Einführung in Statistik und Messwertanalyse für Physiker

  





 

      



 
 


 


 
 



 
 
    




 


 



 
 
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= σ 2 = x2  − x2 = x2  − µ2 .

(x − a)2  = (x − µ)2  + (µ − a)2  ,

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σ 2 = (x − x)  = ((x1 − µ1 ) + (x2 − µ2 ))2  = (x1 − µ1 )2 + (x2 − µ2 )2 + 2(x1 − µ1 )(x2 − µ2 ) = (x1 − µ1 )2  + (x2 − µ2 )2  + 2 x1 − µ1  x2 − µ2  = σ12 + σ22 .

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= u2  + x2  + 2 x u .

   " x 2 = ( x + u)2 

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E(x3 ) − 3µσ 2 − µ3 . σ3

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x = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) 1/6 = 7/2 ,

x2  = (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) 1/6 = 91/6 , σ 2 = 91/6 − (7/2)2 = 35/12 , σ ≈ 1.71 , γ1 = 0 .

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t −t/τ e dt = n! τ n , τ

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t = τ ,

t2  = 2τ 2 ,

t3  = 6τ 3 ,

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−∞ ∞


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(xk − µ)n p(xk ) .

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  µ1 = 0 
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∞

e−itx



∞




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) f (x ) e dt dx = −∞ −∞  ∞ = 2π f (x ) δ(x − x ) dx −∞

= 2πf (x) ,  ∞ 1 f (x) = φ(t)e−itx dt . 2π −∞

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−∞

∞

−∞

(ix)n f (x) dx = in µn .

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1 n dn φ(0)
1 t (it)n µn , = n n! dt n! n=0 n=0

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 φ (t) = E(eit(x−µ) ) =



∞

eit(x−µ) f (x) dx = e−itµ φ(t) ,

−∞


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dn φ (0) = in µn . dtn

φ (t) =

8666: 866:

∞
1 (it)n µn . n! n=0

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866(:= 866:= 866:= 8669: 

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  µn

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 n 
n n k (−1) µn−k µ , µn = µn−k µk . k k k

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k=0



 

 

 

       


  

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z = x + y " )>
 
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g(x)  h(y) 




 
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f (z) φf (t) = φg (t)φh (t) . 866: +
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x 

φf (t) = E(eit(x+y) ) = E(eitx eity ) = E(eitx )E(eity ) = φg (t)φh (t) .



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  f (z) =

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f (z) =



g(x)h(z − x) dx =

h(y)g(z − y) dy .


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  K(t) = ln φ(t) = ln exp(itx) = κ1 (it) + κ2

(it)2 (it)3 + κ3 + ··· . 2! 3!

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φ(0) = 1 

   
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x → x + b 
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µk , µk  H
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i ≤ 6 )
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F

 κ1 = µ1 ≡ µ = x , κ2 = µ2 ≡ σ 2 = " (x) ,

κ3 = µ3 , κ4 = µ4 − 3µ2 2 ,

κ5 = µ5 − 10µ2 µ3 , κ6 = µ6 − 15µ2 µ4 − 10µ3 2 + 30µ2 3 .

866: ,

 >  $>
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 0
 κ3 κ4 γ1 = 3/2 , γ2 = 2 . 866: κ κ2

2

  

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 $ Pλ (k) =

λk −λ e k!






  
  

%  φ(t) =

∞
k=0

)

eitk

λk −λ e k!



 

 

 

        φ(t) =

∞
1 it k −λ (e λ) e k!

k=0

= exp(eit λ)e−λ   = exp λ(eit − 1) .

 

> 
F

 dφ dt dφ(0) dt d2 φ dt2 d2 φ(0) dt2

  = exp λ(eit − 1) λieit , = iλ ,    = exp λ(eit − 1) (λieit )2 − λeit , = −(λ2 + λ) .

  



$
F

µ = k = λ , µ2 = k 2  = λ2 + λ

 F
>
    >
 $
 @

 $ 

k = λ , √ σ= λ.

 >
  K(t) = ln φ(t) = λ(eit − 1) = λ[(it) +

1 1 (it)2 + (it)3 + . . .] , 2! 3!

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  0 

 "  
 

 
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 κ1 = κ2 = κ3 = . . . = λ ,

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F





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  3/2

γ1 = κ3 /κ2

√ = 1/ λ , γ2 = κ4 /κ22 = 1/λ .

