3 xd ((k − 1)T ) − xd ((k − 2)T ) + (6.94) T und der neue Zusatzwert Δu(kT ) entsprechend Gl. (6.93) und (6.94) definiert. Δu(kT ) = u(kT ) − u((k − 1)T )

(6.95)

Dies bedeutet, es wird beim Geschwindigkeitsalgorithmus nur der Zusatzwert Δu(kT )  T Δu(kT ) = VR xd (kT ) − xd ((k − 1)T ) + xd ((k − 1)T ) + TI  4 TD 3 xd (kT ) − 2xd ((k − 1)T ) + xd ((k − 2)T ) + (6.96) T zum vorhergehenden Wert u((k − 1)T ) addiert. Diese Art der Berechnung hat den Vorteil des geringeren Aufwands und der Logik bei der zeitdiskreten Signalverarbeitung. Die Gleichungen (6.95) und (6.96) k¨onnen wie folgt umgeschrieben werden: 



T TD 2TD u(kT ) = VR xd (kT ) + −1 − + 1+ xd ((k − 1)T ) + T T TI  TD xd ((k − 2)T ) + u((k − 1)T ) + (6.97) T Die Faktoren dieses Reglers k¨onnen zusammengefaßt werden:



TD T TD 2TD d1 = VR −1 − + d 2 = VR d0 = VR 1 + T T TI T

(6.98)

bei einer Reglerform u(kT ) = d0 xd (kT ) + d1 xd ((k − 1)T ) + d2 xd ((k − 2)T ) + u((k − 1)T ) Wenn nun ein kontinuierlicher PID-Regler mit

 1 u(s) VR  = VR 1 + 1 + TI s + TI TD s2 GR (s) = + TD s = xd (s) sTI TI s

(6.99)

(6.100)

206

6 Abtastsysteme

w

w

f f

f

w

Abb. 6.30: Frequenzkennlinien zu GS (jω) und G0 (jω) f¨ ur eine PT3 -Strecke mit den Verz¨ ogerungszeiten T1 = 3 s, T2 = 2 s, T3 = 1 s und der Streckenverst¨ arkung VS = 1 mit PID-Regelalgorithmus

Abb.6.31: Sprungantwort zu Abb. 6.30 mit PID-Regelalgorithmus nach der Rechteckregel

6.4 Optimierung des Reglers bei Abtastregelkreisen

207

angesetzt wird und die Strecke durch drei Verz¨ogerungsgliedern 1. Ordnung mit VS , T1 , T2 und T3 beschrieben werden kann, k¨onnen mit den Vorhalten des PIDReglers die beiden gr¨oßten Zeitkonstanten kompensiert werden, d.h. 1 + TI s + TI TD s2 = (1 + T1 s) (1 + T2 s) = 1 + s(T1 + T2 ) + s2 T1 T2

(6.101)

Damit ergibt sich f¨ ur den resultierenden offenen Regelkreis nach der Kompensation von T1 und T2 : VR VS −G0 (s) = · (6.102) TI s 1 + T3 s Dieser offene Regelkreis entspricht dem offenen Regelkreis beim Betragsoptimum. Die Regleroptimierung f¨ ur VR , TI und TD lautet somit VR =

TI 2T3 VS

TI = T1 + T2

TD =

T1 T2 TI

(6.103)

Mit dieser Festlegung k¨onnen nun die Werte in Gl. (6.98) des quasikontinuierlich arbeitenden Reglers, der nach dem Geschwindigkeitsalgorithmus arbeitet (Gl. (6.97)), berechnet werden. Wichtig ist bei dieser Art von Entwurf, daß die Abtastzeit T deutlich kleiner ist als beispielsweise die Summe der Zeitkonstante der Strecke, ein typischer  Wert ist T ≤ 0, 1 ni=1 Ti . Es gibt in der Literatur weitere Verfeinerungen beispielsweise wie das Halteglied H0 bei dieser Art von Reglerbetrachtung besser ber¨ ucksichtigt werden kann oder statt der Rechteckregel bei der Integration die Trapezregel verwendet werden kann oder daß das Abtastsystem bestehend aus Abtaster mit der Abtastzeit T und dem Halteglied H0 zus¨atzlich durch ein Totzeitglied mit Tt = 0, 5 T (TE = T w = 0, 5 T !) ber¨ ucksichtigt werden kann. Alle diese Verfeinerungen sollen hier nicht mehr weiter betrachtet werden, da es inzwischen Programmsysteme gibt, mit denen die Analyse, Synthese und Optimierung von diskontinuierlich arbeitenden Regelkreisen m¨oglich ist. F¨ ur Integrationsverfahren h¨oherer Ordnung sei auf [3] verwiesen.

6.4 6.4.1

Optimierung des Reglers bei Abtastregelkreisen Realisierungsverfahren von Abtastreglern

Wie schon im vorigen Kapitel hingewiesen wurde, ist der Entwurf eines Abtastreglers prinzipiell mit den bekannten Methoden im Zeit- und Laplace-Bereich ebenso m¨oglich, wenn diese Verfahren in den z-Bereich u ¨bertragen werden.

208

6 Abtastsysteme

Im folgenden sind die Gleichungen eines PID-Reglers bei kontinuierlichen Systemen und bei zeitdiskreten Systemen gegen¨ ubergestellt    t dxd (t) 1 u(t) = VR xd (t) + xd (τ ) dτ + TD TI 0 dt    k−1 T  TD xd (kT ) − xd ((k − 1)T ) xd (iT ) + + u(kT ) = VR xd (kT ) + TI i=0 T mit:

VR TI TD T

Verst¨arkungsfaktor Integrator-Zeitkonstante Differenzierer-Zeitkonstante Abtastzeit

Diese Gleichung stellt dabei die nichtrekursive Form des Regelalgorithmus dar, bei dem alle Regelabweichungen xd gespeichert werden m¨ ussen (Stellungsalgorithmus). Bei der rekursiven Variante des Algorithmus (Geschwindigkeitsalgorithmus) dagegen wird u(kT ) aus dem letzten Stellwert und einigen wenigen der letzten Regelabweichungen berechnet. Mit  k−2 T  u((k − 1)T ) = VR xd ((k − 1)T ) + xd (iT ) + TI i=0   TD xd ((k − 1)T ) − xd ((k − 2)T ) + T und Δu(kT ) = u(kT ) − u((k − 1)T ) ergibt sich Δu(kT ) = d0 xd (kT ) + d1 xd ((k − 1)T ) + d2 xd ((k − 2)T ) mit den Koeffizienten

TD d 0 = VR 1 + T



2TD T d1 = VR −1 − + T TI

d 2 = VR

(6.104)

TD (6.105) T

¨ Da nur die Anderung der Stellgr¨oße Δu(kT ) berechnet wird, wird dieser Algorithmus auch Geschwindigkeitsalgorithmus genannt. Sein Vorteil ist, daß stoßfrei zwischen P-, PI- und PID-Algorithmen umgeschaltet werden kann. Falls die Abtastfrequenz sehr hoch ist, wird sich der Abtastregelkreis ¨ahnlich wie ein kontinuierliches System verhalten. Der Regler kann dann wie bei kontinuierlichen Systemen optimiert werden (siehe auch Kap. 6.2.3 und 6.3.3). Wenn allerdings die Abtastfrequenz nicht hoch ist gegen¨ uber den Eigenfrequenzen der Strecke, dann kann diese Annahme nicht gen¨ utzt werden. Der Regler muß dann im z-Bereich entworfen werden. Grunds¨atzlich gibt es zwei Wege: die Parameteroptimierung des Reglers nach einem G¨ utekriterium oder Entwurf des Reglers durch Kompensation der Pole und Nullstellen der Strecke.

6.4 Optimierung des Reglers bei Abtastregelkreisen

6.4.2

209

Parameteroptimierung des Reglers nach einem G¨ utekriterium

Gegeben sei die allgemeine Strecke nach Abb. 6.23 H0 GS (z) = GS0 (z) =

x(z) B(z) −d b0 + b1 z −1 + · · · + bn z −n −d ·z (6.106) = ·z = u(z) A(z) 1 + a1 z −1 + · · · + an z −n

¨ und die Ubertragungsfunktion des Reglers mit c0 = 0 GR (z) =

D(z) d0 + d1 z −1 + · · · + dr z −r u(z) = = xd (z) C(z) c0 + c1 z −1 + · · · + cμ z −μ

(6.107)

Im allgemeinen wird außerdem d0 = 0 (schneller Eingriff) und c0 = 1 angesetzt. Gew¨ unscht wird h¨aufig, daß keine bleibende Regelabweichung auftritt. Daraus folgt, daß der Regler einen Pol bei z = 1 (Integration) haben muß. Zur Optimierung der Parameter des Reglers werden mit xd (kT ) = w(kT ) − x(kT ) und Δu(kT ) = u(kT ) − u(∞)|w=σ(t) im allgemeinen mittlere quadratische Regelg¨ utekriterien Je2 = x2d (kT ) =

und

M  1 x2 (kT ) M + 1 k=0 d

Ju2 = Δu2 (kT ) =

M  1 Δu2 (kT ) M +1 k=0

oder ein quadratisches Kombinations-G¨ utekriterium verwendet. Andere Kriterien sind z.B. Betragsbildung oder zeitgewichtete Betragsbildung. Bei diesem Vorgehen k¨onnen auch Stellgr¨oßenbeschr¨ankungen ber¨ ucksichtigt werden (siehe auch Kap. 4.5). Diese Optimierungsverfahren sind sehr allgemein anwendbar, wenn ein eindeutiges Minimum des Regelg¨ utekriteriums existiert. Allerdings kann der Aufwand bei komplexen Strecken hoher Ordnung und mit Totzeit erheblich werden. Man ist deshalb bestrebt, direkt aus dem Streckenmodell und dem Zielmodell ¨ der Ubertragungsfunktion des Gesamtsystems den Reglertyp und seine Parameter festzulegen. 6.4.3

Entwurf als Kompensationsregler

¨ Mit der Ubertragungsfunktion der Strecke nach Gl. (6.106) und des Reglers nach Gl. (6.107) ergibt sich f¨ ur die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion Gw (z) und die St¨or¨ ubertragungsfunktion Gz (z) des Regelkreises nach Abb. 6.29 (wobei die St¨orung z vor der Strecke angreift)(Gl. (6.108)).

210

6 Abtastsysteme

Gw (z) =

GR (z) · GS0 (z) D(z) · B(z) · z −d x(z) = = w(z) 1 + GR (z) · GS0 (z) C(z) · A(z) + D(z) · B(z) · z −d (6.108)

Gz (z) =

x(z) GS0 (z) C(z) · B(z) · z −d = = z(z) 1 + GR (z) · GS0 (z) C(z) · A(z) + D(z) · B(z) · z −d

Daraus ist zu erkennen, daß die Nennerpolynome — wie zu erwarten — gleich, die Z¨ahlerpolynome aber unterschiedlich sind. Es k¨onnen nun f¨ ur das Nennerpolynom die gew¨ unschten Pole zαi (siehe Kap. 6.2.1) festgelegt werden; damit ergibt sich das Wunsch-Nennerpolynom A∗ (z): A∗ (z) = (z − zα1 )(z − zα2 ) . . . (z − zαl ) (6.109) bzw. die charakteristische Gleichung: 1 + α1 z −1 + α2 z −2 + · · · + αl z −l = 0

(6.110)

Durch Koeffizientenvergleich mit dem gemeinsamen Nennerpolynom C(z)·A(z)+ D(z) · B(z) · z −d k¨onnen somit die Koeffizienten des Reglers in Abh¨angigkeit von den Wunschpolen bestimmt werden. Beim Entwurf muß beachtet werden, daß keine bleibende Regelabweichung vorhanden sein soll (x(∞) = w(∞)). Mit dem Endwertsatz ergibt sich die Forderung: lim

t→∞

x(t) x(z) = lim = lim Gw (z) = Gw (1) = 1 z→1 w(z) z→1 w(t)

(6.111)

Aus Gl. (6.108) oben ist zu erkennen, daß diese Forderung mit C(1) A(1) = 0 zu erf¨ ullen ist. Somit stehen l + 1 = μ + r + 1 unabh¨angige Gleichungen zur Verf¨ ugung. Zwei F¨alle sind zu unterscheiden: 1. Aus μ≥r+d

=⇒

l =n+μ

(6.112)

folgen die Bedingungen r=n

und

μ≥n+d

(6.113)

μ
=⇒

l =n+d+r

(6.114)

2. Aus folgen die Bedingungen μ=n+d

und

r≥n

(6.115)

Zur eindeutigen Bestimmung der Reglerparameter werden jeweils die kleinstm¨oglichen Ordnungszahlen gew¨ahlt, um damit das Gleichungssystem zu l¨osen. r=n und μ=n+d (6.116)

6.5 Entwurf zeitdiskreter Regelkreise auf endliche Einstellzeit

211

Im allgemeinen ist die Vorgabe der Pole willk¨ urlich; dies gilt insbesondere im Hinblick auf das noch vorhandene Z¨ahlerpolynom. Zur Auslegung sei auf das Vorgehen beim erweiterten D¨ampfungsoptimum (Kap. 4.4) verwiesen. ¨ Ahnlich wie bei der Optimierung von kontinuierlichen Systemen nach dem ¨ Betrags- und Symmetrischen Optimum k¨onnen mit der Ubertragungsfunktion des Reglers Pole oder Nullstellen der Strecke kompensiert werden. Dies ist ein weiterer Weg, solange die Pole und Nullstellen im stabilen Bereich liegen. H¨oherwertige Entwurfsverfahren, die das Z¨ahler- und Nennerpolynom ber¨ ucksichtigen, wie das Wurzelortskurvenverfahren, sind ebenso analog anzuwenden. Kritisch ist der Entwurf, wenn Pole oder Nullstellen der Strecke außerhalb des Einheitskreises im z-Bereich sind. Da im allgemeinen das Streckenmodell nicht ganz genau bekannt ist, bestehen zwischen der realen Strecke und dem Modell der Strecke Unterschiede. Damit werden aber die Pole und die Nullstellen der Strecke nicht mehr exakt im Regler gek¨ urzt. Dies ist solange nicht allzu kritisch, solange die Pole und Nullstellen im Einheitskreis liegen und die Abweichungen von Strecke und Modell gering sind. Falls aber die Pole und Nullstellen außerhalb des Einheitskreises liegen und Abweichungen zwischen Strecke und Modell vorhanden sind, dann bilden sich Dipole (Pol-Nullstellenkombinationen), die instabil sind. Zu beachten ist weiterhin, daß Systeme in den Abtastzeitpunkten stabiles Verhalten aufweisen k¨onnen, daß aber zwischen den Abtastzeitpunkten Schwingungen vorhanden sein k¨onnen (hidden oscillation). Um dies zu erkennen, muß die modifizierte z-Transformation G(z, γ) gen¨ utzt werden.

6.5

Entwurf zeitdiskreter Regelkreise auf endliche Einstellzeit

Der Entwurf eines zeitdiskreten Reglers kann wie im vorigen Kapitel dargestellt, a¨hnlich wie der eines zeitkontinuierlichen Reglers erfolgen, also z.B. im Frequenzbereich oder nach dem Betrags- oder Symmetrischen Optimum. Der sich ergebende Regler w¨are samt Abtaster und Halteglied in den z-Bereich zu transformieren. Diese Vorgehensweise setzt aber voraus, daß die Abtastfrequenz weit u urde bei digitalen Reglern unn¨otig ¨ber dem Nutzfrequenzbereich liegt. Dies w¨ hohe Rechenleistung im DSP und den A/D- und D/A-Wandlern erfordern. Das Verhalten des geschlossenen Regelkreises w¨are aber bestenfalls gleich gut wie die entsprechende Analogl¨osung, wodurch sich der erh¨ohte Aufwand nicht rechtfertigen l¨aßt. Der Entwurf des zeitdiskreten Reglers kann jedoch auch im z-Bereich erfolgen. Die zeitkontinuierliche Strecke wird wie in Kap. 6.1.2 beschrieben transformiert. Zusammen mit einem vorgegebenen Wunschverhalten des geschlossenen Kreises wird dann der Regler bestimmt. Das Vorgehen entspricht etwa der Methode beim Entwurf des D¨ampfungsoptimum, jedoch existiert keine so elegante Rechenvorschrift f¨ ur die Konstruktion des Zielpolynoms im z-Bereich.

212

6 Abtastsysteme

Der z-Bereich bietet aber eine andere, sehr vorteilhafte, M¨oglichkeit f¨ ur den Reglerentwurf. Erinnert man sich an die urspr¨ ungliche Aufgabenstellung f¨ ur einen Regler, so besteht diese darin, eine Regelgr¨oße in m¨oglichst kurzer Zeit ¨ auf eine definierte Weise (z.B. Uberschwingen) in einen Zielzustand zu bringen und dort zu halten. Ideal w¨are also ein Regler, der diese Aufgabe nach einer endlichen Zeit vollst¨andig erledigt. F¨ ur einen zeitkontinuierlichen Regler ist dieses jedoch prinzipiell unm¨oglich. Die Impulsantwort eines beliebigen zeitkontinuierlichen Systems besteht aus einer Summe von Zeitfunktionen, die einen Exponentialterm beinhalten. Somit besitzt die Impulsantwort eine unendliche L¨ange. Die Ausregelzeit f¨ ur einen derartigen Regelkreis kann deshalb nur zusammen mit der entsprechenden Toleranzbreite (¨ ublicherweise ±2 %) definiert sein. F¨ ur Abtastsysteme ist eine endliche Impulsantwort jedoch m¨oglich. Die Vor¨ aussetzung ist, daß alle Pole der Ubertragungsfunktion bei z = 0 liegen. Anders ¨ ausgedr¨ uckt, muß die z-Ubertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises ein endliches Polynom in z −1 sein. Legt man ein solches Polynom f¨ ur das Wunschverhalten des geschlossenen Regelkreises zugrunde, so kann man im z-Bereich Regler entwerfen, die tats¨achlich eine endliche Ausregelzeit aufweisen. Die Entwurfsmethode wird im folgenden beschrieben. Die gew¨ unschte endliche Einstellzeit te bedeutet, daß nach Ablauf dieser Einstellzeit die Regelgr¨oße und der Sollwert identisch sein m¨ ussen x(t) = w(t) f¨ ur t ≥ te

(6.117)

wobei te ein Vielfaches von T ist.

Abb. 6.32: Ansatz mit konventionellem und zeitdiskretem Regler

Als Beispiel diene Abb. 6.33; die Strecke sei ein PT1 -Glied. Die Reaktion eines PT1 -Gliedes G(s) = 1/(1 + sT1 ) auf ein treppenf¨ormiges Eingangssignal (z.B. das Ausgangssignal des Haltegliedes nach dem zeitdiskreten Regler) kann aus einzelnen zeitverschobenen Sprungantworten zusammengesetzt werden.

6.5 Entwurf zeitdiskreter Regelkreise auf endliche Einstellzeit

213

Abb. 6.33: PT1 -Strecke mit treppenf¨ ormigem Stellsignal

Im vorliegenden Fall ergibt sich f¨ ur Abb. 6.33 mit te = kT und k ∈ {1, 2, . . . }: u(t) = u1 (t) + u2 (t) = u10 σ(t) + u20 σ(t − te )   x1 (t) = u10 · 1 − e−t/T1   f¨ ur t > te , sonst 0 x2 (t) = u20 · 1 − e−(t−te )/T1

(6.118) (6.119) (6.120)

F¨ ur den Zeitraum t > te gilt dann:

  x(t) = u10 + u20 − u10 + u20 ete /T1 · e−t/T1

(6.121)

W¨ahlt man nun u10 und u20 so, daß u10 + u20 = w0 und der Klammerausdruck mit der Exponentialfunktion Null wird, so wird x(t) = w0 f¨ ur alle t > te . Dieses Ausgangssignal wird durch das treppenf¨ormige Stellsignal m¨oglich. 6.5.1

Reglerentwurf ohne Stellgr¨ oßenvorgabe

Im folgenden soll dieser Reglerentwurf f¨ ur ein System mit endlicher Einstellzeit prinzipiell erl¨autert werden. Vorausgesetzt wird ein Regelkreis nach Abb. 6.29. Vorausgesetzt werden die bereits bekannten Strecken- und Regler¨ ubertragungsfunktionen nach Gl. (6.106) und (6.107) f¨ ur die Strecken- bzw. Regler¨ ubertragungsfunktion. H0 GS (z) = GS0 (z) = GR (z) =

B(z) −d b0 + b1 z −1 + · · · + bn z −n −d x(z) = ·z = ·z u(z) A(z) 1 + a1 z −1 + · · · + an z −n D(z) d0 + d1 z −1 + · · · + dr z −r u(z) = = xd (z) C(z) c0 + c1 z −1 + · · · + cμ z −μ

214

6 Abtastsysteme

Der Sollwert w(kT ) wird zum Zeitpunkt k = 0 sprungf¨ormig verstellt.  1 f¨ ur k>0 w(kT ) = 0 f¨ ur k≤0 w(z) =

z 1 = z−1 1 − z −1

(6.122) (6.123)

Es wird weiter eine nicht sprungf¨ahige Strecke angenommen (b0 = 0). In der Strecke sei generell am Eingang ein Halteglied H0 vorhanden, so daß ab hier statt GS0 (z) vereinfacht GS (z) geschrieben wird. Damit lautet die Forderung einer minimalen Einstellzeit: x(kT ) = w(kT ) = 1 u(kT ) = u(nT )

k≥n

f¨ ur f¨ ur

k≥n

(6.124) (6.125)

d.h. nach n Abtastschritten ist der Regelvorgang beendet, wobei n die Ordnung des Nennerpolynoms der Strecke angibt. Die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion ergibt sich zu: x(z) GR (z) · GS (z) Gw (z) = = (6.126) w(z) 1 + GR (z) · GS (z) Wenn nun gefordert wird, daß der Regelvorgang nach einer endlichen Zahl von Abtastschritten beendet ist, dann gilt f¨ ur x(z) bzw. f¨ ur die Stellgr¨oße u(z) % & x(z) = Gw (z) · w(z) = x(1)z −1 + x(2)z −2 + · · · + x(n) z −n + z −n−1 + · · · % & u(z) = u(1)z −1 + u(2)z −2 + · · · + u(n) z −n + z −n−1 + · · · d.h. die Polynome x(z) und u(z) haben ab dem n-ten Abtastschritt jeweils konstante Koeffizienten. Bei einer Division von x(z)/w(z) ergibt sich beispielsweise f¨ ur den ersten Term x(1)z −1 = x(1)z −1 · (1 − z −1 ) = x(1) · z −1 − x(1) · z −2 w(z)

(6.127)

ein endliches Polynom in z f¨ ur Gw (z) Gw (z) = p1 z −1 + p2 z −2 + · · · + pn z −n = P (z)

(6.128)

ur mit p1 = x(1), p2 = x(2) − x(1), . . . , pn = 1 − x(n − 1), pn+1 · · · = 0 bzw. f¨ Gu (z) = q0 + q1 z −1 + · · · + qn z −n = Q(z)

(6.129)

mit q0 = u(0), q1 = u(1) − u(0), . . . , qn = u(n) − u(n − 1), qn+1 · · · = 0. Zu beachten ist, daß gelten muß: p 1 + p 2 + · · · + pn = 1

(6.130)

6.5 Entwurf zeitdiskreter Regelkreise auf endliche Einstellzeit

q0 + q1 + · · · + qn = u(nT ) =

1 GS (1)

bei

x(nT ) = 1

215

(6.131)

Nachdem gezeigt ist, daß bei einem Dead-Beat-Verhalten die F¨ uhrungs- und die ¨ St¨or¨ ubertragungsfunktion endliche Polynome in z sind, muß nun die Ubertragungsfunktion des Reglers GR (z) bestimmt werden. Durch Einsetzen von P (z) in die allgemeine F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion und nach Aufl¨osen von Gl. (6.126) nach GR (z) ergibt sich: GR (z) =

=

Gw (z) 1 P (z) 1 · = · GS (z) 1 − Gw (z) GS (z) 1 − P (z) ⎧ A(z) P (z) ⎪ ⎪ f¨ ur d = 0 ⎪ ⎨ B(z) · 1 − P (z) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

A(z) P  (z) · f¨ ur d = 0 −d B(z)z 1 − P (z)

(6.132)

(6.133)

In der unteren Gleichung (6.133) wird durch z −d im Nenner des Reglers ein Pr¨adiktionsverhalten verlangt. Um Pr¨adiktionsterme zu vermeiden, m¨ ussen im Z¨ahlerpolynom P (z) entsprechende Terme zur Kompensation vorhanden sein. Dieser Fall wird sp¨ater behandelt. Analog gilt f¨ ur Gu (z): Gu (z) =

GR (z) u(z) = = Q(z) w(z) 1 + GR (z) · GS (z)

(6.134)

und außerdem f¨ ur den Fall d = 0 aus Gw (z) und Gu (z): GS (z) =

B(z) P (z) = A(z) Q(z)

(6.135)

Damit sind nun die Parameter des Reglers aus Gl. (6.133) und (6.135) zu bestimmen: q0 + q1 z −1 + · · · + qn z −n Q(z) = (6.136) GR (z) = 1 − P (z) 1 − p1 z −1 − · · · − pn z −n Die unbekannten Koeffizienten pi und qi lassen sich aber durch Koeffizientenvergleich mit Gl. (6.135) bestimmen: p1 z −1 + p2 z −2 + · · · + pn z −n b1 z −1 + b2 z −2 + · · · + bn z −n = −1 −n q0 + q1 z + · · · + qn z 1 + a1 z −1 + · · · + an z −n

(6.137)

Es gilt somit: q1 = a1 q0

und

p1 = b1 q0

q2 = a2 q0

und

p2 = b2 q0

.. . qn = an q0

und

(6.138) pn = bn q0

216

6 Abtastsysteme

und aus p1 + p2 + · · · + pn = 1 folgt q0 =

1 1 = b1 + b2 + · · · + bn bi

(6.139)

Damit sind die Parameter des Reglers endg¨ ultig bestimmt. Zu beachten ist, daß q0 = u(0) ist, d.h. die erste Stellamplitude wird durch Gl. (6.139) bestimmt. Je gr¨oßer also die Summe der bi , desto kleiner ist die Stellamplitude u(0). Je h¨oher also die Ordnung des Z¨ahlerpolynoms von GS0 (z) ist, desto kleiner wird — bei g¨ unstigen Koeffizienten — die erste Stellamplitude. Wenn folglich ein DeadBeat-Verhalten mit einer Ausregelzeit gr¨oßer als nT akzeptiert wird, kann die maximale Stellamplitude reduziert werden. Außerdem wird die Stellamplitude u(0) umso gr¨oßer, je kleiner die Abtastzeit T ist. Werden die Gleichungen (6.138) bis (6.139) in Gl. (6.136) eingesetzt, wird ersichtlich, daß der Regler das Nennerpolynom A(z) der Strecken¨ ubertragungsfunktion kompensiert. GR (z) =

u(z) q0 · A(z) = xd (z) 1 − q0 · B(z)

(6.140)

Werden die Gleichungen (6.140) und (6.106) in Gl. (6.126) eingesetzt, dann kann f¨ ur den Fall d = 0 gezeigt werden, daß bei einem Dead-Beat-Entwurf alle n Pole bei z = 0 liegen. Gw (z) = q0 · B(z) = q0 [b1 z −1 + · · · + bn z −n ] = q0 [b1 z n−1 + · · · + bn ] ·

1 zn

Im allgemeinen Ansatz war nach Gl. (6.106) eine Strecke mit Totzeit (d = 0), (z.B. bedingt durch ein Stromrichter-Stellglied) angenommen worden, die wie folgt beschrieben werden kann: GS (z) =

b1 z −1 + · · · + br z −r 1 + a1 z −1 + · · · + ar z −r

mit

r =n+d

(6.141)

Aus dem Ansatz folgt: b1 = b2 = · · · = bd = 0 bd+1 = b1 .. . br = bn an+1 = · · · = an+d = 0 In diesem Fall kann f¨ ur das F¨ uhrungsverhalten nur gefordert werden: x(kT ) = w(kT ) = 1 f¨ ur k ≥ r = n + d

(6.142)

u(kT ) = u(nT ) f¨ ur k ≥ n

(6.143)

6.5 Entwurf zeitdiskreter Regelkreise auf endliche Einstellzeit

217

Die Berechnung von GR (z) verl¨auft analog wie oben mit dem Ergebnis: q1 = a1 q0

und

p1 = b1 q0 = 0

(6.144)

(6.145)

.. . qn = an q0

und

pd = bd q0 = 0

qn+1 = an+1 q0 = 0

und

pd+1 = bd+1 q0 = b1 q0

.. . qr = ar q0 = 0

und

pr = br q0 = bn q0

Somit gilt: GR (z) =

u(z) q0 + q1 z −1 + · · · + qn z −n = w(z) 1 − pd+1 z −(d+1) − · · · − pn+d z −(n+d)

(6.146)

Gw (z) =

q0 B(z −1 ) z n+d

(6.147)

Aus den obigen Gleichungen ist zu erkennen, daß gilt: 5 f¨ ur P (z) = q0 · B(z) Gw (z) =  −d P (z) = q0 · B(z)z f¨ ur ⎧ A(z) P (z) ⎪ ⎪ · f¨ ur ⎨ B(z) 1 − P (z) GR (z) = A(z) P  (z) ⎪ ⎪ ⎩ f¨ ur · B(z)z −d 1 − P (z)

d=0 d = 0

(6.148)

d=0 (6.149) d = 0

Da der Regler die Pole der Strecke kompensiert, ist der Dead-Beat-Entwurf nur auf asymptotisch stabile Strecken anwendbar. Bei Strecken mit Polen in der N¨ahe des Einheitskreises, auf oder sogar außerhalb des Einheitskreises im z-Bereich, ist dieses Entwurfsverfahren nicht anzuwenden. Zu bedenken ist außerdem, daß der Dead-Beat-Entwurf nur dann endliche Einstellzeiten garantiert, wenn die reale Strecke und die im Ansatz angenommene Strecke identisch sind. 6.5.2

Reglerentwurf mit Stellgr¨ oßenvorgabe

Bisher war bez¨ uglich der Stellgr¨oße keine Beschr¨ankung vorgegeben. Es war nur festgestellt worden, daß q0 = u(0) ist und damit sehr groß werden kann, wenn schnelle Ausgleichsvorg¨ange mit endlicher Einstellzeit gefordert werden. Wenn die Stellgr¨oße begrenzt ist, dann soll im folgenden nur der Stellwert u(0) betrachtet werden. Die Anwendung auf die nachfolgenden Stellamplituden erfolgt

218

6 Abtastsysteme

analog. Um diese Begrenzung zu ber¨ ucksichtigen, m¨ ussen mehr als n Abtastschritte zugelassen werden. Es wird deshalb mit d = 0 und b0 = 0 angesetzt: P (z) = p1 z −1 + p2 z −2 + · · · + pn z −n + pn+1 z −(n+1)

(6.150)

Q(z) = q0 + q1 z −1 + · · · + qn z −n + qn+1 z −(n+1)

(6.151)

Der Rechengang verl¨auft nun wie oben mit den neuen P (z) und Q(z). GR (z) =

Q(z) 1 − P (z)

GS (z) =

P (z) B(z) = Q(z) A(z)

und

(6.152) (6.153)

Beim Koeffizientenvergleich in Gl. (6.153) ist nun zu beachten, daß P (z) und Q(z) eine h¨ohere Ordnung haben als B(z) und A(z). Gleichung (6.153) kann nur dann gel¨ost werden, wenn in P (z)/Q(z) eine gleiche Wurzel im Z¨ahler- und Nennerpolynom vorhanden ist. P (z) (p z −1 + · · · + pn z −n )(α − z −1 ) = 1 Q(z) (q0 + · · · + qn z −n )(α − z −1 )

(6.154)

Unter dieser Voraussetzung ergibt sich beim Koeffizientenvergleich q1 = a1 q0

und

p1 = b1 q0

.. . qn = an q0

und

(6.155) pn = bn q0

beziehungsweise durch Ausmultiplizieren von Gl. (6.153) und (6.154) q0 = αq0

und

p1 = αp1

q1 = αq1 − q0

und

p2 = αp2 − p1

.. .

(6.156)

 qn = αqn − qn−1

und

pn = αpn − pn−1

qn+1 = −qn

und

pn+1 = −pn

mit q0 = αq0 = u(0) bzw.

q0 = q0 −

und

p1 + · · · + pn+1 = 1

1 1 = q0 −  b1 + b2 + · · · + bn bi

(6.157) (6.158)

6.5 Entwurf zeitdiskreter Regelkreise auf endliche Einstellzeit

219

¨ Damit ergeben sich die Parameter des Reglers mi der Ubertragungsfunktion nach Gl. (6.152) zu: q0 = u(0) 1 q1 = q0 (a1 − 1) + 

bi

a1 q2 = q0 (a2 − a1 ) +  bi

und

p1 = q0 b1

und

b1 p2 = q0 (b2 − b1 ) +  bi

.. .

(6.159)

an−1 qn = q0 (an − an−1 ) =  bi

und

bn−1 pn = q0 (bn − bn−1 ) =  bi

1 qn+1 = an (−q0 +  ) bi

und

1 pn+1 = −bn (q0 −  ) bi

Damit kann allgemein angesetzt werden: Gw (z) = q0 · B(z) · z −d    geg. durch Strecke

 Bk (z) =

·

B (z)  k 

(6.160)

bei Stellgr¨ oßenbeschr¨ ankung

1 ohne Stellgr¨oßenbeschr¨ankung 1 − 1/α · z −1 mit Begrenzung auf u(0)

mit α=

q0  q0 − 1/ bi

und

q0 = u(0)

(6.161)

(6.162)

Im Gegensatz zu den beiden Beispielen im vorigen Kapitel wird nun die Stellgr¨oße zum ersten Abtastzeitpunkt auf u(0) begrenzt. Die Stellgr¨oße im zweiten Abtastzeitpunkt ergibt sich zu: 1 u(1) = q1 + q0 = a1 u(0) + 

bi

(6.163)

Wenn u(0) zu klein gew¨ahlt wird, dann kann u(1) unter Umst¨anden gr¨oßer als u(0) sein, d.h. u(0) sollte groß genug gew¨ahlt werden. Damit u(1) < u(0) ist, muß gefordert werden: 1  u(0) = q0 ≥ (6.164) (1 − a1 ) bi Durch u(1) < u(0) gilt aber nicht notwendigerweise, daß u(2) ≤ u(1) ≤ u(0) ist. Dies kann nur durch iterative Rechnung sichergestellt werden.

220

6 Abtastsysteme

6.5.3

Wahl der Abtastzeit bei Dead-Beat-Reglern

¨ Aus den grunds¨atzlichen Uberlegungen der Pol- und Nullstellenlagen im s- und im z-Bereich ist bekannt, daß die Pole des s-Bereichs in Pole des z-Bereichs abgebildet werden. Es ist weiterhin bekannt, daß die Pole im z-Bereich aber auch von der Abtastzeit T bestimmt werden. ¨ Wenn also eine Ubertragungsfunktion im s-Bereich mit Polen vorgegeben ist, dann kann somit die endg¨ ultige Pollage im z-Bereich auch noch durch die Abtastzeit T beeinflußt werden. Dies bedeutet aber, daß die Pole im zBereich sowohl durch die Koeffizienten des Nennerpolynoms im s-Bereich als auch durch die  Abtastzeit bestimmt werden. Da aber andererseits nach Gl. (6.139) q0 = 1/ bi = u(0) ist, kann somit u(0) auch durch die Abtastzeit T ver¨andert werden. Im allgemeinen wird deshalb durch Vergr¨oßern der Abtastzeit (und damit der Zeitdauer des Ausgleichsvorgangs) die Stellamplitude kleiner. Im allgemeinen wird die Abtastzeit in Relation zur Systemzeit Tσ bzw. zur gew¨ unschten Ausregelzeit Taus angesetzt: T ≥ 0, 2 Tσ

T ≥ 0, 1 Taus

(6.165)

Wenn dagegen k ≥ n + 1 gew¨ahlt wird, dann ist die Abtastzeit bei einem parameteroptimierten Regleransatz und dem k ≥ n + 1“-Ansatz in etwa gleich. ” Gegen¨ uber dem k ≥ n“-Ansatz ist die Abtastzeit doppelt so groß zu w¨ahlen. ” 6.5.4

Beispiel zum Dead-Beat-Regler

Gegebene Strecke: GS (s) =

1 · e−sTt 1 + sT1

mit

Tt = 1 · T

(6.166)

Berechnung der z-Transformierten der Serienschaltung von GS (s) mit einem Halteglied nullter Ordnung: 5 6   /  1 1 z−1  −1 ·Z L · · z −1 H0 GS (z) = (6.167)  z s 1 + sT1  t=kT

Setzt man aus der Transformationstabelle in Kap. 6.1.4 die Korrespondenz 1 (1 − c) · z (6.168) ⇐⇒ mit c = e−T /T1 s (1 + sT1 ) (z − 1) (z − c) in Gl. (6.167) ein, so ergibt sich die z-Transformierte zu: 1 − c −1 1−c B(z) −d ·z = ·z H0 GS (z) = · z −2 = −1 z−c 1 − cz A(z) F¨ ur d = 0 gilt nach Gl. (6.142): bd+1 = b1 = (1 − c)

und

a1 = −c

(6.169)

(6.170)

6.5 Entwurf zeitdiskreter Regelkreise auf endliche Einstellzeit

221

6

u(0) 1, 58 e

u(t) u(1)

1

w(t)

u(2)

e

e

e

y(t) -

1 T = Tt = T1 ;

2 = te /T

c = e−1 = 0, 37;

3

t/T

1/(1 − c) = 1, 58;

Abb. 6.34: Signalverl¨ aufe zum Beispiel

Aus Gl. (6.138), (6.139) und (6.145) berechnen sich die Koeffizienten q0 , q1 und pd+1 zu: q0 =

1 1−c

q1 = a1 q0 =

−c 1−c

pd+1 = bd+1 q0 = 1

¨ Uber Gl. (6.146) ergibt sich dann die Regler¨ ubertragungsfunktion zu: 1 − cz −1 GR (z) = (1 − c)(1 − z −2 ) Aus Gl. (6.134) l¨aßt sich Gu (z) bestimmen zu: 1 − cz −1 Gu (z) = = Q(z) 1−c

(6.171)

(6.172)

Mit Gl. (6.172) und dem Eingangssignal w(z) = z/(z − 1) (Einheitssprung) l¨aßt sich nun u(k) berechnen: u(z) = w(z) · =

1 − cz −1 1 − cz −1 = 1−c (1 − c) (1 − z −1 )

1 + 1 · z −1 + 1 · z −2 + · · · (1 − c)    u(0)

uk = 1 f¨ ur k ≥ 1 In der folgenden Tabelle sind die Entwurfsregeln f¨ ur Dead-Beat-Regler zusammengefaßt. Wird eine Stecke ohne Totzeit verwendet, ist d = 0, also z −d = 1, zu setzen. Der Kompensationsterm Bk (z) dient der Reduzierung der Stellamplituden durch geeignete Wahl der Parameter bk1 , bk2 , etc.; f¨ ur minimale Einstellzeit entf¨allt der Kompensationsterm, bzw. es ist Bk (z) = 1 einzusetzen.

222

6 Abtastsysteme

Weiterf¨ uhrende Literatur: siehe Literaturverzeichnis [58, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70] Dead-Beat-Reglerentwurf ¨ Bestimmung der z-Ubertragungsfunktion einer kont. Strecke G(s) mit Totzeit Tt = d · T und Halteglied H0 bei einer Abtastzeit T (siehe Transformationstabelle Kap. 6.1.4): GS (s) = H0 (s) · G(s) · e−sTt /  G(s)  z−1 −1 GS (z) = · ZL   z s

·z −d t=kT

Zeitdiskrete Strecke G(z): B(z) −d b1 z −1 + b2 z −2 + · · · + bn z −n −d ·z = ·z A(z) 1 + a1 z −1 + · · · + am z −m

GS (z) =

Wunschpolynom der F¨ uhrungs¨ ubetragungsfunktion Gw mit Kompensationsterm Bk (z) = 1 + bk1 z −1 + bk2 z −2 + · · · : Gw (z) = q0 · B(z) · Bk (z) · z −d q0 =

1 1 1 = · B(1) · Bk (1) b1 + b2 + · · · 1 + bk1 + bk2 + · · ·

Dead-Beat-Regler: GR (z) =

A(z) · Bk (z) B(1) · Bk (1) − B(z) · Bk (z) · z −d

Stellamplituden bei Einheitssprung des Sollwertes: 1 u(0) = B(1) · Bk (1) u(1) =

1 + a1 + bk1 B(1) · Bk (1)

Stellamplituden allgemein bei Einheitssprung des Sollwertes: A(z) · Bk (z) GR (z) = 1 + GR (z) · GS (z) B(1) · Bk (1)   z −1 = 1 z −k−1 = 0  . . . . u(k) = Gu (z)  . . −k  z = 1

Gu (z) =

7 Regelung der Gleichstrommaschine

In diesem Kapitel soll die praktische Anwendung der bisher vorgestellten Optimierungsverfahren (BO, SO, DO) auf Ankerstrom-, Erregerstrom- und Drehzahlregelkreis der Gleichstrommaschine behandelt werden. Alle Betrachtungen beziehen sich dabei auf die heute vorwiegend zum Einsatz kommenden Nebenschlußmotoren mit Fremderregung. Analog zu den Ausf¨ uhrungen im Buch Elek” trische Antriebe — Grundlagen“ [36, 37, 38], wird f¨ ur das mathematische Modell ein ideales Maschinenverhalten angenommen, d.h. Einfl¨ usse wie S¨attigungen u.a. sollen vernachl¨assigt werden. In Kap. 7.1 wird die Maschine zun¨achst im Ankerstellbereich betrachtet, d.h. bei konstantem Erregerfeld. F¨ ur diesem Fall wird eine Regelung f¨ ur Ankerstrom und Drehzahl entworfen und unter Anwendung der vorgestellten Standardoptimierungsverfahren optimiert. Dar¨ uberhinaus wird eine Alternative zur Drehzahlregelung in Kaskadenstruktur vorgestellt. Eine kurze Diskussion der Probleme bei Lageregelkreisen rundet Kap. 7.1 ab. In Kap. 7.2 werden anschließend die ¨ Uberlegungen um die Problematik bei Schw¨achung des Erregerfeldes erweitert. Analog zum Ankerstellbereich wird eine Regelung f¨ ur den Erregerstrom entworfen und optimiert, und verschiedene Schaltungsvarianten zur bereichs¨ ubergreifenden optimalen Regelung vorgestellt. In [36, 37, 38] werden sowohl Gleichspannungswandler als auch netzgef¨ uhrte Stromrichterstellglieder zur Ansteuerung der Gleichstromnebenschlußmaschine (GNM) behandelt. In diesem Kapitel wollen wir als Beispiel nur netzgef¨ uhrte Stromrichterstellglieder f¨ ur die GNM zulassen. Dadurch wird zus¨atzlich ein direkter Vergleich mit den experimentellen Ergebnissen aus Kap. 9 erm¨oglicht. Bei Einsatz von Gleichspannungswandlern ist das Vorgehen jedoch prinzipiell ¨ahnlich, da durch geeignete Steuerverfahren (z.B. Pulsweitensteuerung, HystereseRegelung) eine Modellierung wie bei netzgef¨ uhrten Stromrichterstellgliedern vorgenommen werden kann. Bei Verwendung einer Strom-Hysterese-Regelung muß jedoch beachtet werden, daß die Pulsdauer te und die Periodendauer T variabel sind.

224

7 Regelung der Gleichstrommaschine

7.1

Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Ankerstellbereich

Abbildung 7.1 zeigt die Drehzahl-Strom-Regelung der GNM in Kaskadenstruktur bei Verwendung eines netzgef¨ uhrten Stromrichters als Stellglied. Die Vorteile der Kaskadenregelung sind bereits in Kap. 5.2 erarbeitet worden. Da die Maschine konstant mit Nennerregung betrieben wird, ist der Einfluß des Erregerflusses ψ auf das Motormoment und die induzierte Gegenspannung nur proportional. Die Erfassungen des Ankerstroms iA und der Drehzahl n sind als Einheitsr¨ uckf¨ uhrungen dargestellt und werden damit als verz¨ogerungsfrei angenommen. In der Praxis m¨ ussen jedoch h¨aufig Verz¨ogerungen bei der Ankerstrom- und Drehzahlerfassung in den R¨ uckf¨ uhrzweigen beachtet werden. Auf die sich dadurch ergebende Problematik wird in den Abschnitten 7.1.1.5 und 7.1.2.1 eingangen; f¨ ur die folgenden Betrachtungen werden Einheitsr¨ uckf¨ uhrungen angenommen. mW n–Regler i∗A

∗

n - e -  − 6

1 rA

iA –Regler

- e -  − 6

xe @ -e - B @ B + 6

ud

-e − 6



eA n

iA

r

TA

1 iA ? − r -e-

(ψ = 1) TΘN n

r-

eA

r

Abb. 7.1: Drehzahl-Strom-Regelung in Kaskadenstruktur (Ankerstellbereich)

Eine Ableitung des Signalflußplans der Gleichstromnebenschlußmaschine erfolgte im Buch Elektrische Antriebe — Grundlagen“ [36, 37, 38], so daß der ” Signalflußplan an dieser Stelle bereits als bekannte Arbeitsgrundlage vorausgesetzt werden soll. In [36, 37, 38] wurde auch die einfachste regelungstechnische Approximation des Stellglieds behandelt. Diese vereinfachte Approximation wird in Kap. 9 dieses Bandes noch einmal ausf¨ uhrlich abgeleitet. Weitere N¨aherungsm¨oglichkeiten des Stellgliedverhaltens werden in den Kapiteln 10 bis 12 vorgestellt und diskutiert. 7.1.1

Stromregelkreis

Als innerster Kreis der Kaskade wird der Stromregelkreis zuerst optimiert. Zun¨achst wollen wir die Stromregelstrecke betrachten, f¨ ur die anschließend der Stromregler entworfen und optimiert werden soll. Abbildung 7.2 zeigt den Signalflußplan der Stromregelstrecke mit Stellglied. Im Prinzip w¨ urde mit G1 (s) =

1 1 · rA 1 + sTA

(7.1)

7.1 Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Ankerstellbereich

xe

1 rA

GST R (s) xe @ -e - B @ B + 6

ud

-e − 6

225

 iA = mM ψ=1

TA

-

r

-

G1 (s) 

eA

1

eA GA (s) 

TΘN 

r  eA = nψ=1

G2 (s)

TΘN =

ΘΩΘN MiN

Abb. 7.2: Stromregelstrecke mit Stellglied

eine PT1 -Strecke vorliegen, wenn die R¨ uckkopplungsschleife u ¨ber die induzierte Gegenspannung eA eA = G2 (s) · iA =

1 · iA sTΘN

(ψ = 1)

(7.2)

vernachl¨assigt werden k¨onnte. Diese Vernachl¨assigung ist jedoch nur f¨ ur große Massentr¨agheitsmomente TΘN TA zul¨assig. In diesem Fall kann davon ausgegangen werden, daß der Stromregelvorgang bereits beendet ist, wenn sich die Drehzahl ¨andert. ¨ F¨ ur die allgemein g¨ ultige Ubertragungsfunktion zwischen Ankerspannung und Ankerstrom mit R¨ uckkopplung der Gegenspannung eA ergibt sich mit G1 (s) = Gv (s), G2 (s) = −Gr (s): GS3 (s) =

iA (s) = ud (s)

1 sTΘN = 1 1 + srA TΘN + s2 TA TΘN rA − Gr (s) Gv (s)

(7.3)

F¨ ur den Fall, daß die Annahme TΘN TA nicht mehr zul¨assig ist, entsteht im Nennerpolynom von GS3 (s) aufgrund der verringerten D¨ampfung ein konjugiert komplexes Polpaar. Ein Reglerentwurf nach den Verfahren BO und SO wird somit unm¨oglich. 7.1.1.1 EMK-Kompensation Die st¨orende R¨ uckwirkung der induzierten Gegenspannung kann jedoch durch ei¨ ne positive Aufschaltung von eA , gewichtet mit der Ubertragungsfunktion GA (s), auf das Eingangssignal xe des Stellgliedes kompensiert werden (siehe Abb. 7.2). Dieses Vorgehen wird als EMK-Aufschaltung bezeichnet. EMK steht dabei f¨ ur elektromotorische Kraft. Mit EMK-Aufschaltung ergibt sich f¨ ur die Stromregelstrecke mit Stellglied der Signalflußplan nach Abb. 7.3. Voraussetzung f¨ ur diese Vereinfachung ist, daß die Verz¨ogerungszeit bzw. die Laufzeit des Stromrichterstellgliedes klein gegen¨ uber allen anderen Zeitkonstanten ist (Kap. 7.1.1.3).

226

7 Regelung der Gleichstrommaschine

1 rA

GST R (s) xe

@ - B @ B

ud

TA

-

iA

-

G1 (s) Abb. 7.3: Stromregelstrecke mit EMK-Aufschaltung



Wenn die Aufschaltung von eA mittels GA (s) realisiert werden soll, dann muß aus Stabilit¨atsgr¨ unden eine Mitkopplung u ¨ber diese Aufschaltung vermieden werden. Es gilt: ud (s) = GSTR (s) · [xe (s) + GA (s) · eA (s)]

(7.4)

iA (s) = G1 (s) · [GSTR (s) · xe (s) + GSTR (s) · GA (s) · eA (s) − eA (s)]

(7.5)

Somit ist ersichtlich, daß bei GSTR (s)·GA (s) = 1 sich die beiden letzten Terme in Gl.(7.5) gegenseitig aufheben; es ergibt sich die Stromregelstrecke nach Abb. 7.3: ud (s) = GSTR (s) · xe (s)

(7.6)

iA (s) = G1 (s) · GSTR (s) · xe (s)

(7.7)

 ¨ Um eine Uberkompensation von eA zu vermeiden, wird allgemein GSTR (s) · GA (s) ≤ 1 gew¨ahlt. Die praktische Realisierung der EMK-Aufschaltung wird in Abschnitt 7.1.1.3 besprochen.

7.1.1.2 EMK-Bestimmung Ein Problem bei der Realisierung der EMK-Aufschaltung stellt die Ermittlung der nicht meßbaren Gegenspannung eA dar. Bei der Ermittlung von eA gibt es, abgesehen von Identifikationsverfahren, zwei einfache M¨oglichkeiten: 1. u ¨ber Drehzahl und Fluß, nach Maßgabe der Gleichung

mit

EA = CE · N · Ψ

(7.8)

Ψ = konst. im Ankerstellbereich wird EA ∼ N.

(7.9)

Sollen Feldschw¨achung und eventuelle S¨attigungserscheinungen mitber¨ ucksichtigt werden, k¨onnte der Fluß u ¨ber den Erregerstrom (leicht meßbar) und die nichtlineare Magnetisierungskennlinie ermittelt werden.

7.1 Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Ankerstellbereich

227

2. u ¨ber eine elektronische Nachbildung der Ankerspannungsdifferentialgleichung: dIA (t) EA (t) = Ud (t) − IA (t) · RA − LA · (7.10) dt Diese Gleichung kann auf zwei verschiedene Arten ausgewertet werden. (a) Durch Filtermethoden werden die Gleichanteile von IA (t) bzw. Ud (t) ermittelt (dadurch entf¨allt der Anteil LA · dIA (t)/dt). Die durch den Stromrichter hervorgerufenen Oberschwingungen in Ud (t) und IA (t) k¨onnten z.B. durch Notch-Filter (Bandsperre-Filter mit sehr großer Flankensteilheit und geringer Phasendrehung, siehe Abb. 7.4) eliminiert werden. F 1

0

pfN

2pfN

f Hz

p : Pulszahl des Stromrichters fN : Netzfrequenz

j p 2

-p 2

f Hz

Abb. 7.4: Notch-Filter zur Ermittlung der Gleichanteile in Ud (t) und IA (t)

Mit Hilfe der so gebildeten Mittelwerte Ud und IA l¨aßt sich u ¨ber die Mittelwertgleichung EA = Ud − IA · RA (7.11) die Gegenspannung ermitteln (Abb. 7.5). (b) bei der Auswertung der Augenblickswerte k¨onnte der Term LA ·dIA /dt mit Hilfe eines Gyrators nachgebildet werden (siehe Abb. 7.6). Der Gyrator stellt eine Transformationsschaltung dar, um beliebige Impedanzen dual umzuwandeln. Grunds¨atzlich k¨onnte der Spannungsabfall u ¨ber LA auch u ¨ber eine Differentiation (analog oder digital) je nach Ausmaß der Meßst¨orungen erfolgen.

228

7 Regelung der Gleichstrommaschine

R1 R1 ud e

r

−iA e

Q Q −Q

Q Q  

e −eA

r

+

 

R2

Abb. 7.5: Analoge Nachbildung von EA durch Ud − IA · RA

IA e

-

Gyrator  

IA e

kleiner tan δ

U

C ? e

 

e

=⇒

U

-

L ? e

e

U ≈ L dIA dt Abb. 7.6: Nachbildung von Induktivit¨ aten

7.1.1.3 Ausf¨ uhrung der EMK-Aufschaltung In Abschnitt 7.1.1.1 war als Voraussetzung f¨ ur eine EMK-Aufschaltung gefordert worden: GSTR (s) · GA (s) ≤ 1 (7.12) bzw. GA (s) ≤

1 GSTR (s)

(7.13)

¨ Um eine EMK-Aufschaltung realisieren zu k¨onnen, muß somit die Ubertragungsfunktion des Stromrichterstellgliedes bekannt sein. Wie eingangs bereits erw¨ahnt, wollen wir in diesem Kapitel nur netzgef¨ uhrte Stromrichterstellglieder zu Ansteuerung der GNM zulassen. Als N¨aherung f¨ ur das Verhalten dieser Stellglieder wird in Kap. 9.2 eine vereinfachte Approximation durch ein Totzeitglied mit Tt = TN /(2p) vorgestellt. Diese N¨aherung kann auch bei Einsatz von Gleichstromstellern mit geeigneten Steuerverfahren verwendet werden. Die Approximation des Stellgliedverhaltens durch ein Ersatztotzeitsystem stellt in der Regelungstechnik eine g¨angige L¨osung bei der Modellierung von Antriebssystemen dar. Dennoch soll hier betont werden, daß diese N¨aherung das reale Stellgliedverhalten nur ansatzweise wiedergibt.

7.1 Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Ankerstellbereich

229

F¨ ur die genaue Ableitung der Totzeitn¨aherung sei auf Kap. 9.2 verwiesen; hier wollen wir die dort erarbeitete Ersatz¨ ubertragungsfunktion GST R (s) = VST R · e−sTt mit

Tt = TE =

(7.14)

TN 2p

bereits als bekannt voraussetzen. Mit Gl. (7.14) w¨ urde die Bedingung f¨ ur GA (s) lauten 1 GA (s) ≤ · e+sTt (7.15) VSTR Eine derartige Kompensationsschaltung ist aufgrund des Terms e+sTt , der eine Pr¨adiktion beinhaltet, nicht realisierbar. Da aber im allgemeinen Tt  TA ist, wird in der Praxis GA (s) zu 1 GA (s) ≤ (7.16) VSTR gew¨ahlt. F¨ ur die Optimierung des Ankerstromreglers soll im weiteren jedoch eine vollst¨andige EMK-Kompensation angenommen werden. Unter dieser Voraussetzung ergibt sich der in Abb. 7.7 dargestellte Stromregelkreis. Im Prinzip liegt eine Strecke vor, die mit einem PI-Regler geregelt werden kann. GSi (s) 

  i∗A

VR

Tn  xe

-e - − 6

iA

GST R (s) 

α @ - B-
- @ B ν

GR (s)





1 rA

ud

TA iA

-

r

-

G1 (s)

Abb. 7.7: Stromregelkreis mit vollst¨ andiger EMK-Aufschaltung

7.1.1.4 Optimierung des Stromregelkreises Unter der Annahme, daß f¨ ur den Ankerstromregler ein PI-Regler gew¨ahlt wird ¨ und eine Strecke nach Abb. 7.7 vorliegt, ergeben sich folgende Ubertragungsfunktionen: PI-Regler: Strecke:

GR (s) = VR ·

1 + sTn sTn

GSi (s) = GSTR (s) · G1 (s) = VSTR · e−sTt ·

(7.17) 1 1 · rA 1 + sTA

(7.18)

230

7 Regelung der Gleichstrommaschine

Je nach Anforderungen an den Regelkreis k¨onnen verschiedene Optimierungsverfahren (siehe Kap. 3 und 4) angewendet werden: 1. bei gutem F¨ uhrungsverhalten: BO 2. bei gutem St¨orverhalten: erweitertes SO f¨ ur Strecken ohne I-Anteil (siehe Kap. 3.2.2) 3. generell Doppelverh¨altnisse: DO Um den u ¨berlagerten Drehzahlregelkreis nicht unn¨otig zu verlangsamen, wird der Stromregelkreis im allgemeinen auf gutes F¨ uhrungsverhalten (BO) optimiert. Dar¨ uberhinaus greifen auf die Stromregelstrecke keine nennenswerten St¨orgr¨oßen ein. Optimierung nach dem Betragsoptimum (BO) Mit der ersten Optimierungsbedingung des BO (Kap. 3.1, Kasten auf Seite 50) Tn = TA

(7.19)

¨ ergibt sich die Ubertragungsfunktion den offenen Stromregelkreises zu −G0 (s) = GR (s) · GSi (s) =

VR 1 KI −sTt ·e · · VSTR · e−sTt = sTA rA s

(7.20)

mit KI als dem Verst¨arkungsfaktor des offenen Stromregelkreises. Bei vorgegebener Phasenreserve ϕRd bzw. vorgegebenem Phasenwinkel ϕ0 (ϕ∗0 bei approximierter Darstellung des Amplitudengangs) des offenen Kreises l¨aßt sich bei bekannter Totzeit Tt die sich daraus ergebende Amplitudendurchtrittsfrequenz ωd berechnen (vgl. Gl. (3.27)).   ϕRd  = 63, 5◦ (7.21) BO

bzw.

  ϕ∗0 

π = − − Tt · ωd = ' − 90◦ − 26, 5◦ = −116, 5◦    2 BO  Totzeit

(7.22)

I-Anteil

Durch Vergleich der Koeffizienten kann die Amplitudendurchtrittsfrequenz abh¨angig von der Totzeit des Stromrichterstellgliedes bestimmt werden: ωd = 26, 5◦ ·

π 1 0, 4625 · = ◦ 180 Tt Tt

mit Tt =

TN 2p

(7.23)

F¨ ur einen sechspulsigen Stromrichter am 50 Hz-Drehstromnetz ergibt sich folgendes ωd : p = 6;

fN = 50 Hz;

ωd = 278

rad s

Tt =

1 = 1, 67 ms; 2 · 50 Hz · 6

(7.24) (7.25)

7.1 Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Ankerstellbereich

231

Mit der Bedingung |F0 (ωd )| = 1 l¨aßt sich mit Hilfe von Gl. (7.20) die notwendige Reglerverst¨arkung VR berechnen: TA · rA · ωd VSTR

VR =

bzw. KI, opt = ωd

(7.26) (7.27)

Mit ωd nach Gl. (7.23) ist leicht erkennbar, daß VR =

TA · rA 26, 5◦ π TA · rA · ≈ ◦ VSTR Tt 180 2Tt · VSTR

(7.28)

Die zweite Optimierungsbedingung des BO (Kasten auf Seite 50) gilt demnach auch f¨ ur Systeme mit Totzeit, wenn die kleine Zeitkonstante des Systems Tσ = Tt gew¨ahlt wird. Somit gilt f¨ ur das F¨ uhrungsverhalten des offenen Ankerstromregelkreises: −G0 (s) =

ωd −sTt ωd 1 ≈ ·e · s s 1 + sTt

(7.29)

F¨ ur den geschlossenen Ankerstromregelkreis gilt: Gwi (s) =

−G0 (s) ≈ 1 − G0 (s)

1 s s2 1+ + Tt ωd ωd

(7.30)

Mit 1/ωd = 3, 6 ms und 2 Tt = 3, 34 ms kann angen¨ahert werden (siehe auch Gl. (7.28)) 1 ≈ 2 Tt (7.31) ωd und 1 Gwi (s) ≈ (7.32) 1 + s2Tt + s2 2Tt2 Mit Einf¨ uhrung der allgemeinen (Summen-) Zeitkonstante Tσi ergibt sich f¨ ur die ¨ Ubertragungsfunktion Gwi (s) des nach BO optimierten geschlossenen Stromregelkreises endg¨ ultig (vergl. auch Gl. (7.51)) Gwi (s) =

1 iA (s) = 2 i∗A (s) 1 + s2Tσi + s2 2Tσi

mit Tσi = Tt

(7.33)

¨ Da die Ubertragungsfunktion nach Gl. (7.33) bzw. (7.32) bei SO-Auslegung des u ¨berlagerten Drehzahlregelkreises schlecht zu handhaben ist, wird statt der be¨ tragsoptimierten Ubertragungsfunktion f¨ ur den geschlossenen Ankerstromregelkreis h¨aufig eine Ersatz¨ ubertragungsfunktion 1. Ordnung (Ersatzzeitkonstante Ters i ) verwendet. Gw,ers i (s) =

1 1 + sTers i

mit Ters i = 2Tσi = 2Tt

(7.34)

232

7 Regelung der Gleichstrommaschine

Die N¨aherung ist aufgrund 2Tt2  1 m¨oglich. Da das angen¨aherte Regelkreisverhalten jedoch vom realen Verhalten abweicht, sollte bedacht werden, daß die Verwendung der Ersatzfunktion immer nur begrenzt zul¨assig ist. An der Stabilit¨atsgrenze ϕRd = 0◦ bzw. ϕ0 = −180◦ gilt f¨ ur die Amplitudendurchtrittsfrequenz ωd nach Gl. (7.23) ωd, krit = 90◦ ·

π 1 rad · = 942 ◦ 180 Tt s

(7.35)

Unter Verwendung dieser Reglerparameter wurden an einem Testregelkreis nach Abb. 7.7 verschiedene Sprungantworten untersucht. Dabei wurde die Verst¨arkung des offenen Regelkreises KI = VR VSTR /(TA rA ) variiert. Abbildung 7.9 zeigt die aufgezeichneten Sprungantworten. Es ist erkennbar, daß sogar bei sehr großem KI (mit ωd > ωd, krit ) noch Stabilit¨at vorliegt. Außerdem ist ein Unterschied im dynamischen Verhalten bei Aussteuerung in Richtung abnehmendem Steuerwinkel bzw. zunehmendem Steuerwinkel feststellbar. Bemerkenswert ¨ ist, daß bei Stromabbau keine Uberschwinger bzw. Unterschwinger im Gegensatz zum Stromaufbau auftreten. Dieses unsymmetrische Verhalten ist im Stromrichter begr¨ undet und wird im Kap. 9 noch n¨aher untersucht. Generell muß somit festgestellt werden, daß mit obiger Approximation des dynamischen Stellgliedverhaltens eine sehr konservative Reglereinstellung realisiert wird. Eine m¨ogliche analoge Realisierung des PI-Reglers zeigt Abb. 7.8. F¨ ur die ¨ Ubertragungsfunktion des Reglers ergibt sich: 1 R2 + sC Zr xe (s) R2 1 + sR2 C 1 + sTn GR (s) = ∗ = = VR · = = · iA (s) − iA (s) Ze R1 R1 sR2 C sTn (7.36) Mit vorgegebenem R1 lassen sich C und R2 bestimmen.



Ze 





R1 −i∗A e

r

iA e

R2

Zr  C Q Q −Q

Q Q  

+

R1



 

Abb. 7.8: Analoger PI-Regler

r

exe ? e

7.1 Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Ankerstellbereich

233

IA (t) 1 KI = 840 sec

+ΔIA

Prim¨are Aussteuerung in Richtung abnehmendem Steuerwinkel IA (t) 1 KI = 1500 sec

+ΔIA

Prim¨are Aussteuerung in Richtung abnehmendem Steuerwinkel IA (t)

1 KI = 2000 sec

+ΔIA

Prim¨are Aussteuerung in Richtung abnehmendem Steuerwinkel IA (t)

1 KI = 840 sec

−ΔIA

Prim¨are Aussteuerung in Richtung zunehmendem Steuerwinkel IA (t)

1 KI = 1500 sec

−ΔIA

Prim¨are Aussteuerung in Richtung zunehmendem Steuerwinkel Abb. 7.9: Sprungantworten der Stromregelung ohne Istwertgl¨ attung α0 = 90◦ , ΔIA = 60A, Δt = 2 ms/div

234

7 Regelung der Gleichstrommaschine

7.1.1.5 Optimierung des Stromregelkreises mit Meßwertgl¨ attung Bei der praktischen Realisierung einer Ankerstromregelung wird der Meßwert h¨aufig gegl¨attet, um Oberschwingungen im Stromsignal zu eliminieren. Dies ist unter Voraussetzung einer richtigen Schirmung bei der Signalerfassung im Grunde nicht notwendig und sogar eher nachteilig. Durch die zus¨atzliche Verz¨ogerung ergibt sich ein langsamerer Regelkreis. Dennoch soll der Fall einer Meßwertgl¨attung bei der Optimierung des Stromregelkreises betrachtet werden (siehe auch Kap. 3.1). Mit Meßwertgl¨attung im R¨ uckf¨ uhrzweig ergibt sich die in Abb. 7.10 dargestellte Regelkreiskonfiguration.  i∗A

VR

Tn

- e -  6

iA

GR (s)

GST R (s) @ - B @ B

1

1 rA

TA

-

Tgi

r

iA

-

G1 (s)



Ggi (s) Abb. 7.10: Stromregelkreis mit PT1 -Meßwertgl¨ attung

¨ Die Ubertragungsfunktion des offenen Kreises ergibt sich zu: −G0 (s) = GR (s) · GSTR (s) · G1 (s) · Ggi (s) = VR

1 + sTn 1 1 1 · · VSTR · e−sTt · · sTn rA (1 + sTA ) 1 + sTgi

(7.37)

Die Zeitkonstanten Tt und Tgi bilden die kleine Zeitkonstante Tσi , w¨ahrend TA die große Zeitkonstante darstellt. Bei Anwendung der BO-Optimierung ergeben sich folgende Einstellvorschriften: 1. Tn = TA

(7.38)

Damit ergibt sich: −G0 (s) =

VR 1 1 · · VSTR · e−sTt · sTA rA 1 + sTgi

(7.39)

mit den Approximationen e−sTt ·

1 1 1 1 ≈ · ≈ 1 + sTgi 1 + sTt 1 + sTgi 1 + s (Tt + Tgi )    Tσi

(7.40)

7.1 Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Ankerstellbereich

2. VR =

TA · rA 2Tσi · VSTR

235

(7.41)

¨ Mit dieser Parametrierung des PI-Reglers erh¨alt die Ubertragungsfunktion des offenen Regelkreises die bekannte IT1 -Form: −G0 (s) =

1 s2Tσi (1 + sTσi )

(7.42)

Mit der kleinen Summenzeitkonstante Tσi = Tt + Tgi kann auf die Amplitudendurchtrittsfrequenz ωd zur¨ uckgerechnet werden. F¨ ur den approximierten Phasenwinkel des BO-optimierten Regelkreises beim Amplitudendurchtritt gilt (siehe auch Gl. (3.27))   ◦ ϕ∗0  = −90 26, 5◦ = −116, 5◦ (7.43)   −     |F (jω )|=1 0

d

ϕP T1 |F

I-Anteil

0 (jωd )|=1

mit dem Phasenwinkel des PT1   ϕP T1 

ϕP T1 = arctan(−ω Tσi ) = arctan(−ωd Tσi )

(7.44) (7.45)

|F0 (jωd )|=1

Aus Gl. (7.43) und (7.45) ergibt sich ωd zu: ωd = −

tan(−26, 5◦ ) 0, 4986 1 = ≈ Tσi Tσi 2 Tσi

(7.46)

Mit Tt nach Gl. (7.24) und beispielsweise Tgi = 1/300Hz (Elimination der 300 HzOberschwingung) berechnet sich Tσi zu: Tσi = Tt + Tgi = 1, 67 ms + 3, 33 ms = 5 ms Damit ergibt sich f¨ ur ωd :

  ωd 

Tσi =5ms

= 99, 7

rad s

(7.47)

(7.48)

Wie in Kap. 7.1.1.4 gezeigt wurde, ist die Ersatzzeit Ters i des geschlossenen Regelkreises in etwa umgekehrt proportional der Amplitudendurchtrittsfrequenz ωd (Gl. (7.34) und (7.31)). Durch die Regelung mit Meßwertgl¨attung wird die Ersatzzeit um ca. 180 % gr¨oßer (ωd = 99, 7 rad/sec im Vergleich zu ωd = 278 rad/sec). Dies stellt den Hauptnachteil der eingef¨ ugten Meßwertgl¨attung dar. Außerdem entsteht als weitere Konsequenz ein Vorhalt (Z¨ahlerpolynom) in ¨ der Ubertragungsfunktion zwischen dem nicht gegl¨atteten Istwert iA und dem  Sollwert i∗A , da auf den gegl¨atteten Istwert iA optimiert wurde.

236

7 Regelung der Gleichstrommaschine

F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion f¨ ur den zur¨ uckgef¨ uhrten (gegl¨atteten) Istwert: Gwi (s) =

1 −G0 (s) iA (s) = =  2 1 − G0 (s) 1 + s2Tσi + s2 2Tσi i∗A (s)

(7.49)

F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion f¨ ur den realen (ungegl¨atteten) Istwert: Gwi (s) =

iA (s) iA (s) 1 + sTgi · Gwi (s) = =  2 ∗ 2 i (s) 1 + s2T iA (s) A σi + s 2Tσi

(7.50)

Der Vorhalt kann durch eine Gl¨attung der F¨ uhrungsgr¨oße mit derselben Zeitkonstante wieder kompensiert werden. i∗A

TG

1

-



i∗A

-e − 6

iA

r

1

iA

-

Tgi 

Abb. 7.11: Regelkreis mit F¨ uhrungsgl¨ attung

Unter Einsatz einer wie in Abb. 7.11 dargestellten Gl¨attung der F¨ uhrungsgr¨oße mit TG = Tgi ergibt sich f¨ ur Gwi (s) die BO-Standard-F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion 2. Ordnung: Gwi (s) =

iA (s) 1 1 · Gwi (s) = = 2 i∗A (s) 1 + sTG 1 + s2Tσi + s2 2Tσi

mit

Tσi = Tt + Tgi

und

TG = Tgi

(7.51)

Die Bildung einer Ersatz¨ ubertragungsfunktion 1. Ordnung f¨ ur den geschlossenen 2 Stromregelkreis erfolgt wie im vorangegangenen Abschnitt. Mit s2 2Tσi  1 wird Gwi (s) wiederum angen¨ahert zu: Gw,ers i (s) = mit

1 1 + sTers i

(7.52)

Ters i = 2 Tσi

Eine Gl¨attung der F¨ uhrungsgr¨oße kann durch eine einfache Beschaltung des PIReglers wie in Abb. 7.12 realisiert werden.

7.1 Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Ankerstellbereich

−i∗A e iA

r

237

Q Q

r

− QQ

Q 

r

exe



e

+

 

Abb. 7.12: Analoger PI-Regler mit (passiver) F¨ uhrungsgl¨ attung (vergl. Abb. 7.15)

7.1.2

Drehzahlregelkreis

F¨ ur den Entwurf des u ¨ berlagerten Drehzahlregelkreises wollen wir die Ersatzfunktion des Stromregelkreises (Gl. (7.34)bzw. (7.52)) verwenden. Durch diese Ordnungsreduktion des inneren Regelkreises vereinfacht sich der Reglerentwurf f¨ ur die ¨außere Drehzahlschleife. Damit ergibt sich f¨ ur den Drehzahlregelkreis die in Abb. 7.13 dargestellte Struktur. mW VR Tn  i∗A n∗- e -  − 6 n

GR (s)

1

Ters i

-

(ψ = 1) 1

iA

TΘN

− ? -e

Gw,ers i (s)

r

n-

G2 (s)

Abb. 7.13: Drehzahlregelkreis mit Ersatz¨ ubertragungsfunktion f¨ ur den Stromregelkreis

¨ Die Ubertragungsfunktion der Drehzahlregelstrecke lautet: GSn (s) =

n(s) 1 1 · = Gw,ers i (s) · G2 (s) = i∗A (s) 1 + sTers i sTΘN

(7.53)

Damit liegt eine IT1 -Strecke vor, die mit einem PI-Regler mit GR (s) = VR ·

1 + sTn sTn

der nach SO ausgelegt ist, geregelt werden kann.

(7.54)

238

7 Regelung der Gleichstrommaschine

Wie bereits in Abschnitt 7.1.1.4 angesprochen, ist die Verwendung einer Ersatz¨ ubertragungsfunktion f¨ ur den inneren Regelkreis beim Entwurf des u ¨berlagerten Regelkreises immer nur begrenzt zul¨assig. Zur Erzielung optimalen Ver¨ haltens der Drehzahlregelung sollte die tats¨achlich vorhandene Ubertragungsfunktion 2. Ordnung des Stromregelkreises nach Gl. (7.32) bzw. Gl. (7.51) ber¨ ucksichtigt werden. Ein Drehzahlregler f¨ ur die sich damit ergebende Strecke 3. Ordnung kann dann z.B. nach dem D¨ampfungsoptimum (DO, Kap. 4) entworfen werden. Optimierung nach dem Symmetrischen Optimum (SO) Mit den Standard-Einstellregeln des SO (Kap. 3.2, Kasten auf Seite 62) werden die Reglerparameter des Drehzahlregelkreises eingestellt zu: 1.

Tn = 4Ters i

2.

VR =

TΘN 2 · Ters i

(7.55) (7.56)

Nach Einsetzen der Reglerparameter ergibt sich f¨ ur das F¨ uhrungsverhalten des offenen Drehzahlregelkreises: −G0 (s) = GR (s) · GSn (s) =

1 1 1 1 + s4Ters i 2Ters i s4Ters i 1 + sTers i s

(7.57)

F¨ ur den geschlossenen Drehzahlregelkreis ergibt sich eine F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion 3. Ordnung: 

Gwn (s) =

−G0 (s) 1 + s4Ters i n(s) = = 2 3 3 n∗ (s) 1 − G0 (s) 1 + s4Ters i + s2 8Ters i + s 8Ters i

(7.58)

 ¨ Durch den Vorhalt (1 + s4Ters i ) im Z¨ahler von Gwn (s) treten in der Ubergangs¨ funktion des Drehzahlregelkreises hohes Uberschwingen und eine große Ausregelzeit auf. Durch Einf¨ ugen einer F¨ uhrungsgl¨attung (Abb. 7.14) in Form eines Verz¨ogerungsglieds 1. Ordnung mit der Zeitkonstanten TG = 4Ters i 

GG (s) =

1 n∗ (s) 1 = = n∗ (s) 1 + sTG 1 + s4Ters i

(7.59)

 ¨ wird kann der Vorhalt in Gwn (s) kompensiert werden. Das Ubergangsverhalten damit dem gew¨ unschten Verlauf angen¨ahert (siehe auch Gl. (3.65)).

Gwn (s) =

n(s) 1  = GG (s) · Gwn (s) = 2 3 ∗ 2 3 n (s) 1 + s4Ters i + s 8Ters i + s 8Ters i

(7.60)

Mit Einf¨ uhrung der allgemeinen (Summen-) Zeitkonstante Tσn ergibt sich f¨ ur die ¨ Ubertragungsfunktion Gwn (s) des nach SO optimierten geschlossenen Drehzahlregelkreises endg¨ ultig:

7.1 Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Ankerstellbereich

mW 1 n∗-

TG

VR Tn 1 ∗  n∗- e -  y = iA− 6

GG (s)

GR (s)

n

Ters i

(ψ = 1) TΘN

1 iA

− ? -e

Gw,ers i (s)

239

r

n-

G2 (s)

Abb. 7.14: Drehzahlregelkreis mit F¨ uhrungsgl¨attung bei SO-Optimierung

C r

ne∗

r

Rr

Cr

R2

R1

Q Q

r

− QQ



Q 

−n∗

Re

r

r



+

 

R1 = R2 = R 4Ters i = R · C

e

n

Q Q

− QQ +

Q  

i∗A

r

? e

 

Re

e

Abb. 7.15: Analoger PI-Regler mit (aktiver) F¨ uhrungsgl¨ attung (vergl. Abb. 7.12)

1 n∗- e − 6 n

Tn

VR -e − 6

i∗A

1

Ters i

-

Gw,ers i (s)

n

iA

mW

(ψ = 1)

1 − ? -e

TΘN

G2 (s)

r

Abb. 7.16: Integration der F¨ uhrungsgl¨ attung in den PI-Regler

r

n-

240

7 Regelung der Gleichstrommaschine

Gwn (s) =

1 n(s) = 2 + s3 8T 3 n∗ (s) 1 + s4Tσn + s2 8Tσn σn

mit Tσn = Ters i

(7.61)

Die Struktur des Drehzahlregelkreises mit F¨ uhrungsgl¨attung zeigt Abb. 7.14, eine analoge Realisierung Abb. 7.15. Eine andere Ausf¨ uhrung eines Drehzahlregelkreises mit F¨ uhrungsgl¨attung zeigt Abb. 7.16. Dabei wird die PT1 -F¨ uhrungsgl¨attung in den PI-Regler integriert. Der Istwert n durchl¨auft den gesamten PI-Regler, w¨ahrend der Sollwert nur u ¨ber den Integrator l¨auft. Dieses Prinzip beruht auf der Kompensation des Reglervorhalts mit der F¨ uhrungsgl¨attung. Somit ist diese M¨oglichkeit nur anwendbar, wenn die Zeitkonstante der F¨ uhrungsgl¨attung identisch mit der Nachstellzeit des PI-Reglers ist (TG = Tn = 4Ters i ). Anhand Abb. 7.16 kann leicht nachvollzogen werden, daß f¨ ur den Sollwert des Ankerstroms gilt:

1 ∗ ∗ iA (s) = VR · (n (s) − n(s)) − n(s) (7.62) sTn =

1 + sTn VR · n∗ (s) − VR · · n(s) sTn sTn

(7.63)

Dieses Ergebnis wird auch bei der urspr¨ unglichen Struktur nach Abb. 7.14 erhalten, wenn TG = Tn = 4Ters i gilt. 7.1.2.1 Optimierung des Drehzahlregelkreises mit Meßwertgl¨ attung Wie beim Stromregelkreis (Kap. 7.1.1.5) wird auch h¨aufig im R¨ uckf¨ uhrkanal des Drehzahlregelkreises ein Verz¨ogerungsglied 1. Ordnung (z.B. mit der Zeitkonstante Tgn ) zur Gl¨attung des erfassten Drehzahlistwertes eingef¨ ugt. Entsprechend den Ableitungen in Kap. 7.1.1.5 bedeutet dies, daß die Ersatzzeitkonstante des Stromregelkreises Ters i und die Zeitkonstante Tgn des PT1 -Gliedes im R¨ uckf¨ uhrzweig zu einer neuen kleinen Summenzeitkonstante Tσn = Ters i + Tgn zusammengefaßt werden k¨onnen. F¨ ur die Parameter des Drehzahlreglers folgt damit: 1.

Tn = 4Tσn

2.

VR =

TΘN 2 · Tσn

(7.64) mit Tσn = Ters i + Tgn = 2Tσi + Tgn

(7.65)

Die Zeitkonstante der Meßwertgl¨attung muß ebenso bei der Berechnung der F¨ uhrungsgl¨attung ber¨ ucksichtigt werden. Es ergibt sich (siehe Abb. 7.14 und Gl. (7.59)): TG = 4Tσn (7.66) ¨ F¨ ur die Ubertragungsfunktion des nach SO optimierten Drehzahlregelkreises ergibt sich wieder die aus Gl. (7.61) bekannte Standard-SO-Funktion: Gwn (s) =

1 2 + s3 8T 3 1 + s4Tσn + s2 8Tσn σn

mit Tσn = Ters i + Tgn

(7.67)

7.1 Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Ankerstellbereich

241

Durch die Meßwertgl¨attung zeigt sich die schon bekannte unerw¨ unschte Absenkung in der Dynamik des Regelkreises. Ein L¨osungsansatz muß also darin beste¨ hen, einen Drehzahlsensor zu verwenden, der auf Anderungen des Drehzahlsignals ohne Zeitverz¨ogerung reagiert (z.B. hochaufl¨osender Inkrementalgeber bei digitalen Regelungen), und St¨oreinfl¨ usse durch entsprechende Schirmung so gering zu halten, daß anschließend keine Gl¨attung des Drehzahlistwerts mehr erforderlich ist. 7.1.2.2 Regelkreise mit Stromsollwertbegrenzung Bei der praktischen Implementierung einer Drehzahl-Strom-Kaskadenregelung wird der Stromsollwert begrenzt, um den Stromrichter und die Maschine vor ¨ Uberstr¨ omen zu sch¨ utzen. Abbildung 7.17 zeigt die Regelkreisstruktur bei Einsatz einer Begrenzerschaltung. Eine m¨ogliche analoge Realisierung der Begrenzungsfunktion zeigt Abb. 7.18. (ψ = 1)

mw 1 n∗ -

TG

VR



n∗- e

Tn y

- 

6−

n

i∗A,max

GR (s)

-






i∗A

Ters i 1 iA ?− -e -

1

-

−i∗A,max

Gw,ers i (s)

TΘN r

n

-

G2 (s)

Abb. 7.17: Drehzahlregelkreis mit Begrenzung des Stromsollwerts

R1

R1 e

r

Q Q

−Q

R

Q

Q 

Q Q1 : 1 − QQ Q  +   

r

+ 

 

r

e

Q Q

−1 Q 

e

 

r @ @

+

e

@ @

−

e

Abb. 7.18: Analoge Realisierung einer Begrenzerfunktion

Bei dieser analogen Realisierung sind die Eingangsspannung und die Ausgangsspannung der Begrenzerschaltung so lange gleich, wie die Ausgangsspannung des ersten Operationsverst¨arkers nicht eine der Schwellen u ¨ berschreitet.

242

7 Regelung der Gleichstrommaschine

Wenn eine dieser Schwellen u ¨berschritten wird, dann wird die Eingangsspannung des zweiten Operationsverst¨arkers und somit die Ausgangsspannung der Begrenzerschaltung auf dem betreffenden Schwellenwert gehalten. Die Spannungsdifferenz zwischen der unbegrenzten Ausgangsspannung des ersten Verst¨arkers und der begrenzten Eingangsspannung des zweiten Verst¨arkers f¨allt an R ab. Wenn der Drehzahl-Sollwertsprung so groß ist, daß die Strombegrenzung anspricht, ver¨andert sich das Einschwingverhalten des geschlossenen Drehzahlregelkreises wesentlich. Diesen Einfluß sollen Abb. 7.19 und 7.20 verdeutlichen. In Abb. 7.19 ist der Verlauf der wichtigsten Gr¨oßen in einem Regelkreis nach Abb. 7.17 als Reaktion auf einen Sprung der H¨ohe Δn∗ = 0, 15 des normierten Drehzahlsollwerts n∗ gezeigt. Dabei ist die Strombegrenzung so hoch eingestellt ¨ (im Beispiel i∗A, max > 2 ), daß die S¨attigung w¨ahrend des Ubergangs nicht erreicht ¨ wird. Der Ubergangsvorgang bleibt damit linear. ¨ Man erkennt das typische Ubergangsverhalten bei SO-optimiertem Drehzahl¨ regler mit F¨ uhrungsgl¨attung an dem etwa 8 %-igen Uberschwingen der Drehzahl ∗ n in Abb. 7.19, oben. Die von n und n eingeschlossenen Regelfl¨achen (schraffiert in Abb. 7.19) m¨ ussen sich aufheben, da der Integralanteil im Regler nach Beendigung des Regelvorganges wieder in dem selben Zustand wie vorher sein muß. Da die i∗A, max > 2 gew¨ahlt wurde, steigen der Stromsollwert i∗A und der Stromistwert iA auf die zur Ausregelung des Drehzahlsprungs n¨otigen Werte an. In Abb. 7.20 wurde der Regelkreis nach Abb. 7.17 erneut mit einem normierten Drehzahlsollsprung der H¨ohe Δn∗ = 0, 15 beaufschlagt. In diesem Fall wurde der Sollwert des Ankerstroms jedoch auf i∗A, max = 1.0 begrenzt, um die Maschine

0.25 0.2 0.15

n HH

∗

n

0.1

HH H n∗

0.05 0.0

0

0.05

0.1

0.15

0.2 Zeit [s]

4.0 2.0

∗

y, iA   @ @ iA

0.0 −2.0

0

0.05

0.1

0.15

0.2 Zeit [s]

Abb. 7.19: Drehzahlsprung ohne Begrenzung

7.1 Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Ankerstellbereich

243

0.25 0.2

nH

0.15

H

∗

n

H H

0.1

H n∗

0.05 0.0

0

0.05

0.1

0.15

0.2 Zeit [s]

4.0 y 2.0

 i∗A    @ @ iA 

0.0 −2.0

0

0.05

0.1

0.15

0.2 Zeit [s]

Abb.7.20: Drehzahlsprung bei Begrenzung des Ankerstromsollwerts auf i∗A, max = 1, 0

0.25 0.2

nH

0.15

H

∗

n

H H

0.1

H n∗

0.05 0.0

0

0.05

0.1

0.15

0.2 Zeit [s]

4.0 y

2.0

 i∗A 

0.0

@ @ iA

−2.0

0

0.05

0.1

0.15

0.2 Zeit [s]

Abb. 7.21: Drehzahlsprung mit Antiwindup-Drehzahlregler und Begrenzung des Ankerstromsollwerts auf i∗A, max = 1, 0

244

7 Regelung der Gleichstrommaschine

nicht zu u ¨ berlasten. Wie in Abb. 7.19 entsteht am Ausgang des Drehzahlreglers ein rasch ansteigender Ankerstromsollwert, mit dem die Drehzahldifferenz rasch ausgeregelt werden soll. Dadurch wird die durch den Begrenzerbaustein erzwungene Strombegrenzung nach kurzer Zeit erreicht (i∗A = i∗A, max = 1.0) und der Drehzahlregler hat keinen Einfluß mehr auf die Strecke. W¨ahrend der Zeit, in der i∗A = i∗A, max gilt, ist der Drehzahlregelkreis praktisch aufgetrennt. Die Maschine wird nun auf konstanten Strom geregelt und mit dem entsprechenen konstanten Moment beschleunigt. W¨ahrend der Zeit, in der die Begrenzung des Ankerstromsollwerts aktiv ist,  liegt jedoch weiterhin eine positive Regeldifferenz n∗ − n > 0 am Eingang des Drehzahlreglers an und wird vom Integralanteil des Reglers bis auf Werte von y > 3, 0 aufintegriert. Um den Ankerstrom aus der Begrenzung zu f¨ uhren, muß  daher durch eine negative Regeldifferenz n∗ − n < 0 der Reglerausgang y wieder abintegriert werden. Der oben genannte Regelfl¨achenausgleich erzwingt somit ein ¨ u der Drehzahl und eine Erh¨ohung der Ausregelzeit, ¨berm¨aßiges Uberschwingen ¨ wodurch sich ein unerw¨ unschtes Ubergangsverhalten ergibt. Mit zunehmender Amplitude der Drehzahlsollwertspr¨ unge bzw. mit sinken¨ den Stromgrenzwerten i∗A, max wird das Ubergangsverhalten bei Begrenzung der Ankerstromsollwerts i∗A noch unbefriedigender. Die einfache Begrenzerschaltung aus Abb. 7.18 ist also alleine in diesem Fall untauglich. Anti-Windup-Regler ¨ Um das in Abb. 7.20 gezeigte unerw¨ unschte Ubergangsverhalten zu verhindern muß folglich w¨ahrend der Begrenzungsphase i∗A = i∗A, max ein Aufintegrieren der positiven Regeldifferenz durch den Integralanteil des Drehzahlreglers vermieden werden. Zusammen mit der Strombegrenzung wird diese Funktion meist in den Drehzahlregler integriert. Eine solche Reglerstruktur wird Anti-Windup-Regler genannt. Ein Aufintegrieren der positiven Regeldifferenz w¨ahrend der Begrenzungszeit durch den Integrator kann auf verschiedene Arten vermieden werden. • Eine M¨oglichkeit besteht darin, den Reglerausgang y kontinuierlich abzu¨ fragen und bei Uberschreiten des Stromgrenzwertes y > i∗A, max den Eingang  des Integrators von der Regeldifferenz n∗ − n auf Null umzuschalten. Eine solche Reglerstruktur wurde bei dem Regelkreis nach Abb. 7.17 eingesetzt. ¨ Abbildung 7.21 zeigt das Ubergangsverhalten bei einem Drehzahlsollsprung ∗ der H¨ohe Δn = 0, 15. Durch das Anhalten des Integratorausgangs ist der Reglerausgang y w¨ahrend der Begrenzungsphase nur noch eine Funktion des Proportionalanteils und steigt daher nur auf einen sehr viel niedrigeren Wert als in Abb. 7.20 an. Bei einem Vergleich zu Abb. 7.19, unten, ist ersichtlich, daß durch die Begrenzung des Ankerstroms An- und Ausregel¨ zeit ansteigen, jedoch wird das Uberschwingen der Istdrehzahl n erheblich reduziert.

7.1 Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Ankerstellbereich

245

• Eine weitere M¨oglichkeit der Realisierung eines Anti-WindupDrehzahlreglers vermeidet die bei der obigen Realisierung ben¨otigten Logikbausteine. Hier wird das Integral der Differenz y − i∗A vom Ausgang des Integralanteils des Reglers subtrahiert. Solange der Sollwert i∗A des Ankerstroms nicht in die Begrenzung gelangt, gilt y − i∗A = 0 und der Ausgang des des Integralanteils des Reglers bleibt unbeeinflußt. W¨ahrend der Strombegrenzung wird jedoch das Ansteigen des Integratorausgangs des Reglers verhindert. Gerade bei hohen Solldrehzahlspr¨ ungen wird durch diese Schaltung das Regelkreisverhalten bei Verlassen der Strombegrenzung verbessert. Eine ausf¨ uhrliche Behandlung von Regelkreisen mit Stellbegrenzungen ist in Kap. 5.6 zu finden. 7.1.2.3 Direkte Drehzahlregelung In Kap. 5.2 hatte sich bei der Diskussion der Kaskadenregelung ergeben, daß die Dynamik des jeweils u ¨berlagerten Regelkreises um den Faktor zwei abnimmt, wenn dieser Regelkreis nach BO ausgelegt (Gl. (5.6)) ist, bzw. um den Faktor vier, wenn eine Optimierung nach SO erfolgte. Es besteht daher die Frage, ob mit einer direkten Drehzahlregelung, d.h. ohne Unterlagerung eines Stromregelkreises, ein verbessertes Ergebnis gegen¨ uber der Kaskadenregelung in Kap. 7.1.1 und 7.1.2 zu erreichen ist. Um die Maschine nicht thermisch zu u ¨ berlasten, muß in diesem Fall allerdings eine Strombegrenzungsregelung (siehe Kap. 5.1.1, Abb. 5.1) vorgesehen werden. Um einen Vergleich der direkten Drehzahlregelung mit der Kaskadenregelung vornehmen zu k¨onnen, wollen wir zun¨achst noch einmal die mit der Kaskadenre¨ gelung erhaltenen Ubertragungsfunktionen darstellen. Nach Gl. (7.33) und (7.51) ergab sich f¨ ur den nach BO optimierten Stromregelkreis Gwi (s) =

1 2 1 + s2Tσi + s2 2Tσi

(7.68)

und nach Gl. (7.61) und (7.67) f¨ ur den nach SO optimierten Drehzahlregelkreis mit F¨ uhrungsgl¨attung Gwn (s) =

1 2 + s3 8T 3 1 + s4Tσn + s2 8Tσn σn

(7.69)

Der Signalflußplan bei direkter Drehzahlregelung ist in Abb. 7.22 dargestellt. Wird nun die Strecken¨ ubertragungsfunktion bei Verwendung des direkten Drehzahlreglers ermittelt, ergibt sich f¨ ur GSn (s) unter Annahme einer vollst¨andigen EMK-Kompensation (siehe Kap. 7.1.1.1) GSn (s) = GSTR (s) · G1 (s) · G2 (s) = VST R · e−sTt ·

1 1 1 · · rA 1 + sTA sTΘN

(7.70) (7.71)

246

7 Regelung der Gleichstrommaschine

Strombegrenzungsregler e − 6

GBegr (s) 

ˆiA mW

GST R (s)

n–Regler ∗

n - e -  − 6

1 rA

-e + 6

?

xe

@ - B @ B

-e − 6



eA

r

n

TA

ud

eA

G1 (s)

1 iA ? − r -e-

(ψ = 1) TΘN n

r-

G2 (s) r

Abb.7.22: Direkte Drehzahlregelung im Ankerstellbereich mit Strombegrenzungsregelung

Da Tt  TA ist, kann angen¨ahert werden: GSn (s) = VSTR ·

1 1 1 · · rA 1 + sTA sTΘN

(7.72)

¨ Aus Gl. (7.72) ist sofort zu erkennen, daß sich f¨ ur GSn (s) eine Ubertragungsfunktion in Form einer IT1 -Strecke ergibt. Diese Form der Strecken¨ ubertragungsfunktion war auch bei der bisher behandelten Drehzahl-Strom-Kaskadenregelung mit BO-Optimierung des Stromregelkreises erhalten worden (siehe Gl. (7.53)). ¨ Damit ergibt sich als Ubertragungsfunktion Gwn (s) des geschlossenen Regelkreises bei direkter Drehzahlregelung: Gwn (s) =

1 1 + s4TA + s2 8TA2 + s3 8TA3

(7.73)

Ein Vergleich von Gl. (7.69) und Gl. (7.73) zeigt, daß die Dynamik bei der direkten Drehzahlregelung immer dann schlechter ist als bei der Kaskadenregelung, wenn TA > Tσn ist. Dies bedeutet, die Kaskadenregelung hat trotz der Abnahme der Dynamik des u ¨berlagerten Drehzahlregelkreises einen Vorteil durch die Kompensation der Ankerzeitkonstanten TA (BO-Optimierung) und der daraus folgenden Optimierung auf die kleine Summenzeitkonstante des Drehzahlregelkreises aus der Totzeit Tt des Stromrichterstellgliedes und eventuellen Zeitkonstanten von Meßwerterfassungen.

7.1 Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Ankerstellbereich

247

7.1.2.4 Strombegrenzungsregelung Im vorigen Abschnitt wurde im Zuge der direkten Drehzahlregelung die Notwendigkeit einer Strombegrenzungsregelung [87, 88] angesprochen, welche den Schutz ¨ der Maschine vor Uberstr¨ omen sicherstellen soll. Diese Begrenzungsregelung soll nur dann eingreifen, wenn der vorgegebene Stromgrenzwert u ¨ berschritten wird. Einerseits muß eine Strombegrenzungsregelung also den Ankerstrom begrenzen ¨ um eine thermische Uberlastung der Maschine zu vermeiden, andererseits sollen jedoch f¨ ur schnelle Beschleunigungsvorg¨ange kurzzeitig hohe Spitzenstr¨ome ¨ zugelassen werden, die thermische Uberlastbarkeit also genutzt werden. Eine weitere Forderung ist eine schnelle Reduzierung des Stroms vom Spitzenwert in den Bereich des zul¨assigen statischen Nennstroms nach einer vorgegebenen Zeit.

eA

PI

iAN

-e − 6

iA

- 

-

1 PI–Begrenzungs– regler

? -e 

ˆiA · rA

GST R (s) ?

xe

@ - B @ B

ud

-

Abb. 7.23: Detail-Signalflußplan f¨ ur positive Stromrichtung

Abb. 7.23 zeigt den Aufbau des bereits in Abb. 7.22 eingetragenen Begrenzungsreglers. Mit iAN ist dabei der thermisch zul¨assige Nennstrom bezeichnet, ˆiA ist der zul¨assige dynamische Spitzenwert des Ankerstroms. Zu Beginn eines Beschleunigungsvorgangs, wenn iA < iAN ist, wird der PI-Regler die positive Regeldifferenz aufintegrieren, und der Reglerausgang wird ebenso positiv ausgesteuert. Aufgrund des in den Begrenzungsregler integrierten nichtlinearen Kennlinienblocks 1 kann dieses Signal an der Summationsstelle aber nicht wirksam werden. Wird jedoch iA > iAN , dann wird die nunmehr negative Regeldifferenz zu einem Abintegrieren des PI-Reglers f¨ uhren. Sobald der Reglerausgang einen negativen Wert annimmt, wird dieser Wert am Ausgang des Kennlinienblocks 1 wirksam und reduziert — entsprechend der Dynamik des PI-Begrenzungsreglers — den Grenzwert des Drehzahlreglerausgangs auf den thermisch zul¨assigen Nennstrom iAN . Der Grenzwert f¨ ur die Ausgangsspannung des Stromrichterstellgliedes ud wird so eingestellt, daß uˆd = eA + rA · ˆiA (7.74) Der Begrenzungsregler wird in diesem Fall nicht nach dem BO eingestellt, sondern so, daß der Regler erst nach der zul¨assigen Zeitdauer f¨ ur den Spitzenstro-

248

7 Regelung der Gleichstrommaschine

mimpuls der H¨ohe ˆiA eingreift. Zu diesem Zweck kann man sich thermischer Modelle der jeweiligen Maschinen bedienen. Es soll noch angemerkt werden, daß bei Umkehrstromrichter-Stellgliedern sowohl der positive als auch der negative Spitzen- und Nennwert des Ankerstroms begrenzt werden m¨ ussen, d.h. der Signalflußplan des Strombegrenzungsreglers nach Abb. 7.23 muß sowohl f¨ ur positiven — wie dargestellt — als auch f¨ ur negativen Strom ausgef¨ uhrt werden. Grunds¨atzlich ist festzustellen, daß die Begrenzung auf den zul¨assigen Spitzenwert des Ankerstroms ˆiA keine Regelung, sondern eine Steuerung nach Gl. (7.74) darstellt. Da aber der Ankerwiderstand rA temperaturabh¨angig und ¨ im allgemeinen auch sehr klein ist, k¨onnen bereits sehr kleine Anderungen von rA zu deutlichen Fehlern in der Begrenzung des Spitzenstroms f¨ uhren. Um dies zu verhindern kann statt der Steuerung in gleicher Weise eine Begrenzungsregelung f¨ ur den Spitzenwert ˆiA wie bei der Begrenzungsregelung f¨ ur iAN realisiert werden. Die Ausgangssignale der nichtlinearen Kennlinienbl¨ocke des Spitzenwertreglers und Nennstromreglers werden wie vorher mit der Spannung eA addiert. Die Einstellung der beiden Regler erfolgt nach den gleichen Maßregeln wie vorher. Bei Umkehrstromrichtern sind somit vier Begrenzungsregler einzuf¨ uhren. Mit derartigen Regelkreiskonfigurationen (auch in Verbindung mit der Kaskadenregelung) lassen sich alle Anforderungen an hochdynamische, u ¨berlastf¨ahige Antriebe realisieren. 7.1.3

Lageregelung

In den vorherigen Kapiteln wurde die Strom- und Drehzahlregelung eines Gleichstromantriebs im Ankerstellbereich ausf¨ uhrlich diskutiert. Eines der wichtigsten Ergebnisse war, daß mit zunehmender Zahl von kaskadierten Regelkreisen wie Strom- und anschließend Drehzahl- und eventuell wiederum anschließend Lageregelung die Dynamik jeweils um den Faktor 2 (bei Reglerauslegung nach BO) bzw. um den Faktor 4 (bei Reglerauslegung nach SO) bei den Ersatzregelkreisen abnimmt (siehe Kap. 5.2). Im vorangegangenen Abschnitt war bereits eine M¨oglichkeit aufgezeigt worden, bei Strom-Drehzahlregelung der GNM durch direkte Drehzahlregelung eine verbesserte Dynamik zu erreichen. Eine andere M¨oglichkeit ist, anstelle von netzgef¨ uhrten StromrichterStellgliedern Gleichspannungswandler (DC-DC-Wandler) einzusetzen. Gleichspannungswandler verwenden statt der Thyristoren je nach Leistungsklasse der Gleichstrommaschine entweder MOS-FET-Transistoren, IGBTs oder IGCTs (siehe [36, 37, 38]). Die Schaltfrequenz dieser ein- und abschaltbaren Leistungshalbleiter ist im allgemeinen wesentlich h¨oher (im kHz-Bereich) als bei den netzgef¨ uhrten Stromrichter-Stellgliedern bei welchen sich die Periodendauer zu T = 1/pfN berechnet. Aufgrund der allgemein h¨oheren Schaltfrequenzen von Gleichspannungswandlern k¨onnen der Stromregelkreis [36, 37, 38] und damit auch alle anderen u ¨ berlagerten Regelkreise mit h¨oherer Dynamik realisiert werden. Es verbleibt aber ansonsten bei dem oben beschriebenen Vorgehen.

7.1 Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Ankerstellbereich

249

Weiterhin besteht die M¨oglichkeit keine Kaskadenregelung, sondern eine Zustandsregelung (Kap. 5) zu realisieren. Voraussetzung daf¨ ur ist, daß die Zust¨ande Moment (Strom), Drehzahl und Lage bekannt sind und keine Nichtlinearit¨aten wie Reibung und Lose auftreten. F¨ ur den Fall, daß ein starres System angenommen werden kann, kann der Zustandsreglerentwurf nach Kap. 5 erfolgen. Die Zustandsregelung der Drehzahl eines elastischen Zweimassensystems ist in Kap. 19 behandelt. Vor diesem Hintergrund sollen f¨ ur die Lageregelung, die in diesem Kapitel behandelt wird, folgende Annahmen gemacht werden: • Es ist ein Stellglied mit hoher Schaltfrequenz vorhanden, so daß die Amplitudendurchtrittsfrequzenz ωd des Stromregelkreises sehr hoch gegen¨ uber der mechanischen Zeitkonstanten ist. Dann kann in erster N¨aherung die Dynamik des Stromregelkreises als ideal angesetzt werden (Gw,ers i = 1 ). • Die elektrische Maschine (z.B. eine Gleichstromnebenschlußmaschine oder vorteilhafter, eine permanent erregte Synchronmaschine (siehe Kap. 16.6)) und das Stellglied sind u ¨berlastbar, so daß keine Strombegrenzung notwendig wird. • Die Nachteile der Kaskadenregelung (Absenkung der Dynamik bei jedem u ¨berlagerten Kreis) sind bekannt. • Es soll keine Zustandsregelung realisiert werden. ¨ Die Ausf¨ uhrungen zur Lageregelung basieren auf den Uberlegungen aus [24]. Dort wird f¨ ur den Lageregelkreis eine Struktur nach Abb. 7.24 angesetzt. Wie aus Abb. 7.24 zu entnehmen ist, ist keine Drehzahlregelung, sondern nur eine sehr schnelle Stromregelung mit Gw,ers i = 1 und eine Lageregelung des starren mechanischen Systems ausgef¨ uhrt. Der geschlossene Stromregelkreis einschließlich der Drehmoment-Umsetzung wird durch die Verst¨arkung K erfaßt. Da aufgrund der Stromregelkreis-Drehmoment-Umsetzung die Konstante K nicht immer genau Regelung

ϕ∗

ϕd

-e 6−

1 sKD + KP + KI s

Soll– beschleunigung

Antrieb

Strom Soll– drehmoment ? ? yB ? -e - ˜ - 1 - K M ˜ K 6−

mW mM i ?− -e

ϕ sKv + Kx 6 r

ϕ

Abb. 7.24: Verallgemeinerte PID-Lageregelung

-

1 s2 M

ϕ

r -

250

7 Regelung der Gleichstrommaschine

7 in Kombibekannt ist, wird dieser Parameter K im Regler mit dem Faktor 1/K nation zu ungef¨ahr 1 angen¨ahert. In gleicher Weise stellt die Gr¨oße M = TΘN · 1 die Umsetzung vom Beschleunigungsmoment zum Winkel ϕ dar. Im Regler wird 8 ebenfalls zu M 8/M = 1 approximiert. Es soll gelten: diese durch den Faktor M k=

8 K M · 7 M K

(7.75)

Das Kompensationselement f¨ ur den Lagefehler besteht aus einem normalen PIDRegler (in Abb. 7.24 in Summenform dargestellt) und der R¨ uckf¨ uhrung der Zust¨ande Lage (Winkel) und Drehzahl, die als gewichtete Summe (Gewichtungsfaktoren Kv f¨ ur die Drehzahl, Kx f¨ ur die Lage) vom Reglerausgang subtrahiert werden. Eine Umrechnung von der faktorisierten Form des PID-Reglers, welche in der Optimierungstabelle auf Seite 81 verwendet ist, kann u ¨ber die Zusammenh¨ange KD = VR · Tv

(7.76)

KP =

VR · (Tn + Tv ) Tn

(7.77)

KI =

VR Tn

(7.78)

erfolgen. Ausgangsgr¨oße des Kompensationselements ist die Sollbeschleunigung yB . Durch diese Struktur des Kompensationselements ergibt sich insgesamt wieder ein PID-Regler bei dem jedoch die Koeffizienten der proportionalen und differenzierenden Anteile f¨ ur den Soll- und Istwert unterschiedlich hoch sind:     1 1 ∗ yB (s) = ϕ (s) · sKD + KP + KI − ϕ(s) · s(KD + Kv ) + (KP + Kx ) + KI s s (7.79) Die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion des geschlossenen Lageregelkreises lautet: Gwϕ =

KI + sKP + s2 KD ϕ(s) = ϕ∗ (s) KI + s(Kp + Kx ) + s2 (KD + Kv ) + s3 1 k

(7.80)

Wie schon oben angedeutet, sind die Parameterunsicherheiten im Faktor k zusammengefaßt und beeinflussen nur den Koeffizienten der h¨ochsten Nennerpotenz. Durch die Wahl der Parameter des Lagereglers soll erreicht werden: a) m¨oglichst hohe Dynamik und ¨ b) m¨oglichst kein Uberschwingen des Istwerts (besonders kritisch bei Werkzeugmaschinen)

7.1 Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Ankerstellbereich

251

Aus diesen Forderungen l¨aßt sich ableiten, daß eine resultierende F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion in Form einer PT1 -Funktion mit einer sehr kleinen Zeitkonstante am vorteilhaftesten w¨are, denn dies erg¨abe eine gute Dynamik und kein ¨ ¨ Uberschwingen. Um diese Forderungen zu erf¨ ullen, muß die Ubertragungsfunktion des offenen Regelkreises 1. Ordnung sein und m¨oglichst — aufgrund der station¨aren Genauigkeit — integrales Verhalten aufweisen. Es gilt:   KI KP 2 +s +s KD KI + sKP + s2 KD ϕ(s) KD KD −G0 (s) = = (7.81) = ϕd (s) sKx + s2 Kv + s3 s [Kx + sKv + s2 ] Wenn KP /KD = Kv und KI /KD = Kx gew¨ahlt wird, dann sind das Z¨ahler- und das Nennerpolynom 2. Ordnung des offenen Regelkreises gleich, und es verbleibt der gew¨ unschte integrale Term des offenen Regelkreises: −G0 (s) =

KD s

(7.82)

Die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises ergibt sich damit zur gew¨ unschten PT1 -Form: Gwϕ (s) =

KD −G0 (s) = = 1 − G0 (s) s + KD

1 1+s

(7.83)

1 KD

Es besteht nun die Aufgabe die Parameter Ki des Reglers zu bestimmen. In [24] wird zur Reglerauslegung der im folgenden dargestellte Ansatz vorgeschlagen. ¨ Ausgehend von der Ubertragungsfunktion −G0 (s) des offenen Lageregelkreises   KP KI 2 KD +s +s KD KD (7.84) −G0 (s) = s [Kx + sKv + s2 ] wird umgeformt zu: −G0 (s) =

ωc ω02 + s2Dω0 + s2 · s ω02 + s2Dω0 + s2

mit D = D¨ampfungsfaktor

(7.85)

ω0 = Kennkreisfrequenz Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich: KD = ω c ,

KP = 2Dωc ω0 ,

KI = ωc ω02,

Kv = 2Dω0 ,

Kx = ω02

Die obige Schreibweise bedeutet, daß die Zeitkonstante T = 1/KD = 1/ωc der resultierenden F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion unabh¨angig von D und ω0 festgelegt werden kann. Beispielsweise ist dies eine Frage der Auslegung bzw. der eventuellen Eigenfrequenz des mechanischen/technologischen Systems.

252

7 Regelung der Gleichstrommaschine

Wie aus Gl. (7.80) abgelesen werden kann, lautet das Nennerpolynom der F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion Gwϕ (s) N(s) = KI + s(KP + Kx ) + s2 (KD + Kv ) + s3

1 k

(7.86)

Durch Umformung ergibt sich 1+k·

KI + s(KP + Kx ) + s2 (KD + Kv ) =0 s3

(7.87)

wenn die Pole von Gwϕ (s) gesucht werden sollen. Durch Einsetzen der Parameter Ki des Lagereglers in die Gleichung 2. Ordnung erh¨alt man: & % ω0 · s2 (η + 2D) + sω0 (2Dη + 1) + ηω02 = 0

mit η =

ωc ω0

(7.88)

Diese Gleichung 2. Ordnung wird nun so dimensioniert, daß sie zwei reelle Pole in der linken s-Halbebene hat. Aus dieser Forderung folgt: a)

η =

1 2(D − 1)

−→

s1,2 =

−ω0 2D − 1

(7.89)

b)

η =

1 2(D + 1)

−→

s1,2 =

−ω0 2D + 1

(7.90)

Zu beachten ist, daß in der L¨osung a) bei D → 0, 5 die Polstellen gegen −∞ r¨ ucken. Wenn D → 1, dann strebt η = ωc /ω0 → +∞. In [24] wird angemerkt, daß aufgrund von Meßrauschen und fehlender Steifigkeit des mechanischen Systems η ≈ 2 und D ≈ 1, 25 gew¨ahlt werden sollten. Außerdem ist es sinnvoll, ¨ eine Sollwerttrajektorie f¨ ur den Lagesollwert vorzugeben, um Ubersteuerungen ¨ oder mechanische Uberlastungen zu vermeiden.

7.2

Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Feldschw¨ achbereich

In diesem Kapitel wollen wir zur vollst¨andig geregelten Gleichstromnebenschlußmaschine u ¨bergehen, indem der Fluß ψ bzw. der Erregerstrom iE als weitere Zustandsgr¨oße geregelt werden soll. Der Fluß bzw. der Erregerstrom tritt somit als weitere Stellgr¨oße z.B. f¨ ur eine Drehzahlregelung hinzu. Den normierten nichtlinearen Signalflußplan f¨ ur das Großsignalverhalten bei variablem Feld ψ zeigt Abb. 7.25. Der Erregerkreis zur Bildung des Flusses ψ kann auf verschiedene Arten modelliert werden, je nachdem welche Eigenschaften des Erregerkreises ber¨ ucksichtigt werden sollen.

7.2 Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Feldschw¨ achbereich

1 rA

uA

253

mW TA iA

-e 6−

- @ @

mM

?−

-e

1

TΘN

-

r

n -

6 r ?

eA

 @ @

ψ Abb. 7.25: Gleichstromnebenschlußmaschine bei variablem Feld

TEN

1

 1 rE

uE

−

-? e -

iE

TEN =

-

ψ

r -

LEN REN

Abb. 7.26: Normierter Signalflußplan des Erregerkreises ohne Wirbelstromeinfluß

An dieser Stelle wollen wir auf die bereits in [36, 37, 38] hergeleiteten Zusammenh¨ange zur¨ uckgreifen. F¨ ur den Erregerkreis einer geblechten Maschine (d.h unter der Annahme, daß keine Wirbelstromeffekte auftreten) wird dort der in Abb. 7.26 gezeigte Signalflußplan angegeben. Der nichtlineare Kennlinienblock repr¨asentiert dabei die mittlere Magnetisierungskennlinie ψ = f (iE ) ohne Hysterese. Aus Abb. 7.26 k¨onnen die f¨ ur den Erregerkreis geltenden Gleichungen abgelesen werden: ψ(s) = lE (iE ) · iE (s) uE (s) − sTEN · ψ(s) = rE · iE (s)

mit lE (iE ) =

LE LEN

(7.91) (7.92)

¨ Wird der station¨are Betrieb betrachtet, sind die Anderungen um den aktuellen Arbeitspunkt nur gering. F¨ ur den Erregerkreis kann dann der linearisierte Signalflußplan nach Abb. 7.27 verwendet werden.

254

7 Regelung der Gleichstrommaschine 1 rE

ΔuE

-

TEd

lEd ΔiE

-

TEd = TEN ·

Δψ

-

lEd rE

Abb. 7.27: Normierter linearisierter Signalflußplan des Erregerkreises ohne Wirbelstromeinfluß

Nach Abb. 7.27 gelten die Zusammenh¨ange: Δψ(s) = lEd (iE ) · ΔiE (s)

mit lEd (iE ) =

LEd (7.93) LEN

ΔuE (s) − sTEN · Δψ(s) = rE · ΔiE (s)

(7.94)

Wie die Gleichungen (7.91) und (7.93) deutlich machen, ist die Induktivit¨at lE (iE ) bzw. lEd (iE ) durch die nichtlineare Magnetisierungskennlinie erregerstromund damit arbeitspunktabh¨angig. Dies muß beim Reglerentwurf beachtet werden. Anhand der m¨oglichen Betriebsbereiche des Gleichstromantriebes soll der Sinn der Feldschw¨achung erl¨autert werden. Aus Abb. 7.25 kann der Gleichungsssatz der Gleichstromnebenschlußmaschine abgelesen werden. Im Zeitbereich gilt: d iA (t) dt

Ankerkreis:

uA (t) = eA (t) + rA · iA (t) + TA ·

Gegenspannung:

eA (t) = n(t) · ψ(t)

(7.96)

mM (t) = iA (t) · ψ(t)

(7.97)

Drehmoment: Mechanik: Leistung:

(7.95)

d n(t) dt

(7.98)

p(t) = mM (t) · n(t)

(7.99)

mM (t) − mW (t) = TΘN ·

Abbildung 7.28 zeigt die Zusammenh¨ange zwischen den Signalflußplangr¨oßen aufgetragen u ¨ ber der Drehzahl in den beiden Betriebsbereichen der GNM. 1. Ankerstellbereich: ψ = const. = 1 Im Ankerstellbereich erfolgt die Steuerung bzw. Regelung der Drehzahl und der Leistung u ¨ber die Ankerspannung uA bis schließlich bei Nenndrehzahl die maximale induzierte Gegenspannung erreicht ist. In diesem Punkt gibt die Maschine ihre Nennleistung ab. Ohne eine weitere Erh¨ohung der An¨ kerspannung u des Stellgliedes) ¨ ber die Nennspannung hinaus (Uberlastung

7.2 Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Feldschw¨ achbereich

eA 6 iA p mM

255

p

  

 

  

 

 

  

Ankerstell– bereich ψ = const. = 1

eA

iA ψ ∼ mM ∼ Nennpunkt nN Feldschw¨ach– bereich ψ<1

1 n -

n

Abb. 7.28: Betriebsbereiche eines Gleichstromantriebs

kann die Drehzahl in diesem Betriebsbereich nicht u ¨ber ihren Nennwert ansteigen. Mit ψ = const. = 1 lassen sich aus den Gleichungen (7.95) bis (7.99) folgende Proportionalit¨atsbeziehungen f¨ ur den Ankerstellbereich ableiten: eA ∼ n

(7.100)

mM ∼ iA

(7.101)

p ∼ n

(7.102)

2. Feldschw¨achbereich: eA = const. = 1 M¨ochte man die Drehzahl weiter steigern, muß das Feld geschw¨acht werden, damit die Gegenspannung nicht weiter ansteigt. Dabei muß der Fluß umgekehrt proportional zur Drehzahl gesenkt werden. Dadurch ergibt sich bei vorgegebenem maximalem Ankerstrom aufgrund von Gl. (7.97) eine Reduzierung des ausnutzbaren Drehmoments. Trotzdem kann durch die ¨ Feldschw¨achung ohne eine Uberdimensionierung des Antriebes (konstante maximale Leistung) ein erweiterter Drehzahlbereich durchfahren werden. Mit eA = const. = 1 lassen sich aus den Gleichungen (7.95) bis (7.99) folgende Proportionalit¨atsbeziehungen f¨ ur den Feldschw¨achbereich ableiten: 1 (7.103) ψ ∼ mM ∼ n p ∼ iA

(7.104)

256

7 Regelung der Gleichstrommaschine

7.2.1

Erregerstromregelung

F¨ ur die weitere Behandlung der vollst¨andig geregelten Gleichstromnebenschlußmaschine soll zun¨achst die Erregerstromregelung behandelt werden. Das Streckenverhalten der Erregerwicklung entspricht dem eines R-L-Kreises ohne Gegenspannung. Somit liegt im Prinzip ein PT1 -Verhalten vor, wobei noch die nichtlineare Magnetisierungskennlinie zwischen Erregerstrom und Fluß hinzukommt. Als Erregerstromquellen werden im allgemeinen aus Aufwandsgr¨ unden zweipulsige Br¨ uckenschaltungen verwendet. Abbildung 7.29 zeigt den Signalflußplan der Erregerstromregelung.

i∗E

PI -e 6−

- 

1 rE

GST R (s) @ - B @ B

TEd

uE

iE

-

r

-

ψ

-

GE (s)

iE

Abb. 7.29: Erregerstromregelkreis

Bei der Optimierung des Erregerstromregelkreises muß beachtet werden, daß die Zeitkonstante TEd arbeitspunktabh¨angig ist (aufgrund der nichtlinearen Magnetisierungskennlinie ψ = lEd (iE ) · iE ), und daß der Erregerkreiswiderstand rE temperaturabh¨angig ist. Dar¨ uberhinaus muß bei der Erregerstromregelung beachtet werden, daß die Erregerzeitkonstante TEd erheblich gr¨oßer als die Ankerzeitkonstante TA ist. Bei der Dimensionierung des Stromrichters f¨ ur den Erregerkreis muß somit eine hohe Spannungsreserve des Stromrichter-Stellglieds vorgesehen werden, um den Erregerstrom ausreichend schnell verstellen zu k¨onnen. ¨ Beispielsweise w¨ urde beim Ubergang vom Feldschw¨achbereich in Richtung Ankerstellbereich der Ankerstrom zwar schnell verstellt werden k¨onnen, der Erregerstrom — bei kleiner Spannungsreserve — aber nur langsam aufgebaut und damit die Drehzahl¨anderung nur langsam erfolgen k¨onnen. Als netzgef¨ uhrte Stromrichter-Stellglieder k¨onnen die zweipulsigen Br¨ uckenschaltungen wie beim Ankerkreis durch ein Totzeitglied mit Verst¨arkungsfaktor GSTR (s) = VSTR · e−sT t ≈

VSTR 1 + sTt

mit Tt =

1 2pfN

(7.105)

modelliert werden. Die Optimierung des iE -Regelkreises kann unter Anwendung der StandardOptimierungsverfahren nach Kap. 3 bzw. nach den vorangegangenen Abschnitten 7.1.1.4 bis 7.1.2.1 erfolgen. F¨ ur schnelles F¨ uhrungsverhalten kann die Reglerauslegung nach BO erfolgen. Hier muß jedoch beachtet werden, daß die

7.2 Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Feldschw¨ achbereich

257

Nachstellzeit des PI-Reglers der sich mit lEd bzw. iE ¨andernden ErregerkreisZeitkonstante TEd nachgef¨ uhrt werden m¨ ußte. Ist dies nicht der Fall, f¨ uhrt die unvollst¨andige Kompensation von TEd zu einer Erh¨ohung der Ordnung des Nennerpolynoms der F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion GwiE (s) und einem Vorhalt im Z¨ahler von GwiE (s). Dadurch wird eine Schwingungsneigung beg¨ unstigt. Im Erregerkreis besteht jedoch ein großer Unterschied zwischen großer (TEd ) und kleiner (TσiE ) (Summen-)Zeitkonstante. Im allgemeinen ist TEd > 200 ms, w¨ahrend sich TσiE je nachdem, ob eine Meßwertgl¨attung (Zeitkonstante TgiE ) verwendet wird, zu TσiE = Tt ( + TgiE ) = 5 ( ...10) ms berechnet. Im Nutzfrequenzbereich wird sich eher ein IT1 -Verhalten der aus zwei PT1 -Gliedern aufgebauten Erregerstromstrecke ergeben, da die Eckfrequenz von G3 (s) (siehe Abb. 7.29) bei sehr niedrigen Frequenzen liegt. Damit kommt haupts¨achlich der 1 : 1-Abfall des Amplitudengangs von G3 (s) zur Auswirkung. Aufgrund dieser Tatsache (siehe dazu auch Kap. 3.2.2) kann die Einstellung der Reglerparameter auch nach SO erfolgen. Eine Optimierung nach SO hat dar¨ uberhinaus den Vorteil, daß die Erregerkreis-Zeitkonstante TEd nur f¨ ur die Berechnung der Reglerverst¨arkung VR verwendet wird. Eine Variation von TEd gegen¨ uber des f¨ ur die Berechnung von VR verwendeten Wertes hat daher nur Auswirkung auf den Verst¨arkungsfaktor des offenen Regelkreises. Bei Optimierung nach SO ist eine F¨ uhrungsgl¨attung (siehe Gl. (3.64)) in die Regelkreisstruktur nach Abb. 7.29 einzuf¨ ugen. F¨ ur die weitere regelungstechnische Behandlung soll die Erregerstromregelung wieder durch eine Ersatzfunktion 1. Ordnung angen¨ahert werden. Nach Gl. (3.85) verbleibt bei Vernachl¨assigung der Terme mit s2 und s3 f¨ ur die Ersatzzeitkonstante Ters iE des nach SO optimierten Erregerstromregelkreises Ters iE = 4TσiE + 8

2 Tσi E TEd

(7.106)

F¨ ur die Auslegung der gesamten Regelkreisanordnung (siehe Kap. 7.2.5) kann die Ersatzanordung nach Abb. 7.30 bei Einsatz der nichtlinearen Magnetisierungskennlinie, bzw. im linearisierten Fall die Ersatzanordnung nach Abb. 7.31 verwendet werden.

iE∗

1 -

Ters iE iE

-

ψ

-

Abb. 7.30: Ersatzfunktion der Erregerstromregelung bei nichtlinearer Magnetisierungskennlinie

258

7 Regelung der Gleichstrommaschine

ΔiE∗

1 -

lEd

Ters iE ΔiE

-

Δψ

-

Abb. 7.31: Ersatzfunktion der Erregerstromregelung bei Linearisierung

7.2.2

Schaltungsvarianten

F¨ ur die Regelung der Drehzahl u ¨ ber das Feld k¨onnen drei Grundvarianten unterschieden werden: 1. Sammelschienenantrieb, 2. Contiflux-Verfahren, 3. spannungsabh¨angige Feldschw¨achung. Bei Sammelschienenantrieben — im allgemeinen Mehrmotorenantriebe – werden alle Motoren mit der gleichen Ankerspannung uA an der Sammelschiene betrieben. Die individuelle Verstellung der Drehzahl erfolgt u ¨ber die Verstellung der Erregerstr¨ome. Bei dieser Variante k¨onnen die Motoren nur ab der durch die Sammelschienenspannung uA und den jeweiligen maximalen Erregerstrom vorgegebenen Grunddrehzahl zu h¨oheren Drehzahlen verstellt werden; ein Ankerstellbereich ist nicht vorhanden. Das prinzipielle Blockschaltbild der Anordnung zeigt Abb. 7.32. Die zweite Variante ist das sogenannte Contiflux-Verfahren. Bei dieser Variante wird eine Umkehr des Drehmoments der Antriebsmaschine nicht durch eine Umkehr des Ankerstroms sondern durch eine Umkehr des Feldstroms erzwungen. Wesentlich bei dieser Variante ist, daß dem Drehzahlregelkreis zwei parallele Stromregelkreise unterlagert sind: der Ankerstromregelkreis und der Erregerstromregelkreis. Beide Stromregelkreise werden u ¨ber nichtlineare Kennlinien angesteuert, so daß einerseits bei großem geforderten Drehmoment mit konstantem Fluß und variablem Ankerstrom und andererseits bei kleinem geforderten Drehmoment mit konstantem kleinen Ankerstrom und variablem Erregerstrom gefahren wird. Wesentlich ist, daß bei konstantem kleinem Ankerstrom der Erregerstrom linear durch Null variiert wird. Dies bedeutet, daß bei dieser L¨osung praktisch nur der Ankerstellbereich vorhanden ist. Die Umkehr des Erregerfeldes und damit auch die Feldschw¨achung wird nicht zur Erh¨ohung des Drehzahlbereichs, sondern zur Drehrichtungsumkehr genutzt. Abbildung 7.33 zeigt das Strukturbild dieser Regelung. Diese beiden Grundvarianten haben heute nur noch geringe praktische Bedeutung. Sie werden allerdings der Vollst¨andigkeit halber aufgef¨ uhrt, um einige grunds¨atzliche Probleme und L¨osungswege aufzuzeigen.

7.2 Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Feldschw¨ achbereich

259

Sammelschiene r UA// = (wahlweise)

UA –Istwert– Geber =

UA –Begrenz.-Regler IA∗ max- e?

- 



b

=

b

IA –Istwert– Geber '$



IA –Begrenz.Regler (wahlweise)

M

TD



&%

Stellglied

N − N∗? e

r

=

− UA∗ max? e - 

- ≤

...

- ....

N –Regler

- ≥

- ≤

I∗ ... − - e E- e - .... 6 + 6 −

| -∼

oßtwert– Kleinstwert– Kleinstwert– Gr¨ IE –Regler Vergleicher Vergleicher Vergleicher IE IE min IE max =  3∼

IE –Istwert– Geber

-

/

J

J

r



     

Abb. 7.32: Sammelschienenantrieb (Ger¨ ateschaltplan)

Abb. 7.33: Signalflußplan der Contiflux-Regelung

Die dritte Variante Drehzahlregelung mit spannungsabh¨angiger Feldschw¨achung ist von grunds¨atzlicher Bedeutung, da bei dieser L¨osung im Betriebsbereich der Antriebsmaschine sowohl der Ankerstellbereich (Grunddrehzahlbereich) als auch der Feldschw¨achbereich enthalten sind. Die Maschine kann somit kontinuierlich vom einen in den anderen Betriebsbereich u ¨bergehend betrieben werden.

260

7 Regelung der Gleichstrommaschine

7.2.3

Sammelschienenantrieb

Abbildung 7.34 zeigt den Signalflußplan f¨ ur einen Sammelschienenantrieb. Durch Umzeichnung von Abb. 7.34 erh¨alt man Abb. 7.35, aus der die Struktur des Drehzahlregelkreises deutlicher zu erkennen ist. Die Optimierung des Drehzahlreglers wird durch die Struktur des Detailplans 1 erschwert. Um das Streckenverhalten zwischen dem Fluß ψ und der Drehzahl n zu analysieren, wird der Detailplan 1 am Arbeitspunkt linearisiert (Abb. 7.36). Aus Abb. 7.36 l¨aßt sich ableiten (ΔuA = 0):

1 rA

uA

mW TA

-e 6−

TΘN

1 iA

mM

- @ @ 6 r ?

eA

− -? e

-

r

n -

ψ

 @ @

r

1 Ters iE ∗ i iE n ∗ - e -  E − -e 6− 6 n–Regler n iEN = 1

r

ψ

-

Abb. 7.34: Drehzahlregelung ¨ uber den Erregerfluß bei Sammelschienenantrieb

uA ? ∗ ne -  − 6

n

n–Regler

1 Ters iE iE∗ iE − -e -

- @ @

ψ

? -e



mW 1 TΘN

TA iA

- @ @

−

mM ?− -e

r

-

6

r

6

iEN = 1

eA

1 rA



Detailplan 1

Abb. 7.35: Signalflußplan der Abb. 7.34 umgezeichnet



n-

7.2 Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Feldschw¨ achbereich

261

iA0 -

ΔuA 1 rA

n0 Δψ

ΔeA ? -e -e 6 −

r -

TA ΔiA

ψ0 ?ΔmM

-

-e

ΔmW 1 − ?

-e -

TΘN Δn r -

ψ0 -

Δn

Abb. 7.36: Linearisierter Detailplan 1

  1 ψ0 1 · Δψ(s) · iA0 − (Δψ(s) · n0 + Δn(s) · ψ0 ) · · sTΘN rA 1 + sTA (7.107) Durch elementare Umrechnungen ergibt sich



n0 ψ0 1 ψ2 1 Δψ(s) · iA0 − = Δn(s) · sTΘN + 0 · (7.108) · rA 1 + sTA rA 1 + sTA Δn(s) =

bzw. mit TΘSt = TΘN ·

rA = f (ψ0 ) ψ02

(7.109)

erh¨alt man: Δn(s) −n0 ψ0 + rA iA0 + sTA rA iA0 = Δψ(s) ψ02 (1 + sTΘSt + s2 TΘSt TA )

=

ψ02

−n0 ψ0 + rA iA0 (1 + sTΘSt + s2 TΘSt TA )

(7.110) ⎛ ⎜ ·⎜ ⎝1 −

⎞ sTA ⎟ ⎟ ⎠ n0 ψ0 −1 rA iA0

  1 n0 rA iA0 (1 + sTA ) · = − + ψ0 ψ02 1 + sTΘSt + s2 TΘSt TA

(7.111)

(7.112)

¨ Aus der Ubertragungsfunktion Δn(s)/Δψ(s) ist zu erkennen, daß die Vorzeichenumkehr f¨ ur die Absenkung des Erregerstrom-Sollwerts i∗E in Abb. 7.35 und die Vorzeichenumkehr des Terms n0 /ψ0 sich gegenseitig kompensieren.

262

7 Regelung der Gleichstrommaschine

Wenn jetzt zur Vereinfachung angenommen wird, daß TA  TΘSt /4 ist, dann ¨ vereinfacht sich die Ubertragungsfunktion zu:

Δn(s) n0 rA iA0 1 = − + (7.113) Δψ(s) ψ0 ψ02 1 + sTΘSt ¨ Vereinfacht wird die Ubertragungsfunktion somit durch die Verst¨arkung K = −

n0 rA iA0 + ψ0 ψ02

(7.114)

und ein Verz¨ogerungsglied 1. Ordnung angen¨ahert. Dabei ist zu beachten, daß sowohl die Verst¨arkung K als auch die Zeitkonstante TΘSt eine Funktion des Flusses ψ0 sind. ¨ Die genauere Betrachtung zeigt, daß die Ubertragungsfunktion eine positive Nullstelle hat und somit ein Allpaßverhalten aufweist. Dieses Allpaßverhalten ¨ wirkt sich so aus, daß zu Beginn eines Ubergangsvorgangs aufgrund der Fluߨanderung sofort das Motormoment ge¨andert und damit die Drehzahl beeinflußt wird. ¨ Verz¨ogert um TA erfolgt dann die Gegenreaktion u der Span¨ ber die Anderung nung eA . Der zusammengefaßte Drehzahlregelkreis bei Sammelschienenspeisung ist in Abb. 7.37 dargestellt. led 1 Ters iE ∗ ∗ Δi Δψ Δi E ΔnE Δn e -  r 6−

Δn

Δn–Regler

Gl. (7.110)

Abb. 7.37: Linearisierter Drehzahlregelkreis bei Sammelschienenspeisung

7.2.4

Contiflux-Regelung

Aus dem Signalflußplan der Contiflux-Regelung nach Abb. 7.33 ist zu erkennen, daß die Regler des Ankerstroms und des Erregerstroms, wie oben beschrieben, optimiert werden m¨ ussen. Im Flußregelkreis wird zur Kompensation der nichtlinearen Magentisierungskennlinie ψ = f (iE ) eine entsprechende inverse Kennlinie in den Sollwertkanal eingef¨ ugt; somit kann zwischen ψ ∗ und ψ der lineare Zusammenhang der Ersatzfunktion des Erregerstromregelkreises angenommen werden. Unter dieser Voraussetzung ergibt sich die in Abb. 7.38 zusammengefaßte Struktur des Regelkreises. Wenn die Kennlinien der nichtlinearen Bl¨ocke 1 und 2 in den parallelen Signalpfaden so gew¨ahlt werden, daß die Knickpunkte beim gleichen Sollwert des Drehmoments m∗M liegen und die Verst¨arkungen in den beiden

7.2 Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Feldschw¨ achbereich

mW 1 ?−

1 Ters i ∗ iA∗ iA mM n ∗- e -  mM - @ -e r - A
@ 6− 6 n–Regler 1 1 Ters ψ n ψ∗ ψ -

263

TΘN n

r -

-

 

2

Abb. 7.38: Zusammengefaßte Struktur des Contiflux-Verfahrens

Betriebszust¨anden • voller Erregerfluß und geregelter Ankerstrom • kleiner Ankerstrom (Stromboden) und gesteuerter Erregerfluß gleich sind, dann ergibt sich f¨ ur den Drehzahlregler eine konstante Verst¨arkung in beiden Betriebszust¨anden. Wenn nun zus¨atzlich die Zeitkonstanten Ters i und Ters ψ durch angepaßte Dimensionierung und Optimierung gleich werden (d.h. Vergr¨oßerung von Ters i = 2Tσi auf Ters i = Ters ψ und damit Verringerung der Dynamik des Ankerstromregelkreises durch Verringerung der Verst¨arkung VR des iA -Reglers), dann gilt die obige Aussage auch dynamisch, und der Drehzahlregler kann wie bei konstantem Fluß ψ = 1 optimiert werden. Beim Contiflux-Verfahren bleiben somit beide Regelungen (Anker- und Erregerstrom) st¨andig im Eingriff. Vom Prinzip her k¨onnten sich mit diesem Verfahren bei positiven DrehzahlSollwert¨anderungen kleine Ausregelzeiten ergeben, da der Ankerstrom schnell erh¨oht werden kann. Allerdings m¨ ussen dann bei negativen Sollwert¨anderungen — insbesondere bei Drehmomentumkehr — große Ausregelzeiten akzeptiert werden, da dieser Regelvorgang im wesentlichen von der Dynamik im Erregerstromregelkreises bestimmt wird. Diese Ausregelzeit kann aber durch eine ent¨ sprechende Ubererregung im Erregerkreis (bis zu 10-fach) verk¨ urzt werden, so daß die Dynamik im Ankerkreis nicht allzu sehr verringert werden muß. Contiflux-Regelungen werden in Anwendungsf¨allen eingesetzt, bei denen ein kontrollierter langsamer Drehmomentwechsel technologisch vorteilhaft ist. Derartige Anwendungsf¨alle sind Aufz¨ uge (Schachtf¨ordermaschinen), F¨ordermaschinen oder Auf- und Abwickler bei Kaltbandwalzwerken. Zu beachten ist, daß der Leistungsbedarf f¨ ur den Erregerkreis nur 1 bis 2 % des Leistungsbedarfs f¨ ur Ankerkreises betr¨agt; die Contiflux-L¨osung ist somit wesentlich weniger aufwendig als Systeme mit Anker-Umkehrstromrichtern. Zur dynamischen Einordnung des Verfahrens ist festzustellen, daß mit Umkehrstromrichtern im Ankerkreis Ausregelzeiten im Strom von 5 − 50 ms, mit

264

7 Regelung der Gleichstrommaschine

mechanischen Schaltern von 0, 1 − 1, 5 sec und beim Contiflux-Verfahren von 0, 3 − 1, 5 sec erzielt werden. 7.2.5

Spannungsabh¨ angige Feldschw¨ achung

Den Signalflußplan f¨ ur die spannungsabh¨angige Feldschw¨achung zeigt Abb. 7.39. Solange die induzierte Spannung |eA | kleiner e∗A = 1 ist, entsteht am Eingang des Kennlinienblocks 1 eine positive Regeldifferenz, die durch die Funktion des Kennlinienblocks jedoch ohne Auswirkung auf das nachfolgende PI-Glied und damit auf den resultierenden Erregerstrom-Sollwert i∗E bleibt. In diesem Betriebszustand wird der Motor somit im Ankerstellbereich betrieben und der Erregerstrom — und damit der Erregerfluß — auf den Nennwert geregelt. Der Drehzahlregelkreis und der Ankerstromregelkreis bilden eine Kaskadenstruktur, die durch den Kennlinienblock 1 vom Erregerstrom-Regelkreis getrennt ist.

n n∗- e?−

- 

........

i∗A- e?− - 

@ -e - B @ B 6 eA

........

adaptiver adaptiver n–Regler iA –Regler GA (s) 1 Tge 6 |eA | r   A
A


4 e∗A- e?−

-

- 

........

1 adaptiver eA –Regler

1 rA

GST R (s) uA- e

− 6 eA

mW TA i r A- @ @

-

6 r

eA

1 TΘN -

r

n-

ψ

?  @ @

r

1 Tersψ ∗ ∗ ΔiiEE e iE-

∗ Δψ-

− mM ? -e

ψ

6

2

iEN = 1

3

Abb. 7.39: Signalflußplan f¨ ur spannungsabh¨ angige Feldschw¨ achung

Wird nun der Ankerstromrichter u ¨ber seinen Spitzenwert uˆd = uˆA hinausgesteuert, dann wird mit der Drehzahl n auch die induzierte Gegenspannung eA der Maschine, in Abh¨angigkeit von der Last, verz¨ogert den Grenzwert e∗A = 1 u ¨berschreiten. Da |eA | nun gr¨oßer ist als der Grenzwert e∗A , wird die nunmehr negative Regeldifferenz am Eingang des eA -Reglers u ¨ ber die Kennlinienbl¨ocke 1 und 2 zu einer Verringerung des Erregerstrom-Sollwerts i∗E f¨ uhren. In der Realit¨at werden der Kennlinienblock 1 und der PI-Regler als Einheit den eA -Regler bilden, da so bei |eA | < eA∗ ein Aufintegrieren der Regeldifferenz vermieden werden kann. Dies ist durch die Strichelung in Abb. 7.39 angedeutet. W¨ urde diese Auf-

7.2 Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Feldschw¨ achbereich

265

integration erfolgen, dann k¨onnten beim Abl¨osevorgang vom Ankerstellbereich zum Feldschw¨achbereich unerw¨ unschte Ausgleichsvorg¨ange auftreten. Alle drei PI-Regler in Abb. 7.39 sind als adaptive Regler mit variabler Verst¨arkung gezeichnet. Auf die Notwendigkeit der Verst¨arkungsadaption beim Drehzahl- und beim eA -Regler wird im folgenden noch n¨aher eingegangen. Beim Ankerstromregler soll die variable Verst¨arkung auf die Adaption des Reglers an die sich im L¨ uckbetrieb ¨andernde Streckenstruktur hinweisen (siehe Kap. 10.4). Voraussetzung f¨ ur die automatische Feldschw¨achung ist, daß der Ankerstromrichter eine um etwa 20 % u ¨ber den Nennwert erh¨ohte Ankerspannung liefern kann. Auch der Erregerstromrichter muß eine ausreichende Spannungsreserve aufweisen, um im Feldschw¨achbetrieb die gew¨ unschte Dynamik zu erzielen. Der Kennlinienblock 4 (Betragsbildung) ist notwendig, um den Feldschw¨achbetrieb in beiden Drehrichtungen des Antriebs zu erm¨oglichen. Grunds¨atzlich wird also der Erregerstrom bzw. der Fluß ge¨andert, wenn die Spannung eA den Grenzwert e∗A betragsm¨aßig u ¨berschreitet. Deshalb wird diese Schaltungsvariante spannungsabh¨angige Feldschw¨achung“ genannt. Im folgen” den sollen nun die einzelnen Regelkreise getrennt voneinander untersucht werden. Drehzahlregelkreis Zuerst soll der Drehzahlregelkreis betrachtet werden. Aus Abb. 7.39 ist zu erkennen, daß der Ankerstromregelkreis wie bei ψ = 1 optimiert werden kann, da eA durch die EMK-Aufschaltung keinen Einfluß mehr hat. Der Ankerstromregelkreis kann damit f¨ ur die Auslegung des u ¨berlagerten Drehzahlregelkreises durch die aus Gl. (7.34) bzw. Gl. (7.52) bekannte Ersatzfunktion angen¨ahert werden. Damit ergibt sich der Drehzahlregelkreis nach Abb. 7.40. ψ r

1 n∗-

TG

∗

n- e

−6 n

VR0

mW

Tn

- 

-

? r r

i∗A

1 -

Ters i iA

?

- @ @

1 mM ?− -e -

TΘN n

r -

adaptiver n–Regler

Abb. 7.40: Adaptive Drehzahlregelung bei variablem Feld

Die Optimierung des Drehzahlreglers erfolgt nach dem symmetrischen Optimum wie bei ψ = 1 (Ankerstellbereich). Allerdings muß beachtet werden, daß

266

7 Regelung der Gleichstrommaschine

bei Feldschw¨achung auch das Motormoment geschw¨acht wird. Damit wird regelungstechnisch gesehen die mechanische Zeitkonstante TΘN eine Funktion des Flusses ψ:   1 Ankerstellbereich n(s) = · iA (s) (7.115) sT ΘN ψ=1   1 = · ψ(s) ∗ iA (s) (7.116) Feldschw¨achbereich n(s) sT ΘN ψ<1 Am Arbeitspunkt ψ0 gilt: Ankerstellbereich

ψ0 = 1 :

TΘN

Feldschw¨achbereich

ψ0 < 1 :

∗ TΘN =

(7.117) TΘN > TΘN ψ0

(7.118)

Bei der Optimierung nach SO des Drehzahlreglers GR (s) = VR ·

1 + sTn sTn

(7.119)

muß dies beachtet werden. Reglerparameter

Tn = 4Ters i VR =

F¨ uhrungsgl¨attung

TΘN 1 = VR0 · ψ0 · 2Ters i ψ0

TG = Tn

(7.120) (7.121) (7.122)

Die Verst¨arkung VR des Drehzahlreglers muß dem Fluß ψ0 nachgef¨ uhrt werden; dies ist in Abb. 7.40 bereits durch die Einf¨ ugung des Dividierers erfolgt. Sollte eine Meßwertgl¨attung Tgn der Drehzahl zu ber¨ ucksichtigen sein, muß analog zu Gl. (7.64), (7.65) in Gl. (7.120) und (7.121) anstelle von Ters i die Zeitkonstante Tσn = Ters i + Tgn eingesetzt werden. Eine praktische Realisierung des adaptiven Drehzahlreglers zeigt Abb. 7.41. Hierbei ist zu beachten, daß im allgemeinen das Ausgangssignal des Reglers begrenzt werden muß, um den Stromsollwert zu begrenzen. Diese notwendige Begrenzung ist in Abb. 7.41 noch nicht ber¨ ucksichtigt. Insbesondere ist bei der Multiplikation bzw. Division der Aussteuerungsbereich zu bedenken und zu verhindern, daß bei Begrenzung der Integralanteil die Regelabweichung weiter aufintegriert (Anti-Windup-Regler, siehe Kap. 7.1.2.2). Damit ist die Optimierung des Ankerstrom- und des Drehzahlregelkreises bekannt. Es verbleibt die Optimierung des eA -Regelkreises. eA-Regelkreis Aus Abb. 7.39 ist zu entnehmen, daß die Kennlinienbl¨ocke 1 und 4 bei der Untersuchung entfallen k¨onnen, da sie die normierte Steigung 1 aufweisen. Unter Annahme des quasi-station¨aren Betriebs kompensieren sich die Kennlinienbl¨ocke 2

7.2 Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Feldschw¨ achbereich

iE

e-

≈ 0V

uE

Rr



iE0

?

Cr

@ @

?ir r

RE

ψ0

uA ψ0



267

Q Q −Q

Q Q  

?

? e

r

e

uA

+

? e

 

Abb. 7.41: Adaptiver Drehzahlregler in Analogtechnik

und 3 ebenso gegenseitig. Unter dieser Voraussetzung ergibt sich der in Abb. 7.42 zusammengefaßte Signalflußplan der eA -Regelung.

iA ? - @ @

mW mM ? − -e -

adaptiver eA −Regler ∗

eA

- e -  − 6 

eA

-

1 Ters ψ ψ∗ ψ

r r

-

6

n r TΘN

r - @ @

r

eA

-

6

n

r

1

n

Tge 

Abb.7.42: Zusammengefaßter eA -Regelkreis bei spannungsabh¨angiger Feldschw¨ achung

Aus der Struktur dieses Regelkreises ist zu erkennen, daß der wesentliche zeitvariante Parameter bei der Optimierung des eA -Reglers die Drehzahl n ist. Um einen Regler mit konstanten Parametern zu erm¨oglichen, ist es deshalb bei großem Feldschw¨achbereich sinnvoll, einen adaptiven eA -Regler vorzusehen. Die Adaption erfolgt mit der Drehzahl n, wie in Abb. 7.42 bereits angedeutet. Die Regelung der induzierten Gegenspannung eA beinhaltet das Problem, daß diese nicht direkt gemessen werden kann, sondern aus uA und iA berechnet werden muß. Dieses Problem ist bereits bei der Bestimmung der EMK in Kap. 7.1.1.2 behandelt worden. Analog Gl. (7.10) ergibt sich aus der Differentialgleichung f¨ ur den Ankerkreis

268

7 Regelung der Gleichstrommaschine

d iA (t) (7.123) dt die M¨oglichkeit, eA durch Aufschaltung von iA u ¨ber ein PD-Glied zur Kompensation der Ankerzeitkonstanten dynamisch richtig nachzubilden: eA (t) = uA (t) − rA iA (t) − TA ·

eA (s) = uA (s) − iA (s) · rA (1 + sTA )

(7.124)

Da die Differentiation praktisch nur n¨aherungsweise erfolgen kann, wird damit eine zus¨atzliche Gl¨attung (Zeitkonstante Tg ) ben¨otigt. Auch auf diese Weise l¨aßt sich jedoch eA nur ungef¨ahr nachbilden, da RA und LA nicht immer konstant sind. Eine m¨ogliche elektronische Nachbildung ist in Abb. 7.43 dargestellt.

-e

uA

-

− 6 -

iA

rA (1 + sTA ) 1 + sTg R1

r

Q Q −Q

2R1 R0

TA =

R1 C 2

Tg = Rg C

C

R0

rA = R1

r

Rg

−iA e

eA

Q Q  

r

R

r

R

+

 

−uA e

R

r

Q Q −Q

Q Q  

e eA

+  

Abb. 7.43: Analoge Nachbildung der Ankerspannungs-Differentialgleichung

Durch die Nachbildung der induzierten Gegenspannung aus der im allgemeinen welligen Ankerspannung wird h¨aufig eine Meßwertgl¨attung (Zeitkonstante

7.2 Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Feldschw¨ achbereich

269

Tge ) notwendig. Damit verbleibt wie in Abb. 7.42 dargestellt, als zu ber¨ ucksich¨ tigendes Ubertragungsverhalten die Ersatz¨ ubertragungsfunktion des Flußregelkreises und das Meßwertgl¨attungsglied mit der Zeitkonstante Tge . Da das St¨orverhalten des Regelkreises im Vordergrund steht und Ters ψ als Ersatzzeitkonstante nicht kompensiert werden kann, wird der eA -Regler nach SO optimiert. Zum Abschluß der Optimierung soll noch einmal darauf hingewiesen werden, daß die Verstellung der Spannung eA immer von der Ankerspannung uA und damit dem Strom iA ausgel¨ost wird. Der eA -Regelkreis muß somit dem Drehzahlregelkreis folgen und wird, wenn die Dimensionierung des Erregerstromrichters nicht ausreichend ist, die Dynamik des Drehzahlregelkreises im Feldschw¨achbereich bestimmen. uA-Regelkreis Um die Probleme bei der eA -Nachbildung zu vermeiden, kann man auf eine uA Regelung u ¨ bergehen. Im Feldschw¨achbetrieb wird jetzt die Ankerspannung uA konstant gehalten. Unter denselben Voraussetzungen wie bei Abb. 7.42 erh¨alt man nun den zusammengefaßten Signalflußplan nach Abb. 7.44. r 

uA∗

- e -  6 −





|uA |

1 Tersψ ψ

? ∗ r ψr



A
A


1

?

- @ @

  uA −Regler uA

n 1 rA

eA - e−6

iA∗ GST R (s) TA iA ? uA @ - e -  - B @ r B − iA −Regler

Tgu 

uA r

Abb.7.44: Zusammengefaßter uA -Regelkreis bei spannungsabh¨ angiger Feldschw¨ achung

Dieser Signalflußplan kann aus Abb. 7.39 abgeleitet werden, indem anstelle von eA die Ankerspannung uA aus der Regelstrecke des Ankerstroms abgegriffen und e∗A durch u∗A ersetzt wird. Der eA -Regler wird dann zum uA -Regler. Im Unterschied zu Abb. 7.39 entspricht das Signal am Ausgang des uA -Reglers nun jedoch direkt dem Flußsollwert ψ ∗ und nicht mehr einem Differenzsignal Δψ ∗ bzw. Δi∗E < 0, das zum Nennwert iEN = 1 addiert wird. Ein Aufintegrieren   der im Ankerstellbereich positiven Regeldifferenz uA∗ − |uA | > 0 u ¨ber ψ ∗ = 1 hinaus kann in diesem Fall durch eine Begrenzung des Reglerausgangssignals auf 0, 1 ≤ ψ ∗ ≤ 1 und eine Anti-Windup-Beschaltung des Integralanteils des PI-Reglers verhindert werden (siehe Kap. 7.1.2.2). Ausgehend vom Maximalwert ψ ∗ = 1 wird im Feldschw¨achbereich der Reglerausgang dann auf den ben¨otigten

270

7 Regelung der Gleichstrommaschine

Flußsollwert ψ ∗ = 1/n∗ reduziert. Beim Zur¨ uckwechseln in den Ankerstellbereich wird der Flußsollwert wieder auf ψ ∗ = 1 angehoben. Der wesentliche Unterschied zum eA -Regelkreis besteht darin, daß die uA Regelstrecke zwei geschlossene Regelkreise enth¨alt, mit ψ(s)/ψ ∗ (s) = Gwψ (s) den unterlagerten Flußregelkreis und mit uA (s)/eA (s) = Gwi (s) den Ankerstromregelkreis. Der Wirkungspfad von ψ auf uA u ¨ber die Drehzahl wurde dabei vernachl¨assigt, da die Tr¨agheitszeitkonstante TΘN im allgemeinen groß ist. Ein weiterer Unterschied zur eA -Regelung besteht in der Wahl der Zeitkonstanten Tgu der Meßwertgl¨attung. Diese ist wesentlich gr¨oßer zu w¨ahlen als Tge , da die Oberschwingungen der Stromrichter-Ausgangsspannung uA nicht wie bei der eA Nachbildung nach Abb. 7.43 durch Differenzieren von iA ann¨ahernd kompensiert werden. In Abb. 7.44 ist der uA -Regler durch die Vorsteuerung mit der Drehzahl (Division des Reglerausgangs durch n) adaptiv ausgef¨ uhrt. Dies f¨ uhrt zu verbes¨ serten dynamischen Uberg¨ angen vor allem bei Drehzahl¨anderungen weit in den Feldschw¨achbereich hinein, da f¨ ur eine schnelle Fluߨanderung der uA -Regler nur mehr den Abgleichfehler auszuregeln braucht. Die EMK-Aufschaltung aus Abb. 7.39 ist in Abb. 7.44 nicht explizit darge¨ stellt. Bei dynamischen Uberg¨ angen im Feldschw¨achbereich hat sie jedoch wegen der Begrenzung von uA auf meist uAmax = 1, 2 kaum Auswirkung und kann daher im Signalflußplan vernachl¨assigt werden. Verwendet man f¨ ur die in der uA -Regelstrecke enthaltenen geschlossenen Regelkreise, den Flußregelkreis Gwψ (s) und den Ankerstromregelkreis Gwi (s), an¨ stelle der u 2. Ord¨blichen Ersatzfunktionen 1. Ordnung Ubertragungsfunktionen nung, ergibt sich der vereinfachte Signalflußplan nach Abb. 7.45. F¨ ur Gwψ (s) kann Gl. (3.85) mit Vernachl¨assigung des Terms mit s3 verwendet werden; Gwi (s) ergibt sich, je nachdem, ob eine Meßwertgl¨attung von iA ber¨ ucksichtigt werden muß, nach Gl. (7.33) bzw. Gl. (7.51). Durch die Verwendung dieser realit¨atsnaheren Form der Streckenbeschreibung lassen sich die Phasenverh¨altnisse im Kreis genauer darstellen. Bei einer Regleroptimierung z.B. mit Hilfe des BodeDiagramms kann so die Stabilit¨at des Regelkreises sichergestellt werden. Direkte eA-Regelung mit abl¨ osender Erregerstromregelung Eine weitere Variante der spannungsabh¨angigen Feldschw¨achung ist die direkte eA -Regelung mit abl¨osender iE -Regelung. Anstelle der Struktur nach Abb. 7.39 ergibt sich dann der Signalflußplan nach Abb. 7.46. Die bisher getrennt geregelten Regelkreise von eA und iE werden nun durch einen Regler geregelt, der zwei Aufgaben hat: im Grunddrehzahlbereich arbeitet er als iE -Regler und im Feldschw¨achbereich als eA -Regler. Die Abl¨osung der beiden Betriebsarten erfolgt dadurch, daß der Regler stets auf den gr¨oßeren der beiden Istwerte regelt (Maximum-Auswahl: Block 1 in Abb. 7.46 ersetzt Block 1 in Abb. 7.39). Wesentlich ist, daß der Regler in beiden Betriebsbereichen mit derselben Reglereinstellung arbeiten kann. Der Kennlinienblock 2 dient wieder zur Kompensation der Magnetisierungskennlinie (Block 3).

7.2 Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Feldschw¨ achbereich r ? r r



uA∗

- e -  6−

 uA −Regler





|uA |

-

ψ∗

ψ

-



n

? - @ @

eA

uA

r -

-

Gwψ (s) 1

271

Gwi (s)

Tgu

uA A




A


Abb. 7.45: Vereinfachter uA -Regelkreis bei Feldschw¨ achung

n∗

i∗A- e?−

−

? -  -e

........

adaptiver n–Regler

- 

-e 6

........

≤

B

6 −

adaptiver iA –Regler A
 A


 

GST R1 (s) @ uA - B @ -e

ψ

2 

........

adaptiver iE /eA –Regler

iA

r

- @ @ 6 r

r

eA



iE

1

Tge 

@ - B @ B

− mM -? e

r

n-

ψ

1 TEN 



uE

1 TΘN -

?  @ @

eA

r

1 TgiE

GST R2 (s) - 

TA

-

1 e∗A = i∗E- e?−

mW

1 rA

−

? -e

rψ

1 rE

iE

r

-

3

Abb. 7.46: Signalflußplan der direkten eA -Regelung mit abl¨ osender iE -Regelung

Zeichnet man die beiden Regelkreise getrennt nach den Betriebsarten Ankerstellbereich (iE -Regelung) und Feldschw¨achbereich (eA -Regelung), ergeben sich die linearisierten Signalflußpl¨ane nach Abb. 7.47 und 7.48. Wenn die Meßwertgl¨attungen TgiE und Tge gleich gew¨ahlt werden, unterscheiden sich die beiden Regelstrecken nur durch den Proportionalfaktor n0 . In beiden Regelkreisen treten die arbeitspunktabh¨angigen Parameter lEd und TEd = TEN · lEd/rE auf, im eA Regelkreis zus¨atzlich noch die Streckenverst¨arkung n0 . Diese wird wieder durch Adaption des Reglers im Feldschw¨achbereich kompensiert.

272

7 Regelung der Gleichstrommaschine

VR

∗

ΔeA

Tn

- 

-e 6−

1 rE

VST R2 Tt2 ΔuE

-

iE –Regler

1

TEd

lEd ΔiE

-

r -

n0 Δψ

-

ΔeA -

lEd

TgiE 



TgiE = Tge Abb. 7.47: Linearisierter iE -Regelkreis (Grunddrehzahlbereich)

∗

VR

ΔeA

1 n0

Tn

- e -  6−

1 rE

VST R2 Tt2

-

ΔuE

-

-

   adaptiver eA −Regler 1

TEd lEd ΔiE -

n0 Δψ

-

ΔeA

r -

Tge 

TgiE = Tge Abb. 7.48: Linearisierter eA -Regelkreis (Feldschw¨ achbereich)

Wird der iE /eA -Regler nach SO optimiert, so erh¨alt man folgende Einstellungen: PI-Regler:

GR (s) = VR ·

1 + sTn sTn

Tn = 4 · Tσ = 4 · (Tt2 + TgiE ) = 4 · (Tt2 + Tge ) VR = =

(7.125) (7.126) (7.127)

TEd 2Tσ VS

(7.128)

TEN TEN = 2(Tt2 + TgiE )VSTR2 2(Tt2 + Tge )VSTR2

(7.129)

Damit ergibt sich f¨ ur beide Regelkreise die gleiche Reglereinstellung und in allen Arbeitspunkten das gleiche dynamische Verhalten. Abschließend soll das dynamische Verhalten der Regelung anhand von Simulationsergebnissen gezeigt werden. Der zugeh¨orige Signalflußplan ist in Abb. 7.49 ¨ dargestellt. Abbildung 7.50 zeigt das F¨ uhrungsverhalten beim Ubergang vom

7.2 Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Feldschw¨ achbereich

273

Ankerstellbereich in den Feldschw¨achbereich, Abb. 7.51a zeigt das F¨ uhrungsverhalten im Feldschw¨achbereich, Abb. 7.51b zeigt das St¨orverhalten im Feldschw¨achbereich. 1

n∗ -

TG

VRn TRn -e −6 

n

r r

- 

6

ψ



VRi TRi VSTR1 i-∗A e -  - e 6 6 −

Tt1 uA- e

iA

Tgi

1

6 −

1 rA

mW TA iAr -

-

− mM ? -e

@ @

1 TΘN -

6

ψ

eA



1 VSTR1

ψ

? ?

−

r

iE



r



A


rA = 0.1 TA = 20ms TΘN = 300ms TEN = 230ms

r

-

? r r

iE

r

n

 @ @ 6

1 TgiE





Tge e  A

?

Max.– ≥ Auswahl

e -?

1

eA r A
 A


r

Tgn 

|eA |

i∗E = e∗A

1

6

nr



r

ψ

1 TEN VSTR2 Tt2 − uE- ? e -

VRE TnE - 

Abb. 7.49: Signalflußplan f¨ ur die Simulation (eA -Regelung mit abl¨osender iE -Regelung)

2.00 1.50 uA 1.00

n eA y

0.50 iA 0.00 -0.50 0.00

0.08

0.16

0.24 t [sec]

0.32

0.40

¨ Abb.7.50: F¨ uhrungsverhalten beim Ubergang Ankerstellbereich → Feldschw¨achbereich (n0 = 0, 9; Δn∗ = 0, 2)

274

7 Regelung der Gleichstrommaschine

2.00

n

1.50 eA 1.00

uA y

0.50 iA 0.00 -0.50 0.00

0.08

0.16

0.24

0.32

0.40

t [sec] a) Führungsverhalten (n0 = 1.5; Dn* = 0.2)

2.50 2.00 iA 1.50

n uA

1.00

eA

y

0.50 0.00 0.00

0.08

0.16

0.24 t [sec]

0.32

0.40

b) Störverhalten (n0 = 1.5; Dmw = 1.0) Abb. 7.51: F¨ uhrungs- und St¨ orverhalten im Feldschw¨ achbereich

8 Fehlereinflu ¨ sse und Genauigkeit bei geregelten Systemen

Die Genauigkeit einer Regelung ist unter anderem durch ¨außere Einwirkungen von St¨orgr¨oßen z, ungenauer Kenntnis der Struktur oder der Parameter der Strecke oder durch Fehler in den Sensoren bzw. in der Signalverarbeitung begrenzt. Im Unterschied zur Steuerung k¨onnen jedoch durch die Regelung einige dieser Einfl¨ usse ausgeregelt werden. Einfl¨ usse, die im allgemeinen zu bleibenden, nicht ausregelbaren Abweichungen f¨ uhren, werden in erster Linie u ¨ber die Sensoren und die Signalverarbeitung verursacht.

8.1

Ausregelbare Fehler

Alle ¨außeren Einwirkungen, wie die St¨orgr¨oßen z, die zwischen Eingang und Ausgang der Regelstrecke auftreten, ¨andern unerw¨ unscht die Regelgr¨oße x. Diese ¨ Anderung wird aber u uhrt entspre¨ber die Regelabweichung xd registriert und f¨ chend der Reglerstruktur und Reglerdimensionierung zu einer entsprechenden ¨ Anderung der Stellgr¨oße u. Unter der Voraussetzung einer richtigen Reglerstruktur und Reglerdimensionierung — siehe Kap. 3 bis 6 — wird am Ende des Regelvorgangs im station¨aren Betrieb • die Regelgr¨oße x wieder ihren vorgegebenen Wert erreichen, • die Regelabweichung xd wieder gleich Null sein und • lediglich die Stellgr¨oße u einen neuen, die ¨außere Einwirkung korrigierenden Wert angenommen haben. Alle diese ¨außeren St¨orgr¨oßen, die zwischen Eingang und Ausgang der Regelstrecke auftreten, werden also durch die Regelung ausgeregelt. Dazu geh¨oren alle technologischen St¨orgr¨oßen wie bei elektrischen Antrieben das Widerstandsdreh¨ moment oder Anderungen der versorgenden Netzspannung. Außerdem werden aber durch die Regelung auch ungenaue Kenntnisse der Strecke sowohl in der Struktur als auch insbesondere der Parameter und weiterhin Nichtlinearit¨aten (innere Einfl¨ usse) in ihren Auswirkungen vermindert bzw. v¨ollig vermieden. Dies ist der entscheidende Vorteil einer Regelung gegen¨ uber der Steuerung.

276

8 Fehlerein߬ usse und Genauigkeit bei geregelten Systemen

Im Gegensatz zu den ausregelbaren ¨außeren und inneren Einfl¨ ussen m¨ ussen im Regelkreis aber auch nicht ausregelbare Einfl¨ usse bzw. Fehler beachtet werden. Der Unterschied soll an dem folgenden Beispiel (Abb. 8.1 und 8.2) erl¨autert werden. w = w0 · σ(t)

-e − 6

VR

z = z0 · σ(t) u- e? - VS

r

1+sTS

x

Abb. 8.1: Regelkreis mit P-Regler

In Abb. 8.1 wird angenommen, die Strecke sei ein Verz¨ogerungsglied 1. Ordnung, wobei sowohl die Verst¨arkung VS als auch die Zeitkonstante TS ungenau bekannt seien; der Regler sei ein P-Regler mit der Verst¨arkung VR . Es ergeben sich die F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion zu: Gw (s) =

VR VS x(s) = · w(s) 1 + VR VS

1 sTS 1+ 1 + VR VS

(8.1)

und die St¨or¨ ubertragungsfunktion zu: Gz (s) =

x(s) VS · = z(s) 1 + VR VS

1 sTS 1+ 1 + VR VS

(8.2)

Aus Gl. 8.1 ist zu entnehmen, daß im station¨aren Betrieb (s → 0) x(t → ∞) = w0 ·

V R VS 1 + VR VS

(8.3)

d.h. x(t → ∞) = w0 sein wird, da — wie aus Kap. 1 bis 4 bekannt — ein strukturell ung¨ unstiger Regler, n¨amlich ein P-Regler verwendet wurde. R2 C R1 −w e x

r

e

Q Q −Q

Q Q  

+

R1

 

r

eu ? e

V0R ≈ 105

Abb. 8.2: PI-Regler, aufgebaut mit einem realem Operationsverst¨ arker

8.1 Ausregelbare Fehler

277

Um x(t) = w(t) im station¨aren Betrieb sicherzustellen, muß ein Regler mit integralem Anteil eingesetzt werden. Dynamisch vorteilhafter w¨are ein PI-Regler, bei dem zus¨atzlich die Kompensation der Streckenzeitkonstante TS m¨oglich ist (siehe sp¨ater). Aus Gl. (8.2) ist zu erkennen, daß im station¨aren Betrieb x(t → ∞) = z0

VS 1 + VR VS

(8.4)

sein wird, d.h. die St¨orgr¨oße z wird einen unerw¨ unschten Einfluß auf die Regelgr¨oße x haben. Auch in diesem Fall w¨are ein Regler mit integralem Anteil oder ein PI-Regler vorteilhafter. Aus den Ergebnissen von Gl. (8.1) bzw. (8.3) ist zu erkennen, daß mit zunehmender Reglerverst¨arkung VR die station¨are Regelabweichung xd (t → ∞) = (w − x)(t → ∞) = w0 ·

1 1 + VR VS

(8.5)

immer geringer wird und die ungenaue Kenntnis von VS einen immer geringeren Einfluß haben wird. Aus Gl. (8.1) ist weiterhin zu erkennen, daß die resultierende Zeitkonstante Tres TS Tres = (8.6) 1 + VR VS uber TS immer kleiner wird und die ungemit steigender Verst¨arkung VR gegen¨ naue Kenntnis der Streckenverst¨arkung VS ebenso einen immer geringeren Einfluß haben wird. In entsprechender Weise wird der unerw¨ unschte Einfluß der St¨orgr¨oße z mit steigender Reglerverst¨arkung VR abnehmen (Gl. (8.4)). Wenn statt eines P-Reglers jedoch ein PI-Regler — z.B. ein analoger PIRegler wie in Abb. 8.2 dargestellt — verwendet w¨ urde und der Vorhalt Tn des Reglers die Streckenzeitkonstante TS kompensieren w¨ urde, dann gilt allgemein mit V0R → ∞: 1 + sR2 C 1 + sTn (8.7) =− GR (s) = VR sTn sR1 C Kompensation: TS = Tn = R2 C (8.8) resultierend: − G0 (s) =

VR VS KI = sTn s

(8.9)

sowie 1

Gw (s) =

1+ und 1 · Gz (s) = 1 + sTS

s KI

TS VR TS 1+s VR VS

(8.10)

s

(8.11)

278

8 Fehlerein߬ usse und Genauigkeit bei geregelten Systemen

Aus Gl. (8.10) und (8.11) ist mit dem Grenzwertsatz (s → 0) bei t → ∞ zu errechnen, daß im station¨aren Betrieb x(t → ∞) = w0 und somit z(t) keinen Einfluß auf x(t → ∞) hat. Diese Aussage f¨ ur den station¨aren Betrieb gilt auch, wenn VS und TS nur ungenau bekannt sind. Ungenaue Kenntnisse von VS und insbesondere TS haben allerdings Einfluß auf das dynamische Verhalten des Regelkreises, da insbesondere im Falle TS die Kompensation des Regler-Z¨ahler- zu Strecken-Nenner-Polynoms nicht mehr exakt erfolgt. Damit sind die obengenannten Vorteile des geschlossenen Regelkreises nochmals erl¨autert. Zur vertiefenden Diskussion sei auf Kap. 1 bis 5 dieses Buches verwiesen. Bei einem idealen PI-Regler werden somit alle auf die Strecke selbst einwirkenden St¨orgr¨oßen oder auch ungenau bekannte Parameter in ihrer Auswirkung vermindert bzw. v¨ollig unterdr¨ uckt. Ein idealer PI-Regler ist streng genommen jedoch nicht realisierbar, da er f¨ ur Gleichgr¨oßen eine unendlich hohe Verst¨arkung erfordert (f¨ ur t → ∞). Ein realisierbarer PI-Regler k¨onnte wie in Abb. 8.2 aufgebaut sein, wenn die innere Differenzverst¨arkung V0R ≈ 105 ist. Wenn wir eine ¨ derartige innere Differenzverst¨arkung annehmen, ergibt sich die Ubertragungsfunktion:

1 R2 − + u R s · R1 C

1 = (8.12) 1 R2 1 1 w−x + 1+ + V0R 2 R1 s · R1 C Die Verst¨arkung f¨ ur Gleichgr¨oßen ergibt sich aus Gl. (8.12) als Grenzwert f¨ ur s → 0 zu:  u  = −V0R (8.13) w − x s→0 Im Gegensatz zum idealen PI-Regler also ein endlicher Wert, der zus¨atzlich noch durch die S¨attigungsspannung des realen Operationsverst¨arkers begrenzt wird. Wenn wir annehmen, daß V0R → ∞ geht, dann erhalten wir die bereits in ¨ Gl. (8.7) benutzte Ubertragungsfunktion des idealen PI-Reglers. Gleichung (8.12) bedeutet, eine endliche innere Differenzverst¨arkung V0R ¨ ¨ f¨ uhrt zu einer Anderung der Ubertragungsfunktion des Reglers, die sich somit auch auf das Regelergebnis auswirkt, denn eine St¨orgr¨oße z0 wird sich aufgrund von Gl. (8.2) sowie (8.12) und Abb. 8.1 auf die Regelgr¨oße x auswirken zu: x(t → ∞) ≈

1 · z0 V0R

(8.14)

Damit wird klar, daß innere Parameter der signalverarbeitenden Komponente Regler Auswirkungen auf die Genauigkeit der Regelung haben. In entsprechender Weise werden sich Offset-Spannungen am Differenzeingang oder OffsetAusgangsspannungen des Reglers als Grund f¨ ur Abweichungen vom Idealverhalten der Komponente an sich und damit als Ursache f¨ ur Abweichungen der

8.2 Nicht ausregelbare Fehler

279

Gesamtregelung vom Idealverhalten ergeben. Im vorliegenden Fall ist die innere Differenzverst¨arkung zu V0R ≈ 105 gew¨ahlt, so daß in der Realit¨at die Abweichungen vom Idealverhalten gering sind. Im folgenden Kapitel werden die Fehlereinfl¨ usse genauer besprochen.

8.2

Nicht ausregelbare Fehler

Wie im vorigen Kapitel abgeleitet, hat der innere Parameter V0R der signalverarbeitenden Komponente Regler Auswirkungen auf die station¨are Genauigkeit des Regelkreises. In Abb. 8.3 ist ein Regelkreis mit den m¨oglichen ¨außeren Einwirkungen wie den St¨orgr¨oßen z, mit den inneren Parametern, aber auch mit den Einfl¨ ussen von Temperatur (ϑ), Alterung (t), Versorgungsspannung (VS) und EMV dargestellt. Diese Einfl¨ usse k¨onnen sehr unterschiedlich sein und sollen nur ausschnittsweise hier besprochen werden. In Abb. 8.3 wird die Regelgr¨oße x (Drehzahl) vom Sensor G (Tachogenerator) erfaßt. Bereits hier gibt es eine Vielzahl von m¨oglichen Fehlerquellen, denn: Last z Sollwertgeber

Regeleinrichtung

Regelstrecke

     VS 

3 -



w

     VS 

4

1 xd b b

+ −

t, ϑ

u

" "

Diff.

Regler

t, ϑ

xr

@ @

Steuersatz

Stromrichter

M



x

EM V

2 Gr (s) t, ϑ



m

F¨ uhrungsgr¨ oße Regelgr¨oße Regelabweichung Stellgr¨oße St¨orgr¨oße Meßwert am Geberausgang



G xG 

Signal¨ ubertragung

w x xd u z xG



BB

VS ϑ EM V t xr

Istwertgeber

Versorgungsspannung Temperatur Elektromagnetische Einstreuungen Alterungs- und Umgebungseinfl¨ usse r¨ uckgef¨ uhrte Regelgr¨ oße

Abb. 8.3: Fehlerein߬ usse bei einer Regelung

280

8 Fehlerein߬ usse und Genauigkeit bei geregelten Systemen

• die Tachomaschine kann nichtfluchtend mit dem Motor verbunden sein; die Folge ist, daß bei konstanter Drehzahl x dem an sich konstanten Drehzahlsignal ein unerw¨ unschtes harmonisches Signal u ¨berlagert ist; • dieses harmonische Signal muß durch ein Filter im R¨ uckf¨ uhrkanal vermindert werden und verringert somit die erreichbare Dynamik des Regelkreises (siehe Kap. 3.1.2); • die Tachomaschine kann fluchtend, aber mit Lose an den Motor gekuppelt sein, dies ist bei Drehzahlumkehr unerw¨ unscht; • das Drehzahlsignal xG der Tachomaschine kann nichtlinear die Drehzahl x abbilden; • das unbelastete Drehzahlsignal xG kann temperatur- und alterungsabh¨angig sein; • bei Belastung des Drehzahlsignals xG mit der Signal¨ ubertragung und ¨ dem R¨ uckf¨ uhrblock mit der Ubertragungsfunktionen Gr (s) wird ein drehzahlabh¨angiger Spannungsabfall am Innenwiderstand des Tachogenerators G und der Signalleitung entstehen, der das Signal xr in Abh¨angigkeit des Spannungsabfalls verf¨alscht. Dieser Spannungsabfall ist außerdem temperatur- (Umgebungstemperatur und Verluste) sowie alterungsabh¨angig; ¨ • im R¨ uckf¨ uhrblock mit der Ubertragungsfunktion Gr (s) wird im allgemeinen eine Pegelanpassung zwischen dem Tachogenerator G und dem Regler sowie eine eventuelle Filterung erfolgen. Die Pegelanpassung erfolgt durch einen Spannungsteiler, wobei die Widerstandswerte Toleranzen haben, sowie temperaturabh¨angig (Umgebungstemperatur und Verluste) und alterungsabh¨angig sind. Falls die Kondensatoren des eventuellen zus¨atzlichen Filters im R¨ uckf¨ uhrblock relevante Leckstr¨ome aufweisen, erfolgt zus¨atzlich eine Verf¨alschung des Spannungsteilerverh¨altnisses im R¨ uckf¨ uhrblock Gr (s), welche außerdem temperatur- und alterungsabh¨angig ist; • sowohl das Signal xG als auch das Signal xr werden gegen Massepunkt gemessen. Wenn zwischen diesen Massepunkten oder auch den Massepunkten der Sollwertquelle und des Reglers Potentialunterschiede durch falsche Verkabelungen und parasit¨are Stromschleifen bestehen, entstehen weitere Verf¨alschungen der r¨ uckgef¨ uhrten Regelgr¨oße xr ; • zus¨atzlich zu den Potentialunterschieden k¨onnen elektromagnetische St¨orungen (EMV) in die Leiterschleife Tachogenerator, Signal¨ ubertragung, R¨ uckf¨ uhrblock, Regler, Sollwertquelle eingekoppelt werden;

8.2 Nicht ausregelbare Fehler

281

• im Block 3 Sollwertquelle k¨onnen die gleichen Fehlereinfl¨ usse wie im ¨ R¨ uckf¨ uhrblock wirksam werden. Zus¨atzlich kann bei Anderungen der Versorgungsspannung VS der Sollwert w ge¨andert werden, wenn die Versorgungsspannung VS den Spannungsteiler direkt versorgt; • weiterhin sind wie beim Teilsystem Tachogenerator, Geber-Signal¨ ubertra” gung und R¨ uckf¨ uhrblock“ die gleichen Fehlerquellen beim Teilsystem Soll” wertquelle, Signal¨ ubertragung, Regler“ zu beachten; • wie schon im vorigen Kapitel diskutiert, werden durch die inneren Parameter der Komponente Regler wie innere Differenzverst¨arkung, OffsetSpannungen, Versorgungsspanungseinfluß weitere Verf¨alschungen der Signalverarbeitung wirksam. Außerdem werden die beiden Widerst¨ande R1 in Abb. 8.2 Toleranzen aufweisen, die temperaturabh¨angig (Umgebungstemperatur und Verluste) und alterungsabh¨angig sind und somit die Regeldifferenzbildung xd beeinflussen. Diese Aufz¨ahlung der m¨oglichen Fehlerquellen bei der analogen Signalverarbeitung ist nur ein Ausschnitt aus den m¨oglichen unerw¨ unschten Einfl¨ ussen, die zumindestens die station¨are Genauigkeit der Regelung aber auch das Reglerergebnis allgemein unerw¨ unscht beeinflussen k¨onnen. Bei der digitalen Signalverarbeitung treten gleiche und vergleichbare Fehlerquellen auf. Typische, systembedingte Fehlerquellen bei digitaler Signalverarbeitung sind: • Amplitudendiskretisierung durch die begrenzte Bitzahl der AD-Wandler, • zus¨atzliche Totzeiten durch die gew¨ahlte Abtastzeit, • Aliasing Effekte (Spiegelfrequenzen) durch falsch ausgelegte Vorfilter, • nicht zeitsysnchrones Einlesen der Analogwerte bei der Verwendung eines AD-Wandlers f¨ ur mehrere Signale (Einsatz von Multiplexern), • Einbringen zus¨atzlicher Fehlerquellen durch ungenaue AD- und DA-Wandler, • Verletzung von Echtzeitbedingungen durch die Verwendung eines ung¨ unstigen Scheduling-Algorithmus im Prozeßrechner. Die nicht ausregelbaren Fehler beschr¨anken sich somit auf m¨ogliche Ungenauigkeiten und St¨orgr¨oßen bei Soll- und Istwertgebern, der Signal¨ ubertragung (Leitungsf¨ uhrung) und der Regeleinrichtung (Soll-Ist-Vergleich, Regelverst¨arker) selbst (gestrichelte Bl¨ocke 2, 3 und 4 in Abb. 8.3). Treten derartige Fehler oder St¨orungen bei der Meßwerterfassung der Regelgr¨oße wie Temperaturschwankungen am Tacho, im R¨ uckf¨ uhrkanal oder bei der Sollwertvorgabe (F¨ uhrungsgr¨oßenvorgabe, Temperatur-, Spannungsschwankung) auf, ist eine Regelkreisstruktur entsprechend Abb. 8.4 zugrunde zu legen.

282

8 Fehlerein߬ usse und Genauigkeit bei geregelten Systemen

z = z0 · σ(t) w=0 ? e - VR − 6

station¨arer Fehler:

Δx = x − w =

u

- VS

1+sTS

V R VS z0 ≈ z0 1 + V R VS

x

r

(mit VR VS 1)

Abb. 8.4: Station¨arer Regelkreis mit nicht ausregelbaren St¨ orgr¨ oßen

Die St¨orgr¨oße z, die jetzt direkt an der Soll-Istwert-Vergleichsstelle eingreift, kann entweder als Verf¨alschung der Regelgr¨oße x oder des Sollwerts w interpretiert werden und ist daher nicht mehr ausregelbar. Bei einem P-Regler wird die Regelgr¨oße x im station¨aren Betrieb um die Gr¨oße Δx ≈ z0 verf¨alscht, bei einem Regler mit integralem Anteil wird im station¨aren Betrieb Δx = z0 sein. St¨orungen, die unmittelbar die Regelabweichung verf¨alschen, k¨onnen also nicht ausgeregelt werden und treten voll als Fehler der Regelgr¨oße in Erscheinung. Damit bestimmen die nichtausregelbaren St¨orgr¨oßen (Fehler) die Genauigkeit und Konstanz der Regelung. Die Ursachen dieser Fehler liegen daher entweder in Ungenauigkeiten der verwendeten Ger¨ate selbst (ger¨ateinterne Abbildungsfehler) oder werden durch externe St¨orgr¨oßen eingekoppelt. Externe St¨orgr¨oßen: • Elektromagnetische St¨orungen ¨ • Anderung der Versorgungsspannung (incl. Masse-Potential M) • technologisch-bedingte St¨orgr¨oßen (Belastungs¨anderungen) • Temperatur¨anderungen ¨ • Anderung durch Alterung Ger¨ateinterne Ungenauigkeiten (ohne externe St¨orgr¨oßen): • Abbildungsfehler der Sollwertgeber • Meßungenauigkeit der Istwertgeber ¨ • Ubertragungsfehler der Signal¨ ubertragung • Ungenauigkeiten der Regeleinrichtung • Systembedingte Ungenauigkeiten • Amplitudendiskretisierung bei digitaler Signalverarbeitung

8.2 Nicht ausregelbare Fehler

283

Zur genaueren Untersuchung der Fehlergr¨oßen werden diese in statische (bleibende) und dynamische (vor¨ ubergehende) Fehler unterteilt. Statische Fehler: Die statischen Fehler werden je nach ihrer Bedeutung in der Praxis nochmals unterschieden nach • Abweichungen der Regelgr¨oße gegen¨ uber dem am Sollwertgeber eingestellten Wert (Genauigkeit) und den ¨ ¨ • Anderungen der Regelgr¨oße infolge Anderungen von St¨orgr¨oßen (Konstanz). Diese Unterschiede sind in der VDI/VDE-Richtlinie 2185 festgelegt: Genauigkeit: Die Genauigkeit einer Antriebsregelung wird angegeben durch die maximale bleibende Abweichung der Regelgr¨oße gegen¨ uber dem am Sollwerteinsteller ablesbar eingestellten Betrag unter der Einwirkung der ung¨ unstigsten Kombination der St¨orgr¨oßen. Konstanz: Die Konstanz einer Antriebsregelung wird angegeben durch die maximale bleibende Abweichung der Regelgr¨oße gegen¨ uber einem einmal eingestellten Istwert unter der Wirkung der ung¨ unstigsten Kombination der St¨orgr¨oßen. Anforderungen an die Genauigkeit der Regelung sind in der Mehrzahl der F¨alle Anforderungen an ihre Konstanz. Im folgenden sollen deshalb nur noch solche Fehler betrachtet werden, die in die Konstanz der Regelung eingehen. Dynamische Abweichungen: Dynamische (d.h. vor¨ ubergehend auftretende) Abweichungen der Regelgr¨oße von der F¨ uhrungsgr¨oße entstehen dadurch, daß die Regelgr¨oße x der F¨ uhrungsgr¨oße w niemals sofort, sondern erst zeitlich verz¨ogert folgen kann. Maßgebend f¨ ur diese Abweichungen ist also das Zeitverhalten bzw. die Struktur von Regelstrecke, Istwertgeber und Signal¨ ubertragung (Abb. 8.5). Das Zeitverhalten und die Struktur der Regelstrecke sind durch die Technologie vorgegeben. Im Rahmen der M¨oglichkeiten des Stellgliedes wird dies durch die Regeleinrichtung jedoch weitgehend kompensiert. Entscheidend f¨ ur die dynamischen Abweichungen bleibt dann das Zeitverhalten (Verz¨ogerungszeit Tσ ) von Istwertgeber und Signal¨ ubertragung (siehe auch Kap. 3 bis 5). F¨ ur die F¨ uhrungs-Ausregelzeit taus gilt (im vorliegenden Fall mit SOOptimierung): taus = (8 . . . 15) · Tσ (8.15) Dabei sind Regelabweichungen bis zu ± 2 % noch zugelassen (siehe Abb. 8.6). Die Verz¨ogerungszeit Tσ ist dabei die Summe aller kleinen, von der Regeleinrichtung nicht kompensierten Zeitkonstanten.

284

8 Fehlerein߬ usse und Genauigkeit bei geregelten Systemen

mW TH wn

VR

wn

Tn

Tersi

@ n@ 





TθN − -? e mM mB

nr

-

nr Tgn

TM SN

TH Hochlaufzeit; Tersi Ersatzzeitkonstante des Stromregelkreises Tgn Gl¨attungszeitkonstante; TM SN Verz¨ ogerungszeit des Istwertgebers mW , mM , mB Last-, Motor-, Beschleunigungsmoment Abb. 8.5: Struktur einer Drehzahlregelung (bei konstantem Feld)

x

t aus

w

Δ x = ± 2% ü

x

t an

w t

tan Anregelzeit taus Ausregelzeit

u ¨ Δx

¨ Uberschwingweite vereinbartes Toleranzband

¨ Abb. 8.6: Ubergangsverhalten bei F¨ uhrungssprung (Zeitverhalten)

Bei der Verwendung von Analog-Digital-Wandlern, die mit Z¨ahlverfahren arbeiten, ist die Verz¨ogerungszeit Tσ von der Verarbeitungsfrequenz fa und der Zahl der maximal zu verarbeitenden Schritte lmax abh¨angig (siehe auch Kap. 6): Wenn Δx der kleinste digital meßbare Wert der Regelgr¨oße ist (entspricht 1 Bit) und xmax der maximale Wert der Regelgr¨oße, dann gilt f¨ ur die maximale Verz¨ogerungszeit Tσ des Ger¨ates: Tσ ≈ lmax ·

1 xmax 1 = · fa Δx fa

(8.16)

8.3 Absch¨ atzung der Auswirkung der Fehler

285

Allerdings sind heute Analog-Digital-Wandler mit solch kurzen Wandlungszeiten verf¨ ugbar, daß die Zeit f¨ ur die Umwandlung meist nur einen kleinen Bruchteil der Abtastzeit digitaler Regelungen ausmacht. Zu beachten sind bei digitaler Signalverarbeitung insbesondere die Signallaufzeit zwischen den einzelnen Komponenten (von Schnittstelle zu Schnittstelle) und die internen Berechnungszeiten in den Komponenten.

8.3

Absch¨ atzung der Auswirkung der Fehler

Um die Bedeutung der verschieden Fehler beurteilen zu k¨onnen, sollen die Auswirkungen der Fehler abgesch¨atzt und miteinander verglichen werden. Maßge¨ bend ist die durch die genannten Fehler hervorgerufene Anderung der Regelgr¨oße. 8.3.1

Statische Fehler

Fehler, die nur in die Genauigkeit der Regelung eingehen, nicht aber in die Konstanz, werden dabei nicht ber¨ ucksichtigt, da sie in der Praxis im allgemeinen nicht von Bedeutung sind. Dazu geh¨oren alle ger¨ateinternen Ungenauigkeiten (siehe Kap. 8.2), die deshalb hier nicht weiter betrachtet werden. Von den externen St¨orgr¨oßen (siehe Kap. 8.2) werden die elektromagnetischen St¨orungen (Einstreuungen) zun¨achst ausgenommen, weil sie schwer abzusch¨atzen sind. Bei der Beachtung entsprechender Verdrahtungs- und Beschaltungsvorschriften, k¨onnen diese Fehler jedoch vergleichsweise gering gehalten werden. Entsprechendes gilt f¨ ur Signalverf¨alschungen auf dem Bezugspotential M (siehe Kap. 8.7.2 und 8.7.3). Ausgeklammert werden außerdem: • Frequenz¨anderungen der Netzspannung z.B. ± 3 % (VS), • die Eigenerw¨armung der elektrischen Maschinen und Umgebungstemperatur (ϑ), • die Alterung von Bauelementen (t). ¨ Die Einfl¨ usse dieser Anderungen sind ebenfalls minimal. Aufgrund der Betrachtung in Kap. 8.2 verbleiben also: ¨ als Fehlerursache: Anderung der Versorgungsspannung, Belastung und Temperatur, als Fehlerorte: Sollwertgeber, Soll-Ist-Vergleich, Regelverst¨arker, Istwertgeber.

286

8 Fehlerein߬ usse und Genauigkeit bei geregelten Systemen

Um zu einem realistischen Vergleich zu gelangen, werden in der Praxis u ¨bliche ¨ Anderungen zugrunde gelegt: ¨ Anderung der Versorgungsspannung Belastungs¨anderung Temperatur¨anderung

um um um

5% 50 % 10 ◦ C

bzw. bzw. bzw.

±10 % ±20 % . . . ± 80 % ±10 %

Der Einfluß der Differenzbildung xd des Reglers soll exemplarisch am Beispiel einer Drehzahlregelung mit analogem Operationsverst¨arker dargestellt werden. 8.3.1.1 Fehler des Operationsverst¨ arkers Der Drehzahlregler kann ein integrierter Operationsverst¨arker sein, der als Differenzverst¨arker geschaltet ist. Gegen¨ uber dem als ideal definierten Operationsverst¨arker besitzt der reale Operationsverst¨arker eine Reihe von Fehlern. F¨ ur die u ¨blichen Anwendungsf¨alle k¨onnen die Auswirkungen dieser Fehler vernachl¨assigt werden. Die bei h¨oheren Anforderungen zu ber¨ ucksichtigenden wichtigsten Fehler werden im folgenden betrachtet. In Tabelle 8.1 sind die wichtigsten Daten eines u ¨ blichen Operationsverst¨arkers angegeben. Tabelle 8.1: Daten eines integrierten Operationsverst¨ arkers (LM 301 A)

Versorgungsspannung Stromaufnahme Nennausgangsspannung Nennausgangsstrom Eingangswiderstand Offsetspannung Offsetstrom Temperaturdrift Offsetspannung Spannungsverst¨arkung Gleichtaktunterdr¨ uckung

±15 3 ±10 5 0, 5 7, 5 50 30 15000 70

V mA V mA MΩ mV μA μV ◦C

dB

max

min max max max min min

Offset und Drift sind statische Fehler, die durch Ungleichm¨aßigkeiten der Eingangstransistoren bedingt sind. Die Werte sind auf den Eingang des Verst¨arkers bezogen. Infolge ihrer Abh¨angigkeit vom Abschlußwiderstand der Eing¨ange gegen Null wird nach Spannungs- und Strom-Offset bzw. -Drift unterschieden. Die Ausgangsspannungen von realen unbeschalteten Verst¨arkern sind bei 0 V Eingangsspannung nicht Null. Man nennt die Eingangsspannung, die notwendig ist, um die Ausgangsspannung zu Null zu machen, Offset-Spannung. Auch bei einem Eingangssignal Null fließen die Eingangs-Ruhestr¨ome in die Eing¨ange des Verst¨arkers. Sind die Ersatzquellenwiderst¨ande der beiden Eing¨ange unterschiedlich, kann durch die Ruhestr¨ome bereits eine Fehlspannung am Eingang entstehen.

8.3 Absch¨ atzung der Auswirkung der Fehler

287

Der Unterschied zwischen den Ruhestr¨omen selbst wird Offset-Strom genannt. Er ruft durch einen Spannungsabfall u ¨ ber dem Bewertungswiderstand R1 (Abb. 8.7) einen Fehler hervor, der sich zu der Offset-Spannung addiert. Dieser Fehler steigt proportional mit dem Bewertungswiderstand. F¨ ur hochohmige Schaltungen m¨ ussen daher Verst¨arker mit niedrigem Offset-Strom eingesetzt werden. Offset-Fehler k¨onnen als konstante Fehler in die Schaltung mit eingeeicht werden oder durch auf den Eingang geschaltete Zusatzwerte kompensiert werden ¨ (Offsetkompensation). Nicht kompensiert werden k¨onnen die durch Anderung der Offsets infolge Temperatur- und Versorgungsspannungsschwankungen bzw. Alterung hervorgerufenen Fehler. Diese Fehler werden als Driftfehler bezeichnet. Rr   IF Q Q r − QQ Q  6    I1   U + D ID     

R1 e

U1 ? e

r

e 6 UA e

Abb. 8.7: Ersatzschaltbild eines driftbehafteten Verst¨ arkers

F¨ ur einen realen driftbehafteten Verst¨arker l¨aßt sich das in Abb. 8.7 dargestellte Ersatzschaltbild angeben [46]. Der Driftstrom wird im Summierungspunkt eingespeist, die Driftspannung addiert sich zur Differenzeingangsspannung. Die Eingangsspannung U1 wird damit um die Fehlerspannung UF verf¨alscht: UF = UD ·

R1 + R2 + ID · R1 Rr

(8.17)

Der durch die Stromdrift hervorgerufene Fehleranteil steigt proportional mit dem Eingangswiderstand. Damit ist bei vorgegebenem zul¨assigem Fehler der maximale Eingangswiderstand begrenzt. Der minimal m¨ogliche Eingangswiderstand wird durch die Leistungsf¨ahigkeit der Eingangsspannungsquelle bzw. des Verst¨arkerausganges und bei Integratorschaltungen durch die Kondensatorgr¨oße vorgegeben. Einen guten Kompromiß stellt der Wert von R1 dar, bei dem UD und ID · R1 etwa gleich sind. Bei einem Signalpegel von 10 V und den u ¨blichen integrierten Verst¨arkern liegt dieser Wert zwischen 10 kΩ und 100 kΩ, womit sich f¨ ur die zu w¨ahlenden Vergleichsstr¨ome in Summier- und Reglerschaltungen der Bereich von i1 = 1 mA . . . 0, 1 mA ergibt. Bezogen auf das Sollwertniveau Usoll = 10 V betr¨agt der durch den Temperatureinfluß (±10◦ C) des Operationsverst¨arkers hervorgerufene Fehler auf die Nenndrehzahl bezogen rund 0, 02 %. Die ebenfalls temperaturabh¨angigen Eingangswiderst¨ande mit einem Temperaturkoeffizienten TK = 25 · 10−6 1/◦ C bei Metallschichtwiderst¨anden (Soll-

288

8 Fehlerein߬ usse und Genauigkeit bei geregelten Systemen

Istwert-Vergleichsstelle) bringen einen weiteren Fehler der Gr¨oßenordnung (0, 02 . . . 0, 1 %) nN . Die bei Netzspannungs¨anderungen von ±10 % UN im Verst¨arker entstehenden Fehler sind auf die Nenndrehzahl bezogen vernachl¨assigbar gering. 8.3.1.2 Last¨ anderungen Der Einfluß der Last¨anderung auf die Drehzahl soll am Beispiel von Abb. 8.8 erl¨autert werden. n–Regler e

i–Regler

Vn Vi Un soll ΔU b Ui soll b -e - b - e- b " " " " + 6 + 6 − −

UN

mW

     

xe

@ - B- - @ B

iA   ?− e -e



M

 CC  CC ? n  CC

Ui ist Un ist

TD

q q



Un



Abb. 8.8: Einfluß der Last¨ anderung auf die Drehzahl

Das Drehmoment einer fremderregten Gleichstrommaschine mit konstantem Feld ist proportional zum Ankerstrom: mM ∼ iA

bei ψ = const.

(8.18)

Bei der Drehzahlregelung mit unterlagertem Stromregelkreis ist der Ankerstrom wiederum proportional der Stromsollwertspannung Ui soll . Damit l¨aßt sich mit dem Index N zur Kennzeichnung von Nenngr¨oßen schreiben: Ui soll = mM · Ui soll N = MM · UiN

mit UiN =

Ui soll N MN

(8.19)

¨ Eine Last¨anderung ΔmM erfordert eine Anderung der Stromsollwertspannung um: ΔUi soll = ΔmM · UisollN = ΔMM · UiN (8.20) Die Stromsollwertspannung Ui soll ist die Ausgangsspannung des Drehzahlreglers. Bei einer statischen Verst¨arkung Vn des Reglers betr¨agt die n-ReglerEingangsspannung ΔU: ΔU = Un soll − Un ist =

ΔUi soll Vn

(8.21)

8.3 Absch¨ atzung der Auswirkung der Fehler

289

Die schaltungstechnische Realisierung der Differenzbildung soll hier so ausgef¨ uhrt sein, daß im Nennpunkt Un soll N = Un ist N gilt. F¨ ur konstante Sollwertspannung Un soll , und somit ΔU = ΔUn ist , gilt f¨ ur die Drehzahlabweichung: ΔN ∼ ΔUn = ΔUn ist

UnN Un soll N

= ΔU

UnN

(8.22)

Un soll N

Weiter l¨aßt sich schreiben: Δn =

ΔN ΔUn ΔUn ist = = NN UnN Un soll N

(8.23)

Durch Einsetzen von Gl. (8.19) bis (8.23) erh¨alt man Gl. (8.24). Diese Gleichung zeigt die relative Drehzahlabweichung Δn bei Einwirkung einer relativen Last¨anderung ΔmM : Δn =

1 Ui soll N ΔN = · ΔmM · NN Vn Un soll N

(8.24)

Die Drehzahlabweichung ist umso kleiner, je gr¨oßer die Verst¨arkung des Drehzahlverst¨arkers Vn und je h¨oher die Stromsollwertspannung im Nennpunkt ist. Vn ist dabei die Gleichsignalverst¨arkung des Reglers, die bei einem PI-Regler von dem verwendeten Operationsverst¨arker bestimmt wird, bei einem P-Regler von der Reglerverst¨arkung VRn . Bei Einsatz eines PI-Reglers mit einem Vn ≈ 104 , 50 % Last¨anderung und 10 V Sollwertniveau liegt der relative Drehzahlfehler bei ≈ 0, 005 %. 8.3.1.3 Sollwertgeber Spannungs¨anderungen der Sollwertspannungsquelle infolge von Netzspannungseinbr¨ uchen und Temperatur¨anderungen gehen als nichtausregelbare Fehler in die Genauigkeitsbetrachtung ein. Je nach elektronischem Aufwand (stabilisiert, geregelt oder temperaturkompensiert) liegen die Genauigkeiten industrieller Spannungsquellen bei: Spannungsquelle stabilisiert

geregelt

hochgenau

Netzspannungs¨anderung

±10 % UN

±0, 5 . . . 1, 0 %

0, 01 %

0, 001 %

Temperatur¨anderung

±10◦ C

±1, 0 . . . 1, 5 %

0, 10 %

0, 020 %

290

8 Fehlerein߬ usse und Genauigkeit bei geregelten Systemen

8.3.1.4 Tachogenerator Im station¨aren Betrieb treten im Tachogenerator nur temperaturbedingte Fehler ¨ auf, die nicht ausregelbar sind. Der Temperaturkoeffizient βK gibt die Anderung der Generatorspannung ΔUT bei konstanter Drehzahl n in Abh¨angigkeit der Temperatur¨anderung Δϑ an. In Listen wird der Temperaturkoeffizient stets als mittlerer Wert angegeben, wogegen die Kurven ΔUT = f (Δϑ) nichtlinear sind. Abbildung 8.9 zeigt typische temperaturbedingte Fehlerkurven. ΔU (%) 6 0, 05

Tachomaschine 1 

0

0ZZ

−5

Z

Z

Z Z

  20

10

z

Z ~ Z

−0, 05

I  

-

Δϑ (◦ C)

 

>  

Z

  Z Z Tachomaschine

Z

−0, 10



2

Abb. 8.9: Fehlerkurven von Tachogeneratoren

Tachogeneratoren werden temperaturkompensiert (Magnet + Wicklung) oder nichttemperaturkompensiert gefertigt. Im folgenden sind typische Werte der Temperatureinfl¨ usse bei Tachogeneratoren aufgef¨ uhrt. einfache Ausf¨ uhrung

technisch hochwertige Ausf¨ uhrung

nichttemp.kompensiert

nichttemp.kompensiert

temperaturkompensiert

GleichstromTachogenerator

0, 5 %

0, 2 . . . 0, 3 %

0, 05 %

DrehstromTachogenerator

–

0, 3 %

0, 05 %

MittelfrequenzDrehstromTachogenerator

–

–

0, 015 %

Die Angaben gelten f¨ ur eine Temperatur¨anderung von |Δϑ| = 10◦ C und beziehen sich auf die Generator-Nennspannung.

8.4 Erreichbare Genauigkeit analog drehzahlgeregelter Antriebe

291

8.3.1.5 Istwertteiler Zur Signalverarbeitung in der Regelung muß die hohe Tachogenerator-Spannung auf den Normpegel 10 V heruntergeteilt werden. Dieser Teiler ist in seinem Teilerverh¨altnis ebenfalls temperaturabh¨angig. Der Fehler liegt, bezogen auf eine Temperatur¨anderung von 10◦ C, je nach Wahl der Teilerwiderst¨ande zwischen 0, 01% (TK = 5 · 10−6 1◦ C) und 0, 1% (TK = 25 · 10−6 1◦ C).

8.4

Erreichbare Genauigkeit analog drehzahlgeregelter Antriebe

In Abb. 8.10 sind die wichtigsten St¨orgr¨oßen und deren Angriffspunkte in einem Drehzahlregelkreis aufgef¨ uhrt.  UN     

ΔU ∼ Δϑ

−

Temperaturdrift Δϑ n–Regler

R Vn ? b -e - b " " + 6

Un soll

i–Regler

UN

Vi Ui soll

b - e- b " " + 6 −

mW

     

xe

@ - B- - @ B

iA   ?− e -e

Ui ist



M

 CC CC  CC

Δϑ Δϑ q q

TD

 

Abb. 8.10: St¨ orgr¨ oßen und deren Angriffspunkte

¨ Tabelle 8.2 gibt einen Uberblick u ¨ber die, je nach Aufwand zu erreichende analoge Drehzahlgenauigkeit. Als Ergebnis erh¨alt man: - einfachste Ausf¨ uhrung: - erh¨ohter Aufwand:

Fehler ±1, 3 % NN Fehler ±0, 09 % NN

Im einzelnen gilt: • Der Sollwertgeber ist als hochstabilisierter Regelkreis angenommen (Konstantspannungsquelle). • Beim Soll-Ist-Vergleich ist der m¨ogliche Unterschied im Temperaturgang der Eingangswiderst¨ande (Metallschichtwiderst¨ande) maßgebend f¨ ur den Fehler.

292

8 Fehlerein߬ usse und Genauigkeit bei geregelten Systemen

¨ Tabelle 8.2: Statische Anderung der Regelgr¨ oße (in Promille vom Maximalwert) St¨orgr¨oßen

Sollwertgeber

Soll–Ist– Vergleich

Regelverst¨arker

Tachometer einfach temp. komp.

Istwertteiler

Last¨anderung 50%

—

—

0, 01

—

—

—

Temperatur¨anderung 10◦ C

n 0, 3 nmax

n 0, 2 nmax

0, 11

n 2, 0 nmax

n 0, 15 nmax

n 0, 25 nmax

Versorgungsspannung 5%

n 0, 001 nmax

—

0, 0003

—

—

—

n

Summe

0, 301 nmax

Verbleibende Regelabweichung bei gleichzeitiger Einwirkung aller St¨orgr¨oßen

0, 2 nmax

n

0, 1203

2, 0 nmax

bezogen auf den Maximalwert nmax 

2, 75 ·

Einfache Tachomaschine temperaturkompensierte Tachomaschine

Δn n max

n



0, 9 ·

n nmax

n nmax





n 2, 75 + 0, 12 nmax





n 0, 9 + 0, 12 nmax

+ 0, 12

Δn n

1

n 0, 25 nmax

0, 15 nmax

bezogen auf den jeweiligen Drehzahlistwert n

+ 0, 12

%

n





%

2 0,25 0,15 er in e eil r tt s chrt) a e w term sie Ist e en om omp h c 0,3 Ta ( k

e rtge So llw

0,2

}

Regler 0,12

0,2

0,4

0,6

0,12

Regler

0,2

0,8

1

Sollwertgeber

0,3

Tachometermaschine (kompensiert)

0,15 0,25

Istwertteiler

0 0

}

ber

Eingangswiderstände Regelverstärker

0,12

1 Regelverstärker Eingangswiderstände

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

n

n

n max

n max

Abb.8.11: Regelabweichung Δn, bezogen auf den Maximalwert nmax

Abb.8.12: Regelabweichung Δn, bezogen auf die jeweilige Drehzahl n

• Die einfache Tachomaschine (Wechselspannungstachometer mit nachge¨ schaltetem Gleichrichter) bewirkt die gr¨oßte statische Anderung der Regelgr¨oße. Es sind deshalb die Daten bei Verwendung einer temperaturkompensierten Tachomaschine (Gleichstrom) beigef¨ ugt. • Die Ausgangsspannung der Tachomaschine muß noch auf die genormte Reglerspannung ±10 V herunterskaliert (Pegelanpassung) werden. Dazu wird

8.5 Fehler in Systemen mit digitaler Erfassung von Position und Drehzahl

293

ein Spannungsteiler verwendet. Hier sind ebenfalls nur die Unterschiede in den Temperaturg¨angen (TK -Werten) der verwendeten Widerst¨ande maßgebend f¨ ur den Fehler. ¨ Insgesamt zeigt die Tabelle, daß die gr¨oßten statisch bleibenden Anderungen der Regelgr¨oße durch Temperatur¨anderungen entstehen. Außerdem ¨andern sich beinahe alle Fehler proportional mit dem Drehzahlistwert (siehe Abb. 8.11). Der prozentuale Fehler bezogen auf den jeweiligen Istwert ist dabei konstant (siehe Abb. 8.12). Lediglich der Fehler des Regelverst¨arkers ist unabh¨angig vom Drehzahlistwert. Dieser Fehler macht sich deshalb bei Drehzahlen nahe Null relativ stark bemerkbar, w¨ahrend er bei hohen Drehzahlen eher zu vernachl¨assigen ist.

8.5

8.5.1

Fehler in Systemen mit digitaler Erfassung von Position und Drehzahl Digitale Positionsmessung

Die vorangehenden Abschnitte haben gezeigt, daß zur Verringerung von Fehlereinfl¨ ussen die Betrachtung der Istwertgeber und Istwertteiler entscheidend ist. Die Genauigkeit der Reglung h¨angt in erster Linie von der Genauigkeit der Istwerterfassung ab. Da die meisten der heute aufgebauten Regelsysteme digital arbeiten, werden zur Positions- oder Winkelmessung ebenfalls Geber benutzt, die ein digitales Ausgangssignal zur Verf¨ ugung stellen. Bei entsprechender Auslegung der signalverarbeitenden Schaltungen wird die erreichbare Genauigkeit hier durch die Quantisierung der Digitalwerte begrenzt. Allgemein wird die Genauigkeit dieser Ger¨ate im Prinzip durch die gew¨ahlte digitale Aufl¨osung bestimmt. Das heißt, Werte kleiner als 1 Bit werden nicht mehr erfaßt. Bei einer Aufl¨osung von 12 Bit ist der Fehler Δx/xmax < 0, 025 % und bei 16 Bit entsprechend < 0, 0015 %. Die tats¨achliche Abweichung ist in der Praxis niedriger, wenn sich durch den st¨andigen Wechsel des letzten Bits statistisch ein Mittelwert einstellen kann, der dem tats¨achlich geforderten Wert mehr entspricht. Eine hohe digitale Aufl¨osung st¨oßt dort an ihre Grenzen, wo die Verz¨ogerungszeit Tσ des Ger¨ates zu groß wird (Verarbeitungsfrequenz des Wandlers fa ): Tσ =

xmax 1 · Δx fa

(8.25)

Wird in einem elektrischen Antriebssystem der Drehwinkel einer Welle mittels eines Inkrementalgebers erfaßt, so stellt dieser innerhalb einer Umdrehung maximal Z Inkremente zur Verf¨ ugung (z.B. Strichzahl bei einem optischen Geber). Der maximale Fehler bei der Erfassung des Wellenwinkels betr¨agt somit:

294

8 Fehlerein߬ usse und Genauigkeit bei geregelten Systemen

Δθmax = 8.5.2

2π Z

(8.26)

Digitale Drehzahlerfassung

Bei digitalen Systemen wird die Drehzahl h¨aufig nicht direkt gemessen, sondern aus den Signalen eines digitalen Winkelgebers berechnet. Hier bestehen im wesentlichen 2 M¨oglichkeiten: 1. Z¨ahlen der Inkremente, um die sich der gemessene Winkel innerhalb einer festen Meßzeit Tmess ver¨andert, 2. oder Bestimmung der Zeit, innerhalb derer sich der Winkel um eine festgelegte Anzahl M von Inkrementen ver¨andert. Verfahren 1: Die wirkliche Drehzahl errechnet sich bei einer Verdrehung um θ innerhalb der Zeit Tmess zu: θ (8.27) ω= Tmess Der gemessene Winkel θgem kann aber nur bis auf Δθmax genau bestimmt werden. F¨ ur die gemessene Drehzahl gilt also: ωgem =

θgem θ ± Δθmax Δθmax = =ω± Tmess Tmess Tmess

(8.28)

Der Drehzahlfehler Δω = ±Δθmax /Tmess kann also durch einen hochaufl¨osenden Geber (kleines Δθmax ) oder durch eine Vergr¨oßerung der Meßzeit Tmess verringert werden. Ein hochaufl¨osender Geber ist kostenaufwendig, eine Vergr¨oßerung der Meßzeit wirkt sich als zus¨atzliche Totzeit im R¨ uckf¨ uhrkanal aus und verschlechtert das dynamische Verhalten des Regelkreises. Wird z.B. ein Geber mit 4096 Marken pro Umdrehung eingesetzt, so kann der Drehzahlfehler bei einer Meßzeit von 1 ms bis zu Δω = ±

2π 1 4096 ms

bzw.

ΔN =

Δω 1 = ± 14, 65 2π min

(8.29)

betragen, was bei niedrigen Drehzahlen erhebliche Probleme bereitet. Verfahren 2: Bei der zweiten M¨oglichkeit wird die Zeit gemessen, die vergeht, bis sich der Winkel um eine festgelegte Anzahl von M Inkrementen ver¨andert hat. Hier entstehen Fehler dadurch, daß in einem digitalen System auch die gemessene Zeit Tgem wegen der Quantisierung nur bis auf den Wert Δtq genau bestimmt werden kann.

8.5 Fehler in Systemen mit digitaler Erfassung von Position und Drehzahl

295

W¨ahrend die wirkliche Drehzahl ω=

M · Δθmax θ = Tgem Tgem

(8.30)

betr¨agt, wird die gemessene“ Drehzahl ung¨ unstigstenfalls berechnet zu: ” M · Δθmax (8.31) ωmess = Tgem − Δtq Der entstehende Fehler Δω betr¨agt dann: Δω = |ω − ωmess | = |ω|

Δtq |Tgem − Δtq |

(8.32)

Wird die Zeit Tgem noch durch ω ausgedr¨ uckt, so ergibt sich: |ω|  Δω =   M · Δθ max    ω · Δtq − 1

(8.33)

Aus Gl. (8.33) ist ersichtlich, daß dieses Verfahren insbesondere im Bereich kleiner Drehzahlen mit geringen Fehlern behaftet ist. Beim Einsatz in digitalen Regelsystemen kommt als Anwendungsbedingung allerdings hinzu, daß der Meßwert der Drehzahl bis zum n¨achsten Abtastschritt Drehzahlfehler der unterschiedlichen Verfahren 40

35

Fehler DN [U/min]

30 Verfahren mit konstanter Inkrementanzahl 25

20 Verfahren mit konstanter Meßzeit 15

10

5

0 0 wmin

200

400

600

800 N [U/min]

1000

1200

1400

Abb.8.13: Vergleich der maximalen Drehzahlfehler bei den zwei vorgestellten Verfahren (Z = 4096 Inkremente/Umdrehung)

296

8 Fehlerein߬ usse und Genauigkeit bei geregelten Systemen

zur Verf¨ ugung stehen muß. Die Zeit Tgem darf also die Abtastzeit T nicht u ¨berschreiten, weshalb Drehzahlen unterhalb der Schranke ωmin ωmin =

M · Δθmax T

(8.34)

mit anderen Verfahren verarbeitet werden m¨ ussen. Die Verl¨aufe der maximalen Absolutfehler beider Verfahren sind in Abb. 8.13 dargestellt. F¨ ur Drehzahlen oberhalb des Schnittpunktes der Kurven liefert Verfahren 1 mit konstanter Meßzeit die bessere Genauigkeit, darunter ist Verfahren 2 mit konstanter Anzahl von Inkrementen vorzuziehen. Wegen der beschr¨ankten Meßzeit kann Verfahren 2 allerdings nur bis zur Grenze ωmin angewandt werden. Dem gezeigten Beispiel liegt ein Geber mit 4096 Marken pro Umdrehung zugrunde. Die Meßzeit f¨ ur Verfahren 1 betrage 1 ms, ebenso die maximal in Verfahren 2 erlaubte Zeit. F¨ ur Verfahren 2 wurde M = 1 angenommen (d.h. die Messung der Zeit f¨ ur ein Inkrement), die zeitliche Aufl¨osung soll Δtq = 200 ns betragen.

8.6 8.6.1

Geber Strommessung

Die potentialgetrennte Erfassung von Gleich- und Wechselstr¨omen ist durch Messung ihres Magnetfeldes, z.B. mittels Hall-Sensoren m¨oglich. Nach diesem Prinzip arbeiten auch die sogenannten Kompensationsstromwandler , welche inzwischen eine gewisse Verbreitung gefunden haben. Der Aufbau eines solchen Wandlers ist in Abb. 8.14 skizziert. Im Luftspalt eines Ferritkerns ist ein Hall-Pl¨attchen eingebaut, welches vom Strom IH quer zum Magnetfeld durchflossen wird. Der Ferritkern tr¨agt eine Meßwicklung mit hoher Windungszahl wS . Als Prim¨arwicklung wP dient der Leiter des zu messenden Stroms, der einmal oder mehrmals durch den Kern gef¨ uhrt ist. Den Strom IS durch die Meßwicklung liefert ein Operationsverst¨arker, an dessen Eingang die Hall-Spannung des Sensors liegt. Der Verst¨arker ist also durch den Sensor und die Meßwicklung in eine Gegenkopplungsschleife eingebettet. Dadurch stellt sich bei idealem Verst¨arker derjenige Strom IS ein, f¨ ur den die Hall-Spannung zu Null wird. Dies ist der Fall, wenn die durch IP und IS erzeugten Teildurchflutungen entgegengesetzt gleich groß sind. Abh¨angig von Windungsverh¨altnis gilt dann wP IS = IP (8.35) wS Am B¨ urdenwiderstand RM kann die entsprechende Meßspannung abgegriffen werden. Bei der Messung zeitver¨anderlicher Str¨ome u ¨berlagert sich im Kompensationswandler der transformatorisch erzeugte Strom (Hochpaßcharakter) mit dem Kompensationsstrom (Tiefpaßcharakter). Durch die Abstimmung der beiden Effekte sind Messungen im Frequenzbereich von 0 Hz bis zu ca. 100 kHz m¨oglich.

8.6 Geber

297

IS

+ UM

+ -

IC

RM IS

0V

VM

Abb. 8.14: Prinzipieller Aufbau eines Kompensationsstromwandlers

Nenndaten und Genauigkeit eines ausgew¨ahlten Typs sind in Tabelle 8.3 dargestellt. Nennstrom prim¨ar Maximalstrom prim¨ar Versorgungsspannung RM,max ¨ Ubersetzungsverh¨ altnis Frequenzbereich Genauigkeit bei Nennstrom Offsetstrom maximale Offsetdrift

125 A 200 A ± 15 V 34 Ω 1:1000 0 (DC) . . . 100 kHz 0,6 % ± 0, 4 mA ± 0, 6 mA

Tabelle 8.3: Daten des Wandlers LEM LA-125-SP3

Zur Erfassung von Wechselstr¨omen werden Wechselstromwandler eingesetzt. Der Wechselstromwandler besteht aus einem Transformator mit nachgeschaltetem Gleichrichter. Zur Erfassung von Gleichstr¨omen gibt es verschiedene Konzepte. Nach dem Prinzip des stromsteuernden Magnetverst¨arkers (Kr¨amer-Wandler) wird einer Hilfswechselspannung der Gleichstrom gegensinnig in Reihe eingekoppelt. Die Wicklungskerne sind dabei so ausgelegt, daß sie die Spannungszeitfl¨ache der Hilfs-

298

8 Fehlerein߬ usse und Genauigkeit bei geregelten Systemen

Die u ¨blichen Fehlerklassen bei Wechselstromwandlern sind: 0, 1%, 0, 2%, 0, 5%, 1%, 3%, 5% vom Wandlernennstrom (einschließlich Linearit¨ atsfehler). Der Wandler hat praktisch keine Verz¨ ogerungszeit. Zur Gl¨ attung der Oberschwingungen wird jedoch h¨ aufig eine Istwertgl¨ attung von 1 . . . 2 ms vorgesehen (bei 50 Hz und Drehstrombr¨ ucke), d.h. Tσ = 1 . . . 2 ms.

Abb. 8.15: Wechselstromwandler mit nachgeschalteter Gleichrichtung

Durch den Gleichstrom werden die Wicklungskerne so vormagnetisiert, daß die Hilfswechselspannung einen Reststrom erzeugt. Dieser Reststrom wird gleichgerichtet und steht dann als Meßwert zur Verf¨ ugung. Der Fehler (Konstanz) dieser Meßgeber liegt bei ca. 0, 7 % vom Maximalwert, in ¨ Abh¨ angigkeit von Anderungen der Versorgungsspannung −15 % / +10 % und der Temperatur von 10◦ C. Die Verz¨ ogerungszeit dieser Ger¨ ate liegt bei Tσ ≈ 5 . . . 10 ms. Linearit¨ atsfehler: 0, 5 % vom Maximalwert. Abb. 8.16: Kr¨ amer-Wandler (Gleichstromwandler)

wechselspannung UH (bei Gleichstrom Null) gerade noch aufnehmen k¨onnen. Es fließt dann praktisch kein Strom im Hilfskreis. Eine vorzeichenrichtige Abbildung des Gleichstroms erfolgt u ¨ber einen Shunt mit anschließendem Chopperwandler und Meßverst¨arker. Die Konstanz dieser

8.6 Geber

299

Abb. 8.17: Shuntwandler (Gleichstromwandler)

Meßgeber liegt bei ca. 0, 2 . . . 0, 3 % vom Maximalwert, in Abh¨angigkeit von ¨ Anderungen der Versorgungsspannung um −15 % / +10 % vom Maximalwert. Die Verz¨ogerungszeit betr¨agt etwa 0, 2 ms. Dazu kommt noch eine Istwertgl¨attung von 1 . . . 2 ms f¨ ur die Gl¨attung der Oberschwingungen, d.h. Tσ ≈ 1 . . . 2 ms. 8.6.2

Spannungsmessung

Die Erfassung von Wechselspannungen erfolgt nach dem gleichen Prinzip wie beim Wechselstrom. Die Betrachtungen u ¨ ber Fehler und Verz¨ogerungszeit gelten entsprechend. Gleichspannungen werden u ¨ber einen Spannungsteiler mit anschließendem Trennwandler (Chopperwandler) erfaßt.

Abb. 8.18: Gleichspannungswandler

300

8 Fehlerein߬ usse und Genauigkeit bei geregelten Systemen

¨ Die Konstanz dieser Ger¨ate liegt bei ca. 0, 2 . . . 0, 3 % bei Anderung der ◦ ¨ Temperatur um 10 C und den u ¨blichen Anderungen der Versorgungsspannung (−15 % / + 10 %). Der Linearit¨atsfehler betr¨agt etwa 0, 1 % vom Maximalwert, die Verz¨ogerungszeit etwa 0, 3 ms. Maßgebend f¨ ur das Zeitverhalten ist die Gl¨attungszeit f¨ ur die Oberschwingungen der zu erfassenden Gleichspannung, d.h. Tσ ≈ 1 . . . 2 ms (bei 50 Hz und Drehstrombr¨ ucke). Aufgrund des Preisverfalls bei integrierten Schaltkreisen bietet es sich an, anstelle von Chopperwandler und Meßverst¨arker einen Spannungsfrequenz-Umsetzer zu verwenden. Zum einen ist diese L¨osung kosteng¨ unstiger, zum anderen ist die ¨ Ubertragung von Frequenzen u ¨ber lange Leitungen weit weniger st¨oranf¨allig als bei Spannungen. Zur Weiterverarbeitung wird ein Frequenzspannungs-Umsetzer nachgeschaltet. Bei digitalen Regeleinrichtungen kann darauf verzichtet werden. Dort wird die Frequenz selbst als Eingangsgr¨oße verwendet. In beiden F¨allen kann die Konstanz und die Linearit¨at der Istwerterfassung verbessert werden. Zu beachten sind allerdings die Fehlereinfl¨ usse, die bei der digitalen Drehzahlerfassung (Kap. 8.5.2) diskutiert wurden. 8.6.3

Gegen¨ uberstellung von Drehzahl- und Positionsgebern Prof. Dr.-Ing. R. Kennel, Technische Universit¨ at M¨ unchen

8.6.3.1 Drehzahlregelung Der Hauptfehler bei den analogen Tachometermaschinen zur Drehzahlerfassung entsteht durch Temperaturschwankungen. Erh¨ohungen der Temperatur bewirken eine Verminderung des magnetischen Flusses im Eisen und eine Erh¨ohung des Innenwiderstandes der Wicklung. Durch einen temperaturabh¨angigen magnetischen Nebenfluß kann der resultierende magnetische Fluß der Tachometermaschine weitgehend konstant gehalten werden. Wird etwas u ¨berkompensiert, so ist auch die Ver¨anderung des Wicklungswiderstandes, zumindest f¨ ur einen Belastungszustand ausgleichbar. Es scheint zun¨achst einmal widersinnig zu sein, in b¨ urstenlosen elektrischen Antrieben b¨ urstenbehaftete Tachogeneratoren einzusetzen. Zun¨achst wurden in diesen Antrieben b¨ urstenlose Tachogeneratoren eingesetzt, die nach dem gleichen Prinzip arbeiten wie Synchronmaschinen mit block- bzw. trapezf¨ormiger induzierter Spannung. Nachdem man sich der Nachteile eines mechanischen Kommutators beim Antriebsmotor entledigt hatte, wollte man nicht die gleichen Nachteile wegen des einen mechanischen Kommutators im Tachogenerator in Kauf nehmen. Dessen Aufgabe u ¨bernahm ein elektronischer Gleichrichter, der die induzierte Spannung der jeweils aktiven Phase des b¨ urstenlosen Tachogenerators an den Ausgang schaltete. Die hierf¨ ur notwendige Information u ¨ber die Position des Tachorotors wurde — ¨ahnlich wie beim b¨ urstenlosen Antriebsmotor selbst — von einem magnetischen oder optischen Positionsgeber niedriger Aufl¨osung (= Anzahl der Phasen multipliziert mit der Anzahl der Pole des Tachogenerators) zur Verf¨ ugung gestellt (siehe auch Seite 303 sowie Tabelle 8.4). Meist war

8.6 Geber

301

dieser Positionsgeber in den f¨ ur die Stromregelung des Synchron-Antriebsmotors ohnehin notwendigen Positionsgeber integriert. Um die Anzahl der f¨ ur den Gleichrichter notwendigen Halbleiterschalter niedrig zu halten, wurde die Phasenzahl von b¨ urstenlosen Tachogeneratoren wesentlich niedriger (meist 2 oder 3) gew¨ahlt als bei Rotoren von b¨ urstenbehafteten Tachogeneratoren (meist zwischen 12 und 24). Außerdem erzeugt die Kommutierung durch Halbleiterschalter gr¨oßere Spannungseinbr¨ uche im Ausgangssignal als die Kommutierung eines mechanischen Kommutators, bei dem die B¨ urste gleitend von einer Kommutatorlamelle auf die n¨achste u ¨bergeht. Die Welligkeit des Ausgangssignals eines b¨ urstenlosen Tachogenerators weist daher sowohl niedrigere Frequenzen als auch h¨ohere Amplituden auf als bei b¨ urstenbehafteten Tachogeneratoren. Die Kommutierungseigenschaften entstehen regelungstechnisch im R¨ uckkopplungszweig, k¨onnen daher im geschlossenen Regelkreis nicht kompensiert werden (siehe Kap. 8.2) und m¨ ussen deshalb unbedingt minimal gehalten werden. Um zu vermeiden, daß sich diese Welligkeit auf die Regelg¨ ute des Antriebs auswirkt, muß sie mit Filtern kompensiert werden. Diese Filter ben¨otigen bei b¨ urstenlosen Tachogeneratoren eine gr¨oßere Zeitkonstante und beeinflussen damit die Dynamik des Antriebs negativ. Die Entwicklung von sogenannten Longlife-Tachogeneratoren, bei denen der Kupfer-Kommutator mit Edelmetallen beschichtet wird (z.B. mit einer Silberspur), f¨ uhrte in Verbindung mit den speziellen Betriebseigenschaften von Tachogeneratoren (relativ niedrige konstante elektrische Belastung) zu Lebensdauern, die im Bereich der Lebensdauer von Kugellagern liegen. Die wesentlichen Nachteile von mechanischen Kommutatoren sind damit weitestgehend reduziert. Da der b¨ urstenbehaftete Tachogenerator geringere Kommutierungseffekte aufweist als ein b¨ urstenloser Tachogenerator (siehe oben) und damit als Drehzahlgeber im geschlossenen Regelkreis besser geeignet ist, werden Longlife-Tachogeneratoren mit mechanischem Kommutator f¨ ur b¨ urstenlose“ Servo-Antriebe hoher Regelg¨ ute ” eingesetzt. Mit Einf¨ uhrung der digitalen Regelungstechnik f¨ ur elektrische Antriebe entstand der Bedarf f¨ ur ein fortschrittliches Meßsystem f¨ ur Drehzahl bzw. Geschwindigkeit. Die Aufl¨osung von Tachospannungen (< 16 Bit) ist deutlich niedriger als die Verarbeitungsbreite von Mikrorechnern und Signalprozessoren, wie sie heute in elektrischen Antrieben u ¨blicherweise eingesetzt werden (> 32 Bit). Herk¨ommliche Tachogeneratoren m¨ ussen u ¨ ber A/D-Wandler an die digitale Regelung eines Antriebs angeschlossen werden. Selbst bei sehr guter Qualit¨at des Tachogenerators f¨ uhrt dies im Ausgangssignal zu verst¨arkten Offset- und Drifterscheinungen, da diese Effekte bei A/D-Wandlern deutlich st¨arker ausgepr¨agt sind als bei den Tachogeneratoren allein. Wenn dar¨ uber hinaus in digital geregelten Antrieben noch die in Kap. 8.3.1.4 angegebenen Drehzahlfehler von 0,2 % unterschritten werden sollen, werden zur Drehzahlerfassung magnetische oder optische Gebersysteme eingesetzt. Mit Ausnahme von interferometrischen Gebern, die an einigen Forschungsinstituten untersucht, in industriellen Anwendungen allerdings noch nicht ein-

302

8 Fehlerein߬ usse und Genauigkeit bei geregelten Systemen

gesetzt wurden, basieren diese Gebersysteme jedoch alle auf der Erfassung der Position mit anschließender (digitaler) Differenzierung des Positionssignals. Da es sich eigentlich um Positionsgeber handelt, werden die Eigenschaften und Anforderungen an solche Gebersysteme im nachfolgenden Abschnitt beschrieben. 8.6.3.2 Positionsregelung Die Bahnsteuerung von Servoantrieben setzt eine genaue Bahn- oder Positionsregelung voraus. Die Qualit¨at der Positionsregelung h¨angt entscheidend von den Eigenschaften des eingesetzten Positions- oder Lagegebers ab, da sich dieser regelungstechnisch im R¨ uckkopplungszweig befindet und dessen Abweichungen daher im geschlossenen Regelkreis nicht kompensiert werden k¨onnen (siehe Kap. 8.2). Hinzu kommt, daß moderne — d.h. digital geregelte — Antriebe das Istwertsignal f¨ ur die Drehzahlregelung ebenfalls aus dem Signal des Positionsgebers ableiten (siehe Kap. 8.6.3.1). Dies bedeutet, daß die Eigenschaften dieses Sensors nicht nur f¨ ur die Qualit¨at der Positionsregelung, f¨ ur die er urspr¨ unglich entworfen worden war, sondern ganz entscheidend auch f¨ ur das Verhalten der Drehzahlregelung maßgebend ist. F¨ ur viele Fachleute war dieser Sachverhalt u ¨ berraschend, denn niemand erwartete bei der Markteinf¨ uhrung digital geregelter Antriebe irgendeinen Nachteil im Vergleich zu Antrieben mit analoger Regelung. Die Thematik Geber in Antrieben mit digitaler Regelung“ ist immer noch ” nicht v¨ollig verstanden. Fachleute unterscheiden oft nicht zwischen Begriffen wie Genauigkeit“ und Aufl¨osung“, obwohl diese Begriffe v¨ollig unterschied” ” liche Eigenschaften beschreiben und nicht untereinander vermischt werden sollten. Hinzu kommen noch Charakteristiken wie differentielle Genauigkeit“ und ” Gleichf¨ormigkeit“, die beim Einsatz digital geregelter Antriebe eine immer ” gr¨oßere Bedeutung haben. Nur wenige Fachver¨offentlichungen haben bisher zu einer klaren Vorstellung dieser Begriffe und den zusammenh¨angen der entsprechenden Charakteristiken beigetragen (siehe z.B. [286, 287]). Die folgenden Ausf¨ uhrungen sollen zum Verst¨andnis und zur Kl¨arung des Einflusses beitragen, die ein Positionsgeber auf das Regelungsverhalten eines Servoantriebs hat bzw. haben kann — speziell unter dem Gesichtspunkt von ¨ langsamen Bewegungen. Die nachfolgenden Uberlegungen beschr¨anken sich auf ¨ rotierende Positions- und Lagegeber. Ahnliche Konzepte und Eigenschaften finden sich allerdings auch bei linearen Lagegebern. Das regelungstechnische Verhalten wird in den meisten Beschreibungen und Datenbl¨attern in Form der sogenannten Aufl¨osung des Gebers angegeben. Mit dieser Angabe allein lassen sich die regelungstechnischen Eigenschaften von Lagegebern allerdings nicht ausreichend beschreiben. Hierzu sind — insbesondere wenn Positionsgeber auch zur Ermittlung eines Drehzahlistwerts eingesetzt werden — weitere Daten notwendig: absolute Genauigkeit und differentielle Genauigkeit. Die Aufl¨osung eines Gebersystems beschreibt letzten Endes nichts anderes als die Anzahl der verschiedenen Signalwerte, die der Sensor voneinander unterscheiden kann. Die Aufl¨osung eines Positionsgebers gibt demnach an, wie viele unter-

8.6 Geber

303

schiedliche Positionen der Geber voneinander unterscheiden kann, die Aufl¨osung eines Drehzahlsensors gibt an, wie viele unterschiedliche Drehzahlen voneinander unterschieden werden k¨onnen. Im Falle eines Positionsgebers ohne Interpolation (siehe unten) ist die Aufl¨osung r demnach identisch mit der Anzahl n der Pole, Z¨ahne, Striche oder Segmente des Gebers (siehe Gl. (8.36)). r=n

(8.36)

Die Angabe einer differentiellen Aufl¨osung r  ist sinnlos, da die Anzahl der Pole, Z¨ahne, Striche oder Segmente v¨ollig unabh¨angig ist von der aktuellen Position des Gebers. Die Ableitung einer Konstanten ist immer gleich 0 und enth¨alt damit keine verwertbare Information (siehe Gl. (8.37)). r =

dr =0 dx

(8.37)

Die absolute Genauigkeit a eines Lagesensors wird beschrieben durch die Differenz zwischen der tats¨achlich angezeigten Position xreal,i und der idealerweise anzuzeigenden Position xref,i des zu regelnden Systems. Sie l¨aßt sich durch Gl. (8.38) beschreiben, in der diese Abweichung auf den idealen gleichm¨aßigen Abstand zwischen zwei unterscheidbaren Positionen bezogen wird. a=

|xref,i − xreal,i | |xref,i − xreal,i |  =n·  x /n real,i i i xreal,i

(8.38)

Die differentielle Genauigkeit a eines Lagesensors wird beschrieben durch die Differenz zwischen dem tats¨achlichen Abstand zweier benachbarter Positionen xreal,i und xreal,i−1 und dem idealen Abstand  zweier benachbarter Positionen (dieser ist identisch zum vollen Umfang Um = i (xreal,i − xreal,i−1 ) einer Umdrehung dividiert durch die Anzahl der Positionen). Gleichung (8.39) bezieht diesen Wert auf den idealen Abstand zweier benachbarter Positionen.     |xreal,i −xreal,i−1 − i (xreal,i −xreal,i−1 )/n|  xreal,i −xreal,i−1   a= = n·  −1 (x − x )/n (x −x ) real,i−1 real,i−1 i real,i i real,i (8.39) Die Gleichungen (8.36) bis (8.39) lassen sich durch mathematische Umformungen nicht ineinander u uhren — es handelt sich also um Gr¨oßen, die ¨berf¨ unabh¨angig voneinander existieren und die unterschiedliche Eigenschaften eines Gebersystems beschreiben. Mathematisch w¨ urde man diese beiden Gr¨oßen als orthogonal bezeichnen — d.h. sie existieren v¨ollig unabh¨angig voneinander. Eine hohe Aufl¨osung hat nicht automatisch eine hohe absolute oder differentielle Genauigkeit zur Folge — oder umgekehrt. Ein typisches Beispiel f¨ ur Lagegeber mit sehr niedriger Aufl¨osung (z.B. 18 pro Umdrehung) und hoher absoluter Genauigkeit (z.B. 0, 3◦ ) waren die in sogenannten b¨ urstenlosen Gleichstromantrieben (BLDC) eingesetzten Kommutierungsgeber (siehe Kap. 8.6.3.1) — deren Aufl¨osung war identisch mit der Anzahl der Kommutierungsvorg¨ange, w¨ahrend

304

8 Fehlerein߬ usse und Genauigkeit bei geregelten Systemen

die absolute Genauigkeit sehr groß sein mußte, um Drehmomentst¨oße zu vermeiden (siehe auch Tabelle 8.4). Analoge Tachogeneratoren weisen im Gegensatz hierzu relativ hohe Aufl¨osungen auf (z.B. 16 Bit), w¨ahrend die absolute Genauigkeit des Ausgangssignals relativ niedrig ist (z.B. 3 %). 5

4

4

3

5

2

6

15

9 10

14 11

12

13

4

2 3 2

7 0

8

6

6

1

7

5

3

1 1

8

7

0 15

9

8

0

11

9 10

15

14

10

11

12

13 12

14 13

Abb. 8.19: Absolute und differentielle Genauigkeit

In Abb. 8.19 ist die Auswirkung von absoluter und differentieller Genauigkeit anschaulich gegen¨ ubergestellt. Das Beispiel zeigt einen Positionsgeber der Aufl¨osung 16, d.h. er kann 16 unterschiedliche Positionen voneinander unterscheiden. Sowohl im linken als auch im rechten Diagramm sind die idealerweise anzuzeigenden Positionen durch weiße Punkte gekennzeichnet, w¨ahrend schwarze Punkte andeuten, wo der jeweilige Geber die aktuelle Position tats¨achlich identifiziert. Im linken Teil von Abb. 8.19 erkennt der Geber die jeweilige Position abwechselnd ein kurzes St¨ uck vor der tats¨achlichen Position und dann ein kurzes St¨ uck nach der tats¨achlichen Position. Die absolute Genauigkeit des Gebers h¨alt sich hierbei in vertretbarem Rahmen — eine falsche Position wird niemals angezeigt. Die Abst¨ande zwischen den einzelnen Positionen schwanken jedoch sehr stark, was sich verheerend auf die differentielle Genauigkeit des Gebers auswirkt. Im rechten Teil von Abb. 8.19 sind die Abst¨ande der real identifizierten Positionen in der oberen H¨alfte der Umdrehung etwas zu groß, daf¨ ur aber Positionen in der unteren H¨alfte der Umdrehung etwas zu klein; die Gesamtzahl der realen Positionen stimmt mit der idealen Anzahl u ¨berein. Die absolute Genauigkeit dieses Gebers ist schlecht — insbesondere kann nicht garantiert werden, ob u ¨berhaupt die richtige Position angezeigt wird. Im Beispiel von Abb. 8.19 wird anstelle der tats¨achlichen Position 8 die Position 7 angezeigt. Die differentielle Genauigkeit des Gebers ist jedoch ausgesprochen gut, da die Abst¨ande zwischen den einzelnen Positionen nur minimal schwanken. Die absolute Genauigkeit eines Positionsgebers ist letzten Endes maßgebend f¨ ur die absolute Genauigkeit einer Lageregelung, die sich auf Istwerte genau dieses Gebersystems abst¨ utzt. Die differentielle Genauigkeit hat im Gegensatz hierzu

8.6 Geber

305

Geber

optische Systeme

magnetische Systeme

Resolver

niederpolige Geber

Zahnrad

Inkrementalgeber

hochpolige Geber

Absolutwertgeber

Pseudoabsolutgeber

kapazitive Systeme

Interferometrische Geber

Homodyn Interferometer

variable Elektroden

variables Dielektrikum

Heterodyn Interferometer

PZF-codierte Geber

reflektierende Geber mit CCD

Abb. 8.20: Physikalische Grundkonzepte f¨ ur Lagegeber in elektrischen Antrieben

entscheidenden Einfluß auf die Eigenschaften einer Drehzahlregelung, die ihre Istwerte aus dem betreffenden Positionsgeber differentiell ermittelt. Leider findet man in Datenbl¨attern regelm¨aßig nur Angaben u ¨ber die Aufl¨osung von Drehgebern, sehr selten u ¨ber deren Genauigkeit (wobei immer die absolute Genauigkeit gemeint ist) und nie u ¨ber deren differentielle Genauigkeit. Daher werden nachfolgend die grunds¨atzlichen Eigenschaften von Drehgebern im Hinblick auf die oben beschriebenen Daten betrachtet. Es existieren mehrere physikalisch v¨ollig unterschiedliche Prinzipien, auf denen Positionsgeber basieren. Mit Ausnahme der interferometrischen Geber basieren alle in Abb. 8.20 aufgef¨ uhrten Konzepte auf dem Z¨ahlen von Polen oder Z¨ahnen. Jede Bewegung erzeugt im Lagegeber eine bestimmte Anzahl digitaler Impulse, die digital u ¨bertragen und von einer Auswerteelektronik weiterverarbeitet werden. Durch Formgebung der Pole oder Z¨ahne kann daf¨ ur gesorgt werden, daß die Z¨ahlimpulse ein analoges — meist angen¨ahert sinusf¨ormiges — Signal darstellen, mit dessen Hilfe man die Position innerhalb eines Pols oder Zahns interpolieren kann (eine detaillierte Beschreibung dieser Technik folgt weiter unten). Die mit der genannten Interpolation verbundene Vervielfachung der Aufl¨osung wird al¨ lerdings nicht in allen F¨allen genutzt, da sie die Ubertragung von analogen —

306

8 Fehlerein߬ usse und Genauigkeit bei geregelten Systemen

und damit st¨oranf¨alligeren — Signalen vom Geber zur Auswerteelektronik voraussetzt. Magnetische Geber funktionieren grunds¨atzlich wie Synchronmaschinen. Ein weit verbreitetes Konzept erregt den Rotor einer Synchronmaschine mit einer hohen Frequenz und tastet u ¨ber mehrere im Stator untergebrachte Phasenwicklungen die induzierten Spannungen ab. Die Anzahl der Signalmaxima und die Phasenverschiebung der Ausgangssignale untereinander ergeben damit ein geeignetes Maß f¨ ur die Position des Rotors. Wegen der hohen Frequenz des Erregerstroms l¨aßt sich dieser relativ einfach kontaktlos auf den Rotor u ¨bertragen. Geber dieser Art mit drei Phasen im Stator werden Synchro genannt. Die wesentlich weiter verbreitete Version mit zwei Phasen im Stator bezeichnet man als Resolver. Da Resolver in der Regel wenige magnetische Pole aufweisen (2 bis 10), kommt man nicht ohne die bereits erw¨ahnte und weiter unten beschriebene Interpolation der Ausgangssignale aus. Diese sind allerdings relativ niederohmig und ¨ damit bei der Ubertragung vom Geber zur Auswerteelektronik resistent gegen ¨außere St¨orungen. Ein anderes Konzept magnetischer Geber funktioniert — wie Reluktanzmaschinen — auf positionsabh¨angigen Ver¨anderungen der Reluktanz (siehe z.B. in [289]). Ein Zahnrad ist auf dem Rotor des Antriebs angebracht und ver¨andert je nach Stellung die magnetische Kopplung zweier oder mehrerer Spulen auf dem Stator. Die magnetische Kopplung l¨aßt sich ermitteln und stellt ein Maß f¨ ur die Position des Gebers dar. Die Anzahl der Z¨ahne wird meistens im Bereich 50 bis 500 gew¨ahlt. Ende der 1980er Jahre ist es einem japanischen Hersteller von Werkzeugmaschinen gelungen, auf Basis eines Zahnradgebers mit 512 Z¨ahnen und zus¨atzlicher Interpolation eine f¨ ur magnetische Systeme erstaunliche Aufl¨osung von ca. 500.000 pro Umdrehung zu erreichen (also wesentlich mehr als die in [86] genannten 12 bis 16 Bit). Mit magnetischen Gebersystemen lassen sich zwar nur eingeschr¨ankte Aufl¨osungen und Genauigkeiten realisieren, sie verf¨ ugen allerdings u ¨ber eine konkurrenzlose Robustheit gegen¨ uber Umwelteinfl¨ ussen wie Temperatur, Staub, Vibration und mechanischen Schock. Elektromagnetische Einfl¨ usse haben wegen des geschlossenen magnetischen Kreises ebenfalls nahezu keine Auswirkungen auf den Lage-Meßwert. Optische Geber tasten eine photographisch hergestellte Codescheibe ab. Bei Bewegung der Codescheibe entstehen Lichtimpulse, die optoelektronisch abgetastet und elektrisch u ¨bertragen werden. Die Anzahl von Strichen (entsprechend der Z¨ahne bzw. Pole bei einem Resolver) ist bei optischen Gebern deutlich h¨oher als bei magnetischen Gebersystemen. Es ist kein Problem, optische Geberscheiben mit 10.000 Strichen — mit etwas mehr Aufwand sogar mit 50.000 Strichen — herzustellen. Trotzdem m¨ ussen Interpolationstechniken angewandt werden, um zu Positionssignalen zu kommen, deren Aufl¨osung f¨ ur eine gute Drehzahlregelung ausreichend ist (siehe weiter unten). Sogenannte Absolutwertgeber, die aufgrund einer Vielzahl von Abtastspuren auf der Codescheibe in der Lage sind, die absolute Position ohne vorhergehende

8.6 Geber

307

Bewegung zu ermitteln, sollen an dieser Stelle nicht im Detail betrachtet werden, da sie sich regelungstechnisch genauso verhalten wie sogenannte Inkrementalgeber, bei denen die Lichtimpulse nur von einer oder — zur Richtungserkennung — zwei Spuren abgetastet werden. Ein Null“-Impuls auf einer weiteren Spur ” zeigt bei Inkrementalgebern die Referenzlage des Meßsystems an. In den 1980er Jahren lag der Preis f¨ ur Absolutwertgeber um den Faktor 10 bis 20 h¨oher als f¨ ur Inkrementalgeber gleicher Aufl¨osung. Im Lauf der 1990er Jahre hat sich dieser Unterschied allerdings auf den Faktor 1.5 bis 3 reduziert, so daß Absolutwertgeber heute zur Standardausr¨ ustung von hochwertigen Servoantrieben geh¨oren. Der große Vorteil von optischen Gebern liegt in der durch die photographische Herstellung bedingten auch bei großen St¨ uckzahlen erreichbaren hohen Aufl¨osung und Genauigkeit. Oftmals entscheidende Nachteile liegen in der Empfindlichkeit gegen hohe Temperaturen und mechanische St¨oße. Ein weiterer Nachteil liegt darin begr¨ undet, daß das Abtastsystem meistens nur einen Bruchteil des Umfangs der Codescheibe erfaßt — damit wird die Genauigkeit des Meßsystems von Montagetoleranzen, insbesondere gegen Verschiebungen des Mittelpunkts der Codescheibe, extrem abh¨angig. Im Gegensatz hierzu erfassen Resolver und kapazitive Systeme in der Regel den gesamten Umfang der Sensorscheibe (holistisch) und sind damit relativ unempfindlich gegen¨ uber mechanischem Versatz. Kapazitive Geber messen die Position aufgrund der variablen Kapazit¨at zwischen zwei Plattenelektroden. Beim Konzept variabler Elektroden ist eine der Elektroden auf den rotierenden Teilen eines Antriebs montiert ist, w¨ahrend die andere mit dem Stator des Antriebsmotors fest verbunden ist. Durch Formgebung der Elektroden (z.B. als Sinuswelle) ist der Fl¨achenanteil, in dem sich beiden Elektroden gegen¨ uberstehen, positionsabh¨angig. Ein anderes Konzept basiert ebenfalls auf der Formgebung der Elektroden, die allerdings beide fest mit dem Stator des Antriebs verbunden sind. Die Variation der Kapazit¨at wird durch ein Dielektrikum mit entsprechender Formgebung (entweder Außenkontur oder Dicke des Dielektrikums) erzeugt, das zwischen den beiden Elektroden drehbar mit dem Rotor des Antriebs verbunden ist. W¨ahrend in optischen Gebern fast ausschließlich scheibenf¨ormige L¨aufer rotieren, k¨onnen die L¨aufer von kapazitiven Gebersystemen sowohl scheibenals auch trommelf¨ormig aufgebaut werden. Außerdem sind sie im Hinblick auf Temperatur und mechanische St¨oße deutlich weniger empfindlich als optische Systeme. Da kapazitive Geber holistisch (d.h. am gesamten Umfang) abtasten und relativ hohe Aufl¨osungen erm¨oglichen, er¨offnen sie dem Antriebskonstrukteur insgesamt gr¨oßere Freiheitsgrade als optische Systeme. Trotzdem haben sie in der Industrie bisher nur vereinzelt Anwendung gefunden. Daher fehlen noch Erfahrungen, inwieweit kapazitive Gebersysteme die theoretisch hervorragenden Eigenschaften in der Praxis auch tats¨achlich realisieren k¨onnen. K¨ urzlich wurde allerdings ein kapazitives Gebersystem f¨ ur elektrische Antriebe am Markt eingef¨ uhrt ([245]), das erwarten l¨asst, dass die bisher fehlenden Erfahrungen bald gewonnen werden.

308

8 Fehlerein߬ usse und Genauigkeit bei geregelten Systemen

Die Hauptabweichung bei Lagegebern f¨ ur digital geregelte Antriebe entsteht durch das digitale Verhalten der Regelung. Beispielsweise f¨ uhrt die Quantisierung bei niedrigen Aufl¨osungen der Positionsgeber dazu, daß ein Antrieb mit dynamischer Lageregelung quasi von einer Geberposition zur n¨achsten springt“. Bei ” den ersten digital geregelten Hauptspindelantrieben, die Mitte der 1980er Jahre auf dem Markt erschienen, konnte dieser Effekt bei sehr langsamen Bewegungen bzw. im Stillstand deutlich beobachtet werden — diese Antriebe waren mit optischen Gebern mit einer Aufl¨osung von ca. 5000 Positionen pro Umdrehung ausgestattet. Das hatte eine nicht tolerierbare Unruhe im Antrieb zur Folge, die beispielsweise im Ergebnis einer Schleifmaschine deutlich sichtbar w¨are [325]. Es muß sichergestellt sein, daß der Drehzahlregelkreis des Antriebs einen m¨oglichst hoch aufgel¨osten Istwert erh¨alt. Auch bei langsamster Bewegung muß in jedem Zyklus der Regelungssoftware gew¨ahrleistet sein, daß der Lagegeber, aus dessen Signal der Drehzahlistwert abgeleitet wird, mindestens eine Positions¨anderung (d.h. einen Geberimpuls) anzeigt. Um dies zu erreichen, werden Drehgeber sehr hoher Aufl¨osung eingesetzt. Die Aufl¨osung eines Positionsgebers h¨angt zun¨achst einmal von der Anzahl der Pole, Z¨ahne, Striche oder Segmente auf seinem Rotor ab. Ist ein Zahnrad oder eine Codescheibe beispielsweise in 360 Segmente unterteilt, liefert der Geber 360 Impulse pro Umdrehung, d.h. er hat dann eine Aufl¨osung von 360 Positionen pro Umdrehung. Bez¨ uglich der Aufl¨osung von Lagegebern hat es in den letzten Jahren eine wahre Explosion von Angaben gegeben: w¨ahrend Ende der 1980er Jahre eine Aufl¨osung von 5.000 pro Umdrehung als Standard und eine Aufl¨osung von 100.000 pro Umdrehung als extrem hoch angesehen wurde, gelten seit Mitte der 1990er Jahre Aufl¨osungen im Bereich 2.000.000 bis 8.000.000 als normal“. ” Die Tabelle 8.4 und das Diagramm in Abb. 8.21 zeigen den Fortschritt bez¨ uglich Aufl¨osung und Genauigkeit von Drehgebern in den letzten Jahren. Dabei stellt Abb. 8.21 das Verh¨altnis von Marktpreis zu Aufl¨osung der Gebersysteme dar. Dunkel markierte Kreise bezeichnen optische Gebersysteme, die tats¨achlich realisiert worden sind. Handels¨ ubliche optische Gebersysteme sind in diesem Diagramm mit ihrer jeweiligen Typbezeichnung angegeben. Resolver sind zur Orientierung als Referenz eingetragen. Die Markierungen Intfer I“ bis ” Intfer III“ bezeichnen Entw¨ urfe von interferometrischen Gebersystemen, deren ” Preisangaben allerdings großz¨ ugig gesch¨atzt sind ([264]). Das Symbol J wird weiter unten erl¨autert. Bereits Anfang der 1990er Jahre wurde untersucht, welche Anforderungen an ein Gebersystem zu stellen sind, das Istwerte sowohl f¨ ur die Lageregelung als auch f¨ ur die Drehzahlregelung eines digital geregelten Antriebs zur Verf¨ ugung stellt. Hierbei zeigte es sich u ¨berraschenderweise, daß der differentiellen Genauigkeit eine gr¨oßere Bedeutung zukommt als der absoluten Genauigkeit. Im Werkzeugmaschinenbau werden Bearbeitungsgenauigkeiten gefordert, die einer absoluten Genauigkeit von 0, 001◦ entsprechen. Dies bedeutet, daß ein Geber mit einer Aufl¨osung von 360.000 Positionen pro Umdrehung gew¨ahrleisten

8.6 Geber

309

Tabelle 8.4: Fortschritt bez¨ uglich Aufl¨ osung und Genauigkeit von Drehgebern bei Einf¨ uhrung der digitalen Antriebstechnik

Regelkreis

Lageregelung

Istwertgeber

Lagegeber

1980er Jahre

1990er Jahre

nach 2000

Genau-

Auf-

Genau-

Auf-

Genau-

Auf-

igkeit

l¨ osung

igkeit

l¨ osung

igkeit

l¨ osung

mittel

mittel

mittel

(10.000)

hoch (100.000)

Drehzahlreg.

Drehzahlgeber

niedrig

hoch

mittel

hoch

sehr

sehr

Strom-

Lagegeber

hoch

niedrig

hoch

mittel

hoch

hoch

(1.000)

(500.000)

10.000.000

/Drehmoment-

(18)

regelung

muß, auf den Strich genau“ zu sein — eine Anforderung, die bereits Anfang der ” 1990er Jahre ohne gr¨oßere Probleme erf¨ ullt werden konnte. Soll ein elektrischer Antrieb einerseits mit Drehzahlen bis 20.000 Upm (Umdrehungen pro Minute) betrieben werden, andererseits jedoch auch die Bewegung eines Stundenzeigers auf 10 % genau realisieren k¨onnen, hat dies Auswirkungen auf die Anforderungen an die Aufl¨osung und differentielle Genauigkeit des Gebersystems. Bei einer angenommenen Zykluszeit der Drehzahlregelung von 125 μs betr¨agt die notwendige Aufl¨osung des Drehgebers 0,03 Winkelsekunden, um sicherzustellen, daß auch bei langsamster Bewegung des Antriebs in jedem Regelungszyklus mindestens eine Positions¨anderung (d.h. ein Geberimpuls) angezeigt wird. Dies entspr¨ache einer Aufl¨osung von 48.000.000 Positionen pro Umdrehung (26 Bit). Um die Drehzahlregelung dann noch mit 10%-iger Genauigkeit zu betreiben, muß die differentielle Genauigkeit nochmals um den Faktor 10 h¨oher sein. Jede Verk¨ urzung der Zykluszeit von Antriebsregelungen versch¨arft die beschriebene Situation zus¨atzlich. Drehzahlregelungen laufen in modernen Servoantrieben bereits mit Zykluszeiten von 40 μs und weniger. Um bei dieser Zykluszeit die Bewegung eines Stundenzeigers verarbeiten zu k¨onnen, w¨are inzwischen eine Aufl¨osung von 1.350.000.000 Positionen pro Umdrehung notwendig (31 Bit). Die oben beschriebenen Anforderungen (26 Bit Aufl¨osung) wurden Anfang der 1990er Jahre identifiziert und sind in dem Diagramm in Abb. 8.21 mit dem Symbol J markiert. Die in der nachfolgenden Zeit am Markt eingef¨ uhrten optischen Geber lagen offensichtlich auf dem richtigen Weg zu diesen Anforderungen, auch wenn diese von heute verf¨ ugbaren Gebersystemen noch nicht vollst¨andig erreicht worden sind. Zuk¨ unftige Weiterentwicklungen m¨ ussen diesen Umstand besonders ber¨ ucksichtigen — insbesondere die differentielle Genauigkeit von Gebersystemen stellt den derzeitigen Flaschenhals“ bei hochgenauen und dynami” schen Antrieben dar. Nat¨ urlich sind diese Anforderungen auf die Zukunft bezogen — aber selbst wenn man lediglich den Vergleich mit analog geregelten Antrieben mit Tachogenerator anstellt (Minimaldrehzahlen von 0,01 Upm waren durchaus

310

8 Fehlerein߬ usse und Genauigkeit bei geregelten Systemen Preis [%] 800 700 600 1994: Intfer I

1990: TC60C 500 400 300

1991: zukünftige Geber

Intfer II 200 100

1993: ECN 1313

Resolver vor 1988: ROD 426 10

3

10

4

Intfer III 10

5

10

6

10

7

8

10 Auflösung

Abb.8.21: Entwicklung des Preis- Aufl¨osungsverh¨ altnisses von handels¨ ublichen Drehgebern (100% entsprechen dem Preis f¨ ur einen Geber vom Typ ROD 426 mit 1000 Strichen im Jahr 1988)

realisierbar), ergeben sich hieraus folgende Anforderungen an Gebersysteme f¨ ur digital geregelte Antriebe: Aufl¨osung > 1.500.000 Positionen pro Umdrehung; differentielle Genauigkeit < 1 Winkelsekunde. Diese selbst f¨ ur optische Gebersystem u ¨ berraschend hohen Anforderungen stellen allerdings lediglich sicher, daß die Eigenschaften eines Antriebs mit digitaler Regelung gleichwertig sind zu den Eigenschaften, die von analog geregelten Antrieben bereits bekannt sind (siehe [286] und [288]). Aktuell ist die im Jahr 1991 als Wunsch ge¨außerte Situation in der industriellen Praxis immer noch nicht erreicht. Aktuell ist im Prinzip immer noch der 1993 erreichte und in Abb. 8.21 mit ECN 1313“ gekennzeichnete Punkt, aller” dings hat der Marktf¨ uhrer f¨ ur optische Geber auf der letzten Hannover-Messe einen Geber mit 28-29 Bit Aufl¨osung angek¨ undigt. Das w¨ urde dem Wunschziel von 1991 ( J) schon sehr nahe kommen. Was sich seit 1993 bis heute tats¨achlich verbessert hat, ist die absolute Genauigkeit — das seinerzeit ge¨außerte Ziel einer Genauigkeit von einem Tausendstel Grad ist inzwischen erreicht. Die absolute Genauigkeit ist jedoch in Abb. 8.21 nicht dargestellt — daher findet sich diese Entwicklung dort nicht. F¨ ur das Drehzahlregelungsverhalten hat die erh¨ohte absolute Genauigkeit — wie oben beschrieben (siehe auch [288]) — nur mittelbare Bedeutung; tats¨achlich wird hierdurch das Lageregelungsverhalten verbessert — und nat¨ urlich kompensiert ein besserer u ¨berlagerter Lageregelkreis Unregelm¨aßigkeiten des Drehzahlregelkreises besser. Tats¨achlich k¨onnten interferometrische Gebersysteme die oben beschriebenen und in in Abb. 8.21 dargestellten Ziel-Anforderungen problemlos erf¨ ullen (siehe

8.6 Geber

311

Intfer I“ in Abb. 8.21), deren Preis w¨are jedoch selbst bei Annahme sehr großer ” St¨ uckzahlen so hoch, daß ein fl¨achendeckender Einsatz in elektrischen Antrieben kaum zu erwarten ist. Ein weiteres interferometrisches Konzept, das vor allem niedrige Kosten zum Ziel hat, nutzt die auf jeder bearbeiteten metallischen Oberfl¨ache vorhandenen Unebenheiten aus. Hierbei wird auf der Oberfl¨ache der Antriebswelle kein zus¨atzliches Element montiert — die ohnehin vorhandenen Unebenheiten werden von einem optoelektronischen System abgetastet und ausgewertet. Tats¨achlich konnten die zu erwartenden Kosten bei diesem Konzept tats¨achlich niedrig gehalten werden (siehe Intfer III“ in Abb. 8.21), allerdings sind die technischen Eigen” schaften eher denen von Resolvern vergleichbar als denen von optischen Inkrementalgebern. Es wird interessant sein, die weiteren Entwicklungen auf dem Gebiet der interferometrischen Geber f¨ ur elektrische Antriebe zu beobachten. Angesichts der obigen Ausf¨ uhrungen entsteht nat¨ urlich die Frage, warum es nach Markteinf¨ uhrung digital geregelter Antriebe nicht zu signifikanten Problemen im Hinblick auf die zu geringe Aufl¨osung der eingesetzten Positionsgeber gekommen ist. Niemand w¨are ernsthaft daran interessiert, einen modernen Servoantrieb mit digitaler Regelung gegen einen solchen mit analoger Regelung einzutauschen. Tats¨achlich ist die Industrie aktuell in den meisten Anwendungen mit den mit markt¨ ublichen modernen Servoantrieben erreichbaren regelungstechnischen Eigenschaften zufrieden. Der Druck“ auf Institute und Forschungsein” richtungen, weitere Fortschritte zu erreichen, hat im letzten Jahrzehnt sp¨ urbar abgenommen. Wie kann das sein, wenn die differentielle Genauigkeit selbst bei Einsatz von sogenannten hochaufl¨osenden Gebern noch nicht ausreicht, die regelungstechnischen Eigenschaften einer Drehzahlregelung mit analogem Tachogenerator zu erreichen? Hierf¨ ur gibt es mehrere Gr¨ unde ([288]). Zweifellos haben die regelungstechnischen Eigenschaften von digital geregelten Servoantrieben von den deutlich gestiegenen Genauigkeiten der Positionsgeber (siehe oben) profitiert. Ein gut funktionierender Lageregelkreis kann Ungenauigkeiten und st¨orende Einfl¨ usse des unterlagerten Drehzahlregelkreises zum großen Teil kompensieren. Da die meisten industriell eingesetzten Servoantriebe nicht nur drehzahlgeregelt, sondern auch lagegeregelt betrieben werden, machen sich die im Hinblick auf die Drehzahlregelung zu geringen Aufl¨osungen und differentiellen Genauigkeiten der aktuell eingesetzten Gebersysteme weniger stark bemerkbar als bei drehzahlgeregelten Antrieben ohne Lageregelung. Ein weiterer Grund f¨ ur die grunds¨atzlich guten regelungstechnischen Eigenschaften von Servoantrieben mit digitaler Regelung und Inkrementalgebern als R¨ uckf¨ uhrsystem ist, daß optische Inkementalgeber von ihrem Grundkonzept her zu hoher differentieller Genauigkeit neigen. Selbst wenn Aufl¨osung und differentielle Genauigkeit dieser Geber eigentlich nicht ausreichend sind, f¨ uhrt eine hohe differentielle Genauigkeit auch bei sehr geringen Drehzahlen zu gleichf¨ormigen Bewegungen.

312

8 Fehlerein߬ usse und Genauigkeit bei geregelten Systemen

In Abb. 8.22 ist gegen¨ ubergestellt, wie sich absolute und differentielle Genauigkeit auf die Signale eines Inkrementalgebers auswirken w¨ urden. Beispiel für absolute Genauigkeit

Beispiel für differentielle Genauigkeit

ideales (inkrementales) Ausgangssignal

fehlerbehaftetes (reales) Ausgangssignal

Abweichung (Differenz zwischen realem und idealem Ausgangssignal)

differentielle Abweichung (entspricht dem Abstand der einzelnen Inkremente)

Abb. 8.22: Zeitdiagramme von fiktiven Inkrementalgebern zur Verdeutlichung des Einflusses von absoluter und differentieller Genauigkeit)

Tats¨achlich kann man bei einem Inkrementalgeber hoher Strichzahl — u.a. auch wegen der oben beschriebenen Ungenauigkeiten bei der Montage — nicht unbedingt davon ausgehen, daß ein bestimmter Strich auch wirklich an seiner idealen Position sitzt. Bei einem Geber der Aufl¨osung 100.000 pro Umdrehung k¨onnte der 50.000. Strich tats¨achlich 50 Striche zu fr¨ uh oder zu sp¨at angezeigt werden — was die absolute Genauigkeit des Gebers negativ beeinflußt. Der Strichabstand eines Inkrementalgebers ist im Gegensatz dazu relativ gleichm¨aßig; insbesondere ist es prinzipiell unm¨oglich, daß die einzelnen Striche in der falschen Reihenfolge kommen — Strich Nr. 5527 kommt auf jeden Fall nach Strich Nr. 5526. Reale Inkrementalgeber zeigen daher regelm¨aßig das in Abb. 8.22 in der rechten H¨alfte wiedergegebene Verhalten. Inkrementalgeber haben deshalb gute Eigenschaften bzgl. der differentiellen Genauigkeit. Allerdings weisen sie ohne zus¨atzliche Interpolation zu geringe Aufl¨osungen auf, die den Anforderungen moderner Antriebe nicht gerecht werden. Durch entsprechende Gestaltung des optischen Systems ist es m¨oglich, den Ausgangssignalen von optischen Gebern eine der Sinuskurve angen¨aherte Form aufzupr¨agen. Durch orthogonale Projektion der beiden Ausgangssignale ergibt sich bei idealen Sinussignalen ein Kreis, der jeweils einen Teilstrich des Gebers repr¨asentiert (siehe Abb. 8.23). Durch arctan-Bildung l¨aßt sich die relative Position

8.6 Geber

313

innerhalb eines Teilstrichs mit relativ großer Aufl¨osung bestimmen — um diese zus¨atzliche Aufl¨osung vervielfacht sich die durch die festgelegte Grundaufl¨osung gegebene Strichzahl des optischen Gebers. Am Markt sind Schaltkreise erh¨altlich, in denen die Funktion der Interpolation komplett integriert ist (z.B. [258]). cos a

sin a sin a a cos a 1 Inkrement

a

Abb. 8.23: Prinzip der Auswertung von sinusf¨ ormigen Ausgangssignalen (Interpolation)

Optische Inkrementalgeber mit sinusf¨ormigen Ausgangssignalen neigen von ihrem Grundkonzept her zu niedriger differentieller Genauigkeit. In Abb. 8.24 ist gegen¨ ubergestellt, wie sich absolute und differentielle Genauigkeit auf die Signale eines Inkrementalgebers auswirken w¨ urden. Abbildung 8.25 zeigt, wie sich absolute und differentielle Genauigkeit von sinusf¨ormigen Ausgangssignalen nach deren Projektion in die Kreisebene auswirken w¨ urden. Die jeweils linke H¨alfte zeigt Ausgangssignale (bzw. deren Komponenten) und die zugeh¨orige Kreisform bei guter absoluter Genauigkeit, w¨ahrend die jeweils rechte H¨alfte Ausgangssignale (bzw. deren Komponenten) und die zugeh¨orige Kreisform bei guter differentieller Genauigkeit darstellt. Tats¨achlich kann man bei einem optischen Geber mit sinusf¨ormigen Ausgangssignalen — u.a. wegen der St¨oreinfl¨ usse auf die analog u ¨bertragenen Signale — davon ausgehen, daß die Ausgangssignale des Gebers eher von h¨oherfrequentem Rauschen (siehe linke H¨alfte von Abb. 8.24) u ¨berlagert sind als von niederfrequenten St¨orspannungen. Außerdem f¨ uhren Ungenauigkeiten im optischen Aufbau und Abweichungen von der idealen Sinusform zu Kreisprojektionen, die eher der linken H¨alfte von Abb. 8.25 entsprechen als der rechten H¨alfte. Hochfrequentes Rauschen bzw. verbogene“ Sinuskurven beeinflussen die absolute Ge” nauigkeit eines Gebers nur minimal, w¨ahrend die differentielle Genauigkeit sehr

314

8 Fehlereinfl¨ usse und Genauigkeit bei geregelten Systemen Beispiel für absolute Genauigkeit

Beispiel für differentielle Genauigkeit

1

1

0

0

-1

-1

1

ideales (sinusförmiges) Ausgangssignal 1

1 1

1

0

0

-1

-1

fehlerbehaftetes (reales) Ausgangssignal 1

1

0

0

-1

-1

Abweichung (Differenz zwischen realem und idealem Ausgangssignal) 6

6

0

0

-6

-6

differentielle Abweichung (Ableitung der Abweichung)

Abb.8.24: Zeitdiagramme von fiktiven optischen Gebern mit sinusf¨ ormigen Ausgangssignalen zur Verdeutlichung des Einflusses von absoluter und differentieller Genauigkeit

sin a

sin a

cos a

cos a

Abb. 8.25: Orthogonale Darstellung der sinusf¨ ormigen Ausgangssignale eines optischen Gebers zur Verdeutlichung des Einflusses von absoluter und differentieller Genauigkeit (vergleiche mit Abb. 8.23)

stark negativ beeinflußt wird. Optische Geber mit sinusf¨ormigen Ausgangssignalen haben deshalb gute Eigenschaften bez¨ uglich der in Lageregelkreisen notwendigen absoluten Genauigkeit und weniger gute Eigenschaften im Hinblick auf

8.7 EMV, st¨ orsichere Signal¨ ubertragung und St¨ orschutzmaßnahmen

315

Abb. 8.26: Orthogonale Darstellung der sinusf¨ ormigen Ausgangssignale von realen optischen Gebern (vergleiche Abb. 8.25)

das Verhalten als Istwertgeber in Drehzahlregelkreisen (siehe Abb. 8.26). Da die Interpolation jedoch die f¨ ur die Berechnung von Drehzahlistwerten notwendige hohe Aufl¨osung gew¨ahrleistet, geh¨oren diese optischen Geber heute trotz ihrer Nachteile im Hinblick auf die Ermittlung der Drehzahlistwerte zum Standard in Servoantrieben.

8.7

8.7.1

EMV, st¨ orsichere Signalu ¨bertragung und St¨ orschutzmaßnahmen Oberschwingungen, EMV und Normen

Leistungselektronische Stellglieder verursachen einerseits durch ihre Funktion außer dem gew¨ unschten Signal auch Oberschwingungen in den Spannungen bzw. den Str¨omen auf beiden Seiten des Stellglieds — teilweise auch Subharmonische — und andererseits aufgrund der schaltenden Funktion auch insbesondere steile Spannungs¨anderungen und Strom¨anderungen. Die zul¨assigen Grenzen der Oberschwingungen dieser Stellglieder bzw. der Netzr¨ uckwirkungen in der Spannung werden in den Normen EN 61000-3-2 bzw. VDE 0838 Teil 2, Netzr¨ uckwirkungen: Oberschwingungen und in den Normen EN 61000-3-3 bzw. VDE 0838 Teil 3, Netzr¨ uckwirkungen: Spannungsschwankungen und in EN 61000-2-4 f¨ ur Industrienetze festgelegt. Diese Netzr¨ uckwirkungen k¨onnen durch technische Maßnahmen wie die Erh¨ohung der Schaltfrequenz bei selbstgef¨ uhrten Stellgliedern, PFC-Schaltungen (Power Factor Correction), Einbau von Drosselspulen, Aufspaltung der Leistungsversorgung in mehrere Untereinheiten, die phasenversetzt angesteuert werden, etc. verringert werden.

316

8 Fehlerein߬ usse und Genauigkeit bei geregelten Systemen

Tabelle 8.5: EMV-Normen, die f¨ ur elektrische Antriebe in Betracht kommen

Europa-Norm EN 55011

Deutsche Norm VDE 0875, Teil 11

Inhalt Funkentst¨orung von industriellen, wissenschaftlichen und medizinischen (ISM) Ger¨aten Teil 100 Drehzahlver¨anderliche Antriebe, EMV-Produktnorm Teil 2 Netzr¨ uckwirkungen: Oberschwingungen Teil 3 Netzr¨ uckwirkungen: Spannungsschwankungen Teil 81-2 Elektromagnetische Vertr¨aglichkeit. Fachgrundnorm St¨oraussendung, Teil 2, Industriebereich Teil 82-2 St¨orfestigkeit von Ger¨aten im industriellen Bereich

EN 61800-3

VDE 0160,

EN 61000-3-2

VDE 0838,

EN 61000-3-3

VDE 0838,

EN 50081

VDE 0839,

EN 50082-2

VDE 0839,

Anmerkung: Diese Normen nehmen Bezug auf die Grundnormen: EN 61000-4- ... auf VDE 0874, Teil 4- ... , EN 60801-2 auf VDE 0843, Teil 2. Eine andere Maßnahme im informationsverarbeitenden Bereich ist beispielsweise die Wahl des geeigneten Modulationsverfahrens (PWM), wobei u.a. gezielt unerw¨ unschte Oberschwingungen (harmonic elimination) ausgeblendet werden k¨onnen. Subharmonische k¨onnen ebenso durch ein geeignetes Modulationsverfahren vermieden werden [44, 45]. Die zweite Art der St¨orungen ist durch die Spannungs- (≥ 10 kV /μs) bzw. Stromflanken (≥ 4 kA/μs)), d.h. durch die Schaltfunktion der Leistungshalbleiter, bedingt. Diese steilen Flanken sind Quellen f¨ ur St¨orstahlungsemissionen dieser Ger¨ate, die andere Ger¨ate oder das eigene Ger¨at selbst st¨oren k¨onnen. Die Produkt-Normen f¨ ur derartige Ger¨ate sind die EN 61800-3 bzw. VDE 0160, Teil 100; zus¨atzlich sind die Normen EN 55011 bzw. VDE 0875, Teil 11 Funkentst¨orung“ zu beachten. ” Diese zweite Art der St¨orung ist durch den hohen Verkn¨ upfungsgrad von einerseits Informationselektronik sowie Leistungselektronik-Last andererseits und somit das Zusammenwirken von Funktionseinheiten mit niedrigem und hohem Leistungsniveau und den damit st¨andig wachsenden Informationsaustausch zwischen z.T. weit auseinanderliegenden Anlagenteilen besonders kritisch. Die st¨orsichere Signal¨ ubertragung und die St¨orschutzmaßnahmen gewinnen deshalb zunehmend an Bedeutung.

8.7 EMV, st¨ orsichere Signal¨ ubertragung und St¨ orschutzmaßnahmen

Steuerpult

Informationselektronik Meßwerte 

 F¨ uhrungsI @  gr¨oße  

Leistungselektronik

317

Antrieb Technologie

St¨ orstrahlungsemissionen Q Q  

& ≥1

Z¨ undimpulse

H H  



M



6 Stromistwert Regelgr¨ oße





G



Abb. 8.27: Signal¨ ubertragung (r¨ aumliche Aufteilung)

8.7.2

St¨ orsichere analoge Signal¨ ubertragung

Induktive Einkopplungen k¨onnen durch Verdrillen von Signal- und Bezugsleiter mit ca. 10 bis 27 Schlag/m weitgehend kompensiert werden. Die in den Leitern entstehenden Verschiebungsstr¨ome heben sich dann gegenseitig auf. Gegen kapazitive Einkopplungen sind die zu sch¨ utzenden Leiter mit einem Schirmleiter zu versehen. Dadurch wird die Kapazit¨atsverteilung so ver¨andert, daß bei guter elektrischer Leitf¨ahigkeit und geringer L¨angsinduktivit¨at des Schirmes der St¨orstrom sich im Schirmleiter ausbildet und dort abgeleitet wird. (VDE: Schirmung ist eine ganz oder teilweise geschlossene, elektrisch oder magnetisch ” leitende Umwandelung, die Einstreuungen oder Abstrahlung von St¨orsignalen verhindert.“) Wesentlich ist, daß der Schirm großfl¨achig aufgelegt wird; Z¨opfe“ (pig tails) ” sind zu vermeiden, da sie die Schirmwirkung um bis zu 90 % verringern k¨onnen. Zweckm¨aßigerweise wird der Schirm mit einer Metallschelle umfaßt und auf der Montagefl¨ache geerdet. Signalleitungen k¨onnen mit Einfach- und Doppelschirm sowie zus¨atzlich verdrillt ausgef¨ uhrt werden. Die D¨ampfung ist ca. 30 dB beim Einfachschirm und steigt auf 60 dB bei zus¨atzlichem Verdrillen. Verbessern l¨aßt sich die Bed¨ampfung der St¨oraussendung (Leistungskabel) und der St¨oreinstrahlung (Signalleitung) durch eine Doppelschirmung; dabei wird der innere Schirm einseitig (Abb. 8.28) und der a¨ußere Schirm zweiseitig aufgelegt. Entscheidend f¨ ur eine genaue Signalverarbeitung ist weiterhin die Verlegung des Bezugspotentials. Die Nullschiene der Stromversorgung ist gleichzeitig Bezugsleiter f¨ ur die Versorgungsstr¨ome IV und die Signalstr¨ome IS . Auf dieses Potential werden alle Signale bezogen, Spannungsabf¨alle auf den Bezugsleiter

318

8 Fehlerein߬ usse und Genauigkeit bei geregelten Systemen

−→ Signalfluß −→ e Geber e r r r

 r

r r 

  e e r   e

r

 e anger e Empf¨  r

r

r

SL2

SL1

Abb. 8.28: Potentialtrennung

erscheinen daher als Signalspannungs-Erh¨ohungen (Abb. 8.29). r

r ? iv1 + is

  6

Ue r

Bezugsleiter

HH H   ? iv1

? 

r

r ? iv2 + ia

i

-s

ia + iv1 + iv2 + is

HH H   ? iv2 + is r

i

a 6

Ua ?

M –Potential

Abb. 8.29: St¨orung des Bezugspotentials

Alle Str¨ome auf dem Bezugsleiter f¨ uhren zu Spannungsabf¨allen und damit zu Signalverf¨alschungen. Das kann im Prinzip nur dadurch verhindert werden, daß alle Str¨ome von ihrem Entstehungsort weg direkt zum Erdpotential abgeleitet werden. Leiterschleifen sind zu vermeiden. Entscheidend ist ein niederohmi¨ ger und induktivit¨atsarmer Ubergang zum Erdpotential. Der Bezugsleiter sollte einen Querschnitt von mindestens 10 mm2 aufweisen. M¨ ussen Anlagenteile r¨aumlich getrennt aufgestellt werden und sind diese einzeln geerdet, liegen somit auf unterschiedlichem Potential, so ist eine galvanische Trennung der Signalleiter sinnvoll, siehe Abb. 8.28 (SL2 ). Statt der galvanischen Trennung durch Transformatoren k¨onnen auch optoelektronische Trennglieder verwendet werden. Die Schirme sind einseitig mit dem jeweiligen Bezugspotential zu verbinden. ¨ Beim Ubergang von Signalleitungen in fremde Verantwortungsbereiche sollte immer Potentialtrennung vorgesehen werden. 8.7.3

St¨ orschutzmaßnahmen

Um eine gegenseitige St¨orbeeinflussung zu vermeiden, soll die konstruktive Anordnung von Anlageteilen und Ger¨aten eine klare r¨aumliche Trennung zwischen

8.7 EMV, st¨ orsichere Signal¨ ubertragung und St¨ orschutzmaßnahmen

319

den Betriebsmitteln der Informationselektronik und denen der Energieelektronik zeigen. Dabei sch¨ utzen die Zwischenw¨ande der Schrank- und Geh¨ausekonstruktionen meist schon ausreichend gegen Eigen- und Fremdst¨orungen. Wie bei der konstruktiven Anordnung, so sind bei der Verdrahtung und Verkabelung energiereiche Speiseleitungen und st¨orempfindliche Signalleitungen sowohl in Schr¨anken als auch in Kabelkan¨alen r¨aumlich zu trennen, ein Abstand von mindestens 200 mm zwischen Informations- und Leistungskabeln wird gefordert. Einander st¨orende Leiter d¨ urfen nicht u ¨ ber l¨angere Strecken parallel gef¨ uhrt werden, Signaleingangsleiter sollen getrennt von Signalausgangsleitern verlegt werden. Die Bildung von Leiterschleifen ist unzul¨assig. Signalleiter sind mit dem Bezugsleiter mit ca. 10 . . . 30 Schlag/m zu verdrillen. In Schr¨anken und Anlagen sind die Bezugsleiter m¨oglichst niederohmig auf das Bezugsleitersystem zu f¨ uhren. Besteht die Gefahr einer kapazitiven Einstreuung, so ist durch zus¨atzliche Schirmung der Leiterpaare eine wirksame kapazitive Spannungsteilung vorzusehen. Die Schirme einzelner Signalleiter oder Ger¨ate werden direkt mit dem Bezugspotential verbunden. Schutzleiter, Bezugsleiter und Schirmleiter werden getrennt isoliert gegeneinander verlegt. Die drei Systeme werden miteinander an der Stelle der Gesamtanlage verbunden, die den geringsten Widerstand gegen Massepotential hat. Spannungspitzen beim Abschalten von Induktivit¨aten werden durch Freilaufdioden oder RC-Kombinationen beseitigt (Beschaltung von Sch¨ utzspulen). Als Schutz vor hochfrequenten leitungsgebundenen St¨orgr¨oßen, also zur Sicherstellung der St¨orfestigkeit, dienen Filter. Sie reduzieren auch die St¨orgr¨oßen, die von einem Ger¨at leitungsgebunden u ¨ber das Netzkabel ausgehen, auf das gesetzlich vorgeschriebene Maß. Grenzwerte f¨ ur Funkst¨orungen von industriellen, wissenschaftlichen und medizinischen Hochfrequenzger¨aten sind z.B. in EN 55011 zu finden. Seit dem 01.04.1997 ist f¨ ur Frequenzumrichter die Norm EN 61800-3 anzuwenden. Filter verursachen Ableitstr¨ome, die sich immer dann vergr¨oßern, wenn gerade eine auszufilternde St¨orung das Filter beansprucht. Sind diese Ableitstr¨ome gr¨oßer als 3, 5 mA, sind nach VDE 160 bzw. EN 60335 besondere Maßnahmen vorzusehen. So muß entweder der Schutzleiter einen Querschnitt von mindestens 10 mm2 haben und auf Unterbrechung u ¨ berwacht werden, oder es muß ein zweiter Schutzleiter vorhanden sein. Auch muß die Erdung niederohmig, großfl¨achig und auf k¨ urzestem Weg zum Erdpotential hergestellt werden. ¨ Die obigen Uberlegungen sind auf den Schaltschrankaufbau zu u ¨bertragen. Unter dem Gesichtspunkt der EMV ist bei einem Schaltschrank zun¨achst der ¨ zentrale Erdungspunkt eindeutig zu definieren. Ublicherweise ist dies eine PEoder eine PEN-Sammelschiene. Der Erdungspunkt wird mit einer EMV-gerechten Verbindung auf die gesamte Montageplatte ausgeweitet. Diese wird verzinnt, verzinkt oder kadmiert und nicht mehr lackiert hergestellt, um bessere hochfrequente Verbindungen sicherzustellen. Alle geerdeten Punkte und Komponenten m¨ ussen

320

8 Fehlerein߬ usse und Genauigkeit bei geregelten Systemen

gut leitend auf direktem Weg mit dem Erdungspunkt — beispielsweise der Potentialausgleichsschiene — verbunden sein, so daß ein sternf¨ormiges Erdungssystem entsteht. Zur Erdung aller Metallteile sind die Verbindungen unter EMVGesichtspunkten mit Kupfergeflechtb¨andern auszuf¨ uhren. Somit wird eine hochfrequenzleitende und zugleich niederohmige Verbindung auf gleichem Massepotential erreicht. Wegen des Skin-Effektes ist nicht der Querschnitt, sondern die Oberfl¨ache maßgebend, da auf ihr hochfrequente Str¨ome abfließen. So wird das Ableitverm¨ogen von der Stelle mit der geringsten Leiteroberfl¨ache begrenzt. W¨ande und T¨ uren werden mit Masseclips oder Masseb¨andern in das Massekonzept eingebunden und damit das Ein- oder Austreten von elektromagnetischen Feldern ged¨ampft. St¨orbehaftete oder st¨orempfindliche Leitungen innerhalb des Schrankes sollten geschirmt sein und mit großen r¨aumlichen Abst¨anden sowie dicht an Massepotential, beispielsweise in Ecken, verlegt werden. Schirme m¨ ussen mindestens einseitig aufgelegt werden; bei notwendigen Mehrfachauflegungen k¨onnen bei weitl¨aufigen Anlagen Potentialausgleichstr¨ome fließen. Dann sollten die weiteren Masseverbindungen u ¨ber Koppelkondensatoren vorgenommen werden; damit ist eine hochfrequente Anbindung m¨oglich, die die 50 Hz-Komponente nicht u ¨bertr¨agt. Treten bei sehr langen Steuerkabeln zwischen SPS oder Regler und Frequenzumrichter Brummschleifen auf, kann dem durch Verbinden des einen Schirmendes u ¨ber ein 100 nF -Kondensator (mit kurzer Stiftl¨ange) abgeholfen werden. Dioden und Varistoren — als Entst¨orglieder f¨ ur Sch¨ utze, Relais, Magnetventile, geschaltete Induktivit¨aten und Kapazit¨aten — bringen im EMV-Bereich nur eine teilweise Bed¨ampfung. Besser ist die Beschaltung mit RC-Gliedern. Fenster und L¨ ufter im Schaltschrank m¨ ussen f¨ ur den HF-Bereich zus¨atzlich geschirmt werden. Innerhalb des Schrankes k¨onnen f¨ ur empfindliche Ger¨ate oder bei zu geringen Abst¨anden Trennbleche zur Schirmung oder abschirmende Baugruppentr¨ager eingesetzt werden.

9 Netzgefu ¨ hrte Stromrichter

Um in einem Regelkreis optimales Verhalten zu erzielen, muß der Regler in Struktur und Parameter bestm¨oglich an die Strecke angepaßt werden. Dazu muß jedoch ¨ ein Modell der Strecke vorliegen, welches das Ubertragungsverhalten der einzelnen Streckenglieder vorzugsweise als analytischen Zusammenhang beschreibt. F¨ ur einen Reglerentwurf wird also die Kenntnis der statischen und dynamischen Eigenschaften der im Regelkreis verwendeten Komponenten ben¨otigt. Aus regelungstechnischer Sicht stellen Stromrichterstellglieder aufgrund ihres Verhaltens nichtlineare Systemkomponenten dar, die jedoch in nahezu jedem antriebstechnischen System zur Anwendung kommen. In diesem Kapitel sollen daher M¨oglichkeiten einer geeigneten regelungstechnischen Beschreibung f¨ ur Stromrichterstellglieder untersucht werden. Grundlage sind dabei die in [116] entwickelten Ans¨atze.

9.1

Prinzipielle Funktion netzgefu ¨ hrter Stellglieder

Zun¨achst sollen der Aufbau und die Funktionsweise eines Stromrichterstellglieds erl¨autert werden. Die Ger¨ateanordnung Stromrichterstellglied besteht aus dem Steuerger¨at 1 und dem Stromrichter 2 (Starkstromteil) (Abb. 9.1). Im allgemeinen wird die Eingangsspannung Xe des Steuerger¨ates und dadurch der Steuerwinkel α begrenzt, um ein Wechselrichterkippen durch zu hohe Aussteuerung zu vermeiden; Kapitel 9.5 geht darauf noch n¨aher ein.

Netz N

Xe

      ? Xs  - ν - B B
α




Begrenzung von α -

@ @

1: 2: p:

Netz N

p 1

6       ? @ @ @ @

Ud

-

2

ν:

Steuerger¨ at Stromrichter Pulszahl des Stromrichters Anzahl der steuerbaren Ventile des Stromrichters

Abb. 9.1: Prinzipschaltbild eines Stromrichterstellglieds

322

9 Netzgef¨ uhrte Stromrichter

Das Steuerger¨at 1 erzeugt in Abh¨angigkeit von der Spannung Xe und dem Spannungssystem N Schaltbefehle f¨ ur die insgesamt ν steuerbaren Ventile des Stromrichters 2. Liegt ein Steuersatz mit linearer Charakteristik vor, wird der Wert von Xe (z.B. −10 V ≤ Xe ≤ 10 V ) mit netzsynchronen Spannungsrampen verglichen. Diese stellen die zeitvarianten Winkel des Spannungssystems N f¨ ur die ν steuerbaren Ventile des Stromrichters 2 dar, die in linear abfallende Spannungen Ugi im Abstand T = 1/pfN umgesetzt werden. Die Schnittpunkte von Xe mit Ugi liefern die Schaltbefehle f¨ ur die Ventile (Thyristoren) des Stromrichters 2. Durch die Z¨ undung der Ventile in zyklischer Reihenfolge werden die den Ventilen zugeordneten Spannungen des Spannungssystems N zum Ausgang des Stromrichterstellglieds geschaltet. Die Ausgangsspannung Ud (t) besteht also aus Spannungsausschnitten von N. Der beidseitige Pfeil zwischen N und dem Stromrichter 2 soll verdeutlichen, daß der Stromrichter bei geeigneter Schaltung auch Leistung in das Netz zur¨ uckspeisen kann. Abbildung 9.2 zeigt die statischen und dynamischen Verh¨altnisse am Beispiel einer B6-Br¨ ucke (zu Aufbau und Funktionsweise der B6-Br¨ ucke siehe [36, 44, 45]). Die Ventile des Stromrichters (Leistungsteil) werden in der Reihenfolge der Numerierung gez¨ undet. Aufgrund seiner Eigenschaften kann das Ventil i nur bei positivem Potential A gegen¨ uber K die Stromf¨ uhrung u ¨ bernehmen. Daher wird der Zeitpunkt, an dem die Ventilspannung UAK positiv wird, auch als nat¨ urlicher Z¨ undzeitpunkt αi = 0◦ bezeichnet. Unter der Annahme, daß zum aktuellen Zeitpunkt der Laststrom Id beispielsweise u ¨ber die Ventile 5 und 6 fließt (pos. Potential = U3 , neg. Potential = U2 ), liegt am Ventil 1 die Spannung UAK = U1 −U3 an. Der nat¨ urliche Z¨ undzeitpunkt des Ventils 1, α1 = 0◦ , liegt daher dort, wo U1 > U3 wird. Durch die Z¨ undung verlieren die Ventile ihre Blockierf¨ahigkeit und eine der drei Strangspannungen wird als positives oder negatives Potential an die jeweilige Ausgangsklemme des Stromrichters durchgeschaltet (Abb. 9.2, Mitte). Die Ausgangsspannung Ud (t) des Stromrichters setzt sich zu jedem Zeitpunkt aus der Differenz dieser Potentiale zusammen. Dieser Spannungsverlauf kann aber nur beobachtet werden, wenn die durchgeschalteten Ventile stromf¨ uhrend sind. Wichtige Voraussetzungen f¨ ur die folgenden Untersuchungen sind daher: • das Drehspannungssystem N ist symmetrisch, • der Strom im Stellglied l¨ uckt nicht. Damit ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen Z¨ undwinkel und Mittelwert der Stromrichterausgangsspannung:

Ud =



Udiα  Udi0  idealer Gleichspannungsmittelwert bei α = 0◦

 · cos α

−

Dx 

induktiver Spannungsabfall

(9.1)

9.1 Prinzipielle Funktion netzgef¨ uhrter Stellglieder Netz N L2 L3

L1 N

Id

ZündImpulse UAK

Xe ai

SteuerSpannung

pos. Potential Ud(t)

K

Steuersatz

6

4

2 neg. Potential

Leistungsteil (B6-Brücke)

a3 = 0° a1 = 90°

a1 = 0°

a5 = 0°

a1 = 90°

a3 = 90°

U1

U2

Ui(t)

5

A

A

a1 = 0°

3

1

K

323

Da = 45°

U3

pos. Potential

+

+

Ud(t) +

-

+

-

+

-

Leistungsteil t

-

+ -

a2= 0°

a4= 0°

+

+

a6= 0°

a2 = 90°

a6 = 90°

+

neg. Potential

a4 = 90°

Ugi(t), Xe(t) a=0° ;+10V

Steuersatz DXe 0V

t

a=180° ;-10V

1 T T= pN = pfN

180°

TN = 20ms T

T

T

T

T

T

t

Abb. 9.2: Statische und dynamische Verh¨ altnisse bei netzgef¨ uhrten Stromrichtern; Beispiel: Dreiphasen-Br¨ uckenschaltung (B6-Br¨ ucke) mit linearem Steuersatz (Stellgliedtyp 1)

324

9 Netzgef¨ uhrte Stromrichter

F¨ ur die Steuerkennlinie α = f (Xe ) k¨onnen zwei F¨alle unterschieden werden: 1. Linearer Steuersatz:

mit Xˆe :

π Xe0 α = · 1− ˆe 2 X

π Xe0 Ud = Udi0 · cos − Dx · 1− ˆe 2 X

(9.2) (9.3)

Maximalwert der Eingangsspannung Xe

Wenn das Eingangssignal Xe konstant angenommen wird, beispielsweise bei der Ermittlung der statischen Kennlinie des Stromrichterstellglieds nach Gl. (9.3), wird Xe zu Xe0 gesetzt. Wie aus Gl. (9.3) erkennbar ist, bleibt im Falle eines linearen Steuersatzes das Gesamtsystem Steuersatz–Stromrichter insgesamt statisch nichtlinear! Zur vereinfachten Bezugnahme wird ein solches Stellglied mit nichtlinearer statischer Kennlinie im folgenden mit Stellgliedtyp 1 bezeichnet. Abbildung 9.3 zeigt eine m¨ogliche analoge Realisierung eines linearen Steuersatzes. Die Spannungsrampen Ugi werden dabei durch getaktete Integratoren, gesteuert von einem Phasenregelkreis (PLL), erzeugt. Bei einer digitalen Realisierung eines linearen Steuersatzes k¨onnen PLL-gesteuerte Z¨ahler verwendet werden. 2. Nichtlinearer Steuersatz:

α = arccos Ud = Udi0 ·

Xe0 ˆe X



Xe0 − Dx ˆe X

(9.4) (9.5)

Im Falle eines nichtlinearen Steuersatzes kann zumindest die statische Nichtlinearit¨at kompensiert werden. Analog zum Vorgehen beim linearen Steuersatz wird das durch Gl. (9.5) beschriebene Stellglied mit linearer statischer Kennlinie im folgenden mit Stellgliedtyp 2 bezeichnet. In Abb. 9.4 sind die Kennlinien des Steuersatzes und die Kennlinien des Gesamtsystems Steuersatz–Stromrichter bei Vernachl¨assigung des induktiven Gleichspannungsabfalls Dx dargestellt (statische Zusammenh¨ange). Die Bezeichung Reglerausgang“ f¨ ur Xe wurde in Anlehnung an Abb. 7.7 gew¨ahlt ” und soll verdeutlichen, an welcher Stelle im Regelkreis das Stromrichterstellglied zum Einsatz kommt. URN steht f¨ ur die Reglernennspannung, sie stellt den maximalen bzw. minimalen Wert der Steuersatzeingangsspannung Xe dar.

9.2 Vereinfachte Approximation

ˆe −X

R

e

e

R

r

Q Q −Q

Q Q  

−U = const. ? e

r

? e

 

C

r

S

R

r

r

Q Q

− QQ

Ug∗

+

1 RC = 4fN

R

e

325

Q 

r



+  

e

U

?g e

r

6

Ug 6 ˆe +X

0◦

180◦

-

α

ˆe −X S geschlossen-

ge¨ offnet

-geschlossen

Steuerbereich Abb. 9.3: Analoge Realisierung eines linearen Steuersatzes

9.2

Vereinfachte Approximation

Um in einem Regelkreis, z.B. nach Abb. 7.7, eine Einstellung der Reglerparameter nach den Standardoptimierungsverfahren vornehmen zu k¨onnen, muß das Verhalten des Stromrichterstellglieds als mathemathischer Zusammenhang vorliegen. In der Regelungstechnik stellt die Approximation des Stromrichterstellglieds durch ein Totzeitglied mit Tt = TN /(2p) eine g¨angige L¨osung dar. In diesem Abschnitt soll diese M¨oglichkeit der Approximation n¨aher untersucht werden. Dazu sollen einige Voraussetzungen getroffen werden (siehe Abb. 9.2): 1. Die Spannungsrampen Ugi (Annahme eines linearen Steuersatzes) liegen parallel im zeitlichen Abstand T = TN /p = 1/(pfN ) mit p = Pulszahl ˆe des Stromrichters. Die maximalen Werte von Ugi entsprechen dabei +X und repr¨asentieren die Steuerwinkel αi = 0◦ ; analog entsprechen die mi-

326

9 Netzgef¨ uhrte Stromrichter

Netz N       ? - BB

UR = Xe 6

Steuersatz

Netz N




ν α

6       ? @ - @

-

6 Stromrichter

Z¨ undwinkel

Reglerausgang ˆ e = URN = 10V X −10V ≤ Xe ≤ 10V

Ud 6

Mittelwert der Ausgangsspannung

Stromrichterstellglied:

Steuersatz: α π

U

6d

6 Z

Udi0

Z

Z

Z

=⇒

π

Z 2 Z Z

−1

Z

Z Z

−1

0

-

+1

Xe ˆe X

Z Z -

+1

Xe ˆe X

: linearer Steuersatz

: nichtlinearer Steuersatz

Abb. 9.4: Statischer Zusammenhang Steuersatz–Stromrichter

ˆ e und diese Spannungswerte den nimalen Werte von Ugi den Werten −X ◦ Steuerwinkeln αi = 180 (siehe auch Abb. 9.2, unten). 2. Die Steuerspannung ist konstant (Xe = Xe0 ) und erzeugt durch die Schnittpunkte mit den Spannungensrampen Ugi Z¨ undimpulse im ¨aquidistanten Abstand T . ¨ 3. Dar¨ uberhinaus soll die Anderung von Xe um dXe sehr klein sein, im Grenzfall dXe → 0 — damit wird auch die zeitliche Verschiebung des Z¨ undim¨ pulses nach der Anderung dXe klein. Unter diesen Voraussetzungen verh¨alt sich der Steuersatz somit wie ein Abtaster mit der Abtastperiode T = TN /p (bei Xe = Xe0 = konst.). Da der Stromrichter Ausschnitte aus dem Drehspannungssystem N an die Last durchschaltet, kann er als Halteglied h¨oherer Ordnung aufgefaßt werden. Betrachtet man nur den zu Xe0 bzw. α0 geh¨origen Mittelwert der Stromrichterausgangsspannung Ud , dann kann der Stromrichter als Halteglied nullter Ordnung aufgefaßt werden.

9.2 Vereinfachte Approximation

Xe (t)



αi

- BB

-

Ud (t)

@ - @

Z¨ undimpulse

327

-

@ @@ R @

T ?  - e e 

Xe (t)

Xe (t), 6Xe∗

r

X Xe X

r

? r

r

r

dXe

r

0

Xe∗

2

3

4

5

Ud (t)

Xe∗

6

-t

Ud 6

0

-

H0

r  

6

1

-

-

t T

Tw : Wartezeit Tw = tˆ1 − t1 tˆ1 = T = TN /p 0 ≤ t1 ≤ tˆ1

⇒ 0 ≤ Tw ≤ T

t1 tˆ1 = T

im Abtastzeitraum Xe 6R α ? R Ud 6 -

t T

-T  w

Abb. 9.5: Ersatzsystem f¨ ur Steuersatz und Stromrichter

Abbildung 9.5 zeigt das Ersatzsystem f¨ ur Steuersatz mit Stromrichter, wenn ¨ die Voraussetzungen 1 bis 3 g¨ ultig sind. F¨ ur die folgenden Uberlegungen muß der ¨ in Abb. 9.5 neu gesetzte Zeitmaßstab beachtet werden. Die Anderung der Eingangsspannung Xe zum Zeitpunkt t1 wird aufgrund der konstanten Abtastfre¨ quenz erst zum Zeitpunkt tˆ1 = T als Anderung des Gleichspannungsmittelwertes Ud am Systemausgang sichtbar. Die Wartezeit Tw definiert sich daher zu Tw = tˆ1 − t1 mit

t1 : tˆ1 :

(9.6)

Zeitpunkt der Steuerspannungsverstellung Zeitpunkt, an dem der neue station¨are Zustand erreicht wird

¨ Tw kann abh¨angig vom Zeitpunkt der Xe -Anderung im Bereich 0 < Tw ≤ T liegen. Jeder Wert von Tw in diesem Bereich hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, ¨ da kein statistischer Zusammenhang zwischen dem Zeitpunkt der Anderung von dXe w¨ahrend 0 < t1 ≤ tˆ1 = T und dem Abtastvorgang an sich vorliegt.

328

9 Netzgef¨ uhrte Stromrichter

Somit kann ein Erwartungswert TE (statistischer Mittelwert von Tw ) definiert werden: T 1 TE = · Tw (t)dt = 0, 5 · T (9.7) T 0

¨ Die Ubertragungsfunktion des Systems Steuersatz–Stromrichter kann damit durch folgende Gleichung approximiert werden: GSTR (s) =

VST R (α)   

e−sTt   

·

(9.8)

statische Verst¨ arkung dynamisches Verhalten

mit Tt = TE = TN /(2p) ¨ Diese N¨aherung ist allerdings nach Voraussetzung 3 nur f¨ ur kleine Anderungen ¨ dXe zul¨assig. Bei großen Anderungen von Xe kann das Verhalten des Stromrichterstellglieds mit Gl. (9.8) nicht mehr ausreichend beschrieben werden. In Kap. 7.1.1 wurde bei der Optimierung des Regelkreises aus Abb. 7.7 f¨ ur das Stromrichterstellglied die mit Gl. (9.8) beschriebene N¨aherung eingesetzt. Es konnte festgestellt werden, daß die aufgrund der theoretisch bestimmten Regleroptimierung erhaltenen Ergebnisse nicht mit den in Abb. 7.9 dargestellten praktischen Ergebnissen u ¨bereinstimmten. F¨ ur das in Kap. 7.1.1 verwendete sechspulsige Stellglied hatte sich bei fN = 50 Hz ergeben: 1. Mit der Bedingung |F0 (jωd )| = 1 = KI /ωd konnte KI, opt zu KI, opt = ωd = 278

rad s

(9.9)

berechnet werden. 2. Die Stabilit¨atsgrenze wurde durch Einsetzen von ϕTt = 90◦ anstelle von 26, 5◦ berechnet. In diesem Fall war KI, krit = ωd, krit = 942

rad s

(9.10)

Bei der praktischen Erprobung dieser Regleroptimierung (Abb. 7.9) wurde festgestellt: ¨ 1. Bei dem errechneten KI, opt sind die Ubergangsvorg¨ ange aperiodisch ¨ ged¨ampft. Erst bei wesentlich h¨ o heren Kreisverst¨ a rkungen sind Ubergangs√ vorg¨ange mit D = 1/ 2 festzustellen. 2. Bei Kreisverst¨arkungen gr¨oßer als KI, krit tritt keine Instabilit¨at auf. Es wird allerdings bei positiven Sollwertspr¨ ungen, die eine Spannungserh¨ohung des Stellglieds erfordern, mit zunehmender Kreisverst¨arkung zu¨ nehmendes Uberschwingen des Istwertes feststellt. Dies gilt nicht bei negativen Sollwertspr¨ ungen.

9.2 Vereinfachte Approximation Ugi (t); Xe(t) ^ ; a =0° X e

329

N Spannungen im Steuergerät Xe

XeII

n a

XeI XeIII a

a =180° Steuerspannung XeI

b

a =0°

t

UdI(t) c t a =180°

Steuerspannung XeII d t UdII(t)

N t

Ud

e

Steuerspannung XeIII t

f

UdIII(t)

t

g

Abb.9.6: a-g: Zuordnung von Steuerspannung Xe , Impulslage und Ausgangsspannung Ud (t) bei linearem Steuersatz (Stellgliedtyp 1)

Anhand von Abb. 9.6 kann dieses unsymmetrische Verhalten des Stromrichterstellglieds nachvollzogen werden. Nehmen wir zun¨achst einen Steuerspannungsverlauf mit Xe = Xe II an (Aussteuerung in Richtung abnehmendem Steuerwinkel; α → 0◦ ). Es ergibt sich eine Z¨ undimpulsfolge nach Abb. 9.6d (dynamische Erh¨ohung der Z¨ undimpulsfrequenz), die eine schnelle Erh¨ohung der Ausgangsspannung Ud II (t) erm¨oglicht (Abb. 9.6e).

330

9 Netzgef¨ uhrte Stromrichter

Bei einem Steuerspannungsverlauf mit Xe = Xe III (Aussteuerung in Richtung zunehmendem Steuerwinkel; α → 180◦ ) tritt eine dynamische Absenkung der Z¨ undimpulsfrequenz auf; das zu untersuchende System verh¨alt sich aber trotzdem g¨ unstiger als das urspr¨ ungliche Ersatzsystem, da die Ausgangsspannung stetig auf einer verketteten Spannung verringert wird (Abb. 9.6f und Abb. 9.6g). Zu Beginn dieses Kapitels war das Stromrichterstellglied als Abtaster mit nachgeschaltetem Halteglied nullter Ordnung modelliert worden, d.h. es war angenommen worden, daß eine Spannungsverstellung am Eingang mit station¨arer Z¨ undimpulsfrequenz u ¨bertragen wird. Bei dem vorliegenden System ist die Z¨ undimpulsfrequenz jedoch eine Funktion des Steuerungspannungsverlaufs Xe . Dies zeigt, daß die obige Annahme tats¨achlich nur f¨ ur Steuerspannungs¨anderungen dXe → 0 zul¨assig ist! F¨ ur eine Modellierung, die das Großsignalverhalten des Stromrichterstellglieds richtig wiedergibt, muß daher zun¨achst das dynamische Verhalten des Stellglieds genauer untersucht werden.

9.3

Untersuchung des dynamischen Verhaltens netzgefu ¨hrter Stromrichterstellglieder

Aus den bisherigen Erkenntnissen l¨aßt sich ableiten, daß verbesserte Approximationen f¨ ur das dynamische Verhalten von netzgef¨ uhrten Stromrichterstellgliedern gesucht werden m¨ ussen. Dabei werden die zu Beginn von Kap. 9.1 getroffenen Voraussetzungen • das Drehspannungssystem N ist symmetrisch, • der Strom im Stellglied l¨ uckt nicht, um die Punkte • die Kommutierung wird vernachl¨assigt (Dx = 0), • es treten keine S¨attigungserscheinungen auf erweitert. Um den mathematischen Aufwand gering zu halten und um die Anschaulichkeit zu verbessern, werden die Gleichungen nur f¨ ur den Stellgliedtyp 1 (nichtlineare statische Kennlinie) ausf¨ uhrlich abgeleitet; die Ergebnisse der Untersuchungen werden jedoch f¨ ur beide Stellgliedtypen angegeben. Wesentlich gegen¨ uber den bisherigen Untersuchungen ist, daß das Großsignalverhalten untersucht wird.

9.3 Untersuchung des dynamischen Verhaltens netzgef¨ uhrter Stromrichterstellglieder

9.3.1

331

Analyse des Stromrichterstellglieds bei einer Z¨ undwinkelverstellung in Richtung abnehmendem Steuerwinkel

Stellglied mit nichtlinearer statischer Kennlinie (Stellgliedtyp 1) Um die dynamischen Eigenschaften des Stellgliedtyps 1 zu verdeutlichen, soll eine sprungf¨ormige Verstellung der Steuerspannung Xe ausgehend vom Arbeitspunkt Xe0 = 0V bzw. α0 = 90◦ um ΔXe angenommen werden, die einer Z¨ undwinkel¨anderung Δα < 0 entspricht (Abb. 9.7a). Bei der Untersuchung der dynamischen Eigenschaften des Stromrichterstellglieds m¨ ussen bei einer Verschiebung des Z¨ undwinkels in Richtung abnehmendem α zwei Zeitbereiche unterschieden werden: • Im Bereich I erfolgt auf eine Verstellung der Eingangsspannung Xe keine sofortige Reaktion am Ausgang des Stromrichters, da die Steuerspannung Xe1 die nachfolgende Spannungsrampe erst nach Abschluß des Verstellvorgangs schneidet (Abb. 9.7b). • Im Gegensatz dazu wird im Bereich II die nachfolgende Spannungsrampe von Xe2 bereits w¨ahrend des Verstellvorganges geschnitten, was eine sofortige Reaktion am Stromrichterausgang zur Folge hat; die gew¨ unschte Winkel¨anderung wird allerdings nicht sofort vollst¨andig u ¨ bertragen (Abb. 9.7d). Die Abbildungen 9.7c und 9.7e zeigen die resultierenden Ausgangsspannungsverl¨aufe nach einem Spannungszeitfl¨achenausgleich. Aus dem Verlauf Ud I (t) bzw. Ud II (t) ergeben sich damit die Spannungsverl¨aufe Ud∗ I (t) und Ud∗II (t). Im station¨aren Betrieb heben sich die positiven und negativen Spannungszeitfl¨achen der st¨ uckweise stetigen Ausgangsspannung Ud (t) auf; dies gilt nicht mehr in den Zeitbereichen, in denen eine Verstellung der Spannung Xe bzw. des Z¨ undwinkels erfolgt. Die Zeitz¨ahlung f¨ ur die Berechnung der zus¨atzlich auftretenden Spannungszeitfl¨ache beginnt deshalb immer am Anfang des Intervalls, in dem eine Spannungs¨anderung ΔXe auftritt (in Abb. 9.7a mit t = 0 angedeutet), und endet beim Erreichen des neuen resultierenden station¨aren Zustandes. Die aus der Integration u ¨ber den Ausgangsspannungsverlauf resultierende Spannungszeitfl¨ache A wird dann in der in Abb. 9.7c und 9.7e gezeigten Weise ber¨ ucksichtigt. Im folgenden wollen wir im Bereich I die Wartezeit Tw1 bei α → 0◦ berech¨ nen. Die Zeitz¨ahlung f¨ ur die Wartezeit beginnt wie in Abb. 9.5 bei der Anderung von Xe zum Zeitpunkt t1 und endet beim Erreichen des neuen station¨aren Zustandes zum Zeitpunkt tˆ1 , der die obere Grenze des Bereichs I festlegt (Abb. 9.7a und 9.7b). Um die zus¨atzlich auftretende dynamische Spannungszeitfl¨ache A1 bei der Berechnung der Wartezeit Tw1 zu ber¨ ucksichtigen, wollen wir den Spannungszeitfl¨achenausgleich in der in Abb. 9.7c gezeigten Weise durchf¨ uhren. In Gl. (9.11) wird Tw1 gegen¨ uber Gl. (9.6) infolgedessen um den zus¨atzlichen Term Δt erweitert, der sich aus der dynamischen Zusatzspannungszeitfl¨ache A1 ergibt.

332

9 Netzgef¨ uhrte Stromrichter

Ugi(t) ; Xe(t) ^ Xe; a = 0°

Xe1 DXe

a = 90° (Xe = 0V)

a

Xe2

Da

a = 180° t=0

1 T= pf

I

t

II

N

Zündintervall UdI(t) ^ U

p Da 0 t1 < T(1+ ) ; Da 0 2p

Bereich I:

A1 + -

b

+ -

-

t p ^ U(t) = U cos(wNt - p + a0)

* (t) UdI

Tw1 DUd

A1

Bereich II: UdII(t)

t

^t 1

t1

p Da T(1+ 2p )

c

t1 < T ; Da 0

A2 + -

* (t) UdII

d

+ -

-

t Tw2 e

A2 DUd t1

^t 2

t

Abb.9.7: a-e: Signalverl¨ aufe bei Aussteuerung in Richtung abnehmendem Steuerwinkel, α → 0◦ (Stellgliedtyp 1)

9.3 Untersuchung des dynamischen Verhaltens netzgef¨ uhrter Stromrichterstellglieder

333

Erweiterte Wartezeitformel im Bereich I: Tw1 = tˆ1 − t1 − Δt mit

Δt =

(9.11)

A1 ΔUd

Wie aus Gl. (9.11) ersichtlich ist, wird zur Berechnung der Wartezeit Tw1 neben der Bereichsgrenze tˆ1 auch die mittlere Ausgangsspannungs¨anderung ΔUd ben¨otigt, zu deren Berechnung wiederum der Spannungsverlauf U(t) im Z¨ undintervall bekannt sein muß. Bei einem p-pulsigen Stromrichter erf¨ahrt der Steuerwinkel α aufgrund der ¨ Steigung der Spannungsrampen Ugi in der Zeit T = 1/(pfN ) eine Anderung um ∗ ◦ den Winkel Δα = 360 /p, welche der nat¨ urlichen Winkel¨anderung im Spannungssystem N entspricht. Unabh¨angig von der Verstellh¨ohe kann sich daher bei einem positiven Steuerspannungssprung ΔXe der Steuerwinkel von einem Ventil zum n¨achsten um maximal dieses Δα∗ a¨ndern; in diesem Fall wird sofort nach der Z¨ undung zum Zeitpunkt t = 0 in Abb. 9.7a das darauffolgende Ventil gez¨ undet. Die Signalverl¨aufe in Abb. 9.7 gelten f¨ ur ein p = 6-pulsiges Stellglied. In Abb. 9.7a k¨onnte also der Steuerwinkel α ausgehend von der dort angenommenen Grundaussteuerung α0 = 90◦ durch einen positiven Steuerspannungssprung ΔXe zum Zeitpunkt t = 0 = t1 maximal auf den Winkel α1 = 30◦ bei t = 0 = t1 = tˆ1 verstellt werden. F¨ ur alle folgenden Ausf¨ uhrungen soll die Definition von Δα Δα = α1 − α0

(9.12)

verwendet werden. Aufgrund der Zuordnung von Xe und α gilt daher bei einer Aussteuerung in Richtung abnehmendem Steuerwinkel (α → 0◦ ) immer: α1 ≤ α0

⇒

Δα ≤ 0

(9.13)

Aus diesem Grund muß in die nachfolgenden Gleichungen (9.14) bis (9.21) immer ein negatives Δα eingesetzt werden. Bei einer vorgegebenen Z¨ undwinkel¨anderung im Bereich I gilt: −Δα∗ = −

2π ≤ Δα ≤ 0 p

0 ≤ t1 ≤ tˆ1

Δα ˆ t1 = T 1 + p · 2π

(9.14) (9.15) (9.16)

Die Ausgangsspannung U(t) im Z¨ undintervall bez¨ uglich des f¨ ur die Berechnung der Spannungszeitfl¨ache A1 neu gesetzten Zeitursprungs (t = 0) kann aus Abb. 9.7b abgelesen werden zu:

334

9 Netzgef¨ uhrte Stromrichter

π ˆ U(t) = U cos ωN t − + α0 p mit

α0 : ωN :

(9.17)

Z¨ undwinkel bei konstanter Steuerspannung Xe0 , auch mit Grundaussteuerung bezeichnet Netzkreisfrequenz, ωN = 2πfN

Damit folgt f¨ ur den arithmetischen Mittelwert der Ausgangsspannung im Z¨ undintervall: Ud =

Uˆ ωN T

· 2 sin

π ˆ · p · sin π · cos α0 · cos α0 = U p π p    Udi0

(9.18)

Die mittlere Ausgangsspannungs¨anderung ΔUd als Funktion von α0 und Δα ist π p ΔUd = Uˆ · · sin · [cos(α0 + Δα) − cos α0 ] π p

(9.19)

F¨ ur die Spannungszeitfl¨ache A1 ergibt sich: 





 pΔα π p π π ˆ sin α0 + + Δα − sin α0 − −2 1+ sin · cos α0 A1 = U ·T · 2π p p 2π p (9.20) Damit gilt: Wartezeit Tw1 im Bereich I (α → 0◦ )

pΔα − t1 Tw1 = T · 1 + 2π     sin α0 + πp + Δα − sin α0 − πp −T · 2 sin πp · [cos(α0 + Δα) − cos α0 ]   1 + pΔα cos α0 2π +T · cos(α0 + Δα) − cos α0 mit

(9.21)

Δα ≤ 0

Die Gleichungen (9.16) bis (9.21) sind Funktionen von α0 und/oder Δα und beinhalten nicht die Stellgliedcharakteristik α = f (Xe ). Sie sind damit bei Aussteuerungen α → 0◦ f¨ ur beide Stellgliedtypen g¨ ultig.

9.3 Untersuchung des dynamischen Verhaltens netzgef¨ uhrter Stromrichterstellglieder

335

Zur Berechnung der Wartezeit Tw1 f¨ ur den Stellgliedtyp 1 im Bereich I (α → 0◦ ) m¨ ussen daher die auf Gl. (9.2) basierenden Zusammenh¨ange

π Xe0 α0 = · 1 − ˆe 2 X Δα = −

π ΔXe ˆe 2 X

(9.22) (9.23)

ˆ e g¨ in Gl. (9.21) eingesetzt werden. Dabei muß der f¨ ur ΔXe /X ultige, aus Gl. (9.14) abgeleitete Verstellbereich nach Gl. (9.24) beachtet werden. Stellgliedtyp 1:

0≤

ΔXe 4 ≤ ˆ p Xe

(9.24)

F¨ ur die Steuerspannung gilt unabh¨angig von Stellgliedtyp und Aussteuerrichtung: ΔXe = Xe1 − Xe0 −1 ≤

Xe0 ≤1 ˆe X

(9.25) (9.26)

Der Bereich II soll hier nicht weiter untersucht werden, da die Vorgehensweise im Prinzip dem Vorgehen im Bereich I gleicht (siehe [116]). Allgemein soll nur noch auf folgendes hingewiesen werden: Bei einer Steuerwinkel¨anderung ˆ e > 4/p) schneidet die Steuerspannung die Δα < −Δα∗ = −360◦ /p (ΔXe /X nachfolgende Spannungsrampe unabh¨angig vom Z¨ undzeitpunkt immer bereits w¨ahrend des Verstellvorganges. In diesem Fall ist also nur noch der Bereich II (Wartezeit Tw2 ) vorhanden. Stellglied mit linearer statischer Kennlinie (Stellgliedtyp 2) Der Vorteil des Stellgliedtyps 2 ist in der konstanten, arbeitspunktunabh¨angigen Verst¨arkung zu sehen. Nach Gl. (9.5) gilt im Arbeitspunkt bei Vernachl¨assigung des induktiven Gleichspannungsabfalls Dx : Ud = Udi0 ·

π Xe0 Xe0 p = Uˆ · · sin · ˆ ˆe π p X Xe

dUd Udi0 = = VSTR = const. ˆe dXe0 X mit

Xe0 :

konstante Eingangsspannung vor der Spannungsverstellung

(9.27) (9.28)

336

9 Netzgef¨ uhrte Stromrichter

F¨ ur die dynamischen Eigenschaften des Stellgliedtyps 2 gelten wieder die Gleichungen (9.14) bis (9.21). Zur Berechnung der Wartezeit Tw1 f¨ ur den Stellgliedtyp 2 im Bereich I (α → 0◦ ) m¨ ussen daher die auf Gl. (9.4) basierenden Zusammenh¨ange α0 = arccos

Xe0 ˆe X

Δα = arccos

Xe0 Xe1 − arccos ˆ ˆe Xe X

(9.29) (9.30)

ˆ e ist dabei die in Gl. (9.21) eingesetzt werden. Als g¨ ultiger Bereich f¨ ur ΔXe /X aus Gl. (9.14) abgeleitete Gl. (9.31) zu beachten.

ΔXe Xe0 Xe0 2π Stellgliedtyp 2: 0≤ − ≤ cos arccos − (9.31) ˆ ˆ ˆe p Xe Xe X Ebenso wie bei Stellgliedtyp 1 gleicht auch in diesem Fall die Vorgehensweise f¨ ur den Bereich II (Wartezeit Tw2 ) im Prinzip dem gezeigten Vorgehen f¨ ur den Bereich I (siehe [116]). Er soll daher nicht gesondert untersucht werden.

9.3.2

Analyse des Stromrichterstellglieds bei einer Z¨ undwinkelverstellung in Richtung zunehmendem Steuerwinkel

Stellglied mit nichtlinearer statischer Kennlinie (Stellgliedtyp 1) Im Gegensatz zu einer Z¨ undwinkelverstellung in Richtung abnehmendem Steuerwinkel, bei der eine schnelle Reaktion des Stellglieds auf eine Steuerspannungs¨anderung festzustellen ist, kann bei einer Verstellung in Richtung zunehmendem Steuerwinkel ( α → 180◦ ) die Spannungsabsenkung nur auf einer der verketteten Spannungen des Spannungssystems N erfolgen (Abb. 9.8). Dieser Vorgang ben¨otigt aber proportional der geforderten Winkel¨anderung eine gewisse Zeit. Um diese Verh¨altnisse anschaulich zu erkl¨aren, wollen wir die Berechnung der Wartezeit Tw3 unter Zuhilfenahme von Abb. 9.8 durchf¨ uhren. Zur Vereinfachung der Berechnung nehmen wir den station¨aren Endzustand erst zum Zeitpunkt tˆ3 an. Dadurch werden virtuelle Z¨ undimpulse Zv , die das ¨ bereits durchgeschaltete Stromrichterventil beim Ubergang in den neuen station¨aren Endzustand noch einmal durchzuschalten versuchen, ber¨ ucksichtigt. Der Schnittpunkt von Xe und der Spannungsrampe, welcher zwischen t = 0 und dem Zeitpunkt des virtuellen Z¨ undimpulses Zv liegt, f¨ uhrt dabei nicht zu einem erneuten Durchschalten des Ventils. Im Gegensatz zu einer Aussteuerung α → 0◦ gilt bei einer Spannungsverstellung in Richtung α → 180◦ durch die Definition

9.3 Untersuchung des dynamischen Verhaltens netzgef¨ uhrter Stromrichterstellglieder

337

Ugi(t) ; Xe(t) ^ Xe; a=0°

a=90° (Xe=0V)

DXe Da

a=180°

virtueller Zündimpuls Zv

t=0 T

Xe

t

Da 0

UdIII(t)

A3 + -

+ -

-

t

* (t) UdIII Tw3 ^t 3

t1

DUd

t

A3

Abb. 9.8: Signalverl¨ aufe bei Aussteuerung in Richtung zunehmendem Steuerwinkel, α → 180◦ (Stellgliedtyp 1)

von Δα nach Gl. (9.12) immer: α1 ≥ α0

⇒

Δα ≥ 0

(9.32)

Aus diesem Grund muß in die nachfolgenden Gleichungen (9.33) bis (9.39) immer ein positives Δα eingesetzt werden. Bei einer Spannungsverstellung in Richtung α → 180◦ ist dar¨ uberhinaus die Aussteuerh¨ohe nicht auf Δα∗ begrenzt, sondern es gilt: 0 ≤ Δα ≤ π − α0

(9.33)

338

9 Netzgef¨ uhrte Stromrichter

Allgemein ergibt sich durch die Anwendung der erweiterten Wartezeitformel nach Gl. (9.11): Tw3 = tˆ3 − t1 − Δt mit

Δt =

(9.34)

A3 ΔUd

0 ≤ t1 < T

Δα tˆ3 = T 1 + p · 2π

(9.35) (9.36)

A3 und ΔUd k¨onnen zu 





pΔα π p π π sin α0 + +Δα −sin α0 − −2 1+ sin · cos α0 A3 = Uˆ · T · 2π p p 2π p (9.37) π p ΔUd = Uˆ · · sin · [cos(α0 + Δα) − cos α0 ] (9.38) π p berechnet werden. Damit gilt: Wartezeit Tw3 (α → 180◦ )

pΔα − t1 Tw3 = T · 1 + 2π     sin α0 + πp + Δα − sin α0 − πp −T · 2 sin πp · [cos(α0 + Δα) − cos α0 ]   1 + pΔα cos α0 2π +T · cos(α0 + Δα) − cos α0 mit

(9.39)

Δα ≥ 0

Die Gleichungen (9.36) bis (9.39) sind ebenfalls unabh¨angig vom Stellgliedtyp g¨ ultig. Zur Berechnung der Wartezeit Tw3 f¨ ur den Stellgliedtyp 1 (α → 180◦ ) m¨ ussen die bereits bekannten Voraussetzungen f¨ ur den Stellgliedtyp 1, Gl. (9.22) und (9.23) in Gl. (9.39) eingesetzt werden. ˆ e ist dabei der aus Gl. (9.33) abgeleitete Bereich Als g¨ ultiger Bereich f¨ ur ΔXe /X nach Gl. (9.40) zu beachten.

9.4 Diskussion der Ergebnisse

−1 −

Xe0 ΔXe ≤ ≤0 ˆ ˆe Xe X

339

(9.40)

Formal sind die Gleichungen (9.39) und (9.21) identisch, jedoch ergeben sich durch die unterschiedlichen G¨ ultigkeitsbereiche f¨ ur Δα bzw. ΔXe unterschiedliche Wartezeiten. Stellglied mit linearer statischer Kennlinie (Stellgliedtyp 2) Zur Berechnung der Wartezeit Tw3 f¨ ur den Stellgliedtyp 2 (α → 180◦ ) m¨ ussen die Voraussetzungen nach Gl. (9.29) und (9.30) f¨ ur den Stellglieˆ e ist dtyp 2 in Gl. (9.39) eingesetzt werden. Als G¨ ultigkeitsbereich f¨ ur ΔXe /X ebenfalls Gl. (9.40) zu beachten.

