Was ist Mathematik?, 5. Auflage

hat, in der die p lauter verschiedene Primzahlen, jede zu einer gewissen Potenz erhoben, bedeuten, dann ist

Wegen 12 = 22 • 3 gilt z. B.

= 12 ( 1 -

;1)' (1 -

;.) . . . ( 1 -

;r) .

!) (1 - !) = 12 (!) (~) = 4 ,

wie es sein muB. Der Beweis ist nicht schwer, soU hier aber fortgelassen werden.

40

Ergiinzung zu I. Zahlentheorie

* tJbung: Unter Benutzung der Eulerschen IP-Funktion soil der kleine Fermatsche Satz von S.30 verallgemeinert werden. Der allgemeinere Satz behauptet: Wenn n eine beliebige ganze Za1l1 ist una a relativ prim zu n. /lann ist a'P("" == 1 (modn) .

4. Kettenbriiche. Diophantische Gleichungen

Der euklidische Algorlthmus zur Bestimmung des groBten gemeinsamen Tellers zweier Zahlen ffihrt unmitte1bar zu einer Methode fUr die Darstellung des Quotienten zweier ganzer Zahlen in Fonn eines zusammengesetzten Bruchs. Wendet man den euklidischen Algorlthmus z. B. auf die Zahlen 840 und 611 an, so liefert er die Gleichungen 840 = 1 " 611 + 229, 229 = 1 " 153 + 76,

611 = 2 " 229 + 153, 153 = 2 "76 + 1,

aus denen folgt, daB (840, 611) = 1. Aus diesen Gleichungen konnen wir die folgenden Ausdriicke ableiten: 840 611

= 1+

229 611

= 1+

1 611/229 '

611 229 = 2

+ 229 = 2 + 229/153

153

229 153 = 1

+

153

76 153

1

'

1 153/76 '

= 1+

1

76=2+76" Durch Zusammenfassung dieser Gleichungen erhalten wir die Entwicklung der

rationalen Zahl

~~

in der Fonn 840 611 = 1

+ -----:--2+----"711+

1

2+ 76 "

Ein Ausdruck der Fonn

a=ao + (7)

tit + as + "

1

""

1

+a-' •

worln ao, tit, aI' ... , aft positive ganze Zahlen sind, heiSt ein Kettenbruch. Der euklidische Algorlthmus liefert uns eine Methode, um jede positive rationale Zahl in dieser Fonn auszudriicken. tJbung: Man stelle die Kettenbruchentwicklung von 2 43 169

auf. *Kettenbriiche sind von groBer Bedeutung in dem Zweig der hOheren Arithmetik. der diophantiscbe Analysis genannt wird. Eine aiop1lantisc1le Gleic1lung ist eine algebraische Gleichung in einer oder mehreren Unbekannten mit ganzzahligen Koeffizienten. fiir die ganzzahlige Losungen gesucht werden. Solche Gleichungen kOnnen entweder gar keine. eine end-

4. Kettenbriiche. Diophantische Gleichungen

41

liche oder eine unendliche Anzahl von Losungen haben. Der einfachste Fall ist der der linearen diophantischen Gleichung mit zwei Unbekannten (8)

ax

+ by =

c,

worin a, b und c gegebene ganze Zahlen sind und ganzzahlige LOsungen x, y gesucht werden. Die vollstandige LOsung einer Gleichung dieser Form kann mit dem euklidischen Algorithmus gefunden werden. Zunachst findet man mit dem euklidischen Algorithmus d = (a, b); dann ist bei geeigneter Wahl von k und 1 (9) ak bl = d.

+

Daher hat die Gleichung (8) fiir den Fall c = d die spezielle Losung x = k, Y = 1. Allgemeiner. falls c ein Vielfaches von d ist, gilt nach (9) a(kq)

+ b(lq) =

dq = c,

so daB (8) die spezieUe LOsung x = x· = kq, Y = y. = lq hat. Wenn umgekehrt (8) irgendeine LOsung x, y fiir ein gegebenes chat, dann muB c ein Vielfaches von d = (a, b) sein; denn d ist Teiler von a und b und muB daher auch Teiler von c sein. Wir haben somit bewiesen, daB die Gleichung (8) dann und nur dann eine LOsung hat, wenn c ein Vielfaches von (a, b) ist. Wir wollen nun die iibrigen LOsungen von (8) bestimmen. Wenn x = x', y = y' eine andere LOsung als die oben mittels des euklidischen Algorithmus gefundene LOsung x = x·, y = y. ist, dann muB offenbar x = x'- x·, y = y'- y. eine LOsung der "homogenen" Gleichung (10) ax+by=O sein. Aus ax' by' = c und ax· +by* = c

+

erhalt man namlich durch Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten

a (x'- x*)

+ b(y'- y*) =

O.

Nun ist die allgemeine LOsung der Gleichung (10) x = fbl(a, b), y = - fal(a, b), worin f eine beliebige ganze Zahl ist. (Wir iiberlassen den Beweis dem Leser als Dbungsaufgabe. Anleitung: Man teile durch (a, b) und benutze die Dbung auf S. 39.) Hieraus folgt sofort:

x = x* + fbl(a, b), y = y*- fal(a, b) . Wir fassen zusammen: Die lineare diophantische Gleichung ax by = c, worin a, b, c ganze Zahlen sind, hat dann und nur dann eine ganzzahlige LOsung, wenn c ein Vielfaches von (a, b) ist. In diesem Fall kann eine spezielle LOsung x = x*, y = y* mit dem euklidischen Algorithmus gefunden werden, und die allgemeine LOsung hat die Form

+

x = x*+ fbl(a, b),

y = y*- fa/(a, b) ,

worin f eine beliebige ganze Zahl ist. Beispiele: Die Gleichung 3x + 6y = 22 hat keine ganzzahlige Losung, da (3,6) = 3 und 3 nicht Teiler von 22 sind. Die Gleichung 7 x + 11y = 13 hat die spezielle LOsung x = -39, Y = 26, die man auf Iolgende Weise findet: 11 = 1 . 7 + 4, 7 = 1 ·4 + 3, 4 = 1 . 3 + 1, (7, 11) = 1. 1 = 4 - 3 = 4 - (7 - 4) = 2 ·4 - 7 = 2 (11 -7) - 7 = 2 . 11- 3·7 . Daher ist 11 (2) = 1 , 7 . (-3) 7· (-39) + 11(26) = 13. Die samtlichen Losungen sind dann gegeben durch x=-39+f·11, y=26-1'·7,

+

worin

f

eine beliebige ganze Zahl ist.

(Jbung: Man lose die diophantischen Gleichungen a) 3x-4y = 29, b) 11x

+ 12y =

58, c) 153x-34y = 51.

Zweites Kapitel

Das Zahlensystem der Mathematik Einleitung Wir miissen den urspriinglichen Zahlbegriff wesentlich erweitern, urn ein Instrument zu schaffen, das fiir Theorie und Praxis leistungsfahig genug ist. 1m Zuge einer langen Entwicklung wurden schlieJ3lich die Null, die negativen ganzen Zahlen und die Briiche als ebenso zulassig erkannt wie die positiven ganzen oder natiirlichen Zahlen. Heute sollte jedes Schulkind die Rechenregeln fiir diese Zahlen beherrschen. Urn aber vollige Freiheit in den algebraischen Operationen zu gewinnen, miissen wir noch weiter gehen und auch irrationale und komplexe Zahlen in den Zahlbegriff einschlieJ3en. Obwohl diese Erweiterungen des natiirlichen Zahlbegriffs schon jahrhundertelang in Gebrauch sind und der ganzen modemen Mathematik zugrunde liegen, sind sie erst im 19. Jahrhundert auf eine logisch einwandfreie Grundlage gestellt worden. 1m vorliegenden Kapitel berichten wir iiber diese Entwicklung.

§ 1. Die rationalen Zahlen 1. Messen und Zihlen Die ganzen Zahlen dienen dazu, endliche Gesamtheiten von Dingen zu zahlen. 1m taglichen Leben miissen wir aber nicht nur solche Gesamtheiten zahlen, sondem auch Gropen messen, z. B. Langen, Flachen, Gewichte und Zeit. Wenn wir ohne Einschrankung mit solchen GroBen rechnen wollen, die beliebig feiner Unterteilung flihig sind, so werden wir gezwungen, das Gebiet der Arithmetik iiber das der ganzen Zahlen hinaus zu erweitem. Der erste Schritt ist, das Problem des Messens auf das des Zahlens zurUckzufuhren. Zuerst wahlen wir willkiirlich eine M apeinheit Meter, Zentimeter, Kilogramm, Gramm oder Sekunde - und schreiben dieser das MaJ3 1 zu. Eine gegebene Menge Blei kann z. B. genau 27 Kilo wiegen. 1m allgemeinen wird jedoch die Zahlung der Einheiten nicht genau "aufgehen", und die gegebene Menge wird nicht genau in ganzen Vielfachen der gewlihlten Einheit meJ3bar sein. Das Beste, was wir sagen konnen, ist, daJ3 die gegebene Menge zwischen zwei aufeinanderfolgenden Vielfachen dieser Einheit, sagen wir zwischen 26 und 27 Kilo, liegt. Wenn das der Fall ist, gehen wir einen Schritt weiter, indem wir eine Untereinheit einfiihren, die wir durch Unterteilung der urspriinglichen Einheit in eine Anzahl n gleicher Teile erhalten. In der gewohnlichen Sprache konnen diese neuen Untereinheiten besondere Namen haben: z. B. ist das Meter in 100 Zentimeter, das Kilogramm in 1000 Gramm, die Stunde in 60 Minuten eingeteilt. In der Symbolsprache der Mathematik wird dagegen eine Untereinheit, die durch Unterteilung der urspriinglichen Einheit in n gleiche Teile entsteht, durch das Symbol lIn bezeichnet, und wenn eine gegebene GroBe gerade m dieser

43

1. Messen und Ziihlen

Untereinheiten enthaIt, so wird ihr MaB durch das Symbol min bezeichnet (zuweilen auch m:n geschrieben). Dieses Symbol nennt man einen Bruch oder ein Verhiiltnis. Der nachste und entscheidende Schritt wurde erst nach Jahrhunderten tastender Versuche bewuBt getan: Das Symbol min wurde seiner konkreten Beziehung zu dem ProzeB des Messens und den gemessenen GraBen entkleidet und statt dessen als eine reine Zahl angesehen, a1s ein mathematisches Objekt von gleicher Art wie die naturlichen Zahlen. Das Symbol min wird eine rationale Zahl genannt. Der Gebrauch des Wortes Zahl (das urspriinglich nur "naturliche Zahl" bedeutete) fUr diese neuen Symbole wird gerechtfertigt durch die Tatsache, daB die Addition und Multiplikation dieser Symbole denselben Gesetzen gehorchen, die fur die Operationen mit den natiirlichen Zahlen gelten. Um dies deutlich zu machen, mussen zuerst Addition, Multiplikation und Gleichheit rationaler Zahlen definiert werden. Diese Definitionen lauten bekanntlich: ~+!...= ad+be b

(1)

d

bd'

~= 1 a

a

e

7)=d' wenn ad = be,

'

fUr beliebige ganze Zahlen a, b, c, d. Zum Beispiel: 2 3

+ i. = 5

2·5 + 3 . 4 3.5

10

+ 12

15

3

22

8

3= 1

2

= 15 '

4

3· 5" = 6

2.4 3'· 5

8

= 15 '

2

12=9=3·

Zu genau diesen Definitionen sind wir gezwungen, wenn wir die rationalen Zahlen als MaBe fur Langen, Flachen usw. benutzen wollen. Aber streng genommen sind diese Regeln fur die Addition, Multiplikation und Gleichheit durch unsere eigene Definition festgesetzt und uns nicht durch irgendeine "apriorische" Notwendigkeit vorgeschrieben, auBer der Bedingung der Widerspmchsfreiheit und der Nutzlichkeit fUr die Anwendungen. Auf Gmnd der Definitionen (1) kannen wir zeigen, daB die grundlegenden Gesetze der Arithmetik der naturlichen Zahlen aueh im Gebiet

der rationalen Zahlen gUltig bleiben:

(2)

(kommutatives Gesetz der Addition), (assoziatives Gesetz der Addition), (kommutatives Gesetz der Multiplikation), (assoziatives Gesetz der Multiplikation), (distributives Gesetz).

p+q=q+p (p + q) + r pq=qp p(qr) = (pq)r p (q + r) = pq + pr

p + (q + r) =

Zum Beispiel liegt der Beweis fUr das kommutative Gesetz der Addition fUr Briiche in den Gleichungen ~ b

+ !... = d

ad

+ be =

bd

eb

+ da =!... + ~

db

db'

worin das erste und letzte Gleichheitszeichen aus der Definition (1) der Addition folgt, wahrend das mittlere eine Konsequenz der kommutativen Gesetze der Addition und Multiplikation natiirlicher Zahlen ist. Der Leser mage die vier anderen Gesetze in derselben Weise bestatigen.

44

II. Das Zahlensystem der Mathematik

Urn diese Tatsachen wirklich klar werden zu lassen, muB nochmals betont werden, daB wir die rationalen Zahlen selbst geschaffen und die Regeln (I) gleichsam willkiirlich aufgestellt haben. Wir konnten willkiirlich ein anderes Gesetz 1: d B a c a+c . . In b .. d 1 1 2 lor em, z. . b + d = b + d ' was un emze en erge en wur e"2 + "2 = "4 ' ein absurdes Ergebnis vom Standpunkt des Messens. RegeIn dieser Art wiirden, obwohllogisch zulassig, die Arithmetik unserer Symbole zu einer bedeutungslosen Spielerei machen. Das freie Spiel des Verstandes wird hier durch die Notwendigkeit geleitet, ein geeignetes Hilfsmittel fiir das Umgehen mit MeBwerten zu schaffen.

2. Die innere Notwencligkeit der rationalen Zahlen Das Prinzip der Verallgemeinerung AuBer dem "praktischen" Grund fiir die Einfiihrung der rationalen Zahlen gibt es noch einen tieferliegenden und in mancher Hinsicht noch zwingenderen Grund, den wir jetzt unabhiingig von der vorstehenden Oberlegung erortem wollen. Er ist arithmetischer Natur und ist typisch fiir eine im mathematischen Denken vorherrschende Tendenz. In der gewohnlichen Arithmetik der natiirlichen Zahlen konnen wir die beiden Grundoperationen Addition und Multiplikation immer ausfiihren. Aber die "inversen Operationen" der Subtraktion und Division sind nicht immer moglich. Die Differenz b - a zweier ganzer Zahlen a, b ist die ganze Zahl c, ffir die a + c = b ist, d. h. sie ist die Losung der Gleichung a + x = b. Aber im Gebiet der natiirlichen Zahlen hat das Symbol b - a nur einen Sinn unter der Einschriinkung b > a, denn nur dann hat die Gleichung a + x = b eine natiirliche Zahl x als LOsung. Es war schon ein wichtiger Schritt auf die Beseitigung dieser Einschriinkung hin, als das Symbol 0 eingefiihrt wurde, indem wir a - a = 0 setzten. Von noch groBerer Bedeutung war es, als durch die Einfiihrung der Symbole - 1, - 2, - 3, ... , zusammen mit der Definition b - a = -(a - b) fiir den Fall b < a, dafiir gesorgt wurde, daB die Subtraktion im Gebiet der positiven tend negativen ganzen Zahlen ohne Einschriinkung ausfiihrbar wurde. Urn die neuen Symbole -1, -2, -3, ... in eine erweiterte Arithmetik einzufiigen, die sowohl negative als auch positive ganze Zahlen umfaBt, miissen wir natiirlich das Rechnen mit ihnen so dejinieren, dafJ die ursprunglichen Regeln jur die arithmetiscken OPerationen erhalten bleiben. So ist zum Beispiel die Regel (3)

(-I) (-I) = 1,

die wir fiir die Multiplikation negativer ganzer Zahlen aufstellten, eine Konsequenz unseres Wunsches, das distributive Gesetz a{b + c) = ab + ac beizubehalten. Denn wenn wir (-I) (-I) = -1 festgesetzt hatten, dann wiirden wir fiir a = -1, b = 1, c = -1 erhalten haben -1 (I - 1) = -1 - 1 = - 2, wahrend in Wirklichkeit -1 (I - 1) = - 1 . 0 = 0 ist. Es hat lange gedauert, bis die Mathematiker erkannten, daB die "Vorzeichenregel" (3), ebenso wie aile anderen Definitionen, welche die negativen ganzen Zahlen und Briiche betreffen, nicht "bewiesen" werden konnen. Sie werden von uns jestgesetzt, urn die freie Durchfiihrbarkeit der Rechnungen unter Beibehaltung der Grundgesetze der Arithmetik zu sichem.

2. Die innere Notwendigkeit der rationalen Zahlen

45

Was man beweisen kann - und auch muB -, ist nur, daB auf Grund dieser Definitionen die kommutativen, assoziativen und distributiven Gesetze der Arithmetik erhalten bleiben. Selbst EULER nahm seine Zuflucht zu einem sehr wenig uberzeugenden Argument, urn zu zeigen, daB (-1) (-1) gleich + 1 sein "muB". Denn, so schloB er, es muB entweder + 1 oder - 1 sein, kann aber nicht - 1 sein, weil -1 = (+ 1) (-1). Ebenso wie die Einfuhrung der negativen ganzen Zahlen und der Null den Weg fur die uneingeschrankte Subtraktion frei macht, so beseitigt die EinfUhrung der Briiche das entsprechende arithmetische Hindernis fUr die Division. Der Quotient x = bJa zweier ganzer Zahlen a und b, definiert durch die Gleichung

(4)

ax= b,

existiert nur dann als ganze Zahl, wenn a ein Teiler von b ist. 1st dies nicht der Fall, z. B. wenn a = 2, b = 3, so fiihren wir einfach ein neues Symbol bJa ein, das wir einen Bruch nennen, und das der Regel a (bJa) = b unterliegt, so daB b/a "nach Definition" eine L6sung von (4) ist. Die Erfindung der Briiche als neue Zahlensymbole macht die Division ohne Einschrankung ausfuhrbar, auBer der Division durch Null, die wir ein fur aUemal ausschliefJen. Ausdriicke wie 1/0, 3JO, % usw. werden fur uns sinnlose Symbole sein. Denn wenn Division durch 0 erlaubt ware, so k6nnten wir aus der richtigen Gleichung o . 1 = 0 . 2 den unsinnigen SchluB ziehen 1 = 2. Es ist jedoch manchmal niitzlich, solche Ausdriicke durch das Symbol 00 (lies "unendlich") zu bezeichnen, sofern man nur nicht versucht, mit diesem Symbol so umzugehen, als ob es den gewohnlichen Rechenregeln fur Zahlen unterworfen ware. Die rein arithmetische Bedeutung des Systems aller rationalen Zahlen - ganze Zahlen und Briiche, positive und negative - ist nun offenbar. Fur dieses erweiterte Zahlengebiet geIten nicht nur die formalen kommutativen, assoziativen und distributiven Gesetze, sondern es haben auch die Gleichungen a + x = b und ax = b ohne Einschrankung L6sungen, x = b - a und x = bfa, sofern nur im letzten Fall a =l= 0 ist. Mit anderen Worten, im Bereich der rationalen Zahlen k6nnen die sogenannten rationalen OPerationen - Addition, Subtraktion, MuItiplikation und Division - uneingeschrankt ausgefiihrt werden und fiihren niemals aus diesem Bereich hinaus. Ein derartiger abgeschlossener Zahlenbereich heiBt ein Korper. Wir werden anderen Beispielen von K6rpern spater in diesem Kapitel und in Kapitel III begegnen. Das geschilderte Vorgehen ist charakteristisch fUr den mathematischen ProzeB der Verallgemeinerung. Er besteht darin, neue Symbole einzufUhren, die als Spezialfalle die urspriinglichen Symbole enthalten und mit denen auch in dem erweiterten Gebiet die urspriinglichen Gesetze giiItig bleiben. Die Verallgemeinerung von natiirlichen auf rationale Zahlen befriedigt sowohl das theoretische Bediirfnis nach der Beseitigung der Einschrankungen bei Subtraktion und Division als auch das praktische Bedurfnis nach Zahlen, mit denen das Ergebnis einer Messung angegeben werden kann. Die volle Bedeutung der rationalen Zahlen liegt in dieser zweifachen Funktion. Wie wir gesehen haben, wurde diese Erweiterung des Zahlbegriffs m6glich durch die Schaffung neuer Zahlen in Form der abstrakten Symbole wie 0, - 2 und 3/4. Da uns heute die rationalen Zahlen selbstverstandlich erscheinen, k6nnen wir uns schwer vorstellen, daB diese noch im 17. Jahrhundert

46

II. Das Zahlensystem der Mathematik

nicht fUr ebenso gerechtfertigt gehalten wurden wie die positiven ganzen Zahlen, und daB sie nur mit gewissen Zweifeln und Bedenken angewendet wurden. Die menschliche Neigung, sich an das "Konkrete" zu halten, hier also an die naturlichen Zahlen, hat den unaufhaltbaren Fortschritt zunachst gehemmt. Nur im Reich des Abstrakten kann ein wirklich befriedigendes System der Arithmetik geschaffen werden.

3. Geometrische Deutung der rationalen Zahlen Eine anschauliche geometrische Deutung des Systems der rationalen Zahlen bietet die folgende Konstruktion. Auf einer geraden Linie, der "Zahlenachse", tragen wir die Strecke 0 bis 1 ab, wie in Fig. 8. Hiermit ist die Lange der Strecke von 0 bis 1, die wir nach Belieben wahlen k6nnen, als Langeneinheit festgesetzt. Die -J _8 _! ~ , ; ;-- positiven und negativen ganzen Zahlen werden dann als eine Menge aquidistanter Punkte auf Fig. 8. Die Zahlenachse der Zahlenachse dargestellt, die positiven zur Rechten des Punktes 0 und die negativen zur Linken. Urn Bruche mit dem Nenner n darzustellen, teilen wir jede Strecke von der Lange 1 in n gleiche Teile; dann stellen die Teilpunkte die Bruche mit dem Nenner n dar. Wenn wir das fUr alle ganzen Zahlen n tun, dann sind alle rationalen Zahlen durch Punkte der Zahlenachse dargestellt. Wir werden diese Punkte rationale Punkte nennen und die Ausdrucke "rationale Zahl" und "rationaler Punkt" als gleichbedeutend gebrauchen. 1m Kapitel I, § 1 definierten wir die Beziehung A < B fur naturliche Zahlen. Diese entspricht auf der Zahlenachse der Beziehung "Punkt A liegt links von Punkt B". Da diese geometrische Beziehung fUr alle rationalen Punkte gilt, sehen wir uns veranlaBt, die arithmetische Beziehung so zu erweitern, daB die relative geometrische Ordnung fur die entsprechenden Punkte erhalten bleibt. Das leistet die folgende Definition: Die rationale Zahl A soIl kleiner als die rationale Zahl B genannt werden (A < B) und B groper als A (B > A), wenn B - A positiv ist. Dann ergibt sich, im Fall A < B, daB die Punkte (Zahlen) zwischen A und B diejenigen sind, die zugleich > A und < B sind. Jedes Paar getrennter Punkte, zusammen mit den dazwischenliegenden Punkten, wird als Strecke oder Intervall [A, BJ bezeichnet. Die Entfernung eines Punktes A vom Anfangspunkt, positiv gerechnet, wird der absolute Betrag von A genannt und durch das Symbol

IAI bezeichnet. In Worten: Wenn A ~ 0, so haben wir IAI = A; wenn A ~ 0, so haben wir IA I = - A. Es ist klar, daB bei gleichen Vorzeichen von A und B die Gleichung IA + BI = IAI + IBI gilt, daB aber bei entgegengesetzten Vorzeichen von A undB IA + BI < IAI + IBlist.DurchZusammenfassungdieserbeidenAussagen erhalten wir die allgemeine Ungleichung IA + BI ~ IA I + IBI , die unabhangig von den Vorzeichen von A und B gilt. Eine Tatsache von grundlegender Bedeutung findet ihren Ausdruck in der Aussage: Die rationalen Punkte liegen uberall dicht aUf der Achse. Damit meinen wir, daB in jedem Intervall, so klein es auch sei, rationale Punkte gelegen sind. Wir

1. Einleitung

47

brauchen nur den Nenner n so groB zu wahlen, daB das Intervall [0, lIn] kleiner wird a1s das fragliche Intervall [A, B], dann muB mindestens einer der Bruche mIn innerhalb des Intervalls liegen. Also kann es kein noch so kleines Intervall auf der Achse geben, das von rationalen Punkten frei ware. Es folgt weiterhin, daB es in jedem Intervall unendlich viele rationale Punkte geben muB; denn wenn es nur eine endliche Anzahl gabe, so konnte das Intervall zwischen zwei beliebigen benachbarten Punkten keine rationalen Punkte enthalten, was, wie wir eben sahen, unmoglich ist.

§ 2. Inkommensurable Strecken, irrationale Zahlen und der Grenzwertbegriff 1. Einleitung Vergleicht man zwei Strecken a und b hinsichtlich ihrer GroBe, so kann es vorkommen, daB a in b genau r-mal enthalten ist, wobei r eine ganze Zahl darstellt. In diesem Fall konnen wir das MaB der Strecke b durch das von a ausdriicken, indem wir sagen, daB die Lange von b das r-fache der Lange von a ist. Oder es kann sich zeigen, daB man, wenn auch kein ganzes Vielfaches von a genau gleich b ist, doch a in, sagen wir, n gleiche Strecken von der Lange aln teilen kann, so daB ein ganzes Vielfaches m der Strecke aln gleich b wird:

(1)

b=!!!..a. n

Wenn eine Gleichung der Form (1) besteht, sagen wir, daB die beiden Strecken a und b kommdnsurabel sind, da sie als gemeinsames MaB die Strecke aln haben, die n-mal in a und m-mal in b aufgeht. Die Gesamtheit aller mit a kommensurablen Strecken enthaIt alle die, deren Lange fUr eine gewisse Wahl der ganzen Zahlen m und n (n =1= 0) in der Form (1) ausgedriickt werden kann. Wenn wir a a1s die Einheitsstrecke [0, 1] in Fig. 9 wahlen, dann entsprechen die mit dieser Einheitsstrecke -_".....-cl~_.....;--Qo-o~l:--....;~~!':"-a.... · --;-kommensurablen Strecken allen rationalen -7 16 Fig. 9. Rationale Punkte Punkten mIn auf der Zahlenachse. FUr alle praktischen Zwecke beim Messen reichen die rationalen Zahlen vollkommen aus. Selbst vom theoretischen Standpunkt konnte man, da die Menge der rationalen Punkte die Achse dicht bedeckt, meinen, daB alle Punkte der Achse rationale Punkte waren. Wenn das wahr ware, wiirde jede beliebige Strecke mit der Einheit kommensurabel sein. Es war eine der Uberraschendsten Entdeckungen der fruhen griechischen Mathematiker (der pythagoraischen Schule), daB die Sachlage keineswegs so einfach ist. Es gibt inkomme-nsurable Strecken oder, wenn wir annehmen, daB jeder Strecke eine Zahl entspricht, die ihre Lange (ausgedriickt durch die Einheit) angibt, so gibt es i"ationale Zahlen. Diese Einsicht war ein wissenschaftliches Ereignis von h6chster Bedeutung. Sie muB a1s einer der entscheidenden, typischen und vie11eicht a1s der wichtigste der griechischen Beitrage zur Schaffung einer wirklich wissenschaftlichen Betrachtungsweise angesehen werden. Seither hat die Entdeckung der irrationalen GroBen auf Mathematik und Philosophie einen wesentlichen EinfluB gehabt. EUDOXUS' Theorie des Inkommensurablen, in geometrischer Form in EUKLID8 Elementen dargestellt, ist ein Meisterstllck der griechischen Mathematik, obwohl

II. Das Zahlensystem der Mathematik

48

sie in der verwasserten Schulbuchdarste11ung dieses klassischen Werkes meist weggelassen wird. Die Bedeutung dieser Theorie wurde erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts voU erkannt, nachdem DEDEKIND, CANTOR und WEIERSTRASS eine strenge Theorie der irrationalen Zahlen aufgeste11t hatten. Wir werden die Theorie in der modem en arithmetischen Fonn darste11en. Zuerst zeigen wir: Die Diagonale eines Quadrats ist inkommensurabel mit seiner Seite. Wir konnen annehmen, daB die Seite eines gegebenen Quadrats als Langeneinheit gewahlt wird und daB die Diagonale die Lange x hat. Dann haben wir nach dem Satz des PYTHAGORAS

Xl= 11+ 11= 2 . (Wir konnen x durch das Symbol V2 bezeichnen). Wenn nun x mit 1 kommensurabel ware, so gabe es zwei ganze Zahlen p und q, so daB x = P/q und

pl= 2ql.

(2)

Wir dfirfen annehmen, daB. p/q schon in den kleinsten Zahlen ausgedrfickt ist, denn ein etwa vorhandener gemeinsamer Teller in Zahler und Nenner konnte schon vorweg herausgekfirzt ~orden sein. Da 2 als Faktor auf der rechten Seite steht, ist pI eine gerade Zahl, und daher ist p selbst gerade, denn das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ungerade. Wir konnen daher schreiben p = 2r. Gleichung (2) wird dann zu 4rl= 2ql oder 2r2= q2. Da nun 2 ein Faktor der linken Seite ist, muB ql und folglich auch q gerade sein. Also sind p und q beide durch 2 tei1bar, was unserer Annahme, daB p und q keinen gemeinsamen Teller haben, widerspricht. Daher kann Gleichung (2) nicht gelten und x kann keine rationale Zahl sein. Das Ergebnis kann durch die Aussage ausgedrfickt werden, daB es keine rationale Zahl gibt, die gleich J!2ist. Die Beweisfiihrung des vorstehenden Absatzes zeigt, daB eine sehr einfache geometrische Konstruktion eine mit der Einheit inkommensurable Strecke liefem kann. Wenn ~e solche Strecke mit Hilfe eines Zirke1s auf der Zahlenachse abgetragen wird, so kann der so gefundene Punkt mit keinem der rationalen Punkte zusammenfaUen: Das System der rationalen ~ Zahlen bedeckt, obwohl es fiberaU dicht ist, nicht die -ooCIO~---o6of-"yr~'Z::--- ganze Zahlenachse. Dem "gesunden Menschenverstand" muB es sehr sonderbar und paradox erscheiFig. 10. KODStruktion von VI nen, daB die dichte Menge der rationalen Punkte nicht die ganze Linie bedecken soU. Nichts in unserer "Anschauung" hilft uns, die irrationalen Punkte als verschieden von den rationalen zu "sehen". Kein Wunder, daB die Entdeckung des Inkommensurablen die griechischen Philosophen und Mathematiker stark erregte und selbst bis zum heutigen Tage auf nachdenkliche Kopfe wie eine Herausforderung wirkt. Es ware sehr leicht, so viele mit der Einheit inkommensurable Strecken zu konstruieren, wie wir nur irgend wollen. Die Endpunkte solcher Strecken, wenn diese vom O-Punkt der Zahlenachse aus abgetragen werden, nennt man i"ationaie Punkte. Bei der Einffihrung der Brfiche war das Messen von Langen durch Zahlen

L1J

49

2. Unendliche Dezimalbriiche

das leitende Prinzip. Wir mochten nundieses Prinzip gem beibehalten, wenn es sich urn Strecken handelt, die mit der Langeneinheit inkommensurabel sind. Wenn wir fordem, daB es eine wechselseitige Entsprechung von Zahlen einerseits und Punkten einer geraden Linie andererseits geben so11, so ist es notwendig, i"ationale Z ahlen einzufuhren. Fassen wir die bisherige Sachlage zusammen, so konnen wir sagen, daB eine irrationale Zahl die Lange einer mit der Einheit inkommensurablen Strecke darste11t. In den folgenden Abschnitten werden wir diese etwas vage und rein geometrische Definition verfeinem, so daB wir zu einer Definition ge1angen, die vom Standpunkt der logischen Strenge besser befriedigt. Wir werden zuerst versuchen, mit Hilfe der Dezimalbrfiche einen Zugang zu unserem Problem zu finden. Obungen: 1. Man beweise, daB das Lemma von S. 38).

Jf3

l'2, va. vs. V3nicht rational sind (Anleitung: Man benutze 8

•

V"2 JI3 4

2. Man beweise, daB y'2 + und + nicht rational sind (Anleitung: Wenn z. B. die erste dieser Zahlen einer rationalen Zahl r gleich ware, dann wiirde sich, wenn man = rschreibt und quadriert, y'2 als rationale Zahl ergeben). 3. Man beweise, daB nere Beispiele zu bilden.

Va-

V2

V"2 + va + VS irrational ist. Man versuche 1i.hnliche und allgemei2. UnendHche Dezimalbriiche

Urn die Zahlenachse mit einer tiberall dichten Punktmenge zu tiberdecken, brauchen wir nicht die Gesamtheit aller rationalen Zahlen; z. B. gentigt es, nur so1che Zahlen zu betrachten, die durch Division jeder Einheitsstrecke in 10, dann in 100, 1000 usw. gleiche Teile entstehen. Die so erhaltenen Punkte entsprechen den "Dezimalbrfichen". Zum Beispiel entspricht der Punkt 0,12 = 1/10 + 2/100 dem Punkt, der im ersten Einheitsintervall' im zweiten Teilintervall der Lange 10-1 und am Anfang des dritten Teil-Teilintervalls der Lange 10-2 liegt (a- ft bedeutet llaft ). Ein so1cher Dezimalbruch hat, wenn er n Ste11en nach dem Komma enthaIt, die Form

f

=

z + a1 10-1 + a. 10-1 + iZa 10-3 + ... + aft 10-ft ,

worin z eine ganze Zahl ist und die a Ziffem von 0 bis 9 sind, welche die Zehntel, Hundertstel usw. angeben. Die Zahl f wird im Dezimalsystem durch das abgekurzte Symbol z, iZt a.tIs ... aft bezeichnet. Wir sehen sofort, daB diese Dezimalbrfiche in der gewohnlichen Bruchform Plq mit q = 10ft geschrieben werden konnen; z. B.f = 1,314 = 1 + 130 + I~ + 10~ = ::: . Wenn P und q einen gemeinsamen Teller haben, so kann der Dezimalbruch auf einen Bruch, dessen Nenner ein gewisser Teller von IOta ist, reduziert werden. Andererseits kann kein geldirzter Bruch, dessen Nenner kein Teiler einer Potenz von 10 ist, als Dezimalbruch dargeste11t werden. Zurn Beispiel ist = 0,004, aber

! = :0 = 0,2 und 2~ = I!O

! kann nicht als Dezimalbruch mit einer endlichen Anzahl n von

Dezimalste11en geschrieben werden, so groB man n auch wahlt; denn eine Gleichung der Form Courant u. Robbins, Mathematik

4

II. Das Zahlensystem der Mathematik

50

wiirde verlangen, daB 10"= 3b, was unmoglich ist, da 3 nicht Teiler irgendeiner Potenz von 10 ist. Wahlen wir nun irgendeinen Punkt P auf der Zahlenachse, der keinem Dezimalbruch entspricht, z. B. den rationalen Punkt 1/3 oder den irrationalen Punkt dann wird es bei dem Verfabren der Unterteilung der Einheitsstrecke in 10 gleiche Teile usw. niemals vorkommen, daB P der Anfangspunkt eines Teilintervalls wird. Aber P kann in immer kleinere Intervalle der Dezimaleinteilung mit jedem ge~ wiinschten Annliherungsgrad eingeschlossen werden. Diesen AnnliherungsprozeB konnen wir wie folgt beschreiben: Nehmen wir an, P liege im ersten Einheitsintervall. Wir teilen dieses Intervall in 10 gleiche Teile, je von der Lange 10-1, und finden beispielsweise, daB P zwischen den Dezimalbriichen 0,2 und 0,3 liegt. Wir unterteilen das Intervall von 0,2 bis 0,3 in 10 gleiche Teile, je von der Lange 10-1, und finden, daB P beispielsweise in dem vierten dieser Intervalle liegt. Indem wir nun dieses wiederum unterteilen, finden wir, daB P vielleicht im ersten Intervall der Lange 10-3 liegt. Wir konnen jetzt sagen, daB P zwischen 0,230 und O,231liegt. Dieses Verfahren kann unbegrenzt fortgesetzt werden und fiihrt zu einer unendlichen Folge von Ziffem "t, a2 , as, .. " aft, ••• mit folgender Eigenschaft: welche Zabl n wir auch wahlen, der Punkt P liegt in dem Intervall 1ft , dessen linker Endpunkt der Dezimalbruch O,"taA . .. aft-Iaft und dessen rechter Endpunkt O,"taA ... aft-I(a ft + 1) ist, wobei die Lange von 1ft = 1O-fI ist. Wenn wir nacheinander n = 1,2,3,4, ... wahlen, sehen wir, daB jedes der Intervalle II' II' I a, • •• in dem vorhergehenden enthalten ist, wwend die Langen 10-1, 10-1, 10-8, ... gegen Null streben. Wir sagen, daB der Punkt P in einer Schacktelung von Dezimalinteroallen enthalten ist. 1st z. B. P der rationale Punkt 1/3, dann sind alle Ziffem gleich 3, und P ist in jedem Intervall 1ft enthalten, das von 0,333 ... 33 bis 0,333 ... 34 reicht, d. h. 1/3 ist groBer als 0,333 ... 33, aber kleiner als 0,333 ... 34, wobei man die Anzahl der Ziffem beliebig groB wahlen kann. Wir driicken diesen Sachverhalt aus, indem wir sagen, daJ3 der n-stellige Dezimalbruch mit zunehmendem n "gegen 1/3 strebt". Wir schreiben

V2.

1

3=0,333 ... , wobei die Punkte bedeuten, daB der Dezimalbruch ohne Ende fortgesetzt werden soU. Der irrationale Punkt ~ der im Abschnitt 1 definiert wurde, fiihrt auch auf einen unendlich fortgesetzten Dezimalbruch. Hier jedoch ist das Gesetz, das die Werte der einze1nen Ziffem bestimmt, keineswegs offenkundig. Tatsachlich kennt man keine explizite Formel, welche die aufeinanderfolgenden Ziffem bestimmt, obwohl man beliebig viele Ziffem berechnen kann: 11= 1 < (1,4)1= 1,96 < (1,41)21= 1,9881 < (1,414)1= 1,999396 < (1,4142)2= 1.99996164 <

2< 2< 2< 2< 2<

~

22= 4 (1,5)2= 2,25 (1,42)2= 2,0164 (1,415)2= 2,002225 (1,4143)2= 2,00024449, usw.

3. Grenzwerte. Unendliche geometrische Reihen

51

Wir formulieren als allgemeine Definition, daB ein Punkt P, der durch keinen Dezimalbruch mit einer endlichen Zahl n von Ziffem darstellbar ist, durch einen unendlichen Dezimalbruch z,a1a~ . .. dargestellt wird, wenn fur jeden Wert von n der Punkt Pin dem Intervall der Lange 10-" mit dem Anfangspunkt z,a1a2Q a' •• a,. liegt. Auf diese Weise wird eine Beziehung hergestellt zwischen allen Punkten der Zahlenachse und allen endlichen und unendlichen Dezimalbruchen. Wir stellen versuchsweise die Definition auf: Eine "Zahl" ist ein endlicher oder unendlicher Dezimalbruch. AIle die unendlichen Dezimalbruche, die keine rationalen Zahlen darstellen, heiBen irrationale Zahlen. Bis in die Mitte des 19. Jahrhunderts wurden diese Betrachtungen als befriedigende Erklarung fur das System der rationalen und irrationalen Zahlen, des Zahlenkontinuums, aufgefaBt. Der gewaltige Fortschritt der Mathematik seit dem 17. Jahrhundert, insbesondere die Entwicklung der analytischen Geometrie und der Differential- und Integralrechnung entfaltete sich ungehindert auf dem Boden dieser Auffassung vom Zahlensystem. Aber in der Periode der kritischen Dberpriifung der Grundlagen und der Sicherung der Ergebnisse sah man mehr und mehr ein, daB der Begriff der irrationalen Zahlen einer genaueren Analyse bedurfte. AIs Vorbereitung auf unseren Bericht uber die modeme Theorie des Zahlenkontinuums wollen wir auf mehr oder weniger anschauliche Art und Weise den grundlegenden Begriff des Grenzwerts erortem. Obung: Man berechne

V2 und Vs mit einer Genauigkeit von mindestens 103

3

1.

3. Grenzwerte. Unendliche geometrische Reihen Wie wir im vorigen Abschnitt sahen, kommt es zuweilen vor, daB eine gewisse rationale Zahl s durch eine Folge von anderen rationalen Zahlen s.. angenahert wird, wobei der Index n nacheinander alle Werte 1,2,3, ... annimmt. Wenn zum Beispiel s = 1/3 ist, dann haben wir S1 = 0,3, sa= 0,33, S3= 0,333 usw. AIs weiteres Beispiel wollen wir das Einheitsintervall in zwei Halften teilen, die zweite HaUte wieder in zwei gleiche Teile, den zweiten von diesen wieder in zwei gleiche Teile und so immer weiter, bis die kleinsten so erhaltenen Intervalle die Lange 2-" haben; dabei solI n beliebig groB gewahlt werden, z. B. n = 100, n = 1000000 oder welche Zahl wir immer wollen. Dann erhalten wir durch Addieren aller dieser Intervalle, auBer dem allerletzten, die Gesamtlange (3)

111

1

s,. = "2 + "4 + "8 + ... + 2i' .

°

Wir sehen, daB s,. sich von 1 urn (1/2)" unterscheidet, und daB diese Differenz beliebig klein wird oder "gegen strebt", wenn n unbegrenzt wachst. Es hat keinen Sinn zu sagen, daB die Differenz Null ist, wenn n unendlich ist. Das Unendliche kommt nur zum Ausdruck durch das unendlich fortgesetzte Verfahren und nicht als wirkliche Grope. Wir beschreiben das Verhalten von s,., indem wir sagen, daB die Summe s,. sich dem Grenzwert 1 niihert, wenn n gegen unendlich strebt, und schreiben dafiir

(4) wobei wir auf der rechten Seite eine unendliche Reihe haben. Diese "Gleichung" 4*

52

II. Das Zahlensystem der Mathematik

bedeutet nicht, daB wir tatsachlich unendlich viele Glieder zusammenzahlen sollen; sie ist nur ein abgekiirzter Ausdruck fUr den Sachverhalt, daB 1 der Grenzwert der endlichen Summe srI ist, wenn n gegen unendlich strebt (keineswegs unendlich ist). Demnach ist die Gleichung (4) mit dem unvollstandigen Symbol ,,+ ..." nur eine mathematische Kurzform fUr die exakte Aussage: (5)

1

1

1

1

1 = Grenzwert von s"="2 + 21 + 21 + ... + 2" bei unbeschrankt wachsendem n.

Kiirzer, aber sehr einpriigsam, schreiben wir s,,-+ 1, wenn n -+

(6)

00 •

Als weiteres Beispiel eines Grenzwertes betrachten wir die Potenzen einer Zahl q. Wenn - 1 < q < 1, z. B. q = 1/3 oder q = 4/5, dann nahem sich die aufeinanderfolgenden Potenzen von q q, ql, q3, if, ... , q", ... mit wachsendem n dem Wert Null. Wenn q negativ ist, so wechselt das Vorzeichen von q" zwischen + und - ab, und q" strebt von beiden Seiten gegen Null. Also wenn q = 1/3, so ist ql= 1/9, q3= 1/27, if= 1/81, aber wenn q = - 1/2, so ist qB= 1/4, q3= -1/8, if= 1/16, ...• Wir sagen, daB der Grenzwert von q", wenn n gegen unendlich strebt, gleich Null ist oder, in Symbolen geschrieben,

(7)

q"-+ 0, wenn

n -+

00,

fiir -1 < q < 1.

(Nebenbei bemerkt: wenn q> 1 oder q < -1, so strebt q" nicht gegen Null, sondem wachst absolut genommen tiber alle Grenzen.) Urn die Behauptung (7) streng zu beweisen, gehen wir von der auf S. 13 bewiesenen Ungleichung aus, derzufolge (1 + P)" ~ 1 + np fUr jedes positive ganze n und P > -1. Wenn q irgendeine feste Zahl zwischen 0 und 1 ist, z. B.

q = 9/10, so haben wir q =

1

1

~P

q. =

(1

mit P > O. Daher ist

+ P)" ~ 1 + np > np

oder (siehe Regel 4, S. 245)

O
rand liP' lin, der sich mit wachsendem n der Null nahert, da ja P festliegt. Demnach ist es klar, daB q"-+ O. Wenn q negativ ist, so haben wirq = -INI + P) und die Intervallrander (-lIP) (lIn) und (lIP) (lIn) anstelle von 0 und (lIP) (lin). 1m iibrigen bleibt die 'Obedegung dieselbe. Wir betrachten jetzt die geometrische Reihe

(8)

s,,= 1 + q + qB+ q3+ ... + q".

(Den Fall q = 1/2 haben wir schon oben besprochen.) Wie auf S. 11 gezeigt, konnen wir die Summe SrI in einfacher und knapper Form ausdriicken. Wenn wir SrI mit q multiplizieren, erhalten wir (8a)

qs,,= q + qll+ q3+ q'+ ... + q,,+l,

53

3. Grenzwerle. Unendliche geometrische Reihen

und indem wir (8a) von (8) subtrahieren, sehen wir, daB sich alle Glieder auBer 1 und q"+l wegheben. Es ergibt sich durch diesen Kunstgriff (1 - q)s,,= 1 - q"+l

oder nach Division

s" =

1 - q"+1 1_ q

=

1

q"+1

·1 - q -

1_ q •

Der Grenzbegriff kommt ins Spiel, wenn wir n wachsen lassen. Wie wir sahen, strebt q"+l= q. q" gegen Null, wenn -1 < q < 1, und wir erhalten die Grenzbeziehung 1- , wenn n -+ s" -+-1--q

(9)

00,

fiir -1 < q < 1.

A1s unendliche geometrische Reihe geschrieben lautet dies (10)

l+q+q2+ q3+ ... =

1

fiir-l
l-q

Zum Beispiel ist 1

1

1

1

1+-+-+-+···=--=2 2 21 21 1-22

in tJbereinstimmung mit (4) und 9

9

9

9

9

1O+ToI+108+To'+·· ·=10·

1 1

1- 10

= 1,

so daB 0,999 ... = 1. In ahnlicher Weise zeigt sich, daB der endliche Dezimalbroch 0,2374 und der unendliche 0,2373999 ... dieselbe Zahl darstellen. In Kapitel VI werden wir den Grenzbegriff in der heute iiblichen strengen Weise einfiihren. q + ql- q3 + qt_ . ..

tJbungen: 1. Man beweise. daB 1 -

= 1 +1 q , wenn Iql <

1.

n 2. Was ist der Grenzwerl der Folge at. a l • a3 • •••• wenn a,,= (n I)? (Anleitung: n 1 man schreibe den Ausdruck in der Form (n 1) = 1 - (n 1) und beachte. daB das

+

+

zweite Glied gegen Null strebt.)

+

+ + + 11 fiir

nl n 3. Was ist der Grenzwerl von n l - n

Ausdruck in der Form

n -+ oo? (Anleitung: Man schreibe den

1

1

1

1·)

1+-+n n l

1--+n n l

4. Man beweise fiir Iql

< 1. daB 1 + 2q + 3q' + 4 q3 + ... = (1 _

q)1 . (Anleitung: Man

benutze das Ergebnis der "Obung 3 auf S. 15). 5. Was ist der Grenzwerl der unendlichen Reihe 1-

2q

+ 3ql- 4ql + ... ?

1 + 2 + 3 + ... + n }I + 21 + ... + 1J1 6. Was ist der Grenzwerl von 1 • von I und von n n I' + 21 + ... + n a n' ? (Anleitung: Man benutze die Ergebnisse von S. 10 und 12.)

54

II. Das Zahlensystem der Mathematik

4. Rationale Zahlen und perioclische Dezimalbriiche Rationale Zahlen Plq, die keine endlichen Dezimalbriiche sind, konnen in unendliche Dezimalbriiche entwickelt werden, indem man das elementare Verfahren der Division durchfiihrt. Auf jeder Stufe dieses Verfahrens muB sich ein Rest, der ungleich Null ist, ergeben, denn sonst wiirde der Dezimalbruch endlich sein. AIle verschiedenen Reste, die bei der Division auftreten, werden ganze Zahlen zwischen 1 und q - 1 sein, so daB es im HochstfaIle q - 1 Moglichkeiten fUr die Werte des Restes gibt. Das bedeutet, daB nach hOchstens q Divisionen ein gewisser Rest k zum zweiten Mal vorkommen muB. Dann aber werden sich aIle weiteren Reste stets in derselben Reihenfolge wiederholen, in der sie nach dem ersten Auftreten des Restes k erschienen sind. Es zeigt sich also, daB der Dezimalbruch fur iede rationale Zahl periodisch ist: nachdem am Anfang eine gewisse endliche Folge von Ziffem aufgetreten ist, wird sich dann eine bestimmte Ziffer oder Ziffemfolge unendlich oft wiederholen. Beispiele sind: 1/6 = 0,1666 ... ; 1/7 = 0,142857142857142857 ... ; 1/11 = 0,09090909 ... ; 122/1100 = 0,11090909 ... ; 11/90 = 0,122222 ... usw. (Die rationalen Zahlen, die sich durch einen endlichen Dezimalbruch darstellen lassen, konnen als periodische Dezimalbriiche aufgefaBt werden, bei denen sich nach einer anfanglichen endlichen Anzahl von Ziffem die Ziffer unendlich oft wiederholt). Umgekehrt kann man zeigen, daB alle periodischen Dezimalbrache rationale Zahlen sind. Nehmen wir zum Beispiel den unendlichen periodischen Dezimalbruch

°

p=

0,3322222 ....

Dann haben wir p = 33/100 + 10-3 .2(1 + 10-1 + 10-2 + ...). Der Ausdruck in der Klammer ist die unendliche geometrische Reihe 1 + 10-1 + 10-2 + 10-3 + ...

Folglich ist

P=

:! + 2 . 10-

3 •

190

=

1

1

10

=""9.

l-}O

= 29~~ ~a20 = : : = :~ .

Der Beweis fur den aIlgemeinen FaIl ist im wesentlichen derselbe, verlangt aber eine aIlgemeinere Schreibweise. In dem aIlgemeinen periodischen Dezimalbruch

p = 0,a1aaaa ... amb1b• ... b,Ab• ... bn ••• setzen wir 0,b1b•. .. bn = B, so daB B den periodischen Teil des Dezimalbruchs darstellt. Dann wird

p=

O,~al .•.

am + 10-m B(1 + 10-n + 10-ln + 1O-3rl + ...).

Der Ausdruck in der Klammerist eine unendliche geometrische Reihe mit q = 10-n , deren Summe nach Gleichung (10) des vorigen Abschnitts gleich 1/(1 - lO-n ) ist, und damit haben wir

tlbungen: 1. Man entwickle 1/11, 1/13,2/13,3/13, 1/17,2/17 in Dezimalbriiche und stelle die Periode fest.

5. Allgemeine Definition der Irrationalzahlen durch Intervallschachtelungen

55

*2. Die Zahl 142857 hat die Eigenschaft, daB Multiplikation mit irgendeiner der Zahlen 2, 3, 4, 5 oder 6 nur eine zyklische Vertauschung ihrer Ziffem hervorruft. Man erklii.re diese Eigenschaft unter Benutzung der Entwicklung von 1/7 in einen Dezimalbruch. 3. Man entwickle die rationalen Zahlen der Obung 1 als "Dezimalbriiche" mit der Basis 5,7 und 12. 4. Man entwickle 1/3 als dyadische Zahl. 5. Man schreibe 0,11212121 ... als gewOhnlichen Bruch. Welchen Wert hat dieses Symbol, wenn es in einem System mit der Basis 3 oder 5 gelten solI ?

5. Allgemeine Definition der Irrationalzahlen durch Interva1lscbacbte1ungen Auf S. 51 definierten wir versuchsweise: Eine "Zahl" ist ein endlicher oder unendlicher Dezimalbruch. Wir verabredeten, daB diejenigen unendlichen Dezimalbriiche, die keine rationalen Zahlen darstellen, irrationale Zahlen heiBen sollten. Auf Grund der Ergebnisse des vorigen Abschnitts konnen wir diese Definition jetzt wie folgt formulieren: Das Zahlenkontinuum oder System tier reeUen Zahlen ("reell" im Gegensatz zu "imaginar" oder "komplex", was in § 5 eingefiihrt werden wird) ist die Gesamtheit der unendlichen Dezimalbruche. (Endliche Dezimalbriiche konnen als ein Spezialfall betrachtet werden, bei dem alle Ziffem von einer gewissen Stelle an Null sind. Statt dessen konnte man auch vorschreiben, daB an Stelle jedes endlichen Dezimalbruchs, dessen letzte Ziffer a ist, ein unendlicher Dezimalbruch genommen werden soll, bei dem a-I an Stelle von a steht, und darauf eine unendliche Reihe von Ziffem 9 folgt; dies driickt die Tatsache aus, daB 0,999 ... = 1, wie in Abschnitt 3 gezeigt.) Die rationalen Zahlen sind die periodischen Dezimalbriiche, die i"ationalen sind die nichtperiodischen Dezimalbriiche. Auch diese Definition ist nicht vollkommen befriedigend; denn wie wir in Kapitel I sahen, ist das Dezimalsystem in keiner Weise durch die Natur der Sache ausgezeichnet. Wir hiitten dieselbe Argumentation genauso gut mit dem dyadischen oder einem anderen System durchfiihren konnen. Aus diesem Grunde ist es erwiinscht, eine allgemeinere Definition des Zahlenkontinuums zu haben, die von der speziellen Bezugnahme auf die Basis zehn frei ist. Der einfachste Weg hierzu ist vielleicht der folgende. Betrachten wir eine Folge II' I., la, ... , 1ft , • • • von Intervallen auf der Zahlenachse mit rationalen Endpunkten, von denen jedes in dem vorhergehenden enthalten ist und von der Art, daB die Lange des n-ten Intervalls 1ft mit wachsendem n gegen Null strebt. Eine solche Folge heiBt eine IntervaUschachtelung. Fiir Dezimalintervalle ist die Lange 1ft gleich 10-ft, aber sie konnte ebenso gut 2-ft oder auch nur der schwacheren Forderung unterworfen sein, kleiner als lIn zu sein. Nun formulieren wir als ein grundlegendes Postulat der Geometrie: Zu jeder IntervaUschachtelung gibt es genau einen Punkt aUf der Zahlenachse, der in allen Intervallen enthalten ist. (Man sieht sofort, daB es nicht mehr als einen Punkt geben kann, der siimtlichen Intervallen gemeinsam ist; denn die Langen der Intervalle streben gegen Null, und es konnten nicht zwei verschiedene Punkte in einem Intervallliegen, das kleiner ware als ihr Abstand voneinander.) Dieser Punkt heiSt nach Definition eine reeUe Zahl; wenn er nicht rational ist, heiBt er eine irrationale Zahl. Mit dieser Definition wird eine vollkommene gegenseitige Zuordnung zwischen Punkten und Zahlen hergestellt. Sie ist nur eine allgemeinere Formulierung der Definition mit Hilfe unendlicher Dezimalbriiche.

56

II. Das Zablensystem der Mathematik

Hier konnte sich der Leser durch einen durchaus gerechtfertigten Zweifel beunruhigt fiihlen. Was ist so ein "Punkt" auf der Zahlenachse, von dem wir annehmen, daB er in allen Intervallen einer Schachtelung enthalten ist, wenn er kein rationaler Punkt ist? Unsere Antwort ist: Die Existenz eines Punktes auf der Zahlenachse (als Gerade betrachtet), der jedem Intervall einer solchen Folge mit rationalen Endpunkten angehOrt, ist ein fundamentales Postulat der Geometrie. Es ist keinerlei logische ZuriickfUhrung dieses Postulats auf andere mathematische Tatsachen erforderlich. Ebenso wie andere Axiome oder Postulate in der Mathematik nehmen wir auch dieses Postulat wegen seiner anschaulichen Plausibilitat und seiner Brauchbarkeit o .. zum Aufbau eines widerspruchsfreien Systems fur das mathematische Denken an. Vom rein formalen Standpunkt konnen wir von einer Geraden ausgehen, die nUr aus rationalen Punkten besteht, I-----t_-und dann einen irrationalen Punkt -------l1li------- ----------0-- --------0------., -------.... ---- --- ----------0-- -------o-----~ einfach definieren als ein Symbol fur eine gewisse Intervallschachtelung. Fig. 11. Intervallschachte1ung. Greozwerte von Punktfolgen Ein irrationaler Punkt wird vollstandig durch eine Folge solcher rationaler Intervalle beschrieben, deren Langen gegen Null streben. Daher liefert unser fundament ales Postulat tatsachlich eine Definition. Nachdem wir durch ein intuitives Gefiihl, daB der irrationale Punkt "existiert", zu der Intervallschachtelung geleitet worden sind, bedeutet diese Definition, daB wir die intuitive Kriicke, die unsere 'Oberlegung stiitzte, fallen lassen und uns klar machen, daB alle mathematiscken Eigenschaften irrationaler Punkte als Eigenschaften solcher Folgen rationaler Intervalle ausgedriickt werden konnen. Wir haben hier ein typisches Beispiel der philosophischen Haltung, die in der EinIeitung dieses Buches beschrieben wird: die Abwendung von der naiven, "realistischen" Auffassung, die einen mathematischen Gegenstand als "Ding an sich" betrachtet, dessen Eigenschaften wir nur untersuchen, und an deren Stelle die Einsicht, daB die einzige sinnvolle "Existenz" mathematischer Gegenstande eben in ihren mathematischen Eigenschaften und den sie verkniipfenden Beziehungen liegt. Diese Beziehungen und Eigenschaften erschOpfen die mathematische Bedeutung des betreffenden Gegenstands. Wir geben das mathematische "Ding an sich" auf, ebenso wie die Physiker den unbeobachtbaren Aether aufgaben. Das ist der Sinn der Definition irrationaler Zahlen als Intervallschachtelungen. Mathematisch wichtig hierbei ist, daB fur diese irrationalen Zahlen, definiert als Intervallschachtelungen, die Operationen der Addition, Multiplikation usw. und die Beziehungen "kleiner als" und "groBer als" ohne weiteres verallgemeinert werden konnen und zwar so, daB alle Gesetze, die im Bereich der rationalen Zahlen gelten, erhalten bleiben. Zum BeispiellaBt sich die Ad.dition zweier irrationaler Zahlen at und Pmit Hilfe der betreffenden beiden Intervallschachtelungen definieren. Zu dem Zweck konstruieren wir eine dritte Intervallschachtelung, indem ----00-

0

..

6. Andere Methoden zur Definition der irrationalen Zahlen. Dedekindsche Schnitte

57

wir die (rationalen) Anfangs- und Endwerte je zweier entsprechender Intervalle der beiden Schachtelungen ot und p addieren. Diese neue Intervallschachtelung definiert dann ot + p. In ahnlicher Weise konnen wir das Produkt otP, die und den Quotienten otlP definieren. Auf Grund dieser Definition Differenz ot laBt sich zeigen, daB die in § 1 dieses Kapitels besprochenen arithmetischen Gesetze auch fiir irrationale Zahlen gelten. Die Einzelheiten iibergehen wir hier. Die Nachpriifung dieser Gesetzeist einfach und naheliegend, aber etwas ermiidend fiir den Anfanger, dem es mehr darauf ankommt, zu erfahren, was man mit der Mathematik anfangen kann, a1s ihre logische Begriindung zu untersuchen. Manche modemen Lehrbiicher der Mathematik wirken abstoBend auf viele Lemende, da sie mit einer pedantisch genauen Analyse des ree1len Zahlensystems beginnen. Wenn ein Leser diese Einleitung einfach iiberschlagt, so kann er dies damit rechtfertigen, daB bis weit ins 19. Jahrhundert hinein alle groBen Mathematiker ihre Entdeckungen auf Grund der "naiven", der Anschauung entnommenen Vorstellung vom Zahlensystem gemacht haben. Die Definition einer irrationalen Zahl durch eine Intervallschachtelung entspricht in der Physik der Bestimmung des Wertes einer beobachtbaren GroBe durch eine Folge von Messungen mit immer groBerer Genauigkeit. Jede gegebene Methode, etwa zur Bestimmung einer Lange, hat einen praktischen Sinn nur innerhalb gewisser Fehlergrenzen, welche die Genauigkeit der Methode angeben. Da die rationalen Zahlen auf der Geraden iiberall dicht liegen, ist es unmoglich, durch irgendeine, noch so genaue physikalische MeBmethode festzustellen, ob eine gegebene Lange rational oder irrational ist. Es konnte daher den Anschein haben, a1s ob die irrationalen Zahlen fiir die hinreichende Beschreibung physikalischer Erscheinungen unnotig waren. Aber wie wir in Kapitel VI deutlicher sehen werden, liegt der wirkliche Vorteil, den die Einfiihrung der irrationalen Zahlen fiir die mathematische Beschreibung physikalischer Erscheinungen mit sich bringt, darin, daB diese Beschreibung ungeheuer vereinfacht wird durch die freie Verwendung des Grenzbegriffs, der auf dem Zahlenkontinuum beruht.

p

*6. Andere Methoden zur Definition der irrationalen Zahlen. Dedekindsche Schnitte Eine etwas andere Methode, die irrationalen Zahlen zu definieren, wahlte RICHARD DEDEKIND (1831-1916), einer der groBen Pioniere in der Erforschung der logischen und philosophischen Grundlagen der Mathematik. Seine Arbeiten, Stetigkeit und irrationale Zaklen (1872) und Was sind und was soUen die Zaklen? (1887) iibten einen starken EinfluB auf die mathematische Grundlagenforschung aus. DEDEKIND zog es vor, mit allgemeinen abstrakten Ideen zu arbeiten, anstatt mit bestimmten Folgen ineinandergeschachtelter Intervalle. Sein Verfahren beruht auf der Definition eines "Schnitts", den wir kurz beschreiben wollen. Angenommen, es sei eine Methode gegeben, um die Menge alZer rationalen Zaklen in zwei Klassen A und B einzuteilen, so daB jedes Element b der Klasse B groBer ist a1s jedes Element a der Klasse A. Jede Klassifizierung dieser Art heiBt ein Scknitt in der Menge der rationalen Zahlen. Bei einem Schnitt gibt es genau drei Moglichkeiten, von denen eine und nur eine zutreffen muB. 1. Es gibt ein groptes Element a* von A. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn A aus allen rationalen Zahlen ~ 1 und B aus allen rationalen Zahlen > 1 besteht.

58

II. Das Zahlensystem der Mathematik

2. Es gibt ein kleinstes Element b* von B. Das ist zum Beispiel der Fall, wenn A aus allen rationalen Zahlen < 1 und B aus allen rationalen Zahlen ~ 1 besteht. 3. Es gibt weder ein groptes Element von A, noch ein kleinstes Element von B. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn A aus allen negativen rationalen Zahlen, Null und allen positiven rationalen Zahlen besteht, deren Quadrat kleiner als 2 ist, und B aus allen positiven rationalen Zahlen, deren Quadrat groBer a1s 2 ist. A und B zusammen umfassen alle rationalen Zahlen; denn wir haben bewiesen, daB es keine rationale Zahl gibt, deren Quadrat gleich 2 ist. Der Fall, in dem A ein groBtes Element a* und B ein kleinstes Element b* hat, ist unmoglich, denn die rationale Zahl (a* + b*)f2, die in der Mitte zwischen a* und b* liegt, wlirde groBer sein als das groBte Element von A und kleiner als das kleinste von B und konnte daher zu keiner der beiden Klassen gehoren. 1m dritten Fall, in dem es weder eine groBte rationale Zahl in A, noch eine kleinste rationale Zahl in B gibt, sagt DEDEKIND, daB der Schnitt eine irrationale Zahl definiert, oder einfacher, eine irrationale Zahl ist. Man sieht leicht ein, daB diese Definition mit der durch Intervailschachtelung iibereinstimmt; jede Folge 11 ,12, la, ... von ineinandergeschachtelten Intervallen definiert einen Schnitt, wenn wir in Klasse A alle die rationalen Zahlen aufnehmen, die kleiner sind als der linke Endpunkt von mindestens einem der Intervalle In' und in Baile iibrigen rationalen Zahlen. 1m philosophischen Sinne erfordert DEDEKINDfI Definition der irrationalen Zahlen einen ziemlich hohen Grad von Abstraktion, da sie der Natur des mathematischen Gesetzes, das die beiden KlassenA undB bestimmt. keinerlei Beschrankung auferlegt. Eine konkretere Methode. das reelle Zahlenkontinuum zu definieren, verdanken wir GEORG CANTOR (1845-1918). Obwohl auf den ersten Blick durchaus verschieden von der Methode der Intervallschachtelungen und der Schnitte. ist seine Methode doch beiden aquivalent in dem Sinne. daB die auf diese drei Arten definierten Zahlensysteme dieselben Eigenschaften haben. CANTORS Gedanke entsprang aus den Tatsachen. daB 1. reelle Zahlen als unendliche Dezimalbriiche angesehen werden konnen und 2. unendliche Dezimalbriiche durch Grenziibergang aus endlichen Dezimalbriichen entstehen. Wenn wir uns von der Abhangigkeit vom Dezimalsystem frei machen, konnen wir mit CANTOR sagen, daB jede Folge al • a •• /la, ... rationaler Zahlen eine reelle Zahl definiert, wenn sie .. konvergiert". Konvergenz hat dabei die Bedeutung. daB die Differenz (a m- aft) zwischen irgend zwei Elementen der FoIge gegen Null strebt. wenn am und a" geniigend weit .. hinten" in der FoIge gewahlt werden. d. h. wenn m und n gegen unendlich streben. (Die aufeinanderfolgenden Annaherungen einer reellen Zahl durch DezimaIbriiche haben diese Eigenschaft. da irgend zwei soIche Annaherungen nach dem n-ten Schritt sich hochstens um 10-" unterscheiden konnen.) Da dieselbe reelle Zahl auf vielerlei Weisen durch eine Folge von rationalen Zahlen approxiIniert werden kann, so sagen wir. daB zwei konvergente FoIgen al • ai' aa. . .. und bv b•• ba . .. von rationalen Zahlen dieselbe reelle Zahl definieren. falls a" - b" gegen 0 strebt. wenn n unbegrenzt zuwmmt. Die Operationen der Addition usw. fiir soIche FoIgen sind nicht schwer zu definieren.

§ 3. Bemerkungen liber analytische Geometrie* 1. Das Grundprinzip Das Zahlenkontinuum, ob als Selbstverstandlichkeit aufgefaBt oder erst nach einer kritischen Untersuchung iibernommen, ist seit dem 17. Jahrhundert die Grundlage der Mathematik, insbesondere der analytischen Geometrie und der Infinitesimaln~chnung, gewesen.

* Fiir die Leser, die mit diesem Gegenstand nicht verlraut sind. befinden sich einige 'Obungsaufgaben iiber elementare analytische Geometrie im Anhang am Ende des Buches. S.374-379.

2. Gleichungen von Geraden und Kurven

59

Fuhrt man das Zahlenkontinuum ein, so ist es moglich, jeder Strecke eine bestimmte reelle Zahl zuzuordnen, die ihre Lange angibt. Aber wir konnen noch viel weiter gehen, nicht nur Langen, sondem ides geometrische Objekt und iede geometrische Operation kann auf das Zahlensystem bezogen werden. Die entscheidenden Schritte zu dieser Arithmetisierung der Geometrie wurden schon 1629 von FERMAT (1601-1655) und U 1637 von DESCARTES (1596-1650) getan. Der Grundgedanke der analytischen Geometrie besteht in der Einu' fuhrung von "Koordinaten" ; das sind Zahlen, die einem geometrischen Ob1'ekt zugeordnet oder "koordiniert" pI .:c werden und die dieses Objekt vollstandig charakterisieren. Den meisten Lesem werden die sogenannten rechtwinkligen oder kartesischen Koordinaten bekannt sein, die dazu dienen, die Lage eines beliebigen Punktes Fig. 12. Rechtwinklige Koordinaten P in einer Ebene zu kennzeichnen. Wir gehen von eines Punktes zwei festen, aufeinander senkrechten Geraden in der Ebene aus, der "x-Achse" und der ,,y-Achse", auf die wir jeden Punkt beziehen. Diese Geraden werden als gerichtete Zahlenachsen betrachtet und in derse1ben Einheit gemessen. Jedem Punkt P werden, wie in Fig. 12, zwei Koordinaten, x und y, zugeordnet. Diese werden wie folgt erhalten: y Wir betrachten die gerichtete Strecke vom "Ursprung" ozum Punkt Pund projizieren diese gerichtete Strecke, die vielfach der "Ortsvektor" genannt wird, senkrecht .II I auf beide Achsen, wodurch wir auf der x-Achse die gerichtete Strecke OP' erhalten, deren gerichtete Lange o von 0 aus durch die Zahl x gemessen wird, und ebenso .HI auf der y-Achse die gerichtete Strecke OQ', deren gerichtete Lange von 0 aus durch die Zahl y gemessen wird. Die beiden Zahlen x und y heiBen die KoordinaFig. 13. Die vier Quadranten ten von P. Sind umgekehrt x und y zwei beliebig vorgeschriebene Zahlen, so ist der zugehOrige Punkt P eindeutig bestimmt. Sind x und y beide positiv, so liegt P im ersten Quadranten des Koordinatensystems (siehe Fig. 13); sind beide negativ, so liegt P im dritten Quadranten; ist xpositivundynegativ,liegt 1/ P im vierten und ist x negativ und y positiv, im Ua ---------------------- .f.zz.Ua) I zweiten Quadranten. : Der Abstand d zwischen dem Punkt P1 mit den JUrY' I Koordinaten Xl' Y1 und dem Punkt P 2 mit den Ko:I ordinaten x 2, Y. ist durch die Formel y, _______ ---------------J ~I ,zr,z, : 2 (1) d = (x1- XS)2+ (Y1- Y2)2 I

I

gegeben. Dies folgt sofort aus dem pythagoreischen Lehrsatz, wie Fig. 14 zeigt.

o

I

I

I

,z,

Fig. 14. Der Abstand zwischen zwei Punkten

*2. Gleichungen von Geraden und Kurven Wenn C ein fester Punkt mit den Koordinaten x = a, y = b ist, dann ist der geometrische Ort aller Punkte P mit einem gegebenen Abstand r von C ein Kreis

60

II. Das Zahlensystem der Mathematik

mit C als Mittelpunkt und r als Radius. Dann folgt aus der Abstandsformel (1), daB die Punkte dieses Kreises Koordinaten x, y haben, die der Gleichung

(2) geniigen. Diese wird die Gleichung des Kreises genannt, wei! sie die vollstandige (notwendige und hinreichende) Bedingung fiir die Koordinaten x, y eines Punktes P ausspricht, der auf dem Kreis um emit dem Radius r liegt. Wenn die Klammem aufgelOst werden, nimmt die Gleichung (2) die Form y (3)

L-------.:cFig. 15. Der Kreis

an, worin k = r2~ a2- b2. 1st umgekehrt eine Gleichung der Form (3) gegeben, worin a, b, k willkiirliche Konstanten sind, derart, daB k + a2 + b2 positiv ist, so kann man durch das algebraische Verfahren der "quadratischen Erganzung" die Gleichung in die Form (x - a)2+ (y - b)2= r2

bringen, wobei r2= k + a 2 + b2• Foiglich bestimmt die Gleichung (3) einen Kreis vom Radius rum den Punkt C mit den Koordinaten a und b. Die Gleichungen gerader Linien sind sogar von noch einfacherer Form. Zum Beispiel hat die x-Achse die Gleichung y = 0, da y fiir alle Punkte der x-Achse und fiir keine anderen gleich 0 ist. Die y-Achse hat die Gleichung x = O. Die Geraden durch den Ursprung, die die Winkel zwischen den Achsen halbieren, haben die Gleichungen X= y und X= - y. Es ist leicht zu zeigen, y daB eine beliebige Gerade eine Gleichung der Form B

(4)

ax+by=c

hat, worin a, b, c feste Konstanten sind, die die Gerade charakterisieren. Der Sinn der Gleichung (4) ist wiederum, daB alle Paare reeller Zahlen x, y, die der Gleichung geniigen, die Koordinaten eines Punktes der Geraden sind und umgekehrt. Der Leser hat vielleicht gelemt, daB die Gleichung Fig. 16. Die Ellipse; Fund F' sind die Brennpunkte

(5)

eine Ellipse darstellt (Fig. 16). Diese Kurve schneidet die x-Achse in den Punkten A (P, 0) und A'(-P, 0) und die y-Achse in B(O, q) und B' (0, -q). (Die Schreibweise P(x, y) oder einfach (x, y) wird als Abkiirzung fiir "Punkt P mit den Koordinaten x und y" benutzt). Wenn p > q, so wird die Strecke AA' von der

Lange 2p die groBe Achse der Ellipse genannt, wahrend die Strecke BB' von der Lange 2q die kleine Achse heiBt. Diese Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte P, derenAbstande von den PunktenF(VJ)2=-7, 0) undF'(-VpZ- q2, 0) die Summe 2p haben. Zur Obung moge der Leser dies durch Anwendung der Forme! (1) nachpriifen. Die Punkte Fund F' heiBen die Brennpunkte der Ellipse und das Verhaltnis e =

JI~ heiBt die Exzentrizitiit der Ellipse.

2. Gleichungen von Geraden und Kurven

61

Eine Gleichung der Form (6) stellt eine Hyperbel dar. Diese Kurve besteht aus zwei .Asten, die die x-Achse in A (P, 0) bzw. A' (-P, 0) schneiden (Fig. 17). Die Strecke AA' von der Lange 2P, heiBt die Hauptachse der Hyperbel. Die Hyperbel nahert sich mehr und mehr den beiden Geraden Y q x ± Py = 0, je weiter sie sich vom Ursprung entfemt, erreicht aber diese Geraden nie. Sie werden die Asymptoten der Hyperbel genannt. Die Hyperbel ist der geometrische Ort aller Punkte P, deren Abstande von den beiden Punkten F P+ q2, 0) und F' (- P + q2 ,0) die DiJJerenz 2 p haben. Diese Punkte werden wieder die Brennpunkte der Hyperbel genannt; unter ihrer Exzentrizitat verstehen

W

V

Fig. 17. Die Hyperbel; F undF' sind die Brennpunkte

wir das Verhiiltnis e =VP· t ql Die Gleichung

P

xy = 1

(7)

bestimmt ebenfalls eine Hyperbel, deren Asymptoten jetzt die beiden Achsen sind (Fig. 18). Die Gleichung dieser "gleichseitigen" HyperbellaBt erkennen, daB die Flache des durch P bestimmten Rechtecks fur jeden Punkt P der Kurve gleich 1 ist. Eine gleichseitige Hyperbel, deren Gleichung (7a)

xy= c

lautet, worin c eine Konstante ist, st~llt nur einen Spezial£all der allgemeinen Hyperbel dar, ebenso wie der Kreis ein Spezial£all der Ellipse ist. Die gleichseitige Hyperbel ist dadurch charakterisiert, daB ihre beiden Asymptoten (in diesem Fall die beiden Koordinatenachsen) aufeinander senkrecht stehen. Fur uns ist wesentlich, daB geometrische Ob- Fig. 18. Die gleichseitige Hyperhe\ :c,. = \. Die Flache :c,. des durch den Punkt J.ekte vollstandig durch numerische und algebraische P(:c,,.) hestimmten Rechteeks ist gleich 1 Ausdrucke dargestellt werden konnen und daB dasselbe auch von geometrischen Operationen gilt. Wenn wir zum Beispiel den Schnittpunkt zweier Geraden finden wollen, so betrachten wir ihre beiden Gleichungen ax+by=c, (8) a' x + b'y = c' . Der Punkt, der beiden Geraden gemeinsam ist, wird dann einfach bestimmt, indem man seine Koordinaten als Losung x, y des Gleichungssystems (8) berechnet. Ebenso konnen die Schnittpunkte irgend zweier Kurven, wie etwa des Kreises x 2+ y2_ 2ax - 2by = k und der Geraden ax + by = c, gefunden werden, indem man das zugehorige Gleichungssystem lOst.

62

II. Das Zahlensystem der Mathematik

§ 4. Die mathematische Analyse des Unendlichen 1. Grundbegriffe Die Folge der positiven ganzen Zahlen 1,2,3, ... ist das erste und wichtigste Beispiel einer unendlichen Menge. Es ist nichts Geheimnisvolles an der Tatsache, daB diese Folge kein Ende hat; denn wie groB auch eine ganze Zahl n ist, es laBt sich immer eine nachste ganze Zahl n + 1 bilden. Wenn wir aber von dem Adiektiv "unendlich", das einfach "ohne Ende" bedeutet, zu dem Substantiv "das Unendliche" iibergehen, dann diirfen wir nicht annehmen, daB "das Unendliche", welches man durch das besondere Symbol 00 bezeichnet, so betrachtet werden konnte, als ob es eine gewohnliche Zahl ware. Wir konnen das Symbol 00 nicht in das System der reellen Zahlen einbeziehen und zugleich die Grundregeln der Arithmetik beibehalten. Nichtsdestoweniger durchdringt der Begriff des Unendlichen die ganze Mathematik, da mathematische Objekte gew6hnlich nicht als Individuen sondem als Glieder einer Klasse oder Gesamtheit untersucht werden, die unendlich viele Objekte desselben Typus enthii.lt, wie z. B. die Gesamtheit der ganzen Zahlen oder der reellen Zahlen oder der Dreiecke in einer Ebene. Daher ist es notwendig, das mathematisch Unendliche in exakter Weise zu analysieren. Die modeme Mengenlehre, deren SchOpfer GEORG CANTOR und seine Schule gegen Ende des 19. Jahrhunderts waren, hat diese Forderung mit bemerkenswertem Erfolg erfiillt. CANTORs Mengenlehre hat viele Gebiete der Mathematik stark beeinfluBt und ist fur das Studium der logischen und philosophischen Grundlagen der Mathematik von fundamentaler Bedeutung geworden. Ihr Ausgangspunkt ist der aligemeine Begriff der Menge. Darunter versteht man eine beliebige Gesamtheit von Objekten, fur die eine bestimmte Regel genau festlegt, welche Objekte zu der betreffenden Gesamtheit gehOren. Als Beispiele nennen wir die Menge alier positiven ganzen Zahlen, die Menge alier periodischen Dezimalbruche, die Menge alier reellen Zahlen oder die Menge alier Geraden im dreidimensionalen Raum. Grundlegend fUr den Vergleich zweier verschiedener Mengen ist der Begriff der "Aquivalenz". Wenn man die Elemente zweier Mengen A und B einander paarweise so zuordnen kann, daB jedem Element von A ein und nur ein Element von B und jedem Element von B ein und nur ein Element von A entspricht, dann nennt man die Zuordnung eineindeutig und die Mengen A und B aquivalent. Der Begriff der Aquivalenz fiillt bei endlichen Mengen mit dem gewohnlichen Begriff der Anzahlgleichheit zusammen, da zwei endliche Mengen dann und nur dann die gleiche Anzahl von Elementen enthalten, wenn die Elemente der beiden Mengen einander eineindeutig zugeordnet werden konnen. Dies ist im Grunde der eigentliche Sinn des Ziihlens, denn wenn man eine endliche Menge von Objekten ziihlt, so heiBt das, daB man eine eineindeutige Beziehung zwischen diesen Objekten und einer Menge von Zahlensymbolen 1,2,3, ... , n herstellt. Es ist nicht immer notig, die Objekte von zwei endlichen Mengen zu zahlen, urn ihre .l\quivalenz festzustellen. Zum Beispiel konnen wir, ohne sie zu zahlen, behaupten, daB eine endliche Menge von Kreisen vom Radius 1 der Menge ihrer Mittelpunkte aquivalent ist.

CANTORS Idee war, den Begriff der Aquivalenz auf unendliche Mengen auszudehnen, urn eine "Arithmetik" des Unendlichen zu schaffen. Die Menge alier

2. Die Abzahlbarkeit der rationalen Zahlen und die Nichtabzahlbarkeit des Kontinuums 63

reellen Zahlen und die Menge aIler Punkte einer Geraden sind aquivalent, da die Wahl eines Ursprungs und einer Einheit uns erlaubt, jedem Punkt der Geraden in eineindeutiger Weise einebestimmte reelle Zahl x als seine Koordinate zuzuordnen: P+-+x. Die geraden Zaklen bilden eine echte Teilmenge der Menge aUer ganzen Zahlen, und die ganzen Zaklen bilden eine echte Teilmenge der Menge aIler rationalen Zaklen. (Unter dem Ausdruck echte Teilmenge einer Menge 5 verstehen wir eine Menge 5', die aus einigen, aber nicht allen Elementen von 5 besteht.) Wenn eine Menge endlich ist, d. h. wenn sie eine Anzahl n von Elementen und nicht mehr enthalt, dann kann sie offenbar nicht einer ihrer eigenen echten Teilmengen iiquivalent sein, da eine echte Teilmenge im Hochstfalle n - 1 Elemente enthalten kann. Wenn aber eine Menge unendlich viele Obfekte enthiilt, dann kann sie paradoxerweise einer ihrer eigenen echten Teilmengen aquivalent sein. Zum Beispiel stellt die Zuordnung 1 2 3 4 5 ... n ...

t t t t t

t

2 4 6 8 10 ... 2n ... eine eineindeutige Beziehung zwischen der Menge der positiven ganzen Zahlen und der echten Teilmenge der geraden Zahlen her, die damit als aquivalent erwiesen sind. Dieser Widerspruch gegen die wohlbekannte Wahrheit "das Ganze ist groBer als jeder seiner Teile" zeigt, welche Dberraschungen auf dem Gebiet des Unendlichen zu erwarten sind.

2. Die Abziihlbarkeit der rationalen Zahlen und die Nichtabziihlbarkeit des Kontinuums Eine der ersten Entdeckungen CANTORs bei seiner Analyse des Unendlichen war, daB die Menge der rationalen Zahlen (die die unendliche Menge der ganzen Zahlen als Teilmenge enthalt und daher selbst unendlich ist) der Menge der ganzen Zahlen aquivalent ist. Auf den ersten Blick erscheint es sehr sonderbar, daB die dichte Menge der rationalen Zahlen mit der dunn gesaten Untermenge der ganzen Zahlen vergleichbar sein soIl. Freilich, man kann die positiven rationalen Zahlen nicht der Grof3e nach aufzahlen (wie man es bei den positiven ganzen Zahlen kann) und etwa sagen: a sei die erste rationale Zahl, b die nachstgroBere und so weiter; denn es gibt unendlich viele rationale Zahlen zwischen zwei beliebig gegebenen, und demnach gibt es keine "nachstgroBere". Wenn man abel' von der GroBerbeziehung zwischen aufeinanderfolgenden Elementen absieht, ist es moglich, aile positiven rationalen Zahlen in einer einzigen Folge r1 , r2 , r3, '4' ... anzuordnen, ebenso wie die naturlichen Zahlen. In diesel' Folge gibt es eine erste rationale Zahl, eine zweite, eine dritte und so weiter, und jede rationale Zahl erscheint genau einmal. Eine solche Anordnung einer Menge von Objekten in einel' Folge wie die der natiil'lichen Zahlen nennt man eine A bzahlung del' Menge. Indem el' eine solche Abzahlung angab, zeigte CANTOR, daB die Menge del' positiven l'ationalen Zahlen der Menge del' naturlichen Zahlen aquivalent ist, da die Zuol'dnung 1 2 3 4 ... n ...

t t t t

t

'1 '2 '3 '4···'n···

II. Das Zahlensystem der Mathematik

64

eineindeutig ist. Eine Moglichkeit, die rationalen Zahlen abzuzahlen, wollen wir jetzt beschreiben. Jede positive rationale Zahl kann in der Form alb geschrieben werden, wobei a und b natiirliche Zahlen sind, und alle diese Zahlen konnen in eine Tabelle eingeordnet werden mit alb in der a-ten Spalte und der b-ten Zeile. Zum Beispiel befindet sich 3/4 in der dritten Spalte und der vierten Zeile der unten angegebenen Tabelle (Fig. 19). Alle positiven rationalen Zahlen konnen nun nach dem folgenden 1

, 2" ,

11

J

q

S-

6'

7

if

J

Q

3

6"

7

5

{j

2" 2" "3 "3 "3 2" 3

J

J

Q

J

-:1 J

J

J

q

t q q 7 7

3

.f...

, , 5" ,

J

Q

Q

7

J

7

7

5" 5" 5" 5" S

t

.1

Q

3

{j

5"

t

.1

Q

3

6"

1

1

7" 7" 7" 7" -; -; -;

........................ Fig. 19. Abzllblung der rationalen Zahlen

Schema geordnet werden: In der eben beschriebenen Tabelle ziehen wir eine fortlaufende gebrochene Linie, die durch alle Zahlen der Anordnung geht. Bei 1 beginnend, gehen wir horizontal zur nachsten Stelle rechts, wobei sich 2 a1s nachstes Glied der F olge ergibt, dann schrag hinunter nach links bis zur erst en Spalte an der Stelle, wo 1/2 steht, dann senkrecht nach unten zu 1/3, wieder schrag nach oben bis zur erst en Zeile bei 3, nach rechts zu 4, schrag links abwarts bis 1/4 und so weiter, wie in der Figur gezeigt. VerfoIgt man diese gebrochene Linie, so erhaIt man eine FoIge 1, 2, 1/2, 1/3, 2/2, 3, 4, 3/2, 2/3, 1/4, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5, ... , welche die rationalen Zahlen in der Reihenfoige enthiUt, wie sie entlang der gebrochenen Linie vorkommen. In dieser Foige streichen wir nun alle die Zahlen alb, in denen a und b einen gemeinsamen Teiler enthalten, so daB jede rationale Zahl r genau einmal und in ihrer einfachsten Form auftritt. So erhalten wir die Foige 1, 2, 1/2, 1/3, 3, 4, 3/2, 2/3, 1/4, 1/5, 5, ... , die jede positive rationale Zahl einmal und nur einmal enthaIt. Dies zeigt, daB die Menge aller positiven rationalen Zahlen abzahlbar ist. Durch die Tatsache, daB die rationalen Zahlen eineindeutig den rationalen Punkten einer Geraden entsprechen, haben wir zugleich bewiesen, daB die Menge der rationalen Punkte einer Geraden abziihlbar ist. tlbungen: 1. Man zeige, daB die Menge aller positiven und negativen ganzen Zahlen abzahlbar ist. Ferner, daB die Menge aller positiven und negativen rationalen Zahlen abzahlbar ist. 2. Man zeige, daB die Menge A V B (siehe S. 87) abzahlbar ist, wenn A und B abzlihlbar sind. Dasselbe fiir die Vereinigung von drei, vier oder einer beliebigen Zahl n von Mengen und schIieflIich fiir eine aus abzahlbar vielen abzahlbaren Mengen zusammengesetzten Menge.

Da die rationalen Zahlen sich als abzahlbar erwiesen haben, konnte man vermuten, daB jede unendliche Menge abziihlbar ist und daB dies das abschlieBende Ergebnis der Analyse des Unendlichen ist. Das ist aber keineswegs der Fall. CANTOR

2. Die Abzahlharkeit der rationalen Zahlen und die Nichtabzahlbarkeit des Kontinuums

65

machte die sehr bedeutsame Entdeekung, daB die Menge aller reellen Zahlen, der rationalen und irrationalen, nicht abziihlbar ist. Mit anderen Worten: die Gesamtheit der reellen Zahlen stellt einen grundsatzlich anderen und sozusagen hoheren Typus des Unendliehen dar als die der ganzen oder der rationalen Zahlen allein. CANTORS hochst sinnreicher, indirekter Beweis dieserTatsache hat fiir viele mathematische Argumentationen als Muster gedient. Der Gedankengang des Beweises ist folgender: wir gehen von der probeweise aufgestellten Annahme aus, daB alle reellen Zahlen tatsachlich in einer Folge angeordnet worden sind, und dann konstruieren wir eine Zahl, die in der angenommenen Abzahlung nicht vorkommt. Dies liefert einen Widersprueh, da angenommen wurde, daB alle reellen Zahlen in der Abzli.hlung enthalten waren, und da diese Annahme falsch ist, wenn auch nur eine Zahl fehlt. Daher erweist sieh die Annahme, daB eine Abzli.hlung der reellen Zahlen m6glieh ist, als unhaltbar, und damit ist ihr Gegentell, namlieh CANTORS Behauptung, daB die Menge der reellen Zahlen nieht abzahlbar ist, erwiesen. Urn diesen Plan durchzufiihren, wollen wir annehmen, wir hatten alle reellen Zahlen abgezli.hlt, indem wir sie in einer Tabelle unendlicher Dezimalbriiehe angeordnet hatten, 1. Zahl: Nl,flta,,¥,a5 ... 2. Zahl: N",b l b"bab,b6 ••• 3. Zahl: N a,Cl c2caC,Cr;'" •••••••••••••••••••••

J

worin die N den ganzzahligen Anteil und die kleinen Buchstaben die Ziffern nach dem Komma bedeuten. Der wesentliehe Tell des Beweises ist jetzt, mit Hilfe eines "Diagonalverfahrens" eine neue Zahl zu konstruieren, von der wir zeigen konnen, daB sie nieht in dieser Folge enthalten ist. Zu diesem Zweck wahlen wir zunaehst eine Ziffer a, die von al verschieden ist und weder 0 noeh 9 ist (urn etwaige Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, die aus Dbereinstimmungen wie 0,999 ... = 1,000 ... entstehen k6nnten), dann eine Ziffer b, verschieden von b" und wiederum weder 0 oder 9, ebenso c, verschieden von ca, und so weiter. (Zum Beispiel konnten wir einfaeh a = 1 wahlen, auBer wenn al = 1 ist,in welchem Falle wir a = 2 wahlen und ebenso weiter fiir alle Ziffern b, c, d, e, ... ). Nun betrachten wir den unendlichen Dezimalbrueh z = O,abcde . ... Diese neue Zahl ist sieher verschieden von jeder einzelnen Zahl in der obigen Tabelle; sie kann nieht gleich der ersten sein, weil sie sieh in der ersten Stelle nach dem Komma von ihr unterscheidet, sie kann nieht gleieh der zweiten sein, well sie sieh in der zweiten Stelle unterscheidet, und allgemein kann sie nicht mit der n-ten Zahl der Tabelle iibereinstimmen, well sie sieh von ihr in der n-ten Stelle unterscheidet. Dies zeigt, daB unsere Tabelle von nacheinander angeordneten Dezimalbriichen nicht alle reellen Zahlen enthalt. Folglieh ist diese Menge nieht abzahlbar. Der Leser mag annehmen, daB die Niehtabzahlbarkeit dadureh begriindet ist, daB die Gerade unendlich ausgedehnt ist und d.aB ein endliches Stiiek der Geraden nur abzahlbar unendlich viele Punkte enthalt. Das ist nieht der Fall; denn es ist leicht zu zeigen, daB das gesamte Zahlenkontinuum einer beliebigen 5

66

II. Das Zahlensystem der Mathematik

endlichen Strecke aquivalent ist, z. B. der Strecke von 0 bis 1, unter AusschluB der Endpunkte. Die gewiinschte eineindeutige Beziehung ergibt sieh, wenn man die Strecke an den Stellen 1/3 und 2/3 umkniekt und von einem Punkt aus, wie in Fig. 20 gezeigt, projiziert. Daraus folgt, daB selbst eine endliche Strecke der Zahlenachse eine niehtabzahlbar unendliche Menge von Punkten enthalt. tJbung,' Man zeige, daB ein beliebiges Intervall [A, B) der Zahlenachse einem beliebigen anderen [C, D) aquivalent ist.

Fig. 20 Fig. 21 Fig. 20. Eineindeutige Beziehung zwischen den Punkten einer geknickten Strecke unci einer vollstindigen Geraden Fig. 21. Eineindeutige Beziehung zwischen den Punkten zweier Strecken von venchiedener Uinge

Es lohnt sieh, noch einen anderen und vielleicht anschaulicheren Beweis fUr die Niehtabzahlbarkeit des Zahlenkontinuums anzudeuten. 1m Hinblick auf das, was wir eben bewiesen haben, wird es genfigen, unsere Aufmerksamkeit auf die Menge der Punkte zwischen 0 und 1 zu beschranken. Der Beweis ist wiederum indirekt. Nehmen wir an, die Menge aller Punkte auf der Geraden zwischen 0 und llieBe sieh in eine F olge ai' a., as, ... (I) ordnen. Wir wollen den Punkt mit der Koordinate ~ in ein Intervall von der Lange 1/10 einschlieBen, den Punkt mit der Koordinate a. in ein Intervall der Lange 1/102 und so weiter. Wenn alle Punkte zwischen 0 und 1 der Folge (I) angehorten, so ware das Einheitsintervall vollig bedeckt von einer unendlichen Folge von sich moglicherweise zum Teil fiberdeckenden Intervallen der Langen 1/10, 1/102, ••• (Der Umstand, daB einige davon fiber das Einheitsintervall hinausragen, beeintrachtigt unseren Beweis nieht.) Die Summe aller dieser Langen ist durch die geometrische Reihe gegeben:

1 1 1 1 1 10+102+108+'" =10' ---:-1-=9"' 1 - 10

Also ffibrt die Annahme, daB die Folge (1) alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 enthalt, zu der Moglichkeit, daB ein Intervall von der Lange 1 vollkommen mit einer Menge von Intervallen von der Gesamtlange 1/9 bedeekt werden kann, was offensichtlieh absurd ist. Wir konnten diesen Widersprueh als Beweis betrachten, obwohl er vom logischen Standpunkt noch eine genauere Untersuchung erfordert. Die "Oberlegung des vorstehenden Absatzes dient zur Aufstellung eines Theorems, das fur die modeme "MaBtheorie" von groBer Bedeutung ist. Ersetzen wir die obigen Intervalle durch kleinere Intervalle von der Lange 6/10", wobei 6 eine beliebig kleine positive Zahl ist, so sehen wir, daB eine abziihlbare Menge von Punkten auf der Geraden in einer Menge von Intervallen von der Gesamtliinge 6/9 eingeschlossen werden kann. Da e beliebig ist, konnen wir die Zahl 6/9 so klein machen, wie wir wollen. In der Terminologie der MaBtheorie sagen wir, daB eine abziihlbare Menge von Punkten das Map Null hat. tJbung,' Man zeige, daB dasselbe Ergebnis auch fur eine abziihlbare Menge von Punkten einer Ebene gilt, wenn man die Langen der Intervalle durch die Fliichen von Quadraten ersetzt.

3.

3.

67

CANTORI .. Kardinalzahlen"

CANTOR8

"Kardinalzahlen"

Wir fassen nochmals zusammen: Die Anzahl der Elemente einer endliehen Menge A kann nicht gleich der Anzahl der Elemente einer endlichen Menge B sein, wenn A eine eehte Teilmenge von B ist. Wenn wir den Begriff "Mengen mit derselben (endlichen) Anzahl von Elementen" durch den allgemeineren Begriff der liquivalenten M engen ersetzen, so gilt diese Behauptung bei unendlichen Mengen nicht mehr; die Menge aller geraden Zahlen ist eine echte Teilmenge der Menge der ganzen Zahlen und die Menge der ganzen Zahlen eine echte Teilmenge der Menge der rationalen Zahlen, und doch haben wir gesehen, daB diese Mengen aquivalent sind. Man konnte glauben, daB alle unendlichen Mengen aquivalent waren, und daB andere Unterscheidungen als die zwischen endlichen Anzahlen und der Unendlichkeit nicht gemacht werden konnten, aber CANTOR8 Resultat widerlegt diese Vermutung. Es gibt eine Menge, namlich die des reellen Zahlenkontinuums, die keiner abzahlbaren Menge aquivalent ist. Es gibt also mindestens zwei verschiedene Arten von "Unendlichkeit", die abzahl.bare Unendlichkeit der Mengen der natiirlichen Zahlen und die nichtabzahl.bare Unendlichkeit des Kontinuums. Wenn zwei MengenA und B, endlich oder unendlich, einander aquivalent sind, so sagen wir, daB sie cUeselbe Kardinalzahl haben. Dies reduziert sich auf den gewohnlichen Begriff der gleiehen A nzahl, wenn A und B endlich sind, und kann als eine sinnvolle Verallgemeinerung dieses Begriffes angesehen werden. Wenn femer eine Menge A einer Teilmenge von B aquivalent ist, wahrend B weder zu A noch zu einer von deren Teilmengen aquivalent ist, so sagen wir nach CANTOR, daB die Menge Beine grii/Jere Kardinalzahl hat als A. Dieser Gebrauch des Wortes "Zahl" stimmt ebenfalls mit der gewohnlichen Vorstellung einer groBeren Zahl bei endlichen Mengen iiberein. Die Menge der ganzen Zahlen ist eine Teilmenge der Menge der reellen Zahlen, wahrend die Menge der reellen Zahlen weder der Menge der ganzen Zahlen noch irgendeiner ihrer Untermengen aquivalent ist (d. h. die Menge der reellen Zahlen ist weder abzahl.bar noch endlich). Daher hat nach unserer Definition das Kontinuum der reellen Zahlen eine groBere Kardinalzahl als die Menge der ganzen Zahlen. ·Tatsli.chlich hat CANTOR gezeigt. wie man eine ganze Folge von unendlichen Mengen mit immer grOBeren Kardinalzahlen konatruieren kann. Da wir von der Menge der positiven ganzen Zahlen ausgehen kOnnen. so geniigt es zu zeigen. daB sich zu jew gegebenen Menge A eine Menge B mil ei_ groperen Kardinalzahl kons'ruieren Up,. Wegen der groBen Allgemeinheit dieses Satzes ist der Beweis notwendigerweise etwas abstrakt. Wir definieren die Menge B ala die Menge. deren Elemente alle verschiedenen Teilmengen der Menge A sind. Unter dem Wort ..Teilmenge" wollen wir nicht nur die echten Teilmengen von A verstehen, sondern auch die Menge A selbst und die ..leere" Teilmenge O. die iiberhaupt keine Elemente enthilt. (Wenn also A aus den drei ganzen Zahlen 1. 2. 3 besteht. dann enthlilt B die 8 verschiedenen Elemente {I. 2. 3}. {I. 2}. {I. 3}. {2. 3}. {I}. {2}. {3} und 0.) Jedes Element der Menge B ist selbst eine Menge, die aus gewissen Elementen von A besteht. Nehmen wir nun an. daB B der Menge A oder einer ihrer Teilmengen liquivalent ist. d. h. daB es eine gewisse Regel gibt. die in eineindeutiger Weise die Elemente von A oder einer ihrer Teilmengen mit allen Elementen von B verknupft

(2)

a +-+ S ••

wobei wir mit S. die Teilmenge vou A bezeichnen. die dem Element a von A zugeordnet ist. Wir werden nun zu einem Widerspruch gelangen. indem wir ein Element von B (d. h. eine Tei1menge von A) angeben, das keinem Element a zugeordnet sein kann. Um diese Teilmenge zu konatruieren. bemerken wir. daB es fur jedes Element :tr von A zwei MOglichkeiten gibt:

5·

68

II. Das Zahlensystem der Mathematik

entweder di~ Menge S", die in der gegebenen Zuordnung (2) zu x geMrt, enthlUt das Element x, oder S" enthlUt x nieht. Wi,. definieren T fils diejenige Teilmenge lion A, die aus allen den Elementen x besteht, fU,. die S" das Element x nichl enlhllli. Diese Teilmenge unterscheidet sieh von jedem S. mindestens um das Element a; denn ist a in S. enthalten, so ist es in T nieht enthalten; ist a in S. nieht enthalten, dann ist es in T enthalten. Daher wird T von der Zuordnung (2) nieht erfaBt. Also ergibt sieh, daB es unmoglieh ist, eine eineindeutige Beziehung zwischen den Elemeriten von A oder einer ihrer Teilmengen und denen von B herzustellen. Aber die Beziehung a_{a} definiert eine eineindeutige Zuordnung zwischen den Elementen von A und der Teilmenge von B, die aus allen Teilmengen von A besteht, die nur ein Element enthalten. Daher hat B nach der Definition des vorigen Absatzes eine grOBere Kardinalzahl al5 A. • (Jbung,' Man zeige: Wenn A aus,. Elementen besteht, wobei,. eine positive ganze Zahl ist, dann enthlUt B nach der obigen Definition 2" Elemente. Wenn A aus der Menge aller positiven ganzen Zahlen besteht, dann ist B dem Kontinuum der ree11en Zahlen von 0 bis 1 aquivalent. (Anleitung: Eine Teilmenge von A werde im ersten Fall dureh eine endliehe, im zweiten dureh eine unendliehe Folge der Ziffem 0 und 1, ala.a. . .. , dargestellt, wobei 11.. = 1 oder 0, je naehdem ob das n-te Element von A zu der betreffenden Teilmenge gehOrt oder nieht.) Man konnte es fiir eine einfache Aufgabe halten, eine Menge von Punkten zu finden, die eine grOBere Kardinalzahl hat als die Menge der reellen Zahlen von 0 bis 1. GewiB seheint ein Quadrat, das doch "zweidimensional" ist, "mehr" Punkte zu enthalten a1s eine "eindimensionale" Strecke. 'Oberraschenderweise ist das nieht der Fall; die Ka,.dinfllzahl der' Menge der' Pun/de Bines Quad,.ates is'dieselbe wie die der' Menge der' Punkte einer' Swecke. Zum Beweis stellen wir folgende Zuordnung her: Wenn (x, y) ein Punkt des Einheitsquadrats ist, so konnen x und y a1s Dezimalbriiche geschrieben werden x = O,~a.a.a• ... , y = O,blbabab• ... , wobei wir, um jede Mehrdeutigkeit zu vermeiden, z. B. fiir die rationale Zahllf. die Form 0,25000 ... statt 0,24999 ... wihlen. Dem Punkt (x, y) des Quadrats ordnen wirnun den Punkt z = O,~bla.bAbla.b• ..•

der Strecke zwischen 0 und 1 zu. Offensiehtlieh entspreehen dann verschiedenen Punkten (x, y) und (x', y') des Quadrates verschiedene Punkte z und z' der Strecke, so daB die Kardinalzahl des Quadrates nicht grOBer sein kann a1s die der Strecke. (In Wirkliehkeit haben wir eben eine eineindeutige Zuordnung zwischen der Menge der Punkte des Quadrats und einer eehten Teilmenge der Einheitsstrecke definiert; denn kein Punkt des Quadrats wiirde beispielsweise dem Punkt 0,2140909090 ... entsprechen, da fiir die Zahllf. die Form 0,25000 ... gewihlt wurde und nieht 0,24999 ...• Es ist aber mOglieh, die Zuordnung geringfiigig abzulindem, so daB sie zwischen dem ganzen Quadrat und der ganzen Strecke eineindeutig wird, denen somit die gleiehe Kardinalzahl zukommt.) Eine iihnliehe "Oberlegung zeigt, daB die Kardinalzahl der Punkte eines Wiirfels nieht grOBer ist a1s die Kardinalzahl einer Strecke. Diese Ergebnisse scheinen der anschauliehen Dimensionsvorstellung zu widersprechen. Wir miissen aber beaehten, daB die Zuordnung, die wir aufgestellt haben, nieht "stetig" ist; wenn wir die Strecke von 0 bis 1 stetig durehlaufen, werden die Punkte des Quadrates keine stetige Kurve bilden, sondem werden in einer vOllig ehaotischen Anordnung auftreten. Die Dimension einer Punktmenge hlingt nieht nur von der Kardinalzahl der Menge sondem auch von der Art der Anordnung der Punkte im Raum abo In Kapitel V werden wir auf diese Frage zuriiekkommen.

4. Die indirekte Beweismethode Die von CANTOR geschaffene allgemeine Mengenlehre, in der die Theorie der Kardinalzahlen einen wichtigen Bestandteil bildet, wurde von einigen der

5. Die Paradoxien des Unendlichen

69

angesehensten Mathematiker seiner Zeit scharf kritisiert. Kritiker wie KRONECKER und POINCARE beanstandeten die Nebelhaftigkeit des allgemeinen Mengenbegriffs und das nicht-konstruktive Vorgehen bei Definition gewisser Mengen. Die Einwande gegen das nicht-konstruktive Vorgehen richteten sich gegen eine SchluBweise, die man als wesentlich indirekte Beweismethode bezeichnen konnte. Indirekte Beweise spielen in der Mathematik eine groBe Rolle: Um die Wahrheit einer Behauptung A zu beweisen, macht man probeweise die Annahme, daB A', das Gegenteil von A, wahr ware. Dann leitet man durch eine Kette von Schliissen einen Widerspruch zu A' ab und zeigt damit die Unhaltbarkeit von A'. Die Unhaltbarkeit von A I ist aber auf Grund des fundamentalen logischen Prinzips yom "ausgeschlossenen Dritten" gleichbedeutend mit der Wahrheit von A. Oberall in diesem Buche werden wir Beispielen begegnen, in denen ein indirekter Beweis leicht in einen direkten umgewandelt werden kann, obwohl die indirekte Form vielfach den Vorzug der Kiirze und der Freiheit von unn6tigem Ballast hat. Aber es gibt gewisse Satze, ftir die bisher noch keine anderen als indirekte Beweise gegeben werden konnten. Ja, es gibt sogar Theoreme, die mit indirekten Methoden beweisbar sind, ftir die aber ein konstruktiver, direkter Beweis wegen der Eigenart des Theorems selbst grundsatzlich nicht gegeben werden kann. Von dieser Art ist zum Beispiel der Satz auf Seite 65. Mehrmals in der Geschichte der Mathematik waren die Anstrengungen mancher Mathematiker vergeblich darauf gerichtet, LOsungen gewisser Probleme zu konstruieren, als ein anderer Mathematiker die Schwierigkeit mit einer leichten, eleganten Wendung umging, indem er einen indirekten, nicht-konstruktiven Beweis gab. Verstandlicherweise gab es dann Enttauschungen und Erbitterung. Es besteht tatsachlich ein wesentlicher Unterschied zwischen dem Beweis der Existenz eines Objekts, indem man ein solches Objekt wirklich konstruiert, und dem bloBen Nachweis, daB man widersprechende Konsequenzen ziehen k6nnte, wenn man annimmt, das Objekt existiere nicht. 1m ersten Fall gelangt man zu einem konkreten mathematischen Gegenstand, im letzten besteht die Leistung lediglich in der Entdeckung eines logischen Widerspruchs. Es ist nicht verwunderlich, daB heute manche hervorragenden Mathematiker flir die mehr oder weniger vollstandige Verbannung alier nichtkonstruktiven Beweise aus der Mathematik eintreten. Selbst wenn jedoch ein solches Programm erstrebenswert ware, wiirde eszur Zeit ungeheure Komplikationen hervorrufen und die Entwicklung, vielleicht sogar die Existenz, lebendiger Gebiete der Mathematik bedrohen. So ist es kein Wunder, daB dieses Programm der "lntuitionisten" auf leidenschaftlichen Widerstand gestoBen ist; selbst entschiedene Intuitionisten k6nnen nicht immer ihren Oberzeugungen nachleben. 5. Die Paradoxien des Unendlichen Die kompromiBlose Haltung der Intuitionisten erscheint den meisten Mathematikern viel zu extrem. Andererseits ist aber doch eine Gefahr ftir die elegante Theorie der unendlichen Mengen entstanden, seitdem logische Paradoxien in dieser Theorie offenbar wurden. Wie man bald bemerkte, ftihrt unbeschrankte Freiheit im Gebrauch des Begriffs "Menge" zu Widersprtichen. Eine dieser Paradoxien, die BERTRAND RUSSELL hervorhob, laBt sich wie folgt formulieren. Die meisten Mengen enthalten sich nicht selbst als Elemente. Zum Beispiel ent-

70

II. Das Zahlensystem der Mathematik

halt die Menge A aIler ganzen Zahlen als Elemente e nur ganze Zahlen; A selbst, da es keine ganze Zahl, sondem eine Menge von ganzen Zaklen ist, ist nicht in sich selbst enthalten. Eine solche Menge konnen wir eine "gewohnliche" nennen. Es konnte jedoch Mengen geben, die sich selbst als Elemente e enthalten, zum Beispiel die folgendermaBen definierte Menge S: lIS enth3.1t als Element aIle Mengen, die sich durch einen deutschen Satz von weniger als dreiBig Worten definieren lassen"; offenbar enth3.1t S sich selbst. Solche Mengen wollen wir "anormale" Mengen nennen. Indessen werden jedenfaIls die meisten Mengen gewohnliche Mengen sein, und wir konnten versucht sein, solche "anormalen" Mengen auszuschlieBen, indem wir unser Augenmerk auf die Menge alIer gewohnlicken Mengen richten. Nennen wir diese Menge C. Jedes Element von C ist selbst eine Menge, n3.mlich eine gewohnliche Menge. Nun entsteht die Frage: 1st C eine gewohnliche oder eine anormale Menge? Eins von beiden muB der FaIl sein. Nehmen wir zunachst an, daB C eine gewohnliche Menge ist. Dann muB C sich selbst als Element enthalten, denn C enth3.1t nach Definition aUe gewohnlichen Mengen. Das bedeutet aber, daB C anormal ist, denn die anormalen Mengen sind gerade diejenigen, die sich selbst als Element enthalten. Unsere Annahme hat also zu emem Widerspruch gefuhrt, und daher muB C eine anormale Menge sein. Aber dann enth3.1t C als Element eine anormale Menge (n3.mlich sich selbst), und das steht im Widerspruch zu der Definition, nach der C nur gewohnliche Mengen enthalten darf. Dieser Widerspruch zeigt, daB die ganz naturliche Vorste11ung der Menge C zu einer logischen Paradoxie flihrt. 6. Die Grundlagen der Mathematik

Solche Paradoxien haben RUSSELL und andere zu einem systematischen Studium der Grnndlagen von Mathematik und Logik gefiihrt. Man bemiihte sich um eine feste Basis der Mathematik, gesichert gegen logische Widersproche und doch breit genug, um die gesamte mathematische Substanz zu tragen, die von aIlen (oder wenigstens einigen) Mathematikem fiir wichtig gehalten wird. Wahrend dieses Ziel noch nicht erreicht worden ist und vie11eicht ilberhaupt nicht erreicht werden kann, hat das Gebiet der mathematischen Logik mehr und mehr Interesse erregt. Viele Probleme auf diesem Gebiet, die sich in einfachen Worten aussprechen lassen, sind sehr schwierig zu Iosen. Als Beispiel erwahnen wir die Kontinuumhypothese, die besagt, daB es keine Menge gibt, deren Kardinalzahl groBer ist als die der Menge der natilrlichen Zahlen, aber kleiner als die der Menge der reellen Zahlen. Interessante Konsequenzen konnen aus dieser Hypothese abgeleitet werden. CANTOR und viele nach ihm haben lange um einen Beweis fiir diese Hypothese gerungen. Erst neuerdings gelang es zu zeigen: Wenn die der Mengenlehre zugrunde liegenden gewohnlichen Postulate in sich widerspruchsfrei sind, dann kann man die Kontinuumhypothese weder widerlegen (GODEL 1938), noch beweisen (COHEN 1963), d. h. sie ist von den anderen Postulaten unabhangig. Fragen dieser Art lassen sich letzten Endes auf die eine Frage zurockfiihren, was mit dem Begriff der mathematischen Existenz gemeint ist. Glucklicherweise hiingt die Existenz der Mathematik nicht von einer befriedigenden Beantwortung dieser Frage abo Die Schule der "Formalisten" unter der Fuhrung des groBen Mathematikers HILBERT vertritt den Standpunkt, daB in der Mathematik "Existenz" nichts weiter bedeutet als "Widerspruchsfreiheit". Es

1. Der Ursprung der komplexen Zahlen

71

wird dann notwendig, eine Reihe von Postulaten aufzustellen, aus denen die gesamte Mathematik durch rein formale Schliisse abgeleitet werden kann, und zu zeigen, daB diese Reihe von Postulaten niemals zu einem Widerspruch fiihren kann. Neuere Ergebnisse von GODEL und anderen scheinen zu zeigen, daB dieses Programm, wenigstens so, wie es urspriinglich von HILBERT aufgestellt wurde, unausfiihrbar ist. Bezeichnenderweise griindet sich HILBERT8 Theorie der formalen Struktur der Mathematik wesentllch auf anschauliche Gedankenglinge. Irgendwie, offen oder versteckt, selbst vom starrsten formalistischen oder axiomatischen Gesichtspunkt aus, bleibt die konstruktive Anschauung doch immer das eigentliche, belebende Element in der Mathematik.

§ S. Komplexe Zahlen 1. Der Ursprung der komplexen Zablen Aus mancherlei Griinden muBte der Zahlbegriff sogar noch iiber das reelle Zahlenkontinuum hinaus durch Einfiihrung der sogenannten komplexen Zahlen erweitert werden. Man muB sich hierbei klarmachen, daB in der historischen und psychologischen Entwicklung der Wissenschaft alle diese Erweiterung~n des Zablbegriffs keineswegs das Werk einzelner Mathematiker sind. Vie1mehr treten sie als Ergebnisse einer allmlihlichen, tastenden Entwicklung auf. Es war das Bediirfnis nach groBerer Freiheit bei formalen Rechnungen, das die Verwendung der negativen und der rationalen Zahlen zur Folge hatte. Erst am Ausgang des Mittelalters fingen die Mathematiker an, das Gefiihl des Unbehagens zu verlieren, wenn sie diese "Zahlen" benutzten, die nicht denselben anschaulichen und konkreten Charakter wie die natiirlichen Zahlen besitzen. Erst um die Mitte des 19. Jahrhunderts erkannten die Mathematiker klar, daB die wesentliche logische und philosophische Grundlage fiir das Arbeiten in einem erweiterten Zahlenbereich formalistischer Natur ist; daB die Erweiterungen durch Definitionen geschaffen werden miissen, die als solche willkiirlich sind, die nur dann Wert haben, wenn sie so aufgesteilt werden, daB die in dem urspriinglichen Bereich geUenden Regeln und Eigenschaften auch in dem erweiterten Bereich erhalten bleiben. DaB die Erweiterungen zuweilen !nit "wirklichen" Dingen verkniipft werden konnen und dadurch Handwerkszeug fiir neue Anwendungen liefem, ist von groBter Bedeutung, kann aber nur eine Anregung zu der Erweiterung, nicht einen logischen Beweis fiir ihre RechtmaBigkeit, liefem. Die zuerst auftretende Aufgabe, welche die Verwendung komplexer Zahlen erfordert, ist die Auflosung quadratischer Gleichungen. Wir erinnem uns an die lineare Gleichung a x = b, worin die unbekannte GroBe x bestimmt werden solI. Die Losung ist einfach x = bfa, und die Forderung, daB jede lineare Gleichung !nit ganzen Koeffizienten a =l= 0 und b eine Losung haben soil, verlangte die Einfiihrung der rationalen Zahlen. Gleichungen wie

(1)

x"= 2,

die keine Losung im Bereich der rationalen Zahlen haben, fiihrten zur Konstruktion des umfassenderen Bereichs der reellen Zahlen, in dem eine solche Losung existiert. Aber selbst der Bereich der reellen Zahlen ist nicht weit genug, um eine vollstlindige Theorie der quadratischen Gleichungen zu ermoglichen. Eine einfache

72

II. Das Zahlensystem der Mathematik

Gleichung wie (2)

x 2 = -1

hat keine reelle Losung, da das Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ ist. Wir miissen uns entweder mit der Feststellung zufriedengeben, daB diese einfache Gleichung unlosbar ist oder den gewohnten Pfad der Erweiterung unseres Zahlbegriffs weitergehen, indem wir Zahlen einfiihren, die diese Gleichung losbar machen. Genau das geschieht, wenn wir das neue Symbol i einfiihren, indem wir ill= - 1 definieren. Natiirlich hat dieses Objekt i, die "imaginare Einheit", nichts mehr mit dem Begriff der Zahl a1s Mittel zum Ziihlen zu tun. Es ist ein reines Symbol, das der fundamentalen Regel i 2 = - 1 unterworfen ist, und sein Wert wird allein davon abhangen, ob durch diese Einfiihrung eine wirklich niitzliche und brauchbare Erweiterung des Zahlensystems erzielt werden kann. Da wir mit dem Symbol i ebenso zu addieren und multiplizieren wiinschen wie mit den gewohnlichen reellen Zahlen, so sollten wir imstande sein, Symbole wie 2i, 3i, -i, 2 + 5i oder allgemeiner a + bi zu bilden, wobei a und b beliebige reelle Zahlen sind. Wenn diese Symbole den gewohnten kommutativen, assoziativen und distributiven Gesetzen der Addition und Multiplikation gehorchen sollen, so muB zum Beispiel gelten: (2 + 3i) + (1 + 4.) = (2 + 1) + (3 + 4)i = 3 + 7i , (2 + 3i) (1 + 4i) = 2 + 8i + 3i + 12i2 = (2 - 12) + (8 + 3)i = -10 + Hi. Angeleitet durch diese Betrachtungen, beginnen wir unsere systematische Behandlung mit der folgenden Definition: Ein Symbol von der Form a + bi, worin a und b reelle Zahlen sind, soIl eine komplexeZahl mit dem Realteil a und dem lmaginii,.teil b genannt werden. Die Operationen der Addition und Multiplikation sollen mit diesen Symbolen genauso durchgefuhrt werden, als ob i eine gewohnliche reelle Zahl ware, mit dem Unterschied, daB i2 immer durch -1 ersetzt werden muS. Genauer gesagt, definieren wir Addition und Multiplikation komplexer Zahlen durch die Regeln (a + b~) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, (3) (a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + be) i . Insbesondere haben wir

(4)

(a + bi) (a - bi) = a2 - abi + abi - b2i 2 = a2 + b2 •

Auf Grund dieser Definition laBt sich leicht verifizieren, daB die kommutativen, assoziativen und distributiven Gesetze fur komplexe Zahlen gelten. AuBerdem fiihren nicht nur Addition und Multiplikation, sondem auch Subtraktion und Division wiederum auf Zahlen der Form a + bi, so daB die komplexen Zahlen einen KiWper bilden (sie~e S. 45) : (5)

(a + b~) - (c + di) = (a - c) a+bi c di

+

=

(a (c

+ bi)

+ di)

+ (b -

d) i ,

(c-di) =(ac+bd)+(bC-ad). (c - di) cl dl cl dl ~.

+

+

(Die zweite Gleichung ist sinnlos, wenn c + di = 0 + Oi ist; denn dann ist c2 + d'l. = O. Also milssen wi,. wieder eine Division dUTch Null, d. h. durch 0 + Oi aus-

73

1. Der Ursprung der komplexen Zahlen

schlieBen). Zum Beispiel ist: 2 + 3i 1 + 4i

(2 + ai) - (1

=

+ 4i) =

1 - i,

2 + 3i 1 - 4i 2 - 8i + 3; + 12 14 S. 1 + 4i • 1-4i = 1 + 16 =17-17~'

Der Korper der komplexen Zahlen schlieBt die reellen Zahlen a1s Unterkorper ein; denn die komplexe Zahl a + Oi gilt a1s dasselbe wie die reelle Zahl a. Andererseits wird eine komplexe Zahl 0 + bi = bi eine rein imaginiire Zahl genannt. . (1 (Jbungen: 1. Man bnnge

+ i)(2(1 _+ i)i) (3 + i ) . . auf die Form a + b,.

2. Man bringe auf die Form a + bi. 3. Man bringe 1+ i 1+ i 1- i ' 2- i '

ii'

(4 - Si)1

(-2 + i) (1 - 3i) , (2 - ai)1

auf die Form a + bi. 4. Man berechne 5 + 12i. (Anleitung: Man setze setze ree1le und imaginare Teile gleich.

V

V5 + lU

=

;r

+ yi, quadriere und

Durch Einftihrung des Symbols i haben wir den Korper der reellen Zahlen zu dem Korper der Symbole a + bi erweitert, in dem die spezielle quadratische Gleichung die heiden Losungen x = i und x = - i hat. Denn nach Definition ist i . i = (-i) (-i) = il = - 1. In Wirklichkeit haben wir noch viel mehr gewonnen. Es UiBt sich leicht bestatigen, daB jetzt ide quadratische Gleichung, die wir in der Form

(6) schreiben konnen, eine Losung hat. Denn nach (6) haben wir c

b

x2 +-x= -a a'

(7)

(X

+ X

~)2 = bl -4ac 2a 4al b

+2/i"= X=

±

Vb l

-b

-

2a

± Vb l

'

4ac

2a

'

-4ac

Wenn nun b2 - 4ac ~ 0, so ist Vb2- 4ac eine gewohnliche reelle Zahl, und die Losungen (7) sind reell; ist aber b2 - 4ac < 0, so ist 4ac - b2 > 0 und Vb l - 4ac = V- (4ac - bt ) = V4ac - b2 . i, also sind die Losungen (7) komplexe Zahlen. Zum Beispiel sind die Losungen von

74

x=

II. Das Zahlensystem der Mathematik 5 ± V25- 24 2

5 ~ 1 = 3 oder 2, wahrend die LOsungen der Gleichung

x2-2x+2=0 lauten: x = 2

± V4=8 2

2 ± 2i 1 2 =

+ ~. 0 der 1 -~..

2. Die geometrische Deutung der komplexen Zahlen Schon im 16. Jahrhundert sahen sich die Mathematiker gezwungen, AusdrUcke fUr die Quadratwurzeln aus negativen Zahlen einzufiihren, um alle quadratischen und kubischen Gleichungen losen zu konnen. Aber sie wuBten nicht recht, wie die exakte Bedeutung dieser Ausdriicke zu erkliiren ware, die sie mit einer Art aberglaubischer Ehrfurcht betrachteten. Der Name "imaginiir" erinnert noch heute an die Tatsache, daB diese AusdrUcke irgendwie als erfunden oder unwirklich angesehen wurden. Endlich wurde zu Beginn des 19. J ahrhunderts, als die Wichtigkeit dieser Zahlen ffir viele Zweige der Mathematik offenbar geworden war, eine einfache geometrische Deutung des Operierens mit komplexen Zahlen gegeben, wodurch die immer noch vorhandenen Zweifel an ihrer RechtmaBigkeit entkraftet wurden. Natiirlich ist eine solche Deutung vom modernen Standpunkt aus iiberfiiissig, von dem aus die Rechtfertigung formaler Rechnungen mit komplexen Zahlen ohne weiteres auf Grund der formalen Definitionen von Addition und Multiplikation gegeben ist. Aber die geometrische Deutung, die ungefahr gleichzeitig von WESSEL (1745-1818), ARGAND (1768-1822) und GAUSS gegeben wurde, lieS diese Operationen vom Standpunkt der Anschaulichkeit aus natiirlicher erscheinen und ist seit jener Zeit von groBter Bedeutung bei der Anwendung der komplexen Zahlen in den mathematischen und physikalischen Wissenschaften. Diese geometrische Deutung besteht einfach darin, daB man die komplexe Zahl z = x + yi durch den Punkt in der Ebene mit den rechtwinkligen Koordinaten x, y darstellt. So ist also der Realteil von z seine x-Koordinate und der Imaginarteil seine y-Koordinate. Damit ist eine Beziehung zwischen den komplexen Zahlen und den Punkten einer "Zahlenebene" hery gestellt, ebenso wie in § 2 eine Beziehung zwischen den reellen Zahlen und den Punkten einer Geraden, der Zahlenachse, hergestellt wurde. Die Punkte auf der x-Achse der Zahlenebene entsprechen den reellen Zahlen z = x + Oi, .r wahrend die Punkte der y-Achse den rein imaginiiren Zahlen z = 0 + yi entsprechen. Wenn Fig. 22. Geometrische Darste1. lUDg kompleser Zahlen. Der Punkt • hat die rechtwlnkllgen

Koordlnaten s, ,

z= x+ yi eine beliebige komplexe Zahl ist, so nennen wir die komplexe Zahl Z= x- yi,

die koniugierte von z. Der Punkt z wird in der Zahlenebene durch das Spiegelbild des Punktes z beziiglich der x-Achse dargestellt. Wenn wir die Entfernung des Punktes z vom Ursprung mit e bezeichnen, dann ist nach dem pythagoreischen Lehrsatz

e'l.= x'l.+ y2= (x + yi) (x - yi) = z . z.

75

2. Die geometrische Deutung der komplexen Zahlen

Die reelle Zahl

e = VX2+ y l

heiBt Modul oder absoluter Betrag von z und wird

e= Izl geschrieben. Wenn z auf der reellen Achse liegt, ist sein Modul der gewohnliche absolute Betrag von z. Die komplexen Zahlen mit dem Modul 1 liegen auf dem "Einheitskreis" mit dem Mittelpunkt im Ursprung und dem Radius 1. Wenn Izi = 0, dann ist z= O. Das folgt aus der Definition von Izl als Abstand des Punktes z vom Ursprung. Ferner ist der M odul des Produkts von zwei komplexen Zahlen gleich dem Produkt ihrer Moduln:

IZI . z21 = IZll . IZ21 . Dies wird sich aus einem allgemeinen Satz ergeben, den wir auf S. 76 beweisen werden. Obungen: 1. Man beweise dieses Theorem direkt auf Grund der Definition der Multiplikation zweier komplexer Zahlen, Zl = Xl yli und Zl = X. y1i. 2. Aus der Tatsache, daB das Produkt zweier reeller Zahlen nur dann 0 ist, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist, soil der entsprechende Satz fiir komplexe Zahlen hergeleitet werden. (Anleitung: Man benutze die beiden eben angegebenen Sii.tze.)

+

+

Nach der Definition der Addition zweier komplexer Zahlen x 2 + Y2i haben wir ZI+ Z2= (x1 + xJ + (Yl+ yJi.

%1 =

Xl + Yl i

und

Z2=

Daher wird der Punkt ZI + Z2 in der Zahlenebene durch die vierte Ecke eines Parallelogramms dargestellt, dessen drei andere Ecken die Punkte 0, %1 und Z2 sind. Diese einfache geometrische Konstruktion fiir die Summe zweier komplexer Zahlen ist fiir viele Anwendungen von Bedeutung. Aus ihr konnen wir den wichtigen SchluB ziehen, daB der !I Modul der Summe zweier komplexer Zahlen nicht groBer ist als die Summe der Moduln (vgl. S. 46) :

IZI + %21

;;:;; IZll + IZ21 . Das folgt aus der Tatsache, daB die Lange einer Dreiecksseite nicht groBer sein kann als die Summe der 0 .:c Fig. 23. Das ParalJelogrammgesetz Langen der beiden anderen Seiten. der Addition komplexer Zahlen

IZl + zal = IZll + IZII ? Der Winkel zwischen der positiven Richtung der x-Achse und der Geraden Oz wird der Winkel von z genannt und mit ifJ bezeichnet (Fig. 22). Der Modul von z ist derselbe wie der von z, I%"I = Izl, Obung: Wann gilt die Gleichung

aber der Winkel von z ist der negativ genommene Winkel von z,

~=-ifJ· Natiirlich ist der Winkel von z nicht eindeutig bestimmt, da man ein beliebiges ganzes Vielfaches von 360° zu einem Winkel addieren oder von ihm subtrahieren kann, ohne die Lage seines begrenzenden Schenkels zu verandern. Also stellen

ifJ, ifJ + 360°, ifJ + 720°, ifJ + 1080°, ... , ifJ - 360°, ifJ - 720°, ifJ - 1080°, .. .

76

II. Das Zahlensystem der Mathematik

zeichnerisch alle denselben Winkel dar. Mit Hilfe des Moduls e und des Winkels ifJ kann die komplexe Zahl z in der Form

z = x + yi = e(cosifJ + i sinifJ)

(8)

geschrieben werden, denn nach der Definition von Sinus und Cosinus (siehe S. 211), ist x = ecosifJ, Y= esinifJ· Beispiele: Fur z = ihaben wir e= I, ifJ = 90°, so daBi= 1 (cos 900 +i sin 90°); fur

z = 1 + ihaben wir

e=

1+ i = fur

so daB

V2" (cos 45°+ i sin 45°);

e = V2~ ifJ = -45°, so daB

z = 1 - i haben wir 1- i =

ffir z = -1 +

V2, ifJ = 45°,

V2 [cos (-45°) + i sin (-45°)] ;

vai haben wir e = 2, ifJ = 120°, so daB -1 + va i = 2 (cos 120°+ i sin 120°) .

Der Leser moge diese Behauptungen durch Einsetzen der Werte der trigonometrischen Funktionen nachpriifen. Die trigonometrische Darstellung (8) ist sehr nutzlich, wenn zwei komplexe Zahlen zu multiplizieren sind. Wenn und dann ist

z = e(cos ifJ + i sinifJ) z' = e' (cos ifJ' + i sin ifJ') , zz' = ee' {(cos ifJ cos ifJ' - sin ifJ sinifJ') + i (cos ifJ sin ifJ' + sin ifJ cos ifJ')} • Nun ist nach den Additionstheoremen fUr den Sinus und Cosinus

y

cos ifJ cosifJ' - sin ifJ sin ifJ' = cos (ifJ + ifJ') , cos ifJ sin ifJ' + sin ifJ cos ifJ' = sin (ifJ + ifJ') •

z

Daher ist (9)

zz'=ee'{cos(ifJ+ ifJ')+isin(ifJ+ ifJ')}.

Dies ist die trigonometrische Form der komplexen x Zahl mit dem Modul e e' und dem Winkel (ifJ + ifJ'). Mit anderen Worten: Zwei komplexeZa'hlen werden

_ _ _ _. . . ._ - L - . . . . L . - - L - _

Fig. 24. Multiplikation zweier komplexer Zahlenj die Winkel werden addiert unci die Modulnmultipliziert

multiplizierl, indem man ihl'e M oduln multiplizierl nd ihl'e Winke I _$erl _.3.3' U (Fig.24.) S0 sehen wir, daB die Multiplikation komplexer Zahlen etwas

mit IJrehungen zu tun hat. Urn uns genauer auszudriicken, wollen wir die gerichtete Strecke, die vom Ursprung zum Punkt z fiihrt, den Vektor z nennen; dann ist e = Izi dessen Lange. Nun sei z' eine Zahl auf dem Einheitskreis, so daB e' = 1 ist; multiplizieren wir dann z mit z', so wird der Vektor z einfach urn den Winkel ifJ' gedreht. 1st e' =1= I, so muB die Lange des Vektors nach der Drehung noch mit e' multipliziert werden. Der Leser moge sich diese Tatsache verdeutlichen durch Multiplikation verschiedener Zahlen mit ZI= i (Drehung urn 90°), mit za= - i (Drehung urn 90° im entgegengesetzten Sinne), mit Z3= 1 + i und z,= 1 - i.

77

2. Die geometrische Deutung der komplexen lahlen

Die Formel (9) erlaubt eine besonders wichtige Folgerung, wenn z = dann haben wir Z2= e 2 (cos2 cfo + i sin 2 cfo) .

Zl,

denn

Multipliziert man dies nochmals mit z, so erhaIt man Z3=

e 3 (cos 3cfo + i sin 3cfo) ,

und fahrt man in der gleichen Weise fort, so ergibt sich flir beliebige positive ganze Zahlen n z"I= en (cos ncfo

(10)

+ i sin ncfo) •

1st insbesondere z ein Punkt des Einheitskreises, also e = I, so erhalten wir die von dem englischen Mathematiker A. DE MOIVRE (1667-1754) entdeckte Formel (coscfo + i sincfo)n= cos ncfo + i sin ncfo.

(11)

Diese Formel ist eine der bemerkenswertesten und nlitzlichsten Gleichungen der e1ementaren Mathematik. Ein Beispiel wird das deutlich machen. Wir konnen die Formel auf n = 3 anwenden und die linke Seite nach der binomischen Formel

(u + V)3= u3 + 3u2 v + 3uv2 + v3 entwickeln, wodurch wir die Gleichung erhalten cos 3cfo + i sin 3cfo = cos3 cfo - 3 coscfo sin 2 cfo + i(3 cos2 cfo sincfo - sin 3 cfo) .

Eine einzige solche Gleichung zwischen zwei komplexen Zahlen bedeutet ein Paar von Gleichungen zwischen reellen Z ahlen. Denn: sind zwei komplexe Zahlen einander gleich, dann mlissen sowohl ihre reellen wie ihre imaginaren Teile gleich sein. Daher konnen wir schreiben cos 3 cfo = cos3 cfo - 3 coscfo sin 2 cfo, Mit Hilfe der Beziehung COS2~

erhalten wir schlieBlich

sin 3cfo = 3 cos2 cfo sin cfo - sin 3 cfo·

+ sin2~ =

1

cos 3~ = COS3~ - 3 cos~(l - COS2~) = 4COS3~ sin 3cfo = -4 sin 3 cfo + 3 sincfo.

-

3 coscfo,

Ahnliche Formeln, die sin ncfo und cos ncfo durch Potenzen von sincfo bzw. coscfo ausdrlicken, konnen leicht flir beliebige Werte von n aufgestellt werden. Obungen: 1. Man leite die entsprechenden Formeln fiir sin 4 ¢ und cos 4 ¢ abo 2. Man beweise, daB fiir einen Punkt z = cos¢ i sin¢ auf dem Einheitskreis liz = cos ¢ - i sin ¢ ist. bi)f(a - bi) stets den absoluten Wert I hat. 3. Man beweise ohne Rechnung, daB (a 4. Wenn Z1 und z. zwei komplexe laWen sind, solI bewiesen werden, daB der Winkel von Z1 - z. gleich dem Winkel zwischen der reellen Achse und dem Vektor ist, der von z. nach Z1 fiihrt. 5. Man deute den Winkel der komplexen laW (Z1 - Z.)/(Z1 - Z3) in dem Dreieck aus den Punkten ZI' Z. und Za. 6. Man beweise, daB der Quotient zweier komplexer lahlen mit demselben Winkel reell ist.

+

+

7. Man beweise: Wenn fiir vier komplexe lahlen

z

-Z

_4_ _ 1

Z.-Z,

Z1'

Z -z z.' Z3' Z4 die Winkel von _8_ _ 1 und

Z3'-Z,

gleich sind, dann liegen die 4 lahlen auf einem Kreis oder einer Geraden und umgekehrt.

78

II. Das Zablensystem der Mathematik

S. Man beweise. daB vier Punkte Geraden liegen. wenn

Z1' Z ••

Za.

z, dann und nur dann auf einem Kreis oder einer

reell ist.

3. Die Moivresche Formel und die EinheitswurzeJn Unter einer n-ten Wurzel einer Zahl a verstehen wir eine Zahl b von der Art, daB btl = a. Insbesondere hat die Zahl 1 zwei Quadratwurze1n, 1 und - I, da 11= {-I)II= 1 ist. Die Zahll hat nur eine reelle Kubikwurzel, I, aber vier vierte Wurze1n: die reellen Zahlen 1 und - 1 und die imaginaren Zahlen i und - i. Diese Tatsachen lassen vermuten, daB es im komplexen Bereich noch zwei weitere Kubikwurze1n gibt, so daB im ganzen drei herauskommen. DaB dies wirklich der Fall ist, kann sofort mit Hilfe der De Moivreschen Formel gezeigt werden. Wir werden sehen, daB es im KOrper der kom-

,

plexen Zahlen genau n verschiedene n-te Wurzeln von 1 gibt. Es sind die Ecken des dem Einheitskreis eingeschriebenen reguliiren n-Ecks, dessen eine Ecke im Punkte z = 1 liegt. Dies wird fast unmittelbar klar aus Fig. 25 (die fUr den Fall n = 12 gezeich-

net ist). Die erste Ecke des Polygons ist 1. Die nachste ist

(12)

Ot =

360°

..