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"  # $$
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"
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 $
P1 (k1 ) = Pλ1 (k1 ), P2 (k2 ) = Pλ2 (k2 )

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P (k)  k = k1 + k2  ) 

> 
  

%  0 P (k) φ(t) = φ1 (t)φ2 (t)     = exp λ1 (eit − 1) exp λ2 (eit − 1)   = exp (λ1 + λ2 )(eit − 1)




=  φ(t) 
  

%  " Pλ +λ (k)  

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∞

φ(t) =

eitx λe−λx dx

0

λ e(−λ+it)x |∞ 0 −λ + it λ = λ − it =

   ?
 $

iλ dφ(t) = , dt (λ − it)2 dn φ(t) n! in λ = , dtn (λ − it)n+1 dn φ(0) n! in = dtn λn


F


@

 $ µn = n! λ−n .


F
>


µ = 1/λ ,


  >
 $ σ=

 µ2 − µ2 = 1/λ





Y)
 γ1 = (µ3 − 3σ 2 µ − µ3 )/σ 3 = 2

2

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 xk J P {u = u(xk )} = P {x = xk } .

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g(u) 8? 6:  $ P {x1 < x < x2 } = P {u1 < u < u2 }  u1 = u(x1 )= u2 = u(x2 )   

P {x1 < x < x2 } =

x2

x  u1 2

=

f (x ) dx g(u ) du .

u1

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  |g(u)du| = |f (x)dx|,    dx  g(u) = f (x)   . du

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  f (x)  g(u) ! 

u(x)

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 u(x)

g(u) =

       dx   dx  f (x)   + f (x)   + ... . du Ast1 du Ast2

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 $ g(V )
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   , dV = 4πr2  dr



>

g(V ) =

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1 1 1 1 −2/3 V = 1/3 . 2 1/3 r2 − r1 4π r 3 V2 − V1


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  f (x)  g(u) !  u =

x2 

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       A6

  g(u)



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 $ g(u) $
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 u = (x − x0 )2 /s2


 

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 >  $>
 " (x − x0 )2 

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 $ $
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%  x(u)  )>
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 F 2 2 1 f (x) = √ e−(x−x0 ) /(2s ) s 2π



s dx = √ du 2 u

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>

 g(u) =

1 √ e−u/2 2 2πu

 + {· · ·}Ast2 . Ast1


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 $ 1 e−u/2 . g(u) = √ 2πu

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 $ g(E) $
  v(E)  >

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 1 dv , =√ dE 2mE   1 √ g(E) = e−E/kT + {· · ·}Ast2 . 2 πkT E Ast1


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1 g(E) = √ e−E/kT . πkT E

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f (x)  g(u) 
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  $  u  x f (x ) dx =

g(u ) du .

−∞

−∞


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$  

 
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 $ 
F (x) 

G(u)

F (x) = G(u) , u(x) = G−1 (F (x)) .

 
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     A = >


f  g    
$ 
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   " G 


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 $ f (x)    = f (x) = 1 0 0 ≤ x ≤ 1   F (x) = x  G−1

G(u) = x,

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$ $

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 $ 5
$

 

 1 0 0 < x < 1 f (x) = 0   ,  −λu λe 0 0 < u g(u) =   . 0 
$

7    u(x)

> = >

 $


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$   / "
  u = G−1 (x) .





u

g(u ) du =

0 u

λe 0

−λu






x

0 x

du =

f (x ) dx , f (x ) dx ,

0

1 − e−λu = x , u = − ln(1 − x)/λ .

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x = y 

 x )> y ) -
 P {(x < x) ∩ (y  < y)} = F (x, y) .


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 $    
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F (∞, ∞) = 1, F (−∞, −∞) = 0 .


& 
 
 

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 $ " F 
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x= y 2 f (x, y) =

∂ F . ∂x ∂y

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∞



∞

f (x, y) dx dy = 1 . −∞

−∞


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fx(x) )> fy (y)
& 
 
 
 
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fx (x) =

∞

f (x, y) dy , −∞ ∞

 fy (y) =

f (x, y) dx . −∞


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" y 
x 

fb (y|x)

f (x, y) f (x, y) dx −∞

fb (x|y) =  ∞

f (x, y) , fy (y) f (x, y) fb (y|x) =  ∞ −∞ f (x, y) dy =

=

f (x, y) . fx (x)

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869:



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f (x, y) =

   2  y2 (y − 2.5)2 (x − 2)2 1 x 0.4 − 0.6 exp − − + √ exp − 2π 2 2 3 4 3

 fx (x) = fy (y) = f (y, x = 1) = fb (y|x = 1) =

    2 (x − 2)2 1 0.4 x √ exp − +√ , 0.6 exp − 2 3 2π 1.5     2 (y − 2.5)2 1 0.4 y √ + √ exp − , 0.6 exp − 2 4 2π 2     1 (y − 2.5)2 1 y2 0.4 1 0.6 exp − − + √ exp − − , 2π 2 2 3 4 3     1 (y − 2.5)2 1 y2 0.4 0.667 0.6 exp − − + √ exp − − . 2 2 3 4 3

fb (y|1)   f (y, 1)  


 
 $ fb (y|1) dy = 1



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θ , φ 


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=   P {θ , φ ∈ ∆ω} =

$
$

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 $ 

π

f (θ, φ) dω ∆ω



2π

dθ sin θ 0



dφf (θ, φ) = 1 . 0



 

 

 

       

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  $ 
)   

" θ= φ 
 
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z = cos θ= φ=  >

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 f˜(cos θ, φ) = f (θ, φ) $
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 $
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 $ f˜ = f = 1/(4π)  
P "

 $  z = $
$

  

f˜z (z) dz = dz

2π

dφf˜(z, φ) =

0

1 dz , 2

>



5
"

 $= > 
 @
>
 $ " θ  $ 

fθ (θ) dθ = sin θ dθ

2π

dφf (θ, φ) = 0

1 sin θ dθ . 2

F 



"
>



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P "

 $= 

"


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 P>



 P
  $  #$ > f˜z   fθ  0

H
>
$

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z ∈ [−1, 1] )> θ ∈ [0, π]  


(-( +  ? $ )
 
 
%
- 

> F

0 )>
 
 
@

 $
 µx = E(x) , µy = E(y) ,   σx2 = E (x − µx )2 ,   σy2 = E (y − µy )2 , σxy = E [(x − µx )(y − µy )] , µlm = E(xl y m ),   µlm = E (x − µx )l (y − µy )m ,  µx = µy =

∞





∞

∞

xf (x, y) dx dy = −∞  ∞

−∞  ∞

−∞  ∞

xfx (x) dx ,

yf (x, y) dx dy =

yfy (y) dy ,  ∞ (x − µx )f (x, y) dx dy = (x − µx )fx (x) dx , µx = −∞ −∞ −∞  ∞ ∞  ∞ (y − µy )f (x, y) dx dy = (y − µy )fy (y) dy , µy = −∞  ∞

−∞  ∞

−∞

−∞

−∞

−∞

3 '   

 

  

3



  E   &  f (x, y) = const     C*  ** F    µlm = µlm

∞



−∞ ∞





∞

−∞ ∞

= −∞

−∞

xl y m f (x, y) dx dy , (x − µx )l (y − µy )m f (x, y) dx dy .


 
    


 F
 σxy
  $

 " x  y &
σxy "  "


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x  y   ?  


 

B


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 F

 

5 AC




 
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5 AC
ρxy =

σxy , σx σy


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 |ρxy | ≤ 1 
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 $ f (x, y, . . .)  
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 f (x, y, . . .) = g(x)h(y) · · · .

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y= x= >
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f (x, y)  g(u, v)    

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u(x, y)= v(x, y)=  $ )  " 
% g(u, v) du dv = f (x, y) dx dy ,    ∂(x, y)   ,  g(u, v) = f (x, y)  ∂(u, v) 

0

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 ( * 7   
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 $     

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 $ f (x, y) =

1 −(x2 +y2 )/2 e 2π

     
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 ∂(x, y) =r. ∂(r, ϕ)

&

g(r, ϕ) =


P "

 $




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0

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2π

1 −r2 /2 re 2π

g(r, ϕ) dϕ = re−r

∞

g(r, ϕ) dr = 0

2

/2

,

1 . 2π


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P "

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8? 6: F x= y   r= ϕ  # $$

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g(u) = −∞

f (x, y)δ (u − u(x, y)) dx dy

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u = x + y " )>
  # $$
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x= y =  f (x, y) = fx (x)fy (y)= $  / 
$  0
y 

g(u) =



f (x, u − x) dx =

fx (x)fy (u − x) dx .