9.4

Diskussion der Ergebnisse

Im vorigen Kapitel 9.3 wurden die Gleichungen f¨ ur die Wartezeiten Twi f¨ ur 1. Aussteuerung in Richtung abnehmendem Steuerwinkel α → 0◦ (Tw1 , Tw2 ) und 2. Aussteuerung in Richtung zunehmendem Steuerwinkel α → 180◦ (Tw3 ) abgeleitet. Die Gleichungen der Wartezeiten Twi sind unabh¨angig vom Typ des Stellglieds in beiden F¨allen Funktionen • vom Zeitpunkt t1 der Spannungsverstellung, undwinkelverstellung • von der Grundaussteuerung α0 und der Gr¨oße der Z¨ Δα, • bzw. von Xe0 und der Steuerspannungs¨anderung ΔXe . Zur Verdeutlichung der Großsignaleigenschaften des Systems Steuersatz–Stromrichter wird der vierdimensionale Raum mit den Achsen t1 , α0 , Δα (bzw. ΔXe ) und Tw durch die Schnitte bei verschiedenen Grundaussteuerungen α0 auf die Ebene mit den Achsen Tw und Δα (bzw. ΔXe ) zur¨ uckgef¨ uhrt. Die Ergebnisse der Analyse einer Systemanordnung mit p = 6 zeigen die Abbildungen 9.9 und 9.10. Um die Stellgliedcharakteristik zu ber¨ ucksichtigen, sind die Wartezeiten in beiden Abbildungen u ¨ber der Steuerspannungs¨anderung ΔXe aufgetragen. Zu beachten ist, daß bei Z¨ undwinkelverstellungen in Richtung abnehmendem Steuerwinkel (α → 0◦ , Abb. 9.9) ΔXe aufgrund von Gl. (9.24) positiv

340

9 Netzgef¨ uhrte Stromrichter

ist, w¨ahrend sich f¨ ur Winkel¨anderungen in Richtung zunehmendem Steuerwinkel (α → 180◦ , Abb. 9.10) durch Gl. (9.40) ein negatives ΔXe ergibt. Da bei Stellgliedtyp 1 zwischen α und Xe ein linearer Zusammenhang besteht, kann in diesem Fall Tw1 ebenso u ¨ber Δα aufgetragen werden. Hier muß jedoch beachtet werden, daß Δα ≤ 0 ist. Ein Vergleich beider Abbildungen zeigt deutlich die dynamische Unsymmetrie beider Stellglieder. Weiterhin ist in beiden F¨allen eine Abh¨angigkeit von der Grundaussteuerung α0 zu erkennen. Die in den Abbildungen dargestellten Kurven Twu und Twg ergeben sich in Abh¨angigkeit vom Zeitpunkt t1 der Steuerspannungsverstellung. • Die obere Grenzkurve mit den ung¨ unstigen (maximalen) Wartezeiten Twu wird durch Z¨ undwinkelverstellungen bei α → 0◦ zum Zeitpunkt t1 = 0 (Bereich I), bzw. t1 = T (Bereich II) festgelegt. Bei α → 180◦ kommen die maximalen Wartezeiten durch ein Schalten ebenfalls bei t1 = 0 zustande. • Z¨ undwinkelverstellungen zum Zeitpunkt t1 = tˆ1 (f¨ ur α → 0◦ , Bereich I und II), bzw. t1 = T (f¨ ur α → 180◦ ) bedingen die untere Grenzkurve Twg mit den g¨ unstigen (minimalen) Wartezeiten. Die von diesen beiden Grenzkurven eingeschlossene Fl¨ache wird Wartezeitbereich genannt. Zus¨atzlich sind in den Abbildungen die Kurven der mittleren Wartezeit Twm eingetragen; diese entspricht jeweils dem Erwartungswert. Ein u ¨berraschendes Ergebnis sind die negativen Wartezeiten. Sie k¨onnen jedoch durch eine Gegen¨ uberstellung der bisher eingef¨ uhrten Wartezeitgleichungen Gl. (9.6) Tw = tˆ1 − t1 Gl. (9.11) Tw1 = tˆ1 − t1 − Δt und Gl. (9.34) Tw3 = tˆ3 − t1 − Δt erkl¨art werden. Negative Wartezeiten werden immer dann auftreten, wenn der Term Δt in Gl. (9.11) und (9.34) dominiert, d.h. wenn die Steuerspannungsbzw. die Winkel¨anderung an der oberen Grenze des jeweiligen Zeitbereichs stattfindet (t1 → tˆ1 ). Eine negative Wartezeit ist somit ein Hinweis auf einen dynami¨ ¨ schen Uberschuß an Spannungszeitfl¨ache und eine dynamische Uberverstellung der Ausgangsspannung des Stellglieds. W¨ urde z.B. im Bereich I mit t1 → tˆ1 extrem sp¨at geschaltet (vgl. Abb. 9.7), so w¨ urde der nach dem Spannungszeitfl¨achenausgleich resultierende Spannungsmittelwert Ud∗I (t) am Ausgang des

9.4 Diskussion der Ergebnisse

341

p =6 fN = 50Hz

Tw1 , Tw2 ms ms 2

Twu 1 1

2

3

4

DXe V

Twm -1

a0 = 60°

Twg

-2

Tw1 Stellgliedtyp 1 ^ ( 1- 2a0) Tw2 Xe0=X e p Tw1 Stellgliedtyp 2

Tw1 , Tw2 ms ms

^ Xe0=Xe cos(a0) ^ = 10 V X

2

Twu

e

1 1

2

3

4

8

Twm a0 = 90°

-1

DXe V

Twg

-2

Tw1 , Tw2 ms ms 2

Twu

1

Twm 1

-1

2

Twg

3

4

8

a0 = 150°

DXe V

-2

Abb. 9.9: Wartezeiten Tw1 , Tw2 bei einer Z¨ undwinkelverstellung in Richtung abnehmendem Steuerwinkel (α → 0◦ ); Stellgliedtyp 1 und Stellgliedtyp 2

342

9 Netzgef¨ uhrte Stromrichter

p =6 fN = 50Hz

Tw3 ms

Twu

4

Twm

2

Twg -2

-4

-8

-10

-12

-2

-14

-16

a0 = 30°

-DXe V

Stellgliedtyp 1 ^ ( 1- 2a0) Xe0=X e p Stellgliedtyp 2

Tw3 ms 4

Twu

2

Twm

^ cos(a ) Xe0=X e 0 ^ X = 10 V e

Twg -2

-8

-10 -DXe

V

-2

a0 = 90°

Tw3 ms 4

Twu 2

Twm -2

-2

Twg -6 -DXe V

a0 = 120°

Abb. 9.10: Wartezeiten Tw3 bei einer Z¨ undwinkelverstellung in Richtung zunehmendem Steuerwinkel (α → 180◦ ); Stellgliedtyp 1 und Stellgliedtyp 2

9.4 Diskussion der Ergebnisse

343

Stromrichters schon vor dem Zeitpunkt t1 der Z¨ undwinkelverstellung anzusteigen beginnen, da das Δt der großen positiven Spannungszeitfl¨ache gegen¨ uber der Zeit tˆ1 − t1 u urde. ¨berwiegen w¨ Die obigen Ergebnisse werden in Kap. 11 bei der Approximation des Systems mit der Beschreibungsfunktion best¨atigt. In diesem Fall sind die Amplitude und Phase des Ausgangssignals Ud (t) abh¨angig von der Phasenlage des Eingangssignals Xe bezogen auf das Spannungssystem N, von der Grundaussteuerung α0 und von der Amplitude des Eingangssignals. Aussteuerung in Richtung abnehmendem Steuerwinkel (α → 0◦) Als Ergebnisse bei einer Aussteuerung α → 0◦ lassen sich folgende Punkte festhalten (Abb. 9.9): • Bei kleinen Winkel¨anderungen Δα bzw. ΔXe existiert im Z¨ undintervall nur noch der Bereich I. F¨ ur Twu und Twg ergeben sich daher maximale Werte. • Mit zunehmendem Betrag von Δα bzw. ΔXe wird der Wartezeitbereich kleiner. Ursache daf¨ ur ist, daß mit zunehmendem Betrag von Δα der Bereich I geringer wird und der Bereich II zunimmt. Dadurch wandert die Obergrenze des Bereichs I in Richtung des Z¨ undintervallanfangs (tˆ1 → 0) und die maximal auftretende Wartezeit Twu reduziert sich. Das Stellglied verh¨alt sich somit aufgrund der signalabh¨angigen Z¨ undimpulsbildung im Steuerger¨at wesentlich g¨ unstiger als ein Abtaster mit a¨quidistanten Tastzeitpunkten. • Nach jedem Z¨ undimpuls ist die Ausgangsspannung Ud (t) des Stromrichterstellglieds im interessierenden Z¨ undwinkelbereich gr¨oßer als der dem Z¨ undimpuls entsprechende Mittelwert Ud . Es wird daher eine Spannungszeitfl¨ache erzeugt, die im station¨aren Betrieb des Stellglieds erst bei dem nachfolgenden Z¨ undimpuls auf Null abgebaut ist. Infolgedessen verh¨alt sich das Stromrichterstellglied aus der Sicht des Stromrichters g¨ unstiger als ein Halteglied nullter Ordnung. Bei einer Z¨ undwinkelverstellung an der oberen Grenze von Bereich I (t1 → tˆ1 ) kann diese zus¨atzliche Spannungszeitfl¨ache nicht mehr abgebaut werden und f¨ uhrt aufgrund des zugeh¨origen Δt > tˆ1 − t1 zu negativen Wartezeiten Twg . Mit zunehmendem Betrag von Δα verk¨ urzt sich die Zeit tˆ1 , in der sich eine Spannungszeitfl¨ache aufbauen kann, und der Betrag von Twg sinkt. Dies gilt in gleicher Weise f¨ ur Bereich II. Aussteuerung in Richtung zunehmendem Steuerwinkel (α → 180◦) Zum Verhalten des Stellglieds bei α → 180◦ (Abb. 9.10) k¨onnen folgende Aussagen gemacht werden:

344

9 Netzgef¨ uhrte Stromrichter

• Es kann festgestellt werden, daß der charakteristische Verlauf der Wartezeitkennlinien unabh¨angig vom Stellgliedtyp ist. Aufgrund der insgesamt geringeren Wartezeiten verh¨alt sich der Stellgliedtyp 2 dynamisch etwas g¨ unstiger als ein Stellglied vom Typ 1. • Bei zunehmendem Betrag der Winkel¨anderung erh¨oht sich die Zeit tˆ3 − t1 zwischen dem Zeitpunkt der Steuerspannungsverstellung und der station¨aren Z¨ undung des nachfolgenden Ventils aufgrund des Verlaufs der Spannungsrampen. Daraus resultiert in Abb. 9.10 f¨ ur beide Grenzwertkurven Twu und Twg wie auch f¨ ur Twm ein ansteigendes Verhalten. Da die Kurven f¨ ur Twu und Twg etwa parallel ansteigen, bleibt der Wartezeitbereich konstant. Zusammenfassung Die aus den bisherigen Untersuchungen gewonnenen Erkenntnisse lassen sich wie folgt zusammenfassen: • Das Stellglied kann unabh¨angig vom Typ den Gleichspannungsmittelwert schnell in positiver Richtung erh¨ohen, aber nur langsam in negativer Rich¨ tung absenken. Die Unsymmetrie bei den Ubergangsfunktionen (Abb. 7.9) ist somit verst¨andlich, da bei positiven Sollwertspr¨ ungen der Gleichspannungsmittelwert im allgemeinen in positiver Richtung u ¨berverstellt wird und nicht schnell genug nach dem Erreichen des Sollwertes zur¨ uckgenom¨ men werden kann; ein Uberschwingen ist die Folge. In umgekehrter Richtung wird dieser Vorgang bei einem negativen Sollwertsprung durchlaufen, ¨ das Uberschwingen wird in diesem Fall tendenziell unterdr¨ uckt. • Bei beiden Typen von Stromrichterstellgliedern kann die Ausgangsspannung Ud (t) nur auf einer Phasenspannung des Spannungssystems N abgesenkt werden; die Zeit, die f¨ ur eine Spannungsabsenkung ben¨otigt wird ist, abh¨angig von Δα (bzw. ΔXe ) und 1/fN . • Durch die Welligkeit der Ausgangsspannung Ud (t) des Stellglieds im station¨aren Zustand tritt außerdem eine Unsymmetrie im Kleinen auf. Diese zus¨atzliche Unsymmetrie ist in Abb. 9.7 und 9.8 (grobe Schraffur) zu ¨ erkennen und vergr¨oßert die Tendenz zum Uberschwingen bei positiven Sollwertspr¨ ungen bzw. verkleinert sie bei negativen Sollwertspr¨ ungen, da ¨ nach einer Anderung des Z¨ undwinkels α bei der ersten neuen station¨aren Z¨ undung eines Stromrichterventils die Ausgangsspannung Ud (t) gr¨oßer ist als der zugeh¨orige Mittelwert Ud . Diese Unsymmetrie im Kleinen ist wie die Unsymmetrie im Großen von der Grundaussteuerung α0 abh¨angig.

9.5 Laufzeitn¨ aherung f¨ ur das Großsignalverhalten, Symmetrierung

9.5

345

Laufzeitn¨ aherung fu ¨r das Großsignalverhalten, Symmetrierung

In den vorangegangenen Abschnitten wurden die dynamischen Eigenschaften von Stromrichterstellgliedern beschrieben. Die wesentlichen Ergebnisse waren, daß die netzgef¨ uhrten Stellglieder die Ausgangsspannung im statistischen Mittel nahezu verz¨ogerungslos erh¨ohen (α → 0◦ ), aber nur mit begrenzter Geschwindigkeit absenken (α → 180◦ ) k¨onnen. Diese dynamische Unsymmetrie war Ursache der in Abb. 7.9 erhaltenen praktischen Ergebnisse. Um die unerw¨ unschten Einfl¨ usse der dynamischen Unsymmetrie zu vermeiden, m¨ ussen geeignete Maßnahmen auf der Seite der Signalverarbeitung vorgesehen werden. Es erscheint zun¨achst naheliegend, die Reglerverst¨arkung bei einer geforderten Ausgangsspannungserh¨ohung aufgrund der geringen Wartezeit groß zu w¨ahlen, um die dynamischen M¨oglichkeiten des Regelkreises voll auszunutzen. Wie die Ergebnisse aus Abb. 7.9 aber gezeigt haben, f¨ uhrt eine hohe Verst¨arkung ¨ des Reglers bei einer Ausgangsspannungserh¨ohung zu einer Uberverstellung der Ausgangsspannung. Dies ist aber zun¨achst nicht in jedem Fall als negatives Reg¨ lerverhalten zu werten, wenn die Regelung das Uberschwingen ebenso schnell wieder reduzieren kann. Durch die Unsymmetrie des Stellglieds, die sich bei ¨ Spannungsabsenkung in einer verl¨angerten Wartezeit auswirkt, kann das Uberschwingen der Spannung jedoch nur sehr langsam abgebaut werden. Ein solches Verhalten ist unerw¨ unscht und kann dar¨ uberhinaus die Stabilit¨at des Regelkreises gef¨ahrden. Die dynamische Unsymmetrie muß somit durch eine dynamische Begrenzung der Aussteuerung in Richtung α → 0◦ kompensiert werden. Keinesfalls darf die begrenzte Verstellgeschwindigkeit bei α → 180◦ noch weiter verlangsamt werden. Es stellt sich die Frage, auf welchen Wert die Begrenzung der Verstellgeschwindigkeit eingestellt werden muß, um dynamisch gleichwertiges Verhalten zu erzielen und um damit f¨ ur beide Verstellrichtungen gleiche Reglerparameter zu erhalten. Durch einen Vergleich von Abb. 9.9 und 9.10 und aus den vorangegangenen Untersuchungen l¨aßt sich erkennen, daß die Verringerung des Wartezeitbereichs von Tw1 bzw. Tw2 bei zunehmender Aussteuerung Δα bzw. ΔXe durch die Funktion des Steuersatzes bedingt ist und somit nicht ein identischer Wartezeitbereich und -verlauf zu Tw3 zu erzielen ist. Es verbleibt daher nur die M¨oglichkeit im statistischen Mittel die Wartezeitverl¨aufe m¨oglichst gut anzun¨ahern, d.h. der Verlauf der mittleren statistischen Wartezeiten Tw1m und Tw2m als Funktion von Δα bzw. ΔXe mit dem Parameter α0 sollen der mittleren statistischen Wartezeit Tw3m angen¨ahert werden. Bei einer Aussteuerung α → 180◦ ¨andert sich der Steuerwinkel beim Stellgliedtyp 1 (nichtlineare statische Kennlinie) synchron mit dem Netzwinkel, die Winkel¨anderungsgeschwindigkeit betr¨agt in diesem Fall also 1◦ Steuerwinkel pro 1◦ Netzwinkel. Um eine Ann¨aherung der Wartezeiten zu erreichen, muß daher bei einer Aussteuerung α → 0◦ eine dynamische Anpassung an diese Winkel¨ande-

346

9 Netzgef¨ uhrte Stromrichter

rungsgeschwindigkeit erfolgen. In gleicher Weise wird beim Stellgliedtyp 2 (lineare statische Kennlinie) verfahren. in diesem Fall muß jedoch beachtet werden, daß die maximal zul¨assige Winkel¨anderung vom Arbeitspunkt α0 bzw. Xe0 abh¨angig ist. Iq = const.

XeS

-r

r? @ @ @B @  P PP    @B @ @ @ r @r @ B @ @ @ P  PP  @B @ @ @ @r

Q Q - +Q

-r

−

Q

Q 

r

Xe



 

Iq = const.

?

 QQ

D

r

C

Abb. 9.11: Analoge Ausf¨ uhrung der dynamischen Symmetrierung f¨ ur Stellgliedtyp 1

Die praktische Realisierung der dynamischen Symmetrierung kann entsprechend den ger¨atetechnischen Komponenten erfolgen. Abbildung 9.11 zeigt eine m¨ogliche analoge L¨osung. Bei dieser L¨osung wird angenommen, daß α → 0◦ eine Erh¨ohung von XeS erfordert, w¨ahrend α → 180◦ eine Spannungsverminderung erfordert. Im station¨aren Betrieb ist XeS = Xe , wenn die Durchlaßspannungen des Diodenquartetts gleich sind. Wenn die Spannung XeS vergr¨oßert wird, sperren zwei Dioden des Diodenquartetts und der Kondensator C wird durch den konstanten Strom Iq geladen. Der Spannungsanstieg von Xe wird somit begrenzt. Wird dagegen die Spannung verringert, wird u ¨ ber die Diode D der Kondensator C sehr schnell entladen, so daß in diesem Fall keine Verz¨ogerung der Aussteuerung erfolgt. Der Verlauf der Spannung Xe muß beim Stellgliedtyp 1 so eingestellt wer¨ den, daß die maximal zul¨assige Anderungsgeschwindigkeit 1◦ Steuerwinkel pro ◦ 1 Netzwinkel nicht u ¨berschritten wird. Damit darf sich Xe h¨ochstens entsprechend der Steigung der Steuerspannungsrampen Ugi ¨andern. Die Abbildungen 9.12 und 9.13 zeigen f¨ ur p = 6-pulsige Stellglieder beider Typen die Auswirkung der dynamischen Symmetrierung. Dargestellt sind jeweils die Kurven f¨ ur Tw3 , deren Verlauf angen¨ahert werden soll, und beispielhaft f¨ ur den Gleichrichterbetrieb die mittlere Wartezeit Tw1s . Da die Vorzeichen von Δα bzw. ΔXe bei einer Spannungsverstellung in Richtung abnehmendem und zunehmendem Steuerwinkel unterschiedlich sind, ist auf der Abszisse jeweils der Betrag der Steuergr¨oße aufgetragen. Aus den Abbildungen ist zu erkennen, daß eine gute Anpassung von Tw1s an Tw3m erreicht werden konnte. Beim Stellgliedtyp 2 liegen die Ergebnisse gegen¨ uber dem Stellgliedtyp 1 noch etwas g¨ unstiger.

9.5 Laufzeitn¨ aherung f¨ ur das Großsignalverhalten, Symmetrierung

Twu Tw ms

347

p =6 fN = 50Hz

Twm

2 1

Twg 2

4

8

|DXe| V

10

-1

a0 = 60°

-2

Tw1s Tw3

^ = 10 V X e

Twu

Tw ms 2

Stellgliedtyp 1 ^ ( 1- 2a0) Xe0=X e p

Twm

1

Twg 2

8

4

-1

|DXe| V a0 = 90°

-2

Tw ms

Twu Twm

2 1 2 -1 -2

4

Twg

6

8

10

|DXe| V a0 = 120°

Abb. 9.12: Wartezeit nach der Symmetrierung Tw1s im Vergleich zu Tw3 (Stellgliedtyp 1)

348

9 Netzgef¨ uhrte Stromrichter

p =6 fN = 50Hz Twu Tw ms

Twm

2 1

Twg

-1

|DXe| V

-2

a0 = 60°

2

6

4

10

12

14

Tw1s Stellgliedtyp 2 Tw3 Tw ms

Twu

2

Twm

^ Xe0=Xe cos(a0) ^ = 10 V X e

1

Twg 2

4

|DXe| V

6

-1

a0 = 90°

-2

Tw ms

Twu Twm

2 1 2 -1 -2

6

4

Twg

8

10

|DXe| V a0 = 120°

Abb. 9.13: Wartezeit nach der Symmetrierung Tw1s im Vergleich zu Tw3 (Stellgliedtyp 2)

9.6 Großsignal-Approximationen f¨ ur netzgef¨ uhrte Stromrichterstellglieder

349

Im Wechselrichterbetrieb muß unbedingt darauf geachtet werden, daß ein Wechselrichterkippen durch zu hohe Aussteuerung vermieden wird. Die maximale Aussteuerung im Wechselrichterbetrieb wird daher auf ¨ αmax = 180◦ − Uberlappungswinkel u¨ − Schonzeit der Thyristoren γ = 150◦ (9.41) gesetzt. Aus Symmetriegr¨ unden wird im Gleichrichterbetrieb der kleinste Aussteuerwinkel zu αmin = 30◦ (9.42) gew¨ahlt. Diese Funktion wird im allgemeinen durch ein Bauteil mit Begrenzerfunktion u ¨ bernommen (Abb. 9.1).

9.6

Großsignal-Approximationen fu ¨r netzgefu ¨hrte Stromrichterstellglieder

In den vorangegangenen Abschnitten wurde eine Laufzeitn¨aherung f¨ ur das Großsignalverhalten erarbeitet. Um die dabei erhaltenen Erkenntnisse bei der Optimierung eines antriebstechnischen Regelsystems nutzen zu k¨onnen, muß eine einfache N¨aherung des Stellglieds auf Basis dieser Erkenntnisse gefunden werden. Es ist daher naheliegend, die dynamischen Eigenschaften des Stellglieds durch eine globale Ersatz-Totzeit zu approximieren. Die Berechnung dieser N¨aherung ist allerdings nur nach der dynamischen Symmetrierung m¨oglich und sinnvoll, da sich das Stellglied nur dann im statistischen Mittel bei einer Aussteuerung in Richtung α → 0◦ und in Richtung α → 180◦ nahezu gleich verh¨alt. Aus den vorigen Abschnitten ist bekannt, daß die Wartezeit Tw unabh¨angig vom Stellgliedtyp eine Funktion des Zeitpunkts t1 , der Z¨ undwinkel¨anderung Δα (bzw. ΔXe ) und der Grundaussteuerung α0 ist. Tw = f (α0 , Δα, t1 )

(9.43)

Die Ersatzlaufzeit TE , die im statistischen Sinne als Erwartungswert der Zufallsgr¨oße Tw zu verstehen ist, kann durch eine Integration u ¨ ber die unabh¨angigen Variablen α0 , Δα und t1 mit anschließender Mittelwertbildung gewonnen werden. 1 TE = α02 − α01

α02 α01

1 Δˆ α

Δαˆ 0

1 T

T Tw dt1 d(Δα) dα0

(9.44)

0

Wie aus Abb. 9.12 abgelesen werden kann, sind die Wartezeiten Tw3 bei einer Z¨ undwinkelver¨anderung α → 180◦ h¨ochstens 8 % gr¨oßer als der statistische Mittelwert der Wartezeiten Tw1s nach der dynamischen Symmetrierung bei einer entsprechenden Z¨ undwinkel¨anderung in der Richtung α → 0◦ . Aufgrund dieser Tatsache wollen wir, um eine Absch¨atzung der Ersatzlaufzeit TE auf der

350

9 Netzgef¨ uhrte Stromrichter

ung¨ unstigen Seite zu erhalten, die Wartezeit Tw3 nach Gl. (9.39) bei der Berechnung verwenden. Um außerdem die Ersatzlaufzeit TE auch bei einer u ¨berschl¨agigen Synthese von Regelkreisen mit Umkehrstromrichtern verwenden zu k¨onnen, m¨ ussen wir wieder eine Begrenzung der Grundaussteuerung α0 im Bereich αmin = 30◦ ≤ α0 ≤ αmax = 150◦ annehmen. Unter dieser Voraussetzung gilt f¨ ur beide Stellgliedtypen:

1 TE = α02 − α01

−T

α02 α01

 sin α0 + 2 sin πp

1 Δˆ α

Δαˆ

1 T

0

T 

pΔα ) − t1 2π

T (1 + 0

  + Δα − sin α0 − πp 

⎤  cos α0 1 + pΔα 2π ⎦ +T · (cos(α0 + Δα) − cos α0 ) cos(α0 + Δα) − cos α0 π p



dt1 d(Δα) dα0

(9.45)

mit α01 =

π ≤ 6

α0

≤ α02 =

0 ≤ Δα ≤ 0≤

t1

5π 6

(9.46)

5π − α0 6

(9.47)

≤T

(9.48)

Dieses Integral kann entweder analytisch (mit großem Aufwand) oder numerisch ausgewertet werden. Zur Berechnung der Ersatzlaufzeit TE1 des Stellgliedtyps 1 m¨ ussen die durch die Gleichungen (9.22) und (9.23) festgelegten Zusammenh¨ange zwischen α und Xe beachtet werden. F¨ ur die Ersatzlaufzeit TE2 von Stellgliedtyp 2 gelten die Gleichungen (9.29) und (9.30). Unter diesen Vorraussetzungen und der Annahme fN = 50 Hz ergeben sich f¨ ur TE1 und TE2 die nachfolgenden Werte. Zum Vergleich ist zus¨atzlich der Erwartungswert TE nach Gl. (9.7) eingetragen:

Pulszahl

TE nach Gl. (9.45) Stellgliedtyp 1

p=2 p=3 p=6 p = 12 p = 24

TE1 TE1 TE1 TE1 TE1

= 1, 88 ms = 1, 23 ms = 0, 91 ms = 0, 84 ms = 0, 82 ms

TE nach Gl. (9.45)

TE =

1 2pfN

Stellgliedtyp 2

TE2 TE2 TE2 TE2 TE2

= 1, 80 ms = 1, 18 ms = 0, 86 ms = 0, 79 ms = 0, 77 ms

TE TE TE TE TE

= 5 ms = 3, 3 ms = 1, 67 ms = 0, 833 ms = 0, 42 ms

9.6 Großsignal-Approximationen f¨ ur netzgef¨ uhrte Stromrichterstellglieder

351

Mit diesen Ergebnissen k¨onnen die Ersatzsysteme nach Abb. 9.14 und 9.15 f¨ ur dynamisch symmetrierte Stromrichterstellglieder aufgestellt werden. Die angegebenen Ersatzsysteme eignen sich gut zur Synthese von Regelkreisen mit symmetrierten Stromrichterstellgliedern, da der rechentechnische Aufwand bei der Optimierung gering ist. ¨ Eine Ubertragung der Ergebnisse auf Stromrichterstellglieder, die von einem Drehspannungssystem mit der Frequenz fN statt mit der Frequenz 50Hz gespeist werden, ist mit folgender Formel m¨oglich: TE = TEi ·

Xe ˆe X

-

-

50 Hz fN

e−sTE1

(9.49)

-U

d

      statisches dynamisches Verhalten Abb.9.14: Ersatzsystem f¨ ur ein dynamisch symmetrisches Stellglied vom Typ 1 (nichtlineare statische Kennlinie)

Xe ˆe X

-

-

e−sTE2

-U

d

Abb. 9.15: Ersatzsystem f¨ ur ein dynamisch symmetrisches Stellglied vom Typ 2 (lineare statische Kennlinie)

Durch die dynamische Symmetrierung von netzgef¨ uhrten Stromrichterstellgliedern ergeben sich die folgenden praktischen Auswirkungen: 1. Die dynamische Symmetrierung erm¨oglicht die Berechnung einer einfachen N¨aherung des Großsignalverhaltens. 2. Die dynamische Symmetrierung erm¨oglicht eine gr¨oßere Verst¨arkung des offenen Regelkreises, d.h. die Verz¨ogerungszeitkonstante des innersten, geschlossenen Regelkreises wird unabh¨angig vom ansteuernden Signal kleiner und damit die Regelg¨ ute gr¨oßer. 3. Durch die bessere Dynamik des inneren Regelkreises kann die Dynamik aller u ¨berlagerter Regelkreise verbessert werden.

352

9 Netzgef¨ uhrte Stromrichter

4. Mehrfachimpulse, die ohne dynamische Symmetrierung durch die Oberschwingungen in der Ausgangsspannung des Stellglieds bei einer hohen Kreisverst¨arkung ausgel¨ost werden k¨onnen, werden vermieden (gr¨oßere St¨orsicherheit). 5. Die dynamische Symmetrierung erm¨oglicht bei kreisstrombehafteten Umkehrstromrichtern die Verringerung der Typenleistung der Kreisstromdrosseln, da die dynamische Spannungszeitfl¨achen-Beanspruchung der Kreisstromdrosseln vermindert wird. ¨ Praktische Uberpr¨ ufung der Großsignaln¨ aherung Das Ergebnis des vorherigen Abschnittes, die neue N¨aherung, die das Großsignalverhalten des Stellglieds ber¨ ucksichtigt, soll an einem Stromregelkreis u uft ¨berpr¨ werden. Es wird ein Regelkreis nach Abb. 7.7 vorausgesetzt, das Stromrichterstellglied soll ein sechspulsiges, kreisstromarmes Stellglied vom Typ 2 sein (lineare statische Kennlinie). Die Regleroptimierung erfolgt wie in Kap. 7.1.1. Damit ergibt sich die Amplitudendurchtrittsfrequenz zu: ωd = 26, 5◦ ·

π rad = 538 180◦ · Tt s

(9.50)

mit Tt = TE2 = 0, 86 ms; p = 6; fN = 50 Hz. Aus der Forderung |F0 (jωd )| = 1 ergibt sich f¨ ur die Reglerverst¨arkung VR nach Gl. (7.26) TA · rA · ωd VR = (9.51) VST R Mit der Annahme rA /VST R = 1 wird VR /TA zu: VR rad = KI, opt = ωd = 538 TA s

(9.52)

Die praktischen Ergebnisse zeigt Abb. 9.16. Als Leistungsteil wurde dabei ein dynamisch symmetrierter kreisstromarmer Umkehrstromrichter eingesetzt. Auf dessen Aufbau und Funktionsweise soll an dieser Stelle nicht n¨aher eingegangen werden, da dies in [44, 45] ausf¨ uhrlich behandelt wird. Bei der Bezeichnung der dargestellten Signale wurde die in [44, 45] verwendete Nomenklatur zugrundegelegt. Die Ergebnisse best¨atigen die theoretischen Vorhersagen. In Abb. 9.16a ist die eine gute Dynamik des Regelkreises zu erkennen; die An- und Ausregelzeiten betragen im statistischen Mittel etwa tan = 6 ms, taus = 8 ms. Im Verlauf des ¨ Laststromistwertes tritt trotz der guten Dynamik kein Uberschwingen auf. Durch die Abb. 9.16b und 9.16c soll gezeigt werden, daß Umkehrstromrichter auch bei Sollwertfrequenzen > 25 Hz noch einwandfrei arbeiten und damit in der Praxis auch in diesem Frequenzbereich eingesetzt werden k¨onnen. Die gute

9.6 Großsignal-Approximationen f¨ ur netzgef¨ uhrte Stromrichterstellglieder

353

a) Stromumkehr von -In auf + In

idI

Nulldurchgang von id

id idII w 5 ms

b) Stromumkehr I = In f = 50 Hz w id

c) Stromumkehr I=

In

f = 70 Hz w id 5 ms idI : Strom im Stromrichter I w : Laststromsollwert idII : Storm im Stromrichter II id : Laststromistwert unterschiedliche Maßstäbe !

Abb.9.16: Ergebnisse bei einem kreisstromarmen symmetrierten Umkehrstromrichter, KI ≈ KI, opt

¨ Ubereinstimmung zwischen Theorie und praktischen Ergebnissen gilt allerdings nur bei nichtl¨ uckendem Strom. Bei l¨ uckendem Strom ergeben sich wesentlich ung¨ unstigere Ergebnisse. Abb. 9.17 zeigt die Stromumkehr bei einem kreisstromfreien Umkehrstromrichter (auch hier sei wieder auf [44, 45] verwiesen). Bei diesem Stellglied wird im allgemeinen der Gleichstrom nicht per elektronischem Gleichstromwandler vorzeichenrichtig gemessen, sondern es wird mit zwei Wechselstromwandlern und mit einer Diodenbr¨ ucke das Abbild des Gleichstroms auf der Drehspannungsseite gemessen (siehe Abb. 8.15); eine solche Messung zeigt daher das Vorzeichen des Gleichstroms nicht mehr. In Abb. 9.17 kann deshalb nur der Betrag des Gleichstroms dargestellt werden. Weiterhin ist zu beachten, daß bei einem kreisstromfreien Umkehrstromrichter jeweils nur das f¨ ur die jeweilige Stromrichtung zust¨andige Stromrichterstellglied angesteuert werden darf und damit — wegen der Freiwerdezeit der Thy-

354

9 Netzgef¨ uhrte Stromrichter

120 ms Stromumkehr

I

normale Einstellung

I = In Dt = 20ms/div

0

a Phase a: Phase b: Phase c: Phase d: Phase e:

b

c

d

e

t

nichtl¨ uckender Strom → Regler ist optimiert, ¨ daher schneller Ubergangsvorgang l¨ uckender Strom → Regler ist nicht optimiert, ¨ daher langsamer Ubergangsvorgang Stromnullpause l¨ uckender Strom → Regler ist nicht optimiert, ¨ daher langsamer Ubergangsvorgang nichtl¨ uckender Strom → Regler ist zwar optimiert, aber falsche Anfangsbedingungen, daher langsamer ¨ Ubergangsvorgang

¨ Abb. 9.17: Ubergangsvorgang bei einem kreisstromfreien Umkehrstromrichter

ristoren — beim Wechsel der Stromrichtung eine Stromnullpause (Phase c in Abb. 9.17) eingehalten werden muß. Ferner wird die Ausregelzeit umso langsamer, je kleiner der Stromsollwert ist. Eine genauere Untersuchung der Gr¨ unde dieser Verschlechterung der Dynamik erfolgt in Kap. 10. Hier sei nur bemerkt, daß im L¨ uckbereich des Stroms das Stellglied eine wesentlich geringere statische Verst¨arkung aufweist, die außerdem eine Funktion des Stroms ist und mit abnehmendem Strom sinkt. Au¨ ßerdem a¨ndert sich die Ubertragungsfunktion der Strecke, da die AnkerkreisZeitkonstante TA im L¨ uckbereich regelungstechnisch nicht mehr wirksam ist. Eine Untersuchung der Verh¨altnisse im L¨ uckbereich ist relativ einfach nur im z-Bereich m¨oglich, d.h. wenn eine Linearisierung um einen Arbeitspunkt angenommen wird. Die Grundkenntnisse der Abtasttheorie und der z-Transformation k¨onnen nicht allgemein vorausgesetzt werden. Es wird daher das Studium des Kapitels 6 empfohlen, welches die Abtasttheorie und die z-Transformation — einschließlich der digitalen Regelungsverfahren – einf¨ uhrend behandelt.

9.7 Zusammenfassung

9.7

355

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wurden verschiedene M¨oglichkeiten der regelungstechnischen Beschreibung von netzgef¨ uhrten Stromrichterstellgliedern untersucht. Als Ergebnisse lassen sich folgende Punkte festhalten: 1. Dynamische Unsymmetrie von Stromrichterstellgliedern Stromrichterstellglieder zeigen in der Reali¨at ein unsymmetrisches Verhal¨ ten bei dynamischen Uberg¨ angen. Mit der vereinfachten Approximation durch ein Totzeitglied mit Tt = TN /(2p) kann daher das Großsignalverhalten nicht ausreichend nachgebildet werden. 2. Kompensation des unsymmetrischen Verhaltens Durch eine entsprechende Schaltung ist es jedoch m¨oglich, die dynamische Unsymmetrie von Stromrichterstellgliedern nahezu vollst¨andig zu kompensieren. Basierend auf dieser Symmetrierung kann eine neue N¨aherung f¨ ur das regelungstechnische Modell der netzgef¨ uhrten Stellglieder entworfen werden. 3. Approximation des Großsignalverhaltens Eine Modellierung von Stromrichterstellgliedern durch diese N¨aherung mit globaler Ersatz-Totzeit nach Abb. 9.14 und 9.15 gibt bei nichtl¨ uckendem Strom das reale dynamische Verhalten sehr gut wieder. Sie ist daher zur schnellen und u ¨berschl¨agigen Berechnung der Reglerparameter bei der Synthese von Regelkreisen geeignet. Genereller Hinweis Die in den Abbildungen 9.2, 9.6, 9.7 und Abb. 9.8 dargestellte nichtlineare Abtastung des Signals Xe im Steuersatz, d.h. die Beeinflussung des Abtastzeitpunkts“ ” (Z¨ undzeitpunkt) durch das Signal Xe , ist eine generelle Eigenschaft leistungselektronischer Steuers¨atze. Die nichtlineare Abtastung ist in gleicher Weise bei selbsgef¨ uhrten Wechselrichtern beispielhaft auch in Kap. 15.3 — z.B. Abb. 15.23 — festzustellen. ∗ ∗ ∗ Wenn sich die Amplituden der Sollwertspannungen U1a , U1b , U1c des ge¨ forderten Drehspannungssystems ¨andern, dann findet aufgrund der Anderung der Schnittpunkte zwischen den Sollwertspannungen und der Dreiecksspannung ebenso eine zeitliche Verschiebung der Z¨ undbefehle statt. Dies ist noch offensichtlicher bei einer sinusf¨ormigen Sollwertvorgabe. Die weitere Signalverarbeitung im Leistungsteil ist aber unterschiedlich.

10 Untersuchung von Regelkreisen mit Stromrichtern mit der Abtasttheorie

Im Rahmen der in Kap. 9 vorgenommenen Untersuchungen wurde bei Betrieb des Stromregelkreises mit l¨ uckendem Strom eine erhebliche Verschlechterung der Dynamik festgestellt. In diesem Kapitel soll daher das Verhalten von Steuersatz und Stromrichter (siehe Abb. 9.1) in diesem Betriebsbereich untersucht und Gegenmaßnahmen erarbeitet werden. Eine solche Untersuchung ist mit vertretbarem Aufwand jedoch nur nach einer Linearisierung des Stromregelkreises am Arbeitspunkt durchf¨ uhrbar. Im folgen¨ den wird daher das Systemverhalten ausschließlich bei differentiellen Anderungen des station¨aren Zustands betrachtet. Unter diesen Voraussetzungen kann das Stromrichterstellglied auf ein Abtastsystem mit angen¨ahert konstanter Tastperiode zur¨ uckgef¨ uhrt werden, wodurch zus¨atzlich die Darstellung des Systems im z-Bereich erm¨oglicht wird. Analog zu Kap. 9 sollen bei der Ableitung des Modell-Abtastsystems Steuersatz und Stromrichter zun¨achst getrennt betrachtet werden. Dar¨ uberhinaus wollen wir uns bei den Untersuchungen auf einen linearen Steuersatz ohne dynamische Symmetrierung beschr¨anken. Um das allgemeine Verhalten des Stellgliedes bei differentieller Verstellung der Eingangsspannung zu verdeutlichen und um vergleichbare Ergebnisse mit dem in Kap. 9 entwickelten Laufzeitsystem zu erhalten, werden zun¨achst Steuersatz und Stromrichter bei nichtl¨ uckendem Strom untersucht. Auf diesen Erkenntnissen aufbauend wird anschließend der L¨ uckbetrieb betrachtet. Die Diskussion verschiedener M¨oglichkeiten der bereichs¨ ubergreifenden Regelung schließt das Kapitel ab. Analog zu Kap. 9 wollen wir auch die Ausf¨ uhrungen in diesem Kapitel, die Wahl der wichtigen Parameter des Stromrichterstellgliedes betreffend, m¨oglichst allgemein halten. Um die Anschaulichkeit jedoch nicht zu beeintr¨achtigen, werden die Untersuchungen am Beispiel des Stellgliedtyps 1 (nichtlineare statische Kennlinie, siehe Gl. (9.3)) vorgenommen. Diese Beschr¨ankung wurde gew¨ahlt, um in Kap. 11 einen Vergleich der unterschiedlichen Verfahren zur Untersuchung von netzgef¨ uhrten Stromrichterstellgliedern zu erm¨oglichen; eine Erweiterung des in diesem Kapitel vorgestellen Verfahrens ist aber auf beliebige Stromrichterstell¨ glieder ohne Anderung der Ableitung m¨oglich. Damit ist das Verfahren generell

357

¨ einsetzbar. Die folgenden Anderungen k¨onnen einzeln oder beliebig kombiniert vorgenommen werden: ¨ 1. Anderung der statischen Kennlinie ud = f (xe ), ¨ 2. Anderung der Pulszahl p des Stromrichterstellgliedes, ¨ 3. Anderung der Frequenz fN des Spannungssystems N, 4. Ber¨ ucksichtigung des Stroml¨ uckens, 5. Ber¨ ucksichtigung der Impedanz des Spannungssystems N (interessant bei ¨ HGU-Untersuchungen), 6. Ber¨ ucksichtigung einer vor dem Steuersatz eingebauten Symmetrierschaltung (siehe Abb. 9.11). Das vorliegende Verfahren ist infolgedessen zur Analyse und Synthese von beliebigen Regelkreisen mit Stromrichterstellgliedern geeignet. In Kap. 9 war das Stromrichterstellglied durch unnormierte Gr¨oßen beschrieben worden. Da f¨ ur die Grundlagen der Gleichstromnebenschlußmaschine, deren Streckenverhalten bei den folgenden Ausf¨ uhrungen als Beispiel herangezogen werden soll, bereits in Kap. 7 die normierte Darstellung verwendet wurde, wollen wir nun auf diese Darstellungsform u ¨ bergehen. Analog zu [36, 37, 38] werden die normierten Gr¨oßen wie folgt gebildet: Xe Xe Steuersatzeingangsspannung xe = = ˆ U RN Xe Ud Stromrichterausgangsspannung ud = UdN IA Ankerstrom iA = IAN EA induzierte Gegenspannung eA = UAN Die diesem Kapitel zugrundeliegenden Verfahren wurden in [116] entwickelt und in [119] und [121] erweitert. Abbildung 10.1 zeigt den Signalflußplan der Regelkreisanordnung, die unter der Annahme xe < 1 als Beispiel f¨ ur die Ableitungen in diesem Kapitel herangezogen werden soll. Die Regelkreisanordnung leitet sich aus dem Stromregelkreis der Gleichstromnebenschlußmaschine nach Abb. 7.1 ab, wenn eine EMKAufschaltung nach Abb. 7.2 vorausgesetzt wird. Bei konstantem Sollwert i∗A ergeben sich f¨ ur den Regelkreis nach Abb. 10.1 die in derselben Abbildung dargestellten station¨aren Signalverl¨aufe. Wie zu erkennen ist, sind aufgrund der Form der Ausgangsspannung ud des Stromrichters (Ausschnitte der Phasenspannungen) alle Signale in der Informationsverarbeitung oberschwingungsbehaftet. Um die Auswirkungen der Signalwelligkeit untersuchen zu k¨onnen, wollen wir annehmen, daß kein Tiefpaß im R¨ uckf¨ uhrkanal vorhanden sei (Gr (s) = 1).

358

10 Untersuchung von Regelkreisen mit Stromrichtern mit der Abtasttheorie

GST R (s) GS (s) xd xe u d @ - e - GR (s) - B @ B − 6

i∗A

iA

iA

-

r

Gr (s) 

ud (t) 6 @

@

@

@ @

@ @

@ @

@ @

@ @

@ @

@

@

@

@

@ @

@ @ @

@

@ @

-

@ @

t

iA (t); i∗A (t) 6 i∗A -

t ugi (t) ; xe (t) 6

@

@

@

@

@

@

@

@

@ @

@ @

@

@ @

@ @

@ @

@

@

@

@

@

@ @

xˆe = uˆg

@

@

@ @

@ xe @ -

t Abb. 10.1: Regelkreis mit Stromrichterstellglied Typ 1 v

10.1

Untersuchung des Steuerger¨ ates ohne dynamische Symmetrierung

Die Ableitung eines Modell-Abtastsystems f¨ ur Regelkreise mit netzgef¨ uhrten ¨ Stromrichterstellgliedern erfordert das Aufstellen einer linearen Ubertragungsfunktion f¨ ur das Stellglied bei differentiellen St¨orungen. Dazu soll in diesem Abschnitt das Verhalten des Steuerger¨ates untersucht werden. Die Ergebnisse aus Kap. 9.2 hatten gezeigt, daß eine Verstellung der Steuersatzeingangsspannung xe nicht mit station¨arer Z¨ undimpulsfrequenz u ¨ bertragen werden kann, da die Z¨ undimpulsfrequenz selbst eine Funktion von xe ist; d.h. der Steuersatz verh¨alt sich prinzipiell wie ein Pulsphasenmodulator. Bei einer konstanten, differentiellen St¨orung dxe des Eingangssignals xe wird somit eine differentielle Phasenverschiebung des Z¨ undimpulses bezogen auf den station¨aren Zustand auftreten. Zur anschaulichen Kl¨arung der Verh¨altnisse dient Abb. 10.2.

10.1 Untersuchung des Steuerger¨ ates ohne dynamische Symmetrierung

359

ugi(t); xe (t) 6 @

@

@

dxe

A @ AA ? @ @6 @ @ (m − 1)T

@

dx1

  dx2  @  @ @ @ @ @ mT

@

@

xˆe = uˆg

- dt @ @ @ @

xe (t)

@

@ @

(m + 1)T

-

t

- dt

ud (t)

  u ˆ cos ωN t∗ + α0 − πp

Z 6 Z Z Z Z Z Z Z u α Z Z Z Z Z Z Z Z @ @ H H Z H H Z Z dA dA t∗ = 0 Z Z ?ZZ Z Z Z Z Z   u ˆ cos ωN t∗ + α0 + πp

6

-

t

Abb.10.2: Netzgef¨ uhrtes Stromrichterstellglied Typ 1 bei einer differentiellen St¨ orung

Wir wollen nun die zeitliche Verschiebung dt des Z¨ undimpulses bei einer differentiellen St¨orung dxe berechnen. Es gilt: .

ug : . xe− : uα :

Steigung einer Grundspannung ug am Arbeitspunkt α0 = ˆ xe0 Steigung des Eingangssignals xe im station¨aren Zustand zum Zeitpunkt t = mT − 0 (linksseitiger Grenzwert) ¨ sprungf¨ormige Anderung der Stromrichterausgangsspannung ud (t) im Z¨ undzeitpunkt

¨ Aus Abb. 10.2 ist zu erkennen, daß sich die Anderung der Eingangsspannung dxe aus zwei Anteilen zusammensetzt dxe = dx1 + dx2

(10.1)

die wie folgt berechnet werden k¨onnen: .

dx1 = − xe− dt .

dx2 = ug dt

(10.2) (10.3)

360

10 Untersuchung von Regelkreisen mit Stromrichtern mit der Abtasttheorie

Damit ergibt sich dxe zu

.

.

dxe = (ug − xe− )dt

(10.4)

mit .

.

xe− = f (G0,lin , xeo ) = xe (−0) .

ug = f (xe0 ) (f¨ur Stellgliedtyp 2, lin. statische Kennlinie)

(10.5) (10.6)

¨ ur die Ubertragungsfunktion des linearen Anteils des offeG0,lin steht dabei f¨ nen Regelkreises ohne das Stellglied. Bei Verwendung eines Regelkreises nach Abb. 10.1 erh¨alt man also G0,lin = − GR GS Gr . F¨ ur dt ergibt sich dt = .

dxe . . ug − xe−

(10.7)

.

ucksichtigung F¨ ur ug und xe− sind in Gl. (10.7) jeweils die realen Werte unter Ber¨ . . der Vorzeichen einzusetzen. Unter der Annahme von ug , xe− < 0 wie in Abb. 10.2 bewirkt damit ein positives Inkrement dxe eine Verschiebung des Z¨ undzeitpunktes um dt in negative Richtung und umgekehrt. Mit Hilfe von Gl. (10.7) kann nun bei beliebigem zeitlichen Verlauf der Grundspannungen ugi (t) und der Eingangsspannung xe (t) des Steuersatzes die zeitliche Auslenkung der Z¨ undimpulse aus der station¨aren Lage bei einer differentiellen ¨ ¨ Anderung dxe berechnet werden. Um die Ubertragungsfunktion des Stellgliedes aufstellen zu k¨onnen, m¨ ussen wir nun ebenso das Verhalten des Stromrichters bei differentiellen St¨orungen untersuchen.

10.2

Untersuchung des Stromrichters

Aus Abb. 10.2 ist ablesbar, daß sich bei einer Verstellung der Phasenlage der Z¨ undimpulse im Spannungssystem N die Ausgangsspannung ud (t) des Stromrichters um den Spannungszeitfl¨achenimpuls dA ¨andert. Diese Spannungszeitfl¨ache dA ist proportional zur Differenz uα der in Abb. 10.2 eingetragenen Spannun¨ gen zum Zeitpunkt der letzten Z¨ undung vor Anderung der Eingangsspannung ∗ (t = 0) berechnet werden. Die formelm¨aßige Beschreibung der Spannungen bezieht sich ebenfalls auf diesen Zeitpunkt (analog zu Abb. 9.7). F¨ ur differentielle ¨ Anderungen dxe kann   die Sprungh¨ohe uα ann¨ahernd als konstant angesehen wer  den (uα  = uα  ); f¨ ur dA ergibt sich damit: t∗ =mT

t∗ =0

dA ≈ uα · dt



/  π π − cos α0 + · dt dA ≈ uˆ cos α0 − p p

(10.8) (10.9)

Setzt man voraus, daß sich alle anderen Elemente im Regelkreis hinreichend linear verhalten, k¨onnen die Wirkungen des station¨aren Anteils der Ausgangsspan-

10.2 Untersuchung des Stromrichters

361

nung und des Spannungszeitfl¨achenimpulses u ¨ berlagert, d.h. unabh¨angig voneinander berechnet werden. Unter dieser Voraussetzung kann das Stromrichterstellglied als Abtaster mit ann¨ahernd konstanter Tastfrequenz aufgefaßt werden, denn eine konstante St¨orung dxe am Eingang des Steuersatzes erzeugt eine ¨aquidistante Impulsfolge der Spannungszeitfl¨ache dA am Ausgang. Die Grundlagen der Abtasttheorie werden in Kap. 6.1.1 behandelt. Das f¨ ur die Entwicklung eines Modell-Abtastsystems f¨ ur das Stromrichterstellglied ben¨otigte Wissen reicht jedoch u ¨ber diese Grundlagen hinaus; wir wollen daher an dieser Stelle einen weiteren Exkurs in die Abtasttheorie unternehmen. Die mathematische Beschreibung eines idealen Abtasters lautet (vgl. Kap. 6.1.1): T

idealer Abtaster

?  e e r 

f (t) r f ∗ (t) =

∞ 

f ∗ (t)

f (kT ) · δ(t − kT ) = f (t) · δT (t)

(10.10)

k=0

F ∗ (s) = F (s) ∗ δT (s)

(komplexe Faltung)

(10.11)

Dabei beschreibt Gl. (10.10) die Umsetzung der kontinuierlichen Funktion f (t) in eine unendliche Folge von Dirac-Impulsen mit der H¨ohe f (kT ) im Abstand T . Bei diesem Abtastvorgang wird eine unendlich kleine Schließungsdauer des Abtasters vorausgesetzt. Dies ist in der Praxis aber nie zu erreichen, so daß ¨ schon recht fr¨ uhzeitig Uberlegungen stattfanden, wie Abtastsysteme mit einer endlichen Schließungsdauer h zu behandeln sind (z.B. [64]). Um das Ausgangssignal Fp∗ (s) des Abtasters mit endlicher Schließungsdauer h im Laplace-Bereich zu erhalten, m¨ ussen wir analog zu Gl. (10.11) die Laplacetransformierte F (s) des Eingangssignals f (t) komplex falten mit der Laplacetransformierten Up (s) der periodischen Einheitssprungfunktion up (t) mit der zeitlichen Dauer h; die sich ergebende Funktion wird im englischen Schrifttum mit der Fußnote p (finite pulse duration) gekennzeichnet. Fp∗ (s) = F (s) ∗ Up (s) mit Up (s) =

1 − e−hs s    Einheitspuls mit der Breite h im s-Bereich

·

1 1 − e−T s   periodische Fortsetzung mit T im s-Bereich

(10.12)

(10.13)

362

10 Untersuchung von Regelkreisen mit Stromrichtern mit der Abtasttheorie

T ?  - e e h 

f (t)

fp∗ (t)

f (t) 6

-

t up (t) 6 1

-

h 

-

h 

-

(m − 1)T

mT

(m + 1)T

(m − 1)T

mT

(m + 1)T

t

fp∗ (t) 6

-

t

Abb. 10.3: Abtaster mit endlicher Schließungsdauer h

Durch Anwendung des komplexen Faltungssatzes ergibt sich: Fp∗ (s)

1 = 2πj

c+j∞ 

F (ε) · c−j∞

1 − e−h(s−ε) dε (s − ε) (1 − e−T (s−ε) )

(10.14)

Bei einfachen Polen kann wie folgt vereinfacht werden, wenn das Integral in der linken Halbebene ausgewertet wird: Fp∗ (s) =

 A(ε) 1 − e−h(s−ε) ·  B (ε) (s − ε) (1 − e−T (s−ε) ) Pole ε

mit F (ε) =

A(ε) B(ε)

B  (ε) =

(10.15)

dB(ε) dε

Um die Verh¨altnisse an ein Stromrichterstellglied anzun¨ahern, wollen wir annehmen, die Ausgangsspannung ud (t) des Stellgliedes sei w¨ahrend der Zeit h

10.2 Untersuchung des Stromrichters

363

konstant und habe den Wert c; dies gilt beim Stellglied umso eher, je kleiner die Auslenkung der Z¨ undimpulse aus der station¨aren Lage ist. Bei dieser Vereinfachung werden am Ausgang a¨quidistante Rechteckimpulse mit der Fl¨ache dA = c · h vorhanden sein. Im Laplace-Bereich gilt somit: Fp∗ (s) = c ·

1 1 − e−hs · s 1 − e−T s

(10.16)

Da das Stromrichterstellglied nur bei differentiellen St¨orungen dxe untersucht werden soll, m¨ ussen wir in der obigen Formel h → 0 gehen lassen, um das Abtastsystem mit endlicher Pulsbreite auf ein ¨aquivalentes ideales Abtastsystem zur¨ uckzuf¨ uhren. Durch Reihenentwicklung von e−hs ergibt sich: 

/ hs (hs)2 (hs)3 1 c ∗ 1− 1− + − + −... Fp (s) = (10.17) s 1! 2! 3! 1 − e−T s

1 hs (hs)2 + −+... = c·h· 1− (10.18) 2! 3! 1 − e−T s ˆ h → 0 endg¨ ultig: Da lim {hn sn−1 } = 0 (n, s beliebig), ergibt sich mit h  T = h→0

F ∗ (s) =

lim

h→0 dA=const.

Fp∗ (s) =

dA c·h = 1 − e−T s 1 − e−T s

(10.19)

Wird Gl. (10.19) auf das Stromrichterstellglied u ur die ¨bertragen, so gilt f¨ ¨ durch dxe hervorgerufene Anderung der Stromrichterausgangsspannung ud im Z¨ undintervall T : du∗d(s) = Mit

1 1 dA uα 1 · = · · dxe (s) T 1 − e−T s T u˙ g − x˙ e− 1 − e−T s uα 1 = Kα T u˙ g − x˙ e−

(Kα dimensionslos)

(10.20)

(10.21)

¨ ergibt sich die Ubertragungsfunktion des Stromrichterstellgliedes f¨ ur differentielle ¨ Anderungen der Eingangsspannung zu GST R (s) =

du∗d(s) Kα = dxe (s) 1 − e−T s

(10.22)

Wir k¨onnen somit das Stromrichterstellglied bei differentiellen St¨orungen auf ein ideales Abtastsystem mit ¨aquidistanten Tastzeitpunkten und dem Verst¨arkungsfaktor Kα zur¨ uckf¨ uhren; Abbildung 10.4 zeigt die Beschreibung dieses Systems analog zu Gl.(10.10). ¨ F¨ ur den Regelkreis nach Abb. 10.1 k¨onnen wir damit die Ubertragungsfunktion des offenen Regelkreises bei differentiellen St¨orungen aufstellen.

364

10 Untersuchung von Regelkreisen mit Stromrichtern mit der Abtasttheorie

T =

1 pfN

? dxe (t) 

- e e 

du∗d(t) -

Kα

du∗d(t) = Kα · dxe (t) · δT (t)

(10.23)

Abb.10.4: Modell-Abtastsystem f¨ ur das Stromrichterstellglied mit dem Verst¨arkungsfaktor Kα

F¨ ur Regler und Strecke sollen die folgenden Konfigurationen gelten (mit KI als dem Verst¨arkungsfaktor des offenen Regelkreises): Regler:

GR (s) =

VR (1 + sTn ) sTn

(10.24)

Strecke:

GS (s) =

VS 1 + sTA

(10.25)

R¨ uckf¨ uhrung: ⇒

Gr (s) = 1 KI =

(10.26)

VR VS Tn

(10.27)

F¨ ur die Berechnung des sich im jeweils folgenden Abtastzeitpunkt (z.B. (m + 1)T ) ergebenden Reglersignals gen¨ ugt es, sich auf dieses Abtastintervall ([mT ; (m + 1)T ]) zu beschr¨anken. Damit geht Gl. (10.22) u ¨ber in GST R (s) =

du∗d(s) = Kα dxe (s)

(10.28)

F¨ ur den linearen Teil des Regelkreises erh¨alt man f¨ ur Tn = TA −G0,lin (s) = GR (s) GS (s) Gr (s) =

KI s

(10.29)

¨ Die Ubertragungsfunktion f¨ ur den offenen Regelkreis lautet damit −G0 (s) = GST R (s) · G0,lin (s) = Kα ·

KI s

(10.30) (10.31)

Durch die Wahl der Reglernachstellzeit zu Tn = TA erh¨alt der lineare Teil der Regelkreises G0,lin (s) integrales Verhalten. Damit ist es m¨oglich, daß ein Impuls am Ausgang des Stromrichterstellglieds die Amplitude der Steuersatzeingangsspannung im gleichen Tastzeitpunkt beeinflußt. (Eine ausf¨ uhrliche Diskussion dieser Eigenschaft ist in Kap. 12.1 zu finden.) Um dies bei der Darstellung des Systems im z-Bereich zu ber¨ ucksichtigen, wird anstelle der normalen z-Transformation die modifizierte z-Transformation

10.3 Stromrichterstellglied bei l¨ uckendem Strom

365

¨ (siehe Kap. 12.1, Kap. 6.1.3 und [65]) verwendet. F¨ ur die spezielle Ubertragungsfunktion des offenen Regelkreises im nichtl¨ uckenden Betrieb ergibt sich damit −G0s (z) =

Kα KI z−1

(10.32)

Mit diesem Modell k¨onnen Regelkreise mit netzgef¨ uhrten Stromrichterstellgliedern bei differentiellen St¨orungen untersucht werden; jedoch bleibt man dabei auf den Betrieb mit nichtl¨ uckendem Strom beschr¨ankt.

10.3

Stromrichterstellglied bei lu ¨ckendem Strom

Die dynamischen Eigenschaften eines Regelkreises mit einem netztgef¨ uhrten Stromrichterstellglied m¨ ussen sich bei unver¨anderten Parametern des Stromreglers im Bereich l¨ uckender Strom“ wesentlich gegen¨ uber den dynamischen Eigen” schaften im Bereich nichtl¨ uckender Strom“ unterscheiden, da in der Praxis in ” Abh¨angigkeit vom Kennzeichen Strom“ eine wesentliche Verschlechterung der ” Regeldynamik festzustellen ist. Um eine genauere Untersuchung einerseits mit einfachen Mitteln durchzuf¨ uhren und um andererseits m¨oglichst exakt zu sein, sollen die dynamischen Eigenschaften im L¨ uckbereich des Stroms durch ein Modell approximiert werden, das auf dem Abtastsystem nach Abb. 10.4 aufbaut. Analog dem Vorgehen in vorangegangenen Abschnitt f¨ ur nichtl¨ uckenden ¨ Strom soll zun¨achst wieder die Ubertragungsfunktion des Stromrichterstellgliedes aufgestellt werden. Damit wird dann die Berechnung des Laststromverlaufs im L¨ uckbetrieb m¨oglich. ¨ F¨ ur die folgenden Uberlegungen wird wieder der einschleifige Regelkreis nach ¨ Abb. 10.1 vorausgesetzt; diesmal sollen die Regelkreisglieder die folgenden Ubertragungsfunktionen besitzen: Regler:

GR (s) =

VR sTn

(10.33)

Strecke:

GS (s) =

Vs 1 + sTA

(10.34)

R¨ uckf¨ uhrung: ⇒

Gr (s) = 1 KI =

VR VS Tn

(10.35) (10.36)

Wie im vorangegangenen Abschnitt bereits festgestellt wurde, l¨ost eine differentielle St¨orung dxe der Eingangsspannung, beispielsweise zum Zeitpunkt (m − 1)T ≤ t ≤ mT , eine ¨aquidistante Folge von Spannungszeitfl¨achenimpulsen am Ausgang des Stromrichterstellgliedes aus. Diese Aussage gilt prinzipiell auch im L¨ uckbetrieb; um die sich dort ergebenden Verh¨altnisse zu erkennen, m¨ ussen wir jedoch die Strecke bzw. den linearen Teil des Regelkreises in unsere ¨ Uberlegungen miteinbeziehen.

366

10 Untersuchung von Regelkreisen mit Stromrichtern mit der Abtasttheorie

In Abb. 10.5 entsteht durch die Verstellung der Eingangsspannung im Intervall (m − 1)T ≤ t ≤ mT um −dxe zum Z¨ undzeitpunkt mT die Spannungszeitfl¨ache dA1 , die sich analog zu Gl. (10.8) berechnen l¨aßt. dA1 ≈ uαl dt1 = mit

1 uαl · dxe (t) T u˙ g − x˙ e−

1 uαl = Kαl T u˙ g − x˙ e−

(10.37) (10.38)

zu beachten: Zu Beginn von Kap. 10.1 war eine vollst¨ andige Kompensation der Gegenspannung eA im Regelkreis durch eine EMK-Aufschaltung vorausgesetzt worden. Kann dies nicht vorausgesetzt werden, muß beachtet werden, daß die f¨ ur die Berechnung von dA1 ben¨ otigte Gr¨ oße uαl erst ab der Amplitude der Gegenspannung eA zu z¨ ahlen ist; f¨ ur den Strom gilt jedoch weiterhin: iA (t) = 0 f¨ ur t = tB . Abb. 10.5: Dynamische Verh¨altnisse bei differentieller St¨ orung im L¨ uckbetrieb

Aufgrund der negativen Verstellung der Eingangsspannung verk¨ urzt sich die Einschaltdauer des Ventils, in der ud > 0 ist und damit die Stromf¨ uhrungsdauer zu Beginn um dt1 . Bedingt dadurch kann sich der Strom an der Last nur auf einen gegen¨ uber der Ausgangssituation geringeren Wert aufbauen. Aufgrund der Spannungszeitfl¨achenbalance kommt es zu einer weiteren Verk¨ urzung der Stromf¨ uhrungsdauer um dt2 . Die gesamte Stromf¨ uhrungsdauer verk¨ urzt sich damit von tB0 auf tB = tB0 − dt1 − dt2 ; d.h., der mit der Zeitkonstanten der Strecke abklingende Stromzuwachs wird nach der Stromf¨ uhrungsdauer tB durch

10.3 Stromrichterstellglied bei l¨ uckendem Strom

367

eine zweite Spannungszeitfl¨ache dA2 zu Null erzwungen. Dies muß bei der Anwendung des Superpositionsprinzips beachtet werden. Solange die Streckenzeitkonstante TA dt1 , dt2 ist, k¨onnen bei differentiellen St¨orungen die Spannungszeitfl¨achen mit endlicher Pulsbreite (Abb. 10.5) in fl¨achengleiche Dirac-Impulse mit den Fl¨achen dA1 und dA2 umgewandelt werden; dann gilt dA1 dA2 du∗d (t) = δT (t) − δT (t − tB ) (10.39) T T ¨ F¨ ur Gl. (10.39) und die weiteren Uberlegungen gilt der neu gesetzte Zeitursprung mT = ˆ t = 0 (siehe Abb. 10.5). Dar¨ uberhinaus wollen wir uns im folgenden wieder auf ein Abtastintervall beschr¨anken, beispielsweise mT = ˆ 0 < t < (m + 1)T . −

tB

Mit der Beziehung dA1 /T = Kαl dxe und dem Zusammenhang dA2 = dA1 e TA , der aufgrund der Anregung der Strecke mit einem δ-Impuls besteht, geht die Stromrichterausgangsspannung u ¨ber in   t − B dud (t) = Kαl δ(t) − e TA δ(t − tB ) · dxe (t) (10.40) ¨ F¨ ur die Ubertragungsfunktion des Stellgliedes ergibt sich damit: GST R (s) =

  t dud (s) − B = Kαl 1 − e TA e−stB dxe (s)

(10.41)

Da die Impulse zeitversetzt aufeinander folgen, kann der Laststrom f¨ ur die Abschnitte 0 < t < tB und tB ≤ t ≤ T getrennt berechnet werden. Stromverlauf aufgrund dA1 , 0 < t < tB : diA (s) = Kαl · GS (s) · dxe (s) →

diA (t) = Kαl ·

VS − Tt e A · dxe (t) , TA

(10.42) 0 < t < tB

(10.43)

Unter der Bedingung iA (tB ) = 0, diA (tB ) ≈ 0, d.h. TA tB , l¨aßt sich der Stromverlauf aufgrund von dA1 und dA2 , tB ≤ t ≤ T , berechnen:

→

diA (s) = GST R (s) · GS (s) · dxe (s)  t t t−tB  VS − − B − diA (t) = Kαl e TA − e TA e TA · · dxe (t) , TA

(10.44) tB ≤ t ≤ T (10.45)

Wie aus Gl. (10.45) zu erkennen ist, heben sich die beiden urspr¨ unglich durch dA1 und dA2 verursachten Anteile f¨ ur tB ≤ t ≤ T gegenseitig auf, d.h. eine ¨ differentielle Anderung des Stroms besteht auch nur solange Strom gef¨ uhrt wird. In Abb. 10.6 sind die soeben aufgezeigten Verh¨altnisse dargestellt. Um die Auswirkung des Stellgliedes auf die Regelkreissignale untersuchen zu k¨onnen, wurde dieser vor dem Steuersatz aufgeschnitten. Damit k¨onnen wir nun nicht

368

10 Untersuchung von Regelkreisen mit Stromrichtern mit der Abtasttheorie

Vs dxe0 @ - B @

VR Tn

TA

dud -

B

diA -

GS (s) dxe0 6

dud 6

0 (m−1)T mT

T

t

(m+1)T

mT

GR (s) diA t 6 B -

6tB 0

dxe1

dxe1 6 tB -

6 T

t

? (m+1)T

0

T

mT

(m+1)T

t

0

T

mT

(m+1)T

t

Abb. 10.6: Verhalten des aufgeschnittenen Regelkreises

mehr von einer Eingangsspannungsverstellung dxe sprechen, sondern m¨ ussen zwischen dxe0 am Eingang und dxe1 am Ausgang des nun offenen Regelkreises unterscheiden. Die Unterteilung in die zeitlichen Abschnitte 0 < t < tB und tB ≤ t ≤ T soll weiter beibehalten werden. Analog zu Gl. (10.42) kann der Verlauf von dxe1 (t), 0 < t < tB , berechnet werden zu (Gr (s) = 1): dxe1 (s) = Kαl · GS (s) GR (s) · dxe0 (s) KI · dxe0 (s) s(1 + sTA )   − t dxe1 (t) = Kαl · KI 1 − e TA · dxe0 (t)

dxe1 (s) = Kαl · →

(10.46) (10.47) (10.48)

Analog zu Gl. (10.44) ergibt sich der Verlauf von dxe1 (t) mit tB ≤ t ≤ T zu:

→

dxe1 (s) = GST R (s) · GS (s) GR (s) · dxe0 (s)   t KI − B · dxe0 (s) dxe1 (s) = Kαl 1 − e TA e−stB · s(1 + sTA )  t  − B dxe1 (t) = Kαl KI 1 − e TA · dxe0 (t)

(10.49) (10.50) (10.51)

Wird nun t = tB in Gl. (10.48) eingesetzt, stimmt diese mit Gl. (10.51) ¨ u GR (s) des Reglers: Da ¨berein. Dies war aufgrund der Ubertragungsfunktion das Integratoreingangssignal diA f¨ ur tB ≤ t ≤ T Null ist, wird ab t = tB nicht weiter aufintegriert und der Ausgang dxe1 bleibt konstant.

10.3 Stromrichterstellglied bei l¨ uckendem Strom

369

F¨ ur tB ≤ t ≤ T gilt also: dxe1 (t) = dxe1 (tB ) = dxe1 ((m + 1)T ) ¨ F¨ ur allgemeine Abtastzeitpunkte und differentielle Anderungen ergibt sich:   −tB dxe1 ((m + 1)T ) − dxe1 (mT ) = Kαl KI 1 − e TA · dxe0 (mT ) (10.52) Nach der Transformation in den z-Bereich folgt  −tB  dxe1 (z) · (z − 1) = Kαl KI 1 − e TA · dxe0 (z)

(10.53)

¨ Aus diesem Zusammenhang kann die spezielle Ubertragungsfunktion des offenen Regelkreises im L¨ uckbetrieb berechnet werden zu: KαlS KI dxe1 (z) = dxe0 (z) z−1  −tB  = Kαl 1 − e TA

−G0s (z) = mit KαlS

(10.54) (10.55)

Die wesentlichen Folgen des L¨ uckbetriebes sind somit die Absenkung des Verst¨arkungsfaktors KαlS in Abh¨angigkeit von der Brenndauer tB der Stromrich¨ terventile einerseits und der Fortfall der Pole der Strecke in der Ubertragungsfunktion andererseits; die Pole der Strecke verursachen im L¨ uckbetrieb also keine Verz¨ogerung im Regelkreis! ¨ Die Ubertragungsfunktion G0s (z) f¨ ur den L¨ uckbetrieb kann auch auf direktem Weg ermittelt werden, indem nach der Partialbruchzerlegung von G0,lin der durch die Strecke hervorgerufene Partialbruch außer Acht gelassen wird. −G0,lin (s) = GR (s) GS (s) Gr (s) = =

K 3  I TA s s +

1 TA

4

KI s(1 + sTA )

(10.56) (10.57)

-G0,lin besitzt die Pole s1 = 0 und s2 = − T1A . Der Pol s2 ist ein Pol der Strecke, dieser Pol darf nicht ber¨ ucksichtigt werden (da iA (tB ) = 0). Mit dieser Ein¨ schr¨ankung reduziert sich die Ubertragungsfunktion nach der Partialbruchzerlegung auf KI −G0,lin (s) = (10.58) s ¨ Beim Ubergang in den z-Bereich muß wieder die modifizierte z-Transformation ¨ verwendet werden. Damit ergibt sich f¨ ur die spezielle Ubertragungsfunktion des offenen Regelkreises KI −G0s (z) = KαlS · (10.59) z−1

370

10 Untersuchung von Regelkreisen mit Stromrichtern mit der Abtasttheorie

¨ Die spezielle Ubertragungsfunktion -G0s (z) im L¨ uckbereich entspricht bis auf ¨ den unterschiedlichen Verst¨arkungsfaktor der Ubertragungsfunktion im nichtl¨ uckenden Bereich (Gl. (10.32)), obwohl im L¨ uckbereich ein I-Regler und im Normalbereich ein PI-Regler vorausgesetzt wurde. ¨ Der Verst¨arkungsfaktor KαlS ist ebenso direkt mit der Ubertragungsfunktion GS (s) der Strecke zu gewinnen:  ⎤ ⎡  {GS (s)} L−1  ⎥ ⎢  t=tB (10.60) KαlS = Kαl ⎣1 − ⎦  L−1  {GS (s)e−tB s } t=tB

mit Kαl nach Gl. (10.38). Bei der Berechnung von x˙ e in Gl. (10.38) ist zu beachten, daß bei Reglern mit integralem Anteil der Sollwert w die Steigung der Steuersatzeingangsspannung xe beeinflußt. Damit ist der prinzipielle Weg zur Berechnung von Regelkreisen mit Stromrichterstellgliedern bei differentiellen St¨orungen sowohl f¨ ur l¨ uckendem Strom als auch f¨ ur nichtl¨ uckendem Strom bekannt. Die obigen Ergebnisse k¨onnen auch anschaulich interpretiert werden. Im L¨ uckbetrieb wird der Strom nach der Stromflußdauer tB Null. Je nach Grundaussteuerung xe0 bzw. α0 und den Lastverh¨altnissen in der Strecke kann tB < T variieren. Da KαlS = f (tB ) wird die Verst¨arkung des Stellgliedes sich eben¨ so mit tB ver¨andern. Die urspr¨ ungliche Ubertragungsfunktion der Strecke ist aus der Stromkurvenform selbst noch zu erkennen, im Sinne der Abtasttheo¨ rie erscheint die Gewichtsfunktion der Strecke in der Ubertragungsfunktion des Gesamtsystems jedoch nicht mehr. Damit k¨onnen f¨ ur das Verhalten von Regelkreisen mit Stromrichterstellgliedern im L¨ uckbetrieb vereinfachend folgende Aussagen gemacht werden: 1. Alle Teile der Strecke, die vom Strom des Stellgliedes durchflossen werden, ¨ verlieren ihre im nichtl¨ uckenden Bereich g¨ ultige Ubertragungsfunktion und werden zu reinen Proportionalgliedern. 2. Der Verst¨arkungsfaktor KαlS des offenen Regelkreises verringert sich im L¨ uckbereich schnell mit sinkendem Strommittelwert. 3. Die Verschlechterung der Dynamik ist sowohl durch die wesentlich geringere Verst¨arkung des Stellgliedes im L¨ uckbereich als auch durch die ge¨anderte Struktur der Strecke bedingt.

10.4

Adaptive Stromregelung

10.4.1

Allgemeine Betrachtung

Die Modellbildungen haben ergeben, daß — wenn beste Dynamik des Stromregelkreises gew¨ unscht ist — im Bereich nichtl¨ uckenden Stroms ein PI-Regler und

10.4 Adaptive Stromregelung

371

im Bereich l¨ uckenden Stroms ein I-Regler verwendet werden muß, um bei einer ¨ Strecke mit PT1 -Verhalten die gleiche Ubertragungsfunktion des offenen Stromregelkreises zu erhalten. Unterschiedlich sind außerdem die Verst¨arkungsfaktoren des Stromrichters Kα und KαlS , und damit des offenen Regelkreises, wobei KαlS dar¨ uberhinaus noch eine Funktion der Stromflußdauer ist. Es haben sich somit Struktur und Verst¨arkung der Regelstrecke ge¨andert. Um die Struktur- und Parameter¨anderung in ihrer Auswirkung zu verringern gibt es zwei Wege. Der erste Weg ist, den L¨ uckbereich des Stroms durch eine bessere Gl¨attung im Starkstromkreis (Gl¨attungsinduktivit¨at) oder eine h¨ohere Schaltfrequenz des Stellglieds zu verringern. Dies sind kostenaufwendigere L¨osungen. Der zweite Weg ist der Einsatz eines adaptiven Stromreglers; dies ist die wesentlich kosteng¨ unstigere L¨osung. Somit m¨ ussen die Struktur und die Parameter des Stromreglers je nach Betriebsbereich umgeschaltet werden. Diese Umschaltung sollte m¨oglichst schnell und m¨oglichst exakt an den Bereichsgrenzen erfolgen. Außerdem sollte im L¨ uckbereich die Reglerverst¨arkung an den Arbeitspunkt angepaßt werden. Der Einsatz eines adaptiven Stromreglers ist also bei einem netzgef¨ uhrten, kreisstromfreien Umkehrstromrichter unumg¨anglich, um in allen Betriebspunkten gleichbleibende Dynamik zu gew¨ahrleisten. Die gleich Aussage gilt f¨ ur selbstgef¨ uhrte Stellglieder mit eingepr¨agter Spannung. Ein allgemeines adaptives Regelsystem zeigt Abb. 10.7. Mittels der Identifikation wird zuerst festgestellt, in welchem Arbeitspunkt sich die Strecke befindet. Die Entscheidungsinstanz beurteilt, in welchen der Betriebsbereiche dieser Punkt geh¨ort, woraufhin durch den Block Modifikation“ der Regler in Struktur und ” Parametern angepaßt wird. Angewandt auf den Fall der Stromregelung bei Gleichstromnebenschlußmaschinen mit netzgef¨ uhrten Stromrichterstellgliedern muß die Identifikation zun¨achst den Arbeitspunkt, also prim¨ar den aktuellen Strommittelwert erkennen, und anschließend entscheiden, ob dieser zum L¨ uckbereich (abgek¨ urzt LB) oder zum Nichtl¨ uckbereich (NLB) geh¨ort. Die beiden m¨oglichen Betriebszust¨ande und der Betrieb an der L¨ uckgrenze (LG) sind in Abb. 10.8 veranschaulicht. Zur Entscheidung LB/NLB k¨onnen verschiedene Kriterien herangezogen werden, die jedoch im station¨aren Betrieb dieselbe Aussage liefern. Lediglich im dynamischen Fall ergeben sich Unterschiede, speziell beim Umschaltzeitpunkt vom LB in den NLB und umgekehrt. Die Kriterien sind: 1. Brenndauer eines Ventilpaars Im NLB ist die Stromf¨ uhrungsdauer eines Strompfades tB = T =

1 pfN

(10.61)

w¨ahrend im LB der Strom vorher verl¨oscht und damit tB < T wird. Dieses Kriterium ist jedoch kritisch, da sowohl im LB nahe der L¨ uckgrenze tB ≈ T ist, als auch im NLB bei dynamischen Vorg¨angen tB kleiner als T werden kann (siehe Abb. 10.8 bzw. Abb. 10.17).

372

10 Untersuchung von Regelkreisen mit Stromrichtern mit der Abtasttheorie

2. Strom im Z¨undzeitpunkt Im L¨ uckbetrieb ist der Strom im Z¨ undzeitpunkt i0 = 0, d.h., daß vor der Z¨ undung des neuen Thyristors alle Ventile ausgeschaltet sind. Diese Aussage ist gleichbedeutend damit, daß im LB keine Kommutierung stattfindet. Das Kriterium reagiert also auf stromlose Pausen, wobei entweder der Momentanwert des Stroms auf Unterschreiten einer gewissen Schwelle u ¨berwacht wird oder die Ventilspannungen auf den Zustand alle Ventile aus“ ” gepr¨ uft werden. Das Verfahren reagiert verz¨ogert, da beispielsweise beim ¨ Ubergang vom NLB in den LB das Unterschreiten der Identifikationsgrenze erst abgewartet werden muß, obwohl der Strom bereits im LB sein kann. ¨ Umgekehrt wird beim Ubergang vom LB zum NLB der Umschaltzeitpunkt

x w -? e− -

r

Regler

-

Strecke

r

x

-

6 ? ? ? M odif ikation 

Entscheidung 

Identif ikation

Abb. 10.7: Adaptives Regelsystem iA iA > i LG

iA iA < i LG

tB T

iA = i LG

io

t

tB T LB NLB ( tB < T , io = 0 ) ( tB = T , io > 0 ) io : Strom zum Zündzeitpunkt

Lückgrenze ( tB = T , io = 0 )

Abb. 10.8: Betriebszust¨ ande L¨ uck-/ Nichtl¨ uckbereich, L¨ uckgrenze

10.4 Adaptive Stromregelung

373

zu fr¨ uhzeitig vorgegeben. Die Umschaltzeitpunkte liegen in diesem Fall auf der sicheren“ Seite. ” 3. Strommittelwert in der Last Als Kriterium dient hier der Mittelwert des Stromes ¯iA im Vergleich zum Strommittelwert an der L¨ uckgrenze ¯iLG . Das Verfahren scheint einfach und logisch, f¨ uhrt jedoch zu Schwierigkeiten. Zum einen ist ein Vergleich zweier analoger Gr¨oßen durch unvermeidliche Ungenauigkeiten und Offsets immer etwas unsicher, was speziell in der N¨ahe der L¨ uckgrenze zur falschen Reglerauswahl f¨ uhren kann. Außerdem muß der Laststrom zur Mittelwertermittlung gegl¨attet werden, was zu Verz¨ogerungen oder Einschwingeffekten f¨ uhrt. Weiterhin ist der L¨ uckgrenzstrom von der bei Gleichstromnebenschlußmaschinen vorhandenen Gegenspannung eA , und damit von der Drehzahl abh¨angig, was den Aufwand weiter erh¨oht. Das Verhalten der Strecke in den beiden Betriebsbereichen und die daraus resultierenden Forderungen an den Regler lassen sich am besten an der Steuerkennlinie diskutieren. Abbildung 10.9 zeigt den station¨aren Zusammenhang zwischen Z¨ undwinkel und Strommittelwert bei fester Gegenspannung. LG

¯iA 6

NLB

¯iLG

@ @ @ @ @ D @ @ D @ D @ D @ @ D @ @ @ D @ Kα D @ rA D @ @ D@ @ D@ @ @ @ @ DD

αLG

@ @

LB eA = const. KαlS rA

αmax

-

α

Abb. 10.9: Steuerkennlinie LB/NLB

Man erkennt, daß die Streckenverst¨arkung sich wesentlich ¨andert: 1. Nichtl¨uckbereich (NLB) Die Steigung der Kennlinie und damit die Kleinsignalverst¨arkung sind relativ hoch und praktisch konstant. Dier steile Verlauf ist ein Ausschnitt aus dem Cosinus-Steuergesetz, das f¨ ur das verrwendete Stellglied vom Typ 1 (nichtlineare statische Kennlinie) in diesem Bereich gilt. Die bestimmenden Faktoren sind Kα und der Ankerwiderstand (VS = 1/rA ).

374

10 Untersuchung von Regelkreisen mit Stromrichtern mit der Abtasttheorie

2. L¨uckbereich (LB) Die Verst¨arkung ist hier wesentlich geringer als im NLB und vor allem nicht konstant. Dies ist durch KαlS bedingt, das eine Funktion der Brenndauer tB und damit auch des Z¨ undwinkels ist. Vereinfacht kann man feststellen, daß KαlS nichtlinear mit der Brenndauer abnimmt. Die Verst¨arkung ist an der L¨ uckgrenze am gr¨oßten, w¨ahrend sie f¨ ur α ≈ αmax gegen Null geht (siehe Gl. 10.55). 3. L¨uckgrenze (LG) In der Kennlinie ist an der L¨ uckgrenze ein Knick zu erkennen. Dieser Knick f¨ uhrt zu einem Sprung in der Streckenverst¨arkung. Je nach Lastdaten kann dieser Sprung bis zum Faktor 20 oder mehr betragen. Vergegenw¨artigt man sich zus¨atzlich die Struktur¨anderung der Strecke (PT1 /P), so ist die Notwendigkeit einer exakten und schnellen Erkennung der LG offensichtlich. Damit stehen die Forderungen an einen adaptiven Stromregler fest, der im LB das gleiche dynamische Verhalten wie im NLB gew¨ahrleisten soll. 1. Strukturumschaltung ¨ Damit in beiden Bereichen die Ubertragungsfunktion des offenen Regelkreises die Form −G0s (z) = K ∗ /z − 1 annimmt, muß im NLB ein PI-Regler (Kompensation der Streckenzeitkonstante, Tn = TA ), im LB ein I-Regler verwendet werden. 2. Parameteranpassung Die Reglerverst¨arkung muß so angepaßt werden, daß in allen Arbeitspunkten gilt: VR,N L · Kα = VR,L · KαlS = K ∗ . Insbesondere sollte die Reglerverst¨arkung im LB arbeitspunktabh¨angig sein. 3. Bereichserkennung Der Betriebsbereich und damit die Auswahl des geeigneten Reglers und seiner Parameter soll m¨oglichst verz¨ogerungsfrei und exakt erkannt werden. 4. Umschaltverhalten ¨ Der Ubergang zwischen den Bereichen sollte stoßfrei sein, d.h. die Reglerausgangsspannung darf sich nur insoweit a¨ndern, als dadurch keine zus¨atzliche Z¨ undung ausgel¨ost wird. Deshalb d¨ urfen nicht einfach zwei getrennte Regler verwendet werden, sondern es m¨ ussen spezielle Reglerschaltungen verwendet werden.

10.4 Adaptive Stromregelung

375

¨ Die Ubertragungsfunktionen von Strecke und Regler sind im folgenden noch einmal tabellarisch zusammengefaßt:

10.4.2

Nichtl¨ uckbereich (NLB)

L¨ uckbereich (LB)

Strecke

GS (s) = VS ·

GS (s) = VS

Regler

GR (s) = VR,N L ·

offener Kreis

−G0s (z) = K ∗ ·

1 1+sTA

GR (s) = VR,L ·

1+sTA sTA

1 sTn

−G0s (z) = K ∗ ·

1 z−1

1 z−1

Praktische Realisierung

In diesem Kapitel sollen einige praktisch einsetzbare Schaltungsprinzipien f¨ ur einen adaptiven Stromregler vorgestellt werden. Aus Gr¨ unden der Anschaulichkeit wollen wir uns auf analoge Realisierungen beschr¨anken; es sind selbstverst¨andlich auch digitale Realisierungen m¨oglich. Es zeigt sich, daß immer ein Kompromiß zwischen Aufwand und Qualit¨at eingegangen werden muß, wobei z.B. eine exakte Verst¨arkungsanpassung im L¨ uckbereich praktisch nie realisiert wird. Realisierung 1 (Abb. 10.10) C1

e

Q Q −Q

Q

r

Q  

+  V1 

R



r

r

R1

Q Q

− QQ

Q 

r

e

+  V2

  r

aR 2

C

aR 2



S

Abb. 10.10: Adaptiver Stromregler 1

Der Schaltungsteil mit dem Operationsverst¨arker V2 sowie R1 und C1 wirkt als Integrator. Bei ge¨offnetem Schalter S wirkt V1 als P-Verst¨arker, und es ¨ ergibt sich die Ubertragungsfunktion

 a 1  GR  = = (−a) · − (10.62) S aus sC1 R1 sC1 R1

376

10 Untersuchung von Regelkreisen mit Stromrichtern mit der Abtasttheorie

also I-Verhalten. Bei geschlossenem Schalter S ergibt sich f¨ ur V1 eine PDCharakteristik. Zusammen mit dem Integrator V2 ergibt sich insgesamt ¨ PI-Verhalten. Die Ubertragungsfunktion lautet:



1 sCRa2 · − 4 sC1 R1

a saRC = 1+ sC1 R1 4

  GR 

−a −

=

S ein

(10.63)

Mit ge¨offnetem Schalter erh¨alt man also I-Verhalten, geeignet f¨ ur den L¨ uckbereich; bei geschlossenem Schalter PI-Verhalten, passend f¨ ur den nichtl¨ uckenden Bereich. Da den Reglerausgang ein Integrator bildet, ist das Ausgangssignal nicht sprungf¨ahig. Der I-Anteil im Regler ist schaltungsbedingt in beiden F¨allen gleich groß. Im L¨ uckbereich sollte die I-Verst¨arkung des Reglers jedoch h¨oher sein. Diesen Nachteil vermeidet die folgende leicht abgewandelte Schaltung. Realisierung 2 (Abb. 10.11) aR C1 Q Q e

− QQ

r

Q  V

+

R

 

r

r

R1

1

Q Q

− QQ

Q 

r

e

+ V2

 

R 2 r

R 2

r

S

C

Abb. 10.11: Adaptiver Stromregler 2

Der Operationsverst¨arker V2 bildet wiederum einen Integrator. Bei geschlossenem Schalter S wird der untere R¨ uckkopplungspfad bei V1 unwirk¨ sam. V1 wird zum P-Verst¨arker, und es ergibt sich die Ubertragungsfunktion:

 a 1  = GR  = (−a) · − (10.64) sC1 R1 sC1 R1 S ein ¨ also I-Verhalten. Offnet man S, so ergibt sich f¨ ur V1 ein PDT1 -Verhalten. Zusammen mit dem Integrator V2 ergibt sich insgesamt PI(T1 )-Verhalten.

10.4 Adaptive Stromregelung

377

¨ Die Ubertragungsfunktion lautet: ⎛ ⎞ 1 + sCR

 a· 1  ⎜ ⎟ 4 = = ⎝− GR  · − ⎠ sCR S aus sC1 R1 a+1+ 4 sCR 4 · sC1 R1

1+ =

1 1 sCR 1+ + a 4a

(10.65)

Wird a entsprechend groß gew¨ahlt, so liegt der unerw¨ unschte Pol (PT1 ) außerhalb des Nutzfrequenzbereichs, und man erh¨alt fast das gew¨ unschte Verhalten: Bei S ein das I-Verhalten mit hohem VR , geeignet f¨ ur den L¨ uckbereich; bei S aus das PI-Verhalten mit kleinerer Verst¨arkung, passend f¨ ur den nichtl¨ uckenden Bereich. L¨ uckbereich-Identifikation (Abb. 10.12) iA

Schwelle

aus : NLB

t PI , V R klein

ein : LB

I , V R hoch

S

Abb. 10.12: Einfaches Identifikationsverfahren

Die Ansteuerung des Schalters S in Abb. 10.10 und 10.11 erfolgt u ¨ ber einen Komparator, der den Iststrom mit einer vorgegebenen Schwelle (vgl. Abb. 10.12) vergleicht. Dadurch wird im nichtl¨ uckenden Betrieb immer der PI-Regler aktiviert, w¨ahrend in Teilen des L¨ uckbereichs zwischen PI- und I-Reglerstruktur umgeschaltet wird. Durch diese Maßnahme wird eine Art Verst¨arkungsanpassung erreicht, die im LB w¨ unschenswert ist. Je l¨anger die stromlose Pause, d.h. je k¨ urzer die Brenndauer, desto gr¨oßer ist der Zeitanteil, in dem der hochverst¨arkende I-Regler in Betrieb ist und desto h¨oher wird die mittlere“ wirksame ” Reglerverst¨arkung.

378

10 Untersuchung von Regelkreisen mit Stromrichtern mit der Abtasttheorie

Der Nachteil dieser Methode ist, daß bei ungegl¨attetem oder schwach gegl¨attetem Iststromsignal der Mittelwert des Stroms und der Sollwert trotz I-Anteil im Regler nicht mehr u uhrt daher, daß ¨bereinstimmen. Das r¨ die Regeldifferenzen w¨ahrend einer Stromf¨ uhrungsdauer mit unterschiedlichen Faktoren verst¨arkt werden. Realisierung 3 (Abb. 10.13)

e

Q Q −Q

Q

r

Q 

r

e

+ 

R

 

r

V ·R

R a

C



S

Abb. 10.13: Adaptiver Stromregler 3

Bei offenem Schalter S verh¨alt sich diese Schaltung wie ein PI-Regler mit ¨ der Ubertragungsfunktion

 1  GR  (10.66) =− V + S aus sCR Bei geschlossenem Schalter fließt Strom nach Masse ab, das vergr¨oßert den ¨ Kondensatorladestrom. Die Ubertragungsfunktion lautet jetzt:

 1 + aV  GR  (10.67) =− V + sCR S ein Es entsteht also kein reiner I-Regler, da der P-Term unver¨andert bleibt; lediglich der I-Anteil im Regler wird abh¨angig von a angehoben. Der Schalter S kann wie bei der Realisierung 2 durch einen Komparator angesteuert werden, was auch hier zur Verst¨arkungsanpassung im LB verwendet wird, aber auch zu dem oben erw¨ahnten Mittelwertfehler im Strom f¨ uhrt.

10.4 Adaptive Stromregelung

379

Realisierung 4 (Abb. 10.14)

Abb. 10.14: Adaptiver Stromregler 4

Diese L¨osung ist aufwendiger, aber ohne die kleinen Unzul¨anglichkeiten der vorigen Schaltungen. Man erkennt, daß f¨ ur I- bzw. PI-Verhalten getrennte R¨ uckkopplungszweige vorhanden sind, die u ¨ ber insgesamt 4 elektronische Schalter (hier FET’s gezeichnet) umgeschaltet werden. Im NLB sind die ¯ S ¯ ge¨offnet sind. Dadurch wird V1 Schalter S, S’ geschlossen, w¨ahrend S, ¨ zu einem PI-Regler mit der Ubertragungsfunktion:

 1  (10.68) GR  =− V + S ein sC2 R Gleichzeitig wird u ¨ber den Schalter S’ der Kondensator C1 auf die Ausgangsspannung des Reglers aufgeladen, damit beim Umschalten in den LB kein Sprung in der Ausgangsspannung auftritt. V2 ist im NLB wirkungslos. ¯ S ¯  geschlossen, sowie S, S’ ge¨offnet. Dadurch ergibt sich ein Im LB sind S, I-Regler mit:  1  GR  (10.69) =− sC1 R S ein Die Reglerverst¨arkung ist u ¨ber C1 unabh¨angig vom NLB w¨ahlbar. V2 sorgt nun daf¨ ur, daß C2 so nachgeladen wird, daß bei der Bereichsumschaltung

380

10 Untersuchung von Regelkreisen mit Stromrichtern mit der Abtasttheorie

wiederum kein Unterschied in der Ausgangsspannung auftritt. Dazu bildet V2 den P-Anteil des (jetzt abgeschalteten) PI-Reglers nach. Die Ansteuerung der Schalter kann entweder von einem Komparator erfolgen oder (besser) durch eine Gebietsidentifikation, wie im folgenden beschrieben. Gebietsidentifikation: ud

ud ud

1

ud 1 pfN

pfN 2pfN 3pfN

t

LB

i LG

i LG

NLB

f

Regleranpassung

iA

Notch-Filter

Gebietsgrenzen

Komparator

iA iA

1

iA t

pfN 2pfN 3pfN

f

Abb. 10.15: Gebietsidentifikation

Die Entscheidung, ob der Stromregelkreis sich im L¨ uck- oder Nichtl¨ uckbereich befindet, wurde bisher aufgrund der stromlosen Pausen im Strom gef¨allt, wobei die Reglerstruktur jedesmal umgeschaltet wurde. Das ergab Probleme mit der Regelgenauigkeit. Besser ist eine echte Gebietsidentifikation, die anhand von Spannungs- und Strommittelwerten den zugeh¨origen Bereich ermittelt und den Regler anpaßt. Dabei muß ber¨ ucksichtigt werden, daß der L¨ uckgrenzstrom von der Spannung abh¨angt, also ¯iLG = f (¯ ud ). Diese nichtlineare Abh¨angigkeit, deren Kennlinie etwa ellipsenf¨ormig aussieht, wird von dem mit Gebietsgrenzen“ bezeichneten Kennlinienglied in ” Abb. 10.15 nachgebildet [44, 45, 917]. F¨ ur die Entscheidung werden die Gleichanteile von Strom und Spannung ben¨otigt. Die entsprechenden Istwertverl¨aufe enthalten jedoch prinzipbedingt periodische Komponenten, deren Grundschwingung das p-fache der Netzfrequenz hat. Beim sechspulsigen Stromrichter sind das Frequenzen von 300 Hz und Vielfache davon. Versucht man nun den Mittelwert durch einfache Gl¨attung mittels eines Tiefpaßfilters zu ermitteln, so ergibt sich eine Zeitverz¨ogerung, die nicht akzeptabel ist. Man verwendet stattdessen zur Gl¨attung ein aktives Filter, das speziell die st¨orenden Komponen¨ ten d¨ampft, aber ansonsten die Ubertragungsfunktion 1 hat (sogenanntes Notch-Filter). Der Frequenzgang eines solchen Filters ist schematisch in Abb. 10.15 eingezeichnet. Mit Hilfe dieses Prinzips der Gebietsidentifikation erh¨alt man genaue und relativ verz¨ogerungsarme Aussagen f¨ ur die Regler-Strukturumschaltung.

10.4 Adaptive Stromregelung

381

Zusammenfassend l¨aßt sich feststellen, daß beim kreisstromfreien Stromrichterstellglied ein adaptiver Stromregler unbedingt notwendig ist. In der Praxis zeigt sich, daß die erreichbare Dynamik mit adaptivem Regler und Gebietsidentifikation (z.B. Realisierung 4 + Gebietsidentifikation) mindestens gleichwertig oder besser im Vergleich mit einem kreisstrombehafteten Stromrichter ist. Die gr¨oßten Schwierigkeiten macht offenbar die Parameteranpassung im LB, die daher selten (bzw. unvollkommen) realisiert wird. Dies wird verst¨andlich, wenn man bedenkt, daß die Streckenverst¨arkung f¨ ur sehr kleine Stromsollwerte (¯i∗A  ¯iLG ) fast Null wird und eine entsprechend große Reglerverst¨arkung schon aus Gr¨ unden der St¨orempfindlichkeit nicht realisierbar ist. iA , i∗A1

6

iA i∗A1

¯i∗A1 = ¯i∗A

-

t

Abb. 10.16: Vermeidung des extremen LB

Abbildung 10.16 zeigt, wie dieser Bereich des extremen LB vermieden werden kann: Bei Stromsollwerten ¯i∗A , die eine gewisse Schwelle (10 . . . 20 % ¯iLG ) unterschreiten, wird der Regelkreis anstelle des urspr¨ unglichen Sollwertes ¯i∗A mit einem ∗ modifizierten Stromsollwert iA1 beaufschlagt, dem ein Wechselanteil u ¨ berlagert ist. Amplitude und Frequenz des Wechselanteils m¨ ussen dabei so gew¨ahlt werden, daß der daraus resultierende Mittelwert ¯i∗A1 dem urspr¨ unglichen Sollwert ¯i∗A entspricht. Aufgrund des Wechselanteils liegt der modifizierte Stromsollwert i∗A1 immer im unkritischeren Teil des L¨ uckbereichs und die Dynamik des Regelkreises bleibt erhalten. ¨ Abbildung 10.17 und 10.18 zeigen typische Ubergangsvorg¨ ange bei einer Stromregelung mit einem adaptiven Stromregler nach Abb. 10.14 und der Identifikation nach Abb. 10.15. Als zus¨atzliche Maßnahme wird eine schnelle Stromnullerkennung verwendet, die die Thyristorspannungen auswertet und somit bereits nach ca. 10μs den Stromnullzustand erkennt. Die Stromnullzeit wurde auf 400μs gesetzt, da die Freiwerdezeit der verwendeten Thyristoren 200 μs betrug. Aus den Abbildungen ist das vorz¨ ugliche Verhalten sowohl im nichtl¨ ucken¨ den und im l¨ uckenden Strombereich als auch bei Ubergang in beiden Richtungen zu erkennen. Mit i1 , i2 und i3 sind dabei die Werte von ¯iA bzw. ¯i∗A vor der sprungf¨ormigen Verstellung des Sollwertes, nach der Verstellung und nach dem Sollwertr¨ ucksprung bezeichnet. Der in Abb. 10.18 erkennbare Offset zur NullLinie ist durch den zur Erfassung der Stromsignale verwendeten Meßaufbau bedingt.

382

10 Untersuchung von Regelkreisen mit Stromrichtern mit der Abtasttheorie

Stromregler: Identifikation: Stromnullzeit: L¨ uckbereich:

adaptiver Stromregler 4 Gebietsidentifikation 400 μs −0, 45 IN ≤ i ≤ +0, 45 IN

i1 = 0, 5 IN i2 = 1, 25 IN

iA

ms Δt = 5 div

i *A 5 ms 7 ms

iA

i1 = 0, 1 IN i2 = 1, 25 IN ms Δt = 5 div

i *A 5 ms

Abb. 10.17: Ergebnisse bei einem kreisstromfreien, dynamisch symmetrierten Umkehrstromrichter mit schneller Stromnullerfassung

10.4 Adaptive Stromregelung

7ms

iA

i1 = −0, 2 IN i2 = +IN ms Δt = 5 div

i A*

5ms 8ms

iA

i1 = −IN i2 = +IN i3 = −IN ms Δt = 5 div

i A*

5ms

i A*

ˆi∗A = ±IN ms Δt = 5 div f = 40 Hz

iA P

Signal P : Stromnullpause Signal L: L¨ uckbereich

L 5ms

Abb. 10.18: Wie Abb. 10.17: Ergebnisse bei Stromumkehr

383

384

10 Untersuchung von Regelkreisen mit Stromrichtern mit der Abtasttheorie

10.4.3

Pr¨ adiktive Stromf¨ uhrung

Mit den bisher vorgestellten adaptiven Stromreglern erh¨alt man bei gem¨aßigten Anforderungen an die Regelg¨ ute zufriedenstellendes Verhalten. Fordert man jedoch das bestm¨ogliche Verhalten, so kann kein normales“ Regelverfahren mehr ” eingesetzt werden. Untersucht man die Sprungantwort eines solchen Stromregelkreises, so erh¨alt man ein ungewohntes Ergebnis: das Einschwingverhalten ist abh¨angig vom Zeitpunkt des Sollwertsprungs. Das r¨ uhrt daher, daß auf die Strecke nur zu diskreten Zeitpunkten durch Z¨ undung eines neuen Ventils Einfluß genommen werden kann (Abtastsystem), und ein statistischer Zusammenhang zwischen der von außen vorgegebenen Sollwertverstellung und der Abtastung des Stellgliedes vorliegt (siehe Abb. 9.6). Daher wird die Dynamik (An-, Ausre¨ gelzeit) und die D¨ampfung (Uberschwingen) des geschlossenen Stromregelkreises variabel. Man darf daher u berlagerte Regelkreise nur auf den schlechtesten Fall ¨ hin optimieren. Wegen dieser Geschwindigkeitseinbuße des u ¨ berlagerten Systems wird nun versucht, die Dynamik der Stromf¨ uhrung unter Voraussetzung gleichbleibender Stabilit¨at zu optimieren. Die folgenden Erl¨auterungen verwenden die Darstellung nach [103, 125]. In dem dort vorgestellten Verfahren (Abb. 10.19 und 10.20) wird nun statt auf den Mittelwert auf die Kurvenform des Stroms geregelt. Dazu wird aus dem gew¨ unschten Soll-Mittelwert ¯i∗A die zugeh¨orige Zeitfunktion des ungegl¨atteten Stroms i∗A ermittelt. Berechnet man die Stromkurve nun f¨ ur die n¨achste Phase, so ist daraus direkt ein Z¨ undkriterium abzuleiten: die n¨achste Phase wird gez¨ undet, wenn Iststrom (Momentanwert) und vorausberechneter Stromverlauf u ¨bereinstimmen. Dadurch wird erzwungen, daß nach dieser Z¨ undung der Stromverlauf dem station¨aren Verlauf entspricht, der zu dem vorgegebenen Mittelwert geh¨ort. Mit diesem Verfahren erh¨alt man im dynamischen Fall optimale Regelg¨ ute: ¨ k¨ urzestm¨ogliche Anregelzeit, kein Uberschwingen und Erreichen des station¨aren Zustandes nach nur einer Z¨ undung. Außerdem k¨onnen durch dieses Verfahren L¨ uck- und Nichtl¨ uckbereich gleich behandelt werden, da der Stromrichter hier nicht linearisiert betrachtet wird, sondern seine zeitabh¨angige Nichtlinearit¨at von der F¨ uhrungsinstanz ber¨ ucksichtigt und kompensiert wird. Es handelt sich da-

¯i∗A

-

i∗A

Berechnung der station¨ aren Kurvenf orm

-

6

6 t

Auswertung fu ¨r die ¨ N ACHST E P hase (P r¨ adiktion)

iA,pr¨a 6

t

-e −6 iA

iA

Komparator

 iA,pr¨

 - a t

Abb. 10.19: Vorausrechnendes F¨ uhrungsprinzip

-

Zu ¨nd− bef ehl

10.4 Adaptive Stromregelung

385

i A*

iA iA, prä

Zündbefehl

t Abb. 10.20: Sollwertsprung mit pr¨ adiktiver Stromf¨ uhrung

bei jedoch eigentlich um keine Regelung, da die Regelgr¨oße, der Mittelwert des Stroms, nicht zur¨ uckgef¨ uhrt wird. Solch komplexe F¨ uhrungsstrategien sind am einfachsten in Digitaltechnik zu realisieren, die heute allgemein verwendet wird. Das Softwareprogramm, welches den Regel- bzw. Steueralgorithmus enth¨alt, wird vom jeweils eingesetzten Prozessor zu jedem Abtastschritt abgearbeitet. Der Prozessor ist mit Stromrichter und Umwelt u ¨ber Analog-Eingabe-Baugruppen und Digital-Ausg¨ange verbunden, so daß die ben¨otigten Signale aus dem System dem Prozessor zugef¨ uhrt (Stromsollwert), bzw. an das System ausgegeben werden k¨onnen (Z¨ undbefehle). Durch die flexible Programmierbarkeit des Prozessors kann ein solches digitales Steuer- und Regelkonzept auch noch weitere Aufgaben u ¨bernehmen, wie die Verwaltung des Stromrichterzustandes (Steuer¨ satzfunktionen) oder die Uberwachung der Stromumkehr, die beim kreisstromfreien Umkehrstromrichter kritisch ist (m¨oglichst kurze stromlose Pause, jedoch Freiwerdezeit der Thyristoren abwarten!). Bei Einsatz derartiger Steuer- und Regelsysteme ist besonderes darauf zu achten, daß die f¨ ur einen Rechenzyklus ben¨otigte Zeit durch entsprechende Wahl der Prozessorleistung niedrig gehalten wird, da sich die Systemstabilit¨at durch Totzeiten extrem reduzieren kann. Es sind verschiedene Ausf¨ uhrungsformen der Methode der pr¨adiktiven Stromf¨ uhrung m¨oglich; diese sind in [103] und [125] ausf¨ uhrlich beschrieben. Das Verfahren kann in abgewandelter Form auch f¨ ur selbstgef¨ uhrte Umrichter mit eingepr¨agter Spannung und eingepr¨agtem Strom verwendet werden. In [317, 318, 320] werden hybride L¨osungsmethoden, in [321, 322, 323] rein softwarebezogene Methoden jeweils f¨ ur den U-Umrichter, in [217, 218, 219] L¨osungen f¨ ur den I-Umrichter vorgestellt.

386

10 Untersuchung von Regelkreisen mit Stromrichtern mit der Abtasttheorie

10.5

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wurde das Verhalten von Stromrichterstellgliedern bei differentiellen St¨orungen im Nichtl¨ uck- und L¨ uckbereich untersucht. Ausgehend von den erhaltenen Ergebnissen wurden verschiedene M¨oglichkeiten f¨ ur adaptive Stromregler vorgestellt und verglichen. Zusammenfassend lassen sich folgende Punkte festhalten: 1. Modellierung von Stromrichterstellgliedern als Abtaster Eine konstante differentielle St¨orung am Steuersatzeingang bewirkt am Stromrichter im Nichtl¨ uckbereich eine ebenso konstante Verschiebung der Z¨ undzeitpunkte in positive bzw. negative Richtung. Da hierdurch eine a¨quidistante Folge von Spannungszeitfl¨achenimpulsen am Ausgang des Stromrichters ausgel¨ost wird, kann das Stellglied als Abtaster mit der Tastperiode T = 1/(pfN ) aufgefaßt werden. 2. Ver¨ andertes Streckenverhalten im L¨ uckbetrieb ¨ Bei Ubergang in den L¨ uckbereich ensteht zus¨atzlich zu der im Nichtl¨ uckbereich erzeugten Folge von Spannungszeitfl¨achenimpulsen eine um die Stromf¨ uhrungsdauer der Ventile versetzte, ebenfalls ¨aquidistante Impulsfolge von Spannungszeitfl¨achen entgegengesetzter Polarit¨at. Aus der sich ¨ daraus ergebenden Ubertragungsfunktion des Gesamtsystems kann abgeleitet werden, daß im L¨ uckbetrieb das dynamische Verhalten der Strecke keinerlei Einfluß mehr auf das Gesamtverhalten des offenen Regelkreises hat. Dar¨ uberhinaus wird im L¨ uckbetrieb der Verst¨arkungsfaktor des offenen Regelkreises variabel und verringert sich rasch mit sinkendem Strommittelwert. 3. L¨ osungsm¨ oglichkeit: adaptive Stromregelung Durch Einsatz eines adaptiven Stromreglers l¨aßt sich in beiden Bereichen sehr gute Dynamik des Regelkreises erzielen. Die Qualit¨at eines solchen ¨ Reglers h¨angt davon ab, wie schnell und exakt bei einem Ubergang der jeweilige Betriebsbereich identifiziert und die Struktur und Parameter des Reglers umgeschaltet werden k¨onnen. 4. Pr¨ adiktive Stromf¨ uhrung Optimale Regelg¨ ute auch im dynamischen Fall kann durch Einsatz einer pr¨adiktiven Stromf¨ uhrung erreicht werden, bei der abh¨angig vom SollMittelwert des Stromes die Kurvenform des Iststromes f¨ ur die n¨achste Phase bereits im vorraus errechnet wird. Bei diesem Verfahren kann jedoch nicht mehr von Regelung im eigentlichen Sinne gesprochen werden.

11 Beschreibungsfunktion des Stromrichters mit natu ¨ rlicher Kommutierung

Zu Beginn von Kap. 9 war hervorgehoben worden, daß es sich bei Stromrichterstellgliedern um nichtlineare Komponenten handelt, welche den Entwurf von Stromreglern bei Antrieben erschweren. Um dennoch eine Modellierung und damit eine Ber¨ ucksichtigung beim Reglerentwurf zu erm¨oglichen, wurde in Kap. 9 das Großsignalverhalten von Stromrichterstellgliedern mit Hilfe einer Laufzeitn¨aherung nachgebildet. Anschließend wurde in Kap. 10 das dynamische Verhalten von Stromrichterstellgliedern bei differentiellen St¨orungen mit Methoden der z-Transformation untersucht. In diesem Kapitel soll nun die Beschreibungsfunktion des Stromrichterstellgliedes bestimmt werden. Es handelt sich dabei um ein Verfahren, mit dem schnell Einblicke in das Verhalten und in die Eigenschaften des behandelten Systems zu ¨ erlangen sind. Die Darstellungen verwenden die Uberlegungen und Ergebnisse aus [116]. Von besonderer Bedeutung ist dabei die Beschreibungsfunktion von leistungselektronischen Stellgliedern bei der Untersuchung der ripple instabili” ty“, d.h. bei Grenzzyklus-Untersuchungen (Abb. 12.7 bis 12.9 und Kap. 11.3).

11.1

Allgemeine Einfu ¨hrung

¨ Bei Regelkreisen, die nichtlineare Komponenten enthalten, wird das Ubertragungsverhalten und insbesondere die Stabilit¨atsgrenze des Regelkreises von der Amplitude des Regelsignals am Eingang der Nichtlinearit¨at abh¨angen. Zur Untersuchung dieser Regelkreise wurde das Verfahren der Beschreibungsfunktion von L.C. Goldfarb, A. Kochenburger, W. Oppelt und A. Tustin [99, 107, 136] entwickelt. Das Verfahren beruht auf folgendem Gedankengang: Wenn im Regelkreis eine Dauerschwingung vorhanden ist, dann werden alle Regelsignale diese Dauerschwingung aufweisen und somit werden alle Signale die gleiche Periodendauer haben. Das Regelsignal am Ausgang der Nichtlinearit¨at kann daher in eine Fourier-Reihe mit der Dauerschwingung als Grundschwingung und weiteren Oberschwingungen entwickelt werden. Falls der lineare Teil des Regelkreises Tiefpaßcharakter f¨ ur die Oberschwingungen hat, wird am Eingang der Nichtlinearit¨at

388

11 Beschreibungsfunktion des Stromrichters mit nat¨ urlicher Kommutierung

im wesentlichen nur noch die Grundschwingung des Ausgangssignals der Nichtlinearit¨at vorhanden sein. Mit der Voraussetzung des Tiefpaßcharakters der linearen Regelkreisglieder lassen sich mit dem Frequenzgang“, der sich aus dem Verh¨altnis der Amplitude ” der Grundschwingungen des Ausgangssignals der Nichtlinearit¨at (bei vorgegebenem Arbeitspunkt) und der Amplitude des sinusf¨ormigen Eingangssignals ergibt, Aussagen u ¨ber das Regelkreisverhalten machen (Abb. 11.1). w =-0e − 6

linearer Teil des Regelkreises mit Tiefpaßverhalten

xe

-

Nichtlinearit¨ at

ud

r

-

xe t Grundschwingung ud

t

verzerrtes Signal

Abb. 11.1: Struktur und Signalverlauf (Beispiel) bei Untersuchung von Regelkreisen mit der Beschreibungsfunktion

Da der so ermittelte Frequenzgang“ vom Arbeitspunkt und/oder von der ” ¨ Amplitude des Eingangssignals abh¨angig ist und somit das Ubertragungsverhalten von der Nichtlinearit¨at wesentlich beeinflußt wird, wird dieser so ermittelte Frequenzgang“ Beschreibungsfunktion genannt. ” Dieses Verfahren wurde anschließend auch auf frequenzabh¨angige Nichtlinearit¨aten und auf lineare Abtastsysteme erweitert. Die Berechnung der Beschreibungsfunktion erfolgt aufgrund der Komplexit¨at mit rechnergest¨ utzten Methoden. Es werden zwei F¨alle untersucht: 1. Steuerger¨at, sechspulsiger Stromrichter; 2. Unsymmetrischer Steilheitsbegrenzer (DSS), Steuerger¨at, sechspulsiger Stromrichter (Kap. 9.5).

11.1 Allgemeine Einf¨ uhrung

Netz N

xe

1: 2: ν:

Netz N

6             ? ? ν @ - B-
- @ B α

(xe0 , α0 , A)

@ @

1

@ @

389

ud , ud(t)

-

2

Steuerger¨at Stromrichter Anzahl der steuerbaren Ventile des Stromrichters xe0 , α0 : Eingangsspannung und Grundaussteuerung am Arbeitspunkt A: Amplitude des Eingangssignals

Abb. 11.2: Fall 1: Steuerger¨ at und sechspulsiger Stromrichter

Im Fall 1 besteht das zu untersuchende System nur aus einem Steuerger¨at und einem Stromrichter (Abb. 11.2). Die Besonderheit bei der Fourier-Analyse des Ausgangssignals ud(t) entsteht durch die Transformation des sinusf¨ormigen Eingangssignals xe zu einer zeitlich nicht ¨aquidistanten Folge von Z¨ undimpulsen f¨ ur die Ventile des Stromrichters (Abb. 9.6); das Ausgangssignal ud (t) des Stromrichters hat deswegen Sprungstellen, die nicht¨aquidistant sind. Infolgedessen ist das herk¨ommliche Schemaverfahren der Fourier-Analyse f¨ ur das Ausgangssignals ud (t) praktisch nicht mehr anwendbar, da bei der Fourier-Analyse nach dem Schemaverfahren eine ¨aquidistante Abtastung des Ausgangssignals ud (t) vorausgesetzt wird und dar¨ uberhinaus jeweils alle Sprungstellen des Ausgangssignals ud (t) gleichzeitig in den ¨aquidistanten Abtastzeitpunkten auftreten m¨ ussen. Diese beiden Bedingungen sind aber bei signalabh¨angigen Z¨ undimpulslagen nicht zu erf¨ ullen, so daß ein anderes Verfahren der Fourier-Analyse, das Sprungstellenverfahren, angewendet wird. Dieses Verfahren ist f¨ ur die Untersuchung des Falls 1 geeignet, da die Fourier-Integrale angen¨ahert von Sprungstelle zu Sprungstelle des Ausgangssignals ausgewertet werden. Ein weiterer Vorzug bei diesem Verfahren liegt vor allem in der Tatsache begr¨ undet, daß das Ausgangssignal ud (t) aus Ausschnitten von Sinus-Funktionen besteht. Es gelingt daher, geschlossene Formeln f¨ ur die Berechnung der Fourier-Koeffizienten anzugeben, d.h. die gesuchten Fourier-Koeffizienten k¨onnen exakt bestimmt werden. Eine Erweiterung des Berechnungsalgorithmus muß bei Fall 2 (DSS) vorgesehen werden, da das Eingangssignal xeS des Steilheitsbegrenzers in Abh¨angigkeit von der Frequenz und der Amplitude des Eingangssignals deformiert wird. Da die Beschreibungsfunktion abh¨angig ist von • der Frequenz fs des Eingangssignals, • der Amplitude A des Eingangssignals, • der Phasenlage des Eingangssignals bezogen auf das Spannungssystem N, • der Grundaussteuerung α0 des Stromrichters, d.h. von der Aussteuerung, die bei der Amplitude Null des Eingangssignals vorhanden ist, ist eine graphische Ausgabe der Ergebnisse notwendig.

390

11 Beschreibungsfunktion des Stromrichters mit nat¨ urlicher Kommutierung

Bei den in Abb. 11.4 bis 11.7 dargestellten den Ergebnissen sind folgende Voraussetzungen zu beachten: 1. Der verwendete Steuersatz hat eine lineare Steuerkennlinie α = f (xe0 ). Damit ist beim Stellglied eine nichtlineare statische Kennlinie ud = f (xe0 ) zu beachten (vgl. Gl. (9.2) und (9.3)). 2. Die maximale station¨are Verst¨arkung des Stromrichterstellgliedes ist auf VST R = 1 normiert. 3. Aufgrund der vier Parameter ist eine geschlossene Darstellung der Beschreibungsfunktion nicht mehr m¨oglich. Es werden deshalb nur die Teile der Beschreibungsfunktion angegeben, die sich jeweils bei konstanter Frequenz fs des Eingangssignals xe und konstanter Grundaussteuerung α0 ergeben. Bei dieser Beschr¨ankung treten in Abh¨angigkeit von der Amplitude A des sinusf¨ormigen Eingangssignals unterschiedliche Amplituden- und Phasenspielr¨aume auf, die durch die Abh¨angigkeit der Grundschwingung des Ausgangssignals von der Phasenlage des Eingangssignals bezogen auf das Spannungssystem N bedingt sind. Es m¨ ussen daher die Ortskurvenscharen bzw. die Amplituden- und Phasenspielr¨aume in Abh¨angigkeit von der Amplitude A des Eingangssignals bei jeder Frequenz fs des sinusf¨ormigen Eingangssignals und jeder Grundaussteuerung α0 getrennt dargestellt werden. 4. Bei der Analyse des Stromrichterstellgliedes werden keine S¨attigungserscheinungen untersucht. 5. Die Amplitude A des Eingangssignals wird bei den Ortskurvenscharen im Verh¨altnis zum Maximalwert des Eingangssignals, xˆe , angegeben.

11.2

Diskussion der Ergebnisse

In der Beschreibungsfunktion eines Abtastsystems, das aus einem Abtaster mit konstanter Abtastfrequenz und einem Halteglied nullter Ordnung besteht, ist ein Amplituden- und Phasenspielraum bei der Signalfrequenz fs = (1/η)f = 0, 5f (f = 1/T Abtastfrequenz, η = 2) vorhanden (Abb. 11.3). Dieses System wurde von J. Ackermann [59] um eine zeitinvariante Nichtlinearit¨at erweitert. Bedingt durch diese Nichtlinearit¨at und den Abtastvorgang entsteht eine endliche Anzahl zus¨atzlicher Amplituden- und Phasenspielr¨aume bei Frequenzverh¨altnissen η = f /fs = 2, ganzzahlig. Bei der Untersuchung des Stromrichterstellgliedes liegt ein ungleich komplizierterer Fall vor, da die Z¨ undimpulsfolge eine Funktion des Eingangssignals xe (t) und der Ausgangsspannungsverlauf ud (t) eine Funktion des Arbeitspunktes (xe0 , α0 ) ist. Bei der Analyse der drei zu Beginn von Kap. 11.1 genannten F¨alle ergeben sich aber folgende Gemeinsamkeiten:

11.2 Diskussion der Ergebnisse

391

ImB 0

-1

0,27

1 ReB

0,376

36 18 12 8 h=6 h=4

0,73

-j

2 p

Bh

h=3

Kreisnäherung

B2(a) Übergang vom Kreis um -j2/p zum Kreis um 0,376

Abb.11.3: Ortskurve der Beschreibungsfunktion f¨ ur den Abtaster mit Halteglied nullter Ordnung nach J. Ackermann [59]

1. Eine Analyse des Stellglieds ist nur bei den ausgezeichneten Frequenzen fs = (1/n)pfN , n = 2, 3, . . . m¨oglich, da nur bei diesen speziellen Frequenzen keine Signalanteile mit Frequenzen niedriger als der Frequenz fs entstehen. 2. Bei jeder dieser ausgezeichneten Frequenzen fs und abh¨angig von der Amplitude A des sinusf¨ormigen Eingangssignals xe (t) des Steuersatzes bzw. xeS (t) des Steilheitsbegrenzers (siehe Abb. 9.11) treten Amplitudenund Phasenspielr¨aume in der Beschreibungsfunktion des Stromrichterstellgliedes auf; mit abnehmender Frequenz fs des Eingangssignals nehmen diese Amplituden- und Phasenspielr¨aume ab. Zur weiteren Differenzierung der Aussage m¨ ussen wir zwischen der Frequenz f2 = 0, 5 pfN und allen anderen Frequenzen des ansteuernden Signals unterscheiden. Allgemein kann bei allen Frequenzen fs außer bei der Frequenz f2 bei von Null zunehmender Amplitude des Eingangssignals ein zunehmender Amplituden- und Phasenspielraum in der Beschreibungsfunktion der jeweiligen Frequenz beobachtet werden; nur bei f2 nimmt der Amplituden- und Phasenspielraum mit zunehmender Amplitude A des Eingangssignals ab. 3. Bei den ausgezeichneten Frequenzen fs = (1/n)pfN , n = 2, 3, . . . lautet die Periodizit¨atsbedingung 1/fs = nT . Dies bedeutet, daß am Ausgang des Stromrichterstellgliedes nur die ansteuernde Signalfrequenz und deren Harmonische auftreten werden. Bei allen anderen ansteuernden Frequenzen fs werden zus¨atzlich niederfrequentere Signale erzeugt, da die Periodizit¨atsbedingung zu m/fs = nT (m, n ganzzahlig) abgewandelt werden muß. Die Frequenz des ansteuernden Signals ist somit eine Oberschwingung der

392

11 Beschreibungsfunktion des Stromrichters mit nat¨ urlicher Kommutierung

erzeugten Grundfrequenz fGrund = fs /a, mit fs = (a/b)pfN (a, b ganzzahlig). Aufgrund dieser Tatsache ergeben sich bei den nicht ausgezeichneten Frequenzen wesentlich kleinere Amplituden- und Phasenspielr¨aume, da die Fourier-Analyse auf der Periodendauer der Grundfrequenz fGrund basiert. 4. Bei einer Grundaussteuerung α0 = 90◦ ist die Beschreibungsfunktion bei kleinen Amplituden des Eingangssignals symmetrisch zur reellen Achse, bei α0 = 90◦ ist diese Symmetrie nicht mehr vorhanden. Die Beschreibungsfunktion von Stromrichterstellgliedern mit linearer statischer Kennlinie ud = f (xe0 ) hat nahezu die gleichen Ortskurvenscharen, wie Untersuchungen von F. Fallside und A. R. Farmer [96] gezeigt haben. Die Unterschiede zu Stromrichterstellgliedern mit nichtlinearer statischer Kennlinie sind nur geringf¨ ugig und erst bei großen ansteuernden Signalen festzustellen. An dieser Stelle ist der Vergleich der Ergebnisse dieses Kapitels mit den in Kap. 9 durch Laufzeitn¨aherung erhaltenen interessant. Ein Ergebnis von Kap. 9.3 bis 9.5 war die Abh¨angigkeit der Wartezeit Tw vom Zeitpunkt t1 der Z¨ undwinkel¨anderung, von der Gr¨oße der Z¨ undwinkel¨anderung Δα und von der Grundaussteuerung α0 (vgl. Gl. (9.21)). Die Beschreibungsfunktion ist dementsprechend abh¨angig von der Phasenlage des Eingangssignals bezogen auf das Spannungssystem N, von der Amplitude A des Eingangssignals und von der Grundaussteuerung α0 . ¨ Außer diesen mehr allgemeinen Ubereinstimmungen ergeben sich zus¨atzliche Gemeinsamkeiten: 1. Den Amplituden- und Phasenspielr¨aumen entsprechen die Wartezeitbereiche (siehe u.a. Abb. 9.9 und 9.10), da bei beiden Approximationen das Ergebnis von der Lage des Eingangssignals im Spannungssystem N abh¨angig ist. 2. Aufgrund der Symmetrie der Ortskurvenscharen zur reellen Achse und der Symmetrie des Wartezeitbereiches zu Twm = 0 sec. Bei α0 = 90◦ kann die Aussage getroffen werden, daß im Mittel bei der Grundaussteuerung α0 = 90◦ und bei kleinen Amplituden des Eingangssignals keine Phasenverschiebung zwischen dem Ausgangs- und Eingangssignal vorhanden ist. 3. Bei Grundaussteuerungen α0 < 90◦ (α0 > 90◦ ) ist im Mittel eine Voreilung (Nacheilung) des Ausgangssignals bezogen auf das Eingangssignal bei beiden Approximationen festzustellen. Bisher wurde der unsymmetrische Steilheitsbegrenzer (DSS) (Fall 2) nicht bei der Untersuchung ber¨ ucksichtigt. Die Ergebnisse unterscheiden sich jedoch nicht wesentlich von den oben genannten Ergebnissen, da im allgemeinen nur bei großen Amplituden des Eingangssignals eine gr¨oßere Phasenverschiebung festzustellen ist.

11.2 Diskussion der Ergebnisse

FourierAnalyse

y

f = f2 = 150 Hz s a0= 30° -1

A=0,1

A=0,2 x

A=0

y

FourierAnalyse f = f2 = 150 Hz s a0= 90°

-1

-2

A=0,8

A=1

x

A=0,6

A=0,4 A=0

A=0,2 A=0,3

A=0,1

y

FourierAnalyse f = f2 = 150 Hz s a0= 150°

A=0

-1 A=0,2

x

A=0,1

Abb. 11.4: Beschreibungsfunktion f¨ ur Fall 1 bei fs = f2 = 150 Hz

393

394

11 Beschreibungsfunktion des Stromrichters mit nat¨ urlicher Kommutierung

y

f = 37,5 Hz s a0= 90°

A=0,8 A=1 A=0,6 A=0 -1

x

A=0,4

y

A=0,6 A=0 -1

x

A=1

y

A=0,6 A=0,4 -1 A=0,3

A=0,8

FourierAnalyse f = 42,8 Hz s a0= 90°

A=0,8

A=0,4

FourierAnalyse

FourierAnalyse

A=1 f = f6 = 50 H z s a0= 90°

x

Abb. 11.5: Beschreibungsfunktion f¨ ur Fall 1 bei α0 = const. = 90◦ , fs = 37, 5 Hz, 42, 8 Hz, f6

11.2 Diskussion der Ergebnisse

A=0,6

A=0,8

y

FourierAnalyse

A=1

fs = f5 = 60 Hz

A=0,4 A=0,2

395

a0= 90°

-1 x

A=0,3

y A=0,6 A=0,4

A=0,8

A=1

FourierAnalyse f = f4 = 75 Hz s a0= 90°

A=0,3 -1

x

A=0,2 A=0,1

y

A=0,3 A=0,4 A=0,6 A=0,8

A=0,2 A=0,1

A=1

FourierAnalyse f = f3 = 100 Hz s a0= 90°

-1 A=0

x

Abb. 11.6: Beschreibungsfunktion f¨ ur Fall 1 bei α0 = const. = 90◦ , fs = f5 , f4 , f3

396

11 Beschreibungsfunktion des Stromrichters mit nat¨ urlicher Kommutierung

y

FourierAnalyse

DSS

A=0,8

A=0,6

A=1 A=0,4

fs = f4 = 75 Hz a0= 90°

A=0,3 -1 A=0,2

x

A=0,1

y A=0,4

A=0,6

A=0,3

A=0,8

FourierAnalyse

DSS

fs = f3 = 100 Hz a0= 90°

A=0,2 A=1

A=0,1 -1 A=0

x

y

FourierAnalyse

DSS

fs = f2 = 150 Hz a0= 90°

A=0,8

-1

A=1

x A=0,6

A=0

A=0,1

A=0,2

A=0,4

Abb. 11.7: Beschreibungsfunktion f¨ ur Fall 2 bei α0 = const. = 90◦ , fs = f4 , f3 , f2

11.3 Untersuchung von Regelkreisen mit der Beschreibungsfunktion

397

Die Ergebnisse der rechnergest¨ utzten Untersuchung der Anordnung Steuerger¨at–sechspulsiger Stromrichter (Fall 1) zeigen die Abbildungen 11.4 bis 11.6. In Abb. 11.7 sind die Ergebnisse f¨ ur die Anordnung Steilheitsbegrenzer– Steuerger¨at–sechspulsiger Stromrichter zu sehen; die Fourier-Analysen sind zus¨atzlich mit DSS gekennzeichnet.

11.3

Untersuchung von Regelkreisen mit der Beschreibungsfunktion

Aus Abb. 11.4 bis 11.7 ist ersichtlich, daß durch die Variation der Amplitude A des Eingangssignals xe bzw. xeS und der Grundaussteuerung α0 unterschiedliche Ortskurvenscharen zustandekommen. Aus diesem Grund ist eine allgemeine Analyse von Regelkreisen mit der Beschreibungsfunktion sehr zeitaufwendig und kompliziert. Trotz der zu erwartenden Schwierigkeiten soll aber f¨ ur die ausgezeichneten Frequenzen f2 = (1/2)pfN = 150 Hz und f3 = (1/3)pfN = 100 Hz eine Grenzzyklusuntersuchung (harmonic instability) durchgef¨ uhrt werden, um die Anwendungsgrenzen der Beschreibungsfunktion aufzuzeigen. Die Untersuchung bei den ausgezeichneten Frequenzen liegt nahe, da die Amplituden- und Phasenspielr¨aume bei diesen Frequenzen am umfangreichsten sind, d.h. diese Frequenzen werden bevorzugte Grenzzyklusfrequenzen sein. Bei den Untersuchungen wird der in Abb. 11.8 gezeigte Regelkreis mit einem sechspulsigen (p = 6) Stromrichterstellglied ohne Steilheitsbegrenzer vorausgesetzt. w - e - G (s) xe- B @ @ R B − 6

ud-

GS (s)

r

x-

ST R

Abb. 11.8: Testregelkreis zur Stabilit¨ atsuntersuchung

Regler:

Strecke: STR:

GR (s) =

VR (1 + sTn ) sTn

(11.1)

=

KR (1 + sTR ) s

(11.2)

VS (1 + sT1 )(1 + sT2 )

(11.3)

GS (s) =

Stromrichterstellglied mit VST R = 1 (α0 = 90◦ )

(11.4)

398

11 Beschreibungsfunktion des Stromrichters mit nat¨ urlicher Kommutierung

Unter der Annahme VS = 1 und der Kompensation der Zeitkonstante T1 der Strecke durch den Vorhalt des Reglers (Tn = T1 ), ergibt sich f¨ ur den linearen Teil des Regelkreises −G0,lin (s) = GR (s) GS (s) =

VR KR = sTn (1 + sT2 ) s(1 + sT2 )

(11.5)

F¨ ur die allgemeine Darstellung eines PI-Reglers wurde bisher immer die Form mit der dimensionslosen Verst¨arkung VR und der Nachstellzeit Tn nach Gl. (11.1) gew¨ahlt. Die Berechnungen und Ergebnisse in [116] beruhen jedoch auf der in Gl. (11.2) angegebenen Darstellungsform mit der dimensionsbehafteten Verst¨arkung KR mit KR = VR /TR . F¨ ur die weiteren Betrachtungen in in diesem Kapitel soll daher diese etwas ¨altere Darstellungsform verwendet werden. Mit s → jω kann der Frequenzgang des linearen Teils des Regelkreises formuliert werden: F0,lin (jω) = −G0,lin (s → jω) =

KR jω(1 + jωT2 )

(11.6)

Zun¨achst sei die Untersuchung auf die Grenzzyklusfrequenz f2 beschr¨ankt. Zur weiteren Vereinfachung setzen wir die F¨ uhrungsgr¨oße w = 0, um die Symmetrie der Ortskurvenscharen zur reellen Achse bei α0 = 90◦ auszunutzen, die Analyse bei F¨ uhrungsgr¨oßen w = 0 ist aber ebenso m¨oglich.

1 F0,lin(jw)

Im

w

-1

Re

Bf2 A Abb. 11.9: Stabilit¨ atsuntersuchung fs = f2 = 150 Hz, α0 = 90◦

mit

0 dem

Zwei-Ortskurven-Verfahren;

Zur Veranschaulichung des Zwei-Ortskurven-Verfahrens dient Abb. 11.9, in der der Teil der Ortskurve B f¨ ur die ausgezeichnete Frequenz f2 bei differentieller Amplitude des Eingangssignals sowie die inverse Ortskurve des linearen Teils des Regelkreises, 1/F0,lin (jω), aufgetragen sind. Da die Ortskurve Bf 2 bei differentieller Amplitude des Eingangssignals ein Kreis um den Punkt (−1/0) mit dem Radius r = 1 ist (siehe Abb. 11.4, Mitte), kann die Stabilit¨atsgrenze wie folgt berechnet werden:

11.3 Untersuchung von Regelkreisen mit der Beschreibungsfunktion

Kreisgleichung am Stabilit¨atsrand: 

2 

2 1 1 1 + Re + Im =1 F0,lin (jω) F0,lin (jω)

399

(11.7)

Gleichung des inversen linearen Frequenzgangs F0,lin (jω): 1 ω 2 T2 ω jω(1 + jωT2) =− +j = F0,lin (jω) KR KR KR

(11.8)

Durch Einsetzen von Gl. (11.8) in Gl. (11.7) kann die kritische Reglerverst¨arkung KR krit1 berechnet werden, bei dem bei differentieller Amplitude (A → 0) ein Grenzzyklus mit der Frequenz f2 auftritt.  ω2 T 2 + 1 KR krit1 A→0 = 2 2 2T2

(11.9)

ω2 = 2π f2

mit

Dieser Grenzzyklus ist im vorliegenden Fall stabil, da die Verst¨arkung des Stromrichterstellgliedes mit zunehmender Amplitude des Eingangssignals abnimmt. Die Aussage der Stabilit¨at des Grenzzyklus’ kann mit folgender Rechnung u uft werden; es wird gepr¨ uft, welches KR krit1 bei gr¨oßeren Amplituden des ¨berpr¨ Grenzzyklus notwendig ist. Wie aus den Ortskurvenscharen in Abb. 11.4 zu erkennen ist, nehmen die die Amplituden- und Phasenspielr¨aume bei f2 = 150 Hz mit zunehmender Amplitude A ab. Bei kleinen Amplituden kann mit guter N¨aherung angenommen werden, daß die Amplituden- und Phasenspielr¨aume innerhalb eines Kreises mit Radius r = a und dem Mittelpunkt (−a/0) liegen. Dies gilt bis A ≈ 0, 2. Damit kann die allgemeine Kreisgleichung aufgestellt werden zu: 

2 

2 1 1 a + Re + Im = a2 (11.10) F0,lin (jω) F0,lin (jω) mit 1/F0,lin (jω) aus Gl. (11.8). Um die Reglerverst¨arkung in Abh¨angigkeit vom Kreisradius zu bestimmen, wird Gl. (11.8) in Gl. (11.10) eingesetzt und nach KR aufgel¨ost. a2 − 2a

ω 2 T2 ω 4 T22 ω2 + + 2 = a2 2 KR KR KR

−2aT2 +

1 (w 2 T22 + 1) = 0 KR

KR krit1 (a) =

ω22 T22 + 1 2aT2

(11.11) (11.12) (11.13)

400

11 Beschreibungsfunktion des Stromrichters mit nat¨ urlicher Kommutierung

Wie bereits erw¨ahnt, nimmt die Verst¨arkung des Stellgliedes bei f2 mit zunehmender Amplitude A des Eingangssignals ab. Die Reglerverst¨arkung KR krit1 (a) muß deshalb zunehmen. Dies bedeutet, daß erst mit h¨oheren KR krit1 (a) gr¨oßere Amplituden der oszillatorischen Instabilit¨at mit der ausgezeichneten Frequenz f2 zu erreichen sind. Die oszillatorische Instabilit¨at mit KR krit1 (a → 1) ist somit stabil, ebenso alle anderen Punkte der oszillatorischen Instabilit¨at mit KR krit1 (a). Praktische Messungen best¨atigen die theoretische Untersuchung mit großer Genauigkeit in dem Zeitkonstantenbereich 2 ms < T2 < 6 ms (Abb. 11.10). [1/sec] KRKrit 3000

Stabilitätsrand : xe = 0.1 x^e (Messung)

2500 2000

Stabilitätsrand : fS = f2

(Messung)

1500

Stabilitätsrand : fS = f 2

1000

(Rechnung) (Rechnung)

Stabilitätsrand : fS = f3; xe = 0.1 x^e Stabilitätsrand

500

1

2

3

4

5

6

(Messung) 7

8

9

10

T2 ms

Abb. 11.10: Stabilit¨ atsuntersuchung mit der Beschreibungsfunktion (Vergleich von Rechnung und Messung)

Wie aus Abb. 11.10 zu erkennen ist, treten unterhalb und oberhalb dieses Bereiches Abweichungen zwischen Rechnung und Messung auf. Ein Grund f¨ ur die Abweichung unterhalb des Bereiches liegt darin, daß bei Zeitkonstanten T2 < 2 ms die nichtidealen Eigenschaften der verwendeten Bauelemente, die parasit¨are Zeitkonstanten erzeugen, zunehmende Bedeutung gewinnen. F¨ ur die abschließende Diskussion wollen wir hier nur feststellen, daß bei T2 → 0 ms die kritische Reglerverst¨arkung gegen ω22 T22 + 1 →∞ T2 →0 2T2

KR krit2 (T2 → 0) = lim

(11.14)

gehen muß. Nun sollen die Verh¨altnisse bei der Frequenz f3 = (1/3)pfN = 100 Hz diskutiert werden. Wie bei den Untersuchungen f¨ ur fs = f2 wird die F¨ uhrungsgr¨oße w = 0 gesetzt, um die Symmetrie der Ortskurvenscharen bei der Analyse auszunutzen. Bei der Frequenz f3 und bei allen anderen ausgezeichneten Frequenzen

11.3 Untersuchung von Regelkreisen mit der Beschreibungsfunktion

401

nehmen — mit von Null zunehmender Amplitude A des Eingangssignals xe — die Amplituden- und Phasenspielr¨aume zu. Dies bedingt einen harten Schwingungseinsatz bei allen Frequenzen außer bei f2 , d.h. der Regelkreis muß bei allen diesen Frequenzen — außer bei der Frequenz f2 — erst durch eine St¨orung angeregt werden, um den Grenzzyklus zu erreichen. Die Analyse bei den Frequenzen fs = f2 ist somit umfangreich, da f¨ ur jede Grenzzyklusamplitude eine getrennte Untersuchung durchgef¨ uhrt werden muß. Einen Ausweg aus diesem Dilemma bietet der Vorschlag, nur die Einh¨ ullende aller Amplituden- und Phasenspielr¨aume bei der interessierenden Frequenz zu ber¨ ucksichtigen. Dieser Vorschlag ist bei allen Frequenzen außer der Frequenz f2 insofern sinnvoll, weil alle Grenzzyklusfrequenzen vorkommen k¨onnen, ihr Auftreten aber nicht sicher vorherzusagen ist. Die Feststellung von Kalman, derartige Grenzzyklen k¨onnten nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit vorhergesagt werden, best¨atigt sich im vorliegenden Fall im Experiment. Es soll nun die kritische Reglerverst¨arkung KR krit3 in Abh¨angigkeit von der unkompensierten Zeitkonstanten T2 berechnet werden, wenn die Grenzzyklusfrequenz f3 = 100 Hz und die Amplitude A des Eingangssignals xe = 1/10 der Maximalamplitude xˆe ist (A = 0, 1). Wie aus der in Abb. 11.6 unten dargestellten Ortskurvenschar f¨ ur f3 zu ersehen ist, kann der Amplituden- und Phasenspielraum bei 100 Hz und bei A = 0, 1 durch einen Kreis um (−1, 0) mit dem Radius r = 2/9 angen¨ahert werden. Wir m¨ ussen daher die Formel f¨ ur f2 (vgl. Gl. (11.10)) abwandeln zu: 1− mit

ω32 T2 KR krit3

2

+

ω3 KR krit3

2 = r2 =

2 2 9

(11.15)

ω3 = 2π f3

Nach dem Aufl¨osen erhalten wir eine quadratische Gleichung f¨ ur die kritische Reglerverst¨arkung KR krit3 : KR2 krit3 − 2KR krit3

ω32 T2 ω 2 (1 + ω32T22 ) + 3 =0 2 1−r 1 − r2

(11.16)

Die L¨osung lautet: KR krit3 =

ω32 T2 ω3 ± 1 − r2 1 − r2

ω32 T22 r 2 + r 2 − 1

(11.17)

Das vorliegende Problem ist nur dann sinnvoll zu l¨osen, wenn der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen gleich bzw. gr¨oßer als Null ist. Dies deutet darauf hin, daß nicht immer ein Grenzzyklus mit den obigen Voraussetzungen m¨oglich ist. Durch Nullsetzen des Wurzelausdrucks erhalten wir: ? 1 − r2 2 T2grenz = (11.18) = 6, 97 ms mit ω3 = 2πf3 , r = ω32 r 2 9

402

11 Beschreibungsfunktion des Stromrichters mit nat¨ urlicher Kommutierung

Ein Grenzzyklus mit f3 = 100 Hz und A = 0, 1 ist somit erst bei einer unkompensierten Zeitkonstanten T2grenz = 6, 97 ms m¨oglich, wenn die Reglerverst¨arkung richtig gew¨ahlt wird. Die Auswertung der obigen Formel wurde in ¨ Abb. 11.10 vorgenommen; die Ubereinstimmung mit den praktischen Ergebnissen ist im angegebenen Zeitkonstantenbereich T2grenz ≈ 7 ms sehr gut.

11.4

Grenzen des Verfahrens

¨ Im vorigen Kapitel konnte eine sehr gute Ubereinstimmung zwischen den theoretischen und den experimentell ermittelten Ergebnissen festgestellt werden. Die ¨ Uberpr¨ ufung des Stabilit¨atsrandes gelingt aber aufgrund des harten Schwingungseinsatzes bei allen Grenzzyklusfrequenzen fs = f2 nicht immer. Zur weiteren Relativierung der obigen Ergebnisse m¨ ussen wir noch einmal auf den Bereich der nichtkompensierten Zeitkonstanten T2 < 2 ms zur¨ uckkommen. In diesem Bereich war bei der Grenzyklusfrequenz f2 eine merkliche Abweichung zwischen den theoretisch errechneten kritischen Reglerverst¨arkungen und den experimentell ermittelten Werten festgestellt worden. Diese Tatsache ist nur teilweise mit den Unzul¨anglichkeiten der verwendeten Bauteile allein zu begr¨ unden; die Einschr¨ankung ist aufgrund folgender Tatsache notwendig: Die Amplituden und Phasenspielr¨aume ¨andern sich bei einem zus¨atzlich vorhandenen Steilheitsbegrenzer vor dem Steuerger¨at nicht, wenn der Steilheitsbegrenzer nicht anspricht. Dies ist insbesondere immer bei kleinen Amplituden A des sinusf¨ormigen Eingangssignals xeS des Steilheitsbegrenzers der Fall. Die Stabilit¨atsgrenze kann daher theoretisch keine Funktion der Steilheit xˆ˙e des Steilheitsbegrenzers sein; in der Praxis ist aber das Gegenteil festzustellen. Der Widerspruch ist durch die Verletzung der Tiefpaßbedingung bedingt, da die Welligkeit der Stromrichterausgangsspannung trotz der D¨ampfung durch den linearen Teil des Regelkreises den Steilheitsbegrenzer ansprechen l¨aßt. Eine Stabilit¨atsuntersuchung erfordert in diesem Fall die Ber¨ ucksichtigung aller wesentlichen Oberschwingungen der Stromrichterausgangsspannung. Diese Erweiterung des urspr¨ unglichen Verfahrens (Ber¨ ucksichtigung mehrerer Eingangssignale) wurde f¨ ur andere Systeme in [100, 139] vorgeschlagen und erm¨oglicht in gewissen F¨allen die Berechnung der Stabilit¨atsgrenze, der Aufwand steigt allerdings wesentlich an.

12 Vergleich verschiedener Approximationen fu ¨ r netzgefu ¨ hrte Stromrichter

In Kap. 9.3 wurde eine Approximation des dynamischen Verhaltens von Stromrichterstellgliedern f¨ ur das Großsignalverhalten mit Hilfe einer Laufzeitn¨aherung entwickelt. Kapitel 10 behandelte die Untersuchung des Kleinsignalverhaltens von Stromrichterstellgliedern mit der Abtasttheorie, und im vorangegangenen Kapitel 11 wurde schließlich die Beschreibungsfunktion von Stromrichterstellgliedern entwickelt und die Einsatzm¨oglichkeiten sowie die Grenzen des Verfahrens diskutiert. Interessant ist daher eine Gegen¨ uberstellung der verschiedenen Approximationen. Um dies zu erm¨oglichen, sollen in den beiden folgenden Abschnitten zun¨achst zwei spezielle Probleme bei Regelkreisen mit Stromrichterstellgliedern n¨aher betrachtet werden. Das erste Problem ist die Ber¨ ucksichtigung der Eigenschaften der Thyristoren, die nach einem Z¨ undsignal durchschalten. Regelkreise mit Stromrichterstellglie¨ dern k¨onnen dadurch keine sprungf¨ahige Ubertragungsfunktion aufweisen. VR Tn w - e -  xe@ B @ B − 6 GR (s)

GST R (s)

VS

TA

ud

-

r

x

-

GS (s)

Abb. 12.1: Regelkreis

Das zweite Problem ist die allgemeine Bestimmung der Steigung der Steuersatzeingangsspannung im Z¨ undzeitpunkt, x˙ e− , welche f¨ ur die Berechnung Verst¨arkungsfaktors Kα des Stromrichterstellgliedes bei differentiellen St¨orungen ben¨otigt wird (siehe Gl. (10.21)). Wenn die beiden Probleme bekannt und gel¨ost sind, dann k¨onnen die Regelkreise mit Stromrichterstellgliedern auch im z-Bereich behandelt werden. In Kap. 12.3 werden die bisherigen Approximationen f¨ ur Stromrichterstellglieder miteinander verglichen.

404

12 Vergleich verschiedener Approximationen f¨ ur netzgef¨ uhrte Stromrichter

Bei den folgenden Untersuchungen wird stets der Regelkreis nach Abb. 12.1 vorausgesetzt. F¨ ur Regler und Strecke sollen, wie in Kap. 10, die folgenden Konfigurationen gelten (mit KI als dem Verst¨arkungsfaktor des offenen Regelkreises): Regler:

GR (s) =

VR (1 + sTn ) sTn

(12.1)

Strecke:

GS (s) =

VS 1 + sTA

(12.2)

STR:

Approximationen f¨ ur Stromrichterstellglied mit p = 6, fN = 50 Hz

⇒

KI =

VR VS Tn

(12.3)

F¨ ur den linearen Teil des Regelkreises erh¨alt man mit Tn = TA −G0,lin (s) = GR (s) GS (s) =

KI s

(12.4)

¨ Die Ubertragungsfunktion f¨ ur den offenen Regelkreis lautet damit −G0 (s) = GST R (s) · G0,lin (s) =

12.1

KI · GST R (s) s

(12.5) (12.6)

Ermittlung von Gl (z, m), Sprungf¨ ahigkeit

Nachdem in Kap. 10 ein Abtastmodell entwickelt wurde, welches das Stromrichterstellglied bei differentiellen St¨orungen exakt erfaßt, muß noch eine spezielle Eigenschaft des Stellgliedes erl¨autert werden. Bei Regelkreisen mit einem Abtaster (Annahme: kein Halteglied im Regelkreis) wird das Ausgangssignal des Abtasters immer dann die Amplitude des Eingangssignals des Abtastsystems im gleichen Tastzeitpunkt beeinflussen, wenn es sich um ein sprungf¨ahiges System handelt. Allgemein wird der Begriff sprungf¨ahig in der Regelungstechnik f¨ ur lineare Systeme verwendet, welche in Zustandsdarstellung eine Durchschaltmatrix D = 0 besitzen und damit auf einen Sprung am Eingang mit einem (skalierten) Sprung am Systemausgang antworten k¨onnen. Zwischen dem Grad n des Nen¨ nerpolynoms und dem Grad m des Z¨ahlerpolynoms der Ubertragungsfunktion eines solchen Systems muß damit die Beziehung n = m herrschen. Bei Regelkreisen mit einem Abtaster wird an dessen Ausgang ein Signal entstehen, das als Folge von δ-Impulsen beschrieben werden kann. In einem solchen

12.1 Ermittlung von Gl (z, m), Sprungf¨ ahigkeit

405

Fall kann die Amplitude des Eingangssignals des Abtastsystems im gleichen Tastzeitpunkt bereits beeinflußt werden (System ist sprungf¨ahig), wenn zwischen dem ¨ Grad n des Nennerpolynoms und dem Grad m des Z¨ahlerpolynoms der Ubertragungsfunktion des linearen Teils des Regelkreises −G0,lin (s) die Beziehung n=m+1

(12.7)

herrscht. Zwischen dem Begriff der Sprungf¨ahigkeit wie er in Bezug auf Abtastsysteme verwendet wird und der allgemeinen Definition muß also klar unterschieden werden. Diese bei Abtastsystemen beschriebende Erscheinung kann aber bei Regelkreisen mit Stromrichterstellgliedern nicht auftreten, da einerseits nach der Z¨ undung eines Ventils der Z¨ undzeitpunkt nicht mehr ge¨andert werden kann und andererseits das Potential des gez¨ undeten Ventils im Z¨ undzeitpunkt vom Spannungssystem N vorgegeben wird. Bereits in Kap. 10 war diese Eigenschaft angesprochen worden. Um diese spezielle Eigenschaft der Stromrichterstellglieder bei der Analyse und Synthese zu ber¨ ucksichtigen, m¨ ussen wir eine spezielle z-Transformierte −Gls (z) f¨ ur den linearen sprungf¨ahigen Teil des Regelkreises −G0,lin (s) erarbeiten. Ein geeignetes Hilfsmittel bei dieser Aufgabe stellt die modifizierte z-Transformation dar, deren theoretische Grundlagen im folgenden kurz abgeleitet werden. Mit der modifizierten z-Transformation k¨onnen im Gegensatz zur normalen z-Transformation auch die Werte des Ausgangssignals zwischen den Abtastzeitpunkten bestimmt werden. Das Verfahren beruht auf folgendem Gedankengang (siehe auch Kap. 6.1.3). Zur Veranschaulichung dient Abb. 12.2. T

?  - e e  y1∗ (t)

T

?  - e e - −G0,lin (s) x(t) 

-

y(t)

e−ΔT s

r

-

y1 (t)

Abb. 12.2: System mit modifizierter Abtastung

Das Signal y(t) am Ausgang des linearen Anteils des Regelkreises wird um ΔT verz¨ogert und anschließend synchron mit dem Abtaster am Eingang abgetastet. Es gilt: y(s) = L {x(t) · δT (t)} · (−G0,lin (s))

(12.8)

406

bzw.

12 Vergleich verschiedener Approximationen f¨ ur netzgef¨ uhrte Stromrichter

y1∗(s, Δ) = L {y(t − ΔT ) · δT (t)}

(12.9)

Die Berechnung von y1∗(s, Δ) erfolgt mit der komplexen Faltung: y1∗ (s, Δ)

c+j∞ 

1 = 2πj

y(ε) e−ΔT ε

c−j∞

1 dε 1 − e−T (s−ε)

(12.10)

Um die Konvergenz des Integrals zu sichern, wird Δ = 1 − m gesetzt: y1∗(s, m)

e−sT = 2πj

c+j∞ 

y(ε) emεT c−j∞

1 dε 1 − e−T (s−ε)

(12.11)

Dieses Integral kann mit dem Cauchyschen Residuensatz berechnet werden. Das Ergebnis y1∗ (s, m) ist eine Funktion von s und m, bzw. die modifizierte ¨ z-Transformierte der Ubertragungsfunktion −G0,lin (s) ist eine Funktion von z und m. Durch Variation von m = 1 − Δ im Bereich 0 ≤ m ≤ 1 ist das gesuchte Ausgangssignal y(t) in jedem beliebigen Zeitpunkt zu bestimmen. Die Theorie der modifizierten z-Transformation kann in [65] nachgelesen werden. Diese Grundkenntnis der modifizierten z-Transformation gen¨ ugt, um die spezielle z-Transformierte f¨ ur den linearen Anteil des Regelkreises nach Abb. 12.1 zu entwickeln. Bei sprungf¨ahigen linearen Regelkreisgliedern muß eine sofortige Beeinflussung der Amplitude des Steuersatzeingangssignals durch das Ausgangssignal des Stromrichters, welches ein Folge von δ-Impulsen ist, im Z¨ undzeitpunkt verhindert werden. Um dieses Ziel zu erreichen, gen¨ ugt es, die modifizierte Transformierte y1∗ (s, m) bei ΔT → 0 zu verwenden. Die gesuchte z-Transformierte −Gls (z) der linearen Regelkreisglieder −G0,lin (s) wird durch folgende mathematische Operation gewonnen. −Gls (z) = lim −Gl (z, m)

(12.12)

−Gl (z, m) = Zmod {−G0,lin (s)}

(12.13)

m→1

mit Zur Veranschaulichung dieser Definition soll noch einmal Abb. 12.2 betrachtet werden. Bei einer Nacheilung des Signals y1 (t) um ΔT → 0 bezogen auf das Signal y(t) ergibt sich praktisch der gleiche Kurvenverlauf f¨ ur die beiden Signale. Da aber ein idealer Abtaster mit der Schließungsdauer Null vorausgesetzt wird, k¨onnen in den Tastzeitpunkten die Signale y(t) und y1 (t) nicht u ¨bereinstimmen, weil das Signal y1 (t) um ΔT gegen¨ uber dem Signal y(t) verz¨ogert ist. Unsere Aufgabe ist somit gel¨ost. Der in diesem Kapitel betrachtete Regelkreis nach Abb. 12.1 mit −G0,lin (s) nach Gl.(12.4) ist nach Definition Gl.(12.7) sprungf¨ahig, da der Grad des Nennerpolynoms ein Grad h¨oher ist als der Grad des Z¨ahlerpolynoms. Mit der ab¨ geleiteten Gleichung (12.12) ergibt sich f¨ ur die spezielle Ubertragungsfunktion

12.2 Berechnung der ersten Ableitung der Steuersatzeingangsspannung

407

des linearen Anteils des Regelkreises durch Nachschlagen in den Tabellen f¨ ur die modifizierte z-Transformation: −Gls (z) =

KI z−1

(12.14)

Zur Gegen¨ uberstellung das Ergebnis der normalen z-Transformation: −Gl (z) = KI

z z−1

(12.15)

Gleichung (12.12) muß bei allen nach Definition Gl. (12.7) sprungf¨ahigen Regelkreisen mit −G0,lin (s) angewendet werden, um die speziellen Eigenschaften, die ein Stromrichterstellglied im Gegensatz zu einem Abtaster hat, zu ber¨ ucksichtigen. Da sich bei nicht sprungf¨ahigen Systemen bei der normalen z-Transformation und bei der speziellen Transformation nach der obigen Formel dasselbe Ergebnis ergibt, ist die Definition der speziellen Transformation −Gl (z, m) universal.

12.2

Berechnung der ersten Ableitung der Steuersatzeingangsspannung

Zur endg¨ ultigen Berechnung des Verst¨arkungsfaktors Kα z.B. nach Gl. (10.21) fehlt noch die erste Ableitung der Steuersatzeingangsspannung x˙ e− zu den Zeit¨ punkten t = nT− im station¨aren Betrieb. Aufgrund der Definition der Ubertragungsfunktion des linearen Regelkreises nach Abb. 12.1 −G0,lin (s) =

xe (s) ud (s)

(12.16)

¨ ist die Eingangsspannung xe (t) des Steuersatzes abh¨angig von der Ubertragungsfunktion −G0,lin (s) und der Ausgangsspannung ud (t) des Stromrichterstellgliedes im station¨aren Betrieb: xe (s) = −G0,lin (s) · ud (s)

(12.17)

Die Schwierigkeit bei der Berechnung von xe (t) bzw. von x˙ e− ist im allgemeinen in der nur st¨ uckweise stetigen Spannung ud (t) begr¨ undet, so daß eine Berechnung im Zeitbereich kompliziert ist; eine weitere Erschwerung tritt bei sprungf¨ahigen linearen Regelkreisen auf, bei denen der linksseitige Grenzwert zu den Zeitpunkten t = nT− bestimmt werden muß. Da der station¨are Spannungsverlauf ud (t) aufgrund der konstanten Z¨ undimpulsfrequenz periodisch ist (Abb. 9.6), liegt es nahe, x˙ e− im z-Bereich mit dem Grenzwertsatz f¨ ur den station¨aren Endzustand zu bestimmen. Bei der Anwendung dieses Grenzwertsatzes der normalen z-Transformation muß aber vorher untersucht werden, ob der lineare Teil des Regelkreises −G0,lin (s) nach Definition Gl. (12.7) sprungf¨ahig ist, da

408

12 Vergleich verschiedener Approximationen f¨ ur netzgef¨ uhrte Stromrichter

im allgemeinen die station¨are Ausgangsspannung des Stromrichters nicht stetig ist und somit in diesem Fall auch xe (t) im interessierenden Zeitpunkt nT nicht stetig ist. Diese Schwierigkeit k¨onnen wir aber wiederum durch die Anwendung der modifizierten z-Transformation beheben, da es mit dieser Transformation m¨oglich ist, die Eingangsspannung xe (t) des Steuerger¨ates und damit ihre Ableitung in jedem Zeitpunkt zu berechnen. Wir haben somit die M¨oglichkeit, durch schematische Anwendung des Grenzwertsatzes der modifizierten z-Transformation x˙ e− zu bestimmen. In Kap. 10.1 und 10.2 war zur Ableitung eines Modell-Abtastsystems bereits das Verhalten des Steuerger¨ates und des Stromrichters bei differentiellen St¨orungen untersucht worden. Die Berechnung von x˙ e− soll als Erweiterung der dortigen Untersuchungen erfolgen. Als Beispiel wird daher in dieser Stelle der Regelkreises mit einem sechspulsigen (p = 6) Stromrichterstellglied vom Typ 1 (nichtlineare statische Kennlinie) in Br¨ uckenschaltung nach Abb. 10.1 herangezogen. Die ¨ Ubertragungsfunktionen von Regler und Strecke sind den Gleichungen (10.24) bis (10.27) zu entnehmen. F¨ ur die Berechnung von x˙ e− ben¨otigen wir die Stromrichterausgangsspannung ud (t) im Z¨ undintervall (Abb. 9.7b und 10.2). Im Bereich 0 ≤ t ≤ T entspricht die Ausgangsspannung ud (t) der Spannung u1 (t) (normiert auf UdN = Udi0 ):  Uˆ π · cos ωN t + α0 − Udi0 6   π π · cos ωN t + α0 − = 3 6

(12.18)

u1 (t) =

mit ωN = 2πfN

Im Laplace-Bereich ergibt sich f¨ ur u1 (s) = L(u1(t)):   /  s ωN π π π cos α0 − · 2 · u1(s) = − sin α − 0 2 2 3 6 s + ωN 6 s2 + ω N

(12.19)

(12.20)

Dieser Spannungsverlauf wird aufgrund der konstanten Z¨ undimpulsfrequenz im station¨aren Betrieb periodisch mit T sein, so daß wir die im Frequenzbereich g¨ ultige Formel einer mit T periodisch fortgesetzten Funktion GT (s) einer Funktion G(s) anwenden k¨onnen. GT (s) = G(s) ·

1 1 − e−T s

(12.21)

Die Voraussetzung bei der Benutzung von Gl. (12.21) ist, daß G(s) außerhalb des Bereichs 0 ≤ t ≤ T identisch null ist; der Spannungsverlauf, der dies erzwingt, ist:  π π u2 (t) = · cos ωN (t − T ) + α0 + (12.22) 3 6

12.2 Berechnung der ersten Ableitung der Steuersatzeingangsspannung

409

bzw.

  /  s ωN π −T s π π · 2 · 2 cos α0 + (12.23) − sin α0 + u2 (s) = · e 2 2 3 6 s + ωN 6 s + ωN

Somit gilt im Z¨ undintervall 0 ≤ t ≤ T : u(s) = u1 (s) − u2 (s)

(12.24)

F¨ ur die periodische Fortsetzung von u(s), die der Stromrichterausgangsspannung ud (s) entspricht, ergibt sich damit: uT (s) = ud (s) =

u1 (s) − u2 (s) 1 − e−T s

(12.25)

Da erstens der station¨are Zustand vorausgesetzt wird und zweitens nur der Wechselanteil des Signals xe interessiert, wird der Mittelwert der normierten Ausgangsspannung udiα (Vernachl¨assigung des induktiven Gleichspannungsabfalls) gleich dem normierten Spannungsabfall i∗A0 · rA plus der eventuellen Gegenspannung eA sein. Udiα udiα = = cos α0 (12.26) Udi0 F¨ ur das Eingangssignal der Steuersatzeingangsspannung gilt damit xe (s) = −

KI  cos α0  · uT (s) − s s

(12.27)

und f¨ ur dessen gesuchte Ableitung  cos α0  x˙ e (s) = −KI uT (s) − s

(12.28)

Um x˙ e− berechnen zu k¨onnen, m¨ ussen wir die Gleichung f¨ ur xe (s) in den modifizierten z-Bereich transformieren und anschließend den Grenzwertsatz f¨ ur den station¨aren Endzustand anwenden. Durch Einsetzen von uT (s) und anschließender Transformation in den modifizierten z-Bereich ergibt sich:   π KI z 1 π π · a cos α0 − − b sin α0 − (12.29) 3 z−1 6 6  3  π π 42 KI cos α0 −z −1 a cos α0 + − b sin α0 + + 6 6 z−1

x˙ e (z, m) = −

mit a =

z cos(mωN T ) − cos(1 − m)ωN T z 2 − 2z cos ωN T + 1

b =

z sin(mωN T ) + sin(1 − m)ωN T z 2 − 2z cos ωN T + 1

410

12 Vergleich verschiedener Approximationen f¨ ur netzgef¨ uhrte Stromrichter

Der Grenzwertsatz der modifizierten z-Transformation lautet: lim f (k, m)T = lim(z − 1) · F (z, m) z→1

k→∞

(12.30)

Durch die Anwendung des Grenzwertsatzes (12.30) auf x˙ e (z, m) (12.29) ergibt sich: 1   π π π lim x˙ e (k, m)T = − KI a1 cos α0 − − b1 sin α0 − (12.31) k→∞ 3 6 6   π π 2 −a1 cos α0 + − b1 sin α0 + + KI cos α0 6 6 mit a1 = cos(mωN T ) − cos(1 − m)ωN T b1 = sin(mωN T ) + sin(1 − m)ωN T Das Ergebnis Gl. (12.31) ist eine Funktion von m; wir k¨onnen infolgedessen die Ableitung x˙ e zu beliebigen Zeitpunkten in dem Zeitbereich 0 ≤ t ≤ T im station¨aren Endzustand bestimmen. Da im allgemeinen keine Untersuchung erfolgt, ob der lineare Teil des Regelkreises sprungf¨ahig ist oder nicht und um den hier aufgezeigten Formalismus so allgemeing¨ ultig wie m¨oglich zu entwickeln, w¨ahlen wir den linksseitigen Grenzwert x˙ e− zum Zeitpunkt nT− im station¨aren Zustand aus, um immer die Ableitung x˙ e vor der Z¨ undung des Ventils zu erhalten. Wie im vorigen Abschnitt m¨ ussen wir somit m → 1 gehen lassen:   x˙ e− = lim x˙ e (k, m)T  (12.32) m→1

k→∞

Mit dieser Zusatzbedingung ergibt sich endg¨ ultig: 

 6 √ π − 3 x˙ e− = KI sin α0 + cos α0 6 π

(12.33)

Zur Veranschaulichung des Ergebnisses wollen wir die Steigung x˙ e− bei α0 = 90◦ berechnen. π x˙ e− = KI bei α0 = 90◦ (12.34) 6 Dieses Ergebnis, das aus Gl. (12.33) abgeleitet werden kann, ist sofort verst¨andlich, denn die Steigung x˙ e− im Z¨ undzeitpunkt muß gleich dem Produkt aus der normierten Spannungsdifferenz ud − i∗A vor dem Z¨ undzeitpunkt und dem Verst¨arkungsfaktor KI sein, wenn der lineare Regelkreis nur aus einem Integrator besteht.

¨ 12.3 Uberpr¨ ufung der Stromrichterstellglied-Approximationen

12.3

411

¨ Uberpr u ¨fung der StromrichterstellgliedApproximationen (Untersuchung des Stabilit¨ atsrandes)

In diesem Kapitel soll die Aussagekraft der verschiedenen Approximationen f¨ ur das Stromrichterstellglied bei der Untersuchung des Stabilit¨atsrandes u uft ¨berpr¨ werden. Zur Veranschaulichung wird wieder der Regelkreis nach Abb. 12.1 (ohne Steilheitsbegrenzer) ausgew¨ahlt. ¨ Wenn wir bei diesem Regelkreis mit der Ubertragungsfunktion −G0,lin (s) = KI /s des linearen Teils eine Stabilit¨atsuntersuchung mit der Beschreibungsfunktion bei der Frequenz f2 = 150 Hz, der Grundaussteuerung α0 = 90◦ und bei differentiellen Amplituden des Eingangssignals durchf¨ uhren, so ergibt sich Stabilit¨at im Bereich KI ≤ ∞ (siehe Kap. 11). Diese Aussage l¨aßt sich auf alle anderen Frequenzen und alle anderen Grundaussteuerungen erweitern, da nur der Amplituden- und Phasenspielraum Bf 2 bei differentiellen Amplituden des Eingangssignals die Ortskurve 1/(F0,lin (jω)) im Nullpunkt des Koordinatensystems ber¨ uhrt (siehe Abb. 11.9). Da wir bisher den obigen Regelkreis nur bei differentiellen Amplituden untersucht haben, k¨onnen wir nicht die globale Ersatzlaufzeit TE , die den gesamten Bereich der Steuerwinkel¨anderung Δα bei jeder Grundaussteuerung α0 umfaßt, verwenden, sondern m¨ ussen die Einschr¨ankung Δα → 0 bei der Stabilit¨atsuntersuchung einf¨ uhren, um vergleichbare Ergebnisse zu erhalten. Zur Berechnung der Wartezeit Tw0 = Tw (Δα → 0) k¨onnen die Gleichungen f¨ ur Tw1 oder Tw3 verwendet werden. F¨ ur ein sechspulsiges Stellglied mit nichtlinearer statischer Kennlinie gilt: Tw0 = lim Tw (Δα)

(12.35)

Δα→0

mit Tw analog zu Gl. (9.39) (p = 6):     

sin α0 − Δα + π6 − sin α0 − π6 − 1 − 3Δα −t−T Tw = T 1 − π cos(α0 − Δα) − cos α0

3Δα π



cos α0

(12.36) Die Wartezeit Tw besteht aus einer Summe bzw. Differenz von Funktionen mit Δα; wir m¨ ussen deshalb den 2. Hauptsatz u ¨ber den Grenzwert von Funktionen anwenden:

  3Δα Tw0 = lim T 1 − −t (12.37) Δα→0 π         cos α0 sin α0 − Δα + π6 − sin α0 − π6 − 1 − 3Δα π −T lim Δα→0 cos(α0 − Δα) − cos α0

412

12 Vergleich verschiedener Approximationen f¨ ur netzgef¨ uhrte Stromrichter

Da lim cos Δα = 1 und lim sin Δα = Δα ist, kann wie folgt vereinfacht werΔα→0

Δα→0



den: Tw0 = T

  3 cos α0 − π cos α0 + π6 −t 1− π sin α0

(12.38)

Um den Erwartungswert zu erhalten, bilden wir den Mittelwert Tw0m : Tw0m

1 = T

T

√ 6−π 3 Tw0 (t) dt = T cot α0 2π

(12.39)

0

Die Auswertung von Gl. (12.39) zeigt Abb. 12.3. Ein Ergebnis, das an sich auch aus Abb. 9.9 und 9.10 f¨ ur diskrete Werte von α0 zu entnehmen ist, lautet: • Bei der Grundaussteuerung α0 < 90◦ ist die mittlere Wartezeit Tw0m < 0, • bei der Grundaussteuerung α0 = 90◦ ist die mittlere Wartezeit Tw0m = 0, • bei der Grundaussteuerung α0 > 90◦ ist die mittlere Wartezeit Tw0m > 0. Die mittlere Laufzeit Tw0m ist bei Grundaussteuerungen α0 > 90◦ positiv und gr¨oßer als Null, infolgedessen ist bei entsprechend gew¨ahltem Verst¨arkungsfaktor KI Instabilit¨at zu erwarten. Diese Aussage steht aber im Gegensatz zu dem Ergebnis, das wir bei der Approximation des Stromrichterstellgliedes mit der Beschreibungsfunktion in Kap. 11 erhalten haben, wir wollen daher diese gegens¨atzlichen Aussagen mit dem im Kap. 10 entwickelten exakten Verfahren

Tw0 ms Tw0u

3 2

Tw0m

1 20

40

60

80

160 180 a/Grad

100 120 140

-1

Tw0g

-2 -3

Abb. 12.3: Wartezeit Tw0 f¨ ur sechspulsige Stellglieder

¨ 12.3 Uberpr¨ ufung der Stromrichterstellglied-Approximationen

413

T w - e - G (s) R − 6

?  - e e 

Kα

- GS (s)

r

x -

Abb. 12.4: Ersatzsystem f¨ ur den Regelkreis nach Abb. 12.1

u ufen. Bei der Untersuchung wollen wir in Anlehnung an Kap. 10.2 ein ¨berpr¨ Ersatzsystem (Abb. 12.4) f¨ ur den Regelkreis von Abb. 12.1 verwenden. F¨ ur den Regler, die Strecke und damit den linearen Teil des Regelkreises gelten wieder die Gleichungen (12.1) bis (12.4). Die Berechnung des Stabilit¨atsrandes in Abh¨angigkeit vom Arbeitspunkt α0 kann z.B. mit dem Verfahren der Wurzelortskurve im z-Bereich erfolgen. Um die Stabilit¨atsanalyse durchf¨ uhren zu k¨onnen, ben¨otigen wir die spezielle z-Transformierte −Gls (z) des linearen Teils −G0,lin (s) = KI /s des offenen Regelkreises, die in Kap. 12.1 definiert wurde. Im vorliegenden Beispiel gilt nach Gl. (12.14) KI −Gls (z) = (12.40) z−1 Wie in Kap. 10.2 kann die spezielle z-Transformierte des offenen Regelkreises f¨ ur Abb. 12.4 mit Hilfe der modifizierten z-Transformation (siehe auch Gl. (10.32)) zu Kα K I c −G0s (z) = = (12.41) z−1 z−1 aufgestellt werden. Mit diesem Ergebnis k¨onnen wir nun die Wurzelortskurve des geschlossenen Regelkreises bei −G0s (z) zeichnen (Abb. 12.5). Das System ist immer dann stabil, wenn die Wurzelortskurve des geschlossenen Regelkreises keine Polstellen außerhalb des Einheitskreises hat; die Stabilit¨atsgrenze wird infolgedessen bei z = −1 erreicht, wenn die triviale L¨osung f¨ ur

Im 6

z–Ebene

'$ 1

W OK



c

Pk

e

1 &%

-

Re

Abb. 12.5: Wurzelortskurve des geschlossenen Regelkreises bei −G0s (z) = c/z − 1

414

12 Vergleich verschiedener Approximationen f¨ ur netzgef¨ uhrte Stromrichter

c = 0 bei z = 1 ausscheidet. Die Teilung der Wurzelortskurve in Abh¨angigkeit vom Parameter c erhalten wir durch die Amplitudenbedingung:    c   = 0; 1 − | − G0s (z)| = 0; (12.42) 1 −  z − 1 |z − 1| − c = 0;

z =1−c

Wir k¨onnen somit die kritische Verst¨arkung des linearen Teils des Regelkreises KI in Abh¨angigkeit von Kα bzw. von der Grundaussteuerung α0 berechnen. Es gilt: −

Kα KI krit =1 z−1

Mit z = −1 ergibt sich: KI krit =

2 Kα

(12.43)

(12.44)

Mit Kα nach Gl. (10.21) ergibt sich: KI krit = 2 ·

T · (u˙ g − x˙ e− ) uα

(12.45)

ur −G0,lin (s) = KI /s Die Gr¨oßen u˙ g , uα und x˙ e− sind im vorliegenden Fall f¨ bereits aus Kap. 10.1, 10.2 bzw. 12.2 bekannt. Um KI krit unabh¨angig von der station¨aren Verst¨arkung des jeweiligen Stromrichterstellgliedes angeben zu k¨onnen, normieren wir die maximale Verst¨arkung des Stellgliedes auf 1 und erhalten mit dieser Nebenbedingung: KI krit =

3350 1 cos α0 s

(12.46)

Das theoretische Ergebnis Gl. (12.46) best¨atigt die Aussage, die wir mit der Wartezeitn¨aherung erhalten haben, denn der Regelkreis nach Abb. 12.4 kann bei Grundaussteuerungen α0 < 90◦ nie, bei Grundaussteuerungen α0 > 90◦ aber bei entsprechend gew¨ahlter Verst¨arkung KI instabil werden, d.h. die Wartezeitn¨aherung Tw0m ist zur Stabilit¨atsuntersuchung im vorliegenden Fall besser geeignet als die Approximation mit der Beschreibungsfunktion. Eine praktische Nachpr¨ ufung scheidet wegen der sehr großen Verst¨arkung an der Stabilit¨atsgrenze aus, da das Ergebnis aufgrund der begrenzten G¨ ute der Bauelemente stark fehlerbehaftet sein w¨ urde. Um dennoch Aussagen u ¨ber das Regelkreisverhalten zu gewinnen, wurde das System simulativ bei verschiedenen Grundaussteuerungen α0 und Verst¨arkungen KI untersucht. Die charakteristischen Erscheinungen zeigen die Abbildungen 12.6 bis 12.9, die die Stromrichterausgangsspannungen Ud (t) (Soll- und Istwert) und die Regelgr¨oße IA (t) (Soll- und Istwert) enthalten.

¨ 12.3 Uberpr¨ ufung der Stromrichterstellglied-Approximationen

415

• Fall 1 Bei Grundaussteuerungen α0 < 90◦ , z.B. α0 = 50◦ , und bei Verst¨arkungen, die bei zu α0 = 90◦ symmetrischer Verst¨arkung theoretisch schon Instabilit¨at hervorrufen w¨ urden, wird die St¨orung schnell ausgeregelt und das System kehrt in den station¨aren Ruhezustand zur¨ uck (Abb. 12.6). • Fall 2 Bei Grundaussteuerungen α0 > 90◦ , z.B. α0 = 130◦, und KI < KI krit wird das System nach einer geringen St¨orung des station¨aren Zustandes aufgrund der Verst¨arkung, die nahe an der Stabilit¨atsgrenze liegt, mit einem ¨ schlecht ged¨ampften Ubergangsvorgang in den Ruhezustand zur¨ uckkehren (Abb. 12.7). • Fall 3 Um vergleichbare Ergebnisse zu erhalten, wollen wir uns im folgenden auf die Grundaussteuerung α0 = 130◦ beschr¨anken. Falls bei dieser Grundaussteuerung die Verst¨arkung KI = KI krit gesetzt wird, kann ein stabiler Grenzzyklus (im englischen Schriftum ripple instability“ genannt) beob” achtet werden (Abb. 12.8). • Fall 4 Wenn eine Verst¨arkung KI > KI krit vorausgesetzt wird, ist nach einer ¨ St¨orung des station¨aren Zustandes ein langsam aufklingender Ubergangsvorgang zu beobachten, das System ist instabil (Abb. 12.9). Ud(t)

Ud(t) Ud t/msec

IA(t) IA(t) IA*

t/msec

α0 soll = 50◦

α0 = const.

KI = 6000 1/sec ∗ und StromAbb.12.6: Fall 1: Stromrichterausgangsspannung Ud (t), Stromsollwert IA istwert IA (t)

416

12 Vergleich verschiedener Approximationen f¨ ur netzgef¨ uhrte Stromrichter

Ud(t)

t/msec Ud(t) Ud IA(t)

* IA IA(t) 5

10

15

20

α0 soll = 130◦

α01 = 123◦

KI = 3800 1/sec < KI krit

α02 = 132◦

25

t/msec

30

6 Δα-Bereich abnehmend

∗ und StromAbb.12.7: Fall 2: Stromrichterausgangsspannung Ud (t), Stromsollwert IA istwert IA (t)

Ud(t)

Ud

t/msec

Ud(t)

IA(t)

* IA IA(t) 5

10

15

20

α0 soll = 130◦

α01 = 111◦

KI = 5400 1/sec = KI krit

α02 = 144◦

25

30

t/msec

6 Δα-Bereich konstant

∗ und StromAbb.12.8: Fall 3: Stromrichterausgangsspannung Ud (t), Stromsollwert IA istwert IA (t)

¨ 12.3 Uberpr¨ ufung der Stromrichterstellglied-Approximationen

417

Ud(t) Ud(t) t/msec Ud IA(t) IA(t) * IA

5

10

15

20

α0 soll = 130◦

α01 = 109◦

KI = 5700 1/sec = KI krit

α02 = 150◦

25

30

t/msec

6 Δα-Bereich zunehmend

∗ und StromAbb.12.9: Fall 4: Stromrichterausgangsspannung Ud (t), Stromsollwert IA istwert IA (t)

Die theoretischen Vorhersagen nach Gl. (12.46) sind somit auch durch Simulation an einem Beispiel nachgewiesen worden, die praktische Best¨atigung bei anderen Grundaussteuerungen α0 ist ebenso m¨oglich. ¨ Bei der Uberpr¨ ufung der theoretischen Ergebnisse besteht allerdings eine gewisse Schwierigkeit, da die kritische Verst¨arkung KI krit eine Funktion der Grundaussteuerung α0 ist. Das System wird infolgedessen in der Umgebung der Stabilit¨atsgrenze abwechselnd im stabilen und im instabilen Bereich arbeiten, wenn eine Regelbewegung vorhanden ist; die Stabilit¨atsgrenze ist daher nur bei differentiellen Regelbewegungen exakt festzustellen. Die Berechnung des Stabilit¨atsrandes bei Stellgliedern mit linearer statischer Kennlinie oder bei dynamisch symmetrierten Stellgliedern erfolgt in der gleichen Weise; die quantitativen Abweichungen von den obigen Ergebnissen sind gering. Bei dynamisch symmetrierten Stellgliedern muß nach der Berechnung der Stabilit¨atsgrenze nur gepr¨ uft werden, ob die Begrenzungswirkung des dynamischen Symmetrierglieds wirksam ist — eine Korrektur der kritischen Verst¨arkung ¨ KI krit und nochmalige Uberpr¨ ufung der Ansprechbedingungen des dynamischen Symmetrierglieds ist beim Eingreifen des Symmetrierglieds erforderlich.

418

12 Vergleich verschiedener Approximationen f¨ ur netzgef¨ uhrte Stromrichter

12.4

Synthese von Regelkreisen mit Stromrichter-Stellgliedern

Im vorigen Abschnitt wurden die Stabilit¨atsgrenzen f¨ ur ein netzgef¨ uhrtes Stromrichterstellglied mit den verschiedenen Approximationen berechnet. Dabei wurde stets ein Regelkreis nach Abb. 12.1 angenommen. Mit den aus Kap. 9, 10 und 11 vorliegenden Approximationen sollen nun die Reglerparameter f¨ ur optimales F¨ uhrungsverhalten (wie beim Betragsoptimum) bestimmt werden. Folgende Approximationen werden ber¨ ucksichtigt: 1. N¨aherung durch die Ersatzlaufzeit mit TE =

1 = 1, 67 ms 2pfN

(Gl. (9.8) und Kap. 9.6), 2. Wartezeitn¨aherung mit TE = 0, 86 ms 3. Ersatz-Abtastsystem

(Kap. 9.6),

(Kap. 10.2 und Abb. 10.4).

Bei den Untersuchungen wird, wie f¨ ur Abb. 12.1 angenommen, ein sechspulsiges Stellglied (p = 6) und eine Netzfrequenz von fN = 50 Hz vorausgesetzt. Die notwendigen speziellen Ableitungen f¨ ur die N¨aherung 3 sind in den vorangegangenen Kapiteln 12.2 und 12.3 zu finden. Aus Kap. 9.2, Gl. (9.9) ist bereits die optimale Verst¨arkung KI opt1 (TE = 1, 67 ms) bekannt. 1 KI opt1 (TE = 1, 67 ms) = 278 (12.47) sec F¨ ur die zweite Approximation ergibt sich: KI opt2 (TE = 0, 86 ms) = 534

1 sec

(12.48)

Beim dritten Ersatzsystem f¨ ur das Stellglied ist die mathematische Behandlung wesentlich aufwendiger, da 1. die spezielle z-Transformierte −Gls (z) des linearen Teils −G0,lin (s) des offenen Regelkreises berechnet werden muß, 2. die Steigung x˙ e− der Steuersatzeingangsspannung im station¨aren Zustand zu bestimmen ist, um den Verst¨arkungsfaktor Kα des Stromrichterstellgliedes im Arbeitspunkt α0 zu erhalten, 3. die Wurzelortskurve in Abh¨angigkeit von −Gls (z) und Kα zu zeichnen ist und 4. die Pole des geschlossenen Regelkreises im z-Bereich festgelegt werden m¨ ussen.

12.4 Synthese von Regelkreisen mit Stromrichter-Stellgliedern

419

Die Punkte 1, 2 und 3 sind bereits in Kap. 12.2 und 12.3 bearbeitet worden; die Ergebnisse k¨onnen hier genutzt werden. Um den prinzipiellen Rechnungsgang bei der Verwendung des Ersatzabtastsystems darzustellen, werden wir den freien Regelkreisparameter KI f¨ ur den Regelkreis nach Abb. 12.1 unter folgender Voraussetzung berechnen: Das Sprungverhalten des Gesamtsystems entspricht: • dem Sprungverhalten eines Systems 2. Ordnung mit dem D¨ampfungsgrad √ D = 1/ 2 ¨ • oder dem Ubergangsverhalten eines Abtastsystems, das eine St¨orung im zweiten Abtastintervall ausregelt (Dead-Beat Response). Im vorliegenden Fall kann der Regelkreis nach Abb. 12.1 unter Verwendung des Ersatzabtastsystems f¨ ur das Stromrichterstellglied bei differentiellen St¨orungen in den Regelkreis nach Abb. 12.4 u uhrt werden, wie dies bereits bei der ¨berf¨ Stabilit¨atsuntersuchung in Kap. 12.3 erfolgte. Es galt: c Kα K I −G0s (z) = = (12.49) z−1 z−1 Wie aus den Ableitungen in Kap. 4.1.2 bekannt ist, liegen die Pole von Systemen mit konstantem D¨ampfungsgrad D auf Geraden im 2. und 3. Quadranten der komplexen Ebene, die durch den Ursprung laufen und mit der negativen reellen Achse den Winkel ϕ einschließen. Mit s = σ + jω und ω02 = σe2 + ωe2 gilt f¨ ur den D¨ampfungsgrad D σe D= = cos ϕ (12.50) ω0 Wird dieser Zusammenhang in den z-Bereich u ¨bertragen, dann ergibt sich: z = esT = e−σT · ejωT D=

σe 1 σe = =√ 2 2 ω0 2 σe + ωe

also

−→

z = e−ωe T · ejωe T

(12.51) σe = ωe

(12.52)

(12.53)

d.h. Linien konstanten D¨ampfungsgrades im s-Bereich werden in logarithmische Spiralen im z-Bereich u uhrt. ¨berf¨ F¨ ur die Optimierung des Regelkreises ist nun der erste Schnittpunkt dieser logarithmischen Spirale mit der Wurzelortskurve −Gls (z) wichtig. Dieser ergibt sich bei: jωT = jπ (12.54) Also ist der Schnittpunkt bei: z = e−π · ejπ = −0, 0435

(12.55)

420

12 Vergleich verschiedener Approximationen f¨ ur netzgef¨ uhrte Stromrichter

Mit dieser Kenntnis und der Gleichung −

c = 1 z−1

(12.56)

z = −0, 0435

(BO)

z = 0

(Dead-Beat-Verhalten)

ergeben sich: 1 ; sec 1 ; = 599 sec

KI opt31 = 626

α0 < 90◦

(BO)

(12.57)

KI opt32

α0 < 90◦

(Dead-Beat)

(12.58)

Aus den Ergebnissen ist zu entnehmen, daß KI opt1 nur ca. 45 % der Verst¨arkung und KI opt2 etwa 86 % der Verst¨arkung gegen¨ uber KI opt31 aufweisen. Bei der Gegen¨ uberstellung ist aber zu bedenken, daß das Ersatz-Abtastsystem ¨ nur f¨ ur differentielle St¨orungen gilt. Bei dynamischen Ubergangsvorg¨ angen wird aber das Stellglied im allgemeinen wesentlich mehr als nur differentiell ausgesteuert. Die Ergebnisse wurden praktisch u uft (Abb. 12.10 bis 12.15). Aus den ¨berpr¨ praktischen Ergebnissen ist klar zu entnehmen, daß bei KI opt31 = 626 1/sec ¨ ¨ selbst bei den typischen Ubergangsvorg¨ angen noch ein deutliches Uberschwingen festzustellen ist. ¨ Dagegen ist bei KI opt2 der typische Ubergangsvorgang entsprechend den Erwartungen. Die Großsignaln¨aherung ist somit nicht nur einfacher anzuwenden, sondern sie liefert auch die erw¨ unschten Ergebnisse. Allerdings ist die dynamische Unsymmetrie bei einerseits positiven und anderseits negativen Sollwertspr¨ ungen noch zu bemerken. ¨ Allgemein muß festgestellt werden, daß die Ubergangsvorg¨ ange wesentlich dadurch bestimmt werden, wann im Zeitraster T der Sollwertsprung erfolgt. Damit muß von der engen Definition eines D¨ampfungsgrades D wie bei einem linearen System Abstand genommen werden. Stattdessen muß bei derartigen pulsweitenmodulierten Systemen und linearen ¨ Reglern immer ein zul¨assiges Band des Uberund Unterschwingens akzeptiert werden (siehe auch Kap. 10.4.3).

12.4 Synthese von Regelkreisen mit Stromrichter-Stellgliedern

Grundaussteuerung α0 ≈ 90◦ 1 KI opt31 = 626 sec

ΔI = 60A ms t=2 ˆ div

¨ Abb. 12.10: Positiver Sollwertsprung; maximales Uberschwingen

Grundaussteuerung α0 ≈ 90◦ 1 KI opt31 = 626 sec

ΔI = 60A ms t=2 ˆ div

¨ Abb. 12.11: Positiver Sollwertsprung; typischer Ubergangsvorgang

Grundaussteuerung α0 ≈ 90◦ 1 KI opt31 = 626 sec

ΔI = 60A ms t=2 ˆ div

¨ Abb. 12.12: Negativer Sollwertsprung; typischer Ubergangsvorgang

421

422

12 Vergleich verschiedener Approximationen f¨ ur netzgef¨ uhrte Stromrichter

Grundaussteuerung α0 ≈ 90◦ 1 KI = 550 sec

ΔI = 60A ms t=2 ˆ div

¨ Abb. 12.13: Positiver Sollwertsprung; maximales Uberschwingen

Grundaussteuerung α0 ≈ 90◦ 1 KI = 550 sec

ΔI = 60A ms t=2 ˆ div

¨ Abb. 12.14: Positiver Sollwertsprung; typischer Ubergangsvorgang

Grundaussteuerung α0 ≈ 90◦ 1 KI = 550 sec

ΔI = 60A ms t=2 ˆ div

¨ Abb. 12.15: Negativer Sollwertsprung; typischer Ubergangsvorgang

13 Asynchronmaschine

13.1

Grundlagen

Die Asynchronmaschine ist aufgrund ihres robusten Aufbaus eine wichtige Alternative zur Gleichstrommaschine in elektrischen Antriebssystemen geworden. Die Fortschritte in der Leistungselektronik durch abschaltbare Leistungshalbleiter und in der signalverarbeitenden Elektronik durch digitale Signalprozessoren erm¨oglichen heute den Einsatz von in Moment und Drehzahl exakt regelbarer Asynchronmotoren. Der stetig wachsenden Bedeutung dieses Maschinentyps in modernen Antrieben wurde bereits in Elektrische Antriebe — Grundlagen“ ” [36, 37, 38] durch die ausf¨ uhrliche Herleitung der Signalflußpl¨ane und die Betrachtung des station¨aren Verhaltens der Maschine Rechnung getragen. Um dem Leser den Einstieg in die verschiedenen Regelungsverfahren zu erleichtern, werden die wesentlichen Ergebnisse zu Beginn kurz wiederholt. Ausgehend vom allgemeinen Signalflußplan der Asynchronmaschine erfolgt die schrittweise Ableitung von Verfahren zur Drehmoment- und Drehzahlregelung. Unterschiedlich aufwendige Maschinenmodelle zur Bestimmung meßtechnisch nicht zug¨anglicher interner Gr¨oßen der Maschine werden in einem eigenem Abschnitt ausf¨ uhrlich behandelt. Die Beschreibung aktueller Steuerungsverfahren der Umrichterstellglieder zur Regelung des Statorstroms der Asychronmaschine schließt dieses Kapitel ab. Bei der weiteren Betrachtung der Asynchronmaschine wird angenommen, daß sie sowohl im Stator als auch im Rotor ein dreiphasiges Wicklungssystem besitzt. Die Speisung der Maschine erfolgt durch symmetrische und unabh¨angige Dreiphasen-Spannungssysteme. Mit den folgenden Vereinfachungen erfolgt die Ableitung der Ersatzbilder des dynamischen Maschinenverhaltens: • Es wird ausschließlich das Grundwellenverhalten der Maschine betrachtet. • Die Maschinenparameter sind lineare und zeitinvariante Gr¨oßen (lineare Magnetisierungskennlinie, konstante Wicklungswiderst¨ande). Eisenverluste und Stromverdr¨angungen werden vernachl¨assigt, ebenso Reibungsund L¨ uftermomente. • Die r¨aumlich verteilten Wicklungen werden als konzentriert gedachte Wicklungen ersetzt und erzeugen ein r¨aumlich sinusf¨ormiges magnetisches Feld im Luftspalt.

424

13 Asynchronmaschine

• Die Maschinenparameter sind Strangwerte und liegen auf die Statorseite der Maschine transformiert vor. 13.1.1

Funktionsprinzip der Drehfeld-Asynchronmaschine

Abb. 13.1 zeigt den prinzipiellen Aufbau einer allgemeinen Drehfeldmaschine. Im Stator der Maschine befinden sich drei jeweils um 120◦ r¨aumlich versetzt angeordnete Wicklungen. Werden diese durch drei um 120◦ elektrisch phasenverschobene Str¨ome durchflossen, so entsteht im Luftspalt der Maschine ein umlaufender magnetischer Fluß, das sogenannte Drehfeld. Wenn eine Relativbewegung (Schlupf) zwischen der Bewegung des StatorDrehfeldes und des Rotors besteht, wird durch Induktion ein Rotor-Spannungs system und daraus folgend ein Rotor-Stromsystem bewirkt. Die induzierten Ro-

bL Stator

1a

WL

Rotor 2a 2c 1c 2b 1b

Abb. 13.1: Prinzipbild der allgemeinen Drehfeldmaschine

torstr¨ome bewirken gem¨aß der Lenz’schen Regel eine Kraftwirkung auf den Rotor, so daß dieser in Richtung des umlaufenden Magnetfeldes beschleunigt. Dreht sich der Rotor synchron mit dem umlaufenden Magnetfeld, so wird die Induktion im Rotor zu Null, und es entsteht folglich auch kein Drehmoment. Damit die Drehfeldasynchronmaschine ein Drehmoment entwickelt, ist, im Gegensatz zur Synchronmaschine, ein asynchroner Umlauf von Magnetfeld und Rotor der Maschine notwendig. Diese Differenzgeschwindigkeit wird als Schlupf bezeichnet.

13.1 Grundlagen

425

Zur Beschreibung der Dreiphasen-Gr¨oßen der Asynchronmaschine wird die Raumzeigertheorie nach [295] angewandt, die bereits in [36, 37, 38] ausf¨ uhrlich dargestellt wurde und im folgenden Abschnitt nochmals kurz erl¨autert wird. 13.1.2

Raumzeigerdarstellung

Bei Dreiphasen-Systemen wird heute im allgemeinen die Raumzeigerdarstellung verwendet. Diese Darstellung beruht auf dem Grundgedanken, daß bei einem Dreiphasen-System ohne Nulleiter die geometrische Summe der drei Signale einer Gr¨oße wie der Statorspannung oder der Statorstr¨ome etc. sich zu Null ergibt. Dies bedeutet, bei Kenntnis zweier der drei Signale einer Gr¨oße kann das dritte Signal aufgrund der Nullbedingung berechnet werden, d.h. zur Beschreibung der Dreiphasen-Gr¨oßen gen¨ ugen jeweils zwei der Signale. Bei der Einf¨ uhrung der Raumzeigerdarstellung wollen wir zur besonderen Vereinfachung diesen Sachverhalt annehmen. Wesentlich bei der folgenden Darstellung wird die Ber¨ ucksichtigung der zeitlichen und der r¨aumlichen Zuordnung der Signale. Im folgenden sollen als Einf¨ uhrung die grunds¨atzlichen Gedanken der Raumzeigerdarstellung [36, 37, 38] erl¨autert werden. Bei dieser Einf¨ uhrung wird angenommen, das Dreiphasen-System sei symmetrisch, d.h. alle Gr¨oßen haben die gleiche Amplitude und sind zueinander um 120◦ elektrisch phasenverschoben. Außerdem seien nur Signale mit der Grundschwingungsfrequenz vorhanden. Eine allgemeine Darstellung der Raumzeiger ist in Kov´acs/R´acz [295] zu finden. 13.1.2.1 Definition eines Raumzeigers F¨ ur das Magnetfeld B einer Drehfeldmaschine mit dreistr¨angiger Wicklung (a, b, c) sollen beispielsweise folgende Aussagen gelten: 1. Es ist kein Nullstrom vorhanden, d.h. I a (t) + I b (t) + I c (t) = 0. 2. Jeder stromdurchflossene Wicklungsstrang erzeugt eine um den r¨aumlichen Umfang sinusf¨ormige B-Feldverteilung im Luftspalt. ¨ 3. Die Uberlagerung der Anteile aus allen drei Phasen f¨ uhrt zu einem wiederum sinusf¨ormigen Gesamtfeld Bges . Die Amplitude und die Phasenlage dieser r¨aumlichen Welle am Umfang stellt  vor. man sich als komplexen Raumzeiger B Die dritte Aussage gilt es nun nachzuweisen. Abbildung 13.2 zeigt eine Momentaufnahme der r¨aumlichen Verteilung der magnetischen Felder der drei stromdurchflossenen verteilten Wicklungsstr¨ange. Aus der Momentaufnahme ist zu erkennen, daß außer der r¨aumlichen Verteilung auch die Zeit ein Parameter ist, der beachtet werden muß.

426

13 Asynchronmaschine

a

b

e0

e0

a

Ba(e0)

a

Ba

Bb

Bb(e0)

c

Bc

Bc(e0)

b b

c

Bges(e0) Momentaufnahme der räumlichen Verteilung

a,b: Achsen des statorfesten Koordinatensystems S

Abb. 13.2: Verteilung des B-Feldes

F¨ ur die Wicklungsachsen a, b und c gilt jeweils: ˆ · cos(Ωt) B a (t) = B

(13.1)

ˆ · cos(Ωt − 120◦ ) B b (t) = B

(13.2)

◦

ˆ · cos(Ωt − 240 ) B c (t) = B

(13.3)

d.h. in den Wicklungsachsen ist der zeitlich sinusf¨ormige Verlauf zu erkennen. Weiterhin gilt: B a (t) + B b (t) + B c (t) = 0 (13.4) d.h. die geometrische Summe der zeitlichen Gr¨oßen in den drei Wicklungsachsen ergibt sich zu Null. In Abb. 13.2 wurden die Zeitpunkte t = nT (mit n = 0, 1, 2, 3, . . . ) gew¨ahlt. ˆ = 1: F¨ ur diese Zeitpunkte ergibt sich mit B B a (t = nT ) = 1 ;

B b (t = nT ) = − 0, 5 ;

B c (t = nT ) = − 0, 5

(13.5)

Wenn nun die magnetischen Felder in der r¨aumlichen Verteilung betrachtet werden, dann gilt: Ba (t, ε0 ) = B a (t) · cos(ε0 )

= Re {B a (t) · ejε0 } ◦

Bb (t, ε0 ) = B b (t) · cos(ε0 − 120 ) = Re {B b (t) · e

(13.6) −j120◦

}

(13.7)

Bc (t, ε0 ) = B c (t) · cos(ε0 − 240◦ ) = Re {B c (t) · ejε0 · e−j240 }

(13.8)

jε0

·e

◦

Wenn wiederum das jeweilige magnetische Feld in seiner Wicklungsachse betrachtet wird, dann ergeben sich die bereits ermittelten Amplituden: Ba (ε0 = 0) = 1 ;

Bb (ε0 = 120◦ ) = − 0, 5 ;

Bc (ε0 = 240◦ ) = − 0, 5

13.1 Grundlagen

427

Aus Abb. 13.2 ist weiterhin zu erkennen, daß die r¨aumliche Verteilung mit den f¨ ur die jeweilige Wicklungsachse oben errechneten zeitlichen Amplituden zu einer resultierenden r¨aumlichen Verteilung des magnetischen Feldes mit Bges als resultierende Gr¨oße f¨ uhrt. Zur Errechnung dieser r¨aumlichen Verteilung bzw. des  wird folgende Rechenoperation nach Kov´acs/R´acz komplexen Raumzeigers B [295] vorgeschlagen:    = 2 · B a (t) + a · B b (t) + a2 · B c (t) B (13.9) 3 Die Gr¨oßen a und a2 sind komplexe Drehoperatoren mit √ 1 3 j120◦ = − +j a = e (13.10) 2 2 √ 3 1 ◦ ◦ (13.11) a2 = ej240 = e−j120 = − − j 2 2 Die Rechenvorschrift in [295] f¨ ur den Raumzeiger fordert somit, die a-, b-, c in der Wicklungsachse a (d.h. ε0 = 0) zu addieren (siehe Komponenten von B Abb. 13.2) und damit die r¨aumliche Anordnung der Wicklungen zu ber¨ ucksichtigen. Wenn wir also in Abb. 13.2 beispielsweise die bei ε0 = 0 resultierende Amplitude von Bges (ε0 = 0) errechnen und Gl. (13.9) anwenden, dann ergibt sich: % &  ε0 = 0) = 2 · B ˆ · cos(Ωt) + cos(Ωt − 120◦) · a + cos(Ωt − 240◦ ) · a2 B(t, 3 (13.12) Die jeweiligen Terme k¨onnen wie folgt umgeformt werden: cos(Ωt − 120◦ ) · a = cos(Ωt − 120◦ ) · (cos 120◦ + j sin 120◦)  √  3 1 ◦ = cos(Ωt − 120 ) · − + j 2 2

(13.13)

cos(Ωt − 240◦ ) · a2 = cos(Ωt − 240◦ ) · (cos 240◦ + j sin 240◦)  √  3 1 ◦ = cos(Ωt − 240 ) · − − j 2 2

(13.14)

Nach kurzer Rechnung ergibt sich:   2 ˆ 3 3  ˆ · ejΩt (13.15) B(t, ε0 = 0) = · B · · cos(Ωt) + j · sin(Ωt) = B 3 2 2 bzw.

 ε0 ) = B ˆ · ejΩt · ejε0 B(t,

(13.16)

 bedeutet somit, daß ausDie obige Berechnungsvorschrift des Raumzeigers B gehend von dem zeitlichen Amplitudenwert der jeweiligen Wicklung als erstem Schritt, in einem zweiten Schritt die sich daraus ergebenden Amplitudenwerte in der gew¨ahlten r¨aumlichen Lage addiert werden.

428

13 Asynchronmaschine

Dies bedeutet, daß sich durch die Definition des Raumzeigers entsprechend Gl. (13.9) am Ort ε0 = 0 ein sinusf¨ormiges Signal mit der Amplitude entsprechend dem Spitzenwert des magnetischen Feldes der Phasen a, b und c ergibt. Der  hat somit dieselbe Amplitude wie die Phasengr¨oßen und stimmt Raumzeiger B in der Phasenlage mit Phase a u ¨berein (siehe auch Kap. 13.1.2.3: Koordinatensysteme).  nach Gl. (13.9) kann anhand Die verwendete Definition des Raumzeigers B von Abb. 13.2 und Gl. (13.6) bis (13.8) u uft werden. Wenn in diesen Glei¨berpr¨ chungen beispielsweise der Zeitpunkt t = nT (n = 0, 1, 2, . . . ) und ε0 = 0 gesetzt wird, dann ergeben sich die folgenden Werte: Ba (t = nT, ε0 = 0) = 1

(13.17)

Bb (t = nT, ε0 = 0) = −0, 5 · (−0, 5) = 0, 25

(13.18)

Bc (t = nT, ε0 = 0) = −0, 5 · (−0, 5) = 0, 25

(13.19)

Dies sind die Werte von Bi bei ε0 = 0 zum Zeitpunkt t = nT in Abb. 13.2. ¨ Die Uberlegung ergibt Bges (t = nT, ε0 = 0) = 1, 5 in Abb. 13.2. In gleicher Vorgehensweise kann an jedem anderen Ort der resultierende Wert von Bges berechnet werden. Wenn nun zus¨atzlich die Definition des Raumzeigers und die hier verwendeten Spitzenwerte beachtet werden, dann gilt:  = 2 · 3 · B(t, ˆ ε0 ) B (13.20) 3 2 Analog zum Magnetfeld definiert man f¨ ur alle elektrischen Gr¨oßen wie die Spannung des Stators U1 , die Spannung des Rotors U2 , die Str¨ome I1 und I2 , die  1, U  2, Fl¨ usse Ψ1 und Ψ2 der dreiphasigen Systeme entsprechende Raumzeiger U     I1 , I2 , Ψ1 und Ψ2 . Diese Raumzeiger sind komplexe Rechengr¨oßen und stellen das dreiphasige System in einem kartesischen System dar. Die realen dreiphasigen Wicklungssysteme werden damit durch zweiphasige Wicklungssysteme, die aus zwei senkrecht zueinander stehenden Wicklungen bestehen, ersetzt. Damit ist die Berechnung des Raumzeigers bekannt. Zur Bestimmung des Real- und Imagin¨arteils gilt:  = Bα + j Bβ B (13.21)  Bα = Re {B}

(13.22)

 Bβ = Im {B}

(13.23)

Entsprechend den Signalen mit der Grundfrequenz k¨onnen auch die Harmonischen ber¨ ucksichtigt werden; allerdings ist die Umlaufgeschwindigkeit entsprechend der Ordnungszahl der Harmonischen erh¨oht [295]. Dies bedeutet, es sind ein Raumzeigersystem mit der Grundfrequenz und jeweils weitere Raumzeigersysteme mit der jeweiligen Ordnungszahl der Harmonischen vorhanden; dies kann beispielsweise bei umrichterbetriebenen Asynchronmaschinen von Bedeutung sein.

13.1 Grundlagen

429

¨ Bei den bisherigen Uberlegungen war immer vorausgesetzt worden, daß B a (t) + B b (t) + B c (t) = 0 ist, d.h. daß das Wicklungssystem im Stern geschaltet ist und kein Nulleiter vorhanden ist. Zu beachten ist jedoch, daß bei Dreieckschaltung der Wicklungen sich Nullkomponenten und 3n-fach Harmonische (beispielsweise aufgrund der nichtlinearen Magnetisierungskennlinie) ausbilden k¨onnen, die zu ber¨ ucksichtigen sind [295]. In prinzipiell gleicher Weise k¨onnen auch unsymmetrische DreiphasenSysteme oder Dreiphasen-Systeme mit Nullkomponenten behandelt werden. 13.1.2.2 R¨ ucktransformation auf Momentanwerte Will man umgekehrt die Momentanwerte der Phasengr¨oßen aus der Raumzeigerdarstellung gewinnen, so ist dies f¨ ur die Phase a besonders einfach. Wenn mit dem Index α der Real- und mit dem Index β der Imagin¨arteil bezeichnet wird, dann sieht man aus

und daß

 = B ˆ · ejΩt = Bα + j · Bβ B

(13.24)

2 1 ˆ · cos Ωt = Re B ˆ · ejΩt Ba = B

(13.25)

1 2  = Bα B a = Re B

(13.26)

ist. F¨ ur die beiden anderen Phasen gilt mit B a (t)+B b (t)+B c (t) = 0 1 2  · a−2 } = 1 = Re {B 2

√



 · a−1 } = B b = Re {B

·

Bc

  √ · − 3 · Bβ − Bα = − B a − B b

3 · Bβ − Bα

(13.27) (13.28)

13.1.2.3 Koordinatensysteme Bei den bisherigen Betrachtungen war das α-β-Koordinatensystem fest mit dem Stator-Wicklungssystem der Drehfeldmaschine verbunden, wobei die α-Achse des Raumzeigersystems mit der a-Achse des dreiphasigen Stator-Wicklungssystems zusammenfiel. Da dieses dreiphasige Wicklungssystem raumfest ist, ist das α-β-Koordinatensystem ebenso raumfest und wird das raumfeste StatorKoordinatensystem S (α-β-Komponenten, S-System) genannt. Der B-Raum S gekennzeichnet. zeiger in diesem Koordinatensystem wird mit B In prinzipiell gleicher Weise ist es m¨oglich, ein Koordinatensystem L fest mit dem dreiphasigen Wicklungssystem des Rotors L zu verbinden, d.h. das rotorfeste Koordinatensystem L mit den Komponenten k und l ist am dreiphasigen RotorWicklungssystem zu orientieren, wobei die k-Achse wiederum mit der a-Achse des dreiphasigen Rotor-Wicklungssystem zusammenf¨allt. Der B-Raumzeiger in  L gekennzeichnet (Abb. 13.3). diesem Koordinatensystem wird mit B

430

13 Asynchronmaschine

Zu beachten ist in diesem Fall, daß der Rotor L im allgemeinen eine mechanische Winkelgeschwindigkeit Ωm und somit eine elektrische Winkelgeschwindigkeit ΩL = Zp Ωm (Zp = Polpaarzahl der elektrischen Maschine) hat. Dies bedeutet, das rotorfeste Koordinatensystem L ist nicht raumfest, sondern rotorfest und hat damit eine zeitvariante Orientierung zum statorfesten Koordinatensystem S. Ein weiteres Koordinatensystem ist das Koordinatensystem K (A-B-Komponenten), welches an beliebig auszuw¨ahlenden Gr¨oßen wie beispielsweise dem Statorfluß, dem Luftspaltfluß oder dem Rotorfluß orientiert werden kann. Der B K gekennzeichnet. Raumzeiger in diesem Koordinatensystem ist mit B Abbildung 13.3 zeigt die Beziehungen zwischen verschiedenen Koordinatensystemen und dem Raumzeiger des Statorstroms I1 . l

W1=

b

db S dt

I1

B I 1b gi

A

WK =

dbK dt

WL= bS

I 1a α, β : k, l : A, B :

bK

dbL dt

k bL

a

statorfestes Koordinatensystem (Index S) rotorfestes Koordinatensystem (Index L) allgemeines Koordinatensystem (Index K)

Abb. 13.3: Koordinatensysteme und Raumzeiger

In den folgenden Ableitungen und Darstellungen sollen alle Statorgr¨oßen mit der Fußnote 1, z.B. der Statorstrom-Raumzeiger I1S im statorfesten Koordinatensystem S und alle Rotorgr¨oßen mit der Fußnote 2, z.B. der RotorstromRaumzeiger I2L im rotorfesten Koordinatensystem L gekennzeichnet werden. Aus Abb. 13.3 ist zu erkennen, daß der Raumzeiger I1 den Winkel βS zur reellen Achse des Koordinatensystems S hat. Es gilt somit: I1S = I1 · ejβS

mit I1α = Iˆ1 · cos βS ; I1β = Iˆ1 · sin βS

(13.29)

d.h. die Position bzw. der Winkel βS des Raumzeigers I1 ist zeitvariant und die Amplitude kann zeitvariant sein, da  dβS Ω1 = bzw. βS = Ω1 dt (13.30) dt

13.1 Grundlagen

431

In gleicher Weise gilt: I1L = I1 · ej(βS −βL)

(13.31)

Aus Abb. 13.3 geht weiter hervor, daß zwischen dem S-System und dem L-System der Winkel βL und zwischen dem S-System und dem K-System der Winkel βK besteht. Die Umrechnung der Raumzeiger in die verschiedenen Koordinatensysteme erfolgt beispielsweise durch Einsetzen von Gl. (13.29) in Gl. (13.31): I1L = I1 · ej(βS −βL ) = I1 · ejβS · e−jβL = I1S · e−jβL bzw. I1S = I1L · ejβL oder I1K = I1S · e−jβK

(13.32) (13.33)

bzw. I1S = I1K · ejβK

(13.34)

Entsprechend erfolgt die Umrechnung zwischen dem K- und dem L-System mit dem Differenzwinkel (βK −βL ), zwischen dem S- und dem L-System mit dem Winkel βL oder zwischen dem S- und dem K-System mit dem Winkel βK .

S-System → K-System: I1K = I1A + jI1B = I1S e−jβK L-System → K-System: I1K = I1A + jI1B = I1L e−jβK +jβL K-System → S-System: I1S

= I1α + jI1β

= I1K e jβK

K-System → L-System: I1L

= I1k + jI1l

= I1K e jβK −jβL

(13.35)

Die geeignete Wahl des Koordinatensystems wird bei der Ableitung der Signalflußpl¨ane einen wesentlichen Einfluß auf die Komplexit¨at der Signalflußpl¨ane haben. In Abb. 13.3 und in Gl. (13.30) wurde der Zusammenhang zwischen den Winkeln β und den zugeh¨origen Kreisfrequenzen Ω angegeben. Beispielsweise sei die Kreisfrequenz von I1S gleich Ω1 und die elektrische Kreisfrequenz von I1L gleich ΩL = Zp Ωm (Ωm = mechanische Kreisfrequenz). Wie sp¨ater noch ausf¨ uhrlich abgeleitet wird und wie bereits am Anfang dieses Kapitels hingewiesen wurde, ist die Asynchronmaschine eine Induktionsmaschine. Das bedeutet, daß zwischen der station¨aren Statorfrequenz Ω1 und der elektrischen Rotor-Kreisfrequenz ΩL eine Differenz-Kreisfrequenz Ω2 besteht. Aufgrund dieser Differenz-Kreisfrequenz Ω2 (auch Schlupffrequenz genannt) ¨ erfolgt eine Anderung der Flußverkettung von Stator- und Rotor-Induktion, d.h. die Spannungen und Str¨ome im Rotor haben diese Differenz-Kreisfrequenz Ω2 .

432

13 Asynchronmaschine

Dies bedeutet letztendlich, daß es bei der Asynchronmaschine eine StatorKreisfrequenz Ω1 , eine elektrische Rotor-Kreisfrequenz ΩL , eine Kreisfrequenz Ω2 der Rotorsignale gibt, und es gilt: Ω1 = ΩL + Ω2 = Zp · Ωm + Ω2

(13.36)

Damit ergibt sich als insgesamt elektrisch wirksam werdende Kreisfrequenz des Rotors die Summe von ΩL + Ω2 , die der Stator-Kreisfrequenz Ω1 entspricht. ¨ Die gleichen Uberlegungen gelten f¨ ur das Koordinatensystem K. Aufgrund des Zusammenwirkens der mechanischen Bewegung und der Kreisfrequenz der elektrischen Signale l¨aßt sich somit ein gemeinsames Gleichungssystem und ein Signalflußplan des Gesamtsystems entwickeln. 13.1.2.4 Differentiation im umlaufenden Koordinatensystem Die Statorspannungsgleichung f¨ ur die Phase a einer Drehfeldmaschine hat die Form: dΨ 1a U 1a = R1 · I 1a + (13.37) dt In Raumzeigerdarstellung gilt analog: S  1S = R1 · I1S + dΨ1 U dt

(13.38)

Bei der Transformation in ein umlaufendes Koordinatensystem K muß die Zeitabh¨angigkeit des Raumzeigers ber¨ ucksichtigt werden, d.h. die Amplitude kann zeitvariant sein und die Zeigerposition ist immer zeitvariant:    S · e−jβK = R1 · I S · e−jβK + U 1 1 K U 1

= R1 · I1K

+

d

1K Ψ     S · e−jβK ·e+jβK Ψ 1 dt

· e−jβK

(13.39)

K dΨ 1 · e+jβK · e−jβK dt

K · + j·Ψ 1

dβK +jβK −jβK ·e ·e dt

(13.40)

somit aufgrund der Produktregel: K U 1

= R1 · I1K

mit ΩK =

dβK dt

+

K dΨ 1  K · ΩK +j ·Ψ 1 dt

(13.41) (13.42)

Bei der Differentiation von Raumzeigern muß somit sowohl die im allgemeinen zeitvariante Amplitude als auch die zeitvariante Orientierung ber¨ ucksichtigt werden.

13.1 Grundlagen

433

13.1.2.5 Bestimmung der Raumzeiger aus Motordaten Bei handels¨ ublichen Asynchronmaschinen sind die Nennstr¨ome und -spannungen in der Regel als Effektivwerte und jeweils getrennt f¨ ur Stern- und Dreieckschaltung angegeben. In den vorliegenden Ausf¨ uhrungen werden dagegen stets Raumzeiger verwendet, deren Amplitude dem zugeh¨origen Spitzenwert entspricht. Die notwendige Umrechnung in Raumzeiger wird im folgenden zun¨achst formelm¨aßig und abschließend an einem Beispiel dargestellt. Die Umrechnung von einer gegebenen Spannung U1 als Effektivwert in die √ zugeh¨orige Amplitude Uˆ1 erfolgt mit dem Faktor 2. Gleiches gilt f¨ ur die Str¨ome. √ √ ˆ1 = 2 U1 U und Iˆ1 = 2 I1 (13.43) F¨ ur Stern- und Dreieckschaltung sind die angegebenen Nennwerte stets auf die Anschl¨ usse der Asynchronmaschine bezogen, d.h. der Nennstrom entspricht dem Strom an einer Anschlußklemme und die Nennspannung der verketteten Spannung zwischen zwei Anschlußklemmen (und damit zwischen zwei Phasen des Netzes), unabh¨angig von der inneren Zusammenschaltung der einzelnen Wicklungen. In beiden Schaltungsvarianten ist die Nennspannung so gew¨ahlt, daß sich die gleichen Spannungen U1 und Str¨ome I1 an den einzelnen Wicklungen einstellen. UN Δ und IN Δ seien die gegebenen Nennwerte in Dreieckschaltung, UN Y und IN Y die entsprechenden Werte in Sternschaltung. Damit ergibt sich f¨ ur die Spannungs- und Stromamplituden an den einzelnen Wicklungen √ √ √ 2 ˆ U1 = 2 U1 = √ UN Y = 2 UN Δ (13.44) 3 √ √ √ 2 ˆ 2 IN Y = √ IN Δ (13.45) I1 = 2 I1 = 3 Die Scheinleistung PS der Maschine ergibt sich damit zu PS =

√ √ 3 ˆ ˆ U1 I1 = 3 UN Y IN Y = 3 UN Δ IN Δ 2

(13.46)

Der Winkel cos ϕN beschreibt den Winkel, um den der Strom der Spannung im Nennbetrieb nacheilt. Damit k¨onnen aus den Maschinendaten die Raumzeiger f¨ ur Strom und Spannung an einer Wicklung dargestellt werden. Das folgende Beispiel soll die Beziehung zwischen Amplitude und Effektivwert der Raumzeiger sowie die in der Anwendung h¨aufig auftretende Problematik der Stern- bzw. Dreieckschaltung von Drehfeldmaschinen verdeutlichen. Beispiel: Auf dem Typenschild einer Drehstromasynchronmaschine sind die Nenndaten UN Y = 400 V und IN Y = 46 A f¨ ur Sternschaltung sowie UN Δ = 230 V und IN Δ = 80 A f¨ ur Dreieckschaltung gegeben. Die Nennfrequenz sei FN = 50 Hz und

434

13 Asynchronmaschine

der Leistungsfaktor cos ϕN = 0, 8. Es sind die Raumzeiger f¨ ur die Statorspannung und den Statorstrom einer Wicklung im Nennbetrieb zu berechnen. Die Amplituden von Spannung und Strom durch eine Wicklung der Maschine errechnen sich im Falle der Sternschaltung bzw. der Dreieckschaltung (gerundet) zu: √ √ 2 ˆ U1 = √ · 400 V = 2 · 230 V = 327 V 3 √ √ 2 ˆ 2 · 46 A = √ · 80 A = 65 A I1 = 3 Damit lassen sich mit der Drehfrequenz ΩN und dem Phasenwinkel ϕ ΩN = 2πFN = 314 s−1 ϕN = arccos (cos ϕN ) = 37◦ die gesuchten Raumzeiger im statorfesten Koordinatensystem berechnen:  S = 327 V e j 314s−1 t U 1 −1 ◦ I1S = 65 A e j 314s t e−j 37

Zur Vereinfachung der Schreibweise wird im weiteren Verlauf ausschließlich mit Spitzenwerten (Amplituden der Raumzeiger) gearbeitet und auf die explizite Kennzeichnung des Spitzenwertes verzichtet.

13.2

Signalflußpl¨ ane der Asynchronmaschine im Koordinatensystem K

Ausgehend von den beschreibenden Gleichungen werden im folgenden Abschnitt das Gleichungssystem und die zugeh¨origen Signalflußpl¨ane im Koordinatensystem K abgeleitet. Diese bilden die Grundlage der verschiedenen Regelverfahren. Die Umrechnung der Zeigergr¨oßen in Dreiphasen-Gr¨oßen und die Ableitung eines Ersatzschaltbildes f¨ ur den station¨aren Betrieb runden das Kapitel ab. 13.2.1

Beschreibendes Gleichungssystem

Die folgenden Ableitungen sind in u ¨ berarbeiteter Form der Arbeit [277] entnommen und wurden bereits in Elektrische Antriebe — Grundlagen“ [36, 37, 38] ” ¨ ausf¨ uhrlich behandelt. Die weiteren Uberlegungen zur Erstellung eines Signalflußplans gehen von den allgemeinen Systemgleichungen mit den folgenden

13.2 Signalflußpl¨ ane der Asynchronmaschine

435

Parametern der Drehfeld-Asynchronmaschine aus: L1 L2 R1 R2 M Zp Θ

Eigeninduktivit¨at der Statorwicklung Eigeninduktivit¨at der Rotorwicklung Widerstand der Statorwicklung Widerstand der Rotorwicklung Gegeninduktivit¨at von Stator- zu Rotorwicklung Polpaarzahl der Maschine Tr¨agheitsmoment der Maschine

Die Systemgleichungen der Asynchronmaschine stellen das elektrische und das mechanische Verhalten in Form von Differentialgleichungen dar. Auf eine detaillierte Herleitung der einzelnen Beziehungen wird hier verzichtet (siehe [36, 37, 38]).

Spannungsgleichung f¨ ur den Statorkreis S  S = R1 IS + dΨ1 U 1 1 dt Spannungsgleichung f¨ ur den Rotorkreis L  2L = R2 I2L + dΨ2 U dt Flußverkettungsgleichungen  S = L1 IS + M IL e jβL Ψ 1 1 2

(13.47)

 L = M IS e−jβL + L2 IL Ψ 2 1 2 Drehmomentbildung 2 2 1 1 3  ∗S IS = − 3 Zp Im Ψ  ∗L IL Zp Im Ψ MM i = 1 1 2 2 2 2 Mechanik 1 dΩm = (MM i − MW ) dt Θ

Die beiden Spannungsdifferentialgleichungen beschreiben das Verhalten von Str¨omen und Spannungen im Stator sowie im Rotor in Abh¨angigkeit der jeweiligen Fluߨanderungen (Induktionsgesetz). Die magnetische Kopplung zwischen Stator und Rotor u ¨ ber den Luftspalt der Maschine wird durch die Flußverkettungsgleichungen dargestellt, wobei eine m¨oglichst gute magnetische Kopplung,

436

13 Asynchronmaschine

d.h. geringe Streuung L1 ≈ M ≈ L2 , in der Maschine angestrebt wird. Das entwickelte Drehmoment wirkt gem¨aß actio = reactio sowohl auf den Rotor, als auch auf den Stator der Maschine. Die Beschleunigung des Rotors erfolgt in Abh¨angigkeit vom Widerstandsmoment MW und dem entwickelten inneren Moment MM i der Asynchronmaschine. Die elektrische Betrachtung der Asynchronmaschine in den Systemgleichungen erfolgt statorseitig“, d.h. elektrische Gr¨oßen und Parameter des Rotorkreises ” werden in ihrer elektrischen Wirkung auf den Statorkreis betrachtet. Die Rotor¨ parameter sind daher mit dem Ubersetzungsverh¨ altnis w1 u ¨ = w2 w1 Windungszahl (Strang) der Statorwicklung w2 Windungszahl (Strang) der Rotorwicklung auf den Statorkreis der Maschine transformiert und bestimmen sich aus den physikalischen Rotorparametern R2p , L2p zu R2 = u ¨2 R2p

und

L2 = u ¨2 L2p

(13.48)

Analog dazu sind demnach auch die Betr¨age der elektrischen Rotorgr¨oßen durch L  2L | = ¨u |U  2p |U |

und

|I2L | =

1 L |I | u 2p ¨

(13.49)

 L | und |IL | verkn¨ upft. mit ihren physikalisch korrekten Werten |U 2p 2p  ), Die Lagen, d.h. die absoluten Winkel nach Abb. 13.3, der Spannungs- (U   Strom- (I) und Flußraumzeiger (Ψ ) werden in den allgemeinen Systemgleichungen (13.47) der Drehfeldmaschine jeweils in ihren eigenen, daher verschiedenen Koordinatensystemen betrachtet. So sind Statorgr¨oßen (Index 1) im statorfesten Koordinatensystem (Index S) und entsprechend Rotorgr¨oßen (Index 2) im rotorfesten Koordinatensystem (Index L) dargestellt. Die Drehoperatoren e jβL und e−jβL in den Flußverkettungsgleichungen bewirken die Umrechnung zwischen dem statorfesten und rotorfesten Koordinatensytem. βL , siehe auch Abb. 13.1 und Abb. 13.3, stellt dabei den elektrischen Winkel zwischen den konzentrierten Stator- und Rotorwicklungen der Maschine dar und ist u ¨ber die Beziehung dβL = ΩL = Zp Ωm (13.50) dt upft. mit der mechanischen Winkelgeschwindigkeit Ωm verkn¨ F¨ ur die Darstellung der Maschine in einem Signalflußplan m¨ ussen alle Gr¨oßen in einem Koordinatensystem vorliegen, wof¨ ur sich mehrere M¨oglichkeiten anbieten. Betrachtet man die Maschine von außen, so ist das statorfeste S-System naheliegend. Um jedoch eine m¨oglichst einfache Darstellung der Drehfeldasychronmaschine zu erhalten ist die Verwendung anderer, wie z.B. am Fluß orientierter, ¨ Koordinatensysteme von Vorteil. Daher ist es sinnvoll, bei sp¨ateren Uberlegungen von den verschiedenen Koordinatensystemen unabh¨angig zu sein, und so f¨ ur die Entwicklung des allgemeinen Signalflußplans der Asynchronmaschine das mit

13.2 Signalflußpl¨ ane der Asynchronmaschine

437

beliebiger Geschwindigkeit dβK (13.51) dt umlaufende K-System zu verwenden. Der zus¨atzliche Freiheitsgrad ΩK kann danach genutzt werden, den Signalflußplan zu vereinfachen und Analogien der Asynchronmaschine zur bereits bekannten Gleichstromnebenschlußmaschine herzustellen. Die Systemgleichungen (13.47) m¨ ussen dazu in das K-System transformiert werden, wozu man die bekannten Transformationsbeziehungen ΩK =

S = U  K e jβK U 1 1

I1S = I1K ejβK

 K e jβK S = Ψ Ψ 1 1

 K e j(βK −βL ) IL = IK ej(βK −βL ) Ψ  K ej(βK −βL ) L = U L = Ψ U 2 2 2 2 2 2 einsetzt. Die Beziehung f¨ ur den Statorspannungsraumzeiger    K e jβK  K e jβK = IK e jβK R1 + d Ψ U 1 1 dt 1

(13.52)

(13.53)

l¨aßt sich durch einfache Umformung unter Anwendung der Produktregel   K d  K jβK dΨ 1 K  (Ψ e ) = + jΩK Ψ1 e jβK (13.54) dt 1 dt zu

K  1K = I1K R1 + dΨ1 + jΩK Ψ 1K U (13.55) dt vereinfachen. In der selben Art und Weise erh¨alt man den Rotorspannungsraumzeiger K  K = IK R2 + dΨ2 + j(ΩK − ΩL )Ψ K U (13.56) 2 2 2 dt im K-System. Mit den beiden Flußverkettungsgleichungen, 1K = L1 I1K + M I2K Ψ

(13.57)

2K = M I1K + L2 I2K Ψ

(13.58)

der Beziehung f¨ ur das Luftspaltmoment, 2 2 1 1 3  K∗IK = − 3 Zp Im Ψ  K∗ IK MM i = Zp Im Ψ 1 1 2 2 2 2

(13.59)

welche sich mit Hilfe der Flußverkettungsgleichungen und den Regeln der komplexen Rechnung zu 2 1 3M  K∗ IK MM i = − (13.60) Zp Im Ψ 1 2 2 L1 umformen l¨aßt, und der vom Koordinatensystem unabh¨angigen mechanischen

438

13 Asynchronmaschine

Bewegungsgleichung 1 dΩm = (MM i − MW ) (13.61) dt Θ liegen die Systemgleichungen der Aynchronmaschine im K-System vor. Zur endg¨ ultigen Darstellung in einem Signalflußplan werden diese in die Zustandsform u uhrt. Mit der Definition des Blondelschen Streukoeffizienten ¨ bergef¨ σ =1−

M2 L1 L2

(13.62)

und der Relativdrehgeschwindigkeit Ω2 = ΩK − ΩL = ΩK − Zp Ωm

(13.63)

zwischen dem K-System und der elektrischen Rotorgeschwindigkeit ergeben sich letztlich die Systemgleichungen der Asynchronmaschine im K-System.

Komplexe Systemgleichungen der Asynchronmaschine K dΨ 1 dt K dΨ 2

dt

R1 = − σL1 =

I1K = I2K = K = Ψ 1



K − M Ψ K Ψ 1 L2 2

K K + U − jΩK Ψ 1 1



R2  K M  K K K + U − Ψ2 − Ψ1 − jΩ2 Ψ 2 2 σL2 L1 K 1 − Ψ K M Ψ 1 2 σL1 σL1 L2 1 K K 2 1 M Ψ −Ψ σL2 σL1 L2 K K   L1 I + M I 1

2

 K = M IK + L2 IK Ψ 2 1 2 2 2 1 1 3 M  ∗K · IK = 3 Zp M Im Ψ  ∗K · IK MM i = − Zp Im Ψ 1 2 2 1 2 L1 2 L2 dΩm 1 = (MM i − MW ) dt Θ Ω2 = ΩK − Zp Ωm

Die Gleichungen (13.64) k¨onnen auch in die Zustandsdarstellung d x = A · x + B · u dt

(13.64)

13.2 Signalflußpl¨ ane der Asynchronmaschine

439

gebracht werden. Dabei ergeben sich abh¨angig von der Wahl des Zustandsvektors verschiedene Darstellungsformen. ⎡

 1K Ψ

⎤

⎡

A11 A12

⎤⎡

 1K Ψ

⎤

⎡

1 0

⎤⎡

 1K U

⎤

d ⎣ ⎦=⎣ ⎦⎣ ⎦+⎣ ⎦⎣ ⎦ dt  K K K   A A 0 1 Ψ2 Ψ2 U2 21 22

A11 = −

R1 − jΩK σL1

A12 =

R1 M σL1 L2

A21 =

R2 M σL1 L2

A22 = −

mit

(13.65)

R2 − jΩ2 σL2

4T 3 K Ψ K x = Ψ 1 2

4T 3 K U K u = U 1 2

oder ⎤⎡ K ⎤ ⎡ ⎤⎡ K ⎤ ⎡ K ⎤ ⎡ 1  − σLM1 L2 A12 A I1 U I 1 σL1 d ⎣ 1 ⎦ ⎣ 11 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦(13.66) = + dt K M 1 K K   A21 A22 − σL1 L2 I2 I2 U2 σL2

A11 = − A12 =

R2 M M − j(ΩK − Ω2 ) σL1 L2 σL1

A21 =

R1 M M + j(ΩK − Ω2 ) σL1 L2 σL2

A22 = −

mit

Ω2 M 2 R1 ΩK +j −j σL1 σ σL1 L2

ΩK M 2 R2 Ω2 +j −j σL2 σ σL1 L2

4T 3 x = I1K I2K

4T 3 K U K u = U 1 2

440

13 Asynchronmaschine

K Wenn die beiden ersten Gleichungen des Gleichungssystems (13.64) nach Ψ 1 K  bzw. Ψ2 aufgel¨ost und alle Gleichungen in den Laplace-Bereich transformiert werden, dann gilt beispielsweise f¨ ur die erste Gleichung: 3 4  1K (s) − s · Ψ  1K (s) = σL1 U 1K (s) − jΩK Ψ 1K (s) + M Ψ  K (s) Ψ R1 L2 2

(13.67)

Damit ergibt sich der komplexe Teil-Signalflußplan des Stators (Abb. 13.4) zu:

 1K U

e− −6

- e ?

 @ @

ΩK

6

1 R1

I1K

s

?

σL1 ? e 6

K Ψ 1

6

j 6

r

M L2

6

K Ψ 2 Abb. 13.4: Komplexer Teil-Signalflußplan der ASM

In gleicher Weise k¨onnen die Gleichungen f¨ ur den Rotor, die Str¨ome, das Drehmoment und die mechanische Bewegungsgleichung in den Signalflußplan u ¨bertragen werden, und es ergeben sich die Signalflußpl¨ane der allgemeinen Drehfeldmaschine bei Spannungseinpr¨agung (Abb. 13.5) sowie der Teil-Signalflußplan des Stators bei Stromeinpr¨agung (Abb. 13.6).

13.2 Signalflußpl¨ ane der Asynchronmaschine K U 1

e− 6 −

- e ?

1 R1 I1K

6

j

6

σL1 ? e 6

 @ @

s

?

6  

K  Ψ 1 -r H

H HH

H

H

M L2

?

6 HH

@ @

 H  H  H  H

6 I2K

 2K U

1 R2 -6 e

1 Θ

Ω m r-

1 s

6  

K Ψ 2

 -r HH HH

HH

?

?

j

s

− −

? e

? @ @

Ω2 ΩK

Im

MW − MM i ? -e -

∗

?

σL2

-

- 3 Zp M 2 σL1 L2

6

M L1

? e 6

441

6 e− r6

Zp Ωm

Zp 

Abb. 13.5: Komplexer Signalflußplan bei Spannungseinpr¨ agung in Stator und Rotor

¨ Den Ubertragungsgliedern j“ und ∗“ entsprechen Rechenoperationen Mul” ” ” tiplikation mit der imagin¨aren Einheit“ (Drehung des betreffenden Raumzeigers um π/2) und Konjugation“ (Spiegelung an der reellen Achse). Die Aussage Im“ ” ” bedeutet, daß der Imagin¨arteil ausgew¨ahlt werden muß. Diese Darstellung ist sehr komprimiert und wird sp¨ater im Kapitel Ent” kopplung“ genutzt werden. Die komplexen Systemgleichungen der Asynchronmaschine k¨onnen beispielsweise in den Laplace-Bereich transformiert und in die Zustandsform aufgel¨ost werden.

442

13 Asynchronmaschine

K U 1



e 6

e 6

 @ @

ΩK

6

R1 I1K

r -6 ?

s σL1

? e 6

K Ψ 1

6

j 6

r

M L2

6

K Ψ 2 Abb. 13.6: Komplexer Teil-Signalflußplan bei Stromeinpr¨ agung auf der Statorseite

Es ergibt sich:

Komplexe Systemgleichungen im Laplace-Bereich

K − M Ψ  K = − R1 Ψ K  K − jΩK Ψ K + U s·Ψ 1 1 1 1 σL1 L2 2

K − M Ψ  K = − R2 Ψ K  K − jΩ2 Ψ K + U s·Ψ 2 2 2 2 σL2 L1 1 1K 1 − Ψ 2K M I1K = Ψ σL1 σL1 L2 1 K K M −Ψ I2K = Ψ 2 1 σL2 σL1 L2 K K K  = L1 I + M I Ψ 1

1

2

 K = M IK + L2 IK Ψ 2 1 2 2 2 1 1 3 M  1K∗ ∗ I2K = 3 Zp M Im Ψ 2K∗ ∗ I1K MM i = − Zp Im Ψ 2 L1 2 L2 1 (MM i − MW ) s · Ωm = Θ Ω2 = ΩK − Zp Ωm

(13.68)

13.2 Signalflußpl¨ ane der Asynchronmaschine

443

Analog zu den Gleichungen (13.65) und (13.66) k¨onnen auch die Systemgleichungen (13.68) der Asynchronmaschine im Laplace-Bereich abh¨angig von der Wahl des Zustandsvektors in unterschiedliche Zustandsformen gebracht werden. ⎡ s·⎣

K Ψ 1

⎤

⎡

⎦=⎣

K Ψ 2

A11 A12

⎡

s·⎣

I1K

R1 M σL1 L2

A21 =

R2 M σL1 L2

⎤

⎡

A21 A22

mit

⎦+⎣

⎤⎡

1 0

⎦⎣

K U 1

⎤ ⎦

(13.69)

K U 2

0 1

⎤⎡ ⎦⎣

I1K

4T 3 K U K u = U 1 2

⎤

⎡

⎦+⎣

I2K

1 σL1

− σLM1 L2

− σLM1 L2

1 σL2

Ω2 M 2 R1 ΩK +j −j σL1 σ σL1 L2

A12 =

R2 M M − j(ΩK − Ω2 ) σL1 L2 σL1

A21 =

R1 M M + j(ΩK − Ω2 ) σL1 L2 σL2

A22 = −

⎡

R2 − jΩ2 σL2

A11 A12

A11 = −

⎤

K Ψ 2

4T 3 K Ψ K x = Ψ 1 2

⎦=⎣

I2K

K Ψ 1

R1 − jΩK σL1

A12 =

A22 = −

oder

⎦⎣

A21 A22

A11 = −

mit

⎤⎡

ΩK M 2 R2 Ω2 +j −j σL2 σ σL1 L2

4T 3 x = I1K I2K

4T 3 K U K u = U 1 2

⎤⎡ ⎦⎣

K U 1  2K U

⎤ ⎦ (13.70)

444

13 Asynchronmaschine

Um die Anschaulichkeit des komplexen Gleichungssystems zu erh¨ohen, werden anschließend die Gleichungen in den Real- und Imagin¨arteil aufgespalten (Gleichungssystem (13.71)), und es ergibt sich der Signalflußplan in Abb. 13.7.

Reelle Systemgleichungen der Asynchronmaschine dΨ1A dt dΨ1B dt dΨ2A dt dΨ2B dt



R1 M Ψ1A − Ψ2A + ΩK Ψ1B + U1A σL1 L2

M R1 Ψ1B − Ψ2B − ΩK Ψ1A + U1B − σL1 L2

R2 M − Ψ2A − Ψ1A + Ω2 Ψ2B + U2A σL2 L1

R2 M − Ψ2B − Ψ1B − Ω2 Ψ2A + U2B σL2 L1 1 M Ψ1A − Ψ2A σL1 σL1 L2 1 M Ψ1B − Ψ2B σL1 σL1 L2 1 M Ψ2A − Ψ1A σL2 σL1 L2 1 M Ψ2B − Ψ1B σL2 σL1 L2 3 M Zp (Ψ1B I2A − Ψ1A I2B ) 2 L1 1 (MM i − MW ) Θ ΩK − Zp Ωm

= − = = =

I1A = I1B = I2A = I2B = MM i = dΩm = dt Ω2 =

(13.71)

13.2 Signalflußpl¨ ane der Asynchronmaschine

445

ΩK r ? - @ @

Ψ1A

r

?  @ @

PP

 PP   P  PPP  P 

−

? e 6



r Ψ1B

? e 6

?

? 1 σL1

1 σL1

−- e

? eI1A- R1

−6

e− 6

6

U1A

M σL1 L2

6

? - @ @

?  @ @

PP

 PP  PP   PP  P

−

? e 6



r

Ψ2B r

? e 6

?

?

1 σL2

M σL1 L2

r

M σL1 L2

r

r Ψ2A ?

U1B Ω2

6

r

I1B ? e R1  6 −

1 σL2

eI2A r - R2 -?

−

−- e

?

6

e− 6

U2A

U2B

I2B ? R2  r e −

 PP  PP   P PP  ? - @ @

r

?

PP

σL2

? M σL1 L2

σL2

?  @ @

−- e

ΩK -

3 Z 2 p

MM i

-e 6 −

MW

1 Θ

-

Ωm r

- Zp

Zp Ωm ?Ω2 -e −

? Ωm

Abb. 13.7: Signalflußplan der Asynchronmaschine bei Verwendung des mit ΩK rotierenden Koordinatensystems K

446

13 Asynchronmaschine

Die reellen Systemgleichungen der Asynchronmaschine k¨onnen wieder abh¨angig von der Wahl der Zustandsgr¨oßen in unterschiedliche Zustandsformen gebracht werden. Es gilt: ⎡

Ψ1A

⎢ ⎢ ⎢ Ψ1B d⎢ ⎢ dt⎢ ⎢ Ψ2A ⎢ ⎣ Ψ2B

⎤

⎡

A11 A12 A13 A14

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ A21 A22 A23 A24 ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ A31 A32 A33 A34 ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ A41 A42 A43 A44

A12 = ΩK

R1 M σL1 L2

A14 = 0 A22 = −

A23 = 0

A24 =

A32 = 0

R2 σL2

A34 = Ω2

U1A

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(13.72)

R1 σL1

R2 M σL1 L2

A41 = 0

A42 =

A43 = −Ω2

A44 = −

x = [ Ψ1A Ψ1B Ψ2A Ψ2B ]T

⎤⎡

R1 M σL1 L2

R2 M σL1 L2

A33 = −

1 0 0 0

⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 1 0 0 ⎥⎢ U1B ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 1 0 ⎥⎢ U2A ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎦⎣ ⎦ ⎣ 0 0 0 1 U2B

⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ Ψ1B ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ Ψ2A ⎥⎢ ⎦⎣ Ψ2B

A21 = −ΩK

A31 =

mit

⎤ ⎡

Ψ1A

R1 σL1

A11 = − A13 =

⎤⎡

R2 σL2 u = [ U1A U1B U2A U2B ]T

13.2 Signalflußpl¨ ane der Asynchronmaschine

447

oder bei Verwendung der Stator- und Rotorstr¨ome als Zustandsgr¨oßen:

⎡

I1A

⎢ ⎢ ⎢ I1B d⎢ ⎢ dt⎢ ⎢ I2A ⎢ ⎣ I2B

⎤ ⎡

A11 A12 A13 A14

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ A21 A22 A23 A24 ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ A31 A32 A33 A34 ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ A41 A42 A43 A44

A11 = − A13 =

R1 σL1

mit

M σL1

R1 M σL1 L2

A43 = −

1 σL1

0

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ 0 σL1 ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ −M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ σL1 L2 0 ⎦ ⎣ 0

−M σL1 L2

−M σL1 L2

−M σL1 L2

1 σL2

0

0

1 σL2

M σL2

Ω2 ΩK M 2 + σ σL1 L2

x = [ I1A I1B I2A I2B ]T

U1A

⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ U1B ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ U2A ⎥⎢ ⎦⎣ U2B

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥(13.73) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

M σL1

R1 σL1

R2 M σL1 L2

A32 = −(ΩK − Ω2 )

R2 σL2

⎤⎡

Ω2 M 2 ΩK − σ σL1 L2

A22 = − A24 =

0

0

A14 = (ΩK − Ω2 )

Ω2 M 2 ΩK + σ σL1 L2

A41 = (ΩK − Ω2 )

⎤ ⎡

A12 =

A23 = −(ΩK − Ω2 )

A33 = −

I1A

⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ I1B ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ I2A ⎥⎢ ⎦⎣ I2B

R2 M σL1 L2

A21 = −

A31 =

⎤⎡

M σL2

A34 =

Ω2 ΩK M 2 − σ σL1 L2

A42 =

R1 M σL1 L2

A44 = −

R2 σL2

u = [ U1A U1B U2A U2B ]T

Wie aus den Darstellungen dieses Kapitels zu entnehmen ist, gibt es die unterschiedlichsten Formen. Eine Erweiterung dieser Formen ergibt sich, wenn die ASM statt mit eingepr¨ agter Spannung mit eingepr¨ agtem Strom, mit Statorfluß- bzw. Rotorfluß-Orientierung betrachtet wird. Eine ausf¨ uhrliche Ableitung dieser verschiedenen Darstellungsformen und Betriebsweisen ist in [38] zu finden. Nachfolgend werden nur die wesentlichen Gesichtspunkte abgehandelt.

448

13.2.2

13 Asynchronmaschine

Verallgemeinerter Signalflußplan der spannungsgesteuerten Asynchronmaschine

Im Gleichungssystem (13.64) wurden die komplexen Systemgleichungen der Asynchronmaschine sowie in Abb. 13.5 der komplexe Signalflußplan bei Spannungseinpr¨agung vorgestellt. In gleicher Weise werden im Gleichungssystem (13.71) die reellen Systemgleichungen sowie in Abb. 13.7 der reelle Signalflußplan dargestellt. Wesentlich bei diesen Darstellungen ist, daß das Koordinatensystem K verwendet wird. Eine ausf¨ uhrliche Diskussion, an welchen Gr¨oßen sich dieses Koordinatensystem K orientieren soll, beispielsweise Statorfluß oder Luftspaltfluß oder Rotorfluß, erfolgt ab Kap. 13.3.1. In diesem Kapitel soll auf die Verbindungen der obigen Gleichungssysteme und damit Signalflußpl¨ane zur reellen Umwelt der Asynchronmaschine speziell eingegangen werden. Wichtig ist, daß statt der Statorkreisfrequenz Ω1 die Kreisfrequenz ΩK in den Darstellungen verwendet wird. Dies soll am folgenden Beispiel erkl¨art werden. Wir wollen annehmen, daß — wie sp¨ater dargestellt — die A-Achse des  K = Ψ1A orientiert Koordinatensystems K sich beispielsweise am Statorfluß Ψ 1 (d.h. Ψ1B = 0!). Das Koordinatensystem K wird daher mit der Kreisfrequenz ΩK 1K = Ψ1A umlaufen. des Statorflusses Ψ Wenn nun weiterhin aufgrund von Steuereinfl¨ ussen des die Statorwicklungen versorgenden leistungselektronischen Stellglieds der Statorspannungswert U1A oder U1Bsprungf¨ormig verstellt wird, dann wird sich sowohl die Amplitude  K | = U 2 + U 2 als auch die Phasenlage tan γ = U1B /U1A ¨andern. Damit |U 1 1A 1B ¨andert sich der resultierende Spannungsraumzeiger sprungf¨ormig, der Flußraumzeiger bleibt aber zum Zeitpunkt der Spannungs¨anderung noch nach Amplitude und Kreisfrequenz erhalten. Aus diesem Beispiel ist zu erkennen, daß bei dynamischen Zust¨anden ΩK = Ω1 sein kann und daher zwischen diesen beiden Kreisfrequenzen unterschieden werden muß. Aus Abb. 13.3 ist zu entnehmen, daß einer Kreisfrequenz¨anderung die Ableitung des Winkels entspricht, bzw. eine wie oben diskutierte begrenzte Winkel¨anderung eine kurzzeitige Kreisfrequenz¨anderung — d.h. Integration — ben¨otigt. Wesentlich ist, daß die Signalflußpl¨ane der Asynchronmaschine in Abb. 13.5 und Abb. 13.7 regelungstechnische Modelle sind, die reale Asynchronmaschine aber mit den dreiphasigen Spannungen und Str¨omen f¨ ur den Stator und den Rotor versorgt werden muß. Wie schon am Anfang dieses Kapitels hingewiesen, liegen die Eingangs- und Ausgangsgr¨oßen der realen Maschine (Spannungen und Str¨ome an den Klemmen) als Dreiphasen-Gr¨oßen im bez¨ uglich der jeweiligen Wicklung ruhenden System vor, d.h. Statorgr¨oßen bezogen auf die Statorwicklung und Rotorgr¨oßen bezogen auf die Rotorwicklung. Um das Klemmenverhalten der Maschine zu beschreiben, muß man sich den Signalflußplan nach Abb. 13.7 in die Transformationen nach

13.2 Signalflußpl¨ ane der Asynchronmaschine

ΩK r -

U1a U1b U1c U2a U2b U2c

βK- sin cos

? ? ? U1A- 3 U1BSignalflußplan - AB - 3 - AB 6 6

der ASM im K–System U2A(Abb. 13.7) U2B-

r r

I1A- ? ? AB I1B3

Ωm I2AI2B-

449

AB 3

6 6

I1a I1b I1c I2a I2b I2c

Ω2

?

βK − βL- sin cos

r r

Abb. 13.8: Blockschaltbild der Asynchronmaschine mit realen Dreiphasen-Gr¨ oßen

Abb. 13.8 eingebunden denken. Die Modelleingangsgr¨oßen Stator- und Rotorspannungen werden durch die Beziehungen  1K = U1A + jU1B = (U1α + jU1β )(cos βK − j sin βK ) U

(13.74)

 2K = U2A + jU2B = (U2k + jU2l )(cos(βK − βL ) − j sin(βK − βL )) U vom S-System beziehungsweise L-System in das K-System tranformiert, wobei sich der statorfeste (U1α + jU1β ) und der rotorfeste Spannungszeiger (U2k + jU2l ) durch 1 U1α = U1a und U1β = √ (U1b − U1c ) 3 (13.75) 1 und U2l = √ (U2b − U2c ) U2k = U2a 3 aus den jeweiligen Dreiphasen-Spannungen von Stator und Rotor der Maschine bestimmen. Bei den Modellausgangsgr¨oßen der Stator- und Rotorstr¨ome erfolgt die Transformation durch I1S = I1α + jI1β = (I1A + jI1B )(cos βK + j sin βK ) I2L = I2k + jI2l

= (I2A + jI2B )(cos(βK − βL ) + j sin(βK − βL ))

(13.76)

450

13 Asynchronmaschine

entsprechend in umgekehrter Richtung. Die meßtechnisch zug¨anglichen Dreiphasen-Str¨ome von Stator und Rotor ergeben sich durch Anwendung der Transformationsbeziehungen in den folgenden Gleichungen: I1a (t) = I1α √  1 −I1α + 3I1β 2 √  1 −I1α − 3I1β = −I1a − I1b I1c (t) = 2

I1b (t) =

(13.77)

¨ Die Rotorgr¨oßen (Index 2) sind u altnis ¨ u der ¨ber das Ubersetzungsverh¨ Asynchronmaschine mit den physikalisch realen Werten verkn¨ upft. Wichtig zu erw¨ahnen bleibt auch die Tatsache, daß diese Tranformationsbeziehungen nur im Falle des symmetrischen Betriebs der Asynchronmaschine, d.h. U1a + U1b + U1c = 0

und I1a + I1b + I1c = 0

U2a + U2b + U2c = 0

und I2a + I2b + I2c = 0

(13.78) g¨ ultig sind. Sie sind in Abb. 13.9 und 13.10 — aufgespalten in Real- und Imagin¨arteil — als Signalflußplan dargestellt. U1a e

-

1

U1α-

-e 6

@ @

r

6

U1b e

- @ @ 6 r

r ? - @ @

−

U1β ? U1c e - e −

√1 3

r

-? e ?

eU1B

- @ @

cos βK e

a)

U1a e -

U1c e -



esin βK





3

U1b e -

b)

eU1A







AB

eU1A eU1B

6 6

cos βK e esin βK

Abb.13.9: Umwandlung der Dreiphasen-Spannungen in das K-System: a) Signalflußplan, b) Blockdarstellung

Sind die Klemmenspannungen dagegen nicht mittelwertfrei, d.h der Sternpunkt liegt nicht auf 0 V , ist die folgende erweiterte Transformationsvorschrift

13.2 Signalflußpl¨ ane der Asynchronmaschine

I1A

e

r

-e −6

- @ @ 6

- @ @

?

I1B

r

1

-

1 2

6 r

r

e

I1α r -

I1β

-? e

- @ @

-

?

√

3 2

I1a

451

e

−- e I1b e

r



@

@

r

@ − I @ R e 1c e -

−

- @ @

a)

cos βK e

esin βK

I1A e -





AB





I1B e -







3

eI

1a

eI

1b

eI

1c

6 6

cos βK e esin βK

b)

Abb.13.10: Umwandlung der Raumzeigergr¨ oßen im K-System in Dreiphasen-Gr¨oßen: a) Signalflußplan, b) Blockdarstellung

zur Umrechnung der Statorspannungen in das K-System anstelle von Gl. 13.75 zu verwenden. Dies ist insbesondere der Fall, wenn das Bezugspotential zur Messung bzw. Berechnung einer Schaltung nicht mit dem Potential des (gedachten) Sternpunktes u ¨bereinstimmt. 1 (2U1a − U1b − U1c ) 3 1 = √ (U1b − U1c ) 3

U1α = U1β

(13.79)

Durch diese Umrechnung hebt sich der Gleichanteil heraus. 13.2.3

Signalflußplan der stromgesteuerten Asynchronmaschine

In den meisten Antriebsanordnungen wird, aufgrund ihrer Robustheit, eine Asynchronmaschine mit einem Kurzschlußl¨aufer, d.h. U2A = U2B = 0, eingesetzt. Der verwendete Umrichter ist zumeist mit einer Statorstromregelung ausgestattet, so daß als Modelleingangsgr¨oßen die Statorstr¨ome und nicht mehr die Statorspannungen der Maschine von Interesse sind. Unter diesen Voraussetzungen vereinfacht sich der allgemeine Signalflußplan nach Abb. 13.7.

452

13 Asynchronmaschine

1 bestimmt sich nach den Gleichungen (13.71) aus den StatorDer Statorfluß Ψ str¨omen zu Ψ1A = σL1 I1A +

M Ψ2A L2

(13.80)

Ψ1B = σL1 I1B +

M Ψ2B L2

(13.81)

womit sich der Signalflußplan nach Abb. 13.11 zeichnen l¨aßt. Die Eingangsgr¨oßen I1A und I1B in das Modell der Asynchronmaschine nach Abb. 13.11 ergeben sich wie bereits im Fall der spannungsgesteuerten Asynchronmaschine aus den Dreiphasen-Gr¨oßen durch eine Koordinatentransformation gem¨aß Abb. 13.9 mit den Eingangsgr¨oßen I1a , I1b und I1c . Die Ausf¨ uhrungen bez¨ uglich der verschiedenen Schaltungsvarianten von Drehfeldmaschinen sind hier ebenfalls zu beachten. Gegen¨ uber der spannungsgesteuerten Asynchronmaschine vereinfacht sich der Signalflußplan bei stromgesteuerter Betrachtungsweise erheblich. Das Verhalten der Asynchronmaschine hat sich dadurch jedoch nicht ver¨andert. Es ist jetzt lediglich Aufgabe der unterlagerten Statorstromregelung, daß der Umrichter die erforderliche Statorspannung an die Maschinenklemmen zur Verf¨ ugung stellt, so daß sich die entsprechenden Stator-Iststr¨ome einstellen. Zu beachten ist, daß bei begrenzter Statorspannung nur mit begrenzter Dynamik Statorstrom¨anderungen m¨oglich sind. Die Einpr¨agung der Statorstr¨ome stellt an den Umrichter h¨ohere Anforderungen als an die Einpr¨agung der Statorspannungen, da — im Grenzfall — nahezu sprungf¨ormige Strom¨anderungen erhebliche Statorspannungsamplituden erfordern w¨ urden. F¨ ur den Entwurf einer Drehzahl- und Drehmomentregelung wird das Verhalten der Stromregelung meist durch ein vereinfachtes dyna¨ misches Ubertragungsverhalten (PT1 ) approximiert. Die Str¨ome I1A und I1B , die die Eingangsgr¨oßen des Signalflußplans nach Abb. 13.11 darstellen, k¨onnen also nicht sprungf¨ormig ver¨andert werden. Bei den folgenden Untersuchungen des dynamischen Verhaltens von Asynchronmaschinen in einem am Stator-, am Rotorbzw. am Luftspaltfluß orientierten Koordinatensystem dient der Signalflußplan nach Abb. 13.11 als Grundlage, anhand der die weiteren Ableitungen erfolgen. 13.2.4

Station¨ arer Betrieb der Asynchronmaschine

Bei der Drehfeldasynchronmaschine spricht man vom station¨aren Betrieb, sofern die Asynchronmaschine durch ein symmetrisches Drehspannungssystem, d.h. ˆ cos (Ω1 t) U1a = U ˆ cos (Ω1 t − 120◦ ) U1b = U ˆ cos (Ω1 t − 240◦ ) U1c = U

13.2 Signalflußpl¨ ane der Asynchronmaschine Ψ1A

e 6

σL1 

I1A

M L2

- e Ψ1B 6

- σL1

I1B

M L2

Ω2

6

453

6

r

r

? - @ @

r Ψ2A ?

  P P  PPP   P

−

? e 6



r

Ψ2B r

? e 6

?

?

1 σL2

M σL1 L2

r

?  @ @

PP P

1 σL2

eI2A r- R -? 2

−

−- e

?

6

e− 6

U2A

U2B

I2B ? R2  r e −

  P PPP  PP  ? - @ @

r

?

PP P

σL2

? M σL1 L2

σL2

?  @ @

−- e

ΩK - 3 Zp 2

MM i

-e 6 −

1 Θ

-

Ωm r

- Zp

Zp Ωm ?Ω2 -e −

? Ωm

MW

Abb. 13.11: Signalflußplan der Asynchronmaschine mit eingepr¨ agten Statorstr¨ omen und Kurzschlußl¨aufer bei Verwendung des Koordinatensystems K

gespeist und mit konstanter mechanischer Drehzahl dΩm =0 dt betrieben wird. Die Herleitung des elektrischen Ersatzschaltbildes der Asynchromaschine erfolgt in den meisten F¨allen im statorfesten Koordinatensystem (Index S oder mit ΩK = 0 im K-System), worin sich der Statorspannungsraumzeiger

454

13 Asynchronmaschine

durch  S = Uˆ e jΩ1 t U 1 darstellen l¨aßt. Ausgehend von den Flußdifferentialgleichungen im S-System

S dΨ R1  S M  S 1 S Ψ1 − Ψ2 + U = − 1 dt σL1 L2 S dΨ 2 dt

= −

R2 σL2



S − M Ψ S Ψ 2 L1 1

(13.82)

S S + U + jΩm Zp Ψ 2 2

(13.83)

werden zu deren L¨osung f¨ ur den station¨aren Betriebsfall die Fl¨ usse zu  S = |Ψ 1 | e jΩ1t e jϕ1 Ψ 1

(13.84)

2 | e jΩ1t e jϕ2  S = |Ψ Ψ 2

(13.85)

angesetzt. Die zeitlichen Ableitungen der beiden Fl¨ usse bestimmen sich damit zu S S dΨ dΨ 1 2 S S und (13.86) = jΩ1 Ψ = jΩ1 Ψ 1 2 dt dt womit man durch Umformung die Maschengleichungen f¨ ur den Stator- und den Rotorkreis der Maschine erh¨alt:

Station¨ ares elektrisches Ersatzschaltbild  S = R1 IS + jΩ1 L1 IS + jΩ1 M IS U 1 1 1 2  2S U s

=

(13.87)

R2 S I + jΩ1 L2 I2S + jΩ1 M I1S s 2

Daraus ergibt sich f¨ ur den station¨aren Betriebsfall ein elektrisches Ersatz 2 = 0, gem¨aß schaltbild der Asynchronmaschine mit Kurzschlußl¨aufer, d.h. U Abb. 13.12. Die Variable s bezeichnet den sogenannten Schlupf der Asynchronmaschine, welcher durch Ω1 − Zp Ωm s= (13.88) Ω1 als bezogene Differenzdrehzahl zwischen Stator- und elektrischer Rotordrehfrequenz definiert ist. Die Eigeninduktivit¨aten L1 = M + Lσ1

(13.89)

L2 = M + Lσ2

(13.90)

13.2 Signalflußpl¨ ane der Asynchronmaschine

IS

e-1

R1

L1σ

r

S I 2

L2σ

455

R2 /s

? IμS

S U 1 ? e

S E μ

M ? r

Abb. 13.12: Station¨ ares elektrisches Ersatzschaltbild der Asynchronmaschine mit Kurzschlußl¨ aufer (u∗ = w1 /w2 = 1)

von Stator und Rotor der Maschine werden in eine jeweilige Streuinduktivit¨at und die Koppelinduktivit¨at M aufgeteilt, wodurch die magnetische Kopplung zwischen Stator und Rotor in der Maschine im station¨aren Ersatzschaltbild durch eine elektrische Kopplung (IμS = I1S + I2S ) ersetzt wird. 13.2.5

Umrechnung f¨ ur Stern- und Dreieckschaltung

In der Anwendung der oben hergeleiteten Raumzeigergr¨oßen und Signalflußpl¨ane der Asynchronmaschine stellt sich vielfach das Problem der unterschiedlichen Schaltungsvarianten von Drehfeldmaschinen. Diese k¨onnen sowohl im Stator, als auch bei ausgef¨ uhrten Wicklungen im Rotor z.B. bei Großantrieben mit untersynchroner Stromrichterkaskade (USK) in Stern- oder Dreieckschaltung betrieben werden. Wir beschr¨anken uns bei der folgenden Betrachtung auf den Fall  2 = 0 und nicht meßbare Rotorstr¨ome I2a , der Kurzschlußl¨aufermaschine, d.h U I2b und I2c . Zu Beginn dieses Kapitels wurde vorausgesetzt, daß die Maschinenparameter als Strangwerte bekannt sind. Es sind daher auch die elektrischen Eingangsund Ausgangsgr¨oßen in das Modell nach Abb. 13.7 und 13.8 als Stranggr¨oßen anzusehen. Um eine Asynchronmaschine physikalisch ¨aquivalent in einem der obigen Signalflußpl¨ane darzustellen, m¨ ussen die meßbaren Eingangs- und Ausgangsgr¨oßen in die zugeh¨origen Raumzeiger transformiert werden. In Ausnahmen m¨ ussen außerdem die Parameter der Maschine und der Phasenwinkel der Raumzeiger angepaßt werden. Alle verwendeten Gr¨oßen seien bereits Amplituden, also Spitzenwerte, und keine Effektivwerte. Zur Umrechnung siehe Kap. 13.1.2.5. Dreieckschaltung Bei einer Asynchronmaschine in Dreieckschaltung werden die Klemmenspannungen und -str¨ome auf die Strangspannungen und -str¨ome umgerechnet. Mit diesen

456

13 Asynchronmaschine

Gr¨oßen wird dann ein Modell in Sternschaltung modelliert, an dessen Wicklungen die identischen Spannungen und Str¨ome anliegen wie am realen Motor. Damit k¨onnen die auf Stranggr¨oßen bezogenen Maschinenparameter verwendet werden. Bei der Dreieckschaltung nach Abb. 13.13 erh¨alt man die Strangspannungen, sofern diese nicht bereits vorliegen, als verkettete Spannungen zwischen den Leiterspannungen U1 , U2 und U3 zu U1a = U1 − U2 U1b = U2 − U3 U1c = U3 − U1

(13.91)

Die Spannungen U1a , U1b und U1c bilden nun die Eingangsgr¨oßen der Transformation nach Abb. 13.9 zur weiteren Umrechnung in einen Spannungsraumzeiger. Auch die in den Zuleitungen gemessenen Leiterstr¨ome I1 , I2 und I3 bei einer Dreieckschaltung entsprechen nicht den Str¨omen in den Str¨angen 1a, 1b und 1c der Maschine. Falls eine stromgesteuerte und symmetrisch gespeiste Asynchronmaschine betrachtet wird, sind die Strangstr¨ome als Eingangsgr¨oßen des Modells zu verwenden. Sie lassen sich durch Anwendung der Kirchhoff’schen Regeln aus den meßbaren Leiterstr¨omen bestimmen zu: 1 (I1 − I2 ) 3 1 (I2 − I3 ) = 3 1 = (I3 − I1 ) 3

I1a = I1b I1c

(13.92)

Ebenso wie die Eingangsgr¨oßen der Asynchronmaschine m¨ ussen auch die Ausgangsgr¨oßen wieder in ihre physikalisch korrespondierenden Gr¨oßen zur¨ ucktransformiert werden. Da eine symmetrisch betriebene Maschine betrachtet wird, ergeben sich die Str¨ome an den Anschlußklemmen in Umkehrung von Gl. (13.92) zu: I1 = I1a − I1c I2 = I1b − I1a I3 = I1c − I1b

(13.93)

Die Ausgangsspannungen einer stromgesteuerten Asynchronmaschine ergeben sich analog; allerdings ist diese R¨ ucktransformation nicht eindeutig, da hierbei ein eventueller Gleichspannungsanteil verloren geht. Sollen nicht nur das Klemmenverhalten sondern auch die inneren Vorg¨ange der Maschine phasenrichtig dargestellt werden, ist außerdem der Winkelversatz zwischen den Spannungsraumzeigern einer Stern- und einer Dreieckschaltung von 30◦ zu beachten.

13.2 Signalflußpl¨ ane der Asynchronmaschine L1

L2

e

L3

e

L1

e

U1 I1 ?

I2 ?

I3 ?

? I

? I

? I

1b

1a

e

U3

-

U2 U1 I1 ? 

1c



1c

1b

L3

e

-

U2

1a

L2

e

U3







I2 ? 

? I



1a





1a



 







 



457

I3 ? 

? I



1b



1b





? I

1c

1c





 

r

ASM

ASM

Sternschaltung

Dreieckschaltung

Abb. 13.13: Schaltungsvarianten von Drehfeldmaschinen

Sternschaltung Im Falle der Sternschaltung sind die Leiterstr¨ome gleich den Strangstr¨omen und die Leiterspannungen gleich den Strangspannungen der Maschine. Eine zus¨atzliche Transformation wie bei der Dreieckschaltung ist daher nur dann notwendig, wenn das speisende Spannungssystem durch verkettete Spannungen U12 , U23 und U31 anstelle von Leiterspannungen beschrieben ist. Die entsprechende Umrechnung erfolgt nach 1 (U12 − U31 ) 3 1 (U23 − U12 ) = 3 1 (U31 − U23 ) = 3

U1a = U1b U1c

(13.94)

Umrechnung der Maschinenparameter In vielen F¨allen sind die Parameter der Asynchronmaschine bereits f¨ ur eine Sternschaltung angegeben. Dann k¨onnen diese unver¨ andert in die hier beschriebenen Modelle eingesetzt werden. Sind dagegen die Maschinenparameter f¨ ur eine Dreieckschaltung (Index Δ) gegeben, m¨ ussen die Induktivit¨aten und Widerst¨ande f¨ ur die im Signalflußplan vorausgesetzte Sternschaltung ermittelt werden.

458

13 Asynchronmaschine

1 L1Δ 3 1 = L2Δ 3

L1 = L2

1 R1Δ 3 1 = R2Δ 3

und R1 = und R2

(13.95)

Beispiel Als Fortsetzung des Beispiels in Kap. 13.1.2.5 soll die darin angenommene Asynchronmaschine in Dreieckschaltung mit Spannungssteuerung modelliert werden. Dabei werden die notwendigen Umrechnungen f¨ ur eine Phase gezeigt. Die verkettete Eingangsspannung an Wicklung 1a ist durch die Spannung des Netzes bereits gegeben und betr¨agt  S | = 327 V U1a = |U 1 Die Statorspannungen U1a , U1b und U1c werden u ¨ ber die Transformation in Abb. 13.9 in einen Spannungsraumzeiger (U1A , U1B ) umgerechnet, der die Eingangsgr¨oße des Modells in Abb. 13.7 bildet. Der Statorstromzeiger (I1A , I1B ) wird u ¨ ber eine Transformation nach Abb. 13.10 wieder in Stranggr¨oßen I1a , I1b und I1c zur¨ uckgewandelt. Die Str¨ome I1 , I2 und I3 an den Anschlußklemmen des Motors erh¨alt man schließlich u ¨ ber die Umrechnung in Gl. (13.93). I1 = I1a − I1c Die u ¨brigen Str¨ome errechnen sich analog.

13.3

Steuerverfahren der Asynchronmaschine

Wie bereits in [36, 37, 38] beschrieben, gibt es f¨ ur die drehzahlvariable Asynchronmaschine drei grundlegende Steuerverfahren. Diese sind durch die Orientierung des allgemeinen Koordinatensystems (Index K) 1 | und Ψ1B = 0 • am Statorfluß, d.h. Ψ1A = |Ψ 2 | und Ψ2B = 0 • am Rotorfluß, d.h. Ψ2A = |Ψ μ | und ΨμB = 0 • am Luftspaltfluß, d.h. ΨμA = |Ψ gekennzeichnet und werden in den nachfolgenden Abschnitten eingehend beschrieben, wobei stets von einer Maschine mit Kurzschlußl¨aufer (U2A = U2B = 0) ausgegangen wird. Bevor die einzelnen Steuerverfahren genauer betrachtet werden, ist es sinnvoll, sich in diesem Zusammenhang die Verkettung der verschiedenen Maschinenfl¨ usse anzusehen. Der Stator- und der Rotorfluß der Maschine stellen die wesentlichen Bezugsgr¨oßen bei der Orientierung des Koordinatensystems K dar.

13.3 Steuerverfahren der Asynchronmaschine

459

Abbildung 13.14 veranschaulicht die Bedeutung dieser Fl¨ usse. Wie daraus leicht zu erkennen ist, erzeugt der Statorstrom zusammen mit dem Rotorstrom den Statorfluß Ψ1 , der sich wiederum in einen Luftspaltfluß Ψμ und einen Statorstreufluß aufteilt. Ebenso kann der Rotorfluß Ψ2 in den Luftspaltfluß und den Rotorstreufluß aufgeteilt werden. Der Luftspaltfluß, d.h. die magnetische Kopplung von Stator- und Rotorkreis, ist f¨ ur die Drehmomenterzeugung von entscheidender Bedeutung. Diese anschauliche Darstellung hat im Signalflußplan und nat¨ urlich auch im station¨aren Ersatzschaltbild der Asynchronmaschine, siehe Abb. 13.12, ihre Entsprechung. Die Stator- und die Rotorinduktivit¨at k¨onnen, wie bereits erl¨autert wurde, in eine Hauptinduktivit¨at M und eine jeweilige Streuinduktivit¨at aufgeteilt werden. Die Spannungsabf¨alle an den Streuinduktivit¨aten verringern die an der Hauptinduktivit¨at anstehende Spannung und damit den verf¨ ugbaren Luftspaltfluß. In [36, 37, 38] wurden ausf¨ uhrlich die Steuerverfahren und Signalflußpl¨ane bei eingepr¨agter Spannung bzw. bei eingepr¨agtem Strom vorgestellt, wobei das Koordinatensystem K am Stator- oder am Rotorfluß orientiert ist. Aufgrund dieser ausf¨ uhrlichen Darstellung in [36, 37, 38] soll hier nur noch der Signalflußplan bei eingepr¨agter Statorspannung und Statorflußorientierung (Kap. 13.3.1) und der Signalflußplan bei eingepr¨agten Statorstr¨omen und Rotorflußorientierung (Kap. 13.3.2) dargestellt werden.

{

Statorfluß Y 1

Statorwicklung Statorstreufluß

Luftspaltfluß Y

m

Stator

Luftspalt

Rotor Rotorstreufluß Rotorfluß Y 2

{ Rotorwicklung

Abb. 13.14: Schematische Darstellung der Flußverkettungen

13.3.1

Signalflußplan bei Statorflußorientierung

Bei dem ersten Steuerverfahren dient der Statorfluß zur Orientierung des freien Koordinatensystems K, d.h. die A-Achse des Koordinatensystems K und der

460

13 Asynchronmaschine

 1 fallen zusammen. Flußraumzeiger Ψ 1 | Ψ1A = |Ψ

(13.96)

Ψ1B = 0

(13.97)

dΨ1B = 0 (13.98) dt Nachdem nun die Lage des Koordinatensystems K festgelegt ist, kann der Signalflußplan f¨ ur dieses Steuerverfahren abgeleitet werden. Hierzu setzt man obige Bedingungen in die beschreibenden Gleichungen (13.71) der Asynchronmaschine ein. Aus der allgemeinen Beziehung f¨ ur die zeitliche Ableitung von Ψ1B folgt unmittelbar die Steuerbedingung R1 M U1B = ΩK Ψ1A − Ψ2B σL1 L2       Leerlaufeinfluß Momenteinfluß (13.99)   R1 M 1 ΩK = Ψ2B + U1B Ψ1A σL1 L2 Diese legt die Umlaufgeschwindigkeit ΩK des Koordinatensystems K und damit die Spannung U1B so fest, daß Ψ1B = 0 dynamisch gew¨ahrleistet ist. Wie man dem Signalflußplan in Abb. 13.15 entnimmt und wie in [9] ausf¨ uhrlich abgeleitet, ist U1A die Spannung, die den Fluß Ψ1A steuert (z.B. Feldschw¨achung) und die Spannung U1B folgt aus der Steuerbedingung in Gl. (13.99). Der Rotorfluß Ψ2A bzw. Ψ2B baut sich mit der Zeitkonstanten T2K = σL2 /R2 auf. Das innere Moment MM i der Maschine kann somit u ur ¨ber Ω2 mit der Zeitkonstanten T2K f¨ die Ver¨anderung von Ψ2B eingestellt werden. Allerdings m¨ ussen bei eingepr¨agten Spannungen U1A und U1B die R¨ uckkopplungen des Rotorkreises auf den Statorkreis beachtet werden. Zudem sind an die statische und insbesondere an die dynamische Verstellbarkeit insbesondere von U1B hohe Anforderungen zu stellen, 1 = Ψ1A und damit Ψ1B = 0, d.h. die Bedingung f¨ um Ψ ur Statorflußorientierung, einzuhalten. Dies gilt insbesondere dann, wenn die Zeitkonstante T2K klein ist und aufgrund der Darstellung von Ω2 sich Ψ2B schnell ¨andert. 13.3.2

Signalflußplan bei Rotorflußorientierung

¨ Als Basis f¨ ur weitere Uberlegungen und aufgrund der großen Bedeutung der Rotorfluß-Orientierung sollen die entscheidenden Gleichungen schrittweise hergeleitet werden. Hierzu setzt man die Voraussetzungen 2 | Ψ2A = |Ψ (13.100) Ψ2B = 0 dΨ2B dt

= 0

(13.101) (13.102)

13.3 Steuerverfahren der Asynchronmaschine

461

ΩK 6

Ψ1A



r r

-



r

-e 6

? 1 σL1

R1 6

I1B

−- e

? eI1A- R1 −6

6

U1A

M σL1 L2

r ? - @ @

PP P

r Ψ2A

P P  PP

−

? e 6



r

PP

Ψ2B r

? e 6

?

?

1 σL2

M σL1 L2

r

?  @ @

 



?

6

Ω2

6

r

M σL1 L2

U1B

1 σL2

-? eI2A- R2

−

−- e

?

6

e− 6

U2A

U2B

σL2

I2B R2  r







  ? - @ @

−- e

ΩK - 3 Zp 2

MM i

-e 6 −

MW

1 Θ

-

Ωm r

- Zp

Zp Ωm ?Ω2 -e −

? Ωm

Abb. 13.15: Signalflußplan der Asynchronmaschine bei Orientierung des Koordina 1 tensystems K am Statorfluß Ψ

462

13 Asynchronmaschine

2 beschreiwelche die Orientierung des Koordinatensystems K am Rotorfluß Ψ ben (siehe auch Abb. 13.16), in die allgemeinen Systemgleichungen (13.71) der Asynchronmaschine ein. B

l

b WK K-System (läuferflußfest)

A I1 gi

Y2

b K2

k

bK bL

a

WL L-System (läuferfest) S-System (ruhend)

Abb. 13.16: Koordinatensysteme bei Rotorflußorientierung

Die Betrachtungen erfolgen rein mathematisch abstrakt anhand der allgemeinen Systemgleichungen. Sp¨ater werden die daraus erhaltenen Erkenntnisse anschaulich dargestellt. Als Maschineneingangsgr¨oßen werden die Statorstromkomponenten I1A und  2 = 0. Den I1B betrachtet. Die Maschine habe einen Kurzschlußl¨aufer, d.h. U ¨ Ausgangspunkt der Uberlegungen bilden die sich unmittelbar ergebenden Beziehungen f¨ ur die Maschinenstr¨ome im K-System. I1A = Ψ1A

1 M − Ψ2A σL1 σL1 L2

I1B = Ψ1B

1 σL1

I2A = Ψ2A

1 M − Ψ1A σL2 σL1 L2

I2B = −Ψ1B

M σL1 L2

Aus der Gleichung f¨ ur die Ableitung der imagin¨aren Komponente Ψ2B /dt = 0 des Rotorflusses R2 M 0= Ψ1B − Ω2 Ψ2A (13.103) σL1 L2 folgt durch einfache Umformung mit Ψ1B = σL1 I1B

(13.104)

13.3 Steuerverfahren der Asynchronmaschine

463

die Steuerbedingung R2 M I1B · L2 Ψ2A

(13.105)

ΩK = Ω2 + Zp Ωm

(13.106)

Ω2 =

welche die aktuelle Umlaufgeschwindigkeit ΩK des K-Systems festlegt, so daß die Annahme Ψ2B = 0 dynamisch gew¨ahrleistet ist. Im n¨achsten Schritt wird das  K = Ψ2A betrachtet. Hierzu setzen wir in die bereits Verhalten des Rotorflusses Ψ 2 bekannte Beziehung

dΨ2A R2 M =− Ψ2A − Ψ1A + Ω2 Ψ2B (13.107) dt σL2 L1 die im Falle der Rotorflußorientierung g¨ ultigen Vereinfachungen ein. Ψ2B = 0

(13.108) M Ψ2A L2

(13.109)

dΨ2A + Ψ2A = MI1A dt

(13.110)

Ψ1A = σL1 I1A + Als Ergebnis erhalten wir f¨ ur den Rotorfluß T2

mit der Rotorzeitkonstante der Asynchronmaschine T2 =

L2 R2

(13.111)

Es muß nun noch das innere Moment der Maschine im am Rotorfluß orientierten Koordinatensystem bestimmt werden. Dies kann aus der Beziehung MM i =

2 1 3M  K∗ IK Zp Im Ψ 2 1 2 L2

(13.112)

 K∗ = Ψ2A und IK = I1A + jI1B zu durch Einsetzen von Ψ 2 1 3 M MM i = Zp Ψ2A I1B 2 L2

(13.113)

bestimmt werden. Bei Orientierung des Koordinatensystems K am Rotorfluß und bei Verwendung der Statorstr¨ome als Eingangsgr¨oßen lassen sich somit die beschreibenden Gleichungen der Asynchronmaschine bei Stromsteuerung wie folgt zusammenfassen.

464

13 Asynchronmaschine

Asynchronmaschine bei Rotorfluß-Orientierung dΨ2A R2 = (MI1A − Ψ2A ) dt L2 R2 M I1B · Ω2 = L2 Ψ2A 3 M MM i = Zp Ψ2A I1B 2 L2 dΩm 1 = (MM i − MW ) dt Θ

(13.114)

Die erste Gleichung besagt, daß der Rotorfluß (d.h. seine Amplitude) u ¨ ber eine Verz¨ogerung 1. Ordnung (r¨ uckgekoppelter Integrierer) durch die Stromkomponente I1A eingestellt werden kann. Die dritte Gleichung zeigt, daß bei konstantem Fluß das Drehmoment verz¨ ogerungsfrei u ¨ber die Stromkomponente I1B steuerbar ist. I1A

I1B

1 - M

-

T2

Ψ2A r

-

MW

? -

M L2

- @ @

mit T2 =

-

3 Z 2 p

MM i ? − -e

-

1 Θ

-

Ωm

-

L2 M + Lσ2 = R2 R2

Abb. 13.17: Signalflußplan der Asynchronmaschine bei rotorflußfestem Koordinatensystem K und eingepr¨ agten Statorstr¨ omen als Eingangsgr¨ oßen

Diese Zusammenh¨ange sind im Signalflußplan nach Abb. 13.17 dargestellt, welcher das dynamische Verhalten der Asynchronmaschine im rotorflußfesten Koordinatensystem K beschreibt. Die Einpr¨agung der Statorstromkomponenten I1A und I1B wird z.B. durch einen Wechselrichter mit eingepr¨agtem Strom oder einen Wechselrichter mit eingepr¨agter Spannung und einer zus¨atzlichen Stromregelung (siehe auch Kap. 15) realisiert. Bei der Betrachtung des Signalflußplans treten Analogien zur Gleichstromnebenschlußmaschine auf, sofern man sich die Stromkomponente I1A als Erregerstrom IE und die Stromkomponente I1B als Ankerstrom IA denkt. Wie bei der Gleichstromnebenschlußmaschine kann mit I1B (=I ' A ) — bei konstantem Fluß

13.3 Steuerverfahren der Asynchronmaschine

465

Ψ2A — ohne Verz¨ogerung das Drehmoment MM i gesteuert werden. Die Vereinfachung im Signalflußplan ist auch im station¨aren Fall beim T-Ersatzschaltbild der Asynchronmaschine nach Abb. 13.12 (siehe auch [36, 37, 38]) erkennbar. Nachdem nun der Signalflußplan der Asynchronmaschine im rotorflußorientierten Koordinatensystem vorliegt, m¨ ussen dessen Eingangsgr¨oßen I1A und I1B in die Statorstr¨ome I1α und I1β der Maschine, d.h. in das statorfeste Koordinatensystem transformiert werden. Hierzu benutzt man die Steuerbedingung aus der zweiten Gleichung von (13.114), welche die Relativgeschwindigkeit zwischen der elektrischen Rotorgeschwindigkeit (ΩL = Zp Ωm ) und der Drehfrequenz des Koordinatensystems K festlegt. Mit Hilfe der bereits bekannten und in Abb. 13.16 dargestellten Beziehungen ΩL =

d βL dt

sowie mit

und

Ω2 =

d βK2 dt

I1K = I1S e−j βK

erfolgt in Block 3/AB die komponentenweise Transformation der Eingangsstr¨ome I1a , I1b und I1c der Maschine gem¨aß Abb. 13.9 in das rotorflußfeste Koordinatensystem. Damit l¨aßt sich der vollst¨andige Signalflußplan der Asynchronmaschine im betrachteten Koordinatensystem K nach Abb. 13.18 zeichnen.

I

1A- M

I1a I1b I1c

3







AB -

6

I1B r-

−

?-e

-

R2 L2

r Ψ2A r ?

M L2

-

- @ @

3 Z 2 p

MW − MM i ? -e -

1 Θ

-

Ωm

Steuerbedingung -

M R2 L2

-

r r



Ω2 βK

 ΩK

? e

ΩL

Zp 

Abb.13.18: Signalflußplan der Asynchronmaschine bei rotorflußorientiertem Koordinatensystem K und den Statorstr¨ omen als Eingangsgr¨ oßen

Der so erhaltene Signalflußplan ist ¨aquivalent zu der bekannten von Blaschke [248, 249] verwendeten Darstellung. Die Darstellungen von Hasse [277] und Blaschke lassen sich direkt ineinander u uhren. Wesentlich ist, wie bereits ¨berf¨

466

13 Asynchronmaschine

erw¨ahnt, daß die beiden Maschinengr¨oßen Fluß und Drehmoment voneinander unabh¨ angig durch die flußparallele bzw. die flußsenkrechte Komponente des Statorstromes I1A bzw. I1B eingestellt werden k¨onnen. Die bisherigen Aussagen wurden abstrakt aus mathematischen Umformungen des Gleichungssystems (13.71) gewonnen. Im folgenden sollen diese Erkenntnisse unter der Annahme, daß keine Streufl¨ usse entstehen, veranschaulicht werden. Dies bedeutet, daß in diesem idealisierten Fall Stator-, Rotor- und Luftspaltfluß  =Ψ 1 = Ψ 2 = Ψ  μ . Betrachet man des weiteren nur station¨are gleich sind, d.h. Ψ Zust¨ande, so bietet sich als eine M¨oglichkeit zur Veranschaulichung der feldorientierten Darstellung der Asynchronmaschine der Vergleich mit einer idealisierten Gleichstromnebenschlußmaschine nach Abb. 13.19a an. Im Stator sind zwei aufeinander senkrecht stehende Wicklungen I und II angeordnet. Wicklung I erzeugt den Fluß Ψ in der Maschine, der aus den hier waagerecht verlaufenden Feldlinien besteht. Der Fluß Ψ und der zugeh¨orige Strom II sind in Teilbild b) durch Raumzeiger in der entsprechenden Richtung (auf der Wicklungsebene senkrecht stehend) dargestellt. Die rotierende Rotorwicklung III, die vom Ankerstrom IIII durchflossen wird, wirkt wegen des Kommutators ebenfalls wie eine feststehende Wicklung, die in einer waagerechten Ebene (parallel zu den Feldlinien von Ψ ) liegt. Der Raumzeiger IIII weist mit den angenommenen Stromrichtungen senkrecht nach unten. Wicklung II ist eine Kompensationswicklung, die vom Strom III = −IIII durchflossen wird. Sie kompensiert damit die Feld¨anderung, die vom Ankerstrom IIII erzeugt w¨ urde. Die beiden Stromraumzeiger II und III kann man sich zu einem Statorstromraumzeiger I1 zusammengefaßt denken. Ein Strom durch die Ankerwicklung (Rotorwicklung) bewirkt zusammen mit dem Feld Ψ eine Lorenz-Kraft (Rechte-Hand-Regel) auf den Leiter in der angegebenen Pfeilrichtung. Die Summe der Kr¨afte bewirkt ein Drehmoment auf die Wicklung und damit auf den Rotor. Eine entgegengesetzte Kraftwirkung (actio = reactio) entsteht auf die mit dem Stator fest verbundene Wicklung II. Aufgrund der Eigenschaften der Lorenz-Kraft bewirkt also die flußsenkrechte Komponente III des Statorstromraumzeigers I1 direkt das Drehmoment. Die flußparallele Komponente II erzeugt den Fluß. Die beiden Stromkomponenten sind bei der Gleichstrommaschine von außen getrennt vorgebbar. Bei der Asynchronmaschine mit K¨afigrotor liegen die Verh¨altnisse etwas anders. Die Rotorwicklungen sind von außen nicht zug¨anglich. Rotorstr¨ome werden lediglich durch Induktion, das heißt hier durch die Bewegung des Feldes relativ zum Rotor verursacht — es ist also ein Schlupf notwendig. Die Bewegung des Feldes (Drehfeld) entsteht durch Speisung der Statorwicklungen α, β (der orthogonal gedachte Ersatz einer dreistr¨angigen Wicklung) mit sinusf¨ormigen, um 90◦ phasenverschobenen Str¨omen. Das rotierende Gesamtfeld resultiert aus der Wirkung von Stator- und Rotorstr¨omen. Abbildung 13.19c zeigt eine Momentaufnahme der m¨oglichen Feldlinienrichtung bei der angenommenen Stromvertei in Teilbild d) f¨ lung, die zum Flußraumzeiger Ψ uhrt. Die induzierten Rotorstr¨ome werden sich in den einzelnen Leitern des Rotork¨afigs um so st¨arker ausbilden,

13.3 Steuerverfahren der Asynchronmaschine

b)

a) Gleichstrommaschine I

Stator

467

b I1

II

III

III

I II I III

II II

Rotor

a

Y I

c) Asynchronmaschine Stator

d) I2

a

b

Y

I1 b

b

I 1b

Rotor I 1a

a

a

Abb. 13.19: Vergleichende Betrachtung von Gleichstrommaschine und Asynchronmaschine: a) Aufbau der Gleichstrommaschine, b) Zeigerdiagramm, c) Aufbau der Asynchronmaschine, d) Zeigerdiagramm

je gr¨oßer die Relativbewegung des jeweiligen Leiters zum Feld ist. Es ergibt sich die in Teilbild c) gezeigte Stromverteilung. Der resultierende Rotorstromzeiger I2 steht auf dem momentanen Feldvektor senkrecht (Die Flußamplitude ist dabei als konstant angenommen, d.h. keine Feld¨anderung in flußparalleler Richtung; siehe auch Abb. 13.18), und erzeugt damit das Drehmoment. Die Verh¨altnisse sind somit gleich wie oben bei der Gleichstrommaschine. Die flußparallele Komponente des Statorstromes bestimmt die Flußamplitude. Die flußsenkrechte Komponente kompensiert die Wirkung des Rotorstromes auf das Feld und h¨angt damit direkt

468

13 Asynchronmaschine

mit dem Drehmoment zusammen. Damit ergeben sich also auf anschaulichem Wege die selben Aussagen, die oben theoretisch hergeleitet wurden. 13.3.3

Signalflußplan bei Luftspaltflußorientierung

¨ Die Uberlegungen im vorherigen Kapitel bezogen sich auf eine Darstellung der 2 orientierten Koordinatensystem. Asynchronmaschine in einem am Rotorfluß Ψ Um diese Methodik zur Regelung der Maschine auszunutzen — siehe auch Kap. 13.4.4 — ist die Kenntnis des Rotorflusses notwendig. Meßtechnisch l¨aßt μ erfassen, daher ist eine Sch¨atzung des sich jedoch lediglich der Luftspaltfluß Ψ Rotorflusses durch Modelle wie z.B. Parallelmodelle, siehe auch Kap. 13.5, erforderlich. In der Literatur gibt es daher auch Ans¨atze f¨ ur Regelverfahren, die auf der Orientierung des Koordinatensystems K am Luftspaltfluß beruhen. Bevor das Verhalten der Asynchronmaschine bei Orientierung des Koordinatensystems K am Luftspaltfluß aus den Grundgleichungen (13.71) abgeleitet wird, soll hier als Einf¨ uhrung in die Problematik der Luftspaltflußorientierung eine weitere anschauliche Betrachtungsweise der Asynchronmaschine erl¨autert werden. e

Is

-1

r

s I 2

? Is

μ

s E μ

M ?

e

R2 s

r

Abb.13.20: Station¨ ares Ersatzschaltbild der Asynchronmaschine bei Stromeinpr¨agung und vernachl¨assigter Rotorstreuung im statorfesten Koordinatensystem S

Zu diesem Zweck betrachtet man das station¨are Ersatzschaltbild der Asynchronmaschine nach Abb. 13.12. Bei Vernachl¨assigung der Streuung im Stator (Lσ1 ) und im Rotor (Lσ2 ) der Maschine und Stromeinpr¨agung im Stator vereinfacht sich das Ersatzschaltbild zu Abb. 13.20. Die Variable s beschreibt darin den Schlupf der Maschine nach Gl. (13.88). Ausgehend von dem eingepr¨agten Statorstromraumzeiger I1S wird im idealen Leerlauf, d.h. s = 0, der Statorstrom  S des Luftspaltflusgleich dem Magnetisierungsstrom IμS . Der Flußraumzeiger Ψ μ ses liegt in diesem Fall in Richtung des Statorstromraumzeigers I1S . Wird ein Lastmoment abgegeben, d.h. s = 0, so ist hierzu ein Rotorstrom I2S erforderlich, welcher bei Vernachl¨assigung der Rotorstreuung (Lσ2 = 0) bez¨ uglich der inneren

13.3 Steuerverfahren der Asynchronmaschine

469

 S ein reiner Wirkstrom ist. Der Rotorstromzeiger IS steht Maschinenspannung E μ 2 senkrecht zum Flußstromzeiger IμS und ist f¨ ur die Drehmomenterzeugung ausschlaggebend. Der Statorstromraumzeiger I1S = IμS − I2S teilt sich somit in einen flußbildenden Stromanteil IμS und einen drehmomentbildenden Stromanteil −I2S auf . B b

PN, s=sN I1 gi=g iN

s W2

I2 Im P0, s=0

Ym

A

a

Abb. 13.21: Stromortskurven der Stromraumzeiger bei Statorstromeinpr¨agung und vernachl¨assigter Rotorstreuung

Die beiden Raumzeiger IμS und I2S bilden, siehe auch in Abb. 13.21, ein rechtwinkliges Dreieck. Die Stromaufteilung h¨angt vom aktuellen Schlupf s ab. Bei idealem Leerlauf P0 ist γi = 0, bei Nennleistung PN ergibt sich γi = γiN . Der Zusammenhang zwischen dem Schlupf s und dem Winkel γi ist im station¨aren Betriebsfall durch Umformung aus der Spannungsmaschengleichung R2  S = −jΩ1 M IS = −E I2S μ μ s zu bestimmen. Mit der Beziehung Ω2 = sΩ1

(13.115)

(13.116)

ergibt sich unmittelbar tan γi zu tan γi =

|I2S | M Ω2 = R2 |IμS |

(13.117)

An dieser Stelle soll auch darauf hingewiesen werden, daß sich der Rotorwiderstand R2 und damit auch der Winkel γi bei Erw¨armung im Betrieb der Maschine temperaturabh¨angig ver¨andern.

470

13 Asynchronmaschine

Als n¨achstes wird das Drehmoment der Maschine in Abh¨angigkeit von γi bestimmt. Ausgehend von der allgemeinen Beziehung in Gl. (13.47) 2 1 3  ∗ · I2 MM i = − Zp Im Ψ 2 2 sowie der Voraussetzung Lσ2 = 0 ergibt sich umittelbar

⇒

2 = Ψ  μ = M Iμ Ψ

2 1 3 MM i = − Zp M Im Iμ∗ I2 2

(13.118)

(13.119)

und mit I2 = −j Iμ tan γi sowie den geometrischen Beziehungen in Abb. 13.21 vereinfacht zu sin(2γi) 3 (13.120) MM i = Zp M|I1 |2 2 2 Das Drehmoment wird bei vorgegebener Statorstromamplitude bei einem Winkel von γi = 45◦ zwischen Magnetisierungs- und Rotorstromzeiger maximal. Die Auslegung der Asynchronmaschine erfolgt im allgemeinen auf einen kleinen Magnetisierungsstrom (30 % des Nennstroms) hin, so daß im Nennbetrieb γiN > 45◦ ist. Bei Feldschw¨achbetrieb ergeben sich noch gr¨oßere Winkel γi . Aus diesen ¨ Uberlegungen ergibt sich, daß bei normal ausgelegten Maschinen (γiN > 45◦ ) und lediglich Einpr¨agung der Statorstromamplitude der Motor im abfallenden Bereich der Drehmomentkennlinie f¨ ur steigendes γi betrieben wird, d.h. im instabilen Bereich. Um einen stabilen Arbeitspunkt zu erhalten, muß damit neben der Statorstromamplitude z.B. die Schlupffrequenz eingepr¨agt werden. Nach anschaulichen Betrachtungen des station¨aren Verhaltens der Asynchronmaschine wird im folgenden das dynamische Verhalten in einem am Luftspaltfluß orientierten Koordinatensystem untersucht und wie bereits bei der Orientierung am Rotorfluß ein Signalflußplan abgeleitet. Wie aus vorigen Abschnitten bekannt ist, bestimmt sich der Luftspaltfluß in der Asynchronmaschine allgemein zu: μ = M(I1 + I2 ). Ψ (13.121) Diese Grundbeziehung und die Voraussetzungen μ | ΨμA = |Ψ dΨμB dt

(13.122)

= 0

(13.123)

ΨμB = 0

(13.124)

f¨ ur die Orientierung des Koordinatensystems K am Luftspaltfluß werden in Gl. (13.64) bzw. (13.71) eingesetzt. Daraus ergibt sich durch Umformung die

13.3 Steuerverfahren der Asynchronmaschine

μ: komplexe Differentialgleichung f¨ ur den Luftspaltfluß Ψ   K K L2 dΨ L M d I 2 μ 1 K K K K  = M I − jΩ2 Ψ  + Lσ2 +Ψ + jΩ2 I1 μ 1 R2 dt R2 μ R2 dt

471

(13.125)

Durch Aufspaltung der obigen Gleichungen in Real- und Imagin¨arteil ergeben sich die g¨ ultigen Beziehungen f¨ ur die Darstellung der Asynchronmaschine im luftspaltflußorientierten Koordinatensystem:

Asynchronmaschine bei Luftspaltfluß-Orientierung

M dI1A R2 dΨμA = − Ω2 I1B MI1A − ΨμA + Lσ2 dt L2 R2 dt dI1B M R2 I1B + Lσ2 dt · Ω2 = M L2 ΨμA − Lσ2 I1A L2 3 Zp ΨμA I1B MM i = 2

(13.126)

¨ Die zweite Gleichung beschreibt dabei — analog zu den Uberlegungen bei der Rotorflußorientierung — die Steuerbedingung und legt durch ΩK = Ω2 + Zp Ωm

(13.127)

wiederum die Umlaufgeschwindigkeit des K-Systems fest, so daß ΨμB = 0 dynamisch gew¨ahrleistet ist. Die Beziehung f¨ ur das innere Moment MM i der Maschine bestimmt sich durch elementare Umformung aus: 2 1 3  ∗ I1 MM i = Zp Im Ψ 1 2 2 1 3 μ )∗ I1 Zp Im (Lσ1 I1 + Ψ (13.128) = 2 3 Zp ΨμA I1B = 2 Ein Vergleich mit den entsprechenden Gleichungen bei der Orientierung des Koordinatensystems K am Rotorfluß ergibt, daß auch bei Luftspaltflußorientierung und konstantem Fluß ΨμA das Drehmoment MM i der Maschine verz¨ogerungsfrei durch die flußsenkrechte Statorstromkomponente I1B eingestellt werden kann. Die Flußdifferentialgleichung zeigt allerdings, daß der Luftspaltfluß nicht nur von der flußparallelen Statorstromkomponente I1A , sondern auch von der

472

13 Asynchronmaschine

- M

r-

I1a I1b I1c

-

− ? - R2 -e

-e 6

L2

r

- e -Lσ2 M L2 6− ? -e

r - Iσ2 M

3

ΨμA

−

L2

I1A

AB I1B r 6

MW ?

r - 3Z p 2

- @ @

MM i − ? -e

-

1 Θ

-

Ωm

? r

- @ @

R2 LM2

6 -

-Lσ2 M

L2

?-e

r r



rΩ

2

βK



ΩK

ΩL ? e

Zp 

Abb. 13.22: Signalflußplan der Asynchronmaschine bei Orientierung des Koordina μ und Stromeinpr¨ tensystems K am Luftspaltfluß Ψ agung

flußsenkrechten Komponente I1B abh¨angig ist. Die Entkopplung, d.h. die unabh¨angige Einstellbarkeit, von Fluß und Drehmoment ist daher im Falle der Ori μ nicht mehr gegeben. Auch die Steuerbedingung, entierung des K-Systems an Ψ d.h. Ω2 , errechnet sich vergleichsweise aufwendiger gegen¨ uber der Rotorflußorientierung. Aus den abgeleiteten Gleichungen l¨aßt sich wiederum ein Signalflußplan zeichnen, welcher in Abb. 13.22 dargestellt ist. Daraus ist zu erkennen, daß im Falle vernachl¨assigter Rotorstreuung, d.h. Lσ2 = 0, der Luftspaltfluß gleich dem Roμ , und somit die Darstellung nach Abb. 13.22 in die torfluß wird, d.h. Ψ2 = Ψ Darstellung nach Abb. 13.18 u ¨bergeht. Wesentlich ist, daß im Gegensatz zur Rotorflußorientierung bei Luftspaltflußorientierung die Gr¨oßen Drehmoment und Fluß nicht voneinander unabh¨angig beeinflußbar sind. Zusammenfassung Nachdem die Signalflußpl¨ane f¨ ur die drei Steuerverfahren • Orientierung des Koordinatensystems K am Statorfluß

13.4 Regelungsverfahren der Asynchronmaschine

473

• Orientierung des Koordinatensystems K am Rotorfluß • Orientierung des Koordinatensystems K am Luftspaltfluß mathematisch abgeleitet und durch Vergleiche mit einer Gleichstromnebenschlußmaschine anschaulich gemacht wurden, sollen die wesentlichen Ergebnisse nochmals kurz zusammengefaßt werden. Generell l¨aßt sich festhalten, daß der Signalflußplan der Asynchronma2 und schine bei der Orientierung des Koordinatensystems K am Rotorfluß Ψ Statorstromeinpr¨agung am einfachsten ist. Im Vergleich dazu ist der Sig 1 und Statorspannungseinnalflußplan bei der Orientierung am Statorfluß Ψ pr¨agung wesentlich komplexer. Die anderen Varianten liegen bez¨ uglich der Komplexit¨at zwischen diesen beiden Extremen. Es erhebt sich daher durchaus die Frage, warum nicht ausschließlich die einfachste Struktur zur Regelung der Maschine verwendet wird. Die Antwort ist in erster Linie in zus¨atzlichen Randbedingungen zu sehen, die aus dem praktischen Einsatz resultieren. So l¨aßt sich prinzipiell feststellen, daß je einfacher ein Signalflußplan ist, d.h. je weniger Elemente er enth¨alt, desto gr¨oßer wird im allgemeinen der Einfluß einzelner Elemente auf das Gesamtverhalten. Bei der Umsetzung der Signalflußpl¨ane in Regelverfahren (siehe Entkopplung bzw. feldorientierte Regelung) ist jedoch h¨aufig ein geringer Einfluß einzelner Elemente, d.h. einzelner Maschinenparameter, gew¨ unscht, da manche Parameter ver¨anderlich oder unzureichend genau bekannt sind. Welche der Konfigurationen daher insgesamt am g¨ unstigsten ist, h¨angt sehr stark vom jeweiligen Anwendungsfall ab.

13.4

Regelungsverfahren der Asynchronmaschine

In diesem Kapitel werden verschiedene M¨oglichkeiten zur Regelung der Asyn¨ chronmaschine dargestellt. Aufbauend auf den Uberlegungen in den vorigen Kapiteln erfolgt die schrittweise Ableitung von unterschiedlichen Regelungsverfahren. Am Anfang wird die Regelung der Asynchronmaschine mittels Entkopplungsverfahren betrachtet. Wesentlicher Ausgangspunkt bei diesem Vorgehen ist, den Fluß nur zu steuern, das Drehmoment aber zu regeln. Durch die Vorgabe, den Fluß nur zu steuern, wird die aufwendige Sch¨atzung der Orientierung des Flusses vermieden. Die Regelung mittels Entkopplungsverfahren ist deshalb besonders einfach auszuf¨ uhren. Bei der Feldorientierung wird dagegen vorausgesetzt, daß die Orientierung und die Amplitude des betreffenden Flusses bekannt ist (Messung oder Sch¨atzung). F¨ ur beide Regelungsarten sind Modelle der Asynchronmaschine unterschiedlicher Komplexit¨at n¨otig, um meßtechnisch nicht zug¨angliche innere Signale zu sch¨atzen, bzw. die Orientierung des Koordinatensystems im Regler am jeweiligen Fluß (Feldorientierung) zu gew¨ahrleisten. Weitere neuartige Verfahren, wie z.B. die Direkte Selbstreglung, zur Regelung von Drehfeldmaschinen werden in einem

474

13 Asynchronmaschine

eigenen Abschnitt am Ende ausf¨ uhrlich behandelt. Hier beschr¨anken wir uns zun¨achst auf die Verfahren der Entkopplungsregelung und der feldorientierten Regelung von Drehfeldasynchronmaschinen. 13.4.1

Entkopplungsregelung der Asynchronmaschine

¨ Die folgenden Uberlegungen wurden den Arbeiten von Fl¨ ugel [267, 268, 269, 270] und Weninger [338] entnommen. Aus Kap. 13.2 sind das komplexe Gleichungssystem (13.64) und die komplexen Signalflußpl¨ane entsprechend Abb. 13.5 und 13.6 bekannt. Diese komplexen Signalflußpl¨ane sind die Ausgangsbasis f¨ ur die Ableitung der Entkopplungsregelungen. Wie aus den vorherigen Kapiteln bekannt ist, sind die Stator- und Rotorgr¨oßen verkoppelt und der Signalflußplan daher entsprechend komplex. Ziel der Regelungsverfahren f¨ ur die Asynchronmaschine und damit auch der Entkopplungsregelung ist, eine entkoppelte Regelung von Fluß und Drehmoment zu erhalten, d.h. ein resultierendes Verhalten wie bei einer Gleichstromnebenschlußmaschine. Wie bereits in den obigen Kapiteln mehrfach diskutiert, gibt es den Stator-, den Luftspalt- und den Rotorfluß. Weiterhin kann die Asynchronmaschine mit eingepr¨agten Statorspannungen oder eingepr¨agten Statorstr¨omen betrieben werden. Im einfachsten Fall wird von Rotorflußorientierung und eingepr¨agten Statorstr¨omen ausgegangen. In diesem Fall lautet das Steuergesetz zur Einhaltung der Bedingung Ψ2B = dΨ2B /dt = 0: I1B M · R2 (13.129) Ψ2A L2 Die Rotorkreisfrequenz Ω2 und die Stromkomponente I1B m¨ ussen somit die obige Gleichung einhalten. Aus den Ableitungen ist weiterhin bekannt, daß I1B — und damit Ω2 — das Drehmoment MM i direkt steuern. In komplexerer Weise war die Rotorkreisfrequenz Ω2 auch bei Statorflußorientierung die Steuergr¨oße f¨ ur das Drehmoment MM i . Das Entkopplungsnetzwerk EK soll nun diese Erkenntnisse nutzen, um das gew¨ unschte Ziel mit geringstem Aufwand zu erreichen. Abbildung 13.23 zeigt die Grundstruktur der Anordnung. Die Eingangsgr¨oßen des Entkopplungsnetzwerks EK sind der gew¨ahlte Fluß und die Rotorkreisfrequenz Ω2 . Wie schon oben hingewiesen, wird der Fluß Ψ nur gesteuert; die Rotorkreisfrequenz Ω2 ist aber im Drehzahlregelkreis eingebunden. Das Entkopplungsnetz werk erh¨alt diese beiden Gr¨oßen Ψ und Ω2∗ als Eingangswerte des EK, und es ist gew¨ unscht, daß die Maschinengr¨oßen direkt und entkoppelt voneinander vorgegeben werden k¨onnen. Ω2∗ bezeichnet den Sollwert des Drehzahlregelkreises und  Ψ die Steuergr¨oße f¨ ur den Fluß. Die vollst¨andige Entkopplung der Asynchronmaschine l¨aßt sich am einfach¨ sten realisieren, wenn das EK ein zur Asynchronmaschine inverses Ubertragungsverhalten aufweist. Zu beachten ist allerdings, daß das in Abb. 13.23 nicht dargestellte Stellglied (Umrichter) zwischen dem Entkopplungsnetzwerk und dem Ω2 =

13.4 Regelungsverfahren der Asynchronmaschine

 Ψ 1(2)

∗ Ωm

-e − 6

K U 1

-

Ω2∗

-

Rn

475

-

EK

K U 2

-

1(2) Ψ

ASM

Ωm

(Abb. 13.5) Ωm

-

ΩK

-

Zp r

Abb. 13.23: Prinzipielle Struktur der Entkopplung

 K ∗ elektrischen Teil der Asynchronmaschine den Statorspannungsraumzeiger U 1 fehlerfrei erzeugen muß, um die Gleichheit von Soll- und Istwert des Statorflusses sicherzustellen. Wesentlich bei der Entkopplung ist somit, daß die Drehzahl u ¨ber den Sollwert Ω2∗ mittels geschlossenem Regelkreis (Drehzahlregelkreis) geregelt wird, der Fluß  1 ) aber nur gesteuert wird. Diese dagegen (in obigem Beispiel der Statorfluß Ψ Tatsache hat die folgenden Auswirkungen auf die Eigenschaften der Entkopplungsregelung von Asynchronmaschinen. • Jeder Fehler in der Steuerung des Flusses f¨ uhrt zu Abweichungen des realen Flusses in der Asynchronmaschine. • In den Ableitungen wird zwar mit dem am Stator- oder Rotorfluß orientierten Koordinatensystem K gearbeitet; dies erfolgt aus Gr¨ unden des einfachen Verst¨andnisses. Allerdings wird weder die genaue Orientierung noch die Amplitude des jeweiligen Fluß-Istwerts ben¨otigt. Dies ist der entscheidende Unterschied zur Feldorientierung (Kap. 13.4.4), die diese Informationen ben¨otigt, da sowohl Fluß als auch Drehzahl geregelt werden. Nachdem das Grundprinzip der Entkopplung am Beispiel der Statorflußsteuerung kurz erl¨autert wurde, wird in den folgenden Abschnitten die Realisierung der Entkopplungsnetzwerke f¨ ur verschiedene Steuerverfahren und Stellglieder mit ¨ eingepr¨agter Spannung und eingepr¨agtem Strom ausgef¨ uhrt. Diese Uberlegungen bilden eine gute Basis f¨ ur das Verst¨andnis der feldorientierten Regelung von Asynchronmaschinen.

476

13.4.2

13 Asynchronmaschine

Entkopplung bei Umrichtern mit eingepr¨ agter Spannung

Aus den Systemgleichungen (13.64) l¨aßt sich durch Umformung die Beziehung

K K − M Ψ  K + dΨ1 + R1 Ψ K  K = jΩK Ψ (13.130) U 1 1 1 dt σL1 L2 2 f¨ ur den Statorspannungsraumzeiger der Asynchronmaschine ableiten. Nehmen  1 steuern, d.h. Ψ 1 = wir nun an, das Entkopplungsnetzwerk soll den Statorfluß Ψ   und hierf¨ u r als Ausgang den geeigneten Statorspannungsraumzeiger generieΨ 1 ren, so muß die Entkopplung das folgende Verhalten besitzen:

   K  1  1K  ∗ = jΩK 1K  − M Ψ 1K  + dΨ1 + R  2K  U (13.131) Ψ Ψ   dt σ L1 L2   bzw. Ψ   des Entkopplungsnetzwerkes EK sind Steuergr¨oßen Die Eingangsgr¨oße Ψ 1 2 und sind mit einem  versehen, da Steuerungen im allgemeinen fehlerbehaftet sind. Die vom Modell gesch¨atzten Gr¨oßen und Steuergr¨oßen werden dabei durch einen Strich, Sollwerte durch einen Stern gekennzeichnet. Da im Falle eines idealen Stellgliedes die Sollstatorspannung immer gleich der Iststatorspannung ist,  1K  ∗ = U  1K , kann man die Gleichungen (13.130) und (13.131) gleichsetzen. d.h. U Wenn zus¨atzlich alle Parameter der Asynchronmaschine und des Modells exakt gleich und die Anfangsbedingungen ebenso gleich — z.B. Null — sind, dann  K = Ψ  K und Ψ  K = Ψ  K sein. Der Statorm¨ ussen statisch und dynamisch Ψ 1 2 1 2  K kann somit direkt gesteuert werden. Mit dem komplexen Signalflußplan fluß Ψ 1 der Asynchronmaschine nach Abb. 13.5 ergibt sich der komplexe Signalflußplan f¨ ur die Asynchronmaschine mit vorgeschaltetem Entkopplungsnetzwerk bei gesteuertem Statorfluß und eingepr¨agter Statorspannung entsprechend Abb. 13.24. Analog zu Abb. 13.24 zeigt Abb. 13.25 den Signalflußplan, wenn anstelle des  K der Rotorfluß Ψ  K vorgegeben wird. Statorflusses Ψ 1 2 Von der prinzipiellen, komplexen Darstellung der Entkopplungsnetzwerke f¨ ur konstanten Stator- und Rotorfluß ausgehend, soll nun die Realisierung des Entkopplungsnetzwerkes abgeleitet werden. Um diese Realisierung verst¨andlich werden zu lassen, muß von der komplexen Darstellung abgegangen und zur Aufspaltung in Real- und Imagin¨aranteil u ur das Entkopp¨bergegangen werden. Es gilt f¨ lungsnetzwerk beispielsweise:

   K M  K 1 K  K  ∗ = jΩ  Ψ   K  + dΨ 1 + R U Ψ1 −  Ψ2 (13.132)  K 1 1 dt σ  L1 L2 Diese Gleichung kann nun aufgespalten werden in die Gleichungen des Real- (A) und des Imagin¨arteils (B) (Gleichungen im Zeitbereich):

   dΨ1A R1 M  ∗    U1A = − ΩK Ψ1B Ψ1A −  Ψ2A + (13.133)  dt σ  L1 L2

   dΨ R1 M  ∗    Ψ1B −  Ψ2B + 1B + ΩK Ψ1A (13.134) U1B =   dt σ L1 L2

13.4 Regelungsverfahren der Asynchronmaschine

6

6

K U 1

r

1 R1



 I1K

r6

s

6

r

r

I1K

1  σ  L1

6

HH HH H Hr

-r ?

6 -e −6

?

M L2 6 HH

s

?

−? -e −

@ @

? M L1

? e 6

? e 6

 K Ψ 2



σ L2

σL2

6

6 I2K

 I2K

1  R2

@ @



ΩK∗ -r

r

Ω1

r 

ΩL



ΩL

r

- 3 Zp

2

M σL1 L2

MW − MM -i ? e - 1

Θ

-

Ω m r-

6    -r HH HH HH

− −

? e

Entkopplungsnetzwerk

Im

∗

?

j

? @ @

Ω2 

r ΩK ?

-

6

s

r -6 -? e

   -r HH HH HH

?

6

- - - Statorstrom–Einpr¨agung

?

K Ψ 2

1 R2

6

j 6

  H H HH 

?  M  L1



?

j

Ω2∗

r  

1K Ψ

ΩK = Ω1

6

s

? e 6



 @ @

6

σL1

M  L2 6  HH  H H HH 

 

e− 6 −

- e ?

R1

j 1K  Ψ

 K∗ −- e U1 -r

−- e −6

- @ @

477

6 e− r6

Zp Ωm

r

Zp 

M aschine

Abb. 13.24: Asynchronmaschine mit vorgeschaltetem Entkopplungsnetzwerk f¨ ur gesteuerten Statorfluß Ψ1 und eingepr¨ agter Statorspannung

   ∗ | = U 2 ∗ + U 2 ∗ des Sollwerts des Statorspannungsraumzeigers Der Betrag |U 1 1A 1B entspricht der erforderlichen Amplitude der Statorspannung. Weiterhin gilt:    1 M    I1A = Ψ (13.135) − Ψ   σ  L1 1A L2 2A    1 M    I1B = Ψ (13.136) − Ψ   σ  L1 1B L2 2B 



Die fehlenden Gr¨oßen Ψ2A und Ψ2B k¨onnen aus den Systemgleichungen (13.71) mit den bekannten Gleichungen der Rotorseite bestimmt werden. Damit ergibt sich in Abb. 13.26 der Signalflußplan des Entkopplungsnetzwerks bei eingepr¨agter 1 = U   ∗ ) und bei Steuerung des Statorflusses Ψ 1 . Spannung (U 1 Im vorliegenden Fall wurden Differenzierglieder im Signalflußplan des Entkopplungsnetzwerks eingezeichnet. Diese k¨onnen als DT1 -Glieder bzw. als numerische Differentiation realisiert werden. Wie im allgemeinen Signalflußplan der Asynchronmaschine k¨onnen auch r¨ uckgekoppelte Integrierer verwendet werden.

478

13 Asynchronmaschine

 K∗ −- e U1 -r

−- e −6

- @ @ 6

6

K U 1

r

?

1 R1



R1

j

 I1K

r6

s

6

HH HH H Hr 6

r

r

I1K

1  σ  L1

6

1K  Ψ

-r ?

6 -e −6

? e 6



?

s

?

−? -e −

@ @



σ L2

σL2

6

6 I2K

 I2K

1  R2

1 R2

6

6

r -6 -? e

   -r HH HH HH @ @

K Ψ 2



ΩK∗ -r

r

Ω1

r 

Ωm



Ωm Entkopplungsnetzwerk

r

-

Im

- 3 Zp

2

M σL1 L2

MW − MM -i ? e - 1

Θ

-

Ω m r-

6

∗

6    -r HH HH HH ?

?

j

s

− −

? e

? @ @

Ω2 

r ΩK ?

- - - Statorstrom–Einpr¨agung

?

? M L1 ? e 6

j 6

  H H HH 

L1 M 6 -e −6 

?

j

Ω2∗

r 

1K Ψ

ΩK = Ω1

6

s

M L2 6 HH



 

 @ @

6

σL1

M  L2 6  HH  H H HH 

 K Ψ 2

e− 6 −

- e

6 e− r6

r

M aschine

Abb. 13.25: Asynchronmaschine mit vorgeschaltetem Entkopplungsnetzwerk f¨ ur gesteuerten Rotorfluß Ψ2 und eingepr¨ agter Statorspannung

Das Gesamt¨ ubertragungsverhalten ist immer ein Verz¨ogerungsglied 1. Ordnung. Je nach Realisierungart des Entkopplungsnetzwerks — analog oder digital — kann die eine oder andere Variante g¨ unstiger sein. Der Signalflußplan des Entkopplungsnetzwerks vereinfacht sich, sofern das 1| = Koordinatensystem K am Statorfluß orientiert wird. In diesem Fall wird |Ψ Ψ1A und Ψ1B = 0, womit sich der Signalflußplan nach Abb. 13.27 zeichnen l¨aßt. Aufgrund des verz¨ogerungsfreien Durchgriffs zum inneren Moment MM i der 2 der Asynchronmaschine Maschine ist eine Entkopplung, die den Rotorfluß Ψ konstant h¨alt, g¨ unstiger als die bereits eingef¨ uhrte Variante mit Steuerung des ¨ Statorflusses. Mit den gleichen Uberlegungen kann nun ausgehend von Abb. 13.25 das Entkopplungnetzwerk f¨ ur die Steuerung des Rotorflusses abgeleitet werden. Dieses ist in Abb. 13.28 als Signalflußplan dargestellt. Analog zur Steuerung 2 | = Ψ2A des Statorflusses kann auch eine Orientierung am Rotorfluß, d.h. |Ψ und Ψ2B = 0, vorgenommen werden, wodurch sich das Entkopplungsnetzwerk zu Abb. 13.29 vereinfacht. Die Entkopplungsnetzwerke nutzen die Vorteile des Koordinatensystems K aus. Das reale Stellglied Umrichter und die Asynchronmaschine setzen dagegen

13.4 Regelungsverfahren der Asynchronmaschine

479



U1A e− 6

e 6

 @ @

−

R1

6 e − 6

@ @ @ @

6

r @ @





Ψ1A 

Ψ1B

M L2 6 HH

- @ @

6

6

1 σ  L1

r

6

−

6

@ @ @

@ @

r



Ψ1A

Ψ1B

1 R2

6

Ω2∗

∗

6

1 σ L1

6 -e −6

M L1 

6

U

-1B

M L2 6 HH   H  H HH 

M L1

σ  L2



U1B

R1

6

 H  H  H  H

? e 6

−- e

∗

6



@

−- e

U

-1A

r

@ @ @ @

?

− ? e



Ψ2A

?  @ @

Ψ2B

@ @ @

r

r

? @ @

? - @ @

− e -?

? e 6

σ L2 6

1 R2

6

−

r ? -e 

r

ΩK



∗ ΩK-

Zp Ωm

Abb.13.26: Signalflußplan des Entkopplungsnetzwerks bei Steuerung des Statorflusses

1 Ψ

480

13 Asynchronmaschine

Abb.13.27: Signalflußplan des Entkopplungsnetzwerks bei Orientierung am Statorfluß

1 | = Ψ1A , Ψ1B = 0 |Ψ

13.4 Regelungsverfahren der Asynchronmaschine

481



U1A e− 6

e 6

−

R1 6

1 σ  L1

6 e − 6



Ψ2A 

Ψ2B

r

r

- @ @

6 @ @ @ @

6

−- e −

@ @ @

6

1 R2

6



U1B

U

∗

-1B

6

R1



6 @ @

r



Ψ1A

Ψ1B

1 σ L1

6 -e −6

M L2 6 HH   H  H HH 

 H  H  H  H

σ  L2

6

−- e

∗

6

M L2 6 HH

L1 M 6 e 6

Ω2∗

6

 @ @

U

-1A



r

@ @ @ @

?

− ? e



Ψ2A

Ψ2B

@ @ @

?  @ @

@r

? @ @ ?

r

@ @

- @ @

− e -?

L1 M 6 -e −6

σ L2 6

1 R2

6

−

r -? e 

r

ΩK



∗ ΩK-

Zp Ωm

Abb.13.28: Signalflußplan des Entkopplungsnetzwerks bei Steuerung des Rotorflusses

2 Ψ

482

13 Asynchronmaschine



U1A e− 6

e 6

−

R1 6

1 σ  L1

6 e − 6

6

r

 @ @

r

- @ @

6 @ @ @ @

6

−- e −

6

−- e

U

∗

-1A



U1B

U

∗

-1B

6

R1 6

@ @ @



6 @ @

r



Ψ1A

1 σ L1

6 -e

Ψ1B





Ψ2A

M L2 6 HH

 H  H  H  H

L1 M 6 e − 6

σ  L2 6

1 R2

6

Ω2∗

HH HH HH L1 M 6 e −6



r

?

− ? e

Ψ2A @ @ @ @

@ @ @

σ L2 6 @ @

1 R2

? - @ @

-e

6

−

r

+ -? e 

r

ΩK



∗ ΩK-

Zp Ωm

Abb.13.29: Signalflußplan des Entkopplungsnetzwerks bei Orientierung am Rotorfluß

2 | = Ψ2A , Ψ2B = 0 |Ψ

13.4 Regelungsverfahren der Asynchronmaschine

483 



∗ ∗ das Koordinatensystem S voraus, d.h. aus den Raumzeigersollgr¨oßen U1A , U1B ∗  ∗  und ΩK = ΩK m¨ ussen die Umrichteransteuersignale Amplitude |U1 | und Fre quenz Ωu∗ ermittelt werden. Die Amplitude bestimmt sich, wie bereits ausgef¨ uhrt, zu   ∗ | = U 2 ∗ + U 2 ∗ |U (13.137) 1 1A 1B 

Der Winkel γu∗



U∗ γu = arctan 1B ∗ U1A ∗

(13.138)

 K  , sofern das Ko K  ∗ und Ψ beschreibt den Winkel zwischen den Raumzeigern U 1 1(2) ordinatensystem K am jeweiligen Fluß orientiert ist. Wie aus dem Signalflußplan leicht zu erkennen ist, wird sich dieser Winkel arbeitspunktabh¨angig — insbesondere dynamisch – ¨andern, um die Verz¨ogerungen in der Asynchronmaschine zu kompensieren. Der Umrichter und die Maschine sind allerdings von der Signalverarbeitung aus gesehen in einem statorfesten Koordinatensystem zu be  ∗ mit der Kreisfrequenz Ω  ∗ und der trachten. In diesem l¨auft die Spannung U 1 u    Fluß Ψ 1(2) mit der Kreisfrequenz ΩK um. Damit besteht die folgende Beziehung 



Ωu∗ − ΩK∗ =



dγu∗ dt

(13.139) 



zwischen der erforderlichen Umrichterfrequenz Ωu∗ und der Umlauffrequenz ΩK des Koordinatensystems K. Dies bedeutet, daß im station¨aren Betrieb die Kreisfrequenzen der Spannungs- und Flußraumzeiger gleich sind. Andererseits muß  sich in dynamischen Betriebszust¨anden die Kreisfrequenz Ωu∗ des Spannungsraumzeigers gegen¨ uber dem Flußraumzeiger ¨andern, um bei gleichbleibender Kreisfrequenz des Flußraumzeigers eine Strom¨anderung zu erzielen. Dies bedeutet, daß der Umrichter die folgenden dynamischen Ansteuersignale erh¨alt. 



Ωu∗ = ΩK∗ +



dγu∗ dt

und



 ∗| |U 1

(13.140)

¨ Diese Uberlegungen liefern die Strukur einer drehzahlgeregelten Asynchronmaschine mittels Entkopplungsnetzwerk gem¨aß Abb. 13.30. Wenn wir die Reglerauslegung in Abb. 13.30 u ¨ berlegen, dann ist — wie schon mehrfach betont — nur der Drehzahlregelkreis zu optimieren. Das Ausgangssignal des Drehzahlregelkreises ist die Kreisfrequenz Ω2∗ ; es ist somit die Strecke — ausgehend von dem Sollwert Ω2∗ als Eingangsgr¨oße und der Kreisfrequenz Ωm als Istwert — zu ermitteln. Diese Fragestellung kann aus Abb. 13.24 1 | = Ψ1A und Abb. 13.25 bzw. 13.29 bei |Ψ 2| = Ψ2A beantwortet bzw. 13.27 bei |Ψ werden. In Abb. 13.24 ist zu erkennen, daß der Sollwert Ω2∗ als identischer Istwert Ω2 im Maschinenbereich ohne Verz¨ogerung erscheint (Vernachl¨assigung der Totzeit des selbstgef¨ uhrten Wechselrichters).