360°

cos -;- + , sm --;;-- ,

da ihr Winkel der n-te Tell des Vollwinkels 3600 Fig. 25. Die zwlSlf zwlSIften Wurzeln von 1 sein muB. Die nachste Ecke ist Ot • Ot = Otl ; denn 3600 wir erhalten sie, indem wir den Vektor IX urn den Winkel-;;- drehen. Die folgende Ecke ist Ota, usw., und nach n Schritten sind wir wieder bei der Ecke 1 angelangt, d. h. wir haben IX"=

1,

was auch aus der Forme! (ll) hervorgeht, da [cos

~o + i sin ~or = cos 360 + i sin 360 = 1 + Oi. 0

0

Folglich ist IX1 = IX eine Wurzel der Gleichung x" = 1. Dasse1be gilt von der nachsten 0 W'1r sehen das' . dem W1r . schr'ben ) E ck e IX = cos -,.- + $Sm -,.-. em, m eJ.

I

(7200 ) .. (720

{IXB)"= IXI" = {IX,,)I=

{1}1= 1

oder nach der Moivreschen Formel (IXI)" =

cos

(n 7~0) + isin (n 7!00) = cos 720 + i sin 720 = 1 + Oi = 1 . 0

0

In derselben Weise sehen wir, daB aIle n Zahlen

n-te Wurze1n von 1 sind. Wenn wir in der Folge der Exponenten noch weiter gehen oder auch negative Exponenten benutzen, erhalten wir keine neuen Wurze1n. Denn Ot-1 = I/IX = IX"/IX = Ot,,-l und Ot"= I, IX"+1= {IX)"IX = 1 . IX = IX, usw., so daB

3. Die Moivresche Forme! und die Einheitswurze1n

79

sich die schon erhaltenen Werte bloB wiederholen wfirden. Es sei dem Leser iiberlassen zu zeigen, daB es keine weiteren n-ten Wurzeln gibt. Wenn n gerade ist, liegt eine von den Ecken des n-Ecks im Punkte -I, in Dbereinstimmung mit der algebraischen Tatsache, daB in diesem Fall - 1 eine n-te Wurzel von 1 ist. Die Gleichung, der die n-ten Einheitswurzeln geniigen,

x"-I=O,

(13)

ist n-ten Grades, kann aber leicht auf eine Gleichung (n - I)-ten Grades zuriickgeftihrt werden. Wir benutzen die algebraische Formel

(14)

x"- 1 = (x - 1)

(xn- 1 + xn- I + xn- 3 + ... + 1) .

Da das Produkt zweier Zahlen dann und nur dann 0 ist, wenn mindestens eine der beiden Zahlen 0 ist, so kann die linke Seite von (14) nur verschwinden, wenn einer der beiden Faktoren auf der rechten Seite Null ist, d. h. wenn entweder x = 1 oder die Gleichung (15) xn-1 + x,,-I+ xn- 3 + ... + x + 1 = 0 erfiillt ist. Dies ist demnach die Gleichung, der die Wurzeln «, «I, ... , «,,-I geniigen mfissen. Sie wird die KreisteiZungsgZeichung genannt. Zum Beispiel sind die komplexen Kubikwurzeln von I,

! (- 1 + i V3) , cos 240 + i sin 240 = ! (- 1 - i V3) ,

« = cos 1200 + i sin 1200 = «I =

0

die Wurze1n der Gleichung

0

Xl+ x+ 1 = 0,

wie der Leser durch Einsetzen leicht erkennen kann. Ebenso geniigen die 5ten Einheitswurzeln, ausgenommen 1 selbst, der Gleichung

x4+ xI+ Xll+

(16)

X

+ 1= 0.

Urn ein rege1maBiges Fiinfeck zu konstruieren, haben wir diese Gleichung vierten Grades zu losen. Durch einen einfachen algebraischen Kunstgrifi kann man sie auf eine quadratische Gleichung fur die GroBe W = x + 1/ x zuruckzufiihren. Wir dividieren (16) durch Xl und ordnen die Glieder: 1

1

X2+-;s+ x+-;-+ 1 = 0, und da (x + l/x)2= X2+ l/x2+ 2, erhalten wir

w2 + w-l

=

O.

Nach Formel (7) in Abschnitt 1 hat diese Gleichung die Wurzeln w1 =

-1

+VS 2

'

wz =

-l-VS 2

;

daher sind die komplexen 5ten Wurze1n von 1 die Wurze1n der beiden quadratischen Gleichungen

x+ ~

=

WI

oder

Xl -

~ (y'5 -

1) x + 1 = 0

II. Das Zahlensystem der Mathematik

80

und

x+

~=

WI

xl +!

oder

(VS + l)x + 1 =

0,

die der Leser mit Hille der bereits benutzten Fonne11osen moge. tJbungen: 1. Man bestimme die 6ten Wurzeln von 1. 2. (1 + i)l1 ist zu berechnen.

3. Man bestimme alle Werte von

4.

;i

vrn. V7 8

4i.

Vi, p. 8.

(i1- i-') ist zu berechnen.

*4. Der Fundamentalsatz der Algebra

Nicht nur jede Gleichung der Fonn ax· + boX + c = 0 oder der Fonn

x"- 1 = 0 ist im Korper der komplexen Zahlen losbar. Es gilt viel allgemeiner

der folgende Satz: ] ede algebraische Gleichung von beliebigem G1'ad n mit reellen oder komplexen Koeffizienten

(17)

f(x) = x"+ a"_lx"-I+ a"_lx"-2+ ... + ~x + ao= 0

hat im Karper der komplexen Zahlen Liisungen. FUr die Gleichungen 3. und 4. Grades stellten dies im 16. Jahrhundert TARTAGLIA, CARDANUS und andere fest, indem sie so1che Gleichungen durch Fonneln losten, we1che der fUr die quadratische Gleichung im wesentlichen gleichartig, aber sehr vie1 komplizierter sind. Fast zweibundert Jahre lang wurde dann urn die allgemeinen Gleichungen 5ten und hOheren Grades gerungen, aber alle Bemiihungen, sie auf ahnliche Weise zu losen, blieben erfo1g10s. Es war eine groBe Leistung, daB es dem jungen GAUSS in seiner Doktorarbeit (1799) gelang, den ersten vollstiindigen Beweis dafiir zu geben, daB Losungen existieren; jedoch die Frage nach der Vera1lgemeinerung der klassischen Fonneln, die die LOsungen von Gleichungen niedrigeren als 5ten Grades durch rationale Operationen und Wurzelziehungen ausdriicken, blieb noch unbeantwortet. (Siehe S. 94.) Der Satz von GAUSS besagt, dap esfuriede algebraische Gleichung der Form (17), worin n cine positive ganze Zahl ist und ao, ~, ... , a"-1 beliebige recUe oder sogar komplexe Zahlen sind, mindestens cine komplexe Zahl ot = c + di gibt, so dap f(ot) = O. Diese Zahl ot nennt man eine Wurzel der Gleichung (17). Einen Beweis dieses Satzes werden wir auf S. 205 geben. Nehmen wir ibn vorlliufig als richtig an, so konnen wir den sogenannten Fundamentalsatz der Algebra beweisen (er miiBte passender der Fundamentalsatz des komplexen Zahlensystems heiBen) : ] edes Polynom n-ten

Grades, (18) kann in ein Produkt von genau n Faktoren zerlegt werden, (19)

f(x)

=

(x - otl) (x - ot.) ... (x - at,.) ,

worin «t, ot., /la, ••• , at,. komplexe Zahlen sind, die Wurzeln der Gleichung f(x) = O. A1s Beispiel zur Erlliuterung dieses Satzes diene das Polynom f(x)

=

x4- 1,

4. Der Fundamentalsatz der Algebra

das in die Form

81

f(x) = (x - 1) (x - i) (x + i) (x + 1)

zerlegt werden kann. DaB die at Wurzeln der Gleichung f(x) = 0 sind, ist aus der Faktorzerlegung (19) klar, da fiir x = acn einerder Faktoren vonf(x) und daherf(x) selbstgleichOist. In rnanchen Fillen werden die Faktoren (x - atl)' (x - ot2)' ... , (x - ot,,) eines Polynorns. vorn Grade n nicht alle verschieden sein, wie zurn Beispiel in dern Polynorn f(x) = x2 - 2x + 1 = (x - 1) (x - 1) , das nur eine Wurzel, x = 1, hat, die aber "zweirnal geziihlt" wird oder von der "Vielfachheit 2" ist. Auf jeden Fall kann ein Polynorn vorn Grade n nicht mehr als n verschiedene Faktoren (x - at) haben und die zugehOrige Gleichung nicht rnehr als n Wurzeln. Urn den Satz uber die Faktorzerlegung zu beweisen, benutzen wir wieder die aIgebraische Identitat (20) x lc _ otlc = (x - at)(XIc - I + otXIc - S+ ot2XIc - 3+ ... + otic-I X + otic-I) , die fUr ot = 1 einfach die Formel fiir die geornetrische Reihe ist. Da wir die Giiltigkeit des GauBschen Theorems voraussetzen, durfen wir annehrnen, daB es wenigstens eine Wurzel atl der Gleichung (17) gibt, so daB

f(atl) = ot~ + afl_Iot~-l+ afl_Iot~-2+ ... + ~atl+ a o= O. Ziehen wir dies vonf(x) ab und ordnen die Glieder urn, so erhalten wir die Identitiit

(21) f(x) = f(x) - f(otJ = (xn- ~) + afl - l (xn-l- ot~-l) + •.. + ~ (x - atJ . Nun konnen wir wegen (20) aus jedem Glied von (21) den Faktor (x - atl) ausklammem, so daB der Grad des anderen Faktors in jedem Gliede urn 1 herabgesetzt wird. Indern wir daher die Glieder nochrnals urnordnen, finden wir, daB

f(x) = (x - otl)g(X) , wobei g (x) ein Polynorn vorn Grade n - 1 ist: g(x) = xn- l + bfl _ axfl - 2 + .•. + b1x + bo . (Fur unsere Zwecke ist es ganz unnotig, die Koeffizienten bfl auszurechnen.) Jetzt konnen wir das gleiche Verfahren auf g(x) anwenden. Nach dern GauBschen Satz gibt es eine Wurzel ats der Gleichung g (x) = 0, so daB

g(x) = (x - at.) h(x) , worin h (x) ein Polynom vorn Grade n - 2 ist. Indem wir insgesamt (n - I)-mal in derselben Weise verfahren (diese Redewendung ist natiirlich nur ein Ersatz fUr eine Begriindung durch rnathernatische Induktion), erhalten wir schlieBlich die vollstiindige Zerlegung (22) f(x) = (x - otl) (x - ota) (x - ota) ••• (x - acn) . Aus (22) folgt nicht nur, daB die komplexen Zahlen otl' ots, ... , acn Wurzeln der Gleichung (17) sind, sondem auch, daB sie die einzigen Wurzeln sind. Denn wenny eine Wurzel von (17) ware, dann rnuBte nach (22)

f(y)

=

Courant u. Robbins, Mathematik

(y - otl) (y - ata) ... (y -

acn) = 0 6

82

II. Das Zahlensystem der Mathematik

sein. Wir haben auf S. 75 gesehen, daB ein Produl
*§ 6. A1gebraische und trans~endente Zahlen 1. Definition und Existenz

Eine algebraische Zahl ist jede ree1le oder komplexe Zahl, die irgendeiner algebraischen Gleichung von der Form

(1)

a.%"+ a._l%,,-l+

... + iltx + ao= 0

geniigt, worin die a. ganzeZahlen sind. Zum Beispiel ist well sie der Gleichung x2 - 2 = 0

(n

~

I, a.=!= 0)

JI2 eine algebraische Zahl,

geniigt. Ebenso ist jede Wurzel einer Gleichung dritten, vierten, fiinften oder hOheren Grades mit ganzen Koeffizienten eine algebraische Zahl, einerlei ob sie sich mit Hille von Wurzelzeichen darste1len laBt oder nicht. Der Begriff der algebraischen Zahl ist eine natiirliche Vera1lgemeinerung der rationalen Zahl, die den spezie1len Fall n = 1 darste1lt. Nicht jede ree1le Zahl ist algebraisch. Dies laBt sich durch einen von CANTOR stammenden Beweis zeigen, nach dem die Gesamtheit der algebraischen Zahlen abziihlbar ist. Da die Menge aller ree1len Zahlen nicht abziihlbar ist, muB es ree1le Zahlen geben, die nicht algebraisch sind. Eine Methode, die Menge der algebraischen Zahlen abzuziihlen, ist folgende: Jeder Gleichung der Form (1) wird die positive ganze Zahl h=

la.1 + la.-ll + ... + liltl + laol + n

a1s ihre "Hohe" zugeordnet. Fiir jedenjesten Wert von h gibt es nur eine endliche Anzahl von Gleichungen (1) mit der Hohe h. Jede dieser Gleichungen kann h6chstens n verschiedene Wurzeln haben. Daher kann es nur eine endliche Anzahl von algebraischen Zahlen geben, deren Gleichungen die Hohe h haben, und wir konnen alle algebraischen Zahlen in eine fortlaufende Folge ordnen, indem wir mit denen von der Hohe 1 beginnen, dann die von der Hohe 2 nebmen und so fort. Dieser Beweis, daB die Menge der algebraischen Zahlen abziihlbar ist, gewlihrleistet die Existenz reeller Zahlen, die nicht algebraisch sind; so1che Zahlen werden transzentiente Zahlen genannt; denn wie EULER sagte, "iiberschreiten (transzendieren) sie die Wirksamkeit algebraischer Methoden". CANTORs Beweis fUr die Existenz transzendenter Zahlen kann wohl kaum konstruktiv genannt werden. Theoretisch konnte man eine transzendente Zahl konstruieren, indem man CANTORS Diagonalverfahren auf eine abgezii.hlte Tabe1le von Dezimalbriichen fUr die Wurzeln aller algebraischen Gleichungen anwendet; aber diese Methode ware sehr unpraktisch und wiirde nicht zu einer Zahl fiihren, die sich im Dezimal- oder einem sonstigen System tatsachlich in Ziffern niederschreiben lieBe. 'Oberdies liegen die interessantesten Probleme bei den transzendenten Zahlen in dem Nachweis, daB gewisse bestimmte Zahlen wie 11; und e tatsachlich transzendent sind (diese Zahlen werden auf S.226 und 227 definiert).

2. Der Liouvillesche Satz und die Konstruktion transzendenter Zahlen

83

**2. Der Liouvillesche Satz und die Konstruktion transzendenter Zahlen Ein Beweis fur die Existenz transzendenter Zahlen, der dem Cantorschen schon vorausging, wurde von J. LIOUVILLE (1809-1882) gegeben. Der Liouvillesche Beweis erlaubt, Beispiele solcher Zahlen zu konstruieren. Er ist etwas schwieriger als der Cantorsche Beweis, wie es meistens bei konstruktiven Beweisen im Vergleich zu bloBen Existenzbeweisen der Fall ist. Der Beweis wird hier nur fur den fortgeschritteneren Leser mitgeteilt, obwohl er nicht mehr als die mathematischen Kenntnisse der hoheren Schule voraussetzt. LIOUVILLE zeigte, daB die irrationalen algebraischen Zahlen solche sind, die nur dann mit hoher Genauigkeit durch rationale Zahlen approximiert werden konnen, wenn die Nenner der approximierenden Briiche sehr groB sind. Angenommen, die Zahl z genuge der algebraischen Gleichung mit ganzen Koeffizienten (2) aber keiner derartigen Gleichung geringeren Grades. Dann nennt man z eine algeeine algebraische Zahl 2ten braische Zahl vom Grade n. Zum Beispiel ist z = Grades, da sie der Gleichung x 2 _ 2 = 0 genugt, aber keiner Gleichung ersten Gra-

V2

V2

ist vom Grade 3, da sie die Gleichung x3 - 2 = 0 erfullt und, wie des. z = wir in Kapitel III sehen werden, keine Gleichung geringeren Grades. Eine algebraische Zahl vom Grade n > 1 kann nicht rational sein, da eine rationale Zahl z = Plq der Gleichung qx - P = 0 vom Grade 1 genugt. Nun HiBt sich jede irrationale Zahl z mit jeder gewUnschten Genauigkeit durch eine rationale Zahl approximieren; das bedeutet, daB wir eine Folge

PI PI

q;' q." .. von rationalen Zahlen mit immer groBeren Nennem finden k6nnen, so daB

P,

--+z. q,

Der Liouvillesche Satz behauptet: Fur jede algebraische Zahl z vom Grade n> 1 ist die Ungenauigkeit einer solchen Approximation groBer als lit'+!; d. h. fur hinreichend groBe Nenner q muB die Ungleichung gelten

Iz- : I> qLl .

(3)

Wir werden diesen Satz sogleich beweisen; vorher wollen wir jedoch zeigen, daB er die Konstruktion transzendenter Zahlen erlaubt. Nehmen wir die folgende Zahl (wegen der Definition des Symbols n! vgl. S. 14)

z = lit· 10-1 '+ a2 ' 10-2 '+ =

as' 10-3 '+ ... +

am • 10-ml + am+! . 1O-(m+!)I+ ...

O,a1a2OOOasOOOOOOOOOOOOOOOai>OOOOOO •• . ,

worin die ai beliebige Ziffem von 1 bis 9 sind (wir konnten zum Beispiel alle ai gleich 1 wahlen). Eine solche Zahl ist gekennzeichnet durch rapide anwachsende Abschnitte von Nullen, die von einzelnen von Null verschiedenen Ziffem unterbrochen werden. Unter Zm wollen wir den endlichen Dezimalbruch verstehen, den 6*

84

II. Das Zahlensystem der Mathematik

man erhalt, wenn man von Dann ist (4)

Z

nur die Glieder bis einschlieBlich am • lO-m ! nimmt.

zml < 10· 10-(m+1)! .

IZ -

Angenommen, Z sei algebraisch vom Grade n. Dann wollen wir in (3) P/q = Zm = P/I0m ! setzen, so daB wir

Iz -

zml >

1

10IH1) .. !

fUr geniigend groBe m erhalten. Zusammen mit (4) wiirde dies 1 10111 +1)"'1

<

10 I()lM +1) !

=

1 1()l"+1JI-l

ergeben, so daB (n + l)m! > (m + I)! - 1 fUr alle geniigend groBen m. Aber das ist fUr jeden Wert von m > n falsch (der Leser moge diesen Beweis im einzelnen durchfiihren), so daB wir einen Widerspruch erhalten haben. Folglich ist Z transzendent. Nun bleibt noch der Liouvillesche Satz zu beweisen. Angenommen, Z sei eine algebraische Zahl vom Grade n > 1, die (1) befriedigt, so daB

(5)

J(z)

=

O.

Es sei nun zm = Pm/qm eine Folge von rationalen Zahlen mit der Eigenschaft Zm-+ z. Dann ist

J(zm) = J(zm) - J(z)

=

a1(zm-Z) + a2(z~-z2) + ... + a,,(z~ - zn) .

Teilen wir beide Seiten dieser Gleichung durch Zm - z und benutzen wir die algebraische F ormel

so erhalten wir

.

(6)

!(Z",)z =

al + a2(zm+ z)

+ aa(z~ + ZmZ + Z2) + ... + a,,(z:,-l+ .•. + Z"-I) .

Da Zm gegen den Grenzwert z strebt, wird es sich fiir geniigend groBe m sicher urn weniger als 1 von Z unterscheiden. Wir konnen daher fUr geniigend groBe m die folgende grobe Abschatzung hinschreiben:

(7)

1

2

z..)z 1 <

lall + 21a21(Izl + 1) + 31aal (izi + 1)2+ ... + n la,,1 (izl + 1),,-1= M.

Mist eine feste Zahl, da Z in unserer Dberlegung eine feste Zahl ist. Wenn wir nun

m so groB wahlen, daB in Zm = P... der Nenner qm groBer ist als M, so ist qlll

(8)

Iz -

zml > IIM(Zm) 1 > 1/(3",)1 • q",

Zur Abkiirzung werde jetzt P fiir Pm und q fiir qm geschrieben. Dann ist

(9) Nun kann die rationale Zahl Zm = P/q keine Wurzel vonJ(x) = 0 sein; denn sonst konnte man (x - zm) aus J(x) ausklammem, und Z wiirde dann einer Gleichung

2. Der Liouvillesche Satz und die Konstruktion transzendenter Zahlen

85

genugen, deren Grad < n ware. Daher ist J(zm) =1= O. Aber der Zahler der rechten Seite von (9) ist eine ganze Zahl und muB daher mindestens gleich 1 sein. Somit erhalten wir aus (8) und (9)

(10)

1

Iz - zml > q'

1

q;s =

1

q"+1 ,

und der Satz ist bewiesen. Wahrend der letzten Jahrzehnte sind die Untersuchungen uber die Approximierbarkeit algebraischer Zahlen durch Rationalzahlen noch weiter getrieben worden. Zum Beispiel hat der norwegische Mathematiker A. THUE (1863-1922) bewiesen, daB in LIOUVILLEB Ungleichung (3) der Exponent n + 1 durch (n/2) + 1 + 8 (mit positivem, aber be1iebig kleinem 8) ersetzt werden kann. C. L. SIEGEL zeigte spater, daB die scharfere Aussage (scharfer ffir groBe n) mit dem Exponenten 2 gilt, und neuerdings wurde von K. F. ROTH sogar bewiesen, daB - unabhangig von dem Grad n der algebraischen Zahl z - jede Zahl2 + 8 ein zuIassiger Exponent in der Ungleichung (3) ist, wahrend der Exponent 2 selbst nicht mehr zulii.ssig ist. Die transzendenten Zahlen haben von jeher die Mathematiker fasziniert. Aber bis in die j ungste Vergangenheit sind nur wenige Beispiele von wirklich interessanten Zahlen bekannt geworden, deren Transzendenz nachgewiesen werden konnte. (In Kapitel III werden wir die Transzendenz von :It erortem, aus der die Unmoglichkeit der Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal folgt.) In einem beriihmten Vortrag auf dem intemationalen MathematikerkongreB zu Paris im Jahre 1900 hat DAVID HILBERT dreiBig mathematische Probleme genannt, die leicht zu formulieren waren, zum Teil sogar in elementarer und populii.rer Form, von denen aber keines bis dahin gelost war oder durch die damaIs existierende mathematische Technik unmittelbar angreifbar erschien. Diese "Hilbertschen Probleme" waren eine Herausforderung fur die fo]gende mathematische Entwicklung. Fast alIe Probleme sind inzwischen gelost worden, und haufig bedeutete die LOsung einen entscheidenden Fortschritt fur die mathematische Erkenntnis und die allgemeinen Methoden. Eins der vollig aussichtslos erscheinenden Probleme war, zu zeigen, daB

Vn

2Y2 eine transzendente, oder auch nur, daB es eine irrationale Zahl ist. Fast dreiBig Jahre lang bestand keine Hoffnung, daB man einen Weg zur Bewii.1tigung dieses Problems finden wiirde. SchlieBlich entdeckten unabhangig voneinander und etwa gleichzeitig C. L. SIEGEL und der Russe A. GELFOND, sowie dann SIEGELB Schiller TH. SCHNEIDER uberraschende neue Methoden, urn die Transzendenz vieler in der Mathematik bedeutsamer Zahlen zu beweisen, darunter die der Hilbertschen Zahl

2¥
Erganzung zu Kapitel II

Mengenalgebra (Boolesche Algebra) 1. Allgemeine Theorie Der Begriff einer Klasse oder Menge von Dingen ist einer der ganz fundamentalen Begriffe der Mathematik. Eine Menge wird definiert durch irgendeine Eigenschaft oder ein Attribut ~, das jedes der betrachteten Objekte entweder besitzen muB oder nicht besitzen darf; diejenigen Objekte, die die fragliche Eigenschaft besitzen, bilden die zugeharige Menge A. Wenn wir also etwa die natiirlichen Zahlen betrachten und als Eigenschaft ~ diejenige nehmen, eine Primzahl zu sein, so ist die zugehOrige Menge A die Menge aller Primzahlen 2,3,5,7, ...• Das mathematische Studium der Mengen beruht auf der Tatsache, daB Mengen durch gewisse Operationen verkniipft werden kannen, so daB andere Mengen entstehen, ebenso wie Zahlen durch Addition und Multiplikation verkniipft werden kannen, so daB andere Zahlen entstehen; Das Studium der auf Mengen anwendbaren Operationen umfaBt die "Mengenalgebra", die viele formaleAhnlichkeiten mit der Zahlenalgebra aber auch Unterschiede von ihr aufweist. Der Uinstand, daB algebraische Methoden auf das Studium nicht-numerischer Objekte, wie Mengen, angewendet werden kannen, zeigt die groBe Allgemeinheit der Begriffe der modemen Mathematik. In den letzten J ahren ist deutlich geworden, daB die Mengenalgebra viele Gebiete der Mathematik, z. B. die MaBtheorie und die Wahrscheinlichkeitstheorie, durchsichtiger werden laBt. Zugleich ist sie fiir die systematische Zuriickfiihrung mathematischer Begriffe auf ihre logische Grundlage wertvoil. 1m folgenden soil I eine feste Menge von Objekten irgendwelcher Art bedeuten, die wir die Grundmenge nennen, und A, B, C soilen willkiirlich gewlihlte Teilmengen von I bedeuten. Wenn I die Menge aller natiirlichen Zahlen bezeichnet, so kann etwa A die Menge aller geraden, B die Menge aller ungeraden Zahlen, C die Menge aller Primzahlen bedeuten. Oder I kannte die Menge aller Punkte einer bestimmten Ebene bezeichnen, A die Menge aller Punkte innerhalb eines gewissen Kreises dieser Ebene, B die Menge aller Punkte innerhalb eines gewissen anderen Kreises, usw. Zur Vereinfachung rechnen wir zu den "Teilmengen" von I auch die Menge I selbst und die "leere Menge" 0, die keine Elemente enthlilt. Der Zweck dieser kiinstlichen Begriffserweiterung ist, die Regel beizubehalten, daB jeder Eigenschaft ~ die Teilmenge A aller Elemente von I entspricht, die diese Eigenschaft besitzen. Wenn ~ eine allgemein geltende Eigenschaft ist, z. B. die durch die triviale Gleichung x = x gekennzeichnete, dann ist die entsprechende TeilMenge von I die Menge I selbst, da jedes Objekt dieser Gleichung geniigt; wenn dagegen ~ eine sich selbst widersprechende Eigenschaft ist, wie x x, so wird die entsprechende Teilmenge keine Objekte enthalten und kann durch das Symbol 0 bezeichnet werden.

*'

1. Allgemeine Theorie

87

Die Menge A wird eine Teilmenge oder Untermenge der Menge B genannt, wenn es kein Objekt in A gibt, das nieht aueh zu B gehOrt. Wenn dies der Fall ist, sehreiben wir ACB oder B)A. Zum Beispiel ist die Menge A aller ganzen Zahlen, die Vielfaehe von 10 sind, eine Untermenge der Menge Baller ganzen Zahlen, die Vielfaehe von 5 sind, da jedes . Vielfaehe von 10 aueh ein Vielfaehes von 5 ist. Die Aussage A C B schlieBt nicht die Moglichkeit aus, daB aueh B C A. Wenn beide Relationen gelten, so sagen wir, daB A und B gleich sind, und schreiben

A=B. Damit dies zutrifft, muB jedes Element von A ein Element von B sein und umgekebrt, so daB die Mengen A und B genau dieselben Elemente enthalten. Die Relation A C B hat viel Ahnliehkeit mit der Ordnungsrelation a ~ b bei reellen Zahlen. Insbesondere gilt:

1) A CA. 2) Wenn ACB und BCA, so A = B. 3) Wenn A C B und B C C, so ACe. Aus diesem Grunde nennen wir auch die Relation A C Beine "Ordnungsrelation". Der Hauptunterschied zu der Relation a ~ b bei Zahlen ist der folgende: wiihrend fUr iedes Zahlenpaar a, b mindestens eine der Relationen a ~ b oder b ~ a gilt, trifft dies fUr Mengen nicht zu. Wenn zum Beispiel A die Menge ist, die aus den Zahlen 1, 2, 3 besteht, und B die Menge, die aus 2, 3, 4 besteht, so ist weder A C B noeh B CA. Aus diesem Grunde sagt man, daB die Relation A C B zwischen Mengen nur eine partielle Ordnung bestimmt, wiihrend die Relation a ~ b bei Zahlen eine totale Ordnung herstellt. Wir bemerken noch, daB aus der Definition der Relation A C B folgi: 4) OCA fUr jede Menge A, und 5) A C1 , wenn A eine beliebige Teilmenge der Grundmenge 1 ist. Die Relation 4) konnte paradox erscheinen, sie ist aber in Einklang mit einer genauen Auslegung der Definition des Zeichens C; denn die Behauptung 0 C A ware nur dann falsch, wenn die leere Menge ein Element enthielte, das nieht zu A gehOrt, und da die leere Menge ilberhaupt keine Elemente enthalt, so ist das unmOglich, einerlei welche Menge A darstellt. Wir werden jetzt zwei Mengenoperationen definieren, die viele von den algebraisehen Eigenschaften der Addition und Multiplikation von Zahlen haben, obwohl sie begrifflieh durehaus von diesen Operationen verschieden sind. Zu diesem Zweck betraehten wir irgend zwei Mengen A und B. Unter der Vereinigung oder der logischen Summe von A und B verstehen wir die Menge aller Objekte, die zu A oder zu B gehOren (einsehlieBlich aller, die etwa in beiden enthalten sind). Diese Menge bezeiehnen wir durch das Symbol A vB. Unter dem Durchschnitt oder dem logischen Produkt von A und B verstehen wir die Menge aller Elemente, welehe zugleieh zu A UM zu B gehOren. Diese Menge bezeiehnen wir dureh das Symbol A (\, B. Um diese Operationen zu verdeutliehen, wollen wir wieder

88

Ergii.nzung zu II. Mengenalgebra (Boolesche Algebra)

a1s A und B die Mengen A

= {I, 2, 3},

B

=

{2, 3, 4}

A

fI

wiihlen. Dann ist A vB

=

{I, 2, 3, 4} ,

B

=

{2, 3} .

Von den wichtigsten algebraischen Eigenschaften der Operationen A vB und A fI B ziihlen wir die folgenden auf, die der Leser auf Grund der gegebenen Definitionen nachpriifen moge: 6) 8) 10) 12) 14)

AvB=BvA A v (B v C) = (A v B) v C AvA=A A fI (B v C) = (A fI B) v (A fI C) A va = A

7) AflB=BflA

9) A fI (B fI C) = (A fI B) fI C 11) AflA=A 13) A v (B fI C) = (A v B) fI (A v C) 15) A fI I = A 16) A vI = I 17) A fI a = a 18) die Relation A C B ist mit jeder der beiden Relationen A vB = B und A fI B = A iiquivalent.

Die Bestiitigung dieser Gesetze ist eine Sache der elementaren Logik. Zum Beispiel besagt 10), daB die Menge, die aus den Objekten besteht, die zu A oder zu A gehoren, genau die Menge A selbst ist, und 12) besagt, daB die Menge der Objekte die zu A gehOren und zugleich zu B oder zu C, dieselbe ist wie die Menge der Objekte, die zugleich zu A und zu B oder aber zugleich zu A und zu C gehOren. Die logischen Begriindungen fiir diese und iihnliche Gesetze lassen sich veranschaulichen, wenn man die Mengen A, B, C a1s Fliichenstucke in einer Ebene darstellt; man muG dabei nur darauf achten, daB fur Av8 jedes Paar von Mengen sowohl Fig. 26. Verelnigung uod Durcbschnitt von Meogen gemeinsame als auch nicht gemeinsame Elemente vorhanden sind. Der Leser wird bemerkt haben, daB die Gesetze 6, 7,8 und 9 bis auf die Verkniipfungszeichen mit den gewohnten kommutativen und assoziativen Gesetzen der Algebra ubereinstimmen. Das Gesetz 12 nimmt die Gestalt des bekannten distributiven Gesetzes an, wenn man - wie dies mitunter auch gebriiuchlich ist die Vereinigung zweier Mengen mit A + B und den Durchschnitt mit A B bezeichnet. Die Gesetze 10 und 11 und das (ganz gleichartig wie Gesetz 12 gebaute) Gesetz 13 haben dagegen keine numerischen Analoga und geben der Mengenalgebra im Vergleich zur Zahlenalgebra eine einfachere Struktur. Zum Beispiel tritt an die Stelle des binomischen Satzes der gewohnlichen Algebra die folgende Formel der Mengenalgebra: (A

V

B)" = (A

v B) fI (A v B) fI ... fI (A v B)

=

A vB,

die aus 11) folgt. Die Gesetze 14, 15 und 17 zeigen, daB die Eigenschaften von a und I hinsichtlich Vereinigung und Durchschnitt weitgehend den Eigenschaften der Zahlen 0 und 1 hinsichtlich der gewohnlichen Addition und Multiplikation gleichen. Das Gesetz 16 hat kein Analogon in der Zahlenalgebra.

2. Anwendung auf die mathematische Logik

89

Eine weitere Operation der Mengenalgebra muS noch definiert werden. Es sei

A irgendeine Untermenge der Grundmenge I. Dann verstehen wir unter dem Komplement von A die Menge aller Objekte von I, die nickt zu A gehOren. Diese Menge bezeichnen wir durch das Symbol A'. Wenn also I die Menge aller natUrlichen Zahlen und A die Menge der Primzahlen ist, so besteht A' aus der 1 und den zerlegbaren Zahlen. Die Operation, die Menge A I zu bilden, hat in der Zahlenalgebra kein genaues Analogon. Sie besitzt folgende Eigenschaften:

19) A V A I = I 20) A {\ A I = 0 21) 0 ' =1 22) 1'=0 23) A"= A 24) Die Relation A C B ist aquivalent der Relation B' CA'. 25) (A V B)' = A I { \ B' 26) (A {\ B)' = A I V B' . Die Nachpriifung dieser Gesetze Uberlassen wir wiederum dem Leser. Die Gesetze 1 bis 26 bilden die Grundlage der Mengenalgebra. Sie besitzen die merkwiirdige Eigenschaft der "Dualitat" in folgendem Sinne:

Wenn in irgendeinem der Gesetze 1 his 26 die Symbole C und ) o and I V und {\ uberaU da, 'Wo sie aujtreten, fJertauscht werden, so ergibt sich wieder eines dieser Gesetze. Zum Beispiel wird das Gesetz 6 zu 7,12 zu 13, 17 zu 16 usw. Daraus folgt, daB

jedem Satz, der auf Grund der Gesetze 1 his 26 bewiesen werden kann, ein anderer, "duaJerI' Satz entsprickt, den man durch die angegebenen Vertauschungen erhiilt. Da der Beweis irgendeines Satzes aus der sukzessiven Anwendung von einigen der Gesetze 1 bis 26 bestehen wird, so liefert die Anwendung der jeweils dual entsprechenden Gesetze einen Beweis des dualen Satzes. (Eine ahnliche Dualitat in der Geometrie werden wir in Kapitel IV kennenlemen.) 2. Anwendung auf die mathematische Logik Die Verifikation der Gesetze der Mengenalgebra beruhte auf der Untersuchung der logischen Bedeutung der Relation A C B und der Operationen A V B, A {\ B und A Wir konnen nun diesen ProzeS umkehren und die Gesetze 1 bis 26 als Grundlage fUr eine "Algebra der Logik" benutzen. Genauer gesagt: Der Teil der Logik, der sich auf Mengen bezieht oder, was damit gleichwertig ist, auf Eigenschaften oder Attribute von Dingen, kann auf ein formales algebraisches System mit den Grundgesetzen 1 bis 26 zuruckgefUhrt werden. Die logische Universalmenge tritt an die Stelle der Menge I; iede Eigenschaft, d. h. iedes Attribut ~ defiI.

niert eine Menge A, die aus allen Dingen in I bestekt, denen dieses Attribut zukommt. Die Regeln fUr die 'Obertragung der Ublichen logischen Terminologie in die Sprache der Mengenlehre seien durch die folgenden Beispiele verdeutlicht:

"A oder B" "A und B" "Nicht A" "Weder A noch B"

AV B An B A' (A V B)/, oder gleichbedeutend A' n B'

"Nicht A und B zugleich"

(A

n B)" oder gleichbedeutend A' V B'

90

Erganzung zu II. Mengenalgebra (Boolesche Algebra)

"AIle A sind B" oder "wenn A, dann B" oder "A impliziert B" AeB AnB=+=O "Einige A sind B" AnB=O "Kein A ist B" An B'=+= 0 "Einige A sind nicht B" A=O "Es gibt keine A" Der Syllogismus "Barbara", der besagt "Wenn gilt: alle A sind B und alle B sind C, dann gilt: alle A sind C",1autet in der Sprache der Mengenalgebra einfach 3) Wenn A eB und BeC, dann A eC. Der "Satz vom Widerspruch", der besagt: "Ein Ding kann nicht eine Eigenschaft zugleich besitzen und nicht besitzen", wird hier zu der Formel

20) A n A' = 0 , wahrend der "Satz vom ausgeschlossenen Dritten", der besagt: "Ein Ding muB eine gegebene Eigenschaft entweder besitzen oder nicht besitzen", die folgende Form erhaIt: 19) A vA'= I. Also kann der Tell der Logik, der sich mittels der Symbole e, v, n und ' ausdriicken laBt, als ein formales algebraisches System behandelt werden, das den Gesetzen 1 bis 26 gehorcht. Aus dieser Verschmelzung der logischen Untersuchung der Mathematik mit der mathematischen Untersuchung der Logik hat sich eine neue Disziplin, die mathematische Logik, ergeben, die sich zur Zeit in lebhafter Entwicklung befindet. Yom Standpunkt der Axiomatik ist es bemerkenswert, daB die Aussagen 1 bis 26 gemeinsam mit allen anderen Satzen der Mengenalgebra sich aus den folgenden drei Gleichungen ableiten lassen: AvB=BvA ~

~v~vC=Av~vq

(A' vB')' v(A' vB)'

=

A.

Daraus folgt, daB die Mengenalgebra als rein deduktive Theorie wie die euklidische Geometrie aufgebaut werden kann, indem man diese drei Aussagen als Axiome annimmt. Wenn man das tut, so werden die Operation A n B und die Ordnungsrelation A e B mittels der Ausdriicke A vB und A' definiert:

An B bedeutet die Menge (A' vB')' A e B bedeutet, daB A vB = B. Ein ganz anderes Beispiel eines mathematischen Systems, das allen formalen Gesetzen der Mengenalgebra geniigt, besteht aus den acht Zahlen I, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30, wo a V b als das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b, a n b als der groBte gemeinsame Teller von a und b, a e b als die Aussage "a ist Teller von b" und a' als die Zahl 3O/a definiert sind. Die Existenz solcher Beispiele fiihrte zum Studium allgemeiner algebraischer Systeme, die den Gesetzen (27) geniigen. Diese Systeme werden Boolesche Algebren genannt, zu Ehren von GEORGE BOOLE (1815-1864), einem englischen Mathematiker und Logiker, dessen originelles und grundlegendes Buch An Investigation of the Laws of Thought im Jahre 1854 erschienen ist.

91

3. Eine Anwendung auf die Wahrscheinlichkeitstheorie

3. Eine Anwendung auf die WahrscheinIichkeitsrechnung Die Mengenalgebra ist auch ffir die Wahrscheinlichkeitsrechnung von Nutzen. Um nur den einfachsten Fall zu behandeln, wollen wir uns einen Versuch mit einer endlichen Anzahl von mOglichen Ergebnissen denken, die alle als "gleich wahrscheinlich" angenommen werden. Das Experiment kann zum Beispiel darin bestehen, daB aufs Geratewohl eine Karte aus einem gut gemischten Spiel von 52 Karten gezogen wird. Wenn die Menge der moglichen Ergebnisse des Experiments mit I bezeichnet wird und A irgendeine Teilmenge von I bedeutet, dann ist die Wahrscheinlichkeit, daB das Ergebnis des Versuchs zu A gehOren wird, durch das Verhiltnis

p (A)

=

Anzahl der Elemente von A Anzahl der Elemente von I

definiert. Wenn wir die Anzahl der Elemente in einer beliebigen Menge A mit n (A) bezeichnen, so kOnnen wir diese Definition in der Form n(A) P(A) = n(l)

(1)

schreiben. Wenn in unserem Beispiel A die Untermenge "C<2ur" bedeutet, dann ist n (A) = 13, 13 1 n(l) = 52 und P(A) =52="4' Die Begriffe der Mengenalgebra gehen in die Wahrscheinlichkeitsrechnung ein, wenn die Wahrscheinlichkeiten gewisser Mengen bekannt sind und die Wahrscheinlichkeit anderer Mengen gesucht wird. Zum Beispiel kOnnen wir aus der Kenntnis von P(A), P(B) und p (A (\ B) die Wahrscheinlichkeit von A VB berechnen: P(A V B) = P(A)

(2)

Der Beweis ist einfach. Wir haben n(A V B) = n(A)

+ P(B) -P(A

(\ B).

+ n(B) -n(A (\ B),

da die Elemente, die A und B gemeinsam sind, d. h. die Elemente von A (\ B, in der Summe n (A) n (B) doppelt geziihlt werden, und wir deshalb n (A (\ B) von dieser Summe abziehen mfissen, um die richtige Anzahl n (A V B) zu erhalten. Teilen wir jedes Glied dieser Gleichung durch n (I), so erhalten wir die Gleichung (2). Eine interessante Formel entsteht, wenn wir drei Teilmengen A, B, C von I betrachten. Nach (2) haben wir

+

P(A V B V C)

= P[(A

V B) V C] = P(A V B)

+ P(C) -P[(A

V B) {\ C].

NachFormel(12)desvorigenAbschnittswissenwir, daB (A V B) {\ C = (A (\ C) V (B (\C). Foiglich gilt P [(A V B) {\ C] = P [(A (\ C) V (B (\ C)] = P (A (\ C)

+ P (B (\ C) -

P (A {\ B (\ C) .

Indem wir diesen Wert von p [(A V B) {\ C] und den durch (2) gegebenen Wert von P(A V B) in die vorige Gleichung einsetzen, erhalten wir die gewfinschte Formel (3)

P(A V B V C) = P(A)

+ P(B) + P(C) -P(A (\ B) -P(A (\ C) - P (B (\ C) + p (A

{\ B (\ C) .

Als Beispiel wollen wir das folgende Experiment betrachten. Die drei Ziffem 1, 2, 3 werden in beliebiger Reihenfolge niedergeschrieben. Wie groB ist die Wahrscheinlichkeit, daB mindestens eine Ziffer auf ihrem richtigen Platz steht? Es sei A die Menge aller Anordnungen, bei denen die 1 zuerst kommt, B die Menge aller Anordnungen, in denen die 2 den zweiten Platz hat, und C die Menge aller Anordnungen, in denen die Ziffer 3 als dritte auftritt. Dann ist P (A V B V C) zu berechnen. Oflenbar ist 2 1

P(A) =P(B) =P(C)

=6"=3'

denn, wenn eine Ziffer ihren richtigen Platz innehat, so gibt es noch zwei mogliche Anordnungen ffir die beiden anderen Ziffem in der Gesamtheit von 3 • 2 • 1 = 6 mOglichen Anordnungen aller drei Ziffern. Ferner ist 1

P(A

(\ B) =

P(A

(\ C)

= P(B (\ C) = 6"

92

Erganzung zu II. Mengenalgebra (Boolesche Algebra)

und

P(A

fI B fI C) =

1

"6 '

da es nur jeweils eine Moglichkeit gibt, in der einer dieser Faile eintreten kann. Aus (3) folgt

P (A V B V C)

1

1 3 ' "6

= 3 '3 -

1

1

1

2

+ "6 = 1 -"2 + "6 = 3 = 0,6666 ... ,

(Jhung: Man stelle die entsprechende Formel fUr p (A V B V C V D) auf und wende sie auf den Fall mit vier Ziffern an. Die entsprechende Wahrscheinlichkeit ist 5/8 = 0,6250. Die allgemeine Formel fUr die Vereinigung von n Teilmengen ist

(4)

P(A l V A.V ..• V A ..} =

worin die Symbole

I

1

E, I, I, ... , I 1

2

3

P(AI} -

.. -1

I

P(A;fI A J}

2

+ E P(AlfI AJfI A k) 3

-'" ± P(Alfl A1fl'"

fI A,,) •

die Summierung tiber aile moglichen Kombinationen

von einer, von zweien, von dreien, ... , von (n - I) der gegebenen Mengen AI' AI' ... , A" bedeuten. Diese Formel kann durch mathematische Induktion auf genau dieselbe Weise abgeleitet werden, wie wir (3) aus (2) abgeleitet haben. Nach (4) ist es leicht zu zeigen: Wenn die n Ziffern 1, 2, 3, ... , n in beliebiger Reihenfolge niedergeschrieben werden, hat die Wahrscheinlichkeit, daB mindestens eine Ziffer an ihrer richtigen Stelle stehen wird, den Wert (5)

111

P~ = 1 - 21 + 31 -

1

41 +'" ±nT'

worin das letzte Glied mit dem Plus- oder Minus-Zeichen zu nehmen ist, je nachdem, ob n ungerade oder gerade ist. Insbesondere ist fUr n = 5 die Wahrscheinlichkeit

Pi =

1 1 - 21

1

1

1

+ 31 - 41 + 51 =

0,6333 ...

Wir werden in Kapitel VIII sehen, daB, wenn n gegen unendlich strebt, der Ausdruck S" =

gegen eine Grenze

III

2T-3T +41-'"

1

±-nr

lIe strebt, deren Wert auf ftinf Dezimalstellen 0,36788 ist. Nach (5) ist

P.. = 1 - S", daraus ergibt sich, wenn n gegen unendlich strebt,

P.. -+ 1 - lIe

= 0,63212 ... ,

Drittes Kapitel

Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der Zahlkorper Einleitung Konstruktionsprobleme sind immer ein beliebter Gegenstand der Geometrie gewesen. Wie sich der Leser aus seiner Schulzeit erinnem wird, liiBt sich allein mit Zirkel und Lineal eine groBe Mannigfaltigkeit von Konstruktionen ausfiihren. Strecken oder Winkel konnen halbiert werden, von einem Punkt aus kann ein Lot auf eine gegebene Gerade gefiillt werden, ein reguliires Sechseck kann einem Kreis einbeschrieben werden u. a. m. Bei all diesen Aufgaben wird das Lineal nur als geradlinige Kante benutzt, als Instrument zum Ziehen gerader Linien, nicht zum Messen oder Abtragen von Entfemungen. Die traditione11e Beschrankung auf Zirkel und Lineal allein geht schon auf das Altertum zurtick, obwohl die Griechen selber sich nicht scheuten, auch andere Hilfsmittel zu benutzen. Eines der bertihmten klassischen Konstruktionsprobleme ist das sogenannte Beruhrungsproblem des ApOLLONIUS (etwa 200 v . Chr.) , bei dem drei beliebige Kreise in einer Ebene gegeben sind und ein vierter gesucht wird, der alle drei bertihren so11. Insbesondere ist es zuliissig, daB einer oder mehrere der gegebenen Kreise in einen Punkt oder eine Gerade (einen "Kreis" mit dem Radius Null bzw. "unendlich") entartet sind. Zum Beispiel kann die Aufgabe gestellt sein, einen Kreis zu konstruieren, der zwei gegebene Geraden beriihrt und durch einen gegebenen Punkt geht. Wiihrend solche Spezialfiille ziemlich leicht zu behandeln sind, ist das allgemeine Problem erheblich schwieriger. Unter allen Konstruktionsproblemen ist vie11eicht am reizvollsten die Aufgabe, ein regelmiiBiges n-Eck allein mit Zirkel und Lineal zu konstruieren. Fur gewisse Werte von n, z. B. fur n = 3, 4, 5,6 ist die Losung bekannt und bildet einen beliebten Gegenstand der Schulgeometrie. Fur das regelmiiBige Siebeneck (n = 7) jedoch hat man lange vergeblich nach einer solchen Konstruktion gesucht. Auch fUr drei andere klassische Probleme gilt dasselbe: Die Dreiteilung (Trisektion) eines beliebig gegebenen Winkels, die Verdoppelung eines gegebenen Wiirfels (d. h. die Konstruktion der Kante eines Wurfels, dessen Rauminhalt doppelt so groB wie der eines Wurfels von gegebener Kantenlange ist) und die Quadratur des Kreises (d. h. die Konstruktion eines Quadrats, das denselben Fliicheninhalt hat wie ein gegebener Kreis). Bei all diesen Problemen sind Zirkel und Lineal die einzigen zulassigen Hilfsmittel. Ungeloste Probleme dieser Art regten eine bemerkenswerte Entwicklung in der Mathematik an: Nach Jahrhunderten vergeblichen Suchens entstand die Vermutung, daB diese Probleme vielleicht prinzipiell unlosbar sein konnten. So sahen

94

III. Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der Zahlk6rper

sich die Mathematiker veranlaBt, die Frage zu untersuchen: Wie kann man be-

weisen, dafJ gewisse Probleme nicht gelOst werden konnen?

In der Algebra war es das Problem der Auflosung von Gleichungen 5ten und hOheren Grades, das zu dieser neuen Art der Fragestellung fuhrte. Wabrend des 16. Jahrhunderts hatte man gelemt, algebraische Gleichungen dritten und vierten Grades durch Verfahren zu losen, die der elementaren Methode zur Auflosung quadratischer Gleichungen abnlich sind. AIle diese Methoden haben folgendes gemeinsam: Die LOsungen oder "Wurzeln" der Gleichung konnen als algebraische Ausdriicke geschrieben werden, die man aus den Koeffizienten der Gleichung durch eine Folge von Operationen erhalt, wovon jede entweder eine rationale Operation ist - Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division - oder die Ausziehung einer Quadratwurzel, Kubikwurzeloder vierten Wurzel. Man sagt, daB algebraische Gleichungen bis zum vierten Grade "durch Radikale" gelost werden konnen (radix ist das lateinische Wort fur Wurzel). Nichts schien natfirlicher, als dieses Verfahren auf Gleichungen 5ten und hOheren Grades auszudehnen, indem man Wurzeln hOherer Ordnung benutzte. Aber alle solchen Versuche miBlangen. Selbst bedeutende Mathematiker des 18. Jahrhunderts tauschten sich in dem Glauben, die LOsungen gefunden zu haben. Erst zu Anfang des 19. Jahrhunderts kamen der Italiener RUFFINI (1765-1822) und der Norweger N. H. ABEL (1802-1829) auf die damals revolutionare Idee, die Unmiiglichkeit der Losung der allgemeinen algebraischen Gleichung n-ten Grades durch Radikale zu beweisen. Man beachte, daB es nicht urn die Frage geht, ob eine be1iebige algebraische Gleichung LOsungen besitzt. Diese Tatsache wurde zuerst von GAUSS in seiner Doktorarbeit 1799 bewiesen. Es besteht also kein Zweifel an der Existenz der Wurzeln einer Gleichung; diese Wurzeln konnen sogar durch geeignete Rechenverfahren bis zu jeder gewfinschten Genauigkeit bestimmt werden. Die wichtige Technik der numerischen Auflosung von Gleichungen ist seit alters her entwickelt. Das Problem von ABEL und RUFFINI ist jedoch ein ganz anderes: UBt sich die LOsung allein durch rationale OPerationen und Radikale bewerkstelligen? Der Wunsch, fiber diese Frage volle Klarheit zu gewinnen, inspirierte die groBartige Entwicklung der modemen Algebra und Gruppentheorie, die von RUFFINI, ABEL und GALOIS (1811-1832) eingeleitet wurde. Die Frage nach dem Beweis der Unmoglichkeit gewisser geometrischer Konstruktionen f1ihrt zu einem der einfachsten Beispiele ffir diese Fragestellung in der Algebra. Mit Hilfe von algebraischen Begriffen werden wir in diesem Kapitel imstande sein, die Unmoglichkeit der Dreiteilung des Winkels, der Konstruktion des regularen Siebenecks und der Verdoppelung des Wfirfels zu beweisen. (Das Problem der Quadratur des Kreises ist sehr viel schwieriger zu bewaltigen; siehe S. 112f.) Unser Ausgangspunkt wird nicht so sehr die negative Frage der Unmoglichkeit gewisser Konstruktionen sein, als vie1mehr die positive Frage: Wie konnen alle konstruierbaren Probleme vollstandig charakterisiert werden? Nachdem wir diese Frage beantwortet haben, werden wir leicht zeigen konnen, daB die oben genannten Probleme auBerhalb dieser Kategorie liegen. 1m Alter von 19 J ahren untersuchte GAUSS die Konstruierbarkeit der regelmaBigen p-Ecke, wenn peine Prirnzahl ist. Die Konstruktion war damals nur ffir p = 3 und P = 5 bekannt. GAUSS entdeckte, daB das rege1maBige P-Eck dann und nur dann konstruierbar ist, wenn peine "Fermatsche" Prirnzahl p = 21"+ 1

1. Rationale Operationen und Quadratwurzeln

95

ist. Die ersten Fermatschen Zahlen sind 3,5, 17, 257, 65537 (siehe S. 21). Von dieser Entdeckung war der junge GAUSS so iiberwaItigt, daB er seine Absicht, Philologe zu werden, aufgab und beschloB, sein Leben der Mathematik und ihren Anwendungen zu widmen. Er hat auf diese erste seiner groBen Leistungen immer mit besonderem Stolz zurUckgeblickt. Nach seinem Tode wurde in Braunschweig ein Bronzestandbild von ihm errichtet, und es hlitte keine passendere Ehrung ersonnen werden konnen, als dem Sockel die Form eines regelmaBigen 17-Ecks zu geben. Bei der Beschliftigung mit geometrischen Konstruktionen darf man nie vergessen, daB das Problem nicht darin besteht, Figuren praktisch mit einem gewissen Genauigkeitsgrad zu zeichnen, sondem darin, ob die genaue LOsung theoretisch mit Zirkel und Lineal allein gefunden werden kann. Was GAUSS bewies, ist, daB seine Konstruktionen im Prinzip durchfiihrbar sind. Die Theorie betrifft nicht den einfachsten Weg, solche Konstruktionen tatsachlich auszufiihren, oder die Kunstgriffe, mit denen sie vereinfacht und die Zahl der notigen Schritte verrringert werden kann. Das ist eine Frage von sehr viel geringerer theoretischer Bedeutung. Vom praktischen Standpunkt aus wiirde keine solche Konstruktion ein ebenso befriedigendes Ergebnis liefem, wie man es mit Hilfe eines guten Winkelmessers erzielen konnte. Trotzdem tauchen immer wieder "Winkeldreiteiler" und "Kreisquadrierer" auf, die den theoretischen Charakter der Konstruierbarkeitsfragen nicht verstehen und sich weigem,langst geklarte wissenschaftliche Tatsachen zur Kenntnis zu nehmen. Diejenigen Leser, die in der Lage sind, elementare Mathematik zu verstehen, diirften von der Lektiire des vorliegenden Kapitels einigen Nutzen ziehen. Es solI nochmals betont werden, daB in mancher Hinsicht unser Begriff der geometrischen Konstruktion etwas kiinstlich ist. Zirkel und Lineal sind gewill die einfachsten Hilfsmittel zum Zeichnen, aber die Beschrankung auf diese Instrumente gehort keineswegs zum Wesen der Geometrie. Wie die griechischen Mathematiker schon vor langer Zeit erkannten, konnen gewisse Probleme - z. B. das der Verdoppelung des Wiirfels - gelost werden, wenn z. B. die Benutzung eines Lineals in Form eines rechten Winkels zugelassen wird; ebenso leicht ist es, andere Instrumente als den Zirkel zu erfinden, mit denen Ellipsen, Hyperbeln und noch kompliziertere Kurven gezeichnet werden konnen und deren Benutzung das Gebiet der konstruierbaren Figuren wesentlich erweitert. In den folgenden Abschnitten werden wir jedoch an der Tradition geometrischer Konstruktionen nur mit Zirkel und Lineal festhalten.

I. Teil

Unmoglichkeitsbeweise und Algebra § 1. Grundlegende geometrische Konstruktionen 1. Rationale Operationen und Quadratwurzeln

Urn unsere allgemeinen Vorstellungen zu klaren, wollen wir mit der Untersuchung einiger klassischer Konstruktionen beginnen. Der Schliissel zu einem tieferen Verstandnis liegt in der Dbersetzung der geometrischen Probleme in die Sprache der Algebra. Jedes geometrische Konstruktionsproblem ist von folgendem Typus: Eine Reihe von Strecken a, b, c, . .. ist gegeben und eine oder mehrere

96

III. Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der ZahlkClrper

andere Strecken x, y, ... sind gesucht. Es ist stets moglich, Probleme in dieser Weise zu formulieren, wenn sie auch auf den ersten Blick ein ganz anderes Aussehen haben. Die gesuchten Strecken konnen a1s Seiten eines zu konstruierenden Dreiecks auftreten oder a1s Radien von Kreisen oder als die rechtwinkligen Koordinaten gewisser Punkte (siehe z. B. S. 110). Der Einfachheit halber wollen wir annehmen, daB nur eine Strecke x gesucht ist. Die geometrische Konstruktion Uiuft dann darauf hinaus, ein algebraisches Problem zu losen: Zuerst miissen wir eine Beziehung (eine Gleichung) zwischen der gesuchten GroBe x und den gegebenen GroBen a, b, c, . .. herstel1en; dann miissen wir die unbekannte GroBe x bestimmen, indem wir diese Gleichung losen, und schlieBlich miissen wir untersuchen, ob sich diese Losung durch solche algebraischen Operationen gewinnen Hillt, die Konstruktionen mit Zirkel und Lineal entsprechen. Der ganzen Theorie liegt das Prinzip der analytischen Geometrie zugrunde, namIich die quantitative Kennzeichnung geometrischer Objekte durch reel1e Zahlen, gestiitzt auf die Einfiihrung des reel1en Zahlenkontinuums. Zuerst bemerken wir, daB einige der einfachsten algebraischen Operationen elementaren geometrischen Konstruktionen entsprechen. Sind zwei Strecken mit den Langen a und b (gemessen durch eine gegebene "Einheitsstrecke") gegeben, so ist es sehr leicht, a + b, a - b, 'I'a (worin l' eine beliebige rationale Zahl ist), alb und a b zu konstruieren. Urn a + b zu konstruieren (Fig. 27), ziehen wir eine gerade Linie und tragen darauf mit dem Zirkel die Entfernung OA = a und AB = b abo Dann ist OB = a + b. Fiir a - b tragen wir ebenso OA = a und A B = b ab, aber jetzt A B in der OA entgegengesetzten Richtung. Dann ist OB = a-b. Urn 3a zu konstruieren, addieren wir einfach a + a + a; wir konnen ebenso p a konstruieren, wenn p eine ganze Zahl ist. a/3 konstruieren wir nach folgender Methode (Fig. 28): wir

ot=a:59

B

°E_uta

Fig. '1:1. KoostruktioD VOIIII + b unci 11- b

~-~---~A I-----a--~

Fig. 28. KODStruktion VOII 11/3

tragen OA = a auf einer Geraden ab und ziehen eine beliebige zweite Gerade durch O. Auf dieser Geraden tragen wir eine beliebige Strecke OC = c ab und konstruieren OD = 3c. Wir verbinden A und D und ziehen durch C eine Parallele zu AD, die OA in B schneidet. Die Dreiecke OBC und OAD sind iihnlich; daher ist OB/a = OB/OA = OC/OD = 1/3 und OB = a/3. In derselben Weise konnen wir a/q konstruieren, wenn q eine natiirliche Zahl ist. Indem wir dieses Verfahren auf die Strecke pa anwenden, konnen wir demnach 'I'a konstruieren, worin l' = p/q eine beliebige rationale Zahl ist. Urn alb zu konstruieren (Fig. 29), tragen wir OB = b und OA = a auf den Scheultdn eines Winkels in 0 ab und auBerdem auf 0 B die Strecke OD = 1. Durch D ziehen wir dann eine Parallele zu A B, die OA in C trifft. Dann hat OC die Lange a/b. Die Konstruktion von ab gebt aus Fig. 30 hervor, in der AD eine Parallele zu BC durch A ist.

97

2. RegelmiBige Vielecke

Aus diesen Vbedegungen folgt, daB die "rationalen" algebraischen OPerationenAddition, Subtraktion, Multiplikation und Division bekannter GroBen - durch geometrische Konstruktionen ausgefuhrt werden kiinnen. Aus beliebigen gegebenen Strecken, die qurch reelle Zahlen a, b, c, ... gemessen werden, konnen wir durch sukzessive Anwendung dieser einfachen Konstruktionen jede beliebige GroBe konstruieren, die sich rational durch die a, b, c, ... ausdriicken Hi.Bt, d. h. also durch

Fig. 29. Koostruktion von alb

Fig. 30. Koostruktion von ab

wiederholte Anwendung von Addition, .Subtraktion, Multiplikation und Division. Die Gesamtheit aller GroBen, die auf diese Weise aus a, b, c, ... gewonnen werden konnen, bilden einen sogenannten Zahlkorper, d. h. eine Menge von Zahlen mit der Eigenschaft, daB beliebige rationale Operationen, auf zwei oder mehrere Elemente der Menge angewandt, wieder eine zur Menge gehOrige Zahlliefem. Wir erinnem uns, daB die rationalen Zahlen, die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen solche Korper bilden. 1m vorliegenden Fall sagt man, daB der Korper durch die gegebenen Zahlen a, b, c, ... erzeugt wird. Die entscheidende neue Konstruktion, die uns iiber den erhaltenen Korper hinausfiihrt, ist das Ausziehen der Quadratwurzel: Wenn eine Strecke a gegeben ist, so kann ebenfalls mit Zirkel und Lineal t: allein konstruiert werden. Auf einer Geraden tragen wir OA = a und AB = 1 ab (Fig. 31). Wir scblagen einen Kreis mit 0 B als Durchmesser und errichten im Punkte A das Lot aufOB, das den Kreis in C schneidet. Das Dreieck OBC hat bei C einen rechten Winkel, nach dem Satz der a 1 elementaren Geometrie, der besagt, daB der Fig. 31. KODStruktioD von einem Halbkreis einbeschriebene Winkel ein rechter Winkel ist. Folglich ist .LOCA = .LABC, die rechtwinkligen Dreiecke OAC und CAB sind ahnlich, und fiir x = AC haben wir

Va

v.

x=Va· 2. RegelmiUSige Vielecke Wir wollen nun einige etwas kompliziertere Konstruktionsprobleme betrachten. Wir beginnen mit dem regul1i.ren Zehneck. Nehmen wir an, ein regulares Zehneck sei einem Kreis mit dem Radius 1 einbeschrieben (Fig. 32), und nennen wir seine Seite x. Da x einem Winkel von 36° im Kreismittelpunkt gegeniiberliegt, werden die beiden anderen Winkel des Dreiecks OAB jeder gleich 72° sein, und daher zedegt die punktierte Linie, die den Winkel A halbiert, das Dreieck OAB Courant u. Robbins, Matbematik

7

98

III. Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der Zahlkiirper

in zwei gleichschenklige Dreiecke, beide mit der SchenkelHmge x. Demnach wird der Radius des Kreises in zwei Abschnitte x und 1 - x geteilt. Da OAB dem kleineren gleichschenkligen Dreieck iihnlich ist, haben wir IJx = xl(1 - x). Aus dieser Proportion ergibt sich die quadratische Gleichung x 2 + x-I = 0 mit der Losung x = (VS - 1)/2 ist. (Die zweite Losung der Gleichung ist negativ.) Rieraus ist klar, daB x geometrisch konstruierbar ist. Raben wir die Lange x, so konnen wir das regulare Zehneck konstruieren, indem wir die Lange zehnmal als Sehne auf dem Kreis abtragen. Das regelmaBige Fiinfeck kann dann konstruiert werden, indem man jede zweite von den Ecken des regelmaBigen Zehnecks verbindet.

A ~--"*----hrlB

Fig. 32. Das regulAre Zehneck

Fig. 33. Das regulAre Sechseck

Fig. 34

ys

YS-

Anstatt nach der Methode der Fig. 31 zu konstruieren, kiinnen wir auch als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten 1 und 2 erhalten. Wir bekommen dann x, indem wir von die Einheitslange subtrahieren und den Rest halbieren.

Vs

Das Verhaltnis OB: AB des eben behandelten Problems wird der "goldene Schnitt" genannt, weil die griechischen Mathematiker ein Rechteck, dessen Seiten in diesem Verhaltnis stehen, asthetisch fur besonders gefallig hielten. Der Wert des Verhaltnisses ist etwa 1,62. Von allen regularen Vielecken ist das Sechseck am leichtesten zu konstruieren. Wir gehen von einem Kreis mit dem Radius r aus; die Seitenlange eines diesem Kreis einbeschriebenen regularen Sechsecks ist dann gleich r. Das Sechseck selbst kann konstruiert werden, indem man yon einem beliebigen Punkt des Kreises aus nacheinander Sehnen von der Lange r abtragt, bis alle sechs Ecken gefunden sind. Aus dem regularen n-Eck konnen wir das regulare 2n-Eck erhalten, indem wir die Bogen halbieren, weIche die einzelnen Seiten des n-Ecks auf dem umbeschriebenen Kreis abschneiden, und die so gefundenen zusatzlichen Punkte zusammen mit den urspriinglichen Ecken zu Ecken des 2n-Ecks machen. Ausgehend von dem Durchmesser eines Kreises (einem ,,2-Eck") konnen wir demnach das 4-,8-, 16-, ... , 2f1 -Eck konstruieren. Ebenso konnen wir das 12-,24-, 48-Eck usw. aus dem Sechseck und das 20-, 40-Eck usw. aus dem Zehneck erhalten. Wenn s" die SeitenHinge des dem Einheitskreis (Kreis mit dem Radius 1) einbeschriebenen n-Ecks bedeutet, dann hat die Seite des 2n-Ecks die Lange

s...

V

s! .

= 2 - V4 Dies laBt sich wie folgt beweisen: In Fig. 34 ist s. gleich DE = 2DC, Ss. gleich DB und AB gleich 2. Der Fllicheninhalt des rechtwinkligen Dreiecks ABD ist 1/2 BD· AD und zugleich 1/2AB·CD. Da nun AD=VABI-DBI, so finden wir durch Einsetzen von AB=2, BD = s.,,' CD = II. s" und Gleichsetzen der beiden Ausdriicke fUr den Flacheninhalt:

s. s.,. V s:..

s! s:.

s:.) .

= 4oder = (4 LOst man diese quadratische Gleichung fur x = s:" und beachtet, daB x kleiner als 2 sein muB, so findet man leicht die oben angegebene Forme!.

99

3. Das Problem des APOLLONIUS Aus dieser Formel und der Tatsache, daB 5,=

5,

(die Seite des Quadrats) gleich

V2 ist, folgt

ll2 - V2, 511= Y2-V 2+V2, = Y2-Y2+V2+V2, usw. 5st

Als allgemeine Formel erhalten wir fur n 5 ...

>

2

= Y2- y2+Y2 + ... +V2

mit n -1 ineinandergeschachtelten Quadratwurzeln. Der Umfang des 2"-Ecks im Einheitskreis ist 2"5.". Wenn n gegen unendlich strebt, strebt das 2"-Eck gegen den Kreis. Daher nallert sich 2"s.. dem Umfang des Einheitskreises, der nach Definition gleich ist. So erhalten wir, indem wir m ffir n - 1 schreiben und einen Faktor 2 herausheben, eine Grenzwertformel fur :II:

2:11

2-Y2- y2+~2+"'+~ -+-:11,

wenn m -+-

00 ,

m Quadratwurzeln Obung: A1s Folgerung beweise man (mit Hille von 2'" ~

Y2+Y2 + ... +V2. -+-2,

00),

daB

wenn n

~

00.

n Quadratwurzeln

Die gefundenen Resultate zeigen die folgende charakteristische Tatsache: Die Seiten des 2f1 -Eeks, des 5, 2f1-Eeks und des 3· 2f1 -Eeks kiinnen alle du,eh blope Addition, Subt,aktion, Multiplikation, Division und A usziehen von Quad,atwu,zeln gefunden werden.

·3. Das Problem des APoLLoNlUs Ein weiteres Konstroktionsproblem, das in algebraischer Betrachtungsweise ganz einfach wird, ist das schon erwiihnte beriihmte BeIiihrungsproblem des APOLLONIUS. 1m vorliegenden Zusammenhang brauchen wir uns nicht darum zu bemilhen, eine besonders elegante Konstruktion zu finden. Es kommt hier darauf an, daB das Problem prinzipiell !nit Zirkel und Lineal allein losbar ist. Wir werden eine kurze Andeutung des Beweises geben und die Frage nach einer eleganteren Konstruktionsmethode auf S. 127 verschieben. Die drei gegebenen Kreise mogen die Mittelpunkte (XI'YI)' (XII'YII). (oXa,Ya) und die Radien 'I' 'a' bZW"3 haben. Wir bezeichnen Mittelpunkt und Radius des gesuchten Kreises !nit (x, y) und ,. Dann erhalt man die Bedingung dafIir, daB der gesuchte Kreis die drei gegebenen Kreise berilhrt, indem man beachtet, daB der Abstand zwischen den Mittelpunkten zweier sich berilhrender Kreise gleich der Summe oder Differenz ihrer Radien ist, je nachdem, ob sich die Kreise von auBen oder von innen berilhren. Dies liefert die Gleichungen

(1)

(x - XI)2+ (y - YI)2_ (1' ± 'Ir'= O.

(2)

(x - X2)2+ (y - Ya)2- (1' ± '2)2= 0,

(3)

(x - xa)lI+ (y - Ya)2- (1'

± 1'3)2= 0

oder

{I a}

X2+ y2_ 1'2- 2xxl - 2YYI =t= 21'1'1+ x¥ + Y¥ - 1'¥ = 0, 7*

100

III. Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der Zahlkorper

usw. In jeder dieser Gleichungen ist das obere oder untere Zeichen zu wahlen, je nachdem, ob die Kreise sich auBerlich oder innerlich beruhren soilen (siehe Fig. 35). Die Gleichungen (1), (2), (3) sind drei quadratische Gleichungen in den drei Unbekannten x, y, 1'mit der besonderen Eigenschaft, daB die Glieder zweiten Grades in allen drei Gleichungen dieselben sind, wie man an der ausmultiplizierten Form

Fig. 35. Apollonische Kreise

(Ia) sieht. Durch Subtraktion der Gleichung (2) von (1) erhalten wir daher eine lineare Gleichung in x, y, 1': ax + by + C1' = d, (4) worin a = 2(X2- Xl)' usw. Subtraktion der Gleichung (3) von (1) ergibt ebenso eine zweite lineare Gleichung (5)

a' X

+ b'y + C'1' =

d' .

LOst man (4) und (5) nach X und y, ausgedriickt durch 1', auf und setzt man das Ergebnis in (I) ein, so erMlt man eine quadratische Gleichung fur 1', die sich durch rationale Operationen und Ausziehen von Quadratwurzeln losen laBt (siehe S.73). 1m allgemeinen wird es zwei Losungen dieser Gleichung geben, von denen nur eine positiv sein wird. Haben wir l' aus dieser Gleichung gefunden, so erhalten wir x und yaus den beiden linearen Gleichungen (4) und (5). Der Kreis urn den Punkt (x, y) mit dem Radius l' wird dann die drei gegebenen Kreise beruhren. Fur das ganze Verfahren sind nur rationale Operationen und Quadratwurzeln benutzt worden. Daraus folgt, daB 1', x und y allein mit Zirkel und Lineal konstruiert werden konnen. 1m allgemeinen wird es acht Losungen des Problems von ApOLLONIUS geben, entsprechend den 2 . 2 . 2 = 8 moglichen Kombinationen der + und - Zeichen in den Gleichungen (1), (2) und (3). Diese Moglichkeiten entsprechen der Bedingung, daB die gesuchten Kreise jeden der drei gegebenen Kreise von auBen

1. Allgemeine Theorie

101

oder von innen beriihren diirfen. Es kann vorkommen, daB unser algebraisches Verfahren keine reellen Werte fiir x, y und r liefert. Das wird zum Beispiel zutreffen, wenn die drei gegebenen Kreise konzentrisch sind, so daB es keine LOsung fiir das geometrische Problem gibt. Andrerseits konnen wir "Entartungen" der Losung erwarten, wenn zum Beispiel die drei gegebenen Kreise in drei Punkte auf einer Geraden entarten. Dann entartet der Kreis des ApOLLONIUS in diese Gerade. Wir wollen diese Moglichkeiten nicht im einze1nen diskutieren; der Leser mit einiger 'Obung in algebraischen Problemen wird in der Lage sein, die Untersuchung selbst durchzufiihren.

* § 2. Konstruierbare Zahlen und Zahlkorper 1. Allgemeine Theorie Die bisherige Diskussion beleuchtet die allgemeine algebraische Grundlage geometrischer Konstruktionen. J ede Konstruktion mit Zirkel und Lineal besteht aus einer Aufeinanderfolge von Schritten, deren jeder von einer der folgenden vier Arten ist: 1. Verbinden zweier Punkte durch eine Gerade, 2. Bestimmen des Schnittpunktes zweier Geraden, 3. Schlagen eines Kreises mit gegebenem Radius um einen Punkt, 4. Bestimmen des Schnittpunktes eines Kreises mit einem anderen Kreis oder einer Geraden. Jedes Element (Punkt, Gerade oder Kreis) gilt a1s bekannt, wenn es entweder von vomherein gegeben war oder in einem vorangegangenen Schritt konstruiert worden ist. Fiir die theoretische Untersuchung beziehen wir die ganze Konstruktion auf ein Koordinatensystem x, y (siehe S. 59). Die gegebenen Elemente sind dann Punkte oder Strecken in der x, y-Ebene. Wenn zu Beginn nur eine Strecke gegeben ist, konnen wir ihre Lange als Einheitslange wahlen, womit der Punkt x = l,y = 0 festgelegt ist. Zuweilen kommen "willkiirliche" oder "beliebige" Elemente vor: beliebige Geraden werden gezogen, beliebige Punkte oder Radien gewahlt. (Ein Beispiel eines solchen willkiirlichen Elements kommt bei der Konstruktion des Mittelpunktes einer Strecke vor: Wir schlagen zwei Kreise von gleichem aber beliebigem Radius von jedem Endpunkt der Strecke aus und verbinden ihre beiden Schnittpunkte.) In solchen Fa.nen kOnnen wir das betreffende Element rational wiihlen, d. h. willkiirliche Punkte konnen mit rationalen Koordinaten x, y, willkiirliche Geraden ax + by + c = 0 mit rationalen Koeffizienten a, b, c, willkiirliche Kreise mit rationalen MittelPunkten und rationalen Radien gewiihlt werden. Wir werden durchweg die willkiirlichen Elemente in dieser Weise rational wiihlen; wenn die Elemente wirklich "willkiirlich" sind, kann diese Beschrankung das Ergebnis einer Konstruktion nicht beeinflussen. Der Einfachheit halber werden wir im folgenden annehmen, daB zu Anfang nur ein Element, die Einheitslange, gegeben ist. Dann konnen wir nach § 1 mit Zirkel und Lineal aIle Zahlen konstruieren, die aus der Einheit durch die rationalen Prozesse der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division gewonnen werden konnen, d. h. aIle rationalen Zahlen r/s, wobei r und s ganze Zahlen sind. Das System der rationalen Zahlen ist "abgeschlossen" in bezug auf die rationalen Operationen, daB heiBt: Summe, Differenz, Produkt und Quotient zweier beliebiger rationaler Zahlen - wobei die Division durch Null wie immer ausgeschlossen ist - sind wieder rationale Zahlen. Jede Menge von Zahlen, die diese Eigenschaft der Abgeschlossenheit in bezug auf die vier rationalen Operationen besitzt, wird ein Zahlkiirper genannt.

102

III. Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der Zahlkorper

tJbung: Es soil gezeigt werden, daB jeder Korper mindestens aile rationalen Zahlen enthlUt. (Anleitung: Wenn a =1= 0 eine Zahl des KOrpers Fist, so gehOrt auch a/a = 1 zu F, und aus lliiBt sich jede rationale Zahl durch rationale Operationen erhalten.)

Von der Einheit ausgehend, konnen wir also den ganzen rationalen Zahlkorper konstruieren und daher alle rationalen Punkte der x, y-Ebene (d. h. Punkte, deren Koordinaten beide rational sind). Wir konnen neue, irrationale Zahlen erhalten, konstruieren, die nach Kapitel II, wenn wir mit Hilfe des Zirkels z. B. die Zahl § 2 nicht zum Korper der rationalen Zahlen gehort. Haben wir y'2 konstruiert, so konnen wir mit Hille der "rationalen" Konstruktionen des § 1 alle Zahlen der Form

V2

(1) finden, worin a und b rational und daher selhst konstruierbar sind. Wir konnen femer alle Zahlen der Form ::

;~

oder (a

+ b y'2)(e + d y2)

konstruieren, worin a, b, e, d rational sind. Diese Zahlen lassen sich indessen alle in der Form (1) schreiben. Denn wir haben a + by'2 _ a + by'2 c-dy'2 c + dy'2 - c + dV2 • c _ dy'2

=

ac-2bd cl

-

241

+

be-ad 11ii cl

-

241 y 2

1

Iii

= P+ q y 2 ,

worin Pund q rational sind. (Der Nenner ell - 2dl1 kann nicht Null sein, denn ware cI- 2d2 = 0, so muSte y'2 = eld sein, im Widerspruch zu der Tatsache, daB irrational ist.) Ebenso ist

V2

(a + b y'2) (e + d y'2) = (ae + 2bd) + (be + ad)

y'2 = l' + s y'2,

worin ,. und s rational sind. Demnach gehort alles, was wir durch die Konstruktion von y'2 erhalten konnen, zu der Menge der Zahlen von der Form (1) mit beliebigen rationalen Zahlen a, b. tJbung: Die Zahlen

p

q , p + p , (p mit p

= 1 + V2, q = 2 -

1

1 q pqr p + qr p ) -;-, 1 + rl , q + prt

Jl2, r = -3 + V2 sind in der Form (1) darzustellen.

Diese Zahlen (1) bilden wieder einen Korper, wie die vorstehende Erorterung zeigt. (DaB 5umme und Differenz zweier Zahlen der Form (1) ehenfalls von der Form (1) sind, ist klar.) Dieser Korper ist groDer als der Korper der rationalen Zahlen, der ein Teil oder ein Unterkiirper von ihm ist. Aber er ist natiirlich kleiner als der Korper alter reellen Zahlen. Wir wollen den rationalen Zahlkorper Ko und den neuen Korper der Zahlen von der Form (1) Kl nennen. Die Konstruierbarkeit aller Zahlen des erweiterten Korpers Kl haben wir schon festgestellt. Wir konnen nun die "Reichweite" unserer Konstruktion weiter ausdehnen. indem wir z. B. eine Zahl von K 1• sagen wir k = 1 + y'2, nehmen und daraus die Quadratwurzel ziehen. so daB wir die konstruierbare Zahl

Jfl+V2=V/i erhalten. 50 kommen wir gemaB § 1 zu dem Korper. der aus allen Zahlen (2)

p + qV/i

103

1. Allgemeine Theorie

besteht, worin p und q jetzt be1iebige Zahlen von K l , d. h. von der Form a + b sind, und a, b zu Ko gehOren, d. h. rational sind.

+*

tJbung~n: Man stelle

k + (Vk)1 v'" , I+Vk ' V2V (Vh)I-3

( 11k'S

]

(1

+ Vk) (2 -

Vk>

(V2 +

V2

*)

1 +V2 h in der Form (2) dar. Alle diese Zahlen sind unter der Annahme konstruiert, daB zu Beginn nur eine Strecke gegeben ist. Wenn zwei Strecken gegeben sind, kOnnen wir eine davon als EinheitsUi.nge wiihlen. In dieser Einheit gemessen, mOge die lAnge der anderen Strecke a. sein. Dann kOnnen wir den KOrper L konstruieren, der aus allen Zahlen der Form

a",a.'" + a",_1a... -1+ ... +1IJa. + ao b.a." + b._1a.,,-1 + ... + b1a. + bo

besteht, worin die Zahlen "0, •.. , a", und bo, ••• , bIt rational sind und m, n beliebige positive ganze Zahlen. tJbung: Wenn zwei Strecken von den Langen 1 und a. gegeben sind, sollen geometrische Konstruktionen fur 1 + a. + a.1, (1 + a.)/(1 - a.), a.. angegeben werden.

Nun wollen wir die etwas allgemeinere Annahme machen, daB wir alle Zahlen eines gewissen Zahlkorpers K konstruieren konnen. Wir werden zeigen, daB wir mit dem Lineal allein niemals uber den Korper K hinaus kommen kiinnen. Die Gleichung der Geraden durch zwei Punkte, deren Koordinaten aI' bl und ai' bl zu K gehOren, ist (bl - b.) x + (a.- aJy + (~bB- a.bl ) = 0 (siehe S.337). Ihre Koeffizienten sind rationale Ausdriicke aus Zahlen von K und gehOren daher, nach der Definition eines Korpers, selbst zu K. Haben wir femer zwei Geraden, «x+ {Jy - y = 0 und a.'x + {J'y - y'= 0, deren Koeffizienten zu K gehOren, so sind die Koordinaten ihres Schnittpunktes, die man durch Losen dieser beiden

"

"p' - p,,'

a.,,' - "a.'

.

slmultanen GleIchungen findet, x = a.-a. p' p" y = a.-a. p' p,. Da diese ebenfalls Zahlen aus K sind, so ist klar, daB die Benutzung des Lineals allein uns nicht aus dem Zahlkorper K hinausfiihren kann. Obungm: Die Geraden x + y"2" y - 1 = 0, 2 x - Y + Y"2 = 0 haben Koeffizienten im

KOrper (I). Man berechne die Koordinaten ihres Schnittpunktes und bestll.tige, daB sie die Form (1) haben. - Man verbinde die Punkte (I, y"2) und (2,1- V"2) durch eine Gerade ax by e = 0 und bestll.tige, daB deren Koeffizienten von der Form (I) sind. Man zeige + V2x + y"2y = 1, (I + y"2) / 1 ( - y = dasselbe in bezug auf den KOrper (2) fUr die Geraden

+ +

1-

VI

VI + Y"2 und die Punkte (V2, - I), (I + V2. VI + V2) .

Wir konnen aus dem Korper K nur hinausge1angen, wenn wir den Zirkel benutzen. Zu diesem Zweck wahlen wir ein Element k von K derart, daB nicht zu K gehOrt. Dann konnen wir konstruieren und damit alle Zahlen

Vk

Vk

(3)

a + b y'k,

worin a und b rationale oder auch nur be1iebige Elemente von K sind. Die Summe und die Differenz zweier Zahlen a + b y'k und e + d y7i, ihr Produkt (a + b y'k) (e + d y'k) = (ae + kbd) + (ad + be) y'k und ihr Quotient a e

+ bVk = + tlVh

(a

+ bVk) (c -

el-HI

tlVk) = ac - hbtl et-HI

be - atl

+ el-htll

l'li V~

sind wieder von der Formp + q y'k mitp und q aus K. (Der Nenner el

-

kdl kann

104

III. Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der Zahlkorper

Vi

nicht verschwinden, auBer wenn e und d beide Null sind; denn sonst ware = eld eine Zahl aus K, im Widerspruch zu der Annahme, daB nicht zu K gehOrt.) Daher bildet die Menge der Zahlen von der Form a + b einen Zahlkorper K'. Der Korper K' enthaIt den urspriingIichen Korper K, denn wir konnen insbesondere b = 0 wahlen. K' wird ein ErweiterungskOrper von K und K ein Unterkorper von K' genannt. Zum Beispiel sei K der Korper der Zahlen der Form a + b y'2 mit rationalem a und b, und wir nehmen k = y'2. Dann werden die Zahlen des erweiterten dargeste1lt, wobei p und q zu K gehOren, Korpers K' durch p + q p = a + b y'2, q = a' + b' mit rationalen a, b, a', b'. Jede Zahl aus K' kann auf diese Form zurfickgef1ihrt werden; zum Beispiel

Vi VIi

V2 V2.

1

v'2 +

W

W

y'2 (y'2 + W)(y'2 y'2 2-y'2

W)

W =

2-y'2

= (1 + y'2) - (1 + ~ tJbung: Es sei K der Korper

V2

p+ q

y'2 2 - y'2

v'2(2 + y'2) _ (2 + y'2) 4-2

4-2

t'2 V~

V2) V2.

V2 + Vi, worin p und q von der Form a + b Vi und

• al'dMan' a. b ration sm. bringe 1+l"'2+V2 1~ au f diese Form. 2- 3 r 2 +V2

Wir haben gesehen: wenn wir vonirgendeinem Korper K konstruierbarer Zahlen ausgehen, der die Zahl k enthaIt, dann konnen wir stets durch Benutzung konstruieren des Lineals und einer einzigen Anwendung des Zirkels die Zahl und folgIich auch jede Zahl der Form a + b worin a und b'zu K gehOren. Wir zeigen jetzt umgekehrt, daB wir durch eine einzige Anwendung des Zirkels nur Zahlen von dieser Form erhalten konnen. Denn die Leistung des Zirkels bei einer Konstruktion ist, Punkte (oder ihre Koordinaten) als Schnittpunkte eines Kreises mit einer Geraden oder von zwei Kreisen zu bestimmen. Ein Kreis mit dem Mittelpunkt E,7J und dem Radius r hat die Gleichung (x - E)I+ (y - 7J)B= rl; daher kann, wenn E, 7J und r zu K gehOren, die Gleichung des Kreises in der Form

Vk.

VIi

x 2 + yll+ 2cu+ 2Py+" = 0 geschrieben werden, mit Koeffizienten

01:,

p, " aus K. Eine Gerade

ax+by+e=O, die zwei Punkte mit Koordinaten aus K verbindet, hat Koeffizienten a, b, e, die ebenfalls zu K gehOren, wie wir auf S. 103 sahen. Indem wir y aus diesen simultanen Gleichungen eIiminieren, erhalten wir ffir die x-Koordinate eines Schnittpunktes von Kreis und Gerade eine quadratische Gleichung der Form

AXIl+ Bx+ C= 0 mit KoeffizientenA, B, C ausK (ausflihrIich: A = a B+ bl , B C = ell - 2be p + b",,). Die LOsung ist durch die Formel X=

-B ±VBI-4AC 2A

= 2 (ae + biOI: - abp)

105

1. Allgemeine Theorie

VI,

gegeben, also von der Form p + q wobei p, q, k zu K gehOren. Eine entsprechende Formel ergibt sieh fur die y-Koordinate des Schnittpunktes. Haben wir zwei Kreise:

X2+ y2+ 2a:x + 2py + I'

=

0,

X2+ y2+ 2a:'x + 2P'y + 1" = 0, so erhalten wir durch Subtraktion der zweiten Gleiehung von der ersten die lineare Gleiehung 2 (a: - a:')x + 2(P - P')y + (I' - 1") = 0, die man zusammen mit der Gleichung des ersten Kreises wie oben lOsen kann. In beiden FaIlen Iiefert die Konstruktion die x- und y- Koordinaten entweder eines oder zweier neuer Punkte, und diese neuen GroBen sind von der Form p + q mit p, q, k aus K. Insbesondere kann naturIich zu K gehOren, z. B. wenn k = 4. Dann liefert die Konstruktion niehts wesentlich Neues, und wir bleiben in K. 1m allgemeinen wird dies aber nieht der Fall sein.

VI

Vk

Vi

Obungen: Gegeben ist der Kreis mit dem Radius 2 um den Ursprung und die Gerade, die die Punkte (1/2, 0) und (4 Vi, Vi) verbindet. Es soil der Korper K' ermittelt werden, der durch die Koordinaten der Schnittpunkte von Kreis und Gerade bestimmt ist. Dasselbe fiir die Schnittpunkte des gegebenen Kreises mit dem Kreise vom Radius V2/2 um den Punkt

(0,2 V"2).

Fassen wir zusammen: Wenn zu Anfang gewisse GroBen gegeben sind, so konnen wir mit dem Lineal allein alle GroBen eines Korpers K konstruieren, der durch rationale Operationen aus den gegebenen GroBen entsteht. Es wird dabei allerdings angenommen, daB man mit dem Lineal auch beIiebige Strecken abmessen und auf anderen Geraden abtragen, also die Konstruktionen Fig. 27-30 ausfiihren kann. Benutzen wir den Zirkel, so konnen wir von dem Korper K der konstruierbaren GroBen zu einem erweiterten Korper gelangen, indem wir eine beIiebige Zahl k aus K wahlen, aus ihr die Quadratwurzel ziehen und den Kotper K' konstruieren, der aus den Zahlen a + b besteht, worin a, b und k zu K gehOren. K heiBt ein Unterkorper von K' ; aIle GroBen von K sind auch in K' entdie GroBe b = 0 wiihlen konnen. (Dabei halten, da wir in dem Ausdruck a + b wird angenommen, daB eine neue Zahl ist, die nieht in K enthalten ist, da andemzu niehts Neuem flihren wlirde und K' mit K idenfalls das Hinzufugen von tisch ware.) Wir haben gezeigt, daB jeder Schritt einer geometrischen Konstruktion (Verbinden zweier bekannter Punkte, Schlagen eines Kreises mit bekanntem Mittelpunkt und Radius oder Aufsuchen des Schnittpunktes zweier bekannter Geraden oder Kreise) entweder nur GroBen des Korpers liefert, von dem wir schon wissen, daB er aus konstruierbaren Zahlen besteht oder durch Konstruktion einer Quadratwurzel auf einen neuen erweiterten Korper konstruierbarer Zahlen fuhrt. Die Gesamtheit alier konstruierbaren Zahlen kann jetzt exakt definiert werden. Wir gehen von einem gegebenen Korper Ko aus, der durch die jeweils zu Beginn gegebenen GroBen bestimmt ist, d. h. von dem Korper der rationalen Zahlen, falls nur eine einzige Strecke gegeben ist, die wir als Einheit wahlen. Sodann konstruieren wir durch Hinzufugen von k~, wobei ko, aber nieht VIi; zu Ko gehOrt, einen Erweiterungskorper Kl von konstruierbaren Zahlen, der aus allen Zahlen von der

VI

Vii

VI

Vii

V

106

III. Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der ZahlkOrper

Form a o+ bo Vk; besteht, wobei a ound bobe1iebige Zahlen aus Ko sind. Jetzt wird ein neuer Korper K a, Erweiterungskorper von K I , durch die Zahlen ~ + bl~ definiert, wobei ~ und bl beliebige Zahlen aus KI sind und kl eine Zahl aus K I, deren Quadratwurze1 nicht zu KI gehOrt. Indem wir dieses Verfahren wiederholen, kODUtten wir nach n Adjunktionen von Quadratwurzeln zu einem Korper K".

Konstruierbare Zahlen sind solehe und nur solehe, die durch eine derartige F olge von ErweiterungskOrpern "erreicht" werden kifnnen, das heipt, die zu einem KOrper K" der beschriebenen Art gehOren. Die Anzahl n der notwendigen Erweiterungen spie1t dabei keine Rolle; in gewissem Sinne ist sie ein MaB fur die Kompliziertbeit des Problems. Das folgende Beispiel moge das Verfahren verdeutlichen. Wir wiinschen die Zahl

zu erreichen. Ko moge den rationalen Korper bedeuten. Setzen wir k o= 2, so erhalten wir den Korper K I , der die Zahl 1 + y2 enthlilt. Wir nehmen nun kt = 1+ y2 und ka = 3. Tatsachlich gehOrt 3 zu dem urspriinglichen Korper K o, also erst recht zu K I , so daB es also durchaus zulassig ist, kl = 3 zu wahlen. Wir setzen

VI

va,

va

VVI

dann ka= + y2 + und endlich k. = + y2 + + 5. Der so konstruierte Korper K" enthalt die gewiinschte Zahl, denn y6 gehOrt auch zu K I , da und und demnach auch ihr Produkt - zu Ka und also auch zu K" gehoren.

va -

Vi

Vbungen: Man beweise: Wenn vom rationalen KOrper ausgegangen wird, ist die Seite des reguliiren 2"'-Ecks (siebe S. 98) eine konstruierbare Zahl mit 11 = m - 1. Man bestimme die aufeinanderfolgenden ErweiterungskOrper. Dasselbe fur die Zahlen

VI + ¥2 + va + Vs. (lis + Vii')!(1 + JI'7=V3). (V2 + va) (ft2 + VI + V2 + ys+ Va Jff) . 2. ABe konstruierbaren Zahlen sind algebraisch Wenn der AusgangskOrper Ko der rationale KOrper ist. der von einer einzigen Strecke erzeugt wird. dann sind alle konstruierbaren Zahlen algebraisch. (Definition der algebraischen Zahlen siebe S. 82.) Die Zahlen des KOrpers Kl sind Wurzeln von quadratischen Gleichungen. die von K, sind Wurzeln von Gleichungen vierten Grades. und allgemein sind die Zahlen von K" Wurzeln von Gleichungen 2"-ten Grades mit rationalen Koeffizienten. Um dies fur einen

+ Va + =

KOrper K, zu zeigen. wollen wir zuerst das Beispiel X = Vi V2 bettachten. Wirhaben dann (xa x, 2 - 2 V2x a Vi oder xl-l V2(2x 1). eine quadratische Gleichung. deren Koef1izienten zu einem KOrper Kl gehOren. Durch Quadrieren erhalten wir schlieBlich (xI-I)'= 2(h 1)1.

¥2)'= + ¥2, +

= +

+

+

eine Gleichung vierten Grades mit rationalen Koef1izienten. 1m allgemeinen Fall hat jede Zahl eines KOrpers KI die Form

x=p+qr-w.

(4)

+ V

darin gehOren P. q. w zu einem KOrper Kl und haben daher die Form p = a b s. q = c w= e ffi. worin a. b. c. 4. e,f. s rational sind. Aus (4) ergibt sich

+ 4YS,

+

xI-2px + pl= q'w.

+

1. Verdoppe1ung des Wiirfels

worin alle Koeffizienten zum KOrper Kl gehOren, der durch diese Gleichung in die Form -*,1

107

Vs erzeugt wird. Daher kann man

+ u-*, + v = VS (r -*' + t)

iiberfiihren, worin r, s, t, u, v rational sind. Quadriert man beide Seiten, so erhlUt man eine Gleichung vierten Grades

(5)

(-*,1+ u-*'

+ V)'= s(r-*' + t)'

mit rationalen Koeffizienten, wie behauptet wurde. tJbungen: 1. Man ermittle die Gleichungen mit rationalen Koeffizienten fiir a)

V2 + Va;

b) -*' =

V2 + Va; c) -*' = l/VS + Va.

2. Man ermittle auf iihnliche Weise Gleichungen achten Grades fiira) -*' = b) -*'

= V2 + V1+ Va;

c) -*'

= 1 + Vs+ Va + V2 .

V2+V2 + V2;

Um den Satz allgemein fiir -*' in einem KOrper K" mit beliebigem k zu beweisen, zeigen wir durch das obige Verfahren, daB -*' einer quadratischen Gleichung mit Koeffizienten aus einem KOrper K"-l geniigt. Durch Wiederholung des Verfahrens finden wir, daB -*' einer Gleichung vom Grade 21= 4 mit Koeffizienten in einem KOrper K"_I geniigt, usw. tJbung: Man vervollstandige den allgemeinen Beweis, indem man durch mathematische Induktion zeigt, daB -*' einer Gleichung vom Grade 21 mit Koeffizienten aus einem KOrper K"_I geniigt, wobei 0 < I ~ k. Diese Behauptung ste1lt fiir I = k den verlangten Satz dar.

*§ 3. Die UnUSsbarkeit der drei griechischen Probleme 1. Verdoppe1ung des Wiirfels Jetzt sind wir vorbereitet, urn die Probleme der Dreitei1ung des Winkels, der Verdoppelung des Wiirfels und der Konstruktion des regelmaBigen Siebenecks zu untersuchen. Betrachten wir zuerst das Problem der Wiirfe1verdoppelung. Wenn der gegebene Wiirfel eine Kante von der Lange 1 hat, so ist sein Volumen gleich der Volumeneinheit; gesucht ist die Kante x eines Wiirfels von genau dem doppelten Volumen. Die gesuchte Kantenllinge x muS daher der einfachen kubischen Gleichung geniigen (1) x3- 2 = O. Unser Beweis, daB diese Zahl x nicht mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann, ist indirekt. Wir nehmen versuchsweise an, daB eine Konstruktion maglich ist. Nach den 'Oberlegungen des vorigen Absclulitts bedeutet dies, daB x zu einem Korper K t gehort, den man wie oben aus dem rationalen Korper durch sukzessive Erweiterung mittels Adjunktion von Quadratwurzeln erhalt. Wir werden zeigen, daB diese Annahme zu einem Widerspruch fiihrt. 8 Wir wissen schon, daB x nicht im rationalen Korper Ko liegen kann, denn ist eine irrationale Zahl. (Siehe 'Obung 1, S.49.) Daher kann x nur in einem Erweiterungskorper K t liegen, worin k eine positive ganze Zahl ist. Wir diirfen annehmen, daB k die kleinste positive ganze Zahl ist von der Art, daB x in einem Korper K t liegt. Es folgt daraus, daB x in der Form

Vi

x=P+qVw geschrieben werden kann, wobei p, q und 'IJ) zu einem Korper K 1c - 1 gehOren, aber nicht. Nun konnen wir mit Hilfe einer einfachen, aber wichtigen algebraischen SchluBweise zeigen, daB, wenn x = p + q VW eine Losung der kubischen Gleichung (1) ist, auch y = p - q VW eine solche Losung sein muB. Da x zum Korper K t

Viii

108

III. Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der Zahlkorper

gehOrt, so liegen auch x3 und x 3 - 2 in K k , und wir haben

VW '

(2) x3 - 2 = a + b wobei a und b in K k - 1 liegen. Durch einfache Rechnung Hi.Bt sich zeigen, daB a = P+ 3pq2w - 2, b = 3p2q + q3w ist. Setzen wir

y=p-qVw, dann ergibt sich durch Einsetzen von - q anstelle von q in den Ausdriicken fUr a und b, daB (2') y3_ 2 = a - b VW . Nun war aber x als Wurzel von x3- 2 = 0 angenommen, daher muB

VW

(3) a+b = 0 sein. Dies bedingt - und das ist der springende Punkt -, daB a und b beide Null sein mussen. Ware b nicht Null, so konnten wir aus (3) schlieBen, daB Vw = - alb ware. Aber dann ware Vweine Zahl des Korpers K k - 1 , in dem a und b liegen, im Widerspruch zu unserer Annahme. Folglich ist b = 0, und dann folgt sofort aus (3), daB auch a = 0 ist. Da wir nun gezeigt haben, daB a = b = 0, so schlieBen wir sofort aus (2'), daB y = p - q Vw ebenfalls eine LOsung der kubischen Gleichung (1) ist, da y3_ 2 gleich Null ist. Ferner ist y =t= x, d. h. x - y =t= 0; denn x - y = 2q kann nur verschwinden, wenn q= 0, und wenn das der Fall ware, so lage x = p in K k - 1 , im Widerspruch zu unserer Annahme. Wir haben demnach gezeigt: Wenn x = p + q Vw eine Wurzel der kubischen Gleichung (1) ist, dann muB auch y = p - q Vw eine davon verschiedene Wurzel dieser Gleichung sein. Dies fuhrt sofort zu einem Widerspruch. Denn es gibt nur eine reelle ZaW x, die eine Kubikwurzel von 2 ist, da die anderen Kubikwurzeln von 2 komplex sind (siehe S. 78); Y = P - q ist aber offenbar reell, da p, q und Vw reell waren. Daher hat unsere anfangliche Annahme zu einem Widerspruch gefiihrt und ist damit a1s falsch erwiesen; eine Losung von (1) kann nicht in einem Korper Kk liegen, d. h. die Verdoppelung des Wurfels mit Zirkel und Lineal ist unmoglich.

VW

VW

2. Ein Satz tiber kubische Gleichungen Unsere letzte algebraische Vberlegung war auf das vorliegende spezielle Problem zugeschnitten. Fur die beiden anderen klassischen Probleme empfieWt sich ein etwas allgemeinerer Ausgangspunkt. AIle drei Probleme fUhren algebraisch auf kubische Gleichungen. Eine grundlegende Tatsache fUr die kubische Gleichung

(4) ist: Wenn (5)

z3+ az2 + bz + c =

Xl'

0 x2 , xa die drei Wurzeln dieser Gleichung sind, dann gilt

+

+ +

• Das Polynom r az' bz c kann in das Produkt (z - Xl) (z - XI) (z - x,) zerlegt werden, worin Xl' X., xa die drei Wurzeln der Gleichung (4) sind. (Siehe S. SO.) Folglich ist r+ azl + bz c = r - (Xl X.+ X.)ZI+ (XIX. XIX. x.xa)z- Xl X. X, , also, da der Koeffizient jeder Potenz von z auf heiden Seiten der gleiche sein muD,

+

+

+

+

3. Winkeldreiteilung

109

Betrachten wir eine beliebige kubische Gleichung (4), deren Koeffizienten a, b, c rationale Zahlen sind. Es kann sein, da.6 eine der Wurze1n der Gleichung rational ist; zum Beispiel hat die Gleichung xa- 1 = 0 die rationale Wurzel 1, wahrend die beiden anderen Wurze1n, die durch die quadratische Gleichung %2+ % + 1 = 0 gegeben sind, notwendig imaginar sein mussen. Wir konnen aber leicht den allgemeinen Satz beweisen: Hat eine kubische Gleichung mit rationalen Koejjizienten

keine rationale Wurzel, so ist keine ihrer Wurzeln konstruierbar, wenn man von dem rationalen Kiirper Ko ausgeht. Den Beweis ruhren wir wieder auf indirektem Wege. Angenommen, % sei eine konstruierbare Wurzel von (4). Dann lage % in dem letzten Korper K,. einer Kette von Erweiterungskorpem K o, K 1 , ••• , K,., wie oben. Wir konnen annehmen, da.6 k die kleinste Zahl von der Art ist, da.6 eine Wurzel der kubischen Gleichung (4) in einem Erweiterungskorper K,.liegt. k muB jedenfalls groBer als 0 sein, da schon in der Formulierung des Satzes die Annahme enthalten ist, da.6 keine der Wurze1n in dem rationalen Korper Ko liegt. Foiglich kann % in der Form

%=P+qVw

geschrieben werden, worin p, q, W zu dem vorhergehenden Korper K,.-l gehoren, aber Vw nicht. Daraus folgt genau wie bei der speziellen Gleichung z3 - 2 = 0 des vorigen Abschnitts, daB eine andere Zahl aus K,., namIich

y=p-qVw, ebenfalls Wurzel der Gleichung (4) ist. Wir sehen wieder, daB q =1= 0 und daher % =1= y ist. Aus (5) wissen wir, daB die dritte Wurzel u der Gleichung (4) durch u = - a - % - Y gegeben ist. Da aber % + y = 2Pist, so bedeutet dies

u=-a-2p, worin Vw nicht mem vorkommt, so da.6 u eine Zahl des Korpers K,.-l sein muB. Das widerspricht der Annahme, daB k die kleinste Zahl ist, bei der K,. eine Wurzel von (4) enthalt. Damit ist die Annahme ad absurdumgefiihrt, und keine Wurzel von (4) kann in einem solchen Korper K,. liegen: der allgemeine Satz ist damit bewiesen. Auf Grund dieses Satzes ist eine Konstruktion allein mit Zirkel und Lineal unmoglich, wenn das algebraische Aquivalent des Problems die Losung einer kubischen Gleichung ohne rationale Wurzeln ist. Diese Aquivalenz war bei dem Problem der Verdoppelung des Wiirfe1s sogleich offenbar; sie solI jetzt fur die beiden anderen griechischen Probleme nachgewiesen werden. 3. Wiuke1dreiteilung Wir wollen nun beweisen, daB die Dreiteilung eines Winkels allein mit Zirkel und Lineal im aUgemeinen Fall unmoglich ist. Naturlich gibt es Winkel, z. B. 90° und 180°, die dreigeteilt werden konnen. Wir werden aber zeigen, da.6 die Dreiteilung sich nicht durch ein rur alle Winkel giiltiges Verfahren durchruhren laBt. Fur den Beweis ist es vollkommen ausreichend, nur einen einzigen Winkel aufzuweisen, der nicht dreigeteilt werden kann; denn eine giiltige aUgemeine Methode muBte jedes einzelne Beispiel umfassen. Daher wird die Nichtexistenz einer allgemeinen Methode bewiesen sein, wenn wir zeigen konnen, da.6 zum Beispiel der Winkel von 60° nicht mit Zirkel und Lineal allein dreigeteilt werden kann.

110

III. Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der Zahlk6rper

Fiir dieses Problem konnen wir ein algebraisches Aquivalent auf verschiedene Weise erhalten; die einfachste ist, einen Winkel als durch seinen Cosinus gegeben anzusehen: cos(J = g. Dann ist das Problem aquivalent der Aufgabe, die GroBe x = cos ((J13) zu finden. Nach einer einfachen trigonometrischen Formel (s. S. 77) ist der Cosinus von (J13 mit dem von (J durch die Gleichung cos (J

=

g = 4 cos3 ((JI3) - 3 cos ((J13)

verkniipft. Mit anderen Worten: Das Problem, den Winkel (J, fUr den cos (J = gist, in drei Telle zU teilen, bedeutet die Konstruktion einer Losung der kubischen Gleichung (6) 4:3- 3z - g = 0 . Urn zu zeigen, daB dies nicht allgemein moglich ist, nehmen wir (J = 60°, so daB = cos 60° = 1/2. Gleichung (6) wird dann zu

g

(7)

8:8 - 6z = 1.

Auf Grund des im vorigen Abschnitt bewiesenen Satzes brauchen wir nur zu beweisen, daB diese Gleichung keine rationale Wurzel hat. Wir setzen v = 2z. Dann geht die Gleichung iiber in

(8)

v3 - 3v = 1 .

Wenn es eine rationale Zahl v = 1'ls gabe, die dieser Gleichung geniigt, wobei l' und s ganze Zahlen ohne gemeinsamen Teller> 1 sind, dann ware 1'8- 31'sB= S3. Hieraus folgt, daB S8= 1'(1'B- 3s2 ) durch l' tellbar ist, also l' und s einen gemeinsamen Teilerhaben, auBerwenn l' = ± 1 ist. EbensoistsBeinTellervon 1'8= SB(S+ 31'), so daB l' und s einen gemeinsamen Teller haben, auBer wenn s = ± 1 ist. Da wir angenommen hatten, daB l' und s keinen gemeinsamen Teiler haben, so ergibt sich, daB die einzigen rationalen Zahlen, die moglicherweise der Gleichung (8) geniigen konnten, die Zahlen + 1 oder -1 sind. Indem wir + 1 und -1 fiir v einsetzen, sehen wir, daB keine dieser Zahlen die Gleichung (8) erfiillt. Daher hat (8) und folglich auch (7) keine rationale Wurzel, und die Unmoglichkeit der Winkeldreitellung ist bewiesen. Das Theorem, daB der allgemeine Winkel nicht mit Zirkel und Lineal allein dreigeteilt werden kann, gilt nur unter der Voraussetzung, daD das Lineal als Instrument zum Ziehen einer geraden Verbindungslinie durch zwei gegebene Punkte und fur nichts ande,es benutzt wird. Unsere allgemeine Definition der konstruierbaren Zahlen beschrinkte die Benutzung des Lineals auf diese Operation. Lii.Bt man andere Verwendungen des Lineals zu, so kann die Gesamtheit der mOglichen Konstruktionen noch stark erweitert werden. Die folgende Methode A 0 fur die Dreiteilung des Winkels, die sich schon Fig. 36. Dreiteilung des Winkels nacb Archimedes in den Werken von ARCHIMEDES findet, ist ein gu tes Beispiel hierfiir. Es sei ein beliebiger Winkel x gegeben wie in Fig. 36. Man verliingere den einen Schenkel des Winkels nach links und schlage einen Halbkreis um 0 mit beliebigem Radius ,. Man markiere auf der Kante des Lineals zwei Punkte A und B, so daB A B = , ist. Indem man B auf dem Halbkreis hiilt, verschiebe man das Lineal in die Lage, in der A auf der Verliingerung des Schenkels von x liegt, wiihrend die Kante des Lineals durch den Schnittpunkt des anderen Schenkels von x !nit dem Halbkreis um 0 geht. Langs des Lineals in dieser Lage ziehe man eine

111

4. Das rege1miflige Siebeneck

gerade Linie, die den Winkel y mit der Verliingerung des Schenkels des urspriinglichen Winkels ~ bildet. tlbung: Man zeige, daB diese Konstroktion wirklich 'Y = ~/3 lieferl.

4. Das regelmii8ige Siebeneck Betrachten wir nun das Problem, die Seite x des dem Einheitskreis einbeschriebenen reguHiren Siebenecks zu finden. Dieses ProblembewaItigt man am einfachsten mit Hllfe komplexer Zahlen (siebe Kap. II, § 5). Wir wissen, daB die Ecken des Siebenecks durch die Wurzeln der Gleichung ~

~-1=0

gegeben sind, und die Koordinaten x, y der Eckpunkte werden a1s Real- bzw. Imaginartell der komplexen Zahlen z = x + yi betrachtet. Eine Wurzel dieser Gleichung ist z = 1, und die iibrlgen sind die Wurzeln der Gleichung

(10)

z7-1 z-1 = Z8+ Z6+ :4+ :3+ Z2+

z + 1 = 0,

die man aus (9) erhaIt, indem man den Faktor z - 1 abspaltet (siehe S.79). Teilt man (10) durch:3, so ergibt sich die Gleichung (11)

:3+ 1/:3+ Z2+ l/z2+ z + l/z + 1 =

o.

Durch eine einfache algebraische Umformung erhalt man hieraus

(12)

(z + l/z)3- 3 (z + l/z) + (z + l/z)2- 2 + (z + l/z) + 1 = 0 .

Bezeichnen wir die GroBe (z + l/z) mit y, so liefert (12) die Gleichung

(13) Wir wissen, daB

(14)

y3+ y2_ 2y - 1 =

o.

z, die siebente Einheitswurzel, durch z=cos~+isin~

gegeben ist, wobei ,p = 360°/7 der Winkel ist, der im Mittelpunkt des Kreises der Seite des reguUi.ren Siebenecks gegeniiberliegt; ebenso wissen wir aus V'bung 2 auf S.77, daB l/z = cos~ - i sin~, so daB Y = z + l/z = 2 cos,p ist. Wenn wir y konstruieren konnen, so konnen wir auch cos,p konstruieren und umgekehrt. Konnen wir beweisen, daB y nicht konstruierbar ist, so haben wir damit gezeigt, daB z, und also das Siebeneck, nicht konstruierbar ist. Wegen des Satzes von Abschnitt 2 brauchen wir nur zu zeigen, daB die Gleichung (13) keine rationalen Wurzeln hat. Der Beweis ist wiederum indirekt: wir nehmen an, daB (13) eine rationale Wurzel r/s hat, worln r und s ganze Zahlen ohne gemeinsamen Teller sind. Dann haben wir

(15) woraus man, wie oben gezeigt, sieht, daB r3 den Teller s und S3 den Teller r besitzt. Da r und s keinen gemeinsamen Teller haben, so miissen beide ± 1 sein; daher kann y, wenn es rational sein 5011, nur die Werte +1 oder -1 haben. Setzt man diese Zahlen in (13) ein, so sieht man, daB keine von beiden die Gleichung erftillt. Foiglich ist y, und damit die Seite des regula.ren Siebenecks, nicht konstruierbar.

112

III. Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der ZahlkOrper

5. Bemerkungen zum Problem der guadratur des Kreises Die Probleme der Verdoppelung des Wiirfels, der Dreitellung des Winkels und der Konstruktion des rege1maBigen Siebenecks haben wir mit verhaItnismaBig elementaren Methoden bewaItigen konnen. Das Problem der Quadratur des Kreises ist sehr viel schwieriger und setzt die Kenntnis der hOheren mathematischen Analysis voraus. Da ein Kreis mit dem Radius r den Flacheninhalt r2n; hat, so bedeutet die Konstruktion eines Quadrats mit demselben FHicheninhalt wie ein konstruieren konKreis mit dem Radius I, daB wir eine Strecke von der Lange nen. Diese Strecke ist dann und nur dann konstruierbar, wenn die Zahl n; konstruierbar ist. Mit Hille unserer allgemeinen Definition der konstruierbaren Zahlen konnen wir die Unmoglichkeit der Quadratur des Kreises zeigen, wenn wir zeigen konnen, daB die Zahl n; in keinem Korper K1c enthalten sein kann, der sich durch sukzessive Adjunktion von Quadratwurzeln aus dem rationalen Korper Ko erreichen laBt. Da alle Elemente eines solchen Korpers algebraische Zahlen sind, d. h. Zahlen, die algebraischen Gleichungen mit ganzen Koeffizienten genfigen, so ist es hinreichend zu zeigen, daB n; nicht algebraisch, also transzendent ist (siehe S.82). Die erforderliche Technik flir den Beweis, daB n; eine transzendente Zahl ist, wurde von CHARLES HERMITE (1822-1901) geschaffen, der bewies, daB die Zahl e transzendent ist. Durch eine geringfiigige Erweiterung der Hermiteschen Methode gelang es F. LINDEMANN (1882), die Transzendenz von n; zu beweisen und damit das uralte Problem der Quadratur des Kreises endgiiltig zu "erledigen". Der Beweis ist jedem, der mit der hOheren Analysis vertraut ist, zuganglich; er fiberschreitet aber den Rahmen dieses Buches.

v;t

II. Teil

Verschiedene Konsttuktionsmethoden § 4. Geometrische Abbildungen. Die Inversion 1. Allgemeine Bemerkungen 1m zweiten Tell dieses Kapitels wollen wir einige allgemeine Prinzipien systematisch besprechen, die sich auf Konstruk.tionsprobleme anwenden lassen. Viele dieser Probleme lassen sich vom allgemeinen Standpunkt der "geometrischen Transformationen" klarer fiberschauen; anstatt eine einzelne Konstruk.tion zu untersuchen, werden wir eine ganze Klasse von Problemen zugleich betrachten, die durch gewisse Umformungsverfahren miteinander verknfipft sind. Diese Betrachtungsweise fordert nicht nur das Verstandnis bei Konstruktionsproblemen, sondem bewahrt sich fast fiberall in der Geometrie. In den Kapiteln IV und V werden wir die allgemeine Bedeutung der geometrischen Transformationen erortem. Hier wollen wir einen speziellen Typus von Transformationen betrachten, die Inversion (Spiegelung) einer Ebene an einem Kreis, eine Verallgemeinerung der gewohnlichen Spiegelung an einer Geraden. Unter einer Transformation oder Abbildung einer Ebene auf sich selbst verstehen wir eine Vorschrift, die jedem Punkt P der Ebene einen Punkt P' zuordnet, das "Bild von P" bei dieser Transformation; der Punkt P heiBt das Urbild von

113

2. Eigenschaften der Inversion

P'. Ein einfaches Beispiel einer solchen Transformation ist die Spiegelung der Ebene an einer gegebenen Geraden L: Ein Punkt P auf einer Seite von L hat a1s Bild den Punkt P' auf der anderen Seite von L, wenn L die Mittelsenkrechte der Strecke PP' ist. Eine Transformation kann gewisse Punkte, "Fixpunkte", der Ebene ungeandert lassen; im Fall der Spiegelung gilt dies von den Punkten auf L selbst. Weitere Beispiele ffir Transformationen sind die Drehungen der Ebene urn einen festen Punkt 0, die Parallelverschiebungen, die jeden Punkt urn einen festen Betrag d in einer gegebenen Richtung verschieben (eine yP solche Transformation Hillt keinen Punkt fest), und noch ! I allgemeiner alle starren Bewegungen der Ebene, die man sich aus Drehungen und Parallelverschiebungen zusammengesetzt -----+I--t denken kann. 1pI Die besondere Klasse von Transformationen, die uns hier Fig. 37. spiegelung eines interessiert, sind die Inversionen in bezug auf Kreise. (Diese Punktes an eiDer Geraden werden zuweilen a1s Spiegelungen an Kreisen bezeichnet, weil sie angenahert die Beziehung zwischen Gegenstand und Bild bei der Reflexion an einem spiegelnden Kreis darste1len.) In einer bestimmten Ebene sei C ein gegebener Kreis urn den Mittelpunkt 0 (der das Zentrum der Inversion genannt wird) mit dem Radius r. Das Bild des Punktes P wird definiert als der Punkt P' auf der Geraden OP, der auf derselben Seite von 0 gelegen ist wie P und der Bedingung .

(1)

OP ·OP'= r 8

geniigt. Die Punkte P und P' heiBen inverse Punkte in bezug auf C. Aus dieser Definition folgt, daB wenn P' der inverse Punkt zu P ist, ebenso auch P invers zu P' ist. Eine Inversion vertauscht das Innere des Kreises C mit dem AuBeren, da wir ffir 0 P < r stets 0 P' > r und entsprechend ffir OP > r stets OP' < r erhalten. Die einzigen Punkte, die bei der Inversion ungeandert bleiben, sind die Punkte auf dem Kreis C selbst. Die Regel (1) definiert keinen Bildpunkt ffir den Mittelpunkt O. Wenn ein beweglicher Punkt P sich 0 nahert, dann rUckt der Bildpunkt P' auf der Ebene weiter und ~~ !!": weiter nach auBen. Aus diesem Grunde sagt man zuweilen, daB 0 bei der Inversion dem unendlich jernen Punkt entspricht. Der Vortei1 dieser Ausdrucksweise liegt darin, daB sie die Aussage erlaubt, eine Inversion stelle eine Beziehung zwischen den Punkten einer Ebene und ihren Bildern her, die ohneAusnahme umkehrbar eindeutig ist: Jeder Punkt der Ebene hat einen und nur einen Bildpunkt und ist selbst das Bild eines und nur eines Urpunktes. Diese Eigenschaft hat sie mit allen bereits betrachteten Transformationen gemeinsam.

:=

2. Eigenschaften der Inversion

Die wichtigste Eigenschaft einer Inversion ist, daB sie Geraden und Kreise in Geraden und Kreise iiberfiihrt. Genauer gesagt: wir werden zeigen, daB durch Courant u. Robbins, Mathematik

8

114

III. Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der Zahlkorper

eine Inversion in eine Gerade durch 0 (a) eine Gerade durch 0 in einen Kreis durch 0 (b) eine Gerade, dienicht durchO geht, in eine Gerade, die nicht durch 0 geht, (c) ein Kreis durch 0 in einen Kreis, der nicht durch 0 geht, (d) ein Kreis der nicht durch 0 geht, iibergefiihrt wird. Die Behauptung (a) ist selbstverstandlich, da nach der Definition der Inversion jeder Punkt auf der Geraden durch 0 in einen anderen Punkt derselben Geraden abgebildet wird, so daB, wenn auch die Punkte auf der Geraden ausgetauscht werden, die Gerade als Ganzes in sich transformiert wird. fJ

Fig. 39. Inversion einer Geraden L an einem Kreis

Fig. 40. Inversion eines Kreises

Urn die Behauptung (b) zu beweisen, fallen wir ein Lot von 0 auf die Gerade L (Fig. 39). Es sei A der FuBpunkt des Lotes auf Lund A' der inverse Punkt zu A. Wir wahlen einen Punkt P auf L, und es sei P' der zugehOrige inverse Punkt. Da OA'·OA = OP'· OP = ,.2, so folgt OA' OP'

=

OP OA •

Also sind die Dreiecke OP'A' und OAP ahnlich, und der Winkel OP'A' ist ein rechter Winkel. Aus der elementaren Geometrie folgt dann, daB pi auf dem Kreis K mit dem Durchmesser OA' liegt, und daher ist dieser Kreis das inverse Bild von L. Hiermit ist (b) bewiesen. Die Behauptung (c) folgt aus derTatsache, daB, wenn K invers zu List, auch L invers zu K sein muB. Es bleibt noch die Behauptung (d). Sei K irgendein Kreis, der nicht durch 0 geht, mit dem Mittelpunkt M und dem Radius k (Fig. 40). Urn sein Bild zu finden, ziehen wir eine Gerade durch 0, die K in A und B schneidet, und untersuchen, wie sich die Bilder A', B' andem, wenn die Gerade durch 0 den Kreis K in allen moglichen Lagen schneidet. Bezeichnen wir die Abstande OA, OB, OA', OB',OM mit a, b, ai, b', m und die Lange derTangente von 0 an K mit t. Dann gilt aa' = bb' =,.z nach der Definition der Inversion und ab = t Z nach einer elementargeometrischen Eigenschaft des Kreises. Dividieren wir die erste Beziehung durch die zweite, so erhalten wir a'/b = b'la =

,.z/t'= c' ,

wobei CZ eine Konstante ist, die nur von r und t abhangt und ffir alle Lagen A und B denselben Wert hat. Wir ziehen nun durch A' eine Parallele zu BM, die OM

115

3. Geometrische Konstruktion inverser Punkte

in Q schneidet. Es sei OQ = q und A'Q = e. Dann ist qlm = a'lb = elk oder

q = ma'lb = mc 2 ,

e = ka'lb = kc 2

•

Das bedeutet, daB flir jede Lage von A und B der Punkt Q stets derselbe Punkt auf OM ist und der Abstand A'Q immer denselben Wert hat. Ebenso ist auch B'Q = e, da a'lb = b'Ja. Daher sind die Bilder aller PunkteA, B aufK lauter Punkte, deren Abstand von Q = e ist, d. h. das Bild von Kist ein Kreis. Hiermit ist (d) bewiesen. 3. Geometriscbe Konstruktion inverser Punkte Der folgende Satz wird in Abschnitt 4 dieses Paragraphen von Nutzen sein: Der Punkt P', der zu einem gegebenen Punkt Pin bezug auf einen Kreis C invers ist, lii/3t sick geometrisck allein mit Hilfe des Zirkels konstruieren. Wir betrachten zuerst den Fall, daB der gegebene Punkt P auBerhalb von C liegt (Fig. 41). Mit OP als Radius beschreiben wir urn P als Mittelpunkt einen Kreisbogen, der C in R und 5 schneidet. Urn diese beiden Punkte schlagen wir KreisbOgen mit dem Radius r, welche sich im Punkte 0 und in einem Punkt P' auf der Geraden OP schneiden. Flir die gleichschenkligen Dreiecke ORP und ORP' gilt
op

_

OR -

OR OP"

d h OP' OP' _ .

- r

.

2

ist. Folglich ist P' der gesuchte inverse Punkt

Fig. 41. Inversion eines auBerhalb des Kreises gelegenen Punktes

zuP. Wenn der gegebene Punkt P innerhalb von C liegt, gelten dieselbe Konstruktion und derselbe Beweis, sofern der Kreis urn P mit dem Radius 0 P den Kreis C in zwei Punkten schneidet. Wenn nicht, dann konnen wir die Konstruktion des inversen Punktes P' durch den folgenden einfachen Kunstgriff auf den vorigen Fall zurUckfiihren. Zunachst bemerken wir, daB wir mit dem Zirkel allein einen Punkt C auf der Verbindungslinie zweier gegebener Punkte A, 0 finden konnen, so daB AO = OC P ----

o A

o• Fig. 42. VerdoppeJung einer Strecke

P

/I'

II

P'

c Fig. 43. Inversion eines innerhalb des Kreises gelegenen Punktes

ist. Zu diesem Zweck schlagen wir einen Kreis urn 0 mit dem Radius r = AO und tragen auf diesem Kreis, ausgehend von A, die Punkte P, Q, Cab, derart, daB AP = PQ = QC = r ist (Fig. 42). Dann ist C der gesuchte Punkt, da die Dreiecke AOP, OPQ, OQC gleichseitig sind, so daB OA und OC einen Winkel von 180° 8·

116

III. Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der Zahlkorper

bilden und OC = OQ = AO ist. Wenn wir dieses Verfahren wiederholen, konnen wir leicht die Strecke OA beliebig oft vervielfachen. Hiennit haben wir, da die Lange der Strecke A Q gleich l' y'3 ist (wie der Leser leicht nachpriifen kann), zugleich aus der Einheit konstruiert, ohne ein Lineal zu benutzen. Jetzt konnen wir den inversen Punkt zu einem beliebigen Punkt P innerhalb des Kreises finden (Fig. 43). Wir suchen zuerst einen Punkt R auf der Geraden OP auf, dessen Abstand von 0 ein ganzes Vielfaches von OP ist und der auBerhalb von C liegt,

va

OR=n·OP. Wir fiihren das durch, indem wir die Strecke 0 P mit dem Zirkel so oft abtragen, bis wir auBerhalb C angelangt sind. J etzt bestimmen. wir dell zu R inversen Punkt R' durch die oben angegebene Konstmktion. Dann ist

1'1= OR'· OR = OR'· (n ·OP) = (n . OR,) . OP. Daher ist der Punkt P', fUr den OP' = n • OR', der gesuchte inverse Punkt. 4. Halbierung emer Strecke und Bestimmung des Kreismittelpunktes mit dem Zirkel allem Nachdem wir gelernt haben, mit dem Zirkel allein zu einem gegebenen Punkt den inversen zu finden, konnen wir einige interessante Konstruktionen ausfiihren. Zurn Beispiel wollen wir das Problem betrachten, den Punkt in der Mitte zwischen zwei gegebenen Punkten A und B mit dem Zirkel allein zu finden (es diirfen keine Geraden gezogen werden I). Dies ist die Losung: Man zeichnet den Kreis mit dem Radius AB um B und tragt drei Bogen mit dem Radius AB von A aus darauf abo Der letzte Punkt C liegt dann auf der VerHingerung von AB, und es ist AB = BC. Nun zeichnet man den Kreis mit dem Radius AB um A und konstruiert den Punkt C', der in bezug auf diesen Kreis invers zu C ist. Dann ist.

AC'·AC= ABB AC'· 2AB = ABB 2AC'= AB.

Also ist C' der gesuchte Mittelpunkt zwischen A und B. Eine weitere Zirkelkonstruktion unter Verwendung inverser Punkte ist die Bestimmung des Mittelpunktes eines Kreises, von dem nur die Peripherie gegeben

,/

Fig. 44. Bestimmllllg des Mitte1punktes einer Strecke

Fig. 4S. Bestimmung des Mitte1punktes eInes Krelses

ist, dessen Mittelpunkt aber unbekannt ist. Man wiihlt einen beliebigen Punkt P auf der Peripheri~ und schlagt einen Kreis urn P, der den gegebenen Kreis in R und S schneidet. Um R und S als Mittelpunkte schlagt man Bogen vom Radius

2. Beschrinkung auf die Benutzung des Zirkels allein

117

RP = SP, die sich im Punkt Q schneiden. Ein Vergleich mit Fig. 41 zeigt, daB der unbekannte Keismittelpunkt Q' in bezug auf den Kreis um P invers zu Q ist, so daO sich also Q' mit dem Zirkel allein konstruieren lii.Bt.

§ 5. Konstruktionen mit anderen Hilfsmitteln Mascheroni-Konstruktionen mit dem Zirkel allein *1. Eine klassische Konstruktuion zur Verdoppelung des Wtirfels Bis jetzt haben wir nur geometrische Konstruktionsprobleme besprochen, bei denen Zirkel und Lineal allein benutzt werden. Wenn andere Hilfsmittel zuge1assen werden, so wird natiirlich die Mannigfaltigkeit der moglichen Konstruktionen groBer. Zum Beispiellosten die Griechen das Problem der Verdoppelung des Wiirfels y auf folgende Weise: wir betrachten (wie f~~IlI1lII'I1IIlI1lII'I1IIlo\\\'\lIlo\\\'\lIll1lll'l1l&\O\lllllIll1lll'l1l~r.aBl. in Fig. 46) einen starren rechten Winkel u MZN und ein bewegliches rechtwinkliges Kreuz B, VW, PQ. Zwei weitere Kanten RS und TU konnen senkrecht zu den Schenke1n des rechten Winkels gleiten. Auf dem Kreuz seien zwei feste Punkte E und G so gewiihlt, daB GB = a und BE =/ vorgeschriebene Langen haben. Indem wir das Kreuz so legen, daB die Punkte E und G auf NZ bzw. MZ liegen, und die Kanten TU und RS geeignet verschieben, konnen wir den ganzen Apparat in eine solche Lage Fig. 46. ElD Apparat zur Vealoppelung des Wilrfell bringen, daB ein Rechteck ADEZ entsteht, durch dessen Ecken A, D, E die Anne BW, BQ, BV des Kreuzes hindurchgehen. Eine solche Lage liiBt sich immer finden, wenn / > a. Wir sehen sofort, daB a : x = x : y = y : / ist, und folglich erhiilt man, wenn zu Anfang / = 2 a gemacht wird, xl = 2 as. Daher ist x die Kante eines Wiirfels, dessen Volumen das Doppe1te des Wiirfels mit der Kante a ist. Genau das wird bei der Verdoppelung des Wiirfels verlangt. 2. Beschrinkung auf die Benutzung des Zirkels allein Da es selbstverstandlich ist, daB bei Zulassung einer groBeren Anzahl von Hilfsmitte1n auch eine groBere zabl von Konstruktionsproblemen gelost werden kann, so soll~e man denken, daB bei starkeren Beschrankungen des zulii.ssigen Handwerkszeugs auch die Klasse der moglichen Konstruktionen eingeengt wird. Daher war man sehr iiberrascht von der Entdeckung des Italieners MASCHERONI (1750-1800), daB aUe geometrischen Konstruktionen, die mittels Zirkel und Lineal aus/Uhrbar sind, auch mit dem Zirkel allein mDglich sind. Natiirlich konnen wir keine gerade Verbindungslinie zweier Punkte ohne Lineal ziehen, so daB diese fundament ale Konstruktion allerdings nicht von der Mascheronischen Theorie umfaBt wird. Stattdessen muB man sich eine gerade Linie stets durchirgend zwei ihrer Punkte gegeben denken. Mit Hilfe des Zirkels allein kann man den Schnittpunkt von zwei auf diese Weise gegebenen Geraden finden und ebenso die Schnittpunkte eines gegebenen Kreises mit einer Geraden.

118

III. Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der Zahlkorper

Vielleicht das einfachste Beispiel einer Mascheronischen Konstruktion ist die Verdoppelung einer gegebenen Strecke. Die Losung wurde schon auf S. 115 angegeben. Jetzt wollen wir die Aufgabe losen, einen gegebenen Kreisbogen AB eines Kreises mit gegebenem Mittelpunkt 0 zu halbieren. Die Konstruktion ist die folgende: Urn die Punkte A und B scblage man zwei Kreisbogen mit dem Radius ~A. Von 0 aus trage man darauf die Bogen OPundOQ mit dem Radius AB abo Dann schlage man urn P und Q zwei Bogen mit PB und QA als Radien, die sich in R schneiden. Endlich schlage man urn P oder urn Q XR einen Bogen mit dem Radius OR, der den Bogen AB schneidet. Dieser Schnittpunkt ist der gesuchte Halbierungspunkt des Bogens AB (Fig. 47). Der Beweis sei zur Dbung dem Leser iiberlassen. A B Es ist unmoglich, den allgemeinen Satz von MASCHEP~i RONI dadurch zu beweisen, daB man fiir jede Konstruktion mit Zirkel und Lineal eine andere angibt, die mit Fig. 47. Halbierung eines Bogeos mit dem Zirkel dem Zirkel allein ausfiihrbar ist; denn die Anzahl moglicher Konstruktionen ist nicht endlich. Aber wir konnen das Ziel erreichen, wenn wir beweisen, daB jede der folgenden vier fundamentalen Konstruktionen mit dem Zirkel allein moglich ist: 1. Einen Kreis mit gegebenem Mittelpunkt und Radius zu zeichnen, 2. Den Schnittpunkt zweier Kreise zu finden, 3. Die Schnittpunkte einer Geraden und eines Kreises zu finden, 4. Den Schnittpunkt zweier Geraden zu finden. Jede geometrische Konstruktion im iiblichen Sinne, bei der Zirkel und Lineal zugelassen sind, besteht aus einer endlichen Aufeinanderfolge dieser elementaren Konstruktionen. Die beiden ersten sind offenbar mit dem Zirkel allein moglich. Die Losungen der etwas schwierigeren Probleme 3 und 4 beruhen auf den Eigenschaften der Inversion, die wir im vorangegangenen Abschnitt entwickelt haben. Nehmen wir das Problem 3, die Bestimmung der Schnittpunkte eines Kreises C urn 0 und einer Geraden, die durch die beiden Punkte A und B gegeben ist (Fig. 48). Urn die Punkte A und B scblagen wir zwei KreisbOgen mit den Radien OA bzw. BO, die sich in P nochmals schneiden. Nun bestimmen wir den Punkt Q, der in bezug auf den Kreis C zu P invers ist, mit HiIfe der Konstruktion mit dem Zirkel allein, die auf S. 115 angegeben wurde. Jetzt zeichnen wir den Kreis urn Q mit dem Radius OQ (dieser Kreis schneidet C) ; die Schnittpunkte X und X' dieses Kreises mit dem Fig. 48. Schnitt eines Kreises mit einer Geraden, die Dieht durch den gegebenen Kreis C sind die gesuchten Punkte. Zum Mitte1punkt geht Beweis brauchen wir nur zu zeigen, daB X und X' von 0 und P gleich weit entfemt sind, da von A und B nach Konstruktion dasselbe gilt. Dies folgt aus der Tatsache, daB der inverse Punkt zu Qein Punkt ist, dessen Abstande von X und X' dem Radius von C gleich sind (S. 115). Man beachte, daB der Kreis durch X, X' und 0 invers zu der Geraden AB ist, da dieser Kreis und die Gerade A B den Kreis C in denselben Punkten schneiden (Punkte auf dem Umfang des Kreises sind zu sich selbst invers).

2. Beschriinkung auf die Benutzung des Zirkels allein

119

Die Konstruktion versagt nur dann, wenn die Gerade A B durch den Mittelpunkt von e geht. In diesem Halle konnen die Schnittpunkte durch die auf S. 118 gegebene Konstruktion gefunden werden, namlich als die Halbierungspunkte von Bogen des Kreises e, die man erhalt, wenn man urn B einen beliebigen Kreis schlagt, der e in Bl und B2 schneidet (Fig. 49). Das Verfahren zur Bestimmung des Kreises, der zu der Verbindungslinie zweier gegebener Punkte invers ist, erlaubt unmittelbar eine Uisung des Problems 4. Die beiden Geraden seien gegeben durch A B und A' B' (Fig. 50). Man schlage einen beliebigen Kreis in der Ebene und bestimme nach dem obigen Verfahren die einer Fig. 49. Schnitt eines Kreises mit Geraden durch den Mitte\punkt Kreise, die zu AB und A'B' invers sind. Diese Kreise schneiden sich in 0 und einem Punkt Y. Der Punkt X, der zu Y invers ist, ist der gesuchte Schnittpunkt und kann nach der schon benutzten Methode konstruiert werden. DaB X der gesuchte Punkt ist, geht daraus hervor, daB Y der einzige Punkt ist, der invers zu einem gemeinsamen Punkt von AB und A'B' ist. Daher muB der zu Y inverse Punkt zugleich auf AB und A' B' liegen.