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" t = t1 − t2 
 
 
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#C t = t1 − t 2 , t1 = t1


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∂(t1 , t2 ) =1. ∂(t1 , t)




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 $
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= f (px , py ) = 



 

1 −(p2x +p2y )/(2s2 ) e , 2πs2


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  & 



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 $ " q &

   

    
√ px = q cos ϕ , √ py = q sin ϕ



1 ∂(px , py ) = ∂(q, ϕ) 2





h(q, φ) =


P "

 $



2π

g(q) = 0

1 −q/(2s2 ) e 4πs2 1 −q/(2s2 ) e dϕ 4πs2

1 −q/(2s2 ) e , 2s2 2 2 1 g(p2 ) = 2 e−p / p  .

p  =

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 $  p2 = p2x + p2y  ( * T
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u = y/x , v = x )> x = v , y = uv 

f (x, y) = f (x)f (y) =

& 


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>


 


h(u, v) = f (x(u, v), y(u, v))|D| ,


%  

  
D=



∂(x, y) = −v , ∂(u, v)

 g(u) =

h(u, v) dv  ∞ v 2 + u2 v 2 1 )|v| dv exp(− = 2π −∞ 2  1 ∞ −(1+u2 )z = e dz π 0 1 1 , = π 1 + u2

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 z = v2 /2 
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0

ρ


2

ρ e−ρ

dρ = r1 , ρ
2  −e−ρ /2  = r1 , /2

1−e

0 −ρ2 /2

= r1 ,  ρ = −2 ln(1 − r1 ) .

 *



> ϕ(r2 ) ϕ = 2πr2 .


C

> x  y

 −2 ln(1 − r1 ) cos(2πr2 ) ,  y = ρ sin ϕ = −2 ln(1 − r1 ) sin(2πr2 ) .

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  # $$ "
 
  "

 
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  x = ρ cos ϕ =

f (x, y) =

1 −(x2 +y2 )/2 e . 2π

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=  1 − r1

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 σ 2 = nσ12 = np(1 − p) .


  

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  n φ(t) = 1 + p eit − 1 .

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= 0.01 ,

 np(1 − p) = 0.01 , np n=

(1 − p) (4 − π) = ≈ 2732 , 2 0.01 p 0.012 π

   n = 2732 )
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33


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$
  

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38

 

 

 

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n=k

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= e−λ0

∞ (ελ0 )k
1 (λ0 − λ0 ε)n−k k! (n − k)! n=k

(ελ0 )k . = e−ελ0 k!

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Pλ1 (k1 ) =



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 λ

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44

 

 

 

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x

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s2x ρsx sy , ρsx sy s2y  1 − sxρsy 1 s2x V= ρ 1 1 − ρ2 − sx sy s2y C=

 


  
det(C) = s2x s2y (1 − ρ2 )

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47



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 f (t1 + t2 ) 
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48

 

 

 

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" (u) = 2f .

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, γ2 =

6 . ν

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1 Γ/2 π (x − a)2 + (Γ/2)2

 
  ) x = a 
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 (δy)2 = (y − ym )2  ≈ (y(xm ) + y  (xm )∆x − ym )2  = y 2 (xm ) (∆x)2  = y 2 (xm )(δx)2 , δy = |y  (xm )|δx .



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84

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∆xn ∆x1 , ∆xn ∆x2 , ... ∆xn ∆xn  Cij = Rij δxi δxj

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2 − 2ρ ∆xδ11 ∆x + δ2

1 − ρ2

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(δm)2 =


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(δy1 )2 + (δy2 )2 , −x2 (δy1 )2 − x1 (δy2 )2 2 2 −x2 (δy1 ) − x1 (δy2 ) , x22 (δy1 )2 + x21 (δy2 )2

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(δm)2 =

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x − x0  ≈ x0 − x0 ≈ x0 (1 − 2δ 2 /x20 ) − x0 , 1 + 3δ 2 /x20 δ2

x − x0  ≈ −2 2 . x0 x0

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v = (x2 + y 2 + z 2 )1/2 , 0 ≤ v ≤ 1 , z=z

0  )


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z 

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z v g  (u, v, z|θ) .



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f (x, y|θ, ν) =


 

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(1 + 1/θ)−r1 (1 + θ)−r2 f˜(r1 , r2 |θ, ν) = e−ν ν r1 +r2 r1 !r2 ! = fν (r1 , r2 |ν)fθ (r1 , r2 |θ) .


E$ E
   0 θ  $ ln L(r1 , r2 |θ) = −r1 ln(1 + 1/θ) − r2 ln(1 + θ) .


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i=1

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N
(xi − µ)2 /(2σ 2 )] i=1



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7

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30% B

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