484

13 Asynchronmaschine ∗



Ψ1(2)

-c

∗

-

U1A






U1B∗ ∗ Ωm

- e −6

|U1 |

-

-

∗

γu

p

-

ASM 

-? e



ΩL

Ωm

-



|U1 |

EK

Ω2∗

Rn








ΩK∗



-? e

Ωu∗

Ω1

Ωm

-

UMRICHTER Zp r

Abb. 13.30: Prinzipielle Struktur der drehzahlgeregelten Asynchronmaschine bei Umrichtern mit eingepr¨ agter Spannung

¨ Der Istwert Ω2 wirkt auf ein PT1 -Glied mit der Ubertragungsfunktion (Ψ1B = 0) in Abb. 13.27 GΨ2B (s) = d.h. es gilt Ψ2B (s) =

−1 σL2 Ψ2B (s) = Ω2 (s) ∗ Ψ2A (s) R2 1 + s σL2 /R2

(13.141)

−1 σL2 Ω2 (s) ∗ Ψ2A (s) R2 1 + s σL2 /R2

(13.142)

wenn die R¨ uckkopplung von Ψ2B auf Ψ2A in der Faltung ber¨ ucksichtigt wird. Der Fluß Ψ2B wirkt dann verz¨ogerungsfrei zur Drehmomentbildung MM i (s). Es ¨ verbleibt die Ubertragungsfunktion des mechanischen Bereichs der ASM. Die Strecke von Ω2 zu Ωm ist somit wiederum die Serienschaltung einer PT1 ¨ ¨ und einer I-Ubertragungsfunkion, es gelten somit die Uberlegungen wie bei der Auslegung des Drehzahlreglers bei der Gleichstrom-Nebenschlußmaschine, d.h. es wird vorzugsweise das SO (siehe Kap. 3) verwendet. Wie bereits in [36, 37, 38] abgeleitet und aus Abb. 13.25 zu erkennen, wird 2| = Ψ2A und somit Ψ2B = 0 die Momentbildung MM i u bei |Ψ ¨ber U1B und Ψ1B ¨ ¨ erfolgen; die Ubertragungsfunktion ist wiederum eine PT1 -Ubertragungsfunktion GΨ1B (s) =

1 Ψ1B (s) −1 = Ω1K U1B (s) 1 + T1K s

−1 mit Ω1K = T1K =

σL1 R1

(13.143)

¨ mit der mechanischen Ubertragungsfunktion in Serie. Es verbleibt wiederum die SO-Auslegung des Drehzahlreglers. Wesentlich bei der Entkopplungsregelung ist, daß der Fluß (Stator oder Ro tor) nur gesteuert wird, d.h. es wird angenommen, daß der Eingangswert Ψ 1(2)  1(2) u des Entkopplungsnetzwerks und der Istwert Ψ ¨bereinstimmen. In gleicher

13.4 Regelungsverfahren der Asynchronmaschine

485

Weise wird vorausgesetzt, daß die reale Rotorkreisfrequenz Ω2 und ihr Sollwert Ω2∗ gleich sind. Diese Voraussetzungen gelten, solange die Parameter von Maschine und Modell (Entkopplungsnetzwerk) u ¨ bereinstimmen und durch die Signalverarbeitung keine zus¨atzlichen Einschr¨ankungen hervorgerufen werden. Im allgemeinen werden aber die Parameter nicht exakt gleich sein, was insbesondere f¨ ur den Rotorwiderstand R2 (thermische Erw¨armung) und die magnetische Kopplung M (Ents¨attigung bei Feldschw¨achbetrieb) der Fall ist. Die Parameterempfindlichkeit und deren Nachf¨ uhrung ist ein eigenes weites Gebiet und soll zu einem sp¨ateren Zeitpunkt vertieft werden. 13.4.3

Entkopplung bei Umrichtern mit eingepr¨ agtem Strom

Wie schon in Abb. 13.24 und 13.25 angedeutet, kann die Entkopplung auch bei Umrichtern mit eingepr¨agtem Strom eingesetzt werden. Die Abbildungen 13.31 und 13.32 zeigen sowohl f¨ ur Stator- als auch f¨ ur Rotorflußvorgabe die prinzipielle Gesamtstruktur in komplexer Darstellung. Wie aus den komplexen Signalflußpl¨anen zu erkennen ist, ist durch die Stromeinpr¨agung die Struktur des Entkopplungsnetzwerks und der ASM gegen¨ uber der Spannungseinpr¨agung vereinfacht. Besonders einfach wird die Entkopplung bei der Steuerung des Statorflusses mit Ψ1 = Ψ1A , beziehungsweise des Rotorflusses mit Ψ2 = Ψ2A . Da die Struktur der Maschine — wie schon in Kap. 13.3 kurz dargestellt — bei der Rotorflußvorgabe einfacher ist als bei Statorflußvorgabe, soll ab hier nur noch die Rotorflußvorgabe behandelt werden.  K  bei der Rotorflußvorgabe nur Aus Abb. 13.32 ist zu entnehmen, daß Ψ 1 noch eine Zwischengr¨oße ist. Der Signalflußplan kann daher wie folgt vereinfacht werden:    1  K M  K K ∗  I1 (13.144) =   Ψ1 −  Ψ2 σ L1 L2 und     K  − σL I K   K  = L1 Ψ (13.145) Ψ 1 2 2 2 M somit 

1  K L   (13.146) Ψ − 2 I2K I1K ∗ = M 2 M In gleicher Weise k¨onnen die Asynchronmaschinen-Gleichungen umgeformt werden, und es ergibt sich der komplexe Signalflußplan nach Abb. 13.33. Wie vorher muß nun von der komplexen Darstellung zur Aufspaltung in Real- und Imagin¨arteil u uhren ¨bergegangen werden, um die Realisierung durchf¨ zu k¨onnen. Außerdem ist zu beachten, daß Ψ2B = 0 gesetzt werden soll (Steuerbedingung Ψ2A Ω2 = I1B · MR2 /L2 ). Damit ergibt sich der Signalflußplan in Komponentendarstellung nach Abb. 13.34.

486

13 Asynchronmaschine

 I1K ∗

-r

r

?

1  σ  L1

 1K  Ψ

r

I1K

σL1

6 -e

? e 6

−6 

?

j

s

? @ @

Ω2∗

?

−? -e −

?  M  L1

? M L1

? e 6

? e 6





σ L2

σL2

6

6 I2K

 I2K

1  R2

1 R2

6

6

-6 r e -?

-H r HH

M L2 6 HH  H  H HH 

M  L2 6 HH  H  H HH 

r  2K  Ψ    

 1K Ψ

HH H ? @ @

r

Ω1

r

ΩL



ΩL Entkopplungsnetzwerk

r

Im

- 3 Zp

2

M σL1 L2

MW − MM -i ? e - 1

Θ

-

Ω m r-

6

∗ 6  

 2K Ψ

- r  H HH

HH H

?

?

j

s

− −

? e

? @ @

Ω2 

ΩK∗ -r

-

6 e− 6

Zp Ωm

r

Zp 

M aschine

Abb.13.31: Prinzip der Flußsteuerung (Statorfluß Ψ1 ) mit Entkopplungsnetzwerk und eingepr¨ agten Statorstrom

Beispielsweise gelten folgende Gleichungen f¨ ur das Entkopplungsnetzwerk: 4 T 1 3   ∗ 2 1 + sT Ω∗Ψ = I1A 2 − M M  2 2B 4 T 1 3    ∗ Ψ2B  1 + sT2 + 2 Ω2∗ Ψ2A = I1B M M 

Ψ2A



mit T2

(13.147)



L2 =  R2 (13.148) 

Auch aus der zweiten Gleichung l¨aßt sich die Steuerbedingung f¨ ur Ψ2B = 0 erkennen:  T ∗  I1B = Ω2∗ Ψ2A 2 (13.149) M In Abb. 13.34 ist der Vollst¨andigkeit halber noch der ausf¨ uhrliche Sig nalflußplan dargestellt. Wenn Ψ2B = 0 gesetzt wird, dann entfallen die gestri chelten Linien; wenn zus¨atzlich auch noch Ψ2A = const. ist, dann entf¨allt auch  das Differenzierglied s T2 und es bleibt ein Proportionalglied mit der Verst¨arkung 1u ¨ brig.

13.4 Regelungsverfahren der Asynchronmaschine

 I1K ∗

-r

r

I1K ?

1  σ  L1

 1K  Ψ

σL1

6 -e

? e 6

−6 

?

j

s

? @ @

Ω2∗

?

−? -e −

L1 M 6 -e −6 

HH

? e 6



σ L2

σL2

6

6 I2K

 I2K

1  R2

1 R2

6

6

?

r

Ω1

r

ΩL



ΩL

r

Im

- 3 Zp

2

M σL1 L2

MW − MM -i ? e - 1

Θ

-

Ω m r-

∗ 6  

 2K Ψ

- r  H HH

HH H

?

?

j

s

− −

? e

? @ @

Ω2 

ΩK∗ -r

-

6

-6 r e -?

HH H @ @

? M L1



r    

K Ψ 1 -H r

M L2 6 HH  H  H HH 

M  L2 6 HH  H  H HH 

 2K  Ψ

487

Entkopplungsnetzwerk

6 e− 6

Zp Ωm

r

Zp 

M aschine

Abb.13.32: Prinzip der Flußsteuerung (Rotorfluß Ψ2 ) mit Entkopplungsnetzwerk und eingepr¨ agten Statorstrom

Auf der Asynchronmaschinenseite ist noch einmal der Signalflußplan der gesamten Rotorseite gezeichnet. Auch dieser Signalflußplan vereinfacht sich wie bereits im Band Grundlagen“ dieser Reihe [36, 37, 38] besprochen. ” Zus¨atzlich ist in Abb. 13.34 noch der Einfluß des Stromregelkreises mit dem Verz¨ogerungsglied 1. Ordnung und der Zeitkonstanten Ters i ber¨ ucksichtigt. Wenn Ψ2B = 0 erzwungen wird, dann gilt der Signalflußplan wie in Abb. 13.35 dargestellt. Daraus ist die Entkopplung sehr leicht zu erkennen. Aus Abb. 13.35 ist die Streckenstruktur f¨ ur den Drehzahlregler zu entnehmen, es ist angen¨ahert ¨ die PT1 -Ubertragungsfunktion Gwi (s) =

1 1 + Ters i s

(13.150)

¨ und in Serie die Ubertragungsfunktion der Momentbildung und des mechanischen Teils der ASM  3 M 1  GS1 (s) = Zp (13.151) 2 L2 Θs Ψ2A =const. Es verbleibt somit die SO-Optimierung des Drehzahlreglers. Nun kann — wie im Kap. 13.4.2 mit der Realisierung der Entkopplung f¨ ur Umrichter mit eingepr¨agter Spannung — f¨ ur die Umrichter mit eingepr¨agtem

488

13 Asynchronmaschine  I1K ∗

-r

r

I1K

-r

? ?

1 M

-

@ @

Im

- 3 Zp

2

M σL1 L2

MW − MM -i ? e - 1

Θ

-

Ω m r-

6

M

∗

6

6

 2K  Ψ

r    ?

j

? @ @

Ω2∗

?

s

−? -e −

? e 6

-e

−6 



σ L2

σL2

6

6 I2K

 I2K

1  R2

 2K Ψ

 

 -r HH H ?

?

j

s

1 R2

6

HH H

− −

6

? e

-6 r

? @ @

Ω2

e -?

∗

ΩK -r

r

Ω1

r

ΩL



ΩL

r

Entkopplungsnetzwerk

6

Zp Ωm

e− 6

r

Zp 

M aschine

Abb.13.33: Komplexer Signalflußplan f¨ ur Entkopplungsnetzwerk und ASM bei Rotorflußsteuerung





Strom nur der Betrag des Stroms | I1 ∗ |, die Kreisfrequenz ΩK∗ und ein dynami scher Verstellwinkel γi ∗ vorgegeben werden. Wiederum muß realisiert werden:  2 ∗ 2 ∗ | I1∗ | = I1A + I1B (13.152) 



γi ∗ = arctan

∗ I1B ∗ I1A

(13.153)

Das heißt, es muß in gleicher Weise von kartesischen in Polar-Koordinaten umgewandelt werden. Damit ergibt sich endg¨ ultig der Signalflußplan in Abb. 13.36. Wie bei der Steuerung des Stator- bzw. des Rotorflusses bei Umrichtern mit eingepr¨agter Spannung, wird ebenso beim Umrichter mit eingepr¨agtem Strom   der Winkel γi ∗ bzw. die Ableitung des Winkels dγi∗ /dt verwendet, um eine dynamische Vorsteuerung des Statorstroms zu erzielen. Der Winkel γi ist definiert  K im mit ΩK rotierenden Koals Winkel zwischen den Raumzeigern I1K und Ψ 2  ordinatensystem. Der Flußraumzeiger Ψ2 = Ψ2A ist in die reelle Achse gelegt. Im statorfesten Koordinatensystem des Umrichters bzw. der Maschine l¨auft aber 2 mit der Kreisder Raumzeiger I1∗ mit der Kreisfrequenz Ωi∗ , der Raumzeiger Ψ frequenz ΩK um. Damit gilt die Beziehung: 



(Ωi ∗ − ΩK∗ ) =



dγi∗ dt

(13.154)

13.4 Regelungsverfahren der Asynchronmaschine

489

MW MM i- e?−

3 M Zp 2 L2

-

-

1 Θ

Ω r m-

-

1 1+sTers i

− -e

- @ @

-

6

6





∗ I1A r I1A -

1 M

I1A r

r

- M

- e ?



6

r

r r- T  2



Ψ2A

Q  Q   Q Q Q Q r

r

6

1 1+sT2

1 + sT2

Ω2∗

 @ @

?

?

6

6

Ψ2A  Q  Q Q Q  Q

− - e @ @ @ @





Ψ2B = 0

Ψ2B

Ω2 T2 

r

r

? 

1 + sT2 ? - @ @

? -e

1 1+sT2

1 1+sTers i 



∗ I1B r I1B -

1 M

6

I1B r

r

− - e

- M

?  @ @

1 1+sTers i 

∗ r ΩK-

-e 6

r

Ω1

-e − 6

r

ΩL

r



r ΩL

Zp

ΩL

Abb. 13.34: Signalflußplan von Entkopplungsnetzwerk und ASM bei Rotorflußsteuerung



Ψ2A r - 1 M



1



∗ I1A I1A -

-

1

T2

I1A-

r

-

M

1

Ters i

Ψ2A -

T2 MW

Ω2∗

? r - @ @

-

T2 M



∗

1 -e 6

- @ @

Ters i

∗

Ω1

ΩK ΩK1

EK

I1B- M L2

I1B I1B-



?

Ters i

Umrichter

-e −6 r

-

− 3 1 ? Zp - e 2 Θ MM i

-

Ωm

Ω-2 ΩL

Zp

ASM

Abb. 13.35: Signalflußplan von Entkopplungsnetzwerk und Asynchronmaschine bei Rotorflußorientierung und eingepr¨ agten Statorstr¨ omen

490

13 Asynchronmaschine 

Ψ1(2)

-

∗

I1A 

∗ Ωm

- e −6

Ω2∗

Rn

∗ I1B

-



γi ∗

- -

ΩK

EK

-

|I1 |

-

1 1+sTers i

ASM

∗

e -?

Zp



  -   p 

Ωm ΩL 



∗   |I1 | 

c

-

1 1+sTers i ∗ Ω ? i

-e -

Ω1

-

Ωm

UMRICHTER

r

Abb.13.36: Steuerung des Statorstroms nach Betrag und Phasenlage beim Umrichter mit eingepr¨agtem Strom

    Es verbleiben somit die Ansteuergr¨oßen |I1 ∗ | und Ωi ∗ = ΩK∗ + dγi∗ /dt. Da zwischen Soll- und Istwert des Stromes eine Zeitverz¨ogerung Ters i durch die Stromregelung nicht zu vermeiden ist, muß in den Vorsteuerkanal ebenso eine Zeitverz¨ogerung Ters i eingef¨ ugt werden. Die Regelung kann auch um den Feldschw¨achbereich erweitert werden. Eine der m¨oglichen L¨osungen zeigt Abb. 13.37. In dieser Abbildung wird der Fluß gesteuert im Feldschw¨achbereich reduziert. Diese L¨osung ist immer dann unkritisch, wenn die Statornennspannung um einige Prozent u ¨ berschritten werden kann und der Umrichter diese geringf¨ ugige Spannung liefern kann. Eine Adaption der Kreisverst¨arkung des Drehzahlreglers ist — wie bei der Gleichstrommaschine — notwendig. Zu beachten ist, daß bei dem hier vorgestellten Verfahren der Entkopplung bei Umrichtern mit eingepr¨agtem Strom die Parameterempfindlichkeit relativ groß ¨ ist gegen¨ uber Anderungen des Rotorwiderstandes R2 und einer fehlerbehafteten Drehzahlmessung. Es ist somit bei diesem Verfahren eine on-line Identifikation des Parameters R2 notwendig oder es m¨ ussen L¨osungen gefunden werden, die weniger parameterempfindlich sind. Dies soll in einem sp¨ateren Kapitel ausf¨ uhrlich dargestellt werden. Eine einfache L¨osung zeigt Abb. 13.38. Zusammenfassend l¨aßt sich feststellen, daß die Entkopplungsverfahren einfache und preisg¨ unstige Verfahren sind, um der ASM ein Regelverhalten wie bei der Gleichstromnebenschlußmaschine zu geben.

13.4 Regelungsverfahren der Asynchronmaschine ∗ |>Ω ) (|Ωm N

Ψ1(2)N ∗ | |Ωm

∗



-

|I1 |

Ψ1(2)



-

-

-

r

- e −6

-



γi ∗

1 1+sTers n ∗ Ωm

491

Ω2∗

-

Rn

-

1 1+sTers i

- -

ASM





|U1 |

-

EK

Ωm

ΩK∗

-

ΩL

|I1 |



-

Ω∗ ?i

1 1+sTers i

-e -

Ω1

Ωm

-

UMRICHTER

Zp r

Abb. 13.37: Feldschw¨ achung mit Flußvorgabe in Abh¨ angigkeit vom Drehzahlsollwert 1 s 

− e 6

∗

|U1 |

1  R2

|U1 |

∗



Ψ1(2)

|I1 |

-

-

-



γi ∗ ∗ Ωm

- e −6

Ω2∗

EK

|I1 |

-

1 1+sTers i

- -

ASM

-

Rn

Ωm

∗



-

ΩL Zp

ΩK

∗

-

1 1+sTers i

Ωi

?-e

Ω1

-

Ωm

UMRICHTER

r

Abb.13.38: Drehzahlregelkreis mit Anpaßschaltung f¨ ur den Rotorwiderstandswert R2∗

13.4.4

Feldorientierte Regelung der Asynchronmaschine

Wie bereits in Kap. 13.4.1 erl¨autert, soll durch die Regelung der Asynchronmaschine der Fluß und das Drehmoment unabh¨angig voneinander einstellbar sein.

492

13 Asynchronmaschine

Im Gegensatz zur Entkopplung, die in den vorherigen Kapiteln dargestellt wurde, werden bei der feldorientierten Regelung sowohl der Fluß als auch das Drehmoment geregelt. Dies bedeutet, daß einerseits die Amplitude und die Orientierung der Flusses sowie andererseits die bestimmende Gr¨oße f¨ ur das Drehmoment als Istwerte verf¨ ugbar sein m¨ ussen. Wenn damit insbesondere der Fluß (Stator-, ¨ Rotor- oder Luftspaltfluß) als Istwert vorliegt, dann k¨onnen die Uberlegungen von Kap. 13.4.2 genutzt werden, um gezielt Vereinfachungen des Signalflußplans der Asynchronmaschine zu erreichen und damit auch eine entsprechende Vereinfachung der Regelung.

b B

I1 b

I1 I1 B

WK = |Y2|=Y2 A

Y2b

bS

gi

I1a

A

db K dt

I1A bK Y2 a

a

2 im statorfesten Abb. 13.39: Statorstromzeiger I 1 und Rotorflußzeiger Ψ α-β-Koordinatensystem und im rotorflußfesten A-B-Koordinatensystem

Wie bereits in Kap. 13.4.2 und in [36, 37, 38] ausf¨ uhrlich dargestellt, wird  K, durch die Orientierung des Koordinatensystems K an einem der Fl¨ usse, z.B. Ψ 2 K  ˆ Ψ2 und damit Ψ2B = 0 (siehe Abb. 13.39). Somit ergibt sich der Realteil Ψ2A = eine erste Vereinfachung des Signalflußplans, da der Teil des Signalflußplans, der mit Ψ2B verkn¨ upft ist, entf¨allt. Wenn zus¨atzlich außerdem StatorstromEinpr¨agung gew¨ahlt wird, dann vereinfacht sich der Signalflußplan des Statorkreises in beschriebener Art. Die Kombination beider Bedingungen f¨ uhrte zu dem besonders einfachen Signalflußplan in Abb. 13.17 (Kap. 13.3.2), bei der die Statorstrom-Komponente I1A den Fluß Ψ2A und die Statorstrom-Komponente I1B das Drehmoment MM i bestimmte. Dieser besonders einfache Signalflußplan soll in den folgenden Darstellungen aus didaktischen Gr¨ unden verwendet werden. Selbstverst¨andlich sind in analoger Weise die Verfahren bei Speisung mit eingepr¨agter Spannung oder Stator- bzw. Luftspaltfluß-Orientierung anwendbar.

13.4 Regelungsverfahren der Asynchronmaschine

493

In Abb. 13.39 werden die f¨ ur die praktische Realisierung der feldorientierten Regelung notwendigen Zusammenh¨ange des Statorstroms im K- und S-System im Zeigerdiagramm dargestellt. Es ist zu erkennen, daß einerseits |I1K | = tan γi =

2 2 I1A + I1B

I1B I1A

(13.155) (13.156)

und andererseits |I1S | =



2 2 I1α + I1β = |I1K |

βS = γi + βK

βS : ∠(I1 , α), βK : ∠(A, α)

(13.157) (13.158)

sind. Diese Aussagen bedeuten, daß in den realen dreiphasigen Statorwicklungen die Statorstr¨ome I1a , I1b und I1c fließen, diese drei Str¨ome im statorfesten Koordinatensystem S durch die Str¨ome I1α und I1β ersetzt werden k¨onnen und sich somit die Gleichungen (13.157) und (13.158) ergeben. Die drei Statorstr¨ome I1a , I1b und I1c k¨onnen aber auch in das Koordinatensystem K transformiert werden und ergeben die Gleichungen (13.155) und (13.156). Diese Grundsatz¨ uberlegungen wurden bereits auch im Kapitel Entkopplung“ diskutiert, nur liegt ” jetzt die besondere Situation vor, daß die Orientierung des Flusses — hier von Ψ2 =Ψ ˆ 2A — bekannt ist. Damit ist auch der Winkel βK bekannt und die Umrechnung der Stromkomponenten — und aller anderen Signale — m¨oglich. Dies hatte in Kap. 13.3.2 bereits zu Abb. 13.18 gef¨ uhrt. Wesentlich war bei dieser Ableitung, daß in der Realit¨at nur die drei realen Statorwicklungen vorhanden sind, die mit den drei Stellgliedstr¨omen I1a , I1b und I1c gespeist werden. Dies bedeutet, das leistungselektronische Stellglied und die zugeh¨orige Statorstromregelung des Stellglieds m¨ ussen die Istwerte I1a , I1b und I1c zur Verf¨ ugung stellen. Das bedeutet letztendlich, sowohl das Stellglied als auch die Asynchronmaschine sind in der Realit¨at als Dreiphasen-Systeme aufgebaut und m¨ ussen deshalb eine entsprechende Signalverarbeitung aufweisen. Dies f¨ uhrt ¨ zu Abb. 13.40, in der diese Uberlegungen dargestellt sind. Wenn wir annehmen, daß das Teilsystem leistungselektronisches Stellglied ” und Dreiphasen-Statorwicklungen“ eine ideale Stromregelung hat, dann sind die ∗ ∗ ∗ Sollwerte gleich den Istwerten, d.h. I1a = I1a , I1b = I1b , I1c = I1c . Wenn — wie oben vorausgesetzt — der Winkel βK zwischen den Koordinatensystemen S und K bekannt ist, dann kann eine fehlerfreie Koordinatentransformation vom K-System zum S-System und umgekehrt erfolgen; damit sind ∗ die Sollwerte und die Istwerte im K-System ebenso gleich, d.h. I1A = I1A und ∗ I1B = I1B .

494

13 Asynchronmaschine

Abb. 13.40: Kernst¨ uck der feldorientierten Regelung bei Rotorflußorientierung

¨ Mit diesen Uberlegungen ist die prinzipielle Schwierigkeit bei der feldorientierten Regelung der Asynchronmaschine herausgearbeitet. Einerseits werden ¨ wir im flußorientierten Koordinatensystem K regelungstechnische Uberlegungen zum Verst¨andnis der Asynchronmaschine durchf¨ uhren (Kap. 13.3.2) und darauf aufbauend in diesem Kapitel die entsprechenden Steuer- bzw. Regelverfahren entwickeln. Andererseits muß die reale Spannungs- oder Stromeinpr¨agung im Dreiphasen-System erfolgen. Dies f¨ uhrt zur Grundstuktur von Abb. 13.40 und Abb. 13.41. Der prinzipielle Grundgedanke der entkoppelten Regelung von Fluß und Ankerstrom (Drehmoment) f¨ ur die Gleichstromnebenschlußmaschine ist damit auf die Asynchronmaschine u ¨bertragen. In den obigen Ausf¨ uhrungen waren ideale Stromregelungen angenommen worden, dies ist in der Realit¨at nicht immer gegeben. Um diesem idealen Verhalten ¨ soweit wie m¨oglich nahe zu kommen, sind prinzipiell die gleichen Uberlegungen wie bei der Regelung der Gleichstromnebenschlußmaschine notwendig. Wie die EMK bei der Gleichstromnebenschlußmaschine wirkt erstens die induzierte Spannung an der Gegeninduktivit¨at M sowie die R¨ uckkopplungen des Rotorkreises als St¨orgr¨oßen und die zus¨atzlichen Signalpfade erh¨ohen die Streckenordnung. Eine entsprechende St¨orgr¨oßen-Aufschaltung zur Kompensation ist daher sinnvoll (siehe Kap. 15). Ebenso wie bei der Gleichstromnebenschlußmaschine gibt es die Unterschiede zwischen nichtl¨ uckendem und l¨ uckendem Strom; auch in diesem Fall m¨ ussen entsprechende Gegenmaßnahmen unternommen werden.

13.4 Regelungsverfahren der Asynchronmaschine

495

Drehstromnetz r

 AB   3

Block 2 | Ψ2A = |Ψ ∗ Ψ2A

-? e− -

∗ Ωm

-e − 6

RΨ

Rn





 ∗ I1α

∗ I1A -

-

VD

∗ I1B

-

Umrichter mit

∗ I1β

+ 6

Ωm



-

Statorstromregelung

6

cos βK sin βK beispielsweise   | cos βK sin βK |Ψ 2

6

6

6

6

6

6

Messung

Modell

'$  rASM T



&%

μ | cos βK sin βK |Ψ

oder

z.B. Hallsonden, Messwicklung







6 1 Statorspannung U Statorstrom I1 Drehzahl Ωm Drehwinkel βL

Abb. 13.41: Vereinfachte Struktur einer feldorientierten Drehzahl- und Flußregelung mit Umrichter mit unterlagerter Statorstromregelung (gestrichene Gr¨ oßen k¨onnen fehlerbehaftet sein)

496

13 Asynchronmaschine

Wenn die obigen Anmerkungen f¨ ur die Stromregelungen in Abb. 13.40 ber¨ ucksichtigt werden, dann k¨onnen die geschlossenen Stromregelkreise f¨ ur I1A und I1B ¨ als PT1 -Ubertragungsfunktion Gwi (s) =

1 1 + Ters i s

(13.159)

approximiert werden (siehe auch Kap. 13.4.3). ¨ Im flußbildenden Kanal folgt in Serie die Ubertragungsfunktion GΨ2A (s) =

M 1 + T2 s

mit T2 =

L2 R2

(13.160)

¨ d.h. der Flußregler in Abb. 13.41 hat als Strecke zwei PT1 -Ubertragungsfunktionen, und es kann somit das BO (Kap. 3) verwendet werden. Im momentbildenden Kanal folgt die proportionale Momentbildung VS = 32 Zp LM2 und die Integration 1 mit Θs des mechanischen Teils der ASM (Annahme: Ψ2A = const.), d.h. der Drehzahlregler in Abb. 13.41 kann mittels des SO (Kap. 3) ausgelegt werden. In Abb. 13.40 wurde vorausgesetzt, daß der Flußwinkel βK des Rotorflusses 2A mittels der bekannten Steuerbedingung in Abb. 13.40 und der DrehzahlmesΨ sung fehlerfrei zu ermitteln ist. Das ist aber im allgemeinen nicht gegeben, da beispielsweise der Parameter R2 temperaturabh¨angig ist und somit eventuell nicht genau bekannt ist. In gleicher Weise ist das Verh¨altnis LM2 bei Feldschw¨achung nicht konstant. Aufgrund dieser Problematik werden im allgemeinen komplexe Maschinenmodelle (siehe Kap. 13.5 — Modellbildung der Asynchronmaschine) oder Identifikationsmethoden (Kap. 13.6) eingesetzt. Eine andere Variante ist, den Luftspaltfluß Ψμ zu messen. Beide Varianten sind in Abb. 13.41 dargestellt. Abbildung 13.41 zeigt, wie ¨ aufbauend auf den Uberlegungen zu Abb. 13.40, die Realisierung der Vorgabe der dreiphasigen Statorstrom-Sollwerte erfolgt. Wie bereits mehrfach dargestellt, ∗ ist der flußbildende Sollwert I1A das Ausgangssignal des Flußreglers RΨ mit den ∗ Eingangsgr¨oßen, beispielsweise dem Flußsollwert Ψ2A und dem Flußistwert Ψ2A . ∗ In gleicher Weise ist der momentbildende Sollwert I1B das Ausgangssignal des ∗ ∗ Drehzahlreglers Rn . Die beiden Sollwerte I1A und I1B k¨onnen nun mit dem Vektordreher VD + (Abb. 13.42) vom Koordinatensystem K in das Koordinaten∗ ∗ system S mit den Sollwerten I1α und I1β transformiert und anschließend in die ∗ ∗ ∗ dreiphasigen Sollwerte I1a , I1b und I1c gewandelt werden. Diese Sollwerte werden dann mittels der Umrichter-Stromregelung in die entsprechenden Statorstrom-Istwerte umgesetzt. Damit hat sich der Kreis von Abb. 13.40 zu Abb. 13.41 geschlossen. (Zu beachten ist, daß eine dreiphasige Stromregelung, wie in Abb. 13.40 und Abb. 13.41 dargestellt, in der Realit¨at im allgemeinen nicht erfolgen sollte – siehe Kap. 15 — dies erfolgte hier nur aus didaktischen Gr¨ unden.) In Abb. 13.40 war angenommen worden, daß der Winkel βK aus der Steuerbedingung bestimmbar ist. In Abb. 13.41 sind — wie schon oben besprochen — die zwei Varianten zur Bestimmung der beiden Gr¨oßen βK und Ψ dargestellt.

13.4 Regelungsverfahren der Asynchronmaschine

∗ I1A

e

r

- @ @ 6

r

-e −6

- @ @

-

6 r

? ∗ I1B

e

r

- @ @

∗ I1β

-? e

∗ I1a

∗ I1α - 1 r

-

?

1 2 √

3 2

e

∗ −- e I1b e

r



@

@

r

497

@ − @ Re -

−

∗ I1c

e

- @ @

a)

cos βK e

esin βK

∗ e I1A

AB

∗ e I1B







b)









3

eI ∗

1a

eI ∗

1b

eI ∗

1c

6 6

cos βK e esin βK

Abb. 13.42: Koordinatentransformation der Stromsollwerte vom Koordinatensystem K in die realen Dreiphasen-Sollwerte

Die erste und heute allgemein verwendete Variante ist die Ermittlung der beiden Gr¨oßen aus leicht meßbaren Gr¨oßen, wie den Statorspannungen und/oder den Statorstr¨omen.  Die Ausgangsgr¨oßen sind dann die aus dem Modell ermittelten Gr¨oßen βK  und beispielsweise |Ψ |. Die Ausgangsgr¨oßen sind mit einem Strich versehen, da sie gesch¨atzt sind und damit fehlerbehaftet sein k¨onnen. Diese Variante der feldorientierten Regelung wird indirekte Regelung genannt. Wenn stattdessen die Orientierung βK und der Betrag des Luftspaltflusses μ | gemessen wird, dann wird diese Variante direkte Regelung genannt. In |Ψ Abb. 13.41 wurde angenommen, daß die Messung fehlerfrei sei. Damit sind die f¨ ur die feldorientierte Regelung notwendigen Gr¨oßen Orientierung βK und der jeweilige Fluß — hier aus didaktischen Gr¨ unden vorzugsweise Ψ2A — bekannt ¨ und die vorhergehenden Uberlegungen zu Abb. 13.40 und Abb. 13.41 sind damit durchf¨ uhrbar. Zu beachten ist, daß sich der Statorstrom der Asynchronmaschine bestimmt 2 2 zu I1 = I1α + I1β und damit dem Umrichterstrom ¨aquivalent ist. Dieser ist ∗ ∗ nicht beliebig einstellbar, so daß bei der Vorgabe der Str¨ome I1A und I1B Begrenzungen vorzusehen sind, welche in Abb. 13.40 und Abb. 13.41 nicht ge∗ zeichnet wurden. Die Stromkomponente I1A muß so begrenzt werden, daß der  2N , 2 = Ψ Maximalwert dem fiktiven Nenn-Erregerstrom, d.h. dem Nennfluß Ψ

498

13 Asynchronmaschine

∗ der Asynchronmaschine entspricht. F¨ ur I1B verbleibt die Differenz zwischen dem Maximalwert und dem Nenn-Erregerstrom, sofern die Maschine im Ankerstellbereich, d.h. mit Nennfluß betrieben wird. Es besteht nun noch die Frage, wie ein Feldschw¨achbetrieb zu erzielen ist. Wie bereits mehrfach ausgef¨ uhrt wurde, ist in diesem Fall in Abb. 13.41 der Fluß∗ Sollwert Ψ2A abzusenken, eine prinzipielle L¨osung zeigt Abb. 13.43, f¨ ur genauere Informationen wird auf Kap. 13.8 verwiesen.

Ψ2A -

∗ Ωm

r

∗ Ψ2A



−

? -e RΨ

- e - Rn −6

∗ I1A

-

∗ I1B

-

Ωm

Abb. 13.43: Feldschw¨achung

Es besteht auch die M¨oglichkeit dem Umrichter die Sollwerte in Polarkoordinaten, d.h. als Amplitude |I1∗ | und aktuelle Winkelgeschwindigkeit Ωi∗ , vorzugeben. Der Betrag des Sollstromes errechnet sich dann zu 2∗ 2∗ |I1∗ | = I1A + I1B (13.161) Die erforderliche Ansteuerfrequenz Ωi∗ = Ω1 +

dγi∗ dγ ∗ = Ω2 + ΩL + i dt dt

(13.162)

∗ I1B ∗ I1A

(13.163)

mit γi∗ = arctan

¨ erh¨alt man analog zu den Uberlegungen zu den Entkopplungsverfahren. An dieser Stelle soll nochmals auf die Unterschiede im station¨aren und dynamischen Betriebszustand hingewiesen werden. Im station¨aren Betriebszustand ist die Umrichter-Sollfrequenz Ωi∗ gleich der aktuellen Umlaufgeschwindigkeit des K-Systems Ω1 , d.h. Ωi∗ = Ω1 oder mit anderen Worten, die Statorfrequenz Ωi∗ ist gleich der aktuellen Umlaufgeschwindigkeit des K-Systems. Durch den Term dγi∗ /dt wird im dynamischen Betriebszustand eine Frequenz¨anderung und damit ¨ eine Anderung der Phasenlage des Stromsollwerts gegen¨ uber dem Fluß (der mit

13.4 Regelungsverfahren der Asynchronmaschine

499

ΩK rotiert) in der Art erzwungen, daß kein transienter Ausgleichsvorgang durch eine falsche Phasenlage auftritt. Das bedeutet, daß der Term dγi∗ /dt eine dynamisch richtige Vorsteuerung des Stromsollwerts gegen¨ uber dem aktuellen Fluß in der Maschine bewirkt (siehe auch Diskussion in Kap. 13.2.2).

Ψ2∗ - e

6 −

∗ Ωm -e

Ωm

6 −

|I1∗ |

∗ I1A

- kart.





∗ I1B
r -
pol.


Ψ2 -Reg.

n-Reg.

-

Umγi∗

-e 6

-

k 6 ?



2 | |Ψ

Ω2

Ωi∗

-

richter

Ω1

-e 6

ΩL

Zp

Flußmodell 6

6

Spannung, Strom

Ωm

Drehzahl, Drehwinkel Abb. 13.44: Prinzipielles Regelschema bei einem Umrichter mit Ansteuerung in Polarkoordinaten

In Abb. 13.44 wird Ω2 nach dem Steuergesetz bei Rotorflußorientierung aus Kap. 13.3.2 berechnet. ∗ Ω2 = I1B

MR2 ∗ = I1B ·k Ψ2A L2

(13.164)

Hierbei wird vorausgesetzt, daß der Strom I1B durch die Stromregelung und das Stellglied station¨ar und dynamisch exakt erzeugt wird. Diese Vorgehensweise ist damit ein Kompromiß zwischen feldorientierter Regelung und Entkopplung. Die Maschinendrehzahl ΩL = Zp Ωm steht als Meßgr¨oße zur Verf¨ ugung. Bei der Verwendung von Impulsgebern ist insbesondere die Messung kleiner Drehzahlen sehr schwierig, da der Impulsgeber in diesem Fall nur eine niedrige Zahl von Impulsen pro Zeiteinheit liefern kann. Dies bedeutet, daß einerseits eine erste Impulsfolge vom Impulsgeber und eine zweite Impulsfolge von Ω2 (Regelung) geliefert wird. Bei der Addition beider Pulsfolgen entsteht eine ungleichm¨aßige Pulsfolge, d.h. die Abst¨ande der Impulse sind nicht ¨aquidistant. Dies ist besonders bei kleinen Drehzahlen signifikant und kann zu unerw¨ unschten Frequenz¨anderungen des Umrichters f¨ uhren. Diesem Effekt kann man durch eine ausreichend hohe Pulsfrequenz der Impulsgeber, z.B. sin/cos-Geber, entgegenwirken.

500

13 Asynchronmaschine

Zusammenfassung Die feldorientierte Regelung von Asynchronmaschinen besitzt zusammenfassend folgende Eigenschaften: • Es gibt sowohl f¨ ur die Drehzahl als auch f¨ ur den Rotorfluß einen geschlossenen Regelkreis. μ| und βμ oder eine Sch¨atzung von |Ψ   |, β  • Es ist eine Messung von |Ψ K erforderlich. Im allgemeinen werden Modelle oder Beobachterstrukturen verwendet, um aufwendige konstruktive Eingriffe in der Asynchronmaschine zu vermeiden. F¨ ur die Modellbildung bzw. die Beobachter ergeben sich — je nach Aufl¨osung der Spannungs- und Verkettungsgleichung — eine große Zahl von Variationen zur Ermittlung der notwendigen Gr¨oßen. Wesentlich bei den Modellen bzw. Beobachtern ist, daß die Parameter der Modelle bzw. Beobachter sich von den realen Parametern unterscheiden k¨onnen, so daß die Sch¨atzwerte zum Teil fehlerbehaftet sind. Verschiedene Arten von Modellen und ihre wesentlichen Eigenschaften werden in dem folgenden Kapitel ausf¨ uhrlich vorgestellt.

13.5

Modellbildung der Asynchronmaschine

Die Realisierung der feldorientierten Regelung von Asynchronmaschinen in Kap. 13.4.4 erforderte eine genaue Kenntnis der Lage und Amplitude des Flusses,  2 , an dem sich die Regelung, d.h. das in diesem speziellen Fall des Rotorflusses Ψ Koordinatensystem K, orientieren soll. Da sich der Fluß im allgemeinen meßtechnisch nicht oder nur mit erheblichen Aufwand bestimmen l¨aßt, werden im folgenden Modelle vorgestellt, die eine Rekonstruktion von Flußamplitude und Flußwinkel aus meßtechnisch zug¨anglichen Gr¨oßen erlauben. Diese Modelle zur 2| = Ψ2A und der aktuellen Lage βK des RotorBestimmung der Amplitude |Ψ flusses in der Maschine unterscheiden sich bez¨ uglich Aufwand, Genauigkeit und Parameterempfindlichkeit zum Teil erheblich. Die gezeigten Untersuchungen zur Parameterempfindlichkeit basieren auf der Arbeit [341]. 13.5.1

I1 -Modell (Strommodell)

Zu Beginn steht ein sehr einfaches Modell zur Flußsch¨atzung, das so bezeichnete Strommodell. In Abb. 13.45 ist der Einbau des Strommodells in die feldorientierte Regelung dargestellt. Dieses hat die Aufgabe, aus den Statorstr¨omen der  Asynchronmaschine den aktuellen Rotorfluß Ψ2A und die aktuelle Rotorfrequenz  Ω2 zu bestimmen. Dadurch steht dem Flußregler RΨ der aktuelle Istfluß zur Verf¨ ugung, und es kann u ¨ber die bekannte Beziehung 



ΩK = Ω2 + Zp Ωm

13.5 Modellbildung der Asynchronmaschine

501

mit Hilfe der mechanischen Winkelgeschwindigkeit die aktuelle Umlaufgeschwindigkeit des am Rotorfluß orientierten Koordinatensystems bestimmt werden. Durch Integration ergibt sich die aktuelle Lage des Flußraumzeigers, welche sowohl f¨ ur die Koordinatentransformation vom flußfesten in das statorfeste System VD + (Sollwertkanal) und vom statorfesten in das flußfeste System VD - (Istwertkanal) ben¨otigt wird. Drehstromnetz

r

     



Ψ2A ∗ Ψ2A − e -?

-

∗ Ωm -e − 6

-

Umrichter 

∗ I1A

RΨ



-

VD + -

∗

I1B

Rn

Ωm

∗ I1α

6

6

-

∗

I1β

mit Statorstromregelung



sin βK -

r

sin cos

r



     

cos βK 



βK

I

Ψ2A 



1A 

ΩK eΩ2  6 ΩL

Modell





I1B

?

? I1α 

VD −  I1β

I I 1b I 3Ph 1c

1a

2Ph

}

Zp r



T



r


'$

ASM &%

Abb. 13.45: Prinzipdarstellung der feldorientierten Regelung der Asynchronmaschine mit Strommodell (gestrichene Gr¨ oßen k¨ onnen fehlerbehaftet sein)

Je nach eingesetztem Umrichtertyp k¨onnen die beiden Stromsollwertkompo∗  nenten I1α und I1β∗ im statorfesten Koordinatensystem S in ein Polarkoordinatensystem (Ansteuersignale |I1∗ | und Ωi∗ ), wie es bei den Entkopplungsverfahren ∗ ∗ dargestellt wurde, oder in ein Dreiphasen-System (Ansteuersignale I1a , I1b und ∗ I1c ) transformiert werden, wie es im vorliegenden Fall nach Abb. 13.45 geschieht. Die Koordinatentransformation vom rotorflußfesten Koordinatensystem in das Dreiphasen-System ist in Abb. 13.42 f¨ ur den Sollwertkanal dargestellt. Hierin ∗  sind auch die Zwischengr¨oßen I1α und I1β∗ im statorfesten Koordinatensystem

502

13 Asynchronmaschine

zu erkennen. Die Umkehrung dieser Transformation f¨ ur die Umwandlung der   Dreiphasen-Str¨ome I1a , I1b und I1c in das rotorflußfeste K-System I1A und I1B geschieht analog zu Abb. 13.9. Mit diesen beiden Strom-Istwertkomponenten  werden nun mit dem Strommodell nach Abb. 13.46 der Fluß Ψ2A und die Rotor kreisfrequenz Ω2 der Asynchronmaschine gesch¨atzt. Der Aufbau des Strommodells ist sehr einfach, wenn man die im Falle der Rotorflußorientierung g¨ ultigen Beziehungen (13.114) anwendet. Daraus ergeben sich unmittelbar die Zusammenh¨ange 





M R2 I1B ·   L2 Ψ2A



Ω2 =

(13.165)

   dΨ2A R2     M I − Ψ =  1A 2A dt L2

(13.166)

welche in Abb. 13.46 als Signalflußplan dargestellt sind. Falls Ψ2A = Ψ2N = const. (Ankerstellbereich), kann der Dividierer durch einen Proportionalfaktor ersetzt werden. 

R2   L2 







−

I1A - M R2  L2

-? e -

r



I1B

-

r r

-

-





M







|Ψ2 | = Ψ2A

Ω2 -

R2  L2 

Abb.13.46: Strommodell zur Bestimmung von Ψ2A und Ω2 im Flußkoordinatensystem 



Durch Addition von ΩL + Ω2 in Abb. 13.45 ergibt sich die gesch¨atzte aktuelle  Umlaufgeschwindigkeit ΩK des am Rotorfluß orientierten Koordinatensystems  und als Ausgangssignal des Integrators der gesuchte Feldwinkel βK . Damit ist die Grundstruktur der Feldorientierung vollst¨andig bekannt. Wesentlich beim vorliegenden Ansatz ist, daß die u ur ¨berlagerte Regelung f¨  die Drehzahl und den Rotorfluß Ψ2A als Ausgangsgr¨oßen die Sollwerte der fluß∗ ∗  und momentbildenden Str¨ome I1A und I1B in dem am Rotorfluß Ψ2A orientierten Koordinatensystem vorgibt. Das Modell muß daher die Istsignale im selben Koordinatensystem liefern [325]. Wenn die Eingangssignale mit den Ausgangssignalen im Modell vertauscht werden, dann ergibt sich die bereits aus dem Kapitel Ent” kopplung“ bekannte Regelungsstruktur, die in Abb. 13.47 und 13.48 dargestellt ist [337].

13.5 Modellbildung der Asynchronmaschine

503

Drehstromnetz r       Umrichter ∗ Ψ2A ∗ Ωm -

e Rn − 6

∗

∗

I1A-

Sollwert– Ωr 2∗- bestim– mung

I1α

VD I1B- +

∗

∗



Ωm

sin βK

I1β

6 6

-

mit

-

Statorstromregelung



cos βK

sin cos ∗ 6 βK2 βL - e 

-

     

Zp 

'$

Tm Im Impulsgeber

ASM &%

Abb. 13.47: Prinzipdarstellung einer feldorientierten Regelung mit Rotorstellungsmessung und gesteuerter Vorgabe des Flusses (¨ahnlich Entkopplung) -

∗ |Ψ ∗2 | = Ψ2A



r 

- L2 

? e 6

1 M

-

1 M

∗ I1A

-

r-

R2

Ω2∗

? - @ @



∗ I1B

-

Abb. 13.48: Stromsollwertbestimmung in Flußkoordinaten

Bei der vorliegenden L¨osung werden — wie bereits bei der Entkopplung dar  gestellt — u ¨ber die Struktur in Abb. 13.48 die Str¨ome I1A und I1B vorgegeben.  Die Ermittlung des Winkels βK erfolgt durch     ∗ βK = Ω2∗ dt + βL = βK2 + βL

504

13 Asynchronmaschine 

Schwierig bei diesen L¨osungen ist die Bildung des Winkels βK bei kleinen Drehzahlen Ωm , da die Impulse eines Drehwinkelgebers bei niedrigen Drehzahlen nur noch vereinzelt erzeugt werden und sich mit Ω2∗ nicht a¨quidistante Pulsfolgen  f¨ ur Ω1 bilden. Das Ausgangssignal des Impulsaddierers muß deshalb gegl¨attet werden, was, da die Gl¨attungszeitkonstante mit abnehmender Drehzahl gr¨oßer werden muß, die Dynamik des Antriebssystems verschlechtert. G¨ unstiger ist eine L¨osung, wie sie bereits im Abschnitt der Entkopplungsregelung beschrieben wurde. Parameterempfindlichkeit des Strommodells Eine besondere Schwierigkeit besteht darin, daß einerseits die Maschinenparameter zeitvariant sind (z.B. die Temperaturabh¨angigkeit von R1 und R2 ) und die Maschineninduktivit¨aten durch die Hysteresekennlinie kein lineares Verhal     ten aufweisen. Andererseits sind die Modellparameter R1 , R2 , M , L1 und L2 im allgemeinen fest, d.h. auf konstante Werte eingestellt. Daher sind Abweichungen zwischen den tats¨achlichen Maschinensignalen und den Modellsignalen unvermeidbar. Am Beispiel der f¨ ur die Regelung besonders relevanten Abweichung des  gesch¨atzten Rotorflusses Ψ2A vom realen Fluß Ψ2A nach Betrag und Phase wird die Parameterempfindlichkeit des Strommodells eingehend untersucht. Es ergibt  K der Form sich ein Differenz-Raumzeiger ΔΨ K = Ψ K − Ψ  K ΔΨ 2 2

(13.167)

welcher die Abweichung des Modells beschreibt (vgl. Abb. 13.49). Im K

Y2

DY

K

Dj = Db K bK

b´K

Y2K´

Re

K Abb. 13.49: Definition des Fehlerraumzeigers ΔΨ

Bei der Untersuchung der station¨aren Empfindlichkeit des Strommodells entsprechend [341] gehen wir von einer fehlerfreien Messung der Statorstr¨ome (bzw. der Statorspannungen) der Maschine aus. Im vorliegenden Fall haben daher fehlerhafte Sch¨atzwerte der Maschinenparameter R2 , M und L2 einen Einfluß auf das Modellverhalten. Aus der Vielzahl der Kombinationsm¨oglichkeiten sind

13.5 Modellbildung der Asynchronmaschine

505

Abb. 13.50: Station¨ arer Phasen- und Amplitudenfehler der Rotorflußnachbildung des Strommodells bei Fehlanpassung des Rotorwiderstandes bzw. der Maschinenreaktanzen

506

13 Asynchronmaschine

in den folgenden Bildern einige typische F¨alle gezeigt. Der Fehlerraumzeiger wird darin gem¨aß AF =

 K | − |Ψ  K| |Ψ 2 2 2K | |Ψ

(13.168) 

Δϕ = ΔβK = βK − βK ω2 =

Ω2 Ω1N

(13.169)

mit Ω1N : Statornennkreisfrequenz

(13.170)

durch den bezogenen Amplitudenfehler AF und den Winkelfehler Δϕ = ΔβK u ¨ber der bezogenen Rotorkreisfrequenz ω2 dargestellt. Wesentlich ist, wie in Abb. 13.50 dargestellt, daß auch Kombinationen von Parameterabweichungen — z.B. beim Feldschw¨achbetrieb — auftreten k¨onnen. Des weiteren ist zu beachten, daß aufgrund der Notwendigkeit der Benutzung des Drehzahlistwerts  Ωm (Abb. 13.45) zur Bestimmung von βK ein Fehler bei der Drehzahlerfassung ebenfalls Auswirkungen auf das Gesamtverhalten hat. 13.5.2

I1 βL-Modelle und I1 ΩL-Modelle

Die Parameterempfindlichkeit des Strommodells aus Kap. 13.5.1 wird dadurch   verst¨arkt, daß auch die Modelleingangsgr¨oßen I1A und I1B ihrerseits gesch¨atzte und damit fehlerbehaftete Gr¨oßen sind. Sie werden durch den Vektordreher VD - (Abb. 13.45) aus dem am statorfesten Koordinatensystem orientierten  Raumzeiger I1S des Statorstroms durch Transformation in das rotorflußfeste Koordinatensystem errechnet. Da diese mit dem vom Modell gesch¨atzten Flußwinkel  βK arbeitet, wirkt sich ein Fehler im Feldwinkel zus¨atzlich auf den transformierten Stromraumzeiger aus, der wiederum als Eingangsgr¨oße in das Strommodell dient. Um diese Fehlerr¨ uckkopplung zu vermeiden, w¨ahlt man Modelle, die entwe  der im rotorfesten (ΩK = ΩL = Zp Ωm ) oder im statorfesten Koordinatensystem (ΩK = 0) arbeiten. In diesem Fall entsprechen gemessene Gr¨oßen direkt den   Eingangsgr¨oßen der Modelle. Aus den Rotorflußkomponenten Ψ2α und Ψ2β im statorfesten Koordinatensystem lassen sich die f¨ ur die Feldorientierung ben¨otig  ten Gr¨oßen Ψ2A und βK leicht berechnen. I1 βL-Modell Im Falle der Orientierung am Rotorfluß gilt bekanntermaßen  2 | Ψ2A = |Ψ

und damit auch



Ψ2A =





(13.171) 

Ψ2α2 + Ψ2β2

(13.172)

13.5 Modellbildung der Asynchronmaschine

507

womit die aktuelle Amplitude des Rotorflusses bestimmt ist. Es bleiben die Be ziehungen f¨ ur den gesch¨atzten Feldwinkel βK , welche sich mit 











Ψ2α = Ψ2 cos βK Ψ2β = Ψ2 sin βK einfach durch 

Ψ2α  | |Ψ



cos βK =

(13.173)

2



Ψ2β 2 | |Ψ



sin βK =

(13.174)

darstellen lassen. Das zu entwerfende Flußmodell der Asynchronmaschine muß  S  im statorfesten Koordinatensystem somit den Sch¨atzwert f¨ ur den Rotorfluß Ψ 2 als Ausgangsgr¨oße zur Verf¨ ugung stellen. Dieser kann anschließend mit den oben  stehenden Beziehungen in die interessierenden Gr¨oßen Ψ2A und βK umgerechnet werden. Bei der Modellbeschreibung gehen wir wiederum von einer Asynchron 2 = 0, aus. Als Eingangsgr¨oßen in das maschine mit Kurzschlußl¨aufer, d.h. U Modell stehen der Statorstromraumzeiger I1S und die aktuelle elektrische Lage des Rotors der Asynchronmaschine zur Verf¨ ugung:    βL = ΩL dt = Zp Ωm dt (13.175) Bei der Betrachtung der Asynchronmaschine im rotorfesten Koordinatensy  stem, d.h. ΩK = ΩL lassen sich aus den allgemeinen Systemgleichungen (13.71) die Gleichungen 







dΨ2k M R2  R = −Ψ2k 2 + I1k  dt L2 L2 





(13.176)



M R2 dΨ2l  R I1l = −Ψ2l 2 +  dt L2 L2

(13.177)

f¨ ur den Rotorfluß der Maschine ableiten. Damit l¨aßt sich der Signalflußplan nach    Abb. 13.51 f¨ ur das I1 βL -Modell zeichnen, wobei mit T2 = L2 /R2 die Rotorzeitkonstante der Maschine bezeichnet wird. Im Gegensatz zum Strommodell nach Kap. 13.5.1 werden hier die Flußkom    ponenten Ψ2k und Ψ2l nicht in einem mit der Kreisfrequenz ΩK = Ω1 rotierenden, rotorflußorientierten Koordinatensystem, sondern in einem mit der mechanischen  Kreisfrequenz ΩL = Zp Ωm = dβL /dt rotierenden Koordinatensystem betrachtet. Dies bedeutet, daß die Rotorsignale sich relativ zum Rotor mit einer Kreisfre   quenz von Ω2 = Ω1 − ΩL bewegen, was in Abb. 13.52 zu sehen ist.

508

13 Asynchronmaschine

1   T2 

I1α-

I1β

sin βL

−

 I1k - M T2

VD −

e -?



6 6

I1l - M T2

r

-e − 6

r

1   T2

cos βL



Ψ 2 |  |Ψ Ψ2k - VD 2 α|.|  Ψ2l - +  Ψ2 β

sin βL

cos βL r

 sin βL cos

r

Abb. 13.51: Nachbildung der Rotorflußkomponenten Ψ2k , Ψ2l durch Verwendung des Strommodells im rotorfesten Koordinatensystem

b l K

I1

B

WK= A

dbK dt

bS

gi

bK

bK2

,

db WL = L dt ,

K

Y2 = Y2A

k

,

bL

a

K zu einem Zeitpunkt t im statorAbb.13.52: Statorstrom-Raumzeiger I 1K und Fluß Ψ 2 festen α-β-Koordinatensystem, im rotorfesten k-l-Koordinatensystem und im rotorflußfesten A-B-Koordinatensystem

   Da der Statorstrom der Asynchronmaschine I1L = I1k + jI1l nicht direkt im rotorfesten Koordinatensystem vorliegt, muß dieser aus den meßbaren Str¨omen I1α und I1β im statorfesten Koordinatensystem berechnet werden. Dies erfordert zwei Vektordreher VD + und VD - , welche in Abb. 13.51 dargestellt sind. Diese Vektordreher bewirken zwar eine Entkopplung des restlichen Modells auf zwei unabh¨angige Systeme 1. Ordnung (PT1 -Glieder), jedoch muß zur Bildung

13.5 Modellbildung der Asynchronmaschine

509

der erforderlichen Modellausgangsgr¨oßen gerade diese Entkopplung mit VD + wieder aufgehoben werden. Aus den so ermittelten statorfesten Komponenten werden, wie zu Beginn des Abschnitts erl¨autert, Betrag und Winkel des Rotorflusses gebildet und der feldorientierten Regelung zugef¨ uhrt. I1 ΩL-Modell Werden die Rotorflußkomponenten stattdessen direkt im statorfesten Koordinatensystem rekonstruiert, so erh¨alt man aus den Systemgleichungen der Asynchronmaschine das I1 ΩL -Modell. Die Rotorflußkomponenten ergeben sich somit im statorfesten Koordinatensystem zu 







dΨ2α M R2 R   = I1α − 2 Ψ2α − ΩL Ψ2β  dt L2 L2 

dΨ2β dt







R  M R2  I1β − 2 Ψ2β + ΩL Ψ2α  L2 L2

=

(13.178)

(13.179)

womit der Signalflußplan des Strom-Drehzahl-Modells nach Abb. 13.53 gezeichnet werden kann. 1   T2 

I1α- M  T2

−



? -e 6 −

Ψ2α

r

-

 @ @

ΩL = Zp Ωm

6 r ?  @ @

I1β

- M





T2



e -? 6 −

r

r

Ψ2β

-

1   T2 Abb. 13.53: Signalflußplan des I1 ΩL -Modells im statorfesten Koordinatensystem

Der Vorteil dieses Modells ist, daß die Raumzeigerkomponenten I1α und I1β   direkt verwendet werden und so die Raumzeigerkomponenten Ψ2α und Ψ2β ebenfalls im statorfesten Koordinatensystem berechnet werden k¨onnen. Als Nachteil

510

13 Asynchronmaschine

ist der hohe Aufwand im Modell zu sehen. Wie beim vorgestellten I1 βL -Modell   | und die aktuelle Lage bzw. der aktuelle muß zus¨atzlich noch der Betrag | Ψ 2  Winkel βK des gesch¨atzten Rotorflusses berechnet werden. Die Gegen¨ uberstellung des Aufwands und der Parameterempfindlichkeit der unterschiedlichen Strommodelle bringt folgende Ergebnisse. Im rotorflußorientierten I1 -Modell (Abb. 13.46) war die Struktur des Modells selbst am einfach  sten, und es waren nur die Maschinenparameter M und T2 zur Sch¨atzung des Rotorflusses notwendig. Beim I1 βL -Modell (Abb. 13.51) bestehen im Signalteil im wesentlichen zwei Signalpfade ¨ahnlich dem I1 -Modell (Abb. 13.46) mit den   Parametern M und T2 . Zus¨atzlich sind die relativ aufwendige βL -Erfassung (Rotorlage) und die zwei Vektordreher erforderlich. Ein ¨ahnlicher Aufwand ist beim I1 ΩL -Modell (Abb. 13.53) notwendig. Sollen die Strommodelle hinsichtlich ihrer Parameterempfindlichkeit gegen¨ ubergestellt werden, so muß der Bereich der Parameterschwankungen definiert werden. In [341] wird angenommen, daß die Widerst¨ande in Stator und Rotor sich um ± 20 %, die Induktivit¨aten L1 , L2 und M um jeweils ± 10 % ¨andern.  Weiterhin wird ein Fehler von ± 2 % bei der Drehzahlerfassung ΩL = Zp Ωm angesetzt. Die Ergebnisse bei fehlerhaftem Rotorwiderstand und Reaktanzen entsprechen den Ergebnissen beim Strommodell (Abb. 13.50). Zus¨atzlich wird beim I1 ΩL -Modell nun noch der Einfluß des Fehlers bei der Drehzahlerfassung auf  die Sch¨atzung des Flusses Ψ2A untersucht. Abbildung 13.54 zeigt den Fehlerfluß2 als Amplituden- und Phasenfehler u raumzeiger ΔΨ ¨ber der bezogenen Drehzahl.  n ist dann der fehlerbehaftete Meßwert der bezogenen Drehzahl. 

n =



ΩL Zp Ωm = Ω1N Ω1N

(13.180)

Aus den Grafiken auf der rechten Spalte ist zu erkennen, daß bei fehlerhafter Drehzahlerfassung mit einer Tachomaschine von 2 % bei einer Drehzahl n = 0, 3 ein Amplitudenfehler von 12 % entsteht. Die Zusammenh¨ange in Abb. 13.54 weisen deshalb darauf hin, daß die Erfassung des Winkels βL mit einem Impulsgeber hoher Pulszahl der Drehzahlerfassung mit Tachomaschine u ¨berlegen ist, solange keine sehr gute Drehzahlerfassung vorhanden ist. Prinzipiell sind somit die Strommodelle bis zu kleinen Drehzahlen einsetzbar, sofern die Parametervariation relativ gering bleibt. 13.5.3

U1 I1 -Modell

Anstatt der verschiedenen Strommodelle mit den Eingangsgr¨oßen Statorstrom   und Drehzahl ΩL = Zp Ωm bzw. der aktuellen Rotorlage βL kann ein um die Statorspannungskomponenten erweitertes Modell verwendet werden. Die Motivation f¨ ur dieses Vorgehen ist, daß bei den Strommodellen zur Flußkomponen  tensch¨atzung die stark ver¨anderlichen Maschinenparameter T2 und M verwendet werden. Damit treten bei Unterschieden zwischen den Modellparametern und den realen Parametern der Asynchronmaschine Sch¨atzfehler auf, die die Regelg¨ ute

13.5 Modellbildung der Asynchronmaschine

511

Abb. 13.54: Station¨ arer Phasen- und Amplitudenfehler der Rotorflußnachbildung des I1 ΩL -Modells aufgrund eines Drehzahlmeßfehlers bei unterschiedlichen Belastungen

erheblich beeinflussen. Werden stattdessen zus¨atzliche Informationen, wie die Statorspannung, genutzt, so kann der Fehlereinfluß unter Umst¨anden verringert werden. Ausgehend von den beiden Systemgleichungen

und

K  K = R1 Ψ  K − MR1 Ψ  K + dΨ1 + jΩK Ψ K U 1 1 σL1 1 σL1 L2 2 dt

(13.181)

1 K M K I1K = Ψ − Ψ σL1 1 σL1 L2 2

(13.182)

K der Asynchronmaschine werden diese so umgeformt, daß sich der Rotorfluß Ψ 2 K K   aus den Eingangsgr¨oßen U1 und I1 errechnet. Nach kurzer Unformung ergibt sich K K  K = R1 IK + σL1 dI1 + M dΨ2 + jΩK Ψ K U 1 1 1 dt L2 dt

(13.183)

was sich bei Betrachtung im statorfesten Koordinatensystem, d.h. ΩK = 0, zu   S L2  S dI1S dΨ 2 S  = U1 − R1 I1 − σL1 (13.184) dt M dt

512

13 Asynchronmaschine

vereinfacht und im Modell in die Komponenten Real- und Imagin¨arteil aufgespalten werden kann.

  dΨ2α L2    dI1α (13.185) U − R I − σ L = 1α 1 1α 1 dt M dt

  dΨ2β L2    dI1β = (13.186) U1β − R1 I1β − σ L1 dt M dt Somit sind die Modellgleichungen gegeben, welche in Abb. 13.55 als Signalflußplan dargestellt sind. 

U1α

-



L2  M



I1α

r-





R1 L2  M

Ψ

-? e -

−

-



- e 2 α6 −







σ L1 L2  M



U1β

-



L2 M



I1β

r-







R1 L2  M

Ψ2 β

-? e -

-e 6 −

−

-







σ L1 L2  M

Abb. 13.55: Signalflußplan des U1 I1 -Modells im statorfesten Koordinatensystem

Der wesentliche Vorteil dieses Modells liegt darin, daß es unabh¨angig vom stark temperaturabh¨angigen Rotorwiderstand R2 ist. Der Statorwiderstand R1 ist zwar ebenso temperaturabh¨angig, jedoch durch die bessere W¨armeabfuhr der Kupferwicklungen bleiben dessen Schwankungen in einem geringeren Bereich. Es verbleibt letztlich der Einfluß der Gegeninduktivit¨at M der Maschine. Aus den Modellgleichungen und dem zugeh¨origen Signalflußplan nach Abb. 13.55 ist der entscheidende Nachteil des U1 I1 -Modells unmittelbar zu erkennen. Die beiden   gesch¨atzen Flußkomponenten Ψ2α und Ψ2β werden durch eine offene Integration bestimmt. Obwohl das Verhalten dieser Art von Modellen h¨aufig untersucht und

13.5 Modellbildung der Asynchronmaschine

513

Abb.13.56: Station¨ arer Phasen- und Amplitudenfehler der Rotorflußnachbildung des U1 I1 -Modells bei Fehlanpassung des Statorwiderstands bzw. der Maschinenreaktanzen

gleichzeitig versucht wurde, die offene Integration zu umgehen, kann das Modell im Drehzahlbereich um Null (ca. |n| = 0, 1 . . . 0, 2) nicht eingesetzt werden. ¨ Da insbesondere die Anderungen des Widerstandes R1 bei der Drehzahl Null zu unendlich großen Phasen- und Amplitudenfehlern f¨ uhren, ist der Drehzahlbereich um Null somit ausgeschlossen. Wesentlich g¨ unstiger verh¨alt sich dieses Modell gegen¨ uber Variationen der Maschineninduktivit¨aten, was besonders im Feldschw¨achbetrieb (Ents¨attigung) von Vorteil ist. Analog zu den bisher betrach-

514

13 Asynchronmaschine

teten Strommodellen wird in Abb. 13.56 die station¨are Paramterempfindlichkeit des U1 I1 -Modells dargestellt. Bei den beiden Strommodellen aus dem vorigen Abschnitt — I1 βL -Modell und I1 ΩL -Modell — waren in Abh¨angigkeit von Ω2 die station¨aren Phasenfehler punktsymmetrisch zum Ursprung und die station¨aren Amplitudenfehler achsensymmetrisch zur Ordinate. Da dies bei allen weiteren Modellen ebenfalls der Fall ist, wird die Empfindlichkeit nur noch f¨ ur positive Ω2 untersucht. 13.5.4

U1 I1 ΩL-Modell

Um den Nachteil der offenen Integration des U1 I1 -Modells aus dem vorherigen Abschnitt zu vermeiden, wird das U1 I1 ΩL -Modell eingesetzt. Es bietet zudem den Vorteil, daß alle leicht verf¨ ugbaren Informationen (Meßwerte) verwendet werden, um die Parameterempfindlichkeit zu vermindern. F¨ ur das U1 I1 -Modell ergab sich die Beziehung    S  S dΨ L2  S  S   dI1 2 (13.187) = U1 − R1 I1 − σ L1 dt M dt f¨ ur den Rotorfluß der Asynchronmaschine im statorfesten Koordinatensystem S. Mit Hilfe der allgemeinen Systemgleichungen f¨ ur den Rotorfluß (Kurzschlußl¨au 2 = 0) und den Statorstrom der Maschine fer, d.h. U S dΨ 2 dt

= −

I1S =

R2  S MR2  S S Ψ + Ψ + jΩL Ψ 2 σL2 2 σL1 L2 1

1 S M S Ψ − Ψ σL1 1 σL1 L2 2

kann man die Gleichung des U1 I1 -Modells zu  

  2 S R d I L M        S + IS R +  R + σ L 1  S 2 = jΩL Ψ  S + 2 −U Ψ 2 2 1 1 1 1 M dt L2 L22 2

(13.188) (13.189)

(13.190)

umformen. Deren Aufspaltung in die Komponenten Real- und Imagin¨arteil ergibt die beschreibenden Gleichungen des U1 I1 ΩL -Modells:



   L L2 M2         dI1α (13.191) Ψ2α = − 2 ΩL Ψ2β +  2  −U1α + I1α R1 + 2 R2 + σ L1 dt R2 R2 M L2



   L2 L22 M2         dI1β (13.192) −U R + σ Ω Ψ + + I + R L Ψ2β = L 2α    1β 1β 1 1 dt R2 R2 M  L22 2 Der zugeh¨orige Signalflußplan ist in Abb. 13.57 dargestellt. Durch diesen Modellansatz wird die offene Integration im Modell vermieden. Nachteilig sind jedoch die notwendigen Differenzierglieder, welche insbesondere bei oberschwingungsbehafteten Str¨omen st¨orend wirken. In Abb. 13.57 wird die Wirkung des  Stator- und Rotorwiderstands zu einem Widerstand R0 zusammengefaßt.

13.5 Modellbildung der Asynchronmaschine -



R0



I1α

r - σ  L

1

-



2

e - L 2  -? R2 M − 6

-e − 6

r



U1α B

B

B

ΩL

L2  R2

  









r - σ  L

1

-

−

2

R0

?



B B

L2  R2



? -e 

-

@ @ r

@ @ r



R0 = R 1 +





6

-? e - L 2  R2 M 6

-

6

B B B  B

U1β

Ψ2α

?





I1β

515



Ψ2β

-



M2   R L22 2

Abb. 13.57: Signalflußplan des U1 I1 ΩL -Modells im statorfesten Koordinatensystem





R0 = R1 +



M2   R L22 2

Beim U1 I1 ΩL -Modell zur Rotorflußsch¨atzung treten als Parameter der Statorund der Rotorwiderstand sowie alle Induktivit¨aten auf. Die Untersuchungen der Parameterempfindlichkeit unter der Annahme gleichsinniger Verstimmung der Widerst¨ande (Erw¨armung) zeigen, daß die Phasen- und Amplitudenfehler insbesondere im Bereich |n| ≤ 0, 2 . . . 0, 3 bereits sehr große Werte annehmen, die bei n = 0 gegen unendlich gehen. Somit ist auch dieses Modell bei kleinen Drehzahlen nicht nutzbar (Abb. 13.58 bis 13.60). ¨ Die Empfindlichkeit gegen¨ uber Anderungen der Induktivit¨aten ist — ebenso bei der Drehzahl Null — gr¨oßer als beim Strommodell und wesentlich gr¨oßer als beim U1 I1 -Modell. 13.5.5

U1 ΩL-Modell

Aus dem Abschnitt der Entkopplungsregelung von Asynchronmaschinen ist prinzipiell das U1 ΩL -Modell bereits bekannt, das den gesamten Statorkreis der Asynchronmaschine nachbildet. Ohne auf die Ableitung n¨aher einzugehen (siehe  K ), wird in Abb. 13.61 der Kap. 13.4.2, Aufl¨osung der Systemgleichungen nach Ψ 2 Signalflußplan f¨ ur das Modell im statorfesten Koordinatensystem dargestellt. Dieses Modell beschreibt den gesamten elektrischen Teil der Asynchronmaschine und ist prinzipiell bis zur Drehzahl Null einsetzbar. Statt im statorfesten

516

13 Asynchronmaschine

Abb. 13.58: Station¨ arer Phasen- und Amplitudenfehler der Rotorflußnachbildung des U1 I1 ΩL -Modells bei Fehlanpassung des Stator- bzw. Rotorwiderstandes

Koordinatensystem mit ΩK = 0 kann auch im rotorflußfesten Koordinatensystem mit ΩK = Ω1 und Ψ2B = 0 ein Modell gebildet werden. Die Annahme Ψ2B = 0 hatte bekanntlich zu dem besonders einfachen Signalflußplan der Asynchronmaschine gef¨ uhrt. Am U1 ΩL -Modell k¨onnen wiederum Untersuchungen der station¨aren Phasenund Amplitudenfehler in Abh¨angigkeit von abweichenden Modellparametern durchgef¨ uhrt werden. Deren Ergebnisse sind in Abb. 13.62 und 13.63 darge-

13.5 Modellbildung der Asynchronmaschine

517

Abb. 13.59: Station¨ arer Phasen- und Amplitudenfehler der Rotorflußnachbildung des U1 I1 ΩL -Modells bei Fehlanpassung der Reaktanzen bzw. einem Drehzahlmeßfehler

stellt. Bemerkenswert ist, daß die Fehlerkurven bei Stator- und Rotorwiderstands¨anderung zueinander gegenl¨aufig sind, d.h. bei gleichartiger Verstimmung (Erw¨armung der Maschine) ergibt sich ein geringerer resultierender station¨arer Fehler (Abb. 13.64). Ebenso verh¨alt sich das Modell g¨ unstig gegen¨ uber fehlerbehafteten Drehzahlmeßwerten.

518

13 Asynchronmaschine

Abb. 13.60: Station¨ arer Phasen- und Amplitudenfehler der Rotorflußnachbildung des U1 I1 ΩL -Modells bei gleichzeitiger Fehlanpassung des Stator- und Rotorwiderstandes

13.5.6

Zusammenfassung der Modelle

Wesentlich bei der Betrachtung der Eigenschaften verschiedener Modelle zur Rotorflußsch¨atzung ist, wie sich Abweichungen zwischen den realen Parametern in der Maschine und den verwendeten Parametern in dem Modell auswirken. Grunds¨atzlich wird sich bei Abweichungen zwischen Modell und realer Maschine ein Sch¨atzfehler sowohl in Amplitude als auch Phasenwinkel einstellen. Folgende Fehler sind dabei in beliebiger Kombination m¨oglich: • unterschiedliche Widerst¨ande R • unterschiedliche Induktivit¨aten L • Fehler bei der Drehzahlerfassung Ωm Der Realisierungsaufwand der einzelnen Modelle steigt beginnend beim U1 I1 Modell u ¨ber das I1 ΩL -, das U1 I1 ΩL - und das U1 ΩL -Modell. Das I1 βL -Modell ist f¨ ur sich betrachtet sehr einfach, ben¨otigt aber eine Erfassung der Drehzahl u ur die Transformation ¨ ber Impulsgeber und Vektordreher f¨ der Gr¨oßen in das rotorfeste Koordinatensystem L. Das ebenso sehr einfache U1 I1 -Modell besitzt den entscheidenden Nachteil, daß es bei kleinen Drehzahlen aufgrund der offenen Integration im Modell nicht eingesetzt werden kann.

13.5 Modellbildung der Asynchronmaschine 

519





U1α U1β

ΩL r



? e 6 −

? e −6





? - R1 e  σ  L1 −6

?

r

R1   σ  L1



M  L1

r

M  L2

- @ @

A A





e - R2 -? 

Ψ2α ?





?  @ @

A

A
A e− 
A- e 6 − −6



r

r



σ  L2

M  L1

6

r ?

r

−

?



M  L2

6

? e 6 −

R2   σ  L2

? e 

−



Ψ2β ?

Abb. 13.61: Signalflußplan des U1 ΩL -Modells im statorfesten Koordinatensystem

Beim U1 I1 ΩL -Modell sind dagegen algebraische Schleifen vorhanden, die bei der Realisierung Schwierigkeiten bereiten k¨onnen. Zusammenfassend kann gesagt werden, daß alle Modelle, bei denen die Statorspannung als Eingangsgr¨oße auftritt, mit zunehmender Drehzahl eine kleinere Parameterempfindlichkeit aufweisen. Das Maximum des Nachbildungsfehlers ist stets in der Umgebung kleiner Drehzahlen, bzw. kleiner Statorfrequenzen zu finden. Ein relativ ausgeglichenes Verhalten u ¨ber den gesamten Betriebsbereich bez¨ uglich des station¨aren Fehlers zeigt das U1 ΩL -Modell. Das Strommodell“ hat ” die Eigenschaft, daß das Fehlermaximum zwar meist kleiner als bei den anderen Modellvarianten ist, jedoch aber f¨ ur alle Drehzahlen gleich bleibt. F¨ ur den Fall eines Drehzahlmeßfehlers kommt sogar noch eine Vergr¨oßerung des Modellfehlers mit wachsender Drehzahl hinzu. Eine Beurteilung der Modelle auf der Grundlage des station¨aren Nachbildungsfehlers scheint auf den ersten Blick schwierig, weil dieser in erheblichem Maße vom jeweiligen Arbeitspunkt abh¨angt. Es existieren z.B. Betriebsbereiche, bei denen sich eine Modellvariante als g¨ unstig erweist, w¨ahrend in anderen Betriebspunkten eine andere Modellvariante vorteilhafte Ergebnisse liefert. Es wurde deshalb versucht, ein allgemeines G¨ utekriterium zu entwickeln, das einen Vergleich der verschiedenen Modellstrukturen erm¨oglicht. Die hier

520

13 Asynchronmaschine

Abb.13.62: Station¨ arer Phasen- und Amplitudenfehler der Rotorflußnachbildung des U1 ΩL -Modells bei Fehlanpassung des Stator- bzw. Rotorwiderstandes

durchgef¨ uhrten Untersuchungen gelten auch f¨ ur die Modellformen, bei denen der gew¨ unschte Fluß (Modellfluß) und die geforderte Belastung als Sollwerte auftreten (Abb. 13.47). Ein bez¨ uglich der Parameter fehlangepaßtes Modell berechnet daraus fehlerhafte Werte f¨ ur die erforderlichen Statorstrom- bzw. Statorspannungskomponenten. Dies bewirkt wiederum, daß der Maschinenfluß vom vorgegebenen Modellfluß abweicht.

13.5 Modellbildung der Asynchronmaschine

521

Abb.13.63: Station¨ arer Phasen- und Amplitudenfehler der Rotorflußnachbildung des U1 ΩL -Modells bei Fehlanpassung der Reaktanzen bzw. bei fehlerhafter Drehzahlerfassung

Eine vertiefte Darstellung alle dieser Fragestellungen wird in Kap. 14 erfolgen. In Kap. 14 wird ausgehend von der Sch¨atzung der Drehzahl ebenso die Sch¨atzung der Orientierung des Koordinatensystems und die Fehlerkorrektur ausf¨ uhrlichst dargestellt. Allerdings ist dieses Gebiet teilweise noch ein Gebiet von Forschungsvorhaben, so daß eine endg¨ ultige und allgemeine Darstellung noch nicht gegeben werden kann.

522

13 Asynchronmaschine

Abb. 13.64: Station¨arer Phasen- und Amplitudenfehler der Rotorflußnachbildung des U1 ΩL -Modells bei gleichzeitiger Fehlanpassung des Stator- und des Rotorwiderstandes

Hingewiesen werden soll an dieser Stelle auch auf Kap. 13.9, in dem Fehlerein߬ usse aufgrund der Art der Signalverarbeitung dargestellt werden.

13.6 Parameterbestimmung an Drehstrom-Asynchronmaschinen

13.6

Parameterbestimmung maschinen (DASM)

an

W. Michalik

523

Drehstrom-Asynchron-

Prof. Dr.-Ing. habil. W. Michalik, Dresden

13.6.1

¨ Ubersicht zu Methoden der Parameterbestimmungen an Drehstrom-Asynchronmaschinen

Moderne modellorientiert arbeitende Verfahren der Steuerung und Regelung sowie der St¨ uckpr¨ ufung von Drehstrom-Asynchronmaschinen erfordern genaue Kenntnisse einer repr¨asentativen Maschinenmodellierung sowie der aktuellen Parameter f¨ ur dieses Maschinenmodell. Beides ist f¨ ur die meisten Anwender im Allgemeinen nicht bekannt. So fehlen charakteristische und zuverl¨assige Vorzugsmodellans¨atze, die die spezielle Maschinenkonstruktion in allen wichtigen Betriebszust¨anden repr¨asentativ beschreiben. Einfache Vier- bzw. F¨ unfparametermodelle mit konstanten Parametern sind zwar f¨ ur viele Anwendungen h¨aufig ausreichend, k¨onnen aber erh¨ohten Anforderungen an die Modellgenauigkeit und Nachbildungssicherheit kaum gerecht werden. Erweiterte Modellstrukturen ber¨ ucksichtigen insbesondere Parameternichtlinearit¨aten, wie die S¨attigung des magnetischen Kreises oder der Stromverdr¨angung im L¨aufer von Kurzschlussk¨afigmaschinen. Ebenso weisen Hersteller von elektrischen Maschinen f¨ ur ihre Erzeugnisse u ur die Anwendung erforderlichen charakteristi¨blicherweise nicht alle die f¨ schen Parameter und Kennlinien in allgemein zug¨anglichen Unterlagen aus. Neben fehlenden Herstellerangaben muss dar¨ uber hinaus von erheblichen Exemplarstreuungen der Parameter eines Maschinentyps ausgegangen werden. Davon sind insbesondere Kleinmaschinen betroffen, bei denen Exemplarstreuungen von ca. 10...15% nachgewiesen worden sind [373]. Weiterhin l¨asst sich an elektrischen Maschinen auch zeitvariantes Parameterverhalten beobachten, wie z.B. die Erh¨ohung der Wicklungswiderst¨ande infolge der Maschinenerw¨armung. Ein einfaches Verfahren, diese Parameter lediglich aus den meistens verf¨ ugbaren Typenschildangaben zu gewinnen, ist z.B. in [379] beschrieben. Da hierbei aber von erheblichen Vereinfachungen ausgegangen wird, sowie Parameterstreuungen an baugleichen Exemplaren und zeitvariantes Parameterverhalten nicht ber¨ ucksichtigt werden k¨onnen, sind erhebliche Parameterfehler die Folge. Untersuchungen an verschiedenen Maschinentypen f¨ uhren im Vergleich mit anderen Tests zu Parameterfehlern bis zu 50...100%. Damit stellen solche Parameter nur grobe N¨aherungswerte mit orientierendem Charakter dar. Ihre Verwendung als Startwerte f¨ ur rekursiv oder iterativ arbeitende Parameteridentifikationsverfahren erscheint sinnvoll. Genauere Parameterbestimmungen k¨onnen damit nur durch Messungen an den elektrischen Maschinen beim Anwender vor Ort selbst vorgenommen werden. Solche messtechnischen Parameterbestimmungen sind seit langem bekannt und werden allgemein akzeptiert.

524

13 Asynchronmaschine

Leider entziehen sich aber alle wichtigen Maschinenparameter der DrehstromAsynchronmaschine einer direkten Messung. Eine Ausnahme davon macht lediglich der St¨anderwicklungswiderstand, dessen messtechnische Bestimmung bei Gleichspannungsspeisung der St¨anderwicklung und Strom-Spannungsmessungen trivial ist. F¨ ur die verbleibenden Maschinenparameter ist nur eine indirekte Parameterbestimmung aus den leicht messbaren Klemmengr¨oßen Strom und Spannung m¨oglich, gegebenenfalls erg¨anzt durch Drehzahl- oder Leistungsmesswerte. In Verbindung mit einem geeigneten Maschinenmodell kann im Anschluss an die Messung eine Parameterberechnung erfolgen. Somit stellt sich die Aufgabe der Wahl geeigneter Messmethoden und Messwertauswertungen. Abb. 13.65 zeigt ¨ dazu eine Ubersicht. Zu den experimentellen Methoden z¨ahlen einmal die klassischen Pr¨ ufmethoden. Sie kommen insbesondere im Bereich der Maschinenpr¨ ufung bzw. Qualit¨atskontrolle zum Einsatz, insbesondere als genormte Pr¨ ufvorschriften. Die Normung ber¨ ucksichtigt, dass die Vergleichbarkeit experimentell ermittelter Maschinenparameter nur unter exakt gleichen Pr¨ uf- und Auswertebedingungen m¨oglich ist. Wichtige genormte traditionelle Verfahren zur Maschinenpr¨ ufung sind z.B. in [345, 344] oder [343] zu finden. Daneben existieren nichtgenormte Anwendervorschl¨age z.B. in [376, 377] und [389]. Die Unterschiede zeigen sich insbesondere in ver¨anderten Modellvereinfachungen und Maschinenmodellierungen wie der n¨aherungsweisen Ber¨ ucksichtigung der Ummagnetisierungsverluste im aktiven Eisen als auch des Stromverdr¨angungsverhaltens im L¨auferk¨afig der Asynchronmaschine, in der experimentellen Durchf¨ uhrungen einschließlich der Maschinenspeisung und/oder der Durchf¨ uhrung und mathematischen Auswertung. Im Ergebnis der traditionellen Pr¨ ufverfahren werden verfahrensspezifische und nur bedingt vergleichbare Parameter bestimmt, die nur f¨ ur diesen Betriebspunkt repr¨asentativ sind. Alle Modell- und Messfehler schlagen sich in Parameterfehlern nieder. Es ergeben sich methoden-, modell- und messabh¨angige Parameterabweichungen. Dar¨ uber hinaus wird die Anwendung traditioneller Pr¨ ufverfahren immer dann nicht m¨oglich sein, wenn keine Effektivwertmessungen beim station¨aren oder quasistation¨aren Betrieb der Asynchronmaschine durchf¨ uhrbar sind, keine Belastungseinheiten mit Kuppelvorrichtungen eingesetzt werden k¨onnen, Echtzeitforderungen bestehen, oder aber diese Pr¨ ufungen keine f¨ ur den beabsichtigten Betrieb angepassten Parameter liefern. Alternativ zu den klassischen Pr¨ ufmethoden werden zunehmend Parameterbestimmungen auf der Grundlage der Anwendung von Methoden der experimentellen Prozessanalyse vorgenommen [392, 387, 365, 357]. Diese Methoden gehen im einfachsten Fall von ungest¨orten Messwerten aus und nehmen keine St¨orunterdr¨ uckung vor (deterministische Algorithmen, Kennwertermittlungsverfahren). Sie sind in dieser Hinsicht mit den traditionellen Pr¨ ufverfahren vergleichbar. Damit ist die Parametergenauigkeit dieser Methoden begrenzt, da sich auch hier alle Messungenauigkeiten und Modellvereinfachungen als St¨orungen bemerkbar ma-

13.6 Parameterbestimmung an Drehstrom-Asynchronmaschinen

W. Michalik

525

chen und vollst¨andig als Fehler in den Parametern niederschlagen. Als Anregung werden einfach generier- und messbare Anregungssignale genutzt, wie z.B. einphasige Spannungsspr¨ unge auf die stillstehende Asynchronmaschine und Messung der Stromantwort. Die Auswertungen erfolgen u ¨ berwiegend mit einfachen mathematischen Algorithmen sowie unter der Annahme vereinfachter Modellstrukturen mit ein oder zwei Parametern. Um weitere Parameter zu bestimmen helfen Pr¨ ufvorschriften, die nacheinander abgearbeitet werden m¨ ussen. Beispiele dieser Vorgehensweise sind z.B. in [384, 368] oder [379] zu finden. Eine wirkungsvolle St¨orunterdr¨ uckung erm¨oglichen dagegen Methoden der Parametersch¨atzung. Bei diesen Methoden wird von Messsignalen ausgegangen, denen stochastische St¨orsignale z.B. durch Modellungenauigkeiten oder Messfehler u usse k¨onnen durch Parametersch¨atzverfahren ¨berlagert sind. Diese Fehlereinfl¨ deutlich reduziert werden, die Genauigkeit der Parameterbestimmung erheblich verbessert werden. In Abb. 13.65 erfolgt f¨ ur diese in Kap. 13.6.3 beschriebenen Methoden eine Unterteilung in Methoden f¨ ur schwach gest¨orte Systeme und (st¨arker) gest¨orte Systeme. Dar¨ uber hinaus sind Identifikations- bzw. Parametersch¨atzverfahren im Gegensatz zu konventionellen Maschinenpr¨ ufungen vielfach einfacher und schneller experimentell durchf¨ uhrbar. Die Messwerte eines einzigen Tests k¨onnen ausreichend sein, um alle interessierenden Parameter der Maschine zu bestimmen. Die Anwendung spezieller Betriebsbedingungen, die zu vereinfachten Maschinenmodellen f¨ uhren und die bei den klassischen Pr¨ ufverfahren notwendig waren, kann entfallen. Damit k¨onnen auch vollst¨andige und nicht stark vereinfachte Maschinenmodelle genutzt werden. Grenzen zeigen sich erst bei zu umfangreichen Modellen. So sollten z.B. Modelle nicht mehr als ca. f¨ unf bis sechs Parameter enthalten, wenn die einfache MKQ-Methode (siehe Kap. 13.6.3), angewendet wird. Die Anregung des Untersuchungsobjektes bei der Anwendung von Parametersch¨atzverfahren kann in einem breiten Bereich gew¨ahlt und speziellen Betriebsbedingungen der zu untersuchenden Maschine angepasst werden. Bedingung ist, dass diese Anregungen zu ausreichenden und m¨oglichst unterschiedlichen Wirkungen der Parameter auf die gemessene Ausgangsgr¨oße f¨ uhren (Parameterempfindlichkeit) sowie dass keine anregungsabh¨angige Parameterbeeinflussung m¨oglich ist. Nachteilig bei der Anwendung von Parametersch¨atzverfahren sind die zum Teil aufwendigen mathematischen Algorithmen im Vergleich mit den ansonsten u ufungen. Die Nutzung vor¨blichen Auswertealgorithmen der herk¨ommlichen Pr¨ gefertigter und angepasster Softwaremodule bietet sich an und ist empfehlenswert. Werden ungeeignete Sch¨atzverfahren ausgew¨ahlt, k¨onnen Anwendungen unter Echtzeitbedingungen und mit herk¨ommlichen Controllern problematisch werden oder aber zu einem ung¨ unstigen und nicht akzeptablen Aufwand-NutzenVerh¨altnis f¨ uhren. Dar¨ uber hinaus k¨onnen nichtrepr¨asentative Modellans¨atze, ungeeignete Anregungssignale oder experimentelle Durchf¨ uhrungen sowie Einfl¨ usse von Einstellungen und Startwerten des Sch¨atzalgorithmus die Parameter¨ fehler erheblich vergr¨oßern. Eine einfache Ubernahme von erfolgreichen L¨osungen

526

13 Asynchronmaschine

auf andere Maschinen mit anderen Betriebsbedingungen sollte kritisch gepr¨ uft werden. Auf die in Abb. 13.65 weiterhin aufgef¨ uhrten Parameterbestimmungen mit Fuzzy-Algorithmen und neuronalen Netzen wird im Folgenden nicht weiter eingegangen. F¨ ur Parameterbestimmungen haben diese Verfahren geringe Bedeutung, es sind nur wenige Anwendungen bekannt. Methoden zur Parameterbestimmung an DASM Anfrage beim Motorhersteller

Nichtexperimentelle Methoden

Suche in Datenbanken Genormte Methoden (IEEE 112, JEC 37,...)

Klassische Prüfmethoden

Anwendervorschläge

Kennwertermittlungsmethoden Schätzungen mit der direkten MKQ

Ungestörtes System Schwach gestörtes System

Schätzungen mit der erweiterten MKQ Nichtlineare Optimierungsverfahren

gestörtes System

Methoden der Systembzw. Parameteridentifikation

Experimentelle Methoden

Deterministische Methoden

Nichtlineare Filter Fuzzy-Algorithmen, Neuronale Netze ¨ Abb. 13.65: Ubersicht zu Verfahren der Parameterbestimmung an Asynchronmaschinen

13.6 Parameterbestimmung an Drehstrom-Asynchronmaschinen

13.6.2

W. Michalik

527

Parameterbestimmungen mit herk¨ ommlichen Verfahren der Maschinenpr¨ ufung

Parameterbestimmungen mit traditionellen Maschinenpr¨ ufverfahren nutzen Leerlauf-, Kurzschluss- oder Belastungsversuche der Asynchronmaschine. Bei diesen Versuchen kann das Betriebsverhalten dieser Maschine n¨aherungsweise unter Vernachl¨assigung des Einflusses einzelner Baugruppen betrachtet und durch vereinfachte Modelle mit ein oder zwei Parametern beschrieben werden. Die Fehler infolge dieser Modellvereinfachungen sind u ¨berwiegend gering und vernachl¨assigbar. Gemessen werden die Effektivwerte von Strom, Spannung sowie die aufgenommene Wirkleistung. Die Parameterbestimmung erfolgt u ¨ber das L¨osen einfacher algebraischer Gleichungen (deterministische Parameterbestimmung). Eine serielle Pr¨ ufstrategie mit einem abgestimmten und schrittweisen experimentellen Vorgehen gestattet nacheinander die Bestimmung aller Parameter des Maschinenmodells. Abb. 13.66 zeigt das prinzipielle Vorgehen bei der traditionellen Maschinenpr¨ ufung. Die folgenden Beispiele zu traditionellen Maschinenpr¨ ufungen verdeutlichen das Vorgehen. Dem Betriebsverhalten der Asynchronmaschine f¨ ur den station¨aren Betrieb wird ein Modell nach Abb. 13.67 zugrunde gelegt [376]. Es sollen eine Eingangsimpedanz Z(jω) und eine Zwischenkreisimpedanz ZZ (jω) eingef¨ uhrt werden. Der fluss-, strom- und frequenzabh¨angige Eisenverlustwiderstand Rf e dient der Ber¨ ucksichtigung der Ummagnetisierungsverluste. Die L¨auferparameter R2 (s) und Xσ2 (s,I2 ) ber¨ ucksichtigen durch ihre Schlupfabh¨angigkeit die Stromverdr¨angung im L¨aufer und durch die L¨auferstromabh¨angigkeit der L¨auferstreureaktanz Xσ2 die S¨attigung. Eine Teilmodellbildung des Modells der Asynchronmaschine nach Abb. 13.67 mit reduzierter Parameterzahl ist m¨oglich durch - eine Gleichspannungsspeisung im Maschinenstillstand (Schlupf s = 1) und Bestimmung des St¨anderwicklungswiderstandes R1 , - einen Leerlaufversuch bei variabler Spannung (Schlupf s ≈ 0 und I2 ≈ 0) und Bestimmung des spannungs- bzw. flussabh¨angigen Eisenverlustwiderstandes Rf e (ψ) und der spannungsabh¨angigen Hauptfeldreaktanz Xh (Uh ), sowie durch einen - Kurzschluss- oder Belastungsversuch (Schlupf s = 1 oder s ≈ sN ) und der Bestimmung des schlupfabh¨angigen Rotorwiderstandes R2 (s) sowie der schlupfabh¨angigen L¨auferstreureaktanz Xσ2 (s). Beim Leerlaufversuch setzt sich die Leerlaufleistung P1L u ¨berwiegend aus Kupfer- und Ummagnetisierungsverlusten sowie reibungs- und lastunabh¨angigen Zusatzverlusten zusammen, wobei letztere im allgemeinen vernachl¨assigt werden. Um die Bremsmomente der r¨aumlichen Oberfelder und Reibmomente aus der Leerlaufleistung herauszuhalten, werden h¨aufig Leerlaufmessungen unter Synchronbedingungen durchgef¨ uhrt, z.B. mit antreibender Synchronmaschine. Das

528

13 Asynchronmaschine

Elektrische Maschine

Betriebsbedingung 1

Betriebsbedingung 2

Vereinfachtes Teilmodell 1

Vereinfachtes Teilmodell 2

Parameter 1

Parameter 2

... ... ...

Betriebsbedingung n Vereinfachtes Teilmodell n

Parameter m

Abb. 13.66: Prinzipielles Vorgehen bei der traditionellen Maschinenpr¨ ufung

Z ( jw ) jX s 1 ( I 1 ) R1

Z Z ( jw ) jX s 2 ( s,I 2 )

R fe (y ,I1 , f )

U1 ( j w )

jX h (U h )

R2 ( s ) s

I1 ( jw )

Abb. 13.67: Erweitertes T-Ersatzschaltbild der Asynchronmaschine mit der Eingangsimpedanz Z(jω) und der Zwischenimpedanz ZZ (jω)

ist insbesondere bei Kleinmaschinen mit ihren relativ hohen Reibmomenten und r¨aumlichen Oberfeldern von deutlichem Einfluss. Die schlupfabh¨angigen L¨auferparameter R2 (s) und Xσ2 (s) k¨onnen prinzipiell in jedem Betriebspunkt s = 0 bestimmt werden. Vorzugsweise wird der Kurzschlussversuch im Maschinenstillstand bei Bemessungsstrom und damit geringerer St¨anderspannung angewendet, bei dem keine Schlupf- bzw. Drehzahlmessung notwendig ist. M¨ogliche Stromverdr¨angungseffekte sind im Kurzschlussversuch allerdings st¨arker ausgepr¨agt als beim Belastungsversuch und f¨ uhren zu h¨oheren L¨auferwiderst¨anden und geringeren Streuinduktivit¨aten. Andererseits sind wegen der hohen L¨auferfrequenz im Kurzschluss die vernachl¨assigten Zusatzverluste im L¨aufer gr¨oßer als im Bemessungsbetrieb, dies beeinflusst ebenfalls den L¨auferwiderstand. Im Kurzschlussversuch wird die gesamte aufgenommene Leistung P1K nahezu ausschließlich zur Deckung der Kupferverluste ben¨otigt. Infolge der geringen St¨anderspannungen und damit geringer Fl¨ usse machen die Ummag-

13.6 Parameterbestimmung an Drehstrom-Asynchronmaschinen

W. Michalik

529

netisierungsverluste nur etwa 3-8% der gesamten Kurzschlussverluste aus und ¨ sind somit im allgemeinen vernachl¨assigbar [377]. Ublicherweise wird auch hier der Einfluss der Zusatzverluste vernachl¨assigt, da zum einen ihr Anteil relativ gering ist, zum anderen die Trennung der Kupfer- und Zusatzverluste nur beim Schleifringl¨aufermotor m¨oglich ist, nicht aber beim Kurzschlussl¨aufer mit Stromverdr¨angungserscheinungen. Im Leerlauf-, Kurzschluss- oder Belastungsversuch kann mit den gemessenen Stranggr¨oßen Strom, Spannung und Leistung eine Eingangsimpedanz Z(jω) bestimmt werden: Z (jω) =

U1 (jω) = e {Z (jω)} + jm {Z (jω)} = |Z (jω)| ejϕ(ω) (13.193) I1 (jω)

Daraus l¨asst sich ganz allgemein ein ohmscher Widerstand R, eine Reaktanz X, und ein Phasenwinkel ϕ berechnen:

U1 U1  P1 R = (13.194) · cos ϕ ; X = · 1 − cos2 ϕ ; ϕ = arccos I1 I1 U1 · I1 13.6.2.1

Vorgehensweise

1. Kurzschlussversuch bei Gleichstromspeisung: Teilmodell f¨ ur den Kurzschlussversuch mit Gleichstromspeisung:

I1 R1

U1

Abb. 13.68: Ersatzschaltbild der Asynchronmaschine bei Gleichstromspeisung

Bestimmung des St¨anderwicklungswiderstandes: R1 =

U1 I1

(13.195)

Der St¨anderwicklungswiderstand R1 ist der einzige Maschinenparameter der Asynchronmaschine, der im Stillstand mit Gleichspannung direkt gemessen werden kann, wobei mit X = 0 bzw. ϕ = 0 triviale Verh¨altnisse entstehen. 2. Kurzschlussversuch bei Wechselstromspeisung — erste Auswertung: Bei festgebremsten L¨aufer (s = 1) ergibt sich ein vereinfachtes Teilmodell der Asynchronmaschine mit der Eingangs- bzw. Kurzschlussimpedanz ZK (jω) (Abb. 13.69).

530

13 Asynchronmaschine

Z K ( jw ) R1

U 1 ( jw )

jX s 1 ( I 1 )

I 1 ( jw )

jX s 2 ( I 1 )

R2

Abb. 13.69: Ersatzschaltbild der Asynchronmaschine im Kurzschlussversuch bei Wechselstromspeisung

F¨ ur eine erste Auswertung werden gleiche St¨ander- und L¨auferstreureaktanzen angenommen, d.h. es gilt Xσ1 = Xσ2 . Damit lassen sich die Streureaktanzen von St¨ander und L¨aufer aus der Eingangsreaktanz beim Kurzschlussversuch bestimmen: Xσ1 = Xσ2 ≈ 0, 5 · XK (13.196) Aus dem Eingangswiderstand RK beim Kurzschlussversuch k¨onnte anschließend bereits eine grobe Absch¨atzung des L¨auferwiderstandes R2 u ¨ ber R2 = RK − R1 vorgenommen werden. Eine genauere Bestimmung wird dagegen erst im n¨achsten Abschnitt durch einen verfeinerten Auswertealgorithmus mit Ber¨ ucksichtigung des Eisenverlustwiderstandes Rf e und der Hauptfeldreaktanz Xh m¨oglich. 3. Leerlaufversuch: Im Leerlauf kann die Asynchronmaschine durch das Teilmodell nach Abb. 13.70 angen¨ahert werden:

Z L ( jw ) jX s 1 R1 U 1 ( jw )

I 1 ( jw )

jX h (U h ) R fe (y , f )

Abb. 13.70: Ersatzschaltbild der Asynchronmaschine im Leerlauf

Die Leerlaufimpedanz ZL (jω) = e {ZL (jω)} + jm {ZL (jω)}

(13.197)

13.6 Parameterbestimmung an Drehstrom-Asynchronmaschinen

W. Michalik

531

bestimmt sich zu ZL (jω) = R1 + jXσ1 +

Rf e · jXh Rf e + jXh

(13.198)

F¨ ur den Eisenverlustwiderstand Rf e und die Hauptfeldreaktanz Xh gelten: Rf e =

(e {ZL (jω)} − R1 )2 + (m {ZL (jω)} − Xσ1 )2 e {ZL (jω)} − R1

(13.199)

Xh =

(e {ZL (jω)} − R1 )2 + (m {ZL (jω)} − Xσ1 )2 m {ZL (jω)} − Xσ1

(13.200)

4. Zweite Auswertung der Ergebnisse des Kurzschlussversuchs bei Wechselstromspeisung: Bei der zweiten Auswertung der Ergebnisse des Kurzschlussversuchs wird vom vollst¨andigen Maschinenmodell nach Abb. 13.67 ausgegangen und mit der Eingangsimpedanz ZK (jω) = e {ZK (jω)} + jm {ZK (jω)}

(13.201)

die Zwischenkreisimpedanz ZZ (jω) = e {ZZ (jω)} + jm {ZZ (jω)}

(13.202)

bestimmt: ZZ (jω) = Rf e (Rf e − (e {ZK (jω)} − R1 )) · (e {ZK (jω)} − R1 ) − (m {ZK (jω)} − Xσ1 )2 (Rf e − (e {ZK (jω)} − R1 ))2 + (m {ZK (jω)} − Xσ1 )2   m {ZK (jω)} − Xσ1 2 + j Rf e · (Rf e − (e {ZK (jω)} − R1 ))2 + (m {ZK (jω)} − Xσ1 )2 (13.203) Daraus k¨onnen die aktuellen L¨auferparameter berechnet werden: ·

R2 (s) = Xσ2 (s) =

s · e {ZZ (jω)} · Xh2 (e {ZZ (jω)})2 + (Xh − m {ZZ (jω)})2

(13.204)

(Xh − m {ZZ (jω)}) · Xh2 − Xh (13.205) (e {ZZ (jω)})2 + (Xh − m {ZZ (jω)})2

Die Bestimmung der beiden L¨auferparameter durch den Algorithmus der Gleichungen (13.203) bis (13.205) kann auch durch einen Belastungsversuch bei m¨oglichst unterschiedlichen Schlupfwerten durchgef¨ uhrt werden. Werden jetzt immer etwa gleichgroße Werte f¨ ur R2 (s) und Xσ2 (s) bestimmt, kann von einem

532

13 Asynchronmaschine

stromverdr¨angungsfreien Einfachk¨afigl¨aufer mit R2 = R2 (s) bzw. Xσ2 = Xσ2 (s) ausgegangen werden. Ergibt dagegen steigender Schlupf wachsende R2 - bzw. fallende Xσ2 -Werte, kann Stromverdr¨angungsverhalten angenommen werden. Die jetzt notwendige erweiterte Pr¨ ufprozedur geht von einem Maschinenmodell mit Doppelk¨afig-N¨aherungen aus. Vorschl¨age dazu finden sich z.B. in [376] oder [377]. H¨aufig sind solche Erweiterungen zur Doppelk¨afig-N¨aherung in Hinblick auf die Auswirkungen von unvermeidlichen Messfehlern und Modellvereinfachungen allerdings nicht gerechtfertigt. Auch bei geregelten Asynchronmaschinenantrieben mit Betriebsweisen, die typischerweise zu geringen Schlupfwerten f¨ uhren, sind Doppelk¨afig-N¨aherungen u ¨berwiegend nicht notwendig. Die oben vorgestellte Auswertung der Leerlauf- und Kurzschlussversuche ist vergleichsweise aufwendig. In der Antriebstechnik werden daher h¨aufig vereinfachte Auswertealgorithmen angewendet, z.B. in [381, 387]. Zwei vereinfachte Algorithmen sollen dazu vorgestellt werden. Beide Algorithmen verwenden Modelle der Asynchronmaschine mit konzentrierten Streuinduktivit¨aten, die zuvor erl¨autert werden sollen. - Modelle der DASM mit konzentrierter Streuinduktivit¨ at: Ohne Ber¨ ucksichtigung des Eisenverlustwiderstandes Rf e nach Abb. 13.67 wird die Asynchronmaschine durch ein F¨ unfparametermodell mit getrennten St¨anderund L¨auferstreuinduktivit¨aten, Lσ1 und Lσ2 , beschrieben (Γ -Ersatzschaltbild). Die St¨anderimpedanz der Asynchronmaschine wird aber nur durch vier unabh¨angige Parameter beschrieben. Es tritt ein zus¨atzlicher Freiheitsgrad auf und das Asynchronmaschinenmodell mit drei Induktivit¨aten kann durch eine unendliche Anzahl unterschiedlicher Kombinationen beschrieben werden, die alle die gleichen Zusammenh¨ange zwischen den Fl¨ ussen und Str¨omen beschreiben. Damit ist dieses Modell in allen f¨ unf physikalischen Parametern nicht identifizierbar. H¨aufig wird daher eine Aufteilung der gesamten Streuinduktivit¨at vorgenommen, z.B. auf der Grundlage der Nutgeometrien und der Wickelk¨opfe von St¨ander und L¨aufer, z.B. in [344]. Wenn diese Daten nicht bekannt sind, wird u ¨berwiegend von gleichen Werten ausgegangen (Lσ = Lσ1 = Lσ2 ) oder aber   ¨ mit Einf¨ uhrung neuer Ubersetzungsverh¨ altnisse ¨ u und ¨ u zwischen Rotor und Stator zu einem vierparametrischen Modell mit konzentrierter Streuinduktivit¨at u ¨bergegangen. ¨ Dabei f¨ uhrt das Ubersetzungsverh¨ altnis 

- u ¨ = Lh / L2 zu einer konzentrierten St¨anderstreuinduktivit¨at, siehe Abb. 13.71, (Inverses-Γ -Ersatzschaltbild) und 

- u = L1 / Lh zu einer konzentrierten L¨auferstreuinduktivit¨at, siehe ¨ Abb. 13.72, (Γ -Ersatzschaltbild). Vom St¨ander aus betrachtet verhalten sich alle Modelle v¨ollig identisch, die Umwandlung f¨ uhrt zu keinem Informations- oder Genauigkeitsverlust. Nachteilig ¨ ist die Abh¨angigkeit des Ubersetzungsverh¨ altnisses von der Hauptfelds¨attigung, welche die Anzahl s¨attigungsabh¨angiger Parameter vergr¨oßert.

W. Michalik

13.6 Parameterbestimmung an Drehstrom-Asynchronmaschinen

533

 ¨ F¨ ur das Ubersetzungsverh¨ altnis u ¨ = Lh /L2 ergibt sich ein neuer L¨auferwiderstand zu   2  R2 = R2 u = R2 (Lh /L2 )2 (13.206) ¨

die neue L¨auferflussverkettung zu 



ψ2 (jω) = ψ2 (jω) · ¨u = ψ2 (jω) ·

Lh L2

(13.207)

die neue Hauptfeldinduktivit¨at1) zu   2   = (1 − σ) · L1 Lh = L2 = L2 u ¨

(13.208)

wobei mit

L2h L2 · L1 die Streuziffer eingef¨ uhrt wird und der neue L¨auferstrom zu σ = 1−



I2 (jω) = I2 (jω) ·

R1

s L1

L'h = (1 - s )L1

U1 ( jw )

I

' m

( jw )

(13.209)

R1 I

I1 ( jw )

1 L2  = I2 (jω) · Lh ¨u

' 2

( jw )

R2' R = ü' 2 2 s s

I2'' ( jw )

L = L1 '' h

U1 ( j w )

I1 ( jw )

I

'' m

( jw )

L''s =

s L1

(1 - s )

2 R R2'' = (ü'' ) 2 s s

Abb.13.71: Einstr¨ angiges Inverses-Γ -Er- Abb.13.72:Einstr¨ angiges Γ -Ersatzschaltsatzschaltbild der DASM f¨ ur station¨ aren bild der DASM f¨ ur station¨ aren Betrieb Betrieb

Als konzentrierte St¨anderstreuinduktivit¨at tritt der Parameter σL1 auf, der mit geringem Fehler gleich der transienten Induktivit¨at gesetzt werden kann (ideelle Kurzschlussinduktivit¨at): σL1 = Lσ1 + Lσ2 ·

Lh L2

2 = Lσ1 +

Lh · Lσ2 L2 = L1 − h Lh + Lσ2 L2

Analog dazu bestimmen sich die Parameter des Γ -Ersatzschaltbildes.

1)

Lh entspricht M in den vorherigen Kapiteln

(13.210)

534

13 Asynchronmaschine

Zwischen den Parametern beider Ersatzschaltbilder existieren folgende Beziehungen:  2      Lσ Lσ Lh Lσ Lh      Lh = Lh −  ; σL1 =  ; R2 = R2 1 −   Lh + Lσ Lh + Lσ Lh + Lσ (13.211) - Parameterbestimmung mit dem vereinfachten Algorithmus 1: Es wird von einem vierparametrischen Einfachk¨afigmodell mit konzentrierter Streuinduktivit¨at im Rotor und einem Eisenverlustwiderstand parallel zur Hauptfeldinduktivit¨at ausgegangen, dem erweiterten Γ -Ersatzschaltbild nach Abb. 13.73 (R1 wird als bekannt angesetzt).

R1

U1 ( jw )

'' s L1 L''h = L1 I 2 ( jw )'' Ls = (1 - s )

R fe (y ,I 1 , f )

2 R R2'' = (ü'' ) 2 '' s I m ( jw ) s

I1 ( jw )

Abb. 13.73: Erweitertes Γ -Ersatzschaltbild der Drehstrom-Asynchronmaschine

Die Bestimmung der Parameter erfolgt u uhrung: ¨ber folgende Versuchsdurchf¨ • Leerlaufversuch: Das Maschinenmodell im Leerlauf zeigt Abb. 13.74 mit der Eingangsimpedanz ZL (jω): ZL (jω) =

U1 (jω) R1 · Rf e + jX1 (R1 + Rf e ) = I1 (jω) Rf e + jX1

(13.212)

Die Auswertung des Leerlaufversuchs f¨ uhrt zur Bestimmung der St¨anderreaktanz X1 = ω1 L1 und des Eisenverlustwiderstandes Rf e : 

X1 = m



Rf e = e

−1 I1 e−jϕL U1 − I1 R1 e−jϕL 1

I1 e−jϕL U1 − I1 R1 e−jϕL

/

/

(13.213)

(13.214)

13.6 Parameterbestimmung an Drehstrom-Asynchronmaschinen

W. Michalik

535

• Kurzschlussversuch: Die Eingangsimpedanz ZK (jω) im Kurzschlussversuch 

ZK (jω) =



U1 (jω) jX1 R2 − X1 Xσ = R1 +  I1 (jω) R2 + jX1 + jXσ

(13.215)

entspricht dem Maschinenmodell nach Abb. 13.75. Die Auswertung f¨ uhrt zur Bestimmung der Streureaktanz und des L¨auferwiderstandes: 1  /  Xσ = (13.216) −jϕK I1 e 1 m − U1 − I1 e−jϕK R1 jX1 



R2 = e

1 −jϕK

I1 e − 1 U1 − I1 e−jϕK R1 jX1

Z L ( jw ) I

U 1 ( jw )

( jw )

jX 1 (U h ) R fe (y ,I 1 , f ) I 1 ( jw )

(13.217)

Z K ( jw ) R1

R1 '' m

/

jX s'' ( f ,I 2'' )

I 2'' ( jw ) U 1 ( jw )

jX 1 (U h ) I 1 ( jw )

R2'' ( f ) I m'' ( jw )

Abb. 13.74: Erweitertes Γ -Ersatz- Abb. 13.75: Γ -Ersatzschaltbild f¨ ur den schaltbild f¨ ur den Leerlaufversuch bei Kurzschlussversuch bei Anwendung des verAnwendung des vereinfachten Algorith- einfachten Algorithmus 1 mus 1

Der St¨anderwicklungswiderstand R1 muss zuvor nach Gl. (13.195) bestimmt werden. Ungenaue Vorgaben k¨onnen bei diesem Algorithmus insbesondere zu erheblichen L¨auferwiderstandsfehlern f¨ uhren. Da im Kurzschlussversuch starke Wicklungserw¨armung auftritt, wird ein konstanter St¨anderwiderstand schwierig zu realisieren sein. - Parameterbestimmung mit dem vereinfachten Algorithmus 2: Es wird vom vierparametrischen Maschinenmodell mit konzentrierter Streuinduktivit¨at im St¨ander entsprechend Abb. 13.71 ausgegangen. Ummagnetisierungsverluste werden nicht ber¨ ucksichtigt, ein Eisenverlustwiderstand Rf e somit vernachl¨assigt. Der St¨anderwicklungswiderstand R1 wird u ¨ber eine Gleichstrommessung bestimmt (Gl. (13.195)). Im Leerlaufversuch erfolgt die Bestimmung der St¨anderreaktanz entsprechend Gl. (13.213). Im Kurzschlussversuch

536

13 Asynchronmaschine

wird diese St¨anderreaktanz vernachl¨assigt, was bei R2  Xh gerechtfertigt ist.  Es verbleiben die zwei unbekannten Parameter R2 und σL1 im Maschinenmodell der Asynchronmaschine [390]. • Kurzschlussversuch: Die Eingangsimpedanz ZK (jω) ergibt sich zu 2 Lh + jωσL1 ZK (jω) = R1 + R2 · L2

(13.218)

Die Auswertung des Kurzschlussversuchs f¨ uhrt zum Rotorwiderstand / 2  Lh U1 jϕk  R2 = R2 · − R1 = e e (13.219) L2 I1 und zur konzentrierten Streuinduktivit¨at /  1 U1 jϕk σL1 = e · m ω I1

(13.220)

Tabelle 13.1: Ergebnisse herk¨ ommlicher Pr¨ ufungen an einer kleinen DASM, Klammerwerte = Parameter umgerechnet auf das Modell mit konzentrierter St¨ anderstreuinduktivit¨ at

Algorithmus Vereinfachter nach Gl. (13.195)-(13.205) Algorithmus 1 

R2 =6,06 Ω  (R2 =5,54 Ω)

R2 =6,61 Ω  (R2 =5,50 Ω)

Lσ2 =0,018 H (σL1 =0,035 H)

Lσ =0,038 H (σL1 =0,035 H)

Lh =0,396 H  (Lh =0,38 H)

L1 =0,41 H  (Lh =0,38 H)

Rf e =2,22 kΩ

Rf e =2,43 kΩ



Vereinfachter Algorithmus 2 

R2 =5,53 Ω σL1 =0,035 H

F¨ ur die oben beschriebenen Algorithmen zeigt zusammenfassend Tab. 13.1 die mit gleichen Messwerten ermittelten Maschinenparameter einer kleinen Asynchronmaschine mit PN =1500 W. Werden die Parameter auf ein einheitliches Maschinenmodell mit konzentrierter St¨anderstreuinduktivit¨at umgerechnet (siehe   Klammerwerte) sind die Abweichungen zwischen den Parametern R2 , Lh und σL1 vernachl¨assigbar gering. Lediglich die vereinfachte Ber¨ ucksichtigung des Eisenverlustwiderstandes im vereinfachten Algorithmus 1 f¨ uhrt zu ca. 20% Abweichungen dieses Widerstandes gegen¨ uber dem ausf¨ uhrlichen Algorithmus nach den Gleichungen (13.195) bis (13.205).

13.6 Parameterbestimmung an Drehstrom-Asynchronmaschinen

W. Michalik

537

Zu ¨ahnlichen Ergebnissen an Kleinmaschinen kommt [350]. Die Asynchronmaschine, deren Parameter Tab. 13.1 zeigt, ist u ¨ berwiegend auch in allen folgenden experimentellen Untersuchungen verwendet worden, ohne dass darauf nachfolgend extra hingewiesen werden soll. 13.6.3

Parameterbestimmungen mit Parametersch¨ atzverfahren

13.6.3.1 Prinzip der Parametersch¨ atzung Parametersch¨atzverfahren ben¨otigen von einem Pr¨ ufling ein Systemmodell sowie Messwerte der Systemantwort nach geeigneter Anregung. Im Gegensatz zu traditionellen Pr¨ ufverfahren gehen Parametersch¨atzverfahren aber von Messwerten aus, denen ein St¨orsignal z(t) u ¨berlagert ist. Die ausgangsfehlerorientierten Sch¨atzverfahren schlagen diese St¨orung der Ausgangsgr¨oße y0 (t) zu. Damit gilt f¨ ur die gemessene gest¨orte Ausgangsgr¨oße y(t): y (t) = y0 (t) + z (t)

(13.221)

Diese St¨orungen sollten den Mittelwert Null besitzen und unkorreliert zum Eingangssignal sein. Das Systemmodell des Pr¨ uflings soll m unbekannte Parameter enthalten und die Systemausgangsgr¨oße yM (t) liefern. Es werden N Messwerte der Ein- und Ausgangsgr¨oße ben¨otigt, wobei N m gelten muss. Mit dem Systemmodell kann damit ein u ¨ berbestimmtes Gleichungssystem gebildet werden, das durch den Einfluss des St¨orsignals nicht widerspruchsfrei ist. Es wird die Einf¨ uhrung eines Fehlers e f¨ ur jeden Messwert notwendig, der als Differenz gemessener und berechneter Systemausgangsgr¨oßen gebildet wird. y (t) − yM (t) = e (t)

(13.222)

Die Summation der Quadrate dieser Fehler ergibt das G¨ utekriterium J(p), das zu einem Minimum gef¨ uhrt werden muss. Parametersch¨atzmethoden auf Basis dieses G¨ utekriteriums sind als Methode der kleinsten Fehlerquadrate (MKQ) bekannt. Abbildung 13.76 verdeutlicht die Unterschiede zwischen deterministischen Parameterbestimmungen und Parametersch¨atzungen. Im zeitdiskreten Raum ergibt sich N N     J p = (y [k] − yM [k])2 = e2 [k] = eT e ⇒ min k=1

(13.223)

k=1

Da die gemessene Ausgangsgr¨oße y vorgegeben ist, kann diese Minimierung nur u ¨ber die Anpassung der Systemparameter des Systemmodells mit den Parametern p1 ...pm , pT = [p1 , p2 ,..., pm ] u ¨ ber die berechnete Systemausgangsgr¨oße yM erfolgen. Es verbleibt ein nicht ausgleichbarer Restfehler e, der genauso wie dessen Standardabweichung se die verbleibende Abweichung des gemessenen Ausgangssignalverlaufs vom berechneten Modellverlauf wiedergibt. Beides sind G¨ utemaße

538

13 Asynchronmaschine

ingangsgrö e, u(t)

törsignal z(t) yste , r zess

l

are

usgangsgrö e, y(t)

y(t) e(t)

ft are

ˆp rit

ar

yM (t) -

ell

ara eter -vektor ˆp

y0(t)

s

tekriteri

Abb.13.76: Prinzip der Parametersch¨ atzung (links) und der deterministischen Parameterbestimmung (rechts)

der Ann¨aherung des berechneten an das gemessene Systemverhalten. Dagegen kann die Genauigkeit der gesch¨atzten Parameter pˆi , i = 1...m, mit der Standardabweichung der gesch¨atzten Parameter spi u pi ¨ ber die Variationskoeffizienten spi /ˆ bestimmt werden. Parametersch¨atzungen unter Beachtung eines G¨ utekriteriums sind Optimierungsaufgaben. Ihre L¨osung kann prinzipiell mit allen mathematischen Methoden der Optimierungsrechnung erfolgen. Dazu muss vorausgesetzt werden, dass das Optimierungsproblem eine eindeutige L¨osung hat, die vollst¨andig steuerbare und beobachtbare Systeme erfordert. 13.6.3.2

Parametersch¨ atzungen an Asynchronmaschinen bei linearem Parametereinfluss auf die Sch¨ atzfehler Besonders einfach wird die Optimierungsaufgabe, wenn ein Modell als lineare Differentialgleichung der Form yM (t) + a1 = b0 u (t) + b1

dyM (t) d2 yM (t) +··· + a2 dt dt2 du (t) d2 u (t) + b2 +··· dt dt2

(13.224)

gefunden werden kann. In einem solchen Modell ist der Fehler e nach Gl. (13.222) linear von den m Parametern aˆ1 , a ˆ2 ,...,ˆb0 , ˆb1 , ˆb2 ,... abh¨angig und Parametersch¨atzungen k¨onnen mit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate als lineares Ausgleichs- bzw. Quadratmittelproblem behandelt werden. Dazu m¨ ussen die Ein- und Ausgangssignale u(t) und y(t) des realen Systems N-mal zu den diskreten Zeiten t = kTAbtast , k = 0, 1, 2,...N, gemessen werden und die Ableitungen dieser Signale existieren. Mit dem Fehler e ergibt sich nach ¨ Uberf¨ uhrung in Matrizendarstellung das Sch¨atzmodell y = Xˆp + e

(13.225)

W. Michalik

13.6 Parameterbestimmung an Drehstrom-Asynchronmaschinen

539

mit dem Parametervektor ˆp, pˆT =

3 aˆ1

ˆb0 ˆb1 ˆb2

···

a ˆ2

sowie den Matrizen und Vektoren ⎡ dy [0] d2 y [0] − ··· ⎢ − dt dt2 ⎢ ⎢ d2 y [1] ⎢ dy [1] ⎢ − ··· − ⎢ dt dt2 X [N] = ⎢ ⎢ .. .. ⎢ . . ⎢ ⎢ ⎣ dy [N] d2 y [N] − − ··· dt dt2 ⎤ ⎡ y [0] ⎢ y [1] ⎥ ⎥ ⎢ y [N] = ⎢ .. ⎥ ; e [N] = ⎣ . ⎦ y [N]

u [0] u [1] .. .

du [0] dt du [1] dt .. .

du [N] dt ⎤ e [0] e [1] ⎥ ⎥ .. ⎥ . ⎦ e [N]

u [N] ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

···

4

d2 u [0] dt2 2 d u [1] dt2 .. .

(13.226) ⎤

··· ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ··· ⎥ ⎥ ⎥ (13.227) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 2 ⎦ d u [N] ··· 2 dt

(13.228)

¨ Uber den Ansatz T  4   ∂J ∂ 3 y − Xˆ = 0 = · y − Xˆ p p = −2XT y − Xˆ p ∂ pˆ ∂ pˆ 

 XT X pˆ = XT y

(13.229) (13.230)

kann eine direkte (oder auch unmittelbare) L¨osung des gesuchtes Parametervektors pˆ in einem Schritt u ¨ ber den Ausdruck ˆp =



−1 T XT X X y

(13.231)

gefunden werden. Eine wichtige Voraussetzung ureine erfolgreiche Parametersch¨atzung ist die  f¨ Invertierbarkeit der Matrix XT X in Gl. (13.231). Dazu wird ein geeignetes Anregungssignal ben¨otigt, das alle zu identifizierenden Parameter ausreichend anregt ( fortdauernde Anregung“ [365, 357]). Diese Bedingung erf¨ ullen fortlau” fend sich ¨andernde Eingangssignale. Im Frequenzbereich ist diese Aussage identisch mit der Forderung, dass an mindestens M Stellen die Leistungsdichte des Signals ungleich Null sein muss, wobei M die Systemordnung darstellt. F¨ ur m Parameter wird eine Mindestfrequenzanzahl von int((m + 1)/2) ben¨otigt, um einen ausreichenden Fehlerausgleich zu erm¨oglichen. Ist eine Leistungsdichte f¨ ur alle Frequenzen vorhanden, wie z.B. beim weißen Rauschen, ist fortdauernde Anregend f¨ ur jede Ordnung gegeben, w¨ahrend mit einer einzigen Sinusschwingung h¨ochstens ein System 1. Ordnung identifiziert werden kann.

540

13 Asynchronmaschine

Diese Forderung sichert die prinzipielle L¨osbarkeit der MKQ. Sie sichert jedoch nicht eine L¨osung mit bester Anpassung bzw. G¨ ute, d.h. bei kleinstem Restfehler. Dazu sind Optimierungen des Eingangssignals als hinreichende Bedingung notwendig, die u.a. in [358, 372] beschrieben sind. Bei elektrischen Maschinen als Identifikationsobjekte sind hierbei aber Einschr¨ankungen und Kompromisse notwendig. Aus Sicht des Parametersch¨atzverfahrens sollten Eingangssignale beispielsweise eine m¨oglichst große Amplitude aufweisen. Große Spannungsanregungen f¨ uhren bei Asynchronmaschinen aber zu Parameternichtlinearit¨aten, die bei einfachen Maschinenmodellen zu Parame¨ terfehlern f¨ uhren. Ahnlich sind Anregungssignale mit hohen Frequenzanteilen zu beurteilen. Die beschriebene MKQ wird in vielen praktischen Anwendungen wegen ihrer unzweifelhaft einfachen und u ¨ berschaubaren Form vorteilhaft und mit u ¨berwiegend zufrieden stellenden Ergebnissen eingesetzt. Allerdings ist bei einer Parametersch¨atzung an Asynchronmaschinen eine Biasfreiheit (Konvergenz) dieses Verfahrens nur bei kleinen St¨orungen m¨oglich. Bei gr¨oßeren St¨orungen kann ein nicht mehr zu vernachl¨assigender Bias auftreten. Verursacht wird dieser Bias von modellbedingt korrelierten St¨orsignalen, die als Vorraussetzung der MKQ nicht vorliegen d¨ urfen [365]. Sollen solche Fehler nicht erst zugelassen werden, m¨ ussen erweiterte Parametersch¨atzmethoden angewendet werden, z.B. die Methode der verallgemeinerten kleinsten Fehlerquadrate, die Methode der erweiterten kleinsten Fehlerquadrate, die Methode der Biaskorrektur, die Methode der totalen kleinsten Fehlerquadrate oder die Methode der Hilfsvariablen [392, 387, 365, 357]. Untersuchungen an verschiedenen Modelltypen — z.B. in [365] — zeigen allerdings, dass diese aufwendigen Ans¨atze praktisch kaum wesentlich bessere Sch¨atzergebnisse liefern, insbesondere wenn nur wenige Messwerte zur Verf¨ ugung stehen. - Modell der Asynchronmaschine mit linearem Parametereinfluss auf die Sch¨ atzfehler: F¨ ur die Asynchronmaschine ist eine Modellierung als lineare Differentialgleichung entsprechend Gl. (13.224) im station¨aren Betrieb mit dn/dt = 0 m¨oglich, d.h. im Leerlauf, im station¨aren Belastungslauf und im Maschinenstillstand. F¨ ur den dynamischen Betrieb gelingt eine solche Modellierung dagegen nur unter Einschr¨ankungen, wie z.B. der Notwendigkeit einer Drehzahlmessung oder der messtechnischen oder rechnerischen Bestimmung der Flussverkettungen der Asynchronmaschine. Wird von einem Modell der Asynchronmaschine mit getrennten St¨ander- und L¨auferstreuinduktivit¨aten ausgegangen (T-Ersatzbild nach Abb. 13.67), das sich

W. Michalik

13.6 Parameterbestimmung an Drehstrom-Asynchronmaschinen

541

im St¨anderkoordinatensystem zu S dψ1 u1S = i1 R1 + dt

S

dψ2 S 0 = i2 R2 + dt

S

(13.232) − jΩL ψ2

S

S ergibt und werden die nicht messbaren Gr¨oßen L¨auferflussverkettung ψ2 , S S St¨anderflussverkettung ψ1 und L¨auferstrom i2 durch den messbaren St¨anderS strom i1 ersetzt, kann folgendes linearisiertes Maschinenmodell gefunden werden: S S S du1 S d2 i1 di1 di1 S S = p1 2 + p 2 − jp3 + p4 i1 − jp5 i1 + jp6 u1 S − p7 u1S (13.233) dt dt dt dt

Die Parameter p1 ...p7 stellen mathematischen Hilfsparameter dar, die den gew¨ unschten linearen Einfluss auf den Sch¨atzfehler aufweisen. Sie sind in einem ersten Schritt durch eine Parametersch¨atzung zu bestimmen. Mit den physikalischen Parametern stehen sie in folgendem Zusammenhang: p1 = σL1 p4 =

R1 R2 L2

; p2 = R1 +

L1 R2 L2

; p5 = R1 ΩL

; p3 = σL1 ΩL

; p6 = ΩL

; p7 =

(13.234) R2 L2

und gen¨ ugen folgenden Abh¨angigkeiten: p7 p 5 = p 6 p 4

; p3 = p 6 p 1

und p2 >

p5 p6

(13.235)

In einem zweiten Schritt erfolgt die R¨ uckrechnung der f¨ unf physikalischen Parameter σL1 , R1 , R2 , L2 , ΩL aus den sieben mathematischen Parametern p1 ...p7 . Diese R¨ uckrechnung ist trivial. Beide Schritte sind Voraussetzung f¨ ur die vollst¨andige Identifizierbarkeit der physikalischen Parameter, die beim vorliegenden Modell der Drehstrom-Asynchronmaschine gegeben ist. Die mechanische Winkelgeschwindigkeit Ωm = 2πN und die Drehzahl N sind im station¨aren Betrieb konstante Gr¨oßen und u ¨ ber die Polpaarzahl Zp mit der elektrischen L¨auferwinkelgeschwindigkeit ΩL verbunden: ΩL = Zp · Ωm

(13.236)

Die elektrische L¨auferwinkelgeschwindigkeit ΩL in den Gleichungen (13.233) und (13.234) ist als Pseudoparameter“ Bestandteil des Parametervektors. ” Als Modellausgangsgr¨oße yM ist in Gl. (13.233) der Ausdruck yM = du1S /dt gew¨ahlt worden, der insbesondere in Hinblick auf sp¨atere Umrichterspeisung als

542

13 Asynchronmaschine

st¨arker gest¨orte Meßgr¨oße betrachtet werden kann. Bei ausgangsfehlerorientierten Parametersch¨atzverfahren sollte die Modellausgangsgr¨oße immer die am meisten gest¨orte Messgr¨oße sein. Wird Gl. (13.233) in ihre Real- und Imagin¨arkomponente mit g S = gα + jgβ zerlegt, ergeben sich zwei lineare zeitvariante Differentialgleichungen 2. Ordnung:



2

d i1α di1α di1β du1α = p1 + p3 + p2 dt dt2 dt dt

du1β dt

+p4 i1α + p5 i1β − p6 u1β − p7 u1α



2

d i1β di1β di1α = p1 − p + p 2 3 dt2 dt dt +p4 i1β − p5 i1α + p6 u1α − p7 u1β

(13.237)

(13.238)

bzw. yM α = pT a = p1 a1 + p2 a2 + p3 a3 + p4 a4 + p5 a5 + p6 a6 + p7 a7 (13.239) f¨ ur a ∈ R7

und p ∈ R7

yM β = pT b = p1 b1 + p2 b2 + p3 b3 + p4 b4 + p5 b5 + p6 b6 + p7 b7 (13.240) f¨ ur b ∈ R7

und p ∈ R7

mit

du1α du1β und yM β = (13.241) dt dt Es wird deutlich, dass sowohl die Struktur als auch die Parametrierung beider Achsen prinzipiell gleich sind. Damit ist eine Parameterbestimmung grunds¨atzlich in jeder der beiden Achsen m¨oglich — ein Vorgehen, das u ¨berwiegend angewendet wird, und zu gleichen Ergebnissen f¨ uhren sollte. Abweichende Ergebnisse k¨onnen hier auf Parameterunsymmetrien in der Maschine hindeuten. Auch der Einbezug beider Achsen in die Parametersch¨atzung ist m¨oglich, was allerdings die Einf¨ uhrung eines komplexen G¨ utekriteriums erfordert [346]. Wird nur eine Komponente ausgewertet, beispielsweise die Realkomponente nach Gl. (13.237), so enth¨alt die Matrix X die N + 1 gemessenen Werte und Ableitungen des Stromes bzw. der Spannung: yM α =

X [N] = ⎡ 2 d i1α [0] 2 ⎢ ⎢ d2 idt [1] 1α ⎢ ⎢ dt2 ⎢ .. ⎢ ⎢ . ⎣ 2 d i1α [N] dt2

di1α [0] dt di1α [1] dt .. . di1α [N] dt

⎤ di1β [0] i1α [0] i1β [0] −u1β [0] −u1α [0] ⎥ dt ⎥ di1β [1] i1α [1] i1β [1] −u1β [1] −u1α [1] ⎥ ⎥ dt ⎥ .. .. .. .. .. ⎥ ⎥ . . . . . ⎦ di1β [N] i1α [N] i1β [N] −u1β [N] −u1α [N] dt (13.242)

13.6 Parameterbestimmung an Drehstrom-Asynchronmaschinen

W. Michalik

Der Vektor y enth¨alt die Ableitungen der Spannung: ⎤ ⎡ du1α [0] ⎥ ⎢ dt ⎥ ⎢ du 1α ⎢ [1] ⎥ ⎥ ⎢ y [N] = ⎢ dt ⎥ .. ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ du 1α [N] dt

543

(13.243)

Eine Vereinfachung der Modellstruktur nach Gl. (13.233) wird bei gemessener Drehzahl m¨oglich. Die elektrische L¨auferwinkelgeschwindigkeit ΩL wird Bestandteil der Ausgangsgr¨oße yM . Es verbleibt folgendes F¨ unfparametermodell   S S S S di1 di1 d S d2 i1 S + p − jΩ u1 − jΩL u1 = p1 + p4 i1 − p7 u1 S − jΩL p9 u1 S L 2 2 dt dt dt dt (13.244) mit p9 = R1 und folgenden Parameterabh¨angigkeiten p 4 = p7 p9

; p2 > p9

(13.245)

Weitere Modellvereinfachungen sind bei gemessenem St¨anderwiderstand m¨oglich, S S S S  S   S di1 d2 i1 di1 di1 du1 S −R1 = p1 2 +p8 −jp3 +p7 i1 R1 − u1 S −jp6 i1 R1 − u1 S dt dt dt dt dt (13.246) mit

p8 =

L1 R2 L2

und der Parameterabh¨angigkeit

p3 = p 1 p6

(13.247)

oder, wenn sowohl die Drehzahl und der St¨anderwiderstand gemessen werden k¨onnen:   S   2 S 1 S du1 S S di1 d i d i 1 S − R1 − jΩL u1 − i1 R1 = p1 − jΩL dt dt dt2 dt  S  di1 + p7 i1 R1 − u1S (13.248) + p8 dt S

Hier sind keine Parameterabh¨angigkeiten der drei Parameter p1 , p8 und p7 vorhanden. Die zeitkontinuierliche Modellierung der Asynchronmmaschine erfordert die Bildung der Ableitung des Eingangs- und Ausgangssignals u1 (t) und i1 (t) bis zur ersten bzw. zweiten Ordnung. Das setzt differenzierbare Zeitfunktionen voraus und geeignete Verfahren zur Bestimmung dieser Ableitungen. Damit kann die Differentialgleichung in eine lineare algebraische Gleichung u uhrt werden. ¨ berf¨

544

13 Asynchronmaschine

Im einfachsten Fall kann das Euler-Verfahren zur numerischen Differentiation genutzt werden. Da hierbei der Einfluss h¨oherfrequenter St¨orungen verst¨arkt wird, werden nachgeschaltete Filter oder Interpolationsgleichungen (Spline- oder Newton-Interpolation) notwendig. Trotzdem sind nach [365] damit erfahrungsgem¨aß Anwendungen h¨ochstens auf Modelle zweiter oder dritter Ordnung beschr¨ankt. Daneben k¨onnen auch digitale Filter angewendet werden, wie z.B. Zustandsvariablen-Filter oder modulierende Funktionen, die unempfindlicher und sicherer im Einsatz sind und die gleichzeitig Rauschunterdr¨ uckungen vornehmen. Solche Filter sind z.B. in [365, 361, 356, 363] beschrieben und in [356, 363] f¨ ur Parametersch¨atzungen an Asynchronmaschine angewendet worden. - Parametersch¨ atzungen im Stillstand der Drehstrom-Asynchronmaschine: Parametersch¨atzungen im Maschinenstillstand sind besonders einfach experimentell durchf¨ uhrbar und mit vergleichsweise geringem Aufwand auswertbar. Eine dreiphasige Maschinenspeisung ist nicht zwingend notwendig, so dass einphasige Maschinenanregungen mit einer Vielzahl von kontinuierlichen und diskontinuierlichen Anregungssignalen m¨oglich werden. Geeignet sind z.B. Spannungsspr¨ unge, Multisinusanregungen oder auch PRB-Signale (pseudo-random-binarysignals) [372]. Weiterhin sind keine Drehzahlmess- und Blockiereinrichtungen f¨ ur den L¨aufer notwendig. Durch die großen Empfindlichkeiten der L¨auferparameter im Maschinenstillstand k¨onnen besonders genaue Ergebnisse der L¨auferparameter erwartet werden. Im Vergleich zur dreiphasigen Anregung f¨ uhren einphasige Anregungen allerdings zu ver¨anderten Magnetisierungszust¨anden in der Maschine. Daraus resultieren ver¨anderte Ummagnetisierungsverluste im Verlauf der s¨attigungsabh¨angigen Hauptfeldinduktivit¨at sowie die Ber¨ ucksichtigung einer Anfangsremanenz bei aperiodischer Anregung [368]. Diese Einfl¨ usse sind aber meist schwach ausgepr¨agt und werden daher auch u ¨berwiegend vernachl¨assigt. Nach Gl. (13.233) und Gl. (13.234) ergibt sich im Stillstand folgendes Modell der Asynchronmaschine du1α d2 i1α di1α = p1 2 + p2 + p4 i1α − p7 u1α dt dt dt

(13.249)

d2 i1β di1β du1β = p1 2 + p2 + p4 i1β − p7 u1β dt dt dt

(13.250)

Das Modell im Maschinenstillstand wird nur noch von den vier mathematischen Parametern p1 , p2 , p4 und p7 bestimmt. Durch die Drehzahl N = 0 liegen weiterhin entkoppelte α- und β-Komponenten des Maschinenmodells vor. Einphasige Anregungen der Asynchronmaschine k¨onnen im Stillstand in der α- oder β-Achse als α- bzw. β-Erregung vorgenommen werden. Abbildung 13.77 zeigt dazu die Speisung der Maschine ohne Stromrichter an einem Testsignalgenerator, Abb. 13.78 bei Speisung mit Umrichter. Wesentlich ist, dass bei einer

13.6 Parameterbestimmung an Drehstrom-Asynchronmaschinen

W. Michalik

545

Speisungen in der β-Achse bei gleicher Amplitude des St¨anderstromraumzeigers √ ein um den Faktor 3/2 kleineren Strangstrom gegen¨ uber einer Speisung in der α-Achse ben¨otigt wird. Nachteilig ist die Einhaltung der Bedingung i1α = 0, die h¨aufig nur u ¨ber das Abklemmen eines Stranges realisiert werden kann und insbesondere bei Selbstinbetriebnahmen vor Ort ungeeignet ist. F¨ ur die α-Erregung sind die Str¨ome und Spannungen der β-Achse gleich Null und es gilt i1b = i1c = −

i1a 2

(13.251)

 S 2 i1a + ai1b + a2 i1c = i1a = i1α = i1 i1 = 3 mit den komplexen Drehoperatoren √ 2 3 1 a = ej 3 π = − + j 2 2 √ 3 1 2 j 43 π a = e = − −j 2 2 sowie

 S i1β = m i1 = 0 u1b = u1c = −

u1a 2

(13.252)

 2 2 u1a + au1b + a2 u1c = u1a = u1α = u1 3 3   = m u1 S = 0

u1S = u1β

Bei der Umrichterspeisung der Asynchronmaschine nach Abb. 13.78 ist eine Spannungsmessung vorgenommen worden. Darauf kann verzichtet werden, wenn mit den Spannungssollwerten gearbeitet wird und das Wechselrichterverhalten in das Identifikationsmodell der Maschine eingearbeitet wird. Hierbei sind insbesondere Verriegelungstotzeiten und nichtlineare stromabh¨angige Umrichterspannungsabf¨alle zu ber¨ ucksichtigen, die insbesondere bei kleinen Spannungen oder in der Umgebung der Spannungsnulldurchg¨ange nicht unber¨ ucksichtigt bleiben d¨ urfen. Vorschl¨age dazu finden sich z.B. in [380] oder [379]. Die Ber¨ ucksichtigung des Umrichterspannungsabfalls erfolgt u ¨ber einen nichtlinearen Ventilspannungsabfall UV (I1 ) sowie u ¨ ber den Spannungsabfall u ¨ ber einen Wechselrichter-Ersatzwiderstand RV . Bei Gleichstromspeisung gilt f¨ ur den nichtlinearen Spannungsabfall UW am Wechselrichter: UW (I1 ) = UV (I1 ) + RW I1 (13.253)

546

13 Asynchronmaschine

Testsignalgenerator

i1b = -i1c

t

a

u1

t

i - 1a 2

b

b u1 = 3 × u1b

i1a

c

i - 1a 2

u1

(

a-Erregung i1 b = 0

a

c

3 i1c = i1 b 2 b-Erregung (i1a = 0 )

t

i1

i1a = 0

)

Identifikationsverfahren - Deterministische Verfahren (Gleich- und Wechselspannungsverfahren) - Parameterschätzverfahren Abb. 13.77: Parametersch¨ atzungen im Maschinenstillstand mit α- und β-Erregung

Steuer- und Regelteil

Leistungsteil

Ud Testsignalgenerator

i1a,soll

Stromregler

Cd

Modulator

i



6

t t

3~

i1b,soll u1a

t

w

Wechselric hter

u1b i1a

KW 3

i1b i1a

VSI 

u v

2

iu in iw

i1b

Identifikationsverfahren

Asynchronmaschine

Abb. 13.78: Parametersch¨ atzungen bei geregelten Drehstrom-Asynchronmaschinen

13.6 Parameterbestimmung an Drehstrom-Asynchronmaschinen

W. Michalik

547

U U1 ,2 U1 ,1

UV (I1 ) I1 ,1

I1 ,2

I1

UW (I1 ) Abb. 13.79: Nichtlineares Strom-Spannungsverhalten eines Wechselrichters

Die Wechselrichterkennlinie kann punktweise bei Gleichstromspeisung aufgenommen werden, siehe Abb. 13.79. Da f¨ ur h¨ohere Str¨ome der Anstieg der Spannungskurve des Wechselrichters nur noch vom ohmschen Ersatzwiderstand RW bestimmt wird, l¨asst sich dieser Ersatzwiderstand u ¨ber RW =

U1,1 − U1,2 I1,1 − I1,2

(13.254)

bestimmen. Der verbleibende Ventilspannungsabfall UV kann u ¨ ber N¨aherungsbeziehungen beschrieben werden, wozu h¨aufig Exponentialfunktionen zum Einsatz kommen [380]. Die Ber¨ ucksichtigung der Wechselrichter-Spannungsabf¨alle UW (I1 ) erfolgt durch eine vorzeichen- und phasenrichtige Aufschaltung auf die Spannungssollwerte. Als Beispiel einer Parametersch¨atzung im Maschinenstillstand einer kleinen Asynchronmaschine zeigen die Abbildungen 13.80 und 13.81 sowie Tabelle 13.2 Ergebnisse bei einer Multisinusanregung mit den zwei Frequenzen f1,1 =2 Hz / f1,2 =20 Hz bzw. mit f1,3 =20 Hz / f1,4 =40 Hz. Es wird vom Maschinenmodell nach Gl. (13.249) mit L1 = L2 ausgegangen. Zur Bildung der Ableitungen wird das Euler-Verfahren mit anschließender Messwertgl¨attung u ¨ ber ein gleitendes Mittelwertfilter verwendet. Der St¨anderwicklungswiderstand R1 wird dabei sowohl als unbekannter Parameter als auch als bekannte gemessene Gr¨oße behandelt. Neben der zeitkontinuierlichen Maschinenmodellierung der Asynchronmaschine ist auch eine zeitdiskrete Modellierung mit parameterlinearen Modellen f¨ ur Parametersch¨atzungen geeignet. Es entf¨allt die Bildung der Ableitungen. Wird das Maschinenmodell der Asynchronmaschine im Maschinenstillstand nach Gl. (13.249) in den zeitdiskreten Raum u uhrt, ergibt sich zu den Ab¨berf¨ tastzeitpunkten k folgender Ausdruck i1a (k) = −a1 i1α (k − 1) − a2 i1α (k − 2) + b1 u1α (k − 1) + b2 u1α (k − 2) (13.255)

548

13 Asynchronmaschine

Abb. 13.80: Ungegl¨ atteter und gegl¨ atteter Abb. 13.81: Spannungs- und StromVerlauf des Differenzenquotienten Δi1α /Δt verl¨ aufe bei Multisinusanregung mit f1,3 =20 Hz und f1,4 =40 Hz Tabelle 13.2: Gesch¨ atzte Parameter im Maschinenstillstand bei Anregung mit Zweifachsinussignalen (Klammerwerte = Ergebnisse mit f1,3 =20 Hz und f1,4 =40 Hz, ansonsten f1,1 =2 Hz und f1,2 =20 Hz) sowie Parameter des klassischen Leerlauf- und Kurzschlussversuchs und Differenz zu den Parametern des Parametersch¨ atzverfahrens

Kurzschluss-/ Leerlaufversuch

Sch¨atzung ohne R1

Differenz

Sch¨atzung mit R1

Differenz

ˆ 1 /Ω R

6,7

-

-

7,4 (9,48)

10,4% (41,5%)

@1 /H σL

0,035

0,038 (0,041)

8,5% (17,1%)

0,046 (0,05)

31,4% (42,8%)

ˆ 2 /Ω R

6,05

5,85 (5,65)

-3,3% (6,6%)

6,0 (7,03)

-0,8% (16,2%)

ˆ 2 /H ˆ 1 ,L L

0,41

0,38 (0,33)

-7,3% (-19,5%)

0,29 (0,29)

-29,26% (-29,26%)

mit den mathematischen Parametern a1 , a2 , b1 und b2 a1 = −eλ1 TAbtast − eλ2 TAbtast

(13.256)

a2 = eλ1 TAbtast · eλ2 TAbtast (13.257)  λ1 T  λ2 T   b1 = r1 e Abtast − 1 + r2 e Abtast − 1 (13.258)     b2 = r1 eλ1 TAbtast · 1 − eλ1 TAbtast + r2 eλ2 TAbtast · 1 − eλ2 TAbtast (13.259)

13.6 Parameterbestimmung an Drehstrom-Asynchronmaschinen

W. Michalik

549

den Residuen r1 und r2 , der Abtastzeit TAbtast sowie den Polstellen (Eigenwerten) λ1 und λ2 . Die R¨ uckrechnung der physikalischen Parameter aus den mathematischen Parametern ist z.B. in [381] oder [372] beschrieben. Mit den gemessenen Spannungen und Str¨omen folgt: y = Xˆ p+e

(13.260)

X ∈ RN +1,2m = ⎡ ⎤ −i1α [k − 1] −i1α [k − 2] · · · −u1α [k − 1] u1α [k − 2] ⎢ −i1α [k] −i1α [k − 1] ··· −u1α [k] u1α [k − 1] ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ .. .. .. .. .. ⎣ ⎦ . . . . . −i1α [k + N − 1] −i1α [k + N − 2] · · · −u1α [k − N] u1α [k + N − 1] (13.261) y T = (i1α [k]

i1α [k + 1]

eT = (e [k] e [k + 1] · · ·

···

i1α [k + N]) ∈ RN +1

e [k + N]) ∈ RN +1

(13.262) (13.263)

Die zu sch¨atzenden Parameter k¨onnen mit der direkten L¨osung der MKQ bestimmt werden: % &−1 T pˆ = XT X X y (13.264) Bei Parametersch¨atzungen mit dem zeitdiskreten Maschinenmodell ist die Wahl der Abtastzeit TAbtast von großer Bedeutung und meist kritischer als bei der Identifikation zeitkontinuierlicher Modelle. Der Optimierung des Anregungssignals kommt bei diesen Modellen große Bedeutung zu. Ohne diese Optimierung k¨onnen leicht Fehler in unakzeptablen Gr¨oßenordnungen auftreten, die zu unbrauchbaren Ergebnissen f¨ uhren, siehe z.B. [372]. Die direkte MKQ nach Gl. (13.264) nutzt f¨ ur die Sch¨atzung des Parametervektors stets alle N gemessenen Wertepaare des Stromes und der Spannung bzw. deren Ableitungen. Fallen w¨ahrend der Parametersch¨atzung laufend neue Messdaten an, muss der gesamte Algorithmus f¨ ur alle betrachteten Werte neu gestartet werden. W¨achst deren Zahl mit der Zeit, so erh¨alt man schnell unhandlich große Datens¨atze und aufwendige Matrizeninversionen. Anders bei der rekursiven L¨osung des linearen Ausgleichsproblems, wo durch laufende Hinzunahme weiterer Messwerte in die Sch¨atzung eine Korrektur des bisherigen Parametervektors erfolgt. Dazu wird der gesch¨atzte Parametervektor pˆ[k] in jedem Abtastschritt u ¨ ber den Beobachtungsfehlervektor e[k] um eine Parameterdifferenz Δˆ p[k + 1] korrigiert. Es entsteht ein neuer Parametervektor pˆ[k + 1]: pˆ[k + 1] = pˆ[k] + Δˆ p[k + 1]

(13.265)  pˆ[k + 1] = pˆ[k] + P[k + 1] · x[k + 1] · y[k + 1] − xT [k + 1] · pˆ[k] (13.266) 

550

13 Asynchronmaschine

Der Ausdruck P[k + 1] · x[k + 1] kann hierbei als Korrekturvektor g[k] aufgefasst werden: g[k] = P[k + 1] · x[k + 1]  −1 = P[k] · x[k + 1] · xT [k + 1] · P[k] · x[k + 1] + 1

(13.267)

mit der Kovarianzmatrix der Parametersch¨atzfehler zum Zeitpunkt [k + 1]:   (E = Einheitsmatrix) (13.268) P[k + 1] = E − g[k] · xT [k + 1] · P[k] Dem Vorteil der fehlenden Inversion der Informationsmatrix XT X bei der rekursiven Form der MKQ steht der Nachteil der geeigneten Wahl der Anfangswerte des Parametervektors pˆ[0] sowie der Kovarianzmatrix der Parametersch¨atzfehler P[0] gegen¨ uber. W¨ahrend Annahmen f¨ ur die Anfangswerte der Parameter aus ¨ theoretischen Uberlegungen, a-priori-Sch¨atzwerten oder Annahmen m¨oglich sind, lassen sich f¨ ur die Kovarianzmatrix nur grobe Absch¨atzungen angeben, so z.B. in [365] aus Absch¨atzungen der Signal¨anderung oder nach [392] in Abh¨angigkeit der zu erwartenden St¨orung: - Bei geringen St¨orungen: P[0] = c · E;

1010 ≤ c ≤ 1015

- Bei gr¨oßeren St¨orungen: P[0] = c · E;

103 ≤ c ≤ 106

Eine Variante der rekursiven MKQ stellt die gewichtete rekursive MKQ dar, die z.B. zur Identifikation von langsam zeitver¨anderlichen Parametern geeignet ist. Dazu wird als Wichtungsfaktor ein Vergessensfaktor eingesetzt, der weiter zur¨ uckliegende Fehler schw¨acher wichtet als aktuelle Fehler. Werden dazu z.B. Exponentialfunktionen eingesetzt, k¨onnen Sch¨atzalgorithmen mit exponentiell nachlassendem Ged¨achtnis aufgebaut werden, allerdings auf Kosten der St¨orsignalunterdr¨ uckung. Rekursive Parametersch¨atzungen werden insbesondere im Echtzeitbetrieb eingesetzt, z.B. im Zusammenhang mit Parameterbestimmungen und -nachf¨ uhrungen bei feldorientiert geregelten Drehstromantrieben [363, 372, 381]. Die Abbildungen 13.82 und 13.83 zeigen Ergebnisse einer rekursiven Parametersch¨atzung unter Verwendung eines zeitdiskreten Maschinenmodells der Asynchronmaschine nach Gl. (13.255). Als Anregungssignal ist ein einphasiger Spannungssprung verwendet worden, die Abtastfrequenz ist nach [372] optimiert worden. Der gemessene und mit ausgeglichenen Parametern berechnete Stromverlauf zeigt Abb. 13.83a. beide Verl¨aufe sind nahezu deckungsgleich und mit einer Standardabweichung des Restfehlers von se =0,0032 A nicht mehr unterscheidbar. Die dazugeh¨origen Parameter zeigt Tabelle 13.3. Wird dagegen der Stromverlauf beim Spannungssprung mit Parametern aus dem klassischen Kurzschluss- und Leerlaufversuch berechnet, ergibt sich der Verlauf nach Abb. 13.83b. Die Abweichungen der beiden Stromverl¨aufe sind hier betr¨achtlich gr¨oßer als in Abb. 13.83a, dies zeigt sich in den Restfehlerverl¨aufen e(t) sowie in der Standardabweichung se =0,039 A.

W. Michalik

13.6 Parameterbestimmung an Drehstrom-Asynchronmaschinen 0.5

(n)

(n)

a2

mathematische Parameter

(n)

(n) (n)

551

s s

0

(n)

(n)

b1

b2

-0.5

(n)

a1

1

-1.5 0

0.2

t /s

0.4

Abb. 13.82: Rekursionsverlauf der mathematischen und physikalischen Parameter bei Anwendung eines rekursiv arbeitenden Parametersch¨ atzverfahrens und Maschinenanregung mit einem Spannungssprung, (Abtastfrequenz f =200 Hz, I1α =3,0 A bei U ≈30 V) 3

3

se=0,0032A 2

ˆi1a (t ) i1a (t ) , A A

1

se=0,039A

2

e (t ) A

×100

i1a (t ) 1

i1a (t ) ber. A

A

e (t ) ×10 A

0

0

0

0.2

0.4

t /s

a)Gemessener Stromverlauf (i1α (t)/A), mit den gesch¨atzten Parametern berechneter Stromverlauf (ˆi1α (t)/A) sowie Restfehlerverlauf (e(t)/A)

0

0.2

0.4

t /s

b)Gemessener Stromverlauf (i1α (t)/A), mit den Parametern des Leerlaufund Kurzschlussversuchs berechneter Stromverlauf (i1α (t)ber./A) sowie Restfehlerverlauf (e(t)/A)

Abb.13.83: Ergebnisse von Parametersch¨ atzungen mit dem zeitdiskreten Maschinenmodell, Vergleich der Sprungantworten des Stromes

552

13 Asynchronmaschine

Tabelle 13.3: Parameter der Asynchronmaschine nach Abb. 13.82 und 13.83

@1 /H σL ˆ h /H L ˆ 1 /Ω R ˆ 2 /Ω R

Anfangswerte (0) pi

Gesch¨atzte Parameter nach (5) f¨ unf Rekursionen, pˆi

Variationskoeffizient (5) spi /ˆ pi

0,056

0,025

6,6%

0,42

0,44

8,0%

7,9

6,76

4,54%

8,5

5,12

5,5%

Weitere Beispiele f¨ ur Parametersch¨atzungen im Maschinenstillstand sind auch in [380, 381] und [347] beschrieben. - Parametersch¨ atzungen im Leerlauf der Drehstrom-Asynchronmaschine Zur Parametersch¨atzung im Leerlauf der Asynchronmaschine mit der direkten MKQ kann von der parameterlinearen Modellgleichung, Gl. (13.233), ausgegangen werden. Um alle Maschinenparameter zu identifizieren, sind nichtsinusf¨ormige Eingangsgr¨oßen notwendig, die ein breites Frequenzspektrum anregen (fortdauernde Anregung). Ein monoharmonisches Anregungssignal, das z.B. beim klassischen Leerlaufversuch bei Speisung des Pr¨ uflings mit dem sinusf¨ormigen Drehstromnetz verwendet wird, erf¨ ullt nicht die Forderung der fortdauernden Anregung des gesamten Maschinenmodells. Auch das Frequenzspektrum einer umrichtergespeisten Asynchronmaschine ist dazu kaum geeignet. Bei modernen PWM-Umrichtern mit Sinusmodulation liegt der Effektivwert der Umrichterspannung U1 zum Effektivwert der Grundschwingung U1(1) etwa bei U1 /U1(1) ≈1,14...1,23. Die besonders interessanten unmittelbar auf die Grundschwingung folgenden niederen Harmonischen mit ungerader Ordnungszahl sind nur mit einem verschwindend geringen Anteil von etwa <2% feststellbar. Und nur diese niederen Harmonischen f¨ uhren zu nennenswerten Parameterempfindlichkeiten, w¨ahrend der dominierend hohe Anteil Harmonischer mit Pulsfrequenz und ganzzahligem Vielfachen der Pulsfrequenz mit jeweils zugeordneten Seitenb¨andern kaum Parameterempfindlichkeiten liefert und durch ihre hohe Frequenz zu Parameternichtlinearit¨aten f¨ uhrt [372]. Das gleiche gilt f¨ ur Parametersch¨atzungen im station¨aren Belastungslauf. Um verbesserte Identifikationsbedingungen im Leer- oder Belastungslauf zu erm¨oglichen, k¨onnten einem Umrichter Oberschwingungen niederer Ordnung — wie 5. und 7. Ordnung — k¨ unstlich u ¨berlagert werden. Da dadurch allerdings erh¨ohte Leistungsverluste und Stromverdr¨angungseffekte auftreten k¨onnen, m¨ ussten einstellbare Filter (anti-aliasing-Filter) und ein Doppelk¨afigmodell zur Ber¨ ucksichtigung der Stromverdr¨angung eingesetzt werden. In [356] wird zur Parameter- und Schlupfsch¨atzung im Leerlauf von Asynchronmaschinen ein Umrichter im Blockbetrieb verwendet. Damit stehen

13.6 Parameterbestimmung an Drehstrom-Asynchronmaschinen

W. Michalik

553

gr¨oßere Amplituden der niederen Harmonischen zur Verf¨ ugung. Damit werden Parameter- und Schlupfsch¨atzungen mit zufriedenstellenden Ergebnissen m¨oglich. Allein der L¨auferwiderstand wird zus¨atzlich aus einer separaten Spektralanalyse der Impedanzwerte im Maschinenstillstand bestimmt. Es wird eine hohe Reproduzierbarkeit der Sch¨atzergebnisse unter gleichen Testbedingungen von unter 1% angegeben. Vergleiche der gesch¨atzten Parameter mit klassisch bestimmten Werten fehlen. In anderen Ver¨offentlichungen wird versucht, die geringe Anregung eines modernen Umrichters wenigstens zur Ermittlung und Nachf¨ uhrung eines einzelnen Parameters zu nutzen. So wird in [391] die f¨ ur feldorientierte Regelungen notwendige Nachf¨ uhrung der temperaturabh¨angigen Rotorzeitkonstante T2 und des St¨anderwiderstandes R1 bei laufender Maschine im station¨aren Betrieb in Echtzeit vorgenommen. Alle anderen Parameter werden offline im Leerlauf- bzw. im Belastungsversuch bestimmt. Es ist festzustellen, dass der Betrieb der Drehstrom-Asynchronmaschine im station¨aren Leer- oder Lastlauf sich wenig f¨ ur eine umfassende Parametersch¨atzung eignet, da die erforderliche Maschinenanregung durch ein ausreichendes Frequenzspektrum nicht gegeben ist. 13.6.3.3

Parametersch¨ atzungen an Drehstrom-Asynchronmaschinen bei nichtlinearem Parametereinfluss auf die Sch¨ atzfehler

- Parametersch¨ atzungen mit nichtlinearer Ausgleichsrechnung2) Ein nichtlineares Ausgleichs- bzw. Quadratmittelproblem liegt vor, wenn die Zielfunktion Nebenbedingungen gen¨ ugen muss oder die zu identifizierenden Modellparameter nichtlinear in die Fehlergleichung eingehen (fehlerbezogene Parameternichtlinearit¨at), d.h. eine Modellierung der Asynchronmaschine nach Gl. (13.224) ist nicht mehr gegeben. Dazu z¨ahlen insbesondere Maschinenmodellierungen f¨ ur dynamische Betriebszust¨ande ohne Drehzahlmessung oder auch Maschinenmodellierungen im Stillstand bzw. station¨aren Betrieb mit Hilfe von Frequenzg¨angen bzw. Admittanzfunktionen. Die Identifikation des Parametervektors der Asynchronmaschine in einem Schritt ist mit einem solchen Modell nicht mehr m¨oglich und wird durch eine iterative L¨osung u uhrt zur nicht¨ber das Suchverfahren ∂J/∂ pˆ → 0 ersetzt und f¨ linearen Ausgleichsrechnung. ¨ Ahnlich wie beim rekursiven Algorithmus nach Gl. (13.265) wird hierbei von einem Anfangsvektor pˆ(0) der Parameter ausgegangen und schrittweise u ¨ber das (ν+1) G¨ utekriterium eine Parameter¨anderung Δˆ p bestimmt, die die Parameter im Vektor pˆ iterativ so verbessert, dass sie das Suchverfahren erf¨ ullt: p(ν+1) pˆ(ν+1) = pˆ(ν) + Δˆ

(13.269)

2) Eine ausf¨ uhrliche Beschreibung zu den Grundlagen der nichtlinearen Optimierung finden Sie in [385].

554

13 Asynchronmaschine

Gegen¨ uber den L¨osungen bei linearem Parametereinfluss auf den Sch¨atzfehler erfordert dieser iterative Algorithmus einen erheblich gr¨oßeren Berechnungsaufwand. Parametersch¨atzungen unter Echtzeitforderungen k¨onnen damit schnell problematisch werden. Bekannte Verfahren der nichtlinearen Ausgleichsrechnung basieren insbesondere auf nichtlinearen Gradientenverfahren (Gauss-Newton-Verfahren, Levenberg-Marquardt-Verfahren, ...) und unterscheiden sich insbesondere in der Bestimmung der Parameterver¨anderung Δˆ p in Gl. (13.269). Bei den Gradientenverfahren wird das G¨ utekriterium J(ˆ p) f¨ ur kleine Parameterabweichungen Δˆ p aus einer Taylorreihe entwickelt:    p = J pˆ + J pˆ + Δˆ 



   T   ∂J pˆ ∂ 2 J pˆ 1 T p · · Δˆ p + · · · (13.270) · Δˆ p + Δˆ ∂ pˆ 2 ∂ pˆT ∂ pˆ

mit dem Gradientenvektor    T        ∂J pˆ ∂J pˆ ∂J pˆ ∂J pˆ = ··· ∂ pˆ ∂ pˆ1 ∂ pˆ2 ∂ pˆm und der Hessematrix ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ = ⎢ T ⎢ ∂ pˆ ∂ pˆ ⎣

  ∂ 2 J pˆ

    ∂ 2 J pˆ ∂ 2 J pˆ ··· ∂ pˆ1 ∂ pˆ1 ∂ pˆ1 ∂ pˆm .. .. .  .  2 2 ∂ J pˆ ∂ J pˆ ··· ∂ pˆm ∂ pˆ1 ∂ pˆm ∂ pˆm

(13.271)

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(13.272)

Ein Gradientenalgorithmus erster Ordnung entsteht durch Abbruch der Taylorreihe nach dem Glied mit der ersten Ableitung:    T       ∂J pˆ J pˆ + Δˆ p ≈ J pˆ + · Δˆ p = J pˆ + ΔJ pˆ ∂ pˆ

(13.273)

Die Ver¨anderung des G¨ utekriteriums ΔJ pˆ h¨angt von der gew¨ahlten Parameterver¨anderung Δˆ p ab. Sie wird iterativ bestimmt und erreicht einen Maximalwert (steilster Abstieg) f¨ ur den ν-ten Iterationsschritt u ¨ber die Beziehung   ∂J pˆ(ν) Δˆ p(ν) = −α(ν) · (13.274) ∂ pˆ wobei α(ν) eine positive skalare Gr¨oße ist, die eine Funktion des Iterationsschrittes ν sein kann. Als Gradientenalgorithmus 1. Ordnung ergibt sich der Ausdruck

13.6 Parameterbestimmung an Drehstrom-Asynchronmaschinen

pˆ(ν+1) = pˆ(ν) − α(ν) ·

W. Michalik

555

  ∂J pˆ(ν) ∂ pˆ

(13.275)

Dieser Ausdruck ist zwar rechnerisch einfach, in der N¨ahe des Optimums aber nur sehr langsam konvergierend. Eine Konvergenzverbesserung l¨asst sich durch Abbruch der Taylorreihe nach Gl. (13.270) nach dem Glied zweiter Ordnung erreichen, so dass das Extremum des G¨ utekriteriums u ¨ ber die Beziehung       2 ∂J pˆ + Δˆ ∂J pˆ ∂ J pˆ p = + · Δˆ p = 0 (13.276) ∂Δˆ p ∂ pˆ ∂ pˆT ∂ pˆ bestimmt werden kann und f¨ ur die Wahl von Δˆ p gilt: −1      ∂ 2 J pˆ ∂J pˆ · Δˆ p = − ∂ pˆ ∂ pˆT ∂ pˆ

(13.277)

Daraus folgt der wesentlich schneller konvergierende Newton-Algorithmus:   ⎞−1 ⎡   ⎤ ⎛ ∂ 2 J pˆ(ν) ∂J pˆ(ν) (ν+1) (ν) ⎝ ⎣ ⎠ ⎦ = pˆ − · (13.278) pˆ ∂ pˆ ∂ pˆT ∂ pˆ Bei der direkten Implementierung des Newton-Algorithmus ist jedoch nicht gew¨ahrleistet, dass das Verfahren gegen ein Minimum konvergiert! Die Ableitung nach Gl. (13.276) ist auch bei einem Sattelpunkt oder bei einem Maximum Null. Damit das Optimierungsverfahren stabil arbeitet, muss die Abstiegsbedingung J(ˆ p(ν+1) ) < J(ˆ p(ν) ) erf¨ ullt sein. Das ist gegeben, wenn die Hessematrix (Gl. (13.272)) positiv definit ist, wenn also alle Eigenwerte der Matrix gr¨oßer Null sind (dann ist die quadratische Approximation des G¨ utekriteriums nach oben ge¨offnet). Der Rechenaufwand f¨ ur den Newton-Algorithmus ist durch die Bildung der Hessematrix allerdings relativ hoch. Deshalb wird die Hessematrix meist durch die Jacobimatrix angen¨ahert: ⎡     ⎤ ∂e1 pˆ(ν) ∂e1 pˆ(ν) ⎥ ⎢   ··· ⎥ ⎢ ∂ pˆ1 ∂ pˆm ⎥ ⎢   ∂e pˆ(ν) ⎥ ⎢ . . (ν) .. .. Jac pˆ (13.279) = = ⎥ ⎢     ⎥ ⎢ ∂ pˆ(ν) ⎥ ⎢ ∂e pˆ(ν) (ν) ∂eN pˆ N ⎦ ⎣ ··· ∂ pˆ1 ∂ pˆm Der Fehlervektor e wurde bereits in den Gl. (13.222) und Gl. (13.223) eingef¨ uhrt und beinhaltet die Fehlerwerte zu verschiedenen Zeitpunkten. In Matrix-Vektor Schreibweise folgt daraus f¨ ur den Gradienten:       ∂J pˆ(ν) (13.280) = 2 · JacT pˆ(ν) · e pˆ(ν) (ν) ∂ pˆ

556

13 Asynchronmaschine

F¨ ur die Hessematrix gilt n¨aherungsweise:       ∂ 2 J pˆ(ν) (ν) T p ˆ · Jac pˆ(ν) ≈ 2 · Jac ∂ pˆT ∂ pˆ

(13.281)

Setzt man diese N¨aherung sowie den Gradienten nach Gl. (13.280) in die Berechnungsvorschrift des Newton-Algorithmus ein, so erh¨alt man die Berechnungsvorschrift nach dem Gauss-Newton-Verfahren:    −1      pˆ(ν+1) = pˆ(ν) − JacT pˆ(ν) · Jac pˆ(ν) · JacT pˆ(ν) · e pˆ(ν) (13.282) Der große Vorteil dieser Berechnungsvorschrift besteht darin, dass keine zweiten Ableitungen berechnet werden m¨ ussen. Jedoch gew¨ahrleistet das GaussNewton-Verfahren analog zum Newton-Algorithmus keine Konvergenz der Parameter! Um die Konvergenz unabh¨angig von den Parameterstartwerten pˆ(0) zu sichern i bzw. zu verbessern, wurde von Levenberg/Marquardt ein Algorithmus entworfen, der u ¨ber ein Skalierungsverfahren die vorher erw¨ahnte Abstiegsbedingung erzwingt:          −1 pˆ(ν+1) = pˆ(ν) − JacT pˆ(ν) · Jac pˆ(ν) + μ(ν) · E · JacT pˆ(ν) · e pˆ(ν) (13.283) E ist dabei die Einheitsmatrix, die Gr¨oße μ(ν) stellt einen Skalierungsfaktor dar, der u ¨ber einen festen Faktor ϑ > 1 angepasst wird. Wenn der aktuelle Optimierungsschritt zu einem schlechteren G¨ utekriterium J(ˆ p(ν+1) ) f¨ uhrt, so wird μ(ν) solange mit ϑ multipliziert, bis der Optimierungsschritt eine Verbesserung erreicht. F¨ uhrt der aktuelle Optimierungsschritt gleich zu einer Verbesserung, so wird mittels Division von μ(ν) durch ϑ eine h¨ohere Konvergenzgeschwindigkeit erreicht. Diese so genannte Skalierung gew¨ahrleistet die Konvergenz der Parameter. Ist der Skalierungsfaktor μ(ν) groß, so garantiert der Algorithmus die Konvergenz nach dem Gradientenabstieg mit der Lernschrittweite α(ν) = 1/μ(ν) . Bei kleinem Skalierungsfaktor μ(ν) geht das Levenberg-Marquardt-Verfahren in das Gauss-Newton-Verfahren u ¨ ber. Die Anwendung des Levenberg-Marquardt-Algorithmus wird vor allen Dingen auch bei schlecht konditionierten Gleichungssystemen empfohlen. Weitere ausf¨ uhrliche Darstellungen sind z.B. in [365] oder [392] zu finden. - Parametersch¨ atzung mit einem Vierparametermodell der Asynchronmaschine im dynamischen Betrieb Ein Beispiel f¨ ur Parametersch¨atzungen mit nichtlinearer Ausgleichsrechnung zeigt Abb. 13.84. Ausgewertet wurde ein dynamischer Vorgang, der Schnellhochlauf der Asynchronmaschine bei Nennspannung und ohne zus¨atzliche Massentr¨agheitsmomente. Als Maschinenmodell ist ein Modell mit konzentrierter St¨anderstreuinduktivit¨at, das inverse Γ -Modell analog Abb. 13.71 verwendet worden (R1 wird wiederum als bekannt vorausgesetzt).

13.6 Parameterbestimmung an Drehstrom-Asynchronmaschinen

W. Michalik

557

Standardabweichung des Restfehlers: se=0,81A

10

i1 A 0.01

0

0.02

0.03

0.04

t/s i1(t) - gemessen

-10

i1(t) - berechnet mit Parameterstartwerten ^

i1(t) - berechnet mit optimierten Parametern -20

Startwerte

Gesch¨atzte Parameter nach sechs Iterationen

Variationskoeffizient

Differenz

(6)

(0)

pi @1 σL H

0,023

(6)

pˆi ± spi 0,0317

(6)

spi /ˆ pi

(0)

pˆi − pi (0)

pi

3,78%

+37,8%

11,57%

-52,3%

5,02%

-30,56%

±0,0012



ˆ L h H

0,44

ˆ 2 R Ω

7,23

0,2100 ±0,0243 5,02 ±0,252

Abb.13.84: Ausgeglichener und gemessener Stromverlauf beim Schnellhochlauf (oben) und Ergebnisse der Parametersch¨ atzung (unten)

558

13 Asynchronmaschine

se A

4

2

0 45 s L1 mH

40

4

35 ìs L = 31,7 mH min (se )í ^ 1' î R2 = 5,02 W

25

20

5 ^

R W ' 2

Abb.13.85: Standardabweichung des Restfehlers in der Umgebung der ausgeglichenen Parameter

Im St¨anderkoordinatensystem ergeben sich folgende Spannungs- und Flussverkettungsgleichungen3) : u1

S

S  S S di1  diμ  + Lh = i1 R1 + σL1 dt dt

 S S  S  diμ    − jΩL Lh iμ 0 = i2 R2 + Lh dt S S  ψ1 = σL1 i1 + Lh iμ

(13.284)

S

S S  ψ2 = Lh iμ

sowie die Drehmoment- und Bewegungsgleichung: 1 S S∗ 2 3 MM i = − Zp m ψ1 i1 2

(13.285)

(13.286)

dΩ (13.287) = MM i − MW dt Das Widerstandsmoment MW wurde zu Null gesetzt, die numerische Differentiation des Differentialgleichungssystems in der Ausgleichsrechnung mit dem Runge-Kutta-Verfahren durchgef¨ uhrt. Θ

3) Bei symmetrischem Aufbau von Stator und Rotor, r¨ aumlich sinusf¨ ormig verteilte Durchflutungen und Felder, der Vernachl¨ assigung von Eisen- und Zusatzverlusten und der Annahme konstanter Parameter.

13.6 Parameterbestimmung an Drehstrom-Asynchronmaschinen

W. Michalik

559

Gemessen wurden einphasige Spannungs- und Stromverl¨aufe. In Abb. 13.84 ist der gemessene Stromverlauf i1 (t) dargestellt, nach dem ausgeglichen worden ist, der berechnete Stromverlauf unter Verwendung der Parameterstartwerte sowie der ausgeglichene Verlauf mit den optimierten Parametern. Abbildung 13.84 zeigt die Ergebnisse in Tabellenform nach sechs Iterationen der Ausgleichsrechnung. Weitere Iterationen f¨ uhren nur noch zu vernachl¨assigbaren Parameterkorrekturen. Zur Parametersch¨atzung ist ein nichtlineares Optimierungsverfahren auf der Grundlage des Levenberg-Marquardt-Verfahrens eingesetzt worden. Nach der Parametersch¨atzung verbleibt ein nicht ausgleichbarer Restfehler, der zu einer Restfehlerstandardabweichung von se =0,81 A f¨ uhrt. Diese StandardA1 abweichung ist in der Umgebung der ausgeglichenen Maschinenparameter σL  ˆ und R2 in Abb. 13.85 dargestellt. Innerhalb eines gr¨oßeren Wertebereichs der beiden Parameter zeigt sich ein deutliches und ausgepr¨agtes Minimum der Standardabweichung mit den ausgeglichenen Parametern. - Parametersch¨ atzung mit einem erweiterten Modell der Asynchronmaschine im dynamischen Betrieb Beim Schnellhochlauf f¨ uhren hohe Einschaltstromspitzen zur S¨attigung der Streuinduktivit¨aten, die mit wachsendem Strom kleiner werden. Es ist bekannt, dass infolge dieser Streufelds¨attigung beim direkten Einschalten einer Asynchronmaschine bei Nennspannung der gemessene Kurzschlussstrom um ca. 15...30% gr¨oßer ausf¨allt als durch die u ¨ blichen Berechnungsmethoden mit konstanten Parametern ermittelt [372]. Zur Parameteridentifikation von Asynchronmaschinenmodellen mit Ber¨ ucksichtigung der Streufelds¨attigung bei gr¨oßeren Str¨omen bieten sich empirische Methoden mit ihren einfachen N¨aherungen an, die z.B. in [367] beschrieben und dort auch f¨ ur Parameteridentifikationen angewendet worden sind. Hierbei wird davon ausgegangen, dass sich die gesamte Streufeldinduktivit¨at in einen s¨attigungsunabh¨angigen Anteil σL1u sowie einen s¨attigungsabh¨angigen Anteil σL1u ·χ aufspalten l¨asst: σL1 (i1 ) = 0, 5 · σL1u (1 + χ) (13.288) Der Streufelds¨attigungsfaktor χ ist ein Maß f¨ ur die Abnahme der Streufeldinduktivit¨at mit steigendem St¨anderstrom i1 und l¨asst sich mit dem Nennstrom I1N u ¨ber die N¨aherung I1N · ka + kb (13.289) χ = i1 ausdr¨ ucken. Die beiden Parameter ka und kb sind konstruktionsabh¨angige Gr¨oßen und m¨ ussen u ¨ber das Identifikationsverfahren bestimmt werden. Der Einfluss der Ber¨ ucksichtigung der s¨attigungsabh¨angigen Streureaktanz soll am Beispiel des Schnellhochlaufs einer Asynchronmaschine mit PN =7,5 KW gezeigt werden. Eine Parametersch¨atzung mit dem Vierparametermodell nach Abb. 13.71 und der nichtlinearen Ausgleichsrechnung analog dem vorherigen Bei@1 =0,025 H, spiel ergibt einen Fehler von se =18,7 A und Parameterwerte von σL ˆ 2 =1,47 Ω. ˆ  =0,406 H und R L h

560

13 Asynchronmaschine

Gesch¨atzte Parameter pˆi ± spi

Variationskoeffizienten spi /ˆ pi

A 1u σL H

0,015 ±0,0018

12%

ˆ L h H

0,36±0,011

30,55%

ˆ 2 R Ω kˆa

1,6±0,011

6,8%

0,191±0,021

11,05%

kˆb

0,867±0,12

13,84%

Abb.13.86: Gemessener und ausgeglichener Stromverlauf beim Schnellhochlauf einer Asynchronmaschine mit PN =7,5 KW, erweitertes Modell mit Ber¨ ucksichtigung der Streufelds¨ attigung

Wird das Asynchronmaschinenmodell um den Einfluss der s¨attigungsabh¨angigen Streufeldinduktivit¨at entsprechend Gl. (13.288) und Gl. (13.289) erweitert, zeigt sich eine deutlich bessere Anpassung des berechneten Stromverlaufs ˆi1 an den gemessenen Verlauf i1 . Abbildung 13.86 zeigt die Ergebnisse. Die Standardabweichung des Restfehlers sinkt von se =18,7 A auf se =14,17 A und f¨ uhrt zu den ebenfalls in Abb. 13.86 dargestellten Parametern. Die schlechtere Anpassung des Stromverlaufs der Maschine mit dem Vierparametermodel wird u ¨berwiegend durch die Vernachl¨assigung des Einflusses der

13.6 Parameterbestimmung an Drehstrom-Asynchronmaschinen

W. Michalik

561

s¨attigungsabh¨angigen Streufeldinduktivit¨at hervorgerufen. Weitere Parameternichtlinearit¨aten entstehen durch Stromverdr¨angungseffekte im L¨aufer. Parameteridentifikationen mit dieser Maschine und einem Doppelk¨afigmodell in [372] f¨ uhren ebenfalls zu deutlich besseren Anpassungen des Stromverlaufs. Die Standardabweichung des Restfehlers sinkt von se =18,7 A auf se =15,4 A. Die Anwendung der nichtlinearen Ausgleichsrechnung f¨ uhrt immer zu konstanten Parameterwerten f¨ ur den gesamten ausgewerteten dynamischen Vorgang. Tritt nichtlineares Parameterverhalten w¨ahrend dieses Vorgangs auf, das nicht vom Modell erfasst wird, sind nichtrepr¨asentative und fehlerhafte Parameterwerte die Folge. Unter Umst¨anden sind umfangreiche Modellverfeinerungen und damit Erweiterungen des Parametervektors notwendig, die schnell die Grenze der M¨oglichkeiten von Parametersch¨atzverfahren erreichen. Die Identifikation zeitabh¨angiger, variabler Parameterverl¨aufe gelingt dagegen mit nichtlinearen Filtern. Anwendbar sind hierbei insbesondere das Erweiterte-Kalman-Filter (EKF) oder das Erweiterte-Kalman-BucyFilter (EKBF). Parametersch¨ atzungen mit dem Erweiterten-Kalman-Filter (EKF) Ausgangspunkt des Kalman-Filters bildet der rekursiv arbeitende Sch¨atzalgorithmus im zeitdiskreten Zustandsraum nach Gl. (13.265), wobei der Parametervektor pˆ[k] durch den Zustandsgr¨oßenvektor xˆ[k] ersetzt wird: xˆ[k/k] = xˆ[k/k − 1] + Δˆ x[k] ; k≥0 ;   = xˆ[k/k − 1] + K[k] y[k] − yˆM [k]

xˆ (t0 ) = xˆ[0] (13.290)

(K = Kalman-Verst¨arkungsmatrix; zum besseren Verst¨andnis ist die Notation in Gl. (13.290) f¨ ur die Zust¨ande um den Zeitpunkt erweitert, der ihrer Bestimmung zugrunde liegt) Diese Korrektur des Zustandsgr¨oßenvektors f¨ uhrt bei gaußverteilten St¨orungen zu biasfreien Zustandsgr¨oßen mit minimaler Fehlervarianz und somit zu einer im Sinne des quadratischen G¨ utekriteriums optimalen L¨osung. Erweitert man den Zustandsgr¨oßenvektor des Kalman-Filters um unbekannte Parameter des Systems, ist die Filterung auch f¨ ur Parametersch¨atzungen geeignet und f¨ uhrt zum Erweiterten-Kalman-Filter (EKF). Das EKF nimmt in jedem Abtastschritt eine neue Parameter- und Zustandsgr¨oßensch¨atzung vor. Es ist damit zur Parametersch¨atzung konstanter als auch zeitvarianter bzw. variabler Parameter geeignet. Dabei ist die Sch¨atzung konstanter Parameter mit dem EKF identisch mit der eines MKQ-Sch¨atzers. Da bei dieser gleichzeitigen Sch¨atzung von Parametern und Zust¨anden durch das EKF Produkte unbekannter Gr¨oßen entstehen, ist das Sch¨atzproblem grunds¨atzlich nichtlinear, unabh¨angig davon ob das System in linearer oder nichtlinearer Form vorliegt. Um trotzdem den Algorithmus des Kalman-Filters in angepasster Form einsetzen zu k¨onnen, ist generell eine Systemlinearisierung notwendig.

562

13 Asynchronmaschine

Obwohl selbst im Vergleich zu nichtlinearen Optimierungsverfahren nichtlineare Filter mit ihrer rekursiven Arbeitsweise vergleichsweise zeitintensiv und mit hohem mathematischem Aufwand verbunden sind, wird bei praktischen Anwendungen trotzdem u ¨berwiegend Echtzeitf¨ahigkeit angestrebt. Allerdings ist nach [361] das EKF gegen¨ uber anderen Filtern noch vergleichsweise g¨ unstig im Aufwand. Es bietet sich an, auf fertige Programmpakete zur¨ uckzugreifen, die lediglich die Implementation des Maschinenmodells erfordern. Filteralgorithmus des EKF: Der eigentliche Filteralgorithmus des EKF ist vom gew¨ahlten Modell unabh¨angig. Wird ein (nichtlineares) Modell eines Pr¨ uflings in den zeitdiskreten Raum u uhrt und durch zwei vektorielle Rauschprozesse erg¨anzt, durch das System¨berf¨  rauschen ν [k], das die Stochastik von Eingangsgr¨oßen- und Modellfehlern wieder gibt, als auch durch das Messrauschen n [k], das die Stochastik von Messfehlern des Ausgangsvektors repr¨asentiert, ergibt sich das Systemmodell zu 

x[k + 1] = f (x[k],u[k]) + F[k] ν [k] 

= Ad (x[k]) x[k] + Bd (x[k]) u[k] + F[k] ν [k]

(13.291)

und das Ausgangs- bzw. Beobachtungsmodell zu 

y M [k] = h (x[k]) + n [k] 

= Cd (x[k]) x[k] + n [k]

(13.292)

mit der (n + m) × (n + m)-Dynamikmatrix Ad , der (n + m) × u-Steuermatrix Bd , der (n+m)×(u+m)-Eingangsmatrix des Systemrauschens F und der y×(u+m)Ausgangsmatrix Cd (n=Anzahl der Zustandsgr¨oßen, m=Anzahl der Parameter, u=Anzahl der Eingangsgr¨oßen, y=Anzahl der Ausgangsgr¨oßen). Der Zustandsvektor x mit den Zustandsgr¨oßen x1 ...xn ist um die unbekannten Parameter p1 ...pm erweitert:   p1 [k] · · · pm [k] x[k]T = x1 [k] · · · xn [k] (13.293) Es sei angenommen, dass die Rauschprozesse gaußf¨ormig, mittelwertfrei sowie zeitlich und untereinander unkorreliert seien, d.h. es gilt + * E {ni } = 0 ; E {νi } = 0 ; E ni nTj = 0 + * + * E ni νiT = 0 ; i = j (13.294) E νi νjT = 0 ; und durch die (u + m) × (u + m)-Kovarianzmatrix des Systemrauschens V und die y × y-Kovarianzmatrix des Messrauschens N beschrieben werden k¨onnen:    /    /   T   T E x x = N; E ν ν = V (13.295)

13.6 Parameterbestimmung an Drehstrom-Asynchronmaschinen

W. Michalik

563

Die Linearisierung des nichtlinearen System- und Ausgangsmodells ist bei kleinen Zustandsgr¨oßen- bzw. Parameterabweichungen mit Hilfe der Taylorreihenentwicklung in der Umgebung der aktuellen gesch¨atzten Entwicklungsstelle m¨oglich und f¨ uhrt zur Jacobimatrix der System- und Ausgangsfunktion: ∂f ∂ (Ad (x[k]) · x[k] + Bd (x[k]) · u[k]) = ∂x ∂x

(13.296)

∂ (Cd (x[k]) · x[k]) ∂h = = Cd (x[k]) ∂x ∂x

(13.297)

Der nichtlineare, rekursiv arbeitende Filteralgorithmus des EKF l¨asst sich durch Filter- und Pr¨adiktionsgleichungen beschreiben. Durch die Filtergleichungen wird f¨ ur den Abtastzeitpunkt kTAbtast der aktuelle Zustands- und Parametervektor xˆ[k] und die dazugeh¨orige (n + m) × (n + m)-Kovarianzmatrix P[k] berechnet, w¨ahrend in den Pr¨adiktionsgleichungen eine Vorhersage des Zustands- und Parametervektors xˆ[k + 1/k] und der Kovarianzmatrix P[k + 1/k] f¨ ur den folgenden Abtastpunkt gemacht wird. Die Vorhersage des Zustands- und Parametervektors wird im n¨achsten Abtastschritt durch die Abbildung auf den Ausgangsvektor y bewertet. Filtergleichungen: • Korrektur der Pr¨adiktion durch die neue Messung y[k]:   xˆ[k/k] = xˆ[k/k−1]+K[k] · y[k]−h (ˆ x[k/k−1],k) (13.298)   x[k/k−1]) · xˆ[k/k−1] (13.299) xˆ[k/k] = xˆ[k/k−1]+K[k] · y[k]−Cd (k,ˆ • Berechnung der Kovarianzmatrix des erweiterten Zustandsvektors x:  ∂h  · P[k/k − 1] (13.300) P[k/k] = P[k/k − 1] − K[k] · ∂x x=ˆx[k|k−1] • Berechnung der Kalman-Verst¨arkungsmatrix:  ∂hT  K[k] = P[k/k − 1] · ∂x x=ˆx[k|k−1]  ·

−1   ∂h  ∂hT  · P[k/k − 1] · +N (13.301) ∂x x=ˆx[k|k−1] ∂x x=ˆx[k|k−1]

Pr¨ adiktionsgleichungen: • Pr¨adiktion: xˆ[k + 1/k] = Ad (k, x ˆ[k/k]) · xˆ[k/k] + Bd (k, xˆ[k/k]) · u[k]

(13.302)

564

13 Asynchronmaschine

• Korrigierte Kovarianzmatrix:   ∂f  ∂f T  P[k + 1|k] = · P[k/k] · + F[k] · V · (F[k])T (13.303) ∂x x=ˆx[k|k] ∂x x=ˆx[k|k] Abbildung 13.87 zeigt die Arbeitsweise der Filterung, die auch als Modellabgleich betrachtet werden kann. v ' [ k]

Zustandsgrößen- und Parameterrauschen

u[ k ]

Meßrauschen

Prozeß / System

Eingangssignal

Ausgangssignal

n'[ k ]

y[ k + 1 ]

Erweitertes-Kalman-Filter Prädiktion

Bd

Cd

ˆy [ k + 1 ] M -

K[ k ]

Filterung

ˆx [ k + 1 ]

ˆx [ k + 1 / k ] Ad

ˆx [ k / k ]

z -1

Abb. 13.87: Arbeitsweise des Erweiterten-Kalman-Filters

Das Wesentliche beim EKF-Algorithmus ist die Berechnung der KalmanVerst¨arkungsmatrix K in Gl. (13.298), die beim EKF auf der Optimierung eines quadratischen G¨ utekriteriums beruht und angibt, wie stark die gemessene Ausgangsgr¨oße den durch die Pr¨adiktion ermittelten erweiterten Zustandsvektor korrigiert. Ist die Messgenauigkeit der Ausgangsgr¨oßen klein, wird die Matrix K in der Bewertung ebenfalls klein ausfallen, dies f¨ uhrt zu geringem Einfluss der gemessenen Ausgangsgr¨oßen auf das Ergebnis. Ist andererseits das Modell mit einem großen Fehler behaftet, was in einem großen Systemrauschen in den Hauptdiagonalelementen der Matrix V ber¨ ucksichtigt wird, erh¨oht sich u ¨ber eine gr¨oßere Bewertung in der Matrix K der Einfluss der Ausgangsgr¨oße. Damit ist beim EKF die Korrekturmatrix K nicht konstant und wird st¨andig entsprechend den Empfindlichkeiten und stochastischen Eigenschaften u ¨ber das System- und Messrauschen an das System angepasst. Somit ber¨ ucksichtigt das EKF u ¨ ber das Messrauschen Messfehler und u ¨ber das Systemrauschen ungenaue mathematische Modelle, die z.B. durch Drift von Maschinenparametern oder nichtmodellierter Dynamik des Modells verursacht werden. Damit ist dieses Filter f¨ ur viele praktische Anwendungen recht robust. Beim EKF ist die Aussagef¨ahigkeit der Varianzen der gesch¨atzten Parameter und Zustandsgr¨oßen in der Kovarianzmatrix P allerdings nur gering, da die

13.6 Parameterbestimmung an Drehstrom-Asynchronmaschinen

W. Michalik

565

stochastischen Eigenschaften der Rauschprozesse in den Matrizen V und N im allgemeinen nicht genauer bekannt sind und sie daher im konkreten Fall lediglich als Wichtungsmatrizen des G¨ utekriteriums fungieren bzw. h¨aufig auch gleich der Einheitsmatrix gesetzt werden. Demzufolge geht in diesem Fall auch die stochastische Bedeutung von P als Varianzangabe der gesch¨atzten Zustandsgr¨oßen und Parameter verloren. Andererseits werden aber gerade durch diese Matrizeneinstellungen die Filtereigenschaften des EFK wesentlich bestimmt. Ebenso beeinflussen die Startwerte der Kovarianzmatrix P und des Zustandsgr¨oßen- und Parametervektors x sowie die Art der Anregung, die Abtastfrequenz, das Maschinenmodell sowie Messfehler und ausgewertete Messzeit das Sch¨atzergebnis und k¨onnen eine erfolgreiche praktische Handhabung des EKF ohne umfangreiche Anwendererfahrungen schwierig gestalten. F¨ ur die Modellbildung der Asynchronmaschine ist ein zeitdiskretes Modell mit den Zustandsgr¨oßen St¨anderstrom und L¨auferflussverkettung (i1 -ψ2 -Modell) im Netzkoordinatensystem mit g N = gx + jgy verwendet worden [372]. Die Mo  dellparameter R2 , σL1 und Lh werden aus rechentechnischen Gr¨ unden durch die      Parameter R2 , 1/σL1 und 1/T2 mit T2 = Lh /R2 ersetzt. Der Pseudoparameter“ ” elektrische Rotorwinkelgeschwindigkeit ΩL wird als unbekannt angenommen, der Wicklungswiderstand R1 des St¨anders als bekannt vorausgesetzt. Damit kann die Asynchronmaschine als nichtlineares Modell 8. Ordnung beschrieben werden: x[k + 1] = Ad (x[k]) · x[k] + Bd (x[k]) · u[k] y M [k] = Cd · x[k]

(13.304)

mit den Vektoren und Matrizen % & x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 xT [k] = %     & i1x i1y ψ2x ψ2y ΩL 1/σL1 R2 1/T2 xT [k] =

(13.305)

Ad (x[k]) = ⎡ ⎤ 1- ((R1 +x7 ) x6 ) TAbtast -ωTAbtast x7 x6 x8 TAbtast x5 x6 TAbtast 0 0 0 0 ⎢ ωTAbtast 1- ((R1 +x7 ) x6 ) TAbtast -x5 x6 TAbtast x7 x6 x8 TAbtast 0 0 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x7 TAbtast 0 1-x7 x8 TAbtast - (x5 +ω) TAbtast 0 0 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 x7 TAbtast (x5 +ω) TAbtast 1-x7 x8 TAbtast 0 0 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 0 1 0 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 1 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 0 0 0 0 1 0⎦ 0

0

0

0

000 1

(13.306)     0 0 0 0 0 0 0 TAbtast x6 u1x T Bd (x[k]) = ; u[k] = 0 TAbtast x6 0 0 0 0 0 0 u1y     1 0 0 0 0 0 0 0 i1x ; y M [k] = Cd = (13.307) 0 1 0 0 0 0 0 0 i1y

566

13 Asynchronmaschine

F¨ ur die Parameter ergibt sich die Systemzustandsgleichung damit zu p[k + 1] = p[k]

(13.308)

Die Anpassung der gemessenen an die gefilterten Stromverl¨aufe wird u ¨ ber die beiden Stromkomponenten i1x und i1y vorgenommen, die als Ausgangsgr¨oßen den Vektor y M bilden. Wenn weniger Zustandsgr¨oßen bzw. Parameter gesch¨atzt werden m¨ ussen als in obigem Modell vorgegeben, weil beispielsweise Zusatzinformationen vorhanden sind, ergeben sich reduzierte Modelle und damit reduzierte Filter. Nach Gl. (13.296) muss das oben beschriebene Asynchronmaschinenmodell linearisiert werden. Es ergibt sich folgende Jacobimatrix, die aus Ad und einem Korrekturterm besteht, u ¨ber die die Anpassung der unbekannten Parameter p[k] erfolgt: ∂ (Ad x + Bd u) = Ad ∂x ⎡ 0 0 0 0 x4 x6 TAbtast a1 [k] · TAbtast (x8 x3 − x1 ) x6 TAbtast ⎢ 0 0 0 0 −x3 x6 TAbtast a2 [k] · TAbtast (x8 x4 − x2 ) x6 TAbtast ⎢ ⎢ 0 0 0 0 −x4 TAbtast 0 (x1 − x3 x8 ) TAbtast ⎢ ⎢0 0 0 0 x T 0 (x2 − x4 x8 ) TAbtast 3 Abtast +⎢ ⎢0 0 0 0 0 0 0 ⎢ ⎢0 0 0 0 0 0 0 ⎢ ⎣0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 mit

(13.309) ⎤ x3 x7 x6 TAbtast x4 x7 x6 TAbtast ⎥ ⎥ −x3 x7 TAbtast ⎥ ⎥ −x4 x7 TAbtast ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ 0 0

a1 [k] = x3 x7 x8 − x1 (R1 + x7 ) + x4 x5 + u1x [k] a2 [k] = −x3 x5 − x2 (R1 + x7 ) + x4 x7 x8 + u1y [k] Beim vorliegenden Modell mit den Zustandsgr¨oßen St¨anderstrom und L¨auferflussverkettung (i1 -ψ2 -Modell) wird von unges¨attigten Hauptfeldinduktivit¨aten ausgegangen. Sollen S¨attigungen ber¨ ucksichtigt werden, m¨ ussen Modelle mit ψ1 ψ2 -Besetzung des Zustandsgr¨oßenvektors untersucht werden (ψ1 -ψ2 -Modell) mit: % & x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 xT = %     & (13.310) = ψ1x ψ1y ψ2x ψ2y ΩL 1/σL1 R2 1/T2 Ad (x[k]) = (13.311) ⎤ 1-R1 x5 TAbtast -ωTAbtast R1 x5 TAbtast 0 0 0 0 0 ⎢ ωTAbtast 1-R1 x5 TAbtast 0 R1 x5 TAbtast 0 0 0 0⎥ ⎥ ⎢ ⎢ x6 x5 TAbtast 0 1 (x x + x ) T (x + ω) T 0 0 0 0⎥ 5 6 7 Abtast 4 Abtast ⎥ ⎢ ⎢ 0 x6 x5 TAbtast (x4 + ω) TAbtast 1- (x5 x6 + x7 ) TAbtast 0 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 0 0 0 0 1 0 0 0⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 0 0 0 0 0 1 0 0⎥ ⎥ ⎢ ⎣ 0 0 0 0 0 0 1 0⎦ ⎡

0

0

0

0

0 0 0 1

13.6 Parameterbestimmung an Drehstrom-Asynchronmaschinen

W. Michalik

   0 0 0 0 0 0 0 TAbtast u1x ; u[k] = = 0 TAbtast 0 0 0 0 0 0 u1y     0 0 0 0 0 x6 0 −x6 i1x ; y M [k] = Cd (x[k]) = 0 x6 0 −x6 0 0 0 0 i1y

567



BTd

(13.312) (13.313)

Die Zustandsgr¨oßenbesetzung im Vektor x beeinflusst u ¨ber ver¨anderte Zustandsgr¨oßen- und Parameterempfindlichkeiten die Sch¨atzergebnisse. In den oben aufgef¨ uhrten beiden Modellen wird die elektrische Rotorwinkelgeschwindigkeit ΩL wie ein unbekannter Parameter behandelt und als Bestandteil des erweiterten Zustandsvektors u ¨ ber den Ansatz ΩL [k + 1] = ΩL [k]

(13.314)

mitgesch¨atzt. Das EKF eignet sich in dieser Form auch zur sensorlosen Drehzahlbestimmung der Asynchronmaschine und ist z.B. in [351] dazu eingesetzt worden. Wird die mechanische Winkelgeschwindigkeit Ωm dagegen gemessen und steht somit als Ausgangsgr¨oße in einem erweiterten Ausgangsgr¨oßenvektor der Form y M [k]T =

%

i1x i1y Ωm

&

(13.315)

zur Verf¨ ugung, ergibt sich mit ΩL = Zp Ωm ein Modell der Asynchronmaschine 7. Ordnung mit verbesserten Sch¨atzbedingungen. Eine dritte M¨oglichkeit der Ber¨ ucksichtigung der mechanischen Winkelgeschwindigkeit besteht in der Berechnung von Ωm mit Hilfe der Zustandsgr¨oßen i1 und ψ2 u ¨ber die Bewegungs- bzw. Momentengleichung, Gl. (13.286) und Gl. (13.287). Die mechanische Winkelgeschwindigkeit l¨asst sich dann als quasi verrauschter Messwert auffassen und wird ebenfalls Bestandteil des Ausgangsvektors (siehe [351]). Ergebnisse einer Parametersch¨atzung mit dem EKF sowie einer Asynchronmaschine im Stillstand und einer Maschinenanregung durch einphasige Gleichspannungsspr¨ unge zeigen die Abb. 13.88 bis 13.91. Als Maschinenmodelle sind das i1 -ψ2 -Modell und das ψ1 -ψ2 -Modell verwendet worden. Als Ausgangsgr¨oße dient der gemessene Stromverlauf i1 (t). In Abb. 13.88 ist dieser Verlauf deckungsgleich mit dem ausgeglichenen Stromverlauf ˆi1 (t) und f¨ uhrt zu ¨außerst geringen Standardabweichung des Restfehlers mit se =2,1 mA bzw. se =2,6 mA. Weitere Parametersch¨atzungen mit dem EKF zeigt Abb. 13.93. Ausgewertet ist der Schnellhochlauf einer Asynchronmaschine mit einer Bemessungsleistung von PN =15 kW bei Nennspannung. Die Spannungs-, Strom- und Drehzahlverl¨aufe zeigt Abb. 13.92. Die Ergebnisse bei Anwendung des EKF sind in der Abb. 13.93 als Methode 3  dargestellt und zeigen die Verl¨aufe der drei Maschinenparameter σL1 , R2 und  Lh . Zum Vergleich sind die Ergebnisse bei Anwendung der nichtlinearen Ausgleichsrechnung (Methode 2) sowie mit dem klassischen Leerlauf- und Kurzschlussversuch (Methode 1) angegeben. Wie die Parameterverl¨aufe beim Einsatz

568

13 Asynchronmaschine

Abb. 13.88: Gemessener und ausgeglichener Stromverlauf mit Restfehlerverlauf beim Gleichspannungssprung, f =5 kHz, U =30 V

Abb. 13.89: Verlauf der konzentrier@1 mit Differenzten Streuinduktivit¨ at σL verlauf zwischen dem i1 -ψ2 -Modell und dem ψ1 -ψ2 -Modell

Abb.13.90: Verlauf des L¨ auferwiderstan- Abb.13.91: Verlauf der Hauptfeldinduktiˆ  mit Differenzverlauf zwischen dem vit¨at L ˆ  mit Differenzverlauf zwischen dem des R 2 h i1 -ψ2 -Modell und dem ψ1 -ψ2 -Modell i1 -ψ2 -Modell und dem ψ1 -ψ2 -Modell

13.6 Parameterbestimmung an Drehstrom-Asynchronmaschinen

W. Michalik

569

Abb. 13.92: Gemessener Verlauf von Spannung, Strom und Drehzahl beim Schnell. hochlauf einer Asynchronmaschine (PN =15 KW)

Abb.13.93: Gesch¨ atzte Parameterverl¨ aufe aus dem Schnellhochlauf einer Asynchronmaschine mit PN =15 KW bei Anwendung des Erweiterten-Kalman-Filters Tabelle13.4: Restfehlerstandardabweichung und Vergleich von Parametern, bestimmt durch traditionelle Pr¨ ufmethoden (Methode 1), durch nichtlineare Ausgleichsrechnung aus der Auswertung des Schnellhochlaufs (Methode 2) sowie durch Anwendung des Erweiterten-Kalman-Filters und Auswertung des Schnellhochlaufs (Methode 3)

Methode

sˆe / A

A1 / H σL

ˆ / H L h

ˆ / Ω R 2

1

28,2

0,015

0,15

1,3

2

16,1

0,0115 ± 0,0043

3

0,07 ± 0,0125 0,93 ± 0,037

4,0-6,7 siehe Abb. 13.93

des EKF zeigen, besitzt diese Maschine deutliche Parameternichtlinearit¨aten. Da diese Parameterver¨anderungen durch das EKF ber¨ ucksichtigt werden k¨onnen, ist das EKF auch hier in der Lage, die gemessenen und berechneten St¨anderstr¨ome i1x und i1y nahezu deckungsgleich mit den berechneten Stromverl¨aufen anzupassen. Die Standardabweichung der Restfehler ist mit se =4,0...6,7 A vergleichsweise gering. Der nichtlinearen Ausgleichsrechnung, die nur konstante Pa-

570

13 Asynchronmaschine

rameter w¨ahrend des Schnellhochlaufs bestimmen kann, gelingt mit se =16,1 A erwartungsgem¨aß eine schlechtere Ann¨aherung der Stromverl¨aufe. Mit der gr¨oßten Standardabweichung von se =28,2 A kann sich das Maschinenmodell den gemessenen Stromverl¨aufen ann¨ahern, dessen Parameter durch klassische Pr¨ ufverfahren bestimmt worden sind. Weitere Anwendungen des Kalmanfilters zur Parametersch¨atzung an Asynchronmaschinen sind z.B. in [370] oder [366] zu finden. Parametersch¨ atzungen mit Frequenzg¨ angen Die Aufgabe dieser Parametersch¨atzung besteht darin, den Frequenzgang eines parametrischen Modells der Form FM (jω) =

B (jω) b0 + jωb1 − ω 2 b2 + · · · − · · · = 1 + jωa1 − ω 2a2 + · · · − · · · A (jω)

(13.316)

an gemessene diskrete Frequenzgangwerte des Systems F (jωi ) = e (F (jωi )) + jm (F (jωi )) = |F (jωi ) |ejωi ϕ

(13.317)

mit ϕ (ωi ) = arg (F (jωi )) , i = 0, 1,..., N

(13.318)

anzupassen. Als Ergebnis erh¨alt man die gesch¨atzten mathematischen Koeffizienten aj und bj des Nenner- und Z¨ahlerpolynoms in Gl. (13.316). Die gemessenen diskreten Frequenzgangwerte des Systems F (jωi) werden als ¨ gest¨ort angenommen, wobei von einer additiven Uberlagerung des ungest¨orten Frequenzgangs Fu (jωi ) mit dem Frequenzgang der St¨orung ΔFn (jωi ) ausgegangen wird: F (jωi ) = Fu (jωi ) + ΔFn (jωi ) (13.319) Werden alle (unbekannten) Abweichungen vom ungest¨orten Frequenzgang gleich bewertet und wird der Betrag des Fehlers als bekannt angenommen, liegt der gemesene Frequenzgangwert auf einem Kreisbogen mit dem Radius |ΔFn (jωi )| um den Wert Fu (jωi ), siehe Abb. 13.95. F¨ ur komplexe Gr¨oßen ergibt sich das zu minimierende G¨ utekriterium als Summe der Betragsfehlerquadrate zu N N     J p = wi e (jωi) e∗ (jωi ) = wi |e (jωi ) |2 i=0

→

min

(13.320)

i=0

wobei wi einen frequenzabh¨angigen Wichtungsfaktor der Frequenzgangwerte darstellt, siehe Abb. 13.94.

13.6 Parameterbestimmung an Drehstrom-Asynchronmaschinen

Ám

Ám

Dj(w (wki)) FM ( jw ki )

W. Michalik

F(jwki ) = Fu(jwki )+DFn(jwki )

Âe

e( jwki ) = D F( jwik ) = F( jwik ) - FM ( jwki )

Âe

DFn(jwki )

Modellfrequenzgang Modellfrequenzgang F ( jwki )

571

Fu (jwki )

wki

Systemfrequenzgang Systemfrequenzgang

Abb. 13.94: Anpassung des Modell- an Abb. 13.95: Fehler eines Frequenzganges den System-Frequenzgang

Leider ist bei Frequenzg¨angen der komplexe Ausgangsfehler zwischen System und Modell e (jωi ) = F (jωi ) −

B (jωi ) A (jωi )

(13.321)

durch die im Nenner auftretenden mathematischen Koeffizienten aj nichtlinear von den zu identifizierenden Parametern abh¨angig. Somit kann die Sch¨atzaufgabe in dieser Form nicht geschlossen gel¨ost werden. In der Literatur sind verschiedene M¨oglichkeiten angegeben, um asymptotisch erwartungstreue Parametersch¨atzungen aus Frequenzg¨angen zu erm¨oglichen, z.B. in [386] oder [365]. Neben der Behandlung als nichtlineares Sch¨atzproblem, z.B. mit den Methoden der nichtlinearen Ausgleichsrechnung, bieten sich Methoden an, die von einem so genannten verallgemeinerten Fehler (Gleichungsfehler) ausgehen, der ausgehend von Gl. (13.321) hier in der Form ε (jωi ) = A (jωi ) e (jωi) = A (jωi) F (jωi ) − B (jωi )

(13.322)

angegeben werden kann. Da jetzt durch den Ausdruck A(jωi )e(jωk ) ein korrelierter Gleichungsfehler vorliegt, der zu biasbehafteten Sch¨atzwerten f¨ uhren w¨ urde, wird ein G¨ utekriterium der Form N    J p = wi |ε (jωi) W (jωi ) |2

(13.323)

i=0

eingef¨ uhrt. Der Ausdruck W (jωi) stellt hierbei ein Filter dar, das wieder zu einem entkorrelierten Gleichungsfehler f¨ uhrt: W (jωi ) =

1 1 = A (jωi ) 1 + jωi a1 − ωi2a2 + · · · − · · ·

(13.324)

572

13 Asynchronmaschine

Da dieses St¨orfilter W (jωi) aber eine Funktion der unbekannten Koeffizienten aj ist, wird eine iterative St¨orfilteradaption und damit iterative Parametersch¨atzung notwendig. Die Startwerte f¨ ur die aj -Koeffizienten des Filters m¨ ussen vorgegeben werden. Der Frequenzgang der Asynchronmaschine im Stillstand ist durch folgenden Ausdruck gegeben (Invers Γ -Ersatzschaltbild): FM (jω) =

I1 (jω) 1 + jωa1 = U1 (jω) b0 + jωb4 − ω 2 b3

(13.325)

Die vier mathematischen Parameter a1 , b0 , b3 und b4 sind durch folgende Beziehungen mit den Maschinenparametern verbunden:



b0 = R1 ; b4 = σL1 + Lh +







R1 Lh σL1 · Lh L ; b3 = ; a1 = h   R2 R2 R2

(13.326)

Ein Beispiel zur Parametersch¨atzung mit Hilfe eines Frequenzganges einer Asynchronmaschine zeigen die Ortskurven in Abb. 13.96. Der Frequenzgang F (jω) der stillstehenden Maschine ist im Frequenzbereich von f =10...50 Hz gemessen worden, d.h. mit der unteren Frequenz fu =10 Hz bis zur oberen Frequenz fo =50 Hz. Der dazugeh¨orige ausgeglichene Frequenzgang Fˆ (jω) im gleichen Frequenzbereich weicht mit se =0,0014 A/V nur geringf¨ ugig vom gemessenen Frequenzgang ab. Die gesch¨atzten Parameter nach f¨ unf Iterationen des Sch¨atzalgorithmus zeigt die Tabelle in Abb. 13.96. Bei der Auswertung des Frequenzganges wird die Frequenzabh¨angigkeit der Maschinenparameter besonders deutlich. Wird der ausgewertete Frequenzbereich variiert und die obere Frequenz von fo =50 Hz nach oben verschoben, zeigen sich deutlich typische Parameternichtlinearit¨aten der Asynchronmaschine (siehe Abb. 13.97).

13.6 Parameterbestimmung an Drehstrom-Asynchronmaschinen

W. Michalik

573

0 0.05

0.06

0.07

Âe (F ( jw )) AV

-0.02

10Hz

F( jw ) 20Hz 0.04

50Hz 40Hz

30Hz

Ám (F ( jw ))

ˆ jw ) F(

AV Startwerte

A 1 /H σL ˆ  /H L h

ˆ  /Ω R 2

Variationskoeffizienten

pˆ(0)

Endwerte nach f¨ unf Iterationen pˆ(5)

0,029

0,035

8,6%

0,438

0,39

9,1%

7,23

5,81

5,4%

Standardabweichung des Restfehlers: se =0,0014 A/V Abb. 13.96: Ortskurve des gemessenen und ausgeglichenen Frequenzgangs mit f =10...50 Hz sowie Ergebnisse der Parametersch¨ atzung nach f¨ unf Iterationen

Abb. 13.97: Gesch¨ atzte Parameterverl¨ aufe in Abh¨ angigkeit der ausgewerteten Frequenzbereichs bei Variation der oberen Frequenz fo

574

13 Asynchronmaschine

13.7

Asynchronmaschine in normierter Darstellung

Die Normierung von Maschinengleichungen bietet den Vorteil, daß die Behandlung von Systemen in Rechenprogrammen vereinfacht wird und alle Gr¨oßen ihre Einheiten verlieren. Außerdem ergeben sich in etwa gleiche Zahlenwerte f¨ ur Maschinen verschiedener Gr¨oße und damit eine bessere Vergleichbarkeit. Im folgenden werden f¨ ur normierte Gr¨oßen Kleinbuchstaben und f¨ ur nicht normierte Gr¨oßen wie bisher Großbuchstaben verwendet. Bei der hier gezeigten Normierung der Asynchronmaschine wird als Basis f¨ ur das Normierungssystem die Normierung von Spannung, Strom, Frequenz und Drehmoment entsprechend den Nennwerten der jeweiligen Maschine zugrunde gelegt. Die Zeit wird bei diesem Normierungssystem nicht normiert. Demnach gilt: √ UN orm = U1N · 2 (13.327) √ IN orm = I1N · 2 (13.328) FN orm = F1N ; MN orm =

ΩN orm = Ω1N = 2πF1N

PN 2πNN

(13.329) (13.330)

Die Spannung wird also mit dem Scheitelwert der Strangspannung im Nennpunkt normiert, der Strom in analoger Weise. Frequenzen werden mit der Statornennfrequenz, Momente mit dem Nennmoment normiert. Dabei ist PN die mechanische Leistung und NN die Drehzahl im Nennpunkt der Maschine (Nenndrehzahl NN = Leerlaufnenndrehzahl N0N ). Entsprechend ergeben sich die Normierungsgleichungen: i1 = u1 = f1 = mM i =

I1 IN orm 1 U UN orm Ω1 ΩN orm

;

i2

=

;

u2

=

=

Ω1 2πF1N

I2 IN orm 2 U UN orm =

F1 F1N

2πNN MM i PN

(13.331) (13.332) (13.333) (13.334)

Die Normierung aller u ¨brigen Gr¨oßen wird von diesen Normierungen abgeleitet. Die Drehzahl wird mit der Leerlaufnenndrehzahl normiert: F1N (13.335) NN orm = N0N = Zp n =

Ωm Ωm ΩL N = = = F1N /Zp 2πF1N /Zp Ω1N /Zp Ω1N

(13.336)

13.7 Asynchronmaschine in normierter Darstellung

575

F¨ ur Widerst¨ande ergibt sich allgemein: ZN orm =

UN orm IN orm

−→

z.B. r1 = R1 ·

z =

Z IN orm = Z· ZN orm UN orm

IN orm I1N = R1 · UN orm U1N

(13.337)

(13.338)

Zur Normierung der Induktivit¨aten und Gegeninduktivit¨aten werden zun¨achst Reaktanzen gebildet gem¨aß: Xσ1 = Ω1N · Lσ1 ;

X1 = Ω1N · L1 ;

...

(13.339)

Die zur Gegeninduktivit¨at M geh¨orige Reaktanz wird allgemein als Hauptreaktanz bezeichnet: XH = Ω1N · M (13.340) Das weitere Vorgehen ist wie bei den Widerst¨anden, z.B. xσ1 = Xσ1 ·

IN orm IN orm = Lσ1 · Ω1N · UN orm UN orm

(13.341)

Die u ¨brigen Maschinengr¨oßen werden in folgender Weise normiert: √  U1N · 2 UN orm 1 = Ψ1 = ΩN orm · Ψ 1 (13.342) ΨN orm = = −→ ψ 2πF1N ΩN orm ΨN orm UN orm PN orm = 3 · U1N I1N

−→

p =

P P = PN orm 3 · U1N I1N

(13.343)

Dieses Normierungssystem soll nun auf die grundlegenden Maschinengleichungen im allgemeinen bewegten K-Koordinatensystem aus Kap. 13.1 angewendet werden: K  K = R1 IK + dΨ1 + j ΩK Ψ K U 1 1 1 dt

(13.344)

K K  K = R2 IK + dΨ2 + j Ω2 Ψ U 2 2 2 dt

(13.345)

Ω2 = ΩK − ΩL

mit:

 K = L1 IK + LH IK Ψ 1 1 2  K = LH IK + L2 IK Ψ 2 1 2 2 1 3  K∗ · IK Zp Im Ψ MM i = 1 1 2 Θ

dΩm = MM i − MW dt

(13.346) (13.347) (13.348) (13.349)

576

13 Asynchronmaschine

Aus der Statorspannungsgleichung ergibt sich durch Einsetzen der Normierungsgleichungen: uK 1 UN orm = r1

Mit TN =

UN orm K dψ1K UN orm  K UN orm · · i1 IN orm + + j 2πF1N · fK · ψ 1 IN orm dt 2πF1N 2πF1N (13.350)

1 entsteht: 2πF1N K dψ 1 K K + j fK ψ uK 1 = r1 i1 + TN 1 dt

(13.351)

F¨ ur die Rotorspannungsgleichung ergibt sich entsprechend: K dψ 2 K K + j f2 ψ uK 2 = r2 i2 + TN 2 dt

(13.352)

Zur Normierung der Statorflußgleichung werden zun¨achst Reaktanzen eingef¨ uhrt: K = Ψ 1

X1 K XH K I + I ΩN orm 1 ΩN orm 2

(13.353)

Mit UN orm UN orm  K UN orm = x1 ·iK IN orm + xH ·iK IN orm ψ 1 ΩN orm ΩN orm IN orm 1 ΩN orm IN orm 2

(13.354)

errechnet sich die normierte Gleichung f¨ ur den Statorfluß:  K = x1 iK + xH iK ψ 1 1 2

(13.355)

und analog f¨ ur den Rotorfluß:  K = xH iK + x2 iK ψ 2 1 2

(13.356)

Die Anwendung der Normierung auf die Drehmomentgleichung ergibt: /  3 PN  K∗ UN orm · iK IN orm Zp Im ψ (13.357) mM i = 1 2πNN 2 2πF1N 1 √ √ 2 1 2πNN Zp 3 2 U1N 2 I1N  K∗ · iK · Im ψ 1 1 PN 2 · 2πF1N 2 1 nN  K∗ · iK Im ψ = 1 1 pN 2 1 1 − f2N  K∗ · iK Im ψ = 1 1 pN

mM i =

(13.358)

13.7 Asynchronmaschine in normierter Darstellung

577

Dabei ist f2N = sN die normierte Rotorfrequenz bzw. der Schlupf im Nennpunkt der Maschine und pN die normierte Nennleistung. F¨ ur die Bewegungsgleichung ergibt sich: Θ

dn 2πF1N · dt Zp TΘN

= (mM i − mW ) · MN orm

dn = mM i − mW dt

(13.359) (13.360)

Die Zeitkonstante TΘN wird als Tr¨agheitsnennzeitkonstante bezeichnet. TΘN =

Θ 2πF1N Zp MN

(13.361)

Damit sind alle grundlegenden Gleichungen in normierter Darstellung angegeben. Alle abgeleiteten Gleichungen lassen sich analog zur unnormierten Darstellung herleiten. Beispielsweise ergibt sich aus den Spannungsgleichungen durch Elimination der Str¨ome: TN

K dψ 1 dt

= uK 1 −

r1  K r1 xH  K K ψ + ψ − j fK ψ 1 σx1 1 σx1 x2 2

(13.362)

TN

K dψ 2 dt

= uK 2 −

r2  K r2 xH  K K ψ + ψ − j f2 ψ 2 σx2 2 σx1 x2 1

(13.363)

wobei:

f2 = fK − n

Die Drehmomentgleichung kann abh¨angig vom Statorfluß und vom Rotorstrom geschrieben werden: mM i = km · mit:

km =

xH (ψ1B i2A − ψ1A i2B ) x1

(13.364)

1 − f2N pN

Aus diesen Gleichungen l¨aßt sich analog zu Abb. 13.7 der normierte Signalflußplan nach Abb. 13.98 zeichnen.

578

13 Asynchronmaschine fK r ? - @ @

PP P

PP  PP

 

ψ1A

r ?

PP

−

? e 6



? e i1A-

−6

−- e

r1

e− 6

6

u1A

r

i e r1  1B ? 6 −

u1B xH σx1 x2

6

PP P

ψ2A

P P  PP

? 1 σx2

e i2A r-?

−

ψ2B r

? e 6

1 sTN

r2

1 sTN

−- e

?

σx2

6

e− 6

u2A

u2B

PP P

  P P  PPP   P ? - @ @

r

PP

−

? e 6



?  @ @

 



?

?

r ? - @ @

ψ1B

1 σx1

f2

6

xH σx1 x2

r 1 sTN

xH σx1 x2

r

? e 6

1 sTN

1 σx1

r

?  @ @

 

?

? xH σx1 x2

1 σx2

ir ? e r2  2B −

r

?

σx2

?  @ @

−- e

fK -

km

mM i

-e 6 −

mW

f n -? e 2−

1 sTΘN

Abb. 13.98: Signalflußplan der normierten Asynchronmaschine

13.8 Feldschw¨ achbetrieb der Asynchronmaschine

13.8

579

Feldschw¨ achbetrieb der Asynchronmaschine

In Kap. 13.4.4 war die feldorientierte Regelung der Asynchronmaschine im Ankerstellbereich und in Kap. 13.5 die Modellbildung zur Ermittlung der Orientierung und der Amplitude des Flusses Ψ sowie der Rotorfrequenz Ω2 dargestellt worden. In Abb. 13.43 war die Feldschw¨achung prinzipiell dargestellt worden, indem der ∗ ∗ Drehzahlsollwert Ωm voru ¨ ber eine nichtlineare Kennlinie den Flußsollwert Ψ2A gibt. Wie bereits bei der Gleichstrom-Nebenschlußmaschine (GNM) ausf¨ uhrlich diskutiert wurde, ist das Drehmoment MM i aber eine Funktion vom Ankerstrom IA und dem Erregerfluß ΨE : mM i = iA · ψE

(13.365)

In gleicher Weise ist aus Gl. (13.114) und Abb. 13.17 zu entnehmen, daß bei der Asynchronmaschine mit eingepr¨agten Statorstr¨omen und Rotorfluß-Orientierung gilt: 3 M MM i = Zp Ψ2A · I1B (13.366) 2 L2 Dies bedeutet, daß wie bei der GNM gilt: Ankerstellbereich:

Ψ0 = Ψ2AN :

∗ TΘN = TΘN

Feldschw¨achbereich:

Ψ0 < Ψ2AN :

∗ TΘN =

TΘN > TΘN Ψ0

Mit zunehmender Feldschw¨achung ergibt sich somit eine regelungstechnisch verringerte Verst¨arkung des integrierenden mechanischen Systemteils, d.h. die Multiplikation mit Ψ2A in Gl. (13.366) muß mit einer Division durch Ψ2A beim Drehzahlregler kompensiert werden, damit gilt: ∗ I1B =

2 L2 1 ∗ · · MM i 3Zp M Ψ2A

(13.367)

1 ∗ · MM i Ψ2A

(13.368)

∗ = K1 · I1B

Aus der Gleichung ∗ MI1B = Ω2 T2 Ψ2A

(13.369)

dΨ2B = 0 ergibt sich außerdem: dt M 1 1 Ω2 = · · I ∗ = K2 · · I∗ (13.370) T2 Ψ2A 1B Ψ2A 1B

zur Einhaltung der Bedingung Ψ2B =

d.h. auch im Strommodell muß wie in Abb. 13.46 die Division durch Ψ2A ber¨ ucksichtigt werden. Im Ankerstellbereich kann die Division in der normierten Darstellung aufgrund ψ2A = 1 entfallen. Damit ergibt sich eine Ab¨anderung des Signalflußplans entsprechend Abb. 13.99.

580

13 Asynchronmaschine

Ψ2A -

∗ Ωm

r



∗ Ψ2A

- e - Rn −6

Ωm

−

? -e RΨ

-

Ψ2A

r r

∗ I1A

-

- K1

6

r

∗ I1B

-

?

K2 Ψ2A

-

? r r ?Ω2

Abb. 13.99: Signalflußplan des adaptiven Drehzahlreglers bei Feldschw¨ achung

In gleicher Weise kann der Feldschw¨achbereich bei Orientierung des Koordinatensystems K am Stator- oder Luftspaltfluß ber¨ ucksichtigt werden. In Kap. 13.4.4, Abb. 13.43 war eine prinzipielle Darstellung f¨ ur den Signalflußplan zur Feldschw¨achung vorgestellt worden. In diesem Kapitel wurde diese Darstellung erweitert. In Kap. 16.7 wird die Feldschw¨achung bei Begrenzungen der Statorspannung und des Statorstroms ausf¨ uhrlich behandelt. Es sei außerdem auf Kap. 7.2 verwiesen. ∗ ∗ Im allgemeinen sind die Stromsollwerte I1A und I1B in der Amplitude begrenzt. In diesem Fall muß, wie bereits in Kap. 7.1.2.2 (GNM) diskutiert, der Integratoranteil des Drehzahlreglers w¨ahrend der Begrenzungsdauer festgehalten werden. Weitergehende Erl¨auterungen finden sich in Kap. 5.6 (Windup) und Kap. 16.7.

13.9 Einschr¨ ankungen bei der Realisierung der Regelung von Drehfeldantrieben

13.9

581

Einschr¨ ankungen bei der Realisierung der Regelung von Drehfeldantrieben

In den obigen Beispielen wurde u ¨berwiegend eine idealisierte Darstellung des Systems geregelte Drehfeldmaschine“ angenommen. Bei der Realisierung der ” feldorientierten Regelung oder der Entkopplungsregelung k¨onnen Unterschiede zwischen der Idealisierung und der Realit¨at auftreten, von denen nun einige diskutiert werden. Folgende Ursachen sind von wesentlicher Bedeutung: • Wird die Regelung mittels eines Mikroprozessors oder DSP4) realisiert, dann werden die Stell- und Meßgr¨oßen abgetastet. Ebenso ist eine Tiefpaßfilterung der Meßwerte notwendig (Anti-Aliasing-Filter). Dies f¨ uhrt zu Verz¨ogerungen bzw. Totzeiten im Regelkreis. Eine ¨ahnliche Abweichung vom idealisierten Zustand tritt ein, wenn entsprechend Abb. 13.40 eine Stromregelung realisiert wird und damit das dynamische Verhalten des Stromregelkreises zwischen dem Soll- und dem Istwert zu beachten ist. • In realen Maschinen treten S¨attigungseffekte und die Hysterese des Eisens auf. Dadurch weicht das Verhalten von dem idealisierter Maschinenmodelle ab. • Wird die ASM mit Spannungseinpr¨agung betrieben, die feldorientierte Regelung (bzw. Sollwertvorgabe) aber auf Stromeinpr¨agung ausgelegt, ist eine Entkopplungsstruktur notwendig, die differenzierende Anteile enth¨alt. Um die auftretenden Stellgr¨oßen zu begrenzen, ist eine nicht-ideale Realisierung der Ableitungen nach der Zeit als DT1 -Glieder erforderlich. Die angesprochenen Punkte gelten allgemein f¨ ur Drehfeldantriebe und werden beispielhaft an ASM-Regelungen veranschaulicht. 13.9.1

Abtastender Regler

Diskrete Regler tasten Eingangs- und Ausgangssignale mit Haltegliedern nullter Ordnung ab. Zusammen mit der Verarbeitungszeit des Reglers bewirkt dies eine mittlere Totzeit im Regelkreis von mindestens einer halben Zykluszeit. Diese f¨ uhrt zu einer Phasenverschiebung zwischen Soll- und Ist-Raumzeigern, wie im Vergleich von Abb. 13.100 mit 13.101 bei einer Entkopplungsregelung erkennbar ist.5) Die genannte Phasendrehung entspricht in etwa dem durch Δϕ = Ω1 Tv festgelegten Winkel. Mit der Verz¨ogerungszeit Tv ≈ T = 110 μs und der Speisefrequenz Ω1 ≈ 840 rad/s ergibt sich so ein zus¨atzlicher Winkel Δϕ = 5, 3◦ in Abb. 13.101 4)

Digital Signal Processor Daten der ASM: R1 = 12 mΩ, R2 = 4, 6 mΩ, L1 = 759 μH, L2 = 830 μH, M = 751 μH, Ψ = 27, 3 mV s, Zp = 8, Ωm = 105 rad/s = const. Die Differenzierer werden mit einer Zeitkonstante von τ = 20 μs gegl¨ attet, sofern nichts anderes angegeben ist. 5)

582

13 Asynchronmaschine

Abb.13.100: Raumzeiger einiger Stator- und Rotorgr¨ oßen bei nahezu idealem System

Abb. 13.101: Raumzeiger einiger Stator- und Rotorgr¨ oßen bei abgetastetem System mit Ta = 110 μs

zwischen Soll- und Istwert des Stator-Stromraumzeigers. Zu der Verz¨ogerungszeit Tv tragen alle Abtastvorg¨ange, Totzeiten sowie Meßwertgl¨attungen, Filterlaufzeiten und der selbstgef¨ uhrte Stromrichter anteilig bei. ¨ Die Phasendrehung wiederum f¨ uhrt zu einem gegenseitigen Ubersprechen der Real- und Imagin¨arkomponenten (siehe auch Abb. 13.102). Aus Sicht des Sollwert-Koordinatensystems erscheinen die Maschinengr¨oßen deshalb um den entsprechenden Winkel verz¨ogert. Bei einer reinen Entkopplungsregelung bedeutet dies keine Schwierigkeit, solange gleichartig wirkende Gr¨oßen (z.B. Real- und Imagin¨arkomponente des Soll-Spannungsraumzeigers) synchron abgetastet werden, da die relative Phasenlage der Raumzeiger zueinander gesteuert und nicht geregelt wird. Bei einer feldorientierten Regelung dagegen besteht eine R¨ uckkopplung u ¨ ber den gemessenen Stator-Stromraumzeiger und gegebenenfalls Maschinenmodelle, wodurch sich, je nach Ausmaß der Verz¨ogerung bzw. Abtast-Totzeit f¨ ur die Soll-

13.9 Einschr¨ ankungen bei der Realisierung der Regelung von Drehfeldantrieben

583

¨ Abb. 13.102: Ubersprechen der Real- und Imagin¨arkomponenten des Stator-Stromraumzeigers bei einer Abtastzeit von Ta = 110 μs (rechts) zum Idealfall ohne Abtastung (links)

werte (Vorw¨artszweig), eine verschlechterte Regelg¨ ute bis hin zur Instabilit¨at des Systems einstellen kann. In gleicher Weise wirken sich bei feldorientierter Regelung auch Abtastvorg¨ange im Meßzweig (R¨ uckw¨artszweig, z.B. Einlesen der Strom-Meßwerte) aus. Die Schwierigkeit der Verkopplung durch die Verz¨ogerungszeit im Vorw¨artszweig kann durch eine geeignete Ausf¨ uhrung der Stromregelung in Abb. 13.40 vermieden werden. Eine L¨osung sind Stromregelungen nach dem Hystereseverfahren. Bei einer Regelung der kartesischen Komponenten I1A und I1B bzw. I1α und I1β wird die Spitze des Sollraumzeigers I1K bzw. I1S vom Hexagon der drei Hystereseb¨ander der drei realen Statorstr¨ome I1a , I1b , I1c umgeben. Die Spitze des Istraumzeigers umfaßt alle Punkte innerhalb dieses Hysterese-Hexagons, d.h. der Istraumzeiger kann sowohl vor- oder nacheilend als auch kleiner oder gr¨oßer als der Sollraumzeiger sein. Dies bedeutet, im statistischen Mittel stimmen Sollund Istraumzeiger in Betrag und Phase u uglichen Verfahren ¨berein. Die diesbez¨ sind in Kap. 15 dargestellt. Besonders vorteilhaft sind pr¨adiktive Stromregelverfahren (online erzeugte Pulsmuster), da außerdem noch die Schaltfrequenz des selbstgef¨ uhrten Wechselrichters minimiert wird. Eine andere M¨oglichkeit besteht in der Ber¨ ucksichtigung der zeitdiskreten Arbeitsweise der Signalverarbeitung und des selbstgef¨ uhrten Wechselrichters [297]. 13.9.2

S¨ attigungseffekte

Es treten in einer realen Drehfeldmaschine S¨attigungseffekte auf, die dazu f¨ uhren, daß der Fluß der Drehfeldmaschine bei hohem Magnetisierungsstrom nicht mehr linear mit diesen zunimmt. Wird dieser Effekt nicht im Maschinenmodell bzw. in der Steuerbedingung ber¨ ucksichtigt, f¨ uhrt dies, bedingt durch die Nichtlinearit¨at der S¨attigung generell zu einer Abweichung des tats¨achlichen Flusses von seinem Sollwert. Bei der feldorientierten Regelung wird beim Strommodell nach Abb. 13.46 mit dem Strom I1A der Rotorfluß Ψ2A festgelegt. Bei S¨attigungseinfluß muß somit die nichtlineare Hysteresekennlinie ber¨ ucksichtigt werden, um diesen Fehler

584

13 Asynchronmaschine

zu verhindern. Außerdem wird aber mit dem momentbildenden Strom I1B die Rotorkreisfrequenz Ω2 gebildet, so daß außer der fehlerhaften Bestimmung des Flusses Ψ2A auch noch eine fehlerhafte Bestimmung von Ω2 infolge des gesch¨atzten Flusses Ψ2A auftreten kann. Dieser Effekt ist in Abb. 13.103 f¨ ur den oben gezeigten Fall eines positiven Lastsprungs bei konstanter Drehzahl einer ASM gezeigt. Die auftretende Zeitkonstante, mit der der Fluß einschwingt, entspricht der Rotorzeitkonstante T2 = L2 /R2 , welche im vorliegenden Fall 180 ms betr¨agt. Das dynamische Verhal¨ ten ist sowohl beim Aufbau des Flusses zu Beginn wie auch bei der Anderung des Flusses nach einem Lastwechsel bei 0, 75 s zu erkennen. Der Einfluß des gesch¨atzten Flusses auf Ω2 und die entsprechende Winkel¨anderung des Flußraumzei¨ gers f¨ uhrt zu dem deutlich erkennbaren Ubersprechen. Um diese unerw¨ unschten Einfl¨ usse zu vermindern, ist in beiden Signalpfaden des Strommodells — entsprechend bei allen anderen Modellen in Kap. 13.5 — die Ber¨ ucksichtigung des S¨attigungseinflusses notwendig. Beispielhaft ist dies f¨ ur die Flußermittlung in Abb. 13.67 aus [40] durchgef¨ uhrt. Weitere Informationen zur Ber¨ ucksichtigung der S¨attigung sind im Kap. 3.1 in [37, 38] dargestellt.

Abb. 13.103: Auswirkung der S¨ attigungseffekte bei feldorientierter Regelung der ASM, positiver Lastsprung von 3 auf 28 N m bei 0, 75 s

13.9.3

Realisierbare Entkopplungsstruktur

In der Entkopplungsstruktur f¨ ur eingepr¨agte Statorspannungen gem¨aß Abb. 13.25 sind Differenzierer eingesetzt. Diese lassen sich teilweise durch Umformen des Signalflußplans in Strukturen mit Integrierern umwandeln. Die verbleibenden Differenzierer m¨ ussen dagegen — der besseren Realisierbarkeit wegen — durch DT1 -Glieder ersetzt werden. Dabei ist die Zeitkonstante zur Gl¨attung m¨oglichst klein zu w¨ahlen, um die dadurch verursachte Verz¨ogerung zu minimieren. Diese wirkt sich als eine zus¨atzliche Phasendrehung bzw. Verzerrung zwischen Soll- und Istgr¨oßen aus. ¨ Ein weiterer Effekt dieser Gl¨attung ist ein verst¨arktes Einschwingen bei Anderungen des Betriebspunkts der ASM, wie im Vergleich von Abb. 13.104 (mit minimaler Gl¨attung) und Abb. 13.105 (Gl¨attung mit 200 μs) f¨ ur einen Drehmoment-

13.9 Einschr¨ ankungen bei der Realisierung der Regelung von Drehfeldantrieben

585

Abb. 13.104: Drehmoment und Statorstr¨ ome bei minimaler Gl¨ attung (τ = 20 μs) innerhalb der Entkopplungsstruktur

Abb. 13.105: Drehmoment und Statorstr¨ ome bei einer Gl¨ attungszeitkonstante von 200 μs der DT1 -Glieder in der Entkopplungsstruktur

sprung bei konstanter Drehzahl der ASM gezeigt wird. Die Problematik der Gl¨attung und insbesondere der Abtastzeiten kann durch eine analog implementierte Stromregelung abgeschw¨acht werden. Theoretisch kann daf¨ ur eine Hystereseregelung jeweils f¨ ur den Real- und Imagin¨arteil des Stator-Stromraumzeigers eingesetzt werden, wobei Fragen des Meßrauschens sowie der maximal zul¨assigen Schaltgrenzen der verwendeten Halbleiter zu ber¨ ucksichtigen sind. Wie oben bereits diskutiert, stimmt bei Hysterese-Stromreglern die Phasenlage und die Amplitude des Ist-Stromraumzeigers im Mittel mit dem SollStromraumzeiger u ¨berein. Daher ist keine Entkopplungsstruktur mehr notwendig und somit auch keine DT1 -Glieder mit der Zeitkonstante τ . Als Fehler bleiben lediglich die augenblicklichen Abweichungen des Stromraumzeigers infolge des Hysteresebands bestehen. Entsprechende Strom- und Drehmomentverl¨aufe wurden in Abb. 13.106 simuliert. Idealisierend wurden keine Verz¨ogerungszeiten durch Messung oder Totzeiten bzw. Abtastglieder implementiert. Hochfrequente St¨orungen der Signale m¨ ussen jedoch durch geeignete Signalfilterung unterdr¨ uckt und die damit verbundene Verz¨ogerungszeitkonstante bei der Auslegung der Hystereseregelung ber¨ ucksichtigt werden.

586

13 Asynchronmaschine

Abb.13.106: Drehmoment und Statorstr¨ ome bei Hystereseregelung des Stator-Stromraumzeigers

Bei einer softwaregesteuerten Hystereseregelung sind zus¨atzlich Abtastzeiten und Rechentotzeiten zu ber¨ ucksichtigen. Diese wirken sich entsprechend ihrer Lage unterschiedlich aus: • Verz¨ogerungen im Sollwertzweig (I1∗ ) verz¨ogern das Ansprechverhalten (z.B. einer Drehzahlregelung). Geringe Verz¨ogerungen wirken sich aber kaum aus, sofern sie nicht die Charakteristik oder Stabilit¨at der Flussregelung beeinflussen. • Geringe Verz¨ogerungen im Frequenzzweig (Ω1∗ bzw. Ω2∗ ) bewirken eine allm¨ahliche Drift (Drehung) des (gedachten) Maschinen-Koordinatensystems, haben auf das Regelverhalten jedoch geringe Auswirkung. • Verz¨ogerungen im Zweig der Spannungsgenerierung (U1 , Vorw¨artszweig) bzw. der Strommessung (I1 , R¨ uckw¨artszweig) beeinflussen in jedem Fall das Schaltverhalten (Bereich der Schaltfrequenz, Toleranzband) der Hystereseregelung. Verz¨ogerungen im Vorw¨artszweig wirken sich auf das An¨ sprechverhalten bez¨ uglich Anderungen im Strom-Sollwert aus. 13.9.4

Zusammenfassung

Abschließend bleibt festzuhalten, daß bei der Realisierung geregelter Drehfeldantriebe insbesondere Verz¨ogerungen (z.B. durch Sensoren, Filterung, Abtastung, Totzeiten) der Signale beachtet werden m¨ ussen. Wird dadurch die Stabilit¨at feldorientierter Regelungen beeintr¨achtigt, m¨ ussen diese Verz¨ogerungen minimiert werden. Als Abhilfe kann auch eine entsprechende Phasenkorrektur vorgesehen oder z.B. eine Hysterese-Stromregelung eingesetzt werden. Des weiteren sind Abweichungen des realen Maschinenverhaltens von den zur Regelung verwendeten Maschinenmodellen zu ber¨ ucksichtigen, wie sie z.B. durch S¨attigungseffekte und nicht-ideale Differenzierer der Entkopplungsstruktur bei Spannungeinpr¨agung entstehen.

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

14.1

Einfu ¨ hrung

In den bisherigen Kapiteln wird beispielsweise bei der Regelung von Drehfeldmaschinen mittels Entkopplung oder der feldorientierten Regelung ein Drehzahlsensor bei der Asynchronmaschine oder ein Lagegeber bei der Synchronmaschine vorausgesetzt. Es besteht nun der Wunsch, diese Sensoren zu vermeiden und vorzugsweise nur die leicht zug¨anglichen Signale wie Statorstrom und Statorspannung zu verwenden. Diese Signale werden u.a. auch zur Stromeinpr¨agung ben¨otigt und sind somit bereits vorhanden. Damit entf¨allt die Montage und Verkabelung des Drehzahl- oder Lagesensors, es verringert sich somit die Zahl der Komponenten, es erh¨oht sich damit die Zuverl¨assigkeit, und es verringern sich die Kosten. Im Gegensatz dazu erh¨oht sich allerdings die Komplexit¨at der Signalverarbeitung, da nun aus beispielsweise den Gr¨oßen Statorstrom und Statorspannung bei der Entkopplungsregelung die Drehzahl des Rotors alleine und bei der feldorientierten Regelung sowohl die Drehzahl des Rotors als auch die Orientierung und die Amplitude des jeweiligen Flusses ermittelt werden m¨ ussen. Ganz grunds¨atzlich sei daran erinnert, daß bereits in [36, 37, 38] Regelungen von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor vorgestellt wurden. Ein typisches Beispiel sind Drehfeldantriebe mit I-Umrichtern ([36, 37, 38], Umrichterantriebe). In diesem Fall wird die sich aus der Dimensionierung des I-Umrichters ergebende Forderung einer geringen Statorstreuung und damit einer geringen Drehzahl¨anderung bei Drehmomentanforderung (hartes Nebenschlußverhalten) genutzt. Dies f¨ uhrt dazu, daß der Drehzahlsollwert als steuernde Gr¨oße f¨ ur die Statorfrequenz genutzt wird und somit bei Drehmomentanforderung eine dem Schlupf proportionale Drehzahlabweichung zu akzeptieren ist. Dies gilt in gleicher Weise f¨ ur die quasistation¨are U/f -Steuerung. Wenn derartige Abweichungen nicht zul¨assig sind, dann m¨ ussen — wie bereits oben angemerkt — Methoden gefunden werden, um die notwendige Gr¨oßen aus den leicht zug¨anglichen Gr¨oßen zu ermitteln. Die Ermittlung der Orientierung und der Amplitude des jeweiligen Flusses wurde bereits ausf¨ uhrlich in Kap. 13.5 f¨ ur die Asynchronmaschine dargestellt.

588

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

Aus diesem Kapitel ist zu entnehmen, daß die in Kap. 13.2.1 dargestellten Gleichungen der Drehfeldmaschine genutzt werden, um die ben¨otigten Informationen zu erhalten. Beim Strommodell waren die Eingangsgr¨oßen die Str¨ome I'1A und '2 I'1B (siehe Abb. 13.45), die Ausgangssignale des Strommodells sind Ψ'2A und Ω 1 L2 T2 = I'1A (s); 1 + sT2 R2

1 '2 (s) = MR2 ∗ I'1B (s) Ω L2 Ψ'2A

Ψ'2A (s) = M

(14.1) (14.2)

'1 : Durch Addition von ΩL ergibt sich Ω '2 = Zp Ωm + Ω '2 '1 = ΩL + Ω Ω

(14.3)

In der nachfolgenden Integration wird β'K ermittelt β'K (t) =

t

'1 (τ )dτ Ω

(14.4)

0

und damit k¨onnen mit dem Vektordreher VD aus den statorfest orientierten Str¨omen I1α und I1β die flußfesten Str¨ome I'1A und I'1B ermittelt werden. Es besteht somit bei dieser L¨osung zus¨atzlich die Aufgabe, aus den leicht zug¨anglichen Gr¨oßen das Signal Ωm bzw. ΩL zu bestimmen, wenn eine L¨osung ohne Drehzahlgeber gefordert ist. Ganz grunds¨atzlich soll angemerkt werden, daß es inzwischen eine Vielzahl von Vorschl¨agen gibt, die mit weniger oder mehr Aufwand versuchen, dieses Ziel zu erreichen. Dabei muß festgestellt werden, daß der Aufwand immer mehr steigt, je mehr der Bereich um den Drehzahlbereich Null station¨ar und dynamisch genutzt werden soll. ¨ Abbildung 14.1 gibt eine Ubersicht u ¨ber die zur Zeit vorgeschlagenen Sch¨atzverfahren. Um eine kompakte Schreibweise f¨ ur die folgenden Darstellungen zu erhalten, soll die bereits aus Kap. 13.2.1 (Gl. (13.55) bis (13.58)) bekannte komplexe Schreibweise genutzt werden. Es galt: K  K = R1 IK + dΨ1 + jΩK Ψ K U 1 1 1 dt

(14.5)

K K = 0  K = R2 IK + dΨ2 + j(ΩK − ΩL )Ψ U 2 2 2 dt

(14.6)

 K = L1 IK + M IK Ψ 1 1 2

(14.7)

 K = M IK + L2 IK Ψ 2 1 2

(14.8)

sowie:

14.1 Einf¨ uhrung

589

Nichtadaptive Verfahren

Schätzung der Schlupfdrehzahl Statorgleichungen

Flußgleichungen

Drehzahlsollwert

Direkte Schätzung

EMKBerechnung

Adaptive Verfahren

Hyperstabilitätskriterium

MRAS

Luenberger

Flußgleichungen Blindleistung

Kalmanfilter

Methode der minimalen Fehlerquadrate

Neuronale Netze

2-Schichtig

3-Schichtig

Indirekte Messung Berechnung der Harmonischen der Nuten FFT

PLLSchaltung

Einprägung von hochfrequenten Zusatzsignalen

¨ Abb. 14.1: Graphisches Schaubild zur Ubersicht und Einteilung der vorgestellten Sch¨atzverfahren

590

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

Aus Gl. (14.8) ergibt sich:

und damit:

 K − M I1K Ψ I2K = 2 L2

(14.9)

K K  K = L1 IK + M Ψ2 − M I1 = σL1 IK + M Ψ K Ψ 1 1 1 L2 L2 2

(14.10)

Gleichung (14.10) eingesetzt in Gl. (14.5) ergibt: K  K = R1 IK + σL1 dI1 − R2 M IK + jΩL M Ψ  K + jΩK σL1 IK U 1 1 1 dt L2 2 L2 2

(14.11)

und mit Gl. (14.9) 2 K  K (T −1 − jΩL ) (14.12)  K = R1 IK + σL1 dI1 + R2 M IK + jΩK σL1 IK − M Ψ U 1 1 1 2 1 dt L2 L2 2 2

bzw. (R1 + R2

M 2 K dIK M K  K (14.13) )I1 + σL1 1 = −jΩK σL1 I1K + Ψ (1 −jΩL T2 ) + U 1 2 L2 dt L2 T2 2

Mit R1 = R1 + R2 T1

M2 σL1 und T1 =  ergibt sich die Stator-Differentialgleichung: 2 L2 R1

M dI1K K K + 1 U K + I1 = −jΩK T1 1I1K + (1 − jΩL T2 )Ψ 2 dt L2 T2 R1 R1 1

(14.14)

und die Rotor-Differentialgleichung: T2

K dΨ 2  K = −j(ΩK − ΩL )T2 Ψ  K + M IK +Ψ 2 2 1 dt

(14.15)

Dies ist eine andere Formulierung der bekannten Gleichungen (13.55) bis (13.58),  K gew¨ahlt werbei denen nun als Ausgangsgr¨oßen der Strom I1K und der Fluß Ψ 2 den und außerdem die Gr¨oßen in Gl. (14.14) auf der Statorseite umgerechnet werden; diese Darstellung wird auch in [36, 37, 38] als vorteilhaft angesehen. Die Gleichungen k¨onnen in einem Signalflußplan dargestellt werden, dies ist ebenso nur eine andere der vielen m¨oglichen Darstellungsformen des physikalischen Systems Asynchronmaschine. Eine Transformation der obigen Gleichungen vom Kzum S-Koordinatensystem erfolgt durch ΩK = 0. Aus dem komplexen Signalflußplan sind die bekannten gegenseitigen Verkopplungen innerhalb der Stator- und der Rotorseite sowie die Verkopplung von Stator zum Rotor mittels M und vom Rotor zum Stator mittels M/(L2 T2 R1 ) zu erkennen. Im Signalflußplan sind die mehrfach diskutierten Gleichungen der Drehmomenterzeugung und der Mechanik nur angedeutet.

14.1 Einf¨ uhrung

-

M L2T2R'1 U1K

1 R'1

I1K

-

1

591

T1'

M

Y2K

-

1

T2

jT1'

jT2

W2

WK

-

Mw MMi

-

WL Zp Wm

K , Eingangsgr¨ Abb. 14.2: Komplexer Signalflußplan; Ausgangsgr¨ oßen I 1K und Ψ oßen 2

K und ΩK U 1

Aus Abb. 14.2 ist zu erkennen, daß — bei der hier angenommenen RotorflußOrientierung — die Drehzahl Ωm bzw. ΩL = Zp · Ωm nur u ¨ ber den Signalpfad 2K ·M/L2 T2 R1 eine R¨ uckwirkung des Rotorkreises auf den Statorkreis (1−jT2 ΩL )Ψ hat. Dies bedeutet letztendlich, daß im Signalflußplan f¨ ur die Grundschwingung bei ΩL → 0 eine abnehmende und bei ΩL = 0 keine R¨ uckwirkung von ΩL auf den Statorkreis mehr besteht. Somit ist einsichtig, daß der Drehzahlbereich um Null bei der Grundwellenbetrachtung nur bedingt bzw. bei ΩL = 0 gar nicht mehr bei einer geberlosen Drehzahlregelung enthalten sein wird. Nur wenn zus¨atzliche Informationen genutzt werden, kann der Bereich um Null beherrscht werden. Eine andere Situation besteht, wenn Statorfluß-Orientierung angenommen wird. In diesem Fall ist die kritische Bedingung Ωk = 0, d.h. der Statorstrom I1S ist ein Gleichstrom, es entsteht kein Spannungsabfall an L1 mehr. Dieser Betriebszustand gilt auch dann, wenn ΩL − Ω2 = 0 ist. Mit zunehmendem ΩL werden aber — je nach Festlegung der Regelungsmethode und damit der Komponenten des Flusses Ψ1A , ΨμA oder Ψ2A bzw. Ψ2B ungleich Null und damit beispielsweise bei Ψ2A = 0, Ψ2B = dΨ2B /dt = 0 — die reale Komponente von Ψ2A oder beide Komponenten Signalanteile erzeugen, die in den Statorst¨omen R¨ uckwirkungen erzeugen und somit zur Identifikation von ΩL genutzt werden k¨onnen. Dabei muß allerdings zus¨atzlich beachtet werden,

592

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

daß aufgrund von Parameterunsicherheiten, Sensorfehlern und Rauschen weitere Fehlerquellen bei der Bestimmung der Drehzahl ΩL bestehen. Grunds¨atzlich werden aufgrund der oben diskutierten Einschr¨ankungen bei der Drehzahl Null entweder Verfahren eingesetzt, die diese Einschr¨ankung hinnehmen, oder es werden Zusatzinformationen genutzt. Aus der Literatur sind die folgenden Ans¨atze bekannt (Abb. 14.1): • Modelle der Drehfeldmaschine, die nur die leicht zug¨anglichen Gr¨oßen wie Statorspannung und Statorstr¨ome nutzen • Model Reference Adaptive Systems (MRAS), • Nutzung von geometrischen R¨ uckwirkungen, • Nutzung nichtlinearer Strategien zur Identifikation, • Einpr¨agung von hochfrequenten“ Zusatz-Signalen. ” Die folgenden Ausf¨ uhrungen nutzen u.a. eine Diplomarbeit Antriebe mit ” Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor“, die an der Universit¨at Turin bei Prof. Dr. Profumo angefertigt wurde. Aus Abb. 14.1 ist zu entnehmen, daß die erste Gruppe der L¨osungen die nichtadaptiven Verfahren bildet, dies sind nichtr¨ uckgekoppelte Ans¨atze. In dieser Gruppe wird u ¨ber die Sch¨atzung der Schlupfdrehzahl '2 und den bekannten Sollwert Ω1∗ oder die gesch¨atzte Synchrondrehzahl Ω '1 die Ω ' ' Drehzahl Ωm oder ΩL gesch¨atzt. 'L = Zp Ω '1 − Ω '2 'm = Ω Ω

(14.16)

Dabei werden u.a. auch die bereits aus Kap. 13.5 bekannten Modelle genutzt. Die zweite Gruppe beinhaltet die adaptiven Verfahren. Bei diesen adaptiven Verfahren werden zur Sch¨atzung r¨ uckgekoppelte Systeme zur Verbesserung der Sch¨atzung verwendet, d.h. es wird beispielsweise der Fehler zwischen den gemessenen und den gesch¨atzten Gr¨oßen genutzt. Bei den adaptiven Verfahren werden vorwiegend drei Ans¨atze verwendet: − Hyperstabilit¨atskriterium (Popov-Verfahren), − Kalman-Filter, − Methode der kleinsten Fehlerquadrate. In der dritten Gruppe werden aufgrund von konstruktiven Eigenschaften der Drehfeldmaschine wie der Nutung bzw. der nichtlinearen Eigenschaften des Eisens die gew¨ unschten Informationen ermittelt. In der vierten Gruppe werden nichtlineare Verfahren wie neuronale Oberfl¨achenapproximatoren eingesetzt. In der letzten Gruppe werden hochfrequente“ Zusatz-Signale eingepr¨agt. ”

14.1 Einf¨ uhrung

593

Zu den oben angegebenen Verfahren wird im Anhang eine ausf¨ uhrliche Literaturliste angef¨ ugt. In der Literaturliste sind zur Erg¨anzung und zur weiteren Information auch die Literatur f¨ ur die Gebiete geberlose Regelung von PM” Maschinen“, Optimierung des Moment zu Ampere-Verh¨altnisses bei geschalte” ten Reluktanzmaschinen“, geberlose Regelung von geschalteten Reluktanzma” schinen“ sowie Synchronmaschinen“ enthalten. ” 14.1.1

Prinzipielle Grundgleichungen

 1S In Abb. 14.2 ist ein h¨aufig benutzter Signalflußplan mit dem Eingangssignal U S S  2 dargestellt. und dem Ausgangssignal I1 sowie dem Rotorfluß-Raumzeiger Ψ Wenn wir von diesem Signalflußplan ausgehen, dann k¨onnen aus den Gleichungen (14.14) und (14.15) die Gleichungen zur Sch¨atzung der gew¨ unschten Gr¨oßen abgeleitet werden. Grunds¨atzlich wird dabei vom Gleichungssatz (13.35) ausgegangen. Es gilt nach Gl. (13.35) beispielsweise I1S = I1K ejβK

(14.17)

d.h. der Amplitude des Raumzeigers |I1K | wird mit ejβK die Orientierung hinsichtlich des K-Systems in Relation zum S-System vorgegeben. Wenn aber die Rotorgr¨oßen, wie der Rotorfluß-Raumzeiger, auf das S-System umgerechnet werden, ist somit eine Information u ¨ber die Orientierung des K-Systems zu erhalten.  S aufgel¨ost: Um dies zu erreichen, wird die Statorgleichung (14.12) nach E μ S S =U  S − R IS − σL1 dI1 = − MR2 (1 − jΩL T2 ) Ψ S E μ 1 1 1 2 dt L22

(14.18)

Der Ausdruck auf der rechten Seite von Gl. (14.18) kann mit der Rotorgleichung (14.15) substituiert werden zu S  S (1 − jΩL T2 ) = M IS − T2 dΨ2 Ψ 2 1 dt

(14.19)

und man erh¨alt

S S  S − R1 IS − σL1 dI1 = M dΨ2 S = U (14.20) E μ 1 1 dt L2 dt Gleichung (14.20) ist im weiteren eine sehr h¨aufig benutzte Gleichung, denn durch 2S ermittelt werden: eine Integration kann der Rotorfluß-Raumzeiger Ψ  S L2 '  S dτ  E (14.21) Ψ2 = μ M Gleichung (14.21) verwendet eine offene“ Integration, und es ergeben sich des” halb im allgemeinen gewisse Realisierungsschwierigkeiten bei tiefen Frequenzen aufgrund von Drift und Rauschen sowie bei Parameterfehlern der Modellgleichung (14.20).

594

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

 S hat die Komponenten Der Rotorfluß-Raumzeiger Ψ 2 S '  = Ψ'2α + j Ψ'2β Ψ 2

(14.22)

¨ und eine einfache Uberlegung l¨aßt erkennen, daß gilt: Ψ'2β β'K = arctan Ψ'2α

(14.23)

Wie bereits ebenso mehrfach diskutiert (siehe auch Abb. 13.3), gilt: ' 'K = dβK Ω dt bzw. auf Umrichter-Ebene '1 = d Ω dt und damit



(14.24)

Ψ'2β arctan Ψ'2α



' '˙ ' '˙ '1 = Ψ2α Ψ 2β − Ψ2β Ψ 2α Ω 2 + Ψ'2 Ψ'2α

(14.25)

(14.26)

2β

Gleichung (14.26) und Abwandlungen davon werden uns in den folgenden Darstellungen immer wieder begegnen. Eine der m¨oglichen Abwandlungen ist, mit der Rotorgleichung (14.15) die Ableitung der Rotorfl¨ usse in Gl. (14.26) zu substituieren: ⎫ ˙ 'L Ψ'2β + M I1α − 1 Ψ'2α ⎪ ⎪ Ψ'2α = Ω ⎪ ⎬ T2 T2 (14.27) ⎪ M 1 ' ⎪ ˙ ⎪ ' ' ' Ψ 2β = ΩL Ψ2α + I1β − Ψ2β ⎭ T2 T2 Werden die beiden Gleichungen (14.27) in Gl. (14.26) eingesetzt, ergibt sich: ' ' 'L = Ω '1 − M Ψ2α I1β − Ψ2β I1α Ω 2 2 ' T2 Ψ2α + Ψ'2β

(14.28)

'2 Mit Gl. (14.28) erh¨alt man aufgrund Ω1 = ΩL + Ω2 die Rotorfrequenz Ω ' ' '2 = M Ψ2α I1β − Ψ2β I1α Ω 2 2 T2 Ψ'2α + Ψ'2β

(14.29)

Ein Vergleich von Gl. (14.29) mit der allgemeinen Drehmomentgleichung (13.59)

14.1 Einf¨ uhrung

595

bzw. (13.60) l¨aßt erkennen, daß MM i ≈ Ω2 ≈

Ψ'2α I1β − Ψ'2β I1α Ψ'2 + Ψ'2 2α

(14.30)

2β

ist, d.h. aus Gl. (14.29) kann der drehmomentbildende Strom I1β gesch¨atzt werden:     1 T2 '2 2 ' ' ' ' Ψ2α + Ψ2β · Ω2 + Ψ2β · I1α (14.31) I1β = · Ψ'2α M Damit liegt eine Kontrollgleichung vor, denn I1α und I1β k¨onnen fehlerfrei gemessen werden und mittels Gl. (14.31) I1β gesch¨atzt werden; eine wichtige M¨oglichkeit, die Auswirkungen der Fehler bei den Sch¨atzungen der Gr¨oßen zu verrin¨ gern. Bei den bisherigen Uberlegungen wurde allerdings vorausgesetzt, daß Ψ2β ungleich Null ist, dies hat mehrere Auswirkungen. Grunds¨atzlich galt:  S = Ψ2α + jΨ2β Ψ 2

(14.32)

d.h. durch die Ψ2β -Komponente des Rotorflusses erfolgt eine zus¨atzliche Drehung, die auch aus der Rotorgleichung im S-System (ΩK = 0) zu erkennen ist: S dΨ 2  S = jΩL T2 Ψ  S + M IS +Ψ 2 2 1 dt Die entsprechende Gleichung (14.15) im K-System lautet: T2

(14.33)

K dΨ 2  K = −j(ΩK − ΩL )T2 Ψ  K + M IK +Ψ (14.34) 2 2 1 dt Wenn die letzte Gleichung in die A- bzw. B-Komponenten aufgespalten wird, gilt: dΨ2A + Ψ2A = MI1A + Ω2 T2 Ψ2B T2 (14.35) dt T2

dΨ2B + Ψ2B = MI1B − Ω2 T2 Ψ2A (14.36) dt Wenn — wie in Kap. 13.3.2 angenommen — bei der Rotorflußorientierung Ψ2B = dΨ2B /dt = 0 gesetzt wird, dann erh¨alt man: T2

dΨ2A + Ψ2A = MI1A dt und die bekannte Steuerbedingung f¨ ur Ψ2B = 0: T2

(14.37)

Ψ2A (14.38) M Im vorliegenden Fall sind daher — entsprechend Gl. (14.37) — Ψ2 = Ψ2A und I2A phasengleich. Wenn allerdings Gl. (14.33) ausgewertet wird, dann ist beispielsweise aufgrund von S dΨ  S = jΩL T2 Ψ  S + M IS T2 2 + Ψ (14.39) 2 2 1 dt I1B = Ω2 T2

596

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

sowohl eine Ψ2α - als auch eine Ψ2β -Komponente vorhanden, und somit die resul K f¨ ur die A-Achse tierende Flußorientierung Ψ 2 βK = arctan

Ψ2β Ψ2α

(14.40)

und die Drehung des Gesamtflusses gegen¨ uber der A-Achse γ = ΩL T2

(14.41)

Ein weiterer Punkt dieses Vorgehens ist, daß die einfache Struktur des Signalflußplans entsprechend Abb. 13.17 nicht mehr erreicht wird. Als allgemeines Ergebnis sei angemerkt, daß mit einer derartigen geberlosen Signalverarbeitung eine Regelung im Drehzahlbereich ab 0, 1 nN realisiert werden kann.

14.2

Grundlegendes nichtadaptives Verfahren

Das erste grundlegende Verfahren u ¨ ber die geberlose Drehzahlregelung wird von Maeder und J¨otten [499] vorgestellt. Zur Einf¨ uhrung soll dieses Verfahren relativ detailliert dargestellt werden. Ausgehend von den Gleichungen (14.14) und (14.15) sowie der Abb. 14.2, die die Betrachtung im K-Koordinatensystem verwendet, muß von den bisherigen Betrachtungsweise im K-Koordinatensystem ab¨ gegangen und in das S-Koordinatensystem u ¨bergegangen werden. Der Ubergang vom K-Koordinatensystem zum S-Koordinatensystem bedeutet eine Transformation der Gleichungen, indem ΩK = 0 gesetzt wird. Um daher diese Transformation der obigen Gleichungen durchzuf¨ uhren, muß somit als erster Weg in den Gleichungen ΩK = 0 gesetzt werden. Es gilt dann anstatt der Gleichungen (14.5) und (14.6): S  1S = R1 I1S + dΨ1 U dt

(14.42)

S  2S = R2 I2S + dΨ2 − jΩL Ψ  2S = 0 U dt

(14.43)

Die u ¨brigen Gleichungen ergeben sich analog. Anstatt des Transformationsansatzes ΩK = 0 k¨onnen die Gleichungen (14.5)  S e−jβK vom K- in das S-System umK = U und (14.6) auch mit dem Ansatz U 1 1 gerechnet werden (Produktregel beachten), und es ergeben sich wiederum die Gleichungen (14.42) und (14.43). Im Artikel von Maeder und J¨otten werden die obigen Gleichungen im S'2 zu sch¨atzen. System nun verwendet, um die Kreisfrequenz Ω Ausgehend von der Drehmomentgleichung 2 1 3  S∗ · I S MM i = − Zp Im Ψ (14.44) 2 2 2

14.2 Grundlegendes nichtadaptives Verfahren

597

oder

3 MM i = + Zp (Ψ2β I2α − Ψ2α I2β ) 2 und der Rotorgleichung im S-System S dΨ S 0 = R2 I2S + 2 − jΩL Ψ 2 dt oder

(14.46) ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬

dΨ2α 0 = R2 I2α + + ΩL Ψ2β dt 0 = R2 I2β

(14.45)

⎪ ⎪ dΨ2β ⎭ − ΩL Ψ2α ⎪ + dt

(14.47)

ergibt sich der Strom I2S : 1 I2S = R2 oder I2α

1 = R2

I2β

1 = R2





S dΨ S − 2 + jΩL Ψ 2 dt

dΨ2α − ΩL Ψ2β − dt

 (14.48)

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬



dΨ2β + ΩL Ψ2α − dt

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(14.49)

Werden die Stromgleichungen (14.48) bzw. (14.49) in die Drehmomentgleichung (14.44) bzw. (14.45) eingesetzt, dann erh¨alt man: 5   6 2S 1 dΨ 3  S∗ S · Ψ MM i = + Zp + jΩL Ψ − (14.50) 2 2 2 R2 dt oder

  1 3 dΨ2α dΨ2β 2 2 −ΩL (Ψ2α MM i = Zp + Ψ2β )− Ψ2β + Ψ2α 2 R2 dt dt

Es gilt nun, die Ausdr¨ ucke

(14.51)

S dΨ2α dΨ2β dΨ 2 bzw. und zu ersetzen. dt dt dt

Prinzipiell kann nun auf die Rotorgleichung (14.46) zur¨ uckgegangen werden, und es ergibt sich eine gewisse Breite der Ans¨atze und damit der Ergebnisse. Die Rotorgleichung (14.46) lautet: S dΨ S = 0 R2 I2S + 2 − jΩL Ψ 2 dt

(14.52)

598

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

Wenn diese Gleichung im Ersatzschaltbild ausgewertet wird, dann entspricht S dΨ 2  S − R2 IS = +jΩL Ψ 2 2 dt

(14.53)

 S aufgrund der mechanischen Bewegung und d.h. die induzierte Spannung jΩL Ψ 2 der Spannungsabfall an R2 /s mit der Rotorfrequenz Ω2 ergeben ein Signal mit S dΨ 2 . der Kreisfrequenz Ω1 von dt Es wird von Maeder und J¨otten gesetzt: S dΨ 2 S = jΩ1 Ψ 2 dt bzw.

2α dΨ = −Ω1 Ψ2β dt 2β dΨ = Ω1 Ψ2α dt

(14.54) ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(14.55)

sowie −ΩL = Ω2 − Ω1

(14.56)

'2 = 2 R2 MM i Ω 2 2 3 Zp Ψ2α + Ψ2β

(14.57)

und es ergibt sich

 S eingef¨ '2 wird jetzt die innere Spannung E uhrt, Zur weiteren Berechnung von Ω μ wobei aus Gl. (14.54) der Gesamtfluß Ψ2 mit dem Faktor M/L2 auf den Hauptbzw. Luftspaltfluß Ψμ umgerechnet wird: S S  μS = M dΨ2 = jΩ1 M Ψ E L2 dt L2 2 bzw. Eμα = − Eμβ

(14.58)

⎫ M ⎪ Ω1 Ψ2β ⎪ ⎪ ⎬ L2

M = Ω1 Ψ2α L2

⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(14.59)

Damit erh¨alt man endg¨ ultig

oder

2 '2 = 2 R2 M Ω 2 MM i Ω 2 + E2 3 Zp L22 1 Eμα μβ

(14.60)

2 '2 = R2 Ω1 M Eμβ I1β + Eμα I1α Ω 2 2 + E2 L2 Eμα μβ

(14.61)

14.2 Grundlegendes nichtadaptives Verfahren

599

 S bzw. Eμα und Eμβ k¨onnen wie folgt berechnet werden: Die Gr¨oßen E μ S  S − R1 IS − σL1 dI1 S = U E μ 1 1 dt

(14.62)

'2 -Sch¨atzers entsprechend Abb. 14.3. Damit ergibt sich der Signalflußplan des Ω ^ W 2

I1S

R1

ssL1

-

U1S

EmS

-

W1

R2M L2

Abb. 14.3: Ω2 -Sch¨ atzverfahren nach Maeder und J¨ otten

*

W1

Y2

U1K

U

U1S

VD

~

~

bL 1

^ W 2

s

Abb. 14.3

SchlupfWm* ^ W m

W2*

-

^ W 2 1

Zp

regler

W1 ASM

-

Abb. 14.4: Geberlose Regelung nach Maeder und J¨ otten

2 2 Mit Gl. (14.59) k¨onnen Ψ2 = Ψ2α + Ψ2β und der Winkel βK bestimmt werden, so daß alle notwendigen Informationen vorliegen:

Eμα βK = arctan − (14.63) Eμβ

600

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

'2 ein Schlupfregelkreis realisiert, Im vorliegenden Fall wird mit der Information Ω dessen Ausgangssignal die Kreisfrequenz Ω1 ist. Den resultierende Signalflußplan zeigt Abb. 14.4. Der Block U bildet aus der Information Spannungs-FrequenzZusammenhang und der Drehmomentanforderung den Vorgabewert f¨ ur die zu erzeugende Statorspannung des Umrichters. Wie aus Abb. 14.4 zu entnehmen ist, wird ein Verz¨ogerungsglied im R¨ uckf¨ uhrkanal zur Bestimmung von ΩL bzw. Ωm ben¨otigt. Dadurch bedingt und durch den Ansatz in Gl. (14.54) bzw. (14.55) ist die Dynamik dieser L¨osung beschr¨ankt.

14.3

Nichtadaptive Verfahren: Statorspannungsgleichungen

Ausgehend von dem im Kap. 14.2 dargestellten grundlegenden Verfahren ergibt sich ein Zugang zu den anderen nichtadaptiven Verfahren. Wir hatten in Gl. (14.58) bzw. (14.59) definiert: S  S = M dΨ2 = jΩ1 M Ψ S E μ L2 dt L2 2

(14.64)

bzw. Eμα = Eμβ

M M dΨ2α = − Ω1 Ψ2β L2 dt L2

(14.65)

M M dΨ2β = = Ω1 Ψ2α L2 dt L2

oder in den K-Koordinaten: E1A = −Ω1 Ψ1B ; E1B = Ω1 Ψ1A ;

E2A = − E2B

⎫ M ⎪ Ω1 Ψ1B ⎪ ⎪ ⎬ L2

M = Ω1 Ψ1A L2

⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(14.66)

Iwata et al [493] schlagen ein ebenso nichtadaptives Sch¨atzverfahren aus den Statorspannungsgleichungen bei rotorflußfester Orientierung vor. Diese Gleichungen lassen sich aus Abb. 14.2 und den dazugeh¨origen Gleichungen ableiten. Um die von Iwata et al angegebenen Gleichungen zu erhalten, setzt man in Gl. (14.5) die Gleichung (14.7) ein; damit ist diese neue Spannungsgleichung eine Funktion der Str¨ome:      K = R1 IK + d L1 IK + M IK + jΩK L1 IK + M IK U (14.67) 1 1 1 2 1 2 dt

14.3 Nichtadaptive Verfahren: Statorspannungsgleichungen

601

Gleichung (14.8) wird nach I2K aufgel¨ost und in Gl. (14.67) eingesetzt. Man erh¨alt  2K und I1K : eine Spannungsgleichung mit den Eingangsgr¨oßen Ψ



d M  K M 2 K M 2 K M  K K K K K     L1 I1 + Ψ2 − + jΩK L1 I1 − I I + Ψ2 U1 = R1 I1 + dt L2 L2 1 L2 1 L2 (14.68) bzw.  K = R1 IK + d σL1 IK + jΩK σL1 IK + d M Ψ  K + jΩK M Ψ K U 1 1 1 1 dt dt L2 2 L2 2

(14.69)

Durch Au߬osung in die Komponenten A und B ergeben sich die beiden folgenden Gleichungen:

U1A

E2A    M d M d Ψ2A − Ω1 Ψ2B = R1 I1A + σL1 I1A − σL1 I1B Ω1 + dt L2 dt L2

U1B = R1 I1B + σL1

d M d M I1B + σL1 I1A Ω1 + Ψ2B + Ω1 Ψ2A dt L2 dt L2    E2B

(14.70) (14.71)

d.h. sie verwenden die rotorflußfeste Darstellung statt der statorfesten Darstellung in Kap. 14.2, wobei E2A und E2B die statorseitigen bezogenen Gegenspannungen sind. Mit Ψ2B = 0 ergibt sich: U1B = R1 I1B + σL1

dI1B M + σL1 I1A Ω1 + Ω1 Ψ2A dt L2

(14.72)

bzw. U1B − R1 I1B − σL1

dI1B M = EμB = Ω1 Ψ1A = σL1 I1A Ω1 + Ω1 Ψ2A dt L2

(14.73)

Daraus ergibt sich: '1 = EμB = M EμB Ω Ψ1A L2 Ψ2A sowie mit der bekannten Steuerbedingung f¨ ur Ψ2B =

(14.74) dΨ2B =0 dt

'2 = R2 M I1B = R2 M Ψ1B = R2 I1B Ω L2 Ψ2A σL1 L2 Ψ2A Ψ1A

(14.75)

wobei der letzte Term in Gl. (14.75) nur im quasistation¨aren Betrieb gilt. ¨ Da bei dieser Vorgehensweise Ψ2A ein Steuerwert ist, wird Ubereinstimmung zwischen Soll- und Istwert vorausgesetzt. Weiterhin ist ansonsten eine Signalverarbeitung wie in Abb. 13.45 zu realisieren.

602

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

Iwata et al. [493] weisen auf die Parameter-Empfindlichkeit der obigen Gleichungen hin. Um diesen unerw¨ unschten Einfluß zu verringern, wird die folgende Fehlerkompensation vorgeschlagen: E2A (s) = U1A − (R1 + sσL1 )I1A + ΔU1A

(14.76)

'1 I1B und der N¨aherung: mit ΔU1A = σL1 Ω '2A = (U ∗ + ΔU1A ) − (sσL1 + R1 ) I1A E 1A

(14.77)

Bei fehlerfreier Funktion der feldorientierten Regelung m¨ ußte E2A ≈ 0 sein, wenn '2A wird zur Fehlerkorrektur Ψ2B = 0 und dΨ2A /dt = 0 angenommen wird, d.h. E mit '1 = Ω '1 − sign(Ω '1 )Kd · E '2A Ω (14.78) verwendet. Abbildung 14.5 zeigt die Struktur des Signalflußplanes. Talbot et al. [569] verwenden praktisch dieselben Gleichungen wie Iwata et al.: Gl. (14.63), (14.73), (14.74) und (14.75). '1 (s) = EμB = U1B − (sσL1 + R1 )I1B Ω Ψ1A Ψ1A

(14.79)

und

'2 = M I1B Ω T2 Ψ2A Das Strukturbild des Signalflußplans zeigt Abb. 14.6.

U*1A - D U 1A I 1A

EMKSchätzung

(14.80)

E 2A W'1

SchätzfehlerKompensation * U 1B I 1B

Y 2A

Schätzung Synchrondrehzahl

W1

Schätzung Schlupfdrehzahl

W2

zur Berechnung von b k

PT 1

PT 1

-

WL

Abb. 14.5: Blockschaltbild des von Iwata et al. [493] vorgeschlagenen Sch¨atzers

Auch hier wird auf die Empfindlichkeit gegen¨ uber Parameterunterschieden im Modell und in der realen Maschine sowie die Empfindlichkeit gegen¨ uber Rauschen hingewiesen; letztere wird durch das Verz¨ogerungsglied erster Ordnung gemindert. Dadurch bedingt tritt aber insbesondere dynamisch ein Fehler bei der

14.3 Nichtadaptive Verfahren: Statorspannungsgleichungen

I 1B I 1A

U 1B

FlußSchätzung

Y 1A Y 1B

Schätzung Synchrondrehzahl

W2

Schätzung Schlupfdrehzahl

PT 1

603

W1

-

WL

U 1A Abb. 14.6: Blockschaltbild des von Talbot et al. [569] vorgeschlagenen Sch¨atzers

Ermittlung der Orientierung der A-Achse des Koordinatensystems K (Integrati'1 ) auf, die zur Instabilit¨at f¨ uhren kann. Aufgrund dieser Schwierigkeiten on von Ω wird auf Gl. (14.65)

Eμα (14.81) βk = arctan − Eμβ sowie die aus Kap. 14.2 dazugeh¨origen Gleichungen zur¨ uckgegangen (Abb. 14.7). '2 in Gl. (14.80) wird auf Gl. (14.6) Zur Kontrolle der Schlupfdrehzahl Ω und (14.7) zur¨ uckgegangen und aus U2A = 0 = R2 I2A +

dΨ2A − (Ω1 − ΩL ) Ψ2B dt

(14.82)

sowie

M 1 I1A + Ψ2A L2 L2 die Kontrollgleichung f¨ ur Ψ2A gebildet:    1 Ψ'2A Ψ2B =0 = (MI1A − Ψ2A alt )dt T2 I2A = −

(14.83)

(14.84)

Analog zur Kontrolle mit Ψ2B — die Gr¨oße sollte bei perfekt feldorientierter Regelung und Rotorfluß-Orientierung Null sein — kann die Kontrollgleichung entsprechend Gl. (14.82) und (14.84) bei nicht perfekter Regelung gebildet werden:  1 Ψ72A = (MI1A − Ψ2A alt )dt + Ω2 Ψ2B (14.85) T2

604

U 1a U 1b I 1a I 1b

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

^ E ma EMKSchätzung

^ E mb

PT 1

Berechnung

PT 1

^ b k

bk

PT 1

Abb. 14.7: Blockschaltbild zur Berechnung des Winkel βk

14.4

Nichtadaptive Verfahren: Flußgleichungen

In Kap. 14.1 war der Signalflußplan der Asynchronmaschine unter Ber¨ ucksich 1S und des Stroms I1S und tigung der statorseitigen Einspeisung der Spannung U damit der Verf¨ ugbarkeit beider Gr¨oßen dargestellt (Ansatz ΩK = 0). In Kap. 14.1.1 waren danach ausgehend von diesem Signalflußplan die Be'1 , Ω 'L und Ω '2 ausgehend von U  1S und I1S und unter stimmungsgleichungen f¨ ur Ω S  abgeleitet worden. Dieses Vorgehen hatte einige Ber¨ ucksichtigung des Flusses Ψ 2 Parallelen zu [499]. ¨ Beispielsweise in [430] und [434] wird von diesen Uberlegungen mit dem Fluß  S abgegangen und stattdessen der Statorfluß Ψ  S verwendet. Das Verfahren Ψ 2 1 aus [430] wird beim Verfahren DSR (DVC) eingesetzt (siehe auch [508]). Die Ableitungen sind entsprechend f¨ ur die Berechnung der Orientierung des Stator S: flusses Ψ 1    S '  S − R1 IS dt  = (14.86) U Ψ 1 1 1 βK1 = arctan

Ψ1β Ψ1α

(14.87)

2S : statt vorher mit der Orientierung von Ψ Ψ2β β'K = β'K2 = arctan Ψ2α

(14.88)

Es soll im folgenden allgemein βK verwendet werden, da aus den Erl¨auterungen ersichtlich ist, ob es sich um βK1 oder βK2 handelt. Die Ableitung von Gl. (14.87) nach der Zeit ergibt: ' '˙ ' '˙ '1 = Ψ1α Ψ 1β −Ψ1β Ψ 1α Ω   S 2 Ψ1 

(14.89)

14.5 Nichtadaptive Verfahren: Sollgr¨ oßenansatz

605

'1 im z-Bereich wie folgt beAufgrund der digitalen Signalverarbeitung wird Ω rechnet (mit T = Abtastperiode): ' (k) − Ψ1β (k − 1)Ψ2α (k) '1 = Ψ1α (k − 1)Ψ % 1β2 & Ω 2 T Ψ1α (k) + Ψ1β (k)

(14.90)

Dieser Ansatz ist allerdings dynamisch fehlerbehaftet, wobei der dynamische Fehler durch ein Tiefpaßfilter verringert werden kann. Die Rotorfrequenz Ω2 wird mit den Sollwerten gesch¨atzt zu: ∗ '2 = 2 R2 MM i Ω ∗ 3 Zp |Ψ2 |2

(14.91)

Damit kann die Rotorgeschwindigkeit ΩL berechnet werden: 'L = Zp Ω '1 − Ω '2 'm = Ω Ω

(14.92)

Mit diesem Ansatz ist die Empfindlichkeit gegen¨ uber σL1 und M/L2 vermieden, es verbleibt die Empfindlichkeit gegen¨ uber R2 . In [434] wird angemerkt, daß mit einer derartigen Regelung ein Drehzahlbereich ab 6 % und schnelle DrehzahlNulldurchg¨ange sehr gut beherrschbar sind. In [437] und [438] wird die Steuerbedingung nach Gl. (14.75) mit dem Ansatz M/L2 = 1 genutzt, d.h. die rotorseitige Streuung wurde auf die Statorseite umgerechnet; dies erfolgte auch in [430] und [431]. '2 = R2 I1B Ω Ψ2A

(14.93)

Alle anderen Gleichungen ¨andern sich entsprechend, wobei die bisher notwendigen Integrationen durch Tiefpaßfilter approximiert werden. Auf die daraus resultierenden Unterschiede wird in Kap. 14.5 eingegangen. Weitere Ans¨atze sind in [571] und [503] sowie insbesondere in [430] zu finden, wobei teilweise eine kontinuierliche und teilweise eine zeitdiskrete Signalverarbeitung vorausgesetzt wird; dementsprechend a¨ndern sich auch die Gleichungen. In [430] und in [461] werden die aus [499] entsprechenden Gleichungen nun allerdings f¨ ur den Statorfluß wie in [434] genutzt, so beispielsweise

E1α βK = arctan − (14.94) E1β da das Regelverfahren die direkte Selbstregelung ist, die am Statorfluß orientiert ist (siehe auch Kap. 15.2).

14.5

Nichtadaptive Verfahren: Sollgro ¨ßenansatz

Die Verfahren in [535, 536, 537] von Ohtani und andere [501] nehmen an, daß der Soll- und der Istwert der Statorfrequenz u ¨bereinstimmen, wobei in [501] speziell auf die Fehlerproblematik bez¨ uglich R2 eingegangen wird.

606

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

Ω1 = Ω1∗ Weiterhin gilt f¨ ur

Damit ergibt sich:

Ω2∗

(14.95)

aufgrund der Steuerbedingungen f¨ ur Ψ2B = 0: '2 = MR2 I1B Ω L2 Ψ2A

(14.96)

'2 'L = Ω ∗ − Ω Ω 1

(14.97)

Eine Variante ist:

∗ '2 = MR2 I1B Ω (14.98) ∗ L2 Ψ2A Das Verfahren von Ohtani soll etwas ausf¨ uhrlicher diskutiert werden, da es interessante Ergebnisse erm¨oglicht. Dies erfolgt im Vorgriff auf Kap. 14.7, in dem speziell auf die Gleichungen zur Fehlerkorrektur eingegangen wird. Ohtani geht von einer Grundstruktur wie in Abb. 13.41 bzw. Abb. 13.45, 13.46 aus, wenn in Abb. 13.45 nicht die Modellbildung nach Abb. 13.46 ber¨ ucksichtigt wird.  K entsprechend Gl. (14.7) ersetzen Wenn wir in Gl. (14.5) den Statorfluß Ψ 1 und den Rotorstrom I2K in Gl. (14.7) durch Gl. (14.8) eliminieren sowie ΩK = 0 setzen, d.h. die Gleichung in das statorfeste Koordinationssysem S transformieren, dann ergibt sich die bekannte Gleichung (14.58):

S  S = M dΨ2 = jΩ1 M Ψ S E μ L2 dt L2 2

(14.99)

 S wird nach Gl. (14.62) berechnet Der innere Spannungs-Raumzeiger E μ (Abb. 14.9).  S nur durch eine ofBei dieser Gleichung kann der Rotorfluß-Raumzeiger Ψ 2 fene Integration ermittelt werden, dies ist unerw¨ unscht. Um dies zu vermeiden, wird die offene Integration durch ein Verz¨ogerungsglied erster Ordnung mit der Zeitkonstanten Tg ersetzt. Die Approximation der Integration durch ein Verz¨ogerungsglied 1. Ordnung ist allerdings bei Kreisfrequenzen kleiner 1/Tg nicht mehr gegeben. Um unterhalb dieser Kreisfrequenzen 1/Tg noch ein Ergebnis zur Verf¨ ugung zu haben, wird die approximierte Signalverarbeitung entsprechend Gleichung (14.58) deaktiviert (oberer Teil in Abb. 14.9) und stattdessen ∗ der letzte Ψ2A -Wert weiter verwendet (unterer Teil von Abb. 14.9). Die Rotorkreisfrequenz Ω2 wird entsprechend Gl. (14.98) mit den Sollwerten gesch¨atzt. Um Fehler bei der Koordinatenorientiertung zu vermeiden, wird  S auch im Flußsch¨atzer nach der approximierten Gleichung (14.58) außer Ψ 2 ' noch der Istwert des Stroms I1B nach Gl. (14.31) in Kap. 14.1.1 gesch¨atzt. 'm gesch¨atzt Aus dem Vergleich wird mittels des I1β -Reglers die Kreisfrequenz Ω (Fehlerkorrektur-Ansatz siehe Kap. 19). Die Struktur der Signalverarbeitung ist in Abb. 14.8 dargestellt. Ohtani gibt als erreichbare Ergebnise an, daß der Drehmomentfehler ca. ±3 % bei der unteren Drehzahl von ±3 % nach Gl. (14.31) in Kap. 14.1.1 ist; die Genauigkeit steigt mit steigender Drehzahl und steigendem Moment.

14.6 Direkte Sch¨ atzung der Rotordrehzahl

* Y2A

RY

Wm*

Rn

-

* I1A I1S

VD +

* I1B

~

*

-

^K b

^ Y2A ^ W m

^I 1B

-

I-Reg.

= I1S

Schätzung Abb. 14.9

U1S

I1B Regler

Zp

ASM

Y2S*

^b K

^ W 2

607

I*1B

Gl. (14.98)

* Y2A

Abb. 14.8: Feldorientierte Signalverarbeitung nach Ohtani et al

^ Y 2A

||

Y2S Tg 1

-

Tg sL1s/R1

^I 1B

U1S

R1

I1S

k MMi e jb K

1

Tg

Y2S* bK

Abb. 14.9: Fluß- und I1B -Sch¨ atzung nach Ohtani

14.6

Direkte Sch¨ atzung der Rotordrehzahl

'2 als auch In den bisherigen Ableitungen wurden sowohl die Rotorkreisfrequenz Ω '1 oder die Kreisfrequenz ΩL und der Winkel βK des die Statorkreisfrequenz Ω

608

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

Koordinatensystems K gesch¨atzt. Es liegt nun nahe, Verfahren zu suchen, bei denen die Signalverarbeitung beispielsweise entsprechend Abb. 13.45 erhalten 'm bzw. Ω 'L = Zp Ω 'm gesch¨atzt bleibt und nur die mechanische Kreisfrequenz Ω werden. Diese Verfahren setzen die Kenntnis der Motorparameter voraus. Zu beachten sind — wie schon mehrfach betont — bei der Sch¨atzung der Rotordrehzahl die Parameterschwankungen aufgrund thermischer oder magnetischer Ursachen. In Abb. 14.10 ist ein generelles Blockschaltbild dargestellt.

I 1a I 1b U 1a U 1b

Direktes Schätzverfahren (eventuell mit Flußberechnung)

WL

Abb. 14.10: Generelles Blockschaltbild der Verfahren zur direkten Drehzahlsch¨atzung

Kanmachi et al. schlagen in ihrer Ver¨offentlichung [502] ein Verfahren zur direkten Berechnung der Drehzahl vor. Zur Berechnung von ΩL wird das Gleichungssystem (13.71) bzw. das Gleichungssystem (13.75) von der K- in die SOrientierung u uhrt; es ergibt die folgende Darstellung in Matrizenform. In ¨berf¨ dieser Schreibweise lautet das Asynchronmaschinenmodell: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ U1α R1 + sL1 0 sM 0 I1α ⎢ U1β ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ I1β ⎥ 0 R1 + sL1 0 sM ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ (14.100) ⎣ 0 ⎦=⎣ sM ΩL M R2 + sL2 ΩL L2 ⎦ ⎣ I2α ⎦ 0 −ΩL M sM −ΩL L2 R2 + sL2 I2β Durch Aufl¨osen der ersten beiden Gleichungen der Matrix nach dem Statorstrom und Einsetzen in die zwei anderen Gleichungen erh¨alt man eine explizite Glei 1 und Ψ 2 : chung f¨ ur die Rotordrehzahl als Funktion von I1 , Ψ     Ψ1α − L1 I1α dtd Ψ2β − Ψ1β − L1 I1β dtd Ψ2α '    ΩL =  (14.101) Ψ1α − L1 I1α Ψ2α + Ψ1β − L1 I1β Ψ2β in der die Fl¨ usse u ¨ber gesch¨atzt werden u ¨ber:    Ψ'1α = U1α − R1 I1α dt 



(14.102)

 U1β − R1 I1β dt

(14.103)

L2 ' σL1 L2 I1α Ψ1α − Ψ'2α = M M

(14.104)

L2 ' σL1 L2 I1β Ψ'2β = Ψ1β − M M

(14.105)

Ψ'1β =

14.6 Direkte Sch¨ atzung der Rotordrehzahl

609

Ein Blockschaltbild zu diesem Verfahren ist in Abb. 14.11 angegeben. Fehlerhafte Parameter zur Berechnung der Fl¨ usse w¨ urden sich auch auf die Berechnung der Drehzahl und des Widerstandes auswirken. Der Statorwiderstand ¨andert sich mit der Temperatur und die Induktivit¨at mit der magnetischen S¨attigung. Die Autoren diskutieren die Einfl¨ usse und kommen dabei zu folgenden Schlußfolgerungen: • der Fehler in der Rotordrehzahl nimmt mit zunehmenden Lastmoment zu, da der Statorstrom ansteigt; • der Fehler beim Rotorwiderstand steigt langsam mit der Zunahme der Last; • die Rotor- und Statorinduktivit¨aten ¨andern sich mit dem Magnetisierungszustand, die Streuinduktivit¨aten bleiben konstant.

U 1a I 1a

Flußschätzer Y 1a für

Y 1a

Flußschätzer Y 2a für

Y 2a Schätzer für Rotordrehzahl

WL

Flußschätzer Y 2b für

Y 2b I 1b U 1b

Flußschätzer Y 1b für

Y 1b

Abb. 14.11: Blockschaltbild des von Kanmachi et al. [502] vorgestellten Verfahrens

Shirsavar et al. [560] schlagen ein Sch¨atzverfahren im Referenzsystem S ohne differenzierende Terme im Motormodell vor. In diesem Fall kann eine explizite Gleichung zur direkten Berechnung der Rotordrehzahl angegeben werden.

610

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

Aus den Motorgleichungen (14.100) im Koordinatensystem S k¨onnen die folgenden Stator- und Rotorgleichungen abgeleitet werden: U1α = I1α R1 + L1

dI1α dI2α +M dt dt

(14.106)

U1β = I1β R1 + L1

dI1β dI2β +M dt dt

(14.107)

0 = R2 I2α + L2

dI2α dI1α +M + I2β L2 ΩL + I1β MΩL dt dt

(14.108)

0 = R2 I2β + L2

dI2β dI1β +M − I2α L2 ΩL − I1α MΩL dt dt

(14.109)

Bei Vektorregelung kann angenommen werden, daß der Motorstrom quasi sinusf¨ormig ist (d.h. im wesentlichen station¨are Verh¨altnisse) und somit die Ableitungen f¨ ur Rotor- und Statorstr¨ome wie folgt angen¨ahert werden k¨onnen: dI1α = − (Ω2∗ + ΩL ) I1β dt

(14.110)

dI1β dt

(14.111)

= (Ω2∗ + ΩL ) I1α

dI2α = − (Ω2∗ + ΩL ) I2β dt

(14.112)

dI2β dt

(14.113)

= (Ω2∗ + ΩL ) I2α

Durch Aufl¨osen und anschließende Substitution der Statorgleichungen (14.106) und (14.107) nach dem Rotorstrom und N¨aherung der differenzierenden Anteile durch Gl. (14.110) bis (14.113) erh¨alt man: I2α =

U1β − I1β R1 − L1 I1α (Ω2∗ + ΩL ) M (Ω2∗ + ΩL )

(14.114)

I2β =

U1α − I1α R1 − L1 I1β (Ω2∗ + ΩL ) −M (Ω2∗ + ΩL )

(14.115)

F¨ uhrt man die gleichen Rechenschritte wie bei den Statorgleichungen auch bei den Rotorgleichungen (14.108) und (14.109) durch, so ergibt sich: I2α =

(L2 I2β + MI1β ) Ω2∗ R2

(14.116)

I2β =

(L2 I2α + MI1α ) Ω2∗ −R2

(14.117)

Durch Substitution von Gl. (14.115) in (14.116) und von Gl. (14.114) in (14.117) k¨onnen die Rotorstr¨ome eliminiert werden und man erh¨alt zwei Gleichungen, die

14.6 Direkte Sch¨ atzung der Rotordrehzahl

611

nur von den Statorstr¨omen abh¨angen. F¨ ur die Rotordrehzahl ergibt sich letztlich eine quadratische Gleichung √ −b ± b2 − 4ac ΩL = (14.118) 2a mit den folgenden Koeffizienten: a = −ZZ2 L1 b = −Zp Z1 − ZZ2 Z3 % & c = L2 (U1α − I1α R1 )2 + (U1β − I1β R1 )2 − Zp Ω2∗ Z1 − L1 (Ω2∗ )2 ZZ2 Zp = U1β I1α − U1α I1β 2 2 Z = I1α + I1β

Z1 = −M 2 + 2L2 L1 Z2 = M 2 − L2 L1 Z3 = 2L1 Ω2∗ Die L¨osung mit dem negativen Vorzeichen der Wurzel gilt bei positiver Drehzahl, die L¨osung mit positiven Vorzeichen gilt bei negativer Drehzahl. Ein Blockschaltbild dieses Verfahrens ist in Abb. 14.12 angegeben.

I 1a I 1b U 1a U 1b W*2

Direkte Schätzung der Rotordrehzahl

WL

Abb. 14.12: Blockschaltbild des von Shirsavar [560] vorgestellten Verfahrens

Die Autoren schlagen neben dem Verfahren zur Geschwindigkeitssch¨atzung auch eine auf den gleichen Ansatz basierende Methode zur Berechnung des Rotorwiderstandes vor. Hyung-Soo Mok et al. [530] beschreiben ein Verfahren zur Berechnung der Drehzahl bei Feldorientierung auf den Statorfluß. Wenn die Spannungen und Str¨ome des Motors in den α, β-Achsen gemessen werden, ist es m¨oglich, die Rotorgleichungen in Abh¨angigkeit von den Statorgr¨oßen zu schreiben als: 0 = R2 Ψ1α + L2 sΨ1α − σL2 L1 s I1α − Ω2 (L2 Ψ1β − σL2 L1 I1β )

(14.119)

0 = R2 Ψ1β + L2 sΨ1β − σL2 L1 s I1β + Ω2 (L2 Ψ1α − σL2 L1 I1α )

(14.120)

612

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

I 1a I 1b U 1a U 1b

Y 2a Schätzung für Statorfluß

R2

Schätzung für Rotordrehzahl

Y 2b

WL

Schätzung für Rotorwiderstand

Abb. 14.13: Blockschaltbild des von Hyung-Soo Mok et al. [530] vorgestellten Verfahrens

Der Statorfluß wird u ¨ber Gl. (14.86) in Kap. 14.4 berechnet zu:    U1α − R1 I1α dt Ψ'1α = Ψ'1β =





 U1β − R1 I1β dt

Unter der Voraussetzung der Kenntnis aller Parameter k¨onnen die Orientierung und die elektrische Drehzahl des Flußvektors sowie die mechanische Winkelgeschwindigkeit des Rotors berechnet werden. Entsprechend zu Gl. (14.86) und (14.94) in Kap. 14.4 erh¨alt man die Gleichungen   Ψ'1β ' βK = arctan (14.121) Ψ'1α '1 = Ω

dΨ'1α ' dΨ'1β ' Ψ1α − Ψ1β dt  2  dt 2 Ψ'1α + Ψ'1β

die zur Sch¨atzung der Rotordrehzahl verwendet werden:   2 2 − σL1 sT2 L1 L2 Ω1 Ψ'1α + Ψ'1β 'L =   Ω 2 2 2 2 + Ψ'1β + σL1 Ψ'1α I1α + Ψ'1β I1β Ψ'1α

(14.122)

(14.123)

Dieses Verfahren ist stabil bei Parameterschwankungen. Aber im Fall falscher Werte der Parameter stellen sich station¨are Fehler ein. Fehler im Betrag der Rotorzeitkonstante pflanzen sich auch u ¨ber die Drehzahlberechnung fort. Deshalb schlagen die Autoren einen Ansatz vor, bei dem neben dem Drehzahlsch¨atzer auch ein Sch¨atzer f¨ ur den Rotorwiderstand eingesetzt wird, wie in Abb. 14.13 dargestellt.

14.7 Adaptive Verfahren

14.7

613

Adaptive Verfahren

Wie in den obigen Kapiteln dargestellt wurde, ist bei den nichtadaptiven Verfahren keine Korrektur der Sch¨atzwerte vorgesehen. Das prinzipielle Vorgehen bei den im folgenden beschriebenen adaptiven Verfahren ist der Fehlervergleich von realen Daten des betrachteten Systems und Modelldaten, wobei das Modell dem realem System angepaßt wird, d.h. das Modell ist adaptiv. Das adaptive Modell kann auch ein Beobachter sein. Ein vergleichbares Vorgehen ist der Vergleich von zwei unterschiedlichen Modellen, dem Referenzmodell und dem adaptiven Modell (MRAS-Ansatz). Charakteristisch bei diesen Verfahren ist, daß nicht nur die Rotordrehzahl ΩL gesch¨atzt wird, sondern daß auch Parameter des adaptiven Modells nachgef¨ uhrt werden k¨onnen. Eine prinzipielle Anordnung eines solchen adaptiven Regelverfahrens ist in Abb. 14.14 angegeben, wo die beiden Bl¨ocke Adaptives Modell und Referenzmodell typischerweise vorhanden sind, die im folgenden n¨aher untersucht werden. Wie bereits in Kap. 14.1 dargestellt, muß der Adaptionsvorgang stabil erfolgen, und es ist erw¨ unscht, daß die Modellparameter bzw. die gew¨ unschten Signale der Systemzust¨ande auf die Parameter der realen Strecke bzw. die realen Streckensignale konvergieren. Die Adaptionsgesetze basieren jeweils auf einem der drei folgenden Verfahren:

*

Y

*

WL

Feldorientierte Regelung (FOC)

I 1b I 1a M

Umrichter

I 1A I 1BU 1A U 1B

WL ReferenzModell Adaptionsgesetz Adaptives Modell

Abb. 14.14: Prinzipielles Blockschaltbild einer adaptiven Regelung (MRAS)

1. Hyperstabilit¨atskriterium: Die Funktionsgleichung ergibt sich aus dem Vergleich der Sch¨atzgr¨oßen aus den Referenzmodell mit der Sch¨atzgr¨oße aus

614

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor 0

E

1

s

ex

C

ey

r (A+LC)

F( e y ) Abb. 14.15: Blockschaltbild der dynamischen Fehlerberechnung

dem adaptiven Modell. Auf das Fehlersignal (Differenzsignal y ) der beiden Sch¨atzwerte wird das Hyperstabilit¨atskriterium nach Popov angewandt, welches zwar die Fehlerkonvergenz (y = 0) sicherstellt, jedoch nicht die Konvergenz der Parameter auf die wahren Werte garantiert [13]. 2. Erweitertes Kalman-Filter (EKF): Der Sch¨atzwert kann dem Zustandsvektor entnommen werden, welcher auch die Rotordrehzahl enth¨alt. Das erweiterte Kalman-Filter basiert auf der Theorie der Kalman-Filter und erm¨oglicht die Sch¨atzung von Parametern insbesondere bei verrauschten Meßsignalen [31]. 3. Methode der kleinsten Fehlerquadrate: Bei der Methode der minimalen Fehlerquadrate wird die Differenz zwischen dem Sch¨atzwert und dem wahren Wert im Arbeitspunkt berechnet. Auf dieses Differenzsignal wird dann die Methode der minimalen Fehlerquadrate angewandt [31]. Die auf einem Hyperstabilit¨atsentwurf basierenden Verfahren k¨onnen in zwei Untergruppen aufgeteilt werden, je nach Topologie der adaptiven Modelle und der Referenzmodelle: • MRAS (Model Referenz Adaptive System): Dieses Verfahren verwendet ein Referenzmodell“ (RM), welches das gew¨ unschte Verhalten als Referenz ” vorgibt und ein sog. Adaptives Modell“ (AM), welches sich an das Refe” renzmodell adaptiert. Die Differenz zwischen dem berechneten Wert des Referenzmodells und dem Wert des adaptiven Modells liefert einen Fehlervektor, der zur Adaption der Parameter des adaptiven Modells verwendet wird. • Luenberger-Beobachter: Bei diesem Verfahren wird als Referenzmodell der reale Motor verwendet und als adaptives Modell ein Beobachter, der mit einer Verst¨arkungsmatrix nachgef¨ uhrt wird. Bei der Auslegung der Beobachtermatrizen nach Luenberger k¨onnen die Pole des Beobachters so gew¨ahlt werden, daß dieser schneller einschwingt als das zu beobachtende System. Der Beobachter erh¨alt als Eingangsgr¨oßen die gemessenen Gr¨oßen und liefert als Ausgang die gesch¨atzten Zustandsgr¨oßen.

14.7 Adaptive Verfahren

615

Griva et al. weisen in [471] auf die M¨oglichkeit hin, alle auf Hyperstabilit¨at basierenden Methoden von einem gemeinsamen Gesichtspunkt aus zu betrachten. Sie pr¨asentieren einen auf dem Hyperstalit¨atskriterium von Popov [543] basierenden Ansatz, der f¨ ur viele Formen der adaptiven Regelung g¨ ultig ist und beweisen ihre These u ¨ ber das Stabilit¨atskriterium nach Lyapunov. In allgemeiner Schreibweise k¨onnen die beiden Modelle u ¨ ber die Gleichungen ⎧ ⎨ x˙ = Ax + Bu RM (14.124) ⎩ y = Cx ⎧ ˆ x + Bu + K(ˆ ˆ˙ = Aˆ y − y) ⎨ x AM

⎩

(14.125) yˆ = Cˆ x

beschrieben werden, in denen die Matrizen A, B und C die Parameter des Asynchronmaschinenmodells und die Matrix K die Luenberger-Koeffizienten enthalten. Die mit ˆ gekennzeichneten Elemente sind die gesch¨atzten Vektoren und Matrizen im adaptiven Modell (AM). Der Fehler zwischen Referenzmodell und adaptiven Modell bzw. zwischen realer Gr¨oße und gesch¨atzter Gr¨oße kann u ¨ber die dynamische Fehlergleichung berechnet werden: ˆ x + K(Cx − Cˆ ˆ x (14.126) ε˙ x = x˙ − x ˆ˙ = Ax − Aˆ x) = (A + KC)εx + (A − A)ˆ Diese Anordnung wird als ein lineares System mit nichtlinearer R¨ uckkopplungsfunktion Φ(εy ) dargestellt, um die Anwendung des Hyperstabilit¨atskriteriums zu erm¨oglichen. Diese nichtlineare Funktion Φ(εy ) hat als Eingang den Ausgangsfehler εy = Cεx und als Ausgang den Vektor ρ und kann allgemein nicht explizit angegeben werden. ˆ x ρ = (A − A)ˆ (14.127) In Abb.14.15 ist ein Blockschaltbild der genannten Struktur angegeben. Gem¨aß [471] garantiert der Hyperstabilit¨atsentwurf zwar die Stabilit¨at der Sch¨atzung, aber nicht die Parameterkonvergenz. Um diese Konvergenz zu erreichen, muß das System gen¨ ugend angeregt werden (persistent excitation). Unter Anwendung des Popov-Kriteriums k¨onnen die Anforderungen an den nichtlinearen Block des Blockschaltbildes nach Abb. 14.15 definiert werden. Das assoziative Integral berechnet sich u ¨ber t1 η(t0 , t1 ) = 

εTy (t) ρ(t) dt

(14.128)

t0

wobei εTy zu [εTy 0] erweitert wird, um die Dimensionen von εTy an die Dimension von ρ anzugleichen.

616

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

Die Bedingung f¨ ur die Hyperstabilit¨at des nichtlinearen Blockes lautet t1 εTy (t) ρ(t) dt ≥ −γ02

η(0, t1 ) =

(14.129)

0

f¨ ur jede Ein-Ausgangskonfiguration und jedes positives γ0 . Substituiert man in Gl. (14.129) den Faktor ρ nach Gl. (14.127) und nimmt an, daß der Fehler zwischen den beiden Matrizen ausschließlich aufgrund des Fehlers zwischen realer und gesch¨atzter Drehzahl auftritt, erh¨alt man die Gleichung t1 ˆL ) dt ≥ −γ 2 εTy (t) Aer x ˆ (ΩL − Ω 0

η(0, t1) =

(14.130)

0

aus der man dann die Hyperstabilit¨atsbedingung  ˆL = KI εT (t) Aer x Ω ˆ dt y

(14.131)

f¨ ur die Drehzahl ableiten kann, in der KI eine beliebige positive Integrationskonstante ist und Aer wie folgt definiert ist:   1 ˆ A−A (14.132) Aer = ˆL ΩL − Ω Die Stabilit¨at dieses adaptiven Ansatzes kann u ¨ber das Stabilit¨atskriterium von Lyapunov unter Verwendung der Lyapunov-Funktion 2  ˆL V = εTy εy + c ΩL − Ω (14.133) nachgewiesen werden [471]. Wendet man diese allgemeine Theorie auf spezielle F¨alle an, so kann man die folgenden adaptiven Verfahren herleiten: • Man erh¨alt einen Luenberger-Beobachter mit den folgenden Annahmen: ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ Iˆ1B εI1B I1B − Iˆ1B ⎢ ˆ ⎥ ⎢ I1A − Iˆ1A ⎥ ⎢ εI1A ⎥ ⎢ I1A ⎥ ⎥=⎢ ⎥ εy = ⎢ = und x ˆ ⎢ ˆ ⎥ ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣ ⎣ Ψ2B ⎦ 0 0 0 Ψˆ2A ⎡ 0 0   ⎢ 0 0 1 ˆ =⎢ Aer = A−A ⎣ 0 0 ˆL ΩL − Ω 0 0

0 M L2 σL1

0 −1

⎤ − L2M σL1 ⎥ 0 ⎥ ⎦ 1 0

14.7 Adaptive Verfahren

aus denen man dann die Rotordrehzahl u ¨ ber  ˆ L = KI Ω

=

−KI

%

εI1B εI1A 0 0

⎡

&⎢ ⎢ ⎢ ⎣

 3

− L2M Ψˆ σL1 2A M ˆ Ψ L2 σL1 2B Ψˆ2A −Ψˆ2B

617

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ dt ⎦

4 εI1B Ψˆ2A − εI1A Ψˆ2B dt

(14.134)

berechnen kann. • Man erh¨alt ein MRAS-System mit den folgenden Annahmen:     Ψ2B − Ψˆ2B Ψˆ2B εy = und x ˆ= ˆ Ψ2A − Ψˆ2A Ψ2A Ψ2B und Ψ2A sind die Ausg¨ange des Referenzmodells (RM) und Ψˆ2A die Ausg¨ange des adaptiven Modells (AM).     1 0 1 ˆ A−A = Aer = ˆL −1 0 ΩL − Ω Daraus l¨aßt sich die Gleichung f¨ ur den Rotordrehzahlssch¨atzwert  ˆL = KI εT Aer x Ω ˆ dt = y  = KI

%

 3

εΨ2B εΨ2A

= KI

&



Ψˆ2A −Ψˆ2B

Ψˆ2B und

ableiten: (14.135)

 dt

(14.136)

4 εΨ2B Ψˆ2A − εΨ2A Ψˆ2B dt

Die Ergebnisse der simulativen und experimentellen Untersuchungen in [471] zeigen, daß die Systeme mit Luenberger-Beobachter generell besser sind als die MRAS-Verfahren, da letztere in allen Arbeitspunkten einen h¨oheren Fehler im Sch¨atzwert aufweisen. Insbesondere zeigt der Luenberger-Ansatz ein besseres Verhalten bei kleineren Drehzahlen und neigt in diesem Bereich auch weniger zu Schwingungen. Diese Unterschiede k¨onnen damit erkl¨art werden, daß der LuenbergerBeobachter einen Vergleich zwischen physikalisch gemessener und gesch¨atzter Gr¨oße durchf¨ uhrt, w¨ahrend beim MRAS-Verfahren der gesch¨atzte Wert aus einem Vergleich zwischen Referenzmodell und adaptivem Modell gewonnen wird. Die in [471] dargestellten Verfahren zeigen zwar in der Praxis zufriedenstellendes Verhalten, der mathematische Stabilit¨atsbeweis ist jedoch kritisch zu betrachten, da f¨ ur die Anwendung des Hyperstabilit¨atskriteriums konstante Systemmatrizen vorausgesetzt werden. Im vorliegenden Fall sind die SystemmatriˆL und somit zeitvariant und zen jedoch abh¨angig von der zu sch¨atzenden Gr¨oße Ω nicht konstant (siehe Kap. 14.1 und 14.7.6).

618

14.7.1

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

MRAS-Verfahren

Das Charakteristische bei den MRAS-Verfahren — wie schon in Kap. 14.7 prinzipiell dargestellt — ist, daß ein Vergleich zwischen den von zwei Sch¨atzern berechneten Werten vorgenommen wird. Das erste dieser Modelle, auch Referenzmo” dell“ oder Reference Model“ (RM) genannt, wird aus Gleichungen hergeleitet, ” die nicht den gesuchten Sch¨atzwert — in diesem Fall die Rotordrehzahl — enthalten; das zweite Modell hingegen, auch als Adaptives Modell“ oder Adjustable ” ” Model“ (AM) bezeichnet, wird aus Gleichungen abgeleitet, in denen die gesuchte Gr¨oße enthalten ist. Ein funktionelles Schema dieses Verfahrens zeigt Abb. 14.16, wobei die Ausgangsgr¨oßen xd,q die gesch¨atzten physikalischen Gr¨oßen darstellen. Der Fehler zwischen den beiden unterschiedlichen Modellen stellt den Eingang f¨ ur den Adaptionsalgorithmus dar, der die Drehzahlsch¨atzung vornimmt.

U 1A U 1B I 1A I 1B

xq ReferenzModell

xd

-e

x~q Adaptives Modell

WL

x~d

Adaptionsgesetz

Abb. 14.16: Blockschaltbild eines MRAS Sch¨ atzers

Die Modelle RM und AM werden aus den Stator- und Rotorgleichungen hergeleitet und auf die A, B-Achsen des rotierenden Referenzsystems K bezogen. ⎧ dΨ1A ⎪ ⎪ − Ω1 Ψ1B ⎨ U1A = R1 I1A + dt RM (14.137) ⎪ ⎪ ⎩ U1B = R1 I1B + dΨ1B + Ω1 Ψ1A dt 5 Ψ1A = L1 I1A + MI2A RM (14.138) Ψ1B = L1 I1B + MI2B

14.7 Adaptive Verfahren

AM

AM

⎧ ⎪ dΨ˜2A ⎪ ˆL )Ψ˜2B ⎪ − (Ω1 − Ω ⎨ 0 = R2 I2A + dt ⎪ ⎪ dΨ˜ ⎪ ˆL )Ψ˜2A ⎩ 0 = R2 I2B + 2B + (Ω1 − Ω dt 5 Ψ˜2A = L2 I2A + MI1A Ψ˜2B = L2 I2B + MI1B

619

(14.139)

(14.140)

Aus diesen Gleichungen k¨onnen unterschiedliche Gr¨oßen abgeleitet werden, wie etwa die EMK, die Fl¨ usse oder die Blindleistung. Je nachdem auf welcher Grundlage nun die Drehzahlsch¨atzung vorgenommen wird, unterscheidet man die drei Methoden: 1. EMK-Gleichungen: es werden die gesch¨atzten EMKs verglichen; 2. Flußgleichungen: es werden die gesch¨atzten Fl¨ usse verglichen; 3. Blindleistungsgleichungen: es werden die gesch¨atzten Blindleistungen verglichen. Bei allen genannten Methoden ist die Berechnung der Rotordrehzahl u ¨ ber das Adaptionsgesetz gleich: T ˆL = KP (xq x˜d − xd x˜q ) + KI Ω

(xq x˜d − xd x˜q ) dt

(14.141)

0

wobei die Variable x f¨ ur die Ausg¨ange aus dem Referenzmodell (RM) steht und die Variable x˜ f¨ ur die Ausg¨ange aus dem adaptiven Modell steht, KP und KI sind Hilfskonstanten des Fehlerreglers. Gleichung (14.141) kann aus Gl. (14.135) unter Ber¨ ucksichtigung folgender Gleichheit εxq x˜d − εxd x˜q = (xq − x˜q ) x˜d − (xd − x˜d ) x˜q = xq x˜d − xd x˜q abgeleitet werden. Wird die gesch¨atzte Drehzahl im adaptiven Modell so vera¨ndert, daß der ermittelte Fehler gleich Null ist, ist diese gesch¨atzte Drehzahl die Drehzahl des Rotors. Die Geschwindigkeit und die Stabilit¨at, mit der das Adaptionsgesetz die gesuchte Drehzahl ermittelt, h¨angt von der Wahl der Konstanten KP und KI ab, die den proportionalen und den integralen Anteil des Adaptionsalgorithmus repr¨asentieren. 14.7.2

Problematik bei tiefen Frequenzen

Um die zu behandelnde Problematik bei tiefen Statorfrequenzen und damit kleineren Drehzahlen sowie um einige grunds¨atzliche L¨osungswege aufzuzeigen, sollen die zwei wesentlichen Grundgleichungen noch einmal wiederholt werden.

620

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

Um den Statorfluß Ψ1S zu sch¨atzen, wird die folgende Gleichung verwendet:     S − R1 IS dτ Ψ1S = (RM) (14.142) U 1 1 Diese Gleichung gilt grunds¨atzlich f¨ ur alle Ersatzschaltbilder der Drehfeldmaschinen. Wie aber bereits in [36] ausgef¨ uhrt, kann die statorseitige Streuung σL1 auf die Rotorseite umgerechnet werden, und es gilt dann L1 = M = Lh = Lμ . Damit gilt f¨ ur dieses kanonische Ersatzschaltbild:  S = Ψ  S  Ψ (14.143) μ 1 M =L1

Es ¨andert sich allerdings das Rotorgleichungssystem. Grunds¨atzlich ist daher bei den Ver¨offentlichungen genau zu u ufen, welches Modell der Drehfeld¨berpr¨ maschine verwendet wurde. Im vorliegenden Fall soll der Ansatz aus Kap. 13 und damit Kap. 14.1 (komplexe Darstellung, Gleichungssatz (14.5) bis (14.15) bzw. Abb. 14.2) weiter verwendet werden. In diesem Fall gilt:    dI1S L2 S S S    Ψ2 = U1 − R1 I1 − σL1 dτ (RM) (14.144) M dt Diese Gleichung wird von vielen Autoren als grundlegende Ausgangsbasis benutzt und ergibt insbesondere bei h¨oheren Drehzahlen befriedigende Sch¨atzergebnisse. Bei niedrigen Drehzahlen beeintr¨achtigt die Drift der offenen Integration und das Rauschen das Sch¨atzergebnis, dies ist inzwischen allgemeine Erkenntnis. Um diese Schwierigkeiten zu verringern, wird das Strommodell des Rotors (Gl. (14.15) mit ΩK = 0 bzw. Abb. 14.2) zus¨atzlich genutzt (Abb. 14.17). Diese Ableitung erfolgte erstmals 1989 [551, 606] T2

2K dΨ  K = −j(ΩK − ΩL )T2 Ψ  K + M IK +Ψ 2 2 1 dt

(AM)

(14.145)

ur die Transformation in das S-System mit ΩK = 0 f¨ T2

S dΨ 2  S = jΩL T2 Ψ  S + M IS +Ψ 2 2 1 dt

(AM)

(14.146)

(AM)

(14.147)

und ergibt im Laplace-Bereich (siehe Abb. 14.2): 7  (s) = Ψ 2 S

oder

S 7  2 (s) = Ψ

M IS (s) 1 + T2 s − jΩL T2 1 M

(AM) (14.148) I1S (s) 1 + T'2 s − jΩL T'2 Die obige Gleichung des Rotorflusses wird von den verschiedenen Autoren in unterschiedlicher Form dargestellt [529, 579].

14.7 Adaptive Verfahren

621

Ein wesentlicher Ansatzpunkt bei der Verbesserung der Flußsch¨atzung ist, bei tiefen Drehzahlen die kritische Flußsch¨atzung nach Gl. (14.142) bis (14.144) zu erg¨anzen durch einen Vergleich mit der Flußsch¨atzung nach Gl. (14.146) (Abb. 14.17). Durch diesen Vergleich erfolgt eine Fehlerr¨ uckf¨ uhrung und damit eine Stabilisierung der Sch¨atzung. Im allereinfachsten Fall kann der abgetastete Flußwert zum Zeitpunkt (k − 1) in Gl. (14.146) bzw. (14.147) mit dem k-ten Flußwert aus Gl. (14.142) bis (14.144) verglichen und somit der Flußwert zum Zeitpunkt k aus Gl. (14.142) bzw. (14.144) korrigiert werden [495]. In gleicher 'L genutzt werden. Weise kann dieses Vorgehen auch f¨ ur die Sch¨atzung von Ω Ausgehend von Gl. (14.15) sowie bei ΩK = 0 sowie Gl. (14.146) und nach Aufl¨osung in die α-, β-Komponenten ergibt sich f¨ ur das adaptive Modell AM: ⎧   1 ˜ 1 ⎪ ˜ ⎪ ˜ Ψ2α = − Ψ2α − ΩL Ψ2β + MI1α dt ⎪ ⎪ ⎨ T2 T2 (14.149) AM   ⎪ ⎪ 1 1 ⎪ ⎪ − Ψ˜2β + ΩL Ψ˜2α + MI1β dt ⎩ Ψ˜2β = T2 T2 F¨ ur das Adaptionsgesetz gilt unter Ber¨ ucksichtigung des Popov-Kriteriums die

U 1a U 1b I 1a I 1b

Y 2a ReferenzModell

Y 2b

-e

~

Y 2a Adaptives Modell

WL

~

Y 2b

Adaptionsgesetz

Abb. 14.17: Blockschaltbild des rotorflußbasierten MRAS-Sch¨ atzers

folgende Gleichung, wenn die Fl¨ usse als Vergleichskriterium genutzt werden:

  'L = KP + KI Ψ2β Ψ˜2α − Ψ2α Ψ˜2β (Abb. 14.17:) Ω (14.150) s Unterschiedliche Ausf¨ uhrungen dieses Vorgehens zeigen die folgenden beiden Abbildungen. In Abb. 14.18 wird das Statormodell zur Flußbestimmung nach Gl. (14.144) und parallel dazu das Rotormodell nach Gl. (14.148) mit ΩK = 0

622

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

e1S U1S

Y2 S

Statormodell (14.144)

I1S

~ Y2 S

M

e

^ W L

jT2

Abb. 14.18: Grundstruktur des MRAC-Ansatzes

verwendet. Das Differenzsignal eS1 wird zum Eingang des Statormodells zur¨ uckgef¨ uhrt und stabilisiert so die an sich offene Integration nach Gl. (14.144). Wei'L gesch¨atzt. terhin wird mit dem Fehlerregelkreis die Drehzahl Ω Y1S

U1S

M

-

-

Y2S L2

Tg

1

WL

sL1

R1 I1S M

~ Y2 S

1

T2 jT2

WL

Abb. 14.19: Abge¨ anderte Version von Abb. 14.18 [440, 441]

Eine etwas andere Ausf¨ uhrung zeigt Abb. 14.19. Im vorliegenden Fall ist die offene Integration beim Statormodell durch einen Tiefpaß mit der Zeitkonstanten Tg ersetzt worden; außerdem wurde die Differentation des Stroms I1S vermieden. Die Zeitkonstante Tg wird in etwa zu Tg ≈ 1 sec gesetzt. Dies bedeutet, daß unterhalb der Frequenz von ca. 1 Hz die Integration im Statormodell beginnt, nicht mehr wirksam zu sein. Um Fehler bei der Sch¨atzung

14.7 Adaptive Verfahren

623

˜S von Ψ2 vom Rotormodell zu vermeiden, muß deshalb in diesem Signalpfad ebenso eine Frequenzbeschr¨ankung eingef¨ ugt werden. Ansonsten sind beide Ausf¨ uhrungen praktisch identisch. In Gl. (14.148) ist der Zusammenhang zwischen dem Fluß Ψ2 und dem Statorstrom I1 dargestellt. Im station¨aren Betrieb (s = 0) gilt: S = Ψ 2

M I1S 1 + jΩ2 T2

(14.151)

Bei Stromeinpr¨agung ist daher zu beachten, daß die Orientierung des K-Systems der Str¨ome unterschiedlich zum K-System der Rotorfl¨ usse ist.  βI = Ω1 dτ + arctan(Ω2 T2 ) (14.152) Ausgehend von dieser Idee werden die unterschiedlichsten Vorschl¨age erarbeitet, um die Drehzahl Ωm und den Fluß Ψ2 gleichzeitig zu sch¨atzen. Wie in [551, 606] gezeigt wird, ist der Gleichungssatz (14.146) bis (14.148) gut geeignet, um die Drehzahl ΩL bzw. Ω2 zu sch¨atzen. Die Schwierigkeit ist aber, mit dieser Gleichung sowohl die Drehzahl als auch den Fluß zu sch¨atzen. In [432] wird Gl. (14.146) in das rotorflußfeste Koordinatensystem transformiert. Andere Autoren verwenden komplexere Ans¨atze wie nichtlineare Beobachter [508], nichtlineare Beobachter mit reduzierter Ordnung [567], Sliding Mode Beobachter [460] oder Extended Kalman Filter [476]. Dies wird in den folgenden Kapiteln abgehandelt. 14.7.3

MRAS-Verfahren: EMK-Berechnung

Abwandlungen des MRAS-Verfahrens werden beispielsweise in [581, 582, 585] dargestellt, wobei die offene Integration nach Gl. (14.144) umgangen wird. Aus¨ gangspunkt der Uberlegungen sind Gl. (14.62) als Referenzmodell S S = U  S − R1 IS − σL1 dI1 E μ 1 1 dt

(14.153)

und Gl. (14.139), (14.140) sowie Gl. (14.58) zur Elimination der Ableitung der Rotorfl¨ usse als adaptives Modell: 4 M3 'L L2 I2β − Ω 'L MI1β −R2 I2α − Ω L2 4 M3 'L L2 I2α + Ω 'L MI1α −R2 I2β + Ω = L2

Eμα =

(14.154)

Eμβ

(14.155)

Die Str¨ome I2α und I2β k¨onnen beispielsweise mittels Gl. (14.116) und (14.117) berechnet werden.