B

A

f

·0

/(

Fig.

so. Schnittpunkt zweier Geraden

Fig. 51. K
Diese beiden Konstruktionen vervollstandigen den Beweis, daB die Mascheronischen Konstruktionen mit dem Zirkel allein den gewohnlichen geometrischen Konstruktionen mit Zirkel und Lineal aquivalent sind. Wir haben uns dabei keine Muhe gegeben, elegante Losungen fur spezielle Probleme zu liefem, da es uns vielmehr darauf ankam, einen gewissen Einblick in die allgemeine Leistungsfahigkeit der Mascheronischen Konstruktionen zu vermitteln. Wir wollen jedoch als Beispiel die Konstruktion des regularen Funfecks angeben. Genauer gesagt: wir werden funf Punkte auf einem Kreis bestimmen, die die Ecken eines eingeschriebenen regularen Funfecks bilden. Es sei A ein beliebiger Punkt auf dem gegebenen Kreis K. Die Seite des eingeschriebenen regularen Sechsecks ist gleich dem Radius von K. Daher konnen wir die Punkte B, e, D auf K tinden, so daB AB = Bc = ED = 60° (Fig. 51). Urn A und D schlagen wir KreisbOgen mit dem Radius A e, die sich in X schneiden. 1st 0 der Mittelpunkt von K, so wird ein Kreisbogen urn A mit dem Radius OX

-

den Kreis K im Halbierungspunkt F von Be tre£fen (siehe S. 118). Jetzt schlagen wir mit dem Radius von K KreisbOgen urn F, die K in G und H tre£fen. Es sei Y

120

III. Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der Zahlk6rper

ein Punkt, dessen Abstande von G und H gleich OX sind, und zwar so, daB 0 zwischen X und Y liegt. Dann ist A Y gleich der Seite des gesuchten Fiinfecks. Der Beweis sei a1s "Obung dem Leser uberlassen. Man beachte, daB in der Konstruktion nur drei verschiedene Radien vorkommen. Im Jahre 1928 entdeckte der danische Mathematiker HJELMSLEV in einer Kopenhagener Buchhandlung ein Exemplar eines Buches, Euclides Danicus, aus dem Jahre 1672, von einem unbekannten Verfasser, G. MOHR. Nach dem Tite1 hatte man vermutet, daB dies Werk einfach eine Neufassung oder ein Kommentar zu EUKLIDs Elementen sei. Als aber HJELMSLEV das Buch genauer durchsah, fand er zu seiner Vberraschung, daB es im wesentlichen das Mascheronische Problem und dessen vollstandige Losung enthie1t, lange vor der Zeit MASCHERONI8. tJbungen: Es folgt eine Beschreibung der Mohrschen Konstruktionen. Man priife ihre Richtigkeit. Inwiefem 16sen sie das Mascheronische Problem? 1. Auf einer Strecke A B von der Lange p ist eine Senkrechte BC zu errichten. (Anleitung: Man verliingere AB bis zu einem Punkt D, fiir den AB = BD gilt. Man schlage beliebige Kreise vom gleichen Radius um A und D und bestimme so C. ) 2. Zwei Strecken von den Langen p und 'I, wobei p > 'I, sind irgendwo in der Ebene gegeben. Unter Benutzung von 1. ist eine Strecke von der Liinge x = pi 'I' zu konstruieren. 3. Zu einer gegebenen Strecke a ist die Strecke a V"2" zu konstruieren. (Anleitung: Man beachte, daB (a V2)1 = (a V"3)'- al). 4. Zu den gegebenen Strecken p und 'I ist eine Strecke x = pi 'I' zu konstruieren. (Anleitung: Man benutze die Relation x' = 2pl- (p'- 'I').) Man suche weitere iihnliche Konstruktionen. 5. Unter Benutzung der friiheren Ergebnisse sind die Strecken der Lange p + 'I und p - 'I zu finden, wenn p und 'I irgendwo in der Ebene gegeben sind. 6. Man priife und beweise die Richtigkeit folgender Konstruktion fiir den Halbierungspunkt M einer gegebenen Strecke A B von der Lange a. Auf der Verliingerung von A B werden Punkte C und D bestimmt, so daB CA = AB = BD. Man konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck ECD mit EC = ED = 2a und finde M als Schnittpunkt der beiden Kreise mit den Durchmessem EC und ED. 7. Die senkrechte Projektion eines Punktes A auf eine Gerade BC ist zu bestimmen. B. Man bestimme x, so daB x: a = p : 'I ist, wenn a, p, 'I gegebene Strecken sind. 9. Man bestimme x = ab, wenn a und b gegebene Strecken sind.

V

V+

Angeregt durch MASCHERONI, versuchte JAKOB STEINER (1796-1863) das Lineal anstelle des Zirkels a1s einziges Hilfsmitte1 auszuzeichnen. Natiirlich kann das Lineal aIlein nicht fiber einen gegebenen Zahlkorper hinausfiihren und kann also nicht fiir aIle geometrischen Konstruktionen im klassischen Sinne ausreichen. Um so bemerkenswerter ist es, daB STEINER die Benutzung des Zirke1s auf eine einmalige Anwendung zu beschranken vermochte. Er bewies, daB aIle Konstruktionen in der Ebene, die mit Zirkel und Lineal ausffihrbar sind, auch mit dem Lineal aIlein ausgefiihrt werden konnen, sofem nur ein einziger fester Kreis und sein Mitte1punkt* gegeben sind. Diese Konstruktionen erfordem projektive Methoden und sollen spater besprochen werden (siehe S. 152). *Auf diesen Kreis und seinen Mittelpunkt kann nicht verzichtet werden. Wenn zum Beispiel ein Kreis, aber nicht sein Mittelpunkt gegeben ist, so ist es unm6glich, diesen mit dem Lineal allein zu konstruieren. Um das zu beweisen, benutzen wir eine Tatsache, die spater erartert werden soIl (S. 169). Es gibt eine Transformation der Ebene in sich selbst, die die folgenden Eigenschaften hat: a) der gegebene Kreis bleibt bei der Transformation fest, b) jede Gerade geht wieder in eine Gerade iiber, c) der Mittelpunkt des Kreises geht in einen anderen Punkt iiber. Allein die Existenz einer solchen Transformation zeigt die Unm6glichkeit, den Mittelpunkt des gegebenen Kreises mit dem Lineal allein zu konstruieren. Denn wie man die

3. Das Zeichnen mit mechanischen Geraten. Mechanischen Kurven. Zykloiden

121

3. Das Zeichnen mit mechanischen Geraten. Mechanische Kurven. Zykloiden Ersinnt man Mechanismen, mit denen andere Kurven als Kreis und Gerade gezeichnet werden konnen, so liiBt sich der Bereich der konstruierbaren Figuren noch betriichtlich erweitern. Wenn wir zum Beispiel ein Gerat zum Zeichnen der Hyperbeln xy = k besitzen und ein weiteres zum Zeichnen von Parabeln y = ax2 + bx + e, dann kann jedes Problem, das auf eine kubische Gleichung (1) ax3 + bx2 + ex = k fiihrt, durch Konstruktion gelost werden, indem nur diese Gerate benutzt werden. Denn setzen wir (2) xy = k , y = ax2 + bx + e, so bedeutet die Auflosung der Gleichung (1) die Auflosung der simultanen Gleichungen (2) durch Eliminieren von y; d. h. die Wurzeln von (1) sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte der Hyperbel und Parabel (2). Daher konnen die LOsungen von (1) konstruiert werden, wenn man Gerate besitzt, mit denen die Hyperbel und Parabel der Gleichungen (2) ge11 zeichnet werden konnen. Seit dem Altertum war den Mathematikern bekannt, daB mancherlei interessante Kurven mit einfachen mechanischen Geraten definiert u.nd gezeichnet werden konnen. Unter diesen "mechanischen Kurven" zahlen die Zykloiden mit zu den merkwtlrdigsten. PTOLEMAUS (etwa 200 n. Chr.) benutzte sie in sehr geistvoller Weise zur Darstellung der Planetenbewegung am Himmel. Die einfachste Zykloide ist diejenige Kurve, die ein bestimmter Punkt auf dem Umfang eines Kreises beschreibt, wenn dieser, ohne zu Fig. 52. Graphlsche LOsung elner kublschen Gleichung gleiten, auf einer geraden Linie rollt. Fig. 53 zeigt vier Lagen des Punktes P auf dem rollenden Kreis. 1m ganzen genommen, bietet die Zykloide den Anblick einer Reihe von Bogen, die auf der Geraden ruhen. Abanderungen dieser Kurve erhaIt man, wenn man den Punkt P entweder im Innern des Kreises (wie auf den Speichen eines Rades) oder auf einer Verlangerung seines Radius (wie auf dem Flansch eines Eisenbahnrades) wahlt. Fig. 54 veranschaulicht diese beiden Kurven. Konstruktion auch durchfiihren wiirde, man miiBte eine Anzahl von Geraden ziehen und ihre Schnittpunkte miteinander und mit dem gegebenen Kreis aufsuchen. Wenn nun die ganze Figur, die aus dem gegebenen Kreis und allen Punkten und Geraden der Konstruktion besteht, dieser Transformation, deren Existenz wir angenommen haben, unterworfen wird, so wird die transformierte Figur alle Bedingungen der Konstruktion erfiillen, aber als Ergebnis einen anderen Punkt als den Mittelpunkt des gegebenen Kreises liefem. Daher ist eine solche Konstruktion unmOglich.

122

III. Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der Zahlk6rper

Eine weitere Variation der Zykloide ergibt sieh, wenn man den Kreis nicht auf einer Geraden rollen laBt, sondem auf einem zweiten Kreis. Wenn der rollende Kreis emit dem Radius r den groBeren Kreis emit dem Radius R dauemd von

Fig. 53. Die Zykloide

innen beriihrt, SO heiBt der Ort, den ein auf dem Umfang von c gelegener Punkt durchlauft, eine Hypozykloide. Wenn der Kreis eden ganzen Umfang von C genau einmal durchlauft, so wird der Punkt P nur dann in seine urspriingliche Lage zuriickkehren, wenn der Radius

Fig. 54. Allgemeine Zykloiden

von C ein ganzes Vielfaches des Radius von c ist. Fig. 55 zeigt den Fall, daB R = 3r ist. Wenn, allgemeiner, der Radius von C das mln-fache dessen von i; ist, wird die Zykloide sieh nach n Umlaufen urn C schlieBen und wird aus m Bogen bestehen. Ein interessanter Sonderfall entsteht, wenn R = 2r. Jeder Punkt des inneren

Fig. 55. Hypozykloide mit drei Spitzen

Fig. 56. Geradlinige Beweg1ing von Punkten eines ~, der in einem Kreis vom doppelten Radius ro1lt

Kreises beschreibt dann einen Durchmesser des groBeren Kreises (Fig. 56). Wir iiberlassen den Beweis dieser Tatsache dem Leser als 'Obungsaufgabe. Ein weiterer Zykloidentyp wird durch einen rollenden Kreis erzeugt, der einen festen Kreis dauemd von auBen beriihrt. Diese Kurve wird Epizykloide genannt.

4. Gelenkmechanismen.

PEAUCELLIERS

*4. Gelenkmechanismen.

und

PEAUCELLlER8

HARTS

und

Inversoren

HART8

123

Inversoren

Wir wollen uns vorHiufig von den Zykloiden abwenden (sie werden an einer unerwarteten Stelle wieder auftauchen), urn andere Methoden der Kurvenerzeugung kennenzulemen. Die einfachsten mechanischen Instrumente zum Kurvenzeichnen sind die Gelenkmechanismen. Ein Gelenkmechanismus besteht aus einer Anzahl starrer Stabe, die in bestimmter Weise gelenkig verbunden sind, und zwar so, daB das ganze System gerade genug Bewegungsfreiheit hat, urn einen seiner

Fig. 57. Umformung einer geradlinigen Bewegung in eine Drehbewegung

Punkte eine gewisse Kurve beschreiben zu lassen. Genau genommen, ist der Zirkel ein einfacher Gelenkmechanismus, da er im Prinzip aus einem einzigen Stab besteht, der an einem Punkt festgehalten wird. Gelenkmechanismen sind seit langem beim Bau von Maschinen benutzt worden. Eines der berfihmten historischen Beispiele, das "Wattsche Parallelogramm", wurde von JAMES WATT erfunden, urn das Problem zu lOsen, den Kolben seiner Dampfmaschine mit einem Punkt des Schwungrades in solcher Weise zu verbinden, daB die Drehung des Schwungrades S den Kolben langs einer geraden Linie bewegt. WATTs Losung war nur angenahert, und trotz der Bemfihungen vieler angesehener Mathematiker blieb das Problem ,/ der Konstruktion eines Gelenkmechanismus, der einen Punkt genau auf einer Geraden bewegt, ungelost. In einer Zeit, in der Beweise ffir die Unlosbarkeit gewisser Probleme eine groBe Rolle spielten und einen besonderen Anreiz ausfibten, Fig. 58. PEAUCIILLlER' Umformung einer Drehbewegung in eine exakt geradlinige Bewegung entstand sogar die Vermutung, daB die Konstruktion eines solchen Mechanismus unmoglich ware. Es gab eine groBe 'Oberraschung, als im Jahre 1864 der franzosische Marineoffizier PEAUCELLIER einen einfachen Gelenkrnechanisrnus erfand, der das Problem loste. Durch die Einffihrung wirksamer Schrnierrnittel hatte allerdings inzwischen das technische Problem flir die Dampfmaschine an Bedeutung verloren. Der Zweck des Gelenkmechanismus von PEAUCELLIER ist die Umwandlung einer Drehbewegung in eine geradlinige. Er beruht auf der in § 4 behandelten Theorie der Inversion. Wie Fig. 58 zeigt, besteht der Mechanismus aus sieben

124

III. Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der Zahlkorper

starren Stiiben, zwei sind von der Lange t, vier von der Liinge s, und ein siebenter ist von beliebiger Lange. 0 und R sind zwei feste Punkte, die so angeordnet sind, daB OR = PR. Das ganze Gerat ist innerhalb der gegebenen Bedingungen frei beweglich. Wir werden beweisen, daB Q ein Stuck einer geraden Linie beschreibt, wenn P einen Kreisbogen mit dem Radius PR beschreibt. Bezeichnen wir den FuBpunkt des Lotes von S auf OQ mit T, so bemerken wir, daB OP . OQ = (OT - PT) (OT + PT) = 01'2- P1'2 = (01'2+ S1'2) - (P1'2+ S1'2) =t2 - S2 .

Die GroBe t2- S2 ist eine Konstante, di~ wir r2 nennen wollen. Da OP' OQ = r2, sind P und Q inverse Punkte in bezug auf einen Kreis urn 0 mit dem Radius r. Wenn P seine kreisformige Bahn durchr liiuft (die durch 0 geht), beschreibt Q die zu dem Kreis inverse Kurve. Diese muB eine Gerade sein, da wir bewiesen haben, daB die Inverse zu jedem Kreis, der durch 0 geht, eine Gerade ist. Folglich ist die Bahn von Q eine gerade Linie, die ohne Benutzung eines Lineals gezeichnet wird. Ein anderer Gelenkmechanismus, der Fig. 59. DerHartsche lnversor dasselbe Problem lOst, ist der Hartsche Inversor. Dieser besteht aus fUnf Stiiben, die gemaB Fig. 59 verbunden sind. Hier ist AB = CD, BC = AD. 0, P und Q sind Punkte, die auf den Staben AB, AD bzw. CB festliegen, und zwar so, daB AO/OB = APjPD = CQ/QB = mjn. Die Punkte 0 und S liegen in der Ebene fest, wobei OS = PS, wahrend das ubrige Gestange frei beweglich ist. Offenbar ist AC immer parallel zu BD. Foiglich liegen 0, P und Q auf einer Geraden, und OP ist auch parallel AC. Wir ziehen AE und CF senkrecht zu BD. Dann haben wir AC· BD = EF . BD = (ED

+ EB) (ED -

EB) = ED2- EB2 .

Aber ED2+AE2= AD2, undEB2+AE2=AB2. DaheristED2_EB2=AD2_AB2. Jetzt ist OPjBD = AOjAB = mj(m + n) und OQ/AC = OBjAB = nj(m + n). Also erhalten wir OP· OQ = [mnj(m + n)2] BD . AC = [mnj(m

+ n)2] (AD2- ABa) .

Diese GroBe ist dieselbe fur alle moglichen Stellungen des Gestiinges. Daher sind P und Qinverse Punkte in bezug auf einen gewissen Kreis urn O. Wird der Mechanismus bewegt, so beschreibt P einen Kreis urn S, der durch 0 geht, wahrend der inverse Punkt Q eine gerade Linie beschreibt. Man kann weitere Gelenkmechanismen (wenigstens im Prinzip) konstruieren, mit denen Ellipsen, Hyperbeln und sogar beliebige Kurven, die algebraischen Gleichungen f(x, y)= 0 von beliebigem Grade befriedigen, gezeichnet werden konnen.

1. Invarianz der Winkel. Kreisscharen

125

§ 6. Weiteres liber die Inversion und ihre Anwendungen 1. Invarianz der Winkel. Kreisscharen Obwohl die Inversion an einem Kreis das Aussehen geometrischer Figuren stark verandert, besteht die merkwiirdige Tatsache, daB viele Eigenschaften der Figuren bei der Transformation unverandert oder "invariant" bleiben. Wie wir bereits wissen, verwandelt die Inversion Kreise und gerade Linien in Kreise und gerade Linien. Wir fiigen dieser Kenntnis jetzt eine weitere bedeutsame Eigenschaft hinzu: Der Winkel zwischen zwei Geraden oder Kurven ist bei der Inversion invariant. Darunter verstehen wir, daB irgend zwei sich sc1meidende Kurven durch die Inversion in zwei andere Kurven iibergehen, die sich unter demselben Winkel schneiden. Unter dem Winkel zwischen zwei Kurven verstehen wir natiirlich den Winkel zwischen ihren Tangenten. Der Beweis wird anhand von Fig. 60 verstandlich; sie stellt den Spezialfall dar, daB eine Kurve C eine Gerade OL in einem Punkt P schneidet. Die Inverse C' von C trifft OL in dem inversen Punkt pi, der auf OL liegt, da OL zu sich selbst invers ist. Wir werden nun Fig. 60. Invarianz der Winkel bei der Inversion zeigen, daB der Winkel %0 zwischen OL und der Tangente an C in P der GroBe nach dem entsprechenden Winkel Yo gleicht. Zu diesem Zweck wahlen wir einen Punkt A auf der Kurve Cinder Nahe von P und ziehen die Sekante AP. Der inverse Punkt zu A ist A', der sowohl auf der Geraden OA wie auf der Kurve C' liegen muB, und daher deren Schnittpunkt bildet. Wir ziehen die Sekante A P'. Nach der Definition der Inversion ist I

oder

r2= OP' OP' = qA ,OA' OP OA

=

OA' OP' •

d. h. die Dreiecke OAP und OA'P' sind ahnlich. Fo1glich ist der Winkel % dem Winkel OA' P' gleich, den wir y nennen wollen. Unser letzter Schritt besteht darin, den Punkt A langs C gegen P wandem zu lassen. Dadurch dreht sich die Sekante AP in die Lage der Tangente an C in P, wahrend der Winkel % in %0 iibergeht. Zugleich nahert sich A' dem Punkt P', und A' P' dreht sich in die Lage der Tangente in P'. Der Winkel y nahert sichyo. Dain jeder Lage von A % gleich y ist, so muB in der Grenze %0= Yo sein. Unser Beweis ist jedoch noch unvollstandig, da wir nur den Fall des Schnitts einer Kurve mit einer Geraden durch 0 betrachtet haben. Aber der allgemeine Fall zweier Kurven C, C*, die bei Peinen Winkelzbilden, HiBt sich nun rascherledigen. Denn es ist klar, daB die Gerade OPP' den Winkel z in zwei Winkel zerlegt, die beide, wie wir wissen, bei der Inversion erhalten bleiben. Es ist zu beachten, daB die Inversion, obwohl sie die Grof3e der Winkel unverandert lil.Bt, deren Drehsinn umkehrt, d. h. wenn ein Strahl durch P den Winkel.%"o entgegen dem Uhrzeigersinn iiberstreicht, so iiberstreicht sein Bild den Winkel Yo im Uhrzeigersinn.

126

III. Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der Zahlkorper

Eine besondere Konsequenz der Invarianz der Winkel bei der Inversion ist es, daB zwei Kreise oder Geraden, die orthogonal sind, d. h. sich im rechten Winkel schneiden, auch nach der Inversion orthogonal bleiben, und daB zwei Kreise, die sich beriihren, d. h. sich unter dem Winkel Null schneiden, dies auch nach der Inversion tun. Betrachten wir nun die Schar alIer Kreise, die durch das Zentrum 0 der Inversion und durch einen anderen festen Punkt A der Ebene gehen. Aus § 4.

I

I

I

I

/

I

I I

I

I

I

Fig. 61. Zwei durch Inversion aufeinander bezosene Systeme orthogonaler Kreise

Abschnitt 2 wissen wir, daB diese Kreisschar in eine Schar von Geraden transformiert wird, die alle durch A', den Bildpunkt von A, gehen. Die Kreisschar; die zu der ursprtlnglichen Schar orthogonal ist, geht in eine Schar von Kreisen fiber, die zu den Geraden durch A' orthogonal sind, wie Fig. 61 zeigt. (Die orthogonalen Kreise sind gestrichelt gezeichnet.) Die einfache Figur des Geradenbiindels scheint von der des Kreisbiindels ganz verschieden zu sein, aber wir sehen, daB beide eng miteinander verwandt sind - vom Standpunkt der Theorie der Inversion sind sie sogar volIkommen aquivalent.

8 A Fig. 62. Sich berilhrende Kreise, die in parallele Geraden transformiert werden

Ein wei teres Beispiel fiir die Wirkung der Inversion liefert eine Schar von Kreisen, die sich im Zentrum der Inversion beriihrE!n (Fig. 62). Durch die Inversion verwandeln sie sich in ein System paralIeler Geraden. Denn die Bilder der Kreise sind gerade Linien, und diese Geraden konnen sich nicht schneiden, da die urspriinglichen Kreise sich nur in 0 treffen.

2. Anwendung auf das Problem des APOLLONIUS

127

2. Anwendung auf das Problem des APOLLONIUS

Ein gutes Beispiel ffir die Brauchbarkeit der Inversion ist die folgende einfache geometrische Losung desapollonischen Problems. Durch Inversion in bezug auf einen beliebigen Mittelpunkt kann das apollonische Problem fiir drei gegebene Kreise in das entsprechende Problem rur drei andere Kreise transformiert werden. Wenn wir also das Problem rur irgendein Tripel von Kreisen losen konnen, so ist es zugleich ffir jedes andere Tripel gelost, das man aus dem ersten durch Inversion

---0 o (

u \,

.0

I

)

Fig. 63. Vorbereitung filr die Ulsung des Apollonischen Problems

erhalten kann. Wir werden diese Tatsache ausniitzen, indem wir aus all diesen aquivalenten Tripeln eines aussuchen, rur welches das Problem von fast trivialer Einfachheit ist. Wir gehen von drei Kreisen mit den Mittelpunkten A, B, C aus und wollen annehmen, daB der gesuchte Kreis U mit dem Mittelpunkt 0 und dem Radius (! die drei gegebenen Kreise von auBen beriihren solI. Wenn wir die Radien der drei gegebenen Kreise urn denselben Betrag d vergroGem, so wird offenbar der Kreis um denselben Punkt 0 mit dem Radius e - d das neue Problem losen. Wir benutzen zunachst diese Tatsache, urn die drei gegebenen Kreise durch drei andere zu ersetzen, von denen zwei sich im Punkt K beriihren (Fig. 63). Dann unterweden wir das Ganze einer Inversion an einem Kreis mit dem Mittelpunkt K. Die c Kreise B und C werden dabei zu parallelen Fig. 64. Ulsung des Apollonischen Problems Geraden b und c, wahrend der
"

128

III. Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der ZahlkOrper

*3. Mehrfache Reflexionen Jeder kennt die eigenartigen Spiegelungserscheinungen. die sich ergeben. wenn man mehrere Spiegel benutzt. Wenn die vier Wande eines rechteckigen Zimmers mit idealen. nicht-absorbierenden Spiegeln be, , deckt waren. so hatte ein Lichtpunkt unendlich viele Spiegelbilder. je eins fUr jedes der kongruen* I ten gespiegelten Zimmer (Fig. 65). Eine weniger regebnaJ3ige Zusammenste1lung von Spiegeln. z. B. von drei Spiege1n. ergibt eine viel kompliziertere I I I Anordnung von Bildern. Die entstehende KonI I I I I II figuration mBt sich nur dann einfach beschreiben. , , I , I wenn die gespiegelten Dreiecke die Ebene ohne *1* i *1* Oberlappung bedecken. Das ist nur der Fall ftir ------~--------+-----------~-----, I I das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck. fUr das * :I * :, , gleichseitige Dreieck und ftir dessen rechtwinklige Fig. 65. Mehrfache Reftexlon an ftJChtwinJ
.

-~--L~------Dl-~--

--J:----*: ,

~

*

I

I

*

-~j~:--D--~'~ I~-I \

,

\ I

I

I

\

,/

\

--~.--------

,/ \ , \

\

I

;'

'\l

,

I

1'\,

\

,

,\

\

,I I I

,I

I

I

\

\

I

I

"/ \

" '\,/ I

\

--7\--------/*,--\/

I

\ \

\ i /

I --1----,,1/ ---t-I \ 1

I

I I

I

I

1 I

I"

\1/ --1-----, •

II

1/

/1\ II ,\

,

,

\

I \ I /

I

I

I

I \l/ I --t----,\----,-: l: \ I I

I

\

Fig. 86. RepImISige AnardnuDgen von Splepln In Dreiecken

Die Situation wird viel interessanter. wenn wir mehrfache Inversionen an zwei Kreisen betrachten. Stiinde man zwischen zwei konzentrischen kreisformigen Spiegeln. so siihe man unendlich viele weitere konzentrische Kreise. Die eine Folge dieser Kreise strebt ins Unendliche. wiihrend die an,,""~-----"" ........... , ,, dere sich urn den Mittelpunkt zu, I , sammenzieht. Der Fall zweier I \ I \ atlBerhalb voneinander gelegener I \ , I Kreise ist etwas komplizierter. vgl. \ J Fig. 67. Hier spiegeln sich die \\ /I Kreise und ihre Spiegelbilder ge\ / '" genseitig ineinander, indem sie mit ........ _-------/ jeder Refiexion kleiner werden. bis sie sich zuletzt auf zwei Punkte zusammenziehen. einem in jedem Fig.~. Mehrfache Reftexlonen In Systemen von zwei Kreisen Kreis. (Diese Punkte haben die I

\

",,,/

3. Mehrfache Reflexionen

129

Eigenschaft, zu einander invers in hezug auf jeden der heiden Kreise zu sein.) Betrachtet man drei Kreise, so ergiht sich das schOne Muster von Fig. 68.

Fig. 68. Rellexion in einem System von drei Kreisen

9

Viertes Kapitel

Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien § 1. Einleitung 1. Klassifizierung geometrischer Eigenschaften. Invarianz bei Transformationen

Die Geometrie beschaftigt sich mit den Eigenschaften von Figuren in der Ebene oder im Raume. Diese Eigenschaften sind so mannigfaltig und verschiedenartig, daB man ein Klassifizierungsprinzip braucht, urn Ordnung in die Hille der gewonnenen Erkenntnisse zu bringen. So kann man zum Beispiel eine Klassifizierung nach der Methode zur Ableitung der Satze vomehmen. Von diesem Standpunkt aus macht man oft die Unterscheidung zwischen "synthetischen" und "analytischen" Verfahren. Synthetisch ist die klassische axiomatische Methode von EUKLID: Der Stoff wird auf rein geometrischer Grundlage entwickelt, unabhangig von der Algebra und dem Begriff des Zahlenkontinuums; die Lehrsatze werden durch logische Schlusse aus einem Anfangssystem von Aussagen abgeleitet, die man Axiome oder Postulate nennt. Demgegenuber beruht die analytische Methode auf der Einfiihrung numerischer Koordinaten und bedient sich der algebraischen Technik. Diese Methode hat eine tiefgreifende Wandlung in der mathematischen Wissenschaft herbeigefuhrt, aus der sich eine Zusammenfassung der Geometrie, der Analysis und der Algebra zu einer organischen Einheit ergeben hat. In diesem Kapitel tritt die Klassifizierung nach der Methode zuruck gegenuber einer Klassifizierung nach dem I nhalt, die sich auf den Charakter der Satze selbst griindet, unabhiingig von den Methoden, mit deren Hilfe sie bewiesen werden. In der elementaren Geometrie unterscheidet man zwischen den Satzen, die die Kongruenz der Figuren betreffen, wobei die Begriffe Lange und Winkel auftreten, und den Satzen, welche die Ahnlichkeit von Figuren betreffen, wobei nur der Winkelbegriff auftritt. Diese spezielle Unterscheidung ist nicht sehr bedeutsam, da Langen und Winkel so eng miteinander zusammenhangen, daB es einigermaBen gekunstelt erscheint, sie zu trennen. (Das Studium dieses Zusammenhanges bildet den Hauptinhalt der Trigonometrie.) Wir konnen sagen, daB die Satze der elementaren Geometrie GrofJen betreffen - Langen, Winkel und Flachen. Zwei Figuren sind von diesem Standpunkt aus aquivalent, wenn sie kongruent sind, das heiBt, wenn die eine aus der anderen durch eine stane Bewegung hervorgeht, wobei sich nur die Lage, aber keine GroBe andert. Es entsteht nun die Frage, ob der Begriff der GroBe und die damit zusammenhangenden Begriffe der Kongruenz und Ahnlichkeit fur die Geometrie unentbehrlich sind, oder ob geometrische Figuren noch tiefere Eigenschaften haben konnen, die selbst bei drastischeren Transformationen als den starren Bewegungen nicht zerstort werden. Dies ist in der Tat der .Fall.

2. Projektive Transformationen

131

Angenommen, wir zeichnen einen Kreis und zwei seiner zueinander senkrechten Durchmesser auf einen rechteckigen Klotz aus weichem Holz, wie in Fig. 69. Wenn dieser Klotz zwischen den Backen eines Schraubstocks auf die Hiilfte seiner urspriinglichen Hohe zusammengestaucht wird, so geht der Kreis in eine Ellipse tiber, und die Durchmesser der Ellipse bilden nicht mehr rechte Winkel. Aile Punkte des Kreises sind vom Mittelpunkt gleich weit entfemt, wiihrend dies ftir die Ellipse nicht mehr zutrifft. Es konnte demnach scheinen, daB aIle geometrischen Eigenschaften der urspriinglichen Figur durch die Kompression zerstort werden. Aber dies ist durchaus nicht der Fall; zum Beispiel gilt die Aussage, daB der Mittelpunkt jeden Durchmesser halbiert, sowohl von dem Kreis wie von der Ellipse. Hier haben wir eine Eigenschaft, die selbst nach einer ziemlich drastischen Andemng in den GroBen der urspriinglichen Figur bestehen bleibt. Diese Bemerkung deuFig. 69. Kompression eines Kreises tet auf die Moglichkeit hin, die Siitze fiber geometrische Figuren danach zu klassifizieren, ob sie erhalten bleiben oder falsch werden, wenn die Figur einer gleichmiiBigen Kompression unterworfen wird. Allgemeiner ausgedriickt: wenn irgendeine bestimmte Klasse von Transformationen einer Figur gegeben ist (wie etwa die Klasse aller starren Bewegungen oder Kompressionen oder Inversionen an Kreisen, usw.), so konnen wir fragen, welche Eigenschaften der Figur bei dieser Klasse von Transformationen ungeiindert bleiben. Das System der Satze fiber diese Eigenschaften ist dann die Geometrie, die dieser Klasse von Transjormationen zugeordnet ist. Der Gedanke, die verschiedenen Zweige der Geometrie nach Klassen von Transformationen einzuteilen, wurde von FELIX KLEIN (1849-1925) in einem bertihmten, 1872 gehaltenen Vortrag (dem "Erlanger Programm") vorgeschlagen. Seitdem hat er das geometrische Denken stark beeinfluBt. 1m Kapitel V werden wir die tiberraschende Tatsache kennenlemen, daB gewisse Eigenschaften geometrischer Figuren sogar dann unzerstorbar bleiben, wenn die Figuren ganz willkfirlichen Deformationen unterworfen werden. Figuren, die auf einem Stfick Gummi aufgezeichnet sind, das in beliebiger Weise gedehnt oder komprimiert wird, behalten immer noch einen Teil ihrer ursprfinglichen Eigenschaften bei. In diesem Kapitel wollen wir uns jedoch mit den Eigenschaften beschaftigen, die unveriindert oder "invariant" bleiben bei einer speziellen Klasse von Transformationen, die zwischen der sehr beschriinkten Klasse der starren Bewegungen einerseits und der aligemeinsten Klasse willkfirlicher Deformationen andererseits liegt. Dies ist die Klasse der "projektiven Transformationen".

(2)

2. Projektive Transformationen Zum Studium dieser geometrischen Eigenschaften wurden die Mathematiker schon vor langer Zeit angeregt durch die Probleme der Perspektive, die von Ktinstlem, wie LEONARDO DA VINCI und ALBRECHT DURER, untersucht wurden. 9*

132

IV. Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien

Das Bild, das ein Maler hersteIlt, kann betrachtet werden als Projektion des Originals auf die Leinwand mit dem Projektionszentrum im Auge des Malers. Bei diesem Vorgang werden Langen und Winkel notwendigerweise verzerrt, in einer Weise, die von der relativen Stellung der verschiedenen dargestellten Objekte abhangt. Dennoch kann die geometrische Struktur des Originals gewohnlich auf der Leinwand recht gut erkannt werden. Wie ist das moglich? Es muB daran liegen, daB es geometrische Eigenschaften gibt, die "invariant gegentiber Projektionen" sind, also Eigenschaften, die im Bilde unverandert erscheinen und daher die Identifizierung ermoglichen. Diese Eigenschaften aufzufinden und zu untersuchen, ist die Aufgabe der projektiven Geometrie. Es ist klar, daB die Lehrsatze dieses Zweiges der Geometrie keine Aussagen tiber Langen und Winkel oder tiber Kongruenzen sein konnen. Einige isolierte Tatsachen tiber Projektionen sind schon seit dem 17. Jahrhundert bekannt, ja sogar seit dem Altertum, z. B. das "Theorem des MENELAOS". Aber ein systematisches Studium der projektiven Geometrie setzte erst am Ende des 18. Jahrhunderts ein, als die Ecole Polytechnique in Paris eine neue Periode mathematischen Fortschritts, insbesondere in der Geometrie, einleitete. Diese Schule war im Gefolge der franzosischen Revolution gegriindet worden, um eine Elite von Beamten und Offizieren ftir die Republik auszubilden. Einer der Schwer war J. V. PONCELET (1788-1867), der seinen beriihmten Traite des proprietes projectives des figures im Jahre 1813 in russischer Kriegsgefangenschaft schrieb. 1m 19. Jahrhundert wurde die projektive Geometrie unter dem EinfiuB von STEINER, von STAUDT, CHASLES und anderen einer der Hauptgegenstande der mathematischen Forschung. Ihre Beliebtheit beruhte zum Tell auf ihrem groBen asthetischen Reiz und zum Tell auf ihrer Bedeutung fUr ein tieferes Verstandnis der Geometrie als Ganzes sowie auf ihrer engen Verkntipfung mit der nichteuklidischen Geometrie und der Algebra.

§ 2. Grundlegende Begriffe 1. Die Gruppe der projektiven Transformationen

Wir definieren zunachst die Klasse oder "Gruppe"l der projektiven Transformationen. Angenommen, wir haben zwei Ebenen 8 und 8' im Raume, die nicht notwendig einander parallel zu sein brauchen. Von einem gegebenen Zentrum 0 aus, das nicht in 8 oder 8' liegt, konnen wir dann eine Zentralprojektion von 8 auf 8' durchfUhren, indem wir als Bild jedes Punktes P von 8 den Punkt P' von 8' definieren, der mit P auf derselben Geraden durch 0 liegt. Wir konnen femer eine Parallelprofektion definieren, bei welcher die projizierenden Geraden aIle parallel genommen werden. In derselben Weise konnen wir auch die Projektion einer Geraden g in der Ebene 8 auf eine andere Gerade g' in 8' von einem Punkt 0 in 8 aus oder durch eine Parallelprojektion definieren. Jede Abbildung einer Figur auf eine andere durch eine Zentral- oder Parallelprojektion oder durch eine endliche 1 Der Ausdruck "Gruppe", auf eine Klasse von Transformationen angewendet, bedeutet, daB die sukzessive Anwendung zweier Transformationen der Klasse wieder eine Transformation derselben Klasse ergibt, und daB die "Inverse" einer Transformation der Klasse wiederum zur Klasse gehOrt. Gruppeneigenschaften mathematischer Operationen haben auf vielen Gebieten eine sehr groBe Rolle gespielt und spielen sie noch, obwohl in der Geometrie die Bedeutung des Gruppenbegriffs vielleicht ein wenig iibertrieben worden ist.

1. Die Gruppe der projektiven Transformationen

133

Folge so1cher Projektionen heiSt eine proiektive Transformationl • Die projektive Gwmetrie der Ebene oder der Geraden besteht aus der Gesamtheit derjenigen geometrischen Satze, die bei willidirlichen projektiven Transformationen der Figuren, auf die sie sich beziehen, ungeii.ndert giiltig bleiben. Demgegeniiber nennen wir metrische Geometrie die Gesamto heit derjenigen Satze, die sich auf die GroSen von Figuren beziehen, und die nur gegeniiber der Klasse der starren Bewegungen invariant sind. Manche projektiven Eigenschaften kann man unmittelbar erkennen. Ein Punkt wirdnatiirlich bei der Projektion wieder ein Punkt. Aber auch eine Ge-

rade wird bei der Froiektion in eine Gerade Ubergefuhrl; denn wenn die Gerade g in e auf die

Fig. 70. Projektion von einem Punkt aus

Ebene e' projiziert wird, so ist die Schnittlinie von e' mit der Ebene durch 0 und g die Gerade g'2. Wenn ein Punkt A und eine Gerade g inzident sinda, dann sind nach der Projektion auch der entsprechende Punkt A' und die Gerade g' inzident. Also ist die I nzidenz eines Funktes 'lind einer Geraden invariant

gegenuber der projektiven Gruppe. Aus dieser Tatsache ergeben sich viele einfache aber bedeutsame Konsequenzen. Wenn drei oder mehr Punkte koUinear sind, d. h. inzident mit derselben Geraden, dann sind ihre BUder ebenfalls kollinear. Ebenso gilt: wenn in der Ebene e drei oder mehr Geraden konku"ent sind, d. h. inzident mit demse1ben Punkte, dann sind ihre BUder ebenfalls konkurrente GeFig. 71. Parallelprojektion raden. Wahrend diese einfachen Eigenschaften - Inzidenz, Kollinearitat und Konkurrenz - projektive Eigenschaften sind (d. h. Eigenschaften, die bei Projektion invariant bleiben), so 1 Zwei Figuren, die durch eine einzige Projektion aus einander entstehen, liegen, wie man gewOhnlich sagt, in Perspektive. Also ist eine Figur F dann durch eine projektive Transformation auf eine Figur F' bezogen, wenn entweder Fund F' in Perspektive sind oder wenn sich eine Folge von Figuren F, Fl' Fl•...• F". F' finden laLlt, von denen jede mit der folgenden in Perspektive ist. I Es gibt Ausnahmen. wenn die Gerade OP (oder die Ebene durch 0 und g) der Ebene e' parallel ist. Diese Ausnahmen werden in § 4 beseitigt. • Ein Punkt' und eine Gerade heiLlen inzident. wenn die Gerade durch den Punkt geht oder der Punkt auf der Geraden liegt. Das neutrale Wort "inzident" lilLlt often, ob die Gerade oder der Punkt als wichtiger angesehen wird.

134

IV. Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien

werden die MaBe von Langen und Winkeln und die Verhaltnisse solcher GroBen im allgemeinen durch Projektion verandert. Gleichschenklige oder gleichseitige Dreiecke konnen durch Projektion in Dreiecke mit lauter verschiedenen Seiten Ubergehen. Wahrend also "Dreieck" ein Begriff der projektiven Geometrie ist, trifft das fUr den Begriff "gleichseitiges Dreieck" nicht zu; dieser gehOrt nur der metrischen Geometrie an.

2. Der Satz von DESARGUES Eine der frUhesten Entdeckungen der projektiven Geometrie war der bertihmte Dreiecksatz von DESARGUES (1593-1662): Wenn in einer Ebene zwei Dreiecke ABC und A' B' C' so gelegen sind, dafJ die Verbindungslinien einander entsprechender Ecken

in einem Punkt 0 konkurrent sind, dann sckneiden sick die Verliingerungen einander entspreckender Seiten in drei kollinearen Punkten. Fig. 72 veranschaulicht den Satz, und der Leser sollte selbst weitere solche Figuren zeichnen, urn den Satz experimentell nachzuprtifen. Der Beweis ist nicht trivial, ~:--- _ _-=::::;.~Q trotz der Einfachheit der Figur, in der nur gerade Linien vorkommen. Der Satz gehort offenbar der projektiven Geometrie an, denn wenn wir die ganze Figur auf eine andere Ebene projizieren, so bleiben alle Eigenschaften, die in dem Satz vorkommen,erhalten. Fig. 72. Die Konfiguration des DESARGUES in der Wir werden auf diesen Satz auf S. 145 zurtickEbene kommen. Vorderhand wollen wir nur auf die merkwtirdige Tatsache hinweisen, daB der Satz des DESARGUES auch noch richtig ist, wenn die beiden Dreiecke in zwei verschiedenen (nicht parallelen) Ebenen liegen, und daB dieser Desarguessche Satz in der dreidimensionalen Geometrie sich sehr einfach beweisen liiBt. Nehmen wir an, daB die Geraden AA', BB' und CC' sich in 0 schneiden (Fig. 73), wie vorausgesetzt. Dann liegt AB in derselben Ebene wie A' B', so daB sich diese beiden Geraden in einem gewissen Punkt Q schneiden; ebenso schneiden sich AC und A'C' in R und BC und B'C' in P. Da nun P, Q und R auf Verlangerungen der Seiten von ABC und A'B'C' liegen, mUssen sie mit jedem der beiden Dreiecke in derselben Ebene liegen und folglich auf der Schnittlinie dieser beiden Ebenen. Daher sind P, Q und R kollinear, was zu beFig. 73. Die Konfiguration des DESARGUES im Raum weisen war. Dieser einfache Beweis legt nahe, daB wir den Satz fur zwei Dimensionen sozusagen durch einen Grenzubergang beweisen konnten, indem wir die ganze Figur immer Bacher werden lassen, bis schlieBlich die beiden Ebenen zusammen-

1. Definition und Beweis der Invarianz

135

fallen und der Punkt 0 ebenso wie alle anderen auch in diese Ebene fant. Es liegt jedoch eine gewisse Schwierigkeit in der Ausfiihrung eines solchen Grenziiberganges, da die Schnittgerade PQR nicht mehr eindeutig bestimmt ist, wenn die Ebenen zusammenfallen. Indessen kann die Konfiguration der Fig. 72 als eine perspektivische Darstellung der raumlichen Konfiguration der Fig. 73 angesehen werden, und dieser Umstand kann benutzt werden, urn den Satz fiir den ebenen Fall zu beweisen. Es besteht tatsa.chlich ein fundamentaler Unterschied zwischen dem Desarguesschen Satz in der Ebene und im Raum. Unser raumlicher Beweis benutzte geometrische Oberlegungen, die nur auf den Begriffen der Inzidenz und des Schnitts von Punkten, Geraden und Ebenen beruhten. Es laBt sich zeigen, daB der Beweis des zweidimensionalen Satzes, wenn el' vollkommen innel'halb del' Ebene gejUhl't werden solI, notwendigerweise die Benutzung des Begriffs der Ahnlichkeit von Figuren erfordert, der jedoch auf der metrischen Vorstellung der Lange beruht und daher kein projektiver Begriff mehr ist. Der Desarguessche Satz laBt sich umkehren: Wenn ABC und A'B'C' zwei Dreiecke sind, die so gelegen sind, daB die Schnittpunkte entsprechender Seiten kollinear sind, so sind die Verbindungslinien entsprechender Ecken konkurrent. Der Beweis fiir den Fall, daB die beiden Dreiecke in zwei nicht parallelen Ebenen liegen, sei zur Obung dem Leser iiberlassen.

§ 3. Das Doppelverhiltnis 1. Definition und Beweis der Invarianz

Ebenso wie die Lange einer Strecke der Schliissel zur metrischen Geometrie ist, so gibt es einen fundamentalen Begriff der projektiven Geometrie, mit dessen Hilfe alle spezifisch projektiven Eigenschaften von Figuren ausgedruckt werden konnen. Wenn drei Punkte A, B, C auf einer Geraden liegen, so wird eine Projektion im allgemeinen nicht nur die Entfernungen AB und BC verandern, sondern auch das Verhiiltnis ABfBC. Tatsachlich lassen sich drei beUebige Punkte A, B, C auf einer Geraden 1 immer drei beliebigen anderen A', B', C' auf einer anderen Geraden l' durch nur zwei aufeinanderfolgende Projektionen zuordnen. Zu diesem Zweck konnen wir die Gerade I' urn den Punkt C' I drehen, bis sie die Lage I" parallel Oooo==::::::::::::::~----:fA;---AA~II\ zu 1 einnimmt (siehe Fig. 74). Dann I' til projizieren wir 1 auf I" durch eine Fig. 74 Projektion parallel der Verbindungslinie CC', womit drei Punkte A", B" und C" (= C') bestimmt werden. Die Verbindungslinien A' A" und B' B" schneiden sich in einem Punkt 0, den wir als Zentrum einer zweiten Projektion wahlen. Diese beiden Projektionen liefern das gewiinschte Ergebnisl. Wie wir eben gesehen haben, kann keine GroBe, in der nur drei Punkte einer Geraden vorkommen, gegeniiber Projektionen invariant sein. Aber - und dies ist die entscheidende Entdeckung der projektiven Geometrie - wenn wir vier Punkte A, B, C, D auf einer Geraden haben und diese in die Punkte A', B', C', D' einer 1

Wie ist es, wenn die Verbindungslinien A A" und B' B" parallel sind? I

136

IV. Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien

anderen Geraden·projizieren, dann gibt es eine gewisse GroBe - niimlich das sogenannte Doppelverhiiltnis der vier Punkte -, die ihren Wert bei der Projektion beibeh1i.lt. Hier haben wir eine mathematische Eigenschaft einer Menge von vier Punkten einer Geraden, die bei einer Projektion nicht zerstort wird und in jedem Bild der Geraden wiedererkannt werden kann. Das Doppelverhaltnis ist weder eine Lange noch das Verhaltnis zweier Langen, sondern das Verhiiltnis rweier solcher Verhiiltnisse: Wenn wir die Verhaltnisse CAICB und DAIDB betrachten, dann heiBt ihr Verhaltnis

o

X=

CA IDA CB DB'

das Doppelverhaltnis der vier Punkte A, B, C, D, in dieser Reihenfolge genommen. Wir wollen nun zeigen: das Doppelverhiilt-

nis von vier Punkten ist gegenUber Profektionen invariant, d. h. wenn A, B, C, D und A Fig. 75. Invarlanz des DoppeIverhliltnlsses be! Zentralprojektion

A', B', C', D' entsprechende Punkte auf zwei durch eine Projektion aufeinander abgebildete Geraden sind, gilt die Beziehung CA IDA CB DB

=

C'A' I D'A' C'B' D'B"

Der Beweis laBt sich ganz elementar fiihren. Wir erinnem uns, daB die Flii.che eines Dreiecks gleich 1/2 (Grundlinie' Hahe) ist und zugleich durch das halbe Produkt zweier beliebiger Seiten, multipliziert mit dem Sinus des eingeschlossenen Winkels, gegeben ist. Wir haben dann in Fig. 75 Flache OCA = Flii.che OCB = Flii.che ODA = Fliiche ODB

.

00

Fig. 76. Invarlanz des Doppe\verhiJtnisses be! Parallelprojektion

=

!h . CA !OA . OC sin ~ COA =

! h· CB ! OB . OC sin ~ COB ! h· DA ! OA ·OD sin ~ DOA !h·DB !OB· ODsin~ DOB. =

=

=

Daraus folgt

CA I DA = CA • DB CB DB CB DA OA • OC • sin
=

Daher hangt das Doppelverhaltnis von A, B, C, D nur von den Winke1n ab, die in 0 von den Verbindungen mit A, B, C, D gebildet werden. Da diese Winkel dieselben sind fUr irgend vier Punkte A', B', C', D', in die A, B, C, D von 0 aus projiziert werden kannen, so folgt, daB das Doppelverhaltnis bei der Projektion unverandert bleibt.

Auch bei PaJ'allelpJ'ojektion bleibt das Doppe1ver. hiiltnis von vier Punkten unverll.ndert, wie aus den elementaren Eigenschaften II.hnlicher Dreiecke folgt. Der Beweis sei zur Obung dem Leser iiberlassen.

1. Definition und Beweis der Invarianz

137

Bis hierher haben wir das Doppelverhiiltnis von vier Punkten A, B, C, D auf einer Geraden 1 als ein Verhiiltnis positiver Langen aufgefaBt. Es ist vorteilhaft, diese Definition folgendermaBen abzuandern. Wir wahlen eine Richtung auf 1 als positiv und verabreden, daB Langen, die in dieser Richtung gemessen werden, positiv sein sollen, wahrend Langen, die in der entgegengesetzten Richtung gemessen werden, negativ sein sollen. Wir definieren nun das Doppelverhaltnis von A, B, C, D in dieser Reihenfolge als die GroBe

(1)

(ABCD)

CA IDA DB'

= CB

wobei die Zahlen CA, CB, DA, DB mit den richtigen Vorzeichen zu versehen sind. Da eine Umkehrung der gewahlten positiven Richtung auf 1nur das Zeichen jedes (ABeIJ) >0

A

B C

(ABCO)<0 A

C

o

B

Fig. 78. Doppelverhiiltnis durch Koordinaten ausgedrilckt

Fig. 77. Vorzeichen des Doppelverhiiltnisses

Gliedes dieses Verhiiltnisses umkehrt, hangt der Wert von (ABCD) nicht von der gewahlten Richtung abo Man sieht leicht ein, daB (ABCD) negativ oder positiv sein wird, je nachdem, ob die Punktpaare A, B und C, D sich gegenseitig trennen oder nicht. Da diese Trennungseigenschaft bei der Projektion invariant ist, ist auch das Doppelverhiiltnis mit Vorzeichen invariant. Wenn wir einen festen Punkt 0 auf 1als Ursprung wahlen und als Koordinate x jedes Punktes auf 1dessen gerichteten Abstand von 0 nehmen, so daB die Koordinaten von A, B, C, D gleich Xl bzw. X 2, X 3, X, sind, dann ergibt sich

(ABeD) = CA I DA CB

DB

==

Xa xa -

Xl

x.

I

Xl -

Xl

x, - x.

=

'

X3 Xa -

Xl • X, X.

x, -

X•• Xl

Wenn (ABCD) = -1, so daB ~! = - ~! dann teilen C und D die Strecke AB innerlich und auBerlich in demselben Verhiiltnis. In diesem Fall sagt man, daB C und D die Strecke AB harmonisch teilen, und jeder der beiden Punkte C, D heiBt harmonisch konjugiert zu dem andern in bezug auf das Paar A, B. Wenn (ABCD) = 1 ist, so fallen die Punkte C und D (oder A und B) zusammen. Man muG beachten, daB die Reihenfolge, in der A, B, C, D genommen werden, fiir die Definition des Doppelverhiiltnisses (ABCD) wesentlich ist. 1st zum Beispiel (ABCD) = it, so ist das Doppelverhiiltnis (BACD) = l/it, wahrend (ACBD) = 1 - it ist, wie der Leser leicht nachrechnen kann. Vier Punkte A, B, C, D konnen auf 4·3·2·1 = 24 verschiedene Arten angeordnet werden, und jede Anordnung gibtdemDoppelverhaltnis einen gewissen Wert. Einige dieser Anordnungen geben denselben Wert fiir das Doppelverhiiltnis wie die urspriingliche Anordnung A, B, C, D; zumBeispielist (A BCD) = (BADC). Zur Obung moge der Leser zeigen, daB es nur sechs verschiedene Werte des Doppelverhiiltnisses fiir diese 24 verschiedenen "Permutationen" der Punkte gibt, namlich it,

1- it,

1

).-1

T' -).-

1 1-).'

). )'-1'

138

IV. Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien

Diese sechs GroBen sind im allgemeinen verschieden, aber zwei von ihnen konnen zusammenfallen, z. B. im Fall der harmonischen Teilung, in dem A = -1 ist. Auch das Doppelverhiiltnis von vier koplanaren (d. h. in einer Ebene gelegenen) und konkurrenten Geraden 1, 2, 3, 4 konnen wir defmieren, und zwar als das Doppelverhaltnis der vier Schnittpunkte dieser Geraden mit einer anderen Geraden derselben Ebene. Die Lage dieser fUnften Geraden ist wegen der Invarianz des Doppelverhiiltnisses bei Projektion unwesentlich. Aquivalent hiermit ist die Definition (1 2 3 4)

=

sin (1, 3) sin (2, 3)

I

sin (1, 4) sin (2, 4)

mit positivem oder negativem Vorzeichen, je nachdem, ob das eine Geradenpaar das andere nicht trennt oder trennt. (In dieser Formel bedeutet zum Beispiel (1, 3) den Winkel zwischen den Geraden 1 und 3.) Endlich konnen wir auch das Doppetverhiiltnis von vier koaxialen Ebenen definieren (d. h. vier Ebenen im Raum, die sich in einer Geraden l, ihrer Achse, schneiden). Wenn eine Gerade die Ebenen in vier Punkten schneidet, so haben diese Punkte unFig. 79. DoppelverhaItnis koaxialer Ebenen abhangig von der Lage der Geraden stets dasselbe Doppelverhiiltnis. (Der Beweis bleibe dem Leser uberlassen.) Daher konnen wir diesen Wert als das Doppelverhaltnis der vier Ebenen bezeichnen. Eine aquivalente Definition ist es, das Doppelverhiiltnis der vier Ebenen dem Doppelverhaltnis der vier Geraden gleiehzusetzen, in denen die vier Ebenen von einer beliebigen funften Ebene geschnitten werden (siehe Fig. 79). Die Begriffsbildung des Doppelverhaltnisses von vier Ebenen fuhrt naturgemaB zu der Frage, ob sich eine projektive Transformation des dreidimensionalen Raumes auf sich selbst definieren laBt. Die Definition durch Zentralprojektion laBt sieh nieht ohne weiteres von zwei auf drei Dimensionen erweitern. Aber es laBt sich beweisen, daB jede stetige Transformation einer Ebene auf sich selbst, die umkehrbar eindeutig Punkte auf Punkte und Geraden auf Geraden abbildet, eine projektive Transformation ist. Dieser Satz legt die folgende Definition fUr drei Dimensionen nahe: Eine projektive Transformation des Raumes ist eine stetige umkehrbar eindeutige Transformation, bei der gerade Linien als solche erhalten bleiben. Es laBt sich zeigen, daB diese Transformationen das Doppelverhaltnis invariant lassen. Die vorstehenden Behauptungen seien noch durch einige Bemerkungen erganzt. Angenommen, wir haben auf einer Geraden drei verschiedene Punkte A, B, C mit den Koordinaten Xl' x 2, x3 • Gesucht sei ein vierter Punkt D, so daB das Doppelverhaltnis (ABCD) = A, wobei A vorgegeben ist. (Der spezielle Fall A = -1, der der Konstruktion des vierten harmonischen Punktes entspricht, soll im nachsten Abschnitt noch im einzelnen besprochen werden.) 1m allgemeinen hat das Problem eine und nur eine Losung; denn ist X die Koordinate des gesuchten Punktes D, so hat die Gleichung (2)

Xa -

Xl • X -

Xa-X.

XI

X-Xl

=.A.

139

2. Anwendung auf das vollstandige Vierseit

genau eine Losung x. Wenn abkiirzen, indem wir Gleichung, daB

X =

t

a-

Xl' X 2, Xa

Xl~

=

k setzen, so finden wir durch Aufiosung dieser

1)

•

(k;; =1)x Xa -

XI

gegeben sind, und wenn wir Gleichung (2)

Wenn zum Beispiel die drei Punkte A, B, C

aquidistant sind mit den Koordinaten

Xl =

2d = 2-).

0, x 2 = d,

und X Wenn wir dieselbe Gerade I von zwei verschiedenen Zentren 0' und 0" aus auf zwei verschiedene Geraden I', I" projizieren, so erhalten wir eine Zuordnung P +-+ P' zwischen den Punkten von I und I' und eine Zuordnung P +-+ pIt zwischen denen von I und I". Dadurch wird eine Zuordnung P' +-+ pIt zwischen den Punkten von I' und denen von I" geschaffen, welche die Eigenschaft besitzt, daB je vier Punkte A', B', C', D' auf I' dasselbe Doppelverhaltnis haben wie die entsprechenden Punkte A", B", C", D" auf I". Jede eineindeutige Zuordnung zwischen den Punkten zweier Geraden, die diese Eigenschaft besitzt, heiBt eine proiektifJe Zuordnung, unabhangig von der speziellen Definition der Zuordnung.

X3=

2d, so ist k = 2dd

=

2

A"

Fig. SO. Projektive Zuordnung zwischen den Punkten zweier Geraden

Obungen: 1. Man beweise: Wenn zwei Geraden und eine projektive Zuordnung zwischen ihren Punkten gegeben sind, kann die eine Gerade durch Parallelverschiebung in eine solche Lage gebracht werden, daB sich die gegebene Zuordnung aus einer einfachen Projektion ergibt. (Anleitung: Man bringe zwei einander entsprechende Punkte der Geraden zur Deckung.) 2. Auf Grund des vorstehenden Resultats ist zu zeigen: Wenn die Punkte zweier Geraden lund l' einander durch eine endliche Folge von Projektionen auf verschiedene zwischengeschaltete Geraden, von beliebigen Projektionszentren aus, zugeordnet sind, kann man dasselbe Ergebnis durch nur zwei Projektionen erzielen.

2. Anwendung auf das vollstandige Vierseit Als eine interessante Anwendung der Invarianz des Doppelverhaltnisses wollen wir einen einfachen, aber wichtigen Satz der projektiven Geometrie aufstellen. Er betrifft das fJoUstiindige Vierseit, eine f Figur, die aus vier beliebigen Geraden besteht, von denen keine drei konkurrent sind, und aus den sechs Punkten, in denen sie sich schneiden. In Fig. 81 sind diese vier Geraden AE, BE, BI, AF. Die Geraden durch AB, EG und ........., ...... IF heiBen die Diagonalen des Vierseits. " -, " Wir nehmen irgendeine der Diagonalen, '- '-, z. B. AB, und markieren darauf die \ " ............ ------------------.0.----- ------------->0 Punkte C und D, in denen sie die beiden \

A

e

B

D

anderen Diagonalen trifft. Dann haben Fig. 81. Das vollstlndige Vierselt wir den Satz: (ABCD) = -I, in Worten: Die Schnittpunkte einer Diagonalen mit den zwei anderen teilen die Ecken auf der ersten Diagonalen harmonisch. Urn dies zu beweisen, stellen wir einfach

140

fest, daB

IV. Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien

x = (ABCD) = (IFHD)

(IFHD)

=

(BACD)

durch Projektion von E aus, durch Projektion von G aus.

Wir wissen aber, daB (BACD) = I/(ABCD); also ist x = I/x, x2 = 1, x = ± 1. Da das Paar C, D das Paar A, B trennt, ist das DoppelverhaItnis negativ und muB daher = -1 sein, was zu beweisen war. Diese merkwlirdige Eigenschaft des vollstandigen Vierseits erlaubt uns, mit dem Lineal allein den harmonisch konjugierten Punkt in bezug auf A, B flir einen beliebigen dritten kollinearen Punkt C zu finden. Wir brauchen nur einen Punkt E auBerhalb der Geraden zu wahlen, EA, EB, EC zu zeichnen, einen Punkt G auf EC zu markieren, AG und BG zu ziehen, die EB und EA in F bzw. I schneiA B -------- den, und dann die Gerade IF zu ziehen, deren Schnittpunkt mit der Geraden durch A, B, C der gesuchte vierte harFig. 82. Fortsetzung einer Geraden hinter einem Hindernis monische Punkt ist. (Jbung: Gegegen sei eine Strecke AB in der Ebene und ein gewisses Gebiet R, wie Fig. 82 zeigt. Die Gerade A B son rechts von R fortgesetzt werden. Wie kann man dies mit dem Lineal allein ausfiihren, ohne daB das Lineal wiilirend der Konstruktion das Gebiet R iiberquert? (Anleitung: Man wahle zwei beliebige Punkte C, C' auf der Strecke AB und suche deren harmonisch konjugierte Punkte D bzw. D' mit Hilfe von jeweils zwei Vierseiten, die A, B als Ecken haben.)

§ 4. Parallelitat und Unendlichkeit 1. Unendlich feme Punkte aIs "uneigentliche Punktelt

Eine genauere Durchsicht des vorigen Abschnitts zeigt, daB manche unserer Argumente versagen, wenn zwei Geraden, die im Verlauf der Konstruktion bis zum Schnittpunkt verlangert werden sollen, in Wirklichkeit parallel sind. Bei der obigen Konstruktion zum Beispiel ist der vierte harmonische Punkt D nicht vorhanden, wenn die Gerade IF der Geraden AB parallel ist. Geometrische Vberlegungen werden standig behindert durch die Tatsache, daB parallele Geraden sich nicht schneiden; so daB immer, wenn Schnittpunkte von Geraden diskutiert werden, der Ausnahmefall paralleler Geraden besonders betrachtet und formuliert werden muB. Ebenso muB die Projektion von einem Zentrum aus unterschieden werden von der Parallelprojektion, die eine gesonderte Behandlung erfordert. Wenn wir wirklich jeden so1chen Ausnahmefall im einzelnen diskutieren mliBten, wiirde die projektive Geometrie sehr kompliziert werden. Urn dem zu entgehen, wollen wir versuchen, unsere GrundbegriJJe so zu erweitern, da/3 die A usnahmen wegJallen. Hier zeigt uns die geometrische Anschauung den Weg : Wenn eine Gerade, die eine zweite schneidet, allmahlich in die Lage parallel zur zweiten gedreht wird, dann wandert der Schnittpunkt ins Unendliche. Wir konnen uns naiv ausdrlicken und sagen, die Geraden schneiden sich in einem "unendlich femen Punkt". Die entscheidende Aufgabe ist nun, dieser unpriizisen Aussage einen exakten Sinn beizulegen, so daB unendlich feme Punkte oder, wie sie zuweilen genannt werden, uneigentliche Punkte, genau so wie gewohnliche Punkte in der Ebene oder im Raum behandelt werden konnen. Mit anderen Worten: Wir verlangen, daB alle

1. Unendlich feme Punkte als "uneigentliche Punkte"

141

Regeln tiber das Verhalten von Punkten, Geraden, Ebenen usw. weiterbestehen, auch wenn diese geometrischen Elemente uneigentlich sind. Zu diesem Zweck konnen wir entweder anschaulich oder formal vorgehen, ebenso wie bei der Erweiterung des Zahlensystems, bei der man sich entweder von der anschaulichen Vorstellung des Messens oder von den formalen Rege1n der arithmetischen Operationen leiten laBt. Machen wir uns zunachst klar, daB in der synthetischen Geometrie selbst die grundlegenden Begriffe des "gewohnlichen" Punkts und der Geraden nicht definiert sind. Die sogenannten Definitionen dieser Begriffe, die sich haufig in Lehrbtichem der elementaren Geometrie finden, sind nur erlautemde Beschreibungen. 1m Fall der gewohnlichen geometrischen Elemente gibt uns die Anschauung hinreichende GewiBheit tiber deren "Existenz". Aber alles, was wir wirklich brauchen in der Geometrie, als mathematisches System betrachtet, ist die Giiltigkeit gewisser Regeln, nach denen wir mit diesen Begriffen umgehen konnen, indem wir etwa Punkte verbinden, Geraden zum Schnitt bringen usw. Logisch betrachtet, ist ein "Punkt" kein "Ding an sich", ist aber vollkommen umschrieben durch die Gesamtheit der Aussagen, die ihn mit anderen Objekten verkntipfen. Die mathematische Existenz von "unendlich femen Punkten" ist gesichert, sobald wir auf klare und widerspruchsfreie Weise die mathematischen Eigenschaftett dieser neuen Objekte formuliert haben, d. h. ihre Beziehungen zueinander und zu "gewohnlichen "Punkten. Die gewohnlichen Axiome der Geometrie (d. h. die euklidischen) sind Abstraktionen aus der physikalischen Welt der Bleistift- und Kreidestriche, der gespannten Saiten, der Lichtstrahlen, der starren Stabe usw. Die axiomatisch formulierten Eigenschaften der mathematischen Punkte und Geraden sind stark vereinfachte und idealisierte Beschreibungen des Verhaltens ihrer physikalischen Gegenstticke. Durch zwei mit dem Bleistift gezeichnete. Punkte kann man nicht eine, sondem sehr viele Bleistiftgeraden ziehen. Werden die Punkte kleiner und kleiner im Durchmesser, so werden alle diese Geraden angenahert zusammenfallen. Das ist es, was wir meinen, wenn wir sagen, daB sich "durch zwei Punkte eine und nur eine Gerade ziehen laBt"; wir sprechen dabei nicht von physikalischen Punkten und Geraden, sondem von den abstrakten, begrifflichen Punkten und Geraden der Geometrie. Geometrische Punkte und Geraden haben wesentlich einfachere Eigenschaften als irgendwelche physikalischen Objekte, und diese Vereinfachung liefert die wesentliche Vorbedingung fur die Entwicklung der Geometrie als deduktiver Wissenschaft. Wir haben aber bemerkt, daB die gewohnliche Geometrie von Punkten und Geraden noch dadurch stark kompliziert wird, daB ein Paar paralleler Geraden sich nicht in einem Punkt schneidet. So sind wir darauf gefuhrt worden, die Struktur der Geometrie noch weiter zu vereinfachen, indem wir den Begriff des geometrischen Punktes derarl erweitem, daB diese Ausnahme verschwindet, ebenso wie wir den Begriff der Zahl erweiterten, um die Beschrankungen hinsichtlich der Subtraktion und Division zu beseitigen. Auch in der Geometrie lassen wir uns von dem Prinzip leiten, in dem erweiterten Gebiet dieselben Gesetze beizubehalten, die in dem ursprunglichen Gebiet galten.

Wir werden daher vereinbaren, dap zu den gewohnlichen Punkten ieder Geraden ein einziger "uneigentlicher" Punkt hinzugeJUgt werden soU. Dieser Punkt soU aUen zu der gegebenen Geraden paraUeZen Geraden gemeinsam sein und keiner anderen

142

IV. Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien

Geraden angehiWen. Nach dieser Festsetzung hat iedes Paar von Geraden in der Ebene einen Schnittpunkt: sind die Geraden nicht parallel, so schneiden sie sich in einem gewohnlichen Punkt; sind sie dagegen parallel, so schneiden sie sich in dem uneigentlichen Punkt, der den beiden Geraden gemeinsam ist. Geometrische Intuition suggeriert fur den uneigentlichen Punkt einer Geraden den Namen 14nendlich jerner P14nkt der Geraden. Die anschauliche Vorstellung eines Punktes. der auf einer Geraden ins Unendliche riickt. kOnnte nahelegen, daB wir jeder Geraden zwei unendlich feme Punkte zuschreiben sollten. einen fiir jede Richtung langs der Geraden. Der Grund, warum wir ihr nur einen zuschreiben, ist, daB wir das Gesetz beibehalten wollen: Durch irgend zwei Punkte kann man eine und nur eine Gerade ziehen. Wenn eine Gerade zwei unendlich feme Punkte besaBe, die allen parallelen Geraden gemeinsam waren, dann wiirden durch diese beiden "Punkte" unendlich viele paralle1e Geraden gehen.

Wi,. woUen jerner verabreden, dap z14 den gewiihnlichen Geraden einer Ebene eine einzige ..14neigentliche" Gerade hinz14kommen soU (auch unendlich ferne Gerade der Ebene genannt), die aUe 14neigentlichen P14nkte der Ebene 14nd keine anderffl P14nkte enthalten soU. Zu dieser Festsetzung sind wir gezwungen, wenn wir das ursprfingliche Gesetz beibehalten wollen, daJ3 durch je zwei Punkte eine Gerade gezogen werden kann, und das neu gewonnene Gesetz, daJ3 zwei beliebige Geraden sich in einem Punkte schneiden. Um dies einzusehen, wahlen wir zwei beliebige uneigentliche Punkte. Dann kann die einzige Gerade, die sich durch diese Punkte ziehen lassen muB, keine gewohnliche Gerade sein, da nach unserer Festsetzung jede gewohnliche Gerade nur einen uneigentlichen Punkt enthaIt. Ferner kann diese Gerade keinen gewohnlichen Punkt enthalten, da ein gewohnlicher Punkt zusammen mit einem uneigentlichen Punkt eine gewohnliche Gerade bestimmt. Endlich muB diese Gerade samtliche uneigentlichen Punkte enthalten; da wir verlangen, daB sie mit jeder gewohnlichen Geraden einen Punkt gemeinsam haben soIl. Daher muB diese Gerade genau die Eigenschaften haben, die wir der uneigentlichen Geraden in der Ebene zugeschrieben haben. GemaB unseren Festsetzungen ist ein unendlich ferner Punkt bestimmt oder dargestellt durch eine Schar paralleler Geraden, ebenso wie eine irrationale Zahl durch eine Folge von ineinandergeschachtelten rationalen Intervallen bestimmt ist. Die Aussage, daB der Schnittpunkt zweier paralleler Geraden ein unendlich ferner Punkt ist, hat keinerlei mysteriose Bedeutung, sondern ist einfach eine bequeme Ausdrucksweise dafur, daJ3 die Geraden parallel sind, und der Hinweis auf einen unendlich fernen Schnittpunkt ist lediglich eine Ausdrucksweise zu dem Zweck, die Aufzahlung von Ausnahmefanen uberflfissig zu machen. Diese Fane sind dann von selbst durch die gleichen sprachlichen Ausdrficke oder Symbole, die fur die ..gewohnlichen" Fane gelten, mit erfaBt. ZusammengefaBt: Unsere Vereinbarungen uber unendlich ferne Punkte sind so gewahlt, daB die Gesetze, die die Inzidenzbeziehungen zwischen gewohnlichen Punkten und Geraden beherrschen, auch fur den erweiterten Begriff des Punktes gfiltig bleiben, wwend die Operation des Schneidens zweier Geraden, die bisher nur fur nichtparallele Geraden moglich war, jetzt ohne Einschrankung durchffihrbar ist. Die tl'berlegungen, die zu dieser formalen Vereinfachung der Inzidenzbeziehungen ffihrten, magen etwas abstrakt erscheinen. Aber sie werden durch den Erfolg voll gerechtfertigt, wie der Leser in den folgenden Abschnitten sehen wird.

2. Uneigentliche Elemente und Projektion

143

2. Uneigentliche Elemente und Projektion

Die Einfuhrung unendlich ferner Punkte und der unendlich fernen Geraden einer Ebene gestattet uns, die Projektion einer Ebene auf eine andere in einer vollkommeneren Weise zu behandeln. Betrachten wir die Projektion einer Ebene e auf eine Ebene e' von einem Zentrum 0 aus (Fig. 83). Diese Projektion stellt eine Zuordnung zwischen den Punkten und Geraden von e und denen von e' her. J edem Punkt A von e entspricht ein einziger Punkt A' von e' mit den folgenden Ausnahmen: Wenn der projizierende Strahl durch 0 der Ebene e' parallel ist, so schneidet er e in einem Punkt A, dem in e' kein gewohnlicher Punkt entspricht. Diese auszunehmenden Punkte von e liegen auf einer Geraden l, der keine gewohnliche Gerade von e' entspricht. Aber diese Ausnahmen werden beseitigt, wenn wir die Vereinbarung treffen, daB Adem unendlich fernen Punkt von e' in der Richtung der Geraden OA entspricht, und daB der Geraden l die unendlich ferne Gerade von e' entspricht. In derselben Weise ordnen wir einen unendlich fernen Punkt von e jedem Punkt B' auf der Geraden m' in e' zu, durch die alle Strahlen von 0 aus gehen, die Fig. 83. Projektion in unendlich ferne Elemente der Ebene e parallel sind. Der Geraden m' entspricht die unendlich ferne Gerade von e. Infolge der Einfuhrung von unendlich fernen Punkten und Geraden einer Ebene steLU demnach die Proiektion einer Ebene aUf eine andere eineZuordnung zwischen den Punkten und Geraden der beiden Ebenen her, die ohne Ausnahme eineindeutig ist. (Hiermit sind die Ausnahmen, die in der Anmerkung auf S. 133 erwahnt wurden, beseitigt.) Es ist ferner leicht zu sehen, daB infolge unserer Vereinbarung ein Punkt dann und nur dann auf einer Geraden liegt, wenn seine Projektion auf der Projektion der Geraden ·liegt. Foiglich sind alle Aussagen uber kollineare Punkte, konkurrente Geraden usw., in denen nur Punkte, Geraden und die Inzidenzbeziehungen vorkommen, als invariant bei Projektion im erweiterten Sinne zu erkennen. Dies erlaubt uns, mit den unendlich fernen Punkten einer Ebene e zu operieren, indem wir einfach mit den entsprechenden gewohnlichen Punkten einer Ebene e' operieren, die der Ebene e durch eine Projektion zugeordnet ist. *Die Deutung der unendlich fernen Punkte einer Ebene e mit Hilfe einer Projektion von einem auBerhalb gelegenen Punkt 0 auf gewohnliche Punkte einer anderen Ebene e' kann benutzt werden, wn ein konkretes euklidisches "Modell" der erweiterten Ebene zu liefern. Zu diesem Zweck sehen wir einfach von der Ebene e' ab und beschranken unsere Aufmerksamkeit auf die Ebene e und die Geraden durch O. Jedem gewohnlichen Punkt von e entspricht eine Gerade durch 0, die nicht parallel zu e ist; jedem unendlich fernen Punkt von e entspricht eine zu e parallele Gerade durch O. Daher entspricht die Gesamtheit aller Punkte von e, der gewohnlichen und der uneigentlichen, der Gesamtheit aller Geraden durch den Punkt 0, und diese Zuordnung ist eineindeutig ohne Ausnahme. Die Punkte auf einer Geraden

144

IV. Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien

von e entsprechen den Geraden in einer Ebene durch O. Ein Punkt und eine Gerade sind inzident dann und nur dann, wenn die entsprechende Gerade und Ebene inzident sind. Daher ist die Geometrie der Inzidenz von Punkten und Geraden der erweiterten Ebene vollkommen aquivalent der Geometrie der Inzidenz der gewohnlichen Geraden und Ebenen durch einen fest en Punkt im Raume. *In drei Dimensionen besteht eine ahnliche Situation, obwohl wir diese hier nicht mehr durch Projektion anschaulich machen konnen. Wir fiihren wieder zu jeder Schar von parallelen Geraden einen zugeordneten unendlich femen Punkt ein. In jeder Ebene haben wir eine unendlich feme Gerade. Sodann miiSsen wir ein neues Element einfiihren, die unendlieh ferne Ebene, die aus allen unendlich femen Punkten besteht und alle unendlich femen Geraden enthalt. Jede gewohnliche Ebene schneidet die unendli-ch feme Ebene in ihrer unendlich femen Geraden. 3. Doppelverhiiltnisse mit unenjlich femen Elementen

Es ist noch eine Bemerkung zu machen iiber Doppelverhaltnisse, in denen unendlich feme Elemente vorkommen. Wir wollen den unendlich femen Punkt einer Geraden 1 durch das Symbol 00 bezeichnen. Wenn A, B, C drei gewohnliche Punkte auf 1 sind, so konnen wir dem Symbol (ABC (0) auf folgende Weise einen Wert beilegen: (ABC (0) soll der Grenzwert sein, dem (ABCP) sich nahert, wenn ein gewohnlicher Punkt P auf 1 langs 1 ins Unendliche wandert. Nun ist ~/N "', (ABCP) = CB PB'

'"

leo

,

""""'"

"

I

~:"-~---~-----"p~Fig. 84. DoppelverhiltDls mit einem UDeDdlich fernen Punkt

und wenn P ins Unendliche rUckt, nahert sich PAIPB dem Wert 1. Daher defiIrieren wir (ABC (0)

=

CAICB .

1st insbesondere (ABC (0) = -1, so ist C der Halbierungspunkt der Strecke AB: Der Halbierungspunkt una der unendlieh ferne Punkt in der Riehtung einer

St,eeke teilen die St,eeke ha,moniseh.

I,.

tJbungen: Was ist das Doppe1verhiiltnis von vier Geraden ~, I., la, wenn sie parallel sind? Was ist das Doppe1verhiiltnis, wenn I, die unendlich feme Gerade ist ?

§ 5. Anwendungen 1. Vorbereitende Bemerkungen

Nach Einfiihrung der unendlich femen Elemente ist es nicht mehr notwendig, die Ausnahmefalle, die in Konstruktionen und Satzen auftreten, wenn zwei oder mehr Geraden parallel sind, ausdriicklich anzufiihren. Wir brauchen uns nur zu merken, daB alle Geraden durch einen unendlich femen Punkt parallel sind. Zwischen Zentral- und Parallelprojektion braucht nicht mehr unterschieden zu werden, da die letzte einfach eine Projektion von einem unendlich femen Punkt aus bedeutet. In Fig. 72 kann der Punkt 0 oder die Gerade PQR unendlich fern sein (Fig. 85 zeigt den ersten Fall); es sei dem Leser zur Vbung empfohlen, die entsprechende Aussage des Desarguesschen Satzes in "endlicher" Ausdrucksweise zu formulieren.

145

2. Beweis des Desarguesschen Satzes in der Ebene

Nicht nur die Formulierung, sondem sogar der Beweiseines projektiven Satzes wird oft vereinfacht, wenn man sich unendlich femer Elemente bedient. Das allgemeine Prinzip ist folgendes: Unter der "projektiven Klasse" einer geometrischen Figur F verstehen wir die Klasse aller Figuren, in die F durch projektive Transformationen verwandelt werden kann. Die projektiven Eigenschaften von F werden mit denen jedes Mitgliedes seiner projektiven Klasse identisch sein, da projektive Eigenschaften nach Definition bei Projektion invariant sind. Daher wird jeder fur F geltende projektive Satz (d. h. ein solcher, der nur projektive Eigenschaften betrifft) auch fur jedes Mitglied der projektiven Klasse von F gelten, und umgekehrt. Urn also irgendeinen solchen Satz fur F zu beweisen, genugt es, wenn man ihn fur ein beliebiges Mitglied der projektiven Klasse von Fig. 85. Die Desarguessche Konliguration mit F beweist. Wir konnen dies haufig mit unendlich femem Projcktionszentrum Vorteil benutzen, indem wir ein spezieiles Glied der Klasse von F aufsuchen, fur das sich der Satz einfacher beweisen HiBt als fUr F selber. Zum Beispiel konnen zwei beliebige Punkte A, B einer Ebene e ins Unendliche projiziert werden, wenn man von einern Zentrum 0 aus auf eine zu der Ebene OAB parallele Ebene e' projiziert. Die Geraden durch A und die durch B werden dann in zwei Scharen paralleler Geraden umgewandelt. Fur die projektiven Satze, die in diesem Abschnitt bewiesen werden soilen, werden wir eine solche vorbereitende Transformation vomehrnen. Die folgende elernentare Tatsache uberparallele Geraden wird Fig. 86 sich als ntitzlich erweisen. Zwei Geraden, die sich in 0 schneiden, rnogen durch ein Geradenpaar 11 und 12 in den Punkten A, B, C, D geschnitten werden, wie Fig. 86 zeigt. Wenn Zt und 12 parallel sind, so gilt

:..---}-

OA

OB

OC =OD

und umgekehrt, wenn ~ = ~~ ist, SO sind 11 und 12 parallel. Der Beweis folgt aus elernentaren Eigenschaften ahnlicher Dreiecke und bleibe dern Leser uberlassen. 2. Beweis des Desarguesschen Satzes in der Ebene Wir liefem jetzt den Beweis, daB fur zwei Dreiecke ABC und A'B'C', die in einer Ebene liegen, wie Fig. 72 zeigt, und bei denen sich die Verbindungslinien entsprechender Eckpunkte in einern Punkte schneiden, die Schnittpunkte P, Q, R der entsprechenden Seiten auf einer Geraden liegen. Zu diesern Zweck projizieren wir zunachst die Figur so, daB Q und R ins Unendliche rticken. Nach Courant u. Robbins, Mathematik

10

146

IV. Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien

dieser Transformation wird AB parallel A'B' und AC parallel A'C' sein, und die Figur wird erscheinen, wie Fig. 87 zeigt. Wie wir im Abschnitt 1 dieses Paragraphen auseinandergesetzt haben, genugt es zum Beweis des allgemeinen Desarguesschen Satzes. wenn wir ihn fur diese spezielle Form der Figur beweisen. Hierzu brauchen wir nur zu zeigen, daB auch der Schnittpunkt von BC und B'C' ins Unendliche rUckt, so daB BC parallel B'C' ist; dann sind namlich P, Q. R tatsachlich kollinear (da sie auf der unendlich fern en Geraden liegen). Nun folgt aus ABIIA'B'

und aus AC

II A'C'

u

.,

v

s

x y

.,

-=-

s

Daher ist ~ = .!...., und hieraus folgt v y BC II B'C', was zu beweisen war. Man beachte. daB dieser Beweis Fig. 87. Beweis des Desarguesschen Satzes des Desarguesschen Satzes den metrischen Begriff der Lange einer Strecke benutzt. Wir haben also einen projektiven Satz mit metrischen Hilfsmitteln bewiesen. Wenn uberdies projektive Transformationen als ebene Transformationen definiert werden, bei denen das Doppelverhiiltnis erhalten bleibt (siehe S. 138). so bewegt sich dieser Beweis vollstandig innerhalb der Ebene. Cbung: Man beweise in ii.hnlicher Weise die Umkehrung des Desarguesschen Satzes: Wenn die Dreiecke ABC und A'B'C' die Eigenschaft haben, daB P , Q, R kollinear sind, dann sind die drei Geraden AA', BB', CC' konkurrent.

3. Der PascaIsche Satzl Dieser Satz sagt aus: Wenn die Ecken eines Secksecks abweckselnd auf ie einer von einem Paar sick sckneidender Geraden liegen, dann sind die drei Scknittpunkte P , Q, R von gegenUberliegenden Seiten des Secksecks kollinear (Fig. 88) . (Das Sechseck kann sich auch selbst schneiden. Die "gegenuberliegenden" Seiten sind aus dem schematischen Diagramm der Fig. 89 zu erkennen.)

\

I

I

I

I

I

I

,J

.\ '.\ /" \

\

I

I

\i/

I? ".\ Fig. 88. Die Pascalsche KOnliguratiOD

Fig. 89

1 Auf S. 161 werden wir einen allgemeineren Satz yom gleichen Typ besprechen. Der vorliegende Spezial£aU ist auch unter dem Namen seines Entdeckers, PAPPUS von Alexandria (drittes Jahrhundert n. Chr.) bekannt.

147

5. Das Dualitatsprinzip

Durch Projektion konnen wir erreichen, daB P und Q unendlich feme Punkte sind. Dann brauchen wir nur zu beweisen, daB auch R unendlich fern ist. Die Situation ist in Fig. 90 dargestellt, in der 231156 und 12 II 45. Wir haben zu zeigen, daB 1611 34. Esgilt IJ b+y b IJ+~ b+y=IJ+~+" . IJ+~ = b+y+s' Daher ist IJ+~+" -IJb = -'----'-b+y+s'

also ist 161134, was zu beweisen war. 4. Der Satz von Brianchon y Dieser Satz sagt aus: Wenn die Seiten eines Fig. 90. Beweis des Pascalschen Satzes Sechsecks abwechselnd durch zwei feste Punkte P und Q gehen, dann sind die drei Diagonalen, welche gegenuberUegende Ecken des Sechsecks f)erbinden, konku"ent. (siehe Fig. 91). Mittels einer Projektion konnen wir den Punkt P und den Schnittpunkt von zwei der Diagonalen, etwa 14

Fig. 91. Die BrianchODSCbe Konfiguration

Fig. 92. Beweis des Satzes vonBrianchon

und 36, ins Unendliche rocken lassen, siehe Fig. 92. Da 141136 ist, haben wir alb = Ulf). Aber es ist xly = alb und Ulf) = rls. Daher ist xly = rls und folglich 36 II 25, so daB alle drei Diagonalen parallel und somit konkurrent sind. Damit ist der Satz auch im allgemeinen Fall bewiesen.

5. Das Dualitatsprinzip Der Leser hat vielleicht schon die merkwfirdige Ahnlichkeit zwischen den Satzen von PASCAL (1623-1662) und BRIANCHON (1785-1864) bemerkt. Diese Ahnlichkeit wird besonders auffallend, wenn wir die beiden Satze nebeneinanderschreiben. Satz f)on PASCAL Satz f)on BRIAN CHON Wenn die Ecken eines Sechsecks Wenn die Seiten eines Sechsecks abwechselnd aUf zwei Geraden liegen, sind abwechselnd durch zwei Punkte gehen, die Schnittpunkte gegenUberliegender Sei- sind die Verbindungslinien gegenuberten kollinear. Uegender Ecken konku"ent. 10*

148

IV. Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische GeometTien

Nicht nur die Satze von PASCAL und BRIANCHON, sondern alle Satze der projektiven Geometrie treten paarweise auf, wobei jeweils der eine dem anderen ahnlich und sozusagen von gleicher Struktur ist. Diese Beziehung nennt man Dualitiit. In der ebenen Geometrie nennt man Punkt und Gerade duale Elemente. Eine Gerade durch einen Punkt ziehen und einen Punkt auf einer Geraden markieren, sind duale Operationen. Zwei Figuren sind dual, wenn die eine aus der anderen dadurch hervorgeht, daB alle Elemente und Operationen durch die jeweils dualen Elemente und Operationen ersetzt werden. Zwei Satze sind dual, wenn sich einer dadurch in den anderen verwandelt, daB alle Elemente und Operationen durch ihr duales Gegenstilck ersetzt werden. So zum Beispiel sind die Satze von PASCAL und BRIANCHON dual, und das duale Gegenstilck zum Satz von DESARGUES ist seine eigene Umkehrung. Dieses Phanomen der Dualitat gibt der projektiven Geometrie einen eigenen Charakter, der sie von der elementaren (metrischen) Geometrie, in der es keine solche Dualitat gibt, deutlich unterscheidet. (Zum Beispiel ware es sinnlos, von dem Dualen eines Winkels von 37° oder einer Strecke von der Lange 2 zu sprechen.) Die Tatsache, daB das duale Gegenstiick iedes wahren Satzes der proiektiven Geometrie eben/alls ein wahrer Satz der profektiven Geometrie ist, bezeichnet man als das "Dualitiitsprinzip". Dieses wird in manchen Lehrbuchern der Projektiven Geometrie dadurch veranschaulicht, daB man die dualen Satze sowie ihre dualen Beweise in Spalten nebeneinander auf einer Seite abdruckt, so wie wir es oben getan haben. Den tieferen Grund fur diese Dualitat werden wir im folgenden Abschnitt erortern (siehe auch S. 166).

§ 6. Analytische Darstellung 1. Einleitende Bemerkungen In der Anfangszeit der Entwicklung der projektiven Geometrie versuchte man, sie nur auf synthetischer und "rein geometrischer" Basis aufzubauen und die Benutzung von Zahlen und algebraischen Methoden zu vermeiden. Dieses Programm traf auf erhebliche Schwierigkeiten, da an gewissen Stellen eine algebraische Formulierung unvermeidlich schien. Ein rein synthetischer Aufbau der projektiven Geometrie gelang erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts, und nur urn den Preis erheblicher KompIikationen. In dieser Hinsicht sind die Methoden der analytischen Geometrie viel erfolgreicher gewesen. Die allgemeine Tendenz der modernen Mathematik ist, alles auf den Zahlbegriff zu grunden, und in der Geometrie hat diese Tendenz, die bei FERMAT und DESCARTES begann, entscheidende Triumphe gefeiert. Die analytische Geometrie hat sich aus einem bloBen Werkzeug fur geometrische tJbedegungen zu einer Disziplin entwickelt, in der die anschauliche geometrische Deutung der Operationen und Resultate nicht mehr das letzte und ausschIieBIiche Ziel ist, sondern eher die Rolle eines Leitprinzips spielt, das die Anregung zu den analytischen Resultaten gibt und ihr Verstandnis fordert. Dieser Wandel in der Auffassung der Geometrie ist das Ergebnis einer allmahIichen historischen Entwicklung, die den Bereich der klassischen Geometrie wesentIich erweitert und zugleich eine fast organische Einheit von Geometrie und Analysis, oder eigentlich "linearer Algebra", herbeigefuhrt hat. In der analytischen Geometrie sind die "Koordinaten" eines geometrischen Objekts irgendeine Menge von Zahlen, die das Objekt eindeutig kennzeichnen. So

2. Homogene Koordinaten. Die aigebraische Grundiage der Dualitat

149

wird ein Punkt definiert durch Angabe seiner rechtwinkligen Koordinaten x, y oder seiner Polarkoordinaten e, 0, wahrend ein Dreieck durch Angabe der Koordinaten seiner drei Ecken definiert werden kann, wozu im ganzen 6 Koordinaten erforderlich sind. Wir wissen, daB eine Gerade in der x, y-Ebene der geometrische Ort aller Punkte P(x, y) ist (siehe S. 60 wegen dieser Schreibweise), deren Koordinaten eine gewisse lineare Gleichung

(1) ax+by+c=O befriedigen. Wir k6nnen daher a, b, c die "Koordinaten" dieser Geraden nennen. Zurn Beispiel definiert a = 0, b = 1, c = 0 die Gerade y = 0, also die x-Achse; a = 1, b = -1, c = 0 definiert die Gerade x = y, die Winkelhalbierende zwischen der positiven x-Achse und der positiven y-Achse. In derselben Weise definieren quadratische Gleichungen "Kegelschnitte": x2+y2=r2 (x - a)2 + (y - b)2 = r2

einen Kreis urn den Ursprung mit dem Radius r einen Kreis urn (a, b) mit dem Radius r eine Ellipse

usw. In naiver Weise gelangt man zur analytischen Geometrie, wenn man von rein "geometrischen" Begriffen ausgeht - Punkten, Geraden usw. - und diese dann in die Sprache der Zahlen iibersetzt. Die moderne Mathematik verfahrt genau umgekehrt. Wir gehen von der Menge aller Zahlenpaare x, y aus und nennen jedes solche Paar einen Punkt, da wir, wenn wir wollen, ein solches Zahlenpaar durch das wohlbekannte Blld eines geometrischen Punktes deuten oder veranschaulichen k6nnen. Ebenso sagen wir von einer linearen Gleichung zwischen x und y, daB sie eine Gerade definiert. Eine solche Verschiebung des Nachdrucks von der anschaulichen auf die analytische Betrachtungsweise der Geometrie erlaubt eine einfache und doch strenge Behandlung der unendlich fernen Punkte in der projektiven Geometrie und ist unentbehrlich flir ein tieferes Verstandnis des ganzen Fragenkomplexes. Fiir diejenigen Leser, die einige Vorkenntnisse besitzen, wollen wir diese Auffassung kurz skizzieren. *2. Homogene Koordinaten. Die algebraische Grundlage der Dualitat

In der gew6hnlichen analytischen Geometrie sind die rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes in der Ebene die gerichteten Abstande des Punktes von einem Paar aufeinander senkrechter Achsen. Dieses System versagt fiir die unendlich fernen Punkte in der erweiterten Ebene der projektiven Geometrie. Wenn wir also analytische Methoden auf die projektive Geometrie anwenden wollen, so miissen wir ein Koordinatensystem suchen, das sowohl die uneigentlichen wie die gew6hnlichen Punkte urnfaBt. Die Einflihrung eines solchen Koordinatensystems laBt sich am besten beschreiben, wenn wir annehmen, daB die gegebene X, Y-Ebene e im dreidimensionalen Raum eingebettet ist, wo die rechtwinkligen Koordinaten x, y, z (die gerichteten Abstande eines Punktes von den drei Koordinatenebenen, die durch die x, y und z-Achse bestimmt sind) bereits eingefiihrt worden sind. Wir legen e parallel zu der x, y-Ebene in der Entfernung 1 dariiber, so daB ein beliebiger Punkt P von e die dreidimensionalen Koordinaten (X, Y, 1) hat. Nehmen wir den

150

IV. Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien

Ursprung 0 des Koordinatensystems als Projektionszentnun, so sehen wir, daB feller Punkt Peine einzige Gerade durch 0 bestimmt und umgekehrt. (Siehe S. 143). Die Geraden durch 0 parallel zu B entsprechen den unendlich fernen Punkten vonB. Wir werden jetzt ein System "homogener Koordinaten" fUr die Punkte von B beschreiben. Urn die homogenen Koordinaten eines beliebigen gewohnlichen Punktes P von e zu finden, nehmen wir die Gerade durch 0 und P und wahlen einen beliebigen von 0 verschiedenen Punkt Q auf dieser Geraden (siehe Fig. 93). Dann werden die gewohnlichen dreidimenz sionalen Koordinaten x, y, z von Q homogene Koordinaten von P genannt. Insbesondere sind die Koordinaten (X, Y, 1) von P selbst auch ein System homogener Koordinaten fur P. Ja, irgendein System von drei Zahlen (tX, tY, t) mit t =F 0 bildet gleiehfalls ein System homogener Koordinaten ffir P, da die Koordinaten jedes Punktes auf der Geraden OP, auBer P selbst, diese Form haben. (Wir haben den Punkt (0, 0, 0) ausgeschIossen, da er auf allen Geraden durch 0 liegt und also nicht dazu dienen II kann, die Geraden voneinander zu unterFig. 93. Homoseae Koordinaten scheiden.) Diese Methode, Koordinaten fur die Ebene einzufiihren, erfordert drei statt zwei Zahlen, urn die Lage eines Punktes festzulegen und hat noch den weiteren Nachteil, daB die Koordinaten eines Punktes nicht eindeutig bestimmt sind, sondern nur bis auf einen willkurlichen Faktor t. Aber sie hat den groBen Vorteil, daB die unendlich fern en Punkte von e jetzt von der Koordinatendarstellung auch erfaBt werden. Ein unendlich ferner Punkt von B ist bestimmt durch eine Gerade durch 0 parallel zu B. Jeder Punkt Q auf dieser Geraden hat Koordinaten von der Form (x, y, 0). Also haben die homogenen Koordinaten eines unendlichfernen Punktes von B die Form (x, Y, 0). Die Gleiehung einer Geraden von e in homogenen Koordinaten ist leieht zu finden, wenn man beachtet, daB alle Geraden, die 0 mit den Punkten dieser Geraden verbinden, auf einer Ebene durch 0 liegen. In der analytischen Geometrie wird gezeigt, daB die Gleiehung einer solchen Ebene die folgende Form hat ax + by + cz = O. Daher ist dies die Gleiehung einer Geraden von B in homogenen Koordinaten. Nachdem jetzt das geometrische Modell der Punkte von B als Geraden durch 0 seinen Zweck erfiillt hat, konnen wir es beiseite lassen und die folgende rein analytische Definition der erweiterten Ebene aufstellen. Ein Punkt ist ein geordnetes Tripel reeller Zahlen (x, y, z), die nieht alle 0 sind. Zwei solcher Tripel (Xl' Yl' Zl) und (XII' Ya, Z2) stellen denselben Punkt dar, wenn fUr geeignetes t =F 0 XII = txl ,

Y.= tYl'

z.= tZl .

2. Homogene Koordinaten. Die algebraische Grundlage der Dualitll.t

151

Mit anderen Worten: die Koordinaten jedes Punktes diirfen mit einem beliebigen, von 0 verschiedenen Faktor multipliziert werden, ohne daB sich der Punkt andert. (Aus diesem Grunde heiBen sie honwgene Koordinaten.) Ein Punkt (x, y, %) ist ein gewohnlieher Punkt, wenn %=1= 0 ist; ist % = 0, so ist er ein unendlieh ferner Punkt. Eine Gerade in e besteht aus allen Punkten (x, y, %), die einer linearen Gleichung von derForm (1') ax+by+e%=O geniigen, wo a, b, e drei Konstante sind, die nicht alle Null sind. Insbesondere befriedigen die unendlich femen Punkte von e samtlich die Gleichung

(2)

%=0.

Dies ist nach Definition eine Gerade und heiBt die unendlich ferne Gerade von B. Da eine Gerade durch eine Gleichung der Form (1') bestimmt wird, nennen wir das Zahlentripel a, b, e die homogenen Koordinaten de1' Geraden (I'). Daraus folgt, daB (ta, tb, te) fiir jedes t =1= 0 ebenfalls Koordinaten der Geraden (1') sind, da die Gleichung (3) (ta) x + (tb)y+ (te)%=O durch dieselben Koordinatentripel (x, y, z) befriedigt wird wie (1'). Bei diesen Definitionen bemerken wir die vollkommene Symmetrie zwischen Punkt und Gerade. Beide werden durch je drei homogene Koordinaten (u, 'II, w) gekennzeichnet. Die Bedingung, daB der Punkt (x, y, z) auf der Geraden (a,b, e) liegt, lautet ax + by + ez = 0, und dies ist zugleich die Bedingung dafiir, daB der Punkt mit den Koordinaten (a, b, e) auf der Geraden mit den Koordinaten (x, y, %) liegt. Zum Beispiel kann man die arithmetische Identitat

2·3+ 1·4-5·2=0 so deuten, daB der Punkt (3, 4, 2) auf der Geraden (2, 1, -5) liegt, oder auch so, daB der Punkt (2, I, -5) auf der Geraden (3, 4, 2) liegt. Diese Symmetrie ist die Grundlage fiir die Dualitat zwischen Punkt und Gerade in der projektiven Geometrie; denn jede Beziehung zwischen Geraden und Punkten wird zu einer Beziehung zwischen Punkten und Geraden, wenn man die Koordinaten entsprechend umdeutet. In der neuen Deutung werden die bisherigen Koordinaten von Punkten und Geraden jetzt als Koordinaten von Geraden bzw. Punkten aufgefaBt. AIle algebraischen Operationen und Resultate bleiben gleich, nur ihre Deutung liefert das duale Gegenstiick zu dem urspriinglichen Satz. Es ist zu bemerken, daB diese Dualitat nicht fiir die gewohnliche Ebene von zwei Koordinaten X, Y gilt, da die Gleichung einer Geraden in gewohnlichen Koordinaten

aX+bY+e=O nicht symmetrisch in X, Y und a, b, e ist. Nur wenn man die unendlich femen Punkte und Geraden einbezieht, ist das Dualitatsprinzip giiltig. Um von den homogenen Koordinaten x, y, z eines gewOhnlichen Punktes Pinder Ebene e zu den gewOhnlichen rechtwinkligen Koordinaten iiberzugehen, setzen wir einfach X = xlz, Y = ylz. Dann stellen X, Y die Abstil.nde des Punktes P von zwei zueinander senkrechten Achsen in e dar, die den x- und y-Achsen parallel sind, wie Fig. 93 zeigt. Wir wissen, daB eine

152

IV. Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien

Gleichung der Form

aX

+ bY + e =

0

eine Gerade in e darstellt. Setzen wir X = x/z, Y = y/z ein und erweitem mit z, so ftnden wir, dall die Gleichung derselben Geraden in homogenen Koordinaten (wie schon auf S. 151 festgestellt) ax by ez = 0

+ +

lautet. So wird die Gleichung der Geraden 2 x - 3 Y + z = 0 in gew6hnlichen rechtwinkligen Koordinaten X, Y zu 2X - 3 Y + 1 = O. Natiirlich versagt die letzte Gleichung fiir den unendlich femen Punkt der Geraden, dessen homogene Koordinaten beispielsweise gleich (3, 2, 0) sein k6nnen. Noch eins mull gesagt werden. Es ist uns gelungen, eine rein analytische Definition von Punkt und Gerade zu geben; aber wie steht es mit dem ebenso wichtigen Begrifi der projektiven Transformation? Es Hillt sich beweisen, dall eine projektive Transformation einer Ebene auf eine andere, wie auf S. 133 definiert, analytisch durch ein System linearer Gleichungen (4)

x'= a1 x y'= a.x z'= a.x

+b y +e z + bly + elz 1

1

+ baY + c,z

gegeben ist, welche die homogenen Koordinaten x', y', z' der Punkte in der Ebene e' mit den homogenen Koordinaten x, y, z der Punkte in der Ebene e verkniipfen. Von unserem gegenwartigen Standpunkt aus k6nnen wir dann eine projektive Transformation dejiniel'sn als eine solche, die durch ein beliebiges System linearer Gleichungen der Form (4) gegeben ist. Die Sitze der projektiven Geometrie werden dann zu Sitzen iiber das Verhalten von Zahlentripeln (x, y, z) bei solchen Transformationen. Zum Beispiel ist der Beweis, dall das Doppelverhii.ltnis von vier Punkten einer Geraden bei solchen Transformationen ungeandert bleibt, einfach eine 'Obungsaufgabe aus der Algebra linearer Transformationen. Wir konnen nicht weiter auf die Einzelheiten dieser analytischen Verfahren eingehen. Statt dessen wollen wir zu der anschaulicheren Betrachtungsweise der projektiven Geometrie zuriickkehren.

§ 7. Aufgaben iiber Konstruktionen mit dem Lineal allein In den folgenden Konstruktionen solI nur die Benutzung des Lineals zugelassen sein. Die Aufgaben 1 bis 18 sind in einer Abhandlung von J. STEINER enthalten, in der er beweist, dall man bei geometrischen Konstruktionen auf die Benutzung des Zirkels verzichten kann, wenn ein fester Kreis mit seinem Mittelpunkt gegeben ist (siehe Kap. III, S. 120). Es wird dem Leser empfohlen, die Aufgaben in der bier angegebenen Reihenfolge zu 16sen. Ein Biindel von vier Geraden a, b, e, d durch einen Punkt P heillt hannoniseh, wenn das Doppelverhii.ltnis (abed) gleich -1 ist. a und b heiJ3en konjugiel't in bezug auf e und d und umgekehrt. 1. Man beweise: Wenn in einem harmonischen Biindel a, b, e, d der Strahl a den Winkel zwischen b und e halbiert, so steht b senkrecht auf a. 2. Man konstruiere die vierte harmonische Gerade zu drei gegebenen Geraden durch einen Punkt. (Anleitung: Man benutze den Satz yom vollstandigen Vierseit.) 3. Man konstruiere den vierten harmonischen Punkt zu drei gegebenen Punkten auf einer Geraden. 4. Wenn ein gegebener rechter Winkel und ein gegebener beliebiger Winkel ihren Scheitel und einen Schenkel gemeinsam haben, soIl der gegebene beliebige Winkel verdoppelt werden. 5. Gegeben sei ein Winkel und seine Winkelhalbierende b. Es ist eine Senkrechte auf b durch den Scheitel P des Winkels zu konstruieren. 6. Man beweise: Wenn die Geraden 11,1., Is, ... ,1.. durch einen Punkt P die Gerade a in den Punkten AI' AI' ... , A .. und die Gerade b in den Punkten B 1, B z, ••• , B" schneiden, dann liegen aIle Schnittpunkte der Geradenpaare A.B" und A"B. (i =!= k; i, k = 1,2, ... , n) auf einer Geraden. 7. Man beweise: Wenn eine Parallele zu der Seite BC eines Dreiecks ABC die Seite AB in B' und A C in C' schneidet, dann halbiert die Verbindungslinie von A mit dem Schnittpunkt D von B'C und C'B die Seite BC. 7a. Man formuliere und beweise die Umkehrung von 7.

1. Elementare metrische Geometrie der Kege1schnitte

153

8. Auf einer Geraden I sind drei Punkte P, Q, R gegeben, so daB Q die Strecke PR halbiert. Es ist eine Paralle1e zu I durch einen gegebenen Punkt S zu konstruieren. 9. Gegeben seien zwei Parallelen 11 und I •. Eine auf 11 gegebene Strecke ist zu halbieren. 10. Durch einen gegebenen Punkt P ist eine Parallele zu zwei gegebenen parallelen Geraden 11 und I. zu ziehen. (Anleitung: Man fiihre 9. mit Hilfe von 8. auf 7. zuriick. ) 11. STEINER gibt die folgende Usung fiir die Aufgabe der Verdoppelung einer gegebenen Strecke AB, wenn eine Parallele I zu AB gegeben ist: Durch einen Punkt C, der weder auf 1 noch auf der Geraden AB liegt, ziehe man die Gerade CA, die 1 in A1 und die Gerade CB, die I in B1 schneidet. Dann konstruiere man eine Parallele zu I durch C (siehe 10), die BA1 in D schneidet. Wenn D B1 die Gerade A B in E schneidet, so ist A E = 2 • A B. Man beweise die letzte Behauptung. 12. Man teile die Strecke A B in n gleiche Tei1e, wenn eine Paralle1e I zu A B gegeben ist. (Anleitung: Man konstruiere zuerst das n-fache einer beliebigen Strecke auf 1 mit Hilfe von 11.) 13. Gegeben sei ein Parallelogramm A BCD; es ist eine Parallele durch einen Punkt P zu einer Geraden 1 zu ziehen. (Anleitung: Man wende 10. auf den Mittelpunkt des Parallelogramms an und benutze 8.) 14. Gegeben sei ein Parallelogramm; man konstruiere das n-fache einer gegebenen Strecke. (Anleitung: Man benutze 13. und 11.) 15. Gegeben sei ein Paralle1ogramm; man teile eine gegebene Strecke in n gleiche Teile. 16. Wenn ein fester Kreis und sein Mittelpunkt gegeben sind, ziehe man eine Parallele zu einer gegebenen Geraden durch einen gegebenen Punkt. (Anleitung: Man benutze 13.) 17. Wenn ein fester Kreis und sein Mittelpunkt gegeben sind, konstruiere man das n-fache und den n-ten Teil einer gegebenen Strecke. (Anleitung: Man benutze 13.) 18. Gegeben sei ein fester Kreis und sein Mittelpunkt; es ist eine Senkrechte zu einer gegebenen Geraden durch einen gegebenen Punkt zu zeichnen. (Anleitung: Mit Hilfe eines in den festen Kreis eingeschriebenen Rechtecks, von dem zwei Seiten der gegebenen Geraden parallel sind, fiihre man die Aufgabe auf die vorige zuriick.) 19. Welche grundlegenden Konstruktionsprobleme lassen sich mit Hilfe der Resultate der Aufgaben 1-18losen, wenn ein Lineal mit zwei parallelen Kanten zur Verfiigung steht? 20. Zwei gegebene Geraden 11 und I. schneiden sich in einem Punkt P aUfJMhalb des gegebenen Papierblatts. Es solI eine Gerade konstruiert werden, die einen gegebenen Punkt Q mit P verbindet. (Anleitung: Man vervollstandige die gegebenen Elemente zu der Figur des Desarguesschen Satzes in der Ebene auf soIehe Weise, daB P und Qdie Schnittpunkte entsprechender Seiten der beiden Dreiecke des Desarguesschen Satzes werden.) 21. Man konstruiere die Verbindungslinie zweier gegebener Punkte, deren Abstand groBer ist als die Lange des benutzten Lineals. (Anleitung: Man benutze 20.) 22. Zwei Punkte P und Q auBerhalb des gegebenen Papierblattes sind durch zwei Paare von Geraden ll' l. und m 1• ml , die durch P bzw. Q gehen, gegeben. Es solI der Teil der Geraden PQ konstruiert werden, der auf dem gegebenen Papierblatt liegt. (Anleitung: Urn einen Punkt von PQ zu erhalten, vervollstiindige man die gegebenen Elemente zu der Figur des Desarguesschen Satzes in der Weise, daB das eine Dreieck zwei Seiten auf und m1 und das andere entsprechende Seiten auf l. und m. hat.) 23. Man lose 20 mit Hilfe des Pascalschen Satzes (S. 146). (Anleitung: Man vervollstiindige die gegebenen Elemente zu der Figur des Pascalschen Satzes und verwende 11 , I. a1s ein Paar gegeniiberliegender Seiten des Sechsecks und Q a1s Schnittpunkt eines weiteren Paal'es gegeniiberliegender Seiten.) *24. Zwei Geraden, die ganz auBerhalb des gegebenen Papierblattes liegen, sind jede durch zwei Geradenpaare gegeben, die sich in Punkten auBerhalb des Papiers schneiden. Man bestimme ihren Schnittpunkt durch Konstruktion eines Paares von Geraden, die durch ihn gehen.

'1

§ 8. Kegelschnitte und FIachen zweiter Ordnung 1. Elementare metrische Geometrie der Kegelschnitte Bis hierher haben wir uns nur mit Punkten, Geraden, Ebenen und den Figuren, die aus solchen gebildet werden, beschaftigt. Wenn die projektive Geometrie sich ausschlieBlich mit der Untersuchung solcher "linearer" Figuren beschiiftigte, so

154

IV. Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien

ware sie von relativ geringem Interesse. Es ist eine Tatsache von fundamentaler Bedeutung, daB die projektive Geometrie sich nicht auf das Studium linearer Figuren beschriinkt, sondem auch das ganze Gebiet der Kege1schnitte und ihrer Verallgemeinerungen in hOheren Dimensionen umfaBt. APOLLONIUS' metrische Behandlung der Kege1schnitte - Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln - war eine der graBen mathematischen Leistungen des Altertums. Die Bedeutung der Kegelschnitte ftir die reine und angewandte Mathematik (die Bahnen der Planeten und die der Elektronen im Wasserstoffatom sind beispielsweise Kege1schnitte) kann kaum tiberschlitzt werden. Es ist kein Wunder, daB die klassische griechische Theorie der Kege1schnitte noch immer ein unentbehrlicher Tell unseres mathematischen Unterrichts ist. Aber die griechische Geometrie war keineswegs endgiiltig. Zweitausend Jahre spater wurden die wichtigen projektiven Eigenschaften der Kegelschnitte entdeckt. Ihrer Einfachheit und SchOnheit zum Trotz sind diese aber bis heute noch kaum in die Lehrp1ii.ne der hOheren Schulen eingedrungen. Wir wollen zu Beginn an die metrischen Definitionen der Kege1schnitte erinnem. Es gibt mehrere solche Definitionen, deren Aquivalenz in der elementaren Geometrie gezeigt wird. Die bekannteste bezieht sich auf die Brennpunkte. Eine EUipse wird definiert a1s geometrischer Ort der (d. h. a1s die Menge aller) Punkte Pin einer Ebene, deren Abstiinde r l , r. von zwei festen Punkten F l , F I , den Brennpunkten, eine konstante Summe haben. (Wenn die beiden Brennpunkte zusammenfallen, ist die Figur ein Kreis.) Die Hyperbel ist definiert a1s geometrischer Ort aller Punkte Pinder Ebene, fUr die der absolute Betrag der Differenz r l - r. gleich einer festen Konstanten ist. Die Parabel ist definiert a1s geometrischer Ort aller Punkte P, filr die der Abstand r von einem festen Punkt F dem Abstand von einer gegebenen Geraden gleich ist. In der Sprache der analytischen Geometrie konnen aIle diese Kurven durch Gleichungen zweiten Grades in den Koordinaten x, y ausgedriickt werden. Umgekehrt ist es nicht schwer nachzuweisen, daB jede Kurve, die analytisch durch eine Gleichung zweiten Grades:

ax2+ by2+ cxy + dx + ey + f

=

0

definiert wird, entweder einer von den drei Kegelschnitten oder eine Gerade, ein Paar von Geraden, ein Punkt oder imaginar ist. Dies wird gewohnlich durch Einffihrung eines geeigneten neuen Koordinatensystems bewiesen, wie in jeder Vorlesung tiber analytische Geometrie gelehrt wird. Diese Definition der Kege1schnitte ist ihrem Wesen nach metrisch, da sie den Begriff des Abstandes benutzt. Aber es gibt eine andere Definition, die den Kegelschnitten einen Platz in der projektiven Geometrie zuweist: Die KegelschniUe sind einfach die Projektionen eines Kreises aUf eine Ebene. Wenn wir einen Kreis C von einem Punkt 0 aus projizieren, so biIden die Projektionsstrahlen einen unendlichen Doppelkegel, und die Schnittlinie dieses Kegels mit einer Ebene e ist die Projektion von C auf e. Diese Schnittlinie ist eine Ellipse oder eine Hyperbel, je nachdem ob die Ebene nur den einen oder beide Teile des Doppelkegels schneidet. Eine Parabel liegt vor, wenn e einer der Geraden durch 0 parallel ist (siehe Fig. 94). Der projizierende Kegel braucht kein gerader Kreiskegel mit der Spitze 0 senkrecht tiber dem Mittelpunkt des Kreises C zu sein; er kann auch schief sein. In allen Fallen ist, was wir hier ohne Beweis annehmen wollen, die Schnittlinie des

1. Elementare metrische Geometrie der Kegelschnitte

155

Kegels mit der Ebene eine Kurve, deren Gleichung vom zweiten Grade ist, und umgekehrt kann jede Kurve zweiten Grades aus einem Kreis durch eine solche Projektion erhalten werden. Aus diesem Grunde werden Kurven zweiten Grades Kegelschnitte genannt. Wenn die Ebene nur den einen Tell eines geraden Kreiskegels schneidet, haben wir behauptet, daB die Schnittkurve E eine Ellipse ist. Mit Hille eines einfachen, aber eleganten Kunstgriffs, der 1822 von dem belgischen Mathematiker G. P. DANDELIN erfunden wurde, konnen wir beweisen, daB E die oben angegebene

o

Fig. 94. Kegelschnitte

Fig. 95. Die DandeliDschen Kugeln

gewohnliche Brennpunktsdefinition der Ellipse befriedigt. Der Beweis beruht auf der Einfuhrung von zwei Kugeln 51 und Sz (Fig. 95), die die Ebene 8 in den Punkten Fl bzw. F. und den Kegellangs der parallelen Kreise Kl bzw. K. beruhren. Wir verbinden einen beliebigen Punkt P von E mit Fl und F z und ziehen die Verbindungslinie von P mit der Spitze 0 des Kegels. Diese Gerade liegt ganz in der Kegelflache und schneidet die Kreise Kl und K z in den Punkten Ql bzw. Qs. Nun sind PFI und PQl zwei Tangenten von P an 51' so daB Ebenso ist

PF1= PQ1'

PFz = PQz· Addiert man diese beiden Gleichungen, so erhaIt man PF1+ PFz= PQ1+ PQz· Nun ist aber PQl + PQa = Ql Qa gerade der Abstand langs der Kegelflache zwischen den parallelen Kreisen Kl und Ks und daher unabhangig von der besonderen Wahl des Punktes P auf E. Die entstandene Gleichung PF1+ PFs= const

156

IV. Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien

ftir alle Punkte P auf E ist genau die Brennpunktsdefinition der Ellipse. E ist demnach eine Ellipse, und F I , F 2 sind ihre Brennpunkte. tlbung: Wenn eine Ebene beide Teile des Doppelkegels schneidet, ist die Schnittlinie eine Hyperbel. Man beweise dies, indem man je eine Kugel in jedem Teil des Kegels benutzt.

2. Projektive Eigenschaften der KegeIschnitte Auf Grund der im vorigen Abschnitt dargestellten Tatsachen wollen wir versuchsweise definieren: Ein Kegelschnitt ist die Projektion eines Kreises auf eine Ebene. Diese Definition paBt besser in die projektive Geometrie als die gewohnliche Brennpunktsdefinition, da diese vollig auf dem metrischen Begriff des Abstandes beruht. Selbst unsere jetzige Definition ist nicht ganz frei von diesem Mangel, da "Kreis" auch ein Begriff der metrischen Geometrie ist. Wir werden aber sogleich zu einer rein projektiyen Definition der Kegelschnitte gelangen. Da wir tibereingekommen sind, daB ein Kegelschnitt nichts weiter ist als die Projektion eines Kreises [d. h. daB das Wort "Kegelschnitt" eine beliebige Kurve in der projektiven Klasse des Kreises bedeuten soIl (siehe S. 145)], so folgt, daB jede Eigenschaft des Kreises, die bei Projektion invariant ist, auch ftir jeden Kegelschnitt zutrifft. Nun hat der Kreis die wohlbekannte (metrische) Eigenschaft, daB Fig. 96. Doppelverhaltnis auf dem Kreis der Peripheriewinkel tiber einem gegebenen Bogen an jeder Stelle 0 des Kreises dieselbe GroBe hat. In Fig. 96 ist der zum Bogen AB gehOrige Peripheriewinkel AOB unabhangig von der Lage des Punktes 0 auf dem Kreis. Diese Tatsache kann mit dem projektiven Begriff des Doppelverhiiltnisses in Beziehung gebracht werden, wenn man nicht zwei Punkte AB, sondem vier Punkte A, B, C, D betrachtet. Die vier Geraden a, b, e, d, die sie mit einem fiinften Punkt 0 auf dem Kreise verbinden, haben ein Doppelverhiiltnis (abed), das nur von den Winkeln abhiingt, die den Bogen CA, CB, DA, DB gegeniiberliegen. Wenn wir A, B, C, D mit einem anderen Punkt 0' auf dem Kreis verbinden, so erhalten wir vier Strahlen a', b', e', d'. Wegen der eben erwahnten Eigenschaft des Kreises sind die beiden Quadrupel von Strahlen "kongruent"l. Daher miissen sie dasselbe Doppelverhiiltnis haben: (a'b'e'd') = (abed). Wenn wir jetzt den Kreis in irgendeinen Kegelschnitt K projizieren, so erhalten wir auf K vier Punkte, die wir wieder A, B, C, D nennen, zwei andere Punkte 0, 0' und zwei Quadrupel von Geraden a, b, e, d und a', b', e', d'. Diese Quadrupel werden nicht kongruent sein, da die Gleichheit von Winkeln im allgemeinen bei der Projektion verlorengeht. Da aber Doppelverhaltnisse bei der Projektion invariant sind, bleibt die Gleichheit (abed) = (a'b'e'd') bestehen. Dies fiihrt zu einem fundamentalen Satz: Wenn vier beliebige Punkte A, B, C, D auf einem Kegelsehnitt K mit einem funften Punkt 0 auf K durch vier Geraden 1 Ein Blindel von vier konkurrenten Geraden a, b, c, d heiBt einem anderen Blindel a', b', c', d' kongruent, wenn die Winkel zwischen jedem Geradenpaar des ersten Blindels mit den Winkeln zwischen den entsprechenden Geraden des zweiten Blindels gleich und gJeichsinnig sind.

2. Projektive Eigenschaften der KegeJschnitte

157

a, b, e, d verbunden werden, dann ist der Wert des Doppelverhaltnisses (abed) unabhiingig von der Lage von 0 aUf K (Fig. 97). Dies ist ein bemerkenswertes Ergebnis. Wir wissen schon, daB vier beliebige Punkte auf einer Geraden von einem beliebigen funften Punkt 0 aus immer unter demselben Doppelverhaltnis erscheinen. Dieser Satz uber Doppelverhaltnisse ist eine der Grundlagen der projektiven Geometrie. Jetzt erkennen wir, daB dasselbe fur vier Punkte auf einem Kegelschnitt gilt, aber mit einer wichtigen Einschrankung: Der funfte Punkt ist nicht mehr vollkommen frei in der Ebene, sondern nur noch frei beweglich auf dem gegebenen Kegelschnitt. Es ist nicht schwer, eine Umkehrung dieses Resultats von der folgenden Form zu beweisen: Wenn es auf einer Kurve K zwei Punkte 0, 0' gibt, so daB jedes Quadrupel von vier Punkten A, B, C, D auf K von 0 und 0' aus unter demselben Doppelverhaltnis erscheint, so ist K ein Kegelschnitt (und daher erscheinen A, B, C, D auch von einem beliebigen dritten Punkt 0" von K aus unter demselben Doppel- Fig. 97. DoppelverhaItnis aufderEllipse verhaltnis). Den Beweis ubergehen wir hier. Diese projektiven Eigenschaften der Kegelschnitte weisen auf eine allgemeine Methode fUr die Konstruktion solcher Kurven hin. Unter einem Geradenbundel wollen wir die Gesamtheit aller Geraden einer Ebene verstehen, die durch einen gegebenen Punkt 0 gehen. Betrachten wir nun die Bundel durch zwei Punkte 0 und 0', die auf einem Kegelschnitt K liegen. Zwischen den Geraden des Bundels 0 und denen des Bundels 0' k6nnen wir eine eineindeutige Beziehung herstellen, indem wir eine Gerade a von 0 mit einer Geraden a' von 0' immer dann paaren, wenn a und a' sich in einem Punkt des Kegelschnitts K treffen. Dann mussen beliebige vier Geraden a, b, e, d des Bundels 0 dasselbe Doppelverhaltnis haben wie die vier entsprechenden Geraden a', b', e', d' von 0'. Jede eineindeutige Zuordnung zwischen zwei Geradenbundeln, die diese Eigenschaft hat, heiBt eine pyojektive Zuordnung. (Diese Definition ist offenbar das duale Gegenstuck zu der auf S. 139 gegebenen Definition einer projektiven Zuord0' nung zwischen den Punkten auf zwei Geraden.) Bundel, zwischen denen eine projektive Zuordnung besteht, heiBen projektiv aufeinander bezogen oder kurz "projektiv verwandt". Mit dieser Definition k6nnen wir nun sagen: Der Kegelschnitt Kist der geometrische Ort der Schnittpunkte entsprechender Geraden von zwei projektiv verwandten Bundeln. Dieser Satz liefert die Grundlage fUr eine rein projektive Definition der Fig.98. Vorbereitung zur Konstruk. Kegelschnitte: Ein Kegelsehnitt ist der Ort der Sehnitt- tion projektiv verwandter Biinde! punkte entspreehender Geraden zweier profektiv verwandtey Bundel l . Es ware verlockend, den durch diese Definition er6ffneten Zugang zur Theorie der Kegelschnitte zu verfolgen; aber wir muss en uns auf einige wenige Bemerkungen beschranken. Paare projektiv verwandter Bundel kann man in folgender Weise erhalten. Man projiziere alle Punkte einer Geraden 1 von zwei verschiedenen Zentren 0 und 1

Dieser Ort kann unter Umstlinden zu einer geraden Linie entarten, siehe Fig. 98.

158

IV. Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien

0" aus; in den projizierenden Biindeln sollen die Geraden a und a", die sich auf 1 schneiden, einander zugeordnet sein. Dann sind diese beiden Bundel projektiv verwandt. Nun nehme man das Bundel 0" und verschiebe es starr an eine beliebige Stelle 0'. Das entstehende Bundel 0' ist gleichfalls projektiv verwandt mit 0, und zwar kann jede projektive Zuordnung zwischen zwei Bundeln auf diese Weise erhalten werden. (Diese Tatsache ist das duale Gegenstuck der Dbungsaufgabe 1 auf S. 139.) Wenn die Bundel 0 und 0' kongruent sind, ergibt sich ein Kreis. Sind die Winkel gleich, aber von entgegengesetztem Sinn, so ist der Kegelschnitt eine gleichseitige Hyperbel (siehe Fig. 99).

Fig. 99. Kreis und gieichseitige Hyperbei, durch projektive Blindei erzeugt

Man beachte, daB diese Definition des KegeIschnitts eine Punktmenge liefem kann, die eine gerade Linie ist, wie in Fig. 98. In diesem Fall entspricht die Gerade 0 0" sich selbst, und all ihre Punkte mussen als zu dem "Kegelschnitt" gehorig angesehen werden. Daher entartet der Kegelschnitt hier in ein Paar von Geraden, entsprechend der Tatsache, daB es Schnitte mit einem Kegel gibt, die aus zwei Geraden bestehen (namlich die, welche man erhalt, wenn die schneidende Ebene durch die Kege1spitze gebt). (Jbungen: 1. Man zeichne Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln mit Hille von projektiven Biindeln. (Dem Leser wird dringend empfohlen, mit solchen Konstruktionen zu experimentieren, da sie sehr zum Verstiindnis beitragen.) 2. Gegeben seien fiinf Punkte 0, 0', A, B, C eines unbekannten Kegelschnitts K. Verlangt wird, einen Punkt D zu konstruieren, in dem eine gegebene Gerade d durch 0 den Kegelschnitt schneidet. (Anleitung: Man betrachte die Strahlen a, b, C durch 0, die durch OA, OB, OC gegeben sind, und ebenso die Strahlen a', b', e' durch 0'. Man ziehe den Strahl d durch o und konstruiere den Strahl d' durch 0', so daB (abed) = (a'b'e'd'). Dann muB der Schnittpunkt von d und d' ein Punkt von K sein.)

3. Kege1schnitte aIs Hiillkurven Der Begriff der Tangente an einen Kegelschnitt gehOrt zur projektiven Geometrie; denn eine Tangente an einen Kegelschnitt ist eine Gerade, die mit dem Kegelschnitt nur einen Punkt gemein hat, und diese Eigenschaft bleibt bei Projektion ungeandert. Die projektiven Eigenschaften von Tangenten an Kegelschnitte beruhen auf dem folgenden fundamentalen Satz: Das Doppelverhiiltnis

3. Kegelschnitte als Hiillkurven

159

der Schnittpunkte von vier beliebigen festen T angenten an einen Kegelschnitt mit einer funften T angente ist dasselbe fur iede Lage der funften T angente. Der Beweis dieses Satzes ist sehr einfach. Da der Kegelschnitt projektives Bild eines Kreises ist und da der Satz nur Eigenschaften betrifft, die bei Projektion invariant sind, so genugt ein Beweis flir den Fall des Kreises, urn den Satz allgemein zu begrunden. Fur den Kreis ergibt sich der Satz aus der elementaren Geometrie. Es seien P, Q, R,S vier Punkte eines Kreises K mit den Tangenten a, b, c, d; T sei ein flinfter Punkt mit der Tangente 0, die von a, b, c, d in A, B, C, D geschnitten wird. Wenn M der Mittelpunkt des Kreises ist, so ist offenbar ~ TMA =!~ TMP, und !~ TMP ist gleich dem Peripheriewinkel des Bogens T P. Ebenso ist ~ TM B gleich dem Peripheriewinkel des Bogens ....-....-TQ. Daher ist ~ AMB = ! PQ, wobei ! PQ der Fig. 100. Ein Kreis aIs eine Menge von Peripheriewinkel des Bogens PQ ist. Daher werTangenten den die Punkte A, B, C, D von M aus durch vier Strahlen projiziert, deren Winkel durch die festen Lagen der Punkte P, Q, R, 5 bestimmt sind. Hieraus folgt, daB das Doppelverhaltnis (A BCD) nur von den vier Tangenten a, b, c, d abhangt A o und nicht von der speziellen Lage der funften Tangente o. Das ist genau der Satz, der bewiesen werden sollte. 1m vorigen Abschnitt haben a wir gesehen, daB ein Kegelschnitt konstruiert werden kann, indem man die Schnittpunkte entsprechender Geraden in zwei projekFig. 101. Die Tangenteneigenschaft des Kreises tiv verwandten Bundeln aufsucht. Der eben bewiesene Satz erlaubt uns, diese Konstruktion zu dualisieren. Nehmen wir zwei Tangenten a und a' eines Kegelschnittes K. Eine dritte Tangente t schneidet a und a' in zwei Punkten A bzw. A'. Wenn wir t langs des Kegelschnitts wandern lassen, so entsteht dadurch eine Zuordnung A_A'

zwischen den Punkten von a und a denen von a'. Diese Zuordnung zwi- ~c~,------~--~~--~~----~-a' schen den Punkten von a und denen von a' ist projektiv; denn nach unserem Satz haben irgend vier Punkte Fig.102. Projektive Punktreihen auf zwei Tangenten einer Ellipse von a dasselbe DoppelverhaItnis wie die entsprechenden vier Punkte von a'. Also ergibt sieh, daB ein Kegelschnitt K, als Gesamtheit seiner Tangenten betrachtet, aus den Verbindungs-

160

IV. Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien

linien entsprechender Punkte zweier projektiv verwandter Punktreihen 1 auf a und a' besteht. Diese Tatsache kann benutzt werden, urn eine projektive 'pefinition eines Kege1schnitts a1s "Hiillkurve" aufzustellen. Vergleichen wir sie-mit der im vorigen Abschnitt gegebenen projektiven Definition des Kege1schnitts. II I

Ein Kegelschnitt als Gesamtheit von Punkten besteht aus den Schnittpunkten entsprechender Geraden in zwei projektiv verwandten Geradenbundeln.

Ein Kegelschnitt a1s Gesamtheit von Geraden besteht aus den Verbindungslinien entsprechender Punkte auf zwei projektiv verwandten Punktreihen.

Wenn wir die Tangente an einen Kegelschnitt in einem Punkt als das duale Element zu dem Punkt selbst ansehen, und wenn wir eine "Htillkurve" (die Gesamtheit aller ihrer Tangenten) als das duale Gegenstuck einer "Punktkurve" (die Gesamtheit aller ihrer Punkte) ansehen, dann ist die vollkommene Dualitat dieser beiden Aussagen offenbar. Bei dem Vbergang von der einen Aussage zu der anderen, wobei man jeden Begriff durch sein duales Gegenstuck ersetzt, bleibt das Wort "Kegelschnitt" dasse1be: In einem Fall ist es ein "Punkt-Kegelschnitt", der durch seine Punkte bestimmt ist, im anderen ein" Geraden-Kegelschnitt", der durch seine Tangenten bestimmt ist. (Siehe Fig. 100, S. 159.) Fig. 103. Eine durch kongruente Punktreihen bestimmte Parabel Eine wichtige Konsequenz dieser Tatsache ist, daB das Dualitatsprinzip der ebenen projektiven Geometrie, das urspriinglich nur fur Punkte und Geraden ausgesprochen wurde, nun auch auf die Kegelschnitte ausgedehnt werden kann. Wenn in einem Satz, der Punkte, Geraden und Kegelschnitte barifft, iedes Element durch sein duales Gegenstuck ersetzt wird (wobei zu beachten ist, daB das Duale eines Punktes auf einem Kegelschnitt eine Tangente an den Kegelschnitt ist), so ist das Ergebnis wieder ein wahrer Satz. Ein Beispiel fur die Anwendung dieses Prinzips wird in Nurnmer 4 dieses Abschnitts -4.-.
161

4. Pascals und Brianchons allgemeine Slitze fur Kegelschnitte

kongruenten oder ahnlichen1 Punktreihen der Fall sein muB, so ist der Kegelschnitt eine Parabel. Die Umkehrung hiervon ist gleichfalls richtig. Obung: Man beweise die Umkehrung in der Fonn: Auf zwei beliebigen festen Tangenten einer Parabel bilden die Schnittpunkte mit einer beweglichen Tangente einander lihnliche Punktreihen.

4. Pascals und Brianchons allgemeine Sitze fUr Kegelschnitte Eines der schOnsten Beispiele ffir das Dualitatsprinzip bei Kegelschnitten ist die Beziehung zwischen den allgemeinen Siitzen von PASCAL und BRIANCHON. Der erste wurde 1640 entdeckt, der zweite erst 1806. Und doch ist der zweite eine unmittelbare Konsequenz des ersten, da jeder Satz, der sich nur auf Kegelschnitte, Geraden und Punkte bezieht, richtig bleibt, wenn er durch die duale Aussage ersetzt wird. Die in § 5 unter denselben Namen aufgestellten Siitze sind entartete FiilIe der folgenden allgemeinen Satze: Satz von PASCAL: Die gegeniiberliegenden Seiten eineseinem Kegelschnitt einbeschriebenen Sechsecks schneiden sich in drei kollinearen Punkten. Satz von BRIANCHON: Die drei Fig. 105. Pascals aJ1gemelne KOIlfiguration. Es sind zwei Flille dargestellt, der eine filr das Sechseck I, 2, 3, 4,.5, 6, Diagonalen, welche gegeniiberliegende der andere filr das Sechseck 1,3,5,2,6,4 Ecken eines einem Kegelschnitt umbeschriebenen Sechsecks verbinden, ,/'t" I " sind konkurrent. ~~~------------- ____ , / . 3""", Beide Siitze haben offenbar pro- \"'" J' ektiven Charakter. Ihre duale Natur

.,

\

'\''',

wird deutlich, wenn sie wie folgt for\ "" mullert werden: . )H----H~-+_--~--::~ Satz von PASCAL: Gegeben seien \ .. / 1/ sechs Punkte 1, 2, 3, 4, 5, 6 auf einem ..:.--------~_;.......~!::="" Kegelschnitt. Man verbinde aufeinan\\ "'t~"/ derfolgende Punkte durch die Geraden " / (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6, 1). '\ ,/ Man suche die Schnittpunkte von , (1,2) mit (4,5), (2,3) mit (5,6) und (3, 4) mit (6, 1). Dann liegen diese 11 Fig. 106. Brianchons allgemeine Koofiguration. Wieder sind drei Schnittpunkte auf einer geraden zwei Fane dargestellt Linie. Satz von BRIAN CHON : Gegeben seien sechs Tangenten an einen Kegelschnitt, 1,2,3,4,5,6. Aufeinanderfolgende Tangenten schneiden sich in den Punkten (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6, 1). Man ziehe die Verbindungslinien von (1,2)

\

I' I/

\t/

1 Es ist ofiensichtlich. was mit ..kongruenter" oder .. lihnlicher" Zuordnung zweier Punktreihen gemeint ist.

Courant u. RobbiDs, Mathematik

11

162

IV. Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien

mit (4, 5), (2,3) mit (5, 6) und (3,4) mit (6, 1). Dann gehen diese drei Geraden durch einen Punkt. Die Beweise erba.lt man durch eine ahnliche Spezialisierung, wie sie fur die entarteten FaIle benutzt wurde. Um den Pascalschen Satz zu beweisen, bezeichnen wir mit A, B, C, D, E, F die Ecken eines nem Kege1schnitt K einbeschriebenen Sechsecks. Durch Projektion konnen wir AB parallel ED und FA parallel CD y machen, so daB wir die Konfiguration von Fig. l',_ t 107 erhalten. (Um der bequemeren Darstellung willen ist angenommen, daB sich das Sechseck selbst uberschneidet, obwohl dies nicht notwendigist.) Damit reduziert sich der Pascalsche Satz auf die einfache Behauptung, daB CB parallel FE ist; mit anderen Worten: die Gerade, auf der sich die gegenuberliegenden SeiA~-7--------~'---~, ten des Sechsecks schneiden, ist die unendlich feme Gerade. Um dies zu beweisen, betrachten wir die PunkteF, A, B, D, die, wie wir wissen, Fig. 107. Beweis des ~en Satzes von jedem anderen Punkt von K aus, z. B. von Coder E, durch Strahlen mit einem konstanten DoppelverhaItnis k projiziert werden. Wir projizieren diese Punkte von C aus; dann schneiden die projizierenden Strahlen AF in den vier Punkten F, A, Y, 00, die das Doppelverhii.ltnis k haben. Daher ist YF: YA = k. (Siehe S. 144). Wenn dieselben Punkte jetzt von E aus auf BA projiziert werden, so erhalten wir

r./ '

k= (XAB 00)

=

BX: BA.

Folglich ist BX: BA

=

YF: Y A ,

womit die Parallelitii.t von Y B und FX bewiesen ist. Damit ist der Beweis des Pascalschen Satzes vollendet. Der Satz von BRIANCHON ergibt sich entweder hieraus nach dem Dualitii.tsprinzip oder durch direkte, zu der obigen dualen Beweisfuhrung. Die Durchfiihmng im einzelnen wird dem Leser zur 'Obung empfohlen.