624

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

Wiederum wird eine Fehlerfunktion  aus den beiden Sch¨atzungen der inneren Spannungen gebildet, d.h. statt der Fl¨ usse werden nun die inneren Spannungen genutzt. Abbildung 14.18 bleibt in der Grundstruktur somit erhalten. Eine generelle Schwierigkeit ist die Auslegung des Fehlerreglers mit dem Aus'L . Diese Fragestellung wird in [582] diskutiert. gangssignal Ω 14.7.4

MRAS-Verfahren: Flußberechnung

Tajima et al. [567] beziehen sich in ihrer Arbeit im wesentlichen auf die Arbeit von Schauder [551, 606] und erhalten f¨ ur die Drehzahlsch¨atzung auch die selben Resultate. Sie zeigen aber eine M¨oglichkeit auf, wie die Dynamik des Drehzahlsch¨atzers gesteigert werden kann. Zudem liefern sie auch Einstellregeln zur Bestimmung der Parameter in der Adaptionsformel. Durch Linearisierung im Bereich des Arbeitspunktes und u ¨ber die Formel ε = Ψ˜2β Ψ2α − Ψ2β Ψ˜2α

(14.156)

¨ erh¨alt man die Ubertragungsfunktion zu

G(s) =

DW L

-

Δε 7L ΔΩL − ΔΩ

G (s)

De

=

 s+ s+

1 T2

1 T2

KP +



2

Ψ22

(14.157)

+ Ω22

KI s

DW L

Abb. 14.20: Blockschaltbild des Drehzahlsch¨ atzers

¨ in der die mit Δ gekennzeichneten Gr¨oßen die Anderungen um den Linearisierungspunkt angeben. In Abb. 14.20 ist das Blockschaltbild dieser Methode angef¨ uhrt. Nimmt man an, daß die Schlupfdrehzahl gleich Null ist, k¨onnen die Konstanten im Adaptionsgesetz berechnet werden zu: ⎧ ξΩ1 − T12 ⎪ ⎪ ⎪ KP = ⎪ ⎨ Ψ22 (14.158) ⎪ 2 ⎪ Ω ⎪ 1 ⎪ ⎩ KI = 2 Ψ2

14.7 Adaptive Verfahren

¨ Daraus folgt dann die Ubertragungsfunktion   2ξΩ1 − T12 s + Ω12 ˆL ΔΩ = ΔΩL p2 + 2ξΩ1 s + Ω12

625

(14.159)

mit der Laplace-Variable s und der D¨ampfung ξ. Aus Gl. (14.159) k¨onnen die die Dynamik bestimmenden Pole und Nullstellen des Drehzahlsch¨atzers bestimmt werden: ⎧ Ω12 ⎪ ⎪ Nullstelle: sn = − ⎨ 2ξΩ1 − T12 (14.160) ⎪ ⎪  ⎩ Polstelle: sp = −ξΩ1 ± jΩ1 1 − ξ 2 Diese Vorgangsweise erm¨oglicht es, die Pole des Sch¨atzers zu optimieren, um damit bessere Ergebnisse als mit dem von Schauder [551, 606] vorgestellten proportional-integralen Adaptionsverfahren zu erreichen. Jansen et al. [495] schlagen ein MRAS-Verfahren vor, bei dem sie den Ansatz von Schauder [551, 606] verwenden, aber ein anderes Adaptionsgesetz einsetzen. ¨ Sie gehen von der Uberlegung aus, daß es die Aufgabe des Adaptionsverfahren sein muß, die Winkeldifferenz zwischen den Flußvektoren aus dem Referenzmodell und dem adaptiven Modell zu Null zu bringen. Die Genauigkeit, mit der die Drehzahlsch¨atzung erfolgen kann, h¨angt mit der Genauigkeit der beiden Flußsch¨atzungen zusammen. Man berechnet das Verh¨altnis der beiden Sch¨atzwerte u ¨ber: 

 Ψ2 L M 2 1 + jT2 Ω2 R1 − R1 + (1 + jT2 Ω2 ) σL1 − σ  Ls − j = 2 M L2 1 + jT2 Ω2 Ω1 Ψ˜2 (14.161) ¨ Diese Funktion ist die Ubertragungsfunktion, in der die mit  gekennzeichneten Gr¨oßen die gesch¨atzten Werte sind. F¨ ur den Fall, daß die Parameter genau gesch¨atzt worden sind und das Adaptionsgesetz den Phasenfehler zu Null ausregelt, erh¨alt man aus Gl. (14.161) die ¨ Ubertragungsfunktion Ψ2 =1 Ψ72 und somit die Konvergenz der Rotordrehzahlsch¨atzung. Die Schlupfdrehzahl berechnet sich somit zu: '2 = T2 Ω2 Ω (14.162) T'2 Alle linearen Modelle, die auf dem Phasenfehler basieren, k¨onnen nicht unterscheiden, ob ein Fehler aufgrund einer ungenauen Schlupfdrehzahlsch¨atzung oder einer fehlerhaften Sch¨atzung der Rotorzeitkonstante auftritt.

626

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

F¨ ur den Fall, daß das Adaptionsgesetz auf die Minimierung des Fehlers in den Amplituden der Flußvektoren ausgelegt ist, kann die Gleichung f¨ ur den Drehzahlsch¨atzwert wie folgt formuliert werden: ?

 M M 1 2 2 ' Ω2 =  (14.163) T2 Ω2 1 − A T2 M M ¨ In diesem Fall ist die Sensibilit¨at des Systems auf Anderungen von M  geringer. Eine weitere Variante des von Jansen [495] beschriebenen Verfahrens ist der von Blasco-Gimenez et al. [435] vorgestellte Ansatz f¨ ur den Ankerstell- und Feldschw¨achbereich. Das Verfahren beruht auf dem Ansatz, daß sobald die Drehzahl eine untere Schwelle unterschreitet, der Motor immer bei einem definierten Schlupfwert betrieben werden soll. Eine konstante Schlupfdrehzahl setzt eine kleine Synchrondrehzahl im Stator voraus, somit wird auch eine korrekte Sch¨atzung des Flusses und der Rotorposition garantiert und damit eine zufriedenstellende Feldorientierung erm¨oglicht. 14.7.5

MRAS-Verfahren, basierend auf Blindleistungsberechnung

Definiert man die induktive Blindleistung zu Q = M (I1α I2β − I1β I2α )

(14.164)

so kann man durch Substitution der Str¨ome aus Gl. (14.137), (14.138), (14.139) und (14.140) die Gleichungen f¨ ur die Modelle herleiten:

U 1a U 1b I 1a I 1b

Referenz-

Q

Modell

Adaptives Modell

WL

e

~ Q

Adaptionsgesetz

Abb.14.21: Blockschaltbild eines MRAS-Sch¨ atzers auf Basis der Blindleistungsberechnung

14.7 Adaptive Verfahren

627

d d I1β − I1β U1α + I1β σL1 I1α (RM) (14.165) dt dt 

 1 L2 M2 ˆ L2 L2 2 2 ˜ ΩL I1α + I1α I2α + I1β + I1β I2β + Q = (I1α I2β − I1β I2α ) L2 M M T2 M Q = I1α U1β − I1α σL1

(AM)

(14.166)

Die Str¨ome I2α und I2β k¨onnen beispielsweise entsprechend den Rechenvorschl¨agen in Gl. (14.116) und (14.117) berechnet werden. Das Verfahren entspricht im Prinzip der Sch¨atzung der Rotorstreuzeitkonstanten bei bekannter Drehzahl aus dem Vergleich der in AM und RM (oder gem¨aß u-i-Modell und i-n-Modell) berechneten Blindleistungen, die in [427, 469] vorgeschlagen wurden. In Abb. 14.21 ist das Blockschaltbild f¨ ur dieses blindleistungsbasierte MRASVerfahren angegeben. Fang-Zheng Peng et al. [582, 583] schlagen neben dem schon erw¨ahnten Ansatz u ¨ ber die EMK-Gleichung auch ein Verfahren u ¨ber die Blindleistungsgleichung vor. Durch Umformungen der einzelnen Komponenten der Vektoren kann das Referenzmodell und das adaptive Modell, wie aus Gl. (14.165) und (14.166) bekannt, hergeleitet werden. Der Adaptionsalgorithmus unterscheidet sich dabei nicht vom bisher verwendeten und wird u ¨ber die Gleichung

  ˆL = KP + KI ˜ Ω Q−Q (14.167) s berechnet. Es bleibt anzumerken, daß bei diesem Ansatz weder der Statorwiderstand noch irgendwelche Integratoren ben¨otigt werden. Da keine Abh¨angig¨ keit von temperaturbedingten Anderungen der Statorparameter besteht, garantiert dieses Verfahren einen gr¨oßeren Drehzahlregelbereich. Es verbleibt aber die Abh¨angigkeit von T2 = f (ϑ). 14.7.6

Verfahren mittels Zustandssch¨ atzung

Um eine Zustandsregelung f¨ ur zeitinvariante Systeme gem¨aß Gleichung (14.168) zu realisieren x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) (14.168) ist es notwendig, den inneren Zustandsvektor zu kennen. Da es nicht immer m¨oglich ist, alle Zust¨ande zu messen, werden die nicht meßbaren Zust¨ande mittels eines Luenberger-Beobachters [520, 521, 522, 574] oder eines Kalman-Filters [20, 31] gesch¨atzt. Aus diesem Grund besteht eine Zustandsregelung f¨ ur Systeme mit nicht meßbaren Zust¨anden aus zwei getrennt zu entwerfenden Einheiten: 1. Luenberger-Beobachter / Kalman-Filter zur Zustandssch¨atzung. 2. Zustandsregler, der alle meßbaren und gesch¨atzten Zust¨ande verwendet.

628

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

Luenberger-Beobachter und Kalman-Filter besitzen prinzipiell den gleichen Aufbau. Bei einem Luenberger-Beobachter k¨onnen die Beobachterpole frei gew¨ahlt werden, sie sollten jedoch im Hinblick auf die Zustandsregelung links von den Polen des zu beobachtenden Systems in der komplexen Laplace-Ebene liegen, um ein schnelles Einschwingen des Beobachters zu garantieren. Genaueres zum Luenberger-Beobachter kann in Kap. 5.5.6.2 nachgelesen werden. Das Kalman-Filter unterscheidet sich vom Luenberger-Beobachter nur in der Berechnung der Fehlerr¨ uckf¨ uhrmatrix, sie ist darauf hin optimiert, Meß- und Systemrauschen zu unterdr¨ ucken. Die Pole des Kalman-Filters sind nicht frei w¨ahlbar, sondern h¨angen von den Erwartungswerten und Varianzen der Rauschsignale ab. Das Kalman-Filter hat im allgemeinen Tiefpaßcharakteristik. Die Berechnung der Fehlerr¨ uckf¨ uhrmatrix f¨ ur das Kalman-Filter wird in Kap. 14.7.6.2 behandelt. 14.7.6.1 Verfahren auf Basis eines Luenberger-Beobachters Die Zustandsdarstellung der Asychronmaschine mit den Zustandsgr¨oßen Statorstrom (meßbar) und Rotorfluß (nicht meßbar) ist in folgender Gleichung dargestellt: d dt



I1 2 Ψ



 =

A11 A12 A21 A22



I1  Ψ2



 +

B1 0

 I1 = C Hierbei ist A die Systemmatrix, B die matrix. F¨ ur die einzelnen Elemente gilt: ⎡   ⎢ I1 ⎢ = ⎣ 2 Ψ  I=

1 0 0 1



I1  Ψ2



 1 = A U

I1  Ψ2

 1 + BU

(14.169)

 (14.170)

Steuermatrix und C die Beobachter⎤ I1A I1B ⎥ ⎥ Ψ2A ⎦ Ψ2B J=

(14.171) 

0 −1 1 0



 R1 1−σ I = ar11 I + σL1 σT2   1 M = I − ΩL J = ar12 I + ai12 J σL1 L2 T2

(14.172)



A11 = − A12

A21 =

M I = ar21 I T2

A22 = −

1 I + ΩL J = ar22 I + ai22 J T2

(14.173)

14.7 Adaptive Verfahren



0 0 0 0

1 σL1 · I % & I 0 C = B =

629

T (14.174) (14.175)

Die Herleitung von Gl. (14.169) bis (14.175) ist in Kap. 14.1 ausgef¨ uhrt. Die Matrizen A und B enthalten die Motorparameter, wobei A12 und A22 zus¨atzlich die Rotordrehzahl ΩL enthalten und damit zeitvariant sind. 2. Ziel des Beobachterentwurfs ist zun¨achst die Sch¨atzung des Rotorflusses Ψ Da die Systemmatrix A auch von der nicht meßbaren Rotordrehzahl ΩL abh¨angt, muß diese ebenfalls gesch¨atzt werden. ΩL ist in der angegebenen Zustandsdarstellung keine Zustandsgr¨oße und muß deshalb mit einem separaten ΩL -Sch¨atzer“ kontinuierlich neu bestimmt werden. ” Das Blockschaltbild in Abb. 14.22 gibt die generelle Struktur des Beobachters ¨ einschließlich des ΩL -Sch¨atzers“ an. Zu erw¨ahnen bleibt die strukturelle Ahn” lichkeit dieses Verfahrens mit einem MRAS-Verfahren mit dem Unterschied, daß der reale Motor anstelle des Referenzmodells (RM) verwendet wird. U 1s

I 1s

ASM

s

Y2

B

1

C

s

I 1s

-

A WL

WL Schätzer

K

Abb. 14.22: Blockschaltbild der Verfahren auf Basis eines Luenberger-Beobachters

Der Statorstrom und der Rotorfluß werden u ¨ber den Luenberger-Beobachter gesch¨atzt, wobei der Statorstrom f¨ ur den Fehlervergleich verwendet wird. Die Beobachterzustandsgleichungen k¨onnen wie folgt geschrieben werden [508]:     ˆ   ˆ1 d I1 I ˆ  1 + K Iˆ1 − I1 = A + B U (14.176) dt Ψ ˆ2 ˆ2 Ψ

630

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

Die R¨ uckf¨ uhrmatrix K, welche die Luenberger-Koeffizienten enth¨alt, kann gem¨aß Kap. 5.5.6.2 berechnet werden. W¨ahrend in Kap. 5.5.6.2 von einer bekannten und zeitinvarianten Systemmatrix A ausgegangen wurde, ist dies hier nicht m¨oglich. Da die Systemmatrix von der Rotordrehzahl ΩL abh¨angt und diese nicht meßbar ˆ f¨ ist, wird von einer gesch¨atzten Systemmatrix A ur den Beobachter ausgegangen. ˆL ab. Diese h¨angt von der gesch¨atzten Rotordrehzahl Ω Ilas et al. [489, 490] untersuchen die Stabilit¨at des Luenberger-Beobachters durch Anwendung des Hyperstabilit¨atskriterium von Popov analog zu Gl. (14.128) und (14.129). Kubota [508] verwendet das Kriterium von Lyapunov f¨ ur den Stabilit¨atsˆL . Hierbei kommt nachweis sowie zur Bestimmung eines Sch¨atzverfahrens f¨ ur Ω folgende Lyapunov-Funktion zum Einsatz: 2 1 ˆL ΩL − Ω V = εTI1 εI1 + (14.177) λ λ ist eine beliebige positive Konstante. Aus Gl. (14.177) erh¨alt man die zeitliche Ableitung von V zu: 1 2 dV = εTI1 (A + KC)T + (A + KC) εI1 dt  1 − 2ΔΩL εI1A Ψˆ2B − εI1B Ψˆ2A (14.178) c + 2ΔΩL

ˆL 1 dΩ dt λ

ˆL − ΩL sowie c = (σL1 L2 )/M und ε  = Iˆ1 − I1 . mit ΔΩL = Ω I1 Da die Eigenwerte der Beobachtermatrix (A + KC) immer negativ sind, folgt ˆL durch Gleichsetzung des aus Gl. (14.178) das folgende Adaptionsgesetz f¨ ur Ω zweiten und dritten Terms [508]:  ˆL dΩ λ = εI1A Ψˆ2B − εI1B Ψˆ2A dt c ˆL gem¨aß Gl. (14.180) berechnet werden: Daraus kann Ω    ˆL = λ εI1A Ψˆ2B − εI1B Ψˆ2A dt Ω c

(14.179)

(14.180)

Da sich die Motordrehzahl schnell ¨andern kann, wird in [508] ein verbessertes Sch¨atzverfahren mit zus¨atzlichem Proportionalanteil vorgeschlagen:      ˆL = KP εI Ψˆ2B − εI Ψˆ2A + KI ˆ2B − εI Ψˆ2A dt ε Ω Ψ I 1A 1B 1A 1B

(14.181)

KP und KI sind frei w¨ahlbare positive Konstanten. Der Vorteil von Gl. (14.181) gegen¨ uber dem urspr¨ unglichen Adaptionsgesetz nach Gl. (14.180) ist die schnellere Adaption der gesch¨atzten Drehzahl.

14.7 Adaptive Verfahren

631

In weiteren Ver¨offentlichungen analysieren Kubota et al. [508]-[514] verschiedene Teilaspekte genauer. Gem¨aß [508] muß bez¨ uglich der Auslegung der Beob¨ achterpole folgendes beachtet werden: Andern sich die Systempole in A aufgrund einer Variation von ΩL , so sollten sich die Beobachterpole in A+KC proportional dazu ¨andern. In [508] wird daf¨ ur folgende Berechnungsvorschrift f¨ ur K unter der Ber¨ ucksichtigung von Gl. (14.169) angegeben: ⎡ ⎤ k1 −k2 ⎢ k2 k1 ⎥ ⎥ K = ⎢ (14.182) ⎣ k3 −k4 ⎦ k4 k3 k1 = (k − 1)(ar11 + ar22 )

(14.183)

k2 = (k − 1)ai22

(14.184)

k3 = (k 2 − 1)(car11 + ar21 ) − c(k − 1)(car11 + ar22 )

(14.185)

k4 = −c(k − 1)ai22

(14.186)

Hierbei ist k eine frei w¨ahlbare positive Proportionalit¨atskonstante. Bei allen bisher dargestellten adaptiven Verfahren in diesem Kapitel erfolgte 'L entweder durch eine rein integrale Auswertung eine Sch¨atzung der Drehzahl Ω — wie in Gl. (14.180) — oder durch eine proportional-integrale Auswertung — wie in Gl. (14.181). Bei der Anwendung dieser Rechenvorschrift stellt sich allerdings heraus, daß — wie schon in Kap. 14.1 hingewiesen — bei kleinen Statorfrequenzen und damit insbesondere bei der Statorfrequenz Null und damit außerdem im generatorischen Betrieb bei ΩL − Ω2 = 0 diese Sch¨atzverfahren nicht mehr stabil arbeiten. Der physikalische Grund ist, daß in diesen Betriebsbereichen der Statorstrom und der Magnetisierungsstrom bei MM i = 0 identisch und bei generatorischem Betrieb und Ω1 = 0 nahezu identisch sind. Das Fehlersignal erkennt deshalb vorwiegend den Fehler in der A-Achse. Der Fehleranteil in der B-Achse, der das Moment betrifft, ist bei dieser Art der Auswertung praktisch nicht erkennbar. Um auch bei dieser Situation eine verbesserte Sch¨atzbasis zu erhalten, wird in [568] das folgende erarbeitete Drehzahlsch¨atzverfahren vorgeschlagen:   4  λ 3   ˆ ΩL = εI1A Ψˆ2B − εI1B Ψˆ2A + Kp · sign (Ω1 ) εI1A Iˆ1B  dt (14.187) c Es sei aber an dieser Stelle nochmals darauf hingewiesen, daß auch mit diesem Sch¨atzverfahren der Drehzahlbereich um Null nicht mit eingeschlossen ist. Bei den bisherigen Betrachtungen wurden die Motorparameter als konstant ¨ und bekannt angenommen. Andern sich diese etwa aufgrund von Temperatureinfl¨ ussen, so beeinflußt dies die Fluß- und Drehzahlsch¨atzung. Eine Statorwiderstands¨anderung hat großen Einfluß auf die Drehzahlsch¨atzung vor allem bei niedriger Drehzahl. Rotorwiderstands¨anderungen beeinflussen die Drehzahlsch¨atzung

632

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

u ¨ber den gesamten Drehzahlbereich in gleichem Maße. Um eine korrekte Drehzahlsch¨atzung zu erreichen, m¨ ussen diese Widerstands¨anderungen mit erfaßt werden. In [512] und [513] wird ein adaptives Verfahren zur Parametersch¨atzung f¨ ur den Statorwiderstand und die Rotorzeitkonstante vorgeschlagen. Die Ableitung der Parameteradaptionsgleichungen erfolgt analog zu Gl. (14.178) bis (14.180). Es ergeben sich folgende Adaptionsgleichungen:   d ˆ (14.188) R1 = −λ1 εI1A Iˆ1A + εI1B Iˆ1B dt

   4 1 λ2 3 d = εI1A Ψˆ2A − M Iˆ1A + εI1B Ψˆ2B − M Iˆ1B (14.189) dt Tˆ2 L2 in denen λ1 und λ2 w¨ahlbare positive Konstanten sind. Das zugeh¨orige Blockschaltbild ist in Abb.+14.23 dargestellt. U 1s

I 1s

ASM

s

Y2

B

1

C

s

I 1s

-

A WL R 1T 2 W L

Schätzer

K

Abb. 14.23: Blockschaltbild des Verfahrens mit Luenberger-Beobachter und Parametersch¨ atzung

Du et al. [461] stellen fest, daß ein Luenberger-Beobachter nur bei Anwendung auf lineare Systeme gute Ergebnisse liefert. Sie schlagen deshalb einen erweiterten Beobachter (Extended Luenberger Observer, ELO) durch Hinzuf¨ ugen von weiteren Zustandsvariablen vor, durch die die Dimension des Zustandsvektors von vier auf sechs erh¨oht wird. Der neue Zustandsvektor setzt sich aus % &T x = I1A I1B Ψ1A Ψ1B ΩL Mw (14.190) zusammen, in dem die hinzugef¨ ugten Gr¨oßen die Rotordrehzahl ΩL und das Lastmoment Mw sind. An dieser Stelle soll darauf hingewiesen werden, daß die Rotordrehzahl als Zustandsvariable betrachtet wird und deshalb, wie die Str¨ome und Fl¨ usse, gesch¨atzt wird. Tsuji et al. [570] erweitern die bisherigen Verfahren um eine Ber¨ ucksichtigung von Meßfehlern der Motorklemmenspannung. Dieser Meßfehler wird als

14.7 Adaptive Verfahren

633

zus¨atzliche Zustandsgr¨oße im Beobachter ber¨ ucksichtigt und verbessert somit die 2 und ΩL . Hierbei werden zwei F¨alle unterschieden: Im ersten Sch¨atzung von Ψ Fall wird von einem konstanten Spannungsoffset ausgegangen, im zweiten Fall wird ein zus¨atzlicher zur Referenzspannung proportionaler Meßfehler ber¨ ucksichtigt. Unter der Annahme, daß nur eine Gleichspannungskomponente als Fehler  ∗: existiert, erh¨alt man folgende Gleichungen f¨ ur die gemessene Spannung: U 1 1 + U  d0 ∗ = U U 1

(14.191)

 d0 der  1 die an der Maschine anliegende Klemmenspannung und U Hierbei ist U Gleichspannungsoffset der Messung. Der Gleichspannungsoffset wird als zus¨atzliche Zustandsgr¨oße interpretiert. Der erweiterte Luenberger-Beobachter ergibt sich dann mit Gl. (14.169) bis (14.175) zu: ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ ⎡ ⎤ ˆ ˆ  ˆ I I1 ar11 ar12 − jρΩL −bs ⎢ 1 ⎥ d ⎢ ˆ ⎥ ⎥ = ⎣ ar21 ar22 + j Ω ⎢ Ψ ˆL  ˆ2 ⎥ 0 ⎦⎢ ⎦ ⎣ Ψ dt ⎣ 2 ⎦ 0 0 0 ˆd0 ˆd0 U U ⎛ ⎡ ⎤⎞ ⎤ ⎡ ˆ I1 bs ⎜ ⎢ ⎥⎟ ˆ ⎥⎟  1∗ + k ⎜I1 − cT ⎢ Ψ + ⎣ 0 ⎦U (14.192) ⎝ ⎣ 2 ⎦⎠ 0 ˆ  d0 U Die Matrixkomponenten arij ergeben sich zu: R1 1−σ − σL1 σT2 M ar21 = T2 1 bs = σL1

M 1 σL1 L2 T2 1 ar22 = − T2 M ρ= σL1 L2

ar11 = −

ar12 =

Der k-Vektor wird angenommen zu: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k1 k11 + jk12 k = ⎣ k2 ⎦ = ⎣ k21 + jk22 ⎦ k3 k31 + jk32 Mit dem Fehlervektor

cT =

%

1 0 0

&

(14.193)

⎡

⎤ ˆ I1 − I1 ⎢ ⎥ ˆ2 ⎥ 2 − Ψ ε=⎢ ⎣ Ψ ⎦ ˆ   Ud0 − Udo

erh¨alt man die Fehlerdifferentialgleichung

(14.194)

634

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

⎡ ⎤ ˆL −bs ar11 − k1 ar12 − jρΩ d ˆL ε = Aε ε = ⎣ ar21 − k2 ar22 + j Ω 0 ⎦ε dt −k3 0 0

(14.195)

Da die Komponenten von ε komplexe Zeigergr¨oßen sind, kann nun auch der kVektor komplexe Werte enthalten. Durch Koeffizientenvergleich der Eigenwerte von Aε mit einem Wunschpolynom dritten Grades k¨onnen die Elemente von k bestimmt werden. Nimmt man an, daß im Fehlersignal neben einer gleichbleibender Komponente auch eine ver¨anderliche Komponente existiert, die proportional zur gemessenen  ∗ ist, dann ergibt sich mit Spannung U 1  d0 + U  dh = U  d0 + αU ∗ d = U U 1

(14.196)

 1∗ zu: die gemessene Spannung U 1 + U d ∗ = U U 1 Der erweiterte Beobachter hat nun folgende Struktur: ⎤ ⎡ ⎡ ⎡ ⎤ ˆ ˆ ˆ I1 I1 ar11 ar12 − jρΩL −bs ⎢ ⎥ d ⎢ ⎥ = ⎣ ar21 ar22 + j Ω ⎢ ˆL ˆ2 ˆ2 0 ⎦⎢ Ψ Ψ ⎦ ⎣ dt ⎣ 0 0 0 ˆdh ˆdh ˆd0 + U ˆd0 + U U U ⎛ ⎡ ⎤⎞ ⎤ ⎡ ˆ I1 bs ⎜ ⎢ ⎥⎟  1∗ + k ⎜I1 − cT ⎢ ⎥⎟ ˆ2 + ⎣ 0 ⎦U Ψ ⎝ ⎣ ⎦⎠ 0 ˆ ˆ   Ud0 + Udh Die Sch¨atzung der Drehzahl erfolgt u ¨ ber die Fehlergleichung   xεΩ ε˙ = A + kcT ε + Wˆ

(14.197) ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(14.198)

(14.199)

mit ⎡

ar11 A = ⎣ ar21 0

ˆL εΩ = ΩL − Ω ⎤ ⎤ ⎡ 0 −jρ 0 ar12 bs 0 ⎦ ar22 0 ⎦ W=⎣ 0 j 0 0 0 0 0

und f¨ uhrt zum Ergebnis (siehe auch Gl. (14.179)):   d ˆ ΩL = λ · ρ εI1A Ψˆ2B − εI1B Ψˆ2A dt

(14.200)

In Abb. 14.24 ist das Blockschaltbild dieses Verfahrens angegeben, wobei gilt: ˆ =A+W·Ω ˆL A

(14.201)

14.7 Adaptive Verfahren

635

Ud0+aU1* U1*

U1

ASM

Maschinenmodell

^

U1

B

C

^ A

^ W L

WLSchätzer

^

Ud

K

Gesamt-Beobachter

Abb. 14.24: Blockschaltbild des Beobachters unter Ber¨ ucksichtigung von Meßfehlern

Weitere Verfahren auf Basis des Luenberger-Beobachters, die spezielle anwendungsspezifische Eigenschaften ausnutzen, sind in [429, 490, 507, 539, 540, 568] zu finden. Einen Kubota/Matsuse [508] vergleichbaren Ansatz f¨ ur das statorflußorientierte Regelungssystem (vgl. Kap. 15.5.1 bis 15.5.3) beschreiben [402, 458, 467, 468, 480, 506, 576]. Das Verfahren der Indirekten Statorgr¨oßenregelung (Kap. 15.5.2) beinhaltet ohnehin schon ein vollst¨andiges lineares Grundwellenmodell der Asynchronmaschine. Durch Vergleich der in diesem Modell berechneten Statorstromkomponenten mit den Statorstromkomponenten der wirklichen Maschine kann die Drehzahl gesch¨atzt werden. Um keine zus¨atzlichen Statorspannungswandler einf¨ uhren zu m¨ ussen, sondern die aufwandsarme Berechnung der Statorspannungen aus der gemessenen Zwischenkreisspannung und den Schaltsignalen beibehalten zu k¨onnen, m¨ ussen die Wechselrichter-Spannungsfehler (durch Schalt- und Verriegelungszeiten sowie Verz¨ogerungszeiten im Ansteuerkreis) sehr viel genauer als bisher korrigiert werden [467, 506]. Dann kann der in Abb. 15.70 gestrichelt dargestellte Luenberger-Beobachter zur Korrektur des Nachbildungs-

636

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

fehlers der Statorspannung entfallen, und die in der Differenz der Statorstr¨ome enthaltene Information wird zur gleichzeitigen Sch¨atzung von Drehzahl und z.B. des Statorwiderstands frei. F¨ ur die Differenz der Raumzeiger von Modell- und Maschinen-Statorstrom ¨ kann eine Differenzgleichung 2. Ordnung mit der zeitlichen Anderung des Produkts aus der Differenz ΔnL der Modell- und der Maschinendrehzahl mit dem Rotorfluß-Raumzeiger als Anregung aufgestellt werden, die f¨ ur eingeschwungene sinusf¨ormige Str¨ome (bei ausreichend hoher Schaltfrequenz erf¨ ullt) und kleiner Drehzahlabweichung folgende L¨osung ergibt: ΔIs =

1 ns 2 (14.202) · ΔnL · Ψ · Lσ (ρ · σ − (n2 + ΔnL ) · n1 ) + (j · (n2 + ΔnL ) + n1 )

mit den auf die Rotorkippkreisfrequenz normierten Kreisfrequenzen n1,2 , dem Streufaktor σ (Lσ , Lμ vgl. Ersatzschaltbild nach Abb. 15.60) und der Zeitkonstantenziffer ρ: n1,2 =

Ω1,2 ; (R2 /Lσ )

σ=

Lσ ; Lσ + Lμ

ρ=

Lσ + Lμ Rs · Lμ Rr

Diese mit Statorfrequenz Ω1 schwingende Gr¨oße wird in bekannter Weise durch Multiplikation mit dem konjugiert-komplexen Raumzeiger des Rotorflusses |Ψ2 |·e−jβs in eine im eingeschwungenen Zustand konstante komplexe Gr¨oße transformiert. Nach Normierung auf den Betrag des Quadrats des Rotorflusses und Multiplikation mit einem weiteren komplexen Faktor K wird der Imagin¨arteil als Indikatorgr¨oße f¨ ur die Drehzahldifferenz genommen. Sie wird einem PI-Regler als Eingangsgr¨oße zugef¨ uhrt, dessen Ausgang die gesch¨atzte Drehzahl ist. Im u ¨ berwiegendenden Statorfrequenz- und Drehmomentbereich ist die Indikatorgr¨oße von negativem Vorzeichen; dort wird K = (1 + j · n2 ) · 

1 1 + n22

gesetzt. Nur im Bereich kleiner Statorfrequenzen bei entgegengesetztem Vorzeichen des Drehmoments wechselt der Indikator sein Vorzeichen [402]. Dann muß, wie in [458, 506, 576] gezeigt, durch lastabh¨angige Rotation des Strom-DifferenzRaumzeigers der Faktor K zu 1 + j · (n2 /σ) K= 1 + (n2 /σ)2 gew¨ahlt werden. Die Anregelzeit des PI-Reglers wird zu einem Drittel der Streuzeitkonstante gew¨ahlt. Durch die oben erw¨ahnte Imagin¨arteilbildung wird praktisch die auf dem Rotorflußraumzeiger senkrecht stehende Komponente ausgewertet. Die parallele Komponente kann in analoger Weise zur Sch¨atzung des Statorwiderstands verwendet werden [458]. [576] beschreibt, wie im Stillstand der Maschine ohne

14.7 Adaptive Verfahren

637

Drehmoment auch der Rotorwiderstand bestimmt werden kann, denn nur im Stillstand kann man zwischen Drehzahl- und Rotorwiderstandsfehler unterscheiden. [467] schl¨agt ein neues Verfahren zur schnellen Unterdr¨ uckung parasit¨arer Gleichanteile in der WR-Ausgangsspannung vor. Mit der in [458, 467, 576] beschriebenen Signalverarbeitung — vor allem durch die sehr pr¨azise Fehlerkorrektur und die Unterdr¨ uckung der parasit¨aren Gleichspannungsanteile — kann der Antrieb bis herab zu einem Betrag der Statorfrequenz von 1 % der Nennfrequenz des Antriebs sicher betrieben werden, und ¨ es werden Drehzahlnulldurchg¨ange mit Anderungsgeschwindigkeiten von Rotorkippfrequenz in 3 s beherrscht. Grunds¨atzlich wird aber, wie schon erw¨ahnt, jeder auf dem linearen Grundwellenersatzschaltbild basierende Drehzahlsch¨atzer bei Statorfrequenz Null versagen. Infolge des sehr kleinen, so nicht beherrschbaren Statorfrequenzbereichs schlagen [458, 467, 506] vor, in diesem Bereich bei angefordertem Drehmoment durch Absenken des Rotorflußbetrags die Schlupffrequenz so zu erh¨ohen, daß der unzul¨assige Bereich u ¨ bersprungen“ wird. Bei Leerlauf muß dabei ein kleines Zu” satzdrehmoment zugelassen werden [467]. Wie z.B. in [468] durch Messungen auf einer Straßenbahn gezeigt wird, kann damit der in der Traktion sehr kritische Bereich des Abfangens und Wiederbeschleunigens eines langsam ein Gef¨alle herabrollendes Triebfahrzeugs beherrscht werden. Dies entspricht dem Absenken und Wiederanheben der Last eines Hebezeugs mit sehr kleinen Drehzahlen. [576] beschreibt verschiedene Verfahren (und weist die Funktion durch Messungen an einem 120-kW -Antrieb nach), wie eine drehzahlgeberlose Asynchronmaschine nach Taktsperrung des Umrichters bei entregtem sowie bei resterregtem ¨ Zustand und unbekannter, beliebiger Drehzahl wieder gezielt (ohne Uberstr¨ ome) in weniger als einer Sekunde erregt werden kann. Dies ist von Bedeutung f¨ ur die Traktion, wo die Taktung zur Energieeinsparung im Leerlauf gesperrt wird. Die vorgestellten Verfahren auf Basis des Luenberger-Beobachters sind durch Simulationen und teilweise durch Messungen validiert worden. Kritisch ist jedoch die Herleitung des Adaptionsgesetzes in Gl. (14.180) zu betrachten. Diese basiert auf einem Lyapunov-Ansatz, der jedoch von einer konstanten Systemmatrix A ausgeht. Wie aus Gl. (14.173) ersichtlich ist, h¨angt diese jedoch von der Rotordrehzahl ΩL ab, so daß die Bezeichnung Eigenwerte nicht mehr zutreffend ist, da es sich um ein zeitvariantes System handelt. 14.7.6.2 Verfahren auf Basis eines Kalman-Filters Die hier vorgestellten Verfahren basieren auf dem Einsatz eines Kalman-Filters der im wesentlichen ein Zustandsbeobachter f¨ ur lineare Systeme ist, bei dem die Werte der R¨ uckf¨ uhrmatrix so berechnet werden, daß bei verrauschten Signalen eine optimale Zustandssch¨atzung erreicht wird. Ziel ist es den Zustandvektor so zu rekonstruieren, daß der quadratische Mittelwert (die Kovarianz) des Rekonstruktionsfehlers minimal wird [27].

638

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

Das betrachtete System hat die folgende Beschreibung = Ax(t) + Bu(t) + v(t) x(t) ˙ y = Cx + n(t)

(14.203) (14.204)

mit der Systemst¨orung v(t) und der Meßst¨orung n(t). Die St¨orungen werden als weißes Rauschen mit den Erwartungswerten E{v(t)} = 0

E{n(t)} = 0

(14.205)

und den Varianzen E{v(t)vT (τ )} = Qδ(t − τ )

(Q positiv semidefinit)

(14.206)

E{n(t)nT (τ )} = Rδ(t − τ )

(R positiv definit)

(14.207)

angenommen. F¨ ur das Kalman-Filter wird die gleiche Struktur wie f¨ ur einen Zustandsbeobachter angesetzt: x ˆ˙ = Aˆ x + Bu + K(y − Cˆ x)

(14.208)

ˆ wird dann durch die Das dynamische Verhalten des Sch¨atzfehlers εx = x − x Gleichung ε˙ = (A − KC) ε + v − Kn (14.209) beschrieben. Die optimale Zustandssch¨atzung ergibt sich gem¨aß [27, 31] wenn man die R¨ uckf¨ uhrmatrix K folgendermaßen w¨ahlt: K(t) = P(t)CT R−1

(14.210)

Hierbei ist P(t) die L¨osung der Matrix-Riccati-Differentialgleichung ˙ = AP + PAT + Q − PCT R−1 CP P

(14.211)

die man f¨ ur den Anfangswert P(0) = E{εx (0)εTx (0)} l¨osen muß. Die Gesamtstruktur des Kalman-Filters ist Abb. 14.25 zu entnehmen. Das Kalman-Filter kann auch zur Zustandssch¨atzung nichtlinearer Systeme bzw. linearer Systeme mit unbekannten Streckenparametern benutzt werden. Dies wird als erweitertes Kalman-Filter (EKF) bezeichnet [1, 5, 31]. Ausgegangen wird von folgender Systembeschreibung: x(t) ˙ = f (x(t), w, u(t), v(t))

(14.212)

y(t) = g(x(t), w, n(t)) Die Elemente des unbekannten Parametervektors w werden als zus¨atzliche Zustandsgr¨oßen aufgefaßt. Man erh¨alt nun einen erweiterten Zustandsvektor &T % x ˜ = xT w T (14.213)

14.7 Adaptive Verfahren

v(t)

639

n(t) x(0)

u(t)

x

B

y

C

A

Strecke

K

-

^ x(0)

^ x

B

C

^ y

A

Kalman-Filter

Abb. 14.25: Kalman-Filter

Die resultierende Systembeschreibung stellt nun ein nichtlineares Differentialgleichungssystem der Form x ˜˙ (t) = f˜(˜ x(t), u(t), v(t))

(14.214)

y(t) = g(˜ x(t), n(t)) 

mit f˜ =

f 0

 (14.215)

dar. Die Dimension von 0 ist gleich der Anzahl der zu sch¨atzenden Parameter. Da sich die Berechnungsweise des linearen Falls nach Gl. (14.210) und (14.211) auf die Systemmatrizen A und C st¨ utzt, liegt es nahe, diese Matrizen im nichtlinearen Fall (EKF) durch Linearisierung zu erzeugen. Die linearisierten Systemmatrizen sind wie folgt zu berechnen: A(t) =

∂ f˜ ∂˜ x

C(t) =

∂g ∂˜ x

(14.216)

Diese Linearisierung muß online in jedem Arbeitspunkt neu berechnet werden. Mit Gl. (14.216) k¨onnen P und K f¨ ur jeden Zeitpunkt bestimmt werden. Das Verfahren des erweiterten Kalman-Filters wird nun zur Sch¨atzung des 2 und der Rotordrehzahl ΩL benutzt. Als Zustandsvektor der AsynRotorflusses Ψ

640

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

chronmaschine wird x=

%

I1A I1B I2A I2B

&T

(14.217)

verwendet. Die zu sch¨atzenden Komponenten des Rotorflusses berechnen sich aus diesen Zust¨anden gem¨aß Gl. (13.64) zu: Ψ2A = MI1A + L2 I2A

(14.218)

Ψ2B = MI1B + L2 I2B

(14.219)

Die nichtlineare Zustandsbeschreibung der Asynchronmaschine ergibt sich gem¨aß Kap. 14.1 und [488] zu: R1 M 2 ΩL M M ΩL 1 I˙1A = − I1A + I1B + I2A − I2B + U1A + v1A σL1 σL1 L2 σL1 T2 σL1 σL1 M 2 ΩL R1 M ΩL M 1 I˙1B = − I1A − I1B − I2A + I2B + U1B + v1B σL1 L2 σL1 σL1 σL1 T2 σL1 I˙2A =

M R1 M ΩL 1 ΩL M I1A − I1B − I2A − U1A − v2A I2B − σL1 L2 σL2 σT2 σ σL1 L2

I˙2B =

M ΩL M R1 ΩL 1 M I1A + I1B + I2B − U1B − v2B I2A − σL2 σL1 L2 σ σT2 σL1 L2

yA = I1A + nA

(14.220)

(14.221)

yB = I1B + nB  1 das Eingangssignal, sowie v1 , v2 und n die Rauschsignale gem¨aß Hierbei ist U Gl. (14.205) und (14.206). Die Meßgr¨oße ist y = [yA yB ]. In der nichtlinearen Zustandsbeschreibung in Gl. (14.220) ist neben den nicht meßbaren Zustandsgr¨oßen I2A und I2B auch die Rotordrehzahl ΩL unbekannt. Diese wird im Sinne eines erweiterteln Kalman-Filters als zus¨atzliche Zustandsgr¨oße aufgefaßt. Der neue Zustandsvektor ergibt sich demnach zu x ˜=

%

I1A I1B I2A I2B ΩL

&T

(14.222)

Somit ergeben sich die nichtlinearen Zustandsgleichungen des erweiterten Kalman-Filters zu:     ˆ˜ , U1A , U1B ) I1A − Iˆ1A ˆ˜˙ = f (x x (14.223) +K 0 I1B − Iˆ1B Um die R¨ uckf¨ uhrmatrix K analog zu Gl. (14.210) bestimmen zu k¨onnen, muß eine Linearisierung am Arbeitspunkt gem¨aß Gl. (14.216) durchgef¨ uhrt werden. Das globale Verhalten des vorgeschlagenen Systems ist in all jenen F¨allen vorteilhaft, in denen starkes Rauschen in den Meßwerten auftreten kann und ein gutes Betriebsverhalten u ¨ber einen großen Drehzahlsbereich gefordert wird.

14.8 Sch¨ atzverfahren mit neuronalen Netzen

Y*2 W*

641

I 1B I 1A Feldorientierte Regelung (FOC)

ASM

Umrichter

WL Y 1A Y 1B

KalmanFilter

I 1A I 1B U 1A U 1B

Abb. 14.26: Blockschaltbild eines Systems auf Basis eines Kalman-Filters

Das vorgeschlagene Verfahren ist im Zusammenhang mit einer feldorientierten Regelung in Abb. 14.26 dargestellt. In [488] wird das vorgestellte Verfahren zeitdiskret realisiert. Harnefors [475], Young-Real Kim et al. [504] und Sang-uk Kim et al. [505] stellen jeweils Abwandlungen des Verfahrens mittels erweitertem Kalman-Filter vor. Die Unterschiede beziehen sich jedoch nur auf die Zusammensetzung des Zustandsvektors.

14.8

Sch¨ atzverfahren mit neuronalen Netzen

Neuronale Netze k¨onnen in der einfachsten Ausf¨ uhrung als Funktions- bzw. Oberfl¨achenapproximatoren verwendet werden. In der Literatur wie [917] sind verschiedene Verfahren und Einsatzgebiete dargestellt. Deshalb soll hier auf eine Wiederholung der Grundlagen nichtlinearer Approximatoren verzichtet werden. Aufgrund der F¨ahigkeit derartiger Approximatoren, sich zu adaptieren, d.h. der Lernf¨ahigkeit, wurde von verschiedenen Autoren wie in [433, 465, 466] vorgeschlagen, derartige lernf¨ahige Systeme auch zur Drehzahlbzw. Schlupfsch¨atzung zu verwenden. In den obigen Ver¨offentlichungen werden zweischichtige neuronale Netze eingesetzt. Dies bedeutet, die eigentliche besondere Eigenschaft drei- und mehrlagiger neuronaler Netze oder der FuzzyLogik, nichtlinearer Zusammenh¨ange zu erlernen, wird nicht genutzt. Es verbleibt somit ein linearer Funktionsapproximator. Dies ist ausreichend, da nur eine Grundwellen-Betrachtung der Asynchronmaschine stattfindet, und somit nur die Lernregeln genutzt werden. Als Ausgangsmodell der Asynchronmaschine wird das statorfeste Gleichungssystem verwendet. Als Ausgangsbasis verwenden sie dabei das Motormodell im

642

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

α, β-System mit den bekannten Gleichungen (13.55) und (13.56): ⎫ dΨ1α ⎪ ⎪ U1α = R1 I1α + ⎪ dt ⎬ U1β = R1 I1β 0 = R2 I2α + 0 = R2 I2β

⎪ dΨ1β ⎪ ⎪ ⎭ + dt

⎫ dΨ2α ⎪ + ΩL Ψ2β ⎪ ⎪ ⎬ dt

(14.224)

(14.225)

⎪ ⎪ dΨ2β ⎭ − ΩL Ψ2α ⎪ + dt

Aus Gl. (14.58) und (14.89) k¨onnen zwei unabh¨angige Sch¨atzer f¨ ur den Rotorfluß abgeleitet werden:

⎫ dΨ2α dI1α ⎪ L2 ⎪ U1α − R1 I1α − σL1 = ⎪ ⎪ ⎬ dt M dt (14.226)

⎪ dΨ2β dI1β ⎪ L2 ⎪ ⎪ = U1β − R1 I1β − σL1 ⎭ dt M dt ⎫ dΨ2α 1 M ⎬ = − Ψ2α − ΩL Ψ2β + I1α ⎪ dt T2 T2 (14.227) dΨ2β 1 M ⎭ = − Ψ2β + ΩL Ψ2α + I1β ⎪ dt T2 T2 Die Ableitung des Flusses ergibt sich zu: Ψ2 [k] − Ψ2 [k − 1] dΨ2 = dt T

(14.228)

mit der Abtastzeit T = TAbtast . Werden die Motorgr¨oßen (Statorstrom und -spannung) in Gl. (14.227) mit der Abtastzeit T gemessen, so ergeben sich die Rotorfl¨ usse zu: ⎫ Ψ2α [k] ≈ W1 Ψ2α [k − 1] − W2 Ψ2β [k − 1] + W3 Ψ1α [k − 1] ⎬ Ψ2β [k] ≈ W1 Ψ2β [k − 1] + W2 Ψ2α [k − 1] + W3 Ψ1β [k − 1] mit:

⎭

(14.229)

T T2

(14.230)

W2 = ΩL T

(14.231)

W1 = 1 −

14.8 Sch¨ atzverfahren mit neuronalen Netzen

W3 =

M T T2

643

(14.232)

Gleichung (14.229) kann auch geschrieben werden als: ⎫ Ψ2α [k] = W1 X1 − W2 X2 + W3 X3 ⎬ Ψ2β [k] = W1 X2 + W2 X1 + W4 X4

⎭

(14.233)

Dies entspricht einem neuronalen Netz mit einer zweischichtigen Struktur, bei dem X1 , X2 , X3 und X4 die Eing¨ange sowie W1 , W2 , W3 und W4 die Gewichte 2 der Ausgang ist. Durch Vergleich der sind und der gesch¨atzte Flußvektor Ψ vorher gesch¨atzten Fl¨ usse mit den berechneten Fl¨ ussen aus Gl. (14.226) k¨onnen die Gewichte W1 , W2 und W3 des neuronalen Netzes adaptiert werden. Dank des proportionalen Verhaltens zwischen W2 und ΩL ist eine Rotordrehzahlsch¨atzung m¨oglich. Die Gewichte W1 und W3 werden konstant gehalten und W2 on-line“ meist mit der Deltaregel nachgestellt. Aus der Definition des Feh” lers ε[k] zwischen dem gesch¨atzten Fluß aus Gl. (14.227) und (14.228) erh¨alt man die Energiefunktion: 1 E = ε[k] (14.234) 2 ¨ die minimiert werden muß. Die Anderung des Gewichtes W2 berechnet sich zu: ΔW2 = −

∂E ∂E ∂Ψ2 [k] =− = ε[k]X2 ∂W2 ∂Ψ2 [k] ∂W2

(14.235)

Die Vorteile dieses Ansatzes liegen in der einfachen Realisierbarkeit. Das Prinzip ist sehr einfach, und es ist kein off-line“-Lernen erforderlich. ” Die Nachteile h¨angen mit der intern verwendeten Struktur zusammen. Das Verfahren versucht, die Fehler des Flusses durch Adaption von nur einem Gewicht auf Null abzugleichen. Dies ist nahezu unm¨oglich, da außer dem Flußabgleich ¨ auch noch Fehlereinfl¨ usse aufgrund der Anderungen der Widerst¨ande und der Induktivit¨aten auftreten. Weiterhin soll wiederum darauf hingewiesen werden, daß die Drehzahlsch¨atzung indirekt u usse erfolgt. Sch¨atzungen der Rotorfl¨ usse ¨ber die Rotorfl¨ sind bei kleinen Drehzahlen immer mit relativ großen Fehlern verbunden, dies gilt insbesondere bei Rauschen. Es wurde von verschiedenen Autoren auch der Einsatz dreischichtiger neuronaler Netze vorgeschlagen [465], wobei auch rekurrente Netze verwendet wurden. Wie bereits oben angemerkt, sind dreischichtige Netze nichtlineare Funktionsbzw. Oberfl¨achenapproximatoren, so daß der Stabilit¨atsnachweis des Lernvorgangs eine allgemeine Schwierigkeit darstellt, die in [917] ausf¨ uhrlich abgehandelt wird. Bei rekurrenten Netzen werden die Ausgangssignale des Netzes als Eingangssignale r¨ uckgekoppelt; aufgrund dieser Struktur ist die Stabilit¨at des Lernvorgangs noch problematischer.

644

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

14.9

Auswertung von Harmonischen

Wie schon in der Einleitung in Kap. 14.1 dargestellt, bestehen bei der Rotorflußorientierung aufgrund der abnehmenden R¨ uckwirkung des Rotorsystems mit abnehmender Rotordrehzahl im Bereich um die Drehzahl Null Schwierigkeiten bei der Sch¨atzung der Rotordrehzahl bzw. der Orientierung des Flusses und dessen Amplitude. Wie weiterhin ausgef¨ uhrt wurde, kann bei der Statorflußorientierung dies zwar zum Teil umgangen werden, es verbleiben aber die Schwierigkeiten bei ΩK = 0 und insbesondere im generatorischen Betrieb ΩL − Ω2 = 0. Diese Einschr¨ankung f¨ uhrte dazu sekund¨are Effekte, als einem ersten Ansatz zu nutzen. Grunds¨atzlich wurde in den Ableitungen der Ersatzschaltbilder der Asynchronmaschine in Kap. 13.9 auf die Auswirkung der Eisens¨attigung hingewiesen, dies ist ein erster sekund¨arer Effekt. In Kap. 16, in dem die Varianten der Synchronmaschine und deren Signalflußpl¨ane dargestellt werden, wird ein zweiter sekund¨arer Effekt, die magnetische Unsymmetrie aufgrund konstruktiver Auspr¨agungen wie bei den Synchron-Schenkelpolmaschinen, den permanenterregten Synchronmaschinen mit Oberfl¨achenmagneten, den Transversalflußmaschinen oder den Reluktanzmaschinen dargestellt. Asynchronmaschinen sind im allgemeinen magnetisch symmetrisch aufge¨ baut, so daß hier durch Zusatzmaßnahmen wie das gezielte geometrische Offnen von Rotornuten eine magnetische Unsymmetrie hervorgerufen wird. Diese sekund¨aren Effekte f¨ uhren zu Zusatzsignalen, die eine andere Frequenz — im allgemeinen wird die dritte Harmonische ausgenutzt – als die Grundschwingung haben. Ein zweiter Ansatz ist die Einpr¨agung von hochfrequenten“ Stator-Zusatz” signalen und die Auswertung der resultierenden hochfrequenten“ Antwortsigna” le. In diesem Kapitel soll die Auswertung der Harmonischen bei Grundwellenerregung dargestellt werden. Wie schon oben dargestellt, gibt es unterschiedliche Gr¨ unde f¨ ur die Entstehung von Oberschwingungen: ¨ • Oberschwingungen aufgrund der Anderung der Permeabilit¨at zwischen den Stator- und Rotornuten, • Oberschwingungen aufgrund von Exzentrizit¨aten, • Oberschwingungen aufgrund von S¨attigungseffekten, • Oberschwingungen aufgrund der magnetomotorischen Kraft, • Oberschwingungen aufgrund von Defekten. Die Auswertung der Oberschwingungen erfolgt vorzugsweise mit zwei Verfahren: • FFT (Fast Fourier Transformation),

14.9 Auswertung von Harmonischen

645

• PLL-Systeme (Phase Locked Loop) aufgebaut aus PLL-Schaltkreisen, Filter mit variabler Kapazit¨at (Switched Capacitor Filter), FVC (FrequencyVoltage-Converter). Grunds¨atzlich soll an dieser Stelle bereits darauf hingewiesen werden, daß die vorgeschlagenen L¨osungen ebenso bei kleinen Drehzahlen und somit der Drehzahl Null ausfallen, da die Anregung bei kleinen Drehzahlen gering ist, damit das Signal-zu-Rausch-Verh¨altnis ebenso gering ist und außerdem die Signaltrennung aufgrund der beispielsweise geringen Rotornutenzahl schwierig wird [451, 463, 464, 483, 484, 485, 491, 492, 498, 584, 585]. Der Grundansatz der Verfahren ist, daß bedingt durch die Konstruktion der ¨ elektrischen Maschine an sich Anderungen des magnetischen Leitwertes auftreten beispielsweise auch durch die Stator- und die Rotornuten. Es besteht somit ein magnetisches Leitwert-Abbild sowohl des Stators als auch des Rotors. Bei¨ de Abbilder u der Rotorposition ¨andert ¨berlagern sich, d.h. bei einer Anderung sich auch das resultierende Abbild. Es ist einsichtig, daß nach einer Drehung des Rotors um eine Rotornutung das gleiche Abbild wieder entsteht. Aus dieser ¨ Uberlegung ergibt sich, daß das durch die Rotornutung hervorgerufene Signal — bzw. Abbild — eine Funktion der Rotornutenzahl R ist. In gleicher Weise wirkt die Zahl S der Statornuten. ¨ Dies bedeutet letztendlich, die Anderung des resultierenden magnetischen ¨ Leitwertes, d.h. die Anderung der magnetischen Widerstandes des Luftspalts ¨ bzw. die Anderung des Luftspaltflusses, ist eine Funktion der Differenz der Nutenzahlen R−S. Damit ist die hochfrequente Kreisfrequenz Ωh des magnetischen Luftspalt-Leitwertes die in Gl. (14.236) dargestellte Funktion Ωh =

R Ωm R−S

(14.236)

in Abh¨angigkeit von der mechanischen Kreisfrequenz Ωm des Rotors. Aus Gl. (14.236) ist zu entnehmen, daß die Drehrichtungen von Ωm und Ωh bei R > S u ¨bereinstimmen und bei R < S gegensinnig sind. ¨ Die Anderungen des magnetischen Luftspalt-Leitwertes f¨ uhren zu entspre¨ chenden Anderungen der resultierenden Induktivit¨at und damit zu entsprechenden Spannungs- bzw. Strom¨anderungen, d.h. die Rotornutung bildet sich letztlich sowohl in der Amplitude der Statorspannung als auch in der Frequenz ab. Den Vorschlag, statt der Spannung besser die Frequenz auszuwerten, ist aufgrund des problematischen Signal-zu-Rausch-Verh¨altnisses naheliegend. Die Auswertung kann mittels der Fast Fourier Transformation“ (FFT) oder mittels Phase” ” Locked Loop“ (PLL) erfolgen. Zu beachten ist allerdings, daß durch die Auswertemethoden eine zeitliche Verz¨ogerung und damit ein Fehlerwinkel zu ber¨ ucksichtigen ist (siehe auch Kap. 13.9). Wie schon oben angemerkt, sind beispielsweise Schenkelpol-Synchronmaschinen besonders f¨ ur die obigen Verfahren geeignet, da sie ausgepr¨agte magnetische Unsymmetrien aufweisen. Elektrische Maschinen wie die Asynchronma-

646

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

schine oder die Synchron-Vollpolmaschine und entsprechende symmetrisch aufgebaute permanenterregte Synchronmotoren haben dagegen geringere magnetische Unsymmetrien. Bei derartigen elektrischen Maschinen m¨ ussen eventuelle weitere sekund¨are Effekte wie z.B die statische oder dynamische Exzentrizit¨aten des Rotors zum Stator oder sonstige Defekte ausgen¨ utzt werden. Eine weitere M¨oglichkeit ist in [544] dargestellt, in dem die durch die S¨attigungskennlinie des Eisens erzeugten dritten Harmonischen ausgewertet werden. Es verbleibt damit allerdings, daß f¨ ur die zuletzt genannten Maschinen die Auswertung deutlich erschwert ist. Eine verbesserte Ausgangssituation im Drehzahlbereich um Null ergibt sich bei der Einpr¨agung von hochfrequenten“ Signalen, die im n¨achsten Kapitel be” schrieben wird.

14.10

Auswertung von hochfrequenten Zusatzsignalen

In den bisher dargestellten Verfahren wurden entweder nur das Grundwellenverhalten der Induktionsmaschine an sich oder die Zusatzsignale, die sich bei Grundwellenerregung aufgrund von beispielsweise nichtlinearen Effekten wie der Eisens¨attigung oder aufgrund von magnetischen Unsymmetrien ergeben, ber¨ ucksichtigt. Magnetische Unsymmetrien sind wie erw¨ahnt sehr deutlich bei Synchron-Schenkelpolmaschinen, Transversalflußmaschinen oder Reluktanzmaschinen festzustellen. Wie bereits in Kap. 14.9 dargestellt, werden aber auch durch offene bzw. geschlossene Nuten magnetische Unsymmetrien verursacht. F¨ ur die Bestimmung der mechanischen Winkelgeschwindigkeit sind demnach die von der Rotornutung verursachten R¨ uckwirkungen bei den Statorspannungen nutzbar. Wie aber bereits ebenso dargestellt, ist erstens die Zahl der Rotornuten gering, so daß bereits aus dieser Beschr¨ankung der Drehzahlbereich um Null schwierig zu beherrschen ist. Weiterhin ist das nutzbare Signal sowohl in der Amplitude als auch in der Frequenz eine Funktion der Drehzahl und damit wird außerdem das Signal-zu-Rausch-Verh¨altnis mit abnehmender Drehzahl immer ung¨ unstiger, so daß letztendlich der Drehzahlbereich um Null und insbesondere die kontinuierliche Drehmomenterzeugung bei der Drehzahl Null ausgeschlossen sind. Um den Drehzahlbereich um Null abzudecken, m¨ ussen somit mittels Einpr¨agung von hochfrequenten“ Zusatzsignalen die Orientierung und die Drehzahl ” ermittelt werden. Grunds¨atzlich m¨ ussen • magnetische Unsymmetrien vorhanden sein, oder es muß die Eisens¨attigung genutzt werden, • eine kontinuierliche hochfrequente“ Erregung erfolgen, ” • und eine geeignete Signalverarbeitung f¨ ur die hochfrequenten Signale und eine nachfolgend angepaßte Filterung bereitgestellt werden.

14.10 Auswertung von hochfrequenten Zusatzsignalen

647

Der Begriff hochfrequente“ Erregung wird nachfolgend noch genauer erl¨autert. ” Die Idee der Einpr¨agung von hochfrequenten Signalen wurde zuerst von Schroedl unter dem Namen Inform“ vorgeschlagen [552, 553, 559]. Die Idee der periodi” schen Einpr¨agung von Zusatzsignalen wird in [561] wiederaufgenommen. ¨ Eine Ubersicht u ¨ber die verschiedenen Ans¨atze der Einpr¨agung von hochfrequenten Zusatzsignalen wird von [446, 589, 519] gegeben. Um die Einf¨ uhrung in dieses Gebiet zu erleichtern, soll zuerst angenommen werden, daß der Rotor der Drehfeldmaschine magnetisch unsymmetrisch sei (z.B. Synchron-Schenkelpolmaschine). Prinzipiell gibt es nun mehrere M¨oglichkeiten der Einpr¨agung der hochfrequenten Signale. Das hochfrequente Signal kann periodisch [552, 553, 554, 555, 556, 557, 558, 559, 561] oder kontinuierlich [436, 453, 454, 472, 496, 497, 534] eingepr¨agt werden. Eine weitere Unterscheidung ist, ob die hochfrequenten Signale als dreiphasiges symmetrisches Tr¨agersignal (carrier) — d.h. als hochfrequenter Raumzeiger mit der α- und β-Komponente — oder als station¨arer Vektor [472, 591, 554, 559] — dies bedeutet die Einpr¨agung nur einer Komponente im S-System — oder als Gleichtaktsignal (Common Mode) [447, 448, 482, 597] eingepr¨agt werden. Im folgenden wollen wir eine Einpr¨agung eines hochfrequenten Spannungs c annehmen; eine Realisierung zeigt Abb. 14.27. Wie dort darraumzeigers U  c als Zusatzsignal beigestellt, wird der hochfrequente Spannungsraumzeiger U spielsweise vor dem PWM-Modulator eingespeist. Die resultierenden dreiphasigen hochfrequenten Komponenten im Istsignal des Stroms werden mittels Tiefpaß beim Strom-Regelkreis herausgefiltert, w¨ahrend f¨ ur die Rotorlage-Bestimmung ein Bandpaß das hochfrequente Raumzeiger-Signal zug¨anglich macht. Bei der Wahl der Frequenz des hochfrequenten Signals muß einerseits beachtet werden, daß bei zu hohen Frequenzen der ohmsche Widerstand aufgrund des Skineffekts sehr deutlich anw¨achst — und damit die hochfrequenten Rotorstr¨ome nur an der Rotornut-Oberfl¨ache fließen — und daß der hochfrequente Rotorfluß kaum in den Rotor eindringen kann — und damit mit zunehmender Frequenz das nutzbare Signal aus dem Rotorkreis abnimmt. Bei zu geringer Frequenz wird dagegen das Filterproblem und damit die Separation der Signale schwieriger. Aufgrund dieser Situation wird ein hochfrequentes“ Signal im Frequenzbereich ” von 400 Hz — 700 Hz als g¨ unstigster Kompromiß angesehen. Grunds¨atzlich sind aufgrund der hohen Frequenzen des Zusatzsignals die Serienschaltung von R1 und σL1 und die auf die Statorseite umgerechneten Gr¨oßen σL2 und R2 relevant. Ausgehend von den Gleichungen in Kap. 14.1 l¨aßt sich aber nach kurzer Rechnung und Transformation in den Laplace-Bereich sowie mit dem Ansatz Ψ2B = 0 (Rotorflußorientierung) nachweisen:

R2 M 2  K (s) = R1 + sσL1 + s IK (s) (14.237) U 1 L2 (R2 + sL2 ) 1 bzw. f¨ ur das hochfrequente Signal (bei R2  ωc L2 ):

2 K   M  Uc (jωc ) = R1 + jωc σL1 + R2 2 IcK (jωc ) L2

(14.238)

648

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

Abb. 14.27: Blockschaltbild zur Einpr¨ agung des hochfrequenten Zusatzsignals

Dies bedeutet, daß letztendlich im wesentlichen die Statorstreuung im Auswertesignal relevant ist, obwohl durch den Skineffekt R1 > R1 und R2 > R2 sind. Diese Aussage wird sp¨ater bei den FEM-Analysen prinzipiell best¨atigt. Wenn nun, wie oben angenommen, die Drehfeldmaschine eine ausgepr¨agte magnetische Unsymmetrie aufweist, und wir eine Einpr¨agung eines hochfrequenten Spannungsraumzeigers wie in Abb. 14.27 annehmen, dann wird im resultierenden Statorstrom-Raumzeiger das obere und das untere Seitenband enthalten sein. Die Analyse der beiden resultierenden Seitenb¨ander zeigt, daß nur das untere Seitenband die gew¨ unschte Information u ¨ber die magnetische Unsymmetrie enth¨alt. Eine andere Formulierung dieses Ergebnisses ist, daß das hochfrequente Signal einen Signalanteil mit der positiven und einen zweiten Signalanteil mit der negativen Drehrichtung bezogen auf die Grundschwingungs-Drehrichtung enth¨alt. Aus [443] ist zu entnehmen: — der Spannungsraumzeiger (Tr¨agerfrequenzsignal mit der Kreisfrequenz ωc ): 'c ejωc t S = U U c

(14.239)

— der resultierende hochfrequente Stromraumzeiger: S S IcS = Icp + Icn = −jIcp ejωc t + jIcn ej(hΘe −ωc t)

(14.240)

14.10 Auswertung von hochfrequenten Zusatzsignalen

649

mit: Θe

Winkelposition der magnetischen Unsymmetrie

h

Kennzahl f¨ ur die magnetische Unsymmetrie

ωc

Tr¨ager-Kreisfrequenz

Lσqs , Lσds

q- und d-Streuinduktivit¨aten des Stators



Lσs =

Lσqs + Lσds 2

Lσqs − Lσds 2  Lσs Vc  Icp = ωc L2σs − ΔL2σs ΔLσs =

Icn =

mittlere Streuinduktivit¨at Differenz-Streuinduktivit¨at

Vc ΔLσs  ωc L2σs − ΔL2σs

Icp > Icn S S Wenn die beiden Seitenb¨ander Icp und Icn des Stroms gemeinsam als Zeiger im karthesischen S-System bei der Rotordrehzahl Null dargestellt werden, dann ergibt sich eine Ellipse als Ortskurve. Wird nun die Rotorposition ge¨andert, dann folgt“ die Ellipse der Rotorposition. Wird stattdessen nur die Ortskurve des un” teren Seitenbandes bzw. des Signals mit der negativen Drehrichtung untersucht, dann gibt dieses Signal die Rotororientierung an [453]. Weitergehende Untersuchungen dieses Signals zeigen, daß mit dem vorgestellten Verfahren ein Abbild der magnetischen Struktur der elektrischen Maschine erzielt wird. Vorteile des Verfahrens sind somit die sich ergebende M¨oglichkeit sowohl der Analyse der magnetischen Struktur der Drehfeldmaschine an sich als auch die Diagnose eventueller Fehler bei der Signalverarbeitung. Nachteilig bei komplexer magnetischer Unsymmetrie in den Streuinduktivit¨aten ist die Komplexit¨at der Ortskurve des unteren Seitenbandes im station¨aren statorfesten Koordinatensystem und damit der Auswertung. Zu beachten ist auch die Vernachl¨assigung der hochfrequenten ohmschen Widerst¨ande in Gl. (14.240). Zur¨ uckkehrend zur obigen Darstellung wollen wir annehmen, daß die Polpaarzahl Zp = 1 ist und nur eine ausgepr¨agte magnetische Unsymmetrie vorhanden ist. In diesem Fall ist h = 2 zu setzen, da das hochfrequente Signal nicht zwischen der positiven oder der negativen d- oder q-Achse unterscheidet. Der Exponent der e-Funktion des negativ resultierenden Signals ist somit (2Θe − ωc t). Wenn die e-Funktion in einen sin-Term oder einen cos-Term zerlegt wird, dann wird beispielsweise der sin-Term zu Null, wenn (2Θe − ωc t) = 0◦ oder 180◦ ist, der sin-Term hat ein positives Maximum bei (2Θe − ωc t) = 90◦ und

650

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

ein negatives Maximum bei (2Θe − ωc t) = 270◦ . Wenn sich Θe von 0◦ bis 360◦ uhrt, dann werden bei Zp = 1 und ¨andert und der Rotor eine Umdrehung ausf¨ aufgrund h = 2 und somit 2Θe sich zwei Perioden als Funktion von Θe ausbilden; die Begr¨ undung ist — wie schon oben angef¨ uhrt — die Gleichbehandlung der positiven und negativen Richtung der d- und q-Richtungen. Nachdem nun prinzipielle Klarheit besteht, wie die Richtung der d- bzw. qAchse erkannt werden kann, wollen wir zu Abb. 14.27 zur¨ uckkehren. Wie bereits aus Abb. 14.27 und der obigen Darstellung zu entnehmen ist, muß aus dem Istwert des Stromraumzeigers das Grundwellensignal und das obere Seitenband eliminiert werden. Dies erfolgt durch eine Einseitenband-Demodulation, d.h. dem Istwertsignal (ΔAT + S) mit dem Tr¨agerfrequenz-Restsignal ΔAT mit der Kreisfrequenz ωc und dem Nutzsignal S mit der Information hΘe wird das bekannte Tr¨agersignal AZ frequenz- und phasengenau u ¨ berlagert (Abb. 14.28). Das resultierende Signal ist Ar (t). Wenn AZ ΔAT ist, dann gilt: (14.241) Ar (t) = A2Z + S 2 + 2AZ S sin(hΘe ) ?

bzw. Ar (t) = Arm

Ar (t) AZ 1 =1+ S sin(hΘe ) − Arm Arm 2

1+

2AZ sin(hΘe ) A2rm

AZ Arm

(14.242)

2 S 2 sin2 (hΘe ) ± . . .

(14.243)

Wenn beispielsweise die sin-Terme mit der Ordnung gr¨oßer 1 entsprechend 1 (1 − cos(2hΘe )) 2 3 1 sin(hΘe ) − sin(3hΘe ), etc. sin3 (hΘe ) = 4 4 sin2 (hΘe ) =

(14.244) (14.245)

umgeformt und die Terme mit nhΘe , n = 2, 3, . . . ausgefiltert werden, dann erh¨alt man das Nutzsignal mit dem Term sin(hΘe ), das anschließend — wie oben beschrieben wurde — ausgewertet werden muß, um die Θe - und damit die Θr -Information zu erhalten. In [453] werden unterschiedliche Varianten f¨ ur die Gewinnung des Nutzsignals — auch bei komplexer magnetischer Unsymmetrie – dargestellt. Das oben ausf¨ uhrlich dargestellte Verfahren ist somit direkt einsetzbar, wenn magnetische Unsymmetrien vorhanden sind. Die Situation wird komplexer, wenn es mehrere magnetische Unsymmetrien gibt und diese auch noch vom Arbeitspunkt der Drehfeldmaschine abh¨angig sind. Die in diesem Zusammenhang auftretenden Fragestellungen und die L¨osung mittels Entkopplung der magnetischen Unsymmetrien werden in [519] diskutiert. Um das bis jetzt angegebene Verfahren beispielsweise bei magnetisch symmetrischen Asynchronmaschinen anwenden zu k¨onnen, muß eine magnetische

14.10 Auswertung von hochfrequenten Zusatzsignalen

651

.

hQe

DAT

S Ar(t) Arm

AZ

wC

Abb. 14.28: Einseitenband-Demodulation (Superhet-Prinzip)

¨ Unsymmetrie erzeugt werden. Eine L¨osung ist die gezielte Offnung von Rotornuten. Aus den bisherigen Ausf¨ uhrungen ist zu entnehmen, daß mit dem vorgestellten Verfahren zwar ein aufschlußreiches Abbild der magnetischen Verh¨altnisse der Drehfeldmaschine erreicht werden kann, daß aber f¨ ur die Ermittlung der Rotordrehzahl bzw. der Rotorflußorientierung eine magnetische Unsymmetrie vorhanden sein oder k¨ unstlich erzeugt werden muß. Außerdem muß beachtet werden, daß der Fehler der Positionsbestimmung bis zu ± 5◦ mechanisch betragen kann [443, 453, 519] und somit durch diesen Fehler eine unerw¨ unschte Kopplung der d- und q-Pfade hervorgerufen wird (siehe auch Kap. 13.9). ¨ Die obigen Uberlegungen hinsichtlich der zus¨atzlichen Einpr¨agung eines hochfrequenten Spannungssignals werden von Ha [472, 591, 473] und Consoli [443, 446, 589, 449, 450] kritisch u uft. ¨ berpr¨ In [450] wird eine magnetische unsymmetrische Maschine (beispielsweise eine Synchron-Schenkelpolmaschine) angenommen, und es wird untersucht, welche hochfrequenten Str¨ome sich aufgrund der hochfrequenten Spannungseinpr¨agung

652

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

ergeben. Grunds¨atzlich wird – wie oben beschrieben — Ld > Lq angenommen, und es besteht nun die Frage, wie sich die hochfrequenten Str¨ome ausbilden. Die Untersuchung erfolgt an den Quadraten der hochfrequenten Stromkomponenten: 2 2 Ic2 = Idc + Iqc

(14.246)

= C1 sin2 (ωc t − Θr ) + C2 cos2 (ωc t − Θr ) + C3 sin2 (ωc t − Θr ) Θr = hΘe Es zeigt sich, daß bei hochfrequenter Spannungseinpr¨agung die Terme mit C2 und C3 gegen¨ uber C1 vernachl¨assigbar sind; somit verbleibt C1 :   ωc2 L2q R12 2 (14.247) C1 = Uc 2 2 +  2 (R12 + ωc2L2d ) R1 + ωc2 L2q Es verbleibt somit bei der oben dargestellten Auswertungsmethode der positiven und negativen Bestimmung der Maxima bzw. der Nullergebnisse und der darausfolgenden Positions- bzw. Drehzahl-Bestimmung. Die Signalverarbeitung zeigt Abb. 14.27. Die n¨achste Frage ist nun, ob die Situation so verbleibt, wenn eine magnetisch symmetrische Maschine verwendet wird; dies wird in [446, 589, 473] ausf¨ uhrlich diskutiert. In beiden Ver¨offentlichungen wird davon ausgegangen, daß bei einem vollst¨andig symmetrischen magnetischen Aufbau der Drehfeldmaschine – außer den erh¨ohten ohmschen hochfrequenten“ Widerst¨anden – tendenziell die ” Streuinduktivit¨aten relevant sind, daß aber immer dann keine Information u ¨ ber die Rotorfluß-Orientierung zu erzielen ist, wenn keine S¨attigung auftritt. Ausgehend von dieser Erkenntnis wird untersucht, wie sich aufgrund der hochfrequenten Stator-Spannungseinpr¨agung die hochfrequenten Str¨ome und hochfrequenten Fl¨ usse ausbilden. Anschaulich wird beschrieben, daß die d-Wicklungen, die von dem Strom mit der Grundfrequenz durchflossen werden, einen Fluß erzeugen, der die q-Wicklungen durchdringt, d.h. der gew¨ unschte d-Fluß mit der d-Orientierung wirkt sich im Bereich der q-Wicklungen aus. Wenn diese Formulierung auf die in diesem Buch verwendete Nomenklatur f¨ ur Asynchronmaschinen eingesetzt wird, dann lautet die Aussage der Fluß in der A-Achse durchsetzt die ” B-Wicklungen“. Dies bedeutet, im Zahn- und Luftspaltbereich der B-Wicklungen ¨ entsteht aufgrund der Uberlagerung von Grundfrequenz-Fluß und hochfrequentem Fluß ein gr¨oßerer Fluß als im Zahn- und Luftspaltbereich der A-Wicklungen. Aufgrund dieses Ergebnisses werden somit bei zus¨atzlicher Einpr¨agung von hochfrequenten Signalen (Raumzeiger) im B-Bereich der Wicklungen deutliche S¨attigungseffekte auftreten, die im A-Bereich der Wicklungen nicht vorhanden sind. ¨ Somit wird Lσq < Lσd sein. Diese grunds¨atzlichen Uberlegungen werden durch FEM-Analysen abgesichert. Wenn, wie in Abb. 14.29, sich sowohl der niederfrequente Fluß als auch der hochfrequente Fluß in der A-Orientierung des Stators als Vektoren u ¨berlagern,

14.10 Auswertung von hochfrequenten Zusatzsignalen

653

d.h. im Bereich der B-Wicklungen, und damit der Fluß in den Z¨ahnen eingepr¨agt wird, dann zeigt die FEM-Analyse die bereits diskutierte Konzentration der Fl¨ usse und damit die S¨attigungseffekte im Bereich der B-Wicklungen bzw. der A-Orientierung bei den Stator- und Rotorz¨ahnen. Dies bedeutet, insbesondere ¨ im Bereich der Uberlagerung wird sich aufgrund der S¨attigung der magnetische Widerstand und somit auch der resultierende magnetische Widerstand erh¨ohen und damit eine Absenkung des resultierenden Induktivit¨atsanteils ergeben. Im Rotornutenbereich wird dagegen von der A-Orientierung in Richtung BOrientierung ein zunehmender hochfrequenter Fluß festzustellen sein. Damit wird im Rotornutenbereich praktisch keine S¨attigung auftreten, da in der AOrientierung der hochfrequente Flußanteil gering und in der B-Orientierung zwar gr¨oßer, aber dort kein niederfrequenter Hauptfluß ist. Dies bedeutet letztendlich einen geringen resultierenden Widerstand und damit einen resultierenden großen Induktivit¨atsanteil. Damit ist f¨ ur Abb. 14.29 festzustellen, daß der Induktivit¨atsanteil der Stator- und Rotorz¨ahne mit zunehmender S¨attigung abnimmt, w¨ahrend der Induktivit¨atsanteil der Rotornuten praktisch konstant ist und damit Lσq < Lσd ist. Wenn wir dagegen, wie im Abb. 14.30, annehmen, der hochfrequente Fluß sei in der B-Orientierung eingepr¨agt, dann u ¨ berlagern sich in der A-Orientierung die beiden Fl¨ usse nicht mehr und in der B-Orientierung ist nur der hochfrequente Flußanteil existent. Dies bedeutet, die Stator- und Rotorz¨ahne sind gegen¨ uber Abb. 14.29 nun wesentlich weniger ges¨attigt und damit ist der resultierende magnetische Widerstandsanteil deutlich geringer und damit der resultierende Induktivit¨atsanteil gr¨oßer als in Abb. 14.29. Andererseits nimmt nun der hochfrequente Rotornutenfluß von der BOrientierung in Richtung zur A-Orientierung zu, d.h. nun u ¨berlagern sich im A-Orientierungsbereich der niederfrequente Hauptfluß und der hochfrequente Fluß. Daher treten im Gegensatz zu Abb. 14.29 jetzt in Richtung von der Bzur A-Orientierung zunehmend S¨attigungserscheinungen auf, der resultierende magnetische Widerstand erh¨oht sich und der resultierende Induktivit¨atsanteil der Rotornuten nimmt ab. ¨ Aus diesen Uberlegungen ergibt sich, daß eine sehr komplexe Situation zu beachten ist, denn im Fall von Abb. 14.29 nimmt der resultierende Induktivit¨atsanteil der Stator- und Rotorz¨ahne gegen¨ uber dem unges¨attigten Zustand und damit ohne hochfrequente Flußeinpr¨agung ab, w¨ahrend der resultierende Induktivit¨atsanteil der Rotornuten praktisch konstant ist. Ein genau umgekehrter Zusammenhang gilt im Fall der hochfrequenten Flußeinpr¨agung in der B-Orientierung. Zusammenfassend muß festgestellt werden, daß in Abh¨angigkeit dieser resultierenden Induktivit¨atsanteile sich die resultierende Induktivit¨at ergibt und damit leider kein immer eindeutiges Induktivit¨atsmaximum und -minimum auftritt, welches so eindeutig ist wie beispielsweise bei der magnetisch unsymmetrischen Synchron-Schenkelpolmaschine und diese Maxima bzw. Minima zusammengehen mit der Flußachse bzw. der orthogonalen Achse.

654

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

Abb.14.29: Geschlossene Nuten, FEM-Analyse; grau: niederfrequenter Fluß; schwarz: hochfrequenter Fluß; beide Fl¨ usse A-Orientierung

Abb. 14.30: Geschlossene Nuten, FEM-Analyse; grau: niederfrequenter Fluß, A-Orientierung; schwarz: hochfrequenter Fluß, B-Orientierung

14.10 Auswertung von hochfrequenten Zusatzsignalen

655

Abb.14.31: Offene Nuten, FEM-Analyse; grau: niederfrequenter Fluß; schwarz: hochfrequenter Fluß; beide Fl¨ usse A-Orientierung

Abb. 14.32: Offene Nuten, FEM-Analyse; grau: niederfrequenter Fluß, A-Orientierung; schwarz: hochfrequenter Fluß, B-Orientierung

656

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

In Abb. 14.31 wird dagegen angenommen, daß die Rotornuten offen sind, d.h. die Flußanteile m¨ ussen sich u ¨ber oder um den Luftspalt schließen, d.h. der magnetische Widerstand der Rotornuten ist praktisch konstant, da keine S¨attigung auftritt. Es verbleibt somit nur der Stator- und Rotorzahnbereich. Aus beiden Abbildungen ist zu erkennen, daß der hochfrequente Fluß im Zick-Zack von den Statorz¨ahnen u uck verl¨auft. ¨ber den Luftspalt zu den Rotorz¨ahnen und zur¨ Dies bedeutet: In dem Bereich, in dem sich der niederfrequente Hauptfluß und der hochfrequente Fluß in den Z¨ahnen u ¨berlagern, tritt S¨attigung auf. Die spezifisch gr¨oßte Absenkung der ¨ortlichen Induktivit¨atsverteilung gibt daher eindeutig die Richtung des Luftspaltflußmaximums und damit die A-Orientierung an. Damit verbleibt die wesentliche Erkenntnis, daß eine Auswertung des hochfrequenten Zusatzsignals bei magnetisch symmetrischen Drehfeldmaschinen mit geschlossenen Rotornuten nicht zu eindeutigen Ergebnissen f¨ uhren muß und damit die Auswertung des Streupfadsignals problematisch ist. Wenn eine Abfolge von geschlossenen und offenen Rotornuten besteht, dann ergibt sich ein deutlich komplexerer Zusammenhang der Induktivit¨atsanteile als bei eindeutig magnetisch unsymmetrischen Drehfeldmaschinen wie beispielsweise bei h = 2 oder h = 4 oder h = 2 und Zp = 2. Es gilt die obige Aussage, daß die Auswertung des Streupfadsignals ebenso problematisch ist. Aufgrund dieser Erkenntnisse wird in [446, 589, 449] vorgeschlagen, die S¨attigungseffekte im Hauptfluß aufgrund der hochfrequenten Modulation auszun¨ utzen. Wenn die hochfrequente Spannung einen hochfrequenten Strom erzeugt, der einen hochfrequenten Fluß in Richtung des Hauptflusses erzeugt, dann wird bei der Addition beider Fl¨ usse die S¨attigung erh¨oht und bei der Subtraktion die S¨attigung erniedrigt. Dies bedeutet, es entsteht ein nichtlinearer resultierender Flußverlauf, der u.a. eine dritte Harmonische enth¨alt. Dieses Signal der dritten Harmonischen kann vorteilhaft aus dem Nullpunkt-Signal extrahiert werden (Signal zwischen den Sternpunkt der Drehfeldmaschine und dem Gleichspannungs-Nullpotential). Wenn die Orientierung des Luftspaltflusses mit dieser Methode bestimmt ist, kann mit den Maschinenmodellen auf die RotorflußOrientierung zur¨ uckgerechnet werden. Dieses Verfahren ist f¨ ur Maschinen sowohl mit offenen als auch mit geschlossenen Rotornuten zu verwenden. Aus den Erl¨auterungen in den obigen Ver¨offentlichungen ist zu entnehmen, daß die zuletzt beschriebenen Verfahren eine Chance des kontinuierlichen Betriebs bei geringen Drehzahlen sowie der Drehzahl Null und vollem Drehmoment er¨offnen. Allerdings muß das Nullpunkt-Signal zug¨anglich sein (Abb. 14.33).

14.11

Bewertende Zusammenfassung

Abweichend von den anderen Kapiteln soll f¨ ur das Gebiet der geberlosen ASMRegelung eine bewertende Zusammenfassung gegeben werden. Wie aus der Vielzahl der Ans¨atze zur L¨osung der Aufgabenstellung und der daraus folgenden Zahl von Ver¨offentlichungen zu entnehmen war, ist dieses Gebiet noch ein For-

14.11 Bewertende Zusammenfassung

657

ASM

VSI

QT

HFGenerator

I1S *

-

Stromregler

Uc*

NotchFilter

Spannungswandler U0

S*

U1

BPF 2

3

2

3 QT U0c

I1 ^) ^ (Q Q m r Qrm Schätzung

Qm Schätzung ^ Q rm

Abb. 14.33: Blockschaltbild nach Consoli

schungsgebiet. Bereits in der Einf¨ uhrung (Kap. 14.1) wurde abgeleitet, daß eine Sch¨atzung der Rotordrehzahl und sowohl der Orientierung als auch der Amplitude des Rotorflusses nur bei der Grundwellenbetrachtung im Drehzahlbereich um Null — insbesondere bei generatorischen Betriebszust¨anden — nicht m¨oglich ist. Grunds¨atzlich muß daher unterschieden werden, ob auf den station¨aren Betrieb um Null verzichtet oder nicht verzichtet werden kann. Wenn auf den station¨aren Betrieb um die Drehzahl Null verzichtet werden kann — allerdings sind schnelle“ Drehzahl-Nulldurchg¨ange zul¨assig — dann sind ” prinzipiell die Verfahren nach Kap. 14.3 bis 14.7 zul¨assig. Wesentlich ist, wie eng der Drehzahlbereich um Null ist und wie genau das Drehmoment noch regelbar sein soll. Wenn dagegen der Drehzahlbereich um Null miteingeschlossen sein muß, dann k¨onnen nur die Verfahren nach Kap. 14.10 diese Anforderungen erf¨ ullen. Allerdings muß nun wiederum unterschieden werden, ob eine magnetische Unsymmetrie im konstruktiven Aufbau der elektrischen Maschine besteht oder nicht. Wenn eine magnetische Unsymmetrie vorliegt und diese nicht zu komplex ist, dann kann mittels Einpr¨agung von hochfrequen” ten“ Zusatzsignalen die Bestimmung der drei Gr¨oßen Rotordrehzahl, Orientierung und Amplitude des Luftspaltflusses erfolgen. Bei normalen Asynchronmaschinen ist aber keine magnetische Unsymmetrie vorhanden, so daß diese Unsymmetrie k¨ unstlich erzeugt werden muß [443, 453, 454, 519]. Allerdings ist die

658

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

¨ Anderung des konstruktiven Aufbaus der ASM im allgemeinen unerw¨ unscht. ¨ In diesem Fall verbleibt, S¨attigungseffekte aufgrund der Uberlagerung des niederfrequenten Hauptflusses und des hochfrequenten Zusatzflusses auszunutzen [446, 589, 447, 448, 449, 472, 473]. Auch in diesem Fall m¨ ussen einige Schwierigkeiten beachtet werden. Grunds¨atzlich ist die Auswertung der Signale des Streupfades der ASM nicht unbedingt eindeutig [446, 589], da im Streupfad Statorzahn-, Rotorzahn- und Rotornutenbereiche unterschiedliche Einfl¨ usse auf das Gesamtsignal haben k¨onnen (siehe Abb. 14.29 bis 14.32). Um diese Schwierigkeiten zu umgehen, wird in [446, 589, 449] vorgeschlagen, den Luftspaltfluß auszuwerten und die in der Nullspannung vorhandene dritte Harmonische, welche sich aufgrund der nichtlinearen S¨attigungskennlinie ausbildet, auszunutzen. Dies bedeutet allerdings, die Nullspannung muß meßtechnisch verf¨ ugbar sein (Abb. 14.33). Damit sind wiederum gewisse Einschr¨ankungen bei der Schal¨ ¨ tung der ASM und des Zwischenkreises zu beachten. Ahnliche Uberlegungen sind in [473] vorgeschlagen. Aus diesen kurzen Anmerkungen ergibt sich, daß es noch kein generelles Verfahren gibt, um bei magnetisch symmetrischen Asynchronmaschinen den Drehzahlbereich Null mit einzuschliessen. Wenn der Drehzahlbereich um Null im station¨aren Betrieb nicht ben¨otigt wird, dann bestehen — wie in Kap. 14.3 bis 14.7 dargestellt — unterschiedliche Vorschl¨age. Ein bekannter Ansatz sind die Verfahren in [535, 536, 537, 538], bei denen  S ausgegangen wird vom leicht zu bestimmenden inneren Spannungsraumzeiger E μ und eine Fehlerkorrektur mittels des drehmomentbildenden Stroms erfolgt. Mit diesem Verfahren lassen sich erstaunlich gute Ergebnisse erreichen, die in die N¨ahe der Regelung mit Drehzahlgeber kommen. Ein weiterer interessanter Ansatz ist — wie schon dargestellt – der Beobachteransatz, der insbesondere in [508] bis [515] behandelt wird. Die in Kap. 14.7 diskutierten Gleichungen zur Sch¨atzung der Rotordrehzahl werden in der neueren Literatur allerdings nur noch eingeschr¨ankt akzeptiert (siehe auch [568]). Die Einschr¨ankung betrifft — wie schon in Kap. 14.1 hervorgehoben — den generatorischen Betriebsbereich. In den Ver¨offentlichungen von Sangwongwanich et al. [533, 548, 549, 550, 562, 563, 564, 565, 566] wird diese Einschr¨ankung sehr detailliert beschrieben und Gegenmaßnahmen erl¨autert. Wie bereits in Kap. 14.1 dargestellt, wird sich im Statorstrom die Rotordrehzahl — die Drehzahl Null ausgenommen – abbilden. Damit liegt — bis auf die Drehzahl Null — anscheinend ein geeignetes Kriterium f¨ ur die Adaption vor. Allerdings hat der Statorstrom sowohl die α- als auch die β-Komponente, und somit besteht die Frage, welche Komponente am besten geeignet ist. In den Ver¨offentlichungen [563] und [565] wird beispielhaft dargestellt, daß die β-Komponente des Statorstroms f¨ ur die Sch¨atzung der Rotordrehzahl geeignet ist und im motorischen Betriebsbereich sowie bei bekannten Parametern der Asynchronmaschine einen stabilen Betrieb ergibt. Wenn die Annahme bekannte ”

14.11 Bewertende Zusammenfassung

659

Parameter der Asynchronmaschine“ erhalten bleibt, dann wird abgeleitet, daß sich ein stabiler Betrieb nur bis zur kritischen Kreisfrequenz Ωcrit Ωcrit =

Zp Ω1 R2 L1 1+ R1 L2

(14.248)

erreichen l¨aßt, d.h. mit steigender Statorfrequenz ergibt sich ein zunehmender zul¨assiger generatorischer Betriebsbereich. Wenn allerdings Abweichungen zwischen den realen Parametern und den Modellparametern auftreten, dann wird der zul¨assige generatorische Betriebsbereich schnell weiter eingeschr¨ankt, und es treten deutliche Abweichungen von der Nebenschlußkennlinie auf. In gleicher ung¨ unstiger Weise wirken Abweichungen, wenn zwischen dem Sollwert und dem Istwert des Statorstroms Totzeiten bestehen, die nicht ber¨ ucksichtigt werden (siehe Kap. 13.9 und Kap. 15). In [564] und [533] wird dargestellt, daß im stabilen Betriebsbereich das Fehlersignal der β-Komponente des Statorstrom eine korrekte Sch¨atzung zul¨aßt, im instabilen Bereich eine Korrektur in der falschen Richtung erfolgt und bei der kritischen Kreisfrequenz das β-Fehlersignal Null ist und damit keine Sch¨atzung erfolgen kann. Diese Aussagen gelten, wenn Identit¨at bei den Parametern der realen Maschine und des Modells (Beobachters) vorliegt. Ein Fehler in den Parametern f¨ uhrt zu einem zus¨atzlichen Fehlersignalanteil, der das resultierende ¨ Fehlersignal in Richtung auf den instabilen Zustand ver¨andert. Diese Uberlegungen sind besonders einfach bei Drehzahl Null und Drehmoment MM i = 0 zu verstehen, denn dann fließt nur der Magnetisierungsstrom, und es ist somit keine β-Komponente im Statorstrom mehr vorhanden. Die kritische Kreisfrequenz Ωcrit ist die Statorfrequenz, bei der diese besondere Betriebsbedingung auch bei Ω = 0 und MM i = 0 im generatorischen Betriebsbereich auftritt. In den Ver¨offentlichungen werden einige Gegenmaßnahmen dargestellt, um ¨ ¨ den zul¨assigen generatorischen Betriebsbereich zu erweitern. Ahnliche Anderungen im Entwurf des Fehlerabgleichsignals werden in [568] dargestellt; allerdings ¨ erfolgt keine Ableitung, wie diese Anderung mathematisch zu begr¨ unden ist. Aufbauend auf dem Ansatz in [508]-[515] wird in [456, 458, 459, 467, 468, 480, 505, 506, 576] eine Erweiterung mit der Direkten Selbstregelung (DSR) untersucht. In diesen Beitr¨agen wird auch – insbesondere in [480, 506, 576] — eine neuere Literatur¨ ubersicht gegeben. Ver¨offentlichungen aus deutschsprachigen Konferenzen sind in [477, 478, 479] zu finden. Hingewiesen werden soll auch auf die B¨ ucher von Vas [572] und Matsuse [547] und auf das neueste Tutorial von Asher [428]. Der Stand der Technik 2006 wird in den IES-Transactions f¨ ur die Regelung der Asynchronmaschine ohne Drehzahlsensor in der Februar-Ausgabe und f¨ ur die Synchronmaschine in der April-Ausgabe umfangreich dargestellt. Generell werden in allen Ver¨offentlichungen nur die praktischen Einschr¨ankungen der in den vorherigen Kapiteln dargestellten Verfahren genannt. Eine in dieser Hinsicht kl¨arende Ver¨offentlichung ist [541]. In dieser Ver¨offentlichung werden beispielhaft die allgemein immer wieder verwendeten Verfahren

660

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

von Tamai/Schauder, Ohtani und Kubota unter kritischen Betriebsbedingungen gegen¨ ubergestellt. Praktisch keines der Verfahren ist im gesamten Betriebsbereich einsetzbar! Es zeigt sich vielmer, daß sowohl im motorischen Betrieb bei niedrigen Drehzahlen und kleinen Drehmomenten als auch insbesondere im generatorischen Betrieb bei durchaus relevanten Drehzahlen relativ große instabile Betriebsbereiche bestehen. Aufbauend auf diesen Einschr¨ankungen werden in den verschiedenen Ver¨offentlichungen Abwandlungen und Erweiterungen der Verfahren entwickelt, die diese Einschr¨ankungen eingrenzen. Es gilt aber weiterhin, daß grunds¨atzlich alle Verfahren ohne zus¨atzliche Injektion von Identifikationssignalen den Drehzahlbereich um Null und hier insbesondere im generatorischen Betrieb nicht oder zeitlich sehr eingeschr¨ankt beherrschen. Einer der Gr¨ unde wurde bereits in Kap. 14.7.2 anhand der Gleichung (14.142) diskutiert. Bei niedrigen DrehS zahlen ist die Spannung U1 relativ klein und die Periodendauer lang, der zweite S Term R1 · I1 in der Gleichung (14.142) wird damit bei sinkender Drehzahl immer wesentlicher. Anfangs wurde u.a. erstens die Variation von R1 mit der Temperatur und zweitens die Drift und der Offset des offenen Integrators als Grund f¨ ur das Versagen dieses Ansatzes genannt. In der Ver¨offentlichung [481] wird erweiternd angef¨ uhrt, daß das Pulsmuster und die Zwischenkreisspannung Ud keine S belastbaren Werte sind, um U1 zu bestimmen. Die Gr¨ unde sind die Anschlußspannungsabf¨alle der steuerbaren Halbleiter und der Dioden sowie die variablen Tot- und Sicherheitszeiten. Es m¨ ussen daher wesentlich genauere Modelle f¨ ur die Funktion des Wechselrichters verwendet werden, um insbesondere bei niedrigen S Versorgungsspannungen U1 die an den Klemmen der Asynchronmaschine zur Verf¨ ugung stehenden Spannungen U1α und U1β zu sch¨atzen. Eine weitere Problematik bei vielen Verfahren ist die Approximation des offenen Integrators durch ein PT1 -Glied. Es ist einsichtig, daß insbesondere bei niedrigen Drehzahlen und damit niedrigen Frequenzen des Wechselrichters der Frequenzgang eines Integrators sich deutlich vom Frequenzgang eines PT1 -Gliedes unterscheidet. Ein genereller Ansatz ist, das PT1 -Glied adaptiv mit dem Betriebspunkt in der Verst¨arkung als auch in der Zeitkonstante zu verstellen. Problematisch ist dabei der Zero-Crossing-Effekt, d.h. beim sinusf¨ormigen“ Nulldurch” gang der Statorstr¨ome I1α und I1β treten mehrfach gegensinnige Nulldurchg¨ange aufgrund der Harmonischen auf. Um diesen Effekt sich nicht in einem relativ großen Fehler der Orientierung des Stator- und damit auch des Rotorflusses auswirken zu lassen, wird u.a. in [445] vorgeschlagen, die Periodendauer mittels PLL f¨ ur das adaptive PT1 -Glied vorzugeben. Wie bereits ausgef¨ uhrt, m¨ ussen bei der drehzahlgeberlosen Ausf¨ uhrung der Regelung sowohl die Drehzahl als auch die Amplitude und die Orientierung des Flusses gesch¨atzt werden. Generell ist bei allen modellbasierten Verfahren die Sch¨atzung der Drehzahl einerseits und die Sch¨atzung des Flusses andererseits mit einer Sch¨atzung des Statorwiderstandes R1 gekoppelt, die zur diskutierten Instabilit¨at f¨ uhren kann.

14.11 Bewertende Zusammenfassung

661

In [531] werden exemplarisch die verschiedenen Versuche zur Beherrschung dieser Instabilit¨at diskutiert. Es zeigt sich, daß die Stabilit¨atsanalyse bei den Modellans¨atzen sehr komplex ist und deswegen bisher im allgemeinen nicht — oder nur am linearisierten System — durchgef¨ uhrt wurde. In dieser Ver¨offentlichung [531] wird die Verkopplung der Sch¨atzer f¨ ur die Drehzahl und des Statorwiderstandes aufgezeigt. Es wird abgeleitet, daß die beiden Transferfunktionen der Sch¨atzer SPR (strictly positiv real) sein m¨ ussen, um Stabilit¨at zu gew¨ahrleisten. Dies l¨aßt sich allerdings — wie bisher — nicht f¨ ur den gesamten Betriebsbereich um Null erreichen. Es verbleiben weiterhin die Schwierigkeiten bei Parameterfehlern oder Induktivit¨aten, die sich ihrerseits auch in der Drehzahl und Stator-Widerstand Schaltung niederschlagen. Um diese Schwierigkeiten zu umgehen, wird die Adaption des Statorwiderstandes bei geringen Drehmomenten (< 17% MN ) und kleinen Drehzahlen abgeschaltet. In [457] wird die sensorlose Regelung f¨ ur Bahnantriebe diskutiert. Es wird angemerkt, daß Bahnantriebe den Feldschw¨achbereich nutzen und damit Verfahren mit der Injektion von Identifikationssignalen nicht anwendbar sind. Der Grund ist, daß bei der Feldschw¨achung eine Ents¨attigung stattfindet. Außerdem verwenden Bahnantriebe hoch ausgenutzte Asynchronmaschinen. Grunds¨atzlich wird das Verfahren von Kubota und Matsuse angewandt ([508] bis [515]). Um allerdings den kritischen Bereich um die Statorfrequenz Null“ zu vermeiden, ” bei der die Drehzahlsch¨atzung nicht m¨oglich ist, wird ausf¨ uhrlich die bei Kubota und Matsuse erleuterte spezielle Methode verwendet. Kritisch ist der Bereich um die Statorfrequenz Null“. Beide Autoren schlagen vor, im generatorischen ” Betrieb die Statorfrequenz von beispielsweise einem positiven Wert zu einem negativen Wert bei gleichbleibender mechanischer Drehzahl des Rotors zu ¨andern. Absenkung der Statorfrequenz von einem positiven kleinen Wert auf einen negativen kleinen Wert bedeutet eine resultierende Erh¨ohung von ΩL und damit des momentenbildenden Stroms I1β . Damit das Drehmoment konstant bleibt, muß der Fluß entsprechend geschw¨acht werden. Anschließend wird die Statorfrequenz konstant gehalten, der Fluß wieder erh¨oht und damit die mechanische Drehzahl abgesenkt. Durch diese Vorgabe wird somit ein Betrieb im die Statorfrequenz Null“ vermieden und die Stabilit¨at der Sch¨atzung sichergestellt. Es ist ” nachvollziehbar, daß ein derartiges Vorgehen bei Bahnantrieben mit dargestellter Drehmoment¨anderung erfolgreich einsetzbar ist. In mehreren aus den Ver¨offentlichungen dieser Ausgabe zum Thema drehzahl-sensorlose Regelung der ASM“ wird immer wieder die Schwierigkeit ” der Stabilit¨at der Sch¨atzung insbesondere im generatorischen Betrieb bei kleinen Drehzahlen diskutiert, und es wurden Verbesserungen bestehender Verfahren propagiert. Es gibt aber bei diesen Verfahren keine komplett durchschlagende L¨osung f¨ ur rein modellbehaftete Ans¨atze. Aufgrund der grunds¨atzlich nicht l¨osbaren Problematik bei allen modellbasierten Ans¨atzen wird in [486] vorgeschlagen, den modellbasierten Ansatz mit dem Verfahren der Injektion von Identifikationssignalen zu kombinieren. Dies bedeutet, im Drehzahlbereich um Null erfolgt die Injektion von Identifikations-

662

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

signalen, bei h¨oheren Drehzalen wird der modellbasierte Ansatz genutzt. Die Begrenzung der Injektion von Zusatzsignalen auf den richtigen Drehzahlbereich erfolgt, da durch die Zusatzsignale zus¨atzlich Verluste und Schwingungen sowie Drehmomentschwankungen auftreten, die unvorteilhaft sind. Die experimentellen ¨ Ergebnisse sind u liefert der Vortrag in [481]. ¨ berzeugend. Eine Ubersicht Wie f¨ ur die Regelung der Asynchronmaschine (ASM) ohne Drehzahlsensor wird in [410] der Stand der Technik f¨ ur die Regelung der Synchronmaschine (SM) ¨ ohne Drehzahl- bzw. Positionssensor dargestellt. In [395] wird eine Ubersicht u ¨ ber verschiedene Verfahren gegeben. Ein weit verbreiteter Ansatz ist, die Spannung UP der Synchronmaschine zu nutzen. Dies sei insbesondere bei Synchronmaschinen mit trapezf¨ormiger Spannung (Kap. 16.6.3) besonders vorteilhaft, da bei den Nulldurchg¨angen der Spannungen die betreffenden Wicklungen stromlos seien. Allerdings m¨ ussen die Signale der Nulldurchg¨ange um 90◦ elektrisch verschoben werden, um die Z¨ undsignale f¨ ur die Vorteile des Wechselrichters zu erhalten. Damit ergeben sich insbesondere bei dynamischen Betriebszust¨anden und bei der Drehzahl n ≈ 0 Schwierigkeiten. Eine weitere Schwierigkeit tritt bei hohen Drehzahlen insbesondere im Feldschw¨achbetrieb auf, wenn aufgrund der Induktivit¨aten der Stromabbau zu langsam ist und somit beim SpannungsNulldurchgang die betreffende Wicklung noch nicht stromlos ist. Ein weiteres generelles Problem ist die richtige Drehrichtung beim Anlauf. Dies f¨ uhrte zu unterschiedlichen L¨osungsans¨atzen wie beispielsweise die Identifikation mittels der dritten Harmonischen in der Polradspannung UP . Ein weiterer L¨osungsansatz sind wie bei der ASM die Verwendung von Beobachtern. Wie bei der ASM besteht aber die Problematik der Parameter-Variation einerseits und dem Sch¨atzfehler bzw. der Stabilit¨at andererseits. In [409] wird diese Problematik gel¨ost, indem eine Parameterbestimmung ohne Kenntnis der Position oder der Drehzahl des Rotors m¨oglich ist. Vergleichbar mit den Verfahren der Hochfrequenzeinpr¨agung bei der ASM ist bei der Synchronmaschine die Auswertung der Induktivit¨atsunterschiede von Ld und Lq , wobei dann auch die Drehzahl n = 0 im Betriebsbereich mit eingeschlossen ist. Dieses Verfahren ist besonders vorteilhaft einsetzbar, wenn die Unterschiede von Ld zu Lq deutlich sind, da dann die Spannungsdifferenz UP − U1 im Strom I1 zu auswertbaren Variationen des Stroms f¨ uhrt. Etwas schwieriger ist die Situation bei Synchronmaschinen mit Oberfl¨achenmagneten, da diese Maschinen symmetrisch (d.h. Ld = Lq ) sind. In diesem Fall sind nur S¨attigungseinfl¨ usse auswertbar. Es gibt allerdings einen positiven Effekt, daß zwischen Nord- und S¨ udpol der Maschine unterschieden werden kann. Bei einem der Pole wird der Fluß erh¨oht, die S¨attigung erh¨oht und damit ebenso der Strom, beim anderen Pol sind der Fluß, die S¨attigung und der Strom erniedrigt.

14.12 Comments on Sensorless Control Methods

J. Luomi

663

Ein weiter verbreiterter Ansatz ist die Auswertung der Flußgleichung U1 = R1 · I1 +

dψ1 dt

(14.249)



bzw. ψ =

(U1 − R1 · I1 ) dt

(14.250)

Bei diesem Ansatz ist die offene Integration und damit die Driftproblematik zu beachten. Dies f¨ uhrte u.a. zu einer Approximation des Integrators mittels Tiefpaß mit den bekannten Nachteilen. Außerdem ist zu bedenken, daß zwischen den Ansteuersignalen f¨ ur die Ventile des Wechselrichters und den realen Signalverl¨aufen der Statorspannungen Totzeiten bestehen und außerdem die Zwischenkreisspannung Ud variabel sein kann. Dies f¨ uhrte wiederum zu verschiedenen L¨osungsans¨atzen als Beobachter mit und ohne mechanischem Modell. Generell bestehen aber bei diesem Ansatz bei n ≈ 0 Schwierigkeiten. Als vorteilhaft erweist sich wie bei der ASM die Kombination des Ansatzes mit dem Flußbeobachter f¨ ur hohe Drehzahlen und der Hochfrequenz-Injektion bei tiefen Drehzahlen und der Drehzahl Null [415]. Zur Abrundung der Meinungen zum Stand der Technik bei der sensorlosen“ Regelung von Drehstrommaschinen folgt in Kap. 14.12 ” eine weitere Stellungnahme.

14.12

Comments on Sensorless Control Methods Prof. Dr. J. Luomi, Helsinki University of Technology, Finnland

In the following, some final comments are presented on the sensorless control of asynchronous machines, which is still a field of research as can be expected from the number of publications and different approaches proposed. It was already mentioned in the introduction (Section 14.1) that the estimation of the rotor flux and speed by means of the fundamental-wave approach is not possible in the speed region near zero speed — particularly in the regeneration-mode operation — although fast speed reversals are possible. Therefore, it is important to distinguish whether steady-state operation near zero speed is required or not. The methods presented in Sections 14.3 to 14.7 are applicable when the speed range near zero speed is not used for steady-state operation. It is essential how narrow the omitted speed range around zero speed is, and how accurately the torque must be controlled at low speeds. The well known method presented by Ohtani [536], described in Section 14.5, is based on the stator voltage equation  μS ) followed by error correction using the (for obtaining the internal voltage E torque-producing component of the stator current. The results achieved using this method have been surprisingly good, close to the control with a speed sensor. At a speed of 0,01 p.u., the speed accuracy has been reported to be within ±0,002 p.u., and the torque accuracy about ±0,03 p.u. These results have been obtained in the motoring mode of operation; it can be shown that the estimator has an unstable region in the regeneration mode at low speeds.

664

14 Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

Many experimental results of low-speed operation — at least in the motoring mode — can be found in literature. A review of experimental results is included in [481]. Schauder has reported good dynamic properties of the MRAS approach above 2 Hz stator frequency [551, 606]. Kubota’s conventional observer design has been reported to operate at a minimum speed of 0,033 p.u. [600], and an observer with a modified feedback gain at a minimum speed of 0,019 p.u. [605]. It is also possible to avoid the speed adaptation mechanism and use a slidingmode compensator for the current error vector, ensuring zero error of the stator current [602]. Combined with a stator resistance identification scheme, operation at a minimum speed of 0,002 p.u. has been achieved. Very-low-speed operation has also been demonstrated in [598] using stator resistance adaptation, a linearized inverter model, and stator flux estimation based on a pure integrator with estimated dc offset compensation. For all methods presented in Sections 14.3 to 14.7, the operation at the lowest speeds is highly dependent on the accuracy of the motor model and measurements, and on the influence of inverter nonlinearities. For the low-speed stability, errors in the stator resistance value are are crucial, and similar problems are caused by inaccuracies in the voltage produced by the inverter. Since these inaccuracies — as well as the inverter and motor properties — vary in the published results, it is not easy to compare the characteristics of different estimation methods based on experimental data. The adaptive estimators presented in Section 14.7 also suffer from an unstable operating region in the regeneration mode at low speeds. In [608], for example, this instability has been shown for Kubota’s conventional observer design [600]. As has been illustrated by means of steady-state analysis in [596], speed adaptation using the torque-producing component (B component) of the stator current error leads to the correction of the estimated speed in the right direction in most operating points. In regeneration-mode operation at low speeds, however, the speed is corrected in the wrong direction, and the operation becomes unstable. The observer approach is versatile since it gives possibilities for adjusting the characteristics of the estimator by changing the feedback gain matrix K or the speed adaptation mechanism. It should be noted that Schauder’s MRAS estimator [551, 606] can be considered a special case of the observer approach, as shown in [593], and it can be analysed using the same methods. Various solutions have been proposed to the problem of regeneration-mode instability. The conditions that are sufficient for the stability have been analysed in [592]. The estimation can be stabilised by means of a speed-dependent feedback gain matrix [601, 609], or by using the flux-producing component (A-component) of the stator current error for speed adaptation in addition to the torque-producing component [595, 457]. An analysis of the stability of various methods for stator resistance estimation has been presented in [531]. When steady-state operation is required down to zero speed, only the methods presented in Section 14.10 can fulfil the requirements. The choice of method depends on whether a geometrical saliency exists in the machine or not. The

14.12 Comments on Sensorless Control Methods

J. Luomi

665

geometrical saliency may arise from rotor slotting [482, 597, 599], or a custom designed motor can be engineered to have periodic variations in the rotor slots or rotor conductors [587, 454]. Changes in the design of the asynchronous machine are, however, generally undesirable. In addition, the resulting current signals to be processed are small, they are superimposed on other signals — the much larger load current and the signals induced by saturation saliencies originating from the main flux and load current — and distorted because of the nonlinearity of the inverter [454, 586, 482, 597]. Complicated identification and compensation methods have been developed for eliminating the dependence on the saturation and other saliencies, and the dependence on the inverter nonlinearity [454, 610, 611]. If no geometrical saliency is present, the saturation saliency caused by the fundamental field in the leakage inductances can be detected by a signal injection method [607, 472, 591, 604]. The results may be ambiguous [446, 589] since the stator tooth, rotor tooth and rotor slot regions may give different contributions to the total signal (see Figs. 14.29 to 14.32). To circumvent these problems, a different approach has been proposed in [588, 590]. The signal injection is used for modulating the saturation level of the air-gap field, and the air-gap field position is detected from the resulting zero-sequence component of the stator voltage. This voltage component is measured between the neutral point of the stator winding (or an artificial neutral point) and the midpoint of the dc link. Therefore, the method requires an additional voltage measurement and causes restrictions in motor and dc link couplings. The result of these short comments is that no general methods exist for the estimation of magnetically symmetric asynchronous machines in the speed region around zero speed. In some cases, an alternative to the high-frequency“ signal ” injection is the low-frequency“ signal injection [603, 594]. In this method, an ” ac current signal having a frequency between 10 Hz and 30 Hz is injected in the direction of the estimated rotor flux. If the orientation of the flux coordinates is not accurate, the mechanical reaction induces a carrier-frequency emf component in the perpendicular direction, provided that the moment of inertia is not too high. A tracking controller is used for forcing this emf component to zero. In practice, the method is suitable for motors having a rated power of not more than a few kilowatts.

15 Stromregelverfahren fu ¨ r Drehfeldmaschinen

Sowohl in Kap. 13 mit der Regelung der Asynchronmaschine, als auch in Kap. 16 mit der Regelung der Synchronmaschine und ihrer Varianten werden mehrfach in den Signalflußpl¨anen Umrichter mit unterlagerter Statorstromregelung vorausgesetzt. Im Falle von I-Umrichtern geschieht dies unmittelbar durch Regelung des Zwischenkreisstroms (Amplitude) und Vorgabe eines entsprechenden Pulsmusters (Amplitude und Phasenlage) beim Wechselrichter. Im Falle von UUmrichtern ist zus¨atzlich ein geeignetes Stromregelverfahren notwendig, welches das Pulsmuster im Wechselrichter und damit die erforderliche Statorspannung in Amplitude und Phasenlage festlegt. In der Literatur findet sich eine Vielzahl von Verfahren, aus denen in den folgenden Abschnitten eine Auswahl vorgestellt wird.

15.1

Regelstrecke und Stellglied der Statorstromregelung

Zur Erl¨auterung der prinzipiellen Problematik werden zun¨achst die Regelstrecke und das Stellglied des Stromregelkreises behandelt. Die Regelstrecke sei beispielhaft der Statorkreis der Asynchronmaschine, f¨ ur den die bekannte Statorspannungsgleichung S  S = R1 IS + dΨ1 U (15.1) 1 1 dt gilt. Um das f¨ ur die Stromregelung relevante Verhalten zu verstehen, wird zun¨achst das dynamische komplexe Ersatzschaltbild der Asynchronmaschine hergeleitet, wozu die bereits bekannte Rotorspannungsgleichung S  2S = R2 I2S + dΨ2 − jΩL Ψ 2S U dt

(15.2)

 S = L1 IS + M IS Ψ 1 1 2

(15.3)

 S = M IS + L2 IS Ψ 2 1 2

(15.4)

und die Flußgleichungen

ben¨otigt werden. Die Herleitung erfolgt zweckm¨aßig im statorfesten Koordinatensystem. Die Stator- (L1 ) und Rotoreigeninduktivit¨aten (L2 ) werden analog

15.1 Regelstrecke und Stellglied der Statorstromregelung

IS

e-1

R1

Lσ1

r

S I 2

Lσ2

R2

? IμS

S U 1 ? e

 e  -

S jΩL Ψ 2

S U i

M

667

S U 2

?

? e

r

Abb. 15.1: Komplexes Ersatzschaltbild der Asynchronmaschine im Koordinatensystem S

zur Herleitung des station¨aren Ersatzschaltbilds in eine Hauptinduktivit¨at (M) und eine jeweilige Streuinduktivit¨at (Lσ ) aufgeteilt: L1 = M + Lσ1

(15.5)

L2 = M + Lσ2

(15.6)

Mit der bekannten Definition f¨ ur den Magnetisierungsstrom des Hauptfeldes IμS = I1S + I2S

(15.7)

ergibt sich  S = Lσ1 IS + M IS Ψ 1 1 μ

(15.8)

 S = M IS + Lσ2 IS . Ψ 2 μ 2

(15.9)

Setzt man diese Beziehungen f¨ ur die Maschinenfl¨ usse in die Spannungsgleichungen ein, so erh¨alt man die beiden Maschengleichungen f¨ ur das dynamische Ersatzschaltbild der Asynchronmaschine gem¨aß Abb. 15.1.

S dIS  1S = R1 I1S + Lσ1 dI1 + M μ U dt dt S  dIS S  S = R2 IS + Lσ2 dI2 + M μ − jΩL Ψ U 2 2 2 dt dt

(15.10)

Man erkennt, daß prinzipiell ¨ahnliche Verh¨altnisse vorliegen wie bei der Gleichstrommaschine mit einem Widerstand (R1 =R ' A ), einer Induktivit¨at (Lσ1 =L ' A)

668

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

Id 1 Ud

I 1a

Sa 0

2

U 1ab

1 Ud

M Ud 2

U 1a

a

I 1b

Sb

b U 1bc U 1ca

0 1 Sc

I 1c

c

U 1b 0 U 1c

0

Abb. 15.2: Prinzipschaltbild eines U-Wechselrichters

 S , d.h. und einer inneren Gegenspannung U i S  S = R1 IS + Lσ1 dI1 + U S U 1 1 i dt

(15.11)

Im Gegensatz zur Gleichstrommaschine liegt in diesem Fall ein zweidimensionales  S nicht nur Problem vor (komplexe Darstellung). Zudem ist die Gegenspannung U i proportional zur Drehzahl (bei konstantem Fluß), sondern zus¨atzlich von der Belastung abh¨angig. Die Regelstrecke des Stromregelkreises hat demnach nur in S erster N¨aherung ein Verhalten 1. Ordnung (PT1 ), wobei die Statorspannung U 1 als Stellgr¨oße dient.  1S an die MaschiAls Stellglied, welches die erforderlichen Statorspannungen U nenklemmen legt, wird ein Wechselrichter mit konstanter Zwischenkreisspannung ( Pulswechselrichter“) betrachtet. Abbildung 15.2 zeigt ein vereinfachtes Modell ” bestehend aus idealen Schaltern. Es ergeben sich 23 = 8 erlaubte Schalterkombinationen, d.h. es k¨onnen acht S S  1S = U  11  18 diskrete Werte der Stellgr¨oße U ...U realisiert werden, welche in Tabelle 15.1 aufgef¨ uhrt sind. Sie werden durch die Nummer k (k = 1 . . . 8) unterschieden. Zwei der Kombinationen (k = 7, 8) erzeugen die Spannung Null in allen Phasen. Mit den u ¨brigen sechs Kombinationen werden die Phasenspannungen auf entweder ±Ud /3 oder ±2Ud /3 eingestellt. In der komplexen Raumzeigerdarstellung bilden sich daraus sechs Zeiger mit der L¨ange 2Ud /3, die mit Phasenunterschieden von 60◦ el. in der Orientierung angeordnet sind (Abb. 15.3). Entscheidend ist, daß das Stellglied keine kontinuierlich verstellbare Stellgr¨oße, d.h. keine kontinuierlichen Werte f¨ ur die Amplitude und die Phasenlage des Spannungsraumzeigers, erzeugen kann. Der gew¨ unschte kontinuierliche Verlauf  S muß daher durch eine Pulsweitenmodulation angen¨ahert des Sollraumzeigers U 1 werden. Dies hat zur Folge, daß bei einer gew¨ unschten Lage des Raumzeigers  11 und U  12 , die Raumzeiger U  11 , U  12 und U  17 oder U  18 nacheinanz.B. zwischen U

15.1 Regelstrecke und Stellglied der Statorstromregelung

669

Tabelle 15.1: Ausgangsspannungsraumzeiger des U-Wechselrichters

Schalter-

Spannungen

Nr. stellung

verkettet

Phasen-

k

Sa Sb Sc

U1ab

U1bc

U1ca

U1a

1

100

Ud

0

−Ud

2 3

Ud

2

110

0

Ud

−Ud

1 3

Ud

3

010

−Ud

Ud

0

4

011

−Ud

0

5

001

0

6

101

7 8

Raumzeiger S U 1

U1b

U1c

− 13 Ud

− 13 Ud

S = U 11

2 3

Ud ej 0 π

1 3

Ud

− 23 Ud

S  12 = U

2 3

Ud ej 3

− 13 Ud

2 3

Ud

− 13 Ud

S  13 = U

2 3

Ud ej

Ud

− 23 Ud

1 3

Ud

−Ud

Ud

− 13 Ud

Ud

−Ud

0

111

0

0

0

0

000

0

0

0

0

1 3

Ud

2π 3

1 3

Ud

S = U 14

2 3

Ud ej π

− 13 Ud

2 3

Ud

S = U 15

2 3

Ud ej

4π 3

− 23 Ud

1 3

Ud

S = U 16

2 3

Ud ej

5π 3

0

0

S = 0 U 17

0

0

S = 0 U 18

b

b

U1 U13

U12 U17

U14

U11

a, a

U18 U15

U16

c Abb. 15.3: Raumzeigerdarstellung der Ausgangsspannungen beim U-Umrichter

670

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

der eingeschaltet werden, so daß sich nur im zeitlichen Mittel der Sollraumzeiger nach Betrag und Phase ergibt. Die tats¨achlichen Ausgangsspannungen enthalten daher Oberschwingungen und erzeugen damit auch Stromoberschwingungen. Allerdings werden diese bedingt durch die Maschineninduktivit¨aten bed¨ampft und sind so wesentlich kleiner als die Spannungsoberschwingungen gleicher Frequenz. Die Stromoberschwingungen erzeugen ihrerseits Drehmomentschwankungen, zus¨atzliche Verluste und Ger¨ausche. Ein Ziel der Verfahren zur Pulsmustererzeugung ist, das Oberschwingungsspektrum der Spannungen m¨oglichst gering zu halten und zu hohen Frequenzen hin zu verschieben, damit sie durch die Maschineninduktivit¨aten besser gefiltert werden. Die verschiedenen Verfahren zur Statorstromregelung lassen sich in zwei Gruppen einteilen. Die erste Gruppe verwendet einen konventionellen Regler  S∗ (z.B. PI-Regler), dessen Ausgangsgr¨oße (Stellgr¨oße) ein Spannungssollwert U 1 ist. Dieser Sollwert wird dann durch ein entsprechendes Modulationsverfahren im zeitlichen Mittel vom Wechselrichter realisiert. Abbildung 15.4 zeigt diese Vorgehensweise, die wir im folgenden als indirekte Stromregelung bezeichnen. Das Modulationsverfahren bestimmt dabei die Folge der Schaltzust¨ande k des Wechselrichters.

Ud I1S*

Stromregler

U1S*

Modulationsverfahren

k

I1S

ASM

Abb. 15.4: Prinzipbild der indirekten Stromregelung

Die zweite Gruppe von Verfahren, die wir hier als direkte Stromregelung bezeichnen, ermittelt die Pulsfolge unmittelbar aus den zur Verf¨ ugung stehenden Gr¨oßen. Im einfachsten Fall sind dies die Stromsoll- und Stromist-Werte. Kompliziertere Verfahren verwenden auch andere Gr¨oßen wie etwa die innere  iS , die aus einem Maschinenmodell gewonnen werden kann Maschinenspannung U (Abb. 15.5). Ein typisches Beispiel f¨ ur direkte Stromregelungen sind die Stromregelverfahren mit on-line optimierten Pulsmustern, die kein Modulationsverfahren ben¨otigen und in Kap. 15.4.2 behandelt werden.

15.2 Indirekte Verfahren der Statorstromregelung

671

Ud I1S*

k

Stromregelverfahren

UiS

Maschinenmodell

I1S

ASM

Abb. 15.5: Prinzipbild der direkten Stromregelung

15.2

Indirekte Verfahren der Statorstromregelung

Bei den indirekten“ Verfahren gibt es eine Vielzahl von Methoden, die sich je ” nach Art des Stromreglers bzw. des Modulationsverfahrens in Abb. 15.4 unterscheiden. Als Stromregler werden sehr h¨aufig PI-Regler verwendet, wobei je ein Regler f¨ ur die beiden Raumzeigerkomponenten I1α und I1β zur Verf¨ ugung steht. F¨ ur das F¨ uhrungsverhalten in jeder Komponente ergibt sich dann n¨aherungsweise ein Verz¨ogerungsglied 1. (Approximation) oder 2. Ordnung (Betragsoptimierung ohne Istwertgl¨attung). Bei der in Abb. 15.4 dargestellten Vorgehensweise werden ∗ ∗ alle Gr¨oßen, wie z.B. die Stromsollwerte I1α und I1β , im ruhenden Koordinatensystem S verarbeitet und sind somit station¨ar sinusf¨ormig. Aufgrund des nicht idealen Verhaltens der Statorstromregelung entstehen somit unerw¨ unschte station¨are Phasen- bzw. Amplitudenfehler zwischen dem Sollsystem im informationsverarbeitenden Bereich und im Istbereich in der elektrischen Maschine. Diese Fehler – insbesondere Phasenfehler — f¨ uhren zu einer Verkopplung der fluß- und momentenbildenden Regelkreise. Diese Folgen dieser Verkopplung werden in Kap. 13.9 ausf¨ uhrlich diskutiert. Eine Verbesserung des Regelverhaltens ist prinzipiell auf zwei Arten zu erreichen. Eine M¨oglichkeit besteht darin, die sinusf¨ormige Sollstatorspannung vorzusteuern, indem man die  S und die Spannungsabf¨alle an R1 und Lσ1 in einem Modell, Gegenspannung U i  S  entspricht siehe Abb. 15.6, rekonstruiert. Diese St¨orgr¨oßenaufschaltung von U 1 der EMK-Aufschaltung zur Ankerstromregelung einer Gleichstrommaschine. Die Stromregler werden bei diesem Regelungsverfahren nur noch dynamisch aktiv bzw. gleichen Fehler im Modulationsverfahren und bei der Vorsteuerung aus.

672

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

Ud Stromregler

I1S*

U1S*

Modulationsverfahren

k

U1S'

I1S

UiS' sL's1

U1S Maschinenmodell

I1S R'1 ASM

S  der Statorspannung Abb. 15.6: Indirekte Stromregelung mit Vorsteuerung U 1

Als zweite Variante zur Verbesserung des dynamischen Regelverhaltens bietet sich an, alle Gr¨oßen in einem flußfesten Koordinatensystem (K-System orientiert am Stator- oder Rotorfluß) zu verarbeiten (Abb. 15.7). Darin ergeben sich im station¨aren Betrieb der Asynchronmaschine Gleichgr¨oßen f¨ ur die Soll- und Istwerte, die durch die I-Anteile der Regler ohne Regeldifferenz ausgeglichen werden k¨onnen. Zus¨atzlich m¨ ussen allerdings Koordinatentransformationen (VD+ und VD−) eingebaut werden, welche die im Koordinatensystem S vorliegenden Meßgr¨oßen in das flußfeste Koordinatensystem K transformieren bzw. die flußfesten Stromsollwerte wieder in das statorfeste Koordinatensystem umwandeln. Das Verfahren setzt folglich die Kenntnis des aktuellen Phasenwinkels βK des flußorientierten Koordinatensystems voraus. Zudem ist zu beachten, daß im K-System die Stator¨ stromkomponenten miteinander verkoppelt sind. Dies bedeutet, daß Anderungen in einer der Stromkomponenten im Regelkreis der jeweils anderen Komponente als St¨orung wirken. Eine entsprechende Vorsteuerung, siehe in Abb. 15.7 den Block Entkopplung“, besitzt die Aufgabe, diese Verkopplungen zu verhindern. ” Damit sind die prinzipiellen Stukturen der Stromregelkreise hinsichtlich ihrer grundlegenden Eigenschaften bekannt. Es fehlen allerdings noch Darstellungen u ¨ber das statische und insbesondere dynamische Verhalten des Wechselrichters. Dies wird in den n¨achsten Abschnitten n¨aher erl¨autert.

15.3 Modulationsverfahren

A. Steimel

673

Ud I1K*

Stromregler

U1K*

VD +

I1K

U1S*

k

Modulationsverfahren

bK Entkopplung

I1K

VD bK

I1S

ASM

Abb. 15.7: Indirekte Stromregelung in einem flußfesten Koordinatensystem

15.3

Modulationsverfahren Prof. Dr. A. Steimel, Bochum

Ziel aller Modulationsverfahren ist, die gew¨ unschte WechselrichterAusgangsspannung im zeitlichen Mittel (¨ uber geeignet definierte Intervalle)  1S∗ anzun¨ahern. Da es m¨oglichst gut an den vorgegebenen Sollwertverlauf U eine Vielzahl verschiedener Verfahren gibt, werden in diesem Abschnitt nur die wesentlichen Grundz¨ uge behandelt (siehe auch [44, 45, 45]). Die Wahl des geeigneten Modulationsverfahrens wird von der maximalen Schaltfrequenz des eingesetzten Wechselrichtes beeinflußt. Nur relativ niedrige Schaltfrequenzen (von einigen hundert Hertz) sind mit Hochleistungs-GTOs zu erreichen. Im Gegensatz dazu k¨onnen MOSFETs und SiC-JFETSs sehr hohe Schaltfrequenzen (¨ uber 100 kHz) erzielen. Insbesondere bei Wechselrichtern mit niedrigen Schaltfrequenzen ist das Modulationsverfahren von großer Bedeutung, da einerseits die Spannungsausbeute gut und andererseits der Oberschwingungsgehalt des Stroms gering sein sollen. Die folgenden Ausf¨ uhrungen gelten insbesondere f¨ ur selbstgef¨ uhrte Wechselrichter im Hochleistungsbereich, die nur relativ geringe zul¨assige Schaltfrequenzen aufweisen. 15.3.1

Grundfrequenztaktung

Im folgenden wird ein selbstgef¨ uhrter spannungseinpr¨agender ZweipunktWechselrichter nach Abb. 15.2 vorausgesetzt. Die Zwischenkreisspannung Ud wird als glatt angenommen. Die drei Schalter werden mit der gew¨ unschten Aus-

674

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

gangsfrequenz F1 jeweils u ¨ber den Winkel 180◦ el. positiv bzw. negativ (bipolare Taktung) und mit jeweils 120◦ el. Phasenverschiebung angesteuert; die Schaltoder Taktfrequenz FT ist identisch mit der Grundschwingungsfrequenz F1 des gew¨ unschten Drehspannungssystems. Diesen Betrieb nennt man Grundfrequenz- oder Vollblocktaktung. Abbildung 15.8 zeigt (oben) die drei gegen den Mittelpunkt M des Zwischenkreises gemessenen WR-Strang-Ausgangsspannungen UaM , UbM und UcM .

UaM 0

Ud /2

1

0,5

0

t/T1

UbM 0

t/T1

UcM 0

t/T1

1 6 Ud

U0M 0

t/T1

U1a 2 U 3 d

0

1 U 3 d

t/T1 U1ab 0

Ud 0

0,5

1

t/T1

Abb. 15.8: Zeitlicher Verlauf von WR-Ausgangsspannungen UνM (ν = a, b, c), Nullsystemspannung U0M , Motorstrangspannung U1a sowie verketteter Spannung U1ab

Die Spannung zwischen dem Sternpunkt 0 der symmetrischen Last und dem Mittelpunkt M ist gleich dem Nullsystem der drei WR-Ausgangsspannungen (Abb. 15.8, 4. Zeile). U0M = U  =

1 · (UaM + UbM + UcM ) 3

(15.12)

Die Motorstrang- oder Motorsternpunktspannungen (U1a in der 5. Zeile) sind dann U1v = UvM − U0M (15.13)

15.3 Modulationsverfahren

A. Steimel

675

und somit nullsystemfrei. Damit sich diese Spannung ausbilden kann, darf der Zwischenkreismittelpunkt M auf keinen Fall mit dem Motorsternpunkt 0 verbunden werden! In der 6. Zeile ist die verkettete (Leiter-) Spannung U1ab = UaM − UbM = U1a − U1b

(15.14)

dargestellt. Die Grundschwingungen der WR-Strang-Ausgangs- wie der Motorstrangspannung sind identisch; ihr Effektivwert ist √ 2 1 4 Ud UaM (1)ef f = U1a(1)ef f = √ (15.15) = Ud = 0, 45 · Ud π 2π 2 (sp¨ater U1a(1) in Abb. 15.14) und der Effektivwert der (verketteten) Leiterspannungen entsprechend √ √ 6 Ud = 0, 78 · Ud = 3 · U1a(1)ef f U1ab(1)ef f = (15.16) π Sowohl die Grundschwingungs-Effektivwerte der Phasenspannungen als auch der verketteten Spannungen sind nur vom Wert der Zwischenkreisspannung Ud abh¨angig. In diesem Betrieb des Wechselrichters kann bei konstanter Zwischenkreisspannung nur die Frequenz, aber nicht die Ausgangsspannungsamplitude verstellt werden, womit diese als Stellgr¨oße entf¨allt. Dieser Betrieb ist damit nur f¨ ur bestimmte Anwendungsf¨alle wie etwa den Feldschw¨achbereich von Drehfeldmaschinen u ¨berhaupt m¨oglich. Die Fourieranalyse zeigt, daß die Amplituden der Grundschwingungen wie der nur auftretenden Oberschwingungen mit den Ordnungszahlen n = 6 · g ± 1, mit Laufindex g = 1, 2, 3..., der WR-Ausgangsspannungen (gegen M) und der Motorstrangspannungen (gegen 0) gleich sind; die f¨ ur ungeradzahlige g sind gegenphasig (dies erkl¨art die unterschiedlichen Zeitverl¨aufe), die f¨ ur geradzahlige g gleichphasig. In den Motorstrangspannungen sind keine Oberschwingungen mit den Ordnungszahlen n = 3 · g enthalten, die bei der 120◦ -Symmetrie Nullsysteme bilden. Um die Strangstr¨ome zu berechnen, wird die als symmetrische Last angenommene Drehfeldmaschine im einphasigen Ersatzschaltbild durch eine der Motorstrangspannungs-Grundschwingung entsprechende Spannungsquelle sowie die f¨ ur die Oberschwingungen wirksame Kurzschlußinduktivit¨at

M2 LK−OS = klσ · σ · L1 = klσ · L1 − (15.17) L2 beschrieben, wobei der Faktor klσ pauschal den die Rotorstreuinduktivit¨at vermindernden Einfluß der Stromverdr¨angung erfassen soll. Die Wicklungswiderst¨ande k¨onnen vernachl¨assigt werden, da ihr Wert bei den hohen Oberschwingungsfrequenzen — auch bei Ber¨ ucksichtigung der Stromverdr¨angung — v¨ollig gegen¨ uber dem Wert der Streuinduktivit¨at zur¨ ucktritt.

676

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

Die relative Kurzschlußspannung (bei Bezugsfrequenz F1N ) uσ =

2π · F1 · σ · L1 · I1a(1)N U1a(1)N

(15.18)

wird zu einem u ¨ blichen Wert von uσ = 10% angenommen, klσ wird gleich 1 gesetzt. Abbildung 15.9 zeigt von oben nach unten die Motorstrangspannung U1a und (d¨ unn gestrichelt) ihre Grundschwingung U1a(1) , darunter die Oberschwingungsspannung U1a−o (d¨ unn strichpunktiert) und den Oberschwingungsstrom  1 I1a−o = · U1a−o dt + K (15.19) LK−OS K wird so bestimmt, daß I1a−o bei t = T1 /4 = 1/(4F1 ) gleich Null und damit mittelwertsfrei ist. In der 3. Zeile sieht man — d¨ unn gestrichelt — die Grundschwingung I1a(1) und den gesamten Strangstrom I1a dargestellt.

Id

_ Id t/T1 Abb. 15.9: ϕ1 =37,6◦

WR-Spannungen und -str¨ome bei Grundfrequenztaktung; uσ =10%,

15.3 Modulationsverfahren

A. Steimel

677

Der Zwischenkreisstrom Id bestimmt sich nach der Vorschrift Id = Sa · I1a + Sb · I1b + Sc · I1c

(15.20)

wobei Sv die so genannte Schaltfunktion (nach Abb. 15.2) darstellt: Sν = 1 wenn UνM = +Ud /2

(15.21)

Sν = 0 wenn UνM = −Ud /2

(15.22)

Der Zwischenkreisstrom Id und sein Mittelwert I¯d (strichpunktiert) sind in der untersten Zeile von Abb. 15.9 wiedergegeben. Letzteren erh¨alt man aus der Gleichheit von Ausgangs- und Eingangsleistung des ideal angenommenen, d.h. verlustlosen Wechselrichters. Dabei wird ber¨ ucksichtigt, daß die Oberschwingungen des Laststroms bei vernachl¨assigten Wicklungswiderst¨anden orthogonal zu den sie treibenden Oberschwingungsspannungen sind und somit nicht zur Wirkleistung beitragen. Aus √ 2 ! ¯ Ud · Id = 3 · UaM (1)ef f · I1a(1)ef f · cos ϕ1 = 3 · Ud · I1a(1)ef f · cos ϕ1 (15.23) π ergibt sich I¯d = 3 ·

√ 2 Ud · I1a(1)ef f · cos ϕ1 π

(15.24)

mit ϕ1 = 37,6◦ im Beispiel. 15.3.2

Nichtsynchronisierte ( freie“) Pulsweitenmodulation ”

Eine Verstellung der Motorspannungsamplitude u ¨ber die Zwischenkreisspannung (z.B. durch einen zwischengeschalteten Gleichstromsteller) ist zwar m¨oglich und wird in Sonderf¨allen auch realisiert. Im Allgemeinen ist aber die Geschwindigkeit der Verstellung von Ud durch die große Kapazit¨at C des Zwischenkreises so stark beschr¨ankt, daß praktisch nur die Spannungsverstellung durch Pulsen der WRZweigpaare selbst in Frage kommt. Bei der Pulsweitenmodulation (PWM) geht man von einer festen Umschaltfrequenz aus und moduliert die Pulsweite so, dass sich im Mittel u ¨ber eine Pulsperiode der Mittelwert der Ausgangsspannung entsprechend dem gew¨ unschten Mittelwert der Sollwertspannung ¨andert. 15.3.2.1 Sinus-Dreieck-Modulation Abbildung 15.10 zeigt eine u uhrungsart einer solchen Puls¨bliche Ausf¨ weitenmodulation f¨ ur sinusf¨ormige Ausgangsspannungen, das so genannte nicht-synchronisierte Unterschwingungsverfahren oder auch Sinus-DreieckModulationsverfahren, das bereits in [44, 45] vorgestellt wurde. Zun¨achst werden aus der zweiachsigen Raumzeigerdarstellung der Sollspan S∗ die drei Sollphasenspannungen U ∗ , U ∗ , U ∗ errechnet. Diese werden nung U 1 1a 1c 1b

678

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

S*

U1

U1a*

U1c*

Abb. 15.10: Signalflußplan des Unterschwingungsverfahrens

dann mit der Dreieckspannung UD verglichen, deren Frequenz der gew¨ unschten Ventilschaltfrequenz FT entspricht und die in ihrer H¨ohe der halben Zwischenkreisspannung entsprechen soll. Sie ist f¨ ur alle drei Zweigpaare gleich. Die Schnittpunkte der beiden Verl¨aufe legen die Umschaltpunkte f¨ ur die Schalter Sa , Sb und Sc aus Abb. 15.2 und damit den Verlauf der Ausgangsspannung fest.

t/T1

t/T1

t/T1

Abb.15.11: Signalverl¨ aufe in Phase a beim nichtsynchronisierten Unterschwingungsverfahren

Abbildung 15.11 zeigt diesen Vorgang f¨ ur Strang a. Die Schaltfrequenz FT der Pulsweitenmodulation betr¨agt hier im Beispiel aus Darstellungsgr¨ unden das

15.3 Modulationsverfahren

A. Steimel

679

nT = 18-fache der Ausgangs-Grundschwingungsfrequenz F1 . Das Verh¨altnis ist aber grunds¨atzlich beliebig und wird wesentlich durch die Schaltverluste der Leistungshalbleiter im WR nach oben begrenzt. ∗ Von oben nach unten sind die Sinussollwertspannung U1a und die Dreieckspannung UD mit der Amplitude Ud /2, die WR-Ausgangsspannung UaM (mit den Werten ±Ud /2) und die (nullsystemfreie) Motorstrangspannung U1a mit ihrem Grundschwingungsverlauf U1a(1) gezeigt. U1a kann die Werte Null, ±Ud /3 und ±2Ud /3 annehmen. Die auf Ud /2 bezogene Motorspannungs-Grundschwingungsamplitude Uˆ1a ist ∗ f¨ ur große Schaltzahlen nT gleich dem Quotienten Uˆ1a(1) /UD ; die auf den Maximalwert nach Gl. (15.15) bezogene Grundschwingungsspannung ( Aussteuerung“ ” a0 ) erreicht maximal nur den Wert a0max,sinus,i =

π = 0, 785 4

(15.25)

Der WR wird bei Sinus-Dreieck-Modulation spannungsm¨aßig also relativ schlecht ausgenutzt! Die Umschaltpunkte liegen im allgemeinen, d.h. bei nicht-ganzzahligem nT , nicht an den gleichen Stellen innerhalb jeder Periode der Ausgangsspannung. Dies hat zur Folge, daß außer der gew¨ unschten Grundschwingung und den Oberschwingungen auch noch Zwischenharmonische sowie Unterschwingungen in den Spannungen (und den Str¨omen) vorhanden sind, die zu st¨orenden Drehmomentpendelungen f¨ uhren k¨onnen. Deshalb soll das Verh¨altnis der Schaltfrequenz zur Grundfrequenz den Wert von 10 nicht unterschreiten. 15.3.2.2 Symmetrierte Sinus-Dreieck-Modulation mit Zusatzsignalen Die unbefriedigende Spannungsausnutzung des urspr¨ unglichen Sinus-DreieckVerfahrens kann durch die Symmetrierung mittels eines Steuer-Nullsystems  ∗ ∗ ∗ U1−symm , das den drei Sinus-Sollwertspannungen U1a , U1b und U1c u ¨ berlagert wird, wesentlich verbessert werden (siehe Kap. 8.4.6 in [45]). In Abb. 15.12 sind oben die (willk¨ urlich gew¨ahlten und f¨ ur die Taktperiode ∗ T = 1/FT konstant angenommenen) Sollwertspannungen U1a = 0, 75 · Ud /2; ∗ ∗ U = −0, 25 · U /2; U = −0, 5 · U /2 als abgetastete Augenblickswerte mit d d 1c 1b ∗ ur eine U1v = 0 und die (gemeinsame) Dreieckspannung UD (mit UˆD = Ud /2) f¨ Taktperiode T gezeigt; aus ihrem Vergleich gehen die darunter gezeigten WRSchaltfunktionen Sa , Sb und Sc hervor. Bis zum ersten und nach dem zweiten Flankenwechsel von Sc liegen alle Umschalter auf der oberen Position ( Null” spannung“ vom Typ 111); die verketteten und die Motorstrangspannungen sind damit gleich null. Ebenso liegen zwischen den beiden Flankenwechseln von Sa alle Umschalter auf der unteren Position, die verketteten und die Motorstrangspannungen sind wieder gleich Null ( Nullspannung“ vom Typ 000). ” Jedoch ist die Zeitdauer, in der alle Umschalter in der oberen Position sind, nicht gleich der Dauer des anderen Nullintervalls. Dies hat zum einen nachteilige Auswirkungen auf die Stromverzerrung und das Oberschwingungs-Drehmoment

680

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

UD

UD

U* 1a

U1a *

U*

1b

* U1b

U* 1c

* U1c 1

1

0

0

Sb 1 0

0

1

1

0

0

Sa

Sc

1

t/T1

Sa

Sb Sc

t/T1

Abb. 15.12: Sollwertspannungs-Dreieckspannung-Vergleich und WR-Schaltfunktionen bei (links) Sinus-Dreiecks-Modulation und (rechts) symmetrierter Sinus-Dreieck-Modulation

einer gespeisten Drehfeldmaschine. Viel wichtiger ist aber, daß eine Sollwert∗ spannung hier U1a betragsm¨aßig sehr viel gr¨oßer ist als die beiden anderen und damit bei Zunahme der Aussteuerung zuerst an den begrenzenden Wert Eins st¨oßt. Dies ist der Grund f¨ ur die unbefriedigend kleine maximale Aussteuerung bei Sinusmodulation. Ziel muß es deshalb sein, die betragsm¨aßig gr¨oßte (U1|∗ max| ) und die betragsm¨aßig zweitgr¨oßte (mittlere) (U1|∗ mit| ) Sollwertspannung entgegengesetzt gleich zu machen, indem man ein Nullsystem auf alle drei Sollwertspannungen addiert. Dies wirkt sich wegen des freien Sternpunkts der Maschine nicht auf deren Strangspannungen und damit die Str¨ome aus [231, 423]. 

Dieses Nullsystem Δ = U1−symm bestimmt sich aus der Forderung

zu bzw. mit zu



 ∗  ! ∗ + Δ = − U1|mit| +Δ U1|max|

(15.26)

∗ ∗ −2Δ = U1|max| + U1|mit|

(15.27)

∗ ∗ ∗ ∗ U1v = U1|max| + U1|mit| + U1|min| = 0 

∗ Δ = U1−symm = 0, 5 · U1|min|

(15.28) (15.29)

also gleich der H¨alfte des jeweils betragsm¨aßig kleinsten Sollwertspannungswerts, Δ = −0, 125 · Ud /2 im Beispiel, siehe Abb. 15.12-rechts.

15.3 Modulationsverfahren

A. Steimel

681

Damit sind ∗ U1a = 0, 625 · Ud /2

(15.30)

∗ U1b = −0, 375 · Ud /2 ∗ U1c

= −0, 625 · Ud /2 =

(15.31) ∗ −U1a

(15.32)

Man erkennt, daß die Nullzustandsdauern jetzt gleich sind (Strahlensatz!). War vorher eine Sollwertspannung auf ihrem die Aussteuerung begrenzenden Maximalwert 1, waren die beiden anderen Sollwertspannungen bei Vorgabe eines nullsystemfreien symmetrischen Sollwertsystems beide bei −0, 5. Die Symmetrierung verschiebt alle Kurven um −0, 125 · Ud /2 . Der kritische, die Maxi∗ ∗ ∗ malaussteuerung begrenzende Punkt ist jetzt der mit | U1a | = | U1b | = | U1c | √ = 3/2 · Ud /2, da ab diesem keine aussteuerungssenkende Verschiebung mehr m¨oglich ist. Die symmetrierende Verschiebung der Sollwertspannung begrenzt also die maximal zu realisierende √ Aussteuerung bei einer Grundschwingungs-Amplitudenvorgabe von 1 auf 3/2 = √ 0, 866. Dies bedeutet, daß bei gegebener Zwischenkreisspannung eine um 2/ 3 − 1 = 15, 5% h¨ohere AusgangsspannungsGrundschwingung eingestellt werden kann; sie erreicht damit jetzt ideell immerhin 90,7% des Wertes bei Vollaussteuerung. Es ist zu beachten, daß diese Definition f¨ ur alle Augenblickswerte der Sollwertspannungen gilt und nicht nur f¨ ur ¨ sinusf¨ormige Sollwertspannungen, wie die h¨aufig dargestellte Uberlagerung von Harmonischen mit den Ordnungszahlen 3g (”triplen harmonics”).

t/T1

Abb. 15.13: Nicht-symmetrierte (- ·-) und symmetrierte (–) Sollwertspannung, symmetrierendes Nullsystem

682

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

t/T1

t/T1

t/T1 ∗ und Abb. 15.14: Symmetrierte Sinus-Dreieck-Modulation: Sollwertspannung U1a Dreieckspannung UD , WR-Ausgangsspannung UaM sowie Strangspannung U1a und deren Grundschwingung U1a(1) ; a0 = 0,5, nT = 18, uσ = 10%.

Abbildung 15.13 zeigt noch einmal die urspr¨ ungliche, sinusf¨ormige Sollwert spannung (strichpunktiert), das Nullsystem U1−symm und die neue, symmetrierte ∗ Sollwertspannung U1a−symm . Die Amplitude ’1’ entspricht in diesem Bild der Grundschwingungsamplitude einer 180◦ -Rechteck-Halbschwingung mit der H¨ohe 2/π · Ud . Man erkennt ∗ deutlich, wie das Betragsmaximum der neuen Sollwertspannung U1a−symm bei F1 · t = k · 1/6 (mit k = 1...4) erreicht wird. Abbildung 15.14 stellt schließlich die gleichen Gr¨oßen wie Abb. 15.11 dar, jetzt jedoch f¨ ur symmetrierte Sollwertspannungen. Bei Halbleiterschaltern m¨ ussen bestimmte Mindestein-/ausschaltzeiten eingehalten werden, die bei GTO-Wechselrichtern bis zu 200 μs betragen, bei IGBTWR zwischen 1 μs (bei 600-V-Elementen) bis u ¨ber 10 μs (bei 6500-V-Elementen) liegen k¨onnen. Bei der hier vorliegenden bipolaren Taktung geht damit der erreichbare Scheitelwert der Ausgangsspannung auf kumin = 1 − 2 · FT · Tmin zur¨ uck.

(15.33)

15.3 Modulationsverfahren

A. Steimel

683

Als Beispiel: FT = 2 kHz Tmin = 10 μs: FT = 300 Hz Tmin = 200 μs:

kumin = 0,96 (IGBT-WR) bzw. kumin = 0,88 (GTO-WR)

Mit diesen Faktoren sind die oben angegebenen ideellen maximalen Grundschwingungs-Aussteuerungswerte noch einmal zu multiplizieren. 15.3.2.3

Str¨ ome des Wechselrichters bei symmetrierter SinusDreieck-Modulation Abbildung 15.15 zeigt — unter den gleichen Bedingungen wie in Abb. 15.14 — die Zeitverl¨aufe der WR-Ausgangsspannung UaM , des WR-Ausgangsstroms I1a und seiner Grundschwingung I1a(1) (gestrichelt), darunter den Strom IT 1 im oberen IGBT 1 von Strang a und wiederum darunter den in der zugeh¨origen antiparallelen Diode 1; ganz unten ist der Zwischenkreisstrom Id dargestellt.

t/T1 Abb. 15.15: WR-Ausgangsstrom I1a und seine Grundschwingung I1a(1) (gestrichelt), Str¨ome in IGBT 1 und Diode 1, Zwischenkreisstrom Id ; a0 = 0,5, nT = 18, uσ = 10%.

Der Strom IT 1 fließt, wenn UaM = Ud /2 und I1a ≥ 0 sind; Strom ID1 in Diode 1 entsprechend, wenn UaM = Ud /2 und I1a < 0 gelten. Der Zwischen-

684

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

kreisstrom Id ergibt sich aus der Summe der Str¨ome der oberen Ventile der Umschalter a, b und c, wie in Gl. (15.20) beschrieben. Die Schaltfrequenz FT pro Ventil ist gleich der Frequenz der Dreieckspannung und damit nT -mal so groß wie die Grundfrequenz. Dann sind die Frequenzen der dominierenden Oberschwingungen der Motorstrangspannung und des Strangstroms das (2nT ±1)-fache und die des Zwischenkreisstrom das 2nT fache sowie das nT ± 3·(2g-1)-fache der Grundfrequenz (g = 1, 2, 3...), Anteile mit 3g-facher Frequenz treten nicht auf. Dies gilt n¨aherungsweise auch bei nicht-ganzzahligen nT f¨ ur die Zentralfrequenzen der spektralen Pakete. Dieser Oberschwingungsanteil wird — wie der Grundschwingungsblindanteil — vom Zwischenkreiskondensator C geliefert. 15.3.2.4 Digitale Realisierung der Pulsweitenmodulation Bisher wurden die Pulsweitenmodulation in analoger Realisierung des Vergleichs mit sinusf¨ormigen, stetig verlaufenden Sollwert- und Dreieckhilfsspannungen betrachtet; diese Art der Modulation nennt man auch ”natural sampling”. Moderne leistungselektronische Schaltungen sind heute nahezu ausnahmslos mit digitalen Regelungen und Steuerungen ausger¨ ustet. W¨ahrend die Wertediskretisierung nur bei den Analog-Digital-Umsetzern der Meßkreise eine relevante Rolle spielt, hat die Zeitdiskretisierung nicht unerhebliche Folgen auch f¨ ur die Pulsweitenmodulation. In digitalen Regelungen werden im Allgemeinen zum Anfang des Abtastintervalls k · TA die Messwerte von Str¨omen und Spannungen (und ggfs. sonstigen f¨ ur den Prozeß wichtigen Gr¨oßen) abgetastet und in Abtast-Halte-Schaltungen f¨ ur das Intervall gespeichert. Die gespeicherten Werte werden dann in einem AnalogDigital-Umsetzer in digitale Werte umgesetzt, aus denen mit den — heute meist auch digital vorliegenden — Sollwertgr¨oßen die n¨otigen Schaltzeitpunkte f¨ ur die Ventile berechnet werden. Sie werden zu Beginn des n¨achsten Abtastintervalls (k+1)·TA an die Stellglieder ausgegeben und damit wirksam. Soll- und Istwertgr¨oßen liegen immer nur als Mittelwerte f¨ ur das Abtastintervall vor, entsprechend sind die PWM-Sollwertspannungen f¨ ur das Abtastintervall konstant; dieses entspricht im Allgemeinen einer halben Schaltperiode. Bei sehr hohen Schaltfrequenzen kann die Rechner-Abtastperiode ein geradzahliges Vielfaches der halben Schaltperiode betragen; bei den niedrigen Schaltfrequenzen von Hochleistungswechselrichtern kann die Abtastperiode der Regelung ein Bruchteil der Schaltperiode betragen, jedoch werden die PWM-Sollwertspannungen weiterhin f¨ ur die halbe Schaltperiode konstant gehalten. Das Prinzip des Sollwertspannungs-Dreieckspannungs-Vergleichs wird h¨aufig beibehalten und mit Z¨ahlern realisiert. Abb. 15.16 zeigt das auch regular samp” ling“ genannte digitale symmetrierte Sinus-PWM-Verfahren, f¨ ur den gleichen Arbeitspunkt wie Abb. 15.11 und Abb. 15.15. Man beachte, daß die beschriebene Nullsystem¨ uberlagerung zur Symmetrierung ein Augenblickswertverfahren ist, das in den Berechnungszyklus leicht eingef¨ ugt werden kann. Daneben ist die in den 80er Jahren entwickelte so genannte Raumzeigermodulation“ ”

15.3 Modulationsverfahren

A. Steimel

685

t/T1 ∗ Abb.15.16: Regular-Sampling-PWM: Sollwertspannung U1a−symm (kTA ) und Dreieck∗ (t); WR-Ausgangsspannung UD sowie ¨aquivalente Sinus-Sollwertspannung U1a−sinus spannnung UaM und Strangstrom I1a ; a0 = 0,5, nT = 18, uσ = 10%.

(vgl. Kap. 15.4) u ¨ blich; sie liefert mit gleich langen Nullspannungszeiten am Anfang und am Ende der Schaltperiode dieselben Spannungs- und Stromverl¨aufe. 15.3.3

Diskontinuierliche Taktungen

Digitale Steuerungen (mit Mikro- oder Signalprozessoren) erlauben die Realisierung viel komplizierterer Steueralgorithmen als die analoge Technik der Addierer, Multiplizierer und Komparatoren; es k¨onnen jetzt ganz gezielt spezielle Optimierungen erreicht werden. Es sollen hier zwei spezielle Verfahren kurz geschildert werden. 15.3.3.1 Flat-Top-Modulation Durch ein besonderes Nullsystem wird erreicht, daß die steuerbaren Leistungshalbleiter in einem Strang u ¨ber zwei um 180◦ versetzte Intervalle, die ”Flat◦ Tops”, von je 60 el. Dauer (im station¨aren Betrieb) nicht schalten, sondern

686

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

nur jeweils die Ventile in den anderen beiden Str¨angen [423]. Damit k¨onnen bei gleicher Frequenz FD der Dreieckspannung die mittlere Schaltfrequenz jedes steuerbaren Ventils und damit die Ventilschaltverluste auf 2/3 gesenkt werden. Alternativ k¨onnen bei eineinhalbfacher Frequenz der Dreieckspannung und damit gleicher mittlerer Schaltfrequenz der Ventile die Stromoberschwingungen in bestimmten Aussteuerbereichen gesenkt werden. Die Definitionsgleichung f¨ ur das Nullsystem bei der Flat-Top-Modulation lautet  ∗ ∗ U1−symm = sign{U1ν (15.34) sinus } − U1ν sinus wobei ν immer den Strang mit dem gr¨oßten Betrag der — nullsystemfreien — ∗ Sollwertspannungen U1ν sinus bedeutet.

t/T1 ∗ Abb. 15.17: Flat-Top-Modulation: Sollwertspannung U1a−sinus , Nullsystemspan ∗ , Dreieckspannung UD , nung U1−symm und Flat-Top-Sollwertspannung U1a F lat−T op WR-Ausgangsspannnung UaM sowie Strangstrom I1a und dessen Grundschwingung I1a(1) ; a0 = 0,75, FD = 27·F1 , F¯T = 18 · F1 , uσ = 10%.

15.3 Modulationsverfahren

A. Steimel

687

Zur Vereinfachung wird wieder die zeitkontinuierliche Darstellungsform mit sinusf¨ormigen Sollwertspannungen gew¨ahlt. Abb. 15.17 zeigt in der obersten Zei ∗ le die Sollwertspannung U1a sinus (strichpunktiert), das Nullsystem U1−symm und ∗ die modifizierte Sollwertspannung U1a F lat−T op , darunter dieselbe und die Dreieckspannung UD , dann die WR-Ausgangsspannung UaM und (ganz unten) den WR-Strangstrom I1a und dessen Grundschwingung Ia(1) . Der Flat-Top“ kann ” um ±30◦ gegen¨ uber dem Betragsmaximum der Sinussollwertspannung verscho◦ ben werden (in Abb. 15.17 zu −30 gew¨ahlt); damit kommt der Bereich, in dem nicht geschaltet wird, bei u ¨blichen Maschinenlasten mit ϕ1 ≈ 30◦ ind. gerade in den Bereich der gr¨oßten Stromaugenblickswerte zu liegen, womit die (mittleren) Schaltverluste noch einmal verringert werden. (Zur Minimierung der Schalth¨aufigkeit wird in der Mitte des Flat-Tops die Phasenlage der Dreieckspannung gewechselt). Die maximal erreichbare ideelle Spannungs-Grundschwingungsamplitude / Aussteuerung entspricht der bei symmetrierter Sinus-Dreieck-Modulation. Abbildung 15.18 stellt den auf Ud /(F¯T · LK−OS ) bezogenen Oberschwingungsstrom-Spitzenwert Iˆ0 (links) bzw. den bezogenen OberschwingungsstromEffektivwert √ Io (rechts) in Abh¨angigkeit von der Grundschwingungsaussteuerung a0 = U1a(1) /( 2Ud /π) f¨ ur die drei PWM-Steuerverfahren • Sinusmodulation • Symmetrierte Sinusmodulation • Flat-Top-Modulation jeweils f¨ ur gleiche (mittlere) Ventilschaltfrequenz dar. Man erkennt, daß • die Sinus-Dreieck-Modulation nur bis a0 = 0,785 (bei vernachl¨assigten Mindestschaltzeiten) einsetzbar ist, • die symmetrierte Sinus-Dreieck-Modulation im gesamten Aussteuerbereich (bis a0 = 0,907 bei vernachl¨assigten Mindestschaltzeiten) g¨ unstiger als die Sinus-Dreieck-Modulation ist und • die Flat-Top-Modulation im Bereich hoher Aussteuerungen (a0 > 0,7) die niedrigsten Oberschwingungswerte liefert; sie ist damit besonders f¨ ur selbstgef¨ uhrte Netzstromrichter mit konstant relativ hoher Aussteuerung geeignet. Das Verfahren ist f¨ ur augenblickswertorientierte Regelungen geeignet, da das Nullsystem und auch die Sektorwechsel immer aus den Augenblickswerten berechnet werden.

688

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen 0.1

0.03

Îo Ud 0.08 FTLK-OS

Io-eff 0.025 Ud FTLK-OS 0.02

Sinus

Flat-Top Symm.Sinus

Sinus

0.06

0.01

Flat-Top Symm.Sinus

0.04

0.01

0.02

0

0.005

0

0.2

0.4

0.6

0.8

a0

1

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

a0

Abb. 15.18: Auf Ud /(F¯T LK−OS ) bezogene Oberschwingungsstrom-Spitzenwerte Iˆo (links) bzw. bezogene Oberschwingungsstrom-Effektivwerte Io (rechts) f¨ ur Sinus-Dreieck-Modulation (gestrichelt), symmetrierte Sinus-Dreieck-Modulation (durchgezogen) und Flat-Top-Modulation (strichpunktiert), f¨ ur gleiche (mittlere) Ventilschaltfrequenz, in Abh¨ angigkeit von der Grundschwingungsaussteuerung a0 ; Tmin = 0 gesetzt.

¨ 15.3.3.2 Ubermodulation Wie erl¨autert, ist der maximal erreichbare Grundschwingungseffektivwert der WR-Ausgangs- bzw. Strangspannung bei der meist bei Antrieben eingesetzten symmetrierten Sinus-Dreieck-Modulation (ebenso bei der Flat-Top-Modulation): √   2 U1a(1) = 1 − 2 · F¯T · Tmin · 0, 907 · Ud (15.35) π Das ist unter Umst¨anden weniger als 88% des bei Grundfrequenztaktung erreichbaren Werts. Muß aus betrieblichen Gr¨ unden bei steigender Drehzahl/Statorfrequenz in die Grundfrequenztaktung gewechselt werden, ist der Spannungssprung sehr hoch, der zu unerw¨ unschten Transienten mit z.T. kurzschluߨahnlichem Charakter f¨ uhren kann. Es k¨onnen dann die im n¨achsten Abschnitt beschriebenen synchronen Taktverfahren eingeschoben werden, wie bei Traktionsumrichtern gebr¨auchlich. ¨ Im begrenzten Rahmen ist aber auch ein Betrieb mit Ubermodulation“ ” m¨oglich. Sind die Augenblickswerte der (sinusf¨ormig gedachten) Sollwertspannung gr¨oßer als der Spitzenwert von UD , kommt es dort nicht mehr zum Schnitt, einzelne Zwischenpulse fallen heraus (pulse dropping), wodurch die Spannungsgrundschwingung steigt. Außerdem wird die Sollwertspannung ”trapezf¨ormiger”, womit die Spannungsgrundschwingung zus¨atzlich vergr¨oßert wird. Man nimmt allerdings in Kauf, daß Spannungs- (und Strom-) Harmonische mit den Ordnungszahlen n = g·6±1 auftreten.

15.3 Modulationsverfahren

A. Steimel

689

¨ Uberl¨ aßt man dies dem Zufall“ des augenblicklichen Sollwertspannungsver” laufs, verschlechtert sich das Regelungsverhalten drastisch. Dies kann man vermeiden, wenn man durch Modifikation der Sollwertspannungen den Zustand herbeif¨ uhrt, daß die zwei Str¨ange mit den jeweils gr¨oßten Betr¨agen der Sollwertspannung auf den dem Vorzeichen entsprechenden Maximalwerten +Ud /2 bzw. −Ud /2 festgehalten werden und nur mehr der dritte Strang durch Taktung die Spannung ¨ steuert (Zweistr¨angig-begrenzte Ubermodulation, [402]). Ud 2

1

U1a'*

U1bSt

U1aSt

U1cSt 1

U1n'* U1max

0.5

F1 t 0

0.17

0.33

0.5

0.67

0.83

1

0.5

0.5

0

Ud 2

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

U1n*/U1max

Abb. 15.19: Die drei Sollwertspannungen U1aSt , U1bSt und U1cSt f¨ ur zweistr¨ angig-be∗ ∗ ¨ grenzte Ubermodulation bei a√ 0 = 0,92 (links) und Steuerkurve U1ν = f (U1ν ) (rechts, jeweils bezogen auf U1max = 2/π · Ud ).

Abbildung 15.19 (links) zeigt die drei so modifizierten Sollwertspannungen  U1aSt , U1bSt und U1cSt und die zugeh¨orige Sinus-Sollwertspannung U1a∗ von Strang a f¨ ur a0 = 0,92. Da der Zusammenhang zwischen der Amplitude der Sollwertspan ∗ nung U1a∗ und der Grundschwingung der WR-Ausgangsspannung U1a bei hoher Aussteuerung stark nichtlinear wird, muß dies durch eine Korrekturkurve vorgesteuert werden (Abb. 15.19 rechts): Abbildung 15.20 zeigt (wieder in quasi-analoger Darstellung) in der ober sten Zeile die modifizierte Sinus-Sollwertspannung U1a∗ (strichpunktiert), die modifizierte Sollwertspannung U1aSt und die Dreieckspannung UD , die WRAusgangsspannung UaM und (ganz unten) den WR-Strangstrom I1a und dessen Grundschwingung I1a(1) . Mit diesem Steuerverfahren l¨aßt sich die L¨ ucke“ im Steuerbereich nach ” Gl. (15.35) bei kumin ≥ 0, 95 bis ca. a0 = 0, 95 gut u ucken, bei gutem ¨berbr¨ F¨ uhrungsverhalten und tolerablen Oberschwingungen (deutlich geringer als bei Grundfrequenztaktung!). Ein positiver Nebeneffekt ist, daß die Ventilschaltver¨ luste sinken, weil durch die zunehmende Ubermodulation die mittlere Schaltfrequenz (hier auf nur noch 10·F1 ) reduziert wird.

690

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

¨ Abb. 15.20: Spannungs- und Stromverl¨ aufe bei zweistr¨ angig-begrenzter Ubermodulation der symmetrierten Sinus-Dreieck-Modulation [402]; a0 = 0,92, FD = 18·F1 , uσ = 10%; F¯T = 10·F1 .

15.3.4

Synchrone Taktungen

Die symmetrierte Sinus-Modulation (bzw. die Raumzeigermodulation) hat sich inzwischen bei nahezu allen Pulsumrichtern durchgesetzt, weil die mit IGBTs zur Verf¨ ugung stehenden Schaltfrequenzen hoch genug gegen¨ uber der maximalen Grundfrequenz sind. Dies gilt allerdings — wie erw¨ahnt — nur beschr¨ankt bei Hochleistungs- und Hochspannungsumrichtern (PN ≥ 2 MW und/oder UdN ≥ 3 kV). Sinkt das Verh¨altnis nT von Schaltfrequenz FT zu Grundfrequenz F1 unter den Wert Zehn — weil es die Schaltverluste nicht mehr zulassen — k¨onnen unerw¨ unschte subharmonische Pendelungen mit sehr niedrigen Frequenzen und hohen Amplituden in Drehmoment und Zwischenkreisleistung auftreten. In diesem Fall ist es vorteilhaft und u ¨blich, die Schaltfrequenz mit der Grundfrequenz zu synchronisieren. Hierzu sind beim Dreieck-Schnitt-Verfahren grunds¨atzlich ungerade und durch drei teilbare Frequenzverh¨altniszahlen (wegen Halbperioden-Symmetrie und Dreiphasen-Symmetrie) notwendig. Meist wird

15.3 Modulationsverfahren

A. Steimel

691

auch eine f (Ωt) = −f (−Ωt)-Symmetrie (Viertelperioden-Symmetrie) zugrunde gelegt. 15.3.4.1 Dreifachtaktung Das einfachste synchrone Taktverfahren ist die so genannte Dreifachtaktung; wie bei allen synchronen Taktungen sind zwei Ausf¨ uhrungsformen m¨oglich: 1. Mittenpulstaktung Die Spannungsflanke bei Ω1 t = 0 (und 2π) hat eine positive, die bei Ω1 t + π eine negative Steigung. Abb. 15.21 zeigt den Verlauf der WR-Ausgangsspannung UaM oben f¨ ur eine ganze Periode, darunter (links) noch einmal nur die erste Viertelperiode. Der Winkel des 1. Wechsels (bei Ω1 t = 0) wird α1 gez¨ahlt, bei α2 (≥ 60◦ ) wechselt die WR-Ausgangsspannung nach −Ud /2 und bei 180◦ −α2 wieder nach +Ud /2 zur¨ uck, usw. Da der Spannungspuls entgegengesetzter Polarit¨at in der Mitte des 180◦Grundblocks eingef¨ ugt wird, spricht man von Mittenpulstaktung. Die Amplitude der Grundschwingung findet man zu ˆ1a(1) = 4 · Ud ·(cos α1 − 2 · cos α2 ) = 2 ·Ud ·(1 − 2 · cos α2 ) (15.36) UˆaM (1) = U π 2 π die Grundschwingungsaussteuerung a0 zu a0 =

UˆaM (1) = 1 − 2 · cos α2 4 Ud π 2

(15.37)

Abb. 15.21 stellt rechts den Schaltwinkel α2 in Abh¨angigkeit von a0 dar. Ist die Mindesteinschaltzeit des (negativen) Spannungspulses Tmin , kann α2 nicht u ¨ber den Wert 90◦ − (Tmin · 180◦/T1 ) gesteigert werden, die Grundschwingungsaussteuerung ist damit nicht u ¨ber

Tmin Tmin a0max = 1 − 2 · sin 180◦ ≈ 1 − 2π zu erh¨ohen. (15.38) T1 T1 Die Dreifach-Mittenpulstaktung l¨aßt sich in Analogtechnik leicht durch Vergleich von drei (um 120◦ verschobenen) rechteckf¨ormigen Sollwertspannungen der H¨ohe h mit 0 ≤ h ≤ UˆD mit einer Dreieckspannung UD mit dreifacher Frequenz und entgegengesetzter Nullphasenlage realisieren [417]; der Zusammenhang zwischen der Grundschwingungsaussteuerung a0 und h ist nur leicht nichtlinear.

692

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen UaM

Ud 2

a1

a2 90

0 –

180°+ a 2

180° – a 2

360°– a 2

W 1t /°

270

180

360

Ud 2

UaM

Ud 2

a2 p 2 a2

0

15

30

45

60

75

p 3 90 W 1t /°

Ud – 2

p 6

0

1

a0

Abb. 15.21: Dreifach-Mittenpulstaktung: Zeitverlauf UaM f¨ ur a0 = 0,7; (α2 = 81,37◦ ) und Schaltwinkel α2 = f (a0 ).

2. Flankenpulstaktung Die Spannungsflanke bei Ω1 t = 0 (und 2π) hat jetzt eine negative, dem Grundblock entgegengesetzte, die bei Ω1 t + π eine positive Steigung. Abb. 15.22 zeigt (links) den Verlauf der WR-Ausgangsspannung (gegen M) f¨ ur die erste Viertelperiode. Der Winkel des 1. Wechsels ist bei α1 = 0, α2 ist < 60◦ . Da der entgegengesetzte Spannungspuls an der Flanke des 180◦ -Grundblocks eingef¨ ugt wird, spricht man von Flankenpulstaktung. Die Amplitude der Grundschwingung findet man zu ˆ1a(1) = 4 · Ud · (− cos 0 + 2 · cos α2 ) = 2 Ud · (2 · cos α2 − 1) UˆaM (1) = U π 2 π (15.39) die Grundschwingungsaussteuerung a0 zu a0 =

UˆaM (1) = 2 · cos α2 − 1 4 Ud π 2

(15.40)

Abb. 15.22 stellt rechts den Schaltwinkel α2 in Abh¨angigkeit von a0 dar. Mit der Mindesteinschaltzeit des (negativen) Spannungspulses Tmin kann α2 nicht unter Tmin · 2π/T1 verkleinert werden, die Grundschwingungsaussteuerung a0 u ¨ bersteigt den Wert

Tmin (15.41) a0max = 2 · cos 180◦ − 1 T1

15.3 Modulationsverfahren

a1

p 6

a2 0

15

p 9 30

45

60

75

W 1t /°

90

p 18

~ ~

Ud 2

693

a2

Ud 2

–

A. Steimel

0,8

0,9

1

a0

Abb.15.22: Dreifach-Flankenpulstaktung: Zeitverlauf UaM f¨ ur a0 = 0,95; (α2 = 12,8◦ ) und Schaltwinkel α2 = f (a0 ).

nicht. Bei gleichem Tmin kann bei Flankenmodulation eine wesentlich gr¨oßere Grundschwingungsaussteuerung erreicht werden, so etwa bei Tmin /T1 = 0,01: a0 max = 0, 937 bei Mittenpulstaktung a0 max = 0, 996 bei Flankenpulstaktung Ein in der Mitte des Grundblocks eingef¨ ugter entgegengesetzter Puls hat damit einen sehr viel gr¨oßeren Einfluß auf die Amplitude der Grundschwingung als einer an der Flanke mit gleicher Breite! Die Flankenmodulation l¨aßt sich mit dem analogen Dreieck-Schnitt-Verfahren nicht mehr sinnvoll realisieren. Infolge der beschriebenen Symmetrien treten in den WR-Ausgangsspannungen nur noch Harmonische mit den Ordnungszahlen n = 6 · g + 1 auf, im Zwischenkreis-Strom (und im Drehmoment) mit m = 6·g, niederfrequente Schwebungen werden sicher vermieden. Es k¨onnen auch die Amplituden der auftretenden Harmonischen relativ einfach und sicher vorausberechnet werden (z.B. [417]), was bei der Sinus-Dreieck-Modulation relativ schwierig und bei nicht-ganzzahligen Verh¨altnissen nT nicht (exakt) definiert ist (frequency leakage). Steht mehr Schaltfrequenz zur Verf¨ ugung (oder erlaubt es das durch die reduzierte Grundfrequenz im Bereich unterhalb der Nenndrehzahl h¨ohere Verh¨altnis FT max /F1 ), k¨onnte beim Dreieck-Schnitt-Verfahren als n¨achstes Taktverh¨altnis nT = 6 gew¨ahlt werden. Wegen der h¨oheren erreichbaren Grenzaussteuerung werden durchwegs rechteckf¨ormige Sollwertspannungen verwendet. Abb. 15.23 zeigt ∗ ∗ ∗ von oben nach unten die drei Sollwertspannungen U1a , U1b und U1ca jeweils mit der Dreieckspannung UD , darunter die drei WR-Ausgangsspannungen UaM , UbM und UcM und ganz unten die Motorstrangsspannung U1a . Man stellt jedoch fest, daß in jedem Strang vier Schalthandlungen gemeinsam mit Schalthandlungen in den beiden anderen Str¨angen ablaufen. So schaltet im Intervall N1 mit Strang a auch Strang c nach Minus, um eine Nullspannung (des Typs 000) zu erreichen. Dies kann aber g¨ unstiger, mit nur einer Umschaltung, durch Wechsel des Strangpotential b nach Plus erzielt werden (Nullspannung

694

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

U*1a 0

UD U*1b

0

UD U*1c

0

UD

UaM

0

Ud /2

N1

UbM

0

UcM

0

Ua1 0

0

0,166

0,333

0,5

0,667

0,833 t/T1

1

t / T1

Abb. 15.23: Sechsfachtaktung nach dem Dreieck-Schnittverfahren: Zeitverl¨aufe der ∗ , U ∗ und U ∗ sowie der Dreieckspannungen U , der Rechteck-Sollwertspannungen U1a D 1c 1b WR-Ausgangsspannungen UaM , UbM und UcM sowie der Motorstrangspannung U1a f¨ ur a0 = 0,7.

vom Typ 111). Man ersetzt so die gleichzeitigen Umschaltungen in den ¨außeren 60◦ -Sektoren jeder Sollwertspannung durch eine ¨aquivalente Umschaltung im mittleren 60◦ -Block des dritten Strangs, womit die Schaltfrequenz eines Ventils vom Sechsfachen auf das F¨ unffache der Grundfrequenz sinkt, bei gleichem Verlauf der Motorstrangspannung und damit der Str¨ome und des Drehmoments [394]. Man erh¨alt so zwei Mittenpulse. Das unsymmetrische Pulsmuster der WR-Ausgangsspannungen wirkt sich aber, wie man erkennt, nicht auf die Symmetrie der Motorstrangspannungen aus.

15.3 Modulationsverfahren

A. Steimel

695

15.3.4.2 F¨ unffachtaktung 1. Mittenpulstaktung Die zwei Mittenpulse pro Grundschwingungs-Halbperiode, die durch die Winkel α2 und α3 abgegrenzt werden, werden bei Ω1 t = 90◦ ± 15◦ eingef¨ ugt; man erh¨alt so f¨ ur die Grundschwingungsaussteuerung a0 a0 = 1 − 2 · cos α2 + 2 · cos α3

(15.42)

und f¨ ur die Grenzaussteuerung mit α3 − α2 = 2π · Tmin /T1 : a0max ≈ 1 − 12, 14 ·

Tmin Tmin ≈ 1−2·6· T1 T1

(15.43)

a2 a3

Ud 2

p 2 a2 0

15

30

45

60

Ud – 2

a3 75

90 W1t /°

a3 a2

p 3 p 6

0

1

a0

Abb. 15.24: F¨ unffach-Mittenpulstaktung: Zeitverlauf UaM f¨ ur a0 = 0,6 (α2 = 69◦ und ◦ α3 = 81 ) sowie Schaltwinkel α2 , α3 = f (a0 ).

Abbildung 15.24 zeigt links den Verlauf der WR-Ausgangsspannung UaM f¨ ur die erste Viertelperiode f¨ ur a0 = 0,6 und stellt rechts die Schaltwinkel α2 und α3 in Abh¨angigkeit von a0 dar. Die Strangspannungsform entspricht der einer Sechsfachtaktung mit rechteckf¨ormigen Sollwertspannungen und gleichphasiger Dreieckspannung. Dies wird auch am Abstand der Zwischenpulse deutlich, der 360◦ /(2·6) = 30◦ betr¨agt. 2. Flankenpulstaktung Alternativ kann eine Flankenschaltung (wie bei Dreifach-Flankenmodulation) mit einem Mittenpuls (wie bei Dreifach-Mittenpulstaktung) kombiniert werden. Dabei steuert im Wesentlichen der Mittenpuls die Aussteuerung, w¨ahrend mit dem Flankenpuls der harmonische Gehalt beeinflußt werden kann. Mit Winkeln α2 um 12◦ ...18◦ erh¨alt man angen¨ahert minimale 6. Harmonische im Drehmoment oder im Zwischenkreisstrom.

696

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

Das Steuergesetz daf¨ ur lautet α3 = 90◦ − 23, 11◦ · (0, 975 − a0 )

(15.44)

1 + a0 + 2 · cos α3 } 2

(15.45)

α2 = arccos{

Abbildung 15.25 zeigt wieder links den Verlauf der WR-Ausgangsspannung UaM f¨ ur die erste Viertelperiode f¨ ur a0 = 0,9, rechts die Schaltwinkel α2 und α3 in Abh¨angigkeit von a0 . a2 a3

Ud 2

p 2 a2 0

15

30

45

60

75

p 3 90 W1t /°

p 6

a2

~ ~

Ud – 2

a3

a3

0

0,5

1 a0

Abb.15.25: F¨ unffach-Mittenpulstaktung: Zeitverlauf UaM f¨ ur a0 = 0,9 (α2 = 11,4◦ und α3 = 88,3◦ ) sowie Schaltwinkel α2 , α3 = f (a0 ) f¨ ur minimale 6. Harmonische in Drehmoment oder Zwischenkreisstrom.

Die Grundschwingungsaussteuerung wird durch die Gleichung a0 = 2 · cos α2 − 2 · cos α3 − 1

(15.46)

beschrieben. F¨ ur die Grenzaussteuerung mit 90◦ - α3 = π · Tmin /T1 erh¨alt man a0max ≈ 0, 975 − 7, 8 ·

Tmin T1

(15.47)

Alternativ kann das Steuergesetz auch so gew¨ahlt werden, daß je nach Aussteuerbereich die betragsgr¨oßte Oberschwingung — die 5. oder die 7. – eliminiert wird, womit im Allgemeinen die Motor-Oberschwingungsverluste minimiert werden, oder der Strangspitzenstromwert minimiert wird. 15.3.4.3 Siebenfachtaktung Bei noch h¨oherem Verh¨altnis von FT max /F1 kann das Taktverh¨altnis nT zu 7 gew¨ahlt werden. Die Zahl der Freiheitsgrade steigt; mit den (nT − 1)/2 = 3 freien Schaltungen pro Viertelperiode k¨onnen neben der Aussteuerung z.B. zwei Harmonische der WR-Ausgangsspannung eliminiert werden. Vorab soll aber die ¨altere, einfachere Mittenpulstaktung behandelt werden, die drei Zwischenpulse symmetrisch im mittleren 60◦ -Block der Grundschwingungshalbperiode anordnet.

15.3 Modulationsverfahren

A. Steimel

697

1. Mittenpulstaktung Die drei Zwischenpulse werden symmetrisch zu Ω1 t = 70◦ , 90◦ und 110◦ der Halbperiodendauer eingef¨ ugt und — entsprechend dem Ergebnis beim Dreieckschnittverfahren — gleich lang gew¨ahlt. Die Grundschwingungsaussteuerung wird durch die Gleichung a0 = 1 − 2 · cos α2 + 2 · cos α3 − 2 · cos α4 (15.48) beschrieben, die Maximalaussteuerung durch a0max ≈ 1 − 18, 1 ·

Ud 2 a2 0

15

30

45

60

Ud – 2

a3 a4 75

90 W1t /°

Tmin Tmin ≈ 1−2·9· T1 T1 a2 a3 a4 p 2

a4 a2

p 3

(15.49)

a3

p 6

0

1

a0

Abb.15.26: Siebenfach-Mittenpulstaktung: Zeitverlauf UaM f¨ ur a0 = 0,6 (α2 = 66◦ und ◦ ◦ α3 = 74 und α4 = 86 ) sowie Schaltwinkel α2 , α3 , α4 = f (a0 ).

Abbildung 15.26 zeigt wieder links den Verlauf der WR-Ausgangsspannung f¨ ur die erste Viertelperiode f¨ ur a0 = 0,6, rechts die Schaltwinkel α2 , α3 und α4 in Abh¨angigkeit von a0 . Der Motorstrangspannungs- (und Strom-) Verlauf entspricht nach den obigen ¨ Uberlegungen dem einer Neunfachtaktung mit rechteckf¨ormigen Sollwertspannungen und gleichphasigen Dreieckspannungen. Dies wird auch am Abstand der Zwischenpulse deutlich, der 360◦ /(2 · 9) = 20◦ betr¨agt. Die thermisch wirksame Schaltfrequenz betr¨agt aber nur das Siebenfache der Grundfrequenz. 2. Flankenpulstaktung W¨ahrend im vorigen Beispiel die 5. und 7. Harmonischen der WR-Ausgangsspannung zwar abgeschw¨acht, aber nicht eliminiert wurden, kommt bei der Flankenpulstaktung (mit zwei Mittenpulsen pro Halbperiode) h¨aufig das Verfahren der

698

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

Harmonischen Elimination ([230, 298]) zur Anwendung, wobei im Allgemeinen die 5. und die 7. gew¨ahlt werden. Die Harmonische Elimination l¨aßt sich mit drei Winkeln und den vorliegenden Symmetrien wie folgt als nichtlineares Gleichungssystem formulieren: !

a(1) = −1 + 2 cos (1 · α2 ) − 2 cos (1 · α3 ) + 2 cos (1 · α4 ) = a0 (15.50) !

(15.51)

!

(15.52)

a(5) = −1 + 2 cos (5 · α2 ) − 2 cos (5 · α3 ) + 2 cos (5 · α4 ) = 0 a(7) = −1 + 2 cos (7 · α2 ) − 2 cos (7 · α3 ) + 2 cos (7 · α4 ) = 0

a2 a3 a4 p 2

Ud 2 a3 a4

a2 0 –

Ud 2

15

30

45

60

75

90 W1t /°

a4 a3

p 3 p 6

a2

~ ~ 0

0,5

1 a0

Abb. 15.27: Siebenfach-Flankenpulstaktung: Zeitverlauf UaM f¨ ur a0 = 0,6 (α2 = 6,8◦ und α3 = 70,32◦ und α4 = 81,73◦ ) sowie Schaltwinkel α2 , α3 , α4 = f (a0 ).

Abbildung 15.27 zeigt links den Verlauf der WR-Ausgangsspannung UaM f¨ ur die erste Viertelperiode f¨ ur a0 = 0,6, rechts die Schaltwinkel α2 , α3 und α4 in Abh¨angigkeit von a0 . Die Grenzaussteuerung ergibt sich n¨aherungsweise zu

2 Tmin a0 max ≈ 0, 915 − 650 · (15.53) T1 wobei die Eliminationsbedingungen die Begrenzung bei hohen Aussteuerungswerten bilden. F¨ ur h¨ohere Taktzahlen nT lassen sich meist verschiedene L¨osungen zur Elimination der niedrigsten Harmonischen finden. Im Allgemeinen wird man jedoch ab nT = 9 die symmetrierte Sinus-Dreieck-Modulation wegen der einfacheren Realisation bevorzugen. Neben der Elimination von bestimmten Harmonischen kann aber auch z.B. der Oberschwingungs-Spitzen- oder Effektivwert minimiert werden.

15.3 Modulationsverfahren

A. Steimel

699

Abb. 15.28: Oberschwingungsstrom-Spitzenwert Iˆo , bezogen auf IˆK(1)N , f¨ ur die synchronen Taktungen in Abh¨ angigkeit von der Grundschwingungsaussteuerung a0 .

Abb. 15.29: Oberschwingungsstrom-Effektivwert Ioef f , bezogen auf IˆK(1)N , f¨ ur die synchronen Taktungen in Abh¨ angigkeit von der Grundschwingungsaussteuerung a0 .

Abbildung 15.28 stellt die auf die Grundschwingungsamplitude des Motorkurzschlußstroms bei sinusf¨ormiger Speisung mit Vollaussteuerung und Nennfrequenz Ud 2 Ud IˆK (1)N = · = 2 (15.54) π Ω1N · LK−OS π · F1 · LK−OS bezogenen Oberschwingungsstrom-Spitzenwerte Iˆo f¨ ur die beschriebenen synchronen Taktungen, mit M f¨ ur Mittenpulstaktung, MM f¨ ur 2 Mittenpulse usw. und F f¨ ur Flankenpulstaktung dar, Abb. 15.29 entsprechend die bezoge-

700

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

nen Oberschwingungsstrom-Effektivwerte Io ef f , jeweils in Abh¨angigkeit von der Grundschwingungsaussteuerung a0 . Man erkennt, daß die Flankenpulstaktungen im Bereich hoher Aussteuerung niedrigere, im Bereich niedriger Aussteuerung aber durchwegs h¨ohere Oberschwingungswerte aufweisen als die Mittenpulstaktungen. 15.3.4.4 Taktfrequenzbereiche, -wechsel F¨ ur die Wahl des Taktverh¨altnisses gilt grunds¨atzlich: Die Taktfrequenz ist so hoch wie m¨oglich zu w¨ahlen, so wie es die zul¨assige Schaltfrequenz FT max erlaubt, da dann die Stromoberschwingungen am niedrigsten sind. Daneben ist aber auch die jeweilige Aussteuergrenze zu beachten. Dies soll an einem Beispiel erl¨autert werden: Die zul¨assige Schaltfrequenz eines Traktions-Umrichterantriebs sei FT max = 300 Hz, die Nennfrequenz des Asynchronmotors F1N = 60 Hz. Eine Taktzahl kann dann bei steigender Motorfrequenz bis zum Wert F1Grenz = FT max /nT beibehalten werden, wenn nicht die Verletzung der jeweiligen Aussteuergrenze dies verbietet. Die Aussteuerungsgrenzen f¨ ur die verschiedenen synchronen Taktverfahren sind — zusammen mit denen f¨ ur Sinus-Dreieck-Modulation und symmetrierte Sinus-Dreieck-Modulation in Abh¨angigkeit von der Motorfrequenz F1 in Abb. 15.30 dargestellt, f¨ ur eine Mindestschaltzustandsdauer Tmin = 200 μs. Tabelle 15.2: Taktfrequenzwechsel bei FT max = 300 Hz, F1N = 60 Hz, Tmin = 200 μs

nT Sinus 300 Hz 9O 7 FMM 5 MM 5 FM 3M 3F 1

F1 Grenz (FT max ) 300 Hz/10 = 30 Hz 300 Hz/9 = 33,3 Hz 300 Hz/7 = 42,8 Hz 300 Hz/5 = 60,0 Hz 300 Hz/5 = 60,0 Hz 300 Hz/3 = 100,0 Hz 300 Hz/3 = 100,0 Hz 300 Hz

a0 Grenz (FT max ) 0,5 0,56 0,71 1 1 ns = 1,667 ns = 1,667 ns ≥ 1, 667

a0 Grenz (Ausst.)

0,8 0,87 0,935 0,93 0,995

a0 Grenz−gew¨ahlt 0,5 0,56 0,71 0,85∗ 0,9 0,93 0,96∗∗ 1,667 ≤ ns ≤ 5

Die Wahl zwischen Mitten- und Flankenpulstaktung wird also auch von der Aussteuergrenze bestimmt, sonst von der zul¨assigen Schaltfrequenz sowie der ∗ Die Taktwechselgrenzen werden unter anderem so bestimmt, daß die einzelnen Bereiche nicht zu schmal werden; es k¨ onnen auch einzelne Bereiche u ¨ bersprungen werden. Daneben m¨ ussen zwischen Beschleunigen und Bremsen des Antriebs Hysteresen eingef¨ uhrt werden, um unn¨otiges Hin- und Herschalten zu vermeiden; diese sind hier nicht ber¨ ucksichtigt. ∗∗ Es ist m¨oglich, mit Dreifach-Flankenmodulation in die Feldschw¨ achung zu gehen; man w¨ahlt dann α2 ≈ 11, 5◦ (a0 = 0,96) wegen der dann minimalen Stromverzerrung. Durch den Spannungsverlust vergr¨ oßert sich der Wirkstrom; dies wird im Allgemeinen durch den kleineren Magnetisierungsblindstrom bei Feldschw¨ achung ausgeglichen.

15.3 Modulationsverfahren

A. Steimel

701

Abb. 15.30: Aussteuerungsgrenzen a0max der verschiedenen Taktverfahren in ur eine Mindestschaltzustandsdauer Abh¨ angigkeit von der Motorfrequenz F1 , f¨ Tmin = 200 μs.

Frage nach niedrigerem Oberschwingungsgehalt. Dies ist in Tab. 15.2 erl¨autert; die Aussteuerung wird wieder proportional zur Motorfrequenz ver¨andert. Dabei ist a0Grenz (FT max ) = F1Grenz (FT max )/F1N , und a0Grenz (Ausst.) wird aus Abb. 15.30 durch Schnitt mit der Geraden mit der Steigung 1/F1 bestimmt. Dabei ist ns = F1 /F1N (es f¨allt f¨ ur nS < 1 mit a0 zusammen); bestimmend ist jeweils der niedrigere Grenzwert. Abbildung 15.31 stellt die auf FT max bezogenen Schaltfrequenzen in den einzelnen Taktverfahren nach Tab. 15.2 u ¨ber der Grundschwingungsaussteuerung a0 dar. Abbildung 15.32 stellt zum Schluß die behandelten synchronen Taktverfahren, dazu symmetrierte Sinus-Dreieck-Modulation und Grundfrequenztaktung, f¨ ur das oben angesprochene Beispiel in ihrem WR-Ausgangsspannungsverlauf und dem Strangstromverlauf (gepunktet dessen Grundschwingung) f¨ ur ausgew¨ahlte Arbeitspunkte in ihren Taktbereichen gegen¨ uber. Die Str¨ome sind auf die Grundschwingungsamplitude bei Nennfluß bezogen; uσ = 10%. Bei ns = 2 betr¨agt das Drehmoment nur noch die H¨alfte des Nennwerts (Bereich der Feldschw¨achung mit konstanter Leistung). Realisiert werden die synchronen Taktmuster klassisch durch Auslesen der off-line optimierten Winkelwerte aus zum Teil mehrdimensionalen Tabellen, abh¨angig von Aussteuerung und Last, und Umrechnung mit der aktuellen Grundfrequenz in Schaltzeiten, die mittels Timer die einzelnen Schaltungen ausl¨osen.

702

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

Die relativ einfachen linearen Steuergesetze der beschriebenen Mittenpulstaktungen lassen sich auch noch mit einem modifizierten Dreieck-Vergleichsverfahren realisieren [417].

Abb. 15.31: Auf FT max bezogene Schaltfrequenzen FT bei Sinus-Dreieck-Modulation und synchroner Taktung in Abh¨angigkeit von der Grundschwingungsaussteuerung a0 ; a0 proportional F1 angenommen.

¨ Der Ubergang von einer zu einer anderen Taktzahl nT bzw. von SinusModulation zu synchronisierter Taktung ist nicht trivial und ist nur bei bestimmten Zeitwinkellagen m¨oglich, um st¨orende Ausgleichsvorg¨ange zu vermeiden. Dies kann hier aber nicht im Detail dargestellt werden [416, 408]. Probleme k¨onnen sich unter Umst¨anden auch mit schnellen Zwischenkreisspannungsschwankungen einstellen, die zu unsymmetrischer Magnetisierung und damit zu (nur langsam abklingenden) Gleichgliedern in den Strangstr¨omen f¨ uhren k¨onnen. Ein neues Verfahren ([419, 425, 396]) gewinnt die Schaltzeitpunkte durch Vergleich der Augenblickswerte des Zeitintegrals der aus Zwischenkreisspannung und Schaltbefehlen berechneten Motorstrangspannung mit vorberechneten Schwellenwerten, wie bei der Flußselbststeuerung der Direkten Selbstregelung (Kap. 15.5.1). Es ist robust gegen Schwankungen der Zwischenkreisspannung und erlaubt besonders einfach die notwendigen Wechsel zwischen den Taktverfahren ohne st¨orende Transienten. Es k¨onnen alle bekannten Optimierungen durch Vorgabe geeigneter Schwellen realisiert werden; der Aufwand steigt aber f¨ ur nT > 9 sehr an. Der Beginn einer Nullspannungsschaltung (Mittenpuls) wird durch Flußschwellenvergleich, die Dauer u ¨ ber Timer gesteuert. Dieses Verfahren wird seit etwa 2005 unter den Bezeichnungen Optimal Flux Tracking (OFT) bzw. Direct Flux Control (DFC) bei Traktionsantrieben h¨oherer Leistung eingesetzt.

15.3 Modulationsverfahren

A. Steimel

703

Abb. 15.32: WR-Ausgangsspannung und -strom bei verschiedenen PWM-Verfahren.

704

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

15.3.5

WR-Spannungsfehler

Die beschriebenen Spannungs- und Stromverl¨aufe mit ihren Mittelwerten pro Pulsperiode bzw. Grund- und Oberschwingungen stellen sich so nur ein, wenn die Ventile ideal sind und exakt zu den angegebenen Schaltzeitpunkten schalten. Abweichungen treten auf durch • Durchlaßspannungen der Ventile, • Schaltzeitfehler der Ventile, • Notwendige Verriegelungs- oder Sicherheitszeiten. 1. Einfluß der Durchlaßspannungen der Ventile Abbildung 15.33 zeigt ein Ersatzschaltbild eines WR-Zweigpaars. Die Spannungsf¨alle an Transistor und Diode werden durch UT = UT 0 + rT · IT

(15.55)

UD = UD0 + rD · ID

(15.56)

beschrieben, mit UT 0/D0 : (stromunabh¨angige) Schleusenspannung an Transistor/Diode, rT /D : differentieller Bahnwiderstand von Transistor/Diode, IT /D : Strom durch Transistor/Diode.

Ud 2 Ud

T1

D1 Ia

M

Ud 2

T2

D2

Abb. 15.33: Ersatzschaltbild eines WR-Zweigpaars.

Da bei IGBT-Modulen Transistoren und Dioden h¨aufig a¨hnliche Schleusenspannungen und differentielle Widerst¨ande aufweisen, k¨onnen die Gleichungen zu UaM = UaM i − UT D · sign (I1a ) − rT D · I1a

(15.57)

15.3 Modulationsverfahren

A. Steimel

705

Tabelle 15.3: WR-Ausgangsspannung des Zweigpaars in Abh¨ angigkeit von Stromvorzeichen und Wert der Schaltfunktion, f¨ ur Strang a

I1a > 0 I1a < 0

Sa = 1 UaM = Ud /2 − UT 0 − rT I1a UaM = Ud /2 + UD0 − rD I1a

Sa = 0 UaM = −Ud /2 − UD0 − rD I1a UaM = −Ud /2 + UT 0 − rT I1a

vereinfacht werden mit 1 · (UT 0 + UD0 ) ≈ UT 0 ≈ UD0 2 1 · (rT + rD ) ≈ rT ≈ rD rT D = 2  sowie UaM i : ideelle Ausgangsspannung des WR-Zweigpaars = UT D =

(15.58) (15.59) Ud 2

 · (2 · Sa − 1) .

2. Schaltzeitfehler der Ventile Durch Laufzeiten in den Ansteuerkreisen und den Schaltverzug der Leistungshalbleiter verschieben sich die wirklichen Schaltzeitpunkte um bestimmte Werte ΔTE ,A (im Mikrosekundenbereich). Sie werden f¨ ur die folgende Betrachtung mit der Verriegelungs- oder Sicherheitszeit zusammengefaßt. 3. Verriegelungs- oder Sicherheitszeit In WR-Zweigpaaren muß zwischen dem Ausschalten des einen Leistungshalbleiter und dem Einschalten des anderen Leistungshalbleiters eine — kleine — Sicherheitszeit Tsi eingehalten werden, damit es nicht wegen der endlichen Ausschaltgeschwindigkeit zu einem Kurzschluß beider Leistungshalbleiter und damit zu einem Kreisstrom kommt, der die Verluste beider Leistungshalbleiter erh¨oht. Diese Sicherheitszeit kann zwischen 1 μs bei 600 V-IGBTs, 10 μs bei 6500 V-IGBTs und 50...70 μs bei GTO-Thyristoren (bedingt durch Umladungen der Schutzbeschaltungen) liegen. Tsi beinhaltet im Folgenden die Schaltverzugszeiten ΔTE ,A und wird f¨ ur beide Schaltrichtungen vereinfacht gleich angenommen. Je nach Ausgangsstromrichtung kommt es dabei zu einem Fehler ΔUa des Mittelwerts der Ausgangsspannung pro Pulsperiode, wie Abb. 15.34 verdeutlicht. Von oben nach unten sind die Schaltfunktion Sa und die Gatespannungen UGK von IGBT 1 und 2 unter Ber¨ ucksichtigung der Sicherheitszeiten Tsi dargestellt. Man erkennt deutlich, wie jeweils das Einschalten um Tsi verz¨ogert wird [422, 424]. Darunter ist die Zweigpaar-Ausgangsspannung bei positivem Ausgangsstrom dargestellt: Bei Tsi erfolgt das verz¨ogerte Einschalten von T1 , w¨ahrend das Abschalten und die Kommutation auf D2 unverz¨ogert erfolgt. Bei negativem Ausgangsstrom (unterste Zeile) ist es gerade umgekehrt. Man erkennt, daß durch die Einf¨ ugung der Sicherheitszeiten ein Spannungsmittelwertfehler von ΔUa = Tsi · FT · Ud · sign (I1a )

(15.60)

706

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

t/T1

t/T1 Abb.15.34: Schaltfunktion Sa , Gatespannungen UGK von IGBT 1 und IGBT 2 unter Ber¨ ucksichtigung der Sicherheitszeiten Tsi und Zweigpaar-Ausgangsspannung UaM bei positivem (I1a > 0) und negativem (I1a < 0) WR-Ausgangsstrom.

entsteht. Dieser muß bei PWM — wenn n¨otig — geeignet ausgeglichen werden (z.B. [464, 422, 403], wobei die Schwierigkeit in der sicheren Erkennung des Stromvorzeichenwechsels — auch bei Oberschwingungen — liegt.

15.4

Optimierte Pulsverfahren

15.4.1

Spannungsraumzeigermodulation

Neben den bisher beschriebenen Pulsverfahren gibt es noch eine Vielzahl anderer Verfahren. Diese versuchen, mit m¨oglichst geringer Pulsfrequenz die Oberschwingungsstromscheitelwerte und damit den Kommutierungsaufwand oder den Oberschwingungsstromeffektivwert und damit die thermischen Beanspruchungen in den Lastkreisen zu minimieren. Das kann z.B. erreicht werden durch besondere Ausbildung der Sollwertsi∗ ∗ gnale U1a bis U1c in Abb. 15.9 mit Trapezform, Addition von phasengleichen n-fach dritten Harmonischen oder Rechteckstufenform. Eine andere M¨oglichkeit besteht darin, bei gegebenem Pulsverh¨altnis und bestimmter Spannungsaussteue-

15.4 Optimierte Pulsverfahren

707

rung die Zwischenpulse nach Breite und Lage innerhalb der Grundschwingung so zu variieren, daß sich ein Oberschwingungsstromminimum einstellt. Auch andere Optimierungskriterien sind m¨oglich wie etwa die Minimierung einer bestimmten Zahl von Oberschwingungen oder die Vermeidung eines bestimmten Frequenzbandes. Diese Verfahren, die als off-line optimierte Pulsmuster bezeichnet werden, bieten bei station¨aren Vorg¨angen ein g¨ unstiges Verhalten. Bei transienten Vorg¨angen werden in speziell definierter Weise Sequenzen der Pulsmuster f¨ ur verschiedene Pulszahlen und Amplituden zusammengesetzt, die in off-line erzeugten Tabellen abgelegt sind. Eine M¨oglichkeit, diese Problematik zu vermeiden, ist die Verwendung on-line optimierter Pulsmuster. Einige dieser Verfahren wurden bereits im Zusammenhang mit den direkten Stromregelverfahren beschrieben. Wesentlich g¨ unstiger als die bisher beschriebenen Modulationsverfahren verh¨alt sich bei transienten Vorg¨angen die sogenannte Raumzeigermodulation.  S∗ (t) mit einer konstanDie Grundidee besteht dabei darin, den Sollraumzeiger U 1  S∗ (kT ) w¨ahrend der ten Periode T abzutasten und diesen abgetasteten Wert U 1 Abtastperiode (kT ≤ t < (k + 1)T ) durch eine Folge von drei Schaltzust¨anden, d.h. drei Spannungszeiger k (siehe Abb. 15.3), gemittelt zu realisieren. Dabei wer S∗ (kT ) benachbarten den f¨ ur die Mittelung ein Nullzeiger k0 und die beiden zu U 1 Zeiger kl (links) und kr (rechts) verwendet.

b 2

kl

US* l (kT) gr k0

kr

1a

Abb. 15.35: Spannungszeiger bei der Raumzeigermodulation

Abbildung 15.35 verdeutlicht dies an einem Beispiel. In diesem Fall gilt kl = 2 und kr = 1. F¨ ur die Schaltdauer der Zeiger ungleich Null (7 oder 8) gilt dann  1   S∗ (kT ) tl kl + trkr = U 1 T

(15.61)

t0 = T − tl − tr

(15.62)

und f¨ ur den Nullzeiger gilt Dies ergibt drei reelle Gleichungen, mit denen die drei Zeiten t0 , tl , tr bestimmt werden k¨onnen. Zur Herleitung w¨ahlt man f¨ ur den Spannungssollwertzeiger  S∗ (kT ) eine Polardarstellung, die auf den rechten Nachbarzeiger kr bezogen U 1 ist.

708

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

Dann gilt mit

π kr = 2 Ud ej(kr − 1) 3 3

(15.63)

sowie kr = 1 . . . 6

 S∗ (kT )| = U ∗ |U 1 1

und

π  S∗ (kT ) = U ∗ ejγr · ej (kr − 1) 3 U 1 1

Durch Einsetzen in die obige Gleichung ergibt sich  2 Ud  j kr π j (kr − 1) π3 = U ∗ ej γr · ej (kr − 1) π3 3 + tr e tl e 1 3 T

(15.64)

(15.65)

  3 U1∗ j γr − π 3 T e (15.66) 2 Ud Aus dieser komplexen Gleichung folgen nach kurzer Rechnung die beiden reellen Gleichungen

und damit

tl + tr e−j

tr = tl =

π 3

√ √

=

3T

 π U1∗ − γr sin Ud 3

(15.67)

3T

U1∗ sin γr Ud

(15.68)

Die Folge der drei Zeiger und die Auswahl des Nullzeigers k0 = 7 oder 8 wird dabei so festgelegt, daß sich eine m¨oglichst geringe Zahl von Schaltvorg¨angen ergibt. Dann gilt f¨ ur die mittlere Schaltfrequenz des Wechselrichters FS =

1 2T

Auch dieses Verfahren kann sowohl unsynchronisiert als auch synchronisiert betrieben werden. In letzterem Fall wird T festgelegt gem¨aß 2T =

nT F1

Dabei ist wieder nT die ganzzahlige Pulszahl. F¨ ur die Auswirkungen der Synchronisation gilt das oben gesagte entsprechend. Wie aus den Abbildungen — beispielsweise Abb. 15.11 und Abb. 15.12 — zu entnehmen ist, besteht bei der PWM mit synchronisiertem Dreiecksignal im station¨aren Betrieb keine Phasenverschiebung zwischen den Sollwerten und den Istwerten der Spannung. Wie bereits in Kap. 9.7 hingewiesen wurde, besteht im Steuersatz leistungselektronischer Stellglieder grunds¨atzlich eine nichtlineare Abtastung der Eingangssignale des Steuersatzes. Die nichtlineare Abtastung ergibt sich aus der Tatsache, daß der Z¨ undzeitpunkt (Abtastzeitpunkt) sich jeweils im Schnittpunkt zwischen

15.4 Optimierte Pulsverfahren

709

Eingangssignal und Dreiecks-Modulationssignal ergibt, d.h. der Abtastzeitpunkt ist korreliert mit dem Eingangssignal. Diese Zusammenh¨ange — wie auch das Verhalten des Leistungsteils — werden ausf¨ uhrlich in Kap. 9.3 f¨ ur netzgef¨ uhrte Stellglieder diskutiert. F¨ ur selbsgef¨ uhrte Stellglieder erfolgte — meines Wissens — eine derartige Bestimmung des dynamischen Verhaltens noch nicht. Die in Kap. 9.3 dargestellten Modellierungsans¨atze sind aber dazu geeignet. Wesentlich einfacher ist das dynamische Verhalten bei der Raumzeigermodulation zu bestimmen, da es sich um eine unkorrelierte und damit lineare Abtastung mit der konstanten Abtastdauer T handelt. Das dynamische Verhalten ist somit vom Erwartungswert TE mit TE = T /2 bestimmt, d.h. einem Totzeitglied mit der Totzeit Tt = TE . 15.4.2

On-line optimierte Pulsmustererzeugung

Bei den direkten“ Verfahren zur Stromregelung wird der n¨achste Schaltzustand ” unmittelbar aus der Regelabweichung ΔI1 = I1S∗ − I1S

(15.69)

und eventuell noch weiteren Informationen gewonnen. Im folgenden werden die wesentlichen Grundgedanken f¨ ur drei sinnvoll realisierbare Verfahren erl¨autert. Das einfachste Beispiel eines direkten Verfahrens ist die Zweipunkt-Hystereseregelung nach Abb. 15.36, die allerdings in dieser Form vermieden werden sollte. F¨ ur jede Phase werden zun¨achst die Regelabweichungen ΔI1a , ΔI1b , ΔI1c gebildet. Diese Signale werden jeweils einem Komparator mit Hysterese zugef¨ uhrt, der daraus unmittelbar die Schalterstellungen Sa , Sb , Sc nach Abb. 15.36 ermittelt. Der Iststromverlauf soll damit in jeder Phase in einem Hystereseband um den Sollwertverlauf gehalten werden. Abbildung 15.37 zeigt beispielhaft ein solches Verhalten. Abbildung 15.37 verdeutlicht gleichzeitig auch die Nachteile dieses Verfahrens. Die Schaltfunktionen werden f¨ ur jede Phase unabh¨angig ermittelt. Andererseits beeinflußt eine Schalthandlung in einem der Schalter aber die Spannungen aller drei Phasen. Außerdem ist die Summe der Str¨ome wegen des offenen Sternpunktes gleich Null. Es gibt also drei unabh¨angige Regler f¨ ur ein System mit zwei unabh¨angigen Variablen. Die dadurch bedingte Redundanz wird aber aufgrund der drei unabh¨angig voneinander arbeitenden Hystereseregler nicht genutzt, sondern f¨ uhrt zu nicht vorhersehbaren Reaktionen. Beispielsweise werden Nullzeiger  17 , U  18 ) nicht konsequent genutzt, d.h. es werden unter Umst¨anden zu h¨aufig (U abwechselnd nur positive, dann negative und dann wiederum positive Spannungspotentiale zu den Ausgangsklemmen durchgeschaltet. Dadurch bedingt wird die sich einstellende Schaltfrequenz unn¨otig erh¨oht und es entstehen die in Abb. 15.37 dargestellten Grenzzyklen mit hohen Schaltfrequenzen. Durch ein ung¨ unstiges Einf¨ ugen von Schaltzust¨anden k¨onnen auch Fehlerf¨alle entstehen, so daß die Regeldifferenz im Grenzfall bis auf den doppelten Wert

710

∗ I1a

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

ΔI1a

-e 6 −

6 1 6

0

Ud

e

Ss

-

e

? -

∗ I1b

-e 6 −

ΔI1b

6 1 6

0

Sb

Wechsel-

-

? -

richter -

∗ I1c

-e 6 −

ΔI1c

6 1 6

0

Sc

? -

?I1a u

?I1b

?I1c

 u

 u



Lσ1

R1

Last

    

Ui

  ? r

Abb. 15.36: Signalflußplan einer in der Struktur fehlerhaften Zweipunkt-Hystereseregelung

der Hysterese ansteigt. Als weiterer Nachteil ergibt sich, daß das Spektrum der Str¨ome, das sich zuf¨allig einstellt, trotz hoher Schaltfrequenzen niederfrequente Anteile enthalten kann. Ein derartiges Verhalten ist somit unzweckm¨aßig. Grunds¨atzliche Abhilfemaßnahmen sind erstens die Einzelspeisung der drei Statorwicklungen mit getrennten Stellgliedern und somit auch getrennten Stromreglern, wie es beispielsweise bei Direktumrichtern m¨oglich ist. Die zweite grunds¨atzliche Abhilfemaßnahme ist, nur die Raumzeigerkomponenten I1α und I1β getrennt zu regeln (Abb. 15.38). Dabei wird vorausgesetzt, daß die geometrische Summe der drei Statorstr¨ome Null ist. Somit w¨aren zwei Hystereseregler in

15.4 Optimierte Pulsverfahren

I1

711

Grenzzyklen Fehlerfall

I1a

I1a*

2h

t

Abb. 15.37: Stromverl¨ aufe in einer Phase bei unabh¨ angiger dreiphasiger Hystereseregelung nach Abb. 15.36

Abb. 15.38 ausreichend zur Stromeinpr¨agung. Wenn von dieser zweiten Abhilfemaßnahme ausgegangen wird, dann kann im n¨achsten Schritt u ¨ berlegt werden, wie entsprechend Gl. (15.69) die Pulsmuster erzeugt werden k¨onnen, um beispielsweise die Schaltfrequenz bei gegebener Hysterese zu minimieren. Dies ist der Ausgangspunkt f¨ ur die Entwicklung on-line“optimierter Pulsmuster. ” Das prinzipielle Vorgehen bei on-line“optimierter Pulsmustererzeugung be” r¨ ucksichtigt, daß bei selbstgef¨ uhrten Zweipunkt-Wechselrichtern mit eingepr¨agter Spannung nur die sechs Spannungsraumzeiger und die beiden Nullzeiger verf¨ ugbar sind (Abb. 15.39a). Bei der Entscheidung, welcher Schaltzustand sinnvoll bzw. optimal ist, wird davon ausgegangen, daß die Schaltfrequenz des selbstgef¨ uhrten Wechselrichters begrenzt ist, so daß zwingend zwischen dem gew¨ unschten RaumzeigerSpannungssollwert und dem realen Raumzeiger-Spannungsistwert nur im Mittel ¨ Ubereinstimmung bestehen kann. Die resultierende Raumzeiger-Spannungsdifferenz muß daher zu entsprechenden Strom¨anderungen f¨ uhren. Wenn angenommen  S mit induktiv-ohmschem Wiwird, die Last besteht aus einer Gegenspannung U i derstand Lσ1 − R1 , dann bildet sich an der Last eine Raumzeiger-Klemmenspan S: nung U 1 S S = U  S + R1 IS + Lσ1 dI1 (15.70) U 1 i 1 dt Der selbstgef¨ uhrte Wechselrichter kann aber nur die Raumzeiger-Spannung S = U  1k U 1 bereitsstellen.

mit k = 1, 2, . . . , 8

(15.71)

712

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

Ud

e ∗ I1α

∗ I1β

ΔI1α

-e 6 −

Sa

-

-e 6 −

ΔI1β

Wechsel-

-

richter

Sc

-

-

?I1a

I1β 2Ph I1α

e

-

Sb

Regler

-

u



?I1b

?I1c

 u

3Ph 



Lσ1

R1

Last

    

Ui

  ? r

Abb. 15.38: Raumzeigerbasierte Stromregelung

Vernachl¨assigt man den ohmschen Widerstand R1 , dann f¨allt die RaumzeigerSpannungsdifferenz an der Induktivit¨at Lσ1 ab, es gilt Lσ1

dI1S  1k − U S = ΔU  1k =U i dt

mit k = 1, 2, . . . , 8

(15.72)

 1k gestrichelt eingetragen. Aus dieser In Abb. 15.39a sind die Zeiger ΔU  1k = Lσ1 dIS /dt ist, d.h. die RaumzeigerAbbildung ist erkennbar, daß ΔU 1  1k gibt sowohl die Amplitude als auch die Richtung der Spannungsdifferenz ΔU Strom¨anderung vor (vgl. Abb. 15.39b). Somit wird, je nach Schaltzustand k und

15.4 Optimierte Pulsverfahren

a) Spannungsebene

713

b

U13

U12

S

Ui

U14

U11

a

U17 , U18

U15

U16

b) Stromebene b I12

I13

a

I1

I14

I17 , I18

I15

I11

I16

Abb. 15.39: Wirkung der Wechselrichterzeiger auf die Stromzeigerbewegung

Lastspannung, die Strom¨anderung eine entsprechende Richtung und Amplitude aufweisen. Es ist aus Abb. 15.39a ebenso erkenntlich, daß bei k = 7 bzw. k = 8  S der Differenzraumzeiger ist. die Last kurzgeschlossen wird und damit U i Statt wie im vorigen Kapitel zu versuchen, den Mittelwert der Wechselrichterspannung zu realisieren, soll nun eine pr¨adiktive Stromregelung vorgestellt werden. Die Regelstrategie sieht wie folgt aus (siehe Abb. 15.40). Um den Sollwertzeiger I1S∗ wird ein Hysteresekreis mit I1S∗ als Mittelpunkt gelegt. Die Schalt-

714

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

zust¨ande des Wechselrichters sollen so gew¨ahlt werden, daß die Trajektorie des Istwertzeigers I1S in diesem Hysteresekreis bleibt.

b

a I1

S*

Abb. 15.40: Raumzeiger bei der Vektor-Hysteresestromregelung

Das heißt, der Betrag des Zeigers der Regelabweichung ΔI1 = I1S∗ − I1S soll auf den Radius des Kreises begrenzt werden. Jedesmal wenn der Hysteresekreis  1k aufgeschaltet von I1S ber¨ uhrt wird, muß somit ein neuer Wechselrichterzeiger U werden, der geeignet ist, die Istwerttrajektorie wieder in den Kreis zur¨ uckzubringen. Abbildung 15.40 zeigt mehrere Beispiele f¨ ur einen Ber¨ uhrpunkt und wie sich der Strom mit den m¨oglichen neuen Schaltzust¨anden bewegen kann. Wie man erkennt, sind, je nachdem wo der Kreis ber¨ uhrt wird, ein oder mehrere Schaltzust¨ande k sinnvoll. Dies kann f¨ ur eine Optimierungsstrategie verwendet werden. Als Optimierungskriterium kann zum Beispiel die Minimierung der Schaltfrequenz bei gegebener Hysteresebreite dienen. Dabei wird versucht, denjenigen Schaltzustand zu finden, der eine m¨oglichst lange Verweildauer des Stroms im Hysteresekreis erwarten l¨aßt. Dieses Kriterium ist vor allem bei station¨aren Vorg¨angen sinnvoll. ¨ Ein anderes Kriterium, das bei Ubergangsvorg¨ angen verwendet wird, versucht die dynamischen Eigenschaften der Regelung zu optimieren. Hier verwendet man diejenige Stromableitung dI1k /dt, die eine m¨oglichst große Komponente in Richtung der Regelabweichung ΔI1 = I1S∗ − I1S besitzt.

15.4 Optimierte Pulsverfahren

715

Diese Strategien werden als pr¨adiktive Verfahren bezeichnet, da das zuk¨ unftige Verhalten f¨ ur jede der m¨oglichen Schalthandlungen vorausgesagt wird, um daraus die beste L¨osung auszuw¨ahlen. Damit werden on-line optimierte Pulsmuster erzeugt, die sowohl station¨ar als auch dynamisch hervorragende Ergebnisse liefern. Aus Abb. 15.40 ist leicht zu erkennen, daß eine exakte Vorausbestimmung des zu erwartenden Auftreffpunkts des Istwert-Raumzeigers auf den Hysteresekreis von keiner großen Relevanz ist, da nur die begrenzte Zahl der Raumzeiger zur Verf¨ ugung steht und der Auftreffzeitpunkt den Umschaltzeitpunkt erzwingt. Es kann daher vorteilhaft eine Segmentierung des Hysteresekreises mit den n¨achsten g¨ unstigsten Schaltbedingungen vorab vorgenommen werden. Dies ist ebenso vorteilhaft hinsichtlich der Auswirkungen von St¨orgr¨oßen [216, 293, 317, 323]. Wenn statt eines selbstgef¨ uhrten Wechselrichters mit eingepr¨agter Spannung ein selbstgef¨ uhrter Wechselrichter mit eingepr¨agtem Strom und Pulswei¨ tenmodulation eingesetzt wird, dann k¨onnen die obigen Uberlegungen dual u ¨bertragen werden, d.h. es k¨onnen nur sechs reale Stromraumzeiger und drei Null-Raumzeiger realisiert werden, es wird ein Spannungs-Hysteresekreis aufgespannt und der Differenzspannungsraumzeiger hat im Hysteresekreis zu verbleiben [205, 217, 218, 219]. Beim Wechselrichter mit eingepr¨agtem Strom und abschaltbaren Ventilen ist parallel zur Last eine Kondensatorbatterie, vorzugsweise in Dreieckschaltung, angeordnet, so daß durch den Wechselrichter sowohl ein Ladestrom f¨ ur die Kondensatorbatterie, als auch der Laststrom bereitgestellt wird. Durch die gezielte Vorgabe des Ladestroms der Kondensatorbatterie kann somit ein Drehspannungssystem mit geringem Oberschwingungsgehalt f¨ ur die Last erzeugt werden. Der Laststrom wird daher bei ohmsch-induktivem Innenwiderstand der Last noch geringere Oberschwingungsanteile als das Drehspannungssystem enthalten. Zus¨atzlich kann beim Wechselrichter mit eingepr¨agtem Strom der Zwischenkreisstrom verstellt werden, so daß in diesem Fall ein weiterer Verstellparameter, die Amplitude der Stromraumzeiger, bei der Optimierung des Pulsmusters genutzt werden kann. Die obigen Verfahren k¨onnen sowohl auf der Maschinen- als auch auf der Netzseite verwendet werden. Aus den Erl¨auterungen zur pr¨adiktiven Stromregelung bei selbstgef¨ uhrten Wechselrichtern mit eingepr¨agter Spannung bzw. pr¨adiktiven Spannungsregelung bei selbstgef¨ uhrten Wechselrichtern mit eingepr¨agtem Strom ist zu entnehmen, daß zur Realisierung ein gewisser Rechenaufwand notwendig ist. Es stellt sich die Frage, mit welchen Maßnahmen eine hardware“-orientierte L¨osung erreicht wer” ¨ den kann. Diese Uberlegungen waren in den oben genannten Ver¨offentlichungen auch bereits erfolgt und hatten u.a. zu einer Segmentierung des Hysteresekreises der Reglerdifferenz gef¨ uhrt.

716

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

15.4.3

Raumzeiger-Hystereseverfahren

Die bereits diskutierte Grundidee ist, daß die geometrische Summe der drei Phasenstr¨ome gleich Null ist, d.h. die Regelung von zwei Str¨omen ausreichend ist, ¨ um den dritten Strom festzulegen. Aufgrund dieser Uberlegung ist die Regelung der Str¨ome I1α und I1β im statorfesten Raumzeigersystem ausreichend zur Realisierung der Stromregelung im Dreiphasen-System. Ud

e

-

e

Hα ∗ I1α

-e 6 −

ΔI1α

-

?

6 6 -

dα

-

Sa Sb

tabelle ∗ I1β

ΔI1β

-e 6 −

-

?

6 6 -

dβ

-

Schalt-

- (EPROM)

Wechsel-

-

richter

Sc

-

Hβ ?I1a

I1β 2Ph I1α

u



?I1b

?I1c

 u

3Ph 



Lσ1

R1

Last

    

Ui

  ? r

Abb. 15.41: Raumzeigerbasierte Hystereseregelung

Bei dem im folgenden beschriebenen Verfahren nach [285] werden die realen Phasenstr¨ome, wie in Abb. 15.41 dargestellt, ins α, β-System mit den Komponenten I1α und I1β transformiert. Die aus dem Vergleich der Soll- und Iststr¨ome

15.4 Optimierte Pulsverfahren

717

gebildeten Regelabweichungen ΔI1α und ΔI1β werden jeweils einem DreistufenHysteresekomparator zugef¨ uhrt. In Abb. 15.42a ist eine praktische Realisierung eines Dreistufen-Hysteresekomparators dargestellt. Die prinzipielle Funktionsweise soll anhand Abb. 15.42b kurz erkl¨art werden. Dabei wird der Komparator ¨ mit einem fiktiven Eingangssignal ΔI1α beaufschlagt und die Anderung des Ausgangssignals dα untersucht. Befindet sich ΔI1α anfangs innerhalb des inneren Toleranzbereichs (−H < ΔI1α < H) und das Ausgangssignal dα besitzt den Wert -1, so wechselt dα nach 0, sobald ΔI1α die positive Grenze H erreicht. Ein Zustandswechsel von dα nach 1 ereignet sich, wenn ΔI1α auch die Grenze (H + ΔH) des ¨außeren Toleranzbereichs trifft, d.h. ΔI1α ≥ H + ΔH wird. Der Komparatorausgang dα wird erst dann wieder zu 0, wenn ΔI1α so lange sinkt, bis der innere Toleranzbereich vollst¨andig durchfahren ist und ΔI1α ≤ −H wird. Sobald das Eingangssignal ΔI1α auch die ¨außere Grenze (−H − ΔH) erreicht, wird dα wieder auf −1 gesetzt. Zu beachten ist, daß somit beispielsweise bei einem Wechsel von dα = 0 zu dα = 1, d.h. von H ≤ ΔI1α ≤ H + ΔH zu ΔI1α = H + ΔH, der Stromistwert ˜IS1 generell zu klein ist und damit in der folgenden Schaltperiode zunehmen muß ! Die beiden Komparatoren bilden im α, β-Raumzeigersystem zwei viereckige Toleranzfl¨achen f¨ ur den Regelabweichungszeiger ΔI1 , die innere mit der Breite H und die ¨außere mit der Breite H + ΔH (vgl. Abb. 15.42c). Die Gr¨oße der Regelabweichung wird durch die Hysteresebandbreite H bestimmt. Die Komparatoren wandeln die kontinuierliche Bewegung des Zeigers ΔI1 zu einem diskreten Ausgangssignal d mit den Komponenten dα und dβ um. Die Gegegen¨ uberstellung der Werte von dα bzw. dβ und der beiden Toleranzfl¨achen wird anhand eines Beispiels erkl¨art. Es wird angenommen, der Zeiger ΔI1 hat soeben die innere Toleranzfl¨ache verlassen und befindet sich mit beiden Komponenten zwischen innerer und ¨außerer Toleranzfl¨ache (H < ΔI1α < H + ΔH und H < ΔI1β < H + ΔH). Das Ausgangssignal d = (dα , dβ ) besitzt den Wert (0, 0). Ein Zustandswechsel von dα bzw. dβ erfolgt, wenn ΔI1 einen der beiden zur α-Achse bzw. β-Achse senkrechten R¨ander H + ΔH der a¨ußeren Toleranzfl¨ache erreicht, d.h. d wechselt nach (1, 0) bzw. (0, 1). Dieser Zustandswechsel veranlaßt das Schalten eines Spannungsraumzeigers, der den Regelabweichungszeiger wieder ins Innere der Toleranzfl¨ache f¨ uhrt. Der Zustand von dα bzw. dβ bleibt unver¨andert, wenn ΔI1 in die innere Toleranzfl¨ache eintritt und sie anschließend durchl¨auft. Er wechselt erst dann wieder zu Null, wenn ΔI1α bzw. ΔI1β den gegen¨ uberliegenden Rand −H der inneren Toleranzfl¨ache erreicht. Dies bedeutet, daß die Werte von dα bzw. dβ innerhalb der Toleranzfl¨ache konstant bleiben und nur vom Ort des letzten Zustandswechsels abh¨angen. Mit den Ausgangssignalen (dα , dβ ) werden unmittelbar aus der Schalttabelle 15.4 die Schaltzust¨ande des Wechselrichters ermittelt. Diese Schalttabelle kann in einem EPROM gespeichert werden.  1k Um die Schalttabellen zu verstehen, muß man die Spannungsraumzeiger U  und die neun m¨oglichen Zeiger d = (dα , dβ ) in Abb. 15.43 vergleichen. Die Stra-

718

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

a)

1 H 0

DI1a

H

DI1a

da

da

DH 0

H

DH

-1

b) H+DH H

DI1a IN

0

-H -H-DH 0

2

4

6

8

6

8

t T 1

da

0 -1 0

2

4

t T

DI1b

c)

DH

DI1 DI1a

H

H

Abb. 15.42: a) Implementierung eines Dreistufen-Hysteresekomparators b) Funktionsweise eines Dreistufen-Hysteresekomparators c) Grenze der Regelabweichung (ΔH  H)

15.4 Optimierte Pulsverfahren

719

Tabelle 15.4: Schalttabelle f¨ ur raumzeigerbasierte Hystereseregelung

dα dβ Spannungs vektor

-1 -1

-1 0

-1 1

0 -1

0 0

0 1

1 -1

1 0

1 1

 15 U

 14 U

 13 U

 16 U

 18  17 /U U

 13 U

 16 U

 11 U

 12 U

oder dα dβ Spannungs vektor

-1 -1

-1 0

-1 1

0 -1

0 0

0 1

1 -1

1 0

1 1

 15 U

 14 U

 13 U

 15 U

 18  17 /U U

 12 U

 16 U

 11 U

 12 U

tegie ist, immer den Spannungsraumzeiger zu w¨ahlen, der dem Zeiger d am n¨achsten ist.

b

U13

d = (-1,1)

U12

d = (0,1)

d = (1,1)

d = (0,0)

U14 d = (-1,0) d = (-1,-1)

U15

U17 , U18 d = (0,-1)

U11 d = (1,0)

a

d = (1,-1)

U16

Abb. 15.43: Gegen¨ uberstellung der Spannungsraumzeiger und der d-Zeiger

720

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

Wenn beide Ausg¨ange dα und dβ aktiven Zustand (1 oder −1) aufweisen, wird ein Spannungsraumzeiger exakt definiert. Falls eines der Ausgangssignale dα und dβ den Wert Null aufweist, bestimmt das aktive Signal, welcher Spannungsraumzeiger aufgeschaltet werden muß. Weisen beide Ausgangssignale dα und dβ den Wert Null auf, schaltet man den Nullvektor ein. Die Schalttabelle soll im folgenden genauer erl¨autert werden. Es wird angenommen, beide Regelabweichungskomponenten erreichen gleichzeitig den positiven Rand der ¨außeren Toleranzfl¨ache, d.h. ΔI1α = H +ΔH und ΔI1β = H +ΔH, und das Ausgangssignal d wechselt zum Zustand (1,1). Der Stromistwert I1S muß in der folgenden Schaltsequenz in beiden Komponenten I1α und I1β zunehmen, was gem¨aß Gl. (15.69) zu einer Verringerung von ΔI1α und ΔI1β f¨ uhrt. Die Erh¨ohung der Istwertkomponenten erfordert jeweils eine Spannungserh¨ohung an der Induktivit¨at Lσ1 in Abb. 15.41. Diese Spannungserh¨ohung wird umso effektiver zu erreichen sein, je kleiner die Gegenspannung in der dreiphasigen Last ist. Dies bedeutet eine umso gr¨oßere Strom¨anderung dI1S /dt, und damit ein schnelleres Durchlaufen der Toleranzfl¨ache. Dies f¨ uhrt letztlich auch zu einer umso gr¨oßeren Schaltfrequenz, je gr¨oßer dI1S /dt ist. Im vorliegenden Fall wird entspre 12 eingeschaltet. Aufgrund dieses chend der Tabelle der Spannungsraumzeiger U Raumzeigers der Wechselrichterspannung werden die beiden Komponenten I1α und I1β zunehmen und die Regeldifferenzen ΔI1α und ΔI1β verringern sich. Es werden also bei der Auswahl dieser Schaltsequenz dI1α /dt bzw. dI1β /dt nicht ber¨ ucksichtigt, so daß nur tendenziell im statischen Mittel ein Optimum“, wie ” im vorherigen Unterkapitel beschrieben, erreicht wird. Es k¨onnen nun drei F¨alle im Folgezustand auftreten: 1. ΔI1α und ΔI1β erreichen gleichzeitig den negativen Rand der inneren Toleranzfl¨ache (ΔI1α = −H und ΔI1β = −H), und d wechselt zum Zustand (0, 0). Entsprechend der Schalttabelle wird der Null-Raumzeiger gew¨ahlt, somit bestimmt der Gegenspannungsraumzeiger die n¨achste Bewegungsrichtung des Regelabweichungszeigers. 2. ΔI1β erreicht fr¨ uher als ΔI1α den negativen Rand der inneren Toleranzfl¨ache (−H < ΔI1α < H und ΔI1β = −H) und d wechselt zum Zustand  11 (1, 0). Aufgrund der Schalttabelle wird nun der Spannungsraumzeiger U  ausgew¨ahlt. Wie aus Abb. 15.43 zu ersehen ist, liegt U11 auf der positiven  11 α-Achse. Dies bedeutet, die Komponente I1α wird durch die Spannung U beeinflußt, die Komponente I1β wird hingegen nur durch die Gegenspannungskomponente Uiβ ver¨andert. 3. Wenn ΔI1α den inneren negativen Rand des Hysteresebandes fr¨ uher erreicht als ΔI1β (ΔI1α = −H und −H < ΔI1β < H), ergeben sich zwei m¨ogliche Schaltsequenzen aufgrund der Kombination (0, 1). Entweder man  12 geschaltet (Tabelle 15.4 unl¨aßt weiterhin den Spannungsraumzeiger U ten) und erlaubt dem Regelabweichungszeiger ΔI1 die innere Toleranzfl¨ache zu verlassen, bis der n¨achste Zustandswechsel von d eintritt, oder

15.4 Optimierte Pulsverfahren

721

 13 (Tabelle 15.4 oben). Dies hat man schaltet den Spannungsraumzeiger U zur Folge, daß I1α sinkt (d.h. ΔI1α steigt), w¨ahrend I1β weiter zunimmt (d.h. ΔI1β sinkt). Die Schalttabellen 15.4 sind f¨ ur die Messung der Phasenstr¨ome in der in Abb. 15.41 gezeichneten Richtung angegeben. Sollten die Phasenstr¨ome in Gegenrichtung gemessen werden, dann ergibt die Spiegelung der Spannungsraumzeiger um (dα = 0, dβ = 0) die richtigen Schalttabellen. 1.2

I1b IN

0.8

1.2

I1a IN

0.8

0.4

I1 IN

0.4

I1b IN

0.0

0.0

-0.4

-0.4

-0.8

-0.8

-1.2 0.0

I1S IN

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-1.2 -1.2

1.2

-0.8

-0.4

0.06

DI1 IN

H

0.08

0.0

0.4

0.8

1.2

I1a IN

t T

DH

0.0

0.04 -20.0

DI1b IN

0.02

dB

0.0

-40.0

-0.02 -60.0

-0.04 -0.06 -0.08 -0.08

-80.0

-0.04

0.0

DI1a IN

0.04

0.08

1.0

40.0

80.0

120.0

160.0

200.0

F F1

Abb. 15.44: Verhalten der raumzeigerbasierten Hystereseregelung im station¨aren Fall: oben links: Komponenten des Stromraumzeigers oben rechts: Stromraumzeiger unten links: Zone und Zeiger der Regelabweichung unten rechts: Spektrum von I 1S , berechnet u ¨ber 4T

Abbildung 15.44 zeigt charakteristische Resultate des Verfahrens f¨ ur den Wechselrichterbetrieb, die im folgenden diskutiert werden sollen. F¨ ur die folgenden Simulationen wurde angenommen, daß Ud = 150 V , Lσ1 = 300 μH,

722

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

R1 = 50 mΩ, Ui = 60 V , IN = 30 A, F1 = 50 Hz, H = 3 A, ΔH = 0, 4 A sind. Erreicht die Regelabweichung ΔI1β in der Umgebung der Scheitelwerte von I1β (d.h. I1β ≈ ±Iˆ1 ) die Untergrenze des ¨außeren Toleranzbandes −H − ΔH, ∗ d.h. die Stromkomponente I1β trifft die Grenze I1β + H + ΔH, so wechselt der Komparatorausgang dβ zum Zustand −1. Weist dα zugleich den Wert Null auf,  16 (Tabelle so wird nach der Schalttabelle entweder der Spannungsraumzeiger U  15.4 oben) oder U15 (Tabelle 15.4 unten) geschaltet. Diese Spannungsraumzeiger besitzen beide große negative β-Komponenten, die die Stromkomponente I1β verringern und somit sinkt die Regeldifferenz ΔI1β . Trifft I1β die Untergrenze ∗ I1β − H − ΔH des ¨außeren Toleranzbandes und ΔI1β folglich die Obergrenze H + ΔH, so wechselt der Komparatorausgang dα zum Zustand Eins. Unter  13 (Tabelle 15.4 oben) der Annahme dα = 0 wird der Spannungsraumzeiger U  oder U12 (Tabelle 15.4 unten) ausgew¨ahlt. Aufgrund der großen positiven βKomponenten steigt I1β und die Regeldifferenz ΔI1β sinkt wieder ins Innere  15 , als auch U  13 bzw. U  12 besitzen auch  16 bzw. U des Toleranzbereichs. Sowohl U Spannungskomponenten in α-Richtung, so daß jedes Umschalten zwischen diesen Spannungsraumzeigern auch die Stromkomponente I1α beeinflußt. Dies ist in Abb. 15.44 (links oben) an den nahezu identischen Schaltfrequenzen in den Stromverl¨aufen I1α und I1β in diesen Bereichen zu erkennen. Erreicht die Regelabweichung ΔI1α in der Umgebung der Scheitelwerte von I1α (d.h. I1α ≈ ±Iˆ1 ) die Obergrenze des ¨außeren Toleranzbandes H +ΔH, d.h. die ∗ Stromkomponente I1α ber¨ uhrt die Grenze I1α −H −ΔH, so wechselt der Komparatorausgang dα nach Eins. Weist gleichzeitig dβ den Wert Null auf, so wird nach  11 ausgew¨ahlt. Erreicht die Reder Schalttabelle 15.4 der Spannungsraumzeiger U gelabweichung ΔI1α die Untergrenze des ¨außeren Toleranzbereichs −H − ΔH, ∗ d.h. die Stromkomponente I1α trifft die Grenze I1α + H + ΔH, so wechselt der Komparatorausgang dα nach −1. Unter der Annahme dβ = 0 wird gem¨aß der  14 geschaltet. Beide WechselrichSchalttabelle 15.4 der Spannungsraumzeiger U terspannungen besitzen keine Komponenten in β-Richtung. Dies bedeutet, daß I1β nur durch die β-Komponente der Gegenspannung beeinflußt wird. Deshalb ist die hohe Schaltfrequenz im Verlauf von I1α nicht in der Stromkomponente I1β erkennbar (Abb. 15.44 links oben). Somit kann die Stromkomponente I1α geregelt werden, ohne I1β zu beeinflussen, w¨ahrend dies umgekehrt nicht m¨oglich ist. Wie schon erw¨ahnt wurde, beeinflußt die Regelung der β-Komponente auch die α-Komponente. H¨aufig erreicht deshalb die α-Komponente nicht einmal den Rand des inneren Toleranzbandes, weil sie vorher bereits durch die Regelung der β-Komponente zur Umkehr gezwungen wird. Auch der erwartete Wechsel von einer Komparatorschleife in die n¨achste wird beeinflußt. Wie aus Abb. 15.44 (links unten) ersichtlich ist, verlassen sowohl die Regeldifferenz ΔI1α als auch ΔI1β mehrmals die innere Toleranzfl¨ache. Die Ursache hierf¨ ur ist in der Aufschaltung von Nullvektoren zu sehen, da dann die Bewegungsrichtung der Stromkomponenten allein durch die Gegenspannung bestimmt wird. Wenn eine der beiden Regelabweichungskomponenten den Rand der ¨außeren Toleranzfl¨ache ber¨ uhrt,

15.4 Optimierte Pulsverfahren

723

 was die Aufschaltung eines Nichtnullspannungszeiwechselt der Zustand von d, gers veranlaßt und damit die R¨ uckkehr der Komponente ins Innere der Toleranzfl¨ache bewirkt. Wie der Abb. 15.44 (links unten) ferner zu entnehmen ist, verl¨aßt die Regeldifferenz ΔI1α das innere Toleranzband h¨aufiger als ΔI1β . Die Ursache hierf¨ ur ist darin zu sehen, daß ein Zustandswechsel von dα nicht automatisch zu einem anderen Spannungsraumzeiger f¨ uhrt. Wechselt beispielsweise das Komparatorausgangssignal d von (-1, 1) nach (0, 1), weil ΔI1α die Grenze H des inneren Toleranzbandes u ¨ berschreitet, ¨andert sich bei Verwendung der Schalttabelle 15.4  13 nicht, und der Regeldifferenzzeioben der geschaltete Spannungsraumzeiger U  ger ΔI1 bewegt sich in der urspr¨ unglichen Richtung weiter. Identische F¨alle sind auch bei Verwendung der Schalttabelle 15.4 unten zu finden.

0.06

-0.7

0.04

I1a IN

-0.8

I1 IN

DI1 IN

0.08

-0.6

I1b IN

-0.9

DI1b IN

-1.0

Verletzung des Hysteresebandes

0.02 0.0 -0.02 -0.04

-1.1

Verletzung des Hysteresebandes

-1.2 0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

-0.06

0.9

-0.08 -0.08

-0.04

0.0

0.04

0.08

DI1a IN

t T

Abb. 15.45: Raumzeigerbasierte Hystereseregelung: links: Komponenten des Stromraumzeigers rechts: Zone und Zeiger der Regelabweichung

Eine Hysteresebandverletzung u ¨ber das ¨außere Band hinaus tritt auf, wenn  S betragsm¨aßig gr¨oßer als ein Drittel der Zwischenkreisdie Gegenspannung U i spannung Ud wird.  iS | > Ud |U (15.73) 3  13 , U  15 oder  12 , U Der ung¨ unstigste Fall ist, wenn einer der Spannungsraumzeiger U  16 geschaltet wird und die α-Komponente der Gegenspannung ihren MaximalU ˆi aufweist. Die β-Komponente von U  S ist dann Null. Wenn dann z.B. der wert U i Zustand von d nach (1,1) gewechselt hat, m¨ ussen sowohl ΔI1α , als auch ΔI1β abnehmen, d.h. I1α und I1β m¨ ussen steigen. Gem¨aß der Schalttabelle wird der  12 eingeschaltet. Dieser Spannungsraumzeiger erzeugt eiSpannungsraumzeiger U ne positive Spannung in beiden Richtungen (vgl. Abb. 15.43) U1α =

2 1 Ud cos 60◦ = Ud 3 3

und U1β =

2 1 Ud sin 60◦ = √ Ud 3 3

(15.74)

724

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

β - Komponente

I1 IN

2.0

2.0

1.0

1.0

I1β IN

0.0

-1.0

-2.0

0.0

-1.0

-2.0

α - Komponente

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

I1α IN

t T

S*

I1* α, β - Komponente IN

I1 IN

I1 α, β - Komponente IN

I1 IN

S

Abb. 15.46: Verhalten der raumzeigerbasierten Hystereseregelung im dynamischen Fall: links: Komponenten des Soll- und Iststromraumzeigers rechts: Soll- und Iststromraumzeiger

r

I1S

-

S U Lσ1

-

Lσ1 S U 1



S U i

 ? ? r

Abb. 15.47: Ersatzschaltbild des Lastkreises in der Raumzeigerdarstellung

S : Spannung am Wechselrichter U 1

S : Gegenspannung der Last U i

 1S = U  12 sind. wobei U1α und U1β die Komponenten der Wechselrichterspannung U Die an der Induktivit¨at anliegenden Spannungskomponenten ergeben sich unter

15.4 Optimierte Pulsverfahren

725

Vernachl¨assigung von R1 zu: ULσ1 α =

Ud − Uˆi 3

Ud und ULσ1 β = √ − 0 3

(15.75)

Ist Uˆi < Ud /3, so ist ULσ1 α > 0, damit ist auch dI1α /dt > 0 und I1α steigt. Wenn ˆi > Ud /3 ist, so ist ULσ1 α < 0, damit ist auch dI1α /dt < 0 und I1α sinkt jedoch U weiter und verl¨aßt das ¨außere Toleranzband. Die Stromkomponente I1α kann erst dann wieder ins Innere des Toleranzbereichs gef¨ uhrt werden, wenn I1β die innere  11 geschaltet negative Komparatorschleife erreicht und der Spannungsvektor U wird. Da dieser Spannungsraumzeiger nach Abb. 15.43 die Komponenten 2 U1α = Ud 3

,

U1β = 0

(15.76)

besitzt, kann dies nur funktionieren, wenn Uˆi < 2Ud /3 ist. Bei der Auslegung des Antriebssystems ist dies zu ber¨ ucksichtigen. Ein weiteres Beispiel f¨ ur eine Hysteresebandverletzung sei im folgenden kurz beschrieben. Es wird angenommen, die Regeldifferenz ΔI1β befindet sich im Bereich −H − ΔH < ΔI1β < −H und dβ besitzt den Wert Null. Wenn ΔI1α den Rand H + ΔH des ¨außeren Toleranzbandes erreicht, wechselt dα zum Zustand  11 geschaltet. Eins und nach der Schalttabelle wird der Spannungsraumzeiger U Dieser Zustand wird beibehalten, wenn ΔI1α anschließend wieder ins Innere des Toleranzbandes sinkt. Wechselt dann dβ von Null nach −1, weil die Regeldifferenz ΔI1β den Rand −H − ΔH des a¨ußeren Toleranzbereichs trifft, wird zum  16 gewechselt. Dieser Zeiger besitzt die α-Komponente Spannungsraumzeiger U Ud /3. Falls zugleich die Gegenspannungskomponente Uiα > Ud /3 ist, liegt an der Induktivit¨at Lσ1 die Differenzspannungskomponente ULσ1 α = Ud /3 − Uiα < 0. Dies bedeutet, daß die Stromkomponente I1α sinkt. Somit steigt die Regeldifferenz ΔI1α an, bis dβ seinen Zustand wechselt. Dies kann unter Umst¨anden so lange dauern, bis die Stromkomponente I1α bereits das ¨außere Toleranzband verlassen hat. In Abb. 15.45 ist das Verlassen des ¨außeren Hysteresebandes der α-Komponente des Stroms mit Pfeilen markiert. Wie in Abb. 15.46 erkennbar ist, erm¨oglicht das Raumzeiger-Hystereseverfahren auch eine schnelle Reaktion im dynamischen Fall. Im vorherigen Abschnitt waren eine Pulsmustererzeugung ohne Ber¨ ucksichtigung der Gegenspannung und die sich daraus ergebenden Vor- und Nachteile dargestellt worden. Wie sich ergeben hatte, f¨ uhrt insbesondere die Realisierung von großen Spannungsdifferenzen zu schnellen Strom¨anderungen und somit im station¨aren Betrieb zu unerw¨ unschten, hohen Schaltfrequenzen.  S der Last (sofern vorhanden), Eine Ber¨ ucksichtigung der Gegenspannung U i d.h. der Spannungsdifferenz an der Induktivit¨at und damit der Strom¨anderungsgeschwindigkeit nach Amplitude und Phase ist, wie schon im vorigen Kapitel diskutiert, sinnvoll. Eine Schwierigkeit ist allerdings die Bestimmung der Gegenspannung. Die Grundlage der zu beschreibenden Pulsmustererzeugung ist die

726

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

Differentialgleichung (15.77), die das Verhalten der Ersatzschaltung der Lastseite des Wechselrichters (Abb. 15.47) beschreibt. dI1S 1 S 1 S S = = (U − Ui ) U dt Lσ1 Lσ1 Lσ1 1

(15.77)

Im folgenden werden zwei Beispiele der pr¨adiktiven Stromregelung vorgestellt. 15.4.4

Pr¨ adiktive Stromregelung mit Schalttabelle

In diesem Abschnitt wird ein Verfahren vorgestellt, das die Information u ¨ ber die Lage der Gegenspannung nutzt, um die beschriebene Problematik der reinen Strom-Hystereseregelung zu beseitigen. Um dies zu erreichen ist eine Schalttabelle zu finden, die von ΔI1 und der Lage der Gegenspannung abh¨angig ist. Durch Einsetzen der Ableitung der negativen Regelabweichung Gl. (15.78) in Gl. (15.77) und anschließendes Umformen erh¨alt man Gl. (15.79) f¨ ur die Bewegung des negativen Regelabweichungszeigers in Abh¨angigkeit von der Gegenspannung. Das negative Vorzeichen wird zur Vereinfachung der Bestimmung der  1S∗ die exakte Schaltzust¨ande eingef¨ uhrt (Annahme R1 = 0). Dabei beschreibt U kontinuierliche Spannung, die der Wechselrichter erzeugen m¨ ußte. d(−ΔI1 ) dIS dI S∗ = 1 − 1 dt dt dt d(−ΔI1 ) dI S∗ 1 S S 1  S  S∗ (U1 − Ui ) − 1 = (U − U1 ) = dt Lσ1 dt Lσ1 1 mit

(15.78)

(15.79)

 S∗  S + Lσ1 dI1  S∗ = U (15.80) U 1 i dt Wie im vorigen Kapitel beschrieben, kann aber die Wechselrichterspannung  1S = U  1k mit k = 1 . . . 8 annehmen. Entsprechend  1S nur die acht Werte U U  1S∗ und damit auch f¨  1S − U ur die Ableitung sind f¨ ur die Differenzspannung U der Regelabweichung sieben verschiedene Werte m¨oglich. Die Wechselrichter 1k bewegt den Zeiger −ΔI1 in die Richtung U  1k − U  S∗ mit Klemmenspannung U 1 S∗  1 |/Lσ1 . Die Regelstrategie sieht prinzipiell so, wie  1k − U der Geschwindigkeit |U oben beschrieben, aus: Um den Sollwertzeiger I1S∗ wird eine Toleranzfl¨ache gelegt und die Spannungsraumzeiger des Wechselrichters werden so gew¨ahlt, daß die Trajektorie des Istwertzeigers I1S in dieser Toleranzfl¨ache bleibt. Das heißt, der Betrag des Zeigers −ΔI1 soll auf die R¨ander der Toleranzfl¨ache begrenzt werden. Jedesmal wenn er den Rand der Toleranzfl¨ache erreicht, ist, je nachdem wo der Rand ber¨ uhrt wird, der Spannungsraumzeiger zu schalten, der den Zeiger −ΔI1 mit der kleinstm¨oglichen Geschwindigkeit wieder in die Toleranzfl¨ache zur¨ uckbringt.

15.4 Optimierte Pulsverfahren

727

Da die Bestimmung des g¨ unstigsten Spannungsraumzeigers einerseits die Identifizierung des Ber¨ uhrungspunktes des Zeigers −ΔI1 mit dem Rand der Toleranzfl¨ache und andererseits die Absch¨atzung der Differenzspannung f¨ ur alle Spannungsraumzeiger ben¨otigt, kann eine Sektorierung der Toleranzfl¨ache sowie die Bestimmung der Segmente, in denen die Trajektorie des Differenzspannungs 1k − U  S∗ mit k = 1 . . . 8, liegt, vorgenommen werden. Dabei wird anzeigers U 1 ¨ genommen, daß der Wechselrichter nicht √ im Ubermodulationsbereich arbeitet,  S∗ wird auf Ud / 3 begrenzt. d.h. der Betrag von U 1 b b

x1

x 2, b

DH h1 H

I3

-DI1 I1

I2

I4

I1

-DI1

a, a

S*

I5 I1S

I6

h2 a

c

Abb. 15.48: Sechseckige Toleranz߬ ache

F¨ ur die Bestimmung des Treffpunkts des Zeigers −ΔI1 mit dem Rand der Toleranzfl¨ache wird ein Sechseck definiert, das wie in Abb. 15.48 in sechs Sektoren I1. . . I6 aufgeteilt werden kann. In dieser Abbildung sind auch zwei sp¨ater ben¨otigte Hilfskoordinatensysteme eingetragen. Das ξ1 η1 -Koordinatensystem ist gegen¨ uber dem α, β-System um 60◦ , das ξ2 η2 -Koordinatensystem um 120◦ ge S∗ zu bestimmen, wird die Spannungsebene dreht. Um die Lage des Zeigers U 1 ebenfalls in sechs Sektoren V1. . . V6 aufgeteilt (vgl. Abb. 15.49). √  S∗ z.B. im Sektor V1, so ist unter der Voraussetzung |U  S∗ | < Ud / 3 Liegt U 1 1  S∗ auf das in der Abbildung markier¨ (kein Ubermodulationsbereich) der Zeiger U 1  S des Wechselte Kreissegment beschr¨ankt. F¨ ur jeden Spannungsraumzeiger U 1 S∗  ein entsprechendes Kreissegment.  1k − U richters ergibt sich f¨ ur die Differenz U 1  S∗ im Sektor V1 liegt. Abb. 15.50 zeigt diese Segmente, wenn U 1  S∗ im Sektor V1) wie folgt ermitDie Schalttabelle wird f¨ ur diesen Fall (U 1  telt: Ber¨ uhrt der Zeiger −ΔI1 den Rand der Toleranzfl¨ache im Sektor I1 (vgl. Abb. 15.48), so muß wegen Gl. 15.77 ein Spannungsraumzeiger gew¨ahlt werden,  1k − U  S∗ mit negativer α-Komponente erder einen Differenzspannungszeiger U 1 gibt. Dadurch wird gew¨ahrleistet, daß der Zeiger −ΔI1 wieder ins Innere der Toleranzfl¨ache zur¨ uckkehrt. Da es bei diesem Verfahren unerheblich ist, wie sich

728

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

b

U13

U12 V2

V3

p 3

U14

U1 S* V1 U11

U17 , U18 V4

a

V6 V5

U15

U16

U 3 2 U = d 2 3 d 3

Abb. 15.49: Sektorierung der Spannungsebene

der Zeiger −ΔI1 innerhalb der Toleranzfl¨ache bewegt, muß die β-Komponente des Differenzspannungszeigers nicht ber¨ ucksichtigt werden. Gem¨aß Abb. 15.50  13 , U  14 , U  15 und U  17 /U  18 kann zwischen den Wechselrichterausgangsspannungen U gew¨ahlt werden, da deren Kreissegmente der Differenzspannungen vollst¨andig links der β-Achse liegen. Die L¨ange des Differenzspannungszeigers bestimmt die ¨ Anderungsgeschwindigkeit von −ΔI1 . Eine niedrigere Geschwindigkeit bedeutet eine l¨angere Verweildauer im selben Schaltzustand bis der Rand der Toleranzfl¨ache wieder ber¨ uhrt wird und f¨ uhrt so zu einer niedrigeren Schaltfrequenz im  17 /U  18 die station¨aren Fall. Im obigen Beispiel ergeben die Spannungszeiger U kleinste Differenzspannung, da das zugeh¨orige Kreissegment in Abb. 15.50 den geringsten Abstand vom Koordinatenursprung aufweist. Denkt man sich diesen Fall 60◦ um den Koordinatenursprung gedreht, entspricht dies einem Auftreffpunkt des Zeigers −ΔI1 an dem Rand der Toleranz 1S∗ liegt im Sektor V1). Der Differenzspannungszeiger fl¨ache im Sektor I2 (U muß dann eine negative Komponente in ξ1 -Richtung aufweisen. Von den m¨ogli 14 , U  15 , U  16 und U  17 /U  18 , deren Kreischen Wechselrichterausgangsspannungen U  17 /U  18 die segmente vollst¨andig links der η1 -Achse liegen, ergeben wiederum U k¨ urzesten Differenzspannungszeiger.  1S∗ liegt im Wenn −ΔI1 den Rand der Toleranzfl¨ache im Sektor I3 ber¨ uhrt (U ◦ Sektor V1) entspricht dies dem ersten Fall um 120 um den Koordinatenursprung gedreht. Der Differenzspannungszeiger muß daher eine negative ξ2 -Komponente besitzen. Nach Abb. 15.50 liegen nur die Kreissegmente der Wechselrichteraus-

15.4 Optimierte Pulsverfahren

b

x2 h1

x1

U13

U12 U12 - U1S*

U13 - U1S*

U17 , U18

U14 S*

U17 - U1

U14 - U1S*

729

U11

a

U11 - U1S*

U18 - U1S*

h2

U15

U15 - U1S*

U16 - U1S*

U16

1k − U

S∗ ) bei U

S∗ im Sektor Abb. 15.50: Bereiche des Differenzspannungszeiger (U 1 1 V1

Tabelle 15.5: Schalttabelle f¨ ur den station¨ aren Fall

Sektoren

I1

I2

I3

I4

I5

I6

V1

˜ 18 ˜ 17 /U U

˜ 18 ˜ 17 /U U

˜ 11 U

 11 U

 12 U

 12 U

V2

 13 U

 18  17 /U U

 18  17 /U U

 12 U

 12 U

 13 U

V3

 14 U

 14 U

 18  17 /U U

 18  17 /U U

 13 U

 13 U

V4

 14 U

 15 U

 15 U

 18  17 /U U

 18  17 /U U

 14 U

V5

 15 U

 15 U

 16 U

 16 U

 18  17 /U U

 18  17 /U U

V6

 18  17 /U U

 16 U

 16 U

 11 U

 11 U

 18  17 /U U

 11 , U  15 und U  16 vollst¨andig links der η2 -Achse, wobei mit U  11 gangsspannungen U der k¨ urzeste Differenzspannungszeiger erzielt wird.

730

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

Tabelle 15.6: Schalttabelle f¨ ur den dynamischen Fall

Sektoren

I1

I2

I3

I4

I5

I6

V1. . . V6

 14 U

 15 U

 16 U

 11 U

 12 U

 13 U

6

-



H +ΔH

I4

I1a ∗ I1a

−

-? e

ΔI1a

-1

r

−

-? e

ΔI1b

-

-1

 I2

r

ΔI1c

-

-1

r

 I6

 I2

-

Schalttabelle

 1k U

-

I3

-

6

H

6

-

I1

-

H

6

-

I5

-

H +ΔH

 I4

−

-

6

-

-? e

-

I3

-

H +ΔH

6

-

I1c ∗ I1c

 I6

I1b ∗ I1b

6

-

-

I1

-

I5

 1S∗ Sektor V1,...,V6 von U

-

H

Abb. 15.51: Blockschaltbild der pr¨ adiktiven Stromregelung mit Schalttabelle

¨ Anhand dieser Uberlegungen k¨onnen auf analoge Weise f¨ ur alle Sektoren I1. . . I6 und V1. . . V6 die g¨ ungstigsten Wechselrichterausgangsspannungen ermittelt werden. Tabelle 15.5 zeigt die daraus resultierenden Ergebnisse. Die drei erw¨ahnten Beispiele sind darin fett markiert. Die Schalttabelle 15.5 ist so gew¨ahlt, daß der Wechselrichter mit m¨oglichst niedriger Schaltfrequenz im station¨aren Zustand arbeitet. Dies erfordert die Auswahl des Spannungsraumzeigers, der die langsamste Bewegung f¨ ur den Zeiger −ΔI1 ergibt. Allerdings ist auch eine schnelle dynamische Reaktion w¨ unschenswert. Man definiert deshalb eine zweite leicht gr¨oßere sechseckige Toleranzfl¨ache um die erste herum (Abb. 15.48). Wenn der Zeiger −ΔI1 an den Rand der ¨außeren Toleranzfl¨ache st¨oßt bzw. diese verlassen hat, werden die Spannungsraumzeiger der Schalttabelle 15.6 bevorzugt. Damit wird eine schnelle Bewegung f¨ ur −ΔI1 durch W¨ahlen eines Spannungsraumzeigers mit großer Differenzspannung erm¨oglicht.

15.4 Optimierte Pulsverfahren Phase a

Phase b

Phase c

1.2

1.2

0.8

0.8

0.4

I1 IN

0.4

I1b IN

0.0

0.0

-0.4

-0.4

-0.8

-0.8

-1.2 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-1.2 -1.2

1.2

-0.8

-0.4

0.0

0.8

1.2

S*

*

I1 Phase a, b, c IN

I1 IN

I1 Phase a, b, c IN

I1 IN

0.08

S

DI1 IN

DH

0.0

0.04

DI1b IN

0.4

I1a IN

t T

0.06

731

-20.0

0.02

dB

0.0 -0.02

-40.0

-60.0

-0.04 -80.0 -0.06 -0.08 -0.08

-100.0 -0.04

0.0

DI1a IN

0.04

0.08

1.0

40.0

80.0

120.0

160.0

200.0

F F1

Abb. 15.52: Verhalten der pr¨ adiktiven Stromregelung im station¨ aren Fall: oben links: Soll- und Istwerte der Phasenstr¨ ome oben rechts: Soll- und Iststromraumzeiger unten links: Zeiger der Regelabweichung unten rechts: Spektrum von I 1S , berechnet ¨ uber 4T

Es gibt f¨ ur jeden Sektor der Toleranzfl¨ache nur einen Spannungsraumzeiger,  1k − U  S∗ der f¨ ur alle sechs Spannungssektoren die gr¨oßte Differenzspannung U 1 ergibt (d.h. sein Kreissegment liegt am weitesten vom Koordinatenursprung ent-

732

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen β - Komponente

I1 IN

2.0

2.0

1.0

1.0

I1β IN

0.0

-1.0

-2.0

0.0

-1.0

-2.0

α - Komponente

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

t T

2.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

I1α IN S*

I1* α, β - Komponente IN

I1 IN

I1 α, β - Komponente IN

I1 IN

S

Abb. 15.53: Verhalten der pr¨ adiktiven Stromregelung im dynamischen Fall: links: Komponenten des Soll- und Istwertstromraumzeigers rechts: Soll- und Iststromraumzeiger

fernt). Deshalb ist die Schalttabelle unabh¨angig von der Lage der Gegenspannung. Abbildung 15.51 zeigt das Prinzip dieses Verfahrens. Die R¨ander der Toleranzfl¨ache werden im Dreiphasen-System durch Komparatoren realisiert. Wie es auch in Abb. 15.48 dargestellt ist, wird das Toleranz-Sechseck so eingerichtet, daß das Toleranzband f¨ ur jeden Phasenstrom durch die zwei gegen¨ uber liegenden R¨ander des Sechseckes gebildet wird. Anhand dieser Konfiguration entdeckt jeder Phasenkomparator die Ber¨ uhrung mit dem Rand der zwei gegen¨ uberliegenden Sektoren. Derjenige Komparator, der zuletzt angesprochen hat, ist maßgebend f¨ ur die Schalttabelle. Abbildung 15.52 zeigt Ergebnisse des Verfahrens. Die Simulationsdaten wurden wie bei der raumzeigerbasierten Hystereseregelung gew¨ahlt (Ausnahme: ΔH = 0, 3 A). Der wesentliche Unterschied zum Hystereseverfahren ist, daß hier der Zeiger der Regelabweichung im station¨aren Fall immer innerhalb der Toleranzfl¨ache bleibt. Die Schaltfrequenz w¨ahrend einer Hauptperiode schwankt im Vergleich mit der einfachen Hystereseregelung kaum. Wie aus Abb. 15.53 ersichtlich ist, wird durch die Verwendung der Schalttabelle 15.6 auch eine schnelle dynamische Reaktion erreicht.

15.4 Optimierte Pulsverfahren

733

Das beschriebene Verfahren kommt mit einer groben und ungenauen Sch¨atzung der Lage der Gegenspannung aus, weil einerseits nur eine Sektorbestimmung notwendig ist und andererseits die dynamische Schalttabelle garantiert, daß bei einem Fehler der Sektorbestimmung oder bei anderen St¨orungen der Zeiger der Regelabweichung schnell wieder in die Toleranzfl¨ache zur¨ uckgef¨ uhrt wird. 15.4.5

Dead-Beat-Pulsmustererzeugung

Bei den bisher vorgestellten Verfahren war angenommen worden, daß ein neuer Schaltzustand immer dann sofort ausgel¨ost wird, wenn der Raumzeiger der Regeldifferenz das Hysterese-Sechseck bzw. den Hysterese-Kreis ber¨ uhrt. Wenn diese Annahme erf¨ ullt ist, werden die Regeldifferenzen innerhalb der Hystereseb¨ander bleiben. Die Istwerte werden den Sollwerten um so besser folgen, je geringer die Hysteresebandbreite und je h¨oher die Schaltfrequenz der Wechselrichterventile ist. Aufgrund dieses Ansatzes der Hystereseregelung wird sich die Schaltfrequenz innerhalb der Grundfrequenzperiode ¨andern und damit ein variables Oberschwingungsspektrum f¨ ur die vorhandene Grundfrequenz erzeugen. Um dieses variable Oberschwingungsspektrum zu vermeiden, kann das in [276] beschriebene Dead-Beat-Verfahren eingesetzt werden. Wie bei der Spannungsraumzeigermodulation handelt es sich dabei um ein Verfahren mit fester Abtastperiode T . Ein Nachteil bei diesem Vorgehen ist allerdings, daß der Spannungs-Sollwert zum Zeitpunkt kT abgetastet und erst im Zeitintervall (k + 1)T realisiert wird. Daher hat der Spannungsraumzeiger-Istwert eine mittlere Zeitverz¨ogerung von T /2 gegen¨ uber dem Sollwert; dies ist um so st¨orender, je gr¨oßer die Abtastperiode T ist. Voraussetzung f¨ ur diese Art der Stromregelung ist die exakte Kenntnis von Lage und Amplitude der Gegenspannung. Deshalb kommt dieses Verfahren h¨aufig bei netzseitigen Wechselrichtern zur Anwendung.  S wird F¨ ur die Berechnung der ben¨otigten Wechselrichterausgangsspannung U 1 ¨ die Anderung des Strom-Istwerts w¨ahrend eines Taktintervalls ausgehend von Gl. (15.77) linear angen¨ahert.     ΔI1 (k + 1)T = I1S (k + 1)T − I1S (kT ) =

 T  S  iS (kT ) U1 (kT ) − U Lσ1

(15.81)

Das Regelprinzip fordert, daß am Ende des Intervalls der Strom-Istwert mit seinem am Anfang des Intervalls vorgegebenen Sollwert u ¨bereinstimmen soll, d.h.   I1 (k + 1)T = I1S∗ (kT ) (15.82) Durch Einsetzen in Gl. (15.81) ergibt sich  T   S∗  S (kT ) I1S∗ (kT ) − I1S (kT ) = U1 (kT ) − U i Lσ1

(15.83)

734

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

 S∗ am Wechselrichterausgang ergibt sich dann wie Die ben¨otigte Sollspannung U 1 folgt.    1S∗ (kT ) = Lσ1 I1S∗ (kT ) − I1S (kT ) + U  iS (kT ) U (15.84) T Angenommen, die Gegenspannung bleibt f¨ ur ein Abtastintervall konstant, dann  S∗ die Ubereinstimmung ¨ des Stromgarantiert die eingestellte Spannung U 1 Istwerts mit dem Sollwert am Ende des Intervalls. Der geforderte Spannungs 1S∗ wird exakt durch die Kombination der verf¨ raumzeiger U ugbaren Spannungs 16 und U  17 /U  18 ) nach dem Prinzip der Raumzeigermodula 11 . . . U raumzeiger (U tion erzeugt. Das Prinzip ist ausf¨ uhrlich in Kap. 15.4.1 beschrieben. Beim Dead-Beat-Verfahren haben alle drei Zweige des Wechselrichters eine feste Schaltfrequenz, die je nach verwendetem Pulsmuster in der Modulation entweder identisch mit der Abtastfrequenz oder halb so hoch ist. Abbildung 15.54 zeigt das Verhalten des Verfahrens im station¨aren Zustand. Die Simulationsdaten wurden wie bei den vorherigen Beispielen gew¨ahlt. Die Schaltfrequenz betrug 3 kHz. Das Spektrum des Iststroms zeigt niedrigere Amplituden f¨ ur die Oberschwingungsnebenb¨ander der Frequenzen F1n = n vf F1 mit n = 1, 2, . . . . Dabei bezeichnet F1 die Grundfrequenz und vf = FT /F1 das Taktverh¨altnis. ¨ Da die Regelung f¨ ur die Ubereinstimmung der Ist- und Sollwerte der Str¨ome ein Taktintervall Zeit ben¨otigt, weisen die Verl¨aufe eine Totzeit von T auf. Dies ist auch aus dem gebildeten leeren Kreis in der Mitte des Verlaufes von ΔI1 (Abb. 15.54 links unten) zu erkennen. Um dies zu beseitigen, wird   anstelle des S∗ S∗   aktuellen Sollwertes I1 (kT ) der gesch¨atzte Wert I1 (k + 1)T des n¨achsten Intervalls verwendet. Die gem¨aß Gl. (15.84) berechnete Sollspannung sorgt daf¨ ur, daß der Istwert exakt den gew¨ unschten Sollwert am Ende des Intervalls erreicht. Sind die Sollwertverl¨aufe vorab bekannt, kann die Sch¨atzung durch Vorziehen des Sollwertes um ein Taktintervall erfolgen. Dieses Verfahren ist als pr¨ adiktive Dead-Beat-Stromregelung bekannt. Die Ergebnisse der Pr¨adiktion sind in Abb. 15.55 dargestellt. Dort ist neben S∗ dem gew¨ unschten Sollwertverlauf I1S∗ auch der vorgezogene, mit I1V bezeichnete, abgebildet. Diese Vorgehenweise kann nur im station¨aren Fall angewendet werden, wenn der zuk¨ unftige Verlauf des Sollwertes I1S∗ vorab bekannt ist. Im dynamischen Fall muß die Spannungsauswahl auf andere Weise erfolgen.  S∗ außerhalb des Sechsecks der SpanDieser Fall liegt vor, wenn der Zeiger U 1  16 liegt, d.h. der Wechselrichter kann die ben¨otigte  11 . . . U nungsraumzeiger U  1S∗ nicht mehr einstellen, und daher kann der Istwert den Sollwert Spannung U nicht innerhalb eines Taktintervalls erreichen.  S∗ — wie in Die Einstellung einer proportional verringerten Spannung U 1V S Abb. 15.56 dargestellt — bewegt den Iststrom I1 nicht in die richtige Richtung. Wie aus Gl. (15.85) und (15.86) ersichtlich ist, stimmt die Differenz der Stromistwerte ΔI1V nicht mit der Differenz ΔI1∗ zwischen Stromsollwert am Ende des Intervalls und momentanen Iststrom u ¨berein. Dies bedeutet, der Stromistwert bewegt sich nicht in die gew¨ unschte Richtung (vgl. Abb. 15.57).

15.4 Optimierte Pulsverfahren

735

I1 S* IN 1.2

1.2

0.8

0.8

I1a* IN

0.4

I1 IN

0.0 -0.4

0.4

I1a IN

*

I1b IN

I1b IN

I1b IN

0.0 -0.4

-0.8 -1.2 0.0

I1S IN

-0.8

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

-1.2 -1.5

-1.0

-0.5

DI1 IN

0.2

0.5

1.0

1.5

0.0 -20.0

0.1

DI1b IN

0.0

I1a IN

t T

-40.0

0.0

dB

-60.0 -80.0

-0.1 -100.0

-0.2 -0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

-120.0 1.0

50.0

100.0

DI1a IN

150.0

200.0

F F1

Abb. 15.54: Verhalten der Dead-Beat-Stromregelung im station¨ aren Fall: oben links: Komponenten des Soll- und Iststromraumzeigers oben rechts: Soll- und Iststromraumzeiger unten links: Zone und Zeiger der Regelabweichung unten rechts: Spektrum von I 1S , berechnet ¨ uber 4T

    = I1S (k + 1)T − I1S (kT ) ΔI1V (k + 1)T =

 T   S∗  iS (kT ) U1V (kT ) − U Lσ1

(15.85)

    = I1S∗ (k + 1)T − I1S (kT ) ΔI1∗ (k + 1)T =

 T   S∗  S (kT ) U1 (kT ) − U i Lσ1

(15.86)

736

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen a-Komponente

b-Komponente

DI1 IN

0.08

1.2

0.06

0.8

0.04 0.4

I1 IN

DI1b IN

0.0 -0.4

0.02 0.0 -0.02 -0.04

-0.8 -1.2 0.0

-0.06 0.2

0.4

0.6

0.8

t T

Strom-Sollwert

1.0

1.2

-0.04

0.0

0.04

0.08

DI1a IN

*

I 1a,b IN

S*

vorgezogener Strom-Sollwert Strom-Istwert

-0.08 -0.08

I1a,b V IN

I1a,b IN

Abb. 15.55: Verhalten der pr¨ adiktiven Dead-Beat-Stromregelung im station¨ aren Fall: links: Komponenten des Soll- und Iststromraumzeigers rechts: Zeiger der Regelabweichung

b

U12 U1

S*

S*

U1V

U11

a

Abb. 15.56: Verringerung der Sollspannung

15.4 Optimierte Pulsverfahren

737

b S

Ui

S*

U1 U1V

S*

a S*

S

U1 - Ui S*

S

U1V - Ui

Abb. 15.57: Auswirkung der Sollspannungsverringerung

F¨ ur eine schnelle Reaktion im dynamischen Zustand muß ΔI1 aus Gl. (15.81) ur die Bestimmung der Spannungsstets in die gleiche Richtung wie ΔI1∗ zeigen. F¨ ur raumzeiger, die den Zeiger ΔI1 in die Richtung von ΔI1∗ bewegen, muß man f¨  alle sechs Nichtnullspannungsvektoren die Lage des Differenzstromvektors ΔI1k gem¨aß Gl. (15.87) berechnen: ΔI1k =

T   S ) mit k = 1 . . . 6 (U1k − U i Lσ1

(15.87)

 1k f¨  1k und U Man w¨ahlt die beiden Spannungsraumzeiger U 1 2 ur die Modulation,   zwischen deren ΔI1k1 und ΔI1k2 der gew¨ unschte Differenz-Zeiger ΔI1∗ liegt. In  14 und dem Beispiel nach Abb. 15.58 kommen hierf¨ ur die Spannungsraumzeiger U  15 in Betracht. U Die Schaltdauern der gew¨ahlten Spannungsraumzeiger Tk1 und Tk2 k¨onnen anhand der folgenden Gleichung berechnet werden. ΔI1∗ =

Tk1   iS ) + Tk2 (U  1k2 − U  iS ) (U1k1 − U Lσ1 Lσ1

(15.88)

Da die Summe (Tk1 + Tk2 ) gr¨oßer als ein Taktintervall ist, werden Tk1 und Tk2 proportional gem¨aß Gl. (15.89) und (15.90) verk¨ urzt, ohne daß der Winkel von ΔI1 ge¨andert wird. T Tk 1 = Tk1 (15.89) Tk1 + Tk2 T (15.90) Tk 2 = Tk2 Tk1 + Tk2

738

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

b DI16 DI15

DI11

DI1

*

DI14

a

DI13 DI12 Abb. 15.58: Auswahl der Spannungsraumzeiger im dynamischen Zustand

Beim oben beschriebenen Auswahlverfahren f¨ ur den dynamischen Zustand bewegt sich der Istwert des Stroms stets in Richtung des Sollwerts, wodurch eine schnelle dynamische Reaktion auf die Sollwert¨anderung gew¨ahrleistet ist (Abb. 15.59). Vergleicht man die in den vorhergehenden Abschnitten vorgestellten Pulsverfahren, so zeichnet sich das Raumzeiger-Hystereseverfahren durch seine sehr einfache Realisierung aus. Bei einer hardwarem¨aßigen Ausf¨ uhrung der Schalttabelle sind sehr hohe Verarbeitungsgeschwindigkeiten zu erreichen. Durch die fehlende Ber¨ ucksichtigung der Gegenspannung kann allerdings die innere und unter Umst¨anden sogar die ¨außere Toleranzfl¨ache verlassen werden. Dieser Nachteil wird bei der pr¨adiktiven Stromregelung mit Schalttabelle vermieden. Da hierf¨ ur lediglich eine Sektorbestimmung der Lage der Gegenspannung notwendig ist, wird der Rechenaufwand im Vergleich zum Raumzeiger-Hystereseverfahren ohne Gegenspannungsber¨ ucksichtigung nur wenig erh¨oht. Beide Verfahren erzeugen durch die variable Schaltfrequenz ein Oberschwingungsspektrum, das keine besonders ausgepr¨agten Harmonischen aufweist. Vielmehr ist das Spektrum eher gleichm¨aßig verteilt (Abb. 15.44 und 15.52 rechts unten). Bei der Dead-BeatRegelung sind die Vielfachen der Schaltfrequenz im Spektrum wesentlich deutlicher zu erkennen (Abb. 15.54 rechts unten) und k¨onnen dadurch leichter ausgefiltert werden. Durch die feste Abtastperiode kann dieses Verfahren auch bei schaltentlasteten Umrichtern eingesetzt werden. Allerdings ist bei Verwendung des Dead-Beat-Verfahrens die Kenntnis der genauen Lage und Amplitude der Gegenspannung notwendig, wodurch dieses Verfahren haupts¨achlich bei netzseitigen Stromrichtern oder/und zur Leistungsfaktor-Regelung zum Einsatz kommt.

15.4 Optimierte Pulsverfahren

739

β - Komponente

I1 IN

2.0

2.0

1.0

1.0

I1β IN

0.0

-1.0

-2.0

0.0

-1.0

-2.0

α - Komponente

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

I1α IN

t T

S*

I1* α, IN

- Komponente

I1 IN

I1 α, IN

- Komponente

I1 IN

S

Abb. 15.59: Verhalten der Dead-Beat-Stromregelung im dynamischen Fall: links: Komponenten des Soll- und Iststromraumzeigers rechts: Soll- und Iststromraumzeiger

740

15.5

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

Direkte Regelungen Prof. Dr. A. Steimel, Bochum

15.5.1

Direkte Selbstregelung

Hochleistungsumrichterantriebe — besonders solche f¨ ur hohe Eingangsspannungen von 1...3 kV , wie man sie z.B. bei Schienentriebfahrzeugen findet — weisen typischerweise, bedingt durch die Schaltverluste der Halbleiter, nur sehr niedrige zul¨assige Schaltfrequenzen von 250...300 Hz auf. Weiter sind aus Gewichtsgr¨ unden die Zwischenkreisst¨ utzkapazit¨aten im allgemeinen sehr klein, so daß die Zwischenkreisspannung nicht mehr als glatt angesehen werden darf. Zus¨atzlich treten etwa beim Befahren von Trennstellen im Fahrdraht erhebliche dynamische Spannungsschwankungen auf, die man von Industrieumrichterantrieben nicht kennt. Diese drei Effekte bewirken, daß die Approximation des Spannungsgrundschwingungsraumzeigers durch die Spannungsraumzeigermodulation nach Kap. 15.4.3 oder die synchronisierten Pulsverfahren nach Kap. 15.3.2 hier nur unbefriedigende Ergebnisse zeigen. Ein Steuer- und Regelverfahren, das auf diese traktionstypischen Randbedingungen besonders hin entwickelt wurde, ist die Direkte Selbstregelung oder DSR (Depenbrock 1984, [397, 399, 400, 406, 411, 418]). Sie beruht auf zwei Grundgedanken: Der Raumzeiger des Statorflusses wird durch geeignetes, vom Fluß selbst gesteuertes Schalten der sechs von Null verschiedenen Spannungsraumzei 11 ... U  16 nach Abb. 15.3 direkt gem¨aß der Grundgleichung ger U   = dΨ U dt

(15.91)

mit m¨oglichst wenigen Schaltungen auf einer relativ einfachen, definierten Bahnkurve gef¨ uhrt, womit der Magnetisierungszustand der Asynchronmaschine festgelegt wird. Der Augenblickswert des Drehmoments wird dann u ¨ ber die Geschwindigkeit, mit der der Flußraumzeiger auf dieser Bahnkurve l¨auft, geregelt. Diese wird durch das relative zeitliche Einschaltverh¨altnis zwischen den Span 11 ... U  16 sowie dem Nullspannungsraumzeiger kontrolliert. nungsraumzeigern U Es kommen dabei keine Stromkomponentenregler zum Einsatz. Zur Berechnung der Statorfluß- und Drehmoment-Augenblickswerte ist ein vollst¨andiges Maschinenmodell erforderlich. Es ist vorteilhaft, das statorfeste Koordinatensystem zur Beschreibung zu w¨ahlen. Um die Statorgr¨oßen in den eingesetzten Mikro- oder Signalprozessoren m¨oglichst einfach und schnell berechnen zu k¨onnen, wird das sogenannte kanonische Γ -Ersatzschaltbild nach Abb. 15.60 verwendet, in dem die Streuinduktivit¨at im Rotorkreis konzentriert ist. Um die von den entsprechenden Gr¨oßen im T-Ersatzschaltbild (Abb. 15.1) abweichenden Gr¨oßen nicht zu verwechseln, werden als Indizes f¨ ur Stator- und Rotorkreis ’s’ und ’r’ gew¨ahlt; der hochgestellte Index K = S(ΩK = 0) wird zur Vereinfachung nicht angeschrieben. Bei den angenommenen linearen Ersatzelementen sind die neuen Maschinenparameter durch folgende Gleichungen eindeutig aus denen des

A. Steimel

15.5 Direkte Regelungen ® Is

Rs

® Us

® Ir

Ls

®

m

® r

Lm

jW

741

K

Rr

® r

Abb. 15.60: Kanonisches Γ -Ersatzschaltbild der Asynchronmaschine im statorwicklungsfesten Koordinatensystem

T-Ersatzschaltbilds zu bestimmen: Lμ = L1 = M + L1σ

2 L1σ L1σ L1σ + 1 + Lσ = 1+ L2σ L1 L1

2 L1σ 1+ R2 Rr = L1 2 · M + L1σ r = Ψ Ψ M

(15.92) (15.93)

(15.94) (15.95)

Der Streufaktor betr¨agt σ =

Lσ Lσ + Lμ

(15.96)

Man erh¨alt — analog zu Kap. 15.1 — aus Gl. (13.55) die neue Statorgleichungen   s = Is Rs + dΨμ U dt

(15.97)

und aus Gl. (13.56) die neue Rotorgleichung.   r = 0 = Ir Rr + dΨr − jΩL Ψ r U dt

(15.98)

Die beiden Flußverkettungsgleichungen lauten dann:  μ = Lμ (Is + Ir ) Ψ μ + Ψ σ  r = Lμ Is + (Lμ + Lσ ) Ir = Ψ Ψ

(15.99) (15.100)

742

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

Mit letzterer wird die Rotorgleichung umgeformt zu:  r dΨ Rr   μ − j ΩL Ψ r = 0 + Ψr − Ψ dt Lσ Die Beziehungen f¨ ur das Drehmoment lauten:    2 1 3 μ  Ψ  r  sin ϑ  ∗ · Is = 3 Zp 1 Ψ MM i = Zp Im Ψ μ 2 2 Lσ

(15.101)

(15.102)

μ und Ψ  r aufgespannte Flußwinkel ist. wobei ϑ der von Ψ Jetzt werden die beiden Spannungsmaschengleichungen (15.97) und (15.98) nach den Ableitungen der Fl¨ usse aufgel¨ost. Der Statorflußraumzeiger als die direkt geregelte Gr¨oße wird in einem weiten Statorfrequenzbereich allein durch Integration der Statormaschengleichung (15.97) bestimmt.      s − Is Rs dt Ψμ = (15.103) U Der Rotorflußraumzeiger folgt aus dem Statorflußraumzeiger mit einer Verz¨ogerung erster Ordnung gem¨aß der Rotorstreuzeitkonstanten Lσ /Rr :

  Rr      Ψr = (15.104) Ψμ − Ψr + j ΩL Ψr dt Lσ Wenn die sog. Außenspannungsraumzeiger des speisenden Pulswechselrich 11 ...U  16 zyklisch nacheinander alle f¨ ters U ur die gleiche Zeit eingeschaltet werden, wird bei Vernachl¨assigung von Is · Rs der Raumzeiger des Statorflusses auf einer regelm¨aßigen Sechseckbahnkurve gef¨ uhrt. Die Richtung der Bewegung entspricht derjenigen des ausgew¨ahlten Spannungsraumzeigers, die Bahngeschwindigkeit seinem Betrag (vgl. Abb. 15.61). In der sog. Flußselbststeuerung erfolgt die Weiterschaltung der Spannungen jetzt aber nicht zeitgesteuert, wie in der bekannten Grundfrequenztaktung (Kap. 15.3.1), sondern abh¨angig davon, daß die β-Koordinate des Statorflusses definierte Schwellen erreicht. Dazu werden analog zur β = βa -Achse die auf den b- und c-Projektionsachsen senkrecht stehenden Achsen βb und βc eingef¨ uhrt. So wird z.B. der durch die Schalterstellung  11 dann ein1 0 0 (nach Tabelle 15.1) gekennzeichnete Spannungsraumzeiger U geschaltet, wenn die Projektion des Statorflußraumzeigers auf die βa -Achse den Wert −Ψμ∗ erreicht. Damit wird die Flußbahnkurve unabh¨angig von St¨orungen des Augenblickswerts der Zwischenkreisspannung eingehalten und das Verfahren besonders robust. Damit ist der Antrieb aber erst nur f¨ ur den Bereich der Grundfrequenztaktung (mit zwangsl¨aufiger Feldschw¨achung bei Frequenzerh¨ohung und konstanter Zwischenkreisspannung) geeignet. Im Spannungsstellbereich muß der Mittelwert der Bahnumlaufgeschwindigkeit und dazu der Mittelwert der Strangspannung der gew¨ unschten Statorfrequenz angepaßt werden. Dies geschieht u ¨blicherweise

15.5 Direkte Regelungen

A. Steimel

743

a, a ®

|U s n | =

2 U 3 d

1

bc

2

6 ®

m

b, ba

®

J

0

s

®

m=

®

2 U 3 d

r

3

5

b

c

*

m

4

bb

Abb. 15.61: Raumzeiger der Wechselrichterspannung und der Maschinen߬ usse

durch Einf¨ ugen von Nullspannungsraumzeigern zwischen die vom Flußregler ausgew¨ahlten Außenspannungsraumzeiger ( Pulsen“), was bei der DSR durch einen ” Drehmomentzweipunktregler gesteuert wird. W¨ahrend im Controller das Drehmoment nach der ersten Gleichung von (15.102) berechnet wird, zeigt die zweite Gleichung von (15.102) am besten, daß zur schnellen Ver¨anderung des Drehmoments nur der Flußwinkel ϑ zur Verf¨ ugung steht, da der Statorfluß durch die optimale Flußbahnkurve festgelegt ist und der mit dem Kurzschlußl¨aufer verkettete Rotorfluß sich nicht schneller als entsprechend der Rotorstreuzeitkonstante ¨andern kann. Die Bahnkurve des Rotorflußraumzeigers ist damit ann¨ahernd ein Kreis, der mit konstanter Winkelgeschwindigkeit durchlaufen wird. Eine schnelle ¨ Anderung des Flußwinkels ϑ erreicht man jedoch dadurch, daß man den Statorflußraumzeiger durch Einf¨ ugen einer Nullspannung anh¨alt oder ihn wieder laufen l¨aßt. Abbildung 15.62 zeigt die notwendige Signalverarbeitung; sie ist vergleichsweise einfach. Drei Betaflußkomparatoren (Ψμ -Regler) regeln die Amplituden der drei trapezf¨ormig verlaufenden β-Projektionen des Statorflusses und w¨ahlen damit die notwendigen Außenspannungsraumzeiger aus. Der DrehmomentZweipunktregler (M-Regler) schaltet immer dann, wenn das obere DrehmomentToleranzband noch nicht erreicht ist, die von den Flußkomparatoren vorgegebene Außenspannung in der Schaltzustandsauswahl SA durch. Bei Erreichen dieses Toleranzbands w¨ahlt der Drehmomentregler diejenige Nullspannung 1 1 1 oder 0 0 0 aus, die mit nur einer Umschaltung erreicht wird. Dies geschieht im Block Nullartauswahl (NAA). Der Schaltfrequenzregler (FT -Regler) stellt die Hystereseweite 2m so ein, daß die zul¨assige Schaltfrequenz FT∗ immer voll ausgenutzt

744

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

Ud

Motormodell Us a

ma mb

Us b m*

m -Regler

2/3KW

Id

SA

mba

Sa

mbb

Sb

mbc

Sc

3 ~

Rs Rs

NAA

M-Regler MMi

em

M*

I sa I s b 3/2KW Us a WRUs a Mod.

I sab Ud IM S a,b,c

FT - Regler

F*T

Abb. 15.62: Blockschaltbild der Direkten Selbstregelung (DSR)

wird, und somit der Drehmomentrippel immer kleinstm¨oglich ist. Das Drehmoment ist prinzipiell frei von niederfrequenten Harmonischen. Die Augenblickswerte von Fl¨ ussen und Drehmoment werden im Motormodell (links oben in Abb. 15.62) aus den Motorspannungen und -str¨omen errechnet. W¨ahrend letztere vergleichsweise leicht mit Wandlern gemessen werden k¨onnen, werden die Spannungen besser im WR-Modell aus der ohnehin gemessenen ZKSpannung und den WR-Schaltsignalen Sa , Sb , Sc berechnet. Somit werden keine Spannungswandler hoher Bandbreite sowie in der Grundform kein Drehzahlgeber ben¨otigt. Die ganze Regelung wird auf einem Digitalen Signalprozessor in typischerweise 50 μs abgearbeitet. In diesem Raster kann i.A. der Drehmomentregler noch ohne Pr¨adiktion der exakten Schaltzeitpunkte gerechnet werden, w¨ahrend f¨ ur die Flußselbststeuerung meist eine Timerl¨osung gew¨ahlt wird, da wegen der geringen Anzahl von Flußschaltungen ungenaue Schaltzeitpunkte sich besonders stark auswirken. Prinzipiell wird im Motormodell die Nachbildung der Rotormasche nicht gebraucht, solange der Statorspannungsfall vernachl¨assigt werden darf. Durch die Flußschwellenregelung ist die Integration der Statormasche keine offene Integration mehr. Unterschiede zwischen den Gr¨oßen im Modell und in der wahren Maschine liegen in der Gr¨oßenordnung der Unterschiede der Ersatzparameter von

15.5 Direkte Regelungen

A. Steimel

745

Modell und wahrer Maschine. Zieht man jedoch ein Rotormodell hinzu, um die Modellstrom-Raumzeigerkoordinaten zu berechnen und vergleicht diese in zwei Reglern mit den entsprechenden gemessenen Gr¨oßen, kann der Ausgang dieser Regler zur Korrektur der Parameterfehler sowie der Fehler der Spannungsnachbildung im WR-Modell genutzt werden. Dies wird in Kap. 15.5.2 wieder aufgegriffen. Die sechseckf¨ormige Bahnkurve hat den Vorteil, daß sie nur die minimale Anzahl an Schaltungen f¨ ur die Flußf¨ uhrung braucht, n¨amlich sechs, die restlichen zul¨assigen Schaltungen stehen f¨ ur die Drehmomentregelung zur Verf¨ ugung. Die f¨ ur die Drehmomentwelligkeit wirksame mittlere Pulsfrequenz ist damit Fp = 3 · (FT − Fs )

(15.105)

und damit um knapp 50 % h¨oher als bei der Raumzeigermodulation nach Kap. 15.4.1 (2 · FT ). Bei dynamischem Bedarf k¨onnen aber die Schaltungen auch mit wesentlich h¨oherer Pulsfrequenz erfolgen. Die sich bei einer fest geregelten mittleren Schaltfrequenz FT∗ im Leerlauf einstellende Drehmomentschwankungsweite kann wie folgt angegeben werden: Bezieht man das Drehmoment nach Gl. (15.102) auf das Kippmoment MM K =

3 1 Zp Ψ'μ(1) 2 4 Lσ

(15.106)

erh¨alt man mit Rotor- gleich Statorflußamplitude (Leerlauf!) und sin ϑ ≈ ϑ f¨ ur die bezogene Drehmomentschwankung: Δm =

ΔMM i = 2ϑ(t) MM K

(15.107)

Ist eine Außenspannung eingeschaltet, bewegt sich der Statorfluß im Mittel mit der der Typenpunktsfrequenz Fs0 entsprechenden Winkelgeschwindigkeit Ωs0 , bei eingeschalteter Nullspannung mit Ωs = 0. Der Rotorflußraumzeiger bewegt sich immer mit ΩL . Somit ist im ersten Fall das Winkelinkrement (und damit die Drehmomentschwankung) 2 · (Ωs0 − ΩL ) · TEin , im letzteren Fall −2 · ΩL · TAus . Diese Ein-Aus-Zeiten, durch die Drehmomentschwankungsweite Δm ausgedr¨ uckt, erh¨alt man zu: TEin =

1 Δm ; 2(Ωs0 − ΩL )

TAus =

1 Δm 2ΩL

(15.108)

Mit der Pulsfrequenz 1 (15.109) TEin + TAus ergibt sich die gew¨ unschte Abh¨angigkeit des Drehmoments von der nach Gl. (15.105) bestimmten Pulsfrequenz:

ΩL ΩL Δm = 2 · 1 − · (15.110) Ωs0 Fp Fp =

746

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

Bei kleiner Aussteuerung ist jedoch die Mindesteinschaltzeit der Ventile maßgebend. In diesem Bereich wird die Drehmomentschwankungsweite durch Δm = 2 · (Ωs0 − ΩL ) · TEin,M in

(15.111)

und im Bereich hoher Aussteuerung entsprechend durch die Mindestausschaltzeit bestimmt. Δm = 2 · ΩL · TAus,M in (15.112) Der Mittelwert der Schaltfrequenz kann dann nicht mehr auf seinen Sollwert geregelt werden; der Mittelwert der Pulsfrequenz betr¨agt hier mit Gl. (15.110):

1 1 ΩL ΩL   Fp = bzw. Fp = 1 − (15.113) Ωs0 TEin,M in Ωs0 TAus,M in Abbildung 15.63 stellt die sich einstellende, auf MM K bezogene Drehmomentschwankungsweite Δm in Abh¨angigkeit von der bezogenen Rotordrehfrequenz f¨ ur Fs0 = 50 Hz, FT∗ = 250 Hz und TEin,M in = TAus,M in = TM in = 200 μs dar. Zum 0,4

Dm

RZ-Modulation 0,3 0,2 DSR 0,1 0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

WL Ws0

1

Abb. 15.63: Auf das Kippmoment bezogene Drehmomentschwankungsweite bei DSR und bei Raumzeiger-Modulation in Abh¨ angigkeit von der bezogenen Drehzahl. Leerlauf; Typenpunktsfrequenz Fs0 = 50 Hz, Schaltfrequenz FT∗ = 250 Hz und Mindestschaltzustandszeit TM in = 200 μs

Vergleich ist gestrichelt die Drehmomentschwankungsweite bei der sogenannten Raumzeiger-Modulation [?] eingetragen. Ber¨ ucksichtigt man zus¨atzlich, daß die Pulsfrequenz bei DSR ann¨ahernd 50 % gr¨oßer ist, ergibt sich bei der f¨ ur die Drehzahlwelligkeit maßgeblichen Drehmoment-Zeitfl¨ache ann¨ahernd eine Halbierung im Vergleich zur Raumzeiger-Modulation (vgl. [420]).

A. Steimel

15.5 Direkte Regelungen

747

y ma

1

m

0 25

0

50

t ms

y sa

-1

Abb. 15.64: Verl¨ aufe von α-Koordinate des Statorflusses Ψμα , Drehmoment m und Statorstrom ysα bei DSR; Statorfrequenz Fs = 26, 5 Hz, FT∗ = 250 Hz. Bezugswerte siehe Text

1,5

em em

1,25

MM MMN 1

0,75 0,5 0,25

m* m

0 0,25

10

20

30

t ms

t AN = 4,4ms Abb. 15.65: Drehmomentsprungsantwort bei DSR; ΩL = 0, 75 · Ω0 , FT∗ = 250 Hz

Abbildung 15.64 gibt eine Messung an einem 15-kW -Versuchsstand wieder [419]: Die α-Koordinate des Statorflusses Ψμα , bezogen auf die Nenn-Flußamplitude, das Drehmoment m, bezogen auf das Kippmoment, das bei diesem Antrieb 250 % des Nennmoments betr¨agt, und den Statorstrom ysα , bezogen auf den Rotorkurzschlußstrom, der hier das 3, 54-fache des Nennstroms betr¨agt. Die Nennfrequenz FN ist 50 Hz, die aktuelle Statorfrequenz Fs ist 26, 5 Hz und die mittlere Schaltfrequenz ist FT∗ = 250Hz. Die Drehmomentschwankungsweite betr¨agt 87 % des Nennmoments (infolge Stromverdr¨angung hat die f¨ ur die Oberschwingungen wirksame Streuinduktivit¨at nur ca. 70 % des f¨ ur die Schlupffrequenz wirksamen Werts Lσ ), der Statorstrom ist auch ohne die Pulsoberschwingungen notwendigerweise nicht sinusf¨ormig, da der Statorfluß eine sechseckf¨ormige Bahnkurve beschreibt. Trotzdem sind, wie in [420] gezeigt, nahezu alle die Verzerrung von Strom und Drehmoment beschreibenden Kennwerte besser als bei einer synchronisierten Taktung mit gleicher maximaler Schaltfrequenz.

748

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

Abbildung 15.65 stellt einen Drehmomentanregelvorgang dar, bei einem Sprung des Sollwerts auf ca. 125 % des Nenndrehmoments und sonst gleichen Randbedingungen. Die Modulation der Statorfluß-Winkelgeschwindigkeit beim Durchlauf durch einen Sektor ist klar zu erkennen. In diesem Betriebspunkt hoher Aussteuerung geht der Flußwinkel w¨ahrend des Drehmomentanstiegs sogar wieder zur¨ uck, wenn der Fluß sich um eine Ecke bewegt. Trotzdem ist die Anregelzeit nicht viel gr¨oßer als bei einem idealen Wechselrichter, bei dem der Statorspannungsraumzeiger mit stets gleicher Winkelgeschwindigkeit laufen k¨onnte. Nachteilig am Betrieb mit sechseckf¨ormiger Statorflußbahnkurve im Vergleich zu dem mit kreisf¨ormiger Bahnkurve ist, daß die Flußgrundschwingung bei gleichem Scheitelwert um 9 % kleiner ist, und daß der Betrag mit sechsfacher Statorfrequenz um +9,7 % / −5 % um die Grundschwingungsamplitude schwankt. Dies f¨ uhrt zu entsprechenden Magnetisierungsstromspitzen und damit zu sechspulsigen Komponenten im WR-Eingangsstrom, die bei Bahnantrieben wegen m¨oglicher Signalbeeinflussungen st¨oren k¨onnen.

aa

ba

bc

®

m

m*2

* m

bb

Abb. 15.66: Statorflußbahnkurve bei DSR mit Eckeneinklappung

Die n¨achstbessere Ann¨aherung an den idealen Kreis ist ein symmetrisches Sechseck, bei dem die Ecken eingeklappt werden, wie in Abb. 15.66 gezeigt [419]. Hierzu sind aber 6 · 2 = 12 Schaltungen zus¨atzlich erforderlich, die dann f¨ ur die Drehmomentregelung fehlen. Die Pulsfrequenz sinkt auf Fp = 3 · (FT∗ − 3Fs )

(15.114)

ab, die Drehmomentschwankungsweite wird entsprechend gr¨oßer. Um diese Flußbahn zu erreichen, erh¨alt die Flußselbststeuerung eine zweite Flußschwelle bei ∗ Ψμ2 = kβ Ψμ∗ , die bewirkt, daß die Flußbahn rechtzeitig vor der Hauptecke eingeklappt wird. Jetzt wird im Beispiel die Projektion auf die Achse βb u ¨berwacht.

15.5 Direkte Regelungen

A. Steimel

749

y ma

1 m

0 0

25 ysa

50

t ms

-1

Abb. 15.67: Verl¨ aufe von α-Koordinate des Statorflusses Ψμα , Drehmoment m und Statorstrom ysα bei DSR mit achtzehneckiger Statorflußbahnkurve und kβ = 0, 815. Statorfrequenz Fs = 26, 5 Hz, FT∗ = 250 Hz. Bezugswerte und Randbedingungen wie Abb. 15.64

Geht diese durch Null, wird wieder auf die alte Flußrichtung zur¨ uckgesprungen, bis beim Erreichen der Hauptschwelle Ψμ∗ endg¨ ultig auf die neue Flußrichtung u ¨bergegangen wird. Die Robustheit gegen ZK-Spannungsschwankungen bleibt so voll erhalten. Abbildung 15.67 zeigt — bei gleichen Randbedingungen wie in Abb. 15.64 — das station¨are Verhalten f¨ ur ein Schwellenverh¨altnis kβ = 0, 815, das die sechste Harmonische im Zwischenkreisstrom eliminiert. Statorfluß und -strom sind bedeutend sinusf¨ormiger, da die f¨ unften und siebten Harmonischen entfallen. Die Drehmomentwelligkeit hat aber um 23 % zugenommen. Gleichung (15.103) f¨ ur den Statorfluß macht deutlich, daß sich in den Zeiten, in denen eine Nullspannung geschaltet wird, der Statorflußraumzeiger entgegengesetzt zur Richtung des Stromraumzeigers bewegt. Je l¨anger die Einschaltzeit der Nullspannungen im Verh¨altnis zur Einschaltzeit der Außenspannungen ist, das heißt, je niedriger die mittlere Statorfrequenz ist, um so deutlicher wird dieser Effekt. Dies f¨ uhrt in allen praktischen Betriebspunkten zu einer Absenkung der Rotorflußamplitude. Um dies zu vermeiden, wird durch einen integral wirkenden Rotorflußbetragsregler der Sollwert f¨ ur die Betaflußkomponenten entsprechend erh¨oht. Der notwendige Rotorflußbetragssollwert l¨aßt sich aus dem Drehmomentsollwert und dem urspr¨ unglichen Betaflußsollwert berechnen. Den entsprechenden Istwert liefert das Motormodell (mit Gl. (15.101)). Hochleistungswechselrichter mit einer Schaltfrequenz von z.B. 250 Hz m¨ ussen ab einer Statorfrequenz von 1/3 · 250 Hz = 83, 3 Hz in Blocktaktung betrieben werden. Dies hat den Vorteil, daß die Grundschwingungsspannung und damit das verf¨ ugbare Kippmoment des Antriebs maximal sind. Im Unterschied zur bekannten Grundfrequenztaktung kann die Direkte Selbstregelung das Drehmoment auch hier hochdynamisch ¨andern, indem sie den Flußwinkel ϑ schnellstm¨oglich

750

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

durch Verk¨ urzen der Bahnkurve ¨andert [401]. Dazu m¨ ussen nur die Sollwerte f¨ ur die Betaflußkomparatoren geeignet beaufschlagt werden. Die dazu notwendige Struktur ist in Abb. 15.68 dargestellt. Die Pulsung ist blockiert, das Drehmoment wird u ¨ber einen Schlupffrequenzregler beeinflußt, der seine Eingangsgr¨oßen aus den entsprechenden Drehmomentgr¨oßen durch Multiplikation mit 23 ZRp Ψr 2 gewinnt. Durch Begrenzung des Schlupfr frequenzsollwerts l¨aßt sich der Kippschutz sehr einfach realisieren. Die station¨are Feldschw¨achung wird wie folgt erreicht: Sowie die Statorsollfrequenz Ωs = Ω + Ωr∗ den Bezugswert Ωs0 (den Wert bei Typenpunktsfrequenz) u ¨berschreitet, werden die Schaltschwellen der Betaflußkomparatoren reziprok vorgesteuert abgesenkt (unten in Abb. 15.68), wobei die aktuelle H¨ohe der Zwischenkreisspannung sowie der ohmsche Statorspannungsfall geeignet ber¨ ucksichtigt werden. Die notwendige Drehzahlinformation liefert entweder ein Drehzahlgeber oder kann einfach nach dem in [571] beschriebenen Verfahren gesch¨atzt werden. Die nicht triviale Aufgabe, den Statorflußraumzeiger zur richtigen Zeit auf seine neue verk¨ urzte Bahnkurve zu zwingen, l¨ost ein zus¨atzlicher SchlupffrequenzPI-Regler (Abb. 15.68 Mitte oben). Die starke Verk¨ urzung der Bahnkurve bewirkt eine “dynamische Feldschw¨achung“, wie rechts oben in Abb. 15.68 dargestellt. Mit dieser Struktur l¨aßt sich der neue Drehmomentwert nach einer Totzeit entsprechend einem Sektordurchlauf 1/(6Fs ) sowie eines weiteren Sektors erreichen, womit die h¨ochstm¨ogliche Dynamik im Feldschw¨achbereich mit relativ geringem Aufwand, vor allem ohne Spannungsstellreserve, erzielt wird.

Abb.15.68: Blockschaltbild der DSR im Feldschw¨ achbereich und Trajektorie des Statorflusses bei Drehmomentsprung mit dynamischer Feldschw¨achung

15.5 Direkte Regelungen

A. Steimel

751

Zum Abbau des Drehmoments im Feldschw¨achbereich muß die β-Flußschwelle entsprechend angehoben werden. Wenn aber der verlangte Drehmomentsprung so groß ist, daß er eine Nullspannung f¨ ur die Mindesteinschaltdauer oder l¨anger erfordert, wird diese dynamisch auch im Grundfrequenztaktungsbereich zugelas¨ sen. Damit wird das Drehmoment extrem schnell verringert und ein Uberstrom infolge Vergr¨oßerung des Streuflusses verhindert. Diese Regelungsstruktur l¨aßt sich auch mit der oben beschriebenen achtzehneckigen Flußbahnkurve kombinieren [419]. Damit kann bei Nennflußsollwert der Aussteuerbereich von etwa 93 . . . 100 % besser als mit DrehmomentZweipunktregelung abgedeckt werden, die unter dem Einfluß der Mindestausschaltzeiten der Ventile zu starker Verringerung der mittleren Schaltfrequenz (vgl. Gl. (15.113)) und unruhigem Drehmomentverlauf neigt. Die Statorflußkurve und damit auch Strom und Drehmoment entsprechen station¨ar der bekannten Dreifachtaktung mit Flankenmodulation; die dynamischen Vorteile der Direkten Selbstregelung und ihre Robustheit gegen Eingangsspannungst¨orungen bleiben aber im Wesentlichen erhalten. Dieses Verfahren wird auch als “Bahnl¨angenregelung“ bezeichnet. Zus¨atzlich k¨onnen bei kleineren Aussteuerungen Nullspannungen abh¨angig vom Erreichen bestimmter Flußaugenblickswerte geschaltet werden, womit station¨ar quasi-synchrone optimierte Pulsmuster eingestellt werden k¨onnen [419]. Abbildung 15.69 zeigt — f¨ ur die Randbedingungen von Abb. 15.64, jedoch bei einer Statorfrequenz von 43 Hz entsprechend einer Aussteuerung von 86% – die quasi-synchrone F¨ unffachtaktung mit Flanken- und Mittenmodulation. Die

y ma

1 m

0 0

25

t ms

ysa

-1

Abb.15.69: Verl¨ aufe der α-Komponente des Statorflusses Ψμα , des Drehmoments m und des Statorstroms ysα bei Bahnl¨angenregelung mit F¨ unffachtaktung. Statorfrequenz Fs = 43 Hz. Bezugswerte und Randbedingungen wie Abb. 15.64

Schaltschwellen lassen sich leicht mit den nach bekannten Verfahren der Optimierung synchroner Pulsmuster ermittelten Bahnl¨angen (Schaltdauern) berechnen. ¨ Die Uberg¨ ange zwischen den verschiedenen Pulsmustern lassen sich ebenfalls vergleichsweise einfach realisieren [426].

752

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

Es wurde auch eine Variante der Direkten Selbstregelung f¨ ur den DreipunktWechselrichter (vgl. [36, 37, 38]) entwickelt [417], die auf einer gr¨oßeren Serie Hochleistungslokomotiven in der Schweiz im Einsatz ist. 15.5.2

Indirekte Statorgr¨ oßen-Regelung

Wenn bei niedriger Drehzahl bzw. Aussteuerung die verlangten Spannungspulse k¨ urzer als die Mindesteinschaltzeit der Leistungshalbleiter werden, ist der f¨ ur die Direkte Selbstregelung typische einfache Wechsel zwischen drehmomentaufbauender Außenspannung und drehmomentabbauender Nullspannung nicht mehr m¨oglich: Innerhalb einer Pulsperiode werden eine Nullspannung und zwei verschiedene Außenspannungen, also drei Schaltungen, ben¨otigt. Dies vergr¨oßert den Drehmomentrippel bei gleicher mittlerer Schaltfrequenz um etwa 50 %, wie erw¨ahnt. Der ohmsche Statorspannungsfall l¨aßt die Statorflußbahnkurve nach innen vom Sechseck abweichen; die sechs den Flußbetrag bestimmenden Schalthandlungen sind bei niedriger Drehzahl trotz des Wirkens des Rotorflußbetragsreglers nicht mehr ausreichend, um Feldschw¨achung zu vermeiden. Die in [406] beschriebene Flußhystereseregelung mit um −120◦ dem von der Flußselbststeuerung ausgew¨ahlten Spannungsraumzeiger nacheilendem Spannungsraumzeiger erfordert aber zus¨atzliche Schaltungen, die den erw¨ahnten Vorteil gegen¨ uber der SinusPWM aufzehren. Die mit der sechseckigen Flußbahnkurve verbundenen sechspulsigen Anteile im Eingangsstrom des Wechselrichters w¨ urden bei niedriger Statorfrequenz eine unzul¨assig hohe Zwischenkreisspannungswelligkeit verursachen. Ohne Nachteile kann jetzt aber auch der Statorfluß auf einer kreisf¨ormigen Bahnkurve gef¨ uhrt werden, indem ein herk¨ommliches PWM-Verfahren (wie in Kap. 15.3.2) eingesetzt wird. Die Grundgedanken der DSR bleiben erhalten: F¨ uhrung des Statorflusses auf einer definierten Trajektorie mittels Flußbetrags¨ regler und Regelung des Drehmoments durch Anderung der Bahngeschwindigkeit. Da keine Augenblickswerte, sondern die Mittelwerte w¨ahrend der im Vergleich zur Statorperiode sowie zur Rotorstreuzeitkonstanten kurzen Pulsperiode Tp = 1/(2FT ) verarbeitet werden, wurde der Name “Indirekte Statorgr¨oßenRegelung“ (ISR) gepr¨agt (vgl. [411]). Sie wird in der Traktion sowohl im Anfahrbereich von (langsamtaktenden) GTO-Umrichtern wie jetzt auch im gesamten Spannungsstellbereich von schnelltaktenden IGBT-Umrichtern eingesetzt, also u ¨berall dort, wo der Vorteil der DSR der besonders guten Schaltfrequenzausnutzung eine untergeordnete Rolle spielt. Da die Anwendung im IGBT-Umrichter f¨ ur zuk¨ unftige Anwendungen besonders von Interesse ist, soll die ISR in dieser Form beschrieben werden [407, 412, 413, 418]. Wie schon in Kap. 13.5 beschrieben, ist bei niedriger Frequenz die Integration der Statormaschengleichung (15.97) allein nicht mehr ausreichend. Es ist n¨otig, das Maschinenmodell um die Rotormasche (Gl. (15.101)), d.h. um ein StromDrehzahl-Modell, zu erweitern.

15.5 Direkte Regelungen

A. Steimel

753

Abbildung 15.70 zeigt im Blockschaltbild die Struktur einer solchen Regelung. Das bekannte Statormodell (Strich-Doppelpunkt-Rahmen, links oben) wird um

Abb. 15.70: Blockschaltbild der Indirekten Statorgr¨ oßen-Regelung (ISR)

das Rotormodell erg¨anzt, das aus den Rotorflußkoordinaten (nach Gl. (15.101)) mit Gl. (15.98) die Koordinaten des Modell-Statorstromraumzeigers Is berechnet. Diese werden in den Stromausgleichsreglern (gestrichelt dargestellt) mit den gemessenen Statorstromkoordinaten verglichen und zur Korrektur von Fehlern der Statorspannungsnachbildung im WR-Modell und von Parameterfehlern – prinzipiell auch der sich mit der Motortemperatur ¨andernden Widerst¨ande — herangezogen. Die notwendige Drehzahl liefert entweder ein Drehzahlgeber oder ein Sch¨atzer nach [402, 407]. Letztlich kann zur Bestimmung des Statorspannungsfalls auch der Modellstrom verwendet werden [413]. Dann wird praktisch nur noch das Modell geregelt, und die wahre Maschine u ¨ber den Stromausgleichsregler an dieses Modell gefesselt. Dies erm¨oglicht z.B. einen Testbetrieb der Regelung ohne eingeschalteten Leistungsteil des Antriebs. Um den Statorfluß auf der Kreisbahn im Abtastintervall n der L¨ange Tp zu μ,n ¨andern. Dazu ist i.A. eine Drehung f¨ uhren, muß sich der Statorfluß um ΔΨ

754

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

um einen Winkel Δχμ und eine Streckung um kΨ n¨otig: μ, n = ΔΨ

* +  μ, n−1 (1 + kΨ ) · ejΔχμ − 1 · Ψ

(15.115)

Der erforderliche Drehwinkel Δχ∗μ wird pr¨adiktiv aus den station¨aren Bedingungen der vorhergehenden Pulsperiode ΔχμStat = (Ω + Ωr∗ ) · Tp

(15.116)

¨ sowie der dynamisch erforderlichen Anderung Δχμdyn bestimmt, die der schon bei der Feldschw¨ach-DSR beschriebene Schlupffrequenzregler liefert. Dies wird im mittleren Teil von Abb. 15.70 dargestellt. Ein proportional wirkender Flußbetragsregler (unten) liefert den Streckungsanteil kΨ . Dieser Regler arbeitet im Signalprozessor mit den Quadraten der Signalgr¨oßen, um zeitaufwendiges Wurzelziehen zu vermeiden. Der Istwert |Ψμ |2 wird zuerst unver¨andert durch den zweiten strichpunktierten Multiplizierer geleitet. Die pr¨adizierte Fluߨanderung wird durch die Pulsperiode Tp dividiert und um den Statorspannungsfall Is Rs korrigiert, womit man den Statorspannungs s erh¨alt, der dann von der symmetrierten Sinus-PWM nach Sollraumzeiger U [?, 407] realisiert wird. Bei langsam taktenden GTO-Umrichtern kann dies alles noch innerhalb der minimalen WR-Schaltzustandsdauer (Gr¨oßenordnung 200μs) im DSP selbst berechnet werden. Bei schnelltaktenden IGBT-Wechselrichtern wird ein besonderer Schaltkreis, z.B. ein FPGA, erforderlich. Im Spannungsstellbereich wird die gesamte Drehmomentdynamik durch Ver¨anderung der Spannungsaussteuerung erzielt, wobei der Flußbetrag auf seinem Nennwert bleibt. Im Feldschw¨achbereich kann der gew¨ unschte Winkelzuwachs nicht mehr wie beschrieben erzielt werden, da die Spannung schon ihren maximalen Wert erreicht hat. Der Kehrwert der station¨aren Feld2 schw¨achung 1/γstat wird als Vorsteuerung berechnet [407], verst¨arkt die Flußistwertr¨ uckf¨ uhrung und bewirkt so die erforderliche Reduktion des Flusses. Der nicht ausgeglichene Teil des Ausgangs des Schlupffrequenzreglers wird herangezogen, um den Flußbetrag dynamisch auf den Wert zu schw¨achen, der f¨ ur schnellen Drehmomentanstieg n¨otig ist (Block in strichpunktierten Linien). Abbildung 15.71 zeigt Drehmoment-Sprungantworten an einem IGBT-WRVersuchsstand [413] bei 105 % Nenndrehzahl mit den dazugeh¨origen Werten des    Statorflußbetragsquadrats und der Spannungsaussteuerung a = Us  / Us max : Bei einem positiven Sprung des Drehmomentsollwerts M ∗ bleibt die Aussteuerung auf ihrem maximalen Wert, w¨ahrend |Ψμ |2 erheblich reduziert wird. Damit wird eine Drehmomentanregelzeit von etwa 6 ms erreicht, entsprechend einem Drittel der Grundschwingungsperiode von 19 ms (in Abb. 15.71 ist das Drehmoment wieder auf das Nennkippmoment, der Fluß auf seine Nennamplitude normiert). Bei einem negativen Drehmoment-Sollwertsprung wird die Dynamik ausschließlich durch die Variation der Aussteuerung bestimmt, w¨ahrend der Flußbetrag langsam auf den station¨ar erforderlichen Wert gef¨ uhrt wird.

15.5 Direkte Regelungen

A. Steimel

755

Abb. 15.71: Drehmoment-Sprungantworten im ISR-Feldschw¨ achbereich bei ΩL = 1, 05 · Ω0 : Drehmomentsoll- und Istwert, Aussteuerung a und Statorflußbetragsquadrat |Ψμ |2 . FT∗ = 5 kHz.

15.5.3

Direct Torque Control

Auf dem gleichen Grundgedanken wie die Direkte Selbstregelung beruht das gleichzeitig entstandene, von I. Takahashi [421] angegebene Regelverfahren, das seit etwa der Mitte der neunziger Jahre unter dem Markennamen “Direct Torque Control (DTC)“ [414] f¨ ur Industrieantriebe vermarktet wird. Da nicht Hochleistungs- und Hochspannungsantriebe im Vordergrund standen, ist die Statorflußf¨ uhrung nicht derart schaltzahloptimiert wie bei der DSR ausgef¨ uhrt, sondern wird einem weiteren Hystereseregler anvertraut. Abb. 15.72 stellt die Trajektorie des Statorflusses dar. Die Sektoren I...VI sind um 30◦ gegen¨ uber den Sektoren der Flußselbststeuerung der DSR verschoben. Der Flußregler w¨ahlt flußaufbauende oder flußabbauende Spannungsraumzeiger, der Drehmomentregler ist als Dreipunktregler ausgef¨ uhrt und schaltet auf einen Nullspannungsraumzeiger um (durch Punkte auf der Trajektorie gekennzeichnet), wenn das Drehmoment seine obere Toleranzbandgrenze erreicht. Die Schaltungsauswahl erfolgt mit einer Schalttabelle (Tabelle 15.7). Abbildung 15.73 stellt das Blockschaltbild dazu dar (die Darstellung baut auf [404] auf). Die Reglerausgangssignale haben folgende Bedeutung:

756

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

a

®

U 11 ®

®

U12

U16

®

I

m

II

b

VI ® ® U17 , U18

V

III

®

IV

®

U13

U15

®

U

Abb. 15.72: Statorflußbahnkurve beim DTC-Regelverfahren

Tabelle 15.7: Schalttabelle zum DTC-Regelverfahren

Sektor FRA 1

0

MRA

I

II

III

IV

V

VI

1

 12 U

 13 U

 14 U

 15 U

 16 U

 11 U

0

 17 U

 18 U

 17 U

 18 U

 17 U

 18 U

−1

 16 U

 11 U

 12 U

 13 U

 14 U

 15 U

1

 13 U

 14 U

 15 U

 16 U

 11 U

 12 U

0

 18 U

 17 U

 18 U

 17 U

 18 U

 17 U

−1

 15 U

 16 U

 11 U

 12 U

 13 U

 14 U

 Flußregler

FRA =

0 : Statorfluß abbauen 1 : Statorfluß aufbauen

⎧ ⎨ −1 : schneller Drehmomentabbau 0 : Drehmomentabbau mit Nullzeiger Drehmomentregler MRA = ⎩ 1 : Drehmomentaufbau

15.5 Direkte Regelungen

A. Steimel

| m|*

757

Ud

® Us

® m

| |

|®m|

Sb Schalt-

Sektor bestimm.

Rs

Sa

FRA

MMi

3 ~

Sc

tabelle MRA

em M*

® Is ® Us

I sab

3/2KW WRMod.

Ud S a,b,c

IM

Abb. 15.73: Blockschaltbild des DTC-Regelverfahrens

Man erkennt in Tabelle 15.7 deutlich, wie zu allen aktiven Spannungsraumzeigern mit ungerader Nummer (zwei Nullen im Schaltwort) immer der optimale  18 (drei Nullen) gew¨ahlt wird, zu solchen mit geraNullspannungsraumzeiger U  17 . Dies war auch in der DSR schon so gel¨ost worden. Der der Nummer immer U schnelle Drehmomentabbau (MRA = −1) wird angefordert, wenn das Drehmoment gegen ein zweites, weiter außen liegendes Toleranzband l¨auft, weil die beim Erreichen des ersten Toleranzbandes ausgel¨oste Schaltung das Drehmoment nicht verringern konnte. Dies tritt vor allem bei sehr kleiner Frequenz und damit sehr steilem Anstieg des Drehmoments durch den vom Flußregler ausgew¨ahlten Spannungsraumzeiger auf. Fehler bei der Statorflußintegration werden — wie schon bei der ISR in Kap. 15.5.2 beschrieben — durch einen Stromausgleichsregler korrigiert. Abbildung 15.74 (aus [404]) zeigt die ausgezeichnete Drehmomentdynamik eines DTC-Antriebs, bei einem Drehmomentsollwertsprung von 70 % von MM N enn . Die Statorfrequenz betr¨agt 25 Hz, die mittlere Schaltfrequenz 3, 2 kHz, die Pulsfrequenz ca. 8kHz. Dies ist deutlich weniger als bei der DSR mit sechs- bzw. achtzehneckiger Statorflußbahnkurve (ca. 9, 4 bzw. 8, 9kHz), da merklich mehr Schaltungen f¨ ur die Statorflußf¨ uhrung ben¨otigt werden. Erst bei einer Statorflußhysterese von 14 % ergeben sich die von der DSR her bekannten Verh¨altnisse, allerdings ohne die strenge sechspulsige Synchronizit¨at. DTC wird ebenfalls in Mittelspannungs-Dreipunkt-Wechselrichtern mit mittleren Ventilschaltfrequenzen von etwa 500 Hz eingesetzt [398].

758

15 Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

Abb. 15.74: Drehmomentsprungantwort beim DTC-Regelverfahren. Sprung auf 75 % des Nenndrehmoments, FT∗ ≈ 3, 2 kHz

16 Synchronmaschine

In diesem Kapitel werden die bereits aus dem Buch Elektrische Antriebe — ” Grundlagen“ [36, 37, 38] bekannten Gleichungen sowie Signalflußpl¨ane der verschiedenen Ausf¨ uhrungsformen der Synchronmaschinen kurz dargestellt. Um den Einstieg auch in diesem Buch zu erm¨oglichen, sei u.a. auf Kap. 13.1.1 (Drehfeldmaschine allgemein) und auf Kap. 13.1.2 (Raumzeigerdarstellung) hingewiesen, die wesentliche Grundlagen f¨ ur das Verst¨andnis enthalten. Um die Signalflußpl¨ane nicht allzu komplex werden zu lassen, sollen folgende vereinfachende Annahmen gelten: • Die Magnetisierungskennlinie wird linear angenommen (zur Verfeinerung siehe auch [36, 37, 38, ?]); • Haupt- und Gegeninduktivit¨aten der Maschine k¨onnen in L¨angs- und Querrichtung verschieden sein; • der Stator besitzt eine symmetrische dreistr¨angige Wicklung, die in eine mit dem Rotor rotierende ¨aquivalente zweistr¨angige Wicklung umgerechnet werden kann; • das speisende Drehspannungssystem ist symmetrisch, starr und enth¨alt keine Nullkomponente; • die rotorseitigen Parameter sind auf den Statorkreis umgerechnet; • Einfl¨ usse der Stromverdr¨angung in den Leitern bleiben unber¨ ucksichtigt; • die Eisenverluste werden vernachl¨assigt; • es wird nur die gegenseitige D¨ampfung der magnetischen Grundfelder (einfacher Polpaarzahl) im Luftspalt betrachtet; • Unsymmetrien eines ungleichm¨aßigen oder unvollst¨andigen D¨ampferk¨afigs k¨onnen in Form unsymmetrischer Widerst¨ande und Induktivit¨aten der zweistr¨angigen D¨ampfer-Ersatzwicklung ber¨ ucksichtigt werden; • die Erregerachse soll entweder mit der Mitte einer D¨ampfermasche oder mit der Mitte eines D¨ampferstabes fluchten; • eine magnetische Kopplung von Erregerwicklung und D¨ampferk¨afig u ¨ ber die Nutenquerfelder (f¨ ur den Fall, daß beide Wicklungen in gemeinsamen Nuten untergebracht sind) kann gegebenenfalls u ¨ber eine erh¨ohte Gegeninduktivit¨at MED ber¨ ucksichtigt werden.

760

16 Synchronmaschine

16.1

Synchron-Schenkelpolmaschine ohne D¨ ampferwicklung

16.1.1

Beschreibendes Gleichungssystem

Im folgenden Kapitel soll eine Schenkelpolmaschine vorausgesetzt werden. In diesem Fall ist der Rotor ein Polrad mit ausgepr¨agten Polen. Dieses Polrad tr¨agt nur die Erregerwicklung der Synchronmaschine (Abb. 16.1). Falls die Schenkelpolmaschine eine D¨ampferwicklung aufweist, muß dies durch ein zus¨atzliches dreiphasiges Wicklungssystem 3 ber¨ ucksichtigt werden (Abb. 16.2). bL

a-Achse

dA

U 1a

ch se

UE b-Achse

U1b

q-

A

ch

se

U1c

Abb. 16.1: Synchron-Schenkelpolmaschine ohne D¨ ampferwicklung: Darstellung der Wicklungssysteme (Sternschaltung im Stator)

Auf die Vorkenntnisse, die bei der Ableitung des Signalflußplans der allgemeinen Drehfeldmaschine erarbeitet wurden, wird im folgenden zur¨ uckgegriffen. Die Ableitungen der Gleichungen soll entsprechend Laible [79], Fischer [74] und B¨uhler [73] erfolgen. Bei der Ableitung der Statorgleichungen der Synchronmaschine sind die Statorgleichungen der allgemeinen Drehfeldmaschine zu u ¨bertragen, da der Stator bei der Synchronmaschine auch ein dreiphasiges, symmetrisches Wicklungssystem aufweist. Dieses dreiphasige Wicklungssystem kann vorteilhaft in einem Gleichungssystem mit einem statorfesten Koordinatensystem beschrieben werden. Der Rotor weist nur die Erregerwicklung auf. Aufgrund des ausgepr¨agten Pols wird sich vorwiegend in der direkten Achse (d-Achse) des Polrades ein Fluß der

16.1 Synchron-Schenkelpolmaschine ohne D¨ ampferwicklung bL

761

a-Achse

A dse ch

Ld LD M dD

M dE

LE M DE

b-Achse

LQ M qQ

qA

ch se

Lq

L d , L q : Statorsystem, Wicklungsystem 1 LE : Polrad-Erregung, Wicklungssystem 2 L D , L Q : Dämpfersystem, Wicklungssystem 3

Abb.16.2: Synchron-Schenkelpolmaschine mit D¨ ampferwicklung: Darstellung im d-q– System

Erregerwicklung ausbilden k¨onnen. Wegen dieser besonderen konstruktiven Situation wird f¨ ur den Rotor das mit dem Rotor umlaufende Koordinatensystem L jetzt mit den allgemein verwendeten Achsenbezeichnungen d und q gew¨ahlt (Abb. 16.1 und 16.2). Dies bedeutet, daß damit die Kreisfrequenz ΩL des umlaufenden Koordinatensystems L (d, q) auf die mit der Polpaarzahl Zp umgerechnete mechanische Winkelgeschwindigkeit Ωm des Rotors festgelegt ist. ΩL = Zp · Ωm

(16.1)

Wie bei der allgemeinen Drehfeldmaschine gilt f¨ ur das Statorwicklungssystem die folgende Spannungsgleichung (S: statorfestes Koordinatensystem): S  S = R1 · I S + dΨ1 U (16.2) 1 1 dt Wie bereits in Abb. 16.1 dargestellt, soll eine Winkeldifferenz βL zwischen der statorfesten Koordinatenachse α und der auf das Polrad orientierten Koordinatenachse d bestehen. Es gilt: t βL = βL0 +

ΩL (τ )dτ 0

(16.3)

762

16 Synchronmaschine

mit βL0 als Anfangswert des Winkels zum Zeitpunkt Null und der elektrischen Winkelgeschwindigkeit ΩL des Polrades, vom statorfesten Koordinatensystem aus betrachtet. Wie in Kap. 13.1.1 soll nun in einem zweiten Schritt f¨ ur die Wicklungssysteme des Stators und des Polrads das gemeinsame Koordinatensystem L gew¨ahlt werden. Im vorliegenden Fall der Schenkelpolmaschine ist es naheliegend, das Koordinatensystem L auf das ausgepr¨agte Polrad des Rotors entsprechend Abb. 16.1 zu orientieren. Bei der Transformation der Spannungsgleichung des Stators muß außerdem beachtet werden, daß sowohl die Amplitude des Flusses Ψ1 als auch die Lage relativ zum Koordinatensystem L zeitvariant sind. Es muß somit die Produktregel bei der Differentiation des Flusses angewendet werden, da die Differentiation sowohl nach der zeitvarianten Amplitude als auch nach der Lage erfolgen muß. Es ergibt sich somit: L  L = R1 · I L + dΨ1 + jΩL · Ψ L U 1 1 1 dt

mit

dβL = ΩL dt

(16.4)

Der zweite Term in Gl. (16.4) beschreibt die induzierte Spannung aufgrund der Amplituden¨anderung, der dritte Term aufgrund der Lage¨anderung. Die obige Gleichung kann direkt in die d- und q-Komponenten zerlegt werden: Ud = R1 · Id +

dΨd − ΩL · Ψq dt

(16.5)

Uq = R1 · Iq +

dΨq + ΩL · Ψd dt

(16.6)

Ein vergleichbares Gleichungssystem hatte sich auch f¨ ur das Statorsystem der allgemeinen Drehfeldmaschine ergeben. F¨ ur die Gleichungen des Erregerkreises gilt entsprechend: L  EL = RE · IEL + dΨE U dt

(16.7)

Der hochgestellte Index L kann entfallen, da alle Gleichungen jetzt im gleichen Koordinatensystem vorliegen (nur d-Achse). UE = RE · IE +

dΨE dt

(16.8)

Wie bei der allgemeinen Drehfeldmaschine m¨ ussen nun noch die Flußverkettungen zwischen Stator und Rotor beschrieben werden. Die Induktivit¨aten in der d- und q-Achse unterscheiden sich bei der Schenkelpolmaschine. Die Statorinduktivit¨aten sind Ld und Lq , die Polrad-Induktivit¨at ist LE , die Gegeninduktivit¨aten zwischen Stator und Polrad sind MdE bzw. MqE = 0 (siehe auch Abb. 16.2).

16.1 Synchron-Schenkelpolmaschine ohne D¨ ampferwicklung

763

Aus den bisherigen Darstellungen und Abb. 16.1 folgt, daß bei der Schenkelpolmaschine ohne D¨ampferwicklung nur eine Flußverkettung in der d-Achse u ¨ber MdE m¨oglich ist. Damit gilt: Ψd = Ld · Id + MdE · IE

(16.9)

Ψq = Lq · Iq

(16.10)

ΨE = LE · IE + MdE · Id

(16.11)

Die Induktivit¨aten in der d- und q-Achse lassen sich in Streu- und Hauptinduktivit¨aten aufteilen. In der d-Achse entspricht die Hauptinduktivit¨at der Gegeninduktivit¨at. Ld = Lσd + Lhd = Lσd + MdE ;

Bd B q(1)

B d(1)

Lq = Lσq + Lhq

Bq

(16.12)

B E (1) BE tp

Qd

Qq

QE

Statorlängsfeld

Statorquerfeld

Erregerfeld

Abb. 16.3: Bestimmung der Grundwellenfelder bei gleicher Erreger- und Statordurchflutung (Θ = I · w : Amperewindungen)

Zur Veranschaulichung der Durchflutungs- und Feldverh¨altnisse dient Abb. 16.3. Daraus ist zu entnehmen, daß die Grundwellen Bd(1) bzw. Ψd(1) und BE(1) bzw. ΨE(1) deutlich gr¨oßer als Bq(1) bzw. Ψq(1) sind. Entsprechend ist die Hauptinduktivit¨at Lhd > Lhq und die Streuinduktivit¨at Lσq ≈ Lσd (haupts¨achlich Nutstreuung), w¨ahrend Ld > Lq ist. Da wie bei der allgemeinen Drehfeldmaschine das erzeugte Drehmoment MM i und die mechanische Bewegungsgleichung unabh¨angig vom verwendeten Koordinatensystem sind, kann wie folgt aus Kap. 13.1.1 u ¨bertragen werden: MM i =

  3 · Zp · Ψd · Iq − Ψq · Id 2

(16.13)

764

16 Synchronmaschine

Die Drehmomentgleichung (16.13) muß f¨ ur die Schenkelpolmaschine noch interpretiert werden. Wenn Ψd und Ψq in die Gleichung eingesetzt werden, erh¨alt man mit: Ψd = Ld · Id + MdE · IE

(16.14)

Ψq = Lq · Iq

(16.15)

f¨ ur das Drehmoment: MM i =

3 · Zp · MdE · IE · Iq + (Ld − Lq ) · Id · Iq 2

(16.16)

Aus der Momentgleichung ist zu entnehmen, daß der erste Term aus der multiplikativen Verkn¨ upfung des mit dem Stator verkoppelten Erregerflusses und des Statorstromes Iq entsteht. Im zweiten Term wird ein Drehmomentanteil beschrieben, der unabh¨angig vom Erregerstrom IE ist. Wenn beispielsweise IE = 0 gesetzt wird und eine Maschine mit ausgepr¨agten Polen des Polrads wie bei der Schenkelpolmaschine vorliegt, dann kann allein aufgrund von Ld = Lq ein Moment, das Reluktanzmoment (zweiter Term) erzeugt werden. (Anmerkung: Im Fall der idealen Vollpolmaschine (Turbol¨aufer) ist Ld = Lq und der zweite Term entf¨allt. Damit verbleibt bei der Vollpolmaschine MM i ∼ IE · Iq . Es k¨onnte nun die Frage entstehen, warum Id in diesem Fall keinen Einfluß mehr auf die Momentbildung hat, beim Blindleistungsbetrieb (Phasenschieber) aber IE und Id gleichberechtigt sind. Die Erkl¨arung ist physikalisch: Es ist richtig, daß IE und Id beim Flußaufbau gleichberechtigt sind. Bei der Momentbildung muß allerdings beachtet werden, daß die dreiphasige Statorwicklung bedingt durch die Raumzeigerdarstellung in zwei senkrecht zueinander angeordnete Statorwicklungen transformiert wird. Diese beiden senkrecht zueinander angeordneten Wicklungen f¨ uhren die Str¨ome Id und Iq , die Kraftwirkung wird aber vom Statorgeh¨ause aufgenommen und tr¨agt nicht zum verf¨ ugbaren Moment MM i bei.) F¨ ur eine Schenkelpolmaschine ohne D¨ampferwicklung kann umgeformt werden:

3 · Zp · (MdE · Iμd + Lσd · Id ) · Iq − Lq · Id · Iq MM i = (16.17) 2 mit

Iμd = Id + IE

(16.18)

Aus Gl. (16.17) ist mit Iμd die Verkettung der Fl¨ usse Ψd und ΨE entsprechend der Str¨ome zu erkennen. Es gelten aber die obigen Aussagen bei Ld = Lq weiterhin. Mit der mechanischen Gleichung kann der komplette Gleichungssatz (16.19) f¨ ur die Synchron-Schenkelpolmaschine im d-q-System geschrieben werden als:

16.1 Synchron-Schenkelpolmaschine ohne D¨ ampferwicklung

765

Ψd = Ld · Id + MdE · IE Ψq = Lq · Iq ΨE = LE · IE + MdE · Id dΨd − ΩL · Ψq dt dΨq = R1 · Iq + + ΩL · Ψd dt dΨE = RE · IE +

dt 3 · Zp · MdE · IE · Iq + (Ld − Lq ) · Id · Iq = 2

Ud = R1 · Id + Uq UE MM i Θ·

(16.19)

dΩm = MM i − MW dt ΩL = Zp · Ωm

16.1.2

Synchron-Schenkelpolmaschine in normierter Darstellung

Das beschreibende Gleichungssystem (16.19) soll jetzt normiert werden. In einem ersten Schritt werden die Bezugswerte so gew¨ahlt, daß die N¨ahe zu den physikalischen Gleichungen m¨oglichst gewahrt bleibt. Zur Vereinfachung der aus diesen Gleichungen ableitbaren Signalflußpl¨ane werden dann in einem zweiten Schritt die Bezugswerte so gesetzt, daß sich die normierten Gleichungen und folglich auch die Signalflußpl¨ane m¨oglichst stark vereinfachen [73]. Dies ist vor allem aus regelungstechnischer Sicht sehr w¨ unschenswert. Die Bezugswerte f¨ ur den Stator entsprechen den Daten der Maschine bei Nennbetrieb. Dabei sind Ueff N und Ieff N die Strangnenngr¨oßen: UN =

√ 2 · Ueff N ;

IN =

√ 2 · Ieff N ;

1 2π · fN

(16.20)

ΨN UN = TN · IN IN

(16.21)

TN =

Die abgeleiteten Bezugswerte sind dann: ΨN = TN · UN ; ΩN =

RN =

1 (elektrisch); TN

Ω0N = 2π · N0N ;

UN ; IN

LN =

Ω0N =

1 (mechanisch) TN · Zp

(16.22)

MiN =

3 UN · IN · 2 Ω0N

(16.23)

766

16 Synchronmaschine

Induktivit¨at und Reaktanz bei Nennfrequenz sind im normierten Fall gleich, z.B.: ld =

Ld 2 π · fN · Ld = = xd ; LN RN

lq =

Lq 2 π · fN · Lq = = xq LN RN

(16.24)

Mechanische und elektrische Winkelgeschwindigkeiten und Drehzahl des Rotors (Polrad) sind normiert im station¨aren Betrieb gleich: ωL =

ΩL ; ΩN

ωm =

Ωm ; Ω0N

n =

N N0N

ωL = ωm = n

(16.25) (16.26)

Mit diesen Bezugswerten k¨onnen die Gleichungen (16.8) bzw. (16.5) und (16.6) normiert werden: dψd ud = r1 · id + TN · − ωL · ψq (16.27) dt uq = r1 · iq + TN ·

dψq + ωL · ψd dt

(16.28)

Es ist sinnvoll, den Erregerkreis (und sp¨ater auch den D¨ampferkreis) nicht mit den Bezugswerten f¨ ur den Stator zu normieren. Die Bezugswerte hierf¨ ur lauten: UEN = IEN · REN ;

IEN =

ΨEN ; LEN

TE =

LEN ΨEN = REN UEN

(16.29)

Um die Kopplung zwischen Stator- und Erregerkreis in normierter Darstellung zu beschreiben, wird noch der Bezugswert f¨ ur die Kopplungsinduktivit¨at eingef¨ uhrt: MdEN =

ΨN IEN

=⇒

mdE =

MdE MdE · IEN = ΨN MdEN

(16.30)

Durch Einsetzen erh¨alt man nun: dψE (16.31) dt Die Momentgleichung und die bekannte mechanische Bewegungs-Differentialgleichung lauten normiert: uE = rE · iE + TE ·

mM i = ψd · iq − ψq · id TΘN ·

dωm = mM i − mW dt

(16.32) mit TΘN =

Θ · Ω0N MiN

(16.33)

Die Normierung der Flußverkettungsgleichungen ergibt f¨ ur ψd : ψd = ld · id + mdE · iE

(16.34)

Der Statorquerfluß ist unabh¨angig vom Strom der Erregerwicklung: ψq = lq · iq

(16.35)

16.1 Synchron-Schenkelpolmaschine ohne D¨ ampferwicklung

767

Entsprechend Gl. (16.34) gilt f¨ ur den Erregerfluß: ψE = lE · iE + mEd · id

(16.36)

mit dem Kopplungsfaktor vom Rotor zum Stator: mEd = mdE ·

2 MdEN LEN · LN

(16.37)

Analog zum Gleichungssatz (16.19) der Synchron-Schenkelpolmaschine in unnormierter Darstellung im d-q-System kann f¨ ur die normierte Darstellung der Gleichungssatz (16.38) aufgestellt werden: ψd = ld · id + mdE · iE ψq = lq · iq ψE = lE · iE + mEd · id dψd − ωL · ψq dt dψq = r1 · iq + TN · + ωL · ψd dt dψE = rE · iE + TE · dt

ud = r1 · id + TN · uq uE

(16.38)

mM i = ψd · iq − ψq · id TΘN ·

dωm = mM i − mW dt ωL = ωm = n

Durch geschickte Wahl der Bezugswerte im Erregerkreis l¨aßt sich nun der Gleichungssatz (16.38) noch weiter vereinfachen. So wird der NennErregerwiderstand REN gleich dem Erregerwiderstand RE gesetzt, der Bezugswert LEN f¨ ur die Erregerinduktivit¨at wird zu LE gew¨ahlt und die Kopplungsinduktivit¨at wird auf MdE bezogen: REN = RE ; LEN = LE ; MdEN = MdE ⇒ rE = lE = mdE = 1 (16.39) Durch diese Wahl der Bezugswerte entfallen in Gleichungssatz (16.38) rE , lE und mdE , der Kopplungsfaktor mEd wird umgerechnet zu mEd = 1 ·

2 2 MdE Ld MdE · = · ld = (1 − σE ) · ld LE · LN Ld LE · Ld

(16.40)

768

16 Synchronmaschine

mit dem Streufaktor σE

2 MdE (16.41) Ld · LE Es ergibt sich nunmehr der vereinfachte Gleichungssatz (16.42), der als Grundlage f¨ ur alle weiteren Betrachtungen herangezogen wird.

σE = 1 −

ψd = ld · id + iE ψq = lq · iq ψE = iE + (1 − σE ) · ld · id dψd − ωL · ψq dt dψq + ωL · ψd r1 · iq + TN · dt dψE iE + TE ·

dt 1 · ψd − ψE σE · ld 1 · ψq lq

1 · ψE − (1 − σE ) · ψd σE

ud = r1 · id + TN · uq = uE = id = iq = iE =

(16.42)

mM i = ψd · iq − ψq · id TΘN ·

dωm = mM i − mW dt ωL = ωm

16.1.3

Signalflußplan der Synchron-Schenkelpolmaschine bei Spannungseinpr¨ agung

Mit Hilfe des des Gleichungssatzes (16.42) und dψd = ud − r1 · id + ωL · ψq (16.43) dt dψq = uq − r1 · iq − ωL · ψd TN · (16.44) dt dψE = uE − iE TE · (16.45) dt l¨aßt sich nun der normierte Signalflußplan der Synchron-Schenkelpolmaschine im d-q-System zeichnen (Abb. 16.4). TN ·

16.1 Synchron-Schenkelpolmaschine ohne D¨ ampferwicklung

769

wL

yd

yq

1 sT N

1 sE ld id

1 sT N

r1

1 sE ld

-

-

ud

uq

1 lq iq

r1

yE 1 sT E

1 sE iE

-

-

1

uE

1- s E sE

2

sE = 1 -

MdE LdLE

m Mi

-

mW 1 sT QN wm

1

wL

Abb. 16.4: Normierter Signalflußplan der Synchron-Schenkelpolmaschine nach Gleichungssatz (16.42)

770

16 Synchronmaschine wL

yd

yq

1 sTN

1 sE l d

id

r1

-

1 sTN

-

-

ud

uq

1 ld

iq

r1

1 sE l d yE 1 sT E

1 sE iE

1

-

id

uE

iq

(1-s E)l d

sE l d

yq

yd

-

2

sE = 1 -

MdE LdLE

m Mi mW

1 sT Q N

wm 1 wL

Abb. 16.5: Abgewandelter Signalflußplan der Synchron-Schenkelpolmaschine nach Gleichungssatz (16.42)

16.1 Synchron-Schenkelpolmaschine ohne D¨ ampferwicklung

771

Abbildung 16.5 zeigt einen abgewandelten Signalflußplan, der in sp¨ateren Kapiteln - beispielsweise bei Synchronmaschinen mit D¨ampferwicklung — verwendet wird. Das vollst¨andige Blockschaltbild der Synchron-Schenkelpolmaschine ohne D¨ampferwicklung im Dreiphasen-Drehstromsystem zeigt Abb. 16.6. Die Koordinatenwandlung vom Dreiphasen-Drehstromsystem auf das d-qSystem zeigt Abb. 16.7, und die Umwandlung der Drehzahl ωL in die Funktionen sin βL und cos βL zeigt Abb. 16.8. Die Koordinatenwandlung vom d-q-System auf das Dreiphasen-Drehstromsystem zeigt Abb. 16.9 mW

ud

u1a

id

3

u1b

d,q

u1c

uq

Abb. 16.4

uE

wL

i 1a

d,q

i 1b 3

iq

i 1c

iE bL0

wL cos

sin bL cos bL

Abb. 16.6: Blockschaltbild der Schenkelpolmaschine bei Vorgabe der Statorspannung

a)

u 1a u 1a

ud

1

u1b

-

u1c

1

-

sin bL b)

uq

3 u 1b

u 1a

cos bL ud

3

u1b d,q

u1c sin bL

u1α = u1a u1b − u1c √ u1β = 3

uq cos bL

ud = + u1α · cos βL + u1β · sin βL uq = − u1α · sin βL + u1β · cos βL

Abb.16.7: Umwandlung der drei Phasenspannungen u1a , u1b und u1c in die Spannungen ud und uq der L¨ angs- und Querachse der Synchronmaschine: a) Signalflußplan, b) Blockdarstellung

772

16 Synchronmaschine

wL

a)

b)

1 s

wL

bL0

wL

bL0 bL

cos

sin

cos

sin bL

cos bL

sin bL

cos bL

Abb. 16.8: Umwandlung der Drehzahl ωL in die Winkelfunktionen cos βL und sin βL : a) Signalflußplan, b) Blockdarstellung a)

i1a

1

sin bL b)

-

2

3 2

i1b

iq

i 1a

1

-

id

-

i 1b

-

i 1c

cos bL id

i 1a

d,q

i 1b 3

iq sin bL

i1α = id · cos βL − iq · sin βL

i 1c

cos bL

i1a = i1α

√ 3 1 · i1α + · i1β 2 2 √ 3 1 i1c = − · i1α − · i1β 2 2 Abb. 16.9: Umwandlung der Str¨ome id und iq der L¨ angs- und Querachse der Synchron-Schenkelpolmaschine in die drei Phasenstr¨ ome i1a , i1b und i1c : a) Signalflußplan, b) Blockdarstellung i1β

16.1.4

= id · sin βL + iq · cos βL

i1b

= −

Signalflußplan der Synchron-Schenkelpolmaschine bei Stromeinpr¨ agung

Die aus Kap. 16.1.1 bekannten Gleichungen aus Gleichungssatz (16.42) der Schenkelpolmaschine k¨onnen so aufgel¨ost werden, daß man den Signalflußplan

16.1 Synchron-Schenkelpolmaschine ohne D¨ ampferwicklung

773

der Synchron-Schenkelpolmaschine ohne D¨ampferwicklung bei Stromeinpr¨agung erh¨alt. Beispielhaft wird dabei zus¨atzlich vom Zeitbereich in den s-Bereich transformiert (Faltung!). Es gilt:

ψd = ld · id + iE ψq = lq · iq ψE = iE + (1 − σE ) · ld · id ud = s TN · ψd + r1 · id − ωL ∗ ψq uq = s TN · ψq + r1 · iq + ωL ∗ ψd uE = s TE · ψE + iE

1 id = · ψd − ψE σE · ld 1 iq = · ψq lq

1 iE = · ψE − (1 − σE ) · ψd σE

(16.46)

mM i = ψd ∗ iq − ψq ∗ id s TΘN · ωm = mM i − mW ωL = ωm

Abbildung 16.10 zeigt den normierten Signalflußplan bei Stromvorgabe und Abb. 16.11 den Signalflußplan im Dreiphasensystem. F¨ ur die Umwandlung der Signale vom Dreiphasensystem in das d-q-System und umgekehrt k¨onnen sinngem¨aß die in Abb. 16.7 und 16.9 dargestellten Transformationsvorschriften angewendet werden.

774

16 Synchronmaschine r1

iq

sT N

yq

lq

uq

mW

-

1 sT QN

-

m Mi

1 wm 1

r1 sT N id

ld

-

yd

ud

(1-s E)l d iE

yE

1

sT E uE

1

Abb.16.10: Normierter Signalflußplan der Synchron-Schenkelpolmaschine bei Stromeinpr¨agung nach Gleichungssatz (16.46) mW i 1a i 1b i 1c

ud

id 3

wL

Abb. 16.10

d,q

uq

iq

u 1a

d,q

u1b 3

u1c

yE

iE bL0

wL cos

sin bL cos bL

Abb. 16.11: Blockschaltbild der Schenkelpolmaschine bei Stromeinpr¨ agung

16.1 Synchron-Schenkelpolmaschine ohne D¨ ampferwicklung

16.1.5

775

Ersatzschaltbild der Synchron-Schenkelpolmaschine

Mit den obigen Gleichungen k¨onnen auch unnormierte galvanische Ersatzschaltbilder der Schenkelpolmaschine dargestellt werden. Wesentlich ist die Einf¨ uhrung des resultierenden Magnetisierungsstroms Iμd in der d-Achse: Iμd = Id + IE ;

Iμq = Iq

(16.47)

Mit diesen Gleichungen k¨onnen die Flußgleichungen umgeschrieben werden:

mit

Ψd = MdE · Iμd + Lσd · Id

(16.48)

Ψq = Lq · Iq = (Lσq + Lhq ) · Iq

(16.49)

ΨE = MdE · Iμd + LσE · IE

(16.50)

LσE = LE − MdE

Werden in die unnormierten Spannungsgleichungen Ud = R1 · Id +

dΨd − ΩL · Ψq dt

(16.51)

Uq = R1 · Iq +

dΨq + ΩL · Ψd dt

(16.52)

die obigen Flußgleichungen (16.48) bis (16.50) eingesetzt, ergibt sich: Ud = =

Uq = =

UE =

 d MdE · Iμd + Lσd · Id − ΩL · Ψq + R1 · Id dt  d MdE · Iμd + Lσd · Id − ΩL · Lq · Iq + R1 · Id dt

(16.53)

 d (Lσq + Lhq ) · Iq + ΩL · Ψd + R1 · Iq dt  d (Lσq + Lhq ) · Iq + ΩL · MdE · Iμd + ΩL · Lσd · Id + R1 · Iq (16.54) dt  dΨE d + IE · RE = MdE · Iμd + LσE · IE + IE · RE dt dt

Das Ersatzschaltbild in Abb. 16.12 veranschaulicht diese Gleichungen.

(16.55)

776

16 Synchronmaschine

Id

R1

W Ly q

L sd

L sE

RE

IE

I md Ud

M dE

Iq

R1

Uq

W Ly d

UE

L sq

L hq

Abb. 16.12: Ersatzschaltbild der Synchron-Schenkelpolmaschine ohne D¨ampferwicklung

Im station¨aren Betrieb gilt d/dt = 0; die Gleichungen vereinfachen sich dann zu: Ud = −ΩL · Lq · Iq + R1 · Id = −ΩL · (Lσq + Lhq ) · Iq + R1 · Id

(16.56)

Uq = ΩL · (Ld · Id + MdE · IE ) + R1 · Iq = ΩL · MdE · Iμd + ΩL · Lσd · Id + R1 · Iq UE = RE · IE

(16.57) (16.58)

 L = Ud + j Uq zusammenfassen: Diese Gleichungen lassen sich mit U 1  L = R1 · (Id + j Iq ) + j ΩL · (Ld · Id + j Lq · Iq ) + j ΩL · MdE · IE U 1 = R1 · (Id + j Iq ) + j ΩL · (Lσd · Id + j Lσq · Iq ) +j ΩL · (Lhd · Id + j Lhq · Iq ) + j ΩL · MdE · IE mit

(16.59)

Lhd = MdE

 p bezeichnet; dies Der vierte Term von Gl. (16.59) wird als Polradspannung U ist die im Stator durch das Polrad induzierte Spannung. Der dritte und vierte  h. Term zusammen bilden die Hauptfeldspannung U  p = j ΩL · MdE · IE = j Xh · IE U

(16.60)

h = U  p + j ΩL · (Lhd · Id + j Lhq · Iq ) U

(16.61)

16.2 Synchron-Schenkelpolmaschine mit D¨ ampferwicklung

777

16.2

Synchron-Schenkelpolmaschine mit D¨ ampferwicklung

16.2.1

Beschreibendes Gleichungssystem und Signalflußplan

In Kap. 16.1 wurden die Gleichungen und die Signalflußpl¨ane f¨ ur die SynchronSchenkelpolmaschine ohne D¨ampferwicklung und in Kap. 13.1.1 entsprechend f¨ ur die allgemeine Drehfeldmaschine dargestellt. Wie bereits in Abb. 16.2 gezeigt, ist die Synchron-Schenkelpolmaschine mit D¨ampferwicklung eine Kombination von Synchron-Schenkelpolmaschine und der zus¨atzlichen dreiphasigen kurzgeschlossenen Rotorwicklung. Es k¨onnen somit die vorliegenden Kenntnisse zusammengefaßt werden. Zu beachten ist allerdings, daß das Koordinatensystem L verwendet wird. Damit ergibt sich das folgende Gleichungssystem: Ψd = Ld · Id + MdD · ID + MdE · IE

(16.62)

ΨD = LD · ID + MdD · Id + MDE · IE

(16.63)

Ψq = Lq · Iq + MqQ · IQ

(16.64)

ΨQ = LQ · IQ + MqQ · Iq

(16.65)

ΨE = LE · IE + MDE · ID + MdE · Id

(16.66)

Ud = R1 · Id +

dΨd − ΩL · Ψq dt

(16.67)

Uq = R1 · Iq +

dΨq + ΩL · Ψd dt

(16.68)

0 = RD · ID +

dΨD dt

(16.69)

0 = RQ · IQ +

dΨQ dt

(16.70)

UE = RE · IE +

dψE dt

(16.71)

F¨ ur das Drehmoment gilt:

3 MM i = · Zp · Ψd · Iq − Ψq · Id 2

3 Zp MdE IE Iq + MdD ID Iq − MqQ IQ Id + (Ld − Lq ) Id Iq (16.72) = 2

778

16 Synchronmaschine

und f¨ ur die mechanische Gleichung: Θ·

dΩm = MM i − MW dt

(16.73)

Somit ergibt sich das normierte Gleichungssystem: ψd = ld · id + iD + iE ψD = (1 − σD ) · ld · id + iD + μD · iE ψq = lq · iq + iQ ψQ = (1 − σQ ) · lq · iq + iQ ψE = (1 − σE ) · ld · id + μE · iD + iE dψd − ωL · ψq dt dψq + ωL · ψd + TN · dt dψD TD · dt dψQ TQ · dt dψE TE · dt

ud = r1 · id + TN · uq = r1 · iq 0 = iD + 0 = iQ + uE = iE +

(16.74)

mM i = ψd · iq − ψq · id TΘN ·

dωm = mM i − mW dt

mit σE = 1 −

2 MdE ; Ld · LE

μE = MDE ·

σD = 1 − MdE ; MdD · LE

2 MdD ; Ld · LD

σQ = 1 −

μD = MDE ·

2 MqQ (16.75) Lq · LQ

MdD MdE · LD

(16.76)

16.2 Synchron-Schenkelpolmaschine mit D¨ ampferwicklung

779

Die Normierung der Gleichungen der Synchron-Schenkelpolmaschine mit D¨ampferwicklung gr¨ undet auf der in Kap. 16.1.2 getroffenen Wahl der Bezugswerte und den Vereinfachungen nach Gl. (16.39). Zus¨atzlich m¨ ussen noch die Bezugswerten f¨ ur die D¨ampferwicklung gew¨ahlt werden: ΨN LD IDN = ; ΨDN = LD · IDN ; TD = (16.77) MdD RD ΨN LQ IQN = ; ΨQN = LQ · IQN ; TQ = (16.78) MqQ RQ Aus den obigen Ableitungen k¨onnen die h¨aufig verwendeten subtransienten und transienten L¨angs- und Querreaktanzen ermittelt werden: 

xq = σQ · lq

subtransiente Querreaktanz:



subtransiente Zeitkonstante des Querfeldes: Tq = σQ · TQ

(16.79) (16.80)

subtransiente L¨angsreaktanz:

(1 − μE ) · (1 − σD ) + (1 − μD ) · (1 − σE ) · ld (16.81) xd = 1 − 1 − μD · μE 



subtransiente Zeitkonstante des L¨angsfeldes: Td ≈



xd 1 − μD · μE · · TD (16.82) ld σE



transiente L¨angsreaktanz:

xd ≈ σE · ld

transiente Zeitkonstante des L¨angsfeldes:

Td ≈ σE · TE

16.2.2



(16.83) (16.84)

Ersatzschaltbild der Synchron-Schenkelpolmaschine mit D¨ ampferwicklung

In Gl. (16.62) bis (16.73) wurde die Synchronmaschine in allgemeiner Form dargestellt. Zu einer gebr¨auchlichen und einfachen Darstellung gelangt man, wenn angenommen wird, daß Erregerwicklung und D¨ampferwicklungen gleiche Kopplung mit den Statorwicklung haben. Damit lassen sich die folgenden Vereinfachungen in den obigen Gleichungen erzielen: MdE = MdD = Lhd

(16.85)

MqQ = Lhq

(16.86)

Ld = Lσ1 + Lhd

(16.87)

Lq = Lσ1 + Lhq

(16.88)

780

16 Synchronmaschine wL

yd

-

yq

1 sTN

1-mEmD a ld

1 sTN

1 lq

sDl d

-

1-mE a ld

id

r1

sDl d yD

-

-

ud

uq

iq

r1

1 sQ

1 lq

1-mD a ld

yQ

yE

sTD

sTQ

sD1-mD a

-1 iD

mD ld(1-sD)

-

-

1 sT E

1 1-mD

iE

-1 iE

iQ

id

uE

2

MdE LdLE

sD = 1 -

MdD LdLD

sQ = 1 -

MqQ LqLQ

iq

lq(1-sQ)

id iq

yd

sE = 1 -

-

mE = MDE

MdE MdDLE

mD = MDE

MdD MdELD

2

id

mW

m Mi

-

1 sT QN

wm

2

a = (1-mD-sD) (1-mE) - (1-mD)sE

yq

1 wL

= (1-mE-sE) (1-mD) - (1-mE)sD

Abb. 16.13: Signalflußplan der Synchron-Schenkelpolmaschine mit D¨ ampferwicklung nach Gleichungssatz (16.74)

16.2 Synchron-Schenkelpolmaschine mit D¨ ampferwicklung

781

Mit der Induktivit¨at Lc soll eine unterschiedliche Kopplung der Erreger- und der L¨angsd¨ampferwicklung bzw. der Statorwicklung eingef¨ uhrt werden. Sie kann bei Schenkelpolmaschinen auch negativ werden; n¨amlich dann, wenn die magnetische Kopplung der L¨angsd¨ampferwicklung mit der Statorwicklung enger ist als mit der Erregerwicklung, wie von Maurer [189] und Canay [175] beschrieben wird. Damit wird f¨ ur die zun¨achst allgemein angenommene Kopplung MDE : MDE = Lhd + Lc

(16.89)

F¨ ur die Erregerinduktivit¨at LE wird dann, wenn die Erregerstreuinduktivit¨at LσE angenommen wird: LE = LσE + Lhd + Lc

(16.90)

Schließlich gilt dann f¨ ur die D¨ampferinduktivit¨aten (Eigenstreuinduktivit¨aten LσD und LσQ ): LD = LσD + Lhd + Lc

(16.91)

LQ = LσQ + Lhq

(16.92)

Setzt man die obigen Beziehungen in die Gleichungen (16.62) bis (16.71) ein, so erh¨alt man folgende Systemgleichungen: Ψd = Lσ1 · Id + Ψhd

(16.93)

ΨD = Ψhd + Lc · (ID + IE ) + LσD · ID

(16.94)

Ψq = Lσ1 · Iq + Ψhq

(16.95)

ΨQ = Ψhq + LσQ · IQ

(16.96)

ΨE = Ψhd + Lc · (ID + IE ) + LσE · IE

(16.97)

Ud = R1 · Id +

dΨd − ΩL · Ψq dt

(16.98)

Uq = R1 · Iq +

dΨq + ΩL · Ψd dt

(16.99)

0 = RD · ID +

dΨD dt

(16.100)

0 = RQ · IQ +

dΨQ dt

(16.101)

UE = RE · IE +

dΨE dt

(16.102)

782

16 Synchronmaschine

Dabei wurden die Luftspaltfl¨ usse definiert zu: Ψhd = Lhd · (Id + ID + IE )

(16.103)

Ψhq = Lhq · (Iq + IQ )

(16.104)

F¨ ur das Drehmoment wird dann:

3 MM i = ·Zp · Lhd ·IE ·Iq +Lhd ·ID ·Iq −Lhq ·IQ ·Id +(Lhd −Lhq )·Id ·Iq (16.105) 2 Der erste Term ist dabei der Drehmomentanteil, der aus Erregerstrom IE und Statorquerstrom Iq erzeugt wird. Der zweite und der dritte Term beschreiben zusammen das durch den D¨ampfer erzeugte Moment. Es tritt nur im dynamischen Fall auf und kann als asynchrones Moment interpretiert werden. Bei Maschinen ohne D¨ampferwicklung ist dieser Anteil entsprechend Null bzw. nur durch die in der Praxis vorkommenden parasit¨aren D¨ampferkreise bestimmt. Durch die ungleichen Hauptinduktivit¨aten in d- und q-Achse, die aufgrund der ausgepr¨agten Pole entstehen, ergibt sich das Reluktanzmoment, das durch den vierten Term von Gl. (16.105) beschrieben wird. Beim Vollpoll¨aufer tritt dieses Moment nicht auf. Mit den gew¨ahlten Vereinfachungen kann nun das Ersatzschaltbild der Schenkelpolmaschine mit D¨ampferwicklung in d- und q-Achse angegeben werden (Abb. 16.15). Die unterschiedliche Auspr¨agung des Rotors in d- und q-Achse dr¨ uckt sich auch im Ersatzschaltbild durch die Rotorschleife mit unterschiedlichen Parametern aus. Der Stator hingegen ist nicht in einer Achse ausgepr¨agt. Er besitzt damit auch die gleiche Parametrierung in d- und q-Achse. In vielen F¨allen wird zur weiteren Vereinfachung die Induktivit¨at Lc zu Null gesetzt.

yD

+

-

-1

iD

-1

1/sTD

Abb. 16.14: Variante der Realisierung des D¨ ampfungskreises ψD

In Abb. 16.13 bzw. Abb. 16.18 sind die Gleichungen des D¨ampferkreises (iD , ψD ; iQ , ψQ ) grau hinterlegt und entsprechend Gleichungssatz (16.74) bzw. (16.123) mit Differentiationen in den R¨ uckw¨artszweigen realisiert. Diese Realisierung kann bei der Simulation Probleme bereiten. Eine einfache Abhilfe ist die Realisierung mittels eines Integrators im Vorw¨artszweig und einer Einheitsr¨ uckf¨ uhrung im R¨ uckw¨artszweig (Abb. 16.14 f¨ ur iD , ψD ).

16.3 Synchron-Vollpolmaschine

d-Achse:

Id

L sE R1

L s1

RE

IE

L sD

Lc

ID

W L Yq

d __ dt Yd

Ud

d __ dt Yhd

783

d __ dt YD

Lhd

RD

d __ dt YE

UE

q-Achse: Iq W L Yd Uq

R1

L s1

L sQ IQ

d __ dt Yq

d __ dt Yhq

Lhq

d __ dt Y Q

RQ

Abb.16.15: Ersatzschaltbild der Synchron-Schenkelpolmaschine mit D¨ ampferwicklung

16.3

Synchron-Vollpolmaschine

16.3.1

Beschreibendes Gleichungssystem und Signalflußpl¨ ane

Bei der (idealen) Vollpolmaschine ist zum Unterschied zur Schenkelpolmaschine der Rotor konstruktiv rotationssymmetrisch aufgebaut (Abb. 16.16). Auch hier ist der Rotor der Tr¨ager der Erregerspule, die vorzugsweise einen Fluß in der d-Richtung erzwingen soll. Zus¨atzlich zur Erregerwicklung sei noch ein D¨ampfersystem eingebaut. Es gelten f¨ ur die Synchron-Vollpolmaschine mit D¨ampferwicklung prinzipiell die Gleichungen (16.62) bis (16.73) f¨ ur die unnormierte Darstellung und der Gleichungssatz (16.74) f¨ ur die normierte Darstellung. Allerdings muß bei der Synchon-Vollpolmaschine beachtet werden, daß der Rotor konstruktiv rotationssymmetrisch aufgebaut ist und damit nicht mehr zwischen Induktivit¨aten in der d- und der q-Achse unterschieden werden muß.

784

16 Synchronmaschine

a-Achse

d Längsachse bL I 1a

U 1a

ID IE UE b-Achse U1b I1b

IQ U1c

I1c

Querachse q

Abb.16.16: Synchron-Vollpolmaschine mit D¨ ampferwicklung (Stator: dreiphasiges System, Rotor: d-q-System)

L1 = Ld = Lq Lh = Lhd = Lhq = MdE L3 = LD = LQ M13 = MdD = MqQ

(16.106)

Die vorher nach d und q unterschiedlichen Zeitkonstanten sind dadurch ebenso gleich.

16.3 Synchron-Vollpolmaschine

785

Aus Symmetriegr¨ unden vereinfachen sich die Flußgleichungen im auf das d-q-Koordinatensystem orientierten System: Ψd = L1 · Id + M13 · ID + MdE · IE

(16.107)

ΨD = L3 · ID + M13 · Id + MDE · IE

(16.108)

Ψq = L1 · Iq + M13 · IQ

(16.109)

ΨQ = L3 · IQ + M13 · Iq

(16.110)

ΨE = LE · IE + MDE · ID + MdE · Id

(16.111)

Ud = R1 · Id +

dΨd − ΩL · Ψq dt

(16.112)

Uq = R1 · Iq +

dΨq + ΩL · Ψd dt

(16.113)

0 = R3 · ID +

dΨD dt

(16.114)

0 = R3 · IQ +

dΨQ dt

(16.115)

UE = RE · IE +

dΨE dt

(16.116)

Aufgrund der Rotationssymmetrie wird kein Reluktanzmoment entstehen und die Gleichung f¨ ur das Drehmoment vereinfacht sich zu:

MM i =



3 · Zp · MdE · IE · Iq + M13 · (ID · Iq − IQ · Id ) 2

(16.117)

Im station¨aren Fall entf¨allt der zweite Term, da dann ID = IQ = 0 ist. Die mechanische Gleichung verbleibt zu dΩm = MM i − MW (16.118) dt Die Bezugswerte f¨ ur die Normierung ergeben sich durch Einsetzen der sich bei den beiden Maschinentypen entsprechenden Gr¨oßen. Es folgt: Θ·

ld = lq = l1

(16.119)

786

16 Synchronmaschine

Die Streufaktoren bei der Synchron-Vollpolmaschine lauten:

σE = 1 −

2 MdE ; L1 · LE

μE = MDE ·

MdE M13 · LE

(16.120)

σ3 = 1 −

2 M13 ; L1 · L3

μD = MDE ·

M13 MdE · L3

(16.121)

Ebenso wie in den vorangegangenen Abschnitten werden auch hier wieder die normierten Gleichungss¨atze f¨ ur die Synchron-Vollpolmaschine und die normierten Signalflußpl¨ane angegeben: Synchron-Vollpolmaschine ohne D¨ampferwicklung nach Gleichungssatz (16.122) in Abb. 16.17 und Synchron-Vollpolmaschine mit D¨ampferwicklung nach Gleichungssatz (16.123) in Abb. 16.18. Bei der Normierung wurden wie in Kap. 16.2.1 die Bezugswerte so gew¨ahlt, daß sich die normierten Gleichungen m¨oglichst weit vereinfachen.

ψd = l1 · id + iE ψq = l1 · iq ψE = iE + (1 − σE ) · l1 · id dψd − ωL · ψq ud = r1 · id + TN · dt dψq + ωL · ψd uq = r1 · iq + TN · dt dψE uE = iE + TE · dt mM i = ψd · iq − ψq · id TΘN ·

dωm = mM i − mW dt ωL = ωm

(16.122)

16.3 Synchron-Vollpolmaschine

787

ψd = l1 · id + iD + iE ψD = (1 − σ3 ) · l1 · id + iD + μD · iE ψq = l1 · iq + iQ ψQ = (1 − σ3 ) · l1 · iq + iQ

TΘN

ψE = (1 − σE ) · l1 · id + μE · iD + iE dψd − ωL · ψq ud = r1 · id + TN · dt dψq + ωL · ψd uq = r1 · iq + TN · dt dψD 0 = iD + TD · dt dψQ 0 = iQ + TQ · dt dψE uE = iE + TE · dt mM i = ψd · iq − ψq · id dωm = mM i − mW · dt ωL = ωm

(16.123)

788

16 Synchronmaschine

wL

yd

yq

1 sT N

1

sE l1 id

1 sT N

r1

1 sE l1

-

-

ud

uq

1 l1 iq

r1

yE 1 sT E

1 sE iE

-

-

1

uE

1- s E sE

2

sE = 1 -

MdE L1LE

m Mi

-

mW 1 sT QN wm

1

wL

Abb. 16.17: Signalflußplan der Synchron-Vollpolmaschine ohne D¨ ampferwicklung nach Gleichungssatz (16.122)

16.3 Synchron-Vollpolmaschine

789

wL

-

yd

yq

1 sTN

1-mEmD al1

1 sTN

1 l1

s3l1

-

1-mE al1

id

r1

s3l1 yD

-

-

ud

uq

iq

r1

1 s3

1 l1

1-mD al1

yQ

yE

sTD

sTQ

s3 1-mD a

-1 iD

-

-

mD

iE

l1(1-s3)

id

1 sT E

1 1-mD

-1 iE

iQ

id

uE

2

MdE L1LE

s3 = 1 -

M13 L1L3

mE = MDE

MdE M13LE

mD = MDE

M13 MdEL3

2

iq

iq

yd

sE = 1 -

-

id

l1(1-s3)

yq

mW

m Mi

-

1 sT QN

wm a = (1-mD-s3) (1-mE) - (1-mD)sE = (1-mE-sE) (1-mD) - (1-mE)s3

1 wL

Abb.16.18: Signalflußplan der Synchron-Vollpolmaschine mit D¨ ampferwicklung nach Gleichungssatz (16.123) (siehe auch Realisierung D¨ ampferkreis Abb. 16.14)

790

16.3.2

16 Synchronmaschine

Ersatzschaltbild der Synchron-Vollpolmaschine

Die in den Gleichungen (16.107) bis (16.117) dargestellten Beziehungen beschreiben die Vollpolmaschine mit D¨ampferwicklung in allgemeiner Form. Auch hier ist es zweckm¨aßig, wie bei der Schenkelpolmaschine Vereinfachungen zu treffen. Zu einer gebr¨auchlichen einfacheren Form gelangt man, wenn wiederum angenommen wird, daß Erregerkreis und D¨ampferkreis die gleiche Kopplung zum Statorkreis besitzen (Lc = 0). Die Kopplung soll hier durch eine gemeinsame Hauptinduktivit¨at Lh beschrieben werden. Die Hauptinduktivit¨at Lh soll in dund q-Achse gleich sein. Demnach wird gleichgesetzt: MdE = MDE = M13 = Lh

(16.124)

Die Statorinduktivit¨at L1 kann in Statorstreuung Lσ1 und Hauptinduktivit¨at Lh aufgeteilt werden: L1 = Lσ1 + Lh (16.125) Weiter soll f¨ ur den Erregerkreis gelten (Lc = 0): LE = LσE + Lh

(16.126)

Die Rotorinduktivit¨at L3 kann in eine Rotorstreuung Lσ3 und die gemeinsame Hauptinduktivit¨at Lh aufgeteilt werden: L3 = Lσ3 + Lh

(16.127)

Setzt man die obigen Beziehungen in die Gleichungen (16.85) bis (16.92) ein, so erh¨alt man folgende Gleichungen: Ψd = Lσ1 · Id + Ψhd

(16.128)

Ψq = Lσ1 · Iq + Ψhq

(16.129)

ΨD = Ψhd + Lσ3 · ID

(16.130)

ΨQ = Ψhq + Lσ3 · IQ

(16.131)

ΨE = Ψhd + LσE · IE

(16.132)

Ud = R1 · Id +

dΨd − ΩL · Ψq dt

(16.133)

Uq = R1 · Iq +

dΨq + ΩL · Ψd dt

(16.134)

0 = R3 · ID +

dΨD dt

(16.135)

0 = R3 · IQ +

dΨQ dt

(16.136)

UE = RE · IE +

dΨE dt

(16.137)

16.3 Synchron-Vollpolmaschine

791

Dabei wurden die Luftspaltfl¨ usse definiert zu: Ψhd = Lh · (Id + ID + IE )

(16.138)

Ψhq = Lh · (Iq + IQ )

(16.139)

F¨ ur das Drehmoment gilt dann:

3 MM i = · Zp · Lh · IE · Iq + Lh · (ID · Iq − IQ · Id ) 2

(16.140)

Der erste Term ist dabei der Drehmomentanteil, der aus Erregerstrom IE und Statorquerstrom Iq erzeugt wird. Der zweite und dritte Term beschreiben die durch die D¨ampferwicklungen erzeugten Momente. Es tritt nur im dynamischen Fall auf und kann als asynchrones Moment interpretiert werden. Bei Maschinen ohne D¨ampferwicklung ist dieser Anteil entsprechend Null bzw. nur durch die in der Praxis vorkommenden parasit¨aren D¨ampferkreise bestimmt. Im Gegensatz zum Schenkelpoll¨aufer sind die Hauptinduktivit¨aten in d- und q-Achse gleich. Dadurch entsteht kein Reluktanzmoment. Die Gleichungen (16.128) bis (16.140) gehen auch aus den Gleichungen (16.93) bis (16.105) in Kap. 16.2.1 hervor, wenn die elektrische und magnetische Symmetrie ber¨ ucksichtigt wird: Lh =

Lhd = Lhq

(16.141)

Lσ3 = LσD = LσQ

(16.142)

R3 =

RD = RQ

(16.143)

Der Vollpoll¨aufer ist also ein Sonderfall der Schenkelpolmaschine. Mit den gew¨ahlten Vereinfachungen kann nun auch das Ersatzschaltbild des Vollpoll¨aufers mit D¨ampferwicklung angegeben werden (Abb. 16.19). Die gleiche Auspr¨agung des Rotors in d- und q-Achse dr¨ uckt sich auch im Ersatzschaltbild durch eine gleiche Parametrierung von D¨ampferstreuung Lσ3 und D¨ampferwiderstand R3 in der Rotorschleife aus. Das Ersatzschaltbild nach Abb. 16.19 kann f¨ ur den station¨aren Betriebszustand und der Annahme vollst¨andiger Symmetrie zu Abb. 16.20 vereinfacht werden. Im station¨aren Betrieb entf¨allt, wie schon erw¨ahnt, die Wirkung des D¨ampfersystems. F¨ ur die Gleichungen (16.128) bis (16.140) bedeutet das, daß die Ableitungen zu Null werden. F¨ ur die D¨ampferstr¨ome ID und IQ gilt dann unmittelbar: ID = 0

(16.144)

IQ = 0

(16.145)

792

16 Synchronmaschine

d-Achse:

L sE

Id

L s1

R1

RE

IE

L s3 ID

W L Yq Ud

d __ dt Yd

d __ dt Yhd

R1

L s1

Lh

d __ dt YD

R3

d __ dt YE

UE

q-Achse: Iq W L Yd Uq

L s3 IQ

d __ dt Yq

d __ dt Yhq

Lh

d __ dt Y Q

R3

Abb. 16.19: Ersatzschaltbild der Synchron-Vollpolmaschine mit D¨ ampferwicklung

Die Statorfl¨ usse ergeben sich damit zu: Ψd = Lσ1 · Id + Lh · (Id + IE )

(16.146)

Ψq = Lσ1 · Iq + Lh · Iq

(16.147)

F¨ ur die Spannungsgleichungen (16.133) und (16.134) kann dann in Komponentenschreibweise formuliert werden: Ud = R1 · Id − ΩL · (Lσ1 + Lh ) · Iq

(16.148)

Uq = R1 · Iq + ΩL · (Lσ1 + Lh ) · Id + ΩL · Lh · IE

(16.149)

Setzt man in Gl. (16.148) und (16.149) die Definition des komplexen Zeigers ein  1 = Ud + j Uq ; U

I1 = Id + j Iq ;

I2 = IE

(16.150)

16.3 Synchron-Vollpolmaschine

793

so erh¨alt man die komplexe Gleichung:  1 = R1 · I1 + j ΩL · Lσ1 · I1 + U h U

(16.151)

mit der Polradspannung  p = j ΩL · MdE · IE = j Xh · IE U

(16.152)

und mit der Hauptfeldspannung  p + j ΩL · Lh · I1 = U  p + j Xh · I1 h = U U

(16.153)

Diese Art der Spannungsgleichungen des Stators ist bereits aus den Ableitungen der allgemeinen Drehfeldmaschine in Kap. 13.1.1 bekannt. Das station¨are Ersatzschaltbild zeigt Abb. 16.20.

I1

U1

R1

L s1

Lh

Uh

Up

Abb.16.20: Ersatzschaltbild der Synchron-Vollpolmaschine ohne D¨ ampferwicklung im station¨ aren Betrieb

 p ist eine Funktion von ΩL und IE und kann an den Die Polradspannung U Klemmen des Stators gemessen werden, wenn keine Statorspannung angelegt wird. Umgekehrt k¨onnen, wenn das Polrad nicht erregt wird (IE = 0), die Zuord 1 und I1 und somit die Parameter R1 und X1 bestimmt werden. nung von U  1 eingeschaltet wird, dann gilt Wenn IE = 0 und U  1 = R1 · I1 + j ΩL · Lσ1 · I1 + j Xh · I1 + j Xh · IE U

(16.154)

Die aus dem Signalflußplan bekannte Flußverkettung ist auch im Ersatzschaltbild zu erkennen aus  h = j Xh · (I1 + IE ) U

(16.155)

794

16 Synchronmaschine

16.3.3

Feldorientierte Darstellung der Synchron-Vollpolmaschine mit D¨ ampferwicklung

Ausgangspunkt f¨ ur die Herleitung der feldorientierten Darstellung sind die in Kap. 16.1.1 und Kap. 16.3.1 abgeleiteten Gleichungen f¨ ur die Spannungen S  1S = R1 · I1S + d Ψ1 U dt L dΨ 3 0 = R3 · I3L + dt L  L = RE · IL + d ΨE U E E dt

Statorkreis

(16.156)

D¨ampferkreis

(16.157)

Erregerkreis

(16.158)

f¨ ur die Flußverkettungen Ψd

= L1 · Id + M13 · ID + MdE · IE

Ψq

= L1 · Iq + M13 · IQ

ΨD

= L3 · ID + M13 · Id + MDE · IE

ΨQ

= L3 · IQ + M13 · Iq

ΨE

= LE · IE + MdE · Id + MDE · ID

6 Statorfluß 6 D¨ampferfluß

Erregerfluß

f¨ ur das Drehmoment

MM i =

  3 · Zp · MdE · (IE · Iq − 0 · Id ) + M13 · (ID · Iq − IQ · Id ) 2

und f¨ ur die Mechanik dΩm = MM i − MW dt Bei den folgenden Darstellungen wird von Stromeinpr¨agung in der Maschine ausgegangen. Die Gleichungen (16.156) und (16.158) sind daher hier nicht von Bedeutung. Auch die Erregerverkettungsgleichung und die Gleichung der Mechanik werden nicht weiter betrachtet. F¨ ur die u ¨brigen Gleichungen wird nun die Raumzeigerdarstellung bei rotororientierten Koordinaten gew¨ahlt. Θ·

16.3 Synchron-Vollpolmaschine

795

Die Raumzeiger werden hier folgendermaßen bezeichnet: I1L = Id + j Iq ;

I3L = ID + j IQ ;

IEL = IE + j 0 (16.159)

 L = Ψd + j Ψq ; Ψ 1

 L = ΨD + j ΨQ ; Ψ 3

 L = ΨE + j 0 (16.160) Ψ E

Damit verbleibt: 3L dΨ 0 = R3 · I3L + dt  L = L1 · IL + M13 · IL + MdE · IL Ψ 1 1 3 E

Statorfluß

 L = M13 · IL + L3 · IL + MDE · IL Ψ 3 1 3 E

D¨ampferfluß

MM i =

2 2  1 1 3 · Zp · MdE · Im IEL∗ · I1L + M13 · Im I3L∗ · I1L 2

 3 bestehen aus einem gemeinsamen Anteil Ψ μ , dem Luft 1 und Ψ Die Fl¨ usse Ψ spaltfluß, dessen Feldlinien mit allen drei Wicklungen der Maschine verkettet sind (siehe auch Abb. 13.14)  L = Lh · IL + MdE · IL + MDE · IL Ψ μ 1 3 E

(16.161)

mit L1 = Lσ1 + Lh

L3 = Lσ3 + MdE

LE = LσE + MDE

und den jeweiligen Streuanteilen Lσ1 I1L bzw. Lσ3 I3L , deren Feldlinien nur die jeweilige Wicklung umschließen. Es gilt somit:  L = Lσ1 · IL + Ψ L Ψ 1 1 μ

L  L = Lσ3 · IL + Ψ Ψ 3 3 μ

(16.162)

Geht man nun davon aus, daß alle auf die Statorseite umgerechneten Gegeninduktivit¨aten gleich sind M13 = MdE = MDE = Lh = M

(16.163)

so vereinfachen sich die Gleichungen    L = L1 · IL + M · IL + IL Ψ 1 1 3 E    L = L3 · IL + M · IL + IL Ψ 3 3 1 E MM i =

 2 3 2 1 1 3  L∗ · IL · Zp · M · Im IEL∗ + I3L∗ · I1L = · Zp · Im Ψ 1 1 2 2

796

16 Synchronmaschine

Bisher sind alle Raumzeiger am Rotor orientiert (L-System). F¨ ur die folgenden Betrachtungen wird analog zum Vorgehen bei der Asynchronmaschine ein beliebig rotierendes Koordinatensystem (K-System) eingef¨ uhrt. Die Bezeichnungen werden ¨ahnlich zu denen bei der Asynchronmaschine gew¨ahlt und sind Abb. 16.21 zu entnehmen.

Abb. 16.21: Koordinatensysteme f¨ ur die Raumzeiger

F¨ ur die Transformationen zwischen den Koordinatensystemen gilt am Beispiel des Statorstromes: I1S = I1L e j βL

(16.164)

I1S = I1K e j βK

(16.165)

I1L = I1K e j (βK −βL ) = I1K e j βK2

(16.166)

Als Winkelgeschwindigkeiten ergeben sich ΩK =

dβK ; dt

ΩL = Zp · Ωm =

dβL ; dt

ΩK2 =

dβK2 dt

(16.167)

βK2 bzw. ΩK2 sind Winkel bzw. Winkelgeschwindigkeit des K-Systems gegen¨ uber dem Rotor. Mit diesen Beziehungen lassen sich die obigen Gleichungen analog zum Vorgehen bei der Asynchronmaschine in das K-System transformieren.

0 = R3 · I3K +

K dΨ 3 K + j ΩK2 · Ψ 3 dt

1K = L1 · I1K + M · I3K + Ψ

M · IEK

 K = M · IK + L3 · IK + M · IK Ψ 3 1 3 E 2 1 3  K∗ · IK MM i = · Zp · Im Ψ 1 1 2

Statorfluß D¨ampferfluß

16.3 Synchron-Vollpolmaschine

797

3 F¨ ur das weitere Vorgehen werden die Beziehungen zwischen den Gr¨oßen I1 , Ψ    und IE ben¨otigt. Die Gr¨oßen Ψ1 und I3 werden daher aus den Gleichungen eliminiert. Dazu werden 1  K M  K K  I3K = (16.168) ·Ψ − · I1 + IE L3 3 L3

 K = σ3 · L1 · IK + M · Ψ  K + M · 1 − M · IK Ψ 1 1 E L3 3 L3

und

(16.169)

M2 L1 · L3 eingesetzt, und man erh¨alt eine Differentialgleichung f¨ ur den D¨ampferkreis mit

T3 ·

σ3 = 1 −

  K dΨ 3 3K  3K = M · I1K + IEK − j ΩK2 · T3 · Ψ +Ψ dt

(16.170)

mit der D¨ampferzeitkonstanten T3 = L3 /R3 , und das Drehmoment abh¨angig von den interessierenden Gr¨oßen:

/  3 M M  K∗ K MM i = · Zp · Im · IEK∗ · I1K (16.171) · Ψ3 · I1 + M · 1 − 2 L3 L3 In Komponenten-Schreibweise ergibt sich daraus: T3 ·

dΨ3A + Ψ3A = M (I1A + IEA ) + ΩK2 · T3 · Ψ3B dt

T3 ·

dΨ3B (16.173) + Ψ3B = M (I1B + IEB ) − ΩK2 · T3 · Ψ3A dt 3 M · Zp · MM i = · (Ψ3A · I1B − Ψ3B · I1A ) 2 L3



M · (IEA · I1B − IEB · I1A ) (16.174) +M · 1− L3

(16.172)

3 orientiert, dann Wenn man nun das Koordinatensystem K am D¨ampferfluß Ψ wird ΩK zur Frequenz und βK zum Winkel des Flusses gegen¨ uber dem Stator. Es gilt dann dΨ3B  K = Ψ3A = |Ψ 3 | Ψ =0 (16.175) Ψ3B = 3 dt und die Gleichungen vereinfachen sich zu: T3 ·

dΨ3A + Ψ3A = M · (I1A + IEA ) dt ΩK2 = R3 ·

M I1B + IEB · L3 Ψ3A

(16.176) (16.177)

798

16 Synchronmaschine



M M · (IEA · I1B − IEB · I1A ) MM i · Ψ3A · I1B + M · 1 − L3 L3 (16.178) Damit ergeben sich prinzipiell ¨ahnliche Aussagen wie bei der rotorflußorientierten Asynchronmaschine. Mit der flußparallelen Komponente des Statorstromes I1A zusammen mit der des Erregerstromes IEA l¨aßt sich der Fluß in der Maschine u ¨ber eine Verz¨ogerung erster Ordnung steuern. Sieht man von dem zweiten Summanden in der Drehmomentformel (16.178) ab (sein Wert ist i.a. klein gegen den des ersten Summanden wegen M/L3 ≈ 1), und geht man von einem konstanten Fluß aus, so l¨aßt sich das Drehmoment unverz¨ ogert u ¨ber die flußsenkrechte Komponente I1B des Statorstromes steuern. Unter der Voraussetzung, daß die Gr¨oßen I1A , I1B und IEA in der Maschine eingepr¨agt werden k¨onnen, hat man damit prinzipiell das einfache regelungstechnische Verhalten der Gleichstrom-Nebenschlußmaschine erreicht. Diese Zusammenh¨ange sind in Abb. 16.22 als Signalflußplan dargestellt. 3 = · Zp · 2



Abb.16.22: Signalflußplan der feldorientierten Synchron-Vollpolmaschine mit D¨ampferwicklung

16.3 Synchron-Vollpolmaschine

799

Dabei wurde davon ausgegangen, daß der Statorstrom vom Umrichter im ruhenden Koordinatensystem und der Erregerstrom im Rotorkoordinatensystem erzeugt wird. Es wurde jeweils die Polardarstellung der Raumzeiger gew¨ahlt. S I1S = I1α + j I1β = I1 · ej γi

bzw.

IEL = IE + j 0 = IE · ej 0

γEL = 0

(16.179) (16.180)

Die Polardarstellung bezogen auf das flußfeste Koordinatensystem (KSystem) entsteht daraus durch γiK = γiS − βK

bzw.

γEK = γEL − βK2 = −βK2

(16.181)

und die Komponenten in kartesischer Darstellung durch die Beziehungen   I1K = I1A + j I1B = I1 · cos γiK + j sin γiK bzw. (16.182) IEK = IEA + j IEB = IE · (cos βK2 − j sin βK2)

(16.183)

Dies wird durch die Bl¨ocke f¨ ur die Polar-Kartesisch-Transformation angedeutet. Die Gleichung zur Berechnung der Gr¨oße ΩK2 , der Schlupffrequenz, ist bis auf die Einwirkung der Erregerstromkomponente IEB ebenfalls identisch zu der entsprechenden Beziehung bei der Asynchronmaschine. Im Unterschied zur Asynchronmaschine tritt bei der Synchronmaschine allerdings station¨ar kein Schlupf auf (ΩK2 = 0; βK2 = const). Dies entsteht durch die im Signalflußplan erkennbare nichtlineare Gegenkopplung u ¨ber die Schleife mit den Gr¨oßen ΩK2 , βK2 und IEB . Der Winkel βK2 ver¨andert sich daher bei transienten Vorg¨angen so lange, bis gilt IEB = − I1B

und damit

ΩK2 = 0

(16.184)

Station¨ar ist somit der D¨ampferkreis ohne Wirkung (I3A = I3B = 0). Eine wesentlich vereinfachte Darstellung erh¨alt man unter Vernachl¨assigung der Streuung im D¨ampferkreis. Dann gilt: Lσ3 = 0

=⇒

L3 = Lσ3 + M = M

bzw.

M =1 L3

(16.185)

Das heißt, man geht davon aus, daß der Fluß im Rotor bzw. im D¨ampferkreis gleich dem Luftspaltfluß ist μ 3 = Ψ (16.186) Ψ und sich somit keine Feldlinien innerhalb des Rotors schließen. Alle Feldlinien, die den Rotor durchdringen, durchdringen auch den Stator.

800

16 Synchronmaschine

Die Gleichungen vereinfachen sich damit zu T3 ·

dΨ3A + Ψ3A = M · (I1A + IEA ) dt ΩK2 = R3 · MM i =

I1B + IEB Ψ3A

3 · Zp · Ψ3A · I1B 2

(16.187) (16.188) (16.189)

und es ergibt sich der Signalflußplan nach Abb. 16.23 [248].

Abb. 16.23: Signalflußplan der feldorientierten Synchron-Vollpolmaschine bei vernachl¨ assigter D¨ ampferstreuung

Zus¨atzlich wurde hier die Berechnung der flußorientierten Erregerstromkomponenten IEA , IEB einzeln ausgef¨ uhrt. Diese Darstellung ist ¨aquivalent mit der h¨aufig in der Literatur erw¨ahnten Darstellung nach [248]. Zusammenfassend soll hier noch einmal erw¨ahnt werden, daß durch die feldorientierte Betrachtungsweise die Einflußgr¨ oßen in der Maschine gefunden werden, die eine unabh¨ angige Beeinflussung der entscheidenden Maschinen-

16.3 Synchron-Vollpolmaschine

801

Abb. 16.24: Feldorientierte Regelung der Synchron-Vollpolmaschine bei meßbarem Feldwinkel

802

16 Synchronmaschine

gr¨oßen, n¨amlich Fluß (I1A , IEA ) und Drehmoment (I1B ) erm¨oglichen. Im Unterschied zur Asynchronmaschine, wo nur die Statorstromkomponente I1A zur Flußbildung herangezogen werden kann, ist hier die Flußerzeugung theoretisch beliebig aufteilbar zwischen Statorkreis und Erregerkreis (d. h. zwischen I1A und IEA ). Diese Aufteilung wird im allgemeinen nach u ¨bergeordneten Kriterien wie z. B. dem Blindleistungsbedarf der Maschine festgelegt. Wenn es gelingt, diese Einflußgr¨oßen I1A , IEA und I1B durch regelungstechnische Maßnahmen in der Maschine einzupr¨agen, dann ergibt sich das g¨ unstige regelungstechnische Verhalten der Gleichstrom-Nebenschlußmaschine. Eine M¨oglichkeit einer solchen feldorientierten Regelung zeigt Abb. 16.24 [248]. Dabei werden durch entsprechend inverses Aufschalten der Feldwinkel βK und βK2 zun¨achst Stromsollwerte f¨ ur die geregelten Stromrichter erzeugt, die im Koordinatensystem der jeweiligen Wicklung (Statorstrom → Statorwicklung → S-System, Erregerstrom → Erregerwicklung → L-System) dargestellt sind. Diese Sollwerte werden dann von den Stromrichtern realisiert. Die Wirkung der nachfolgenden Koordinatentransformationen wird durch die vorangegangene inverse Aufschaltung gerade aufgehoben. Hier wurde allerdings vorausgesetzt, daß die Feldwinkel βK und βK2 exakt meßbar sind. Dies ist in der Realit¨at nicht oder nur unter großem Aufwand m¨oglich. Daher setzt man im allgemeinen wie bei der Asynchronmaschine Modelle oder Beobachter zur Sch¨atzung der nicht meßbaren Gr¨oßen ein. Generell wurde die feldorientierte Regelung an sich, die Realisierung sowie die Parameterempfindlichkeit, die adaptive Nachf¨ uhrung von zeitvarianten Parametern und die Fragen der Stromregelung zur Einpr¨agung der Statorstr¨ome ausf¨ uhrlich bereits bei der Asynchronmaschine dargestellt. Aufgrund dieser ausf¨ uhrlichen ¨ Darstellung von verschiedenen Gesichtspunkten aus k¨onnen diese Uberlegungen auf die Regelungen f¨ ur die Synchronmaschine u ¨bertragen werden, so daß hier auf weitere Darstellungen verzichtet wird. Hingewiesen sei hier auch nochmals auf die Darstellungen bei der permanentmagneterregten Synchronmaschine und bei der b¨ urstenlosen Gleichstrommaschine. 16.3.4

Steuerbedingungen der Synchron-Vollpolmaschine ohne D¨ ampferwicklung

Die Gleichungen (16.128) bis (16.140) beschreiben die Synchron-Vollpolmaschine mit D¨ampferwicklung. Wenn die Synchronmaschine keine D¨ampferwicklung hat, dann entfallen die Gleichungen der D¨ampferwicklung (Gl. (16.130), Gl. (16.131), Gl. (16.135) und Gl. (16.136)), da ID = IQ = ΨD = ΨQ = dΨD /dt = dΨQ /dt = 0.

16.3 Synchron-Vollpolmaschine

803

Ψd = Lσ1 · Id + Ψhd

(16.190)

Ψq = Lσ1 · Iq + Ψhq

(16.191)

ΨE = Ψhd + LσE · IE

(16.192)

Ψhd = Lh · (Id + IE )

(16.193)

Ψhq = Lh · Iq

(16.194)

Ud = R1 · Id +

dΨd − ΩL · Ψq dt

(16.195)

Uq = R1 · Iq +

dΨq + ΩL · Ψd dt

(16.196)

UE = IE · RE + MM i =

dΨE dt

3 · Zp · IE · Iq · Lh 2

(16.197) (16.198)

Diesen Gleichungen ist — analog zur Asynchronmaschine — zu entnehmen, daß das Moment MM i mit Iq vorgegeben wird. Auf die Anmerkung zu Gl. (16.8) bez¨ uglich des Unterschieds von Schenkelpol- zu Vollpolmaschine sei nochmals hingewiesen. Im station¨aren Leerlaufzustand ist Iq = Ψq = dΨq /dt = 0 und damit gilt f¨ ur die Spannungen Ud = R1 · Id

(16.199)

Uq = ΩL · Ψd

(16.200)

d.h. bei konstantem Fluß Ψd wird die Spannung Uq proportional zur Kreisfrequenz ΩL sein. Der Feldschw¨achbetrieb kann durch einen Strom Id < 0 erreicht werden. Die Parallelen zur Asynchronmaschine sind offenkundig. In gleicher Weise wie bei der Asynchronmaschine k¨onnen Synchronmaschinen durch Entkopplungsnetzwerke und u ¨berlagerte Regelkreisen (Kap. 16.4) oder durch Feldorientierung (Kap. 16.5) geregelt werden. Die Synchron-Vollpolmaschine soll nun so gesteuert werden, daß sich ein Verhalten wie bei der Gleichstrom-Nebenschlußmaschine ergibt. Damit sind drei Ziele f¨ ur die Steuerung erw¨ unscht: 1. Die Drehzahl soll im Ankerstellbereich verstellbar sein — ohne den Fluß zu beeinflussen. 2. Das Drehmoment soll einstellbar sein.

804

16 Synchronmaschine

3. Die Maschine soll u ¨ ber den Nennbetrieb hinaus im Feldschw¨achbetrieb betrieben werden. Eine ausf¨ uhrliche Diskussion der Steuerbedingungen bei Phasenschieberbetrieb, beim Betrieb als Stromrichtermotor und beim Betrieb mit dem Direktumrichter als Stellglied erfolgte in Band 1 [36, 37, 38] dieser Buchreihe grunds¨atzlich und in Band 4 [44, 45] im Detail einschließlich der Auslegung der Komponenten, so daß an dieser Stelle auf diese Ausf¨ uhrungen verzichtet werden soll.

16.4

Regelung der Synchronmaschine durch Entkopplung

Wie die Asynchronmaschine in Kap. 13 kann die Synchronmaschine entweder mittels Entkopplungsnetzwerken oder feldorientiert geregelt werden. Als wesentlicher Unterschied gegen¨ uber der Asynchronmaschine und entsprechender Vorteil muß allerdings bedacht werden, daß die Orientierung der d-Achse aufgrund der konstruktiven Vorgaben bekannt ist und daher durch einen Sensor relativ einfach bestimmt werden kann. Unterschiedlich zur Asynchronmaschine ist weiterhin, daß bei der Synchronmaschine sowohl im Stator als auch im Erregerkreis eingegriffen werden kann. Es soll nun wie bei der Asynchronmaschine vorgegangen werden und zuerst das Verfahren der Entkopplung und dann die feldorientierte Regelung dargestellt werden. Im Gleichungssatz (16.42) k¨onnen die Gleichungen der Schenkelpolmaschine ohne D¨ampferwicklung beispielsweise nach den Ableitungen der Fl¨ usse aufgel¨ost werden, und es ergibt sich der Signalflußplan nach Abb. 16.4 bzw. Abb.16.5. Wesentlich war, daß die Ableitungen der Fl¨ usse als Eingangssignale von Integratoren interpretiert wurden und entsprechend der Gleichung die Eingangssignale des jeweiligen Integrators realisiert wurden. Wie schon bei der Asynchronmaschine und in Kap. 16.1 f¨ ur die Synchronmaschine ausf¨ uhrlich dargestellt, k¨onnen die Gleichungen aber auch nach den Spannungen oder Str¨omen aufgel¨ost werden, und es ergibt sich ein Signalflußplan, bei dem sich ein Summationspunkt der Spannungen oder Str¨ome entsprechend der jeweiligen Gleichung ergibt. Ein weiterer Effekt ist, daß nun ein Differenzierglied im Signalflußplan notwendig ist, um bei Fluߨanderungen die daraus resultierende Spannung zu berechnen. Um den Umfang der Darstellungen nicht zu umfangreich werden zu lassen und da bei der Asynchronmaschine die Entkopplung in allen Details dargestellt wurde, soll bei der Synchronmaschine nur die Entkopplung bei der SynchronSchenkelpolmaschine ohne D¨ ampferwicklung besprochen werden, da alle anderen Abwandlungen — insbesondere f¨ ur die Synchron-Vollpolmaschine – ohne großen Aufwand direkt nachvollziehbar sind. Um Durchg¨angigkeit sicherzustellen, soll entsprechend Kap. 16.1.2 die Normierung entprechend Gleichungssatz (16.42) erfolgen und die Transformation in den Laplace-Bereich verwendet werden.

16.4 Regelung der Synchronmaschine durch Entkopplung

805

ψd = ld · id + iE

(16.201)

ψq = lq · iq

(16.202)

ψE = iE + (1 − σE ) · ld · id

(16.203)

ud = s TN · ψd + r1 · id − ωL ∗ ψq

(16.204)

uq = s TN · ψq + r1 · iq + ωL ∗ ψd

(16.205)

uE = s TE · ψE + iE

1 id = · ψd − ψE σE · ld

(16.206)

1 · ψq lq

1 = · ψE − (1 − σE ) · ψd σE

(16.207)

iq =

(16.208)

iE

(16.209)

mM i = ψd ∗ iq − ψq ∗ id s TΘN · ωm = mM i − mW

(16.210) (16.211)

Die Gleichungen (16.201) bis (16.203) k¨onnen nach kurzer Rechnung umgeformt werden zu ψd = σE · ld · id + ψE

(16.212)

ψq = lq · iq

(16.213)

ψE = σE · iE + (1 − σE ) · ψd

(16.214)

Wenn die Spannungs-Gleichungen (16.204) bis (16.206) nach den Str¨omen id , iq und iE aufgel¨ost werden und f¨ ur die Verkettungen die Strom-Gleichungen (16.207) bis (16.209) und die Fluß-Gleichungen (16.212) bis (16.214) genutzt werden, dann ergibt sich der Signalflußplan in Abb. 16.25. Beispielsweise gilt nach Gl. (16.204): id =

1 · (ud − s TN · ψd + ωL ∗ ψq ) r1

Entsprechend sind die anderen Gleichungen im Signalflußplan umzusetzen. In gleicher Weise kann entsprechend dem Gleichungssatz (16.201) bis (16.211) u ¨ber Gl. (16.212) bis (16.214) der Signalflußplan bei eingepr¨agten Str¨omen id , iq und iE gezeichnet werden (Abb. 16.26). Unterschiedlich zu Abb. 16.10 ist in Abb. 16.26, daß eine ausreichende Spannungsreserve des vorhergehenden Wechselrichters angenommen worden ist. Zu beachten ist, daß bei Stromeinpr¨agung keine Stromspr¨ unge“ m¨oglich sind, da der Lastkreis eine ohmsch-induktive ”

806

16 Synchronmaschine

uq ud

- e

e

 @ @

− 6

6

?

− -e 6−

- @ @

r

ωL

6

- e ?

1 r1

1 r1 @ @

id

ψd

@

lq

s TN

@

@

6 r

6

@

@r

r

r

ψq ωL

?

HH  H   H HH 

1−σE

ld lq

−

? e 6

?

1−σE ? e 6

?

@

s TN

σE ld ? e 6

iq

@

?

1

mW ? - @ @

-

6

mM i ?− 1 -e σE ld

r

ωm

-

TΘN ψE

r ?

σE uE

s TE

6

iE

- e

−

Abb. 16.25: Normierter Signalflußplan der Synchron-Schenkelpolmaschine ohne D¨ampferwicklung bei Spannungseinpr¨ agung

Komponente hat. Aufgrund dieser Randbedingungen ohmsch-induktive Kompo” nente im Lastkreis und begrenzte Spannung des Wechselrichters“ sind im Signal¨ flußplan nach Abb. 16.26 in der Realit¨at anzupassende Ubertragungsfunktionen der Stromregelkreise vorzuschalten. Wenn nun die Regelung der Synchronmaschine mittels eines Entkopplungsnetzwerkes erfolgen soll, muß beachtet werden, daß sowohl der Strom iE als auch der Strom id flußbildend sind. ψd = σE · ld · id + ψE

(16.215)

ψE = σE · iE + (1 − σE ) · ψd

(16.216)

bzw. Es m¨ ussen somit zur Steuerung der Fl¨ usse sowohl ψd∗ als auch ψE∗ ber¨ ucksichtigt werden. Wie die Relation von ψd∗ und ψE∗ zueinander gew¨ahlt wird, ist

16.4 Regelung der Synchronmaschine durch Entkopplung

iq

-

ψq

lq

-

1 σE ld

- @ @

mW mM i ?− -e -

6

id

r

-

ld

-e 6

- 1 − σE

-e 6

- (1−σE ) ld

iE

ψd

ld lq

ψE

807

ωm

-

TΘN

− -e

6

r

-

r

Abb. 16.26: Normierter Signalflußplan der Schenkelpolmaschine ohne D¨ampferwicklungen bei Stromeinpr¨ agung (Vernachl¨ assigung der Spannungspfade)

vom gew¨ahlten System Stellglied-Synchronmaschine abh¨angig (siehe beispielsweise [36, 37, 38], Stromrichtermotor oder Direktumrichter-Synchronmaschine). Die Momentsteuerung erfolgt u ¨ber den Fluß ψq . Es gilt im Zeitbereich:

  ψq ld · ψd (16.217) · ψE − 1 − σE · mM i = σE · ld lq Somit ist als dritter Eingang der Sollwert i∗q f¨ ur den drehmomentbildenden Signalpfad notwendig. Bei der Ableitung des Signalflußplans des Entkopplungsnetzwerkes f¨ ur die Synchronmaschine wird entsprechend dem Vorgehen bei der Asynchronmaschine vorgegangen. Beispielsweise wird die erste Spannungsgleichung (16.204) ud = s TN · ψd + r1 · id − ωL ∗ ψq der Synchronmaschine als Gleichung mit der Spannung ud als Eingangsgr¨oße und den Gr¨oßen id , ψd und ψq als resultierende Gr¨oßen angesetzt. Die entsprechende Gleichung des Entkopplungsnetzwerkes ist: ud = s TN · ψd∗ + r1 · id − ωL ∗ ψq

(16.218)

wobei ud die Ausgangsgr¨oße des Entkopplungsnetzwerkes ist und id , ψd∗ und ψq als Eingangs- bzw. Zwischengr¨oßen zu interpretieren sind. Die gestrichenen“ ” Gr¨oßen sind die Gr¨oßen innerhalb des Entkopplungsnetzwerkes, die aufgrund von Parameterunterschieden zwischen Entkopplungsnetzwerk und realer Maschine nicht exakt mit den Maschinengr¨oßen u ¨ bereinstimmen.

808

16 Synchronmaschine

Um die gew¨ unschten Sollwerte ψE∗ , ψd∗ und i∗q als Eingangsgr¨oßen des Entkopplungsnetzwerkes zu erhalten, m¨ ussen die entsprechenden Gleichungen angesetzt werden: uq = s TN · ψq + r1 · i∗q + ωL ∗ ψd∗

(16.219)

uE = s TE · ψE∗ + iE

1  ∗ ∗ · ψd − ψE id = σE · ld

(16.220)

ψq = lq · i∗q

1 ∗  ∗ · ψ − (1 − σ ) · ψ iE = E E d σE

(16.221) (16.222) (16.223)

Wenn diese Gleichungen f¨ ur das Entkopplungsnetzwerk verwendet werden, ergibt sich Abb. 16.27. In Abb. 16.27 ist im linken Teil das Entkopplungsnetz werk mit den Eingangsgr¨oßen i∗q , ψd∗ , ψE∗ und ωL und den Ausgangsgr¨oßen ud ,   uq und uE dargestellt. Im rechten Teil des Bildes ist der Signalflußplan der Synchronmaschine gezeichnet. Bei der Darstellung des Gesamt-Signalflußplans ist angenommen, daß der Umrichter mit eingepr¨agter Spannung die Spannungen ud , uq (mit der entsprechenden Frequenz f entsprechend ωL im station¨aren Fall) und das Gleichspannungs-Stellglied die Spannung uE amplitudengetreu und ohne Verz¨ogerungen der Synchronmaschine bereitstellen kann. Die Ausgangsgr¨oßen ud , uq und uE des Entkopplungsnetzwerkes werden deshalb als Sollwerte u∗d , u∗q und u∗E f¨ ur die Stellglieder interpretiert und — ohne daß die idealen Stellglieder gezeichnet sind — als Eingangsgr¨oßen zur Speisung der Synchronmaschine genutzt. Aus dem Gesamtsignalflußplan in Abb. 16.27 ist wiederum zu erkennen, daß beispielsweise ausgehend von ψd∗ Proportionalglieder mit den Verst¨arkungskoeffizienten 1/(σE ld ) und r1 im Entkopplungsnetzwerk zu realisieren sind und in der Synchronmaschine die entsprechenden Verst¨arkungsfaktoren 1/r1 und σE ld im Signalpfad zum Fluß ψd folgen. Somit kann — wenn die Parameter im Entkopplungsnetzwerk (gestrichene Gr¨oßen) und die Parameter in der Synchronmaschine (ungestrichene Gr¨oßen) u ¨ bereinstimmen – der Fluß ψd durch den Sollwert ψd∗ direkt gesteuert werden. Die gleiche Aussage gilt f¨ ur die Signale ψE und iq . Wenn die Sollwerte ψd∗ und ψE∗ nicht ge¨andert werden, k¨onnen die Funktionsbl¨ocke s TN und s TE in den entsprechenden Signalpfaden entfallen; dies ist durch die Strichelung im Signalpfad angedeutet. Außerdem kann der Multiplizierer ωL ∗ ψd∗ (Faltung im Laplace-Bereich) durch ein Proportionalglied ersetzt werden. Durch das Entkopplungsnetzwerk wird somit der Synchronmaschine ein dynamisches Verhalten wie der Gleichstrom-Nebenschlußmaschine gegeben. Al¨ lerdings ist zu beachten, daß bei Anderungen der Sollwerte ψd∗ und ψE∗ durch   die Funktionsbl¨ocke s TN und s TE erhebliche dynamische Spannungsamplituden der Stellglieder gefordert werden, die eventuell von den Stellgliedern nicht mehr

i∗q

e 6

e 6

 @ @

- @ @

r

ωL

6

− -e

-e 6

6

6

ωL u∗q

ud

u∗d

-

uq



uq

-

- e

@ @

6

id

@

lq

s TN ψq

6 r

@

@

6

@

@

r

ψd∗

? e 6

-e 6−

r ?

s TE Entkopplungsnetzwerk

?

ψd

ψE ? e 6

?

r

6

@

@r

r

lq

s TN @

r

ψq ωL

?

1−σE

ld lq

−

? e 6

1

mW ? - @ @

-

6

mM i ?− 1 -e σE ld

r

TΘN r ?

1  σE

? -e

@ @

s TN

1−σE

-e

iq

?

@

6

?

?−

iE

- e

@

HH  H  HH  H 

1−σE ψE∗

6

@ @

σE ld

6

?

ψE∗

− -e 6−

- @ @

1 r1

id

HH  H  HH  H 

ψd∗

r

ωL

6

?

1  l σE d

s TN

@

 @ @

1 r1

r1

@

e

− 6

?

r1 6 r ?

r

σE uE

-

u∗E

s TE

6

iE

- e

−

Synchron-Schenkelpolmaschine

ωm

-

16.4 Regelung der Synchronmaschine durch Entkopplung 809

Abb. 16.27: Synchron-Schenkelpolmaschine ohne D¨ ampferwicklung mit vorgeschaltetem Entkopplungsnetzwerk

ωL

810

16 Synchronmaschine

bereitgestellt werden k¨onnen. Dies gilt aber ebenso f¨ ur die Stellglieder bei der Gleichstrom-Nebenschlußmaschine. Im allgemeinen werden beim Wechselrichter mit eingepr¨agter Spannung die Spannungsamplitude und die Frequenz f¨ ur das Statorsystem vorgegeben, insofern kann der Gesamt-Signalflußplan in Abb. 16.27 erhalten bleiben. F¨ ur die Erregung des Polrades der Synchronmaschine ist im allgemeinen aber die Vorgabe des Erregerstromes iE vorteilhafter als die Vorgabe der Spannung uE , dies ist durch die ¨ thermische Anderung des ohmschen Widerstandes RE der Polrad-Wicklung bedingt. Das Entkopplungsnetzwerk kann f¨ ur diese ge¨anderte Aufgabenstellung — Vorgabe von u∗d und u∗q f¨ ur den Wechselrichter sowie Vorgabe von i∗E f¨ ur das Stellglied, welches die Polradwicklung speist — durch mathematische Umformung der Erregerkreisgleichung angepaßt werden. Bei der Realisierung des Entkopplungsnetzwerks muß das Differenzier¨ glied durch eine DT1 -Ubertragungsfunktion approximiert werden. Ausgehend von den bekannten Gleichungen der Spannungen dψd + r1 · id − ωL · ψq dt dψq + r1 · iq + ωL · ψd = TN · dt dψE = TE · + iE dt

ud = TN ·

(16.224)

uq

(16.225)

uE

(16.226)

und der Flußverkettung id iq iE

1 = · ψd − ψE σE · ld 1 = · ψq lq

1 = · ψE − (1 − σE ) · ψd σE

(16.227) (16.228) (16.229)

werden die Sollwertvorgaben ψd∗ , ψE∗ und i∗q sowie die Ausgangssignale der gew¨ unschten Statorspannungen ud , uq und der Erregerstrom iE ber¨ ucksichtigt. Wenn somit beispielsweise in Gl. (16.224) f¨ ur id Gl. (16.227) und f¨ ur ψq Gl. (16.228) eingesetzt wird, dann ergibt sich:

r dψ ∗  ud = TN · d +  1  · ψd∗ − ψE∗ − ωL · lq · i∗q (16.230) dt σE · ld di∗q  + r1 · i∗q + ωL · ψd∗ (16.231) uq = TN · lq ·

dt 1 (16.232) · ψE∗ − (1 − σE ) · ψd∗ iE = σE

16.4 Regelung der Synchronmaschine durch Entkopplung

811

Entsprechend gilt f¨ ur die Gleichungen im Laplace-Bereich: r1 · (ψd∗ − ψE∗ ) − ωL ∗ lq · i∗q · ld = s TN · lq · i∗q + r1 · i∗q + ωL ∗ ψd∗

1 ∗  ∗ = · ψE − (1 − σE ) · ψd σE

ud = s TN · ψd∗ + uq iE

(16.233)

σE

(16.234) (16.235)

Mit diesen Voraussetzungen ergibt sich der Signalflußplan in Abb. 16.28. ψd∗ ψE∗

r

-e 6−

-



r1   σ E ld

ud

-e 6−

-

r 

r

-e 6

- @ @



ωL

r6 ?

uq

-

@ @

iq∗

6 r

-



lq

ψq∗

r

-

sTN

- r 1

- 1−σ 

E

−

-e 6

-e 6



-

1  σE

iE

-

Abb.16.28: Entkopplungsnetzwerk (EK) f¨ ur die Schenkelpolmaschine ohne D¨ampferwicklung mit Erregerstrom-Sollwert-Ausgang

¨ Bei diesem Signalflußplan wurde zus¨atzlich angenommen, daß die Anderun∗ ∗  ∗ gen dψd /dt = dψE /dt = 0 sind, somit kann der Term s TN ψd entfallen. In diesem Fall ist ein zus¨atzlicher Stromregelkreis f¨ ur die Regelung des Erregerstroms iE notwendig. Eine derartige Regelung ist aber bereits ausf¨ uhrlich bei den Regelungen der Gleichstrom-Nebenschlußmaschine besprochen worden, so daß hier nicht mehr darauf eingegangen werden soll. Mit dem in Abb. 16.28 gezeichneten Entkopplungsnetzwerk kann nun ein drehzahlgeregelter Synchronmaschinenantrieb aufgebaut werden (Abb. 16.29). In Abb. 16.29 ist f¨ ur die Statorspeisung ein Wechselrichter mit eingepr¨agter Spannung angenommen worden. Wechselrichter mit eingepr¨agter Spannung sind

812

16 Synchronmaschine Netz

ψE∗ ψd∗

u∗d

-

EK Abb.

∗ ωm

n-Regler - e -  − 6

i∗q

16.28 -

u∗q ωL∗

r






polar




ωL∗

6

s TN

−







f1∗ -
-e


γ∗ -





∼

-







-

|u∗1 |










∼

     

iE -Regler

ωL

6




i∗E

6

1


kart.


-

     

? -  e 6

'$ @ - B @ B

-

iE

SM

r -

&%

Erregung

ωm  T 

Abb. 16.29: Drehzahlregelung der Synchronmaschine mittels Entkopplungsnetzwerk

beispielsweise Direktumrichter oder selbstgef¨ uhrte Wechselrichter mit eingepr¨agter Spannung und eventuell in Zukunft Matrixumrichter. Diesen Wechselrichtern werden als Steuersignale die Amplituden der Statorspannung |u∗1 | und die Statorfrequenz f1∗ vorgegeben. Aus Abb. 16.29 ist zu entnehmen, daß — wie bereits bei der Asynchronmaschine dargestellt — das Entkopplungsnetzwerk aus den Eingangsgr¨oßen ψE∗ , ψd∗ und i∗q die Ausgangsgr¨oßen u∗d , u∗q , ωL∗ und i∗E erzeugt. Allerdings wird kein Sensor verwendet, der die Orientierung der d- und q-Achse ermittelt. Um diese Schwierigkeit zu umgehen, wird vom kartesischen d-q-System zum Polarkoordinatensystem u Die Bildung der Amplitude |u∗1 | er¨ bergegangen.

∗2 folgt u ¨ber die Gleichung |u∗1 | = u∗2 d + uq . Bei der Bestimmung der Stator∗ frequenz f1 wird die Drehzahl ωL ben¨otigt. Im dynamischen Fall wird zu der station¨aren Frequenz ωL noch der Anteil dγ ∗ /dt addiert, der die phasenrichtige Spannungsvorgabe sicherstellt. Um die phasenrichtige Zuordnung von Polradlage und Statorspannungssystem beim Anfahren zu erreichen, k¨onnen beispielsweise zwei Statorwicklungen mit einem Gleichstrom gespeist werden, damit das Polrad die durch den Statorstrombelag vorgegebene Position einnimmt. Eine andere Variante ist, zur Drehzahlerfassung einen Impulsgeber IG zu verwenden; damit kann die notwendige Zuordnung des Statorspannungssystems zur Polradlage erreicht werden. Dem Entkopplungsnetzwerk vorgeschaltet ist der u ¨berlagerte Drehzahlregler. Die Sollwerte von ψd∗ und ψE∗ sind als freie Eingangsgr¨oßen gezeichnet. Die Wahl der Relation erfolgt in Abh¨angigkeit vom Stellgliedtyp (siehe [36, 37, 38] oder [44, 45]). Eine allgemeine Diskussion der Flußregelung erfolgt in Kap. 16.5.5, des Feldschw¨achbetriebs in Kap. 16.5.6 und des Leistungsfaktors der Grundschwingung cos ϕ in Kap. 16.5.7.

16.4 Regelung der Synchronmaschine durch Entkopplung

813

Allgemein muß bei Festlegung der Flußsollwerte gefordert werden, daß im Nennbetriebspunkt weder der Stator-Nennstrom |I1N | noch die Nennspannung |U1N | u urfen. ¨berschritten werden d¨ Wenn in Gl. (16.208) f¨ ur iq die Drehmomentgleichung (16.210) und die id Stromgleichung (16.207) eingesetzt werden, dann ergibt sich nach Einsetzen der Momentgleichung iq =

mM i σE · ld · mM i = ψd − lq · id (σE ld − lq ) · ψd + lq · ψE

(16.236)

wobei id = (ψd − ψE ) /(σE ld ) ist. Damit ist iq = f (mM i , ψd , ψE ) und damit der Betrag des Statorstroms i1 : |i1 | = i2d + i2q = f (mM i , ψd , ψE ) (16.237) Werden nun beispielsweise die Nennwerte von mM i und i1 angesetzt, ergibt sich eine quadratische Bestimmungsgleichung f¨ ur ψd∗ und ψE∗ . ψq∗

- @ @

r  - r1 lq

r

-e 6 6

sTN

-

ψE∗

ud

-e 6

-



r

- e- @ @ 6 6 Z r Z  Z

e -?

r



ωL id∗



−

r

- σ l E d

r

- r 1

r

?-e

uq



ωL

-

r -e 6

sTN



? 

(1−σE ) ld

−

-? e



iE

-

Abb. 16.30: Entkopplungsnetzwerk mit id als Stellgr¨ oße f¨ ur das Drehmoment und ψq∗ ∗ und ψE als Steuergr¨oßen

Eine gleiche Rechnung kann f¨ ur die Statorspannungsgleichungen als Funktion des Moments mM i sowie von ψd∗ und ψE∗ erfolgen und ergibt eine zweite Bestimmungsgleichung. Damit sind ψd∗ und ψE∗ bestimmbar und k¨onnen entsprechend dem Arbeitspunkt eingestellt werden.

814

16 Synchronmaschine

Statt der Steuergr¨oßen ψd∗ , ψE∗ und i∗q (Abb. 16.28) k¨onnen in gleicher Weise Entkopplungsnetzwerke f¨ ur andere Kombinationen von Eingangsgr¨oßen entwickelt werden. In Abb. 16.30 ist das Entkopplungsnetzwerk f¨ ur die Kombination ψq∗ und ψE∗ (arbeitspunktabh¨angige Steuergr¨oßen) sowie i∗d (dynamisch) dargestellt. Weitere Abwandlungen entsprechend den speziellen Anforderungen sind m¨oglich. In entsprechender Vorgehensweise k¨onnen die Entkopplungsnetzwerke f¨ ur die Schenkelpolmaschine mit D¨ampferwicklung und die Vollpolmaschine erarbeitet werden. Ganz allgemein soll hier noch einmal auf die ausf¨ uhrliche Darstellung der Entkopplung bei der Asynchronmaschine verwiesen werden. Dort wurden einerseits Hinweise f¨ ur die praktische Realisierung — dies gilt insbesondere f¨ ur die Realisierung des Differenzierers — und andererseits die Einschr¨ankungen erl¨autert, so daß hier darauf verzichtet werden kann.

16.5

Regelung der Synchronmaschine durch Feldorientierung Dr. F. Bauer, Erlangen

Wie bereits in Kap. 16.1.1 f¨ ur die Synchronmaschine (Schenkelpolmaschine ohne D¨ampferwicklung) und in den folgenden Kapiteln f¨ ur andere Ausf¨ uhrungsformen von Synchronmaschinen sowie in [36, 37, 38] dargestellt, ist ein wesentliches Kennzeichen der Synchronmaschine, daß mit dem Erregerstrom IE der Erregerwicklung ein erster Flußanteil bereitgestellt wird. Der Erregerstrom wird i.a. u ¨ ber Schleifringe dem auf dem Rotor befindlichen Polsystem zugef¨ uhrt (Innenpolmaschine). Auch sind b¨ urstenlose und damit weitgehend wartungsfreie Ausf¨ uhrungsformen bekannt. Hier wird die Erregung u ¨ber einem Drehstromsteller, der gegen das Drehfeld einen rotierenden dreiphasigen Transformator speist, sowie einem rotierenden dreiphasigem Br¨ uckengleichrichter ([44, 45]) zugef¨ uhrt. Im Vergleich zur permanentmagneterregten Synchronmaschine (Kap. 16.6) kann der resultierende Fluß in der d-Richtung somit sowohl vom Erregerstrom als auch von der Stator-Stromkomponente Id beeinflußt werden. Dies kann u.a. – wie bereits in [36, 37, 38] dargestellt — dazu genutzt werden, den Verschiebungsfaktor cos ϕ einzustellen. Diese M¨oglichkeit macht die fremderregte Synchronmaschine vor allem f¨ ur die Energieerzeugung interessant. Der zus¨atzliche Freiheitsgrad kann aber auch f¨ ur Antriebsaufgaben vorteilhaft genutzt werden. Hierf¨ ur bietet sich die Schenkelpolmaschine gleichermaßen wie der Turbol¨aufer (Vollpolmaschine) an. Wesentliche Voraussetzung f¨ ur den Einsatz der Synchronmaschine ist, daß bez¨ uglich Regelbarkeit und Dynamik ein H¨ochstmaß an Freiheitsgrad und Qualit¨at erreicht wird. Dies gelingt durch den Einsatz der heute etablierten feldorientierten Regelverfahren. Gegen¨ uber der feldorientierten Regelung der Asynchronmaschine oder der permanentmagneterregten Synchronmaschine ist die Regelung

16.5 Regelung der Synchronmaschine durch Feldorientierung

F. Bauer

815

der fremderregten Synchronmaschine aufwendiger — insbesondere dann, wenn ein Schenkelpoll¨aufer vorliegt. Wie bereits in Kap. 13.4.4 bei der Asynchronmaschine dargestellt, werden z.B. der Fluß Ψh und der momentbildende Strom geregelt. Im Ankerstellbereich wird somit Ψh auf den Nennwert geregelt, w¨ahrend der momentbildende Strom entsprechend den Momentanforderungen geregelt wird. Damit bestehen – wie bei der Asynchronmaschine — die Aufgabenstellungen, den Betrag und die Phase des Flusses Ψh zu bestimmen und weiterhin mittels der Vektordreher einmal vom statorfesten Koordinatensystem eine Transformation zum regelungstechnischen d-q-Koordinatensystem und anschließend zur¨ uck zum informationsverarbeitenden Bereich zum Wechselrichter-Statorwicklungssystem durchzuf¨ uhren. Abbildung 16.34 f¨ ur die Synchronmaschine entspricht im oberen Bildteil somit der entsprechenden Blockstruktur in Abb. 13.45 der Asynchronmaschine, und es gelten somit die gleichen Grund¨ uberlegungen. Wie sich aus den Erl¨auterungen in Kap. 13.5 ergeben hat, sind die Modelle zur Ermittlung der ben¨otigten Gr¨oßen aus den leicht zu messenden Gr¨oßen wie Statorspannungen und Statorstr¨ome von großer Bedeutung f¨ ur die Funktion der feldorientierten Regelung. Aufgrund dieser Bedeutung der Modelle und der Vorkenntnisse aus Kap. 13.4.4 wird in den folgenden Kapiteln von den Modellen zur Gesamtregelung und zur¨ uck zu verfeinerten Modellen und einer erweiterten Gesamtregelung gewechselt, um didaktisch ausgehend von den einfacheren zu den komplexeren L¨osungen zu gelangen. 16.5.1

Modelle zur Flußermittlung

Wie bereits bei der Asynchronmaschine betont und in Kap. 16.5 wiederholt, ben¨otigt jede feldorientierte Regelung Informationen u ¨ber die Winkellage des Flusses. In einem mit dem Flußwinkel verbundenen Koordinatensystem k¨onnen dann Fluß und Drehmoment unabh¨angig voneinander eingestellt werden. Bei der permanentmagneterregten Synchronmaschine wird zur Orientierung gew¨ohnlich die Flußachse ΨP M der Permanenterregung herangezogen. Diese ΨP M -Achse (dAchse) steht also in festem Bezug zur Rotorlage; es gelingt somit die Messung der Polradlage. Bei der fremderregten Synchronmaschine ist die Ankerr¨ uckwirkung wesentlich gr¨oßer. Zudem muß der Erregerstrom IE so berechnet werden, daß ein gew¨ unschter Betriebspunkt erreicht wird. Der Betriebspunkt ist f¨ ur bestimmte Werte von Drehzahl und Drehmoment durch einen bestimmten Fluß und einen cos ϕ charakterisiert. Sie k¨onnen u ¨ber Statorblindstrom und Erregerstrom unabh¨angig voneinander eingestellt werden. Zum Berechnen des Erregerstromes und des Flußraumzeigers verwendet man Modelle. 16.5.2

Spannungsmodell (U1 I1 -Modell)

Das Spannungsmodell wurde bereits in Verbindung mit der feldorientierten Regelung der Asynchronmaschine (vergl. dazu Kap. 13.5.3) dargestellt. Bei der feldorientierten Regelung der Synchronmaschine spielt es jedoch eine zentrale Rolle

816

16 Synchronmaschine

und soll daher genauer betrachtet werden. Das Spannungsmodell benutzt zur Berechnung des Flusses die Statorgleichung der Drehfeldmaschine. Da bei Asynchronmaschine und Synchronmaschine der Stator gleich aufgebaut ist, ergeben sich f¨ ur beide Maschinentypen gleiche Strukturen. Das Spannungsmodell berechnet aus den gemessenen Statorgr¨oßen Spannung und Strom den Fluß durch Integration der der Spannung, die der zu berechnende Fluß induziert. Dazu werden die Maschinenparameter Statorwiderstand R1 und Streureaktanz Lσ ben¨otigt (Kap. 13.5.3). Mit dem Spannungsmodell ist es m¨oglich, sowohl Statorfluß, Luftspaltfluß als auch Rotorfluß zu berechnen. Bei der Asynchronmaschine ist die Orientierung auf den Rotorfluß gebr¨auchlich, weil der Rotorfluß hier die sich am langsamsten ¨andernde Gr¨oße darstellt. Bei der Synchronmaschine entspricht der Rotorfluß dem mit der D¨ampferwicklung verketteten Fluß. Hier kommt jedoch h¨aufig die Orientierung auf den Luftspaltfluß zur Anwendung. 16.5.2.1 Spannungsmodell als Wechselgr¨ oßenmodell Bei der Ausf¨ uhrung des Spannungsmodells gibt es unterschiedliche M¨oglichkeiten. Eine ist, die induzierte Spannung komponentenweise zu berechnen und zu integrieren. Die Berechnung erfolgt im statorfesten Bezugssystem. Man erh¨alt das bekannte Wechselgr¨oßenmodell. Die Berechnung der Komponenten erfolgt hier im statorfesten Bezugssystem. Station¨ar sind die Komponenten Wechselgr¨oßen mit Statorfrequenz. Die induzierte Spannung ergibt sich aus der folgenden allgemeinen Gleichung, wenn Lσ die wirksame Streuinduktivit¨at zwischen anliegender Statorspannung und der zu berechnenden induzierten Spannung ist: Eα = U1α − R1 · I1α − Lσ ·

d I1α dt

Eβ = U1β − R1 · I1β − Lσ ·

d I1β dt

(16.238)

Durch Integration der Komponenten der induzierten Spannung Eα und Eβ erh¨alt man den Fluß in seinen statorfesten Komponenten:  Ψα = Eα dt  Ψβ =

Eβ dt

(16.239)

16.5 Regelung der Synchronmaschine durch Feldorientierung

F. Bauer

817

F¨ ur die Komponenten der komplexen Zeiger wurde dabei gew¨ahlt:  S = U1α + j U1β U 1

(16.240)

I1S = I1α + j I1β

(16.241)

 S = Ψα + j Ψβ Ψ

(16.242)

Die hochgestellten S weisen auf Gr¨oßen im statorfesten Bezugssystem hin. Der  S liegt hier in orthogonalen Komponenten vor. Gew¨ohnlich wird die InFluß Ψ formation nach Winkel und Betrag ben¨otigt. Die Wandlung kann mit Hilfe eines kartesisch/polar-Wandlers (KP-Wandler) erfolgen. Der KP-Wandler f¨ uhrt dabei folgende mathematische Operationen aus: Ψ = Ψα2 + Ψβ2 (16.243) ϕs = arctan

Ψβ Ψα

=

βS

(Kap. 13.1.2.3, Gl. 13.29) (16.244)

Mit der Wahl von Lσ bestimmt man, welcher Fluß berechnet wird. Es gilt dabei: Parameter Lσ 0 Lσ1 σ · L1

Es wird berechnet: Statorfluß Luftspaltfluß Rotorfluß im vereinfachten Ersatzschaltbild

Dabei bedeuten: Lσ1 Statorstreuung σ · L1 Gesamtstreuung Eine Berechnung des Rotorflusses mit dem Spannungsmodell ist nur dann ohne weiteres m¨oglich, wenn die Maschine keine unterschiedliche Auspr¨agung in d- und q-Achse besitzt. Dies ist bei der Asynchronmaschine der Fall. Bei der Schenkelpolmaschine ist der Rotor elektrisch und magnetisch unsymmetrisch. In einem nicht mit der Unsymmetrie verbundenen Koordinatensystem sind Rechenoperationen nur schwer durchzuf¨ uhren. Das bedeutet, daß Gleichungen, die das Verhalten des (unsymmetrischen) Rotors beschreiben, am einfachsten in einem mit dem Rotor verbundenen Koordinatensystem gel¨ost werden k¨onnen. Mit dem Spannungsmodell rechnet man daher nur soweit zum Rotor hin, wie die Maschine symmetrisch ist. Daher wird in Verbindung mit der Regelung der fremderregten Synchronmaschine oft der Luftspaltfluß als Orientierungsgr¨oße herangezogen. Entsprechend muß f¨ ur den Parameter Lσ im Spannungsmodell die Statorstreuung Lσ1 eingesetzt werden. In diesem Fall entspricht die induzierte Spannung der vom Hauptfeld induzierten Spannung, die auch als Hauptfeldspannung Uh bezeichnet wird (vergl. dazu Gl. (16.153)).

818

16 Synchronmaschine

16.5.2.2 Polares Spannungsmodell Eine Schwierigkeit bei der Anwendung des Spannungmodells liegt darin, daß geringste Gleichanteile durch die offene Integration das Ergebnis unbrauchbar machen, weil die Integrierer davonlaufen“. Es m¨ ussen Stabilisierungsmaßnah” men ergriffen werden, um dennoch zu einem brauchbaren Ergebnis zu kommen. Das kann in dieser Struktur durch eine komponentenweise R¨ uckkopplung der Integratorausg¨ange auf die Eing¨ange erfolgen, die frequenzabh¨angig gef¨ uhrt werden k¨onnen. Die Integration ist dann aber f¨ ur kleine Frequenzen nicht mehr ideal: Infolge der R¨ uckkopplung geht der Integrator in ein Verz¨ogerungsglied 1. Ordnung u ¨ber. Der dadurch entstehende Phasenfehler und der damit einhergehende Orientierungsfehler macht die obige Struktur des Spannungsmodells unterhalb einer Mindestfrequenz unbrauchbar. Eine Variante des Spannungsmodells erh¨alt man durch polare Integration der induzierten Spannung. Die Integration der Komponenten erfolgt im flußfesten Bezugssystem. Station¨ar sind die Komponenten Gleichgr¨oßen. Vorteilhaft ist, daß hier auch bei kleinen Frequenzen keine prinzipbedingten Phasenfehler infolge der notwendigen Stabilisierungsmaßnahmen erzeugt werden. Der Flußraumzeiger ist gegeben durch:  = Ψ · ejϕs Ψ Die Ableitung des Flusses ist die induzierte Spannung. Differenziert man also obigen Flußraumzeiger, so erh¨alt man folgende Beziehung: Eα + jEβ =

d (Ψ ejϕs ) = (Ψ˙ + j ϕ˙ s Ψ ) ejϕs dt

Multipliziert man die so erhaltene Gleichung mit e−jϕs , so ergibt sich, wenn mit Eϕ1 und Eϕ2 die Komponenten der induzierten Spannung im feldorientierten Bezugssystem bezeichnet werden: Eϕ1 + j Eϕ2 = (Eα + jEβ ) e−jϕs = (Ψ˙ + j ϕ˙ s Ψ )

(16.245)

Transformiert man also die nach Gl. (16.238) erhaltenen Komponenten der induzierten Spannung mit dem Flußwinkel e−jϕs , erh¨alt man als Ergebnis die in Gl. (16.245) angegebenen Komponenten. Dabei entspricht die 1. Komponente Eϕ1 der Ableitung des Flusses. Durch Integration ergibt sich der Flußbetrag (Abb. 16.31). Die zweite Komponente Eϕ2 ist das Produkt aus Flußbetrag und -frequenz. Durch Division mit dem Flußbetrag und anschließende Integration erh¨alt man den gew¨ unschten Flußwinkel f¨ ur die Transformation der induzierten Spannung vom statorfesten in das flußfeste Bezugssystem und f¨ ur die weitere Verwendung in der feldorientierten Regelung. Das Verhalten der Struktur unterscheidet sich nicht von dem der direkten statorfesten Integration der induzierten Spannung. Allerdings l¨aßt sich hier eine Stabilisierung finden, die auch bei kleinen Frequenzen station¨ar keine Phasenfehler verursacht. Eine solche D¨ampfung wird durch einen Zusatzpfad erreicht, der

16.5 Regelung der Synchronmaschine durch Feldorientierung

I1a

Ls

I1b

Ls R1

F. Bauer

819

d dt d dt d * dt Y

R1

U1a

Ea

U1b

Eb

d

Ej1= dt Y

Y

VD d

-

Ej2= Y dt js

js

D

-/+

d dt js

Abb. 16.31: Polares Spannungsmodell

die Ableitung des Flusses Eϕ1 mit einem Faktor D gewichtet und von der zweiten Komponente Eϕ2 subtrahiert. Bei negativer Flußfrequenz (Drehrichtungsumkehr) muß entsprechend addiert werden (Abb. 16.31). Steigt z.B. der Flußbetrag an, wird die Frequenz am Eingang des Winkelintegrators verringert. Das f¨ uhrt dazu, daß gegen¨ uber dem station¨aren Verlauf das Koordinatensystem der R¨ ucktransformation zur¨ uckbleibt, was eine Verringerung der Eϕ1 bewirkt. Damit erzielt man eine Gegenkopplung. Im station¨aren Betrieb ist im Grunddrehzahlbereich die Komponente Eϕ1 = 0. Damit verf¨alscht die D¨ampfungsaufschaltung das Ergebnis nicht. F¨ ur den Feldschw¨achbereich kann f¨ ur den D¨ampfungszweig die in der Regelung berechnete Ableitung des Sollflusses von Eϕ1 noch abgezogen werden. Damit wird der in diesem Betriebsbereich ohnehin schon kleine Fehler noch verringert. Auch hier gelten sinngem¨aß die in Kap. 13.5.3 dargestellten Fehlerbetrachtungen bei Parameterverstimmung. Die polare Struktur (Abb. 16.31) findet oft Anwendung in feldorientierten Regelungen f¨ ur die fremderregte Synchronmaschine oberhalb einer Mindestfrequenz. Bei entsprechender Einstellung ermittelt sie recht genau Flußwinkel und Betrag. Zur Regelung der fremderregten Synchronmaschine ist es notwendig, beide Gr¨oßen m¨oglichst genau zu bestimmen (vergl. dazu Kap. 16.5.3). 16.5.2.3 Spannungsmodell als Gleichgr¨ oßenmodell Eine weitere Variante des Spannungsmodells ergibt sich, wenn die Berechnung der induzierten Spannung auch auf der Gleichgr¨oßenseite erfolgt. F¨ ur ein zun¨achst beliebiges Bezugssystem gilt folgende Statorgleichung. Die hochgestellten Buchstaben sollen darauf verweisen, in welchem Koordinatensystem die Gleichung

820

16 Synchronmaschine

g¨ ultig ist. In Gl. (16.246) bedeutet K ein allgemein angenommenes Koordinatensystem, das mit der Winkelgeschwindigkeit ΩK gegen¨ uber dem (ruhenden) Stator rotiert. K  K = R1 · IK + j ΩK · Ψ  K + dΨ 1 U (16.246) 1 1 1 dt  stehen dabei in folgender Beziehung:  1 und zu berechnender Fluß Ψ Statorfluß Ψ  1 = Lσ · I1 + Ψ  Ψ

(16.247)

F¨ ur die Wahl von Lσ gilt der bereits oben dargestellte Zusammenhang. In einem mit dem Flußwinkel ϕs umlaufenden Koordinatensystem (ΩK = ϕ˙ s ) erh¨alt  in dieman folgende Spannungsgleichung. Dabei ist zu beachten, daß der Fluß Ψ  sem Koordinatensystem nur eine reelle Komponente besitzt ( Ψ = Ψ ). Mit dem hochgestellten ϕ soll ausgedr¨ uckt werden, daß die Gleichung in feldorientierten Koordinaten formuliert ist. ϕ  ϕ = R1 · Iϕ + j ϕ˙ s · (Lσ · Iϕ + Ψ ) + Lσ · dI1 + dΨ U 1 1 1 dt dt

(16.248)

Gleichung (16.248) kann nun komponentenweise formuliert in folgende Form gebracht werden:

dΨ dIϕ1 = Uϕ1 − R1 · Iϕ1 − ϕ˙ s · Lσ · Iϕ2 + Lσ · dt dt

dIϕ2 ϕ˙ s · Ψ = Uϕ2 − R1 · Iϕ2 + ϕ˙ s · Lσ · Iϕ1 + Lσ · (16.249) dt Dabei wurden f¨ ur die komplexen Zeiger im feldorientierten Koordinatensystem folgende Komponenten verwendet:  ϕ = Uϕ1 + j Uϕ2 U 1

(16.250)

I1ϕ = Iϕ1 + j Iϕ2

(16.251)

ϕ = Ψ Ψ

(16.252)

Gleichung (16.249) weist auf der linken Seite die selben Komponenten auf wie Gl. (16.245). F¨ ur die Integration des Flusses und f¨ ur die D¨ampfung des Modells kann die selbe Methode wie oben schon gezeigt angewendet werden. Auf der rechten Seite wird ausgesagt, wie im feldorientierten Koordinatensystem die Komponenten Eϕ1 und Eϕ2 berechnet werden. Man erh¨alt so das Spannungsmodell in Gleichgr¨oßenstruktur (Abb. 16.32). Die Berechnung der Komponenten erfolgt im mit dem Flußwinkel umlaufenden Koordinatensystem. Station¨ar sind in diesem Koordinatensystem alle Gr¨oßen Gleichgr¨oßen. Im Vergleich zur polaren Struktur erfolgt hier nicht nur die Integration, sondern auch die Berechnung der induzierten Spannung im flußfesten Koordinatensystem.

F. Bauer

16.5 Regelung der Synchronmaschine durch Feldorientierung

I1a I1b

Ij1

VD

Ls

Ij2

-

Ls R1

d dt d dt

R1 d

U1a U1b

VD -

Ej1= dt Y

Uj1 Uj2

js

821

Y

D

Ls

Ej2= Y

d dt js

-/+

d dt js

Abb. 16.32: Spannungsmodell als Gleichgr¨ oßenmodell

Bei der Berechnung der induzierten Spannung ist zu erkennen, daß beim induktiven Spannungsabfall nach station¨arem und dynamischem Anteil unterschieden wird. Gegen¨ uber dem polaren Modell hat man hier den zus¨atzlichen Vorteil, daß bei der Parametrierung in Grundschwingungs- und Oberschwingungsanteil unterschieden werden kann. Diese M¨oglichkeit kann beim Betrieb der Maschine am Pulsumrichter genutzt werden. Hier treten neben der Grundschwingung Oberschwingungen in Spannung und Strom auf. Durch Stromverdr¨angungseffekte sinkt in der Regel die Streuinduktivit¨at der Maschine mit steigender Frequenz. Da in Verbindung mit der Synchronmaschine oftmals die Orientierung auf den Luftspaltfluß Anwendung findet, ist dieser Vorteil von untergeordneter Bedeutung, weil die Stromverdr¨angung sich haupts¨achlich im Rotor auswirkt. Die Vorteile der polaren Struktur bei der D¨ampfung des Modells bleiben hier nat¨ urlich erhalten. Die in Gl. (16.238) angegebene Berechnung der induzierten Spannung ist nur gen¨ ugend genau oberhalb einer Mindestfrequenz. Darunter wird die induzierte Spannung selbst so klein, daß ein falsch eingestellter Statorwiderstand oder Meßfehler in der Spannung das Ergebnis zu sehr verf¨alschen und es letztlich unbrauchbar machen (siehe dazu auch Fehlerbetrachtung Kap. 13.5.3). Dies gilt prinzipiell f¨ ur jede Ausf¨ uhrung des Modells. Je genauer jedoch die Spannungserfassung arbeitet, umso kleiner ist die untere Grenzfrequenz. Der Statorwiderstand kann durch eine gesteuerte Adaption oder mit Hilfe von Regelkreisen aus elektrischen Gr¨oßen adaptiert werden. Mit genauen Spannungsmessungen und Adaptionen sind heute Mindestfrequenzen von kleiner 2 % der Nennfrequenz erreichbar.

822

16 Synchronmaschine

16.5.2.4 Strommodell der Schenkelpolmaschine Das Strommodell ist die station¨are und dynamische Nachbildung der Rotorgleichungen. Bei der Schenkelpolmaschine besitzt der Rotor eine Auspr¨agung in der d- und q-Achse. Es ist daher g¨ unstig, das Modell in den d-q-Koordinaten darzustellen. Da, wie in Kap. 16.2 und 16.3 bereits dargestellt, der Vollpoll¨aufer ein Sonderfall der Schenkelpolmaschine ist, l¨aßt sich das Modell selbstverst¨andlich auch auf diesen Maschinentyp anwenden. Zur Nachbildung des Rotors k¨onnen die Gleichungen (16.94) und (16.96) (siehe Kap. 16.2.2) herangezogen werden. Dabei kann der Rotorkreis so nachgebildet werden, daß als Ergebnis die Komponenten des Luftspaltflusses in d-qKoordinaten anstehen. Durch Umformen erh¨alt man folgende Gleichungen f¨ ur die Luftspaltfl¨ usse: Ψhd = ΨD − LσD · ID + Lc · (−ID − IE )

(16.253)

Ψhq = ΨQ − LσQ · IQ

(16.254)

Die Ableitungen der mit der D¨ampferwicklung verketteten Fl¨ usse ΨD und ΨQ entsprechen den Spannungen, die an den D¨ampferwiderst¨anden RD und RQ anstehen und die D¨ampferstr¨ome ID und IQ treiben. Die Fl¨ usse ΨD und ΨQ erh¨alt man durch Integration der Spannungen an den D¨ampferwiderst¨anden:  ΨD = RD · (−ID ) dt (16.255)  ΨQ = RQ ·

(−IQ ) dt

(16.256)

Die D¨ampferstr¨ome ergeben sich aus dem Summenstrom Id + IE bzw. Iq , die in den Rotor eingespeist werden und dem Luftspaltfluß (vergl. dazu auch Kap. 16.2 und 16.3): − ID = Id + IE − − IQ = Iq −

1 · Ψhd Lhd

1 · Ψhq Lhq

(16.257) (16.258)

Mit Hilfe der Gleichungen (16.253) bis (16.258) kann ein Strommodell mit den Eingangsgr¨oßen Id , IE und Iq realisiert werden. Es berechnet die Flußkomponenten Ψhd und Ψhq im d-q-Koordinatensystem und bildet den Kern des allgemeinen Strommodells der Schenkelpolmaschine (Abb. 16.33). h ist durch seine Komponenten Ψhd und Ψhq im d-q-KoorDer Luftspaltfluß Ψ dinatensystem gegeben. Mit Hilfe eines KP-Wandlers kann der Winkel δ des Flusses im d-q-Koordinatensystem bestimmt werden. Der Winkel δ ist somit der Winkel, um den sich das rotorfeste Koordinatensystem (d, q) und das flußfeste Koordinatensystem (ϕ1 , ϕ2 ) unterscheidet.

F. Bauer

16.5 Regelung der Synchronmaschine durch Feldorientierung

Id + ID + IE IE

823

1 Lhd

Lc

LsD Id

.

Id + IE -ID

Iq

-IQ

RD

YD

Yhd

Yh KP

.

RQ

YD

YQ

YQ

Yhq

d

LsQ Iq + IQ

1 Lhq

bL

js

Abb. 16.33: Strommodell der Synchronmaschine

Zur vollst¨andigen Bestimmung des Luftspaltflusses ist noch der Flußwinkel zu berechnen. Dabei ist der Winkel δ zwischen Rotor und Luftspaltfluß bereits bekannt. Den Flußwinkel im statorfesten Koordinatensystem erh¨alt man durch Addition des gemessenen Rotorwinkels βL (Winkel zwischen stator- und rotorfestem Koordinatensystem, Abb. 16.33): ϕs = βL + δ

(16.259)

Der so vom Strommodell berechnete Fluß ist mit dem aus dem Spannungsmodell berechneten Luftspaltfluß direkt vergleichbar. Dabei muß, wie oben schon erl¨autert, Lσ gleich der Statorstreuung Lσ1 gesetzt werden. Handelt es sich um eine Vollpolmaschine, so kann das Strommodell vereinfacht werden (vergl. dazu Kap. 16.6). Durch die hier gegebene Symmetrie des Rotors in d- und q-Achse k¨onnen die Gleichungen ¨ahnlich wie bei der Asynchronmaschine im rotorflußfesten Bezugssystem gel¨ost werden. Ensprechend resultiert daraus eine dem Strommodell der Asynchronmaschine ¨ahnliche Modellstruktur, wobei der Erregerstrom zus¨atzlich ber¨ ucksichtigt werden muß.

824

16 Synchronmaschine

16.5.3

Regelung der Synchronmaschine

∗ ∗ , Iϕ2 Die Regelaufgabe bei der Synchronmaschine besteht darin, die Str¨ome Iϕ1 ∗ und IE so einzupr¨agen, daß der Fluß Ψh unabh¨angig vom gew¨ unschten Drehmoment konstant den Nennwert annimmt. Im Feldschw¨achbereich soll der Fluß so gef¨ uhrt werden, daß die Maschine einen bestimmten Spannungsbetrag annimmt. Eine entsprechende Steuerung soll die Erregung der Synchronmaschine zwischen Stator und Rotor so aufteilen, daß Statorstrom und -spannung in einem gew¨ unschten Winkel zueinander stehen (cos ϕ-Steuerung). Eine M¨oglichkeit bei der Umsetzung der Regelaufgabe besteht darin, den von einem Flußrechner ermittelten Flußbetrag u ¨ ber den Erregerstrom IE∗ mit einem Flußregler auf den gew¨ unschten Wert zu regeln (Abb. 16.34). Eine Zwei∗ komponenten-Stromregelung sorgt daf¨ ur, daß die gew¨ unschten Str¨ome Iϕ1 und ∗ Iϕ2 im feldorientierten Kordinatensystem eingepr¨agt werden. Die Orientierung des Flusses ϕs ermittelt ebenfalls der Flußrechner.

Ud

cosSteuerung

2

Stromregler

Ij1*

VD

Ij2*

M*

Steuer -satz

6

+

3

Ij1 Ij2

-

3

VD

2

3

js Y

Flußberechnung

3

3

2 bL

U*

Feldschw.Kennlinie

SM 2

Flußregler

Y*

T

IE*

3

Abb.16.34: Grundstruktur der feldorientierten Regelung der fremderregten Synchronmaschine

Als Flußrechner kann z.B. das in Kap. 16.5.2 genauer beschriebene Spannungsmodell eingesetzt werden. Antriebe mit geringen dynamischen Anforderun-

16.5 Regelung der Synchronmaschine durch Feldorientierung

F. Bauer

825

gen sind oftmals in dieser Weise ausgef¨ uhrt. Nachteilig ist, daß das Spannungsmodell unterhalb einer Mindestfrequenz bei der Berechnung des Flußbetrages und des Flußwinkels versagt. Bei Antrieben geringen dynamischen Anforderungen behilft man sich mit einem gesteuerten Anfahren der Maschine. Weiterhin ist nachteilig, daß mit der Belastung der Synchronmaschine infolge der hohen Ankerr¨ uckwirkung der Erregerstrom stark variiert. Da der Flußregler den entsprechenden I-Anteil aufintegrieren muß, f¨ uhrt jeder Lastwechsel auch zu einer Abweichung des Flußistwertes gegen¨ uber seinem Sollwert. Eine Verbesserung des Verhaltens l¨aßt sich durch mehrere Maßnahmen errei¨ chen: Ahnlich wie bei der Asynchronmaschine kann bei kleinen Frequenzen das Strommodell zur Orientierung verwendet werden. Eine Umschaltung der Modelle sorgt f¨ ur die Auswahl des jeweils besser arbeitenden Modells. F¨ ur die Verbesserung der Dynamik der Flußregelung kann der Erregerstromsollwert aus dem ∗ ∗ Flußsollwert und den Sollwerten der Statorstromkomponenten Iϕ1 und Iϕ2 berechnet und mit dem Ergebnis der Ausgang des Flußregler vorgesteuert werden. F¨ ur die Berechnung des Erregerstromes aus dem Flußsollwert und den Soll∗ ∗ werten der Statorstromkomponenten Iϕ1 und Iϕ2 kann das Strommodell verwendet werden. Bei dem in Kap. 16.5.2.4 vorgestellten Strommodell ist jedoch der Erregerstrom IE ein Eingang und der Hauptflußbetrag Ψh ein Ausgang. Es soll daher hier eine Struktur des Strommodells diskutiert werden, die geeignet ist, zum einen aus dem Flußsollwert und den Sollwerten der Statorstromkomponenten den Erregerstrom und zum anderen die Orientierung des Flusses ϕs insbesondere bei kleinen Drehzahlen zu berechnen. 16.5.3.1 Berechnung des Erregerstroms mit dem Strommodell Gew¨ohnlich liegen die Statorstr¨ome in feldorientierten Koordinaten vor. Die Berechnung der Flußkomponenten aus den Str¨omen mit dem in Abb. 16.33 gezeigten Strommodell erfolgt im d-q-Koordinatensystem. Daher m¨ ussen die auf den Rotor wirkenden Str¨ome in das d-q-Koordinatensystem transformiert werden. Zudem m¨ochte man in der gesuchten Struktur des Strommodells den Luftspaltflußbetrag Ψh vorgeben k¨onnen und daraus die Information u ¨ber den dazu notwendigen Erregerstrom erhalten. Der Winkel δ ist wieder der Winkel, um den sich die Koordinatensysteme d-q und ϕ1 -ϕ2 unterscheiden. Die Str¨ome Id + IE bzw. Iq sind die magnetisierenden Str¨ome des Rotors im rotorbezogenen d-q-Koordinatensystem. Sie k¨onnen durch eine Koordinatentransformation mit Hilfe eines Vektordrehers VD (vergl. dazu Abb. 16.9) mit dem Winkel δ aus den Str¨omen in feldorientierten Koordinaten berechnet werden. Man erh¨alt dann den magnetisierenden Strom des Rotors in Komponenten des ϕ1 -ϕ2 -Koordinatensystems durch die Transformation. Der magnetisierende Strom Iμϕ = Iμ1 + j Iμ2 setzt sich dabei aus dem station¨aren Magnetisierungsstrom und aus dem dynamisch auftretenden D¨ampferstrom zusammen (Zeigerdiagramm Abb. 16.35): Iμ1 + j Iμ2 = (Id + IE + j Iq ) · e−jδ

(16.260)

826

16 Synchronmaschine j2-Achse

Uh

q-Achse j1-Achse

Ij1 Im2 = I j2 - IE sin d

Ij2

Im

I1 d

Yh

IE cos d

IE sin d

Iq Id

d-Achse

IE Im1 = I j1 + IE cos d

Abb. 16.35: Zeigerdiagramm zum Strommodell

Ber¨ ucksichtigt man, daß f¨ ur den Statorstrom die Beziehung gilt: Id + j Iq = (Iϕ1 + j Iϕ2 ) · ejδ

(16.261)

so k¨onnen auch aus den bekannten Ausgangsgr¨oßen der Koordinatentransformation die Eingangsgr¨oßen bestimmt werden: (Id + IE + j Iq ) · e−jδ = (Iϕ1 + j Iϕ2 ) + (IE · cos δ − j IE · sin δ)

(16.262)

Somit erh¨alt man mit Hilfe von Gl. (16.260) und Gl. (16.262) f¨ ur die magnetisierenden Stromkomponenten des Rotors im ϕ1 -ϕ2 -Koordinatensystem: Iμ1 = Iϕ1 + IE · cos δ Iμ2 = Iϕ2 − IE · sin δ

(16.263)

Die Stromkomponente Iμ1 in Richtung der ϕ1 -Achse hat direkten Einfluß auf die Gr¨oße des Luftspaltflußbetrages Ψh am Ausgang des Modells. Verlangt man nun einen gewissen Sollwert Ψh∗ , kann man mittels eines Modellreglers die daf¨ ur notwendige Stromkomponente in ϕ1 -Achse bestimmen. Am Ausgang des Modellreglers steht dann die Summe Iμ1 = Iϕ1 + IE · cos δ an. Daraus kann nun der Erregerstromsollwert IE∗ und die Stromkomponente Iμ2 bestimmt werden (Abb.16.36). Zieht man den Statorstrom Iϕ1 ab, so gewinnt man die Projektion auf die ϕ1 -Achse IE · cos δ des f¨ ur den Sollfluß Ψh∗ notwendigen Erregerstromes. Durch Division mit dem cos δ des schon bekannten Winkels δ ergibt sich der Sollwert f¨ ur den Erregerstrom IE∗ . Nun ist noch die Stromkomponente Iμ2 in Richtung der ϕ2 -Achse nach Gl. (16.263) zu bestimmen. Dabei kann von der Stromkomponente Iϕ2 der mit sin δ multiplizierte Erregerstrom abgezogen und das Ergebnis dem Vektordreher VD zugef¨ uhrt werden. Diese Stromkomponente ist, wie sp¨ater noch gezeigt wird, infolge der magnetischen Unsymmetrie des Schenkelpoll¨aufers ungleich Null. Damit ist die Struktur des Strommodells vollst¨andig diskutiert, die geeignet ist,

16.5 Regelung der Synchronmaschine durch Feldorientierung

F. Bauer

827

∗ aus dem Flußsollwert Ψh und den Sollwerten der Statorstromkomponenten Iϕ1 ∗ ∗ und Iϕ2 den Erregerstrom IE und mit Hilfe der gemessenen Polradlage βL den Flußwinkel ϕs zu berechnen. Zur Vervollst¨andigung des Zeigerdiagramms (Abb. 16.37) sollen nun die Achsen des mit dem Luftspaltfluß verbundenen ϕ1 -ϕ2 -Koordinatensystems im Zeigerdiagramm eingetragen werden. Dabei wird das station¨are Verhalten der Maschine betrachtet. Hierf¨ ur gilt f¨ ur die mit der D¨ampferwicklung verketteten Fl¨ usse:

Ψ˙ D = 0

Ψ˙ Q = 0

(16.264)

Aus Gl. (16.255) und Gl. (16.256) erh¨alt man direkt: ID = 0

IQ = 0

(16.265)

Mit Gl. (16.265) gelten f¨ ur das station¨are Verhalten dann nach Gl. (16.257) und Gl. (16.258) die Beziehungen im d-q-Koordinatensystem: Iμd = Id + IE = Iμq = Iq =

1 · Ψhd Lhd

1 · Ψhq Lhq

(16.266) (16.267)

Wie aus dem Strukturbild schon hervorgeht, ist der Winklel δ durch die Gleichung δ = arctan(Ψhq /Ψhd ) gegeben. Durch die unterschiedlichen Induktivit¨aten Lhd und Lhq ist aus den Gleichungen (16.266) und (16.267) zu sehen, daß der Magnetisierungsstrom im rotorfesten d-q-Koordinatensystem IμR = Iμd + j Iμq nicht  R = Ψhd + j Ψhq liegt. Das bedeutet, daß aufgrund in Richtung des Flusses Ψ h der unterschiedlichen magnetischen Eigenschaften in L¨angs- und Querachse der Magnetisierungsstrom Iμϕ = Iμ1 + j Iμ2 in Flußkoordinaten eine Querkomponente Iμ2 besitzen muß. Transformiert man mit den Beziehungen  ϕ = Ψh (Ψhd + j Ψhq ) · e−jδ = Ψ h (Iμd + j Iμq ) · e−jδ = Iμ1 + j Iμ2

(16.268)

die Gleichungen (16.266) und (16.267) in das ϕ1 -ϕ2 -Koordinatensystem, so erh¨alt man folgenden Zusammenhang: 1 1 (Lhd + Lhq ) · (Iμ1 + j Iμ2 ) + (Lhd − Lhq ) · (Iμ1 − j Iμ2 ) · e−j2δ = Ψh (16.269) 2 2 L¨ost man Gl. (16.269) in Real- und Imagin¨arteil-Komponenten auf und eliminiert daraus den Winkel δ, so erh¨alt man die Ortskurve des Magnetisierungsstromes Iμϕ .

828 16 Synchronmaschine

Abb. 16.36: Strommodell der Synchronmaschine mit Erregerstromrechner

Id + ID + IE

1 Lhd

Lc

LsD Yh*

.

Im1= Ij1+ IE cos d VD

Ij1

Im2= Ij2- IE sin d

IE

IE cos d

+

Id + IE

-ID

Iq

-IQ

Ij2

RD

YD

Yhd

Yh KP

.

RQ

YD

YQ

YQ

Yhq

d

LsQ cos

sin

Iq + IQ

IE*

Erregerstromrechner

Transformation

1 Lhq

Kernmodell (in d-q-Koordinaten)

bL

js

16.5 Regelung der Synchronmaschine durch Feldorientierung

F. Bauer

Sie gen¨ ugt folgender Gleichung: 

2

2  Ψh 1 Ψh 1 1 1 2 Iμ1 − + + Iμ2 = − · · 2 Lhd Lhq 2 Lhd Lhq

829

(16.270)

Ist also der Fluß Ψh konstant, so beschreibt die Spitze des Raumzeigers des Magnetisierungsstroms Iμϕ in feldorientierten Koordinaten einen Kreis, wenn der Winkel δ zwischen fluß- und rotorfestem Koordinatensystem zwischen 0◦ und 180◦ variiert. Der Kreis wird nochmals durchlaufen, wenn der Winkel δ zwischen 180◦ und 360◦ variiert (Reluktanzwirkung des Schenkelpoll¨aufers, vergl. dazu Abb. 16.1 und Gl. (16.16)). Der Kreisdurchmesser ist dabei durch D = Ψh ·(1/Lhd − 1/Lhq ) und der Mittelpunkt durch M = (Ψh /2)·(1/Lhd + 1/Lhq ) gegeben (¨ahnlich dem Reluktanzkreis der unerregten Schenkelpolmaschine am Netz mit konstanter Spannung). Im Leerlauf (δ = 0◦ ) bestimmt der Kehrwert der in der d-Achse wirksamen Induktivit¨at den Magnetisierungsstrom Iμϕ . Magnetisierungsstrom Iμϕ und Fluß Ψh zeigen in die gleiche Richtung (ϕ1 -Achse). Bei (δ = 90◦ ) ist der Magnetisierungsstrom Iμϕ durch den Kehrwert der in q-Achse wirksamen Reaktanz gegeben. Auch hier zeigt der Magnetisierungsstrom Iμϕ in die Flußachse. Diese zwei Extreme legen auch den Kreisdurchmesser fest. Bei anderen Winkeln δ zeigt, wie oben schon ausgef¨ uhrt, der Magnetisierungsstrom Iμϕ nicht in die Flußachse. Die Verbindungsgerade vom Magnetisierungsstrom Iμϕ zum Kreismittelpunkt und Flußachse schließen einen Winkel 2δ ein (Raumzeigerdiagramm Abb. 16.37). j2-Achse Yh 1 ( +1 ) 2 Lhd Lhq Im Im1 d

Yh

Lhd

1 Yh 1 ( - ) 2 Lhd Lhq

Im2

2d

d

j1-Achse Yh

d-Achse

Abb. 16.37: Ortskurve des Magnetisierungsstromes in feldorientierten Koordinaten

Bei der Vollpolmaschine entartet der Kreis infolge von Lhd = Lhq zu einem Punkt. Der Magnetisierungsstrom Iμϕ zeigt immer in die Flußrichtung, die Komponente Iμ2 ist Null (Verschwinden der Reluktanzwirkung).

830

16 Synchronmaschine

Der Nachbildung der Maschine im Strommodell liegt die Zweiachsentheorie der Park’schen Gleichungen zugrunde, die in Abb. 16.9 dargestellt sind. In Abh¨angigkeit des Winkels δ kann eine resultierende Hauptfeldinduktivit¨at Lhe angegeben werden: |Ψh | (16.271) Lhe = |Iμ | Die resultierende Hauptfeldinduktivit¨at Lhe l¨aßt sich in Abh¨angigkeit von dem Winkel δ und den Hauptinduktivit¨aten in L¨angs- und Querachse Lhd und Lhq darstellen. L¨ost man Gl. (16.269) nach den Stromkomponenten Iμ1 und Iμ2 auf, so erh¨alt man zun¨achst: Iμ1 =

(Lhd + Lhq ) − (Lhd − Lhq ) · cos(2δ) · Ψh 2 · Lhd · Lhq

(16.272)

(Lhd − Lhq ) · sin(2δ) · Ψh 2 · Lhd · Lhq

(16.273)

Iμ2 =

2 + Ber¨ ucksichtigt man, daß f¨ ur das Quadrat des Magnetisierungsstromes Iμ2 = Iμ1 2 Iμ2 gilt, so wird aus Gl. (16.271) durch Quadrieren:

L2he =

Ψh2 2 2 Iμ1 + Iμ2

(16.274)

Durch Einsetzen der Stromkomponenten Iμ1 und Iμ2 in Gl. (16.274) erh¨alt man nun die Gleichung, mit deren Hilfe man aus den Gr¨oßen Lhd , Lhq und δ die Ersatzinduktivit¨at Lhe bestimmen kann: L2he =

L2hd

L2hd · L2hq L2hd · L2hq = 2 2 2 + (Lhq − Lhd ) · cos2 δ Lhq + (L2hd − L2hq ) · sin2 δ

(16.275)

Lhe ist gleich dem Radius einer Ellipse, deren große Halbachse gleich Lhd und deren kleine Halbachse gleich Lhq ist (Abb. 16.38). Die Division von Ψh /Lhe liefert den Betrag des Magnetisierungsstromes |Iμ | entsprechend der Stromortskurve im feldorientierten Koordinatensystem bzw. umgekehrt. In der Praxis ist dieser Verlauf f¨ ur die Ersatzinduktivit¨at Lhe nur n¨aherungsweise erf¨ ullt. Dies ist abh¨angig vom Aufbau des Schenkelpoll¨aufers (Polform, Polabdeckung, usw.). Dementsprechend beschreibt auch die Ortskurve von Iμϕ nur n¨aherungsweise den dargestellten Kreis. Zudem wurden bei der Betrachtung Einfl¨ usse der S¨attigung außer acht gelassen [247]. 16.5.4

Abl¨ osung verschiedener Modelle

Das Strommodell arbeitet im Gegensatz zum Spannungsmodell bei jeder beliebigen Drehzahl. F¨ ur die Berechnung des Flußwinkels ϕs ben¨otigt es einen Geber

F. Bauer

16.5 Regelung der Synchronmaschine durch Feldorientierung

831

q-Achse Im-Achse j1-Achse

Lhq d

Lhe d-Achse

Lhd Lhe

Lhd Lhq

0°

90°

180°

d

Abb. 16.38: Ersatzinduktivit¨ at der Schenkelpolmaschine

zur Messung des Rotorwinkels βL . Hierzu werden heute u ¨ blicherweise Inkrementalgeber eingesetzt. Hierbei muß zum Berechnen des Absolutwinkels der Winkeloffset durch entsprechende Identifikationsverfahren ermittelt werden. Somit kann das Strommodell zur F¨ uhrung des Spannungsmodells bei kleinen Drehzahlen und zur Durchf¨ uhrung der feldorientierten Regelung herangezogen werden. Dazu werden die Integratorwerte des Spannungsmodells so gesetzt, daß der Fluß des Spannungsmodells dem des Strommodells entspricht. Das Strommodell berechnet zus¨atzlich einen dynamisch hochwertigen Sollwert f¨ ur den Erregerstrom (vergl. dazu Abb. 16.36). Der Sollwert dient als Vorsteuerwert f¨ ur die u ¨berlagerte Flußregelung, auf die in diesem Kapitel noch eingegangen wird. Weil das Spannungsmodell in der vorgestellten Form das nicht leistet, ist das Strommodell in dynamischen Regelungen f¨ ur die fremderregte

832

16 Synchronmaschine

Synchronmaschine immer im Eingriff. Selbstverst¨andlich kann f¨ ur Antriebe mit dynamisch geringen Anforderungen auf die Vorsteuerung der Flußregelung mit dem Erregerstromsollwert verzichtet werden. Ein Nachteil des Strommodells ist jedoch, daß, ¨ahnlich wie bei der Asynchronmaschine, die Ungenauigkeiten der Rotorparameter in das Ergebnis eingehen. Zur Orientierung wird deshalb bei h¨oheren Frequenzen oft das dort genauer arbeitende Spannungsmodell herangezogen. Mit der Kombination aus Strom- und Spannungsmodell erreicht man ein H¨ochstmaß an Dynamik und Drehmomentgenauigkeit, wie es z.B. bei F¨order- oder Walzantrieben gefordert wird. Zum Umschalten zwischen den Modellen bedient man sich unterschiedlicher Abl¨oseschaltungen. Eine M¨oglichkeit zum Umschalten zwischen den Modellen besteht darin, daß man zur Orientierung und Flußbetragsregelung stets den Fluß des Spannungsmodells heranzieht. Durch das oben vorgeschlagene Setzen der Integratorwerte unterhalb einer Grenzfrequenz auf die Werte des Strommodells wird auch die Orientierung direkt umgeschaltet. Sind die Setzwerte infolge von Parameter- und Meßfehlern ungenau, entstehen Einschwingvorg¨ange des Spannungsmodells. Besser ist es, das Beenden des Setzvorganges und die Umschaltung auf das Spannungsmodell getrennt auszuf¨ uhren. Die Umschaltung der Orientierung erfolgt sinnvollerweise bei einer h¨oheren Frequenz als der Setzbereich sich erstreckt. Die Umschaltung kann abh¨angig von der Frequenz u ¨ber eine Kennlinie erfolgen (Abb. 16.39). Dabei wird die Winkeldifferenz aus Spannungs- und Strommodell gebildet und mit einer u uhrten Kennlinie bei kleinen ¨ ber die Frequenz gef¨ Frequenzen mit Null, bei hohen mit Eins gewichtet. Addiert man das Ergebnis zur Orientierung des Strommodells, erh¨alt man am Ausgang ϕs bei kleinen Frequenzen die Orientierung des Strommodells, bei großen die des Spannungsmodells. Mit der Parametrierung der Kennlinie l¨aßt sich der kontinuierlich verlaufende Umschaltbereich frei projektieren. Mit ϕus und ϕis sind die Flußwinkel des Spannungs- bzw. Strommodells bezeichnet. Zur F¨ uhrung der Kennlinie kann auch die Drehzahl β˙L verwendet werden, die in realen Regelungen h¨aufig einen ruhigeren Verlauf aufweist. Eine weitere M¨oglichkeit zum Umschalten der Modelle besteht darin, eine Struktur zu w¨ahlen, die von sich aus frequenzabh¨angig die Auswahl besorgt. Wie oben gezeigt, berechnet das Strommodell einen Fluß, der direkt mit dem aus dem Spannungsmodell berechneten Luftspaltfluß vergleichbar ist. Hierbei muß, wie schon erl¨autert, Lσ gleich der Statorstreuung Lσ1 gesetzt werden. Gem¨aß Gl. (16.238) und (16.239) gilt f¨ ur das Spannungsmodell die Gleichung:     hu =  1S − R1 I1S dt − Lσ1 I1S Ψ U (16.276) Zur Unterscheidung soll der vom Spannungsmodell berechnete Fluß mit einem hochgestellten u und der vom Strommodell mit einem hochgestellten i gekennzeichnet werden. Die hochgestellten S weisen auf Gr¨oßen im statorfesten Bezugs-

16.5 Regelung der Synchronmaschine durch Feldorientierung jsi

F. Bauer

833

js

jsu

.

bL

.

1 0

bL2

.

bL1

Abb. 16.39: Beispiel f¨ ur die Umschaltung der Modelle

system hin. F¨ ur den vom Spannungs- bzw. Strommodell berechneten Luftspaltfluß gilt dann:  u = Ψ u · ejϕus = Ψ u + jΨ u Ψ h h hα hβ

(16.277)

 i = Ψ i · ejϕis = Ψ i + jΨ i Ψ h h hα hβ

(16.278)

Bildet man nun die Differenz der Fl¨ usse und koppelt die mit 1/T gewichtete Differenz auf den Eingang der Integratoren zur¨ uck, so erh¨alt man die Struktur des von Bauer und Heining [246] vorgeschlagenen gef¨ uhrten Spannungsmodells“. Mit T ” ist eine zun¨achst frei w¨ahlbare Zeitkonstante bezeichnet. Setzt man diese R¨ uckkopplung der Integratoren in Gl. (16.276) ein, so erh¨alt man die vom gef¨ uhrten h”: Spannungsmodell“ bestimmten Raumzeiger der Hauptflußrichtung Ψ    1  S S i     Ψh − Ψh dt − Lσ1 I1S U1 − R1 I1 − (16.279) Ψh = T Das gef¨ uhrte Spannungsmodell l¨aßt sich direkt unter Anwendung von Gl. (16.279) als Wechselgr¨oßenstruktur darstellen (Abb. 16.40). Es entspricht im Aufbau dem Spannungsmodell. Zus¨atzlich sind die im Spannungsmodell vorkommenden offenen Integratoren mit dem Faktor 1/T zur¨ uckgekoppelt. Dadurch wird aus der offenen Integration f¨ ur jede Komponente ein PT1 -Glied mit der Zeitkonstante T . Die Struktur des gef¨ uhrten Spannungsmodells enth¨alt also nicht die Probleme der offenen Integration. Sind die Parameter von Spannungs- und Strommodell richtig abgeglichen, so sind beide Fl¨ usse gleich. Damit ist die r¨ uckgekoppelte Differenz der Fl¨ usse Null. Die R¨ uckf¨ uhrung verursacht also keine prinzipbedingten Fehler, andererseits stabilisiert sie die offene Integration. Sind die Maschinenparameter verstimmt, ergeben sich unterschiedliche Fl¨ usse aus Spannungs- und Strommodell. Somit unterscheidet sich im allgemeinen auch das Ergebnis des gef¨ uhrten Spannungsmodells

834

16 Synchronmaschine

I1S R1

Ls1 Yh

U1S

1 T Yhi

Abb. 16.40: Gef¨ uhrtes Spannungsmodell als Wechselgr¨ oßenmodell nach Gl. (16.279)

 u . Das station¨are Verhalten des gef¨ h vom Ergebnis des Spannungsmodells Ψ uhrΨ h ten Spannungsmodells bei Parameterverstimmung soll im folgenden betrachtet werden. Zieht man Gl. (16.279) von Gl. (16.276) ab, so erh¨alt man zun¨achst die Integralgleichung:    1 u  h − Ψ   i dt Ψh − Ψh = Ψ (16.280) h T Durch Differentiation wird: T·

h u dΨ  h = T · d Ψh + Ψ i +Ψ h dt dt

(16.281)

F¨ ur eine station¨are Betrachtung soll gelten, daß die Fl¨ usse die selbe Frequenz Ωs = ϕ˙ s haben und der Betrag der F¨ usse konstant ist. Damit wird f¨ ur die Ableitungen:   h  dΨ d   h (16.282) = Ψh · ejϕs = Ψ˙ h + j ϕ˙ s Ψh · ejϕs = j Ωs Ψ dt dt   u dΨ d  u jϕus  u h  u (16.283) = Ψh · e = Ψ˙ hu + j ϕ˙ us Ψhu · ejϕs = j Ωs Ψ h dt dt Setzt man nun Gl. (16.282) und (16.283) in Gl. (16.281) ein, so ergibt sich die Gleichung:   h = Ψ hu − Ψ  hi + j Ωs T  hi Ψ Ψ (16.284) 1 + j Ωs T Gleichung (16.284) beschreibt das station¨are Abl¨oseverhalten des gef¨ uhrten u − Ψ  i und die FreSpannungsmodells. Dabei spielen die Differenz des Flusses Ψ h h quenz Ωs eine entscheidende Rolle. Setzt man Gl. (16.284) in ein Zeigerdiagramm um, so kann das Verhalten anschaulich dargestellt werden (Abb. 16.41).

16.5 Regelung der Synchronmaschine durch Feldorientierung

F. Bauer

835

WsT = 1

l

WsT = 0

WsT = ¥

Yhi Yh Yhu

Abb.16.41: Station¨ ares Verhalten des gef¨ uhrten Spannungsmodells bei Parameterverstimmung

h bewegt sich entlang eines Halbkreises. Der DurchDer resultierende Fluß Ψ u − Ψ  i . Entscheidend f¨ messer entspricht der Differenz des Flusses Ψ ur die Lage h h h ist die Frequenz Ωs . Der Punkt ist definiert durch des Endpunktes vom Fluß Ψ  u , die den Schnittpunkt des Halbkreises mit einer Geraden durch die Spitze von Ψ h gegen¨ uber der Verbindungslinie durch die Punkte der Ortskurve f¨ ur Ωs = 0 und f¨ ur Ωs = ∞ den Neigungswinkel λ aufweist. Der Winkel λ ist gegeben durch: tan λ = Ωs T

(16.285)

h alleine der Fluß Ψ  i des Bei kleinen Frequenzen Ωs ist also f¨ ur das Ergebnis Ψ h u Strommodells ausschlaggebend. Mit steigender Frequenz gewinnt der Fluß Ψ h des Spannungsmodells an Bedeutung. Ist Ωs T = 1, tragen beide Modelle im gleichen Maße zum Ergebnis bei. Ist Ωs T 1, ist alleine das Spannungsmodell maßgebend. Die Abl¨osung erfolgt kontinuierlich u ¨ ber der Frequenz. Mit der Wahl der Zeitkonstante T bestimmt man die Abl¨osefrequenz. Damit ist die Charakteristik der Abl¨osung und des Einschwingverhaltens des gef¨ uhrten Spannungsmodells festgelegt. F¨ ur die Modifikation kann die Zeitkonstante T zus¨atzlich mit der Frequenz gef¨ uhrt werden. Die Struktur mit gleichem Verhalten kann selbstverst¨andlich auch als Gleichgr¨oßenstruktur realisiert werden. Setzt man die Ableitungen der Fl¨ usse in Gl. (16.281) ein und multipliziert sie mit e−jϕs , so ergibt sich die Gleichung:  1    u dΨ i h · e−jϕs = Ψ˙ h + j ϕ˙ s Ψh + · Ψh − Ψhi ej(ϕs −ϕs ) dt T

(16.286)

836

16 Synchronmaschine

 u /dt aus Die Berechnung der Ableitung des Flusses des Spannungsmodells dΨ h Spannung und Strom (also die induzierte Spannung) kann, wie oben schon gezeigt, auf der Wechselgr¨oßenseite oder auch auf der Gleichgr¨oßenseite erfolgen (Abb. 16.42). Da die Umformung mathematisch exakt erfolgt ist, hat das gef¨ uhrte Spannungsmodell in Gleichgr¨oßendarstellung das selbe Verhalten wie das in Wechselgr¨oßenform. In der Gleichgr¨oßendarstellung ist die polare Struktur des Spannungsmodells zu erkennen mit dem Unterschied, daß der Integrator mit dem Faktor 1/T r¨ uckgekoppelt ist. Zus¨atzlich werden zwei Komponenten aus dem Strommodell eingespeist. Ist der Orientierungswinkel des Strommodells ϕis = ϕs , i wird Im{Ψhi ej(ϕs −ϕs ) } = 0; d.h. die zweite Komponente des Vektordrehers ist Null. Sind die Amplituden der Fl¨ usse Ψh = Ψhi , wird die R¨ uckkopplung des Integrators zu Null. I1a I1b

VD

Ij1 Ij2

-

U1b

VD -

d dt

Ls R1

U1a

d dt

Ls

1 T

R1

Uj1

d dt Yh

Ej1

Yh

Uj2 js

Ej2 Ls

Yhi

VD

1 T

-

ji

s

d dt js

Abb. 16.42: Gef¨ uhrtes Spannungsmodell als Gleichgr¨ oßenstruktur

Wie oben schon gezeigt, spielt die Differenz des vom Spannungsmodell und des vom Strommodell berechneten Flusses gerade beim Umschalten der Modelle eine entscheidende Rolle. Moderne Antriebe, wie sie z.B. in Walzwerken zum Einsatz kommen, d¨ urfen u ¨ber den gesamten Drehzahlbereich keine merklichen Drehmomentst¨oße aufweisen. Daher ist es wichtig, daß die Differenz der Fl¨ usse gerade im Bereich des Umschaltens m¨oglichst Null ist. Dies gelingt im allgemeinen nur, wenn beide Modelle genau arbeiten. Ist das nicht der Fall, wird sich je nach Gr¨oße des Fehlers und angewendeter Methode f¨ ur das Umschalten ein mehr oder minder großer Drehmomentstoß ausbilden. Ein Vorteil des gef¨ uhrten

16.5 Regelung der Synchronmaschine durch Feldorientierung

F. Bauer

837

¨ Spannungsmodells ist es, daß sich Ubergangsvorg¨ ange durch Modellfehler eher weich“ abzeichnen. ” F¨ ur das Spannungsmodell wurden in Kap. 13.5.3 Fehlerbetrachtungen bei Parameterverstimmung durchgef¨ uhrt, die sinngem¨aß auch f¨ ur die Synchronmaschine gelten. Beim Strommodell wirken sich Parameterfehler bei der Synchronund der Asynchronmaschine unterschiedlich aus, weil ihr Rotor unterschiedlich aufgebaut ist. Die Fehler des Strommodells bei der Synchronmaschine lassen sich in station¨are und dynamische Fehler einteilen. Station¨are Fehler werden z.B. verursacht, wenn die Hauptinduktivit¨aten Lhd , Lhq oder auch Lc verstimmt sind. Eben¨ so spielt der Einfluß der S¨attigung dieser Induktivit¨aten eine Rolle: Bei Anderung der Last variiert auch der Fluß in den Hauptinduktivit¨aten. Dabei wirkt sich die ¨ S¨attigung insbesondere auf eine Anderung von Lhd aus. Ebenso f¨ uhrt eine falsche Abbildung des Erregerstromsollwertes zu einem staton¨aren Fehler des Strommodells. Zudem ist der theoretische Verlauf f¨ ur die Ersatzinduktivit¨at Lhe u ¨ber den Winkel δ (vergl. dazu Kap. 16.5.3.1) in der Praxis nur n¨aherungsweise erf¨ ullt. Dies ist abh¨angig vom Aufbau des Schenkelpoll¨aufers (Polform, Polabdeckung, usw.). Neben den station¨aren Fehlern k¨onnen beim Strommodell auch dynamische Fehler auftreten. Dynamische Fehler werden z.B. verursacht, wenn die D¨ampferwiderst¨ande RD , RQ oder auch die D¨ampferstreuinduktivit¨aten LσD bzw. LσQ verstimmt sind. Ebenso f¨ uhrt eine schlechte Dynamik der Erregestromeinpr¨agung oder auch die Stellbegrenzung des Erregerstromrichers zu dynamischen Fehlern. Eine sorgf¨altige Einstellung der Parameter und eine f¨ ur die dynamischen Anforderungen entsprechend dimensionierte Erregereinrichtung ist daher unerl¨aßlich f¨ ur Antriebe hoher Drehomentqualit¨at und Dynamik. 16.5.5

Flußregelung

Zur Sicherstellung des gew¨ unschten Luftspaltflußbetrages Ψh in der Maschine wird oft der Fluß geregelt. Dazu ist jedoch die Kenntnis des Fluß-Istwerts notwendig. Wie in Kap. 13.5.3 und Kap. 16.5.2 gezeigt wird, kann dieser mit dem Spannungsmodell ab einer gewissen Mindestdrehzahl recht genau bestimmt werden. Das Strommodell hingegen ist so aufgebaut, daß vorausgesetzt wird, daß der Istfluß dem Sollfluß entspricht: Das Strommodell liefert infolge des Modellreglers am Ausgang immer den Sollfluß und leitet daraus den notwendigen Erregerstrom ab. Eine Regelung des Flusses ist also nur in den Betriebsbereichen sinnvoll, wenn die Berechnung des Flusses mit Hilfe des Spannungsmodells zuverl¨assig arbeitet. Die Flußregelung kann mit einem PI-Regler erfolgen. Der Ausgang des Flußreglers wird z.B. als Zusatz-Erregerstromsollwert zum vom Strommodell berechneten Erregerstromsollwert addiert. Auf diese Weise erreicht man, daß stets der gew¨ unschte Luftspaltfluß in der Maschine realisiert wird. Dies ist insbesondere im Feldschw¨achbereich wichtig, da die vom Luftspaltfluß induzierte Spannung

838

16 Synchronmaschine

(Hauptfeldspannung) einen wesentlichen Anteil zur ben¨otigten Statorspannung beitr¨agt und damit die Stellreserve des Stromrichters bestimmt. Der Eingriff des Flußreglers als Zusatz-Erregerstromsollwert wirkt direkt in die d-Achse. F¨ ur den Durchgriff auf den Hauptfluß ist die Projektion des Erregerstroms auf die Flußachse (ϕ1 -Achse) entscheidend. Damit die Streckenverst¨arkung und damit die Dynamik der Flußregelung unabh¨angig vom Winkel δ wird, kann zur Linearisierung der Regelstrecke der Reglerausgang durch cos δ dividiert werden (Abb. 16.43). 16.5.6

Flußf¨ uhrung im Feldschw¨ achbereich

Die von der Maschine ben¨otigte Statorspannung wird durch die Spannungsabf¨alle am Statorwiderstand R1 , an der Statorstreuung Lσ1 und durch die vom Luftspaltfluß Ψh induzierte Spannung (Hauptfeldspannung) bestimmt. Dabei sind die Spannungen an der Statorstreuung und die induzierte Spannung direkt proportional zur Frequenz. Das bedeutet, daß die Frequenz und damit die Drehzahl nur soweit gesteigert werden kann, bis die Spannungsstellbereich des Stromrichters ersch¨opft ist. H¨aufig wird aber die Forderung gestellt, den Drehzahlbereich zu vergr¨oßern. Dies l¨aßt sich durch ein Abschw¨achen des Feldes erreichen. G¨ unstig ist es dabei, den Fluß soweit abzusenken, daß die von der Maschine ben¨otigte Spannung gerade noch der vom Stromrichter realisierbaren Spannung entspricht, weil dann bei einer geforderten Antriebsleistung der Statorstrom und die damit verbundenen Verluste minimal werden. Der Luftspaltfluß der Maschine wird direkt mit dem Flußsollwert Ψh∗ vorgegeben. F¨ ur die Maschinenregelung bedeutet das, die Gr¨oße Ψh∗ so zu bestimmen, daß laut obiger Forderung die Maschine bei steigender Drehzahl eine bestimmte, vom Stromrichter gerade realisierbare Spannung aufnimmt. Im Grunddrehzahlbereich wird der Nennwert eingestellt. Die Grenze zwischen Grunddrehzahl- und Feldschw¨achbereich ist durch die Drehzahl charakterisiert, bei der bei Nennfluß gerade die Spannungsgrenze erreicht wird. Eine h¨aufig angewendete einfache Methode ist, den Flußsollwert Ψh∗ ab einer Eckdrehzahl mit 1/β˙L zu schw¨achen. Weil die induzierte Spannung das Produkt aus Feldfrequenz und Flußbetrag ist, bleibt damit die induzierte Spannung selber konstant. Nachteilig ist, daß infolge des mit der Frequenz steigenden Spannungsabfalls an der Streuinduktivit¨at die Statorspannung mit der Drehzahl noch etwas ansteigt. Dabei verursacht insbesondere im Leerlauf ein induktiver Blindstrom die direkte Betragszunahme der Statorspannung. Eine zus¨atzliche u ¨berlagerte Spannungsregelung, die den Flußsollwert Ψh∗ noch weiter absenken kann, verbessert das Verhalten. Vorteilhaft ist die einfache Realisierung und eine nur geringe R¨ uckwirkung der Maschine auf den Flußsollwert u ¨ber die Drehzahl (ohne u ¨berlagerte Spannungsregelung). Daher sind durch die Feldschw¨achstruktur hervorgerufene Stabilit¨atsprobleme kaum zu erwarten.

16.5 Regelung der Synchronmaschine durch Feldorientierung

F. Bauer

839

Das Verhalten im Feldschw¨achbereich kann verbessert werden, wenn bei der Berechnung des Flußsollwertes Ψh∗ die Spannungsabf¨alle am Statorwiderstand R1 und St¨anderstreuinduktivit¨at Lσ1 ber¨ ucksichtigt werden. Die Spannungsgleichung (16.249) l¨aßt sich zun¨achst in Komponenten-Schreibweise im mit ϕs umlaufenden Koordinatensystem formulieren: Uϕ1 = R1 · Iϕ1 − ϕ˙ s · Lσ1 · Iϕ2 + Lσ1

dIϕ1 dΨh + dt dt

(16.287)

Uϕ2 = R1 · Iϕ2 + ϕ˙ s · Lσ1 · Iϕ1 + Lσ1

dIϕ2 + ϕ˙ s · Ψh dt

(16.288)

F¨ ur die Berechnung des Flußsollwertes Ψh∗ sollen nur die station¨aren Spannungsanteile ber¨ ucksichtigt werden. Dabei ist der im Feldschw¨achbereich gew¨ unschte Spannungsbetrag U ∗ durch folgende Beziehung gegeben: 2 2 U ∗ = Uϕ1 + Uϕ2 (16.289) Setzt man in Gl. (16.289) die Beziehungen (16.287) und (16.288) ein und l¨ost nach dem gesuchten Fluß Ψh∗ auf, so ergibt sich die Gleichung:  1 · Ψh∗ = U ∗2 − {R1 · Iϕ1 − ϕ˙ s · Lσ1 · Iϕ2 }2 − |ϕ˙ s |  − sgn(ϕ˙ s ) · (R1 · Iϕ2 + ϕ˙ s · Lσ1 · Iϕ1 ) (16.290) Zur Vereinfachung kann in Gl. (16.290) anstelle der Flußfrequenz ϕ˙ s auch die mechanische Kreisbewegung β˙L eingesetzt werden. Auch kann es sinnvoll sein, f¨ ur die Komponenten der Str¨ome die entsprechenden Sollwerte zu verwenden. Dadurch vermeidet man, daß R¨ uckwirkungen der Stromregelung auf den Flußsollwert entstehen, die zu Stabilit¨atsproblemen f¨ uhren k¨onnen. Im Grunddrehzahlbereich wird der Flußsollwert Ψh∗ auf seinen Nennwert begrenzt. Realisiert man also die Feldschw¨achkennlinie so, daß das Ergebnis aus ∗ ¨ Gl. (16.290) nur f¨ ur Ψh∗ ≤ ΨhN verwendet wird, so ergibt sich der Ubergang vom Grunddrehzahl- in den Feldschw¨achbereich automatisch. 16.5.7

Steuerung des cos ϕ der fremderregten Synchronmaschine

Wie schon in Kap. 16.5.3.1 gezeigt wurde, kann die Erregung f¨ ur einen bestimmten Fluß sowohl u ¨ber den Stator als auch u ¨ber den Erregerstrom selbst erfolgen. Insbesondere im Leerlauf (Iϕ2 = 0 und δ = 0) ist aus Gl. (16.263) zu erkennen, daß sich der Magnetisierungsstrom Iμ1 direkt aus der Summe von Erregerstrom IE und Statorstromkomponente Iϕ1 in der ϕ1 -Achse ergibt. Der Fluß und damit der Magnetisierungsstrom Iμ1 sind fest vorgegeben. Die Statorblindstromkomponente Iϕ1 kann vom Fluß unabh¨angig noch frei gew¨ahlt werden.

840

16 Synchronmaschine

F¨ ur die Wahl der Statorblindstromkomponente Iϕ1 ist zu beachten, daß sie einerseits eine Stromrichter- und Maschinenbelastung darstellt, andererseits die H¨ohe der Statorspannung mitbestimmt. Dabei ist der Begriff Blindstrom in Bezug auf das ϕ1 -ϕ2-Koordinatensystem, also als Blindstrom zur vom Hauptfeld induzierten Spannung (Hauptfeldspannung) zu interpretieren. Von einem Antrieb wird bei einer gegebenen Drehzahl ein bestimmtes Drehmoment und damit eine bestimmte Wirkleistung verlangt. Vernachl¨assigt man bei der Betrachtung die Maschinenverluste im Stator (infolge z.B. des Statorwiderstandes R1 ), so entspricht die mechanische Leistung der vom Stator aufgenommenen Wirkleistung. Die aufgenommene Wirkleistung Ps kann aus Statorspannung und Statorstrom berechnet werden: Ps =

3  · |U1 | · |I1 | · cos ϕu 2

(16.291)

 1 und Dabei ist der Winkel ϕu der von den Raumzeigern der Statorspannung U des Statorstroms I1 eingeschlossene Winkel. F¨ ur R1 = 0 kann die Wirkleistung Ps auch aus der induzierten Spannung  h ) und dem Statorstrom I1 berechnet werden, wenn die in (Hauptfeldspannung U Abb. 16.9 dargestellten Transformationsgleichungen zugrundegelegt werden: Ps =

3  3 · |Uh | · |I1 | · cos ϕe = · Uh · Iϕ2 2 2

(16.292)

 h und dem StatorDabei ist der Winkel ϕe der von der Hauptfeldspannung U  strom I1 eingeschlossene Winkel, also der Winkel des Stromraumzeigers I1 zur ϕ2 -Achse. Welche Steuerung des cos ϕ nun g¨ unstig ist, h¨angt im wesentlichen von den Randbedingungen ab. Ist der Fluß und damit die induzierte Spannung fest, so ist aus Gl. (16.292) zu sehen, daß die Wirkleistung alleine durch die Komponente Iϕ2 bestimmt ist. Eine Vergr¨oßerung der induzierten Spannung w¨ urde zu einer kleineren, eine Verkleinerung zu einer gr¨oßeren Stromkomponente f¨ uhren. M¨ochte man Stromrichter und Maschine mit einem m¨oglichst kleinen Strom belasten, ist also die induzierte Spannung m¨oglichst groß und die Stromkomponente Iϕ1 zu Null zu w¨ahlen. Dies ist immer dann m¨oglich, wenn die damit verbundene Statorspannung vom Stromrichter realisiert werden kann (also im Grunddrehzahlbereich). Hier wird daher der Fluß so hoch wie m¨oglich (Nennfluß) und Iϕ1 = 0 eingestellt. Da dann induzierte Spannung und Statorstrom in Phase sind, wird h¨aufig von einer Steuerung mit dem inneren cos ϕ = 1 gesprochen. In Gl. (16.292) bedeutet dies, daß ϕe = 0 ist. Anders sind die Verh¨altnisse, wenn der Betrag der Spannung begrenzt ist (Feldschw¨achbereich). Laut Gl. (16.291) ist f¨ ur die Wirkleistung alleine die Projektion des Stromraumzeigers I1 auf die Spannung entscheidend. Eine Stromkomponente senkrecht zur Statorspannung entspricht einem unerw¨ unschten Blindstrom. Daher wird im Feldschw¨achbereich die Stromkomponente Iϕ1 h¨aufig so

16.5 Regelung der Synchronmaschine durch Feldorientierung

F. Bauer

841

 1 und I1 in Phase sind. Hier wird von einer Steuerung mit dem gesteuert, daß U ¨außeren cos ϕ = 1 gesprochen (ϕu = 0). Zur Steuerung mit dem a¨ußeren cos ϕ = 1 muß im flußbezogenen ϕ1 -ϕ2Koordinatensystem die Stromkomponente Iϕ1 also so gew¨ahlt werden, daß folgendes Verh¨altnis erf¨ ullt wird: Iϕ1 Uϕ1 = Iϕ2 Uϕ2 F¨ ur den gesuchten Strom Iϕ1 kann also geschrieben werden: Iϕ1 = Iϕ2 ·

Uϕ1 Uϕ2

(16.293)

Die Spannungskomponenten Uϕ1 und Uϕ2 sind bei spannungseinpr¨agenden Umrichtern bekannt. Sie werden aus der Summe von Stromreglerausg¨angen und Vorsteuerung gebildet, wenn z.B. ein indirektes Stromregelverfahren angewandt wird (vergl. dazu Kap. 15.2). Die Komponenten enthalten jedoch alle station¨aren und dynamischen Anteile, wodurch eine starke R¨ uckwirkung der Stromregelung auf die cos ϕ-Steuerung erfolgt. Hier kann man sich durch entsprechende Gl¨attungen der Sollspannungskomponenten behelfen. Die Umsteuerung vom inneren cos ϕ = 1 auf den ¨außeren cos ϕ = 1 kann z.B. dadurch erfogen, daß die Stromkomponente Iϕ1 mit einer von der Drehzahl gef¨ uhrten Kennlinie gewichtet wird. Die Kennlinie liefert entsprechend bei kleinen Drehzahlen den Wert Null und sollte vor Beginn des Feldschw¨achbereiches den Wert Eins erreicht haben. Durch die M¨oglichkeit, den cos ϕ der fremderregten Synchronmaschine u ¨ ber die Aufteilung der Erregung auf Stator und Rotor frei bestimmen zu k¨onnen, ergeben sich eine Reihe von Vorteilen: Wie schon ausgef¨ uhrt, kann die Maschine so gesteuert werden, daß f¨ ur eine ben¨otigte Antriebsleistung im gesamten Drehzahlbereich nur ein Minimum an Statorstrom fließt. Dadurch wird Statorwicklung und Stromrichter im Vergleich zur Asynchronmaschine weniger belastet: Bei der Asynchronmaschine muß die Blindleistung f¨ ur die Erregung u ¨ber den St¨ander zugef¨ uhrt werden. Die Belastung durch den Blindstrom erzeugt in Stator und Stromrichter in der Regel mehr Verluste, als durch die Erregereinrichtung und -wicklung bei der Synchronmaschine entsteht. Antriebe mit Synchronmaschinen haben daher in der Regel den gr¨oßeren Wirkungsgrad und der Stromrichter wird besser ausgenutzt. Durch die Steuerung mit dem ¨außeren cos ϕ = 1 kann die Synchronmaschine im Feldschw¨achbereich nicht kippen. Bei Belastung wird der Fluß und damit die induzierte Spannung soweit angehoben, daß der erforderliche Statorstrom fließen kann. Dies ist bei jeder Frequenz m¨oglich. Die Synchronmaschine kann also theoretisch bis zu beliebigen Feldschw¨achgraden betrieben werden. Anders ist dies bei der Asynchronmaschine: Der Spannungsabfall an der Streuinduktivit¨at ist so gerichtet, daß bei der im Feldschw¨achbereich gegebenen konstanten Statorspannung eine Zunahme des Drehmoments stets zur Ver-

3

2

SM 3

cos d

Flußregler

Feldschw.Kennlinie

U*

M* n*

Drehzahlregler

Y*

IE*

I-Modell

Ij2*

cosSteuerung

Ij1*

Yi

d dt

jsi

.

bL

ModellUmschaltung

Yu

jsu

d dt

U-Modell

VD

Ij2

-

Stromregler

Vorsteuerung/ Entkopplung

Ij1

+

VD

bL

2

3

2

3

Steuer -satz

T

6

3

3

2

16 Synchronmaschine

Ud

842

Abb. 16.43: Regelung der fremderregten Synchronmaschine mit Strom- und Spannungsmodell

¨ kleinerung des Flusses f¨ uhrt. Uberwiegt die Abnahme des Flusses gegen¨ uber der Zunahme des momentbildenden Statorstromes, ist der Kippunkt erreicht: Die Asynchronmaschine ist bei der gegebenen Spannung und Drehzahl nicht in der Lage, mehr Drehmoment zu entwickeln. Das Kippmoment wird dabei mit steigender Drehzahl rasch kleiner. Bei Asynchronmaschinen mit u ¨blicher Streuung von σ = 0, 2 ... 0, 25 wird das der Nennleistung entsprechende Drehmoment bei Nennspannung bei maximal der ca. 2,5. . . 3-fachen Nenndrehzahl erreicht. Der Asynchronmaschinenantrieb kann also sinnvollerweise nicht bis zu beliebigen Feldschw¨achgraden betrieben werden. Den Vorteilen steht der gr¨oßere Aufwand bei der Synchronmaschine gegenu ¨ber. Sie ben¨otigt eine zus¨atzliche Erregereinrichtung. Zudem ist der Aufwand

16.6 Permanentmagneterregte Synchronmaschine (PM-Maschine)

843

in der Steuerung und Regelung gr¨oßer, weil neben den f¨ ur die Asynchronmaschine ben¨otigten Einrichtungen zur Regelung des Statorstromes die entsprechenden Steuer- und Regeleinrichtungen zur Bildung des Erregerstrom-Sollwertes erforderlich sind. F¨ ur die Stromregelung und Entkopplung bzw. Vorsteuerung der Spannungen k¨onnen die in Kap. 15 f¨ ur die Asynchronmaschine dargestellten Verfahren genauso auf die Synchronmaschine angewendet werden. Somit sind die wesentlichen Aspekte einer feldorientierten Regelung der fremderregten Synchronmaschine diskutiert. Eine Gesamt¨ ubersicht (Abb. 16.43) zeigt, wie resultierend aus den diskutierten Aspekten eine dynamisch hochwertige Regelung aufgebaut sein kann.

16.6

Permanentmagneterregte Synchronmaschine (PM-Maschine)

16.6.1

Signalflußplan der PM-Maschine

Von der Struktur her sind die Synchron-Schenkelpolmaschine und die permanentmagneterregte Drehfeldmaschine vom gedanklichen Ansatz her im Rotor prinzipiell gleich. Die Voraussetzungen sind dabei erstens, daß die Schenkelpolmaschine keine D¨ampferwicklungen hat und der Rotor mit den Permanentmagneten ebenso keine Wirbelstr¨ome zul¨aßt, und zweitens, daß die permanentmagneterregte Drehfeldmaschine (PM-Maschine) mit sinusf¨ormigen Spannungen bzw. Str¨omen gespeist wird. Wenn außerdem noch sichergestellt ist, daß die Harmonischen in der induzierten Spannung vernachl¨assigbar sind, dann kann das in Kap. 16.1 abgeleitete Modell und der Signalflußplan in Abb. 16.4 direkt auf die permanentmagneterregte Drehfeldmaschine u ¨bertragen werden. Es wird somit nur die Grundwelle Bg(1) des Luftspaltfeldes der Permanentmagnete betrachtet. Die Abbildungen 16.44 und 16.45 zeigen einen Querschnitt einer PMMaschine und den Verlauf der Flußdichte Bg im Luftspalt sowie deren Grundwellenanteil Bg(1) . Laut Kap. 16.1 galt f¨ ur den Statorkreis: dΨd = Ud − R1 · Id + ΩL · Ψq dt

(16.294)

dΨq = Uq − R1 · Iq − ΩL · Ψd dt

(16.295)

Diese Gleichungen bleiben erhalten.

844

16 Synchronmaschine

Abb. 16.44: Querschnitt durch eine permanentmagneterregte Synchronmaschine

Abb. 16.45: Verlauf von Flußdichte und Grundwellenanteil im Luftspalt

Die Flußgleichungen waren: Ψd = Ld · Id + MdE · IE

(16.296)

Ψq = Lq · Iq

(16.297)

ΨE = LE · IE + MdE · Id

(16.298)

16.6 Permanentmagneterregte Synchronmaschine (PM-Maschine)

845

F¨ ur das Luftspaltmoment MM i galt: 3 · Zp · (Ψd · Iq − Ψq · Id ) 2

MM i =

Bei der PM-Drehfeldmaschine ist die Erregerwicklung im Rotor durch einen Permanentmagneten ersetzt. Es gibt daher weder einen Erregerstrom noch eine induzierte Spannung im Erregerkreis, so daß die dritte Flußgleichung (16.298) entfallen kann. Stattdessen erzeugt der Permanentmagnet im Rotor (in d P M g , der abz¨ P M g den Stator Richtung) einen Fluß Ψ uglich des Streuanteils σr Ψ konstant durchdringt. Mit  P M g = ΨP M g d = ΨP M g Ψ und ΨP M = (1 − σr ) · ΨP M g ergibt sich f¨ ur die Statorfl¨ usse der PM-Maschine:

Ψd − ΨP M (16.299) Ld Ψq (16.300) Ψq = Lq · Iq oder Iq = Lq Mit diesen Gleichungen kann der Signalflußplan der PM-Maschine gezeichnet werden (Abb. 16.46). Setzt man diese Gleichungen in die Drehmomentgleichung ein, ergibt sich:

3 MM i = · Zp · ΨP M · Iq + (Ld − Lq ) · Id · Iq (16.301) 2 Ψd = ΨP M + Ld · Id

oder

Id =

Der zweite Term in der Momentgleichung entf¨allt, wenn Ld = Lq = L1 oder Id = 0 ist. Die Gleichung der Mechanik bleibt erhalten: Θ·

dΩm = MM i − MW dt

Damit ergibt sich f¨ ur die permanentmagneterregte Drehfeldmaschine ohne Reluktanzeinfl¨ usse (Ld = Lq ) folgendes Gleichungssystem: dΨd = Ud − R1 · Id + ΩL · Ψq dt dΨq = Uq − R1 · Iq − ΩL · Ψd dt Ψd = ΨP M + L1 · Id Ψq = L1 · Iq MM i = Θ·

3 · Zp · ΨP M · Iq 2

dΩm = MM i − MW dt

846

16 Synchronmaschine

WL

Yd

Yq

-

1 Ld

1 Lq Id

R1

1 Ld

-

-

Ud

Uq

R1

Iq

YPM Iq

Id

Yd

Yq

_3 Z 2 p M W M Mi

-

1 __ Qs Wm Abb. 16.46: Signalflußplan der permanentmagneterregten Drehfeldmaschine

Das Ersatzschaltbild bei station¨arem Betriebszustand ergibt sich durch Setzen von d/dt = 0 in den Spannungsgleichungen. Durch Einsetzen der Flußgleichungen

16.6 Permanentmagneterregte Synchronmaschine (PM-Maschine)

847

in die station¨aren Spannungsgleichungen ergibt sich (Abb. 16.47):  1 = Ud + j Uq = R1 · (Id + j Iq ) − ΩL · Ψq + j ΩL · Ψd U

(16.302)

= R1 · I1 + j ΩL · L1 · (Id + j Iq ) + j ΩL · ΨP M (16.303) = R1 · I1 + j ΩL · L1 · I1 + j ΩL · ΨP M

(16.304)

mit der Polradspannung  p = j ΩL · ΨP M U

Abb. 16.47: Ersatzschaltbild und Zeigerdiagramme der PM-Maschine im station¨ aren Zustand

In Abb. 16.47a ist das Ersatzschaltbild im station¨aren Betrieb der PMMaschine und in Abb. 16.47b das Zeigerdiagramm dargestellt. Die durch die

848

16 Synchronmaschine

 p eilt dem Fluß ΨP M um 90◦ el. Permanentmagnete induzierte Polradspannung U voraus. Wenn Id = 0 und Iq = 0 gesetzt wird, dann ergibt sich der durchgezogene  1 , wenn dagegen Id = 0 und Iq = 0 sind, dann gelten die geSpannungszeiger U strichelten Linien. Aus Abb. 16.47b ist zu erkennen, daß die PM-Maschine auch im Feldschw¨achbereich“ betrieben werden kann (Id < 0), allerdings auf Ko” sten einer tendenziell vergr¨oßerten Statorstrom- und Umrichterstrombelastung. Es verbleibt daher, daß sich im Ankerstellbereich mit Id = 0 im vorliegenden Beispiel besonders einfache Betriebszust¨ande ergeben. Die urspr¨ ungliche Einschr¨ankung bei PM-Maschinen konnte aber inzwischen durch geeignetes Design der Maschine eingeschr¨ankt bzw. vermieden werden. Wenn, wie in Abb. 16.47.c,  P M um 90◦ el. nacheilt (Iq < 0), ist Bremsbetrieb der Strom I1 dem Fluß Ψ realisierbar. In Abb. 16.47d ist dagegen die Grenzsituation bei Belastung ≈ 0  p große Werund h¨ochsten Drehzahlen dargestellt. Bei großen Drehzahlen hat U te. Da die Amplitude der Statorspannung, die vom Umrichter erzeugt werden kann, begrenzt ist, ergeben sich zwei Probleme: Die Drehzahl kann nicht weiter erh¨oht werden, da die zul¨assige Spannung u urde. Die Spannungs¨berschritten w¨ reserve, die notwendig w¨are, um den Strom Iq und damit das Moment MM i dynamisch zu erh¨ohen, ist sehr gering. Damit ist keine Beschleunigung bzw. Reaktion auf Last¨anderungen mehr m¨oglich. Beide Probleme lassen sich mit der Feldschw¨achung Id < 0 dadurch l¨osen, daß die Amplitude der Statorspannung  1 | mit dem Term j ΩL L1 Id , der U  p entgegenwirkt, verringert wird. Dies kann |U insbesondere in dynamischen Betriebszust¨anden sehr zweckm¨aßig genutzt werden, da die PM-Maschine kurzzeitig im Strom u ¨berbelastet werden darf und dann nur das Stellglied etwas u ¨ berdimensioniert werden muß. Sinnvollerweise wird da p resultierend abgesenkt, um mit der Stellreserve Iq her mittels Id dynamisch U  p auf ann¨ahernd den alten Wert zu erh¨ohen. Nach der Einstellung von Iq kann U zur¨ uckgestellt und damit Id auf 0 reduziert werden. Wie bei der Synchronmaschine sind die d-q-Achsen rotorfest, d.h. die d-Achse ist auf ΨP M und damit auch Id auf ΨP M orientiert. Die q-Achse eilt um 90◦ el. vor. Diese rotorfesten Achsen rotieren mit ΩL , daher bildet sich zwischen der d-Achse und dem statorfesten Koordinatensystem ein Winkel βL   βL = ΩL dt = Zp · βm = Zp · Ωm dt (16.305) aus. Die Raumzeiger sind in Abb. 16.48 dargestellt. Wie schon bei der Asynchronmaschine diskutiert, wird somit durch gezielte Steuerung der Statorfl¨ usse bzw. Statorstr¨ome der PM-Maschine eine vereinfachte regelungstechnische Struktur und damit ein regelungstechnisch besser u ¨ berschaubares dynamisches Verhalten erzeugt. Im vorliegenden Fall kann durch Steuerung der Statorstrom Id = 0 gesetzt werden. Damit gilt f¨ ur MM i auch unabh¨angig von Reluktanzeffekten (bei Id = 0 und Ψd = ΨP M ) 3 MM i = · Zp · ΨP M · Iq (16.306) 2

q–Achse

16.6 Permanentmagneterregte Synchronmaschine (PM-Maschine)

.

849

.. . .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... .......... . .... . .... .... ............. ......... ......... ......... ......... ......... ......... .......... ......... .......... .................. . . . .. . ...... ........ .. ...... . ... ...... . ... ...... . .... ...... ...... .... . . . . ... . . ..... ..... ...... ... ...... . ...... . . . ..... . .... . ... . ...... .. . . . . .... . .... . . ...... . . . . .... .... .. . . ...... . . . . .... . ... .. . ...... . . . . . .... .... ... . ...... . . . . . ..... ... ... ...... . . . . . ... . ... .. . ...... ..... ........... ... ........................................................................................................................................................................................................................................................................... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... . . ...... .......... ...... . ...... .. ...... .. . ...... .. ...... ... ...... .... ....... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......

p U

I1

jIq

Id

βL α– sta t

ΨPM d–Achse polradfest

Ac hse

orf

est

Abb. 16.48: Koordinatensysteme bei der PM-Maschine

d.h. durch Einpr¨agen von Iq kann daher das Moment direkt gesteuert werden. Ein anderer Ansatz w¨are, das maximale Moment bei minimalem Statorstrom zu erreichen. Dies soll sp¨ater diskutiert werden. 16.6.2

Regelung der PM-Maschine ohne Reluktanzein߬ usse

Wenn der in Abb. 16.46 dargestellte Signalflußplan mit der Zusatzbedingung Id = 0 als Voraussetzung f¨ ur den Entwurf der Regelung angesetzt wird, dann ist zu erkennen, daß bei der PM-Maschine die Steuerbedingungen f¨ ur die Spannungen prinzipiell ¨ahnlich wie bei der elektrisch erregten Synchronmaschine sind. Aus dem Signalflußplan (Abb. 16.46) ist zu erkennen, daß sich f¨ ur Id = 0 (Ankerstellbereich) und ohne Reluktanzeinfl¨ usse (Ld = Lq = L1 ) ergibt: Ψd = ΨP M = const.

(16.307)

Ψq = L1 · Iq

(16.308)

dΨd = 0 = Ud + ΩL · L1 · Iq dt 1. Steuerbedingung:

Ud

=

− ΩL · L1 · Iq

(16.309)

(16.310)

ur die Mit dieser ersten Steuerbedingung wird Id = 0 gehalten. Außerdem folgt f¨ zweite Steuerbedingung des Moments:

2. Steuerbedingung:

dΨq Ψq = Uq − R1 · − ΩL · ΨP M dt L1

(16.311)

850

16 Synchronmaschine

und daraus T1 ·

dΨq + Ψq = T1 · (Uq − Up ) dt

mit T1 =

L1 Lq = R1 R1

(16.312)

Mit diesen Steuerbedingungen vereinfacht sich der Signalflußplan nach Abb. 16.46, und es ergibt sich Abb. 16.49. ΨP M ?  @ @

Up

ΩL

Zp  MW

ΨP M Uq

−

Ψq

-? e -

-

T1

Iq

1 Lq

? - @ @

- 3 Zp 2

MM i ?− -e -

r

Ωm

-

1 sΘ

T1

Abb.16.49: Vereinfachter Signalflußplan zur Momenterzeugung der PM-Maschine bei Id = 0; Zusatzbedingung: Ud = −ΩL L1 Iq

Damit hat bei Id = 0 die PM-Maschine im Prinzip einen Signalflußplan wie die Gleichstrommaschine. Es k¨onnen somit die gleichen Regelstrategien wie bei der Gleichstrom-Nebenschlußmaschine eingesetzt werden. Da grunds¨atzlich Stromrichter als Stellglieder vorausgesetzt werden, k¨onnen per Stromregelung die Stromkomponenten Id = 0 bzw. Iq eingepr¨agt werden. Up ∗ Ωm

-e − 6

Zp Ψ P M 

Kp

r - Ki s

Iq∗

− ?

? - e - Strom-e - e- 1 R1 +sLq − Regelung Uq 6

r

MW − ?

Kt - e-

1 sΘ

Ωm

r -

Iq

Abb. 16.50: Drehzahlregelkreis mit Kaskadenstruktur

Abbildung 16.50 zeigt die u ¨bliche Kaskadenstruktur mit PI-Drehzahlregler ohne Sollwertgl¨attung und unterlagerter Stromregelung. Abbildung 16.51 zeigt die Regelungsstruktur bei einem Drehzahlregler mit integrierter Sollwertgl¨attung (PDF-Regler; siehe auch Kap. 7.1.2 Abb. 7.15).

16.6 Permanentmagneterregte Synchronmaschine (PM-Maschine)

Up

Ωm∗

- e- Ki − s 6

- e- 1 Kt − 6

Iq∗

− ?

- e - Strom- e- 1 R1 +sLq − Regelung Uq 6

851

Zp Ψ P M 

r-

MW − ?

Kt - e-

1 sΘ

Ωm

r -

Iq Kd r

Abb. 16.51: Drehzahlregelung mit PDF-Regler

Aufgrund der Struktur des Stromregelkreises treten die gleichen Schwierigkeiten bei der Stromregelung wie bei der Gleichstrom-Nebenschlußmaschine auf. Insbesondere kann bei kleinen Str¨omen das unerw¨ unschte Stroml¨ ucken auftreten, das vor allem beim dynamischen Verhalten zu einer deutlichen Verschlechterung f¨ uhrt. Diese Verschlechterung des dynamischen Verhaltens verursacht eine Ver¨ ringerung der Stromzeitfl¨achen und damit auch eine Anderung der Orientierung, und das f¨ uhrt insgesamt zu einer deutlichen Verringerung des verf¨ ugbaren Moments. Maßnahmen gegen das Stroml¨ ucken sind deshalb notwendig. Die Polradspannung Up ist außerdem bei hochdynamischen Antrieben als St¨orgr¨oße wirksam. Es empfiehlt sich deswegen wie bei der GleichstromNebenschlußmaschine eine St¨orgr¨oßenaufschaltung. Wenn die Daten der Stromregelung — Verst¨arkung und dynamische Ersatzzeit – bekannt sind, kann der Drehzahlregelkreis nach den bekannten Optimierungskriterien optimiert werden. Es verbleibt zu kl¨aren, wie die Regelung des Stromes Iq einerseits und des Stromes Id = 0 andererseits realisiert wird. Zur Er¨ innerung: die Uberlegungen zum Signalflußplan und zur Drehzahlregelung fanden bei einem rotorfesten bzw. flußfesten Koordinatensystem statt. Die Steuerung des Stellgliedes muß aber statorfest erfolgen (vergl. Kap. 13.4.1 und 13.4.4). Abbildung 16.52 zeigt das um die zus¨atzlichen Komponenten erweiterte Strukturbild. Insbesondere ist hier die Wandlung vom d-q-Koordinatensystem zum α-β-Koordinatensystem, die Stromregelung im α-β-System sowie der Umrichter und der Statorkreis zu ber¨ ucksichtigen. Bei der Stromregelung ist die Regelung im α-β-System zu beachten (siehe auch Kap. 13.4.4). Vorteilhaft bei der PM-Maschine ist, daß der Winkel βL einfach gemessen werden kann, da die r¨aumliche Lage des Flusses ΨP M durch die Permanentmagnete und damit durch den Rotor fest vorgegeben ist. Damit entf¨allt der Flußbeobachter, der bei der indirekten feldorientierten Regelung (ASM) notwendig ist. Zu beachten ist weiterhin, daß eine Begrenzung der Stromsollwerte — im vorliegenden Fall Id = 0 und Iq ≤ Iq max — im Regelkreis notwendig ist (siehe auch Kap. 5.6).

852

16 Synchronmaschine

I1a

I1b

Iβ

-

-

Iq

-

3 Zp 2

e−jβL

3/2

MW

I1c

? − ?-@-e @

Iα

-

Id = 0

-

r-

βL r

6MM i

6

ΨPM

r

Umrichter

Maschine

2/3 6

Ωm

6

−

Ri

Iα

?  e 

?

Id∗ = 0



Signalverarbeitung



?  

Iα∗ ejβL −

Iβ

? Ri  e Iβ∗

Iq∗

Drehzahlregler

Ωm − ?  e ∗ Ωm

Abb. 16.52: Signalflußplan einschließlich Koordinatentransformationen

16.6.3

Rechteckf¨ ormige Stromeinpr¨ agung ohne Reluktanzeinfl¨ uße

Statt der sinusf¨ormigen Stromeinpr¨agung kann auch eine rechteckf¨ormige Stromeinpr¨agung ( Blockstrom-Speisung“) vorausgesetzt werden (Abb. 16.53a). ” Dies bedeutet, daß gegen¨ uber der sinusf¨ormigen Stromeinpr¨agung — bei der alle drei Phasen mit Strom beaufschlagt wurden— nun nur noch jeweils zwei Phasen mit Strom beaufschlagt werden k¨onnen ( i = 0) (Abb. 16.53a). Bei rechteckf¨ormiger Speisung enthalten alle Gr¨oßen erhebliche Oberschwingungen. Dies bedeutet, es gibt eine Grundschwingung und die Oberschwingungen in allen Signalen. Prinzipiell ist es nun m¨oglich, Raumzeiger f¨ ur jede Frequenz einzeln zu definieren und — solange das System linear ist — die Raumzeiger f¨ ur die verschiedenen Frequenzen zu u ¨ berlagern (Superpositionsprinzip). Allerdings ist diese Darstellung relativ komplex, da wie bekannt die Raumzeiger eine Amplitude und eine Frequenz aufweisen. Dies f¨ uhrt dazu, daß nun nicht mehr ein umlaufendes Koordinatensystem gew¨ahlt werden kann, damit der Frequenzanteil entf¨allt und sich somit im station¨aren Fall ein Ersatzschaltbild und ein Vektordiagramm ergibt. Wird dieser Weg gew¨ahlt, und wird beispielsweise die Grundschwingung als Orientierungsgr¨oße gew¨ahlt, dann werden die Oberschwingungen ihre Frequenzanteile minus der Grundfrequenz behalten und mit dieser Differenzfrequenz umlaufen.

16.6 Permanentmagneterregte Synchronmaschine (PM-Maschine)

a)

853

UpA IA

210° 90°

0° 30°

330°

270°

150° 180°

540° 360° 390°

450°

510°

wt

UpB IB wt

UpC IC wt

b)

Ia wt

Ib wt

Abb. 16.53: Kurvenformen bei einer rechteckf¨ormig gespeisten PM-Maschine: a) Phasengr¨ oßen, b) Strom in der statorfesten Zwei-Achsen-Darstellung

Bei sinusf¨ormiger Speisung sind die Raumzeiger aller Gr¨oßen im rotorfesten Koordinatensystem dagegen aber konstant und winkelfest zueinander, wenn sich die Maschine im station¨aren Zustand befindet. Zur Herleitung der Zeigerdiagramme konnte daher station¨ar d/dt = 0 gesetzt werden. Bei rechteckf¨ormiger Speisung machen die Raumzeiger jedoch auch station¨ar zus¨atzliche Bewegungen entsprechend der vorhandenen Harmonischen und es gilt nicht mehr d/dt = 0. Die hergeleiteten Zeigerdiagramme (z.B. Abb. 16.47) gelten daher nur f¨ ur den Grundschwingungsanteil. Jede Oberschwingung m¨ ußte durch ein eigenes Zeigerdiagramm ber¨ ucksichtigt werden. Außerdem ist aus Abb. 16.53b zu ersehen, daß die Str¨ome im statorfesten Koordinatensystem unterschiedliche Oberschwingungsanteile haben.

854

16 Synchronmaschine

Setzt man weiter f¨ ur die Polradspannung Up den in Abb. 16.53a gezeigten trapezf¨ormigen Verlauf voraus (siehe auch Abb. 16.45), ergibt sich auch f¨ ur den Fluß, der mit den einzelnen Statorwicklungen verkettet ist, ein entsprechend nicht sinusf¨ormiger Verlauf. Folglich k¨onnen in den einzelnen Phasen unterschiedliche und zeitlich nicht sinusf¨ormige Ver¨anderungen der S¨attigungszust¨ande und damit der Induktivit¨aten auftreten. Dieser Effekt, der mit der Raumzeigerdarstellung nicht mehr ber¨ ucksichtigt werden kann, ist jedoch im allgemeinen vernachl¨assigbar. ¨ Da eine Uberlagerung der nicht sinusf¨ormigen Verl¨aufe aus Abb. 16.53a nicht ¨ zu gleichartigen Kurvenformen f¨ uhrt, wie das bei der Uberlagerung von Sinusfunktionen gleicher Frequenz der Fall ist, ist eine Umrechnung der Phasengr¨oßen auf zwei aufeinander senkrecht stehende Achsen (komplexe Raumzeigerdarstellung) ung¨ unstig, weil f¨ ur die beiden Komponenten unterschiedliche Kurvenverl¨aufe entstehen (siehe Abb. 16.53b). Außerdem enthalten die Verl¨aufe der Polradspannung Up nach Abb. 16.53a ein Nullsystem (Up A + Up B + Up C = 0), das mit der bisher benutzten Raumzeigerdarstellung nicht ber¨ ucksichtigt werden kann. Es soll daher hier die Darstellung in Phasengr¨oßen benutzt werden. An dieser Stelle werden wegen der auftretenden Doppelindizes die einzelnen Phasengr¨oßen mit den Indizes A, B, C statt wie bisher mit 1a, 1b, 1c bezeichnet. Es ergeben sich folgende Grundgleichungen: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ UA R 0 0 IA LA LBA LCA Up A IA ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ UB ⎟ = ⎜ 0 R 0 ⎟ · ⎜ IB ⎟ + ⎜ LAB LB LCB ⎟ · d ⎜ IB ⎟ + ⎜ Up B ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ dt ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ UC IC LAC LBC LC IC Up C 0 0 R (16.313) Diese Darstellungsweise hat zudem den Vorteil, daß in den Phasen unterschiedliche Induktivit¨atswerte ber¨ ucksichtigt werden k¨onnen. Es wurde hier angenommen, daß die Widerst¨ande der Statorwicklungen gleich sind. Wenn die Kurvenformen von Abb. 16.53a vorausgesetzt werden und weiter angenommen wird, daß die Reluktanz sich nicht u ¨ber dem Umfang ¨andert, dann kann weiter vereinfacht werden. LA = LB = LC = L

(16.314)

LBA = LAB = LCA = LAC = LCB = LBC = M

(16.315)

Weiterhin gilt bei offenem Sternpunkt: IA + IB + IC = 0

(16.316)

und damit gilt beispielsweise zus¨atzlich M · IB + M · IC = − M · IA

(16.317)

16.6 Permanentmagneterregte Synchronmaschine (PM-Maschine)

855

Wenn diese Zusatzbedingungen eingesetzt werden, dann ergibt sich endg¨ ultig: ⎞

⎛

⎛

⎞ ⎛ R 0 0

UA

⎞ IA

⎛

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ UB ⎟ = ⎜ 0 R 0 ⎟ · ⎜ IB ⎟ + ⎜ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ UC IC 0 0 R

⎞ L−M

0

0

L−M

0

0

⎞

⎛

0

⎛

⎞ Up A

IA

⎟ d⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ · ⎜ IB ⎟ + ⎜ Up B ⎟ ⎠ dt ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ IC Up C L−M (16.318) 0

oder in der Zustandsdarstellung: ⎞

⎛ IA

⎛

1 L−M

⎟ ⎜ d ⎜ ⎜I ⎟ = ⎜ 0 dt ⎝ B ⎠ ⎝ IC 0

⎞ ⎡⎛ 0

⎞ UA

0

⎛

⎞ ⎛ R 0 0

⎞ IA

⎛

⎞⎤ Up A

⎟ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ 0 ⎟ ⎠ · ⎣⎝ UB ⎠ − ⎝ 0 R 0 ⎠ · ⎝ IB ⎠ − ⎝ Up B ⎠⎦ 1 UC IC Up C 0 L−M 0 0 R (16.319)

1 L−M

Das Luftspaltmoment ergibt sich zu MM i =

Up A · IA + Up B · IB + Up C · IC Ωm

(16.320)

Im vorliegenden Beispiel erzeugen die rechteckf¨ormig eingepr¨agten Str¨ome mit der trapezf¨ormigen Polradspannung das Moment. Untersuchungen dieses Systems haben gezeigt, daß im wesentlichen die Grundschwingungen vom Statorstrom und der Polradspannungen zur Momentbildung beitragen. Die Harmonischen der Str¨ome zusammen mit den zugeh¨origen Harmonischen der induzierten Spannung tragen unwesentlich zur Momentbilanz bei. Die Spannungen und Str¨ome ungleicher Ordnungszahlen der Harmonischen erzeugen dagegen Momentpendelungen. Diese Momentpendelungen k¨onnen sich gegenseitig kompensieren, wenn durch die Speisung der PM-Maschine sichergestellt ist, daß die gegenseitige Lage der Spannungen und Str¨ome entsprechend Abb. 16.53a ist. Wenn allerdings von dieser Steuerungsstrategie abgewichen wird, dann gelten die obigen Aussagen nicht mehr. Vorteilhaft gegen¨ uber der Speisung der PM-Maschine mit sinusf¨ormigen Str¨omen — die eine Pulsweitenmodulation (PWM) der Schalter in jedem Fall erforderlich macht — ist die Speisung mit rechteckf¨ormigen Str¨omen bei Verwendung eines Stromzwischenkreisumrichters, da hier keine PWM notwendig ist, sondern zu bestimmten Zeitpunkten — in Abb. 16.53 alle 60◦ el. — ein bestimmter Steuerbefehl gegeben wird. Nachdem nun die prinzipielle Funktion sowie die Steuerung und Regelung bekannt sind, soll nun auf leicht verst¨andliche Steuerungsmaßnahmen eingegangen werden. Abbildung 16.54 zeigt in Anlehnung an die Abbildungen 16.49, 16.50 und 16.52 die Struktur des geregelten PM-Maschinen-Antriebs. Die vollst¨andige Abbildung 16.54 zeigt einen lagegeregelten Servoantrieb. Wenn der Lageregler

856

16 Synchronmaschine

bL* -

bL

Lageregler

W *m -

Wm

Drehzahlregler

1 Kt

|I1* |

bL

Transformation Signalprozessor

Resolver

* I*C I*B IA

Wm

IA

IB

Stromregler

Abb. 16.54: Servoantrieb mit PM-Maschine

entf¨allt, dann entsteht ein drehzahlgeregelter Servo, und wenn der Drehzahlregler entf¨allt ein Momentservo. Es verbleibt, wie schon fr¨ uher bemerkt, wie die Str¨ome am vorteilhaftesten eingepr¨agt werden k¨onnen. Dies soll sp¨ater diskutiert werden (siehe Kap. 15.4). 16.6.4

Vergleich der sinus- und rechteckf¨ ormig gespeisten PM-Maschine

Wie aus den vorhergehenden Kapiteln bekannt ist, kann die PM-Maschine (im Ankerstellbereich ohne Reluktanzeinfl¨ usse) mit sinusf¨ormigen Str¨omen in allen drei Phasen, bei rechteckf¨ormigen Str¨omen allerdings in nur jeweils zwei Phasen, gespeist werden. Bedingt durch diesen Unterschied verh¨alt sich der notwendige Strom I1 bei einer rechteckf¨ormig gespeisten Maschine (Strom Ire ) gegen¨ uber der sinusf¨ormig gespeisten Maschine (Strom Isin , Effektivwert)  3 · Isin = 1, 22 · Isin (16.321) Ire = 2 wenn ungef¨ahr gleiches Moment erzeugt werden soll. Dies bedeutet auch, daß der Umrichter den entsprechenden Strom f¨ uhren muß. Ein genauer Vergleich ergibt folgende Zahlenverh¨altnisse (Index re : Speisung rechteckf¨ormig, Index sin : Speisung sinusf¨ormig): Strom pro L¨ange des Statorumfangs ( Strombelag“; Einheit A/m): ” 3 Ns Are = · Ire π rs  2 · Are = 0, 817 · Are Asin = 3

16.6 Permanentmagneterregte Synchronmaschine (PM-Maschine)

857

Luftspaltmoment (MM i re u ¨ber 2/3 des Umfangs erzeugt):

mit

MM i re

=

2 ˆg · Are · (2 π rs lr ) · rs · B 3

MM i sin

=

2π ˆ1g · kw · Asin √ · rs2 lr · B 2

α

halbe elektrische Ausdehnung wm des Magnets am Umfang

lr

Rotorl¨ange

Ns

Statorwindungszahl pro Phase

kw

Wicklungsfaktor

ˆ1g B

Grundwelle der Induktion im Luftspalt:

(siehe auch Abb. 16.44 und 16.45)

ˆ1g = 4 · B ˆg sin α B π

Damit ergibt sich:

π √ · MM i sin 2 3 kw · sin α ur folgende Werte von α Mit kw = 0, 945 ergibt sich f¨ MM i re =

α

π/2

π/3

MM i re MM i sin

0, 96

1, 11

(16.322)

Damit sind die statischen Bedingungen abgekl¨art: Je kleiner die halbe elektrische Ausdehnung α des Magneten am Umfang des Rotors ist, desto kleiner wird auch das Drehmoment der PM-SM, die mit rechteckf¨ormigen Strombl¨ocken gespeist wird; desto kleiner sind allerdings auch die Kosten f¨ ur die Permanentmagneten. Bei der Untersuchung des dynamischen Verhaltens gelten die Ausf¨ uhrungen der vorherigen Kapitel, d.h. das dynamische Verhalten der sinusf¨ormig gespeisten PM-SM wird von der Reglerauslegung und von der Stellreserve im jeweiligen Arbeitspunkt des Wechselrichters bestimmt. Bei der rechteckf¨ormig gespeisten PM-SM treten — wie diskutiert — zus¨atzliche Harmonische in den Drehmomenten auf (siehe auch Kap. 16.6.5). 16.6.5

Feldschw¨ achbereich der PM-Maschine ohne Reluktanzeinfl¨ usse

Wie bereits in Kap. 16.6.1 ausgef¨ uhrt, sind PM-Maschinen besonders vorteilhaft einzusetzen, wenn nur der Ankerstellbereich genutzt wird. Wie allerdings in Abb. 16.55 gezeigt wird, kann durch Wahl von Id < 0 auch ein Gegenfeld

858

16 Synchronmaschine

q

R1I d

−ΩL L 1 I q

Z1 I

d

Z1 j

jΩ L L 1 I d

R1j I q Iq

U1

I1 Z1

Up ϑ

z.B .

Id < 0 U1

I1

(einige Vektor-Pfeilspitzen sind aus Übersichtsgründen von den Schnittpunkten vorgezogen)

ϑ1

I1 = j Iq d

ΨPM

Abb. 16.55: Zeigerdiagramm der PM-Maschine

zum Feld der Permanentmagnete erzeugt werden, das das resultierende Gesamtfeld schw¨acht. Diese Feldschw¨achung muß allerdings im allgemeinen durch einen erh¨ohten Wicklungs- und damit Umrichterstrom erkauft werden. Die Feldschw¨achung kann auch erreicht werden, wenn die Permanentmagnete nicht f¨ ur den Nennfluß sondern nur einen geringeren Fluß, z.B. einen mittleren Fluß, ausgelegt sind. In diesem Fall muß dann eine zus¨atzliche Erregerwicklung konstruktiv vorgesehen werden, oder es wird ein Strom Id ≥ 0 als Erregerstrom eingepr¨agt, um den Nennfluß zu erreichen, und ein Strom Id ≤ 0, um den minimalen Fluß zu erreichen. Damit m¨ ussen sowohl die Maschinenwicklungen als auch der Umrichter auf den erh¨ohten Strom I1 = Id2 + Iq2 ausgelegt werden. Eine andere Variante dieser L¨osung sind die Transversalflußmaschinen, bei denen das Leistungsgewicht und das Leistungsvolumen auf Grund der hohen Polpaarzahl deutlich g¨ unstiger sind als bei Asynchronantrieben [36, 37, 38]. In Kap. 16.6.1, in dem die Steuerbedingungen erl¨autert wurden, war gezeigt worden, daß am vorteilhaftesten die Stromkomponenten Id = 0 und Iq = 0  p um 90◦ el. gegew¨ahlt werden sollten. Da die induzierte Polradspannung U P M voreilt, muß somit die Grundschwingung von I1 in Phase zur gen¨ uber Ψ  p gehalten werden, wenn das maximale Drehmoment Grundschwingung von U bei geringstem Statorstrom erzielt werden soll. Mit zunehmender Drehzahl der Maschine wird somit aufgrund von ΨP M = const. die induzierte Spannung linear zunehmen und daher mit zunehmender Drehzahl die Einpr¨agung des Stroms Iq erschweren.  1 und U  p aufAus Abb. 16.55 ist weiterhin zu entnehmen, daß zwischen U grund der Spannungsabf¨alle am Statorwiderstand R1 und an der Statorinduktivit¨at L1 mit zunehmender Belastung ein zunehmender Winkel ϑ festzustellen

16.6 Permanentmagneterregte Synchronmaschine (PM-Maschine)

859

 1, U  p ). Wenn nun zus¨atzlich Id < 0 gew¨ahlt wird, dann wird der ist (ϑ = ∠ U Winkel ϑ weiter zunehmen. Die Feldschw¨achung kann somit erreicht werden, indem der resultierende Stromblock — resultierend aus Id = 0 und Iq = 0 —  p voreilt bzw. indem Id mit zunehmender Feldschw¨achung der Polradspannung U feldschw¨achend vergr¨oßert wird. Allgemein gilt somit: Ψres = ΨP M + Ld · Id

(16.323)

¨ Soweit die prinzipiellen Uberlegungen, die sowohl f¨ ur die sinusf¨ormig als auch die rechteckf¨ormig gespeiste PM-Maschine gelten. Bei der Realisierung des Feldschw¨achbetriebs sind nun allerdings grunds¨atzliche Unterschiede zu beachten. Wie schon mehrfach betont, werden bei der sinusf¨ormig gespeisten Maschine immer in allen drei Phasen Str¨ome fließen; dies bedeutet, daß alle drei Phasen der PM-Maschine kontinuierlich mit dem Zwischenkreis verbunden sind. Bei der rechteckf¨ormig gespeisten Maschine sind dagegen im Ankerstellbereich jeweils nur zwei Phasen der PM-Maschine mit dem Zwischenkreis verbunden; die dritte Phase ist somit stromfrei. Bei hohen Drehzahlen der rechteckf¨ormig gespeisten PM-Maschine kann nun  p in der normalerweise nicht stromf¨ durch die hohe induzierte Spannung U uhrenden Phase doch ein Stromfluß u ber die Freilaufdioden des Umrichters erfolgen. ¨ Dies ist ein wesentlicher Unterschied zu der sinusf¨ormig gespeisten Maschine, der sich auf den erzielbaren Momentverlauf bei hohen Drehzahlen auswirkt. Ohne jetzt im Detail auf die Berechnung der erzielbaren Drehzahl, des erzielbaren Drehmoments bei gegebener Zwischenkreisspannung und Voreilwinkel ϑ sowie die zu tolerierenden Momentpulsationen und den zur Verf¨ ugung zu stellenden Statorstrom einzugeben, sollen einige typische Ergebnisse aufgezeigt werden.  p und Der Winkel κ ist dabei als Winkel zwischen der induzierten Spannung U der voreilenden Grundschwingung des Stroms definiert und gilt als Maß f¨ ur die Feldschw¨achung. Abbildung 16.56 zeigt einen direkten Vergleich zwischen beiden Betriebsarten bei unterschiedlichen Winkeln κ. Es ist zu erkennen, daß mit der sinusf¨ormig gespeisten PM-Maschine bei κ > 0 ein gr¨oßerer DrehmomentDrehzahlbereich abgedeckt wird, daß allerdings bei κ = 0 der DrehmomentDrehzahlbereich bei dieser Betriebsart wesentlich geringer ist als bei der rechteckf¨ormig gespeisten Maschine. Ebenso g¨ unstiger hinsichtlich des Drehzahlbereichs verh¨alt sich die sinusf¨ormig gespeiste Maschine bei den Drehmomentpulsationen (Abb. 16.57); dies gilt nicht bez¨ uglich des maximal erzeugbaren Moments. Dies gilt auch f¨ ur die sinusf¨ormig gespeiste Maschine, wenn das Verh¨altnis von erzeugtem Drehmoment zu notwendigem Strom betrachtet wird (Abb. 16.58). Umgekehrt kann festgestellt werden, daß bei κ = 0 sich die rechteckf¨ormig gespeiste PM-Maschine g¨ unstiger verh¨alt als die sinusf¨ormig gespeiste Maschine. Wenn der Statorwiderstand der Maschine erh¨oht wird, dann verbessert sich dagegen das mittlere Moment bei der sinusf¨ormig gespeisten Maschine auch bei κ = 0. Ansonsten verhalten sich die Maschinen bei beiden Betriebsarten hinsichtlich der ¨ Empfindlichkeit auf Anderungen anderer Maschinenparameter gleich.

16 Synchronmaschine

Mittleres Moment MMi [Nm] −→ Mittleres Moment

860

Läufer-Drehzahl U −→ L¨ aufer–Drehzahl NL [U/min]

Momentpulsationen [Nms] −→ Momentenpulsationen

Abb.16.56: Drehmoment f¨ ur eine rechteckf¨ ormig (120 ◦ conduction) bzw. sinusf¨ ormig (180 ◦ conduction) gespeiste Maschine abh¨ angig von der Drehzahl und dem Winkel κ

Läufer-Drehzahl U L¨ aufer–Drehzahl NL [U/min] −→

Abb. 16.57: Drehmomentpulsationen f¨ ur eine rechteckf¨ ormig (120 ◦ conduction) ◦ bzw. sinusf¨ ormig (180 conduction) gespeiste Maschine abh¨ angig von der Drehzahl und dem Winkel κ

861

Mitt. Moment/eff. [Nm/A] −→ eff. Phasenstrom Moment /Phasenstrom Mittl.

16.6 Permanentmagneterregte Synchronmaschine (PM-Maschine)

Läufer-Drehzahl U L¨aufer–Drehzahl NL [U/min] −→ Abb.16.58: Drehmoment/Strom-Verh¨ altnis f¨ ur eine rechteckf¨ ormig (120◦ conduction) bzw. sinusf¨ ormig (180◦ conduction) gespeiste Maschine abh¨ angig von der Drehzahl und dem Winkel κ

Die Feldschw¨achung durch den Strom Id kann nicht beliebig erfolgen, einerseits, wie bereits beschrieben, weil die Stator- und damit die Umrichterstr¨ome ansteigen. Andererseits kann aber auch das Magnetmaterial dauerhaft entmagnetisiert werden; dies ist absolut unerw¨ unscht. Grunds¨atzlich muß zwischen verschiedenen Magnetmaterialien unterschieden werden: Ferrite, Alnico- und Seltene-Erden-Magnete (Abb. 16.59). Diese Aussage und der Feldschw¨achbetrieb sollen im folgenden genauer besprochen werden. Gew¨ unscht ist f¨ ur PM-Maschinen ein m¨oglichst großes B zu H-Gebiet im 2. Quadranten der B(H)-Hysterese-Kennlinie des Magneten. Beispielsweise hat Alnico eine große Remanenzinduktion Br (H = 0), aber nur eine kleine Koerzitivfeldst¨arke B Hc (B = 0). Im Gegensatz dazu haben die Magnet-Werkstoffe Samarium-Cobalt (Sm-Co) oder das noch g¨ unstigere NeodymBor-Eisen (Nd-Fe-B) sowohl eine große Remanenzinduktion als auch eine große Koerzitivfeldst¨arke, und es besteht ein praktisch linearer Abfall von B u ¨ber H im ganzen 2. Quadranten. Außerdem muß noch das Temperaturverhalten der Magnetmaterialen beachtet werden (Abb. 16.60): Mit fallender Temperatur nimmt ΔBr /Br zu (Abb. 16.60a) und zugleich ¨andert sich die die Form der Hysteresekennlinie, wobei bei Ferriten |B Hc | deutlich abnimmt (Abb. 16.60b), bei Seltenen-ErdenMagneten dagegen nur minimal. Die Funktion der Geraden OP, die die Kennlinie des magnetischen Leitwerts (bei einem im magnetischen Kreis vorhandenen Luft-

862

16 Synchronmaschine

Abb. 16.59: Hysteresekennlinie von Permanentmagnet-Materialien

ZZ

6ΔBr /Br

Permeanz

Z Z

P

Z Z

Z

−40 −20

0

6B

◦  0 C +2      @  @  @ @  @  @  @  @  @

@ @s @

Z

Z

◦   0 C −4 

◦

C

-

Z 20 Z 40 Z



  

B Hc+20 B Hc−40

a) Remanenzflußdichte

-

0 H

b) Hysteresekennlinie

Abb. 16.60: Temperaturverhalten von Ferriten

spalt) darstellt, wird aus den Erl¨auterungen zu Abb. 16.61 verst¨andlich. Diese Unterschiede sollen im folgenden n¨aher diskutiert werden [74]. Wird der Magnet in einen magnetischen Kreis ohne Luftspalt eingebaut, dann bildet sich bei μF e → ∞ die Remanenzinduktion Br (Flußdichte) sowie die entsprechende magnetische Feldst¨arke H = 0 aus (Abb. 16.61). Wie bei allen Motoren sind aber Luftspalte vorhanden. Auf welchen Wert wird dann aufgrund des erh¨ohten magnetischen Widerstandes des Luftspaltes die resultierende magnetische Feldst¨arke absinken?

16.6 Permanentmagneterregte Synchronmaschine (PM-Maschine)

863

6B   Br  

AA P s BM   A   As   B   A      A A P     A A     A  As    A A  B   P A A     A A   =  A A ' μ0 B Hc    A A    0 H H d 

Abb. 16.61: Entmagnetisierung durch Gegenfeld

Wenn der magnetische Kreis einer PM-Maschine betrachtet wird, dann wollen wir annehmen, daß der magnetische Fluß Ψ im gesamten magnetischen Kreis gleich ist (keine Streufelder). Dies bedeutet, daß der vom Permanentmagneten erzeugte Fluß im Eisen der Maschine, im Magneten und im Luftspalt gleich ist: ΨP M = B0 · A0 = BM · AM = BF e · AF e

(16.324)

Im folgenden wird unendlich permeables Eisen (μF e → ∞) vorausgesetzt. Mit der Flußdichte B0 im Luftspalt (Luftspaltfl¨ache A0 ) und der Flußdichte BM im Magneten (Magnetfl¨ache AM ) erh¨alt man: BM =

A0 A0 · B0 = μ0 · · H0 AM AM

(16.325)

Der magnetische Kreis der Maschine besteht aus dem Rotor aus magnetischem Material und dem Stator aus Eisen. Die Feldlinien des Magneten schließen sich u ¨ber die beiden Luftspalte und das Eisen. Auf Grund der hohen Permeabilit¨at des Eisens gilt im Stator HF e = 0, womit am Eisen keine magnetische Spannung abf¨allt (VF e = HF e · lF e = 0). Die Summe der beiden Luftspalte im Kreis habe die L¨ange l0 = 2 lL , der Magnet die Magneth¨ohe lM . Am resultierenden Luftspalt im magnetischen Kreis wird daher die magnetische Spannung V0 = H0 · l0 und im Magnet VM = HM · lM abfallen. Sollte im Eisenkreis eine stromdurchflossene Wicklung vorhanden sein, dann gilt f¨ ur die die magnetische Durchflutung bzw. magnetische Spannung Θ  Θ = w·I = Hj · lj (16.326) j

wobei Hj die jeweilige magnetische Feldst¨arke und lj die zugeh¨orige mittlere Feldlinienl¨ange ist. Der Fluß Ψ (keine Streufelder) ergibt sich zu Θ j Rmj

Ψ = 

(16.327)

864

16 Synchronmaschine

mit dem jeweiligen magnetischen Widerstand Rmj Rmj =

lj (μ0 · μrj · Aj )

(16.328)

Bei idealem Leerlauf der Maschine (Id = Iq = 0) gilt:   0 = H0 · l0 + HM · lM  μF e → ∞ bzw. H M = − H0 ·

l0 lM

oder

H 0 = − HM ·

(16.329)

lM l0

(16.330)

Wird dieser Ausdruck in Gl. (16.325) eingesetzt, so folgt BM = − μ0 ·

A0 lM · · HM AM l0

(16.331)

d.h. es ergibt sich die Gleichung der sogenannten Scherungsgeraden OP, die umso flacher wird, je gr¨oßer der Luftspalt der Maschine (L¨ange lL ) bzw. die resultierende Luftspaltl¨ange l0 = 2 lL ist (Abb. 16.61). Der Arbeitspunkt P des Dauermagnetkreises berechnet sich nun durch Schneiden dieser Schergeraden mit der Magnetkennlinie. Im linearen Bereich ist die Magnetkennlinie durch die Beziehung Br = BM − μ0 HM bestimmt und wird als Entmagnetisierungsgerade bezeichnet (vgl. Abb. 16.61). Durch Einsetzen in Gl. (16.331) berechnet sich die Flußdichte im Magneten zu BM =

A0 · lM · Br AM · l0 + A0 · lM

(16.332)

d.h. die Flußdichte wird sich von Br auf BM verringern. Mit diesem Zusammenhang und Gl. (16.324) folgt f¨ ur den Fluß des Permanentmagneten ΨP M = BM · AM =

AM · A0 · lM · Br AM · l0 + A0 · lM

(16.333)

der also, in Relation zur resultierenden Luftspaltl¨ange l0 , mit zunehmender Magneth¨ohe lM steigt. Wenn nun, wie bereits oben diskutiert, ein Strom Id = 0 (z.B. Id < 0) in die Statorwicklungen eingepr¨agt wird, dann besteht eine zus¨atzlich magnetische Durchflutung Θd Θd = w · Id (16.334) Damit gilt entsprechend Gl. (16.326) Θd = H0 · l0 + HM · lM

(16.335)

16.6 Permanentmagneterregte Synchronmaschine (PM-Maschine)

865

und analog zum obigen Vorgehen

BM

lM A0 = μ0 · · · l0 AM



Θd − HM lM

= μ0 ·

lM A0 · · (Hd − HM ) (16.336) l0 AM

d.h. die urspr¨ ungliche Gerade OP wird parallel verschoben zur Geraden OP . Solange der Schnittpunkt zwischen der neuen Geraden OP und der B(H)-Kennlinie des PM-Materials im linearen Bereich verbleibt (keine Ver¨anderung der Weißschen Bezirke, ΔB/ΔH ≈ μ0 ), ist dieser Vorgang reversibel, d.h. bei Θd = 0 wird der Punkt P wieder erreicht. Wird der Knick allerdings u ¨berschritten, wie beim Punkt P in Abb. 16.61, so stellt sich danach bei Id = 0 (Θd = 0) der Punkt P entsprechend B ein. In diesem Fall ist somit eine bleibende unerw¨ unschte Entmagnetisierung aufgetreten. Dies gilt es zu vermeiden. Zur¨ uckkommend auf Abb. 16.59 bedeutet dies, daß ein Alnico-Magnet sehr leicht, ein Neodym-Bor-Eisen-Magnet aber sehr schwer unerw¨ unscht entmagnetisiert werden kann. Es empfiehlt sich, diese Frage mit dem Maschinenhersteller abzukl¨aren.

866

16 Synchronmaschine

16.7

PM-Maschine mit Reluktanzeinflu ¨ssen

In den vorherigen Kapiteln wurden die Gleichungen, die Signalflusspl¨ane sowie die Steuerung und Regelung der PM-Drehfeldmaschine behandelt mit der Annahme, dass die Maschine mit Id = 0 betrieben wird, symmetrisch im Rotor aufgebaut ist und damit keine Reluktanzerscheinungen aufweisen kann. Nun kann die PM-Drehfeldmaschine aber auch so aufgebaut sein, dass Ld = Lq ist und somit die Reluktanzeinfl¨ usse nicht zu vernachl¨assigen sind. Durch gezielte Auslegung auf einen hohen Reluktanzanteil kann eine hohe Leistungsdichte erzielt werden. Ein weiterer Vorteil ergibt sich dadurch, dass bei sonst gleichen Leistungsdaten f¨ ur die reluktanzbehaftete Maschine ein geringerer Permanentfluss als bei der symmetrischen permanenterregten Synchronmaschine erforderlich ist, wodurch die Wirbelstromverluste reduziert werden k¨onnen. Damit kann mit diesem Maschinentyp im Teillastbereich bei hohen Drehzahlen ein besserer Wirkungsgrad erzielt werden. F¨ ur Hybridfahrzeuge mit leistungsverzweigender Struktur, in denen eine relativ hohe elektrische Leistung installiert sein muss, um die Kraft¨ ubertragung sicherzustellen, in g¨angiger Fahrzyklen jedoch meist nur eine geringe Leistung abgerufen wird und die Drehzahl des Elektromotors nicht frei w¨ahlbar ist, ist dieser Maschinentyp daher besonders interessant [283]. Die Steigerung der Leistungsdichte macht den Einsatz grunds¨atzlich in allen mobilen Anwendungen mit Platz- und Gewichtsbeschr¨ankungen wie elektrische PKW-Antriebe interessant [256]. Eine elektrische Maschine mit nur ausgepr¨agter Rotorkonstruktion (Reluktanzeffekt) ist im Rotor wesentlich einfacher aufzubauen als ein Rotor einer Asynchronmaschine mit Kurzschlußk¨afig oder mit ausgef¨ uhrten Wicklungen und Schleifringen oder mit einer Erregerwicklung wie bei einer Synchronmaschine. Es verbleiben noch die Statorwicklungen. Eine symmetrisch aufgebaute Dreiphasenwicklung wie bei der Asynchronmaschine oder wie bei der Synchronmaschine erm¨oglicht einen umlaufenden Strombelag (Strom-Raumzeiger) und erlaubt damit, einen umlaufenden Fluss-Raumzeiger zu erzeugen. Ein derartig umlaufender Raumzeiger mit konstanter Amplitude erzeugt aber deutlich geringere Eisenverluste als ein Fluss, der auf- und abgebaut wird, wie bei einer geschalteten Reluktanzmaschine (Switched Reluctance Machine). Außerdem wird durch den Aufund Abbau der r¨aumlich fest orientierten Fl¨ usse bei der Switched-ReluctanceMaschine dynamisch eine Verz¨ogerung zu beobachten sein, die den realisierbaren Drehzahlbereich einschr¨ankt. Damit ergibt sich die M¨oglichkeit, eine Maschine mit Dreiphasenwicklung im Stator und einem Rotor in ausgepr¨agter Konstruktion als besonders einfache Synchronmaschine zu nutzen [253] ( synchrone“ Reluk” tanzmaschine). Die Ausnutzung dieser Maschine ist aber nur m¨aßig (siehe auch [36]). F¨ ur anspruchsvolle Anforderungen wird daher im Allgemeinen nicht auf den Permanentfluss verzichtet.

16.7 PM-Maschine mit Reluktanzein߬ ussen

867

Aus Kapitel 16.1 der PM-Drehfeldmaschine k¨onnen die in diesem Falle g¨ ultigen Gleichungen u ¨bertragen werden: dΨd = Ud − R1 · Id + ΩL · Ψq dt

(16.337)

dΨq = Uq − R1 · Iq − ΩL · Ψd dt

(16.338)

Ψd = ΨP M + Ld · Id

(16.339)

Ψq = Lq · Iq Ψd2 + Ψq2 = (Ld Id + ΨP M )2 + (Lq Iq )2 Ψ0 =

3 · Zp · ΨP M · Iq + (Ld − Lq ) · Id · Iq MM i = 2 Θ·

dΩm = MM i − MW dt

(16.340) (16.341) (16.342) (16.343)

ΩL = Zp · Ωm

(16.344)

Abbildung 16.62 zeigt analog zu Abb. 16.47 das Raumzeigerdiagramm f¨ ur eine reluktanzbehaftete PM-Maschine im station¨aren Zustand.

q-Achse Lq Iq ΩL U1

ΨP M ΩL

Ld Id ΩL

I1 R1

I1

Iq

Uh

Ψ0

Ld Id

β ϑ

Id

Lq Iq

ΨP M

d-Achse

Abb. 16.62: Vektordiagramm im d-q-Koordinatensystem f¨ ur die PM-Maschine mit Reluktanz im station¨ aren Zustand

Aus der Drehmomentgleichung (16.342) ist zu erkennen, dass der erste Term nur von Iq und der zweite Term aufgrund der Reluktanz sowie Id und Iq erzeugt wird.

868

16 Synchronmaschine

Wenn nun wie in den vorherigen Untersuchungen außerhalb des Feldschw¨achbetriebs Id = 0 vorausgesetzt werden kann, dann ist in der Momentgleichung der Reluktanzeinfluss nicht vorhanden. Entsprechend ist dann Ψd = ΨP M , und es verbleiben die R¨ uckwirkungen des drehmomentbildenden Stroms Iq bzw. von Ψq auf die Statorspannungen. Wenn nun aber dem Motor nicht die Str¨ome Id = 0 und Iq = 0, sondern die Spannungen eingepr¨agt werden, dann kann beispielsweise Ud = 0 und Uq = 0 gesetzt werden. In diesem Fall besteht im station¨aren Zustand zwischen den Str¨omen die Beziehung (Gl. (16.294) und (16.297) in Kap. 16.6.1): ΩL · Lq Id = · Iq (16.345) R1 Damit enth¨alt die Drehmomentgleichung

3 ΩL · Lq 2 (16.346) MM i = · Zp · ΨP M · Iq + (Ld − Lq ) · · Iq 2 R1 einen Term nur mit Iq und einen weiteren Term mit ΩL Iq2 , d.h. die Drehmomentgleichung ist nichtlinear in Iq . In gleicher Weise enth¨alt die Spannungsgleichung einen Term in ΩL und einen weiteren Term in ΩL2 Iq , d.h. diese Gleichung ist ebenso nichtlinear: Uq = R1 · Iq + ΩL · ΨP M + ΩL2 ·

Ld · Lq · Iq R1

(16.347)

Aus diesen Gleichungen ist zu erkennen, das bei der Vorgabe der Spannungen Ud = 0 und Uq = 0 trotzdem u ¨ ber die Verkopplungen der d- und q-Komponenten sich ein Strom Id = ΩL Iq Lq /R1 ausbildet, d.h. ein Strom Id , der von Iq gesteuert wird. Aufgrund dieses Effekts wird daher die Gleichung f¨ ur die Spannung Uq abh¨angig von ΩL und ΩL2 , die Drehmomentgleichung abh¨angig von Iq aber auch von ΩL Iq2 . Der Vorteil, das zus¨atzliche Reluktanzmoment zu nutzen, wird mit dem Nachteil der nichtlinearen Gleichungen und damit den variablen Polstellen des Systems erkauft. Daher kann ein linearer Reglerentwurf aufgrund der nichtlinearen Gleichungen f¨ ur das Moment und die Statorspannung nur in einem vorgegebenen Arbeitspunkt die gew¨ unschten Ergebnisse erbringen. ¨ Ziel der Uberlegungen muß deshalb sein, Regelungsstrukturen zu finden, die einerseits das Reluktanzmoment nutzen k¨onnen und andererseits stabile und vorgebbare dynamische Eigenschaften des geregelten Systems im ganzen Betriebsbereich erm¨oglichen. Beispielsweise k¨onnte f¨ ur die Spannungen folgendes Steuergesetz vorgegeben werden: Ud = Vd − ΩL · Lq · Iq + R1 · Id (16.348) Uq = Vq + ΩL · Ld · Id

(16.349)

16.7 PM-Maschine mit Reluktanzein߬ ussen

869

Durch dieses Steuergesetz f¨ ur die Spannungen, das eine Entkopplung der dund q-Komponenten bewirkt, ergibt sich f¨ ur die urspr¨ unglichen Gleichungen: dΨd = Vd dt

(16.350)

dΨq = Vq − R1 · Iq − ΩL · ΨP M dt

(16.351)

Ψd = ΨP M + Ld · Id

(16.352)

Ψq = Lq · Iq

(16.353)

¨ Da ΨP M konstant ist, kann einerseits u von Ψd und da¨ber Vd die Anderung ¨ mit auch die Anderung von Id eingestellt werden, ohne dass eine R¨ uckwirkung ¨ zu Ψq und Vq besteht. Andererseits kann u von Ψq und Iq ¨ ber Vq die Anderung eingestellt werden, ohne dass Ψd und damit Id beeinflusst wird. Damit kann das Drehmoment sowohl u ¨ ber Vq und Iq (erster Term der Drehmomentgleichung) als auch u ¨ber Vd und Id (zweiter Term, Reluktanzanteil) eingestellt werden. Die Spannungsvorgabe stellt eine einfache Methode den Reluktanzeffekt zumindest teilweise zu nutzen dar. Im Folgenden werden f¨ ur die verschiedenen Betriebsbereiche systematisch die optimalen Steuerbedingungen vorgestellt. Wie bereits in Kap. 13.4.4 und Kap. 13.8 f¨ ur die Asynchronmaschine sowie in Kap. 16.3.4 und Kap. 16.5.6 f¨ ur die Synchronmaschine und weiterhin in Kap. 16.6.5 f¨ ur permanentmagneterregte Synchronmaschinen dargestellt, besteht außer dem Ankerstellbereich auch noch der Feldschw¨achbereich bei Drehfeldmaschinen. Prinzipiell ist weiterhin aus [37, 38], Abb. 3.44 bekannt, dass es bei der Gleichstrom-Nebenschlußmaschine drei Betriebsbereiche gibt. Es besteht nun die Frage, ob dies auch auf Drehfeldmaschinen u ¨bertragbar ist. Auf die weiteren regelungstechnischen Fragestellungen (dynamische Betrachtungen) in Kap. 7.2 sei zus¨atzlich verwiesen. Wie schon angemerkt, ist die Feldschw¨achung bei permanentmagneterregten Synchronmaschinen eine Problematik des verwendeten Magnetmaterials. Wie aus Abb. 16.59 zu entnehmen ist, wird das Material Alnico relativ schnell demagnetisiert. Wenn stattdessen angenommen wird, dass das Material NeodymiumEisen verwendet wird, dann ist der Feldschw¨achbereich realisierbar. Eine andere M¨oglichkeit ist es, durch zus¨atzliche Barrieren bzw. eingebettete Magnete [284] oder besondere Magnetformen [315] Feldschw¨achung zu erm¨oglichen. Es fragt sich nun allerdings, wie der Bereich der Feldschw¨achung am vorteilhaftesten realisiert werden soll, wenn die folgenden Randbedingungen bestehen: erstens maximaler Strom I1,max der Maschine bzw. des Wechselrichters, zweitens maximale Spannung U1,max der Maschine bzw. des Wechselrichters und drittens das Ziel, ein maximal erreichbares Verh¨altnis von Statorstrom zu Drehmoment zu erreichen. Diese Fragestellung werden in [300] und dem sehr umfassenden Beitrag [299] ausf¨ uhrlich abgehandelt. Durch spezielle Realisierungen lassen sich vorteilhafte Effekte bez¨ uglich der online ben¨otigten Rechenzeit bzw. f¨ ur verschiedene

870

16 Synchronmaschine

Maschinenparametrierungen erreichen wie in diversen Beitr¨agen wie [309], [342] oder [244] dargestellt. Im Ankerstellbereich stellt die Spannungsbegrenzung im station¨aren Fall keine Einschr¨ankung dar, weshalb beim Betrieb rein auf optimale Ausnutzung bez¨ uglich des Stroms geachtet werden muss. Dies f¨ uhrt zu der Betriebsweise mit maximalem Moment pro Ampere (MMPA) oder bei Ber¨ ucksichtigung der Eisenverluste in der Maschine zu der Verlustminimierung (VM). Im Feldschw¨achbereich wird die Spannungsbegrenzung relevant und muss mit ber¨ ucksichtigt werden. Dies f¨ uhrt zum Betrieb mit maximalem Moment pro Volt (MMPV), wenn nur die Spannungsgrenze wirksam ist, beziehungsweise zum Feldschw¨achbetrieb unter Beachtung von Strom- und Spannungsgrenze. 16.7.1

Maximales Moment pro Ampere

Der dominante Verlustanteil entsteht — insbesondere im niedrigen Drehzahlbereich — in der Maschine in der Regel durch die Kupferverluste und steigt somit quadratisch mit dem Maschinenstrom. Auch die Schalt- und Durchlassverluste im Wechselrichter steigen mit dem Wechselrichterstrom. Daher wird angestrebt, das gew¨ unschte Moment im jeweiligen Betriebspunkt mit dem minimal m¨oglichen Strom zu erzeugen, beziehungsweise mit einem gegebenen Strom das maximal m¨ogliche Moment zu erzielen. Dies f¨ uhrt zur Formulierung eines Optimierungsproblems mit maximalem Drehmoment als Zielfunktion und der Nebenbedingung konstanten Strombetrags in Form einer Lagrange-Funktion [31]. Da das Moment maximiert werden soll (motorischer Betrieb), wird die Zielfunktion f (Id , Iq ) aus der negativen Drehmomentgleichung (16.342) zu 3 f (Id , Iq ) = − · Zp · (ΨP M · Iq + (Ld − Lq ) · Id · Iq ) 2

(16.354)

bestimmt, so dass ein Minimierungsproblem entsteht. Die Gleichungsnebenbedingung c(Id , Iq ) n¨amlich einen konstanten Statorstrombetrag Id2 + Iq2 (16.355) I1 = einzuhalten wird folgendermaßen formuliert: c(Id , Iq ) = I12 − Id2 − Iq2

(16.356)

Aus der Zielfunktion und der Nebenbedingung wird nun die Lagrange-Funktion L (entspricht G¨ utefunktional J) entwickelt. 3 L = − · Zp · (ΨP M · Iq + (Ld − Lq ) · Id · Iq ) 2   +λ · I12 − Id2 − Iq2

(16.357)

16.7 PM-Maschine mit Reluktanzein߬ ussen

871

Zur Bestimmung des Minimums der Lagrange-Gleichung wird diese nach den beiden Stromkomponenten Id und Iq sowie nach λ abgeleitet. ∂L 3 = − · Zp · (Ld − Lq ) · Iq − 2 · λ · Id ∂Id 2

(16.358)

∂L ∂Iq

(16.359)

3 = − · Zp · (ΨP M + (Ld − Lq ) · Id ) − 2 · λ · Iq 2

∂L (16.360) = I 2 − Id2 − Iq2 ∂λ Null setzen der Gleichungen (16.358) und (16.359) und Aufl¨osen nach λ ergibt λ = −

3 · Zp · (Ld − Lq ) · Iq 4 · Id

(16.361)

λ = −

3 · Zp · (ΨP M + (Ld − Lq ) · Id ) 4 · Iq

(16.362)

Wird Gleichung (16.360) zu Null gesetzt, so ergibt sich die einzuhaltende Gleichungsnebenbedingung. Durch Gleichsetzen der Gleichungen (16.361), (16.362) 3 · Zp · (Ld − Lq ) · Iq 3 · Zp · (ΨP M + (Ld − Lq ) · Id ) = 4 · Id 4 · Iq (Ld − Lq ) · Iq2 = (ΨP M + (Ld − Lq ) · Id ) · Id

(16.363) (16.364)

⇔ 0 = Id2 + Id

ΨP M − Iq2 Ld − Lq

(16.365)

und Aufl¨osen nach Id kann die optimale Stromaufteilung im Ankerstellbereich angegeben werden. ? ΨP M ΨP2 M ± Id 1,2 = − + Iq2 (16.366) 2(Ld − Lq ) 4(Ld − Lq )2 Ob es sich bei der gefundenen L¨osung um ein Maximum, ein Minimum oder einen Sattelpunkt handelt, kann mittels der notwendigen Bedingung 2. Ordnung also der zweiten Ableitung ermittelt werden. ∂2L = −2 · λ ∂ 2 Id ∂2L ∂Id ∂Iq

(16.367)

3 = − · Zp · (Ld − Lq ) 2

(16.368)

∂2L 3 = − · Zp · (Ld − Lq ) ∂Iq ∂Id 2

(16.369)

∂2L = −2 · λ ∂ 2 Iq

(16.370)

872

16 Synchronmaschine

Dazu wird die Definitheit der Matrix z.B. mittels des Sylvesterkriteriums untersucht. ⎡ ⎤ ∂2L ∂2L   −2 · λ − 32 · Zp · (Ld − Lq ) ∂Id ∂Iq ⎥ ⎢ ∂ 2 Id (16.371) = ⎣ ∂2L ∂2L ⎦ − 32 · Zp · (Ld − Lq ) −2 · λ ∂Iq ∂Id ∂ 2 Iq F¨ ur ein Minimum m¨ ussen alle Koeffizienten der Matrix positiv sein. Da Ld < Lq und Zp > 0 sind, ist diese Bedingung f¨ ur (16.368) und (16.369) bereits erf¨ ullt. Um positive Werte f¨ ur die beiden Gleichungen (16.367) und (16.370) zu erhalten muss λ negativ sein. Um dies zu untersuchen, werden die beiden Str¨ome Id 1,2 aus Gleichung (16.366) in (16.361) eingesetzt. 3 · Zp · (Ld − Lq ) · Iq 

λ1,2 = − ΨP2 M Ψ P M 2 2 −L − L ± + 4 · Iq (Ld − Lq )2 d q

(16.372)

Neben der oben genannten Bedingung Ld < Lq und Zp > 0 sowie der Bedingung ΨP M > 0 lassen sich f¨ ur den motorischen Betrieb (Iq > 0) die folgenden Zusammenh¨ange f¨ ur die beiden λ1,2 bestimmen. λ1 > 0

(16.373)

λ2 < 0

(16.374)

Demnach ist die zweite L¨osung die Gesuchte, bei der sich — unter Einhaltung der Nebenbedingung eines konstanten Strombetrags — ein maximales Moment pro Ampere (MMPA) ergibt. ? ΨP M ΨP2 M Id = − − + Iq2 (16.375) 2 (Ld − Lq ) 4 (Ld − Lq )2 Dieser Zusammenhang f¨ ur maximales Moment pro Ampere im Ankerstellbereich l¨asst sich auch als Phasenwinkel β des Stroms (Abb. 16.62) in Abh¨angigkeit des Strombetrags I1 angeben. ⎛ ⎞ ΨP M − ΨP2 M + 8 (Ld − Lq )2 I12 ⎠ β = arcsin ⎝ (16.376) 4 (Ld − Lq ) I1 ur eine beispielhafte Abbildung 16.63 zeigt die Trajektorie in der Id -Iq -Ebene f¨ Maschine. In Abb. 16.64 sind die Str¨ome und der Phasenwinkel u ¨ber dem Moment dargestellt. Mit zunehmender Momentenanforderung wird sowohl Iq als auch Id betragsm¨aßig erh¨oht. In Abb. 16.63 sind zus¨atzlich die Linien gleichen Strombetrags, die in der Id -Iq -Ebene konzentrische Kreise um den Ursprung darstellen, f¨ ur drei verschiedene Strombetr¨age abgebildet. Die Linien gleichen Moments liegen hyperbelf¨ormig in der Ebene. Die dargestellten Betriebspunkte P1 ,

16.7 PM-Maschine mit Reluktanzein߬ ussen

873

Iq [A] 30

Trajektorie maximalen Moments pro Ampere

zunehmendes Moment MM i

20 Hyperbeln mit konstantem Moment

P3 Kreise mit konstantem Strom I1

P2 30 Nm P1

10

−30

−20

8.6 A

14.8 A

10 Nm

19.7 A

20 Nm

−10

0

Id [A]

Abb. 16.63: Strom-Vektor-Trajektorie f¨ ur maximales Moment pro Ampere im Ankerstellbereich

P2 und P3 stellen die Betriebspunkte mit 10, 20 bzw. 30 Nm mit dem minimalen Strombetrag dar. Alle anderen Punkte gleichen Moments liegen außerhalb des entsprechenden Stromkreises, erfordern also einen h¨oheren Strom und sind aus dieser Betrachtung ung¨ unstiger. Die Linie maximalen Moments verl¨auft — wie zu erkennen ist — immer senkrecht zu den Linien konstanten Stroms. Abb. 16.65 zeigt den Vergleich einer reluktanzbehafteten Maschine, die einmal mit der hier diskutierten Methode des maximalen Moments pro Ampere angesteuert wird und einmal mit Id = 0, wie es bei einer Maschine ohne Reluktanzeigenschaften u ¨blich ist. Durch die Einp¨agung einer negativen Stromkomponente Id (Abb. 16.64a) kann bei gleichem Strombetrag ein h¨oheres Moment erreicht werden, als dies bei Ansteuerung mit Id = 0 der Fall w¨are. Dadurch kann bei einer durch die Auslegung des Wechselrichters und auch der Statorwicklungen der Maschine gegebenen Strombegrenzung ein h¨oheres maximales Moment erreicht werden. Weiterhin ist zu erkennen, dass durch die MMPA-Methode die Spannung an der Maschine kleiner bleibt. Dies wird durch die feldschw¨achende

874

16 Synchronmaschine

Id,q [A] 15 Iq

Strom Id , Iq [A]

10

5

0 5

10

15

20

25

30

MM i [Nm]

30

MM i [Nm]

Drehmoment MM i [N m]

−5

Id −10

(a) I1 [A], β [◦ ] Strom I1 [A], Phasenwinkel β [◦ ]

40 35 β 30 25 20 I1

15 10 5 0

5

10

15

20

25

Drehmoment MM i [N m]

(b) Abb. 16.64: Beispiel f¨ ur Regelung auf maximales Moment im Ankerstellbereich

Wirkung des negativen Stromes Id verursacht. Dadurch kann diese Steuerbedingung bis zu einer h¨oheren Drehzahl verwendet werden als die Id = 0-Regelung. Bedingt durch den geringeren Strom werden die Schalt- und Durchlassverluste im Wechselrichter und die Kupferverluste in der Maschine verringert, wodurch ein g¨ unstigerer Wirkungsgrad erreicht wird. Durch die feldschw¨achende Wirkung

16.7 PM-Maschine mit Reluktanzein߬ ussen

875

des negativen Stroms in d-Richtung k¨onnen die Eisenverluste auch reduziert werden. Im folgenden wird ein Verfahren beschrieben, in dem dies gezielt ausgenutzt wird.

I1 [A]

U1 [V ]

30

300 Id = 0 Regelung

250 200

20 U1

MMPA-Regelung 150

15 Id = 0 Regelung

10

100

Spannung U1 [V ]

Strom I1 [A]

25

MMPA-Regelung 5

50 I1

0 0

5

10

15

20

MM i [Nm]

Drehmoment MM i [N m]

(a) η [%] 100

Wirkungsgrad η [%]

90

MMPA-Regelung

80

Id = 0 Regelung

70

60

50 0

5

15 10 Drehmoment MM i [N m]

20

MM i [Nm]

(b) Abb. 16.65: Beispiel f¨ ur Regelung auf maximales Moment im Ankerstellbereich

876

16.7.2

16 Synchronmaschine

Verlustminimierung

Neben den Leitungsverlusten im Kupfer, die durch eine Minimierung des Stroms verringert werden k¨onnen, treten in einer Maschine auch Eisenverluste durch die ¨ Anderung des Flusses in den Blechpaketen auf. Will man einen maximalen Wirkungsgrad und damit auch die bestm¨ogliche Ausnutzung des Antriebssystems erreichen, m¨ ussen die verschiedenen Verlustmechanismen betrachtet werden. Unter Umst¨anden kann es zielf¨ uhrend sein, h¨ohere Kupferverluste in Kauf zu nehmen, wenn gleichzeitig die Eisenverluste reduziert werden k¨onnen. In Abb. 16.66 sind Ersatzschaltbilder f¨ ur die Verluste in d- und q-Richtung gezeigt. Die Kupferverluste entstehen in dem Wicklungswiderstand R1 . Die Eisenverluste k¨onnen mit dem frequenzabh¨angigen Ersatzwiderstand Rc modelliert werden. 1 1 1 = + Rc Rc0 Rc1 ΩL

(16.377)

Sie k¨onnen durch eine Reduzierung des Flusses verringert werden. Bei konstantem Moment ergibt sich der Strom Iq in Abh¨angigkeit von Id zu Iq =

2 MM i 3 Zp (ΨP M + (Ld − Lq ) Id )

(16.378)

d-Achse: Id

R1

Id0 Idc

Ud

Rc

Uhd

ΩL Lq Iq Ld

q-Achse: Iq

R1

Iq0 Iqc

Uq

Rc

Uhq

ΩL Ld Id

ΩL ΨP M

Lq

Abb. 16.66: Ersatzschaltbild Eisenverluste

16.7 PM-Maschine mit Reluktanzein߬ ussen

Abb. 16.67 zeigt die Ver¨anderung des verketteten Flusses Ψ0 = (Ld Id + ΨP M )2 + (Lq Iq )2

877

(16.379)

und des Strombetrags I1 =

Id2 + Iq2

(16.380)

mit dem Phasenwinkel β = arctan (−Id /Iq ) des Stroms bei einem gegebenen konstanten Moment von 20 Nm. Das Minimum des verketteten Flusses f¨allt nicht mit dem des Stroms zusammen. In Abb. 16.68 sind die Eisenverluste, PV,Eis. =

Uh2 Ψ 2 Ω2 = 0 L Rc Rc

(16.381)

die vom verketteten Fluss abh¨angen und die Kupfer- und sonstigen elektrischen Verluste, PV,El. = (I1 + IRc )2 R1

(16.382)

die in erster Linie vom Strom abh¨angen, sowie die Gesamtverluste und der Wirkungsgrad, f¨ ur die gleichen Betriebspunkte bei konstantem Moment und einer gegebenen Drehzahl von 3000 min−1 aufgetragen. Gegen¨ uber dem MMPAVerfahren ergibt sich als Betriebspunkt minimaler Verluste ein gr¨oßerer Phasenwinkel, d.h. eine st¨arkere Schw¨achung des Feldes. Abb. 16.69 zeigt die Strom-Vektor-Trajektorien f¨ ur die Verlustminimierung (VM). Zur Berechnung der Trajektorien kann wie in Kap. 16.7.1 eine LagrangeFunktion angesetzt werden, mit den Verlusten als zu minimierende Zielfunktion und der Momentengleichung als Gleichungsnebenbedingung. f (Id , Iq ) = PV,Eis. + PV,El. c(Id , Iq ) = MM i −

3 · Zp · (ΨP M · Iq + (Ld − Lq ) · Id · Iq ) 2

(16.383) (16.384)

L = PV,Eis. + PV,El. 3 +λ · MM i − · Zp · (ΨP M · Iq 2 +(Ld − Lq ) · Id · Iq ))

(16.385)

Da bei Nulldrehzahl noch keine Eisenverluste vorhanden sind, f¨allt die Trajektorie dort mit der MMPA-Trajektorie zusammen. Mit zunehmender Drehzahl gewinnen die Eisenverluste gegen¨ uber den Kupferverlusten immer mehr an Bedeutung, weshalb eine zunehmende Feldschw¨achung vorgenommen wird, um die Eisenverluste zu reduzieren. F¨ ur den theoretischen Fall einer gegen unendlich

16 Synchronmaschine

I1 [A]

Ψ0 [V s] 1.25

50

Strombetrag I1 [A]

40

Ψ0

1.00

(c) sinkender verketteter Fluss

0.75

30

20

0.50

I1

10

0.25 (b) Minimum

(a) Minimum 0

verketteter Fluss Ψ0 [V s]

878

15

30

45

60

β[◦ ]

75

d-q-Phasenwinkel des Stroms β[◦ ]

Abb. 16.67: Strombetrag und verketteter Fluss als Funktion des Phasenwinkels β

η[%]

PV [A] (d) Maximum

3.5 3.0

80 2.5 60

2.0 (d) Minimum

1.5

40

PV,Ges.

1.0

Wirkungsgrad η[%]

Verlustleistung PV [kW ]

100

η

20 0.5

PV,Eis. PV,El.

0

15

30

45

60

75

β[◦ ]

d-q-Phasenwinkel des Stroms β[◦ ]

Abb.16.68: Elektrische-, Eisen und Gesamtverluste sowie den Wirkungsgrad als Funktion des Phasenwinkels β

gehenden Drehzahl spielen die Kupferverluste u ¨berhaupt keine Rolle mehr, und es wird ausschließlich auf minimale Eisenverluste optimiert. Die sich ergebende Betriebstrajektorie f¨allt mit der im Folgenden hergeleiteten Trajektorie f¨ ur maximales Moment pro Volt (MMPV) zusammen. Das Moment kann bei Anwendung dieser Steuerstrategie durch Verschiebung des Betriebspunktes auf der jeweils g¨ ultigen Trajektorie variiert werden. Die Betriebspunkte P1 , P2 und P3

16.7 PM-Maschine mit Reluktanzein߬ ussen

Trajektorien f¨ ur Verlustminimierung

Trajektorie maximalen Moments pro Ampere

879

Iq [A] 30

30 Nm 0 min−1

1500 min−1

3000 min−1

20 Nm

6000 min−1 N →∞

P4

P3

Trajektorie maximalen Moments pro Volt

P7

−40

−30

P5 P2

P6

20

10 Nm

10

P1

−20

−10

0

Id [A]

Abb. 16.69: Strom-Vektor-Trajektorien f¨ ur Verlustminimierung

zeigen beispielsweise die g¨ ultigen Stromvektoren f¨ ur 10, 20 und 30 Nm bei einer Drehzahl von 3000 min−1 , w¨ahrend die Punkte P4 bis P7 die Betriebspunkte auf der Hyperbel konstanten Moments bei 20 Nm und verschiedenen Drehzahlen festlegen. Einschr¨ankend ist festzustellen, dass ein Teil der h¨oheren Stromverluste nicht in der Maschine, sondern im Wechselrichter auftritt, dies muss bei der Auslegung entsprechend beachtet werden. 16.7.3

Maximales Moment pro Volt

Neben dem Wunsch nach m¨oglichst geringen Verlusten und der Begrenzung des Stroms im Wechselrichter und bei der Wicklungsauslegung besteht auch immer eine Spannungsgrenze. Je nach eingesetztem Pulsverfahren des Wechselrichters kann der Betrag des an die Maschine angelegten Spannungsvektors nur einen bestimmten Anteil der Wechselrichterzwischenkreisspannung Udc erreichen. Durch das Steuerverfahren muss sichergestellt werden, dass keine h¨oheren Spannungen notwendig werden. Bei hohen Drehzahlen ist die Spannungsbegrenzung die relevante Restriktion in der Ansteuerung. Um mit einer gegebenen maximalen Wechselrichterspannung das Antriebssystem bez¨ uglich des Moments bestm¨oglich auszunutzen, wird das Verfahren des maximalen Moments pro Volt (MMPV) eingesetzt. F¨ ur den Feldaufbau steht jedoch nicht die gesamte Zwischenkreisspannung zur Verf¨ ugung. Zum einen reduziert sich die Spannung je nach eingesetztem Pulsverfahren, bei einer Sinus- Dreieckmodulation beispielsweise wird die maxi-

880

16 Synchronmaschine

mal m¨ogliche Strangspannung auf 1 U1,max = √ Udc 3

(16.386)

begrenzt (Abb. 15.49). Zum anderen ist der ohmsche Spannungsabfall an den Statorwicklungen zu ber¨ ucksichtigen. UF A = U1,max − R1 I1,max

(16.387)

Die f¨ ur den Feldaufbau zur Verf¨ ugung stehende Spannung UF A wird je nach gew¨ unschter Dynamik weiter reduziert, um eine Stellreserve zum Einregeln von Strom¨anderungen vorzuhalten. Ausgehend von der zur Verf¨ ugung stehenden Spannung l¨asst sich die Steuerbedingung mit Hilfe einer Lagrangefunktion (siehe Kap. 16.7.1) mit der negativen Momentengleichung als zu minimierende Zielfunktion und der gegebenen Spannungsbegrenzung als Gleichungsnebenbedingung herleiten. 3 f (Id , Iq ) = − · Zp · (ΨP M · Iq + (Ld − Lq ) · Id · Iq ) 2 c(Id , Iq ) =

UF2 A − (ΨP M + Ld Id )2 − L2q Iq2 ΩL2

(16.388) (16.389)

3 L = − · Zp · (ΨP M · Iq + (Ld − Lq ) · Id · Iq ) 2

2 UF A 2 2 2 +λ · − (Ψ + L I ) − L I PM d d q q ΩL2

(16.390) (16.391)

Damit ergibt sich die MMPV-Steuerbedingung: ΨP M + ΔΨd Ld  UF2 A − ΔΨd2 ΩL2 = − Lq

Id = −

(16.392)

Iq

(16.393)

mit  Lq ΨP M − ΔΨd =

(Lq ΨP M )2 + 8 (Ld − Lq )2 4 (Ld − Lq )

UF2 A ΩL2

(16.394)

Die Betriebstrajektorie in der Stromebene f¨ ur maximales Moment pro Volt ist in Abb. 16.70 gezeigt. Die Hauptfeldspannung Uh h¨angt vom verketteten Fluss Ψ0 und der Drehzahl ΩL ab, daher sind die Ellipsen konstanten verketteten Flusses eingezeichnet. Deren Mittelpunkt liegt im Betriebspunkt M(−ΨP M /Ld , 0), dies

16.7 PM-Maschine mit Reluktanzein߬ ussen

881

Iq [A] Hyperbeln mit konstantem Moment Trajektorie maximalen Moments pro Volt

30 Nm

30

20 Nm

20

10 Nm

10

sinkender verketteter Fluss Ψ0 P3

0.56 Vs 0.40 Vs 0.21 Vs

P2 P1 −40

−30

Ellipsen mit konstantem, verkettetem Fluss

−20

−10

0

Id [A]

M (−ΨP M /Ld , 0)

Abb. 16.70: Strom-Vektor-Trajektorie f¨ ur maximales Moment pro Volt

entspricht einem angelegten Kurzschluss, da hier die Spannung Null wird. In diesem Betriebspunkt ist das Feld in d-Richtung genau zu Null geschw¨acht, und es tritt kein Feld in q-Richtung auf. Die Betriebspunkte nach der MMPV-Bedingung liegen auf den Ber¨ uhrpunkten der Ellipsen konstanten verketteten Flusses mit den Linien gleichen Moments. Die Punkte P1 , P2 und P3 sind diejenigen Punkte mit 10, 20 bzw. 30 Nm Moment, bei denen der geringst m¨ogliche verkettete Fluss auftritt, d.h. die bei wirksamer Spannungsbegrenzung bis zur h¨ochsten Drehzahl hin eingestellt werden k¨onnen. 16.7.4

Feldschw¨ achung unter Strom- und Spannungsbegrenzung

Die zuvor vorgestellten Verfahren sind geeignet, wenn nur einer der in einem elektrischen Antriebssystem immer vorhandenen Begrenzungen Statorstrom und Statorspannung relevant ist, d.h. wenn unter Beachtung einer der Bedingungen die andere automatisch mit erf¨ ullt ist. Normalerweise ist im oberen Drehzahlbereich die Spannungsgrenze dominierend, und es gibt keine Betriebspunkte zul¨assiger Spannung, bei denen der maximale Strom I1 u ¨berschritten wird. Im unteren Drehzahlbereich ist die Hauptfeldspannung Uh noch gering, so dass bei zul¨assigen Str¨omen keine unzul¨assigen Spannungen auftreten k¨onnen. In einem ¨ Ubergangsbereich ist es jedoch m¨oglich, dass beide Begrenzungen gleichzeitig aktiv sind.

882

16 Synchronmaschine

Aus den Gleichungen (16.341) f¨ ur die Fluss- bzw. Spannungsbegrenzungen Ψ02 = (Ld Id + ΨP M )2 + (Lq Iq )2

2 UF A = (Ld Id + ΨP M )2 + (Lq Iq )2 ΩL

(16.395) (16.396)

l¨asst sich durch Aufl¨osen der Gleichung (16.396) nach Id die Stromaufteilung f¨ ur diesen Fall ermitteln. ?

2 UF A ΨP M 1 Id = − ± − (Lq Iq )2 (16.397) Ld Ld ΩL Wie in Abb. 16.71 gezeigt bewegt sich der Stromvektor (Id , Iq ) dabei mit einer Erh¨ohung des Moments l¨angs den Spannungsbegrenzungsellipsen, die aus den Ellipsen konstanten verketteten Flusses, der Drehzahl und der maximal f¨ ur den Feldaufbau zur Verf¨ ugung stehenden Spannung UF A abgeleitet werden k¨onnen. Der Strombetrag steigt dabei vom Punkt P1 u ¨ ber P2 nach P3 an und kann nicht mehr auf dem Minimalbetrag gem¨aß der MMPA-Trajektorie verbleiben.

Iq [A] 30 Nm

Trajektorie maximalen Moments pro Volt

20 Nm

30

20

zunehmendes Moment 10 Nm

−40

10

P2

P3

2600 min−1 3600 min−1 6700 min−1

P1

−30

−20

−10

SpannungsbegrenzungsEllipsen UF A = 300V

0

Id [A]

M (−ΨP M /Ld , 0)

Abb. 16.71: Strom-Vektor-Trajektorie f¨ ur den Feldschw¨ achbereich

16.7.5

Zusammenfassung der Steuerverfahren

In den Abschnitten zuvor wurde gezeigt, dass je nach Betriebsbereich verschiedene Steuerbedingungen zur Anwendung kommen. Im unteren Drehzahlbereich

16.7 PM-Maschine mit Reluktanzein߬ ussen

883

ist in der Regel die Strombegrenzung des Wechselrichters der limitierende Faktor bzw. im Teillastbereich kann der Strom nach der MMPA-Steuerbedingung minimiert werden. Mit steigender Drehzahl steigt die Hauptfeldspannung Uh und die Begrenzung der Spannung kommt als Nebenbedingung hinzu. Je nach Auslegung des Antriebssystems kann sich dem noch ein dritter Bereich anschließen, in dem der maximale Strom aufgrund der Spannungsgrenze nicht mehr eingepr¨agt werden kann. Abb. 16.72 zeigt die Begrenzungen des Stromzeigers f¨ ur zwei verschiedene Maximalstr¨ome Ibegr,1 und Ibegr,2 bei verschiedenen Drehzahlen f¨ ur eine beispielhafte Maschine. Grunds¨atzlich sind nur Betriebspunkte zul¨assig in denen sich der Stromkreis mit der Spannungsellipse u ¨ berschneidet (grau hinterlegter Bereich in Abb. 16.72). Die Strombegrenzung kann dabei fest sein (z.B. ¨ I1,max = Ibegr,1 oder I1,max = Ibegr,2 ) oder bei der Zulassung kurzzeitiger Uberlastung variabel sein. Die Spannungsbegrenzungsellipse wird mit zunehmender Drehzahl und — sofern eine variable Zwischenkreisspannung zugelassen wird — mit sinkender Spannung immer kleiner.

Iq [A] SpannungsbegrenzungsEllipsen

Ω1 < Ω2 < Ω3

40

Kreise mit konstantem Strom

30 Ω = Ω1 steigende Drehzahl

Ω2

I1,max = Ibegr,2

10

Ω3 −40

20

−30

−20

−10

0

I1,max = Ibegr,1

10

20

30

40

Id [A]

−10  PM ,0 M − ΨL 

d

−20 −30 −40

Abb. 16.72: Strombegrenzungskreise Id − Iq −Koordinatensystem

und

Spannungsbegrenzungsellipsen

im

884

16 Synchronmaschine

F¨ ur die Begrenzungen des Wechselrichterstroms I1 und der Wechselrichterspannung, bzw. deren Anteil f¨ ur den Feldaufbau UF A , werden die folgenden Grenzen angegeben: I1 = Id2 + Iq2 ≤ I1,max (16.398) U1 =

Ud2 + Uq2 ≤ UF A

Uh = ΩL

(Ld Id + ΨP M )2 + (Lq Iq )2 ≤ UF A

(16.399) (16.400)

F¨ ur die verschiedenen Bereiche gelten dann folgende Steuerbedingungen:

Region I: ? Id,I Iq,I

ΨP M = − − 4 (Ld − Lq ) 2 2 = I1,max − Id,I

2 I1,max ΨP2 M 2 + 2 16 (Ld − Lq )

(16.401) (16.402)

Region II: ? −ΨP M Ld − Id,II = Iq,II =

  U2 2 ΨP2 M L2q − L2d − L2q L2q I1,max − F2A ΩL L2d − L2q

2 2 I1,max − Id,II

(16.403) (16.404)

Region III: Ψa + ΔΨ Ld   UF A 2 − (ΔΨ )2 ΩL = Lq

Id,III = −

(16.405)

Iq,III

(16.406)

 Lq ΨP M − mit

ΔΨ =

 2 (Lq ΨP M )2 + 8 (Ld − Lq )2 UΩF A L 4 (Ld − Lq)

(16.407)

In der Stromebene ergeben sich die in Abb. 16.73 dargestellten Verl¨aufe. Die Gleichungen (16.401) bis (16.407) geben die Betriebsgrenzen bei den gegebenen Spannungs- und Stromgrenzen an. Im Teillastbetrieb ist es zweckm¨aßig, die

16.7 PM-Maschine mit Reluktanzein߬ ussen Trajektorie maximalen Moments pro Ampere

SpannungsbegrenzungsEllipsen

Iq [A] Kreis mit maximalem Strom

40 30 A

20

Ω = Ωb Trajektorie maximalen Moments pro Volt

B Ω = Ωc −40

−30

10 C

−20

−10

0

10

20

30

40

Id [A]

40

Id [A]

−10 −20

M (−ΨP M /Ld , 0)

−30 −40

(a)

SpannungsbegrenzungsEllipsen

Trajektorie maximalen Moments pro Ampere

Iq [A]

A Ω = Ωb

30

Region II B D Trajektorie maximalen Moments pro Volt

Kreis mit maximalem Strom

40

Region I Ω = Ωd

20 10

Region III −40

−30

−20

−10

M (−ΨP M /Ld , 0)

0

10

20

30

−10 −20 −30 −40

(b) Abb. 16.73: Zusammenfassung der Steuerbedingungen

885

886

16 Synchronmaschine

∗ Stromaufteilung in Abh¨angigkeit des geforderten Sollmoments MM ur i sowohl f¨ den Ankerstellbereich als auch f¨ ur den Feldschw¨achbereich anzugeben. Durch Einsetzen von Gleichung (16.375) in die Momentengleichung (16.342) ∗ — wobei MM i nun zur Sollgr¨oße MM asst sich die Momentengleichung i wird — l¨ bei einer Stromaufteilung nach MMPA in Abh¨angigkeit von Iq darstellen: 

3 1 ∗ 2 2I 2 I Z −Ψ Ψ (16.408) MM = I + − Ψ + 4(L − L ) p P M q P M d q q q i PM 2 2

Au߬osen und faktorisieren nach Iq ergibt folgendes Polynom: Iq4 +

∗ ∗ 2 2MM (2MM i ΨP M i) Iq − = 0 2 3(Ld − Lq ) Zp 9(Ld − Lq )2 Zp2

(16.409)

Durch Berechnung des Stroms in q-Richtung und Einsetzen in Gleichung (16.375) ? ΨP2 M ΨP M − + Iq2 (16.410) Id = − 2 (Ld − Lq ) 4 (Ld − Lq )2 k¨onnen die beiden Stromkomponenten Id und Iq direkt aus der Sollmomentanfor∗ derung MM ur den Feldschw¨achbereich kann durch gleiches i berechnet werden. F¨ Vorgehen ebenfalls die optimale Stromaufteilung berechnet werden. Dazu wird Gleichung (16.397) in die Momentengleichung (16.342) eingesetzt. ?     UF2 A 3 (Ld − Lq ) ∗ 2 2 MM i = Zp ΨP M Iq + −ΨP M ± − Lq Iq Iq (16.411) 2 Ld ΩL2 Durch Aufl¨osen und Faktorisieren ergibt sich das folgende Polynom 4. Grades Iq4 + p2 Iq2 + p1 Iq + p0 = 0

(16.412)

mit den Polynomkoeffizienten ΨP2 M L2q − (Ld − Lq )2 p2 = p1 =

L2q (Ld − Lq )2 ∗ −4MM i Ld Lq ΨP M 3L2q Zp (Ld − Lq )2

p0 = −

∗ 2 (2MM i Ld ) 9L2q Zp2 (Ld − Lq )2

UF2 A ΩL2

(16.413) (16.414) (16.415)

Mit dem berechneten Strom in q-Richtung l¨asst sich mit Gleichung (16.397) ?

2 UF A ΨP M 1 ± − (Lq Iq )2 (16.416) Id = − Ld Ld ΩL

16.7 PM-Maschine mit Reluktanzein߬ ussen

887

der Strom in d-Richtung bestimmen. Neben der Abh¨angigkeit vom Sollmoment ∗ MM atzlich von der Drehzahl ΩL und der Spani ist die Stromaufteilung nun zus¨ nung UF A abh¨angig. Alternativ kann die Aufteilung der Stromkomponenten sowohl f¨ ur den Ankerstellbereich (Gleichungen (16.409), (16.410)) als auch f¨ ur den Feldschw¨achbereich (Gleichungen (16.409), (16.410)) auch als Strombetrag mit zugeh¨origem Phasenwinkel ∗ I1 = f (MM i , Ωm )

(16.417)

∗ f (MM i , Ωm )

(16.418)

β =

angegeben werden, diese sind aber nicht so einfach aufzul¨osen wie die oben angegebenen Gleichungen. F¨ ur eine Implementierung mit Strombetrag und Phasenwinkel in einem Regelsystem empfiehlt sich deshalb die iterative Berechnung der Zusammenh¨ange. Die zur Winkelgeschwindigkeit Ωb in Abb. 16.73 geh¨orende Drehzahl ist dabei diejenige, ab der die Spannungsgrenze relevant wird, d.h. ab der in den Feldschw¨achbereich u ¨bergegangen wird. Die Winkelgeschwindigkeit Ωb l¨asst sich durch Berechnen der Str¨ome in d- und q-Richtung im Schnittpunkt der MMPA-Trajektorie (16.375) mit dem Stromkreis (16.355) und Einsetzen in die Flussgleichungen (16.339), (16.340) und (16.341) bestimmen. Die Region III tritt nur bei Auslegungen des Antriebssystems auf, bei denen der Mittelpunkt der Spannungsellipsen M innerhalb des Kreises des maximalen Strombetrags liegt. F¨ ur Auslegungen bei denen dies nicht der Fall ist, gibt es aus elektrischer Sicht eine Drehzahlbegrenzung (Ωc ). Die Winkelgeschwindigkeit Ωc ergibt sich in diesem Fall im Schnittpunkt der Spannungsellipsen mit der d-Achse bei Iq = 0 und Id = −I1,max und l¨asst sich durch die Flussgleichungen (16.339), (16.340) und (16.341) ermitteln. Liegt der Punkt M innerhalb des Kreises mit maximalem Strom, so kann aus elektrischer Sicht theoretisch eine unendlich hohe Drehzahl erreicht werden. Ab der Winkelgeschwindigkeit Ωd kann dabei nicht mehr der volle Strom eingepr¨agt werden, sondern die Steuertrajektorie bewegt sich l¨angs der MMPV-Bedingung. F¨ ur diesen Fall kann die Winkelgeschwindigkeit Ωd durch Schneiden der MMPV-Trajektorie (16.392) und (16.394) mit dem Stromkreis (16.355) und Ermitteln der Str¨ome in diesem Punkt sowie durch die Flussgleichungen (16.339) bis (16.341) berechnet werden. Eine weitere markante Drehzahl ergibt sich beim Schnittpunkt der Spannungsellipse mit dem Ursprung. Ab der zur Winkelgeschwindigkeit Ωe geh¨origen Drehzahl ist in jedem Falle Feldschw¨achung erforderlich. Ωe =

UF A ΨP M

(16.419)

Abb. 16.74 zeigt ein Block-Diagramm zur Auswahl der richtigen Steuerbedingung. Der Sollstrom in q-Richtung wird aus dem Geschwindigkeitsfehler ∗ (Ωm − Ωm ) mittels des Reglers GR (s) mit Anti-Wind-Up und einer Begrenzung bestimmt. Die Strombegrenzung Iq,begr wird je nach Betriebspunkt mittels der Gleichungen (16.402) oder (16.404) bestimmt, um den Strom I1 innerhalb

888

16 Synchronmaschine

Begrenzung

Anti-Wind-Up ∗ Ωm

Iq,begr

+ −

Ωm

Iq∗

Iq∗

GR (s) −Iq,begr

Id∗

Iq,begr Iq,I Iq,II

Iq∗

Ωm

Start

Ωm ≤ Ωe

Ja

∗ = Gl.(16.375) ← I ∗ Id,I q

Nein

Ωm ≤ Ωb

Ja

Nein ∗ Uh = Gl.(16.400) ← ΩL , Iq∗ , Id,I

∗ Id,II = Gl.(16.397) ← ΩL , Iq∗

Nein

Uh ≤ UF A Ja

Id∗

=

∗ Id,II

Feldschw¨ ach-Regelung

Id∗

∗ = Id,I

MMPA-Regelung

Ablaufdiagramm: Strom-Vorgabe

Abb. 16.74: Block-Diagramm Strom-Sollwerterzeugung

des Strombegrenzungskreises zu halten. Der Sollwert des Stroms in d-Richtung wird im MMPA-Bereich mit Gleichung (16.375) und im Feldschw¨achbereich mit der Gleichung (16.397) bestimmt. Im Grundstellbereich unterhalb der Winkelgeschwindigkeit Ωb kann dabei immer die MMPA-Steuerbedingung angewandt werden. Oberhalb der Geschwindigkeit Ωd kommt die Steuerbedingung des Feldschw¨achbereichs zum Einsatz. Im Drehzahlbereich zwischen diesen beiden Grenzen wird anhand der Hauptfeldspannung Uh , die sich bei Anwendung der MMPABedingung ergeben w¨ urde, entschieden, ob sie angewandt werden darf, oder ob die Feldschw¨achung verwendet werden muss. Die Abbildungen 16.75 und 16.76 zeigen beispielhafte Strom- und Momen-

16.7 PM-Maschine mit Reluktanzein߬ ussen

35

Drehmoment MM i [N m]

30

Region I

Region II

maximales Moment pro Ampere

Feldschw¨ achregelung

P [kW ]

6.0 P

25

5.0

20

4.0

15

3.0

10

Leistung P [kW ]

MM i [Nm]

889

2.0 MM i 1.0

5

1500

0

N [min−1 ]

6000

4500

3000

Drehzahl N [min−1 ]

(a)

25

β [◦ ] Region I

Region II

maximales Moment pro Ampere

Feldschw¨ achregelung

Strom I1 [A]

20

I1 80

15

β 60

10 40 5

0

20

1500

3000 Drehzahl N

4500

6000

Strom-Phasenwinkel β [◦ ]

I1 [A]

N [min−1 ]

[min−1 ]

(b) Abb.16.75: Verl¨aufe bei Auslegung des Kurzschlussstroms außerhalb des Strombegrenzungskreises

16 Synchronmaschine

Region I

MM i [Nm]

P [kW ]

Region II

Region III

Drehmoment MM i [N m]

90

9.0 7.5

75 P 60

6.0

45

4.5

30

3.0

15

Leistung P [kW ]

890

1.5 MM i 1500

0

N [min−1 ]

6000

4500

3000

Drehzahl N [min−1 ]

(a)

I1 [A]

β [◦ ]

Region I Region II

Region III

40

Strom I1 [A]

30

I1

25 20

80

β

15

60

10

40

5

20

0

1500

3000 Drehzahl N

4500

6000

Strom-Phasenwinkel β [◦ ]

35

N [min−1 ]

[min−1 ]

(b) Abb.16.76: Verl¨ aufe bei Auslegung des Kurzschlussstroms innerhalb des Strombegrenzungskreises

16.7 PM-Maschine mit Reluktanzein߬ ussen

891

tenverl¨aufe u ur Auslegungen des Kurzschlussstroms innerhalb ¨ber der Drehzahl f¨ bzw. außerhalb des Strombegrenzungskreises. In Abb 16.76 kann ab dem Abl¨osepunkt von dem Stromkreis bei der Geschwindigkeit Ωd nicht mehr der volle Strom eingepr¨agt werden, weshalb die Leistung hier mit steigender Drehzahl wieder absinkt. 16.7.6

Einbindung in ein Antriebssystem

In den Abschnitten zuvor wurden Steuerbedingungen f¨ ur verschiedene Betriebsbereiche hergeleitet. Die Einbindung in eine Antriebsregelung geschieht wie in Abb. 16.77 gezeigt. In Abh¨angigkeit von der Drehzahl Ωm und dem Sollmo-

∗ MM i

StromVorgabe (Abb. 16.80)

Id∗

StromRegelung & PWM-Vorgabe (Abb. 16.78)

Iq∗

GateSignale

6

SpannungsVersorgung mit Wechselrichter

ΩL

ab c I1a

Zp

I1c Ωm = Ωm

dϕm dt

ϕm

P PositionsSensor

PMSM

L Last

Abb. 16.77: Block-Diagramm eines Regelsystems f¨ ur eine PMSM-Maschine ∗ ment MM i , das bei einem geschwindigkeits- oder positionsgeregelten System die Stellgr¨oße von u ¨berlagerten Regelkreisen darstellt, oder bei Momentensteuerung direkt vorgegeben wird, werden anhand der Steuerbedingungen (Abb. 16.80) die Sollstr¨ome Id∗ und Iq∗ bestimmt. Diese werden dann mit einer indirekten Stromre¨ gelung an der Maschine eingestellt. Ublicherweise wird dabei eine feldorientierte Regelung mit Entkoppelung (Abbildungen 16.78 und 16.79) verwendet. Abb. 16.80 zeigt m¨ogliche Realisierungen der Stromvorgabe. In Bild 16.80a sind f¨ ur die Str¨ome in d- und q-Richtung funktionale Abh¨angigkeiten vom Moment und der Drehzahl (Gleichungen (16.408) bis (16.416)) hinterlegt. Das Verfahren in Bild 16.80b ist ¨ahnlich, nur werden hier Strombetrag und Phasenwinkel (Gl. (16.376)) berechnet und anschließend in Stromkomponenten umgerechnet. F¨ ur die Realisierung in Bild 16.80c braucht die Momentenabh¨angigkeit nicht aufgel¨ost zu werden. Hier wird lediglich der funktionale Zusammenhang zwischen Id und Iq (Gleichungen (16.375) und (16.397)) verwendet. Das Moment wird aus den Str¨omen berechnet und u ¨ ber einen Regelkreis wird der q-Strom angepasst. Selbstverst¨andlich l¨asst sich auch diese Variante sowohl in Polar- als auch in

892

16 Synchronmaschine

Id∗

Ud∗

StromRegler mit Vorsteuerung (Abb. 16.79)

Iq∗

dq

Uq∗

Id Iq

3

dq

Ua∗ Ub∗ Uc∗

GateSignale

PWMErzeugung

6

I1a

I1a

I1c

I1c

ac

ϕm

ΩL

Abb. 16.78: Block-Diagramm Strom-Regelung und PWM-Signalerzeugung Id∗ Iq∗

+

GRd (s) −

+

GRq (s)

∗ Ud1 ∗ Uq1

−

Ud∗

+ + +

Uq∗

+

Uhd = −ΩL Lq Iq Uhq = ΩL (ΨP M + Ld Id )

∗ Uhd ∗ Uhq

Entkopplung Id

Iq ΩL

Abb. 16.79: Block-Diagramm Strom-Regler mit Entkopplung

kartesischen Koordinaten umsetzen. Die Realisierung in Bild 16.80d ist der in Bild 16.80c ¨ahnlich, nur wird hier direkt ohne unterlagerten Momentenregelkreis auf die Geschwindigkeit geregelt. Bild 16.80e zeigt, dass es beispielsweise — um online Rechenzeit zu sparen, anstelle analytische Funktionen zu verwenden — auch m¨oglich ist, die Werte im Voraus zu berechnen und als Tabellen abzulegen. Im Feldschw¨achbereich wird die Spannung U1 stets auf dem Niveau der maximalen Spannung zum Feldaufbau UF A gehalten und ist daher nur geringf¨ ugig kleiner als die maximale Wechselrichterspannung U1,max . Bei transienten Vorg¨angen kann es daher vorkommen, dass die vom Stromregler geforderte Spannung die Maximalspannung des Wechselrichters u ¨bersteigt. Dieser Spannungsvektor kann nicht eingestellt werden, weshalb auch die Str¨ome nicht mehr der Vorgabe folgen k¨onnen. Da die Maximalspannung in ihrem Betrag vorgegeben ist, beeinflussen die Spannungsbegrenzungen in der d- und q-Achse sich gegenseitig. Um das transiente Verhalten zu verbessern und die Stabilit¨at auch im Bereich hoher Feldschw¨achung zu gew¨ahrleisten, wird ein Spannungskompensator (Abb. 16.81) eingesetzt. Damit werden die Sollspannungswerte Ud∗ und Uq∗ , die von Strom∗ reglern vorgegeben werden zu den kompensierten Sollspannungswerten Udk und

16.7 PM-Maschine mit Reluktanzein߬ ussen

∗ fq (MM i)

Gl. (16.408) bis (16.416)

∗ MM i

∗ fd (MM i)

Iq∗

∗ fI1 (MM i) ∗ MM i

∗ fβ (MM i)

+

Iq∗ Id∗

(b) Iq∗ (I1∗ )

PI

−

β∗

Gl. (16.418)

(a) ∗ MM i

Umwandlung von Polarnach KartesischenKoordinaten

Gl. (16.417)

Id∗

Gl. (16.408) bis (16.416)

I1∗

893

∗ Ωm

fd (Iq∗ ) Gl. (16.375) u. (16.397)

Mber

Id∗

+

(β ) −

fd (Iq∗ )

Id∗ (β ∗ )

Gl. (16.375) u. (16.397)

Iq

MomentenBerechnung

Iq∗ (I1∗ )

PI

∗

Ωm

Id

(d)

(c) ∗ Ωm

+

PI −

Ωm

∗ MM i

vorausberechnete Funktionen oder Look-Up-Tabellen (a)-(c)

Iq∗ Id∗

(e)

Abb. 16.80: Methoden zur Sollstromgenerierung ∗ Uqk angepasst. Auf der ersten Ebene wird entschieden, ob die f¨ ur den Feldaufbau maximal zur Verf¨ ugung stehende Spannung UF A u ¨berschritten wird, d.h. ob eine Kompensation notwendig ist. Wenn der Betrag der Spannungen die maximale Spannung nicht u ¨berschreitet, so werden sie unver¨andert ausgegeben (Pfad ¨ AJ). Im Falle einer Uberschreitung wird kontrolliert, ob die d-Komponente der ∗ Sollspannung zusammen mit der q-Komponente der Hauptfeldspannung Uhq die maximale Spannung zum Feldaufbau u ¨berschreitet. Ist dies nicht der Fall wird die d-Komponente der Spannung unver¨andert ausgegeben und die q-Komponenten auf den dann noch maximal m¨oglichen Wert reduziert (Pfad AN, BJ in Abb. 16.81). Gen¨ ugt die Reduktion der q-Komponente bis auf den Wert der Hauptfeldspannung nicht aus, so muss auch die d-Komponente reduziert werden (Pfad

894

16 Synchronmaschine

Id∗

Ud∗ Strom-Vorgabe mit Entkopplung

Iq∗

Uq∗

∗ Udk SollSpannungsKompensation

∗ Uqk

Ω Iq Id Start

Ja

(Ud∗ )2 + (Uq∗ )2 ≤ (UF A )2

Keine Kompensation notwendig

(AJ)

Nein

∗ = U∗ Udk d

Priorisierung der Spannung in d-Richtung

(AN)

∗ )2 ≤ (U 2 (Ud∗ )2 + (Uhq F A)

∗ = U∗ Uqk q

Ja (BJ)

Nein (BN) ∗ = Udk



(UF A )2 − (Uhq )2

∗ = U Uqk hq

∗ = U∗ Udk d ∗ Uqk = (UF A )2 − (Ud∗ )2

Spannungs-Kompensation

Abb. 16.81: Spannungskompensation

Uq U1 U2

U2

vergr¨ oßert

U1k U2k P2 (BN)

SpannungsBegrenzungsKreis

Uh P1 (BJ)

GegenspannungsKreis

U1 U1k U2k

Uh

Uhq

Uhd

Ud

Abb. 16.82: Vektordiagramm zur Spannungskompensation

16.7 PM-Maschine mit Reluktanzein߬ ussen

895

AN, BN). Der Gedanke hinter diesem Schema ist, dass die d-Komponente f¨ ur die Feldschw¨achung notwendig ist, und daher mit h¨oherer Priorit¨at eingestellt wird. Abb. 16.82 zeigt die Wirkungsweise des Spannungskompensators im Vektordiagramm. 16.7.7

Feldschw¨ achregelung mit R¨ uckkopplung

Durch Ungenauigkeiten und Schwankungen der Maschinenparameter, etwa aufgrund von Temperatureinfl¨ ussen, kann die sich ergebende Hauptfeldspannung von der Gew¨ unschten abweichen. Wenn die Hauptfeldspannung gr¨oßer wird als die durch den Wechselrichter erzeugbare Spannung, kann die Maschine nicht mehr gesteuert werden. Eine m¨ogliche Abhilfe kann hier eine Feldschw¨achregelung mit R¨ uckkopplung der Spannung — wie in den Abbildungen 16.83 und 16.84 gezeigt — sein. Dabei wird der Betrag der Spannungen Ud und Uq , die durch die Stromregler eingestellt werden, zur¨ uck gef¨ uhrt und mit der Amplitude der maximal erzeugbaren Strangsspannung U1,max verglichen. Beispielsweise mit einem I-Regler wird der d-Strom bei gleichzeitiger Einhaltung des maximalen Strombetrags soweit reduziert, dass die maximale Spannung eingehalten wird. Alternativ kann der Regeleingriff auch auf den Phasenwinkel γ erfolgen. Abbildung 16.85 zeigt die Wirkungsweise derartiger Strukturen. Gegen¨ uber der MMPA-Trajektorie wird der Soll-Stromvektor durch diese Reglereingriffe l¨angs eines Stromkreises auf die Spannungsbegrenzungsellipse verschoben. Begrenzung Teil I

I1∗

∗ Ωm +

KP −

Tabelle f¨ ur MMPARegelung Gl. (16.401) und (16.402)

Teil III

Iq,begr

Iq∗

Iq∗



Iq∗

Strom-Regler Gate-Signale &

−Iq,begr

Id∗

Iq,begr =



I1∗2 − Id∗ 2

PWM-Vorgabe

Ωm

6

(Abb. 16.78)

+ + 

Id∗

¨ Außerer Spannungsregelkreis

Idf −Idf,begr

Teil II

KIu s

U1∗

+

KP

−

Ud∗2

+

Uq∗2

I1 Ic ϕm

Ud∗ Uq∗ U1,max

√1 3

Abb. 16.83: Feldschw¨ achregelung mit Spannungsr¨ uckkopplung 1

Udc

896

16 Synchronmaschine

Teil I ∗ f1 (MM i)

∗ MM i

∗ f2 (MM i)

I1∗ Umwandlung von Polarnach KartesischenKoordinaten

γ ∗

γ∗

Iq∗

Strom-Regler Gate-Signale

&

Id∗

PWM-Vorgabe

MMPA-Funktionen (Abb 16.80b)

I1 Ic ϕm

Feldschw¨ ach-Regelungs-Modul

Kγ∗ 1

Teil II

0

Modulations-Index mo

√

mo

KI s

+

−

6

(Abb. 16.78)

Ud∗2 +Uq∗2

U1,max

Ud∗ Uq∗ U1,max

√1 3

mo,th

Udc

(kleiner als, aber nahezu 1)

Abb. 16.84: Feldschw¨ achregelung mit Spannungsr¨ uckkopplung 2

Iq 0 γ ∗

SpannungsBegrenzungsEllipse

FeldSchw¨ achung

γ∗

Id

I1∗

StromBegrenzungsKreis

MMPATrajektorie

Abb. 16.85: Wirkungsweise der Feldschw¨ achregelung mit Spannungsr¨ uckkopplung

16.7.8

Hybride Feldschw¨ achregelungsstruktur

Abb. 16.86 zeigt ein Block-Diagramm zur Sollstrom-Generation mit Vorsteuerung und Spannungsr¨ uckkopplung. Im Teil I wird aus der DC-Spannung des Wechselrichters Udc und der Drehzahl der maximal zul¨assige Fluss Ψmax,f f bestimmt. Daraus wird im Teil III das maximale Moment MM ax berechnet und ∗ ∗ der Momentensollwert MM i auf den begrenzten Sollwert Mbegr limitiert. In Teil II sind zweidimensionale Tabellen der Sollstromkomponenten Id und Iq jeweils ∗ u ¨ber dem Sollmoment MM i und dem Fluss Ψ hinterlegt. Der Regeleingriff erfolgt ¨ durch Anderung des Flusswertes f¨ ur den aus den Tabellen die Sollstromwerte

16.7 PM-Maschine mit Reluktanzein߬ ussen

897

ausgelesen werden. Im Teil IV wird dazu die Differenz der erzeugbaren und der aktuell geforderten Spannung U1,max − U1∗ gebildet. Durch die elektrische Drehzahl dividiert ergibt sich so ein Flusswert, der beispielsweise mit einem PI-Regler zu dem idealen Fluss Ψmax,f f addiert wird, um den Flusseintrag f¨ ur die Tabellenauswahl zu erhalten. Durch dieses Schema wird einerseits die hohe Dynamik einer gesteuerten Feldschw¨achung erreicht, andererseits kann der Einfluss von Parameterschwankungen abgefangen werden. Teil III Mmax

∗ MM i

Teil II

∗ Mbegr

∗ Id

Ψ∗

∗ MM i

Iq∗

Strom-Regler

∗ MM i

Mmax

Iq∗ Ψ

∗

& PWM-Vorgabe

Id∗

Mmax

2D-Tabellen

Ψf b + +

|Ψmax,f f |

Ud∗

Teil IV KI +Kp s s

6

(Abb. 16.78)

∗ MM i

|Ψmax,f f |

Gate-Signale

U1∗



−

Uq∗ Ud∗2 + Uq∗2

+

U1,max U1,max

√1 3

Zp Teil I

Abb. 16.86: Block-Diagramm Strom-Sollwerterzeugung

I1 Ic ϕm Udc Ωm

17 Geschaltete Reluktanzmaschine

Die Reluktanzmaschine ist eine sehr einfach aufgebaute elektrische Maschine, denn es werden nur Statorwicklungen und die zugeh¨origen leistungselektronischen Schalter ben¨otigt. Eine grundlegende Einf¨ uhrung in den Aufbau, die prinzipielle Funktion der geschalteten Reluktanzmaschine“ (SRM, Switched Reluctan” ce Machine), sowie deren Steuerung bzw. Regelung findet sich in den Ver¨offentlichungen von Lawrenson [627] und viele mehr im Buch von Miller [633] sowie in [37, 38]. Die Ausf¨ uhrungen in diesem Kapitel konzentrieren sich auf die geschaltete Reluktanzmaschine. Die Betrachtung der mit einem Drehfeld betriebenen Reluktanzmaschine erfolgt in Kap. 16.1. ¨ Die folgenden Darstellungen geben einen Uberblick u ¨ber die in den Ver¨offentlichungen beschriebenen Aufgabenstellungen und deren L¨osungen zur Steuerung und Regelung von SRMs. Die wesentliche Schwierigkeit bei der Beschreibung der SRM ist der nichtlineare Zusammenhang zwischen der eingepr¨agten Statorwicklungs-Spannung U bzw. dem Stator-Wicklungsstrom I, dem resultierenden Stator-Fluß Ψ mit dem Parameter des Rotordrehwinkels γ. Es gilt: dΨ U = R·I + (17.1) dt ∂Ψ dI ∂Ψ dγ · + · (17.2) ∂I dt ∂γ dt Die Kennlinie A in Abb. 17.1 ergibt sich, wenn der Rotordrehwinkel γ in der unaligned“ Position ist, d.h. Statorzahn und Rotornut gegen¨ uber stehen. Ent” sprechend ergibt sich die Kennlinie B, wenn sich Statorzahn und Rotorzahn gegen¨ uber stehen ( aligned“). Die Energiebilanz lautet ” ∂Ψ ∂Ψ U · I dt = I 2 R dt + I · dI + I · dγ (17.3) ∂I ∂γ U = R·I +

= I 2 R dt + dW + dA (17.4) ¨ und enth¨alt die Stromw¨armeverluste, die Anderung der magnetischen Energie ¨ dW und die Anderung der mechanischen Arbeit dA: ∂W ∂W · dI + · dγ (17.5) dW = ∂I ∂γ

∂W ∂Ψ − dγ (17.6) dA = I ∂γ ∂γ

899

Y c

aligned

B

b

g W

DWmech A a

unaligned

W* I Abb. 17.1: Fluß-Strom Kennlinien mit Parameter γ

Aus dA kann das verf¨ ugbare Drehmoment ermittelt werden: MM i =

dA ∂Ψ ∂W = I − dγ ∂γ ∂γ

(17.7)

Das Drehmoment MM i kann auch als Funktion der magnetischen Koenergie W ∗ ¨ bzw. deren Anderung dargestellt werden: W∗ = I Ψ − W ∂W ∂γ

∗

= I

∂Ψ ∂W − ∂γ ∂γ

(17.8) (17.9)

und somit MM i =

∂W ∗ ∂γ

(17.10)

Die wirkungsvollste Drehmomenterzeugung kann entsprechend Abb. 17.1 und Abb. 17.2 erreicht werden, wenn der Strom I sprungf¨ormig in der Position A (unaligned) ein- und in der Position B (aligned) abgeschaltet wird. Wenn den Ausf¨ uhrungen entsprechend [37, 38] gefolgt wird, dann kann eine arbeitspunktabh¨angige Induktivit¨at L(γ, I) eingef¨ uhrt werden: L(γ, I) =

Ψ (γ, I) I

(17.11)

900

17 Geschaltete Reluktanzmaschine

g+Dg

Y DWmech

g

I Abb. 17.2: Magnetische Energie und Koenergie

die als Sekantensteigung definiert ist. Mit dieser arbeitspunktabh¨angigen Induk¨ tivit¨at kann die Anderung der magnetischen Koenergie als Funktion von L 1 2 dL ∂W ∗ = I ∂γ 2 dγ

(17.12)

und damit das Drehmoment MM i zu MM i =

1 2 dL I 2 dγ

(17.13)

beschrieben werden. Aus Gl. (17.13) ist zu erkennen, daß bei einem positiven dL/dγ ein positives Moment und entsprechend bei einem negativen dL/dγ ein Bremsmoment erzeugt wird, d.h. das Drehmoment ist nicht von der Richtung des ¨ Flusses Ψ abh¨angig. Aus dieser grundlegenden Uberlegung ist abzuleiten, daß sowohl ein positives als auch ein negatives Drehmoment mit nur einer Strompolarit¨at erzeugt werden kann — ein großer Vorteil der SRM. ¨ Aus den obigen Uberlegungen k¨onnen zwei weitere wichtige Erkenntnisse abgeleitet werden. In Abb. 17.1 und 17.2 war der nichtlineare Zusammenhang Ψ = f (γ, I) dargestellt worden. Bei der Drehmomenterzeugung muß somit die Eisens¨attigung ber¨ ucksichtigt werden [650]. Es ist somit vorteilhaft, den Strom I so schnell wie m¨oglich in der Position A bei tendenziell linearem Verhalten (großer Luftspalt) aufzubauen, den Strom I konstant zu halten und den Fluß Ψ mit diesem Strom I bis in den S¨attigungsbereich zu treiben. Der zweite m¨ogliche Ansatzpunkt ist, mehrere Statorwicklungen in der richtigen zeitlichen bzw. der

901

richtigen Abh¨angigkeit von der Position γ gleichzeitig mit Strom zu versorgen und somit den Drehmomentverlauf zu beeinflussen. 1 dLph,i(γ, I) 2 MM i = (17.14) Iph,i 2 dγph,i i ¨ Aus diesen einfachen Uberlegungen ergibt sich, daß die Darstellung des dynamischen Verhaltens der SRM relativ komplex ist. Der erste Ansatz, um dieses komplexe Verhalten darzustellen, ist die FEMAnalyse des elektromagnetischen Felds [615, 618, 623, 631]. Das Ergebnis dieser Analyse muß in die Differentialgleichungen des elektrischen und mechanischen Systems eingebunden werden [613, 644, 645, 646]. Der Vorteil dieses Vorgehens ist, daß die Effekte bei mehreren stromdurchflossenen Wicklungen und die daraus resultierenden S¨attigungseffekte ber¨ ucksichtigt werden k¨onnen. Insbesondere diese resultierenden S¨attigungseffekte bei mehreren stromdurchflossenen Wicklungen werden h¨aufig vernachl¨assigt, obwohl mit dieser Methode beispielsweise die Drehmomentwelligkeit verringert werden kann. Grunds¨atzlich ist ein erster Ansatz, mittels FEM-Methode den Zusammenhang von Fluß Ψph in Abh¨angigkeit vom Strom Iph mit dem Parameter Rotorposition γph und damit MM i,ph zu Iph und γph zu ermitteln. Nachteilig bei dieser Methode ist der große Aufwand, im allgemeinen die Vernachl¨assigung der Wirbelstr¨ome, der Hystereseeffekte, der Effekte bei mehrphasiger Stromeinpr¨agung und der fabrikations- und materialbedingten Abweichungen vom Sollzustand. Ein zweiter Weg ist die experimentelle Bestimmung des Mph -Iph -γphKennfeldes [37, 38, 630, 640]. Die Nachteile bei diesem Verfahren sind ungenaue Messungen des Winkels γph und thermische Effekte aufgrund der Messungen im Stillstand. Um die SRM als Simulationsmodell verf¨ ugbar werden zu lassen, muß die nichtlineare Mph -Iph -γph -Kennliniengruppe entsprechend Abb. 17.2 vorliegen. Ein erster Ansatz wurde in [665] vorgeschlagen, in dem die Gruppe in mehrere (vier) lineare Teilgruppen zerlegt wurde. Selbstverst¨andlich ist dies ein relativ sehr vereinfachender Ansatz, aber die Gleichungen (17.7) und (17.8) k¨onnen vorteilhaft genutzt werden. Vorteilhafter aber aufwendiger sind nichtlineare Ans¨atze wie von Stephenson und Corda (Look-up-table [651]), die Approximation von Torrey mit dem exponentiellen Ansatz [654], dem Vorschlag von Miller [634, 635] und der B-Spline-N¨aherung von Pulle [639] oder die dreidimensionalen Approximationen mittels neuronaler Netze oder der Fuzzy-Logik. Der exponentielle Ansatz ist besonders weit verbreitet und auch in SABER [655] von Torrey implementiert worden:   Ψ (γ, I) = a1 (γ) 1 − ea2 (γ) Iph + a3 (γ) Iph (17.15) Der Vorteil dieser Darstellung sind die Vermeidung von Interpolationen wie bei den Look-up-tables, sowie die komprimierte Repr¨asentation des dreidimensionalen Kennfeldes mittels der drei Koeffizienten als Funktion von Strom Iph und Position γph .

902

17 Geschaltete Reluktanzmaschine

Allerdings kann die Parameterextraktion f¨ ur die exponentielle N¨aherung auf¨ wendig sein. Eine Ber¨ ucksichtigung der Uberlagerung der magnetischen Fl¨ usse und der daraus folgenden S¨attigungseffekte bei mehreren stromdurchflossenen ¨ Statorwicklungen wurde bisher nur in [632] angesprochen. Weiterf¨ uhrende Uberlegungen f¨ uhren zu dem Vorschlag, die kubische Hermite-Spline-Approximation zu benutzen [648]. Mit diesem Ansatz ergibt sich ein nichtlineares dynamisches Modell, dessen Signalflußplan in Abb. 17.3 dargestellt ist.

MW

Modell von Phase 1 Suche reelle Lösung Uph,1

1/R

Iph,1

v ph ,1 Î [0;1] 3

für

vph,1

I ph ,1 = å c k ,I (Yph ,1 ) v kph ,1

-

k =0

gph,1 d/dt

Yph,1

Berechne MMi,ph1 aus Drehmomentgleichung für Phase 1

S

MMi -

Q

Berechne Flußverkettung für Phase 1 aus

dw + Dw = M Mi - M W dt

w

3

Yph ,1 = å c k , Y ( g ph ,1 ) v kph ,1

dg =w dt

k =0

gph,1 Uph,2

Uph,3

Uph,4

Modell von Phase 2

Modell von Phase 3

Modell von Phase 4

gph,1 = g

MMi,ph2 gph,2 MMi,ph3 gph,3 MMi,ph4 gph,4

g

gph,2= g-15°

gph,3= g-30°

gph,4= g-45°

Abb. 17.3: Dynamisches Modell einer 4-phasigen SRM

Aus diesen Grund¨ uberlegungen zur Ermittlung der Drehmomenterzeugung und der mathematischen Darstellung ist zu entnehmen, daß die Rotorposition in Kombination mit dem Strom-Augenblickswert von sehr großer Bedeutung ist. Aufgrund dieses wichtigen Zusammenhangs ist die Art der leistungselektronischen Versorgung wichtig. Die Funktion der SRM wird damit von der Art der Funktion des Stellglieds mitbestimmt. Dies soll im u ¨ bern¨achsten Unterkapitel abgehandelt werden. Zuerst wird aber die u berlappende Beaufschlagung von zwei ¨ oder mehreren Statorwicklungen mit Strom dargestellt.

17.1

¨ Uberlappende Bestromung von Statorwicklungen

Wie bereits im einf¨ uhrenden Unterkapitel dargestellt wurde, kann durch gleichzeitige Bestromung von Statorwicklungen, d.h. u ¨ berlappende Bestromung, die Drehmomentwelligkeit verringert werden. In [648] wird ausgef¨ uhrt, daß es je nach Ausf¨ uhrung der SRM unterschiedliche magnetische Typen der SRM gibt. Typische Konfigurationen sind NN-SS oder NS-NS oder (NN-SS)-PS, (NN-SS)-NG, (NS-NS)-PS und (NS-NS)-NG. Die Unterscheidung bezieht sich

17.2 Leistungselektronische Stellglieder

903

auf die magnetischen Polarit¨aten, je nachdem ob gleiche magnetische oder ungleiche magnetische Flußrichtung bei den beiden betrachteten benachbarten Phasen besteht. Außerdem wird unterschieden, ob die positive Seite (PS) oder die negative Seite (NG, Negative Ground) der Wicklungsphase betrachtet wird. Die Analyse und Synthese dieses Problems ist ¨außerst komplex und kann im Detail in [648] nachgelesen werden. Anschließend wird zur Validierung ein SABER-Modell dieses Betriebszustandes erstellt und mit praktischen Ergebnissen validiert. Das Programm ist im Anhang der Dissertation gegeben.

17.2

Leistungselektronische Stellglieder

Wie bereits in der Einleitung dargestellt, m¨ ussen die Str¨ome in den Statorwicklungen entsprechend der Rotorwinkelposition γ auf- und abgebaut werden. Die Str¨ome haben allerdings nur eine Stromrichtung — ein wichtiger Vorteil. Allerdings ist der zeitlich genaue Stromauf- und -abbau insbesondere bei hohen Drehzahlen und deshalb hohen zeitlichen Anforderungen ein besonders zu beachtender Punkt. Weitere zu beachtende Punkte sind die Kosten und der Wirkungsgrad des leistungselektronischen Stellglieds. Die grundlegende leistungselektronische Schaltung ist in Abb. 17.4 gezeigt und ist eine asymmetrische Br¨ uckenschaltung [614, 633, 649].

Udc

+ -

Lph,1

Lph,2

Lph,3

Lph,4

Abb. 17.4: Asymmetrische Br¨ uckenschaltung

Der wesentliche Unterschied zu der normalen Br¨ uckenschaltung ist, daß kein direkter Kurzschluß der Zwischenkreisspannung entstehen kann, da jeweils eine Statorwicklung zwischen den steuerbaren Leistungshalbleitern angeordnet ist. Mit der asymmetrischen Br¨ uckenschaltung kann die jeweilige Statorwicklung mit drei Spannungen +Udc , 0 und −Udc versorgt werden. Die Pulsweitenmodulation ist ebenso m¨oglich, um den Wicklungsstrom auf einer vorgebbaren Amplitude zu halten. Die vorliegende Schaltung ist besonders vorteilhaft, da f¨ ur jede Sta-

904

17 Geschaltete Reluktanzmaschine

torwicklung die Stromversorgung unabh¨angig steuerbar ist, die volle Zwischenkreisspannung wird zum Stromauf- und -abbau genutzt und aufgrund der PWMF¨ahigkeit ist die Stromwelligkeit beeinflußbar. Nachteilig ist der hohe Aufwand. Eine Reduktion des Aufwandes ist mit der L¨osung, die in Abb. 17.5 dargestellt ist, erreichbar [633].

U dc 2

Udc

+ U dc 2

Lph,1

Lph,3

Lph,2

Lph,4

Abb. 17.5: Versorung mit halber Zwischenkreisspannung

Eine weitere Variante zeigt Abb. 17.6 [633, 649]. Bei dieser L¨osung wird der Kondensator C zur Zwischenspeicherung der induktiven R¨ uckspeiseenergie gen¨ utzt, wenn der zugeh¨orige Leistungsschalter abschaltet. Die im Kondensator C gespeicherte Energie wird u ¨ ber den Tiefsetzsteller in den Zwischenkreis zur¨ uckgespeist. Im allgemeinen wird UC ungef¨ahr auf 2Udc eingestellt, so daß die abmagnetisierende Spannung Udc ist. Unter dieser Annahme ergibt sich als Speisespannung der Wicklungen +Udc und −Udc . Vorteilhaft ist die geringe Zahl der Halbleiter, nachteilig ist die Dimensionierungsspannung 2Udc . ¨ Der Nachteil der spannungsm¨aßigen Uberdimensionierung wird bei der abgewandelten Schaltung nach Abb. 17.7 vermieden [636]. Ein genereller Nachteil der beiden L¨osungen mit dem Kondensator und dem ¨ Tiefsetzsteller ist die Gefahr zu hoher Uberspannungen im Zwischenkreis bei Ausfall des Tiefsetzstellers. In [626, 642] werden leistungselektronische Stellglieder vorgeschlagen, bei denen die Zwischenkreisspannung durch einen Tiefsetzsteller am gemeinsamen Eingang der Statorwicklungen von Udc1 auf einen kleineren Wert abgesenkt werden kann. Vorteilhaft bei kleinen Drehzahlen der SRM ist die abgesenkte Spannung Udc2 , nachteilig ist die Spannung (Udc1 − Udc2 ) beim Abmagnetisieren.

17.3 Drehmoment-Welligkeit

Lph,1

L

Udc

Lph,2

Lph,3

905

Lph,4

+ -

UC

C

Abb. 17.6: Schaltung mit Begrenzungs-Kondensator

Lph,1

Udc

Lph,2

Lph,3

Lph,4

+ UC

C

Abb. 17.7: Modifizierte Schaltung zu Abb. 17.6

17.3

Drehmoment-Welligkeit

Aus den Erl¨auterungen des ersten Teilkapitels ist zu entnehmen, daß der Drehmomentverlauf eine Funktion des Wicklungsstroms Iph und des Rotorwinkels γph ist. Wenn — wie heute allgemein realisiert — nur jeweils eine Wicklung mit ¨ Strom versorgt wird (Einzel-Impuls-Verfahren) und damit keine Uberlappung der Stromf¨ uhrung unterschiedlicher Wicklungen besteht, dann ist ein Drehmoment”

906

17 Geschaltete Reluktanzmaschine

L

Udc1

+ -

Lph,1

Lph,2

Lph,3

Lph,4

Udc2

Abb. 17.8: Schaltung mit Tiefsetzsteller am Eingang

loch“ in den Zwischenphasen nicht zu vermeiden. Dies kann in einigen Anwendungen unerw¨ unscht sein. Um die Drehmomentwelligkeit zu vermeiden, werden zwei L¨osungswege vorgeschlagen. Der erste L¨osungsweg ist die Feedback Linearization“, bei der das nichtlinea” re dynamische System SRM mittels der Lie-Ableitungen in ein lineares System u uhrt wird [612, 622, 624, 637, 653]. Allerdings muß daf¨ ur ein geeignetes ¨berf¨ nichtlineares Modell der SRM vorliegen, um u ¨berhaupt die Transformation zu erm¨oglichen. Zus¨atzlich ist der rechentechnische Aufwand relativ hoch. ¨ Der zweite L¨osungsweg ist die Anderung des zeitlichen Stromverlaufs [629]. Weiterf¨ uhrende Vorschl¨age sind, einen abgestimmten“ (balanced) Stromab- und ” -aufbau in zwei aufeinanderfolgenden Wicklungen zu erzeugen [656], oder die ersten Ableitungen der Strom¨anderungen konstant zu halten [647]. Andere Varianten werden in [625, 643] vorgeschlagen. Bei allen diesen Maßnahmen findet aber eine u uhrung mehrerer Wicklungen statt. Da¨berlappende, zeitweilige Stromf¨ mit besteht die grunds¨atzliche Fragestellung der Erweiterung der DrehmomentStrom-Positionswinkel-Darstellung bei u uhrung. Dies wird ¨ berlappender Stromf¨ in [648] ausf¨ uhrlich diskutiert.

17.4

Geberloser Betrieb

Im Literaturverzeichnis ist eine Aufstellung von Ver¨offentlichungen zur geberlosen Regelung von Reluktanzmaschinen zu finden [703]-[728].

18 Identifikation linearer dynamischer Systeme

Die Identifikation linearer dynamischer Systeme ist ein umfassend erforschtes Gebiet. In diesem Kapitel sollen die wichtigsten linearen Modellstrukturen und Identifikationsverfahren vorgestellt werden. Es werden prinzipielle Unterschiede zwischen den Identifikationsverfahren erl¨autert und an Simulationsbeispielen veranschaulicht. Detaillierte Ausf¨ uhrungen zur Identifikation linearer dynamischer Systeme k¨onnen z.B. in [775, 776, 780, 781] gefunden werden. Die Identifikation von linearen dynamischen Systemen ist eine wichtige Voraussetzung, um aussagekr¨aftige Modelle des betrachteten Systems zu erhalten. Mit diesen aussagekr¨aftigen Modellen k¨onnen dann Simulationen durchgef¨ uhrt werden, um eine gezielte Analyse der Aufgabenstellung im Vorfeld praktischer Untersuchungen durchzuf¨ uhren und damit aufwendige und teure praktische Experimente m¨oglichst zu minimieren oder sogar ganz zu vermeiden. Insofern ist eine physikalisch interpretierbare und konvergente Identifikation von gr¨oßter Bedeutung. Ein weiterer wesentlicher Punkt bei der Identifikation ist, ob das zu identifizierende System zeitinvariant oder zeitvariant ist. Wenn das System zeitvariant ist, d.h. seine Parameter ¨andern sich, dann ist die ben¨otigte Zeitdauer der Identifikation ein weiteres Kriterium. Vorausgesetzt das lineare System ist identifiziert, dann bildet die Aussage der Identifikation die Basis f¨ ur die Festlegung der Regelung. Eine erste Einf¨ uhrung in das Gebiet der Parameter-Identifikation erfolgte in Kap. 13.6 am Beispiel der Asynchronmaschine. In diesem Kapitel wurde ausgef¨ uhrt, dass es deterministische Ans¨atze gibt, d.h. Modellans¨atze, die speziell auf die Aufgabenstellung zugeschnitten sind. Eine weitere, allgemeine Verfahrensgruppe sind die Parametersch¨atzverfahren nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate (MKQ). Es ist zu beachten, ob das zu identifizierende System nicht, nur gering oder erheblich gest¨ort ist. Wie allen Kapiteln dieses Buches zu entnehmen, ist die Kenntnis des zu untersuchenden Systems eine grunds¨atzliche Voraussetzung: 1 Aufgrund dieser Situation soll im Folgenden eine allgemeine Einf¨ uhrung in die Identifikation linearer Systeme gegeben werden. 1 Dies ist bereits bei den Signalflußpl¨ anen der elektrischen Maschinen einsichtig. Bei mechatronischen Systemem — wie bei der Regelung von elastischen Mehrmassensystemen (vgl. Kap. 19), der Schwingungsd¨ ampfung (siehe Kap. 20) oder bei technologischen Regelungen — ist die Systemidentifikation unabdingbar.

908

18 Identifikation linearer dynamischer Systeme

18.1

Grundlagen der Identifikation

18.1.1

Parametrische und nichtparametrische Identifikationsverfahren

Die Verfahren zur Identifikation linearer dynamischer Systeme k¨onnen in parametrische und nichtparametrische Ans¨atze unterteilt werden. Desweiteren ist es hilfreich, zwischen dem Modell und dem Verfahren, das zur Ermittlung der Freiheitsgrade des Modells zum Einsatz kommt, zu unterscheiden. Parametrische und nichtparametrische Modelle k¨onnen wie folgt voneinander abgegrenzt werden: • Parametrische Modelle beschreiben das Systemverhalten exakt mit einer endlichen Anzahl an Parametern. Ein typisches Beispiel hierf¨ ur ist ein Modell, das auf einer Differentialgleichung bzw. einer Differenzengleichung basiert. Die Parameter haben in der Regel einen direkten Bezug zu physikalischen Gr¨oßen wie z.B. einer Masse oder einem Tr¨agheitsmoment. • Nichtparametrische Modelle ben¨otigen eine unendliche Anzahl an Parametern, um das Systemverhalten exakt zu beschreiben. Ein typisches Beispiel ist ein Modell, das auf der Impulsantwort des Systems basiert. Desweiteren k¨onnen auch die Identifikationsverfahren in parametrische und nichtparametrische Methoden unterteilt werden: • Parametrische Methoden bestimmen eine endliche Anzahl von Parametern. Parametrische Methoden k¨onnen auch dazu verwendet werden, um die Parameter eines nichtparametrischen Modells zu bestimmen, wenn die Parameter vorher auf eine endliche Anzahl reduziert wurden. Ein typisches Beispiel ist das FIR-Modell (finite impulse response), das die unendliche lange Impulsantwort eines Systems nachbildet. • Nichtparametrische Methoden sind flexibler als parametrische Methoden. Sie werden meistens verwendet, wenn die Struktur des Systems nur unzureichend bekannt ist. Ein typisches Beispiel ist die Fourieranalyse, bei der eine endliche Parameteranzahl im allgemeinen nicht ausreicht. Nichtparametrische Methoden ben¨otigen theoretisch unendlich viele Parameter. Bei einer Implementierung k¨onnen aber nur endlich viele Parmeter — das Systemverhalten kann in diesem Fall nicht mehr exakt beschrieben werden — ber¨ ucksichtigt werden. Diese endliche Anzahl der Parameter ist aber wesentlich gr¨oßer als bei parametrischen Methoden. Neben der Unterscheidung von parametrischen und nichtparametrischen Methoden k¨onnen die Identifikationsverfahren auch nach Zeitbereich und Frequenzbereich unterschieden werden. Im Folgenden sollen jedoch ausschließlich parametrische Identifikationsverfahren im Zeitbereich betrachtet werden, da ihnen die gr¨oßte Bedeutung zukommt. Bei den vorgestellten Verfahren handelt es sich ausschließlich um Methoden im zeitdiskreten Bereich.

18.1 Grundlagen der Identifikation

18.1.2

909

Identifikation

Ausgehend von einer modellhaften Vorstellung der physikalischen Realit¨at erfolgt die Identifikation. Ziel einer Identifikation ist es, mit Hilfe gemessener Ein- und Ausgangssignale des Prozesses ein Modell zu bestimmen, welches das statische und dynamische Verhalten des Prozesses m¨oglichst gut nachbildet. Dabei wird angenommen, dass ein eindeutiger Zusammenhang zwischen den Eingangssignalen u, der Anregung des Prozesses, und dem Ausgangssignal yu existiert. Aufgrund der Tatsache, dass auf jeden Prozess St¨orungen, wie z.B. Messrauschen, einwirken, kann nur das gest¨orte Ausgangssignal y zur Identifikation genutzt ¨ werden, welches als Uberlagerung des ungest¨orten Prozessausgangs yu mit einem St¨orsignal z angesehen werden kann. Abbildung 18.1 zeigt die grunds¨atzliche Struktur einer Identifikation. Jede Identifikation setzt sich aus zwei grundlegenz u System

yu

y

yˆ

e

Identifikation

Modell

Abb. 18.1: Prinzipielle Struktur einer Identifikation

den Schritten zusammen: 1. Strukturauswahl bzw. Strukturbestimmung 2. Adaption der Parameter Zun¨achst muss f¨ ur das Modell eine Struktur festgelegt bzw. bestimmt [771, 773] werden. Prinzipiell kann festgehalten werden, dass bei der Strukturauswahl so viel Vorwissen wie m¨oglich ber¨ ucksichtigt werden sollte, um die Anzahl der Parameter klein und die Konvergenzzeiten kurz zu halten. Im zweiten Schritt m¨ ussen die Parameter der gew¨ahlten Modellstruktur so angepasst werden, dass der Fehler e zwischen realem Prozeß und Modell minimiert wird. Dieser Teil wird deshalb als Parameteradaption bezeichnet und wurde schon in Kap. 13.6 erl¨autert. Prinzipiell handelt es sich bei der Parameteradaption um ein mathematisches Optimierungsproblem, dessen L¨osung ausschließlich

910

18 Identifikation linearer dynamischer Systeme

von der Form des Gleichungssystems abh¨angt bzw. ob die unbekannten Parameter linear oder nichtlinear in den Ausgang eingehen. Bei der Parameteradaption hat das Anregesignal einen entscheidenden Einfluss auf die Modellg¨ ute. Die einfache Vorstellung einer Messung, bei der der Prozess w¨ahrend der gesamten Messzeit in Ruhe verweilt, macht deutlich, dass aus einer solchen Messung keine Informationen u ¨ ber das dynamische Verhalten des Systems gewonnen werden k¨onnen [774]. Bei der Identifikation muss also stets darauf geachtet werden, dass der gesamte Eingangsraum, wie auch die Dynamik des Prozesses durch eine entsprechende Wahl des Eingangssignals bzw. der Eingangssignale angeregt wird. In der Literatur werden stochastische Signale wie z.B. das amplitudenmodulierte Pseudo-Rausch-Bin¨arsignal [769, 770, 776] als besonders geeignet angesehen, da sie viele unterschiedliche Frequenzen und Amplituden beinhalten. Mit derartigen Eingangssignalen wird das Auffinden des globalen Minimums des G¨ utefunktionals beg¨ unstigt.