5. Das Hyperboloid 1m dreidimensionalen Raum sind die Figuren, die den Kegelschnitten in der Ebene entsprechen, die "Flachen zweiter Ordnung"; spezielle FaIle sind die Kugel und das Ellipsoid. Diese Flachen bieten eine groBere Vielfalt und erheblich mehr Schwierigkeiten als die Kegelschnitte. Hier wollen wir nur kurz und ohne Beweise anzufiihren, eine der besonders interessanten Flachen zweiten Grades besprechen, das "einschalige Hyperboloid". Diese Flache laBt sich folgendermaBen definieren: Man wahle drei beliebige Geraden 11' I., la in allgemeiner raumlicher Lage. Damit ist gemeint, daB keine zwei von den Geraden in derselben Ebene liegen sollen und daB sie aueh nieht alle drei ein und derselben Ebene parallel sein sollen. Es ist nun recht uberraschend, daB es unendlich viele Geraden im Raum gibt, die alle diese drei gegebenen Geraden schneiden. Um dies einzusehen, nehmen wir eine beliebige Ebene e durch Zt. Dann schneidet e die Geraden 12 und la in zwei Punkten, und die Gerade m, die diese

163

1. Die axiomatische Methode

beiden Punkte verbindet, schneidet l.r, l2 und la. LaBt man die Ebene E sich urn l.r drehen, so bewegt sich die Gerade m, indem sie immer l.r, la, la schneidet und erzeugt eine unendlich ausgedehnte Flache. Diese Flache ist das einschalige Hyperboloid. Es enthalt eine unendliche Schar von Geraden yom Typus m. Drei beliebige Geraden ffl-t, ma, ma aus dieser Schar sind ebenfalls in allgemeiner Lage, und alle Geraden im Raume, die diese drei Geraden schneiden, liegen ebenfalls in der Flache des Hyperboloids. Die fundamentale Eigenschaft des Hyperboloids ist

Fig. lOS. Konstruktion von Geraden, die drei feste Geraden in aUgemeiner Lage schneiden

Fig. 109. Das Hyperboloid

also: Es wird von zwei verschiedenen Geradenscharen gebildet, derart, daB drei be1iebige Geraden derselben Schar in allgemeiner Lage sind und jede Gerade der einen Schar alle Geraden der anderen Schar schneidet. Eine wichtige projektive Eigenschaft des Hyperboloids ist: das Doppelverhii.ltnis der vier Punkte, in denen vier gegebene Geraden der einen Schar eine gegebene Gerade der anderen Schar schneiden, ist unabhangig von der speziellen Lage der letzten Geraden. Dies folgt unmittelbar aus der Konstruktionsmethode des Hyperboloids dtu'ch eine rotierende Ebene, wie der Leser zur Obung beweisen moge. Wirerwahnennocheine besonders merkwiirdige Eigenschaft des Hyperboloids: obwohl die Flache zwei Scharen sich schneidender Geraden enthii.lt, ist sie nicht etwa starr. Wenn ein Modell der Flache aus Staben so hergestellt wird, daB diese sich an jedem Schnittpunkt gegeneinander drehen konnen, dann laBt sich die ganze Figur stetig in eine Reihe verschiedener Gestalten deformieren.

§ 9. Axiomatik und nichteuklidische Geometrie 1. Die axiomatische Methode Die axiomatische Methode geht bis auf EUKLID zuriick. Es ist zwar keineswegs so, daB im griechischen Altertum die Mathematik vorwiegend in der axiomatischen Form der Elemente dargeboten wurde. Aber der Eindruck, den EUKLIDS Werk auf die nachfolgenden Generationen machte, war so groB, daB es allgemein zum Vorbild fUr strenge Beweisflihrung wurde. Zuweilen versuchten sogar Philosophen, z. B. SPINOZA in seiner Ethica more geometrico demonstrata, die 11·

164

IV. Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien

DarsteIlwlgsform mit Definitionen, Axiomen und abgeleiteten Lehrsatzen nachzuahmen. In der modernen Mathematik ist die axiomatische Methode, nachdem man sich im 17. und 18. Jahrhundert von der euklidischen Tradition abgewendet hatte, in steigendem MaBe wieder in alle Gebiete eingedrungen. Einer der jiingsten Fortschritte war die Schaffung einer neuen Disziplin, der mathematischen Logik. Allgemein laBt sich der axiomatische Standpunkt folgendermaBen beschreiben: der Beweis eines Satzes oder "Theorems" in einem deduktiven System besteht darin, daB das Theorem als eine notwendige logische Konsequenz gewisser schon vorher bewiesener Satze abgeleitet wird; diese ihrerseits mussen selbst bewiesen werden und so weiter. Das Verfahren eines mathematischen Beweises ware daher eine undurchfuhrbare Aufgabe von unendlich vielen Schritten, wenn man nicht bei dem weiteren Zuruckgehen an irgendeiner Stelle Halt machen konnte. Es muB also eine Anzahl von Aussagen geben, sogenannte Postulate oder Axiome, die man als richtig annimmt, ohne daB ein Beweis ffir sie erforderlich ist. Aus diesen soIl man dann alle ubrigen Theoreme durch rein logische Schlusse ableiten. Wenn die Tatsachen eines wissenschaftlichen Gebietes logisch so geordnet werden konnen, daB sie sich alle als Konsequenzen aus einer ausgewahlten kleinen Anzahl einfacher und plausibler Aussagen (Axiome) beweisen lassen, so sagt man, das Gebiet sei in axiomatischer Form dargesteIlt. Die Wahl der Axiome ist weitgehend willkfirlich. Aber es ist nur dann etwas mit der axiomatischen Methode gewonnen, wenn die Axiome oder Postulate einfach und nicht allzu zahlreich sind. Vor allem aber mussen die Postulate widet'spruchsfrei sein, in dem Sinn, daB niemals zwei aus ihnen ableitbare Satze einander widersprechen konnen; ferner mussen sie vollstiindig sein, so daB jeder Satz des betreffenden Systems aus ihnen ableitbar ist. Aus "okonomischen" Griinden ist es erwtlnscht, daB die Postulate voneinander unabhiingig sind, in dem Sinne, daB keins von ihnen eine logische Folge der ubrigen ist. Die Widerspruchsfreiheit und die VoIlstandigkeit eines Axiomensystems ist viel umstritten worden. Die verschiedenen pbilosophischen Ansichten uber die Wurzeln menschlicher Erkenntnis haben zu anscheinend unvereinbaren Meinungen uber die Grundlagen der Mathematik gefiihrt. Wenn die mathematischen Objekte als wirkliche Dinge in einem Reich der "reinen Anschauung", unabhangig von Definitionen und individueIlen Leistungen des menschlichen Geistes angesehen werden, dann kann es natfirlich keine Widerspruche geben, da dann mathematische Tatsachen objektiv wahre Aussagen uber vorhandene Realitaten sind. Von diesem "Kantschen" Standpunkt aus kann es kein Problem der Widerspruchsfreiheit geben. Leider laBt sich jedoch die Gesamtheit der mathematischen Erkenntnisse nicht in einen solchen einfachen pbilosophischen Rahmen zwangen. Die modernen mathematischen Intuitionisten verlassen sich nicht auf die reine Anschauung ("Intuition") im Kantschen Sinne. Sie nehmen das abziihlbar Unendliche als rechtmaBiges Kind der Anschauung an und lassen nur rein konstruktive Verfahren zu; aber sie verwerfen so grundlegende Begriffe wie das Zahlenkontinuum, sie schlieBen wichtige Teile der lebendigen Mathematik aus und behalten nur einen fast hoffnungslos komplizierten Rest ubrig. Ganz anders ist die Auffassung der "Formalisten". Sie schreiben den mathematischen Objekten keine anschauliche Realitat zu und behaupten auch nicht, daB die Axiome evidente Wahrheiten uber die Gegenstande der reinen Anschauung aussprechen; sie konzentrieren sich auf den formal-logischen ProzeB der SchluB-

1. Die axiomatische Methode

165

folgerung auf der Basis der Postulate. Diese Haltung hat einen entschiedenen Vorzug vor der Berufung auf die Anschauung, da sie den Mathematikern alle Freiheit gewahrt, die sie fUr Theorie und Anwendungen brauchen. Aber fiir ein formalistisch-axiomatisches System besteht die Notwendigkeit, zu beweisen, daB die Axiome, die jetzt a1s freie SchOpfungen des menschlichen Geistes erscheinen, nie zu einem Widerspruch fiihren konnen. Es sind groBe Anstrengungen unternommen worden, solche Widerspruchsfreiheitsbeweise zu finden, wenigstens fiir die Axiome der Arithmetik und Algebra und fiir den Begriff des Zahlenkontinuums. Die Ergebnisse sind bedeutsam, aber ein voUer Erfolg ist noch lange nicht erreicht. Neuere Resultate deuten sogar darauf hin, daB diese Bestrebungen gar nicht erfolgreich sein konnen, in dem Sinne, daB Beweise fiir Widerspruchsfreiheit und VoUstandigkeit in einem streng geschlossenen System von Begriffen nicht moglich sind. Charakteristischerweise arbeiten alle diese "Oberlegungen iiber die Grundlagen mit Methoden, die ihrerseits durchaus konstruktiv und von anschaulichen Gesichtspunkten bestimmt sind. Durch die Paradoxien der Mengenlehre ange£acht (siehe S. 69), ist der Streit zwischen Intuitionisten und Formalisten von leidenschaftlichen Anbangern der beiden Schulen stark in die Offentlichkeit gezogen worden. Die mathematische Welt wurde aufgeschreckt durch das Geschrei iiber die "Grundlagenknse". Aber der Alarm wurde mit Recht nicht allzu ernst genommen. Bei aller Achtung fiir die Leistungen, die im Kampf urn die Klarung der Grundlagen erzielt wurden, ware doch der SchluB ungerechtfertigt, daB die lebendige Mathematik im mindesten bedroht ist durch solche Meinungsverschiedenheiten oder durch die Paradoxa, die sich aus der Tendenz zu schrankenloser Allgemeinheit der Begriffsbildungen ergeben. Ganz abgesehen von philosophischen "Oberlegungen und von dem Interesse fiir die Grundlagen ist der axiomatische Zugang zu einem mathematischen Gebiet der natiirliche Weg, urn das Geflecht der gegenseitigen Abhangigkeiten der verschiedenen Tatsachen zu entwirren und die eigentliche logische Struktur sichtbar zu machen. Eine solche Konzentration auf die formale Struktur statt auf die anschauliche Bedeutung der Begriffe erleichtert es, Verallgemeinerungen und Anwendungen zu finden, die bei einer anschaulicheren Methode batten iibersehen werden konnen. Aber eine bedeutsame Entdeckung oder eine tiefere Einsicht wird doch nur selten durch ein ausschlieBlich axiomatisches Vorgehen gewonnen. Konstruktives Denken, durch Anschauung geleitet, ist die wahre QueUe der mathematischen Dynamik. Obwohl die axiomatische Form ein Ideal ist, ware es ein Irrturn zu glauben, daB die Axiomatik das Wesen der Mathematik bildet. Die konstruktive Anschauung des Mathematikers ist ein nicht-deduktives, nichtrationales Element, das fiir die Mathematik ebenso lebensnotwendig ist wie die schOpferische Phantasie fiir die bildende Kunst und die Musik. Seit den Tagen EUKLIDI ist die Geometrie das Muster fUr eine axiomatische Disziplin. Jahrhundertelang war EUKLIDB Axiomensystem Gegenstand eingehender Untersuchungen. Aber erst in neuerer Zeit ist es deutllch geworden, daB EUKLIDB Postulate abgeandert und vervoUstandigt werden miissen, wenn die ganze Elementargeometrie aus ihnen ableitbar sein soU. Erst split im 19. Jahrhundert entdeckte zurn Beispiel PASCH, daB die Anordnung der Punkte auf einer Geraden, die VorsteUung des "Dazwischenseins", ein besonderes Axiom erfordert. (Die Nicht-

166

IV. Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien

beachtung solcher Details fiihrt zu manchen scheinbaren Paradoxien; unsinnige Folgerungen - z. B. der bekannte Beweis, daB jedes Dreieck gleichschenklig ist - konnen scheinbar streng aus EUKLIDs Axiomen abgeleitet werden. Das geschieht gewohnlich auf Grund einer ungenau gezeichneten Figur, deren Geraden sich innerhalb oder auBerhalb gewisser Dreiecke oder Kreise zu schneiden scheinen, wahrend sie das in Wirklichkeit nicht tun.) In seinem beriihmten Buch Grundlagen der Geometrie stelite HILBERT (1901) ftir die Geometrie ein brauchbares System von Axiomen auf und untersuchte zugleich in erschOpfender Weise ihre gegenseitige Unabhangigkeit, Widerspruchsfreiheit und Vollstandigkeit. In jedes System von Axiomen gehen immer gewisse nicht definierte Begriffe ein, wie etwa "Punkt" und "Gerade" in der Geometrie. Ihre .. Bedeutung" oder ihre Beziehung zu Dingen der physikalischen Welt ist mathematisch unwesentlich. Man kann sie als rein abstrakte Symbole betrachten, deren mathematische Eigenschaften in einem deduktiven System ausschlieBlich durch die Relationen gegeben sind, die gemaB den Axiomen zwischen ihnen bestehen. In der projektiven Geometrie konnten wir beginnen mit den nicht definierten Begriffen .. Punkt", "Gerade" und .. Inzidenz" und mit den beiden dualen Axiomen: .. Je zwei verschiedene Punkte sind inzident mit einer einzigen Geraden," und "je zwei verschiedene Geraden sind inzident mit einem einzigen Punkt". Vom Standpunkt der Axiomatik ist die duale Form solcher Axiome der eigentliche Grund des Dualitatsprinzips in der projektiven Geometrie. Jeder Satz, in dessen Formulierung und Beweis nur Elemente enthalten sind, die durch duale Axiome verkntipft sind, muB die Dualisierung zulassen; denn der Beweis des urspriinglichen Satzes besteht aus einer Folge von Anwendungen gewisser Axiome, und die Anwendung der dualen Axiome in derselben Reihenfolge liefert dann einen Beweis fur den dualen Satz. Die Gesamtheit der Axiome der Geometrie liefert die implizite Definition aller "nichtdefinierten" geometrischen Ausdriicke, wie "Punkt", "Gerade", "Inzidenz" usw. Fiir die Anwendungen ist es wichtig, daB die Begriffe und Axiome der Geometrie mit physikalisch nachpriifbaren Aussagen tiber "wirkliche", greifbare Dinge harmonieren. Die physikalische Realitat, die dem Begriff des "Punktes" entspricht, ist die eines sehr kleinen Dinges, wie etwa einer Bleistiftmarke, wahrend eine "Gerade" eine Abstraktion von einem gespannten Faden oder einem Lichtstrahl ist. Die Eigenschaften dieser physikalischen Punkte und Geraden stimmen, wie die Erfahrung zeigt, mehr oder weniger mit den formalen Axiomen der Geometrie iiberein. Es ist durchaus denkbar, daB genauere Experimente Abanderungen dieser Axiome notwendig machen konnten, wenn sie die physikalischen Erscheinungen zutreffend beschreiben sollen. Wenn dies nicht der Fall ware, d. h. wenn die formalen Axiome nicht mehr oder weniger mit den Eigenschaften der physikalischen Dinge harmonierten, dann wiirde die Geometrie von geringem Interesse sein. Selbst fiir den Formalisten gibt es also eine Autoritat, die nicht dem menschlichen Geist entstammt und dennoch die Richtung des mathematischen Denkens beeinfluBt. 2. Hyperbolische nichteuklidische Geometrie

Es gibt ein Axiom der euklidischen Geometrie, dessen "Wahrheit", d. h. dessen Obereinstimmung mit den Erfahrungstatsachen tiber gespannte Faden

2. Hyperbolische nichteuklidische Geometrie

167

oder Lichtstrahlen, keineswegs evident ist. Das ist das beriihmte Parallelenaxiom, welches behauptet, daB durch jeden Punkt auBerhalb einer gegebenen Geraden eine und nur eine Parallele zu der gegebenen Geraden gezogen werden kann. Die merkwurdige Eigenart dieses Axioms ist, daB es etwas uber die ganze Lange einer Geraden aussagt, die man sich als unendlich ausgedehnt in beiden Richtungen vorstellen muB; denn die Behauptung, daB zwei Geraden parallel sind, besagt, daB sie sich niemals schneiden, so weit sie auch fortgesetzt werden. Es versteht sich von selbst, daB es viele Geraden gibt, die eine gegebene Gerade innerhalb einer bestimmten endlichen Entjernung, sei sie noch so groB, nicht schneiden. Da die maximale mogliche Uinge eines wirklichen Lineals, Fadens oder selbst eines im Fernrohr sichtbaren Lichtstrahls zweifellos endlich ist und da es innerhalb eines jeden endlichen Kreises unendlich viele Geraden durch einen gegebenen Punkt gibt, die eine gegebene Gerade nicht innerhalb des Kreises schneiden, so folgt, daB dieses Axiom niemals experimentell verifiziert werden kann. Aile anderen Axiome der euklidischen Geometrie haben endlichen Charakter, insofern sie nur endliche Stucken von Geraden und ebene Figuren von endlicher Ausdehnung betreffen. Die Tatsache, daB das Parallelenaxiom nicht experimenteU nachpriifbar ist, wirft die Frage auf, ob es von den ubrigen Axiomen unabhangig ist oder nicht. Wenn es eine notwendige logische Folge der ubrigen ware, d.a.Dn muBte es moglich sein, daB man es aus der Liste der Axiome streicht und es mittels der anderen euklidischen Axiome beweist. Jahrhundertelang haben die Mathematiker nach einem solchen Beweis gesucht, da unter denen, die sich mit Geometrie bescbaftigten, die Empfmdung weit verbreitet war, daB das Parallelenaxiom sich in seinem ganzen Charakter wesentlich von den anderen unterscheidet, indem ihm gewissermaBen die zwingende Plausibilitat fehlt, welche ein geometrisches Axiom besitzen muBte. Einer der ersten Versuche dieser Art wurde von PROCLUS (4. Jahrhundert n. Chr.), einem Kommentator EUKLIDs unternommen, der ein besonderes Parallelenaxiom entbehrlich zu roachen versuchte, indem er die Parallele zu einer gegebenen Geraden als Ort aller Punkte mit gegebenem festen Abstand von der Geraden defmierle. Hierbei beachtete er nicht, daB damit die Schwierigkeit nur an eine andere Stelle verschoben wurde, denn es muBte dann bewiesen werden, daB der Ort solcher Punkte tatsachlich eine Gerade ist. Da PROCLUS dies nicht beweisen konnte, hatte er diese Aussage anste1le des Parallelenaxioms als Postulat annehmen mUssen, und damit ware nichts gewonnen, denn die beiden Aussagen sind leicht als aquivalent zu erkennen. Der Jesuit SACCHERI (1667-1733) und spater LAMBERT (1728-1777) suchten das Parallelenaxiom durch die indirekte Methode zu beweisen, d. h. das Gegenteil anzunehmen und daraus unsinnige Konsequenzen abzuleiten. Aber ihre Folgerungen, die durchaus nicht unsinnig waren, liefen in Wirklichkeit auf Satze der spater entwickelten nichteuklidischen Geometrie hinaus. Hatten sie diese nicht als Absurditaten, sondem vie1mehr als in sich widerspruchsfreie Aussagen betrachtet, so waren sie die Entdecker der nichteuklidischen Geometrie geworden. Damals wurde jedes geometrische System, das nicht mit dem euklidischen vollstandig ubereinstimmte, ffir offenbaren Unsinn gehalten. KANT, der einfiuBreichste Philosoph der damaligen Zeit, formulierte diese Auffassung in der Behauptung, daB die Axiome EUKLID8 dem menschlichen Geist inharent seien und daher objektive Gultigkeit fur den "wirklichen" Raum batten. Dieser Glaube an

168

IV. Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien

die euklidischen Axiome als unurnstoBliche Wahrheiten, die dem Reich der reinen Anschauung angehOren, war eine der grundlegenden Annahmen der Kantschen Philosophie. Aber auf die Dauer konnten weder alte Denkgewohnheiten noch philosophische Autoritat die Oberzeugung unterdriicken, daB die endlose Reihe der miBlungenen Versuche, das Parallelenaxiom zu beweisen, nicht auf ein Versagen der Mathematiker zurUckzuffihren war, sondem vielmehr auf die Tatsache, daB das Parallelenaxiom eben wirklich unabhiingig von den fibrigen ist. (In fast derselben Weise hatte der ausbleibende Erfolg bei dem Beweis, daB die allgemeine Gleichung flinften Grades durch Radikale lOsbar sei, zu der Vermutung geflihrt - die sich spater bestatigte -, daB eine solche Losung unmoglich ist.) Der Ungar BOLYAI (1802-1860) und der Russe LOBATSCHEWSKY (1793-1856) "erledigten" die Frage, indem sie in allen Einzelheiten eine Geometrie aufbauten, in der das Parallelenaxiom nicht gilt. Als der geniale junge BOLYAI in seiner Begeisterung seine Arbeit an GAUSS, den "princeps mathematicorum", sandte, erhielt er statt der Anerkennung, die er gespannt erwartete, die Auskunft, daB seine Ergebnisse schon frliher von GAUSS selbst gefunden worden waren, aber daB dieser keinen Wert darauf gelegt hatte, sie zu veroffentlichen, weil er aufsehenerregende Publizitat scheute. Was bedeutet die Unabhangigkeit des Parallelenaxioms? Einfach, daB es moglich ist, ein widerspruchsfreies System von "geometrischen" Aussagen fiber Punkte, Geraden usw. aufzubauen, das sich auf ein Axiomensystem grlindet, in dem das Parallelenaxiom durch ein entgegengesetztes Postulat ersetzt ist. Ein solches System von Aussagen nennt man eine nichteuklidische Geometrie. Es gehOrte der intellektuelle Mut eines GAUSS, BOLYAI und LOBATSCHEWSKY dazu, urn einzusehen, daB eine solche Geometrie, die auf einem nichteuklidischen Axiomensystem beruht, in sich vollkommen widerspruchsfrei sein kann. Urn die Widerspruchsfreiheit der neuen Geometrie zu zeigen, genfigt es nicht. eine groBe Anzahl nichteuklidischer Satze abzuleiten, wie es BOLYAI und LOBATSCHEWSKY taten. Statt dessen haben wir gelemt, "Modelle" einer solchen Geometrie zu konstruieren, die alle Axiome EUKLIDS mit Ausnahme des Parallelenaxioms befriedigen. Das einfachste derartige Modell wurde von FELIX KLEIN angegeben, dessen Arbeiten auf diesem Gebiet durch die Ideen des englischen Geometers CAYLEY (1821-1895) befruchtet worden waren. In diesem Modell konnen unendlich viele "Geraden" "parallel" zu einer gegebenen Geraden durch einen Punkt auBerhalb gezogen werden. Eine solche Geometrie heiBt eine BolyaiLobatschewskysche oder "hyperbolische" Geometrie. (Der Grund ffir die letzte Bezeichnung wird auf S. 173 angegeben.) KLEINs Modell wird konstruiert, indem man zuerst Objekte der gewohnlichen euklidischen Geometrie betrachtet und dann einige dieser Objekte und die Beziehungen zwischen ihnen umbenennt, so daB eine nichteuklidische Geometrie entsteht. Diese muB dann, eo ipso, ebenso widerspruchsfrei sein wie die ursprlingliche euklidische Geometrie, da sie nur von einem anderen Gesichtspunkt aus betrachtet und in anderen Worten beschrieben, aus einer Gruppe von Tatsachen der gewohnlichen euklidischen Geometrie besteht. Dieses Modell kann leicht mit Hilfe einiger Begriffe der projektiven Geometrie verstanden werden. Wenn wir eine Ebene projektiv auf eine andere Ebene abbilden oder besser auf sich selbst (indem wir die Bildebene nachtraglich mit der ursprlinglichen

2. Hyperbolische nichteuklidische Geometrie

169

Ebene zusammenfallen lassen), dann wird im allgemeinen ein Kreis in einen Kegelschnitt verwandelt. Man kann aber leicht zeigen (der Beweis wird hier iibergangen), daB es unendlich viele projektive Abbildungen der Ebene auf sich selbst gibt, bei denen ein gegebener Kreis und sein Inneres in sich selbst transformiert werden. Bei solchen Transformationen werden Punkte im Innem oder auf der Randlinie gewohnlich in andere Lagen verschoben, bleiben aber im Innem bzw. auf der Randlinie des Kreises. (Insbesondere kann man den Mittelpunkt in jeden anderen inneren Punkt riicken lassen.) Betrachten wir die Gesamtheit aller dieser Transformationen. Natiirlich werden sie die Gestalt der Figuren verandem und sind daher keine starren Bewegungen im gewohnlichen Sinne. Aber jetzt tun wir den entscheidenden Schritt, indem wir sie "nichteuklidische Bewegungen" in bezug auf die zu konstruierende Geometrie nennen. Mit Hilfe dieser "Bewegungen" konnen wir die Kongruenz definieren; zwei Figuren werden namlich kongruent genannt, wenn es eine nichteuklidische Bewegung gibt, welche die eine in die andere iiberfiihrt. Das Kleinsche Modell der hyperbolischen Geometrie ist nun das folgende: Die "Ebene" besteht nur aus den Punkten innerhalb eines Kreises; von den Punkten auf dem Rand und auBerhalb wird abgesehen. Jeder Punkt innerhalb des Kreises wird ein nichteuklidischer "Punkt" genannt; jede Sehne des Kreises wird eine nichteuklidische Gerade genannt; "Bewegung" und "Kongruenz" werden wie oben definiert; "Punkte" verbinden und den Schnittpunkt von "Geraden" aufsuchen, bleibt in der nichteuklidischen Geometrie dasselbe wie in der euklidischen. Es ist leicht zu zeigen, daB das neue System allen Postulaten der euklidischen Geometrie, mit der einzigen Ausnahme des Parallelenaxioms, geniigt. DaB das Parallelenaxiom in dem neuen System nicht gilt, ergibt sich aus der Tatsache: durch jeden "Punkt" , der nicht auf einer gegebenen "Geraden" liegt, konnen unendlich viele Geraden gezogen werden, die mit der gegebenen "Geraden" keinen "Punkt" gemeinsam haben. Die erste Gerade ist eine euklidische Sehne des Kreises, wahrend die zweite "Gerade" irgendeine von den Sehnen des Kreises sein kann, die Fig. 110. Kleins nichteuldidisches Modell durch den gegebenen "Punkt" gehen und die gegebene "Gerade" nicht innerhalb des Kreises schneiden. Dieses einfache Modell reicht vollkommen aus, urn die fundamentale Frage zu entscheiden, die zur nichteuklidischen Geometrie fiihrte; es beweist namlich, daB das Parallelenaxiom nicht aus den iibrigen Axiomen der euklidischen Geometrie abgeleitet werden kann. Denn konnte es aus ihnen abgeleitet werden, so miiBte es auch in der Geometrie des Kleinschen Modells gelten, und wir haben eben gesehen, daB das nicht der Fall ist. Genau genommen beruht diese Beweisfiihrung auf der Annahme, daB die Geometrie des Kleinschen Modells in sich widerspruchsfrei ist, so daB niemals ein Satz und zugleich sein Gegenteil bewiesen werden kann. Aber die Geometrie des Kleinschen Modells ist sicherlich ebenso widerspruchsfrei wie die gewohnliche euklidische Geometrie, da die Aussagen iiber "Punkte", "Geraden" usw. in KLEIN. Modell nur andere Ausdrucksweisen fiir gewisse Sitze der euklidischen Geometrie sind. Ein befriedigender Beweis fiir die Widerspruchsfreiheit der

170

IV. Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien

Axiome der euklidischen Geometrie ist nie gegeben worden, es sei denn durch Riickgrifi auf die Begriffe der analytischen Geometrie und damit letzten Endes auf das Zahlenkontinuum, dessen Widerspruchsfreiheit wiederum eine ofIene Frage ist.

*Eine spezielle Frage, die allerdings fiber unser unmittelbares Ziel binausgeht, soll hier doch noch erwahnt werden, namlich, wie man den nichteuklidischen "Abstand" in KLEIN8 Modell zu definieren hat. Dieser "Abstand" muB bei jeder nichteuklidischen "Bewegung" invariant sein; denn eine Bewegung muB ja Abstande invariant lassen. Wir wissen, daB DoppelverhaItnisse bei Projektion invariant sind. Ein DoppelverhaItnis, in dem zwei willkfirliche Punkte P, Q innerhalb des Kreises vorkommen, bietet sich sofort, wenn die Strecke PQ bis zum Schnitt mit dem Kreis bei 0 und S verlangert wird. Das DoppelverhaItnis (OSQP) dieser vier Punkte ist eine (positive) Zahl, von der man erwarten konnte, daB sie sich als Definition des "Abstandes" PQ zwischen P und Q eignet. Aber diese Definition muG etwas abgeandert werden, urn sie brauchbar zu S machen. Denn wenn die drei Punkte P, Q, R auf einer Geraden liegen, so mfiBte PQ + QR = PR gelten. Nun ist im allgemeinen

(OSQP)

+ (OSRQ) 9= (OSRP) .

Statt dessen gilt die Relation Fig. 111. NichteukJidischer AbstaDd

'OSQP' (OSRQ) = \

J

(1) (OSQP) . (OSRQ) = (OSRP) , wie man aus den Gleichungen QOIQs • ROIRS POIPS QOIQs

=

ROIRS POIPS -

(OSRP)

erkennt. Wegen der Gleichung (1) konnen wir eine befriedigende additive Definition ffir die Messung des "Abstandes" geben, nicht durch das DoppelverhaItnis selbst, sondem durch den Logarithmus des DoppeZverhiiltnisses:

PQ = nichteuklidischer Abstand von P und Q = log (OSQP). Dieser Abstand ist eine positive Zahl, da (OSQP) > 1, wenn P 9= Q. Benutzen wir die fundamentale Eigenscbaft des Logaritbmus (siebe S. 338), so folgt aus (1), daB PQ + QR = PR. Die Basis, die fUr den Logarithmus gewahlt wird, ist ohne Bedeutung, da eine Anderung der Basis nur die MaBeinheit andert. Nebenbei bemerkt, wachst der nichteuklidiscbe Abstand PQ ins Unendlicbe, wenn einer der Punkte, Z. B. Q, sich dem Kreise nahert. Dies zeigt, daB die Gerade unserer nichteuklidischen Geometrie von unendlicher nichteuklidischer Lange ist, obwohl sie im gewohnlichen euklidischen Sinne nur ein endlicher Abscbnitt einer Geraden ist. 3. Geometrie und Wirklichkeit Das Kleinsche Modell zeigt, daB die hyperbolische Geometrie, a1s formales deduktives System betrachtet, ebenso widerspruchsfrei ist wie die klassiscbe euklidische Geometrie. Es erhebt sich dann die Frage, welche von heiden a1s Beschreibung der Geometrie der physikalischen Welt den Vorzug hat. Wie wir schon

4. Poincares Modell

171

gesehen haben, kann das Experiment nie entscheiden, ob es nur eine oder unendlich viele Parallelen zu einer gegebenen Geraden durch einen Punkt gibt. In der euklidischen Geometrie indessen ist die Winkelsumme jedes Dreiecks 180°, wahrend es sich zeigen laBt, daB in der hyperbolischen Geometrie die Winkelsumme weniger als 180° betragt. GAUSS stellte daher ein Experiment an, urn diese Frage zu entscheiden. Er maS genau die Winkel in einem Dreieck, das von drei ziemlich weit entfemten Bergspitzen gebildet wird, und fand, daB die Summe innerhalb der Beobachtungsfehler 180° war. Ware das Resultat merkbar weniger als 180° gewesen, so hatte man schlieBen miissen, daB die hyperbolische Geometrie fiir die Beschreibung der physikalischen Wirklichkeit vorzuziehen ist. So aber war durch das Experiment nichts entschied.en; dennfiir "kleine" Dreiecke, deren Seiten nur einige Kilometer lang sind, konnte die Abweichung von 180° in der hyperbolischen Geometrie so klein sein, daB sie mit GAUSS' Instrumenten nicht zu erkennen war. Obwohl also durch das Experiment nichts entschieden wurde, bestatigt es, daB die euklidische und die hyperbolische Geometrie, die sich im Gropen sehr erheblich unterscheiden, fUr relativ kleine Figuren so nahe zusammenfallen, daB sie experimentell aquivalent sind. Solange also nur lokale Eigenschaften des Raumes betrachtet werden, dad die Wahl zwischen den beiden Geometrien unbedenklich nach dem Gesichtspunkt der Einfachheit und Bequemlichkeit getroffen werden. Da sich mit dem euklidischen System einfacher urngehen laBt, sind wir berechtigt, es ausschlieBlich zu benutzen, solange einigermaBen kleine Entfemungen (bis zu einigen Millionen Kilometem I) betrachtet" werden. Aber wir sollten nicht erwarten, daB es notwendigerweise zu einer angemessenen Beschreibung des Weltalls im ganzen, in seiner weitesten Ausdehnung, tauglich sein muG. Die Situation ist hier genau analog zu der in der Physik, wo die Systeme von NEWTON und EINSTEIN fiir kleine Entfemungen und Geschwindigkeiten die gleichen Resultate geben, aber voneinander abweichen, wenn es sich urn sehr betrachtliche GroBen handelt. Die geradezu revolutionare BedeutUng der Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie lag in der Zerstorung der Vorstellung, daB die Axiome EUKLIDs einen unveranderlichen mathematischen Rahmen bilden, in den unsere Erfahrungen iiber die physikalische Realitat eingepaBt werden miissen.

4. POINCARi8 Modell Der Mathematiker hat das Recht, eine "Geometrie" durch irgendein widerspruchsfreies System von Axiomen iiber "Punkte", " Geraden" usw. zudefinieren; seine Untersuchungen werden aber nur dann ffir den Physiker von Nutzen sein, wenn diese Axiome dem physikalischen Verhalten der Dinge der wirklichen Welt entsprechen. Von diesem Standpunkt aus wollen wir die Bedeutung der Aussage untersuchen, daB "das Licht sich geradlinig fortpfianzt". Wenn dies als die physikalische Definition der "geraden Linie" angesehen wird, dann miissen die Axiome der Geometrie so gewahlt werden, daB sie dem Verhalten der Lichtstrahlen entsprechen. Stellen wir uns mit POINCARE eine Welt vor, die aus dem Innem eines Kreises C besteht, und so, daB die Lichtgeschwindigkeit in jedem Punkt innerhalb des Kreises dem Abstand des Punktes vom Umfang gleich ist. Es laBt sich beweisen1, 1 Dabei wird die Annahme zugrunde gelegt. daB ein Lichtstrahl zwischen zwei Punkten jeweils den Weg kiirzester Laufzeit einschlagt.

172

IV. Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien

daB die Lichtstrahlen dann die Form von KreisbOgen annehmen, die an ihren Enden senkrecht auf dem Umfang des Kreises C stehen. In einer solchen Welt unterscheiden sich die geometrischen Eigenschaften von "Geraden" (definiert als Lichtstrahlen) von den euklidischen Eigenschaften von Geraden. Insbesondere gilt das Parallelenaxiom nicht, da es dureh jeden Punkt unendlieh viele "Geraden" gibt, die eine gegebene "Gerade" nieht sehneiden. Tatsaehlich haben die "Punkte" und "Geraden" dieser Welt genau dieselben geometrisehen Eigensehaften wie die "Punkte" und "Geraden" des Kleinschen Modells. Mit anderen Worten, wir haben ein anderes Modell einer hyperbolisehen Geometrie. Aber die euklidisehe Geometrie ist aueh auf diese Welt anwendbar; anstatt nichteuklidisehe "Geraden" zu sein, wfirden die Liehtstrahlen euklldisehe KreisbOgen senkrecht auf C sein. Wir sehen also, daB versehiedene geometrisehe Systeme dieselbe physikalisehe Situation beschreiben konnen, sofem nur die physikalisehen Objekte (in diesem Fall die Liehtstrahlen) mit versehiedenen Begriffen der beiden Systeme in Beziehung gesetzt werden: Fig. 112. Poincare. nichteuklidisches Modell

Lichtstrahl-+ "Gerade" - hyperbolisehe Geometrie, Lichtstrahl-+ "Kreisbogen" - euklidisehe Geometrie.

Da der Begriff der Geraden in der euklldisehen Geometrie dem Verhalten der Liehtstrahlen in einem homogenen Medium entsprieht, so konnten wir sagen, daB die Geometrie im (nieht homogenen) Innem des Kreises C hyperboliseh ist, womit nur gemeint ist, daB die physikalisehen Eigensehaften der Liehtstrahlen in dieser Welt den Eigenschaften der "Geraden" der hyperbolischen Geometrie entsprechen. 5. Elliptiscbe oder Riemannsebe Geometrie

In der euklidischen Geometrie, ebenso wie in der hyperbolischen oder BolyaiLobatsehewskyschen Geometrie, wird stillschweigend vorausgesetzt, daB eine Gerade unendlieh ist (die unendliehe Ausdehnung der Geraden ist wesentlieh verkniipft mit dem Begriff und den Axiomen des "Dazwischenseins"). Aber nachdem die hyperbolisehe Geometrie die freie Konstruktion von Geometrien eingeleitet hatte, war es nur natiirlich zu fragen, ob nieht auch noch andere niehteuklidische Geometrien konstruiert werden konnen, in denen gerade Linien nicht unendlieh, sondem endlieh und geschlossen sind. Natiirlieh miissen in solchen Geometrien auBer dem Parallelenaxiom aueh die Axiome des "Dazwischenseins" aufgegeben werden. Die modeme Entwieklung hat die physikalisehe Bedeutung dieser Geometrien gezeigt. Sie wurden zum erstenmal in der Antrittsvorlesung betrachtet, die RIEMANN 1851 bei seiner Habilitation als Privatdozent an der Universitat Gottingen hielt. Geometrien mit gesehlossenen endliehen Geraden lassen sich in vollig widerspruchsfreier Weise konstruieren. Stellen wir uns eine zweidimensionale Welt vor, die aus der OberfHi.che Seiner Kugel besteht und in der wir die "Geraden" als GroBkreise der Kugel definieren. Dies ware die natiirliehste Art, die Welt eines Seefahrers zu beschreiben, da die Bogen der GroBkreise die kiirzesten Verbindungslinien zmschen zwei Punkten der Kugel sind und dies die

5. Elliptische oder Riemannsche Geometrie

173

charakteristische Eigenschaft der Geraden in der Ebene ist. In einer solchen Welt schneiden sich ie zwei beliebige "Geraden", so daB von einem Punkt auBerhalb einer gegebenen Geraden keine Gerade gezogen werden kann, die der gegebenen Geraden parallel ist (d. h. sie nicht schneidet). Die Geometrie der "Geraden" in einer solchen Welt wird elliptische Geometrie genannt. In dieser Geometrie wird der Abstand zweier Punkte einfach durch die Entfemung langs des kleineren Bogens des GroBkreises, der die Punkte verbindet, gemessen. Winkel werden wie in der euklidischen Geometrie gemessen. Als typisch fur eine elliptische Geometrie sieht man gewohnlich die Tatsache an, daB es zu einer Geraden Fig. 113. "Geraden" in einer keine Parallele gibt. Riemannschen Geometrie Nach RIEMANN konnen wir diese Geometrie wie folgt el'weitem. Betrachten wir eine Welt, die aus einer gekrummten Flache im Raum besteht, welche nicht notwendig eine Kugel zu sein braucht, und definieren wir als "gerade" Verbindungslinien zweier Punkte die Kurve geringster Lange, die sogenannte "geodatische Linie" zwischen den Punkten. Die Punkte der Flache k6nnen in zwei Klassen eingeteilt werden: 1. Punkte, in deren Umgebung die Flache insofem kugelahnlich ist, als sie ganz auf einer Seite der Beruhrungsebene in dem Punkt liegt. 2. Punkte, in deren Umgebung die Flache sattelf6rmig ist und daher auf beiden Seiten der BeriihrungsFig. 114. Ein elliptiscber Punkt ebene in dem Punkt liegt. Punkte der ersten Art heiBen elliptische Punkte der Flache, da die Tangentialebene, wenn sie ein wenig parallel zu sich selbst verschoben wird, die Flache in einer elliptischen Kurve schneidet; dagegen heiBen die Punkte der zweiten Art hyperbolisch, da die Tangentialebene bei geringer Parallelverschiebung die Flache in einer hyperbelahnlichen Kurve schneidet. Die Geometrie der geodatischen "Geraden" in der UmFig. 115. Ein hyperbolischer Punkt gebung eines Punktes der Flache ist elliptisch oder hyperbolisch, je nachdem ob der Punkt ein elliptischer oder hyperbolischer Punkt ist. In diesem Modell einer nichteuklidischen Geometrie werden Winkel durch ihren gewohnlichen euklidischen Wert gemessen.

174

IV. Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien

Diese Idee wurde von RIEMANN entwickelt, der eine rawnliche Geometrie analog dieser Flachengeometrie betrachtete, wobei die "Kriimmung" des Rawnes den Charakter der Geometrie von Punkt zu Punkt andem kann. In EINSTEINs allgemeiner Relativitatstheorie ist die Geometrie des Raumes eine Riemannsche Geometrie; das Licht pfianzt sich Hi.ngs der geodatischen Linien fort, und die Kriimmung des Raumes wird durch die Natur der darin enthaltenen Materie bestimmt. Aus ihren ersten Anfangen als ein Gegenstand der Axiomatik hat sich die nichteuklidische Geometrie zu einem sehr brauchbaren Instrwnent flir die Anwendung auf die wirkliche Welt entwickelt. In der Re1ativitatstheorie, in der Optik und in der allgemeinen Theorie der Wel1enausbreitung ist eine nichteuklidische Beschreibung der Erscheinungen oft angemessener als eine euklidische. Anhang

*Geometrie in mehr als drei Dimensionen 1. Einleitung Der "wirkliche Raum", d. h. das Medium unserer physikalischen Erfahrung, hat drei Dimensionen, die Ebene hat zwei Dimensionen, die Gerade eine. Unsere raumliche Anschauung im gewohnlichen Sinne ist unzweifelhaft auf drei Dimensionen beschrankt. Trotzdem ist es in manchen Fallen ganz zweckmiiBig, von "Raumen" mit vier oder mehr Dimensionen zu sprechen. Was bedeutet ein n-dimensionaler Raum, wenn n groBer ist als drei, und wozu kann er dienen? Die Alltwort hierauf kann sowohl vom analytischen wie auch vom rein geometrischen Standpunkt aus gegeben werden. Die Bezeichnung "n-dimensionaler Raum" darf man lediglich als eine suggestive geometrische Ausdrucksweise flir mathematische Gedanken auffassen, die von der naiven geometrischen Anschauung nicht mehr erfaBt werden. Wir wollen die einfachen Dberlegungen, die diese Ausdrucksweise veranlaBt haben und sie rechtfertigen, kurz andeuten. 2. Die analytische Definition

Wir haben schon von der Umkehrung der Auffassungen gesprochen, die sich bei der Entwicklung der analytischen Geometrie ergeben hat. Punkte, Gerade, Kurven usw. wurden urspriinglich als rein "geometrische" Objekte betrachtet, und die analytische Geometrie hatte nur die Aufgabe, ihnen Systeme von Zahlen oder Gleichungen zuzuordnen und die geometrische Theorie mit algebraischen oder analytischen Methoden zu deuten oder zu entwickeln. 1m Laufe der Zeit aber setzte sich der entgegengesetzte Standpunkt mehr und mehr durch. Eine Zahl x, ein Zahlenpaar x, yoder ein Zahlentripel x, y, z wurden als die grundlegenden Objekte angesehen, und diese analytischen Gegenstande wurden dann "anschaulich dargestellt" als Punkte auf einer Geraden, einer Ebene oder im Raum. Von diesem Standpunkt aus dient die geometrische Ausdrucksweise nur dazu, Beziehungen zwischen Zahlen suggestiv auszusprechen. Wir konnen von dem primaren oder iiberhaupt dem selbstandigen Charakter der geometrischen Objekte ganz absehen und sagen, daB ein Zahlenpaar x, y ein Punkt auf einer Ebene ist, daB die Menge aller Zahlenpaare x, y, die einelineare Gleichung L (x, y) = ax + by + c =0

2. Die analytische Definition

175

mit festen Zahlen befriedigen, eine Gerade ist, usw. Entsprechende Definitionen k6nnen im Raum von drei Dimensionen aufgestellt werden. Selbst wenn wir lUlS in erster Linie fur ein algebraisches Problem interessieren, kann es sein, daB die Sprache der Geometrie fur eine angemessene kurze DarleglUlg des Problems die einfachste ist lUld daB die geometrische AnschaulUlg den Weg zu der geeigneten algebraischen L6slUlgsmethode zeigt. Wenn wir zum Beispiel drei simultane lineare GleichlUlgen fur drei Unbekannte x, y, z

L(x,y,z)=ax +by +cz +d =0 L'(x,y, z) = a'x + b'y + c'z + d' = 0 L"(x, y, z) = a"x + b"y + c"z + d" = 0 16sen wollen, so k6nnen wir das Problem anschaulich so auffassen, daB der Schnittpunkt dreier Ebenen im dreidimensionalen Raum Ra, die durch die Gleichungen L = 0, L' = 0, L" = 0 definiert sind, gesucht ist. Oder wenn wir die Zahlenpaare x, y mit der Eigenschaft x > 0 zu betrachten haben, so k6nnen wir sie lUlS als die Halbebene zur Rechten der y-Achse vorstellen. Ailgemeiner kann man sich die Gesamtheit der Zahlenpaare x, y mit der Eigenschaft

L(x, y) = ax + by + d> 0 als eine Halbebene auf einer Seite der Geraden L heit der Zahlentripel x, y, z mit der Eigenschaft

=

0 vorstellen lUld die Gesamt-

L(x, y, z) = ax + by + cz + d> 0 als "Halbraum" auf einer Seite der Ebene L (x, y, z) = O. Die Einfuhrung eines "vierdimensionalen Raumes" oder sogar eines "n-dimensionalen Raumes" erscheint nlUl ganz naturlich. Betrachten wir etwa ein Zahlenquadrupel x, y, z, t. Von einem solchen Quadrupel sagen wir, es sei dargestellt durch einen Punkt oder, einfacher, es sei ein Punkt im vierdimensionalen Raum R 4 • Allgemeiner ist ein Punkt im n-dimensionalen Raum R", nach Definition einfach eine geordnete Menge von n reellen Zahlen Xl' x 2, ••. , X"'. Es schadet nichts, daB wir uns einen solchen Punkt nicht vorstellen k6nnen. Die geometrische Ausdrucksweise bleibt ebenso suggestiv fur algebraische Eigenschaften, die vier oder n Variable betreffen. Der Grund dafur ist, daB viele der algebraischen Eigenschaften linearer Gleichungen usw. ihrem Wesen nach unabhangig sind von der Anzahl der vorkommenden Variablen oder, wie wir auch sagen k6nnen, von der Dimension des Raumes dieser Variabeln. Zum Beispiel nennen wir die Gesamtheit aller Punkte Xl> x2, ••• , Xn im n-dimensionalen Raum Rn, die einer linearen Gleichung

.L (Xl' x2,

••• , Xn)

= at Xl + a 2 X 2 + ... + an Xn + b = 0

genugen, eine " Hyperebene" . Dann laBt sich das fundamentale algebraische Problem der Aufi6slUlg eines Systems von n linearen Gleichungen in n Unbekannten

Ll(Xl , x2 , ••• , x.. ) = 0 L 2 (x], x 2 , ••• , xn) = 0

176

IV. Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien

in geometrischer Sprache ausdrucken a1s das Problem, den Schnittpunkt der n Hyperebenen It = 0, L'I.= 0, ... , L" = 0 zu bestimmen.

Dcr V O1'zug diescr geometriscken A usdrucksweise ist nur, da/3 sie gewisse algebraisene Eigenheiten betont, die unabhiingig von n sind und die sick fur n ~ 3 anschaulick deuten lassen. In vielen Fiillen hat die Anwendung einer solchen Terminolo-

gie den Vorteil, die eigentlich analytischen Vberlegungen abzukfirzen, zu erleichtern und zu lenken. Die Relativitatstheorie ist ein Beispiel dafiir, daB ein wichtiger Fortschritt erzielt wurde, a1s die Raumkoordinaten x, y, z und die Zeitkoordinate t eines "Ereignisses" in eine vierdimellsionale Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit von Zahlenquadrupeln x, y, z, t zusammengefaBt wurden. Durch Einffihrung einer nichteuklidischen hyperbolischen Geometrie in diesem analytischen Rahmen wurde es moglich, viele sonst sehr komplizierte Sachverhalte in bemerkenswert einfacher Weise darzustellen. Ahnliche Vorteile haben sich in der Mechanik und in der physikalischen Statistik sowie auf rein mathematischen Gebieten gezeigt. Hier erwalmen wir noch einige Beispiele aus der Mathematik. Die Gesamtheit alier Kreise in der Ebene bildet eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit, da ein Kreis mit dem Mittelpunkt x, y und dem Radius t durch einen Punkt mit den Koordinaten x, y, t dargestellt werden kann. Da der Radius des Kreises eine positive Zahl ist,erffillt die Gesamtheit der Punkte, die Kreise darstellen, einen Halbraum. In derselben Weise bildet die Gesamtheit alier Kugeln im dreidimensionalen Raum eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit, da jede Kugel mit dem Mittelpunkt x, y, z und dem Radius t durch einen Punkt mit den Koordinaten x, y, z, t dargestellt werden kann. Ein Wfirfel im dreidimensionalen Raum mit der Kantenlange 2, mit Seitenflachen paraliel zu den Koordinatenebenen und dem Mittelpunkt im Ursprung besteht aus der Gesamtheit alier Punkte Xl' X.' Xa, ffir die IX11 ~ 1, Ix.1 ~ 1, Ix.1 ~ 1. In derse1ben Weise ist ein "Wiirfe1" im n-dimensionalen Raum mit der Kante 2, mit den Seiten parallel zu den Koordinatenebenen und dem Mittelpunkt im Ursprung, definiert als die Gesamtheit der Punkte Xl' XI' ••• , X"' ffir die zugleich

IX11

~ 1,

IX21

~ 1, ... ,

Ix,,1

~ 1

ist. Die "Oberfiache" dieses Wfirfels besteht aus allen Punkten, fUr die mindestens ein Gleichheitszeichen gilt. Die Oberfiachenelemente von der Dimension n - 2 bestehen aus den Punkten, fiir die mindestens zwei Gleichheitszeichen gelten, usw. (Jbung: Man beschreibe die Ober1l.lI.che eines solchen Wiirfels in1 drei-. vier- und n-dimensionalen Fall.

·3. Die geometrische oder kombinatorische Definition

Obwohl der analytische Zugang zur n-dimensionalen Geometrie einfach und fUr die meisten Anwendungen am geeignetsten ist, verdient noch ein anderes, rein geometrisches Verfahren erwalmt zu werden. Es beruht auf der Reduktion von nauf (n - 1)-dimensionale Daten, wodurch wir die Geometrie hOherer Dimensionen durch mathematische Induktion definieren konnen. Beginnen Wir mit der Begrenzung eines Dreiecks A BC in zwei Dimensionen. Schneiden wir das geschlossene Polygon im Punkte C auf und drehen AC und BC in die Gerade AB, so erhalten wir die einfache gestreckte Linie der Fig. 116, in welcher der Punkt C zweimal vorkommt. Diese eindimensionale Figur gibt eine vollstandige Darstellung der

177

3. Die geometrische oder kombinatorische Definition

Begrenzungslinie de;; zweidimensionalen Dreiecks. Biegen wir die Strecken A C und BC in der Ebene zusammen, so konnen wir die heiden Punkte C wieder zusammenfallen lassen. Aber - und dies ist der springende Punkt - wir brauchen das Zusammenbiegen nieht vorzunehmen. Wir brauchen nur zu vereinbaren, daB wir die zwei Punkte C in Fig. 116 "identifizieren" wollen, d. h.

~

A

8

A

B

0

co

0

8

A 0

0

8

C

A

c 0

Fig. 116. Dreleck, definiert durch Strecken mit einaDder zupordneten EDdpunkten

keinen Unterschied zwischen ihnen machen, wenn sie auch nicht wirklich als geometrische Objekte im gewohnlichen Sinn zusamtnenfallen. Wir konnen sogar noch einen Schritt weitergehen und die drei Strecken auch n~h an den Punkten A und B auseinandemehmen, so daB wir drei einze1ne Strecken CA, AB, BC 7

~

VI IIV:;---+-_~

8

II

J

n S

[]J[]1I0 O []v OVI 1

I

W

Ii'

asI[

Ii'

8

5"

13

f

3

m

6'

7

II

J

m

I f

7

7

w 6'

~

8

S

V

5"

Ii'

oS

.10'<>------00'

30

oli'

Qo<>------008

10

oil

So0 - - - - - - 0 0 8

Jo

oil

80'<>-----007

Jo

03

70<>-----00,$

10

03

Soo------oo.6'

10

Fig. 117. Wiirfel, definiert durch Zuordnung von Ecken und Kanten

erhalten, die sich wieder zu einem "wirklichen" Dreieck zusammensetzen, indem man die identifizierten Punktpaare zusammenfallen llUlt. Diese Idee, verschiedene Punkte einer Anzah! Strecken zu identifizieren, urn ein Polygon (in diesem Fall ein Dreieck) daraus zu bilden, ist zuweilen sehr praktisch. Wenn ein kompliziertes Courant u. Robbins, Matbematik

178

IV. Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien

Gitterwerk aus Stahltragern, wie die Tragerkonstruktion einer Brocke, transportiert werden soIl, so verladen wir die einzelnen Trager und bezeichnen mit gleichen Zeichen diejenigen Endpunkte, die zusammengehoren, wenn das Gitterwerk raumlich zusammengefiigt werden soIl. Das System der Trager mit bezeichneten Endpunkten ist ein vollstandiges Aquivalent des raumlichen Gitterwerks. Diese Bemerkung deutet an, wie ein zweidimensionales Polyeder im dreidimensionalen Raum auf Figuren geringerer Dimension zurockgefiihrt werden kann. Nehmen wir zum Beispiel die Ober1lache eines Wiirfe1s (Fig. 117). Sie kann sofort auf ein System von sechs ebenen Quadraten zurUckgefiihrt werden, deren begrenzende Seiten in geeigneter Weise identifiziert werden, und durch einen weiteren Schritt auf ein System von 12 geraden Strecken mit richtig identifizierten Endpunkten. Allgemein laDt sich jedes Polyeder im dreidimensionalen Raum Ra in dieser Weise auf ein System von ebenen Polygonen oder ein System von Strecken zurockfiihren. Obung: Man fubre diese Reduktion fur aIle reguliren Polyeder durch (siehe S. 181).

Es ist nun klar, daB wir unsere 'Oberlegung umkehren konnen. Das heiDt, wir konnen ein Polygon in der Ebene definieren durch ein System von Strecken und ebenso ein Polyeder im Ra durch ein System von Polygonen im R" oder auch mit einer weiteren Reduktion durch ein System von Strecken. Daher ist es natiirlich, ein "Polyeder" im vierdimensionalen Raum R, zu definieren durch ein System von Polyedern im Ra mit geeigneter Identifizierung ihrer zweidimensionalen Seitenflachen, ein Polyeder im Ra durch Systeme von Polyedern im R, und so weiter. Letzten Endes konnen wir jedes Polyeder im Rn auf Systeme von Strecken zurUckfiihren. Es ist nicht moglich, dies bier weiter auszufiihren. Nur einige Bemerkungen seien noch ohne Beweis angefiigt. Ein Wiirfel im R, wird von 8 dreidimensionalen Wiirfe1n begrenzt, von denen jeder mit seinen "Nachbam" an je einer zweidimensionalen Flache identifiziert ist. Der Wiirfel im R, hat 16 Ecken, in denen stets 4 von den 32 Kanten zusammentreffen. 1m R, gibt es sechs regullire Polyeder. AuDer dem "Wiirfel" gibt es eins, das von 5 regularen Tetraedern begrenzt wird, eins, das von 16 Tetraedern, eins, das von 24 Oktaedern, eins, das von 120 Dodekaedern, und eins, das von 600 Tetraedern begrenzt ist. Fiir Dimensionen n > 4 ist bewiesen worden, daB nur drei regulare Polyeder moglich sind: eins mit n + 1 Ecken, begrenzt von n + 1 Polyedern im R n - l mit n Seiten von der Dimension n - 2, eins mit 2n Ecken, begrenzt von 2n Polyedern im R n - l mit 2n - 2 Seiten, und eins mit 2 n Ecken und 2" Polyedern von n Seiten im R n - l als Begrenzungen. *Obung: Man vergleiche die Definition des Wurfela im R" die im Abschnitt 2 gegeben wurde, mit der Definition in diesem Abschnitt und zeige, daB die "analytische" Definition der Oberflache des Wurfels in Abschnitt 2 der "kombinatorischen" Definition dieses Abschnitta aquivalent ist.

Vom strukturellen oder "kombinatorischen" Standpunkt sind die einfachsten geometrischen Figuren von der Dimension 0, 1,2,3 der Punkt, die Strecke, das Dreieck und das Tetraeder. Der Einheitlichkeit wegen nennen wir diese Figuren die "Simplexe" der betreffenden Dimension und bezeichnen sie durch die Symbole So, 51' 5., Sa. (Der Index gibt jeweils die Dimension an.) Die Struktur jeder dieser Figuren wird durch die folgenden Aussagen gekennzeichnet: jedes 5,. besitzt n + 1 Ecken; jede Teilmenge von i + 1 Ecken eines Sn (i = 0, 1, ... , n) bestimmt ein

179

3. Die geometrische oder kombinatorische Definition

St. Das dreidimensionale Simplex Sa (das Tetraeder) enthiilt z. B. 4 Ecken, 6 Strecken (oder Kanten) und 4 Dreiecke. Es ist nun klar, wie wir fortzufahren haben. Wir definieren ein vierdimensionales Simplex S4 a1s eine Menge von 5 Ecken derart, daB jede Teilmenge von vier Ecken ein Sa bestimmt, jede Teilmenge von drei Ecken ein Sa und so weiter. Das schematische Diagramm eines S4 zeigt Fig. 118. S4 enthiilt offenbar 5 Ecken, 10 Strecken, 10 Dreiecke und 5 Tetraeder.

5. Fig. 118. Die Simplexe in I, 2, 3, " Dimensionen

Die Verallgemeinerung auf n Dimensionen ergibt sich sofort. Aus der Theorie der Kombinationen ist bekannt, daB es genau (~) = i I (r ~ i) I verschiedene Teilmengen zu je i Elementen gibt, die sich aus einer gegebenen Menge von, Elementen bilden lassen (vgl. S. 14). Daher enthiilt ein n-dimensionales Simplex

(IItl)= n + 1

+

Simplexe So (Ecken),

("+1) =

(11 I)! Simplexe SI (Strecken) , 21(1I-l)!

("+1)=

(11 1)1 31(,.- 2)1 Simplexe

S. (Dreiecke),

("+1) =

41(,.-3)1 Simplexe

Sa (Tetraeder),

2

s 4

.

+ (11 + I)!

Simplex S" • ()bu1Ig: Man zeichne ein Diagramm des 5. und bestimme die Anzahl der verschiedenen 5,. die es fiir i = 0, I, ... , 5 enthiilt.

12·

Ffinftes Kapitel

Topologie Einleitung Urn die Mitte des 19. Jahrhunderts begann eine vollig neue Entwicklung in der Geometrie, die bald in der modemen Mathematik eine groBe Rolle spielen sollte. Das neue Gebiet - Analysis Situs oder Topologie genannt - betrifft das Studium derjenigen Eigenschaften geometrischer Figuren, die selbst dann bestehen bleiben, wenn die Figuren so drastischen Defonnationen unterworfen werden, daB alle ihre metrischen und projektiven Eigenschaften verlorengehen. Einer der bedeutenden Geometer der damaligen Zeit war A. F. MOBIUS (1790-1868), ein Mann, dessen geringe Selbsteinschatzung ihn dazu verurteilte, sein Leben lang ein unbekannter Astronom an einer zweitrangigen deutschen Stemwarte zu bleiben. 1m Alter von 68 Jahren legte er der Pariser Akademie eine Arbeit fiber "einseitige" Flachen vor, die einige der erstaunlichsten Tatsachen dieser neuartigen Geometrie enthielt. Wie so manche friihere bedeutende Arbeit lag diese Abhandlung jahrelang in den Schubfachem der Akademie begraben, bis sie schlieBlich von MOBIUS selbst veroffentlicht wurde. Unabhangig von ihm hatte der Astronom J. B. LISTING (1808-1882) in GOttingen ahnliche Entdeckungen gemacht und auf Anraten von GAUSS im Jahre 1847 ein kleines Buch "VoTstudien ZUT Topologie" veroffentlicht. Als der Student BERNHARD RIEMANN (1826-1866) nach Gottingen kam, fand er die Atmosphare dieser Universitat erfiillt von lebhaft em Interesse fUr diese seltsamen neuen geometrischen Ideen. Bald war ihm klar, daB hier der Schlfissel zum Verstandnis der tiefsten Eigenschaften der analytischen Funktionen einer komplexen Veranderlichen lag. Der groBartige Bau der Funktionentheorie, den RIEMANNS Genius in den folgenden Jahren errichtete und fur den topologische Begriffe grundlegend sind, ist fur die spatere Entwicklung dieses neuen Zweiges der Geometrie von entscheidender Bedeutung gewesen. Anfangs lieB die Neuheit der Methoden auf diesem Gebiet den Mathematikem keine Zeit, ihre Resultate in der axiomatischen Fonn der elementaren Geometrie darzustellen. Statt dessen verlieBen sich die Pioniere, z. B. POINCARE, hauptsachlich auf die geoml'!trische Anschauung. Auch heute noch kann man beim Studium der Topologie bemerken, daB durch starres Festhalten an einer "strengen" Darstellungsfonn leicht der wesentliche geometrische Gehalt unter einem Berg fonnaler Einzelheiten verdeckt wird. Urn so hOher ist die Leistung zu bewerten, daB die Topologie in den Rahmen der strengen Mathematik eingegliedert werden konnte, wo die Anschauung die Quelle, aber nicht das letzte Beweismittel der Wahrheit ist. 1m Laufe dieser Entwicklung, fur die L. E.J. BROUWER entscheidend war, hat die Bedeutung der Topologie fur die gesamte Mathematik standig zugenommen.

§ 1. Die Eulersche Polyederformel

181

Wahrend die systematische Entwicklung der Topologie kaum hundert Jahre alt ist, hat es schon friiher Einzelentdeckungen gegeben, die spater in dem modernen systematischen Ausbau ihren Platz gefunden haben. Bei weitem die wichtigste unter diesen ist eine Formel, die die Anzahlen der Ecken, Kanten und Flachen eines einfachen Polyeders miteinander in Beziehung setzt, und die bereits 1640 von DESCARTES gefunden und 1752 von EULER wiederentdeckt und benutzt wurde. Der typische Charakter dieser Beziehung als topologisches Theorem wurde erst viel spater klar, als POINCARE die "Eulersche Formel" und ihre Verallgemeinerungen als einen der zentralen Satze der Topologie erkannte. Daher wollen wir sowohl aus historischen wie aus sachlichen Grunden unsere Diskussion der Topologie mit der Eulerschen Formel beginnen. Da das Ideal vollkommener Strenge bei den ersten Schritten in ein ungewohntes Gebiet weder notwendig noch erwiinscht ist, werden wir uns nicht scheuen, von Zeit zu Zeit an die geometrische Anschauung zu appellieren.

§ 1. Die Eulersche Polyederformel Obwohl das Studium der Polyeder in der griechischen Mathematik einen zentralen Platz einnahm, blieb es DESCARTES und EULER vorbehalten, die folgende Tatsachezu entdecken: In einem einfachen Polyeder moge E die Anzahl der Ecken, K die Anzahl der Kanten und F die Anzahl der Flachen bedeuten. Dann ist immer (1)

E- K

+F

= 2•

Unter einem Polyeder wird ein Korper verstanden, dessen Oberflache aus einer Anzahl polygonaler Fliichen besteht. 1m Falle eines reguliiren Korpers sind die Polygone alle kongroent, und an jeder Ecke des Korpers stoBen gleich viele Kanten zusammen. Ein Polyeder heiBt einjach, wenn es keine "LOcher" hat, so daB also seine Oberflache sich stetig in eine Kugelflache deformieren laBt. Fig. 120 zeigt ein einfaches Polyeder, das nicht regular ist, und Fig. 121 ein Polyeder, das nicht einfach ist. Der Leser moge nachprlifen, daB die Eulersche Formel fur die einfachen Polyeder der Figuren 119 und 120, nicht aber ffir das Polyeder der Fig. 121 zutrifft.

Fig. 119. Die reguliirell Polyeder

182

V. Topologie

Urn die Eulersche Formel zu beweisen, stellen wir uns vor, daB das gegebene einfache Polyeder hohl ist, mit einer Oberflache aus Gummihaut. Wenn wir dann eine der Flachen des hohlen Polyeders herausschneiden, konnen wir die ubrige Oberflache so stark deformieren, daB sie schlieBlich Bach in einer Ebene liegt. Naturlich haben sich dabei die Flachen und die Winkel zwischen den Kanten des Polyeders verandert. Aber das Netz der Ecken und Kanten in der Ebene wird genau dieselbe Anzahl von Ecken und Kanten enthalten wie das ursprungliche Polyeder, wahrend die Zahl der Polygone urn eins kleiner ist als bei dem

Fig. 120. Ein einfaches Polyeder. E - K + F - 9 - 18 + 11 - 2

Fig. 121. Ein nicbt-einfaches Polyeder. E - K + F - 16 - 32 + 16 = 0

ursprunglichen Polyeder, da ja eine Flache weggeschnitten worden ist. Wir werden nWl zeigen, daB fUr das ehene Netz E - K + F = 1 ist, so daB, wenn die herausgeschnittene Flache mitgezahlt wird, E - K + F = 2 fur das urspriingliche Polyeder herauskommt. A Q<------::::"7I

Fig. 122. Beweis des Eulerscben Satzes

Zunachst "triangulieren" wir das ebene Netz folgendermaBen: in einem der Polygone, das nicht bereits ein Dreieck ist, ziehen wir eine Diagonale. Dies hat die Wirkung, daB sowohl K wie F sich urn eins vermehren, so daB also der Wert von

183

§ 1. Die Eulersche Polyederformel

E - K + F erhalten bleibt. Wir fahren fort, Diagonalen zu ziehen, die jed.esmal zwei Punkte verbinden (Fig. 122), bis die Figur aus lauter Dreiecken besteht, was ja schlieBlich einmal eintreten muB. In dem triangulierten Netz hat E - K + F denselben Wert wie zu Anfang, da das Ziehen der Diagonalen ibn nicht andert. Einige der Dreiecke haben Kanten auf der Randlinie des ebenen Netzes. Von diesen haben einige, wie ABC, nur eine Kante auf der Randlinie, wahrend andre Dreiecke zwei Kanten auf ihr haben konnen. Wir wahlen irgendein Randdreieck und entfemen von ihm alles, was nicht zugleich zu anderen Dreiecken gehort. Also nehmen wir von ABC die Kante AC und die Flache weg, lassen also die Ecken A, B, C und die beiden Kanten AB und BC ubrig. Von DEF dagegen nehmen wir die Flache, die beiden Kanten FD und FE sowie die Ecke F weg. Das Entfemen des Dreiecks ABC vermindert K und F je um 1, wahrend E nicht geandert wird, so daB E - K + F gleich bleibt. Das Entfemen eines Dreiecks yom Typus DEF vermindert E urn 1, K urn 2 und F urn 1, so daB E -K + F wiederum gleich bleibt. In einer passend gewahlten Folge solcher Operationen entfemen wir stets Dreiecke mit Kanten auf der Randlinie (die sich bei jeder Operation verandert), bis zuletzt nur noch ein Dreieck mit drei Kanten, drei Ecken und einer FIache ubrig ist. Fiir dieses einfachste Netz ist E - K + F = 3 - 3 + 1 = 1. Wir sahen aber, daB durch das Fortnehmen von Dreiecken die GroBe E - K + F sich nicht andert. Daher muB auch in dem urspriinglichen, ebenen Netz E - K + F = 1 gewesen sein, und das gleiche gilt fiir das Polyed.er mit einer herausgeschnittenen Flache. Wir erkennen so, daB fUr das vollstandige Polyeder E - K + F = 2 gilt. Damit ist der Beweis fUr die Eulersche Formel erbracht [siehe (56) (57) S. 381]. Auf Grund der Eulerschen Formel beweist man leicht, daB es nicht mehr als fiinf regulii.re Polyeder gibt. Dazu nehmen wir an, ein reguUl.res Polyeder habe F FlAchen, deren jede ein reguUl.res n-Eck ist, und an jeder Ecke treffen r Kanten zusammen. Ziihlen wir dann die Kanten einmal nach den Flachen und einma) nach den Ecken ab, so sehen wir, daB einerseits

(2)

nF= 2K,

da jede Kante zu zwei Fliichen geMrt (und daher in dem Produkt nF doppelt gezahlt wird), und andererseits

(3)

rE= 2K,

da jede Kante zu 2 Ecken geMrt. Also erhalten wir aus (1) die Gleichung 2K 2K -r-+--;;--K=2

oder

(4) Wir wissen von vornherein, daB n ;;;:; 3 und r ;;;:; 3, da ein Polygon mindestens drei Seiten haben muB und an jedem Polyedereckpunkt mindestens 3 Fliichen zusammentreffen miissen. Aber 11 und r kOnnen nicht beide groper a1s drei sein, denn dann kOnnte die linke Seite von (4) nicht 1 grOBer a1s "2 sein, was jedoch bei jedem positiven Wert von K der Fall sein muB. Wir brauchen also nur zu untersuchen, welche Werte r haben kann, wenn n haben kann, wenn r = 3 ist. Fiir n = 3 gebt Gleichung (4) iiber in 1

= 3 ist,

und welche Werte n

1

r-'6=][; r kann also gleich 3, 4 oder 5 sein. (6 oder jede grOBere Zahl ist ollenbar ausgeschlossen, da

184

v.

Topologie

11K immer positiv sein muB.) Fiir diese Werte erhalten wir K

eder bzw. Oktaeder oder Ikosaeder entspricht. Ebenso erhalten wir ftir ,. = 3 die Gleichung

= 6, 12 oder 30, was dem Tetra-

1

n-"6=X' woraus sich ergibt, daB n = 3,4 oder 5 und K = 6, 12 oder 30 sein kann. Diese Werte entsprechen dem Tetraeder bzw. dem Wiirfel oder dem Dodekaeder. Setzen wir die gefundenen Werte fiir n, ,. und K in die Gleichungen (2) und (3) ein, so erhalten wir die Anzahl der Ecken und Flachen der entsprechenden Polyeder.

§ 2. Topologische Eigenschaften von Figuren 1. Topologische Eigenschaften Wir haben bewiesen, daB die Eulersche Formel fiir alle einfachen Polyeder gilt. Aber der Giiltigkeitsbereich dieser Formel umfaBt viel mehr als nur die Polyeder der elementaren Geometrie mit ihren ebenen Flachen und geraden Kanten. Der eben vorgetragene Beweis laBt sich genauso gut auf einfache Polyeder mit gekriimmten Flachen und Kanten anwenden oder auf be1iebige Unterteilungen der Obertlache einer Kugel in Bereiche, die von beliebigen KurvenbOgen begrenzt werden. Ja, die Eulersche Formel gilt sogar noch, wenn wir uns die Obertlache des Polyeders oder der Kugel aus diinner Gummihaut hergestellt denken und diese in be1iebiger Weise deformieren, solange nur der Gummi nicht eingerissen wird. Denn die Formel bezieht sich nur auf die Anzahlen der Ecken, Kanten und Flachen, aber nicht auf Langen, Flacheninhalte, Geradlinigkeit, Doppelverhiiltnisse oder andere Begriffe der elementaren oder projektiven Geometrie. Wir erinnem uns, daB die elementare Geometrie sich mit GroBen (Langen, Winkeln, Flacheninhalten) beschiiftigt, die bei starren Bewegungen ungeandert bleiben, und daB die projektive Geometrie mit Begriffen zu tun hat (Punkt, Gerade, Inzidenz, DoppelverhaItnis), die durch die umfassendere Gruppe der projektiven Transformationen nicht verandert werden. Aber sowohl die starren Bewegungen als auch die Projektionen sind sehr spezielle Fane von dem, was man topologische Transformationen nennt: Eine topologische Transformll-tion einer geometrischen Figur A in eine andre Figur A' (auch "topologische Abbildung von A auf A'" genannt) ist bestimmt durch eine beliebige Zuordnung

p-p' zwischen den Punkten p von A und den Punkten P' von A', die die folgenden beiden Eigenschaften hat: 1. Die Zuordnung ist eineindeutig. Das bedeutet, daB jedem Punkt p von A genau ein Punkt P' von A' entspricht und umgekehrt. 2. DieZuordnung ist stetig in beiden Richtungen. Das bedeutet: Wenn wir zwei be1iebige Punkte p, q von A wahlen und p so bewegen, daB sein Abstand von q gegen Null strebt, dann strebt der Abstand zwischen den entsprechenden Punkten P', q' von A I ebenfalls gegen Null und umgekehrt. Jede Eigenschaft einer geometrischen Figur A, die zugleich jeder Figur A' zukommt, in die A durch eine topologische Transformation iibergefiihrt werden kann, heiBt eine topologische Eigenschaft von A, und die Topologie ist der Zweig der Geometrie, der sich nur mit den topologischen Eigenschaften der Figuren befaBt.

185

2. Zusammenhang

Man stelle sich vor, daB eine Figur "freihandig" von einem gewissenhaften, aber ungeiibten Zeichner kopiert wird, der gerade Linien krumm zeichnet und Winkel, Abstande und Flachen verandert: dann wiirden zwar die metrischen und projektiven Eigenschaften der urspriingIichen Figur verlorengehen, aber ihre topologischen Eigenschaften bIieben erhalten. Die anschaulichsten Beispiele topologischer Transformationen sind die Deformationen. Man stelle sich eine Figur, etwa eine Kugel oder ein Dreieck, aus einer diinnen Gummihaut gefertigt oder auf einer solchen gezeichnet, vor, und nun verzerre oder verbiege man sie in beIiebiger Weise, ohne sie zu zerreiBen und

Fig. 123. Topologisch aquivalente FJ.achen

Fig. 124. Topologisch uicht·aquivalente Fliichen

ohne verschiedene Punkte zusammenfaIlen zu lassen. (Das Zusammenfallen verschiedener Punkte wiirde die Bedingung 1 verletzen. Das ZerreiBen der Gummihaut wiirde Bedingung 2 verletzen, da dann zwei Punkte der urspriingIichen Figur, die von entgegengesetzten Seiten der ZerreiBlinie gegeneinander streben, in der zerrissenen Figur nicht mehr gegeneinander streben wiirden.) Die Endlage der Figur ist dann ein topologisches Abbild der urspriinglichen. Ein Dreieck kann in ein beliebiges anderes Dreieck oder in einen Kreis oder eine Ellipse deformiert werden, also haben aile diese Figuren dieselben topologischen Eigenschaften. Aber man kann nicht einen Kreis in eine Strecke deformieren oder die Oberflache einer Kugel in die Oberflache eines Fahrradschlauchs. Der allgemeine Begriff der topologischen Transformation ist umfassender als der Begriff der Deformation. Wenn zum Beispiel eine Figur wahrend der Deformation zerschnitten wird und die Rander des Schnitts nach der Deformation in genau der urspriinglichen Weise zusammengeheftet werden, so erhalten wir noch immer eine topologische Transformation der ursprunglichen Figur, obwohl sie keine Deformation ist. So sind die beiden Kurven der Fig. 134 (S. 195) topologisch einander und auch einem Kreise aquivalent, da man sie aufschneiden, "entknoten" und an den Schnittstellen wieder zusammenfugen kann. Aber es ist unm6glich, die eine Kurve in die andere oder in einen Kreis zu deformieren, ohne sie vorher zu zerschneiden. Topologische Eigenschaften von Figuren (wie etwa die durch den Eulerschen Satz gegebene Eigenschaft oder andere, die in diesem Abschnitt besprochen werden) sind von gr6Bter Bedeutung fur viele mathematische Untersuchungen. In gewissem Sinne sind sie die tiefsten geometrischen Eigenschaften, da sie noch bei den radikalsten Gestaltanderungen erhalten bleiben.

2. Zusammenhang Als ein weiteres Beispiel zweier Figuren, die nicht topologisch aquivalent sind, k6nnen wir die beiden ebenen Gebiete der Fig. 125 betrachten. Das erste von ihnen

186

V. Topologie

besteht aus allen Punkten im Innem eines Kreises, wahrend das zweite aus allen Punkten zwischen zwei konzentrischen Kreisen besteht. Jede geschlossene Kurve, die im Gebiet a liegt, kann innerhalb des Gebietes stetig auf einen Punkt zusammengezogen werden. Ein Gebiet von dieser Eigenschaft heiSt einfach zusammen-

a)

b)

Fig. 125. Einfacher und zweifacher Zusammenhang

Fig. 126. Zerscbnelden eines zweifach zusammenhan· genden Gebietes zu einem einfach zusammenhlinpDden

hiingend. Das Gebiet b ist nicht einfach zusammenhangend. Zurn Beispiel kann ein Kreis, der konzentrisch mit den beiden Grenzkreisen ist und zwischen ihnen liegt, nicht innerhalb des Gebietes auf einen Punkt zusammengezogen werden, da wahrend des Vorgangs die Kurve notwendig den Mittelpunkt der Kreise iiberstreichen miiSte, einen Punkt also, der nicht zurn Gebiet gehOrt. Ein Gebiet, das nicht einfach zusammenhlingt, wird mehrfach zusammenhiingend genannt. Wird das mehrfach zusammenhlingende Gebiet b langs eines Radius aufgeschnitten, wie Fig. 126 zeigt, so ist das entstehende Gebiet einfach zusammenhlingend. Allgemeiner konnen wir G~biete herstellen mit zwei, drei oder noch mehr "Lochem", wie etwa das Gebiet der Fig. 127. Urn dieses Gebiet in ein einfach zusammenhlingendes zu verwanFig. 127. Reduzierung eines drelfach zusammenhlingenden Gebietes deln, sind zwei Schnitte notwendig. Wenn n - 1 Schnitte von Rand zu Rand, die sich nicht gegenseitig treffen. notwendig sind, urn ein gegebenes mehrfach zusammenhlingendes Gebiet D in ein einfach zusammenhangendes zu verwandeln, so wird das Gebiet D als n-fach zusammenhangend bezeichnet. Der Zusammenhangsgrad eines ebenen Gebietes ist eine wichtige topologische Invariante des Gebiets.

§ 3. Andere Beispiele topologischer Satze 1. Der Jordansche Kurvensatz Eine einfache geschlossene Kurve (d. h. eine geschlossene Kurve. die sich nicht selbst schneidet) werdein der Ebene gezeichnet. Welche Eigenschaften dieser Figur

1. Der Jordansche Kurvensatz

187

bleiben erhalten, wenn die Ebene a1s eine Gummihaut gedacht und beliebig deformiert wird? Die Lange der Kurve und der eingeschlossene Flacheninhalt konnen durch eine Deformation verandert werden. Es gibt aber eine topologische Eigenschaft der Figur, die so einfach ist, daB sie fast trivial erscheint: Eine einfache geschlossene KUffJe C in der Ebene teiU die Ebene in genau :wei Gebiete, ein inneres und ein iiufJeres. Hiermit ist gemeint, daB die Punkte der Ebene in zwei Klassen das AuBere A der Kurve und das Innere B - so zerfaIlen, daB fOlgendes gilt: Jedes Punktepaar derselben Klasse kann durch eine Kurve verbunden werden, welche die Kurve C nicht schneidet, wiihrend jede Kurve, die zwei Punkte aus verschiedenen Klassen verbindet, C schneiden muS. Diese Behauptung triftt fUr einen Kreis oder eine Ellipse oftenbar zu; wenn man aber eine komplizierte Kurve wie das Polygon in Fig. 128 betrachtet, so verliert sie doch etwas an selbstverstandlicher Evidenz. Dieser Satz wurde zuerst von CAMILLE JORDAN (1838-1922) ausgesprochen in seinem berlihmten Cours d' Analyse, aus dem eine ganze Generation von Mathematikem den modemen Begrift der Strenge in der Analysis ge1emt hat. Erstaunlicherweise war JORDAN8 Beweis weder kurz noch einfach, und die Vberraschung wuchs noch, a1s sich herausstellte, daB er nicht einmal stichhaltig war, und daB es noch betracht- Fig. 128. We1che Punkte der Ebelle liegen innerhalb dieses liche Bemuhungen kostete, die Lucken Polygons? der BeweisfUhrung auszufUllen. Die ersten strengen Beweise des Satzes waren bachst kompliziert und selbst fur geiibte Mathematiker schwer zu verstehen. Erst in joogerer Zeit sind verhaltnismaBig einfache Beweise gefunden worden. Eine Ursache fUr die Schwierigkeiten liegt in der Allgemeinheit des Begrifts "einfache geschlossene Kurve", der sich nicht auf die Klasse der Polygone oder auf die der "glatten" Kurven beschrankt, sondem aIle Kurven umfaBt, die topologische Bilder eines Kreises sind. Andrerseits mussen manche Begriffe, wie z. B. "innerhalb", "auBerhalb" usw., die fur die Anschauung kIar sind, erst prazisiert werden, ehe ein strenger Beweis moglich wird. Es ist von hOchster theoretischer Bedeutung, solche Begriffe in voller Allgemeinheit zu analysieren, und ein groBer Teil der modemen Topologie ist dieser Aufgabe gewidmet. Aber man sollte nie vergessen, daB es in der groBen Mehrzahl der Fane, die sich aus dem Studiurn konkreter geometrischer Erscheinungen ergeben, wenig Zweck hat, mit Begriffen zu arbeiten, deren extreme Allgemeinheit unnotige Schwierigkeiten bereitet. Tatsachlich laBt sich der Jordansche Kurvensatz ganz einfach beweisen, solange es sich urn einigermaBen "wohlgesittete" Kurven handelt, etwa um Polygone oder Kurven mit stetig sich drehender Tangente, wie sie in den meisten wichtigeren Problemen auftreten. Wir werden den Satz fur Polygone im Anhang zu diesem Kapitel beweisen.

188

v. Topologie 2. Das Vierfarbenproblem

Nach dem Beispiel des Jordanschen Kurvensatzes konnte man glauben, daB die Topologie sich nur damit befaBt, strenge Beweise fiir evidente Behauptungen zu liefem, die kein vemiinftiger Mensch anzweifelt. Aber es gibt im Gegenteil viele topologische Fragen, einige sogar von ganz einfacher Form, die durch die Anschauung keineswegs be£riedigend beantwortet werden. Das beriihmte "Vierfarbenproblem" gehOrt zu diesen. Will man eine Landkarte farbig markieren, dann muB man zwei Gebiete mit einer gemeinsamen Grenzlinie durch verschiedene Farben unterscheiden. Man hat empirisch festgestellt, daB jede Landkarte, ganz gleich wie viele Lander sie auch darste11en moge und wie diese zueinander liegen, nur vier verschiedene Farben erfordert. Man kann leicht sehen, daB eine kleinere Zahl £iir alle moglichen FaIle nicht ausreicht. Fig. 129 zeigt eine Inset im Meer, die zweifellos vier Farben zur Markierung ihrer Lander benotigt, da sie vier Lander umfaBt, von denen jedes die drei anderen beriihrt. Da bisher keine Landkarte bekannt ist, die mehr als vier Farben erfordert, ist der folgende mathematische Satz hOchst naheliegend: Bei ieder Unterteilung

der Ebene in niche uberlappende Gebiete ist es stets maglich, den Gebieten ie eine der Zahlen 1, 2, 3 und 4 zuzuordnen, so dafJ nie :wei benachbarte Gebiete dieselbe Zahl erhalten. Vnter "benachbarten" Gebieten sind

solche zu verstehen, die eine Teilstrecke der Grenzlinie gemeinsam haben; zwei Gebiete, die nur in einem einzigen Punkt oder in einer endlichen Anzahl von Punkten zusammentreffen (wie zwei weiBe Felder eines Schachbretts), sollen nicht als benachbart angesehen werden. Der Beweis fiir diesen Satz scheint zuerst 1840 von MOEBIUS angeregt worden zu sein, spater von DEMoRGAN im Jahre 1850 und nochmals von CAYLEY 1878. Ein "Beweis" wurde 1879 von KEMPE veroffentlicht, aber 1890 fand HEAWOOD einen Fehler in KEMPE8 Gedankengang. Durch eine Korrektur des Kempeschen Beweises gelang es HEAWOOD zu zeigen, daB funfFarben jedenfalls stets ausreichen (einen Beweis des Fiinffarbensatzes geben wir im Anhang zu diesem Kapitel). Trotz der Bemiihungen vieler beriihmter Mathematiker liegt z. Z. nur dieses bescheidenere Ergebnis vor: Es ist bewiesen, daB fiinf Farben fiir alle Karten ausreichen, und es wird vermutet, daB auch schon vier ausreichen. Aber wie im Fall des Fermatschen Satzes (siehe S.34) ist weder ein Beweis dieser Vermutung noch ein Gegenbeispiel geliefert worden, und der Vierfarbensatz bleibt eines der faszinierenden ungelosten Probleme der Mathematik. Der Vierfarbensatz ist allerdings fiir aIle Landkarten mit weniger als achtunddreiBig Gebieten bewiesen worden. Diese Tatsache zeigt: Selbst wenn der allgemeine Satz falsch sein sollte, kann der Gegenbeweis jedenfalls nicht durch ein sehr einfaches Beispiel geliefert werden. Bei dem Vierfarbenproblem konnen die Karten entweder in der Ebene oder auf der Oberflache einer Kugel gezeichnet werden. Die beiden Fallesind aquivalent: denn jede Karte auf der Kugel kann auf der Ebene dargestellt werden, indem man Fig. 129. Firbung einer Landkarte

3. Der Begrifi der Dimension

189

sich im Innern eines der Gebiete A ein kleines Loch gebohrt denkt und die verbleibende Oberflache so deformiert, daB sie eben wird, wie beim Beweis des Eulerschen Satzes. Die entstehende ebene Karte ist dann die einer "Insel", die aus den iibrigen Gebieten besteht, umgeben von einem "Meer", das aus dem Gebiet A besteht. Umgekehrt kann man, indem man diesen Vorgang riickgangig macht, jede derartige ebene Karte auch auf der Kugel darstellen. Wir konnen uns daher auf Karten auf der Kugel beschranken. Da ferner Deformationen der Gebiete und ihrer Grenzen auf das Problem keinen EinfluB haben, konnen wir annehmen, daB die Begrenzung jedes Gebietes ein einfaches geschlossenes Polygon aus Kreisbogen ist. Auch in dieser "regularisierten" Form ist das Problem ungelost; die Schwierigkeiten liegen hier nicht wie beim Jordanschen Kurvensatz in der Allgemeinheit der Begriffe von Gebiet und Kurve. Eine merkwiirdige Tatsache im Zusammenhang mit dem Vierfarbenproblem ist, daB fiir kompliziertere Oberflachen a1s Ebene und Kugel die entsprechenden Theoreme in der Tat bewiesen worden sind, so daB paradoxerweise die Analyse komplizierterer geometrischer Flachen in dieser Hinsicht leichter ist a1s die der einfachsten Fane. Fiir die Oberflache eines Torus (siehe Fig. 123) zum Beispiel, etwa eines aufgepumpten Fahrradschlauchs, konnte gezeigt werden, daB jede Karte mit Hilfe von sieben Farben gefarbt werden kann, wahrend sich Karten konstruieren lassen, die sieben Gebiete enthalten, von denen jedes an die sechs anderen grenzt. *3. Der Begriff der Dimension Der Begrifi der Dimension bereitet keine Schwierigkeit, solange es sich nur um einfache geometrische Figuren, wie Punkte, Geraden, Dreiecke und Polyeder handelt. Ein einzelner Punkt oder irgendeine endliche Menge von Punkten hat die Dimension Null, eine Streeke ist eindimensional und die Fllche eines Dreieeks oder einer Kugel zweidimensional. Die Menge der Punkte in einem massiven Wurfel ist dreidimensional. Wenn man aber versueht, diesen Begrifi auf allgemeinere Punktmengen auszudehnen, so benOtigt man eine exakte Definition. Welehe Dimension sollen wir der Punktmenge R zuschreiben, die aus allen Punkten der :xAehse mil rationalen Koordinaten besteht? Die Menge der rationalen Punkte ist uberall dieht auf der Geraden und kOnnte daher als '--------------' eindimensional, wie die Gerade selbst, angesehen werden. Andererseits gibt es zwischen irgendzwei Punkten aus R stets irrationale ~ ____'---L- __________""""""' _ _""""'" Punkte, die also nicht zu R gehOren, genau wie bei einer endlichen Punktmenge. Man kOnnte die Menge R also aueh als nulldimen- '-' __...._____.... __....______________-'-' __ '-'_____.....__.... sional ansehen. Ein noeh verwiekelteres Problem entsteht, wenn man versueht, der folgenden merkwiir- Ii w______w....-w ....______________11 "_.101 w.. ____11 "'--" II, digen Punktmenge, die zuerst von CANTOR betrachtet wurde, eine Dimension zuzuschreiFig. 130. CANTORI PunktmeDge ben. Aus der Einheitsstrecke entferne man das mittlere Drittel, das aus allen Punkten :x besteht, fur die 1/3 < :x < 2/3. Nennen wir die Menge der verbleibenden Punkte C1 • Nun entferne man die mittleren Drittel der heiden Absehnitte von C1 und nenne die restliehe Menge C•. Man wiederhole dieses Verfahren, indem man wieder die mittleren Drittel aus jedem der vier Intervalle von C. entfernt, wobei die Menge C. ubrig bleibt, und fahre in dieser Weise fort, indem man die Mengen C" Ca, C., ..• bildet. Jetzt benenne man mit C die Punktmenge auf der Einheitsstrecke, die ubrigbleibt,

----.....

~

-----

190

V. Topologie

nachdem alle diese Teilintervalle entfemt worden sind; d. h. C sei die Menge der Punkte, die allen Mengen der unendlichen Folge C1, C., ... gemeinsam ist. Da ein Intervall von der Lange 1/3 beim ersten Schritt entfemt wurde, zwei Intervalle von je der Lange 1/3' beim zweiten Schritt, usw., so ist die Gesamtlll.nge der entfernten Strecken

I.! +2· ~I +2

1 •

~8 +... =! (I+(~-)+(~r+···)·

Die unendliche Reihe in der Klammer ist eine geometrlsche Reihe, deren Summe 1/(1 - 2/3) = 3 ist; daher ist die Gesamtlll.nge der fortgenommenen Strecken = I. Dennoch sind in C noch Punkte enthalten, zum Beispiel die Punkte 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9, ... , durch welche die einzelnen Teilabschnitte dreigeteilt werden. Tatslichlich ist es leicht zu zeigen, daB C genau aus all den Punkten x besteht, deren Entwicklung in unendliche triadische Briiche wie folgt geschrieben werden kann: a1 a. a. a.. 3"

x=g+31+31+"'+ +....

worln jedes a 1 entweder 0 oder 2 ist, dagegen ist in der triadischen Entwicklung jedes fortgenonimenen Punktes bei mindestens einem der Glieder = 1. Was ist nun die Dimension der Menge C ? Das Diagonalverfahren, das benutzt wurde, um die Nichtabzihlbarkeit der Menge alIer reellen Zahlen zu beweisen, kann so abgell.ndert werden, daB es ffir die Menge C dasselbe Ergebnis liefert. Danach sollte man meinen, daB die Menge C eindimensional sein mfiBte. Aber C enthiilt kein noch so kleines vollstll.ndiges Intervall, so daB man C auch ffir nulldimensional halten k6nnte, wie eine endliche Punktmenge. Ebenso kOnnten wir auch fragen, ob die Menge der Punkte einer Ebene, die man erhiilt, wenn man auf jedem rationalen P)Inkt oder auf jedem Punkt der Cantorschen Menge C eine Strecke von der Lange eins errichtet, als eindimensional oder als zweidimensional angesehen werden solI. Es war POINCARE, der (im Jahre 1912) zuerst darauf aufmerksam machte, daB eine tiefere Analyse und genaue Definition des Dimensionsbegriffs notwendig ist. POINCARE wies darauf bin, daB die Gerade deshalb eindimensional ist, weil wir zwei beliebige Punkte auf ihr trennen kOnnen, indem wir die Gerade in einem Punkt (von der Dimension nUll) zerschneiden, wi1hrend eine Ebene zweidimensional ist, weil wir eine ganze geschlossene Kurve (von der Dimension 1) herausschneiden mfissen, um ein Punktpaar zu trennen. Dies deutet auf den induktiven Charakter des Dimensionsbegriffs: Ein Raum ist n-dimensional, wenn ein beliebiges Punktpaar getrennt werden kann, indem man eine geeignete (n -1)-dimensionale Untermenge entfemt, und wenn eine niedriger-dimensionale Untermenge nicht in allen Fiillen genfigt. Eine induktive Definition des Dimensionsbegriifs ist auch implizit in den Elementen des EUKLID enthalten, wo eine eindimensionale Figur etwas ist, was durch Punkte begrenzt wird, eine zweidimensionale Figur eine solche, deren Begrenzung aus Kurven, und eine dreidimensionale Figur eine solche, deren Begrenzung aus Fllchen besteht. In neuerer Zeit hat sich eine ausfiihrliche Theorie der Dimension entwickelt. Eine Definition der Dimension beginnt damit, den Begriff ..Punktmenge von der Dimension 0" exakt zu beschreiben. J ede endliche Punktmenge hat die Eigenschaft, daB jeder Punkt der Menge in ein raumliches Gebiet eingeschlossen werden kann, das wir beliebig klein wahlen k6nnen and das keinen Punkt der Menge auf seinem Rand enthiilt. Diese Eigenschaft wird nun als Definition der Dimension 0 genommen. Der Einfachheit halber sagen wir, daB eine leere Menge, die also gar keine Punkte enthiilt, die Dimension -1 haben solI. Dann hat eine Punktmenge S die Dimension 0, wenn sie nicht von der Dimension -1 ist (d. h. wenn S mindestens einen Punkt enthiilt) und wenn jeder Punkt von S von einem beliebig kleinen Gebiet umschlossen werden kann, dessen Rand die Menge S in einer Menge von der Dimension -1 schneidet (d. h. dessen Rand keinen Punkt von S enthiilt.) Zum Beispiel ist die Menge det rationalen Punkte einer Geraden von der Dimension 0, da jeder rationale Punkt zum Mittelpunkt eines beliebig kleinen Intervalls mit irrationalen Endpunkten gemacht werden kann. Die Cantorsche Menge C erweist sich ebenfalls als nulldimensional. da sie, wie die Menge der rationalen Punkte. durch Entfemung einer dichten Punktmenge aus der Geraden entsteht. Bis werher haben wir nur die Begriffe der Dimension -1 und der Dimension 0 definiert. Die Definition der Dimension 1 bietet sich sogleich dar: Eine Punktmenge S ist von der Dimension I, wenn sie weder von der Dimension -1 noch 0 ist und wenn jeder Punkt von Sin ein.

a,

191

3. Der Begrifl der Dimension

beliebig kleines Gebiet eingeschlossen werden kann. dessen Begrenzung S in einer Menge von der Dimension 0 schneidet. Ein Geradenstiick bat diese Eigenscbaft. da jedes Intervall durch ein Paar von Punkten begrenzt ist. wodurch nach der obigen Definition eine Menge von der Dimension 1 gekennzeichnet ist. Gehen wir in derselben Weise weiter. so k6nnen wir nacbeinander die Begriffe der Dimension 2.3.4.5•... definieren. wobei jede Definition auf den vorhergehenden beruht. So wird eine Menge S die Dimension n baben. wenn sie von keiner geringeren Dimension ist. und wenn jeder Punkt von S in ein beliebig kleines Gebiet eingescblossen werden kann. dessen Rand die Menge S in einer Menge von der Dimension n - 1 schneidet. Zum Beispiel ist die Ebene von der Dimension 2. da jeder Punkt der Ebene in einen beliebig kleinen Kreis eingescblossen werden kann. dessen Peripherie von der Dimension 1 ist. Diese Aussage beansprucht nicht. ein strenger Beweis dafiir zu sein. daB die Ebene nach unserer Definition von der Dimension 2 ist.:da a1s bekannt vorausgesetzt wird. daB die Peripherie eines Kreises von der Dimension 1. und die Ebene nicbt von der Dimension 0 oder 1 ist. Aber diese Tatsachen und ibre Analoga in hOheren Dimensionen lassen sich beweism. Der Beweis zeigt. daB die Definition der Dimension von allgemeinen Punktmengen der naiven Anschauung bei einfachen Mengen keineswegs widerspricht. Keine Punktmenge im gew6hnlichen Raum kann eine bOhere Dimension haben als 3. da jeder Punkt des Raumes zum Mittelpunkt einer beliebig kleinen Kugel gemacbt werden kann. deren Ober1lii.che die Dimension 2 bat. Aber in der modemen Mathematik wird das Wort .. Raum" auch fiir jedes System von Objekten gebraucht. fiir das der Begritl des .. Abstandes" oder der .. Nachbarschaft" definiert ist. und diese abstrakten .. Raume" kOnnen auch hOhere Dimensionen als 3 haben (siehe S. 240). Ein einfacbes Beispiel ist der n-dimensionale Zahlenraum. dessen .. Punkte" geordnete Zablenn-tupel sind: P = (Xl' X" XI' •••• X,,) • Q = (Yl' Y" YI•...• y,J • wobei der .. Abstand" zwischen den Punkten P und Q als

V

d(P. Q) = (xl - Yl)'+ (xl - y.)l+ ... + (x,,- y,.)1 definiert ist. Von diesem Raum lilBt sich zeigen. daB er die Dimension n hat. Bei einem Raum. der fiir keine ganze Zabl n die Dimension n hat. spricht man von der Dimension unendlicb. Es sind viele Beispiele solcher Raume bekannt. Eine der interessantesten Tatsachen der Dimensionstheorie ist die folgende cbarakteristische Eigenscbaft von zwei-. drei-. oder allgemein n-dimensionalen Figuren. Betrachten wir zuerst den zweidimensionalen Fall. Wenn irgendeine einfache zweidimensionale Figur in hinreichend kleine Teilgebiete unterteilt wird. (von denen jedes seine Randlinie mit enthalten solI) so wird es notwenI I I digerweise Punkte geben. in denen drei oder mellr solcher I I I Gebiete zusammentreffen. einerlei wie die Gebiete gestaltet sind. Femer wird es Unterteilungen del' Figur geben. in denen jeder Punkt zu IIOcllstens drei Teilgebieten gehOrt. Wenn also 3 beispielsweise die zweidimensionale Figur ein Quadrat ist. wie in Fig. 131. dann gibt es einen Punkt. der zu den drei .J Gebieten 1. 2. und 3 gehOrt. und fiir diese spezielle UnterI I I teilung gebOrt kein Punkt zu mehr als drei Gebieten. I I 1 1m dreidimensionalen Fall kann man ebenso zeigen: Wenn I I I ein rilumliches Gebiet von hinreichend kleinen Teilgebieten I I I iiberdeckt wird. gibt es immer Punkte. die zu mindestens vier Teilgebieten gehOren. und bei passend gewihlter Unterteilung Fig. 131. Der P1iastersatz haben nicht mehr als vier einen Punkt gemeinsam. Diese Beobachtungen fiihren zu dem folgenden Satz von LEBESGUE und BROUWER: Wenn eine n-dimensionale Figur auf beliebige Weise von hinreichend kleinen Teilgebieten iiberdeckt wird. dann gibt es Punkte. die zu mindestens n + 1 dieser Teilgebiete gehOren; und dariiber hinaus kann man immer eine tl"berdeckung durch hinreichend kleine Teilgebiete finden. bei der kein Punkt zu mehr als n + 1 Gebieten gehOrt. Wegen der hier betrachteten tl"berdeckungen wird dieses Theorem der ..Pfiastersatz" genannt. Er cbarakterisiert die Dimension jeder geometrischen Figur: Figuren. fiir die der Satz gilt. sind n-dimensional. wilhrend alle anderen eine andere Dimension haben. Deshalb kann er auch a1s Definition der Dimension angesehen werden. was gelegentlich geschieht.

I , I I

1

I

I

I

I

I

192

V. Topologie

Die Dimension einer Menge ist eine topologische Eigenschaft dieser Menge; zwei Figuren von verschiedener Dimension konnen nie topologisch aquivalent sein. Dies ist der beriihmte topologische Satz von der "Invarianz der Dimension", welcher an Bedeutung gewinnt durch den Vergleich mit der auf S.68 angegebenen Tatsache, daB die Menge der Punkte eines Quadrates dieselbe Kardinalzahl hat wie die Menge der Punkte einer Strecke. Die dort definierte Zuordnung ist nicht topologisch, weil die Stetigkeitsbedingungen verletzt sind.

*4. Ein Fixpunktsatz

Bei der Anwendung der Topologie auf andere Zweige der Mathematik spielen Satze Uber "Fixpunkte" eine wichtige Rolle. Ein typisches Beispiel ist der folgende Satz von BROUWER. Es ist sehr viel weniger evident als die meisten anderen topologischen Tatsachen. Wir betrachten eine Kreisscheibe in der Ebene. Darunter verstehen wir das Gebiet, das aus dem Innern eines Kreises und dessen Peripherie besteht. Wir nehmen an, daB die Punkte dieser Scheibe einer beliebigen stetigen Transformation (die noch nicht einmal eineindeutig zu sein braucht) unterworfen werden, wobei jeder Punkt innerhalb des Kreises bleibt, aber im ailgemeinen seine Lage andert. Zum Beispiel konnte eine dUnne kreisformige Gummihaut verzerrt, verdreht, gefaltet, gestreckt oder sonst irgendwie deformiert werden; nur muB die Endlage jedes Punktes der Haut innerhalb des ursprunglichen Kreisumfanges liegen. Oder, ruhrt man die FIUssigkeit in einem Glase in der Weise urn, daB die Teilchen der OberHache an der Oberfiache bleiben, aber auf ihr eine andere Lage einnehmen, dann bestimmt diese Lage der Oberfiachenteilchen in jedem gegebenen Augenblick eine stetige Transformation der ursprunglichen Verteilung der Teilchen. Der Satz von BROUWER besagt nun: Bei ieder solchen Transformation bleibt mindestens ein Punkt fest; m. a. W. es existiert mindestens ein Fixpunkt, d. h. ein Punkt, dessen Lage nach der Transformation dieselbe ist wie vorher. (In dem Beispiel der FIUssigkeitsoberfHiche wird ein solcher Fixpunkt im allgemeinen mit der Zeit wechseln, bei einer einfachen Drehbewegung jedoch ist es der Mittelpunkt, der seine Lage beibehalt.) Der Beweis fUr die Existenz eines Fixpunktes ist typisch fUr die Art der BeweisfUhrung bei vielen topologischen Satzen. Betrachten wir die Scheibe vor und nach der und nehmen wir im Gegensatz zu Transformation fJl -------., fJ der Behauptung unseres Satzes an, daB kein Punkt fest bleibt, daB vielmehr infolge der Transformation jeder Punkt in einen andern Punkt in oder auf dem Kreise Ubergeht. Wir bringen an jedem Punkt P der ursprUnglichen Scheibe einen Pfeil oder "Vektor" an, der von P nach P' weist, wenn P' das Bild von P bei der Transformation ist. An jedem Punkt der Fig. 132. Transformationsvektoren Scheibe befindet sich ein solcher Pfeil, weil jeder Punkt sich nach unserer Voraussetzung an eine andere Stelle bewegt. Nun betrachten wir die Punkte auf dem Rand des Kreises und ihre zugehorigen Vektoren. AIle diese Vektoren weisen ins Innere des Kreises, da nach Voraussetzung keine Punkte in Punkte auBerhalb des Kreises transformiert werden. (Auch wenn der Bildpunkt wieder auf dem Rand liegt, ist der betreffende Vektor ins Innere gerichtet!) Beginnen wir mit einem Punkt PI auf der Randlinie

~

4. Ein Fixpunktsatz

193

und wandem wir entgegen dem Uhrzeigersinn um den Kreis. Wahrenddessen wird sich die Richtung des Vektors andem, denn den Punkten der Randlinie sind verschieden gerichtete Vektoren zugeordnet. Die Richtungen dieser Vektoren konnen besser veranschaulicht werden, indem man von einem festen Punkt der Ebene aus zu jedem von ihnen einen paraIle1en Pfeil zeichnet. Wenn wir die Kreislinie einmal von Pi bis zuriick ZU Pi durchlaufen, stellen wir fest, daB der Vektor sich dreht und zu seiner urspriinglichen Lage zuriickkehrt. Wir wollen die Anzahl der vollstandigen Umdrehungen, die der Vektor dabei macht, den "Index" der Vektoren auf dem

Fig. 133

Kreis nennen; genauer gesagt: wir definieren den Index a1s die algebraische Summe der verschiedenen Winkelanderungen der Vektoren, wobei jede Teildrehung im Uhrzeigersinn negativ, jede Teildrehung entgegen dem Uhrzeiger positiv gerechnet wird. Der Index muG dann a priori irgendeine der Zahlen 0, ± 1, ±2, ±3, ... sein, entsprechend einer Gesamtwinkelanderung von 0, ±360°, ±720°, ...• Wir behaupten nun, daB der Index gleich 1 ist, d. h. die Gesamtrichtungsanderung betragt genau eine positive Umdrehung. Um dies zu beweisen, erinnem wir uns, daB der Transformationsvektor an jedem Punkt P auf der Kreislinie immer nach innen gerichtet ist und nie in Tangentialrichtung. Wenn nun dieser Transformationsvektor sich um einen Gesamtwinke1 drehen wiirde, der verschieden ist von dem Gesamtwinkel 360°, um den sich offenbar die Tangente dreht, dann muBte die Differenz zwischen diesen beiden Gesamtwinke1n ein von Null verschiedenes Vie1faches von 360° sein, da jeder von ihnen eine ganze Zahl von Umdrehungen macht. Foiglich muBte der Transformationsvektor wahrend des ganzen Umlaufs von Pi zuriick ZU Pi sich mindestens einmal ganz um die Tangente herumdrehen und da die Tangente und der Transformationsvektor sich stetig drehen, muBte der Transformationsvektor an einem gewissen Punkt des Umlaufs genau in Richtung der Tangente zeigen. Das ist aber, wie wir gesehen haben, unmoglich. Wenn wir nun einen beIiebigen, zur Randlinie konzentrischen Kreis im Innem der Scheibe mit den Transformationsvektoren der darauf liegenden Punkte Courant u. Robbins, Mathematik

194

V. Topologie

betrachten, dann muB der Index dieser Transformationsvektoren ebenfalls gleich 1 sein. Denn, wenn wir von der Randlinie stetig zu einem konzentrischen Kreise ilbergehen, so muB sich auch der Index stetig andern, da die Richtungen der Transformationsvektoren innerhalb der Scheibe von Punkt zu Punkt stetig variieren. Aber der Index kann nur ganzzahlige Werte annehmen und muB daher standig seinem urspriinglichen Wert 1 gleich sein, da ein Sprung von 1 auf eine andere ganze Zahl eine Unstetigkeit im Verhalten des Index bedeuten wiirde. (Der SchluB, daB eine stetig veranderliche GroBe, die nur ganzzahlige Werte annehmen kann, notwendig eine Konstante sein muG, ist ein typisches Beispiel filr eine mathematische Argumentation, die in vie1en Beweisen vorkommt.) Also konnen wir einen beliebig klein en konzentrischen Kreis finden, fiir den der Index der zugehorigen Transformationsvektoren gleich 1 ist. Dies ist aber unmoglich, da, nach der angenommenen Stetigkeit der Transformation, die Vektoren auf einem hinreichend kleinen Kreis alle angenahert diese1be Richtung haben werden wie der Vektor am Mittelpunkt des Kreises. Daher kann die gesamte WinkeIanderung beliebig klein gemacht werden, etwa kleiner a1s 10°, wenn wir den Kreis klein genug wahlen. Also wird der Index, der ja eine ganze Zahl sein muB, gleich 0 sein. Dieser Widerspruch zeigt, daB unsere urspriingliche Annahme, es gabe keinen Fixpunkt bei der Transformation, verworfen werden muB, und damit ist der Beweis des Satzes erbracht. Der eben bewiesene Satz gilt nicht nur fiir eine Kreisscheibe, sondern auch fiir ein dreieckiges oder quadratisches Gebiet oder fiir jede andere Flache, die bei topologischer Transformation eines Kreises entsteht. Denn, wenn A eine beliebige Figur ist, die durch eine eineindeutige, stetige Transformation auf eine Kreisscheibe bezogen ist, dann wiirde eine stetige Transformation von A in sieh se1bst, die keinen Fixpunkt enthie1te, eine stetige Transformation der Kreisseheibe in sich se1bst definieren, die aueh keinen Fixpunkt enthielte, und das ist, wie wir gezeigt haben, unmoglieh. Der Satz gilt aueh in drei Dimensionen filr Vollkugeln und Wilrfe1; aber der Beweis ist nieht so einfaeh. Obwohl der Brouwersche Fixpunktsatz fiir die Scheibe nicht unmittelbar anschaulich ist, liBt sich leicht zeigen, daB er eine direkte Konsequenz der folgenden anschaulicheinleuchtenden Tatsache ist: Es ist unmOglich, eine Kreisscheibe stetig in ihre Randlinie allein zu transformieren, derart daB jeder Punkt der Randlinie fest bleibt. Wir werden zeigen, daB die Existenz einer 1ixpunktfreien Transformation der Scheibe in sich einen Widerspruch zu dieser Tatsache bilden wiirde. Nehmen wir nii.mlich an, P -+ pi ware eine solche Transformation, dann kOnnte man fiir jeden Punkt P der Scheibe einen Pfeil zeichnen, der von pi ausgeht und durch P bis zur Randlinie verliuft, die er in einem Punkt p* schneiden m('lge. Dann ware die Transformation P -+ p* eine stetige Transformation der ganzen Scheibe in ihre Randlinie allein und lieBe jeden Punkt der Randlinie unverindert, im Widerspruch zu der Annahme, daB eine solche Transformation unmoglich ist. Eine ihnliche Betrachtung kann dazu dienen, den Brouwerschen Satz in drei Dimensionen fiir Kugeln oder Wiirfel zu beweisen. Man kann leicht erkennen, daB fiir gewisse geometrische Figuren stetige Transformationen ohne Fixpunkt existieren. Zum BeispielliBt das ringfOrmige Gebiet zwischen zwei konzentrischen Kreisen eine stetige Transformation ohne Fixpunkt zu, nii.mlich eine Drehung um einen beliebigen Winkel, der kein Vielfaches von 360 ist, um den Mittelpunkt. Die Ober1liche einer Kugel liBt die 1ixpunktfreie stetige Transformation zu, die jeden Punkt in seinen diametral entgegengesetzten Punkt iiberfiihrt. Aber es liBt sich beweisen, und zwar durch ihnliche 'Oberlegungen, wie wir sie fiir die Scheibe benutzt haben, daB jede stetige Transformation, die keinen Punkt in seinen diametral entgegengesetzten iiberfiihrt (also z. B. jede kleine Deformation) einen Fixpunkt enthalten muB. 0

195

1. Das Geschlecht einer FHi.che

Derartige Fixpunktsatze liefem eine leistungsfahige Methode zum Beweis vieler mathematischer "Existenzsatze", die auf den ersten Blick gar nicht von geometrischer Natur zu sein scheinen. Ein beriihmtes Beispiel hierfur ist ein Fixpunktsatz, den POINCARE 1912, kurz vor seinem Tode, als Vermutung ausgesprochen hat. Dieser Satz fuhrt als direkte Konsequenz auf die Existenz einer unendlichen Anzahl periodischer Bahnen in dem restringierten DreikOrperproblem. (Das restringierte Dreikorperproblem bezieht sich auf die Bewegung dreier Korper unter dem EinfluB der Gravitation, wenn zwei der Korper als sehr klein gegen den dritten angenommen werden.) POINCARE vermochte seine Vermutung nicht zu beweisen, und es war eine groBartige Leistung, als es im folgenden Jahr dem amerikanischen Mathematiker G. D. BIRKHOFF gelang, den Beweis zu liefem. Seitdem sind topologische Methoden mit groBem Erfolg auf das Studium des qualitativen Verhaltens dynamischer Systeme angewandt worden.

5. Knoten

Als letztes Beispiel moge noch angefiihrt werden, daB das Studium der Knoten ein schwieriges mathematisches Problem von topologischem Charakter darstellt. Ein Knoten entsteht, wenn ein Stiick Bindfaden beliebig verschlungen wird und dann die Enden zusammengefiigt werden. Die entstandene geschlossene Kurve stellt eine geometrische Figur dar, die sich im wesentlichen gleichbleibt, wenn sie irgendTopologisch IIquivalente Knoten, die sich Dieht wie, etwa durch Ziehen, deformiert Fig. 134. durch Deformation ineinander iiberfUhren lassen wird, sofem nur der Bindfaden nicht reiBt. Wie kann man nun eine das Wesen der Sache treffende Kennzeichnung angeben, die eine verknotete geschlossene Kurve im Raum von einer unverknoteten, wie etwa dem Kreis, unterscheidet? Die Antwort ist keineswegs einfach, und noch schwieriger ist die voUst1i.ndige mathematische Analyse der verschiedenen Arten von Knoten und ihrer Unterscheidung. Selbst fiir den einfachsten Fall ist diese Aufgabe recht kompliziert. Man betrachte die beiden .,dreibHittrigen" Knoten der Fig. 134. Diese beiden Knoten sind vollkommen symmetrische "Spiegelbilder" voneinander und sind topologisch aquivalent; sie sind aber nicht kongruent. Es entsteht die Frage, ob es moglich ist, einen dieser Knoten durch stetige Deformation in den andem iiberzufiihren. Die Antwort ist negativ, aber der Beweis dieser Tatsache erfordert erheblich mehr Hilfsmittel aus der Topologie und Gruppentheorie als sich hier darstellen lassen.

§ 4. Topologische Klassifikation der Flichen 1. Das Geschlecht einer Fliche

Viele einfache, aber wichtige topologische Tatsachen ergeben sich aus dem Studium der zweidimensionalen Flachen. Vergleichen wir zum Beispiel die Oberfiache einer Kugel mit der eines Torus. Aus Fig. 135 erkennt man, daB die beiden Oberfiachen sich in grundlegender Weise unterscheiden: Auf der Kugel gilt wie in der Ebene, daB jede einfache geschlossene Kurve, wie C, die Flache in zwei Teile zerlegt. Aber auf dem Torus gibt es geschlossene Kurven, wie Ct, welche die Flache nicht in zwei Teile zerlegen. Sagt man, daB C die Kugelfiache in zwei Teile zerlegt, so heiBt das, daB die Flache, wenn sie langs C aufgeschnitten wird; in zwei verschiedene und getrennte Stucke auseinanderfallt, oder, was auf dasselbe 13*

196

V. Topologie

hinauskommt, daB jede Kurve auf der Flache, welche die Stiicke verbindet, C schneiden muB. Wird dagegen der Torus langs der geschlossenen Kurve C' aufgeschnitten, so hangt die entstehende Flache immer noch zusammen, d. h. jeder Punkt der Flache kann mit jedem andern durch eine Kurve verbunden werden, die C' nicht schneidet. Dieser Unterschied zwischen der Kugel und dem Torus zeigt, daB die beiden Flachentypen topologisch verschieden sind und daB es unmoglich ist, sie stetig in einander zu deformieren. Jetzt wollen wir die in Fig. 136 dargestellte Flache mit zwei Lochern betrachten. Auf dieser Flache kann man :wei sich nicht schneidende, geFig. 135. Schnitte auf Kugel und Torus schlossene Kurven A und B zeichnen, welche die Flache nicht zerlegen. Der Torus wird durch zwei solche Kuryen immer in zwei Teile zerlegt. Andererseits wird durch drei sich nicht schneidende, geschlossene Kurven auch die Flache mit zwei Lochern zerlegt. Diese Tatsachen regen dazu an, das Geschlecht einer Flache als die groBte Anzahl von sich nicht schneidenden, einfachen geschlossenen Kurven zu definieren, die man auf der Flache zeichnen kann, ohne sie zu zerlegen. Danach ist das Geschlecht der Kugel 0, das des Torus 1, wahrend die Flache der Fig. 136 das Geschlecht 2 hat. Eine lihnliche Flache mit p Lochern hat das Geschlecht p. Das GeFig. 136. EiDe FlAche vom Gescblecht 2 schlecht ist eine topologische Eigenschaft und bleibt bei Deformation ungeandert. Umgekebrt laBt sich zeigen (wir iibergehen den Beweis), daB irgend zwei geschlossene Flachen von demselben Geschlecht stets ineinander deformiert werden konnen, so daB das Geschlecht p = 0, 1,2, ... einer geschlossenen Flache sie vom

Fig. 137. Fliichen vom Gesch1echt 2

topologischen Gesichtspunkt aus vollstandig charakterisiert. (Wir nehmen dabei an, daB die betrachteten Flachen gewohnliche "zweiseitige", geschlossene Flachen sind. 1m Abschnitt 3 dieses Paragraphen werden wir "einseitige" Flachen betrachten.) Zum Beispiel sind die zweilochrige Brezel und die Kugel mit zwei

2. Die Eulersche Charakteristik einer Fla.che

197

"Henkeln" der Fig. 137 zwei geschlossene FHi.chen yom Geschlecht 2, und es ist klar, daB jede dieser beiden durch stetige Deformation in die andere iibergefiihrt werden kann. Da die Brezel mit p LOchem oder ihr Aquivalent, die Kugel mit P Henkeln, yom Geschlecht P ist, konnen wir jede dieser FHi.chen als den topologischen Reprasentanten aller geschlossenen Flachen yom Geschlecht p nehmen.

*2. Die Eulersche Charakteristik einer Flache Wir denken uns eine geschlossene Flache 5 yom Geschlecht p in eine Anzahl Gebiete aufgeteilt, indem wir auf 5 eine Anzahl Eckpunkte markieren und diese durch irgendwelche Kurvenbogen verbinden. Wir wollen zeigen, daB

(1)

E- K +F= 2- 2P,

worin E die Zahl der Ecken, K die der Bogen und F die der Gebiete ist. Die Zahl 2 - 2p heiBt die Eulersche Charakteristik der Flache. Wir haben schon friiher gesehen, daB fUr die Kugel E - K + F = 2 ist, was mit (1) iibereinstimmt, da fUr die Kugel p = 0 ist.

Fig. 138

Urn die allgemeine Formel (1) zu beweisen, diirfen wir annehmen, daB 5 eine Kugel mit p Henkeln ist. Wie bereits gesagt, laBt sich jede Flache yom Geschlecht Pin eine solche Flache stetig deformieren, und wlihrend dieser Deformation andem sich E - K + F und 2 - 2p nicht. Wir wahlen die Deformation so, daB die geschlossenen Kurven Al , A., B l , B a, ••• , in denen die Henkeloberflachen die Kugel schneiden, zu den Kurvenbogen der gegebenen Unterteilung gehoren. (Fig. 138 veranschaulicht den Beweis ffir den Fall p = 2.) Nun schneiden wir die Flli.che 5 langs der Kurven All' B II , ••• auf und biegen die Henkel gerade. Jeder Henkel hat dann einen freien Rand, den eine neue Kurve A *, B*, ... mit der gleichen Anzahl von Ecken und Bogen wie in den entsprechenden Kurven A., B a, ••• begrenzt. Daher andert sich E - K + F nicht, denn die zusatzlichen Ecken werden genau durch die zusatzlichen Bogen ausgeglichen, wlihrend keine neuen Gebiete entstehen. Nun deformieren wir die Flache, indem wir die herausragenden Henkel soweit glatten, daB die entstehende Flache einfach eine Kugel wird, aus der 2P Gebiete herausgeschnitten sind. Da wir wissen, daB fUr eine beliebige Untertei1ung der vollstandigen Kugel E - K + F gleich 2 ist, so haben wir fUr die Kugel, aus der 2p Gebiete entfemt worden sind,

E- K +F=2 -2p, und dies gilt dann auch fUr die urspriingliche Kugel mit 2P Henkeln, was zu beweisenwar. Fig. 121 veranschaulicht die Anwendung der Formel (1) auf eine Flliche 5, die aus ebenen Polygonen besteht. Diese Flache taBt sich stetig in einen Torus defor-

v. Topologie

198

mieren, so daB ihr Geschlecht p gleich 1 ist und somit 2 die Fonnel (1) angibt, ist wirklich

E- K

+F =

2P = 2 -

2

= O. Wie

16 - 32 + 16 = 0 .

tJbung: Man unterteile die BrezeI mit zwei LOchem der Fig. 137 in Gebiete und zeige. daB E - K F = -2.

+

3. Einseitige Fllchen Eine gewohnliche Flache hat zwei Seiten. Das gilt sowohl von geschlossenen Flachen, wie Kugel und Torus, a1s auch von Flachen mit Randkurven, wie von der Scheibe oder einem Torus,

I1111 11111 11111 11111 11111 11111 III II/]

::ni~~~:. S~~kk:=~:

beiden Seiten einer solchen Flache mit verschiedenen Farben bemalen, urn sie zu unterscheiden. Wenn die Flache geschlossen ist, treffen die beiden Farben nirgendwo zusammen. Hat die Flache Randkurven, so treffen die beiden Farben nur entlang dieser Linien zusammen. Ein Kafer, der auf einer solchen Flache krOche und die Randkurven, wenn soIehe vorhanden sind, nicht ftberschreiten konnte, wftrde immer auf derselben Seite bleiben. MOBIUS machte die ftberFig. 139. Entstehung elnes lIIobiulliChen Bandes raschende Entdeckung, daB es Flachen mit nur einer Seite gibt. Die einfachste solche Flache ist das sogenannte Mobiussche Band. das man erhiilt. wenn man einen langen rechteckigen Streifen Papier nimmt und seine beiden Enden zusammenklebt, nachdem man das eine urn 1800 gedreht hat, wie Fig. 139 zeigt. Wenn ein Kafer auf dieser Flache kriecht und immer in der Mitte des Streifens bleibt, kommt er an seine Ausgangsstelle zuriick, aber mit den Beinen nach oben. Das Mobiussche Band hat nur eine Kante, denn sein Rand besteht aus einer einzigen geschlossenen Kurve. Die gewohnliche zweiseitige Flache, die man erhiilt, wenn man die beiden Enden eines Rechtecks zusammenklebt, ohne das eine zu verdrehen, hat zwei getrennte Randkurven. Wenn ein so1cher Streifen entlang der Mitte1linie aufgeschnitten wird, fant er in zwei getrennte Ringe derselben Art auseinander. Wenn aber das Mobiussche Band liings dieser Linie aufgeschnitten wird (in Fig. 139 angedeutet), so bleibt es in einem Stuck. Jemand. dem das Mobiussche Band nicht bekannt ist, wird dieses Verhalten schwerlich voraussehen konnen. Wenn die Flache, die durch Zerschneiden des Mobiusschen Bandes entsteht. emeut in der Mitte zerschnitten wird, so entstehen zwei getrennte, aber verkettete Ringstreifen.

3. Einseitige Flachen

199

Es ist reizvoll, mit solchen Streifen zu spielen, indem man sie para1lel zur Randlinie in Abstanden von 1/2, 1/3 usw. der Bandbreite aufschneidet. Der Rand eines Mobiusschen Bandes ist eine nicht verknotete, geschlossene Kurve, die sich in eine ebene Kurve, z. B. in einen Kreis, deformieren liiBt. Wahrend der Deformation kann man den Streifen sich selbst schneiden lassen, so daB eine einseitige, sich selbst schneidende Fliiche entsteht, die als Kreuzhaube bezeichnet wird, (siehe Fig. 140). Die Linie, in der sich die Flache selbst schneidet, muG als aus zwei verschiedenen Linien Fig. 140. Kreuzhaube bestehend angesehen werden, von denen je eine zu einem der beiden sich schneidenden Flachenteile gehOrt. Die Einseitigkeit des Mobiusschen Bandes bleibt erhalten. da diese Eigenschaft topologisch ist; eine einseitige Flache laBt sich nicht stetig in eine zweiseitige deformieren. Uberraschenderweise ist es sogar moglich, die Deformation so durchzufiihren, daB die Begrenzungslinie des Mobiusschen Bandes wieder eben wird, z. B. dreieckig, daB aber der Streifen sich nicht selbst schneidet. Fig. 141 deutet ein solches Modell an, das von B. TUCKERMAN stammt: die Begrenzungslinie ist ein Dreieck, das die HaIfte eines Diagonalquadrats eines regulii.ren Oktaeders bildet; das Band selbst besteht aus sechs Flachen des Oktaeders und vier rechtwinkligen Dreiecken, die je ein Viertel von einer Diagonalebene einnehmen. Eine weitere interessante einseitige Fliiche ist die "Kleinsche Flasche". Diese Fliiche ist geschlossen, hat aber kein Innen oder AuBen. Sie ist topologisch aquivalent einem Paar von Kreuzhauben, deren Begrenzungslinien zusammenfallen. Es laBt sich zeigen, daB jede geschlossene einseitige Fliiche vom Geschlecht p = 1, 2, ... topoloD'ic::rh aquiFig. 141. Milbiussches Band mit 0-ebener BecrenzunpUnie valent einer Kugel ist. aus der p Scheiben entfernt und durch Kreuzhauben ersetzt worden sind. Hieraus liiBt sich leicht ableiten, daB die Eulersche Charakteristik E - K + Feiner solchen Flache durch die Gleichung E-K+F=2-p mit P zusammenhangt. Der Beweis ist analog dem fUr zweiseitige Flii.chen. Man zeigt zuerst, daI3 die Eulersche Charakteristik einer Kreuzhaube oder eines Mobiusschen Bandes 0 ist. Zu diesem Zweck betrachten wir ein Mobiussches Band, das in eine Anzahl von Gebieten unterteilt ist. ZerFig. 142. Die KleiDsche F1asche schneidet man ein solches Band, dann entsteht ein Rechteck, das zwei weitere Ecken, eine weitere Kante und dieselbe Anzahl von Gebieten enthlUt wie das MObiussche Band. Fur das Rechteck ist E - K + F = I, wie wir auf S. 183 zeigten. Daher gilt fUr das Mobiussche Band E- K F = O. Zur 'Obung mOge der Leser den Beweis vervollstii.ndigen.

+

200

V. Topologie

Man kann die topologische Natur von Flachen dieser Art wesentlich einfacher mit Hilfe ebener Polygone untersuchen, bei denen gewisse Paare von Kanten identifiziert sind (vgl. Kap. IV, Anhang, Abschnitt 3). In den Diagrammen der Fig. 143 sollen para11ele Pfeile nach Lage und Richtung zum Zusammenfa11en gebracht werden.

ADA ADA ADD ADA 8

8

A

B

A

MolbiusScMs BAnd

A Klrinsc/u Fltuch,

Fig. 143. Definition geschIossener Fli1chen durch ZUoMnung von Kanten ebener Figuren

I

I

:

!

I

: ....... ,

V....

1I

:I

I

A

A

'i

I I

I I I

{,'

: t~-~?i--r------~~~---~

TOf'VS

Z"linder

II

A ~

l

I,"

O---T! ___ J£crl ____ I I

I / 1//

"

/'

/"

,.1'

---<> A I 1---1-----------------~

.

~8

Fig. 144. Definition des dreidimensionaJen Torus durch Identifizierung von RandfIlichen

Dieses Verfahren der Identifikation kann ganz analog auch flir die Definition von dreidimensionalen geschlossenen Mannigfaltigkeiten angewendet werden. Wenn wir zum Beispiel die entsprechenden Punkte auf den gegenliberliegenden Seiten eines Wlirfels (Fig. 144) identifizieren, so erhalten wir eine geschlossene dreidimensionale Mannigfaltigkeit, die als dreidimensionaler Torus bezeichnet wird. Diese Mannigfaltigkeit ist topologisch aquivalent dem Raum zwischen zwei konzentrischen Torusfiachen, von denen eine die andere Fig. 145. Eine andere DarstelIung des dreidimensionalen Torus (zur enthaIt und deren entsprechenSichtbarmachung der Identifizierung aufgeschnitten) de Punkte identifiziert sind (Fig. 145); denn diese Mannigfaltigkeit wird aus dem Wlirfel gewonnen, wenn zwei Paare von identifizierten Seitenfiachen zusammengebracht werden. Anhang *1. Der FiinHarbensatz Mit Hilfe der Eulerschen Formel konnen wir beweisen, daB jede Landkarte auf einer Kugelfiache mit hOchstens flinf verschiedenen Farben richtig gefarbt werden kann. (GemaB S. 188 soIl eine Karte als richtig gefarbt gelten, wenn keine zwei benachbarten Gebiete die gleiche Farbe haben.) Wir wollen uns auf Karten

201

1. Der Fiinffarbensatz

beschranken, deren Gebiete durch einfache geschlossene Polygone aus KreisbOgen begrenzt werden. Wir durfen auBerdem annehmen, daB an jeder Ecke genau drei Bogen zusammentreffen; eine solche Karte soll regular heiBen. Wenn wir jede Ecke, an der mehr als drei Bogen zusammentreffen, durch einen kleinen Kreis ersetzen und das Innere jedes dieser Kreise mit einem der an der Ecke zusammentreffenden Gebiete vereinigen, dann erhalten wir eine neue Karte, in der alle mehrfachen Ecken durch eine Anzahl von dreifachen Ecken ersetzt sind. Die neue Karte enthalt die gleiche Anzahl von Gebieten wie die urspriingliche. Wenn diese neue Karte, die regular ist, mit funf Farben richtig gefarbt werden kann, dann erhalten wir die gewiinschte Farbverteilung auf der urspriinglichen Karte, wenn wir die Kreise wieder zu Punkten zusammenschrumpfen lassen. Es genugt also zu beweisen, daB jede regulare Karte auf der Kugel mit runf Farben gefarbt werden kann. Wir zeigen zuerst, daB jede regulli.re Karte mindestens ein Polygon mit weniger als sechs Seiten enthalten muB. Bezeichnen wir mit F" die Zahl der n-seitigen Gebiete in einer regularen Karte, so ist, wenn F die Gesamtzahl der Gebiete bedeutet,

F = F 2 + Fa+ F,+ ....

(1)

Jeder Bogen hat zwei Enden, und an jeder Ecke enden drei Bogen. Wenn also K die Zahl der Bogen in der ganzen Karte und E die Zahl der Ecken ist, so ist

2K = 3E.

(2)

Ferner hat ein Gebiet, das von n Bogen begrenzt ist, auch n Ecken, und jede Ecke gehOrt zu drei Gebieten, so daB

(3)

2K = 3E = 2Fa+ 3Fa+ 4F,+ ....

Nun ist nach der Eulerschen Formel

E- K Aus (2) sehen wir, daB 6E Daher ist nach (1) und (3) oder

+F =

2 oder 6E - 6K + 6F = 12 .

= 4K, so daB 6F - 2K = 12.

6(Fa+ Fa+ F,+ ...) - (2Fa+ 3Fa+ 4F,+ ...) = 12

(6 - 2)Fa+ (6 - 3)Fa+ (6 - 4)F,+ (6 - 5)Fr.+ (6 - 6)F.+ (6 -7)F7+'"

=

12.

Da nun mindestens ein Glied auf der linken Seite positiv sein muG, so muB mindestens eine der Zahlen F", Fa, F" FI von Null verschieden sein, was wir beweisen wollten. Nun der Beweis des Funffarbensatzes. Es sei Meine regulare Landkarte auf der Kugel mit insgesamt n Gebieten. Wir wissen, daB mindestens eines weniger als 6 Seiten hat. 1. FaU. M enthalt ein Gebiet A mit zwei, drei oder vier Seiten. In diesem Fall entfernen wir die Grenzlinie zwischen A und einem der Nachbargebiete. (Wenn A vier Seiten hat, kann ein einziges Gebiet zwei nicht benachbarte Seiten von A von auGen beruhren. Wenn das der Fall ist, miissen die Gebiete, welche an die beiden anderen Seiten von A grenzen, nach dem Jordanschen Kurvensatz von einander getrennt sein, und wir entfemen dann die Grenzlinie zwischen A und einem dieser Gebiete.) Die entstandene Karte M' ist dann eine regulli.re Karte

202

V. Topologie

mit nur n - 1 Gebieten. Wenn M' mit 5 Fa,ben richtig gefli,bt werden kann, so gilt dasselbe fu, M; denn da hOchstens vier Gebiete an A grenzen, laBt sieh stets eine flinfte Farbe fUI A finden. 2. Fall. M enthiilt ein Gebiet A mit ffinf Seiten. Wir betrachten die ffinf Naehbargebiete von A lUld nennen sie B, C, D, E und F (Fig. 147). Wir konnen darunter immer ein Paar finden, das einander nieht beriihrt. Denn beriihren sich B lUld D, dann wird verhindert, daB C das Gebiet E oder F beriihrt, da jede VerbindlUlgsIinie, die von C naeh E oder F fiibrt, mindestens eines der Gebiete A, B lUld D passieren muB. (Aueh diese Tatsaehe beruht wesentlieh auf dem Jordansehen Kurvensatz, der fUr die Ebene lUld fUr die Kugel gilt. Sie trifft zum Beispiel

/1'

!If' Fig. 147

Fig. 146

nieht ffir den Torus zu.) Wir konnen daher annehmen, daB C und F sieh nieht beriihren. Wir entfemen die Seiten von A, die an C lUld F grenzen, lUld bilden dadureh eine neue Karte mit nur n - 2 Gebieten, die ebenfalls regular ist. Wenn die neue Karle mit funf Fa,ben ,ichtig gejli,bt werden kann, so gilt dasselbe ju, die u,sp,ungliche Karle M. Denn fUgt man die Grenzlinien wieder hinzu, so ist A mit hOchstens vier verschiedenen Farben in Beriihrung, da C und F dieselbe Farbe haben, lUld wir konnen also fUr A die runfte Farbe wahlen. Daher IaBt sieh also in beiden Fiillen, wenn Meine regulare Karte mit n Gebieten ist, eine neue regulare Karte M' mit n - 1 oder n - 2 Gebieten konstruieren, fUr die gilt: Rann M' mit ffinf Farben riehtig gefarbt werden, so ist dies auch fUr M moglieh. Dasselbe Verfahren kann nlUl auf M' angewandt werden lUld so weiter; es ergibt sieh eine FoIge von abgeleiteten Landkarten

M,M',M", . ..• Da die Anzahl der Gebiete auf den Karten dieser FoIge standig abnimmt, miissen wir sehlieBlieh eine Karte mit fUnf oder noeh weniger Gebieten erhaIten. Eine solehe Karte kann aber stets mit hOehstens runf Farben riehtig gefarbt werden. Kehren wir dann Schritt ffir Sehritt zu M zurfiek, so sehen wir, daB M selbst mit flinf Farben richtig gefarbt werden kann. Hiermit ist der Beweis erbracht. Man beachte, daB dies ein konstruktiver Beweis ist, da er eine vollkommen durehfiihrbare; wenn aueh umstandliehe Methode angibt, wie man tatsachlieh rur eine Karte mit n Gebieten in einer endliehen Anzahl von Schritten eine richtige FarbverteillUlg finden kann.