18.2

Lineare dynamische Modellstrukturen

In diesem Kapitel sollen, ausgehend von unterschiedlichen Modellstrukturen, verschiedene Ans¨atze zur Identifikation linearer dynamischer Systeme vorgestellt werden. Ziel ist es, ein grundlegendes Verst¨andnis f¨ ur die Problemstellungen zu schaffen, die bei der Identifikation dynamischer Systeme auftreten k¨onnen. Ausgangspunkt f¨ ur die Identifikation von linearen dynamischen Systemen ist eine allgemeine modellhafte Vorstellung des linearen (zeitdiskreten) Systems, wie sie in Abb. 18.2 dargestellt ist. v (z)

C(z) D(z)

w (z) u (z)

B(z) F (z)

1 A(z)

y (z)

Abb. 18.2: Allgemeine lineare Modellstruktur

Dieses Modell besteht aus einem deterministischen und einem stochastischen Anteil, wie in Gl. (18.1) beschrieben: y (z) =

B (z) F (z) · A (z)    Eingangsu ¨bertragungsfunktion

· u (z)

+

C (z) D (z) · A (z)    Rauschu ¨bertragungsfunktion

· v (z)

(18.1)

18.2 Lineare dynamische Modellstrukturen

911

mit A (z) = 1 + a1 · z −1 + . . . + ana · z −na

(18.2)

B (z) = b0 + b1 · z −1 + . . . + bnb · z −nb

(18.3)

C (z) = 1 + c1 · z

−1

+ . . . + cnc · z

−nc

(18.4)

D (z) = 1 + d1 · z −1 + . . . + dnd · z −nd

(18.5)

F (z) = 1 + f1 · z −1 + . . . + fnf · z −nf

(18.6)

¨ Tabelle 18.1: Lineare Modellstrukturen im Uberblick

Modellstruktur

Modellgleichung

MA

(Moving Average)

y (z)

= C (z) · v (z)

AR

(Auto Regressive)

y (z)

=

1 D(z)

· v (z)

(Auto Regressive Moving Average)

y (z)

=

C(z) D(z)

· v (z)

(Auto Regressive with eXogenous input)

y (z)

= +

B(z) A(z) 1 A(z)

· u (z) · v (z)

(Auto Regressive Moving Average with eXogenous input)

y (z)

= +

B(z) A(z) C(z) A(z)

· u (z) · v (z)

OE

(Output Error)

y (z)

= B(z) · u (z) F (z) + v (z)

FIR

(Finite Impulse Response)

y (z)

= B (z) · u (z) + v (z)

ARMA ARX

ARMAX

In Gl. (18.1) bezeichnet u (z) das Eingangssignal und y (z) das Ausgangssignal des linearen Systems. Das Ausgangssignal wird zus¨atzlich durch das weiße Rauschen v (z), welches durch die Rausch¨ ubertragungsfunktion gefiltert wird, beeinflusst. Die Eingangs- und die Rausch¨ ubertragungsfunktion k¨onnen einen gemeinsamen Anteil A (z) haben, der in Abb. 18.2 separat eingezeichnet wurde. Diese allgemeine lineare Modellstruktur wird normalerweise in der Praxis nicht verwendet, aus ihr k¨onnen durch Vereinfachung jedoch alle in der Praxis

912

18 Identifikation linearer dynamischer Systeme

lineare Modellstrukturen

Gleichungsfehlermodelle

ARX-Modell

ARMAX-Modell

Ausgangsfehlermodelle

FIR-Modell

OBF-Modell

OE-Modell

Abb. 18.3: Klassifikation der linearen Modellstrukturen

u ¨blichen Modellstrukturen abgeleitet werden. Tabelle 18.1 zeigt die wichtigsten Modellstrukturen. Das MA-Modell (Moving Average) geh¨ort ebenso wie das AR-Modell (Auto Regressive) und das ARMA-Modell (Auto Regressive Moving Average) zur Klasse der Zeitreihenmodelle. Ihnen ist gemeinsam, dass sie keinen deterministischen Anteil ber¨ ucksichtigen. Sie kommen vor allem bei ¨okonomischen Problemstellungen zum Einsatz, wie z.B. der Vorhersage von Aktien- oder Wechselkursen, wo die deterministischen Einflussgr¨oßen nur schwer zu bestimmen sind bzw. deren Anzahl sehr groß ist. Bei technischen Problemstellungen sind die deterministischen Einflussgr¨oßen meistens sehr gut bekannt, so dass es sinnvoller ist, ein Modell zu verwenden, wo diese auch ber¨ ucksichtigt werden. Aus diesem Grund wird im Folgenden auf die Zeitreihenmodelle nicht weiter eingegangen. Das ARX-Modell (Auto Regressive with eXogenous input) besitzt, ebenso wie das ARMAX-Modell (Auto Regressive Moving Average with eXogenous input), ein gemeinsames Nennerpolynom A (z) im deterministischen und stochastischen Anteil. Beide Modelle geh¨oren zur Klasse der Gleichungsfehlermodelle. Im Gegensatz dazu ist beim OE-Modell (Output Error) sowie beim FIR-Modell (Finite Impulse Response) der stochastische Anteil unabh¨angig vom deterministischen Anteil. Diese Modelle geh¨oren zur Klasse der Ausgangsfehlermodelle. In Abb. 18.3 ist diese Art der Klassifikation noch einmal verdeutlicht. In Abb. 18.3 wurde zus¨atzlich das OBF-Modell (Orthonormal Basis Function) aufgef¨ uhrt, das eine Erweiterung des FIR-Modells darstellt und in Kapitel 18.2.2.2 behandelt wird. 18.2.1

Modelle mit Ausgangsr¨ uckkopplung

In diesem Kapitel werden lineare Modelle mit Ausgangsr¨ uckkopplung, (z.B. ARX-, ARMAX- und OE-Modell) genauer betrachtet. Am Beispiel des

18.2 Lineare dynamische Modellstrukturen

913

ARX- und des OE-Modells soll der Unterschied zwischen einem Gleichungsfehlerund einem Ausgangsfehlermodell erl¨autert werden. 18.2.1.1 Autoregressive with Exogenous Input Model Das ARX-Modell wird sehr h¨aufig zur Identifikation linearer Systeme verwendet. Das liegt in erster Linie daran, dass der Modellausgang linear in den Parametern ist und deshalb auch lineare Lernverfahren eingesetzt werden k¨onnen. In Abb. 18.4 ist die Gleichungsfehlerstruktur des ARX-Modells dargestellt. Der v }[k] Z −1 { A(z)

u [k]

y [k] System

e [k] Modell

yˆ [k]

v A(z)

u (z)

y (z)

B(z) A(z)

ˆ (z) B

Aˆ (z) e (z)

Abb. 18.4: Gleichungsfehlerstruktur des ARX-Modells

ARX-Systemansatz ist definiert durch die Gleichung: y (z) =

1 B (z) · u (z) + · v (z) A (z) A (z)

(18.7)

914

18 Identifikation linearer dynamischer Systeme

Die optimale Identifikationsgleichung ergibt sich, wenn das Fehlersignal e (z) gleich dem weißen Rauschen v (z) ist, d.h. es gilt: e (z) = y (z) − yˆ (z) ! = v (z) Zielvorgabe

(18.8)

(Anmerkung: Wenn die Gleichung (18.7) f¨ ur y(z) in die Gleichung (18.14) eingesetzt wird, dann die Fehlergleichung e(z) = y(z) − yˆ(z) gebildet wird, indem Gl. (18.7) und die abge¨anderte Gl. (18.14) eingesetzt werden — weiterhin gilt ˆ ˆ A(z) = A(z) und B(z) = B(z) — dann ergibt sich e(z) = v(z)!) F¨ ur das optimale Identifikationsergebnis e (z) = v (z) gilt Aˆ (z) = A (z) und ˆ (z) = B (z), womit f¨ B ur den Systemansatz y (z) =

ˆ (z) 1 B · u (z) + · v (z) ˆ ˆ A (z) A (z)

(18.9)

geschrieben werden kann. Wird in diesen Ansatz die Bedingung f¨ ur die optimale Identifikationsgleichung eingesetzt, ergibt sich y (z) =

ˆ (z) B 1 · u (z) + · (y (z) − yˆ (z)) ˆ ˆ   A (z) A (z)  ! e (z) = v (z)

(18.10)

Daraus kann f¨ ur den Modellansatz (vgl. rechte Seite der Abbildung 18.4) die Gleichung ˆ (z) · u (z) + Aˆ (z) · y (z) e (z) = −B (18.11) hergeleitet werden. Der Modellansatz kann auch in einen expliziten Ausdruck f¨ ur den Modellausgang yˆ (z) umgeformt werden. Ausgehend von Gleichung (18.10) ergibt sich durch elementare Umformungen: ˆ (z) · u (z) + y (z) − yˆ (z) Aˆ (z) · y (z) = B

(18.12)

ˆ (z) · u (z) + y (z) − Aˆ (z) · y (z) yˆ (z) = B

(18.13)

Der Modellansatz lautet damit:

3 4 ˆ (z) · u (z) + 1 − Aˆ (z) · y (z) yˆ (z) = B

(18.14)

Wird Gl. (18.14) in eine Differenzengleichung umgewandelt, ergibt sich2 : yˆ [k] = b1 ·u [k − 1]+. . .+bnb ·u [k − nb]−a1 ·y [k − 1]−. . .−ana ·y [k − na] (18.15) Aus Gl. (18.15) wird deutlich, dass die unbekannten Gewichte b1 . . . bnb und a1 . . . ana linear in den Ausgang yˆ [k] eingehen. Außerdem ist die ARXIdentifikationsstruktur garantiert stabil, da die Identifikationsgleichung (18.11) 2 In Gl. (18.15) wird angenommen, dass der Prozess nicht sprungf¨ ahig ist und deswegen der Parameter b0 vernachl¨ assigt werden kann.

18.2 Lineare dynamische Modellstrukturen

915

keine R¨ uckkopplungen enth¨alt. Der Nachteil dieser Modellstruktur ist, dass mit der ARX-Identifikationsgleichung kein paralleles Modell, sondern ein seriellparalleles Modell (Abbildung 18.4) bestimmt wird. Beim ARX-Modell wird der sog. Gleichungsfehler (oder auch 1-Schritt-Pr¨adiktionsfehler) minimiert. Die Bezeichnung Gleichungsfehler oder 1-Schritt-Pr¨adiktionsfehler wird verwendet, weil der Identifikationsalgorithmus das aktuelle Ausgangssignal nicht eigenst¨andig, sondern nur mit Hilfe der zuletzt gemessenen Ausgangssignale sch¨atzt. Somit wird vom ARX-Modell nur eine 1-Schritt-Pr¨adiktion zum neuen Ausgangssignal ausgef¨ uhrt. Wird der Gleichungsfehler minimiert, entsteht wie bereits erw¨ahnt ein seriellparalleles Modell. Bei genauer Betrachtung der Gleichungsfehlerstruktur nach Abb. 18.4 ist zu erkennen, dass System und Modell bez¨ uglich des Eingangs u[k] parallel, aber bez¨ uglich des Systemausgangs y[k] seriell verbunden sind. In der Praxis wird jedoch oft ein paralleles Modell ben¨otigt. Bei nicht oder wenig verrauschten Messsignalen stellt der Gleichungsfehler eine gute N¨aherung f¨ ur den Ausgangsfehler (siehe Kapitel 18.2.1.2) dar [769], so dass das gesch¨atzte Modell auch parallel betrieben werden kann. Dies gilt jedoch nicht mehr, wenn die St¨orungen auf das System zunehmen. Denn anders als bei der Ausgangsfehlerstruktur, bei der sich Messst¨orungen nur auf das gebildete Fehlersignal e auswirken, werden bei der Gleichungsfehlerstruktur zus¨atzlich die Eingangssignale des Modells verf¨alscht. Die ARX-Modellstruktur ist somit nur bedingt zur Identifikation von parallelen Modellen geeignet, da mit zunehmenden Rauschen, das Identifikationsergebnis mit einem zunehmenden systematischen Fehler behaftet ist [769]. Aus diesem Grund wurden in der Vergangenheit aufw¨andige lineare Lernverfahren entwickelt, wie z.B. die Methode der verallgemeinerten kleinsten Quadrate, die Methode der Hilfsvariablen und die Methode der totalen kleinsten Quadrate, die alle zum Ziel haben, die Konvergenz der Sch¨atzung bei gest¨orten Modelleingangssignalen zu verbessern. Die Praxis hat jedoch gezeigt, dass auch mit diesen aufw¨andigen Methoden keine vollst¨andig fehlerfreien Sch¨atzungen erzielt werden, da reales Messrauschen in der Regel nicht die restriktiven Bedingungen erf¨ ullt, die zur Herleitung dieser Verfahren idealisiert angenommen werden. 18.2.1.2 Output Error Model Das OE-Modell geh¨ort zur Klasse der Ausgangsfehlermodelle. Der Vorteil der OE-Modellstruktur ist, dass mit ihr ein paralleles Modell bestimmt werden kann. Allerdings ist das OE-Modell nichtlinear in den Parametern und deswegen mit nichtlinearen Verfahren zu adaptieren. In Abb. 18.5 ist die Ausgangsfehlerstruktur des OE-Modells dargestellt. Der OE-Systemansatz aus Abb. 18.5 ist durch die folgende Gleichung definiert: y (z) =

B (z) · u (z) + v (z) F (z)

(18.16)

916

18 Identifikation linearer dynamischer Systeme

v [k] u [k]

y [k] System

e [k] Modell

yˆ [k]

v (z) u (z)

y (z)

B(z) F (z)

e (z) ˆ B(z) Fˆ (z)

yˆ (z)

Abb. 18.5: Ausgangsfehlerstruktur des OE-Modells

Als OE-Modellansatz bietet sich folgende Gleichung mit e(z) = v(z) an: yˆ (z) =

ˆ (z) B · u (z) Fˆ (z)

(18.17)

Im Gegensatz zu Kapitel 18.2.1.1 wird das optimale Identifikationsmodell nicht aus der Fehlergleichung, sondern durch Ansetzen eines echten Parallelmodells bestimmt. Die Umwandlung von Gl. (18.17) in eine Differenzengleichung verdeutlicht, warum das OE-Modell nichtlinear in den Parametern ist: yˆ [k] = b1 ·u [k − 1]+. . .+bnb ·u [k − nb ]−f1 · yˆ [k − 1]−. . .−fnf · yˆ [k − nf ] (18.18)

18.2 Lineare dynamische Modellstrukturen

917

Im Vergleich zum ARX-Modell wurde in Gl. (18.18) der gemessene Ausgang y durch den Modellausgang ersetzt. Hier liegt auch der Grund daf¨ ur, dass die OE-Modellstruktur nichtlinear in den Parametern ist, da die Vergangenheitswerte yˆ [k − i] des Modellausgangs selbst von den zu optimierenden Parametern abh¨angen. Dies soll anhand des folgenden Beispiels kurz dargestellt werden: yˆ[k] = −a1 · yˆ[k − 1] + b1 · u[k − 1] yˆ[k + 1] = −a1 · (−a1 · yˆ[k − 1] + b1 · u[k − 1]) + b1 · u[k]

(18.19)

= a21 · yˆ[k − 1] − a1 · b1 · u[k − 1] + b1 · u[k] Die zur¨ uckliegenden Modellausgangssignale m¨ ussen wieder in die Differenzengleichung eingesetzt werden, was dazu f¨ uhrt, dass sogar bei einem linearen System erster Ordnung das Ausgangssignal nicht mehr linear in den Parametern ist. Dem Vorteil, dass mit der OE-Modellstruktur ein echt paralleles Modell identifiziert werden kann, steht somit der Nachteil gegen¨ uber, dass die Adaption der Parameter deutlich aufw¨andiger wird. Ein weiterer Nachteil ist, dass die Stabilit¨at des OE-Modells aufgrund der Modellr¨ uckkopplungen nicht mehr garantiert werden kann. 18.2.2

Modelle ohne Ausgangsr¨ uckkopplung

Lineare Modelle ohne Ausgangsr¨ uckkopplung, wie z.B. die FIR- und die OBFModellstruktur, geh¨oren generell zur Klasse der Ausgangsfehlermodelle. Modelle ohne Ausgangsr¨ uckkopplung beruhen prinzipiell auf der Faltungssumme, w¨ahrend Modelle mit Ausgangsr¨ uckkopplung auf der Differenzengleichung basieren. Daraus resultieren unterschiedliche Vor- und Nachteile f¨ ur Modelle ohne Ausgangsr¨ uckkopplung. Bei Ausgangsfehlermodellen ist das Ergebnis der Identifikation immer ein echt paralleles Modell. Im Gegensatz zum OE-Modell sind Modelle ohne Ausgangsr¨ uckkopplung aber auch linear in den Parametern, so dass lineare Adaptionsverfahren eingesetzt werden k¨onnen. Ein weiterer Vorteil ist die garantierte Stabilit¨at, da Modelle ohne Ausgangsr¨ uckkopplung nur von Eingangssignalen abh¨angen. Dadurch hat das Rauschen am Prozessausgang keinen Einfluss auf die Eingangssignale des Identifikationsalgorithmus, so dass die Parameteradaption nur aufgrund des Fehlersignals — das aber Rauschen enth¨alt — beeintr¨achtigt wird. Diesen Vorteilen steht wohl als Nachteil die hohe Anzahl an unbekannten Parametern gegen¨ uber. Diese ist in der Regel deutlich h¨oher als bei Modellen mit Ausgangsr¨ uckkopplung. Im Falle von linearen Systemen kann die hohe Parameteranzahl noch als akzeptabel angesehen werden. Dies ¨andert sich jedoch bei der Identifikation von nichtlinearen dynamischen Systemen auf der Basis von Modellen ohne Ausgangsr¨ uckkopplung.

918

18 Identifikation linearer dynamischer Systeme

18.2.2.1 Finite Impulse Response Model Allgemein kann ein lineares dynamisches System zeitdiskret durch die Faltungssumme beschrieben werden [782]. Der Systemausgang berechnet sich entsprechend Gl. (18.20) aus der Faltung der Impulsantwort mit dem Eingangssignal3 : y [k] =

k 

h [i] u [k − i]

(18.20)

i=0

Mit fortschreitender Zeit wird die Anzahl der Abtastzeitpunkte k und somit der Rechenaufwand zur Berechnung der Faltungssumme immer gr¨oßer. Um einen konstanten Rechenaufwand zu gew¨ahrleisten, wird die Faltungssumme bei einer oberen Grenze m unter Vernachl¨assigung eines Restfehlers abgeschnitten. Dies ist m¨oglich, da f¨ ur stabile Systeme gilt4 : lim h [i] = 0

i→∞

(18.21)

Auf die Wahl der oberen Grenze nb = m, die auch als Antwortl¨ange bezeichnet wird, wird sp¨ater noch genauer eingegangen. An dieser Stelle ist nur wichtig, dass die Impulsantwort durch das Abschneiden endlich wird. Ein derart motiviertes Modell wird somit als FIR-Modell bezeichnet. Abbildung 18.6 zeigt das FIRModell in seiner Struktur. FIR-Modelle geh¨oren grunds¨atzlich zur Klasse der Ausgangsfehlermodelle und sind linear in den Parametern, jedoch k¨onnen prinzipbedingt nur Systeme mit abklingender Impulsantwort, d.h. stabile Systeme beschrieben werden. Der FIR-Systemansatz in Abb. 18.6 ist durch die folgende Gleichung definiert: y (z) = B (z) · u (z) + v (z) (18.22) Die optimale Identifikationsgleichung f¨ ur ein FIR-Modell ergibt sich mit e(z) = v(z) zu: ˆ (z) · u (z) yˆ (z) = B (18.23) Die Umwandlung von Gl. (18.23) f¨ uhrt zu: yˆ [k] = b1 · u [k − 1] + b2 · u [k − 2] + . . . + bm · u [k − m]

(18.24)

Gleichung (18.24) verdeutlicht noch einmal, dass das FIR-Modell aufgrund der fehlenden Ausgangsr¨ uckkopplung sowohl linear in den Parametern ist als auch zur Klasse der Ausgangsfehlermodelle geh¨ort. Den oben genannten Vorteilen steht der Nachteil gegen¨ uber, dass die Anzahl der unbekannten Parameter sehr hoch ist. Die Anzahl der Parameter ist nach Gl. (18.24) identisch mit der Antwortl¨ange m, d.h. pF IR = m. Die Antwortl¨ange h¨angt wiederum von der Systemdynamik und der Abtastzeit h ab. Als Faustformel wird in [774] m  T99.9 /h angegeben5 . Im Vergleich dazu ist die 3

Der Term h [0] · u [k] kann vernachl¨ assigt werden, wenn das System nicht sprungf¨ ahig ist. Die Gleichung (18.21) gilt nicht f¨ ur grenzstabile Systeme. 5 T99.9 ist die Zeit, bis 99.9 % des Endwertes der Sprungantwort eines Systems erreicht sind. 4

18.2 Lineare dynamische Modellstrukturen

919

v [k] u [k]

y [k] System

e [k] Modell

yˆ [k] v (z) u (z) B (z)

y (z)

e (z) ˆ (z) B yˆ (z) Abb. 18.6: Ausgangsfehlerstruktur des FIR-Modells

Anzahl unbekannter Parameter bei Modellen mit Ausgangsr¨ uckkopplung durch pARX/OE = 2 · n gegeben.6 Ein Beispiel soll die Gr¨oßenordnung der Anzahl unbekannter Parameter verdeutlichen. Betrachtet wird ein System zweiter Ordnung mit den auf die Abtastzeit h = 1s normierten Zeitkonstanten T1 = 5 und T2 = 7. F¨ ur dieses System ergeben sich die Parameteranzahlen pARX/OE = 4 und pF IR = 54. Diese hohe Anzahl an Parametern stellt bereits bei linearen Modellen ein Problem dar, was sich bei der Erweiterung des FIR-Modells auf nichtlineare Systeme noch verst¨arkt. Deshalb wurde bereits beim FIR-Modell nach M¨oglichkeiten gesucht, die Parameteranzahl zu reduzieren, woraus sich das OBF-Modell ergibt. 18.2.2.2 Orthonormal Basis Function Model Durch die Einf¨ uhrung von orthonormalen Basisfunktionen l¨asst sich die Anzahl unbekannter Parameter von FIR-Modellen deutlich reduzieren. Die Idee von 6

Wenn angenommen wird, dass na = nb = n ist und das System nicht sprungf¨ ahig ist.

920

18 Identifikation linearer dynamischer Systeme

¨ OBF-Modellen ist, die Impulsantwort durch eine gewichtete Uberlagerung von 7 orthonormalen Basisfunktionen zu beschreiben . In Abb. 18.7 ist dieses Prinzip verdeutlicht. ¨ Mit der gewichteten Uberlagerung orthonormaler Basisfunktionen kann die Impulsantwort (gestrichelte Kurve) eines Systems nachgebildet werden. Die Herausforderung dabei ist, Basisfunktionen zu finden, mit denen es m¨oglich ist, die Impulsantwort eines Systems zu rekonstruieren. Hierzu ist ein gewisses Vorwissen u ¨ber die Dynamik des Systems erforderlich, das jedoch durch die Analyse der Sprungantwort leicht gewonnen werden kann. Das OBF-Modell kann wie folgt definiert werden: y (z) = b1 · L1 (z) · u (z) + b2 · L2 (z) · u (z) + . . . + bmr · Lmr (z) · u (z)+v (z)

(18.25)

¨ der orthonormalen L1 (z) . . . Lmr (z) kennzeichnet die Ubertragungsfunktionen Filter. mr ∈ N ist die Anzahl der orthonormalen Filter bzw. der orthonormalen Basisfunktionen, f¨ ur die die Beziehung mr ≤ m gilt. Die Impulsantworten der orthonormalen Filter Lj (z) stellen die orthonormalen Basisfunktionen dar. Es gilt: ∞  Lj (z) = r7j [i] · z −i mit j = 1 . . . mr (18.26) i=1

Das OBF-Modell nach Gl. (18.25) kann in ein FIR-Modell u uhrt werden, ¨ berf¨ wenn f¨ ur die orthonormalen Filter L1 (z) = z −1 . . . Lm (z) = z −m mit mr = m eingesetzt wird. Die Wahl der orthonormalen Filter Lj (z) kann als das Einbringen von Vorwissen u ¨ber die Dynamik des Systems betrachtet werden. In der Literatur sind verschiedene Filter bekannt. Laguerre-Filter [783] eignen sich f¨ ur stark ged¨ampfte Systeme, da sie auf Vorwissen u ¨ ber einen reellen Pol des Systems beruhen. Umgekehrt eignen sich Kautz-Filter [784] f¨ ur schwach ged¨ampfte, oszillierende Systeme, da sie Vorwissen u ¨ber ein konjugiert komplexes Polpaar beinhalten. In [768, 776] werden sog. verallgemeinerte Filter vorgestellt, die es erlauben, eine beliebige Anzahl von reelen Polen und konjugiert komplexen Polpaaren zu ber¨ ucksichtigen. Laguerre- und Kautz-Filter sind als Spezialf¨alle in diesen verallgemeinerten Filtern enthalten. In [772] werden als Basisfunktionen orthonormalisierte verzerrte Sinusfunktionen vorgeschlagen. Nach [774] eignen sich diese Basisfunktionen sowohl f¨ ur schwach als auch stark ged¨ampfte Prozesse, weshalb sie im Folgenden genauer betrachtet werden. Die noch nicht orthonormierten verzerrten Sinusfunktionen lassen sich im Zeitbereich mit i = 1 . . . m und j = 1 . . . mr berechnen durch: rj [i] = 

1 m/2

& %  · sin j · π · 1 − e−(i−0,5)/ζ

(18.27)

In Gl. (18.27) bezeichnet m ∈ N die Antwortl¨ange und mr ∈ N die Anzahl der Basisfunktionen. Mit dem Formfaktor ζ ∈ R+ ist es m¨oglich, den Grad der 7 ¨ Das FIR-Modell kann auch als gewichtete Uberlagerung von Basisfunktionen angesehen werden. Die Basisfunktionen sind in diesem Fall Dirac-Impulse, die sich nicht u ¨ berlappen.

18.2 Lineare dynamische Modellstrukturen

921

0.2 j=2

Basisfunktionen 7 rj

0.15

j=1 j=4 j=6

0.1

j=3 j=5

0.05 0.0 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

i 0.1 h[i]

Impulsantwort h[i]

0.08

0.06 j=1

0.04

0.02

j=6 j=4

0.0 j=5

-0.02

j=3

j=2

-0.04 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

i ¨ Abb. 18.7: Orthonormale Basisfunktionen (oben) und Uberlagerung gewichteter Basisfunktionen zur Impulsantwort (unten)

922

18 Identifikation linearer dynamischer Systeme

Verzerrung der Basisfunktionen festzulegen und diese auf die Prozessdynamik anzupassen. Die Basisfunktionen k¨onnen wie folgt zu einer Matrix zusammengefasst werden: ⎡ ⎤ r T1 ⎢ rT ⎥ 3 4 ⎢ 2 ⎥ mit r Tj = rj [1] , rj [2] , . . . , rj [m] R = ⎢ .. ⎥ (18.28) ⎣ . ⎦ r Tmr R ∈ Rmr ×m wird als Rekonstruktionsmatrix bezeichnet und enth¨alt die Basisfunktionen zeilenweise. Die Rekonstruktionsmatrix ist nicht orthogonal und nicht normiert, dies kann gezeigt werden durch RT R = E. Diese Orthonormalit¨at ist jedoch wichtig, da jede Basisfunktion ihren eigenen Beitrag zur Rekonstruktion der Impulsantwort leisten soll. Durch Orthonormalisierung ergibt sich das 7 tats¨achliche Orthonormalsystem, die orthonormierte Rekonstruktionsmatrix R: 7 R = CT R C ∈ Rmr × mr 7R 7 T C = CT C RRT = CT R   7 = CT −1 R =⇒ R

(18.29) 7 ∈ Rmr × m R

Die Berechnung der quadratischen Matrix C ist in der Literatur (z.B.[786, 787]) auch als Cholesky-Zerlegung bekannt.8 Die in Gl. (18.27) definierten Basisfunktionen eignen sich gut f¨ ur die Identifikation von Prozessen der Ordnungen n ≥ 2. Bei Systemen mit der Ordnung n = 1 entspricht die Impulsantwort einer abklingenden Exponentialfunktion. Durch die Einf¨ uhrung einer zus¨atzlichen Grundbasisfunktion [774] kann die Impulsantwort f¨ ur den Fall n = 1 besser rekonstruiert werden. Die erweiterte Rekonstruktionsmatrix ergibt sich zu: ⎡ T ⎤ r0 ⎢ T ⎥ 1 ⎢ r ⎥ r0 [i] =  R = ⎢ .1 ⎥ · e−(j−0.5)/ζ R ∈ R(mr + 1) × m ⎣ .. ⎦ m/2 rTmr (18.30) Die orthonormierten Sinusfunktionen sind mit und ohne die abklingende Exponentialfunktion f¨ ur die Einstellwerte m = 50, ζ = 9, mr = 5 in Abb. 18.8 dargestellt. F¨ ur die richtige Wahl des Formfaktors ζ sowie der Anzahl orthonormalisierter verzerrter Basisfunktionen mr wurden in [774] die Faustformeln nach Tab. 18.2 festgelegt. 8 Allgemein formuliert l¨ aßt sich die Cholesky-Zerlegung auf jede symmetrische positiv definite Matrix A ∈ Rn×n anwenden und eindeutig in der Form A = GGT darstellen. Nach Bestimmung der linken Dreiecksmatrix G durch die Cholesky-Zerlegung erfolgt mittels der Substitutionen Lc − b = 0 (liefert durch Vorw¨ artseinsetzen c) und LT − x = c (liefert durch R¨ uckw¨ artseinsetzen x) iterativ die L¨ osung des urspr¨ unglichen Gleichungssystems Ax + b = 0. F¨ ur große Matrizen sind (n3 /6)-Iterationsschritte notwendig.

18.2 Lineare dynamische Modellstrukturen

923

0.2 j=2

Basisfunktionen 7 rj

0.15

j=1 j=4 j=6

0.1

j=3 j=5

0.05 0.0 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 5

0

10

15

20

25

30

35

40

45

50

i 0.2 j=0

Basisfunktionen 7 rj

0.15 j=4

j=6

0.1

j=3

0.05 0.0 -0.05 j=2

-0.1 j=5

-0.15 -0.2 0

j=1

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

i Abb.18.8: Orthonormale verzerrte Sinusfunktionen ohne (oben) und mit (unten) abklingender Exponentialfunktion

924

18 Identifikation linearer dynamischer Systeme

Tabelle 18.2: Faustformeln zur Wahl des Formfaktors ζ und der Basisfunktionenanzahl mr abh¨ angig vom D¨ ampfungsgrad D

D¨ ampfung

Formfaktor

Basisfunktionenanzahl

D > 0.7

ζ

T63 h

mr  6

D < 0.7

ζ

T95 h

mr 

ζ 2

Die Zeitkonstanten T63 und T95 bezeichnen die Zeit bis 63 % bzw. 95 % des Endwertes der Sprungantwort eines Systems erreicht sind. Diese Zeitkonstanten m¨ ussen noch auf die Abtastzeit h bezogen werden. In Tab. 18.2 ist f¨ ur die Basisfunktionenanzahl mr ein Wert empfohlen. In der Regel f¨ uhren mehr Basisfunktionen auch zu einem besseren Modell. Hier ist im Einzelfall zwischen Aufwand und Nutzen abzuw¨agen. Die Identifikationsgleichung f¨ ur das OBF-Modell ergibt sich somit nach der Einf¨ uhrung orthonormaler Basisfunktionen zu: yˆ [k] = b1 · 7 rT1 · u [k] + b2 · 7 rT2 · u [k] + . . . + bmr · 7 r Tmr · u [k]

(18.31)

Die Vektoren 7 r Tj ∈ R1×m bezeichnen die orthonormierten Basisfunktionen. Der Vektor u [k] ∈ Rm×1 enth¨alt m Vergangenheitswerte von u [k] und ergibt sich zu: 3 4 uT [k] = u [k − 1] , u [k − 2] , . . . , u [k − m] (18.32) Werden die unbekannten Parameter bi zu einem Parametervektor Θ zusammengefasst, vereinfacht sich Gl. (18.31) mit Hilfe der orthonormierten Basisfunktio7 und das optimale OBF-Modell ergibt sich zu: nenmatrix R 7 · u [k] yˆ [k] = ΘT · R

(18.33)

Das vorgestellte OBF-Modell u ¨ berwindet somit den Nachteil der hohen Parameteranzahl des FIR-Modells. Anstatt pF IR = m m¨ ussen nur noch pOBF = mr Parameter bestimmt werden.

18.3

Identifikationsbeispiele

Die vorgestellten Modellstrukturen sollen in diesem Kapitel an einem Beispiel ¨ veranschaulicht werden. Betrachtet wird ein lineares System mit der Ubertragungsfunktion F (s) =

1 1 = 2 (1 + sT1 )(1 + sT2 ) s T1 T2 + s(T1 + T2 ) + 1

18.3 Identifikationsbeispiele

925

und den auf die Abtastzeit von h = 1 s normierten Zeitkonstanten T1 = 5

T2 = 7

(normiert)

(18.34)

Im Folgenden sollen die vorgestellten Modellstrukturen mit und ohne Ausgangsr¨ uckkopplung an diesem Beispiel veranschaulicht werden. 18.3.1

ARX-Modell

Der Ausgang des ARX-Modells berechnet sich entsprechend Gl. (18.15) zu: ˆ 2 · u [k − 2] − Θ ˆ 3 · y [k − 1] − Θ ˆ 4 · y [k − 2] ˆ 1 · u [k − 1] + Θ yˆ [k] = Θ

(18.35)

Das ARX-Modell ist linear in den Parametern, so dass der RLS-Algorithmus zur Parameteradaption verwendet werden kann. Allerdings minimiert das ARXModell den Gleichungsfehler und nicht den Ausgangsfehler, so dass kein echtes Parallelmodell entsteht. Der Regressionsvektor setzt sich wie folgt zusammen: 3 4 xT [k] = u [k − 1] , u [k − 2] , −y [k − 1] , −y [k − 2] (18.36) Es sind 4 unbekannte Parameter zu adaptieren. In Abb. 18.9 sind der Identifikationsverlauf und der Parameterverlauf dargestellt. Es ist zu erkennen, dass nach wenigen Zeitschritten der Fehler minimal wird und die Parameter konvergieren. Nach 250 Zeitschritten werden die Parameter festgehalten, so dass das OBFModell als Parallelmodell fungiert. Wie in Abbildung 18.9 zu erkennen ist, steigt der Fehler zwischen Vorgabe und OBF-Modell in diesem Fall nicht an. Wird dem Nutzsignal ein Rauschen mit ca. 10 % der Amplitude des Ausgangssignals u ur den Identifikations- und Parameterverlauf die ¨berlagert, ergeben sich f¨ Ergebnisse nach Abb. 18.10. Das starke Rauschen f¨ uhrt dazu, dass die Parameter zwar konvergieren, aber fehlerhaft bestimmt werden. Dies ist charakteristisch f¨ ur das ARX-Modell, da nur im ungest¨orten Fall der Gleichungsfehler dem Ausgangsfehler gleichgesetzt werden kann. Die Konsequenz ist, dass der Fehler zwischen dem unverrauschten Ausgangssignal und dem Modell nicht klein wird. Im Parallelbetrieb ab 550 Zeitschritten bleibt der Fehler groß. Das ARX-Modell liefert somit unbefriedigende Ergebnisse bei verrauschten Signalen. (Identifikation bei verrauschten Signalen siehe auch Kap. 13.6.3.3.) 18.3.2

OE-Modell

Der Ausgang des OE-Modells berechnet sich entsprechend Gl. (18.18) zu: ˆ 1 · u [k − 1] + Θ ˆ 2 · u [k − 2] − Θ ˆ 3 · yˆ [k − 1] − Θ ˆ 4 · yˆ [k − 2] yˆ [k] = Θ

(18.37)

Das OE-Modell ist nichtlinear in den Parametern, so dass der RLS-Algorithmus zur Parameteradaption nicht verwendet werden kann. Stattdessen kommt das

926

18 Identifikation linearer dynamischer Systeme

0.5

Modell yˆ 0.4

System y

y, yˆ und e

0.3 0.2 0.1 0 -0.1

Fehler e -0.2

0

50

100

150

200

250

300

200

250

300

Zeitschritte

0.5

ˆ Parameter Θ

0

-0.5

-1

-1.5

0

50

100

150

Zeitschritte Abb.18.9: Identifikationsverlauf (oben) und Konvergenz der Parameter (unten) beim ARX-Modell

18.3 Identifikationsbeispiele

927

0.5

Modell yˆ 0.4

yu , yˆ und e

0.3

System yu

0.2 0.1 0 -0.1 -0.2

0

Fehler e

100

200

300

400

500

600

400

500

600

Zeitschritte

0.5

ˆ Parameter Θ

0

-0.5

-1

-1.5

0

100

200

300

Zeitschritte Abb.18.10: Identifikationsverlauf (oben) und Konvergenz der Parameter (unten) beim ARX-Modell mit Rauschen

928

18 Identifikation linearer dynamischer Systeme

Abb.18.11: Identifikationsverlauf (oben) und Konvergenz der Parameter (unten) beim OE-Modell ohne Rauschen

18.3 Identifikationsbeispiele

929

Abb.18.12: Identifikationsverlauf (oben) und Konvergenz der Parameter (unten) beim OE-Modell mit Rauschen

930

18 Identifikation linearer dynamischer Systeme

System y 0.3

Modell yˆ

y, yˆ und e

0.2 0.1 0 -0.1

Fehler e

-0.2

0

50

100

150

200

250

300

200

250

300

Zeitschritte 0.1

ˆ Parameter Θ

0.08

0.06

0.04

0.02

0

-0.02 0

50

100

150

Zeitschritte Abb.18.13: Identifikationsverlauf (oben) und Konvergenz der Parameter (unten) beim FIR-Modell

18.3 Identifikationsbeispiele

931

ˆ [i] Θ

0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

i Abb. 18.14: Identifizierte Impulsantwort des FIR-Modells

Gradientenabstiegsverfahren zum Einsatz. Die Lerngesetze f¨ ur die 4 unbekannten Parameter lauten ˆ i[k + 1] = Θ ˆ i[k] + η · e [k] · ∂ yˆ [k] Θ ˆi ∂Θ

mit

i = 1...4

(18.38)

mit dem Identifikationsfehler e[k] = y[k] − yˆ[k]. Beim OE-Modell wird der Ausgangsfehler minimiert, so dass ein echtes Parallelmodell entsteht. In Abb. 18.11 ist der Identifikationsverlauf und der Parameterverlauf dargestellt. Es ist zu erkennen, dass aufgrund des nichtlinearen Lernverfahrens der Fehler sehr langsam gegen Null geht und die Parameter entsprechend langsam konvergieren. Nach 2.4 Mio.-Zeitschritten werden die Parameter festgehalten, so dass das OE-Modell als Parallelmodell arbeitet. Wieder zeigt sich, dass der Fehler im Parallelbetrieb nicht ansteigt. In der Praxis sind jedoch solch lange Lernzeiten nicht sinnvoll, weswegen die Parameter in der Regel vorbelegt werden. Dazu wird zun¨achst ein ARX-Modell bestimmt, dessen Parameter dann zur Vorbelegung dienen. Wird dem Nutzsignal ein Rauschen mit ca. 10 % der Amplitude des Ausgangssignals u ur den Identifikations- und Parameterverlauf die ¨berlagert ergeben sich f¨ Ergebnisse nach Abb. 18.12. Trotz des starken Rauschens wird der Fehler zwischen dem unverrauschten Ausgangssignal und dem Modell klein und die Parameter konvergieren. Die Parameter sind nicht wie beim ARX-Modell mit einem systematischen Fehler behaftet. Allerdings wird der Lernvorgang durch den Rauscheinfluss noch verlangsamt. Im Parallelbetrieb ab 3.9 Mio.-Zeitschritten steigt der Fehler nicht an.

932

18 Identifikation linearer dynamischer Systeme

0.5

System yu 0.4

Modell yˆ

yu , yˆ und e

0.3 0.2 0.1 0 -0.1

Fehler e

-0.2

0

100

200

300

400

500

600

400

500

600

Zeitschritte 0.1 0.08

ˆ Parameter Θ

0.06 0.04 0.02 0 -0.02 -0.04 0

100

200

300

Zeitschritte Abb.18.15: Identifikationsverlauf (oben) und Konvergenz der Parameter (unten) beim FIR-Modell mit Rauschen

18.3 Identifikationsbeispiele

933

ˆ [i] Θ

0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 -0.01 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

i Abb. 18.16: Identifizierte Impulsantwort des FIR-Modells mit Rauschen

18.3.3

FIR-Modell

Der Ausgang des FIR-Modells berechnet sich entsprechend Gl. (18.24) zu: ˆ 1 · u [k − 1] + Θ ˆ 2 · u [k − 2] + . . . + Θ ˆ m · u [k − m] (18.39) ˆ T · x [k] = Θ yˆ [k] = Θ Das FIR-Modell ist linear in den Parameter, so dass der RLS-Algorithmus zur Parameteradaption verwendet werden kann. Der Regressionsvektor setzt sich wie folgt zusammen: 3 4 xT [k] = u [k − 1] , u [k − 2] , . . . , u [k − m] (18.40) Die Impulsantwort wird bei der Antwortl¨ange m = 54 abgeschnitten, d.h. es sind 54 unbekannte Parameter zu adaptieren. In Abb. 18.13 ist der Identifikationsverlauf und der Parameterverlauf dargestellt. Es ist zu erkennen, dass nach ca. 60 Zeitschritten der Fehler gegen Null geht. Dies entspricht etwa der Anzahl der unbekannten Parameter. Die Parameter konvergieren sehr gut. Nach 250 Zeitschritten werden die Parameter festgehalten, so dass das FIR-Modell als Parallelmodell arbeitet. Der Fehler steigt im Parallelbetrieb nicht an. Die identifizierten Parameter ergeben die abgeschnittene Impulsantwort des System, wie in Abb. 18.14 deutlich wird. Wird dem Nutzsignal ein Rauschen mit ca. 10 % der Amplitude des Ausgangssignals u ur den Identifikations- und Parameterverlauf ¨berlagert, ergeben sich f¨ die Ergebnisse nach Abb. 18.15. Trotz des starken Rauschens wird der Fehler

934

18 Identifikation linearer dynamischer Systeme

System y 0.3

Modell yˆ

y, yˆ und e

0.2 0.1 0 -0.1

Fehler e -0.2

0

50

100

150

200

250

300

200

250

300

Zeitschritte 0.2

ˆ Parameter Θ

0.15

0.1

0.05

0

-0.05 0

50

100

150

Zeitschritte Abb.18.17: Identifikationsverlauf (oben) und Konvergenz der Parameter (unten) beim OBF-Modell

18.3 Identifikationsbeispiele

935

ˆ [i] Θ

0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

i Abb. 18.18: Identifizierte Impulsantwort des OBF-Modells

zwischen dem unverrauschten Ausgangssignal und dem Modell klein und die Parameter konvergieren. Im Parallelbetrieb ab 550 Zeitschritten steigt der Fehler nicht an. Die identifizierte Impulsantwort ist in Abb. 18.16 dargestellt. Der Einfluss des Rauschens beeintr¨achtigt die Qualit¨at der identifizierten Impulsantwort nur geringf¨ ugig. Der einzige gravierende Nachteil des FIR-Modells ist somit die hohe Anzahl an Parametern. 18.3.4

OBF-Modell

Mit dem auf Orthonormalen Basisfunktionen basierten Modell wird der Nachteil der hohen Parameteranzahl aufgehoben. Der Ausgang des OBF-Modells berechnet sich entsprechend Gl. (18.33) zu: 7 · u [k] ˆT · R yˆ [k] = Θ    x [k]

(18.41)

mit dem Vektor 3 4 uT [k] = u [k − 1] , u [k − 2] , . . . , u [k − m]

(18.42)

Das OBF-Modell ist linear in den Parameter, so dass der RLS-Algorithmus zur Parameteradaption verwendet werden kann. Der Regressionsvektor setzt sich nun aus dem Produkt der Basisfunktionenmatrix mit dem Vektor der vergangenen Eingangssignale zusammen. Die Anzahl der Parameter reduziert sich somit auf

936

18 Identifikation linearer dynamischer Systeme

0.5

System yu 0.4

Modell yˆ

yu , yˆ und e

0.3 0.2 0.1 0 -0.1

Fehler e

-0.2

0

100

200

300

400

500

600

400

500

600

Zeitschritte 0.2

ˆ Parameter Θ

0.15

0.1

0.05

0

-0.05 0

100

200

300

Zeitschritte Abb.18.19: Identifikationsverlauf (oben) und Konvergenz der Parameter (unten) beim OBF-Modell mit Rauschen

18.4 Lerngesetz: Least-Squares-Verfahren

937

ˆ [i] Θ

0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

i Abb. 18.20: Identifizierte Impulsantwort des OBF-Modells mit Rauschen

mr . In diesem Beispiel wird mr = 10 und der Formfaktor der Basisfunktionen ζ = 13.2 gew¨ahlt. Als Antwortl¨ange ergibt sich wiederum m = 54. In Abb. 18.17 ist der Identifikationsverlauf und der Parameterverlauf dargestellt. Es ist zu erkennen, dass aufgrund der geringeren Parameteranzahl der Fehler schneller gegen Null geht als beim FIR-Modell. Die Parameter konvergieren sehr gut. Nach 250 Zeitschritten werden die Parameter festgehalten, so dass das OBFModell als Parallelmodell arbeitet. Der Fehler steigt im Parallelbetrieb nicht an. Die identifizierten Parameter ergeben zusammen mit der Basisfunktionenmatrix die abgeschnittene Impulsantwort des Systems, wie in Abb. 18.18 dargestellt. Wird dem Nutzsignal wiederum ein Rauschen mit ca. 10 % der Amplitude des Ausgangssignals u ur den Identifikations- und Parameter¨berlagert ergeben sich f¨ verlauf die Ergebnisse nach Abb. 18.19. Das starke Rauschen hat kaum einen Einfluss auf die Identifikation. Der Fehler zwischen dem unverrauschten Ausgangssignal und dem Modell wird klein und die Parameter konvergieren. Im Parallelbetrieb ab 550 Zeitschritten steigt der Fehler nicht an. Die identifizierte Impulsantwort ist in Abb. 18.20 dargestellt. Der Einfluss des Rauschens ist in der Impulsantwort kaum zu sehen.

18.4

Lerngesetz: Least-Squares-Verfahren

Die Methode der kleinsten Quadrate, auch als Least-Squares-Algorithmus (LS) bezeichnet, oder deren rekursive Variante (RLS) spielen in der Signalverarbeitung

938

18 Identifikation linearer dynamischer Systeme

und bei der L¨osung u ¨berbestimmter linearer Gleichungssysteme eine wichtige Rolle. Zun¨achst wird der Least-Squares-Algorithmus erkl¨art und anschließend die rekursive Form des Least-Squares-Algorithmus abgeleitet. 18.4.1

Nichtrekursiver Least-Squares-Algorithmus (LS)

ˆ erfolgt beim Least-SquaresDie Berechnung der optimalen Parameter Θ Algorithmus durch die Minimierung der Summe der quadrierten Gleichungsfehler. Ausgangspunkt ist dabei eine Gleichung9 f¨ ur das gesch¨atzte Ausgangssignal yˆ als Funktion der Parametersch¨atzwerte θi , i = 1 . . . m + n. yˆ[k] = u[k − 1] θˆ1 + · · · + u[k − m] θˆm + y[k − 1] θˆm+1 + · · · + y[k − n] θm+n (18.43) ˆ wobei oder kurz, yˆ[k] = x[k]T Θ, ˆ = [θˆ1 , . . . , θˆm , θˆm+1 , . . . , θˆm+n ]T Θ Zu jeder Messung des Modellausgangs yˆ geh¨ort also ein Datenvektor x vergangener Ein- und Ausgangssignale des Systems. F¨ ur den Fall m = n = 3 erh¨alt man f¨ ur jede Messung eine Zeile der folgenden Datenmatrix ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ x[1]T u[−1] u[−2] u[−3] y[−1] y[−2] y[−3] ⎢ x[2]T ⎥ ⎢ u[0] u[−1] u[−2] y[0] y[−1] y[−2] ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ (18.44) X = ⎢ x[3]T ⎥ = ⎢ u[1] u[0] u[−1] y[1] y[0] y[−1] ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . Liegt ein Datensatz mit P Messungen vor, so ergibt sich ⎤ ⎡ yˆ[1] ⎢ yˆ[2] ⎥ ⎥ ⎢ ˆ ⎥ = yˆ = X · Θ ⎢ .. ⎦ ⎣ . yˆ[P ]

(18.45)

mit der [P × n + m] Matrix X. Die Matrix X wird als Regressionsmatrix bezeichnet und enth¨alt alle n + m Signale des Datenvektors zu den P verschiedenen Zeitpunkten. Das G¨ utefunktional zur Bestimmung der p unbekannten Parameter lautet:   B B2 T   1 ˆ = min 1 B ˆB ˆ ˆ min E(Θ) y−X·Θ y−X·Θ (18.46) By −X · Θ B = min ˆ ˆ 2 ˆ 2 Θ Θ Θ mit y = 9

%

y[1] y[2] . . . y[P ]

&T

.

Auf Gleichungen dieser Art wird in Kapitel 18.2 n¨ aher eingegangen

18.4 Lerngesetz: Least-Squares-Verfahren

939

Die Anzahl P der Trainingspaare muss mindestens gleich der Parameteranzahl p sein, damit das Gleichungssystem l¨osbar ist. Normalerweise wird die Zahl der Trainingspaare wesentlich gr¨oßer als die Parameteranzahl sein (P > p), so dass sich ein u ¨ berbestimmtes Gleichungssystem ergibt (Redundanz). Durch zu ˆ ergibt Null setzen der Ableitung von Gl. (18.46) nach dem Parametervektor Θ sich der Parametervektor zu:   ˆ) ∂E( Θ ˆ =! 0 = −XT · y − X · Θ ˆ ∂Θ (18.47) =⇒

  ˆ = X+ · y = XT · X −1 · XT · y Θ

X+ ist die sogenannte Pseudo-Links-Inverse von X, da sie ¨ahnlich einer Inversen der nicht-quadratischen und somit auch nicht-invertierbaren Matrix X benutzt wird. F¨ ur den Sonderfall P = p ergibt sich X+ = X−1 . In Gleichung (18.47) kommt der Matrix XT · X — auch Kovarianzmatrix genannt – eine besondere Bedeutung zu, da solange diese Matrix invertierbar ist nur eine L¨osung f¨ ur das Gleichungssystem existiert. F¨ ur die Praxis folgt aus dieser Tatsache, dass das System gen¨ ugend angeregt werden muss, um vollen Rang der Kovarianzmatrix zu garantieren. Das vorgestellte Least-Squares-Verfahren ist in dieser Form nur als offline Verfahren einsetzbar, da alle Trainingspaare gleichzeitig vorliegen m¨ ussen. H¨aufig fallen jedoch Messwerte sukzessive w¨ahrend des Trainings an, so dass dies bei der Berechnung der optimalen Parameter ber¨ ucksichtigt werden kann. Aufgrund der Tatsache, dass mit zunehmender Messwerteanzahl die Berechnung der optimaˆ wegen der Zunahme der Zeilenanzahl in X immer aufw¨andiger len Parameter Θ wird, soll im Folgenden die rekursive Form des Least-Squares-Verfahrens (RLS) vorgestellt werden, bei der der Rechenaufwand zu jedem Abtastschritt gleich bleibt. 18.4.2

Rekursiver Least-Squares-Algorithmus (RLS)

Bei dem rekursiven Least-Squares-Verfahren bleibt der Rechenaufwand pro Zeitschritt konstant, obwohl immer neue Messvektoren hinzukommen. Zun¨achst wird von der Gleichung f¨ ur ein einzelnes Trainingspaar ausgegangen. 3 4 ˆ mit xT [i] = u[i − 1] . . . u[i − m] y[i − 1] . . . y[i − n] y[i] = xT [i] · Θ (18.48) F¨ ur k > p Trainingspaare ergibt sich mit ⎡ ⎤ xT [1] ⎢ xT [2] ⎥ 3 4T ⎢ ⎥ (18.49) y[k] = y[1] y[2] . . . y[k] X[k] = ⎢ .. ⎥ ⎣ . ⎦ xT [k]

940

18 Identifikation linearer dynamischer Systeme

das u ur k Messwertepaare zu ¨berbestimmte Gleichungssystem f¨ ˆ y[k] = X[k] · Θ[k]

(18.50)

Der optimale Sch¨atzwert f¨ ur k Gleichungen folgt gem¨aß Gleichung (18.47) zu   ˆ = XT [k] · X[k] −1 · XT [k] · y[k] (18.51) Θ[k] bzw. f¨ ur k + 1 Gleichungen zu   ˆ + 1] = XT [k + 1] · X[k + 1] −1 · XT [k + 1] · y[k + 1] Θ[k

(18.52)

Durch Aufteilen von Gleichung (18.52) in den neu hinzugekommenen Anteil und den bekannten Anteil, ergibt sich die L¨osung f¨ ur k + 1 Gleichungen zu ˆ + 1] = Θ[k 3 4  T X [k] x[k + 1] ·

X[k] xT [k + 1]

 −1 3 4  T · X [k] x[k + 1] ·

y[k] y[k + 1]



−1  T   T · X [k] · y[k] + x[k + 1] · y[k + 1] X [k] · X[k] + x[k + 1] · xT [k + 1] −1  T  ˆ · X [k] · X[k] · Θ[k] = XT [k] · X[k] + x[k + 1] · xT [k + 1]

=

 + x[k + 1] · y[k + 1]

(18.53)

F¨ ur die folgende Umformung ist das Matrixinversionslemma [779] notwendig: F¨ ur eine regul¨are Matrix A und Spaltenvektoren b und c gilt:     (A−1 b) cT A−1 T −1 −1 A + bc = A − (18.54) 1 + cT A−1 b wobei (A + b cT ) regul¨ar ist. F¨ uhrt man die Abk¨ urzung P−1 [k] = XT [k] · X[k] ein und wendet das Lemma an, so gilt:  P[k]x[k + 1]xT [k + 1]P[k]  −1 ˆ + x[k + 1] y[k + 1] P [k] Θ[k] 1 + xT [k + 1]P[k]x[k + 1] (18.55) Mit elementaren Umformungen kann schließlich der neue Sch¨atzwert f¨ ur den unbekannten Parametervektor durch folgende Gleichung bestimmt werden:   P[k] · x[k + 1] T ˆ + 1] = Θ[k] ˆ + ˆ Θ[k [k + 1] · Θ[k] · y[k + 1] − x 1 + xT [k + 1] · P[k] · x[k + 1]       Korrekturterm Verst¨arkungsvektor γ[k] (18.56) Der Sch¨atzwert f¨ ur k + 1 Gleichungen wird basierend auf dem Sch¨atzwert f¨ ur k Gleichungen und der P-Matrix durch Addition des alten Sch¨atzwertes und eines,

ˆ + 1] = Θ[k



P[k] −

18.4 Lerngesetz: Least-Squares-Verfahren

941

mit dem Verst¨arkungsvektor γ[k] multiplizierten Korrekturterms, berechnet. Der Korrekturterm ist die Differenz aus tats¨achlichem Messwert und der Pr¨adiktion des Systemverhaltens auf Basis des letzten Sch¨atzwertes der Parameter. Mit Gleichung (18.56) kann nun f¨ ur jedes neue Trainingspaar der Sch¨atzwert der Parameter auf Basis des jeweils letzten Sch¨atzwertes mit konstantem Rechenaufwand verbessert werden. Der Aufwand zur Berechnung der P-Matrix nimmt jedoch mit jedem Messwertepaar zu. Durch Partitionierung analog zur X-Matrix kann auch die Berechnung der P-Matrix rekursiv gestaltet werden. Als Rekursionsformel ergibt sich: P[k + 1] = P[k] − γ[k] · xT [k + 1] · P[k]

(18.57)

mit γ[k] gem¨aß Gleichung (18.56). Gleichung (18.56) und (18.57) bilden zusammen ein einseitig verkoppeltes System von Rekursionsgleichungen. Es bestehen nun zwei M¨oglichkeiten die Rekursion zu starten. Die erste ˆ M¨oglichkeit besteht in der Wahl beliebiger Startwerte Θ[0] und P[0]. Die Rekursion beginnt dann bereits mit dem ersten Messwertepaar. Als Startwert f¨ ur die Matrix P[0] eignet sich eine obere Dreiecksmatrix, deren Werte zwischen 100 ˆ kann mit Null initialisiert werden. und 1000 liegen. Der Parametervektor Θ[0] Eine zweite M¨oglichkeit besteht darin, die ersten p Trainingspaare zur L¨osung des dann eindeutig bestimmten Gleichungssystems zu benutzen. ˆ = X−1 [p] · y[p] Θ[p]

 −1 P[p] = XT [p] · X[p]

(18.58)

Die Rekursion startet dann mit dem (p + 1)-ten Trainingspaar. Der Vorteil der rekursiven Form des Least-Squares-Algorithmus ist, dass die bei der nichtrekursiven Methode n¨otige Matrixinversion der Kovarianzmatrix (XT · X)−1 vermieden werden kann. Die Matrixinversion reduziert sich bei der rekursiven Methode in eine Division durch einen Skalar. Das rekursive LeastSquares-Verfahren (RLS) ist somit, wie auch das bereits vorgestellte Gradientenverfahren, bei konstantem Rechenaufwand zu jedem Abtastschritt online anwendbar. Einf¨ uhrung eines Vergessensfaktors F¨ ur die Identifikation zeitvarianter Parameter ist es erforderlich den RLSAlgorithmus mit einem Vergessensfaktor λ zu versehen. Der Vergessensfaktor λ erm¨oglicht eine Gewichtung des Beitrags vergangener Trainingspaare zur Berechˆ Durch die Einf¨ nung der aktuellen Parameter Θ. uhrung eines Vergessensfaktors λ ≤ 1 werden Trainingspaare, die j Zeitpunkte zur¨ uckliegen mit dem Faktor λj gewichtet, so dass ein sog. exponentielles Vergessen eintritt.

942

18 Identifikation linearer dynamischer Systeme

Die Rekursionsgleichungen lauten dann: ˆ + 1] = Θ[k] ˆ + Θ[k

  P[k] · x[k + 1] T ˆ [k + 1] · Θ[k] · y[k + 1] − x λ + xT [k + 1] · P[k] · x[k + 1]       Korrekturterm Verst¨arkungsvektor γ[k] (18.59)

P[k + 1] =

13 λ

4 P[k] − γ[k] · xT [k + 1] · P[k]

λ = 0.9 . . . 1

(18.60)

Bei der Wahl des Vergessensfaktors muss stets ein Kompromiss gefunden werden zwischen einer besseren Elimination von St¨oreinfl¨ ussen (λ → 1) oder einem besseren Folgen der zeitver¨anderlichen Parameter (λ < 1).

18.5

Gradientenabstiegsverfahren

Durch das Lernverfahren sollen die Parameter des Modells so angepasst werden, dass die Abweichung zwischen dem Ausgang y des zu identifizierenden Systems und dem Ausgang yˆ minimiert wird. Diese Abweichung zwischen wahrem und gesch¨atztem Wert wird als Ausgangsfehler   ˆ = y − yˆ(Θ) ˆ e(Θ) (18.61) bezeichnet. ¨ Ausgangspunkt f¨ ur die folgenden Uberlegungen ist das quadratische Fehlerˆ maß E(Θ):  2 ˆ ˆ = 1 e2 (Θ) ˆ = 1 y − yˆ(Θ) E(Θ) (18.62) 2 2 ur die Adaption der Gewichte unerheblich, Die Einf¨ uhrung des Faktors 12 ist f¨ f¨ uhrt jedoch zu einem u ¨bersichtlicheren Lerngesetz. Das Ziel des Lernverfahrens ist es, Gleichung (18.62) bez¨ uglich der Parameter ˆ zu minimieren. Da im allgemeinen E(Θ) ˆ nicht analytisch vorliegt, bzw. deren (Θ) ˆ nicht analytisch berechnet werden kann, Ableitung bez¨ uglich der Parameter Θ ist man auf eine iterative L¨osung angewiesen [777]. Die grunds¨atzliche algorithmische Struktur besteht aus nachfolgenden Schritten und wird in Abbildung 18.21 f¨ ur den zweidimensionalen Fall illustriert. ˆ (1) Wahl eines Startpunktes Θ

(0)

und Festlegung des Iterationsindexes zu l = 0.

(2) Bestimmung einer Suchrichtung s(l) (3) Bestimmung einer skalaren Schrittweite η (l) > 0 durch L¨osung des folgenden eindimensionalen Minimierungsproblemes

18.5 Gradientenabstiegsverfahren

  (l) ˆ + η (l) s(l) min E Θ η>0

943

(18.63)

anschließend ergibt sich der l + 1-te Parametervektor aus ˆ (l+1) = Θ ˆ (l) + η (l) s(l) Θ

(18.64)

(4) Ist ein geeignetes Abbruchkriterium erf¨ ullt, dann stop. Ansonsten: (5) Beginne mit einer neuen Iteration l := l + 1 und R¨ ucksprung nach (2).

Abb. 18.21: Iterative Suche eines lokalen Minimums

Das in [777] beschriebene Gradientenabstiegsverfahren verwendet f¨ ur die Suchrichtung am jeweiligen Iterationspunkt die Richtung des steilsten Abstiegs, also die negative Gradientenrichtung s(l) = −

ˆ (l) ) ∂E (l) (Θ ˆ ∂Θ

(l)

(18.65)

In den meisten F¨allen wird (bis auf wenige Ausnahmen) auf die Bestimmung der skalaren Schrittweite η f¨ ur jeden Iterationsschritt verzichtet, da die Bestimmung der Schrittweite oft sehr zeitaufwendig und somit in Echtzeit nicht mehr durchf¨ uhrbar ist. Es wird eine geeignet gew¨ahlte Schrittweite η als konstant angesetzt. Diese Schrittweite wird oft auch als Lernschrittweite oder auch Lernfaktor bezeichnet.

944

18 Identifikation linearer dynamischer Systeme

¨ F¨ ur die Anderung der Gewichte des Modells ergibt sich somit in zeitdiskreter Schreibweise folgendes Lerngesetz ˆ ˆ + 1] = Θ[k] ˆ − η ∂E(Θ[k]) Θ[k ˆ ∂ Θ[k]

(18.66)

In zeitkontinuierlicher Form lautet das Lerngesetz ˆ ˆ dΘ ∂E(Θ) = −η  ˆ dt ∂Θ

(18.67)

wobei die Lernschrittweite η  der mit der Abtastzeit gewichteten Lernschrittweite f¨ ur den zeitdiskreten Fall entspricht.

18.6

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wurden die wichtigsten linearen Identifikationsverfahren im ¨ Uberblick vorgestellt. Es wurde zwischen Modellstrukturen mit und ohne Ausgangsr¨ uckkopplung unterschieden und auf die verschiedenen Vorteile und Nachteile der einzelnen Identifikationsverfahren eingegangen. Wichtige Merkmale sind dabei, ob eine Minimierung des Gleichungsfehlers oder des Ausgangsfehlers erfolgt und ob die Modellstruktur linear oder nichtlinear in den Parametern ist. An einem Identifikationsbeispiel wurden das ARX- und das OE-Modell als zwei Vertreter f¨ ur Modellstrukturen mit Ausgangsr¨ uckkopplung sowie das FIR- und das OBF-Modell als zwei Vertreter f¨ ur Modellstrukturen ohne Ausgangsr¨ uckkopplung veranschaulicht. Ein weiterer wesentlicher Aspekt ist, ob die Signale zur Identifikation verrauscht sind oder nicht. Wie in Kapitel 18.3.1 ausgef¨ uhrt, ist das ARX-Modell sehr rauschempfindlich, d.h. bei Rauschen werden die Parameter falsch bestimmt. Eine Abhilfe ist der Ansatz mit dem Kalmann-Filter bzw. dem Erweiterten Kalmann-Filter [767, 778, 785] — siehe auch Kap. 13.6 In Kapitel 13.6.3.3 werden außerdem Identifikationsverfahren bei verrauschten Signalen mittels des Kalman-Filters und des Erweiterten Kalman-Filters dargestellt. An dieser Stelle sei angemerkt, dass es in Software-Tools, wie z.B. Matlab/Simulink f¨ ur lineare Identifikationsprobleme Standardl¨osungen gibt. In der System Identification Toolbox von Matlab/Simulink werden Identifikationsalgorithmen im Zeit- sowie Frequenzbereich bereitgestellt.

19 Drehzahlregelung bei elastischer Verbindung zur Arbeitsmaschine

Bei der Optimierung der Drehzahlregelung (siehe z.B. Kap. 7.1.2) wurde bisher immer nur die elektrische Maschine allein betrachtet. In der Praxis sind auch die Einfl¨ usse einer elastischen Kopplung zwischen Antriebs- und Arbeitsmaschine von Interesse, die in diesem Kapitel diskutiert werden. Die Antriebsmaschine wird durch das Tr¨agheitsmoment ΘM approximiert, technologische Fragestellungen sind nicht ber¨ ucksichtigt (hierzu Kap. 22). Sollte eine ideale starre Verbindung vorliegen, so kann das Massentr¨agheitsmoment ΘA (Arbeitsmaschine) zum Massentr¨agheitsmoment ΘM der Antriebsmaschine (Motor) hinzugerechnet werden. In diesem Fall ist die Optimierung mit der Summe der Massentr¨agheitsmomente ΘM +ΘA durchzuf¨ uhren, und die Drehzahlen von Antriebs- und Arbeitsmaschine sind identisch. Bei realen Verbindungen zwischen Antriebsmaschine und Prozeß sind allerdings die elastischen Eigenschaften der Welle und die Nichtlinearit¨aten wie Lose und Reibung zu ber¨ ucksichtigen. Ein mechanisches Ersatzmodell f¨ ur diesen Fall zeigt Abb. 19.1.

Motor

antriebswalze getriebe

MM

ΘM

C

@ @

welle  C C C C  C C C C C  C C C C  C

c

lose d ϕM Verbindungswelle ϕ˙ M = ' nM = n1 (als masselos angenommen) ϕ¨M

MW

ΘA

reibung -

ϕA ϕ˙ A = ' nA = n2 ϕ¨A

Abb. 19.1: Elastische Verbindung Antriebsmaschine–Arbeitsmaschine

Die Modellvorstellung in Abb. 19.1 geht davon aus, daß die Welle als mechanische Drehfeder mit der Drehfedersteifigkeit c und der D¨ampfung d aufgefaßt werden kann. In manchen F¨allen der Praxis treten noch nichtlineare Einfl¨ usse

946

19 Drehzahlregelung bei elastischer Verbindung zur Arbeitsmaschine

auf, die im Rahmen dieses Buches nicht behandelt werden k¨onnen (siehe hier¨ zu [917]). Der Ubersetzungsfaktor u¨ = ϕM /ϕA des in Abb. 19.1 angenommenen Getriebes zwischen Lose und elastischer Welle wird im folgenden zu eins gesetzt. Die Anordnung Antriebsmaschinenmasse, elastisch gekuppelt mit der Arbeitsmaschinenmasse, stellt somit ein mechanisches System 3. Ordnung dar. Die mechanischen Grundgleichungen lauten wie folgt (allgemeiner Fall): :

MB

= Θ · ϕ¨

(19.1)

:

MC

= c · Δϕ

(19.2)

¨ Ubertragungsmoment durch D¨ampfung : MD

= d · Δϕ˙

(19.3)

Beschleunigungsmoment der Masse ¨ Ubertragungsmoment der Feder

Darin bedeuten:

ϕ¨ ϕ˙ ϕ c d

Winkelbeschleunigung Winkelgeschwindigkeit Drehwinkel Drehfedersteifigkeit mechanische D¨ampfung

Wellendaten

Werden diese mechanischen Grundgleichungen auf die Anordnung nach Abb. 19.1 angewandt, so ergibt sich folgendes Gleichungssystem (Index M = Antriebsmaschine, Motor; Index A = Arbeitsmaschine): Beschleunigungsmoment Antriebsmaschinenmasse: MM − 

M +M  C  D

Antriebsmoment (= Stellgr¨ oße)

R¨ uckwirkung der Last

MBM =

= ΘM · ϕ¨M

(19.4)

Beschleunigungsmoment Arbeitsmaschinenmasse: MBA =

MC + MD − MW     u ¨bertragenes Moment

Elastische Welle:

= ΘA · ϕ¨A

(19.5)

Lastmoment

Δϕ = ϕM − ϕA

(19.6)

Δϕ˙ = ϕ˙ M − ϕ˙ A

(19.7)

MC = c · Δϕ

(19.8)

MD = d · Δϕ˙

(19.9)

Mit Hilfe dieser Gleichungen kann der unnormierte Signalflußplan nach Abb. 19.2 abgeleitet werden. Eine normierte Darstellung des Zweimassensystems wird sp¨ater angegeben. Die Stellgr¨oße der Regelstrecke ist das Antriebsmoment MM , w¨ahrend die Winkelgeschwindigkeiten bzw. Drehzahlen ϕ˙ M (n1 ) und ϕ˙ A (n2 ) die Regelgr¨oßen ¨ darstellen. Im folgenden sind die Ubertragungsfunktionen zwischen Antriebsmaschinendrehzahl ϕ˙ M und -moment MM einerseits und zwischen Arbeitsmaschinendrehzahl ϕ˙ A und Antriebsmoment MM andererseits von Interesse. Es sollen also Drehzahlregelungen bez¨ uglich ϕ˙ M und ϕ˙ A entworfen werden.

19.1 Regelung der Arbeitsmaschinendrehzahl

947

d -

MC + MD 1 s ΘM

−

1

ϕ˙ M

-? e -

-e − 6

MM MBM

r -

? -e

-

Δϕ˙

Δϕ

1

MD

c

MW s ΘA − ?

r -e -

ϕ˙ A

r-

MC MC +MD MBA

ϕ˙ A

Abb. 19.2: Unnormierter Signalflußplan des Zweimassensystems

19.1

Regelung der Arbeitsmaschinendrehzahl

19.1.1

Strecken¨ ubertragungsfunktion GS1 (s)

Durch Anwendung der Blockschaltalgebra auf den Signalflußplan nach Abb. 19.2 ¨ l¨aßt sich die unnormierte Ubertragungsfunktion zwischen Arbeitsmaschinendrehzahl ϕ˙ A und Antriebsmoment MM ableiten (MW = 0). Durch Verlegung der R¨ uckkoppelschleife (MC + MD ) nach ϕ˙ A ergibt sich Abb. 19.3. MC + MD −

-? e

MM

-

MBM

1 s ΘM

ϕ˙ M

Δϕ˙

-e 6 −

-

d·

1 + s dc s dc

s ΘA 

MC +MD- 1 = MBA s ΘA

r

ϕ˙ A

-

Abb. 19.3: Umgeformter Signalflußplan

Mit den nun klar erkennbaren Vorw¨arts- und R¨ uckf¨ uhrzweigen l¨aßt sich die ¨ Ubertragungsfunktion GS1 (s) ableiten zu: 1 · sΘM

ϕ˙ A = GS1 (s) = MM 1+

1 sΘM

1+s

d c

ΘA d 1 + s + s2 c c d 1+s c · · sΘA ΘA d 1 + s + s2 c c

(19.10)

948

19 Drehzahlregelung bei elastischer Verbindung zur Arbeitsmaschine

Durch Ausmultiplizieren und Vorziehen des Faktors s (ΘM + ΘA ) ergibt sich die folgende, f¨ ur die Streckenanalyse geeignete Darstellung:

GS1 (s) =

1 + s dc 1 · ΘM ΘA d s (Θ + Θ ) 2  M A  1 + s c + s (ΘM + ΘA ) · c starre Verbindung   

(19.11)

Einfluß der elastischen Welle

Zur Vereinfachung wird im weiteren das Summentr¨agheitsmoment Θges Θges = ΘM + ΘA

(19.12)

und das Tr¨agheitsmomentverh¨altnis x zwischen Tr¨agheitsmoment der Antriebsmaschine ΘM und dem Summentr¨agheitsmoment Θges eingef¨ uhrt: x =

ΘM ΘM = < 1 ΘM + ΘA Θges

(19.13)

F¨ ur die Tr¨agheitsmomente von Antriebs- und Arbeitsmaschine folgen sofort: ΘM = x · Θges ;

ΘA = (1 − x) · Θges

(19.14)

¨ F¨ ur die Untersuchung der Ubertragungsfunktion GS1 (s) (und sp¨ater auch GS2 (s)) erweist es sich als sinnvoll, das Nennerpolynom des zweiten Terms aus Gl. (19.11) in die Form des Normpolynoms 2. Ordnung N(s) mit der Kennkreisfrequenz ω0 und dem D¨ampfungsgrad D zu bringen. Normpolynom 2. Ordnung: N(s)

=

1 + s·

2D 1 + s2 · 2 ω0 ω0

(19.15)

Die Kennkreisfrequenz ω0(N ) (Torsionseigenfrequenz) und der D¨ampfungsgrad D(N ) des Nennerpolynoms (Index (N)) ergeben sich in Abh¨angigkeit von den Streckenparametern durch Koeffizientenvergleich: ? ω0(N ) =

(ΘM + ΘA ) · c = ΘM ΘA



c x (1 − x) · Θges

? D(N )

d · = 2

(19.16)

? (ΘM + ΘA ) d = · ΘM ΘA · c 2

1 x (1 − x) · Θges · c

(19.17)

19.1 Regelung der Arbeitsmaschinendrehzahl

949

¨ Analyse der Ubertragungsfunktion GS1 (s)

19.1.2

F¨ ur die Streckenanalyse von GS1 (s) empfiehlt es sich, Betrag und Phase in drei Frequenzbereichen zu untersuchen. Abgesehen von dem integralen Anteil in GS1 (s) liegt noch eine Nullstelle und ein konjugiert komplexes Polpaar vor. Das Polynom 2. Ordnung im Nenner ist im allgemeinen nicht in zwei PT1 -Glieder aufspaltbar, da die mechanische D¨ampfung d klein ist und somit der D¨ampfungsgrad D(N ) kleiner 1 ist. Der Frequenzgang von GS1 (s) ist f¨ ur verschiedene D¨ampfungsgrade in Abb. 19.4 angegeben.



0

|GS1 (s)|

10

D(N) = 0, 1








D(N) = 0, 2


−5

10

−1

10

0

1

10

2

10

D(N) = 0, 3

10

3

10

ω/ω0(N) −50

D(N) = 0, 3

−150



GS1 (s)

−100

−200 −250 −1 10

D(N) = 0, 1 0

10


D = 0, 2 (N)



1

10

2

10

3

10

ω/ω0(N) Abb. 19.4: Bode-Diagramm zu GS1 (s): Variation des D¨ ampfungsgrades D(N )

F¨ ur sehr tiefe Frequenzen ω  ω0(N ) verbleibt nur der integrale Anteil 1/(s(ΘM + ΘA )), der eine starre Verbindung repr¨asentieren w¨ urde. Der Betrag von GS1 (s) nimmt mit 20 dB/Dekade ab, die Phase liegt bei − 90◦ . Im Bereich der Kennkreisfrequenz ω0(N ) kommt nun der zweite Term zum Tragen. Der Nennerterm im Zusatzteil von GS1 (s) ist um eine Ordnung h¨oher als das Z¨ahlerpolynom. Aufgrund der geringen D¨ampfung des PT2 -Terms im Nenner kann trotz der Phasenanhebung des Z¨ahlerterms in GS1 (s) eine Phasenabsenkung unter − 180◦ nicht verhindert werden. Im Betrag von GS1 (s) tritt eine mehr oder weniger starke Resonanz¨ uberh¨ohung auf. F¨ ur hohe Frequenzen ω ω0(N ) f¨allt der Betrag von GS1 (s) mit 40dB/Dekade ab, die Phase geht auf − 180◦ zur¨ uck.

950

19 Drehzahlregelung bei elastischer Verbindung zur Arbeitsmaschine

Die wesentliche Schwierigkeit bei der Regelung einer derartigen Strecke stellt die schnelle Phasenabsenkung unter − 180◦ dar. Im folgenden soll der Einfluß der elastischen Verbindung auf den Drehzahlregelkreis f¨ ur die Arbeitsmaschinendrehzahl ϕ˙ A diskutiert werden. 19.1.3

Einfluß der elastischen Kopplung auf den Drehzahlregelkreis

Es soll eine konventionelle Kaskadenregelung aus Drehzahlregler f¨ ur ϕ˙ A und unterlagertem Stromregelkreis eingesetzt werden. Die kleine Zeitkonstante des Drehzahlregelkreises ergibt sich mit dem nach Betragsoptimum (BO, Kap. 3.1) optimierten Stromregelkreis zu Tσn = Ters i = 2 Tσ (Tσ : kleine Zeitkonstante des Stromregelkreises, u ¨ blicherweise die Stromrichterzeitkonstante Tt ). Die Optimierung des Drehzahlregelkreises erfolgt nach dem Symmetrischen Optimum (SO, Kap. 3.2), wobei zuerst nur der integrale Anteil aus Gl. (19.11) ber¨ ucksichtigt wird. In Abb. 19.5 sind die entsprechenden Signalflußpl¨ane bei Regelung der Arbeitsmaschinendrehzahl ϕ˙A = ' nA gezeigt. d -

nA∗

1 s ΘM

n-Regler  wIA

-e - − 6

-

VR Tn ' xn ϕ˙ A =

nA∗

1

xIA ? −

-e -

ϕ˙ M

-e r − 6

1 s ΘA

c ? r-e

Tσn

1

- e- V 1 + sTn R 1 + sTσn sTn −6

ϕ˙A = ' nA r r

1 + s dc 1 s(ΘM + ΘA ) ΘA 1 + s dc + s2 (ΘΘMM+Θ A )c

ϕ˙ A

r -

ϕ˙ A

Abb. 19.5: Regelung der Arbeitsmaschinendrehzahl

W¨ urde eine starre Verbindung vorliegen (rein integrale Strecke), so erg¨abe sich ein Standard-SO-Kreis mit der Amplitudendurchtrittsfrequenz des offenen ¨ Drehzahlregelkreises von ωd = 1/(2Tσn ). In welcher Art und Weise das Ubertragungsverhalten des offenen Kreises durch die elastische Verbindung ver¨andert wird, liegt an der Lage der Torsionseigenfrequenz ω0(N ) von GS1 (s) in Bezug zur Amplitudendurchtrittsfrequenz ωd .

19.1 Regelung der Arbeitsmaschinendrehzahl

951

Im wesentlichen k¨onnen zwei F¨alle unterschieden werden. Bei harter Ankopplung der Arbeitsmaschine, z.B. durch eine hohe Drehfederkonstante c, wird ω0(N ) ωd . Die Resonanz¨ uberh¨ohung im Betrag von G0 (s) und die Phasenabsenkung tritt somit erst bei hohen Frequenzen auf. Dieser Fall wirft somit f¨ ur die Drehzahlregelung keine besonderen Probleme auf. Die Phasenreserve und die Amplitudendurchtrittsfrequenz werden gegen¨ uber der Standard-SO-Optimierung nicht ver¨andert (siehe Abb. 19.6).

F0 weiche Kopplung (w0(N)<wd) 1:2 1 2Tsn = wd

~ (QM+QA)

1 Tsn

1 1 4Tsn

1:1

Standard-SO 1:2

log w

harte Kopplung (w0(N)>wd)

1:3

j0 log w -90°

Standard-SO

instabil

-180°

-270°

j0res=37° > 0 j0res < 0 harte weiche Kopplung

Abb. 19.6: Frequenzg¨ ange des offenen ϕ˙A -Regelkreises

952

19 Drehzahlregelung bei elastischer Verbindung zur Arbeitsmaschine

Der kritische Fall liegt bei weicher Ankopplung vor, d.h. die Kreisfrequenz ω0(N ) liegt unterhalb oder im Bereich von ωd . Durch die schnelle Phasenabsenkung an der Resonanzstelle ist keine Stabilit¨at gew¨ahrleistet. Dieser Fall kann nur beherrscht werden, wenn der Drehzahlregler entsprechend langsamer“ ein” gestellt wird, so daß sich die gleichen Verh¨altnisse (ωd  ω0(N ) ) wie bei harter Ankopplung ergeben. Dies f¨ uhrt dann allerdings zu einer sehr großen Ersatzzeitkonstanten des geschlossenen Drehzahlregelkreises und damit zu einer entsprechend langsamen Drehzahlregelung. Beispiel: Wird eine Stromreglerersatzzeitkonstante Ters i = 5 ms angesetzt, so l¨aßt sich eine Amplitudendurchtrittsfrequenz ωd ≈ 100 s−1 erreichen, dies entspricht einer Frequenz fd = 16 Hz. Dies bedeutet, daß bei mechanischen Eigenfrequenzen im Bereich um fd und unterhalb von fd eine weiche Ankopplung vorliegt. Abbildung 19.7 zeigt den Verlauf des Phasenwinkels in der N¨ahe der Amplitudendurchtrittsfrequenz f¨ ur starre, harte und weiche Ankopplung in zwei unterschiedlichen F¨allen (s. auch Abb. 19.6): Links f¨ ur ω0(N ) = 10 ωd (starr), ω0(N ) = 3 ωd (hart), ω0(N ) = 0, 3 ωd (weich). Rechts f¨ ur ω0(N ) = 10 ωd (starr), ω0(N ) = 5 ωd (hart), ω0(N ) = 0, 5 ωd (weich). Durchgezogen ist die Amplitudendurchtrittsfrequenz ωd = 100 s−1 , strichliert jeweils die Knickfrequenzen ωd /2 und 2ωd f¨ ur Standard-SO-Optimierung. Bei weicher Ankopplung ist die Stabilit¨atsgrenze von −180◦ bereits vor ωd u ¨ berschritten. Bei harter Ankopplung betr¨agt der Abstand des Phasenwinkels von der Stabilit¨atsgrenze −180◦ bei ω0(N ) = 0, 3 ωd (links) etwa 21◦ und bei ω0(N ) = 0, 5 ωd (rechts) noch rund 16◦ .

weich

hart

starr

weich

hart starr

Abb. 19.7: Phasengang des offenen ϕ˙A -Regelkreises bei ω0(N ) = 0, 3 ωd , ω0(N ) = 3 ωd , ω0(N ) = 10 ωd (links) und bei ω0(N ) = 0, 5 ωd , ω0(N ) = 5 ωd , ω0(N ) = 10 ωd (rechts)

Um im Fall einer weichen Ankopplung eine stabile Regelung zu erm¨oglichen, ohne den ϕ˙ A -Regler sehr langsam einstellen zu m¨ ussen, stellt die Regelung der Antriebsmaschinendrehzahl ϕ˙ M eine L¨osung dar, die im folgenden untersucht wird.

19.2 Regelung der Antriebsmaschinendrehzahl

19.2

Regelung der Antriebsmaschinendrehzahl

19.2.1

Strecken¨ ubertragungsfunktion GS2 (s)

953

¨ Es wird nun analog zu Kap. 19.1 die Ubertragungsfunktion zwischen Antriebsmaschinendrehzahl ϕ˙ M und Antriebsmoment MM diskutiert. F¨ ur die Ableitung ¨ der Ubertragungsfunktion GS2 (s) kann der Signalflußplan nach Abb. 19.3 verwendet werden. Nach Einteilung in Vorw¨arts- und R¨ uckf¨ uhrzweige ergibt sich ¨ folgende Ubertragungsfunktion:

GS2 (s) =

ϕ˙ M = MM

1 + s dc + s2 ΘcA 1 · ΘM ΘA d s (Θ + Θ ) 2  M A  1 + s c + s (ΘM + ΘA )c starre Verbindung   

(19.18)

Einfluß der elastischen Welle

19.2.2

¨ Analyse der Ubertragungsfunktion GS2 (s)

Abweichend zu GS1 (s) ist in diesem Fall ein Z¨ahlerpolynom 2. Ordnung vorhanden. Der Anteil, der die starre Verbindung repr¨asentiert, und das Nennerpolynom 2. Ordnung sind unver¨andert gegen¨ uber GS1 (s). Aufgrund der geringen mechanischen D¨ampfung d und damit D¨ampfungsgraden D(Z) und D(N ) kleiner 1 ergeben sich konjugiert komplexe Pol- und Nullstellen. Mit Hilfe des Normpolynoms 2. Ordnung aus Gl. (19.15) und dem Tr¨agheitsmomentverh¨altnis x nach Gl. (19.13) lassen sich wieder die Kennkreisfrequenzen und D¨ampfungsgrade f¨ ur Z¨ahler (ω0(Z) und D(Z) ) und Nenner (ω0(N ) und D(N ) , wie bei GS1 (s)) der PT2 Terme von GS2 (s) bestimmen: ?  c 1 d (19.19) ; D(Z) = · ω0(Z) = (1 − x) · Θges 2 (1 − x) · Θges · c  ω0(N ) =

? c ; x (1 − x) · Θges

D(N )

d = · 2

1 (19.20) x (1 − x) · Θges · c

F¨ ur das Verh¨altnis von Z¨ahler- und Nennergr¨oßen folgt: 1 ω0(N ) = √ · ω0(Z) ; x

1 D(N ) = √ · D(Z) x

(19.21)

Zur Untersuchung von GS2 (s) werden zuerst die Grenzwert¨ uberg¨ange f¨ ur sehr tiefe und sehr hohe Frequenzen betrachtet und anschließend anhand von Gl. (19.18) und Gl. (19.21) bis (19.23) eine Diskussion von Amplituden- und Phasengang durchgef¨ uhrt.

954

19 Drehzahlregelung bei elastischer Verbindung zur Arbeitsmaschine

Tiefe Frequenzen (s → 0): GS2 (s) ≈

1 1 = s(ΘM + ΘA ) sT

(19.22)

Dies entspricht wieder der starren Verbindung. Hohe Frequenzen (s → ∞): GS2 (s) ≈

1 · s(ΘM + ΘA )

ΘA 1 1 c = = ΘM ΘA sΘM s T  (ΘM + ΘA ) c

(19.23)

¨ Somit ist f¨ ur sehr schnelle Anderungen bei hohen Frequenzen allein die Antriebsmaschinenmasse ΘM maßgebend, was physikalisch leicht erkl¨arbar ist: Die R¨ uckwirkung der Arbeitsmaschinenmasse ΘA u ¨ber die Welle setzt erst verz¨ogert ein. Daher besteht der Amplitudengang von GS2 (s) tendenziell aus zwei paral¨ lel verschobenen integralen Asten mit dem 1:1-Abfall. Abbildung 19.8 zeigt eine Prinzipskizze des Amplitudenganges von GS2 (s).

FS2(w)

QM w0(N)

1:1 Q M +Q A 1

w0(Z) 1 T'

1 T''

log w 1:1

w0(Z) < w0(N) Abb. 19.8: Amplitudengang von GS2 (s)

Damit erfolgt — von tiefen Frequenzen ausgehend — zuerst die Phasenanhebung aufgrund des Z¨ahlerterms 2. Ordnung und anschließend die Phasenabsenkung aufgrund des Nennerterms 2. Ordnung (Gl. (19.21)). Da außerdem D(Z) < D(N ) , erfolgt die Phasenanhebung schneller als die Phasenabsenkung; ebenso ist die Betragsabsenkung aufgrund des Z¨ahlerterms deutlicher als die Betragsabsenkung aufgrund des Nennerterms (Abb. 19.8).

19.2 Regelung der Antriebsmaschinendrehzahl

955

Phasengang von GS2 (s): Durch die integralen Anteile in GS2 (s) bei tiefen und hohen Frequenzen liegt die Phase in diesen Bereichen bei − 90◦ (Gl. (19.22) und (19.23)). Nur im Bereich der Eigenfrequenz ω0(Z) wird die Phase zuerst angehoben, da der Z¨ahlerterm vor dem Nennerterm wirksam wird. Die Phase wird danach durch den Einfluß des Nennerterms wieder auf − 90◦ abgesenkt. Die Form der Abweichung der Phase von − 90◦ h¨angt von den D¨ampfungsgraden in Z¨ahler und Nenner und dem Verh¨altnis x ab. In Abb. 19.9 sind der Amplituden- und Phasengang von GS2 (s) f¨ ur verschiedene Tr¨agheitsmomentverh¨altnisse x dargestellt. Da im Gegensatz zu GS1 (s) keine Phasenabsenkung auf kleiner als − 180◦ in GS2 (s) auftritt, ist diese Regelstrecke wesentlich unkritischer. Diese Erkenntnisse werden in Kap. 20 zur Verdeutlichung des Prinzips von passiven Schwingungsd¨ampfern verwendet. 1

10

|GS2 (s)|

x = 0, 1

PP P PP

x = 0, 3

0

10

H H x = 0, 7 HH x = 0, 5

−1

10

0

1

10

ω/ω0(N)

10

50



GS2 (s)

x = 0, 1

0 −50

XX X

x = 0, 3

XXX X

x = 0, 5

XXX X

−100 0 10

x = 0, 7 

1

10

ω/ω0(N)

Abb. 19.9: Bode-Diagramm zu GS2 (s) mit Variation des Tr¨ agheitsmomentverh¨ altnisses x

19.2.3

Einfluß der elastischen Kopplung auf den Drehzahlregelkreis

Analog zur Regelung der Arbeitsmaschinendrehzahl ϕ˙ A soll in diesem Fall wieder eine konventionelle Kaskadenregelung aus Drehzahlregler f¨ ur die Antriebsmaschinendrehzahl ϕ˙ M und unterlagertem Stromregelkreis (BO) untersucht werden. In Abb. 19.10 sind die entsprechenden Signalflußpl¨ane dargestellt. Ausdr¨ ucklich sei hier noch einmal erw¨ahnt, daß sich alle Einfl¨ usse der elastischen Kopplung auf die Regelung von ϕ˙ M beziehen. Es k¨onnen daraus zun¨achst keine Aussagen u ¨ber das

956

19 Drehzahlregelung bei elastischer Verbindung zur Arbeitsmaschine

d ∗ nM

1 s ΘM

n-Regler  wIA

-e - − 6

xIA ? −

-

VR Tn

-e -

1

ϕ˙ M

1 s ΘA

c

r- e r − 6

? r-e

ϕ˙A = ' nA r -

Tσn

ϕ˙ M = ' xn ∗ nM

- e- VR 1 + sTn sTn −6

wIA

1 + s dc + s2 ΘcA ϕ˙ M xIA 1 1 rs(Θ + Θ ) Θ Θ d 2 M A M A 1 + sTσn 1 + s c + s (ΘM +ΘA )c

-

ϕ˙ M

Abb. 19.10: Regelung der Antriebsmaschinendrehzahl

Verhalten der Arbeitsmaschinendrehzahl ϕ˙ A getroffen werden. Dies soll sp¨ater anhand einer Simulation bei verschiedenen Kopplungen untersucht werden. Im folgenden sollen wieder die F¨alle starre Kopplung, weiche und harte elastische Kopplung diskutiert werden. Fall a) starre Kopplung Im Fall der starren Kopplung kann mit der Summe der Massentr¨agheitsmomente Θges optimiert werden und die Aussagen der SO-Optimierung nach Kap. 3.2 gelten (Zeitkonstante TΘ(M +A) durch Normierung). Θges = ΘM + ΘA

−→

TΘ(M +A)

(19.24)

Optimierung des ϕ˙ M -Reglers (PI-Regler nach SO): 1.

TR = 4 · Tσn

2.

VR =

TΘ(M +A) 2 VS Tσn

(19.25) (19.26)

Eine starre Verbindung w¨ urde dann vorliegen, wenn ω0(Z) wesentlich gr¨oßer als ωd = 1/(2Tσn ) ist und somit praktisch kein Einfluß auf den Frequenzgang des offenen Kreises vorliegt (z.B. bei einer kurzen Welle oder großer Antriebsmaschinenmasse im Verh¨altnis zur Arbeitsmaschine, Gl. (19.18)).

19.2 Regelung der Antriebsmaschinendrehzahl

957

Fall b) elastische Kopplung b1) harte Ankopplung Liegt die Eigenfrequenz ω0(Z) deutlich oberhalb der Amplitudendurchtrittsfrequenz des offenen Drehzahlregelkreises ωd , wird sich kaum ein Einfluß von GS2 (s) auf den geschlossenen Regelkreis im Vergleich zur Standard-SO-Optimierung ergeben. Je nach D¨ampfungszustand und Lage der Eigenfrequenzen k¨onnen sich h¨oherfrequente Eigenschwingungen u ¨berlagern. Die Optimierung kann somit wie im Fall a) erfolgen. Die Auswirkungen auf die Frequenzg¨ange des offenen Drehzahlregelkreises sind in Abb. 19.11 angegeben (Fall b1).

F0 b2) weiche Kopplung 1:2

1 2Tsn = wd

~ (QM+QA) a)

1

1 4Tsn

1 Tsn

w0(Z)

w0(N)<wd

log w

1:1 QM Standard-SO

j0

T ersi, T xn

wd

1:2

w0(Z)

b1) harte Kopplung

w0(N)>wd log w

a)

-90°

Standard-SO b1)

b2)

-180°

j0res=37°

Abb. 19.11: Frequenzg¨ ange des offenen ϕ˙ M -Regelkreises

b2) weiche Ankopplung Eine weiche Ankopplung liegt vor, wenn ω0(Z) bzw. ω0(N ) wesentlich unterhalb oder im Bereich von ωd liegt. Durch die Phasenanhebung, verursacht durch GS2 (s) (siehe Abb. 19.9), treten keine Stabilit¨atsprobleme auf, wie

958

19 Drehzahlregelung bei elastischer Verbindung zur Arbeitsmaschine

im Fall der Drehzahlregelung der Arbeitsmaschine. In der N¨ahe der Amplitudendurchtrittsfrequenz ωd ist allerdings der zweite integrale Anteil von GS2 (s), der durch die Antriebsmaschinenmasse allein bestimmt wird, wirksam. Somit ergibt sich bei etwa gleicher Phasenreserve eine h¨ohere Amplitudendurchtrittsfrequenz, was zu kleineren Ersatzzeitkonstanten des geschlossenen Kreises f¨ uhrt. Es ergeben sich allerdings keine wesentlichen Probleme bei Regelung der Antriebsmaschinendrehzahl ϕ˙ M . Welches dynamische Verhalten sich im Falle einer weichen Ankopplung f¨ ur die Arbeitsmaschinendrehzahl ϕ˙ A ergibt, ist noch gesondert zu untersuchen. Abbildung 19.11 zeigt wieder den Einfluß von GS2 (s) bei weicher elastischer Ankopplung (Fall b2). Die Optimierung des ϕ˙ M -Regelkreises ist bei harter Ankopplung (Fall b1) identisch mit der starren Kopplung, d.h. f¨ ur die Reglerverst¨arkung ist die Summe der Massentr¨agheitsmomente maßgebend. Im Falle der weichen elastischen Kopplung ist nur noch das Massentr¨agheitsmoment ΘM der Antriebsmaschine wirksam. Optimierung des ϕ˙ M -Reglers (PI-Regler nach SO) f¨ ur Fall b2): 1. 2.

19.2.4

TR = 4 · Tσn TΘM < VRstarr VRelast = 2 VS Tσn

(19.27) (19.28)

Simulative Untersuchung der Arbeitsmaschinendrehzahl

Mit Hilfe einer Simulation soll nun das Verhalten der Arbeitsmaschinendrehzahl ur die drei F¨alle harte (ω0(N ) = 10 ωd) und weiche (ω0(N ) = 0, 1 ωd) ϕ˙ A = n2 f¨ elastische Ankopplung und der Fall mit ω0(N ) = ωd untersucht werden, wenn sich die Optimierung nur auf die Antriebsmaschinendrehzahl ϕ˙ M bezieht. Der f¨ ur die Simulation zugrunde gelegte Signalflußplan ist in Abb. 19.12 dargestellt. Es wurde eine normierte Darstellung gew¨ahlt. m12 m2 VRn Tnn VRi Tni Vt Tt VA TA TΘ1 TN c12 TΘ2 ' 1? uA iA=m α12 n2 n1 − iw- d -  uq - dq-d qq - d -  -d - d q- d?− − − − 76 6 6 6 6  d12 ' 1 eA =n n

∗ nM

q

i A

Vxi Txi 

2

q

-

iA



n 1

Vxn Txn 

n1

Abb. 19.12: Regelung der Antriebsmaschinendrehzahl

19.2 Regelung der Antriebsmaschinendrehzahl

959

Tabelle 19.1: Normierungstabelle

unnormierte Gr¨oße nach Abb. 19.2

Symbol

Bezugsgr¨oße

normierte Gr¨oße nach Abb. 19.12

Antriebsmoment

MM

MBZ1 = MiN

Beschleunigungsmoment der Antriebsmaschine

MBM

MBZ1

MM m1 = M BZ1 MBM mB1 = M

MC + MD

MBZ2

m12 = MCM+ MD BZ2

Lastmoment

MW

MBZ2 = u¨ · MBZ1

Beschleunigungsmoment der Arbeitsmaschine

MBA

MBZ2

Antriebsmaschinenwinkel

ϕM

Winkel der Antriebswelle

ϕA

Torsionswinkel der Welle

Δϕ

ϕBZ1 = TN Ω0N ϕ ϕBZ2 = BZ1 u¨ ϕBZ2

Winkelgeschwindigkeit der Antriebsmaschine

ϕ˙ M = ΩM

ϕ˙ BZ1 = ΩBZ = Ω0N

Winkelgeschwindigkeit der Arbeitsmaschine

ϕ˙ A = ΩA

Wellenmoment an der Antriebsmaschine

Differenzwinkelgeschwindigkeit der Welle

Δϕ˙

ϕ˙ BZ2 =

ϕ˙ BZ1 u¨

ϕ˙ BZ2

MW m2 = M BZ2 MB2 mB2 = M

BZ2

ϕ α1 = ϕ M BZ1 ϕA α2 = ϕBZ2 Δϕ α12 = ϕBZ2 = α1 − α2 ϕ˙ n1 = ϕ˙ M BZ1 ϕ˙ n2 = ϕ˙ A BZ2 Δϕ˙ n12 = ϕ˙ BZ2

MBZ1 = ϕ¨BZ1

= n1 − n2 M Ω0N TΘ1 = ΘM 1N

MBZ2 ϕ¨BZ2

TΘ2 = ΘA Ω0N M1N

Massentr¨agheitsmoment der Antriebsmaschine

ΘM

ΘBZ1

Massentr¨agheitsmoment der Arbeitsmaschine

ΘA

ΘBZ2 =

Drehfedersteifigkeit der Welle

c

BZ2 cBZ = M ϕBZ2

D¨ampfung der Welle

d

dBZ =

MiN : N0N : u¨ : TN :

BZ1

MBZ2 ϕ˙ BZ2

c c12 = cBZ d12 =

d dBZ

inneres Nennmoment der Antriebsmaschine Leerlaufnenndrehzahl, Ω0N = 2πN0N Getriebe¨ ubersetzungsfaktor, Getriebe am Wellenanfang, u¨ = Maus /Mein Normzeitkonstante, TN = 1 s

960

19 Drehzahlregelung bei elastischer Verbindung zur Arbeitsmaschine

¨ Der Ubersetzungsfaktor u¨ = n1 /n2 des in Abb. 19.1 angenommenen Getriebes zwischen Lose und elastischer Welle wird im folgenden zu 1 gesetzt. Die Normierung erfolgt auf die Bezugsgr¨oßen (Index BZ) nach Tabelle 19.1. Grundlage ist eine konventionelle Strom-Drehzahl-Kaskadenregelung in Bezug auf die Antriebsmaschinendrehzahl ϕ˙ M = n1 = nM . Nach Abb. 19.12 erfolgt die Stromregelung mit einem PI-Regler, der nach dem Betragsoptimum (BO) so eingestellt wird, als w¨ urde ein lineares System mit starrer Verbindung von Antriebs- und Arbeitsmaschine vorliegen. Wird der Drehzahlregelkreis mit einem PI-Regler nach dem Symmetrischen Optimum (SO) optimiert, so hat der offene Kreis im Falle von Abb. 19.12 eine Durchtrittsfrequenz von ωd = 1/(2Tσn ) mit Tσn = Ters i + Txn . Ist die Kennkreisfrequenz ω0(N) > 10 ωd (harte elastische Kopplung), so zeigt der geschlossene Drehzahlregelkreis ein Bode-Diagramm mit der zugeh¨origen F¨ uhrungssprungantwort nach Abb. 19.13 (ohne Sollwertgl¨attung). Im Großen verlaufen die Drehzahlen n1 und n2 nach der SO-Normfunktion, im Kleinen zeigen die Massen jedoch schlecht ged¨ampfte Schwingungen, die um 180◦ gegeneinander versetzt sind. Eine einfache Kaskadenstruktur nach Abb. 19.12 ist nicht in der Lage, diese Schwingungen zu d¨ampfen.

Abb. 19.13: Bode-Diagramm des geschlossenen Drehzahlregelkreises und F¨ uhrungssprungantwort bei harter Ankopplung (ω0(N ) = 10 ωd ; — n1 , - - - n2 )

Ist ω0(N) < 0, 1 ωd (weiche elastische Kopplung), so stellt sich zwar n1 schnell auf den Sollwert ein, die Arbeitsmaschinendrehzahl n2 f¨ uhrt jedoch schlecht ged¨ampfte Schwingungen aus, wie Abb. 19.14 zeigt. In diesem Fall der weichen Ankopplung der Arbeitsmaschine bereitet die Regelung der Antriebsmaschinendrehzahl keine Probleme, nur die Arbeitsmaschinendrehzahl kann nicht unter Kontrolle gehalten werden. Die schnelle Regelung der Antriebsmaschinendrehzahl stellt f¨ ur die Arbeitsmaschinenmasse eine nahezu sprungf¨ormige Anregung dar, wodurch die schwach ged¨ampften und niederfrequenten (f0(N ) < 5 Hz) Eigenfrequenzen angeregt werden.

19.2 Regelung der Antriebsmaschinendrehzahl

961

Abb. 19.14: Bode-Diagramm des geschlossenen Drehzahlregelkreises und F¨ uhrungssprungantwort bei weicher Ankopplung (ω0(N ) = 0, 1 ωd ; — n1 , - - - n2 )

Liegen die Eigenfrequenzen der Mechanik im Bereich von ωd (0, 1 ωd < ω0(N) < 10 ωd), so tritt der Einfluß der Mechanik deutlich in Erscheinung, da die Resonanzstellen gerade im Nutzfrequenzbereich der Regelung auftreten. Dies ergibt dann ein g¨anzlich unbefriedigendes Verhalten sowohl der Antriebsmaschinendrehzahl n1 als auch der Arbeitsmaschinendrehzahl n2 . Abbildung 19.15 zeigt das dynamische Verhalten f¨ ur den Fall ω0(N ) = ωd . Wie aus dem Bode-Diagramm in Abb. 19.15 erkennbar ist, treten die Eigenfrequenzen der Mechanik auch im Frequenzgang des geschlossenen Drehzahlregelkreises deutlich in Erscheinung.

Abb. 19.15: Bode-Diagramm des geschlossenen Drehzahlregelkreises und F¨ uhrungssprungantwort bei Lage der Eigenfrequenzen im Nutzfrequenzbereich (ω0(N ) = ωd ; — n1 , - - - n2 )

962

19.2.5

19 Drehzahlregelung bei elastischer Verbindung zur Arbeitsmaschine

Bewertung der konventionellen Kaskadenregelung

Zusammenfassend kann folgendes festgestellt werden. Bei Einsatz einer konventionellen Kaskadenregelung ist nur ein zufriedenstellendes Verhalten der Antriebs- und Arbeitsmaschinendrehzahl zu erreichen, wenn die Eigenfrequenzen der Mechanik weit oberhalb der Amplitudendurchtrittsfrequenz ωd des offenen Drehzahlregelkreises liegen (harte Kopplung). Selbst in diesem Fall k¨onnen aber hochfrequente Eigenschwingungen durch die Kaskadenregelung nicht beherrscht werden. Liegen sehr niederfrequente Eigenschwingungen vor, die dann zu schlecht ged¨ampften Lastschwingungen f¨ uhren, kann die Kaskadenregelung durch eine gewichtete Differenzdrehzahl-Aufschaltung auf den Ankerstromsollwert verbessert werden (gestrichelt in Abb. 19.12). Dabei wird die Differenzdrehzahl als weitere Zustandsgr¨oße des Systems zur D¨ampfung herangezogen. Diese Struktur kann als unvollst¨andige Zustandsregelung aufgefaßt werden. ¨ Damit k¨onnen noch nicht alle Pole der Ubertragungsfunktion in eine gew¨ unschte Lage verschoben werden. Wird jedoch auch noch der gemessene oder beobachtete Torsionswinkel α12 = α1 − α2 gewichtet zur¨ uckgef¨ uhrt, so liegt — abgesehen von kleinen Zeitkonstanten — eine vollst¨andige Zustandsr¨ uckf¨ uhrung vor. Dann sind gen¨ ugend Parameter vorhanden, um die D¨ampfung des Systems, z.B. nach dem D¨ampfungsoptimum, vorzugeben. Die erreichbare Ersatzzeitkonstante des geschlossenen Drehzahlregelkreises ist sowohl durch die kleinen Zeitkonstanten als auch durch die zul¨assigen Stromamplituden nach unten begrenzt. Die Wirkung dieser Aufschaltung ist unmittelbar einleuchtend: eine hohe Differenzdrehzahl n1 − n2 bewirkt ein starkes Spannen“ der Feder, was als Kon” sequenz zu anschließenden Schwingungen f¨ uhrt. Diese Differenzdrehzahl wird nun so auf den Ankerstromsollwert aufgeschaltet, daß eine Reduktion des Ankerstroms und damit des Antriebsmaschinenmomentes erreicht wird, d.h. einem weiteren Spannen der Feder entgegengewirkt wird. Dieser Fortschritt muß allerdings mit zwei Nachteilen erkauft werden, erstens einem Verlust an Dynamik und zweitens einem gr¨oßeren Lasteinbruch bei einer St¨orung. Eine Zur¨ ucknahme des Momentes zur Schwingungsd¨ampfung hat bei einem F¨ uhrungssprung eine gr¨oßere Anregelzeit zur Folge und der gr¨oßere Lasteinbruch wird ebenfalls verst¨andlich, weil die Antriebsmaschine bei Aufschalten eines St¨ormomentes zun¨achst einmal weich nachgibt, also gewissermaßen f¨ ur das Abfangen der St¨orung in die falsche Richtung reagiert. M¨ochte man diese Nachteile ebenfalls noch eliminieren, so muß auch der Verdrehwinkel der Welle Δϕ bzw. α12 mit in die Regelung einfließen. Es m¨ ussen somit alle Zust¨ande in der Regelstrecke erfaßt werden, um alle m¨oglichen F¨alle beherrschen zu k¨onnen. Somit ist in diesem Fall eine Regelung des Zweimassensystems nur noch mit den Methoden der Zustandsregelung m¨oglich, deren Theorie bereits in Kap. 5.5 hergeleitet wurde.

19.3 Zustandsregelung des Zweimassensystems

19.3

Zustandsregelung des Zweimassensystems

19.3.1

Zustandsdarstellung

963

F¨ ur den Entwurf einer Zustandsregelung muß die Regelstrecke erst in die Zustandsdarstellung gebracht werden. Dabei kann von dem unnormierten Signalflußplan des Zweimassensystems nach Abb. 19.16 ausgegangen werden.

d 1 s ΘM

− (i) MM ? -e ΘM ϕ¨M

MD

-

MC + MD 1 ϕ˙ M

-e − 6

r -

c Δϕ

-

(ii)

1. Sp. ϕ˙ A

(v)

MW

1 s ΘA

− MC ? -e r -? e (iv) (iii) ΘA ϕ¨A

2. Sp.

ϕ˙ A

r -

3. Sp.

Abb. 19.16: Zweimassensystem

Die Strecke enth¨alt drei Integratoren (Antriebsmaschinenmasse, Wellenverdrehung, Arbeitsmaschinenmasse), daher ergibt sich eine Zustandsdarstellung 3. Ordnung. In Abb. 19.16 ist noch einmal das Zweimassensystem gezeigt samt den Nummern der beschreibenden Gleichungen (i-v). Aus Abb. 19.16 l¨aßt sich folgender Satz von Gleichungen ableiten. Es ergeben sich drei Gleichungen f¨ ur die drei Zust¨ande. Die drei Zustandsgr¨oßen sind ϕ˙ M , Δϕ und ϕ˙ A , w¨ahrend MM die Stellgr¨oße ist und MW eine St¨orgr¨oße darstellt. Antriebsmaschinenmasse: (i)

1 1 · MM − · (MC + MD ) ΘM ΘM

ϕ¨M

=

Δϕ˙

= ϕ˙ M − ϕ˙ A

(19.29)

Welle: (ii)

(19.30)

Arbeitsmaschinenmasse: (iii)

ϕ¨A

=

1 1 · (MC + MD ) − · MW ΘA ΘA

(19.31)

Bestimmungsgleichungen: (iv) (v)

MC MD

= c · Δϕ = d · Δϕ˙

(19.32) (19.33)

964

19 Drehzahlregelung bei elastischer Verbindung zur Arbeitsmaschine

Aus Gleichung (iv) und (v) ergibt sich das R¨ uckwirkungsmoment MC + MD zu: MC + MD = c · Δϕ + d · (ϕ˙ M − ϕ˙ A )

(19.34)

Dieses R¨ uckkoppelmoment MC + MD kann nun in die Gleichungen (i) und (iii) eingesetzt werden. Geordnet nach den Zustandsgr¨oßen kann man folgende Zustandsgleichungen angeben: ϕ¨M = − d ϕ˙ M − c Δϕ + d ϕ˙ A + 1 MM ΘM ΘM ΘM ΘM

(19.35)

0 Δϕ −

(19.36)

Δϕ˙ =

1 ϕ˙ M +

1 ϕ˙ A +

0 MM

d c d ΘA ϕ˙ M + ΘA Δϕ − ΘA ϕ˙ A +

ϕ¨A =

0 MM − Θ1 MW (19.37) A

Aus diesen drei Gleichungen l¨aßt sich eine Matrizendarstellung angeben mit u = MM und z = MW . Matrizendarstellung: x˙ = A · x + b · u + v · z ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞⎛

d ϕ¨M ⎟ ⎜ − Θ M ⎟⎜ ⎟⎜ =⎜ Δϕ˙ ⎟ ⎟⎜ 1 ⎠⎝ d ϕ¨A ΘA

−

c ΘM

0 c ΘA

⎞⎛ d ⎜ ϕ˙ M ΘM ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ·⎜ −1 ⎟ ⎟ ⎜ Δϕ ⎝ ⎠ d ϕ˙ A − ΘA

(19.38)

⎞ ⎛

⎛ ⎞ 1 ⎟ ⎜Θ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ M ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟+⎜ 0 ⎟·MM +⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ 1 − 0 ΘA

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟·MW ⎟ ⎠

(19.39) Um sp¨ater aus der Zustandsdarstellung eine dimensionslose charakteristische Gleichung zu erhalten, soll noch die Zustandsdarstellung f¨ ur den normierten Signalflußplan nach Abb. 19.17 angegeben werden. Die Darstellung nach Abb. 19.17 kann durch Normierung der Bewegungsgleichungen erfolgen. d12 -

m12 − m1 ? -e -

m2 TN

TΘ1 n1

-e − 6

r -

c12 α12

-

? -e

− ? r -e

n2

Abb. 19.17: Normierte Darstellung des Zweimassensystems

TΘ2 n2

r-

19.3 Zustandsregelung des Zweimassensystems

965

Der Rechengang zur Ableitung der Zustandsdarstellung erfolgt wie oben gezeigt. Es ergibt sich folgendes System, mit n1 , α12 und n2 als Zustandsgr¨oßen, wobei das Lastmoment m2 zu Null angenommen wurde. ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ d12 c12 d12 1 − − ⎜ ⎟ n n ˙ 1 ⎟ ⎜ ⎜ 1 ⎟ ⎜ TΘ1 ⎟ TΘ1 TΘ1 ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ TΘ1 ⎟ 1 ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎟ ⎟·⎜ α ⎟+⎜ (19.40) ⎜ α˙ 12 ⎟ = ⎜ ⎟ · m1 0 − ⎜ 12 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ TN TN ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ d ⎠ ⎠ c12 d12 ⎠ 12 n˙ 2 n2 0 − TΘ2 TΘ2 TΘ2 x˙

19.3.2

=

·

A

x

+

b

· m1

Zustandsregelung ohne I-Anteil

Ausgehend von dieser Zustandsdarstellung soll nun ein Zustandsregler entworfen und optimiert werden. Die Regelgr¨oße sei die Arbeitsmaschinendrehzahl n2 . Es soll eine Zustandsregelung nach Abb. 5.18 entworfen werden (ohne I-Anteil), dazu m¨ ussen n1 , α12 und n2 u uckf¨ uhrkoeffizienten r1 , r2 und ¨ber proportionale R¨ r3 auf den Stelleingang zur¨ uckgef¨ uhrt werden. Die Bereitstellung der Stellgr¨oße Antriebsmoment durch eine stromgeregelte elektrische Maschine soll in diesem Prinzipbeispiel nicht ber¨ ucksichtigt werden, d.h. die unterlagerte Stromregelung mit Stromrichter und Ankerkreis sei hier vernachl¨assigt (Vers i = 1, Ters i = 0). Diese Vernachl¨assigung ist zweckm¨aßig zu diesem Zeitpunkt, da wie aus Kap. 9 und 10 bekannt, das Stromrichter-Stellglied nichtlinear ist. In der Realit¨at wird der Stromregelkreis nach den bekannten Regeln optimiert und dann die Pole des Stromregelkreises nicht mehr ge¨andert. In Abb. 19.18 ist der dazugeh¨orige Signalflußplan dargestellt. Ausgehend von Abb. 19.18 kann die Zustandsdarstellung des geregelten Systems angegeben werden zu: ⎛ x˙ = A · x + b ·

⎝n∗2 

⎛

· KV − ( r1

⎞⎞ n1 r2 r3 ) · ⎝ α12 ⎠⎠ n2  

(19.41)

neue Stellgr¨ oße

x˙ = A · x + b · KV · n∗2 − b · r T· x

(19.42)

n2∗

(19.43)

x˙ = (A − b · r ) · x + b · KV ·  T

neue Anregung

966

19 Drehzahlregelung bei elastischer Verbindung zur Arbeitsmaschine

m12 d12 1

n∗2 = y ∗

-

KV

i∗A = m1 sTΘ1 u = m1 − ?

-e - e− 6

1 sTN

n1

r -e r − 6

m2 1 c12

α12

r-

− ?

er e-?

m12

n2



n1



α12



n2

n2 = y

r -

r

r1 e 6

sTΘ2

r2 e 6

r3

Abb. 19.18: Zustandsregelung der Antriebsmaschinendrehzahl n2 ohne I-Anteil

Der Zusatzanteil b · r T durch die Regelung wirkt sich dabei nur auf die erste Zeile der Systemmatrix A aus. ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ 1 r1 r2 r3 ⎜ T ⎟ ⎜ T ⎟ ⎜ Θ1 ⎟ ⎜ Θ1 TΘ1 TΘ1 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ T (19.44) b · r = ⎜ 0 ⎟ · ( r1 r 2 r 3 ) = ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ 0 0 0 0 Somit kann die neue Systemmatrix AZR , die das Eigenverhalten des geregelten Systems beschreibt, angegeben werden zu: AZR = A − b · r T = ⎛

d12 r1 c12 r2 − − ⎜ −T − T T T Θ1 Θ1 Θ1 Θ1 ⎜ ⎜ 1 =⎜ 0 ⎜ TN ⎜ ⎝ d12 c12 TΘ2 TΘ2

d12 r3 − TΘ1 TΘ1 1 − TN d12 − TΘ2

(19.45) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(19.46)

19.3 Zustandsregelung des Zweimassensystems

967

Die Pole der F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion n2 /n∗2 lassen sich aus folgender Gleichung in Abh¨angigkeit von r1 , r2 und r3 bestimmen: NZR (s) = det (sE − AZR ) = 0

(19.47)

Durch Auswertung der Determinante ergibt sich die charakteristische Gleichung 3. Ordnung.

  1 r1 1 + · s2 + NZR (s) = s3 + d12 + TΘ1 TΘ2 TΘ1

  1 d12 (r1 + r3 ) c12 1 r2 + · s1 + + + + TN TΘ1 TΘ2 TΘ1 TΘ2 TΘ1 TN +

c12 (r1 + r3 ) TΘ1 TΘ2 TN

(19.48)

Nach dem Verfahren der Polvorgabe k¨onnen durch Vergleich mit einem Wunschpolynom die Reglerkoeffizienten r1 , r2 und r3 bestimmt werden. Das Wunschpolynom kann z.B. ein Normpolynom nach dem D¨ampfungsoptimum sein: NN orm (s) = s3 + p2 s2 + p1 s1 + p0

(19.49)

Die Bestimmungsgleichungen f¨ ur die Reglerkoeffizienten ergeben sich zu:

  1 1 · TΘ1 + (19.50) r1 = p2 − d12 TΘ1 TΘ2

  1 d12 p0 c12 1 − · TΘ1 TN r 2 = p1 − + · (19.51) TN TΘ1 TΘ2 c12 TN r3 = p0 ·

TΘ1 TΘ2 TN − r1 c12

(19.52)

ur Zur Vorfilterbestimmung KV muß der Signalflußplan nach Abb. 19.18 f¨ den station¨aren Zustand ausgewertet werden, d.h. alle Integratoreing¨ange sind zu Null zu setzen. Da n∗2 = 1 sein soll, muß n1 = n2 = 1 sein. Da keine Last angenommen wird, ist m12 = m2 = 0. Somit muß der Verdrehwinkel α12 ebenfalls Null sein. F¨ ur das Eingangssignal am Integrator der Antriebsmaschinenmasse ergibt sich folgende Gleichung: n∗2 · KV − m12 − r1 · n1 − r2 · α12 − r3 · n2 = 0 =⇒

KV = r 1 + r 3

(19.53) (19.54)

Wie aus Abb. 19.18 erkennbar ist, enth¨alt der Zustandsregler keinen I-Anteil. Dadurch ergeben sich station¨are Fehler bei Belastung, allerdings ergibt sich f¨ ur das F¨ uhrungsverhalten die schnellstm¨ogliche Regelung. Eine Zustandsregelung mit I-Anteil soll an Hand eines weiteren Beispiels (Kap. 19.3.4) erl¨autert werden.

968

19 Drehzahlregelung bei elastischer Verbindung zur Arbeitsmaschine

19.3.3

Auslegung einer Zustandsregelung nach dem D¨ ampfungsoptimum

Die Einstellvorschriften werden nach Kap. 19.3.2 gew¨ahlt. Hierin sind die Koeffizienten noch freie Parameter. Ein Optimierungskriterium ist das D¨ampfungsoptimum (DO). Danach ergeben sich p0 , p1 und p2 zu: p0 =

1 3 D3 · D22 · Tersn

(19.55)

p1 =

1 2 D3 · D22 · Tersn

(19.56)

p2 =

1 D3 · D2 · Tersn

(19.57)

Die Doppelverh¨altnisse werden zu D2 = D3 = 0, 5

(19.58)

festgelegt. Die Ersatzzeit Ters n des Drehzahlregelkreises ist frei w¨ahlbar. Jedoch m¨ ussen in ihr Randbedingungen ber¨ ucksichtigt werden, wie: • Beanspruchbarkeit des mechanischen und elektrischen Systems, • vernachl¨assigte kleine Zeitkonstanten f¨ ur den Stromregler und die Meßgl¨attungen, • Nichtlinearit¨aten wie Getriebelose und Coulombsche Reibung. Im folgenden wird angenommen, daß a) die Zustandsgr¨oßen n1 , α12 und n2 unverz¨ogert gemessen werden, b) im Strom-Regelkreis ein Leistungs-FET-Stellglied vorhanden ist, so daß die Ersatzzeit Ters i = 200μs betr¨agt und f¨ ur den Reglerentwurf vernachl¨assigt werden kann, und daß c) keine Nichtlinearit¨aten wie Getriebelose und Coulombsche Reibung wirken. Es bleibt als Kriterium f¨ ur die Wahl von Tersn die mechanische Beanspruchung, d.h. der Torsionswinkel, der bestimmte Schranken nicht u ¨berschreiten sollte, sowie Stellgr¨oßenbeschr¨ankungen, die bewirken, daß der Strom der An¨ triebsmaschine beschr¨ankt bleibt und die Maschine nicht zerst¨ort wird. Ubliche Stellgr¨oßenbeschr¨ankungen liegen beim 2. . . 3-fachen des Nennstroms. Innerhalb der Stellgr¨oßenbeschr¨ankungen sollte im Kleinsignalverhalten eine lineare Regelung m¨oglich sein. Die prinzipielle Regelkreisstruktur zeigt Abb. 19.18. F¨ ur die folgenden Simulationen in Abb. 19.19 bis 19.21 werden deshalb folgende Anregungen gew¨ahlt: F¨ uhrungssprung von Δn∗2 = 1 % (linke Teilbilder in Abb. 19.19 bis 19.21), St¨orsprung von Δm2 = 10 % (rechte Teilbilder in Abb. 19.19 bis 19.21).

19.3 Zustandsregelung des Zweimassensystems

969

Nachfolgend sollen die Ergebnisse kurz aufgelistet und diskutiert werden: F¨ uhrung Fall Abb. ω0(N ) Ters n m12max α12max ◦ 1/s ms 1 1 19.19 628,3 4 0,40445 0,1 2 19.20 62,83 40 0,04045 1,0 3 19.21 6,283 400 0,00407 10,0

i1max 1 1,55 0,15 0,014

St¨orung α12∞ Δn2∞ ◦ 1 0,0175 0,01198 1,75 0,01210 175,1 0,10838

vgl. Abb. 19.13 19.15 19.14

Tabelle 19.2: Ergebnisse der proportionalen Zustandsregelung

a) Alle F¨alle zeigen ein gut ged¨ampftes Einschwingverhalten. b) Die mechanische Kennkreisfrequenz bestimmt die Geschwindigkeit der Regelung. c) Bei mechanisch harten Systemen (Fall 1) wird zuerst die elektrische Stellgr¨oßenbeschr¨ankung wirksam. d) Bei mechanisch weichen Systemen wird die mechanische Beanspruchung zu groß: die Belastung des Antriebs mit Nennmoment (m2 = 0) w¨ urde einen Torsionswinkel α12 von ca. 5 Umdrehungen erfordern.

Abb.19.19: Zustandsregelung ohne I-Anteil bei ω0(N ) = 628, 32 s−1 (starre Kopplung)

970

19 Drehzahlregelung bei elastischer Verbindung zur Arbeitsmaschine

Abb. 19.20: Zustandsregelung ohne I-Anteil bei ω0(N ) = 62, 832 s−1 (harte Kopplung)

Abb.19.21: Zustandsregelung ohne I-Anteil bei ω0(N ) = 6, 2832 s−1 (weiche Kopplung)

19.3 Zustandsregelung des Zweimassensystems

971

In Erweiterung der Ergebnisse der proportionalen Zustandsregelung (Tab.19.2 und Abb. 19.19 bis Abb. 19.21) dienen die Abbildungen 19.22 bis 19.24. In Abb. 19.22 wird wie in Abb. 19.20 eine mechanische Torsionseigenfrequenz ω0(N ) (Kennkreisfrequenz) von ω0(N ) = 62.84s−1 (harte Kopplung) angenommen. Wie aus dem Vergleich der beiden Abbildungen zu entnehmen ist, wird bei einer Erh¨ohung der Ersatz-Zeitkonstanten Tersn von Tersn = 40 ms (Abb. 19.20) auf Tersn = 130 ms (Abb. 19.22) eine gr¨oßere Drehzahl-Sollwert-Erh¨ohung mittels des Nennwerts des Drehmoments der Antriebsmaschine praktisch wieder erreicht (vergleiche auch Abb. 19.19). Dies bedeutet, bei der Auslegung des DrehzahlReglers ist die Amplitude und die Form der Sollwert¨anderung, die mechanische Torsionseigenfrequenz ω0(N ) , das maximal verf¨ ugbare Drehmoment der Antriebsmaschine, der maximal zul¨assige Verdrehwinkel der Welle in Abh¨angigkeit von der Ersatz-Zeitkonstante Tersn zu beachten. In Abbildung 19.23 wurde f¨ ur den gleichen Fall wie in Abb. 19.22 eine deutlich geringere Ersatz-Zeitkonstante Tersn = 50 ms angenommen. Wie aus Abbildung 19.23 zu entnehmen ist, erh¨oht sich das Spitzen-Drehmoment auf mehr als das zweieinhalbfache des Nennmoments. Wird das Drehmoment auf das NennDrehmoment begrenzt, treten w¨ahrend des transienten Vorgangs Schwingungen auf. In Abbildung 19.24 wird die Drehzahlregelung eines elastischen Drei-MassenSystems gezeigt. Es treten keine Schwierigkeiten bei der Erweiterung vom elastischen Zwei- zum elastischen Drei-Massen-System auf.

Abb. 19.22: Sprungantwort bei Sollwert¨ anderung von Δn∗ =8 rad/s mit Tersn =0,13 s und ω0(N ) =62,84 s−1

972

19 Drehzahlregelung bei elastischer Verbindung zur Arbeitsmaschine

Abb. 19.23: Sprungantwort bei Sollwert¨anderung von Δn∗ =8 rad/s mit Tersn =0,05 s und ω0(N ) =62,84 s−1

Abb. 19.24: Sprungantwort bei Sollwert¨ anderung von Δn∗ =3 rad/s mit Tersn =0,10 s

19.3 Zustandsregelung des Zweimassensystems

19.3.4

973

Zustandsregelung mit I-Anteil

Den Signalflußplan der geregelten Anlage zeigt Abb. 19.25: m12 d12 -

n1∗

1 sTN

r4 xI

-e − 6

-

1 sTΘ1

u = m1 −

n1

?-e -e − 6

r -e r − 6

m2 1 c12

α12

−

??r e -e

r-

m12

r

r1 e 6

1 sTN

sTΘ2

n2

r r



r2 e 6



r3 

Abb. 19.25: Signalflußplan der Zustandsregelung mit I-Anteil

F¨ ur die Zustandsdarstellung der Strecke gilt wieder (mit α12 = α1 − α2 ; siehe Kap. 19.3.1): ⎞⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ d12 d12 c12 1 − − n1 ⎟ ⎜ ⎜ n˙ 1 ⎟ ⎜ ⎟ TΘ1 TΘ1 TΘ1 ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ TΘ1 ⎟ ⎟⎜ 1 1 ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟·⎜ α ⎟+⎜ (19.59) ·m ⎜ α˙ 12 ⎟=⎜ 0 − 0 ⎟ 12 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 TN TN ⎟ ⎝ ⎝ ⎝ ⎠ ⎜ ⎠ ⎠ ⎝ d12 c12 d12 ⎠ n˙ 2 n2 0 − TΘ2 TΘ2 TΘ2 x˙

=

·

A

x

+

b

· m1

Das Regelgesetz lautet in diesem Fall u = m1 = − r T · x + r4 · xI

mit

r T = ( r1 r2 r3 )

(19.60)

und beinhaltet den Reglerzustand xI , f¨ ur den gilt: x˙I =

n1∗ − n1 TN

(19.61)

974

19 Drehzahlregelung bei elastischer Verbindung zur Arbeitsmaschine

Damit ergibt sich die Zustandsdarstellung des geschlossenen Kreises zu: ⎛ ⎞ ⎞   ⎛ T A − b 0 · r b · r 4 x˙ ⎠ · xI + ⎝ 1 ⎠ · n1∗ =⎝ (19.62) x˙I = 1 T − ·c 0 x˙ I TN TN       AZRI bZRI mit cT = ( 1 0 0 )

(19.63)

Aus der Determinante !

NZRI (s) = det (sE − AZRI ) = NN orm

(19.64)

l¨aßt sich das charakteristische Polynom NZRI (s) bestimmen. Da mechanische Systeme i.a. eine sehr schwache D¨ampfung aufweisen, kann die D¨ampfung d12 vernachl¨assigt werden. Nach einem Koeffizientenvergleich mit dem Normpolynom NN orm = s4 + p3 s3 + p2 s2 + p1 s + p0

(19.65)

k¨onnen die R¨ uckf¨ uhrkoeffizienten r1 , r2 , r3 und r4 angegeben werden zu: r1 = TΘ1 · p3 r2 = −

TΘ1 TΘ2 TN2 c12

· p0 + TΘ1 TN · p2 − c12 1 +

TΘ1 TΘ2



(19.66) (19.67)

r3 =

TΘ1 TΘ2 TN2 · p 1 − r1 c12

(19.68)

r4 =

TΘ1 TΘ2 TN2 · p0 c12

(19.69)

W¨ahlt man, wie in Kap. 19.3.2, das D¨ampfungsoptimum (DO) als Optimierungskriterium, so ergeben sich die Koeffizienten pi (i = 0 . . . 3) zu: p0 =

1 64 = 4 4 D4 D32 D23 Ters T n ers n 64 3 Ters n

(19.71)

p2 =

1 32 = 2 2 D4 D32 D22 Ters T n ers n

(19.72)

p3 =

1 8 = D4 D3 D2 Ters n Ters n

(19.73)

p1 =

1

(19.70)

3 D4 D32 D23 Ters n

=

Die Ersatzzeit Ters n ist wieder frei w¨ahlbar wie in Kap. 19.3.3. Es gelten jedoch die gleichen Randbedingungen wie dort. Auch die Ausgangsfunktionen sind gleich gew¨ahlt worden.

19.3 Zustandsregelung des Zweimassensystems

975

Nachfolgend werden die Ergebnisse aufgelistet und kurz diskutiert: Fall 1 2 3

Abb. 19.26 19.27 19.28

ω0(N ) 1/s 628,3 62,83 6,283

Ters n ms 4,5 45,0 450,0

m12max 1 0,41901 0,04155 0,00385

F¨ uhrung α12max ◦

0,1 1,0 10,0

i1max 1 1,18 0,092 0,009

St¨orung α12∞ Δn2∞ ◦ 1 0,0175 0 1,75 0 175,1 0

vgl. Abb. 19.13 19.15 19.14

a) Alle Regelungen zeigen ein gut ged¨ampftes Einschwingverhalten. b) Die mechanische Kennkreisfrequenz bestimmt die Geschwindigkeit der Regelung. c) Bei mechanisch harten Systemen (Fall 1) geht der Strom eher in die Begrenzung, als daß der Torsionswinkel α12 zu groß w¨ urde. d) Bei mechanisch weichen Systemen (Fall 3) ist der Torsionswinkel die begrenzende Eigenschaft. e) Bei etwa gleicher mechanischer Beanspruchung α12max wird die Zustandsregelung mit I-Anteil etwas langsamer als der reine P-Ansatz nach Kap. 19.3.2 (Beispiel Kap. 19.3.3). f) Es tritt kein bleibender Regelfehler in n2 auf. Bei dieser Optimierung sind die Drehzahleinbr¨ uche bei Regelung mit I-Anteil geringer als der bleibende station¨are Regelfehler Δn2∞ beim P-Konzept.

Abb. 19.26: Zustandsregelung mit I-Anteil bei ω0(N ) = 628, 32 s−1 (starre Kopplung)

976

19 Drehzahlregelung bei elastischer Verbindung zur Arbeitsmaschine

Abb. 19.27: Zustandsregelung mit I-Anteil bei ω0(N ) = 62, 832 s−1 (harte Kopplung)

Abb.19.28: Zustandsregelung mit I-Anteil bei ω0(N ) = 6, 2832 s−1 (weiche Kopplung)

19.4 Verallgemeinerung: Mehrmassensysteme

19.4

977

Verallgemeinerung: Mehrmassensysteme

In den vorigen Kapiteln 19.1 bis 19.3 wurde das geregelte lineare Zweimassensystem ausf¨ uhrlich behandelt, um dem Leser einen Einblick in ein grundlegendes mechatronisches System zu geben. Im allgemeinen wird ein derart vereinfachtes Modell der Strecke allerdings nicht ausreichend sein. H¨aufig werden deshalb f¨ ur die Analyse und Modellbildung komplexer mechanischer Streckenanteile FEM-Verfahren eingesetzt. Der Nachteil dieser Verfahren ist die relativ hohe Ordnung des Modells des mechanischen Streckenanteils und die Schwierigkeit, auch Nichtlinearit¨aten einzubinden. Weiterhin ist ein Reglerentwurf f¨ ur eine Strecke derartig hoher Ordnung im allgemeinen nicht realisierbar bzw. außerordentlich schwierig. Um eine solche Strecke dennoch dem Reglerentwurf zug¨anglich zu machen, wird im allgemeinen eine Ordnungsreduktion – beispielsweise nach Litz [788] — vorgenommen. Bei einer Ordnungsreduktion sind zwei Punkte von wesentlicher Bedeutung. Erstens muß entschieden werden, bis zu welcher Ordnung das Endmodell reduziert werden kann, um noch relevant zu sein. Zweitens ist das reduzierte Modell nicht mehr physikalisch interpretierbar, denn bei der Ordnungsreduktion wird versucht, das Eingangs-Ausgangs-Verhalten des reduzierten Modells von hohen Frequenzen beginnend zu tieferen Frequenzen fortschreitend so in der Ordnung zu reduzieren, daß das Verhalten des reduzierten Modells bei den tiefen Frequenzen m¨oglichst erhalten bleibt; dieser Aspekt wird nachfolgend noch genauer dargestellt werden. Um dieses Ziel zu erreichen, m¨ ussen die Parameter des reduzierten Modells geeignet gew¨ahlt werden; dies f¨ uhrt jedoch tendenziell zu einer vollbesetzten Systemmatrix. Damit bildet das reduzierte Modell zwar vereinfacht das Eingangs-Ausgangs-Verhalten nach, allerdings sind die inneren Zust¨ande nicht mehr erkennbar, ein Nachteil aus ingenieurm¨aßiger Sicht. Um diese Nachteile zu vermeiden, soll stattdessen der physikalisch motivierte Modellierungsansatz, der auf Drehmoment- und Kr¨aftebilanzen basiert und in Kap. 19.1 bis 19.3 ebenfalls verwendet wurde, weiter verfolgt werden. Bei diesem Ansatz muß jedoch ebenso entschieden werden, welche relevanten Effekte ber¨ ucksichtigt werden sollen. Dies beeinflußt die zu w¨ahlende Systemordnung. Zwei Randbedigungen k¨onnen dabei vorteilhaft genutzt werden: Im allgemeinen existiert erstens eine Grundvorstellung u ¨ber den physikalischen Aufbau des mechanischen Systems und der zugeh¨origen Parameter, wenn auch mit Ungenauigkeiten; und zweitens k¨onnen in den meisten F¨allen die dynamischen Anforderungen an die Regelung ebenso ungef¨ahr abgesch¨atzt werden. Aus diesen zwei Randbedingungen kann dann die relevante Ordnung des Systemmodells be¨ stimmt werden. Diese Uberlegungen sollen im Folgenden vertieft werden. Eine Erweiterung des elastischen Zweimassensystems zu einem elastischen Dreimassensystem f¨ uhrt, wie leicht nachvollziehbar ist, zu einer Erweiterung des Zweimassen-Signalflußplans (vgl. Abb. 19.2) um eine zweite Welle, z.B. mit der Federkonstanten c2 und der D¨ampfung d2 und eine zus¨atzliche dritte Masse, z.B. mit einem Tr¨agheitsmoment Θ2 (linker Teil von Abb. 19.29).

978

19 Drehzahlregelung bei elastischer Verbindung zur Arbeitsmaschine M c1 + M d1

jM +

-

MM +

M c2 + M d2

c1

1/s -

+ +

j1

-

-

1 sq 1 d1

MW -

+

-

+

1 sq M

c2

1/s

+

j2

+ 1 sq 2

d2

Abb. 19.29: Unnormierter Signalflußplan des linearen Dreimassensystems

In entsprechender Weise kann der Signalflußplan eines Vier-, F¨ unf-, etc. Massensystems ermittelt werden. Aus dieser Vorgehensweise ist zu erkennen, daß bei einer Erweiterung gleichartige Teile des Signalflußplans wiederholt hinzugef¨ ugt werden m¨ ussen; dies wird u.a. beim objektorientierten Ansatz und der daraus resultierenden mathematischen Darstellung in impliziter Form — Deskriptor-Darstellung genannt — genutzt, die in Kap. 21 detailliert vorgestellt wird [832, 833, 835, 849, 870, 890]. Ein entsprechendes Vorgehen ist in Kap. 22 bei Produktionsanlagen mit kontinuierlicher Materialverarbeitung festzustellen, die ebenso in diesem Buch dargestellt werden. Dies gilt auch f¨ ur andere Aufgabenstellungen, die hier nicht weiter behandelt werden. Die Gleichungen f¨ ur das in Abb. 19.29 gezeigte Dreimassensystem sind:

1 ϕ¨2 = c2 (ϕ1 − ϕ2 ) + d2 (ϕ˙ 1 − ϕ˙2 ) − ML (19.74) Θ2

1 ϕ¨1 = c1 (ϕM − ϕ1 ) + d1 (ϕ˙ M − ϕ˙ 1 ) − c2 (ϕ1 − ϕ2 ) − d2 (ϕ˙ 1 − ϕ˙ 2 ) (19.75) Θ1

1 −c1 (ϕM − ϕ1 ) − d1 (ϕ˙ M − ϕ˙ 1 ) + MM (19.76) ϕ¨M = ΘM ¨ Als Ubertragungsfunktion ergibt sich: GS3 (s) =

ϕ˙ 2 b2 s2 + b1 s + b0 = 5 MM a5 s + a4 s4 + a3 s3 + a2 s2 + a1 s

(19.77)

19.4 Verallgemeinerung: Mehrmassensysteme

979

mit den Parametern b2 = d1 d2 b1 = c1 d2 + c2 d1 b0 = c1 c2 a5 = ΘM Θ1 Θ2 a4 = d1 Θ2 (ΘM + Θ1 ) + d2 ΘM (Θ1 + Θ2 ) a3 = c1 Θ2 (ΘM + Θ1 ) + c2 ΘM (Θ1 + Θ2 ) + d1 d2 (ΘM + Θ1 + Θ2 ) a2 = (d1 c2 + d2 c1 ) (ΘM + Θ1 + Θ2 ) a1 = c1 c2 (ΘM + Θ1 + Θ2 ) Wenn aus Gl. (19.77) im Nennerpolynom wieder der separierbare rein integrale Anteil, der ein starr gekoppeltes System repr¨asentiert, abgespaltet wird, verbleibt eine Gleichung 4. Ordnung. Die Pole s2,3 und s4,5 dieses Gleichungssystems 4. Ordnung k¨onnen analytisch bestimmt werden. Um die Analyse aber weiter zu vereinfachen, soll angenommen werden, daß die D¨ampfungen d1 und d2 der beiden Wellen vernachl¨assigbar klein sein sollen. Aufgrund dieser Annahme d1 = d2 = 0 werden die Parameter b1 = b2 = a2 = a4 = 0, und es ergibt sich — nach der Separation des rein integralen Anteils — eine biquadratische Gleichung. Unter dieser Voraussetzung ergeben sich f¨ ur das Nennerpolynom die folgenden Pole: 1. Rein integraler Anteil: (ΘM

1 + Θ1 + Θ2 )s

Pol: s1 = 0

(19.78) (19.79)

2. Biquadratischer Anteil: √ Pole: s2,3 = ±j q1 + q2 √ s4,5 = ±j q1 − q2

(19.80) (19.81)

mit den Parametern q1 und q2 q1 = −

c1 Θ1 (ΘM + Θ2 ) + c2 ΘM (Θ1 + Θ2 ) 2ΘM Θ1 Θ2

(19.82)

 [c1 Θ1 (ΘM + Θ2 ) + c2 ΘM (Θ1 + Θ2 )]2 − 4c1 c2 ΘM Θ1 Θ2 (ΘM + Θ1 + Θ2 ) q2 = 2ΘM Θ1 Θ2 (19.83)

980

19 Drehzahlregelung bei elastischer Verbindung zur Arbeitsmaschine

¨ Diese Ergebnisse erscheinen recht komplex, aber die folgenden Uberlegungen werden die Grundz¨ uge einer Systematik erkennen lassen. Um diese Systematik zu veranschaulichen, wollen wir nochmals zum Zweimassensystem zur¨ uckkehren, das in Abb. 19.30 zusammen mit dem zugeh¨origen Bode-Diagramm dargestellt ist.

MW c

d MM

jM, jM,jM

QM Q1 c d |F| dB

Q1

QM

j1, j1,j1

=1 =4 = 200 = 0.1

0

-2

-4

-6

2

log w

2

log w

-8 10

0

10

1

10

rad/sec j

-90°

-135°

-180°

-225°

-270° 10

0

10

1

10

Abb. 19.30: Zweimassensystem und Bode-Diagramm

Wie bereits in Kap. 19.1 diskutiert, zeigt sich im Amplitudengang die bekannte Resonanz¨ uberh¨ohung und im Phasengang der steile Phasenabfall von −90◦ ◦ nach −270 . (Beachte: Die mechanische D¨ampfung d wurde sehr klein angenommen, der Z¨ahlerterm 1 + s (d/c) in Gl. (19.11) geht damit gegen 1.)

19.4 Verallgemeinerung: Mehrmassensysteme

981

Wenn wir nun ein Dreimassensystem, wie in Abb. 19.31 oben dargestellt, annehmen, erhalten wir das Bode-Diagramm in Abb. 19.31 unten. MW

jM, jM,jM

MM

c2

d1

d2

QM

j 1, j 1, j 1

QM Q1 Q2 c1 d1 d2 |F| dB

c1

Q1

j2, j2,j2

Q2

=1 =1 =3 = 200 = 0.1 = 0.1

c2 = 5000 c2 = 1000 c2 = 200

0

200 1000

-2

5000 -4

-6

2

log w

2

log w

-8 10

j

0

10

1

10

-90°

-180°

-270°

-360°

-450° 10

0

10

1

10

Abb. 19.31: Dreimassensystem und Bode-Diagramm bei Θ1 + Θ2 = ΘL und Θ1 < Θ2

Um einen Eindruck vom Einfluß des Parameters c2 zu erhalten, sind drei Werte f¨ ur c2 angenommen, wobei zus¨atzlich, zum Vergleich, mit stark ausgezogener Linie das Bode-Diagramm eines Zweimassensystems mit der Lastmasse ΘL = Θ1 + Θ2 (Θ1 und Θ2 starr verbunden) dargestellt ist. Aus Abb. 19.31 ist zu entnehmen, daß der Amplitudengang sich bis zur ersten Resonanzfrequenz nur wenig ¨andert, wenn c2 = 5000 oder c2 = 1000 ist; erst

982

19 Drehzahlregelung bei elastischer Verbindung zur Arbeitsmaschine

bei relativ geringem c2 = 200 — d.h. in der Gr¨oßenordnung von c1 — tritt eine deutliche Verschiebung der ersten Resonanzfrequenz gegen¨ uber der des Zweimassensystems ein. MW

MM

jM, jM,jM

c1

c2

d1

d2

QM j 1, j 1, j 1

QM Q1 Q2 c1 d1 d2 |F| dB

= = = = = =

1 3 1 200 0.1 0.1

j2, j2,j2

Q2

Q1

c2 = 5000 c2 = 1000 c2 = 200

0

200 1000

-2

5000 -4

-6

2

log w

2

log w

-8 10

j

0

10

1

10

-90°

-180°

-270°

-360°

-450° 10

0

10

1

10

Abb. 19.32: Dreimassensystem und Bode-Diagramm bei (Θ1 + Θ2 ) = ΘL sowie Θ1 > Θ2

Abbildung 19.32 zeigt wieder ein Dreimassensystem, allerdings hat jetzt die mittlere Masse ein wesentlich gr¨oßeres Tr¨agheitsmoment Θ1 als die rechte Masse mit dem Tr¨agheitsmoment Θ2 . Aus dem Amplitudengang des Bode-Diagramms ist zu entnehmen, daß die ¨ Anderung des Parameters c2 in diesem Fall einen noch kleineren Einfluß auf die erste Resonanzfrequenz als im Fall Θ1 < Θ2 hat.

19.4 Verallgemeinerung: Mehrmassensysteme

983

Aus dieser Diskussion des Einflusses von c2 hat ergibt sich, daß — bis auf den Fall c2 ≈ c1 — das angenommene Zweimassensystem das reale Dreimassensystem bis zur ersten Resonanzfrequenz im Amplitudengang bereits relativ gut approximiert. Weiterhin sind damit auch die Aspekte der Ordnungsreduktion erkennbar, wobei dann allerdings, entsprechend den Parametern des Dreimassensystems, die Parameter des reduzierten Zweimassensystems so eingestellt werden m¨ ussen, daß Amplituden- und Phasengang im Bereich der ersten Resonanzfrequenz m¨oglichst genau angepaßt werden. Damit ist auch die relativ h¨aufige Beschr¨ankung in den Lehrb¨ uchern auf die Betrachtung eines Zweimassensystems nachvollziehbar. Abschließend soll noch die Auswirkung eines Getriebes zwischen dem Antriebsmotor mit dem Tr¨agheitsmoment ΘM und der Arbeitsmaschinenseite mit dem Tr¨agheitsmoment ΘA besprochen werden. Wie bereits aus [36, 37, 38] bekannt ist, berechnet sich das resultierende Tr¨agheitsmoment ΘL auf der Seite des Antriebsmotors zu ΘA ΘL = 2 (19.84) u¨ ¨ Wenn das Ubersetzungsverh¨ altnis des Getriebes u ¨ > 1 ist, reduziert sich der Einfluß der Arbeitsmaschinenseite auf die Antriebsseite mit 1/¨ u2 . Eine Analyse von Gl. (19.11) in Kap. 19.1 zeigt, daß der Nennerterm s2 ΘM ΘL /((ΘM + ΘL)c) aufgrund von ΘL im Z¨ahler dieses Terms bei großem u¨ und nicht zu ung¨ unstigen Tr¨agheitsmomentverh¨altnissen relativ klein, bzw. erst bei hohen Frequenzen wirksam wird, und somit u.U. vernachl¨assigt werden kann. Wenn diese Vernachl¨assigung erlaubt ist, entf¨allt in Gl. (19.11) praktisch der Anteil der elastischen Welle, und es verbleibt 1 (19.85) s (ΘM + ΘL ) Systeme mit mehr als zwei Massen k¨onnen analog zu dem gezeigten Vorgehen behandelt werden. ¨ Eine entsprechende Uberlegung kann mit Gl. (19.18) in Kap. 19.1 durch¨ gef¨ uhrt werden, wobei die obigen Uberlegungen noch besser erf¨ ullt sind, da der Z¨ahlerterm s2 ΘL/c und der Nennerterm s2 ΘM ΘL /((ΘM + ΘL )c) bei ΘL  ΘM sich dann entsprechen, somit Z¨ahler- und Nennerpolynom des elastischen Anteils gleich sind und dieser Anteil entf¨allt. ¨ Bei beiden Uberlegungen ist allerdings zu bedenken, daß Resonanzerscheinungen bei hohen Frequenzen als unerw¨ unschte Schwingungen durchaus auftreten k¨onnen (siehe Abb. 19.13). Aus den Darstellungen dieses Kapitels sowie des Kapitels 13 sind die vorteilhaften Aspekte der physikalisch orientierten Modellbildung und der daraus folgenden einfacheren Interpretierbarkeit der Ergebnisse zu erkennen. Eine kon¨ sequente Fortf¨ uhrung dieser Uberlegungen findet in Kap. 21 statt, in dem die objekt- und ereignisorientierte Modellbildung und Simulation ausf¨ uhrlich dargestellt wird. Die Ber¨ ucksichtigung der nichtlinearen Effekte wie Lose und Reibung in Abb. 19.1 wird ausf¨ uhrlich in [917] abgehandelt. GS (s) =

984

19 Drehzahlregelung bei elastischer Verbindung zur Arbeitsmaschine

19.5

Nichtlineare Systeme — Intelligente Strategien

In Kapitel 19.1 wurde die Regelung der Arbeitsmaschinendrehzahl mittels Kas¨ kadenregelung dargestellt. Es zeigte sich, dass die Ubertragungsfunktion der mechanischen Strecke bei der mechanischen Resonanzfrequenz ω0(N ) einen steilen Phasenabfall von etwa 180◦ hat (Abb. 19.4). Dieser steile Phasenabfall l¨aßt nur dann die Realisierung der Drehzahlregelung mit dem symmetrischen Optimum zu, wenn die mechanische Resonanzkreisfrequenz ω0(N ) 1/Tersi = 1/TσN ist. Dieser Forderung ist aber außerordentlich schwierig einzuhalten, da bei der Stromregelung Zeitkonstanten Tersi ≤ 1ms leicht erreicht werden. Es verbleibt somit nur der Kompromiß die mechanische Kreisfrequenz ω0(N ) so gut wie m¨oglich anzuheben (Kosten) und die Stromregelung dynamisch anzupassen. Das eigentliche Ziel, die Realisierung der Drehahlregelung mit der Kaskadenregelung, dem symmetrischen Optimum bei gutem dynamischen Verhalten und ertr¨aglichen Kosten der Mechanik wird aber nicht erreicht. In Kap. 19.2 wird die Regelung der Antriebsmaschinendrehzahl vorgestellt. Abb. 19.9 zeigt das Bode-Diagramm der mechanischen Strecke, in Verbindung mit Abb. 19.11 zeigt sich, dass keine Stabilit¨atsprobleme in Abh¨angigkeit von ω0(N ) auftreten. In den Abbildungen 19.13-19.15 wird aber verdeutlicht, dass die beiden Drehzahlen umso mehr gegeneinander schwingen je weicher die Ankopplung ausgepr¨agt ist. Die Erkl¨arung dieses Verhaltens findet sich in Kapitel 20.1, denn es wird einerseits nur die Antriebsmaschinendrehzahl geregelt und das mechanische System (Welle und Tr¨agheitsmoment ΘA der Arbeitsmaschine) verh¨alt sich andererseits wie ein mechanischer Schwingungsd¨ampfer (Abb. 20.3 sowie Abb. 20.4 in Verbindung mit Abb. 19.14!). Wie bereits in Kap. 19.2.5 andiskutiert und in Kap. 19.3.2 (Zustandsregelung mit proportionalem Regler) sowie in Kap. 19.3.4 (Zustandsregelung mit integralem Regler) dargestellt wird, ist die Zustandsregelung die perfekte L¨osung. Abbildungen 19.19-19.21 in Kap. 19.3.3 und Abbildungen 19.26-19.28 in Kap. 19.3.4 belegen die hervorragenden Ergebnisse. Es stellt sich die Frage, warum nicht generell eine Zustandsregelung bei der Regelung von derartigen Aufgabenstellungen verwendet wird, sondern bis heute u ¨berwiegend die Kaskadenregelung der Antriebsmaschinendrehzahl. Eine der Antworten auf diese Frage ist, dass die linearen Parameter z.B. der Wellend¨ampfung nicht bekannt sind und dass zus¨atzliche Sensorik f¨ ur die Erfassung der Arbeitsmaschinendrehzahl oder des Verdrehwinkels Δϕ notwendig werden. Eine weitere Antwort ist, bei den obigen hervorragenden Ergebnissen wird lediglich ein lineares mechanisches System angenommen. In der Realit¨at sind aber Nichtlinearit¨aten wie Lose und Reibung h¨aufig nicht zu vernachl¨assigen. Die genannten Nichtlinearit¨aten sind zudem harte, d.h. nicht differenzierbare Nichtlinearit¨aten, die weiterhin — selbst beim Zwei-Massen-System — mehrfach auftreten k¨onnen. Die Nichtlinearit¨at des Stellgliedes (nichtlineare Abtastung) im Stromregelkreis soll hier nicht weiter betrachtet werden.

19.5 Nichtlineare Systeme — Intelligente Strategien

985

Der Einfluß der Nichtlinearit¨at Reibung l¨aßt sich besonders einfach mithilfe Abb. 19.2 bzw. 19.33 diskutieren. Wenn wir annehmen, die Reibung sei nur bei der Arbeitsmaschine (Abb. 19.33) vorhanden, das System sei bei der Drehzahl Null im Anfangszustand, und es erfolge eine Erh¨ohung des Drehzahlsollwertes, dann wird die Stromregelung ein Drehmoment MM aufbauen und der Rotor der Antriebsmaschine beginnt sich aufgrund des Drehmomentes zu bewegen. Die Arbeitsmaschine wird allerdings aufgrund der Haftreibung sich noch nicht bewegen, denn die Wellenmomente MC + MD m¨ ussen dazu erst die Haftreibung u ¨berwinden. Dieser Vorgang wird Stick-Slip“ genannt. Wenn die Arbeitsma” schinendrehzahl ungleich Null ist, dann werden die weiteren Reibungseffekte wie St¨ormomente wirken. Es ist einsichtig, dass die Reibung damit einen Einfluß auf das regelungstechnische Verhalten haben muss. Es ist weiterhin einsichtig, dass zus¨atzliche Reibung bei der Antriebsmaschinendrehzahl und Lose bei den Kupplungen an den Enden der Welle weitere unerw¨ unschte Einfl¨ usse haben werden. Diese Einfl¨ usse sind f¨ ur den Fall der arbeitsmaschinenseitigen Reibung aus Abb. 19.34 deutlich zu erkennen. Gestrichelt ist das Verhalten eines linearen und durchgezogen eines nichtlinearen Zwei-Massen-System entsprechend Abb. 19.33 dargestellt. Wir wollen zuerst das Verhalten des linearen Systems bei einer sinusf¨ormigen Vorgabe der Position ϕ2 (Schlittenposition der Arbeitsmaschine) in Abb. 19.34 besprechen. Bei sinusf¨ormiger Bewegung (cos-Funktion) von ϕ2 , muss die Winkelgeschwindigkeit ϕ˙ 2 ebenso sinusf¨ormig (sin-Funktion) sein. 1 u ¨

d UA

1 RA +sLA

cM cE

1 ΘM

ϕ˙ 1

ϕ1

1 u ¨

MR c

1 ΘA

ϕ2 ϕ˙ 2

Abb. 19.33: Signalflussplan des Zwei-Massen-Systems mit Reibung

Wenn wir nun eine relative starre Verbindung (c hoch) annehmen, dann wird die Antriebsmaschinendrehzahl ebenso sinusf¨ormig (sin-Funktion) sein (geringe Phasendifferenz zwischen ϕ2 und ϕ1 ), dies zeigt sich in Abb. 19.34. Entsprechend Abb. 19.33 muss dann das Beschleunigungsmoment und damit der Ankerstrom einer GNM ebenso sinunsf¨ormig (cos-Funktion) sein. Diese Verl¨aufe zeigen sich auch bei der Simulation eines linearen Zwei-Massen-Systems. Die gemessenen Verl¨aufe des nichtlinearen Systems unterscheiden sich allerdings deutlich. Bei ¨ den Positionen ϕ1 und ϕ2 ist die Ubereinstimmung zwischen linearem und nichtlinearem System noch recht gut (Diskussion folgt sp¨ater). Bei der Drehzahl der Arbeitsmaschine ist beim nichtlinearen System der Stick-Slip“-Effekt deutlich ” zu erkennen. Der reale Ankerstrom ist allerdings absolut nicht mehr sinusf¨ormig

986

19 Drehzahlregelung bei elastischer Verbindung zur Arbeitsmaschine

(cos-Funktion), sondern — wie bereits oben besprochen — bei der Drehzahl Null wird Haftreibung wirksam. Es tritt der Stick-Slip“-Effekt auf und das Drehmo” ment der Antriebsmaschine muss die Haftreibung (positiv und negativ) aufbringen, um den Stillstand der Arbeitsmaschinendrehzahl zu u ¨ berwinden. Der Reibungseinfluss bei den Drehzahlen ungleich Null ist aus dem vom sinusf¨ormigen abweichenden Verlauf zu erkennen. Auch die beiden dreieckf¨ormigen Verl¨aufe der Position stimmen relativ gut u ¨berein, dies gilt auch noch — bis auf die Abweichungen beim Verlauf der Dreh¨ zahlspr¨ unge — f¨ ur die Bereiche konstanter Drehzahlen. Die Ubereinstimmung beim Ankerstrom ist allerdings nicht mehr gegeben. Bei einem idealen, d.h. linearen, mechanischen System ist bei konstanter Drehzahl das notwendige Drehmoment im station¨aren Betrieb Null. Beim realen mechanischen System mit Reibung muss aber das Gleitreibungsmoment aufgebracht werden, dies ist eindeutig als Unterschied zwischen dem linearen und nichtlinearen Systemverhalten zu erkennen. Es ist somit wesentlich, die nichtlinearen Effekte wie Lose und Reibung zu ber¨ ucksichtigen. Dies gilt umso mehr bei den verschiedensten Technologien der Arbeitsmaschinen. Beispielsweise ist der Elastizit¨atsmodul des verarbeitenden Materials (Papier-, Stahl-, Druck-, Folienindustrie) bei Arbeitsmaschinen der kontinuierlichen Fertigung eine weitere Nichtlinearit¨at, da sich der Elastizit¨atsmodul mit Temperatur bzw. Feuchtegehalt sehr ¨andert. Es besteht nun die Frage des weiteren Vorgehens. Wir wollen hier nicht das u ¨bliche Vorgehen mittels finiter Elemente besprechen, bei dem sich eine sehr hohe Systemordnung ergibt (im vorliegenden Fall war es bei einer Werkzeugmaschine 505. Ordnung), die mittels Ordnungsreduktion [788] auf die Ordnung 5 reduziert wurde. Bei der Ordnungsreduktion k¨onnen aber die Nichtlinearit¨aten gar nicht oder nur sehr schwierig ber¨ ucksichtigt werden. Ausserdem ist das reduzierte System physikalisch nicht mehr interpretierbar. Stattdessen sollen zur Bestimmung der nichtlinearen Effekte intelligente (selbstlernende) Strategien eingesetzt werden. Dieses Vorgehen wird exemplarisch im f¨ unften Buch dieser Reihe dargestellt. Hierzu gibt es ein Vorl¨auferbuch Intelligent Observer and Control Design for Nonlinear Systems“, das in naher ” Zukunft durch ein wesentlich umfangreicheres Buch mit dem voraussichtlichen Titel Intelligente Verfahren zur Systemidentifikation und zur Regelung nichtlinea” rer Systeme“ ersetzt werden soll. In beiden B¨ uchern wird ein ingenieurm¨aßiges Vorgehen genutzt, d.h. es werden bestehende Struktur- und Parameterkenntnisse soweit wie vorhanden eingesetzt. Dies bedeutet, es werden nur die nicht oder nur ungenau bekannten Parameter identifiziert. Dieses Vorgehen ist sinnvoll, da in vielen F¨allen ein Grundwissen vorhanden ist. Außerdem ist bei bekannter Struktur des betrachteten Systems die physikalische Interpretierbarkeit gegeben — ein wesentlicher Vorteil. Im vorliegenden Fall wollen wir annehmen, die Struktur sei nach Abb. 19.33 gegeben. Die linearen Parameter seien bekannt, die nichtlinearen Effekte seien

19.5 Nichtlineare Systeme — Intelligente Strategien

Ankerstrom [A]

987

Ankerstrom [A]

5

1

0.5

0

0

−0.5

−5 0.5

1

Zeit [s]

1.5

−1 0.5

Arbeitsdrehzahl [1/s]

1

Zeit [s]

1.5

Arbeitsdrehzahl [1/s]

2

1.5

1.5

1

1 0.5

0.5 0

0

−0.5

−0.5

−1 −1

−1.5 −2 0.5

0

x 10

1

Zeit [s] −3

1.5

−1.5 0.5

Position [m] 2

x 10

1

Zeit [s] −3

1.5

Position [m]

1.5

−0.5

1 −1

0.5

−1.5

0 −0.5

−2

−1 −2.5 −3 0.5

−1.5 1

Zeit [s]

1.5

−2 0.5

1

Zeit [s]

1.5

Abb. 19.34: Vergleich von simulierten linearem Modell und gemessenen Daten ( schwarz: Gemessene Daten; grau: Simulations-Daten)

988

19 Drehzahlregelung bei elastischer Verbindung zur Arbeitsmaschine

Reibungskennlinie 0.5

Schlittengeschwindigkeit [m/s] 0.03 0.02 0.01

 2 0

0

 1

−0.01 −0.02

−0.5 −0.03 −0.02 −0.01

0

0.01

0.02

−0.03

Schlittengeschwindigkeit [m/s] Reibungskennlinie

0.5

0

0.5

1

Zeit [s]

1.5

2

Schlittengeschwindigkeit [m/s] 0.03

 3

0.02 0.01

0

0

 1

−0.01 −0.02

−0.5 −0.03 −0.02 −0.01

0

0.01

0.02

−0.03

Schlittengeschwindigkeit [m/s] Reibungskennlinie

0.5

0

0.5

1

Zeit [s]

1.5

2

Schlittengeschwindigkeit [m/s] 0.03 0.02 0.01

0

0

 1

−0.02

 4 −0.5 −0.03 −0.02 −0.01

−0.01

0

0.01

0.02

Schlittengeschwindigkeit [m/s]

−0.03

0

0.5

1

Zeit [s]

1.5

2

Abb. 19.35: Links: Identifikation der Reibungskennlinie mit verschiedenen η-Werten des Lernschrittes; Rechts: schwarz Beobachter; grau Vorgabe

19.5 Nichtlineare Systeme — Intelligente Strategien

Ankerstrom [A]

989

Ankerstrom [A]

5

1

0.5

0

0

−0.5

−5 0.5

1

Zeit [s]

1.5

−1 0.5

Arbeitsdrehzahl [1/s]

1

Zeit [s]

1.5

Arbeitsdrehzahl [1/s]

2

1.5

1.5

1

1 0.5

0.5 0

0

−0.5

−0.5

−1 −1

−1.5 −2 0.5

0

x 10

1

Zeit [s] −3

1.5

−1.5 0.5

Position [m] 2

x 10

1

Zeit [s] −3

1.5

Position [m]

1.5

−0.5

1 −1

0.5

−1.5

0 −0.5

−2

−1 −2.5 −3 0.5

−1.5 1

Zeit [s]

1.5

−2 0.5

1

Zeit [s]

Abb. 19.36: Vergleich von Simulation des nichtlinearen Zweimassenmodells mit gemessen Daten (schwarz: Gemessene Daten; grau: Simulations-Daten))

1.5

990

19 Drehzahlregelung bei elastischer Verbindung zur Arbeitsmaschine Ankerstrom [A]

Arbeitsdrehzahl [1/s]

5

1.5 1 0.5

0

0 −0.5 −1

−5 0.5

1

1.5

−1.5 0.5

Zeit [s] Ankerstrom [A]

1

1.5

Zeit [s] Arbeitsdrehzahl [1/s]

5

1.5 1 0.5

0

0 −0.5 −1

−5 0.5

1

Zeit [s]

1.5

−1.5 0.5

1

1.5

Zeit [s]

Abb. 19.37: Simulierte Kompensation des Haftreibungseinflusses (Obere Reihe: keine Kompensation; Untere Reihe: Kompensation)(grau: Simulationsmodell; schwarz System ohne Kompensation)

nur bei der Arbeitsmaschine relevant und die Drehzahl ϕ˙ 2 (Eingangsdrehzahl der Nichtlinearit¨at bzw. ableitbares Signal) sei verf¨ ugbar. In diesem Fall kann ein intelligenter nichtlinearer Beobachter verwendet werden. Mit diesen intelligenten nichtlinearen Beobachtern ist es m¨oglich, den Reibungsverlauf zu lernen (Abb. 19.35). In Abb. 19.35 sind drei Lernvorg¨ange mit unterschiedlichen Lerngeschwindigkeiten (Lernschrittweiten) dargestellt. Es ist Abb. 19.35 zu entnehmen, dass die nichtlineare Reibungskennlinie sehr schnell gelernt werden kann. Im vorliegenden Fall sind die Haftreibungen (positiver bzw. negativer Wert bei der Drehzahl Null) ungleich. Es ist mit nichtlinearen Oberfl¨achenapproximatoren auch m¨oglich, weitere Abh¨angigkeiten der Reibung ¨ beispielsweise Ortsabh¨angigkeit, Oltemperatur, etc. zu ber¨ ucksichtigen. Mit dieser genauen Kenntnis der Strecke einschließlich der Nichtlinearit¨at Reibung ist eine verbesserte Modellbildung und damit eine verbesserte Simulation m¨oglich (Abb. 19.36). Zu beachten ist, dass nur die kurze Identifikationsperiode zur Verf¨ ugung stand, so dass keine perfekte Identifikation m¨oglich ist. Aufgrund des nichtlinearen Beobachters, der das Modell der Nichtlinearit¨at Reibung enth¨alt, ist nun einen Kompensation (z.B. St¨orgr¨oßenaufschaltung) des Reibungseinflusses m¨oglich. Bei der Reibungskompensation ist zu beachten, dass der Aufschaltungspunkt der Stromsollwert ist, der in Abb. 19.33 nicht eingezeichnet ist. Die Einwirkung der Reibung findet aber bei MR statt, so dass die

19.5 Nichtlineare Systeme — Intelligente Strategien

991

Schlittengeschwindigkeit [8mm/(s Raster)]

Zeit [0,1s/Raster] Abb. 19.38: Berechnete Schlittengeschwindigkeit mit Reibungskompensation

inverse Strecken¨ ubertragungsfunktion vom Stromsollwert bis zu MR theoretisch zu realisieren ist; dies ist aber nur als Approximation m¨oglich. Abb. 19.37 zeigt die Ergebnisse der Reibungskompensation als St¨orgr¨oßenaufschaltung. Im oberen Teil der Abbildung ist die Situation ohne Kompensation der Reibung dargestellt. Im unteren Teil sind die beiden dunkel gezeigten Signalverl¨aufe von oben kopiert und stellen somit nochmals die Situation ohne Kompensation dar. Die grauen Signalverl¨aufe sind die Verl¨aufe mit Reibungskompensation. Die Abb. 19.37 links unten zeigt den Ankerstrom im Vergleich. Aus dem Vergleich ist zu entnehmen, dass bei der Situation mit Reibungskompensation der drehmomentbildende Ankerstrom deutlich schneller als im Fall ohne Kompensation ansteigt. Die Differenz beider Verl¨aufe ist somit das Kompensationssignal. Es ist dieser Abbildung weiter zu entnehmen, dass der nachfolgende Stromverlauf mit Kompensation wesentlich oberschwingungsfreier verl¨auft als ohne Kompensation, dies ist f¨ ur die Mechanikbeanspruchung vorteilhaft. Aus den beiden Signalverl¨aufen der Position ist zu erkennen, dass der Stick-Slip“-Effekt mit Kompensation der Reibung ” nicht mehr auftritt. In Abb. 19.38 wird ein experimentelles Ergebnis gezeigt, die simulativen Ergebnisse werden somit best¨atigt. Damit wird ein entscheidender Punkt angesprochen, es ist m¨oglich mechanischen Unzul¨anglichkeiten wie Reibung (leistungs-)elektronisch zu kompensieren. Die Voraussetzung ist allerdings, dass die Stromregelung (Drehmomentregelung) die erforderliche Dynamik aufweist.

992

19 Drehzahlregelung bei elastischer Verbindung zur Arbeitsmaschine

Im Buch Intelligente Verfahren zur Systemidentifikation und zur Regelung ” nichtlinearer Systeme“ werden verschiedene intelligenten Strategien und Lernverfahren zum Auffinden des Fehlerminimums bei unterschiedlichem Vorwissen (ingenieur-technischer Ansatz) u ¨ber das unbekannte System, wie z.B. • bekannte Struktur des nichtlinearen Systems bei bekannten linearen Parametern und messbaren Einkoppelgr¨oßen der Nichtlinearit¨at, aber unbekanntem Verlauf der Nichtlinearit¨at • bekannte Struktur des nichtlinearen Systems bei bekannten linearen Parametern, aber nicht-messbaren Einkoppelgr¨oßen der Nichtlinearit¨at und unbekanntem Verlauf der Nichtlinearit¨at • bekannte Struktur des nichtlinearen Systems bei unbekannten linearen und nichtlinearen Parametern • das unbekannte nichtlineare System ist mit einer unbekannten St¨orung beansprucht (externe St¨orung, nichtmodellierte Dynamik, zeitabh¨angige Parameter) • die Struktur und die Parameter der Strecke ¨andern sich sprungartig (multiple Modelle-Ansatz) • das nichtlineare System ist ein gekoppeltes System ausf¨ uhrlich dargestellt. Zus¨atzlich werden die verschiedenen Lernstrukturen und Lernverfahren in Theorie und Anwendung vorgestellt. Eine weitere Aufgabenstellung ergibt sich, wenn von der nichtlinearen Strecke lediglich qualitative Eigenschaften u ¨ber die Struktur (wie z.B. Relativgrad eins, Minimalphasigkeit und positives High-Frequency Gain) und keine Systemparameter bekannt sind. In diesem Fall kann das Prinzip Funnel-Control“ eingesetzt werden. ” Ein weiteres Gebiet der Darstellungen ist das Gebiet der Regelung identifizierter nichtlinearer Strecken wie beispielsweise die exakte EinAusgangslinearisierung, in diesem Zusammenhang die Nulldynamik, die Modellfolge-Regelung oder die Regelung mit der nichtlinearen Regelungsnormalform. In allen diesen F¨allen werden sowohl die theoretischen Ans¨atze vorgestellt als auch ausf¨ uhrlich praktische Beispiele durchgerechnet, um die Anschaulichkeit ¨ zu erh¨ohen. Dies ist eine kurze Ubersicht u ¨ber den Umfang der Themen im Buch Intelligente Verfahren zur Systemidentifikation und zur Regelung nichtlinearer ” Systeme“.

20 Schwingungsd¨ ampfung

20.1

Allgemeine Problemstellung

In Kap. 19 wurde die Drehzahlregelung eines Zweimassensystems diskutiert. Es stellte sich heraus, daß eine Regelung der Arbeitsmaschinendrehzahl mit der Kaskadenregelung nur dann m¨oglich ist, wenn die Torsionseigenfrequenz des mechanischen Systemanteils weit oberhalb der Durchtrittsfrequenz ωd des Stromregelkreises ist, d.h. wenn das Zweimassensystem relativ starr ist. Aufgrund dieser Schwierigkeit wurde die Kaskadenregelung der Antriebsmaschinendrehzahl behandelt. Diese Art der Regelung erscheint wesentlich unkritischer; allerdings stellte sich bei den Untersuchungen mittels Simulation heraus, daß die Arbeitsmaschinendrehzahl gegen¨ uber der Antriebsmaschinendrehzahl schwingt, d.h. diese Regelung sichert zwar die Stabilit¨at des Systems, ist aber letztendlich nur dann brauchbar, wenn die Torsionseigenfrequenz nicht angeregt wird. Eine wesentliche Verbesserung des Regelverhaltens l¨aßt sich erreichen, wenn eine Zustandsregelung eingesetzt werden kann. Dies ist aber immer nur dann gegeben, wenn die Strecke linear ist (d.h. keine Nichtlinearit¨aten wie Reibung und Lose vorhanden sind) und alle Zust¨ande meßbar oder beobachtbar sind. Diese ¨ Uberlegungen wurden in Kap. 19.4 auf Mehrmassensysteme erweitert. Wenn relevante Nichtlinearit¨aten in der Strecke vorhanden sind, dann k¨onnen diese nichtlinearen Effekte (wie etwa Stick-Slip-Reibung) mittels intelligenten Verfahren identifiziert und kompensiert werden [917]. Generell ist aber bei all diesen Maßnahmen zur Schwingungsunterdr¨ uckung festzustellen, daß die Schwingungsbed¨ampfung und die Kompensation der nichtlinearen Effekte umso schwieriger und aufwendiger wird, je h¨oher die Zahl der Schwungmassen ist u ¨ber die die Schwingungsbed¨ampfung erfolgt. Es ist außerdem zu beachten, daß durch die mechanischen Beanspruchungen bei dieser Art der Schwingungsbed¨ampfung eine Beeintr¨achtigung der Lebensdauer der Komponenten auftreten kann. Damit besteht die Aufgabe, andere Wege der Schwingungsbed¨ampfung zu erarbeiten. Eine erste M¨oglichkeit ist die Verwendung eines passiven D¨ampfers, der im vorliegenden Fall aus einer zus¨atzlichen rotierenden Masse und einer elastischen Welle besteht; diese Welle ist mit dem schwingenden und daher zu d¨ampfenden K¨orper gekoppelt. Die Anordung entspricht somit prinzipiell Abb. 20.1, wobei der Rotor der Antriebsmaschine mit dem Tr¨agheitsmoment ΘM den schwingenden Prim¨ark¨orper darstellt und die Arbeitsmaschine mit dem Tr¨agheitsmoment

994

20 Schwingungsd¨ ampfung

prim¨ arsystem welle M M

ΘM

CCCCCCCCCCCCCC

c

d ϕM ' nM = n1 ϕ˙ M = ϕ¨M

passiver d¨ ampfer ΘA

-

ϕA ' nA = n2 ϕ˙ A = ϕ¨A

Abb. 20.1: Prim¨ arsystem Schwinger — passiver D¨ ampfer

ΘA der K¨orper (Masse) des D¨ampfers und die Welle die elastische Verbindung zwischen Prim¨ark¨orper und D¨ampfer ist; damit stellen die Welle mit den Daten c und d sowie die Masse mit dem Tr¨agheitsmoment ΘA nun den passiven D¨ampfer dar. Die Anordnung in Abb. 20.1 entspricht genau der Darstellung in Abb. 19.10, bei der die Antriebsmaschinendrehzahl geregelt wird und der D¨ampfer (vorher Arbeitsmaschine) nur passiv an das Prim¨arsystem (vorher Antriebsmaschine) gekoppelt ist. Das im Fall der Regelung der Antriebsmaschinendrehzahl unerw¨ unschte Auftreten von Schwingungen an der Arbeitsmaschine (Abb. 19.13 bis 19.15) wird im Fall der passiven Schwingungsd¨ampfung u uckkop¨ber das R¨ pelmoment MC +MD zur D¨ampfung von Schwingungen an der Antriebsmaschine genutzt. Die Schwingungen der Arbeitsmaschine (nun D¨ampfer) sind in diesem Fall beabsichtigt und zur erfolgreichen D¨ampfung des Prim¨ark¨orpers auch notwendig. Die angepaßte Darstellung ist in Abb. 20.2 widergegeben, wobei nun zus¨atzlich das die Schwingung anregende (z.B. technologisch bedingte) Drehmoment MW eingetragen ist. Die Wirkung des passiven D¨ampfersystems ist aus Abb. 19.8 und 19.9 zu erkennen. Bei der Kreisfrequenz ω0Z erfolgt eine Amplitudenabsenkung von ϕ˙ M , ¨ d.h. bei dieser Kreisfrequenz wird das Ubertragungsverhalten gegen¨ uber der Anregung MM ged¨ampft. Wie weiterhin aus Gl. (19.18) zu erkennen ist, ist das Z¨ahlerpolynom nur durch die Parameter der nun als D¨ampfer“ bezeichneten ” Komponente bestimmt. Aus Gl. (19.18) ist weiterhin zu entnehmen, daß die me¨ chanische D¨ampfung d der Welle das Ubertragungsverhalten des Z¨ahlerpolynoms und damit den D¨ampfungsfaktor D beeinflußt. Mit abnehmendem d wird ebenso D abnehmen und die Amplitudenabsenkung zunehmen. Diese Untersuchungen zeigen bei der Drehzahlregelung der Motormasse mit dem Tr¨agheitsmoment ΘM in Abb. 19.13 oder 19.15 die deutliche Absenkung des Betrages von ϕ˙ M bei ω0Z . Damit ist durch die Umkehrung der gedanklichen Ans¨atze eine Erl¨auterung des ¨ passiven D¨ampferprinzips bereits mit den Uberlegungen und Untersuchungen aus Kap. 19 m¨oglich.

20.1 Allgemeine Problemstellung

995

Aus Abb. 19.13 ist zu erkennen, daß eine harte Ankopplung des passiven D¨ampfers kritisch ist, denn der Nullstelle des Z¨ahlerpolynoms mit der Kreisfrequenz ω0Z folgt in sehr kleinem Frequenzabstand die Nullstelle des Nennerpolynoms (Polstelle) mit der Kreisfrequenz ω0N . Dies bedeutet, eine geringe ¨ Anderung der Daten kann statt zu einer D¨ampfung zu einer Vergr¨oßerung der Schwingungsamplitude f¨ uhren. In Abb. 19.15 ist zu erkennen, daß die Amplitudenabsenkung deutlich von der Amplitudenanhebung abgesetzt ist, d.h. eine weiche Ankopplung des passiven D¨ampfers ist zweckm¨aßig. Wenn der Signalflußplan aus Kap. 19 (Abb. 19.2) um den geschlossenen Stromregelkreis und eine anregende St¨orung MW , die am Prim¨arsystem mit dem Tr¨agheitsmoment ΘM angreift, erweitert wird, dann ergibt sich der Signalflußplan nach Abb. 20.2. Aus Abb. 20.2 ist zu erkennen, daß das beschleunigende Moment

MC + MD ∗ MM

-

1

MM

−

ϕ˙ M

? -e 6+

-e 6−

MW 





r

c

ϕ˙ A

-

r-

MBD

1 s



Anteil Prim¨arsystem

? e 6

d -

1 ΘM s

Ters i

r

MC + MD

MD

-

MC

1 ΘA s





Anteil passiver D¨ampfer

Abb. 20.2: Signalflußplan: Prim¨ arsystem und passiver D¨ ampfer

MBD = MC + MD des D¨ampferk¨orpers an der gleichen Stelle wirksam wird wie die St¨orung MW . Wenn somit die beiden Drehmomente sich gegenseitig kompensieren, d.h. wenn gilt MBD − MW = 0 (20.1) dann h¨atte die St¨orgr¨oße MW keinen Einfluß auf den Prim¨ark¨orper. Allerdings schwingt der D¨ampferk¨orper mit dem Tr¨agheitsmoment ΘA in diesem Fall mit der Amplitude, die die Gleichheit der Drehomente erfordert. ¨ ¨ Um diese Uberlegungen zu erl¨autern, soll die Ubertragungsfunktion des ¨ D¨ampfersystems aufgestellt werden (Abb. 20.3). Die Ubertragungsfunktion GD (s) des D¨ampfersystems lautet: GD (s) =

(MC + MD )(s) MBD (s) s(ds + c) = = 2 ϕ˙ M (s) ϕ˙ M (s) s + ΘdA s + ΘcA

(20.2)

996

20 Schwingungsd¨ ampfung

MD

-

ϕ˙ M

-e 6−

r

d -

? e 6

1 s

c

MC

6

MC + MD

r

ϕ˙ A

r-

-

MBD 1 ΘA s

Abb. 20.3: Signalflußplan des D¨ ampfersystems

Das Nennerpolynom hat die mechanische Eigenfrequenz ω0 und den D¨ampfungsfaktor D gem¨aß Gl. (20.3):  c d ω0 = D= √ (20.3) ΘA 2 c ΘA Wenn die mechanische D¨ampfung d gleich Null w¨are, w¨ urde der D¨ampfungsfaktor ¨ D ebenso gleich Null (d = D = 0) und die Ubertragungsfunktion GD (s) des D¨ampfers w¨ urde sich zu cs GD (s)|d=0 = 2 (20.4) s + ΘcA ugt die Beschleunigung ¨andern, d.h. zur Anregung des nun idealen D¨ampfers gen¨ ϕ¨M , welche einen idealen Schwinger anregt. Dies bedeutet, es gen¨ ugen bereits kleinste Beschleunigungen ϕ¨M um den idealen D¨ampfer anzuregen und damit das gew¨ unschte Gegenmoment MBD zu erzeugen. Der ideale passive D¨ampfer kann in dieser Weise nicht realisiert werden, da eine D¨ampfungskonstante D = 0 nicht erreichbar ist. Allerdings ist die mechanische D¨ampfung d der Welle relativ klein, so daß — wenn keine weiteren D¨ampfungen wie etwa Reibung vorhanden sind — der ideale Fall angen¨ahert werden kann. Die folgenden Simulationen zeigen das System nach Abb. 20.1 bzw. 20.2 mit den Signalverl¨aufen ϕ˙ M , ϕ˙ A , MW und MBD . Die Drehzahl ϕ˙ M des Prim¨ark¨orpers des Zweimassensystems nach Abb. 20.2 wurde mit einem PI-Regler nach dem symmetrischen Optimum (Kap. 3.2.2) geregelt. Als St¨orgr¨oße MW wurde wurde ein sinusf¨ormiger Drehmomentverlauf verwendet (Abb. 20.4 unten). Aus den Simulationsverl¨aufen in Abb. 20.4 ist zu erkennen, daß nach relativ kurzer Einschwingzeit die Kompensation von MW mittels MBD nahezu vollst¨andig erfolgt (D = 0). Der D¨ampfer muß dabei in seiner Eigenresonanzfrequenz ωe auf die anregende Frequenz von MW genau abgestimmt sein. ωe ergibt sich aus Gl. (20.5). Ferner wurde f¨ ur die gezeigte Simulation eine weiche Kopplung angenommen. √ ωe = ω 0 · 1 − D 2 (20.5)

20.1 Allgemeine Problemstellung

997

Abb. 20.4: Idealer D¨ ampfer mit D = 0 (NM = ϕ˙ M , NA = ϕ˙ A )

In Abb. 20.5 sind die Drehoment- und Drehzahlverl¨aufe f¨ ur nicht ideale Verh¨altnisse dargestellt (D = 0, 08). Hier erfolgt keine vollst¨andige Unterdr¨ uckung der Schwingungen von ϕ˙ M . Die bisher diskutierte L¨osung mittels passivem D¨ampfer hat grunds¨atzlich die folgenden Nachteile. Erstens ist die mechanische D¨ampfung d und damit der D¨ampfungsfaktor D = 0 nie erreichbar, so daß keine vollst¨andige Unterdr¨ uckung der Schwingung von ϕ˙ M m¨oglich ist. Zweitens ist der passive D¨ampfer durch die Festlegung der Parameter c, d und ΘA in seinen Daten festgelegt. Wenn sich die anregende Frequenz oder das Systemverhalten a¨ndert, dann verliert der passive D¨ampfer umso schneller seine Wirksamkeit, je besser er auf das urspr¨ ungliche Ziel ausgelegt war (siehe auch Anmerkungen zu Abb. 19.13 und 19.15). Diese Einschr¨ankungen bei passiven D¨ampfern haben zu den vielf¨altigsten ¨ Uberlegungen zur aktiven Schwingungsd¨ampfung gef¨ uhrt. Ein erster Ansatz — die direkte St¨orkompensation — ist, eine Kraft (laterales System) bzw. ein Drehmoment (rotierendes System) — ohne D¨ampfersystem — so gegensinnig einzu-

998

20 Schwingungsd¨ ampfung

Abb. 20.5: D¨ ampfer mit D = 0, 08 (NM = ϕ˙ M , NA = ϕ˙ A )

pr¨agen, daß sie der anregenden Kraft bzw. dem Drehmoment MW entgegen wirkt und somit die unerw¨ unschte Schwingung ged¨ampft oder sogar ganz unterdr¨ uckt wird. Dies w¨ urde in Abb. 20.2 bedeuten, daß beim aktiven Einpr¨agen der gegensinnigen Kraft bzw. des Drehmoments die Welle entfallen w¨ urde und ΘA z.B. den Rotor einer elektrischen Maschine repr¨asentiert, auf den das gegensinnige Luftspaltmoment MBD u ¨ bertragen wird. Problematisch bei diesem Vorgehen ist, daß das eingepr¨agte Signal zur Schwingungsd¨ampfung m¨oglichst exakt gegenphasig sein muß, da bereits geringe Phasenfehler zu einer deutlichen Verschlechterung der D¨ampfung f¨ uhren. Nachteilig ist auch, daß die Kraft bzw. das Drehmoment in voller H¨ohe aufgebracht werden muß, um eine Schwingungsunterdr¨ uckung zu erreichen. Eine andere Variante ist, ebenso eine Kraft bzw. ein Drehmoment einzupr¨agen, die aber so gesteuert/geregelt ist, daß der resultierende D¨ampfungsfaktor D des Gesamtsystems bestehend aus zu d¨ampfendem Prim¨ark¨orper und dem D¨ampfersystem erh¨oht wird und so eine Schwingungsd¨ampfung erreicht wird.

20.1 Allgemeine Problemstellung

999

Generell muß weiterhin unterschieden werden zwischen der Schwingungsd¨ampfung und der Schwingungsabschirmung. In [811, 814, 824, 825, 829, 830] sind die vielf¨altigen Aspekte ausf¨ uhrlich dargestellt, so daß hier nicht weiter darauf eingegangen werden soll. Grunds¨atzlich soll aber noch einmal darauf hingewiesen werden, daß beim idealen passiven D¨ampfer (D = 0) keine zus¨atzliche Energie von außen zugef¨ uhrt werden muß, denn die d¨ampfende Kraft bzw. das Drehmoment wird durch die Schwingung des D¨ampfungsk¨orpers aufgebracht. Demgegen¨ uber ben¨otigt der aktive D¨ampfer (ohne Welle) im zweiten Beispiel die volle Energie, um die Gegenkraft bzw. das Gegenmoment aufzubringen. Zu beachten sind auch die Un¨ terschiede bei den dynamischen Einschwingvorg¨angen, falls eine Anderung des Zustands beim Prim¨ark¨orper ΘM auftritt. ¨ Diese grunds¨atzlichen Uberlegungen werden in den folgenden Beitr¨agen weitergef¨ uhrt. Wesentlich ist, daß der prinzipielle Ansatz des idealen passiven D¨ampfers realisiert wird, indem — im ersten Beispiel — die mechanische D¨ampfung d und damit der D¨ampfungsfaktor D auf elektronischem Wege zu Null erzwungen wird. Dies bedeutet, die Grundkomponente der Kraft bei lateralen Systemen bzw. des Drehmoments bei rotatorischen Systemen wird vom idealen FederMasse-System (idealen passiven D¨ampfer) aufgebracht. Es muß nur der Energieeintrag zur Entd¨ampfung des nichtidealen passiven D¨ampfers erfolgen. Dieser patentierte Grundansatz wird danach weiter ausgebaut zu patentierten D¨ampfersystemen, deren D¨ampfungsfrequenz elektronisch w¨ahrend des Betriebs verstellbar ist, so daß • mehrere st¨orende Frequenzen mit nur einem D¨ampfersystem unterdr¨ uckt werden k¨onnen • oder sogar ein Frequenzband mit dem D¨ampfersystem unterdr¨ uckt werden kann • und eine Schwingungsd¨ampfung oder -absorption erfolgen kann.

1000

20 Schwingungsd¨ ampfung

20.2

Local Absorption of Vibrations Dr. D. Filipovi´ c, M¨ unchen

20.2.1

Introduction

In high order multi-mass systems it cannot be expected that the state of the load mass could be controlled efficiently, if there are several elastic mass objects between the actuator and the load mass. Disturbances can excite the natural frequencies (modes) of the mechanical part of the system, thus, undesired vibrations could result. On the other hand, vibrations may appear due to nonlinearities which cannot be compensated efficiently. In these cases it might be more efficient to damp the load mass oscillations locally by means of an additional controlled device, such as a vibration absorber. The application of new solutions for vibration absorbers will be examined in this chapter. Vibration absorbers have a history of almost a century [807] and the research in the field is still very productive. A common passive absorber [820, 813] is a mass-damper-spring trio, figure 20.6a, which should attenuate the disturbances from the primary system that the absorber is attached to [828]. The primary system together with the absorber will be called a combined or global system.

b)

a) xa x

ma ca

xa da x

primary system

f act

ma ca

da

primary system

Fig. 20.6: a) passive absorber, b) active absorber

Further improvements in the absorption are possible with an additional active force (figure 20.6b). Such an active absorber will be controlled with different algorithms to achieve an improvement of the absorption. With advanced control techniques this is becoming an alternative in new fields, like in structural control [824, 826], flexible space structures [796], vehicle suspension [810], super-rapid trains [817], helicopter vibrations [827] etc. It should be mentioned that active absorbers versus a direct vibration suppression by solely an active force (or torque in rotational systems) will result in a much lower active power for the actuator. A very advantageous type of active absorber uses only a force based on a single local feedback signal, thus acting as a separate unit without the necessity to measure all the primary system states (e. g. primary displacements); these

20.2 Local Absorption of Vibrations

D. Filipovi´c

1001

active resonant absorbers [823, 801] are able to suppress discrete frequencies very efficiently. The concept of the delayed resonator (DR) has been introduced by Olgac [823]. A controlled time delay is introduced into the local absorber feedback path in the otherwise passive absorber. Thus, the characteristics of the passive absorber are changed, and it is transformed into an ideal resonator1 at the desired frequency, which is tunable on-line. Such an ideal resonator can completely absorb vibrations from the point of attachment, provided the combined system is stable. The group of Prof. Olgac analysed the DR with the mass displacement [823] and acceleration [797] feedback. It has also been shown that with a certain parameter setting the DR behaves even as a double resonance absorber [822]. The experiments with a piezoelectric actuator have been carried out [821, 797] which proved the concept. Through the cooperation with the Technical University of Munich the torsional version of the DR has been proposed [805, 799]. The drawback of the delayed resonator, its transcendental characteristic equation, can be avoided inasmuch as the delay element in the feedback is exchanged with a linear filter/compensator. In such a way the ideal resonance can also be generated, but this time from a linear characteristic equation. Hence, this new type of absorber is called the linear active resonator (LAR). Since the LAR concept is more feasible, because it is linear, it will be explained here in detail in section 20.2.2. The position of the vibration absorber in the multi-mass elastic system may be determined according to particular disturbances and the desired local behaviour of the system. This problem is treated thoroughly in section 20.2.3. Another type of an absorber with a local feedback will be introduced in section 20.2.4, namely, the bandpass absorber (BPA). By means of the BPA, vibrations in a certain prescribed frequency range can be suppressed, which opposes to the discrete notch frequencies of resonant absorbers. The BPA concept will be explained and applied for the lateral vibration suppression of the drive roller in a paperproduction plant as one possible application. The LAR and BPA concepts are patent pending; please contact the author before commercial use. 20.2.2

Resonant Absorbers: Linear Active Resonator (LAR)

The LAR concept uses for the dynamic feedback either position, speed or acceleration signal of the absorber mass as well as the detected frequency of the vibrations induced in the absorber. The measured signal for the feedback path can be either absolute or relative to the primary structure. An actuator at the output of filtered feedback signal produces the force (the torque in rotational systems) which is impressed upon the absorber mass and the primary structure mass (action equals reaction). Again the transfer function of this feedback path 1 The ideal resonator can be represented by a mass-spring system with damping equal to zero.

1002

20 Schwingungsd¨ ampfung

is designed to achieve an ideal resonator at the particular frequency. Therefore the name Linear Active Resonator (LAR). The coefficients of this transfer function are set in such a way as to produce a designated resonance frequency without damping in the absorber. By applying the feedback force fa the mass-spring-damper trio mimics a mass-spring resonator with a designated variable frequency. The actively controlled feedback will as a result suppress vibrations from the primary structure at the designed frequency. The frequency to be absorbed can be tuned in real time according to the monitored frequency. sensor (position, speed or acceleration)

ma compensator

fa

actuator

ca

da

primary system Fig. 20.7: Linear active resonator

20.2.2.1 Design of the LAR The objective of the LAR is to keep the mass-spring-damper system marginally stable at a particular frequency in the determined frequency range. The dynamics of the absorber is described by the following equation of motion: ma x¨a (t) + da x˙ a (t) + ca xa (t) + fa (t) = 0

(20.6)

with the absorber mass ma , spring stiffness ca , damping da , and an additional active feedback force fa (t). The corresponding characteristic equation in the Laplace domain is: Ca (s) ≡ ma s2 + da s + ca + sp Ga (s) = 0 where

⎧ ⎨ 0, 1, p= ⎩ 2,

(20.7)

for position feedback for speed feedback for acceleration feedback

The transfer function Ga (s) is chosen to be a linear compensator with at least two linearly independent parameters. Additional parameters are not necessary; however, they can improve absorption and/or stability features.

20.2 Local Absorption of Vibrations

D. Filipovi´c

1003

In order to achieve a general approach, the compensator transfer function is defined as m  si Tii Na (s) i=0 Ga (s) = g  , m≤n (20.8) = n D j a (s) sj Tm+j j=0

and the characteristic equation is then Ca (s) ≡ (ma s2 + da s + ca )Da (s) + sp Na (s) = 0

(20.9)

The parameters of the compensator are determined as follows. First, the characteristic equation Ca (s) is resolved into the real and the imaginary part for the pole on the imaginary axis s = jωc . The solution of equations Re {Ca (jωc )} = 0 and Im {Ca (jωc )} = 0 give the critical parameters, say gc and T1c , that would bring the absorber on the stability margin, i. e. that would achieve the ideal resonance at the frequency ωc . Table 20.1 shows solutions for a few types of the LAR with the speed feedback (p = 1). The feedback gain g is always proportional to the mass ma , hence we can write g = ma q (20.10) From the table one can see that the PT1 compensator brings stability for the frequencies below the natural frequency ωa , while the DT1 compensator makes it stable above ωa . The PI and the lead/lag compensator can be used for any frequency as far as the stability of the LAR is concerned. The latter has one additional parameter, T2 , so that the third pole and thus the settling time of the absorber can be used as a design parameter as well.

Example 20.1 In all examples in this subsection 20.2.2.1 an absorber with the mass ma =1kg, the stiffness ca =1N/m and the damping da =0.1Ns/m shall be used. As a primary system a simple single-degree-of-freedom (SDOF) system with the mass m=10kg, the stiffness c=10N/m and the damping d=20Ns/m shall be used (figure 20.8). Thus, the LAR and the primary system have equal natural frequencies ωa = 1rad/s. Figure 20.9 shows responses with the initial condition, xa (0) = 0.1, imposed on the LAR alone, figure 20.8a. With g = 0 this is just a passive absorber, figure 20.9a, and it is asymptotically stable: it is not the ideal resonator at any frequency. The damper with the coefficient da dissipates the energy and the response fades out exponentially. Using different linear compensators in the feedback path, the LAR can operate as an ideal resonator at a chosen frequency. The single-frequency LAR is formed using the speed feedback with the lead/lag compensator where the free parameter is set at T2 =0.1s. The feedback parameters are initially set for the frequency ωc =0.8rad/s, and at t=21s they are changed

1004

20 Schwingungsd¨ ampfung

Table 20.1: Resonator properties with basic speed feedback compensators (index c stands for “critical”)

PT1

DT1

PI

lead/lag

Ga (s)

compensator parameters

stability condition

poles

1 g 1 + sT

qc = (ωa2 − ωc2 )Tc + 2ζa ωa ω 2 − ωc2 Tc = a 2ζa ωa ωc2

ωc < ωa

±jωc , ω2 − 2a ωc Tc

s 1 + sT

1 + Tc2 ωc2 2ζa ωa Tc = 2 ωc − ωa2

ωc > ωa

±jωc , ω2 − 2a ωc Tc

1 + sT g s

qc = ωa2 − ωc2 2ζa ωa Tc = 2 ωa − ωc2

stable

±jωc

qc = (ωa2 − ωc2)T2 + 2ζa ωa ω 2 − ωa2 + 2ζa ωa ωc2T2 T1c = c ωc2qc T2 is free parameter

T2 > 0

±jωc , ω2 − 2a ωc T2

g

g

1 + sT1 1 + sT2

qc =

Notation: critical gain gc = ma qc , undamped natural frequency ωa = √ damping ratio ζa = da /2 ma ca

 ca /ma ,

for resonance at ωc =1.2rad/s according to the expressions in the last row of table 20.1. The absorber is now the ideal resonator at the desirable frequency. If the frequency of the excitation force changes, the absorber can easily be re-tuned and can suppress vibration energy at that new frequency with the same efficiency. Simulation responses in figure 20.10 show the absorption in the system from figure 20.8b. Figure 20.10 shows absorber and primary mass displacements for a sinusoidal input force f = sin 0.8t. After t = 280s the disturbance frequency is changed to 1.2rad/s. With the speed feedback lead/lag LAR the oscillations of the primary mass are completely suppressed, while the vibration energy is transferred to the resonator mass. It is assumed that the variation of disturbance

D. Filipovi´c

20.2 Local Absorption of Vibrations

xa

ma

fa xa

f

ma

fa

x

ca

da

m c

ca

1005

f

d

da

a) LAR alone

b) LAR + SDOF primary

Fig. 20.8: (a) Model of the LAR. (b) Model of the complete system with the LAR attached at the single-degree-of-freedom primary system

a) passive absorber

b) single-frequency LAR

ω=1.2

ω=0.8

Fig. 20.9: Initial condition responses of the LAR

frequency is detected instantaneously and that the parameters g and T1 are changed accordingly. Stability Analysis of the Combined System The advantage of this resonant absorber over other active controlled absorbers is that the LAR does not need any information (like the structure, parameters, states, signals) from the primary system for efficient absorption. Only the stability of the global system with the LAR should be proved, which is done off-line for a predetermined frequency range. The combined system consists of an asymptotically stable primary system and a marginally stable LAR. The global system characteristic equation C(s) = 0 should be asymptotically stable. In general, the stability analysis can be carried out by inspection of the characteristic equation roots: all system poles should have negative real parts.

1006

20 Schwingungsd¨ ampfung

Fig. 20.10: Simulation of the single-frequency LAR at the SDOF primary system

However, for the system with the single frequency LAR, a more appropriate method is the D-decomposition method by which all parameters of the LAR compensator that stabilize the combined system are determined in the parameter space. The method is suitable for two parameters (the parameter plane). As the starting point we use the continuity property for polynomials [794] which indicates that for two sets of parameters h1 , h2 of the set of polynomials P (s, H) there is at least one continuous path beginning at the roots of the first polynomial p1 (s, h1 ) and ending at the roots of the second polynomial p2 (s, h2 ), as the parameters change from h1 to h2 . If that path does not include the stability margin (imaginary axis jω), both polynomials p1 and p2 have the same stability property: they are either both stable or both unstable. Then we need the direct consequence of the continuity property, the boundary crossing theorem for polynomials from [808] repeated in [794]: Theorem 20.1 boundary crossing Let P (s, H) be a set of polynomials of the complex variable s and the variable parameters hi ∈ H, i = 1, 2, ..., m + n.

20.2 Local Absorption of Vibrations

D. Filipovi´c

1007

The set P (s, H) is stable if and only if 1) there exists a stable polynomial p(s, h) ∈ P (s, H), 2) jω ∈ Roots{P (s, H)} for all ω ≥ 0. Theorem 20.1 states, when the parameters of the stable polynomial change and the polynomial roots do not cross the imaginary axis, this new polynomial remains stable. The D-decomposition method applies to two parameters and can be carried out in two steps. First, we have to find the parameters h∗ = [h∗1 h∗2 ] that lead to the characteristic equation of the k-DOF combined system C(s) ≡ p(s, h) =

n+2k 

ai si = 0

(20.11)

i=0

with a pair of roots on the imaginary axis. The solutions divide the h1 , h2 parameter plane in a finite number of regions with the same stability property, or more accurately, with the same number l of unstable roots. If in one region the parameter set h0 represents a stable characteristic equation, then the stability is preserved under all continuous variations of h that do not intersect the curves defined by h∗ . The regions are denoted by D(l) where l is the number of unstable poles. The stable region is therefore D(0). In the first step we find the parameters h∗ for the marginally stable characteristic polynomial p(jω, h∗ ) = 0 where p(jω, h∗ ) = Re {p(jω, h∗)} + j Im {p(jω, h∗)}

(20.12)

Second, the equations Re {p(jω, h∗ )} = 0 and Im {p(jω, h∗)} = 0 should be solved simultaneously for two parameters h∗1 and h∗2 . The parametric plot h∗1 (ω), h∗2 (ω) is then plotted in the h1 , h2 -plane. This examination gives exact parameters whose variation brings a stable complex pole of the combined system onto the stability margin. However, the stability margin can also be crossed by the real pole at s = 0 or when the pole goes from s = −∞ to s = ∞. These two cases lead to conditions (see equations (20.11) and (20.8)): for s = 0

:

a0 = 0

for s = ∞

:

an+2d = 0

(20.13) ⇒

Tm+n = 0

and should be checked before concluding the stability issue.

(20.14)

1008

20 Schwingungsd¨ ampfung

Degree-of-stability Analysis After discussing the stability analysis, the next question for the practical implementation of the LAR would be: how far away are the poles of the combined system from the stability margin, i.e. what is the largest negative real part of all roots of the characteristic equation max (Re {si } = −σi ) = −σ0

i=1...n+2d

(20.15)

For the characteristic equation C(s), equation (20.11), we can require a certain stability margin in which the real part −σ0 is smaller than a certain −σ ∗ . This can be achieved by mapping the half plane Re {s} < −σ ∗ via s = v − σ ∗ onto the left half plane of the new complex variable v, [794]: C(s) = C(v − σ ∗ ) = C  (v)

(20.16)

The necessary and sufficient condition is again that this new shifted equation C  (v) is stable, which can be solved by using the D-decomposition method. For v = jω we obtain C  (jω) ≡ p(jω, h∗ ) = Re {p(jω, h∗ )} + j Im {p(jω, h∗ )} = 0

(20.17)

For σ ∗ = 0 the solutions are equal to the solutions of the characteristic equation (20.12).

Example 20.2 Results of the stability analysis for the system from figure 20.8b with parameters given in example 20.1 are shown in figure 20.11. The feedback compensator is of a lead/lag type with T2 =0.1s. This combined system is obviously stable, since the operating points gc , T1c (represented by the curve gc ) are in the stable region D(0). Both feedback √ parameters change the sign at the frequency ωb = 2. By means of shifted polynomials the curves of constant distance σ ∗ from the stability margin are introduced in the same figure 20.11. As the absorber resonant frequency increases from 0.8rad/s to 1.2rad/s, the poles move away from the imaginary axis and a faster absorption is to be expected. Figure 20.12 is a result of a procedure which calculates all poles for a given frequency range and shows the one closest to the imaginary axis, thus verifying the method of shifted polynomials. The system becomes unstable for frequencies ω > 3.013rad/s. The different transient times for two different frequencies obtained by simulation in figure 20.10 can be predicted from the stability curve in figure 20.11. The steady state is reached for 0.8rad/s in tt = 4/σ0 =4/0.0149=268s, see figure 20.12, and for 1.2 rad/s in 110s.

20.2 Local Absorption of Vibrations

D. Filipovi´c

1009

g ∗ =0

ω=1.9

D(2)

.04

∗ =0

g* D(0)

ω=1.6

.05

∗ =0

gc Τ1

D(0)

∗ =0.04

ω=1.2

∗ =0.03 ∗ =0.02

σ∗=0.01

=0.8

gc

∗ =0

D(2)

g*

Fig. 20.11: The parameter plane with robust stability margins

s0 0.04 0.03 0.02 0.01

w 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Fig. 20.12: Front running poles that determine the absorption rate

20.2.2.2 Single-mass Multi-frequency Resonator With the same LAR concept a multiple frequency suppression can be obtained. By applying the appropriately filtered feedback fa (t), figure 20.7, the mass-

1010

20 Schwingungsd¨ ampfung

spring-damper system can operate as a multiple mass-spring resonator with designated tunable resonant frequencies. The same compensator representation given by (20.8) can be applied for the multi-frequency LAR. Using an appropriate compensator, the characteristic equation of the absorber is linear with as many roots on the imaginary axis as there are frequencies to be absorbed. All remaining roots have to be in the stable left half-plane of the complex s-plane. If the frequencies ωi , i = 1, 2, ..., l are to be suppressed, the characteristic equation (20.9) should be solved for all Ca (jωi ) = 0, i = 1, 2, ..., l where l is the number of frequencies to be absorbed. These equations resolved in its real and imaginary parts, Re {Ca (jωi )} = 0 and Im {Ca (jωi )} = 0, should be solved simultaneously for all i = 1, 2, ..., l. This gives the critical parameters gc and Tic of the feedback compensator that forces the absorber to the stability margin for every of these l frequencies. In order to have l independent solutions s = jωi, the order of the characteristic equation is at least 2l and the number of independent parameters of the feedback compensator should be at least 2l. For example, a double-frequency LAR with resonant frequencies ω1 and ω2 can be realized using the compensator Ga (s) = g

1 + sT1 + s2 T22 1 + sT3 + s2 T42

(20.18)

in the speed feedback. Solving the characteristic equation (20.7) twice, that is Ca (jω1 ) = 0 and Ca (jω2 ) = 0, gives the parameters which always set two pairs of poles on the imaginary axis (T3 is the free parameter): qc = 2ζa ωa + ωa2 T3  2 

2

ωa 1 ωa − 1 − 1 + 2ζ ω T T1c = a a 3 qc ω12 ω22 ? 2 T3 + 2ζa ωa T4c T2c = qc T4c =

ωa ω1 ω2

(20.19) (20.20)

(20.21) (20.22)

It is again gc = ma qc . With these critical parameters the poles of the LAR are s1,2 = ±jω1 , s3,4 = ±jω2 . Figures 20.13a and 20.13b show the double- and the triple-frequency LAR with the appropriate compensators in the feedback path. Thus, by using the LAR concept, with a single mass absorber the multi-resonant absorber is achieved whereby every resonant frequency is tunable on-line. The stability of the combined system with the multi-frequency LAR can be checked by inspection of its poles. However, for the stability of a double-frequency LAR the D-decomposition method can be used again. For the stability analysis of the double-frequency LAR the D-decomposition method should be modified. The double-frequency LAR has four parameters

20.2 Local Absorption of Vibrations

D. Filipovi´c

1011

a) double-frequency LAR

b) triple-frequency LAR

Fig. 20.13: Initial condition responses of the multiple frequency LAR

which should, with direct application of the parameter space analysis, be shown in a four-dimensional space, which would be difficult. However, if we include the solutions for the parameters h∗ from the LAR design, such as those from equations (20.19-20.22), then instead of the polynomial p(s, h∗ ) where h∗ = [h∗1 h∗2 h∗3 h∗4 ], we have the polynomial p(s, ω ∗) where ω ∗ = [ω1∗ ω2∗ ], since the parameters hi , i = 1, 2, 3, 4 are all functions of ω1 and ω2 . Thus, instead of using the parameter plane as in the case of the single-frequency LAR, we have the frequency plane for the case of double-frequency LAR. Therefore, in the first step we find the frequencies ω ∗ for the marginally stable characteristic equation p(jω, ω ∗) = 0 where p(jω, ω ∗) = Re {p(jω, ω ∗)} + j Im {p(jω, ω ∗)} Then, the equations Re {p(jω, ω ∗)} = 0, Im {p(jω, ω ∗)} = 0 should be solved simultaneously for two frequencies ω1∗ and ω2∗. The curves are then plotted in the ω1 , ω2-plane. Example 20.3 Results of the stability analysis for the same system from example 20.1 with a double-frequency LAR are shown in figure 20.14. Stable regions for this system are obtained by solving the D-decomposition problem in ω1 , ω2frequency plane. The graph is always symmetric over the line ω1 = ω2 . The robust curves σ ∗ are also introduced in the graph.

1012

20 Schwingungsd¨ ampfung

Figure 20.15 depicts the absorption of bitonal vibrations from the primary system, figure 20.8b. The primary mass is subjected to the disturbance force f = sin 0.85t + sin 1.3t. Using the double-frequency LAR with the compensator designed according to equations (20.19-20.22), both frequencies are completely absorbed. The parameters of the feedback compensator are gc = −0.2Ns/m, 2 2 T1c =-0.7341s, T2c = 0.9095s2, T3 =0.1s, T4c = 0.8190s2 . The absorption rate is approximately tt ≈ 4/σ0 = 4/0.0114 = 350s and reflects the results given by the stability analysis, point A in figure 20.14.

20.2.2.3 Comments The presented linear active absorber (LAR) shows a novel solution in the active vibration absorption by utilization of a simple dynamic local feedback signal. This feedback transforms a single degree-of-freedom passive absorber into an ideal resonator at a single or multiple tunable frequencies. The feedback channel uses only one sensor signal, i. e. either position, velocity or acceleration, of the absorber mass. The LAR operates as an autonomous absorber and does not need information from the primary system (its structure, parameters, states). The feedback compensator can include additional parameters which can be used for the real time adjustments of the stable frequency range, or some other property. In order to achieve a certain vibration suppression efficiency, the absorber dynamics should be known. This also includes the possible actuator dynamics, which has been neglected up to now. If the actuator dynamics is included in the absorber characteristic equation from the beginning, the expressions for the tunable feedback parameters will be modified; however, the ideal resonance can still be achieved. It has been shown in [803, 804] that the same principles from the continuous time analysis can be transposed and used for the discrete resonator design. The stability can be analysed by solving the root set problem using the Ddecomposition method. The possible absorption frequency range is ω ∈ [0, π/τ ], where τ is the sampling time. Using the discrete resonator design, we can take advantage of the relatively large sampling time and are not forced to have a fast algorithm implemented in the computer interrupt routine. Thus, there is enough time to implement much more complicated control routines and include the on-line frequency measurement and the self-tuning algorithm, as well as to compensate the differences between the real and the model parameters. The robustness of the LAR concept in the presence of the parameter uncertainty has been treated in [806] and it showed promising results. The parameter perturbations in the primary system are not critical. This result shows the power of the independent design of the LAR from the system the LAR is attached to. Perturbations in the absorber parameters are not critical insofar as the variations can be identified and compensated for by the feedback. If substantial variations

20.2 Local Absorption of Vibrations

D. Filipovi´c

1013

w2

2.5

2

D(0)

D(2)

1.5

s*=0 s*=0 s*=0.005

1

s*=0.01

A

s*=0.05

D(2)

0.5

D(0) w1

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

Fig. 20.14: Stability analysis of the system with the double-frequency LAR — D-decomposition in the frequency plane

w1 = 0.85 rad/s

w2 = 1.3 rad/s

Fig. 20.15: Responses of the system with the double-frequency LAR

1014

20 Schwingungsd¨ ampfung

could not be compensated, the quality of absorption would not be as efficient, and the combined system could also lose its stability. Experimental results achieved with a torsional electric drive system have been presented in [802, 800] for the LAR, and in [798, 799] for the DR. Those results fully proved the concepts. They will not be reproduced here in order to keep the text compact. 20.2.3

Absorbers with Local Feedback in Multi-mass Systems

In this section the guidelines for the absorber positioning in the multi-mass elastic system are sought for. The one-dimensional n-DOF primary system with an active absorber will be considered. We pose the following problem: Suppose that the absorber equipped with a local dynamic feedback is attached at the p-th system mass. Then, if the q-th system mass is acted upon by an external (multi-)harmonic force, the question is, what is its influence on the r-th system mass, and how to minimize that influence by means of a given absorber feedback? An excellent introduction to this section would be [818, 819], where the similar analysis has been carried out for passive multi-mass systems. The solution should determine a necessary parameterisation of the dynamic feedback in order to achieve complete multi-harmonic disturbance suppression from a given point in a multi-mass elastic system. It will be shown that the solution itself holds for active absorbers with a local feedback without the necessity for ideal resonance of the absorber. The usual modal analysis cannot be used because the system damping is not assumed to be of the proportional damping form [816]. The derived solution will present an interesting possibility of a remote absorption: By means of the resonant absorber concept, it is possible to completely suppress vibrations from the system mass that is further away from the point of the absorber attachment, provided the combined system is stable. It will also be shown how the concept of the remote multi-frequency LAR can be used to simultaneously suppress vibrations of different frequencies acting on different system masses. Figure 20.16 shows the general structure of an active absorber that comprises a mass-spring-damper trio and a local feedback. The absorber should be attached to a primary structure, i.e. a multi-body system that is acted upon by harmonic forces. For the feedback we do not want to use any information outside the absorber itself, thus making the control completely decoupled from the primary structure. The signal used for the feedback is either a relative or an absolute motion signal and can be either the displacement, velocity or acceleration of the absorber mass. The dynamics of the absorber is described by the following equation of motion ma x¨a + da (x˙ a − x˙ p ) + ca (xa − xp ) + fa = 0 where fa is the feedback force.

(20.23)

20.2 Local Absorption of Vibrations

D. Filipovi´c

1015

sensor (position, speed or acceleration)

xa

ma compensator

fa

actuator

ca

da

xp

primary system Fig. 20.16: Active absorber with local feedback

The corresponding transfer function is xa (s) da s + ca + δFa (s) Ca (s) + δFa (s) = = xp (s) ma s2 + da s + ca + Fa (s) Ma (s) + Fa (s)

(20.24)

Influence of the passive SDOF system is collected in Ma (s) and that of the elastic coupling in Ca (s). The possibility of using the feedback that is dependent upon the signal relative to the point of attachment is included by the symbol δ with the meaning  0 , absolute signal for the feedback input, either xa , x˙ a or x¨a δ= (20.25) 1 , relative signal for the feedback input, e. g. xa -xp The transfer function of the active feedback is Fa (s): ⎧ ⎨ 0, for position feedback 1, for speed feedback, α= Fa (s) = sα Ga (s) , ⎩ 2, for acceleration feedback

(20.26)

where Ga (s) is a transfer function of the feedback compensator with the actuator dynamics included. At this point it is not of crucial importance, how the transfer function Ga (s) is defined. One should know that it is actually dependent on some compensator parameters h = [h1 ... hw ] and we shall therefore sometimes write Fa (s, h). For the single frequency resonator the objective is to choose parameters h for a given transfer function structure Fa (s, h) such that the absorber becomes marginally stable — an ideal resonator — for a predetermined resonance frequency ωc . This can be achieved by solving the characteristic equation Ca (s) ≡ Ma (s) + Fa (s) = 0

(20.27)

for the marginally stable pole s = jωc . This is a complex-valued equation that

1016

20 Schwingungsd¨ ampfung

should be solved separately for the real and the imaginary part: Re {Ca (jωc )} = 0 ,

Im {Ca (jωc )} = 0

(20.28)

These two real-valued equations have a unique solution hc if the feedback compensator has two independent parameters hc = [h1c h2c ]. The solution hc is actually frequency dependent and can be represented in the h1 , h2 -parameter plane by the parametric curve h1c (ωc ), h2c (ωc ) — as already explained in section 20.2.2 dealing with the LAR. If the feedback compensator is chosen to produce the force fa (t) = g xa (t − τ ) with parameters h = [g τ ], the absorber is called the delayed resonator (DR), [823]. If Ga (s) = g (1+sT1)/(1+sT2 ) where h = [g T1 ] and T2 is a free parameter, it is the single-frequency LAR from chapter 20.2.2. For a double-frequency LAR the characteristic equation should be satisfied for two marginally stable roots, i. e. Ca (jω1c ) = 0 and Ca (jω2c ) = 0. This gives four real-valued equations that can be solved for four independent compensator parameters hc = [h1c h2c h3c h4c ]. If an ideal resonator tuned to the frequency ω is attached to the oscillating mass that is acted upon by a harmonic force at the same frequency, the resonator absorbs all vibrating energy and the primary mass is brought to a standstill in steady state. This is due to the fact that the poles of the absorber, i.e. the roots of Ca (s) = Ma (s) + Fa (s) = 0, become zeros of the combined system. Hence, the global transfer function of the combined system becomes zero at that frequency. This is at least so until we introduce a remote absorber, when we shall have to answer, what the absorber really is. A one-dimensional n-degree-of-freedom (n-DOF) system with the absorber is depicted in figure 20.17. Elastic couplings Ci between masses mi comprise a spring and a damper. If one end of the system is free, then C0 = 0. It is assumed, that the absorber is attached to the mass mp and that the source of harmonic vibrations is at the mass mq .

xa ma

Absorber fa

fq

Ca

C0 m 1 C1... m p-1 C p-1 m p Cp m p+1 x1

xp-1

xp

x p+1

...

m q C q... m n Cn xq

xn

Fig. 20.17: Multiple degree-of-freedom system with the vibration absorber

20.2.3.1 Analysis of the Primary System The analysis of the primary system alone is restricted to notions needed for later analysis of the combined system with an active absorber.

20.2 Local Absorption of Vibrations

D. Filipovi´c

1017

The equation of motion of the n-DOF system alone without an absorber can be written as Mx ¨(t) + D x(t) ˙ + C x(t) = f(t) (20.29) where M, D, C are (n × n) mass, damping, and stiffness matrices and x, f are (n × 1) position and disturbance vectors, [816]. These equations will be represented in the Laplace domain as follows B(s) x(s) = f(s) where (the dependence upon ⎡ M1 ⎢ −C1 ⎢ ⎢ B=⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0

⎡ ⎢ ⎢ x=⎢ ⎣

(20.30)

the complex variable s will be omitted) ⎤ −C1 ⎥ M2 −C2 ⎥ ⎥ .. .. ⎥ , . . −C2 ⎥ .. ⎥ . Mn−1 −Cn−1 ⎦

0

−Cn−1 x1 x2 .. .

Mn

⎤ 0 ⎢ .. ⎥ ⎢ . ⎥ ⎥ ⎢ f = ⎢ fq ⎥ ← row q ⎢ . ⎥ ⎣ .. ⎦ 0 ⎡

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(20.31)

,

xn

(20.32)

and Ci = d i s + ci 2

,

Mi = mi s + Ci + Ci−1

i = 0, 1, . . . , n ,

i = 1, 2, . . . , n

The system matrix B is tridiagonal: the matrix elements on the main diagonal bii =Mi represent SDOF systems — the mass with its connections to other masses — and other elements bij represent only an elastic coupling between masses mi and mj . The solution for the displacement of the particular mass mr can be, in general, found using the Cramer’s rule: xr =

Br det Br = det B B

(20.33)

where Br represents the determinant obtained from the matrix B by replacing the r-th column of B by the vector f. This solution can be further factorized. After substitution of the r-th column of B by the vector f, the determinant Br is easily expandable by the column r and it is Br = Brq fq ,

(20.34)

where Brq is a cofactor of the element brq of the matrix B, obtained by suppressing all elements in the row q and the column r. This suppression brings elements

1018

20 Schwingungsd¨ ampfung

Ci onto the main diagonal of Brq between elements brr and bqq . After carrying out the elementary row and column transformations, the determinant Brq can be brought to the form of a lower triangular determinant of determinants   ..  B  .  (m−1  1 )    ..................    .. ..     . −Cm .     .................   for . . r+q  .  . . . Brq = (−1)  . . .  1 < (r, q) < n   ...................     . . . .   (whatever) . −Cm−1 .    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     ..  . B( n )  m+1 (20.35) where m = min(r, q) , m = max(r, q) (20.36)

0

The annotation B(v ) stands for the determinant of the principal quadratic subu matrix    buu · · · buv      (20.37) B(v ) =  ... . . . ...  u    bvu · · · bvv  According to the Laplace expansion for determinants [795, 809], it follows from (20.35): Brq = B(m−1) · Cm · . . . · Cm−1 · B( n ) (20.38) m+1

1

In order to achieve an elegant solution for equation (20.30) and to remove the condition in (20.35), the following annotation is introduced as the extension of the definition domain ⎧ 5 ⎨ 1 , u>v 1 , u>v v v v  (20.39) Πu = , Bu = B v , u ≤ v C , u ≤ v ⎩ i (u) i=u

Then, we have the following solution for (20.30):

xr =

Brq fq B

,

m−1

Brq = B1

m−1 n Πm Bm+1

,

r = 1, ..., n

(20.40)

It is obvious that Brq = Bqr . Actually, the Brq /B are the flexibility coefficients for which the Maxwell’s reciprocity theorem holds [815].

20.2 Local Absorption of Vibrations

D. Filipovi´c

1019

If there are more sources of vibration then it is xr =

n 1  Bri fi B i=1

,

r = 1, ..., n

(20.41)

For the interpretation of the solution (20.40) we shall examine the case r < q, n i. e. Brq (s) = B1r−1 (s) Πrq−1(s) Bq+1 (s). If the subsystem comprising masses r−1 m1 to mr−1 , and represented by B1 , has very low damping, the whole Brq will be close to zero for the natural frequencies of that subsystem B1r−1 , and it will be a good absorber at those lightly damped fixed frequencies ωi . Thus, if B1r−1 (jωi ) ≈ 0 (and therefore Brq ≈ 0) then xr ≈ 0 independently of the disturbance source position q. This is in accordance with [819]. n On the other hand, if Bq+1 (s) ≈ 0 for some other frequencies ωj , then this subsystem comprising masses mq+1 to mn is a good absorber for ωj . Therefore, the disturbances at frequencies ωj are absorbed by that subsystem directly from the source and they are not spread to the rest of the system. Hence, xr ≈ 0 for all r ≤ q. This also corresponds to the analysis in [819]. The factor Πrq−1 (s) gives only negative real (stable) transmission zeros. Hence, they are not important for further analysis. 20.2.3.2 Combined System with the Absorber The results given further do not depend upon the actual method used for the resonance generation; be it a LAR or a DR, be it single- or multi-frequency. The combined system with the absorber included is extended to (n + 1)-DOF system A x∗ = f ∗ (20.42) where

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ A=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

.. . 0 .. .. . . .. ˜ B+A . -Ca -Fa .. .. . . .. . 0 .................................. . 0 ... -Ca -δFa ... 0 .. Ma + Fa ↑ column p

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ← row p ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(20.43)

← row a

↑ column a

⎡

⎤ x x∗ = ⎣ . . . ⎦ xa

⎤

⎤ f f∗ = ⎣ . . . ⎦ 0 ⎡

,

(20.44)

1020

20 Schwingungsd¨ ampfung



and a ˜ij =

Ca + δFa , for i = j = p , 0 , otherwise

Ca = d a s + ca

Ma = ma s2 + Ca

,

The form of the matrix A reflects our intention to only allow the absorber motion (state) signals to be used for the feedback, thus making the vibration absorption control completely decoupled from the primary system. The new row and column in the matrix A do not have to be added as (n+1)th row and column in the system matrix; in fact, they can be at any other position. Therefore we shall call it the row a and the column a. The solution for the displacement of the particular mass mr can be found using the same methodology as before for the primary system alone: xr =

Ar Arq det Ar = = fq det A A A

(20.45)

In order to achieve complete absorption at the frequency ω, it should be xr (jω) = 0, hence Arq (jω) = 0. If Arq can be factored, it suffices to find the factor that depends upon the feedback compensator Fa (s) and choose the parameters of the compensator such that this factor equals zero for the given frequency. The similar derivation procedure holds for Arq as before for Brq . With a preliminary assumption that 1 < r < p, as shown in figure 20.17, (due to symmetry, the case p < r < n can be examined by analogy) it is: Arq = A(m−1) · Cm · . . . · Cm−1 · A( n,a )

for 1 < (r, p) < n

(20.46)

m+1

1

where A(v,a) is the extension of A(v ) by u u   auu   ..  A(v,a) =  . u  avu   aau

a-th row and a-th column:  · · · auv aua  . ..  .. . .. .  · · · avv ava  · · · aav aaa 

(20.47)

For p ≤ q < n the determinant A( n,a ) decomposes further into two parts: m+1 A( n,a ) = A( n ) · (Ma + Fa ) , m+1 m+1

for p ≤ q < n

We introduce the following extension of the definition domain 5 5 1 , u>v 1 , u>v v v,a , Au = Au = A v , u ≤ v A(v,a) , u ≤ v () u

(20.48)

(20.49)

u

It is furthermore obvious that Avu = Buv since it does not depend on absorber parameters. The determinant Av,a u can be represented by the elements of the

20.2 Local Absorption of Vibrations

D. Filipovi´c

1021

primary matrix B using the theorem for the edged determinant [795]: v p−1 v Av,a u (s) = (Ma + Fa )Bu + (Ma − Ca )(Ca + δFa )Bu Bp+1

(20.50)

However, it is not factorizable. Using the same procedure given by (20.46) and (20.48), for all possible p’s, q’s and r’s the complete solution for the problem (20.42) — our main goal — is derived:

xr =

Arq

Arq fq A

,

r = 1, ..., n

⎧ m−1 m−1 n,a Πm Am+1 , q < p and r < p ⎨ B1 , r ≤ p ≤ q or q ≤ p ≤ r Brq (Ma + Fa ) = ⎩ m−1,a m−1 n Πm Bm+1 , q > p and r > p A1

(20.51) (a) (b) (c)

(20.52)

It is again Arq = Aqr . For the sake of completion we give the solution for the displacement of the absorber mass: xa =

Aaq fq A

,

Aaq = (Ca + δFa ) Brq |r=p

(20.53)

If there are more sources of vibration then it is xr =

n 1  Ari fi A i=1

,

r = 1, ..., n, a

(20.54)

This solution is valid for any active feedback that uses an absolute or relative state signal of the absorber only, be it an ideal resonator or not. However, our goal is to achieve perfect absorption at particular frequencies using these solutions. Let us examine the consequences of the solution (20.51,20.52) keeping in mind figure 20.17 where p < q (in this case (20.52a) does not apply): a. Solutions for xr , r ≤ p according to (20.52b) all contain factor (Ma (s) + Fa (s, h)) that equals the characteristic equation of the absorber alone, equation (20.27). It clearly shows that the poles of the absorber become the zeros of the combined system. Hence, if this equation is solved for h, given the frequency ωc , Ma (jωc ) + Fa (jωc , hc ) = 0

(20.55)

as already done in section 20.2.2.1 for the LAR, all vibration energy that comes from the force fq to the mass mp will be absorbed by the resonator at mp and no energy at this frequency is transmitted to any of mr , r ≤ p. This situation is depicted in figure 20.18a where the bold“ masses repre” sent the masses brought to a standstill. Such an absorber forms a ‘screen’

1022

20 Schwingungsd¨ ampfung

that protects all masses ‘behind’ it from disturbances coming from the opposite side. Furthermore, once the feedback parameters h in Fa (s, h) are set according to (20.55) the solutions for other mi , i > p are given by equation (20.52c). These solutions differ from zero, Ai−1,a (jωc , hc ) = 0, once 1 (20.55) is satisfied. Therefore, these masses continue to vibrate, however, with smaller amplitude since a part of vibrating energy is absorbed by the resonator. b. If we want to bring any mass between the mass mp and the mass mq to a standstill, i. e. any mass mr , p < r < q, equation (20.52c) has to be used and solved for Ar−1,a (jωc , hc ) = 0 (20.56) 1 This solution includes all masses mi , i = 1, ..., r − 1 and the absorber mass ma . It can be said that this absorber, or this ideal resonator, comprise all these masses mi , i = 1, ..., r − 1, a and the r-mass resonator that is so formed were attached to the mass mr , see figure 20.18b. From the point of view of the elementary single-mass absorber, it absorbs the vibrational energy not from the point of attachment mp , but from a remote point, and thus the remote absorption is introduced. In this case, provided equation (20.56) holds, the mass mr is the only one motionless system mass in the steady state since Aiq (jωc , hc ) = 0 for all i = r. , equation (20.52c), c. Solutions for xr , r ≥ q all contain the same factor Aq−1,a 1 which does not depend upon the mass mr . Solving Aq−1,a (jωc , hc ) = 0 1

(20.57)

makes the remote absorber that includes masses mi , i = 1, ..., q − 1, a, attached at the mass mq , and the vibrational energy is therefore absorbed at the source. Thus, all masses mi , i ≥ q are brought to a standstill, figure 20.18c. Other masses mr , r = 1, ..., q − 1, a serve as parts of the remote absorber and hence they vibrate. d. If q = p, the elementary absorber absorbs vibrations directly at the source, and equation (20.52b) holds for each mass in the primary system. If the condition (20.55) is satisfied, all vibrational energy at frequency ωc is taken over by the elementary absorber, and all primary masses mr , r = 1, ..., n are motionless in the steady state. This is the most desirable case. Remark: Since Aaq includes Bpq , equation (20.53), the controllability of xa can be lost if Bpq (jωc ) = 0. However, this is not necessarily a drawback for the purpose of vibration absorption from the point of attachment, because in that case the absorber does not have to suppress the vibration energy which has already been absorbed by the part of the primary system, be it as the result of either

D. Filipovi´c

20.2 Local Absorption of Vibrations

a)

r=1 or r=2 or r=3

m1

Absorber

fa

x1

x2

m3

ma

f6

m4 x4

x3

Absorber fa

r=5

m5 x5

m6

m1

m2

x1

x2

r=6 or r=7 or r=8

m1 x1

m3

x2

m3 x3

=

x5 (j ωc )=0

m7

m8

f6

m4 x4

m5 x5

m6

x7

x6

A15,a(j ωc , hc )=0

xa ma

Ca

m2

x8

ma

x3

Absorber fa

x7

A4,a 1 (j ωc , hc )=0

xa

m8

m7

x6

Ca

b)

c)

Ma (j ωc )+Fa (j ωc , hc )=0 i {1,2,3} = xi (j ωc )=0,

xa

Ca

m2

1023

x8

xi (j ωc )=0, i {6,7,8}

=

f6

m4 x4

m5 x5

m6 x6

m7 x7

m8 x8

Fig. 20.18: Explanation of some absorption possibilities, n=8, p=3, q=6

n B1p−1 (jωc ) = 0 or Bq+1 (jωc ) = 0; see the discussion of the solution (20.40) for the primary system alone. However, the remote absorption is not possible since xa (jωc ) = 0.

Taking into consideration the discussion given in a-d, a general strategy for the positioning of the absorber in a one-dimensional multi-mass system can be summarized: i. Attach the vibration absorber to the source of vibrations, if possible. This is the best solution, since the vibrations are not spread to other parts of the system and all the vibration energy is absorbed directly at the source.

1024

20 Schwingungsd¨ ampfung

ii. If the absorber cannot be attached to the source of vibrations, it should be attached as close as possible to the source, in order to localize the influence of vibrations. The part of the system ‘behind’ the absorber, looking from the source of vibrations, will be freed from harmonic disturbances. iii. When the source of vibrations cannot be localized, or there is more than one source, the absorber should be attached to the point that is very important for a particular case and that should stay vibrationless for all operating conditions. iv. The last and the most demanding solution is the remote absorption, which can be applied if the point to be freed from vibrations cannot be reached (the absorber cannot be attached to that point) and that point is closer to the source of vibrations than the absorber is. In that case the absorber comprises a part of the primary system including the absorber mass. The expression for building an ideal resonator from the multi-mass subsystem can be rather complex and therefore a narrower stability range should be expected.

Stability Analysis of the Multi-mass System The examinations given earlier in the section only make sense if the combined system is stable. The stability of the system is dependent on the roots of the system characteristic equation that is given by the denominator of the solution (20.51): 2(n+1)+k  A(s) = ai si = 0 (20.58) i=0

Equation (20.58) is the polynomial of the order 2(n+1)+k where k is the order of the denominator of Fa (s). It can be represented by the elements of the primary n,a system matrix B by putting Av,a u = A1 = A in (20.50): n A(s) = (Ma + Fa )B + (Ma − Ca )(Ca + δFa )B1p−1 Bp+1

(20.59)

but it cannot be factorized. In general, the stability analysis can be carried out by inspection of the characteristic equation roots: all system poles should have negative real parts. For single- and double-frequency absorption we shall again use the D-decomposition method which gives all stabilizable parameters of the feedback compensator in the parameter space. For the marginal stability of the combined system with the single frequency resonator with parameters h, the characteristic equation C(s) ≡ A(jω, h∗ ) = Re {p(jω, h∗)} + j Im {p(jω, h∗)} = 0

(20.60)

should be satisfied for two parameters h∗ =[h∗1 , h∗2 ]. For the double-frequency

20.2 Local Absorption of Vibrations

D. Filipovi´c

1025

LAR the characteristic equation C(jω, ω ∗) = A(jω, ω ∗) = Re {A(jω, ω ∗)} + j Im {A(jω, ω ∗)} = 0

(20.61)

should be satisfied for two frequencies ω ∗ = [ω1∗ , ω2∗ ]. For the robust stability analysis, the shifted characteristic equation can be used again by mapping the half plane Re {s} < −σ ∗ via s = v − σ ∗ onto the left half plane of the new complex variable v: C(s) = C(v − σ ∗ ) = C  (v)

(20.62)

Further procedure for the D-decomposition method does not differ from the procedure given in the previous section for the LAR stability analysis. 20.2.3.3 Related Problems The solution (20.51,20.52) has been derived for the case when external disturbances act on the system. However, two related problems, vibration isolation and excitation from the system support, can also be solved by rearranging the same solution. For these two related problems a similar discussion a-d and the general strategy i-iv hold. Vibration Isolation The force transmitted to the support is the sum of the elastic spring force cn xn (t) and the damping force dn x˙ n (t). Thus, the transmitted force is given in the Laplace domain with ftr (s) = Cn (s)xn (s) (20.63) The transmitted force for the primary system alone we derive from (20.40) for m = q and m = r = n: B1q−1 Πqn fq ftr = Cn xn = (20.64) B The transmitted force in the system comprising an active absorber with the local feedback can be derived from (20.51,20.52):  q−1 n Aqn (a) B1 Πq (Ma + Fa ) , q ≤ p fq , Aqn = ftr = (20.65) n Π , q > p (b) Aq−1,a A q 1 Using the concept of resonant absorbers, this transmitted force can be brought to zero for (multi-)harmonic excitation. For tonal frequency, equation (20.55) should be satisfied if q ≤ p, and equation (20.57) if q > p.

1026

20 Schwingungsd¨ ampfung

Support Excitation Excitation xg of the support, figure 20.19a, changes the equation of motion for the n-th mass such that the influence of elastic coupling Cn becomes Cn (s)(xn (s) − xq (s)) and the equation of motion (see the last row in (20.31)) can be written as −Cn−1 xn−1 + Mn xn = Cn xg (20.66) which is equivalent to the external excitation fn = Cn xg with motionless support, figure 20.19b, and this problem has already been solved. It is m = r and m = q = n. The solution (20.40) for the primary system alone becomes xr =

Brn B r−1 Πrn Cn xg = 1 xg B B

,

r = 1, ..., n

(20.67)

and the solution for the combined system with the absorber using (20.51,20.52) becomes  r−1 n A (a) B1 Πr (Ma + Fa ) , r ≤ p xr = rn xg , Arn = (20.68) r−1,a n Πr , r>p (b) A1 A The interpretation a-d of solution (20.51,20.52) is valid for equation (20.68), insofar as q = n. Of course, it would make sense to attach the absorber directly to the mass mn (thus p = n) not to excite the rest of the system by building a remote absorber.

b)

a) C...n-1

m n Cn xn x g

f n=Cn x g

C...n-1

m n Cn xn x’=0 g

Fig. 20.19: Equivalence between a) the support excitation xg , and b) the external excitation fn

20.2.3.4 Verification of Results The solution (20.51,20.52) will be verified by simulation of the two-mass primary system with a resonant absorber. The first example validates the direct and the remote absorption with a single-frequency LAR. The second example shows the simultaneous vibration absorption caused by two harmonic disturbances having different frequencies and acting on different primary masses. A double-frequency LAR should be designed to absorb these disturbances directly at their respective source.

20.2 Local Absorption of Vibrations

D. Filipovi´c

1027

Example 20.4 Results derived in section 20.2.3.2 will be verified on the twomass primary system with the absorber attached at the mass m1 , figure 20.20. For this system we have n = 2, p = 1, (q, r) ∈ {1, 2}. The complete solution for primary mass displacements using (20.51,20.52) is given by:      1 A11 A12 x1 f1 = (20.69) x2 f2 A A21 A22 where     C1 (Ma + Fa ) M2 (Ma + Fa ) A11 A12 = C1 (Ma + Fa ) M1 (Ma + Fa ) + (Ma − Ca )(Ca + δFa ) A21 A22 and A = (M1 M2 − C12 )(Ma + Fa ) + M2 (Ma − Ca )(Ca + δFa )

(20.70)

Thus, putting Ma (jωc )+Fa (jωc , hc ) = 0 gives A11 (jωc ) = A12 (jωc ) = A21 (jωc ) = 0. Hence, the mass m1 is motionless independently of where the source of harmonic disturbance is. Also, if the disturbance acts on the mass m1 then both masses are brought to a standstill. In order to suppress vibrations at the source when the mass m2 is acted upon by the harmonic disturbance f2 , the remote absorber that consists of Ma and M1 is to be built by solving A22 (jωc , hc ) = 0. xa

ma

fa remote LAR

x1

LAR ca

da

m1 d1

c1 x2

f2

m2 c2

f1

primary system

d2

Fig. 20.20: Double-DOF system with an active absorber

Assume following primary system parameters: m1 = 4kg,

d1 = 5Ns/m,

c1 = 100N/m

m2 = 2kg,

d2 = 5Ns/m,

c2 = 50N/m

with absorber parameters ma = 1kg,

da = 0.3Ns/m,

ca = 10N/m

1028

20 Schwingungsd¨ ampfung

The combined system has natural frequencies ω1n = 2.21rad/s (with damping ratio ζ1 = 8.3%), ω2n = 3.70rad/s, (ζ2 = 8.2%), ω3n = 9.67rad/s, (ζ3 = 29.2%). The absorber absolute speed signal is used for the feedback, i. e. δ=0, Fa (s) = s Ga (s), and the feedback compensator is of the type Ga (s) = g

1 + sT1 1 + sT2

(20.71)

where T2 is a free parameter set to T2 = 0.1s. Let us first check the stability range and the degree of stability for the combined system. The stability analysis is carried out using the D-decomposition method in the g, T1-plane of parameters. This is achieved by solving the characteristic equation of the combined system C(jω, h∗ ) ≡ A(jω, h∗ ) = 0

(20.72)

for h∗ = [g ∗ , T1∗], i. e. for g ∗ (ω) and T1∗ (ω). In order to get the degree-of-stability curves, the shifted characteristic equation should be solved for different σ ∗ C  (jω, h∗ , σ ∗ ) ≡ A(−σ ∗ + jω, g ∗ , T1∗  ) = 0

(20.73)

All these curves are shown in figure 20.21. The region D(0) is the stable region. The positive gains g should be avoided, since a small change in parameter g or T1 could bring the system into the unstable region, as evident from the figure. The LAR operating points gc and T1c are calculated by solving Ma (jωc ) + Fa (jωc , gc , T1c ) = 0

(20.74)

gc = (ma ωc2 − ca ) T2 − da

(20.75)

which gives

T1c =

ca −

ma ωc2 ωc2

− gc

da ωc2 T2

(20.76)

and they are introduced in figure 20.21. The corresponding curve is designated by a (solid line). Calculations have also been carried out for the remote LAR by solving A22 (jωc , gc , T1c ) = 0, and the corresponding curve is b (dashed line). If the frequency ωc = 3rad/s is to be suppressed, the solutions are: elementary LAR: remote LAR (including M1 ):

gc = −0.4 gc = −0.328

T1c = −0.2028s

(20.77)

T1c = 0.2333s

(20.78)

Frequency characteristics of the system are shown in figure 20.22. They prove that the transfer functions A11 , A12 and A21 are zero at ωc =3rad/s with the compensator parameters set for the elementary LAR according to (20.77), and A22 =0 at ωc =3rad/s if the compensator parameters are set for the remote LAR according to (20.78).

20.2 Local Absorption of Vibrations

a b

g D(2)

D. Filipovi´c

1029

gc (LAR) gc (remote LAR)

D(0) T1 s* = 0.15

w=3

s* = 0.1

w=3

a b

s* = 0.05

gc

D(0)

D(0)

g* D(2) D(2)

D (4 )

Fig. 20.21: Parameter space representation of stability regions with degree-of-stability curves and operating points of the LAR (a) and of the remote LAR (b)

Figure 20.23 shows responses of the system with tuned feedback parameters for the frequency ωc = 3rad/s. When the disturbance acts on the mass m1 , both primary masses are freed from vibrations by means of the elementary LAR type of absorber, figure 20.23a, since vibrations are absorbed directly at the source and they do not spread to the second primary mass. If this disturbance acts on the mass m2 , only the mass m1 is brought to a standstill by means of the same elementary LAR, figure 20.23b. In order to suppress vibrations at the source of disturbances for f2 = sin 3t, the remote LAR with parameters given by (20.78) has to be built. The absorption from the mass m2 is now complete, figure 20.23c. In that case it is Ma (jωc ) + Fa (jωc , gc , T1c ) = 0 and the mass m1 vibrates as the part of the remote absorber. With these considerations the scope of equations (20.51,20.52) is not exhausted. We therefore present the following extended example.

Example 20.5 Suppose that the mass m1 is acted upon by a harmonic force f1 with frequency ω1 and the mass m2 by another harmonic force f2 with frequency

1030

20 Schwingungsd¨ ampfung

| A11(jw) |

10

-2

10

10

| A12(jw) | = | A21(jw) |

10

| A22(jw) |

10

1

-2

10

10

0

0

1

-2

10

0

frequency, w [rad/s]

10

1

Fig.20.22: Frequency characteristics of the combined system: · · · · · · without feedback, — elementary LAR, − − − remote LAR

ω2 . A solution is searched for, such that both disturbances are absorbed directly at their particular source. Consequently, two complex-valued equations should be solved simultaneously, namely A11 (jω1 , hc ) = 0, that is Ma (jω1 ) + Fa (jω1 , hc ) = 0 , and A22 (jω2 , hc ) = 0. This leads to four real-valued equations and, therefore, the feedback compensator should have four independent parameters. Let us again use the absolute speed feedback and a compensator with the structure Ga (s) = g

1 + sT1 + s2 T22 1 + sT3 + s2 T42

(20.79)

where h = [g, T1 , T2 , T4 ] and T3 is an additional free parameter which is set in this example to T3 = 0.1s. In order to find the stability regions, the D-decomposition method for the double frequency LAR should be applied, i. e. stability region boundaries are given as solutions of equation (20.61):

20.2 Local Absorption of Vibrations

D. Filipovi´c

1031

Fig.20.23: Vibration suppression with a resonant absorber, a) absorption at the source, case i, b) absorber further away from the vibration source, case iii, c) remote absorption, case iv

1032

20 Schwingungsd¨ ampfung

A(jω, ω1∗, ω2∗) ≡ A (jω, g(ω1∗, ω2∗), T1 (ω1∗ , ω2∗ ), T2 (ω1∗, ω2∗ ), T4 (ω1∗ , ω2∗)) = 0 (20.80) and are depicted in the ω1 , ω2 -frequency plane together with shifted polynomial solutions, figure 20.24.

D(2)

0,2

0, 1

=

= s*

s*

w2

D(0) = s*

Q

0

D(4) D(4)

D(2)

D(1) D(2)

D(2) D(0) D(2) w1 Fig.20.24: Frequency space representation of the stability regions for the local-remote double-frequency LAR

Frequency characteristics of the system are shown in figure 20.25. They reveal that the displacement transfer functions at the first mass m1 and at the second mass m2 have prescribed different notch frequencies. For given frequencies ω1 =6rad/s and ω2 =8rad/s (point Q in figure 20.24) the solution is 1 + 1.095s + 0.136s2 (20.81) 1 + 0.1s + 0.00365s2 The response of the combined system with the feedback compensator (20.81) is shown in figure 20.26. For the frequency ω1 the elementary single mass absorber is an ideal resonator and it absorbs all energy at ω1 from the mass m1 . Thus, the rest of the system is not influenced by the disturbance f1 at all. On the other hand, the absorber together with m1 , c1 , k1 is at the same time the ideal Ga (s) = −0.6

20.2 Local Absorption of Vibrations

D. Filipovi´c

1033

| A11(jw) |

10

-2

10

10

| A12(jw) | = | A21(jw) |

10

| A22(jw) |

10

1

-2

10

10

0

0

1

-2

10

0

frequency, w [rad/s]

10

1

Fig. 20.25: Frequency characteristics of the system with a double-frequency local-remote LAR: · · · · · · without feedback, — with active absorption

resonator at frequency ω2 . Therefore, the harmonic disturbance f2 is completely absorbed from the mass m2 . The mass m1 as a part of the remote absorber vibrates at frequency ω2 , but only at ω2 , since the energy from the force f1 has been completely absorbed by the absorber mass ma . Therefore, the absorber mass performs biharmonic oscillations. If the system would have more resiliently coupled masses between m2 and the ground, and provided this new system is stable, all these new masses would be motionless in steady state, since both harmonic forces have been suppressed directly at their respective source. 20.2.3.5 Comments The analysis given in this chapter aimed to analytically solve the positioning problem for a resonant type of the absorber. The solutions presented for the onedimensional multi-mass elastic linear primary system show interesting extensions to the local vibration suppression. Special attention is given to the factorisation of the displacement transfer function numerator. Also, this numerator should

1034

20 Schwingungsd¨ ampfung f1=sin(6t) , f2=sin(8t)

Fig. 20.26: Vibration suppression with the double frequency resonant absorber — the absorber operates simultaneously as both the LAR and the remote LAR

be brought to zero at certain frequencies by means of a feedback compensator. Thereby, the solution is not limited to the systems with the proportional damping property. The most effective elimination of vibrations from the system takes place if the absorber is attached to the point directly influenced by the source of vibrations. It has been shown how to build a screen“ for vibrations at certain frequencies ” by means of a resonant absorber which protects a part of the system behind“ ” the absorber from the influence of disturbances. A very interesting by-product of the general solution is the remote absorber that does not suppress vibrations from the point of attachment, but from some point in the system which is further away. An example showed the application of the solution to the simultaneous local and remote absorption at different frequencies with only one LAR, thus making use of system orthogonality for different frequencies.

20.2 Local Absorption of Vibrations

20.2.4

D. Filipovi´c

1035

Bandpass Absorber (BPA)

This section introduces a new type of an active absorber with a local feedback force. The intention is to provide the ability to absorb all vibrations in a given frequency band. This should be achieved by expanding a single resonant frequency of a resonant absorber into a band of frequencies. However, it will be shown that this is not a straightforward step, since the stability of the combined system cannot be guaranteed. With an approach proposed next, the simulations show that the system with a bandpass absorber (BPA) is stable and able to suppress vibrations in a given frequency band for a prescribed degree of suppression. 20.2.4.1 Concept of the BPA Taking the same approach as for the design of the resonant absorber [801], we want to design such a feedback compensator to achieve a bandpass absorber with desired frequency characteristics from figure 20.27a. The global system with such a BPA would have the bandstop frequency characteristic shown in figure 20.27b. However, the stability of the combined system would not be guaranteed. This drawback imposes a different approach for the design. In order to ensure the stability of the combined system, the primary system characteristics must be taken into consideration during the design and, thus, the feedback compensator would depend also on the primary system. Therefore, the design will differ from the design procedure given for the resonant absorbers. The following design procedure is proposed: The primary system transfer function Gp (s) is modified only in a given absorption frequency range, leaving Gp (s) outside the absorption bandwidth unchanged. This can be achieved by multiplying Gp (s) with a bandstop filter transfer function Fbs (s), thus obtaining the global transfer function G(s) = Fbs (s) Gp (s)

(20.82)

Consequently, the absorber feedback compensator should be designed to achieve the given stable global transfer function G(s). We want to attain this with a local absorber feedback like in the resonant absorbers. The system shown in figure 20.28 is the same as for the resonant absorber. For this purpose the primary system will be a single DOF system. The active force fact should depend only upon either the absolute or the relative absorber position. The feedback compensator Fa (s) shown in figure 20.29 should be determined by the BPA design. It is assumed that the parameters of the passive part of the absorber (ma , da , ca ) are already known. The model of the global system is given in figure 20.30. First, we shall derive the following transfer functions: Ga (s) of the BPA alone, Gp (s) of the primary alone, and G(s) of the global system. The transfer functions are derived for the case when the input signal for the feedback compensator is the absolute absorber position xa (δ = 0) as well as when the input signal is

1036

20 Schwingungsd¨ ampfung

[dB]

[dB]

primary (originally)

desired [rad/s]

a) absorber

[rad/s]

b) system

Fig.20.27: Frequency characteristics of an ideal a) bandpass absorber, b) system with the BPA

Fig. 20.28: Single-degree-of-freedom primary system with the vibration absorber

f back

fa x

d a s+c a

- -

fact

Fa (s)

1 s 2 xa ma

xa

sx a

d a s+c a

δ BPA feedback

BPA

Fig. 20.29: Dynamic model of the vibration absorber

20.2 Local Absorption of Vibrations

D. Filipovi´c

1037

f primary system

fa =0

BPA

f back xa

-

1 s2 x m

x

sx

ds+c

Fig. 20.30: Dynamic model of the global (combined) system

the relative position xa − x (δ = 1). Accordingly, we have the following transfer functions: The primary system (fback = 0): 1 x(s) = f (s) M(s)

(20.83)

1 xa (s) = fa (s) Ma (s) + Fa (s)

(20.84)

Gp (s) = The BPA (x = 0): Ga (s) = The global system (fa = 0): G=

1 x(s) = f (s) M(s) + ma s2 (Ca (s) + δFa (s))Ga (s)

(20.85)

where M(s) = ms2 + ds + c,

Ma (s) = ma s2 + da s + ca ,

Ca (s) = da s + ca

If the transfer functions are denoted by their numerator and denominator polynomials N(s) Na (s) G(s) = , Fa (s) = D(s) Da (s) the following global transfer function (the dependency on s dropped) results G=

Ma Da + Na N = D M(Ma Da + Na ) + ma s2 (Ca Da + δNa )

(20.86)

From (20.86) the degrees of polynomials can be determined: deg N = max(2 + deg Da , deg Na )

(20.87)

deg D = 2 + deg N

(20.88)

1038

20 Schwingungsd¨ ampfung

From (20.88) it can be seen that the system has a strictly proper transfer function (deg N < deg D) with the relative degree two. We would like to have the primary system transfer function Gp (s) unchanged outside the absorption frequency range. This can be achieved with a multiplicative factor Fbs in G(s) = Fbs (s) Gp (s) = Fbs (s)

1 M(s)

(20.89)

where Fbs (s) = NF (s)/DF (s) should have a bandstop frequency characteristic in order to suppress vibrations in the given frequency range. This is the main goal of the BPA design: Given the bandstop frequency characteristic Fbs (s), find the feedback compensator Fa (s). Because of (20.88) and deg M = 2, it is deg NF = deg DF From (20.85) using (20.89) the feedback compensator can be expressed by Fa =

Ca K − Ma 1 − δK

or Fa =

where K(s) =

1 ma s2 1 −1 M Fbs (s)

(20.90)

Na ma s2 Ca NF − Ma M(DF − NF ) = Da M(DF − NF ) − δma s2 NF

(20.91)

Since Fbs (s) has the bandstop characteristic, it is Fbs (0) = Fbs (∞) = 1; in other words, both NF (s) and DF (s) are monic (the leading coefficient equals one) and they both have equal lowest polynomial coefficients. Hence, in the difference (DF − NF ) the highest and the lowest polynomial coefficients do cancel. Thus, deg(DF − NF ) = deg NF − 1, and also one s can be extracted: DF − NF = s Δ

(20.92)

with deg Δ = deg NF − 2. The extraction of an s leads in (20.91) to the cancellation of s in the numerator and the denominator: Fa =

Na ma sCa NF − Ma MΔ = Da MΔ − δma sNF

(20.93)

The degrees of the filter polynomials are then deg Na = 2 + deg NF  , δ=0 deg NF deg Da = 1 + deg NF , δ = 1

(20.94) < deg Na

!

(20.95)

The feedback compensator Fa (s) is then not proper (deg Na > deg Da ). Since this cannot be realized, one of the following solutions could be implemented: For the absolute position feedback (δ=0)

20.2 Local Absorption of Vibrations

D. Filipovi´c

1039

a. two new poles should be introduced into Fa (s) which will not influence the feedback in the operating frequency range, i.e. Fa (s) = Fa (s)/(1 + sTc )2 where Tc should be much smaller than the smallest system time constant. b. instead of the position signal, the acceleration signal can be used and then two poles in the origin are included, i.e. Fa (s) = Fa (s)/s2 . If the feedback is relative, δ = 1, it suffices to use the velocity signal and to include an integrator in the compensator: Fa (s) = Fa (s)/s. Yet another problem should be solved. Inserting (20.93) into (20.84) gives Ga =

MΔ − δma sNF ma sNF (Ca − δMa )

(20.96)

Thus, the BPA transfer function has an integrator, which can be undesired if the disturbance has a dc component. Therefore, a new additional control of the absorber displacement should remove the low frequency moving average. For that purpose we consider figure 20.31a, which includes a PI controller in a classic control structure. The parameters g and T of the controller should be designed in such a way as to influence only very low frequencies, much lower than the BPA suppression frequencies.

-

b)

a) FPI (s)

(x a -x)ref

-

g 1+sT s

fPI fact Fa (s) FPI (s)

x fPI

BPA

xa

summation point **

- x a -x

1-d x

xa

BPA feedback

**: Summation point in Abb. 7.2; Fig. 20.31: a) control structure for the dc compensation, b) the active part

Since it should be (xa − x)ref = 0 for these very low frequencies, the PI controller operates parallel to the feedback compensator Fa and, therefore, they both can be incorporated into one control algorithm, figure 20.31b. With FP I (s) = g(1 + sT )/s included, the BPA transfer function is G∗a (s) =

1 Ma (s) + Fa (s) + FP I (s)

(20.97)

1040

20 Schwingungsd¨ ampfung

which gives s (MΔ − δ ma s NF ) [s Ma + g(1 + s T )] (MΔ − δma s NF ) + s (ma s Ca NF − Ma MΔ) (20.98) Thus, the integrative property of the absorber is removed. G∗a (s) =

20.2.4.2 A Case Study: Paper Mill Vibrations The Mill Model designed is shown in figure 20.32. It is a three-mass system comprising a support of the nip roll, m1, the nip roll itself, m2, and a winding roll, m3. The most prominent effect, which should be suppressed, is that vibrations of the nip roll, Δx2, and the surface eccentricity of the winding roll, Δr3, mutually reinforce each other. Besides, it would also be advantageous to reduce the vibrations of the nip force Δf 2. However, in this study the main problem is to suppress the nip roll vibrations.

xa

ma=500 kg ka=757500 N/m ca=4900 Ns/m

k0 support c0 m1

f act

roller

k1 c1 m2

k3 c3

}

x2

ka absorber ca ma k2 paper winder c2 m3

f2 - contact force

m1 = 20000 kg m2 = 20000 kg m3 = 70000 kg k0 = 5e6 N/m k1 = 5e6 N/m k2 = 25.3e6 N/m k3 = 500e6 N/m c0 = 13e3 Ns/m c1 = 13e3 Ns/m c2 = 39.7e3 Ns/m c3 = 180e3 Ns/m Fig. 20.32: The Mill Model with an additional absorber

It would not be practical to use the whole primary three-mass system for the design of the BPA, for the resulting absorber compensator would unnecessarily have a too high order. Hence, the order of the primary model should firstly be reduced. Figure 20.33 depicts the frequency characteristics of the whole threemass primary system (solid line) and that of the reduced single-mass model which comprises the nip roll mass m2 and its elastic connections to the rest of the system. These two curves match quite well in the frequency range of concern. The lower resonance is caused by the support and the upper one by the winding roll. The later shifts with the amount of paper wound on.

20.2 Local Absorption of Vibrations

D. Filipovi´c

1041

frequency characteristic [dB] 20

| Gp | | Gred |

0

-20

-40 10

20

30 40 frequency, ω [rad/s]

50

60

70 80 90 100

Fig. 20.33: Frequency characteristics of the three-mass Mill Model (solid line), |Gp |, and the reduced single-mass model (dashed line), |Gred |, — without absorber

The primary system parameters are then m = m2 = 20 000 kg,

d = d1+d2 = 52 700 Ns/m, c = c1+c2 = 30 300 000 N/m  with the√natural frequency ωn = c/m = 38.9rad/s and the damping ratio ζ = d/(2 mc) = 0.0330. The absorber parameters are chosen to be ma = 500 kg,

da = 4 900 Ns/m,

ca = 757 500 N/m

with the natural frequency ωa = ωn and the damping ratio ζa = 0.126. Since this reduced combined system conforms with figure 20.28 the expressions from the previous section 20.2.4.1 can be used for the BPA design. The bandstop filter function Fbs (s) is designed using the Matlab Signal Processing Toolbox. It is chosen to design an elliptic filter of the third order (n = 3) with rp = 3 decibels of ripple in the passband and a stopband rs = 40 decibels down from the peak value in the passband (suppression ratio). The bandwidth is bw = 10rad/s and the center frequency wo = 39rad/s. The filter generated is Fbs =

NF (s2 + 1705) (s2 + 1521) (s2 + 1357) = 2 DF (s + 30.95s + 1521) (s2 + 1.761s + 1997) (s2 + 1.341s + 1158) (20.99)

The ideal non-proper feedback compensator Fa (s) is calculated from (20.93). The compensator transfer function is Fa (s) = −496.4 ·

(s2 + 2.329s + 1168.6) (s2 + 8.716s + 1527.25) · (s2 + 2.466s + 1181.7)

(s2 + 2.751s + 1513.2) (s2 + 3.290s + 1980.3) (s2 + 2.635s + 1515.0) (s2 + 3.174s + 1957.8)

(20.100)

1042

20 Schwingungsd¨ ampfung

In order to find the proper Fa (s) with the same frequency characteristic in the operating frequency range, the suggested solutions in the previous section give the following results: Ad a. The additional double pole −1/Tc should be larger than −109 s−1 in order not to change the |Fa (s)| significantly, which impedes an efficient simulation (and the subsequent implementation). Ad b. Using the acceleration signal for the feedback produces one algebraic loop in the simulation model and any further analysis is therefore not possible. The problem has been solved by using a middle“ solution: The velocity signal ” is used for the feedback and one new pole is added with Tc = 10−4 s; thus Fa (s) = Fa (s)

1 s(1 + sTc )

(20.101)

Accordingly, in (20.84) and (20.85) the Fa (s) should be exchanged with sFa (s). In order to remove the integrating property of the absorber, the PI controller with very low cut-off frequency is applied 1+s s The resulting frequency characteristics of the global system FP I (s) = 2000

G(s) =

Δx2 Δr3

(20.102)

(20.103)

is depicted in figure 20.34. The peak amplitude at the frequency ωp =38.9 rad/s for the primary system alone amounts to GM = |G(jωp )|=10.8=20.2 dB. With the BPA the frequencies in the range 36...42 rad/s are under -20 dB. As a byproduct, the support resonance near 20rad/s is also reduced. 20.2.4.3 Simulation Results of the Paper Mill Model The simulations in this section use the Mill Model from figure 20.32 with the BPA designed in the last section; expressions (20.100), (20.101) and (20.102). Disturbance frequency sweep The BPA suppression characteristics are shown at different frequencies by a frequency sweep, figure 20.35. The excitation has the amplitude of 2000N and the frequency changes from 30rad/s to 48rad/s. The upper graph shows the response of the primary system alone. The largest amplitudes are at 38rad/s. Attaching the passive absorber, the amplitudes around the peak frequency are decreased (mid graph). However, the absorber with the feedback designed according to the BPA concept suppresses vibrations at bandpass frequencies much more efficiently (lower graph in figure 20.35). This is exactly what is expected from the BPA design.

20.2 Local Absorption of Vibrations

D. Filipovi´c

1043

frequency, w [rad/s]

Fig. 20.34: Frequency characteristic of the primary system, Gp (jω), the system with the passive absorber Gpass (jω), and the complete combined system with the BPA, G(jω)

Random vibrations Thus far, the absorption at forced disturbances with discrete spectra has been examined. Here, the efficiency of the BPA attached to the primary system that is subjected to random vibrations with the (pseudo)white noise continuous spectrum is inspected. The disturbance force f and its power spectral density psd are generated with the noise power 1000W and the sample time 0.01 s. The response of the primary system alone is given in figure 20.36. The maximal magnitude of the nip roll is x2M = x(t)max =1.21mm. The rms primary mass o displacement is σx2 =0.336mm. Nip force vibrations have the maximal amplitude of f 2M = f 2(t)max =32.9kN with the rms value σfo2 =11.3kN. If the feedback is designed so that the absorber becomes a bandpass absorber, the absorption becomes substantially better, figure 20.37. The maximal displacement amplitude is x2M =0.503mm or 41.5%, and the rms displacement is o σx2 =0.14mm or 41.5% of the initial primary results. A substantial reduction of the nip force vibrations within the frequency range of the BPA is also achieved. The remaining vibrations are outside the BPA suppression frequency range. The maximal amplitude is f 2M =28.6kN and the rms value σfo2 =7.65kN. The effect of the PI control of the absorber displacement is discernible from figure 20.38. The behaviour of the BPA without the PI control is not acceptable, though from the nip roll displacements it cannot be seen, if the PI controller is included or not. However, if the controller is included, the integrating property of the absorber is removed.

1044

20 Schwingungsd¨ ampfung

Fig. 20.35: Frequency sweep (30-48)rad/s with the step of 2rad/s every 5s

20.2.4.4 Comments The concept of the bandpass absorber (BPA) has been introduced. The BPA comprises the standard passive absorber and a single local feedback with a compensator designed to obtain a desired bandstop system characteristic. With such an absorber vibrations of the primary mass can be suppressed in a given range of frequencies. The presented design procedure guarantees the stability of the system. The suppression degree is a design parameter. In contrast to the design of resonant absorbers, the design of BPA requires the knowledge of the primary frequency characteristic in the range which is to be modified by the BPA, i. e. in the absorber bandpass range. Therefore, a reduced model of the primary system is needed. The application of the BPA can be justified in systems acted upon by disturbances with variable frequency, or more frequencies, in some fixed frequency range, as well as for suppression of coloured“ vibrations. If the frequency range ” itself is time variable, the feedback of the BPA could be made adaptive with the self-tuning of the compensator parameters.

20.2 Local Absorption of Vibrations

D. Filipovi´c

1045

frequency, w [rad/s]

Fig. 20.36: White noise disturbance response in the system without absorber

20.2.5

Conclusion

As elaborated in this book, nonlinearities in the system call for unconventional control methods to be applied. If these nonlinearities are distant from the actuator action point, or they lie between the actuator and the load, in a system with elasticities, it is not an easy task to achieve a high control performance. Multi-mass systems may have pronounced resonant peaks which could be hard to observe, or to compensate their effects with limited capacity of the actuator. Nonlinearities can produce so-called limit cycles which lead to a formation of unpleasant oscillations. Additional difficulties for the direct control of underdamped vibrations may be caused by uncertainties present in the system. In such cases, a local compensation of vibrations can achieve better results; especially if the suppression of vibrations can be achieved independently of plant variations, i. e. robust enough.

1046

20 Schwingungsd¨ ampfung

frequency, w [rad/s]

Fig. 20.37: White noise disturbance absorption in the system with BPA

In this chapter an additional subsystem, called the vibration absorber, has been proposed. The class of active absorbers with only a single local feedback has been thoroughly examined. The local nature of the feedback should provide the absorber action as independent from the primary system as possible in order to avoid the necessity for extensive knowledge about the system, and thus, to assure a considerable independency of the absorption efficiency in the presence of variations in the primary system dynamics. Only one measurement signal is necessary for the feedback: either the displacement, velocity or acceleration of the absorber mass. The signal can be absolute, or relative to the point of attachment. Hence, no signal from the primary system is needed during the operation: The control is completely decoupled from the primary state.

20.2 Local Absorption of Vibrations

D. Filipovi´c

1047

Fig.20.38: Absorber displacements during the absorption with BPA, with and without dc control

The feedback dynamics is the main design concern.2 The feedback compensator structure determines the type of absorber and its possibilities, and compensator parameters determine the domain of operation. The compensator design for the resonant absorbers, the delayed resonator (DR) and the linear active resonator (LAR), is completely decoupled from the structure of the primary system. The efficiency of the resonant absorbers at frequencies for which the absorber is designed, does not depend on the primary system. However, the system analysis, such as the analysis of stability and robustness, should be carried out for the complete system, here called the combined system. The combined system with a resonant absorber is robust enough under the primary system perturbations: Only a relatively large parameter variations could ruin the system stability. On the other hand, if the absorber passive parameters — the inertia, stiffness or damping — change, the system robustness will be preserved only if the compensator parameters are correctly set in accordance with the actual passive parameters, thus preserving the strict resonance of the absorber. Hence, the robustness of the combined system is also locally determined and controlled: In case of perturbations in the combined system it suffices to provide identification of the absorber parameters only, in order to secure both the efficient absorption and the sufficient stability margin. 2 The design of the passive part of the absorber has not been treated in detail since it is already the subject of many textbooks.

1048

20 Schwingungsd¨ ampfung

By all means, the main drawback of resonant absorbers is their inability to suppress vibrations which have a continuous spectrum in a given frequency band, and this is for two reasons: firstly, resonant absorbers are designed for certain discrete frequencies, and secondly, the number of resonant frequencies cannot be made arbitrarily dense because the stability margin decreases with the number of resonant frequencies. The problem has been solved by means of another type of absorber with a single dynamic feedback, called the bandpass absorber (BPA). The design of the BPA provides a given suppression ratio in a given frequency band and the stable combined system. However, the BPA feedback is designed with consideration of a reduced model of the primary system. Hence, the design of BPA is not completely independent from the plant: The part of the primary frequency characteristic, which is to be modified, should be represented by the reduced model used for the feedback design. The absorption considerations given in this chapter are limited neither with specific frequency regions nor with the technology applied. The results should be relevant for various applications with different technologies. Low frequency high power solutions with substantial auxiliary masses in structural control against earthquakes and strong winds usually make use of hydraulic or pneumatic actuators to move the masses mounted on the top of high buildings. Electromagnetic actuators are applicable for higher mechanical frequencies up to several hundreds of hertz usually prevalent in industrial production systems, such as rolling mills, vehicle suspension systems, rotating masses with eccentricities etc. The frequencies of several kHz can successfully be suppressed with the use of piezoelectric actuators which could improve the processing quality in high precision tasks performed by flexible machine tools. The actuators with a commensurable dynamics should also be modelled, and its dynamics should be taken into consideration during the design of the feedback.

21

Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen Prof. Dr.-Ing. M. Otter, DLR

In den vorherigen Kapiteln dieses Buches wurden Antriebssysteme, ihre Komponenten sowie deren regelungstechnische Modellbildung und anschließende Behandlung dargestellt. Wesentlich bei diesem Vorgehen war, ein f¨ ur die vorgesehene Aufgabenstellung geeignetes Modell der betreffenden Komponente zu erarbeiten und eventuell durch angepasste Annahmen oder Voraussetzungen Vereinfachungen zu erreichen. Ein typisches Beispiel war die Asynchronmaschine, bei der durch Annahme der Flussorientierung und die Wahl der Eingangsgr¨oßen eine wesentliche Vereinfachung erreicht wurde, so dass die lineare Regelungstheorie angewandt werden konnte. In Kapitel 19 war die Untersuchung des elektrischen Antriebs an sich, d.h. dem elektromechanischen Energiewandler elektrische Maschine“, dem leistungselek” trischen Stellglied und der zugeh¨origen Informationsverarbeitung, um weitere mechanische Komponenten erweitert worden. Beispielhaft wurden Varianten der Regelung eines Zwei-Massen-Systems dargestellt. Anschließend erfolgte eine Erweiterung auf ein Drei-Massen-System. Bereits diese einfachen Beispiele bereiteten Schwierigkeiten. Diese erh¨ohen sich noch deutlich, wenn zus¨atzlich relevante Nichtlinearit¨aten oder technologische Einfl¨ usse zu ber¨ ucksichtigen sind. Eine L¨osung dieser Probleme kann durch den Einsatz von Softwaresystemen erreicht werden, die auf der Basis von nichtlinearen Simulationen eine Analyse komplexer Systeme, sowie eine Optimierung von Komponenten erlauben. Nach einer Linearisierung des Systems k¨onnen auch leicht Werkzeuge zur Reglersynthese eingesetzt werden. In den letzten Jahren hat sich auf dem Simulationsmarkt f¨ ur Antriebssysteme sehr viel ge¨andert. W¨ahrend fr¨ uher vor allem Simulatoren f¨ ur Signalflusspl¨ane, wie Simulink1 [897], angeboten wurden, gibt es jetzt eine ganze Reihe besserer Alternativen, bei denen eine ger¨ate-orientierte“ bzw. objekt” ” orientierte“ Definition des Antriebsstrangs erfolgt. Zum Beispiel gibt es f¨ ur Simulink die Zusatzbibliotheken SimDriveline und SimPowerSystems, und es gibt eine Reihe von Simulationssystemen auf der Basis der Modellierungssprache Modeli¨ ca2 . Tabelle 21.1 gibt eine (unvollst¨andige) Ubersicht u ¨ ber zur Zeit angebotene 1 2

Simulink ist ein eingetragenes Warenzeichen von The MathWorks. Modelica ist ein eingetragenes Warenzeichen der Modelica Association.

1050

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Softwareprogramme, mit denen Antriebssysteme, d.h. elektrische Maschinen mit 1-dim. rotatorischer Mechanik, objektorientiert modelliert werden k¨onnen. Tabelle 21.1: Programme zur objektorientierten Modellierung von Antriebssystemen Programm

Internet-Adresse

Saber

http://www.synopsys.com/products/mixedsignal/saber

Simplorer

http://www.ansoft.com/products/em/simplorer

Simulink

http://www.Mathworks.com (SimDriveline, SimPowerSystems)

Modelica Simulationsumgebungen (aktuelle Liste: http://www.Modelica.org/tools) Dymola

http://www.dynasim.com

MapleSim

http://www.maplesoft.com/products/maplesim

MathModelica

http://www.mathcore.com

MOSILAB

http://www.mosilab.de

OpenModelica

http://www.ida.liu.se/˜pelab/modelica/OpenModelica.html

Scicos

http://www.scicos.org

SimulationX

http://www.simulationx.com

Simulatoren f¨ ur Signalflusspl¨ane sind sehr gut geeignet zur Simulation von kontinuierlichen und diskreten Reglern. Allerdings wird die Modellierung unhandlich, wenn die Modelle der Strecke zu komplex werden. In diesem Kapitel werden zuerst die Ursachen diskutiert, und es wird gezeigt, wie durch den Einsatz der objektorientierten Modellierung ein großer Teil der aufgezeigten Schwierigkeiten gel¨ost werden kann. Dies schließt insbesondere die Verallgemeinerung von Signalflusspl¨anen zu Objektdiagrammen ein. Diese Technik beruht im wesentlichen darauf, dass die Modularisierung entsprechend den physikalischen Gegebenheiten erfolgt, also ger¨ate-orientiert modularisiert und verschaltet wird, und der Anwender die Komponenten nicht zuerst in eine Signalflussdarstellung umformen muss. Die komponentenorientierte Darstellung eines Systems f¨ uhrt auf differential-algebraische Gleichungssysteme. Durch geeignete Transformationsalgorithmen k¨onnen diese auf die, f¨ ur Analyse- und Syntheseverfahren besser zug¨angliche, Zustandsform umgeformt werden. In diesem Kapitel wird die ger¨ate-orientierte Art der Modellierung vor allem an Hand der in der Industrie immer st¨arker eingesetzten Modellierungssprache Modelica gezeigt. Hierf¨ ur stehen eine Reihe unterschiedlicher Simulationsumgebungen zur Verf¨ ugung, siehe Tabelle 21.1. Die Simulationsbeispiele und Bildschirmabz¨ uge wurden mit der zur Zeit leistungsf¨ahigsten Modelica-Umgebung Dymola 6.1 [846] erzeugt. Optional kann Dymola ein Modelica Modell auch in Form

21.1 Modulare Signalflusspl¨ ane

1051

eines C-Unterprogramms (Simulink CMEX-Format) ausgeben, welches problemlos in Simulink als Ein/Ausgangsblock eingebunden werden kann. Im Juni 2006 hat Dassault Syst`emes, Weltmarktf¨ uhrer bei CAD (Computer Aided Design) und PLM (Product Lifecycle Management), seine neue Produktlinie CATIA Systems angek¨ undigt. Zentraler Teil des Produkts wird Verhaltensmodellierung und Simulation mit Modelica und Dymola sein. Diese strategische Entscheidung von Dassault Syst`emes wird die Verbreitung von Modelica sicher weiter beschleunigen.

21.1

Modulare Signalflusspl¨ ane

Signalflusspl¨ane sind sehr gut geeignet, um alle Details eines kleineren Systems oder die Grobstruktur eines großen Systems in einer neutralen, d.h. nicht von einem Anwendungsgebiet abh¨angigen, Form graphisch darzustellen. Aus diesem Grunde ist die Verwendung von Signalflusspl¨anen weit verbreitet und wird insbesondere auch intensiv in dieser Buchreihe u ¨ber elektrische Antriebe verwendet. Signalflusspl¨ane haben jedoch ihre Grenzen, wenn komplexere physikalische Systeme modelliert werden sollen, wie es z.B. bei der Simulation eines realistisch modellierten Antriebsstrangs notwendig ist. Die hierbei auftretenden Schwierigkeiten werden im vorliegenden Abschnitt n¨aher untersucht. In Kapitel 19 wird das Ersatzmodell eines Antriebssystems, Abb. 19.2, diskutiert. Der mechanische Teil des Systems wird im wesentlichen durch die Massentr¨agheitsmomente des Motors und der Arbeitsmaschine, sowie durch das Getriebe beschrieben. In erster N¨aherung kann ein Getriebe durch ein ideales, starres Getriebe mit der Getriebe¨ ubersetzung u¨, sowie einer Ersatzfeder und einem Ersatzd¨ampfer zur Beschreibung der Getriebeelastizit¨at, approximiert werden. Genauere Modelle ben¨otigen f¨ ur jede Getriebestufe zumindest eine Drehtr¨agheit und ein Ersatzfeder- bzw. Ersatzd¨ampfer-Element. Das entsprechende Modell f¨ ur ein zweistufiges Getriebe ist in Abb. 21.1 zu sehen. qM

FM,MM

c1

M1 d1 F1,M1

q1

c2

q2

M2 d2 F2,M2

MW

Abb. 21.1: Modell eines zweistufigen Getriebes

Hierbei ist ΘM die Massentr¨agheit des Motors und des ersten Getrieberads, Θ1 ist die Massentr¨agheit des mittleren Getrieberads und Θ2 ist das Massentr¨agheitsmoment des letzten Getrieberads und der Arbeitsmaschine, wobei jeweils zwischen dem Motor und des ersten Getrieberads bzw. dem letzten Getrieberad und der Arbeitsmaschine eine starre Verbindung angenommen wird. MM ist das Motormoment, ΦM ist der Drehwinkel des Motors, Φ1 ist der Drehwinkel

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

1052

des mittleren Getrieberads, Φ2 ist der Drehwinkel des letzten Getrieberads, und MW ist das Nutzmoment der Arbeitsmaschine. Zur Vereinfachung der Diskussion ¨ werden die Ubersetzungen der beiden Getriebestufen vorerst nicht ber¨ ucksich¨ tigt, d.h. es wird jeweils eine Ubersetzung von eins angenommen. Weiterhin wird die Reibung in den Lagern und die Lose in den Getriebestufen vernachl¨assigt. Entsprechend der Herleitung zu Abb. 19.29 kann der Signalflussplan dieses Dreimassenschwingers abgeleitet werden und f¨ uhrt auf Abb. 21.2. M1

M2 Mw

. FM

MM

c1 +

1/s

-

. F1

-

-

+

1/sqM

c2 +

1/s

. F2

-

+

1/sq2

1/sq1 d1

d2

Abb. 21.2: Signalflussplan eines Dreimassenschwingers (Version 1)

Wie in Kapitel 19.4 bereits dargestellt und wie auch nicht anders zu erwarten ist, sind sich wiederholende Strukturen im Signalflussplan zu erkennen, da das Ersatzmodell von Abb. 21.1 nur aus einer Kombination von zwei Grundelementen — tr¨agheitsbehaftete Welle und Feder-D¨ampfer-Element — besteht. Bei dreioder vierstufigen Getrieben w¨ urden die vorliegenden Strukturen nur wiederholt und der Signalflussplan etwas komplexer werden. Es stellt sich die Frage, wie das Modell modularisiert, und die unn¨otige Mehrfachbeschreibung derselben Grundelemente vermieden werden kann. Es liegt nahe, die beiden Grundelemente durch je einen eigenen Signalflussplan zu beschreiben, die in Abb. 21.3 dargestellt sind.

M2

. F

M1 q

M2 =

. F

-

M1 1/sq

. F1 . F2

M 1

=

. F1

c1 + M

1/s

.F2

+

d1

Abb. 21.3: Signalflussplan der beiden Grundelemente

Damit kann der Signalflussplan von Abb. 21.2 in den hierarchischen Signalflussplan von Abb. 21.4 u uhrt werden, wodurch die Globalstruktur des ¨ berf¨ Modells deutlicher wird und die Details der beiden Grundelemente von Abb. 21.3 nur einmal definiert werden. Dies ist eine typische Vorgehensweise, die z.B. mit dem Simulator Simulink [897] auch einfach umgesetzt werden kann.

21.1 Modulare Signalflusspl¨ ane M1

M2

. FM

. F1

1053

Mw . F2

MM qM

1

q1

q2

2

Abb. 21.4: Signalflussplan des Dreimassenschwingers (Version 2)

Im Vergleich zu dem mechanischen Ersatzschaltbild in Abb. 21.1 ist der Signalflussplan von Abb. 21.4 auf Grund der vier R¨ uckkopplungsschleifen immer noch recht un¨ ubersichtlich. Dies f¨ uhrt leicht zu Fehlern, wenn z.B. eine neue Getriebestufe hinzugef¨ ugt werden soll oder eine bestehende zu entfernen ist. Eine Analyse von Abb. 21.4 zeigt, dass im vorliegenden Fall die R¨ uckkopplungsschleifen immer nur zwischen zwei benachbarten Bl¨ocken auftreten. Wenn z.B. der Ausgang Φ˙ 1 vom Block Θ1 nicht am rechten, sondern am linken Rand des Blocks und der Eingang Φ˙ 1 vom Block 1 nicht am linken Rand, sondern am rechten Rand des Blocks definiert w¨are, k¨onnte eine st¨orende R¨ uckf¨ uhrung einfach in eine direkte Verbindung zweier Bl¨ocke u uhrt werden. Zus¨atzlich k¨onnte man ¨berf¨ dann die beiden direkten Verbindungen dieser beiden Bl¨ocke grafisch durch eine einzige Linie darstellen, die einen Vektor von Signalverbindungen charakterisiert. Basierend auf dieser Idee, k¨onnen die Grundelemente von Abb. 21.3 in die Struktur von Abb. 21.5 u uhrt werden. ¨berf¨ M M2 +

M1 =

= q

1/sq . F

1/s

c1 +

. F1 -

1 d1

. F2

Abb. 21.5: Modifizierte Signalflusspl¨ ane der beiden Grundelemente

Ein typischer Signalfluss-Simulator wie Simulink unterst¨ utzt Vektoren von Signalverbindungen, bei denen alle Elemente des Vektors dieselbe Signalrichtung besitzen. Dann ist eine bessere modulare Darstellung nicht m¨oglich. Aus diesem Grunde wird in Abb. 21.5 von diesem Prinzip abgewichen, so dass jede vektorielle Verbindung sowohl ein Ein- wie auch ein Ausgangssignal enth¨alt. Weiterhin werden die Signalrichtungen an den Blockschnittstellen nicht mehr gekennzeichnet. Stattdessen werden kleine Quadrate zur Visualisierung dieser Schnittstellen benutzt. Ein schwarz gef¨ ulltes Quadrat ist hierbei eine Schnittstelle bei der ein

1054

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Momentensignal als Eingang und ein Drehzahlsignal als Ausgang vorliegt. Ein nicht gef¨ ulltes Quadrat kennzeichnet eine Schnittstelle mit einem Momentensignal als Ausgang und einem Drehzahlsignal als Eingang. Mit den Grundelementen von Abb. 21.5 kann der Dreimassenschwinger jetzt sehr einfach aufgebaut werden, siehe Abb. 21.6.

qM

q1

1

q2

2

Abb. 21.6: Signalflussplan des Dreimassenschwingers (Version 3)

Man beachte, dass immer ein schwarz gef¨ ulltes Quadrat mit einem nicht gef¨ ullten Quadrat verbunden werden muss, damit die Signalrichtungen in den Vektorverbindungen zueinander korrespondieren. Ein Vergleich von Abb. 21.6 mit Abb. 21.2 macht deutlich, dass mit dieser dritten Version ein wesentlich u ¨bersichtlicherer und modularerer Signalflussplan entstanden ist. Hier ist es sehr einfach, eine Getriebestufe hinzuzunehmen oder zu entfernen. Es wird jetzt versucht, das bisherige Ersatzmodell durch Hinzunahme der Getriebe¨ ubersetzung realistischer zu gestalten. Die in Kapitel 1.1.2 in [38] ab¨ geleiteten Gleichungen eines idealen, starren Getriebes mit der Ubersetzung u¨“ ” lauten: Φ˙ 1 = u¨ · Φ˙ 2 u¨ · M1 = M2 Hierbei ist Φ˙ 1 die Antriebsdrehzahl, Φ˙ 2 die Abtriebsdrehzahl, M1 das Antriebsmoment, und M2 das Abtriebsmoment. Das ideale Getriebe kann entsprechend zu den Grundelementen von Abb. 21.5 in Form des Blocks von Abb. 21.7 dargestellt werden. ü

=

M1

M2

. F1

. F2

ü 1/ü

¨ Abb. 21.7: Signalflussplan einer idealen Ubersetzung

¨ Jetzt ist es einfach, die ideale, starre Ubersetzung in das elastische Modell des Antriebsstrangs in Abb. 21.6 einzubringen. F¨ ur ein einstufiges, elastisches Getriebe ist das Ergebnis in Abb. 21.8 dargestellt.

21.1 Modulare Signalflusspl¨ ane

qM

q1

1

ü

1055

Abb. 21.8: Signalflussplan eines einstufigen, elastischen Getriebes

Das ideale, starre Getriebe kann entweder vor oder nach dem Feder-D¨ampferElement eingebaut werden. In Abb. 21.8 wird die erste Variante verwendet, d.h. das Massentr¨agheitsmoment des Motors ist u ¨ber ein ideales Getriebe mit einem Feder-D¨ampfer-Element gekoppelt, welches das Massentr¨agheitsmoment der Arbeitsmaschine antreibt. Das Einbringen dieses zus¨atzlichen Elementes ist hier einfach. Im Gegensatz hierzu ist der nachtr¨agliche Einbau eines idealen, starren Getriebes in den Signalflussplan von Abb. 21.2 fehleranf¨alliger. Leider hat die erl¨auterte Modularisierungsstrategie ihre Grenzen. Zum Beispiel soll die Elastizit¨at des Getriebes bei der Modellbildung vernachl¨assigt werden. Es liegt dann nahe, aus Abb. 21.8 einfach das Feder-D¨ampfer-Element zu entfernen, siehe Abb. 21.9.

qM

ü

q1

Abb. 21.9: (Falscher) Signalflussplan eines idealen, starren einstufigen Getriebes

¨ In diesem Signalflussplan wird das rechte, ausgef¨ ullte Quadrat des Ubersetzungselementes mit dem linken, gleichartigen Quadrat des Drehtr¨agheitselementes der Arbeitsmaschine verbunden. Dies ist jedoch nicht erlaubt, da dann jeweils zwei Ausgangssignale und zwei Eingangssignale miteinander verbunden werden w¨ urden. Es zeigt sich, dass es mit einem hierarchischen Signalflussplan unm¨oglich ist, eine Modularisierung so durchzuf¨ uhren, dass die beiden Massentr¨agheitsmo¨ mente und das Ubersetzungselement je durch einen Block beschrieben werden. Der Grund liegt darin, dass jeder Block Massentr¨agheitsmoment“ einen Inte” grator enth¨alt (Abb. 21.5). Damit h¨atte das Gesamtsystem mindestens zwei Freiheitsgrade. Anschaulich ist aber klar, dass ein derartiges starres System genau einen Freiheitsgrad besitzt, da durch die Vorgabe der Bewegung von einem Massentr¨agheitsmoment, die Bewegung des anderen Massentr¨agheitsmoments auf ¨ Grund der idealen, starren Ubersetzung festliegt, also keinen zus¨atzlichen Freiheitsgrad darstellt. F¨ ur ein derartig modular konzipiertes Gesamtsystem kann daher nicht ohne weiteres aus den Einzel-Signalflusspl¨anen der Bl¨ocke ein modularer Signalflussplan zusammengestellt werden. Stattdessen m¨ ussen die Gleichungen der Teilsysteme zusammen betrachtet werden:

1056

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

ΘM · Φ¨M = MM − MG1

(21.1)

Φ˙ M = u¨ · Φ˙ 1

(21.2)

u¨ · MG1 = MG2

(21.3)

Θ1 · Φ¨1 = MG2

(21.4)

¨ Bei einer Uberf¨ uhrung der obigen Gleichungen in einen Signalflussplan wird Φ˙ M durch Integration aus (21.1) und Φ˙ 1 durch Integration aus (21.4) berechnet, d.h. beide Gr¨oßen sind jeweils Ausgangssignale eines Integrators. Auf Grund von Gleichung (21.2) besteht aber eine algebraische Beziehung zwischen diesen beiden Gr¨oßen, so dass zwei Ausgangssignale zusammengeschaltet werden m¨ ussten, was in einem Signalflussplan nicht m¨oglich ist. Mit anderen Worten: Eine direkte ¨ Ubertragung dieses Gleichungssystems in einen Signalflussplan ist nicht m¨oglich. Wenn jedoch (21.2) einmal differenziert wird, gibt es eine zus¨atzliche Gleichung Φ¨M = u¨ · Φ¨1

(21.5)

mit der Φ¨M in (21.1) eliminiert werden kann. Weiterhin kann MG1 mit (21.1) und MG2 mit (21.3) eliminiert werden, so dass schließlich die folgende Endgleichung erhalten wird, die auf den Signalflussplan von Abb. 21.10 f¨ uhrt.   Θ1 + ΘM · u¨2 Φ¨1 = u¨ · MM (21.6) ü

-

MM ü

=

M1

. 2 1/s(q1+ ü qM) F1

. FM 1/ü

Abb. 21.10: Signalflussplan eines idealen, starren einstufigen Getriebes

Eine andere Schwierigkeit bei der Modularisierung mit Signalflusspl¨anen, wird durch den einfachen elektrischen Schaltkreis von Abb. 21.11 verdeutlicht. Im linken Teil von Abb. 21.11 ist der Schaltkreis zu sehen, der aus einer Reihenschaltung eines Widerstandes und einer Kapazit¨at und einer dazu parallel geschalteten Reihenschaltung eines Widerstandes und einer Induktivit¨at besteht. Im rechten Teil von Abb. 21.11 ist der entsprechende Signalflussplan zu sehen. ¨ Ahnlich wie beim Dreimassenschwinger ist es das Ziel, diesen Signalflussplan so zu modularisieren, dass neu eingef¨ uhrte Bl¨ocke den auftretenden physikalischen Komponenten, wie Widerstand oder Kapazit¨at, entsprechen. Hier gibt es jedoch die Schwierigkeit, dass die Widerstandskomponente zwei unterschiedliche Darstellungen besitzt:

21.1 Modulare Signalflusspl¨ ane

I2

R2

V2

1/sL

R2

L

-

I2

V2 I1

R1

V1

1057

V0

C

1/R1

V0

V1

I1 1/sC

V=0

Abb. 21.11: Einfacher elektrischer Schaltkreis

In der Reihenschaltung mit der Kapazit¨at ist der Spannungsabfall u ¨ber den Widerstand das Eingangssignal und in der Reihenschaltung mit der Induktivit¨at ist der durch den Widerstand fließende Strom das Eingangssignal, siehe rechter Teil von Abb. 21.11. Mit anderen Worten: Die Komponente Widerstand“ muss ” durch zwei unterschiedliche Bl¨ocke dargestellt werden, je nachdem, wie diese Komponente mit anderen elektrischen Elementen verbunden ist. Diese unsch¨one Eigenschaft f¨ uhrt dazu, dass es im Gegensatz zu den oben diskutierten mechanischen Systemen nicht m¨oglich ist, eine Modularisierung mit Bl¨ocken aufzubauen, so dass ein elektrischer Schaltkreis direkt in einen hierarchischen Signalflussplan mit derselben Verschaltungsstruktur abgebildet werden kann. Stattdessen muss der Schaltkreis in der Regel mit Hand analysiert werden, bevor dieser in ein Signalflussplan u uhrt werden kann. F¨ ur gr¨oßere elektrische Schaltkreise wird ¨berf¨ das schnell unpraktikabel. Zusammengefasst kann folgendes festgehalten werden: F¨ ur gr¨oßere, realistische Systeme ist eine Modularisierung des Modells vorteilhaft, welche sich an den physikalischen Komponenten orientiert, siehe z.B. Abb. 21.6 und Abb. 21.8, im Gegensatz zu Abb. 21.2. Mit auf Signalflusspl¨anen basierenden Simulatoren kann diese Art der komponentenorientierten Modularisierung von mechanischen, elektrischen und anderen physikalischen Komponenten nicht sinnvoll durchgef¨ uhrt werden. In den folgenden Abschnitten wird eine Verallgemeinerung von Signalflusspl¨anen erl¨autert, mit der die diskutierten Schwierigkeiten zum gr¨oßten Teil zufriedenstellend gel¨ost werden k¨onnen3 . Dieses Verfahren wird im folgenden unter dem Begriff objektorientierte Modellierung zusammengefasst. Die grundlegende Methodik wurde von Hilding Elmqvist am Lund Institute of Technology in 3 Die nachfolgenden Kapitel 21.2-21.5, 21.7-21.10 sind zum Teil eine u ¨ berarbeitete und ausf¨ uhrlichere Fassung der Artikelserie Objektorientierte Modellierung Physikalischer Syste” me“ von Martin Otter, die in der Zeitschrift at - Automatisierungstechnik 47-52, 55, 57 im Jahr 1999 erschienen ist. Die Verwendung von Textpassagen und Abbildungen erfolgt mit freundlicher Genehmigung des Oldenbourg Verlages.

1058

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Schweden Ende der siebziger Jahre entwickelt [848]. Es gibt viele Varianten und dementsprechend auch unterschiedliche Softwaresysteme f¨ ur den praktischen Einsatz.

21.2

Objektdiagramme

Die grundlegende Idee der objektorientierten Modellierung ist einfach und kann als eine nahe liegende Verallgemeinerung der im letzten Abschnitt diskutierten Modularisierungsstragie des Dreimassenschwingers von Abb. 21.6 angesehen werden. Schwierigkeiten gibt es in Detailproblemen, die in den nachfolgenden Abschnitten diskutiert werden. Aus Benutzersicht wird ein Modell durch ein Objektdiagramm dargestellt, das ein reales System m¨oglichst wirklichkeitsgetreu abbilden soll. In Abb. 21.12 ist ein typisches Objektdiagramm des Antriebssystems von Abb. 19.1, bestehend aus Regler, Elektromotor inklusive Stellglied, Getriebe und Arbeitsmaschine zu sehen. Diese und die nachfolgenden Abbildungen sind Bildschirmabz¨ uge von Modellen, die mit der Modelica Modellierungsund Simulationsumgebung Dymola 6.1 [846] erstellt wurden. Die durchgezogenen Verbindungslinien zwischen Motor, Getriebe und Last kennzeichnen starre, mechanische Verbindungen zwischen den Flanschen von Wellen. Die Verbindungslinien zwischen Regler und Motor sind die aus den Signalflusspl¨anen gewohnten Signalfl¨ usse. Regler Motor

Getriebe

Last

J=5

Abb. 21.12: Objektdiagramm eines Antriebssystems (Bildschirmabzug von Dymola)

Der Motor wird durch ein grafisches Symbol dargestellt, welches als Eingangssignal die Eingangsspannung des Steuersatzes vom Stromrichter, und als gemessenes Vektor-Ausgangssignal den Ankerstrom, den Motorwinkel und die Motordrehzahl besitzt. Entsprechend haben das Getriebe und das als Last“ ” bezeichnete Massentr¨agheitsmoment der Arbeitsmaschine Schnittstellen f¨ ur die Ein- und Ausgangswellen. Jede Komponente wird jetzt rein lokal beschrieben, unabh¨angig von der eingesetzten Umgebung. Dies ist der wesentliche Unterschied zum Signalflussplan: Komponenten werden entsprechend der realen Verbindung verschaltet, wobei sich der Anwender nicht darum k¨ ummern muss, wie Daten als Ein- bzw. Ausgangssignale zwischen den Komponenten ausgetauscht werden. Damit ist die f¨ ur den Dreimassenschwinger verwendete Modularisierung, entsprechend den Abb. 21.6

21.2 Objektdiagramme

1059

und 21.5, ein Spezialfall dieser Vorgehensweise. Eine Komponente ist wiederum hierarchisch aus weiteren Objektdiagrammen aufgebaut. Zum Beispiel sind in Abb. 21.13 die Details der Komponente Motor“ zu sehen. ”

Stromrichter multiplex

Abb. 21.13: Objektdiagramm der Motor-Komponente (Bildschirmabzug von Dymola)

Das Stromrichter-Stellglied, siehe auch Kapitel 9, erzeugt in Abh¨angigkeit vom Eingangssignal eine variable Ausgangsspannung, die als Eingangsspannung auf die fremderregte Gleichstromnebenschlussmaschine wirkt. Dieser Motortyp wird im Kapitel 3 in [38] im Detail besprochen. Der Ankerkreis wird durch den Widerstand RA , die Induktivit¨at LA und die induzierte Gegenspannung EA modelliert. Zur Vereinfachung wird angenommen, dass der Erregerfluß Ψ konstant ist, so dass dessen Einfluss einfach als Konstante in EA erfasst wird. Objektdiagramme werden in diesem Kapitel auf der Basis der Modellierungssprache Modelica erstellt (Details siehe Kapitel 21.4). In Modelica wird jede Komponente durch einen eindeutigen Namen charakterisiert, der in der Regel im Icon einer Komponente dargestellt wird. Hierbei kann ein Name keine Indices enthalten, so dass ein Name wie RA nicht verwendet werden kann. Aus diesem Grunde wird in dem Bildschirmabzug von Abb. 21.13 der Widerstand RA als RA, die Induktivit¨at LA als LA und die induzierte Gegenspannung EA als EA bezeichnet. Der Wert von Konstanten einer Komponente wird zum Teil auch im Icon angegeben. Zum Beispiel hat die Konstante R der Komponente RA den Wert 250, d.h. der Widerstand RA = 250Ω. Die Komponente EA treibt die Motortr¨agheit ΘM an, die als JM bezeichnet wird. Schließlich ist der mit flange b bezeichnete Kreis auf der rechten Seite der mechanische Flansch des Motors, an dem mechanische Komponenten, wie ¨ das Getriebe, verbunden werden k¨onnen. Uber ideale Messglieder werden der Ankerstrom sowie die Winkelstellung und die Drehzahl der Motorwelle gemessen und als Vektorsignal nach außen gegeben.

1060

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Abb. 21.14: Getriebemodell des Antriebssystems (Bildschirmabzug von Dymola)

Entsprechend zur Komponente Motor“ ist in Abb. 21.14 das Objektdia” gramm der Komponente Getriebe“ aufgef¨ uhrt. Das Getriebemodell besteht aus ” einer idealen Untersetzung ( ue“), Lagerreibung, Lose, Getriebesteifigkeit und ” Getriebed¨ampfung. Wie diese Elemente intern aufgebaut sind, wird sp¨ater besprochen. In den obigen Objektdiagrammen werden drei Arten von Objektverbindungen benutzt: Signalfl¨ usse (wie in einem Signalflussplan), elektrische Leitungen und starre mechanische Verbindungen. Zusammengefasst kann festgehalten werden: Objektdiagramme sind Verallgemeinerungen von Signalflusspl¨anen und bestehen aus den folgenden Teilen: 1. Einer grafischen Darstellung der physikalischen Komponenten, repr¨asentiert als Icons, wie beispielsweise die Komponente Motor“ in Abb. 21.12. ” 2. Jede Komponente hat Schnittstellen mit denen diese mit anderen Komponenten verbunden werden kann. 3. Gerichtete oder ungerichtete Verbindungslinien zwischen Schnittstellen charakterisieren die physikalischen Verbindungen, z.B. elektrische oder hydraulische Leitungen, bzw. mechanisch starre Verbindungen. 4. Eine Komponente wird unabh¨angig von der eingesetzten Umgebung definiert. Zur Beschreibung werden nur die Variablen der Schnittstellen, sowie lokale Variablen benutzt. Es ist in der Regel nicht bekannt, ob eine Schnittstellen-Variable eine Ein- oder Ausgangsgr¨oße ist. Diese Eigenschaft ist z.B. notwendig, damit Modelle wie das von Abb. 21.9 beschrieben werden k¨onnen (wie erl¨autert, kann ein solches Modell nicht durch einen Signalflussplan dargestellt werden). 5. Eine Komponente besteht wiederum aus einer Verschaltung von Komponenten (= hierarchischer Aufbau) oder wird durch algebraische Gleichungen bzw. durch Differentialgleichungen beschrieben. Dies wird im Detail noch n¨aher erl¨autert. Verf¨ ugbare Programmsysteme unterst¨ utzen zur Zeit nur 2DObjektdiagramme. Diese eignen sich sehr gut zur Visualisierung ein- oder

21.2 Objektdiagramme

1061

zweidimensionaler Repr¨asentationen von Systemen, wie elektrische Schaltkreise, Antriebsstr¨ange, Signalflusspl¨ane, hydraulische Systeme, endliche Automaten, Petrinetze, Statecharts. Sie sind nur bedingt geeignet zur Visualisierung dreidimensionaler Systeme, wie 3-dim. Mechanik, 3-dim. W¨armeleitung, 3-dim. Str¨omungen. Die objektorientierte Modellierungstechnik ist jedoch unabh¨angig von der Art der Visualisierung. Anstatt Komponenten nur als Icons darzustellen, k¨onnte man auch 3-dim. Konstruktionen verwenden. Wie im 2-dim. Bereich, wird eine solche Komponente durch lokale Gleichungen beschrieben und die Gleichungsgenerierung l¨auft vollkommen analog ab, nur die Darstellung ist realistischer. Es ist abzusehen, dass die Hersteller ihre Systeme in dieser Hinsicht erweitern werden. Basierend auf einem Objektdiagramm erstellt ein objektorientiertes Modellierungssystem ein differential-algebraisches Gleichungssystem (abgek¨ urzt DAE, f¨ ur Differential-Algebraic Equation system; siehe auch Tabelle 21.4 auf Seite 1064). Hierbei werden die lokalen Gleichungen aller Komponenten, sowie die Gleichungen auf Grund von Komponenten-Verbindungen, zu einem Gesamtgleichungssystem zusammengefasst. Die direkte numerische L¨osung eines solchen Gleichungssystems ist in der Regel uneffizient. Der wesentliche Schritt besteht deswegen darin, diese DAE mittels symbolischer Transformationsalgorithmen in eine sortierte DAE oder in eine Zustandsform umzuformen, die effizient gel¨ost werden kann. Die zur Verf¨ ugung stehenden Algorithmen sind sehr leistungsf¨ahig. Zum Beispiel kann eine DAE mit mehr als 10000 Gleichungen auf einem PC innerhalb von wenigen Sekunden in die Zustandsform u uhrt werden. Schließlich werden ¨ berf¨ die u ¨ blichen numerischen Integrationsverfahren eingesetzt, um die erhaltene Zustandsform bzw. die sortierte DAE zu l¨osen. Die skizzierte Vorgehensweise wird in den folgenden Abschnitten noch im Detail erl¨autert. Es stellt sich die Frage, wie ein allgemeines objektorientiertes Modellierungssystem die korrekten Gleichungen f¨ ur eine Verbindung zwischen Bauteilen erstellen kann. Es zeigt sich, dass in allen Fachgebieten nur zwei Arten von Verbindungsgleichungen auftreten (siehe auch Kapitel 21.5): 1. Verbundene Variable haben denselben Wert, z.B. elektrisches Potential, Weg, Geschwindigkeit, Druck, Dichte. Diese Variablen werden als Potential -Variablen bezeichnet. 2. Die Summe der Variablen, welche miteinander verbunden sind, verschwindet, z.B. bei elektrischem Strom, Kraft, Moment, W¨armefluss, Volumenstrom, Massenstrom. Diese Variablen werden als Fluss-Variablen bezeichnet. Hier ist es wichtig, dass an allen Schnittstellen, dieselbe positive Flussrichtung gew¨ahlt wird, z.B. in das Element gerichtet. Damit gen¨ ugt es, in einer Bibliothek zu definieren, von welchem Typ eine Variable ist (Potential- oder Fluss-Variable). Wenn eine Schnittstelle mit einer anderen verbunden wird, kann das objektorientierte Modellierungssystem dadurch die korrekten Gleichungen erstellen, ohne z.B. die Kirchhoff’schen Gesetze zu kennen.

1062

21.3

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Ein vollst¨ andiges Beispiel

Um einen besseren Gesamt¨ uberblick zu erhalten wird an einem einfachen Beispiel der vollst¨andige Zyklus — vom Objektdiagramm bis zur Transformation in die Zustandsform — vorgef¨ uhrt. Hierzu wird eine kleine Bibliothek idealer elektrischer Bauteile, bestehend aus Widerstand, Kapazit¨at, Induktivit¨at, Spannungsquelle und Erdung erstellt (Tabelle 21.2). Jede Komponente wird durch ein Icon repr¨asentiert, welches das u ¨bliche grafische Symbol des entsprechenden elektrischen Elements darstellt. Tabelle 21.2: Objektgleichungen idealer elektrischer Komponenten I1

Widerstand

Spannungsquelle

U V2 C

V1 I1

Induktivit¨ at

I2

V1 I1

Kapazit¨at

R

I2 U V2

L

I2 U V2

V1

U(t)

I1 V1

Erdung

I2 V2

V

I

0 = I 1 + I2 U = V 1 − V2 U = R · I1 0 = I 1 + I2 U = V 1 − V2 I1 = C · dU/dt 0 = I 1 + I2 U = V 1 − V2 U = L · dI1 /dt 0 = I 1 + I2 U = V 1 − V2 V =0

Die Komponenten-Schnittstellen sind die kleinen Kreise am linken und rechten Teil eines Bauteils und stellen elektrische Klemmen dar. Eine Klemme wird mathematisch durch zwei Variablen beschrieben: Durch das elektrische Potential V an der Klemme (Typ = Potential-Variable) und durch die Gr¨oße des einfließenden Stroms I (Typ = Fluss-Variable). Basierend auf diesen SchnittstellenVariablen sind im rechten Teil von Tabelle 21.2 die lokalen Gleichungen der Komponenten, einem Gemisch von algebraischen Gleichungen und Differentialgleichungen, aufgef¨ uhrt. Diese Gleichungen sind nur Funktionen der SchnittstellenVariablen und der lokalen Variablen. Sie sind unabh¨angig davon, wie die Komponente mit anderen Komponenten verschaltet wird. Man beachte, dass die aufgef¨ uhrten Zusammenh¨ange mathematische Gleichungen und keine Zuweisungen einer Programmiersprache sind. Deswegen k¨onnte z.B. die Gleichung f¨ ur den Widerstand alternativ auch als U − R · I1 = 0“ angegeben werden. ” Die erstellte Bibliothek wird jetzt benutzt, um den elektrischen Schaltkreis von Abb. 21.15 zu modellieren. Derselbe Schaltkreis wurde in Kapitel 21.1 manuell in den Signalflussplan von Abb. 21.11 umgewandelt, w¨ahrend dieser hier direkt als Objektdiagramm modelliert und simuliert werden kann.

21.3 Ein vollst¨ andiges Beispiel

1063

1 R1

R2

U(t) 3 S

C

4 L

2 g

Abb. 21.15: Objektdiagramm eines elektrischen Schaltkreises

Hierzu werden die ben¨otigten Komponenten der Bibliothek von Tabelle 21.2 entnommen und entsprechend des Diagramms miteinander verschaltet, d.h. es werden Linien zwischen den Komponentenklemmen gezogen. Die verwendeten Komponenten in Abb. 21.15 werden zur eindeutigen Identifizierung wie in objektorientierten Programmiersprachen u ¨blich durch Namen gekennzeichnet, z.B. R1, R2 f¨ ur die beiden Widerst¨ande. Um die Variablen unterschiedlicher Komponenten im Gesamtgleichungssystem (automatisch) voneinander unterscheiden zu k¨onnen, wird der Komponentenname dem entsprechenden Variablenname vorangestellt. Zum Beispiel ist R1.I1 der Strom I1 im Bauteil R1. Wie schon in Abschnitt 21.2 kurz skizziert, wird das Gesamtgleichungssystem des Modells aufgestellt, indem die Gleichungen aller verwendeten Komponenten, erg¨anzt um die Verbindungsgleichungen, zusammengefasst werden. Diese Gleichungen sind in Tabelle 21.3 zusammengestellt. Tabelle 21.3: Gesamtgleichungssystem des elektrischen Schaltkreises

R1

C

S

1

3

0 = R1.I1 + R1.I2 R1.U = R1.V1 − R1.V2 R1.U = R1.R · R1.I1 0 = C.I1 + C.I2 C.U = C.V1 − C.V2 C.I1 = C.C · dC.U/dt 0 = S.I1 + S.I2 S.U (t) = S.V1 − S.V2 S.V1 = R1.V1 S.V1 = R2.V1 0 = S.I1 + R1.I1 + R2.I1 R1.V2 = C.V1 0 = R1.I2 + C.I1

R2

L

g

2

4

0 = R2.I1 + R2.I2 R2.U = R2.V1 − R2.V2 R2.U = R2.R · R2.I1 0 = L.I1 + L.I2 L.U = L.V1 − L.V2 L.U = L.L · dL.I1 /dt g.V = 0 g.V = C.V2 g.V = L.V2 g.V = S.V2 0 = S.I2 + C.I2 + L.I2 + g.I R2.V1 = L.V1 0 = R2.I2 + L.I1

1064

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Die Gleichungen der Komponenten sind eine direkte Kopie aus der Bibliothek von Tabelle 21.2, wobei die Variablennamen, wie I1 , jeweils um den Komponentenname, wie R1.I1 , erg¨anzt werden. Die Gleichungen f¨ ur die Verbindungen an den Knoten 1, 2, 3, 4 ergeben sich daraus, dass an einer Verbindungsstelle alle Potential-Variablen gleichgesetzt werden und die Summe aller korrespondierenden Flussvariablen verschwindet. Da in der Bibliothek alle elektrischen Potentiale als Potential-Variablen und alle Str¨ome als Fluss-Variablen definiert sind, werden die korrekten Verbindungsgleichungen erstellt. Diese entsprechen den Kirchhoff’schen Gesetzen. An dieser Stelle ist eine Klassifizierung von mathematischen Beschreibungsformen zweckm¨aßig, bevor mit dem Beispiel fortgefahren wird. In Tabelle 21.4 sind die im folgenden verwendeten Gleichungstypen zusammengestellt. Tabelle 21.4: Zustands- und Deskriptorform (x = x(t), u = u(t), y = y(t))

Zustandsform linear

x˙ = Ax + Bu (21.7) y = Cx + Du

nichtlinear

x˙ = f (x, u, t) y = g (x, u, t)

(21.9)

Deskriptorform (DAE) Ex˙ = Ax + Bu y = Cx + Du ˙ x, y, u, t) 0 = f (x,

(21.8) (21.10)

Die lineare Zustandsdarstellung (21.7) wurde schon im Detail in Kapitel 5.5.1 besprochen. Die nichtlineare Zustandsform (21.9) ist die Standarddarstellung nichtlinearer, gew¨ohnlicher Differentialgleichungen. F¨ ur diese Beschreibungsform gibt es eine Vielzahl von numerischen Integrationsverfahren zur L¨osung des Differentialgleichungssystems. Die lineare Deskriptorform (21.8) ist eine Verallgemeinerung der Zustandsform (21.7), bei der x˙ mit einer zus¨atzlichen (konstanten) Matrix E multipliziert wird, siehe z.B. [860]. Wenn E regul¨ar ist, kann durch Linksmultiplikation mit E−1 leicht auf die Zustandsform (21.7) transformiert werden. E darf jedoch auch singul¨ar sein, dann ist eine Transformation in die Zustandsform aufwendiger. Die Bedeutung der Deskriptorform liegt darin, dass viele Probleme sehr leicht in dieser Beschreibungsform formuliert werden k¨onnen, w¨ahrend eine direkte Darstellung in der Zustandsform schwieriger sein kann. Schließlich ist die nichtlineare Deskriptorform (21.10) ein nichtlineares Gleichungssystem, welches von Ausgangsgr¨oßen und anderen rein algebraischen Gr¨oßen4 y abh¨angt, sowie von Variablen x, deren Ableitung x˙ im Gleichungssystem auftreten. Deskriptorsysteme werden im folgenden auch alternativ als DAEs (engl. Differential Algebraic Equations) bezeichnet. 4 Zur Vereinfachung der Gleichungsstruktur wird in (21.10) nicht zwischen Ausgangsgr¨ oßen und anderen algebraischen Gr¨ oßen unterschieden. Beide Variablentypen werden im Vektor y zusammengefasst.

21.3 Ein vollst¨ andiges Beispiel

1065

Wenn alle Terme im Gesamtgleichungssystem des elektrischen Schaltkreises von Tabelle 21.3 durch eine einfache Subtraktion auf die rechten Seiten der jeweiligen Gleichungen gebracht werden, liegt die Darstellung (21.10) vor, d.h. das Gesamtgleichungssystem ist in Deskriptorform, mit x = [C.U,

L.I1 ]T

y = [R1.I1 , R2.I1 , C.I1 , L.I2 , S.I1 ,

R1.I2 , R2.I2 , C.I2 , L.V1 , S.I2 ,

R1.V1 , R2.V1 , C.V1 , L.V2 , S.V1 ,

R1.V2 , R2.V2 , C.V2 , L.U, S.V2 ,

R1.U, . . . R2.U, . . . ... ... g.I, g.V ]T

(21.11)

u = [S.U ] wobei dim(x)= 2, dim(y)= 24, dim(u)= 1 und dim(f)= 26. Eine direkte numerische L¨osung dieses Gleichungssystems ist uneffizient. Deswegen werden die 24 algebraischen Gleichungen und die zwei Differentialgleichungen von Tabelle 21.3 in die Zustandsdarstellung (21.9) transformiert. Generell kann die Zustandsform aus der DAE (21.10) erhalten werden, wenn angenommen wird, dass alle auf der rechten Seite von (21.9) auftretenden Variablen (d.h. x, u, t) bekannt sind und ˙ y) berechnet werden, da alle auf der linken Seite auftretenden Variablen (d.h. x, dies genau die Aussage der nichtlinearen Zustandsdarstellung ist. Im vorliegenden Fall m¨ ussen demnach die 26 Gleichungen von Tabelle 21.3 ˙ y von (21.11), bei bekanntem Zustand x, bekannten nach den 26 Unbekannten x, Eingangsgr¨oßen u und bekannten Parametern R1.R, R2.R, C.C, L.L aufgel¨ost werden. Mit anderen Worten: Es muss die L¨osung eines algebraischen Gleichungssystems mit 26 Gleichungen in 26 Unbekannten ermittelt werden. Manuell ist eine solche Aufl¨osung aufwendig. Doch mit den noch zu besprechenden Algorithmen kann ein Programm sehr schnell und effizient die L¨osung ermitteln. Hierzu werden die folgenden Regeln angewandt: 1. Die Gleichungen werden so umsortiert, dass die Unbekannten in einer Vorw¨artsrekursion berechnet werden k¨onnen. Die sortierten Gleichungen m¨ ussen hierbei nach den jeweiligen Unbekannten aufgel¨ost werden. 2. Triviale Gleichungen der Form a = +/ − b werden entfernt und a wird an allen auftretenden Stellen durch +/ − b substituiert. 3. Alle Gleichungen, die nicht ben¨otigt werden um die Zustandsableitungen x˙ bzw. die Ausgangsgr¨oßen y zu berechnen, werden entfernt. Als Ergebnis erh¨alt man die folgende rekursive Berechnungsvorschrift zur Bestimmung der Zustandsableitungen (in der linken Spalte sind die Komponenten angegeben, aus denen die Gleichungen entnommen wurden; zum besseren Verst¨andnis wird eine Zuweisung durch den Zuweisungsoperator “:=“ gekennzeichnet):

1066

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

R2: L: R1: R1: L: C:

R2.U := R2.R · L.I1 L.U := S.U(t)−R2.U R1.U := S.U(t)−C.U C.I1 := R1.U/R1.R dL.I1 /dt := L.U/L.L dC.U/dt := C.I1 /C.C

Man beachte, dass die Gleichungen f¨ ur die Widerst¨ande R1 und R2 einmal nach dem Strom (R1) und einmal nach der Spannung (R2) aufgel¨ost werden; d.h. die Kausalit¨at dieser Gleichungen ist unterschiedlich und nicht im voraus bekannt. Werden die noch auftretenden algebraischen Variablen (R2.U, . . . , C.I1 ) als nicht weiter interessierende Zwischengr¨oßen aufgefasst, dann liegt jetzt eine Zustandsform x˙ = f(x, u, t) vor, bei der die Zustandsableitungen durch eine rekursive Berechnungsvorschrift berechnet werden k¨onnen, wenn die Zust¨ande x und die Eingangsgr¨oßen u bekannt sind. Man k¨onnte auch alle Zwischenvariablen in die letzten zwei Gleichungen einsetzen und h¨atte dann nur noch zwei Gleichungen. F¨ ur gr¨oßere Systeme ist ein solches Vorgehen jedoch unsinnig: Wenn eine Zwischenvariable an mehreren Stellen verwendet wird (dies ist in dem obigen einfachen Beispiel nicht der Fall), und die Variable u ¨ berall durch ihre Definitionsgleichung ersetzt wird, dann wird die Definitionsgleichung mehrmals ausgewertet, statt nur einmal, wie in der obigen rekursiven Berechnungsvorschrift. In diesem speziellen Fall sind die Gleichungen linear in den Unbekannten, so dass in die lineare Zustandsdarstellung (21.7) transformiert werden kann (die hier nicht-interessierenden Gleichungen f¨ ur die Ausgangsvariablen y werden weggelassen): ⎡ ⎡ ⎤ ⎤     1 − R2.R 0 d L.I1 L.I 1 L.L ⎦u ⎦ =⎣ + ⎣ L.L 1 −1 C.U dt C.U 0 R1.R · C.C R1.R · C.C Das Beispiel zeigt deutlich, dass das Vorgehen der objektorientierten Modellierung sehr systematisch und recht einfach ist. Auch wird das Verst¨andnis erleichtert: Es gen¨ ugt die lokalen Gleichungen einer Komponente zu verstehen. Die Komplexit¨at ergibt sich durch das Zusammenschalten von Komponenten und die nachfolgende (automatisierte) Transformation des Gleichungssystems. Hierdurch wird die Einarbeitung in ein anderes Fachgebiet stark erleichtert, da man sich prim¨ar auf die wesentlichen Eigenschaften einzelner Komponenten konzentrieren kann. Allerdings f¨ uhrt diese Systematik schon bei dem obigen Trivialbeispiel auf 26 Gleichungen, so dass die objektorientierte Modellierung f¨ ur das manuelle Erstellen von Gleichungen ungeeignet ist und eine Rechnerunterst¨ utzung notwendig ist. Da dieses Vorgehen schon bei einfachen Beispielen auf recht un¨ ubersichtliche Gleichungssysteme f¨ uhrt, werden im folgenden nicht mehr alle oben ausf¨ uhrlich erl¨auterten Zwischenschritte aufgef¨ uhrt. In den folgenden Unterkapiteln werden die einzelnen Schritte im obigen Beispiel genauer untersucht. Insbesondere wird gezeigt, dass durch eine geeignete Vorgehensweise auch komplexe und große Modelle behandelt werden k¨onnen.

21.4 Modelica — Kontinuierliche Systeme

21.4

1067

Modelica — Kontinuierliche Systeme

In den letzten beiden Unterkapiteln wurden die Grundideen der objektorientierten Modellierung physikalischer Systeme erl¨autert und insbesondere gezeigt wie Modelle komponentenweise mittels Objektdiagrammen grafisch definiert werden k¨onnen. Damit Anwender neue Basiskomponenten f¨ ur ein Objektdiagramm einf¨ uhren k¨onnen, wird u ur diesen Zweck ¨blicherweise eine Modellierungssprache f¨ zur Verf¨ ugung gestellt. In der Regel kann dann auch ein vollst¨andiges Modell in einer solchen Sprache beschrieben werden. Dadurch ist ein Objektdiagramm relativ einfach in eine rein textuelle Beschreibung u uhrbar, die in einer Datei ¨berf¨ gespeichert und transportiert werden kann. Es gibt eine ganze Reihe unterschiedlicher objektorientierter Modellierungssprachen, die auf denselben Grundideen basieren, z.B. Dymola [846], gPROMS [863], EcosimPro [847]. Exemplarisch werden die Grundelemente von objektorientierten Modellierungssprachen anhand der Sprache Modelica 5 eingehender erl¨autert. Modelica wurde von den Entwicklern der objektorientierten Modellierungssprachen Allan, Dymola, NMF, ObjectMath, Omola, SIDOPS+, Smile, sowie einer Reihe von Anwendern, seit 1996 entwickelt, um einen Standard auf diesem Gebiet zu schaffen. Modelica basiert auf den Erfahrungen einer ganzen Reihe von Sprachen aus verschiedenen Anwendungsgebieten und wurde prim¨ar entworfen, um Systeme bestehend aus Komponenten unterschiedlicher Fachgebiete, wie elektrische Schaltkreise, Antriebsstr¨ange, Mehrk¨orpersysteme, hydraulische, thermodynamische und verfahrenstechnische Systeme, zu modellieren. Im Dezember 1999 wurde die Version 1.3 verabschiedet, sowie die frei verf¨ ugbare ModelicaStandardbibliothek. Dies war die erste Version, die in aktuellen Anwendungen verwendet wurde. Modelica und die Modelica-Standardbibliothek wurden seit dem kontinuierlich weiterentwickelt. Die Beschreibung in den n¨achsten Kapiteln basiert auf Modelica 2.2. vom Feb. 2005 und der Modelica Standardbibliothek 2.2.1 vom M¨arz 2006. Auf Grund der M¨achtigkeit von Modelica und da die Sprache nicht an einen kommerziellen Hersteller gebunden ist, wird Modelica hier benutzt, um zu zeigen, wie komplexe Systeme in der objektorientierten Modellierungstechnik im Detail modelliert werden k¨onnen. Basierend auf [881] wird im vorliegenden Kapitel eine Einf¨ uhrung in die Modellierung kontinuierlicher Systeme mit Modelica gegeben. Wie mit Modelica unstetige, strukturvariable und diskrete Systeme modelliert werden k¨onnen, wird in Kapitel 21.9 und 21.10 erl¨autert. Hierarchische Modelle Die Grundlagen von Modelica werden anhand des in Kapitel 21.2 als Einf¨ uhrungsbeispiel benutzten Antriebsstrangs erl¨autert, siehe Abb. 21.16, der aus den Komponenten Regler“, Motor“, Getriebe“ und Last“ besteht. Ein ” ” ” ” Objektdiagramm-Editor erzeugt aus dem Objektdiagramm von Abb. 21.16 das 5

R ist ein eingetragenes Warenzeichen der ”Modelica Association“. Modelica

1068

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter Regler Motor

Getriebe

Last

J=5

Abb. 21.16: Objektdiagramm eines Antriebssystems (Bildschirmabzug von Dymola)

folgende Modelica-Modell. Die grafische Information des Objektdiagramms wird ¨ im Modelica-Modell als annotation gespeichert. Aus Gr¨ unden der Ubersichtlichkeit wird diese Information jedoch hier und auch in den folgenden ModelicaModellen nicht aufgef¨ uhrt. model Antriebsstrang Control Regler; Motor Motor; GearBox Getriebe; Inertia Last (J=5); equation connect(Regler.y , connect(Motor.y_m , connect(Motor.flange_b , connect(Getriebe.flange_b, end Antriebsstrang;

Motor.i_ref); Regler.u_m); Getriebe.flange_a); Last.flange_a);

Mit diesem Modelica-Modell werden die Komponenten Regler, Motor, Getriebe und Last definiert, sowie deren Verschaltung. Eine Anweisung der Form Inertia Last(J=5); bedeutet, dass eine Komponente Last von der Modell-Klasse Inertia deklariert wird. Nach dem Komponentennamen (hier: Last) k¨onnen in Klammern spezielle Werte f¨ ur die in der Modell-Klasse (hier: Inertia) definierten Konstanten angegeben werden. In diesem Fall wird das Tr¨agheitsmoment Θ = J der Last auf 5 kgm2 gesetzt. Die zu verwendende Einheit wird ebenfalls in der Modell-Klasse definiert. Wie bei Programmiersprachen u ¨blich, darf ein Name in Modelica nur aus (lateinischen) Klein- oder Großbuchstaben, Ziffern, sowie dem Unterstrich (_) bestehen6 . Es ist also z.B. nicht m¨oglich den griechischen Buchstaben Θ als Namen f¨ ur das Tr¨agheitsmoment zu verwenden. Stattdessen wird der Name J benutzt. In einer Zeile k¨onnen auch gleichzeitig mehrere Komponenten derselben Modell-Klasse definiert werden. Zum Beispiel k¨onnten mehrere Wellen mit der Anweisung Inertia LastWelle(J=5), MotorWelle(J=2); eingef¨ uhrt werden. Der equation Teil eines Modells enth¨alt die Modell-Gleichungen. Beim Antriebsstrang werden die Modell-Gleichungen implizit durch 6 In Modelica sind auch beliebige Zeichen in einem Namen erlaubt, wenn diese in Hochkomma eingeschlossen sind, z.B. ’Motor #123’.

21.4 Modelica — Kontinuierliche Systeme

1069

die connect Anweisungen definiert, die festlegen, wie die Schnittstellen von Komponenten verschaltet sind. Eine Anweisung der Form connect(Motor.flange b,Getriebe.flange a) legt fest, dass die Schnittstelle flange b der Komponente Motor mit der Schnittstelle flange a der Komponente Getriebe verschaltet wird. Die zur Verf¨ ugung stehenden Schnittstellen sind wiederum in der jeweiligen Modell-Klasse definiert.

Stromrichter multiplex

Abb. 21.17: Objektdiagramm der Motor-Komponente (Bildschirmabzug von Dymola)

Eine Komponente kann wiederum hierarchisch aufgebaut sein, wie es beim Motor der Fall ist. Das Objektdiagramm des Motors ist in Abb 21.17 zu sehen. Das entsprechende Modelica-Modell lautet: model Motor Resistor RA(R=250); Inductor LA(L=0.06); Inertia JM(J=0.002); Flange_b flange_b; ... equation connect(RA.n, LA.p); connect(JM.flange_b, flange_b); ... end Motor;

Mit der zweiten Anweisung wird die Komponente RA von der Modell-Klasse Resistor definiert, wobei der Widerstandswert auf 250 Ω gesetzt wird (Einheiten, wie Ω, werden in der entsprechenden Modell-Klasse festgelegt; siehe unten). Entsprechend werden auch die anderen verwendeten Komponenten definiert und in der equation-Sektion zusammengeschaltet.

1070

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Variablen Komponenten enthalten Variablen mit denen die Gleichungen formuliert werden. Diese Variablen haben eine physikalische Bedeutung. In der Standardbibliothek von Modelica werden die wichtigsten Variablentypen vordefiniert zur Verf¨ ugung gestellt, z.B.: type Voltage = Real(quantity = "Voltage", unit = "V"); type Angle = Real(quantity = "Angle", unit = "rad", displayUnit = "deg"); type Radius = Real(quantity = "Length", unit = "m", min = 0.0); type Inertia = Real(quantity = "Inertia", unit = "kg*mˆ2", min = 0.0); type Resistance = Real(quantity = "Resistance",unit = "Ohm", min = 0.0);

Hierbei ist Real eine vordefinierte Typ-Klasse f¨ ur Gleitpunktzahlen, die einige Attribute, wie Einheit, Anfangswert, minimaler, maximaler, nominaler Wert, besitzt. Mit dem Attribut unit wird die Einheit definiert, in der die Gleichungen formuliert werden. Das Attribut displayUnit gibt an, welche Einheit als Voreinstellung f¨ ur die Ein- und Ausgabe benutzt werden soll. Damit charakterisiert z.B. die neue Typ-Klasse Angle eine Gleitpunktzahl, die in Gleichungen die Einheit Radian besitzt und bei der Ein- und Ausgabe f¨ ur den Modellierer standardm¨aßig in der Einheit Grad dargestellt werden soll (die Umrechnung nimmt das Modellierungssystem vor). Schnittstellen Schnittstellen von Komponenten definieren, wie die Komponente mit anderen Bauteilen in Kontakt treten kann. Eine Schnittstelle enth¨alt hierbei alle Variablen mit denen u ¨ber die Schnittstelle Informationen ausgetauscht werden k¨onnen. Eine elektrische Schnittstelle, ein Pin, wird z.B. eindeutig durch das Potential v am Pin und durch den einfließenden Strom i definiert. In Modelica wird zur Schnittstellen-Definition die Connector -Klasse benutzt, siehe die erste Zeile in Tabelle 21.5, in der eine Reihe von elektrischen Komponenten mit der ModelicaSprache definiert werden. Man beachte, dass in dieser Modelica-Bibliothek, entsprechend zur Modelica-Standardbibliothek, f¨ ur die Variablen Kleinbuchstaben benutzt werden, obwohl diese unnormiert sind. Weiterhin ist *“ das Multipli” kationszeichen der Modelica-Sprache und nicht etwa das Symbol f¨ ur die Faltung.