2. Der Jordansche Kurvensatz fUr Polygone Der Jordansehe Kurvensatz sagt aus, daB jede einfaehe geschlossene Kurve C die Punkte der Ebene, die nieht zu C gehOren, in zwei getrennte Gebiete (ohne

2. Der Jordansche Kurvensatz fiir Polygone

203

gemeinsame Punkte) einteilt, deren gemeinsamer Rand C ist. Wir wollen einen Beweis dieses S:itzes flir den Fall angeben, daB C ein geschlossenes Polygon P ist. Wir werden zeigen, daB die nicht auf P ge1egenen Punkte der Ebene in zwei Klassen A und B zerfallen, derart, daB je zwei Punkte derse1ben Klasse durch einen Streckenzug verbunden werden konnen, der P nicht schneidet, wahrend jeder Streckenzug, der einen Punkt von A mit einem Punkt von B verbindet, P schneiden muB. Die Klasse A bildet das "AuBere" des Polygons und die Klasse B das "Innere". Wir beginnen damit, daB wir eine feste Richtung in der Ebene wahlen, die zu keiner der Seiten von P parallel ist. Da P nur eine endliche Anzahl von Seiten hat, ist dies immer moglich. Nun definieren wir die Klassen A und Binder folgenden Weise: Der Punkt P gehOrt zu A, wenn der von pinder gewahltenRichtung ausgehende Strahl das Polygon Pin einer geraden Anzahl, 0, 2, 4, 6, ... , von Punkten schneidet. Der Punkt p gehOrt zu B, wenn der betreffende Strahl Pin einer ungeraden Anzahl, 1,3,5, .. : , von Punkten schneidet. Die Strahlen, die durch die Ecken von P gehen, werden wie folgt behande1t: Wir zahlen den Schnitt an einer Ecke nicht mit, wenn die beiden Seiten von P, die sich an der Ecke treffen, auf derse1ben Seite des Strahls liegen, aber wir zahlen den Schnitt an einer Ecke mit, wenn die beiden Seiten auf verschiedenen Seiten des Strahls liegen. Wir sagen, daB zwei Punkte p und q diese1be "Paritat" haben, wenn sie zur gleichen Klasse, A oder B, gehOren. Wir bemerken zuerst, daB alle Punkte auf einer beliebigen Strecke, die P nicht schneidet, dieselbe Paritat haben. Denn die PariFig. 148. ZIhlung der Schnittpunkte tat eines Punktes p, der sich langs einer solchen Strecke bewegt, konnte sich nur andern, wenn der von P in der gewahlten Richtung ausgehende Strahl eine Ecke von P iiberstreicht, und in keinem der beiden moglichen Falle wird sich die Paritat wirklich andern, wegen der im vorigen Absatz getroffenen Abmachung. Hieraus folgt: Wenn ein beliebiger Punkt PI von A mit einem Punkt Pa von B durch einen Streckenzug verbunden ist, mujJ dieser notwendig P schneiden. Denn schnitte er P nicht, so ware die Paritat aller Punkte dieser Linie, also insbesondere die der Punkte PI und Pa, dieselbe. Weiter konnen wir zeigen, daB zwei beUebige Punkte derselben Klasse, A P oder B, durch einen Streckenzug, der P niche schneidet, verbunden werden konnen. Nennen Fig. 149 wir die beiden Punkte P und q. Wenn die gerade Verbindungslinie von P und q das Polygon P nicht schneidet, so ist sie die verlangte Linie. Wenn sie aber P schneidet, m6ge P' der erste Schnittpunkt und q' der letzte Schnittpunkt mit P sein (Fig. 149). Wir konstruieren den Polygonzug, der von P ausgeht und entlang der Strecke PP' verIauft, kurz vor P' abbiegt

204

V. Topologie

und neben P herIauft, bis P bei q' zur Strecke pq zuriickkehrt. Wenn wir beweisen konnen, daB dieser Polygonzug die Strecke pq zwischen q' und q trifft und nicht zwischen P' und q', dann kann der Polygonzug Iangs q'q weitergehen, ohne P zu schneiden. Offensichtlich haben zwei Punkte l' und s, die nahe genug beieinander, aber auf verschiedenen Seiten einer Strecke von P liegen, verschiedene Paritat; denn der von l' ausgehende Strahl wird P in einem Punkt mehr schneiden als der von s ausgehende. Daher sehen wir, daB die Paritat wechselt, wenn wir auf der Linie pq den Punkt q' iiberschreiten. Daraus folgt, daB die punktierte Linie pq zwischen q' und q schneidet, da p und q (und folglich jeder Punkt der punktierten Linie) dieselbe Paritat haben. Damit ist der Beweis des Jordanschen Kurventheorems iiir den Fall eines Polygons P erbracht. Das "A.uBere" von P kann jetzt mit der Klasse A identifiziert werden, denn wenn wir auf einem der Strahlen in der festen Richtung nur weit genug gehen, so kommen wir einmal zu einem Punkt, jenseits dessen keine Schnittpunkte mit P mehr vorkommen, so daB von hier ab alle weiteren Punkte die Paritat 0 haben und folglich zu A gehOren. Dann muB das "Innere" von P mit der K1asse B identifiziert werden. Wie verwickelt auch immer das einfache geschlossene Polygon P sein mag, man kann stets feststellen, ob ein gegebener Punkt p innerhalb oder auBerhalb von P ist, indem man einen Strahl zeichnet und dessen Schnittpunkte mit P zahlt. 1st die Anzahl ungerade, so ist der Punkt p in P eingeschlossen und kann nicht "entweichen", ohne P zu kreuzen. 1st die Anzahl der Schnittpunkte aber gerade, so liegt der Punkt p auBerhalb. (Man bestatige dies an Fig. 128.) ·Man kann den J ordanschen Kurvensatz fur Polygone auch folgendermaBen beweisen: Wir detinieren als OYdnung eines Punktes Po mit Bezug auf eine beliebige geschlossene Kurve, die nicht durch Po geht. die Anzahl der vollstindigen Umdrehungen eines Pfeils. der Po mit

einem Punkt P verbindet. wenn dieser die ganze Kurve einmal durchUiuft. Es sei A die Menge aller Punkte Po. die nicht auf P liegen und von gerader Ordnung. B die Menge aller Punkte Po. die nicht auf P liegen und von ungerader Ordnung in bezug auf P sind. Dann bilden die so detinierten Klassen A und B das A.uBere bzw. Innere von P. Die Durchfiihrung dieses Beweises im einzelnen bleibe dem Leser uberlassen.

**3. Der Fundamentalsatz der Algebra Der sogenannte "Fundamentalsatz der Algebra" sagt aus: 1st

(1) worin n ~ 1 ist und an -1' an _ I, ••• , a obeliebige komplexe Zahlen sind, dann gibt es eine komplexe Zahl oc, so daB f(oc) = O. Mit anderen Worten: im Kiirper der komplexenZahlen halide algebraische Gleichung eine Wurzel. (Auf S.81 zogen wir daraus den SchluB, daB f(z) sich in n Linearfaktoren zerlegen laBt:

f(z) = (z - oc!) (z - ac.) ••• (z -

acn) ,

worin oc!, ocll, ••• , acn die NullsteIlen von f (z) sind.) Es ist merkwiirdig, daB sich dieser Satz durch topologische Vberlegungen beweisen laBt, die ahnlich denjenigen sind, die wir zum Beweis des Brouwerschen Fixpunktsatzes benutzt haben. Der Leser wird sich erinnem, daB eine komplexe Zahl ein Symbol x + yi ist, worin xundyreelle Zahlen sind, undi die Eigenschaft il= -1 hat. Die komplexe

205

3. Der Fundamentalsatz der Algebra

Zahl x + yi kann in einer Ebene durch den Punkt mit den kartesischen Koordinaten x, y veranschaulicht werden. Wenn wir in dieser Ebene Polarkoordinaten einfiihren, indem wir den Ursprung und die positive Richtung der x-Achse als Pol bzw. Anfangsrichtung wahlen, so konnen wir schreiben

z = x + yi = worin

I' =

I' (cosO

+ i sinO) ,

VX2+ y2 ist. Aus der de Moivreschen Formel folgt, daB z"= r"(cosnO + i sinn 0) •

(Vgl. S.77.) Lassen wir daher die kompJexe Zahl z einen Kreis vom Radius I' urn den Ursprung beschreiben, so wird z" einen Kreis vom Radius r" genau n-mal durchlaufen, wahrend z seinen Kreis einmal durcliliiuft. Wir erinnem uns weiter, daB 1', der Modul von z, geschrieben Izl, den Abstand zwischen z und 0 angibt und daB Iz - z'l den Abstand zwischen z und z' bedeutet, wenn z' = x' + y'i eine f(a) andere komplexe Zahl ist. Nach diesen Vorbereitungen konnen wir nun an den Beweisdes Satzes gehen. Nehmen wir an, das Polynom (1) hatte keine Wurzel, so daB ffir jede komplexe Zahl z

f(z) =1= 0 .

Lassen wir jetzt z eine beliebige geschlossene Kurve in der x, yFig. 150. BeweJs des Fundamentalsatzes der Algebra Ebene beschreiben, dann wird f(z) eine geschlossene Kurve beschreiben, die wegen unserer Annahme niemals durch den Ursprung geht (Fig. 150). Wir konnen daher die Ordnung des Ursprungs 0 mit Bezug auf die Funktion f(z) fiir eine beliebige geschlossene Kurve C definieren als die Anzahl der voUen Umliiufe eines Pfeils, der 0 mit einem Punkt auf der Kurve r verbindet, die von dem Punke f(z) durchlaufen wird, wahrend z die Kurve C durcliliiuft. Als Kurve C wahlen wir einen Kreis urn 0 mit dem Radius t, und wir definieren die Funktion ¢> (t) a1s die Ordnung von 0 mit Bezug auf die Funktionf(z) ffir den Kreis um 0 mit dem Radius t. Offenbar ist ¢>(O) = 0, da ein Kreis mit dem Radius 0 ein einzelner Punkt ist und die Kurve dann nur aus dem Punkt f(O) =1= 0 besteht. 1m nachsten Absatz werden wir zeigen, daB t/> (t) = n ist ffir groBe Werte von t. Aber die Ordnung ¢> (t) hangt stetig von tab, da f(z) eine stetige Funktion von z ist. Also haben wir einen Widerspruch; denn die Funktion ¢>(t) kann nur ganzzahlige Werte annehmen und demnach nicht stetig von dem Wert 0 in den Wert n fibergehen. Es bleibt noch zu zeigen, daB ¢>(t) = n fUr groBe Werte von t. Auf einem Kreis mit dem Radius Izl = t, der so groB ist, daB

r

r

t> 1 und t>

laol + I~I + ... + lan-I\'

v. Topologie besteht offenbar die Ungleichung

1/(:) - ztt! = la._ 1 ztt-1 + ... + ao!

!a._11·!:!·-I+ ... + lao! - en-I [Ia.-1I + ... + H] 1"-1 ~ en -1 [la.- 11+ ... + lao!] < en = 1:-1 . ~

Da der Ausdruck auf der linken Seite der Abstand zwischen den beiden Punkten

ztt und/(:) ist, wahrend der letzte Ausdmck auf der rechten Seite der Abstand des Punktes ztt vom Urspnmg ist, so sehen wir, daB die geradlinige Verbindung der Punkte/(z) und ztt nicht durch den Ursprung gehen kann, solange z auf dem Kreis mit dem Radius t um den Ursprung liegt. Daher konnen wir die von/(z) beschriebene Kurve stetig in die von ztt beschriebene Kurve deformieren,ohne jemals den Ursprung zu uberstreichen, indem wir einfach jeden Punkt/(z) liings seiner Verbindungslinie mit ztt verschieben. Da nun die Ordnung des Ursprungs wahrend der Defonnation sich einerseits stetig andert und andererseits nur ganzzahlige Werte annehmen kann, muB sie fUr beide Kurven denselben Wert haben. Wei! die Ord. nung ffir ztt gleich n ist, muB die Ordnung fur /(z) auch n sein. Damit ist der Beweis abgeschlossen.

Sechstes Kapitel

Funktionen und Grenzwerte Einleitung Fiir die gesamte modeme Mathematik stehen die Begriffe der Funktion und des Grenzwertes oder "Limes" im Mittelpunkt. Sie sollen in diesem Kapitel systematisch diskutiert werden. Ein Ausdruck wie: Xl+

2x- 3

hat erst d.ann einen bestimmten numerischen Wert, wenn dem Symbol x ein Wert zugeschrieben wird. Wir sagen, daB der Wert dieses Ausdrucks eine Funktion des Wertes von x ist und schreiben Xl+

2x - 3 =/(x).

Fur x = 2 zum Beispiel ist 21+ 2 . 2 - 3 = 5, also /(2) = 5. In derselben Weise konnen wir durch direktes Einsetzen den Wert von/(x) fiir jede ganze, gebrochene, irrationale oder auch komplexe Zahl x finden. Die Anzah! der Primzahlen, die kleiner sind als n, ist eine Funktion n(n) der naturlichen Zahl n. Wenn der Wert von n gegeben ist, so ist der Wert n(n) bestimmt, obwohl kein algebraischer Ausdruck fUr seine Berechnung bekannt ist. Der Fliicheninhalt eines Dreiecks ist eine Funktion der Langen seiner drei Seiten; er variiert, wenn die Langen der Seiten variieren, und ist bestimmt, wenn man diesen Langen bestimmte Werte erteilt. Wenn eine Ebene einer projektiven oder topologischen Transformation unterworfen wird, so hangen die Koordinaten eines Punktes nach der Transformation von den urspriinglichen Koordinaten des Punktes ab, d. h. sie sind Funktionen von ihnen. Der Begriff der Funktion tritt immer auf, wenn GroBen durch eine bestimmte physikalische Beziehung miteinander verknupft sind. Das Volumen einer in einem Zylinder eingeschlossenen Gasmenge ist eine Funktion der Temperatur und des Druckes auf den Kolben. Der atmospharische Druck in einem Luftballon ist eine Funktion der Hohe uber dem Meeresspiegel. Das ganze Gebiet der periodischen Erscheinungen - die Gezeitenbewegung, die Schwingungen einer gezupften Saite, die Ausstrahlung von Lichtwellen durch einen Gluhdraht - wird durch die einfachen trigonometrischen Funktionen sin x und cos x beherrscht. Fiir LEIBNIZ (1646-1716), der das Wort "Funktion" zuerst gebrauchte, und fur die Mathematiker des achtzehnten Jahrhunderts bedeutete der Gedanke der funktionalen Abhangigkeit mehr oder weniger die Existenz einer einfachen mathematischen Formel, welche die Natur der Abhangigkeit exakt ausdriickte. Diese Auffassung erwies sich aber als zu eng fur die Bediirfnisse der mathematischen Physik, und so wurden der Funktionsbegriff und der damit zusammenhangende

208

VI. Funktionen und Grenzwerte

Begriff des Grenzwerts einem langen ProzeB der VeralIgemeinerung und Kl§.rung unterworfen, uber den wir in diesem Kapitel berichten.

§ 1. Variable und Funktion 1. Definitionen und Beispiele Haufig treten mathematische Objekte auf, die wir aus einer gewissen Grundmenge S von Objekten nach Be1ieben auswahlen konnen. Dann nennen wir ein solches Objekt eine Verlinderliche oder Variable innerhalb des Bereiches oder Gebietes S. Es ist gebrauchlich, fUr Variable Buchstaben aus dem Ende des Alphabets zu benutzen. Wenn also S z. B. die Menge alIer ganzen Zahlen bedeutet, so bedeutet die Variable X im Gebiet Seine be1iebige ganze Zahl. Wir sagen dann "die Veranderliche X variiert im Bereich S", womit wir meinen, daB wir das Symbol X mit jedem be1iebigen Element der Menge S identifizieren durfen. Die Benutzung von Variablen ist bequem, wenn wir Aussagen machen wollen, die nach Be1ieben ausgewahlte Objekte einer groBeren Menge betreffen. Wenn zum Beispiel S wieder die Mengeder ganzen Zahlen bedeutet, und X und Y zwei Variablen im Bereich S sind, so ist die Aussage

X+Y=Y+X ein bequemer symbolischer Ausdruck ffir die Tatsache, daB die Summe zweier beliebiger ganzer Zahlen unabhangig ist von der Reihenfolge, in der sie genommen werden. Ein spezieller FalI wird durch die Gleichung 2 + 3 = 3 + 2 ausgedriickt, die sich auf Konstanten bezieht; urn aber das allgemeine Gesetz auszudriicken, das fUr jedes Zahlenpaar giiltig ist, 'braucht man Symbole fUr variable GroBen. Es ist keineswegs notwendig, daB der Bereich Seiner Variablen X eine Menge von Zahlen ist. Zurn Beispiel konnte S die Menge aller Kreise in der Ebene sein; dann wiirde X irgendeinen einzelnen Kreis bedeuten. Oder S konnte die Menge alIer geschlossenen Polygone in der Ebene und X ein einzelnes Polygon sein. Es ist auch nicht notwendig, daB der Bereich einer Variablen eine unendliche Anzahl von Elementen enthiilt. Zum Beispiel konnte X irgendein Mitglied der Einwohnerschaft einer Stadt zu einer gegebenen Zeit sein. Oder X konnte ein be1iebiger der m<>glichen Reste hei der Division einer ganzen Zahl durch 5 sein; in diesem Fall bestiinde der Bereich S nur aus den fiinf Zahlen 0, 1, 2, 3, 4. Der wichtigste Fall einer nurnerischen Variablen - in diesem Falle benutzen wir den kleinen Buchstaben x - ist der, daB der Variabilitatsbereich S ein Intervall a ~ x ~ b der reellen Zahlenachse ist. Wir nennen dann x eine stetige Variable in dem Intervall. Der Variabilitatsbereich einer stetigen Variablen kann sich bis ins Unendliche erstrecken. So kann etwa S die Menge aller positiven ree11en Zahlen sein, x > 0, oder sogar die Menge aller ree11en Zahlen ohne Ausnahme. In ahnlicher Weise konnen wir auch eine Variable X betrachten, deren Werte die Punkte in einer Ebene oder in einem gegebenen Gebiet der Ebene sind, zum Beispiel im Innern eines Rechtecks oder eines Kreises. Da jeder Punkt der Ebene durch seine heiden Koordinaten x, y in bezug auf ein f~tes Achsenpaar bestimmt ist, so sagen wir in diesem Fall oft, daB wir ein Paar von stetigen Variablen x und y haben. Es kann sein, daB jedem Wert einer Variablen X ein bestimmter Wert einer andem Variablen U zugeordnet ist. Dann nennt man U eine Funktion von X. Die

209

1. Definition und Beispie1e

Art der Zuordnung wird durch ein Symbol ausgedriickt, z. B. durch U = F (X)

(sprich "F von X") .

Wenn X in dem Bereich S variiert, dann variiert der Funktionswert U in einem andem Bereich, etwa T. 1st zum Beispiel S die Menge aIler Dreiecke X in der Ebene, so laBt sich eine Funktion F (X) dadurch definieren, daB man jedem Dreieck X die Lange seines Umfanges U = F (X) zuordnet. Dann ist T die Menge aIler positiven Zahlen. Wir setzen hinzu, daB zwei verschiedene Dreiecke Xl und X. denselben Umfang haben konnen, so daB die Gleichung F (Xl) = F (X.) moglich ist, auch wenn Xl =1= X •. Eine projektive Transformation einer Ebene S auf eine andere Ebene T ordnet nach einer bestimmten Regel, die wir durch das Funktionssymbol U = F (X) ausdriicken konnen, jedem Punkt X von S einen einzigen Punkt U von Tzu. In diesem FaIle ist F(Xl) =1= F(X.), sobald Xl =1= XI' und wir sagen, daB die Abbildung von S auf T eineindeutig ist (siehe S. 62). Funktionen von stetigen Veranderlichen werden haufig durch algebraische Ausdriicke gegeben. Beispiele dafUr sind die Funktionen

_.

_2-

__1_

u-x, u- x ' u-

1

+ xl

'

In dem ersten und letzten dieser Ausdriicke kann x in der ganzen Menge der reellen Zahlen variieren; im zweiten dagegen kann x nur in der Menge der reellen Zahlen mit Ausnahme der 0 variieren; der Wert 0 ist ausgeschlossen, da 1/0 keine Zahl ist. Die Anzahl B (n) der Primfaktoren von n ist eine Funktion von n, wobei n fiber dem Gebiet aIler natu.rlichen Zahlen variiert. Allgemeiner kann eine beliebige Zahlenfolge flt, a., as, ... als die Menge der Werte einer Funktion u = F(n) angesehen werden, wobei der Bereich der unabhangigen Variablen die Menge der natfirlichen Zahlen ist. Nur der KUrze wegen schreiben wir aft fUr das n-te Glied der Folge statt der ausfiihrlicheren funktionalen Schreibweise F(n). Die in Kapitel I besprochenen Ausdriicke

Sl(n} =

1 + 2 + ... + n =

S.(n} =

11+ 211+ ... + n2=

S3(n)

13 + 23 + ... + n3=

=

n(n

2+ I)

nCn nl(n

J

+ 1)6(2n + 1)

J

+ 1)1

4

sind Funktionen der positiv-ganzzahligen Variablen n. In U = F (X) nennen wir gewohnlich X die unabhlingige Variable und U die abhlingige Variable, da ihr Wert von dem fUr X gewahlten Wert abhangt. Es kann vorkommen, daB derselbe Wert U zu aIlen Werten von X gehOrt, so daB die Menge T nur aus einem einzigen Element besteht. Dann "variiert" der Wert U der Funktion nicht wirklich; das heiSt U ist konstant. Dieser FaIl ist in dem aIlgemeinen Begriff einer Funktion eingeschlossen, auch wenn es dem Anfanger vielleicht merkwfudig erscheint, daB eine Konstante als Funktion aufgefaBt werden kann. Aber es schadet nichts und ist im Gegenteil sogar nfitzlich, wenn man eine Konstante als den SonderfaIl einer Variablen ansieht, deren "Variationsbereich" aus einem einzigen Element besteht. Courant u. Robbins, Mathematik

14

210

VI. Funktionen und Grenzwerte

Der FWlktionsbegriff ist von der groBten BedeutWlg nicht nur fUr die reine Mathematik, sondem auch fUr die praktischen AnwendWlgen. Physikalische Gesetze sind nichts anderes als Aussagen fiber die Art, wie gewisse GroBen von anderen abhiingen, wenn man einige von diesen variieren laBt. So hiingt die Hohe des Tones einer gezupften Saite von der Lange, dem Gewicht Wld der SpannWlg der Saite ab, der Druck der Atmosphare hangt von der Hohe, die Energie eines Geschosses von seiner Masse Wld Geschwindigkeit abo Die Aufgabe des Physikers besteht darin, die genaue oder angeniihert genaue Natur dieser fWlktionalen Abhiingigkeiten zu ermitteln. Der FWlktionsbegriff erlaubt eine exakte mathematische KennzeichnWlg der Bewegung. Wenn ein bewegtes Teilchen sich in einem PWlkt im Raum mit den rechtwinkligen Koordinaten x, y, z befindet und wenn t die Zeit miBt, so wird die Bewegung des Teilchens voUstandig beschrieben, wenn man seine Koordinaten x, y, z als Funktionen von t angibt: .

x =/(t),

z = h(t) .

y = g(t),

Wenn Z. B. ein Teilchen entlang der vertikalen z-Achse unter dem EinfluB der Schwerkraft allein frei fant, so ist x = 0,

1

y = 0,

z = - '2gtl ,

worin g die Erdbeschleunigung ist. Wenn ein Teilchen auf einem Kreise mit dem Radius 1 in der x, y-Ebene gleichformig umlauft, so ist seine Bewegung gekennzeichnet durch die Funktionen

y

x = cos rot ,

=

sin rot,

wobei ro eine Konstante ist, die sogenannte Winkelgeschwindigkeit der Bewegung. Eine mathematische Funktion ist nichts anderes als ein Gesetz, das die Abhiingigkeit veriinderlicher GroBen beschreibt. Damit ist nichts dariiber ausgesagt, ob sie in dem Verhaltnis von "Ursache und WirkWlg" steben. Wahrend im gewohnlichen Sprachgebrauch das Wort "FWlktion" oft in dieser Bedeutung benutzt wird, vermeiden wir hier alle solchen philosophischen Deutungen. Zum Beispiel besagt das Boylesche Gesetz fUr ein Gas, welches in einem GefaB bei konstanter Temperatur eingeschlossen ist, daB das Produkt vom Druck PWld Volumen 11 eine Konstante c ist (die ihrerseits von der Temperatur abhiingt):

Pl1 =

C.

Diese Relation kann sowohl nach P wie nach 11, jeweils als FWlktion der anderen Variablen, aufgelost werden: c

P =r; oder

11

c

=p'

ohne daB dadurch impliziert wird, daB eine Anderung des Volumens die "Ursache" der Anderung des Druckes bzw. daB die Druckiinderung die "Ursache" der Volumeniinderung ist. Es ist nur die Form der Beziehung zwischen den beiden Variablen, die den Mathematiker interessiert. Mathematiker und Physiker unterscheiden sich manchmal darin, auf welche Auffassung des Funktionsbegriffs sie den Nachdruck legen. Die ersten betonen gewlShnlich das Gese'z der Zuordnung, die mathematische Operation, die auf die unabhingige Variable x anzuwenden ist, um den Wert der abhingigen Variablen u zu erhalten. In diesem Sinne istf( ) ein Symbol fib

2. Das BogenmaB eines Winkels

211

eine mathematische OPeration; der Wert u = f(Jt) ist das Ergebnis der Anwendung der Operation f( ) auf die Zabl Jt. Der Physiker andererseits interessiert sich oft mehr fiir die GroBe u als solche, als fiir das mathematische Verfahren, mit dessen Hilfe die Werte von u aus denen von Jt berechnet werden kOnnen. So hingt der Luftwiderstand u eines bewegten KOrpers von dessen Geschwindigkeit fI ab und kann experimentell gefunden werden, einerlei ob eine mathematische Formel zur Berechnung von u = f(fI) bekannt ist oder nicht. Es ist der wirkliche Widerstand, der den Physiker in erster Linie interessiert, und nicht irgendeine spezielle mathematische Formelf(fI) ; es sei denn, daB das Studium einer solchen Formel dazu dienen kann, das Verhalten der GrOBe u zu analysieren. Bei komplizierteren Berechnungen mit Funktionen kann eine Verwirrung hau1ig nur dadurch vermieden werden, daB man genau klarstellt, ob man die Operationf( ) meint, die jedem Jt eine GrOBe u = f(Jt) zuordnet, oder die GrOBe u selbst, die mOglicherweise auch noch in ganz anderer Weise durch eine andere unabhangige Variable z dargestellt werden kann. Zum Beispiel ist der Fla.cheninhalt eines Kreises durch die Funktion u = f(Jt) = nJtI gegeben, worin Jt der Radius ist, zugleich aber auch durch die Funktion u = g(z) = zl/4n, worin .I' der Umfang ist.

Die wohl einfachsten Typen mathematischer Funktionen von einer Veranderlichen sind die Polynome von der Form u = /(x) = ao+ ~x + a.xl

+ ... + aft%"

mit konstanten .. Koeffizienten" ao, ~, ... , aft. Dann folgen die rationalen Funktionen, wie etwa 1

u = x'

u=

1 + Jtl'

2Jt + 1

U

= .r+ 3JtI + 5

'

welche Quotienten von Polynomen sind, und ferner die trigonometrischen Funktfonen cosx, sinx und tan x = sinx/cosx, die sich am einfachsten definieren lassen durch Bezugnahme auf den Einheitskreis in der E, 1/-Ebene, EB+ 1/'1.= 1. Wenn der Punkt P(E, 1/) sich auf der Peripherie dieses Kreises bewegt und wenn x der in bestimmtem Drehsinn genommene Winkel ist, urn den die positive E-Achse gedreht werden muB, urn mit OP zusammenzufallen, dann sind cos x und sin x die Koordinaten von P: cos x = E, sin x = 1/.

2. Das Bogenma8 eines Winkels Fur aile praktischen Zwecke miBt man Winkel in Einheiten, die sich durch Unterteilung des rechten Winkels in eine Anzahl gleicher Teile ergeben. Wenn diese Anzahl90 ist, dann haben wir als Einheit den gewohnlichen "Grad". Eine Unterteilung in 100 Teile ware eigentlich unserem Dezimalsystem besser angepaBt; sie wiirde aber schlieBlich dasselbe MeBprinzip darstellen. Fur theoretische Zwecke ist es dagegen vorteilhaft, eine wesentlich andere Methode zur Kennzeichnung einer WinkelgroBe zu verwenden: das sogenannte BogenmaB. Viele wichtige Formeln, die trigonometrische Funktionen von Winkeln enthalten, haben in diesem System eine einfachere Form, als wenn die Winkel in Grad gemessen werden. Urn das BogenmaB eines Winkels zu finden, schlagen wir einen Kreis mit dem Radius 1 urn den Scheitel des Winkels. Der Winkel schneidet einen Bogen s aus dem Umfang dieses Kreises heraus, und die Lange dieses Bogens definieren wir als das Bogenmap des Winkels. Da der ganze Umfang eines Kreises mit dem Radius 1 die Lange 2n hat, besitzt der volle Winkel von 360° das BogenmaB 2n. Wenn also x das BogenmaB eines Winkels und y sein GradmaB ist, so folgt, daB x und y durch die Beziehung yf360 = x/2n verknupft sind oder :n;y = 180x. 14·

212

VI. Funktionen und Grenzwerte

Demnach hat ein Winkel von 90° (y = 90) das BogenmaB x = 9On/l80 = n/2 usw. Andererseits ist der Winkel vom BogenmaB 1 der Winkel, der aus einem beliebigen Kreis einen Bogen von der Lange des Radius ausschneidet; in Grad gemessen ist dies der Winkel y = 180/n = 57,2957 ... Grad. Urn aus dem BogenmaB x eines Winkels sein GradmaB y zu erhalten, muB x immer mit dem Faktor 180/n multipliziert werden. Das BogenmaB x eines Winkels ist femer gleich dem doppelten Flacheninhalt A des von dem Winkel ausgeschnittenen Sektors des Einheitskreises; denn dieser Sektor verMlt sich zur Flache des ganzen Kreises wie die Bogenlange auf dem Umfang zum ganzen Umfang: A/n = xj2n, x = 2A. 1m folgenden soll der Winkel x den Winkel mit dem BogenmaB x bedeuten. Einen Winkel von x Grad werden wir in der Form Xo schreiben, urn MiBverstandnisse auszuschlieBen. Es wird sich zeigen, daB das BogenmaB fur analytische Operationen sehr bequem ist. Fur praktische Zwecke wurde es dagegen einigermaBen unbequem sein. Da n irrational ist, kommt man niemaIs zum selben Punkt des Kreises zUrUck, wenn man den Einheitswinkel, d. h. den Winkel vom BogenmaB I, mehrmaIs hintereinander auf dem Kreis abtragt. Das gew6hnliche WinkelmaB ist so eingerichtet, daB man zum Ausgangspunkt zUrUckkommt, wenn man 360 mal 1 Grad oder 4 mal 90 Grad abtragt. 3. Graphische Darstellung einer Funktion. Inverse Funktionen Der Charakter einer Funktion wird oft am deutlichsten erkennbar aus einer einfachen geometrischen Darstellung. Wenn x, u die Koordinaten in einer Ebene sind, bezogen auf ein kartesisches Achsenkreuz, dann werden lineare Funktionen U=

ax+ b

durch gerade Linien dargestellt; quadratische Funktionen U=

ax2 + bx+ c

durch Parabeln; die Funktion 1

U=-

x

durch eine Hyperbel, usw. Nach Definition besteht die graphische Darstellung oder der "Graph" einer beliebigen Funktion u = f(x) aus allen Punkten der Ebene,

cos .c Fig. 151. Grapben von II = sinz und II = cosz

deren Koordinaten X, u in der Beziehung u = f(x) stehen. Die Funktionen sinx, cosx und tanx werden durch die Kurven der Figuren 151 und 152 dargestellt. Diese graphischen Darstellungen zeigen deutlich, wie die Werte der Funktionen zu- und abnehmen, wenn x variiert.

3. Graphische Darstellung einer Funktion. Inverse Funktionen

213

Eine wichtige Methode zur Einfuhrung neuer Funktionen ist die folgende: Ausgehend von einer bekannten Funktion F (X) konnen wir versuchen, die Gleichung U = F (X) nach X aufzulosen. so daB X a1s Funktion von U erscheint: X=G(U).

Die Funktion G(U) heiBt dann die inverse Funktion oder Umkelwfunktion von F(X). Dieses Verfahren fuhrt nur dann zu einem eindeutigen Ergebnis. wenn die Funktion U = F (X) eine eineindeutige Abu bildung des Bereichs von X auf den von U definiert. d. h. wenn die Ungleichheit Xl =1= X2 immer auch die Ungleichheit F(X1) =1= F(X 2) zur Folge hat. denn nur dann wird ein eindeutig bestimmtes X zu -Z.::K~-t---'7''-+--'7I''--+-¥---+-'~ jedem U gehOren. Unser fruheres Beispiel, in dem X ein beliebiges Dreieck in der Ebene und U = F (X) dessen Umfang bedeutete, gehOrt hierher: Offenbar ist die Abbildung der Menge S der Dreiecke auf die Menge T Fig. 152. II - tan s der positiven reellen Zahlen nicht eineindeutig, da es unendlich viele verschiedene Dreiecke mit demselben Umfang gibt. Daher kann in diesem Fall die Relation U = F(X) nicht dazu dienen, eine eindeutige Umkehrfunktion zu definieren. Die Funktion m = 2n andererseits, wo n uber die Menge S der ganzen Zahlen und m uber die Menge T der geraden Zahlen variiert. gibt durchaus eine eineindeutige Zuordnung zwischen den beiden Mengen, und die Umkehrfunktion n = m/2 ist eindeutig u definiert. Ein anderes Beispiel einer eineindeutigen Abbildung liefert die Funktion U= XS. Wenn x uber der Menge alier reellen Zahlen variiert, so gilt dasselbe fur u, und jeder Wert u wird einmal und nur einmal angenommen. Die eindeutig definierte Umkehrfunktion ist

x=Vu·

Fur die Funktion u = x 2 ist die Umkehrfunktion nicht einFig. 153. II = 1<' deutig definiert. Denn da u = x 2= (-X)2, hat jeder positive Wert von u zwei zugeh6rige Werte von x. Wenn wir aber x und u auf positive Werte (einschlieBlich Null) einschranken, dann gibt es die Umkehrfunktion

x=Vu·

Vu

Hierbei ist, wie ublich, das Symbol a1s die nichtnegative Zahl definiert, deren Quadrat u ist. Die Existenz einer eindeutigen Umkehrung einer Funktion u = f(x) von einer Veranderlichen laBt sich aus der graphischen Darstellung der Funktion erkennen. Die inverse Funktion ist eindeutig definiert, wenn jedem Wert von u nur ein Wert von x entspricht. Fur die graphische Darstellung bedeutet dies, daB keine Paraliele zur x-Achse die Kurve in mehr als einem Punkt schneidet. Dies wird sieher der

214

VI. Funktionen und Grenzwerle

Fall sein, wenn die Funktion u = f(x) mD1Wton ist, d. h. wenn sie bei zunehmendem x dauemd zu- oder dauemd abnimmt. Wenn zum Beispiel u = f(x) dauemd zunimmt, dann haben wir fUr Xl < x. stets Ut = f(Xt) < u.= f(x.). Daher kann es fUr einen gegebenen Wert von u hOchstens ein x geben, fiir das f(x) = u ist, und die Umkehrfunktion ist also eindeutig definiert. Der Graph der Umkehifunktion x = g (u) ergibt sich einfach, indem man die urspIiingliche Kurve an der gestrichelten Linie (Fig. 154) spiegelt,so c:la.6die Lage der x-undderu-Achse vertauscht werden. u

"

//'

-' ,," I I

V I / ! I,' I I

-------+------

-'

/

'

-,'

~;"----------

Y

:

I

:

, I

u,'

OL'------~~~--~x

,

"

I

u

Fig. 154. Inverse FuDktionen

Die neue Kurve stellt dann x a1s Funktion von u dar. In der urspIiinglichen Lage stellt die Kurve u a1s Hohe fiber der horizontalen x-Achse dar; nach der Spiegelung dagegen stellt die gleiche Kurve x a1s Hohe fiber der horizontalen u-Achse dar. Die Betrachtungen des vorigen Absatzes mogen noch fUr den Fall der Funktion

u= tanx veranschaulicht werden. Diese Funktion ist monoton fUr - n/2 < x < n/2 (Fig. 152}. DieWerte von u, die mit x dauemd zunehmen, variieren von - 00 bis + 00; daher ist die inverse Funktion

x =g(u) U

Fig. 155.

It -

arc tan II

ffir alle Werte von u defioiert. Diese Funktion wird mit tan-1 u oder arc tanu bezeichnet. Also ist arc tan(l) = n/4, well tan(n/4) = 1 ist. Fig. 155 zeigt den Graphen dieser Funktion.

4. Zusammengesetzte Funktionen Eine zweite wichtige Methode zur Herstellung neuer Funktionen aus zwei oder mehr gegebenen ist das Zusammensetzen von Funktionen. Zum Beispiel ist die Funktion 7 u = f(x) =

0

"zusammengesetzt" aus den beiden einfacheren Funktionen

z = g(x) = 1 + xl,

u = h(z) =

Vz

und kann gescbrieben werden a1s

u =f(x) = h(g[x)

(sprich "h von g von XU) •

215

5. Stetigkeit

Ebenso ist

u = f(x)

1

= yr=iiI-xl

zusammengesetzt aus den drei Funktionen

z = g(x) = 1- x·,

sodaS

W

= h(z) =

yz,

u = k(w)

=

!'

u = f(x) = k(h[g(x)]) •

Die Funktion "=f(~) =

.

1

Sln-;

ist zusammengesetzt aus den beiden Funktionen 1 I = g (~) = -;- , " = h (I) = sinl .

,I

Die Funktionf(~) iat niOOt definiert ftir ~ = 0, da der Ausdruck 1/~ ftir ~ = 0 keinen Sinn bat. Die Kurve dieser merkwtirdigen Funktion ergibt sieb aus der Sinuskurve. Wir wissen, daB sinl = 0 ffir I = lin iat, wenn II irgendeine positive oder negative ganze Zabl iat. Ferner iat

1 fiir z = (411

sin z=

-1 fiir

I

+ 1) ;

= (411 -

n

1) 2"

,

'

wenn h irgendeine gauze Zabl ist. Daher iat

.

1

Sln-= ~

1 fiir:x= (4k+l)n' 2

-1

5etzen wir der Reihe nach

ffir:x= (4k-l)n'

11 = 1,2,3,4, ... ,

so werden, da die Nenner dieser Briiebe fiber aile Grenzen wacbsen, die Werte von ~, ffir welebe die Funktion sin (1/:x) die Werte 1, -1, 0 hat, sieb immer enger an den PunktOherandringen. Zwischen jedem solcben Punkt und dem Ursprung werden immer nach unendlicb viele Oszillationen der Funktion liegen. Der Graph dieser Funktion ist in Fig. 156 dargestellt.

u

Fig. 156. " - sin ..!.. If

5. Stetigkeit Die Graphen der bisher betrachteten Funktionen veranschaUlichen die Eigenschaft der Stetigkeit. Wir werden diesen Begriff in § 4 genau analysieren, nachdem

216

VI. Funktionen und Grenzwerte

wir den Grenzbegriff streng definiert haben. Ganz grob konnen wir aber schon jetzt sagen, daB eine Funktion stetig ist, wenn ihr Graph eine ununterbrochene Kurve ist (siehe S. 236). Eine gegebene Funktion u = I(x) kann auf ihre Stetigkeit gepriift werden, indem wir die unabhangige Variable x stetig von der rechten und von der linken Seite her auf irgendeinen speziellen Wert Xl riieken lassen. Wenn die Funktion u = I(x} in der Umgebung von Xl nicht konstant ist, wird sieh dabei ihr Wert ebenfalls andern. Wenn der Wert von/(x) sieh dem Wert I(x-J der Funktion an der betreffenden Stelle Xl als Grenzwert nahert, einerlei ob

wir uns von der einen oder der anderen Seite her

Xl

niihern,

dann wird die Funktion als stetig in Xl bezeiehnet. Wenn dies fUr jeden Punkt Xl eines gewissen Intervalls gilt, dann nennt man die Funktion stetig in diesem Intervall. Wahrend jede Funktion, die dureh eine ununterbroehene - - - - , . . 1 - - - - Kurvedargestellt wird, stetig ist, kann man leieht Funktionen .:c definieren, die nieht iiberall stetig sind. Zum Beispiel ist die Funktion der Fig. 157, die rur alle Werte von X dureh I(x)

= 1+ X

I(x) = -1

Fig. 157. Spruoghafte Unstetlgkeit

+x

rur x > 0 fiir

X ~

0

definiert ist, unstetig im Punkte Xt = 0 ist, wo sie den Wert -1 hat. Wenn wir den Graphen dieser Funktion zeiehnen wollen, miissen wir an diesem Punkt den Bleistift abheben. Wenn wir uns dem Wert Xl = 0 vonderrechten Seite her nahern, so nahert sich/(x) dem Werte +1. Dieser Wert ist aber versehieden von dem an dieser Stelle geltenden Wert -1. Der Umstand, daB I(x) sieh dem Wert -1 nahert, wenn X von der linken Seite her gegen Null geht, geniigt nieht fiir die Stetigkeit. Die Funktionf(x}, die fUr aIle X definiert wird, indem man I(x) = 0 fUr

x =1= 0,

1(0) = 1

setzt, zeigt eine Unstetigkeit anderer Art an der Stelle Xl = O. Hier existieren sowohl der reehtsseitige wie der linksseitige Grenzwert, und beide stimmen aueh iiberein, wenn X sieh der Null nahert, aber dieser gemeinsame Grenzwert unterseheidet sich von I(O}. Einen anderen Unstetigkeitstypus zeigt die Funktion der Fig. 158:

u =/(x) =

o Fig. 158. Unstetigkeitdurch UDendlichwenitm

1 -*',

.:c an der Stelle x = O. Wenn x sieh von reehts oder von links der Null nahert, geht u ins

Unendliehe; die Kurve der Funktion ist an dieser Stelle unterbroehen, und kleine Anderungen von X in der Naehbarsehaft von X = 0 konnen sehr groBe Anderungen von u bewirken. Streng genommen ist der Wert der Funktion rur X = 0 gar nieht definiert, da wir das Unendliehe nieht aIs Zahl zulassen konnen und deshalb aueh nieht sagen konnen, daB I(x) unendlieh ist, wenn X = 0 ist. Folglieh sagen wir besser, daB I(x) "gegen unendlieh strebt", wenn X sieh dem Nullwert nahert.

6. Funktionen von mehreren Verinderlichen

217

Eine Unstetigkeit von noch anderer Art tritt in der Funktion u = sin 11 x an der Stelle x = 0 auf, wie der Graph dieser Funktion zeigt (Fig. 156). Die angegebenen Beispiele zeigen also verschiedene Moglichkeiten fiir die Unstetigkeit einer Funktion an einer Stelle x = Xl: 1. Es kann moglich sein, die Funktion in x = Xl stetig zu machen, indem man ihren Wert fur x = Xl in geeigneter Weise definiert oder umdefiniert. Zum Beispiel ist die Funktion u = xIx stets gleich 1, soIange x=l= 0; sie ist nicht definiert fiir x = 0, da 0/0 ein sinnIoses Symbol ist. Wenn wir aber vereinbaren, daB der Wert u = 1 in diesem Fall auch bei x = 0 geIten solI, so wird die so erweiterte Funktion stetig fUr alle Werte von x, ohne Ausnahme. Dasselbe wird erreicht, wenn wir bei der Funktion auf S. 216 (f(x) = 0 ffir x =l= 0,/(0) = 1) den Wert in x = 0 umdefinieren zuf(O) = o. Eine Unstetigkeit dieser Art nennt man hebbar. 2. Die Funktion kann verschiedenen Grenzwerten zustreben, wenn sich x von rechts oder links dem Wert Xl n1i.hert, wie in Fig. 157. 3. Es konnen selbst einseitige Grenzwerte nicht existieren, wie in Fig. 156. 4. Die Funktion kann gegen unendlich streben, wenn x sich Xl n1i.hert, wie in Fig. 158. Unstetigkeiten der letzten drei Arten heiBen wesentlich. Sie lassen sich nicht durch geeignete Definition oder Abiinderung des Funktionswertes an der Stelle x = Xl allein beseitigen. M-l

MI_l

fit

Obungen: 1. Man zeichne die Kurven derFunktionen-xs-, xl+ 1 ' (xl-I) (Xl+ 1) und bestimme ihre Unstetigkeiten. 2. Man zeichne die Kurven der Funktionen x sin 2- und MI sin 2- und beweise, daB sie bei x x M = 0 stetig sind, wenn man in beiden Fallen u = 0 fiir M = 0 definiert. I ·3. Man zeige, daB die Funktion arc tan - eine Unstetigkeit der zweiten Art (Sprung) fit

bei M = 0 besitzt.

*6. Funktionen von mehreren VerinderHchen Wir kehren zu unserer systematischen Diskussion des Funktionsbegriffs zUrilck. Wenn die unabhiingige Variable P ein Punkt in der Ebene mit den Koordinaten x, y ist und wenn jedem solchen Punkt Peine einzige Zahl u entspricht - zum Beispiel konnte u der Abstand des Punktes P vom Ursprung sein -, dann schreiben wir gewahnlich

u=f(x,y) • Diese Bezeichnung wird auch angewendet, wenn, wie es haufig der Fall ist. von vornherein zwei GraBen x und y a1s unabhiingige Variablen auftreten. Zum Beispiel ist der Druck u eines Gases eine Funktion des Volumens x und der Tempera.tur y, und der FUicheninhalt u eines Dreiecks ist eine Funktion f(x, y, z) der liingen x, y und z seiner drei Seiten. In derselben Weise, in der ein Graph die geometrische Darstellung einer Funktion von einer Veriinderlichen ist, erhaIt man eine geometrische Darstellung einer Funktion u = f(x. y) von zwei Variablen durch eine Flache im dreidimensionalen Raum mit den Koordinaten x, y, u. Jedem Punkt x, y in der x, y-Ebene ordnen wir den Punkt im Raum zu, dessen Koordinaten x, y und u = f(x, y) sind. Xl- y. durch eine Kugelfiache mit der Gleichung So wird die Funktion u =

VI -

218

VI. Funktionen und Grenzwerte

y2= 1 (Fig. 159) dargestellt, dielineare Funktion 14 = ax + by + c durch eine Ebene, die Funktion 14 = xy durch ein hyperbolisches Paraboloid (Fig. 160)

"1+ X 2 +

usw.

Eine andere Darstellung der Funktion 14 = f(x, y) laBt sich allein in der x, y-Ebene mit Hilfe von H ohenlinien geben. Anstatt die dreidimensionale "Hiigellandschaft" 14 = / (x, y) zu betrachten, zeichnen wir, wie auf einer GeIandekarte, die Hohenlinien der Funktion, die Fig. 159. Halbkugel Fig. 180. Hyperbolisches Paraboloid aus den Projektionen aller Punkte von gleicher Hohe " auf die x, y-Ebene bestehen. Diese horizontalen Kurven sind einfach die Kurven f(x, y) = c (Fig. 161 und 162), wobei c ffir jede Kurve konstant bleibt und von

Fig. 161. BiDe FIiche tI

-

f(s, ,,)

Fig. 162. Die entsprecbeaden Hiihenlinien

Kurve zu Kurve urn den gleichen Wert wachst. So wird die Funktion 14 = x + y durch Fig. 163 dargestellt. Die Hohenlinien einer Kuge11lache sind ein System

11

Fig. 163. Hilheolinien far

tI -

S

+,

.z: Fig. 164. Rotatioosparaboloid

Fig. 165. Die zugeh6rigen Hiihenlinien

konzentrischer Kreise. Die Funktion 14 = Xl+ yl, die ein Rotationsparaboloid darstellt, ist ebenfalls durch konzentrische Kreise gekennzeichnet (Fig. 164 und 165).

7. Funktionen und Transformationen

219

Durch Zahlen, die an die verschiedenen Kurven geschrieben werden, kann man die jeweUige Hohe u = c angeben. Funktionen von mehreren Variablen kommen in der Physik vor, wenn die Bewegung nicht-starrer Korper beschrieben werden solI. Denken wir uns zum Beispiel eine Saite zwischen zwei Punkten der x-Achse ausgespannt und dann so deformiert, daB das Teilchen mit der Koordinate x um eine gewisse Strecke senkrecht zur Achse bewegt wird. Wenn die Saite dann freigegeben wird, so wird sie in der Weise Schwingungen ausfiihren, daB das Teilchen mit der Koordinate x zur Zeit t einen Abstand u = f(x, t) von der x-Achse hat. Die Bewegung ist vollstandig beschrieben, sobald die Funktion u = f(x, t) bekannt ist. Die Definition der Stetigkeit, die wir ffir Funktionen von einer Variabe1n gaben, laBt sich direkt auf Funktionen mehrerer Variablen iibertragen. Eine Funktion u = f (x, y) heiBt stetig im Punkt x = Xl' Y = YI' wennf(x, y) sich immer dem Wert I(X1'Yl) nahert, sobald der Punkt x,Y sich in irgendeiner Weise dem Punkt Xl' YI nahert. Es besteht jedoch ein wesentlicher Unterschied zwischen Funktionen von einer und solchen von mehreren Veranderlichen. 1m zweiten Falle verliert der Begriff der Umkehrfunktion seinen Sinn, da wir eine Gleichung u = f(x, Y), zum Beispiel u = X + y, nicht in der Weise auflosen konnen, daB jede der GroBen X und Y sich durch die cine GroBe u ausdriicken laBt. Aber dieser Unterschied im Verhalten der Funktionen von einer und von mehreren Variabe1n verschwindet, wenn wir das Wesen einer Funktion darin sehen, daB sie eine Abbildung oder Transformation definiert.

*7. Funktionen und Transformationen Eine Zuordnung zwischen den Punkten einer Geraden l, die durch eine Koordinate X liings der Geraden gekennzeichnet seien, und den Punkten einer anderen Geraden l mit Koordinaten x' ist einfach eine Funktion x' = f(x). Sofem die Zuordnung eineindeutig ist, haben wir auch eine inverse Funktion X = g(x'). Das einfachste Beispiel ist eine Transformation durch Projektion; diese wird wir behaupten das hier ohne Beweis - im allgemeinen durch eine Funktion der Form x' = f(x) = (a x + b)/(c x + d) dargestellt, worin a, b, c, d Konstante sind. Abbildungen in zwei Dimensionen von einer Ebene e mit den Koordinaten x, Y auf eine Ebene e' mit den Koordinaten x', Y' konnen nicht durch eine einzige Funktion x' = f(x) dargestellt werden, sondem erfordem zwei Funktionen von zwei Variabe1n: x'=f(x,y) , y'= g(x, y) . Zum Beispiel wird eine projektive Transformation durch ein Funktionensystem , lu+by+c x = g.¥ + lay + k ' Ib+ey+f , y = g.¥+lay+k'

gegeben, worin a, b, . .. , k Konstanten sind und x, y bzw. x', y' die Koordinaten in den heiden Ebenen e und e'. Von diesem Gesichtspunkt aus ist die Idee der Umkehrlunktion durchaus sinnvoll. Wir miissen einfach dieses Gleichungssystem

220

VI. Funktionen und Grenzwerte

nach x und y au!losen. Geometrisch bedeutet dies, daB die inverse Abbildung von e' auf e gefunden werden muB. Diese ist eindeutig definiert, sofem die Zuordnung zwischen den Punkten der beiden Ebenen eineindeutig ist. Die in der Topologie untersuchten Transformationen der Ebene sind nicht durch einfache algebraische Gleichungen gegeben, sondem durch ein beliebiges System von Funktionen x'=!(x,y) , y'=g(x,y) , das eine eineindeutige und beiderseits stetige Transformation definiert. (Jbungen: *1. Man zeige, daB die Transformation der Inversion (Kapitel III, S. 113.) am Einheitskreis analytisch durch die Gleichung~n x' = X/(Xl yl), y' = y/(x· yl) gegeben ist. Man bestimme die inverse Transformation. Man beweise analytisch, daB die Inversion die Gesamtheit der Geraden und Kreise in Geraden und Kreise transformiert. 2: Man beweise, daB durch eine Transformation x'= (ax b)/(cx d) vier Punkte der x-Achse in. vier Punkte der x'-Achse mit demselben Doppelverhaltnis transformiert werden (Vgl. S. 137).

+

+

+

+

§ 2. Grem:werte 1. Der Grenzwert einer Folge an Wie wir in § 1 gesehen haben,beruht die Beschreibung der Stetigkeit einer Funktion auf dem Grenzbegriff. Bisher haben wir diesen Begriff in mehr oder weniger anschaulicher Form benutzt. In diesem und den folgenden Abschnitten wollen wir ihn etwas systematischer behandeln. Da Zahlenfolgen einfacher sind als Funktionen von stetigen Veranderlichen, beginnen wir mit dem Studium von Zahlenfolgen. 1m Kapitel II untersuchten wir fUr Folgen an von Zahlen den Grenzwerl oder "Limes", wenn n unbegrenzt zunimmt oder "gegen unendlich strebt". Zurn Beispiel hat die Folge, deren n-tes Glied an = lIn ist, 1 1 1 1, -2' -3 ' ... , -n' ... ,

(1)

bei wachsendem n den Grenzwerl 0: (2)

1

-

n

~

0

'

wenn

n

~ 00 •

Wir wollen versuchen, exakt auszudrUcken, was hiermit gemeint ist. Wenn wir diese Folge weiter und weiter fortsetzen, dann werden die Glieder kleiner und kleiner. Nach dem l00sten Gliede sind alle Glieder kleiner als 1{100, nach dem l000sten alle kleiner als 1{1000 und so weiter. Keines der Glieder ist jemals genau gleich O. Aber wenn wir nur geniigend weit in der Folge (1) gehen, konnen wir sicher sein, daB die einzelnen Glieder sich von 0 urn beUebig wenig unterscheiden. Der einzige Mangel an dieser Erklarung ist, daB die Bedeutung der kursiv gedruckten AusdrUcke nicht vollkommen klar ist. Wie weit ist "genUgend weitH und wie wenig ist "beliebig wenig"? Erst wenn wir diesen AusdrUcken einen prazisen Sinn beilegen konnen, dann erhaIt auch die Limesrelation (2) einen prazisen Sinn. Eine geometrische Deutung ist hier von Nutzen. Wenn wir die Glieder der Folge (1) durch die entsprechenden Punkte auf der Zahlenachse darstellen, so bemerken wir, daB die Glieder der Folge sich urn den Punkt 0 zusammendrangen.

221

1. Der Grenzwert einer Foige a"

Wiihlen wir ein beliebiges Intervall I auf der Zahlenachse, mit dem Mittelpunkt 0 und einer Gesamtbreite 2e, so daB das Intervall sich zu beiden Seiten von 0 bis zum Abstand e erstreckt. Wenn wir e = 10 wiihlen, so liegen natiirlich aUe Glieder an = lIn der Folge innerhalb des Intervalls I. Nehmen wir e = 1/10, so liegen die ersten Glieder auBerhalb I; aber alle Glieder von all an, 1

1

1

1

11' 12' 13' 14'··· liegen innerhalb 1. Selbst wenn wir e = 1/1000 wahlen, liegen nur die ersten tausend Glieder nicht innerhalb I, wahrend von dem Glied a lOOl an alle die unendlich vielen Glieder ~OOI' ~OO2' alOO3, • • • innerhalb I liegen. Diese Vberlegung gilt offenbar fiir jede positive Zahl e: sobald man ein positives e gewahlt hat, wie klein es auch immer sein mag, kann man auch eine ganze Zahl N finden, die so groB ist, daB 1

N<e. Daraus folgt, daB alle Glieder an der Folge, bei denen n ~ N ist, innerhalbIliegen; nur die endlich vielen Glieder~, a 2, •.. , aN-I konnen auBerhalb liegen. Wichtig ist: Zuerst wird dem Intervall I durch die Wahl von e eine beliebige Breite zuerteilt; dann kann eine passende Zahl N gefunden werden. Dieses Verfahren, zuerst eine Zahl e zu wiihlen und dann eine passende ganze Zahl N zu bestimmen, kann fiir jede positive Zahl e, so klein sie auch sei, durchgefiihrt werden und gibt der Aussage, daB alle Glieder der Folge (1) sich beliebig wenig von 0 unterscheiden, wenn wir die Folge nur geniigend weit fortsetzen, einen prazisen Sinn. Wir fassen zusammen: Es sei e eine beliebig gewiihlte positive Zahl. Dann konnen wir eine natiirliche Zahl N finden, derart daB alle Glieder an der Folge (I), fiir die n ~ N ist, innerhalb eines Intervalls von der Breite 2e liegen, dessen Mittelpunkt der Punkt 0 ist. Dies ist der prazise Sinn der Limesrelation (2). Auf Grund dieses Beispiels sind wir nun in der Lage, eine exakte Definition fUr die allgemeine Aussage zu geben: "Die reelle Zahlenfolge aI' a 2 , aa, . . . hat den Grenzwert aU. Wir schlieBen a in ein Intervall I auf der Zahlenachse ein: wenn das Intervall klein ist, konnen einige der Zahlen an auBerhalb des Intervalls liegen, aber sobald n geniigend groB wird, etwa groBer oder gleich einer gewissen ganzen Zahl N, dann miissen alle Zahlen an, fiir die n ~ N ist, innerhalb des Intervalls I liegen. Natiirlich muB die Zahl N moglicherweise sehr groB genommen werden, falls man ein sehr kleines Intervall gewahlt hat; aber wie klein das Intervall I auch sei, es muB eine solche Zahl N geben, wenn die Folge den Grenzwert a haben 5011. Die Tatsache, daB eine Folge an den Grenzwert oder Limes a hat, wird symbolisch ausgedruckt, indem man schreibt lim an = a ,

wenn n -+-

00

oder einfach

an -+- a ,

wenn n -+-

00

(sprich: an strebt gegen a, oder konvergiertgegen a). Die Definition der Konvergenz einer Folge an gegen a laBt sich kurz wie folgt formulieren: Die Folge~, a2 , a3 , ••• hat fur n -+- 00 den Limes a, falls man zu ieder noch so kleinen positiven Zahl e eine

222

VI. Funktionen und Grenzwerte

(von 8 abhlingige) naturliche Zahl N linden kann, so dap

la -

(3)

ani < 8

furalle n~N.

Dies ist eine abstrakte Formulierung des Grenzwertbegriffs bei einer Folge. Es ist kein Wunder, daB man sie, wenn man ihr zum ersten Mal begegnet, nicht sofort vollstandig erfassen kann. Manche Lehrbuchverfasser haben bedauerlicherweise die beinahe snobistische Ansicht, man konne dem Leser diese Definition ohne Vorbereitung vorsetzen - a1s ob eine niihere Erklarung unter der Wiirde eines Mathematikers Iage. Diese Definition laBt sich illustrieren durch einen "Wettstreit" zwischen zwei Personen A und B. A stellt die Forderung auf, daB die an sich dem festen Wert a mit einem Genauigkeitsgrad anniihem sollen, der besser ist a1s eine gewahlte FehlergroBe 8 = 81; B erfiillt die Forderung, indem er eine ganze Zahl N = Nl angibt, derart daB alle an, die hinter dem Element aN, kommen, die 8l-Forderung erftillen. Nun wird A anspruchsvoller und stellt eine neue, kleinere Fehlergrenze 8 = 8. auf. B entspricht wieder der Forderung von A, indem er eine (vielleicht vie! groBere) ganze Zahl N = N. aufzeigt. Wenn A durch B zufriedengestellt werden kann, wie klein auth immer A die Fehlergrenze wahlt, so haben wir die Situ-

ation, die durch an .... a ausgedrUckt wird. Es besteht eine bestimmte psychologische Schwierigkeit beim Erfassen dieser genauen Definition des Limes. Unsere Anschauung suggeriert eine "dynamische" Idee des Grenzwerts a1s Ergebnis eines "Bewegungsvorganges"; wir bewegen uns durch die Folge der natiirlichen Zahlen I, 2, 3, ... , n, ... und beobachten dabei, wie sich die Folge an zum Grenzwert a hin bewegt. Aber diese "natiirliche" Auffassung entzieht sich einer klaren mathematischen Formulierung. Urn zu einer prazisen Definition zu gelangen, mUssen wir die Reihenfolge der Schritte umkehren; anstatt zuerst auf die unabhangige Variable n und dann erst auf die abhangige Variable an zu blicken, mUssen wir die Definition auf das Verfahren grUnden, das wir zu befolgen haben, wenn wir die Behauptung an .... a tatsachlich nachprufen wollen. Dazu mUssen wir zuerst eine beliebig kleine Umgebung von a wahlen und dann prtifen, ob wir die Bedingung, daB die an in der Umgebung liegen, erfiillen konnen, indem wir nath der Wahl der Genauigkeitsgrenze die unabhangige Variable n hinreichend groB wahlen. Geben wir dann den Ausdrucken "beliebig kleine Umgebung" und "hinreichend groBes n" die symbolischen Namen 8 und N, so haben wir die prazise Definition des Limes. Als weiteres Beispiel betrachten wir die Folge 1

234

n

2'3'4'5'·'" n+l' worin an = n ~ 1 ist. Denken wir wieder an die Partner A und B. B behauptet, daB lim an = 1 ist. Wenn A ein Intervall wahlt, dessen Mitte!punkt beim Punkt 1 liegt und fUr das 8 = 1/10, so kann B die Forderung (3) von A erfiillen, indem er N = 10 wahlt; denn es gilt

223

1. Der Grenzwerl einer Folge a"

sobald n ~ 10. Wenn A seine Forderung verscharlt, indem er e = 1/1000 verlangt, so kann B dem wiederum begegnen, indem er N = lOOOwahlt, und dasselbe gilt fUr jede noch so kleine Zahl e, die A wahlt; wie man sieht, braucht B nur eine ganze Zahl groBer als l/e zu wahlen. Dieses Verfahren, eine beliebig kleine e-Umgebung der Zahl a anzugeben und dann zu beweisen, daB die Glieder der Reihe an aIle um weniger als e von a entfemt sind, wenn wir in der Reihe weit genug gehen, ist die ausfiihrliche Beschreibung der Tatsache, daB lim an = a. Wenn die Glieder der Folge tit, a., fla, ••• als unendliche Dezimalbruche ausgedrlickt sind, so bedeutet die Behauptung lim an = a einfach, daB fUr eine beliebige natiirliche Zahl m die ersten m Ziffem von an mit den ersten m Ziffem der Dezimalbruchentwicklung der festen Zahl a iibereinstimmen, vorausgesetzt daB n geniigend groB gewahlt wird, etwa groBer oder gleich einer Zahl N (die von m abhangt). Das entspricht einfach der Wahl eines e in der Form lO-m. Es gibt noch einen anderen, recht suggestiven Weg, den Grenzwertbegriff auszudrlicken. Wenn lim an= a ist und wenn wir a in ein IntervaIl I einschIieBen, dann werden, so klein lauch sein mag, aIle Zahlen am deren n groBer oder gleich einer gewissen Zahl N ist, innerhalb von I liegen, so daB also hOchstens eine endliche Anzahl N-l von Gliedern am Anfang der Folge, tit, aI' fla, ••. , aN-i'

aufJerhalb I liegen kann. Wenn I sehr klein ist, kann N sehr groB sein, vielleicht hundert oder gar tausend Mi11iarden; es wird doch nur eine endliche Anzahl von Gliedem der Folge auBerhalb I liegen, wahrend die unendlich vielen iibrigen Glieder innerhalb I liegen. Man sagt von den Gliedem einer unendlichen Folge, daB "fast aIle" eine gewisse Eigenschaft haben, wenn nur eine endliche Anzahl von Gliedem, so groB sie auch sei, die Eigenschaft nicht hat. Zum Beispiel sind "fast aIle" posi~ven ganzen Zahlen groBer als 1000000000000. Benutzen wir diese Terminologie, so ist die Aussage lim an= a aquivalent mit der Aussage: Wenn I ein beliebiges IntervaU mit dem Mittelpunkt in a ist, so liegen fast aUe Zahlen an innerhalb I. Nebenbei sei bemerkt, daB nicht notwendigerweise angenommen werden muB, daB aIle Glieder an der Folge verschiedene Werte haben. Es ist zulassig, daB einige, unendlich viele oder sogar aIle Zahlen an dem Grenzwert a gleich sind. Zum Beispiel ist die Folge ~ = 0, as = 0, ... , an = 0, ... eine durchaus zulassige Folge, und ihr Limes ist natiirlich o. Eine Folge an' die einen Grenzwert a besitzt, heiBt konvergent. Eine Folge an' die keinen Grenzwert hat, heiBt divergent. Obungen: Man beweise: 1. Die Folge a,,=

nl~ 1

hat den Limes O. (Anleitung : a.. = 7istkleinerals

groBer als 0.) nl 2. Die Folge a" = n'

n

n

+ + 11 bat den Limes O.

1

(

Anleitung: a" =

1 n

!

und

+ + n-1 liegt zwischen 0 und n2 ) til

224

VI. Funktionen und Grenzwerte

3. Die Folge 1,2,3,4, ... und die oszillierenden Folgen I, 2, I, 2, I, 2, ... , -I, I, -I, I, -I, ... (d. h. a.. = (-1)", 1 1 1 1 1'2,1'3,1'4,1'5'" .

und

haben keinen Grenzwert.

Wenn in einer Folge an die Glieder so groB werden, daB schlieBlich an gr6Ber ist als jede vorgegebene Zahl K, dann sagen wir, daB an gegen unendlich strebt, und schreiben lim an = 00 oder an -+ 00. Zum Beispiel gilt n2 -+ 00 und 2"-+ 00. Diese Terminologie ist nutzlich, aber vielleicht nicht ganz konsequent, da 00 ja nicht als Zahl a betrachtet werden kann. Eine Folge, die gegen unendlich strebt, heifJt 1'eden-

falls immernoch divergent. Vbung: Man zeige, daB die Folge a,,= n l

+

+

+ 1 gegen unendlich strebt; ebenso die Folgen n

nl 1 n8 1 n" an = n + 1 ' a" = n + 1 und a" = nt + 1 •

Anfanger denken zuweilen, daB man den Ubergang zur Grenze bei n -+ 00 einfach dadurch bewerkstelligen k6nnte, daB man n = 00 in den Ausdruck fUr an einsetzt. Zum Beispiel: l/n -+ 0, weil ,,1/00 = 0". Aber das Symbol 00 ist keine Zahl, und seine Verwendung in dem Ausdruck 1/00 ist unzulassig. Versucht man, sich den Grenzwert einer Folge als das "letzte" Glied an vorzustellen, mit n = 00, so verkennt man das Wesentliche und verdunkelt den wahren Sachverhalt.

2. Monotone Folgen In der allgemeinen Definition auf S. 221 f. wurde keine spezielle Art der Annaherung der konvergenten Folge 1Zt, a2 , Cla, ••• an ihren Grenzwert a gefordert. Den einfachsten Typ bildet eine sogenannte monotone Folge, wie zum Beispiel die Folge 1

2

3

2' 3'"4 ' ... ,

Jedes

n

n

+1

, •..

Glied dieser Folge ist gr6Ber als das vorhergehende. Denn an + 1 =

:

!!

1- n ~ 2 > 1- n ~ 1 = n ~ 1 = an' Von einer Folge dieser Art, bei der an+1 > an> sagt man, daB sie monoton zunimmt oder monoton wiichst. Entsprechend sagt man von einer Folge, fur die an > an+1, also etwa von der Folge 1,1/2,1/3, ... , daB sie monoton abnimmt. Solche F olgen nahem sich ihrem Grenzwert nur von =

einer Seite. 1m Gegensatz zu ihnen gibt es Folgen, die oszillieren, wie zum Beispiel die Folge -1, +1/2, -1/3, +1/4, .... Diese Folge nahert sich dem Grenzwert 0 von beiden Seiten (siehe Fig. 11, S. 56). Das Verhalten einer monotonen Folge ist besonders leicht zu bestimmen. Eine solche Folge kann ohne Grenzwert sein und unbegrenzt zunehmen, wie die Folge 1,2,3,4, ... , bei der an = n ist, oder wie 2,3, 5, 7, 11, 13, ... , wo an gleich der n-ten Primzahl Pn ist. In diesem Falle strebt die Folge gegen 00. Wenn aber die Glieder einer monoton wachsenden Folge beschriinkt bleiben -

2. Monotone Folgen

225

das heiBt, wenn jedes Glied kleiner ist a1s eine obere Schranke S, die man von vornherein kennt -, dann ist es anschaulich klar, daB die Folge sich einem gewissen Grenzwert a nahern muS, der kleiner als der Wert Soder hOchstens gleich S ist. Wir formulieren dies a1s das P,inzip der monotonen Folgen: 1'ede monoton zunehmende F olge, die eine obere Sch,anke hat, konvergiert gegen einen Grenzwert. (Ein analoger Satz gilt fUr jede monoton abnehmende Folge, die eine untere Schranke hat.) Es ist bemerkenswert, daB der Wert des Limes a nicht gegeben oder im voraus bekannt zu sein braucht; der Satz besagt, daB unter den angegebenen Bedingungen der Limes existiert. Natiirlich hangt dieser Satz I "" I aT von der Einfiihrung irrationaler Zahlen ab und wiirde ohne diese nicht Fig. 166. Eine monotone beschrinkte Folge immer zutreffen; denn wie wir in Kapite1 II gesehen haben, ist jede irrationale Zahl (wie z. B. y2) der Grenzwert einer monoton wachsenden, beschriinkten Folge von rationalen Dezimalbriichen, die man erhaIt, wenn man einen gewissen unendlichen Dezimalbruch hinter der n-ten Ziffer abbricht. *Obwohl das Prinzip der monotonen Folgen unmittelbar einleuehtet, ist es doch lehrreieh, einen strengen Beweis in modemer Fassung dafiir zu geben. Zu diesem Zweck miissen wir zeigen, daB das Prinzip eine logische Konsequenz aus der Definition der reellen Zahlen und des Grenzbegriffs ist. Nehmen wir an, daB die Zahlen ai' ai' aa, ... eine monoton waehsende, aber besehrankte Folge bilden. Wir kOnnen die Glieder dieser Folge als unendliehe Dezimalbriiehe ausdriieken.

a l = AI' 1'11'.1'• ...• a. = AI, qlqlq•. ..•

as = A., 'I'.'•....

in denen die A. ganze Zahlen sind und die 1'•• q., usw. Ziffem von 0 bis 9. Nun verfolgen wir die Spalte der ganzen Zahlen AI' AI' As, .•. abwlirls. Da die Folge ai' ai' aa' .• besch,4nkt ist. kOnnen diese ganzen Zahlen nieht immer weiter zunehmen, und da die Folge monoton wllchst, miissen die ganzen Zahlen AI' AI' A •• ... nach El'7'eichung eines Hochstwerles konstant bleiben. Nennen wir diesen H6chstwert A und nehmen wir an, daB er in der No-ten Zelle erreieht wird. Nun verfolgen wir die zweite Spalte PI' ql' 1'1' ••• abwlirls, indem wir uns auf die Glieder der No-ten und der folgenden Zeilen besehranken. Wenn Xl die graBte Ziffer ist. die nach der No-ten Zeile in dieser Spalte vorkommt, dann muB Xl nach seinem ersten Erscheinen dauemd wieder auftreten; dies mage von der Nl-ten Zeile an der Fall sein, wobei Nl ~ No. Denn wenn die Ziffer dieser SpaJte irgendwann spater wieder abnlihme, dann konnte die Folge ~, al' a l •... nieht monoton zunehmen. Sodann betrachten wir die Ziffem PI. ql' 1'••••• der dritten Spal1le. Die gleiehe "Oberlegung zeigt. daB naeh einer gewissen ganzen Zahl NI ~ Nl die Ziffem dieser SpaJte konstant gleich einer Ziffer X. sind. Wenn wir diese Betrachtung fiir die 4te, Ste•... Spalte wiederholen, erhalten wir die Ziffem xa, xc. X 5• ••• und die entspreehenden ganzen Zahlen N a• N,. N 5 , •••• Man sieht leieht ein, daB die Zahl

a = A, Xl X. XI X, •.• der Limes der Folge ai' aI' a., •.. ist. Denn ist das gewlihlte 8 ~ 10- m. dann stimmen fiir alle n ~ N m der ganzzahlige Anteil und die ersten m Ziffem naeh dem Komma von all mit denen von a iiberein, so daB die Differenz la - a,,1 nieht graBer sein kann als 10-". Da man dies fiir jedes positive. noeh so kleine 8 durehfiihren kann. indem man m geniigend groB wlihlt, so ist der Satz bewiesen. Aueh mit Hilfe jeder der anderen, in Kapitel II gegebenen Definitionen der reellen Zahlen kann der Satz bewiesen werden; z. B. mit Hilfe der Definition dureh Intervallsehaehtelungen oder durch Dedekindsehe Schnitte. Solehe Beweise sind in den meisten Lehrbiiehern der hoheren Mathematik zu finden. Courant u. Robbins, Mathematik

226

VI. Funktionen und Grenzwerte

Das Prinzip der monotonen Folgen hlitte in Kapitel II benutzt werden konnen, um Summe und Produkt zweier positiver unendlicher Dezimalbriiche zu definieren a = A,ala,/.Ia . .. , b = B, blb,b, ...•

Zwei solche Ausdrucke kOnnen nicht auf die gewOhnliche Art attdiert oder multipliziert werden, indem man am rechten Ende anfa.ngt, denn ein solches Ende gibt es nicht. (Der Leser moge einmal versuchen, die beiden unendlichen Dezimalbriiche 0,333333... und 0,989898 .•. zu addieren.) Wenn aber x. den endlichen Dezimalbruch bezeichnet, den man erhilt, indem man die Ausdriicke fur a und bander n-ten Stelle abbricht und dann in der gewohnlichen Weise addiert, so nimmt die Folge XI' X" Xa, ••• monoton zu und ist bescluiinkt (zum Beispiel durch die ganze Zahl A + B + 2). Foiglich hat diese Folge einen Limes, und wir konnen definieren a b = limx". Ein ilmliches Verfahren dient zur Definition des Produktes abo Diese Definitionen lassen sich dann mit Hilfe·der gewOhnlichen Regeln der Arithmetik erweitern, so daB sie alle Fille umfassen, in denen a und b positiv oder negativ sind. Cbung: Man zeige auf diese Weise, daB die Summe der oben genannten beiden unendlichen Dezimalbriichegleich der reellen Zahll,323232 ... = 131/99 ist.

+

Die Bedeutung des Grenzbegriffs in der Mathematikliegt in der Tatsache, daB

viele Zahlen nul' als Grenzwerle definierl sind - haufig als Grenzwerte monotoner, beschrankter Folgen. Das ist der Grund, weshalb der Korper der rationalen Zahlen, in dem ein solcher Grenzwert nicht immer existiert, fUr die Bediirfnisse der Mathematik nicht ausreicht. 3. Die Eulersche Zahl e Seit dem Erscheinen von EULER. Introductio in Analysin In/initorutn im Jahre 1748 nimmt die Zahl e neben der archimedischen Zahl n einen zentralen Platz in der Mathematik ein. Sie illustriert in glanzender Weise, wie das Prinzip der monotonen Folgen dazu dienen kann, eine neue reelle Zabl zu definieren. Unter Verwendung der Abkiirzung. n! = 1 ·2·3·4· .. n fur das Produkt der ersten n nattlrlichen Zahlen, betrachten wir die Folge

(4)

1

1

1

a,,= 1 +-11.+-21 . + ... +-, n. .

Die Glieder a" bilden eine monoton wachsende Folge, da a,,+ 1 aus a" durcb Addition des positiven Wertes oben beschrankt:

(n

~ I)! entsteht. Ferner sind die Werte der an nach

(5) Denn wir haben

111 111 1 1 - = - - ... - < - - ... - = - s! 2 3 s 2 2 2 2'-1

und folglich

= 1 + 2 (1-

(!)") < 3,

wenn wir die auf S. 11 angegebene Formel ffir die Summe der erst en

11

Glieder

227

4. Die Zahl n

einer geometrischen Folge benutzen. Daher muB nach dem Prinzip der monotonen Folgen aft sich einem Grenzwert nahern, wenn n gegen unendlich strebt, und diesen Grenzwert nennen wir e. Urn die Tatsache auszudriicken, daB e = lim aft ist, konnen wir e als "unendliche Reihe" schreiben 1

1

1

1

+ nr + ....

e = 1 + IT + 2T + 3! + ...

(6)

Diese "Gleichung", mit einer Anzahl von Punkten am Ende, ist nur eine andere Ausdrucksweise fiir den Inhalt der beiden Aussagen 1

1

aft = 1 + IT + 2T + ...

1

+ nt

und

an ~ e, wenn n ~ 00

•

Die Reihe (6) gestattet die Berechnung von e bis zu jeder gewiinschten Genauigkeit. Zum Beispiel ist die Summe der Glieder von (6) bis zu 1/12! einschlieBlich (auf acht Stellen hinter dem Komma) E = 2,71828183 ...• (Der Leser sollte dies nachpriifen.) Der "Fehler", d. h. die Differenz zwischen diesem Wert und dem wahren Wert von e, HiBt sich leicht abschatzen. Wir haben fiir die Differenz (e - E) den Ausdruck 1

13! +

1 14!

+ ... <

1( 11 13! 1 + 13 + J:3I

)

1

+ .. , = l3!'

1 1 __1_

12· 12!

13

Dieser Wert ist so klein, daB er die achte Stelle von E nicht mehr beeinfiuBt. Wenn wir daher einen moglichen Fehler in der letzten Ziffer des obigen Wertes beriicksichtigen, so haben wir den Wert von emit 2,7182818 auf sieben Stellengenau. *Die Zahl e ist i"ational. Wir beweisen diese wichtige Tatsache indirekt, indem wir annehmen, daB e = Plq, mit ganzen Zahlen P und q, und dann aus dieser Annahme einen Widerspruch ableiten. Wegen 2 < e < 3 kann e keine ganze Zahl sein, und q muB demnach mindestens gleich 2 sein. Nun multiplizieren wir beide Seiten von (6) mit q I = 2 . 3 ... q und erhalten e·q! =p·2·3··· (q-I)

(7)

=

[q!

+ q! + 3 • 4 ... q + 4 • 5 ... q + ... + (q +

1

(q

1) q

+ q + 1] 1

+ 1) + (q + 1) (q + 2) + ....

Auf der linken Seite haben wir ofienbar eine ganze Zahl. Auf der rechten Seite ist der eingeklammerte Ausdruck ebenfalls eine ganze Zahl. Der Rest ist jedoch eine positive Zahl kleiner als 1/2 und daher keine ganze Zahl. Denn q ist ~ 2, und daher ist jedes Glied der Reihe I/(q+ 1) nicht gr6Ber als das entsprechende Glied der geometrischen Reihe 1/3 1/31 + 1/31 deren Summe 1/3 [1/(1 - 113)] = 1/2 ist. Also stellt (7) einen Widerspruch dar; die ganze Zahl auf der linken Seite kann nicht gleich der Zahl auf der rechten Seite sein; denn die letzte ist die Summe aus einer ganzen Zahl und einer positiven Zahl kleiner als 1/2 und folglich keine ganze lahl.

+

+

+ ... + .. "

4. Die Zahl :c Wie aus der Schulmathematik bekannt ist, kann der Umfang eines Kreises vom Radius Eins als der Grenzwert einer Folge von Umfangen regularer Polygone mit wachsender Seitenzahl definiert werden. Der definierte Umfang wirdmit 2n bezeichnet. Genauer: Wenn Pn den Umfang des einbeschriebenen und qft den des umbeschriebenen regularen n-Ecks bedeutet, dann ist Pn < 2n < qn' Mit wachsen15*

228

VI. Funktionen und Grenzwerte

dem n nahert sich nun jede der Folgen Pm qn monoton dem Werte 2n, und bei jedem Schritt wird der Fehler der Annaherung an 2n durch Pn oder qn kleiner. Auf Seite 99 fanden wir den Ausdruck

P2m = 2m y2 -

V2 + V2 + ... ,

der m - 1 ineinandergeschachtelte Quadratwurzeln enthii.lt. Diese Formel laBt sich zur Berechnung des angenaherten Wertes von 2n benutzen. tJbungen: 1. Man bestimme den angenliherten Wert von n, der durch p" p& und P18

gegeben wird. *2. Man stelle eine Formel fur ql'" auf. *3. Man benutze diese Formel, urn q" q& und q18 zu berechnen. Auf Grund von P18 und q18 sind Grenzen anzugeben, zwischen denen n liegen muG.

Was ist die Zahl n? Die Ungleichheit Pn < 2n < q.. gibt die vollstandige Antwort, da sie eine Intervallschachtelung definiert, die den Punkt 2n erfaBt. Indessen laBt diese Antwort noch etwas zu wlinschen ubrig, da sie keine Auskunft uber die Natur von n als reeller Zahl gibt: ist sie rational oder irrational, algebraisch oder transzendent ? Wie wir schon auf S. 112 bemerkten, ist n tatsachlich eine transzendente Zah! und somit irrational. 1m Gegensatz zu dem Beweis fur e ist der Beweis fur die Irrationalitat Fig. 167. Ein durch Polygone angenilherter Kreis von n, der zuerst von J. H. LAMBERT (1728-1777) geHefert wurde, ziemlich schwierig und muG hier ubergangen werden. Dagegen gibt es andere Eigenschaften von 'J'l, die uns leichter zuganglich sind. Es ist z. B. von prinzipiellem Interesse, die Zahl n in einfache Beziehungen zu den ganzen Zahlen zu bringen. Zwar laBt die Dezimalbruchentwicklung von 'J'l, obwohl sie bis zu mehreren hundert Stellen berechnet worden ist, keinerlei RegelmaBigkeit erkennen - das ist weiter nicht verwunderlich, da 'J'l und 10 nichts gemeinsam haben. Aber im 18. Jahrhundert haben EULER und andere in genialer Weise die Zahl n durch unendliche Reihen und Produkte mit den ganzen Zahlen in Verbindung gebracht. Wir konnen uns heute kaum vorstellen, welches Gefuhl der Erhebung diese faszinierenden Entdeckungen damals ausgelost haben mussen. Vielleicht die einfachste solche Formel ist die folgende: nIl

1

+5

- 7 +"', die 'J'l/4 als unendliche Reihe darstellt, d. h. als Grenzwert der Partialsummen 4= 1 - 3 1

1

1

s" = 1 - 3 + 5 - ... + (-I)n 2n +

1

bei wachsendem n. Wir werden diese Formel im Kapitel VIII ableiten. Eine andere unendliche Reihe fur 'J'l ist n2

1

1

1

1

1

1

T=12+Y.+Ts+Tz+5i'+'62+··· . Ein weiterer merkwiirdiger Ausdruck fUr'J'l wurde von dem englischen Mathematiker JOHN WALLIS (1616-1703) entdeckt. Seine Formel sagt aus, daB ... {~.~.~.~.~.~ 1 3 3 5 5 7

2n

2n - 1

.

+ 1 }~!!.2 '

2n

2n

wenn n~oo

•

5. Kettenbriiche

229

Dies wird vielfach in der abgekiirzten Form n

224

4

6

688

"2=T'3'3'S'S'7'7'9" . geschrieben, wobei man den Ausdrock auf der rechten Seite als ein unendliches Produkt bezeichnet. Beweise fiir die letzten beiden Formeln findet man in jedem ausfiihrlicheren Buch iiber Infinitesimalrechnung (siebe auch S. 369 und 391).

*5. Kettenbriiche Andere interessante Grenzprozesse ergeben sich im Zusammenhang mit Kettenbriichen. Ein endlicher Kettenbruch, z. B. 57

17= 3+

1

1

2+-1

I+ S '

steUt eine rationale Zahl dar. Auf Seite 40 zeigten wir, daB jede rationale Zahl mit Hilfe des euklidischen Algorithmus in diese Form gebracht werden kann. Bei irrationalen Zahlen jedoch endigt der Kettenbroch-Algorithmus nicht nach einer endlichen Anzahl von Schritten. Statt dessen fiihrt er auf eine Folge von Kettenbriichen zunehmender Lange, von denen jeder eine rationale Zahl darstellt. Insbesondere konnen alle reellen algebraischen Zahlen (siehe S. 82) 2. Grades in dieser Form dargestellt werden. Betrachten wir zum Beispiel die Zahl 1, die eine Wurzel der quadratischen Gleichung

y2 -

Xll+

2x = 1

1

oder

X=--

2+x

ist. Wenn man auf der rechten Seite x wieder durch 1/(2 + x) er5etzt, 50 ergibt sich der Ausdruck 1

x=---:-2 1 + 2+.T

unddann

x=-----=-2+ 1 1 2+ 2+x

und so weiter, so daB man nach n Schritten die Gleichung erhalt:

x=

1 ------:---

2

+ ----::---2+2+

n Schritte. 1

-2

Wenn n gegen

00

+x

strebt, erhalten wir den "unendlichen Kettenbruch" = 1 + ___1--::-_ _

y:i

2

+ -------:--2

+

2

+

1

2+

1

230

VI. Funktionen und Grenzwerte

V2

Diese eigenartige Formel verknlipft die Zahl mit den ganzen Zahlen in einer treffenderen Weise als die Dezimalbruchentwicklung von bei der keinerlei RegelmaBigkeit in der Aufeinanderfolge der Ziffern zu erkennen ist. Flir die positive Wurzel einer beliebigen quadratischen Gleichung von der Form 1 x 2 = ax + 1 oder x = a + ergibt sich die Entwicklung

V2.

x

x

= a + -------,;---a+---'-Ia+a+

Setzen wir zum Beispiel a = I, so finden wir x=

.!.. (1 + VS) = 1 + - - - - - - : - 1 - 2 1 + ___-:--_ 1 1+ 1+

(vgl. S.98). Diese Beispiele sind Spezialfille eines allgemeinen Satzes, der aussagt, daB die reellen Wurzeln quadratischer Gleichungen mit ganzen KoeJJizienten periodische Kettenbruchentwicklungen haben, ebenso wie rationale Zahlen periodische Dezimalbruchentwicklungen haben. Es gelang EULER, fast ebenso einfache unendliche Kettenbrtiche fUr e und ~ zu finden. Wir flihren die folgenden ohne Beweis an: 1

e = 2 + ----------0-----1

+ ---------;------. 2

+ -------,------1+-------:::--

4

+ -------;-1-1 +---1;---

1+ 6 +

e=2+

1+

2

2+

3

3+

4+ 5 +

4

~

-

4

1+

II

32

2+

51

2+ 2+

72 92

2+--2+

231

1. Einleitung. Allgemeine Definition

§ 3. Grenzwerte bei stetiger Anniherung 1. Einleitung. Allgemeine Definition 1m § 2 Abschnitt 1 gaben wir eine prazise Formulierung der Aussage "die Foige an (d. h. die Funktion ~= F(n) der positiv-ganzzahligen Variablen n) hat den Limes a, wenn n gegen unendlich strebt". Wir gehen jetzt an eine entsprechende Definition fiir die Aussage "die Funktion u = f(x) der stetigen Variablen x hat den Limes a, wenn x gegen den Wert Xl strebt". In anschaulicher Form wurde diese Vorstellung eines Grenzwertes bei stetiger Annaherung der unabhangigen Variablen X schon in § 1, Abschnitt 5 benutzt, urn die Stetigkeit der Funktion f(x) zu priifen. Beginnen wir wieder mit einem speziellen Beispiel. Die Funktionf(x) = x + x· istdefiniertfiiralleWerte x von x auGer x = 0, well dort der Nenner verschwindet. Wenn wir den Graphen der Funktion u = f(x) fiir x-Werte in der Umgebung von 0 zeichnen, dann wird foIgendes klar: "nahert" x sich von irgendeiner Seite dem Wert 0, dann "nahert" der entsprechende Wert Fig. 168. .. = z + ... u = f(x) sich dem Grenzwert 1. Um eine prazise Bez schreibung dieses Sachverhalts zu geben, suchen wir eine explizite Formel fiir die Differenz zwischen dem Wertf(x) und dem festen Wert 1:

f(x) _ 1 = x + x· _ 1 = x + xI- x x

x

Wenn wir vereinbaren, nur Werte von x in der Nahe von 0, aber nieht den Wert x = 0 selbst zu betrachten (fiir den f(x) gar nieht definiert ist), so konnen wir Zahler und Nenner auf der rechten Seite dieser Gleiehung durch x dividieren und erhalten die einfachere Formel f(x) - 1 = x2 • Wir konnen also diese Differenz beliebig klein machen, wenn wir x auf eine hinreichend kleine Umgebung des Wertes 0 beschranken. So ist fiir x =

l!O'

l!o

lO!oo

± l~

offenbar f(x) - 1 = iiir x = ± ist f(x) - 1 = und so weiter. Allgemeiner ausgedriickt: wenn e eine beliebige, noch so kleine positive Zahl ist, so ist die Differenz zwischen !(x) und 1 kleiner als e, sofem wir nur den Abstand der Zahl x von 0 kleiner wahlen als die Zahl 6 = V€". Denn aus

Ixl
folgt offenbar

If(x) -

11 = Ixll < e.

Die Analogie mit unserer Definition des Grenzwerts einer ZablenfoIge ist somit vollkommen. Auf S. 221 f. stellten wir die Definition auf: "Die FoIge an hat den Grenzwert a, wenn n gegen unendlich strebt, falls sich zu jeder noch SO kleinen positiven Zabl e eine von e abhangige natiirliche Zahl N finden laBt, so daB

lan - al < e

232

VI. Funktionen und Grenzwerte

fur alle n, die der Ungleichung genugen". Fiir die Funktion f(x) einer stetigen Variablen x ersetzen wir, wenn x gegen einen endllchen Wert Xl strebt, das "hinreichendgroBe" n, das durchN gegeben ist, durch ein "hinreichend nahes" Xl, das dUrch die Zahl d gegeben ist, und gelangen so zu der folgenden Definition des Grenzwerts bei stetiger Annaherung, die zuerst von CAUCHY (urn 1820) aufgestellt wurde: Die Funktion f(x) hat, wenn X gegen Xl

strebt, den Grenzwerl a, wenn sich zu t'eder noch so kleinen '/Jositiven Zahl e eine (von e abhiingige) positive Zahl d finden liipt, so dap If(x) fur alle X =f: Xl' die der Ungleichung

al < £

Ix- xII < d

genugen. Wenn das der Fall ist, schreiben wir f(x)

-+

a

fur

X -+ Xl •

Fur die Funktionf(x) = (x+ xB)/x zeigten wiroben, daBf(x) den Limes 1 hat, zu wahlen. wenn X sich dem Wert Xl = 0 nahert. In diesem Fall genugte es, d =

Ve

2. Bemerkungen zum Begriff des Grenzwertes Diese (£, !5)-Definition des Limes ist das Ergebnis von mehr a1s hundertjiihrigen Bemuhungen und enthalt in wenigen Worten das Resultat unabliissigen Ringens urn eine prazise mathematische Formulierung. Nur durch Grenzprozesse konnen die Grundbegriffe der Infinitesimalrechnung - die Ableitung und das Integral- definiert werden; aber das volle Verstandnis und eine priizise Definition von Grenzwerten wurden lange durch scheinbar unuberwindliche Schwierigkeiten blockiert. Bei ihren Untersuchungen von Bewegungsabliiufen gingen die Mathematiker des 17. und 18. Jahrhunderts von der anschaulichen Vorstellung einer Variablen X aus, die sich stetig verandert und sich stetig gegen einen Grenzwert Xl bewegt. Zusammen mit dem stetigen FlieBen der Zeit oder einer anderen unabhangigen GroBe x betrachtete man eine zweite, davon abhangige GroBe u = f(x). Dabei entstand das Problem, in einer priizisen mathematischen Weise auszudrucken, was man mit der Aussage meint, daB f(x) sich einem festen Wert a "nahert" oder "gegen ihn strebt", wenn x sich gegen Xl bewegt. Schon seit der Zeit des ZENO und seiner Paradoxien hat sich der anschauliche, physikalische oder metaphysische Begriff der kontinuierlichen Bewegung einer exakten mathematischen Formulierung entzogen. Es liegt keine Schwierigkeit darin, schrittweise eine diskrete Folge von Werten ai' aI' tla, •.. zu durchlaufen. Hat man es aber mit einer stetigen Variablen x zu tun, die uber ein voIles Intervall der Zahlenachse variiert, so kann man nicht sagen, in welcher Weise X sich dem festen Wert Xl "nahern" soIl, derart daB X nacheinander und in der Reihenfolge ihrer GroBe alle Werte des Ihtervalls annimmt; denn die Punkte der Geraden bilden eine dichte Menge, und es gibt keinen "niichsten" Punkt, der auf einen schon erreichten Punkt folgt. GewiB hat die anschauliche Idee des Kontinuums fur den menschlichen Geist eine psychologische Realitiit. Aber sie darf nicht in

2. Bemerkungen zum Begriff des Grenzwertes

233

Anspruch genommen werden, um eine mathematische Schwierigkeit zu beseitigen; es bleibt eine Diskrepanz zwischen der anschaulichen Idee und der mathematischen Formulierung, welche die naive Intuition in exakt logischer Ausdrucksweise einfangen solI. Die Paradoxien des ZENO beleuchten diese Diskrepanz. Es war CAUCHY8 groBe Leistung zu erkennen, daB fiir die Zwecke der Mathematik jeder Riickgriff auf eine a priori vorhandene anschauliche Idee der kontinuierlichen Bewegung vermieden werden kann und sogar muB. Wie so haufig, wurde auch hier dem wissenschaftlichen Fortschritt der Weg gebahnt durch die Abkehr von metaphysischen Bestrebungen und durch den EntschluB, nur mit Begriffen zu arbeiten, die grundsatzlich "beobachtbaren" Erscheinungen entsprechen. Wenn wir analysieren, was wir eigentlich mit den Worten "stetige Annaherung" meinen, wie wir vorgehen miissen, um sie in einem konkreten Fall nachzuweisen, dann sind wir gezwungen, eine Definition wie die von CAUCHY anzunehmen. Diese Definition ist statisch; sie stiitzt sich nicht auf die anschauliche Idee der Bewegung. 1m Gegenteil, nur eine solche statische Definition macht eine genaue mathematische Analyse der kontinuierlichen Bewegung in der Zeit moglich und lost die Paradoxien des ZENO auf, soweit sie mathematischer Natur sind. In der (e, c5)-Definition ist die unabhangige Variable nicht in Bewegung; sie "strebt', nicht und "niihert" sich nicht im physikalischen Sinne einem Grenzwert Xl' Diese Sprechweise und das Symbol -+ bleiben bestehen und erinnem an die auch fiir den Mathematiker unentbehrlichen anschaulichen Vorstellungen. Handelt es sich aber darum, die Existenz eines Grenzwertes in wissenschaftlich einwandfreier Weise nachzupriifen, dann kann nur die (e, c5)-Definition angewendet werden. Ob diese Definition der anschaulichen "dynamischen" Vorstellung der Anniiherung entspricht, ist eine Frage von derselben Art wie die, ob die Axiome der Geometrie eine befriedigende Beschreibung des anschaulichen Raumbegriffs liefem. Beide Formulierungen lassen etwas fiir die Anschauung Reales tort, aber sie liefem eine ausreichende Basis fiir die mathematische Behandlung der betreffenden Probleme. Ebenso wie im Falle des Grenzwerts einer Zahlenfolge liegt der SchliisSel zu der Cauchyschen Definition in der Umkehrung der "natiirlichen" Reihenfolge, in der die Variablen betrachtet werden. Wir richten zuerst unsere Aufmerksamkeit auf das Intervall e fiir die abhangige Variable, und dann erst versuchen wir, ein passendes Intervall c5 fiir die unabhangige Variable zu bestimmen. Die Aussage ,,/(x) -+ a, wenn X -+ Xl" ist nur eine abgekiirzte Art zu sagen, daB dies fiir jede positive Zahl e rnoglich ist. Insbesondere hat kein Teil dieser Aussage, z. B. "X -+ Xl" fiir sich genornmen, einen Sinn. Wir miissen noch betonen: Wenn wir X "gegen Xl streben" lassen, konnen wir X groBer oder kleiner als Xl sein lassen, aber wir schlieBen die Gleichheit ausdriicklich aus, indem wir fordem, daB X =F Xl ist: X strebt gegen Xl aber es nimmt den Wert Xl niemals an. Daher konnen wir unsere Definition auf Funktionen anwenden, die fiir X = Xl nicht definiert sind, aber doch bestimmte Grenzwerte haben, wenn

X

gegen

Xl

strebt, wie z. B. die Funktion /(x) = x

+x x' ,

die auf S.23l

besprochen wurde. Die AusschlieBung des Punktes X = Xl entspricht der Tatsache, daB wir, urn den Grenzwert einer Folge an fiir n -+ 00, z. B. a,,= lIn, zu erhalten, niernals n = 00 in die Formel einsetzen.

234

VI. Funktionen und Grenzwerte

Jedoch darf f(x) fUr x ~ Xl sich dem betreffenden Grenzwert a in solcher Weise nahern, daB es Werte x=t= Xl gibt, fUr dief(x) = a ist. Betrachten wir zum Beispiel die Funktion f(x) = x/x, wenn x gegen 0 strebt, so werden wir niemals x = 0 setzen, aber es ist f(x) = 1 fur aIle x =t= 0; der Limes a existiert und ist nach unserer Definition gleich 1. sin~

3. Der Grenzwert von --:;Wenn x das BogenmaB eines Winkels bedeutet, dann ist der Ausdruck

~x

definiert fur aIle x auBer x = 0, wo er in das sinnlose Symbol % ubergeht. Der Leser, dem eine Tafel der trigonometrischen Funktionen zur Verfugung steht, kann die Werte von sin x fur kleine Werte von x berec:hnen. Diese Tafeln werden x

gewohnlich fUr Winkelgrade hergestellt; wir erinnern uns aus § I, Abschnitt 2, daB das GradmaB y mit dem BogenmaB x durch die Relation x =

1:0 y = O,01745y

(auf 5 Stellen genau) verknupft ist. Aus einer vierstelligen Tafel entnehmen wir fur 10°:

5°: 2°: 1°:

x = 0,1745 0,0873 0,0349 0,0175

09948

sin x =

sin x = 0,1736

x

0,0872 0,0349 0,0175

'

0,9988 1,0000 1,0000 .

Obwohl diese Zahlen nur auf vier Stellen genau sind, scheint daraus hervorzugehen, daB

(1)

sin

x

x~1

fur x ~ 0 .

Wir geben jetzt einen Beweis ffir diese Aussage. Auf Grund der Definition der trigonometrischen Funktionen mittels des Einheitskreises haben wir, wenn x das BogenmaB des Winkels BOC ist, fUr 0 < x < ; :

=!. 1 . sin x Flache des Kreissektors OBC ! x (siehe S. 212) FUi.che des Dreiecks OBC

=

Flache des Dreiecks OBA Fo1glich ist sinx<x
1

1 <smx -.-< -cos x oder Fig. 189 ElnheItskreis

sin x

(2)

cosx<-x-< 1. 1

+ cos x

l-cos2 x 1 cos x

Nun ist 1 - cosx = (1 - cosx) 1 + cosx

+

Wegen sin x < x sieht man hieraus, daB

(3)

1 - cos x <

Xl

.

I

SID X

1 + cos x

<

• I

SIn

x.

235

4. Grenzwerte fiir x -+ 00

oder

l-x2
Zusammen mit (2) liefert dies schlieBlich die Ungleichung x 1 1 -xII <sin -x- < .

(4)

Obwohl wir angenommen hatten, daB 0 < x < ; , ist diese Ungleichung auch ..

..

n

- sin x

sin (-x)

sin x

fur -""2 < x < 0 nchbg, da (-x) = -x ----;:-und (-X)2= x 2. Aus (4) folgt die Grenzwertbeziehung (1) als unmittelbare Konsequenz. Denn die Differenz zwischen sin x und 1 ist kleiner als x'l., und dies kann man kleiner x als jede Zahl e machen, indem man Ixl < ~ = wahlt.

VB

I-cos x -+ 0 fiir x x -+ 0 abzuleiten. Es sind die Limites fiir x -+ 0 von folgenden Funktionen zu bestimmen: (fbungen: 1. Aus der Ungleichung (3) ist die Grenzwertbeziehung

2.--;

sinlx x

sin x 3. x(x-l) ;

tan x 4,-x-;

sin ax 6. sin bx ;

x sin x 7· 1 _ cosx ;

sin x 8. -x-, wenn x in Grad gemessen ist;

1 x

1 tan x

1 smx

sin ax 5 · -x- ;

1 tan x

9.----; 10.-.----.

4. Grenzwerte fUr x

-+

00

Wenn die Variable x hinreichend groB ist, wird die Funktion f(x) =

~ beliebig

klein oder "strebt gegen 0". Tatsachlich ist das Verhalten dieser Funktion bei wachsendem x im Grunde dasselbe wie das der Folge 1/1', wenn l' wachst. Wir stellen die allgemeine Definition auf: Die Funktion f(x) hat, wenn x gegen unendlich

st1'ebt, den Grenzwert a, gesch1'ieben f(x) -+ a, wenn x-+ 00, falls man %u ider noch so kleinen positiven Zahl e eine (von e abh/i.ngige) positive Zahl Kfinden kann, so daft If(x) - al < e , sofern nu1' Ixl > K. (Vgl. die entsprechende Definition auf S. 232). 1m Fall der Funktionf(x) = l/x mit dem Grenzwert a = 0 genugt es, K = lIe zu wahlen, wie der Leser sofort nachpriifen kann. (Jbungen: 1. Es ist zu zeigen, daB die vorstehende Definition der Aussage !(x) -+ a, wenn x -+ 00 , aquivalent ist mit der Aussage !(x) -+ a, wenn l/x -+ 0 . Die folgenden Grenzrelationen sind zu beweisen: x+l ~+x+l 2. x-I -+ 1 , wenn x -+ 00 • 3. Xl- x-I -+ 1 ,

wenn x -+

00 •

sin x 4. - x - -+ 0 ,

wenn x -+

00 ,

6. x

sin x

+ cos x

wenn x -+

00 •

x+l 5. Xl + 1 -+ 0 ,

-+ 0 ,wenn x -+

00 •

sin x 7. cos x hat keinen Grenzwert, wenn x -+ 00

8. Man deliniere ..!(x) -+ 00, wenn x -+

00"

und gebe ein Beispiel.

•

VI. Funktionen und Grenzwerte

236

Es besteht ein gewisser Unterschied zwischen den pefinitionen des Grenzwertes einer Funktionf(x) und einer Folge a... 1m Fall der Folge kann n nur gegen unendlich streben, indem es wachst, aber bei einer Funktion konnen wir x sowohl positiv wie negativ unendlich werden lassen. Wenn wir uns nur fiir das Verhalten von f(x) fiir groBe positive Werte von x interessieren, so konnen wir die Bedingung Ixl > K durch die Bedingung x> K ersetzen; fiir groBe negative Werte von x benutzen wir dagegen die Bedingung x < - K. Um diese beiden Arten des "einseitigen" Unendlichwerdens zu kennzeichnen, schreiben wir

x

~

+ 00

bzw.

x

~

-

00 •

§ 4. Genaue Definition der Stetigkeit In § 1 Abschnitt 5 gab en wir das folgende vorlaufige Kriterium fur die Stetigkeit einer Funktion: "Eine Funktion f(x) ist im Punkte x = Xl stetig, falls, wenn X sich Xl nahert, die GroBe f(x) sich dem Grenzwert f(x l ) nahert." Betrachten wir diese Definition genauer, so erkennen wir, daB sie aus zwei verschiedenen Forderungen besteht: a) es muB fur X ~ Xl ein Grenzwert a vonf(x) existieren, b) dieser Grenzwert a muB gleich dem Wertf(xI) sein. Wenn wir in der Definition des Grenzwerts auf S.232 a = f(x l ) setzen, so nimmt die Stetigkeitsbedingung die folgende Form an: Die Funktion f(x) ist stelig fur X = Xl> falls sick zu ieder nock so kleinen positiven Zakl e eine von e abhangige posi-

tive Zahl t5 jinden la/3t, so da/3 fur alle x, die der Ungleickung

IX - xII < t5

genugen. (Die Einschrankung

X =1= Xl' die bei der Grenzwerldefinition verlangt wurde, ist hier unnotig, da die Bedingung If(xl ) - f(x l ) I < e von selbst erfiillt ist.)

u

,x,

,x

Fig. 170. Eine bei x = x, stetige Funktion

Fig. 171. Eine bei " = '" unstetige Funktion

AIs Beispiel wollen wir die Stetigkeit der Funktion f(x)

Xl

= 0 nachpriifen. Wir haben

=

x 3 an der Stelle

f(x l ) = 03 = O. Nun geben wir e einen beliebigen positiven Wert an, zum Beispiel e = 10~O • Dann mussen wir zeigen: Wenn X auf Werle beschrankt wird, die hinreichend nahe an Xl = 0 liegen, dann unterscheiden sich die entsprechenden Werte von f(x) nicht mehr als

l~O

von 0, d. h. sie liegen zwischen -

lO~O

und

lO~O. WiT sehen sofort,

237

1. Der Satz von BOLZANO

daB diese Abweichung nicht iiberschritten wird, wenn wir ken, diesich von Ixi <

1~

Xl =Oum wenigerals

, istll(x)1

6=

V

1:00

=

X

auf Werte beschran-

110 unterscheiden; denn wenn

= 1x31 < 10~0 • In derselben Weise konnen wir statt e = 1~0

auch e = 10-4,10-5 oder irgendeine gewiinschte Abweichung wahlen; 6 =

Vi wird

Vi

ist. immer die Bedingung erfiillen, da 11(x)1 = X3 < e sein muB, wenn Ixi < Auf Grund der (e, 6)-Definition der Stetigkeit kann man in derselben Weise zeigen, daB aIle Polynome, rationalen Funktionen und trigonometrischen Funktionen stetig sind, abgesehen von einzelnen Werten von x, fiir welche die Funktionen unendlich werden konnen (so daB sie dort genau genommen gar nicht definiert sind). Fiir den Graphen einer Funktion u = l(x) nimmt die Definition der Stetigkeit die folgende geometrische Form an. Wir wahlen eine beliebige positive Zahl e und ziehen die Parallelen zur x-Achse in der Hohe l(x1) - e und l(x1) + e. Dann muB es moglich sein, eine solche positive Zabl 15 zu finden, fiir die das ganze Stiick des Graphen, das innerhalb des vertikalen Streifens von der Breite 215 um Xl gelegen ist, auch innerhalb deshorizontalen Streifens von der Breite 2e um l(x1) enthalten ist. Fig. 170 zeigt eine Funktion, die in Xl stetig ist, wahrend Fig. 171 eine Funktion zeigt, die es nicht ist. 1m letzten FaIl wird der vertikale Streifen um Xl' so schmal wir ibn auch machen, immer ein Stiick der Kurve enthalten, das auBerhalb des horizontalen Streifens liegt, der dem gewahlten e entspricht. Man moge an ein Streitgesprach zwischen A und B denken, in dem B behauptet, daB eine Funktion u = f(x) an der Stelle x = Xl stetig ist. Wenn dann A eine beliebig kleine positive Zahl e wahlt und fixiert, muB B in der Lage sein, eine positive Zahl ~ anzugeben, so daB fiir Ix - XII < ~ immer If(x) - f(xl)i < e bleibt. Er verpflichtet sich nicht, von vomherein eine Zahl ~ zu Hefem, die der Bedingung geniigt, einerlei, welches e von A etwa nachtraglich ausgewahlt wird, vielmehr wird B seine Wahl von ~ davon abhangig machen, wie A die GroBe e vorher gewahlt hat. Wenn A nur einen einzigen Wert von e findet, fiir den B kein passendes d anzugeben vermag, so ist B's Behauptung widerlegt. Um sich dagegen zu sichem, wird B, wenn eine gegebene konkrete Funktion u = f(x) vorliegt, gewohnlich eine explizite positive Funktion konstruieren:

d

=

9'(e) ,

die fiir jedes positive e definiert ist und fiir welche die Ungleichung Ix - XII < dimmer If(x) - f(xl)i < e zur FoIge hat, z. B. im Fall der Funktion u = f(x) = xli an der Stelle Xl

= 0 die Funktion ~ =

9'(e)

=

3_

yeo

(Jbungen: 1. Man beweise, daB sinx, cos x stetige Funktionen sind. xt) und von Xl. 2. Man beweise die Stetigkeit von If(1

+

VI +

Es diirfte nun klar sein, daB die (e, 15)-Definition der Stetigkeit im Einklang ist mit dem, was man die beobachtbaren Tatsachen in bezug auf eine Funktion nennen konnte. Insofem ordnet sie sich dem allgemeinen Prinzip der modernen Wissenschaft unter, die als Kriterium fiir die Brauchbarkeit eines Begriffs oder die "wissenschaftliche Existenz" einer Erscheinung die prinzipielle Moglichkeit fordert, sie zu beobachten oder auf beobachtbare Tatsachen zuriickzufiihren.

§ 5. Zwei grundlegende Sitze liber stetige Funktionen 1. Der Satz von BOLZANO

BERNARD BaLZANO (1781-1848), ein katholischer Priester und Kenner der scholastischen Philosophie, hat als einer der ersten den modemen Begriff der

238

VI. Funktionen und Grenzwerte

Strenge in die mathematische Analysis eingeftihrt. Seine Schrift Paradoxien des Unendlichen erschien 1850. Hier wurde zum erstenmal erkannt, daB viele scheinbar selbstverstandliche Behauptungen fiber stetige Funktionen bewiesen werden konnen und auch mfissen, wenn sie in voller Allgemeinheit angewandt werden sollen. Der folgende grundlegende Satz fiber stetige Funktionen einer Variablen wurde von BOLZANO bereits 1817 verofientlicht.

Eine in einem abgeschlossenen 1ntervall a ~ x ~ b stetige Funktion einer Variablen x, welche lar x = a negativ unll lar x = b positiv ist (oder umgekehrl), mup im 1ntervall minllestens einmal den Wert Null annehmen. Mit anlleren Worlen: 1st I(x) stetig in a ~ x ~ b, unll ist I(a) > 0, I(b) < 0, dann gibt es einen Wert 1% von x mit den Eigenschaften a < 1% < b unll 1(1%) = O. Der Satz von BOLZANO entspricht durchaus der anschaulichen Vorstellung von einer stetigen Kurve, welche notwendig irgendwo die Achse schneiden muS, wenn sie von einem Punkt unterhalb der x-Achse zu einem Punkt oberhalb gelangen soil. DaB dies bei unstetigen Kurven niche der Fall zu sein braucht, zeigt Fig. 157 auf S. 216.

*2. Beweis des Bolzanoschen Satzes Wir geben jetzt einen strengen Beweis dieses Satzes. (Man vergesse nie, daB GAUSS und andere groBe Mathematiker den Satz ohne Beweis als selbstverstandlich akzeptiert und angewandt haben.) Unser Ziel ist, den Satz auf die grundlegenden Eigenschaften des ree1len Zahlensystems zuriickzufiihren, insbesondere auf das Dedekind-Cantorsche Postulat iiber Intervallschachtelungen (5. 55). Zu diesem Zweck betrachten wir das Intervall I, IS ;:;i Z ~ b, in dem die Funktion f(z) definiert ist, und halbieren es, indem wir seinen Mittelpunkt ZI =

IS

~b

markieren. Wenn wir finden, daB in diesem Mittelpunkt /(ZI) = 0 ist, so ist niehts mehr zu beweisen. 1st dagegen f(zl) =1= 0, dann muB f(zl) entweder grOBer oder kleiner a1s NuH sein. In beiden Fillen wird eine der heiden Hlilften von I wiederum die Eigenschaft haben, daB das Vorzeichen von fez) an den heiden Enden verschieden ist. Nennen wir dieses Intervall 11' Wir setzen das Verfahren fort, indem wir 11 halbieren; dann ist im Mittelpunkt von 11 entweder f(z} = 0, oder wir kOnnen ein Intervall I. wahlen, das halb so groB ist wie 11 und die Eigenschaft besitzt, daB das Vorzeiehen von f(z) an seinen beiden Enden verschieden ist. Wiederholen wir dieses Verfahren, so finden wir entweder nach einer endlichen Anzahl von Halbierungen einen Punkt, fiir den f(z) = 0, oder wir erhalten eine 1J Folge von ineinandergeschachtelten Intervallen II' .rJ I., I., ... • 1m zweiten Fall garantiert das DedekindCantorsche Postulat die Existenz eines Punktes at in I, der all diesen Intervallen angeh6rt. Wir behaupten, daB f(at) = 0 ist, so daB at der Punkt ist, Fig. 172. Sab von BoLlAIIO dessen Existenz der Satz behauptet. Bisher haben wir die Voraussetzung der Stetigkeit noch nicht benutzt. Jetzt wird sie den entscheidenden Beweisschritt ermOglichen. Wir werden indirekt beweisen. daB f(at} = 0 ist. indem wir das Gegenteil annehmen und daraus einen Widerspruch ableiten. Angenommen also, es sei f(lI.) =1= 0, z. B. sei f(at) = 26 > O. Da f(z) stetig ist, kOnnen wir ein (vie1leicht sehr kleines) IntervallJ von der Llinge 2d mit II. als Mittelpunkt finden, innerhalb dessen der Wert von f(z} iiberall um weniger als 6 von f(lI.) abweieht. Da nun f(lI.) = 26, so kOnnen wir sieher sein, daB in ] iiberall f(z) > 6 und also f(z) > 0 ist. Aber das Intervall ] ist fest, und wenn n hinreichend groB ist, so muB das kleine Intervall I. notwendig ganz innerhalb ] liegen, da die Lingen der Intervalle I. gegen Null streben. Darin liegt ein Widersprueh, denn aus der Art, wie I. gewihlt wurde, folgt, daB die Funktionf(z) an den Endpunkten jedes Intervalls I.

3. Der Satz von WEIERSTRASS iiber Extremwerte

239

entgegengesetzte Vorzeichen hat, so daB f(~) in einem Teil von] negative Werte haben muB. Also fiihrt die Annahme f(a.) > 0 (und in der gleichen Weise auchf(a.) < 0) zu einem Widerspruch, und es ist bewiesen, daB f(a.) = 0 sein muB.

·3. Der Satz von

WEIERSTRASS

tiber Extremwerte

Ein zweiter wichtiger lUld anschaulich plausibler Satz uber stetige Funktionen wurde von KARL WEIERSTRASS (1815-1897) fonnuliert, der das modeme Streben nach Strenge in der mathematischen Analysis wohl mehr als jeder andere beeinfluBt hat. Der Satz sagt aus: Wenn eine Fun'ktion f(%} in einem IntervaU I,

a ~ % ~ b, einsehlieplieh der Endpunkte a und b des Intervalls stetig ist, dann mup es mindestens einen Punkt in I geben, an dem f(%} einen gropten Wert M annimmt und einen anderen Punkt, an dem f(%} einen kleinsten were m annimmt. Fur die

Anschauung bedeutet dies, daB der Graph einer stetigen Funktion mindestens einen hOchsten und einen tiefsten Punkt haben muB. Die Aussage des Satzes ist so einleuchtend, daB man das Bedfirfnis nach einem Beweis als ubertriebene Pedanterie empfinden konnte. Obwohl die groBten Leistungen der Mathematik ohne ein derartiges Bediirfnis erzielt wurden, ist es in dem jetzigen Stadium der Entwicklung nicht mehr zulassig, beim systematischen Aufbau der Analysis den WeierstraBschen Satz als eine Trivialitat anzusehen. DaB keine logische Trivialitat vorliegt, sieht man schon aus der Tatsache, daB die Behauptung nicht immer zutrifft, wenn die Funktion f(%} an den Endpunkten von I unstetig ist. So hat zum Beispiel die Funktion

~ keinen groBten Wert

im "offenen" Intentall 0 < %< I, obwohlf(%} uberall im Innem dieses Intervall stetig ist. Selbst wenn sie beschrankt ist, braucht eine unstetige Funktion keinen groBten und kleinsten Wert anzunehmen. Man betrachte zum Beispiel die griindlich unstetige Funktion, die definiert ist durch

f(%}

=

und /(%)

=

% ffir irrationale %

! fUr rationale x,

im Intervall 0;:;; x ~ 1. Diese Funktion nimmt uberall nur Werte zwischen 0 und 1 an, und zwar Werte beliebig nahe an 0 und 1, wenn x als irrationale Zahl geniigend nahe an 0 oder 1 gewahlt wird. Aber f(%} kann niemals glden 0 oder 1 sein, denn fUr rationale x haben wir f(%} = ~ und ffir irrationale %haben wir f(%} = x. Daher werden 0 und 1 niemals a.ngenommen. Wir tibergehen den Beweis des WeierstraBschen Satzes. Der Satz gilt in iihnlicher Weise auch fiir stetige Funktionen von zwei oder mehr Variablen y, ...• Anstelle eines Intervalls mit seinen Endpunkten baben wir dann ein abgesclllossenes Gebiet. z. B. ein Rechteck in der ~, y-Ebene einschlieBlich seines Randes, zu betrachten.

~,

Die Beweise der Satze von BOLZANO und WEIERSTRASS haben einen ausgesprochen nicht-konstruktiven Charakter. Sie liefem keine Methode, um die wirkllche Lage einer Nullstelle oder eines groBten oder kleinsten Wertes einer Funktion mit einer vorgeschriebenen Genauigkeit in einer endlichen Anzahl von Schritten aufzufinden. Nur die bloBe Existenz oder vielmehr die Unmoglichkeit der Nichtexistenz der gewiinschten Werte wird bewiesen. Dies ist ein weiterer wichtiger Fall, in dem die Intuitionisten (siehe S.69) Einwande erhoben haben;

240

VI. Funktionen und Grenzwerte

einige sind so weit gegangen, die Ausschaltung solcher Satze aus der Mathematik vorzuschlagen. Aber selbst die radikalsten intuitionistischen Kritiker haben oft in der Praxis ihre Einwendungen nicht konsequent befolgen kannen. Um lebensfahig zu sein, darf die Mathematik sich nicht durch intuitionistische Verbote fesseln lassen, sondem muB im Gegentei1 versuchen, sich aus der Zwangsjacke zu befreien, welche ihr unter dem an sich natigen Druck der Grundlagenkritik angelegt worden ist. *4. Ein Satz tiber ZahlenfoIgen. Kompakte Hengen Es sei Xl' X.' xa, ... eine unendliche Folge von Zahlen, die nicht voneinander verschieden zu sein brauchen und die alle in dem abgeschlossenen Intervall I, a ;;;! X ;;;! b, enthalten sind. Die Folge kann einen Grenzwert haben oder auch nicht. Aber es ist immer miiglich, aus einer solchen F olge durch F ortlassen gewisser ihrer

Glieder eine unendliche Teilfolge Y1' Ys, Y3' ... auszuwiihlen, die gegen einen im Intervall I enthaltenen Limes Y strebt. Um diesen "Haufungsstellensatz" zu beweisen, teilen wir das Intervall I in zwei abgeschlossene Teilintervalle I' und I", indem wir den Mittelpunkt .a ~ b von I markieren: a+b

I': a:5: x:5:-2 ' I ,,·a+b:5: . 2 -

:5:b

X -

•

Mindestens in einem von diesen, es mage II heiBen, miissen unendlich viele Glieder x" der urspilnglichen Folge liegen. Wir wahlen irgendeines dieser Glieder, etwa X"I' und nennen es Yl' Jetzt verfahren wir in derselben Weise mit dem Intervall II' Da unendlich viele Glieder x.. in II enthalten sind, miissen unendlich viele Glieder in mindestens einer der beiden Halften von II liegen, diese heiBe Is' Also kannen wir gewiB ein Glied x" in Is finden, fur das n > n1• Wii.hlen wir irgendeines davon und nennen es Y.' Fahren wir in dieser Weise fort, so erhalten wir eine Intervallschachtelung II' Is, la, ... und eine Teilfolge Yl' Y2' Y3' ... der urspriinglichen Folge, derart daB y" fur jedes n in I .. liegt. Diese Intervallschachtelung charakterisiert einen Punkt Y in I, und es ist klar, daB die Folge Yl' Y., Y3' ... den Grenzwert Y hat, wie behauptet wurde. *Diese Betrachtungen lassen eine Verallgemeinerung zu, deren Charakter fiir die moderne Mathematik typisch ist. Betrachten wir eine beliebige Menge S, in der ein gewisser "Abstandsbegriff" definiert ist. S kann eine Punktmenge in der Ebene oder im Raume sein, aber das ist nicht notwendig, zum Beispiel kann S auch die Menge aller Dreiecke in der Ebene sein. Wenn X und Y zwei Dreiecke mit den Ecken A, B, C bzw. A', B', C' sind, dann konnen wir als "Abstand" zwischen den beiden Dreiecken die Zahl d(X, y) = AA'+BB' CC' definieren, worin AA' usw. den gewohnlichen Abstand zwischen den Punkten A und A' bedeutet. Immer wenn in einer Menge S ein solcher "Abstand" zwischen den Elementen erkliirt ist, liiSt sich der Begriff einer Folge von Elementen Xl' XI' X., ... definieren, die gegen ein zu S gehOriges Grenze1ement X strebt. Damit ist gemeint, daB d(X, X,,) _ 0, wenn n _ 00. Wir sagen nun, daB die Menge S konJpakt ist, wenn aus jedM Folge Xl' XI' XI' •.. von Elemenlen von Seine Teilfolge ausgewlJhlt werden kann, die gegen ein Element X von S als Grenzwerl strebt. Wir haben im vorigen Absatz gezeigt, daB ein abgeschlossenes Intervall a;;;! x ;;;! b in diesem Sinne kompakt ist. Es kann daher der Begriff der kompakten Menge als eine Verallgemeinerung eines abgeschlossenen Intervalls der Zahlenachse gelten. Man beachte, daB die Zahlenachse als Ganzes nicht kompakt ist, da wederdie Folge der natiirlichen Zahlen 1,2,3,4,5, ... selbst, noch

+

241

1. Geometrische Anwendungen

irgendeine ihrer Teilfolgen gegen einen Grenzwert strebt. Auch ein oftenes Intervall, wie etwa

o< x <

1, das die Endpunkte nicht enthaIt, ist nicht kompakt, da die Folge

! ' ! ' ! ' ...

oder eine beliebige ihrer Teilfolgen gegen den Limes 0 strebt, der dem oftenen Intervall nicht angehOrt. In derselben Weise kann gezeigt werden, daB das Gebiet der Ebene, das aus den inneren Punkten eines Quadrats oder Rechtecks besteht, nicht kompakt ist, jedoch kompakt wird, wenn die Punkte der Begrenzung hinzugenommen werden. Femer ist die Menge aller Dreiecke, deren Ecken im Innem oder auf dem Rande eines gegebenen Kreises liegen, kompakt. Wir konnen auch den Begrift der Stetigkeit auf den Fall verallgemeinem, daB die Variable X in einer beliebigen Menge variiert, in welcher der Begrift des Grenzwerts definiert ist. Die Funktion u = F (X), wobei u eine reelle Zahl ist, heiBt stetig in dem Element X, wenn fur jede Folge von Elementen Xl' XI' Xa, .. " die das Element X als Grenzwert hat, die entsprechende Foige F(X I), F(X.), ... den Grenzwert F(X) hat. (Eine aquivalente (E, !S)-Definition Hi-Bt sich ebenfalls sofort formulieren.) Es ist nicht schwer zu zeigen, daB der WeierstraBsche Satz auch fur den allgemeinen Fall einer stetigen Funktion gilt, die fur die Elemente einer kompakten Menge definiert ist: Wenn u = F(X) eine beliebige stetige Funktion ist, die jut' die Elemente einet' kompakten Menge S dejiniet't ist, so gibt es immet' ein Element von S, jut' das F (X) seinen gt'o/3ten Wet't und ein anderes, jur das F (X) seinen kleinsten Wert annimmt. Der Beweis ist einfach, sobald man die betreffenden allgemeinen Begriffe erfaBt hat. Wir wollen aber nicht darauf eingehen. 1m Kapitel VII wird sich zeigen, daB der allgemeine Satz von WEIERSTRASS fur die Theorie der Maxima und Minima von der groBten Bedeutung ist.

§ 6. Einige Anwendungen des Satzes von BOLZANO 1. Geometrische Anwendungen Der einfache, aber sehr allgemeine Satz von BOLZANO kann zum Beweis vieler Aussagen dienen, die auf den ersten Blick durchaus nicht selbstverstandlich erscheinen. Wir beginnen mit dem Beweis des folgenden Satzes: Wenn A unll B

zwei beliebige Gebiete in der Ebene sind, dann gibt es eine gerade Linie, die zugleich A unll B halbiert. Unter einem "Gebiet" verstehen wir irgendein Stuck der Ebene, das von einer einfachen geschlossenen Kurve begrenzt ist. Zum Beweis wahlen wir einen festen Punkt P in der Ebene und ziehen von P aus einen Strahl PR, von dem aus wir die Richtungswinkel messen wollen. Dann wahlen wir einen beliebigen Strahl PS, der mit PR den Winkel x bildet, und zeigen, daB es in der Ebene eine gerichtete Gerade geben muB, welche das Gebiet A halbiert Fig. 173. Gleichzeitige Halbierung zweier und dieselbe Richtung hat wie der Strahl PS. Gebiete In der Tat: Wenn wir eine gerichtete Geradell haben, die mit PS gleichgerichtet ist und ganz auf einer Seite von A liegt, und wenn wir diese Gerade parallel zu sich selbst verschieben, bis sie in der Lage Is ganz auf der anderen Seite von A liegt (siehe Fig. 173), dann ist die Funktion, deren Wert definiert ist als der Flachenteil von A rechts von der Geraden, vermindert urn den Teil von A links von der Geraden, positiv fur die Lage ~ und negativ fur die Lage 12 , Da diese Funktion offenbar stetig ist, muG sie nach dem Bolzanoschen Satz fur eine geeignete Lage Ifll zwischen heiden gleich Null sein, und Ifll ist sogar eindeutig bestimmt. Fur jeden x-Wert von 0° bis 360° erhalten wir so eine wohldefinierte Gerade Ifll, die A halbiert. Courant u. Robbins, Mathematik

16

242

VI. Funktionen und Grenzwerte

Nun moge die Funktion y = f(x) definiert sein als der FHichenanteil von B rechts von lz vermindert urn den Flachenanteil von B links von lz. Nehmen wir an, daB die Gerade 10 , die A halbiert und die Richtung PR hat, auf ihrer rechten Seite einen groBeren Flachenanteil von B hat als auf der linken; dann ist y rur x = 0° positiv. Lassen wir x bis 180° zunehmen, so ist die Gerade lt80 mit der Richtung RP, die A halbiert, dieselbe wie 10 , nur mit entgegengesetzter Richtung, so daB rechts und links vertauscht sind. Daher ist der Wert von y fur x = 180° zahlenmaBig derselbe wie fur x = 0°, aber mit entgegengesetztem Vorzeichen, also negativ. Da y eine stetige Funktion von x ist (man formuliere diese Aussage ausruhrlich I), muG zwischen 0° und 180° ein Wert IX rur x existieren, fUr den y = 0 ist. Das heiBt, daB die Gerade lao die beiden Gebiete A und B gleicbzeitig halbiert. Damit ist der Beweis erbracht. Man beachte, daB mit dem Beweis fur die Existenz einer Geraden von der verlangten Eigenschaft noch kein bestimmtes Verfahren zu ihrer Konstruktion angegeben worden ist; dies illustriert von neuem die besondere Eigenart mathematischer Existenzbeweise im Gegensatz zu Konstruktionen. Ein verwandtes Problem ist das folgende: Fig. 174 Gegeben sei ein einzelnes Gebiet A in der Ebene; es wird verlangt, A durch zwei aufeinander senkrechte Geraden in vier gleichgroBe Stucke zu zerlegen. Urn zu beweisen, daB dies immer moglich ist, kehren wir zu unserem vorigen Problem zuruck und zwar zur Definition von Z,. rur jeden Winkel x (von dem Gebiet B sehen wir ab). Neben lz betrachten wir die Gerade lz+80' die auf lz senkrecht steht und A ebenfalls halbiert. Wenn wir die vier Tei1e von A so numerieren, wie Fig. 174 zeigt, so haben wir und

A.+ A3= AI+ A" und daraus folgt, indem wir die zweite Gleichung von der ersten subtrahieren, A1 - Aa= Aa- AI'

d.h. und folglich

A 2 = A,.

Wenn wir daher die Existenz eines Winkels x

= IX beweisen

konnen, bei dem

AI(IX) = Az(lX) , dann ist unser Satz bewiesen; denn fur einen solchen Winkel sind alle vier Teile gleich groB. Zu diesem Zweck definieren wir eine Funktion y = f(x), indem wir fUr jeden Winkel x den Strahllz gezeichnet denken und

f(x) setzen. Fur x = 0° mogeJ(O)

=

=

Al (x) - Aa(x)

Al (0) - Az(O) positiv sein. In diesem Fall wird fur

243

2. Anwendung auf ein mechanisches Problem

x = 90°, Al (90) - A.(90) = A.(O) - Aa(O) = A.(O) - Al (0) negativ sein. Da nun f(x) stetig variiert, wenn x von 0° bis 90° wachst, so muB es einen Wert (X zwischen 0° und 90° geben, fiir denf(x) = Al (x) - AI (x) = 0 ist. Dann teilen die Geraden lIZ

und l!l+80 das Gebiet in vier gleiche Teile. Es ist bemerkenswert, daB diese Probleme auf drei und mehr Dimensionen verallgemeinert werden konnen. Fiir drei Dimensionen lautet das erste Problem: Gegeben seien drei raumliche Gebiete; es ist eine Ebene zu bestimmen, die alle drei zugleich halbiert. Der Beweis, daB dies immer moglich ist, hangt wiederum von dem Bolzanoschen Theorem abo Fur mehr a1s drei Dimensionen ist der Satz immer noch richtig, aber der Beweis erfordert kompliziertere Methoden.

·2. Anwendung auf em mechanisches Problem Zum AbschluB dieses Abschnitts wollen wir ein scheinbar schwieriges mechanisches Problem besprechen, das mit Hilfe einer auf dem Stetigkeitsbegriff beruhenden 'Ob~r1egung leicht beantwortet werden kann. (Das Problem wurde von H. WHITNEY angegeben.) Angenommen, ein Zug fahrt auf einer geradlinigen Strecke von einer Station A nach einer Station B. Die Fahrt braucht nicht mit gleichmaBiger Geschwindigkeit oder Beschleunigung zu geschehen. Der Zug darf in beliebiger Weise beschleunigt oder gebremst werden, ehe er B erreicht; aber wir nehmen an, daB die genaue Bewegung des Zuges im Voraus bekannt ist, das heiSt, die Funktion s = f(t) ist gegeben, wobei s die Entfernung des Zuges von der Station A und t die Zeit ist, gemessen vom Moment der Abfahrt an. Auf dem Boden eines Wagens ist ein Stab in einem Ge1enk so angebracht, daB er sich ohne Reibung vorwiirts oder riickwiirts bewegen kann, bis er ganz am Boden liegt. Sobald er den Boden beriihrt,

A

I Fig. 175

nehmen wir an, daB er von da an liegen bleibt (das wird der Fall sein, wenn der Stab nicht elastisch refiektiert wird). Wir behaupten: Es ist moglich, den Stab in eine solche Anfangslage zu bringen, daB er, wenn er genau im Abfahrtsmoment losgelassen wird und sich nur unter dem EinfiuB der Schwerkraft und der Bewegung des Zuges bewegt, wiihrend der ganzen Fahrt von A nach B nicht auf den Boden fant. Es mag hOchst unwahrscheinlich erscheinen, daB fUr ein beliebig gegebenes Bewegungsgesetz des Zuges das Zusammenspiel der Schwerkraft und der Tragheitskrafte die dauemde Erhaltung des Gleichgewichts unter der einzigen Bedingung gestattet, daB die Anfangslage des Stabes passend gewiihlt wird. So paradox diese Behauptung auch auf den ersten Blick erscheint, kann sie doch leicht bewiesen werden, sofem man ihren wesentlich topologischen Charakter

244

VI. Funktionen und Grenzwerte

ins Auge faLlt. Es bedarf keinerlei genauerer Kenntnis der Gesetze der Dynamik; nur die folgende einfache physikalische Annahme ist notig: Die Bewegung des Stabes hiingt stetig von seiner Anfangslage abo Wir wollen die Anfangslage des Stabes durch den Winkel x kennzeichnen, den er zu Anfang mit dem Boden des Wagens bildet, und die Endlage durch den Winkel y, den der Stab bei Beendigung der Fahrt am Punkte B mit dem Boden bildet. Wenn der Stab zu Boden gefallen ist, haben wir entweder y = 0 oder y = n. Ffir eine gegebene Anfangslage x ist die Endlage y nach unseren Voraussetzungen eindeutig bestimmt als Funktion y = g(x), die stetig ist, und die Werte y = 0 fUr x= 0 und Y = n fur x = n hat (wobei die letzten Behauptungen die Tatsache ausdriicken, daB der Stab flach am Boden bleibt, wenn rues seine Ausgangslage war). Nun denken wir daran, daB g (x) als stetige Funktion in dem Intervall 0 ~ x ~ n alle Werte zwischen g(O) = 0 und g(n) =nannimmt; folglichgibt es fUr jeden Werty, z. B. fur den Werty = ; , einen speziellen Wert von x, so daB g(x) = y; insbesondere gibt es eine Anfangslage, fUr welche die Endlage des Stabes bei B senkrecht zum Boden ist. (Bei dieser 'Oberlegung darf man nicht vergessen, daB die Bewegung des Zuges ein ffir allemal festliegt.) Naturlich ist die Betrachtung vollig theoretisch. Wenn die Fahrt lange dauert, oder das Bewegungsgesetz des Zuges, das durch s = f(t) ausgedriickt ist, sehr unregelmaBig schwankt, so kann der Bereich der Anfangslagen, fUr den die Endlage g(x) sich von 0 oder n unterscheidet, au.6erordentlich klein sein - wie jeder weiB, der den Versuch gemacht hat, eine Nadel wahrend eines merklichen Zeitraums senkrecht auf einem Teller zu balancieren. Immerhin durfte unsere 'Oberlegung sogar von praktischem Interesse sein, da sie zeigt, wie in der Dynamik qualitative Ergebnisse durch einfache Betrachtungen ohne detaillierte Rechnung erhalten werden konnen. (Jbungen: 1. Man zeige mit Hilfe des Satzes von S. 240. daB die obige ttberlegung auch auf den Fall einer unendlich lange ausgedehnten Fahrt vera1Igemeinert werden kann. 2. Man vera1Igemeinere das Problem auf den Fall. daB der Zug lings einer beliebigen Kurve in der Ebene fiihrt und der Stab ein KugeIgelenk hat, so daB er in beliebiger Richtung fallen kann. [Anleitung: Es ist nicht mOglich. eine Kreisscheibe stetig auf ihren Umfang allein abzubilden, wenn jeder Punkt des Umfanges fest bleiben soll (siehe S. 194)]. 3. Man beweise fiir den Fall des stehenden Zuges: die Zeit. die der Stab braucht. um zu Boden zu fallen. wenn er aus einer um 6 von der Vertikalen abweichenden Lage freigegeben wird, strebt gegen unendlich. wenn 6 gegen 0 strebt.