21.4 Modelica — Kontinuierliche Systeme

1071

Tabelle 21.5: Modelica-Modelle von elektrischen Komponenten

Modelica-Modell i

Pin

Schnittstelle

v

Pin n n.i

Pin p p.i

Basiselement u

p.v

Widerstand

Pin p p.i

p.v

n.i u

p.v

n.i u n.v

U0(t)

p.i p.v

Erdung

n.v

L

p.i

Spannungsquelle

n.v

u

C

p.i

Induktivit¨at

Pin n n.i

R

p.v

Kapazit¨at

n.v

n.i

n.v

p.v

p.i

connector Pin Voltage v; flow Current i; end Pin; partial model TwoPin Pin p, n; Voltage u; equation u = p.v - n.v; 0 = p.i + n.i; end TwoPin; model Resistor extends TwoPin; parameter Resistance R; equation u = R*p.i; end Resistor; model Capacitor extends TwoPin; parameter Capacitance C; equation C*der(u) = p.i; end Capacitor; model Inductor extends TwoPin; parameter Inductance L; equation L*der(p.i) = u; end Inductor; model Vsource extends TwoPin; equation u = U0; end Vsource; model Ground Pin p; equation p.v = 0; end Ground;

1072

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Connector-Klassen werden ebenso wie Modell-Klassen benutzt: model Circuit2 ... Pin p1, p2, p3; equation connect(p1, p2); connect(p1, p3); ... end Circuit2

p1.i

p2.i

p2

p1 p3.i

p3

Im Deklarationsteil werden drei Pins definiert. Zur eindeutigen Identifikation, muss beim Zugriff auf eine Variable der Komponentenname mit angegeben werden (z.B. p1.v = Variable v der Komponente p1). Mit den connect Anweisungen werden die drei Pins verschaltet. Das Modellierungssystem erstellt hieraus die Gleichungen: p1.v = p2.v; p1.v = p3.v; p1.i + p2.i + p3.i = 0; Die ersten beiden Gleichungen geben an, dass die Variablen-Werte identisch sind. Eine Null-Summengleichung wird erzeugt, wenn verbundene Variablen das Attribut flow besitzen, siehe erste Zeile von Tabelle 21.5, d.h. wenn die Variablen explizit als Flussvariablen deklariert sind. Dies wurde schon kurz in Kapitel 21.2 erl¨autert. Auf ¨ahnliche Weise wird die Interaktion zwischen zwei eindimensionalen rotatorischen mechanischen Systemen mit einer Flansch-Schnittstelle definiert:

F(= phi) M(= tau)

z

connector Flange Angle phi "Rotationswinkel"; flow Torque tau "Schnittmoment"; end Flange;

Es ist vorteilhaft bei der Entwicklung von Komponentenbibliotheken zuerst die wesentlichen Schnittstellen zu definieren. Aus diesem Grunde gibt es in der Modelica-Standardbibliothek f¨ ur viele Fachgebiete schon vordefinierte connector-Klassen, Details siehe Kapitel 21.5. Unvollst¨ andige Modelle und Vererbung F¨ ur den Aufbau von komplexen Modellen ist es wichtig, dass gemeinsame Eigenschaften nur einmal definiert werden. Beispielsweise haben eine Reihe von elektrischen Komponenten, wie Widerstand, Kapazit¨at, Induktivit¨at, zwei Klemmen. Außerdem wird zur Formulierung des physikalischen Gesetzes der Spannungsabfall u ben¨otigt. Deswegen ist es sinnvoll eine unvollst¨andige“ Modell-Klasse ”

21.4 Modelica — Kontinuierliche Systeme

1073

TwoPin zur Verf¨ ugung zu stellen, in der diese Eigenschaften nur einmal f¨ ur entsprechende elektrische Komponenten definiert werden, siehe zweite Zeile von Tabelle 21.5. Diese Modell-Klasse hat zwei Pins p, n und den Spannungsabfall u. Der equation Teil enth¨alt die allen Komponenten gemeinsamen Gleichungen in Form von mathematische Gleichungen. Damit k¨onnte 0 = p.i + n.i alternativ auch als n.i = -p.i geschrieben werden. Statt Gleichungen k¨onnen in Modelica auch Zuweisungen unter Verwendung des Operators :=“ in einer ” algorithm Sektion verwendet werden, um z.B. diskrete Regler zu beschreiben. Mit dem Schl¨ usselwort partial (siehe Modell-Klasse TwoPin in der zweiten Zeile von Tabelle 21.5) wird festgelegt, dass eine Instanziierung des Modells nicht m¨oglich ist, d.h. dass diese unvollst¨andige Modell-Klasse nur zum Aufbau weiterer Modell-Klassen verwendet werden kann. Dies wird in den restlichen Zeilen von Tabelle 21.5 f¨ ur die einfachen elektrischen Komponenten aus Tabelle 21.2 von Kapitel 21.3 gezeigt. Mit der Anweisung extends TwoPin erbt eine Modell-Klasse alle Eigenschaften vom Modell TwoPin, d.h. alle Deklarationen und Gleichungen von TwoPin stehen direkt in dem neuen Modell zur Verf¨ ugung. Damit muss z.B. in der Modell-Klasse Resistor (siehe dritte Zeile von Tabelle 21.5) nicht definiert werden, dass n.i = -p.i ist, da dieser Zusammenhang schon in der geerbten Modell-Klasse TwoPin aufgef¨ uhrt ist. Die extends Anweisung kann mehrmals in einem Modell auftreten, d.h. es kann von mehreren unterschiedlichen Modell-Klassen geerbt werden. Mit einer parameter Anweisung wird eine Variable definiert, die w¨ahrend einer Simulation konstant ist. Beispielsweise wird mit der Anweisung parameter Resistance R ein Parameter mit dem Namen R von der Typ-Klasse Resistance definiert. Die Resistance Typ-Klasse wurde schon weiter oben als type Resistance = Real(quantity = "Resistance", unit ="Ohm", min = 0.0);

definiert. Damit charakterisiert R eine Gleitpunktzahl mit der Einheit Ohm. Bei der Deklaration einer Komponente kann jedem Parameter ein neuer Wert zugewiesen werden. Damit bedeutet z.B. die Anweisung Resistor RA(R=250) in der oben aufgef¨ uhrten Modell-Klasse Motor, dass eine neue Komponente mit dem Namen RA von der Modell-Klasse Resistor eingef¨ uhrt wird, wobei der in dieser Modell-Klasse definierte Parameter R auf 250 gesetzt wird. Da der Parameter R zur Typ-Klasse Resistance geh¨ort, wird also ein Widerstand von 250 Ω definiert. Die Zeitableitung einer Variable wird durch den Operator der definiert, siehe die Capacitor und Inductor Modell-Klassen in Tabelle 21.5. Damit ist z.B. der(u) gleichbedeutend mit du/dt.

1074

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Parametrisierung von Modellen Modell-Klassen werden durch Verwendung der parameter Anweisung parameterisiert. Hierbei kann eine Komponente einer Modell-Klasse alle schon definierten Parameterwerte durch neue Werte ersetzen (wie bei Resistor RA(R=250)), falls dies nicht durch Verwendung des final Schl¨ usselworts explizit verboten wird. In Modelica k¨onnen nun nicht nur Parameterwerte, sondern auch komplette Komponenten oder gar Klassen eines Submodells, von einer h¨oheren Modellhierarchie aus ausgetauscht werden. Zum Beispiel soll f¨ ur den Motor von Abb. 21.17 ein genaueres Modell f¨ ur den Widerstand benutzt werden, bei dem die Temperaturabh¨angigkeit des Widerstandes u ¨ber das folgende Modell ber¨ ucksichtigt wird: model HeatingResistor extends TwoPin; HeatPort heatPort; parameter Real R, T_ref=293, alpha=0; equation u = R*(1+alpha*(heatPort.T-T_ref))*i; heatPort.Q flow = -u*p.i; end HeatingResistor;

.

R+RT (h.T-Tref)

p.i

u

n.i n.v

p.v h.T

h.Q

Die Modell-Klasse HeatingResistor kann nicht von Resistor durch Vererbung abgeleitet werden, weil der Spannungsabfall u ¨ber eine andere Gleichung berechnet wird. Deswegen werden, wiederum von TwoPin abgeleitet, eine zus¨atzliche Schnittstelle heatPort f¨ ur den W¨arme¨ ubergang mit den SchnittstellenVariablen T (Temperatur) und Q flow (W¨armefluss) sowie Gleichungen zur Bestimmung des Spannungsabfalls und der erzeugten W¨arme hinzugef¨ ugt. Mit den neu eingef¨ uhrten Parametern R ref, T ref und alpha wird eine lineare Temperaturabh¨angigkeit des Widerstandes beschrieben. Die im Widerstand erzeugte W¨arme u*p.i wird u uhrt. Da der W¨arme¨ ber die Schnittstelle heatPort abgef¨ fluss heatPort.Q flow so definiert ist, dass ein positiver Wert einen W¨armefluss in die Schnittstelle charakterisiert, berechnet sich heatPort.Q flow zu -u*p.i. Basierend auf dem urspr¨ unglichen Motor-Modell von Abb. 21.17 und dem Modelica-Modell auf Seite 1069, kann jetzt die Modell-Klasse Resistor der Komponente Motor.RA durch das genauere Modell HeatingResistor ersetzt werden. Weiterhin werden noch einige Elemente zur Beschreibung des W¨armeflusses zwischen Widerstand und Umgebung hinzugef¨ ugt: model Motor2 extends Motor(redeclare HeatingResistor RA(alpha=0.1)); Tsource Umgebung(T0=20); HeatFlow Hflow(...); equation connect(Umgebung.p, Hflow.n);

21.4 Modelica — Kontinuierliche Systeme

connect(Hflow.p end Motor2;

1075

, RA.h);

Durch die Anweisung redeclare wird die Ersetzung durchgef¨ uhrt, wobei neue Parameterwerte (hier: alpha) festgelegt werden. Ein solcher KomponentenAustausch ist genau dann m¨oglich, wenn die neue Modell-Klasse (hier: HeatingResistor) alle Schnittstellen-Variablen und Parameter der zu ersetzenden Klasse (hier: Resistor) enth¨alt, wobei Namen und Datentypen u ussen. Dies ist hier der Fall, da HeatingResistor die ¨bereinstimmen m¨ Schnittstellen-Variablen von Resistor, d.h. p, n, R, besitzt. Der Vorteil dieser Vorgehensweise besteht darin, dass jede Modifikation des Motor-Modells, sofort auch beim Motor2-Modell zur Auswirkung kommt. Damit k¨onnen z.B. ein einfaches Modell f¨ ur den Entwurf und ein komplexeres f¨ ur die Verifikation zuverl¨assig gewartet werden. Weiterhin k¨onnen dadurch auch leicht z.B. unterschiedliche Regler im Antriebsstrang, Abb. 21.16, verwendet und miteinander verglichen werden, in dem der Reglerblock entsprechend ausgetauscht wird. Es ist auch m¨oglich, eine ganze Klasse von Komponenten mit einem Befehl austauschen, wenn dies im urspr¨ unglichen Modell vorgesehen ist: model Circuit replaceable model Resistor2 = Resistor; protected Resistor2 R1(R=100), R2(R=200), R3(R=300); ... end Circuit model Circuit2 extends Circuit (redeclare model Resistor2 = HeatingResistor); ... end Circuit2

Mit dem Sprachelement replaceable wird definiert, dass die lokale ModellKlasse Resistor2 austauschbar ist. Als Voreinstellung wird die Resistor Modell-Klasse benutzt. Jetzt k¨onnen viele Komponenten der Klasse Resistor2 deklariert werden. Durch nachtr¨agliches Austauschen von Resistor mit HeatingResistor, werden alle Widerstands-Komponenten durch diese neue Modell-Klasse beschrieben. Diese Vorgehensweise erleichtert insbesondere auch die Modellierung von ¨ Fluid-Str¨omungen, siehe [856, 880]. Ublicherweise ist z.B. das Modell einer Pum¨ g¨ pe nur f¨ ur ein bestimmtes Medium, wie Wasser, Wasserdampf oder Ol, ultig. Es ist jedoch m¨oglich, ein generisches Pumpen-Modell mit Hilfe einer austauschbaren Medium Modell-Klasse zu formulieren. Beim Einsatz einer solchen Pumpe kann dann durch Austauschen (redeclare...) dieser Modell-Klasse jedes gew¨ unschte Medium-Modell verwendet werden. Dieses ist vollkommen unabh¨angig vom Pumpen-Modell.

1076

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Eingeschr¨ ankte Klassen Es hat den Anschein, als ob die Strukturierungselemente von Modelica, wie model, type, connector, voneinander unabh¨angige Sprachelemente sind. Dies ist jedoch nicht der Fall. Modelica kennt nur ein einziges Strukturierungselement: die Klasse class. Es gibt Klassen mit speziellen Namen, die alle Eigenschaften von class besitzen, wie Syntax, Semantik, Definition, Vererbung, Parametrisierung, jedoch nur in eingeschr¨ankter Form benutzt werden k¨onnen: connector model record type block function package

Wird in Verbindungen benutzt und hat keine Gleichungen. Darf nicht in Verbindungen benutzt werden. model ohne Gleichungen. Nur durch Vererbung von einem type oder einem vordefinierten Typ wie Real ableitbar. model, wobei alle Schnittstellen-Variablen als input oder output deklariert sind. block mit einer Algorithmus-Sektion. model, das nur Klassen-Deklarationen enth¨alt.

Die model, connector und type Klassen wurden schon diskutiert. Die record Klasse wird zum Aufbau von hierarchischen Datenstrukturen eingesetzt. Mit der block Klasse werden Ein-/Ausgangsbl¨ocke definiert. Hierdurch wird u.a. erreicht, dass es Einschr¨ankungen bei der Verschaltung gibt, so dass z.B. Eing¨ange nicht mit Eing¨angen verschaltet werden k¨onnen. Die function Klasse ist eine spezielle Block-Klasse und entspricht einer Funktion in einer prozeduralen Programmiersprache. Mit der package Klasse werden Komponentenbibliotheken aufgebaut. Durch die Technik der eingeschr¨ankten Klassen muss der Anwender nur die Verwendung der Klasse class verstehen, und nicht sieben unterschiedliche Kon¨ zepte. Dar¨ uber hinaus wird das Erstellen von Modelica-Ubersetzern stark vereinfacht, da nur die Syntax und Semantik einer class implementiert werden muss, ¨ sowie einige zus¨atzliche Uberpr¨ ufungen, ob die geforderten Restriktionen erf¨ ullt sind. Man beachte, dass auch die Basistypen, wie Real, Integer, Boolean, nur vordefinierte type Klassen sind. Es gibt zwei M¨oglichkeiten, um eine neue Klasse zu definieren: Die Standarddefinition wird in Tabelle 21.5 verwendet. Die Kurzdefinition wurde f¨ ur die type Klassen Angle, Voltage und Radius im Beispiel auf Seite 1070 benutzt. Die Voltage-Klasse k¨onnte alternativ auch folgendermaßen angegeben werden: type Voltage extends Real(quantity="Voltage", unit="V"); end Voltage;

Sonstige Sprachelemente Die restlichen Sprachelemente von Modelica sollen hier nur kurz gestreift werden: Es werden mehrdimensionale Felder, Matrix-Operatoren, -Funktionen und

21.4 Modelica — Kontinuierliche Systeme

1077

-Gleichungen unterst¨ utzt. Damit k¨onnen z.B. einfach Regelungssysteme oder Mehrk¨orpersysteme beschrieben werden sowie Komponenten-Felder und regul¨are Verschaltungsstrukturen. Dies erlaubt z.B. Orts-Diskretisierungen von partiellen Differentialgleichungen, siehe [880]. Ein typisches Beispiel f¨ ur die Verwendung von Feldern ist im nachfolgenden Modell zu sehen, das einen Ein-/ Ausgangsblock einer linearen Zustandsform (21.7) beschreibt block StateSpace parameter Real A[:,size(A,1)], B[size(A,1),:], C[:,size(A,2)], D[size(C,1),size(B,2)] = zeros(size(C,1),size(B,2)); input Real u[size(B,2)] "Eingangssignal"; output Real y[size(C,1)] "Ausgangssignal"; protected Real x[size(A,1)] "Zustandsvektor"; equation der(x) = A*x + B*u; y = C*x + D*u; end StateSpace;

und folgendermaßen benutzt wird: StateSpace S(A=[0.12,2; 3,1.5], B=[2,7; 3,1], C=[0.1,0.4]);

F¨ ur das Modell wird die block-Klasse benutzt, so dass alle Variablen in der Schnittstelle entweder Parameter sein m¨ ussen oder die Attribute input oder output besitzen m¨ ussen. Durch diese Attribute werden insbesondere Einschr¨ankungen bei Verbindungen definiert, damit z.B. nicht ein Ausgang mit einem Ausgang verbunden werden kann. Mit der parameter Anweisung werden die vier konstanten Felder A,B,C,D deklariert, wobei die Dimensionen der Felder noch nicht festliegen. Die beiden n¨achsten Zeilen definieren die Eingangssignale und die Ausgangssignale, wobei z.B. das Eingangssignal dieselbe Dimension besitzen muss wie die Matrix B Spalten besitzt. Hinter einer Deklaration kann eine Beschreibung der Variablen, z.B. "Eingangssignal", gegeben werden. Solche Beschreibungstexte werden von Modelica Umgebungen speziell behandelt, z.B. werden diese in Parameter-Men¨ us angezeigt, sowie als Beschreibungstexte f¨ ur die jeweilige Variable beim Plotten verwendet. In der protected Sektion werden Variable deklariert, die nur innerhalb der Modell-Klasse zur Verf¨ ugung stehen. Schließlich werden im equation Teil die Gleichungen des linearen Zustandsraummodells in Form von Matrixgleichungen angegeben. Mit Modelica k¨onnen auch Abtastsysteme, sowie unstetige und strukturvariable Systeme modelliert werden. Auf Grund der Bedeutung und des Umfangs wird dieser Teil in den Unterkapiteln 21.9 und 21.10 erl¨autert.

1078

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Modelica-Standardbibliothek Die praktische Verwendung von Modelica erfordert sofort einsetzbare ModelicaKomponentenbibliotheken. Zu diesem Zweck wurde von der Modelica-Gruppe eine umfangreiche, frei verf¨ ugbare Modelica-Standardbibliothek erstellt, die kontinuierlich weiterentwickelt wird und ohne Einschr¨ankungen in kommerziellen Produkten eingesetzt werden kann. Freie und kommerzielle Bibliotheken werden dar¨ uber hinaus von vielen anderen Organisationen entwickelt. Eine aktuelle ¨ Ubersicht, mit Download-M¨oglichkeit der freien Modelica Bibliotheken, findet sich auf der Internet-Seite www.Modelic.org/library. Tabelle 21.6 enth¨alt eine Kurz¨ ubersicht der Modelica Standardbibliothek 2.2.1 ¨ Tabelle 21.6: Ubersicht der Modelica-Standardbibliothek 2.2.1 Modelica .Blocks .Electrical.Analog .Electrical.Digital .Electrical.Machines .Electrical.MultiPhase .Math .Mechanics.MultiBody .Mechanics.Rotational .Mechanics.Translational .Media .SIunits .StateGraph .Thermal.FluidHeatFlow .Thermal.HeatTransfer .Utilities

Inhalt Kontinuierliche, diskrete, logische, Ein- und Ausgangsbl¨ ocke, sowie Tabellen. Analoge elektrische Komponenten, wie Widerstand, Diode, MOS Transistor. Digitale elektrische Komponenten, wie And, Or, Xor, mit Totzeiten. Ungeregelte asynchrone, synchrone, und GleichstromMaschinen. Analoge elektrische Komponenten f¨ ur 2, 3 and mehr Phasen. Mathematische Funktionen, wie sin, cos, und Funktionen f¨ ur Matrizen, wie norm(..), solve(..), eigenValues(..). 3-dim. mechanische Komponenten, wie K¨ orper, Gelenke, Kraftelemente, Sensoren. 1-dim. rotatorische mechanische Komponenten. Enth¨ alt insbesondere auch Geschwindigkeit- und Momentenabh¨ angige Reibung mit Gleit- und Haftphasen. 1-dim. translatorische mechanische Komponenten. Große Bibliothek f¨ ur Medien (1240 Gase und Mischungen zwischen diesen Gasen, detailliertes IF97 Wassermodell, feuchte Luft, Tabellen-basierte Medien). 450 Typ-Definitionen basierend auf ISO 31-1991 (z.B. Voltage, Current). Hierarchische Zustandsmaschinen mit Modelica als ”action language“. Einfache Komponenten zur Modellierung von Rohrstr¨ omungen mit inkompressiblen Medien (z.B. zur Modellierung von K¨ uhlsystemen mit Luft oder Wasser) Einfache Komponenten f¨ ur W¨ armetransport-Vorg¨ ange Hilfsfunktionen zur Zeichenketten-Verarbeitung, Einlesen von File, Ausgeben auf File, Kopieren/Umbenennen/L¨ oschen von Files etc.

21.5 Modelica — Komponenten-Schnittstellen

1079

Simulation eines Modelica-Modells Mit Modelica werden Objektdiagramme auf einem hohen Sprachniveau kompakt definiert. Die Erzeugung eines Simulationsmodells in Zustandsform erfolgt auf die in Kapitel 21.3 skizzierte Weise: Es wird ein Deskriptorsystem Gl. (21.10) aufgebaut, das aus den Gleichungen aller Modelica-Komponenten sowie aus den Gleichungen f¨ ur die Verbindungsdefinitionen besteht. Mit noch im Detail zu besprechenden Transformationsalgorithmen wird dieses Gleichungssystem in Zustandsform Gl. (21.9) transformiert, welches dann mit Standard-Integrationsverfahren gel¨ost wird. Es gibt eine Reihe unterschiedlicher Modelica-Modellierungs- und Simulationsumgebungen, siehe Tabelle 21.1 auf Seite 1050. Der aktuelle Stand kann u ¨ber die Modelica Web-Seite http://www.Modelica.org/tools erfragt werden.

21.5

Modelica — Komponenten-Schnittstellen

Im vorliegenden Unterkapitel wird erl¨autert, wie die Schnittstellen von Komponenten in der objektorientierten Modellierungstechnik entworfen werden. Der Schnittstellenentwurf ist ein zentraler Baustein, da damit die voneinander unabh¨angigen Teile eines komplexen Modells festgelegt werden. Erst nach der Schnittstellen-Definition k¨onnen Komponenten unabh¨angig voneinander entwickelt und ausgetestet werden. Um die zentralen Vorteile der objektorientierten Modellierung auszunutzen, sollte eine Schnittstelle in der Regel nicht vom beabsichtigten Ein/Ausgangsverhalten einer Komponente abgeleitet werden, da es in den meisten F¨allen unterschiedlich sinnvolle Kombinationen des Ein-/Ausgangsverhaltens gibt und sich diese erst aus der Verschaltung der Komponente ergeben. Schnittstellen sollten die folgenden Anforderungen erf¨ ullen: 1. Gew¨ unschte Effekte: Wenn eine reale Komponente, wie ein Elektromotor oder eine hydraulische Pumpe, gedanklich freigeschnitten wird, sollte die abstrahierte Schnittstelle des Modells alle Variablen enthalten die notwendig sind, um die gew¨ unschten Effekte in der Schnittstelle zu beschreiben. In der Regel werden resultierende bzw. mittlere Gr¨oßen u ¨ ber der Schnittstelle verwendet, z.B. eine resultierende Kraft oder die mittlere Geschwindigkeit. 2. Voneinander unabh¨ angige Variable: Die Schnittstelle sollte voneinander unabh¨angige Variable enthalten. D.h. eine Schnittstellen-Variable vi sollte nicht von anderen SchnittstellenVariablen vj u ¨ ber algebraische Beziehungen, durch Differentiation oder durch Integration berechnet werden k¨onnen. Wenn dies nicht zutrifft, d.h. wenn ein Satz von redundanten Variablen verwendet wird (dies ist in

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

1080

Modelica m¨oglich), gibt es Einschr¨ankungen, wie Komponenten verschaltet werden k¨onnen, insbesondere wenn Verschaltungsschleifen auftreten. 3. Erhaltungsgleichungen und Randbedingungen: Wenn Komponenten zusammengeschaltet werden, m¨ ussen die relevanten Erhaltungsgleichungen und Randbedingungen des infinitesimal kleinen Verschaltungspunktes automatisch durch die Modelica Verbindungssemantik erf¨ ullt werden (= Potentialvariablen sind identisch und die Summe der zugeh¨origen Flussvariablen verschwindet). Typische Erhaltungsgleichungen sind Energie-, Massen-, Impuls-Bilanz, bzw. Kraft-, MomentenGleichgewicht. Typische Randbedingungen sind die Identit¨at von Winkel, elektrischem Potential, Temperatur, Druck etc. im Verbindungspunkt. Diese letzte Regel muss eingehalten werden, da es sonst Verschaltungen von Komponenten gibt, bei denen die physikalischen Grundgleichungen nicht mehr erf¨ ullt sind. Die obigen Entwurfsrichtlinien sollen an den in Kapitel 21.4 eingef¨ uhrten Schnittstellen f¨ ur elektrische Systeme (connector Pin) und f¨ ur ein-dimensionale, rotatorische mechanische Systeme (connector Flange) demonstriert werden: connector Pin Voltage v; flow Current i; end Flange;

connector Flange Angle phi; flow Torque tau; end Flange;

Hierbei ist v das elektrische Potential in der Klemme, i der elektrische Strom, phi der absolute Verdrehwinkel eines Flansches und tau das Schnittmoment im Flansch. Wenn 3 elektrische Komponenten R1, R2, R3 an der jeweiligen PinSchnittstelle zusammengeschaltet werden, ergeben sich die folgenden Gleichungen: R1.v = R2.v; R1.v = R3.v; 0 = R1.i + R2.i + R3.i;

Die ersten beiden Gleichungen legen die Randbedingung fest, dass die Potentiale der 3 Klemmen identisch sind. Die dritte Gleichung ist die Erhaltungsgleichung f¨ ur den elektrischen Strom (= Kirchhoff’sche Stromregel). Aus den Gleichungen folgt auch, dass der Energiesatz beim Verbindungspunkt erf¨ ullt ist, da die Summe der Energiefl¨ usse P (= Leistung) verschwindet: P = = = =

R1.v*R1.i + R2.v*R2.i + R3.v*R3.i R1.v*(R1.i + R2.i + R3.i) R1.v*0 0

Wenn die Flange-Schnittstellen von 3 Antriebsstrang-Komponenten K1, K2, K3 zusammengeschaltet werden, ergeben sich die folgenden Gleichungen:

21.5 Modelica — Komponenten-Schnittstellen

1081

K1.phi = K2.phi; K1.phi = K3.phi; 0 = K1.tau + K2.tau + K3.tau;

Die ersten beiden Gleichungen legen die Randbedingung fest, dass die absoluten Verdrehwinkel der 3 Flansche identisch sind. Die dritte Gleichung ist die Erhaltungsgleichung f¨ ur die Schnittmomente (= Momenten-Gleichgewicht). Aus den Gleichungen folgt auch, dass der Energiesatz beim Verbindungspunkt erf¨ ullt ist, da die Summe der Energiefl¨ usse P (= Leistung) verschwindet: P = d(K1.phi)/dt*K1.tau + d(K2.phi)/dt*K2.tau + d(K3.phi)/dt*K3.tau = d(K1.phi)/dt*(K1.tau + K2.tau + K3.tau) = d(K1.phi)/dt*0 = 0

Eine alternative M¨oglichkeit um Schnittstellen zu definieren, ist die BondgraphMethode, siehe z.B. [871, 842]. Hierbei wird der Energiefluss P zwischen Komponenten als Produkt zweier Variablen definiert: P = e · f (z.B. P = Geschwindigkeit*Kraft) und die beiden Variablen e und f werden im Connector verwendet. Diese Vorgehensweise ist in der allgemeineren Methodik von oben als Spezialfall enthalten. In der Modelica Standardbibliothek (siehe Tabelle 21.6 auf S. 1078) werden f¨ ur alle wichtigen physikalischen Fachgebiete Schnittstellen-Definitionen angeboten. Elektrische und magnetische Schnittstellen werden hierbei wie bei Bondgraphen u ¨blich definiert, w¨ahrend alle anderen Schnittstellen, der allgemeineren Methodik vom Anfang des Kapitels folgen. Es ist fast immer sinnvoll die Schnittstellen der Modelica Standardbibliothek zu benutzen. Hierdurch wird u.a. automatisch erreicht, dass Komponenten die auf diesen Schnittstellen aufbauen, kompatibel zueinander sind, also miteinander verbunden werden k¨onnen. In Tabelle 21.7 sind die in der Modelica Standardbibliothek definierten Schnittstellen zusammengestellt. Im folgenden werden diejenigen Schnittstellen n¨aher erl¨autert, welche zur Modellierung von elektrischen Maschinen und Antriebssystemen ben¨otigt werden. Schnittstellen f¨ ur elektrische Systeme Die Schnittstellen f¨ ur elektrische Systeme sind nat¨ urlich die Basis f¨ ur elektrische Motormodelle. In der Modelica Standardbibliothek werden hier, neben der elektrischen Klemme, auch mehrphasige Stecker“ bereitgestellt, um auf einfache ” Weise z.B. Drehstromnetze und Asynchronmotoren modellieren zu k¨onnen. Die Schnittstellen f¨ ur eine elektrische Klemme (Pin) wurden am Anfang dieses Kapitels schon erl¨autert. Ein Modelica Connector kann auch hierarchisch aus anderen Connectoren aufgebaut werden. Dies ist der Fall bei mehrphasigen elektrischen Steckern, die folgendermaßen in der Modelica Standardbibliothek definiert sind: connector Plug parameter Integer m = 3 "Zahl der Phasen"; Pin pin[m]; end Plug;

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter 1082

Tabelle 21.7: Schnittstellen Definitionen in der Modelica Standardbibliothek Typ

Potential-Variablen

elektrisch

V

: elektr. Potential

el. mehrphasig

P in[:] : Vektor von Klemmen

Fluss-Variablen I

: elektr. Strom

Modelica connector Namen Modelica.Electrical.Analog.Interfaces.Pin Modelica.Electrical.MultiPhase.Interfaces.Plug

magnetisch

Vmag : magnet. Potential

Φ

: magnet. Fluss

Modelica.Magnetic.Interfaces.MagneticPort

translatorisch

S

: Weg

F

: Schnitt-Kraft

Modelica.Mechanics.Translational.Interfaces.Flange

rotatorisch

Φ

: Winkel

M

: Schnitt-Moment

Modelica.Mechanics.Rotational.Interfaces.Flange

mechanisch

R[3] : Ortsvektor T [3, 3]: Drehmatrix

F [3] M [3]

: Schnitt-Kraft : Schnitt-Moment

Modelica.Mechanics.MultiBody.Interfaces.Frame

thermisch

T

Qf low

: W¨ armestrom

Modelica.Thermal.HeatTransfer.Interfaces.HeatPort

einfache Rohrst.

P : Druck H : spez. Mischenthalpie Medium als record (=Daten)

Mf low Hf low

: Massenstrom : Enthalpiestrom

Modelica.Thermal.FluidHeatFlow.Interfaces.FlowPort

Rohrstr¨omung

P : Druck H : spez. Mischenthalpie Xi[:] : Stoffmassenanteile Medium als package (=Fun.)

Mf low : Massenstrom Hf low : Enthalpiestrom mXif low [:]: Stoffmassenstr.

: Temperatur

Modelica.Fluid.Interfaces.FluidPort

Signal-Schnittstellen Signal

Real Integer Boolean

– – –

Modelica.Blocks.Interfaces.RealInput/Output Modelica.Blocks.Interfaces.IntegerInput/Output Modelica.Blocks.Interfaces.BooleanInput/Output

Signalbus

konfigurierbar

–

Modelica.Blocks.Interfaces.SignalBus

elektr. digital

Integer (1..9)

–

Modelica.Electrical.Digital.Interfaces.DigitalSignal

Zustandsmasch.

logische Signale

–

Modelica.StateGraph.Interfaces.Step in,Transition in

21.5 Modelica — Komponenten-Schnittstellen

1083

Hiermit wird eine Schnittstelle definiert, die aus einem Vektor von Pins“ besteht, ” wobei als Voreinstellung der Vektor die Dimension 3 hat. Dadurch k¨onnen z.B. auf relativ komfortable Weise Drehstromnetze modelliert werden. Schnittstellen f¨ ur mechanische Systeme Bei Antriebssystemen sind der Rotor des Motors und die anzutreibende Last, oder die Lasten, mechanische Bauteile, so dass im Antriebsmodell entsprechende Modelle, insbesondere mechanische Schnittstellen, ben¨otigt werden. F¨ ur viele Anwendungen reichen ein-dimensionale, rotatorische, mechanische Modelle aus. Eine Reihe von Spezialanwendungen von Motoren, wie der Antrieb von Robotern oder anderer Mechanismen, erfordert jedoch drei-dimensionale mechanische Modelle (diese werden auch als Mehrk¨orpersysteme, engl. multi-body systems“, ” bezeichnet). Die Behandlung von drei-dimensionalen mechanischen Systemen in einer objektorientierten Form ben¨otigt eine l¨angere Erl¨auterung und wird hier nicht weiter diskutiert. Details sind in [892] zu finden. F¨ ur die Anwendung dieser Komponenten, wird die zugrunde liegende Theorie aber nicht ben¨otigt. Bei eindimensionalen rotatorischen mechanischen Systemen, im folgenden durch Antriebsstrang abgek¨ urzt, gibt es in der Technik zwei unterschiedliche Anwendungen: • Bei Stellantrieben ist es das Ziel eine gew¨ unschte Position anzufahren oder einer vorgegebenen Bahn m¨oglichst genau zu folgen. Beispiele hierf¨ ur sind Roboter oder Aufz¨ uge. Da der Drehwinkel der Last geregelt werden soll, muss dieser in einer Schnittstelle enthalten sein. Die Drehzahl sollte nicht zus¨atzlich in die Schnittstelle mit aufgenommen werden, da dann der enge Zusammenhang zwischen Drehwinkel und Drehzahl dem Modellierungssystem nicht bekannt ist, so dass einige Algorithmen, wie der noch zu besprechende Pantelides-Algorithmus, nicht angewandt werden k¨onnen. Wenn ben¨otigt, kann die Drehzahl in einer objektorientierten Modellierungssprache durch Differentiation aus dem Drehwinkel erhalten werden (Ω = der(Φ)). Der Compiler einer Sprache wie Modelica transformiert diese Anweisung in eine numerisch robust auszuwertende Form, so dass w¨ahrend der Simulation keine numerische Differentiation erfolgt. • Bei Leistungsantrieben ist es das vorrangige Ziel, eine bestimmte mechanische Leistung zu u ur sind Antriebsstr¨ange von ¨ bertragen. Beispiele hierf¨ Fahrzeugen, Pumpen oder Generatoren. Hier spielt der Drehwinkel keine Rolle, so dass in der Schnittstelle anstelle des Drehwinkels auch die Winkelgeschwindigkeit verwendet werden kann. In der Modelica Standard-Bibliothek sind nur Komponenten f¨ ur Stellantriebe vorhanden, da man hiermit auch Leistungsantriebe modellieren kann, der praktische Unterschied bei der Simulation gering ist, und der Aufwand zwei praktisch fast identische Bibliotheken zu pflegen unn¨otig gross ist.

1084

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Bei eindimensionalen translatorischen mechanischen Systemen k¨onnen theoretisch auch diese beiden F¨alle auftreten. In der Technik gibt es jedoch nur translatorische Stellantriebe und keine translatorischen Leistungsantriebe, so dass es hier nur eine praktikable Schnittstelle gibt, in der die absolute Verschiebung, und nicht die Geschwindigkeit, auftritt. Generell gibt es bei mechanischen Systemen das Problem, dass die auftretenden Gr¨oßen, wie Geschwindigkeit oder Kraft, Vektoren sind. Die Elemente dieser Vektoren beziehen sich auf ein bestimmtes Koordinatensystem, das bei mathematischen Operationen zu ber¨ ucksichtigen ist. Eine sinnvolle Vorgehensweise besteht darin, dass in jedem mechanischen Flansch ein lokales Koordinatensystem definiert wird, wobei die z-Achsen der Flansch-Koordinatensysteme von einer Komponente alle in dieselbe Richtung zeigen, siehe Abb. 21.18. fest in Welle (= drehend)

W1 M1

y

y z

Welle

W2 z

z

y

M2

.

z

fest in Lager f x

W=f

Abb. 21.18: Lokale Koordinatensysteme bei Antriebsstr¨ angen

Alle vektoriellen Gr¨oßen in einem Flansch werden bez¨ uglich des Flansch = M ·ez bzw. WinkelgeKoordinatensystems dargestellt, z.B. Schnittmoment M  = Ω ·ez , wobei ez ein Einheitsvektor in Richtung der positiven zschwindigkeit Ω Achse ist und M bzw. Ω die skalaren Gr¨oßen sind, die in der Schnittstelle benutzt werden. Eine Verbindung von zwei oder mehr Flanschen (= connect-Anweisung bei Modelica) bedeutet nun, dass die lokalen Flansch-Koordinatensysteme zur Deckung gebracht werden. Bei der Verschaltung von Antriebsstrang-Komponenten muss man etwas vorsichtig sein: Wenn die z-Achsen der Flansche bei einer Verschaltung nicht gleichgerichtet sind, siehe linker Teil von Abb. 21.19, dann ist das zul¨assig, entspricht aber der Verschaltung von einer Hohlwelle mit einer Welle, wie durch Umzeichnen im rechten Teil von Abb. 21.19 zu sehen ist.

= z

z

=

z z

Abb. 21.19: Verschaltung von Welle mit Hohlwelle

21.5 Modelica — Komponenten-Schnittstellen

1085

Schnittstellen f¨ ur thermische Systeme Thermische Schnittstellen werden bei detaillierteren Modellen von elektrischen Maschinen ben¨otigt, um z.B. die W¨armeabgabe an die Umgebung zu beschreiben, da dies zu einer maßgeblichen Begrenzung eines Motors f¨ uhrt. In der Modelica Standardbibliothek werden die Schnittstellen thermischer Systeme mit dem W¨armefluss Qf low und der Temperatur T beschrieben, wie es traditionell in diesem Fachgebiet u ¨ blich ist. In der Bondgraph-Methode werden stattdessen Temperatur T und Entropiestrom Sf low benutzt, da das Produkt dieser beiden Variablen der u ¨bertragene Energiefluss Qf low = T · Sf low ist. Es soll kurz auf die Vor- und Nachteile der beiden Beschreibungsformen eingegangen werden: In Tabelle 21.8 sind die einfachst m¨oglichen Basiselemente aufgef¨ uhrt, siehe z.B. [868]: Der W¨armeleiter G ist ein ideales Element welches keine W¨armeenergie speichert und die W¨arme nur zwischen den beiden Schnittstellen 1 und 2 transportiert. Die W¨armekapazit¨at C ist ein ideales Element welches nur W¨armeenergie speichert oder abgibt. Beide Elemente k¨onnen entweder mit der Temperatur T und dem W¨armefluss Qf low oder mit der Temperatur T und dem Entropiestrom Sf low beschrieben werden, da an einer Schnittstelle 1 gilt: Qf low1 = T1 · Sf low1 . Tabelle 21.8: Lokale Objektgleichungen thermischer Komponenten T, Qf low Q 2 , S2

Q 1 , S1

G

0 = Qf low1 + Qf low2

A

T1

T2 L

T, Sf low 0 = T1 Sf low1 + T2 Sf low2

Qf low1 = λA L (T1 − T2 )

(T1 − T2 ) Sf low1 = λA L T1

Qf low = C · M · T˙

Sf low = C · M · T˙ /T

Q,S

C T

M

Die in den Gleichungen von Tabelle 21.8 auftretenden Konstanten sind: die spezifische W¨armeleitf¨ahigkeit λ, die Querschnittsfl¨ache A und die L¨ange L des W¨armeleiters, sowie die spezifische W¨armekapazit¨at C und die Masse M der W¨armekapazit¨ats-Komponente. Es zeigt sich, dass bei diesen einfachst m¨oglichen Elementen die Gleichungen in den Variablen T, Qf low linear und in den Variablen T, Sf low nichtlinear sind. Weiterhin kann die h¨aufig auftretende Randbedingung der vollst¨andigen Isolation im ersten Fall viel einfacher formuliert werden (Qf low = 0). Schließlich gibt es f¨ ur den W¨armestrom im Gegensatz zum Entropiestrom einen Erhaltungssatz, ¨ so dass Uberpr¨ ufungen einfacher sind. Aus diesen Gr¨ unden ist es besser, als Schnittstellen-Variablen Qf low und T zu verwenden.

1086

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Schnittstellen f¨ ur Rohrstr¨ omungen ¨ gek¨ Elektrische Maschinen werden mit Luft, Wasser oder Ol uhlt. Der K¨ uhlkreislauf hat einen signifikanten Einfluss auf die Leistung eines Motors und muss deswegen bei detaillierteren Motormodellen mitber¨ ucksichtigt werden. SystemSimulationen werden mit ein-dimensionalen Rohrstr¨omungsmodellen durchgef¨ uhrt, da die Ber¨ ucksichtigung des drei-dimensionalen Str¨omungsfeldes (z.B. mit CFD oder FE Methoden) viel zu rechen-aufwendig ist. In der Modelica Standardbibliothek werden zwei unterschiedliche Rohrstr¨omungsmodelle angeboten, siehe Tabelle 21.7. Der wesentliche Unterschied zwischen beiden Schnittstellen ist, dass im einfacheren Modell ein inkompressibles, Einstoff-Medium unterst¨ utzt wird, das durch einige wenige Konstanten beschrieben wird, wie Dichte und spez. W¨armekapazit¨at. Im detaillierteren Modell wird das Medium durch einen Satz von Funktionen beschrieben, die es erlauben kompressible und inkompressible Rohrstr¨omungen, mit ein oder mehreren Substanzen, und ein- oder mehreren (homogenen) Phasen zu modellieren. F¨ ur die Modellierung von K¨ uhlkreisl¨aufen bei elektrischen Maschinen reicht in aller Regel das einfachere Rohrstr¨omungsmodell aus. Details sind in [873] beschrieben. Das detailliertere Modell wird z.B. zur Modellierung von Verbrennungsvorg¨angen, von Kraftwerken und von Klimaanlagen benutzt. Details sind in [855, 840] zu finden. Bei beiden Rohrstr¨omungsmodellen wurden die Schnittstellen so gew¨ahlt, dass durch das Verschalten im Verbindungspunkt automatisch der Energiesatz und die Massenbilanz erf¨ ullt ist. Dies bedeutet, dass bei Verbindungspunkten die Gleichungen f¨ ur ideales Mischen“ vorliegen und Komponenten damit relativ ” beliebig verschaltet werden k¨onnen. Details sind in [840] beschrieben. Schnittstellen f¨ ur Signale Neben physikalischen Schnittstellen, werden bei Maschinenmodellen auch Schnittstellen f¨ ur Signale ben¨otigt, z.B. f¨ ur Mess- oder Referenzgr¨oßen der eingesetzten Regler. In der Modelica-Standardbibliothek werden einfache Signale mit einer Kurzform des Connectors definiert, um eine unn¨otige Variablen-Hierarchie zu vermeiden: connector RealInput = input Real; connector RealOutput = output Real;

Eine Instanz eines solchen Connectors ist dann gleichzeitig Connector und Variable. Die input, output Pr¨afixe definieren hierbei nicht die Signalrichtung, sondern legen nur fest, dass die entsprechenden Connectoren so verschaltet werden d¨ urfen, wie es in einem Blockschaltbild m¨oglich ist. Zum Beispiel d¨ urfen zwei Eingangsgr¨oßen nicht miteinander verschaltet werden. Der Grund ist, dass es auch Anwendungen gibt, bei denen die Ausgangsgr¨oßen eines Blocks vorgegeben werden, um die Eingangsgr¨oßen zu berechnen (= inverse Modelle). Bei vielen technischen Systemen werden heutzutage keine Signalleitungen mehr verwendet, sondern es werden Bussysteme eingesetzt. Ein Grund ist,

21.6 Modelica — Modellierung elektrischer Maschinen

A. Haumer, Ch. Kral

1087

dass die Zahl der zu u ¨bertragenden Signale es nicht mehr erlaubt Einzel-Signalverbindungen aufzubauen. Dies trifft dann aber auch auf Simulationsmodelle zu, da dort die Zahl der Signal-Verbindungsleitungen viel zu groß und damit un¨ ubersichtlich werden w¨ urde. In Modelica k¨onnen Busse relativ komfortabel mit dem Sprachelement expandable connector aufgebaut werden. Die Grundidee hierbei ist, dass ein hierarchisch aufgebauter Connector verwendet werden soll, in dem die gew¨ unschten Ein- und Ausgangssignale des Buses definiert sind. Wenn notwendig, k¨onnen Signallaufzeiten auf dem Bus durch Verwendung von Totzeitglieder approximativ modelliert werden. Mit dem Pr¨afix expandable wird erreicht, dass der eigentliche Connector keine Variablendefinitionen enthalten muss. Wenn eine Komponente eine Verbindung zu diesem leeren Connector mit einer connect(...) Anweisung erstellt, wird durch diese Definition eine entsprechende Variable im expandable connector definiert. Der Bus-Connector wird also implizit auf Grund der Verbindungen zum Connector aufgebaut. Zusammenfassung Es wurde eine Systematik erl¨autert, wie die Schnittstellen von Komponenten in der objektorientierten Modellierung gew¨ahlt werden sollten und es wurden konkrete Vorschl¨age f¨ ur die meisten, technisch relevanten Fachgebiete an Hand der Modelica Standardbibliothek diskutiert. Nach der Schnittstellen-Wahl k¨onnen Komponenten unabh¨angig voneinander entworfen werden, wobei die physikalischen Gesetze f¨ ur die Komponente als Funktion der Schnittstellen-Variablen anzugeben sind.

21.6

Modellierung elektrischer Maschinen mit Modelica A. Haumer, Ch. Kral

¨ In Tabelle 21.6 auf S. 1078 wurde eine kurze Ubersicht u ¨ber die Modelica Standardbibliothek gegeben. Im vorliegenden Kapitel wird die Unterbibliothek Modelica.Electrical.Machines der Modelica Standardbibliothek detaillierter erl¨autert. Diese stellt Modell-Komponenten von ungeregelten elektrischen Maschinen zur Verf¨ ugung. Weiterhin wird kurz auf die kommerzielle Modelica Bibliothek SmartElectricDrives eingegangen, die dar¨ uber hinaus geregelte elektrische Antriebsmodelle enth¨alt. 21.6.1

Ungeregelte elektrische Maschinen

In der Modelica.Electrical.Maschines Bibliothek werden die in Tabelle 21.9 aufgef¨ uhrten elektrischen Maschinen als Modelica Modelle zur Verf¨ ugung gestellt.

1088

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Tabelle 21.9: Elektrische Maschinenmodelle in der Modelica Bibliothek Machines.BasicMachines.AsynchronousInductionMachines

Asynchronmaschine mit Kurzschlussl¨aufer Asynchronmaschine mit Schleifringl¨aufer Machines.BasicMachines.SynchronousInductionMachines

Permanenterregte Synchronmaschine Elektrisch erregte Synchronmaschine Reluktanzl¨aufer Machines.BasicMachines.DCMachines

Permanenterregte Gleichstrommaschine Fremderregte oder Nebenschlussmaschine Reihenschlussmaschine

Bei den elektrischen Motormodellen werden drei unterschiedliche Schnittstellen benutzt: Die quadratischen“ Connectoren repr¨asentieren eine ” einphasige Klemme aus Modelica.Electrical.Analog (connector Pin), w¨ahrend die runden“ Connectoren einen dreiphasigen Anschluss aus ” Modelica.Electrical.MultiPhase (connector Plug) repr¨asentieren; die rautenf¨ormigen“ Connectoren werden intern f¨ ur Raumzeiger verwendet. ” Ein einfaches Beispiel ist in Abb. 21.20 zu sehen. In diesem Simulationsmodell wird eine permanenterregte Gleichstrommaschine mit einer rampenf¨ormigen Spannung angesteuert. Der Motor treibt eine Lasttr¨agheit an, zus¨atzlich wird ein sprungf¨ormiges Lastmoment aufgeschaltet. Im folgenden werden die Maschinenmodelle detaillierter beschrieben.

21.6 Modelica — Modellierung elektrischer Maschinen

A. Haumer, Ch. Kral

1089

Abb. 21.20: Einfaches Beispiel mit einer Gleichstrommaschine

Aufbau der Machines Bibliothek Die Machines Bibliothek ist in die in Tabelle 21.10 aufgef¨ uhrten Unterbibliotheken strukturiert. Die implementierten Maschinenmodelle orientieren sich weniger an physikalischen Objekten als an Modellvorstellungen der physikalischen Vorg¨ange in elektrischen Maschinen. Jedes einzelne Maschinenmodell umfasst daher die in Abb. 21.21 angegebenen Komponenten bzw. Effekte: • Ohmsche Spannungsabf¨alle an den Wicklungswiderst¨anden, welche je nach Maschinenmodell ein- oder dreiphasig implementiert sind • Induktive Spannungsabf¨alle an den Streuinduktivit¨aten, welche je nach Maschinenmodell ein- oder dreiphasig implementiert sind • Luftspaltmodell unter Ber¨ ucksichtigung – der Erzeugung des magnetischen Hauptfeldes, – der Spannungsinduktion, – der Erzeugung des elektrischen Drehmomentes • Mechanische Tr¨agheit des Rotors Alle Modelle orientieren sich an folgenden Prinzipien: Auf normierte Gr¨oßen wurde verzichtet um mehrere verschiedene Maschinenmodelle in einem komplexeren Gesamtmodell einsetzen zu k¨onnen. Weiterhin wurde die vollst¨andige Symmetrie der Wicklungen einschließlich Widerst¨ande und Streuindukitiv¨aten vorausgesetzt. Asynchronmaschinen- und Gleichstrommaschinenmodelle weisen dar¨ uber hinaus vollst¨andige magnetische Symmetrie auf. Bei den Reluktanzund Synchronmaschinenmodellen ist im Gegensatz dazu die magnetische Achsigkeit des Rotors mit ber¨ ucksichtigt. Bei Drehfeldmaschinen sind hinsichtlich der Strombel¨age, Felderregerkurven und Flussdichteverteilungen ausschließlich die

1090

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Tabelle 21.10: Unterbibliotheken der Machines-Bibliothek Package Name

Beschreibung

Examples

Enth¨ alt viele Beispiel-Modelle, welche die Anwendung der Modelle demonstrieren. Enth¨ alt die in Tabelle 21.9 aufgef¨ uhrten Maschinenmodelle Stellt Komponenten f¨ ur die oben genannten Maschinenmodelle zur Verf¨ ugung, wie Modelle f¨ ur die Wechselwirkung im Luftspalt, Kurzschlussk¨ afig, (unsymmetrische) D¨ ampferk¨ afige, und Permanentmagneterregung. Sensoren zur Bestimmung der L¨ ange eines Raumzeigers (diese ist im sinusf¨ ormig eingeschwungenen Zustand proportional zum Effektivwert) sowie zur Berechnung der elektrischen Wirk- und Blindleistung Enth¨ alt Basis-Komponenten, -Bl¨ ocke und -Funktionen um mit Raumzeigern zu arbeiten, z.B. Transformationen zwischen Zeitgr¨ oßen und Raumzeigern, kartesischen und Polarkoordinaten. Connectoren f¨ ur Raumzeiger und partielle Maschinenmodelle.

BasicMachines BasicMachines.Components

Sensors

SpacePhasors

Interfaces

r¨aumlichen Grundwellen ber¨ ucksichtigt. Die Vernachl¨assigung r¨aumlicher Oberwellen erm¨oglicht daher die Verwendung von Raumzeigern [872] f¨ ur die Modellierung der elektromagnetischen Zusammenh¨ange. Da der Raumzeigertheorie keinerlei Einschr¨ankungen hinsichtlich des zeitlichen Verlaufs der elektrischen und magnetischen Gr¨oßen unterliegt, sind zeitlich transiente Vorg¨ange des elektromagnetischen Verhaltens voll ber¨ ucksichtigt. Weiterhin werden f¨ ur die grundlegenden Maschinenmodelle vereinfachende Annahmen getroffen: • Konstante Wicklungswiderst¨ande (unabh¨angig von der Temperatur) • Konstante Induktivit¨aten (unabh¨angig vom magnetischen S¨attigungszustand) • Vernachl¨assigung von Stromverdr¨angungseffekten • Vernachl¨assigung von Eisen- und Reibungsverlusten

A. Haumer, Ch. Kral

21.6 Modelica — Modellierung elektrischer Maschinen

plug_s n

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plug_s p

plug_rp ls s igm a

rs

m=m

m=m

s pac ePhas orS

S

a irGa pS

ine rtia Rotor

flange_a

m=m

m=m

Ground1

Idea lTra...

Sta r1

plug_rn

s pacePha s orR

J=J_Rotor

lrs igm a

rr

m=m

m=m

fixe dHous ing=0

Abb. 21.21: Modell einer Asynchronmaschine mit Schleifringl¨aufer

Bei Bedarf k¨onnen die genannten Effekte durch den objektorientierten Aufbau der Maschinenmodelle relativ leicht ber¨ ucksichtigt werden. Die von den Maschinenmodellen ben¨otigten Parameter sind • Wicklungswiderst¨ande im betriebswarmen Zustand • Streuinduktivit¨aten • Hauptfeldinduktivit¨aten • Massentr¨agheitsmoment • Polpaarzahl (f¨ ur Drehfeldmaschinen)

1092

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Abb. 21.22: Simulationsmodell einer Asynchronmaschine mit Kurzschlussl¨aufer

Abb.21.23: Simulationsergebnisse des Hochlaufs einer Asynchronmaschine mit Kurzschlussl¨aufer

21.6 Modelica — Modellierung elektrischer Maschinen

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Drehfeldmaschinen7 In allen Modellen von Drehfeldmaschinen sind Wicklungswiderst¨ande und Streureaktanzen mit diskreten Komponenten modelliert. Statorwiderst¨ande (rs) und Statorstreuinduktivit¨aten (lssigma) sowie Rotorwiderst¨ande (rr) und Rotorstreuinduktivit¨aten (lrsigma) sind etwa f¨ ur das in in Abb. 21.21 dargestellte Beispiel einer Asynchronmaschine mit Schleifringl¨aufer dreiphasig implementiert. Danach erfolgt die Transformation der dreiphasigen Spannungen und Str¨ome jeweils in die beiden Komponenten der Raumzeiger − → 2 ◦ ◦ U = (Ua + ej120 Ub + ej240 Uc ) 3 → − 2 ◦ ◦ I = (Ia + ej120 Ib + ej240 Ic ) 3

(21.12) (21.13)

Zu einer vollst¨andige Transformationsbeziehung geh¨oren neben den Raumzeigerkomponenten auch die Nullkomponenten 1 (Ua + Ub + Uc ) 3 1 (Ia + Ib + Ic ) = 3

U0 =

(21.14)

I0

(21.15)

In den modellierten Drehfeldmaschinen sind die Connektoren der Nullkomponenten geerdet, was der Beziehung U0 = 0

(21.16)

entspricht. Die Transformationen (21.12)-(21.15) sind f¨ ur die Drehfeldmaschinen, wie etwa in Abb. 21.21, sowohl f¨ ur die Statorseite (spacePhasorS) als auch die Rotorseite (spacePhasorR) anzuwenden. Die Wechselwirkungen im Luftspaltmodell (airGapS bzw. airGapR) werden mit Hilfe von Raumzeigergleichungen beschrieben. Im Falle der Asynchronmaschinen ist das Luftspaltmodell im statorfesten Koordinatensystem modelliert, bei den Synchronmaschinen wird wegen der magnetischen Achsigkeit des Rotors das Luftspaltmodell bez¨ uglich des rotorfesten Koordinatensystems angewandt. Sowohl das statorfeste als auch das rotorfeste Luftspaltmodell modellieren den magnetisierend wirkenden Strom als Summe aus Stator- und Rotorstromraumzeiger, die in ein gemeinsames Koordinatensystem (stator- oder rotorfest) zu transformieren (drehen) sind. Die Flussverkettungsgleichung des Hauptflusses ergibt sich damit als Produkt aus den Hauptfeldinduktivit¨aten und dem magnetisierend wirkenden Strom. Die Hauptfeldinduktivit¨aten des statorfesten Luftspaltmodells sind symmetrisch angenommen, w¨ahrend die Hauptfeldinduktivit¨aten des rotorfesten Luftspaltmodells auf Grund einer m¨oglichen magnetischen Achsigkeit unterschiedlich sein k¨onnen. Alle Luftspaltmodelle modellieren auf Raumzeigerbasis die induzierte Spannung 7 siehe auch [38], Kap. 5: Asynchronmaschine“; Kap. 6: Synchronmaschine“ oder in diesem ” ” Buch Kap. 13: Asynchronmaschine“; Kap. 16: Synchronmaschine“. ” ”

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21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

¨ in Form der zeitlichen Anderung des Hauptflusses, der zuvor in das entsprechende Koordinatensystem (stator- oder rotorfest) zu transformieren ist. Neben den elektrischen Anschl¨ ussen weisen die Luftspaltmodelle auch je einen mechanischen Anschluss bez¨ uglich des Stators und des Rotors auf, deren elektrische Drehmomente, mit unterschiedlichem Vorzeichen, u ¨ber das Vektorprodukt des Flussverkettungsraumzeigers des Hauptflusses und des Stator- oder Rotorstromraumzeigers determiniert sind. In den Luftspaltmodellen sind als zus¨atzlicher Parameter die Polpaarzahl erforderlich, da die Raumzeigermodelle ausschließlich ur einige Maschinenmodelle ist ¨aquivalente zweipolige Maschinen modellieren. F¨ die Angabe zus¨atzliche Parameter erforderlich: ¨ Das Modell der Asynchronmaschine mit Schleifringl¨aufer ben¨otigt das Ubersetzungsverh¨altnis k zwischen Stator- und Rotorgr¨oßen; alternativ wird dieses aus der L¨auferstillstandsspannung (21.17) bestimmt: Vr,LR = kXm 

Vs,N Rs2 + Xs2

(21.17)

Bei der permanenterregten Synchronmaschine ist die magnetische Wirkung der Permanenterregung u ¨ber die Leerlaufspannung (21.18) bei Nenndrehzahl bzw. Nennfrequenz bestimmt: √

2V0 = Xm,d (fN ) Ie,equ

(21.18)

¨ Das Modell der elektrisch erregten Synchronmaschine bestimmt das Ubersetzungsverh¨altnis k zwischen Erregerstrom und (magnetisch) ¨aquivalentem Statorstrom aus der Angabe des Leerlauferregerstromes (21.19) bei Nennspannung und Nenndrehzahl bzw. Nennfrequenz: √ 2VN = kXm,d (fN ) Ie,0

(21.19)

Im Package Modelica.Electrical.Machines.Examples ist unter anderem ein Beispiel f¨ ur den Hochlauf einer Asynchronmaschine mit Kurzschlussl¨aufer gegen einen Ventilator mit quadratisch von der Drehzahl abh¨angigem Lastmoment (Abb. 21.22) enthalten. In Abb. 21.23 sind die Drehzahl und der Betrag des Statorstromraumzeigers w¨ahrend des Hochlaufes dargestellt. Gleichstrommaschinen8 Bei allen Gleichstrommaschinen-Modellen werden der ohmsche Widerstand und die Induktivit¨at der Ankerwicklung sowie der ohmsche Widerstand der Erregerwicklung als diskrete Komponenten modelliert. Die Wechselwirkung im Luftspalt wird mit folgendem Gleichungssatz beschrieben: Der Erregerstrom treibt den Hauptfluss Ψe = Le Ie (21.20)

8

siehe auch in [38] Kap. 3: GNM“; Kap. 4: Regelung GNM“. ” ”

21.6 Modelica — Modellierung elektrischer Maschinen

A. Haumer, Ch. Kral

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¨ Eine Anderung des Hauptflusses induziert in der Erregerwicklung die Spannung dΨe dt Die in der Ankerwicklung induzierte Spannung Ve,i =

Va,i = kΨe Ω

(21.21)

(21.22)

ist proportional zu Hauptfluss und mechanischer Winkelgeschwindigkeit Ω. Das elektromagnetisch entwickelte Drehmoment Me = kΨe Ia

(21.23)

¨ ist proportional zu Hauptfluss und Ankerstrom. Das Ubersetzungsverh¨ altnis k zwischen Anker- und Erregergr¨oßen wird je nach Maschinentyp aus den Nenngr¨oßen (Index N) bestimmt. Die Bestimmungsgleichungen lauten: • Fremderregte oder Nebenschlussmaschine: Va,N = Ra Ia,N + kLe Ie,N ΩN • Reihenschlussmaschine: Va,N = (Ra + Re ) Ia,N + kLe Ia,N ΩN • Permanenterregte Gleichstrommaschine: Va,N = Ra Ia,N + kΨe ΩN Dabei wird die Wirkung der Permanentmagnet-Erregung durch eine ¨aquivalente Erreger-Konstantstromquelle und eine konstante beliebig anzunehmende Induktivit¨at modelliert: Ψe = Le Ie Im Package Modelica.Electrical.Machines.Examples sind zu allen drei Gleichstrommaschinen-Typen Beispiele enthalten; an dieser Stelle soll nur jenes f¨ ur die permanenterregte Gleichstrommaschine (siehe Abb. 21.20) besprochen π −1 werden: Mit den Maschinendaten Va,N = 100 V, Ia,N = 100 A, ΩN = 1425 60 s , Ra = 50 mΩ und La = 1.5 mH ergibt sich ein Ankerspannungsabfall von 5% im Nennpunkt und damit eine mechanische Nennleistung von 9.5 kW bzw. ein Nenndrehmoment von 63.66 Nm. In der Zeit von 0.2 bis 1.0 s wird die Speisespannung der unbelasteten Maschine von 0 auf Ankernennspannung linear erh¨oht, die Maschine l¨auft hoch. Zum Zeitpunkt t = 1.5 s wird ein Lastsprung in der H¨ohe des Nenndrehmomentes an der Welle eingeleitet. Abb. 21.24 zeigt den Verlauf der Drehzahl w¨ahrend dieses Versuches. 21.6.2

Geregelte elektrische Antriebe

In diesem Kapitel9 wird die kommerzielle Modelica Bibliothek SmartElectricDrives10 zur Modellierung kompletter elektrischer Antriebssysteme u ¨bersichtsartig vorgestellt. 9 siehe auch Kap. 13.4: Regelung ASM“; Kap. 16.4 und Kap. 16.5: Regelung SM“; Kap. 15: ” ” Stromregelungsverfahren“. ” 10 www.modelica.org/libraries/SmartElectricDrives bzw. www.arsenal.ac.at/modelica/products mob antrieb modelica lib SED en.html

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21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Abb.21.24: Verlauf der Drehzahl w¨ ahrend Hochlauf und Lastsprung einer permanenterregten Gleichstrommaschine

Zu einem geregelten Antrieb geh¨oren folgende Komponenten: • Energiequelle • Konverter • Elektrische Maschine • Messwerterfassung und -aufbereitung • Regelung • Mechanische Last F¨ ur die Auslegung eines Antriebskonzepts ist es erforderlich stets die Gesamtheit all dieser Komponenten gemeinsam zu betrachten, da diese hinsichtlich ihrer Betriebseigenschaften und Bemessungspunkte aufeinander abgestimmt sein m¨ ussen. Im Package Modelica.Electrical.Analog bzw. Modelica.Electrical.MultiPhase der Modelica Standard Bibliothek gibt es bereits Modelle elektrischer Energiequellen und leistungselektronische Komponenten. Modelle elektrischer Maschinen sind im Package Modelica.Electrical.Machines enthalten. Da die f¨ ur eine Regelung erforderlichen Komponenten außerdem im Package Modelica.Blocks zur Verf¨ ugung gestellt sind und weiterhin Komponenten in Modelica.Mechanics f¨ ur die Modellierung der mechanischen Lasten existieren, m¨ochte man meinen, dass es in

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der Modelica Standard Bibliothek alle erforderlichen Komponenten g¨abe die f¨ ur die Modellierung eines vollst¨andigen Antriebes erforderlich sind. Dieser Sachverhalt ist an sich richtig, dennoch sieht sich der Anwender der einen elektrischen Antrieb modellieren und simulieren m¨ochte mit der Tatsache konfrontiert, dass ein derartiges Antriebsmodell nicht ohne detaillierte maschinenspezifische und regelungstechnische Kenntnisse erstellen werden kann. Um die Simulation elektrischer Antriebe auch Anwendern zug¨anglich zu machen die u ¨ber keine detaillierten Kenntnisse der Regelung von elektrischen Maschinen verf¨ ugen, wurde die Modelica Bibliothek SmartElectricDrives entwickelt. Diese Bibliothek verf¨ ugt einerseits u ¨ber voll transiente Antriebsmodelle, die Leistungselektronik, Regelung, Messwerterfassung und elektrische Maschinen voll integriert haben. Die Bezeichnung transiente Antriebsmodelle bedeutet in diesem Zusammenhang, dass sowohl die dynamischen Vorg¨ange in der elektrischen als auch in der mechanischen Dom¨ane voll ber¨ ucksichtigt sind. Andererseits gibt es so genannte quasistation¨are Antriebsmodelle, die nur die mechanische Dynamik voll ber¨ ucksichtigen. Die Differentialgleichungen der elektrischen und der regelungstechnischen Komponenten werden dabei durch quasistation¨are Gleichungssysteme ersetzt. Das bedeutet, dass in den quasistation¨aren Modellen anstelle der transienten Gleichungssysteme die algebraischen, komplexwertigen Gleichungssysteme der eingeschwungenen Raumzeigerrechnung implementiert sind. Neben den k¨ urzeren Simulationszeiten der quasistation¨aren Antriebsmodelle, weisen diese Modelle aus Sicht des Anwenders zus¨atzlich den Vorteil auf, dass f¨ ur ihren Betrieb keine Regler-Parameter erforderlich sind, da die eingeschwungene L¨osung der Reglerein- und ausgangsgr¨oßen explizit in den Modellen abgesetzt ist. F¨ ur manche antriebstechnische Analysen interessieren mitunter Aspekte des Energieverbrauchs und der Energiebilanzen, wobei transiente elektrische Effekte nicht von Interesse sind. In solchen F¨allen wird der Anwender auf quasistation¨are Antriebsmodelle f¨ ur seine Simulationen zur¨ uckgreifen. Die elektrischen Antriebsmodelle der SmartElectricDrives Bibliothek umfassen derzeit Asynchronmaschinen, permanenterregte Synchronmaschinen, permanenterregte Gleichstrommaschinen und elektrisch erregte Gleichstrommaschinen. F¨ ur die Drehfeldmaschinen ist die Drehmomentregelung u ¨ber eine feldorientierte Regelung realisiert, die auch einen Betrieb im Feldschw¨achbereich gestattet. Die permanenterregte Synchronmaschine verf¨ ugt dar¨ uber hinaus auch u urstenlose Gleichstrommaschine” (brushless DC). ¨ber den Betriebsmodus ,,b¨ Die elektrischen Gleichstrommaschinenantriebe verf¨ ugen u ¨ber eine kaskadierte Standardregelung, mit der elektrisch erregten Gleichstrommaschine ist dar¨ uber hinaus auch der Betrieb im Feldschw¨achbereich m¨oglich. In zuk¨ unftigen Versionen der SmartElectricDrives Bibliothek wird dar¨ uber hinausgehend auch das Verfahren Direct Torque Control (DTC) implementiert sein. F¨ ur die transienten Antriebsmodelle sind die Umrichter auf zweierlei Abstraktionsebenen implementiert, zwischen denen der Anwender w¨ahlen kann. Die erste Abstraktionsebene sind die so genannten Power-Balance-Konverter, die auf der Leistungsbilanz zwischen Eingangs- und Ausgangsklemmen basieren. Diese Ele-

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21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

mente sind in der derzeitigen Version der SmartElectricDrives Bibliothek als ideale Konverter mit 100% Wirkungsgrad implementiert. In absehbarer Zeit wird es dar¨ uber hinausgehend auch nicht schaltende Konverter geben, in denen die Leit- und Schaltverluste mit ber¨ ucksichtigt sind. Die zweite Abstraktionsebene umfasst die so genannten Switching-Konverter, also schaltende Konverter. Diese Konverter werden in einer zuk¨ unftigen Version ebenfalls die Leit- und Schaltverluste mit ber¨ ucksichtigen, welche in der derzeitigen Implementierung noch nicht eingearbeitet sind. Das bedeutet, dass die elektronischen Schalter derzeit ausschließlich durch ideale Schalter modelliert sind. Alle elektrischen Antriebsmodelle sind als drehmomentgeregelte Antriebe ausgef¨ uhrt. Sie verf¨ ugen intern u ¨ber einen Stromregler und je nach Maschinentyp auch u ¨ber einen Flussregler. Zu den internen regelungstechnischen Komponenten geh¨oren auch die Drehmomentvorgaben, die Flussmodelle der elektrischen Maschinen, die Begrenzungsbl¨ocke sowie die Entkopplungsnetzwerke wie sie im vorliegenden Buch beschrieben sind. F¨ ur die Modellierung eines drehzahl- oder positionsgeregelten Antriebs m¨ ussen der oder die entsprechenden Drehzahl- und Positionsregler mit dem Antrieb verbunden und parametriert werden. Auf diese Weise lassen sich kaskadierte Regelstrecken realisieren. F¨ ur die Parametrierung der regelungstechnischen Komponenten wird in der SmartElectricDrives Bibliothek f¨ ur alle implementierten Maschinentypen jeweils eine Parametersch¨atzerFunktion angeboten. Die Parameter werden abh¨angig vom Maschinentyp u ¨ ber Kompensationsverfahren — Symmetrisches Optimum oder Betragsoptimum — gesch¨atzt. Aus Sicht des Anwenders sind die Anforderungen an einen elektrischen Antrieb h¨aufig in Form von Leistungs- und Drehmomentverl¨aufen als Funktion der Drehzahl gegeben. F¨ ur die Auslegung und Parametrierung der elektrischen Komponenten einschließlich Leistungselektronik (Konverter), elektrischer Maschine und Energiespeicher sind u ¨ ber die mechanischen Kenntnisse hinausgehend jedoch auch elektrotechnische Kenntnisse erforderlich. In der SmartElectricDrives Bibliothek sind jedenfalls Hilfsfunktionen implementiert, die die Parameter der elektrischen Maschine auf Basis von empirischen Auslegungsdaten von Industriemaschinen gestatten. Damit sind vom Anwender keine maschinenspezifischen Kenntnisse erforderlich, um eine elektrische Maschine parametrieren zu k¨onnen. F¨ ur die zu einer elektrischen Maschine passenden Konverter und Energiequelle sind dann lediglich Grundkenntnisse der Gleich- und Wechselstromtheorie erforderlich, um die Nennpunkte der jeweiligen Komponenten aufeinander abzustimmen. Hinsichtlich der Energiespeicher verf¨ ugt die Modelica Standard Bibliothek nur u ¨ber ideale Spannungs- und Stromquellen. In der SmartElectricDrives Bibliothek sind bereits fertig zusammengeschaltete Batterie-, Supercaps-, sowie ein Brennstoffzellen-Modell verf¨ ugbar. All diese Modelle sind als Stack mit beliebiger Anzahl von Serien- und Parallelelementen parametrierbar. Die mechanischen Komponenten des elektrischen Antriebs sind nicht Bestandteil der SmartElectricDrives Bibliothek, da diese ja anwendungsspezifisch zu

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implementieren sind. Je nach Anwendungsgebiet wird der Anwender f¨ ur die Modellierung der mechanischen Last neben der Modelica Standard Bibliothek auch auf zus¨atzliche Modelica Bibliotheken zur¨ uckgreifen. Antriebs- und Buskonzept Jedes in der SmartElectricDrives Bibliothek integrierte Modell eines elektrischen Antriebs verf¨ ugt u ¨ ber zwei elektrische Klemmen, eine mechanische Welle und einen Bus-Anschluss (Abb. 21.25). Die elektrischen Anschl¨ usse stellen die positive und negative Schiene des Zwischenkreises des Antriebs dar. Im Falle eines automotiven Antriebes sind diese Anschl¨ usse direkt mit einer Batterie oder einer ¨ anderen Gleichstrom-Energiequelle zu verbinden. Uber den Bus werden dem Antrieb die Sollwerte, etwa das Sollmoment, oder im Falle einer Drehzahlregelung, die Solldrehzahl, zur Verf¨ ugung gestellt. Hinter den elektrischen Klemmen verbirgt sich derzeit ein idealer Konverter und an diesen angeschlossen, die elektrische Maschine. In zuk¨ unftigen Versionen der SmartElectricDrives Bibliothek wird man den Konvertertyp der integrierten Antriebe w¨ahlen k¨onnen, derzeit ist jeweils ein idealer Power-Balance-Konverter implementiert. ¨ Uber den Daten-Bus k¨onnen neben den Sollwerten auch noch Zustandswerte des Antriebs, etwa Spannungen und Str¨ome, oder die Drehzahl der Maschine, ausgelesen werden. Jeder Antrieb verf¨ ugt außerdem u ¨ber bestimmte Grenzwerte die zu parametrieren sind. Im Falle eines Permanentmagnet-SynchronmaschinenAntriebs sind das etwa die maximale Inverterspannung (charakterisiert den Knickpunkt f¨ ur den Beginn des Feldschw¨achbereich), der maximale Maschinenstrom (der ja geregelt wird), der maximale Inverterstrom (im realen Antrieb begrenzt durch die Kennwerte der Halbleiter), sowie die magnetfeldbildende Stromkomponente (bei Feldschw¨achung bzw. -verst¨arkung). Diese Kenngr¨oßen k¨onnen entweder als feste Zahlenwerte oder zeitvariable u ¨ber den Daten-Bus vorgegeben werden. Ob die Vorgabe intern oder extern erfolgt, muss nat¨ urlich im jeweiligen ¨ Antriebsmodell explizit angegeben werden. Uber die M¨oglichkeit verschiedene Grenzwerte sowie die magnetfeldbildende Stromkomponente der Maschine zeitvariabel vorzugeben ist man in der Lage Betriebsstrategien zu simulieren, die mit dem Gesamtprozess verkn¨ upft sind. Beispiele dazu w¨aren in einem Hybrid- oder Elektrofahrzeug etwa die Vorgabe des magnetfeldbildenden Stroms als Funktion der Drehzahl oder die Begrenzung des maximalen Maschinenstroms in Abh¨angigkeit des Ladezustands der Batterie. ¨ Uber den Daten-Bus werden gegebenenfalls auch zus¨atzlich gew¨ unschte Drehzahl- und Positionsregler angeschlossen. Durch den direkten Anschluss dieser Regler an den Bus, sind diese Regler automatisch kaskadiert verschaltet und k¨onnen auf diese Weise auch schrittweise in Betrieb genommen werden. Struktur der Bibliothek SmartElectricDrives Der Aufbau der SmartElectricDrives Bibliothek hinsichtlich ihrer Packages auf oberster Hierachieebene ist in Abb. 21.26 dargestellt. Neben einem

1100

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Abb. 21.25: Einfaches Beispiel einer Wasserpumpe mit der SmartElectricDrives Bibliothek

uhrungsbeiUser’s Guide und einer umfangreichen Sammlung von Einf¨ spielen (Examples) wird auf oberster Hierachieebene zwischen quasistation¨aren (QuasiStationaryDrives) und transienten Antriebsmodellen (TransientDrives) unterschieden. Weitere Packages beinhalten die KonverterModelle (Converters), die elektrische Energiespeicher (Sources), die Prozessregler (ProcessControllers), die elektrische Lasten (Loads), die Sensoren (Sensors), die Interfaces, sowie Hilfskomponenten (AuxiliaryComponents) und Icons. Quasistation¨ are Antriebe Das Package QuasiStationaryDrives enth¨alt vier integrierte Antriebsmodelle, namentlich • Asynchronmaschine, • Permanenterregte Synchronmaschine, • Permanenterregte Gleichstrommaschine, • Elektrisch erregte Gleichstrommaschine. Die quasistation¨aren Maschinemodelle ben¨otigen keine Reglereinstellungen, da nur elektrisch eingeschwungene Zust¨ande direkt in Form von algebraischen Glei-

21.6 Modelica — Modellierung elektrischer Maschinen

A. Haumer, Ch. Kral

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Abb. 21.26: Struktur der SmartElectricDrives Bibliothek

chungen implementiert sind. Die einzige Dynamik ist u ¨ber den Drallsatz hinsichtlich der Massentr¨agheit des Rotors der Maschine gegeben. Quasistation¨are und transiente Antriebsmodelle sind klemmenkompatibel und k¨onnen je nach untersuchtem Fall ausgetauscht werden. Transiente Antriebe Das Package TransientDrives enth¨alt vier Unter-Packages entsprechend den vier implementierten Maschinentypen • Asynchronmaschine, • Permanenterregte Synchronmaschine, • Permanenterregte Gleichstrommaschine, • Elektrisch erregte Gleichstrommaschine. Jedes dieser Unter-Packages enth¨alt neben einem integrierten Antriebsmodell auch alle f¨ ur die jeweils implementierten Regelungskonzepte (feldorientierte Regelung, etc.) erforderlichen Komponenten. Diese Komponenten umfassen die Maschinenmodelle f¨ ur die Modellierung des magnetischen Flusses, die Sensoren f¨ ur Messung der Spannungen, Str¨ome und der jeweiligen Drehzahl (bzw. des Verdrehwinkels der Welle) des Antriebes, sowie maschinenspezifische Interfaces und Regelungsstrukturen. Die f¨ ur die jeweilige Regelung relevanten Mess- und Modellierungsdaten werden auf einen internen Bus gelegt, so dass diese Gr¨oßen allen regelungstechnischen Modellen zur Verf¨ ugung gestellt werden k¨onnen. In einem Bus-Interface werden aus den internen Zustandsgr¨oßen charakteristische

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21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Kennwerte f¨ ur den externen Bus aufbereitet. Das Bus-Interface dient somit — ebenfalls wie in einem realen System — als Schnittstelle zwischen den internen und externen Zustandsgr¨oßen. Konverter 11 Das Converters Package ist in Power-Balance- (Leistungsbilanz) und IdealSwitching-Konverter (ideal schaltende Konverter) unterteilt, welche wiederum in die Gruppen DC/DC, DC/AC und AC/DC gegliedert sind. Bez¨ uglich der Wechselspannungs-Seite (AC) stehen die Konverter sowohl einphasig als auch dreiphasig zur Verf¨ ugung. Die auf der Leistungsbilanz beruhenden Konverter sind f¨ ur schnelle Simulationsl¨aufe geeignet, bei denen die Auswirkungen der Schalteffekte nicht relevant sind. Die Sollspannungsvorgabe dieser Konverter erfolgt jeweils u ¨ber einen Signaleingang, ein zus¨atzlicher Signalausgang liefert die gemessene Spannung der Eingangsseite des Konverters. Die schaltenden Konverter haben als Eing¨ange jeweils die Schaltzust¨ande der idealen Schalter, ein zus¨atzlicher Signalausgang liefert wiederum die gemessene Spannung der Eingangsseite des Konverters. F¨ ur die Umsetzung einer gew¨ unschten Ausgangsspannung auf die erforderlichen Schaltzust¨ande des ideal schaltenden Konverters sind Modelle f¨ ur die Z¨ undwinkelvorgabe (bei Thyristor-Gleichrichtern) und die PulsweitenModulationen (PWM) vorhanden. Elektrische Energiequellen Die elektrischen Energiequellen des Sources Package umfassen ein ideales und idealisiertes Batteriemodell, ein Supercaps- und ein Brennstoffzellen-Modell (Proton Exchange Membrane, PEM). Die Batterie- und Supercaps-Modelle sind mit Innenwiderstand modelliert. Bei den Batteriemodellen wird zwischen den Modellvarianten Ideal und Idealized unterschieden. Das Modell Ideal hat eine konstante innere Spannung, w¨ahrend die innere Spannung des Modells Idealized vom aktuellen Ladezustand (state of charge, SOC) abh¨angig ist. F¨ ur das letztgenannte Modell l¨asst sich außerdem ein Energiewirkungsgrad f¨ ur einen bestimmten Belastungsstrom angeben, so dass reale Batterien von denen die zugeh¨origen Messdaten bekannt sind, modelliert werden k¨onnen. Das PEM Brennstoffzellenmodell die u ¨ber geometrische und physikalische Membran-Kennwerte parametriert wird und bildet auch das dynamische Verhalten der Brennstoffzelle ab. Die Gesamtheit der elektrischen Energiequellen die in der SmartElectricDrives Bibliothek implementiert sind, eignen sich daher vorrangig f¨ ur Simulationsmodelle im Fahrzeugbereich. 11 siehe auch [38] Kap. 4.1: Gleichstromsteller“; Kap. 4.2: Netzgef¨ uhrte Stellglieder“; in ” ” diesem Buch Kap. 7 und Kap. 6-12: Regelungen GNM“; Kap. 15: Stromregelungen Dreh” ” feldmaschinen“.

21.6 Modelica — Modellierung elektrischer Maschinen

A. Haumer, Ch. Kral

1103

Prozessregler Das Package ProcessControllers enth¨alt Drehzahl- und Positionsregler, die unabh¨angig vom Maschinentyp anwendbar sind. Auf generischer Ebene stehen in weiterer Folge auch Anti-Windup-Regler zur Verf¨ ugung. Elektrische Lasten Im Package Loads sind elektrische Gleichstromlasten modelliert. Diese elektrischen Lasten sind einerseits Konstant-Leistungssenken (bzw. -quellen) und andererseits Modell f¨ ur die Ber¨ ucksichtigung von elektrischen Wirkungsgraden von beispielsweise Konvertern. Sensoren, Schnittstellen, Hilfskomponenten Sensoren f¨ ur spezifische Kenngr¨oßen (Effektivwert, arithmetischer Mittelwert, Wirkungsgrad) befinden sich im Package Sensors. Alle mit dem externen Bus assoziierten Modelle befinden sich im Interfaces Package. F¨ ur jedes Signal das auf einen externen oder internen Bus gelegt oder vom Bus abgeholt wird gibt es ein eigenes Interface-Modell. Der Bus in der SmartElectricDrives Bibliothek ist als expandable connector implementiert. Mit diesem flexiblen Konzept k¨onnen zus¨atzliche Gr¨oßen ohne Ver¨anderung der Bus-Deklarationen auf den Bus gelegt werden. Die Hilfskomponenten des Packages AuxiliaryComponents beinhalten unter anderem Transformationsbeziehungen f¨ ur die Raumzeigerrechnung, sowie Funktionen f¨ ur die Sch¨atzung der Reglerparameter und der Parameter der elektrischen Maschinen. Beispiel eines Industrieantriebs Ein mit der SmartElectricDrives Bibliothek modelliertes Beispiel eines Asynchronmaschinen-Industrieantriebs ist in Abb. 21.27 dargestellt. Der Industrieantrieb ist u ¨ber ein in Stern (star) geschaltetes Drehspannungssystem (sineVoltage) versorgt. Die dreiphasigen Netzimpedanzen werden u ¨ ber eine Serienschaltung aus je einem ohmschen Widerstand (lineResistor) und einer Induktivit¨at (lineInductor) modelliert. Die Spannungsversorgung (grid) ist aus Komponenten der Modelica.Electrical.Multiphase aufgebaut. Der Gleichstrom-Zwischenkreis ist mit der Ausgangsseite eines Diodengleichrichters (diodeBridge), den Zwischenkreiskondensatoren (buffer) und der Eingangsseite des schaltenden Wechselrichters (threePhase) verbunden. Die dreiphasige Ausgangsseite des Wechselrichters ist mit der Messeinrichtung (mBox) und schließlich mit der Asynchronmaschine (aimc) verbunden. Die gemessene Spannung des Zwischenstromkreises wird u ¨ ber ein Adapterelement (vDC) auf den internen Bus gelegt. Weiters werden die gemessenen Spannungen und Str¨ome, wie auch der mechanische Verdrehwinkel und die Winkelgeschwindigkeit der Welle auf den internen Bus gelegt. Aus den Messgr¨oßen der elektrischen Maschine berechnet ein Strommodell (currentModel) den magnetischen

1104

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Abb. 21.27: Beispiel eines geregelten Asynchronmaschinen-Industrieantriebs

Flussraumzeiger nach Betrag und Phase, welcher ebenfalls auf den Bus gelegt wird. Die feldorientierte Regelung (foc) kann nun aus den gemessenen und modellierten Gr¨oßen die Referenzspannungen f¨ ur den Wechselrichter bestimmen, aus denen u ¨ber eine Pulsweitenmodulation (pwmSymmetric) die Schaltzust¨ande des Wechselrichters berechnet werden. Weiterhin verf¨ ugt der Antrieb u ¨ber einen Drehzahlregler der mit dem externen Bus verbunden ist. Der interne und der externe Bus sind u ¨ ber eine Schnittstelle (interface) gekoppelt. Die Gesamtheit der beschriebenen Komponenten bestehend aus Gleichrichter, GleichstromZwischenkreis, Wechselrichter, Messwerterfassung, Flussmodellierung, Regelung und Ansteuerung wird als Inverter (inverter) bezeichnet. Die Komponenten selbst sind der SmartElectricDrives Bibliothek entnommen. Die Welle der Asynchronmaschine ist u ¨ber ein Massentr¨agheitsmoment (inertia) mit dem Lastmoment verbunden, das in diesem Beispiel eine quadratische Drehzahlabh¨angigkeit des Lastmoments (fan) ber¨ ucksichtigt (load).

21.7 Transformationsalgorithmen

1105

Die Drehzahlreferenz wird u ¨ber einen tabellarisch vorgegebenen Kurvenverlauf (speedRef) und einen Adaptor (wRef) ebenfalls auf den externen Bus gelegt. Der Drehzahl- und Drehmomentenverlauf wie auch der Verlauf des (mittleren Effektivwerts des) Maschinenstroms (interface.controlBus.iMachine) sind in Abb. 21.28 dargestellt. Der Sollwert der Drehzahl (aimc.controlBus.wRef) der Maschine weist einen rampenf¨ormigen Verlauf auf. Der Istwert des Drehzahlverlaufs (aimc.w mechanical) weicht vom Sollwert nach etwas mehr als 3 s ab. Da das Lastmoment des Antriebs quadratisch proportional zur aktuellen Drehzahl ist, und in der Regelung ab dem genannten Zeitpunkt die Strombegrenzung wirksam ist, wird das Drehmoment (aimc.tau electrical) der Maschine ebenfalls begrenzt. F¨ ur die Beschleunigung des Antriebs gem¨aß dem gegebenen Drehzahlsollwert w¨are aber ein h¨oheres elektrisches Drehmoment erforderlich, was die Abweichung von Ist- und Sollwert der Drehzahl begr¨ undet.

21.7

Transformationsalgorithmen

In Kapitel 21.2-21.5 wurden die Grundlagen der objektorientierten Modellierung physikalischer Systeme skizziert und an einfachen Systemen dargestellt, wie diese Technik praktisch eingesetzt werden kann. Jetzt werden die wesentlichen Algorithmen skizziert, mit denen ein objektorientiertes Modell in eine effizient auswertbare Form, wie die Zustandsform, automatisch transformiert werden kann. 21.7.1

Regul¨ are Deskriptorsysteme

Im ersten Schritt der Transformation wird ein Objektdiagramm, bzw. das in einer Modellierungssprache wie Modelica beschriebene System, in eine Deskriptorform bzw. in ein differential-algebraisches Gleichungssystem (abgek¨ urzt DAE) nach Gl. (21.10) umgewandelt. Hierzu werden die lokalen Gleichungen aller Komponenten, sowie die Gleichungen aller Verbindungen zu einem gemeinsamen Gleichungssystem zusammengefasst. Dies wurde in Kapitel 21.3 an einem einfachen Beispiel gezeigt. Die auftretenden Variablen werden folgendermaßen katalogisiert und zu Vektoren zusammengefasst: p u(t) x(t) y(t)

Variablentyp Parameter Eingang Zustand Algebraisch

Modelica-Deklaration Als parameter deklariert. Auf oberster Modellebene als input deklariert. Tritt differenziert auf. Alle anderen Variablen

Damit wird das Gesamtmodell in die DAE ˙ x, y, u, p, t), 0 = f (x,



∂f .. ∂f J= . ∂ x˙ ∂y

 regul¨ar

(21.24)

1106

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Abb. 21.28: Simulationsergebnis zu einem Asynchronmaschinen-Industrieabtrieb

u uhrt, wobei vorerst die Annahme getroffen wird, dass die Jacobi-Matrix J ¨berf¨ regul¨ar ist. Auf Grund des Satzes u ¨ber implizite Funktionen ist dies eine notwendige und hinreichende Bedingung um die DAE (21.24) durch rein algebraische Umformungen, ohne Differentiation oder Integration, zumindest numerisch in die Zustandsdarstellung x˙ = f (x, u, p, t) y = g (x, u, p, t)

(21.25a) (21.25b)

21.7 Transformationsalgorithmen

1107

transformieren zu k¨onnen. Dies k¨onnte z.B. mit einem Newton-Verfahren durchgef¨ uhrt werden: Hierbei wird die nichtlineare Gleichung (21.24) um den L¨osungspunkt des letzten Iterationsschrittes i in eine Taylorreihe entwickelt, die nach dem linearen Term abgebrochen wird:     ∂f .. ∂f dx˙ 0 = f (x˙ (i) , x, y(i) , u, p, t) + + ... . ∂ x˙ ∂y (i) dy Nach Approximation der Differentiale durch Differenzen, dx˙ = x˙ (i+1) − x˙ (i) , dy = y(i+1) − y(i) kann nach dem n¨achsten Iterationsschritt i + 1 aufgel¨ost werden, indem ein lineares Gleichungssystem gel¨ost wird:  (i+1)  −1  (i)   ∂f .. ∂f x˙ x˙ . = − f (x˙ (i) , x, y(i) , u, p, t) (21.26) y(i+1) y(i) ∂ x˙ ∂y (i) Mit anderen Worten: Ausgehend von einer N¨aherungsl¨osung der Unbekannten k¨onnen diese durch sukzessives L¨osen von linearen Gleichungssystemen immer besser approximiert werden, d.h. die DAE (21.24) wird an der Stelle x, u, p, t numerisch in die Zustandsform (21.25) transformiert. Eine eindeutige L¨osung der linearen Gleichungssysteme existiert nur dann, wenn die Jacobimatrix J in der Umgebung des L¨osungspunktes regul¨ar ist, so dass auch nur dann in die Zustandsform transformiert werden kann. Wie Systeme behandelt werden, bei denen die Jacobi-Matrix singul¨ar ist, wird in den Kapiteln 21.7.2 und 21.8 erl¨autert. Sowohl eine direkte numerische L¨osung der DAE (21.24), die ja einfach alle Gleichungen des objektorientierten Modells in einer unstrukturierten Form enth¨alt, als auch die in (21.26) skizzierte numerische Transformation in die Zustandsdarstellung mit einer nachfolgenden numerischen L¨osung der Zustandsform (21.25), ist in der Regel uneffizient. Aus diesem Grunde wird die DAE in einem ersten Schritt in die folgende sortierte DAE umgewandelt: ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ 0 f r (..) ⎣ x˙ e ⎦ = f s (x˙ i , xi , xe , yi , u, p, t) = ⎣ f x (..) ⎦ (21.27) f y (..) ye D.h. die DAE soll in einen implizit und in einen explizit l¨osbaren Teil umgeformt werden. Hierbei werden die Vektoren x und y entsprechend dieser Aufspaltung in einen impliziten (Index = i) und in einen expliziten (Index = e) Teilvektor aufgespalten.     xi yi x = , y = (21.28) xe ye F¨ ur eine numerische L¨osung von (21.27) mit Standard-Integrationsverfahren k¨onnen nun alle explizit aufl¨osbaren algebraischen Variablen ye vor dem Integrator versteckt“ werden, da diese Variablen aus den anderen Variablen explizit ” berechnet werden. Aus Sicht des Integrators hat sich damit die Systemordnung erniedrigt. Bei der objektorientierten Modellierung gibt es viele algebraische Variablen, da z.B. in der Regel alle Schnittstellen-Variablen rein algebraisch sind, so dass die Ordnungsreduktion oft betr¨achtlich ist.

1108

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Die sortierte DAE (21.27) kann auch mit einem Integrator f¨ ur Zustandssysteme (21.25a), z.B. einem Runge-Kutta Verfahren, gel¨ost werden. Dann muss eine Funktion zur Verf¨ ugung gestellt werden, mit der die Ableitung des Zustands˙ bei gegebenem Zustand x, berechnet wird. Hierzu werden die imvektors x, pliziten Variablen x˙ i , yi durch numerisches L¨osen von 0 = f r (..) bestimmt. Mit x˙ e = f x (..) werden dann die restlichen Zustandsableitungen berechnet. Wenn das implizite Teilsystem linear in den Unbekannten ist, muss nur ein lineares Gleichungssystem gel¨ost werden. Dies ist unproblematisch. Das Modell kann dann auch f¨ ur Echtzeit-Simulationen eingesetzt werden, da die Rechenzeit f¨ ur einen Funktionsaufruf immer gleich ist und z.B. ein Euler-Verfahren zur L¨osung verwendet werden kann. Die DAE (21.24) wird mittels einer symbolischen Transformation in die sortierte DAE (21.27) umgeformt. Ist der implizite Teil in (21.27) immer noch groß“ (z.B. dim(f r ) > 100) sollten auf jeden Fall zur weiteren L¨osung nu” merische Sparse-Matrix“-Verfahren eingesetzt werden. Ein Standardwerk f¨ ur ” unstrukturierte nicht-iterative Verfahren ist [845]. Sparse-Matrix-L¨oser gibt es z.B. in der Harwell-Bibliothek (lizenziert; http://www.dci.clrc.ac.uk/Activity.HSL) oder in der Mesach-Bibliothek (public domain; ftp://ftpmaths.anu.edu.au/pub/meschach/). Aus Effizienzgr¨ unden wird hier die Jacobi-Matrix der sortierten DAE ben¨otigt. Diese kann relativ einfach durch automatische Differentiation aus (21.27) ermittelt werden. ¨ Die vorstehenden Uberlegungen k¨onnen folgendermaßen zusammengefasst werden: Ein Objektdiagramm wird in ein nichtlineares Gleichungssystem der Form   x˙ 0 = f z (z, x, u, p, t), mit z = (21.29) y ¨uberf¨uhrt. Ziel ist es, dieses Gleichungssystem durch algebraische, symbolische Umformungen m¨oglichst explizit nach den Unbekannten z aufzul¨osen. BLT-Transformation Der wichtigste Algorithmus zur L¨osung dieser Aufgabenstellung ist die BlockLower-Triangular Transformation (abgek¨ urzt: BLT-Transformation). Hier wird durch Permutation der Gleichungen und Permutation der Unbekannten versucht, Gl. (21.29) in eine rekursiv auf l¨osbare Form zu transformieren, siehe z.B. [848, 845, 878]. Die Grundidee wird an einem Beispiel mit f¨ unf Gleichungen erl¨autert: f1 (z3 , z4 ) f2 (z2 ) f3 (z2 , z3 , z5 ) f4 (z1 , z2 ) f5 (z1 , z3 , z5 )

= = = = =

0 0 0 0 0

⎡ z1 0 ⎢ 0 ⎢ S1 = ⎢ ⎢ 0 ⎣ 1 1

z2 0 1 1 1 0

z3 1 0 1 0 1

z4 1 0 0 0 0

z5 ⎤ 0 0 ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ 0 ⎦ 1

21.7 Transformationsalgorithmen

1109

Die Gleichungsstruktur wird durch die Inzidenzmatrix S1 wiedergegeben die anzeigt, ob die k-te Variable (= k-te Spalte) in der i-ten Gleichung (= i-te Zeile) auftritt oder nicht. Durch Permutation der Gleichungen und Variablen, bzw. durch Permutation von Zeilen und Spalten von S1 , kann dieses Gleichungssystem auf BLT-Form transformiert werden: f2 (z2 ) f4 (z1 , z2 ) f3 (z2 , z3 , z5 ) f5 (z1 , z3 , z5 ) f1 (z3 , z4 )

= = = = =

0 0 0 0 0

⎡ z2 1 ⎢ 1 ⎢ S2 = ⎢ ⎢ 1 ⎣ 0 0

z1 0 1 0 1 0

z3 0 0 1 1 1

z5 0 0 1 1 0

z4 ⎤ 0 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎦ 1

Auf Grund der unteren Block-Dreiecksform von S2 k¨onnen die Funktionen rekursiv nach den unterstrichenen Variablen gel¨ost werden, die den Diagonalelementen von S2 entsprechen. Damit wird zuerst z2 aus f2 und f4 aus z1 berechnet. f3 , f5 m¨ ussen simultan nach z3 , z5 aufgel¨ost werden. Schließlich wird z4 aus f1 berechnet. Wenn die aufzul¨osenden Variablen linear in den jeweiligen Gleichungen auftreten (z.B. z1 linear in f4 ), k¨onnen diese Gleichungen explizit gel¨ost werden, so dass f3 , f5 den impliziten und f2 , f4 , f1 den expliziten Teil von (21.27) bilden. Block-Dreiecksformen mit minimalen Dimensionen der Diagonalbl¨ocke werden als BLT-Form bezeichnet. D.h. es ist nicht m¨oglich durch Permutationen von Variablen und Gleichungen auf algebraische Gleichungssysteme geringerer Dimension zu transformieren. Die BLT-Form kann mit einem kompakten, effizienten Algorithmus der Ordnung O(nm) berechnet werden, wobei n die Zahl der Gleichungen und m die Zahl der Einsen“ der Inzidenzmatrix ist. In vielen prak” tischen F¨allen ist der Algorithmus O(n), d.h. linear in der Zahl der Gleichungen, und kann auf einem PC in wenigen Sekunden Systeme mit n = 10000...100000 transformieren. Die Transformation auf BLT-Form erfolgt in zwei Schritten: Zuerst wird ermittelt, nach welcher Variable eine Gleichung aufgel¨ost werden muss (z.B. f1 nach z4 im obigen Beispiel). Dies kann als Zuordnungsproblem angesehen werden, das z.B. sehr kompakt mit dem in [893] angegebenen rekursiven Algorithmus gel¨ost werden kann. Nachdem jeder Gleichung eine eindeutige Variable zugeordnet ist, kann das Gleichungssystem als gerichteter Graph dargestellt werden. Die Schleifen in diesem Graphen entsprechen den algebraischen Gleichungssystemen minimaler Dimension, bzw. den Diagonalbl¨ocken der BLT-Form. Diese Schleifen werden mit dem Algorithmus von Tarjan [899] bestimmt, der wiederum kompakt als rekursiver Algorithmus angegeben werden kann. Nachdem die Schleifen identifiziert sind, liegt ein azyklischer Graphen vor (mit den Schleifen als Su” perknoten“), der rekursiv ausgewertet werden kann. Damit ist die AuswertungsReihenfolge der Gleichungen festgelegt und die BLT-Form bestimmt. Da bei der Transformation auf BLT-Form nur Gleichungen und Variablen permutiert werden, wird der Rang des Gleichungssystems nicht ver¨andert, so dass diese Transformation immer zul¨assig ist.

1110

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Tearing Durch die Transformation auf BLT-Form werden die algebraischen Schleifen minimaler Dimension effizient ermittelt. F¨ ur viele physikalische Systeme sind diese Schleifen jedoch immer noch unn¨otig groß. Die Dimension der Schleifen kann durch intelligente Variablen-Substitution weiter verringert werden. Diese Verfahrensart ist unter unterschiedlichen Namen in vielen Fachgebieten bekannt und wurde wohl zum ersten Mal von Kron [876] dargestellt. Das Verfahren wird hier als Tearing bezeichnet. Es gibt viele Varianten. Die einfache Grundidee wird an einem Beispiel erl¨autert: z1 = f1 (z5 ) z2 = f2 (z1 ) z3 = f3 (z1 , z2 ) z4 = f4 (z2 , z3 ) z5 = f5 (z4 , z1 ) Dieses Gleichungssystem kann durch Sortierung nicht auf ein Gleichungssystem niederer Ordnung transformiert werden. Durch Substitution der Variablen z1 , z2 , z3 , z4 in die letzte Gleichung kann jedoch einfach auf die Ordnung Eins reduziert werden: z5 z1 z2 z3 z4

= := := := :=

f5 (f4 (f2 (f1 (z5 )), f3 (. . .)), f1 (z5 )) f1 (z5 ) f2 (z1 ) f3 (z1 , z2 ) f4 (z2 , z3 )

Die Variable z5 wird aus der ersten Gleichung bestimmt und danach die restlichen Variablen durch eine einfache Vorw¨artsrekursion. Diese direkte Vorgehensweise hat den entscheidenden Nachteil, dass z.B. die Funktionen f1 5-Mal und f2 3-Mal ausgewertet werden. Das Tearing Verfahren f¨ uhrt zu einer effizienteren L¨osung, indem die Residuen-Gleichung 0 = f¯5 (z5 ) rekursiv berechnet wird (man beachte, dass z5 Eingangsargument der Funktion f¯5 ist, und damit eine bekannte Gr¨oße): input : z5 output: f¯5 z1 z2 z3 z4 f¯5

:= := := := :=

f1 (z5 ) f2 (z1 ) f3 (z1 , z2 ) f4 (z2 , z3 ) f5 (z4 , z1 ) − z5

Auf diese Weise wird das Gleichungssystem auch auf die Dimension Eins reduziert, jedoch wird jede Funktion fi nur einmal berechnet. Wenn f¯5 linear von z5 abh¨angt, kann problemlos auf ein lineares System der Ordnung eins transformiert und dann gel¨ost werden.

21.7 Transformationsalgorithmen

1111

Die Schwierigkeit beim Tearing-Verfahren besteht darin, die ResiduenGleichungen (hier: f5 ) und die Tearing-Variablen (hier: z5 ) durch einen Algorithmus so zu bestimmen, dass die Dimension des Zielsystems m¨oglichst klein wird. In [839] wird gezeigt, dass diese Aufgabe zu einem nicht-polynomialen Algorithmus f¨ uhrt, im wesentlichen also nur durch Ausprobieren aller Varianten ermittelt werden kann. Dies ist auf Grund der exponentiell anwachsenden Zahl von M¨oglichkeiten nicht praktikabel. Deswegen gibt es nur heuristische Vefahren. Die u ur die objektori¨ blichen Tearing-Algorithmen, siehe z.B. [845, 878], sind f¨ entierte Modellierung nicht geeignet, da zur Sicherstellung der Regularit¨at der Transformation eine Pivotisierung durchgef¨ uhrt werden muss, die nur eine rein numerische Auswertung erlaubt. Hierf¨ ur sind jedoch in der Regel die direkten Sparse-Matrix-Verfahren basierend auf einer LU-Zerlegung besser geeignet. In [854] wurde zum ersten Mal gezeigt, wie das Tearing-Verfahren in der objektorientierten Modellierung f¨ ur eine symbolische Transformation eingesetzt werden kann. In [839] wird die Eigenschaft ausgenutzt, dass in der objektorientierten Modellierung die Details der Gleichungen bekannt sind. Insbesondere kann durch eine geeignete Kandidatenauswahl garantiert werden, dass die Transformation regul¨ar ist, wenn z.B. nur solche Variablen substituiert werden, die linear in einer Gleichung auftreten, wobei der Vorfaktor eine nicht-verschwindende Konstante ist (z.B. trifft diese Eigenschaft im obigen Beispiel auf zi in der i-ten Gleichung zu). Dies hat den entscheidenden Vorteil, dass die Transformation im voraus erfolgen kann und der Suchprozess zum Auffinden von Tearing-Variablen und Residuen-Gleichungen nicht in jedem Integrationsschritt wiederholt werden muss. F¨ ur Dymola [846], Version 3.1, wurde von H. Elmqvist und M. Otter ein wesentlich verbessertes Tearing-Verfahren basierend auf dieser Grundidee entwickelt, das in vielen F¨allen auf die Minimalform reduziert wobei durch die Transformation aber der Rang des Systems nicht ge¨andert wird. Zusammenfassung Ein Objektdiagramm kann sehr einfach in eine DAE u uhrt werden. Die¨berf¨ se kann durch BLT-Transformation und Tearing in eine sortierte DAE transformiert werden, in der m¨oglichst viele Zustandsableitungen und algebraische Variablen explizit berechenbar sind. Die sortierte DAE kann dann mit StandardIntegrationsverfahren, eventuell unter Verwendung von numerischen SparseMatrix-Methoden, gel¨ost werden. Es zeigt sich, dass die symbolischen Transformationsalgorithmen eine DAE f¨ ur viele Systeme in eine effizient auswertbare Form u uhren, die kaum verbessert ¨berf¨ werden kann, z.B. f¨ ur Blockdiagramme, Antriebsstr¨ange, elektrische Schaltkreise. Spezielle Strukturen, wie Symmetrie oder positive Definitheit, die bei der Gleichungserstellung ausgenutzt werden k¨onnten, werden jedoch nicht erkannt. So werden drei-dimensionale mechanische Systeme zwar in der Regel auf die ˙ transformiert, mit q die Minimalkobekannte Standardform M(q)¨ q = f(q, q) ordinaten des Systems. Jedoch wird nicht erkannt, dass die Massenmatrix M symmetrisch ist.

1112

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

21.7.2

Singul¨ are Deskriptorsysteme

Die im vorigen Kapitel erl¨auterten Transformationen sind nur unter der Voraussetzung m¨oglich, dass die Jacobi-Matrix von (21.24) bez¨ uglich der Ableitungen ˙ der Zustandsgr¨oßen x(t) und den algebraischen Variablen y(t) regul¨ar ist. Diese Voraussetzung wird jetzt fallengelassen, und es werden DAEs12 ˙ x, y, t) 0 = f (x, untersucht, bei denen die Jacobi-Matrix   ∂f .. ∂f . singul¨ar ∂ x˙ ∂y

(21.30)

(21.31)

ist. Im folgenden werden solche DAEs als singul¨are Deskriptorsysteme bezeichnet. Eine singul¨are Jacobi-Matrix (21.31) bedeutet anschaulich, dass die Variablen x voneinander abh¨angig sind13 . Damit kann eine singul¨are DAE zwar nicht in die Zustandsform (21.9) — mit x als Zustandsvektor — transformiert werden, jedoch ist eine Transformation in die Zustandsform (21.32) ⎡ s ⎤  s  x˙ ⎣ xd ⎦ = f2 (xs , t) mit x = P xd (21.32) x y (zumindest lokal numerisch) m¨oglich, wobei der Zustandsvektor xs aus den Elementen des unabh¨angigen“ Teils von x besteht, xd die restlichen Elemente von ” x enth¨alt, und P die zugeordnete Permutationsmatrix ist, um die Elemente von x umzuordnen. Der Vektor xd wird im folgenden als Dummy-Zustandsvektor bezeichnet. Man beachte, dass x˙ d in (21.32) nicht mehr auftritt, sondern eliminiert wurde. Im allgemeinen k¨onnen Zust¨ande xs nur f¨ ur einen bestimmten Zeitbereich verwendet werden, so dass w¨ahrend einer Simulation eventuell zwischen unterschiedlichen Zustandsvektoren zu schalten ist. In Bild 21.29 sind Beispiele f¨ ur singul¨are Systeme angegeben, wobei angenommen wird, dass jede Komponente durch ein lokales Objekt beschrieben wird. Im linken unteren Teil von Abb. 21.29 gibt es einen elektrischen Schaltkreis, bei dem zwei Kapazit¨aten parallel geschaltet sind. Jede Kapazit¨at besitzt den Spannungsabfall u ¨ber die beiden Klemmen als (lokale) Zustandsgr¨oße. Da die anderen Elemente keine Zust¨ande besitzen, sollte auf eine Zustandsform mit zwei Zust¨anden transformiert werden k¨onnen. Auf Grund der Parallelschaltung sind die Spannungsabf¨alle der beiden Kapazit¨aten jedoch gleich, so dass der Schaltkreis in Wirklichkeit nur einen Zustand besitzt. 12 ¨ Die zus¨atzlichen Argumente in (21.24), d.h. u(t), p=const, werden aus Gr¨ unden der Ubersichtlichkeit im weiteren nicht mehr aufgef¨ uhrt. 13 Bei singul¨ aren DAEs k¨ onnen auch die algebraischen Variablen y untereinander, sowie von x, abh¨angig sein, d.h. es gibt redundante oder sich widersprechende Gleichungen. Dann besitzt ein Anfangswertproblem der DAE aber keine eindeutige L¨ osung mehr, so dass dieser Sonderfall nicht weiter betrachtet wird.

21.7 Transformationsalgorithmen

4 Zustände (nicht 5)

2 Zustände (nicht 4) 2

2 z

z

1113

2

2

1 z

z

z

z

0 1

1

1 Zustand (nicht 2)

6

2 Zustände (nicht 6)

Abb. 21.29: Beispiele f¨ ur singul¨ are Deskriptorsysteme

Im oberen Teil von Abb. 21.29 gibt es zwei Antriebsstr¨ange, wobei im linken Teil die beiden tr¨agheitsbehafteten Wellen durch ein ideales Getriebe und im rechten Teil durch einen einfachen D¨ampfer verbunden sind. Jede Welle hat mit dem Drehwinkel und der Winkelgeschwindigkeit zwei Zust¨ande. Der D¨ampfer besitzt die Relativdrehzahl als Zustand (siehe auch Tabelle 21.11 auf Seite 1116). Demnach sollte der linke Antriebsstrang vier und der rechte f¨ unf Zust¨ande besitzen. Auf Grund der Verschaltungsart besitzt der linke Antriebsstrang jedoch nur zwei und der rechte nur vier Zust¨ande. Schließlich wird im unteren rechten Teil von Abb. 21.29 ein Einfachpendel gezeigt. Wird das Pendel durch ein ebenes Starrk¨orpermodell beschrieben, hat die Pendelstange sechs Zust¨ande (zwei Translationen und eine Rotation je auf Positions- und Geschwindigkeitsebene) und das ideale Drehgelenk keinen Zustand. Das Gesamtsystem hat jedoch nur zwei und nicht sechs Zust¨ande, da das Drehgelenk die Freiheitsgrade der Stange einschr¨ankt. Alle Beispiele von Abb. 21.29 f¨ uhren auf eine singul¨are Jacobi-Matrix (21.31). Bei der objektorientierten Modellierung tritt dieses Ph¨anomen recht h¨aufig auf, da jede Komponente durch lokale Gleichungen beschrieben wird und durch das Zusammenschalten der Komponenten leicht Zwangsbedingungen zwischen den lokalen Zust¨anden der Objekte entstehen k¨onnen. Ein objektorientiertes Modellierungssystem sollte solche Modelle deswegen automatisch effizient abhandeln k¨onnen. Im vorliegenden Kapitel wird die auf dem Pantelides-Algorithmus [893] beruhende Dummy-Derivative-Methode [879, 843] beschrieben. Hierbei werden singul¨are Systeme durch Differentation von Gleichungen der DAE so aufbereitet, dass auf die Zustandsform (21.32) transformiert werden kann. Mit der DummyDerivative-Methode kann die zur Zeit wohl gr¨oßte Klasse von singul¨aren, nichtlinearen Deskriptorsystemen behandelt und das nicht-triviale Problem der Bestimmung von konsistenten Anfangsbedingungen14 , zumindest im Prinzip, gel¨ost 14

Dieser Punkt wird sp¨ater genauer diskutiert.

1114

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

werden. Das Verfahren wird in unterschiedlichen Varianten z.B. in den Programmen ABACUSS [831] und Dymola [846] eingesetzt. Alternativen sind die direkten numerischen L¨osungsverfahren, siehe z.B. [837, 865], bei denen die DAE (21.30) durch unmittelbares Anwenden numerischer Integrationsverfahren gel¨ost wird. F¨ ur ein allgemeines objektorientiertes Modellierungssystem scheinen direkte Verfahren weniger gut geeignet zu sein, da (a) nur spezielle Klassen von singul¨aren DAEs behandelt werden k¨onnen,15 (b) vorausgesetzt wird, dass konsistente Anfangsbedingungen f¨ ur (21.30) vorliegen, was im allgemeinen nicht der Fall ist, und (c) direkte Verfahren auf Grund der iterativen L¨osungsstrategie f¨ ur EchtzeitAnwendungen schwierig einzusetzen sind. Der Index eines Deskriptorsystems Zur Charakterisierung von DAEs beim Einsatz von direkten numerischen L¨osungsverfahren ist der Index einer DAE gebr¨auchlich. F¨ ur nichtlineare DAEs (21.30) gibt es eine ganze Reihe unterschiedlicher Index-Definitionen, insbesondere: • Der differentielle Index (engl.: differential index), siehe z.B. [837], gibt an, wie oft die DAE (21.30) differenziert werden muss, um auf   x˙ = f3 (x, y, t) (21.33) y˙ transformieren zu k¨onnen. Eine DAE hat den differentiellen Index j, wenn j-mal zu differenzieren ist. • Beim St¨orungsindex (engl.: perturbation index), siehe z.B. [865], wird die Differenz zwischen der exakten L¨osung x(t), y(t) von (21.30) und der exˆ (t), y ˆ (t) der leicht gest¨orten DAE akten L¨osung x ˆ˙ , x ˆ, y ˆ , t) (t) = f (x

(21.34)

herangezogen, um n¨aherungsweise durch (t) Fehler in der approximierten, numerischen L¨osung zu beschreiben. Wenn diese Differenz eine Funktion der j-ten Ableitung von (t), d.h. von dj /dtj , ist, hat die DAE den St¨orungsindex j + 1. • Beim Traktabilit¨ats Index (engl.: tractability index), siehe z.B. [877, 883], wird die Index-Definition f¨ ur lineare DAEs mit konstanten Koeffizienten auf die um den aktuellen Zeitpunkt linearisierte DAE angewandt. 15 Zum Beispiel haben die meisten direkten Verfahren Schwierigkeiten, Systeme wie den Antriebsstrang im linken oberen Teil und das Pendel im rechten unteren Teil von Bild 21.29 zu l¨osen, wenn eine objektorientierte Modellierung verwendet wird.

21.7 Transformationsalgorithmen

1115

Abgesehen von bestimmten Klassen von DAEs, wie z.B. linearen DAEs mit konstanten Koeffizienten, f¨ uhren diese Index-Definitionen im allgemeinen zu unterschiedlichen Ergebnissen. Eine Charakterisierung der Form mit dem Integrator ” XYZ k¨onnen DAEs bis zum Index 2 gel¨ost werden“, ist deswegen nur bedingt aussagekr¨aftig, da (a) nicht klar ist auf welche Index-Definition sich diese Formulierung bezieht, (b) es f¨ ur einen Anwender in der Regel nicht-trivial ist den Index einer vorliegenden DAE zu ermitteln und (c) der Integrator in der Regel nicht in der Lage ist festzustellen, ob eine DAE in die l¨osbare Problemklasse f¨allt. Es gibt keinen einfachen Zusammenhang zwischen dem Index einer DAE und einer singul¨aren Jacobi-Matrix (21.31). Zum Beispiel haben die Gleichungen (21.35) und (21.36) jeweils einen differentiellen Index, St¨orungsindex und Traktabilit¨ats Index von eins. x˙ 1 + x˙ 2 = −x1 (21.35a) x2 = 0 (21.35b)

x˙ + y = −x (21.36a) y = 0 (21.36b)

Das System (21.36) hat jedoch eine regul¨are Jacobi-Matrix, kann also mit den Methoden von Kapitel 21.7.1 behandelt werden, w¨ahrend das System (21.35) singul¨ar ist. Zusammengefasst kann festgehalten werden, dass die Jacobi-Matrix (21.31) die Aussage erteilt, ob eine DAE in die Zustandsform mit x als Zustandsvektor transformiert werden kann, und dass der Index die Schwierigkeiten einer direkten numerischen L¨osung charakterisiert. Transformationsalgorithmen f¨ ur singul¨ are Deskriptorsysteme Die Behandlung singul¨arer Deskriptorsysteme soll exemplarisch an Hand eines einfachen Beispiels erl¨autert werden. Hierzu wird, ¨ahnlich wie in Kapitel 21.3 f¨ ur elektrische Komponenten, eine einfache Bibliothek f¨ ur eindimensionale, rotatorische mechanische Komponenten verwendet, siehe Tabelle 21.11. Wie in Kapitel 21.5 erl¨autert, werden u ¨ber eine Schnittstelle einer mechanischen Komponente der absolute Winkel Φ, sowie das Schnittmoment M, u ¨bertragen. Eine Verbindung zweier mechanischer Schnittstellen bedeutet, dass die lokalen Flansch-Koordinatensysteme der Schnittstellen zur Deckung gebracht werden. Damit werden die Winkel der beteiligten Schnittstellen gleichgesetzt und es wird eine Nullsummen-Gleichung f¨ ur die Schnittmomente erzeugt. Basierend auf dieser Schnittstellen-Definition sind in Tabelle 21.11 Komponenten zur Beschreibung von Drehtr¨agheit, ideales Getriebe, Planetengetriebe, Elastizit¨at und D¨ampfer aufgef¨ uhrt. Die Komponente Drehtr¨agheit“ enth¨alt z.B. Gleichungen, ” mit denen definiert wird, dass die Winkel in den beiden Schnittstellen der Komponente identisch sind, dass die Winkelgeschwindigkeit die Ableitung eines der Winkel ist, sowie das Gesetz von Newton/Euler, dass die Summe der angreifenden

1116

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Tabelle 21.11: Objektgleichungen 1-dim. rot. mechanischer Komponenten F1

Drehtr¨ agheit

F2

M1

z

M2

Φ1 = Φ2 Φ˙ 1 = Ω1 Θ · Ω˙ 1 = M1 + M2

ü

F1

Ideales Getriebe

F2

M1 Mt

Planetengetriebe

M2

z

Ft

z

Fh

Ms

Mh

Fs Sonne

Hohlrad

F1

Elastizit¨ at

M1

F2 z

F1

D¨ ampfer

M1

M2 F2

z

M2

Φ1 = u ¨ · Φ2 M2 = u ¨ · M1 zs : Z¨ ahnezahl Sonnenrad ahnezahl Hohlrad zh : Z¨ u ¨ = zh /zs (1 + u ¨ ) · Φt = Φs + u ¨ · Φh Mh = u ¨ · Ms 0 = Mt + (1 + u ¨) · Ms 0 = M1 + M2 M2 = c · (Φ2 − Φ1 ) 0 = M1 + M2 M2 = d · (Φ˙ 2 − Φ˙ 1 )

¨ Momente gleich der Anderung des Drehimpulses J · Ω ist. Das Planetengetriebe wird im Beispiel von Abb. (21.47) auf S. 1165 ben¨otigt. Im folgenden soll der einfache Antriebsstrang von Abb. 21.30 im Detail analysiert werden. G F2 W2

W1

F

F3 W3

F1 q1

M0

M1

ü

M2

q2

M3

M3

q3

Abb. 21.30: Objektdiagramm eines Antriebsstrangs

Dieser besteht aus Antriebsmoment M0 , tr¨agheitsbehafteten Wellen W1, W2, W3, idealem Getriebe G, und Elastizit¨at F. Wie in Kapitel 21.3 gezeigt, erstellt ein objektorientiertes Modellierungssystem aus dem Objektdiagramm zuerst das folgende Gesamtgleichungssystem: Φ˙ 1 Θ1 · Ω˙ 1 Φ˙ 2 W2 Θ2 · Ω˙ 2 W1

F

= Ω1 = M0 − M1 = Ω2 = M2 − M3

(21.37)a G (21.37)b

Φ1 M2 (21.37)c Φ˙ 3 W3 (21.37)d Θ3 · Ω˙ 3

M3 = c · (Φ3 − Φ2 ) (21.37)e

=u ¨ · Φ2 (21.37)f =u ¨ · M1 (21.37)g = Ω3 = M3

(21.37)h (21.37)i

21.7 Transformationsalgorithmen

1117

¨ Aus Gr¨ unden der Ubersichtlichkeit sind in dem Gleichungssystem alle Variablen durchnummeriert (z.B. Φ3 statt W3.Φ1 ) und die trivialen Verbindungsgleichungen sind schon substituiert. Die Gleichungen (21.37) bilden eine DAE (21.30) mit x1 = [Φ1 Ω1 Φ2 Ω2 Φ3 Ω3 ]T und y1 = [M1 M2 M3 ]T und bestehen aus neun Gleichungen zur Berechnung der neun Unbekannten x˙ 1 , y1 bei gegebenem Zustandsvektor x1 . Diese DAE kann nicht in die Zustandsform transformiert werden, da die Jacobimatrix singul¨ar ist, da (21.37)f keine der Unbekannten enth¨alt, und eine algebraische Beziehung zwischen den als bekannt angenommenen Zustandsgr¨oßen Φ1 und Φ2 darstellt. Mit anderen Worten: Eine dieser beiden Gr¨oßen kann kein Zustand sein. Willk¨ urlich wird jetzt angenommen, dass Φ1 eine Unbekannte und kein Zustand mehr ist. Bei linearen Systemen kann man einfach nach Φ1 aufl¨osen und diese Variable zusammen mit ihren Ableitungen an allen Stellen in (21.37) ersetzen. Bei nichtlinearen Systemen ist eine analytische Aufl¨osung aber in der Regel nicht mehr m¨oglich. Aus diesem Grunde muss hier etwas anders vorgegangen werden. Die grundlegende Idee ist hierbei, zuerst alle ben¨otigten Gleichungen bereitzustellen und die explizite Aufl¨osung dann numerisch durchzuf¨ uhren. Beim obigen Gleichungssystem k¨onnte man Φ1 explizit eliminieren, da diese Variable nur linear auftritt. Um den allgemeinen Fall zu demonstrieren, gehen wir jedoch anders vor: Die Variable Φ1 wird als Unbekannte angesehen, die mit Hilfe der anderen Zustandsgr¨oßen berechnet wird. Dann ist auch Φ˙ 1 keine Ableitung mehr, sondern nur noch eine algebraische Gr¨oße (= Dummy Derivative), die ebenfalls mit Hilfe der anderen Zustandsgr¨oßen berechnet wird. Zur Verdeutlichung wird eine Dummy-Ableitung nicht mit einem Punkt, sondern mit einem Apostroph, Φ1 , gekennzeichnet. Die Gleichung (21.37)f wird zur Berechnung der neuen Unbekannten Φ1 verwendet. Da eine neue Unbekannte eingef¨ uhrt worden ist, muss gleichzeitig auch eine neue Gleichung hinzugenommen werden. Dies ist nat¨ urlicherweise die Ableitung von (21.37)f, d.h. Φ1 = u ¨ · Φ˙ 2

(21.38)f’

Die so konstruierte DAE besitzt 10 Gleichungen mit 10 Unbekannten. Die JacobiMatrix ist jedoch immer noch singul¨ar, da (21.37)a, (21.37)c, (21.38)f’ drei Gleichungen in den zwei Unbekannten Φ1 und Φ˙ 2 ist. Es besteht also eine algebraische Beziehung zwischen den Zustandsgr¨oßen Ω1 , Ω2 , da diese auch in den drei Gleichungen auftreten. Willk¨ urlich wird festgelegt, dass Ω1 eine Unbekannte und kein Zustand mehr ist. Durch Differenzieren gibt es drei neue Gleichungen Φ1 = Ω1 Φ2 = Ω˙ 2 Φ1 = u ¨ · Φ2

(21.38)a’ (21.38)c’ (21.38)f”

jedoch auch wiederum drei neue Unbekannte (Φ1 , Φ2 , Ω1 ), so dass eine DAE mit 13 Gleichungen in 13 Unbekannten entsteht. Diese DAE mit den Vektoren x2 = [Φ2 Ω2 Φ3 Ω3 ]T und y2 = [M1 M2 M3 Φ1 Φ1 Φ1 Φ2 Ω1 Ω1 ]T hat nun

1118

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

eine Jacobi-Matrix die bez¨ uglich x˙ 2 , y2 regul¨ar ist. Durch BLT-Transformation, Tearing (siehe Kapitel 21.7) und Elimination trivialer Gleichungen der Form a = b wird diese erweiterte DAE in die folgende Zustandsform transformiert: Φ1 Ω1 M3 Ω˙ 2 Ω˙ 3 Φ˙ 2 Φ˙ 3

:= := := := := := :=

u ¨ · Φ2 u ¨ · Ω2 c · (Φ3 − Φ2 ) (¨ u · M0 − M3 )/(¨ u2 · Θ1 + Θ2 ) M3 /Θ3 Ω2 Ω3

(21.39)a (21.39)b (21.39)c (21.39)d (21.39)e (21.39)f (21.39)g

Man beachte, dass die Auswahl der zus¨atzlichen Gleichungen (21.38) unabh¨angig davon ist, welche Zust¨ande verwendet werden, so dass x2 auch erst beim Vorliegen des kompletten Gleichungssystems ausgew¨ahlt werden k¨onnte. Eine solche sp¨atere Festlegung ist aus numerischen Gr¨ unden in der Regel zwingend. Nach Vorgabe von Anfangsbedingungen x2 = x2 (t0 ) hat die DAE (21.37, 21.38) eine eindeutige L¨osung. Wenn dagegen die Ausgangs-DAE (21.37) mit einem direkten numerischen Verfahren gel¨ost werden w¨ urde, reicht es nicht aus, dass die DAE zum Anfangszeitpunkt erf¨ ullt ist. Mit den Anfangsbedingungen x1 (t0 ) = [0 1 0 0 0 0]T , x˙ 1 (t0 ) = [1 0 0 0 0 0]T , y1 (t0 ) = [u(t0 ) 0 0]T wird z.B. (21.37) erf¨ ullt. Sowohl anschaulich, als auch wegen (21.38), ist aber klar, dass es physikalisch unm¨oglich ist, dass Ω1 = 1 und Ω2 = 0 ist. Es kann also f¨ ur diese Anfangsbedingungen keine L¨osung der DAE (21.37) geben. Mit anderen Worten: Auch wenn ein direktes Verfahren benutzt wird, m¨ ussen im allgemeinen trotzdem die Gleichungen (21.38) abgeleitet werden, da diese zum Anfangszeitpunkt erf¨ ullt sein m¨ ussen. In [874] wird gezeigt, dass f¨ ur station¨are Anfangsbedingungen, d.h. wenn alle Ableitungen zum Anfangszeitpunkt identisch verschwinden, die zus¨atzlichen Gleichungen (hier: (21.38)) automatisch erf¨ ullt sind, vorausgesetzt dass die Ausgangs-DAE erf¨ ullt ist. Nur f¨ ur diesen wichtigen Sonderfall werden deswegen die zus¨atzlichen Gleichungen f¨ ur die direkten numerischen Verfahren nicht ben¨otigt. Zusammenfassung Die im Beispiel manuell durchgef¨ uhrte Transformation auf eine reduzierte Zustandsform, kann vollst¨andig automatisiert werden. Mit dem Pantelides Algorithmus [893] wird ermittelt, wie oft jede Gleichung des Ausgangsgleichungssystems differenziert werden muss, um das System durch algebraische Transformationen auf Zustandsform transformieren zu k¨onnen. Dies sind gleichzeitig auch diejenigen Gleichungen, die konsistente Anfangsbedingungen neben der Ausgangs-DAE erf¨ ullen m¨ ussen. Mit der ”Dummy Derivative“ Methode [879, 882] werden aus dem mit dem Pantelides Algorithmus ermittelten Gleichungssystem die voneinander unabh¨angigen Zust¨ande ermittelt, wobei ein Teil der Zust¨ande statisch w¨ahrend

21.7 Transformationsalgorithmen

1119

¨ der Ubersetzung ermittelt werden kann, und der verbleibende Teil dynamisch w¨ahrend der Simulation bestimmt wird. Der Pantelides-Algorithmus und die Dummy Derivative Methode haben den Vorteil, dass eine große Klasse von singul¨aren Deskriptorsystemen behandelt werden kann und konsistente Anfangsbedingungen bestimmt werden k¨onnen. Die Nachteile bestehen darin, dass Gleichungen analytisch differenziert werden m¨ ussen (was nicht immer m¨oglich sein muss), und dass der PantelidesAlgorithmus nicht immer alle zu differenzierenden Gleichungen findet, da die Differentiation von Gleichungen allein auf Grund von strukturellen Eigenschaften des Gleichungssystems bestimmt wird. 21.7.3

Strukturell inkonsistente Deskriptorsysteme

Im vorigen Abschnitt wurde an Hand eines Beispieles gezeigt, wie durch Differentiation gewisser Gleichungen des Systems und durch Auswahl von DummyZust¨anden eine singul¨are DAE auf Zustandsform transformiert werden kann. Diese Vorgehensweise versagt jedoch z.B. bei folgendem System: x˙ = f1 (x, y1 ) 0 = f2 (y2 ) 0 = f3 (y2 )

(21.40a) (21.40b) (21.40c)

Dies ist eine DAE mit singul¨arer Jacobi-Matrix, da die beiden letzten Gleichungen nur von der einen Unbekannten y2 abh¨angen. Hier ist es jetzt aber nicht m¨oglich, durch Auswahl geeigneter Dummy-Zust¨ande eine regul¨are JacobiMatrix zu erhalten, da (21.40b, 21.40c) nicht von x abh¨angen. Damit kann (21.40) mit der erl¨auterten Methodik nicht auf Zustandsform transformiert werden. Anschaulich ist klar, dass dies auch generell nicht m¨oglich ist, da die Gleichungen (21.40b, 21.40c) entweder zueinander kompatibel sind (dann gibt es unendlich viele L¨osungen), oder zueinander im Widerspruch stehen (dann gibt es keine L¨osung), d.h. die DAE besitzt keine eindeutige L¨osung. Diese Eigenschaft ist unabh¨angig davon, wie die beiden Funktionen f2 , f3 letztendlich aufgebaut sind. In [893] werden solche DAEs als strukturell inkonsistent bezeichnet. Es stellt sich die Frage, wie DAEs mit dieser Eigenschaft automatisch erkannt werden k¨onnen, da z.B. durch einfache Modellierungsfehler des Anwenders solche DAEs entstehen k¨onnen. Hierzu werde angenommen, dass die DAE ˙ x, y, t) 0 = f (x,

(21.41)

mit einem impliziten Integrationsverfahren gel¨ost werden soll, d.h. dass x˙ i (tj ) als Funktion von xi (tj ) und (bekannten) Werten von xi zu fr¨ uheren Zeitpunkten angegeben wird: x˙ i = hi (xi ) (21.42)

1120

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Beim impliziten Euler-Verfahren wird z.B. die Zustandsableitung durch die folgende Differenzenformel ersetzt: ˙ j) = x(t

x(tj ) − x(tj−1 ) h

(21.43)

hierbei ist x(tj ) der zu berechnende Wert von x zum Zeitpunkt tj , x(tj−1 ) der schon berechnete Wert von x zum vorherigen Zeitpunkt tj−1 und h = tj − tj−1 ist die Schrittweite. Einsetzen von (21.43) in (21.41) ergibt: x(tj ) − x(tj−1 ) , x(tj ), y(tj ), tj ) h = f (x(tj ), x(tj ), y(tj ), tj )

0 = f(

(21.44)

Gleichung (21.44) ist ein nichtlineares Gleichungssystem zur Berechnung von x(tj ), y(tj ). Dieses Gleichungssystem ist nur dann eindeutig l¨osbar wenn die Jacobi-Matrix bez¨ uglich x(tj ), y(tj ) regul¨ar ist. Wenn die Jacobimatrix strukturell singul¨ar ist, d.h. wenn in der Ausgangs-DAE x˙ durch x ersetzt wird, siehe (21.44), und die so entstehende DAE strukturell singul¨ar ist, gibt es sicher keine ¨ eindeutige L¨osung. Aus diesen Uberlegungen ergibt sich nun die folgende Eigenschaft (siehe auch [893], S. 219-221): Eine DAE (21.30) wird als strukturell inkonsistent bezeichnet, wenn   ∂f .. ∂f 0 = f (x, x, y, t), . strukturell singul¨ar (21.45) ∂x ∂y d.h. wenn alle Ableitungen x˙ in der DAE durch den Vektor x ersetzt werden und das hieraus resultierende Gleichungssystem bez¨ uglich x und y als strukturell singul¨ar charakterisiert wird (dies ist der Fall wenn die L¨osung des Zuordnungsproblems im Rahmen der BLT-Transformation fehlschl¨agt). Man beachte, dass die genaue funktionale Abh¨angigkeit von x˙ i und xi in (21.42) nicht bekannt sein muss, da nur strukturelle Eigenschaften untersucht werden, so dass es in (21.41) gen¨ ugt, x˙ i durch xi (und nicht durch hi (xi )) zu ersetzen. Beispiel: x˙ = f1 (x, y1 ) 0 = f2 (y2 ) 0 = f3 (y2 )

⇒

x = f1 (x, y1 ) 0 = f2 (y2 ) 0 = f3 (y2 )

Das linke System ist strukturell singul¨ar, da es zwei Gleichungen gibt, die nur von y2 abh¨angen. Wird nun x˙ durch x ersetzt, siehe rechte Seite, dann ist das so entstehende System immer noch strukturell singul¨ar und damit strukturell inkonsistent, d.h. es gibt keine eindeutige L¨osung. Im folgenden Beispiel x˙ = f1 (x, y) 0 = f2 (x)

⇒

x = f1 (x, y) 0 = f2 (x)

ist das linke System wiederum strukturell singul¨ar, da die zweite Gleichung f2 nur von der als bekannt angenommenen Zustandsgr¨oße x abh¨angt. Wird jedoch x˙

21.8 Lineare Deskriptorsysteme

1121

durch x ersetzt, siehe rechte Seite, dann liegt ein algebraisches Gleichungssystem vor bei dem x aus Gleichung f2 und y aus Gleichung f1 bestimmt werden kann. Mit anderen Worten: Dieses Gleichungssystem ist strukturell nicht inkonsistent. Auf Grund der Herleitung ist klar, dass strukturell inkonsistente DAEs nicht mit einem impliziten Integrationsverfahren gel¨ost werden k¨onnen. Es kann gezeigt werden, dass die DAE dann auch keine eindeutige L¨osung besitzt. Die Bedeutung von (21.45) liegt insbesondere auch darin, dass der Pantelides-Algorithmus genau dann konvergiert, wenn die DAE nicht strukturell inkonsistent ist (Beweis siehe [893], S. 219-221). Vor Anwendung des Pantelides-Algorithmus muss demnach (21.45) u uft werden. ¨berpr¨

21.8

Lineare Deskriptorsysteme

Im vorigen Kapitel wurden Algorithmen erl¨autert, um ein nicht-lineares, objektorientiertes Modell in eine effizient auswertbare Zustandsform zu transformieren. Im vorliegenden Kapitel werden die zus¨atzlichen Eigenschaften analysiert, die bei linearen Deskriptorsystemen vorliegen, vor allem wenn diese singul¨ar sind. Zur Einf¨ uhrung wird das Antriebsstrang-Beispiel von Abb. 21.30 auf S. 1116 etwas vereinfacht, siehe Abb. 21.31, und wird dann im Detail analysiert. Das ü F1 M0

F2 q1

M1

M2

q2

Abb. 21.31: Objektdiagramm eines Antriebsstrangs

Beispiel besteht aus einem antreibenden Moment M0 , der Motortr¨agheit Θ1 der ¨ Welle W1, einem idealen Getriebe G mit der Ubersetzung u¨, sowie der Lasttr¨agheit Θ2 der Welle W2. Die Elastizit¨at im Getriebe wird vernachl¨assigt. Wie in Kapitel 21.3 gezeigt, erstellt ein objektorientiertes Modellierungssystem aus dem Objektdiagramm zuerst das folgende Gesamtgleichungssystem: Φ˙ 1 = Ω1 Θ1 · Ω˙ 1 = M0 − M1 Φ˙ 2 = Ω2 W2 Θ2 · Ω˙ 2 = M2 W1

G

Φ1 = u ¨ · Φ2 M2 = u ¨ · M1

(21.46)a (21.46)b (21.46)c (21.46)d (21.46)e (21.46)f

¨ Aus Gr¨ unden der Ubersichtlichkeit sind in dem Gleichungssystem wiederum alle Variablen durchnummeriert (z.B. Φ2 statt W2.Φ1 ) und die trivialen Verbindungsgleichungen, wie W1.Φ2 =G.Φ1 , sind schon substituiert. Die Gleichungen (21.46)

1122

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

bilden eine DAE (21.10) mit x1 = [Φ1 Ω1 Φ2 Ω2 ]T und y1 = [M1 M2 ]T und bestehen aus sechs Gleichungen zur Berechnung der sechs Unbekannten x˙ 1 , y1 bei gegebenem Zustandsvektor x1 . Diese DAE kann jedoch nicht in die Zustandsform transformiert werden, da die Jacobimatrix singul¨ar ist, da (21.46)e keine der Unbekannten enth¨alt, und eine algebraische Beziehung zwischen den als bekannt angenommenen Zustandsgr¨oßen Φ1 und Φ2 darstellt. Das Gleichungssystem (21.46) ist ein lineares Deskriptorsystem und soll jetzt direkt analysiert werden, ohne das Modell in die Zustandsform zu transformieren. Hierzu werden diese Gleichungen in der Standardform (21.8) linearer Deskriptorsysteme dargestellt: ⎤⎡ ⎡ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤⎡ ˙ ⎤ ⎤ Φ1 Φ1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ 0 1 0 0 0 0 ⎥⎢ Φ˙ 2 ⎥ ⎢ 0 0 0 1 0 0 ⎥⎢ Φ2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ 0 0 Θ1 0 0 0 ⎥⎢ ⎢ 0 0 0 0 −1 0 ⎥⎢ Ω1 ⎥ ⎢ 1 ⎥ Ω˙ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ Ω2 ⎥ + ⎢ 0 ⎥M0 ⎢ 0 0 0 Θ2 0 0 ⎥⎢ ˙2 ⎥ 0 0 0 0 0 1 ⎢ ⎥ Ω ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎣ 0 0 0 0 0 0 ⎦⎣ M˙ ⎥ ⎣ −1 u¨ 0 0 0 0 ⎦⎣ M1 ⎦ ⎣ 0 ⎦ 1 ⎦ ˙ 0 0 0 0 −¨ u 1 0 0 0 0 0 0 0 M 2 M2 E

x˙

u (21.47) Da die letzten beiden Zeilen der Matrix E Null sind, ist E auf jeden Fall singul¨ar, so dass keine Inversion von E m¨oglich ist, und damit auch keine direkte Transformation in die Zustandsform (21.7). In Tabelle 21.12 sind in der rechten Spalte die wichtigsten Eigenschaften linearer Deskriptorsysteme den korrespondierenden Eigenschaften linearer Zustandssysteme in der mittleren Spalte gegen¨ ubergestellt. Diese Eigenschaften werden im folgenden anhand des obigen, einfachen Beispiels diskutiert. Ein Deskriptorsystem (21.8) hat bei konsistenten Anfangsbedingungen dann und nur dann eine eindeutige L¨osung, wenn es Werte λ gibt, so dass die Determinante det (A − λE) ungleich Null ist, siehe auch erste Zeile in Tabelle 21.12, (21.49). Verschwindet diese Determinante f¨ ur alle Werte von λ, gibt es entweder keine L¨osung oder unendlich viele L¨osungen. Wie diese Bedingung rechnerisch konkret u uft werden kann, wird weiter unten erl¨autert. Im folgenden wird ¨ berpr¨ angenommen, dass diese Bedingung erf¨ ullt ist, also eine eindeutige L¨osung existiert. Eine Zustandsform oder eine Deskriptorform kann durch Laplace¨ Transformation in die Ein-/ Ausgangsbeziehung einer Ubertragungsfunktion u uhrt werden, siehe zweite Zeile von Tabelle 21.12, (21.50). Beim Vorlie¨berf¨ ¨ gen einer Eingangs- und einer Ausgangsgr¨oße kann die Ubertragungsfunktion dargestellt werden als y = k

=

A

x

(s − μ1 ) · (s − μ2 ) . . . (s − μnn ) u (s − λ1 ) · (s − λ2 ) . . . (s − λne )

+

B

(21.57)

¨ wobei k der Verst¨arkungsfaktor, λi die Pole und μi die Nullstellen der Ubertragungsfunktion sind.

21.8 Lineare Deskriptorsysteme

1123

Tabelle 21.12: Vergleich von linearer Zustandsform und linearer Deskriptorform Zustandsform Gleichungen

¨ Ubertragungsfktn. dim(u)=dim(y)=1

Eigenwerte λi mit |λi | < ∞ (21.51) Nullstellen μj mit |μj | < ∞ dim(u)=dim(y)

(21.52) λi steuerbar (21.53) λi beobachtbar (21.54) KroneckerNormalform (21.55)

Deskriptorform

x˙ = Ax + Bu (21.48) y = Cx + Du

y = {D + C(sI − A)−1 B}u y = {D + C(sE − A)−1 B}u (s − μ1 ) · (s − μ2 ) . . . (s − μnn ) y=k u (21.50) (s − λ1 ) · (s − λ2 ) . . . (s − λne ) det(A − λi I) = 0 det(A − λi E) = 0 i = 1, 2, . . . , ne = nx i = 1, 2, . . . , ne ≤ nx (MATLAB-Funktion: eig) (MATLAB-Funktion: qz)  det(

A − μj I B C D



 )=0

A − μj E B C D

 )=0

j = 1, 2, . . . , nn ≤ nx (MATLAB-Funktion: qz) 3 4 rg A − λi E B = nx

(Eingangsentkopplungs-Nullstelle: λi erf¨    ullt nicht Bedingung) A − λi I A − λi E = nx = nx rg rg C C (Ausgangsentkopplungs-Nullstelle: λi erf¨ ullt nicht Bedingung) L(A − sE)R  =  T−1 (A − sI)T = J − sI I − sJs (0) 0 0 J − sI (Jordansche Normalform) (Weierstrass-Normalform) ⎤ ⎡ Js (λ1 ) ⎢ Js (λ2 ) ⎢ J=⎢ .. ⎣ . 0

0

⎤

λi 1 ⎢ λi 1 ⎥ ⎢ ⎥ .. ⎥ ; Js (λi ) = ⎢ . ⎢ ⎦ ⎣

Js (λk )

UT (A − sI)U = SA − sI (UT U = I)

⎡

(hier: λi reel)

det(

j = 1, 2, . . . , nn ≤ nx (MATLAB-Funktion: tzero) 3 4 rg A − λi I B = nx

⎡

Reelle Schurform (21.56)

Ex˙ = Ax + Bu (21.49) y = Cx + Du (det (A − λE) ≡ 0)

⎤ λ1 ∗ ∗ ∗ . . . ⎢ 0 λ2 ∗ ∗ . . . ⎥ ⎥ SA = ⎢ ⎣ 0 0 λ3 ∗ . . . ⎦ ...

(MATLAB-Funktion: schur)

0

0

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ λi 1 ⎦ λi

Q(A − sE)Z = SA − sSE (QT Q = ZT Z = I) ⎡

⎤ α1 ∗ ∗ ∗ . . . ⎢ 0 α2 ∗ ∗ . . . ⎥ ⎥ SA = ⎢ ⎣ 0 0 α3 ∗ . . . ⎦ ... ⎡ ⎤ β1 ∗ ∗ ∗ . . . ⎢ 0 β2 ∗ ∗ . . . ⎥ ⎥ SE = ⎢ ⎣ 0 0 β3 ∗ . . . ⎦ ... λi = αi /βi wenn βi = 0

1124

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Wenn das System vollst¨andig steuer- und beobachtbar ist, treten keine PolNullstellenk¨ urzungen auf. Dann sind die Pole identisch zu den (endlichen) Eigenwerten λi und die Nullstellen identisch zu den (endlichen) Eigenwerten μi der Systemmatrix (21.52). Diese Gr¨oßen werden mit den in der vierten und f¨ unften Zeile angegebenen Gleichungen (21.51, 21.52) berechnet. Die Berechnungsvorschriften sind f¨ ur Zustandsformen und Deskriptorformen sehr ¨ahnlich. Der wesentliche Unterschied besteht darin, dass es f¨ ur ein System in Zustandsform immer genau nx Eigenwerte gibt (und damit auch nx Pole wenn das System vollst¨andig steuerbar und beobachtbar ist), wobei nx die Dimension des Zustandsvektors x ist. Demgegen¨ uber kann die Zahl der (endlichen) Eigenwerte f¨ ur Deskriptorsysteme kleiner als nx sein. Das Deskriptorsystem (21.47) hat z.B. nur zwei (endliche) Eigenwerte und nicht sechs. F¨ ur beide Systemarten kann es bis zu nx Systemnullstellen geben. Bei einem System in Zustandsform ist deswegen die Zahl der Nullstellen immer kleiner, oder h¨ochstens gleich, der Zahl der Pole. D.h. das Z¨ahlerpolynom kann keine h¨ohere Ordnung als das Nennerpolynom aufweisen. Da bei Deskriptorsystemen die Zahl der Eigenwerte kleiner als nx sein kann, kann hier die Zahl der Nullstellen gr¨oßer als die Zahl der Pole sein. Dies bedeutet, dass auch sprungf¨ormige Systeme, wie z.B. ein D- oder ein PD-Glied, dargestellt werden k¨onnen. Zum Beispiel kann ein D-Glied y = s · u durch das folgende Deskriptorsystem beschrieben werden:           x˙ 1 0 1 x1 1 0 0 u = + 0 0 −1 0 1 x˙ 2 x2   % & x1 1 0 y = x2 ¨ Mit anderen Worten: Jede Ubertragungsfunktion kann als Deskriptorsystem dar¨ gestellt werden. Demgegen¨ uber k¨onnen in der Zustandsform nur Ubertragungsfunktionen dargestellt werden, bei denen das Z¨ahlerpolynom keinen h¨oheren Grad als das Nennerpolynom besitzt. Die Berechnung von Eigenwerten und Nullstellen ist manuell mit vern¨ unftigem Aufwand nur bei kleinen Systemen mit nx = 1 . . . 4 sinnvoll. Numerische Algorithmen zur Berechnung sind kompliziert, stehen aber z.B. in MATLAB durch Aufruf der Funktionen eig (Eigenwerte der Zustandsform), tzero (Nullstellen der Zustandsform) bzw. qz (Nullstellen + Eigenwerte der Deskriptorform) zur Verf¨ ugung. Wird im obigen Beispiel als Ausgangssignal die Position Φ2 der Last benutzt, ¨ ergibt sich die Ubertragungsfunktion zu: Φ2 = 

u¨  M0 Θ2 + u¨2 Θ1 · s2

(21.58)

¨ Die Berechnung dieser Ubertragungsfunktion mit (21.50) oder (21.51, 21.52) von ¨ Tabelle 21.12 ist aufwendig. Einfacher ist es, wenn die Ubertragungsfunktion aus

21.8 Lineare Deskriptorsysteme

1125

der Zustandsform (21.39) abgeleitet wird. Wie zu sehen ist, hat das System keine Nullstellen und einen doppelten Pol im Ursprung, d.h. λ1 = λ2 = 0. In Kapitel 5.5.4 wurden die Begriffe Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit eingef¨ uhrt, sowie Gleichungen angegeben, mit denen diese Eigenschaften u uft ¨berpr¨ werden k¨onnen. In der f¨ unften und sechsten Zeile von Tabelle 21.12, (21.53, 21.54), ist eine alternative M¨oglichkeit zur Bestimmung dieser Eigenschaften aufgef¨ uhrt. Ein Eigenwert λi ist nicht steuerbar bzw. nicht beobachtbar, wenn die angegebenen Matrizen nicht ihren vollen Rang nx besitzen. Wenn jeder Eigenwert steuer- und beobachtbar ist, dann ist das Gesamtsystem vollst¨andig steuerund beobachtbar. Gegen¨ uber den in Kapitel 5.5.4 verwendeten Gleichungen kann damit eine pr¨azisere Aussage getroffen werden, wenn einige Eigenwerte nicht steuer- oder beobachtbar sind. Ein System kann z.B. trotzdem sinnvoll geregelt werden, wenn alle nicht steuer- und beobachtbaren Eigenwerte stabil sind. Der Nachteil dieser Gleichungen ist der, dass eine direkte Bestimmung mit den angegebenen Beziehungen ne Rangbestimmungen erfordert (ne = Zahl der Eigenwerte), w¨ahrend mit den Gleichungen in Kapitel 5.5.4 jeweils nur die Rangbestimmung einer Matrix erforderlich ist. Numerische Algorithmen zur Bestimmung der Steuer- und Beobachtbarkeit transformieren das Ausgangssystem zuerst in eine g¨ unstige“ Form, bei der der Rang der in Tabelle 21.12 aufgef¨ uhrten Glei” chungen direkt abgelesen werden kann, f¨ ur Details siehe [884, 900]. Eigenwerte, die nicht steuerbar sind, werden auch als EingangsentkopplungsNullstellen bezeichnet. Diese Eigenwerte sind immer auch Nullstellen des Sy¨ stems. In der Ubertragungsfunktion k¨ urzen“ sich deswegen diese Eigenwerte ” ¨ mit den gleichartigen Nullstellen, so dass diese Gr¨oßen in der Ubertragungsfunktion nicht auftreten. Entsprechend werden nicht beobachtbare Eigenwerte auch als Ausgangsentkopplungs-Nullstellen bezeichnet. Auch hier k¨ urzen“ sich in der ” ¨ Ubertragungsfunktion diese Eigenwerte mit Nullstellen. Um die Eigenschaften eines linearen Systems zu untersuchen, ist es zweckm¨assig, das System in eine m¨oglichst einfache Form zu transformieren. Eine wichtige Normalform f¨ ur die Zustandsdarstellung ist die in Kapitel 5.5.2 kurz diskutierte Jordan’sche Normalform, siehe auch Zeile 7 in Tabelle 21.12, (21.55), einem Spezialfall der allgemeineren Kronecker-Normalform, siehe [860]. Durch Einf¨ uhren neuer Koordinaten z, mit x = Tz und einer geeigneten konstanten, regul¨aren, i.a. komplexen, Matrix T, sowie durch Linksmultiplikation mit T−1 , kann auf die Normalform J = T−1 AT transformiert werden, die auf der Diagonalen alle Eigenwerte des Systems enth¨alt und abgesehen von eventuell auftretenden Eins-Werten in der ersten, oberen Nebendiagonalen, sonst nur NullElemente besitzt. Wenn alle Eigenwerte einer Matrix A unterschiedlich sind, ist J eine reine Diagonalmatrix. In dieser Normalform k¨onnen die Eigenwerte direkt abgelesen werden. Weiterhin ist es in dieser Normalform sehr einfach, das Differentialgleichungssystem zu l¨osen, also z(t) zu berechnen, da die Gleichungen voneinander entkoppelt sind. Durch R¨ ucktransformation mit x(t) = Tz(t), k¨onnen dann die eigentlich interessierenden Zustandsverl¨aufe x(t) ermittelt werden.

1126

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Die korrespondierende Normalform f¨ ur Deskriptorsysteme ist die verwandte Weierstrass-Normalform, einem Spezialfall der Kronecker-Normalform, siehe vorletzte Reihe von Tab. 21.12, (21.55). Zur m¨oglichst u ¨ bersichtlichen Darstellung wird die Deskriptorform (21.49) zuerst mit der Laplace-Transformation in die folgende Form umgeschrieben: (A − sE)x + Bu = 0

(21.59)

Durch Einf¨ uhren neuer Koordinaten z, mit x = Rz und zwei geeigneten konstanten, regul¨aren, i.a. komplexen, Matrizen R und L, sowie einer Linksmultiplikation von (21.59) mit L L(A − sE)Rz + LBu = 0 kann auf die Weierstrass-Normalform transformiert werden:   I − sJs (0) 0 + LBu = 0 0 J − sI

(21.60)

Hierbei ist J eine Jordan’sche Normalform, die alle (endlichen) Eigenwerte λi des Deskriptorsystems enth¨alt und Js (0) ist eine Jordan’sche Normalform, die einen nx − ne fachen Null-Eigenwert λi = 0 besitzt: ⎡ ⎤ λi 1 0 ⎢ λi 1 ⎥ ⎢ ⎥ .. (21.61) J = diag {Js (λ1 ), Js (λ2 ), . . . , Js (λk )} Js (λi ) = ⎢ ⎥ . ⎣ λi 1 ⎦ 0 λi F¨ ur das Beispiel (21.47) kann mit den neuen Variablen z und der Abk¨ urzung f¨ ur das reduzierte Tr¨agheitsmoment Θg = Θ2 +¨ u2 Θ1 mit der Variablentransformation ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎤ ⎡ 0 0 0 1 u¨Θ2 /Θg z1 Φ1 0 ⎢ 0 ⎢ Φ2 ⎥ ⎥ ⎢ z2 ⎥ 0 0 −¨ uΘ1 /Θ2 Θ2 /Θg 0 ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ Ω1 ⎥ ⎥ 0 1 0 0 u¨Θ2 /Θg ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ z3 ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎢ Ω2 ⎥ ⎥ ⎥ 0 −¨ u Θ /Θ 0 0 Θ /Θ z 1 2 2 g ⎥ ⎢ 4 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ 0 −Θ1 ⎣ M1 ⎦ ⎦ ⎣ z5 ⎦ 0 0 0 0 −1 −¨ uΘ1 M2 0 0 0 0 z6 x = R z (21.62) sowie einer Linksmultiplikation von (21.59) mit der Matrix L ⎡ ⎤ 0 0 0 0 0 −1 ⎢ 0 0 Θ2 /(Θ1 · Θg ) −¨ u/Θg 0 u¨/Θg ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Θ2 /Θg −¨ u · Θ /Θ 0 0 0 0 ⎥ 2 g ⎢ ⎥ L = ⎢ 0 0 0 0 −Θ2 /Θg 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ u¨ · Θ1 /Θ2 1 0 0 0 0 ⎦ 0 0 u¨/Θ2 1/Θ2 0 −1/Θ2 (21.63)

21.8 Lineare Deskriptorsysteme

1127

auf die Weierstrass-Normalform transformiert werden: ⎡

1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 0

L(A − sE)R

z

0 0 0 0 0 1 −s 0 0 0 0 1 −s 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 −s 1 0 0 0 0 −s

⎤ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

z1 z2 z3 z4 z5 z6

+

LB ⎡

⎤

0 ⎢ Θ2 /(Θ1 · Θg ) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥ + ⎢ ⎢ ⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 0 u¨/Θ2

u

= 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ M0 = 0 ⎥ ⎥ ⎦

(21.64) Im unteren Teil der Systemmatrix von (21.64) ist zu sehen, dass das System zwei Nulleigenwerte besitzt, da λi − s = 0 − s ist. Der obere Teil charakterisiert den algebraischen“ Kern des Deskriptorsystems. Das System kann nun gel¨ost ” werden, indem das Gleichungssystem rekursiv von unten“ nach oben“ aufgel¨ost ” ” wird, d.h. indem die folgenden Gleichungen in der angegebenen Reihenfolge gel¨ost werden: z˙6 =

u¨ M0 (t) Θ2

(21.65a)

z˙5 = z6

(21.65b)

z4 = 0

(21.65c)

z3 = 0

(21.65d)

z2 = −

Θ2 M0 (t) Θ1 · Θg

z1 = 0

(21.65e) (21.65f)

Die L¨osung dieser Gleichungen ist einfach und unproblematisch. Kritisch w¨ urde es sein, wenn z.B. die vierte Zeile der Matrix LB ungleich Null, z.B. −1, w¨are. In diesem Fall m¨ ussten die Gleichungen z4 = M0 (t) z3 = z˙4 z2 = z˙3 −

(= Θ2 M0 Θ1 · Θg

dM0 ) dt

(=

d2 M0 Θ2 − M0 ) dt2 Θ1 · Θg

aufgel¨ost werden, und das Ergebnis w¨are ein System, bei dem ein sprungf¨ormiger Eingang M0 (t) zu einer Dirac-Impulsantwort in z f¨ uhren w¨ urde, da die ersten und zweiten Ableitungen von M0 in der L¨osung auftreten. In unserem Beispiel ist das gl¨ ucklicherweise nicht der Fall. Nach Berechnung von z k¨onnen mit Gleichung (21.62) die eigentlich interessierenden Variablen x

1128

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

erhalten werden. Interessant ist es, Gleichung (21.62) noch zu invertieren um damit z als Funktion von x angeben zu k¨onnen: z1 = u¨ · M1 − M2 z2 = −

1 M1 Θ1

(21.66a) (21.66b)

z3 =

Θ2 (Ω1 − u¨ · Ω2 ) Θg

(21.66c)

z4 =

Θ2 (Φ1 − u¨ · Φ2 ) Θg

(21.66d)

z5 =

u¨ · Θ1 Φ1 + Φ2 Θ2

(21.66e)

z6 =

u¨ · Θ1 Ω1 + Ω2 Θ2

(21.66f)

Durch Vergleich mit (21.65) ist zu sehen, dass z1 und z4 im wesentlichen die Getriebegleichungen charakterisieren und z3 die Ableitung der Getriebezwangsbedingung ist. Die Transformation auf die Jordan’sche Normalform oder auf die WeierstrassNormalform kann schlecht konditioniert sein, so dass numerische Algorithmen unzuverl¨assig sind. Nur in Sonderf¨allen, wenn z.B. die Matrix A symmetrisch ist, gibt es gutartige numerische Transformations-Algorithmen. Aus diesem Grun¨ de werden die beiden Normalformen meist nur f¨ ur prinzipielle Uberlegungen, sowie f¨ ur kleinere, manuell transformierbare, Systeme verwendet. Numerisch zuverl¨assig kann auf die (reelle) Schurform transformiert werden, siehe die letzte Zeile von Tabelle 21.12, Gleichung (21.56). Der Grund liegt darin, dass f¨ ur die Transformation auf diese Normalform orthogonale Matrizen verwendet werden k¨onnen, d.h. Matrizen deren transponierte Matrix gleichzeitig auch deren Inverse ist (z.B. UT U = I). Die (reelle) Schurform einer Matrix ist eine obere Dreiecksmatrix, bei der die Diagonale aus 1 × 1 und aus 2 × 2 Bl¨ocken besteht. Die Elemente der 1 × 1 Diagonalbl¨ocke sind die reellen Eigenwerte der Matrix, w¨ahrend die komplexen Eigenwerte einfach aus den 2 × 2 Diagonalbl¨ocken berechnet werden k¨onnen. Bei Deskriptorsystemen k¨onnen die Eigenwerte aus den Diagonalelementen bzw. aus 2 × 2 Diagonalbl¨ocken der beiden Dreiecksmatrizen berechnet werden, siehe rechten unteren Teil von (21.56). Damit k¨onnen die Eigenwerte praktisch direkt aus dieser Normalform abgelesen werden. Die L¨osung des Systems kann aus der Schurform durch rekursives L¨osen der Gleichungen von unten“ nach oben“ ” ” ermittelt werden. In MATLAB k¨onnen mit der Funktion schur Zustandssysteme auf die Schurform transformiert werden. N¨ahere Einzelheiten zur Schurform findet man z.B. in dem Standardwerk [862].

21.8 Lineare Deskriptorsysteme

1129

Zusammenfassung Wir haben jetzt zwei unterschiedliche Wege kennengelernt, um Deskriptorsysteme behandeln zu k¨onnen: Im ersten Fall, der f¨ ur nicht-lineare und lineare Deskriptorsysteme m¨oglich ist, wird mit dem Pantelides Algorithmus ermittelt, wie oft jede Gleichung zu differenzieren ist. Diese Gleichungen werden dann analytisch differenziert. Mit der Dummy Derivative Methode werden die Zust¨ande der Zustandsform ermittelt, und mit der BLT-Transformation und dem Tearing-Verfahren, werden die Gleichungen dann letztendlich in eine Zustandsform transformiert. Hierbei ist der Zustandsvektor xs immer eine Teilmenge des Vektors x, welcher im Ausgangssystem alle Variablen zusammenfasst, die abgeleitet auftreten. Diese Vorgehensweise ist m¨oglich, wenn das Ausgangs-Deskriptorsystem aus der “objekt-orientierten Modellierung stammt, so dass der Pantelides Algorith” mus die zu differenzierenden Gleichungen aus einer strukturellen Analyse des Gleichungssystems ermitteln kann. F¨ ur kleinere Systeme kann die Vorgehensweise Gleichungen zu differenzieren und dann umzuformen auch direkt manuell durchgef¨ uhrt werden ohne, die erl¨auterten Algorithmen zu kennen, die diesen Prozess automatisieren. Wenn das Ausgangsgleichungssystem vor Anwendung des Pantelides Algorithmus algebraisch transformiert wird, geht in der Regel die Eigenschaft verloren, dass die zu differenzierenden Gleichungen u ¨ ber eine strukturelle Analyse der Gleichungen bestimmt werden kann. In diesem Fall ist die Vorgehensweise u ¨ber den Pantelides Algorithmus nicht mehr m¨oglich. Wenn ein lineares Deskriptorsystem vorliegt, kann dieses mit numerischen Methoden vollst¨andig analysiert werden. Diese direkt Behandelung wurde hier vor allem deswegen durchgef¨ uhrt, um die Struktur von Deskriptorsystemen deutlich zu machen und die Unterschiede zur Zustandsform darzustellen. Bei dem einfachen Beispiel zweier durch ein ideales Getriebe gekoppelter Drehmassen ist offensichtlich die direkte Verwendung der Deskriptorform aufwendiger und unhandlicher als eine Transformation in die Zustandsform und eine nachfolgen¨ de Verwendung von Zustandsraummethoden, z.B. um die Ubertragungsfunktion oder um die Eigenwerte zu berechnen. Diese Aussage trifft auch auf eine große Zahl anderer Systeme zu. Nur bei schlecht konditionierten Systemen kann es aus numerischen Gr¨ unden g¨ unstiger sein, direkt mit der (linearen) Deskriptorform zu arbeiten, da bei einer Transformation auf die Zustandsform eventuell schon so große numerische Ungenauigkeiten eingebracht werden, dass die weitere Analyse der Zustandsform nur zu sehr fehlerbehafteten Ergebnissen f¨ uhrt. Die (lineare) Deskriptorform kann in Spezialf¨allen n¨ utzlich sein. So lassen sich damit z.B. alle ¨ Ubertragungsfunktionen darstellen, w¨ahrend dies bei der Zustandsform nicht der Fall ist.

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

1130

21.9

Modelica — Hybride Systeme

In Kapitel 21.4 wurden die Grundelemente von objektorientierten Modellierungssprachen exemplarisch anhand der Sprache Modelica erl¨autert. Hierbei beschr¨ankte sich die Darstellung auf kontinuierliche Systeme. Im vorliegenden Abschnitt erfolgt eine Verallgemeinerung zur Modellierung von unstetigen und diskreten Komponenten mit Modelica. F¨ ur rein kontinuierliche Modellteile sind sich die objektorientierten Modellierungssprachen, wie gPROMS, Modelica, Omola etc. recht ¨ahnlich, da alle auf demselben Prinzip beruhen, Komponenten durch algebraische Gleichungen und Differentialgleichungen zu beschreiben. F¨ ur diskrete Systeme gibt es jedoch keine allgemein akzeptierte Standardbeschreibungsform. Stattdessen liegt eine Vielzahl unterschiedlicher Beschreibungsformen vor, die meist auf ein bestimmtes Anwendungsfeld zugeschnitten sind, wie z.B. endliche Automaten, Petri-Netze, Statecharts, SFC (Sequential Function Charts), DEVS (Discrete Event Specified Systems), Ladderdiagramme, Logikschaltungen, Differenzengleichungen, CSP (Communicating Sequential Processes). Es ist deswegen nicht verwunderlich, dass sich die objektorientierten Modellierungssprachen bei der Beschreibung von diskreten Komponenten stark unterscheiden. Die Hauptschwierigkeit bei der Behandlung von gemischt kontinuierlich/diskreten Modellen liegt in der Synchronisierung der kontinuierlichen und diskreten Beschreibungsformen. Synchrone Systembeschreibung Die Beschreibung diskreter Systemteile in Modelica basiert auf dem Prinzip der synchronen Sprachen [867, 836]. Typische Vertreter sind Sattline [852], Lustre [866] oder Signal [861]. Diese Sprachen werden zur sicheren Implementierung von Echtzeitsystemen eingesetzt, sowie f¨ ur Verifikationszwecke. In [853] wurde gezeigt, wie die f¨ ur rein diskrete Systeme entworfenen synchronen Sprachen elegant mit der objektorientierten Modellierungsmethodik kombiniert werden k¨onnen. Die wesentliche Grundidee besteht dabei darin, diskrete Komponenten durch diskrete Gleichungen zu beschreiben, und durch eine Datenflussanalyse (= Sortierung der kontinuierlichen und diskreten Gleichungen durch BLT-Transformation) eine automatische Synchronisierung mit den kontinuierlichen Modellteilen zu erreichen. T

w

-

u

Regler

Strecke

y

T Abb. 21.32: Durch einen diskreten Regler geregelte kontinuierliche Strecke

21.9 Modelica — Hybride Systeme

1131

Als einf¨ uhrendes Beispiel soll ein typisches Abtastsystem, siehe Abb. 21.32, modelliert werden, bei dem eine kontinuierliche Strecke durch einen linearen diskreten Regler xc (ti ) = A · xc (ti − T ) + B · (w(ti ) − y(ti ))

(21.67a)

u(ti ) = C · xc (ti − T ) + B · (w(ti ) − y(ti ))

(21.67b)

geregelt wird. Hierbei ist T die Abtastperiode, w das Reglersollsignal, u die Steuergr¨oße, y die Meßgr¨oße und xc der diskrete Zustandsvektor des Reglers. An den Abtastzeitpunkten ti = t0 + i T, i = 0, 1, 2, . . . werden das Messsignal abgetastet, die Reglergleichungen ausgewertet und insbesondere die Steuergr¨oße u berechnet, die bis zum n¨achsten Abtastzeitpunkt konstant gehalten wird, d.h. es wird ein Halteglied 0. Ordnung verwendet. Die kontinuierliche Strecke soll in der folgenden Zustandsform vorliegen x˙ p = f (xp , u)

(21.68a)

y = g (xp )

(21.68b)

wobei xp der Zustandsvektor der kontinuierlichen Strecke ist. In Modelica kann das Gesamtsystem folgendermaßen beschrieben werden: model Abtastsystem parameter Real T=0.1 "Abtastzeit"; parameter Real A[:, :], B[size(A, 1), :], C[:, size(A, 2)], D[size(C, 1), size(B, 2)] = zeros(size(C, 1), size(B, 2)); input Real w[size(B,2)] Real u [size(C,1)] Real y [size(B,2)] Real xc[size(A,1)] Real xp[:] equation // Strecke der(xp) = f(xp, u); y = g(xp);

"Sollsignal"; "Steuersignal"; "Messgr¨ oße"; "Reglerzustandsvektor"; "Streckenzustandsvektor";

// Regler when sample(0,T) then xc = A*pre(xc) + B*(w-y); u = C*pre(xc) + D*(w-y); end when; end Abtastsystem;

1132

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Die Gleichungen innerhalb einer when-Anweisung werden nur zu dem Zeitpunkt ausgef¨ uhrt, an dem die when-Bedingung (hier: sample(0,T)) wahr wird. Der sample Operator wird hierbei jeweils zu den Abtastzeitpunkten i T, i = 0, 1, 2, . . . wahr. Formal wird zu den Zeitpunkten, an denen die when-Bedingung wahr wird, ein Ereignis ausgel¨ost an dem die Integration angehalten wird. Am Ereignispunkt werden die kompletten Modellgleichungen ausgewertet, inklusive der Gleichungen in der when-Anweisung, da die when-Bedingung wahr geworden ist. Danach wird die Integration neu gestartet und fortgesetzt. W¨ahrend der Integration werden niemals die Gleichungen von when-Anweisungen ausgewertet. Die Werte von Variablen werden konstant gehalten, bis diese explizit neu berechnet werden. Zum Beispiel wird u nur zu den Abtastzeitpunkten berechnet. Zu anderen Zeitpunkten hat u den Wert der beim letzten Ereignis (= Abtastzeitpunkt) berechnet wurde. Innerhalb der when-Anweisung liegen die Gleichungen des linearen diskreten Reglers (21.67) vor. Hierbei ist zu beachten, dass im Regler der Wert des Reglerzustands xc sowohl beim aktuellen Abtastzeitpunkt xc (ti ) als auch vom vorherigen Abtastzeitpunkt xc (ti − T ) ben¨otigt wird. Hierzu wird im obigen ModelicaModell der pre-Operator benutzt. Formal ist der pre Wert einer Variablen x der linke Grenzwert, w¨ahrend x den rechten Grenzwert an einem Zeitpunkt t repr¨asentiert: pre(x) ≡ x(t− )

(21.69a)

x ≡ x(t+ )

(21.69b)

Demnach folgt, dass x(t) zum Zeitpunkt t stetig ist, wenn pre(x) = x ist. Durch geeignete Restriktionen in der Modelica-Sprache wird erreicht, dass w¨ahrend der kontinuierlichen Integration alle Variablen stetig sind, und dass nur an Ereignispunkten pre(x) = x gelten kann. Im obigen Modelica-Modell besitzt der Zustandsvektors xc des Reglers an jedem Abtastzeitpunkt eine unstetige Stelle. Hierbei ist der linke Grenzwert (= pre(xc)) der Wert des diskreten Zustandsvektors w¨ahrend der letzten T Sekunden, d.h. insbesondere vom letzten Abtastintervall xc (ti − T ). Der rechte Grenzwert (= xc) ist der Wert vom Zustandsvektor am aktuellen Abtastzeitpunkt xc (ti ). Der restliche Teil der Gleichungen in der when-Anweisung ist selbsterkl¨arend. Es stellt sich die Frage, in welcher Reihenfolge die Gleichungen des obigen Modells ausgewertet werden. Zum Beispiel k¨onnte man an einem Ereignispunkt zuerst die diskreten Gleichungen des Reglers auswerten, und danach die kontinuierlichen Gleichungen. Dies ist jedoch nicht der Fall, da in Modelica das Synchronit¨atsprinzip der synchronen Sprachen verwendet wird: Zu jedem Zeitpunkt dr¨ ucken die aktivierten Gleichungen Relationen zwischen Variablen aus, die gleichzeitig erf¨ ullt sein m¨ ussen. An einem Abtastzeitpunkt bilden die diskreten Gleichungen des Reglers und die kontinuierlichen Gleichungen der Strecke demnach ein gemeinsames algebrai-

21.9 Modelica — Hybride Systeme

1133

sches Gleichungssystem, welches nach den unbekannte Variablen aufzul¨osen ist. Formal wird dies durch Gleichungssortierung mit Hilfe der BLT-Transformation (siehe Kapitel 21.7) erreicht. F¨ ur die Sortierung wird angenommen, dass alle Konstanten, alle Eingangssignale, die kontinuierlichen Zust¨ande und die linken Variablen-Grenzwerte (= pre Werte) bekannt sind, dass alle anderen Variablen unbekannt sind, und dass die Gleichungen aller when-Anweisungen aktiv sind. Nach Anwendung der BLT-Transformation auf das obige Modelica-Modell ergibt sich die folgende Auswertungsreihenfolge: // bekannte Variablen: w, xp, pre(xc) y := g(xp); when sample(0,T) then xc := A*pre(xc) + B*(w-y); u := C*pre(xc) + D*(w-y); end when; der(xp) := f(xp, u);

Man beachte, dass diese Auswertungsreihenfolge sowohl korrekt ist, wenn nur die kontinuierlichen Gleichungen aktiv sind, als auch an einem Abtastzeitpunkt, wenn zus¨atzlich die diskreten Gleichungen des Reglers aktiv werden. Mit anderen Worten: Die sortierten Gleichungen ergeben die richtige Auswertungsreihenfolge der Gleichungen und k¨onnen als eine automatische Synchronisierung der kontinuierlichen und diskreten Gleichungen angesehen werden. Damit die unbekannten Gr¨oßen eindeutig berechnet werden k¨onnen, ist es notwendig, dass die Zahl der aktivierten Gleichungen und die Zahl der unbekannten Variablen zu jedem Zeitpunkt identisch ist. Aus diesem Grunde ist das folgende Beispiel kein korrektes Modelica-Modell: // Modell ist nicht richtig! ... Boolean close; equation ... when h1 < 3 then close = true; end when when h2 > 1 then close = false; end when

In diesem Modell soll ein Ventil bei Vorliegen bestimmter Sensordaten entweder ge¨offnet (close = true) oder geschlossen (close = false) werden. Wenn nun beide when-Bedingungen (h1 < 3, h2 > 1) zuf¨alligerweise oder auch beabsichtigt gleichzeitig wahr werden, gibt es zwei miteinander in Konflikt stehende Gleichungen f¨ ur die Bool’sche Variable close und es ist nicht definiert, welche

1134

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Gleichung verwendet werden sollte. Formal gibt es zwei Gleichungen f¨ ur eine Unbekannte (= close), so dass es keine eindeutige L¨osung geben kann und das ¨ Synchronit¨atsprinzip verletzt ist. Ein Modelica-Ubersetzer wird dieses Modell deswegen als fehlerhaft kennzeichnen. In Modelica kann das obige Model einfach in eine korrekte Form u uhrt ¨berf¨ werden, indem die in Konflikt stehenden Gleichungen in eine algorithm Sektion u uhrt und die Gleichungen in Zuweisungen umgewandelt werden: ¨berf¨ Boolean close; algorithm when h2 > 1 then close := false; elsewhen h1 < 3 then close := true; end when;

Alle Zuweisungen innerhalb derselben algorithm Sektion werden als eine Menge von n Gleichungen betrachtet, wobei n die Zahl der unterschiedlichen Variablen ist, die auf der linken Seite der Zuweisungen auftreten (z.B. entspricht die obige algorithm Sektion einer Gleichung f¨ ur die Unbekannte close). Die so definierten Gleichungen einer algorithm Sektion werden als ein zusammenh¨angender Modellteil betrachtet, der immer als Ganzes mit den restlichen Gleichungen und anderen algorithm Sektionen sortiert wird. Innerhalb einer algorithm Sektion werden die Zuweisungen in der aufgef¨ uhrten Reihenfolge ausgef¨ uhrt. In einer algorithm Sektion kann eine when Anweisung verschiedene elsewhen Zweige haben. Durch diese Definition hat der erste Zweig mit h2 > 1 eine h¨ohere Priorit¨at und es gibt keine Konflikte mehr. Man beachte jedoch, dass eine zus¨atzliche Gleichung f¨ ur close außerhalb der obigen algorithm Sektion wiederum zu einem Fehler f¨ uhren w¨ urde, da es dann wieder Mehrdeutigkeiten bei der Berechnung von close geben w¨ urde. Mit anderen Worten: Mehrdeutigkeiten m¨ ussen vom Modellierer anhand der physikalischtechnischen Gegebenheiten explizit aufgel¨ost werden. Das in Modelica verwendete Synchronit¨atsprinzip zur Beschreibung von gemischt zeit-kontinuierlich und ereignis-diskreten Systemen hat den Vorteil, dass die Synchronisierung“ zwischen den kontinuierlichen und diskreten Modelltei” len automatisch durch die Gleichungssortierung erfolgt, und dass ein korrektes Modelica-Modell immer ein deterministisches Verhalten ohne Konflikte besitzt. Der Nachteil dieser Vorgehensweise besteht darin, dass es in einigen Anwendungen schwierig sein kann, ein diskretes System in einen Satz von synchronen, diskreten Gleichungen zu u uhren. Weiterhin ist die Art der modellierbaren ¨berf¨ diskreten Systeme eingeschr¨ankt. Zwar k¨onnen in Modelica diskrete Formalismen, wie endliche Automaten, priorisierte Petri-Netze [887] und Statecharts mit einer speziellen Semantik, direkt realisiert werden; nicht beschreiben lassen sich jedoch z.B. allgemeine Petri-Netze (da diese ein nicht-deterministisches Verhalten besitzen) oder allgemeine prozessorientierte Vorg¨ange (da durch das Erzeugen und L¨oschen von Prozessen im Quellcode nicht bekannt ist, welche Variablen

21.9 Modelica — Hybride Systeme stetige Fortsetzung bei der Bestimmung des Umschaltpunktes

1135

y y0

u

u

y

-y0 Abb. 21.33: Zweipunktregler

w¨ahrend der Simulation auftreten). Solche diskreten Formalismen k¨onnen in Modelica nur durch den Aufruf von externen Funktionen realisiert werden, in denen der entsprechende Formalismus zur Verf¨ ugung gestellt wird. Unstetige Systeme W¨ahrend der Integration der kontinuierlichen Systemteile m¨ ussen die Modellgleichungen stetig und differenzierbar sein, da alle numerischen Integrationsverfahren auf dieser Annahme basieren. Diese Voraussetzung wird leicht durch die Verwendung von if-Anweisungen verletzt. Zum Beispiel werde ein einfacher Zweipunktregler, siehe Abb. 21.33, mit der Eingangsgr¨oße u und der Ausgangsgr¨oße y durch das folgende Modelica-Modell beschrieben: block TwoPoint parameter Real y0=1; input Real u; output Real y; equation y = if u > 0 then y0 else -y0; end TwoPoint

Wenn u=0 ist, w¨ urde es in den Modellgleichungen w¨ahrend der Integration eine Unstetigkeit geben, wenn die if-Anweisung w¨ortlich (wie in einer Programmiersprache) interpretiert werden w¨ urde. Potentiell k¨onnen unstetige bzw. nicht-differenzierbare Punkte w¨ahrend der Integration auftreten, wenn eine Relation (wie z.B. x1 > x2 ) ihren Wert ¨andert, da dann z.B. der Zweig in einer if-Anweisung gewechselt wird. Eine solche Situation kann numerisch zuverl¨assig durch ein Zustandsereignis (engl.: state event) behandelt werden, d.h. indem zuerst der Zeitpunkt des Schaltens m¨oglichst genau ermittelt, die Integration an diesem Zeitpunkt angehalten, in den neuen Zweig der if-Anweisung gewechselt, und dann die Integration neu gestartet wird. Diese Technik wurde von Cellier [841] entwickelt. Details einer entsprechenden numerischen Realisierung sind auch in Kapitel 6 von [851] beschrieben.

1136

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Im allgemeinen ist es nicht m¨oglich, durch die Analyse des Quelltextes eines Modelica-Modells zu ermitteln, ob eine spezifische Relation zu einer Unstetigkeit f¨ uhrt oder nicht. Deswegen wird in Modelica die konservative Haltung eingenom¨ men, dass die Werte-Anderung einer Relation zu einem unstetigen oder nichtdifferenzierbaren Punkt im Modell f¨ uhrt, die durch ein entsprechendes (automatisch ausgel¨ostes) Zustandsereignis numerisch korrekt abgehandelt wird. Das obige Model eines Zweipunktreglers f¨ uhrt deswegen nicht zu einer Unstetigkeit w¨ahrend der Integration. Stattdessen wird an der Stelle u = 0 ein Zustandsereignis ausgel¨ost an dem die Integration angehalten wird, bevor der if-Zweig gewechselt wird. Man beachte, dass w¨ahrend der Ermittlung des genauen Umschaltzeitpunktes der Relation (u > 0) der if-Zweig noch nicht ge¨andert wird, so dass beim Zweipunktregler in dieser Situation y = y0 auch bei kleinen negativen Werten von u gilt, siehe auch Abb. 21.33. In speziellen Situationen f¨ uhrt der Wertewechsel von Relationen nicht zu unstetigen oder nicht-differenzierbaren Punkten. Selbst wenn solche Punkte vorhanden sind, kann der Effekt so klein sein, dass die Integration davon kaum beeinflusst wird, auch wenn einfach u ¨ ber diese Stelle hinwegintegriert wird. Schließlich gibt es F¨alle, in denen eine w¨ortliche Interpretation einer if-Anweisung zwingend gefordert wird, da ansonsten der Definitionsbereich einer Funktion verlassen wird. Dies tritt im folgenden Beispiel auf, bei dem das Argument der Funktion sqrt (= Berechnung der Wurzel des Arguments) nicht negativ sein darf, da es ansonsten keine reelle L¨osung gibt: y = if u >= 0 then sqrt(u) else -sqrt(-u);

Dieses Modelica-Modell f¨ uhrt w¨ahrend der Simulation zu einem Fehler, da bei der Iteration zur Ermittlung des genauen Umschaltzeitpunktes bei u = 0 der if-Zweig erst gewechselt wird, wenn dieser Umschaltzeitpunkt genau genug ermittelt ist. Bei der Ermittlung des Umschaltzeitpunktes werden aber auch (kleine) negative Werte von u auftreten, da nur dann festgestellt werden kann, dass die Relation u >= 0 ihren Wert ¨andern wird. Dies bedeutet, dass die Funktion sqrt(u) w¨ahrend der Integration mit einem (kleinen) negativen Argumentwert aufgerufen wird, was zu einem Laufzeitfehler f¨ uhrt. In allen oben aufgef¨ uhrten Situationen kann der erfahrene Modellierer eine w¨ortliche Interpretation einer Relation durch Verwendung des noEvent() Operators erzwingen. Dieser Operator schaltet die automatische Erzeugung von Zustandsereignissen ab: y = if noEvent(u >= 0) then sqrt(u) else -sqrt(-u);

In diesem Fall wird also kein Zustandsereignis bei u = 0 generiert und es ist garantiert, dass die Funktionen sqrt(u) und sqrt(-u) nur mit nicht-negativen Argumenten aufgerufen werden. Mit dem Operator smooth() kann die Glattheit eines Ausdruckes definiert werden, z.B. definiert y = smooth(1, if u >= 0 then uˆ2 else uˆ3);

,

21.9 Modelica — Hybride Systeme

1137

dass der in Klammern stehende Ausdruck bis zur ersten Ableitung stetig ist. Eine Modelica Simulationsumgebung wird deswegen in der Regel kein Ereignis bei u = 0 ausl¨osen. Wenn der Ausdruck jedoch bei der Transformation auf Zustandsform zweimal differenziert werden muss, dann ist die zweite Ableitung unstetig und die Modelica Simulationsumgebung wird dann ein Ereignis ausl¨osen. Sollte dreimal differenziert werden m¨ ussen, wird dies in der Regel zu einer Fehlermeldung f¨ uhren, da die Differentiation einer unstetigen Funktion auf Dirac-Impulse f¨ uhrt. Synchronisierung von Ereignissen In manchen F¨allen sollen die Gleichungen unterschiedlicher diskreter Komponenten (d.h. von verschiedenen when-Anweisungen) garantiert zum selben Zeitpunkt ausgewertet werden. In einfachen F¨allen wird eine solche EreignisSynchronisierung durch Verwendung derselben Bool’schen Variablen als whenBedingung erreicht, z.B.: Boolean sampleEvent; equation sampleEvent = sample(0,2); ... when sampleEvent then ... end when; ... when sampleEvent then ... end when;

// Abtastung alle 2 Sekunden

Hier wird garantiert, dass die Gleichungen der beiden when-Anweisungen immer zum selben Zeitpunkt aktiviert werden. In Modelica gibt es keine Garantie, dass verschieden definierte Ereignisse zum selben Zeitpunkt ausgel¨ost werden. Zum Beispiel: fastSample = sample(0,1); slowSample = sample(0,5);

In exakter Arithmetik werden die Bool’schen Variablen fastSample und slowSample alle 5 Sekunden gleichzeitig wahr. In Modelica gibt es jedoch keine Garantie, dass dies auch wirklich der Fall ist, da auf Grund kleiner numerischer Fehler, die beiden Ereignispunkte eventuell nur sehr dicht beieinander liegen. Wenn eine solche Eigenschaft jedoch ben¨otigt wird, muss die entsprechende Synchronisierung explizit modelliert werden, zum Beispiel durch die Verwendung von Z¨ahlern, wie im folgenden Beispiel: Boolean fastSample, slowSample; Integer ticks(start=0, fixed=true);

1138

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

equation // Definiere k¨ urzeste Abtastzeit fastSample = sample(0,1); // Definiere Abtastzeit, die 5-Mal langsamer ist when fastSample then ticks = if pre(ticks)<5 then pre(ticks)+1 else 0; slowSample = pre(ticks) == 0; end when; // Definiere Gleichungen f¨ ur die // unterschiedlichen Abtastzeiten when fastSample then // schnelle Abtastung ... end when; when slowSample then ... end when;

// langsame Abtastung

Die Synchronisierung wird hier dadurch erreicht, dass der sample-Operator nur zur Definition der k¨ urzesten Abtastzeit (= fastSample) verwendet wird. Die langsamere Abtastung wird durch Abz¨ahlen der fastSample Abtastungen ermittelt. Neuinitialisierung von kontinuierlichen Zust¨ anden An Ereignispunkten k¨onnen kontinuierliche Zust¨ande x mit dem reinit Operator reinit(x, expr);

neu initialisiert werden, bevor die Integration wieder gestartet wird. Hierbei wird eine neue Gleichung der Form x = expr;

eingef¨ uhrt, wobei x der neue Wert des Zustands (= rechter Grenzwert x(t+ ) der Variable) und expr der Ausdruck zur Berechnung dieses Neuwertes ist. Zum Beispiel besitzt im folgenden Modell block PT1reset parameter Real parameter Real input Boolean input Real output Real protected Real

T k reset u; y;

"Zeitkonstante"; "Verst¨ arkung"; "Setze Zustand zur¨ uck, wenn true";

x

"Zustand von PT1 Block";

21.9 Modelica — Hybride Systeme

1139

equation der(x) = (u - x) / T; y = k*x; when reset then reinit(x, 0.0); end when; end PT1reset;

eines PT1-Blocks die Komponente ein zus¨atzliches Bool’sches Eingangssignal reset, um den Zustand des Blocks auf Null zur¨ uckzusetzen, wenn reset wahr wird. Auf den ersten Blick verletzt der reinit Operator das Synchronit¨atsprinzip, da eine neue Gleichung eingef¨ uhrt wird, aber keine neue unbekannte Variable, d.h. die Zahl der Gleichungen und die Zahl der Unbekannten kann nicht mehr u ¨bereinstimmen. Das w¨are auch tats¨achlich der Fall, wenn nur die Gleichung x = expr;“ hinzugenommen werden w¨ urde. Der reinit-Operator hat jedoch ” die zus¨atzliche Semantik, dass die f¨ ur die Sortierung eigentlich als bekannt angenommene Zustandsvariable x als unbekannt angesehen wird. Damit f¨ uhrt der reinit-Operator also nicht nur eine neue Gleichung, sondern auch eine neue Unbekannte ein. Bei der BLT-Transformation werden damit die Gleichungen so sortiert, dass die durch den reinit-Operator neu eingef¨ uhrte Gleichung vor allen anderen Gleichungen platziert wird, in denen x verwendet wird. Der reinit-Operator kann auch zur Modellierung von Impulsen verwendet werden. Zum Beispiel ist in Abb. 21.34 ein Massenpunkt (z.B. Ball) zu sehen, der unter dem Einfluss der Gravitation nach unten f¨allt und mit dem Boden kollidiert. Die Kollision soll hierbei durch einen Impuls nach dem Newton’schen g H

Abb. 21.34: Springender Ball

Stoßgesetz beschrieben werden, d.h. die Geschwindigkeit des Balls nach dem Stoß besitzt ein anderes Vorzeichen und ist proportional zur Geschwindigkeit kurz vor dem Stoß mit dem Stossfaktor (= Materialkonstante) als Proportionalit¨atsfaktor: model BouncingBall1 parameter Real e(min=0,max=1) = 0.7 parameter Real g=9.81 Real H

"Stossfaktor"; "Gravitation"; "H¨ ohe";

1140

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Real V equation der(H) = V; der(V) = -g;

"Geschwindigkeit";

when H <= 0 then reinit(V, -e*pre(V)); end when; end BouncingBall1;

Wenn die H¨ohe verschwindet oder negativ wird, wird ein Zustandsereignis ausgel¨ost, d.h. die Integration wird angehalten, und die Geschwindigkeit wird neu initialisiert. Man beachte, dass zum Stosszeitpunkt th die folgenden Beziehungen gelten: pre(V ) ≡ V (t− h)

(21.70a)

≡ V (t+ h)

(21.70b)

V

+ Hierbei ist V (t− h ) die Geschwindigkeit bevor der Stoß stattfindet und V (th ) ist die Geschwindigkeit kurz danach. Das obige Modell hat den Nachteil, dass es die beabsichtigte Situation nicht immer korrekt beschreibt. Man nehme zum Beispiel an, dass die Kollision mit dem Boden vollst¨andig plastisch ist (e=0). In diesem Fall verschwindet die Geschwindigkeit nach dem Stoß und nach dem Neustart der Integration wird der Ball einfach weiter (durch den Boden) fliegen, ohne am Boden liegen zu bleiben. Der Grund liegt darin, dass kein neues Zustandsereignis ausgel¨ost wird, da beim Ereignispunkt und beim Neustart der Integration die Relation H ≤ 0 wahr ist bzw. wahr bleibt. Die Gleichungen der when-Anweisung werden jedoch nur zu dem Zeitpunkt ausgef¨ uhrt, an dem die when-Bedingung wahr wird. Wenn e > 0 ist und die Simulation lange genug andauert, wird die Geschwindigkeit beim Neustart der Integration sehr klein werden. Beim Neustart der Integration ist aber H in der Regel klein aber negativ. Dies kann dazu f¨ uhren, dass die Geschwindigkeit beim Neustart nicht groß genug ist, um den Ball u ¨ ber die H¨ohe Null zu heben (H > 0). Auch in diesem Fall wird der Ball weiter durch den Boden fliegen, siehe auch Abb. 21.35). Offensichtlich arbeitet das Modell in beiden F¨allen nicht auf die beabsichtigte Weise. In diesem speziellen Fall k¨onnen die Modellgleichungen so umgeschrieben werden, dass die erl¨auterten Probleme nicht auftreten. Hierzu werden zwei Modellstrukturen eingef¨ uhrt: Bei der ersten fliegt der Ball unter dem Einfluss der Gravitation, bei der zweiten bleibt der Ball am Boden liegen, und es wird auf geeignete Weise von der ersten in die zweite Modellstruktur umgeschaltet:

model BouncingBall2 parameter Real e(min=0,max=1) = 0.7 "Stossfaktor"; parameter Real g=9.81 "Gravitation"; Real H(start=1, fixed=true) "H¨ ohe";

21.9 Modelica — Hybride Systeme 1.2

1141

H

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 0

1

2

3

4

Abb. 21.35: Springender Ball, Version 1

Real V "Geschwindigkeit; Boolean flying(start=true, fixed=true) "Modellstruktur"; equation der(H) = V; der(V) = if flying then -g else 0; flying = not( H <= 0 and V <= 0); when H <= 0 then reinit(V, -e*pre(V)); end when; end BouncingBall2;

Nach dem Stoß fliegt der Ball mit einer positiven Geschwindigkeit nach oben. Beim Umkehrpunkt ¨andert sich das Vorzeichen der Geschwindigkeit und der Ball fliegt wieder nach unten. Mit der Bool’schen Variable flying wird festgelegt, dass in die zweite Modellstruktur umgeschaltet wird, wenn der Ball sowohl eine negative H¨ohe wie auch eine negative Geschwindigkeit hat, so dass der Ball am Boden liegen bleibt, siehe auch Abb. 21.36 Der reinit() Operator ist nur begrenzt n¨ utzlich, da er nicht praktikabel auf technisch wichtige Fragestellungen, wie mechanische oder elektrische Impulse, angewandt werden kann. Hier sind Erweiterungen bei der Modelica-Sprache geplant, wobei Operatoren f¨ ur Impulse direkt in die Sprache eingef¨ uhrt werden. Hybride Operatoren In Modelica werden eine Reihe von vordefinierten Operatoren zur Verf¨ ugung gestellt, die dieselbe Syntax wie ein Funktionsaufruf besitzen. Diese Operatoren sind jedoch keine mathematischen Funktionen, da das Ergebnis eines Operatoraufrufs nicht nur von den Eingangsargumenten abh¨angt, sondern auch vom Status der Simulation. In Tabelle 21.13 werden die speziellen Operatoren f¨ ur kon-

1142

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter 1.2

H

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 0

1

2

3

4

5

Abb. 21.36: Springender Ball, Version 2

tinuierlich/diskrete Systeme zusammengestellt. Einige dieser Operatoren wurden schon im Detail diskutiert. Tabelle 21.13: Hybride Operatoren in Modelica

Operator initial() terminal() smooth(expr) noEvent(expr) sample(start,interval) pre(y) edge(b) change(v) reinit(x,expr)

Bedeutung true beim Start der Integration. true am Ende der Integration. expr ist p-Mal stetig differenzierbar. Relationen in expr f¨ uhren nicht zu Ereignissen. true wenn time = start + i· interval“ (i = ” 0, 1, . . .). Linker Grenzwert y(t− ) der Variable y(t). = b and not pre(b); f¨ ur die Bool’sche Variable b. = v <> pre(v); f¨ ur Bool’sche und Integer Variable v. Neuinitialisierung von x mit expr“ an einem Er” eignispunkt. Nur erlaubt, wenn im Modell auch der(x) auftritt.

Ereignis-Iteration Wie auf Seite 1132 schon erl¨autert, wird der linke Grenzwert einer Variablen x ¨ durch pre(x) charakterisiert. Ublicherweise werden pre-Operatoren in whenAnweisungen verwendet, was unproblematisch ist. In einigen F¨allen, siehe insbesondere den n¨achsten Abschnitt 21.10, wird der pre-Operator jedoch auch außerhalb von when-Anweisungen eingesetzt. Ohne entsprechende Vorsichtsmaß-

21.9 Modelica — Hybride Systeme

1143

nahmen k¨onnen dadurch Unstetigkeiten in die Modellgleichungen w¨ahrend der Integration eingef¨ uhrt werden, wie im folgenden Beispiel verdeutlicht wird: ... off = s < 0 or pre(off) and not fire; der(x) = if off then -x else -2*x;

Wir nehmen an, dass beim Eintreten eines Ereignisses pre(off) = false ist, und dass off nach dem Auswerten der obigen Modellgleichungen den Wert true erh¨alt. Bevor die Simulation jetzt neu gestartet wird, muss der Wert von pre(off) auf den Wert von off gesetzt werden, da w¨ahrend der nachfolgenden Integration off seinen Wert nicht a¨ndern und damit der linke Grenzwert von off immer gleich dem rechten Grenzwert sein soll. Beim Neustart der Integration ist also pre(off) = off = true. Nach dem Neustart wird der Integrator einen Schritt durchf¨ uhren. Hierzu wird zu einem Zeitpunkt nach dem aufgetretenen Ereignis das Modell neu ausgewertet. Da bei dieser Auswertung pre(off) = true ist (bei der Auswertung am Ereignispunkt war pre(off) = false), kann es sein, dass ein anderer Wert von off ausgerechnet wird, so dass dann die Ableitung der(x) unstetig ge¨andert wird. Um solche Situationen zu vermeiden, werden die Modellgleichungen an einem Ereignispunkt iterativ solange ausgewertet, bis sich keine der pre-Variablen mehr ¨andert. Diese Iteration wird im folgenden als Ereignis-Iteration bezeichnet. ¨ Ein Modelica-Ubersetzer erzeugt deswegen f¨ ur das obige Beispiel den folgenden Code: loop

// wird zum Modell hinzugef¨ ugt ... off := s < 0 or pre(off) and not fire; der(x) := if off then -x else -2*x;

if event() then // wird zum Modell hinzugef¨ ugt if off == pre(off) then break; pre(off) := off else break; end if end loop

Durch die Ereignis-Iteration wird damit garantiert, dass nach dem Neustart der Integration alle Bool’schen und Integer-Gleichungen exakt dasselbe Resultat liefern, wie am letzten Ereignispunkt, vorausgesetzt die in den Gleichungen auftretenden Relationen (wie s < 0) a¨ndern sich nicht. Es wird also garantiert, dass diskrete Gleichungen außerhalb von when-Anweisungen w¨ahrend der Integration keine Unstetigkeiten einf¨ uhren.

1144

21.10

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Modelica — Strukturvariable Systeme

In diesem Abschnitt werden ideale Schaltelemente untersucht, und es wird gezeigt, wie diese mit den Techniken vom letzten Abschnitt modelliert und simuliert werden k¨onnen. Schwierigkeiten treten hier vor allem dadurch auf, dass solche Komponenten in der Regel auf strukturvariable Systeme f¨ uhren, die eine große Anzahl unterschiedlicher Schaltstrukturen besitzen. 21.10.1

Ideale elektrische Schaltelemente

Wenn gen¨ ugend genau modelliert wird, treten in der Regel keine Unstetigkeiten in einem System auf. Unstetigkeiten in einem Modell ergeben sich auf Grund von vereinfachten Annahmen u ¨ber das reale System. Diese werden getroffen, um die Rechenzeit der Simulation deutlich zu reduzieren, indem die Integratoren sehr ” genaue Modellteile“, wie z.B. sehr steile Kennlinien, nicht simulieren m¨ ussen. Weiterhin wird der Identifikationsaufwand von Modellparametern verringert, da die Modellkonstanten der sehr genauen Modellteile“ nicht ben¨otigt werden. ” Ideale Dioden-Kennlinie

Detaillierte Dioden-Kennlinie I

I

I U

U

U

Abb. 21.37: Detaillierte und idealisierte Dioden-Kennlinie

Als Beispiel ist im linken Teil von Abb. 21.37 die detaillierte Kennlinie einer Diode zu sehen. Diese kann im Arbeitsbereich der Diode durch die idealisierte Kennlinie im rechten Teil von Abb. 21.37 approximiert werden. F¨ ur die Simulation des Leistungsteils eines elektrischen Motors ist es in der Regel vollkommen ausreichend, idealisierte Diodenmodelle zu verwenden, da die exakte Durchlassspannung sowie die Zeitdauer des Schaltens im Vergleich zu den anderen interessierenden Effekten unerheblich ist. Die Simulation wird dadurch um ein bis zwei Gr¨oßenordnungen schneller, ohne dass am Simulationsergebnis ein signifikanter Unterschied, im Vergleich zu einer Simulation unter Verwendung von detaillierteren Dioden-Kennlinien, erkennbar ist. Die detallierte Dioden-Kennlinie im linken Teil von Abb. 21.37 kann problemlos modelliert werden, da nur der Strom I als Funktion des Spannungsabfalls U in analytischer Form oder mittels einer tabellierten Kennlinie, angegeben werden

21.10 Modelica — Strukturvariable Systeme

1145

muss. Im Gegensatz dazu ist es auf den ersten Blick nicht klar, wie die ideale Dioden-Kennlinie im rechten Teil von Abb. 21.37 modelliert werden kann, da der Strom bei U = 0 nicht mehr als Funktion des Spannungsabfalls U angegeben werden kann, d.h. eine mathematische Funktionsdarstellung der Form I = f (U) ist nicht m¨oglich. Neben einer y = f (x) Darstellung kann eine Kurve jedoch auch in einer parameterisierten Form als y = f (s) x = g(s) beschrieben werden. Es wird also ein Bahnparameter s eingef¨ uhrt und die Abszisse und Ordinate werden als Funktion von s angegeben. Mit dieser Art der Beschreibung ist es einfach, die ideale Dioden-Kennlinie zu beschreiben, siehe erste Zeile von Tabelle 21.14. Tabelle 21.14: Ideale elektrische Schaltelemente I1

I2

V1

U V2 I1

Ideale Diode

s s

U

0 = I 1 + I2 U = V 1 − V2 on = s ≥ 0 U = if on then 0 else s I1 = if on then s else 0

s=0 fire I1

I2

V1

U V2

Idealer Thyristor (= nur einschaltbar)

I1

fire = true s

s

s U

s=0 fire

Idealer GTO-Thyristor (= ein- und ausschaltbar)

I1

I2

V1

U V2 I1 fire = true s s

s s=0

fire = false

0 = I 1 + I2 U = V 1 − V2 on = s ≥ 0 and (pre (on) or fire) U = if on then 0 else s I1 = if on then s else 0

0 = I 1 + I2 U = V 1 − V2 on = s ≥ 0 and fire U = if on then 0 else s I1 = if on then s else 0

U

Hierbei werden dieselben Schnittstellen-Variablen wie bei den einfachen elektrischen Komponenten von Tabelle 21.2 auf Seite 1062 benutzt: I1 und I2 sind

1146

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

die bei den beiden Klemmen einfließenden Str¨ome, V1 und V2 sind die Potentiale an den Klemmen und U ist der Spannungsabfall zwischen den beiden Klemmen. Die Parametrierung der Dioden-Kennlinie ist am Beginn der zweiten Spalte von Tabelle 21.14 zu sehen. Der Bahnparameter s wird so gew¨ahlt, dass der Ursprung bei s = 0 zu liegen kommt und s bei sperrender Diode dem Spannungsabfall U und bei leitender Diode dem Strom I1 entspricht, siehe auch Abb. 21.38. Die entsprechenden Gleichungen zur Beschreibung dieser Komponente sind in der dritten Spalte von Tabelle 21.14 aufgef¨ uhrt. Die Bool’sche Variable on wird benutzt, um die beiden Betriebsarten der Diode zu kennzeichnen und wird aus dem Bahnparameter berechnet (on = s ≥ 0). U

I1

s

s

Abb. 21.38: Parametrisierte Kennlinie der idealen Diode

Diese Beschreibungsart der idealen Diode ist vollst¨andig und in einer deklarativen Form (im Gegensatz zu einer funktionalen Darstellung der Schaltstruktur z.B. mit Hilfe eines endlichen Automaten). Aus Anwendersicht ist diese Art der Modellierung sehr einfach. Es werden jedoch erh¨ohte Anforderungen an die Simulationsumgebung gestellt, um eine solche Komponentendarstellung zuverl¨assig und effizient simulieren zu k¨onnen. Dies soll an dem in Abb. 21.39 dargestellten Gleichrichterkreis verdeutlicht werden. I0

V0

R1

I1 D1 V1

U0

UR , IR R2 C

D3 I3 V3 I4

D2

UC i2

Abb. 21.39: Gleichrichterkreis

D4

21.10 Modelica — Strukturvariable Systeme

1147

In diesem Schaltkreis werden vier Dioden (mit dem oben erl¨auterten idealen Diodenmodell ) eingesetzt, um aus einer Wechselspannung U0 am Lastwiderstand R2 eine Gleichspannung UR zu erzeugen. Dieser Br¨ uckengleichrichter hat zwei wesentliche Schaltstrukturen: Wenn der Strom I0 der Spannungsquelle positiv ist, sind die Dioden D1 und D4 leitend, und die Dioden D2 und D3 sperren. Wenn der Strom I0 negativ ist, leiten die Dioden D2 und D3 und die Dioden D1 und D4 sperren. In beiden F¨allen fließt ein Strom von links“ nach rechts“ durch ” ” die Last (R2 , C). Mit Dymola erzeugte Simulationsergebnisse sind in Abb 21.40 zusammengestellt. Im rechten Teil von Abb. 21.40 ist an dem Strom der Spannungsquelle I0 deutlich zu sehen, wann die Dioden leitend sind und wann sie sperren. Am Strom IR ist der erzeugte Gleichstrom zu erkennen. 4

200

I

0

U

3

R

100

Strom in [A]

Spannung in [V]

150

50 0 -50

1

IR

0

U

-100

2

0

-150

-1

-200 0

0.02

0.04 0.06 Zeit in [s]

0.08

0.1

-2

0

0.02

0.04 0.06 Zeit in [s]

0.08

0.1

Abb. 21.40: Simulationsergebnisse des Gleichrichterkreises von Abb. 21.39

Werden die Gleichungen dieses Gleichrichterkreises aufgestellt, vereinfacht, sortiert und Gleichungssysteme mit dem Tearing-Verfahren reduziert, so ergibt sich unter Verwendung des Diodenmodells von Tabelle 21.14 und mit den Variablen-Bezeichnungen von Abb. 21.39 die Zustandsform: U˙ c = f (Uc , t)

(21.71)

wobei in Tabelle 21.15 die Anweisungen zur Berechnung der Funktion f (Uc , t) angegeben sind. Hierbei sind s1 , s2 , s3 , s4 die Bahnparameter der entsprechenden Dioden und m1 , m2 , m3 , m4 die Bool’schen Variablen der Dioden, die den leitenden Zustand charakterisieren. In den Gleichungen wird der Wert true einer Bool’schen Variablen durch 1 und der Wert false durch 0 repr¨asentiert (z.B. −m2 /R2 = −1/R2 wenn m2 = true). Wie in Tabelle 21.15 zu sehen ist, bestehen die Gleichungen aus drei Gleichungsbl¨ocken. Der 1. und 3. Block von Gleichungen besteht aus rekursiv auswertbaren Zuweisungen, um letztendlich die Ableitung der Zustandsgr¨oße U˙ c zu bestimmen. Der zweite Gleichungsblock besteht jedoch aus einem gekoppelten Satz von acht Gleichungen zur Berechnung der acht Unbekannten

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

1148

Tabelle 21.15: Sortierte Gleichungen des Gleichrichterkreises von Abb. 21.39 input: t, Uc output: U˙ c 1

2

3

U0 := 220 · sin(2 · π · 50 · t) m1 = s 1 ≥ 0 m2 = s 2 ≥ 0 m3 = s 3 ≥ 0 m ⎡ 4 = s4 ≥ 0

⎤⎡ 0 1 − m2 0 1 − m4 ⎢ ⎥⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎢ 1 − m1 m2 − 1 1 − m3 m4 − 1 ⎥⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎢ (1 − m1 )/R1 + m1 (m2 − 1)/R1 −m3 ⎥⎢ 0 ⎣ ⎦⎣ −m1 −m2 m3 m4 V1 V3 UR IR I4 I3 Ic U˙ c

:= := := := := := := :=

⎤ ⎡

−Uc ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ s2 ⎥ ⎢ 0 ⎥=⎢ ⎥ ⎢ s3 ⎥ ⎢ −U0 /R1 ⎦ ⎣ s4 0

s1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(m2 − 1) · s2 (1 − m4 ) · s4 V 1 − V3 UR /R2 m4 · s 4 m3 · s 3 I 3 + I4 + IR Ic /C

m1 , m2 , m3 , m4 , s1 , s2 , s3 , s4 . Wie im vorigen Abschnitt 21.9 erl¨autert, werden w¨ahrend der kontinuierlichen Integration die Relationen (hier: s1 ≥ 0, s2 ≥ 0, s3 ≥ 0, s4 ≥ 0) nicht ge¨andert. Damit ¨andern sich auch die Bool’schen Variablen m1 , m2 , m3 , m4 nicht. In dieser Situation m¨ ussen die ersten vier Gleichungen im Gleichungsblock 2 zur Berechnung der Variablen mi deswegen nicht ausgewertet werden16 und die n¨achsten vier Gleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem in den vier reellen, unbekannten Variablen s1 , s2 , s3 , s4 , welches problemlos, z.B. mit dem Gauß’schen Algorithmus, gel¨ost werden kann. Wenn eine der Relationen ihren Wert ¨andert, wird der Umschaltpunkt genau ermittelt und die Integration an dieser Stelle angehalten. Vor einem Neustart werden die (sortierten) Modellgleichungen einmal ausgewertet. Jetzt beschreibt der zweite Gleichungsblock ein Gleichungssystem, das aus vier Bool’schen Gleichungen und vier reellen Gleichungen besteht, also ein gemischt kontinuierlich/diskretes Gleichungssystem bildet, welches nach den vier unbekannten, reellen Variablen s1 , s2 , s3 , s4 und den unbekannten Bool’schen Variablen m1 , m2 , m3 , m4 gel¨ost werden muss. Dieses Problem kann nicht mit einem Stan16 Generell gilt, dass Bool’sche Gleichungen und Integer-Gleichungen w¨ ahrend der Integration nicht ausgewertet zu werden brauchen, da bei festen Relationen immer dasselbe Ergebnis berechnet wird.

21.10 Modelica — Strukturvariable Systeme

1149

dardalgorithmus, wie z.B. dem Gaus’schen Algorithmus, gel¨ost werden, da es reelle und Bool’sche Unbekannte gibt. Jedoch k¨onnen Erweiterungen konstruiert werden, die im wesentlichen darauf basieren, dass eine Annahme u ¨ber den Wert der auftretenden Relationen getroffen wird. Unter dieser Annahme werden die Bool’schen Gleichungen ausgewertet und dann die reellen Gleichungen gel¨ost. Schließlich wird gepr¨ uft, ob die L¨osung mit der Annahme u ¨bereinstimmt. Wenn dies nicht der Fall ist, wird die Annahme korrigiert und die Iteration wird fortgesetzt. Im obigen Fall k¨onnte zum Beispiel angenommen werden, dass alle Relationen si ≥ 0 den Wert true liefern. Dann ist mi = true und die n¨achsten vier reellen Gleichungen k¨onnen gel¨ost werden. Wenn die L¨osung des Gleichungssystems nicht zu einem negativen Wert f¨ ur alle si f¨ uhrt, war die Annahme offensichtlich falsch, und es muss eine neue Annahme getroffen werden. Annahmen k¨onnen z.B. dadurch neu getroffen werden, dass die letzte L¨osung des reellen Gleichungssystems zur Berechnung der Relationen benutzt wird, die dann als Annahme in der n¨achsten Iteration verwendet werden. Alternativ k¨onnen auch systematisch alle denkbaren Werte-Kombinationen der Relationen durchprobiert werden (im obigen Fall gibt es 24 = 16 m¨ogliche Kombinationen). Nachdem letztendlich eine konsistente L¨osung des gemischt kontinuierlich/diskreten Gleichungssystems ermittelt wurde, werden die restlichen Modellgleichungen ausgewertet und die Simulation neu gestartet, d.h. die Integration wird fortgesetzt. In jeder Schaltstellung (= f¨ ur jeden Wert der Relationen) kann das Gleichungssystem in der Regel weiter vereinfacht werden. Wenn n gekoppelte Schalter vorliegen, gibt es 2n verschiedene Schaltstellungen, so dass die Zahl der Schaltstellungen bei einer gr¨oßeren Zahl von gekoppelten Schaltern schnell sehr groß wird und eine Code-Erzeugung f¨ ur jede Schaltstellung unpraktikabel wird. F¨ ur ein Simulationssystem ist dies jedoch unkritisch, da es immer m¨oglich ist, nur ein Gleichungssystem f¨ ur alle Schaltstellungen zu erzeugen, siehe (21.15), und dieses Gleichungssystem numerisch zu l¨osen. In diesem Fall machen sich die unterschiedlichen Schaltstellungen nur dadurch bemerkbar, dass sich die Gleichungsstruktur an Ereignispunkten ¨andert. Zusammengefasst kann festgehalten werden, dass strukturvariable Komponenten, wie ideale Dioden, durch eine Parameterdarstellung der entsprechenden Kennlinie modelliert werden k¨onnen. Aus Benutzersicht ist dieses Vorgehen sehr eing¨angig. Ein solches Modell f¨ uhrt an Ereignispunkten auf gemischt kontinuierlich/diskrete Gleichungssysteme, die mit entsprechenden Algorithmen gel¨ost werden m¨ ussen. Die Methode, Kennlinien durch eine Parameterdarstellung zur beschreiben, wurde in [844] vorgeschlagen. In [892] wird gezeigt, dass dieses Verfahren auf gemischt kontinuierlich/diskrete Gleichungssysteme f¨ uhrt und es werden Algorithmen zu deren L¨osung skizziert. Zur Vertiefung dieser Vorgehensweise sind in Tabelle 21.14 auf Seite 1145 noch weitere strukturvariable Komponenten aufgef¨ uhrt, die kurz besprochen werden sollen. Ein idealer Thyristor, siehe zweite Zeile von Tabelle 21.14, hat eine ¨ahnliche Kennlinie wie eine ideale Diode. Der wesentliche Unterschied zur Diode

1150

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

besteht darin, dass auch ein positiver Spannungsabfall m¨oglich ist, und dass der Thyristor nur dann leitend wird, wenn der Spannungsabfall nicht negativ ist und ein Z¨ undstrom am Thyristor-Gate kurzzeitig anliegt. Dieser Z¨ undstrom wird im idealen Element von Tabelle 21.14 durch das Bool’sche Eingangssignal fire abstrahiert. Wenn fire true ist, liegt der Z¨ undstrom an, anderenfalls nicht. Im Unterschied zur Diode gibt es die zus¨atzliche Schwierigkeit, dass es drei Kennlinien¨aste gibt, die ins Unendliche weisen. Unter der Annahme, dass benachbarte Kennlinienpunkte auch benachbarte Werte des Bahnparameters s besitzen, ist dann eine eindeutige Beschreibung mit einem Bahnparameter nicht ¨ m¨oglich. In der Tabelle wird das Problem dadurch gel¨ost, dass zwei der Aste dieselbe s-Parameterisierung besitzen (s ≥ 0) und die Eindeutigkeit durch den Wert der Variablen on erreicht wird. Damit besteht der einzige Unterschied in der Bestimmung von on: on = s ≥ 0 and (pre(on) or fire)

(21.72)

Wenn s negativ ist, wird der entsprechende Kennlinienast eindeutig charakterisiert (Sperrbetrieb). Anderenfalls gibt es die folgenden M¨oglichkeiten (s ≥ 0): • Wenn der Thyristor seit dem letzten Umschalten nicht leitend ist (pre(on) = false) und kein Z¨ undstrom anliegt (fire = false), bleibt er im Blockierbetrieb (on = false). • Wenn der Thyristor seit dem letzten Umschalten nicht leitend ist (pre(on) = false) und ein Z¨ undstrom anliegt (fire = true), wird er leitend (on = true). • Wenn der Thyristor seit dem letzten Umschalten leitend ist (pre(on) = true), bleibt er leitend (on = true). Ein idealer GTO-Thyristor, siehe dritte Zeile von Tabelle 21.14, ist eine Erweiterung des idealen Thyristor-Modells von der zweiten Zeile der Tabelle. Der einzige Unterschied besteht darin, dass das abstrahierte Eingangssignal fire aufrechterhalten werden muss, wenn der GTO leitend bleiben soll.17 Deswegen ¨andert sich die Bestimmung von on zu: on = s ≥ 0 and fire 21.10.2

(21.73)

Coulomb-Reibung

Reibung zwischen zwei sich gegeneinander bewegenden mechanischen Oberfl¨achen wird oft mit dem Coulomb-Reibmodell beschrieben, wobei sich die Reibkraft FR als Funktion der Normalkraft N und dem Reibkoeffizienten μ ergibt: 17 ¨ Am realen GTO wird der Ubergang vom Blockierbetrieb in den leitenden Zustand durch einen (kurzen) positiven Z¨ undstrom bewirkt, der nicht aufrecht erhalten werden muss; das Abschalten geschieht analog durch einen entsprechenden negativen Z¨ undstrom. Die beschriebene Modellierung wurde gew¨ ahlt, um dennoch mit einer Bool’schen Variable auszukommen.

21.10 Modelica — Strukturvariable Systeme

FR = μ(V, T, . . .) · N

1151

(21.74)

Hierbei ist der Reibkoeffizient μ eine Funktion der Relativgeschwindigkeit V , der Temperatur T , der Oberfl¨achenbeschaffenheit der aufeinander gleitenden K¨orper und dem Gleitmittel. Unter der Annahme, dass die Normalkraft N, die Abh¨angigkeit von der Temperatur, der Oberfl¨achenbeschaffenheit und dem Gleitmittel n¨aherungsweise konstant ist, kann die Reibkraft FR als Funktion der Relativgeschwindigkeit V durch die Kennlinie von Abb 21.41 beschrieben werden. FR FRmax

FR0 V

haften vorwärts gleiten V

FR

rückwärts gleiten

Abb. 21.41: Kennlinie der Coulomb-Reibung

Wenn die Relativgeschwindigkeit nicht verschwindet (V = 0), wird die Reibkraft eindeutig als Funktion der Relativgeschwindigkeit angegeben. Diese funktionale Abh¨angigkeit wird in der Regel durch Interpolation in einer Tabelle beschrieben, die durch Messungen ermittelt wird. Wenn die Relativgeschwindigkeit verschwindet, wird die Relativbewegung zwischen den aufeinander gleitenden K¨orpern blockiert und das Reibelement befindet sich im Haftzustand, d.h. die beiden K¨orper k¨onnen sich (n¨aherungsweise) zueinander nicht mehr bewegen. In dieser Situation ergibt sich die Reibkraft als Schnittkraft zwischen zwei fest verbundenen K¨orpern, h¨angt also von der ¨außeren Belastung der beiden K¨orper ab und nicht mehr von der Relativgeschwindigkeit. Der Haftzustand kann nur bis zu einer maximalen Haftreibkraft FRmax aufrechterhalten werden. Wird diese Grenze u ¨berschritten, beginnen die beiden K¨orper zu gleiten. Mit anderen Worten: Im Haftzustand kann die Reibkraft jeden Wert im Bereich −FRmax ≤ FR ≤ FRmax annehmen. Beim Beginn des Gleitens sinkt die Reibkraft betragsm¨aßig sehr schnell von FRmax auf den Wert FR0 ab. Nur in Sonderf¨allen ist FRmax = FR0 . Eine ausf¨ uhrlichere Einf¨ uhrung in reibungsbehaftete mechanische Systeme, zusammen mit einer umfangreichen Literaturliste, ist in [834] zu finden. Dort werden auch detailliertere Reibmodelle behandelt. Ein neuartiges, kompaktes Reibmodell, welches auf einer reinen Beschreibung mit Differentialgleichungen ohne Verwendung von Schaltvorg¨angen beruht, wurde in [838] entwickelt. Dieses Element hat den Vorteil, dass weitergehende Reibeffekte beschreibbar sind und

1152

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

die diskutierten Probleme nicht auftreten. Der Nachteil besteht darin, dass die Rechenzeit um rund eine Gr¨oßenordnung ansteigt und zus¨atzliche Reibkenndaten identifiziert werden m¨ ussen. ¨ Ahnlich wie bei den idealen elektrischen Schaltelementen von Tabelle 21.14 liegt auch beim Coulomb-Reibelement von Abb. 21.41 ein strukturvariables System vor, da sich die Konfiguration des mechanischen Systems ¨andert, je nachdem ob sich das Reibelement im Gleit- oder im Haftzustand befindet. Im folgenden wird detailliert analysiert, wie eine solche Komponente numerisch zuverl¨assig simuliert werden kann. Es zeigt sich, dass dies relativ schwierig ist. Deswegen wird tempor¨ar zuerst das vereinfachte Reibmodell von Abb. 21.42 untersucht, bei dem die Reibkraft w¨ahrend des Gleitens linear von der Relativgeschwindigkeit abh¨angt und FRmax = FR0 ist. FR FR0

vorwärts gleiten s

s = FR0

V V

F(t) FR

-FR0 s = -FR0

rückwärts gleiten s

Abb. 21.42: Vereinfachtes Coulomb-Reibmodell

Die Kennlinie des vereinfachten Coulomb-Reibmodells ist ¨ahnlich zu dem der Diode, so dass zu erwarten ist, dass dieses Element ebenfalls als parameterisierte Kurve beschrieben werden kann (siehe Parameterisierung in Abb. 21.42): f orward = s > FR0 backward = s < −FR0 V = if f orward then s − FR0 else if backward then s + FR0 else 0 FR = if f orward then FR0 + FR1 · (s − FR0 ) else if backward then −FR0 + FR1 · (s + FR0 ) else s Dieses Modell ist korrekt und beschreibt vollst¨andig das Reibmodell von Abb. 21.42. Allerdings ist zur Zeit nicht bekannt, wie ein solches Modell automatisch in eine Form transformierbar ist, die numerisch zuverl¨assig ausgewertet werden kann. Die auftretenden Probleme werden an einem Block, der auf einer rauhen Unterlage gleitet (siehe rechter Teil von Abb. 21.42), analysiert. Dieser Block wird durch die folgende Gleichung beschrieben: m · V˙ = F (t) − FR

21.10 Modelica — Strukturvariable Systeme

1153

Hierbei ist m die Masse des Blocks, F (t) ist eine gegebene ¨außere Kraft, die an dem Block angreift, und FR ist die Reibkraft zwischen dem Block und der Unterlage. Diese soll mit dem oben angegebenen parameterisierten CoulombReibmodell beschrieben werden. Zuerst werde angenommen, dass sich das Reibmodell im Vorw¨artsgleitzustand befindet, d.h. forward = true und V > 0. Das Gesamtmodell in dieser Konfiguration wird dann durch die folgenden Gleichungen beschrieben: m · V˙ = F − FR V = s − FR0 FR = FR0 + FR1 · (s − FR0 ) Nach einer BLT-Transformation ergeben sich die sortierten Gleichungen zu: s := V + FR0 FR := FR0 + FR1 · (s − FR0 ) V˙ := (F − FR )/m Dies ist im wesentlichen eine Differentialgleichung mit der Unbekannten V , d.h. V ist eine als bekannt angenommene Zustandsgr¨oße und die Ableitung dieses Zustands, V˙ , kann leicht u ¨ber eine Vorw¨artsrekursion berechnet werden. Wenn die Relation s > FR0 ihren Wert a¨ndert, tritt ein Ereignis ein und die Integration wird angehalten. Es werde angenommen, dass das Element sich dann im Haftzustand befindet. Diese Konfiguration wird durch die folgenden Gleichungen beschrieben: m · V˙ = F − FR V = 0 FR = s Dies ist ein singul¨ares System (siehe Kapitel 21.7.2), da es eine Zwangsbedingung f¨ ur den Zustand V gibt (V = 0). Mit anderen Worten V kann kein Zustand mehr sein. Da eine neue Unbekannte (= V ) auftritt, muss auch eine neue Gleichung eingef¨ uhrt werden, welches nat¨ urlicherweise die Ableitung der Zwangsbedingung ist: V˙ = 0 Damit liegen vier Gleichungen f¨ ur die vier Unbekannten V, V˙ , FR , s vor. Dieses Gleichungssystem ist regul¨ar und kann explizit gel¨ost werden: V˙ V FR s

:= := := :=

0 0 F − m · V˙ FR

Wie zu erkennen ist, sind die Modellgleichungen im Gleitzustand regul¨ar und im Haftzustand singul¨ar. Dies bereitet Probleme, da in einer singul¨aren Konfiguration Gleichungen differenziert und diese Gleichungen in der regul¨aren Konfiguration wieder entfernt werden m¨ ussen.

1154

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

Es gibt noch eine ernstere Schwierigkeit: Hierzu wird angenommen, dass sich das Reibelement im Haftzustand befindet (d.h. −FR0 ≤ s ≤ FR0 ) und s gr¨oßer als FR0 wird. Bevor das Umschalt-Ereignis stattfindet, ist s ≤ FR0 und V = 0, da die Zwangsbedingung V = 0 im Haftzustand vorliegt. Am Ereignispunkt ist s > FR0 , da diese Relation von false auf true schaltet. Im Gleitzustands ist V jedoch ein Zustand und damit eine bekannte Gr¨oße und s wird aus V berechnet: s := V + FR0 Da V = 0 ist, ergibt sich s = FR0 . Damit wird die Relation s > FR0 aber wieder false und das Reibelement schaltet zur¨ uck in den Haftzustand. Mit anderen Worten: Es kann nie vom Haft- in den Gleitzustand geschaltet werden. Angenommen, das w¨are trotzdem auf irgendeine Weise m¨oglich: Wenn mehrere verkoppelte Reibelemente vorhanden sind, k¨onnte es aber sein, dass dieser Gleitzustand keine konsistente Konfiguration ist, sondern nur ein Zwischenschritt in der Iteration zur L¨osung eines gemischt kontinuierlich/diskreten Gleichungssystems. Dies bedeutet, dass das Reibelement in der n¨achsten Iteration wieder in den Haftzustand zur¨ uck schalten m¨ usste. Dies ist aber nie m¨oglich, weil im Gleitzustand die Relativgeschwindigkeit V eine Zustandsgr¨oße ist, die als bekannt angenommen wird. Da im Vorw¨artsgleitzustand V > 0 ist, und da V nicht ge¨andert werden kann, kann auch nicht zur¨ uck in den Haftzustand geschaltet werden, da hierzu V ≤ 0 sein m¨ usste. Die beschriebenen Probleme existieren f¨ ur alle hybriden Modelle, bei denen in der einen Konfiguration ein regul¨ares System vorliegt und in einer anderen Konfiguration ein singul¨ares System. Dies ist z.B. der Fall, wenn eine ideale Diode parallel zu einer Kapazit¨at geschaltet wird. Das Coulomb-Reibmodell ist besonders kritisch, da schon beim einfachsten mechanischen System mit Coulomb-Reibung die erl¨auterten Probleme auftreten, da das System einen Freiheitsgrad verliert, wenn vom Gleit- in den Haftzustand geschaltet wird. Wie schon erw¨ahnt, ist zur Zeit nicht bekannt, wie diese Probleme automatisch gel¨ost werden k¨onnen. Wir gehen deswegen pragmatisch vor und transformieren die Gleichungen des Reibmodells manuell in eine besser geeignete Beschreibungsform: Wenn die Relativgeschwindigkeit verschwindet (V = 0), kann sich das Reibelement sowohl im Haft- als auch im Gleitzustand befinden. Die aktuelle Konfiguration ergibt sich aus der Reibkraft und der Beschleunigung V˙ , siehe Abb. 21.43. Wenn sich das Reibelement im Haftzustand befindet und die Reibkraft FR gr¨oßer als die maximale statische Haftreibkraft FR0 wird, schaltet das Element in den Vorw¨artsgleitzustand. Hier ist die Relativbeschleunigung V˙ positiv. Es wird wieder zur¨ uck in den Haftzustand geschaltet, wenn die Relativbeschleunigung verschwindet oder negativ wird. Da auch die Kennlinie von Abb. 21.43 nicht in einer Funktionsdarstellung FR = FR (V˙ ) angegeben werden kann, wird eine parameterisierte Beschreibungsform mit dem neuen Bahnparameter sa verwendet, siehe Abb. 21.43. Dies f¨ uhrt im wesentlichen auf die folgende Beschreibungsform, wenn V = 0 ist:

21.10 Modelica — Strukturvariable Systeme

FR sa

sa = FR0 V=0

1155

vorwärts gleiten

FR0 . V

rückwärts gleiten

-FR0 sa

sa = -FR0

Abb. 21.43: Kennlinie der Coulomb-Reibung bei V = 0

startF orward = sa > FR0 startBackward = sa < −FR0 V˙ = if startF orward then sa − FR0 else if startBackward then sa + FR0 else 0 FR = if startF orward then FR0 else if startBackward then −FR0 else sa Die drei Hauptkonfigurationen des Reibelements k¨onnen mit einer ModusVariablen mode auf die folgende Weise in Modelica gekennzeichnet werden: final constant Integer Forward = 1, Stuck = 0, Backward = -1; V > 0 V = 0 V < 0

-> -> ->

mode = Forward mode = Stuck mode = Backward

Aus noch zu erl¨auternden numerischen Gr¨ unden muss im Stuck -Modus die Relativgeschwindigkeit nicht identisch verschwinden. Die Relativgeschwindigkeit ist zwar sehr klein, kann aber jedes Vorzeichen besitzen. Mit anderen Worten: Der Stuck -Modus charakterisiert ein kleines Intervall um V = 0. Das Umschalten zwischen den verschiedenen Modi, kann am u ¨ bersichtlichsten durch einen endlichen Automaten beschrieben werden, siehe Abb. 21.44. Mit diesem endlichen Automaten wird garantiert, dass die Relativgeschwindigkeit beim Vorw¨artsgleiten positiv ist und beim R¨ uckw¨artsgleiten negativ. Der Stuck -Modus charakterisiert das kleine Interval um V = 0. Hier kann sich das Reibelement im Haft- oder im Gleitzustand befinden und wird durch die parameterisierte Kurve von Abb. 21.43 beschrieben. Hierbei wird der Vorw¨artsgleitzustand durch die Bool’sche Variable startForward und der R¨ uckw¨artsgleitzustand durch die Bool’sche Variable startBackward charakterisiert. Wenn sich das Reibelement im Stuck -Modus im Gleitzustand befindet, so verbleibt das Element

1156

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

startBackward and V < 0

startForward and V > 0

Stuck

Backward

V >= 0

Forward

V <= 0

Abb. 21.44: Schaltstruktur beim Reibelement

solange in dieser Konfiguration, bis die Relativgeschwindigkeit das richtige Vorzeichen besitzt, um dann entsprechend zu Abb. 21.44 in den Forward oder Backward Modus zu schalten. Da die Relativbeschleunigung in die richtige“ Richtung ” zeigt, nimmt die Relativgeschwindigkeit innerhalb kurzer Zeit das gew¨ unschte Vorzeichen an. Der endliche Automat von Abb. 21.44 kann in Modelica durch die folgende Gleichung beschrieben werden: mode = if (pre(mode) pre(mode) and V > 0 if (pre(mode) pre(mode) and V < 0

== Forward or == Stuck and startForward) then Forward else == Backward or == Stuck and startBackward) then Backward else Stuck ;

Die beiden diskutierten Darstellungsformen m¨ ussen jetzt nur noch kombiniert werden. Hierzu muss definiert werden, dass startForward und startBackward nur true sein k¨onnen, wenn sich das Reibelement im Stuck -Modus befindet. Zusammengefasst ergibt sich schließlich das folgende, vollst¨andige Modelica-Modell des vereinfachten Coulomb-Reibmodells von Abb. 21.42 (da in Modelica bei Variablennamen keine Indices verwendet werden k¨onnen, unterscheiden sich die Modelica-Namen geringf¨ ugig von den bisher verwendeten Bezeichnungen): connector Flange "mechanischer Flange" Real X "Position vom Flansch"; flow Real F "Schnittkraft am Flansch"; end Flange; model SimpleFriction "vereinfachtes Coulomb-Reibmodell" parameter Real FR0, FR1 "Reibkoeffizienten"; Flange flange_a, flange_b "linker und rechter Flansch"; protected Real FR "Reibkraft"; Real X "relative Position"; Real V "relative Geschwindigkeit"; Real A "relative Beschleunigung";

21.10 Modelica — Strukturvariable Systeme

1157

Real sa "Bahnparameter"; final constant Integer Unknown = 2 "nicht definiert", Forward = 1 "vorw¨ arts gleiten", Stuck = 0 "V=0", Backward = -1 "r¨ uckw¨ arts gleiten"; Integer mode(min=Backward, max=Unknown, start=Unknown); Boolean startForward, startBackward; equation // Beziehungen zwischen Flansch- und Relativ-Variablen X = flange_b.X - flange_a.X; V = der(X); A = der(V); FR = -flange_a.F; FR = flange_b.F; // Basisgleichungen des Reibelements startForward = pre(mode)==Stuck and sa > FR0 or initial() and V>0; startBackward = pre(mode)==Stuck and sa < -FR0 or initial() and V<0; = if if if if

pre(mode) == Forward pre(mode) == Backward startForward startBackard

then then then then

FR = if if if if

pre(mode) == Forward pre(mode) == Backward startForward startBackard

then FR0 + FR1*V then -FR0 + FR1*V then FR0 then -FR0

A

sa sa sa sa

+ +

FR0 FR0 FR0 FR0

else else else else 0; else else else else sa;

// Endlicher Automat zur Konfigurationsbestimmung mode = if (pre(mode) == Forward or pre(mode) == Stuck and startForward) and V > 0 then Forward else if (pre(mode) == Backward or pre(mode) == Stuck and startBackward) and V < 0 then Backward else Stuck ; end SimpleFriction;

Das obige Reibelement enth¨alt noch die Vereinfachung, dass im Haftzustand die Zwangsgleichung V = 0 nicht explizit vorhanden ist. Da beim Umschalten vom Gleit- in den Haftzustand die Relativgeschwindigkeit beim Neustart der Integration verschwindet oder zumindest sehr klein ist, und die Beschleunigung A = der(V ) w¨ahrend des Haftens verschwindet, bleibt die Geschwindigkeit klein, da die L¨osung der Differentialgleichung der(V ) = 0 mit der Anfangsbedingung V = 0 auf die L¨osung V = 0 f¨ uhrt. Mit dieser bekannten Approximation wird er-

1158

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

reicht, dass das Modell auch im Haftzustand regul¨ar und nicht singul¨ar ist. Zum besseren Verst¨andnis soll das obige Modell auf das Anfangsbeispiel angewandt werden, bei dem ein Block auf einer rauhen Oberfl¨ache gleitet. Werden die Gleichungen des Blocks und die Gleichungen des Reibelements zusammengenommen, und wird eine BLT-Transformation durchgef¨ uhrt, f¨ uhrt dies im wesentlichen auf die folgenden sortierten Gleichungen: // Gemischt kontinuierlich/diskretes Gleichungssystem startForward = pre(mode)==Stuck and sa > FR0 or initial() and V>0; startBackward = pre(mode)==Stuck and sa < -FR0 or initial() and V<0; A = if if if if

pre(mode) == Forward pre(mode) == Backward startForward startBackard

then then then then

R = if if if if

pre(mode) == Forward pre(mode) == Backward startForward startBackard

then FR0 + FR1*V then -FR0 + FR1*V then FR0 then -FR0

m*A = U - F;

sa sa sa sa

+ +

FR0 FR0 FR0 FR0

else else else else 0; else else else else sa;

// Gleichungen des Blocks

// Endlicher Automat zur mode := if (pre(mode) pre(mode) and V > 0 if (pre(mode) pre(mode) and V < 0

Konfigurationsbestimmung == Forward or == Stuck and startForward) then Forward else == Backward or == Stuck and startBackward) then Backward else Stuck ;

der(V) := A;

Damit ergibt sich also ein gemischt kontinuierlich/diskretes Gleichungssystem mit f¨ unf Gleichungen in den f¨ unf Unbekannten startForward, startBackward, sa, A, F R, sowie zwei nachfolgende explizit aufgel¨oste Gleichungen. Wenn sich das Element nicht im Stuck -Modus befindet, besitzen die Bool’schen Variablen startForward und startBackward den Wert false unabh¨angig vom Wert des Bahnparameters sa. In diesem Fall reduziert sich das gemischte Gleichungssystem auf ein rein reelles Gleichungssystem in drei Gleichungen mit den drei reellen Unbekannten sa, A, F R, welches problemlos gel¨ost werden kann. Wenn mehrere verkoppelte Reibelemente vorliegen, ergibt sich dieselbe Struktur, nur ist das gemischte Gleichungssystem gr¨oßer. Die Auswertung der Gleichungen soll an einer typischen Bewegung analysiert werden. Hierzu wird angenommen, dass der Block in die Vorw¨artsrichtung gleitet

21.10 Modelica — Strukturvariable Systeme

1159

und die Geschwindigkeit verschwindet oder negativ wird, d.h. es tritt ein Ereignis ein. 1. Am Ereignispunkt wird das gesamte Modell einmal ausgewertet. Da pre(mode) = Forward ist, muss nur ein reelles Gleichungssystem gel¨ost werden und die Reibkraft berechnet sich zu FR = FR0 + FR1*V“. Da” nach wird die Variable mode berechnet. Da V ≤ 0, ergibt sich mode = Stuck. 2. Nach der Modellauswertung sind mode und pre(mode) unterschiedlich, d.h. eine Ereignis-Iteration wird gestartet (siehe Seite 1142). Nach Setzen von pre(mode) = mode = Stuck wird das Modell neu ausgewertet. Da pre(mode) = Stuck ist, liegt nun ein gemischtes Gleichungssystem vor, welches iterativ gel¨ost wird. Basierend auf der entsprechenden L¨osung, wird mode berechnet. Wenn sich als Ergebnis −F R0 ≤ sa ≤ F R0 ergibt, ist das Reibelement im Haftzustand und mode = Stuck. Da pre(mode) = mode ist, wird die Ereignisiteration abgebrochen und die Simulation neu gestartet. Im folgenden werde angenommen, dass sich eine L¨osung mit sa < −F R0 ergibt. Wenn zus¨atzlich V < 0 ist, ergibt sich mode = Backward. 3. Da pre(mode) und mode unterschiedlich sind, wird wiederum gesetzt: pre(mode) = mode = Backward und die Ereignis-Iteration wird fortgesetzt, d.h. das Modell wird neu ausgewertet. Da sich das Reibelement nicht mehr im Stuck -Modus befindet, liegt wiederum nur ein reelles Gleichungssystem vor um sa, A, F R zu berechnen. Da sich der Wert von V nicht ¨andert, berechnet sich mode wieder zu Backward. Da nun pre(mode) = mode ist, wird die Ereignis-Iteration abgebrochen und die Integration neu gestartet, hierbei befindet sich das Element im R¨ uckw¨arts-Gleitzustand. Das obige vereinfachte Reibmodell kann nun leicht auf den Fall verallgemeinert werden, dass die maximale statische Reibkraft FRmax und die Gleitreibkraft bei verschwindender Geschwindigkeit FR0 unterschiedlich sind, siehe Abb. 21.41. Hierzu m¨ ussen beim obigen Reibmodell nur die folgenden Modifikationen vorgenommen werden: model Friction parameter Real peak=1.0 "FRmax=peak*FR0"; ... protected ... parameter Real FRmax=peak*FR0; Boolean startForward (start=false) startBackward(start=false); equation ...

// neu

1160

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

// Basisgleichungen des Reibelements (modifiziert) startForward = pre(mode)==Stuck and (sa>FRmax or pre(startForward ) and sa>FR0) or initial() and V>0; startBackward = pre(mode)==Stuck and (sa<-FRmax or pre(startBackward ) and sa<-FR0) or initial() and V<0; ... end Friction;

¨ Die wesentliche Anderung besteht darin, dass pre-Werte f¨ ur startForward und startBackward ben¨otigt werden. Wenn sich das Element im Haftzustand befindet, oder wenn das Element vom Forward/Backward Modus in den Stuck Modus schaltet, muss der Bahnparameter sa den Wert F Rmax u ¨berschreiten, damit wieder in den Gleitzustand geschaltet werden kann. Wenn jedoch vor dem aktuellen Ereignis pre(startForward )=true ist, d.h. das Reibelement befand sich schon im startForward Modus, dann gleitet das Element schon und ein Schalten in den Haftzustand tritt auf, wenn sa ≤ F R0, d.h. wenn die Beschleunigung A ≤ 0 wird. 21.10.3

Reibungsbehaftete Komponenten

Das im Detail diskutierte Coulomb-Reibelement vom vorherigen Abschnitt ist eine Basiskomponente, die in vielerlei Hinsicht erweitert werden kann. Insbesondere sind in Tabelle 21.16 eine Reihe technisch wichtiger Elemente — Lagerreibung, Kupplung, Bremse, Freilauf — aufgef¨ uhrt, bei denen die Reibung eine entscheidende Elementeigenschaft ist. In der mittleren Spalte von Tabelle 21.16 ist das Objektdiagramm der jeweiligen Komponente mit der dazugeh¨origen (parameterisierten) Kennlinie abgebildet. Wie beim Reibelement vom letzten Abschnitt k¨onnen auch hier die Kennlinien nicht automatisch in eine numerisch auswertbare Form transformiert werden. Dies geschieht wiederum manuell, wobei das Ergebnis in der rechten Spalte gleichungsm¨aßig angegeben ist. Aus Platzgr¨ unden wird mit Punkten (...) gekennzeichnet, dass der weggelassene Gleichungsteil identisch zum entsprechenden Gleichungsteil des im letzten Abschnitt diskutierten Modelica-Modells SimpleFriction ist. Die Schaltstellung mode wird durch m abgek¨ urzt. Im folgenden werden die in Tabelle 21.16 aufgef¨ uhrten Modelle n¨aher erl¨autert. Lagerreibung In der Regel ist die Reibung in den Lagern eines Antriebsstrangs so groß, dass diese bei einer Simulation ber¨ ucksichtigt werden muss. Messtechnisch kann die Reibung z.B. dadurch bestimmt werden, dass der Antriebsstrang bei bekannter Last jeweils mit konstanter Drehzahl gefahren wird und das daf¨ ur notwendige Antriebsmoment gemessen wird. Da im nicht-beschleunigten Betrieb alle Tr¨agheitskr¨afte verschwinden, ist das Reibmoment gleich dem Antriebsmoment

21.10 Modelica — Strukturvariable Systeme

1161

Tabelle 21.16: Modelle reibungsbehafteter Komponenten

Φ1 = Φ2 Ω = Φ˙ 1 M2 M1 0 = M1 + M2 − MR z Ω˙ = if pre(m) == Forward then MR sa − MR0 else if ... s MR0 MR = if pre(m) == Forward then s=MR0 MR0 + MR1 (Ω) else if ... W m = if (pre(m) == Forward ... s=-MR0 startForward = pre(m)==Stuck ... startBackward = pre(m)==Stuck ... Φ = Φ2 − Φ1 N Ω = Φ˙ F1 F2 MR = μNcgeo ; M1 = −MR ; M2 = MR off = N ≤ 0 M M1 2 z Ω˙ = if off then sa else if pre(m) m s=MR0 == Forward then sa − MR0 ... s μ = if off then 0 else if pre(m) s=0 s == Forward then μ0 + μ1 (Ω) ... W N>0 N<=0 m = if off then Free else if ... startForward = not off and pre(m) ... startBackward = not off and pre(m) ... Φ1 = Φ2 ; Ω = Φ˙ 1 N 0 = M1 + M2 − MR F1 F2 MR = μNcgeo off = N ≤ 0 M2 M1 z Ω˙ = if off then sa else if pre(m) m s=MR0 == Forward then sa − MR0 ... s μ = if off then 0 else if pre(m) s=0 s == Forward then μ0 + μ1 (Ω) ... W N>0 N<=0 m = if off then Free else if ... startForward = not off and pre(m) ... startBackward = not off and pre(m) ... Φ = Φ2 − Φ1 ; Ω = Φ˙ F1 F2 M1 = −MR ; M2 = MR Ω˙ = if pre(m) == Slide or startSlide M1 M2 z then sa else 0 MR = if pre(m) == Slide or startSlide MR then 0 else sa s=0 s m = if (pre(m) == Slide or startSlide W s and pre(m)==Stuck ) and Ω > 0 then Slide else Stuck startSlide = pre(m) == Stuck and sa > 0 F1

Lagerreibung

Kupplung

Bremse

Freilauf

F2

1162

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

wobei gegebenenfalls noch das bekannte Lastmoment abgezogen werden muss. Dies f¨ uhrt auf Kennlinien, bei der das Reibmoment MR als Funktion der Drehzahl Ω angegeben wird, siehe erste Zeile von Tabelle 21.16. Das Lagerreibungs-Modell in Tabelle 21.16 besitzt zwei Flansche, mit denen die Komponente an einer entsprechenden Stelle in einen Antriebsstrang eingebaut werden kann (siehe z.B. Abb. 21.14 auf Seite 1060). Dieses Element ist praktisch identisch zum im letzten Abschnitt erl¨auterten Reibmodell, wobei die Reibkraft FR durch das Drehmoment MR und die Relativgeschwindigkeit V durch die absolute Drehzahl Ω ersetzt wird, da diese Komponente die Reibung zwischen einer drehenden Welle und dem Geh¨ause beschreibt. Mit Ausnahme der Beziehungen zwischen den Flansch-Variablen und dem Reibmoment, sind alle anderen Gleichungen identisch zu den Gleichungen des SimpleFriction Modells. Aus Vereinfachungsgr¨ unden wird auch hier angenommen, dass das maximale statische Reibmoment identisch zum Gleitreibmoment bei verschwindender Drehzahl ist. Kupplung Eine Kupplung ist ein Element, mit der die Relativbewegung der u ¨ber die Kupplung verbundenen beiden Wellen gesperrt und wieder freigegeben werden kann, siehe zweite Zeile von Tabelle 21.16. Im wesentlichen werden zwei Scheiben mit einer entsprechenden Normalkraft N so gegeneinander gedr¨ uckt, dass die beiden Scheiben aufeinander haften. Die technischen Ausf¨ uhrungen sind sehr unterschiedlich. Zum Beispiel werden bei Lamellenkupplungen eine gr¨oßere Zahl von Lamellen (= Scheiben) parallel geschaltet, um die Reibfl¨achen und damit das Reibmoment zu erh¨ohen. Wenn die Normalkraft verschwindet, wird kein Drehmoment mehr u ¨ bertragen und die beiden Wellen sind nicht mehr miteinander verbunden. Zum Schließen der Kupplung wird die Normalkraft von Null ausgehend erh¨oht, bis nach einer bestimmten Zeitdauer die Normalkraft so groß geworden ist, dass die Kupplungsscheiben haften. W¨ahrend dieser Phase rutschen die Scheiben aufeinander. Das hierbei wirksame Reibmoment MR kann n¨aherungsweise als Funktion der senkrecht auf die Reibfl¨achen wirkende Normalkraft N, dem von der Drehzahl Ω abh¨angigen Reibkoeffizienten μ und einer von der geometrischen Konstruktion abh¨angigen Konstanten cgeo angegeben werden: MR = cgeo · μ(Ω) · N

(21.75)

Der Geometriefaktor cgeo h¨angt stark von der bestehenden Konstruktion ab. Beispielsweise berechnet sich dieser f¨ ur die einfache Kupplungsscheibe von Abb. 21.45 zu: • Annahme: Gleichm¨aßig verteilter Druck auf eine genau gefertigte, nicht abgenutzte Kupplungsscheibe cgeo1 =

2 · (ra3 − ri3 ) 3 · (ra2 − ri2 )

(21.76)

21.10 Modelica — Strukturvariable Systeme

1163

ra ri

Abb. 21.45: Geometrie einer einfachen Kupplungsscheibe

• Annahme: Gleichm¨aßige Abnutzung der Kupplungsscheibe cgeo2 =

r a + ri (< cgeo1 ) 2

(21.77)

F¨ ur den Entwurf von Kupplungen wird u ¨blicherweise cgeo2 (21.77) benutzt. Wenn mehrere Scheiben parallel geschaltet sind, muss die obige Formel noch mit der Zahl der Reibfl¨achen multipliziert werden. Das Modell der Kupplung in Tabelle 21.16 ist eine Erweiterung des Reib¨ modells vom letzten Abschnitt: Uber einen zus¨atzlichen Signaleingang wird die Anpresskraft N eingef¨ uhrt. Bei der Reibkennlinie wird der Reibkoeffizient μ als Funktion der Relativdrehzahl Ω angegeben (statt Reibkraft als Funktion der Relativgeschwindigkeit) und das Reibelement wird abgeschaltet, wenn N ≤ 0 ist. ˙ μ, m, startForHierzu erhalten die if-Zweige der Variablen-Gleichungen von Ω, ward und startBackward jeweils einen zus¨atzlichen Zweig, um den entsprechenden Wert bei offener Kupplung zu setzen. Die den Schaltzustand charakterisierende Modus-Variable m erh¨alt neben den schon existierenden diskreten Zust¨anden Forward, Stuck, Backward noch den neuen Zustand Free, der die offene Kupplung charakterisiert: off = N <= 0; m = if off then Free else if (pre(mode) == Forward or pre(mode) == Free or pre(mode) == Stuck and startForward ) and V > 0 then Forward else if (pre(mode) == Backward or pre(mode) == Free or pre(mode) == Stuck and startBackward ) and V < 0 then Backward else Stuck ; startForward = not off and pre(mode) == Stuck and sa > MR0 startBackward = not off and pre(mode) == Stuck and sa < -MR0

Ansonsten werden die gleichen Gleichungen wie beim Modell SimpleFriction verwendet. Bremse Bei Scheibenbremsen und Trommelbremsen wird jeweils ein Bremsbelag gegen eine Scheibe gedr¨ uckt. Diese Art von Bremsen k¨onnen als Kupplung angesehen

1164

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

werden, die zwischen einer Welle und dem Geh¨ause angebracht ist. Damit ist die Modellstruktur, siehe dritte Zeile von Tabelle 21.16, praktisch identisch zum Modell einer Kupplung, bei der ein Flansch der Kupplung in der Umgebung fixiert ist. Im wesentlichen ¨andert sich nur der Zusammenhang zwischen den Flanschvariablen und dem Reibmoment. Weiterhin muss der Geometriefaktor cgeo der Konstruktion der Bremse angepasst werden. Freilauf Freil¨aufe sind Einrichtungen zwischen Wellen oder Wellen und Geh¨ausen, die eine Relativdrehzahl zwischen den verbundenen Teilen nur in einer Drehrichtung zulassen, in der anderen Richtung dagegen verhindern. Die meist eingesetzten kraftschl¨ ussigen Freil¨aufe enthalten Klemmk¨orper, die in einer Drehrichtung zu einem großen Reibmoment f¨ uhren und damit die Relativbewegung in dieser Richtung blockieren. Das ideale Modell eines Freilaufs ist in der vierten Zeile von Tabelle 21.16 angegeben. Wie aus der Kennlinie in der zweiten Spalte zu sehen ist, ¨ hat der Freilauf Ahnlichkeiten mit einer Diode. Die gleichungsm¨aßige Beschreibung ist jedoch unterschiedlich, da die parameterisierte Kennlinie wiederum nicht direkt realisiert werden kann, da die Komponente je nach Schaltstellung einen Freiheitsgrad hinzuf¨ ugt oder entfernt. Automatikgetriebe Zum Abschluss dieses Kapitels u ¨ ber reibungsbehaftete Komponenten wird noch kurz eine komplexere Anwendung der besprochenen Elemente am Beispiel eines Automatikgetriebes erl¨autert (weitere Details sind in [850] zu finden). Automatikgetriebe sind Getriebe, bei denen eine elektronische Ansteuerungseinheit automatisch zwischen den G¨angen schaltet. Den schematischen Aufbau einer typischen Konstruktion ist in Abb. 21.46 zu sehen. Hierbei werden mit Ci Kupplungen bzw. Bremsen bezeichnet. In Abb 21.47 ist das entsprechende Objektdiagramm, einem Bildschirmabzug des Programs Dymola [846], abgebildet. Dieses Automatikgetriebe besteht aus drei Standard-Planetengetrieben p1, p2, p3, siehe Tabelle 21.11 auf Seite 1116, die u ¨ber Kupplungen, Bremsen und Freil¨aufe so verbunden sind, dass durch ent¨ sprechende Ansteuerung der Kupplungen und Bremsen eine gew¨ unschte Ubersetzung eingestellt werden kann. Der linke Flansch in Abb. 21.47 ist die Eingangswelle und der rechte Flansch die Ausgangswelle des Getriebes; s1 und s2 sind tr¨agheitsbehaftete Wellen, die die Tr¨agheit der wichtigsten drehenden Teile erfassen. Die Anpresskr¨afte der Kupplungen und Bremsen werden approximativ als Signale modelliert, die direkt von einer elektronischen Ansteuerungseinheit vorgegeben werden. Eine realistischere Simulation erfordert zus¨atzlich die Modellierung der Hydraulik, mit der die Anpresskr¨afte tats¨achlich erzeugt werden. F¨ ur eine Simulation wird noch ein Modell der Umgebung ben¨otigt, in der das Automatikgetriebe eingesetzt wird. In [850] wird hierzu ein einfaches Modell der L¨angsdynamik eines Fahrzeugs verwendet. Das Gesamtmodell wird, wie in

21.10 Modelica — Strukturvariable Systeme Gang

C4

1 2 3 4 R

x x x x

C5

C6 x

x x x

C7

C8

C11

1165

C12

x x x

x x x

x x

x

C5 C6 C7 C8 C11 C12

C4

Abb. 21.46: Getriebeschema des Automatikgetriebes ZF 4HP22 Fix2

Fix1 C8

C4=0.12

C7

Fix4

Fix3

C12=0.12

C6=0.12

C5=0.12 s1=1e-4

C11

s2=1e-4 p1=110/50

p2=110/50

p3=120/44

Abb. 21.47: Objektdiagramm des Automatikgetriebes ZF 4HP22

den vorherigen Abschnitten erl¨autert, in eine DAE u uhrt und dann symbo¨ berf¨ lisch in eine sortierte DAE transformiert. Bei der BLT-Transformation wird ein kontinuierlich/diskretes Gleichungssystem mit 49 kontinuierlichen Gleichungen und zehn diskreten Gleichungen identifiziert, das im wesentlichen die Gleichungen aller Komponenten des Automatikgetriebes enth¨alt, da diese eng miteinander verkoppelt sind. Mit dem Tearing-Verfahren kann das kontinuierliche KernGleichungssystem von 49 auf zehn Gleichungen reduziert werden. Das System hat sieben gekoppelte Kupplungen und Bremsen Ci , so dass 27 = 128 Schaltstrukturen und 37 = 2187 unterschiedliche Schaltzust¨ande m¨oglich sind. In [850] wird noch darauf eingegangen, wie das obige Modell in einer Echtsimulation auf einem Signalprozessor eingesetzt werden kann.

22

Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen Dr.-Ing. W. Wolfermann, M¨ unchen

22.1

Einfu ¨hrung

In Produktionsanlagen mit kontinuierlicher Fertigung werden Stoffbahnen verschiedener Materialien wie Metalle, Kunststoffe, Textilien oder Papier erzeugt und in unterschiedlichen Sektionen bearbeitet. Der Aufgabe entsprechend durchlaufen die Stoffbahnen dabei verschiedene Bearbeitungsschritte mit elastischen oder plastischen Verformungen, Beschichtungen oder speziellen Behandlungen. Am Ende der Bearbeitung werden die Stoffbahnen meist in Wickeln gespeichert. Die Stoffbahn wird in den Sektionen u ¨ber angetriebene rotierende Walzen gef¨ uhrt, von denen die Energie f¨ ur die Verformung und den Transport durch Reibung oder Pressung u ¨bertragen wird. Die Walzen werden in modernen Anlagen von elektrischen Maschinen einzeln angetrieben. Die technologischen sowie die elektrischen Gr¨oßen sind geregelt, wobei die einzelnen Regelgr¨oßen von einem u uhrungssystem so einander zugeordnet werden, daß die tech¨bergeordneten F¨ nologischen Aufgaben richtig erf¨ ullt werden. In Abb. 22.1 ist ein Beispiel einer kontinuierlichen Fertigungsanlage dargestellt. Dieses Anlagenbeispiel besteht aus einem an der Achse angetriebenen Abwickler 1, dem eine gewichtsbelastete T¨anzerwalze TW und weitere angetriebene Walzen 2...5 folgen. Das Endsystem bildet ein am Umfang angetriebener Aufwickler 6. Im Gegensatz zum Abwickler 1 erfolgt beim Aufwickler 6 der Antrieb am Umfang u ¨ber eine angetriebene Walze, wobei das Drehmoment u ¨ber die Reibkraft zwischen Walze und Stoffbahn u ¨bertragen wird. Das gesamte elektrische Antriebssystem besteht aus den elektrischen Maschinen M, den leistungselektronischen Stellgliedern S sowie diversen Regelkreisen. Ein u ¨bergeordnetes F¨ uhrungssystem steuert und regelt das Gesamtsystem gem¨aß den technologischen Forderungen. Als Antriebe dienen heute sowohl Gleichstrom- als auch Drehfeldmaschinen mit Umrichterspeisung. Industriestandard sind Regelungen in Kaskadenstruktur mit Strom- (Ri ), Drehzahl- (Rn ), Bahnkraft- (Rf ) und Lage-Regelkreisen (Rl ). Als Regler werden die bekannten P-, PI- oder PID-Regler verwendet, wobei diese h¨aufig ohne Ber¨ ucksichtigung der Verkopplungen der Teilsysteme durch

22.2 Modellierung des Systems

1167

Abb. 22.1: Beispiel einer kontinuierlichen Fertigungsanlage

die Bahnkr¨afte — wie sp¨ater abgeleitet — entworfen werden. Deshalb treten, vor allem bei h¨oheren Produktionsgeschwindigkeiten und ung¨ unstigen Daten der Anlage, gegenseitige Beeinflussungen und Schwingungen in den Bahnkr¨aften der Sektionen auf, die von den einfachen Kaskadenregelungen nicht bed¨ampft werden k¨onnen. Um in solchen F¨allen dennoch zu befriedigenden Ergebnissen zu kommen, m¨ ussen andere Regelverfahren, wie dezentrale Zustandsregelungen mit Entkopplungen oder lernf¨ahige Methoden angewendet werden. Mit Hilfe dieser Verfahren k¨onnen dann auch Nichtlinearit¨aten im Bahnsystem, Reibung und Lose sowie Begrenzungen der Stellgr¨oßen ber¨ ucksichtigt werden [789, 790, 791, 792, 917].

22.2

Modellierung des Systems

22.2.1

Technologisches System

Bei den heute verwendeten Regelstrategien wird vorausgesetzt, daß die Strecke hinsichtlich der Struktur und der Parameter m¨oglichst genau bekannt ist. Um dieses Ziel zu erreichen, wird zun¨achst der Signalflußplan der Regelstrecke, bestehend aus den angetriebenen Walzen und der Stoffbahn, ermittelt.

1168

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

22.2.1.1 Stoffbahn Die reale Stoffbahn stellt einen dreidimensionalen K¨orper dar, der im allgemeinen in L¨angs-, Quer- und Dickenrichtung unterschiedliches Materialverhalten aufweist. So ist beispielsweise das Materialverhalten von Papier aufgrund seiner Faserstruktur stark anisotrop, d.h. der Elastizit¨atsmodul in den drei Richtungen ist unterschiedlich. Jede Stoffbahn besitzt zudem elastische, viskoelastische und plastische Anteile. Bei Metallen u ¨ berwiegt weitgehend das elastische Verhalten, w¨ahrend Kunststoffe eher ein viskoelastisches Verhalten zeigen und Papier ein inhomogener Faserstoff ist, der alle drei Anteile aufweist. Weiterhin ist das Materialverhalten oft auch noch von den Belastungszyklen w¨ahrend der Bearbeitung abh¨angig. Abbildung 22.2 zeigt beispielsweise das prinzipielle SpannungsDehnungsverhalten von Papier bei zwei Belastungszyklen.

Abb. 22.2: Prinzipielles Spannungs- Dehnungsdiagramm f¨ ur Papier

Bis zur Spannung σE verl¨auft die Kennlinie im elastischen Bereich linear. Bei zunehmender Belastung beginnt dann im plastischen Bereich ein deutlich flacherer und nichtlinearer Verlauf der Kennlinie bis zur Dehnung 1 . Wird das Papier entlastet, nimmt die Dehnung zun¨achst um den Betrag Δ1 ab, um nach einer Zeitverz¨ogerung nochmals um den Betrag Δ2 abzunehmen (viskoelastisches Verhalten). Die dabei verbleibende Dehnung 2 stellt die endg¨ ultige plastische Verformung dar. Wird das Papier nun einer weiteren Belastung unterzogen, wiederholt sich der Zyklus, beginnt aber mit einem steileren Anstieg, d.h. das Papier wird nach mehreren aufeinanderfolgenden Belastungsspielen dehnungssteifer“, der Elasti” zit¨atsmodul ist gr¨oßer geworden. Dieses Verhalten resultiert aus der Faserstruktur des Papiers [902].

22.2 Modellierung des Systems

1169

Kunststofffolien werden w¨ahrend des Transportes in den Folienanlagen in L¨angs- und Querrichtung bei erh¨ohten Temperaturen gereckt, um eine bleibende Verformung zu erreichen. Nach dem Reckvorgang wird die Folie wieder auf Umgebungstemperatur abgek¨ uhlt. Wegen des visko-elastischen Verhaltens tritt dabei eine L¨angs- und Querrelaxation der Folie ein. Diese Vorg¨ange k¨onnen nur mit mehrdimensionalen, nichtlinearen Modellen beschrieben werden [914]. Bei der Erzeugung von Stahlblech in Kalt- oder Warmwalzwerken tritt die plastische Verformung des Materials im Walzspalt in den Vordergrund. Hier sind zur Beschreibung des technologischen Verhaltens komplexe mehrdimensionale, nichtlineare Modelle erforderlich [911, 918]. In vielen F¨allen kann aber trotz des nichtlinearen Verhaltens wegen des stets vorhandenen elastischen Anteils und bei nicht zu großen Dehnungs¨anderungen an einem Arbeitspunkt in erster N¨aherung von einer elastischen Stoffbahn ausgegangen werden. Die Beschreibung des Materialverhaltens erfolgt dann mit dem von Cauchy angegebenen linearen allgemeinen Hook’schen Gesetz [915]: σij = Eijkl · kl

(22.1)

σij stellt in Gl. (22.1) den Spannungstensor, Eijkl einen Elastizit¨atstensor 4. Stufe und kl den Verzerrungs- oder Dehnungstensor dar. Die Zahl der unabh¨angigen Komponenten des Elastizit¨atstensors reduziert sich mit zunehmender Symmetrie des Stoffverhaltens. Liegt beispielsweise Symmetrie bez¨ uglich zweier aufeinander senkrecht stehender Ebenen vor, ergeben sich neun elastische Konstanten, man spricht dann von einem orthotropen Stoff. Auf die Stoffbahn angewendet bedeutet dies, daß in den drei Hauptrichtungen (L¨angs-, Querrichtung und Dicke) jeweils verschiedene Elastizit¨atskonstante vorliegen. Der vollst¨andig isotrope Stoff dagegen besitzt nur noch zwei unabh¨angige Konstante, den bekannten Elastizit¨atsmodul E und die Querdehnzahl ν. Betrachtet man eine Stoffbahn deren Dicke sehr klein gegen¨ uber der L¨ange und Breite ist, was bei allen folienartigen Bahnen wie Papier, Kunststoff und zum Teil bei Metallen der Fall ist, kann das Stoffbahnverhalten f¨ ur regelungstechnische Untersuchungen vereinfacht mit dem eindimensionalen Spannungszustand nach dem bekannten Hook’schen Gesetz beschrieben werden: σ = ·E

(22.2)

Mit dem Stoffbahnquerschnitt A0 vor der Verformung erh¨alt man daraus folgende Beziehung f¨ ur die Bahnkraft Fjk zwischen den Walzen j und k (Abb. 22.1): Fjk = jk · E · A0

(22.3)

Wie allgemein u ¨blich, wird mit normierten Gr¨oßen gearbeitet. Diese Gr¨oßen sowie ihre Bezugswerte sind in Tabelle 22.1 aufgelistet. Nach der Normierung kann das Stoffbahnverhalten durch die Nenndehnung N beschrieben werden.

1170

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

Tabelle 22.1: Normierung

Unnormierte Gr¨oßen Strom I Drehmoment M Drehzahl N Geschwindigkeit V Bahnl¨ange Ljk Bahnkraft Fjk Radius Rk

Normierte Gr¨oßen i = I/IAN m = M/MiN n = N/N0N v = V /VN ljk = Ljk /LN fjk = Fjk /FN rk = Rk /RN

Bezugswerte Nennstrom IAN Nennmoment MiN Nennleerlaufdrehzahl N0N Nenngeschw. VN Nennl¨ange LN Nennkraft FN Nennradius RN

Aus Gl. (22.3) folgt f¨ ur die normierte Dehnung in Maschinenrichtung N =

FN E · A0

(22.4)

wobei FN die Bezugsgr¨oße Nennkraft, A0 den Nennquerschnitt und E den Elastizit¨atsmodul in L¨angsrichtung darstellt. Somit ist N die Dehnung, die sich aus der Belastung der Stoffbahn mit der Nennkraft bei Nennquerschnitt und dem Elastizit¨atsmodul ergibt. W¨ahrend des Transports der Stoffbahn durch die gesamte Anlage bleibt die ¨ Masse bei dynamischen Anderungen von Bahnkraft und Dehnung konstant. Dieses Verhalten kann mit dem Massenerhaltungssatz eines bewegten Fluids in einem Kontrollvolumen beschrieben werden. In Abb. 22.3a ist ein beliebiger Kontrollraum und in Abb. 22.3b ein Teilsystem j − k dargestellt. Die folgende Gleichung beschreibt die dynamischen Vorg¨ange im Kontrollraum und ist in der Str¨omungsmechanik als Kontinuit¨atsgleichung bekannt [919].  0 d ρ · dV = − ρ · V · dA (22.5) dt Vc (t)

Ac (t)

Der Term auf der linken Seite von Gl. (22.5) beschreibt die zeitliche Massen¨anderung dm/dt in einem Kontrollvolumen Vc (t), w¨ahrend auf der rechten Seite die an der Oberfl¨ache Ac (t) des Kontrollvolumens zu- und abstr¨omende Masse angegeben ist. Die Gr¨oße V stellt die Relativgeschwindigkeit zwischen Massenelement und Kontrollraumgrenze dar, w¨ahrend dV ein Volumenelement bedeutet. Mit der folgenden Gleichung f¨ ur die Masse im eindimensionalen Fall ρ(t) · dV = ρ(t) · A(t) · dX

(22.6)

wobei dX die L¨angen¨anderung in der L¨angskoordinate im eindimensionalen Fall und A(t) die Fl¨ache nach der Verformung bedeutet, sowie dem Satz der Massenkonstanz vor (Index 0) und nach der Verformung (ohne Index) eines Stoffes aus

22.2 Modellierung des Systems

1171

)

) Abb. 22.3: Str¨ omender Fluid im beliebigen Kontrollraum und einem Teilsystem

1172

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

der Kontinuumsmechanik [919] ρ(t) · A(t) = ρ0 · A0 ·

1 1 + (t)

(22.7)

erh¨alt man die L¨osung der Kontinuit¨atsgleichung (22.5), wobei zur Auswertung dieser Gleichung nur der Verlauf der Hauptdehnungen (t) im K¨orper und an der Kontrolloberfl¨ache Ac (t) ben¨otigt werden. Die Geschwindigkeit V muß nur auf der Kontrolloberfl¨ache Ac (t) bekannt sein. Nach einigen Umformungen erh¨alt man f¨ ur das Teilsystem nach Abb. 22.3b mit den Gleichungen (22.5) und (22.6) folgende allgemeine L¨osung: ⎡ ⎤ ⎞ ⎛ ⎢ ⎥ L Ajk (t) Aij (t) jk (t) ⎢ ⎥ d ⎜ ⎢ ⎟ ⎥ dX ⎠ = − ⎢−ρij (t)Vj (t) dA + ρjk (t)Vk (t) dA⎥ ⎝ρjk (t)Ajk (t) ⎢ ⎥ dt ⎣ ⎦ 0    0   0     eintretende Masse austretende Masse zeitl. Massen¨anderung (22.8) Nach Ausf¨ uhrung der Integration ergibt sich d (ρjk (t)Ajk (t)Ljk (t)) = ρij (t)Aij (t)Vj (t) − ρjk (t)Ajk (t)Vk (t) dt

(22.9)

und mit Gl. (22.7) folgt die L¨osung der Kontinuit¨atsgleichung (22.5) f¨ ur das Teilsystem nach Abb. 22.3.b:

d Ljk (t) Vj (t) Vk (t) = − (22.10) dt 1 + jk (t) 1 + ij (t) 1 + jk (t)          zeitl. Massen¨anderung Massenzufluß Massenabfluß Der linke Term von Gl. (22.10) beschreibt die zeitliche Massen¨anderung, der rechte die zu- und abfließende Masse [903]. Gleichung (22.10) lautet nach der Normierung mit den Bezugsgr¨oßen in Tabelle 22.1:

vj (t) d ljk (t) vk (t) TN · = − (22.11) dt 1 + jk (t) 1 + ij (t) 1 + jk (t) wobei die Nenn-Bahnzeitkonstante TN aus den Nenngr¨oßen laut Tabelle 22.1 wie folgt berechnet wird: LN TN = (22.12) VN d = 0, folgt aus Gl. (22.10): Im station¨aren Fall, d.h. dt Vk 1 + jk = Vj 1 + ij

(22.13)

22.2 Modellierung des Systems

1173

Gleichung (22.13) l¨aßt erkennen, daß die Dehnung jk in der Stoffbahn von der Relation der Walzenumfangsgeschwindigkeiten Vk /Vj und der einlaufenden Dehnung ij abh¨angt. Da die Dehnungen der Stoffbahn bei Metallen, Kunststoffen und Papier nur einige Promille betragen, hat die Geschwindigkeitsrelation Vk /Vj aufeinanderfolgender Walzen einen Wert, der nahe bei 1 liegt. Wird die Dehnung jk in der Stoffbahn, wie vielfach in realen Anlagen u ¨blich, u ¨ ber die Umfangsgeschwindigkeiten der Walzen eingestellt, ist eine hochgenaue Drehzahlregelung der Antriebe erforderlich. vj

__

+

vk

vk 1 1+ e jk

1 1+ e i j

1 s TQNk

1 s l jkTN 1

+

1+ e jk0

+

1 __

+

e jk fjk = f (e jk ) __ fjk

rk

+ m kl

m jk mk

rk

fkl

Abb. 22.4: Nichtlinearer Signalflußplan eines Teilsystems

In Abb. 22.4 ist f¨ ur das Teilsystem nach Abb. 22.3b der nichtlineare, normierte Signalflußplan laut Gl. (22.11) zusammen mit der mechanischen Grundgleichung f¨ ur rotierende Massen, wie in Gl. (22.20) beschrieben, dargestellt. Die Dehnung jk0 stellt die Anfangsdehnung zum Zeitpunkt t = 0 dar. F¨ ur das Stoffgesetz ist ein beliebiger nichtlinearer Zusammenhang zwischen Dehnung und Kraft angenommen. Die nichtlineare Gleichung (22.11) der Stoffbahn muß immer dann angewendet ¨ werden, wenn im Betrieb solcher Anlagen große Anderungen der zeitabh¨angigen Systemgr¨oßen auftreten, beispielsweise beim Anfahren der Anlage oder wenn das Verhalten der Stoffbahn nichtlinear ist.

1174

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

22.2.1.2 Linearisierung ¨ Werden nur kleine dynamische Anderungen im Arbeitspunkt zugelassen, kann das nichtlineare Stoffbahnverhalten linearisiert werden, so daß Gl. (22.3) bzw. (22.4) gilt. Ebenso wird die nichtlineare Gleichung (22.11) um den Arbeitspunkt durch Anwendung der Taylorreihe und Abbruch nach dem ersten ¨ Glied linearisiert. Alle Variablen stellen dann kleine Anderungen um diesen Arbeitspunkt dar. Nach einigen Umrechnungen erh¨alt man die linearisierte und ¨ normierte Differentialgleichung der Anderungen:

d Δvk Δljk Δvj Tjk Δjk − = − − Δjk + Δij (22.14) dt ljk v0 v0 Die Zeitkonstante Tjk wird Bahnzeitkonstante genannt und stellt die Transportzeit der Stoffbahn von der Walze j zur Walze k dar. Sie ist von der mittleren Maschinengeschwindigkeit v0 und der freien Bahnl¨ange ljk der Stoffbahn zwischen den Walzen j und k abh¨angig. Tjk =

Ljk ljk = · TN V0 v0

(22.15)

Es sei besonders darauf hingewiesen, daß die Bahnzeitkonstante Tjk nicht konstant ist, sondern von der mittleren Maschinengeschwindigkeit v0 abh¨angt. Um den linearen Signalflußplan zu erhalten, wird Gl. (22.14) in den LaplaceBereich transformiert.

Δvk Δljk Δvj sTjk Δjk − = − − Δjk + Δij (22.16) ljk v0 v0 Der zweite Term in der Klammer auf der linken Seite in den Gleichungen (22.14) und (22.16) beschreibt eine L¨angen¨anderung Δljk der Stoffbahn zwischen den Walzen j und k. Dies trifft zu, wenn beispielsweise eine T¨anzerwalze verwendet wird (Abb. 22.1). Deshalb sind zwei F¨alle zu unterscheiden. Fall 1: System mit T¨anzerwalze. ¨ Die Ubertragungsfunktion lautet:

Δvk 1 + sTjk 1 Δvj Δljk = − − Δij + Δjk ljk v0 v0 sTjk sTjk

(22.17)

Die L¨angen¨anderung Δljk h¨angt von der Differenz der Geschwindigkeiten Δvj und Δvk und der einlaufenden Dehnung Δij ab. Das Zeitverhalten ist integral. Die Dehnung Δjk wird von der an der T¨anzerwalze wirkenden Kraft bestimmt.

22.2 Modellierung des Systems

Dvj

Dvk

+ D vk

__

1175

1 v0 D ei j

+ + 1 s TQNk

1 1 + s Tjk D e jk

1

eN __ D fjk

rk

D m jk

+ +

Dm kl

rk

D fkl

D mk

Abb. 22.5: Linearer Signalflußplan eines Teilsystems

Fall 2: System ohne T¨anzerwalze. ¨ lautet: Hier ist Δljk = 0 und die Ubertragungsfunktion

Δvj 1 Δvk − + Δij Δjk = v0 v0 1 + sTjk

(22.18)

Die Dehnung Δjk ist von der Differenz der Geschwindigkeiten Δvj und Δvk und der einlaufenden Dehnung Δij abh¨angig. Das Zeitverhalten entspricht dem eines PT1 -Gliedes mit der Bahnzeitkonstante Tjk . F¨ ur das System ohne T¨anzerwalze ist in Abb. 22.5 der lineare, normierte Signalflußplan des Teilsystems nach Abb. 22.3b dargestellt.

1176

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

22.2.1.3 Verhalten der Mechanik Die Transportwalzen sind mit dem elektrischen Antrieb u ¨ber mechanische Verbindungselemente wie Kupplungen, elastische Wellen, Getriebe, Kardangelenke etc. gekuppelt. Dadurch entsteht ein komplexes mechanisches System. Die regelungstechnische Behandlung bei elastischen Verbindungen zwischen Antrieb und Arbeitsmaschine wurde in Kap. 19 ausf¨ uhrlich behandelt. Im Kap. 22 wird jedoch vereinfachend angenommen, daß die mechanische Verbindung zwischen Antrieb und Walze starr sei sowie keine Lose vorhanden ist. Dann k¨onnen die Schwungmassen der Antriebsmaschinen, Wellen, Getriebe, Kupplungen und Walzen zu einer resultierenden Gesamtschwungmasse zusammengefaßt werden. Das Widerstandsmoment ΔMwk ist durch die an den beiden Seiten der Walze angreifenden Bahnkr¨afte ΔFjk und ΔFkl bestimmt. Nach der Normierung ergibt sich folgende Gleichung: Δmwk = (Δfkl − Δfjk ) rk

(22.19)

Die mechanische Grundgleichung f¨ ur das Drehmomentgleichgewicht lautet in normierter Form ([36, 37, 38], Antriebsanordnungen: Grundlagen): TΘN k 22.2.2

dΔnk = Δmk − Δmwk dt

(22.20)

Elektrische Antriebe

Kontinuierliche Fertigungsanlagen werden sowohl von Gleichstrom- als auch von Drehfeldmaschinen angetrieben. Die Drehzahl der Gleichstrommaschine wird meist u ¨ber die Ankerspannung geregelt, w¨ahrend die Drehfeldmaschine mit Umrichtern und feldorientierter Regelung betrieben wird. Damit wird ihr ein Verhalten eingepr¨agt, das mit dem der Gleichstrommaschine vergleichbar ist. Die Gleichstrommaschine und deren Regelung wird in [36, 37, 38], Kap. 3 sowie in Kap. 7 in diesem Buch, die Drehfeldmaschine in [36, 37, 38], Kap. 5 sowie in Kap. 13 in diesem Buch ausf¨ uhrlich beschrieben. Bei beiden Maschinenarten kann f¨ ur regelungstechnische Anwendungen das dynamische Verhalten durch ein Verz¨ogerungsglied 1. Ordnung laut Gl. (22.21) gen¨ahert werden. Gers i (s) =

Δmk Kers i = Δm∗k 1 + sTers i

(22.21)

Kers i stellt dabei die Verst¨arkung und Ters i die Ersatzzeitkonstante der Strombzw. Drehmomentregelung des Antriebes dar. Abh¨angig vom Arbeitspunkt und der Qualit¨at der Regelung betr¨agt die Ersatzzeitkonstante Ters i etwa 0, 3...10 ms.

22.2.3

Linearer Signalflußplan des Gesamtsystems

Der lineare Signalflußplan f¨ ur ein System mit 6 angetriebenen Walzen einschließlich Wicklern und T¨anzerwalze ist in Abb. 22.6 dargestellt. Im Unterschied zu

22.3 Systemanalyse

Mechanisches System

1177

Teilsystem

Linearisierter Signalflußplan r

r

r

r

K ers i 1 + s T ers i

m*1

K ers i 1 + s T ers i

m*2

K ers i 1 + s T ers i

m*3

K ers i 1 + s T ers i

m*4

K ers i 1 + s T ers i

m*5

K ers i 1 + s T ers i

m*6

Abb. 22.6: Linearer Signalflußplan des Gesamtsystems

Abb. 22.1 wurden beide Wickler als Achswickler ausgef¨ uhrt, was aber keine ¨ grunds¨atzlichen Auswirkungen auf den Signalflußplan hat. Die einzige Anderung ist, daß beim Umfangswickler die Motordrehzahl unabh¨angig vom Wickeldurchmesser ist. Es sei darauf hingewiesen, daß ab Abb. 22.6 und in allen folgenden Signalflußpl¨anen sowie in allen Gleichungen ab Gl. (22.22) das Δ-Zeichen ¨ weggelassen wurde, um die Ubersichtlichkeit zu erh¨ohen. Grunds¨atzlich sind alle Ein- und Ausgangswerte in den Bildern und Formeln ¨ kleine Anderungen um den Arbeitspunkt.

22.3

Systemanalyse

Durch die Kopplungen der Antriebe u ¨ber die Stoffbahn ergibt sich ein Mehr¨ gr¨oßenregelsystem. Wie in Abb. 22.6 ersichtlich, k¨onnen sich Anderungen im System sowohl in als auch gegen die Transportrichtung ausbreiten. So wirkt bei-

1178

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

¨ spielsweise eine Anderung des Motorsollmomentes m∗4 u ¨ ber die Geschwindigkeit v4 auf die Dehnung 45 und die Bahnkraft f45 . Die Dehnungen und Kr¨afte wiederum beeinflussen alle nachfolgenden Teilsysteme. Da aber die Geschwindigkeit ¨ ¨ v4 auch eine Anderung der Bahnkraft f34 bewirkt, breitet sich die Anderung auch gegen die Transportrichtung auf die vorherigen Teilsysteme aus. Wie in Abb. 22.6 erkennbar, stellen die Geschwindigkeiten, Dehnungen und Bahnkr¨afte die Verkopplungen dar. Es werden deshalb an die Regelung des Gesamtsystems besondere Anforderungen gestellt, um die Teilsysteme so gut wie m¨oglich zu entkoppeln. 22.3.1

Regelbarkeit der Bahnkr¨ afte

Zum Verst¨andnis der Regelbarkeit gen¨ ugt es, das in Abb. 22.6 markierte Teilsystem 3. Ordnung zu betrachten. Die Bahnkraft f34 ist von der Geschwindigkeit v4 und von der in das Teilsystem einlaufenden Dehnung 23 abh¨angig. Unter der Annahme, die Geschwindigkeiten v3 und v5 sowie die Dehnung 23 seien eingepr¨agt, ¨ ergibt sich folgende Ubertragungsfunktion: f34 1 1 = v4 v0 N 1 + sT34

(22.22)

¨ ¨ Eine Anderung der Geschwindigkeit v4 verursacht aber ebenfalls eine Anderung ¨ der Bahnkraft f45 . Diese Anderung wird auf zwei verschiedenen Wegen erzeugt. Einmal u ¨ ber den rechten Pfad des Teilsystems nach Abb. 22.6 entsprechend Gl. (22.22) und andererseits u ¨ber den linken Pfad des Teilsystems zum rechten ¨ Pfad wegen des Transportes der Dehnung 34 in das System 4-5. Durch Uberlagerung folgt: f45 1 1 1 1 1 + = − v4 v  1 + sT45 v  1 + sT34 1 + sT45  0 N   0 N   rechter Pfad linker −→ rechter Pfad

(22.23)

¨ Nach der Umformung von Gl. (22.23) lautet die Ubertragungsfunktion f¨ ur diesen Fall: f45 1 1 sT34 = − (22.24) v4 v0 N 1 + sT45 1 + sT34 Im eingeschwungenen Zustand folgt aus Gl. (22.22): f34 ∞ 1 = v4 v0 N

(22.25)

Dagegen lautet das Ergebnis von Gl. (22.24) f¨ ur den eingeschwungenen Zustand: f45 ∞ = 0 v4

(22.26)

22.3 Systemanalyse

1179

Gleichung (22.26) zeigt, daß die Bahnkraft f45 bei einer Geschwindigkeits¨ande¨ rung v4 nur dynamischen Anderungen unterliegt. Diese Tatsache kann auch anschaulich mit Hilfe von Abb. 22.6 erkl¨art werden. Nehmen wir an, die Geschwindigkeit v4 ¨andert sich sehr schnell. Dann wird die Bahnkraft f34 gem¨aß Gl. (22.22) mit einem PT1 -Verhalten ansteigen, w¨ahrend die Bahnkraft f45 zun¨achst abnimmt. Beim Transport der Stoffbahn wird aber auch die h¨ohere Bahnkraft f34 in das System 4-5 gef¨ uhrt und der dortige Abfall der Bahnkraft f45 kompensiert. F¨ ur die Auslegung der Regelung bedeutet dies, daß die Bahnkraft station¨ar nur vom nachfolgenden Antrieb ¨uber die Geschwindigkeitsrelation beeinflußt werden kann. 22.3.2

Stillstand der Maschine

In den Signalflußpl¨anen von Abb. 22.5 und 22.6 ist ein Proportionalglied mit der Verst¨arkung 1/v0 vorhanden. Im Falle des Stillstandes ist die mittlere Geschwindigkeit v0 der Maschine aber Null. Dies w¨ urde zu einer unendlichen Verst¨arkung f¨ uhren. Da aber die Bahnzeitkonstante Tjk ebenfalls von v0 gem¨aß Gl. (22.15) abh¨angt, kann das Verz¨ogerungsglied 1. Ordnung 1/(1 + sTjk ) zusammen mit der Verst¨arkung 1/v0 folgendermaßen umgeformt werden: jk = [(vk − vj ) − v0 jk ]

1 s ljk TN

(22.27)

Im Falle von v0 = 0 ergibt sich: jk = (vk − vj )

1 s ljk TN

(22.28)

Somit haben kontinuierliche Fertigungsanlagen die Besonderheit, daß sie ihre Struktur abh¨angig vom Arbeitspunkt ¨andern. Aus einem PT1 -Glied ist im Stillstand ein reines I-Glied geworden und die direkten Verkopplungen der Teilsysteme u ¨ber die Dehnungen jk entfallen. Dies ist physikalisch aus der Tatsache erkl¨arbar, daß im Stillstand kein Transport von Material und Dehnungen ¨ in die nachfolgenden Systeme erfolgt, der die Anderungen der Dehnung dort ausgleicht. Folglich muß sich bei einer Geschwindigkeitsdifferenz der Walzen die Bahnkraft integral ¨andern. Wie sp¨ater noch gezeigt wird, ist im Stillstand auch keine D¨ampfung in der Stoffbahn wirksam, was Auswirkungen auf die Regelung hat. In Abb. 22.7 ist der Signalflußplan f¨ ur das Verhalten der Stoffbahn eines Teilsystems im Stillstand dargestellt. 22.3.3

Dynamik des ungeregelten Teilsystems

Um das Verhalten des ungeregelten Gesamtsystems zu untersuchen, ist es zweckm¨aßig, zun¨achst ein Teilsystem 3. Ordnung nach Abb. 22.6 zu betrachten. Die

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

1180

__

vj

+

ei j

__

vj

vk

+

+

vk

__

+ v0 1 s l jkTN

v0

1 s l jkTN

e jk

e jk Umgeformtes PT1 - Glied

Stillstand

Abb. 22.7: Signalflußplan der Bahnkraft im Stillstand

¨ Ubertragungsfunktion der Geschwindigkeit zum Drehmoment eines solchen Teilsystems lautet unter der Annahme, daß die Geschwindigkeiten v3 und v5 , allgemein vj bzw. vl , eingepr¨agt sind: vk v0 N (1 + sTjk ) (1 + sTkl ) = mk N

(22.29)

Der Nenner N in Gl. (22.29) ist 3. Ordnung: N = 1 + s(v0 N TΘN k + Tjk + Tkl ) + s2 [v0 N TΘN k (Tjk + Tkl )] + s3 v0 N TΘN k Tjk Tkl (22.30) Die charakteristische Gleichung (22.30) kann als L¨osung drei reelle Pole oder einen reellen Pol und ein konjugiert komplexes Polpaar haben. Somit sind folgende F¨alle zu unterscheiden: Fall 1: Ist die folgende Bedingung TB << v0 N TΘN k

(22.31)

g¨ ultig, ergeben sich drei reelle Pole. Die Zeitkonstante TB berechnet sich wie folgt: ljk lkl TN (22.32) TB = ljk + lkl v0

22.3 Systemanalyse

1181

TB ist die Bahnzeitkonstante aus der Parallelschaltung der beiden Bahnl¨angen links und rechts der betrachteten Walze k. Ist die Bedingung nach Gl. (22.31) erf¨ ullt, erh¨alt man aus Gl. (22.29) folgende ¨ einfache Ubertragungsfunktion: vk v0 N = mk 1 + s v0 N TΘN k

(22.33)

Aus dem Teilsystem 3. Ordnung ist ein PT1 -Glied geworden. In realen Anlagen ist die Bedingung nach Gl. (22.31) um so besser erf¨ ullt, je kleiner die freien Bahnl¨angen, je kleiner der Elastizit¨atsmodul der Stoffbahn und je gr¨oßer die Schwungmassen sowie die Maschinengeschwindigkeiten sind. Der Elastizit¨atsmodul ist beispielsweise relativ klein f¨ ur Stoffbahnen aus Gummi, Kunststoffen und Textilien. Wie sp¨ater gezeigt wird, verursachen Systeme dieser Art keine besonderen Regelprobleme mit einfachen P-, PI- oder PID-Reglern in Kaskadenstruktur. Fall 2: Ist die Bedingung nach Gl. (22.31) nicht g¨ ultig bzw. wenn gilt: TB >> v0 N TΘN k

(22.34)

dann bleibt das Teilsystem 3. Ordnung mit einem reellen Pol und einem konjugiert komplexen Polpaar erhalten. In realen Anlagen ist die Bedingung nach Gl. (22.34) um so besser erf¨ ullt, je gr¨oßer die freien Bahnl¨angen, je gr¨oßer der Elastizit¨atsmodul der Stoffbahn und je kleiner die Schwungmassen sowie die Maschinengeschwindigkeiten sind. Der Elastizit¨atsmodul ist beispielsweise relativ groß f¨ ur Stoffbahnen aus Papier oder Stahlblech. Im Fall 2 ergeben sich Probleme, wenn einfache Regelungen ohne besondere Maßnahmen eingesetzt werden. ¨ Die Eigenkreisfrequenz ω0 des Teilsystems 3. Ordnung mit der Ubertragungsfunktion nach Gl. (22.29) kann wie folgt berechnet werden: ω0 = 

1 ljk N TΘN k TN 2

(22.35)

Der D¨ampfungsfaktor D ergibt sich zu: ? 3 D = v0 8

2N TΘN k ljk TN

(22.36)

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

1182

Wie ersichtlich, h¨angt der D¨ampfungsfaktor D von der mittleren Arbeitsgeschwindigkeit v0 der Maschine ab. Deshalb ist der Stillstand der kritischste Fall f¨ ur die Regelung. Die Eigenkreisfrequenz ω0 dagegen ist nicht von v0 abh¨angig. Fall 3: System ohne Stoffbahn W¨ahrend des Einziehens oder bei Bahnriß ist in einigen Teilsystemen keine Stoff¨ bahn vorhanden. F¨ ur diesen Fall ist die Ubertragungsfunktion sehr einfach: vk 1 = (22.37) mk s TΘN k Die Regelung muß auch diesen Fall beherrschen k¨onnen.

vk m k 0.1

vk mk 1

2

3

0.05 0.1

0 1

0.01

-0.05 1

10 100 w (1/s) w0

-0.1

a) Bodediagramm

0 0.5 1 1.5 2 t (s) b) Sprungantwort

Abb. 22.8: Bodediagramme und Sprungantworten eines Teilsystems 3. Ordnung

In Abb. 22.8a sind die Bodediagramme und in Abb. 22.8b die Sprungantworten des ungeregelten Teilsystems 3. Ordnung f¨ ur die oben diskutierten F¨alle dargestellt. In Abb. 22.8a ist f¨ ur den Fall 1 das PT1 -Verhalten zu erkennen, w¨ahrend f¨ ur den Fall 2 deutlich die Resonanzerh¨ohung bei der Eigenkreisfrequenz ω0 und f¨ ur den Fall 3 das integrale Verhalten zu sehen sind. Abbildung 22.8b zeigt das entsprechende Zeitverhalten f¨ ur die 3 diskutierten F¨alle. In [910, 923] werden das Teilsystem- und das Gesamtsystemverhalten ausf¨ uhrlich beschrieben.

22.4

Drehzahlregelung mit PI-Reglern in Kaskadenstruktur

Bei vielen kontinuierlichen Fertigungsanlagen in der Kunststoff-, Textil- und Papierindustrie wird eine Strom- und Drehzahlregelung in Kaskadenstruktur verwendet, wie in Abb. 22.1 f¨ ur die Klemmstellenantriebe 2, 4 und 5 dargestellt.

22.4 Drehzahlregelung mit PI-Reglern in Kaskadenstruktur

1183

Die Bahnkr¨afte sind dann nur gesteuert. Wie aus Gl. (22.13) erkennbar, ist die Dehnung jk und damit auch die Bahnkraft fjk von der Relation der Walzenumfangsgeschwindigkeiten Vk /Vj und der einlaufenden Dehnung ij abh¨angig. Da die Dehnungen in der Regel nur einige Promille betragen, liegt die Geschwindigkeitsrelation nahe bei 1. Dies erfordert eine hochgenaue und m¨oglichst schwingungsfreie Drehzahlregelung der Antriebe. Wie in Kap. 22.3.3 beschrieben, kann das ungeregelte System sich aperiodisch oder schwingend verhalten. Deshalb ist vor dem Entwurf der Drehzahlregelung die Pr¨ ufung vorzunehmen, ob das ungeregelte System schwingf¨ahig ist oder nicht. Diese Pr¨ ufung erfolgt mit den Bedingungen nach den Gleichungen (22.31) oder (22.34). Im folgenden Kapitel wird die Vorgehensweise beim nicht schwingf¨ahigen ungeregelten System beschrieben. 22.4.1

Nicht schwingf¨ ahiges ungeregeltes System

F¨ ur diesen Fall lautet die Strecken¨ ubertragungsfunktion des Teilsystems 3. Ordnung nach Abb. 22.6 mit den Gleichungen (22.21), (22.33) und einer Drehzahlgl¨attung mit der Zeitkonstanten Tgn wie folgt: Kers i 1 nk v0 N = m∗k 1 + s v0 N TΘN k 1 + sTers i 1 + sTgn

(22.38)

Hier kann problemlos eine Kaskadenregelung f¨ ur den Strom und die Drehzahl beispielsweise nach den Verfahren der Strukturoptimierung, wie Betragsoptimum BO oder Symmetrischem Optimum SO, entworfen werden ([23] und Kap. 3). Faßt man die kleinen Zeitkonstanten in Gl. (22.38) zur Summenzeitkonstante Tσn = Ters i + Tgn

(22.39)

¨ zusammen, so lautet die f¨ ur die Regleroptimierung erhaltene Ubertragungsfunktion der Drehzahlregelstrecke GSnopt (s) =

Kers i v0 N 1 + s v0 N TΘN k 1 + sTσn

(22.40)

Um keine bleibende Regelabweichung bei St¨orgr¨oßen zu erhalten, wird ein PIRegler eingesetzt, der nach dem Symmetrischen Optimum ausgelegt werden soll. ¨ Dessen Ubertragungsfunktion ist wie folgt definiert: GRn (s) = VRn

1 + sTnn sTnn

(22.41)

Nach den Einstellregeln des SO ergeben sich folgende Reglerparameter: Verst¨arkung TΘN k (22.42) VRn = 2 Tσn Kers i

1184

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

Nachstellzeit Tnn = 4 · Tσn

(22.43)

¨ Um eine zu große Uberschwingung zu vermeiden, ist eine Sollwertgl¨attung notwendig. Abh¨angig vom Verh¨altnis der Zeitkonstanten TΘN k /Tσn liegt bei einer PT-Regelstrecke die Gl¨attungszeitkonstante TGn zwischen TGn = (0 ... 4) · Tσn

(22.44)

Die Sprungantwort der so geregelten Drehzahl entspricht der Standard¨ ubergangsfunktion des Symmetrischen Optimums wie in Kap. 3.2 beschrieben. Sie ist auch in Abb. 22.9 f¨ ur ωd /ω0 = 10 dargestellt. ωd ist die Durchtrittsfrequenz des offenen Drehzahlregelkreises und in Gl. (22.45) definiert, ω0 die Eigenkreisfrequenz des mechanischen Systems und in Gl. (22.35) angegeben. 22.4.2

Schwingf¨ ahiges ungeregeltes System

22.4.2.1 Regelung ohne Entkopplung ¨ Es gilt die Ubertragungsfunktion nach den Gleichungen (22.29) und (22.30). Wie ¨ in Abb. 22.8a erkennbar, wird bei h¨oheren Frequenzen der Betrag der Ubertra¨ gungsfunktion |vk /mk | (Fall 2) identisch mit den Ubertragungsfunktionen nach Fall 1 und 3. Gelingt es deshalb, die Drehzahlregelung so schnell auszulegen, daß die Durchtrittsfrequenz ωd des offenen Drehzahlregelkreises in diesem h¨oheren Frequenzbereich liegt, kann der Drehzahlregler wie beim System mit reellen Polen nach Kap. 22.4.1 ausgelegt werden. F¨ ur die Durchtrittsfrequenz einer Drehzahlregelung nach dem SO gilt: ωd =

1 2 Tσn

(22.45)

Die Bedingung f¨ ur eine schnelle Regelung lautet ωd ≥ (5 ... 10) ω0

(22.46)

wobei ω0 die Eigenkreisfrequenz des ungeregelten Systems nach Gl. (22.35) ist. ¨ Abbildung 22.9 zeigt, daß bei der Relation ωd /ω0 = 10 die Ubergangsfunktion der eines symmetrisch optimierten Regelkreises mit Sollwertgl¨attung entspricht. Der schnelle Drehzahlregler kann die Eigenfrequenzen sehr gut bed¨ampfen. Das Problem bei realen Anlagen liegt aber oft darin, daß die Durchtrittsfrequenz ωd wegen verrauschter Meßsignale und der dann notwendigen Gl¨attungen nicht beliebig erh¨oht werden kann und somit Gl. (22.46) nicht mehr erf¨ ullbar ist. Wird trotz der Tatsache, daß Gl. (22.46) nicht gilt, eine Kaskadenregelung mit SO-optimierten PI-Reglern entworfen, ist das Regelergebnis unbefriedigend wegen der auftretenden Schwingungen und der schlechten Regeldynamik, wie in Abb. 22.9 f¨ ur die Relationen ωd /ω0 = 1 und ωd /ω0 = 0, 1 dargestellt. Deshalb werden f¨ ur solche F¨alle andere Regelkonzepte ben¨otigt.

22.4 Drehzahlregelung mit PI-Reglern in Kaskadenstruktur

1185

wd w0

Vk Vk*

10

1.0 0.8

1

0.6 0.4 0.2 0.1 0

10

20

30

40

t 50 Ts n

¨ Abb. 22.9: Ubergangsfunktionen eines geregelten Teilsystems 3. Ordnung

22.4.2.2 Regelung mit Entkopplung Wie in Abb. 22.1 ersichtlich sind die Walzen u ¨ber die elastische Stoffbahn miteinander verbunden. Dadurch entsteht ein schwingf¨ahiges Mehrmassensystem. Im linearen Signalflußplan nach Abb. 22.6 ist erkennbar, daß die Walzenantriebe durch die Bahnkr¨afte f34 und f45 , die auf die Drehmomentvergleichsstelle des Antriebes wirken, miteinander verkoppelt sind. Prinzipiell ist es m¨oglich, mittels einer inversen Aufschaltung der gemessenen Bahnkr¨afte f34 und f45 auf den Stromreglereingang das System zu entkoppeln. In realen Anlagen sind aber die gemessenen Bahnkr¨afte verrauscht und m¨ ussen gegl¨attet werden. Je nach der Funktionsweise der Bahnkraftmeßaufnehmer (z.B. induktiv oder mit Dehnmeßstreifen) sind Gl¨attungszeitkonstanten von bis zu 300 ms notwendig. Deshalb ist die Entkopplung mit den gemessenen und verrauschten Bahnkr¨aften nur bedingt einsetzbar, da diese wegen der Gl¨attungen verz¨ogert am Aufschaltpunkt wirken und die Entkopplung verschlechtern. Eine Verbesserung der Entkopplung wird dagegen erreicht, wenn die Bahnkr¨afte mit Hilfe eines Beobachters aus den mit wesentlich kleineren Gl¨attungen meßbaren Systemgr¨oßen Drehzahl und Strom ermittelt werden. Da f¨ ur die Kompensation nur die Bahnkraftdiffernz fjk − fij gesch¨atzt werden muß, kann ein reduzierter Beobachter eingesetzt werden. Solch ein relativ einfacher Beobachter ist in Abb. 22.10 dargestellt, wobei sich anhand von Abb. 22.10a die Funktionsweise erkl¨aren l¨aßt, w¨ahrend in Abb. 22.10b der Beobachter durch Signalflußplanumformung in die ¨aquivalente Luenberger-Struktur umgerechnet ist [910, 923]. Die Eingangsgr¨oßen des Beobachters nach Abb. 22.10 sind der Motorstrom ij oder das Motormoment mj sowie die Motordrehzahl nj des entsprechenden Teilsystems j. Nach Abb. 22.10a wird die Drehzahl nj mit der mechanischen Schwungmassenzeitkonstante TΘN j differenziert und damit das gesch¨atzte Be-

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

1186

Beobachter

Teilsystem j

Beobachter

nj s TQNj 1+ sTbeo

__

f^dj

^j m

__

1 s TQNj __

+

ij = m j

f^dj

K ers i 1+ s Ters i

+

+

ij = m j

+

K ers i 1+ s Ters i

1 Kers i

__ ^i dj

1 s TQNj

m bj

1 1+ sTbeo 1 Kers i Ginv

nj ^n j

__

TQNj Tbeo

1 s TQNj

^ m bj

+

+

Teilsystem j

__ Ginv

+ i j*

a) Reduzierter Beobachter

^i dj

+ i j*

b) Äquivalenter Luenberger Beobachter

Abb. 22.10: Entkopplungsbeobachter

schleunigungsmoment m ˆ bj gebildet. Subtrahiert man von diesem Beschleunigungsmoment das gesch¨atzte Motormoment m ˆ j , tritt am Ausgang der Summationsstelle das Widerstandsmoment auf. Dieses entspricht der Bahnkraftdifferenz fˆdj = fjk − fij . Sowohl das Beschleunigungsmoment m ˆ bj als auch das Motormoment m ˆ j werden durch ein PT1 -Glied mit der Beobachterzeitkonstante Tbeo gegl¨attet. F¨ ur diese Zeitkonstante sollte gelten: Tbeo <

ωd 5 ω02

(22.47)

ωd ist die in Gl. (22.45) definierte Durchtrittsfrequenz und ω0 die in Gl. (22.35) angegebene Eigenkreisfrequenz des Teilsystems j. Die Zeitkonstante Tbeo ist der einzige zu berechnende Parameter des Beobachters. Da die im Beobachter gesch¨atzte Bahnkraftdifferenz fˆdj auf den Eingang des Stromregelkreises geschaltet werden soll, muß prinzipiell die inverse Verst¨arkung ¨ und Ubertragungsfunktion Ginv (s) des Ersatzstromregelkreises eingef¨ ugt werden. Aus Realisierungsgr¨ unden ist dabei eine Gl¨attung notwendig.

22.5 Bahnkraftregelung mit PI-Reglern

1187

¨ F¨ ur die inverse Ubertragungsfunktion gilt: Ginv (s) =

1 + sTers i 1 + sTgi

(22.48)

Um eine differenzierende Wirkung zu erhalten, muß die Gl¨attungszeitkonstante Tgi kleiner als die Ersatzzeitkonstante Ters i sein. Es ist dabei zu beachten, daß durch Ginv (s) keine vollst¨andige Kompensierung des Stromregelkreises m¨oglich ¨ ist, da dieser real ein Ubertragungsglied h¨oherer Ordnung darstellt. Sind jedoch die Ausregelzeiten der Stromregelung kleiner als etwa 3 ms, kann das inverse ¨ Ubertragungsglied Ginv (s) entfallen, d.h. es wird Ginv (s) = 1 gesetzt. Zur Bildung des Differenzstromes ˆidj ist dann nur noch die inverse Verst¨arkung 1/Kers i des Ersatzstromregelkreises notwendig. Der Einsatz dieser Entkopplungsbeobachter im Gesamtsystem ist in Abb. 22.1 ¨ mit dem Ubertragungsglied E gezeigt. Ein Vorteil dieser Entkopplung ist, daß die Regelung in der gewohnten Weise in Kaskadenstruktur mit einfachen PIReglern ausgef¨ uhrt werden kann, unabh¨angig davon, ob das ungeregelte System schwingf¨ahig ist oder nicht. Abbildung 22.11 zeigt die Wirkung dieser Entkopplungsmethode. Die Sprungantwort mit Entkopplung ist mit der des symmetrisch optimierten Drehzahlregelkreises identisch. Ohne Entkopplung hingegen dominiert das schwingende Verhalten der Strecke, wie schon in Abb. 22.9 f¨ ur ωd /ω0 = 1 gezeigt.

n3 n*3 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0

mit Entkopplung

ohne Entkopplung

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 t (s)

Abb. 22.11: Wirkung der Entkopplung bei Drehzahlregelung

22.5

Bahnkraftregelung mit PI-Reglern

Der Nachteil einer Steuerung der Bahnkr¨afte u ¨ ber die Geschwindigkeitsrelation ¨ besteht darin, daß St¨orungen oder Parameter¨anderungen, z.B. Anderungen der Nenndehnung N der Stoffbahn beim Befeuchten oder Bedrucken, nicht ausregelbar sind. Deshalb werden diese kritischen Sektionen mit Bahnkraftregelungen

1188

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

ausgestattet, die den Drehzahlregelungen u ur ¨berlagert sind, wie in Abb. 22.1 f¨ den Klemmstellenantrieb 3 dargestellt. Ist die Drehzahlregelung wie in Kap. 22.4 beschrieben ausgelegt, lautet die ¨ Ubertragungsfunktion des geschlossenen symmetrisch optimierten Drehzahlregelkreises: GSOn (s) =

nk 1 + s4Tσn = n∗k 1 + s4Tσn + s2 8Tσn 2 + s3 8Tσn 3

(22.49)

1 1 + sTGn

(22.50)

Wird ein Gl¨attungsglied GGn (s) =

mit TGn = 4 · Tσn im Sollwertkanal der Drehzahlregelung verwendet, kann das ¨ Ubertragungsglied 3. Ordnung nach Gl. (22.49) zur Optimierung des Bahnkraftreglers als Ersatzfunktion 1. Ordnung gen¨ahert werden, so daß dann gilt: Gers n (s) =

nk Kers n ≈ n∗k 1 + sTers n

(22.51)

Die Ersatzzeitkonstante Ters n des SO-optimierten Drehzahlregelkreises berechnet sich zu Ters n = 4 · Tσn (22.52) Die Verst¨arkung Kers n betr¨agt meist 1. Eine ausf¨ uhrliche Behandlung von unterlagerten Regelkreisen und der Bildung von Ersatzfunktionen ist in Kap. 5 und 7 zu finden. f *jk + __ f jk

n*k G Rf

nk K ers n 1+ sTers n

f jk 1 v0

1 1+ sTjk

1

eN

1 1+ sTg f

Abb. 22.12: Vereinfachter Bahnkraftregelkreis

In Abb. 22.12 ist der Signalflußplan des Bahnkraftregelkreises dargestellt. Wie in Kap. 22.4.2.2 beschrieben, muß die gemessene Bahnkraft gegl¨attet werden. F¨ ur die Summe der kleinen Zeitkonstanten Tσf der Bahnkraftregelung gilt: Tσf = Ters n + Tgf

(22.53)

22.5 Bahnkraftregelung mit PI-Reglern

1189

¨ Mit diesen Vereinfachungen ergibt sich folgende Ubertragungsfunktion der Bahnkraftregelstrecke: GSf opt (s) =

fjk 1 1 = ∗ nk v0 N (1 + sTjk ) (1 + sTσf )

(22.54)

¨ Als Bahnkraftregler wird ein PI-Regler mit folgender Ubertragungsfunktion verwendet: 1 + sTnf GRf (s) = VRf (22.55) sTnf Dieser Regler wird vorteilhaft nach dem Symmetrischen Optimum SO eingestellt, da dann seine Parameter unabh¨angig von der ver¨anderlichen Arbeitsgeschwindigkeit v0 sind. Die Verst¨arkung des PI-Reglers lautet VRf =

Tjk v0 N ljk TN N = = f (v0 ) 2 Tσf Kers n 2 Tσf Kers n

(22.56)

und die Nachstellzeit betr¨agt Tnf = 4 · Tσf

(22.57)

Die beiden Reglerparameter sind keine Funktion der ver¨anderlichen Arbeitsgeschwindigkeit v0 . Je gr¨oßer die ben¨otigte Gl¨attungszeitkonstante Tgf der gemessenen Bahnkraft ist, desto gr¨oßer wird die Summenzeitkonstante Tσf und damit auch die Ausregelzeit. Der PI-Regler regelt aber im Gegensatz zur Steuerung der Bahnkr¨afte u ¨ber eine Drehzahlregelung wie in Kap. 22.4 beschrieben, die Bahnkraft auch bei St¨orgr¨oßen ohne station¨aren Regelfehler aus.

)

)

Abb. 22.13: Gemessene Sprungantworten der Bahnkr¨afte

Abbildung 22.13 zeigt die an der Versuchsanlage des Lehrstuhles gemessenen Bahnkr¨afte einer Kaskadenregelung mit PI-Reglern, die nach dem SO eingestellt sind.

1190

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

Die Teilsysteme dieser Anlage besitzen konjugiert komplexe Pole und die Eigenfrequenz ω0 eines Teilsystems betr¨agt 42 1/s. Die realisierbare Durchtrittsfrequenz ωd der Drehzahlregelung ist 167 1/s. Somit betr¨agt das Verh¨altnis: ωd = 3, 97 ω0

(22.58)

Die Bedingung nach Gl. (22.46) ist also nicht erf¨ ullt. Trotzdem wurden die PIRegler hier nach den Regeln des Symmetrischen Optimums ohne Entkopplung ausgelegt, wie es in der Praxis u ¨blich ist. In Abb. 22.13 sind die gemessenen Bahnkr¨afte f23 sowie f34 der Antriebe 3 und 4, wie in Abb. 22.1 dargestellt, aufgezeichnet. Abbildung 22.13a zeigt die Bahnkr¨afte bei einer Sprunganregung am Antrieb 3, Abb. 22.13b dagegen die Bahnkr¨afte bei einer Sprunganregung am Antrieb 4. In beiden F¨allen ist zu erkennen, daß die jeweiligen Istwerte f23 bzw. f34 wegen der Kopplungen und der Nichtg¨ ultigkeit von Gl. (22.46) mehr u ¨berschwingen als nach SO mit Sollwertgl¨attung erwartet. Besonders eindrucksvoll sind die Verkopplungen jedoch am Verlauf der jeweiligen benachbarten Kr¨afte zu erkennen. So ergeben sich z.B. bei einer Bahnkraft¨anderung von f23 um 200 N maximale Bahnkraft¨anderungen von etwa 100 N im nachfolgenden Teilsystem 4 (Kraft f34 in Abb. 22.13a) und bei einer Bahnkraft¨anderung im Teilsystem 4 um den gleichen Betrag ma¨ ximale Anderungen der Bahnkraft f23 im vorhergehenden Teilsystem 3 von etwa 50 N (Abb. 22.13b). Die gr¨oßeren Bahnkraft¨anderungen im nachfolgenden Teilsystem 4 werden dadurch verursacht, daß in Transportrichtung die Teilsysteme sowohl u ¨ ber die Dehnungen direkt als auch u ¨ber die Bahnkr¨afte verkoppelt sind, w¨ahrend entgegen der Transportrichtung nur die Verkopplungen u ¨ber die Bahnkr¨afte wirken, wie in Kap. 22.3 beschrieben und in Abb. 22.6 dargestellt. In diesem Kapitel wurde gezeigt, daß unter gewissen Einschr¨ankungen und Bedingungen mit einfachen, bekannten klassischen Regelverfahren brauchbare Ergebnisse zu erzielen sind. Mit zunehmenden Anforderungen an die Regelg¨ ute und den Automatisierungsgrad der Anlagen werden aber hochwertigere Regelungen gefordert. Um dies zu erreichen, sind die Verkopplungen der Teilsysteme, Elastizit¨aten in den Antriebswellen, Nichtlinearit¨aten wie Reibung und Getriebelose, nichtlineares Stoffbahnverhalten oder Begrenzungen in den Stellgr¨oßen, in den Reglerentwurf einzubeziehen. Dies erfordert die Verwendung komplexerer Regelverfahren, wie dezentrale Zustandsregelungen mit Entkopplungen, adaptive, selbsteinstellende Regler oder den Einsatz nichtlinearer Regelverfahren. Dazu bieten sich heute neben den konventionellen L¨osungen auch neuere Verfahren, wie Zustandsregelungen und der Einsatz neuronaler Netze an [792, 917, 918].

22.6 Registerfehler bei Rotationsdruckmaschinen

22.6

Registerfehler bei Rotationsdruckmaschinen

22.6.1

Einf¨ uhrung

1191

Beim Mehrfarbendruck in Rotationsdruckmaschinen werden verschiedenfarbige Druckbilder in aufeinanderfolgenden Druckwerken auf die durchlaufende Stoffbahn gedruckt. Der Abstand zweier verschiedenfarbiger gedruckter Punkte, die denselben Bildpunkt der Druckvorlage wiedergeben, wird als Registerfehler bezeichnet. Dabei unterscheidet man das Farbregister (L¨angsregister in Transportrichtung), Seitenregister (quer zur Transportrichtung) und das Schnittregister beim Querschneiden der Stoffbahn im Falzapparat. Das L¨angsregister ist gegen¨ uber St¨orungen besonders empfindlich und wird daher durch Registerregelungen korrigiert. Stellgr¨oßen sind dabei bei ¨alteren Anlagen die Lage von Stellwalzen (Registerwalzen) oder die Winkellage der Formzylinder der Druckwerke. Durch das menschliche Auge werden bereits Abweichungen von wenigen 10 μm als Bildunsch¨arfe erkannt. Das Seitenregister wird meist durch eine Seitenkantenregelung vor dem ersten Druckwerk gen¨ ugend genau konstant gehalten. Der Registerfehler wird mit Hilfe von Registermarken gemessen, die von den Druckzylindern in deren jeweiliger Farbe einmal pro Umdrehung auf die Stoffbahn gedruckt und von optischen Meßgebern erfaßt werden. Ihre Verschiebung gegeneinander ist ein Maß f¨ ur die Bildpunktdifferenzen des gesamten gedruckten Bildes. Der Registerfehler ist vielf¨altigen St¨orungen unterworfen, die entweder vom Abwickler herr¨ uhren oder in der Druckmaschine selbst entstehen wie • Bahnspannungsschwankungen im Wickel, • Schwankungen von Elastizit¨atsmodul, Querschnitt und Dichte der abgewickelten Stoffbahn, • Zugkraftschwankungen infolge unrunder Wickelrollen, ¨ • sprungf¨ormige Anderungen, die durch den automatischen Rollenwechsel verursacht werden, • periodische Zugkraftschwankungen durch unrunde Leitwalzen, • Schwankungen der Anpreßkraft am Anpreßzylinder der Druckwerke, ¨ • Anderungen durch technologisch bedingte Befeuchtung und Trocknung der Papierbahn, • periodische Schwingungen, die vom Falzapparat herr¨ uhren, ¨ • Anderungen der Dehnung durch Temperaturschwankungen.

1192

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

Fr¨ uher wurde der Gleichlauf der Druckwerke ausschließlich durch mechanische Wellen (K¨onigswellen) bewerkstelligt. Heute sind Druckmaschinen mit elektrischen Einzelantrieben ausger¨ ustet, der Gleichlauf und die Registerhaltigkeit werden durch hochwertige digitale Regelungen gew¨ahrleistet. 22.6.2

Ableitung des Registerfehlers

Die Ableitung des Registerfehlers erfolgt unter folgenden vereinfachenden Voraussetzungen: • Die Stoffbahn sei eben, steht unter einachsiger Zugbelastung und ist biegeschlaff, • es gilt das Hooke’sche Gesetz und die lineare Elastizit¨atstheorie, • alle Massenbeschleunigungskr¨afte sind vernachl¨assigbar, die Zugkraft in der freien Bahn ist ortsunabh¨angig, • der Einfluß von Temperatur und Feuchte wird nicht ber¨ ucksichtigt. Die zur Ableitung des Registerfehlers notwendigen Gr¨oßen sind f¨ ur verschiedene Zeitpunkte in Abb. 22.14 dargestellt. Zur Bestimmung des Registerfehlers wird die Bewegung einer vom Druckwerk 1 gedruckten Marke Ai zum Druckwerk 2 verfolgt, w¨ahrend das Druckwerk 2 genau U12 Umdrehungen ausf¨ uhrt, d.h. U12 Marken Bi druckt. W¨ahrend der Transportzeit T12 werden von der Druckwalze 2 genau U12 Umdrehungen ausgef¨ uhrt, dies bedeutet, daß auch U12 Marken gedruckt werden. In der L¨ange L12 zwischen den beiden Druckwerken sind somit auch U12 Druckspiegel enthalten. Mit der Zeitbedingung t1 = t − T12 gilt:

(22.59)

t 2 · π · U12 =

Ω2 dt

(22.60)

t1

In der Transportzeit T12 f¨ordert die Druckwalze 2 die materielle L¨ange L2 . Dagegen ist Lα12 die L¨ange, die sich aus dem in der Zeit Tα12 zur¨ uckgelegten Differenzwinkel α12 an der Druckwalze 1 ergibt. Der Differenzwinkel α12 entsteht infolge eines von Null verschiedenen Startwertes und unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten der Druckwerke. Es gilt: t1 α12 (t1 ) = α12 (t0 ) + (Ω1 − Ω2 )dt (22.61) t0

22.6 Registerfehler bei Rotationsdruckmaschinen 1

1193

2

X

L 12

L a12

e 01

e 12

Ai

i

B i-U 12

a12 V2

V1 Zeitpunkt t1 = t - T12

L 12 L a12

e 01

e 12

A i+U 12

i+U 12

Bi

i

B i-U 12

Ai

V2

V1 Zeitpunkt t

Y12

L2

Abb. 22.14: Prinzipielle Anordnung zur Ableitung des Registerfehlers

Aus der Bilanz der materiellen L¨angen ergibt sich der Registerfehler zu Y12 (t) = L2 (t) − L12 (t − T12 ) + Lα12 (t − T12 )

(22.62)

Werden die allgemeinen Beziehungen der Kontinuit¨atsgleichung aus Kap. 22.2  L =

x2

V (t) 1 + (t)

und

L =

dx 1 + (x, t)

x1

(t)

in Gl. (22.62) eingesetzt, so lautet der Registerfehler zwischen den Druckwerken 1 und 2 : t Y12 (t) = t1

22.6.3

V2 (t) dt − 1 + 12 (t)

L12

dx + 1 + (x, t1 )

0

t1 t1 −Tα12

V1 (t) dt 1 + 01 (t)

(22.63)

Linearisierung des Registerfehlers

Da Gl. (22.63) nichtlinear ist, muß sie linearisiert werden. Dies geschieht auf die gleiche Weise wie in Kap. 22.2.1.2, aber unter der Beachtung, daß auch die Integralgrenzen in station¨are und instation¨are Anteile aufgespalten werden m¨ ussen.

1194

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

Nach einer l¨angeren Rechnung und der Laplace-Transformation (siehe [904, 905, 906]) erh¨alt man den linearisierten, normierten Registerfehler zweier Druckwerke nach dem Entspannen der Stoffbahn   1 ΔY12 (s) Δy12 (s) = = Δ01 · e−sT12 − Δ12 · (22.64) LN sTy Die Registerfehlerzeitkonstante Ty berechnet sich aus der Bezugsgr¨oße YN des Registerfehlers und der Nenngeschwindigkeit VN der Druckmaschine wie folgt: YN (22.65) Ty = VN Aus Gl. (22.64) ist ersichtlich, daß der linearisierte Registerfehler nur von den Dehnungs¨anderungen der Stoffbahn abh¨angt. Wegen der schwierigen Meßbarkeit der Dehnungen werden die Bahnkr¨afte als Ersatzgr¨oße f¨ ur die Registerrege¨ lung herangezogen. Da aber der Registerfehler auch von Anderungen des Bahnquerschnittes und Elastizit¨atsmoduls abh¨angt, muß das Hook’sche Gesetz nach Gl. (22.3) ebenfalls linearisiert werden. Aus Gl. (22.3) folgt dann:

ΔFjk ΔA ΔE Δjk = · jk0 − + (22.66) E0 A0 A0 E0 Wird die linearisierte Gleichung (22.66) in die lineare Registerfehlergleichung (22.64) unter Beachtung der Tatsache, daß eine in das Druckwerk 1 einlaufende ¨ Anderung des Stoffbahnquerschnittes und Elastizit¨atsmoduls erst nach der Laufzeit T12 am Druckwerk ankommt, eingesetzt, erh¨alt man die linearisierte Registerfehlergleichung f¨ ur zeitliche Bahnkraft- und Materialkonstanten¨anderungen:

  1 ΔF01 −sT12 ΔF12 ΔA ΔE Δy12 (s) = · e−sT12 · ·e − + (120 − 010 ) · + E0 A0 E0 A0 A0 E0 sTy (22.67) ¨ Aus Gl. (22.67) ist erkennbar, daß Anderungen der Materialkonstanten nur dann einen Registerfehler erzeugen, wenn zwischen den Druckwerken unterschiedliche station¨are Dehnungen vorhanden sind. Diese Dehnungsunterschiede k¨onnen trotz gleicher Umfangsgeschwindigkeiten der Druckwalzen durch unterschiedli¨ che Radien der Druckwalzen hervorgerufen werden. Anderungen der einlaufenden Bahnkraft oder der Bahnkraft zwischen den Druckwerken verursachen immer einen Registerfehler. Andererseits l¨aßt Gl. (22.67) erkennen, daß es zur Vermeidung eines Registerfehlers nicht ausreicht, die Bahnkr¨afte konstant zu halten, da ¨ durch Anderungen der Materialkonstanten oder unterschiedliche Druckwalzenradien ein Registerfehler erzeugt wird. 22.6.4

Zusammenhang der Registerfehler aufeinanderfolgender Druckwerke

Erweitert man die Anordnung nach Abb. 22.14 um ein weiteres Druckwerk 3, tritt ein Registerfehler ΔY13 auf, der zwischen dem 1. und 3. Druckwerk entsteht.

22.6 Registerfehler bei Rotationsdruckmaschinen

1195

Dieser kann aus folgenden Gleichungen berechnet werden: Δy12 (s) =

  1 Δ01 · e−sT12 − Δ12 · sTy

  1 Δ12 · e−sT23 − Δ23 · sTy   1 Δy13 (s) = Δ01 · e−sT13 − Δ23 · sTy Δy23 (s) =

(22.68) (22.69) (22.70)

Wird die Dehnung Δ12 aus den Gleichungen (22.68) und (22.69) eliminiert, erh¨alt man nach kurzer Rechnung: Δy13 (s) = Δy12 (s) · e−sT23 + Δy23 (s)

(22.71)

Der Registerfehler zwischen dem 1. und 3. Druckwerk ergibt sich aus dem um die Zeit T23 verz¨ogerten Registerfehler zwischen dem 1. und 2. Druckwerk und dem Registerfehler zwischen 2. und 3. Druckwerk. 22.6.5

Linearisierter Signalflußplan

Mit Hilfe des in Kap. 22.2.1.2 abgeleiteten und in Abb. 22.5 dargestellten Signalflußplanes l¨aßt sich mit den Gleichungen (22.67) sowie (22.71) der linearisierte Signalflußplan eines Systems, bestehend aus drei Druckwerken, zeichnen. Die f¨ ur die Registerfehler relevanten Bl¨ocke sind in Abb. 22.15 fett hervorgehoben. Der linearisierte Signalflußplan in Abb. 22.15 zeigt besonders gut den besonderen Mechanismus bei einlaufenden St¨orungen. Eine z.B. vom Wickel einlaufende Bahnkraft¨anderung Δf01 erzeugt in allen nachfolgenden Druckwerken einen Registerfehler, ebenso werden durch Dehnungs¨anderungen zwischen den Druckwerken alle Registerfehler in und gegen die Transportrichtung angeregt. ¨ Anderungen der Materialdaten ΔA oder ΔE wirken sich dagegen nur an den Druckwerken aus, zwischen denen die station¨ aren ein- und auslaufenden Dehnungen jk0 sowie ij0 unterschiedlich sind. 22.6.6

Dynamisches Verhalten des Registerfehlers

Um das dynamische Verhalten des Registerfehlers zu erl¨autern, wurden die Auswirkungen verschiedener Anregungungen auf die Registerfehler berechnet. Grundlage dieser Simulationen ist der linearisierte Signalflußplan nach Abb. 22.16. Die Ergebnisse der Simulationen sind in Abb. 22.17 dargestellt. Bei allen Berechnungen betrug die station¨are Dehungsdifferenz jk0 −ij0 = 0, 001. Die Amplitude des Sprunges der Eingangsdehnung betrug Δ01 = 0, 001 und die der Elastizit¨atsmodul¨anderung ΔE/E0 = 0, 5. Der Registerfehler ist auf YN = 1 mm bezogen.

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

1196 1

D e12

D e 01 D f 01

A0 +

D e 23

D f12

Dv1

D v2

D m1

D m2

__

Dv1

DA

3

2

v0

1 v0

DE E0

Dy 12

Dv

__

1 v0

e- sT23 e 230 - e 120

e 120 - e 010 +

+

+

Dn2

__

+

1 s TQN2

1 1 + s T12

e- sT12

1 1 + s T 23 __

1

D e23

1

1 s Ty __

D f 12

+

+

eN

r2 k m

D m12

e- sT23

eN

+ +

D m 23 D m2

+ Dy 12

e- sT23

D e12

1 s Ty

+

+

+

+

D y13 Dy 23

D v3

+

r2 k 2

e- sT12 D f 01 e N

3

D m3

D v2

+

D f 23

D f 23

r2 k m

+ D y13

Dy 23

Abb. 22.15: Linearisierter Signalflußplan f¨ ur drei Druckwerke

22.6.6.1 Druckmaschine mit Drehzahlregelung In Abb. 22.16 ist eine Druckmaschine mit verschiedenen Regelungen, stellvertretend f¨ ur die Druckwalze 2, dargestellt. Zun¨achst sei nur die Drehzahl der Druckwalzen geregelt (n Reg.). Die Winkelregelung (α Reg.) und die Registerregelung (y Reg.) sind nicht vorhanden. Die Amplitude der sprungf¨ormigen Sollwert¨anderung der Drehzahl Δn1S betrug normiert gleich 1. Wie aus Abb. 22.17-1a ersichtlich, ¨andern sich die Registerfehler station¨ar, wobei die Registerfehler Δy12 und Δy23 integral weglaufen, der Registerfeh-

22.6 Registerfehler bei Rotationsdruckmaschinen

1 D e12

D e 01 D f 01

A0 +

D e 23

D f12

Dv1

D v2

D m1

D m2

__

Dv1

DA

3

2

v0

1 v0

DE E0

Dv

__

1 v0

e- sT23

e 230 - e 120 +

+

Dn2

+

1 s TQN2

1 1 + s T12

e- sT12

e- sT23

D e12

__

__

1

D m 23 D m2

+

eN

+ +

r2 k m

e- sT23 Dy 12

D e23

1 s Ty

D m12

+

1 1 + s T 23 __

eN

D f 12

+

+

1

1 s Ty

+

+

+

+

D v3

+

r2 k 2

e- sT12

+

D f 23

r2 k m

M D y13

1 sTa D a2

n Reg. Dn 2S __ + a Reg. D a 2S __ + y Reg.

3

D m3

e 120 - e 010 D f 01 e N

D f 23

Dy 12

D v2

+

1197

Dy 23

__ + Dy 12S

Abb. 22.16: Geregelte Druckmaschine mit drei Druckwerken

D y13 Dy 23

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

1198

1. Drehzahlregelung der Walzen *104 2 D y23 1 D y13

0.2

0.2

0

0

-0.2

-0.2

-0.4

-0.4

D y23

0 -0.6 D y12

-1

0

2

1

3

4

5

-1.2

0

1

-1 3

4

5

-1.2

1b) Dehnungssprung D e 01

1a) Drehzahlsprung bei Antrieb 1

D y13

-0.8

D y13 2

D y12

-0.6

y -0.8 D 12 -1

-2

D y23

0

2

1

3

4

5

4

5

4

5

1c) Elastizitätsmodulsprung D E

2. Winkelregelung der Walzen 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10

D y23

0.2

0.2

0

0

-0.2

D y13

-0.2

D y23

-0.4

-0.4

-0.6 -0.8

D y12

D y13

D y12

0

2

1

3

4

5

D y13

-0.8 -1

0

1

2

3

4

5

-1.2

2b) Dehnungssprung D e 01

2a) Sprung des Druckwerkswinkels 1

D y12

-0.6

-1 -1.2

D y23

0

1

2

3

2c) Elastizitätsmodulsprung D E

3. Registerfehlerregelung 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2 D y12 -1.4 0

0.2 D y23

-0.2

D y13

2

3

4

3a) Sprung des Registersollwertes D y12 s

5

D y12

0 -0.2

D y23 D y13

-0.4

1

0.2

D y12

0

D y23 D y13

-0.4

-0.6

-0.6

-0.8

-0.8

-1

-1

-1.2

-1.2

0

1

2

3

4

5

3b) Dehnungssprung D e 01

0

1

2

3

3c) Elastizitätsmodulsprung D E

Abszisse: Zeit t, [t]=s Ordinate: Registerfehler Δyij Abb. 22.17: Simulationen des Registerfehlers bei verschiedenen Anregungen

22.6 Registerfehler bei Rotationsdruckmaschinen

1199

¨ ler Δy13 erreicht dagegen einen neuen station¨aren Endwert, da er aus der Uberlagerung der Registerfehler Δy12 und dem um die Transporttotzeit T23 verz¨ogertem Registerfehler Δy23 laut Abb. 22.15 gebildet wird. Bei einer Dehnungs¨anderung Δ01 dagegen tritt laut Abb. 22.17-1b ein Selbstheileffekt auf, da der Registerfehler sowohl von der Dehnung Δ12 als auch mit umgekehrten Vorzeichen von der um die Transporttotzeit T12 verz¨ogerten Anregung beeinflußt wird. ¨ Eine Anderung des Elastizit¨atsmoduls ΔE zeigt diesen Selbstheileffekt nur beim Registerfehler Δy23 , die anderen Registerfehler erreichen neue station¨are Endwerte, wie in Abb. 22.17-1c erkennbar. Damit ist gezeigt, daß eine reine Drehzahlregelung der Druckwalzen f¨ ur die Registerhaltigkeit bei Druckmaschinen ungeeignet ist. 22.6.6.2 Druckmaschine mit Winkelregelung Nun seien nach Abb. 22.16 die Druckwalzen mit einer Drehzahlregelung (n Reg.) und u ustet. Die Amplitude der ¨berlagerter Winkelregelung (α Reg.) ausger¨ sprungf¨ormigen Sollwert¨anderung des Winkels Δα1S von Druckwalze 1 betrug 0, 01745 rad, was einem Winkel von 1◦ entspricht. Wie aus Abb. 22.17-2a ersichtlich, k¨onnen die Registerfehler Δy12 und Δy23 durch die Winkellage der Druckwalzen auch station¨ar beeinflußt werden. Wegen der Bildung des Registerfehlers Δy13 aus dem Registerfehler Δy12 und dem um die Transporttotzeit T23 verz¨ogerten Registerfehler Δy23 bleibt der station¨are Endwert des Registerfehlers Δy13 dagegen konstant. ¨ Die Abbildungen 22.17-2b und 22.17-2c zeigen, daß Anderungen der Ein¨ gangsdehnung Δ01 als auch Anderungen des Elastizit¨atsmoduls ΔE im Gegensatz zur reinen Drehzahlregelung ohne station¨are Abweichungen ausgeregelt werden. Eine Winkelregelung der Druckwerke ist also geeignet, die Registerhaltigkeit ¨ zu gew¨ahrleisten. Allerdings treten dynamische Anderungen der Registerfehler auf, die bei den angenommenen St¨orungen bis zu 1 mm betragen k¨onnen. 22.6.6.3 Druckmaschine mit Registerfehlerregelung Der Drehzahl- und Winkelregelung ist nun eine Registerfehlerregelung (y Reg.), wie in Abb. 22.16 dargestellt, u ¨berlagert. Die Amplitude der sprungf¨ormigen Sollwert¨anderung des Registerfehlers Δy12S betrug −1 mm. Abb. 22.17-3a zeigt, daß die Registerfehler Δy12 und Δy13 sehr schnell auf den neuen Wert ausgeregelt werden, w¨ahrend der Registerfehler Δy23 nur kleine ¨ ¨ dynamische Anderungen erf¨ahrt. Anderungen der Eingangsdehnung Δ01 und des Elastizit¨atsmoduls ΔE werden wie bei der Winkelregelung station¨ar ausgeregelt, aber wesentlich schneller und mit erheblich kleineren dynamischen Abweichungen, wie der Vergleich der Bilder 2b und 2c mit den Bildern 3b und 3c in Abb. 22.17 zeigt. Mit einer Registerregelung wird die Registerhaltigkeit wesentlich verbessert. Die Verbesserung kann nochmals durch geeignete Vorsteuerungen der Winkelsollwerte der Druckwalzen gesteigert werden [907, 908].

1200

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

Zusammenfassend l¨aßt sich feststellen, daß eine Druckmaschine ohne mechanische Wellen mit geeigneten Regelungen der Druckwerkswinkel registerhaltig bei allen auftretenden St¨orungen gefahren werden kann. Eine u ¨berlagerte Registerregelung bringt vor allem eine wesentliche Verbesserung des dynamischen Verhaltens durch die Verringerung der Registerfehleramplituden.

22.7

Zustandsregelung des Gesamtsystems

Die optimale Regelung f¨ ur lineare Mehrgr¨oßensysteme ist eine vollst¨andige Zustandsregelung. Diese ist in Kap. 5.5 ausf¨ uhrlich beschrieben. F¨ ur ein lineares, zeitinvariantes System lautet die Beschreibung im Zustandsraum wie folgt: x˙ = A · x + B · u (22.72) y = C ·x + D·u wobei A die Systemmatrix, B die Eingangsmatrix und C die Ausgangsmatrix beschreibt. x stellt den Zustands-, u den Eingangs- und y den Ausgangsvektor dar. Da in der Praxis kaum Regelstrecken auftreten, die einen Durchschaltanteil enthalten (sprungf¨ahige Systeme), wird f¨ ur die weiteren Betrachtungen die Durchschaltmatrix D = 0 gesetzt. Mit dem linearen R¨ uckf¨ uhrgesetz u = − K·x

(22.73)

ergibt sich f¨ ur das zustandsgeregelte System folgende Zustandsdifferentialgleichung: x˙ = (A − B K) · x + B · w (22.74) y = C ·x Der Vektor w stellt die Sollwerteing¨ange des Systems dar. Gleichung (22.74) zeigt, daß mit der Zustandsr¨ uckf¨ uhrung eine neue Systemmatrix (A − B K) des geregelten Systems erzeugt werden kann, dessen Eigenwerte frei w¨ahlbar sind. Da das Matrixprodukt BK die gleiche Ordnung wie die Matrix A des ungeregelten Systems haben muß, ist die R¨ uckf¨ uhrung aller Zust¨ande des zu regelnden Systems Bedingung. Die R¨ uckf¨ uhrmatrix K wird entweder durch Polvorgabe oder mittels G¨ utefunktionalen berechnet. Der Reglerentwurf mit Polvorgabe ist in Kap. 5.5.5 beschrieben. Im Gegensatz dazu gestatten es G¨ utefunktionale, vielf¨altige Optimierungsbedingungen einzubringen, so z.B. Minimierung der Stellenergie oder Gewichtung der Zustandsgr¨oßen zur Erreichung eines gew¨ unschten Zeitverhaltens. Am h¨aufigsten wird folgende quadratische G¨ utefunktion verwendet:  ∞ J= [ xT Q x + uT R u ] dt (22.75) 0

22.7 Zustandsregelung des Gesamtsystems

1201

Die Matrix Q wichtet dabei die Zust¨ande, w¨ahrend die Matrix R die Eingangsgr¨oßen bewertet. Beide Matrizen sollten Diagonalform besitzen. Durch die Wahl der Elemente von Q und R wird die Regelg¨ ute festgelegt. Mit der Riccati-Gleichung wird die Reglerr¨ uckf¨ uhrmatrix K berechnet [12]. Sowohl f¨ ur die Berechnung der R¨ uckf¨ uhrmatrix K nach der Polvorgabe als auch u ¨ber die Riccati-Gleichung stehen effiziente Entwurfsprogramme, wie beispielsweise Matlab/Simulink zur Verf¨ ugung. Als Beispiel f¨ ur eine Zustandsregelung des Gesamtsystems ist in Abb. 22.18 die Simulation der geregelten Bahnkr¨afte f¨ ur ein System mit f¨ unf Antrieben gezeigt. Dabei wurde ein lineares System angenommen, wobei alle Meßgr¨oßen ohne Gl¨attungen zur Verf¨ ugung stehen. Analog zu Abb. 22.13 sind in Abb. 22.18a die Bahnkr¨afte bei einer Sprunganregung am Antrieb 3, in Abb. 22.18b dagegen die Bahnkr¨afte bei einer Sprunganregung am Antrieb 4 dargestellt.

)

)

Abb. 22.18: Zustandsregelung der Bahnkr¨ afte eines idealen Gesamtsystems

Die Zustandsregelung des Gesamtsystems erm¨oglicht im Gegensatz zur Kaskadenregelung mit PI-Reglern eine sehr schnelle, nicht u ¨berschwingende Sprungantwort der Bahnkr¨afte. Außerdem ist die sehr gute Entkopplung der Bahnkr¨afte zu erkennen. Die Bahnkraft f34 des 4. Teilsystems reagiert nicht mehr auf die ¨ Anderungen im Teilsystem 3. Dieses ideal geregelte System wird als Referenz f¨ ur die folgenden dezentralen Regelungen betrachtet. Der Vorteil der Zustandsregelung liegt darin, daß jedes beliebige lineare steuer- und beobachtbare System optimal geregelt werden kann. Dies gilt aber streng genommen nur f¨ ur ideale Systeme. Oft k¨onnen die Zustandsgr¨oßen nicht oder nur gegl¨attet gemessen werden. Große Meßgl¨attungen verschlechtern jedoch

1202

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

das dynamische Verhalten der Regelung. Abhilfe k¨onnen hier Beobachter schaffen, die nicht oder schlecht meßbare Zust¨ande aus gut meßbaren Systemein- und -ausgangsgr¨oßen ermitteln (Kap. 5.5.6, 5.5.6.2 und 22.9). Ein weiteres Problem bei Zustandsregelungen stellt die Parameterempfindlichkeit dar. Sie kann gr¨oßer sein als bei einfachen Regelungen in Kaskadenstruktur. Es ist also auch die Empfindlichkeit bei einer Reglerfehlanpassung auf das station¨are und dynamische Verhalten der Zustandsregelung zu untersuchen [12]. Neben den oben genannten Problemen bei realen Zustandsregelungen tritt bei kontinuierlichen Fertigungsanlagen mit Zustandsregelung des Gesamtsystems noch folgender Nachteil auf. Beim Einziehen der Stoffbahn oder bei Bahnrissen zerf¨allt das Gesamtsystem wieder in die einzelnen Antriebe, so daß dann die Regelung des Gesamtsystems nicht mehr zufriedenstellend arbeitet. Außerdem ergibt sich bei der Gesamtsystemregelung ein sehr komplexer Zustandsregler hoher Ordnung. Dieser Nachteil kann durch dezentrale Regelungen vermieden werden.

22.8

Dezentrale Regelung

Die dezentrale Regelung erm¨oglicht den Entwurf von Zustandsreglern und Beobachtern niedriger Ordnung f¨ ur u ¨berschaubare Teilsysteme. Allerdings werden an die so entworfenen Regler und Beobachter zus¨atzliche Anforderungen gestellt, damit durch das Zusammenf¨ ugen der geregelten Teilsysteme zum geregelten Gesamtsystem Stabilit¨at und das gew¨ unschte Regelverhalten gew¨ahrleistet werden. Dies bedeutet, daß den Verkopplungen der Teilsysteme besondere Beachtung geschenkt werden muß. 22.8.1

Regelung des isolierten Teilsystems

Um eine dezentrale Regelung entwerfen zu k¨onnen, muß das Gesamtsystem in Teilsysteme zerlegt werden. Wie in Abb. 22.1 gezeigt, besteht das Gesamtsystem aus Walzen, elektrischen Antrieben mit den Stellgliedern und der Stoffbahn. Entsprechend dieser Konfiguration werden deshalb Teilsysteme mit diesen Komponenten gebildet und das Gesamtsystem kann f¨ ur eine dezentrale Bahnkraftregelung in isolierte Teilsysteme, wie in Abb. 22.19 dargestellt, zerlegt werden. Auch bei den Teilsystemen werden normierte Gr¨oßen verwendet (Tabelle 22.1). Dabei wurde die elastische mechanische Ankopplung der Walze an den Antrieb vernachl¨assigt, somit sind beide starr gekoppelt. Gilt diese Vereinfachung nicht mehr, muß nach dem Verfahren in Kap. 19 vorgegangen werden. Das Teilsystem hat drei unabh¨angige Speicher, ist also 3. Ordnung und besitzt die drei Zustandsgr¨oßen Motordrehmoment mk , Bahngeschwindigkeit vk und die Dehnung jk oder Bahnkraft fjk . Stellgr¨oße ist das Motorsollmoment m∗k . Dieses isolierte Teilsystem ist mit den vorherigen und nachfolgenden Restsystemen u ¨ ber die Koppelgr¨oßen verbunden. Die Geschwindigkeit vj , die Dehnung ij und die

22.8 Dezentrale Regelung

vj

__

vk

+ vk

Vom vorherigen Restsystem

1203

1 v0

ei j

Zum nachfolgenden Restsystem

+ + 1 s TQNk

1 1 + s Tjk

e jk 1

eN __ fjk

rk

m jk

+ m kl

+ mk

rk

fkl

K ers i 1 + s Ters i m*k

Abb. 22.19: Isoliertes Teilsystem

Bahnkraft fkl sind hier die Koppeleingangsgr¨oßen, w¨ahrend die Geschwindigkeit vk , die Dehnung jk und die Bahnkraft fjk die Koppelausgangsgr¨oßen darstellen. F¨ ur das isolierte Teilsystem 3. Ordnung wird nun zun¨achst ohne Ber¨ ucksichtigung der Koppelgr¨oßen eine Zustandsregelung, wie in Abb. 22.20 gezeigt, entworfen. Der F¨ uhrungsintegrator regelt die Bahnkraft fjk ohne bleibende Regelabweichung auch bei St¨oranregungen aus (Kap. 19.3.4). Wie in Abb. 22.20 ersichtlich, wurde das Motordrehmoment mk nicht zur¨ uckgef¨ uhrt, da dieses bzw. der Motorstrom bereits geregelt ist. Besitzt diese Stromregelung eine hohe Dynamik, verschiebt sich der entsprechende Pol nicht. Das Ergebnis einer solchen Zustandsregelung des isolierten Teilsystems ist in Abb. 22.21a dargestellt. Man erh¨alt gem¨aß der nach Riccati berechneten und realisierbaren Zustandsr¨ uckf¨ uhrungen Kn , Kf sowie der Integrierzeit Tif eine ¨ schnelle Sprungantwort der Bahnkraft f23 ohne Uberschwingungen. Werden aber zwei dezentral geregelte Teilsysteme mit den gleichen Zustandsr¨ uckf¨ uhrungen zu einem Gesamtsystem wie in Abb. 22.21c gezeigt, ver¨ bunden, erhalten wir eine gravierende Anderung des dynamischen Verhaltens der Bahnkr¨afte f23 und f34 (Abb. 22.21b). Bei einer sprungf¨ormigen Anregung ∗ der Sollbahnkraft f23 treten in der Sprungantwort von f23 Schwingungen auf und die Bahnkraft f34 des nicht angeregten folgenden Teilsystems 4 zeigt erhebliche

1204

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann __

vj

vk

+ vk

Vom vorherigen Restsystem

1 v0

ei j

Zum nachfolgenden Restsystem

+ + 1 s TQNk

1 1 + s Tjk

e jk 1

fR

eN +

__ fjk

rk

m jk

__

Kf

m kl

+ mk

__

fj*k

+ rk

fk l

K ers i 1 + s Ters i m*k __ +

Kn

+ 1 s Tif

Abb. 22.20: Zustandsregelung des isolierten Teilsystems

¨ dynamische Anderungen. Dies ist die Folge der Vernachl¨assigung der Koppelgr¨oßen beim Entwurf der Teilzustandsregler. Deshalb m¨ ussen zur Erzielung einer hohen Regelg¨ ute des Gesamtsystems die Verkopplungen in den dezentralen Reglerentwurf einbezogen werden. Dazu gibt es grunds¨atzlich drei M¨oglichkeiten: • Die Verwendung geeigneter Entkopplungsnetzwerke • den Reglerentwurf mit Abschlußmodellen oder • die dezentrale Entkopplung. Die erste M¨oglichkeit erfordert den Entwurf spezieller Entkopplungsnetzwerke und setzt die Meßbarkeit der Koppelgr¨oßen voraus. Die Koppeleingangsgr¨oßen eines Teilsystems werden dabei zur Entkopplung u ¨ ber geeignete Netzwerke auf

22.8 Dezentrale Regelung

1205

)

)

)

Abb. 22.21: Zustandsregelung verkoppelter Teilsysteme

die Stellgr¨oße geschaltet. Man nennt dies auch Entkopplung durch Aufschaltung der Koppelgr¨oßen. Ein großer Nachteil dieser Methode besteht darin, daß die Netzwerke differen¨ zierende Ubertragungsglieder enthalten und deshalb hohe Anforderungen an die Messung der Koppelgr¨oßen gestellt werden. Bei stark verrauschten Meßsignalen ist deshalb nur eine sehr schlechte Entkopplung erreichbar [12, 50, 920]. Bei der zweiten M¨oglichkeit werden f¨ ur das gesamte geregelte Restsystem vereinfachte Modelle m¨oglichst niedriger Ordnung entworfen, die das entsprechende Teilsystem abschließen“. Die Teilsystemordnung wird um die Ordnung ” des Abschlußmodells erh¨oht. Der Teilzustandsregler wird dann mit diesem erweiterten Teilsystem entworfen. Nachteilig ist dabei das iterative Vorgehen beim Reglerentwurf, da das Abschlußmodell aus dem Verhalten des geregelten Restsystems gebildet werden muß. Man beginnt deshalb den Entwurf mit den f¨ ur die isolierten Teilsysteme berechneten Zustandsreglern, bildet das Abschlußmodell, entwirft mit dem so erweiterten Teilsystem einen neuen Zustandsregler, der zu

1206

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

einer verbesserten Abschlußmodellbildung f¨ uhrt. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis das gew¨ unschte Regelverhalten des Gesamtsystems erreicht ist [912]. Die dritte M¨oglichkeit vermeidet diese Nachteile und wird im folgenden beschrieben. 22.8.2

Dezentrale Entkopplung

22.8.2.1 Grundlagen des Verfahrens Die dezentrale Entkopplung beruht auf der Zustandsregelung und der Kenntnis des mit dem Restsystem verkoppelten Teilsystems. Die Verbindungen zwischen Teil- und Restsystem stellen die Koppelgr¨oßen dar. Abbildung 22.22 zeigt das Prinzip der dezentralen Entkopplung [921, 922, 923].

Teilsystem Nr. i

yMi

Regler Nr. i

u Si

yKi

u Ki

Restsystem

Abb. 22.22: Prinzip der dezentralen Entkopplung

Es ist erkennbar, daß das Teilsystem i von den Eingangsvektoren uSi und uKi steuerbar und mit den Ausgangsvektoren y M i sowie y Ki beobachtbar ist. Deshalb wird das dynamische Verhalten des Teilsystems vom Regler und dem Restsystem beeinflußt. Das Ziel der dezentralen Entkopplung ist es, einen Regler zu entwerfen, der die Einfl¨ usse des Restsystems minimiert, um das Teilsystem vom Restsystem m¨oglichst gut zu entkoppeln. Der Teilsystemregler hat deshalb zwei Aufgaben: • die Stabilit¨at und das gew¨ unschte dynamische Verhalten des Gesamtsystems zu gew¨ahrleisten und • den Einfluß des Restsystems zu minimieren. Somit werden folgende Anforderungen an die dezentrale Regelung gestellt: • die Pole des geregelten Teilsystems sollen Werte entsprechend der geforderten Dynamik annehmen und

22.8 Dezentrale Regelung

1207

• die Empfindlichkeit der Pole bez¨ uglich der Vektoren uKi und y Ki soll so gering wie m¨oglich sein. 22.8.2.2 Mathematische Beschreibung F¨ ur den Entwurf einer dezentralen Regelung ist es vorteilhaft, das Teilsystem in die verkopplungsorientierte Beschreibung umzuformen [912]. Die Zustandsgleichungen in dieser Form lauten dann f¨ ur das Teilsystem i x˙ i = Aii · xi + BSi · uSi + BKi · uKi y M i = CM i · xi y Ki = CKi · xi

(22.76)

ur die Steuergr¨oßen, BKi die Koppeleingangswobei BSi die Eingangsmatrix f¨ und CKi die Koppelausgangsmatrix darstellt, w¨ahrend CMi die Meßausg¨ange beschreibt. Betrachten wir beispielsweise das dritte Teilsystem in Abb. 22.6, so ergeben sich folgende Gr¨oßen: x3 = [ m3

v3

23 ]T

12

T

(22.79)

f23 ]T

(22.80)

uS3 = m∗3

(22.78)

uK3 = [ v2 y K3 = [ −v3 y M 3 = [ m3

(22.77)

23 v3

f34 ]

f23 ]T

(22.81)

⎛

⎞ −kers i /Ters i 0 0 0 −1/N TΘN ⎠ A33 = ⎝ 1/TΘN 0 1/l23 TN −v0 /l23 TN ⎛ ⎞ 0 0 0 0 0 1/TΘN ⎠ BK3 = ⎝ −1/l23 TN v0 /l23 TN 0 BS3 = [ kers i /Ters i ⎛

0 CK3 = ⎝ 0 0 ⎛ 1 CM 3 = ⎝ 0 0

0 0 ]T

⎞ −1 0 0 1 ⎠ 0 1/N ⎞ 0 0 1 0 ⎠ 0 1/N

(22.82)

(22.83)

(22.84)

(22.85)

(22.86)

1208

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

22.8.2.3 Modaltransformation des Teilsystems Zur Untersuchung der Empfindlichkeit der Eigenwerte ist es vorteilhaft, das Teilsystem modal zu transformieren (Kap. 5.5, Kap. 5.5.5, [12]). Dabei werden die Systemgleichungen nach Gl. (22.76) durch die Transformationsmatrix V in folgende Form gebracht: x = V·z

(22.87)

z˙ = Λ · z +

B∗K

· uK

y K = C∗K · z

(22.88) (22.89)

wobei gilt: Λ = V−1 · A · V = diag (λ1 , . . . , λn )

(22.90)

Die Transformationsmatrix V muß invertierbar sein und so gew¨ahlt werden, daß Gl. (22.90) erf¨ ullt ist. Λ ist die Diagonalmatrix der Eigenwerte des Teilsystems. Die transformierten Matrizen B∗K und C∗K werden aus den Gleichungen B∗K = V−1 · BK

(22.91)

C∗K = CK · V

(22.92)

ermittelt. 22.8.2.4 Berechnung der R¨ uckf¨ uhrkoeffizienten Um die Bedingungen nach Kap. 22.8.2.1 zu erf¨ ullen, muß ein neues G¨ utekriterium verwendet werden, das die Empfindlichkeit der Eigenwerte ber¨ ucksichtigt. Die Empfindlichkeit des k-ten Poles λk bez¨ uglich des Elementes kji der R¨ uckf¨ uhrmatrix K kann nach [912] wie folgt beschrieben werden: λk Sji =

∂λk ∂kji

(22.93)

Da betragsm¨aßig große Pole λk auch zu großen Werten in der Polempfindlichkeit tendieren, wird die relative Polempfindlichkeit eingef¨ uhrt [912]: λk Srji =

∂λk kji · ∂kji λk

(22.94)

Verwendet man die in den Gleichungen (22.87) bis (22.91) beschriebene Modaltransformation, so kann die relative Polempfindlichkeit nach [912] wie folgt angegeben werden: kji λk Srji = c∗ik · b∗kj · (22.95) λk b∗kj ist das kj - te Element von B∗K (k - te Zeile, j - te Spalte) und c∗ik ist das ik - te Element von C∗K (i - te Zeile, k - te Spalte).

22.8 Dezentrale Regelung

1209

Um zu einem G¨ utekriterium f¨ ur die Polverschiebbarkeit zu kommen, werden die Quadrate der Polempfindlichkeiten u ¨ber alle Koppeleing¨ange, Koppelausg¨ange und Teilsystemeigenwerte aufsummiert. Es wird dann folgende Beziehung f¨ ur das G¨ utekriterium erhalten:  qk  ∗ pk  n    cik · b∗kj 2   JK = (22.96)  λk  k=1 j=1 i=1

In Gl. (22.96) ist n die Teilsystemordnung, pk die Zahl der Koppeleingangsgr¨oßen und qk die Zahl der Koppelausgangsgr¨oßen. Der Vorteil dieser Beschreibung liegt darin, daß im G¨ utekriterium JK nur die Elemente c∗ik und b∗kj der modal transformierten Koppelein- und Koppelausgangsmatrix erscheinen. Zur Berechnung der R¨ uckf¨ uhrmatrix K des dezentralen Zustandsreglers wird die G¨ utefunktion nach Gl. (22.96) bez¨ uglich der Elemente k minimiert. ∂JK → min (22.97) ∂k Es existiert aber keine geschlossene mathematische L¨osung f¨ ur das Minimierungsproblem, so daß ein spezieller Algorithmus zur Berechnung der R¨ uckf¨ uhrkoeffizienten verwendet werden muß [913]. 22.8.2.5 Algorithmus Zur Minimierung der G¨ utefunktion wurde eine gradientenfreie Methode nach [909] verwendet. Im ersten Schritt des Entwurfes muß das Polgebiet, in dem die Pole des geschlossenen Regelkreises liegen sollen, gew¨ahlt werden. In Abb. 22.23 ist als Beispiel ein Polgebiet dargestellt. Die Werte α und β sind so zu w¨ahlen, daß die Forderungen nach Stabilit¨at, Dynamik und D¨ampfung der Regelung erf¨ ullt werden. Dabei gilt, je gr¨oßer der Wert von α ist, desto kleiner wird die Anregelzeit sein und je gr¨oßer der Winkel β ist, um so besser wird das geregelte System bed¨ampft werden. Beim Start der Berechnung sind die R¨ uckf¨ uhrkoeffizienten des Teilzustandsreglers vorzugeben. Es empfiehlt sich, die Werte des Zustandsreglers f¨ ur das isolierte Teilsystem zu w¨ahlen. Dann werden die neuen, optimalen R¨ uckf¨ uhrkoeffizienten gem¨aß den in Kap. 22.8.2.4 genannten Bedingungen berechnet. Der Vorteil der dezentralen Entkopplung liegt vor allem darin, daß keine Messungen der Koppelgr¨oßen notwendig sind. 22.8.2.6 Beispiel Mit den Daten der Versuchsanlage des Lehrstuhls wurde eine dezentrale Entkopplung durchgef¨ uhrt. Ausgehend vom Zustandsregler f¨ ur das isolierte Teilsystem nach Abb. 22.20 mit den R¨ uckf¨ uhrkoeffizienten Kn = 39 Kf = 2, 7 Tif = 320 ms

1210

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

Im b Vorgegebenes Re

Polgebiet

a Abb. 22.23: Polgebiet f¨ ur den Entwurf der dezentralen Entkopplung

erh¨alt man mit dem gew¨ahlten Polvorgabebereich Re{λi } ≤ −10 |Im{λi}| ≤ 5 · |Re{λi }|

(22.98)

folgende R¨ uckf¨ uhrkoeffizienten der Zustandsregler mit dezentraler Entkopplung: Kn = 32 Kf = 6 Tif = 75 ms Das Ergebnis einer Simulation f¨ ur zwei Teilsysteme ist in Abb. 22.24 gezeigt. Die an der Versuchsanlage gemessenen Bahnkraftverl¨aufe sind in Abb. 22.25 dargestellt. Wie die Abbildungen zeigen, stimmen die simulierten und gemessenen Ergebnisse sehr gut u ¨berein. Die Entkopplung der Bahnkr¨afte ist ebenfalls sehr gut, da sich die Bahnkraft f34 des 4. Teilsystems bei einer Anregung des vorherigen Teilsystems 3 nur unwesentlich ¨andert. Die Sprungantworten erreichen ¨ nahezu aperiodisch ohne Uberschwingen ihren Endwert. Ein Vergleich der Ergebnisse mit denen einer Kaskadenregelung in Abb. 22.13 zeigt die Verbesserung der Regelqualit¨at mittels dezentraler Entkopplung. ¨ Ein Vergleich der mit der dezentralen Entkopplung erzielten Ubergangsfunktionen mit denen einer Zustandsregelung f¨ ur das Gesamtsystem nach Abb. 22.18 l¨aßt aber erkennen, daß die Ausregelzeiten bei der dezentralen Entkopplung in Abb. 22.24 und 22.25 wesentlich gr¨oßer sind als bei der Zustandsregelung f¨ ur das Gesamtsystem. Dies liegt vor allem daran, daß bei der dezentralen Entkopplung jeder Teilsystemregler zwei Aufgaben gleichzeitig zu erf¨ ullen hat. Zum einen soll

22.8 Dezentrale Regelung

)

1211

)

Abb. 22.24: Simulierte Sprungantworten der dezentralen Entkopplung

)

)

Abb. 22.25: Gemessene Sprungantworten der dezentralen Entkopplung

er die gew¨ unschte Regeldynamik erzeugen und zum anderen die Teilsysteme entkoppeln. Beide Aufgaben sind nur durch einen Kompromiss zu erreichen. Dieser Kompromiss wird durch die Wahl des Polvorgabegebietes nach Abb. 22.23 gem¨aß Gl. (22.98) erreicht. Generell gilt aber, daß ein gutes F¨ uhrungsverhalten nur auf Kosten einer schlechteren Entkopplung erhalten werden kann. Der Vorteil der dezentralen Entkopplung liegt aber darin, daß Teilsystemregler niedriger Ordnung, die sich leich-

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

1212

ter realisieren lassen und die auch im Betrieb besser handhabbar sind, erhalten werden. Die R¨ uckf¨ uhrkoeffizienten wurden in dem Beispiel so berechnet, daß sie auch bei verrauschten Meßsignalen realisierbar sind.

22.9

Beobachter

22.9.1

Zentrale Beobachter

Die Aufgabe von Beobachtern besteht darin, aus Systemeingangsgr¨oßen u und gut meßbaren Systemausgangsgr¨oßen y nicht oder nur schlecht meßbare Zustandsgr¨oßen x zu ermitteln. Weitere Gr¨ unde f¨ ur den Beobachtereinsatz sind die Einsparung teurer Meßaufnehmer oder der Fall, daß die Anbringung der Sensoren sehr aufw¨andig und unerw¨ unscht ist, da sie den Prozeß st¨oren. So stellt z.B. die Messung der Bahnkraft bei kontinuierlichen Fertigungsanlagen, wie in Kap. 22.4.2.2 beschrieben, oft ein Problem dar. Ein Beobachter stellt grunds¨atzlich die Nachbildung der Regelstrecke mit R¨ uckf¨ uhrung dar, wie in Abb. 22.26 gezeigt. x (0) u B

+

+

x

x C

+

+

y

1/s A

Regelstrecke Dy

H + B

+

^x

__ ^y

x^ C

+

Beobachter +

1/s A

Abb. 22.26: Beobachterstruktur

22.9 Beobachter

1213

Das Beobachterprinzip wurde in Kap. 5.5.6 allgemein behandelt. In den weiteren Betrachtungen wird von einem Beobachter nach Luenberger ausgegangen, wie er in Kap. 5.5.6.2 beschrieben ist. 22.9.2

Dezentrale Beobachter

22.9.2.1 Allgemeines Wird die Regelung eines Mehrgr¨oßensystems dezentral ausgef¨ uhrt, ist es sinnvoll, auch Teilbeobachter einzusetzen. Dabei hat der Teilbeobachter die Aufgabe, einen Sch¨atzwert x ˆ i f¨ ur den Teilzustandsvektor xi ausschließlich aus dem Eingangsvektor uSi und dem Ausgangsvektor y M i des Teilsystems zu bilden. Abbildung 22.27 zeigt diesen Sachverhalt. yMi

u Si

yKi i-tes Teilsystem u Ki

^x i

i-ter Teilbeobachter

Abb. 22.27: Teilbeobachter

Die Beobachtergleichungen des i-ten Teilsystems lassen sich in der verkopplungsorientierten Darstellung entsprechend Gl. (22.76) wie folgt angeben [912]: x ˆ˙ i = Aii · x ˆ i + BKi · uKi + BSi · uSi + Hi · (y M i − yˆM i ) ˆi yˆM i = CM i · x

(22.99)

uckkopplung des i-ten Teilbeobachters. Die Matrix Hi gewichtet die Fehlerr¨ Der Beobachterfehler ei des i-ten Teilbeobachters wird als die Differenz aus tats¨achlichem und gesch¨atztem Zustandsvektor definiert. ei = xi − x ˆi

(22.100)

Aus den Gleichungen (22.76) und (22.99) wird nach einigen Umformungen die Fehlerdifferentialgleichung des i-ten Teilbeobachters berechnet.

1214

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

e˙ i = (Aii − Hi · CM i ) · ei

(22.101)

Diese ist wie beim zentralen Beobachter homogen, aber um einen hohen Preis! Da in Gl. (22.99) des Teilbeobachters der Term BKi · uKi zus¨atzlich auftritt, bedeutet dies, daß alle Koppeleing¨ange uKi des Teilsystems dem Beobachter zugef¨ uhrt werden und meßbar sein m¨ ussen. Dies ist im allgemeinen nicht zutreffend. Deshalb wird versucht, die Koppeleing¨ange uKi durch eine Approximation δ i zu ersetzen, wobei δ i aus meßbaren Gr¨oßen des Teilsystems berechnet wird. Mit uKi −→ δ i lauten dann die allgemeinen Teilbeobachtergleichungen: x ˆ˙ i = Aii · x ˆ i + BKi · δ i + BSi · uSi + Hi · (y M i − yˆM i ) ˆi yˆM i = CM i · x

(22.102)

Die Fehlerdifferentialgleichung f¨ ur diesen Ansatz lautet: e˙ i = (Aii − Hi · CM i ) · ei + BKi · (uKi − δ i )

(22.103)

Obige Differentialgleichung ist inhomogen, da uKi von δ i nicht exakt nachgebildet werden kann. Dies bedeutet, daß ein Beobachterfehler auftritt. Durch geeignete Wahl von δ i versucht man, den Fehler m¨oglichst klein zu halten. Gelingt es jedoch, den inhomogenen Teil von Gl. (22.103) im eingeschwungenen Zustand, d.h. f¨ ur t −→ ∞, zu Null zu machen, tritt kein station¨arer Beobachterfehler aufgrund der Koppelgr¨oßen auf. Die Fehlerdifferentialgleichung (22.103) ist dann asymptotisch homogen. Notwendig und hinreichend, daß der dezentrale Teilbeobachter einen station¨ar genauen Sch¨atzwert unabh¨angig von den Koppelgr¨oßen liefert, sind folgende Bedingungen: • Der Teilsystembeobachter ist stabil und !

• lim[δ i (t) − uKi (t)] = 0

f¨ ur t → ∞

22.9.2.2 Approximation durch St¨ ormodelle Faßt man die zu approximierenden Koppelgr¨oßen uKi als St¨orgr¨oßen des Teilsystems auf, kann durch ein geeignetes St¨ormodell die Koppelgr¨oße ermittelt werden. Das isolierte Teilsystem wird um das St¨ormodell erg¨anzt und mit dem so erweiterten Teilsystem der Beobachterentwurf in bekannter Weise durchgef¨ uhrt. In Abb. 22.28 ist das Prinzip dargestellt [912, 924]. Der Ansatz f¨ ur das St¨ormodell ist eine homogene Differentialgleichung: ξ˙i = Ψ i · ξ i uKi = Φi · ξ i

(22.104)

22.9 Beobachter

1215

yMi

u Si

u Ki i-tes Störmodell

i-tes Teilsystem

Erweitertes Teilsystem Abb. 22.28: Erweitertes Teilsystem mit St¨ ormodell

Damit gilt f¨ ur das erweiterte Teilsystem nach Abb. 22.28:

•



xi xi Aii BKi · Φi BSi = · + ·uSi ξi ξi 0 Ψi 0             xEi AEi BEi x˙ Ei y M i = (CM i 0) ·    CEi

xi ξi



(22.105)

Der Teilbeobachter wird mit dem erweiterten Teilsystem nach Gl. (22.105) entworfen. Die Zustandsgleichungen f¨ ur den Teilbeobachter lauten: x ˆ˙ Ei = AEi · x ˆ Ei + BEi · uSi + HEi · (y M i − yˆM i ) ˆ Ei yˆM i = CEi · x

(22.106)

Beim erweiterten Teilsystem nach Gl. (22.105) handelt es sich um ein fiktives System f¨ ur den Beobachterentwurf. Dagegen gilt f¨ ur die Meßgr¨oßen die Beziehung y M i = CM i · xi

(22.107)

y M i = CEi · xEi

(22.108)

und nicht wie in Gl. (22.105)

Deshalb muß die Beobachterentwurfsgleichung (22.106) getrennt nach Teilsystem und St¨ormodell geschrieben werden: x ˆ˙ i = Aii · x ˆ i + BKi · Φi · ξ i + BSi · uSi + Hi · (y M i − yˆM i ) ˆi yˆM i = CM i · x

(22.109)

1216

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

ˆξ˙ = Ψ i · ˆξ + Hξi · (y − yˆ ) i i Mi Mi u ˆ = δ = Φi · ˆξ Ki

i

(22.110)

i

Gleichung (22.109) stellt das Teilsystem und Gl. (22.110) das St¨ormodell dar. Asymptotisch homogene Fehlerdifferentialgleichungen lassen sich aber f¨ ur beliebige St¨ormodelle nicht allgemein nachweisen. Deshalb k¨onnen nur spezielle St¨ormodelle verwendet werden. Ein f¨ ur die Praxis realisierbares und einfaches Modell lautet: Ψi = 0 Φi = E

(22.111)

Damit folgt f¨ ur das St¨ormodell nach Gl. (22.110): ˆξ˙ = δ˙ = Hξi · (y − yˆ ) i i Mi Mi

(22.112)

Somit wird f¨ ur den gesamten Teilsystembeobachter aus den Gleichungen (22.109) und (22.112) folgende Zustandsraumbeschreibung erhalten:





•



x ˆi Aii − Hi · CM i BKi x ˆi BSi Hi = · + ·uSi + ·y M i δi −Hξi · CM i 0 δ 0 Hξi           i     AEi − HEiCEi BEi HEi x ˆ Ei x ˆ˙ Ei 0) · yˆM i = (CM i    CEi

x ˆi δi



(22.113)

Aus Gl. (22.112) ist erkennbar, daß es sich hier um eine integrale Aufschaltung des Beobachterfehlers y M i −ˆy M i aus gemessenen und beobachteten Meßausg¨angen handelt. Aus diesem Fehler rekonstruiert das St¨ormodell die Koppelgr¨oßen solange, bis uKi∞ = δ i∞ ist. Dann liefert der dezentrale Beobachter station¨ar genaue Zustandsgr¨oßen. Abweichend vom zentralen Beobachter gilt bei dezentralen Beobachtern das Separationsprinzip, wie es in Kap. 5.5.6.3 beschrieben ist, nicht mehr. Dies bedeutet, daß die Beobachterdynamik beim Zustandsreglerentwurf zu beachten ist. 22.9.2.3 Beispiel: Dezentraler Beobachter f¨ ur zwei Teilsysteme F¨ ur die Zustandsregelung von zwei Teilsystemen nach Abb. 22.19 werden zur Sch¨atzung der Bahnkr¨afte dezentrale Beobachter eingesetzt. Jedes Teilsystem ist zustandsgeregelt, wobei die Zustandsregler die von den Beobachtern gesch¨atzten Bahnkr¨afte fˆ23 bzw. fˆ34 verarbeiten. Abbildung 22.29 zeigt die Struktur der Regelung mit Beobachtern. Die Koppeleingangsgr¨oße f¨ ur das Teilsystem 3 ist die Bahnkraft f34 , w¨ahrend das Teilsystem 4 die Koppeleingangsgr¨oßen v3 und 23 besitzt. Somit ergeben

22.9 Beobachter

1217

v3

e 23

Teilsystem 3

Teilsystem 4

f 34 u4

v3

u3

Regler 3

Regler 4

f^23

^ f 34

v4

Teilbeobachter 4

Teilbeobachter 3

Abb. 22.29: Struktur der Regelung mit dezentralen Beobachtern

sich folgende Matrizen der Koppeleing¨ange f¨ ur die verkopplungsorientierte Darstellung nach Gl. (22.99): uK3 = [ f34 ]

(22.114)

⎛

BK3

⎞ 0 = ⎝ 1/TΘN ⎠ 0

uK4 = [ v3 − v0 23 ] ⎞ −1/l34 TN N ⎠ 0 = ⎝ 0

(22.115)

(22.116)

⎛

BK4

(22.117)

Der Teilbeobachterentwurf mit St¨ormodell erfolgte gem¨aß den Gleichungen (22.109) und (22.112). Die Parameter der R¨ uckf¨ uhrmatrix H f¨ ur Beobachter und die Integrierzeit Tξ f¨ ur das St¨ormodell wurden mit der Riccati-Gleichung berechnet. In Abb. 22.30 ist die Struktur der so ermittelten dezentralen Beobachter f¨ ur die Teilsysteme 3 und 4 dargestellt, wobei Abb. 22.30a den Teilbeobachter 3 und Abb. 22.30b Teilbeobachter 4 zeigt. Die beiden Teilbeobachter sind um eine Ordnung reduziert, da die Str¨ome i3 bzw. i4 gemessen und direkt den Beobachtern zugef¨ uhrt werden. Damit entf¨allt jeweils ein Beobachterzustand.

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

1218

h 31 e N

+ v2

__

v^3

+

__

+ v3

1 v0 1 s TQN 3

1 1 + s T23

e^ 23

h 32

1

eN

+

__ ^f 23

r3

^ m 23

+

+ ^x 3

Störmodell 1 sTx 3

m3

a) Teilbeobachter 3 mit Störmodell

^x 4

+ v3

__

Störmodell

1 sTx 4

+

h 41 e N

v^4

__

+

1 v0

^e

1 s TQN 4

1 1 + s T34 34

h 42

1

eN

+

__ f^34

r4

^ 34 m

b) Teilbeobachter 4 mit Störmodell

+ m4

Abb. 22.30: Teilbeobachter 3 und 4 mit St¨ ormodell

+ v4

22.9 Beobachter

1219

Die Ausgangsgr¨oßen ξˆ3 bzw. ξˆ4 der St¨ormodelle entsprechen im eingeschwungenen Zustand den Koppeleingangsgr¨oßen f34 bzw. v3 −v0 23 . Die in Abb. 22.30b gestrichelt gezeichnete proportionale Fehlerr¨ uckf¨ uhrung kann vernachl¨assigt werden. Um die Wirkungsweise der Beobachter zu zeigen, wurden die Teilbeobachter des Systems nach Abb. 22.30 zun¨achst nur parallel betrieben, d.h. die Bahnkr¨afte gemessen und direkt den Reglern zugef¨ uhrt. In Abb. 22.31 sind die gemessenen und beobachteten Bahnkr¨afte dargestellt. Beide Beobachter sind in der Lage, alle Bahnkr¨afte station¨ar ohne Fehler zu sch¨atzen. fjk

fjk

1.0 0.8

1.0 0.8

^

^

f23 , f23

0.6

f34 , f34

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

f23

f34 0

0

^

f34

-0.2

-0.2

^

-0.4

f23

-0.4

0

2

4

6

8

10

0

2

4

t (s) a) Führungssprung bei Antrieb 3

6

8

10

t (s) b) Führungssprung bei Antrieb 4

Abb. 22.31: Dezentrale Beobachter mit St¨ ormodell

Allerdings treten, wie in Abb. 22.31b vor allem f¨ ur die Bahnkraft fˆ23 sichtbar, dynamische Abweichungen auf. Durch Verkleinern der Integrierzeit Tξ3 auf unter 1 ms kann diese Abweichung erheblich verringert werden. Dies ist aber in realen Systemen mit verrauschten Meßsignalen nicht immer m¨oglich. Abbildung 22.31 beweist aber, daß es mit den in Kap. 22.9.2.2 entworfenen St¨ormodellen m¨oglich ist, Zustandsgr¨oßen auch mit dezentralen Beobachtern station¨ar genau zu sch¨atzen. 22.9.2.4 Parameter¨ anderungen Bisher wurde vorausgesetzt, daß die Streckenparameter mit denen im Beobachter identisch sind. Dies ist jedoch nur in Ausnahmef¨allen gegeben. Bei kontinuierlichen Fertigungsanlagen ¨andern sich beispielsweise zwei Parameter w¨ahrend des Betriebes besonders h¨aufig. Dies ist die Bahnbeschaffenheit der Stoffbahn durch Befeuchten, Streichen oder Bedrucken und die Reibung. Im ersten Fall ¨andert sich die Nenndehnung N und im zweiten Fall wirkt an der Drehmomentvergleichsstelle eine zus¨atzliche Reibkraft fR , wie in Abb. 22.20 dargestellt. Die

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

1220

Nenndehnungs¨anderung greift dabei multiplikativ in die Bildung der Bahnkraft ¨ ein, w¨ahrend die Reibung eine additive Anderung darstellt. Oft treten beide ¨ Anderungen gleichzeitig auf. fjk

fjk

1.0

f23

0.8

1.0 0.8

^

^

f23

0.6 0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

^

f34 , f34

-0.2

f34, f34

0.6

f23

-0.2

^

-0.4

f23

-0.4

0

2

4

6

8

10

0

2

4

6

t (s) a) Führungssprung bei Antrieb 3

8

10

t (s) b) Führungssprung bei Antrieb 4

Abb. 22.32: Dezentrale Beobachter bei Nenndehnungs¨ anderung

Zur Untersuchung der beiden Einfl¨ usse wurden die gleichen Simulationen f¨ ur die beiden Teilsysteme (Abb. 22.19) mit parallelen Beobachtern nach Abb. 22.30 wie in Kap. 22.9.2.3 durchgef¨ uhrt. Allerdings wurde die Nenndehnung der Stoffbahn folgendermaßen ver¨andert: N = 0, 5 · N beob

(22.118)

Wie in Abb. 22.32a erkennbar, kann der Teilbeobachter 3 die Bahnkraft nicht mehr station¨ar richtig sch¨atzen, die Bahnkraft fˆ23 erreicht nur den Endwert 0,5. Dagegen ist der Teilbeobachter 4, wie Abb. 22.32b zeigt, in der Lage, trotz der Parameter¨anderung die Bahnkr¨afte station¨ar genau zu sch¨atzen. Der Grund daf¨ ur ist sein St¨ormodell, das hier an der Geschwindigkeitsvergleichsstelle vˆ4 − v3 eingreift und den Beobachterfehler korrigiert (Abb. 22.30b). Das St¨ormodell des Teilbeobachters 3 dagegen wirkt an der Drehmomentvergleichsstelle und kann den Beobachterfehler nicht beseitigen (Abb. 22.30a). Eine andere Situation ergibt sich bei einer sprungf¨ormigen Reibungs¨anderung fR (Abb. 22.20), wie in Abb. 22.33 gezeigt. Hier ist die Auswirkung einer sprungf¨ormigen Reibungs¨anderung um den Betrag fR = 1 bei Antrieb 3 dargestellt. Es tritt kein station¨arer Beobachterfehler auf, da das St¨ormodell des Teilbeobachters 3 nach Abb. 22.30a in der Lage ist, die Reibkraft fR zu erkennen und auszuregeln. Dagegen wird, wie in Abb. 22.33b gezeigt, die Reibkraft vom Teilbeobachter 4 nicht erkannt und somit die Bahnkraft fˆ34 falsch gesch¨atzt.

22.9 Beobachter

fjk

fjk

2.0

2.0

1.8

1.8

1.6

1.6

1.4

1.4

1.2

1.2

1.0

1.0

0.8

0.8

0.6

0.4

^

0.2 -0.2 0

^

f23

0.2

f34, f34 f23

0

^

f34

0.6

^

f23

0.4

f23 f34

0 -0.2 2

1221

4

6

8

10

t (s) a) Reibungssprung bei Antrieb 3

0

2

4

6

8

10

t (s) b) Reibungssprung bei Antrieb 4

Abb. 22.33: Dezentrale Beobachter bei Reibungs¨ anderung

Die Beispiele in den Abbildungen 22.32 und 22.33 zeigen, daß die St¨ormodelle der dezentralen Beobachter neben den Koppelgr¨oßen nur bedingt Parameter¨anderungen und St¨orgr¨oßen ausregeln k¨onnen. So ist das St¨ormodell des Teilbeobachters 3 in der Lage, die Reibkraft fR zu erkennen, das St¨ormodell des ¨ Teilbeobachters 4 dagegen eine Anderung der Nenndehnung N . Beide St¨ormodelle k¨onnen aber nicht gleichzeitig an einem Teilbeobachter eingesetzt werden, da nur ein Fehlervergleich u ¨ ber die Geschwindigkeiten vj − vˆj m¨oglich ist. Somit m¨ ussen andere Methoden verwendet werden, z.B. die Aufschaltung der gemessenen oder online u ¨ ber ein neuronales Netz ermittelten Reibkennlinie, um beide Fehler zu eliminieren [917]. 22.9.2.5 Informationsaustausch zwischen den Teilbeobachtern Teilt man die gesch¨atzten Koppelgr¨oßen den Teilbeobachtern mit, wie in Abb. 22.34 dargestellt, so wird die verkoppelte Streckenstruktur auch auf der Beobachterebene nachgebildet. Damit ist zwar keine strenge Dezentralit¨at der Beobachter vorhanden, aber die Sch¨atzung der Bahnkr¨afte ist mit erheblich besseren Ergebnissen verbunden. Die jeweiligen St¨ormodelle m¨ ussen jetzt nur noch die Parameter¨anderungen bzw. die St¨orgr¨oßen ermitteln. Verwendet man beispielsweise f¨ ur beide Teilsysteme die Beobachterstruktur nach Abb. 22.30.b, so k¨onnen Koppelgr¨oßen und Nenndehnungs¨anderungen ohne station¨aren Fehler gesch¨atzt werden. F¨ ur eine ge¨anderte Nenndehnung N nach Gl. (22.118) zeigt Abb. 22.35 die Simulationsergebnisse bei einer Sprunganregung der jeweiligen Bahnkraftsollwerte f23 bzw. f34 .

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

1222

v3

e 23

Teilsystem 3

Teilsystem 4

f 34 u4

v3

u3

Regler 3

Regler 4

f^23

^ f 34

v^3 ^e 23

Teilbeobachter 3

v4

Teilbeobachter 4

f^34 Abb. 22.34: Dezentrale Beobachter mit Informationsaustausch

fjk

fjk

1.0 0.8

0.8

^

f23, f23

0.6

1.0

^

f34 , f34

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

^

^

f34 , f34

f23, f23

0

0

-0.2

-0.2

-0.4

-0.4

0

2

4

6

8

10

t (s) a) Führungssprung bei Antrieb 3

0

2

4

6

8

10

t (s) b) Führungssprung bei Antrieb 4

Abb. 22.35: Dezentrale Beobachter mit Informationsaustausch bei ge¨ anderter Nenndehnung

Alle Bahnkr¨afte werden ohne station¨aren Fehler gesch¨atzt. Vergleicht man Abb. 22.35b mit den Abbildungen 22.31b und 22.32.b, so erkennt man auch eine wesentliche Verbesserung des dynamischen Verhaltens der gesch¨atzten Bahnkraft fˆ23 beim Beobachter mit Informationsaustausch.

22.9 Beobachter

fjk

fjk

1.0

1223

1.0

^

f23

0.8

0.8 ^

f23

0.6

f23 , f23

0.6 0.4

0.4 0.2

0.2

f34

f34

^

f34

0

^

f34

0 -0.2

-0.2 0

2

4

6

8

10

t (s)

a) Regelung mit gemessenen Größen

0

2

4

6

8

10

t (s)

b) Regelung mit beobachteten Größen

Abb. 22.36: Vergleich einer Zustandsregelung mit Meßgebern und Beobachtern

Eine Reibungs¨anderung wird allerdings auch mit dieser Struktur nicht erkannt. Diese muß mit anderen Methoden ermittelt werden. Dazu bietet sich eine Aufschaltung der Reibkraft fR an, wenn diese im gesamten Betriebsbereich der Anlage bekannt ist. Meistens ist dies nicht der Fall. Die Reibung ist nichtlinear und beispielsweise von der Geschwindigkeit, Temperatur oder Belastung abh¨angig. In diesem Fall bieten sich andere Verfahren, wie z.B. neuronale Netze an, um die Reibkennlinie online zu lernen“. Diese Methoden werden in [917] ” behandelt. 22.9.2.6 Zustandsregelung mit dezentralen Beobachtern Jetzt werden die von den dezentralen Beobachtern gesch¨atzten Bahnkr¨afte den Teilzustandsreglern zugef¨ uhrt, wie in Abb. 22.29 dargestellt. Oft k¨onnen bei Beobachtern die Regelgr¨oßen mit geringeren Gl¨attungen zur¨ uckgef¨ uhrt werden, was eine Verbesserung der Regeldynamik ergibt. Somit sind Beobachter schnelle Meßglieder. Abbildung 22.36 zeigt den Vergleich einer dezentralen Bahnkraftregelung, wobei in Abb. 22.36a die Kr¨afte mit Meßgebern u ¨ber Gl¨attungsglieder erfaßt, in Abb. 22.36b mit Beobachtern gesch¨atzt und den Zustandsreglern zugef¨ uhrt wurden. Wegen der geringeren Gl¨attungen ist im Fall der Beobachter eine wesentlich bessere Entkopplung der Bahnkr¨afte erreichbar als mit der Regelung u ¨ ber Meßgeber (Abb. 22.36a).

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

1224

22.9.2.7 Beinflussung von dezentralen Reglern und Beobachtern In den vorangegangenen Untersuchungen wurden die dezentralen Zustandsregler und dezentralen Beobachter so entworfen, daß die gegenseitige Beeinflussung gering ist. Da aber bei dezentralen Regelungen das Separationsprinzip (siehe Kap. 5.5.6.3) nicht mehr gilt, kann eine ung¨ unstige Wahl von Regler- und Beobachterkoeffizienten das Regelergebnis beeinflussen. Im folgenden Beispiel wurden die Zustandsregler wie in Kap. 22.9.2.5 eingestellt, die dezentralen Beobachter dagegen langsamer (Pole n¨aher an der imagin¨aren Achse).

f jk 1.2

f34 1.0 0.8

^f

34

0.6 0.4 0.2

f23

^ f23

0 -0.2 0

2

4

6

8

10

t (s) Abb. 22.37: Beeinflussung von Regler und Beobachter

Das Ergebnis ist in Abb. 22.37 zu sehen. Durch die gegenseitige Beeinflussung von Beobachter und Regler ist die Regelung instabil geworden. Deshalb ist beim Entwurf von dezentralen Regelungen mit Beobachtern die fehlende Separationseigenschaft zu beachten!

22.10 Zusammenfassung

22.10

1225

Zusammenfassung

Produktionsanlagen mit kontinuierlicher Fertigung stellen komplexe, verkoppelte und meist nichtlineare elektro-mechanische Systeme dar. In diesem Kapitel wurden die Nichtlinearit¨aten durch eine Linearisierung am Arbeitspunkt ersetzt und ein lineares System modelliert. Dadurch sind aber nur kleine dynamische ¨ Anderungen der Systemgr¨oßen am Arbeitspunkt zugelassen. Herk¨ommliche Regelungen mit PI-Reglern in Kaskadenstruktur sind nur bedingt einsetzbar, wenn dies die Parameter des Systems zulassen. Deshalb wurden dezentrale Zustandsregelungen mit dezentralen Beobachtern behandelt. Die dezentrale Regelung erm¨oglicht den Entwurf von Zustandsreglern und Beobachtern niedriger Ordnung f¨ ur u ¨berschaubare Teilsysteme. Allerdings werden an die so entworfenen Regler und Beobachter zus¨atzliche Anforderungen gestellt, damit durch das Zusammenf¨ ugen der geregelten Teilsysteme zum geregelten Gesamtsystem Stabilit¨at und das gew¨ unschte Regelverhalten gew¨ahrleistet werden. Dies bedeutet, daß den Verkopplungen der Teilsysteme besondere Beachtung geschenkt werden muß. Die hier beschriebene Methode der dezentralen Entkopplung erf¨ ullt diese Forderungen und erm¨oglicht die Entkopplung ohne zus¨atzliche Entkopplungsnetzwerke u ¨ber die Zustandsregler. Die dezentralen Beobachter sind nur mit geeigneten St¨ormodellen, welche die Kopplungen der Strecke approximieren, einsetzbar. Zudem ist bei dezentralen Beobachtern das Separationstheorem ung¨ ultig, d.h. Regler und Beobachter beeinflussen sich gegenseitig. Besonderes Augenmerk ist beim Einsatz von dezentralen Beobachtern auch auf Parameter¨anderungen zu richten, vor allem, wenn sich mehrere Parameter gleichzeitig ¨andern bzw. Nichtlinearit¨aten wie die Reibung (Lagerreibung, Rakel- Reibung“ bei Streichprozessen), Lose oder ” Hysterese-Effekte (Papier- und Folienverhalten) ber¨ ucksichtigt werden. Die Identifikation derartiger Parametergleichungen ist immer dann besonders schwierig, wenn die Auswirkungen verschiedener Parameter¨anderungen nur in einem Signal erfassbar sind. ¨ Ein Beispiel sind Anderungen des Elastizit¨atsmoduls der Bahn (Temperatur, Feuchtigkeit) und der Reibung (Rakel, Lager), die sich im Bahnzug auswirken. Ein L¨osungsansatz wird in [916] vorgestellt. Die nichtlinearen Charakteristiken k¨onnen in neuronalen Netzen abgelegt werden. Ein anderer Regelansatz statt der dezentralen Entkopplung ist die pr¨adiktive Entkopplung [901]. Die hier behandelten Regelverfahren erm¨oglichen bei kontinuierlichen Fertigungsanlagen eine Verbesserung der Regelg¨ ute und damit auch einen Qualit¨atszuwachs f¨ ur die mit diesen Anlagen erzeugten Produkte.

Variablenu ¨ bersicht

∗ ∗ ∗ ∗  

α α α α0 αLG Δα α1 α2 α12

Symbol der Faltung, ∗ zwischen den Gr¨oßen Symbol f¨ ur Multiplikation in Modelica-Modellen hochgestellt, nachgestellt f¨ ur Sollwert, beispielsweise I1S∗ hochgestellt f¨ ur konjugiert komplexen Wert (komplexe Gleichungen) hochgestellter Index f¨ ur fehlerbehaftete Modellgr¨oße (Asynchronmaschine) Umrechnung von Rotor- auf Statorseite bei Drehfeldmaschinen Realteil-Achse des statorfesten KOS statorfeste Koordinatenachse Z¨ undwinkel des Stromrichters Z¨ undwinkel bei konstanter Stromrichtereingangsspannung Xe0 , Grundaussteuerung (Stromrichter) Z¨ undwinkel an der L¨ uckgrenze (Stromrichter) Z¨ undwinkel¨anderung des Stromrichters Motorwinkel, normiert Winkelposition der Antriebswelle, normiert Verdrehwinkel, Torsionswinkel einer Welle, normiert

β β βK βK2 βL βS δi

∠) Id , Iq Imagin¨arteil-Achse des statorfesten KOS Winkel zwischen statorfestem und allgemeinem KOS Winkel zwischen rotorfestem und allgemeinem KOS Winkel zwischen stator- und rotorfestem KOS Winkel eines betrachteten Raumzeigers im statorfesten KOS Approximation der Koppeleing¨ange (Kontinuierl. Fertigungsanlagen)

Δ(s) δ(t) δT (t)

Hurwitz-Polynom (Vermeidung von Regler-Windup) Dirac-Impuls unendliche Dirac-Impulsfolge mit der Periodendauer T

Variablen¨ ubersicht

1227

ij N 0

Dehnung der Stoffbahn (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Nenndehnung der Stoffbahn (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) r¨aumlicher Umfangswinkel (Asynchronmaschine)

ϑ Θ Θ Θ1 Θ2 ΘA

Polradwinkel, Flußwinkel Durchflutung Massentr¨agheitsmoment Massentr¨agheitsmoment der zweiten Masse (Dreimassensystem) Massentr¨agheitsmoment der dritten Masse (Dreimassensystem) Massentr¨agheitsmoment der Arbeitsmaschine (bezogen auf Antriebsmaschinenseite) Summentr¨agheitsmoment Θges = ΘM + ΘA resultierendes Massentr¨agheitsmoment der Antriebsmaschinenseite Massentr¨agheitsmoment des Motors (bezogen auf Antriebsmaschinenseite)

Θges ΘL ΘM

κ Λ λ

Winkel zwischen EMK und voreilender Strom-Grundschwingung Diagonalmatrix der Eigenwerte (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Eigenwert eines linearen Systems

μ μ0 μD μE ν ν

Nullstelle eines linearen Systems magnetische Feldkonstante μ0 = 4 π · 10−7 Vs/m Normierungsfaktor Erregerfluß-D¨ampferstrom Normierungsfaktor D¨ampferfluß-Erregerstrom Anzahl der steuerbaren Ventile des Stromrichters Querdehnzahl (Kontinuierl. Fertigungsanlagen)

σ σ(t) σ3 σE σD σQ σr σij

Blondelscher Streukoeffizient Einheitssprung Streufaktor D¨ampferwicklung Streufaktor Erregerwicklung Streufaktor d-Komponente D¨ampferwicklung Streufaktor q-Komponente D¨ampferwicklung Streufaktor Permanentmagnet Bahnspannung (Kontinuierl. Fertigungsanlagen)

Φ Φi

Transitionsmatrix Ausgangsmatrix des St¨ormodells bei dezentralen Beobachtern (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) mechanischer Drehwinkel einer Welle

Φ

1228

Variablen¨ ubersicht

ΦM Φ1 Φ2 ϕ ϕ˙ ϕ¨ Δϕ Δϕ Δϕ˙ ϕ ϕ(ω) ϕ0 ϕ0 (ω) ϕA ϕ˙ A ϕ¨A ϕM ϕ˙ M ϕ¨M ϕRd ϕTt

mechanischer Drehwinkel des Motors mechanischer Drehwinkel der ersten Getriebstufe mechanischer Drehwinkel der zweiten Getriebstufe Drehwinkel Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung Torsionswinkel der Welle Winkelfehler (Modellbildung der Asynchronmaschine) Differenzwinkelgeschwindigkeit der Welle Phasenwinkel Phasengang Phasenwinkel des offenen Kreises Phasengang des offenen Kreises Drehwinkel der Arbeitsmaschine Winkelgeschwindigkeit der Arbeitsmaschine Winkelbeschleunigung der Arbeitsmaschine Drehwinkel des Motors Winkelgeschwindigkeit des Motors Winkelbeschleunigung des Motors Phasenrand, Phasenreserve Phasenwinkel, welcher der Totzeit Tt entspricht

ξi

Zustandsvektor des St¨ormodells bei dezentralen Beobachtern (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Dichte (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Dichte vor Verformung (Kontinuierl. Fertigungsanlagen)

ρ ρ0 Ψ Ψi Ψ1 Ψ2 Ψ3 Ψμ  Ψ P M g Ψ P M Ψ ΨD , ψD Ψd , ψd ΨE , ψE Ψe ΨN ΨQ , ψQ

Erregerfluß Systemmatrix des St¨ormodells bei dezentralen Beobachtern (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Statorfluß Rotorfluß Fluß der D¨ampferwicklung Luftspaltfluß komplexer Flußraumzeiger Gesamtflusses des Permanentmagneten Hauptfluß des Permanentmagneten d-Komponente des Flusses der D¨ampferwicklung, normiert  1 , normiert d-Komponente des Statorflusses Ψ Erregerfluß, normiert Hauptfluss der Erregerwicklung Nennfluß q-Komponente des Flusses der D¨ampferwicklung, normiert

Variablen¨ ubersicht

1229

ΨQN Ψq , ψq r Ψ s Ψ E Ψ

Nenngr¨oße q-Komponente des Flusses der D¨ampferwicklung 1 , normiert q-Komponente des Statorflusses Ψ Rotorflußraumzeiger bei direkter Selbstregelung Statorflußraumzeiger bei direkter Selbstregelung Flußraumzeiger des Erregerflusses

Ω Ωel Ω0N ΩA ΩK ΩL ΩM Ωm ΩN ΩN Ω1 Ω2 ω ω0 ω2 ωa ωc ωd ωe ωk ωkrit ωL ωm ωN ω0(N ) ωn ω0(Z)

Winkelgeschwindigkeit; mechanische Winkelgeschwindigkeit elektrische Winkelgeschwindigkeit des Rotors Leerlaufnennwinkelgeschwindigkeit Ω0N = 2πN0N Winkelgeschwindigkeit der Arbeitsmaschine Kreisfrequenz des umlaufenden Koordinatensystems K Kreisfrequenz des umlaufenden Koordinatensystems L Winkelgeschwindigkeit des Motors mechanische Winkelgeschwindigkeit des Rotors Nennkreisfrequenz mechanische Nennwinkelgeschwindkeit Kreisfrequenz eines umlaufenden Raumzeigers im statorfesten Koordinatensystem Schlupfkreisfrequenz Kreisfrequenz ω = 2πf Kennkreisfrequenz, Eigenfrequenz des unged¨ampften Systems Schlupfkreisfrequenz, normiert natural frequency of the absorber ideal resonance frequency Amplitudendurchtrittsfrequenz in rad/s Eigenresonanzfrequenz, Eigenfrequenz des ged¨ampften Systems Phasendurchtrittsfrequenz = Stabilit¨atsgrenze Stabilit¨atsgrenze elektrische Winkelgeschwindigkeit des Rotors, normiert mechanische Winkelgeschwindigkeit des Rotors, normiert Netzkreisfrequenz Kennkreisfrequenz des Nennerpolynoms nat¨ urliche Frequenz Kennkreisfrequenz des Z¨ahlerpolynoms

L Z Zmod

Laplace-Transformation z-Transformation modifizierte z-Transformation

A A A A

Amplitude Spannungszeitfl¨ache (Stromrichter), Anode (Thyristor) Amplitude der Steuersatzeingangsspannung (Stromrichter) Fl¨ache nach Verformung (Kontinuierl. Fertigungsanlagen)

1230

Variablen¨ ubersicht

A Aii A0 AZR AZRI ARd AF a a a, a2

Systemmatrix Teilsystemmatrix (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Fl¨ache vor Verformung (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Systemmatrix zustandsgeregeltes System (ohne I-Anteil) Systemmatrix zustandsgeregeltes System (mit I-Anteil) Amplitudenabstand, Amplitudenrand Amplitudenfehler (Modellbildung der Asynchronmaschine) Faktor beim allgemeinen Symmetrischen Optimum Spannungsansteuerung (Stromregelverfahren) Komplexe Drehoperatoren

B  B B, b BKi

magnetische Induktion komplexer Raumzeiger des magnetischen Feldes Steuermatrix, Steuervektor Koppeleingangsmatrix eines Teilsystems (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Steuermatrix eines Teilsystems (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Remanenzfeldst¨arke Betragsoptimum Abk¨ urzung f¨ ur Bezugsgr¨oße Steuervektor zustandsgeregeltes System (mit I-Anteil) Reglerkoeffizienten beim D¨ampfungsoptimum Elemente der modal transformierten Koppeleing¨ange (Kontinuierl. Fertigungsanlagen)

BSi Br BO BZ bZRI bi b∗kj

C C, cT C CKi

CP (s)

Kapazit¨at Ausgangsmatrix, Ausgangsvektor stiffness matrix Koppelausgangsmatrix eines Teilsystems (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Ausgangsmatrix eines Teilsystems (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Federsteifigkeit, Drehfedersteifigkeit Drehfedersteifigkeit der Welle, normiert absorber spring constant Elemente der modal transformierten Koppelausg¨ange (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) charakteristisches Polynom des Regelkreises

D D D, d

Diode D¨ampfungsgrad, D¨ampfungsfaktor Durchschaltmatrix, Durchgriff

CM i c c12 ca c∗ik

Variablen¨ ubersicht

D Da (s) Di D(N ) D(Z) DO DSS Dx d d d12 da dα , dβ dB dt

1231

dx dxe

damping matrix denominator of the absorber transfer function Doppelverh¨altnis Nr. i (D¨ampfungsoptimum) D¨ampfungsgrad des Nennerpolynoms D¨ampfungsgrad des Z¨ahlerpolynoms D¨ampfungsoptimum dynamisch symmetriertes Stellglied induktiver Spannungsabfall (Stromrichter) direkte Achse der Synchron-Schenkelpolmaschine D¨ampfung (mechanisch) D¨ampfung der Welle, normiert absorber damping constant Ausgangssignale des Hysteresereglers (Stromregelverfahren) Dezibel zeitliche Verschiebung des Z¨ undimpulses (Stromrichter) bei einer differentiellen St¨orung dxe induktiver Spannungsabfall, normiert differentiellen St¨orung des Eingangssignals xe

E E E, EA E0 E(s), e(t) EMK e, ei eA

Einheitsmatrix; Systemmatrix von x˙ bei Deskriptorsystem Elastizit¨atsmodul (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) induzierte Gegenspannung Elastizit¨atsmodul, unverformt (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) F¨ uhrungsfehler im Frequenz- bzw. Zeitbereich elektromotorische Kraft Beobachterfehler (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) induzierte Gegenspannung, normiert

F F (jω) |F (jω)| F0 (jω) |F0 (jω)| F0,lin (jω) Fa (s) FD Fjk

Kraft Frequenzgang Amplitudengang Frequenzgang des offenen Regelkreises Amplitudengang des offenen Regelkreises Frequenzgang des linearen Teils des offenen Regelkreises transfer function of the active feedback Dreieckfrequenz Bahnkraft zwischen den Walzen j-k (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) ¨ Ubertragungsfunktion des Linearteils Nennbahnkraft (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Pulsfrequenz ¨ Ubertragungsfunktion FL (s) + 1 Reibkraft

FL (s) FN Fp FP H (s) FR

1232

Variablen¨ ubersicht

FR0 FRmax FR (jω) Fr (jω) FS (jω) FS Fs Fs0 FT FT max Fw (jω) Fz (jω) F1 f f f (t) f (z) fa fa fD fN fjk f ∗ (t) fp∗ (t) fN fn fR fs G(s) G(z, m) G0 (s) G0,lin (s) GA (s) Ga (s) GD (s) Gers i (s) Gers n (s) GGn (s) Gls (z)

¨ Reibkraft beim Ubergang vom Gleiten ins Haften Maximale Reibkraft im Haften Frequenzgang des Reglers Frequenzgang der R¨ uckf¨ uhrung Frequenzgang der Strecke mittlere Schaltfrequenz des Umrichters (Stromregelverfahren) Statorfrequenz bei der direkten Selbstregelung Typenpunktsfrequenz bei der direkten Selbstregelung Taktfrequenz des Umrichters maximal zul¨assige Taktfrequenz des Umrichters Frequenzgang des geschlossenen Regelkreises Frequenzgang der St¨or¨ ubertragungsfunktion Grundfrequenz Frequenz, Abtastfrequenz force Zeitfunktion z-Transformierte von f (t) Verarbeitungsfrequenz des AD-Wandlers absorber force nat¨ urliche Amplitudendurchtrittsfrequenz in Hz Nennfrequenz Bahnkraft zwischen den Walzen j-k, normiert (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) abgetastete Zeitfunktion mit endlicher Schließungsdauer abgetastete Zeitfunktion Netzfrequenz ausgezeichnete Frequenz (Stromrichter) Reibkraft, normiert Frequenz der Steuersatzeingangsspannung (Stromrichter) ¨ Laplace-Ubertragungsfunktion ¨ modifizierte z-Ubertragungsfunktion ¨ Ubertragungsfunktion des offenen Regelkreises ¨ Ubertragungsfunktion des linearen Teils des offenen Regelkreises ¨ Ubertragungsfunktion zur EMK-Aufschaltung, meist 1/VSTR absorber transfer function D¨ampfer¨ ubertragungsfunktion Ersatz¨ ubertragungsfunktion des Stromregelkreises Ersatz¨ ubertragungsfunktion des Drehzahlregelkreises ¨ Ubertragungsfunktion der Sollwertgl¨attung des Drehzahlregelkreises spezielle z-Transformierte des linearen Teils des offenen Regelkreises

Variablen¨ ubersicht

Ginv (s) Gp (s) GR (s) GRf (s) GRn (s) Gr (s) GS (s) GSf opt (s) GSnopt (s) GSOn (s) GST R (s) Gv (s) Gw (s) Gz (s) gc H H H0 H, Hi

1233

¨ inverse Ubertragungsfunktion des Ersatzstromregelkreises transfer function of the primary system ¨ Ubertragungsfunktion des Reglers ¨ Ubertragungsfunktion des Bahnkraftreglers ¨ Ubertragungsfunktion des Drehzahlreglers ¨ Ubertragungsfunktion der R¨ uckf¨ uhrung ¨ Ubertragungsfunktion der Strecke ¨ Ubertragungsfunktion der zu optimierenden Bahnkraftregelstrecke ¨ Ubertragungsfunktion der zu optimierenden Drehzahlregelstrecke ¨ Ubertragungsfunktion des symmetrisch optimierten Drehzahlregelkreises ¨ Ubertragungsfunktion des Stromrichters ¨ Ubertragungsfunktion des Vorw¨artszweiges ¨ F¨ uhrungs-Ubertragungsfunktion ¨ St¨orungs-Ubertragungsfunktion critical gain

Hc h

magnetische Feldst¨arke Hysteresebandbreite (Stromregelverfahren) Halteglied nullter Ordnung R¨ uckf¨ uhrmatrix dezentraler Beobachter (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Koerzitivfeldst¨arke der magnetischen Induktion endliche Schließungsdauer des Abtasters, Schrittweite

I I1 I2 I0 I1 , I2 Ia Ia , Ib , Ic Ia,N Ie Ie,0 Ie,N Ie,equ Iμd Iμq Iμ IA IAN Id

komplexer Stromraumzeiger Raumzeiger des Statorstroms Raumzeiger des Rotorstroms Nullkomponente des Stroms Strom in Leitung 1 und 2 Ankerkreisstrom Strangstr¨ome Ankerkreisnennstrom Erregerkreisstrom Leerlauferregerstrom Erregerkreisnennstrom ¨aquivalenter Erregerstrom Summenstrom Iμd = Id + IE Summenstrom Iμq = Iq Magnetisierungsstrom Ankerstrom Ankernennstrom Ausgangsstrom des Stromrichters

1234

ID , iD IDN Id IE , iE IEN Ieff N IˆK1 Im IN IQ , iQ IQN Iq Iq Ir Is i0 iA ¯iA i∗ A ¯iLG J J JK j K K K K Kα Kαl KD Kers i Kers n Kf KI KI

Variablen¨ ubersicht

d-Komponente D¨ampferstrom I1 , normiert Nenngr¨oße der d-Komponente D¨ampferstrom d-Komponente Statorstrom I1 Erregerstrom, normiert Erregernennstrom Effektivwert Strangnennstrom Kurzschlußstromscheitelwert der Grundschwingung bei Grundfrequenztaktung (Stromregelverfahren) Imagin¨arteil Strangnennstrom q-Komponente D¨ampferstrom I1 , normiert Nenngr¨oße der q-Komponente D¨ampferstrom q-Komponente Statorstrom I1 Ladestrom der dynamischen Symmetrierschaltung (Stromrichter) Rotorstromraumzeiger bei direkter Selbstregelung Statorstromraumzeiger bei direkter Selbstregelung Strom zum Z¨ undzeitpunkt, normiert (Stromrichter) Ankerstrom, normiert Mittelwert des Ankerstroms, normiert Sollwert des Ankerstroms, normiert Mittelwert des L¨ uckgrenzstroms, normiert Jacobimatrix G¨ utefunktional G¨ utefunktional der dezentralen Entkopplung (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) imagin¨are Einheit: j 2 = −1 Kathode (Thyristor) Hochgestellter Index f¨ ur allgemeines Koordinatensystem Verst¨arkungsfaktor R¨ uckf¨ uhrmatrix (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Verst¨arkungsfaktor des Stromrichterstellgliedes bei differentieller St¨orung im NLB Verst¨arkungsfaktor des Stromrichterstellgliedes bei differentieller St¨orung im LB Verst¨arkung des Differentialterms bei Summenform des PID-Reglers Verst¨arkungsfaktor des Ersatz-Stromregelkreises Verst¨arkungsfaktor des Ersatz-Drehzahlregelkreises R¨ uckf¨ uhrkoeffizient der Bahnkraft Verst¨arkungsfaktor des offenen Stromregelkreises Verst¨arkung des Integralterms bei Summenform des

Variablen¨ ubersicht

Kn KP KR KS KV k k k1 , k 2 L L L L(x, y) L1 , L2 , L3 L1 L2 L3 Lσ Lσ1 LσE Lσd Lσq LσD LσQ La Le Lc LD , ld Ld LE , lE LEd , lEd LEN Lh Lhd Lhq Ljk , ljk LN LN LQ , lq Lq

PID-Reglers R¨ uckf¨ uhrkoeffizient der Drehzahl Verst¨arkung des Proportionalterms bei Summenform des PID-Reglers 1 + sTR Reglerverst¨arkung PI-Regler, GR (s) = KR · s Streckenverst¨arkung Vorfilterfaktor bei Zustandsregelung ¨ Ubersetzungsverh¨ altnis Schaltzustand bei Stromregelverfahren Korrekturfaktoren beim erweiterten SO Induktivit¨at Drehimpuls Hochgestellter Index f¨ ur rotorfestes Koordinatensystem Lagrange-Fuktion von (x,y) (z.B. Gl. 16.357) Außenleiter des Spannungssystems N Eigeninduktivit¨at der Statorwicklung Eigeninduktivit¨at der Rotorwicklung Eigeninduktivit¨at der D¨ampferwicklung Streuinduktivit¨at Streuinduktivit¨at der Statorwicklung Streuinduktivit¨at der Erregerwicklung d-Komponente der Streuinduktivit¨at Statorwicklung q-Komponente der Streuinduktivit¨at Statorwicklung d-Komponente der Streuinduktivit¨at D¨ampferwicklung q-Komponente der Streuinduktivit¨at D¨ampferwicklung Induktivit¨at des Ankerkreises Induktivit¨at des Erregerkreises Differenzinduktivit¨at Erreger-D¨ampfer und Erreger-Stator d-Komponente der Induktivit¨at D¨ampferwicklung, normiert d-Komponente der Induktivit¨at Statorwicklung Erregerinduktivit¨at, normiert differentielle Erregerinduktivit¨at, normiert Erregernenninduktivit¨at Hauptinduktivit¨at d-Komponente der Hauptinduktivit¨at Statorwicklung q-Komponente der Hauptinduktivit¨at Statorwicklung Bahnl¨ange zwischen den Walzen j-k, normiert (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Nennbahnl¨ange (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Nenninduktivit¨at q-Komponente der Induktivit¨at D¨ampferwicklung, normiert q-Komponente der Induktivit¨at Statorwicklung

1235

1236

Variablen¨ ubersicht

LB LG

L¨ uckbetrieb L¨ uckgrenze

M M M M M˙ M1 M2 M13 MB , mb MBA MBD MBM MC MD MIN ML MM , mM MM i , mM i MR MW , mW MdD MDE MdE MdEN Me MqE MqQ m12 m1 m2 mA ma mdE mEd

Gegeninduktivit¨at Drehmoment (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Transformationsmatrix zur Koordinatentransformation mass matrix Massenstrom Drehmoment in der ersten Getriebestufe Drehmoment in der zweiten Getriebestufe Stator-D¨ampfer-Gegeninduktivit¨at Beschleunigungsmoment, normiert Beschleunigungsmoment des Motors Beschleunigungsmoment des passiven D¨ampfers Beschleunigungsmoment der Arbeitsmaschine ¨ Ubertragungsmoment einer Feder ¨ Ubertragungsmoment durch D¨ampfung inneres Nennmoment des Motors Lastmoment Motormoment, normiert Luftspaltmoment, normiert Reibmoment Widerstandsmoment, Lastmoment, normiert d-Komponente Stator-D¨ampfer-Gegeninduktivit¨at d-Komponente D¨ampfer-Polrad-Gegeninduktivit¨at d-Komponente Stator-Polrad-Gegeninduktivit¨at Nenngr¨oße d-Komponente Stator-Polrad-Gegeninduktivit¨at elektrisches (inneres) Drehmoment q-Komponente Stator-Polrad-Gegeninduktivit¨at q-Komponente Stator-D¨ampfer-Gegeninduktivit¨at Wellenmoment, normiert Motormoment, normiert Widerstandsmoment, Lastmoment, normiert Arbeitsmaschinenmoment, normiert absorber mass d-Komponente Stator-Polrad-Gegeninduktivit¨at, normiert d-Komponente Polrad-Stator-Gegeninduktivit¨at, normiert

N N N N N˙

Drehzahl Spannungssystem Normalkraft Teilchen Teilchenstrom

Variablen¨ ubersicht

N(s) N(s) NN orm N0N NN Na (s) NLB n n m12 n1 n2 nA nM nT

Nennerpolynom Normpolynom 2. Ordnung Normpolynom Leerlauf-Nenndrehzahl Nenndrehzahl numerator of the absorber transfer function Nichtl¨ uckbetrieb Systemordnung Drehzahl, normiert Differenzwinkelgeschwindigkeit, normiert Motordrehzahl, normiert Arbeitsmaschinendrehzahl, normiert Motordrehzahl Arbeitsmaschinendrehzahl Pulszahl

P P P P P0 PN PS p p p pi

Amplitudenverh¨altnis von Sollspannung zu Dreieckspannung (Stromregelverfahren) Leistung Druck Impuls Leerlaufleistung Nennleistung Scheinleistung Pulszahl des Stromrichters Leistung, normiert Parametervektor einer DAE Polynomkoeffizient Nr. i

Q Q˙ Q Q QB QS q

Ladung W¨armestrom Orthogonale Matrix Gewichtungsmatrix der Zustandsgr¨oßen Beobachtbarkeitsmatrix Steuerbarkeitsmatrix Querachse der Synchron-Schenkelpolmaschine

R R R R1 , r1 R2 RA , rA

ohmscher Widerstand obere, regul¨are Dreiecksmatrix Gewichtungsmatrix der Eingangsgr¨oßen ohmscher Statorwiderstand, normiert ohmscher Rotorwiderstand ohmscher Ankerwiderstand, normiert

1237

1238

Variablen¨ ubersicht

RD RE , rE REN Re Rk , rk RN RN RQ Ra Re Rr Rs r ri

d-Komponente des Widerstands D¨ampferwicklung ohmscher Erregerwiderstand, normiert ohmscher Erregernennwiderstand Realteil Walzenradius, normiert (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Nennwalzenradius (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Nennwiderstand q-Komponente des Widerstands D¨ampferwicklung Ankerkreiswiderstand Erregerkreiswiderstand Rotorwiderstand bei direkter Selbstregelung Statorwiderstand; Statorwiderstand bei direkter Selbstregelung Reglervektor Komponente i des Reglervektors r

S S S S˙ λk Sji λk Srji SO STR s s s sN

Schalter, Schalterstellung Hochgestellter Index f¨ ur statorfestes Koordinatensystem Entropie Entropiestrom Polempfindlichkeit (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Relative Polempfindlichkeit (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) symmetrisches Optimum Stromrichter Schlupf Laplace-Operator s = σ + jω Bahnparameter einer parametrisierten Kurve Nennschlupf

T T T T  Td  Tq  Td T1 T1 T2 T2 TΘN TΘ1 TΘ2 TΘ(M +A)

Temperatur Abtastperiode Zeitkonstante, time constant zeitlicher Abstand der Spannungsrampen Ugi (Stromrichter) subtransiente Zeitkonstante des L¨angsfeldes subtransiente Zeitkonstante des Querfeldes transiente Zeitkonstante des L¨angsfeldes große Zeitkonstante Zeitkonstante Statorkreis kleine Zeitkonstante Zeitkonstante Rotorkreis Tr¨agheits-Nennzeitkonstante Tr¨agheits-Nennzeitkonstante des Motors Tr¨agheits-Nennzeitkonstante der Arbeitsmaschine Summentr¨agheits-Nennzeitkonstante von Antriebs- und

Variablen¨ ubersicht

Tσ Tσ Tσi TσiE Tσn Tσf TAbtast TA TB Tbeo Tc TD TD TE TE TEd TEN Ters Ters i Ters iE Ters n TG TGn Tg Tgi TgiE Tge Tgu Tgn Tgf TI Tif Tjk TK Tmess TN TN Tn Tnf

1239

Arbeitsmaschine kleine Summenzeitkonstante Verz¨ogerungszeit kleine Summenzeitkonstante des Stromregelkreises kleine Summenzeitkonstante des Erregerstromregelkreises kleine Summenzeitkonstante des Drehzahlregelkreises kleine Summenzeitkonstante des Bahnkraftregelkreises Abtastzeit Ankerzeitkonstante Bahnzeitkonstante aus Parallelschaltung der freien Bahnl¨angen (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Zeitkonstante des Entkopplungsbeobachters (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) critical time constant Differentiations-Zeitkonstante Zeitkonstante d-Komponente D¨ampferwicklung statistischer Mittelwert von Tw , Wartezeitn¨aherung (Stromrichter) Erregerzeitkonstante differentielle Erregerkreiszeitkonstante Erregerkreis-Nennzeitkonstante Ersatzzeitkonstante Ersatzzeitkonstante des Stromregelkreises Ersatzzeitkonstante des Erregerstromregelkreises Ersatzzeitkonstante des Drehzahlregelkreises Zeitkonstante der F¨ uhrungsgl¨attung Zeitkonstante der F¨ uhrungsgl¨attung beim Drehzahlregelkreis Zeitkonstante der Istwertgl¨attung Zeitkonstante der Stromistwertgl¨attung Zeitkonstante der Erregerstromistwertgl¨attung Zeitkonstante der Gegenspannungsistwertgl¨attung Zeitkonstante der Ankerspannungsistwertgl¨attung Zeitkonstante der Drehzahlistwertgl¨attung Zeitkonstante der Bahnkraftistwertgl¨attung Integrations-Zeitkonstante Integrations-Zeitkonstante der Bahnkraft Bahnzeitkonstante (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Temperaturkoeffizient Meßzeit Periodendauer der Netzspannung Nenn-Bahnzeitkonstante (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) 1 + sTn Nachstellzeit PI-Regler, GR (s) = VR · sTn Nachstellzeit des Bahnkraft-PI-Reglers

1240

Tnn TQ TR Tres TS Tsys Tt Txi Txn Ty Tw Tw0 t tan taus tB

Variablen¨ ubersicht

Nachstellzeit des Drehzahl-PI-Reglers Zeitkonstante q-Komponente D¨ampferwicklung 1 + sTR Nachstellzeit PI-Regler, GR (s) = KR · s resultierende Zeitkonstante große Zeitkonstante Systemzeitkonstante Totzeit Zeitkonstante des Strommeßgliedes Zeitkonstante des Drehzahlmeßgliedes Registerfehlerzeitkonstante (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Wartezeit (Stromrichter) Wartezeit (Stromrichter) f¨ ur Δα → 0 Zeit Anregelzeit Ausregelzeit Stromf¨ uhrungsdauer eines Ventils (Stromrichter)

Uˆ Scheitelwert einer Spannung  U komplexer Spannungsraumzeiger 1 Raumzeiger der Statorspannung U 2 Raumzeiger der Rotorspannung U U0 Nullkomponente der Spannung U1 , U2 , U3 Strangspannungen des Spannungssystems N U12 Zahl der Druckspiegel (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Ua , Ub , Uc Strangspannungen Uab , Ubc , Uca verkettete Spannungen UA , uA Ankerspannung, normiert UAN Ankernennspannung Ueff N Effektivwert Strangnennspannung Ua Ausgangsspannung Ud , ud Ausgangsspannung des Stromrichters, normiert Ud , ud d-Komponente der Statorspannung, normiert Udc DC-Spannung des Wechselrichters, Zwischenkreisspannung UdN Nennspannung des Stromrichters Udi0 idealer Gleichspannungsmittelwert bei α = 0◦ UD Dreieckspannung Ue Eingangsspannung E Spannungsraumzeiger der Erregerspannung U UE , uE Erregerspannung, normiert UEN Erregernennspannung Ugi , ugi netzsynchrone Spannungsrampen (Grundspannungen), normiert beim Stromrichterstellglied

Variablen¨ ubersicht

UH S U i UN Uq , uq r U UR URN s U UV uˆ u, u uα uαl ub uKi usat uSi uσ u¨ V V, v V V V V˙ V0 V0 , V 1 , V 2 V0 v0 Va,i Va,N Ve,i Vj VN VN V0R VG Vi VR

1241

Hauptfeldspannung Raumzeiger der inneren Gegenspannung im statorfesten KOS Strangnennspannung q-Komponente der Statorspannung, normiert Rotorspannungsraumzeiger bei direkter Selbstregelung Reglerausgangsspannung Reglernennspannung Statorspannungsraumzeiger bei direkter Selbstregelung Grundschwingungseffektivwert der verketteten Spannung Scheitelwert einer Spannung, normiert Stellgr¨oße, Stellvektor, Reglerausgangsgr¨oße, Steuervektor ¨ sprungf¨ormige Anderung von ud im NLB zum Z¨ undzeitpunkt ¨ sprungf¨ormige Anderung von ud im LB zum Z¨ undzeitpunkt begrenztes Stellsignal Vektor der Koppeleing¨ange (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Amplitude der Stellbegrenzung Vektor der Steuereing¨ange (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) relative Kurzschlußspannung ¨ Getriebe¨ ubersetzungsfaktor, Ubersetzungsverh¨ altnis Transformationsmatrix (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Bahngeschwindigkeit, normiert (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) elektrisches Potential Geschwindigkeit Volumen Volumenstrom Leerlaufspannung bei Nenndrehzahl Potentiale an den Knoten 0, 1, 2 mittlere Bahngeschwindigkeit (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) mittlere Bahngeschwindigkeit, normiert (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) induzierte Spannung des Ankerkreises Ankerkreisnennspannung induzierte Spannung des Erregerkreises Walzengeschwindigkeit (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Nennbahngeschwindigkeit (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Strangnennspannung Verst¨arkung des Operationsverst¨arkers Verst¨arkung der F¨ uhrungsgl¨attung Koeffizientenverh¨altnis Nr. i (D¨ampfungsoptimum) 1 + sTn Reglerverst¨arkung PI-Regler, GR (s) = VR · sTn

1242

Variablen¨ ubersicht

VRf VRn VS VSTR Vr,LR Vs,N Vxi Vxn vf

Verst¨arkung des Bahnkraftreglers Verst¨arkung des Drehzahlreglers Streckenverst¨arkung Verst¨arkung des Stromrichters L¨auferstillstandsspannung Strangnennspannung Verst¨arkung des Strommeßglieds Verst¨arkung des Drehzahlmeßglieds Taktverh¨altnis von Umrichtertaktfrequenz zu Grundfrequenz (Stromregelverfahren)

WOK w w w w w1 w2

Wurzelortskurve Variable der w-Transformation F¨ uhrungsgr¨oße, Sollwert Sollwertvektor F¨ uhrungsgr¨oße nach Sollwertgl¨attung Windungszahl der Statorwicklung Windungszahl der Rotorwicklung

X(s) Xσ Xe , xe ˆe X ΔXe Xe∗ Xe0 , xe0 XeS , xeS

Zustandsvektor im Laplace-Bereich Streureaktanz Steuersatzeingangsspannung, normiert (Stromrichter) Maximalwert von Xe Eingangsspannungs¨anderung (Stromrichter) abgetastete Steuersatzeingangsspannung konstante Steuersatzeingangsspannung, normiert Eingangsspannung der dynamischen Symmetrierschaltung, normiert Hauptreaktanz Hauptreaktanz symmetrisch begrenzte Steuersatzeingangsspannung ΘM Tr¨agheitsmomentverh¨altnis x = ΘM + ΘA Streckenzustand, Zustandsvektor, Regelgr¨oße Zustandsvektor des Beobachters transiente L¨angsreaktanz subtransiente L¨angsreaktanz subtransiente Querreaktanz Amplitude des Signals, x(t) = x0 · sin(ωt + ϕ) absorber position Regeldifferenz d-Komponente der Reaktanz Statorwicklung, normiert Eingangssignal

XH Xh XS x x, x x ˆ  xd  xd  xq x0 xa xd xd xe

Variablen¨ ubersicht

xˆe x˙ e−

1243

xmax xI xn Xm Xm,d xp xq Xs

Maximalwert von xe erste Ableitung der Steuersatzeingangsspannung zu den Zeitpunkten nT− Maximalwert der Regelgr¨oße x zus¨atzlicher Streckenzustand durch F¨ uhrungsintegrator erfaßte Regelgr¨oße, Meßgr¨oße (symmetrische) Hauptfeldreaktanz Hauptfeldreaktanz der d-Achse position of the primary system q-Komponente der Reaktanz Statorwicklung, normiert Statorreaktanz

Yjk YN y, y yjk y Ki yM i Δy

Registerfehler (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Bezugsgr¨oße des Registerfehlers (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Ausgangsgr¨oße, Ausgangsvektor Registerfehler, normiert (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Vektor der Koppelausg¨ange (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Vektor der Meßausg¨ange (Kontinuierl. Fertigungsanlagen) Beobachterfehler

Z(s) ZN L (s) ZN S (s) Zp ZRW (s) ZU (s) z z

Z¨ahlerpolynom Polynom im Zusatznetzwerk (Vermeidung von Strecken-Windup) Polynom im Zusatznetzwerk (Vermeidung von Strecken-Windup) Polpaarzahl Z¨ahlerpolynom im Regler (F¨ uhrungskanal) Z¨ahlerpolynom im Regler (u-R¨ uckf¨ uhrung) St¨orgr¨oße komplexe Frequenzvariable f¨ ur z-Transformation, Definition als Abk¨ urzung z = u + jv = esT

Literaturverzeichnis

Grundlagen [1] Anderson, B.; Moore, J. Optimal Control: Linear Quadratic Methods. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1989. [2] Angermann, A.; Beuschel, M.; Rau, M.; Wohlfarth U. MATLAB - SIMULINK - STATEFLOW Grundlagen, Toolboxen, Beispiele. 5. u unchen 2007 ¨berarbeitete Auflage, Oldenbourg Verlag, M¨ Reihe: Oldenbourg Lehrb¨ ucher f¨ ur Ingenieure [3] Breitenecker, F.; Ecker, H.; Bausch-Gall, I. Simulieren mit ACSL — Eine Einf¨ uhrung in die Modellbildung, numerische Methoden und Simulation. Vieweg-Verlag, Braunschweig, 1993 [4] Blaschke, F. Das Kriterium der Doppelverh¨ altnisse. Unver¨offentlicher Technischer Bericht No. 9331, Siemens AG, und Diplomarbeiten des Lehrstuhls f¨ ur Elektrische Antriebstechnik. [5] Brammer, K. Kalman-Bucy-Filter: deterministische Beobachtung und stochastische Filterung. Oldenbourg-Verlag, M¨ unchen, 1994. [6] Daniels, R.W. An Introduction to Numerical Methods and Optimization Techniques. New York, 1978 [7] D’Azzo, J.J.; Houpis, C.H. Linear Control System Analysis and Design. Tokio 1981 [8] Di Stefano, J.J.; Stubberud, A.R.; Williams, I.J. Regelungssysteme. D¨ usseldorf, 1976 [9] D¨orrscheidt, F.; Latzel, W. Grundlagen der Regelungstechnik. Teubner-Verlag, Stuttgart, 1993

Literaturverzeichnis

1245

[10] Dorf, R.C. Modern Control Systems. Reading, 1980 [11] Drenick, R.F. Die Optimierung linearer Regelkreise. Oldenbourg Verlag, M¨ unchen, 1967 [12] F¨ollinger, O. Regelungstechnik., Elitera Verlag, Berlin, 1978 [13] F¨ollinger,O. Nichtlineare Regelungen II. R. Oldenbourg, M¨ unchen, Wien, 1993 [14] Frank, P.M. Empfindlichkeitsanalyse dynamischer Systeme. M¨ unchen, 1976 [15] Franklin, G.F.; Powell, J.D. Digital Control of Dynamic Systems. Reading, 1980 [16] G´orecki, H.; Fuksa, S.; Grabowski, P.; Korytowski, A. Analysis and Synthesis of Time Delay Systems. John Wiley & Sons, Warzawa, 1989 [17] Habenstein, G. Anwendung des Verfahrens der Doppelverh¨altnisse auf die Optimierung von Regelkreisen der elektrischen Antriebstechnik. Diplomarbeit, Lehrstuhl f¨ ur Elektrische Antriebstechnik, TU M¨ unchen, 1975 [18] Hamming, R.W. Numerical Methods for Scientists and Engineers. Tokio, 1973 [19] Isermann, R. Digitale Regelsysteme. Berlin, 1987 [20] Kalman, R.E.; Bucy, R.S. New results in linear filtering and prediction theory. Proc. ASME Journal of Basic Engineering, M¨ arz 1961, S. 95-108 [21] Katz, P. Digital Control Using Microprocessors. London, 1981 [22] Kessler, C. ¨ Uber die Vorausberechnung optimal abgestimmter Regelkreise Teil III. Regelungstechnik 3, 1955 [23] Kessler, C. Das symmetrische Optimum. Regelungstechnik 6, 1958 [24] Lee, Y.-I.; Kim, J.-S.; Kim, Y.-Y. Generalized PID Position Control Algorithm for High Performance Position Control Loop Using Linear Machine Drive. IPEC Conference, Tokyo, April 2000

1246

Literaturverzeichnis

[25] Kuo, B.C. Digital Control Systems. New York, 1981 [26] Lang, G.; Ham, J.M. Conditional Feedback Systems — A New Approach to Feedback Control. Paper SS-202, AIEE Winter General Meeting, New York, January 31 - February 4, 1955 [27] Ludyk, G. Theoretische Regelungstechnik 2. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1995 [28] Lunze, J. Regelungstechnik 1. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1996 [29] Lunze, J. Regelungstechnik 2. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1996 [30] Olbrich, D. Untersuchung des dynamischen Verhaltens von d¨ ampfungsoptimierten Regelkreisen. Studienarbeit, Lehrstuhl f¨ ur Elektrische Antriebstechnik, TU M¨ unchen, 1978 [31] Papageorgiou, M. Optimierung. Statische, dynamische, stochastische Verfahren f¨ ur die Anwendung. Oldenburg Verlag, M¨ unchen, Wien, 1991 [32] Papoulis, A. Circuits and Systems. Tokio, 1980 [33] Ralston, A.; Rabinowitz, P. A First Course in Numerical Analysis. Tokio, 1978 [34] Saucedo, R.; Schiring, E.E. Introduction to Continuous and Digital Control Systems. New York, 1968 [35] Scheid, F. Numerische Analysis. D¨ usseldorf, 1979 [36] Schr¨oder, D. Elektrische Antriebe 1: Grundlagen. Springer-Verlag, Berlin 1994 [37] Schr¨oder, D. Elektrische Antriebe - Grundlagen. Springer-Verlag, Berlin 2000, 2. Auflage [38] Schr¨oder, D. Elektrische Antriebe - Grundlagen. Springer-Verlag, Berlin 2007, 3. Auflage [39] Schr¨oder, D. Elektrische Antriebe 2: Regelung von Antrieben. Springer-Verlag, Berlin 1995

Literaturverzeichnis

1247

[40] Schr¨oder, D. Elektrische Antriebe: Regelung von Antriebssystemen. Springer-Verlag, Berlin 2001, 2. Auflage [41] Schr¨oder, D. Elektrische Antriebe: Regelung von Antriebssystemen. Springer-Verlag, Berlin 2008, 3. Auflage [42] Schr¨oder, D. Elektrische Antriebe 3: Leistungselektronische Bauelemente. Springer-Verlag, Berlin 1996 [43] Schr¨oder, D. Leistungselektronische Bauelemente. Springer-Verlag, Berlin 2006, 2. Auflage [44] Schr¨oder, D. Elektrische Antriebe 4: Leistungselektronische Schaltungen. Springer-Verlag, Berlin 1998 [45] Schr¨oder, D. Leistungselektronische Schaltungen - Funktion, Auslegung und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin 2008, 2. Auflage [46] Schr¨ ufer, E. Elektrische Meßtechnik. Hanser-Verlag, M¨ unchen, Wien, 1990 [47] van der Smagt, P.; Hirzinger, G. The cerebellum as computed torque model. Fourth International Conference on Knowledge-Based Intelligent Engineering Systems & Allied Technologies, Brighton, 2000 [48] Stiefel, E. Einf¨ uhrung in die numerische Mathematik. Stuttgart, 1976 [49] Strejc, V. Dimensionierung stetiger, linearer Regelkreise f¨ ur die Praxis. Reihe Automatisierungstechnik, VEB Verlag Technik, Berlin, 1970 [50] Unbehauen, H. Regelungstechnik Bd. 1: Klassische Verfahren zur Analyse und Synthese linearer kontinuierlicher Regelsysteme, Bd. 2: Zustandsregelungen, digitale und nichtlineare Regelsysteme, Bd. 3: Identifikation, Adaption, Optimierung. Wiesbaden, 1989 [51] Van Valkenburg, M.E. Analog Filter Design. Tokio, 1982 [52] Z¨ah, M.; Brandenburg, G. Das erweiterte D¨ ampfungsoptimum. Automatisierungstechnik at, Vol. 35 (1987), No. 7, S. 275-283 [53] Zurm¨ uhl, R. Praktische Mathematik f¨ ur Ingenieure und Physiker. Berlin, 1961

1248

Literaturverzeichnis

Stellbegrenzungen in Regelkreisen [54] Walgama, K.S.; R¨ onnb¨ ack, S.; Sternby, J. Generalization of Conditioning Technique for Anti-Windup Compensators. IEE Proceedings Part D, Vol. 139 (1992), S. 109-118. [55] Hippe, P.; Wurmthaler, C.; Glattfelder, A.D.; Schaufelberger, W. Regelung mit Stellbegrenzung. in Entwurf nichtlinearer Regelungen, Herausgeber S. Engell, Oldenbourg Verlag M¨ unchen, 1995, S. 239-264. [56] Hippe, P.; Wurmthaler, C. Systematic closed-loop design in the presence of input saturation. Automatica, Vol. 35 (1999), S. 689-695. [57] Hippe, P. Windup in Control - Its Effects and Their Prevention. Springer Verlag Heidelberg, London, New York, 2006

z-Transformation [58] Ackermann, J. Abtastregelung. Springer, Berlin, 1972 [59] Ackermann, J. Beschreibungsfunktionen f¨ ur die Analyse und Synthese von nichtlinearen Abtast-Regelkreisen. Regelungstechnik (1966), No. 14, S. 497-544 [60] Astr¨om, K.J.; Wittenmark, B. Computer controlled systems. N. S. Prentice Hall, Englewood-Chiffs, 1984 [61] F¨ollinger, O. Lineare Abtastsysteme. Oldenbourg, M¨ unchen, 1979 [62] Isermann, R. Digital control systems I und II. Springer, Berlin, 1981 [63] Jury E.I.; Schr¨ oder W. Discrete compensation of sampled data systems. Trans. AIEE, Vol. 75 (1956), Pt II. [64] Jury, E.I. Sampled-data control systems. Wiley, New-York, 1958 [65] Jury, E.I. Theory and application of the z-transform method. Wiley, New-York, 1964 [66] Leonhard, W. Diskrete Regelsysteme. Bibl. Inst, Mannheim, 1972

Literaturverzeichnis

[67] Oldenbourg, R.C.; Sartorius H. Dynamik selbstt¨ atiger Regelung. Oldenbourg, M¨ unchen, 1944 [68] Tou, J.T. Digital and sampled data control systems. McGraw-Hill, New York, 1959 [69] Zypkin, J.S. Differenzengleichungen der Impuls- und Regeltechnik. VEB-Verlag Technik, Berlin, 1956 [70] Zypkin, J.S. Theorie der linearen Impulssysteme. Oldenburg, M¨ unchen, 1967

Antriebstechnik und benachbarte Gebiete [71] Berger, T. Analyse des Spielverlaufs als Grundlage f¨ ur die Motordimensionierung. Elektrie, Vol. 28 (1974), No. 9, S. 481-484 [72] B¨odefeld, T.; Sequenz, H. Elektrische Maschinen. Springer-Verlag, Wien New York, 1971 [73] B¨ uhler, H. Einf¨ uhrung in die Theorie geregelter Drehstromantriebe. Band 1 Grundlagen, Birkh¨ auser Verlag, 1977 [74] Fischer, R. Elektrische Maschinen. Carl Hanser Verlag, M¨ unchen, 1979 [75] F¨ollinger,O. Lineare Abtastsysteme. R. Oldenbourg, M¨ unchen, Wien, 1982 [76] Gerlach, W. Halbleiter-Elektronik, Bd. 12. Thyristoren, Springer, Berlin, 1979 [77] Heumann, K.; Stumpe, C. Thyristoren, Eigenschaften und Anwendungen. B.G. Teubner, Stuttgart, 1974 [78] Hoffmann, A.; Stocker, K. Thyristor-Handbuch. Siemens AG, Berlin, M¨ unchen, 1976 [79] Laible, T. Die Theorie der Synchronmaschine im nichtstation¨ aren Betrieb. Springer Verlag, Berlin, 1952 [80] Leonhard, W. Control of Electrical Drives. Springer, Berlin, 1985

1249

1250

Literaturverzeichnis

[81] Markeffsky, G. Die Ermittlung der Anlaufzeit f¨ ur den elektromotorischen Antrieb. Zeitschrift f¨ ur Maschinenbau und Fertigung (1964), No. 7, S. 503-506 [82] Meyer, M. Elektrische Antriebstechnik. Bd. 1 u. Bd. 2, Springer, Berlin, 1987 [83] M¨ uller, G. Elektrische Maschinen. VEB-Verlag Technik, Berlin, 1982 [84] M¨ uller, R. Halbleiter-Elektronik Bd. 1. Grundlagen der Halbleiter-Elektronik Springer, Berlin, 1971 [85] M¨ uller, R. Halbleiter-Elektronik Bd. 2. Bauelemente der Halbleiter-Elektronik Springer, Berlin, 1973 [86] N.N. Meßwertaufnehmer f¨ ur den rauhen Industriealltag m & p, April 1991 [87] Pfaff, G. Regelung elektrischer Antriebe I. R. Oldenbourg, M¨ unchen, Wien, 1971 [88] Pfaff, G. Regelung elektrischer Antriebe II. R. Oldenbourg, M¨ unchen, Wien, 1982

Netzgefu ¨hrte Stromrichter: Regelung [89] B¨ uhler, E. Eine zeitoptimale Thyristor-Stromregelung unter Einsatz eines Mikroprozessors. Regelungstechnik Vol. 26 (1978), No. 2, S. 37-43 [90] Buxbaum, A. Regelung von Stromrichterantrieben bei l¨ uckendem und nicht¨ uckendem Ankerstrom. Tech. Mitt. AEG-Telefunken, Vol. 59 (1969), S. 348-352 [91] Buxbaum, A. Das Einschwingverhalten drehzahlgeregelter Gleichstromantriebe bei Soll- und Lastst¨oßen. Tech. Mitt. AEG-Telefunken, Vol. 59 (1969), No. 6, S. 353-358 [92] Buxbaum, A. Die Regeldynamik von Stromrichterantrieben in kreisstromfreier Gegenparallelschaltung. Tech. Mitt. AEG-Telefunken, Vol. 60 (1970), S. 361-365 [93] Buxbaum, A. Aufbau und Funktionsweise des adaptiven Ankerstromreglers. Tech. Mitt. AEG-Telefunken, Vol. 61 (1971), No. 7, S. 371-374

Literaturverzeichnis

1251

[94] Buxbaum, A. Spezielle Regelungsschaltungen der industriellen Antriebstechnik. Regelungstechn. Praxis (1974), No. 10, S. 255-262 [95] D¨orrscheidt, F. Entwurf auf endliche Einstellzeit bei linearen Systemen mit ver¨ anderlichen Parametern. Regelungstechnik (1976), No. 3, S. 89-96 [96] Fallside, F.; Farmer, A.R. Ripple Instability in Closed Loop Control Systems with Thyristor Amplifiers. IEE Proceedings, Vol. 114 (1967), S. 139-152 [97] Fieger, K. Zum dynamischen Verhalten thyristorgespeister Gleichstrom-Regelantriebe. ETZ-Archiv, Vol. 90 (1969), No. 13, S. 311-316 [98] F¨ollinger, D. Entwurf zeitvarianter Systeme durch Polvorgabe. Regelungstechnik (1978), No. 6, S. 189-196 [99] Goldfarb, L.C. ¨ Uber einige nichtlineare Ph¨ anomene in Regelungssystemen. Avtomatika i Telemekhanica (1947), No. 8, S. 349-383 [100] Hayashi, C. Nonlinear Oscillations in Physical Systems. McGraw-Hill, New York, 1964 [101] J¨otten, R. Regelkreise mit Stromrichtern. AEG-Mitt.; Vol. 48 (1958), No. 11/12, S. 613-621 [102] J¨otten, R. Die Berechnung einfach und mehrfach integrierender Regelkreise der Antriebstechnik. AEG-Mitt.; Vol. 59 (1969), S. 331-336 [103] Kennel, R. Pr¨ adiktives F¨ uhrungsverfahren f¨ ur Stromrichter. Dissertation, Univ. Kaiserslautern, 1984 [104] Kessler, C. ¨ Uber die Vorausberechnung optimal abgestimmter Regelkreise — Teil III. Die optimale Einstellung des Reglers nach dem Betragsoptimum. Regelungstechnik, Vol. 3 (1955), No. 2, S. 40-49 [105] Kessler, C. Das symmetrische Optimum. Regelungstechnik, Vol. 6 (1958), No. 11, S. 359-400 und No. 12, S. 432-436 [106] Kiendl, H. Kompensation von Beschr¨ ankungseffekten in Regelsystemen durch antizipierende Korrekturglieder. Regelungstechnik, Vol. 21 (1973), No. 8, S. 267-269 [107] Kochenburger, R.J. A Frequency Response Method for Analyzing and Synthetisizing Contactor Servomechanism. Transactions AIEE, Vol. 69 (1950), S. 270-284

1252

Literaturverzeichnis

[108] K¨ ummel, K. Einfluß der Stellgliedeigenschaften auf die Dynamik von Drehzahlregelkreisen mit unterlagerter Stromregelung. Regelungstechnik, Vol. 13 (1965), No. 5, S. 227-234 [109] Leonhard, W. ¨ Regelkreise mit symmetrischer Ubertragungsfunktion. Regelungstechnik (1965), No. 1, S. 4-12 [110] Louis, J.-P.; El-Hefnawy Stability Analysis of a Second-Order Thyristor Device Control System. IEEE Trans. on Industrial Electronics and Control Instrumentation, Vol. IECI-25 (1978), No. 3, S. 270-277 [111] Moore, A.W. Phase-locked loops for motor speed control. IEEE Spectrum, 1973, S. 61-67 [112] Raatz, E. Betrachtungen zur Dynamik eines drehzahlgeregelten Antriebs mit kreisstromfreier Gegenparallelschaltung. Techn. Mitt. AEG-Telefunken, Vol. 60 (1970), No. 6, S. 365-368 [113] Raatz, E. Drehzahlregelung eines stromrichtergespeisten Gleichstrommotors mit schwingungsf¨ ahiger Mechanik. Techn. Mitt. AEG-Telefunken, Vol. 60 (1970), No. 6, S. 369-372 [114] Riemekasten, K. Bestimmung der dynamischen Eigenschaften des Stromregelkreises von Stromrichtern im Strom-L¨ uckbereich. Elektrie, Vol. 32 (1978), No. 8, S. 420-422 [115] Schr¨ader, A. Eine neue Schaltung zur Kreisstromregelung in Stromrichteranlagen. ETZ-A, Vol. 90 (1969), No. 14, S. 331-336 [116] Schr¨oder, D. Untersuchung der dynamischen Eigenschaften von Stromrichterstellgliedern mit nat¨ urlicher Kommutierung. Dissertation, TH Darmstadt, 1969 [117] Schr¨oder, D. Aus der Forschung: “Die dynamischen Eigenschaften von StromrichterStellgliedern mit nat¨ urlicher Kommutierung“. ETZ-A, Vol. 91 (1970) , No. 4, S. 242-243 [118] Schr¨oder, D. Dynamische Eigenschaften von Stromrichter-Stellgliedern mit nat¨ urlicher Kommutierung. Regelungstechnik und Prozeß-Datenverarbeitung, Vol.19 (1971), S. 155-162 [119] Schr¨oder, D. Analysis and Synthesis of Automatic Control Systems with Controlled Converters. 5. IFAC Congress, Paris, 1972, session 22.1, S. 1-8

Literaturverzeichnis

1253

[120] Schr¨oder, D. Theoretische und praktische Grenzen der Regeldynamik von Regelkreisen mit Stromrichter-Stellgliedern. 3rd Conference on Electricity, Bukarest III, 1972, section CZ 621.314, S. 1-24 [121] Schr¨oder, D. Adaptive Control of Systems with Controlled Converters. 3rd IFAC-Symposium on Sensitivity, Adaptivity and Optimality, 1973, S. 335342 [122] Schr¨oder, D. Einsatz adaptiver Regelverfahren bei Regelkreisen mit Stromrichter-Stellgliedern. VDI/VDE Gesellschaft f¨ ur Meß- und Regelungstechnik — Industrielle Anwendung adaptiver Systeme, 1973, S. 81-97 [123] Schr¨oder, D. Grenzen der Regeldynamik von Regelkreisen mit Stromrichter-Stellgliedern. Regelungstechnik und Prozeß-Datenverarbeitung, Vol. 21 (1973), No. 10, S. 322-329 [124] Schr¨oder, D.; Gr¨ utzmacher, B.; Werner, R. Die Gleichstrom-Hauptantriebe einer zweiger¨ ustigen Dressierstraße. BBC-Nachrichten (1981), No. 3, S. 106-115 [125] Schr¨oder, D.; Kennel, R. A new control strategy for converters. CONUMEL, Toulouse, 1983, I-25, S. 25-31 [126] Schr¨oder, D.; Kennel, R. Predictive Control Strategy for Converters. Control in Power Electronics and Electrical Drives Lausanne, 1983, S. 415-422 [127] Schr¨oder, D.; Kennel, R. Model-Control PROMC — A New Control Strategy with Microcomputer for Drive Applications. Industry Applications Society-Meeting, Chicago, 1984, S. 834-839 [128] Schr¨oder, D.; Kennel, R. Modell-F¨ uhrungsverfahren zur optimalen Regelung von Stromrichtern. Regelungstechnik (1984), No. 11, S. 359-365 [129] Schr¨oder, D.; Warmer, H. An Improved Method of Predictive Control for Line Commutated DC-Drives. ICEM-Conference, M¨ unchen, 1986 [130] Schr¨oder, D.; Warmer, H. New Precalculating Current Controller for DC Drives. EPE 87, Grenoble, 1987, S. 659-664 [131] Schr¨oder, D. Model Based Predictive Control for Electrical Drives — Integrated Design and Practical Results. ESPRIT-CIM Workshop on Computers Integrated Design of Controlled Industrial Systems. Paris, 1990, S. 112-124 [132] Schr¨oder, D.; Warmer, H. Predictive Speed and Current Control for DC Drives. EPE 91, Florenz, 1991, S. 2-108-113

1254

Literaturverzeichnis

[133] Schr¨oder, D. Digital control strategies for drives. First European Control Conference ECC, Grenoble, 1991, WP 5, S. 1111-1116 [134] Schr¨oder, D. ISPE, Seoul, 1992, S. 486-495 [135] Seefried, E. Stromregelung im L¨ uckbereich von Stromrichter-Gleichstromantrieben. Elektrie, Vol. 30 (1976), No. 4, S. 185-187 [136] Tustin, A. The Effects of Backlash and Speed-Dependent Friction on the Stability of Closed-Loop Control Systems. Journal IEE, Vol. 94 (1947), S. 143-151 [137] Vogel, J. ¨ Das station¨ are Kennlinienverhalten von Thyristorstellgliedern beim Ubergang vom nichtl¨ uckenden in den l¨ uckenden Strombereich. Elektrie, Vol. 27 (1973), No. 8, S. 410-413 [138] Weihrich, G. Drehzahlregelung von Gleichstromantrieben unter Verwendung eines Zustandsund St¨ orgr¨oßen-Beobachters. Regelungstechnik, Vol. 26 (1978), No. 11, S. 349-355 und No. 12, S. 392-397 [139] West, J.C.; Douce, J.L.; Livesley, R.K. The Dual-Input Describing Function and its Use in the Analysis of NonlinearFeedback Systems. ibidem, 1956, S. 463-473

Direktumrichter [140] Akagi, H.; et al. Improvement of Cycloconverter Power Factor via Unsymmetric Triggering Method. Electr. Engineering in Japan, Vol. 96 (1976), No. 1, S. 88-94 [141] Barton, T.H.; Hamblin, T.M. Cycloconverter Control Circuits. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-8 (1972), No. 4, S. 443-453 [142] Bayer, K.H. Field oriented Closed-Loop Control of a Synchronous Machine with the new Transvektor Control System. Siemens Rev.; Vol. 34 (1972), S. 220-223 [143] Bayer, K.H.; Waldmann, H.; Weibelzahl, M. Die Transvektorregelung f¨ ur den feldorientierten Betrieb der Synchronmaschine. Siemens-Z.; Vol. 45 (1971), S. 765-768 [144] Fink, R.; Grumbrecht, P.; Rautz, E. Steuerung und Regelung von direktumrichtergespeisten Synchronmaschinen. Techn. Mitt. AEG-Telefunken (1981), No. 112, S. 55-60

Literaturverzeichnis

1255

[145] Gyugyi, L.; Pelly, B.R. Static Power Frequency Changer. Johan Wiley & Sons, New York, London, Sydney, Toronto, 1976 [146] Hab¨ock, A. Antriebe mit stromrichtergespeisten Synchronmaschinen. Neue Technik 16, 1974, S. 83-108 [147] McMurray, W. The Theory and Design of Cycloconverters. The MIT-Press, 1972 [148] M¨oltgen, G.; Salzmann, T. Leistungsfaktor und Stromoberschwingungen beim Direktumrichter am Drehstromnetz. Siemens Forsch.- und Entwickl.-Berichte, Vol. 7 (1976), No. 3, S. 124-131 [149] Okayama, T.; et al. (Hitachi) Cycloconverter-fed Synchronous Motordrive for Steel Rolling Mill. Industry Applications Society-Konferenz, 1978, S. 820-827 [150] Pelly, B.R. Thyristor Phase-Controlled Converters and Cycloconverters. J. Wiley & Sons, New York, 1971 [151] Salzmann, T. Direktumrichter und Regelkonzept f¨ ur getriebelosen Antrieb von Rohrm¨ uhlen. Siemens-Z.; Vol. 51 (1977), S. 416-422 [152] Salzmann, T. Leistungs- und Oberschwingungsverh¨ altnisse beim netzgef¨ uhrten Direktumrichter. ETG-Fachber. 6, 1980, S. 87-102 [153] Salzmann, T.; Wokusch, H. Direktumrichterantrieb f¨ ur große Leistungen und hohe dynamische Anforderungen. Siemens-Energietechnik, Vol. 2 (1980), S. 409-413 [154] Schr¨oder, D. The Cycloconverter at Increased Output Frequency. International Semiconductor Power Converter Conference, IEEE, USA, 1977, S. 262-269 [155] Shin, D.H.; Cho, G.H.; Park, S.B. Improved PWM Method of Forced Commutated Cycloconverters. IEE Proceedings Part B, Vol. 136 (1989), No. 3, S. 121-126 [156] Slonim, M.A.; Biringer, P.P. Harmonics of Cycloconverter Voltage Waveform (New Method of Analysis). IEEE Trans. on Industrial Electronics and Control Instrumentation, Vol. IECI-27 (1980), No. 2, S. 53-56 [157] Sp¨ath, H. Analyse der Ausgangsspannung des gesteuert betriebenen Direktumrichters mit Hilfe von Ortskurven. Archiv f¨ ur Elektrotechnik, Vol. 62 (1980), S. 167-175

1256

Literaturverzeichnis

[158] Sp¨ath, H.; S¨ ohner, W. Der selbstgef¨ uhrte Direktumrichter als Stellglied f¨ ur Drehstrommaschinen. Archiv f¨ ur Elektrotechnik, Vol. 71 (1988), S. 441-450 [159] Steinfels, M. Drehzahlgeregelter Drehstromasynchronmotor mit Kurzschlußl¨ aufer und symmetrierten Direktumrichter. Elektrie, Vol. 31 (1977), No. 8, S. 415-417 [160] Terens, L.; Bommeli, J.; Peters, K. Der Direktumrichter-Synchronmotor. Brown Boveri Mitt. (1982), No. 4/5, S. 122-132 [161] Therme, P.; Rooy, G. A Digital Solution for the Bank Selection Problem in Cycloconverters. Budapest, Bereich 1,6, 1975/76, S. 1-10

Untersynchrone Kaskade (USK) [162] Albrecht, S.; Gahlleitner, A. Bemessung des Drehstrom-Asynchronmotors in einer untersynchronen Stromrichterkaskade. Siemens-Z.; Vol. 40 (1966), Beiheft, S. 139-146 [163] Bauer, F. Die doppeltgespeiste Maschinenkaskade als feldorientierter Antrieb. Dissertation, Univ. Karlsruhe, 1986 [164] Becker, O. Betriebsverhalten und Schaltungen untersynchroner Stromrichterkaskaden. Elektro-Anzeiger, Vol. 29 (1976), No. 6/7, S. 3-9 [165] Elger, H. Untersynchrone Stromrichter-Kaskade als drehzahlregelbarer Antrieb f¨ ur Kesselspeisepumpen. Siemens-Z.; Vol. 42 (1968), No. 4, S. 308-310 [166] Golde, E. Asynchronmotor mit elektrischer Schlupfregelung. AEG Mitt.; Vol. 54 (1964), No. 11/12, S. 666-671 [167] Kleinrath, H. Pendelmomente der USK beim Schlupf s=1/6. ETZ-A, Vol. 98 (1977), No. 1, S. 115 (Forschungsdienst) [168] Kusko, A. Speed Control of a single-frame cascade induction motor with slip-power pump back. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-14 (1978), S. 97-105 [169] Meyer, M. ¨ Uber die untersynchrone Stromrichterkaskade. ETZ-A, Vol. 82 (1961), No. 19, S. 589-596 [170] Mikulaschek,F. Die Ortskurven der untersynchronen Stromrichterkaskade. AEG-Mitt.; Vol. 52 (1962), No. 5/6, S. 210-219

Literaturverzeichnis

1257

[171] Polasek, H. Ermittlung der Auswirkungen von Netzst¨ orungen auf die L¨ auferspannung einer Stromrichterkaskade. ELIN-Zeitschrift, Vol. 23 (1971), S. 10-17 [172] Safacas, A. Berechnung der elektromagnetischen Gr¨ oßen einer Asynchronmaschine mit Schleifringl¨ aufer und Stromrichtern. ETZ-A, Vol. 93 (1972), No. 1, S. 16-20 [173] Sch¨onfeld,R. Die Untersynchrone Kaskade als Regelantrieb. messen steuern regeln, Vol. 10 (1967), No. 11, S. 411-417 [174] Schr¨oder, D. Die untersynchrone Stromrichter-Kaskade. GMR-Jahrestagung, 1976, S. 90-97

Stromrichtermotor [175] Canay, M. Ersatzschemata der Synchronmaschine sowie Vorausberechnung der Kenngr¨ oßen mit Beispielen. Dissertation, EPUL Lausanne, 1968 [176] Cornell, E.P.; Novotny, D.W. Commutation by Armature Induced Voltages in Self-Controlled Synchronous Machines. IEEE Industry Applications Society Conference, 1973, S. 760-766 [177] Depenbrock, M. Fremdgef¨ uhrte Zwischenkreisumrichter zur Speisung von Stromrichtermotoren mit sinusf¨ ormigen Anlaufstr¨ omen. ETZ-A, Vol. 87 (1966), No. 26, S. 945-951 [178] F¨ohse, W.; Weis, M. AEG-Reihe der BL-Motoren f¨ ur den mittleren Leistungsbereich. Techn. Mitt. AEG-Telefunken, Vol. 67 (1977), No. 1, S. 16-19 [179] G¨olz, G.; Gumbrecht, P. Umrichtergespeiste Synchronmaschine. Techn. Mitt. AEG-Telefunken, Vol. 63 (1973), No. 4, S. 141-148 [180] G¨olz, G.; Gumbrecht, P.; Hentschel, F. ¨ Uber neue Betriebsarten der Stromrichtermaschine synchroner Bauart. Wiss. Ber. AEG-Telefunken, Vol. 48 (1975), No. 4, S. 170-180 [181] Imai, K. New Applications of Commutatorless Motor Systems for Starting Large Synchronous Motors. IEEE/Industry Applications Society Conference, Florida, 1977 [182] Issa, N.A.H.; Williamson, A.C. Control of a Naturally Commutated Inverter-fed Variable-speed Synchronous Motor. Electric Power Applications, Vol. 2 (1979), No. 6, S. 199-204

1258

Literaturverzeichnis

[183] K¨ ubler, E. Der Stromrichtermotor. ETZ-A, Vol. 79 (1958), No. 15, S. 20-21 [184] Labahn, D. Untersuchung an einem Stromrichtermotor in 6- und 12-pulsiger Schaltung mit ruhender Steuerung der Stromrichterventile. Dissertation, TH Braunschweig, 1961 [185] Leder, H.W. Beitrag zur Berechnung der station¨aren Betriebskennlinien von selbstgesteuerten Stromrichter-Synchronmotoren. E und M, Vol. 94, No. 3, S. 128-132 [186] Leder, H.W. Digitales Steuerger¨ at f¨ ur selbstgesteuerte Stromrichter-Synchronmotoren mit verstellbarem Steuerwinkel. ETZ-A, Vol. 97 (1976), No. 10, S. 614-615 [187] Leitgeb, W. Die Maschinenausnutzung von Stromrichtermotoren bei unterschiedlichen Phasenzahlen und Schaltungen. Archiv f¨ ur Elektrotechnik, Vol. 57 (1975), S. 71-84 [188] L¨ utkenhaus, H.J. Drehmoment-Oberschwingungen bei Stromrichter-Motoren. Techn. Mitt. AEG-Telefunken, Vol. 48 (1975), No. 6, S. 201-204 [189] Maurer, F. Stromrichtergespeiste Synchronmaschine als Vierquadrant-Regelantrieb. Dissertation, TU Braunschweig, 1975 [190] Naunin, D. Die Darstellung des dynamischen Verhaltens der Synchronmaschine durch VZ1-Glieder. ETZ-A, Vol. 95 (1974), No. 6, S. 333-338 [191] Ostermann, H. Der fremdgesteuerte Stromrichtersynchronmotor mit steuerbarer Drehzahl. Dissertation, TU Stuttgart, 1961 [192] Ostermann, H. Der fremdgesteuerte Stromrichtersynchronmotor. Archiv f¨ ur Elektrotechnik, Vol. 48 (1963), No. 3, S. 167-189 [193] Pannicke, J.; G¨ olz, G. Simulation zur Schonzeitregelung einer stromrichtergespeisten Synchronmaschine. ETZ-A, Vol. 99 (1978), No. 3, S. 138-141 [194] Perret, R.; Jakubowitz, A.; Nougaret, M. Simplified Model and Closed-Loop Control of a Commutatorless DC-Motor. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-16 (1980), No. 2, S. 165-172 [195] Saupe, R.; Senger, K. Maschinengef¨ uhrter Umrichter zur Drehzahlregelung von Synchronmaschinen. Techn. Mitt. AEG, Vol. 67 (1977), S. 20-25

Literaturverzeichnis

1259

[196] Saupe, R. Die drehzahlgeregelte Synchronmaschine — optimaler Leistungsfaktor durch Einsatz einer Schonzeitregelung. ETZ, Vol. 102 (1981), No. 1, S. 14-18 [197] St¨ohr, M. Die Typenleistung kollektorloser Stromrichtermotoren bei der einfachen Sechsphasenschaltung. Archiv f¨ ur Elektrotechnik Bd. XXXII (1938), No. 11, S. 691-720 [198] Vogelmann, H. Die permanentenerregte stromrichtergespeiste Synchronmaschine ohne Polradlagegeber als drehzahlgeregelter Antrieb. Dissertation, Univ. Karlsruhe, 1986

Stromzwischenkreis-Umrichter (I-Umrichter) [199] Blumenthal, M.K. Current-Source Inverter with low Speed Pulse Operation. IEE Symposium, London, 1977, S. 88-91 [200] Bowes, S.R.; Bullough, R. Fast Modelling Techniques for Microprocessorbased Optimal Pulse-WidthModulated Control of Current-fed Inverter Drives. IEE Proceedings Part B, Vol. 131 (1984), S. 149-158 [201] Bowes, S. R.; Bullough, R. PWM Switching Strategies for Current-fed Inverter Drives. IEE Proceedings Part B, Vol. 131 (1984), S. 195-202 [202] Bystron, K. Strom- und Spannungsverh¨ altnisse beim Drehstrom-Drehstrom-Umrichter mit Gleichstromzwischenkreis. ETZ-A, Vol. 87 (1966), No. 8, S. 264-271 [203] Espelage, P.M.; Nowak, J.M.; Walker, L.H. Symmetrical FTO-Current Source Inverter for Wide Speed Range Control of 2300 to 4160 Volt, 350 to 7000 Hp, Induction Motors. IEEE Industry Applications Society, Vol. I, 1988, S. 302-306 [204] Fukuda, S.; Hasegawa, H. Current Source Rectifier/Inverter System with Sinusoidal Currents. IEEE Industry Applications Society, Vol. I, 1988, S. 909-914 [205] Hintze, D. Asynchroner Vierquadranten-Drehstromantrieb mit Stromzwischenkreisumrichter und oberschwingungsarmen Maschinengr¨ oßen. Dissertation, TU M¨ unchen, 1993 [206] Hombu, M.; Veda, A.; Matsuda, Y. A New Current Source GTO Inverter with Sinusoidal Output Voltage and Current. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-21 (1985), S. 1192-1198

1260

Literaturverzeichnis

[207] Hombu, M.; et al. A Current Source GTO Inverter with Sinusoidal Inputs and Outputs. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-23 (1987), No. 2, S. 247-255 [208] Lienau, W.; M¨ uller-Hellmann, A. M¨oglichkeit zum Betrieb von stromeinpr¨ agenden Wechselrichtern ohne niederfrequente Oberschwingungen. ETZ-A, Vol. 97 (1976), S. 663-667 [209] Lienau, W. Torque Oscillations in Traction Drives with Current Fed Asynchronous Machines. Electrical Variable Speed Drives“ Conf.; 1979, S. 102-107 ” (siehe Beitrag Blumenthal, M. K.) [210] M¨oltgen, G. Simulationsuntersuchung zum Stromrichter mit Phasenfolgel¨ oschung. Siemens Forsch.- u. Entwickl.-Berichte, Vol. 12 (1983), S. 166-175 [211] Nonaka, S.; Neba, Y. New GTO Current Source Inverter with Pulsewidth Modulation Control Techniques. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-22 (1986), S. 666-672 [212] Nonaka, S.; Neba, Y. A PWM Current Source Type Converter — Inverter System for Bidirectional Power Flow. IEEE Industry Applications Society, Vol. I, 1988, S. 296-301 [213] Schierling, H.; Weß, T. Netzr¨ uckwirkungen durch Zwischenharmonische von Strom-Zwischenkreisumrichtern f¨ ur drehzahlgeregelte Asynchronmotoren. ETZ Archiv, Vol. 9 (1987), No. 7, S. 219-223 [214] Schr¨oder, D. Selbstgef¨ uhrter Stromrichter mit Phasenfolgel¨ oschung und eingepr¨agtem Strom. ETZ-A, Vol. 96 (1975), S. 520-523 [215] Schr¨oder, D.; Moll, K. Applicable Frequency Range of Current Source Inverters. 2nd IFAC Symposium, 1977, S. 231-234 [216] Schr¨oder, D.; Niermeyer, O. Current Source Inverter with GTO-Thyristors and Sinusoidal Motor Currents. ICEM-Conference, M¨ unchen, 1986, S. 772-776 [217] Schr¨oder, D.; Hintze, D. Four Quadrant AC-Motor Drive with a GTO Current Source Inverter with Low Harmonics and On Line Optimized Pulse Pattern. IPEC 90, Tokyo, Japan, 1990, S. 405-412 [218] Schr¨oder, D.; Hintze, D. PWM Current Source Inverter with On-Line-Optimized Pulse Pattern Generation for Voltage and Current Control. CICEM 91, Wuhan, China, 1991, S. 189-192

Literaturverzeichnis

1261

[219] Schr¨oder, D.; Hintze, D. Induction Motor Drive with Intelligent Controller and Parameter Adaption. IEEE Industry Applications Society, Houston, USA, 1992, S. 970-977 [220] Weninger, R. Verfahren zur dynamisch richtigen Steuerung des Flusses bei der Drehzahlregelung von Asynchronmaschinen mit Speisung durch Zwischenkreisumrichter mit eingepr¨ agtem Strom. ETZ Archiv (1979), No. 12, S. 341-345 [221] Weschta, A. Stromzwischenkreisumrichter mit GTO. ETG Fachber. 23, 1988, S. 315-332

Spannungszwischenkreis-Umrichter (U-Umrichter) [222] Abraham, L.; Heumann, K.; Koppelmann, F. Wechselrichter zur Drehzahlsteuerung von K¨ afigl¨ aufermotoren. AEG-Mitt.; Vol. 54 (1964), No. 1/2, S. 89-106 [223] Abraham, L.; Heumann, K.; Koppelmann, F. Zwangskommutierte Wechselrichter ver¨ anderlicher Frequenz und Spannung. ETZ-A, Vol. 86 (1965), No. 8, S. 268-274 [224] Abraham, L.; Heumann, K.; Koppelmann, F.; Patzschke, U. Pulsverfahren der Energieelektronik elektromotorischer Antriebe. VDE-Fachber. 23, 1964, S. 239-252 [225] Adams, R.D.; Fox, R.S. Several Modulation Techniques for a Pulswidth Modulated Inverter. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-8 (1972), No. 5, S. 584-600 [226] Beck, H.P.; Michel, M. Spannungsrichter — ein neuer Umrichtertyp mit nat¨ urlicher Gleichspannungskommutierung. ETZ Archiv, Vol. 3 (1981), No. 12, S. 427-432 [227] B¨ uhler, H. Umrichtergespeiste Antriebe mit Asynchronmaschinen. NT 4, 1974, S. 121-139 [228] Bystron, K. Umrichter mit ver¨ anderlicher Zwischenkreisspannung zur Drehzahlsteuerung von Drehfeldmaschinen. Tagung Stromrichtergespeiste Drehfeldmaschinen“, 1967, TH Darmstadt ” [229] Daum, D. Unterdr¨ uckung von Oberschwingungen durch Pulsbreitensteuerung. ETZ-A, Vol. 93 (1972), No. 9 [230] Depenbrock, M. Pulse Width Control Of A 3-Phase Inverter With Non-Sinusoidal Phase Voltages. IEEE Industry Applications Society, International Semiconductor Power Converter Conference, S. 399-403, Orlando, Florida USA, 1977

1262

Literaturverzeichnis

[231] Ettner, N. u.a. Netzr¨ uckwirkungen umrichtergespeister Drehstromantriebe. ETZ, Vol. 109 (1988), No. 14, S. 626-629 [232] Kafo, T.; Miyao, K. Modified Hysteresis Control with Minor Loops for Single-Phase Full-Bridge Inverters. IEEE Industry Applications Society, Vol. I, 1988, S. 689-693 [233] Lipo, T.A. Recent Progress in the Development of Solid-State AC Motor Drives. IEEE Trans. on Power Electronics, Vol. PE-3 (1988), No. 2, S. 105-117 [234] Matsuda, Y.; et al. Development of PWM Inverter Employing GTO. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-19 (1983), No. 3, S. 335-342 [235] McMurray, W.; Shattuck, D.P. A Silicon-Controlled Rectifier with Improved Commutation. AIEE Trans.; Vol. 80 (1961), Teil I, S. 531-542 [236] Meyer, M. Beanspruchung von Thyristoren in selbstgef¨ uhrten Stromrichtern. Siemens-Z. (1965), No. 5, S. 495-501 [237] Nestler, J.; Tzivelekas, I. Kondensator-L¨ oschschaltung mit L¨ oschthyristor-Zweigpaar nach McMurray. Teil I: Beschreibung der L¨ oschvorg¨ ange. ETZ Archiv, Vol. 6 (1984), No. 2, S. 45-50; Teil II: Analyse der L¨ oschvorg¨ ange. ETZ Archiv, Vol. 6 (1984), No. 3, S. 83-90 [238] Penkowski, L.J.; Pruzinsky, K.E. Fundamentals of a Pulsewidth Modulated Power Circuit. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-8 (1972), No. 5, S. 584-600 [239] Pollack, J.J. Advanced Pulsewidth Modulated Inverter Techniques. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-8 (1972), No. 2, S. 145-154 [240] Salzmann, T.; Weschta, A. Progress in Voltage Source Inverters (VSIs) and Current Source Inverters (CSIs) with Modern Semiconductor Devices. IEEE Industry Applications Society Conf. Rec.; 1987, S. 577-583 [241] Steimel, A. GTO-Umrichter im Spannungszwischenkreis. ETG Fachber. 23, 1988, S. 333-341

Literaturverzeichnis

1263

Regelung von Asynchron- und Synchronmaschine [242] Akiyama, M.; Kobayashi, K.; Miki, I.; El-Sharkawi, M. Auto Tuning Method for Vector Controlled Induction Motor Drives. IPEC, Yokohama, 1995, S. 789-794. [243] Albrecht, P.; Schlegel, T.; Siebert, J. Digitale Steuerung und Regelung f¨ ur Stromrichterantriebe. Energie & Automation 9, Special Drehzahlver¨ anderbare elektr. Großantrie” be“, 1987,S. 66-75 [244] Bae, B.-H.; Patel, N.; Schulz, S.; Sul, S. K. New Field Weakening Technique for High Saliency Interior Permanent Magnet Motor Industry Applications Conference, 38th Industry Applications Society Annual Meeting, S. 898-904, 2003 [245] Basler, S.; Kennel, R. New developments in capacitive/electrical encoders for servo drives. International Symposium on Power Electronics, Electrical Drives, Automation and Motion (SPEEDAM), Ischia, Italy, June 11-13, 2008 [246] Bauer, F.; Heining, H.-D. Quick Response Space Vector Control for a High Power Three Level Inverter Drive. EPE, Aachen, 1989, S. 417-421 [247] Binder, A. Untersuchung zur magnetischen Kopplung von L¨ angs- und Querachse durch S¨ attigung am Beispiel der Reluktanzmaschine. Archiv f¨ ur Elektrotechnik, Vol. 72 (1989), S. 227-282 [248] Blaschke, F. Das Prinzip der Feldorientierung, die Grundlage f¨ ur die Transvektor-Regelung von Drehfeldmaschinen. Siemens-Z.; Vol. 45 (1971), S. 757-760 [249] Blaschke, F. Das Verfahren der Feldorientierung zur Regelung der Asynchronmaschine. Siemens Forsch.- und Entwickl.-Berichte (1972), S. 184-193 [250] Blaschke, F. Das Verfahren der Feldorientierung zur Regelung der Drehfeldmaschine. Dissertation, TU Braunschweig, 1974 [251] Blaschke, F.; Bayer, K. H. Die Stabilit¨ at der feldorientierten Regelung von Asynchronmaschinen. Siemens Forsch.- u. Entwicklg.-Berichte, Vol. 7 (1978), No. 2, S. 77-81 [252] Blaschke, F.; Str¨ ole, D. Einsatz von Transformationen zur Entflechtung elektrischer Antriebsregelstrecken. Ansprachetag Systeme mit verteilten Parametern und modale Regelung“, ” 1973

1264

Literaturverzeichnis

[253] Boldea, I.; Nasar, S. A. Vector Control of AC Drives. CRC Press, 1992 [254] Boldea, I.; Nasar, S. A. Electric Machine Dynamics. Machmillan Publishing Company A Division of Macmillan, Inc.; New York, 1986 [255] Bonfert, K. Betriebsverhalten der Synchronmaschine. Springer-Verlag, Berlin, G¨ ottingen, Heidelberg, 1962 [256] Bosga, S.; de la Parra, H. Z. Field-weakening control of an interior permanent magnet motor for application in electric vehicles EPE, Lausanne, Schweiz, 1999 [257] Bowes, S. R. Development in PWM Switching Strategies for Microprocessor-Controlled Inverter Drives. IEEE Industry Applications Society Conf. Rec.; 1987, S. 323-329 [258] Burke, J.; Moynihan, J. F.; Unterkofler, K. Interface techniques to sinusoidal encoders. PCIM Europe, 2000, S. 64-69 [259] Depenbrock, M. Direkte Selbstregelung (DSR) f¨ ur hochdynamische Drehfeldantriebe mit Stromrichterspeisung. ETZ-Archiv, Vol. 7 (1985), No. 7 [260] Depenbrock, M. Direct Self Control (DSC) of inverter fed induction machines. IEEE Trans. on Power Electronics (1988), S. 420-429 [261] Depenbrock, M. Direct self-control of the flux and rotary moment of a rotary-field machine. U.S. Patent 4,678,248 [262] Depenbrock, M.; Skrotzki, T. Drehmomenteinstellung im Feldschw¨ achbereich bei stromrichtergespeisten Drehfeldantrieben mit direkter Selbstregelung. ETZ-Archiv, Vol. 9 (1987), No. 1, S. 3-8 [263] Depenbrock, M.; Klaes, N. R. Determination of the Induction Machine Parameters and their Dependencies on Saturation. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting, 1989, Conference Record, S. 17-22 [264] Drabarek, P.; Kennel, R. Are Interferometric Encoders a Reasonable Alternative in Servo Drive Applications ? IET International Conference on Power Machines and Drives PEMD, York/UK, April 2-4, 2008

Literaturverzeichnis

1265

[265] Eichmann, D.; Neuffer, I.; Sarioglu, M. K. Ein Simulator zum Nachbilden von Synchronmaschinen. Siemens-Z.; Vol. 42 (1968), No. 9, S. 780-783 [266] Fl¨oter, W.; Ripperger, H. Die Transvektor-Regelung f¨ ur den feldorientierten Betrieb einer Asynchronmaschine. Siemens-Z.; Vol. 45 (1971), S. 761-764 [267] Fl¨ ugel, W. Erweitertes Verfahren zur dynamisch richtigen Steuerung des Flusses bei der Drehzahlregelung von umrichtergespeisten Asynchronmaschinen. ETZ-A, Vol. 98 (1978), No. 4, S. 185-188 [268] Fl¨ ugel, W. Steuerung des Flusses von umrichtergespeisten Asynchronmaschinen ¨ uber Entkopplungsnetzwerke. ETZ Archiv, Vol. 1 (1979), No. 12, S. 347-350 [269] Fl¨ ugel, W. Drehzahlregelung der spannungsumrichtergespeisten Asynchronmaschine im Grunddrehzahl- und im Feldschw¨achbereich. ETZ Archiv, Vol. 4 (1982), No. 5, S. 143-150 [270] Fl¨ ugel, W. Drehzahlregelung umrichtergespeister Asynchronmaschinen bei Steuerung des Flusses durch Entkopplungnetzwerke Dissertation, TU M¨ unchen, 1981 [271] Gabriel, R.; Leonhard, W.; Norby, C. Regelung der stromrichtergespeisten Drehstrom-Asynchronmaschine mit einem Mikrorechner. Regelungstechnik 27, 1979, S. 379-386 [272] Gabriel, R. Mikrorechnergeregelte Asynchronmaschine, ein Antrieb f¨ ur hohe dynamische Anforderungen. Regelungstechnik, Vol. 32 (1984), No. 1, S. 18-26 [273] Garces, L. J. Parameter Adaption for the Speed-Controlled Static AC Drive with a SquirrelCage Induction Motor. IEEE Trans. on Industrial Applications, Vol.I, 1-16, 1980, S. 173-187 [274] Gorter, R. J.; van den Bosch, P. P. J.; Weiland, S. Simultaneous Estimation of Induction Machine Parameters and Velocity. Proc. IEEE PESC 95, Atlanta, 1995, S. 1295-1301 [275] Gorter, R. J. Grey-box Identification of Induction Machines. Ph.D. Thesis TU Einhoven, 1997 [276] Habetler, T. G. A Space Vector-Based Rectifier Regulator for AC/DC/AC Converters. IEEE Trans. on Power Electronics, Vol. PE-8 (1993), No. 1, S. 30-36

1266

Literaturverzeichnis

[277] Hasse, K. Zur Dynamik drehzahlgeregelter Antriebe und stromrichtergespeisten Asynchron-Kurzschlußl¨ aufermaschinen. Dissertation, TH Darmstadt, 1969 [278] Heinemann, G.; Leonhard, W. Self-Tuning Field Oriented Control of an Induction Motor Drive. IPEC Tokyo/Japan, Conf. Rec. Vol. 1, 1990, S. 465-472 [279] Heintze, K.; Tappeiner, H.; Weibelzahl, M. Pulswechselrichter zur Drehzahlsteuerung von Asynchronmaschinen. Siemens-Z. (1971), S. 154-161 [280] Heumann, K.; Jordan, K. G. Das Verhalten des K¨afigl¨ aufermotors bei ver¨ anderlicher Speisefrequenz und Stromregelung. AEG-Mitt.; Vol. 54 (1964), No. 1/2, S. 107-116 [281] Hosemann, G. Gr¨oßenrichtiges Ersatzschaltbild des Synchronmaschinenl¨ aufers und seine experimentelle Ermittlung. ETZ-A, Vol. 88 (1967), S. 333-339 [282] Jenni, F.; W¨ ust, D. Steuerverfahren f¨ ur selbstgef¨ uhrte Stromrichter. VDF Hochschulverlag AG an der ETH Z¨ urich und B.G. Teubner Stuttgart, 1995 [283] Kamiya, M. Development of Traction Drive Motors for the Toyota Hybrid System IPEC, Niigata, Japan, 2005 [284] Kano, Y.; Kosaka, T.; Matsui, N. Simple Non-Linear Magnetic Analysis for Interior Permanent Magnetic Synchronous Motors Second International Conference on Power Electronics, Machines and Drives, 2004, S. 781-786 [285] Kazmierkowski, M. P.; Dzieniakowski, M. A.; Sulkowski, W. Novel Space Vector Based Current Controllers For PWM-Inverters. PESC, 1989, Conf. Proc.; S. 675-664 [286] Kennel, R. Encoders for Simultaneous Sensing of Position and Speed in Electrical Drives with Digital Control. 40th. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting, Kowloon, Hong Kong, Oct. 2-6, 2005 [287] Kennel, R. Encoders for Simultaneous Sensing of Position and Speed in Electrical Drives with Digital Control. IEEE Transactions on Industry Applications, Vol. 43, No. 3, Sep/Oct 2007, S. 993-1000 [288] Kennel, R. Why Do Incremental Encoders Do a Reasonably Good Job in Electrical Drives with Digital Control? 41st. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting, Tampa, Florida, Oct. 8-12, 2006

Literaturverzeichnis

1267

[289] Kitazawa, K.; et al. Analysis of Dynamic Angle Error of 8X-VR type Resolver System. ICEM 2000, Helsinki, 2000, S. 568-572 [290] Klaassen, H. Selbsteinstellende feldorientierte Regelung einer Asynchronmaschine und geberlose Regelung. Dissertation, TU Braunschweig, 1999 [291] Klaes, N. R. Parameters Identification of an Induction Machine with Regard to Dependencies on Saturation. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting, 1991, Conference Record, S. 21-27. [292] Khambadkone, A.; Holtz, J. Vector controlled Induction Motor Drive with a Self Comissioning Scheme. IEEE Trans. on Industrial Electronics (1991), S. 322-327. [293] Kohlmeier, H. Regelung der Asynchronmaschine durch Einsatz netz- und maschinenseitiger Pulsstromrichter mit optimierten asynchronen Pulsmuster. Dissertation, Technische Universit¨ at M¨ unchen, 1976 [294] Korb, F. Einstellung der Drehzahl von Induktionsmotoren durch antiparallele Ventile auf der Netzseite. ETZ-A, Vol. 86 (1965), No. 8, S. 275-279 [295] Kov´ acs, K. P.; R´acz, I. Transiente Vorg¨ ange in Wechselstrommaschinen. Bd.1 und 2. Budapest: Verlag der Ungarischen Akademie der Wissenschaften, 1959 [296] Kreuth, H. P. Die Induktivit¨ aten der homopolaren Synchronmaschine im Zweiachsensystem. ETZ-A, Vol. 94 (1973), S. 483-487 [297] Mayer, H. R. Entwurf zeitdiskreter Regelverfahren f¨ ur Asynchronmotoren unter Ber¨ ucksichtigung der diskreten Arbeitsweise des Umrichters. Dissertation, Universit¨ at Erlangen-N¨ urnberg, 1988 [298] Milde, F. Dynamisches Verhalten von Drehfeldmaschinen. VDE-Verlag GmbH Berlin-Offenbach, 1993 [299] Morimoto, S. Analysis, Design, and Control of Interior Permanent Magnet Synchronous Maschines, IPM Vector Control and Flux Weakening. Industry Applications Society annual meeting, Seattle, 2004, S. 8-1-8-35 [300] Morimoto, S.; Sanada, M.; Takeda, Y. Wide-Speed Operation of Interior Permanent Magnet Synchronous Motors with High-Performance Current Regulator IEEE Transactions on Industry Applications, Vol. 30, No. 4, 1994, S. 920-926

1268

Literaturverzeichnis

[301] Morimoto, S.; Takeda, Y.; Hirasa, T. Expansion of Operating Limits for Permanent Magnet Motor by Current Vector Control Considering Inverter Capacity. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-26 (1990), No. 5, S. 866-871 [302] Naunin, D. Die Grundgleichungen f¨ ur das dynamische Verhalten von Drehfeldmaschinen. Wiss. Ber. AEG-Telefunken, Vol. 43 (1970), No. 3/4, S. 257-266 [303] Patel, S. P.; Hoft, R. G. Generalized Techniques of Harmonic Elimination and Voltage Control in Thyristor Inverters: Part I — Harmonic Elimination, Part II — Voltage Control Techniques. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-9 (1973), No. 3, S. 310-317 und Vol. IA-10 (1974), No. 5, S. 666-673 [304] Pfaff, G. Zur Dynamik des Asynchronmotors bei Drehzahlsteuerung mittels ver¨anderlicher Speisefrequenz. ETZ-A, Vol. 85 (1964), No. 22, S. 719-724 [305] Pfaff, G.; Wick, A. Direkte Stromregelung bei Drehstromantrieben mit Pulswechselrichtern. Regelungstechnische Praxis, Vol. 24 (1983), No. 11, S. 472-477 [306] Pfaff G.; Segerer H.; Lelkes A. Resistance Corrected and Time Discrete Calculation of Rotor Flux in Induction Motors. [307] Pollmann, A.; Gabirel, R. Z¨ undsteuerung eines Pulswechselrichters mittels Mikrorechners. Regelungstechnische Praxis 22 (1980), S. 145-150 [308] Pollmann, A. A Digital Pulsewidth Modulator Employing Advanced Modulation Techniques. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-19 (1983), S. 409-414 [309] Rahman, M. F.; Zhong, L.; Lim, K. W. A DSP Based Instantaneous Torque Control Strategy for Interior Permanent Magnet Syncronous Motor Drive with Wide Speed Range and Reduced Torque Ripples. Proceedings of the 31st IEEE/Industry Applications Society Annual Meeting, San Diego, California, 5-9 Oct 1996, S. 518-524 [310] Ramminger, P.; Andresen, E. C. Prediction of Performance Characteristics of small Induction Motors from Measurements without Load Machine. Proceedings, International Conference On Electrical Machines, Manchester University, UK, 1992 [311] Richter, R. Elektrische Maschinen, 2. Band: Synchronmaschinen und Einankerumformer. 2. Auflage.; Basel, Stuttgart, Birkh¨ auser, 1953 [312] Salzmann, T. Drehstromantrieb hoher Regelg¨ ute mit Direktumrichter. 4. Leistungselektronik-Konferenz, Beitrag 3.3, Budapest, 1981

Literaturverzeichnis

1269

[313] Schierling, H.; J¨ otten, R. Control of the Induction Machine in the Field weakening range. Control in Power Electronics and Drives. IFAC Symp.; 1983, S. 297-304 [314] Schierling, H. Selbsteinstellendes und selbstanpassendes Antriebsregelsystem f¨ ur die Asynchronmaschine mit Pulswechselrichter. Dissertation, TU Darmstadt, 1986 [315] Schneider, T.; Koch, T.; Binder, A. Comparative analysis of limited field weakening capability of surface mounted permanent magnet machines IEE Proc.-Electr. Power Appl., Vol. 151, No.1, 2004 [316] Schr¨oder, D. Control of AC-Machines. Decoupling and Field Orientation. Modern Integrated Electrical Drives (MIED): Current Status and Future Developments. Course Notes, The European Association for Electrical Drives, Mailand, 1989, S. 45-77 [317] Schr¨oder, D.; Kohlmeier, H.; Niermeyer, O. High Dynamic Four-Quadrant AC-Motor Drive with improved Power-Factor and On-Line Optimized Pulse Pattern with PROMC. EPE-Conference Br¨ ussel, 1985, S. 3.173-3.178; IEEE Industry Applications Society Annual Meeting Toronto, 1985, S. 10811086 [318] Schr¨oder, D.; Kohlmeier, H. GTO-Pulse Inverters with On-Line Optimized Pulse Patterns for Current Control. ICEM-Conference, M¨ unchen, 1986, S. 668-671 [319] Schr¨oder, D.; Kohlmeier, H.; Niermeyer, O. High Dynamic Four-Quadrant AC Motor Drive with Improved Power Factor and On-Line Optimized Pulse Pattern with PROMC. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-23 (1987), No. 6, S. 1001-1009 [320] Schr¨oder, D.; Kohlmeier, H. Control of a Double Voltage Inverter System Coupling a Three Phase Mains with an AC-Drive. IEEE Industry Applications Society — 22nd Annual Meeting Atlanta, 1987 [321] Schr¨oder, D.; Niermeyer, O. New Predictive Control Strategy for PWM-Inverters. EPE 87, Grenoble, 1987, S. 647-652 [322] Schr¨oder, D.; Niermeyer, O. Induction Motor Drive with Parameter Identification using a new Predictive Current Control Strategy. PESC 89, Wisconsin, USA, 1989, S. 287-294 [323] Schr¨oder, D.; Niermeyer, O. AC-Motor Drive with Generative Breaking and Reduced Supply Line Distortion. EPE 89, Aachen, 1989, S. 1021-1026

1270

Literaturverzeichnis

[324] Schuemann, U.; Orlik, B. Identifikation der elektrischen Parameter von DrehstromAsynchronmaschinen im Stillstand. 43. Internationales Wissenschaftliches Kolloquium, Band 4, Ilmenau, 1998 [325] Schumacher, W. Mikrorechnergeregelter Asynchron-Stellantrieb. Dissertation, TU Braunschweig, 1985 [326] Schumacher, W.; Leonhard, W. AC-Servo Drive with Microprozessor Control. IPEC, Tokyo, 1983, S. 1465-1476 [327] Sp¨ath, H. Elektrische Maschinen und Stromrichter. Grundlagen und Einf¨ uhrung. G. Braun, Karlsruhe, 1984 [328] Sp¨ath, H. Steuerverfahren f¨ ur Drehstrommaschinen. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo, 1983 [329] Steinke, J. K. Grundlagen f¨ ur die Entwicklung eines Steuerverfahrens f¨ ur GTO-Dreipunktwechselrichter f¨ ur Traktionsantriebe. ETZ Archiv, Vol. 10 (1988), No. 7, S. 215-220 [330] Steinke, J. K. Pulsbreitenmodulationssteuerung eines Dreipunktwechselrichters f¨ ur Traktionsantriebe im Bereich niedriger Motordrehzahlen. ETZ Archiv, Vol. 11 (1989), No. 1, S. 17-24 [331] Tungpimolrut, K.; Peng, F. Z.; Fukao, T. A Direct measuring Method of Machine Parameters for vector controlled Induction Machine Drives. International Conf. Industrial Electronics, Control and Instrumentation 1993 (IECON ’93), Proc.; S. 997-1002 [332] Taegen, F.; Homes, E. Die Gleichungen der Synchronmaschine und ihr mathematisches Modell. Archiv f¨ ur Elektrotechnik, Vol. 56 (1974), S. 194-204 [333] Takahashi, I.; Mochikawa, H. Optimum PWM Waveforms of an Inverter for Decreasing Acoustic Noise of an Induction Motor. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-22 (1986), No. 5, S. 828-834 [334] van der Broeck, H. Auswirkungen der Pulsweitenmodulation hoher Taktzahl auf die Oberschwingungsbelastung einer Asynchronmaschine bei Speisung durch einen U-Wechselrichter. Archiv f¨ ur Elektrotechnik, Vol. 68 (1985), S. 279-291 [335] Vas, P. Vector Control of AC Machines. Oxford Science Publications. Clarendon Press, Oxford, 1990 [336] Waldmann, H.; Weibelzahl, M.; Wolf, J. Ein elektronisches Modell der Synchronmaschine. Siemens Forsch.- u. Entwickl.-Berichte, Vol. 1 (1972), No. 1

Literaturverzeichnis

1271

[337] Warnecke, K.-F. Wechselwirkung zwischen Umrichter, Signalverarbeitung und Regelung bei einem Stromrichtermotor mit K¨ afigl¨ aufer. Dissertation, TH Darmstadt, 1976 [338] Weninger, R. Drehzahlregelung von Asynchronmaschinen bei Speisung durch einen Zwischenkreisumrichter mit eingepr¨ agtem Strom. Dissertation, TU M¨ unchen, 1982 [339] Weninger, R. Das Verfahren zur dynamisch richtigen Steuerung des Flusses bei der Drehzahlregelung von Asynchronmaschinen mit Speisung durch Zwischenkreisumrichter mit eingepr¨ agtem Strom. ETZ Archiv (1979), No. 12, S. 341-345 [340] Yanagawa, K.; Sakai, K.; Endou, T.; Fujii, H. Auto Tuning for general purpose Inverter with sensorless Vector Control. IPEC, Yokohama, 1995, S. 1005-1009 [341] Z¨agelein, W. Drehzahlregelung des Asynchronmotors unter Verwendung eines Beobachters mit geringer Parameterempfindlichkeit. Dissertation, Universit¨ at Erlangen-N¨ urnberg, 1984 [342] Zhu, Z. Q.; Chen, Y. S.; Howe, D. Online Optimal Flux-Weakening Control of Permanent-Magnet Brushless AC Drives IEEE Transactions on Industry Applications, Vol. 36, No. 6, 2000

Motoridentifikation [343] DIN VDE 0530, Drehende elektrische Maschinen, Teil 1 und 2, 1996 [344] IEEE 112, Standard test procedure for polyphase induction motors and generators [345] JEC-37, Induction machines, Standard of the japanese electrotechnical committee [346] Ballandt, F. Anwendung von Zustandsbeobachtern und -sch¨ atzern in der Antriebstechnik. Diplomarbeit, TU-Dresden, 1996 [347] Beckert, U.; Arnold H. Identification of electrical parameters of asynchronous motors at standstill considering the skin effects in the rotor bars. ICEM 2002, Br¨ ugge/Belgien, August 2002, Tagungsband [348] Beckert, U.; Kertzscher, J.; Neuber, W. Identifikation der elektrischen Parameter der Asynchronmaschine im Stillstand. Antriebstechnik 40, Nr.4 2001, S. 116-120

1272

Literaturverzeichnis

[349] Borsting, A.; Knudsen, M.; Vadstrup, P. Standstill Estimation of Electrical Parameters in Induction Motors Using an Optimal Input Signal. EPE Conf., Vol. 1, Sevilla, Spanien, 1995, S. 814-819 [350] Boulet, P.; Brudny, J. F. Rapid determination of an asynchronous motor parameters. IMACS, 1988, S. 197-203 [351] Brunsbach, J.; Henneberger, G. Einsatz eines Kalman-Filters zum feldorientierten Betrieb einer Asyn-chronmaschine ohne mechanische Sensoren. Archiv f¨ ur Elektrotechnik 73, 1990, S. 325-335 [352] B¨ unte, A. Selbsteinstellender Antrieb mit drehmomentoptimal betriebenem Asynchronmotor. Dissertation, Universit¨ at-Gesamthochschule Paderborn, 1999, Reihe Elektrotechnik, Shaker-Verlag, Aachen [353] B¨ unte, A.; Grotstollen, H. Offline parameter identification of an inverter-fed induction motor at standstill. Conf. Rec. Proceedings of EPE, Sevilla, 1995, S. 3492-3496 [354] B¨ unte, A.; Grotstollen, H. Parameter Identification of an Inverter-Fed Induction Motor at Standstill with a Correlation Method. EPE Conf., Brighton UK., 1993, Vol. 5, S. 96-102 [355] Caussat, T.; Roboam, X.; Hapiot, J.-C.; Faucher, J.; Tientcheu, M. Self-commissioning for PWM Voltage Source Inverter-fed Induction Motor at Standstill. IEEE Conf. of Industrial Electronics, Bologna, Italien, 1994, S. 198-203 [356] Elten, D. Die Anwendung einer modellgest¨ utzten Identifikationsmethode zur Bestimmung elektrischer Parameter von Induktionsmotoren. Dissertation, TU-Berlin, 1989 [357] Eykhoff, P. System identification — parameter and state estimation. Wiley & Sons, New York 1974 [358] Frank, M. Empfindlichkeitsanalyse dynamischer Systeme. R. Oldenburg-Verlag, M¨ unchen Wien 1976 [359] Gorter, R. J. A.; Duarte, J. L.; van den Bosch, P. P. J. Parameter Estimation for Induction Machines. EPE Conf., Vol. 3, Sevilla, Spanien, 1995, S. 627-632 [360] Gorter, R. J. A. Grey-box identification of induction machines: on-line and off-line approaches. Promotion, Technische Universit¨ at Eindhoven, 1997, ISBN 90-386-0420-3 [361] Gr¨oll, L. Modellbildung f¨ ur kontinuierliche Systeme mittels direkter Identifikation. Dissertation, TU-Dresden, 1995

Literaturverzeichnis

1273

[362] Hasenpusch, A. Parameteridentifikation an Kondensatormotoren. Dissertation, TU-Dresden, 1994 [363] Hillenbrand, F. Identifikation linearer zeitinvarianter Systeme und ihre Anwendung auf Induktionsmaschinen. Dissertation, TU-Berlin 1982 [364] Irisa, T.; Takata, S.; Ueda, R.; Sonoda, T.; Mochizuki, T. A Novel Approach on Parameter Self-Tuning in AC-Servo-System. IFAC Control in Power Electronics and Electrical Drives, 1983, Lausanne/Switzerland, S. 41-48 [365] Isermann, R. Identifikation dynamischer Systeme. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1988 [366] Iwasaki, T.; Kataoka, T. Application of an extended Kalman Filter to parameter identification of an induction motor. IEEE-Industry Applications Society, 1989, Vol. 1, S. 248-253 [367] Janiszewski, A. Parameteridentifikation an kleinen Asynchronmaschinen. Dissertation, TU-Dresden, 1993 [368] Klaes, N. Identifikationsverfahren f¨ ur die betriebspunktabh¨ angigen Parameter einer wechselrichtergespeisten Induktionsmaschine. Dissertation, Ruhr-Universit¨ at Bochum, 1992, VDI-Fortschrittsberichte, Reihe 8, Nr. 305, VDI-Verlag, D¨ usseldorf. [369] Klaes, N. Parameter Identification of an Induction Machine with Regard to Dependencies on Saturation. IEEE Trans. on Industrial Applications, 1993, Vol. 29, No. 6, S. 1135-1140. [370] Loron, L. Application of the extended Kalman filter to parameter estimation of induction motors. EPE, Brighton UK., 1993, S. 85-90 [371] Mann, M. Selbsteinstellende und selbstanpassende Regelung eines Aufzuges mit Pulswechselrichter-Asynchronmaschinen-Antrieb. Dissertation, TU-Berlin, 1995 [372] Michalik, W. Anwendung moderner Verfahren zur Parameterbestimmung an Asynchronmaschinen. Habilitationsschrift, TU-Dresden, 2003 [373] Michalik, W. Beitrag zur Bestimmung von Toleranzen und Toleranzeinfl¨ ussen an kleinen Asynchronmaschinen. Dissertation, TU-Dresden 1982

1274

Literaturverzeichnis

[374] Michalik, W. Parameteridentifikation bei optimaler Anregung. 5. Int. Fachmesse SPS-IPC-Drives, Sindelfingen 1994, Tagungsband, S. 615623 [375] Michalik, W. Pr¨azise Drehung — Methoden der Parameterbestimmung von Drehstrom-Asynchronmaschinen. Antriebstechnik 3, 2005, S. 58-65 [376] Mrugowsky, H. Bestimmung der Modellparameter und der aktuellen L¨ aufertemperatur f¨ ur Drehstromasynchronmaschinen mit Kurzschlussl¨ aufer. etz-a Bd. 11, 1989 H. 6 [377] N¨ urnberg, W. Die Pr¨ ufung elektrischer Maschinen. Springer-Verlag, Berlin, New York 1987 [378] Orlowska-Kowalska, T.; Lis, J.; Szabat, K. Application of Soft Computing Methods for Identification of Induction Motor Parameters at Standstil. XVIII. Symposium EPNC 2004, Poznan/Poland, S. 75-76 [379] Quang, N.; Dittrich, J. A. Praxis der feldorientierten Drehstrom-Antriebsregelung. Expert-Verlag, 1999 [380] Rasmussen, H. Self-tuning torque control of induction motors for high performance applications. Ph.D. thesis, Aalborg University, Denmark, Department of Control Engineering [381] Ruff, M. Ein automatisiertes Verfahren zur Off-line-Identifikation der elektrischen Parameter von pulswechselrichtergespeisten Asynchronmotoren. Dissertation, Universit¨ at Paderborn, Reihe Elektrotechnik, Shaker-Verlag, Aachen , 1997 [382] Ruff, M.; Grotstollen, H. Identification of the Saturated Mutual Inductance of an Asynchronous Motor at Standstill by Recursive Least Squares Algorithm. EPE Conf. 1993, Brighton, UK., Vol. 5, S. 103-109 [383] Schierling, H. Fast and Reliable Commissioning of AC Variable Speed Drives by Self-Commissioning. Industry Applications Society (IAS) Annual Meeting, Pittsburgh, 1988, Conference Record of the 1988 IEEE Vol. 1, S. 489-492 [384] Schierling, H. Selbsteinstellendes und selbstanpassendes Antriebsregelsystem f¨ ur die Asynchronmaschine mit Pulswechselrichter. Dissertation, TU-Darmstadt, 1987

Literaturverzeichnis

1275

[385] Schr¨oder, D. Intelligente Verfahren f¨ ur Mechatronische Systeme. Skriptum zur Vorlesung, Lehrstuhl f¨ ur Elektrische Antriebssysteme, Technische Universit¨ at M¨ unchen, Wintersemester 2007/2008 [386] Strobel, H. Experimentelle Systemanalyse. Akademie-Verlag, Berlin 1975 [387] Unbehauen, H. Regelungstechnik I, II, III. Vieweg, Braunschweig 3. Aufl. 1988 [388] Vas, P. Electrical machines and drives. Clarendon press Oxford, 1992 [389] Vas, P. Vector control of ac machines. Clarendon Press, Oxford, 1990 [390] Vogt, K. Elektrische Maschinen: Berechnung rotierender elektrischer Maschinen. Verlag Technik, Berlin 1988 [391] Weidauer, J. Selbstt¨atige Identifikation und Adaption von Parametern einer feld-orientiert geregelten Asynchronmaschine. Dissertation, TU-Dresden, 1992 [392] Wernstedt, J. Experimentelle Prozeßanalyse. Verlag Technik, Berlin 1989 [393] Wolfram, A. Komponentenbasierte Fehlerdiagnose industrieller Anlagen am Beispiel frequenzumrichtergespeister Asynchronmotoren und Kreiselpumpen. Dissertation, TU Darmstadt, 2002, VDI Fortschrittsberichte, Reihe 8, Nr. 967, VDI-Verlag, D¨ usseldorf.

Direkte Selbstregelung von Drehfeldmaschinen [394] Abraham, L.; Moschetti, A. Stand der Technik und Fortschritte bei Umrichtern f¨ ur Linearmotorantriebe. Statusseminar V ”Spurgebundener Schnellverkehr mit ber¨ uhrungsfreier Fahrtechnik”, Bad Kissingen, 1976 [395] Acarnly, P. P.; Watson, F. J. Review of Position-Sensorless Operation of Brushless Permanent-Magnet-Machines. IEEE Trans. on Industrial Electronics, April 2006, Vol. 53, No. 2, S. 352-362 [396] Amler, G.; Sperr, F.; Hoffmann, F. Highly dynamic and speed sensorless control of traction drives. 10th EPE Conference, Toulouse 2003

1276

Literaturverzeichnis

[397] Baader, U. Die Direkte Selbstregelung (DSR) — Ein Verfahren zur hochdynamischen Regelung von Drehfeldmaschinen. Dissertation, Ruhr-Universit¨ at Bochum, 1987 [398] Buschmann, M. K.; Steinke, J. K. Robust and reliable medium voltage PWM inverter with motor friendly output. 7th EPE Conference, Vol. 1, Trondheim, 1997, S. 3502-3507 [399] Depenbrock, M. Direkte Selbstregelung (DSR) f¨ ur hochdynamische Drehfeldantriebe mit Stromrichterspeisung. ETZ Archiv, Vol. 7 (1985), No. 7, S. 211-218 [400] Depenbrock, M. Direct Self-Control (DSC) of Inverter-Fed Induction Machine. IEEE Trans. on Power Electronics, Vol. PE-3 (1988), No. 4, S. 420-429 [401] Depenbrock, M.; Skrotzki, T. Drehmomenteinstellung im Feldschw¨ achbereich bei stromrichtergespeisten Drehfeldantrieben mit Direkter Selbstregelung (DSR). ETZ Archiv, Vol. 9 (1987), No. 1, S. 3-8 [402] Depenbrock, M.; Hoffmann, F.; Koch, S. Speed Sensorless High Performance Control for Traction Drives. 7th EPE Conference Trondheim, Vol. 1, 1997, S. 1418-1423 [403] Evers, Ch. Beitr¨ age zur drehgeberlosen Regelung wechselrichtergespeister Induktionsmaschinen. Dissertation Ruhr-Universit¨ at Bochum 2004, Shaker-Verlag Aachen 2004, ISBN 3-8322-3244-9 [404] Haun, A. Vergleich von Steuerverfahren f¨ ur spannungseinpr¨ agende Umrichter zur Speisung von K¨ afigl¨ aufermotoren. Dissertation, TH Darmstadt, 1991 [405] Herty, F. Korrektur von totzeitbedingten St¨ orungen in elektrischen Antrieben mit Pulswechselrichtern. Dissertation Universit¨ at Kaiserslautern 2002 [406] Hodapp, J. Die direkte Selbstregelung einer Asynchronmaschine mit einem Signalprozessor. Dissertation, Ruhr-Universit¨ at Bochum, 1988 [407] Hoffmann, F. Drehgeberlos geregelte Induktionsmaschinen an IGBT-Pulsstromrichtern. Dissertation, Ruhr-Universit¨ at Bochum [408] Horstmann, D.; Stanke, G. Die stromrichternahe Antriebsregelung des Steuerger¨ ats f¨ ur Bahnautomatisierungssysteme SIBAS32. Elektrische Bahnen 90, 1992, Nr. 11, S. 344-350

Literaturverzeichnis

1277

[409] Icikawa, S.; et al. Sensorless Control of Permanent-Magnet Synchronous Motor using online Parameter Identification Based on System Identification Theory. IEEE Trans. on Industrial Electronics, April 2006, Vol. 53, No. 2, S. 363-372 [410] IEEE Trans. on Industrial Electronics, April 2006, Vol. 53, No. 2 [411] J¨anecke, M.; Kremer, R.; Steuerwald, G. Direkte Selbstregelung, ein neuartiges Regelverfahren f¨ ur Traktionsantriebe im Ersteinsatz bei dieselelektrischen Lokomotiven. Elektrische Bahnen, Vol. 89 (1991), No. 3, S. 79-87 [412] J¨anecke, M.; Hoffmann, F. Fast Torque Control of an IGBT-Inverter-Fed Three-Phase A.C. Drive in the Whole Speed Range — Experimental Results. 8th European Power Electronic Conference (EPE), Vol. 3, Sevilla, 1995, S. 399404 [413] Maischak, D.; Nemeth-Csoka, M. Schnelle Drehmomentregelung im gesamten Drehzahlbereich eines hochausgenutzten Drehfeldantriebs. Archiv f¨ ur Elektrotechnik, Vol. 77 (1994), S. 289-301 [414] Pohjalainen, P.; Tiitinen, P.; Lalu, J. The next generation motor control method — Direct Torque Control, DTC. Proceedings of the EPE Chapter Symposium, Lausanne, 1994, S. 115-120 [415] Silva, C.; Asher, G. M.; Summer, M. Hybrid Rotor Position Observer for Wide Speed-Range Sensorless PM Motor Drive including Zero Speed. IEEE Trans. on Industrial Electronics, April 2006, Vol. 53, No. 2, S. 373-378 [416] Stanke, G.; Nyland, B. Controller for sinusoidal and optimized PWM with pulse pattern changes without current transients. 2nd EPE Conference, Grenoble 1987, S. 183-300 [417] Springmeier, F. Direkte St¨ andergr¨ oßen-Regelung von Induktionsmaschinen am Dreipunktwechselrichter. Dissertation, Ruhr-Universit¨ at Bochum, 1992 [418] Steimel, A. Control of the induction machine in traction. Elektrische Bahnen, Vol. 96 (1998), No. 12, S. 361-369 [419] Steimel, A.; Wiesemann, J. Further Development of Direct Self Control for Application in Electric Traction. IEEE International Symposium on Industrial Electronics (ISIE 96), Vol. 1, Warsaw 1996, S. 180-185 [420] Steimel, A. Steuerungsbedingte Unterschiede von wechselrichtergespeisten Traktionsantrieben. Elektrische Bahnen, Vol. 92 (1994), No. 1/2, S. 24-36

1278

Literaturverzeichnis

[421] Takahashi, I.; Noguchi, T. A New Quick-Response and High-Efficiency Control Strategy of an Induction Motor. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-22 (1986), S. 820-827 [422] Viola, R.; Grotstollen, H. Einfluß der Ventilschaltzeiten auf das Verhalten von Pulswechselrichtern. ETZ-Archiv 10 (1988), S. 181-187 [423] Weinhold, M. Appropriate Pulse Width Modulation for a Three-Phase PWM AC-to-DC Converter. EPE-Journal Vol. 1 No. 2, S. 139-148 [424] Weschta, A.; Weberskirch, W. Nonlinear Behaviour Of Voltage Source Inverters With Power Transistors. 3rd EPE Conference, Aachen 1989 [425] W¨orner, K. Quasi-synchrone statorflussgef¨ uhrte Pulsverfahren f¨ ur die wechselrichtergespeiste Induktionsmaschine. Dissertation Ruhr-Universit¨ at Bochum 2000, Fortschritt-Ber. VDI Rh. 21 Nr. 302, D¨ usseldorf 2000 [426] W¨orner, K.; Steimel, A.; Hoffmann, F. Highly Dynamic Stator Flux Track Length Control for High Power IGBT Inverter Traction Drives. 8th European Power Electronic Conference (EPE), Lausanne, 1999

Geberlose Regelungen von Drehfeldmaschinen [427] Abbondanti, A. Method of flux control in induction motors driven by variable frequency variable voltage supplies. IEEE Industry Applications Society International Semiconductor Power Conf. 1977, S. 177-184 [428] Asher, G.M. Sensorless induction motor drives. IEE Seminar on Advances in induction motor control, 2000, London, UK, May 2000 [429] Attaianese, C.; Perfetto, A. A speed sensorless digitally controlled induction motor drive. Conf. Rec. PEMC, 1994, S. 1358-1363 [430] Baader, U.; Depenbrock, M.; Gierse, G. Direct self control of inverter-fed induction machine. A basis for speed control without speed mesaurement. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-28 (1992), No. 3, S. 581-588

Literaturverzeichnis

1279

[431] Baader, U.; Depenbrock, M.; Gierse, G. Direct Self Control of Inverter-Fed Induction Machine, a Basis for Speed Control without Speed-Measurement. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1989, San Diego, USA, Proc.; Vol. 1, S. 486-492 [432] Bausch, H.; Wnyan, Z.; Kanelis, K. Tacholess torque control of induction machines based on the improved voltage flux model. 2nd Chinese Int’l Conf. on Electric Machines 1995 (CICEM ’95), Proc.; S. 180185 [433] Ben-Brahim, L.; Kurosawa, R. Identification of induction motor speed using neural networks. Conf. Rec. IEEE PCC, Yokohama, 1993, S. 689-694 [434] Ben-Brahim, L.; Kawamura, A. A fully digitized field-oriented controlled induction motor drive using only current sensors. IEEE Trans. on Industrial Electronics, Vol. IE-39 (1992), No. 3, S. 241-249 [435] Blasco-Gimenez, R.; Asher, G.M.; Sumner, M.; Cilia, J.; Bradley, K.J. Field weakening at high and low speed for sensorless vector controlled induction motor drives. Power Electronics and Variable Speed Drives, Sept. 1996, Conf. Publ. IEE, S. 258-261 [436] Blaschke, F.; van der Burgt, J.; Vandenput, A. Sensorless Direct Field Orientation at Zero Flux Frequency. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1996, San Diego, USA, Conf. Proc.; S. 189-196 [437] Bonanno, C.J.; Zhen, Li, Xu, L. A position sensorless induction machine drive for electric vehicle applications. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1995, Orlando, USA, Conf. Proc.; S. 1-6 [438] Bonanno, C.J.; Zhen, Li, Xu, L. A direct field oriented induction machine drive with robust flux estimator for position sensorless control. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1995, Orlando, USA, Conf. Proc.; S. 166-173 [439] Bose, B.K.; Simoes, M.G.; Crecelius, D.R.; Rajashekara, K.; Martin, R. Speed sensorless hybrid vector controlled induction motor drive. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1995, Orlando, USA, Conf. Proc.; S. 137-143 [440] Boussak, M.; Capolino, G.A.; Nguyen Phouc, V.T. Speed measurement in vector-controlled induction machine by adaptive method. 4th European Conf. on Power Electronics and Applications 1991 (EPE ’91), Vol. 3, S. 3/653-658

1280

Literaturverzeichnis

[441] Boussak, M.; Capolino, G.A.; Poloujadoff, M. Parameter identification in vector controlled induction machine with flux model reference adaptive system. Conf. Rec. ICEM, 1992, S. 838-842 [442] Bradley, K.J.; Ferrah, A.; Asher, G.M. Analysis of speed measurement using FFT spectral estimation for mains or inverter driven induction motors. Conf. Rec. ICEM, 1992, S. 923-927 [443] Briz, F.; Degner, M.W.; Diez, A.; Lorenz, R.D. Measuring, Modeling and Decoupling of Saturation-Induced Saliencies in Carrier Signal Injection-Based Sensorless AC Drives. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 2000, Rome, Italy, S. 1842-1849 [444] Byrski, W. The survey for the exact and optimal state observers in hilbert spaces. Proc. of European Control Conference, 2003, paper on CD, paper number 598 [445] Comanescu, M.; Xu, L. An Improved Flux Observer Based on PLL Frequency Estimator for Sensorless Vector Control of Induction Motors. IEEE Trans. on Industrial Electronics, Feb. 2006, Vol. 53, Nr. 1, S. 50-56 [446] Consoli, A. AC machine sensorless control techniques based on high frequency signal injection. Proc. Rec. Int. Conf. on PEMC, Koˇsice, Slovak Republic, 2000, Vol. 1, S. 98103 [447] Consoli, A.; Testa, A. A New Zero Frequency Flux Position Detection Approach for Direct Field Oriented Control Drives. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1999, Phoenix, USA, Conf. Proc.; S. 2290-2297 [448] Consoli, A.; Scarcella, G.; Tutino, G.; Testa, A. Sensorless Field Orientend Control Using Common Mode Currents. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 2000, Rome, Italy, S. 1866-1873 [449] Consoli, A.; Scarcella, G.; Testa, A. A New Zero Frequency Flux Position Detection Approach for Direct Field Oriented Control Drives. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-36 (2000), No. 3, S. 797-804 [450] Consoli, A.; Russo, F.; Scarcella, G.; Testa, A. Low- and Zero-Speed Sensorless Control of Synchronous Reluctance Motors. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-35 (2000), No. 5, S. 1050-1057

Literaturverzeichnis

1281

[451] Cuzner, R.M.; Lorenz, R.D.; Novotny, D.W. Application of Nonlinear Observers for Rotor Position Detection on an Induction Motor Using Machine Voltages and Currents. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1990, Seattle, USA, Proc.; S. 416-421 [452] De Fornel, B.; De Oliveira, J.C.R. Adaptive discrete esimator for induction motor control. 4th European Conf. on Power Electronics and Applications 1991 (EPE ’91), S. 2/132-137 [453] Degner, M.W. Flux, Position, and Velocity Estimation in AC Machines Using Carrier Signal Injection. Ph.D. Thesis, Dept. of Electrical and Computer Engineering, University of Wisconsin, Madison, 1998 [454] Degner, M.W.; Lorenz, R.D. Using Multiple Saliencies for the Estimation of Flux, Position, and Velocity in AC Machines. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-34 (1998), No. 5, S. 1097-1104 [455] Depenbrock, M. Direct self control (DSC) of inverter-fed induction machine. IEEE Trans. on Industrial Electronics, Vol. IE-3 (1988), No. 4, S. 420-429 [456] Depenbrock, M.; Baader, U.; Gierse, G. Direct self control of inverter-fed induction machine, a basis for speed control without speed measurement. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1989, San Diego, USA, Proc.; Vol. 1, S. 486-492 [457] Depenbrock, M; Evers, C. Model-Based Speed Identification for Induction Machines in the Whole Operating Range. IEEE Trans. on Industrial Electronics, Feb. 2006, Vol. 53, Nr. 1, S. 31-40 [458] Depenbrock, M.; Foerth, C.; Koch, S. Speed Sensorless Control Of Induction Motors At Very Low Stator Frequencies. 8th European Conf. on Power Electronics and Applications 1999 (EPE ’99), Lausanne [459] Depenbrock, M.; Staudt, V. Determination of the stator flux space vector of saturated AC machines. ETZ Archiv, Vol. 12 (1990), No. 11, S. 349 ff. [460] Doki, S.; Sangwongwanich, S.; Yonemotor, T.; Okuma, S. Implementation of speed-sensorless filed-oriented vector control using adaptive sliding observers. International Conference on Industrial Electronics, Control and Instrumentation 1992 (IECON ’92), Proc.; S. 453-458 [461] Du, T.; Brdys, M.A. Shaft speed load torque and motor flux estimation od induction motor drive using an extended Luenberger observer. Conf. Rec. IEEE EMD, 1993, S. 179-184

1282

Literaturverzeichnis

[462] Engel, R.; Kreisselmeier, G. A continuous-time observer which converges in finite time. IEEE Transactions on Automatic Control 2002, Vol.47: S. 1202-1204 [463] Ferrah, A.; Bradley, K.J.; Asher, G.M. Analysis of speed measurement using FFT spectral estimation for mains or inverter driven induction motor. Conf. Rec. ICEM, 1992, S. 923-927 [464] Ferrah, A.; Bradley, K.G.; Asher, G.M. Sensorless Speed Detection of Inverter Fed Induction Motors Using Rotor Slot Harmonics and Fast Fourier Transform. IEEE Power Electronics Specialists Conference 1992 (PESC ’92), Proc.; S. 279286 [465] Fodor, D.; Ionescu, F.; Floricau, D.; Six, J.P.; Delarue, P.; Diana, D.; Griva, G. Neural networks applied for induction motor speed sensorless estimation. Conf. Rec. IEEE ISIE, Atene, 1995, S. 181-186 [466] Fodor, D.; Griva, G.; Profumo, F. Neural network flux estimator for universal field oriented (UFO) controllers. Conf. Rec. ICEM Vigo, Spain, 1996, Vol. 3, S. 196-201 [467] Foerth, C. Traktionsantrieb ohne Drehzahlgeber mit minimiertem Meßaufwand. Als Dissertation an der Ruhr-Universit¨ at Bochum 2001 eingereicht [468] Frenzke, T.; Hoffmann, F.; Langer, H.G. Speed Sensorless Control of Traction Drives - Experiences on Vehicles. 8th European Conf. on Power Electronics and Applications 1999 (EPE’99), Lausanne [469] Garces, L. Ein Verfahren zur Parameteranpassung bei der Drehzahlregelung der umrichtergespeisten K¨ afigl¨ aufermaschine. Dissertation, TH Darmstadt, 1979 [470] Green, T.C.; Williams, B.W.; Schramm, D.S. Non-Invasive Speed Measurement of Inverter Driven Induction Motors. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1990, Seattle, USA, Proc.; S. 395-398 [471] Griva, G.; Profumo, F.; Ilas, C.; Vranka, P.; Magureanu, R. A unitary approach to speed sensorless induction motor field oriented drives based on various model reference schemes. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1996, San Diego, USA, Proc.; S. 1-6 [472] Ha, J.; Sul, S. Sensorless Field Orientation Control of an Induction Machine by High Frequency Signal Injection. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1997, New Orleans, USA, Proc.; S. 426-432

Literaturverzeichnis

1283

[473] Ha, J.; Sul, S.; et al. Physical understanding of High Frequency Injection Method to Sensorless Drives of an Induction Machine. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 2000, Rome, Italy, Proc.; S. 1802-1808 [474] Han, S. H.; Kwon, W. H.; P.S. Kim, P. S. Receding-horizon unbiased fir filters for continuous-time state-space models without a priori initial state information. IEEE Transactions on Automatic Control, 2001, Vol.46: S. 766-770 [475] Harnefors, L. Speed estimation from noisy resolver signal. Power Electronics and Variable Speed Drives, 1996, Conf. Publ. No. 429, S. 279-282 [476] Henneberger, G.; Brunsbach, B.J.; Klepsch, T. Field oriented control of synchronous and asynchronous drives without mechanical sensors using a Kalman filter. 4th European Conf. on Power Electronics and Applications 1991 (EPE’91), S. 3/664-671 [477] H¨overmann, M.; Orlik, B. Feldorientierte Drehzahlregelung von Drehstrom-Asynchronmaschinen ohne Drehzahlsensor. SPS ’96, IPC 96, DIVES 96, 7. Int. Fachmesse und Kongress f. Speicherprogrammierbare Steuerungen, Industrie-Pcs und Elektrische Antriebstechnik, Tagungsband, Sindelfingen, Nov. 1996 [478] H¨overmann, M.; Orlik, B. Field oriented control of induction motor without speed sensor with control and correction for the flux angle. PCIM ’97, N¨ urnberg, Germany, Proc. of the 31. Int. Intelligent Motion Conf. June, 1997 [479] H¨overmann, M.; Orlik, B. Sensorlose Drehzahlregung von Drehstrom-Asynchronmaschinen in Feldkoordinaten. 43. IWK (Internat. Wissenschaftliches Kolloquium), Ilmenau, Germany, Sept. 1998, Band 4 [480] Hoffmann, F. Drehgeberlos geregelte Induktionsmaschinen an IGBT-Pulsstromrichtern. Fortschritt-Berichte Reihe 21, No. 213, VDI-Verlag, D¨ usseldorf, 1996 [481] Holtz, J. Sensorless Control of Induction Machines-With or Without Signal Injection? IEEE Trans. on Industrial Electronics, Feb. 2006, Vol. 53, Nr. 1, S. 7-30 [482] Holtz, J. Sensorless Position Control of Induction Motors — An Emerging Technology. International Conference on Industrial Electronics, Control and Instrumentation 1998 (IECON ’98), Aachen, Germany, Proc.; S. 1-14

1284

Literaturverzeichnis

[483] Holtz, J.; Jiang, J.; Pan, H. Identification of Rotor Position and Speed of Standard Induction Motors at Low Speed including Zero Stator Frequency. International Conference on Industrial Electronics, Control and Instrumentation 1997 (IECON ’97), Proc.; S. 971-976 [484] Hurst, K.D.; Habetler, T.G.; Griva, G.; Profumo, F. Speed sensorless field-oriented control of induction machines using current harmonic spectral estimation. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1994, Denver, USA, Proc.; S. 601-607 [485] Hurst, K.D.; Habetler, T.G. Sensorless speed measurement using current harmonic spectral estimation in induction machine drives. IEEE Power Electronics Specialists Conference 1994 (PESC ’94), Proc.; S. 1015 [486] Ide, K.; Ha, J.-I.; Sawamura, M. A Hybrid Speed Estimator of Flux Observer for Induction Motor Drives. IEEE Trans. on Industrial Electronics, Feb. 2006, Vol. 53, Nr. 1, S. 130-137 [487] Ilas, C.; Bettini, A.; Ferraris, L.; Griva, G.; Profumo, F. Comparison of different schemes without shaft sensors for field oriented control drives. International Conference on Industrial Electronics, Control and Instrumentation 1994 (IECON ’94), Bologna, Italy, Proc.; S. 1579-1588 [488] Ilas, C.; Griva, G.; Profumo, F. Speed sensorless field oriented control drives using a kalman filter. Conf. Rec. EDPE, 1994, S. 140-144 [489] Ilas, C.; Magureanu, R. DSP-Based sensorless direct field oriented control of induction motor drives. Conf. Rec. PEMC, 1996, S. 2/309-313 [490] Ilas, C.; Papagheorghe, G.; Magureanu, R. Improved DSP for wide range speed sensorless induction motor drives. Conf. Rec. ICEM, 1996, S. 230-235 [491] Ishida, M.; Iwata, K. A New Slip Frequency Detector of an Induction Motor Utilizing Rotor Slot Harmonics. Internat. Semiconductor Power Conversion Conf. 1982, Proc.; S. 408-415 [492] Ishida, M.; Iwata, K. Steady-state Characteristics of a Torque and Speed Control System of an Induction Motor Utilizing Rotor Slot Harmonics for Slip Frequency Sensing. IEEE Trans. on Power Electronics, July 1987, S. 257-263 [493] Iwata, M.; Ito, S.; Ohno, T. Speed sensorless field oriented control induction motor drive systems with load adaptive mechanism. Conf. Rec. IPEC, Yokohama, 1995, S. 993-998

Literaturverzeichnis

1285

[494] James, M. R. Finite time observers and observability. Proc. of 29th IEEE Conference on Descision and Control, 1990, S. 770-771 [495] Jansen, P.L.; Lorenz, R.D. Accuracy limitations of velocity and flux estimation in direct field oriented induction maschines. 5th European Conf. on Power Electronics and Applications 1993 (EPE ’93), Brighton, UK, Proc.; S. 312-318 [496] Jansen, P.L. The Integration of State Estimation, Control and Design for Induction Machines. Ph.D. Thesis, Dept. of Electrical and Computer Engineering, University of Wisconsin-Madison, 1993 [497] Jansen, P.L.; Lorenz, R.D. Transducerless Position and Velocity Estimation in Induction and Salient AC Machines. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-31 (1995), No. 2, S. 240-247 [498] Jiang, J.; Holtz, J. High Dynamic Speed Sensorless AC Drive with On Line Model Parameter Tuning for Steady-state Accuracy. IEEE Trans. on Industrial Electronics, Vol. IE-44 (1997), No. 2, S. 240-246 [499] J¨otten, R.; Maeder, G. Control Methods for Good Dynamic Performance Induction Motor Drives Based on Current and Voltage as Measured Quantities. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-19 (1983), No. 3, S. 356-363 [500] Kalman, R. E.; Bucy, R. S. Observing the state of a linear system. ASME Journal of Basic Engineering, 1961, Vol.83D: S. 95-108 [501] Kanmachi, K.; Takahashi, I. A secondary resistance calculation method for sensor-less speed control of an induction motor. Conf. Rec. IPEC, Yokohama, 1995, S. 1671-1676 [502] Kanmachi, K.; Takahashi, I. Sensor-less speed control of an induction motor with no influence of secondary resistance variation. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1993, Seattle, USA, Proc.; S. 408-413 [503] Kasprowicz, A.B.; Kazmierkowski, M.P.; Kanoza, S. Speed sensorless direct torque vector control af DC link resonant inverter-fed induction motor drive. Conf. Rec. IEEE ISIE 1996, S. 186-189 [504] Kim, Y.-R.; Sul, S.; Park, M. Speed Sensorless Vector Control of an Induction Motor Using an Extended Kalman Filter. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1992, Houston, USA, Proc.; Vol. 1, S. 549-599

1286

Literaturverzeichnis

[505] Sang-Uk Kim, Lee-Woo Yang, Young-Seok Kim Speed estimation of vector controlled induction motor without speed sensor by reduced-order EKF. Conf. Rec. IPEC, Yokohama, 1995, S. 1665-1670 [506] Koch, S. Beitr¨age zur Regelung von Induktionsmaschinen ohne Drehgeber. Fortschritt-Berichte Reihe 8, No. 717, VDI-Verlag, D¨ usseldorf, 1998 [507] Krzeminski, Z. Speed and rotor resistance estimation in observersystem of induction motor. 4th European Conf. on Power Electronics and Applications 1991 (EPE ’91), Proc.; S. 3/538-542 [508] Kubota, H.; Matsuse, K.; Nakano, T. DSP-Based speed adaptive flux observer of induction motor. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1991, Proc.; S. 380-384 [509] Kubota, H.; Matsuse, K. Flux Observer of Induction Machines with Parameter Adaption for Wide Speed Range Motor Drives. IPEC ’90, Tokyo, Japan, 1990, Vol. 2 [510] Kubota, H.; Matsuse, K.; Nakano, T. New adaptive flux observer of induction motor for wide speed range motor drives. International Conference on Industrial Electronics, Control and Instrumentation 1990 (IECON ’90), Proc.; S. 921-926 [511] Kubota, H.; Matsuse, K. Robust field oriented induction motor drives based on disturbance torque estimation without rotational transducers. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1992, Houston, USA, Proc.; S. 558-562 [512] Kubota, H.; Matsuse, K. Simultaneous estimation of speed and motor resistance of field oriented induction motor without rotational transducers. IEEE PCC 1993, Yokohama, 1993, Proc.; S. 473-477 [513] Kubota, H.; Matsuse, K. Speed sensorless field oriented control of induction motor with rotor resistance adaption. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1993, Seattle, USA, Proc.; S. 414-418 [514] Kubota, H.; Matsuse, K. Speed sensorless field oriented control of induction machines using flux observer. International Conference on Industrial Electronics, Control and Instrumentation 1994 (IECON ’94), Bologna, Italy, Proc.; S. 1611-1615 [515] Kubota, H.; Matsuse, K. The improvement of performance at low speed by offset compensation of stator voltage in sensorless vector controlled induction machines. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1996, San Diego, USA, Proc.; Vol. 1, S. 257-261

Literaturverzeichnis

1287

[516] Kume, T.; Sawa, T.; Yoshida, T.; Sawamura, M.; Sakamoto, M. High Speed Vector Control without Encoder for a High Speed Spindle Motor. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1990, Seattle, USA, Proc.; S. 390-394 [517] Lagerquist, R.; Boldea, I.; Miller, T.J.E. Sensorless Control of the Synchronous Reluctance Motor. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1993, Seattle, USA, Proc.; S. 427-436 [518] Landau, Y.D. Adaptive control — The modell reference approach. Marcel Dekker Inc.; 1979 [519] Lorenz, R.D. Sensorless, drive control methods for stable, high performance, zero speed operation. Proc. Rec. Int. Conf. on PEMC, Koˇsice, Slovak Republic, 2000, Vol. 1, S. 1-11 [520] Luenberger, D.G. An introduction to observer. IEEE Trans. on Automatic Control, Vol. AC-6 (1971), No. 6, S. 596-602 [521] Luenberger, D.G. Observing the state of linear system. IEEE Trans. on Mil. Electron.; Vol. 8 (1964), S. 74-80 [522] Luenberger, D.G. Observing for multivariables systems. IEEE Trans. on Mil. Electron.; Vol. 11 (1966), S. 190-197 [523] Matsui, N.; Shigyo, M. Brushless DC Motor Control without Position and Speed Sensors. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1990, Seattle, USA, Proc.; S. 448-453 [524] Matsuo, T.; Blasko, V.; Moreira, J.C.; Lipo, T.A. A New Direct Field Oriented Controller Employing Rotor End Ring Current Detection. IEEE Power Electronics Specialists Conference 1990 (PESC ’90), Proc.; S. 599605 [525] Medvedev, A. V.; Toivonen, T. Feedforward time-delay structures. state estimation: finite memory smoothing and continuous deadbeat observers, IEE Proceedings of Control Theory and Applications, 1994 Vol.141: S. 121-129 [526] Menold, P. H. Finite time and asymptotic time state estimation for linear and nonlinear systems. PhD thesis, Institute for Systems Theory and Automatic Control, University of Stuttgart, 2004 [527] Menold, P. H.; Findeisen, R.; Allg¨ ower, F. Finite time convergent observers for linear time-varying systems. Proc. of the 11th Mediterranean Conference on Control and Automation, MED 2003

1288

Literaturverzeichnis

[528] Menold, P. H.; Findeisen, R.; Allg¨ ower, F. Finite time convergent observers for nonlinear systems. Proc. of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control,2003, S. 56735678 [529] Minami, K.; V´elez-Reyes, M.; Elten, D.; Verghese, G.; Filbert,D. Multi-stage speed and parameter estimation for induction maschines. IEEE Power Electronics Specialists Conference 1991 (PESC ’91), Proc.; S. 596604 [530] H.Soo Mok, J. Sheok Kim, Y. Real Kim, M.Ho Park, S.Ki Sul A stator flux oriented speed control of induction machine without speed sensor. 4th European Conf. on Power Electronics and Applications 1991 (EPE ’91), Proc.; S. 4/678-682 [531] Mongkol Saejia; Sangwongwanich Somboon Averaging analysis approach for stability analysis of speed-sensorless induction motor drives with stator resistance estimation. IEEE Trans. on Industrial Electronics, Feb. 2006, Vol. 53, Nr. 1, S. 162-177 [532] Murphy, J.M.D. Thyristor control of A.C. motors. Pergamon Press, New York, 1973 [533] Nitayotan, C.; Sangwongwanich, S. A Filtered Back EMF Based Speed-Sensorless Induction Motor Drives. submitted for Industry Applications Society 2001 [534] Ogasawara, S.; Akagi, H. An Approach to Real-Time Position Estimation at Zero and Low Speed for a PM Motor Based on Saliency. IEEE Industry Applications Society 1996 Annual Meeting, San Diego, USA, Proc.; S. 29-35 [535] Ohtani, T. A new method of torque control free from motor parameter variation in induction motor drive. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1986, Proc.; S. 203-209 [536] Ohtani, T.; Takada, N.; Tanaka, K. Vector control of induction motor without shaft encoder. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. 28, Jan./Feb. 1992, No. 1, S. 157165 [537] Ohtani, T.; Takada, N.; Tanaka, K. Vector Control of Induction Motor without Shaft Encoder. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1989, San Diego, USA, Proc.; S. 500-507 [538] Ohtani, T. Reduction of motor parameter sensitivity in vector controll induction motor without shaft sensor. Electrical Engineering in Japan, Vol. 10, No. 5, 1990. [539] Ourth, T.; Crampe, F.; Nguyen Phuoc, V.T.; Pietrzak David, M.; De Fornel, B. Implementation of sensorless speed vector control. Conf. Rec. ICEM, 1994, S. 318-323

Literaturverzeichnis

1289

[540] Ourth, T.; Crampe, F.; Nguyen Phuoc, V.T.; Pietrzak David, M.; De Fornel, B. Sensorless speed control of induction motor drives using observer based vector control. Conf .Rec. ICEM, 1992, S. 858-862 [541] Ohyama, K.; Asher, G. M.; Summer, M. Comparative Analysis of Experimental Performance and Stability of Sensorless Induction Motor Drives. IEEE Trans. on Industrial Electronics, Feb. 2006, Vol. 53, Nr. 1, S. 178-186 [542] Peng, F.; Fukao, T. Robust Speed Identification for Speed Sensorless Vector Control of Induction Motors. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1993, Seattle, USA, Proc.; S. 419-426 [543] Popov, V.M. Hyperstability of control systems. Springer Verlag, New York, 1979 [544] Profumo, F.; Griva, G.; Pastorelli, M.; Moreira, J.C. Universal field oriented controller with indirect speed sensing based on the saturation third harmonic voltage. IEEE Power Electronics Specialists Conference 1993 (PESC ’93), S. 948-954 [545] Raff, T.; Allg¨ ower, F. An Impulsive Observer that Estimates the Exact State of a Linear Continuous-Time System in Predetermined Finite Time. Control and Automation - MED’07, Proceedings of the 15th. Mediterranean Conference on Control and Automation, 27.-29. Juni 2007 Athen, ISBN 978-1-4244-1282-2, Digital Object Identifier 10.1109/MED.2007.4433909 [546] Raff, T.; Lachner, F.; Allg¨ ower, F. A finite time unknown input observer for linear systems. Proc. of the 14th Mediterranean Conference on Control and Automation, MED 2006 [547] Rajashekara, K.; Kawamura, A.; Matsuse, K. Sensorless control of AC motor drive. IEEE Press, 1996 [548] Sangwongwanich S. Performance Improvement of a Speed-Sensorless Induction Motor Drive in the Low Speed Region. International Power Electronic Conference 2000 (IPEC 2000), Tokyo, Japan, Proc.; Vol. 4, S. 2076-2081 [549] Sangwongwanich S. Speed Sensorless Induction Motor Drive Systems - Structure and Stability. (invited paper); 7th International Power Electronics & Motion Control Conference and Exhibition 1996 (PEMC ’96), Budapest, Hungary, Proc.; Vol. 2, S. 78-85

1290

Literaturverzeichnis

[550] Sangwongwanich S. Speed Sensorless Vector of Induction Motors - Stability Analysis and Realization. International Power Electronics Conference 1995 (IPEC ’95), Yokohama, Japan, Proc.; S. 310-315 [551] Schauder, C. Adaptive speed identification for vector control of induction motors without rotational transducers. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1989, San Diego, USA, Proc.; S. 493-499 [552] Schroedl, M. Detection of the rotor position of a permanent magnet synchronous machine at standstill. Int. Conf. on Electrical Machines 1988 (ICEM), Proc.; Pisa, Italy, 1988, S. 195197 [553] Schroedl, M. Sensorless Control of AC Machines. VDI-Fortschrittsberichte No. 117, Reihe 21, VDI-Verlag, 1992, S. 32 ff. [554] Schroedl, M. Sensorless Control of Induction Motors at Low Speed and Standstill. Int. Conf. on Electrical Machines 1990 (ICEM), Boston, USA, 1990, S. 863-867 [555] Schroedl, M.; Colle, T. Electric motorbike with sensorless controll permanent magent synchronous motor. 11th Int. Electric Vehicle Symposium 1992 (EVS), Florence, Italy, 1992, Proc.; S. 13.07/1-11 [556] Schroedl, M.; Stefan, T. Algorithmus zur rechnerischen Erfassung der Polradlage einer permanenterregten Synchronmaschine ohne Lagegeber. VDI/VDE Fachtagung 1988, Bad Nauheim, Germany, S. 48-54 [557] Schroedl, M.; Stefan, T. New rotor position detector for permanent magnet synchronous machines using the INFORM“-method. ” European Trans. on Electrical Power Engineering (ETEP), VDE-Verlag, Vol. 1 (1991), No. 1, S. 47-53 [558] Schroedl, M.; Weinmeier, P. Sensorless control of reluctance machines at arbitrary operating conditions including standstill. IEEE Trans. on Power Electronics, Vol. PE-9 (1994), No. 2, S. 225-231 [559] Schroedl, M.; Hennerbichler, T.; Wolbank, T.M. Induction motor drive for electric vehicles without speed- and position sensors. 5th European Conf. on Power Electronics and Applications (EPE ’93), Brighton, UK, 1993, Vol. 5, S. 271-275 [560] Shirsavar, S.A.; McCulloch, M.D. Speed sensorless vector control of induction motors parameter estimation. Power Electronics and Variable Speed Drives, Sept. 1996, Conf. Publ.; IEE, S. 267-272

Literaturverzeichnis

1291

[561] Staines, C.S.; Asher, G.M.; Bradley, K.J. A Periodic Burst Injection Method for Deriving Rotor Position in Saturated Cage-Salient Induction Motors Without a Shaft Encoder. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-35 (1999), No. 4, S. 851-858 [562] Suwankawin, S.; Sangwongwanich, S. A Speed-Sensorless IM Drive with Decoupling Control ane Stability Ananlysis for Speed Estimation. submitted for IEEE Trans. on Industrial Electronics [563] Suwankawin, S.; Sangwongwanich, S. A Speed-Sensorless IM Drive with Modified Decoupling Control. Power Conversion Conference 1997 (PCC ’97), Nagaoka, Japan, Proc.; Vol. 1, S. 85-90 [564] Suwankawin, S.; Sangwongwanich, S. Feedback Gain Assignment for a Stable and Robust Full-Order Adaptive Observer in Speed-Sensorless Induction Motor. submitted for Industry Applications Society 2001 [565] Suwankawin, S.; Sangwongwanich, S. Stability Analysis and Design Guidelines for a Speed-Sensorless Induction Motor Drive. Power Conversion Conference 1997 (PCC ’97), Nagaoka, Japan, Proc.; Vol. 2, S. 583-588 [566] Suwankawin, S.; Sangwongwanich, S. Stability Analysis of Speed-Sensorless Vecotr control Systems. International Conference on Power Electronics 1995 (ICPE ’95), Seoul, Korea, Proc.; S. 403-408 [567] Tajima, H.; Hori, Y. Speed sensorless field orientation control of the induction maschine. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-29 (1993), No. 1, S. 175-180 [568] Tajima, H.; Guidi, G.; Umida, H. Consideration about Problems and Solutions of Speed Estimation Method and Parameter Tuning for Speed Sensorless Vector Control of Induction Motor Drives. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 2000, Rome, Italy, Proc.; S. 1787-1793 [569] Talbot, K.J.; Kleinhans, C.E.; Diana, G.; Harley, R.G. Speed sensorless field oriented control of a CSI-FED induction motor by a transputer based digital controller. IEEE Power Electronics Specialists Conference 1995 (PESC ’95), Proc.; S. 785971 [570] Tsuji, T.; Oguro, R.; Ide, K.; Hazama, K.; Yang, Z.J. Speed sensorless field oriented control of induction motors with an observer compensating stator voltage errors. Conf. Rec. ICEM, 1996, S. 191-195

1292

Literaturverzeichnis

[571] Y.Yu Tzou, W.Ao Lee, S.Yung Lin Dual DSP sensorless speed control of an induction motor with adaptive voltage compensation. IEEE Power Electronics Specialists Conference 1996 (PESC ’96), Proc.; S. 351375 [572] Vas, P. Sensorless vector and direct torque control. Oxford Science Publications, 1998 [573] V´elez-Reyes, M.; Minami, K.; Verghese, G.C. Recursive speed and parameter estimation for induction machines. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1989, San Diego, USA, Proc.; S. 607-611 [574] Verghese, G.C.; Sanders, S.R. Observer for faster flux estimation in induction machines. IEEE Power Electronics Specialists Conference 1985 (PESC ’85), Proc.; S. 751760 [575] Vukosavi´c, S.; Peri´c, L.; Levi, E.; Vuˇckovi´c Sensorless Operation of the SR Motor with Constant Dwell. IEEE Power Electronics Specialists Conference 1990 (PESC ’90), Proc.; S. 451454 [576] Weidauer, M. Drehgeberlose Regelung umrichtergespeister Induktionsmaschinen in der Traktion. Dissertation, Ruhr-Universit¨ at Bochum 1999 [577] Xue, Y.; Xu, X.; Habetler, T.G.; Divan, D.M. A Low Cost Stator Flux Oriented Voltage Source Variable Speed Drive. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1990, Seattle, USA, Proc.; S. 410-415 [578] Yang, T. Impulsive Control Theory. Springer, 2001 [579] Yang, G.; Chin, T.H. Adaptive speed identification scheme for vector controlled speed sensor-less inverter-induction motor drive. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-29 (1993), No. 4, S. 820-825 [580] S.H. Yong, J.W. Choi, S.K. Sul Sensorless vector control of induction maschine using high frequency current injection. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1994, Denver, USA, Proc.; S. 503-508 [581] Li, Zhen A mutual MRAS identification scheme for position sensorless field oriented control of induction machines. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1995, Orlando, USA, Proc.; S. 159-165

Literaturverzeichnis

1293

[582] Zheng Peng, F.; Fukao, T.; Sheng Lai, J. Low-speed performance of robust speed identification using instantaneous reactive power for tacholess vector control of induction motors. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1994, Denver, USA, Proc.; S. 509-514 [583] Zheng Peng, F.; Fukao, T. Robust speed identification for speed sensorless vector control of induction motors. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-30 (1994), No. 5, S. 1234-1240 [584] Zinger, D.S.; Lipo, T.A.; Novotny, D.W. Using Induction Motor Stator Windings to Extract Speed Information. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1989, San Diego, USA, Proc.; S. 213-218 [585] Zinger, D.S.; Profumo, F.; Lipo, T.A.; Novotny, D.W. A direct field oriented controller for induction motor drives using tapped stator windings. IEEE Power Electronics Specialists Conference 1988 (PESC ’88), Proc.; S. 855861

Comments on Sensorless Control Methods [586] Briz, F; Diez, A.; Degner, M.W. Dynamic operation of carrier-signal-injection-based sensorless direct fieldoriented AC drives. IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 36, no. 5, pp. 1360-1368, Sep./Oct. 2000. [587] Cilia, J.; Asher, D.M.; Bradley, K.J. Sensorless position detection for vector controlled induction motor drives using an asymmetric outersection cage. IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 33, no. 5, pp. 1162-1169, Sep./Oct. 1997. [588] Consoli, A.; Scarcella, G.; Testa, A. A new zero frequency flux position detection approach for direct field oriented control drives. IEEE Trans. Ind. Applicat., vol. 36, no. 3, pp. 797-804, May/June 2000. [589] Consoli, A. AC machine sensorless control techniques based on high frequency signal injection. Proc. Int Conf. on PEMC, Koˇsice, Slovak Republic, 2000, vol. 1, pp. 98-103. [590] Consoli, A.; Scarcella, G.; Testa, A. Speed- and current-sensorless field-oriented induction motor drive operating at low frequencies. IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 40, no. 1, pp. 186-193, Jan./Feb. 2004. [591] Ha, J.-I.; Sul, K. Sensorless field-oriented control of an induction machine by high-frequency signal injection. IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 35, no. 1, pp. 45-51, Jan./Feb. 1999.

1294

Literaturverzeichnis

[592] Harnefors, L.; Hinkkanen, M. On the properties of full-order observers for sensorless induction motor drives. Proc. 12th Eur. Conf. Power Electronics and Applications (EPE), Aalborg, Denmark, 2007. [593] Hinkkanen, M. Analysis and design of full-order flux observers for sensorless induction motors. IEEE Trans. Ind. Electron., vol. 51, no. 5, pp. 1033-1040, Oct. 2004. [594] Hinkkanen, M.; Lepp¨ anen, V.-M.; Luomi, J. Flux observer enhanced with low-frequency signal injection allowing sensorless zero-frequency operation of induction motors. IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 41, no. 1, pp. 52-59, Jan./Feb. 2005. [595] Hinkkanen, M.; Luomi, J. Stabilization of regenerating-mode operation in sensorless induction motor drives by full-order flux observer design. IEEE Trans. Ind. Electron., vol. 51, no. 6, pp. 1318-1328, Dec. 2004. [596] Hoffmann, F.; Koch, S. Steady state analysis of speed sensorless control of induction machines. Proc. 24th Annu. Conf. IEEE Industrial Electronics Society (IECON), Aachen, Germany, 1998 [597] Holtz, J. Sensorless position control of induction motors — An emerging technology. IEEE Trans. Ind. Electron., vol. 45, no. 6, pp. 840-852, Nov./Dec. 1998. [598] Holtz, J.; Quan, J. Drift and parameter compensated flux estimator for persistent zero stator frequency operation of sensorless controlled induction motors. IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 39, no. 4, pp. 1052-1060, Jul./Aug. 2003. [599] Holtz, J.; Pan, H. Elimination of saturation effects in sensorless position controlled induction motors. IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 40, no. 2, pp. 623-631, Mar./Apr. 2004. [600] Kubota, H.; Matsuse, K.; Nakano, T. DSP based speed adaptive flux observer of induction motor. IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 29, no. 2, pp. 344-348, Apr./Mar. 1993. [601] Kubota, H.; Sato, I.; Tamura, Y.; Matsuse, K.; Ohta, H.; Hori, Y. Regeneration-mode low-speed operation of sensorless induction motor drive with adaptive observer. IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 38, no. 4, pp. 1081-1086, July/Aug. 2002. [602] Lascu, C.; Boldea, I.; Blaabjerg, F. Very low speed sensorless variable structure control of induction machine drives without signal injection. Proc. IEEE Int. Electric Machines and Drives Conf. (IEMDC), Madison, WI, Jun. 1-4, 2003, pp. 1395-1401. on CD-ROM. [603] Lepp¨anen, V.-M.; Luomi, J. Speed sensorless induction machine control for zero speed and frequency. IEEE Trans. Ind. Electron., vol. 51, no. 5, pp. 1041-1047, Oct. 2004.

Literaturverzeichnis

1295

[604] Linke, M. Injektion alternierender Tr¨ agersignale zur sensorlosen Regelung von Drehfeldmaschinen. Dissertation, Bergische Universit¨ at Wuppertal, VDI-Verlag, D¨ usseldorf, 2003. [605] Maes, J.; Melkebeek, J.A. Speed-sensorless direct torque control of induction motors using an adaptive flux observer. IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 36, no. 3, pp. 778-785, May/Jun. 2000. [606] Schauder, C. Adaptive speed identification for vector control of induction motors without rotational transducers. IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 28, no. 5, pp. 1054-1061, Sept./Oct. 1992. [607] Schroedl, M. Sensorless control of AC machines at low speed and standstill based on the “INFORM” method. Proc. IEEE Industry Applications Society Annu. Meeting, Pittsburgh, PA, Sep.-Oct. 1996, pp. 270-277. [608] Suwankawin, S.; Sangwongwanich, S. A speed-sensorless IM drive with decoupling control and stability analysis of speed estimation. IEEE Trans. Ind. Electron., vol. 49, no. 2, pp. 444-455, Apr. 2002. [609] Suwankawin, S; Sangwongwanich, S. Design strategy for an adaptive full-order observer for speed-sensorless induction-motor drives — Tracking performance and stabilization. IEEE Trans. Ind. Electron., vol. 53, no. 1, pp. 96-119, Feb. 2006. [610] Teske, N.; Asher, G.M.; Sumner, M.; Bradley, K.J. Suppression of saturation saliency effects for the sensorless position control of induction motor drives under loaded conditions. IEEE Trans. Ind. Electron., vol. 47, no. 5, pp. 1142-1149, Sep./Oct. 2000. [611] N. Teske, G. M. Asher, K. J. Bradley, and M. Sumner Analysis and suppression of inverter clamping saliency in sensorless position controlled of induction motor drives. Proc. IEEE Industry Applications Society Annu. Meeting, Chicago, IL, Sep.Oct. 2001, pp. 2629-2636.

Reluktanzmaschine [612] Amor, L.B.; Dessaint, L.-A.; Akhrif, O.; Olivier, G. Adaptive feedback linearization for position control of a switched reluctance motor: analysis and simulation. International Journal of Adaptive Control & Signal Processing, 1993, Vol. 7, No. 2, Mar.-Apr. 1993, S. 117-136 [613] Arkadan, A.A.; Shehadeh, H.H.; Brown, R.H.; Demerdash, N.A.O. Effects of chopping on core losses and inductance profiles of SRM drives. IEEE Trans. on Magnetics, Vol. 33 (1997), No. 2, S. 2105-2108

1296

Literaturverzeichnis

[614] Barnes, M.; Pollock, C. Power Electronic Converters for Switched Reluctance Drives. IEEE Trans. on Power Electronics, Vol. PE-13 (1998), No. 6, S. 1100-1111 [615] Benhama, A.; Williamson, A.C.; Reece, A.B.J. SRM torque computation from 3D finite element field solutions. 8th International Conference on Electrical Machines and Drives, Sept. 1997, S. 59-63 [616] Byrne J.V.; O’Dwyer, J.B. Saturable variable reluctance machine simulation using exponential functions. Proceedings of international conference on stepping motors and systems, Leeds University, U.K.; Sept. 1976, S. 11-16 [617] Ching, T.W.; Chau, K.T.; Chan, C.C. New zero-voltage-transition converter for switched reluctance motor drives. PESC Record, IEEE Annual Power Electronics Specialists Conference, Vol. 2, IEEE, Piscataway, NJ, USA, 1998, S. 1295-1301 [618] Dawson, G.E.; Eastham, A.R.; Mizia, J. Switched-reluctance motor torque characteristics: Finite-Element Analysis and Test Results. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-23 (1987), No. 3, S. 532-537 [619] El-Hawary Principles of electronic machines with power electronic applications. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1986 [620] Hava, A.; Wacknov, J.B.; Lipo, T.A. New ZCS resonant power converter topologies for variable reluctance machine drives. PESC Record, IEEE Annual Power Electronics Specialists Conference, Piscataway, NJ, USA, 1993, S. 432-439 [621] Husain, I.; Ehsani, M. Torque ripple minimization in switched reluctance motor drives by PWM current control. IEEE Trans. on Power Electronics, Vol. PE-11 (1996), No. 1, S. 83-88 [622] Ilic-Spong, M.; Marino, R.; Peresda, S.; Taylor, D.G. Feedback linearizing control of switched reluctance motors. IEEE Trans. on Automat. Contr. Vol. 32 (1997), S. 371-379 [623] Jack, A.G.; Finch, J.W.; Wright, J.P. Adaptive Mesh Generation Applied to Switched-Reluctance Motor Design. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-28 (1992), No. 2, S. 370-375 [624] Kim, C.H.; Ha, I.J. A new approach to feedback-linearizing control of variable reluctance motors for direct-drive applications. IEEE Trans. on Control Systems Technology, Vol. 4 (1996), No. 4, S. 348-362 [625] Kjaer, P.C.; Gribble, J.J.; Miller, T.J.E. High-grade control of switched reluctance machines. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-33 (1997), No. 6, S. 1585-1593

Literaturverzeichnis

1297

[626] Krishnan, R. Novel converter topology for switched reluctance motor drives. PESC Record — IEEE Annual Power Electronics Specialists Conference, Vol. 2, IEEE, Piscataway, NJ, USA, 1996, S. 1811-1816 [627] Lawrenson, P.J.; et al. Variable Speed Switched Reluctance Motors. IEE Proceedings, Electric Power Applications, Vol. 127 (1980), No. 4, S. 253265 [628] Lovatt, H.C.; Stephenson, J.M. Measurement of magnetic characteristics of switched-reluctance motors. ICEM Conference, 1992, S. 645-649 [629] Lovatt, H.C.; Stephenson, J.M. Computer-optimized smooth-torque current waveforms for switched-reluctance motors. IEE Proceedings, Electric Power Applications, Vol. 144 (1997), No. 5, S. 310316 [630] Manzer, Varghese, D.G.; Thorp, M.; James, S. Variable reluctance motor characterization. IEEE Trans. on Industrial Electronics, Vol. IE-36 (1989), No. 1, S. 56-63 [631] Michaelides, A.M.; Pollock, C. Effect of end core flux on the performance of the switched reluctance motor. IEE Proceedings, Electric Power Applications, Vol. 141 (1994), No. 6, S. 308316 [632] Michaelides, A.M.; Pollock, C. Modelling and design of switched reluctance motors with two phases simultaneously excited. IEE Proceedings, Electric Power Applications, Vol. 143 (1996), No. 5, S. 361370 [633] Miller, T.J.E. Switched reluctance motors and their control. Hillsboro, OH: Magna Physics Pub.; Oxford: Clarendon Press, 1993 [634] Miller, T.J.E.; McGilp, M. Nonlinear theory of the Switched Reluctance Motor for Rapid Computer-Aided design. IEE Proceedings Part B, Electric Power Appl.; Vol. 137 (1990), No. 6, S. 337-347 [635] Miller, T.J.E.; Glinka, M.; McGilp, M.; Cossar, C.; Gallegos-Lopez, G.; Ionel, D.; Olaru, M. Ultra-fast model of the switched reluctance motor. 33rd Industry Applications Society Annual Meeting, Vol. 1, 1998, S. 319-326 [636] Mir, S.; Husain, I.; Elbuluk, M.E. Energy-efficient C-dump converters for switched reluctance motors. IEEE Trans. on Power Electronics, Vol. PE-12 (1997), No. 5, S. 912-921

1298

Literaturverzeichnis

[637] Panda, S.K.; Dash, P.K. Application of nonlinear control to switched reluctance motors: A feedback linearization approach. IEE Proceedings, Electric Power Applications, Vol. 14 (1996), No. 5, S. 371379 [638] Phillips, N.W.; Bolton, H.R.; Lewis, J.D.; Pollock, C.; Barnes, M. Simulation of switched reluctance drive system using a commercially available simulation package. 7th International Conference on Electrical Machines and Drives, S. 257-260 [639] Pulle, D.W.J. New data base for switched reluctance drive simulation. IEE Proceedings Part B, Electric Power Appl.; Vol. 138 (1991), No. 6, S. 331-337 [640] Ramanarayanan, V.; Venkatesha, L.; Debiprasad Panda Flux-Linkage Characteristics of Switched Reluctance Motor. Proceedings of the IEEE International Conference on Power Electronics, Drives & Energy Systems for Industrial Growth, India, 1996, S. 281-285 [641] Rim, G.H.; Kim, W.H.; Cho, J.G. ZVT single pulse-current converter for switched reluctance motor drives. IEEE Annual Applied Power Electronics Conference and Exposition 1996 (APEC ’96), Proc.; Vol. 2, S. 949-955 [642] Rim, G.H.; Kim, W.H.; Kim, E.S.; Lee, K.C. A choppingless converter for switched reluctance motor with unity power factor and sinusoidal input current. Power Electronics Specialists Conference (PESC), Vol. 1, 1994, S. 500-507 [643] Russa, K.; Husain, I.; Elbuluk, M.E. Torque-ripple minimization in switched reluctance machines over a wide speed range. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-34 (1998), No. 5, S. 1105-1112 [644] Sadowski, N.; Lefevre, Y.; Neves, C.G.C.; Carlson, R. Finite elements coupled to electrical circuit equations in the simulation of switched reluctance drives: attention to mechanical behaviour. IEEE Trans. on Magnetics, Vol. 32 (1996), No. 3/1, S. 1086-1089 [645] Sadowski, N.; Carly, B.; Lefevre, Y.; Lajoie-Mazenc, M.; Astier, S. Finite element simulation of electrical motors fed by current inverters. IEEE Trans. on Magnetics, Vol. 29 (1993), No. 2, S. 1683-1688 [646] Sadowski, N.; Lefevre, Y.; Lajoie-Mazenc, M.; Cros, J. Finite element torque calculation in electrical machines while considering the movement. IEEE Trans. on Magnetics, Vol. 28 (1992), No. 2, S. 1410-1413 [647] Schramm, D.S.; Williams, B.W.; Green, T.C. Torque ripple reduction of switched reluctance motors by phase current optimal profiling. Power Electronics Specialists Conference (PESC), Vol. 2, 1992, S. 857-860 [648] Shuyu, C. Modeling and Control of Switched Reluctance Motor. Ph.D. Thesis, Nanyang Technological University, Singapore, 2001

Literaturverzeichnis

1299

[649] Stefanovic, V.R.; Vukosavic, S. SRM inverter topologies: A comparative evaluation. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-27 (1991), No. 6, S. 1034-1047 [650] Stephenson, J.M.; El-Khazendar, M.A. Saturation in doubly salient reluctance motors. IEE Proceedings Part B, Electric Power Applications, Vol. 136 (1989), No. 1, S. 50-58 [651] Stephenson, J.M.; Corda, J. Computation of torque and current in doubly salient reluctance motors from nonlinear magnetisation data. IEE Proceedings Part B, Electric Power Appl.; Vol. 126 (1979), No. 5, S. 393-396 [652] Taylor D.G.; Ilic-Sprong, M.; Peresada, S. Non-linear composite control of switched reluctance motors. IEE Industrial Electronics Conference 1986, S. 739-749 [653] Taylor, D.G. An experimental study on composite control of switched reluctance motors. IEEE Control Systems Magazine, Vol. 11 (1991), No. 2, S. 31-36 [654] Torrey, D.A.; Lang, J.H. Modelling a nonlinear variable-reluctance motor drive. IEE Proceedings Part B, Electric Power Appl.; Vol. 137 (1990), No. 5, S. 314-326 [655] Torrey, D.A. An experimentally verified variable-reluctance machine model implemented in the SABER circuit simulator. Electric Machines and Power Systems, 1996, 24, S. 199-209 [656] Wallace, R.S.; Taylor, D.G. A balanced commutator for switched reluctance motors to reduce torque ripple. IEEE Trans. on Power Electronics, Vol. PE-7 (1992), No. 4, S. 617-626 [657] Zeid, I. CAD/CAM Theory and Practice. New York, McGraw-Hill, 1991

Geschaltete Reluktanzmaschine: Auslegung und Regelung [658] Acarnley, P.P.; Hill, R.J.; Hooper, C.W. Detection of rotor position in stepping and switched motors by monitoring of current waveforms. IEEE Trans. on Industrial Electronics, Vol. IE-32 (1985), No. 3, S. 215-222 [659] Bartos, Houle, T.H.; Johnson, J.H. Switched reluctance motor with sensorless position detection. U.S. Patent No. 5,256,923, 1993 [660] Bedford Compatible brushless reluctance motors and controlled switch circuits. U.S. Patent No. 3,679,953, Juli 1972

1300

Literaturverzeichnis

[661] Bedford Compatible permanent magnet or reluctance brushless motors and controlled switch circuits. U.S. Patent No. 3,678,352, Juli 1972 [662] Bolognani, S.; Zigliotto, M. Fuzzy logic control of a switched reluctance motor drive. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1993, Conf. Proc.; S. 2049-2054 [663] Bose, B.K, Miller, T.J.E.; Szczesny, P.M.; Bicknell, W.H. Microcomputer control of switched reluctance motor. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-22 (1986), No. 4, S. 708-715 [664] Buja, G.S.; Valla, M.I. Control characteristics of the SRM drives — Part I: Operation in the linear region. IEEE Trans. on Industrial Electronics, Vol. IE-38 (1991), No. 5, S. 313-321 [665] Buja, G.S.; Valla, M.I. Control characteristics of the SRM drives — Part II: Operation in the saturated region. IEEE Trans. on Industrial Electronics, Vol. IE-41 (1994), No. 3, S. 316-325 [666] Byrne, McMullin, M.F.; O’Dwyer, J.B. A high performance variable reluctance drive: a new brushless servo. Proc. Motorcon Conf.; Chicago, USA, October 1985, S. 139-146 [667] Cameron, D.E. The origin and reduction of acoustic noise in doubly salient variable-reluctance motors. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-28 (1992), No. 6, S. 1250-1255 [668] Davis, R.; Davis, R.M. Inverter drive for doubly-salient reluctance motor: its fundamental behavior, linear analysis and cost implications. IEE Electric Power Applications, Vol. 2 (1979), No. 6, S. 185-193 [669] Davis, R.; Ray, W.F.; Blake, R.J. Inverter drive for switched reluctance: circuits and component ratings. IEE Proceedings Part B, Vol. 128 (1981), No. 2, S. 126-136 [670] Ehsani, M. Position sensor elimination technique for the switched reluctance motor drive. U.S. Patent No. 5,072,166, Dec. 1991 [671] Ehsani, M.; Husain, I. Rotor position sensing in switched reluctance motor drives by measuring mutually induced voltages. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-30 (1994), No. 3, S. 665-672 [672] Ehsani, M.; Ramani, K.R. Direct control strategies based on sensing inductance in switched reluctance motors. IEEE Power Electronics Specialists Conference 1993 (PESC ’93), Proc., S. 10-16

Literaturverzeichnis

1301

[673] Ehsani, M.; Ramani, S. New commutation methods in switched reluctance motors based on active phase vectors. IEEE Power Electronics Specialists Conference 1994 (PESC ’94), Proc.; S. 493499 [674] Ehsani, M.; Husain, I.; Kulkarni, A.B. Eliminiation of discrete position sensor and current sensor in switched reluctance motor drives. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1990, Seattle, USA, Proc.; S. 518-524 [675] Ehsani, M.; Husain, I.; Mahajan, S.; Ramani, K.R. New modulation encoding techniques for indirect rotor position sensing in switched reluctance motors. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-30 (1994), No. 1, S. 85-91 [676] Ehsani, M.; Husain, I.; Ramani, K.R.; Galloway, J.H. Dual-decay converter for switched reluctance motor drives in low-voltage applications. IEEE Trans. on Power Electronics, Vol. PE-8 (1993), No. 2, S. 224-230 [677] Hedlund A method and a device for sensorless control of a reluctance motor. International Patent No. WO 91/02401, 1986 [678] Hedlund Method and a device for sensorless control of a reluctance motor. U.S. Patent No. 5,173,650, 1992 [679] Husain, I.; Ehsani, M. Torque ripple minimization in switched reluctance motor drives by PWM current control. IEEE Annual Applied Power Electronics Conference and Exposition 1994 (APEC ’94), Proc.; S. 72-77 [680] Kavanagh, J.; Murphy, M.D.; Egan, M.G: Torque ripple minimization in switched reluctance drives using self-learning techniques. International Conference on Industrial Electronics, Control and Instrumentation 1991 (IECON ’91), Proc.; S. 289-294 [681] Lawrenson, P.J. Switched reluctance drives: a perspective. International Conf. Elec. Machines, I:12, Sept. 1992, Proc.; S. 12-22 [682] Lawrenson, P.J.; Stephenson, J.M.; Blenkinsop, P.T, Corda, J.; Fulton, N.N. Variable-speed switched reluctance motors. IEE Proceedings Part B, Vol. 127 (1980), No. 4, S. 253-265 [683] Lumsdaine, A.; Lang, H.J. State observers for variable-reluctance motors. IEEE Trans. on Industrial Electronics, Vol. IE-37 (1990), No. 2, S. 133-142 [684] Miller Switched reluctance motor drives. PCIM, Intertec Communcications Inc.; 1988

1302

Literaturverzeichnis

[685] Miller, J.T.E.; Bass, J.T.; Ehsani, M. Stabilization of variable-reluctance motor drives operating without shaft position sensor feedback. Incremental Motion Control Systems and Devices 1985, Proceedings, S. 361368 [686] Pillay, P.; Samudio, R.; Ahmed, M.; Patel, R. A chopper-controlled SRM drive for reduced acoustic noise and improved ridethrough capability using super capacitors. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1994, Conf. Proc.; S. 313321 [687] Pollock, C.; Wu, C.Y. Acoustic noise cancellation techniques for switched reluctance drives. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1995, Orlando, USA, Proc.; S. 448-455 [688] Reay, Green, T.C.; Williams, B.W. Neural networks used for torque ripple minimization form a switched reluctance motor. 5th European Conf. on Power Electronics and Applications (EPE) 1993, Brighton, UK, S. 1-6 [689] Schramm, Williams, B.W.; Green, T.C. Torque ripple reduction of switched reluctance motors by phase current optimal profiling. IEEE Power Electronics Specialists Conference 1992 (PESC ’92), Proc.; S. 856860 [690] Tandon, P.; Rajarathnam, A.V.; Ehsani, M. Self-tuning control of a switched reluctance motor drive with shaft position sensor. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1996, San Diego, USA, S. 101-108 [691] Tormey, D.P.; Torrey, D.A. A comprehensive design procedure for low torque-ripple variable reluctance motor drives. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1991, Proc.; Vol. 1, S. 244-251 [692] Vukosavic, S.; Stefanovic, V.R. SRM inverter topologies: a comparative evaluation. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-27 (1991), No. 6, S. 1034-1047 [693] Wallace, Taylor, D.G. Three-phase switched reluctance motor design to reduce torque ripple. Int. Conf. Electrical Machines 1990, Cambridge, USA, Proc.; S. 783-787

Literaturverzeichnis

1303

Geschaltete Reluktanzmaschine: Optimierter Betrieb [694] Ehsani, M.; Ramani, K.R. New commutation methods in switched reluctance motors based on active phase vectors. IEEE Power Electronics Specialists Conference 1994 (PESC ’94), Proc.; Vol. 1, S. 493-499 [695] Fausett, L. Fundamentals of Neural Networks. Prentice Hall, 1994 [696] Foslien, W.K.; Samad, T. Incremental supervised learning: localized updates in nonlocal networks. Science of Artificial Neural Networks, Proc. SPIE 1710, 1992, S. 608-617 [697] Grossberg, S. Competitive learning: From interactive activation to adaptive resonance. Cognit. Sci.; 1987, Vol. 11, S. 23-63 [698] Kjaer, P.C.; Nielsen, P.; Andersen, L.; Blaabjerg, F. A new energy optimizing control strategy for switched reluctance motors. IEEE Annual Applied Power Electronics Conference and Exposition 1994 (APEC ’94), Proc.; S. 48-55 [699] Orthmann, R.; Schoner, H.P. Turn-off angle control of switched reluctance motors for optimum torque output. 5th European Conf. on Power Electronics and Applications (EPE) 1993, Brighton, UK, S. 20-25 [700] Rajarathnam, A.V.; Fahimi, B.; Ehsani, M. Neural networks based self-tuning control of a switched reluctance motor drive to maximize torque per ampere. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1997, New Orleans, USA, Vol. 1, S. 548-555 [701] Tandon, P.; Rajarathnam, A.V.; Ehsani, M. Self-tuning control of a switched reluctance motor drive with shaft position sensor. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1996, San Diego, USA, Vol. 1, S. 101-108 [702] Torrey, D.A.; Lang, L.H. Optimal-efficiency excitation of variable-reluctance motor drives. IEE Proceedings Part B, Vol. 138 (1991), No. 1, S. 1-14

Geschaltete Reluktanzmaschine: Geberloser Betrieb [703] Arefeen, M.S.; Ehsani, M.; Lipo, T.A. An Analysis of the Accuracy of Indirect Shaft Sensor for Synchronous Reluctance Motor. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-30 (1994), No. 5, S. 1202-1208

1304

Literaturverzeichnis

[704] Arefeen, M.S.; Ehsani, M.; Lipo, T.A. Elimination of Discrete Position Sensor for Synchronous Reluctance Motor. IEEE Power Electronics Specialists Conference 1993 (PESC ’93), Proc.; S. 440445 [705] Arefeen, M.S.; Ehsani, M.; Lipo, T.A. Indirect Startup Rotor Position Sensor for Synchronous Reluctance Motor. IEEE Annual Applied Power Electronics Conference and Exposition 1993 (APEC ’93), Proc.; S. 78-82 [706] Arefeen, M.S.; Ehsani, M.; Lipo, T.A. Sensorless Position Measurements in Synchronous Reluctance Motor. IEEE Trans. on Power Electronics, Vol. PE-9 (1994), No. 6, S. 624-630 [707] El-Antably, A.; Zubek, J. Proposed Control Strategy for a Cageless Reluctance Motor using Terminal Voltage and Current. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1985, Toronto, Canada, Proc.; S. 753-758 [708] Elmas, C.; Zelaya-De La Parra, H. Position sensorless operation of a switched reluctance drive based on observer. 5th European Conf. on Power Electronics and Applications 1993 (EPE ’93), Brighton, UK, Proc.; Vol. 6, S. 82-87 [709] Harris, W.D.; Lang, J.H. A simple motion estimator for variable-reluctance motors. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-26 (1990), No. 2, S. 237-243 [710] Husain, I.; Ehsani, M. Error analysis in indirect rotor position sensing of switched reluctance motors. IEEE Trans. on Industrial Electronics, Vol. IE-41 (1994), S. 301-307 [711] Jovanovic, M.; Betz, R.E.; Platt, D. Position and Speed Estimation of Sensorless Synchronous Reluctance Motor. International Conf. on Power Electronics and Drive Systems, 1995, Proc.; Vol. 2, S. 844-849 [712] Kawamura, A. Survey of position sensorless switched reluctance motor control. International Conference on Industrial Electronics, Control and Instrumentation 1994 (IECON ’94), Bologna, Italy, Proc.; Vol. 3, S. 1595-1598 [713] Kreindler, L.; Testa, A.; Lipo, T.A. Position Sensorless Synchronous Reluctance Motor Drives Using the Stator Phase Voltage Third Harmonic. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1993, Seattle, USA, Proc.; Vol. 1, S. 679-686 [714] Laurent, P.; Gabsi, M.; Multon, B. Sensorless rotor position analysis using resonant method for switched reluctance motor. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1993, Seattle, USA, Proc.; Vol. 1, S. 687-694

Literaturverzeichnis

1305

[715] Lee, P.W.; Pollock, C. Rotor position detection techniques for brushless permanent-magnet and reluctance motor drives. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1992, Houston, USA, Proc.; Vol. 1, S. 448-455 [716] Liu, T.H.; Lin, M.T. DSP Based Sliding Mode Control for a Sensorless Reluctance Motor. International Conference on Industrial Electronics, Control and Instrumentation 1994 (IECON ’94), Bologna, Italy, Proc.; Vol. 1, S. 182-187 [717] Lyons, J.P.; MacMinn, S.R. Lock detector for switched reluctance machne rotor position estimator. U.S. Patent No. 5,140,244, 1992 [718] Lyons, J.P.; MacMinn, S.R. Rotor position estimator for a switched reluctance machine. U.S. Patent No. 5,097,190, 1992 [719] Lyons, J.P.; MacMinn, S.R.; Preston, M.A. Flux-current methods for SRM rotor position estimation. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1991, Proc.; Vol. 1, S. 482-487 [720] Lyons, J.P.; MacMinn, S.R.; Preston, M.A. Rotor position estimator for a switched reluctance machine using a lumped parameter flux/current model. U.S. Patent No. 5,107,195, 1992 [721] MacMinn, S.R.; Szczesny, P.M.; Rzesos, W.J.; Jahns, T.M. Application of sensor integration techniques to switched reluctance motor drives. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1988, Proc.; Vol. 1, S. 584-588 [722] Matsuo, T.; Lipo, T.A. Rotor Position Detection Scheme for Synchronous Reluctance Motor Based on Current Measurements. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-31 (1995), No. 4, S. 860-868 [723] Mvungi, N.H.; Lahoud, M.A.; Stephenson, J.M. A new sensorless position detector for SR drives. 4th International Conf. on Power Electronics and Variable-Speed Drives 1991, Proc.; S. 249-252 [724] Perl, T.; Husain, I.; Elbuluk, M. Design trends and trade-offs for sensorless operation of switched reluctance motor drives. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1995, Orlando, USA, Proc.; Vol. 1, S. 278-285 [725] Ray, W.F.; Al-Bahadly, I.H. Sensorless methodes for determining the rotor position of switched reluctance motors. 5th European Conf. on Power Electronics and Applications 1993 (EPE ’93), Brighton, UK, Proc.; Vol. 6, S. 7-13

1306

Literaturverzeichnis

[726] Stanton, D.A.; Soong, W.L.; Miller, T.J.E. Unified Theory of Torque Production in Switched Reluctance and Synchronous Reluctance Motors. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-31 (1995), No. 2, S. 329-333 [727] Vukosavic, S.; Peric, L.; Levi, E.; Vuckovic, V. Sensorless operation of the SR motor with constant dwell . IEEE Power Electronics Specialists Conference 1990 (PESC ’90), Proc.; S. 451454 [728] Xiang, Y.O.; Nasar, S.A. Estimation of Rotor Position and Speed of a Synchronous Reluctance motor for Servodrives. Electric Power Applications, IEE Proceedings, Vol. 142 (1995), No. 3, S. 201205

Geschaltete Reluktanzmaschine: Synchron-Reluktanzmotor [729] Bado, A.; Bolognani, S.; Zigliotto, M. Effective estimation of speed and rotor position of a PM synchronous motor drive by a Kalman filtering technique. IEEE Power Electronics Specialists Conference 1992 (PESC ’92), Proc.; Vol. 2, S. 951-957 [730] Becerra, R.C.; Ehsani, M.; Jahns, T.M. Four-quadrant brushless ECM drive with integrated current regulation . IEEE Annual Applied Power Electronics Conference and Exposition 1991 (APEC ’91), Proc.; S. 202-209 [731] Binns, K.J.; Al-Aubidy, K.M.; Shimmin, D.W. Implicit rotor position sensing using search coils for a self-commutating permanent magnet drive system. Electric Power Applications, IEE Proceedings Part B, Vol. 137 (1990), No. 4, S. 253-258 [732] Brunsbach, B.-J.; Henneberger, G.; Klepsch, T. Position controlled permanent excited synchronous motor without mechanical sensors. 5th European Conf. on Power Electronics and Applications 1993 (EPE ’93), Brighton, UK, Proc.; Vol. 6, S. 38-43 [733] Cardoletti, L.; Cassat, A. Sensorless Position and Speed Control of a Brushless DC Motor from Start-up to Nominal Speed. EPE Journal, Vol. 2 (1992), No. 1, S. 25-34 [734] Consoli, A.; Musumeci, S.; Raciti, A.; Testa, A. Sensorless vector and speed control of brushless motor drives. IEEE Trans. on Industrial Electronics, Vol. IE-41 (1994), No. 1, S. 91-96

Literaturverzeichnis

1307

[735] Dhaouadi, R.; Mohan, N.; Norum, L. Design and implementation of an extended Kalman filter for the state estimation of a permanent magnet synchronous motor. IEEE Trans. on Power Electronics, Vol. 6 (1991), No. 3, S. 491-497 [736] Endo, T.; Tajima, F, et. al. Microcomputer controlled Brushless Motor Without a Shaft Mounted Position Sensor. International Power Electronic Conf. 1983, Tokyo, Japan, S. 1477-1486 [737] Erdman, D.M.; Harms, H.B.; Oldenkamp, J.L. Electronically Commutated DC Motors for the Appliance Industry. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1984, Proc.; S. 1339-1345 [738] Ertugrul, N.; Acarnley, P. A new algorithm for sensorless operation of permanent magnet motors. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-30 (1994), No. 1, S. 126-133 [739] Ferrais, P.; Vagati, A.; Villara, F. PM Brushless Motor Drives: A Self-Commutation System Without RotorPosition Sensors. 9th Annual Symposium on Incremental Motion Control Systems and Devices 1980 (June), S. 305-312 [740] Iizuka, K.; Uzuhashi, H.; et. al. Microcomputer Control for Sensorless Brushless Motor. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-21 (1985), No. 3, S. 595-601 [741] Jones, L.A.; Lang, J.H. A State Observer for the Permanent Magnet Synchronous Motor. IEEE Trans. on Industrial Electronics, Vol. IE-36 (1989), No. 3, S. 374-382 [742] Jufer, M. Self-Commutation of Brushless DC Motors without Encoders. 1st European Conf. on Power Electronics and Applications 1985 (EPE ’85), Brussels, Belgium, Proc.; Vol. 3, S. 3.275-3.280 [743] Katsushima, H.; Miyazaki, S.; et. al. A Measuring Method of Rotor Position Angles of the Direct Drive Servo Motor. IPRC Conference, Tokyo, Japan, 1990, Proc.; S. 724-731 [744] Krishnan, R.; Ghosh, R. Starting algorithm and performance of a PM DC brushless motor drive system with no position sensor. IEEE Power Electronics Specialists Conference 1989 (PESC ’89), Proc.; Vol. 2, S. 815-821 [745] Kulkarni, A.B.; Ehsani, M. A novel position sensor elimination technique for the interior permanentmagnet synchronous motor drive. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-28 (1992), No. 1, S. 144-150 [746] Lin, R.L.; Hu, M.T.; Chen, S.C.; Lee, C.Y. Using phase-current sensing circuit as the position sensor for brushless DC motors without shaft position sensor. International Conference on Industrial Electronics, Control and Instrumentation 1989 (IECON ’89), Conf. Proc.; Vol. 1, S. 215-218

1308

Literaturverzeichnis

[747] Liu, T.H.; Cheng, C.P. Adaptive Control for a Sensorless Permanent Magnet Synchronous Motor Drive. International Conference on Industrial Electronics, Control and Instrumentation (IECON ’92), Proc.; Vol. 1, S. 413-418 [748] Liu, T.H.; Cheng, C.P. Controller design for a sensorless permanent-magnet synchronous drive system. Electric Power Applications, IEE Proceedings Part B, Vol. 140 (1993), No. 6, S. 369-378 [749] Matsui, N.; Shigyo, M. Brushless DC motor control without position and speed sensors. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-28 (1992), No. 1, S. 120-127 [750] Matsui, N.; Takeshita, T.; Yasuda, K. A new sensorless drive of brushless DC motor. International Conference on Industrial Electronics, Control and Instrumentation 1992 (IECON ’92), Proc.; Vol. 1, S. 430-435 [751] Matsui, N. Sensorless operation of brushless DC motor drives. International Conference on Industrial Electronics, Control and Instrumentation 1993 (IECON ’93), Maui, USA, Proc.; Vol. 2, S. 739-744 [752] Meshkat, S. Sensorless Brushless DC Motor using DSPs and Kalman Filtering. DSP Applications, June 1993, S. 59-63 [753] Moreira, J.C. Indirect sensing for rotor flux position of permanent magnet AC motors operating in a wide speed range. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1994, Denver, USA, Proc.; Vol. 1, S. 401-407 [754] Moynihan, J.F.; Egan, M.G.; Murphy, J.M.D. The application of state observers in current regulated PM synchronous drives. International Conf. on Industrial Electronics, Control and Instrumentation 1994 (IECON ’94), Bologna, Italy, Proc.; Vol. 1, S. 20-25 [755] Nagata, M.; Yanase, S.; et. al. Control Apparatus for Brushless Motor. U.S. Patent No. 4,641,066, Feb. 3rd, 1987 [756] Naidu, M.; Bose, B.K. Rotor position estimation scheme of a permanent magnet synchronous machine for high performance variable speed drive. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1992, Houston, USA, Proc.; Vol. 1, S. 48-53 [757] Ogasawara, S.; Akagi, H. An approach to position sensorless drive for brushless DC motors. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-27 (1991), No. 5, S. 928-933

Literaturverzeichnis

1309

[758] Rajashekara, K.S.; Kawamura, A. Sensorless Control of Permanent Magnet AC Motors. International Conference on Industrial Electronics, Control and Instrumentation 1994 (IECON ’94), Bologna, Italy, Proc.; Vol. 3 , S. 1589-1594 [759] Schroedl, M. An Improved Position Estimaotr for Sensorless Controlled Permanent Magnet Synchronous Motors. 4th European Conf. on Power Electronics and Applications 1991 (EPE ’91), Proc.; S. 418-423 [760] Schroedl, M. Digital Implementation of a Sensorless Algorithm for Permanent Magnet Synchronous Motors. 5th European Conf. on Power Electronics and Applications 1993 (EPE ’93), Brighton, UK, Proc.; S. 430-435 [761] Schroedl, M. Sensorless Control of Permanent Magnet Synchronous Motors. Electric Machines and Power Systems, Vol. 22 (1994), S. 173-185 [762] Schroedl, M. Sensorless Control of Permanent Magnet Synchronous Machines at Arbitrary Operating Points Using a Modified INFORM“ Flux Model. ” European Trans. on Electrical Power Engineering (ETEP), VDE-Verlag, Vol. 3 (1993), No. 4, S. 277-283 [763] Sepe, R.B.; Lang, J.H. Real-time adaptive control of the permanent-magnet synchronous motor. IEEE Trans. on Industry Applications, Vol. IA-27 (1991), No. 4, S. 706-714 [764] Shinkawa, O.; Tabata, K.; Uetake, A.; Shimoda, T.; Ogasawara, S.; Akagi, H. Wide speed operation of a sensorless brushless DC motor having an interior permanent magnet rotor. Power Conversion Conference 1993, (PCC ’93), Yokohama, Japan, Proc.; S. 364-370 [765] Watanabe, H.; Katsushima, H.; Fujii, T. An improved measuring system of rotor position angles of the sensorless direct drive servomotor. International Conference on Industrial Electronics, Control and Instrumentation 1991 (IECON ’91), Proc.; Vol. 1, S. 165-170 [766] Wu, R.; Slemon, G.R. A permanent magnet motor drive without a shaft sensor. IEEE Industry Applications Society Annual Meeting 1990, Seattle, USA, Proc.; Vol. 1, S. 553-558

1310

Literaturverzeichnis

Identifikation linerarer dynamischer Systeme [767] Gelb, A. Applied optimal estimation. MIT-Press 1974 [768] Heuberger, P. S.; Van den Hof, P. M.; Bosgra, O. H. A Generalized Orthonormal Basis for Linear Dynamical Systems. IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 40, 1995, S. 451-465 [769] Isermann, R. Identifikation dynamischer Systeme - Band 1. Springer-Verlag, Berlin, 1992 [770] Isermann, R. Identifikation dynamischer Systeme - Band 2. Springer-Verlag, Berlin, 1992 [771] Junge, T. F. On-line“-Identifikation und lernende Regelung ” nichtlinearer Regelstrecken mittels neuronaler Netze. VDI Verlag, D¨ usseldorf, 1999 [772] Killich, A. Prozeßidentifikation durch Gewichtsfolgensch¨ atzung. Dissertation, VDI Verlag, D¨ usseldorf, 1991 [773] Kortmann, M. Die Identifikation nichtlinearer Ein- und Mehrgr¨ oßensysteme auf der Basis nichtlinearer Modellans¨ atze. VDI Verlag, 1989 [774] Kurth, J. Identifikation nichtlinearer Systeme mit komprimierten Volterra-Reihen. Dissertation, VDI Verlag, D¨ usseldorf, 1995 [775] Ljung, L. System Identification, Theorie for the User. Prentice - Hall, Upper Saddle River NJ, 1999 [776] Nelles, O. Nonlinear System Identification. Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo, 2001 [777] Papageorgiou, M. Optimierung — Statische, dynamische, stochastische Verfahren f¨ ur die Anwendung. Oldenburg Verlag, M¨ unchen, Wien, 1991 [778] Schaffner, J.; Zeitz, M. Entwurf nichtlinearer Beobachter. Engell S. (Hrgb.), Odenbourg 1995, S. 53-76 [779] Schmidt, G. Lernverfahren in der Automatisierungstechnik. Vorlesungsskriptum Lehrstuhl f¨ ur Steuerungs- und Regelungstechnik an der Technischen Universit¨ at M¨ unchen, 1997

Literaturverzeichnis

1311

[780] S¨oderstr¨om, T.; Stoica, P. System Identification. University Press Cambridge, 1989 [781] Unbehauen, H.; Rao, G. P. Identification of Continuous Systems. North-Holland Systems and Control Series, Vol. 10, Amsterdam, 1987 [782] Unbehauen, H. Regelungstechnik I. Vieweg Verlag, Braunschweig, Wiesbaden, 1992 [783] Wahlberg, B. System Identification using Laguerre Models. IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 36, 1991, S. 551-562 [784] Wahlberg, B. System Identification using Kautz Models. IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 39, 1994, S. 1276-1282 [785] Welch, G.; Bishop, G. An Introduction to Kalman Filter. Department of Computer Science, University of North Carolina at Chapel Hill, 2006 [786] Zeidler, E. (Hrsg.) Teubner-Taschenbuch der Mathematik. B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig, Teil 1, 1996 [787] Zurm¨ uhl, R. Matrizen. — und ihre technischen Anwendungen. Springer Verlag, Berlin G¨ ottingen Heidelberg, 4. Aufl., 1964

Systemintegration elektrischer Antriebe [788] Litz, L. Reduktion der Ordnung linearer Zustandsraummodelle mittels modaler Verfahren. Dissertation, Univ. Karlsruhe, 1979 [789] Sch¨afer, U. Entwicklung von nichtlinearen Drehzahl- und Lageregelungen zur Kompensation von Coulomb-Reibung und Lose bei einem elektrisch angetriebenen elastischen Zweimassensystem. Dissertation, TU M¨ unchen, 1993 [790] Sch¨affner, C.; Schr¨ oder, D. An Application of General Regression Neural Network to Nonlinear Adaptive Control. 5th European Conference on Power Electronics and Applications EPE, Brighton, UK, Proceedings Vol. 4, 1993, S. 219-223

1312

Literaturverzeichnis

[791] Sch¨affner, C.; Schr¨ oder, D. Approximation of Time-Optimal Control for an Industrial Plant with General Regression Neural Network. International Conference on Artificial Neural Networks ICANN, Proceedings Vol. 2, 1994, S. 1199-2102 [792] Sch¨affner, C.; Schr¨ oder, D.; Lenz, U. Application of Neural Networks to Motor Control. IPEC Yokohama, 1995 [793] Schr¨oder, D. Requirements in Motion Control Applications. IFAC Workshop Motion Control for Intelligent Automation“, invited paper, ” Perugia, Italy, 1992, S. 19-27

Schwingungsd¨ ampfung [794] Ackermann, J. Robust Control, Systems with Uncertain Physical Parameters. Springer-Verlag, London, 1993 [795] Blanuˇsa, D. Viˇsa matematika, I dio, prvi svezak: algebra i algebarska analiza. Tehniˇcka knjiga, Zagreb, Croatia, 1963 [796] Bruner, A.M.; Belvin, W.K.; Horta, L.G.; Juang, J.-N. Active vibration absorber for the csi evolutionary model: Design and experimental results. Jour. of Guidance, Control and Dynamics, Vol. 15 (1992), No. 5, S. 1253-1257 [797] Elmali, H.; Hosek, M.; Olgac, N. Delayed resonator application on a cantilever beam. Proc. of Japan-USA Intelligent Control Conference, 1996 [798] Filipovi´c, D.; Olgac, N. Delayed resonator with speed feedback including dual frequency, theory and experiments. Control and Decision Conference, San Diego, USA, 1997 [799] Filipovi´c, D.; Olgac, N. Torsional delayed resonator with velocity feedback. IEEE/ASME Trans. on Mechatronics, Vol. 3 (1998), No. 1, S. 67-72 [800] Filipovi´c, D.; Schr¨ oder, D. Absorption mechanischer Schwingungen mittels Linearem Aktivem Resonator — Einmassen-Mehrfrequenz-Absorber. VDI Berichte No. 1285, S. 507-520, Veitsh¨ ochheim, Germany, 1996 [801] Filipovi´c, D.; Schr¨ oder, D. Multiple-frequency vibration suppression with the linear active absorber. Proc. of PEMC ’96 Conference, Vol. 1, S. 58-65, Budapest, 1996 [802] Filipovi´c, D.; Schr¨ oder, D. Suppression of mechanical vibrations with linear active resonator — experimental system. Proc. of 9th Int. Conf. on EDPE, S. 200-203, Dubrovnik, Croatia, 1996

Literaturverzeichnis

1313

[803] Filipovi´c, D.; Schr¨ oder, D. Discrete time design and analysis of linear active resonators. Proc. of PEMC ’98 Conference, Prag, 1998 [804] Filipovi´c, D.; Schr¨ oder, D. Vibration analysis with linear active resonators — continuous and discrete time design and analysis. Journal of Vibration and Control, 1998 [805] Filipovi´c, D.; Schr¨ oder, D.; Olgac, N. Aktive Schwingungsd¨ ampfung mittels “delayed resonator”. VDI Berichte No. 1220, Veitsh¨ ochheim, Germany, 1995, S. 593-605 [806] Filipovi´c, D. Resonating and Bandpass Vibration Absorbers with Local Dynamic Feedback. Ph.D. Thesis, Technische Universit¨ at M¨ unchen, Munich, Germany, 1998 [807] Frahm, H. Neuartige Schlingertanks zur Abd¨ ampfung von Schiffsrollbewegungen und ihre erfolgreiche Anwendung in der Praxis. Jahrbuch der Schiffbautechnischen Gesellschaft, Band 12, 1911, S. 283 [808] Frazer, R.; Duncan, W. On the criteria for the stability of small motions. Proc. Royal Society A, Vol. 124 (1929), S. 642-654 [809] Gantmacher, F.R. Matrizenrechnung, Teil I, allgemeine Theorie. VEB deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1970 [810] Hirata, T.; Koizumi, S.; Takahashi, R. H∞ control of railroad vehicle active suspension. Automatica, Vol. 31 (1995), No. 1, S. 13-24 [811] Inman, D.J. Vibration: with Control, Measurement and Stability. Prentice-Hall, Eaglewood Cliffs, N.J.; 1989 [812] J¨ockel, A. Aktive Schwingungsd¨ampfung im Antriebsstrang von Triebfahrzeugen auf der Grundlage von Systemmodellierung und Betriebsmessungen. Dissertation, Technische Universit¨ at Darmstadt, 1999 [813] Korenev, B.G.; Reznikov, L.M. Dynamic Vibration Absorbers, Theory and Technical Applications. John Wiley and Sons, Chichester, UK, 1993 [814] Leipholz, H.H.E.; Abdel-Rohman, M. Control of Structures. Martinus Nijhoff Verlag, Dordrecht, 1986 [815] Meirovitch, L. Elements of Vibration Analysis. McGraw-Hill, New York, 1986 [816] Meirovitch, L. Dynamics and Control of Structures. John Wiley and Sons, New York, 1990

1314

Literaturverzeichnis

[817] Morys, B.; Kuntze, H.-B. Entstehung und Ausregelung von Strukturschwingungen bei Hochgeschwindigkeitsz¨ ugen, verursacht durch Radunrundheiten. VDI Berichte, No. 1282, 1996, S. 449-460 [818] M¨ uller, P.C.; Schiehlen, W.O. Forced Linear Vibrations. Number 172 in Int. Centre for Mech. Sciencies, Courses and Lectures. SpringerVerlag, Wien, New York, 1977 [819] M¨ uller, P.C.; Schiehlen, W.O. Linear Vibrations. Mechanics: Dynamical systems. Martinus Nijhoff Publishers, Dordrecht, Netherlands, 1985 [820] Nashif, A.D.; Jones, D.I.; Henderson, J.P. Vibration Damping. John Wiley, 1985 [821] Olgac, N.; Elmali, H.; Renzulli, M.; Hosek, M. High frequency implementation of delayed resonator concept using piezoelectric actuators. Active ’95 (Noise and Vibration Conference, Newport Beach, California, USA, 1995 [822] Olgac, N.; Elmali, H.; Vijayan, S. Introduction to the dual frequency fixed delayed resonator. Journal of Sound and Vibration, Vol. 189 (1996), No. 3, S. 355-367 [823] Olgac, N.; Holm-Hansen, B.T. A novel active vibration absorption technique: Delayed resonator. Journal of Sound and Vibration, Vol. 176 (1994), No. 1, S. 93-104 [824] Soong, T.T. Active Structural Control: Theory and Practice. John Wiley, NY, 1990 [825] Soong, T.T.; Reinhorn, A.M.; Wang, Y.P.; Lin, R.C. Full-Scale Implementation of Active Control. In: Design and Simulation. Journal of Structural Engineering, New York, Vol. 117 (1991), No. 11 [826] Spencer Jr., B.F.; Dyke, S.J.; Deoskar, H.S. Benchmark problems in structural control, Part I: Active mass driver system. Proc. of the 1997 ASCE Structures Congress, Portland, OR, 1997 [827] Strehlow, H.; Mehlhose, R.; Znika, P. Rewiev of MBB’s passive and active vibration control activities. Aero Tech Conf.; Birmingham, 1992, S. 14-17 [828] Wang, Y.Z.; Cheng, S.H. The optimal design of dynamic absorber in the time domain and the frequency domain. Applied Acoustics, 28, 1989, S. 67-78 [829] Yang, J.N. Recent Advances in Active Control of Civil Engineering Structures. Journal of Probabilistic Engineering Mechanics, Vol. 3, 1991

Literaturverzeichnis

1315

[830] Yang, B. Noncolocated Control of a Damped String Using Time Delay. Proceedings of the American Control Conference, Vol. 3, Boston, 1991

Objektorientierte Modellierung, Deskriptorsysteme [831] ABACUSS Homepage: http://yoric.mit.edu/abacuss/abacuss.html [832] Anathavaman, M. Flexible Multibody Dynamics — An Object-Oriented Approach. Proc. of the NATO ASI on Computer Aided Analysis of Rigid and Flexible Mechanical Systems, Vol. II (1993), S. 383-402 [833] Anderson, M. Dymola — An Object Oriented Language for Model Representations. Thesis TFRT-3208, Lund Institute of Technology [834] Armstrong-H´elouvry, B. Control of Machines with Friction. Kluwer Academic Publishers, 1991 [835] Bae, D.S.; Hang, I. A recursive formulation for constrained mechanical system dynamics. Part I: Open loop systems. Mech. Struc. Mach. Vol. 15 (1987), S. 359-382 [836] Benveniste, A.; Caspi, P.; Edwards, S.; Halbwachs, N.; le Guernic, P.; de Simone, R. The Synchronous Languages, 12 Years Later. Proceedings of the IEEE, Vol. 91, No. 1, 2003, S. 64-83. [837] Brenan, K.E.; Campbell, S.L.; Petzold, L.R. Numerical Solution of Initial-Value Problems in Differential-Algebraic Equations. Elsevier Science Publishers, 2. Auflage, 1996 [838] Canudas de Wit, C.; Olsson, H.; ˚ Astr¨ om, K.J.; Lischinsky, P. A New Model for Control of Systems with Friction. International Conference on Control Theory and its Application, Kibbutz Maab Hachamisha, Israel, Okt. 1993 [839] Carpanzano, E.; Girelli, R. The Tearing Problem: Definition, Algorithm and Application to Generate Efficient Computational Code from DAE Systems. Proceedings of 2nd Mathmod Vienna, IMACS Symposium on Mathematical Modelling, Wien, 1997 [840] Casella, F.; Otter, M.; Proelss, K.; Richter, C.; Tummescheit, T. The Modelica Fluid and Media library for modeling of incompressible and compressible thermo-fluid pipe networks. Proceedings of 5th International Modelica Conference, Wien, Sept. 4-5, 2006, S. 631-640, http://www.modelica.org/events/modelica2006/Proceedings/sessions/Session6b1.pdf

1316

Literaturverzeichnis

[841] Cellier, F.E. Combined Continuous/Discrete System Simulation by Use of Digital Computers: Techniques and Tools. Dissertation, Diss ETH No 6483, ETH Z¨ urich, 1979 [842] Cellier, F.E. Continuous System Modeling. Springer Verlag, New York, 1991 [843] Cellier, F.E.; Elmqvist, H. Automated formula manipulation supports object-oriented continuous-system modeling. IEEE Control Systems Magazine, Vol. 13 (1993), S. 28-38 [844] Clauß, C.; Haase, J.; Kurth, G.; Schwarz, P. Extended Amittance Description of Nonlinear n-Poles. ¨ Archiv f¨ ur Elektronik und Ubertragungstechnik / International Journal of Electronics and Communications, Vol. 40 (1995), S. 91-97 [845] Duff, I.S.; Erisman, A.M.; Reid, J.K. Direct Methods for Sparse Matrices. Oxford Science Publication, 1986 [846] Dymola. Internet: http://www.dynasim.com [847] EcosimPro. Internet: http://www.ecosimpro.com [848] Elmqvist, H. A Structured Model Language for Large Continuous Systems. Ph.D. Thesis, Departement of Automatic Control, Lund Institute of Technology, Lund, Schweden, 1978 [849] Elmquist, H. Dymola — User’s Manual. Dynasim AB, Lund, Sweden, 1993 [850] Elmqvist, H.; Otter, M.; Schlegel, C. Physical Modeling with Modelica and Dymola and Real-Time Simulation with Simulink and Realtime Workshop. Matlab Conference, San Jose, Oct. 6.-8. 1997 (erh¨ altlich von http://www.Modelica.org/papers/mlconf.ps) [851] Eich-Soellner, E.; F¨ uhrer, C. Numerical Methods in Multibody Dynamics. Teubner, 1998 [852] Elmqvist H. An Object and Data-Flow based Visual Language for Process Control. ISA/92-Canada Conference & Exhibit, Toronto, Canada, Instrument Society of America, 1992. [853] Elmqvist, H.; Cellier, F.E.; Otter, M. Object-Oriented Modeling of Hybrid Systems. Proceedings ESS’93, European Simulation Symposium, S. xxxi-xli, Delft, Niederlande, Okt. 1993

Literaturverzeichnis

1317

[854] Elmqvist, H.; Otter, M. Methods for Tearing Systems of Equations in Object-Oriented Modeling. Proceedings ESM’94 European Simulation Multiconference, S. 326-332, Barcelona, Spanien, 1994 [855] Elmqvist, H.; Tummescheit, H.; Otter, M. Object-Oriented Modeling of Thermo-Fluid Systems. Proceedings of 3rd International Modelica Conference, Peter Fritzson (editor), Link¨oping, Nov. 3-4, 2003, S. 269-286, http://www.modelica.org/events/Conference2003/papers/h40 Elmqvist fluid.pdf [856] Ernst, T.; Klose, M.; Tummescheit, H. Modelica and Smile — A Case Study Applying Object-Oriented Concepts to Multi-facet Modeling. Hahn und Lehmann (Editors), European Simulation Symposium (ESS’97), Passau, 1997 [857] Falk, G.; Ruppel, W. Energie und Entropie. Springer-Verlag, Berlin, 2. Auflage, 1980 [858] Feehery, W.F.; Barton, P.I. A Differentiation-Based Approach to Dynamic Simulation and Optimization with High-Index Differential-Algebraic Equations. Computational Differentiation, M. Berz, C. Bischof, G. Corliss und A. Griewank editors, SIAM, (1996) [859] Fuchs, H.U. Dynamics of Heat. Springer Verlag, 1996 [860] Gantmacher, F.R.: Matrizenrechnung. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1959. Sowie: Matrizentheorie. Nachdruck der 2. Auflage, Springer-Verlag, 1986 [861] Gautier, T.; Le Guernic, P.; Maffeis, O. For a New Real-Time Methodology. Publication Interne No. 870, Institut de Recherche en Informatique et Systemes Aleatoires, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes Cedex, France, 1994 [862] Golub, G.H.; Van Loan, C.F. Matrix Computations The John Hopkins University Press, 3rd edition, 1997 [863] gPROMS Homepage: http://www.psenterprise.com/gPROMS/ [864] Haas, W.; Schlacher, K.; Kugi, A. Ein Beitrag zur Analyse und Synthese von linearen Deskriptorsystemen. 10. Steirisches Seminar u ¨ber Regelungstechnik und Prozeßaustomatisierung, Graz, 1997

1318

Literaturverzeichnis

[865] Hairer, E.; Wanner, G. Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff and Differential Algebraic Problems. Springer-Verlag, Berlin, 2. Auflage, 1996 [866] Halbwachs, N.; Caspi, P.; Raymond, P.; Pilaud, D. The synchronous data flow programming language LUSTRE. Proc. of the IEEE, 79(9), S. 1305-1321, Sept. 1991 [867] Halbwachs, N. Synchronous Programming of Reactive Systems. Kluwer, 1993 [868] Holman, J.P. Heat Transfer. McGraw-Hill, New York, 9. Auflage, 2001 [869] Job, G. Neudarstellung der W¨ armelehre. Akademische Verlagsgesellschaft, Frankfurt am Main, 1972 [870] Kecshem´ethy, A. Objektorientierte Modellierung der Dynamik von Mehrk¨ orpersystemen mit Hil¨ fe von Ubertragungselementen. VDI-Fortschrittsberichte, Reihe 20, No. 88, 1993 [871] Karnopp, D.C.; Margolis, D.L.; Rosenberg, R.C. System Dynamics: A Unified Approach. John Wiley, Cambridge, Mass.; 2. Auflage, 1990 [872] Kovacs P. Transient Phenomena in Electrical Machines. Akademiai Kiado Verlag, Budapest, 1984. [873] Kral, C.; Haumer, A.; Plainer, M. Simulation of a thermal model of a surface cooled squirrel cage induction machine by means of the SimpleFlow-library. Proceedings of the 4th International Modelica Conference, Gerhard Schmitz (editor), Hamburg, March 7-8, 2005, S. 213-218, http://www.modelica.org/events/Conference2005/online proceedings/Session3/Session3b1.pdf [874] Kr¨oner, A.; Marquardt, W.; Gilles, E.D. Getting around Consistent Initialization of DAE Systems? Computers chem. Engineering, Vol. 21 (1997), S. 145-158 [875] Kuijper, M. First-order Representations of Linear Systems. Birkh¨auser, 1994 [876] Kron, G. Diakoptics — The Piecewise Solution of Large-Scale Systems. MacDonald & Co.; London, 1962 [877] M¨arz, R. Numerical methods for differential-algebraic equations. Acta Numerica (1992), S. 141-198

Literaturverzeichnis

1319

[878] Mah, R.S.H. Chemical Process Structures and Information Flows. Butterworths Verlag, 1990 [879] Mattsson, S.E.; S¨ oderlind, G. Index reduction in differential-algebraic equations using dummy derivatives. SIAM Journal of Scientific and Statistical Computing, Vol. 14 (1993), S. 677692 [880] Mattsson, S.E. On Modeling of Heat Exchangers in Modelica. Hahn und Lehmann (Editors), European Simulation Symposium (ESS’97), S. 127-133, Passau, 1997 [881] Mattsson, S.E.; Elmqvist, H.; Otter, M. Physical System Modeling with Modelica. Control Engineering Practice (1998), No. 6, S. 501-510 [882] Mattsson, S. E.; Olsson, H.; Elmqvist, H. Dynamic Selection of States in Dymola. Proceedings of the Modelica Workshop 2000, S. 61-67. http://www.modelica.org/Workshop2000/papers/Mattsson.pdf. [883] Matz, K.; Clauß, C. Simulation Support by Index Computation. Proc. 15th IMACS World Congress, Berlin, 24.-29. August, 1997 [884] Misra, P.; Van Dooren, P.; Varga, A. Computation of Structural Invariants of Generalized State-space Systems. Automatica, Vol. 30 (1994), No. 12, S. 1921-1936 [885] Elmqvist, H.; Bachmann, B.; Boudaud, F.; Broenink, J.; Br¨ uck, D.; Ernst, T.; Grozman, P.; Franke, R.; Fritzson, P.; Jeandel, A.; Juslin, K.; Kagedahl, D.; Klose, M.; Loubere, N.; Mattsson, S.E.; Mosterman, P.; Nilsson, H.; Otter, M.; Sahlin, P.; Schneider, A.; Tummescheit, H.; Vangheluwe, H. Modelica — A Unified Object-Oriented Language for Physical Systems Modeling, Version 1.3. Modelica homepage: http://www.Modelica.org/, 1999 [886] Modelica. Modelica — A Unified Object-Oriented Language for Physical Systems Modeling, Language Specification, Version 2.2. 2005. http://www.Modelica.org/documents/ModelicaSpec22.pdf [887] Mosterman, P.J.; Otter, M.; Elmqvist, H. Modeling Petri Nets as Local Constraint Equations for Hybrid Systems using Modelica. SCSC’98, Reno, Nevada, 1998 [888] NMF Homepage: http://www.brisdata.se/ [889] OMOLA Homepage: http://www.control.lth.se/˜cace/omsim.html

1320

Literaturverzeichnis

[890] Otter, M. Objektorientierte Modellierung mechatronischer Systeme am Beispiel geregelter Roboter. VDI-Fortschrittsberichte, Reihe 20, No. 147, 1995 [891] Otter, M.; Elmqvist, H. Energy Flow Modeling of Mechatronic Systems via Object Diagrams. Proceedings of 2nd Mathmod Vienna, IMACS Symposium on Mathematical Modelling, S. 705-710, Wien, 1997 [892] Otter, M.; Elmqvist, H.; Mattsson, S.E. Hybrid Modeling in Modelica based on the Synchronous Data Flow Principle. CACSD’99, 22.-26. August, Hawaii, 1999 [893] Pantelides, C. The Consistent Initialization of Differential-Algebraic Systems. SIAM Journal of Scientific and Statistical Computing, S. 213-231, 1988. [894] Schade, H.; Kunz, E. Str¨ omungslehre. Walter de Gruyter, 2. Auflage, 1989 [895] Schlacher, K.; Kugi, A.; Scheidl, R. Tensor Analysis Based Symbolic Computation for Mechatronic Systems. Part I: Open loop systems. IMACS Symposium on Mathematical Modelling, Wien, 1997 [896] Stephan, K.; Mayinger, F. Thermodynamik. Band 2: Mehrstoffsysteme und chemische Reaktionen. Springer-Verlag, Berlin, 13. Auflage, 1992 [897] SIMULINK Homepage: http://www.Mathworks.com/ [898] SystemBuild http://www.isi.com/Products/MATRIXx/ [899] Tarjan, R.E. Depth First Search and Linear Graph Algorithms. SIAM Journal of Comp. (1972), No. 1, S. 146-160 [900] Varga A. Computation of Kronecker-Like Forms of a System Pencil: Applications, Algorithms and Software. Proceedings of the 1996 IEEE International Symposium on Computer-Aided Control System Design, Dearborn, MI, Sept. 15.-18, 1996

Kontinuierliche Fertigungsanlagen [901] Angermann, A. Entkopplung von Mehrgr¨ oßensystemen durch Vorsteuerung am Beispiel von kontinuierlichen Fertigungsanlagen. Dissertation, Technische Universit¨ at M¨ unchen 2004 [902] Baumgarten, H.L. Zugkraft-Verformungsverhalten von Papier. Wochenblatt der Papierfabrikation (1974), No. 1, S. 6

Literaturverzeichnis

1321

[903] Brandenburg, G. ¨ Uber das dynamische Verhalten durchlaufender elastischer Stoffbahnen bei Kraft¨ ubertragung durch Coulomb’sche Reibung in einem System angetriebener, umschlungener Walzen. Dissertation TU M¨ unchen, 1971 [904] Brandenburg, G.; Tr¨ ondle, H.-P. Das dynamische Verhalten des Registerfehlers bei Rotationsdruckmaschinen. Siemens Forschungs- und Entwicklungsberichte 5, 1976, Nr. 1, S. 17-20 und Nr. 2, S. 65-71 [905] Brandenburg, G. New mathematical models for web tension and register error. Proc. 3rd Int. IFAC Conf. on Instrumentation and Automation in the Paper, Rubber and Plastics Industries, PRP 3, Brussels, 1976, S. 411-438 [906] Brandenburg, G. Verallgemeinertes Prozeßmodell f¨ ur Fertigungsanlagen mit durchlaufenden Bahnen und Anwendung auf Antrieb und Registerregelung bei Rotationsdruckmaschinen. Habilitationsschrift, Technische Universit¨ at M¨ unchen, 1976 [907] Brandenburg, G.; Geißenberger, S.; Kink, C.; Schall, N.-H.; Schramm, M. Multimotor electronic line for rotary offset printing presses — a revolution in printing machines techniques. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, 1999, Vol. 4, No. 1, S. 25-31 [908] Brandenburg, G. Dynamisches Verhalten von Doublier- und Registerfehler bei RollenoffsetDruckmaschinen. Tagungsband SPS/IPC/DRIVES Elektrische Automatisierung, 2000, S. 698-715 [909] Jacob, H.G. Rechnergest¨ utzte Optimierung statischer und dynamischer Systeme Springer-Verlag, Berlin, 1982 [910] Kessler, G.; Brandenburg, G.; Schlosser, W.; Wolfermann, W. Struktur und Regelung bei Systemen mit durchlaufenden elastischen Bahnen und Mehrmotoren-Antrieben. Regelungstechnik (1984), No. 8, S. 251-266 [911] Lippmann, H. , Mahrenholz, O. Plastomechanik der Umformung metallischer Werkstoffe, Band 1. Springer-Verlag, Berlin, 1967 [912] Litz, L. Dezentrale Regelung R. Oldenbourg Verlag, M¨ unchen, 1983 [913] Loser, R. Entwurf und Aufbau von dezentralen Zustandsregelungen mit Entkopplung bei kontinuierlichen Fertigungsanlagen Diplomarbeit, TU M¨ unchen, Lehrstuhl f¨ ur Elektrische Antriebssysteme, 1989 [914] Meissner, J. Deformationsverhalten der Kunststoffe im fl¨ ussigen und festen Zustand. Kunststoffe (1971), No. 8, S. 576

1322

Literaturverzeichnis

[915] Neuber, H. Technische Mechanik Springer-Verlag, Berlin, 1971 [916] Patri, T. Regelung von kontinuierlichen Fertigungsanlagen. Dissertation, Technische Universit¨ at M¨ unchen, VDI-Verlag, 2003 [917] Schr¨oder, D. Intelligent Observer and Control Design for Nonlinear Systems. Springer-Verlag, Berlin, 2000 [918] Straub, S.O. Entwurf und Validierung neuronaler Beobachter zur Regelung nichtlinearer dynamischer Systeme im Umfeld antriebstechnischer Problemstellungen. Dissertation, TU M¨ unchen, Herbert Utz Verlag, M¨ unchen, 1998 [919] Truckenbrodt, E. Str¨ omungsmechanik. Grundlagen und technische Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin 1968 [920] Wolfermann, W.; Schr¨ oder, D. Application of Decoupling and State Space Control in Processing Machines with Continuous Moving Webs. Preprints of the IFAC87 World Congress on Automatic Control, M¨ unchen, 1987, Vol. 3, S. 100-105 [921] Wolfermann, W. New Decentralized Control in Processing Machines with Continuous Moving Webs. Second International Conference on Web Handling IWEB93, Oklahoma USA, 1993, Session 2, No. 9 [922] Wolfermann, W. Dezentrale Regelungen bei kontinuierlichen Fertigungsanlagen Antriebstechnik (1994), No. 3, S. 65-69 [923] Wolfermann, W. Tension Control of Webs — A Review of the Problems and Solutions in the Present and Future. Third International Conference on Web Handling IWEB95, Oklahoma USA, 1995, Session 4, No. 15 [924] Wolfermann, W. Sensorless Tension Control of Webs. Fourth International Conference on Web Handling IWEB97, Oklahoma USA, 1997, Session 3, No. 23

Stichwortverzeichnis

Abl¨oseregler, 152 Absolutwertgeber, 306 absorber – bandpass, 1035 – design, 1002 – dynamics, 1002 – passive, 1000 – positioning, 1021, 1023 – remote, 1021, 1028, 1033 – resonant, 1001 – stability, 1005 – tuning, 1004, 1021 abtastender Regler, 581 Abtaster, 326 – endliche Schließungsdauer, 361 Abtaster, nichtsynchrone, 198 Abtastfrequenz, 192, 220 Abtastperiode, 192, 220 Abtastregelkreis, 200 – Optimierung des Reglers, 207 Abtastsystem, 171 – Beschreibungsfunktion, 390 – D¨ampfung, 188 – Dead-Beat-Regler, 191, 211 – einschleifig, 200 – elementare zeitdiskrete Regler, 202 – Frequenzkennliniendarstellung, 194 – Kompensationsregler, 209 – nichtsynchrone Abtaster, 198 – Optimierung des Reglers, 207 – Ortskurve der Beschreibungsfunktion, 391 – Parameteroptimierung, 209 – Reglerentwurf mit Stellgr¨oßenvorgabe, 217 ohne Stellgr¨oßenvorgabe, 213

– – – –

Stabilit¨ at, Pollagen, 187 ¨ Ubertragungsverhalten, 192 Wahl der Abtastperiode, 192 Wahl der Abtastzeit bei Dead-Beat, 220 – Zeitverhalten, 188 – Zusammenschaltung, 179 Abtasttheorie – Stromrichterstellglied, 356 Abtastung, 173 – System mit modifizierter, 405 adaptives Modell, 613 adaptives Regelsystem, 372 adaptive Stromregelung – praktische Realisierung, 375 Alnico, 861 Amperewindungen, 763 Amplituden – abstand, 33 – diskretisierung, 200 – durchtrittsfrequenz, 42, 44 – gang, 15 Anfangswert, z-Transformation, 176 Ankopplung, siehe Kopplung Anregelzeit, 5 Anti-Aliasing-Filter, 171 Anti-Windup-Regler, 244 Approximation f¨ ur Stromrichter, 403 Arbeitsmaschine, 945 ARX-Modell, 925 Asymptoten, 15 asynchrones Moment, 782, 791 Asynchronmaschine, 423 – Aufbau, 467 – Dreieckschaltung, 433, 455 – Entkopplung, 474

1324

Stichwortverzeichnis

bei eingepr¨agtem Strom, 485 bei eingepr¨agter Spannung, 476 – Feldschw¨achbetrieb, 579 – Feldschw¨achung, 579 – Funktionsprinzip, 424 – Koordinatensysteme, 429 – l¨auferflußorientiert, 798 – Luftspaltflußorientierung, 468 – Normierung, 574 – Parameter, 457 – Raumzeigerdarstellung, 425 – Rotor, 423 – Rotorflußorientierung, 460 – Rotorflußorientierung, 798 – Schlupf, -frequenz, 466, 470 – Signalflußplan normiert, 574 spannungsgesteuert, 445 stromgesteuert, 453 – Stator, 423 – Statorflußorientierung, 459 – Sternschaltung, 433, 457 – Steuerverfahren, 458 – Stromregelungsverfahren, 666 – Systemgleichungen, 434 ¨ – Ubersetzungsverh¨ altnis, 436 Aufl¨osung, 302 – Drehzahlgeber, 303 – Positionsgeber, 302 Ausgangsfehlermodelle, 912 Ausgangsgr¨oße, 2 Ausregelzeit, 5 Auswertung von Harmonischen, 644 Automatikgetriebe, 1164 Auto Regressive, 911 Auto Regressive Moving, 911 Auto Regressive with eXogenous, 911 Auto Regressive with eXogenous input, 911 Autoregressive with Exogenous Input Model, 913 B6-Br¨ ucke, 322 Bahnl¨angenregelung, 751 Bandbegrenzung, 172 bandpass absorber, 1035 bandstop filter, 1041

Begrenzungsregelung, 115, 152, 154 Begrenzungswert, 154 Beobachtbarkeit, 137, 138, 1123 Beobachter, 143 – Differenzierer, 143 – Luenberger, 144, 628 – Parallelmodell, 143 Beobachternormalform, 134 Beobachtertechnik, 157 Beschreibungsfunktion, 387, 397 – Abtaster mit Halteglied, 390 – Anwendungsgrenzen, 397, 402 – Stabilit¨ atsuntersuchung, 398 Bestromung, 902 –u ¨berlappende, 902 Betragsoptimum (BO), 46 – Anwendungen, 50 – D¨ ampfung, 50 – Ersatz¨ ubertragungsfunktion, 50 – Frequenzbereich, 54 – F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion, 50 – Meßwertgl¨ attung, 52 – Optimierungskriterien, 50 – Phasenreserve, 54 – totzeitbehaftete Systeme, 55 – Verwendung bei Abtastsystemen, 211 Bezugspotential, 285, 319 Blindleistungsbedarf, 802 Blindleistungsbetrieb, 764 Blocktaktung, 749 BLT-Transformation, 1108, 1111, 1158 Bode-Diagramm, 15, 41 boundary crossing, 1006 BPA, siehe bandpass absorber Bremse, 1161, 1163 Br¨ uckenschaltung, 903 – asymmetrische, 903 b¨ urstenloser Tachogenerator, 300 Cauchy’scher Residuensatz, 176, 406 charakteristische Gleichung, 27 compensator – dc, 1039 – parameters, 1003, 1004 Conditional Feedback, 122 Conditioning Technique, 157 Contiflux-Regelung, 262

Stichwortverzeichnis

continuity property, 1006 D-decomposition, 1005 DAE, siehe Deskriptorsystem D¨ ampfer – aktiver, 997 – k¨orper, 995 – passiver, 994, 995 – strom, 822 – system, 996 – wicklung, 822 – widerstand, 822 D¨ ampfer – k¨afig, 759 – streuinduktivit¨at, 781 – wicklung, 760, 779 D¨ ampfung, 945 – mechanische, 946 D¨ ampfungsfaktor, 45 D¨ ampfungsgrad, 948, 953 D¨ ampfungsoptimum (DO), 85, 968 – Beispiel, 93 – Divisionsmethode, 100 – Doppelverh¨altnisse, 86 – Ersatzzeitkonstante, 86 – erweitert, 100 – F¨ uhrungsgl¨attung, 93 – Koeffizientenverh¨ altnisse, 86 – Kompensation des Z¨ ahlerpolynoms, 100 – Optimierungskriterien Einstellregeln, 93 Reglerauswahl, 92 – Standardfunktionen, 87 – Systemzeit, 86 Dead-Beat-Regler, 191, 215 – Beispiel, 220 – Reglerentwurf, 222 – Wahl der Abtastzeit, 220 degree of stability, 1008 delayed resonator, 1001 Deskriptorsystem, 1064 – direkte L¨osungsverfahren, 1114 – Index, 1114 – lineares, 1064, 1121–1129 Beobachtbarkeit, 1123 Eigenwerte, 1122, 1123

1325

Entkopplungs-Nullstellen, 1123, 1125 Jordansche Normalform, 1123, 1125 Kronecker-Normalform, 1123, 1125 Nullstellen, 1122, 1123 Pole, 1122, 1123 Schurform, 1123, 1128 Steuerbarkeit, 1123 Vergleich mit Zustandsform, 1123 Weierstrass-Normalform, 1123, 1125 – nichtlineares, 1064 – regul¨ares, 1105–1111 – singul¨ ares, 1112–1121 Beispiel, 1115 – strukturell inkonsistentes, 1119 – Transformationsalgorithmen, 1105– 1121 BLT-Transformation, 1108 Tearing, 1110 differentielle St¨ orung, 359 – L¨ uckbetrieb, 366 Differenzdrehzahl, 962 digitaler Regler, 202 digitale Signalverarbeitung, 171 Dimensionierungsspannung, 904 Diode – ideale, 1144–1149 Direct Torque Control, 755 direkte Achse (d-Achse), 760 Direkte Selbstregelung, 740 Direktumrichter, 812 – Synchronmaschine, 807 diskrete Systeme ¨ – Ubertragungsverhalten, 192 Doppelverh¨ altnisse, 86 double resonance, 1010 DR, 1001 Drehfedersteifigkeit, 945, 946 Drehfeldmaschine, 581 – abtastender Regler, 581 – Entkopplungsstruktur, 584 – feldorientierte Regelung, 581 – Hysterese, 581 – Hysterese-Stromregler, 585

1326

Stichwortverzeichnis

– Regelung mittels Mikroprozessor, 581 – S¨attigungseffekte, 581, 583 Drehfeldmaschine mit Permanentmagnet, siehe Permanentmagneterregte Synchronmaschine Drehmoment, 763 – schwankungsweite, 745 – zweipunktregler, 743 Drehmomentwelligkeit, 906 Drehspannungssystem, 759 – symmetrisches, 759 Drehwinkel, 946 Drehzahlerfassung – analog, 290, 291, 300 – digital, 293, 294, 301 Drehzahlregelung, 237, 300, 945 – direkte, 245 – mit Strombegrenzungsregelung, 247 – Regelung der Antriebsmaschinendrehzahl, 953 – Regelung der Arbeitsmaschinendrehzahl, 947 Drehzahlsch¨atzung, 629 Drehzahlsch¨atzung, 607 Drei-Phasen-Gr¨oßen, 425 Dreifachtaktung, 751 Dreimassensystem, 977 – Gleichungen, 978 – Signalflußplan, 978 – Version 1, 1052 – Version 2, 1053 – Version 3, 1054 Dreiphasen-Drehstromsystem, 771 Dreipunkt-Wechselrichter, 752 DSR, siehe Direkte Selbstregelung dynamisches Verhalten selbsgef¨ uhrter Wechselrichter, 708 Eigenresonanzfrequenz, 996 Eigenwerte, 1123 Einzel-Impuls-Verfahren, 905 Eisenverluste, 759, 866 EMK-Aufschaltung, 225 EMV, 282, 317 endliche Einstellzeit, 142 – Entwurf, 211 endliche Schließungsdauer, 361

Endwert, z-Transformation, 176 Entkopplungs-Nullstellen, 1123, 1125 Entkopplungsnetzwerk, 803, 804 Entkopplungsstruktur, 584 Entmagnetisierung, 865 Erreger – durchflutung, 763 – streuinduktivit¨ at, 781 – strom IE , 764 – stromrechner, 828 – wicklung, 760 Erregerstromregelung, 256 Ersatz¨ ubertragungsfunktion – Betragsoptimum (BO), 50 – Symmetrisches Optimum (SO), 64 Ersatzschaltbild – kanonisches Γ , 740 Ersatzzeitkonstante, 50, 86 erweitertes Kalman-Filter (EKF), 614 excitation – multi-frequency, 1009 – random, 1043 – seismic, 1026 – support, 1026 Faltung, komplexe, 178 Feder, 946, 962 feedback – compensator, 1003, 1038 – filter, 1002 Fehler – ausregelbar, 275 – dynamisch, 283 – nicht ausregelbar, 279 – Operationsverst¨ arker, 286 – Sensor, 275 – Soll-Ist-Vergleich, 281, 285, 291 – Sollwertgeber, 289 – statisch, 283, 285 – Tachogenerator, 290 Fehlereinfl¨ usse, 275 – Verringerung, 315 feldorientierte Betrachtungsweise, 800 Feldorientierte Regelung – Eigenschaften, 500 – Prinzip, 491 Feldorientierung, 803

Stichwortverzeichnis

1327

Feldschw¨achbetrieb ASM, 579 Feldschw¨achbereich, 252 Feldschw¨achregelung mit R¨ uckkopplung, 895 Feldschw¨achung, 742, 848 – dynamische, 750 Feldschw¨achung unter Strom- und Spannungsbegrenzung, 881 Ferrite, 861 filter, bandstop, 1041 Finite Impulse Response, 911 Finite Impulse Response Model, 918 finite pulse duration, 361 FIR-Modell, 933 Fluß – ermittlung, 815 – komparator, 743 – rechner, 824 – regelung, 837 im Feldschw¨ achbereich, 838 – regler, 824 – schwellenregelung, 744 – winkel, 823, 825 Fluß – verkettung, 762 Flussvariable, 1061 Freilauf, 1161, 1164 frequency, sweep, 1042 Frequenzgang, 10, 11 – Symmetrisches Optimum, 62 Frequenzkennlinie, 34 F¨ uhrungsfehler, 83 F¨ uhrungsfrequenzgang, 41 F¨ uhrungsgl¨attung, 93 – Meßwertgl¨attung, 52 – Symmetrisches Optimum (SO), 62 F¨ uhrungsgr¨oße, 3, 28 F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion, 27 – mit Z¨ahlerpolynom, 98

Geschwindigkeitsalgorithmus, 208 Getriebe, 946, 960, 983 Gleichpannungswandler, 299 Gleichrichterkreis, 1146 Gleichstrommaschine – Ankerstromregelung, 224 – Anti-Windup-Regler, 244 – Contiflux-Regelung, 258, 262 – Drehzahlregelung, 237 direkte, 245 mit Strombegrenzungsregelung, 247 mit Stromsollwertbegrenzung, 241 – EMK-Aufschaltung, 225 – EMK-Bestimmung, 226 – Erregerstromregelung, 256 – Feldschw¨ achbereich, 252 – Lageregelung, 248 – Nebenschlußmaschine, 798 – Optimierung des Ankerstromregelkreises, 229 des Drehzahlregelkreises, 238 – Regelung, 223 – Sammelschienenantrieb, 258, 260 – spannungsabh¨ angige Feldschw¨ achung, 258, 264 Gleichung – charakteristische, 27 – Park’sche, 830 – Parseval-, 178 Gleichungsfehlermodelle, 912 Gradientenabstiegsverfahren, 942 Grenzzyklus, 150, 157, 399 Grundgleichung, 26 GTO-Thyristor – idealer, 1145, 1150 G¨ utefunktional, 105 G¨ utekriterium, 105, 209 Gyrator, 227

geberlose Drehzahlregelung, siehe sensorlose Drehzahlregelung Gebietsidentifikation, 380 Gegeninduktivit¨aten, 763 Genauigkeit, 275, 283 – absolute, 302 – differentielle, 302

Hallsensor, 296 Halteglied, 172 harmonic instability, 397 Hauptfeldspannung, 793 Hauptinduktivit¨ aten, 763 hidden oscillation, 211 HIL-Regelkreis, 123, 125

1328

Stichwortverzeichnis

Hilfsstellgr¨oßen, 117 Hurwitz – Kriterium, 38 – Polynom, 157, 158 Hybride Feldschw¨ achregelungsstruktur, 896 Hyperstabilit¨atskriterium, 613 Hysterese – Kennlinie, 861 Hysterese-Stromregler, 585 Ideale Schaltelemente, 1144 Identifikation linearer dynamischer Systeme, 907 Identifikationsbeispiele, 924 IMC-Regelung, 123 Impulsfolge, 172 Index einer DAE, 1114 Inkrementalgeber, 293, 307 interferometrische Geber, 301 Internal Model Control, 123 Interpolation, 305 Istwert, 29 Istwertgeber, 315 Jacobi-Matrix – regul¨are, 1106 – singul¨are, 1112 Jordan’sche Normalform, 1123, 1125 Jordansche Normalform, 135 Kalman-Filter, 148, 637 – erweitertes, 638 Kaskadenregelung, 118 Kettenstruktur, 22 Klassifikation Modelstrukturen, 912 kleinste Quadrate, 937 Koenergie, 899 Kompensation – große Zeitkonstante T1 , 49 – mittlere Zeitkonstante T2 , 74 – Nennerpolynom, 216 Kompensationsregler, 209 Kompensationsstromwandler, 296 komplexer Zeiger, 792 Konstanz, 283 Kontinuierliche Fertigungsanlagen, 1166 – Antriebe, 1176

– Bahnkraftregelung, 1187 – D¨ ampfungsfaktor, 1181 – Dezentrale Beobachter, 1213 allgemeines St¨ ormodell, 1214 erweitertes Teilsystem, 1215 Informationsaustausch, 1221 Nenndehnungs¨ anderung, 1220 Parameter¨ anderungen, 1219 Reibungs¨ anderung, 1221 spezielles St¨ ormodell, 1216 – Dezentrale Entkopplung, 1206 G¨ utekriterium, 1209 Modaltransformation, 1208 verkopplungsorientierte Zustandsbeschreibung, 1207 – Dezentrale Regelung, 1202 – Drehzahlregelung, 1182 Entkopplungsbeobachter, 1186 mit Entkopplung, 1185 nichtschwingf¨ ahiges System, 1183 ohne Entkopplung, 1184 schwingf¨ ahiges System, 1184 – Durchtrittsfrequenz, 1184 – Dynamik des Teilsystems, 1179 – Eigenkreisfrequenz, 1181 – Kontinuit¨ atsgleichung, 1170 – Koppelgr¨ oßen, 1202 – linearer Signalflußplan, 1175, 1177 – Linearisierung, 1174 – Mechanik, 1176 – Modellierung des Systems, 1167 – nichtlinearer Signalflußplan, 1173 – Normierung, 1170 – Regelbarkeit der Bahnkr¨ afte, 1178 – Registerfehler, 1191 Druckzylinder, 1191 dynamisches Verhalten, 1195 Farbregister, 1191 Linearisierter Signalflußplan, 1195 Linearisierung, 1193 Registerfehlerregelung, 1199 Registerfehlerzeitkonstante, 1194 Registermarken, 1191 Winkelregelung, 1199 – Regler und Beobachter, 1224 – Stillstand, 1179 – Stoffbahn

Stichwortverzeichnis

Bahnzeitkonstante, 1174 Elastizit¨atsmodul, 1169 Hook’sches Gesetz, 1169 isotrop, 1169 orthotrop, 1169 Querdehnzahl, 1169 Spannung-Dehnung, 1168 – Zustandsregelung, 1200 G¨ utefunktion, 1200 – Zustandsregelung mit Beobachtern, 1223 Koordinatensystem, 429, 430 – allgemeines, 430, 434, 458 – flußfest, 672 – Hilfs-, 727 – rotorfest, 429 – statorfest, 429, 666, 672 – Umrechnung, 431 Kopplung – elastisch, 945, 957 – hart, 951, 957 – mit Arbeitsmaschine, 945 – starr, 945, 949, 950, 956 – weich, 952, 957 Kostenfunktion, 105, 109 Kreiskriterium, 158 Kreisstruktur, 23 Kronecker-Normalform, 1123, 1125 Kupplung, 1161, 1162 L¨ angsreaktanz – subtransient, 779 – transient, 779 L¨ aufer, siehe Rotor Lageregelung, 248 Lagerreibung, 1160, 1161 Lagrange-Funktion, 870 Laplace-Bereich, 7 – Transformationstabelle, 183 LAR, 1001 – design, 1002 – multi-frequency, 1009 – positioning, 1021, 1023 – stability, 1005 – tuning, 1004, 1021 Least Squares Algorithmus, 938 Least Squares Verfahren, 937

1329

linear active resonator, siehe LAR lineare Lernverfahren, 913 Linksverschiebung, z-Transformation, 175 Longlife-Tachogenerator, 301 Lose, 945, 983 L¨ uckbereich – Steuerkennlinie, 373 L¨ uckbetrieb, 366 Luenberger-Beobachter, 144, 145, 614 Luftspaltfluß, 816 – Orientierung am, 816, 821 Magnetisierungsstrom, 775 – Ortskurve, 827 Magnetmaterialien, 861 – Alnico, 861 – Entmagnetisierung, 865 – Ferrite, 861 – Hysteresekennlinie, 861 – Seltene-Erden, 861 MATLAB – eig, 1124 – place, 112 – qz, 1124 – Reglerentwurf, 111 – roots, 112 – schur, 1128 – tzero, 1124 Matrixumrichter, 812 Maximales Moment pro Ampere, 870 Maximales Moment pro Volt, 879 MDOF, siehe multi-mass systems Meßwertgl¨ attung – Betragsoptimum (BO), 52 Mehrmassensysteme, 977 Meßfehler, 632 Methode der kleinsten Quadrate, 614, 937 modale Zustandsregelung, 142 Modelica, 1067–1079, 1130 – Abtastregler, 1131 – algorithm, 1134 – Automatikgetriebe, 1164 – Beispiel, 1068 – block, 1076 – Bremsenmodell, 1161

1330

Stichwortverzeichnis

– change(), 1142 – der(), 1073 – edge(), 1142 – equation, 1068 – Ereignisiteration, 1142 – Ereignissynchronisierung, 1137 – Freilaufmodell, 1161 – function, 1076 – ideales Diodenmodell, 1145 – ideales GTO-Thyristormodell, 1145 – ideales Thyristormodell, 1145 – Impulse, 1139 – initial(), 1142 – Kupplungsmodell, 1161 – Lagerreibungsmodell, 1161 – Neuinitialisierung von Zust¨ anden, 1138 – noEvent(), 1142 – noEvent(), 1136 – package, 1076 – parameter, 1073 – partial, 1073 – pre(), 1142 – pre(), 1132 – record, 1076 – redeclare, 1075 – Reibmodell, 1156 – reinit(), 1142 – reinit(), 1138 – replaceable, 1075 – sample(), 1142 – sample(), 1132 – smooth(), 1142 – smooth(), 1136 – Standardbibliothek, 1078 – terminal(), 1142 – type, 1070 – unstetige Systeme, 1135 – when, 1132 – Zustandsereignis, 1135 Modell – adaptiv, 613 modellbasierte Regelung, 122 Modellbildung – I1 ΩL -Modell, 509 – I1 βL -Modell, 506 – U1 I1 ΩL -Modell, 514 – U1 I1 -Modell, 510

– U1 ΩL -Modell, 515 – Aufgabe, 500 – Strommodell, 502 Parameterempfindlichkeit, 504 Modell der Asynchronmaschine, 540 – linearer Parametereinfluss, 540 Modellstruktur, 911 modifizierte Abtastung, 405 Modulationsverfahren, 673 – Grundfrequenztaktung, 673 – Pulsweitenmodulation, 677 – Sinus-Dreieck-Modulation, 677 – Unterschwingungsverfahren, 677 Momentpulsationen, 859 Moving Average, 911 MRAS, 614, 618 multi-mass systems, 1014 multi-resonance, 1009 nat¨ urliche Zustandsdarstellung, 134 neuronale Netze, 641 nichtlineare Abtastung, 708 Nichtlinearit¨ at, 150, 945, 977 nichtparametrische Identifikationsverfahren, 908 nichtsynchrone Abtaster, 198 Nullkomponente, 759 Nullspannungsraumzeiger, 740, 757 Nullstellen, 1123 Nutenquerfelder, 759 Nyquist-Kriterium, 31 OBF-Modell, 935 Objektdiagramm, 1058–1061 OE-Modell, 925 Optimierte Pulsverfahren, 706 – Dead-Beat-Pulsmustererzeugung, 733 – On-line optimierte Pulsmustererzeugung, 709 – Pr¨ adiktive Dead-Beat-Stromregelung, 734 Stromregelung, 726 – Raumzeiger-Hystereseverfahren, 716 – raumzeigerbasierte Hystereseregelung, 716 Stromregelung, 712 – Spannungsraumzeigermodulation, 706 – Zweipunkt-Hystereseregelung, 709

Stichwortverzeichnis

Optimierung – am offenen Kreis, 41 – Ankerstromregelkreis, 229 – Regler bei Abtastsystemen, 207 nach G¨ utekriterien, 209 Optimierungskriterien – Betragsoptimum (BO), 50 – D¨ampfungsoptimum, 92, 93 – Symmetrisches Optimum (SO) Allgemein, 65 Standard, 62 Optimierungsproblem, 870 Optimierungstabelle, 81 Optimierungsverfahren – Anwendung, 223 – verallgemeinerte, 85 Ordnungsreduktion, 977, 983 Orthonormal Basis Function, 912 Orthonormal Basis Function Model, 919 Ortskurve, 13 oszillatorische Instabilit¨ at, 400 Output Error, 911 Output Error Model, 915 Parallelstruktur, 23 Parameterbestimmungen mit Parametersch¨atzverfahren, 537 Parameterempfindlichkeit, 40 Parameteroptimierung, 105 – Kriterien IAE, 105 ISE, 105 ITAE, 105 ITSE, 105 Parametersch¨atzung, 632 Parametersch¨atzungen bei nichtlinearem Parametereinfluss, 553 Parametersch¨atzungen im Leerlauf, 552 Parametersch¨atzungen im Stillstand, 544 Parametersch¨atzungen mit ErweitertemKalman-Filter, 561 Parametersch¨atzungen mit Frequenzg¨angen, 570 parametric plot, 1007 parametrische Identifikationsverfahren, 908

1331

Park’sche Gleichung, 830 Parseval-Gleichung, 178 passive absorber, 1000 PDF-Regler, 850 Permanentmagnet, 845 Permanentmagneterregte Synchronmaschine, 843 – Feldschw¨ achbereich, 857 – mit Reluktanzeinfl¨ ussen, 866 – Raumzeigerdiagramme, 847 – Rechteckf¨ ormige Stromeinpr¨ agung, 852, 853 – Regelung ohne Reluktanzeinfl¨ usse, 849 – Signalflußplan, 843 Phasen – durchtrittsfrequenz, 42, 44 – fehler, 818 – gang, 15 – rand, 33 – regelkreis (PLL), 324 – schieber, 764 PM-Maschine, siehe Permanentmagneterregte Synchronmaschine PM-Maschine mit Reluktanzeinfl¨ ussen, 866 Pole, 1123 Polrad, 760 Polradspannung, 776, 793, 848 Positionsgeber – interferometrisch, 301 – Interpolation, 305 – kapazitiv, 307 – magnetisch, 306 – optisch, 306 Positionsmessung – digital, 293 Positionsregelung, 302 Potentialvariable, 1061 Pr¨ adiktive Stromf¨ uhrung, 384 Prim¨ ark¨ orper, 993 Pulsphasenmodulator, 358 quasikontinuierlicher Reglerentwurf, 204 Querreaktanz – subtransient, 779 – transient, 779

1332

Stichwortverzeichnis

rampenf¨ormige Anregung, 83, 128 random vibrations, 1043 Raumzeiger – Nullspannungs, 740, 757 – Statorfluß, 742 – Theorie, 425 Rechenregeln Signalflußplan-Algebra, 24 Rechtsverschiebung, z-Transformation, 175 Referenzmodell, 613 Regelabweichung, 28 Regeldifferenz, 3 Regelgr¨oße, 28 Regelkreis, 2 – mit Stromsollwertbegrenzung, 241 – offen, 29 – Stromrichterstellglied, 358 Regelkreisstrukturen, 115 – Begrenzungsregelung, 115 – Conditional Feedback, 122 – Hilfsstellgr¨oßen, 117 – Internal Model Control, 123 – Kaskadenregelung, 118 – Smith-Pr¨adiktor, 125 – St¨orgr¨oßenaufschaltung, 116 – Vorsteuerung, 126 Regelkreissynthese, 418 Regelung, 28 – Ausgangsgr¨oße, 2 – digitale, 202 – Eigenschaften, 4 – Flußschwelle, 744 – fremderregte Synchronmaschine, 824, 842 feldorientiert, 824 – F¨ uhrungsgr¨oße, 3 – geberlos, 587 – Grundbegriffe, 1 – IMC, 123 – indirekte Statorgr¨ oßen, 752 – mit Streckentotzeit, 125 – modellbasiert, 122 – Regeldifferenz, 3 – Schaltfrequenz, 743 – sensorlos, 587 – Stellgr¨oße, 2 – St¨orgr¨oße, 2

– Stromausgleich, 753 Regelungsnormalform, 134 Reglerauswahl, 74 Reglerentwurf – auf endliche Einstellzeit, 211 – Beispiel, 107 – G¨ utefunktional, 105 – MATLAB, 111 – mit Stellgr¨ oßenvorgabe, 217 – ohne Stellgr¨ oßenvorgabe, 213 – quasikontinuierlicher, 204 Reglerwindup, 151 Reibung, 945, 983, 1150–1165 Reihenschaltung, 22 rekursiver Algorithmus, 208 Rekursiver Least Squares Algorithmus, 939 Reluktanz, 849, 866 Reluktanzmaschine, 898 – geschaltete, 898 Reluktanzmaschine, geschaltete, 866 Reluktanzmoment, 764, 782, 785, 791 Remanenzinduktion, 862 remote absorption, 1021, 1028, 1033 resonant absorbers, 1001 – delayed, 1001 – linear active, 1001 – multi-frequency, 1001, 1009 Riccati-Gleichung, 638 ripple instability, 415 RLS-Algorithmus, 935 robust stability, siehe degree of stability Rotorfluß, 816 Routh-Kriterium, 38, 39 – Beispiel, 40 R¨ uckkopplung, 23 r¨ uckwirkungsfreie Schnittstelle, 9, 23, 29 S¨ attigungseffekte, 583 Sammelschienenantrieb, 258, 260 Sch¨ atzung der Drehzahl, 607 Schaltfrequenzregler, 743 Schenkelpolmaschine, siehe SynchronSchenkelpolmaschine Schlupf, 799 – Definition, 454 Schnittstellen

Stichwortverzeichnis

– elektr. digital, 1082 – elektrisch, 1081, 1082 – mechanisch, 1082, 1083 – r¨ uckwirkungsfrei, 9, 23, 29 – Rohrstr¨omung, 1082 – Rohrstr¨omungen, 1086 – rotatorisch, 1082 – Signal, 1082 – Signalbus, 1082 – thermisch, 1082, 1085 – translatorisch, 1082 – Zustandsmaschine, 1082 Schurform, 1123, 1128 Schwingungsd¨ampfung, 993 – aktive, 997 – passive, 994 SDOF system, 1003 Seltene-Erden, 861 sensorlose Drehzahlregelung, 587 – adaptive Verfahren, 613 – Auswertung von Harmonischen, 644 – direkte Sch¨atzung der Drehzahl, 607 – Einpr¨agung von hochfrequenten Zusatzsignalen, 646 – erweitertes Kalman-Filter, 638 – Grundgleichungen, 593 – Kalman-Filter, 637 – Luenberger-Beobachter, 628 – MRAS, 618 Blindleistungsberechnung, 626 EMK-Berechnung, 623 Flußberechnung, 624 tiefe Frequenzen, 619 – neuronale Netze, 641 – nichtadaptive Verfahren, 596, 600 Flußgleichungen, 604 Sollgr¨oßenansatz, 605 – Zustandssch¨atzung, 627 Separationsprinzip, 147 seriell-paralleles Modell, 915 Servoantrieb, 855 Shannon-Theorem, 173, 192 Shuntwandler, 299 Signal¨ ubertragung – st¨orsichere, 317 Signalflußplan, 6 – Rechenregeln, 24

1333

Signalverarbeitung, digitale, 171 Simulationssoftware – Dymola, 1050 Simulink – Modularisierung, 1052 single DOF system, 1003 Smith-Pr¨ adiktor, 125 Sollwertbegrenzung, 151 Sollwertgl¨ attung, 74 –¨ aquivalente, 98 – Meßwertgl¨ attung, 52 – Symmetrisches Optimum (SO), 62 spannungsabh¨ angige Feldschw¨ achung, 264 Spannungskompensation, 894 Spannungsmessung, 299 Spannungsmodell, 815 – als Gleichgr¨ oßenmodell, 819 – als Wechselgr¨ oßenmodell, 816 – polares, 818 spezielle z-Transformierte, 405 Sprungantwort, 7 SRM, 898 Stabilit¨ at, 29 – Abtastsystem, 187 ¨ – Ubertragungsfunktion, 36 Stabilit¨atsgrenze, 30 Stabilit¨atskriterium nach Nyquist, 31 stability – absorber, 1005 – degree of, 1008 St¨ ander, siehe Stator Standard-Optimierungsverfahren, 46 Standardfunktion des DO, 87 Statordurchflutung, 763 Statorfluß, 740, 816 – raumzeiger, 742 Statorgr¨ oßen-Regelung – indirekte, 752 Statorstromregelung – Direkte Stromregelung, 670 – Indirekte Stromregelung, 671 – Regelstrecke, 666 – Stellglied, 666 Stellbegrenzung, 150, 151, 156 Stellgr¨oße, 2, 28 Steuerbarkeit, 138, 1123

1334

Stichwortverzeichnis

Steuerung, 1 Steuerverfahren, 882 St¨orfrequenzgang, 45 St¨orgr¨oße, 2 St¨orgr¨oßenaufschaltung, 116 St¨orschutzmaßnahmen, 318 St¨or¨ ubertragungsfunktion, 27 St¨orung – differentielle, 356 Streckentotzeit, 125 Streckenwindup, 150, 157 Streuinduktivit¨aten, 763 Strom-Sollwerterzeugung, 888 Stromausgleichsregler, 753 Strombegrenzung, 151 Stroml¨ ucken, 851 Strommessung, 296 Strommodell, 825 – der Schenkelpolmaschine, 822 – dynamische Fehler, 837 – statische Fehler, 837 Stromregelung, 224 – adaptiv, 370 – EMK-Aufschaltung, 226 – EMK-Bestimmung, 226 Stromregelverfahren, 666 Stromrichter – Abtasttheorie, 356 – adaptive Stromregelung, 371 – Approximation ¨ Uberpr¨ ufung, 411 vereinfachte, 325 Vergleich verschiedener, 403 – Ausgangsspannung, 322 – B6-Br¨ ucke, 322 – Beschreibungsfunktion, 387 – Betriebszust¨ande, 372 – differentielle St¨orung, 359 – dynamische Symmetrierung, 346, 382 – dynamische Unsymmetrie, 340 – Ersatz-Totzeit, 349 – Ersatzsystem, 327 – erweiterte Wartezeitformel, 333 – Grenzzyklusuntersuchung, 397 – Großsignalverhalten, 330 – Laufzeitn¨aherung, 345 – l¨ uckender Strom, 365

– – – – – – –

Modell-Abtastsystem, 364 netzgef¨ uhrt, 321 pr¨ adiktive Stromf¨ uhrung, 384 Regelkreis mit, 356 Stabilit¨ atsuntersuchung, 411 Steuerkennlinie, 324, 373 Steuerwinkel abnehmender, 329, 331 zunehmender, 330, 336 – Synthese von Regelkreisen, 418 – Wurzelortskurve, 413 – Z¨ undwinkel, 322 Stromrichtermotor, 807 Stromverdr¨ angung, 759 strukturell inkonsistente DAE, 1119 strukturvariable Systeme, 1144–1165 Summentr¨ agheitsmoment, 948 support excitation, 1026 switched reluctance machine, 866 Sylvesterkriterium, 872 Symmetrisches Optimum (SO), 60 – Anwendungen, 65 – Ersatz¨ ubertragungsfunktion, 64 – erweiterter G¨ ultigkeitsbereich, 67 – F¨ uhrungs¨ ubertragungsfunktion, 62 – Frequenzbereich, 67 – Frequenzgang, 62 – Optimierungskriterien, 62, 65 – Phasenreserve, 67 – Sollwertgl¨ attung, 62 – Verwendung bei Abtastsystemen, 211 Synchron-Schenkelpolmaschine – Bezugswerte, 765 – mit D¨ ampferwicklung, 777 Ersatzschaltbild, 779 Gleichungssystem, 777 Induktivit¨ at Lc , 781, 782 normierte Darstellung, 779 Signalflußplan, 777 – ohne D¨ ampferwicklung, 760 Ersatzschaltbild, 775 Gleichungssystem, 760 normierte Darstellung, 765 Signalflußplan bei Spannungseinpr¨agung, 768 Signalflußplan bei Stromeinpr¨ agung, 772

Stichwortverzeichnis

Synchron-Vollpolmaschine, 783 – Ankerstellbereich, 803 – asynchrones Moment, 791 – Feldorientierung, 803 – Feldschw¨achbetrieb, 804 – Gleichungssystem, 783 – Hauptfeldspannung, 793 – mit D¨ampferwicklung, 783 Feldorientierte Darstellung, 794 Gleichungssystem, 786 Induktivit¨at Lc , 790 Signalflußplan, 789 Stromeinpr¨agung, 794 – ohne D¨ampferwicklung Gleichungssystem, 786 Signalflußplan, 788 Steuerbedingungen, 802 – Polradspannung, 793 – Reluktanzmoment, 785, 791 – Signalflußplan, 783 Synchronmaschine, 759, 766, 776 – d-Achse, 760 – Entkopplungsnetzwerk, 803, 804, 808 – feldorientierte Regelung, 802, 814, 824 – Feldorientierung, 794, 803 – Flußverkettungsgleichungen, 766, 767 – fremderregt, 839, 841 – gef¨ uhrtes Spannungsmodell, 833, 835 – Hauptfeldspannung, 776 – Kopplungsfaktor Rotor zu Stator, 767 – Kopplung zwischen Stator- und Erregerkreis, 766 – Magnetisierungsstrom, 775 – Momentpendelungen, 855 – Polradspannung, 776 – Regelung, 824 – Steuerung des cos ϕ, 839 – Streufaktor σE , 768 – Umschaltung der Modelle, 833 Synthese von Regelkreisen, 418 systems, multi-mass, 1014 Tachogenerator, 290, 300 Tearing, 1110, 1111, 1147 Thyristor – idealer, 1145, 1150 Tiefpaßbedingung, 388

1335

Tiefsetzsteller, 904 Toleranzband, 757 Torsionseigenfrequenz, 948 Torsionswinkel, 959, 962, 968 totzeitbehaftete Systeme, 55, 56 Totzeitglied, 193 Transformationsalgorithmen – BLT-Transformation, 1108 – Tearing, 1110 Transformationstabelle, 183 ¨ Ubergangsfunktion, 7 ¨ Ubersetzungsfaktor, 946, 960 ¨ Ubersetzungsverh¨ altnis, 983 ¨ Ubertragungsfunktion, 8 – Stabilit¨ atspr¨ ufung, 36 – von Abtastsystemen, 187 umlaufendes Koordinatensystem, 761 Umrichter, siehe Stromrichter – Modulationsverfahren, 673 – Pulsweitenmodulation, 668 Umschaltung der Reglerstruktur, 374, 380 Unsymmetrien, 759 Vektordreher, 826 Verbindung, siehe Kopplung Verdrehwinkel, 962, 967 Vergessensfaktor, 941 Verlustminimierung, 876 Verz¨ ogerungszeit, 582 vibration – absorption, 1000 – isolation, 1025 – multi-resonant, 1009 – paper mill, 1040 – random, 1043 – seismic, 1026 – suppression, 1000 Vorsteuerung, 126 Wartezeit f¨ ur sechspulsige Stromrichter, 412 Wechselrichter – Dreipunkt, 752 Wechselstromwandler, 298 Weierstrass-Normalform, 1123, 1125 Welle, 945

1336

Stichwortverzeichnis

Wicklung – dreistr¨angige, 759 – zweistr¨angige, 759 Windup, 150 – Integral, 150, 152 – Regler, 150–152, 156 – Reset, 150 – Strecken, 150, 157 – Vermeidungsstruktur, 152 Winkelbeschleunigung, 946 Winkelgeschwindigkeit, 946 Wirbelstr¨ome, 843 z-Transformation, 171 – Gesetze, Rechenmethoden, 175 – inverse, 176 – modifizierte, 178, 193, 364, 369, 405 – spezielle, 405 – Stabilit¨atsbedingung, 187 – Transformationstabelle, 183 zeitdiskrete Systeme, 192 Zeitdiskretisierung, 200 Zeitkonstante, 7 Zusatznetzwerk, 158, 163 Zustandsbeobachter, 142, 627 – Separationsprinzip, 147 Zustandsdarstellung, 131, 132, 1064 – Beobachtbarkeit, 137, 138 – Beobachternormalform, 134 – Jordansche Normalform, 135 – nat¨ urliche, 134 – Regelungsnormalform, 134 – Steuerbarkeit, 138 ¨ – Ubertragungsfunktion, 133 – Zweimassensystem, 963 Zustandsregelung, 139, 141 – endliche Einstellzeit, 142 – Entwurfskriterien, 149 – mit Beobachter, 146 – modale, 142 – Probleme, 149 – Reglervektor, 140 – Transitionsmatrix, 137 – Zweimassensystem, 963 Zustandssch¨atzung, 627 Zwei-Ortskurven-Verfahren, 398 Zweiachsentheorie, 830

Zweimassensystem, 946 – Kennkreisfrequenz, 948 – Matrizendarstellung, 964 – Regelung der Antriebsmaschinendrehzahl, 953 – Regelung der Arbeitsmaschinendrehzahl, 947 – Signalflußplan normiert, 964 unnormiert, 947, 963 – Summentr¨ agheitsmoment, 948 – Zustandsdarstellung, 963 – Zustandsregelung, 963 Auslegung nach D¨ ampfungsoptimum, 968 mit I-Anteil, 973 ohne I-Anteil, 965