Erganzung zum Kapitel VI

Weitere Beispiele fUr Grenzwerte uod Stetigkeit § 1. Beispiele von Grenzwerten 1. Allgemeine Bemerkungen In vielen Fallen kann die Konvergenz einer Folge a" in der foIgenden Weise bewiesen werden. Wir suchen zwei andere FoIgen btl und C", deren Glieder einfacher gebaut als die der urspriinglichen FoIge und so beschaffen sind, da8

(1)

btl ~ a" ~

C"

ffir alle n. Wenn wir dann zeigen konnen, daj3 die Folgen btl und C" beide gegen denselben Grenzwerl IX konvergieren, so Jolgt, daj3 a" ebenJaUs gegen den Grenzwerl IX konvergiert. Den formalen Beweis dieser Behauptung fiberlassen wir dem Leser. Es ist klar, daB die DurchfUhrung dieses Verfahrens die Benutzung von Ungleichungen erfordert. Es wird daber zweckmaBig sein, an einige allgemeine Regeln zu erlnnem, die fUr das Rechnen mit Ungleichungen gelten. 1. Wenn a> b, so ist auch a + c > b + c (eine beliebige Zabl darf zu beiden Seiten einer Ungleichung addiert werden). 2. Wenn a > b und die Zahl c positiv ist, so ist ac > bc (eine Ungleichung darf mit einer beliebigen positiven Zahl multipliziert werden). 3. Wenn a < b, so ist -b < -a (der Sinn einer Ungleichung kehrt sich urn, wenn beide Seiten mit -1 multipliziert werden). So ist 2 < 3, aber -3 < -2. 4. Wenn a und b dasselbe Vorzeichen haben und wenn a < b, so ist Ira> lIb. 5. la + bl ~ lal + Ibl .

2. Der Grenzwert von q" Wenn q eine Zahl gro8er a1s 1 ist, so wachst die FoIge q" fiber alle Grenzen, wie etwa die Folge 2,22, 28 , ••• £fir q ,;", 2~ Die Folge "strebt gegen unendlich" (siehe S. 224). Der Beweis fUr den allgemeinen Fall beruht auf der wichtigen Ungleichung (auf S. 13 bewiesen) (2)

(1

+ h)" ~ 1 + nh > nh ,

worln heine beliebige positive Zahl ist. Wir setzen q = 1 + h, wobei also h > 0 ist; dann ist

q"=(I+h)">nh .. Wenn nun k eine beliebig gr08e positive Zahl ist, so foIgt ffir alle n q"

also q" -+- 00.

> nh > k,

> k/h, daB

246

Erganzung zu VI. Weitere Beispiele fiir Grenzwerte und Stetigkeit

Wenn q= I, so sind die Glieder der Folge f{' alle gleich I, und demnach ist 1 der Grenzwert der Folge. Wenn q negativ ist, so wechselt f{' zwischen positiven und negativen Wert en ab und hat keinen Grenzwert, wenn q ;:;;; -1. (Jbung: Die letzte Behauptung ist streng zu beweisen.

Auf S. 52 zeigten wir: Wenn -1 < q < I, dann qn -+ O. Dafiir konnen wir einen weiteren, sehr einfachen Beweis geben. Wir betrachten zuerst den Fall 0< q < 1. Dann bilden die Zahlen q, q2, eine monoton abnehmende Folge mit der unteren Schranke O. Folglich muB nach S.225 die Folge einen Limes haben: qn -+ a. Multiplizieren wir beide Seitell dieser Relation mit q, so erhalten wir f{' +1-+ aq. Nun muB qn +1 denselben Grenzwert haben wie f{', da es unwesentlich ist, ob der wachsende Exponent n oder n + 1 genannt wird. Foiglich ist aq = a, oder a (q - 1) = O. Da aber 1 - q =1= 0, so geht daraus hervor, daB a = O. Wenn q = 0, ist die Behauptung qn-+ 0 trivial. Wenn -1 < q < 0, so ist 0< Iql < 1. Somit gilt 1f{'1 = Iqln-+ 0 nach der vorstehenden tlberlegung. Hieraus folgt, daB qn immer gegen 0 strebt, wenn Iql < 1. Hiermit ist der Beweis abgeschlossen.

t, ...

(Jbungen: Man beweise fiir n -+ 00:

1. (~1/(1 2. (~/(l

3. (~a/(4

+ ~I»" -+ 0 + ~'»" -+ 0

+ ~I»" strebt gegen unendlich. wenn ~ > 2, gegen 0, wenn I~I < 2. 3. Der Grenzwert von

Die Folge an = jIp, d. h. die Folge p, feste positive Zahl P:

{3}

iiP

fl, ¥P, yP, ... ,hat den Limes 1fiirjede

VP-+ I, wenn n-+oo.

(Mit dem Symbol j7p ist, wie immer, die positive n-te Wurzel gemeint. Fur negative Zahlen P gibt es bei geradem n keine reellen n-ten Wurzeln.) Urn die Relation (3) zu beweisen, nehmen wir zunachst an, daB P > 1; dann ist ebenfalls groBer als 1. Daher diirfen wir setzen

VP

vp=l+hn' wobei hn eine von n abhangige positive Zahl ist. Die Ungleichung (2) zeigt dann, daB

P = (1 + hn)n > nhn . Dividieren wir durch n, so sehen wir, daB

0< hn 1 bewiesen. Hier haben wir ein typisches Beispiel daffir, daB eine Limesrelation, in diesem Fall hn -+ 0, erkannt wird, indem man hn zwischen zwei Folgen einschlieBt, deren Grenzwerte ubereinstimmen und leichter zu bestimmen sind. Nebenbei haben wir eine Abschatzung fiir die Differenz h" zwischen abgeleitet: diese Differenz muB immer kleiner als PIn sein.

Vi und 1

247

4. Unstetige Funktionen als Limites stetiger Funktionen

Wenn 0 < p < 1, so ist

VP < 1, und wir konnen tr:i. 1 Vp= l+h"

setzen, wobei hn wiederum eine von n abhangige positive Zahl ist. Es folgt, daB

P=

so daB

1

+ h,,)" <

(1

1 nh" '

1

O
VP

VP

=

1

~ II"

folgt daraus ~ 1. Die "nivellierende" Wirkung des n-ten Wurzelziehens, die jede positive Zahl gegen 1 schiebt, wenn n zunimmt, ist sogar stark genug, urn dies noch in einigen Fiillen zu bewirken, wo der Radikand nicht konstant bleibt. Wir werden beweisen, daB die Folge 1, y2, gegen 1 strebt, d. h. daB

Va, V4, ys, ...

Vn~ 1, wenn n zunimmt. Durch einen kleinen Kunstgriff kann man zeigen, daB auch dies aus der Ungleichung (2) folgt. Statt der n-ten Wurzel aus n nehmen wir die

n-te Wurzel aus V;"-. Setzen wir ~ = 1 + kn' wobei kn eine von n abhangige, positive Zahl ist, dann liefert diese Ungleichung = (1 + kn)n > nkn' so daB

vn

k
F olglich ist 1<

n

-

Vn'

• 2 1 Vn = (1 + kn)2= 1 + 2kn+ k~ < 1 + -yn +,,'

Die rechte Seite dieser Ungleichung strebt mit wachsendem n gegen 1, so daB ebenfalls gegen 1 streben muB.

Vn

4. Unstetige Funktionen als Limites stetiger Funktionen

Wir konnen auch Grenzwerte von Folgen an betrachten, wenn an keine feste Zahl ist, sondern von einer Variablen x abhangt:

an= In (x) . Fur jeden festen Wert von x haben wir dann eine gewohnliche Folge, und wenn alle diese Folgen konvergieren, so bilden die Grenzwerte wieder eine Funktion von x: I(x) = lim In (x) . So1che Darstellungen von Funktionen I(x) als Limites anderer Funktionen konnen dazu dienen, "hOhere" Funktionen I(x) auf einfachere Funktionen In (x) zurUckzufuhren. Dies gilt insbesondere fUr die Darstellung unstetiger Funktionen durch explizite Formeln. Zum Beispiel wollen wir die Folgeln (x)

=

1

+1

Xl.

betrachten.

FUr \x\ = 1 haben wir x2n = 1 und daher In (x) = ~ fUr jedes n, so daB In (x) ~ ~ •

248

Ergiinzung zu VI. Weitere Beispieie fiir Grenzwerte und Stetigkeit

Fur Ixl < 1 haben wir x2n-+ 0, und daherfn(x) x 2n -+ 00, und daher fn (x) -+ O. ZusammengefaBt: .

f(x) = hm

1

1

_

-+

1, dagegen haben wir fUr Ixl > 1

P f~r

Ixl < 1 ,

+ Xl" -\1/2 fur Ixl = 1,

o

fUr Ixl > 1.

Hier ist die unstetige Funktion f(x) als Limes einer Folge von stetigen rationalen Funktionen dargestel1t. Ein weiteres interessantes Beispiel von ahnlichem Charakter bildet die Folge

fn(x)=x 2+

~

~

~

l+xl + (I+XI)1 + ... + (1 + Xl)" .

Fur x = 0 sind alle Werte fn (x) Null, und daher f(O) = limfn (0) = O. Fur x =1= 0 ist der Ausdruck 1/(1 + Xli) = q positiv und kleiner a1s I; unsere Ergebnisse uber geometrische Reihen sichern die Konvergenz vonfn (x) fur n -+ 00. Der Limes, d. h. die Summe der unendlichen geometrischen Reihe, ist

1 Xl q

=

XII' 1--1 Xl

was

+

gleich 1+ x2 ist. Also strebt fn (x) gegen die Funktionf(x) = 1+ X2, wenn x =1= 0 und gegen f(x) = 0 fur x = o. Diese Funktion hat eine hebbare Unstetigkeit bei x = o.

"'5. Grenzwerle durch Iteration Haufig sind die GIieder einer Folge so beschaffen, daB an+! aus an durch das gleiche Verfahren erhalten wird, wie an aus an-I; die fortlaufende Wiederholung derselben Operation liefert die ganze Folge aus einem gegebenen Anfangsglied. In solchen FaIlen sprechen wir von einem "lterationsverfahren". Zum Beispiel hat die Folge 1,

Vf+T, VI + V2, y'1 + Y1 + V2, ...

ein solches Bildungsgesetz; jedes Glied nach dem ersten entsteht, indem man die Quadratwurzel aus 1 plus dem vorhergehenden Glied zieht. Daher wird durch die Formel al = 1, an+!= + an

VI

die ganze Folge definiert. Wir wollen ihren Grenzwert bestimmen. Offenbar ist an groBer als 1, sobaId n > 1. Ferner ist an eine monoton zunehmende Folge, denn a~ + 1 - a;

=

(1

+ an) -

(1

+ an -1) =

an - an - 1 .

Also wird immer, wenn an> an-I> auch an+! > an sein. Wir wissen aber, daB a.- al = 1 > 0, daraus schIieBen wir durch mathematische Induktion, daB an+1 > an fur aIle n, d. h. daB die Folge monoton zunimmt. AuBerdem ist sie beschrankt; denn nach dem Vorhergehenden haben wir

Vi -

1 + a" an + l =---< a.+l

1

+ an + a"+ 1

1

=

1 +--< 1 2. U,,+1

Nach dem Prinzip der monotonen Folgen schlieBen wir, daB an -+ a fUr n -+ 00,

249

§ 2. Ein Beispiel fur Stetigkeit

wobei a eine gewisse Zahl zwischen 1 und 2 ist. Man sieht leicht ein, daB a die positive Wurzel der quadratischen Gleichung x 2 = 1 + x ist, denn wenn n -+ 00, wird die Gleichung a~ + 1 = 1 + an zu as = 1 + a. Losen wir diese Gleichung, so

-t; (5· . Daher konnen wir diese quadrati-

finden wir die positive Wurzel a = 1

sche Gleichung durch ein Iterationsverfahren losen, das den Wert der Wurzel mit jedem beliebigen Genauigkeitsgrad ergibt, wenn wir lange genug fortfahren. Viele andere algebraische Gleichungen lassen sich in ahnlicher Weise durch Iterationsverfahren losen. Zum Beispiel konnen wir die kubische Gleichung x3- 3x + 1 = in der Form

°

1

x=--3-XI schreiben. Wir wahlen einen beliebigen Wert fur aI' etwa

0, und definieren

~=

an + l = - 3 1 "so daB wir die Folge as = 1/3 = 0,333 ... , aa = 9/26 -a"

= 0,3461 ... ,

a,= 676/1947 = 0,3472 ... , usw. erhalten. Es laBt sich zeigen, daB die Folge an gegen einen Grenzwert a = 0,3473 ... konvergiert, der eine Losung der gegebenen kubischen Gleichung ist. Iterationsprozesse wie diese sind auBerst wichtig, sowohl fur die reine Mathematik, fur die sie "Existenzbeweise" liefem, a1s auch fur die angewandte Mathematik, fur die sie Naherungsmethoden zur Losung vieler Arten von Problemen angeben. (Jbungen ubu Grenzwerte: fur n -+

00.

1. Man beweise, daB yn:+T - V-;a -+ o. (Anleitung: Man schreibe die Diflerenz in der Form

~-in· n+l + n (Vn+1 + Vn).) 2. Man bestimme den Grenzwert von 3. Man bestimme den Grenzwert von 4. Man bestimme den Grenzwert

yna+a - V"I + b • Vn + an + b - n . l

1

von.~

V- .

rn+ 1 + n 5. Man beweise, daB der Grenzwert von f gleich 1 ist. 6. Was ist der Grenzwert von V~, wenn a > b > o? 7. Was ist der Grenzwert von Va" + b" + c" , wenn a > b > c > o?

Vn+

+

8. Was ist der Grenzwert von Va"b" a"c"+ b"c", wenn a > b > c > o? 9. Wir werden spater sehen (S. 342), daB e = lim (1 lIn)". Was ist dann lim (1

+

+ l/nl)"?

§ 2. Ein Beispiel fUr Stetigkeit Ein exakter Beweis fur die Stetigkeit einer Funktion verlangt die ausdruckliche Nachpriifung der Definition auf S. 236. Zuweilen ist dies ein langwieriges Unternehmen, und es ist daher giinstig, daB Stetigkeit, wie wir im Kapitel VIII sehen werden, eine Konsequenz der Differenzierbarkeit ist. Da wir diese systematisch bei allen elementaren Funktionen feststellen werden, so konnen wir, wie es gewohnlich geschieht, die etwas langweiligen einzelnen Stetigkeitsbeweise bier ubergehen. Aber zur Verdeutlichung der allgemeinen Definition wollen wir doch noch ein weiteres Beispiel untersuchen, die Funktion /(x)

=

1

~

Xl •

Wir konnen x auf

250

Erganzung zu VI. Weitere Beispiele fiir Grenzwerle und Stetigkeit

ein festes Intervalllxl ~ M einschranken, wobei Meine beJiebig gewiihlte positive Zahl ist. Schreiben wir

/(X1) - /(x) =

1

1

+4 -

1

1

+ SI =

Sl-

(1

4

+ SI) (1 + 4) = (x - xJ

(s

(1

+ Sl)

+ SI) (1 + sf) ,

so finden wir ffir Ixl ~ M und IX11 ~ M

l/(x1)

-

/(x)l ~ Ix - xII Ix + xII ~ Ix - xII' 2M .

Also ist es klar, daB die Differenz auf der linken Seite kleiner sein wird a1s eine beJiebige positive Zahl e, wenn nur Ix1 - xl < (j = 2~ • Dabei sollte man beachten, daB wir hier recht groBzfigig mit unseren Abscbatzungen sind. Ffir groBe Werte von x und Xl wfirde. wie der Leser leicht einsehen wird, ein vie! groBeres (j genfigen.

Siebentes Kapitel

Maxima und Minima Einleitung Eine Strecke ist die kfirzeste Verbindung zwischen ihren Endpunkten. Ein Bogen eines GroBkreises ist die kiirzeste Kurve zwischen zwei Punkten auf einer Kugel. Unter allen geschlossenen ebenen Kurven von gleicher Lange umschlieBt der Kreis die groBte Flache, und unter allen geschlossenen Flachen yom gleichen Flacheninhalt umschlieBt die Kugel das groBte Volumen. Maximum- und Minimumeigenschaften dieser Art waren schon den Griechen bekannt, wenn auch die Resultate hliufig ohne den Versuch eines Beweises ausgesprochen wurden. Eine der bedeutsamsten griechischen Entdeckungen wird dem alexandrinischen Gelehrten HERON aus dem ersten Jahrhundert n. ehr. zugeschrieben. Es war schon lange bekannt, daB ein Lichtstrahl von einem Punkt P, der einen ebenen Spiegel in dem Punkt R trifft, in Richtung auf einen Punkt Q so reflektiert wird, daB PR und QR gleiche Winkel mit dem Spiegel bilden. HERON entdeckte: Wenn R' irgendein anderer Punkt des Spiegels ist, dann ist der Gesamtweg PR' + R'Q langer als der Weg PR + RQ. Dieser Satz, den wir sogleich beweisen werden, kennzeichnet den tatsachlichen Lichtweg PRQ zwischen P und Q als den kiirzesten moglichen Weg von P nach Q iiber den Spiegel, eine Entdeckung, die man als den Ausgangspunkt der geometrischen Optik ansehen kann. Es ist ganz natiirlich, daB sich die Mathematiker ffir derartige Fragen interessieren. 1m taglichen Leben entstehen fortwahrend Probleme iiber Maxima und Minima, iiber das "beste" oder "schlechteste". Viele praktisch wichtige Probleme stellen sich in dieser Form dar. Wie muB man zum Beispiel die Gestalt eines Bootes wahlen, damit es den geringstmoglichen Widerstand im Wasser bietet? Welches zylindrische GefaB aus einer gegebenen Materialmenge hat den groBten Rauminhalt? Seit dem 17ten Jahrhundert ist die allgemeine Theorie der Extremwerte - Maxima und Minima - zu einem der Prinzipien geworden, die der systematischen Zusammenfassung und Vereinheitlichung der Wissenschaft dienen. FERMATa erste Schritte in seiner Differentialrechnung ergaben sich aus dem Wunsch, Fragen iiber Maxima und Minima mit allgemeinen Methoden zu untersuchen. 1m folgenden J ahrhWldert wurde die Reichweite dieser Methoden durch die Erfindung der "Variationsrechnung" stark erweitert. Es wurde immer deutlicher, daB allgemeine physikalische Gesetze ihren pragnantesten Ausdruck in Minimalprinzipien finden und daB so ein Zugang zu einer mehr oder weniger vollstandigen Losung spezieller Probleme geoffnet wird. Eine Erweiterung des Begriffes der Extremwerte hat neuerdings zu der bemerkenswerten Theorie der stationaren Werte gefiihrt, in welcher Analysis und Topologie verkniipft sind. Wenn auch die Verzweigungen der Theorie der Extremwerte in hohe Regionen der Mathematik fiihren, so wird doch im vorliegenden Kapitel eine vollig elementare Darstellung gegeben werden.

252

VII. Maxima und Minima

§ 1. Probleme aus der elementaren Geometrie 1. Die maximale Flache eines Dreiecks mit zwei gegebenen Seiten

Gegeben seien zwei Strecken a und b; gesucht sei das Dreieck mit der groOten Flliche, welches a und b als Seiten hat. Die Losung ist einfach das rechtwinklige Dreieck, dessen Katheten a und b sind. Dazu betrachten wir irgendein Dreieck mit den Seiten a und b wie in Fig. 176. Wenn h die Hohe auf der Basis a ist, dann

!

ist die Flache des Dreiecks A = ~ ah. Nun ist ah offenbar ein Maximum, wenn h seinen groOten Wert annimmt, und das tritt ein, wenn h mit b zusammenfillt, d. h. fUr das rechtwinklige Dreieck. Daher ist die maximale

" Fig. 176

2. Der Satz des

Flache

! abo

HERON.

Extremaleigenschaften von Lichtstrahlen

Gegeben seien eine Gerade Lund zwei Punkte P und Q auf derselben Seite von L. Fiir we1chen Punkt R auf List PR + RQ der kiirzeste Weg von P iiber L nach Q? Dies ist das Heronsche Lichtstrahl-Problem. (Wenn L das Ufer eines Flusses ware, und jemand so schnell als moglich von P nach Q zu gehen und dabei unterwegs einen Eimer Wasser von L zu holen hatte, so hatte er genau dasselbe Problem zu losen.) Um die Losung zu finden, spiege1n wir Pander Geraden L und erhalten den Punkt P', so daO L die Mittelsenkrechte auf PP' ist. Dann schneidet die Gerade P' Q die Gerade L in dem gesuchten Punkt R. Fiir jeden andem Punkt R' auf List nun PR' + R'Q groOer als PR + RQ. Denn PR = P'R und PR'= P'R'; daher ist PR + RQ = P'R + RQ = P'Q und PR'+ R'Q = P'R' + R'Q. Aber P'R' + R'Q ist groBer a1s P'Q (da die Summe zweier Seiten eines Dreiecks groBer a1s die dritte Seite ist), also R ist auch PR'+ R'Q groOer a1s PR + RQ, was zu beweisen war. 1m folgenden nehmen wir an, daB weder P noch Q auf L liegen. Aus Fig. 177 sehen wir, daB ~3 = ~2 und ~2 = ~ 1, so daB ~ 1 = ~3. Mit andem Worten, R ist der Punkt,Jur den PR und QR gleiche Winkel mit L bilden. Daraus folgt, daO ein an L reflektierter Lichtstrahl (bei dem Einfalls- und Reflexionswinkel gleich groO sind, wie man aus dem Experiment weiO) tatsachlich den kiirzesten Weg von P iiber Fig. 177. Der Satz des HERON L nach Q wahlt, wie in der Einleitung behauptet wurde. Das Problem laOt sich allgemeiner auch fUr mehrere Geraden L, M, ... stellen. Zum Beispiel betrachten wir den Fall, daO wir zwei Geraden L, M und zwei Punkte P, Q haben, wie in Fig. 178, und der kiirzeste Weg gesucht ist, der vom Punkt P zu der Geraden L, dann zu M und von da nach Q fiihrt. Es sei Q' das Spiege1bild von Q an M und Q" das Spiegelbild von Q' an L. Man ziehe PQ", wobei L in R geschnitten wird, und RQ', wobei M in S geschnitten wird. Dann sind R und S die gesuchten Punkte, so daB PR + RS + SQ der kiirzeste Weg von

3. Anwendungen auf Probleme fiir Dreiecke

253

P iiber Lund M nach Q ist. Der Beweis ist ganz ahnlich dem fiir das vorige Problem und sei dem Leser zur 'Obung iiberlassen. Wenn Lund M Spiegel waren, so wiirde ein Lichtstrahl von P, der von L nach M und von da nach Q reflektiert wird, L in R und M in S treffen; daher wiirde der Lichtstrahl wiederum den kiirzesten Weg wahlen. Man kann auch nach dem kiirzesten Weg von P fiber M nach Lund von da nach Q fragen. Dies wiirde einen Weg PRSQ ergeben (siehe Fig. 179), der in ahnlicher Weise zu ermitteln ist wie der vorige Weg PRSQ. Die Lange des ersten Weges kann groBer, gleich oder kleiner als die des zweiten sein.

o

----~------+-----------~O

, ,, I

I

,

\,

'" ,

' \ I

''b

Fig. 179

Fig. 178. Reflexion an zwei Spiegeln

• Obung: Man zeige. daB der erste Weg kiirzer ist als der zweite. wenn 0 und R auf derselben Seite der Geraden PQ liegen. Wann werden beide Wege gleiche Langen haben?

3. Anwendungen auf Probleme fUr Dreiecke

Mit Hilfe des Heronschen Satzes lassen sich die Losungen der folgenden beiden Aufgaben leicht ermitteln. a) Gegeben sei der Flacheninhalt Fund eine Seite c = PQ eines Dreiecks; unter allen solchen Dreiecken sei dasjenige zu bestimmen, fiir das die Summe der beiden andem Seiten den kleinsten Wert hat. Anstatt die Seite c und den Flacheninhalt des Dreiecks vorzuschreiben, kann man ebenso gut die Seite c und die Hohe h auf c geben, da F =

! ch ist. Nach Fig. 180 besteht also die Aufgabe darin, einen

Punkt R zu tinden, dessen Abstand von /I' /I der Geraden PQ gleich dem gegebenen -----/r.:--:~----------- -----------------I " h und fiir den die Summe a + b ein '--, ,/ ,I Minimum ist. Aus der ersten Bedingung I : atI i:h folgt, daB R auf der Parallelen zu PQ I , in Abstand h liegen muB. Die Antwort / ergibt sich aus dem Heronschen Satz ! fiir den Spezialfall, daB P und Q gleich p¥---L-----------~U weit von L entfernt sind; das gesuchte Fig. 180. Dreieck mit mjnjmaJ_ Umfang bei gegebener Dreieck ist gleichschenklig. Basis unci FIiche b) In einem Dreieck sei die Seite c und die Summe a + b der beiden anderen Seiten gegeben; es solI unter allen solchen Dreiecken das mit dem groBten Flacheninhalt gefunden werden. Dies ist ein genaues Gegenstiick zum Problem a). Die Losung ist wieder das gleichschenklige Dreieck, bei dem a = b ist. Wie wir eben I

254

VII. Maxima und Minima

gezeigt haben, hat dieses Dreieck den kleinsten Wert fur a + b bei gegebenem Flacheninhalt; das heiBt, jedes andere Dreieck mit der Basis c und derselben Flache hat einen groBeren Wert ffir a + b. Ferner ist nach a} klar, daB jedes Dreieck mit der Basis c und einem groBeren Flacheninhalt als das gleichschenklige Dreieck auch einen groBeren Wert fur a + b hat. Daher hat jedes andere Dreieck mit denselben Werten ffir a + b und c einen kleineren FIacheninhalt, so daB das gleichschenklige Dreieck bei gegebenem c und a + b den maximalen Flacheninhalt besitzt. 4. Tangentialeigenschaften der Ellipse und Hyperbel

Entsprechende Extremaleigenschaften

Das Heronsche Problem hangt mit einigen wichtigen geometrischen Satzen zusammen. Wir haben bewiesen: wenn Rein Punkt auf List, fur den PR + RQ ein Minimum ist, dann bilden PR und RQ gleiche Winkel mit L. Diese minimale Gesamtentfernung wollen wir 2a nennen. Nun mogen p und q die Abstande eines beliebigen Punktes der Ebene von P bzw. Q bedeuten, und wir betrachten den geometrischen Ort, d. h. die Menge aller Punkte der Ebene, ffir die p + q = 2a. Dieser Ort ist eine Ellipse mit P und Q als Brennpunkten, die durch den Punkt R auf der Geraden L geht. Dariiber hinaus mufJ L die Tangente an die Ellipse in R sein. Wenn namlich L die Ellipse noch an einem anderen Punkt als R schnitte, dann gabe es einen Abschnitt von L, der innerhalb der Ellipse lage; fur jeden Punkt dieses Abschnitts warep + q kleiner als 2a, da man leicht sieht, daB p + q innerhalb der Ellipse kleiner als 2a und auBerhalb groBer als 2a ist. Auf L ist aber, wie wir wissen p + q ~ 2a. Dieser Widerspruch zeigt, daB L die Ellipse in R beriihren muB. Aber wir wissen auch, daB PR und RQ mit L gleiche Winkel

,f , \\

----~~~-------t

,

\

\

\

...., \ \

\

...... ~

t~K~--------~----~/~K~'-

,,

,/,/'/

'

/

"

Fig. 181. Tangenteneigenscbaft der Ellipse

Fig. 182. IPR - QRI - Maximum

bilden, daher haben wir zugleich den wichtigen Satz bewiesen: eine Tangente an eine Ellipse bildet gleiche Winkel mit den Verbindungslinien von dem Beriihrungspunkt zu den Brennpunkten. Nahe verwandt mit dem vorstehenden ist das folgende Problem: Gegeben sei eine Gerade L und zwei Punkte P und Q auf entgegengesetzten Seiten von L (siehe Fig. 182), gesucht ist ein Punkt R auf L, ffir den die GroBe IP - ql, das heiBt der absolute Betrag der Differenz der Abstande von R nach P und Q, ein Maximum ist. (Wir wollen annehmen, daB L nicht die Mittelsenkrechte von PQ ist; denn dann ware p - q Null fur jeden Punkt R auf L, und das Problem ware sinnlos.) Urn dieses Problem zu losen, spiegeln wir zuerst P an Lund erhalten den Punkt P' auf derse1ben Seite von L wie Q. Ffir jeden Punkt R' auf L haben wir p = R' P =

4. Tangentialeigenschaften der Ellipse und Hyperbel

255

R'P', q = R'Q. Da R', Q und P' als Ecken eines Dreiecks betrachtet werden konnen, ist die GroBe IP - ql = IR'P' - R'QI nie groBer als P'Q; denn die Differenz

zweier Dreiecksseiten ist nie groBer als die dritte Seite. Wenn R', P', Q alle auf einer Geraden liegen, ist IP - ql gleich P' Q, wie man aus der Figur sieht. Daher ist der gesuchte Punkt R der Schnittpunkt von L mit der Geraden durch P' und Q. Wie im vorigen Falle sieht man leicht, daB die Winkel, die RP und RQ mit L bilden, gleich groB sind, da die Dreiecke RPR' und RP'R' kongruent sind. Dieses Problem ist mit einer Tangenteneigenschaft der Hyperbel verknupft, ebenso wie das vorige mit der Ellipse. Wenn die maximale Differenz IPR - QRI den Wert 2a hat, dann betrachten wir den geometrischen Ort aller Punkte der Ebene, fur die P - q den absoluten Betrag 2a hat. Dies iSt eine Hyperbel mit P und Q als Brennpunkten, die durch den Punkt R geht. Wie man leicht zeigt, ist der absolute Betrag von P - q kleiner als 2a in dem Bereich zwischen den beiden Hyperbelasten und groBer als 2a auf der Seite jedes l Zweiges, auf welcher der zugehorige Brennpunkt liegt. Aus einer ahnlichen 'Oberlegung wie bei der Ellipse folgt, daB L die Hyperbel in R be- Fig. 183. Tangenteneiglmscbaft der Hyperbel riihren muB. Welchen von den beiden Asten L bertihrt, hangt davon ab, ob P oder Q naher an L liegt; wenn P naher liegt, wird der Ast um P von L beriihrt; das Entsprechende gilt fUr Q (siehe Fig. 183). Wenn P lind Q gleich weit von L entfemt sind, so bertihrt L keinen von heiden Asten, sondem ist eine der Asymptoten der Kurve. Diese Festste1lung wird plausibel, wenn man bedenkt, daB in diesem Fall die beschriebene Konstruktion keinen (endlichen) Punkt R liefert, da die Gerade P' Q dann parallel zu L verIauft. In derselben Weise wie oben beweist diese 'Oberlegung den bekannten Satz: die Tangente an eine Hyperbel in einem beliebigen Punkt halbiert den Winkel zwischen den Verbindungslinien des Punktes mit den Brennpunkten der Hyperbel. Es konnte sonderbar erscheinen, daB wir ein Minimumproblem zu losen haben, wenn P und Q auf derselben Seite von L liegen, wahrend sich ein Maximumproblem ergibt, wenn sie auf verschiedenen Seiten von L liegen. DaB dies ganz naturlich ist, kann man aber sofort einsehen. 1m ersten Problem nimmt jede der Entfemungen p, q, und daher auch ihre Summe, unbegrenzt zu, wenn wir entlang L nach irgendeiner Richtung ins Unendliche gehen. Es ware also unmoglich, einen maximalen Wert von P + q zu finden; ein Minimumproblem ist also die einzige Moglichkeit. 1m zweiten Fall, wo P und Q auf verschiedenen Seiten von L liegen, ist es anders. Hier mussen wir, um Konfusion zu vermeiden, unterscheiden zwischen p - q, dem entgegengesetzten Wert q - p und dem absoluten Betrag IP - ql; der letzte ist es, der zum Maximum gemacht wurde. Man versteht die Situation am besten, wenn man den Punkt R entlang der Geraden L durch die verschiedenen Lagen R1 , RB, Ra, ••• wandem laBt. Es gibt einen Punkt, fUr den die Differenz P - q Null ist: namlich den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von PQ mit L. Dieser Punkt liefert demnach ein Minimum fur den absoluten Betrag IP - ql· Auf der einen Seite von diesem Punkt ist P groBer als q, auf der andem kleiner; also ist die GroBe P - q auf der einen Seite des Punktes positiv, auf der

256

VII. Maxima und Minima

andem negativ. Folglich hat p - q selbst weder ein Maximum noch ein Minimum an dem Punkt, an dem IP - ql = O. Dagegen liefert der Punkt, der IP - ql zum Maximum macht, auch ein wirkliches Extremum von p - q. 1st P > q, so haben wir ein Maximum von P - q; ist q > p, ein Maximum von q - p und daher ein Minimum von p - q. Ob sich ein Maximum oder ein Minimum von p - q finden laBt, hangt von der Lage der beiden gegebenen Punkte P und Q in bezug auf die Gerade Lab. Wir sahen, daB es keine LOsung des Maximumproblems gibt, wenn P und Q den gleichen Abstand von L haben, da dann die Gerade P'Q in Fig. 182 parallel zu List. Dies entspricht der Tatsache, daB die GroBe IP - ql gegen einen Grenzwert strebt, wenn R auf L in irgendeiner Richtung ins Unendliche riickt. Dieser Grenzwert ist gleich der senkrechten Projektion s von PQ auf L. (Zur "Obung moge der Leser dies beweisen.) Wenn P und Q die gleiche Entfemung von L haben, so ist IP - ql immer kleiner a1s dieser Grenzwert, und es existiert kein Maximum, denn zu jedem Punkt R konnen wir immer einen finden, der noch weiter entfemt ist und ffir den IP - ql groBer ist und doch noch nicht gleich s. *5. Extremale Abstiinde von einer gegebenen Kurve

Wir wollen den kleinsten und griiftten Abstand eines Punktes P von einer gegebenen Kurve C bestimmen. Der Einfachheit halber nehmen wir an, daB C eine einfache geschlossene Kurve ist, die fiberall eine Tangente hat, wie in Fig. 184. (Der Begriff der Tangente wird hier aus der Anschauung entnommen; er solI im nachsten Kapitel genauer analysiert werden.) Die Antwort ist sehr einfach: ein Punkt R auf C, ffir den der Abstand PR seinen kleinsten oder seinen groBten Wert hat, muB so liegen, daB die Gerade PR auf der Tangente an C in R senkrecht steht. Der Beweis ist der folgende: der Kreis durch R urn P muB die Kurve beriihren. Denn ist R der Punkt mit dem minimalen Abstand, so muB C ganz auBerhalb des Kreises liegen, und kann ihn daher nicht bei R schneiden; ist R der Punkt mit dem maximalen AbAIr &-------~~---=-.,p stand, so muB C ganz innerhalb des Kreises liegen und kann ihn wiederum nicht in R schneiden. (Dies folgt daraus, daB die Entfernung eines Punktes von P offenbar kleiner ist als RP, wenn der Punkt innerhalb des Kreises, Fig. 184. Extremale Abstlinde von einer Kurve und groBer a1s RP, wenn er auBerhalb liegt.) Daher mfissen Kreis und Kurve sich in R beriihren und eine gemeinsame Tangente haben. Da nun die Gerade PR, als Radius des Kreises, auf der Tangente des Kreises in R senkrecht steht, ist sie auch senkrecht zu C in R. "Obrigens muB jeder Durchmesser einer solchen geschlossenen Kurve, das heiBt jede Sehne von maximaler Lange, in beiden Endpunkten senkrecht auf C stehen. Der Beweis sei dem Leser als Obung fiberlassen. Eine ahnliche Behauptung moge auch ffir drei Dimensionen formuliert und bewiesen werden. ()bung: Man beweise, daB jede kiirzeste bzw. langste Strecke, die zwei sich nicht schneidende geschlossene Kurven verbindet, an ihren Endpunkten senkrecht auf den Kurven stehen.

5. Extremale Abstiinde von einer gegebenen Kurve

257

Die Probleme des Abschnitts 4 iiber die Summe und Differenz von Entfernungen konnen jetzt verallgemeinert werden. Betrachten wir anstelle der Geraden L eine einfache geschlossene Kurve C, die in jedem Punkt eine Tangente hat und zwei nicht auf C gelegene Punkte P und Q. Wir wollen die Punkte auf C charakterisieren, fiir welche die Summe p + q und die Differenz p - q ihre Extremwerte annehmen, wobei p und q die Abstande eines beliebigen Punktes auf C von P bzw. Q bedeuten. Hier konnen wir nicht von der einfachen Konstruktion der Spiegelung Gebrauch machen, mit der wir die Probleme fUr den Falliosten, daB C eine Gerade war. Aber wir konnen die Eigenschaften der Ellipse und Hyperbel zur LOsung der

Fig. 185. GrlI8te und kIei1Iste Werle von PR

+ QR

Fig. 186. KleIDste Werle von PR - QR

vorliegenden Probleme benutzen. Da C eine geschlossene Kurve ist und nicht mehr eine ins Unendliche verlaufende Linie, sind hier sowohl die Minimum- a1s die Maximumprobleme sinnvoll, denn man kann als gesichert annehmen, daB die GraBen p + q und P - q auf einem beschriinkten Kurvenstiick, insbesondere auf einer geschlossenen Kurve, einen groBten und einen kleinsten Wert haben (siehe §7). Fiir den Fall der Summe p + q moge R ein Punkt auf C sein, fUr den p + q maximal ist, und es sei 2a der Wert von p + q in R. Wir betrachten die Ellipse mit den Brennpunkten P und Q, die der geometrische Ort fiir alle Punkte mit p + q = 2a ist. Diese Ellipse muB C in R beriihren (der Beweis sei als tJbung dem Leser iiberlassen). Nun haben wir gesehen, daB die Geraden PR und QR mit der Ellipse in R gleiche Winkel bilden; da die Ellipse C in R beriihrt, miissen die Geraden PR und QR auch mit C in R gleiche Winkel bilden. Wenn p + q in R ein Minimum ist, so sehen wir in derselben Weise, daB PR und QR mit C in R gleiche Winkel bilden. Also haben wir den Satz: Gegeben sei eine geschlossene Kurve C und zwei Punkte P und Q auf derselben Seite von C; ist dann Rein Punkt auf C, in dem die Summe p + q ihren groBten oder kleinsten Wert annimmt, dann bilden die Geraden PR und QR in R gleiche Winkel mit der Kurve C (d. h. mit ihrer Tangente). Wenn P innerhalb von C liegt und Q auBerhalb, so gilt dieser Satz auch noch fiir den groBten Wert von p + q; aber er versagt fiir den kleinsten Wert, da hier die Ellipse in eine Gerade entartet. Durch ein genau analoges Verfahren, das die Eigenschaften der H yperbel anstelle der Ellipse benutzt, moge der Leser selbst den folgenden Satz beweisen: Gegeben seien eine geschlossene Kurve C und zwei Punkte P und Q auf ver-

258

VII. Maxima und Minima

scbiedenen Seiten von C; dann bilden in den Punkten R auf C, in denen p - q den groBten oder kleinsten Wert auf C annimmt, die Geraden PR und QR gleiche Winkel mit C. Wir betonen wiederum, daB sich das Problem fur die geschlossene Kurve C von dem ffir die unbeschrankte Gerade insofem unterscheidet, als bei der Geraden das Maximum des absoluten Betrages IP - ql gesucht wurde, wahrend bier ein Maximum (und auch ein Minimum) von P - q existiert.

*§ 2. Ein allgemeines PrbWp bei Extremalproblemen 1. Das Prinzip Die eben behandelten Probleme sind Beispiele ffir eine allgemeine Fragestellung, die sich am besten analytisch formulieren laBt. Wenn wir bei dem Problem, die Extremwerte von p + q zu finden, mit x, Y die Koordinaten des Punktes R, mit Xl' Yl die Koordinaten des festen Punktes P und mit X.' YI die von Q bezeichnen, soist p = V(x - XJI+ (y - Yl)l, q = V (x - X.)I+ (y - YI)1l , und das Problem besteht darin, die Extremwerte der Funktion

f(x,y) = p + q zu finden. Diese Funktion ist iiberall in der Ebene stetig; aber der Punkt mit den Koordinaten x, Y ist auf die gegebene Kurve C beschrankt. Diese Kurve ist durch eine Gleichung g(x, y) = 0 bestimmt, z. B. Xl+ yl- 1 = 0, wenn sie der Einheitskreis ist. Unser Problem ist also, die Extremwerte von f(x, y) zu finden, wenn X und Y durch die Bedingung eingeschrankt sind, daB g(x, y) = 0 sein soll, und wir wollen jetzt dieses allgemeine Problem betrachten. Um die LOsungen zu charakterisieren, betrachten wir die Schar der Kurven mit den Gleichungen f(x, y) = c; das heiBt die Kurven, die durch Gleichungen dieser Form gegeben sind, wobei fUr jede Kurve c konstant ist, wahrend verscbiedene Werte von c verscbiedenen Kurven der Schar entsprechen. Wir wollen annehmen, daB durch jeden Punkt der Ebene eine und nur eine Kurve der Schar f(x, y) = c geht, wenigstens wenn wir uns auf die Umgebung der Kurve C beschranken. Wenn sich dann c stetig andert, so uberstreicht die Kurve f(x, y) = c einen Teil der Ebene, und kein Punkt
259

2. Beispiele

bertihren. Ebenso bertihrt C die Kurve f(x, y) = b in R•. So ergibt sich der allgemeine Satz: Wenn eine Funktion f(x, y) auf einer Kurve C im Punkte R einen Extremwerl a hat, so beruhrl die Kurvef(x, y) = a die Kurve C in R.

2. Beispiele Die Ergebnisse des vorigen Paragraphen sind leieht a1s SpeziaWi.lJ.e dieses allgemeinen Satzes zu erkennen. Fur die Untersuehung der Extremwerte vonp + q betrachten wir die Funktionf(x, y) = p + q, die Kurvenf(x, y) = c sind die konfokaleri Ellipsen mit den Brennpunkten P und Q. Wir sahen, daB - genau wie

Fig. 188. Konfokale Ellipsen

Fig. 189. Konfokale Hyperbeln

unser Satz behauptet - die Ellipsen, die dureh solehe Punkte von C gehen, in denen f(x, y) seine Extremwerte annimmt, in diesen Punkten C berfihren mUssen. Und wenn die Extrema von p - q gesueht werden, ist p - q die Funktion f(x, y); die Kurven f(x, y) = c sind die konfokalen Hyperbeln mit P und Q a1s Brennpunkten, und die Hyperbeln, die durch die Punkte mit extremen Werten von f(x, y) gehen, berfihren die KurveC. Ein weiteres Beispiel ist das folgende: gegeben sa eine Streeke PQund eine Gerade L, welehe die Strecke nieht sehneidet. Von welchem Punkt auf L erseheint ---=-~-:::::~--+\--=::~""""':::"'-"----"'/{-t

PQ unter dem groBten \."'_ .// Winkel? -.......-...._-----_..."....' . Die Funktion, deren MaFig. 190. Punkt auf L, von clem di& StIecke PQ am grlSBten encheint ximum gesueht wird, ist hier der Winkel 0, unter dem PQ von den Punkten auf L aus erseheint. Der Winkel, unter dem PQ von einem beliebigen Punkt R aus erscheint, ist eine Funktion 0 = f(x, y) der Koordinaten von R. Aus der elementaren Geometrie wissen wir, daB die Kurvensehar 0 = f(x, y) = c die Schar der Kreise dureh

260

VII. Maxima und Minima

P und Q ist, da die Sehne eines Kreises von allen Punkten des Umfangs aus, die auf derselben Seite der Sehne liegen, unter dem gleiehen Winkel erscheint. Wie man aus Fig. 190 sieht, werden im allgemeinen zwei dieser Kreise, deren Mittelpunkte auf verschiedenen Seiten von PQ liegen, die Gerade L beriihren. Einer dieser Beriihrungspunkte gibt das absolute Maximum von 0, wahrend der andere Punkt ein "relatives" Maximum ergibt, (das heiBt, der Wert von ist in einer gewissen Umgebung des Punktes kleiner als im Punkte selbst). Das groBere der beiden Maxima, also das absolute Maximum, ergibt sieh in dem Beriihrungspunkt, der in dem spitzen Winkel zwischen Lund der Verlangerung von PQ liegt, und das kleinere Maximum bei dem, der in dem stumpfen Winkel zwischen denselben beiden Geraden liegt. (Der Punkt, in dem die Verlangerung von PQ die Gerade L schneidet, gibt den minimalen Wert von 0, namlich Null.) In einer Verallgemeinerung dieses Problems ersetzt man L durch eine Kurve C und sucht den Punkt R auf C, von dem aus eine gegebene Strecke PQ (die C nieht schneidet) unter dem groBten oder kleinsten Winkel erscheint. Auch hier muB der Kreis durch P, Q und R die Kurve C in R berUhren.

°

§ 3. Stationire Punkte und Differentialrechnung 1. Extremwerte und stationiire Punkte

Elementare Oberlegungen fuhrten in den vorangehenden, speziellen Problemen einfach und direkt zum Ziele. Dagegen liefert die Differentialrechnung allgemeine Methoden, die nieht auf individuelle Probleme beschrankt sind, die aber naturgemaB in der Anwendung den Reiz der "elementaren", direkten Behandlung einbiiBen. Bei aHem Streben nach Allgemeinheit sollte man nie vergessen, daB die bunte Vielfalt der individuy o ellen Probleme fur die Vitalitat der Mathematik entscheidend ist. In der historischen Entwicklung ist die Differentialrechnung durch spezielle Maximum -Minimum - Probleme -+----+----+---+------... .:c stark beeinfiuBt worden. Der Zusammenhang zwischen Extremalproblemen und Differentialrechnung kann kurz folgendermaBen beschrieben werden. In Kapitel VIII Fig. 191. Stationlire Punkte einer Funktion werden wir den Begriff der Ableitungf' (x) einer Funktionf(x) diskutieren. Grob gesagt, ist die Ableitungj' (x) die Steigung der Tangente an die Kurve y = f(x) im Punkte (x, y). Es ist dann geometrisch evident, daB im Maximum oder Minimum einer glatten Kurve1 y = f(x) die Tangente an die Kurve horizontal sein muB, das heiBt, daB ihre Steigung Null sein muB. Daher haben wir die Bedingungf' (x) = 0 fur die Extremwerte vonf(x). 1 Eine glatte Kurve ist eine solche, die in jedem Punkt eine Tangente besitzt, also z. B. keine Ecken enthlilt.

2. Maxima und Minima von Funktionen mehrerer Variabeln. Sattelpunkte

261

Die Bedeutung von/' (x) = 0 wollen wir an der Kurve der Fig. 191 illustrieren. Sie hat ffinf Punkte A, B, C, D und E, in denen die Tangente an die Kurve horizontal ist; die Werte von f(x) an diesen Punkten seien a, b, c, d bzw. e. Das Maximum vonf(x) in dem dargestellten Intervallliegt bei D, das Minimum bei A. Der Punkt B stellt auch ein Maximum dar in dem Sinne, daGf(x) ffir alle Punkte in der unmittelbaren Umgebung von B kleiner als b ist, obwohlf(x) ffir Punkte in der Nahe von D groGer als b ist. Aus diesem Grunde nennen wir B ein relatives Maximum von f(x), wahrend D das absolute Maximum ist. Ebenso stellt C ein relatives Minimum und A das absolute Minimum dar. Bei E endlich hat f(x) weder ein Maximum noch ein Minimum, obwohl f'(x) = 0 ist. Hieraus folgt, daB das Verschwinden von/' (x) eine notwendige aber keine hinreickende Bedingung ffir die Existenz eines Extremums einer glatten Funktion f(x) ist. Mit anderen Worten, bei jedem Extremum, relativ oder absolut, ist /' (x) = 0, aber nicht jeder Punkt, fUr den /'(x) = 0, muG ein Extremum sein. Ein Punkt, in dem die Ableitung verschwindet, heiGt ein stationarer Punkt. Durch eine verfeinerte Analyse ist es moglich, mehr oder weniger komplizierte Bedingungen ffir die bOheren Ableitungen von f(x) aufzustellen, welche die Maxima, Minima und andere stationii.re Punkte voUstii.ndig charakterisieren (siehe Kap. VIII). 2. Maxima und Minima von Funktionen mehrerer Variabeln. Sattelpunkte Es gibt Maximum-Minimum-Probleme, die sich nicht durch Funktionen f(x) von einer Veranderlichen ausdriicken lassen. Der einfachste derartige Fall betrifft die Extremwerte einer Funktion z = f(x, y) von zwei Veranderlichen. Wir konnen f(x, y) durch die Hohe zeiner Flache fiber der x, y-Ebene darstellen, die wir etwa als eine Gebirgslandschaft deuten. Ein Maximum vonf(x, y) entspricht einem Berggipfel; ein Minimum der tiefsten Stelle einer Senke oder eines Sees. Bei glatten Flachen ist in beiden Fii.llen die Tangentialebene an die Flii.che horizontal. Aber es gibt noch andere Punkte auGer den Berggipfeln und den Talgriinden, an denen die Tangentialebene horizontal ist. Das sind die Punkte auf der Hohe eines Gebirgspasses. Wir wollen diese Punkte genauer untersuchen. Betrachten wir (wie in Fig. 192) zwei Gipfel A und B einer Bergkette und zwei Punkte C und D auf verschiedenen Seiten der Bergkette und nehmen wir an, daB wir von C nach D gehen wollen. Wir wollen zuerst nur die Wege von C nach D betrachten, die man erhalt, wenn man die Flache von einer Ebene durch C und D schneiden lii.Bt. Jeder dieser Wege hat einen hOchsten Punkt. Verii.ndem wir die Lage der Ebene, dann ii.ndert sich der Weg; es gibt einen Weg CD, ffir den die Hohe dieses hOchsten Punktes am geringsten ist. Der hOchste Punkt E auf diesem Wege ist die PaBbOhe, in mathematischer Sprache Sattelpunkt genannt. Offenbar ist E weder ein Maximum noch ein Minimum, da wir in beliebiger Nahe von E immer noch Punkte finden konnen, die bOher, und auch solche, die niedriger liegen als E. Anstatt uns auf Wege zu beschrii.nken, die in einer Ebene liegen, konnen wir ebenso gut auch Wege ohne diese Einschrii.nkung betrachten. Die Kennzeichnung des Sattelpunktes E bleibt dieselbe. Ebenso wird, wenn wir von dem Gipfel A zum Gipfel B hinfibergehen, jeder einzelne Weg einen tiefsten Punkt haben; wiederum wird es einen bestimmten Weg AB geben, dessen tiefster Punkt am hOchsten liegt, und das Minimum auf diesem Wege wird wieder in dem oben gefundenen Punkt E liegen. Dieser Sattel-

262

VII. Maxima und Minima

punkt E hat also die Eigenschaft, das hOchste Minimum und das niedrigste Maximum zu sein, das heiSt ein M axi-minimum oder ein M ini-maximum. Die Tangentialebene in E ist horizontal; denn daE das Minimum von AB ist, muB die Tangente an AB in E horizontal sein, und ebenso muB, da E das Maximum von CD ist, die Tangente an CD in E auch horizontal sein. Daher ist die Tangentialebene, we1che durch diese Geraden bestimmt ist, ebenfalls horizontal. Wir haben also drei verschiedene Arten von Punkten mit horizontaler Tangentialebene gefunden: Maxima, Minima und SattelpuIikte; ihnen entsprechen verschiedene Typen stationarer Werte vonf(x, y).

Fig. 192. Ein Gebirgspass

Fig. 193. Die zugebiirige HiiheDIlDieakarte

Man kann eine Funktionf(x, y) auch durch Hohenlinien darstellen, wie sie auf Landkarten benutzt werden, um die Hohen anzugeben (siehe S. 218). Eine Hohenlinie ist eine Kurve in der x, y-Ebene, auf der die FuIiktion f(x, y) einen konstanten Wert hat, also sind die Hohenlinien identisch mit den Kurven der Schar f(x, y) = c. Durch einen gewohnlichen Punkt der Ebene geht genau eine Hohenlinie. Ein Maximum oder Minimum ist von geschlossenen Hohenlinien umgeben, wahrend sich an einem Sattelpunkt mehrere Hohenlinien kreuzen. In Fig. 193 sind die Hohenlinien fUr die Landschaft der Fig. 192 gezeichnet, und die MaximumMinimum-Eigenschaft des Punktes E ist evident: Jeder Weg, der Aund B verbindet und nicht durch E gebt, muB durch ein Gebiet gehen, in demf(x, y) < f(E) , wahrend der Weg AEB der Fig. 192 ein Minimum in E hat. In derselben Weise sieht man, daB der Wert von f(x, y) in E das kleinste Maximum der Wege ist, die C und D verbinden. 3. Minimupunkte und Topologie Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen der allgemeinen Theorie der stationaren Punkte und den Begriffen der Topologie. Hier konnen wir dies nur kurz an einem einfachen Beispiel andeuten. Betrachten wir die Berglandschaft auf einer ringformigen Insel B mit den beiden Uferlinien C und C'. Wenn wir die Hohe iiberdemMeeresspiegel wieder mit u= f(x,y) bezeichnen, wobei f(x, y) = 0 auf C und C' und f(x, y) > 0 im Innem von B, dann muB es auf der Insel mindestens einen GebirgspaB geben, der in Fig. 194 durch den Kreuzungspunkt der Hohenlinien gezeigt Fig. 194. StatfoDlre Punkte in einem zweifach wird. Dies lli.Bt sich anschaulich erkennen, Zllsamnl!mbingenden Gebiet wenn man versucht, von C nach C' zu kommen, ohne daB der Weg hOher als notwendig ansteigt. Jeder Weg von C nach C' muB einen hOchsten Punkt besitzen, und wenn wir den Weg auswahlen, dessen

4. Der Abstand eines Punktes von einer Flii.che

263

hOchster Punkt moglichst niedrig liegt, dann ist der h6chste Punkt dieses Weges der Sattelpunkt von u = f(x, y). (Man beachte Grenzfalle, in we1chen stationare Punkte nieht isoliert sind, wenn z. B. eine horizontale Ebene den Bergkamm urn den ganzen Ring herum beriihrt.) Fur ein Gebiet, das von P Kurven begrenzt wird, mussen im allgemeinen mindestens p - 1 stationare Punkte vom Minimaxtypus existieren. Ahnliche Beziehungen gelten, wie MARSTON MORSE entdeckt hat, auch fur hOhere Dimensionen, wo eine noch groBere Mannigfaltigkeit von topologischen Moglichkeiten und von Typen stationiirer Punkte besteht. Diese Beziehungen bilden die Basis fur die modeme Theorie der stationaren Punkte, we1che insbesondere von MARSTON MORSE entwicke1t worden ist.

4. Der Abstand eines Punktes von einer Flkhe Fiir den Abstand zwischen einem Punkt P und einer geschlossenen Kurve gibt es (mindestens) zwei stationare Werte, ein Minimum und ein Maximum. Niehts Neues tritt auf, wenn wir dieses Ergebnis auf drei Dimensionen zu erweitem

Fig. 195

Fig. 196

suchen, solange wir nur eine Flache C betrachten, die topologisch einer Kugel aquivalent ist, z. B. ein Ellipsoid. Dagegen ergeben sich neue Erscheinungen, wenn die Flache von hoherem Geschlecht ist, z. B. ein Torus. Natiirlich gibt es auch eine kiirzeste und eine langste Entfemung zwischen dem Punkt P und einem Torus C, wobei beide Strecken senkrecht auf C stehen. AuBerdem aber existieren Extremwerte anderer Art, Maxima eines Minimums oder Minima eines Maximums. Urn sie zu finden, zeichnen wir auf dem Torus einen geschlossenen "Meridiankreis" L wie in Fig. 195 und suchen auf L den Punkt Q, der P am nachsten liegt. Dann versuchen wir L so zu verschieben, daB der Abstand PQ entweder a) ein Minimum wird: dies ergibt einfach den Punkt Q auf C, der P am nachsten liegt oder b) ein Maximum wird: so erhalten wir einen anderen stationaren Punkt. Ebenso gut konnen wir auf L den von P am weitesten entfemten Punkt bestimmen und dann ein solches L suchen, daB dieser maximale Abstand c) ein Maximum wird; dies liefert den Punkt von C, der am weitesten von P entfemt ist, oder daB der Abstand d) ein Minimum wird. Damit ergeben sich vier verschiedene stationare Werte des Abstandes. • (Jbung: Man wiederhole die Uberlegung fiir den Typ der geschlossenen Kurven L' auf C, die sich nicht in einen Punkt zusammenziehen lassen, siehe Fig. 196.

264

VII. Maxima und Minima

§ 4. Das Schw8nsche Dreiecksproblem 1. Det Schwarzsche Spiegelungsbeweis HERMANN AMANDUS SCHWARZ (1843-1921) war einer der hervorragenden Mathematiker an der Universitat Berlin; er hat bedeutende Beitriige zur modernen Funktionentheorie und Analysis geleistet, aber er verschmahte es nicht, auch elementare Gegenstande zu behandeln. Eine seiner Arbeiten betrifft das folgende Problem: Gegeben sei ein spitzwinkliges Dreieck; diesem solI ein zweites Dreieck mit dem kleinstmoglichen Umfang einbeschrieben werden. (Mit einem einbeschriebenen Dreieck ist ein Dreieck gemeint, dessen Ecken je auf einer Seite des urspriinglichen Dreiecks liegen.) Wir werden sehen, daB es genau ein solches Dreieck gibt, und daB seine Ecken die FuBpunkte der Hohen Fig. 197. HlShendreieck vonABCmit Kennzeichnung gleicher Winkel des gegebenen Dreiecks sind. Wir wollen dieses Dreieck das H iihendreieck nennen. SCHWARZ bewies die Minimaleigenschaft des Hohendreiecks mit der Spiegelungsmethode auf Grund des folgenden elementargeometrischen Satzes (siehe Fig. 197): an jeder der Ecken P, Q, R bilden die Seiten des Hohendreiecks gleiche Winkel mit der Seite des urspriinglichen Dreiecks, und dieser Winkel ist gleich dem Winkel an der gegenuberliegenden Ecke des urspriinglichen Dreiecks. Zum Beispiel sind die Winkel ARQ c und BRP beide gleich dem Winkel bei C, usw. Urn diesen vorbereitenden Satz zu beweisen, bemerken wir, daB OPBR ein Viereck ist, 8r;~"*----::~c das einem Kreis einbeschrieben werden kann, da ~ OPB und ~ ORB beide rechte Winkel sind. Daher ist ~P BO = ~PRO als Peripheriewinkel fiber derselben Sehne PO in dem umbeschriebenen Kreis. Nun ist ~PBO komplementiir zu ~C, da CBQ ein rechtwinkliges Dreieck ist, und
2. Ein zweiter Beweis

265

nes Dreieck UVW. Wir spiegeln die ganzeFigur zuerstan der SeiteAC von ABC, dann das entstandeneDreieckan seiner SeiteAB, dann an BC, dann wieder an AC und zuletzt an AB. Dadurch erhalten wir im ganzen sechs kongruente Dreiecke, jedes mit seinem Hohendreieck und dem anderen einbeschriebenen Dreieck. Die Seite BC des letzten Dreiecks ist der urspriinglichen Seite BC parallel. Denn bei der ersten Spiegelung wurde BC im Uhrzeigersinn um einen Winkel 2 C gedreht, dann urn 2 B wieder im Uhrzeigersinn; bei der dritten Spiegelung bleibt BC unverandert, bei der vierten dreht es sich urn 2 C entgegen dem Uhrzeiger und bei der funften urn 2B entgegen dem Uhrzeiger. Also ist der Gesamtwinkel, urn den BC gedreht wird, Null. Wegen der Refiexionseigenschaft des Hohendreiecks ist die geradlinige Verbindung P P' gleich dem doppelten Umfang des Hohendreiecks; denn P P' besteht aus sechs Stucken, die ihrerseits gleich der ersten, zweiten und dritten Seite des Dreiecks sind, wobei jede zweimal vorkommt. Ebenso ist die gebrochene Linie von U nach U' gleich dem doppelten Umfang des andern einbeschriebenen Dreiecks. Diese Linie ist nicht kurzer als die geradlinige Verbindung UU' . Da UU' parallel P P' ist, ist die gebrochene Linie von U nach U' also auch nicht kurzer als P P', und daher ist der Umfang des Hohendreiecks der kleinstmogliche fUr alle einbeschriebenen Dreiecke, was zu beweisen war. Wir haben also zugleich gezeigt, daB ein Minimum existiert, und daB dieses durch das Hohendreieck gegeben ist. DaB es kein anderes Dreieck mit ebenso kleinem Umfang gibt, werden wir sogleich sehen.

2. Ein zweiter Beweis Die einfachste LOsung des Schwarzschen Problems ist vielleicht die folgende, die sich auf den frfiher in diesem Kapitel bewiesenen Satz stutzt, daB die Summe der Entfemungen zweier Punkte P und Q von einer Geraden L am kleinsten ist ffir den Punkt R von L, in dem PR und QR mit L den gleichen Winkel bilden, vorausgesetzt, daB die Punkte P und Q auf derselben Seite von L liegen und keiner von beiden auf L selbst. Angenommen, das dem Dreieck ABC einbeschriebene Dreieck PQR sei eine LOsung des Minimalproblems. Dann muB R der Punkt auf der Seite AB sein, in dem p + q ein Minimum ist, und daher mussen die Winkel ARQ und BRP gleich sein; ebenso muB
266

VII. Maxima und Minima

BRP die Winkelsumme von 180° haben. Aber dann ist die Winkelsumme des Dreiecks CPQ gleich A - ~ + B - ~ + C = 180°- 215; andererseits muB diese Summe aber 180° sein. Also kann ~ nur Null sein. Wir haben schon geseben, daB das Hohendreieck diese Eigenschaft der Winkelgleichheit hat. Bei jedem anderen Dreieck mit dieser Eigenschaft miiBten die Seiten den entsprechenden Seiten des Hohendreiecks parallel sein; mit anderen Worten: es miiBte ihm ahnlich und ebenso

c

c

Fig. 199

Fig. 200

orientiert sein. Der Leser moge zeigen, daB kein anderes solches Dreieck dem gegebenen Dreieck einbeschrieben werden kann (siebe Fig. 200). SchlieBlich werden wir zeigen, daB der Umfang des Hohendreiecks PQR kleiner ist als das Doppelte jeder Hohe (wenn das urspriingliche Dreieck nur spitze Winkel hat). Wir verliingem die Seiten QP und QR und fallen die Lote von B auf QP, QR und PR; die FuBpunkte seien L, M und N. Dann sind QL und QM die Projektionen der Hohe QB auf die Geraden QP bzw. QR. Folglich ist QL + QM < 2 QB. Nun ist QL QM gleich dem Umfang u des Hohendreiecks. Denn die DreieckeMRB und NRB sind kongrnent, da die Winkel c MRB und NRB gleich sind und die Winkel bei M und N rechte Winkel sind. Also ist RM = RN, und somit QM = QR + RN. In derselben Weise sieht man, daB PN = PL, und somit QL = QP + PN. Wir ----_____ /, haben daher QL + QM = QP + QR + + PN + NR = QP+ QR+RP= u. Aber wirhaben gezeigt, daB 2QB > QL + QM. Daher ist u kleiner als die doppelte Hohe :....-_---~iI:_--_:--::::--'fI"-:B QB; ganz entsprechend zeigt man, daB u L , / ' kleiner ist als das DoppeIte jeder der beiA ),\-/,/ den anderen Hohen, was zu beweisen war. \, Daroit ist die Minimumeigenschaft des Fig. 201 Hohendreiecks vollstandig bewiesen.

+

r--

!

i

Nebenbei gesagt, ermOglicbt die vorstehende Konstruktion die direkte Berechnung von II. Wir wissen, dall die Winkel PQC und RQA gleich B sind, und daher ist PQB = RQB = 90°_ B, sodaS cos (PQB) = siDB. Alsoistnachderelementaren Trigonometrie QM = QL = QB siDB und II = 2QB sinB. In derse1ben Weise kann man zeigen, dal3 II = 2PA sinA = 2RC sinC. Aus der Trigonometrie wissen wir, dall RC = (.I sinB = b sinA, USW., damit ergibt sicb II = 2(.1 sinB sinC = 2b sinC sinA = 2c sinA sinB. SchlieBlich erhalten wir, wegen (.I = 2, sinA, b = 2, sinB, c::= 2, sinC, wobei , der Radius des Umkreises ist, den symmetrischen Ausdruck II = 41 sin A sinB sinC.

4. Dreiecke aus Lichtstrahlen

267

3. StumpfwinkJige Dreiecke In den beiden vorhergehenden Beweisen war angenommen worden, daB die Winkel A, B und C samtlich spitz sind. Wenn etwa C stumpf ist, wie in Fig. 202, liegen die Punkte P und Q auBerhalb des Dreiecks. Man kann daher nieht mehr sagen, daB das Hohendreieck wirklich dem Dreieck einbeschrieben ist, wenn wir nicht unter einem einbeschriebenen Dreieck einfach ein soIches verstehen, dessen Ecken auf den Seiten oder deren VerIangerungen des ursprUnglichen Dreiecks liegen. Jedenfalls ergibt das Hohendreieck jetzt nicht den minimalen Umfang, denn PR> CR und QR> CR; also ist u = PR + QR + PQ > 2CR. Da die Dberlegung des ersten Teils unseres letzten Beweises zeigte, daB der B minim ale Umfang, wenn er nieht durch das Hohendreieck gegeben wird, gleieh Fig. 202. Hohendreieck eines stumpfwinkligen Dreiecks dem doppelten einer Hohe sein muB, so schlieBen wir, daB fUr stumpfwinklige Dreiecke das "einbeschriebene Dreieck" mit dem kleinsten Umfang die doppelt genommene kleinste Hohe sein muB, obwohl dies strenggenommen kein Dreieck ist. Immerhin kann man ein wirkliches Dreieck finden, dessen Umfang von der doppelten Hohe beliebig wenig abweicht. 1m Grenzfall des rechtwinkligen Dreiecks fallen die beiden Losungen, - die doppelte kUrzeste Hohe und das Hohendreieck, - zusammen. Die interessante Frage, ob das Hohendreieck beim stumpfwinkligen Dreieck irgendeine Extremaleigenschaft hat, soU hier nicht diskutiert werden. Wir teilen nur das folgende Resultat mit: Das Hohendreieck gibt kein Minimum fUr die Summe der Seiten, p + q + r, sondem einen stationaren Wert vom Minimaxtypus fur den Ausdruck p + q - r, wobei r die Seite des einbeschriebenen Dreiecks gegenUber dem stumpfen Winkel bedeutet.

4. Dreiecke aus Lichtstrahlen Wenn das Dreieck ABC ein Zimmer mit refiektierenden Wanden darsteUt, dann ist das Hohendreieck der einzig mogliche dreieckformige Lichtweg in demZimmer. Anderegeschlossene Lichtwege in Form von Polygonen sind nicht ausgeschlossen, wie Fig. 203 zeigt, aber das Hohendreieck ist das einzige soIche Polygon mit drei Seiten. Wir konnen dieses Problem verallgemeinem, indem wir nach den moglichen "LichtFig. 203. Ge!ch1ouener Llchtweg in einem dreiecken" in einem beliebigen Gebiet fragen, spiegelndenDreieck das durch eine oder sogar mehrere glatte Kurven begrenzt ist; d. h. wir fragen nach Dreiecken, deren Ecken irgendwo auf der Begrenzungslinie liegen, und zwar so, daB die beiden anliegenden Seiten gleiche Winkel mit der Kurve bilden. Wie wir in § 1 gesehen haben, ist die Winkelgleichheit

268

VII. Maxima und Minima

eine Bedingung sowohl fiir die maximale wie fUr die minimale Gesamtlange der beiden Seiten, so daB wir je nach den Umstanden verschiedene Typen von Lichtdreiecken finden konnen. Wenn wir zum Beispiel das Innere einer einzigen glatten geschlossenen Kurve C betrachten, so muB ein einbeschriebenes Dreieck von maximalem Umfang stets ein Lichtdreieck sein. Oder wir konnen (wie es den Verfassem von MARSTON MORSE vorgeschlagen wurde) das AuBere von drei glatten geschlossenen Kurven betrachten. Ein Lichtdreieck ABC ist dadurch gekennzeichnet, daB sein Umfang einen stationaren Wert hat; dieser Wert kann ein Minimum hinsichtlich aller drei Punkte A, B, C sein; er kann ein Minimum sein in bezug auf irgend

Fig. 204

Fig. 205

Fig. 206

Fig. 207

Fig. 204-207. Die vier Typen von Lichtdreiecken zwischen drei Kreisen

zwei Punkte, wie etwa A und B, und ein Maximum in bezug auf den dritten Punkt C; er kann ein Minimum beziiglich eines Punktes sein und ein Maximum beziiglich der beiden anderen oder endlich ein Maximum in bezug auf alle drei Punkte. Insgesamt ist die Existenz von mindestens 28 = 8 Lichtdreiecken gesichert, da fiir jeden einzelnen der drei Punkte, unabhangig von den anderen, entweder ein Maximum oder Minimum moglich ist. *S. Bemerkungen tiber Reflexionsprobleme und ergodische Bewegung

Es ist ein Problem von groBer Bedeutung fiir die Dynamik und Optik, die Bahn oder "Trajektorie" eines Teilchens im Raum bzw. eines Lichtstrahls fiir eine unbegrenzte Zeit zu beschreiben. Wenn das Teilchen oder der Lichtstrahl durch irgendeine physikalische Vorrichtung auf einen begrenzten Teil des Raumes eingeschrankt ist, besteht ein besonderes Interesse daran zu erfahren, ob die Trajektorie im Grenzfall t - 00 den Raum iiberall mit ungefahr gleicher Dichte erfiillen wird. Eine solche Trajektorie nennt man ergodisch. Die Annahme, daB ergodische Trajektorien existieren, ist grundlegend fiir die statistischen Methoden der modernen Dynamik und Atomtheorie. Aber es sind sehr wenige wirklich relevante Beispiele bekannt, in denen ein strenger mathematischer Beweis fiir die "Ergodenhypothese" gegeben werden kann. Die einfachsten Beispiele betreffen den Fall der Bewegung innerhalb einer ebenen Kurve C, wobei angenommen wird, daB die Wand C wie ein vollkommener Spiegel wirkt, der das im iibrigen freie Teilchen unter demselben Winkel refiektiert, unter dem es auftrifft. Ein rechteckiger Kasten zum Beispiel (ein idea1isierter Billardtisch mit vollkommener Refiexion und einem Massenpunkt als Billardkugel) fiihrt im allgemeinen zu einer ergodischen Bahn; die ideale Billardkugel, die dauemd weiter lauft, wird jedem Punkt beliebig nahekommen, auBer im Falle gewisser singularer Anfangslagen und -richtungen. Wir Utergehen den Beweis, obwohl er im Prinzip nicht schwierig ist.

1. Das Problem und seine U>sung

269

Von besonderem Interesse ist der Fall eines elliptischen Tisches mit den Brennpunkten Fl undF'I.. Da die Tangente an eine Ellipse gleiche Winkel mit den Geraden bildet, die den Beriihrungspunkt mit den beiden Brennpunkten verbinden, wird jede Trajektorie durch einen Brennpunkt so refiektiert, daB sie durch den anderen Brennpunkt geht, und das wiederholt sich standig. Es ist nicht schwer zu sehen, daB die Trajektorie unabhangig von der Anfangsrichtung nach n Refiexionen mit wachsendem n der groBen Achse F1F. zustrebt. Wenn der Anfangsstrahl nicht durch einen Brennpunkt geht, dann gibt es zwei Moglichkeiten. Wenn er zwischen den Brennpunkten hindurchgeht, werden auch alle reBektierten Strahlen zwischen den Brennpunkten liegen und alle eine gewisse Hyperbel mit Fl und F'I. als Brennpunkten berlihren. Trennt der Anfangsstrahl Fl und F'J. nicht, dann werden auch alle reBektierten Strahlen dies nicht tun, sondem werden eine Ellipse mit Fl und F. als Brennpunkten beriihren. Also wird in keinem Fall die Bewegung fiir die ganze Ellipse ergodisch sein. *Obungen: 1. Man beweise: Wenn der Anfangsstrahl durch einen Brennpunkt der Ellipse geht, dann nlihert sich die n-te Re1le:xion des Anfangsstrahls mit zunehmendem n der groBen Achse. 2. Man heweise: wenn der Anfangsstrahl zwischen den heiden Brennpunkten hindurchgeht, dann gehen alle re1lektierten Strahlen zwischen ihnen hindurch, und sie sind Tangenten an eine gewisse Hyperbel, die Fl und Fa zu Brennpunkten hat; femer: wenn der Anfangsstrahl nicht zwischen den Brennpunkten hindurchgeht, verl1l.uft auch keiner der re1lektierten Strahlen so, und alle Strahlen sind Tangenten an eine gewisse Ellipse, die Fl und FI zu Brennpunkten hat. (Anleitung: Man zeige, daB ein Strahl vor und nach der Reflexion in R gleiche Winkel mit den Geraden RFl bzw. RF. bUdet, und beweise dann, daB Tangenten an konfokale Kegelschnitte durch diese Eigenschaft gekennzeichnet sind.)

§ S. Das Steinersche Problem 1. Das Problem und seine LOsung Ein sehr einfaches aber lehrreiches Problem wurde von JACOB STEINER behandelt, dem berilhmten Vertreter der Geometrie an der Universitat Berlin in der Mitte des 19. Jahrhunderts. Drei Dorfer A, B, C sollen durch ein System von StraBen minimaler Gesamtlange verbunden werden. Mathematisch gesprochen: es seien drei Punkte A, B, Cinder Ebene gegeben; gesucht ist ein A O : - - - - - - - - { vierter Punkt P der Ebene, so daB die Summe a + b + c ein Minimum wird, wenn a, b, c die drei Entfemungen von P nach den Punkten A, B, C sind. Die LOsung des Problems ist: wenn in dem Dreieck ABC alle Winkel kleiner c a1s 1200 sind, so ist P derjenige Punkt, von Fig. 208. Die kleinste Summe der EntfemUDgen dem aus alle drei Seiten AB, BC, CA unter zudreiPunkten Winkeln von 1200 erscheinen. Wenn jedoch ein Winkel des Dreiecks, z. B. der bei C, gleich oder groBer a1s 1200 ist, dann fant der Punkt P mit der Ecke C zusammen. Es ist nicht schwer, diese LOsung zu erhalten, wenn wir die bisherigen Ergebnisse fiber Extrema benutzen. Angenommen, P sei der gesuchte Punkt, der das Minimum ergibt. Es bestehen zwei MOglichkeiten: entweder fant P mit einer der

270

VII. Maxima und Minima

Ecken A, B, C zusammen oder P ist von ihnen allen verschieden. 1m ersten Fall ist es klar, daB P die Ecke mit dem gro.6ten Winkel C von ABC sein mu.6; denn die Summe CA + CB ist kleiner a1s jede andere Summe zweier Seiten im Dreieck ABC. Um also den Beweis unserer Behauptung zu vervollstiindigen, mUssen wir den zweiten Fall untersuchen. Es sei K der Kreis mit dem Radius c um C. Dann mu.6 P der Punkt auf K sein, fiir den P A + P B ein Minimum ist. Wenn A und B au.6erhalb K liegen, wie in Fig. 209, so mussen nach dem Resultat von § 1 P A und P B gleiche Winkel mit dem Kreis K bilden und da8 her auch mit dem Radius PC, der auf K senkrecht steht. Da dieselbe tiberlegung auch fur die Lage von P in bezug auf den Kreis mit dem Radius a um A gilt, so folgt, daB alle drei von PA, PB, PC gebildeten Winkel gleich sind, und folglich gleich 120°, A wie behauptet. Diese Schlu.6weise setzte voraus, daB A und B beide au.6erhalb K liegen, was noch bewiesen werden mu.6. Wfirde wenigstens einer der Punkte A und B, etwa A, auf oder in K liegen, dann ware A C ~ c. Andererseits ist in jedem Falle a + b ~ A B. Fig. 208 Daher ware

a + b + c ~ AB + AC ,

also ergabe sich die kleinste Summe der Abstiinde, wenn P mit A zusammen1iele, im Widerspruch zu unserer Annahme. Damit ist bewiesen, daB A und B beide au.6erhalb des Kreises K liegen. Ebenso beweist man die entsprechende Tatsache ffir die anderen Kombinationen: B, C in bezug auf einen Kreis mit dem Radius a um A und A, C in bezug auf einen Kreis mit dem Radius b um B.

2. Diskussion der beiden Altemativen Um festzustellen, welche der beiden Altemativen ffir den Punkt P tatsachlich vorliegt, mfissen wir die Konstruktion von P analysieren. Um P zu finden, zeichnen wir einfach die Kreise K 1 , K I , von deren Punkten aus je eine der Seiten, etwa AC und BC unter Winkeln von 120° erscheinen. Genauer gesagt, erscheint dann AC unter 120° von jedem Punkt des ktirzeren Bogens, den AC auf KI abschneidet, aber unter 60° von jedem Punkte des liingeren Bogens. Der Schnittpunkt der beiden kfirzeren BOgen von KI und K I , sofem ein solcher Schnittpunkt existiert, liefert den gesuchten Punkt P; denn nicht nur A C und ---:f'"'~----~:::::::::=:::::~8 BC erscheinen von P aus unter 120°, sonFig. 210 dem auch AB, da die Summe der drei Winkel 360° ist. Aus Fig. 210 erkennt man: Wenn kein Winkel des Dreiecks ABC gro.6er a1s 120° ist, schneiden sich die beiden kurzeren Bogen innerhalb des Dreiecks. Wenn aber ein Winkel C des Dreiecks ABC gra.6er a1s 120° ist, so schneiden sich die heiden ktirzeren BOgen von Kl und K. nicht, wie Fig. 2H zeigt. In diesem Fall gibt

271

2. Diskussion der beiden Altemativen

es keinen Punkt P, von dem aus alle drei Seiten unter 1200 erscheinen. Indessen bestimmen Kl und Ks durch ihren Schnitt einen Punkt pI, von dem aus sowohl AC als auch BC unter 60 0 erscheinen, wahrend die Seite AB, die dem stumpfen Winkel gegeniiberliegt, unter 1200 erscheint.

Fig. 211

Fiir ein Dreieck ABC, das einen Winkel von mehr als 1200 enthaIt, gibt es daher keinen Punkt, von dem aus jede Seite unter 1200 erscheint. Es muB also der Minimum-Punkt mit einer Ecke zusammenfallen, da wir gezeigt haben, daB dies die einzige andere Alternative war, und zwar muB dies die Ecke beim stumpfen Winkel sein. Wenn andererseits alle Winkel eines Dreiecks kleiner als 120 0 sind, haben wir gesehen, daB sich ein Punkt konstruieren laBt, von dem aus jede Seite unter 1200 erscheint. Um den Beweis unseres Satzes vollstandig zu machen, miissen wir aber noch zeigen, daB a + b + c dann auch wirklich kleiner ist, als wenn P mit einer A Ecke zusammenfaIlt; denn wir haben bis jetzt nur gezeigt, daB P ein Minimum liefert, wenn die kleinste Gesamtlange nicht fUr einen der Eckpunkte erreicht wird. Dementsprechend haben wir zu zeigen, daB a + b + c kleiner ist als die Summe von irgend zwei Seiten, etwa AB + AC. 0 Zu diesem Zweck verliingern wir BP, projizieren A auf diese Gerade und erhalten den Punkt D (Fig. 212). Wegen <;.APD = 60 0 ist die Lange der Projektion PD gleich ~ a. Nun ist BD die Projektion von

Fig. 212

AB auf die Gerade durch B und P; folglich ist BD < AB. Aber BD" ist

~ a< AB. In genau derselben Weise sehen wir, indem wir A auf die Verliingerung CP projizieren, daB c + ~ a < AC. Durch Addieren erhalten b+

~ a,

also ist b+

wir die Ungleichung a + b + c < AB + AC. Da wir schon wissen, daB der Minimumpunkt, wenn er nicht einer der Eckpunkte ist, P sein muB, folgt schlieBlich, daB P wirklich der Punkt ist, in dem a + b + c ein Minimum ist.

272

VII. Maxima und Minima

3. Ein komplementares Problem

Die formalen Methoden der Mathematik fuhren manchmal uber das urspriingliche Ziel hinaus. Wenn der Winkel in C groBer als 120° ist, liefert beispielsweise das geometrische Konstruktionsverfahren anstelle des Punktes P (der in diesem Fall der Punkt C selbst ist) einen anderen Punkt P', von dem aus die groBere Seite AB des Dreieckes ABC unter dem Winkel von 120° erscheint und die beiden kleineren unter einem Winkel von 60°. pI Selbstverstandlich ist P' keine Losung unseres Minimumproblems; wir konnen aber vermuten, daB dieses Ergebnis doch eine gewisse Verwandtschaft mit ihm hat. In der Tat lost P' das Problem, den Ausdruck a + b - c zum Minimum zu machen. Der Fig. 213. a + b - c ~ Minimum Beweis ist vollkommen analog dem fur a + b + c; er beruht auf den Resultaten von § 1, Abschnitt 5 und sei demLeser zur tlbung uberlassen. Zusammen mit dem vorigen Ergebnis haben wir dann den folgenden Satz: Wenn die Winkel eines Dreiecks ABC alle kleiner als 120° sind, dann ist die Summe der Abstande a, b, c von einem beliebigen Punkt zu A bzw. B bzw. C am kleinsten fUr den Punkt, von dem aus jede Dreieckseite unter 120° erscheint, und a + b - c ist am kleinsten fur den Eckpunkt C; ist aber ein Winkel, etwa C, groBer a1s 120°, dann ist a + b + c am kleinsten fur den Eckpunkt C, und a + b - c ist am kleinsten fur den Punkt, von dem aus die beiden kurzeren Seiten des Dreiecks unter 60° und die langste unter 120° erscheinen. Von den beiden Minimalproblemen wird also immer das eine durch die Kreiskonstruktion und das andere durch einen Eckpunkt gelost. Ist <X:C = 120°, so fallen die beiden Losungen jedes Problems und uberhaupt die Losungen beider Probleme zusammen, da der Punkt, den man durch die Ronstruktion erhiilt, dann gerade der Eckpunkt C ist. IV

4. Bemerkungen und "Obungen

Wenn man von einem Punkt im Innem eines gleichseitigen Dreiecks UVW drei Lote PA, PB, PC auf die Seiten falIt, wie Fig. 214 zeigt, dann bilden die Punkte A, B, C und P die oben diskutierte Figur. Diese Bemerkung kann zu einer Losung des Steinerschen Problems fuhren, wenn man von den Punkten A, B, C ausgeht und daraus U, V, W konstruiert.

c

tJbungen: 1. Man fiihre dies durch und benutze dabei die Tatsache. daB in einem gleichseitigen Dreieck die Summe der drei Lote von einem beliebigen Punkt auf die drei Seiten konstant und gleich der Hohe ist. 2. Auf Grund der entsprechenden Tatsache fiir einen Punkt P auBerhalb von UVW 5011 das komplementare Problem erortert werden. Fur drei Dimensionen kann man ein ahnliches Problem untersuchen: Gegeben seien vier Punkte A. B. C. D; gesucht ist ein funfter Punkt. fiir den a b c d ein Minimum ist. *tJbung: Man untersuche dieses und das komplementare Problem mit den Methoden von § 1 oder mit Hilfe eines regelma.Bigen Tetraeders. Fig. 214. Ein zweiter Beweis fiir die Steinersche Liisung

+ + +

273

5. Verallgemeinerung auf das Stra.6ennetz-Problem

5. Verallgemeinerung auf das StraBennetz-Problem In STEINERB Problem sind drei feste Punkte gegeben. Es liegt nahe, das Problem auf den Fall von n gegebenen Punkten AI' AI" .. , Aft zu verallgemeinem; wir fragen nach dem Punkt P in der Ebene, fur den die Summe der Abstande ~+ all + ... + aft ein Minimum ist, wenn at den Abstand PAi bedeutet. (Fur vier Punkte, die wie in Fig. 215 angeordnet sind, ist der Punkt P der Schnittpunkt der Diagonalen des Vierecks AIA~3A,; der Leser moge dies zur "Obung beweisen.) Dieses Problem, das ebenfalls von STEINER behandelt wurde, fuhrt nicht zu besonders interessanten Ergebnissen. Es ist eine der oberflachlichen Verallgemeinerungen, wie man sie in der mathematischen Literatur Fig. 215. K1eiDste Summe der EDt· fernungen zu vier Punkten manchmal antrifft. Fur eine wirklich sinnvolle Verallgemeinerung mussen wir nicht nach einem einzigen Punkt P fragen, sondem nach einem "StraBennetz" von geringster Gesamtlange. Mathematisch ausgedriickt: Zu n gegebenen Punkten AI' A" ... , Aft soU ein zusammenhiingendes Streckensystem von geringster Gesamtliinge gejunden werden, so dap ie zwei der gegebenen Punkte

durch einen Polygonzug aus Strecken des Systems verbunden werden kiinnen. Ar

Fig. 218

Fig. 217 Fig. 21S-218. Kilrzeste Nelze zwischen mehr aIs 3 Punkten

Fig. 218

Der Charakter der Losung hangt naturlich von der Anordnung der gegebenen Punkte abo Wir wollen uns hier damit begnugen, die Antwort fur die typischen Fane der Figuren 216-218 anzugeben. 1m ersten Fall besteht die LOsung aus flinf Strecken mit zwei mehrfachen Eckpunkten, in denen je drei Strecken unter Winkeln von 1200 zusammentreffen. 1m zweiten Fall enthaIt die LOsung drei mehrfache Eckpunkte. Sind die Punkte anders angeordnet, so kann es vorkommen, daB solche Figuren nicht moglich sind. Einer oder mehrere der mehrfachen Eckpunkte konnen entarten und durch einen oder mehrere der Fig. 219 Fig. 220 gegebenen Punkte ersetzt werden, wie Zwei kilrzeste Netze zwischen " Punkten im dritten Fall. 1m Fall von n gegebenen Punkten gibt es hOchstens n - 2 mehrfache Eckpunkte, in denen je drei Strecken unter Winkeln von 1200 zusammentreffen. Die Losung des Problems ist nicht immer eindeutig bestimmt. Fur vier Punkte A, B, C, D, die ein Quadrat bilden, haben wir zwei aquivalente LOsungen, die in den Figuren 219-220 dargestellt sind. Wenn die Punkte AI, AI' ... , Aft die Ecken

274

VII. Maxima und Minima

eines einfachen Polygons mit hinreichend flachen Winkeln sind, so bildet das Polygon selbst das Minimum.

§ 6. Extrema und Ungleichungen Ein charakteristischer Zug der hOheren Mathematik ist das haufige Auftreten von Ungleichungen. Die Losung eines Maximumproblems fiihrt im Prinzip immer zu einer Ungleichung, welche die Tatsache ausdriickt, daB die betreffende variable GroBe kleiner oder hOchstens gleich dem Maximalwert der Losung ist. In vielen FaIlen sind soIche Ungleichungen schon an und ffir sich von Interesse. Zum Beispiel wollen wir die wichtige Ungleichung zwischen dem arithmetischen und dem geometrischen Mittel betrachten. 1. Das arithmetische und geometrische Mittel zweier positiver GroBen Wir beginnen mit einem einfachen, haufig auftretenden Maximumproblem. In geometrischer Sprache lautet es: Unter allen Rechtecken mit vorgeschriebenem Umfang soIl das mit der groBten Flache gefunden werden. Die Losung ist erwartungsgemaB das Quadrat. Beweis: Es sei 2a der vorgegebene Umfang des Rechtecks. Dann ist die feste Summe der Langen x und y zweier benachbarter Seiten gleich x + y = a, wahrend die veranderliche FIache x y so groB wie moglich werden soIl. Das .. arithmetische Mittel" von x und y ist einfach x+y

m=-2-'

!J

Wir setzen femer x-y

d=-2-' so daB

x=m+d,

y=m-d,

unddaher

xy= (m+d)(m-d)=ml-d' = .z:..y-3m Fig. 221. MaximaIes sy fQr gegebenes s

+y

(x

+ y)1 4

dl.

Da d2 groBer als Null ist, auBer wenn d = 0, erhalten wir sofort die Ungleichung

lr.:::: +y f xy ;:'i -x 2

(1)

J

in der das Gleichheitszeichen nur dann gilt, wenn d = 0, also x = y = m. Da x + y fest ist, so folgt, daB yXy und demnach auch die FIache xy ein Maximum ist, wenn x = y. Der Ausdruck

g=

vxy,

wobei die positive Wurzel gemeint ist, wird das ..geometrische Mittel" der positiven GroBen x und y genannt; die Ungleichung (1) driickt die grundlegende Beziehung zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel aus. Die Ungleichung (1) folgt iibrigens auch direkt aus der Tatsache, daB der Ausdruck xy (VX - VY)B= x+ y -

2V

notwendigerweise nicht-negativ ist als ein Quadrat und nur ffir x = Y Null wird.

2. Verallgemeinerung auf n Variable

Z15

Eine geometrische Herleitung der Ungleichung ergibt sich, wenn man die feste Gerade x + y = 2m in der Ebene zusammen mit der Kurvenschar xy = c betrachtet, wo c fur jede der Kurven (Hyperbeln) konstant ist, aber von Kurve zu Kurve variiert. Wie man aus Fig. 221 sieht, ist die Kurve mit dem groBten c-Wert, die mit der Geraden einen Punkt gemeinsam hat, die Hyperbel, we1che die Gerade im Punkte x = y = m berUhrt. Fur diese Hyperbel ist daher c = mao Folglich ist

xy

(xt"f.

~

Man sollte beachten, daB jede Ungleichung f(x, y) ~ g (x, y) vorwarts und rUckwarts gelesen werden kann und daher sowohl eine Minimum- wie eine Maximumeigenschaft liefert. So drtickt (1) beispie1sweise zugleich die Tatsache aus, daB unter allen Rechtecken von gegebener Flache das Quadrat den kleinsten Umfang hat.

2. VeraIlgemeinerung auf" Variable Die Ungleichung (1) zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel laBt sich auf eine beliebige Anzahl n von positiven GroBen Xl' xz, ••• , Xn erweitern. Wir nennen

m=

Xl

+ X. + ... + X,. n

ihr arithmetisches Mittel und

g=

ji' Xl X • ••• Xn

ihr geometrisches Mittel, wobei die positive n-te Wurzel gemeint ist. Die allgemeine Behauptung lautet: ~

g~m

und g = m nur dann, wenn alle Xi gleich sind. Viele verschiedene geistreiche Beweise sind fur diesen allgemeinen Satz erdacht worden. Der einfachste Weg ist der, auf dieselbe 'Oberlegung zUrUckzugreifen, die im Abschnitt 1 benutzt wurde und das folgende Maximumproblem aufzustellen: eine gegebene positive GroBe C sei in n positive Teile C = Xl + ... + Xn ZU zerlegen derart, daB das Produkt P = Xl XI ••• Xn so groB wie moglich wird. Wi.. gehen aus von der Annahme - die scheinbar selbstverstandlich, aber spater in § 7 noch zu erortem ist -, daB es ein Maximum von P gibt und daB es durch die Werte erreicht wird. Wir haben dann nur zu beweisen, daB tit = all = ... = an; denn in diesem Falle ist g = m. Wir nehmen an, dies trafe nicht zu, also es ware etwa tit =1= aI' und betrachten die n GroBen mit

+

lit Ii. s=--2-'

Mit anderen Worten, wir ersetzen die GroBen ai durch ein anderes System von GroBen, worin nur die beiden ersten abgeandert und einander gleich sind, wahrend IS·

VII. Maxima und Minima

CZ16

die Gesamtsumme C erhalten bleibt. Wir konnen dann schreiben ~=

mit

s + d, d_ -

a.= s - d tIl-tI,

2

•

Das neue Produkt ist

P'= sllaa ••• an, wahrend das alte Produkt die Form P = (s

+ d) (s -

d) ila ••. an= (Sll- d2) ila ..• an

erhaIt. Folglich gilt offenbar, wenn d nicht verschwindet:

p
3. Die Methode der kleinsten Quadrate Das arithmetische Mittel von n Zahlen Xl' ... , Xn, die in diesem Abschnitt nicht alle positiv sein miissen, hat eine wichtige Minimumeigenschaft. Es sei u eine unbekannte GroBe, die wir so genau wie moglich mit irgendeinem MeBinstrument zu bestimmen wUnschen. Zu dies em Zweck machen wir eine Reihe von n Messungen, die etwas unterschiedliche Ergebnisse Xl' ... , Xn liefert, infolge der verschiedenen experimentellen Fehlerquellen. Dann entsteht die Frage: Welcher Wert von u ist a1s zuverlii.ssigster anzusehen? Es ist ublich, das arithmetische

+ x" als diesen "wahren" oder "besten" Wert zu wahlen. Um Mittel m= x1 +··· n

diese Annahme einwandfrei zu rechtfertigen, muBte man die Wahrscheinlichkeitstheorie eingehend erortem. Hier konnen wir wenigstens auf eine Minimaleigenschaft von m hinweisen, die seine Wahl als sinnvoll erweist. Es sei u ein beliebiger moglicher Wert der gemessenen GroBe. Dann sind die Differenzen u - Xl' ... , u - Xn die Abweichungen dieses Wertes von den verschiedenen Ablesungen. Diese Abweichungen konnen zum Tell positiv, zum Tell negativ sein, und man wird naturlich das Bestreben haben, als optimalen Wert von u einen solchen zu wahlen, ffir den die gesamte Abweichung in gewissem Sinne so klein wie moglich ist. Nach GAUSS ist es ublich, nicht die Abweichungen selbst, sondem ihre Quadrate (u - Xi)2 als MaB ffir die Ungenauigkeit zu nehmen und a1s optimalen Wert unter allen moglichen Werten von u einen solchen zu wahlen, der die Summe der Quadrate der Abweichungen (u - x1}s+ (u - X.)2+ .•. + (u - xn}2 so klein wie moglich macht. Dieser optimale Wert fur u ist genau das arithmetische Mittel m, und diese Tatsache blldet den Ausgangspunkt ffir die GauBsche "Methode der kleinsten Quadrate". Wir konnen den kursiv gedruckten Satz leicht beweisen: Schreiben wir

277

1. Allgemeine Bemerkungen

so erhalten wir

(u - Xi)2= (m - Xi)2+ (u - m)2+ 2(m - Xi) (u - m) . Nun sind alle diese Gleichungen fur i = 1,2, ... , n zu addieren. Die letzten Glieder ergeben zusammen 2 (u - m) (nm - Xl - ... - x,,); das ist Null nach der Definition von m. Foiglich bleibt

(u - X1)2+ ... + (u - X,,)2= (m - Xl)2+ ...

+ (m -

X,,)2+ n(m - U)2.

Dies Hi.Bt erkennen, daB

(u - Xl)2+ ... + (u - X,,)2 ;;;; (m - Xl)2+ ... + (m - X,,)2 , und daB das Gleichheitszeichen nur fur u = m gilt, was zu beweisen war. Die allgemeine Methode der kleinsten Quadrate nimmt diese Tatsache als leitendes Prinzip in komplizierteren Fillen, in denen ein plausibler Endwert aus nicht ganz zusammenpassenden MeBergebnissen ermittelt werden soU. Nehmen wir zum Beispiel an, daB die Koordinaten von n Punkten (x;, y;) einer theoretisch geraden Linie gemessen worden sind und daB diese gemessenen Punkte nicht genau auf einer Geraden liegen. Wie ist die Gerade zu ziehen, damit sie sich am besten den n gemessenen Punkten anpaBt? Unser voriges Ergebnis legt das folgende Verfahren nahe, das aUerdings auch durch ebenso begrundete Abwandiungen ersetzt werden konnte. Es sei y = a X + b die Gleichung der Geraden, so daB das Problem darin besteht, die Koeffizienten a und b zu finden. Der Abstand in y-Richtung von der Geraden zum Punkt (x;,y;) isty;- (ax;+ b) = y;- ax;- b, positiv fur Punkte oberhalb, negativ fur Punkte unterhalb der Geraden. Also ist das Quadrat dieses Abstandes (y;- ax;- b)2 und die Methode fordert einfach, a und b so zu bestimmen, daB der Ausdruck

(Yl- ax1 - b)2+ ..• + (y,,- ax,,- b)2 den kleinstmoglichen Wert annimmt. Hier haben wir ein Minimalproblem, das zwei Unbekannte, a und b, enthiilt. Die nicht schwierige Diskussion der Losung sei hier ubergangen.

§ 7. Die Existenz eines Extremums. Das Dirichletsche Prinzip 1. Allgemeine Bemerkungen Bei einigen der bisher behandelten Extremalprobleme lieB sich soforl zeigen, daB die Losung ein besseres Resultat gab alS jeder ihrer "Konkurrenten". Ein frappierendes Beispiel dafur war die Schwarzsche Konstruktion, welche deutlich vor Augen fuhrt, daB kein einbeschriebenes Dreieck einen kleineren Umfang hat als das Hohendreieck. Andere Beispiele sind die Maximum- oder Minimumprobleme, deren Losung auf einer expliziten Ungleichung beruht, wie etwa der zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel. Aber in einigen Fillen verfolgten wir einen anderen Weg. Wir gingen von der Annahme aus, daB eine Losung gefunden sei; dann analysierten wir diese Annahme und zogen daraus Schlusse, die schlieBlich eine Beschreibung und Konstruktion der Losung gestatteten. So verfuhren wir bei dem Steinerschen Problem und bei der zweiten L6sung des Schwarzschen Problems. Die beiden Methoden sind logisch voneinander verschieden. Die erste ist in gewissem Sinne voUkommener, da sie einen mehr

278

VII. Maxima und Minima.

oder weniger konstruktiven Beweis fUr die Losung gibt. Die zweite Methode wird, wie wir im Fall des Dreiecksproblems sahen, im allgemeinen einfacher sein; aber sie ist nicht so direkt und gilt vor allem nur bedingungsweise; denn sie beginnt mit der Annahme, daB eine Losung des Problems existierl. Sie liefert die Losung nur unter der Voraussetzung, daB diese Annahme bewiesen ist. Ohne diese Annahme fUhrt sie nur zu einer hypothetischen Aussage von der Form "wenn eine Losung existiert, dann muB sie von der und der Art sein". Da.13 es notwendig ist, die Existenz eines Extremums logisch zu beweisen, wird durch den folgenden Trugschlu.13 verdeutlicht: Behauptet wird, daB 1 die grO.I3te ganze Zahl ist. Zum Beweise werde etwa die grii.l3te ganze Zahl mit x bezeichnet. Ware x > I, so ware x, > x, also kOnnte x nicht die grO.l3te ganze Zahl sein. Also mu.13 x gleich 1 sein. Diese Absurditil.t beruht natiirlich auf der sti1lschweigenden Annahme, daB eine grO.I3te ganze Zahl existiert.

Wegen der scheinbaren Selbstverstandlichkeit der Priimisse, daB eine Losung existiert, haben die Mathematiker bis weit in das 19. Jahrhundert hinein die erwahnte Schwierigkeit nicht beachtet und die Existenz einer LOsung bei Extremalproblemen ohne weiteres angenommen. Einige der groBten Mathematiker des 19. Jahrhunderts - GAUSS, DIRICHLET und RIEMANN - benutzten diese Voraussetzung bedenkenlos als Grundlage fUr tiefe und sonst kaum zugangliche Theoreme der mathematischen Physik und Funktionentheorie. Eine dramatische Wendung trat ein, a1s RIEMANN 1851 seine Doktorarbeit fiber die Grundlagen der Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen einreichte. Die in knappster Form geschriebene Arbeit, eine der groBen Pionierleistungen der modemen Mathematik, war so vollig unorthodox und neuartig, daB viele Fachleute sie am liebsten ignoriert batten. WEIERSTRASS, spater der ffihrende Mathematiker an der Universitat Berlin und der anerkailDte Schrittmacher beim Aufbau einer strengen Funktionentheorie, war beeindruckt, aber doch etwas zweifelnd. Bald entdeckte er eine logische Lficke in der Arbeit, mit deren Ausfiillung der Verfasser sich nicht abgegeben hatte. WEIERSTRASS' Kritik beirrte RIEMANN zwar nicht, :fiihrte aber zunachst zu einer fast allgemeinen bedauemden Abkehr der Fachwelt von seiner genialen Theorie. Nach wenigen Jahren fand RIEMANN. meteorische Laufbahn ihr Ende, a1s er an Schwindsucht starb. Doch fUr seine faszinierenden Ideen fanden sich immer wieder begeisterte Anhanger, und endlich, fiinfzig Jahre nach dem Erscheinen der Riemannschen Arbeiten, gelang es endgiiltig HILBERT, einen Weg ffir die vollstandige Beantwortung der Fragen, die RIEMANN unerledigt ge1assen hatte, zu ofinen. Diese Entwicklung in der Mathematik und mathematischen Physik war einer der groBten Triumphe in der Geschichte der modemen mathematischen Analysis. In RIEMANN' Arbeit war der Angriffspunkt gerade die obenerwiihnte Frage nach der Existenz eines Minimums. RIEMANN griindete einen groBen Tell seiner Theorie auf das, was er das Dirichletsche Prinzip nannte. (DIRICHLET war in Berlin RIEMANNB Lehrer gewesen und hatte fiber dieses Prinzip wohl vorgetragen, aber nie etwas verofientlicht.) Das Prinzip kann physikalisch veranschaulicht werden. Nehmen wir zum Beispiel an, daB ein Tell einer Ebene oder einer andersartigen Fliiche mit Zinnfolie fiberzogen ist, und daB ein stationarer elektrischer Strom durch die Zinnfolie geschickt wird, indem zwei ihrer Punkte mit den Polen einer Batterle verbunden werden. Niemand wird daran zweife1n, daB dieses Experiment zu einem bestimmten Ergebnis, d. h. zu einer wohlbestimmten Stromvertellung in der Folie, ffihren wird. Aberwie steht es mit dem entsprechenden

279

2. Beispiele

mathematischen Problem, das von groBer Bedeutung ffir die Funktionentheorie und andere Gebiete ist? Die beschriebene physika1ische Anordnung entspricht einem "Randwertproblem" einer partiel1en Diflerentia1gleichung, der sogenannten Potentia1gleichung. Dieses mathematische Problem steht bier zur Debatte; seine LOsbarkeit wird wohl plausibe1 durch dieAquivalenz mit einem physikalischen Versuchsergebnis, ist aber dadurch noch keineswegs mathematisch bewiesen. RIEMANN beantwortete die mathematische Frage in zwei Schritten. Zuerst zeigte er, daB das Problem mit einem Minimalproblem aquivalent ist: Eine gewisse GroBe, we1che die Energie des e1ektrischen Stromes ausdrftckt, ist fUr den wirklich auftretenden Strom ein Minimum im Vergleich zu den anderen, mit den vorgeschriebenen Bedingungen vertriiglichen Stromvertei1ungen. Dann erklarte er a1s "Dirichletsches Prinzip", daB ein solches Minimalproblem eine LOsung besitzt. RIEMANN machte nicht den geringsten Versuch, diese zweite Behauptung mathematisch zu beweisen, und dies war der Punkt, den WEIERSTRASS angrifl. Nicht nur war die Existenz des Minimums in keiner Weise evident, sondern das Problem erwies sich sogar a1s eine auBerst schwierige Frage, auf we1che die Mathematik der damaligen Zeit noch nicht vorbereitet war und die erst nach Jahrzehnten intensiver Forschung endgfiltig beantwortet wurde.

2. Beispie1e Wir wollen an zwei Beispie1en die Art der Schwierigkeit illustrieren. 1. Wir betrachten zwei Punkte A und B mit einem Abstand d auf einer Geraden L und fragen nach dem kfirzesten Streckenzug, der o in A in der Richtung senkrecht zu L beginnt und in B endigt. Da die Strecke AB die kiirzeste Verbindung zwischen A und B ist, so ist sicher jeder zum Vergleich zugelassene Weg A 8 langer a1s d; denn der einzige Weg der Lange d Fig. 222 ist die Strecke AB, und diese hat in A nicht die verlangte Richtung, ist also nach den Bestimmungen des Problems nicht zulassig. Andererseits betrachten wir den zulassigen Weg AOB in Fig. 222. Wenn wir 0 durch einen Punkt 0' ersetzen, der nahe genug an A liegt, so konnen wir einen zulassigen Weg erhalten, s dessen Lange sich be1iebig wenig von d unterscheidet; wenn daher ein kurzeste1' zulassiger Weg existiert, so kann er keine Lange haben, die d iiberschreitet und miiBte daher die genaue Lange d haben. Aber der einzige Weg, der diese Lange hat, ist nicht zulassig, wie wir sahen. Daher kann kein kiirzester zulassiger Weg existieren, und das aufgestellte Minimalproblem hat keine Losung. 2. Wie in Fig. 223 moge C ein Kreis sein und S ein Punkt im Abstand 1 iiber seinem Mitte1punkt. Wir betrachten die Klasse aller Flachen, die von C begrenzt werden, durch den Punkt S gehen und so iiber C liegen, daB keine zwei verscbieFig. 223 denen Punkte die gleiche senkrechte Projektion auf die Ebene von C haben. We1che dieser Flachen hat den Ideinsten Inhalt? Dieses Problem hat, so natiirlich es zu sein scheint, keine LOsung; es gibt keine zulassige Flache von

q~

280

VII. Maxima und Minima

minimalem Flacheninhalt. Wenn nicht verlangt wiirde, daB die Flache durch S gehen 'soU, so ware die Losung offenbar die von C begrenzte ebene Kreisscheibe, deren Flacheninhalt sei mit A bezeichnet. Jede andere von C begrenzte Flache hat einen Flacheninhalt, der groBer ist als A. Wir konnen aber eine zulassige Flache finden, deren Flacheninhalt sich beIiebig wenig von A unterscheidet. Zu diesem Zweck nehmen wir einen Kegel von der Hohe 1 und so spitz, daB seine Mantelllache kleiner ist als irgendein beIiebig kleiner vorgeschriebener Wert. Diesen Kegel setzen wir auf die Kreisscheibe mit der Spitze in S und betrachten die Flache, die aus dem Mantel des Kegels und dem Teil der Kreisscheibe auBerhalb der Kegelgrundflache besteht. Es ist sofort klar, daB diese Flache, die nur in der Nahe des Mittelpunktes von der Kreisscheibe abweicht, einen Flacheninhalt hat, der sich von A urn weniger als den vorgeschriebenen Wert unterscheidet. Da dieser Wert beIiebig klein gewahlt werden kann, so folgt wiederum, daB das Minimum, wenn es existiert, nichts anderes sein kann als der Flacheninhalt A der Scheibe. Aber von allen durch C begrenzten Flachen hat nur die Kreisscheibe selbst diesen Inhalt, und da diese nicht durch S geht, ist sie nicht zulassig. FolgIich hat das Problem keine Losung. Wir konnen hier auf die von WEIERSTRASS angegebenen spitzfindigeren Beispiele verzichten. Die beiden dargesteUten zeigen deutIich genug, daB die Existenz eines Minimums kein trivialer Teil eines mathematischen Beweises ist. Urn den Sachverhalt allgemein zu formuIieren, betrachten wir eine Klasse von ObjektenZ, z. B. Kurven oder Flachen, denen je eine gewisse Zahl, etwa Lange oder Flacheninhalt, als Funktion J(Z) zugeordnet ist. Wenn zu der Klasse nur eine endliche Anzahl von Objekten geMrt, so muB es offenbar unter den entsprechenden Zahlen eine groBte und eine kleinste geben. Aber wenn die Klasse unendlich viele Objekte enthii.lt, braucht es weder eine groBte noch eine kleinste ZahlJ(Z) zu geben, selbst wenn alle diese Zahlen zwischen zwei festen Schranken liegen. Ganz aUgemein werden diese Zahlen eine unendliche Punktmenge F auf der Zahlenachse bilden. Nehmen wir der Einfachheit halber an, daB die Zahlen alle positiv sind. Dann hat die Menge eine "untere Grenze", das heiBt, es gibt einen Punkt IX, unterhalb dessen keine Zahl der Menge F liegt, und der entweder selbst ein Punkt der Menge ist oder dem sich Punkte der Menge mit beliebiger Genauigkeit nahern. Wenn IX zur Menge F geMrt, so ist IX das kleinste Element; wenn nicht, so enthalt die Menge iiberhaupt kein kleinstes Element. So enthalt zurn Beispiel die Zahlenmenge 1, 1/2, 1/3, ... kein kleinstes Element, da die untere Grenze 0 nicht zur Menge gehort. Der Unterschied zwischen den Begriffen "kleinster Wert" und "untere Grenze" ist die QueUe der logischen Schwierigkeiten, die mit dem Existenzproblem zusammenhangen. Die mathematische Losung eines Minimalproblems ist nicht voUstandig, sofern nicht explizit oder implizit ein Beweis geliefert worden ist, daB die mit dem Problem verkniipfte Menge von Werten ein kleinstes Element enthalt. 3. Elementare Extremalprobleme Bei elementaren Problemen bedarf es nur einer Berufung auf einfache, grundlegende Tatsachen, urn die Frage nach der Existenz einer Losung zu entscheiden. In Kapitel VI, §5 wurde der allgemeine Begriff einer kompakten Menge besprochen; es wurde dort gesagt, daB eine stetige Funktion, die fiir die Elemente einer kom-

3. Elementare Extremalprobleme

281

pakten Menge definiert ist, stets ihren groBten und kleinsten Wert irgendwo in der Menge annimmt. In jedem der bisher behandelten elementaren Probleme konnen die zur Auswahl stehenden Werte als Werte einer Funktion von einer oder mehreren Variablen angesehen werden in einem Gebiet, das entweder kompakt ist oder doch leicht zu einem solchen gemacht werden kann, ohne daB das Problem wesentlich verandert wird. In einem solchen Fall ist die Existenz eines Maximums und eines Minimums gesichert. 1m Steinerschen Problem zum Beispiel ist die betrachtete GroBe die Summe von drei Abstanden, und diese hangt stetig von der Lage des beweglichen Punktes abo Da der Bereich dieses Punktes die ganze Ebene ist, schadet es nichts, wenn wir die Figur in einen groBen Kreis einschlieBen und den Punkt auf dessen Inneres nebst Rand beschranken. Denn sobald der bewegliche Punkt genugend weit von den drei gegebenen Punkten entfemt ist, wird die Summe seiner Abstande von diesen sicherlich die GroBe AB + AC ubertreffen, die einer der zulassigen Werte der Funktion ist. Wenn es daher ein Minimum gibt fUr einen Punkt, der auf einen groBen Kreis beschrankt ist, so wird dies auch das Minimum fUr das ursprungliche Problem sein. Es ist leicht zu sehen, daB der aus einem Kreis und seinem Inneren bestehende Bereich kompakt ist, also existiert ein Minimum fUr das Steinersche Problem. Die Bedeutung der Annahme, daB der Bereich der unabhangigen Variablen kompakt ist, laBt sich an folgendem Beispiel erkennen. Gegeben seien zwei geschlossene Kurven C1 und C2 ; dann gibt es stets zwei Punkte PI' P z auf CI bzw. C2, die den kleinstmoglichen Abstand voneinander haben, und Punkte QI' Qz, die den groBtmoglichen Abstand haben. Denn der Abstand zwischen einem Punkt Al auf C1 und einem Punkt A z auf C2 ist eine stetige Funktion auf der kompakten Menge, die aus den betrachteten Punktpaaren AI> Az besteht. Wenn jedoch zwei Kurven nicht beschrankt sind, sondem sich ins Unendliche erstrecken, dann kann es vorkommen, daB das Problem keine Losung hat. In dem Fall, den Fig. 224 zeigt, wird weder ein kleinster noch ein groBter Abstand zwischen den Kurven erreicht; die untere Grenze der Abstande ist Null, die obere Grenze ist unendlich, denen es keinen Jangsten oder kiirzesten und keine von beiden wird er- Fig. 224. Kurven, zwischen Abstand gibt reicht. In manchen Fii.llen existiert ein Minimum, aber kein Maximum. 1m Fall der beiden Aste einer Hyperbel (Fig. 17, S.61) wird nur ein minimaler Abstand zwischen A und A' erreicht; Punkte mit maximalem Abstand existieren nicht. Wir konnen diesen Unterschied im Verhalten erklaren, indem wir kunstlich den Bereich der Variablen beschranken. Wir wahlen eine beliebige positive Zahl R und beschranken x durch die Bedingung Ixl ~ R. Dann existiert sowohl ein Maximum wie ein Minimum in jedem der beiden letzten Probleme. 1m ersten garantiert eine solche Beschrankung des Bereichs die Existenz eines maximalen und eines minimalen Abstandes, indem beide auf der Begrenzung erreicht werden. Wird R vergroBert, so liegen die Punkte, in denen die Extrema erreicht werden, wiederum auf der Begrenzung. Wenn also R wachst, so rticken diese Punkte ins

282

VII. Maxima und Minima

Unendliche. 1m zweiten Fall wird der minimale Abstand im Innem angenommen, und die betreffenden beiden Punkte bleiben dieselben, wie stark Rauch zunimmt.

4. Schwierigkeiten bei komplizierteren Problemen Wahrend die Existenzfrage keine emstliche Schwierigkeit bietet, wenn es sich urn elementare Probleme mit einer, zwei oder einer anderen endlichen Anzahl von unabhangigen Variablen handelt, so ist es ganz anders bei dem Dirichletschen Prinzip oder selbst bei einfacheren Problemen von ahnlicher Art. Der Grund ist

/LA A A /\

"7

VVVvV

Fig. 225. Approximation einer Strecke durch Polygone von der doppelten Uoge

in diesen Fiillen entweder, daB der Bereich der unabhangigen Variablen nicht kompakt ist oder daB die Funktion nicht stetig ist. In dem ersten Beispiel des Abschnitts 2 hatten wir eine Folge von Wegen AO'B, wobei 0' auf den Punkt A zustrebte. Jeder Weg dieser Folge war zulassig, aber die Wege AO'B strebten gegen die Strecke A B, und dieser Limes gehort nicht mehr zu der zulassigen Menge. Die Menge der zulassigen Wege verhiilt sich in dieser Hinsicht iihnlich wie das Intervall 0 < x ~ 1, fiir das der WeierstraBsche Satz iiber Extremwerte nicht gilt (siehe S. 239). 1m zweiten Beispiel besteht eine ahnliche Situation: Wenn der Kegel diinner und diinner wird, so nahert sich die Folge der entsprechenden zulassigen Flachen der Scheibe plus einer senkrechten Strecke, die bis S reicht. Dieser "Limes" gehOrt jedoch nicht zu den zulassigen Flachen, und es trifft wiederum zu, daB die Menge der zulassigen Flachen nicht kompakt ist. Als Beispiel einer nicht stetigen Abhiingigkeit konnen wir die Lange einer Kurve betrachten. Diese Lange ist nicht mehr eine Funktion von endlich vielen Veranderlichen, da man eine ganze Kurve nicht durch eine endliche Anzahl von "Koordinaten" kennzeichnenkann, und sie ist auch keine stetige Funktion der Kurve. Urn dies einzusehen, verbinden wir zwei Punkte A und B, die den Abstand d haben, durch ein Zickzackpolygon P"" das mit der Strecke AB n gleichseitige Dreiecke bildet. Nach Fig. 225 ist klar, daB die Gesamtliinge von P", fiir jeden Wert von n genau gleich 2d ist. Nun betrachten wie die Folge der Polygone PI' P.", .... Die einzelnen Zacken dieser Polygone verlieren an Hohe, wenn sie an Zahl zunehmen, und es leuchtet ein, daB das Polygon P", auf die Strecke AB zustrebt, wo im Limes die Gezacktheit vollig verschwindet. Die Lange von P", ist, unabhangig vom Index n, stets 2d, wahrend die Lange der Grenzkurve nur gleich d ist. Also hangt die Lange nicht stetig von der Kurve abo

283

§ 8. Das isoperimetrische Problem

AIle diese Beispiele bestatigen die Behauptung, daB hinsichtlich der Existenz einer LOsung fur kompliziertere Minimalprobleme Vorsicht geboten ist.

§ 8. Das isoperimetrische Problem DaB der Kreis unter allen geschlossenen Kurven von vorgeschriebener Lange den groBten Flacheninhalt einschlieBt, ist eine der "offensichtlichen" Tatsachen der Mathematik, fur die erst in neuerer Zeit ein strenger Beweis geliefert werden konnte. STEINER erfand verschiedene geistreiche Methoden fur einen Beweis, von denen wir eine betrachten wollen.

Fig. 226

Fig. 227

Gehen wir von der Annahme aus, daB eine Losung existiert. Es sei also C die verlangte Kurve mit der vorgeschriebenen Lange L und maximalem Fliicheninhalt. Dann konnen wir leicht zeigen, daB C konvex sein muB in dem Sinne, daB jede gerade Verbindungslinie zweier beliebiger Punkte von C ganz innerhalb von C oder hOchstens auf C liegt. Denn ware C nicht konvex, wie in Fig. 226, dann konnte eine Strecke wie 0 P zwischen einem gewissen Punktepaar 0 und P auf C gezeichnet werden, so daB 0 P auBerhalb von C lage. Der Bogen OQ' P, der das Spiegelbild von OQP an der Geraden OP ist, wiirde dann zusammen mit dem Bogen ORP eine Kurve von der Lange L bilden, die einen groBeren Flacheninhalt einschlosse als die ursprungIiche Kurve C, da sie zusatzIich noch die Flachen I und II enthielte. Dies ist ein Widerspruch zu der Annahme, daB C den groBten Flacheninhalt bei der gegebenen Lange L einschlieBt. Daher muB C konvex sein. Nun wiihlen wir zwei Punkte A, B, welche die Losungskurve C in Bogen gleicher Lange zerlegen. Dann muB die Gerade AB die Flache von C in gleiche Teile zerlegen, denn sonst konnte der Tei1 mit dem groBeren Inhalt an AB gespiegelt werden (Fig. 227), so daB eine andere Kurve der Lange L entstiinde, die einen groBeren Flacheninhalt hiitte als C. Daraus folgt, daB die Hiilfte der Losungskurve C das folgende Problem losen muLl: man bestimme den Bogen von der Lange L/2, dessen Endpunkte A, B auf einer Geraden liegen und der zwischen sich und dieser Geraden maximalen Fliicheninhalt einschlieBt. Nun werden wir zeigen, daB die Losung dieses neuen Problems ein Halbkreis ist, so daB die ganze Kurve C, die das isoperimetrische Problem lost, ein Kreis ist. Es sei der Bogen AOB die LOsung des neuen Problems. Es genugt zu zeigen, daB jeder einbeschriebene Winkel, wie etwa <): AOB in Fig. 228, ein rechter Winkel ist, denn das beweist, daB AOB ein Halbkreis ist. Nehmen wir also im Gegensatz dazu an, daB <): AOB nicht 90° ist. Dann konnen wir Fig. 228 durch Fig. 229 ersetzen, in welcher die schraffierten Flachen und die Lange des Bogens AOB unverandert sind,

284

VII. Maxima und Minima

wahrend die Flache des Dreiecks groBer geworden ist, da ~ AOB gleich 900 gemacht wurde. Daher ergibt Fig. 229 einen groBeren a1s den ursprftnglichen FIacheninhalt (siehe S. 252). Wir gingen aber von der Annahme aus, daB Fig. 228 das Problem lost, so daB also Fig. 229 auf keinen Fall eine groBere Flache ergeben kann. Dieser Widerspruch zeigt, daB fiir jeden Punkt 0 der Winkel AOB ein rechter sein muB, und damit ist der Beweis volIendet.

Fig. 228

Fig. 229

Die isoperimetrische Eigenschaft des Kreises kann in der Form einer Ungleichung ausgedrftckt werden. Wenn L der Umfang des Kreises ist, so ist seine FIache LI/4n, und daher muB die isoperimetrische Ungleichung F ~ L2/4 n zwischen FIache Fund Lange L jeder geschlossenen Kurve bestehen, wobei das Gleichheitszeichen nur fiir den Kreis gilt. ·Wie aus den Oberlegungen des § 7 hervorgeht, hat der Steinersche Beweis nur bedingungsweise Giiltigkeit: "Wenn es eine Kurve von der Lange L mit maximalem Flacheninhalt gibt, dann muB diese ein Kreis sein." Die Begriindung der hypothetischen Pramisse erfordert eine ganz andersartige Oberlegung. Zuerst beweisen wir einen elementaren Satz iiber geschlossene Polygone P,. mit einer geraden Anzahl 2n von Seiten: Unter allen solchen 2n-Ecken von gleichem Umfang hat das regelmaBige 2n-Eck den graBten Flachen8 inhalt. Der Beweis folgt mit einigen Abwandlungen dem c Steinerschen Gedankengang. Die Frage der Existenz bietet hier keine Schwierigkeit, da ein 2n-Eck, zusammen mit seinem Umfang und Flacheninhalt, stetig von den 4n Koordinaten der Ecken abhangt, die man ohne Beschrankung der Allgemeinheit auf eine kompakte Punktmenge im 4n-dimensionalen Raum einschranken kann. Dementsprechend konnen wir bei diesem Problem fur Polygone unbedenklich von der Annahme ausgehen, daB ein gewisses Polygon P Fig. 230 die Losung ist, und auf Grund dieser Annahme die Eigenschaften von P untersuchen. Genau wie bei dem Steinerschen Beweis ergibt sich, daB P konvex sein muB. Wir beweisen weiter, daB alle 2n Seiten von P dieselbe Lange haben mussen. Denn nahmen wir an, daB zwei benachbarte Seiten AB und Be verschieden lang sind, so konnten wir das Dreieck ABC von P abschneiden und durch ein gleichschenkliges Dreieck AB'e ersetzen, in dem AB' + B'C = AB + Be ware und das einen groBeren Flacheninhalt besaBe (siehe § I). Dann wiirden wir ein Polygon P' mit demselben Umfang und groBerem FlacheniIihalt erhalten, im Widerspruch zu der Annahme, daB P das optimale Polygon mit 2n Seiten ist. Daher mussen alle Seiten von P

§ 9. Extremalprobleme mit Randbedingungen

285

die gleiche Lange haben, und es bleibt nur noch zu zeigen, daB P regelmaBig ist; hierfur genugt es, wenn man weiB, daB aile Ecken von P auf einem Kreise liegen. Der Gedankengang folgt wieder dem Steinerschen Muster. Zuerst zeigen wir, daB jede Diagonale, die gegenuberliegende Ecken verbindet, z. B. die erste mit der (n + I)-ten, die Flache in gleich groBe Teile zerlegt. Dann beweisen wir, daB aile Ecken des einen dieser Teile auf einem Halbkreis liegen. Die DurchfUhrung der Einzelheiten sei dem Leser zur Obung uberlassen. Den Existenzbeweis, zusammen mit der Losung des isoperimetrischen Problems, kann man jetzt durch einen GrenzprozeB erhalten, bei dem die Anzahl der Ecken gegen unendlich strebt und das optimale regelmaBige Polygon gegen den Kreis. Die Steinersche SchluBweise ist keineswegs geeignet, die entsprechende isoperimetrische Eigenschaft der Kugel bei drei Dimensionen zu beweisen. Eine etwas andere und kompliziertere Behandlung wurde von STEINER angegeben, die sich sowohl auf drei Dimensionen als auch auf zwei anwenden HiBt, aber da diese nicht so unmittelbar auch fUr den Nachweis der Existenz benutzt werden kann, soil sie hier ubergangen werden. In der Tat ist die Aufgabe, die isoperimetrische Eigenschaft der Kugel zu beweisen, sehr viel schwieriger als beim Kreis. Erst lange nach STEINER ist ein strenger Beweis von H. A. SCHWARZ erbracht und spater von anderen in verschiedener Weise vereinfacht worden. Die dreidimensionale isoperimetrische Eigenschaft liiBt sich durch die Ungleichung

36nV2

~

F3

zwischen der Oberflache F und dem Rauminhalt V eines beliebigen dreidimensionalen Korpers ausdrucken, wobei das Gleichheitszeichen nur fur die Kugel gilt.

*§ 9. Extremalprobleme mit Randbedingungen Zusammenhang zwischen dem Steinerschen Problem und dem isoperimetrischen Problem Interessante Resultate ergeben sich bei Extremalproblemen, wenn der Bereich der Variablen durch Randbedingungen eingeschriinkt wird. Der Satz von WEIERSTRASS, daB in einem kompakten Bereich eine stetige Funktion ihren groBten und kleinsten Wert annimmt, schlieBt die Moglichkeit nicht aus, daB die Extremwerte auf dem Rande des Bereichs angenommen werden. Ein einfaches, fast triviales Beispielliefert die Funktion u = x. Wenn x nicht beschrankt ist und von - 00 bis + 00 variieren kann, dann ist der Bereich B der unabhangigen Variablen die ganze Zahlenachse, und daraus erkliirt es sich, daB die Funktion u = x nirgends einen groBten oder kleinsten Wert hat. Wenn aber der Bereich B durch Grenzen eingeschriinkt ist, etwa 0 ~ x ~ 1, dann existiert ein groBter Wert 1, der am rechten Endpunkt, und ein kleinster Wert 0, der am linken Endpunkt angenommen wird. Ailerdings steUen diese Extremwerte keinen Gipfel- oder Talpunkt auf der Kurve der Funktion dar; sie sind keine Extrema bezuglich einer voUen zweiseitigen Umgebung. Sie andern sich, sobald das IntervaU vergroBert wird, da sie stets an dessen Endpunkten bleiben. Fur einen richtigen Gipfel oder Talpunkt einer Funktion bezieht sich der extremale Charakter immer auf die ganze beiderseitige Umgebung des Punktes, in dem der Wert erreicht wird; er andert sich bei einer geringfugigen Anderung der Begrenzung nicht. Ein solches Extremum bleibt selbst

286

VII. Maxima und Minima

bei freier Variation der unabhiingigen Variablen im Bereich B erhalten, wenigstens in einer hinreichend kleinen Umgebung. Die Unterscheidung zwischen solchen "freien" Extremen und denen, die an der Begrenzung angenommen werden, ist fUr viele scheinbar ganz verschiedene Zusammenhange aufschluBreich. FUr Funktionen einer Variablen Iauft der Unterschied natiirlich einfach auf den zwischen monotonen und nicht monotonen Funktionen hinaus und fiihrt nicht zu besonders interessanten Feststellungen. Es gibt aber viele bedeutsame Beipiele fUr Extremwerte, die am Rande des Variabilitatsbereichs von Funktionen mehrerer Variablen angenommen werden. Dies kann zum Beispiel bei dem Schwarzschen Dreiecksproblem vorkommen. Der Variabilitatsbereich der drei unabhangigen Variabeln besteht bier aus allen Punkttripe1n, von denen je ein Punkt auf einer der drei Seiten des Dreiecks ABC liegt. Die Losung des Problems erforderte die Unterscheidung zweier Falle: Entweder wird das Minimum angenommen, wenn alle drei unabhiingig verschiebbaren Punkte P, Q, R auf dem Innem der betreffenden Dreiecksseiten liegen - in diesem Fall ist das Minimum durch das Hohendreieck gegeben - oder das Minimum wird in der Grenzlage angenommen, wenn zwei der Punkte P, Q, R mit dem gemeinsamen Endpunkt ihrer jeweiligen Intervalle zusammenfallen - in diesem Fall ist das minimale einbeschriebene "Dreieck" die doppelt genommene l:Iohe v.on diesem Eckpunkt aus. Demnach ist der Charakter der LOsung ganz verscbieden, je nachdem, welche dieser Altemativen vorliegt. Bei dem Steinerschen Problem der drei Dorfer ist der Variabilitatsbereich des Punktes P die ganze Ebene, wobei die drei gegebenen Punkte A, B, Cals Grenzpunkte angesehen werden konnen. Es gibt wieder zwei Altemativen, die zwei ganzlich verschiedene Typen von LOsungen liefem: Entweder wird das Minimum im Innem des Dreiecks ABC angenommen - dies ist der Fall der drei gleich gro.Ben Winkel - oder es wird in einem Grenzpunkt C angenommen. Ahnliche Altemativen gelten fUr das komplementare Problem. Als letztes Beispiel wollen wir noch das durch Randbedingungen modifizierte isoperimetrische Problem betrachten. Wir entdecken dabei einen iiberraschenden Zusammenhang zwischen dem isoperimetrischen Problem und dem Steinerschen Problem und haben zugleich ein besonders einfaches Beispiel fUr einen neuen Typ von Extremalproblemen. In dem urspriinglichen Problem konnte die unabhiingige Variable, die geschlossene Kurve von gegebener Lange, beliebig von der Kreisgestalt abweichen, und jede derartige Kurve war zur Konkurrenz zugelassen, so daB wir ein wirklich freies Minimum hatten. Jetzt wollen wir das folgendermaJ3en abgeanderte Problem betrachten: Die zugelassenen Kurven C sollen drei gegebene Punkte P, Q, R in ihrem Innem einschlieBen oder durch sie hindurchgehen, der Flacheninhalt Fist vorgeschrieben, und die Lange L sollein Minimum werden. Dies stellt eine echte Randbedingung dar. 1st F geniigend groB vorgeschrieben, dann haben die drei Punkte P, Q, R auf das Problem natiirlich gar keinen EinfluB. Wenn der dem Dreieck PQR umbeschriebene Kreis einen Flacheninhalt kleiner oder gleich F hat, so ist die LOsung einfach ein Kreis vom Inhalt F, der die drei Punkte enthalt. Wenn nun aber F kleiner ist? Wir wollen die LOsung bier mitteilen, aber den etwas umstandlichen Beweis fortlassen, obwohl er uns zuganglich ware. Wir beschreiben die LOsungen fUr eine Folge von F-Werten, die gegen Null strebt. Sobald F kleiner ist als die

§ 9. Extremalprobleme mit Randbedingungen

Flliche des umbeschriebenen Kreises, zerfaut der urspriingliche isoperimetrische Kreis in drei Bogen von gleichem Radius, die ein konvexes Kreisbogendreieck mit den Ecken P, Q, R bilden (Fig. 232). Dieses Dreieck ist die LOsung. Seine Abmessungen konnen aus dem gegebenen Wert F bestimmt werden. Wenn F weiter abnimmt, wachst der Radius der KreisbOgen, und die Bogen nahem sich mehr und mehr geraden Linien, bis schlieBlich, wenn F genau gleich dem Inhalt des Dreiecks PQR ist, dieses Dreieck selbst die Losung bildet. Wenn F noch kleiner wird, so besteht die Losung wieder aus drei KreisbOgen von gleichem Radius, die ein Dreieck mit den Ecken P, Q, R bilden. Aber jetzt ist das Dreieck p

Fig. 231

Fig. 232

Fig. 233

p

X' /l~~ Fig. 234

Fig. 235

Fig. 231-235. lsoperimetrische Figuren, die gegen die Uisung der Steinerschen Problems strebel>

konkav, und die Bogen liegen innerhalb des Dreiecks PQR (Fig. 233). Nimmt F weiter ab, so kommt ein Zeitpunkt, in dem sich fur einen gewissen Wert vonF zwei der konkaven Kreisbogen in einer Ecke R beruhren. Bei noch weiterer Abnahme von Fist es nicht mehr moglich, ein Kreisbogendreieck vom bisherigen Typ zu konstruieren. Es tritt eine neue Erscheinung auf: die Losung ist noch immer ein Kreisbogendreieck, aber eine seiner Ecken R' hat sich von der entsprechenden Ecke R abgelost, und die Losung besteht jetzt aus einem Kreisbogendreieck PQR' plus der doppelt gezahlten Strecke RR' (sie lauft von R' nach R und zuruck). Diese Strecke ist die Tangente an die beiden sich in R' beriihrenden Bogen. Nimmt F noch weiter ab, so setzt der AblosungsprozeB auch an den anderen Ecken ein. SchlieBlich erhalten wir als Losung eine Figur, die aus drei sich beriihrenden KreisbOgen von gleichem Radius besteht, welche ein gleichseitiges Kreisbogendreieck P'Q'R' bilden, und dazu aus drei doppelt gezahlten Strecken P'P, Q'Q, R'R (Fig. 234). Wird schlieBlichF gleich Null, dann reduziert sich das Kreisbogendreieck auf einen Punkt und wir kommen zu der Losung des Steinerschen Problems; wir sehen also, daB dieses ein Grenzfall des modifizierten isoperimetrischen Problems ist. Wenn P, Q, Rein stumpfwinkliges Dreieck mit einem Winkel von mehr als 1200 bilden, dann fuhrt der SchrumpfungsprozeB zu der entsprechenden Losung des Steinerschen Problems; denn dann ziehen sich die KreisbOgen auf die stumpfe

288

VII. Maxima und Minima

Ecke zusammen. Die Losungen des verallgemeinerten Steinerschen Problems (siehe Fig. 216-218 auf S.273) konnen durch Grenzprozesse von ahnlicher Art gefunden werden.

§ 10. Die Variationsrechnung 1. Einleitung

Das isoperimetrische Problem ist wahrscheinlich das alteste Beispiel fiir eine groBe Klasse von wichtigen Problemen, auf die JOHANN BERNOULLI 1696 aufmerksam gemacht hat. In den "Acta Eruditorum", der wissenschaftlichen Zeitschrift der damaligen Zeit, stellte er das folgende "Problem der Brachystochrone" auf: Ein Massenpunkt gleitet ohne Reibung langs einer gewissen Kurve, die einen Punkt A mit einem tieferen Punkt B verbindet. Fiir welche dieser Kurven wird die Laufzeit am kiirzesten, wenn der Massenpunkt lediglich unter dem EinfluB der Schwerkraft steht ? Es ist leieht einzusehen, daB das gleitende Teilchen auf verschiedenen Kurven verschieden lange Zeiten brauchen wird. Die gerade Linie ergibt keineswegs die kiirzeste Laufzeit, auch der Kreisbogen oder andere elementare Kurven sind nicht die Losung. BERNOULLI rUhmte sieh, eine elegante Losung zu besitzen, die er nieht gleieh veroffentlichen wolle, um die groBten Mathematiker seiner Zeit anzuregen, ihre Kunst an dieser neuartigen mathematischen Fragestellung zu erproben. Insbesondere forderte er seinen alteren Bruder JAKOB dazu heraus, mit dem er bitter verfeindet war. Die Mathematiker erkannten sofort den ganz neuen Charakter dieses "Brachystochronenproblems". Bis dahin waren die GroBen, deren Minimum man mit der Differentialrechnung bestimmte, lediglich von einer oder mehreren Variablen abhangig gewesen. In dem neuen Problem jedoch hangt die betrachtete GroBe, namIich die Laufzeit, von dem ganzen Kurvenverlauf ab, und darin besteht ein wesentlicher Unterschied, der das Problem dem Zugriff der Differentialrechnung und alier damals bekannten Methoden entzog. Die Neuartigkeit des Problems - anscheinend war damals noch nicht sofort erkannt worden, daB das isoperimetrische Problem von derselben Art war faszinierte die zeitgenossischen Mathematiker um so mehr, als es sieh herausstellte, daB die Losung die Zykloide ist, eine Kurve, die erst kurz zuvor entdeckt worden war. (Wir erinnem an die Definition der Zykloide: Sie ist die Bahn _ _ eines Punktes auf dem Umfang eines Kreises, der ohne zu gleiten entlang Fig. 236. Die Zykloide einer geraden Linie rollt, wie Fig. 236 zeigt.) Diese Kurve war mit interessanten mechanischen Problemen in Zusammenhang gebracht worden, vor allem mit der Konstruktion eines idealen Pendels. HUYGENS hatte entdeckt, daB ein Massenpunkt, der ohne Reibung unter dem EinfluB der Schwerkraft auf einer vertikalen Zykloide hin und her schwingt, eine von der Amplitude der Bewegung unabhangige Schwingungsdauer besitzt. Auf einem kreisbogenformigen Wege, wie er von dem gewohnlichen Pendel beschrieben wird, besteht diese Unabhangigkeit nur angenahert, und dies galt als Nachteil bei der Benutzung des Pendels fiir Prazisionsuhren. Die Zykloide hatte den Ehrennamen "Tautochrone" erhalten; nun bekam sie dazu den neuen Titel "Brachystochrone".

!Q /

2. Die Variationsrechnung. Das Fermatsche Prinzip in der Optik

289

2. Die Variationsrechnung. Das Fermatsche Prinzip in der Optik Beide Bruder BERNOULLI und andere gaben Losungen fur das Problem der Brachystochrone; die originellste, welche von dem angegriffenen alteren Bruder JAKOB herriihrte, werden wir unten besprechen. Bald entwickelten EULER und LAGRANGE (1736-1813) allgemeinere Methoden fur die Losung von Extremalproblemen, bei denen die unabhangige Veranderliche nicht eine einzelne numerische Variable oder eine endliche Anzahl solcher Variablen, sondem eine ganze Kurve oder Funktion oder sogar ein System von Funktionen war. Die neue Methode zur Losung solcher Probleme wurde Variationsrechnung genannt. Es ist hier nicht moglich, die technische Seite dieses Zweiges der Analysis darzuI stellen oder auf die Diskussion spezieller Probleme genauer einzugehen. Man hatte schon seit langem bemerkt, daB Natur]I erscheinungen sich haufig durch Extremaleigenschaften charakterisieren lassen. Wie wir gesehen haben, erkannte HERON von ALEXANDRIA, daB die Refiexion Fig. 237. Brechung eines Lichtstrahls eines Lichtstrahles an einem ebenen Spiegel durch ein Minimalprinzip beschrieben werden kann. 1m 17. Jahrhundert tat FERMAT den nachsten Schritt: Er bemerkte, daB auch das Gesetz der Lichtbrechung in Form eines Minirnalprinzips dargestellt werden kann. Es ist bekannt, daB der Weg des Lichts aus einem homogenen Medium in ein anderes an der Grenzfiache gebrochen wird. Fig. 237 stellt einen Lichtstrahl dar, der einen Punkt P im oberen Medium mit einem Punkt R im unteren Medium verbindet, wobei die Geschwindigkeit im oberen Medium v, im unteren w sein soll. Nach dem empirischen Gesetz von SNELL (1591-1626) besteht der Weg aus zwei geradlinigen Strecken PQ und QR, deren RichtungswinkellX und IX' zur Normalen durch die Bedingung sin IX/sin IX' = v/w bestimmt sind. Mit Hilfe der Differentialrechnung bewies FERMAT, daB fur diesen Lichtweg die Zeit, die das Licht von P nach R braucht, ein Minimum ist, d. h. kleiner ist, als sie auf jedem anderen, die Punkte verbindenden Wege sein wurde. So wurde HERONS Refiexionsgesetz sechzehnhundert Jahre spater durch ein ganz ahnliches und ebenso wichtiges Brechungsgesetz erganzt. FERMAT verallgemeinerte die Aussage des Brechungsgesetzes so, daB auch gekrummte Grenzfiachen zwischen den Medien, zum Beispiel die Oberfiachen von Linsen, eingeschlossen werden. Auch in diesem Fall gilt die Aussage, daB das Licht einen Weg durchlauft, fur den ein Minimum an Zeit erforderlich ist, im Vergleich zu irgendeinem anderen moglichen Weg zwischen denselben Punkten. SchlieBlich betrachtete FERMAT beliebige optische Systeme, in denen die Lichtgeschwindigkeit in bestimmter Weise von Punkt zu Punkt variiert, wie es in der Atmosphare der Fall ist. Er dachte sich das stetig inhomogene Medium in dunne Scheib en zerlegt, in denen jeweils die Lichtgeschwindigkeit angenahert konstant ist, und ersetzte dieses Medium durch ein solches, in dem die Geschwindigkeit in jeder Scheibe wirklich konstant ist. Dann konnte er wieder das Prinzip des Brechungsgesetzes anwenden, indem er von jeder Scheibe zur nachsten weiterging. Als er schlieBlich die Dicke der Scheiben gegen Null streben lieB, gelangte er zu dem allgemeinen F ermatschen Prinzip der geometrischen Optik: in einem inhomogenen Courant u. Robbins. Mathematik

290

VII. Maxima und Minima

Medium durchlauft ein Lichtstrahl zwischen zwei Punkten einen solchen Weg, daB die dazu notige Zeit ein Minimum ist im Vergleich zu allen andern die Punkte verbindenden Wegen. Dieses Prinzip gewann die groBte Bedeutung, nicht nur fUr die theoretische Einsicht in die geometrische Optik, sondern auch fUr deren praktische Beherrschung. Die Technik der Variationsrechnung, angewandt auf dieses Prinzip, liefert in der Tat die Grundlage fiir die Berechnung von Linsensyst~men. Minimalprinzipien spielen auch in andern Zweigen der Physik eine beherrschende Rolle. Zum Beispiel herrscht in einem mechanischen System dann stabiles Gleichgewicht, wenn sich das System in einem Zustand befindet, in dem seine "potentielle Energie" ein Minimum ist. Betrachten wir etwa eine biegsame homogene Kette, die an ihren beiden Enden aufgehangt und der Wirkung der Schwerkraft unterworfen ist. Die Kette nimnit eine Gestalt an, bei der die potentie1le Energie ein Minimum ist. In diesem Fall ist die potentielle Energie durch die Hohe des Schwerpunktes iiber einer festen Achse bestimmt. Die Kurve, in der die Kette hangt, wird Kettenlinie genannt und ahnelt einer Parabel. Nicht nur die Gesetze des Gleichgewichts, sondern auch die der Bewegung werden von Maximum- und Minimumprinzipien beherrscht. Es war EULER, der die ersten klaren Vorstellungen iiber diese Prinzipien entwickelte, wahrend andere, die wie MAUPERTUIS (1698-1759) zu philosophischen und mystischen Spekulationen neigten, nicht unterscheiden konnten zwischen mathematischen Aussagen und unklaren Ideen iiber "Gottes Absicht, die physikalischen Erscheinungen nach dem Prinzip der groBten Vollkommenheit zu regeln". EULER8 Variationsprinzipien der Physik, die spater durch den irischen Mathematiker W. R. HAMILTON (1805-1865) wiederentdeckt und erweitert wurden, haben sich a1s ein wirksames Hilfsmittel in Mechanik, Optik und Elektrodynamik erwiesen und zu vielen, auch technischen Anwendungen gefiihrt. Die neuere Entwicklung der Physik - Relativitat und Quantentheorie - weist zahlreiche Beispiele fiir die Vielseitigkeit und Kraft der Variationsmethoden auf.

3. BERNOULJ.I8 Behancllung des Problems der Brachystochrone Eine der ersten Methoden, die von JAKOB BERNOULLI iiir das Problem der Brachystochrone entwickelt wurden, laBt sich schon mit verhaltnismaBig geringen Vorkenntnissen verstehen. Wir gehen von der aus der Mechanik bekannten Tatsache aus, daB ein Massenpunkt, der aus der Ruhelage A langs einer beliebigen Kurve C fant, in jedem Punkt Peine Geschwindigkeit proportional hat, wobei h der vertikale Abstand zwischen A und P ist; das heiBt v = c mit einer Konstanten c. Nun ersetzen wir das gegebene Problem durch ein leicht abgeandertes. Wir zerlegen den Raum in viele diinne horizontale Schichten von je der Dicke d und nehmen iiir den Augenblick an, daB die Geschwindigkeit des bewegten Punktes sich nicht stetig, sondern in kleinen Spriingen von Schicht zu Schicht andert, so daB in der ersten, A benachbarten Schicht die Geschwindigkeit c y'd, in der zweiten c in der n-ten c ist, usw. (siehe Fig. 238). Dieses Problem bezieht sich tatsachlich nur auf eine endliche Anzahl von Variablen. In jeder Schicht muB die Bahn des Teilchens geradlinig sein; ein Existenzproblem tritt nicht auf, die Losung muB ein Polygon sein, und die einzige Frage ist, wie dessen Eckpunkte zu bestimmen sind. Wie bei der

VIi",

VIi"

V2d,

Vnd

4. Geodatische Linien auf einer Kugel. Geodatische Linien und Maxi-Minima

291

gewohnlichen Brechung muB die Bewegung von P nach R tiber Q in jedem Paar benachbarter Schichten so verlaufen, daB, wenn P und R festliegen, Q die ktirzestmogliche Zeit gewahrleistet. Daher muB das folgende "Brechungsgesetz" gelten: sin

sin

ot

ot'

vmr=V(n+1)d'

A

Wiederholte Anwendung dieser Dberlegung liefert eine Reihe von Gleichungen:

(1)

sin

otl

Vil

sin

ota

= V2d = ...

wobei IX,.. der Winkel zwischen dem Polygonsttick in der n-ten Schicht und der VertiFig. 238 kalen ist. Nun stellt BERNOULLI sich vor, daB die Dicke d kleiner und kleiner wird, also gegen Null strebt, so daB das Polygon, das sich als Losung des angenaherten Problems ergeben hatte, gegen die verlangte Losung des ursprtinglichen Problems strebt. Bei diesem Grenztibergang werden die Gleichungen (1) nicht gestort, und daher schlieBt BERNOULLI, daB die Losung eine Kurve C mit der folgenden Eigenschaft sein muB: wenn IX der Winkel zwischen der Tangente und der Vertikalen an irgendeinem Punkt P von C und h der vertikale Abstand des Punktes P von der Horizontalen durch A ist, dann ist sin IX/Vii konstant fur aile Punkte P von C. Es laBt sich sehr einfach zeigen, daB diese Eigenschaft fUr die Zykloide charakteristisch ist. BERNOULLIs "Beweis" ist ein typisches Beispiel fUr eine geistreiche und sinnvolle mathematische Dberlegung, die aber keineswegs streng ist. Sie enthalt mehrere stillschweigende Annahmen, deren Rechtfertigung komplizierter und langwieriger sein wtirde als die Dberlegung selbst. Zum Beispiel wurde einfach angenommen, daB eine Losung C existiert und daB femer die Losung des angenaherten Problems sich der wirklichen Losung nahern muB. Trotzdem ist BERNOULLIs Konstruktion einleuchtend und inspirierend. Es ist eine wesentliche Tatsache, daB Logik und Strenge nicht allein das Wesen der Mathematik ausmachen. 4. Geodatische Linien auf einer Kugel. Geodatische Linien und Maxi-Minima In der Einleitung zu diesem Kapitel erwahnten wir das Problem, den kurzesten Bogen zwischen zwei gegebenen Punkten einer Flache zu finden. Auf einer Kugel sind, wie die Elementargeometrie lehrt, diese "geodatischen Linien" die Bogen von GroBkreisen. Sind P und Q zwei (nicht antipodische) Punkte einer Kugel, und ist c der kurzere Bogen des GroBkreises durch P und Q, so Fig. 239. entsteht die Frage, was man tiber den langeren Bogen c' GeocUi.tisclle Linien auf dec Kugel desselben Kreises aussagen kann. Jedenfalls gibt er nicht die kurzeste Verbindung, aber er kann auch nicht die maximale Lange einer P und Q verbindenden Kurve darstellen, denn man kann zwischen P und Q beliebig lange Kurven zeichnen. Die Antwort ist, daB c' die Losung eines 19·

292

VII. Maxima und Minima

Maxi-Minimum-Problems ist. Betrachten wir einen weiteren Punkt S auf der Kugel und fragen wir nach der kiirzesten Verbindung von P nach Q, die durch S geht. Das Minimum ist natiirlich durch eine Kurve gegeben, die aus den beiden kleineren Bogen der GroBkreise PS und QS besteht. Nun suchen wir eine solche Lage des Punktes S, fiir die diese kleinste Entfemung PSQ so groB wie moglich wird. Die LOsung ist: S muB so liegen, daB PSQ der Hingere Bogen c' des GroBkreises PQ ist. Man kann das Problem modifizieren, indem man zuerst den kiirzesten Weg von P nach Q sucht, der durch n vorgeschriebene Punkte der Kugel, SI' S., ... , S", geht, und dann die Punkte S1> S2' ... , S" so zu bestimmen sucht, daB diese minimale Lange so groB wie moglich wird. Es ist plausibel, daB dieses Problem einen Weg auf dem groBten Kreis ergibt, der P und Q verbindet, aber dieser Weg Umschlingt die Kugel so oft, daB die Punktedie diametralgegeniiber P und Q liegen, genau nmal durchlaufen werden. Dieses Beispiel eines Maximum-Minimum-Problems ist typisch fiir eine groBe Klasse von Fragen in der Variationsrechnung, die mit groBem Erfolg aufgrund der Methoden, die von MORSE und anderen entwickelt wurden, untersucht worden sind.

§ 11. Experimente11e Losungen von Minimumproblemen Seifenhautexperimente

1. Einfiibrung Es ist haufig schwierig, manchmal unmoglich, Variationsprobleme durch explizite Formeln oder geometrische Konstruktionen aus bekannten einfachen Elementen zu Iosen. Statt dessen begniigt man sich oft damit, nur die Existenz einer LOsung unter gewissen Bedingungen zu beweisen und nachher die Eigenschaften der LOsung zu untersuchen. In vielen FaIlen, in denen ein solcher Existenzbeweis sich als mehr oder weniger schwierig erweist, ist es anregend, die mathematischen Bedingungen des Problems durch entsprechende physikalische Anordnungen zu rea1isieren oder besser, das mathematische Problem als Deutung einer physikalischen Erscheinung aufzufassen. Die Existenz der physikalischen Erscheinung entspricht dann der LOsung des mathematischen Problems. Natiirlich ist dies nur eine Plausibilitatsbetrachtung und kein mathematischer Beweis, da noch die Frage offenbleibt, ob die mathematische Deutung dem physikalischen Vorgang im strengen Sinne entspricht oder ob sie nur ein inadaquates Bild der physikalischen Wirklichkeit gibt. Zuweilen sind solche Experimente, selbst wenn sie nur in Gedanken ausgefiihrt werden, sogar fiir Mathematiker iiberzeugend. 1m 19. Jahrhundert wurden viele Fundamentalsatze der Funktionentheorie dadurch von RIEMANN entdeckt, daB er sich einfache Experimente iiber den elektrischen Stromverlauf in diinnen Metallfolien ausdachte. In diesem Abschnitt wollen wir, ausgehend von Experimenten, eines der tieferen Probleme der Variationsrechnung erortem. Dieses Problem wird "PLATEAUs Problem" genannt, da PLATEAU, ein belgischer Physiker (1801-1883), interessante Experimente iiber diesen GegeIlStand durchfiihrte. Das Problem selbst ist viel alter und stammt aus den Anfangen der Variationsrechnung. In seiner einfachsten Form lautet es: man bestimme die kleinstmogliche Flache, die von einer gegebenen Randkurve begrenzt wird. Wir werden auBerdem Experimente bespre-

2. Seifenhautexperimente

293

chen, die sich mit verwandten Fragen beschaftigen; dabei werden wir entdecken, daB manche unserer frtiheren Ergebnisse ebenso wie gewisse neue Probleme dadurch sehr durchsichtig werden. 2. Seifenhautexperimente

Mathematisch ist "Plateaus Problem" mit der Losung einer "partiellen Differentialgleichung" oder einem System solcher Gleichungen verknupft. EULER hatte gezeigt, daB alle (nicht-ebenen) Minimalflachen sattel£ormig sein mussen und daB die mittlere Krtimmung* in jedem Punkt Null sein muB. Wahrend des letzten Jahrhunderts ist fur viele spezielle Falle gezeigt worden, daB es eine Losung gibt, aber die Existenz einer Losung fur den allgemeinen Fall wurde erst kiirzlich bewiesen. PLATEAUs Experimente ergeben sofort physikalische Losungen fiir recht allgemeine Randkurven. Wenn man ein aus Draht hergestelltes, geschlossenes Rahmchen in eine Fliissigkeit mit geringer Oberflachenspannung eintaucht und dann herauszieht, so bildet sich eine dunne Raut in der Form einer Minimalflache innerhalb Wiirle!formiger Rahmen mit einem Seilen· des Rahmchens. (Denn die kleinstmogliche Fig. 240. hautsystem von 13 nahezu ebenen Fliichen Flache hat den geringstmoglichen Wert der durch die Oberflachenspannung bedingten potentiellen Energie und stellt daher eine Lage stabilen Gleichgewichts dar, auf die sich die Raut einstellen muB, sofem von dem EinfluB der Schwerkraft und anderer storender Krafte abgesehen werden kann.) Ein gutes Rezept fUr eine solche Fliissigkeit ist das foigende: Man lose 10 g reines, trockenes, Olsaures Natrium in 500 g destilliertem Wasser und mische 15 Raumteile der Losung mit 11 Raumteilen Glycerin. Haute, die man mit dieser Losung und mit Rahmen aus Messingdraht erhalt, sind verhaltnismaBig stabil. Die Rahmen sollten nicht mehr als 12-15 cm Durchmesser haben. Mit dieser Methode ist es sehr leicht, das Plateausche Problem zu "Iosen", indem man einfach den Draht in die gewiinschte Form biegt. Sehr schone Minimalflachen entstehen in polygonalen Drahtrahmen, die aus einem System von Kanten regularer Polyeder bestehen. Insbesondere ist es interessant, den ganzen Rahmen eines Wiirfeis in eine solche Losung zu tauchen. Das Ergebnis ist zuerst ein System verschiedener Flachen, die einander in Winkeln von 120 0 Hi-ngs gerader Schnittlinien treffen. (Wird der Wiirfel vorsichtig aus der Losung gezogen, so entstehen 13 nahezu ebene Flachen.) Dann kann man so viele von diesen verschiedenen Flachen durchstoBen und damit zerstoren, daB schlieBlich nur eine von einem • Die mittlere Kriimmung einer Flache in einem Punkt P ist folgendermaBen de1iniert : Man betrachte die Senkrechte auf die Flache in P und aile Ebenen, die sie enthalten. Diese Ebenen schneiden die Flachen in Kurven, die im allgemeinen in P verschiedene Kriimmung haben. Nun betrachte man die Kurven mini maIer bzw. maximaler Kriimmung. (1m allgemeinen werden die Ebenen, die diese Kurven enthalten, aufeinander senkrecht stehen.) Die halbe Summe dieser beiden Kriimmungen heiBt die mittlere Kriimmung der Flache in P .

294

VII. Maxima und Minima

geschlossenen Polygon begrenzte Flache ubrig bleibt. Mehrere schOne Flachen lassen sich auf diese Weise herstellen. Auch mit einem Tetraeder laBt sich das gleiche Experiment durchfuhren. 3. Neue Experimente zum Plateauschen Problem Der Anwendungsbereich solcher Seifenhautversuche mit MinimalHachen ist groBer, als diese ursprunglichen Plateauschen Experimente zeigten. In neuerer Zeit wurde das Problem der Minimalfiachen studiert, wenn nicht nUT eine, sQndern eine beliebige Anzahl von begrenzenden Konturen vorgegeben sind und wenn

Fig. 241. Einseitige Flache (Miibiussches Band)

Fig. 242. Zweiseitige Flache

Fig. 243. System von drei FIachen

auBerdem die topologische Struktur der Flache komplizierter ist. Zum Beispiel kann die Flache einseitig sein oder von einem von Null verschiedenen Geschlecht. Diese allgemeineren Probleme ergeben eine erstaunliche Mannigfaltigkeit geometrischer Erscheinungen, die sich durch Seifenhautexperimente darstellen lassen. In diesem Zusammenhang ist es zweckmaBig, den Drahtrahmen biegsam zu machen und die Wirkung von Deformationen der vorgeschriebenen Randlinien auf die Losung zu studieren. Wir wollen einige Beispiele beschreiben. 1. Fur eine kreis£ormige Randkurve erhalten wir eine ebene KreisHache. Wenn wir den Randkreis stetig deformieren, so sollte man erwarten, daB die MinimalHache stets den topologischen Charakter einer KreisHache hat. Das ist aber nicht der Fall. Wenn die Randlinie in die durch Fig. 241 angedeutete Form gebogen wird, so ergibt sich eine Minimalfiache, die nicht mehr einfach zusammenhangend ist wie die KreisHache, sondern ein einseitiges Mobiussches Band ist. Umgekehrt konnten wir auch von diesem Rahmen und einer Seifenhaut in der Form eines Mobiusschen Bandes ausgehen. Wir konnen dann den Drahtrahmen deformieren, indem wir zwei angelotete Handgriffe (Fig. 241) auseinanderziehen. Bei diesem Vorgang tritt einmal der Zeitpunkt ein, in dem sich plotzlich der topologische Charakter des Hautchens andert, so daB die Flache wieder einfach zusammenhangend ist (Fig. 242). Machen wir die Deformation ruckgangig, so erhalten wir wieder das Mobiussche Band. Bei diesem umgekehrten DeformationsprozeB tritt die Verwandlung der einfach zusammenhangenden Flache in das Mobiussche Band

3. Neue Experimente zum Plateauschen Problem

295

erst in einem spateren Stadium ein. Dies zeigt, daB es einen ganzen Bereich von Formen der Randlinie geben muB, in denen sowohl das Mobiussche Band wie die einfach zusammenhangende Flache stabil sind, d. h. relative Minima liefem. Wenn aber die Flache des Mobiusschen Bandes sehr viel kleiner ist als die andere Flache, dann ist diese zu unstabil, um sich auszubilden. 2. Zwischen zwei Kreisen konnen wir eine rotationssymmetrische Minimalflache ausspannen. Nach dem Herausziehen der Drahtrahmen aus der Seifenlosung erhalten wir nicht eine einfache Flache, sondem ein System von drei Flachen, die unter Winkeln von 1200 zusammentreffen; eine davon ist eine einfache Kreisscheibe parallel zu den gegebenen Randkreisen (Fig. 243). Zerstort man diese mittlere Flache, so entsteht das klassische Katenoid (das Katenoid ist die Flache, die man erbalt, wenn man die auf S. 290 beschriebene Kettenlinie um eine zu ihrer Symmetrieachse senkrechte Gerade rotieren la6t). Zieht man di'e beiden Randkreise auseinander, so kommt ein Moment, in dem die zweifach zusammenhangende Minimalflache (das Katenoid) instabil wird. In diesem Moment springt das Katenoid urn in zwei getrennte Kreisflachen. Dieser Vorgang la6t sich nattirlich nicht umkehren. 3. Ein anderes interessantes Beispiel kann mit Hille des Rahmens der Figuren 244-246 dargestellt werden, in dem sich drei verschiedene Minimalflachen ausspannen lassen; die eine (Fig. 244) hat das Geschlecht I, wahrend die beiden andem einfach zusammenhangen und in gewisser Weise symmetrisch zueinander sind. Diese beiden haben denselben Flacheninhalt, wenn die Kontur vollkommen symmetrisch ist. 1st dies nicht der Fall, so gibt nur die eine Flache das absolute Minimum des Flacheninhalts, wahrend die andere ein relatives Minimum ergibt, sofem man nur die einfach zusammenhangenden Flachen ins Auge fa6t. Die Moglichkeit der LOsung vom Geschlecht 1 beruht auf der Tatsache, da6 durch Zulassung von Flachen vom Geschlecht 1 ein kleinerer Flacheninhalt erzielt werden

Fig. 244 Fig. 245 Fig. 246 Ein Rahmen, der drei verschiedene Fllichen vom Geschlecht 0 bzw. 1 zullillt

kann, als wenn verlangt wird, daB die Flache einfach zusammenhangt. Deformiert man den Rahmen, so wird man, wenn die Deformation stark genug ist, einen Punkt erreichen, wo dies nicht mehr zutrifft. Von da an wird die Flache vom Geschlecht 1 immer instabiler und geht schlieBlich unstetig in die einfach zusammenhangende, stabile LOsung tiber, die in Fig. 245 oder 246 dargestel1t ist. Wenn wir von einer dieser einfach zusammenhangenden LOsungen ausgehen, etwa der von Fig. 246, so konnen wir sie in der Weise deformieren, daB die andere einfach zusammen-

296

VII. Maxima und Minima

hangende Losung der Fig. 245 sehr viel stabiler wird. Die Folge ist, daB in einem gewissen Moment ein unstetiger tl'bergang von der einen zur anderen LOsung stattfindet. Macht man die Deformation langsam rfickgangig, so gelangt man wieder zu der urspriinglichen Gestalt des Rahmens, der jetzt aber die andere Losung enthalt. Wir konnen den Vorgang in umgekehrter Richtung wiederholen und auf diese Weise in unstetigen tl'bergangen zwischen den beiden Typen hin- und herpendeln.

Fig. 247. Einseitige MinimaUlache von hiiherer topologischer Struktur mit einer einzigen Randkurve

Bei vorsichtigem Manipulieren kann man auch jede der beiden einfach zusammenhangenden Losungen unstetig in die vom Geschlecht 1 fiberffihren. Zu diesem Zweck miissen wir die kreisformigen Teile sehr nahe aneinander bringen, so daB die FIache vom Geschlecht 1 sehr erheblich stabiler wird. Zuweilen erscheinen bei diesem ProzeB zUerst stuckweise ausgebildete Zwischenlosungen, die zerstort werden mussen, ehe die FHiche vom Geschlecht 1 entstehen kann. Dieses Beispiel zeigt, daB nicht nur verschiedene Losungen von demselben topologischen Typ, sondem auch Losungen von verschiedenen Typen in ein und demselben Rahmen moglich sind. Dariiber hinaus illustriert es die Tatsache, daB unstetige tl'bergange zwischen den Losungen auftreten konnen, wenn die Bedingungen des Problems stetig geandert werden. Man kann leicht auch kompliziertere Modelle dieser Art konstruieren und ihr Verhalten experimentell untersuchen. Eine interessante Erscheinung ist das Auftreten von Minimalfiachen, die von zwei oder mehr einander durchsetzenden geschlossenen Kurven begrenzt sind. Mit zwei Kreisen erhalten wir die in Fig. 248 dargestellte FIache. Wenn in diesem Beispiel die Kreise aufeinander senkrecht stehen und die Schnittlinie ihrer Ebenen ein Durchmesser beider Kreise ist, so gibt es zwei symmetrisch entgegengesetzte Formen dieser Flache mit gleichem FIachenlneinand':~~e Kurven inhalt. Werden die Kreise relativ zueinander ein wenig bewegt, so andert sich die Gestalt stetig, obwohl ffir jede Stellung der Kreise nur die eine Form ein absolutes und die andere ein relatives Minimum ist. Wenn die Kreise so bewegt werden, daB das relative Minimum entsteht, dann wird dieses bei einer bestimmten Stellung in das absolute uberspringen.

4. Experimentelle LOsungen anderer mathematischer Probleme

297

Hier haben beide moglichen Minimalflachen denselben topologischen Charakter, ebenso wie die Flachen in den Figuren 245-246, bei denen man durch eine leichte Deformation des Rahmens die eine in die andere umspringen lassen kann.

4. ExperimenteUe LOsungen anderer mathematischer Probleme Wegen der Wirkung der Oberflachenspannung ist ein Fliissigkeitshautchen nur dann im stabilen Gleichgewicht, wenn sein Flacheninhalt ein Minimum ist. Diese

Fig. 249. Demonstration der kiirzesten Verbindung zwischen " Punkten

Fig. 250. Kiirzeste Verbindung zwischen 5 Punkten

Tatsache ist eine unerschOpfliche QueUe fiir mathematisch wichtige Experimente. Wenn Teile der Begrenzung eines Hautchens sich auf gegebenen Flachen, etwa Ebenen, frei bewegen konnen, so stellt sich auf solchen Begrenzungen das Hautchen senkrecht zu der gegebenen Flache.

298

VII. Maxima und Minima

Diesen Umstand kann man zu eindrucksvollen Demonstrationen des Steinerschen Problems und seiner Verallgemeinerungen benutzen (siebe § 5). Zwei parallele Platten aus Glas oder durchsichtigem Kunststoff sind durch drei oder mehr senkrechte Stabe verbunden. Wenn wir dieses Objekt in eine Seifenlosung tauchen und herausziehen, so bildet die Seifenhaut ein System vertikaler Ebenen zwischen den Platten indem sie die festen Stabe verbindet. Die Projektion der Haut auf die Glasplatten ist die Losung des auf S. 273 besprochenen Problems. Sind die Platten nicht parallel, die Stabe nicht senkrecht zu den Platten oder die Platten gekriimmt, dann sind die von den Hautchen auf den Platten gebildeten Kurven nicht geradlinig, sondem stellen Beispiele ftir neue Variationsprobleme dar. Das Auftreten von Kurven, an denen drei Blatter einer Minimalflache sich unter Winkeln von 1200 treffen, kann als Verallgemeinerung Fi(. 251. Drei FIlIOOen, die siOO unter 120" des Steinerschen Problems auf mehr Dimensiotreffen und zwischen eirei DrAhten von A. nen aufgefaBt werden. Dies wird deutlich, wenn nach B gespannt sind wir z. B. zwei Punkte, A und B, im Raum durch drei Kurven verbinden und das entsprechende stabile System von Seifenhauten untersuchen. A1s einfachsten Fall nehmen wir a1s eine der drei Kurven die gerade Verbindungslinie AB und als die beiden andem zwei kongruente KreisbOgen. Fig. 251 zeigt das Ergebnis. Wenn die Ebenen der KreisbOgen einen Winkel von weniger a1s 120" bilden, erhalten wir drei Flachen, die sich unter 1200 treffen; drehen wir die beiden Bogen, so daB der eingeschlossene Winkel zunimmt, so geht die Losung stetig in zwei ebene Kreisabschnitte tiber. Nun wollen wir A und B durch drei kompliziertere Kurven verbinden. Als Beispiel konnen wir drei gebrochene Linien nehmen, deren jede aus drei Kanten desselben Wtirfels besteht und zwei sich diagonal gegentiberliegende Ecken verbindet; wir erhalten drei kongruente Flachen, die sich in der Hauptdiagonale des Wtirfels treffen. (Man erhiilt dieses System von Flachen aus Fig. 252. ])rei gebrochene LiDien, die zwei Punkte verbinden dem in Fig. 240 dargestellten, indem man die an drei passend gewahlten Kanten anliegenden Hautchen zerstort.) Wenn wir die drei gebrochenen Verbindungslinien von A und B beweglich machen, so sehen wir, wie die dreifache Schnittlinie sich allmahlich krtimmt. Die Winkel von 1200 bleiben erhalten (Fig. 252). AUe Erscheinungen, bei denen sich drei MinimalfHichen in gewissen Kurven treffen, sind im wesentlichen von gleicher Art. Es sind sachgemaBe Verallgemeinerungen des ebenen Problems, n Punkte durch das ktirzeste System von Geraden zu verbinden. Zum SchluB noch ein Wort tiber Seifenblasen. Die kugelformige Seifenblase zeigt, daB von allen geschlossenen Flachen mit gegebenem Volumen (bestimmt durch die Menge der darin enthaltenen Luft) die Kugel die kleinste Oberfiache hat.

4. Experimentelle L6sungen anderer mathematischer Probleme

299

Seifenblasen von gegebenem Volumen, die gewisse Randbedingungen erfiillen miissen, bilden im ailgemeinen keine Kugeln, sondem andere Flachen konstanter mittlerer Kriimmung, unter denen Kugel und Zylinder Spezialfhlle darstellen. Zum Beispiel blasen wir eine Seifenblase zwischen zwei parallele Glasplatten, die vorher mit der Seifenlosung benetzt worden sind. Wenn die Blase eine der Platten beriihrt, so nimmt sie plotzlich die Gestalt einer Halbkugel an; sobald sie

Fig. 253. Demonstration, daB der Kreis den kleinsten Umfang bei gegebener Flache hat

auch die andere Platte beriihrt, springt sie in die Gestalt eines Kreiszylinders - eine eindrucksvolle Demonstration fiir die isoperimetrische Eigenschaft des Kreises. DaB die Seifenhaut sich an ihrem "freien" Rand senkrecht zu der begrenzenden Flache stellt, ist ein wesentlicher Punkt fiir dieses Experiment. Durch Aufblasen von Seifenblasen zwischen zwei Platten mit senkrechten Verbindungsstaben kann man die auf S. 286f. besprochenen Probleme veranschaulichen.

II Fig. 254 und 255. lsoperimetrische Figuren mit Randbedingungen

So kann man das Verhalten der Losung des isoperimetrischen Problems studieren, indem man die Luftmenge in der Seifenblase mit Hilfe eines zugespitzten Rohrchens vermehrt oder auch verringert. Durch Aussaugen der Luft erhalt man jedoch nicht diejenigen Figuren von S. W, die aus sich beriihrenden Kreisbogen bestehen. Wenn die Luftmenge im Innem abnimmt, dann werden die Winkel des Kreisbogendreiecks (theoretisch) nicht kleiner als 120°; wir erhalten Formen, wie sie Fig. 254 und 255 zeigen, die schlieBlich wieder in ein Streckennetz wie in Fig. 235

300

VII. Maxima und Minima

ubergehen, wenn der Flacheninhalt Null wird. Der mathematische Grund ffir die Unfahigkeit der Seifenhaute, sich beriihrende Rreisbogen zu bilden, liegt darin, daB, sobald die Seifenblase sich von dem Eckpunkt ablost, die Verbindungslinie nicht mehr doppelt zu zahlen ist. Die entsprechenden Experimente sind in den Figuren 256 und 257 dargestellt. Obung: Man untersuche das entsprechende mathematische Problem: ein Kreisbogendreieck von gegebener Flache zu finden, dessen Umfang, vermehrt urn drei Strecken, die die Eckpunkte mit drei gegebenen Punkten verbinden, die kleinstmogliche Lange hat.

Fig. 256

Fig. 257

Ein kubischer Rahmen, in dessen Inneres eine Seifenblase geblasen wird, liefert Flachen konstanter mittlerer Rriimmung mit quadratischer Grundfiache, wenn die Seifenblase aus dem Rahmen herausquillt. Wenn man die Luft durch Saugen an einem Strohhalm herauszieht, erhaIt man eine Folge von schOnen Stmkturen, die zuletzt in die der Fig. 258 ubergehen. Die Erscheinungen der Stabilitat und des Obergangs zwischen verschiedenen Gleichgewichtszustanden sind eine Quelle von Experimenten, die Yom mathematischen Standpunkt aus sehr aufschluBreich sind. Die Experimente veranschaulichen die Theorie der stationaren Werte, da man die Obergange uber ein instabiles Gleichgewicht leiten kann, das einen "stationaren Zustand" darstellt. Zum Beispiel zeigt die kubische Stmktur von Fig. 240 eine Unsymmetrie, da eine senkrechte Ebene in der Mitte die zwolf Flachen, die von den Wurfelkanten ausgehen, verbindet. Es muB also mindestens zwei andere Gleichgewichtslagen geben: eine mit einem vertikalen und eine mit einem horizontalen zentralen Quadrat. Tatsachlich kann man, indem man durch ein dunnes Rohrchen gegen die Ranten dieses Quadrats blast, erreichen, daB das Quadrat sich auf einen Punkt, den Mittelpunkt des Wurfels, zusammenzieht; diese instabile Gleichgewichtslage geht sofort in eine der andem stabilen Lagen uber, die man aus der ursprunglichen durch eine Drehung urn 90° erhaIt. Ein ahnliches Experiment kann man mit der Seifenhaut durchfuhren, die das Steinersche Problem fUr vier Punkte, die ein Quadrat bilden, veranschaulicht (Fig. 219-220). Wenn wir die Losungen solcher Probleme als GrenzfaIle isoperimetrischer Probleme erhalten wollen - zum Beispiel, wenn wir Fig. 240 aus der Fig. 258 erhalten wollen -, so mussen wir die Luft aus der Seifenblase saugen. Nun ist Fig. 258 vollkommen symmetrisch, und ihr Grenzfall fur verschwindenden Inhalt

4. Experimentelle LOsungen anderer mathematischer Probleme

301

der Seifenblase ware ein symmetrisches System von 12 ebenen Flachen die, im Mittelpunkt zusammentreffen. Dies laBt sich tatsachlich beobachten. Diese a1s Grenzfall erhaltene Struktur ist aber nicht in stabilem Gleichgewicht; statt dessen wird sie sich in eine der Stellungen der Fig. 240 verwandeln. Benutzt man

Fig.2S8

eine Fliissigkeit von etwas groBerer Zahigkeit als die oben beschriebene, so laBt sich die ganze Erscheinung leicht beobachten. Sie ist ein Beispiel fur die Tatsache, daB selbst bei pbysikalischen Problemen die Losung eines Problems nicht stetig von den Daten abzubangen braucht; denn im Grenzfall fur verschwindendes Volumen ist die LOsung, die durch Figur 240 gegeben ist, nicht der "Limes" der in Fig. 258 gegebenen Losung fur das Volumen a, wenn a gegen Null strebt.

Achtes Kapitel

Die Infinitesimalrechnung Einleitung Es ist eine absurde Vereinfachung, wenn man die "Erfindung" der Infinitesimalrechnung NEWTON und LEIBNIZ 'allein zuschreibt. In Wirklichkeit ist die Infinitesimalrechnung das Ergebnis einer langen Entwicklung, die von NEWTON und LEIBNIZ weder eingeleitet noch abgeschlossen wurde, in der aber beide eine entscheidende Rolle spielten. 1m 17. Jahrhundert gab es, fiber ganz Europa verstreut und meist auBerhalb der offiziellen Universitaten, eine Gruppe geistvoller Gelehrter, die sich bemfihten, das mathematische Werk GALILEIs und KEPLER. fortzufiihren. Zwischen diesen Gelehrten bestand ein enger Kontakt durch Korrespondenz und personliche Besuche. Unter den Problemen, die auf diese Weise diskutiert wurden, erregten zwei besonderes Interesse. Erstens das Tangentenproblem: zu einer gegebenen Kurve die beriihrenden Geraden zu finden, das Fundamentalproblem der Differentialrechnung. Zweitens das Quadraturproblem: den Flacheninhalt innerhalb einer gegebenen Kurve zu finden, das Fundamentalproblem der Integralrechnung. NEWTONs und LEIBNIZ' groBes Verdienst ist es, den inneren Zusammenhang dieser beiden Probleme klar erkannt zu haben. In ihren Handen entwickelten sich die vielfach vorhandenen Ansatze zu neuen einheitlichen Methoden, und die Infinitesimalrechnung entstand a1s ein machtvolles neues Werkzeug ffir die Wissenschaft. Ein guterTeil des Erfolges beruht auf der genialen symbolischen Schreibweise, die LEIBNIZ erfand. Seine Leistung wird in keiner Weise beeintrachtigt durch den Umstand, daB sie nicht frei von nebelhaften und unklaren Vorstellungen war, die lange ein genaues Verstandnis erschwerten und einen leisen Mystizismus begiinstigten. NEWTON, der bei weitem bedeutendere Wissenschaftler, scheint hauptsachlich durch BARROW (1630-1677), seinen Lehrer und Vorganger in Cambridge, angeregt worden zu sein. LEIBNIZ war eher ein AuBenseiter; als glanzender Jurist, Diplomat und Philosoph, einer der aktivsten und vielseitigsten Kopfe seines Jahrhunderts, lernte er die neue Mathematik in unglaublich kurzer Zeit von dem Physiker HUYGENS,. wahrend er in diplomatischer Mission Paris besuchte. Kurz darauf veroffentlichte er Resultate, die den Kern der modernen Infinitesimalrechnung enthalten. NEWTON, dessen Entdeckungen viel weiter zuriickgingen, scheute sich vor dem Publizieren. Obwohl er viele der Resultate seines Meisterwerks, der Principia, urspriinglich mit Hille der Methoden der Infinitesimalrechnung gefunden hatte, bevorzugte er eine Darstellung im Stil der klassischen Geometrie, und so tritt in den Principia explizit die Infinitesimalrechnung kaum hervor. Erst spater wurden seine Arbeiten fiber die "Fluxionsmethode" veroffentlicht. Bald begannen seine Verehrer eine bittere Prioritatsfehde mit den Freunden von LEIBNIZ. Sie beschuldigten LEIBNIZ

1. Der Flacheninhalt als Grenzwert

303

des Plagiats; obwohl in einer Atmosphiire, die mit den Ideen einer neuen Theorie gesattigt ist, nichts natiirlicher ist als gleichzeitige, voneinander unabhangige Entdeckungen. Der daraus entstandene Streit iiber die Prioritat der "Erfindung" der Infinitesimalrechnung schuf ein unseliges Vorbild fiir die Dberbetonung von Prioritatsfragen und von Anspriichen auf geistiges Eigentum, die den freien wissenschaftlichen Austausch gelegentlich schwer beeintrachtigen. In der mathematischen Analysis des 17. und fast des ganzen 18. Jahrhunderts wurde das griechische Ideal der klaren und strengen SchluBfolgerungen vemachlassigt. Ein unkritischer Glaube an die Zauberkraft der neuen Methoden herrschte vor. Man glaubte allgemein, daB eine klare Darstellung der Ergebnisse der Infinitesimalrechnung nicht nur unnotig, sondem unmoglich sei. Ware die neue Wissenschaft nicht von einer kleinen Gruppe auBerordentlich fahiger Manner gehandhabt worden, so hiitten sich entscheidende Irrtiimer ergeben konnen. Die genialen Pioniere lieBen sich oft durch ein instinktives, aber sicheres Gefiihlleiten, das sie davor bewahrte, zu weit in die Irre zu gehen. Aber als die Franzosische Revolution den Weg fiir eine gewaltige Ausdehnung der wissenschaftlichen Ausbildung freilegte, als immer zunehmende Scharen von Menschen sich zu wissenschaftlicher Betatigung drangten, da lieB sich die kritische Revision der neuen Analysis nicht langer aufschieben. Diese Aufgabe wurde im 19. Jahrhundert mit Erfolg in Angriff genommen, und heute wird die Infinitesimalrechnung ohne jede Spur von Mystik und in voller Strenge ge1ehrt. Fiir den gebildeten Menschen ist dieses wichtige Hilfsmittel der Wissenschaft heute leicht zuganglich. Das vorliegende Kapitel gibt eine elementare Einfiihrung, wobei der Nachdruck mehr auf dem Verstandnis der grundlegenden Begriffe liegt als auf formaler Rechentechnik. Wir werden dabei versuchen, anschauliche Motivierungen mit prazisen Begriffen und klaren Ableitungen zu verbinden.

§ 1. Das Integral 1. Der Flacheninhalt a1s Grenzwert

Urn den Flacheninhalt einer ebenen Figur zu berechnen, wahlen wir als Flacheneinheit ein Quadrat, dessen Seiten gleich der Langeneinheit sind. 1st die Langeneinheit ein Zentimeter, so ist die entsprechende Flacheneinheit das Quadratzentimeter, d. h. das Quadrat mit der Seitenlange von 1 cm. Auf Grund dieser Definition ist es sehr leicht, den Flacheninhalt des Rechtecks zu berechnen. Sind p und q die Langen zweierbenachbarter Seiten, in den gegebenen Langeneinheiten gemessen, dann ist die Flache des Rechtecks pq Flacheneinheiten, oder kurz: gleich dem Prpdukt pq. Dies gilt fiir beliebige p und q, einerlei ob rational oder nicht. Fiir r.ationale p und q erhalten wir dies Ergebnis, indem wir p = mIn und q = m'ln' schreiben, mit den natiirlichen Zahlen m, n, m', n'. Dann ergibt sich das gemeinsame MaB lIN = lInn' fiir die beiden Seiten, so daB p = mn'IN, q = nm'IN. SchlieBlich unterteilen wir das Rechteck in kleine Quadrate mit der Seitenlange lIN und der Flache I/N2. Die Anzahl dieser Quadrate ist nm' . mn', und die Gesamtfiache ist nm'mn'· I/N2= nm'mn'ln"n's= mIn· m'ln' = pq. Sind p und q irrational, so erhaIt man dasselbe Resultat, indem man zuerst p und q durch die tationalen Naherungswerte p,. bzw. q,. ersetzt und dann p,. und q,. gegen p und q streben laBt.

VIII. Die Infinitesimalrechnung

Es ist geometrisch evident, daB die Flache eines Dreiecks gleich der halben FIache eines Rechtecks mit derselben Basis b und Hohe h ist; folglich ist die FIache des Dreiecks durch den bekannten Ausdruck

~ bh gegeben. J edes Gebiet der Ebene,

das durch eine oder mehrere Polygonziige begrenzt ist, kann in Dreiecke zerlegt werden, also kann sein FIacheninhalt a1s Summe der Dreiecksflachen bestimmt werden. Eine allgemeinere Methode zur Flachenberechnung wird erforderlich, wenn nach dem Flacheninhalt einer Figur gefragt wird, die nicht von Polygonen sondern von Kurven begrenzt ist. Wie sollen wir zum Beispiel die FIache eines Kreises oder eines Abschnitts einer Parabel bestimmen? Diese entscheidende Frage, die der Integralrechnung zugrunde liegt, wurde schon im dritten Jahrhundert v. Chr. von ARCHIMEDES behandelt, der solche Flachen mit Hilfe der "Exhaustionsmethode" berechnete. Mit ARCHIMEDES und den groBen Mathematikern bis GAUSS konnen wir die "naive" Einstellung annehmen, daB der FIacheninhalt eines krummlinig begrenzten Gebiets eine anschauliche Gegebenheit ist, und daB es nicht darauf ankommt, ibn zu definieren, sondern ibn zu berechnen (siehe jedoch die Diskussion auf S. 355). Wir nahern das Gebiet durch ein einbeschriebenes Gebiet mit polygonaler Grenz1inie und daher wohldefinierter Flache an. Durch Wahl eines zweiten polygonalen Gebietes, welches das vorige umfaBt, erhalten wir eine bessere An-. naherung an das gegebene Gebiet. Fahren wir in dieser Weise fort, so konnen wir allmahlich die ganze Flache "ausschOpfen" (lat. exhaurire) und wir erhalten die Flache des gegebenen Gebietes a1s Limes der Flachen einer geeignet gewahlten FoIge von einbeschriebenen polygonalen Gebieten mit zunehmender Seitenzahl. Die FIache des Kreises vom Radius 1 kann auf diese Weise berechnet werden; ihr numerischer Wert wird durch das Symbol n bezeichnet. ARCHIMEDES fiihrte dieses allgemeine Schema fur den Kreis und fur den Parabelabschnitt durch. Wahrend des 17. Jahrhunderts wurden viele weitere FaIle erfolgreich behandelt. In jedem EinzelfaU wurde die tatsachliche Ausrechnung des Grenzwerts auf einen sinnreichen Kunstgriff gegriindet, der dem speziellen Problem angepaBt war. Einer der Hauptfortschritte der Infinitesimalrechnung lag darin, daB diese speziellen Verfahren zur Flachenberechnung durch eine allgemeine leistungsfahige Methode ersetzt wurden.

2. Das Integral Der erste grundlegende Begriff der Infinitesimalrechnung ist der des Integrals. In diesem Abschnitt wollen wir das Integral als Ausdruck fUr den Fliicheninhalt umer einer Kurve im Sinne eines Grenzwerts verstehen. Wenn eine positive stetige Funktion y = f(x) gegeben ist, z. B. Y = Xl oder y = 1 + COU, so betrachten wir das Gebiet, das unten begrenzt ist durch das Stuck der x-Achsevon der Koordinate a bis zu der groBeren Koordinate b, an den Seiten durch die Senkrechten zur x-Achse in diesen Punkten und oben durch die Kurve y = f(x). Unser Ziel ist, die FIache F dieses Gebietes zu berechnen. Da man ein solches Gebiet im allgemeinen nicht in Rechtecke und Dreiecke zerlegen kann, so haben wir zur expliziten Berechnung dieser FIache F keinen direkten Ausdruck zur Verfiigung. Aber wir konnen einen angenaherten Wert von F finden und F a1s einen Grenzwert ausdriicken mit Hilfe des foIgenden Ver-

305

2. Das Integral

fahrens: wir unterteilen das Intervall von x = a bis x = b in eine Anzahl kleiner Teilstrecken, errichten Senkrechten in jedem der Teilpunkte und ersetzen jeden Streifen des Gebietes unter der Kurve durch ein Rechteck, dessen Hohe irgendwo zwischen der groBten und kleinsten Hohe der Kurve in diesem Streifen gewahlt wird. Die Summe S der Flachen dieser Rechtecke ergibt einen Naherungswert fiir die wirkliche Flache F unterhalb der Kurve. Die Genauigkeit der Approximation wird urn so groBer sein, je groBer die Anzahl der Rechtecke und je kleiner die Breite jedes einzelnen Rechtecks ist. Daher konnen wir den genauen FIacheninhalt als einen Grenzwert charakterisieren. Bilden wir eine F olge,

(1)

SI' S., Sa, ... ,

von Rechteckapproximationen der Flache unterhalb der Kurve in der Weise, daB die Breite des breitesten Rechtecks in S" gegen 0 strebt, wenn n zunimmt, so nahert sich die Folge (1) dem Grenzwert F, (2)

o Fjg. 259. Das Integral a1s Fllcheninhalt

und dieser Grenzwert F, die Flache unter der Kurve, ist unabhangig von der besonderen Art, wie die Folge (1) gewahlt wurde, wenn nur die Breiten der die Naherung bildenden Rechtecke gegen Null streben. (Zurn Beispiel kann S" aus S"-1 entstehen, indem man einen oder mehrere neue Unterteilungspunkte zu den in S"-1 enthaltenen hinzufiigt, aber die Wahl der Teilpunkte fUr S" kann auch ganz unabhangig von deren Wahl fiir S"-1 sein.) Die Flache F des Gebietes, ausgedrUckt durch diesen GrenzprozeB, nennen wir nach Definition das Integral Funktion f(x) von a his b. Mit einem besonderen Symbol, dem " Integralzeichen" , schreiben wir

aer

b

F= Jf(x)ax.

(3)

"

Das Symbol f, das "ax" und der Name "Integral" wurden von LEIBNIZ eingefiihrt, urn damit den Weg anzudeuten, auf dem man den Grenzwert erhaIt. Um diese Bezeichnungsweise zu erlii.utern, wollen wir den Vorgang der Annaherung all die FIache F nochmals etwas eingehender wiederholen. Die analytische Formulierung des Grenz- Y prozesses erlaubt uns zugleich, von der einschrankenden Voraussetzungf(x) ~ 0 und b > a abzusehen und schlieBlich auch die vorherige anschauliche Vorste11ung einer Flache als der Grundlage unserer Integraldefinition auszuschalten (das geschieht in der Erganzung zu diesem o a .rill .rill" /J.r: Kapitel in § 1). Fig. 260. AnnlIberung der FIiche durch Wir teilen das Intervall von a bis b in n kleine schmale Rechtecke Teilstrecken, die wir nur der Einfachheit wegen von gleicher Breite, also

xo=a,

b-a

b:

xl =a+-,,-,

Courant u. Robbins, Mathematik

a , wahlen. Wir bezeichnen die Teilpunkte mit

x.=a+

2(b-a)

"

, ... ,x,,=a+

,,(b-a)

"

20

=b.

306

VIII. Die Infinitesimairechnung

Fiir die GroBe b

nil,

die Differenz zwischen benachbarten x-Werten, fiihren wir

die Bezeichnung LI x (sprlch "Delta x") ein, b-II

£1x=--= xI+ 1 - Xi' n worln das Symbol £1 einfach "Differenz" bedeutet (es ist ein Symbol fiir einen "Operator" und darf nicht mit einer Zahl verwechselt werden). Wir konnen als Hohe jedes der Naherungsrecbtecke den Wert von y = f(x) am rechten Endpunkt der Teilstrecke wahlen. Dann ist die Summe der Flachen dieser Rechtecke

(4) abgekiirzt:

(5)

S,,=

E" !(Xi) . £1 x.

;-1

E" (sprich "Summe von i = 1 bis n") die Summe aller ;-1 der Ausdriicke, die man erMlt, wenn i der Reihe nach die Werte 1,2,3, ... , n annimmt. Die Verwendung des Symbols 1: (griech. "Sigma"), um in knapper Form das Ergebnis Hier bedeutet das Symbol

einer Summation darzustellen, mOge durch folgende Beispiele erUi.utert werden: 2

10

+ 3 + 4 + ... + 10 = E

;-2

1

II

j ,

" +2+3+···+n= Ej, ;-1

+ 21 +"32 + ... + nl = E" jl, i =-

IIq

+ IIql + ... + IIq" = E"

I

;-1

aql. II

II

+ (II + d) + (II + 2d) + ... + (II + nd) = E

;-0

(II

+ jd) .

Nun bilden wir eine Folge derartiger Naherungswerte S", in der n iiber alle Grenzen wachst, so daB die Anzahl der Glieder jeder Summe (5) zunimmt, wahrend jedes einzelne Gliedf(Xi) £1 x gegen 0 strebt, wegen des Faktors £1 x = (b-a)/n. Mit wachsendem n strebt diese Summe gegen den Flacheninhalt F:

(6)

F

=

lim

i; f(x;)· £1 x =

i-I

II

jf(X) dx. II

LEIBNIZ symbolisierte diesen Grenziibergang von der Naherungssumrne S" zu F, indem er das Summationszeichen E durch fund das Differenzsymbol £1 durch ein d ersetzte. (Das Summationszeichen E wurde zu LEIBNIZ' Zeiten gewohnlich S geschrieben, und das Symbol Jist nur ein etwas stilisiertes S.) Wenn auch der Leibnizsche Symbolismus suggestiv daran erinnert, wie das Integral als Grenzwert einer endlichen Summe erhalten werden kann, so muG man sich doch davor hiiten, dieser Bezeichnung eine tiefere, philosophische Bedeutung beizulegen; es handelt sich im Grunde nur urn eine Obereinkunft zur Bezeichnung des

3. Allgemeine Bemerkungen zum Integralbegriff. Endgiiltige Definition

307

Grenzwerts. In den Anfangen der Infinitesimalrechnung, als der Begriff des Grenzwerts noch nicht vollkommen klar verstanden und jedenfalls nicht immer gehOrig beachtet wurde, erldarte man die Bedeutung des Integrals, indem man sagte: "die endliche Differenz L1 x wird durch die unendlich kleine GroBe d x ersetzt, und das Integral selbst ist die Surnme von unendlich vielen, unendlich kleinen GroBen f(x) dx". Obwohl das "Unendlich Kleine" eine gewisse Anziehungskraft auf spekulative Geister austibt, hat es keinen Platz in der modernen Mathematik. Es wird nichts gewonnen, wenn man den klaren Begriff des Integrals mit einem Nebel bedeutungsloser Phrasen urngibt. Selbst LEIBNIZ lieB sich zuweilen von der suggestiven Kraft seiner Symbole verleiten; sie lassen sich gebrauchen, als ob sie eine Summe "unendlich kleiner" GroBen bezeiehneten, mit denen man trotzdem bis zu einem gewissen Grade wie mit gewohnlichen GroBen umgehen kann. Tatsachlich wurde das Wort Integral gepragt, urn anzudeuten, daB die ganze oder integrale Flache aus den "infinitesimalen" Teilen f(x) dx zusammengesetzt ist. Jedenfalls sind nach NEWTON und LEIBNIZ fast hundert Jahre vergangen, ehe klar erkannt wurde, daB der Grenzbegriff und nichts anderes die wahre Grundlage fUr die Definition des Integrals ist. Indem wir an dieser Grundlage festhalten, konnen wir alle Unklarheiten und Schwierigkeiten vermeiden, die bei der ersten Entwicklung der Infinitesimalrechnung so viel Verwirrung gestiftet haben. 3. Allgemeine Bemerkoogen zum IntegralbegriH. Endgiiltige Definition Bei der geometrischen Definition des Integrals als Flache nahmen wir ausdriicklich an, daB f(x) in dem Integrationsintervall [a, b] niemals negativ ist, d. h. daB kein Sttick der Kurve unterhalb der x-Achse liegt. Bei der analytischen Definition des Integrals als Grenzwert einer Folge von Summen S" ist diese Annahme aber iiberfitissig. Wir nehmen einfach die kleinen GroBenf(xl) . LI x, bilden ihre Surnme und gehen zur Grenze tiber; dieses Verfahren bleibt vollkommen sinnvoll, wenn einige oder alle Werte von f(Xi) negativ sind. Deuten wir dies geometrisch durch Flachenstticke (Fig. 261), so finden wir, daB das Integral von f(x) a die algebraische Summe der Flachen zwischen der Kurve und der x-Achse ist, wobei alle unterhalb der x-Achse liegenden Flachen negativ und die tibrigen positiv Fi,. 281. Positive und negative FIachen gerechnet werden. • Es kann vorkommen, daB wir bei den Anwendungen auf Integrale If(x) dx

•

gefiihrt werden, bei denen b kleiner ist als a, so daB (b - a)/n = LI x eine negative Zahl ist. In unserer analytischen Definition ergibt sich f(xl) . L1 x als negativ, wennf(xi) positiv und LI x negativ ist, usw. Mit anderen Worten: Der Wert des Integrals ist in diesem FaIle der entgegengesetzte Wert des Integrals von b bis a. Wir haben also die einfache Regel ..

b

f f(x) d x =

..

-

f f(x) d x . b

Wir mUssen betonen, daB der Wert des Integrals unverandert bleibt, auch wenn wir uns nieht auf aquidistante Teilpunkte Xi' d. h. auf gleich groBe 20·

308

VIII. Die Infinitesimalrechnung

Differenzen ..1 X = X1+1- xi beschriinken. Wir konnen namlich die Xi auch anders wilhlen, so daB die Differenzen ..1 Xi= Xl+l- xI nicht gleich sind (und daher durch Indizes unterschieden werden miissen). Auch dann streben die Summen

S.= f(x1) ..1 xo+ f(xJJ Xl + ... + f(x.) ..1 X.-1 und ebenso die Summen S~ =

f(xo) ..1 Xo+ f(x1)..1 X1+ ••. + f(x.- 1)..1 X.-1 b

gegen denselben Grenzwert, den Wert des Integrals Jf(x) d x, wenn man nur dafiir

•

sorgt, daB alle Differenzen ..1 Xi= x1+ 1- xi in der Weise gegen Null streben, daB die groBte von diesen Differenzen fur einen gegebenen Wert von n sich bei wachsendem n der Null nahert. Demnach ist die endgUUige Definition des Integrals gegeben durch

! b

(6 a) Fig. 262. BeliebJge UnterteiluDg bel der a1IpmeiDell De1inition des Integrals

f(X) dx = lim.f f(v/) ..1 xI' 1-1

wenn n -+ 00. In diesem Ausdruck kann Vi einen beliebigen Punkt des Intervalls Xi ~ Vi ~ Xi+l bedeuten, und die einzige Beschrankung fUr die Unterteilung ist, daB das langste Interva1l ..1 Xi = Xi+1 - Xi gegen Null streben muS, wenn n wachst. Die Existenz des Grenzwertes (6a) braucht nicht bewiesen zu werden, wenn wir den Begriff der Flache unter einer Kurve und die Moglichkeit, diese Flache durch eine 5umme von Rechtecken zu approximieren, als gegeben ansehen. Wie sichindessen aus einer spateren Betrachtung ergibt (5. 355), zeigt eine genauere Untersuchung, daB es wiinschenswert und fur eine logisch voUstandige Darstellung des Integralbegriffs sogar notwendig ist, die Existenz dieses Grenzwertes fUr eine beliebige stetige Funktion f(x) ohne Bezugnahme auf die geometrische Vorstel1ung einer Flache zu beweisen.

4. Beispiele. Integration von ~ Bis hierher war unsere Besprechung des Integrals ganz theoretisch. Die entscheidende Frage ist, ob das allgemeine Verfahren, eine Summe S. zu bilden und dann zur Grenze iiberzugehen, zu greifbaren Ergebnissen im konkreten Fall fiihrt. Das erfordert natiirlich einige weitere 'Oberlegungen, die der speziel1en Funktion f(x), deren Integral gesucht wird, angepaBt sind. Als ARCHIMEDES vor zweitausend J ahren die FIache eines Parabelabschnitts fand, leistete er in genialer Weise das, was wir jetzt die Integration der Funktion f(x) = Xl nennen wiirden; im 17. Jahrhundert gelang den Vorlaufem der modemen Infinitesimalrechnung die Losung von Integrationsproblemen fiir einfache Funktionen wie x,. wiederurn mit speziel1en Methoden. Erst nach vielen Erfahrungen an Spezialfallen wurde ein allgemeiner Zugang zum Integrationsproblem durch die systematischen Methoden der Infinitesimalrechnung gefunden und darnit der Bereich der losbaren Einzelprobleme bedeutend erweitert. 1m vorliegenden Abschnitt wollen wir einige der

4. Beispiele. Integration von

zr.

309

instruktiven, speziel1en Probleme besprechen, dieaus der Zeit vorder Infinitesimalrechnung stammen; denn nichts kann die Integration besser verdeutlichen als ein direkt ausgefuhrter GrenzprozeB. a) Wir beginnen mit einem trivialen Beispiel. Wenn y = f(x) eine Konstante ist, zum Beispielf(x)

"

2, dann ist oflenbar das Integral f 2dx, als Flache auf-

=

a

gefaBt, gleich 2(b - a), da die Flache eines Rechtecks gleich Grundlinie mal Hohe ist. Wir wollen dieses Ergebnis mit der Integraldefinition (6) vergleichen. Wenn wir in (5) f(x i ) = 2 fUr alle Werte von i einsetzen, so finden wir ft

5,,= }; f(X;)LJx i-I

ft

= };

i-I

ft

2.1 x = 2 }; .1 x = 2(b - a) i-I

fUr jedes n, da ft

}; Jx = (x1 - xo) + (x.- Xl)

i-I

+ ... + (x,,-

X"-l) = x,,- xo= b - a.

b) Beinahe ebenso einfach ist die Integration von

f(x)

=

"

x. Hier ist fxdx die Flache eines Trapezes a

(Fig. 263), und diese ist nachderelementaren Geometrie b

+a

bl-al

(b-a)-2-=-2- . Dieses Resultat stimmt wieder mit der Integraldefinition (6) uberein, wie man aus dem Grenzubergang erFig. 263. Fliche elneI Trapezes kennt, ohne die geometnsche Figur zu benutzen. Setzen wir f(x) = x in (5) ein, dann wird die Summe ft

ft

5,,= };XiJX= };(a+iJx)Jx i=1

i-I

= (na + .1 x + 2L1 x + 3.1 x + ... + nJ x)LI x = naJ x + (.1 x)I(1 + 2 + 3 + ... + n) . Unter Verwendung der Formel (1) von S. 10 fur die arithmetische Reihe 1 + 2 + 3 + ... + n haben wir

5,,= naLlx +

,,(,,/1)

(LlX)2.

a , so 1st . d·les g1· D a LAA x =b - ,- , elCh 1

1

5,,= a(b - a) +"2 (b-a)ll+ 2" (b - a)I, Lassen wir jetzt n gegen unendlich gehen, so strebt das letzte Glied gegen Null, und wir erhalten b

lim 5,,= !xdx=a(b-a)+! (b-a)I=! (bZ-al), a

in Vbereinstimmung mit der geometrischen Deutung des Integrals als Flache. c) Weniger trivial ist die Integration der Funktion f(x) = Xl. ARCHIMEDES benutzte geometrische Methoden, urn das aquivalente Problem der Flachenbestim-

310

VIII. Die Inftnitesima1rechnung

mung eines Abschnittes der Parabel y = Xl zu losen. Wir wollen auf Grund der Definition (6a) analytisch vorgehen. Urn die formale Berechnung zu vereinfachen, wollen wir die "untere Grenze" a des Integrals gleich 0 wahlen; dann wird .1 x=bln. Wegen x,=; .1 x undl(x/) = ;1(.1 X)8 erhalten wir fur S,. den Ausdruck S,. = =

II

E 1(;11 x) .1 x =

;-1

[11(.1 X)I+ 21(.1 X)I+ ... + nl(L1 X)II] .1 x

(}I+ 21+ ... + nl) (.1 X)3 • Jetzt konnen wir den Grenzwert sogleich ausrechnen. Unter Benutzung der auf S. 12 aUfgestel1ten Formel

y

I "-+ 2"a+ ... + nI =

n(n

+ 1)6(2n + 1)

und der Substitution .1 x = bIn erhalten wir

S,. =

o

F~.~.

"

n (II

+ 1)6(2n + 1)

•~

nl

=~ (1 + ~) (2 + ~). 6 n "

Diese Umformung macht den Grenzubergang sehr einfach,

.r;

da

FllIche unter einer Parabe1

1

n gegen Null strebt, wenn n unbegrenzt zunimmt. Daher

ergibt sich a1s Grenzwert

~ . 1 . 2 = ~ ,und demnach ist das Ergebnis:

!

b

x1dx= ~ . o FUr die FIache von 0 bis a erhalten wir also

f x"dx= ~. , /I

o

und durch Subtraktion der Flachen

f x dx=--3- . b

ll

bl-a3

/I

Cbung: Man beweise auf dieselbe Art, unter Benutzung der Formel (5) auf S. 12, daB

f

b

b'-a' xldx=--4-·

/I

Durch Entwicklung allgemeiner Formeln fur die Summe 1k Potenzen der ganzen Zahlen von 1 bis n kann man ableiten, daB

!

b

(7)

~dx

=

~+l_at+l

k

+1

+ 2k + ... + nt der k-ten

,fur jede naturliche Zahl k.

/I

• Anstatt diesen Weg einzuschlagen, kann man auf einfachere Weise ein noch allgemeineres Ergebnis erhalten, indem wir unsere friihere Bemerkung benutzen, daB das Integral auch mit Hilfe von nicht lquidistanten Unterteilungspunkten berechnet werden kann. Wir werden die Formel (7) nicht nur fur jede positive ganze Zahl k, sondem fiir eine beliebige positive oder negative rationale Zahl k = ulv

4. Beispiele. Integration von

311

~

beweisen, worin u eine positive und v eine positive oder negative ganze Zahl ist. Nur der Wert k = -I, fiir den die Formel (7) sinnlos wird, bleibt ausgeschlossen. Wir wollen auBerdem annehmen, daB 0 < a < b. Um die Integralformel (7) zu erhalten, bilden wir S", indem wir die

Teilpunkte Xo = a, Xl' XI'" ., X" = b ingeomelrischer Pl'ogt'ession wii.hlen. Wirsetzen

V!

= q,

so daB ~ = q". und definieren Xo = a, Xl = aq, XI = aql, ... , X" = aq" = b. Durch diesen a Kunstgrift wird, wie sich zeigen wird, der Grenziibergang sehr einfach. Fiir die "Rechtecksumme" S. finden wir, da !(Xl) = = a"qU, und LI xJ = XH1- Xl = aqHl_ aql ,

x:

SIt = a"(aq -

a) + al:ql:(aql_ aq) + a"qlt(aq8 - aql) + ... + a"q(.. -ll" (aq" - aq"-I) •

Da jedes Glied den Faktor a"(aq - a) enthiilt, kOnnen wir schreiben S" = a"+l (q -

Ersetzen wir

t+1 dllrcb t.

1) {I +

t+1 +

qll"+l) + •.. + q("-l)("+l)} .

so sehen wir, daB der Ausdruck in der Klammer die geometrische

( ) ist, d eren Summe, Wle . au f S. 11 gezelgt, . t". Reihe 1 + t + II + ... + 1"-1 t _ 11.1St. Nun 1St t" = q"Il:+1) = (

1Ji+1 ab ')"+1 = a"+l . Foiglich ist

(8)

S"

= (q -

1)

lJi+1-a"+1 q"+l_ 1

N

q"+1-1 mit N = -=-----,-q-l Bis hierher war n eine feste Zahl. J etzt wollen wir n wachsen lassen und den Grenzwert von N bestimmen. Indem n zunimmt, strebt die n-te Wurzel

,"fb Va = q gegen 1 (siebe S. 246), und

daher gehen sowohl Zahler wie Nenner von N gegen Null, so daB Vorsicht geboten ist. Nehmen wir zuerst an, daB II eine positive ganze Zahl ist. Dann kann man die Division durch q - 1 durchfiihren, und wir erhalten (siehe S. 11) N = + q"-l+ ••• + q + 1. Wenn dann n zunimnit, strebt q gegen I, und demnach streben ql. ql, ... , q" auch alle gegen I, so daB N bl:+ l _a"+1 sich dem Wert II + 1 niihert. So zeigt sich, daB S" gegen strebt, was zu beweik+l sen war. (Jbung: Man zeige, daB fiir jedes rationale II 1 dieselbe Grenzformel N ~ II + 1 und damit auch die Formel (7) giiltig bleibt. Zuerst ist zu zeigen, daB der Beweis nach unserem Vorbild auch fur negative ganze k gilt. Wenn dann k = ,,/v gesetzt wird, schreibe man ql/> = s und

t

+-

N- s("+l)o-1 = s"+>-1 = SIl+'-I/so - 1 s"-1 s>-1 s-1 s-l·

Wenn n wachst, streben s und q beide gegen 1 und daher streben beide Quotienten auf der rechten Seite gegen u + v bzw. v, womit der Grenzwert wiederum u + v = II + 1 wird. v In § 5 werden wir sehen, wie diese langatlnige und etwas ki,instliche Oberlegung durch die einfacheren und leistimgsfiihigeren Methoden der Integralrechnung ersetzt werden kann. (Jbungen: 1. Man fiihre die vorstehende Integration von x" durch fiir die Fiille II = 1/2, -1/2, 2, -2, 3, -3. 2. Man bestimme den Wert folgender Integrale: -1

a) f

-2

X

dx.

+1

b) f

X

-1

dx.

2

c) f x1d.x. 1

-2

d) f x 8 dx. -1

3. Man bestimme den Wert folgender Integrale: +1

a) f x1dx. -1

+2

b) f x 3 cosxdx. -2

+1

c) f x'cos·xsin1xdx. -1

..

e) f xdx.

o

+1

d) ftanxdx. -1

(Anleitung: Man betrachte die Kurven der Funktionen unter dem Integralzeichen, beachte ihre Symmetrie in bezug auf X = 0 und deute die Integrale als Fliichen.) . ·4. Man integriere sinx und cos x von 0 bis b, indem man LI X = "setzt und die Formeln auf S. 374 benutzt.

VIII. Die Infinitesimalrechnung

312

5. Man integrieref(x) = x undf(x) = x· von 0 bis b, indem man in gleiche Teile unterteilt

!

und in (Sa) die Werte vI =

(xI

+ x1+ 1) einsetzt.

*S. Mit Hilfe der Formel (7) und der Definition des Integrals mit gleichgroLlen Werten von if x beweise man die Grenzbeziehung 111

+ 21: + ... + nl:

(Anleitung : Man setze

nl:+1

!=

Vn

1 ~

+

k

+1 '

wennn_oo.

f

I

if x und zeige, daLl der Grenzwert gleich

xid x ist.)

o

*7. Man beweise, daLl fiir n _ _1_ (

1

-

00

1

V2 + n

+ ... +

1

Vn+n

) _ 2

(V2 _

1)

.

(Anleitung: Man schreibe diese Summe so, daLl ihr Grenzwert als Integral erscheint.) 8. Man driicke die F1iche eines Parabeisegments, das durch einen Bogen P 1 P. und die Sehne P 1 P. der Parabel y= ax· begrenzt wird, durch die Koordinaten Xl und x. der beiden Punkte aus.

5. Regeln der Integralrecbnung Fur die Entwicklung der Infinitesimalrechnung war entscheidend, daB gewisse allgemeine Regeln aufgestellt wurden, mit deren Hilfe man verwickelte Probleme auf einfachere zurUckfuhren und sie dadurch in einem fast mechanischen Verfahren losen konnte. Diese algorithmische Behandlung wird durch die Leibnizsche Bezeichnungsweise auBerordentlich unterstutzt. Man sollte allerdings der bloBen Rechentechnik nicht zuviel Gewicht beimessen, da sonst der Unterricht in der Integralrechnung in leere Routine ausartet. Einige einfache Regeln zum Integrieren folgen sofort entweder aus der Definition (6) oder aus der geometrischen Deutung der Integrale als Flachen.

Das Integral der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der Integrale der beiden Funktionen. Das Integral des Produkts einer Konstanten c mit einer Funktion f{x} ist gleich dem c-fachen des Integrals von f(x). Diese beiden Regeln zusammen lassen sich in der Formel ausdriicken (9)

b

f

•

[c f(x)

b

+ eg(x)] dx = c f •

b

f(x) dx + e f g(x} dx. 4

Der Beweis folgt unmittelbar aus der Definition des Integrals als Grenzwert einer endllche Summe (5), da die entsprechende Formel fur eine Summe SfI offenbar zutrifft. Die Regel laBt sich sofort auf Summen von mehr als zwei Funktionen ausdehnen. Als Beispiel rur die Anwendung dieser Regel betrachten wir ein Polynom

ao+ alx + azxlll + ... + aflX" mit konstanten Koeffizienten ao, ai' ... ,afl' Urn das Integral von f(x) von a bis b I(x)

=

zu bilden, gehen wir der Regel entsprechend gliedweise vor. Mittels der Formel (7) erhalten wir

Eine weitere Regel, die ebenfalls aus der analytischen Definition und zugleich aus

5. Regeln der Integralrechnung

313

der geometrischen Deutung folgt, wird durch die Formel 6

c

c

f 1(x) dx + f I(x) dx = f I(x) dx

(10)

b

II

II

gegeben. Ferner ist klar, daB das Integral Null wird, wenn b gleich a ist. Die Regel von S. 307 6

II

fl(x)dx=-ff(x)dx

(11)

b

II

ist mit den beiden letzten Regeln in Einklang, da sie sich aus (10) ergibt, wenll c = a ist. Zuweilen ist es eine Erleichterung, daB der Wert 11 des Integrals in keiner Weise von dem speziellen Namen x abhangt, den man der unabhangigen Variablen in 1(x) gibt; zum Beispiel ist b

b

b

f 1(x) dx = f I(u) du = f f(t) dt, usw., II

of'

II

II

denn eine bloBe Umbenennung der Koordinaten in l.r I dem System, auf das sich der Graph einer FunkI tion bezieht, andert die Flache unter der Kurve 0 0' nicht. Die gleiche Bemerkung gilt auch dann, wenn Fig. 265. Verschiebung der ,,·Achse wir gewisse Anderungen am Koordinatensystem selbst vornehmen. Zum Beispiel konnen wir den Ursprung urn eine Einheit von 0 bis 0' nach rechts verschieben, wie in Fig. 265, so daB x ersetzt wird durch eine neue Koordinate x', fiir die x = 1 + x'. Eine Kurve mit der Gleichung y = I(x) hat in dem neuen Koordinatensystem die Gleichung y = 1(1 + x'). (Zum Beispiel y

=

~ = 1 ~ x'

.) Eine gegebene Flache F unter dieser Kurve, etwa zwischen

x = 1 und x = b, ist im neuen Koordinatensystem die Flache unter dem Kurvenstiick zwischen x' = 0 und x' = b - 1. Daher haben wir b-l

6

f 1(x) dx = f 1(1 + x') dx'

1

0

oder, wenn wir die Benennung x' durch u ersetzen,

(12) Zum Beispiel

6

6-1

f f(x) dx = f 1(1 + u) du.

1

0

f

1

J'

b-1

6

(12a)

1 -dx=

x

0

- -1 d u ' 1

+u

'

und fiir die Funktion I(x) = xl: (12b)

Ebenso ist

(12c)

6

6-1

f xl:dx = f (I + u)l:du . 1

0

6

6-1

f x1:dx = f (I

o

-1

+ u)l:du

(k

~

0) •

314

VIII. Die Infinitesimalrechnung

Da die linke Seite von (12c) gleich

f

kb~ll

ist, so erhalten wir

6-1

(12d)

(I

+ u)kdu =

bHl 1 .

k

+

-1

+ + Xl + ... + X" von 0 bis b. + X)II von - I bis z gleich

(Jbungen: 1. Man berechne das Integral von 1 x 2. Man beweise. daB fur" > 0 das Integral von (I

(I

ist.

+

Z)"+1 n+1

3. Man zeige. daB das Integral von 0 bis 1 von:;ll sin x ldeiner als (n

~

I) ist. (Anleitung:

der angegebene Wert ist das Integral von :;II). 4. Man zeige direkt und mit Benutzung des binomischen Satzes. daB das Integral von-I . (I X)" . (I Z)II+1 . b1S Z von n glelch n (n + I) 1St.

+

1L--"L-----..L,,-.r; Fig. 268. Vergleich von lntegralen

+

SchlieBlich erwahnen wir noch zwei wichtige Regeln. welche die Form von Ungleichungen haben. Diese Regeln gestatten grobe, aber ntitzliche Absch1i.tzungen des Wertes von Integralen. Wir nehmen an, daB b> a, und daB die Werte von I(x) in dem Intervall nirgends die einer anderen Funktiong(x) tiberschreiten. Dann haben wir 6

(13)

6

JI(x)dx~

..

Jg(x)dx.

..

wie man sofort aus Fig. 266 oder aus der analytischen Definition des Integrals erkennt. Wenn insbesondere g(x) = Meine Konstante ist, die nirgends von den 6

6

Werten von/(x) iiberschritten wird, sohaben wir J g(x) dx = J M dx II

Es folgt also, daB (14)

6

J 1(x) dx

..

~

=

M(b - a).

"

M(b - a) .

Wenn I(x) nicht negativ ist, so ist I(x) = I/(x)l. Wenn I(x) < O. so ist I/(x)1 > I(x). Setzen wir daher in (13) g(x) = l/(x)l, so ergibt sich die niitzliche Formel (15)

6

6

J I(x) dx ~ J I/(x)1 dx.

..

..

Da I-/(x)l = I/(x)l, erhalten wir 6

6

- J 1(x) dx ~ J I/(x)1 dx.

"

"

Dies ergibt in Verbindung mit (15) die etwas scharfere Ungleichung (16)

11 I(x) dxl ~

1

I/(x)1 dx.

1. Die Ableitung als Steigung

315

§ 2. Die Ableitung 1. Die Ableitung als Steigung Wahrend der Integra1begriff im Altertum wurzelt, wurde der andere Grundbegriff der Infinitesimairechnung, die Ableitung, erst im 17. Jahrhundert von FERMAT und anderen formuliert. NEWTON und LEIBNIZ entdeckten dann, daB zwischen diesen beiden scheinbar ganz verschiedenen Begriffen ein organischer Zusammenhang besteht, wodurch eine beispiellose Entwicklung der mathematischen Wissenschaft eingeleitet wurde. FERMAT stellte sich die Aufgabe, die Maxima und Minima einer Funktion y = 1(x) zu bestimmen. In der graphischen Darstellung einer Funktion entspricht ein Maximum einem Gipfel, der haher liegt als alle benachbarten Punkte, und ein Minimum einem Tal, das tiefer liegt als alle benachbarten Punkte. In der Fig. 191 auf S. 260 ist der Punkt B ein Maximum und der Punkt C ein Minimum. Urn die Punkte des Maximums und Minimums zu charakterisieren, liegt es nahe, daB man die Kurventangente benutzt. Wir nehmen an, daB die Kurve keine scharfen Ecken oder sonstige Singularitaten besitzt, und daB sie an jeder Stelle eine bestimmte, durch die Tangente gegebene Richtung hat. In Maximum- und Minimumpunkten muB die Tangente der Kurve y = I(x} der x-Achse parallel sein, da andernfalls die Kurve in diesen Punkten steigen oder fallen wiirde. Diese Einsicht regt dazu an, ganz allgemein in jedem Punkt der Kurve y = I(x} die Richtung der Kurventangente zu betrachten. Urn die Richtung einer Geraden in der x, y-Ebene zu charakterisieren, gibt man fiblicherweise ihre Steigung an, das ist der Tangens des Winkels ae, den die Gerade mit der positiven x-Achse bildet. 1st P irgendein Punkt der Geraden L, so gehen wir nach rechts bis zu einem Punkt R und dann hinauf oder hinunter 1/

Fig. 267. Die Stelgung von Geraden

3J

.

bis zu dem Punkt Q auf der Geraden; dann ist die Steigung von L = tanae = ~i Die Lange PR wird positiv genommen, wahrend RQ positiv oder negativ ist, je nachdem, ob die Richtung von R nach Q aufwarts oder abwms weist, so daB die Steigung den Auf- oder Abstieg je Langeneinheit langs der Horizontalen angibt, wenn wir auf der Geraden von links nach rechts gehen. In Fig. 267 ist die Steigung der ersten Geraden 2/3, die der zweiten -1. Unter der Steigung einer Kurve in einem Punkt P verstehen wir die Steigung der Tangente an die Kurve in P. Wenn wir die Tangente einer Kurve als anschaulich gegebenen mathematischen Begriff akzeptieren, bleibt nur noch das Problem, ein Vet'lahren zur Berechnung der Steigung zu linden. Vorderhand wollen wir diesen Standpunkt einnehmen und cine genauere Analyse der damit zusammenhangenden Probleme auf die Erganzung (S. 353) verschieben.

316

VIII. Die In1initesimalrechnung

2. Die Ableitung als Grenzwert Die Steigung einer Kurve y = f(x) im Punkte P(x, y) kann nicht berechnet werden, wenn man sich nur auf die Kurve im Punkt P selbst bezieht. Man muB stattdessen zu einem GrenzprozeB greifen, der dem fUr die Berechnung der Flache unter einer Kurve ganz lihnlich ist. Dieser GrenzprozeB bildet die Grundlage der DifferentiaIrechnung. Wir betrachten auf der Kurve einen anderen, P nahegelegenen Punkt PI mit den Koordinaten XI' YI' Die geradeVerbindungslinie von P und PI nennen wir II; sie ist eine Sekante !I der Kurve, welche die Tangente in :P annahert, wenn PI dicht bei P liegt. Den Winkel von der x-Achse bis zu ~ nennen wir ~. Wenn wir nun Xl gegen X riicken lassen, so bewegt sich PI auf der Kurve gegen P, und die Sekante II wird in ihrer Grenzlage zur Tangente I an die Kurve in P. Wenn oc den Winkel zwischen der x-Achse und t bezeichnet, dann gilt fiir xc~ X * YI-Y'

PI-P,

~_t

und

OCI-OC •

Die Tangente ist der Limes der Sekante, und Fig. 268. Die Ableitung aJs Grenzwert die Steigung der T angente ist der Limes der Sleigung der Sekante. Wahrend wir keinen expliziten Ausdruck fUr die Steigung der Tangente t .r;

. . . . c ; . . . - - L . : : . . L - - . . . . L . - - - ' - . J . - - - - - ' - - -__

selbst haben, ist die Steigung der Sekante ~ gegeben durch die Fonnel Steigung von

t1

= Yl -

Y

Xl-X

=

f(x 1) -

f(x) ,

Xl-X

oder, wenn wir die Operation der Differenzenbildung wieder durch das Symbol LI ausdriicken, .

Lfy

Lff(x)

Stelgung von 11 = Lr.; = --:;:r;- . Die Steigung der Sekante 11 ist ein "Differenzenquotient" - die Differenz LI Y der Funktionswerte, geteilt durch die Differenz LI X der Werte der unabhangigen Variabeln. Ferner gilt: Steigung von t = lim der Steigung von t = lim f(x l ) - f(x) = lim Lfy 1

.

XI -

X

Lfx '

wobei die Limites fiir x1- x, d. h. fUr LI X =

Xl - X - 0, genommen werden. Die Steigung der Tangente t an die Kurve ist der Limes des Differenzenquotienlen Lly/LI x, wenn LI X = x1 - X gegen Null strebt. Die urspriingliche Funktion f (x) gab die Hoke der Kurve y = f (x) an der Stelle X an. Wir konnen jetzt die Steigung der Kurve fiir einen variablen Punkt P mit den Koordinaten X und y [= f(x)] als eine neue Funktion von X betrachten, die wir mit /'(x) bezeichnen und die Ableitung da- Funktion f(x) nennen. Der GrenzprozeB, durch den wir sie erhielten, wird Differentiation von 1(x) genannt. Dieser

• Unsere Schreibweise ist hier etwas verschieden von der in Kapite1 VI, insofem als wir dort X_ Xl hatten, wobei der zweite Wert festlag. Durch diesen Wechse1 der Symbole dad man sich nicht verwirren lassen.

317

3. Beispiele

ProzeB ist eine Operation, die einer gegebenen Funktion 1(x) nach einer bestimmten Regel eine neue Funktion I' (x) zuordnet, genau so, wie die Funktion 1(x) durch eine Regel definiert ist, die jedem Wert der Variablen x den Wert I(x) zuordnet:

I(x) I' (x)

= =

Rohe der Kurve y = I(x) an der Stelle x, Steigung der Kurve y = I(x) an der Stelle x.

Das Wort "Differentiation" beruht auf der Tatsache, daB I' (x) der Grenzwert der Differenz 1(Xl) - 1(x), dividiert durch die Differenz Xl - x, ist:

(1) Eine andere vielfach nfitzliche Schreibweise ist

I'(x)

=

DI(x),

!J

worin D einfach eine Abkfirzung ist fUr "Ableitung von"; eine weitere Schreibweise ist die Leibnizsche ffir die Ableitung von y = I(x): dy d df(x) ([";0 er~,

Fig. 269. Das Vorzeichen der Ableitung

die wir in § 4 besprechen werden und die den Charakter der Ableitung a1s Grenzwert eines Differenzenquotienten LJy/LJ x oder LJ/(x)/LJ x andeutet. Wenn wir die Kurve y = /(x) in der Richtung zunehmender x-Werte durchlaufen, dann bedeutet eine Positive Ableitung, I' (x) > 0, ein Ansteigen der KU1Ve (wachsende y-Werte) in dem betreffenden Punkt, eine negative Ableitung, I' (x) < 0, bedeutet ein Fallen der KU1Ve, wahrend I'(x) = 0 einen horizontalen Verlauf der Kurve ffir den Wert x anzeigt. Bei einem Maximum oder Minimum muB die Steigung Null sein (Fig. 269). Folglich kann man durch Auflosen der Gleichung

I'(x)

= 0

nach x die Lage der Maxima und Minima finden, wie es FERMAT erstmalig durchgeffihrt hat. 3. Beispiele Die "Oberlegungen, die zu der Definition (1) ffihrten, konnten fUr die Praxis ziemlich wertlos erscheinen. Ein Problem ist durch ein anderes ersetzt worden: anstatt die Steigung der Tangente an eine Kurve y = I(x) zu bestimmen, sollen wir einen Grenzwert (1) berechnen, was auf den ersten Blick ebenso schwierig erscheint. Aber sobald wir die allgemeinen Begriffsbildungen auf spezielle Funktionen I(x) anwenden, erkennen wir einen greifbaren Vorteil. Die einfachste derartige Funktion ist 1(x) = e, worin e eine Konstante ist. Der Graph der Funktion y = I(x) = e ist eine horizontale Gerade, die mit allen ihren Tangenten zusammenfaIlt, und es ist offenbar, daB

I'(x)

=

0

318

VIII. Die Infinitesimalrechnung

fiir alle Werte von x gilt. Dies folgt auch aus der Definition (I), denn wegen LI y _ f(xl )

""JX -

-

Xl -

f(x) _ X

-

c-

c _

Xl -

X -

_ 0

0 Xl -

X -

ist es trivial, daB lim

f(x l ) - f(x) Xl-X

= 0, wenn X1-+ x .

Sodann betrachten wir die einfache Funktion y = t(x) = x, deren Graph eine Gerade durch den Nullpunkt ist, die den ersten Quadranten halbiert. Geometrisch ist klar, daB I'(X) = 1 fiir alle Werte von x, und die analytische Definition (1) liefert wiederum f(xl)-f(x)

=

XI-X

XI-X XI -

so daB

=

1,

X

Das einfachste, nicht triviale Beispiel ist die Differentiation der Funktion

y = t(x) = X2, die darauf hinausHiuft, die Steigung einer Parabel zu finden. Dies ist der einfachste Fall, der uns lehrt, wie man den Grenziibergang ausfiihrt, wenn das Ergebnis nicht von vornherein evident ist. Wir haben LI y

""JX=

f(x l ) -

xI

-

f(x)

xl -

Xl

X

xI

X

-

Wollten wir versuchen, direkt in Zahler und Nenner zur Grenze iiberzugehen, so erhielten wir den sinnlosen Ausdruck 0/0. Wir konnen dies aber vermeiden, wcnn wir den Differenzenquotienten umformen und den storenden Faktor Xl - X wegkiirzen, ehe wir zur Grenze ubergehen. (Beim Auswerten des Limes des Differenzenquotienten betrachten wir nur Werte Xl + X, so daB dies erlaubt ist; siehe S. 243). Dann erhalten wir den Ausdruck:

Jetzt, nach dem Kiirzen, besteht keine Schwierigkeit mehr mit dem Grenzwert Xl-+ x. Wir erhalten den Grenzwert "durch Einsetzen"; denn die neue Form Xl + X des Differenzenquotienten ist stetig, und der Limes einer stetigen Funktion fUr X1-+ X ist einfach der Wert der Funktion fiir Xl = X, also in diesem Fall X + X = 2 x, so daB I'(X) = 2x fUr t(x) = X2.

fiir

In iihnlicher Weise konnen wir beweisen, daB t(x) = x3 die Ableitung I'(x)

= 3 X2 hat. Denn der Differenzenquotient LI y

""JX=

f(x 1) -

f(x)

XI-X

=

kann vereinfacht werden nach der Formel

xl -

xl

XI-X

xf -

x3=

(Xl -

X) • (XI

+ Xl X + xl);

319

3. Beispie1e

der Nenner L1 x =

Xl -

X

kfirzt sich weg, und wir erhalten den stetigen Ausdruck Lly Lis

=

2 Xl

+

+

XIX

I X •

Wenn wir nun Xl gegen x rUcken lassen, so nahert sich dieser Ausdruck einfach XI+ XI+ Xl, und wir erhalten als Grenzwert f'(x} = 3XIl. Ganz allgemein ergibt sich flir /(X) = x", wenn n eine be1iebige positive ganze Zahl ist, als Ableitung

I' (x)

nx,,-l .

=

(Jbung: Man beweise dieses Resultat. (Man benutze die algebraische Formel

Xi -

s"

=

(Sl -

x)

(Xi-1 +

x~-!l X

Xi-a Xl +

+

••. +

Xls"-I

+

s"-l)) •

Als weiteres Beispiel ffir einfache Kunstgriffe, die eine explizite Bestimmung der Ableitung erlauben, betrachten wir die Funktion

~.

y=/(x}=

Wir haben

~ ~ =~: ~

=(:1 - ~).

Xlix

Xl

=

X

X,

X Xl XXI • Xlix •

=-

Wieder konnen wir kfirzen und erhalten LiLly tion in

=

_1_ ; dies ist eine stetige FunkXIX

also haben wir nach dem Grenzfibergang

I' (x)

-.!.- .

= -

X

Natfirlich ist weder die Ableitung noch die Funktion selbst flir (Jbungen: Man beweise in derselben Weise: fiir f(x) = •

= xra1

ist!'(x)=-

n

xra+ l

1

X

X=

0 definiert.

2 ist /'(x) = - . ' fiir f(x) X

undfiirf(x) = (1 +x)-ist!,(x) =n(1 +X)_-l.

Wir wollen jetzt die Differentiation von

y

=

/(x)

=

Vx

durchffihren. Ffir den Differenzenquotienten erhalten wir Yl - Y

= y;;-- yx

Nach der Forme1 X1 - X = (~- yx) (~+ kfirzen und erhalten die stetige Funktion YI-Y Xl -

X

1

I'(x} 1 = 3l'ii' fiirf(x)

1~ = r 1 - x' istj'(x)=

konnen wir den einen Faktor

= y;;- + Vi

Gehen wir zur Grenze fiber, so ergibt sich

(Jbufllen: Man beweise: Fiir f(x) =

yx)

=

1 yx

2V; .

ist /'(x)

VI-xx'

-1 = 2 (YX)' ,

und fiir f(x) =

fiir f(x)

--

= .VX- ist f'(x)

Vx istf'(x)

1 n vxra- 1

•

320

VIII. Die Infinitesima1rechnung

4. Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen

Wir behandeln jetzt die wichtige Aufgabe der Differentiation der trigonometrischen Funktionen. Hier werden wir ausschlieBlich das BogenmaB benutzen. Um die Funktion y = 1(x) = sinx zu differenzieren, setzen. wir xl - x = h, so daB Xl = X + h und 1(Xl) = sin Xl = sin (X + h). Nach der trigonometrischen Formel fur sin (A + B) ist I(xl )

=

Daherist f(x 1) -f(x)

(2)

sin (x + h)

sin (x

+ h)h -

=

sin x cosh + cos x sinh.

sin x

sin h = cosxh

. cos h -+ smx h

1

Wenn wir jetzt Xl gegen X gehen lassen, strebt h gegen 0, sinh gegen 0 und cosh gegen 1. Ferner ist nach den Ergebnissen von S. 234

1 Iimsinh h -= und

Iim cosh-l_O h -. Daher strebt die rechte Seite von (2) gegen cos x, so daB sich ergibt: Die Funktion I(x) = sin x hat die Ableitung I' (x) = cosx, oder kurz Dsinx=cosx. (Jbung: Man beweise, daB D cos x

=-

sinx.

Um die Funktion tan X zu differenzieren, schreiben wir tan X = sin x und cos x

erhalten f(x

+ h) -

f(x)

h

=

+ II) _ sin X) .!.. + h) cosx II sin (x + h) cos x - cos (x + h) sin x ---:---:--:-:--h cos (x + h) cos x

(Sin (x cos (x

1

sin h

=-11- cos (x+ 11) cos x •

(Dieletzte GleichungfolgtausderFormel sin (A - B) = sinA cosB - cosA sinB, fur A = X + h-und B = x). Wenn wir jetzt h gegen Null rUcken lassen, nahert

sich Si~ h dem Wert I, cos (x + h) nahert sich cos x, und wir schlieBen: Die A bleitung der Funktion 1(x)

=

tan X ist I' (x)

= -\-

cos x

oder

1

Dtanx=--. cos· x .

(Jbung: Man bewelse, daB D cotx

1 = - -.-.. sm x

*5. DiHerentiation und Stetigkeit Die Differenzierbarkeit einer Funktion impliziert ihre Stetigkeit. Denn existiert der Limes von LJy/LJ x, wenn LJ X gegen Null geht, so sieht man leicht, daB die Anderung LJ y der Funktion 1(x) beliebig klein werden muB, wenn die Differenz LJ X gegen Null geht. Wenn sich daher eine Funktion differenzieren laBt, so ist ihre

6. Ableitung und Geschwindigkeit. Zweite Ableitung und Beschleunigung

321

Stetigkeit automatisch gesichert; wir werden deshalb darauf verzichten, die Steqgkeit der in diesem Kapitel vorkommenden differenzierbaren Funktionen ausdriidklich zu erwahnen oder zu beweisen, es sei denn, daB ein besonderer Grund dafiir vorliegt.

6. Ableitung und Geschwindigkeit. Zweite Ableitung und Beschleunigung Die bisherige Diskussion der Ableitung wurde in Verbindung mit dem geometrischen Begriff der Kurve einer Funktion durchgefiihrt. Aber die BedeutUng des Ableitungsbegriffs ist keineswegs beschrankt auf das Problem der Bestimmung der Tangentensteigung einer Kurve. Noch wichtiger ist in der Naturwissenschaft die Berechnung der Anderungsgeschwindigkeit einer GroBe f(t), die mit der Zeit t variiert. Dieses Problem fiihrte NEwrON auf die Differentialrechnung. NEwrON suchte insbesondere das Phanomen der Geschwindigkeit zu analysieren, bei dem die Zeit und die momentane Lage eines bewegten Teilchens als die variablen Elemente betrachtet werden, oder, wie NEwrON es ausdriickte, 3.Is "die flieBenden GroBen". Wenn ein Teilchen sich auf einer Geraden, der x-Achse, bewegt, wird seine Bewegung vollkommen durch die Lage x zu jeder Zeit t a1s Funktion x = f (t) beschrieben. Eine "gleichformige Bewegung" mit konstanter Geschwindigkeit langs der x-Achse wird durch die lineare Funktion x = a + bt definiert, wobei a die Koordinate des Teilchens zur Zeit t = 0 ist. In einer Ebene wird die Bewegung eines Teilchens durch zwei Funktionen

x = f(t),

y = g(t),

beschrieben, welche die beiden Koordinaten als Funktionen der Zeit charakterisieren. Gleichformige Bewegung insbesondere entspricht einem Paar von linearen Funktionen,

x = a + bt ,

y

= c + dt ,

wobei b und d die beiden "Komponenten" einer konstanten Geschwindigkeit sind und a und c die Koordinaten des Teilchens im Augenblick t = 0; die Bahn des Teilchens ist eine Gerade mit der Gleichung (x - a) d - (y - c) b = 0, die man erhalt, wenn man die Zeit taus den beiden obigen Relationen eliminiert. Wenn ein Teilchen sich in der vertikalen x, y-Ebene unter dem EinfluB der Schwerkraft allein bewegt, dann laBt sieh, wie in der elementaren Physik gezeigt wird, die Bewegung durch zwei Gleichungen beschreiben: x

=

a + bt,

worin a, b, c, d Konstanten sind, die von dem Anfangszustand des Teilchens abhangen, und g die Erdbeschleunigung, die angenahert gleich 9,81 ist, wenn die Zeit in Sekunden und die Entfemung in Metem gemessen werden. Die Bahn des Teilchens, die man erhalt, wenn man taus den beiden Gleichungen eliminiert, ist jetzt eine Parabel,

y

=

d

C

+b

1

(x - a) -"2g

(x-a)1 bl

,

wenn b =1= 0; andemfalls ist sie eine vertikale Gerade. Courant u. RobbinS, Mathematik

21

322

VIII. Die Infinitesimalrechnung

Wenn ein Teilchen gezwungen ist, sich auf einer gegebenen Kurve in der Ebene zu bewegen (wie ein Zug auf den Gleisen), so kann seine Bewegung beschrieben werden, indem man die BogenIange s, gemessen von einem festen Anfangspunkt Po langs der Kurve bis zu der Lage P des Teilchens zur Zeit t, aIs Funktion von t angibt: s = f(t). Auf dem Einheitskreis Xlii + ylll = 1 zum Beispiel stellt die Funktion s = ct eine gleichformige Rotation mit der Geschwindigkeit c auf dem Kreise dar. (Jbungen: *Man zeichne die Bahnen der ebenen Bewegungen, die beschrieben werden durch 1. x = sin I, y = cos I. 2. x = sin 21, y = sin 3t. 3. x = sin 21, Y = 2 sin 31. 4. In der oben beschriebenen parabolischen Bewegung mOge sich das Teilchen zur Zeit I = 0 im Ursprung befinden und es sei b > 0, d > O. Es sind die Koordinaten des Mchsten Punktes der Bahn zu bestimmen, ferner die Zeit lund der x-Wert fur den zweiten Schnittpunkt der Bahn mit der x-Achse.

NEWTONs erstes Ziel war, die Geschwindigkeit einer nicht-gleichformigen Bewegung zu definieren. Der Einfachheit haIber betrachten wir die Bewegung eines Teilchens liings einer Geraden, gegeben durch eine Funktion X = f(t). Ware die Bewegung gleichformig, d. h. die Geschwindigkeit konstant, so konnte die Geschwindigkeit gefunden werden, indem man zwei Werte der Zeit t und t1 mit den zugehorigen Werten der Lage X = f(t) und Xl = f(t1) wii.hlt und den Quotienten bildet: G h' di k't Entfemung x1 - x /(11) - /(t) tJ = esc WIn g et = Zeit '1 _ t = tl - t Wenn zum Beispiel t in Stunden und X in Kilometem gemessen werden, so bedeutet ffir t1 - t = 1 die Differenz x 1 - X die Anzahl der Kilometer, die in einer Stunde durchlaufen werden, und tJ ist die Geschwindigkeit in Kilometem pro Stunde. Die Aussage, daB die Geschwindigkeit der Bewegung konstant ist, bedeutet einfach, daB der Differenzenquotient (3)

/(1 1)

-

/(1)

t1 -1

fur aile Werte von t und t1 derselbe ist. Wenn aber die Bewegung nicht gleichformig ist, wie im FaIle eines frei failenden Korpers, dessen Geschwindigkeit wahrend des Failens zunimmt, dann gibt der Quotient (3) nicht die Geschwindigkeit im Augenblick t an, sondem nur die mittlere Geschwindigkeit wahrend des Zeitintervalls von t bis tx. Urn die Geschwindigkeit in dem exakten Augenblick t zu erhaIten, miissen wir den Grenzwert der mittleren Geschwindigkeit nehmen, wenn t1 gegen t geht. So definieren wir nach NEWTON (4)

Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = lim /(I~

=

{(I)

I' (t)

.

Mit anderen Worten: die Geschwindigkeit ist die Ableitung der Entfemungskoordinate in bezug auf die Zeit oder die ..mornentane Anderungsgeschwindigkeit" der Entfemung in bezug auf die Zeit (irn Unterschied zu der mittleren Anderungsgeschwindigkeit, die durch (3) gegeben ist). Die Anderungsgeschwindigkeit der Geschwindigkeit selbst nennt man Beschleunigung. Sie ist einfach die Ableitung der Ableitung, wird gewohnlich mit I" (t) bezeichnet und heiBt die zweite Ableitung von f(t). GALILEI rnachte die Beobachtung, daB bei einem frei fallenden Korper die vertikaIe Strecke, urn die der Korper wahrend der Zeit t fallt, gegeben ist durch die

7. Die geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung

323

Formel

(5)

X =

t(t)

=

1

zgt2 ,

worin g die Gravitationskonstante ist. Durch Differentiation von (5) ergibt sich, daB die Geschwindigkeit v des Karpers zur Zeit t gegeben ist durch

v = I' (t) = gt (6) und die Beschleunigung b durch b = I"(t) = g , eine Konstante. Nehmen wir an, es werde verlangt, die Geschwindigkeit zu bestimmen, die der Karper nach 2 Sekunden freien Fallens besitzt. Die mittlere Geschwindigkeit wahrend des Zeitintervalls von t = 2 bis t = 2,1 ist

~g(2,l)2- ~g(2)2 2,1- 2

=

4,905(0,41)

01

20,11 (mfsec).

=

Setzen wir jedoch t = 2 in (6) ein, so finden wir die momentane Geschwindigkeit nach zwei Sekunden zu v = 19,62. tJbung: Wie groB ist die mittlere Geschwindigkeit des Korpers wahrend der Zeitintervalle

= 2 bis t = 2,01 und von t = 2 bis t = 2,001 ? Fur Bewegungen in der Ebene geben die beiden Ableitungen I' (t) und g' (t) der Funktionen x = t (t) und Y = g (t) die Komponenten der Geschwindigkeit. Fur eine Bewegung langs einer festen Kurve ist der Betrag der Geschwindigkeit durch die Ableitung der Funktion s = (t) gegeben, worin s die Bogenlange bezeichnet. von t

t

7. Die geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung Die zweite Ableitung ist auch in der Analysis und der Geometrie von Bedeutung; denn I" (x), d.h. die .. Anderungsgeschwindigkeit" der Steigung f' (x) der Kurve y = t(x) in bezug auf x, gibt eine Vorstellung davon, in welcher Weise die Kurve y !I

o

o Fig. 270

.:c Fig. 271

sich kriimmt. Wenn I"(x) in einem Intervall positiv ist, dann ist die Anderung von im Verhaltnis zu der von x positiv. Ein positives Anderungsverhaltnis einer Funktion bedeutet, daB die Werte der Funktion zunehmen, wenn x zunimmt. Daher bedeutet I"(x) > 0, daB die Steigung I' (x) zunimmt, wenn x zunimmt, so daB die Kurve steiler wird, wenn sie eine positive Steigung hat, und weniger steil, wenn sie eine negative Steigung hat. Wir sagen dann, daB die Kurve nach oben konkav ist (Fig. 270). Umgekehrt ist, wenn I"(x) < 0, die Kurvey= t(x) nachunten konkav (Fig.271).

I' (x)

21*

324

VIII. Die Infinitesimalrechnung

Die Parabel y = 1(x) = x2 ist iiberall nach oben konkav, da I"(x) = 2 stets positiv ist. Die Kurve y = I(x) = x3 ist nach oben konkav fur x> 0 und nach unten konkav fiir x < 0 (Fig. 153), da I"(x) = 6x, wie der Leser leicht nachpriifen kann. Nebenbei haben wir flir x = 0 die Steigung I' (x) = 3x2 = 0 (aber kein Maximum oder Minimum!); femer ist I"(x) = 0 fiir x = O. Dieser Punkt wird ein Wendepunkt genannt. An einem solchen Punkt durchsetzt die Tangente, in diesem Fall die x-Achse, die Kurve. Wenn s die Bogenlange liings der Kurve und ex den Steigungswinkel bezeichnet, so ist ex = h (s) eine Funktion von s. Indem wir die Kurve durchlaufen, andert sich ex = h (s). Die "Anderungsgeschwindigkeit" h' (s) heiBt die Krummung der Kurve an dem Punkt, in dem die BogenHinge s ist. Wir erwiihnen ohne Beweis, daB die Kriimmung" sich mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitung der Funktion I(x), welche die Kurve bestimmt, ausdriicken liiBt: f"(x)

8. Maxima und Minima Wir konnen die Maxima und Minima einer gegebenen Funktion I(x) ermitteln, indem wir zuerst I' (x) bilden, dann die Werte von x bestimmen, flir welche diese Ableitung verschwindet, und zum SchluB untersuchen, we1che dieser Werte Maxima und welche Minima liefem. Diese Frage liiBt sich entscheiden, wenn wir die zweite Ableitung I"(x) bilden, deren Vorzeichen angibt, ob die Kurve nach oben oder nach unten konkav ist, und deren Verschwinden gewohnlich einen Wendepunkt anzeigt, an dem kein Extremum auftritt. Indem man die Vorzeichen von I'(x) und I" (x) beachtet, kann man nicht nur die Extrema bestimmen, sondem iiberhaupt die Gestalt der Kurve y = t(x) erkennen. Diese Methode,liefert die Werte von x, bei denen Extrema auftreten; urn die zugehorigen Werte von y = t(x) zu finden, haben wir diese Werte von x in I(x) einzusetzen. Als Beispiel betrachfen wir das Polynom

I(x) und erhalten

=

2x3 - 9x2 + 12x + 1

I'(x) = 6x2 - 18x + 12,

I"(x) = 12x - 18.

Die Wurzeln der quadratischen Gleichung I' (x) = 0 sind Xl = 1, x2 = 2, und wir haben l"(x1) = - 6 < 0, l"(x2 ) = 6 > O. Daher hat I(x) ein Maximum l(x1) = 6 und ein Minimum 1(x 2) = 5. Obungen: 1. Man skizziere die Kurve der obigen Funktion. 2. Man diskutiere und skizziere die Kurve von j(x) = (x' - I) (Xl - 4). 3. Man bestimme das Minimum von x I/x, von x + a'/x und von px und q positiv sind. Raben diese Funktionen Maxima? 4. Man bestimme die Maxima und Minima von sinx und sin(xl).

+

+ q/x, wenn P

§ 3. Die Technik des Differenzierens Bisher haben wir uns bemiiht, eine Reihe spezieller Funktionen zu differenzieren, indem wir den Differenzenquotienten vor dem Grenziibergang umformten. Es war ein entscheidender Fortschritt, als durch die Arbeiten von LEIBNIZ, NEWTON und ihren Nachfolgem diese individuellen Kunstgriffe durch leistungs-

325

§ 3. Die Technik des Differenzierens

fahigere allgemeine Methoden ersetzt wurden. Mit diesen Methoden kann man beinahe automatisch jede Funktion differenzieren, die normalerweise in der Mathematik auftritt, sofem man nur einige einfache Regeln beherrscht und richtig anwendet. So hat das Differenzieren geradezu den Charakter eines "AIgorithmus" erhalten. Wir konnen hier nicht auf die feineren Einzelheiten der T echnik eingehen. Nur einige einfache Regeln sollen erwahnt werden. a) Differentiation einer Summe. Wenn a und b Konstanten sind, und die Funktion k (x) gegeben ist durch k(x) = af(x) + bg(x) , so ist, wie der Leser leicht bestatigen wird,

k' (x)

=

af'(x)

+ bg' (x) .

Eine entsprechende Regel gilt flir beliebig viele Summanden. b) Differentiation eines Produktes. Flir ein Produkt

P(x)

=

f(x) g(x)

ist die Ableitung

P'(x)

=

f(x) g'(x)

+ g(x) I'(x).

Dies kann man leicht durch den folgenden Kunstgriff beweisen: wir schreiben, indem wir denselben Ausdruck nacheinander addieren und subtrahieren .

P(x + h) - P(x)

= =

+ h) g(x + h) -f(x) g(x) + h) g(x + h) -f(x + h) g(x) + f(x + h) g(x) -f(x)g(x)

f(x f(x

und erhalten, indem wir die beiden ersten und die beiden letzten Glieder zusammenfassen, P(x+h)-P(x) h

=f(

x+

h) g(x+h)-g(x)

"

Nun lassen wir h gegen Null streben; da f(x sofort die Behauptung, die zu beweisen war.

+ () gx

+ h)

f(x+h)-f(x) h •

gegen f(x) strebt, ergibt sich

(Jbung: Man beweise mit dieser Regel, da/3 die Funktion P(x) = x" die Ableitung P' (x) = nx,,-l hat. (Anleitung: Man schreibe x" = X· X,,-l und benutze die mathematische In-

duktion.)

Mit Hilfe der Regel a) konnen wir jedes Polynom

f(x)

=

ao+ a1x + a2 x 2 + ...

+ anxn

differenzieren; die Ableitung ist

a1+ 2a ll x + 3a 3 x2 + ... + nanxn- 1 . Als Anwendung konnen wir den binomischen Satz beweisen (vgl. S. 15). Dieser Satz betrifft die Entwicklung von (1 + x)n als Polynom: I'(x)

=

(1 ) und sagt aus, daB der Koeffizient ak gegeben ist durch die Formel

(2) Natlirlich ist an = 1.

ak =

n(n-1)··· (n-h h!

+ 1)

VIII. Die Infinitesimalrechnung

326

n(l

Nun wissen wir (Obung S. 319), daB die linke Seite von (I) die Ableitung + x},,-lliefert. Daher erhalten wir nach dem vorigen Absatz

(3) In dieser Forme! setzen wir nun x = 0 und finden, daB n = at ist, was (2) fUr k = 1 entspricht. Dann differenzieren wir (3) nochmals und erhalten n(n - 1 HI

+ X),,-2= 2as+ 3· 2aax + ... + n(n -

l)a"X"-s.

Setzen wir wieder x = 0, so ergibt sich n(n - 1) = 2a., in Obereinstimmung mit (2) fur k = 2.

= 3, 4

tJbung: Man beweise (2) fiir k

Induktion.

und fiir allgemeines k mittels mathematischer

c) Differentiation eines Quotienten. Wenn

q(x}

f(x)

= g(x) •

so ist , ( ) _ g(x)f'(x) - f(x)g'(x)

q

X -

(g(X))1

Der Beweis bleibe dem Leser uberlassen. (Naturlich muB g(x) =+= 0 angenommen werden.) tJbung: Man leite mit dieser Regel die Formeln von S.320 fiir die Ableitungen von tanx und cot x aus denen von sinx und cosx abo Man zeige, daB die Ableitungen von secx = l/cosx und cosecx = l/sinx gleich sinx/cos1x bzw. -eosx/sinlx sind.

Wir sind jetzt in der Lage, jede Funktion zu differenzieren, die sich als Quotient zweier Polynome schreiben Hi.Bt. Zum Beispiel hat I(x)

die Ableitung

f'( x ) =

-(1

l-x

= 1

+x

+ x) - (1- x) (I + X)I

tJbung: Man difterenziere

-2 (1

+ X)I

•

1

f(x) = x'" = x-a,

wenn m eine positive ganze Zahl ist. Das Ergebnis ist f'(x) = - m r .. - l

•

d) Differentiation inverser Funktionen. Wenn y

=

f(x)

inverse Funktionen sind (z. B. y reziprok zueinander: g'(y)

= f'~X)

=

und

x = g(y)

x2 und x =

Vy), dann sind ihre Ableitungen

oder Dg(y) ·DI(x) = 1.

Dies laBt sich leicht beweisen, indem man auf die reziproken Differenzenquotienten

~~ bzw. ~; zuriickgeht; man kann es ebenfalls aus der geometrischen

Deutung der inversen Funktionen auf S. 214 erkennen, wenn man die Steigung der Tangente auf die y-Achse statt auf die x-Achse bezieht.

327

§ 3. Die Technik des Differenzierens

Als Beispiel differenzieren wir die Funktion 1

Y=/(x)=Vx=xm , die invers zu x = ym ist. (Siehe auch die direkte Behandlung ftir m Da die letzte Funktion die Ableitung mym - 1 hat, so gilt ,

I

1 (x) =

my.. - l

I

Y

=

2 auf S. 319.)

I

=-;n y" = myy-m, 1

woraus man durch die Substitutionen y ~-I

I

I'(x) =-x'" m

x'" und y-m= x-1

=

( - I)

I

1

--I

D x'" =-x'" m

oder

erhalt. Als weiteres Beispiel differenzieren wir die inverse trigonometrische Funktion (siehe S. 214)

Y = arc tan x, was gleichbedeutend ist mit x = tan y . Hier ist die Variable y, die das BogenmaB angibt, auf das Intervall-

< ~

1&

~ 1& < Y <

beschrankt, damit erne eindeutige Definition der rnversen Funktion garan-

tiert ist. I

.

.

I

Da D tan y = -cos - . - 1st (slehe S. 320) und - - IY cos Y = 1 + X2, haben wir Dare tan x

I

=

=

+

sin' y cos' y I = 1 cos Y

+ tan IIy

I

+ Xl

•

In derselben Weise mage der Leser die folgenden Formeln ableiten: D arc cot x =

Darcsin

-

1

1

+ Xl

,

1

X=

VI-x· • I

D arc cos x = - y'I=XI .

SchlieBlich kommen wir zu der wichtigen Regel flir die e) Dil/erentiation zusammengesetzter Funktionen. Solche Funktionen bestehen aus zwei (oder mehr) einfacheren Funktionen (siehe S. 214). Zum Beispiel ist z = sin zusamroengesetzt aus z = sin y und y = VX-; die Funktion z = Vi + J!X6 ist zusammengesetzt aus z = y + y5 ulld y = Vi; z = sin (x 2 ) ist zusammengesetzt

Vx

aus z = srn y und y =

X2; Z

= sin ~ ist zusammengesetzt aus z = srn y und y = ~ . x x

Wenn zwei Funktionen

z = g(y)

und

y = I(x)

gegeben srnd, und wenn die zweite Funktion in die erste eingesetzt wird, so erhalten wir die zusammengesetzte Funktion z = k(x)

=

g[f(x)].

VIII. Die Infinitesimalrechnung

328

Wir behaupten, daB (4)

k' (x) = g' (y) I' (x)

ist. Denn, wenn wir schreiben 11("'1) - II ("')

Zl -

"'1-'"

Yl - Y

Z

"'1-'" '

Yl-Y·

worin Yl = 1(Xl) und Zl=g(Yl) = k(xl ) ist, und lassen wir dann Xl gegen X riicken, so strebt die linke Seite gegen k' (x), und die beiden Faktoren der rechten Seite streben gegen g' (y) bzw. I' (x), womit (4) bewiesen ist.

noVV~VV$ 00,

11

.v-sin (y,z;')

.v-sin (.z:3) Fig. 273

Fig. 272

Bei diesem Beweis war die Bedingung Yl - Y =l= 0 notwendig. Denn wir dividierten durch Lly = Yl- y, und wir konnen keine Werte Xl benutzen, fUr die Yl- Y = 0 ist. Aber die Formel (4) bleibt giiltig, selbst wenn in einem Intervall urn X herum ,LI Y = 0 ist; Y ist dann konstant, I' (x) ist 0, k (x) = g (y) ist konstant in bezug auf x, (da y sich mit x nicht andert) und folglich ist k' (x) = 0, was in diesem Fall der Aussage von (4) entspricht. Es wird empfohlen, die folgenden Beispiele nachzupriifen: k(x) = sin k(x) =

k(x) =

¥X.

k'(x) = (cos

Vx)

2:.x '

(x-+ V7,

k' (x)

=

(I

k'(x)

=

cos (X2) • 2x,

k (x)

=

sin (X2) •

k(x)

=

sin

VI - X2,

~.

+ 5 x2 )

k' (x) = - cos (

k'(x)

-1

~)

1

.r.:-'

2 y '"

:. , -'"

2Vl-",1 ·2x= Vl-",I

=

tJbu1Ig: Mit Hilfe der Resultate von S. 319 und S. 327 zeige man, daB die Funktion

1("') =

..

y;; =

.!.

","

die Ableitung hat .!.-1

S

1'("')=-;;"'''

.

Man beachte, daB alle unsere Formeln, die Potenzen von x betreffen, zu einer einzigen zusammengefaBt werden konnen: Wenn r eine beliebige positive oder negative rationale Zahl ist, so hat die Funktion

I(x)

die Ableitung I'(x)

=

=

xr

rx r - l

.

§ 4. Die Leibnizsche Schreibweise und das "Unendlich Kleine"

329

Obungen: 1. Die Difterentiationen der "Obungen auf S.319 sollen mit Hilfe der Regeln dieses AbschDitts durchgefiihrt werden. 1 2. Man difIerenziere folgende Funktionen: ~ sin~, 1 + ~2 sin n~, (-,"1- 3~1.,- ~ + 1)8, 1

1 . 1+~ 1 + ~ tr.----::o 1 + sinl~, ~Isin XI' arc sin (cos n~), tan 1 - ~ ,arc tan 1 - ~ , r 1-~', 1 + ~I

• 3. Man bestimme die zweiten Ableitungen von einigen der vorstehenden Funktionen und

+ ~ , arc tan ~, sinl~, tan~. Man difIerenziere c V(~- ~1)1 + y~ + CI V(~ -

1-~

von 1

+

4. ~I)I y:' *und beweise die Minimum1 eigenschaft des Lichtstrahls bei Reflexion und Brechung, die in Kapitel VII S. 252 und S. 289 besprochen wurde. Dabei soIl die Reflexion oder Brechung an der ~-Achse stattfinden, und die (Bemerkung: Die Koordinaten der Endpunkte des Lichtweges seien ~1' Y1' bzw. ~., Y.. Funktion besitzt nur einen Punkt mit verschwindender Ableitung, und da ofIenbar nur ein Minimum und kein Maximum auftritt, ist es nicht nOtig, die zweite Ableitung zu untersuchen.) Weite,e P,obleme abe, Ma~ima und Minima: 5. Man bestimme die Extrema der folgenden Funktionen, skizziere ihre Kurven und stelle die Abschnitte fest, in denen sie zunehmen, abnehmen, nach unten und nach oben konkav sind: ~-6~

+ 2,

COSI~ •

6. Man untersuche die Maxima und Minima der Funktion ~a + 3a~ + 1 in ihrer Abhangigkeit von a. 7. Welcher Punkt der Hyperbel 2y' - ~I = 2 hat den kleinsten Abstand von dem Punkt ~ = 0, y = 3? 8. Unter allen Rechtecken von gegebenem Flli.cheninhalt ist das mit der kiirzesten Diagonale zu bestimmen. 9. Der Ellipse ~'/al yl/bl = 1 ist das Rechteck mit dem grOBten Flli.cheninhalt einzubeschreiben. 10. Von allen Kreiszylindem von gegebenem Volumen ist der mit der kleinsten Oberflii.che zu bestimmen.

+

§ 4. Die Leibnizsche Schreibweise und das "Unendlich Kleine" NEWTON und LEIBNIZ wuBten das Integral und die Ableitung als Grenzwerte zu bestimmen. Aber die eigentlichen Grundlagen des "KalktUs". wie man die Infinitesimalrechnung friiher bezeichnete. wurden lange verdunkelt durch die verbreitete Abneigung. den Grenzbegriff allein als wahre Quelle der neuen Methoden anzuerkennen. Weder NEWTON noch LEIBNIZ brachten es iiber sich. eine solche unmiBverstandliche Auffassung auszusprechen. so einfach sie uns heute auch erscheint. nachdem der Grenzbegriff vollkommen klar herausgearbeitet worden ist. So wurde der Gegenstand mehr als ein Jahrhundert lang durch Formulierungen wie "unendlich kleine GroBen", "Differentiale". "letzte Verhaltnisse" usw. verschleiert. Das Widerstreben, mit dem diese Vorstellungen schlieBlich aufgegeben wurden, war tief verwurzelt in der philosophischen Einstellung der damaligen Zeit und in dem Wesen des menschlichen Geistes iiberhaupt. Man hatte argumentieren konnen: "Natiirlich lassen sich Integral und Ableitung als Grenzwerte berechnen. Aber was sind schlieBlich diese Objekte selbst. unabhangig von der besonderen Art, sie als Grenzprozesse zu beschreiben ? Es scheint doch selbstverstandlich, daB anschauliche Begriffe, wie Flache und Steigung einer Kurve, eine absolute Bedeutung in sich tragen und nicht auf Hilfsvorstellungen wie eingeschriebene Polygone oder Sekanten und deren Grenzwerte angewiesen sind!" Es ist in der Tat psychologisch ganz natiirlich, nach angemessenen Definitionen

330

VIII. Die Infinitesimairechnung

von Flache und Steigung als "Dingen an sich" zu suchen. Diesem Bedurfnis zu entsagen und statt dessen in den Grenzprozessen die einzige wissenschaftlich brauchbare Definition zu sehen - dies entspricht einer reiferen Geisteshaltung, die auch auf anderen Gebieten dem Fortschritt den Weg bereitet hat. 1m 17. Jahrhundert gab es noch keine geistige Tradition, die solchen philosophischen Radikalismus gestattet batte. LEIBNIZ' Versuch, die Ableitung zu "erklaren", begann vollkommen korrekt mit dem Differenzenquotienten einer Funktion t(x), L1 y

LfX=

f(x 1)

-

f(x)

X1-X

•

Fur den Limes, also die Ableitung, die wir f' (x) genannt haben (dem spater von LAGRANGE eingefuhrten Brauch entsprechend), schrieb LEIBNIZ dy

Iii ' indem er das Differenzsymbol Lt dUrch das "Differentialsymbol" d ersetzte. Wenn wir verstehen, daB dieses Symbol nur andeuten soli, daB der Grenzubergang Lt x-+-o und folglich ,1 y-+-O auszufuhren ist, besteht keine Schwierigkeit und nichts Geheirnnisvolles. Ehe man zur Grenze ubergeht, wird der Nenner ,1 x in dem Quotienten ,1 yiLt x weggekurzt oder so umgeformt, daB der GrenzprozeB glatt durchgefuhrt werden kann. Dies ist entscheidend fur die Durchfuhrung der Differentiation. Hatten wir versucht, ohne eine solche vorherige Umformung zur Grenze uberzugehen, so batten wir nur die sinnlose Beziehung L1y/Lt x = % erhalten, mit der sich gar nichts anfangen laBt. Mystizismus und Konfusion ergeben sich nur, wenn wir mit LEIBNIZ und vielen seiner Nachfolger etwa folgendermaBen argumentieren. ",1 x nahert sich nicht der Null. VieImehr ist der ,letzte Wert' von ,1 x nicht 0, sondern eine ,unendliche kleine GroBe', ein ,Differential', genannt, und ebenso hat L1y einen "letzten" unendlich kleinen Wert dy. Der Quotient dieser unendlich kleinen Differentiale ist wieder eine gewohnliche Zahl, f' (x) = dy/d x". LEIBNIZ nannte daher die Ableitung "Differentialquotient". Solche unendlich kleinen GroBen wurden als eine neue Art von Zahlen aufgefaBt, die nicht Null sind, aber kleiner als jede positive Zahl des reellen Zahlensystems. Nur wer den richtigen "mathematischen Sinn" besaB, konnte diesen Begriff erfassen, und man hielt die Infinitesimalrechnung fur ausgesprochen schwierig, weil nicht jeder diesen Sinn besitzt oder entwickeln kann. In ahnlicher Weise wurde auch das Integral als eine Summe unendlich vieler "unendlich kleiner GroBen" t (x) d x aufgefaBt. Eine solche Summe, so schien man zu empfinden, sei das Integral oder die Flache, wabrend die Berechnung des Wertes als Grenzwert einer endlichen Summe gewohnticker Zahlen t(Xi) Lt x nur als Hilfsmittel angesehen wurde. Heute verzichten wir einfach auf eine "direkte" ErKIarung und detinieren das Integral als den Grenzwert einer endlichen Summe. Auf diese Weise werden die Schwierigkeiten vermieden, und die Infinitesimalrechnung wird auf eine soIide Grundlage gestellt. Trotz dieser spateren Entwicklung wurde die Leibnizsche Schreibweise dy/d x fiir f' (x) und J t (x) d x fur das Integral beibehalten und hat sich als auBerst nutzlich bewabrt. Sie tut keinerlei Schaden, wenn wir die Buchstaben d nur als Symbole fur einen Grenzubergang ansehen. Die Leibnizsche Schreibweise hat den Vorzug,

ax

1. Der Fundamentalsatz

331

daB man mit den Grenzwerten von Quotienten und Summen in gewissem Sinne so umgehen kann, "als ob" sie wirkliche Quotienten und Summen waren. Die suggestive Kraft dieses Symbolismus hat vielfach die Menschen verleitet, diesen Symbolen einen ganzlich unmathematischen Sinn beizulegen. Aber wenn wir dieser Versuchung widerstehen, dann ist die Leibnizsche Schreibweise zumindest eine vorzugliche Abkurzung fur die etwas umstandliche Schreibweise des Grenzprozesses; tatsachlich ist sie fUr die weiter fortgeschrittenen Zweige der Theorie nahezu unentbehrlich. Zum Beispiel ergab die Regel (d) auf S. 326 fur die Differentiation der inversen Funktion x = g (y) von y = f (x), daB g' (y) . f' (x) = 1. In der Leibnizschen Schreibweise stellt sie sich einfach dar als

~.!.L= 1 dy

dx

'

"als ob" die "Differentiale" weggekurzt werden durften wie bei einem gewohnlichen Bruch. Ebenso schreibt sich die Regel (e) der S. 328 fur die Differentiation einer zusammengesetzten Funktion z = k (x), wenn z=g(y),

y=f(x),

jetzt als dz

dz

dy

Tx=fiY'-;[X' Die Leibnizsche Schreibweise hat femer den Vorzug, daB sie den Nachdruck auf die Gro{3en x, y, z legt, mehr als auf ihre explizite funktionale Verknupfung. Diese driicktein Verfakren aus, eine OPeration, die eine GroBe y aus einer andem GroBe x entstehen laBt, z. B. erzeugt die Funktion y = f(x) = Xl eine GroBe y gleich dem Quadrat der GroBe x. Die Operation (das Quadrieren) ist in den Augen des Mathematikers das Wesentliche; aber die Physiker und Techniker interessieren sich im allgemeinen in erster Linie fur die GroBen selbst. Daher ist der Nachdruck, den die Leibnizsche Schreibweise den GroBen selbst verleiht, fUr alle angewandten Mathematiker besonders ansprechend. Noch eine weitere Bemerkung sei angefuhrt. Wahrend die "Differentiale" als unendlich kleine GroBen endgiiltig diskreditiert und abgeschafft sind, hat sich dasselbe Wort "Differential" durch eine Hintertur wieder eingeschlichen, - diesmal zur Bezeichnung eines vollkommen berechtigten und nutzlichen Begriffs. Es bedeutet jetzt einfach eine Differenz LI x, wenn LI x im Verhaltnis zu den anderen vorkommenden GroBen klein ist. Wir konnen uns hier nicht auf eine Erorterung des Wertes dieser Vorstellung fur Naherungsrechnungen einlassen. Auch konnen wir nicht noch andere legitime mathematische Begriffsbildungen erortem, fur die ebenfalls der Name "Differentiale" eingefuhrt worden ist und von denen einige sich in der Infinitesimalrechnung und ihren Anwendungen auf die Geometrie durchaus als nutzlich erwiesen haben.

§ 5. Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung 1. Der Fundamentalsatz Die Idee der Integration und bis zu einem gewissen Grade auch die der Differentiation waren schon vor NEWTON und LEIBNIZ recht gut entwickelt. Urn die

332

VIII. Die Infinitesimairechnung

gewaltige Entwicklung der neueren Analysis in Gang zu setzen, war nur noch eine weitere einfache Entdeckung notwendig. Die beiden anscheinend ganz verschiedenartigen Grenzprozesse, die bei der Differentiation und Integration einer Funktion auftreten, hangen eng zusammen. Sie sind tatsachlich invers zueinander wie etwa die Operationen der Addition und Subtraktion oder der Multiplikation und Division. Es gibt keine Differentia1rechnung fur sich und Integralrechnung fur sieh, sondem nur eine Infinitesimalrechnung. Es war die groBe Leistung von LEIBNIZ und NEWTON, diesen Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung zuerst erkannt und angewandt zu haben. Naturlich lag ihre Entdeckung auf dem geraden Wege der wissenU schaftlichen Entwicklung, und es ist naheliegend, daB verschiedene Gelehrte unabh1ingig voneinander und fast zur gleichen Zeit zu der klaren Einsicht in die Situation gelangt sind. Um den Fundamentalsatz zu formulieren, betrachD a .t: II ten wir das Integral einerFunktion f(x) von der festen Fig. 274d~,,:~!!:unktion unteren Grenze a an bis zu der variablen oberen Grenze x. Um Verwechslungen zwischen der oberen Integrationsgrenze und der Variablen x zu vermeiden, die in dem Symbol t(x) vorkommt, schreiben wir dieses Integral in der Form (siehe S. 313) (1)

F(x)

= J"t(u) du, II

um anzudeuten, daB wir das Integral als Funktion F(x) der oberen Grenze x ansehen wollen (Fig. 274). Diese Funktion F (x) ist die FHiche unter der Kurve y = f(u) von der Stelle u = a bis zur Stelle u = x. Zuweilen wird das Integral F (x) mit variabler oberer Grenze ein "unbestimmtes" Integral genannt. Nun besagt der Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung: Die Ableitung des unbestimmten Integrals (1) als Funktion von x ist gleich dem Wert von f(u) an der Stelle x: F'(x) = f(x) .

Mit anderen Worlen, der Prozep der Integration, der von der Funktion f(x) zu F(x) fuhri, wird rUckgiingig gemacht durch den Prozep der Differentiation, angewandt auf F (x), d. h. er \\ird umgekehrt. Auf anschaulicher Grundlage kann der Beweis sehr einfach gefUhrt werden. Er beruht auf der Deutung des Integrals F (x) als einer Fliiche und wtirde o erschwert werden, wenn man versuchte, F (x) durch Fig.275.BeweisdesFunciamentalsatzes eine Kurve und die Ableitung F'(x) durch ihre Steigung darzustellen. Statt dieser ursprunglichen geometrischen Deutung der Ableitung behalten wir die geometrische Erklarung des Integrals F(x) 00, gehen aber bei der Differentiation von F(x) analytisch vor. Die Differenz F(xl ) - F(x) ist einfach die Flache zwischen x und

Xl

in Fig. 275, und wir sehen, daB diese

1. Der Fundamentalsatz

333

Fliiche zwischen den Werten (x1- x}m und (x1- x)M liegt, (x1- x}m ~ F(X1) - F(x} ~ (x1- x}M, worin M und m der groBte bzw. kleinste Wert von I(u) zwischen x und Xl sind. Denn diese beiden Produkte sind die Rechteckfliichen, welche die von der Kurve begrenzte Fliiche einschlieBen bzw. von ihr eingeschlossen werden. Es folgt

m~ -

F(Xl)-F(x) ~

x1 - x

-

M .

Wir wollen annehmen, daB die Funktion I(u} stetig ist, so daB, wenn niihert, sowohl M wie m sich I(x) niihem. Dann haben wir (2)

Xl

sich

X

F'(x) = lim F(Xl)-F(x) = I(x} , x1 - x

wie behauptet. Anschaulich bedeutet dies, daB das Anderungsverhiiltnis der Fliiche unter der Kurve bei Zunahme von X gleich der Hohe der Kurve an der Stelle X ist. In manchen Lehrbiichem wird das Wesen des Fundamentalsatzes durch eine ungiinstig gewiihlte Bezeichnungsweise verdunkelt. Viele Autoren fUhren zuerst die Ableitung ein und definieren dann die Integration einfach als die inverse Operation der Differentiation, indem sie sagen, daB G (x) ein unbestimmtes Integral von I (x) ist, wenn G' (x) = I(x} . So wird die Differentiation sofort mit dem Wort "Integral" verkniipft. Erst spiiter wird dann der Begriff des" bestimmten Integrals" als Fliiche oder als Grenzwert einer Surnme eingefUhrt, und es wird nicht betont, daB das Wort "Integral" nun eine andere Bedeutung hat. Auf diese Weise wird die Haupttatsache der Theorie durch eine Hintertiir eingeschmuggelt, und der Anfiinger wird in seinem Bestreben urn ein wirkliches Verstiindnis ernstlich behindert. Wir ziehen es vor, Funktionen G(x), fUr die G'(x} = I(x) gilt, nicht "unbestimmte Integrale" zu nennen, sondem primitive Funktionen oder Stammlunktionen von I(x). Der Fundamentalsatz sagt dann einfach aus: F(x), das Integral von I(u) mit lester umerer und variabler oberer Grenze, ist eine primitive Funktion von I(x}. Wir sagen "eine" primitive Funktion und nicht "die" primitive Funktion, denn wenn G(x) eine primitive Funktion von I(x} ist, dann ist offensichtlich auch H (x) = G (x)

+c

(c

= eine beliebige Konstante)

eine primitive Funktion, wegen H' (x) = G' (x). Auch das Umgekehrte ist richtig. Zwei primitive Funktionen G(x) und H(x) konnen sick nur um eine Konstante unterscheiden. Denn die Differenz U(x} = G(x) - H(x) hat die Ableitung U'(x} = G'(x} - H'(x) = I(x) - I(x) = 0 und ist demnach konstant, da eine Funktion, die durch eine iiberall horizontale Kurve dargestellt wird, notwendig konstant sein muB. Dies fuhrt zu einer wichtigen Regel fur das Bestimmen des Wertes eines Integrals von a bis b, sofem wir eine primitive Funktion G(x) von I(x) kennen. Nach unserm Hauptsatz ist

F(x)

=

f'" I(u) du

a

VIII. Die Inftnitesimalrechnung

auch eine primitive Funktion von I(x). Daher ist F(x) = G(x) + c, worin c eine Konstante ist. Diese Konstante kann bestimmt werden, wenn wir daran denken, daB F(a)

.. ..

= J I(u) du = O. Dies ergibt 0 = G(a) + c, also c = - G(a). Daher ist

das bestimmte Integral zwischen den Grenzen a und x einfach F(x)

= G(x) - G(a), oder, wenn wir b statt x schreiben, b

J I(u) du =

(3)

..

=

J" I (u)du

..

G(b) - G(a) ,

unabhangig davon, welche besondere primitive Funktion G(x) wir gewahlt haben. Mit anderen Worten: b

Um das bestimmte Integral J I (x) dx auszuwerlen, brauchen wir nur eine Funk-

..

tion G(x) zu linden, lur die G'(x) = I(x), und dann die Differenz G(b) - G(a) zu bilden. 2. Erste AnwendUDgen. Integration von xr, cos x, sin x, arc tan x Es ist bier unmoglich, von der Reichweite des Fundamentalsatzes eine angemessene Vorstellung zu geben, aber vielleicht werden die folgenden Beispiele wenigstens eine Andeutung liefem. Die Probleme, denen man in der Mechanik, der Physik oder der reinen Mathematik begegnet, fiihren sehr oft auf bestimmte Integra1e, nach deren Wert gefragt wird. Der direkte Versuch, ein solches Integral als Grenzwert einerSurnme zuberechnen, kann schwierig sein. Andererseits ist es, wie wir in § 3 sahen, verhaItnismaBig einfach, alle moglichen Arten von Difierentiationen auszufiihren und einen .. Vorrat" von Kenntnissen auf diesem Gebiet zu samme1n. Jede Ableitungsforme1 G' (x) = I (x) kann riickwms ge1esen werden und liefert dann eine primitive Funktion G(x) fur I(x). Mit Hilfe der Formel (3) kann dies ausgenutzt werden, urn das Integral von/(x) zwischenzwei beliebigen Grenzen zu bestimmen. Wenn wir zurn Beispiel das Integral von x· oder x3 oder X" suchen, so konnen wir jetzt viel einfacher vorgehen als in § 1. Wir wissen aus unserer Differentiationsformel fiir X", daB die Ableitung von X" gleich n X"-1 ist, so daB die Ableitung von %,,+1

G(x)=n+l sich als

ergibt. Daher ist haben wir sofort

(n=J=-l)

n+11 X"= G'() x = -n+ %,,+1

(n

+ 1)

eine primitive Funktion von I(x)

f X"dx = G(b) - G(a) = .. b

X"

b"+l_a"+l

n+1

= x",

und folglich

•

Dieses Verfahren ist viel einfacher als die muhsame Prozedur, das Integral als Grenzwert einer Summe zu ermitteln.

2. Erste Anwendungen. Integration von x', cos x, sin x, arc tan x

335

Noch allgemeiner hatten wir in § 3 gefunden, daB flir jedes rationale, positive oder negative s die Funktion x' die Ableitung s x'-l hat, und daher hat flir s = r + 1 die Funktion G (x)

die Ableitung t (x)

"x:

=

1 = --

1'+1

X,,+l

G' (x) = x". (Wir nehmen an, daB r =1= - 1, also s =1= 0 ist.)

Daher ist 11 eine primitive Funktion oder ein "unbestimmtes Integral" von x", und wir haben (flir positive a, b und r =1= -1)

f

b

(4)

x"dx

=

l'

~1

(b"+l- a"+l).

In (4) solI im Integrationsintervall der Integrand x, definiert und stetig sein, wodurch x = 0 ausgeschlossen ist, falls" < O. Daher machen wir die Annahme, daB in diesem Fall a und b positiv sind.

Flir G(x) = - cos x haben wir G' (x) = sinx, daher ist II

J sin x dx = -

(cosa - cosO) = 1 - cosa.

o

Ebenso folgt, da flir G(x) = sin x die Ableitung G' (x) = cos x ist, II

J cos x dx = sina -

o

sinO = sina.

Ein besonders interessantes Resultat ergibt sich aus der Formel flir die Differentiation der inversen Tangensfunktion, D arc tan x = Funktion arc tan x eine primitive Funktion von aus der Formel (3) das Resultat arc tanb - arc tan 0 =

f

1

1~

Xl •

Es folgt, daB die

~ x 2 ist, und wir erhalten y

b

1

o

~ Xl dx.

Nun ist arc tan 0 = 0, da zu dem Wert 0 des Tangens der Wert 0 des Winkels gehOrt. Daher haben wir

f

b

(5)

arc tan b =

1

o

~ x' d x .

Fig. 276.

4' "

aIs FUiche unter

,,= _1_. von 0 bis 1. 1st insbesondere b = I, so ist arc tan b = n/4, da dem 1+" Wert 1 des Tangens der Winkel von 45°, oder vom BogenmaB n/4 entspricht. Daher erhalten wir die bemerkenswerte Formel

f 4=

1

(6)

11:

o

1

l+x sdx .

Sie zeigt, daB die FHiche unter der Kurve y = der FHiche eines Kreises vom Radius 1 ist.

--:--:----::1 x2

+

von 0 bis 1 ein Viertel

VIII. Die Infinitesimalrechnung

336

3. Die Leibnizsche Forme. fUr n Das letzte Ergebnis fiihrt zu einer der schOnsten mathematischen Entdeckungen des 17. Jahrhunderts, der Leibnizschen altemierenden Reihe fiir n: nIl

(7)

1

1

11

4"=T-3"+s-"7+g-U+'" .

Mit dem Symbol + ... meinen wir, daB die Folge endlicher "Partialsummen", die man erhiilt, indem man den Ausdruck auf der rechten Seite nach n Gliedem abbrlcht, gegen den Grenzwert n/4 konvergiert, wenn n zunimmt. Um diese beriihmte Formel zu beweisen, brauchen wir uns nur an die endliche geometrische Reihe

1 - q" = l-q

1 + q + ql+ ... + q"'-l oder

1 1_ q = 1+

q + q2 + ... + q"'-l +

q"

1_ q

zu erinnem. In dieser algebraischen Identitat substituieren wir q = erhalten 1 1 + Xl

(8)

-

Xl

und

= 1 - x2 + x'- x8 + ... + (_1)n-1x 2n - 2 + Rn,

worin das "Restglied" Rn den Wert hat Xl.

Rn= (-I)n 1 + Xl

•

Die Gleichung (8) kann nun zwischen den Grenzen 0 und 1 integriert werden. Nach Regel (a) von § 3 haben wir auf der rechten Seite die Summe der Integrale

J .. b

der einzelnen Glieder zu nehmen. Da nach (4)

J 1

wir

o

(9)

xmdx

= m

~1

'

o

1

dx

m+ 1

'

so finden

und daher ist

J l+x. =1-3"+s-y+···+(-I)n-1 Tn= (-I)n f ~·x. 1

b"'+1 - a",+1

xmdx =

1

1

1 2n _ 1

+Tn,

I

1 dx. Nach (6) ist die linke Seite von (9) gleich n/4. o Die Differenz zwischen n/4 und der Partialsumme

worln

1

1

(_1) .. -1 1

Sn = 1 - 3" + s + ... + 2n -

ist n/4 - SOl = Tn. Es bleibt zu zeigen, daB Tn gegen Null strebt, wenn n zunimmt. Nun ist fiirO~x~1. b

Erinnem wir uns an Formel (13) von § 1, die aussagt, daB J f(x) dx wenn f(x)

~

..

g(x) und a < b, so sehen wir, daB

J I

IT'll =

o

f

1

1

~"XI

dx

~

0

x1ndx;

b

~

Jg(x) dx,

..

1. Definition und Eigenschaften des Logarithmus. Die Eulersche Zahl e

da die rechte Seitegleich 2n ~

ITnl <

2n 1+ 1 . Foiglich ist

1

337

ist, wie wir obensahen [Formel (4)], so ergibtsich

I: - l< 5n

2n

~1

.

Dies zeigt, daB 5 n mit wachsendem n gegen :n;/4 strebt, da 2n + 1 gegen Null strebt. Darnit ist die Leibnizsche Formel bewiesen.

§ 6. Die Exponentialfunktion und der Logarithmu8 Die Grundbegriffe der Infinitesimalrechnung liefem eine viel angemessenere Theorie des Logarithmus und der Exponentialfunktion als das "elementare" Verfahren, das irn iiblichen Schulunterricht zugrunde gelegt wird. Dort geht man gewohnlich von den ganzzahligen Potenzen a" einer positiven Zahl a aus und

Va,

definiert dann a1/ m = womit man den Wert ar fiir alle rationalen r = nlm erhalt. Der Wert von all/J fUr jedes irrationale x wird dann so definiert, daB all/Jeinestetige Funktion von x wird, ein Schritt, dessen Rechtfertigung irn Elementarunterricht stillschweigend unterlassen wird. Endlich wird dann der Logarithmus von y zur Basis a x=

IgaY

als inverse Funktion zu Y = all/J definiert. In der folgenden Theorie dieser Funktionen, die auf der InfiIiitesirnalrechnung basiert, wird die Reihenfolge umgekehrt. Wir fangen mit dem Logarithrnus an und erhalten dann die Exponentialfunktion. 1. Definition und Eigenschaften des Logarithmus. Die Eulersche Zahl

8

Wir definieren den Logarithrnus oder genauer gesagt den "natiirlichen Logarithmus" F (x) = In x (seine Beziehung zu dem gewohnlichen Logarithrnus mit der Basis 10 wird im Abschnitt 2 gezeigt werden) als die Flache unter der Kurve Y = l/u von u = 1 bis u = x, oder was auf dasselbe hinausliiuft, als das Integral

J! s

F{x) = Inx =

(I)

du

1

(siehe Fig. 5, S. 23). Die Variable x kann eine beliebige positive Zahl sein. Null ist ausgeschlossen, well der Integrand l/u unendlich wird, wenn u gegen Null geht. Es liegt durchaus nahe, die Funktion F (x) zu studieren. Denn wir wissen, daB die Starnrnfunktion irgendeiner Potenz :en gleich einer Funktion

::11

von

demselben Typus ist, auBer wenn n = -1. In diesem Falle Wiirde der Nenner + 1 verschwinden, und die Formel (4) S. 335 Wiirde sinnlos werden. So konnen wir erwarten, daB die Integration von l/x oder l/u uns auf einen neuen - und interessanten - Funktionstypus fUhren wird. Obwohl wir (I) als Definition der Funktion In x auffassen, konnen wir nicht sagen, daB wir die Funktion "kennen", ehe wir nicht ihre Eigenschaften abgeleitet und Methoden zu ihrer zahlenmaBigen Berechnung gefunden haben. Es ist typisch fiir die modeme Betrachtungsweise, daB wir von allgemeinen Begriffen, wie Fliiche und Integral, ausgehen, auf dieser Basis Definitionen wie die von (1)

n

Courant.u. Robbins, Mathematik

22

338

VIII. Die Infinitesimalrechnung

aufstellen, sodann Eigenschaften der definierten Objekte ableiten und erst ganz zuletzt bei expliziten Ausdrucken zur numerischen Berechnung anlangen. Die erste wichtige Eigenschaft von In x ist eine unmittelbare Konsequenz des Fundamentalsatzes von § 5. Dieser Satz liefert die Gleichung

F'(x) = ~. x Aus (2) folgt, daB die Ableitung immer positiv ist, wodurch die bekannte Tatsache bestatigt wird, daB die Funktion lnx eine monoton zunehmende Funktion ist, wenn wir uns in der Richtung wachsender x-Werte bewegen. Die Haupteigenschaft des Logarithmus wird durch die Formel ausgedriickt (2)

(3)

lna

+ lnb =

In(ab) .

Die Bedeutung dieser Forme! fiir die praktische Anwendung des Logarithmus bei numerischen Berechnungen ist bekannt. Anschaulich konnte die Formel (3) erhalten werden, indem man sich die Flachen ansieht, welche die drei GroBen Ina, lnb und In(ab) definieren. Aber wir ziehen es vor, sie durch eine fiir den "Kalkiil" typische 'Oberlegung abzuleiten: zusammen mit der Funktion F(x) = lnx betrachten wir die zweite Funktion

k(x)

= In (ax)

=

lnw = F(w) ,

indem wir w = 1(x) = ax setzen, worin a eine beliebige positive Konstante ist. Wir kOnnen k (x) leicht differenzieren nach der Regel (e) von§ 3: k' (x) = F'(w) /,(x). Nach (2) und wegen /' (x) = a wird hieraus

k'(x) =~=~=~. w ax x Also hat k (x) dieselbe Ableitung wie F (x) ; demnach haben wir nach S. 333 In(ax) = k(x) = F(x)

+ c,

worin c eine Konstante ist, die nicht von dem speziellen Wert von x abhangt. Die Konstante c laBt sich bestimmen, indem man ffir x den speziellen Wert 1 einsetzt. Aus der Definition (1) wissen wir, daB F(I)=lnl=O, da das betreffende Integral ffir x = 1 die gleiche obere und untere Grenze hat. Daher erhalten wir k (I) = In (a . I) = Ina = In 1 + c = c , wonach c = Ina, und daher ffir jedes x

(3 a)

In(ax) = lna

+ lnx.

Setzen wir x = b, so haben wir die verlangte Formel (3). Insbesondere ergibt sich (ffir a = x) der Reihe nach

(4)

In(xll) = 2lnx In(x3) = 3lnx In(%'') = n lnx.

Die Gleichung (4) zeigt, daB ffir zunehmendeWerte von x die Werte von lnx

339

2. Die Exponentialfunktion

gegen unendlich streben. Denn der Logarithmus ist eine mono ton zunehmende Funktion, und wir haben zum Beispiel In (2")

= n

ln2 ,

was mit n gegen unendlich strebt. Ferner haben wir O=lnl=ln(x.

~)=lnx+ln ~,

so daB (5) Endlich gilt (6)

1

In-= -lnx. x lnx'= r lnx

fur jede rationale Zahl r = ~. Denn set zen wir x'= u, so haben wir n m

-'" = Inxm= mInx, n Inu = lnu"= lnx" so daB

m

-

m

lnx" =-lnx. n Da lnx eine stetige, monotone Funktion von x ist, die fur x = 1 den Wert 0 hat und gegen unendlich strebt, wenn n zunimmt, muB es eine gewisse Zahl x groBer als 1 geben, fiir die Inx = 1 ist. Nach EULER nennen wir diese Zahl e. (Die Aquivalenz mit der Definition auf S. 227 werden wir spater zeigen.) Also ist e definiert durch die Gieichung (7) lne=l. Wir haben die Zahl e auf Grund einer Eigenschaft eingefuhrt, durch die ihre Existenz gesichert ist. Sogleich werden wir die Analyse fortsetzen, indem wir a1s Konsequenz daraus explizite Formeln ableiten, mit denen man beliebig genaue Naherungswerte fur e berechnen kann .

2. Die Exponentialfunktion Fassen wir unsere bisherigen Ergebnisse zusammen, so sehen wir, daB die Funktion F (x) = In x fur x = 1 den Wert Null hat, daB sie monoton zunimmt bis ins Unendliche, aber mit stets abnehmender Steigung Ijx, 1I und fur positive Werte von x kleiner als 1 durch das Negative von In Ijx gegeben ist, Ol------;'L---~-""': so daB In x fur x ---* 0 negativ e J: unendlich wird. Wegen des monotonen Charakters von y = In x konnen wir 0 11 die inverse Funktion x = E (y) Fig. 277. " = lnx Fig. 278. x = E (,,) betrachten, deren Kurve (Fig. 278) sich in der vorher beschriebenen Art aus der von y = In x (Fig. 277) ergibt und die fur aIle \\Terte von y zwischen - 00 und + 00 definiert ist. Wenn y 22·

340

VIII. Die Infinitesimalrechnung

gegen - 00 geht, strebt der Wert von E (y) gegen Null, und wenn y gegen + geht, strebt E (y) gegen + 00. Die E-Funktion hat folgende Grundeigenschaft:

(8)

E(a)· E(b)

00

E(a + b)

=

fur beliebige Wertepaare a, b. Dieses Gesetz ist nur eine andere Form des Gesetzes (3) fUr den Logarithmus. Denn setzen wir E (b) = x ,

E (a) = z ,

(d. h. b = In x, a = lnz) ,

so haben wir lnxz=lnx+lnz=b+a und daher ist

E (b + a) = xz = E (a) . E (b) , was zu beweisen war. Wegen der Definition In e = 1 gilt E(I) = e, und es folgt aus (8), daB e2 = E(I) . E(I) = E(2) usw. Allgemeiner gilt

E(n) = eft fur jede ganze Zahl n. In ahnlicher Weise erMlt man E (lin) = e", so daB E (Plq)

E(I/q) ... E(I/q) =

[e~

r

= e : ; setzen wir demnach Plq = E(1')

=

1',

=

so haben wir

er

fur jedes rationale 1'. Daher ist es zweckmaBig, die Operation, mit der die Zahl e zu einer irrationalen Potenz erhoben wird, zu definieren, indem man setzt

e"= E(y) fur beliebige reelle Zahlen y, da die E-Funktion fur alle Werte von y stetig und fur rationale y mit dem Wert e" identisch ist. Wir konnen jetzt das Grundgesetz (8) fUr die E-Funktion, die auch Exponentialfunktion genannt wird, ausdriicken durch die Gleichung (9) eO. eb = eoH , die damit fur beliebige rationale oder irrationale a und b giiltig ist. Bei all diesen Erorterungen haben wir den Logarithmus und die Exponentialfunktion auf die Zahl e als "Basis", die sogenannte "naturliche Basis" des Logarithmus, bezogen. Der Ubergang von der Basis e zu einer beliebigen anderen positiven Zahl IaBt sich leicht vollziehen. Wir gehen aus von dem (naturlichen) Logarithmus 1X=lna, so daB a = e«= elnll • Nun definieren wir alii durch den zusammengesetzten Ausdruck (10)

zum Beispiel

341

3. Difterentiationsformeln fiir 6", 4", x'

Wir nennen die inverse Funktion von all den Logarithmus %ur Basis a und sehen sofort, daB der natUrliche Logarithmus von % gleich x Ina ist; mit andem Worten, man erhiUt den Logarithmus der Zahl % zur Basis a, indem man den nattirlichen Logarithmus von % durch den festen Wert des nattirlichen Logarithmus von a dividiert. Fiir a = 10 hat dieser (auf drei Stellen hinter dem Komma) den Wert In 10 = 2,303 . 3. Differentiationsformeln fUr tI', ti", x· Da wir die Exponentialfunktion E (y) a1s inverse Funktion von y = In x definiert haben, folgt aus der Regel tiber die Differentiation inverserFunktionen (§3), daB ,

1

dx

1

E (y) = - = - = - = x=E(y) dy dy l/x '

Cfi

d.h.

E'(y) = E(y).

(11)

Die naturliche Exponential/unktion ist mit ihrer eigenen Ableitung identisch. Dies ist die eigentliche Que11e aller Eigenschaften der Exponentialfunktion und die wahre Ursache ihrer Bedeutung fUr die Anwendungen, wie in den folgenden Abschnitten deutllch werden wird. Mit der in Abschnitt 2 eingefUhrten Schreibweise konnen wir (11) in die Form bringen (11 a) In groBerer Allgemeinheit ergibt sich durch Differenzieren von

f(x) = eU nach der Regel von § 3

I' (x)

=

or:eIl Z = or:f(x} .

Daher finden wir fUr or: = Ina, daB die Funktion f(x)

= aZ

f(x)

=

die Ableitung hat Wir konnen jetzt die Funktion

x'

fur jeden reellen Exponenten s und jede positive Variable x definieren, indem wir setzen Wenden wir wiederum die Regel fUr das Differenzieren zusammengesetzter Funktionen an, /(x) = e's,

%=

Inx, so finden wir /'(x)

daher ist /' (x)

= seas

~

= s x'-1 ,

in Obereinstimmung mit unserem friiheren Resultat fur rationale s.

= sx'

~

und

342

VIII. Die Infinitesimairechnung

4. Explizite Auschiicke

rur e, tfIe und In x

als Limites

Urn explizite Ausdriicke fur diese Funktionen zu finden, benutzen wir die Differentiationsformeln fUr die Exponentialfunktion und den Logarithmus. Da die Ableitung der Funktion In x gleich 1/x ist, erhalten wir aus der Definition der Ableitung die Beziehung 1

.

-X = lim Setzen wir Xl =

oX

In xl-In xl-x

X

, wenn

X I -4 X •

+ h und lassen h gegen Null streben, indem es die Folge 1

1

1

h="2'3'4""

1

'n""

durchliiuft, so finden wir durch Anwendung der Regeln fur Logarithmen In (x

.

+ !) -In X =nln--=ln X+ ! [(1+-1 )"] nx

X

n

1

-4-.

x

Schreiben wir z = I/x und benutzen wieder die Gesetze fur Logarithmen, so ergibt sich

z = Iimln [(1 + :)"] , wenn n-4

00.

Mit der Exponentialfunktion driickt sich das Ergebnis so aus:

ez = lim ( 1 + :)", wenn n -4

12)

00 •

Hier haben wir die beruhmte Formel, welche die Exponentialfunktion als einen einfachen Limes definiert. Insbesondere ergibt sich fur z = 1 (13)

und fur z = -1 (13a)

+=lim(l-

!)".

Diese Ausdriicke fuhren sofort zu Entwicklungen in Form von unendlichen Reihen. Nach dem binomischen Satz finden wir, daB

X)" =1+,,-+ x (1+n 11

n (n - 1) 2!

Xl -+ III

n (n -

1) (n -

2) x

3

n8

3!

x" + ... +II"

oder

X)" X Xl ( 1--1 ) +-Xl ( 1 ) ( 1-2 ) + ... (1+1-n =1+-+I! 21 n 3! n n +~(1-!)(1-!)"'(1-11

n

2)(1_11 n 1).

Es ist plausibel und leicht vollstiindig zu beweisen (die Einzelheiten seien hier ubergangen), daB man den Vbergang zur Grenze n -4 00 vollziehen kann, indem man in jedem Gliedc Reihe fur e:tJ (14)

! durch 0 ersetzt. Dies ergibt die bekannte unendliche

343

4. Explizite Ausdriicke fiir e, e" und In x als Limites

und insbesondere die Reihe fur e: 1

1

1

e= 1+ 1T + 2T +3T+"" womit die Identitat von emit der auf S. 227 definierten Zahl festgestellt ist. Fur x = - 1 erhalten wir die Reihe 1

1

1

1

1

-;-=21-31+41-51+'" , die schon mit wenigen Gliedem eine sehr gute numerische Annaherung gibt, da der totale Fehler beim Abbrechen der Reihe nach dem n-ten Gliede absolut genommen kleiner ist als das (n + l)-te Glied. Unter Benutzung der Differentiationsformel fur die Exponentialfunktion kann man einen interessanten Ausdruck fUr den Logarithmus erhalten. Wir haben .

eA - l

.

e.-eO

lim-h-=hm-h- = 1, wenn h gegen 0 gebt, well dieser Limes die Ableitung von e" fur y = 0 ist und diese gleich eO= 1 ist. In dieser Formel setzen wir fUr h die Werte zln ein, worin z eine beliebige, aber feste Zahl ist und n die Foige der positiven ganzen Zahien durchlauft. Dies ergibt oder

n(iles-I)-H, wenn n gegen unendlich gebt. Schreibt man nun z = In x oder man schlieBlich

In x = lim n(Vx -

(15)

Vx

1),

wenn

es = x,

so erhaIt

n -+ 00.

Da -+ 1, wenn n -+ 00 (siehe S. 246), stellt dies den Logarithmus als Limes eines Produktes von zwei Faktoren dar, von denen der eine gegen Null, der andere gegen unendlich strebt. Beispiele und tlbungen. Mit EinschluB der Exponentialfunktion und des Logarithmus beherrschen wir jetzt eine groBe Zahl von Funktionen und haben Zugang zu vielerlei Anwendungen.

+V

+ VC,=,,-x

i ). Man differenziere: 1. x (In x - 1). 2. In (lnx). 3. In (x i.f.-Xi). 4. In (x 5. e-z'. 6. (eine zusammengesetzte Funktion eO mit z = e"'). 7. x" (Anleitung: x" = e"'luz). 8. In tan x. 9. In sin x; In cos x. 10. x/In x. Man bestimme Maxima und Minima von 11. xe-Z • 12. xle-Z • 13. xe ..... Z • *14. Man bestimme den geometrischen Ort der hochsten Punkte der Kurven y = xe-u , wenn a variiert. 15. Man zeige, daB aIle aufeinanderfolgenden Ableitungen von e-z' die Form e-z', multipliziert mit einem Polynom in x, haben. *16. Man zeige, daB die n-te Ableitung von e- 1tz' die Form e- 1tz' • 1/x''', multipliziert mit einem Polynom vom Grade 2n - 2, hat. *17. Logarithmische Dilfet'entiation. Mit Hilfe der Grundeigenschaft des Logarithmus kann die Differentiation von Produkten oft auf einfachere Weise durchgefiihrt werden. Fiir ein Produkt von der Form p (x) = 11 (x) •I. (x) ••• I ..(x) habenwir

eo-

D(lnp(x)) = D(ln/1(x))

+ D(In/I(x)) + ... + D(ln/.(x))

VIII. Die Infinitesimalrechnung

344

und daher nach der Differentiationsregel fiir zusammengesetzte Funktionen P'(x) P(x)

=

fl(x) + f,(x) + ... + f~(x) fl(X) f.(x) fft(x) •

Man benutze dies zum Differenzieren von a) x(x + 1) (x + 2) ... (x + n). b) xe-U l •

S. Unendliche Reihen fiir den Logarithmus. Numerische Berechnung Zur numerischen Berechnung des Logarithmus benutzt man nicht die Formel (15). Weit besser eignet sich fUr diesen Zweck ein anderer expliziter Ausdruck von groBer theoretischer Bedeutung. Wir gelangen zu diesem Ausdruck mit der auf S. 335 benutzten Methode zur Berechnung von n, indem wir die Definition des Logarithmus durch die Formel (1) verwenden. Ein kleiner vorbereitender Schritt ist erforderlich: Anstatt auf Inx hinzuzielen, wollen wir versuchen, y = In(I + x) auszudriicken, eine Funktion, die aus y = Inz und z = 1 + x zusammengesetzt ist. Wir haben

dy dx

=

-.!... 1 = _1_. Daher ist In (1 + 1+x

dy • ~ = dz dx z

x) eine Stammfunk-

don von 1 ~ x ' und wir schlieBen aus dem Fundamentalsatz, daB das Integral von

1/(1 + u) von 0 bis x gleich In (1 + x) - In 1 = In (1 + x) ist, in Symbolen

J. + :I<

(16)

In (1

+ x) =

1

u du . o (Natiirlich hiitte man diese Formel genau so gut auch anschaulich aus der geometrischen Deutung des Logarithmus als Flache gewinnen konnen. (Vgl. S.3I3). In die Formel (16) setzen wir, wie auf S.336, die geometrische Reihe fur (1 + U)-1 ein, indem wir schreiben 1

1

+ u

=

1

1 - u + u2 - u3 + ... + (_I)fI-I Ufl-l+ (-I)fI

1

uft

+ u '

wobei wir vorsichtshalber nicht die unendliche Reihe hinschreiben, sondem eine endliche Reihe mit dem Restglied

RfI =(-I)fl

1

u" + u

.

Setzen wir diese Reihe in (16) ein, so konnen wir die Regel benutzen, daB eine solche (endliche) Summe gliedweise integriert werden kann. Das Integral von u'

,

von 0 bis x liefert sX;~ und so erhalten wir sofort In (1 + x)

=

x'

x - 2" + 3" - 4"' + ... + (_I)fI-l n + Tn' Xl

Xl

xA

worin das Restglied T fI durch :I<

TfI= (-I)fI / 1 ~ u du o gegebenist. Wir zeigenjetzt, daB Tfl gegen Null strebt, wenn n zunimmt, voraus-

gesetzt, daB x groBer als -I und nicht groBer als + I gewahlt wird, mit andem Worten, wenn -1 < x ~ +1,

5, Unendliche Reihen fiir den Logarithmus, Numerische Berechnung

345

wobei zu bemerken ist, daB x = +1 zugelassen ist, aber x = -1 nicht. Nach un serer Annahme ist u im Integrationsintervall nicht kleiner als eine Zahl -oc, die zwar nahe an -1 liegen kann, aber jedenfalls groBer ist als -1, so daB o< 1 - oc;:;;; 1 + u. Daher gilt in dem Intervall von 0 bis x

I<~ I~ I+u =I-at'

und demnach

f"

IT"I =

o

oder

1

~ u du +

~ 1 _1 at

f"

u" du

0

1

1

IX'Hl

1

-<---I TI~----' " - I - a t n+I = I-at n+l' Da 1 - oc ein fester Faktor ist, sehen wir, daB bei zunehmendem n dieser Ausdruck gegen 0 strebt, so daB wir aus

(17)

x"}1 ~---1 1 (_1)"-1_ IIn(1 + x) - {x--+--"'+ 2 3 n -I-atn+l Xi

Xl

die unendliche Reihe erhalten (18) die fur -1 < x ~ 1 giiltig ist. Wenn wir insbesondere x = 1 wahlen, so ergibt sich das interessante Resultat 1

In 2 = 1 - 2

(19)

1

1

+ "3 - 4' + ....

Diese Formel hat eine ahnliche Struktur wie die der Reihe fur nj4. Die Reihe (18) ist kein sehr praktisches Hilfsmittel fUr die numerische Berechnung des Logaritbmus, da ihr Gultigkeitsbereich auf die Werte von 1 + x zwischen o und 2 beschrankt ist, und da sie so langsam konvergiert, daB man sehr viele Glieder nehmen muB, um ein Resultat von annehmbarer Genauigkeit zu erhalten. Mit dem folgenden Kunstgrifi konnen wir einen geeigneteren Ausdruck erzielen: Ersetzen wir x durch -x in (18), so finden wir Xl Xl .r (20) In(l- x) = -x - 2 - 3 - 4 - ' ... Subtrahieren wir (20) von (18) und benutzen die Tatsache, daB Ina - lnb Ina + In(ljb) = In (ajb) , so erhalten wir I+x ( X' Xi ) In--=2 x+-+-+··· 1 -x 3 5

(21)

=

.

Diese Reihe konvergiert nicht nur viel schneller, sondem die Iinke Seite kann auch jetzt den Logarithmus jeder positiven Zahl z ausdrucken, da

!+ :

=

z stets eine

Losung x zwischen -I und + 1 hat. Wenn wir also etwa In 3 berechnen wollen, so

setzen wir x =

~

und erhalten 1

1

(1 1 1 In 3 = In - -+2 1 - = 2 1-2 + 3-"2S + ~+ 1--

2

. .. ) .

346

VIII. Die Infinitesimalrechnung

Mit nur 6 Gliedern, also bis 11 ~ 211

= 11~64 ' ergibt sich der Wert In3 = 1,0986

auf funf Ziffern genau.

§ 7. DiHerentialgleichungen 1. Definition Die beherrschende Rolle, welche die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen in der Analysis und ihren Anwendungen auf physikalische Probleme spielen, beruht auf der Tatsache, daB diese Funktionen Losungen der einfachsten "Differentialgleichungen" sind. Unter einer Differentialgleichung fur eine unbekannte Funktion u = f(x) mit der Ableitung u' = f' (x) - die Schreibweise u' ist eine sehr nutzliche Abkurzung fur f' (x), solange die GroBe u und ihre durch f(x) gegebene Abhangigkeit von x nicht streng auseinandergehalten zu werden brauchen - versteht man eine Gleichung, in der u, u' und moglicherweise auch die unabhiingige Variable x vorkommen, zum Beispiel u' = u + sin (xu) oder

u'+ 3u = x 2 • Allgemeiner kann eine Differentialgleichung auch die zweite Ableitung u" = oder noch hOhere Ableitungen enthalten, wie in dem Beispiel

f" (x)

u" + 2u' - 3u = 0 . In jedem Fall besteht die Aufgabe darin, eine Funktion u = f (x) zu finden, welche die gegebene Gleichung befriedigt. Die Auflosung einer Differentialgleichung ist eine Verallgemeinerung des Problems der Integration, d. h. der Integration im Sinne der Bestimmung einer primitiven Funktion zu einer gegebenen Funktion g (x) ; denn das bedeutet die Auflosung der einfachen Differentialgleichung

u'= g(x). Zum Beispiel sind die Losungen der Differentialgleichung

u'= x 2 die Funktionen u

=

~a + c, worin c eine beliebige Konstante ist.

2. Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion Rac1ioaktiver Zerfall. Wachstumsgesetz. Zinseszins Die Differentialgleichung

(1)

u'=u

hat die Exponentialfunktion u = eZ als Losung, da die Exponentialfunktion ihre eigene Ableitung ist. Allgemeiner ist auch die Funktion u = ce z , worin c eine beliebige Konstante ist, eine Losung von (1). Ebenso ist die Funktion

(2)

u = ce kz ,

347

2. Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion

worin c und k zwei beliebige Konstanten sind, eine Losung der Differentialgleichung

(3)

u'= ku.

Umgekehrt muB jede Funktion u = !(x), die Gleichung (3) befriedigt, von der Form ce kz sein. Denn wenn x = h(u) die inverse Funktion von u = f(x) ist, so gilt nach der Regel fiir die Ableitung einer inversen Funktion 1

1

h- ' -u'- =ku' -

. aber -kInu. . . . F unk' 1 so da B x Nun 1st erne pnmtttve tion von kU'

=

h() u

Inu = -k-

+b

ist, worin b eine gewisse Konstante ist. Also ist

lnu=kx-bk, und Setzen wir den konstanten Wert e-u gleich c, so haben wir u = ce kz , was zu beweisen war. Die groBe Bedeutung der Differentialgleichung (3) liegt in der Tatsache, daB sie aIle physikalischen Prozesse beherrscht, bei denen eine GroBe u als Funktion der Zeit t, u = I(t) ,

in jedem Augenblick mit einer Geschwindigkeit zu- oder abnimmt, die dem momentanen Wert von u selbst proportional ist. In einem solchen Fall ist die Anderungsgeschwindigkeit zur Zeit t u' =

f' (t)

=

lim f(t1 ) - f(t) t1 -

t

gleich ku, worin k eine Konstante ist, und zwar eine positive, wenn u zunimmt, und eine negative, wenn u abnimmt. In beiden FaIlenbefriedigt ft die Differentialgleichung (3); daher ist u = ce kt • Die Konstante c ist festgelegt, wenn wir den Betrag U o kennen, der zur Zeit t = 0 vorhanden war. Wir miissen diesen Betrag erhalten, u wenn wir t = 0 setzen, also ist (4) Fig. 279. Exponentieller Abfall. Man beachte, daB wir von der Kenntnis der Ande"-..."",11<0 rungsgeschwindigkeit ausgehen, und daraus das Gesetz (4) ableiten, das uns den tatsachlichen Betrag von u zu beliebiger Zeit t liefert. Dies ist die genaue Umkehrung der Aufgabe, die Ableitung einer Funktion zu finden. Ein typisches Beispiel hierfiir ist der radioaktive Zerfall. Es sei u = I (t) die Menge irgendeiner radioaktiven Substanz zur Zeit t; auf Grund der Hypothese, daB jedes individuelle Teilchen der Substanz eine gewisse Wahrscheinlichkeit hat,

348

VIII. Die Infinitesimalrechnung

in einer gegebenen Zeit zu zerfallen, und daB die Wahrscheinlichkeit durch die Gegenwart der ubrigen Teilchen nicht beeintluBt wird, wird die Geschwindigkeit, mit der u zu einer gegebenen Zeit zerfaJIt, proportional u sein, d. h. zu der in dem betreffenden Moment vorhandenen Gesamtmenge. Daher wird u die Gleichung (3) mit einer negativen Konstante k befriedigen, welche die Geschwindigkeit des Zerfallsprozesses miBt, und demnach ist

u= uoeu . Es folgt daraus, daB der Bruchteil von u, der wiihrend zweier gleichgrqBer Zeit-

intervalle zerfaJIt, derselbe ist; denn wenn ~ die zur Zeit ft vorhandene Menge ist und u. die zu einer spateren Zeit t. vorhandene Menge, so haben wir den Quotienten der nur von t. - ft abhangt. Urn herauszufinden, wie lange es dauert, bis eine gegebene Substanzmenge zur Halfte zerfallen ist, mussen wir s = t.- tl so bestimmen, daB daraus ergibt sich (5)

1

-ln2 k

ks-In2' s=

oder k =

-ln2 .

s

Fur jede radioaktive Substanz nennt man den Wert s ihre Halbwertszeit, und s oder ein ahnlicher Wert (etwa der Wert r, fur den u.J~ = 999/1(00) IaBt sich experimentell ermitteIn. Fur Radium ist die Halbwertszeit etwa 1550 Jahre, und

In~ 2

k = 1550 = - 0,000447 .

Daraus folgt

u = uOC- O,OOOM7t,

wobei t die Zahl der Jahre miBt. Ein Beispiel fur ein Wachstumsgesetz, das angenahert exponentiell ist, stellt der "Zinseszins" dar. Eine gegebene Geldsumme U o wird mit 3% auf Zinseszins gelegt, der jiihrlich zugeschlagen werden solI. Nach 1 Jahr wird der Geldbetrag sein, nach 2 Jahren ist er

~=

u z= u 1 (1

uo(1 + 0,03)

+ 0,03) =

uo(1

+ 0,03)2,

und nach t J ahren ist er (6) Wenn nun die Zinsen nicht nach jahrlichen Intervallen, sondem nach jedem Monat oder nach jedem n-ten Teil eines Jahres zugeschlagen werden, so ist nach t J ahren der Betrag tlo

_ [(1 + 0,03n )"]' . (1+ 0,03n )'" -uo

Wird n sehr groB gewahlt, so daB die Zinsen jeden Tag oder gar jede Stunde zugeschlagen werden, so wird nach § 6 die GroBe in der eckigen Klammer, wenn n

3. Weitere Beispiele. Einfachste Schwingungen

gegen unendlich strebt, sich t Jahren gleich (7)

eO,03

349

nahern, und im Limes wird der Betrag nach u oeO,03C

sein, was einem kontinuierlichen Berechnungsverfahren fiir den Zinseszins entspricht. Wir konnen auch die Zeit s berechnen, die erforderlich ist, damit sich das urspriingliche Kapital bei 3% kontinuierlichem Zinseszins verdoppelt. Wir haben dann

fI

• 0

eo.o81

flo

= 2,

100

so daB s = -a-In 2 = 23,10. Also wird sich der Betrag nach

etwa 23 Jahren verdoppelt haben. Anstatt in dieser Weise Schritt fiir Schritt vorzugehen und dann den Grenziibergang zu vollziehen, hatten wir die Formel (7) auch ableiten konnen, indem wir einfach sagten, daB die Zunahmegeschwindigkeit u' des Kapitals proportional u mit dem Faktor k = 0,03 ist, so daB

u'= ku, worin k = 0,03. Dann folgt die Formel (7) aus dem allgemeinen Resultat (4). 3. Weitere Beispiele. Einfachste Schwingungen Die Exponentialfunktion tritt oft auch in komplizierteren Kombinationen auf. Zum Beispiel ist die Funktion (8) u = rhl, worin k eine positive Konstante ist, eine Losung der Differentialgleichung

u'= - 2kxu. Die Funktion (8) ist von grundlegender Bedeutung fUr Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, da sie die "normale" Haufigkeitsverteilung bestimmt. Die trigonometrischen Funktionen u = cost, v = sint befriedigen ebenfalls eine einfache Differentialgleichung. Wir haben zunachst u' = - sint = - v v'= cost = u;

dies ist ein "System zweier Differentialgleichungen fur zwei Funktionen". Differenziert man nochmals, so ergibt sich

u" = -v' = -u v" = u' = -v , so daB beide Funktionen u (t) und v (t) als Losungen derselben Differentialgleichung,

(9)

Zll+

z = 0,

aufgefaBt werden konnen, einer sehr einfachen Differentialgleichung "zweiter Ordnung", d. h. einer, in der die zweite Ableitung von z enthalten ist. Diese Gleichung und ihre Verallgemeinerung mit einer positiven Konstanten k2 , (10)

Z"

+ k2 z =

0,

fur die z = cos kt und z = sin kt LOsungen sind, begegnen uns beim Studium der Schwingungen. Das ist der Grund, weshalb die oszillierenden Kurven u = sin kt

VIII. Die Infinitesimalrechnung

350

und u = cos kt (Fig. 280) das Kernstiick der Theorie der Schwingungsmechanismen bilden. Dabei ist zu bemerken, daB die Differentialgleichung (10) den Idealfall ohne Reibung oder Widerstand darstellt. Ein Widerstand wird in der Differentialgleichung schwingender Systeme durch ein weiteres Glied rz' dargestellt,

z" + r z' + k2 Z = 0 ,

(11)

z

t z-sln 3t

z-sln Jt

Fig. 280

und die Losungen sind dann "gedampfte" Schwingungen, mathematisch ausgedruckt durch die Formeln rrtlB

cos wt,

rrt/2

sin wt; w =

Vkl- (; r'

und graphisch dargestellt durch Fig. 281. (Zur Vbung moge der Leser diese Losungen durch Differentiation verifizieren.) Die Schwingungen sind hier von

Fig. 281 Gediimpfte Schwingungen

derselben Art wie die des reinen Sinus und Cosinus, aber sie werden durch einen exponentiellen Faktor in ihrer Intensitat zeitlich vermindert, wobei sie je nach der GroBe des Reibungskoeffizienten r mehr oder weniger schnell abklingen.

4. Newtons Grundgesetz der Dvnarnik

351

4. Newtons Grundgesetz der Dynamik Obwohl eine eingehende Analyse dieser Fakten nicht im Rahmen dieses Buches gegeben werden kann, wollen wir doch den Zusammenhang mit den allgemeinen Grundbegriffen andeuten, durch die NEWTON die Mechanik und tiberhaupt die Physik revolutionierte. Er betrachtete die Bewegung eines Teilchens von der Masse m mit den raumlichen Koordinaten x (t), Y (t), z (t), die Funktionen von t sind, so daB die Komponenten der Beschleunigung die zweiten Ableitungen x" (t), y" (t), z" (t) sind. Der entscheidende Schritt NEWTONs war die Erkenntnis, daB die GroBen mx", my", mz" als die Komponenten der auf das Teilchen wirkenden Kraft betrachtet werden konnen. Auf den ersten Blick konnte dies nur als eine formale Definition des Wortes "Kraft" in der Physik erscheinen. NEWTONs geniale Leistung lag darin, diese Definition so gefaBt zu haben, daB sie mit den realen Erscheinungen der Natur tibereinstimmte, insofem als die Natur sehr oft ein Kraftfeld liefert, das wir im Voraus kennen, ohne daB wir etwas tiber die spezielle Bewegung, die wir untersuchen wollen, zu wissen brauchen. NEWTONs groBter Triumph in der Dynamik, seine Rechtfertigung der Keplerschen Gesetze ftir die Planetenbewegung, zeigt deutlich die Harmonie zwischen seiner mathematischen Konzeption und der Natur. NEWTON nahm als erster an, daB die Gravitationskraft umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfemung ist. Denken wir uns die Sonne im Ursprung des Koordinatensystems und nehmen wir an, daB ein gegebener Planet die Koordinaten x, y, z hat, so folgt, daB die Komponenten der Kraft in x, y, z-Richtung jeweils gleich -k~ ,.a , -kL ,.a ,

-k~ ,.a

sind, worin k die zeitunabhangige Gravitationskonstante und r = VX2+ y2+ Zl die Entfemung von der Sonne zum Planeten iSt. Diese Ausdrucke bestimmen das Kraftfeld an jeder Stelle, unabhangig von der Bewegung eines Korpers in dem Felde. ]etzt wird diese Kenntnis des Kraftfeldes mit dem Newtonschen Grundgesetz der Dynamik ("Kraft gleich Masse mal Beschleunigung") kombiniert; setzt man die beiden verschiedenen Ausdrucke gleich, so erhalt man die Gleichungen

ein System von drei Differentialgleichungen flir drei unbekannte Funktionen x (t), y (t), z(t). Dieses System laBt sich losen, und es zeigt sich, in Obereinstimmungmit KEPLERs empirischen Beobachtungen, daB die Bahn des Planeten ein Kegelschnitt mit der Sonne in einem der Brennpunkte ist, daB weiter die Flachen, die von der Verbindungslinie Sonne-Planet tiberstrichen werden, in gleichen Zeit en gleich groB sind, und daB schlieBlich die Quadrate der vollen Umlaufzeiten zweier Planeten proportional den dritten Potenzen ihrer Abstande von der Sonne sind. Den Beweis daftir mtissen wir allerdings tibergehen. Das Problem der Schwingungen liefert ein einfacheres Beispiel ftir die Newtonsche Methode. Nehmen wir an, wir hatten ein Tei1chen, das sich langs einer

352

VIII. Die Infinitesimalrechnung

Geraden, etwa der x-Achse, bewegt und das durch eine elastische Kraft, etwa durch eine Feder oder ein Gummiband, an den Ursprung gebunden ist. Bringt man das Teilchen aus seiner Gle'ichgewichtslage im Ursprung in eine durch die Koordinate x gegebene Lage, so wird es mit einer Kraft, die wir proportional der Verschiebung x annehmen, zuriickgezogen. Da die Kraft zum Ursp~ng hin gerichtet ist, wird sie durch - k 2 x dargesteIlt, worin - k 2 der negative Proportionalitatsfaktor ist, welcher die Starke der elastischen Feder oder des Gummibandes angibt. Ferner nehmen wir an, daB die Bewegung durch Reibung gehemmt wird, und daB diese Reibung proportional der Geschwindigkeit x' des Teilchens mit einem Proportionalitatsfaktor -T ist. Dann ist die Gesamtkraft in jedem Augenblick gegeben durch -k2 x - T x', und nach NEWTONs Grundgesetz haben wir mx"= - k2 x - TX' oder m x" + T x' + k2 X = 0 . Dies ist genau die Differentialgleichung (11) ftir gedampfte Schwingungen, die oben erwahnt wurde. Dieses einfache Beispiel ist von groBer Bedeutung, da viele Typen schwingender mechanischer oder elektrischer Systeme mathematisch durch genau diese DifferentiaIgleichung zu beschreiben sind. Hier haben wir ein typisches Beispiel dafiir, wie eine abstrakte mathematische Formulierung mit einem ScWage die gemeinsame innere Struktur vieler scheinbar verschiedenartiger und nicht miteinander zusammenhangender Einzelerscheinungen aufdeckt. Dieses Absehen von der besonderen Natur einer Erscheinung und der Vbergang zur Formulierung des allgemeinen Gesetzes, das die ganze Klasse von Erscheinungen beherrscht, ist einer der charakteristischen Ztige der mathematischen Behandlung physikalischer Probleme.

Erganzung zu Kapitel VIII

§ 1. Grundsit2:Uche Fragen 1. DiHerenzierbarkeit

Wir haben den Begriff der Ableitung einer Funktion y = f(x) mit der anschaulichen Vorstellung der Tangente an die Kurve der Funktion verknupft. Da aber der allgemeine Begriff der Funktion mehr umfaBt als durch eine glatte Kurve veranschaulicht ist, so erscheint zu logischer Vollstandigkeit notwendig, sich dieser Abhangigkeit von der geometrischen Anschauung zu entledigen. Denn wir haben keine Gewii.hr dafUr, daB die anschaulichen Tatsachen, die uns aus der Betrachtung einfacher Kurven, wie etwa Kreisen und Ellipsen, vertraut sind, auch notwendigerweise fUr die Graphen komplizierterer Funktionen giiltig bleiben.

JL~ ~ o

Fig. 282. y -

or

0

oX

s + lsi

Fig. 283. Y =

lsi

Fig. 284." =

o .r: s + lsi + (.. -I) + 1.. -11

Betrachten wir zum Beispiel die Funktion der Fig. 282, deren Graph eine Ecke enthii.lt. Diese Funktion ist durch die Gleichung y = x + Ixl bestimmt, worln Ixl der absolute Betrag von x ist, d. h.

y=x+x=2x fur x~O, y=x-x=O fur x
fIx)

= (x

+ Ixi) +

! {(x - !) +

Ix -

~ I} + ! {(x -

!) +

Ix -

! I}

?

Welches sind die Unstetigkeiten vonf'(x) ?

Ais ein weiteres einfaches Beispiel fur Nichtdifferenzierbarkeit betrachten wir die Funktion

y = f(x) Courant u. Robbins. Matbematik

=

x sin 2, x 23

354

Erganzung zu Kapitel VIII

die man aus der Funktion sin I/x (siehe S.215) durch Multiplikation mit dem Faktor x erMlt; wir definieren/{x) gleieh Null fur x = o. Diese Funktion, deren Graph fur positive x-Werte durch Fig. 285 dargestellt wird, ist uberall stetig. Die Kurve oszilliert in der Umgebung von x = 0 unendlieh oft, wobei die "Wellen" bei Annaherung an x = 0 sehr klein werden. Die Steigung dieser Wellen ist durch

. 1 1 1 I ' () x = sm---cos:r x x gegeben (der Leser mage dies zur Dbung nachrechnen); wenn x gegen 0 strebt, schwankt diese Steigung zwischen immer wachsenden positiven und negativen Grenzen. Fur x = 0 kannen wir versuchen, die Aby leitung als Grenzwert fur h = 0 des Differenzenquotienten flO

+ h) h

flO)

h. 1 Sinh --=-h- =

1

sin h

zu finden. Aber wenn h gegen 0 geht, oszilliert rueser Differenzenquotient zwischen -1 und + I, ohne sieh einem Grenzwert zu nahem; also kann die Funktion in x = 0 nieht differenziert w€rden. Diese Beispiele deuten auf eine Schwierigkeit, O~~r-~~----------.:c die in der Sache selbst liegt. WEIERSTRASS hat das uberzeugend durch die Konstruktion einer stetigen Funktion demonstriert, deren Graph in keinem Punkt eine Tangente besitzt. Wahrend Differenzierbarkeit die Stetigkeit garantiert, sieht man hieran, daB Stetigkeit nieht aueh die Differenzierbarkeit Fig. 285. Y = "sin 1/" zur Foige hat, da die WeierstraBsche Funktion stetig, aber nirgends differenzierbar ist. In praktischen Fallen treten soIche Schwierigkeiten nieht auf. Abgesehen vielleieht von isolierten Punkten, sind Kurven im allgemeinen glatt, und die Differentiation wird nicht nur moglich sein, sondem auch eine stetige Ableitung liefem. Warum sollen wir daher nieht einfach fordem, daB in den Problemen, die wir betrachten wollen, keine "pathologischen" Erscheinungen vorkommen? Genau das geschieht in der Infinitesimalrechnung, wo man nur differenzierbare Funktionen betrachtet. In Kapitel VIII haben wir die Differentiation einer groBen Klasse von Funktionen durchgefuhrt und damit ihre Differenzierbarkeit bewiesen. Da die Differenzierbarkeit einer Funktion nieht logisch selbstverstandlich ist, muB sie entweder vorausgesetzt oder bewiesen werden. Der Begriff der Tangente oder der Riehtung einer Kurve, der urspriinglich die Grundlage fur den Begriff der Ableitung war, wird nun auf die rein analytische Definition der Ableitung zUriickgefuhrt: Besitzt die Funktion y = I{x) eine Ableitung, d. h. hat der Differenzenquotient f(x + ~ fIx) einen einzigen Grenzwert f' (x), wenn h in irgend-

hi

einer Weise gegen 0 strebt, dann sagen wir, daB die zugehorige Kurve eine Tangente mit der Steigung f' (x) hat. So wird also die naive Auffassung von FERMAT, LEIBNIZ und NEWTON im Interesse der Iogischen Geschlossenheit umgekehrt.

355

3. Andere Anwendungen des Integralbegriffes. Arbeit. Lange

tJbungen: 1. Man zeige, daB die stetige Funktion, die durch xlsin(l/x) definiert ist, in x = 0 eine Ableitung hat. 2. Man zeige, daB die Funktion arc tan (l/x) in x = 0 unstetig ist, daB x arc tan (l/x) dort stetig ist, aber keine Ableitung hat, und daB x'arc tan (l/x) eine Ableitung in x = 0 hat.

2. Das Integral Ahnliches gilt fiir das Integral einer stetigen Funktionf(x}. Anstatt die "Flache unter der Kurve" y = f(x} als eine GroBe anzusehen, die offensichtlich existiert und die man a posteriori als Grenzwert einer Summe ausdriicken kann, definieren wir das Integral durch diesen Grenzwert und betrachten den Integralbegriff als die primare Grundlage, aus welcher der allgemeine Begriff der Flache nachher abgeleitet wird. Zu dieser Einstellung sehen wir uns gezwungen, wenn wir die Unzuverlassigkeit der geometrischen Anschauung bei der Anwendung auf allgemeine analytische Begriffe wie die der stetigen Funktion erkennen. Wir gehen aus von der Summe n

(I)

Sn =

E f(v;} (x; -

i-I

n

Xi-I)

=

E f(Vi) A X; ,

i-I

worin Xo= a, xl> ... , Xn = b eine Unterteilung des Integrationsintervalls, A Xi = X;- X;-l die x-Differenz oder die Lange des i-ten Teilintervalls und V; ein beliebiger x-Wert in diesem Teilintervall ist, d. h. X;-l ~ v; ~ X;. (Wir konnen zum Beispiel v;= x; oder v;= X;-l nehmen.) Nun bilden wir eine Folge solcher Summen, in denen die Anzahl n der Teilintervalle zunimmt und zugleich die groBte Lange dieser Intervalle gegen Null strebt. Dann ist die Haupttatsache: Die Summe Sn bei gegebener Funktionf(x} strebt gegen einen bestimmten GrenzwertF, der unabhangig ist von der speziellen Art, wie die Teilintervalle und die Punkte Vi gewahlt werden. Nach Definition ist dieser Grenzwert das Integral F

b

=

Jf(x) dx. Natiir-

"

lich muB die Existenz dieses Grenzwerts analytisch bewiesen werden, wenn wir uns nicht auf die anschauliche geometrische Vorstellung der Flache verlassen wollen. In jedem strengen Lehrbuch der Infinitesimalrechnung wird dieser Beweis gefuhrt. Vergleichen wir Differentiation und Integration, so stehen wir der folgenden antithetischen Situation gegenuber. Differenzierbarkeit ist entschieden eine einschrankende Bedingung fur stetige Funktionen, aber die tatsachliche Ausfuhrung der Differentiation, d. h. das Rechenverfahren der Differentialrechnung, wire! praktisch nach gewissen einfachen Regeln durchgefuhrt. Auf der anderen Seite existiert fur jede stetige Funktion ohne Ausnahme ein Integral zwischen zwei beliebigen Grenzen. Aber die explizite Berechnung solcher Integrale ist, selbst fiir ganz einfache Funktionen, im allgemeinen eine recht schwierige Aufgabe. Hier bietet der Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung in manchen Fallen ein wirksames Hilfsmittel fur die Durchfiihrung der Integration. Fur die meisten Funktionen aber, selbst fur ganz elementare, liefern die Regeln der Integralrechnung keine einfachen expliziten Ausdrucke, und man ist oft auf die numerisch genaherte Berechnung von Integralen angewiesen. 3. Andere Anwendungen des Integralbegriffes. Arbeit. Lange Wenn wir den analytischen Begriff des Integrals von seiner urspriinglichen geometrischen Deutung lasen, gelangen wir zu weiteren, ebenso wichtigen Deu23*

356

Erginzung zu Kapitel VIII

tungen oder Anwendungen. Zum Beispiel kann das Integral in der Mechanik als ein Ausdruck fur den Begriff der Arbeit gedeutet werden. Der folgende, einfachste FaIl moge zur Erldarung genugen. Angenommen, ein Korper bewegt sich langs der x-Achse unter dem EinfluB einer langs der Achse gerichteten Kraft. Wir denken uns den Korper punktformig mit der Koordinate x, und die Kraft solI als eine Funktion/(x) des Ortes gegeben sein, wobei das Vorzeichen von/(x) anzeigt, ob die Kraft in die positive oder negative x-Richtung weist. Wenn die Kraft konstant ist und der Korper sich von a nach b bewegt, so ist die geleistete Arbeit gegeben durch das Produkt (b - a)1 aus der Intensitat f der Kraft und dem von dem Korper zurUckgelegten Weg. Wenn aber die Intensitat mit x variiert, so mussen wir die geleistete Arbeit durch einen GrenzprozeB definieren (wie wir es bei der Geschwindigkeit taten). Zu diesem Zweck teilen wir wieder das IntervaIl von a bis b durch die Teilpunkte xo= a, Xl' ••• , Xn= b in kleine TeilintervaIle; dann stellen wir uns vor, daB die Kraft in jedem TeilintervaIl konstant ist, und zwar etwa gleich I(xi)' dem wirklichen Wert am Ende des IntervaIls, und berechnen nun die Arbeit, die dieser stufenweise variierenden Kraft entsprechen wiirde: II

Sn= EI(x,)L1xJ. ;= I

Wenn wir jetzt die Unterteilung verfeinem und n wachsen lassen, sehen wir, daB die Summe gegen das Integral b

JI(x) dx

"

strebt. Es ist also die von einer stetig variierenden Kraft geleistete Arbeit durch ein Integral bestimmt. Als Beispiel sei ein Korper betrachtet, der. durch eine elastische Feder an den Ursprung X = 0 gebunden ist. Die Kraft I(x) ist dann, im Einklang mit der Erorterung auf S. 352, proportional zu x:

I(x)

=

-ksx,

worin k" eine positive Konstante ist. Die von dieser Kraft geleistete Arbeit, wenn der Korper vom Ursprung bis zum Punkte X = b bewegt wird, ist

fb

ktxdx= -kl

~.

,

o und die Arbeit, die gegen diese Kraft geleistet werden muB, wenn wir die Feder bis zu dieser Lage bringen wollen, ist

+ kl ~

.

Eine zweite Anwendung des aIlgemeinen Integralbegriffs ist der Begriff der BogenIange einer Kurve. Nehmen wir an, der Teil der Kurve, den wir betrachten wollen, sei durch die Funktion y = I(x) dargestellt, deren Ableitung I' (x) =

:~

ebenfaIls eine stetige Funktion ist. Um die Lange zu definieren, gehen wir genauso vor, als ob wir die Kurve fur praktische Zwecke mit einem geraden MaBstab auszumessen hatten. Wir schreiben dem Bogen A B ein Polygon mit n kleinen Seiten ein, messen die GesamtIange Ln dieses Polygons und betrachten die Lange Ln als einen Naherungswert; indem wir n wachsen und die Polygonseiten gegen Null

3. Andere Anwendungen des Integralbegriffes. Arbeit. Lange

357

streben lassen, definieren wir

L

=

lim L"

a1s Lange des Bogens AB. (In Kapitel VI wurde die Lange eines Kreises in dieser Weise a1s Grenzwert der Umfange einbeschriebener regularer n-Ecke gewonnen.) Es laBt sich zeigen, daB fur genfigend glatte Kurven dieser Grenzwert existiert und unabhangig von der speziellen Art ist, in der die Folge der einbeschriebenen Polygone gewahlt wird. Kurven, ffir die dies zutrifft, heiBen rektijizierbar. Jede "vemfinftige" Kurve, die in der Theorie oder den Anwendungen auftritt, wird rektifizierbar sein, und wir wollen uns hier nicht mit der Untersuchung pathologischer Falle aufhalten. Es mage genfigen zu zeigen, daQ der Bogen A B ffir eine LI fI Funktion j(x) mit stetiger Ableitung /' (x) in diesem Sinne eine Lange L hat und daB sich L a1s Integral ausdriicken laBt. Zu diesem Zwecke seien die x-Koordinaten von A und B mit a bzw. bbezeichnet; dann unterteilen wir, wie vorher, das x-Intervall von a bis b durch die Punkte Xo = a, Xl' ... , X" = b mit den Differenzen Lf Xi = XiFig. 286. Bogenlange - xi-l und betrachten das Polygon mit den Ecken Xjo Yi= j(xi) fiber diesen Unterteilungspunkten. Eine einzelne Polygonseite hat

,,=

die Lange V(Xi- Xi-l)l+ (Yi- Yi-J 1 = VLfxj haben wir ffir die GesamtIange des Polygons

+ Lfyj =

L1xi

y + (~~:r. I

Daher

Wenn nun n gegen unendllch strebt, so strebt der Differenzenquotient· ~YJ gegen aX,

die Ableitung :~

= / ' (x),

und wir erhalten ffir die Lange L den Integralausdruck b

(2)

L

=

IVI + U'(x»'dx.

II

Ohne auf weitere Einze1heiten dieser theoretischen Erarterung einzugehen, machen wir noch zwei zusatzliche Bemerkungen. Erstens: wird B als variabler Punkt der Kurve mit der Koordinate X angenommen, so wird L = L (x) eine Funktion von x, und wir haben nach dem Fundamentalsatz

L'(x) =

!~ = V1+ U'(X»2

•

eine haufig benutzte Forme!. Zweitens liefert die Formel (2). obwohl sie die "allgemeine" LOsung des Problems gibt. doch noch keinen expliziten Ausdruck ftlr die BogenIange in speziellen Fallen. Hierrur mUssen wir die betreffende Funktion j(x) oder vielmehr /' (x) in (2) einsetzen und dann die tatsachliche Integration des so gewonnenen Ausdrucks durchfuhren. Hier ist die Schwierigkeit im allgemeinen unfiberwindlich. auch wenn wir uns auf den Bereich der in diesem Buch behande1ten elementaren Funktionen beschranken. Wir wollen einige Fane anffihren, bei

358

Ergii.nzung zu Kapitel VIII

denen die Integration moglich ist. Die Funktion

Y = I(x) =

VI - x

stelltdenEinheitskreisdar;wirhabenf'(x) =

~,

~:

2

~, also VI+U'(x»2=

= -

so daB die Bogenlange eines Kreisbogens gegeben ist durch das Integral b

f VI _

dx

Xl

=

.

arc sm

b

.

- arc sm a .

"

Fur die Parabel y = x 2 haben wir I' (x) = 2 x, und die Bogenlange von x = 0 bis x = b ist

Fur die Kurve y = In sin x haben wir ausgedruckt durch

f' (x) = cot x, und

die BogenHi.nge wird

b

J VI + cot2 X d x .

"

Wir begnugen uns damit, diese Integralausdrucke hinzuschreiben. Sie wurden sich bei etwas mehr Obung, als wir hier voraussetzen konnen, auswerten lassen.

§ 2. Gro6enordnungen 1. Die Exponentialfunktion und die Potenzen von x

Oft begegnen uns in der Mathematik Folgen a.. , die gegen unendlich streben. Haufig mussen wir dann eine soIehe Folge mit einer andem Folge b.. vergleichen, die auch gegen unendlich strebt, aber vielleicht "schneller" als a... Urn diese Vorstellung zu prazisieren, wollen wir sagen, daB bn schneller als a.. gegen unendlich strebt oder von hOherer GrofJenordnung ist als a.. , wenn das Verhii.ltnis a..lb,. (dessen Zii.hler und Nenner beide gegen unendlich streben) mit wachsendem n gegen Null strebt. So strebt die Folge b.. = n 2 schneller gegen unendlich als die Folge a.. = n, und diese ihrerseits schneller als Cn = denn

Vn,

a..

n n'

1

-=-=-~O bIt

n

Vn"" n

CIt

1

-=-=-~O

'a"

Vn

.

Es ist klar, daB n' schneller gegen unendlich strebt als n r , sobald s> r > 0, da 1

dann nr/n'= --~O. I n,-r Wenn das Verhaltnis a..lb,. sich einer endlichen Konstanten C nahert, die von Null verschieden ist, so sagen wir, daB die beiden Folgen a.. und b.. gleich schnell gegen unendlich streben oder von gleicher GrofJenordnung sind. So sind a.. = n2 und b.. = 2n2+ n von derselben GroBenordnung, da 1

1

--1-~2'

2+n

1. Die Exponentialfunktion und die Potenzen von x

3S9

Man konnte annehmen, daB man mit den Potenzen von n als MaBstab die GroBenordnungen rur beliebige gegen unendlich strebende Folgen aft charakterisieren konnte. Zu diesem Zweck mtiBte man eine geeignete Potenz n' suchen, die von derselben GroBenordnung ware wie aft; d. h. von der Art, daB aft/n' gegen eine endliche, von Null verschiedene Konstante strebt. Es ist eine bemerkenswerte Tatsache, daB dies keineswegs immer moglich ist, da die Exponentialfunktion aft, mit a > 1 (beispielsweise e"), schneller als iede Potenz n' gegen unendlich strebt, wie grop wir auch s wahlen, wahrend In n langsamer als iede Potenz n' gegen unendlich strebt, wie klein der Exponent s auch sei. Mit andern Worten: es bestehen die Beziehungen n' a"

(1)

--+0

und Inn-+- O

(2)

n'

,

wenn n -+- 00. Der Exponent s muB keine ganze Zahl sein, sondern kann eine beliebige teste positive Zahl sein. Urn (1) zu beweisen, vereinfachen wir zuerst die Behauptung, indem wir die s-te Wurzel aus dem Verhaltnis ziehen; wenn diese Wurzel gegen Null geht, gilt das auch von dem ursprtinglichen Verhaltnis. Also brauchen wir nur zu beweisen, daB n

a"" -+-0,

wenn n wachst. Es sei b = all'; da a > 1 angenommen wurde, ist auch b und groBer a1s 1. Wir konnen schreiben

Vb =

bill

bill = 1 + q, worin q positiv ist. Nun ist nach der Ungleichung (6) auf S. 13 so daB

b"/'I.= (1 + q)"

~

1 + nq > nq ,

und n

n

1

-=an"< -nlql nql' Da diese GroBe bei wachsendem n gegen Null strebt, ist der Beweis erbracht. Tatsachlich gilt die Beziehung (3)

auch dann, wenn x auf beliebige Art unendlich wird, indem es eine Folge Xl' XI' ••• durchlauft, die nicht notwendig mit der Folge der nattirlichen Zahlen 1,2,3, ... identisch zu sein braucht. Denn wenn n - 1 ~ X ~ n, so ist X,

n'

n'

-<--=a'--+-O Q,Z a"-1 a" . Diese Bemerkung kann zu einem Beweis von (2) benutzt werden. Setzen wir x = In n und e'= a, so daB n = e'" und n'= (e')"', dann wird das Verhii.ltnis in

Erginzung zu Kapitel VIn

360

(2) gleich das ist der Spezialfall von (3) fur s = 1. tlbungen: 1. Man beweise. da8 fiir ~-+ 00 die Funktion In In ~ Iangsamer gegen unendlich strebt als In ~. 2. Die Ableitung von ~/In ~ ist llIn ~ - I/(In ~)I. Man zeige. da8 dies fiir groDe ~ .. asymptotisch" dem ersten Gliede l/in ~ gieich ist. d. h. da8 ihr Verhilltnis gegen 1 strebt. wenn ~-+

00.

2. Die Gro8enorclnung von In (,,1)

In vielen Anwendungen. zum Beispiel in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, ist es wichtig, die GroBenordnung oder das "asymptotische Verhalten" von n! fur groBe n zu kennen. Wir werden uns hier damit begnugen, den Logarithmus von n!, d. h. den Ausdruck P,,= 1n2 + In3 + 1n4 + ... + Inn zu betrachten. Wir werden zeigen, daB der "asymptotische Wert" von P" durch n In n gegeben ist, d. h. daB In (n!) -+ 1 n Inn

'

wenn n -+ 00. Der Beweis ist typisch fur eine viel benutzte Methode des Vergleichens einer Summe mit einem Integral. In Fig. 'l87 ist die Summe P" gleich der Summe der Rechtecke, deren obere Seiten ausgezogen 1/ sind und die zusammen die Flache ,,+1

J

Inx dx = (n

I

",_! "", .. ,

f" Inx dx = I

Demnach haben wir n In n - n

(n + 1)

+1

unter der Logarithmuskurve zwischen 1 und n + 1 (siebe S. 343, 'Obung 1) nicht ubersteigen. Aber die Summe P" ist andererseits gleich ~ der Gesamtsumme der Rechtecke mit gestrichelten oberen Seiten, die zusammen groBer sind als die FIache der Kurve zwischen 1 und

Fig. 287. Abochitzung von In(,,!)

n, die gegeben ist durch

+ 1) In (n + 1) -

+ 1<

n In n - n + 1.

P" < (n

+ 1) In (n + 1) -

tt,

und wenn wir durch n In n dividieren, 1

-

1 Inn

+

1 ninn

<

p.

ninn

<

(1

In (n + 1) 1 + 1/) n ~--Inn

= (1

+

lin) In 1J + In (1 Inn

+ 1/11)

__ 1_ . Inn

Beide Grenzen streben offenbar gegen 1, wenn n gegen unendlich strebt, und damit ist unsere Behauptung bewiesen.

1. Unendliche Reihen von Funktionen

361

§ 3. Unendliche Reihen und Produkte 1. Unendliche Reihen von Funktionen Wie wir schon gesagt haben, bedeutet die Darstellung einer GroBe s als unendliche- Reihe (1) nichts weiter als eine bequeme Schreibweise fiir die Aussage, daB s der Grenzwert ist, dem sich die Folge der endlichen "Partialsummen" bei wachsendem n nahert, wobei

(2)

SrI =

b1 + b2 + ... + b" .

Die Gleichung (I) ist also aquivalent der Limesrelation (3)

lim S,,= s, wenn n -+

00 ,

worin SrI durch (2) definiert ist. Wenn der Grenzwert (3) existiert, sagen wir, daB die Reihe (1) gegen den Wert s konvergiert, wenn aber der Grenzwert (3) nicht existiert, sagen wir, daB die Reihe divergiert. So konvergiert die Reihe

I-~+~-~+" . 3 5 7 gegen den Wert 1t/4 und die Reihe 1

1- 2

1

+3

1

- 4

+'"

gegen den Wert In 2; die Reihe

1-1+1-1+ .. · dagegen divergiert (da die Partialsummen zwischen 1 und 0 alternieren), und die Reihe 1+1+1+1+'" divergiert, wei! die Partialsummen gegen unendlich streben. Wir kennen bereits Reihen, deren Glieder bi Funktionen von x in der Form mit konstanten Faktoren Ci sind. Solche Reihen heiBen Potenzreihen; sie sind Grenzwerte von Polynomen, die ihre Partialsummen darstellen

5,,= co+ C1X + C2 X 2 + ... + c"X" (das zusatzliche konstante Glied Co erfordert eine unwesentliche Anderung in der Bezeichnungsweise (2». Die Entwicklung f(x) = co+ c1x + C2 X 2 + ... einer Funktion f(x) in eine Potenzreihe bietet also die Moglichkeit, einen Naherungswert von f(x) durch Polynome, die einfachsten Funktionen, auszudriicken. Fassen wir unsere friiheren Resultate zusammen und erganzen sie, dann konnen

362

Erganzung zu Kapitel VIII

wir die folgenden Potenzreihenentwicklungen aufstellen: (4)

__ 1_=

l+x

1- x+ x2 _ x3+ ...

gtiltig fur -1 < x < +1

'

:r5

+ -5 - ... ,

Xl

(5)

arc tg x = x - 3

(6)

In(1

(7)

+ x) = 1+ x

1 Xl Xl 2 In 1 _ x- = X + 3 + 5 + ... ,

X2

x- 2

x3

+3

- ... ,

X.

e"= 1 + x + zT + aT + 41+ ... ,

(8)

+1

gultig fur -1 < x ;s:;

+1

~

x

gtiltig fur -1 < x < +1

xt

x3

~

gtiltig fur -1

gultig fur alle x.

Dieser Zusammenstellung fugen wir die folgenden wichtigen Entwicklungen hinzu: gtiltig fur aIle x,

(9)

(10)

cos x

=

Xl

X4

1 - -iT + 41- - . . .

gultig fur alle x.

Der Beweis, bei dem wir uns auf positive Werte von x beschranken durfen, ist einfach eine Konsequenz der Formeln (siehe S. 335) (a)

f" sin u du =

1 - cosx ,

f" cos u d11 =

sin x .

o

(b)

o

Wir beginnen mit der Ungleichung cos x

~

1.

Integrieren wir von 0 bis x, wobei x eine beliebige £este positive Zahl ist, so finden wir (siehe Formel (13), S. 314) sinx ~ x; integrieren wir nochmals, so entsteht Xl

l-cosx~2

oder umgeformt Xl

cosx ~ 1- 2 '

Integrieren wir abermals, so erhalten wir .

smx

~

x3

Xl

x - 2-3= x-3T'

Fahren wir in dieser Weise unbegrenzt fort, so ergeben sich die beiden Folgen von Ungleichungen sinx~x

·

cosx~1

x

3

smx~x-3T •

,\,I

Xi

xl

Xi

smx~

x-3T+5T

· smx~

x-3T+5T-7T

X'

Xl

cosx~

1- 2T

cosx~

1-2T+4T

cos x ~ 1 -

Xl

Xl

2!

xt

:rt

x'

+ 4T - 6T

3E3

1. Unendliche Reihen von Funktionen

Nun strebt

~ gegen 0, wenn n gegen unendlich strebt. Urn dies zu zeigen,

wahlen wir eine festepositive ganze Zahl m, so daB

=< !

Fur jede ganze Zahl n > m setzen wir n = m + r; dann ist

x < c(1 )' '--

:t" O< - = cx' - - ' -x- "

m+1

n!

j

!r~ O. Also ergibt sich

",+2

und da fUr n ~ 00 auch r ~ 00, folgt c (

und schreiben c = ::; .

2'

m+"

;~ + ;~ - ~~- + ...

Sin x

=

x-

cos x

=

1 - 2!

Xl

s'

+ 4T -

s'

Sf + ....

Da die Vorzeichen der Glieder dieser Reiben abwechse1n und der Wert der Glieder abnimmt (wenigstens fUr Ixl ~ 1), so folgt, daB der Fehler, dadurch begangen,

da/1 man eine diesel' Reihen bei einem beliebigen Gliede abbricht,· den Wert des erste", Jortgelassenen Gliedes nicht uberschreitet. Bemerkungen. Man kann diese Reiben benutzen, urn Tabellen zu berechnen. Beispiel: Wie groB ist sin 1°? 10 ist n/iSO im BogenmaB; daher .:r

sm ISO

r,

=

:r

ISO -

1 (

6"

:If

ISO

)3 + ....

Der Fehler, der entsteht, wenn man bier abbricht, ist nicht groBer als

1~ ( 1~

d. h. kleiner als 0,00000000002. Daher ist sin 10 = 0.0174524064, auf

10 Dezimalstellen genau. SchlieBlich erwahnen wir ohne Beweis die "Binomialreihe" (11) worin (11)_ 11(11- 1) (11- 2) ... (11• -

S

+ 1)

s!

ist. Wenn a = n, also eine positive ganze Zahl ist, so haben wir (~= 1, und fUr s > n werden alle Koeffizienten (:) in (11) gleich Null, so daB wir die endliche Formel des gewohnlichen binomischen Satzes erhalten. Es war eine von NEWTONS groBen Entdeckungen am Beginn seiner Laufbahn, daB der elementare binomische Satz von positiven, ganzzahligen Exponenten a auf beliebige positive oder negative, rationale oder irrationale Exponenten a erweitert werden kann. Wenn a keine positive ganze Zahl ist, liefert die rechte Seite von (11) eine unendliche Reibe, die fUr -1 < x < +1 giiltig ist. Fur Ixl > 1 wird die Reihe (11) divergent, so daB das Gleichheitszeichen sinnlos ist. Insbesondere finden' wir, wenn in (11) a = (12)

VI + x =

1

1 +"2 x -

1

"'2i-:-2T x'+

! gesetzt wird, die Entwicklung

1·3 2" 3!

r-

1·3·5 2" 4! x4+ ..•.

Wie die andem Mathematiker des 18. Jahrhunderts gab NEWTON keinen eigentlichen Beweis fUr die Giiltigkeit dieser Forme!. Eine befriedigende Analyse der Konvergenz und des Gultigkeitsbereichs solcher unendlicher Reihen wurde erst im 19. Jahrhundert gegeben.

3M

Erginzung zu Kapitel VIII Obung: Man stelle die Potenzreihen fur

y1 -

",8

und

vr=1 ... auf. 1- '"

Die Entwicldungen (4) bis (11) sind SpezialfaIle der allgemeinen Forme! von BROOK TAYLOR (1685-1731), die darauf abzie!t, be1iebige Funktionenf(x) einer groBen Funktionenklasse in Potenzreihen zu entwicke1n, (13)

f(x) = co+ c10X + c.xl + cax8+ ..• ,

indem ein Gesetz angegeben wird, das die Koeffizienten c, durch die Funktion f und ihre Ableitungen ausdriickt. Es ist nieht moglich, bier einen exakten Beweis der Taylorschen Formel durch Formulierung und Priifung der Bedingungen ihrer Giiltigkeit zu geben. Aber die folgenden Plausibilitatsbetrachtungen werden die Zusammenhiinge der erforderlichen mathematischen Tatsachen erIautem. Nehmen wir versuchsweise an, daB eine Entwicldung (13) moglich ist. Nehmen wir weiter an, daB f(x) differenzierbar ist, daB auchl' (x) difierenzierbar ist und so fort, so daB die unendliche Folge der Ableitungen

l'(x),J"(x), ... ,ffl)(X), •.. tatsachlich existiert. Endlich wollen wir voraussetzen, daB eine unendliche Potenzreihe wie ein endliches Polynom gliedweise differenziert werden kann. Unter diesen Annahmen konnen wir die Koeffizienten CfI aus der Kenntnis des Verhaltens von f(x) in der Umgebung von oX = 0 bestimmen. Zuerst finden wir durch Einsetzen von oX = 0 in (13) Co= f(O), da alle Glieder der Reibe, die oX enthalten, verschwinden. Jetzt differenzieren wir (13) und erhalten (13') I'(x) = c1+ 2c.x + 3eaxl+ ., . + nc"x"-l+ .... Setzen wir wiederum x = 0 ein, aber jetzt in 13', nicht in (13), so finden wir

c1 =1'(0) . Durch Differentiation von (13') erhalten wir

(13")

J"(x) = 2cl + 2· 3eax + ... + (n - 1) nc"x"-z+ ... ,

und setzen wir oX = 0 in (13'1 ein, so sehen wir, daB 2! c. = fIt (0) . Ebenso ergibt Differentiation von (13") und Einsetzen von x

=

0

3! ca=f"'(O), und durch Fortsetzung dieses Verfahrens ge1angen wir zu der allgemeinen Formel 1

c" = -n., f(") (0) , worinf(") (0) der Wert der n-ten Ableitung vonf(x) in oX = 0 ist. Das Ergebnis ist die Taylorsche Reihe (14) f(x) = f(O) + oX I' (0) + ~ fIt (0) + ~ fill (0) + ....

2. Die Eulersche Forme! cos:;

+ i sin:; =

,'.

365

A1s tlbung im Differenzieren mage der Leser an den Beispielen (4) bis (11) festste1len, daB das Bildungsgesetz der Koeffizienten einer Taylorschen Reihe erftillt ist. 2. Die Eulenche Formelcos:t

+ ; sin:t =

"III

Eines der reizvollsten Ergebnisse von EULER' formalistischen Manipulationen ist der enge Zusammenhang im Gebiet der komplexen Zahlen zwischen den Sinusund Cosinusfunktionen einerseits und der Exponentialfunktion andererseits. Es solI gleich gesagt werden, daB der Eulersche "Beweis" und unsere bier folgende Ableitung keinen strengen Charakter tragen; sie sind typische Beispiele fUr die formale Behandlungsweise des 18. Jahrhunderts. Beginnen wir mit der in Kapitel II bewiesenen Moivreschen Formel cosn 9' + i sin n 9' = (cos 9' + i sin 9')" . Hierin setzen wir 9' = x/n und erhalten

..

(

:;

..

:;)" .

!:osx + Hmx = cos" + ,sm"

Wenn nun x gegeben ist, so wird cos : fUr groBe n sich nur wenig von cos 0 = 1 unterscheiden. Ferner sehen wir, da

.

:;

sm--.;- -+ 1, wenn n

=-+ 0

(siehe S.234), daB sin: asymptotisch gleich : ist. Wir kannen es daher a1s plausibel ansehen, zu der folgenden Grenzformel1iberzugehen: cosx+isinx=lim(l+

i:)"', wenn n-+

00.

Vergleichen wir die rechte Seite dieser Gleichung mit der Formel (S. 342) es=lim(l+ :)", wenn n-+oo, sohabenwir (15) cos x + i sin x = eh , und das ist EULER. Resultat. Wir konnen dasselbe Ergebnis auch auf andere formalistische Weise aus der Entwicklung z zI zI e'= I+TI+2T+3T+'"

erhalten, indem wir darin z = i x einsetzen, wobei x eine reel1e Zahl ist. Erinnern wir uns, daB die sukzessiven Potenzen von i gleich i, -1, -i, + 1 sind und so weiter in periodischer Wiederholung, dann haben wir durch Zusammenfassen der ree1len und der imaginaren Glieder :;1 :t':;I ). ( :;I :;I:;' ) ( 1 - - + - - - + · · · +, x--+---+··· . e'a21 41 61 31 51 71 '

vergleichen wir die rechte Seite mit den Reihen fUr Sinus und Cosinus, so ergibt sich wieder die Eulersche Formel.

366

Erginzung zu Kapitel VIII

Eine solehe Oberlegung ist keineswegs ein wirklicher Beweis der Beziehung (15). Der Einwand gegen unsere zweite Argumentation ist, daB die Reihenentwieklung ftir e" unter der Annahme abgeleitet war, daB z eine reelle Zahl ist; daher ist ftir die Substitution z = i x eine Rechtfertigung erforderlieh. Ebenso ist die Schlussigkeit der ersten Argumentation aufgehoben durch den Umstand. daB die Formel e"= lim

(1 + :r, wenn n-+

00

nur fUr reelle Werte von z abgeleitet worden war. Urn die Eulersehe Formel aus der Sphare des reinen Formalismus in dit: der strengen mathematisehen Wahrheit zu erheben, war die Entwieklung der Theorie der Funktionen einer komplexen Variabelnnotwendig, eine der groBen mathematischen Leistungen des 19. Jamhunderts. Viele andere Probleme regten diese weitreichende Entwieklung an. Wir haben zum Beispiel gesehen, daB die Potenzreihenentwicklungen verschiedener Funktionen in verschiedenen x-IntervaIlen konvergieren. Warum konvergieren einige Entwieklungen immer, d. h. fUr aIle x, wahrend andere fUr Ixl > 1 sinnlos werden? Betraehten wir zum Beispiel die geometrische Reihe (4), S.362, die fur Ixl < 1 konvergiert. Die linke Seite dieser Gleichung ist vollkommen sinnvoll fUr

!

x = I, sie nimmt den Wert 1 ~ 1 = an, wahrend die Reihe auf der reehten Seite sich hOchst sonderbar benimmt, da sie zu 1-1+1-1+··· wird. Diese Reihe konvergiert nicht, da ihre Partialsummen zwischen 1 und 0 hinund herschwanken. Dies laBt erkennen, daB Funktionen divergente Reihen entstehen lassen kannen, auch wenn sie selbst keinerlei UnregelmiiBigkeit zeigen. Allerdings wird die Funktion 1 ~ ~ unendlich, wenn x -+ -1. Da man leieht zeigen kann, daB die Konvergenz einer Potenzreihe fur x = a > 0 immer die Konvergenz ftir -a < x < a zur Folge hat, so kannten wir eine "Erkliirung" filr das seltsame Verhalten der Reihe in der Unstetigkeit der Funktion finden. Aber die Funktion .1 ~ 1

1

xl

+ ~I =

1

~ x fur x =

-1

laBt sich in die Reihe 1-

Xl+

X4-

xI+· ..

entwickeln, indem man in (4) x· fUr x setzt. Diese Reihe konvergiert ebenfalls ftir Ixl < 1,wiihrend sie fUr x = 1 wieder auf die divergente Reihe 1 - 1 + 1 - 1 + ... fUhrt und fUr Ixl > 1 explosionsartig divergiert, obwohl die dargestellte Funktion selbstilberaIl regulir ist. Es hat sich gezeigt, daB eine vollstandige Erklirung solcher Erscheinungen nur mOglieh ist, wenn man die Funktionen nicht nur fUr reelle, sondern auch ftir komplexe Werte von x untersucht. Zum Beispiel muB die Reihe fUr 1 ~ x, ftir x = i divergieren, well der Nenner der Funktion Null wird. Daraus folgt, daB die Reihe fur aIle x mit Ixl > Iii = 1 aueh divergieren muB, da sich zeigen laBt, daB ihre Konvergenz fUr irgendein solches x die Konvergenz· fUr x = i nach sieh ziehen wilrde. So wurde die Frage der Konvergenz von Reihen, die in der ersten

3. Die harmonische Reihe und die Zeta-Funktion. Das Eulersche Produkt fur den Sinus

367

Zeit der Inftnitesimalrechnung vollig unbeachtet blieb, zu einem der Hauptfaktoren bei dem Aufbau der Funktionentheorie einer komplexen Variabeln. 3. Die harmonische Reihe und die Zeta-Funktion. Das Eulersche Produkt fUr

den Sinus Reihen, deren Glieder sich in einfacher Weise aus den ganzen Zahlen aufbauen, sind von besonderem Interesse. Als Beispiel betrachten wir die "harmonische Reihe" 1

1

1

1

1+-+-+-+·· .+-+'" 2 3 4 n

(16)

'

die sich von der fUr In 2 nur durch die Vorzeichen der geradzahligen Glieder unterscheidet. Die Frage nach der Konvergenz dieser Reihe ist die Frage, ob die Folge worin 111

sft-1+-+-+,··+2 3 n'

(17)

einem endlicben Grenzwert zustrebt. Obwohl die Glieder der Reihe (16) sicb der Null nahern, wenn wir immer weiter geben, kann man leicht einsehen, daB die

Reihe nicht konvergiert. Denn nimmt man genugend viele Glieder, dann kann man jede beliebige positive Zahl uberschreiten, so daB Sft unbegrenzt zunimmt und daher die Reihe (16) "gegen unendlich divergiert". Urn das zu erkennen, bemerken wir, daB 1

S2=

1 +2'

S,--S,

(1- + ' .. + -81) -- S, + -21> 1 + -.-32 1 1 1) 8 + (-1 5 + -6 + -7 + -8 > S'+

und aUgemein (18)

Es ist also zum Beispiel die Partialsumme sa- groBer als 100, sobald m ~ 200. Wahrend die harmonische Reihe selbst nicht konvergiert, laBt sich zeigen, daB die Reihe (19)

1

1

1

1

1+-+-+-+" '+-+ , .. 2' 3' 4' n'

fUr jeden s-Wert groBer als 1 konvergiert, so daB sie fUr aIle s > 1 die sogenannte Zetafunktion (20)

n- '

. ( C(s) = lim 1+ 2'1 + 3'1 + 4'1 + ... + 1) wenn n -+ 00 •

als Funktion von s deftniert. Es bestebt eine wichtige Beziehung zwiscben der Zetafunktion und den Primzahlen, die wir mit Hille unserer Kenntnis der geo-

metrischen Reihe ableiten konnen. Es seip = 2,3,5,7, ... eine beUebige Primzahl;

368

Ergii.nzung zu Kapitel VIII

dann ist fUr s ~ 1 1

0< P' < 1 , so daB 1

1

1

l+ p +pi'+pi'+.· ..

1 1--

P'

Wir wollen nun alle diese Ausdriieke fUr samtliehe Primzahlen Pl = 2, P.= 3, P.= 5, p,= 7, ... miteinander multiplizieren, ohne uns zunaehst um die Zulii.ssigkeit einer solchen Operation zu kfimmem. Auf der linken Seite erhalten wir das unendliche "Produkt" lim ffir n -+ 00 von [

. 1 1 ). ( 1 1 ) ( 1 1 ) ... = ( 1-1-1--

V

•

~

1 1 I--

M

.

1 1 1- P:.

1 •

auf der reehten Seite dagegen die Reihe 1

1

1 + 2' + 3' + ... = C(s) auf Grund der Tatsaehe, daB jede ganze Zahl groBer als 1 auf eine einzige Weise als Produkt versehiedener Primzahlpotenzen dargestellt werden kann. Also haben wir die Zeta-Funktion ausgedriiekt als ein Produkt

(21)

c(s) = ( 11-1-). ( 11-1-). ( 11-1-) ..•• 2'

3'

~

Wenn es nur eine endliehe Anzahl versehiedener Primzahlen gabe, etwa PI' PI' ... , Pr, dann ware das Produkt auf der rechten Seite von (21) ein gewohnliches endliehes Produkt und hatte daher einen endliehen Wert, aueh fUr s = 1. Aber wie wir sahen, divergiert die C-Reihe fUr s = I, 1

1

C(I) = 1 +2+3+· ..• gegen unendlieh. Diese 'Uberlegung, die man leieht zu einem strengen Beweis erganzen kann, zeigt, daB es unendlieh viele Primzahlen geben muB. Allerdings ist sie viel verwiekelter und kiinstlieher als der Euklidische Beweis hierffir (siehe S. 18). Sie hat aber denselben Reiz wie die sehwierige Ersteigung eines Berggipfels, den man von der anderen Seite her auf einem bequemen Wege hatte erreichen konnen. Unendliehe Produkte wie (21) sind oft ebenso nfitzlieh fUr die Darstellung von Funktionen wie unendliehe Reihen. Ein anderes unendliehes Produkt, dessen Entdeekung aueh zu EULER- Leistungen gehOrt, betrifit die trigonometrische Funktion sin x. Um diese Formel zu verstehen, gehen wir von einer Bemerkung fiber Polynome aus. Wenn f(x) = ao+ ~x + ... + a,,%" ein Polynom n-ten Grades ist und n verschiedene Nullstellen Xl' XI' ••• , x" hat, so wissen wir aus der Algebra, daB man 1(x) in Linearfaktoren f(x) = a,,(x -

XI) •••

(x - x,,)

zerlegen kann (siehe S.80). Klammem wir das Produkt

XiX••••

x" aus, so

§ 4. Ableitung des Primzahisatzes mit statistischen Methoden

konnen wir schreiben

t (x) =

C (1 -

369

:J :J ... ( :J ' 1-

(1 -

worin C eine Konstante ist, die wir, wenn x = 0 gesetzt wird, als C = ao erkennen. Wenn wir kompliziertere Funktionen f(x) an Stelle von Polynomen betrachten, so entsteht die Frage, ob auch hier eine Produktzerlegung mit Hilfe der Nullstellen moglich ist. (Dies kann nicht allgemein gelten, wie man aus dem Beispiel der Exponentialfunktion sieht, die iiberhaupt keine Nullstellen besitzt, da eG:9= 0 flir alle Werte von x.) EULER entdeckte aber, daB fiir die Sinusfunktion eine solche Zerlegung moglich ist. Urn die Formel auf die einfachste Art zu schreiben, betrachten wir nicht sin x sondem sin nx. Diese Funktion hat die Nullstellen x = 0, ± 1, ±2, ±3, ... , da sin nn = 0 ist fiir alle ganzzahligen n und nur fiir diese. EULER8 Formel sagt nun aus, daB

sinnx=nx(I-~) 11 (1-~) 21 (1-~) 31 (1-~)'" 41

(22)

.

Dieses unendliche Produkt konvergiert flir alle Werte von x und ist eine der 1

schOnsten Formeln der Mathematik. Fiir x = Tliefert sie sin ;

= 1 = ; (1 -

21

~ 11) (1 -

~

21 2' ) (1 -

Schreiben wir 1- _1_= (2n-1) (2n 21 , n l

2n ' 2n

2'

~ 3' ) (1 -

+ 1)

~

2' 4' ) . . . ,

'

so erhalten wir das Wallissche Produkt n

22446688

T=I'3'3'5'5']']'9" , das auf S. 229 erwiihnt wurde, Fiir die Beweise dieser Tatsachen miissen wir den Leser auf die Lehrbiicher der Infinitesimalrechnung verweisen (siehe auch S. 391).

**§ 4. Ableitung des Primzahlsatzes mit statistischen Methoden Wenn mathematische Methoden auf das Studium der Naturerscheinungen angewandt werden, begniigt man sich gewohnlich mit tJberlegungen, in deren Verlauf die streng logische Beweiskette durch mehr oder weniger plausible Annahmen unterbrochen wird, Sogar in der reinen Mathematik begegnet man Betrachtungen, die, wenn sie auch keinen strengen Beweis bilden, doch die richtige Losung liefem und die Richtung andeuten, in der ein strenger Beweis gesucht werden kann. BERNOULLI8 Losung des Problems der Brachystochrone (siehe S. 290) hat diesen Charakter, ebenso wie das meiste aus dem Anfangsstadium der Analysis. Mit Hilfe eines Verfahrens, das flir die angewandte Mathematik und insbesondere die statistische Mechanik typisch ist, wollen wir hier einen Gedankengang entwickeln, der die Giiltigkeit des beriihmten Gesetzes von GAUSS iiber die Verteilung der Prirnzahlen zum mindesten plausibel macht, (Ein ahnliches Verfahren wurde einem der Verfasser von dem Experimentalphysiker GUSTAV HERTZ vorgeschlagen.) Dieses Gesetz, das in der Erganzung zu Kapitel I (S,22ff,) empirisch Courant u, Robbins, Mathematik

24

370

Erga.nzung zu Kapitel VIII

behandelt wurde, sagt aus, daB die Anzahl A (n) der Prirnzahlen, die nicht groBer sind als n, asymptotisch gleich der GroBe nfln n ist: n

A (n) ,..., Inn' Hiermit ist gemeint, daB das Verhliltnis von A (n) zu nlIn n gegen den Grenzwert 1 strebt, wenn n gegen unendlich strebt. Wir beginnen mit der Annahme, daB ein mathematisches Gesetz existierl, welches die Verteilung der Primzahlen in dem folgenden Sinn beschreibt: Fiir II

groBe Werte von n ist die Funktion A (n) angenahert gleich dem Integral f W(x) d x, 2

worin W (x) eine Funktion ist, welche die "Dichte" der Primzahlen millt. (Wir wahlen 2 als untere Grenze des Integrals, weil ffir x < 2 offenbar A (x) = 0 ist.) Damit solI folgendes gemeint sein: 1st x eine groBe Zahl und A x eine andere groBe Zahl, wobei aber die GroBenordnung von x groBer sei als die von A x (zum Beispiel konnten wir A x = vereinbaren), dann nehmen wir an, daB die Verteilung der Primzahlen so gleichmaBig ist, daB die Anzahl der Primzahlen in dem Intervall zwischen x und x + A x angeniihert gleich W (x) A x ist und ferner, daB

VX

W(x) als Funktion von x sich so langsam andert, daB das Integral

II

f

W(x)dx

2

durch die im folgenden beschriebene treppenformige Anniiherung ersetzt werden kann, ohne seinen asymptotischen Wert zu andern. Wir haben bewiesen (S. 360), daB fUr groBe ganze Zahlen Inn! asymptotisch gleich n In n ist: Inn!,...,nInn. Jetzt gehen wir dazu tiber, eine zweite Formel fUr In n! aufzustellen, welche die Primzahlen enthlilt, und dann beide FormeIn z~ vergleichen. Wir wollen abz1ih1en, wie oft eine beliebige Primzahl p (kleiner als n) als Faktor in der ganzen Zahl n! = 1 . 2 . 3 ... n enthalten ist. Es moge [a]" die groBte ganze Zahl k bezeichnen, fUr die pIc Teiler von a ist. Da die Primzahlzerlegung jeder ganzen Zahl nur auf eine Art moglich ist, so folgt [ab],,= [a],,+ [b]" ffir zwei beliebige ganze Zahlen a und b. Daher ist [nl],,= [1],,+ [2],,+ [3J,,+ ... + [n]" .

Die Glieder der Zahlenfolge 1,2,3, ... ,n, die sich durch pIc teilen lassen, sind pIc, 2P", 3P", .... Ihre Anzahl N" ist fUr groBe n angeniihert nIP". Die Anzahl M" dieser Glieder, die durch pIc, aber durch keine hOhere Potenz von p teilbar sind, ist gleich N" - N "+1- Also ist [n!]p = Ml + 2MII + 3M.+ ...

= (Nl- N,.) + 2 (NII = N1 + N.+ N.+··· n

n

n

N.) + 3 (Na- NJ + ... n

=p+j1I+P'+"'=P-l' (Alle diese Gleichheiten gelten natiirlich nur niiherungsweise.)

§ 4. Ableitung des Primzahlsatzes mit statistischen Methoden

.

371

Hieraus folgt. daB fiir groBe n die Zahl n! angenlihert gegeben ist durch das Produkt aller AusdrUcke die Formel

pp -

1

fUr samtliche Primzahlen

Inn! --

p < n. Also haben wir

1: ~llnP. p< .. p-

Vergleichen wir dies mit unserer friiheren asymptotischen 13eziehung fiir lnn!, so finden wir, wenn wir x statt n schreiben,

(1) Der nachste und entscheidende Schritt ist, die rechte Seite von (1) asymptotisch mit W (x) in Beziehung zu setzen. Wenn x sehr groB ist. konnen wir das Inter': vall von 2 bis x = n in eine groBe Anzahl r von Teilintervallen unter1;eilen. indem wir Teilpunkte 2 = Ev EI •••• , Er. Er+l = x wahlen; die zugehOrigen Intervalle haben dann die Langen..1 EI = E/+1- EI . In jedem Teilintervall kann es Primzahlen geben, und alle Prlmzahlen im i-ten Teilintervall haben angenahert den Wert EI • Nach unserer Annahme iiber W(x) gibt es angenlihert W(EI) ..1EI Primtahlen im i-ten Teilintervall; daher ist die Summe auf der rechten Seite von (1) angenlihert gleich

Ersetzen wir diese endliche Summe durch das Integral, dessen Nliherungswert sie bildet, so haben wir als eine plausible Konsequenz von (1) die Beziehung s

(2)

lnx --

JW(E) E-I dE· .

In ~

2

Hieraus wollen wir die unbekannte Funktion W(x) bestimmen. Wenn wir das Zeichen -- durch ein gewohnliches Gleichheitszeichen ersetzen und beide Seiten nach x differenzieren. so erhalten wir nach dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung 1

(3)

-;= W(x)

In x

x-I'

also

x-I

W (x) = x In x . s

Wir nahmen zu Beginn unserer Betrachtung an, daB A (x) angenlibert gleich

J W(E) dE ist; mithin ist A (x) angenli.hert gegeben durch das Integral

2

(4) Um dieses Integral auszuwerten. bemerken wir, daB die Funktion f(x) = xflnx die Ableitung hat:

f'(x)

=

In\ -

(ID\)I • 24*

372

Erganzung zu Kapitel VIII

FUr groBe Werte von x sind die beiden Ausdrticke. 1 In x -

1 (In X)I

,

1 In x -

1

x In x

= W (x)

angenahert gleich, da fUr groBe x das zweite Glied in beiden Fallen viel kleiner ist als das erste. Daher ist das Integral (4) asyrnptotisch gleich dem Integral

"

/f'(E)dE=/(x)-/(2)

=

2

I:x - ~2'

da die Integranden Uber dem groBten Teil des Integrationsbereichs beinahe gleich

1:2

sind. Der Ausdruck kann bei groBem x vemachlassigt werden, da er konstant ist, und so erhalten wir schlieBlich das Resultat A (x)

" " -x1 ,

nx

also den Primzahlsatz. Wir konnen nicht behaupten, daB der vorstehenden 'Oberlegung mehr als ein heuristischer Wert zukommt. Aber bei genauer Untersuchung ergibt sich immerhin folgende Tatsache: Es ist nicht schwer, fUr alle die Schritte, die wir so unbekUmmert untemommen haben, eine vollstandige Rechtfertigung zu geben, insbesondere fiir die Gleichung (1), fiir die asyrnptotische Aquivalenz zwischen dieser Summe und dem Integral in (2), und fUr den Schritt, der von (2) zu (3) fiihrt. Es ist sehr viel schwieriger, die Existenz einer glatten Dichtefunktion W(x) zu beweisen, die wir ja am Anfang vorausgesetzt hatten. 1st diese einmal angenommen, so ist die Berechnung dieser Funktion verhaItnismaBig einfach; von diesem Gesichtspunkt aus ist der Existenzbeweis einer solchen Funktion die Hauptschwierigkeit bei der Behandlung des Primzahlproblems.

Anhang'

Erganzungen, Probleme und Vbungsaufgaben Viele der folgenden Probleme sind flir den fortgeschritteneren Leser bestimmt. Sie bezwecken weniger Dbung in mathematischer Routine als Anregung eines besseren Verstandnisses. Anordnung und Auswahl sind nicht systematisch.

Arithmetik und Algebra (1) Woher wissen wir, daB 3 nicht Teiler irgendeiner Zehnerpotenz ist, wie auf S. 50 behauptet wird? (Siehe S. 38.) (2) Man beweise, daB das Prinzip der kleinsten natfirlichen Zahl aus dem Prinzip der mathematischen Induktion folgt (Siehe S. 16). (3) Durch Anwendung des binomischen Satzes auf (1 + 1)" ist zu zeigen, daB (~) + (~) + (;) + . . . + (:) = 2" . (4*) Man nehme eine beliebige positive ganze Zahl z = abc . .. , bilde die Summe ihrer Ziffern a + b + c + ... , subtrahiere diese von z, streiche von dem Ergebnis eine beliebige Ziffer weg und bezeichne die Summe der fibrigen Ziffern mit w. LaBt sich eine Regel finden, urn aus der Kenntnis von w allein den Wert der weggestrichenen Ziffer zu bestimmen? (Es kann dabei ein zweideutiger Fall auftreten, wenn w = 0 ist.) Wie manche anderen einfachen Tatsachen fiber Kongruenzen, kann man dies als Grundlage flir ein "Rechenkunststfick" benutzen. (5) Eine arithmetische Folge erster Ordnung ist eine Folge von Zahlen a, a + d, a + 2d, a + 3d, ... , bei der die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder eine Konstante ist. Eine arithmetische Folge zweiter Ordnung ist eine Folge von Zahlen all a2, tl:!, ... , bei der die Differenzen ai+l- a. eine arithmetische Folge erster Ordnung bilden. Ebenso ist eine arithmetische Folge k-ter Ordnung eine Folge, bei der die Differenzen eine arithmetische Folge (k - l)-ter Ordnung bilden. Man beweise, daB die Quadrate der natfirlichen Zahlen eine arithmetische Folge zweiter Ordnung bilden, und zeige durch Induktion, daB die k-ten Potenzen der natfirlichen Zahlen eine arithmetische Folge der Ordnung k bilden. Man beweise ferner, daB jede Folge, deren n-tes Glied a" durch den Ausdruck co+ cin + + csn2+ ..• + crenTe gegeben ist, worin die c irgendwelche Konstanten sind, eine arithmetische Folge der Ordnung kist. ·Man beweise die Umkehrung dieser Behauptung flir k = 2, k = 3 und allgemein flir k. (6) Man beweise, daB die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge k-ter Ordnung eine arithmetische Folge (k + I)-ter Ordnung ist. (7) Wieviele Teiler hat die ZahlI0296? (siehe S. 20.) (8) Aus der algebraischen Formel (a 2+ b2) (c 2 + d2) = (ac - bd)2+ (ad + bC)2 solI durch Induktion bewiesen werden, daB jede ganze Zahl , = a,. a2 • •• a", in der jedes ai eine Summe zweier Quadrate ist, selbst auch eine Summe zweier Quadrate ist. Man kontrolliere dies mit 2 = 12+ 12, 5 = 12+ 2s, 8 = 22+ 22 usw.,

374

Anhang

fur, = 160, , = 1600, , = 1300, , = 625. Wenn moglich, gebe man mehrere verschiedene Darstellungen dieser Zahlen als Summen zweier Quadrate. (9) Man wende die Ergebnisse der Aufgabe (8) an, um aus gegebenen pythagoriiischen Zahlentrip~ neue zu konstruieren. (10) Man stelle Teilbarkeitsrege1n, ahnlich denen von S. 28, fur Zahlensysteme mit der Basis 7, 11 und 12 auf. (11) Man zeige, daB fUr zwei positive rationale Zahlen , = alb und 5 = eld die Ungleichung, > s aquivalent ist mit ad - be > O. (12) Man zeige, daB fUr positive, und 5 mit, < 5 stets

"+5

'<-2-<s und

2 (1-+1)1<2'5«'+5)2. "

5

(13) Man zeige durch Induktion: wenn z eine beliebige komplexe Zahl ist, laBt sich

Z"+ liZ" als Polynom n-ten Grades der GroBe UI = z +

! ausdrUcken (siehe

S.79).

(·14) Fuhren wir die Abldlrzung cos tp + i sin tp = E( tp) ein, so haben wir [E(tp)]m= E(mtp). Man benutze dies und die Forme1n auf S. 11 fiber die geometrische Reihe, die auch fUr komplexe GroBen giiltig bleiben, um zu beweisen, daB sin.tp + sin 2 tp + sin 3 tp

+ ... + sin n tp =

cos i-cos

(n + -}) 'II

2 sin :

1

"2 + cos tp + cos 2 tp + cos 3 tp + ... + cos n tp =

*0+!)tp

--'----!..--

S1n:r'II

2 .

(15) Man untersuche, was die Formel der 'Obung 3 auf S. 15 liefert, wenn man q = E(tp) setzt. Analytische Geometrie Ein sorgfiiltiges Studium der folgenden Obungsaufgaben, ergiinzt durch Zeichnungen und numerische Beispiele, wird den Leser mit den Elementen der analytischen Geometrie vertraut machen. Die Definitionen und die einfachsten Tatsachen der Trigonometrie werden vorausgesetzt. Es ist oft nfitzlich, sich eine Gerade oder Strecke als von einem ihrer Punkte zu einem andem gerichtet vorzuste1len. Unter der gerichteten Geraden PQ (oder der gerichteten Strecke PQ) wollen wir die Gerade (oder Strecke) verstehen, die von P nach Q gerichtet ist. Wird keine ausdrfickliche Spezialisierung angegeben, so werden wir bei einer gerichteten Geraden l annehmen, daB sie eine feste, aber noch willk1lrliche Richtung hat; jedoch solI die gerichtete x-Achse immer als yom Nullpunkt nach einem ~ mit positiver Koordinate gerichtet angenommen werden. Entsprechendes gilt fUr die y-Achse. Gerichtete Geraden (oder gerichtete Strecken) werden dann und nur dann als parallel bezeichnet, wenn sie dieselbe Richtung haben. Die Richtung einer gerichteten Strecke auf einer gerichteten Geraden kann angedeutet werden, indem man die Entfemung zwischen den Endpunkten der Strecke positiv oder negativ rechnet, je nachdem ob die Strecke dieselbe Richtung

375

Analytische Geometrie

hat wie die Gerade oder die entgegengesetzte. Es wird zweckmaBig sein, die Bezeichnung "Strecke PQ" auch auf den Fall auszudehnen, daB P und Q zusammenfallen; einer solchen "Strecke" miissen wir offenbar die Lange Null und keine Richtung zttschreiben. (16) Es ist zu beweisen: Wenn PI (Xl' Yl) und p.(xz, Yz) zwei beliebige Punkte sind, so sind die Koordlnaten des Mittelpunktes Po (xo, Yo) der Strecke PIP. durch xo= (x1 + xl )/2, Yo= (Yl+ y~/2 gegeben. Allgemeiner soIl gezeigt werden: Wenn Pi und PI verschieden sind, besitzt der Punkt Po auf der gerichteten Geraden PIP., fUr den das VerhaItnis PIPO: PIP. der gerichteten Langen den Wert khat, die Koordinaten

Xo7= (1- k)xl + kx l

,

Yo= (1 - k)Yl+ kyz.

(Anleitung: Parallele Gerade schneiden zwei Transversale in proportionalen Abschnitten. ) Demnach haben die Punkte auf der Geraden PIPS Koordinaten von der Form X = Al Xl + Az x2," Y = AIYl + AzYz, wobei Al + AI = 1. Die Werte Al = 1 und At = 0 kennzeichnen Punkte p] bzw. PI selbst. Negative Werte von Al entsprechen Punkten hinter p. und negative Werte von Az Punkten vor Pl' (17) Die Lage der Punkte auf der Geraden soIlen in derselben Weise mit Hilfe der Werte von k gekennzeichnet werden. Auch bei Drehungen ist die Kennzeichnung der Richtung durch positive und negative Zahlen wichtig, ebenso wie bei Entfemungen. Durch Definition setzen wir den Drehsinn, der die gerichtete x-Achse durch eine Drehung von 90° in die gerichtete y-Achse iiberfiihrt, als positiv an. Bei dem iiblichen Koordinatensystem, in dem die positive x-Achse nach rechts und die positive y-Achse nach oben gerichtet sind, iSt dies der Drehsinn entgegen dem Uhrzeiger. Wir definieren nun den Winkel von einer gerichteten Geraden Zt zu einer gerichteten Geraden II als den Winkel, urn den Zt gedreht werden muB, urn parallel zu II zu werden. Natiirlich ist dieser Winkel.nur bis auf ein ganzes Vielfaches einer voIlen Drehung von 360° bestimmt. 50 ist der Winkel von der gerichteten x-Achse zur gerichteten y-Achse gleich 90° odeI' -270°, usw. (18) Man zeige: Wenn a der Winkel zwischen der gerichteten x-Achse und der gerichteten Geraden list, wenn PI' p. zwei beliebige Punkte auf I sind und d die gerichtete Entfemung von P1nach p. ist, dann gilt:

rue

N = COS ""

X,- Xl

d'

• SID

~

a-

Y,,-d Yl '

(

X. -

,\- .. ,

Xli SID

a=

(

Y2 -

Yl

)

COS

a.

Wenn die Gerade I nicllt serikcecht zur x-Achse ist, so ist die 5teigung von 1 definiert durch m = tan a = y, - Yl • XI-Xl

Der Wert von m hangt nicht von der Wahl der Richtung auf der Geraden ab, da tan a = tan (a + 180°) oder, was dasselbe ist,

)'1 -

y, = )" -

Xl-X.

)'1

X.-Xl

•

(19) Man beweise: Die Steigung einer Geraden ist Null, positiv oder negativ, je nachdem ob die durch den Ursprung gehende Parallele zu ihr auf der x-Achse, im ersten und dritten Quadranten oder im zweiten und vierten Quadranten liegt.

376

Anhang

Wir unterscheiden eine positive und eine negative Seite einer gerichteten Geraden folgendermaBen: Es sei P ein nicht auf l gelegener Punkt und Q der FuBpunkt der Senkrechten auf l durch P. Dann liegt P auf der positiven oder negativen Seite von l, je nachdem ob der Winkel von l zu der gerichteten Geraden QP _90 0 oder 90° ist. Wir wollen jetzt die Gleichung einer gerichteten Geraden l bestimmen. Wir faIlen vom Ursprung 0 eine Senkrechte m auf lund legen m eine solche Richtung bei, daB der Winkel von m nach l gleich 90° ist. Der Winkel von der gerichteten x-Achse nach m solI fJ heiBen. Dann ist IX = 90°+ fJ, sin IX = cosfJ, cos IX = -sinfJ. Es sei R mit den Koordinaten Xl' Y1 der Punkt, in dem m auf l trifft. Wir bezeichnen mit d den gerichteten Abstand OR auf der gerichteten Geraden m. (20) Es ist zu zeigen, daB d dann und nur dann positiv ist, wenn 0 auf der negativen Seite von lliegt. Wirhaben x1= d COSfJ'Y1= d sinfJ (vgl. Aufgabe 18). Daherist (x - Xl) sin IX = (y - Yl) cos IX oder (x - d cos fJ) cos fJ = - (y - d sin (J) sin fJ; das liefert die Gleichung X cosfJ + Y sinfJ - d = O. Dies ist die N ormaltorm der Gleichung der Geraden l. Man beachte, daB diese Gleichung nicht von der l zugeschriebenen Richtung abhangt, denn die Umkehrung der Richtung wiirde das Vorzeichen jedes Gliedes auf der linken Seite umkehren und daher die Gleichung unverandert lassen. Multiplizieren wir die Normalform mit einem willkurlichen Faktor, so erhalten wir die allgemeine Form der Geradengleichung

ax+ by + c = O. Um aus dieser allgemeinen Fonn die geometrisch bedeutungsvolle Nonnalfonn wiederzugewinnen, mussen wir mit einem Faktor multiplizieren, der die beiden ersten Koeffizienten in cos fJ und sin fJ verwandelt, deren Quadrate zusammen 1 geben. Dies wird erreicht durch den Faktor fonn a

Val + b"

+ Val +

l

I'

c

b

X

Va +b 1 so daB sich fur die Normal-

bl

y+ Val +

bl

=

0

ergibt; wir haben also a fJ b 'fJ C d Val + bl = cos , Val +bl = sm , - Val + bl = .

(21) Es ist zu zeigen: (a) Die einzigen Faktoren, welche die allgemeine Form in die Normalform uberfiihren, sind die GroBen l/Va2+ b2 und -1/Va2+ bZ ; (b) die Wahl des einen oder anderen dieser Faktoren legt fest, welche Richtung der Geraden zuzuschreiben ist; (c) wenn einer dieser Faktoren gewiih1t worden ist, liegt der Ursprung auf der positiven oder negativen Seite der sich ergebenden gerichteten Geraden oder auf fur selbst, je nachdem ob d negativ, positiv oder Null ist. (22) Man beweise auf direktem Wege, daB die Gerade mit der Steigung m durch einen gegebenen Punkt Po (xo, Yo) gegeben ist durch die Gleichung Y - Yo= m(x - xo)

oder

Y = mx + Yo- mxo·

Analytische Geometrie

377

Man beweise, daB die Gerade durch zwei gegebene Punkte PdXl> Yl), P 2(X2' Y2) die Gleichung hat: (Y2- Yl) (x - Xl) = (x 2- Xl) (y - Yl) . Die x-Koordinate des Punktes, in dem eine Gerade oder Kurve die x-Achse schneidet, wird der x-Achsen-Abschnitt der Kurve genannt; das Entsprechende gilt flir den y-Achsen-Abschnitt. (23) Man zeige durch Division der allgemeinen Gleichung der Aufgabe (20) durch einen passend gewahlten Faktor, daB die Gleichung einer Geraden in der A bschnittsform ~+L=1 a

b

geschrieben werden kann, worin a und b die Abschnitte auf der x- bzw. y-Achse sind. Welche Ausnahmen gibt es? (24) Durch ein ahnliches Verfahren ist zu zeigen, daB die Gleichung einer nicht zur y-Achse parallelen Geraden in der Steigungs-Abschnittsform y=mx+ b

geschrieben werden kann. (Wenn die Gerade parallel zur y-Achse ist, kann die Gleichung in der Form X = a geschrieben werden.) (25) Es seien a X + by + c = 0 und a' X + b' Y + c' = 0 die Gleichungen der ungerichteten Geraden 1und l' mit den Steigungen m bzw. m'. Man zeige, daB 1und l' parallel oder senkrecht zueinander verlaufen, je nachdem, ob (a) m = m' oder mm'= -1; (b) ab'- a'b = 0 oder aa'+ bb'= O. (Man beachte, daB (b) auch dann gilt, wenn die eine Gerade die Steigung 00 hat, d. h. wenn sie parallel zur y-Achse ist.) (26) Man zeige, daB eine Gerade durch einen gegebenen Punkt Po (xo, Yo) und parallel zu einer gegebenen Geraden 1 mit der Gleichung a x + by + c = 0 die Gleichung ax + by = axo+ byo hat. Man zeige ferner, daB eine ahnliche Formel bx - ay = bxo- ayo flir die Gleichung einer Geraden gilt, die durch Po geht und auf 1senkrecht steht. (Man bemerke: Wenn die Gleichung von 1in der Normalform gegeben ist, dann gilt dies in jedem Fall auch flir die neue Gleichung.) (27) Es seien x cos{J + Y sin{J - d = 0 und ax + by + c = 0 die Normalform und die allgemeine Form der Gleichung einer Geraden 1. Man zeige: Der gerichtete Abstand h von 1zu einem beliebigen Punkt Q (u, v) ist gegeben durch h

oder durch

=

u cos{J + v sin{J - d h= au + bv

+c ±Va +b 2

l

,

und h ist positiv oder negativ, je nachdem ob Q auf der positiven oder negativen Seite der gerichteten Geraden 1liegt (wobei die Richtung durch (J oder durch die b2 bestimmt ist). (Anleitung: Man stelle fur die Gerade Wahl des Zeichens vor m durch Q parallel zu 1 die Normalform ihrer Gleichung auf und bestimme den Abstand von 1 nach m.) (28) Es sei l(x, y) = 0 eine Abkurzung fur die Gleichung ax + by + c = 0 einer Geraden 1 und ebenso l' (x, y) = 0 fur die einer zweiten Geraden 1'. Ferner seien A und A' zwei Konstante mit der Eigenschaft A + A' = 1. Man zeige: Wenn 1

vaa+

378

Anhang

und l' sich in Po {xo, Yo) schneiden, hat jede Gerade durch Po die Gleichung

Al(x, y)

+ A'l'(x, y) = 0

und umgekehrt, und jede solche Gerade ist durch die Wahl eines Wertepaares A, A' eindeutig bestimmt. (Anleitung: Po liegt dann und nur dann auf I, wenn l (xo, Yo) = axo+ byo+ c = 0.) Welche Geraden werdendurchdie Gleichungdargestellt, wenn I und I' parallel sind ? Man bemerke, daB die Bedingung A + A' = 1 nicht notwendig ist, aber dazu dient, fUr "jede Gerade durch Po nur eine einzige Gleichung festzulegen. (29) Man benutze das Ergebnis der vorigen Aufgabe, um fUr eine Gerade durch den Schnittpunkt Po von l und l{ und durch einen andern Punkt PI{XI'YI) die Gleichung aufzustellen, ohne die Koordinaten von Po auszurechnen. (Anleitung: Man bestimme A und A' aus den Bedingungen Al(xl,yJ + A'l'(xt,yJ = 0 und A + A'= 1.) Man mache die Probe, indem man die Koordinaten von Po berechnet (siebe S. 61) und zeigt, daB Po auf der Geraden mit der gefundenen Gleichung liegt. (30) Es soli bewiesen werden, daB die Gleichungen der Winkelhalbierenden zwischen den sich schneidenden Geraden I und l' die Form haben

¥a'l+ b'l

l{x,y)

=

± ¥al + bl l'(x,y).

(Anleitung: Siebe Aufgabe 27.) Was stellen diese Gleichungen dar, wenn lund l' parallel sind ? (31) Man bestimme die Gleichung der Mitte1senkrechten der Strecke PI PI nach jeder der beiden fo1genden Methoden: (a) Man stelle die Gleichung der Geraden PIP. auf, suche die Koordinaten des Mittelpunktes Po von PIP. und bestimme die Gleichung der Geraden durch Po senkrecht auf PIP•. (b) Man schreibe die Gleichung bin, die aussagt, daB der Abstand (S. 59) zwischen PI und einem beliebigen Punkt P{x, y) der Mitte1senkrechten gleich dem Abstand zwischen p. und P ist, quadriere beide Seiten der Gleichung und vereinfache sie. (32) Man bestimme die Gleichung des Kreises durch drei nicht kollineare Punkte PI' p., P a nach jeder der beiden fo1genden Methoden: (a) Man stelle die Gleichungen der Mitte1senkrechten der Strecken PIP. und p.p. auf, suche die Koordinaten des Kreismittelpunktes a1s Schnittpunkt dieser Geraden und dann den Radius a1s Abstand des Mittelpunktes vom Punkt Pl. (b) Die Gleichung muB die Form haben Xl+ y.- 2ax - 2by = k (S. 60). Da jeder der gegebenen Punkte auf dem Kreis liegen muB,-haben wir

xi + yf - 2axl - 2bYI= k, 4 + n - 2axl - 2bYI= k, xl +yl- 2aXa- 2bYa= k; denn ein Punkt liegt dann und nur dann auf einer Kurve, wenn seine Koordinaten die Gleichung der Kurve befriedigen. Man lOse diese drei simultanen Gleichungen nach a, b und k auf. (33) Um die Gleichung einer Ellipse mit der groBen Achse,2P, der kleinen Achse 2q und den Brennpunkten bei F(e, 0) und F'(-e, 0) mit eI= p.- qI zu finden, berechne man die Abstiinde , und " eines be1iebigen Kurvenpunktes von

379

Geometrische Konstruktionen

F bzw. F'. Nach der Definition der Ellipse ist l' + 1" = 2p. Mit Hilfe der Abstandsformel von Seite 59 ist zu zeigen, daB 1"1-

1'1= (x +

Da 1"1-

1'1=

(1"

era-

(x - e)l= 4ex .

+ 1') (,' -,) =

zeige man, daB 1" - l' = 2ex/P . Man kombiniere diese Gleichung mit " Forme1n ab

e 1'=-px+

2P(" -,) ,

+ , = 2P und leite daraus die wichtigen

p e p. , , 1'=px+

Da (wieder nach der Abstandsformel) 1'11= (x - e)l+ y'l., erhilt man durch Gleichsetzen dieses Ausdrucks fUr ,11 mit dem eben gefundenen ( - ; x +

(x - e)'I.+ yl= (- ; x + Man multipliziere die Klammem aus, ordne Es ist zu zeigen,daB das Resultat in der Form :ttl

pI -

pt.

p) : . II

ql fUr eB ein und vereinfache.

yl

pi +fi= 1 gf>..schrieben werden kann. Man fUhre das gleiche ftir die Hyperbel aus, die als geometrischer Ort alier PuIikte P definiert ist, fUr die der absolute Wert der Differenz l' - " gleich einer gegebenen GroBe 2p ist. Hier ist el = pl+ qI. (34) Die Parabel ist definiert als geometrischer Ort aller Punkte, deren Abstand von einer festen Geraden (der Leitlinie) ihrem Abstand von einem festen PuIikt (dem Brennpunkt) gleich ist. Man zeige: Wenn die Gerade x = -a als Leitlinie und der PuIikt F (a, 0) als Brennpunkt gewii.hlt wird, kann die Gleichung der Parabe1 in der Form yl = 4a x geschrieben werden. Geometrische Koustruldionen

(35) Man beweise die Unmoglichkeit, die Zahlen

Va. V4, Vs mit Zirkel und Li• Va

neal zu konstruieren. Weiter ist zu beweisen, daB die Konstruktion von nur dann moglich ist, wenn a die dritte Potenz einer rationalenZahl ist (siehe S. 107ft.). (36) Man bestimme die Seiten des rege1maBigen 3· 2"-Ecks und des 5· 2"-Ecks und gebe die entsprechenden Folgen von Erweiterungskorpern an. (37) Man beweise die Unmoglichkeit, mit Zirkel und Lineal einen Winkel von 120° oder 30° in drei gleiche T eile zu teilen. (Anleitung fUr den Fall von 30°: Die zu diskutierende Gleichung Iautet 4z3- 3% = cos 30° =

! y'3. Man fIlhre eine neue

Unbekannte u = % y'3 ein; aus der entstehenden Gleichung ftir u folgt die Nichtkonstruierbarkeit von % ebenso wie im Text S. 111.) (38) Man beweise, daB das rege1maBige 9-Eck nicht konstruierbar ist. (39) Man beweise, daB die Inversion eines PuIiktes P(x, y) in den PuIikt P'(X',y/) mit Bezug auf den Kreis vom Radius, urn den Ursprung durch die Gleichungen .

380

Anhang

gegeben ist. Man bestimme algebraisch die Gleichungen, die x, Y ... ..trch x', y' ausdrticken. *(40) Man beweise analytisch mit Hilfe der Aufgabe (39), daB durch die Inversion die Gesamtheit aller Kreise und Geraden in sich selbst iibergeht. Man bestatige die Eigenschaften a)-d) auf S. 114 einzeln und ebensodie Transforrnationen, die der Fig. 61 entsprechen. (41) Was wird aus den beiden Geradenscharen x = const. und y = const., die den Koordinatenachsen parallel sind, nach Inversion am Einheitskreis um den Ursprung? Die Antwort ist mit und ohne analytische Geometrie zu errnitteln (siehe S. 126L (42) Man fUhre die apollonischen Konstruktionen fUr selbstgewii.hlte, einfache Fane durch. Man suche die Losung auch auf analytischem Wege nach der Methode auf S. 99. Projektive und nichteuklidische Geometrie

(43) Man bestimme alle Werte des Doppelverhii.1tnisses A fUr vier harmonische Punkte, wenn die Punkte Perrnutationen unterworfen werden (LOsung: A = -1, 2,

!) .

(44) Fiir welche Konfigurationen von vier Punkten fallen einige der auf S. 137 angegebenen sechs Werte des Doppelverhii.1tnisses zusammen? (LOsung: Nur fiir

A = -1 oder A= 1; es gibt auch einen imaginaren Wert von A, fUr den A=

1

~1

'

das "aquianharmonische" Doppelverhii.1tnis.) (45) Es ist zu zeigen, daB das Doppelverhii.1tnis (ABCD) = 1 bedeutet, daB die Punkte C und D zusammenfallen. (46) Man beweise die Behauptungen iiber das Doppelverhii.1tnis von Ebenen auf S. 138. (47) Man beweise: Wenn P und pi invers in bezug auf einen Kreis sind und wenn der Durchmesser AB kollinear mit P, P' ist, dann bilden die Punkte ABPP' ein harmonisches Quadrupel. (Anleitung: Man benutze den analytischen Ausdruck (2) auf S. 138, wii.hle den Kreis a1s Einheitskreis und AB a1s Achse.) (48) Die Koordinaten des vierten harmonischen Punktes zu drei Punkten PI' p., P 3 sind zu bestimmen. Was geschieht, wenn PI in die Mitte von PIPS riickt? (Siehe S. 139.) (*49) Man· benutze die Dandelinschen Kuge1n, urn die Theorie der Kegelschnitte zu entwickeln. Insbesondere weise man nach, daB alle (auBer dem Kreis) geometrische Orter von Punkten sind, deren Abstande von einem festen Punkt F und einer festen Geraden 1ein konstantes Verhii.1tnis k haben. Fiir k > 1 haben wir eine Hyperbel, fUr k = 1 eine Parabel, fUr k < 1 eine Ellipse. Die Gerade 1 erhii.1t man, wenn man die Schnittlinie der Ebene des Kegelschnitts mit der Ebene des Kreises aufsucht, in dem die Dandelinsche Kugel den Kegel beriihrt. (Da der Kreis nur a1s Grenzfall unter diese Kennzeichnung fant, ist es nicht zweckmaBig, diese Eigenschaft zur Definition der Kegelschnitte zu benutzen, obwohl dies zuweilen geschieht.) (50) Man diskutiere folgenden Satz: "Ein Kegelschnitt, zugleich a1s System von Punkten una a1s System von Geraden betrachtet, ist zu sich selbst dual." (Siebe S. 160.)

Topologie

381

(*51) Man versuche den Desarguesschen Satz in der Ebene zu beweisen, indem man aus der dreidimensionalen Konfiguration der Fig. 73 den Grenziibergang vollzieht. (Siehe S. 134.) (*52) Wieviele Geraden gibt es, die vier gegebene windschiefe Geraden schneiden? Wie konnen sie charakterisiert werden? (Anleitung: Man lege durch drei der gegebenen Geraden ein Hyperboloid, siehe S. 162.) (*53) Wenn der Poincaresche Kreis der Einheitskreis der komplexen Ebene ist, dann definieren zwei Punkte ZI und ZI und die z-Werte WI' WI der beiden Schnittpunkte der "Geraden" durch die beiden Punkte mit dem Einheitskreis ein DoppelverhlUtnis

WI, 8.- W.

81 WI : 8. ZI-W.

das gemaB Obung 8 auf S. 78 reell ist; dessen

Logarithmus ist nach Definition der hyperbolische Abstand von ZI und z•. (*54) Man transformiere durch eine Inversion den Poincare-Kreis in die obere Halbebene. Man entwickle das Poincaresche Modell und seine Eigenschaften fUr diese Halbebene auf direktem Wege und mit Hilfe dieser Inversion. (Siehe Seite 171£.)

Topologie (55) Man bestatige die Eulersche Formel fiir die fiinf regularen und fUr andere Polyeder. Man fUhre die entsprechenden Reduktionen des Netzes durch. (56) In dem Beweis der Eulerschen Formel (S. 182) wurde verlangt, daB man ein ebenes Netz aus lauter Dreiecken durch sukzessive Anwendung zweier Grundoperationen schlieBlich auf ein Netz aus einem einzigen Dreieck reduzieren sollte, fiir das dann E - K + F = 3 - 3 + 1 = 1 ist. Wodurch haben wir die Gewiihr, daB das Endergebnis nicht ein Paal' von Dreiecken sein kann, die keine Ecke gemeinsam haben, so daB E - K + F = 6 - 6 + 2 = 2 ist? (Anleitung: Wir konnen annehmen, daB das urspriingliche Netz zusammenhlingend ist, d. h. daB man von jeder Ecke iiber Kanten des Netzes zu jeder anderen Ecke ge1angen kann. Man zeige, daB diese Eigenschaft durch die beiden Grundoperationen nicht zerstort werden kann.) (57) Wir haben bei der Reduktion des Netzes nur zwei Grundoperationen zugelassen. Konnte es nicht in irgendeinem Stadium vorkommen, daB ein Dreieck auftritt, das mit den iibrigen Dreiecken des Netzwerks nur eine Ecke gemeinsam hat? (Man konstruiere ein Beispiel.) Dies wiirde eine dritte Operation notig machen: Entfemung zweier Ecken, dreier Kanten und einer Flache. Wiirde dies den Beweis beeintrachtigen? (58) Kann man einen breiten Gummiring dreimal urn einen Besenstiel wicke1n, so daB er flach (d. h. unverdreht) auf dem Besenstiel anliegt? (Natiirlich muB der Gummiring sich irgendwo selbst iiberkreuzen.) (59) Man zeige, daB eine kreisformige Scheibe, deren Mittelpunkt herausgeschnitten ist, eine fixpunktfreie, stetige Transformation in sich se1bst zulaBt. (*60) Die Transformation, die jeden Punkt einer Scheibe um eine Langeneinheit in einer bestimmten Richtung verschiebt, hat offenbar keinen Fixpunkt. Selbstverstandlich ist dies keine Transformation der Scheibe in sick selbst, da gewisse Punkte in Punkte auBerhalb der Scheibe transformiert werden. Warum gilt die Argumentation von Seite 194, die auf der Transformation P -+- p* beruhte, in diesem FaIle nicht ?

382

Anhang

(61) Angenommen, wir haben einen Fahrradschlauch, dessen Innenseite weill und dessen AuBenseite schwarz gefarbt ist. Es sei erlaubt, ein kleines Loch einzuschneiden, den Schlauch zu deformieren und das Loch wieder zuzukleben. 1st es moglich, dabei den Schlauch so von innen nach auBen zu kehren, daB er innen schwarz und auBen weiB ist? (*62) Man zeige, daB es in drei Dimensionen kein "Vierfarbenproblem" gibt, indem man nachweist, daB es fUr jede Zahl n maglich ist, n Korper so im Raurn anzuordnen, daB jeder allen andem anIiegt. (*63) Entweder auf einer wirklichen Torusflache (Fahrradschlauch, Trauring) oder auf einem ebenen Gebiet mit Kantenidentifizierung (Fig. 143) solI eine Karte konstruiert werden, die aus sieben Gebieten besteht, von denen jedes allen andem anIiegt. (Siehe S. 189.) (64) Das 4-dimensionale Simplex der Fig. 118 besteht aus ffinf Punkten, a, b, e, d, e, von denen jeder mit den vier anderen verbunden ist. Selbst wenn man gekrfimmte Verbindungs1inien zuliiBt, kann die Figur in der Ebene nicht so gezeichnet werden, daB sich keine zwei VerbindungsIinien kreuzen. Eine andere Konfiguration mit neun VerbindungsIinien, die sich ebenfalls in der Ebene nicht ohne 'Oberkreuzungen zeichnen laBt, besteht aus sechs Punkten a, b, e, a', b', e', wobei jeder der Punkte a, bj emit jedem der Punkte a', b', c' verbunden ist. Man bestatige diese Tatsachen experimentell und suche einen Beweis dafUr mit Hilfe des Jordanschen Kurvensatzes. (Es ist bewiesen worden, daB jede Konfiguration von Punkten und Linien, die sich nicht ohne 'Oberkreuzungen in de~ Ebene darstellen lassen, eine dieser beiden Konfigurationen a1s Teil enthalten muB.) (65) Eine Konfiguration werde gebildet, indem man zu den seehs Kanten eines 3-dimensionalen Simplex eine Linie, welche die Mitten zweier gegenfiberliegender Kanten verbindet, hinzufUgt. (Zwei Kanten eines Simplex heiBen gegenuberliegend, wenn sie keinen Eckpnnkt gemeinsam haben.) Es ist zu zeigen, daB diese Konfiguration einer der beiden in der vorigen Aufgabe beschriebenen aquivalent ist. (*66) Es seienp, q, r die drei Endpunkte des Zeichens E. Das Zeichen wird eine Strecke weit verschoben, so daB ein zweites E mit den Endpunkten P', q', r' entsteht. Kann man P mit P', q mit q' und r mit r' durch drei Kurven verbinden, die weder einander noch die heiden E's kreuzen ? Wenn man urn ein Quadrat herumgeht, so wechselt man die Richtung viermal, jedesmal urn 90°, so daB die Gesamtanderung Lf = 360° ist. Gehen wir urn ein Dreieck, so ist aus der Elementargeometrie bekannt, daB Lf = 360°. (67) Man beweise: Wenn C ein beliebiges einfaches geschlossenes Polygon ist, gilt immer Lf = 360°. (Anleitung: Man zerlege das Innere von C in Dreiecke und entfeme nacheinander die Randdreiecke, siehe Seite 182. Die sukzessiv entstehenden Polygone seien BI , B., Ba, ••• , BfI; dann ist BI = C, und BfI ist ein Dreieck. Lf, sei die gesamte Richtungsanderung des Polygons B,. Man zeige, daB dann Lf,= Lf'-l ist.) (*68) Es sei C eine beliebige einfache geschlossene Kurve mit einem sich stetig drehenden Tangentenvektor; Lf bezeichne die Gesamtanderung des Tangentenwinkels hei einmaligem Durchlaufen der Kurve. Man zeige, daB auch bier Lf = 360° ist. (Anleitung: Es seien Po, PI' PI' ... ,PfI = Po Punkte, die C in kleine, nahezu geradlinige Stficke teilen. Es sei C, die Kurve, die aus den geraden Strecken

Topologie

383

PoPl. PIP•• ...• P,-IP, und aus den ursprlinglichen Kurvenoogen PiPH1' ...• PnPo

besteht. Dann ist Co= C und CII besteht aus lauter geraden Strecken. Man zeige. daB ..1,= ..11+1' und benutze das Ergeb:nis der vorigen Aufgabe.) Gilt dies auch ftir die Hypozykloide der Figur 55 ? (69) Man zeige: Wenn in dem Diagramm der Kleinschen Flasche auf S.200 aIle vier Pfeile im Uhrzeigersinn gezeichnet werden. entsteht eine FIache. die aquivalent einer Kugelfiache ist. an der ein kreisformiges Stiick durch eine Kreuzhaube ersetzt ist. (Diese Flliche ist topologisch aquivalent der erweiterten Ebene der projektiven Geometrie.) (70) Die Kleinsche Flasche der Figur 142 Ui..l3t sich durch eine Ebene in zwei symmetrische Hiilften zerlegen. Man zeige, daB das Resultat aus zwei Mobiusschen Biindem besteht. (*71) Bei dem Mobiusschen Band der Figur 139 sollen die heiden Endpunkte jeder Querlinie miteinander identifiziert werden. Man zeige, daB ein topologisches Aquivalent der Kleinschen Flasche entsteht. Alle moglichen geordneten Punktepaare einer Strecke (wobei die zwei Punkte zusammenfaIlen konnen oder nicht) bilden im folgenden Sinn ein Quadrat: Wenn die Punkte der Strecke durch ihre Abstiinde x, y yom einen Ende A der Strecke gekennzeichnet werden, so konnen die geordneten Zahlenpaare (x, y) als kartesische Koordinaten eines Punktes des Quadrates betrachtet werden. Alle moglichen Punktepaare einer Strecke. ohne Riicksicht auf die Ordnung [d. h. wenn (x,y) als dasselbe gilt wie (y. x)], bilden eine Flliche S, die topologisch dem Quadrat aquivalent ist. Urn das einzusehen, wlihle man die Darstellung, bei welcher der erste Punkt jeden Paares naher am Ende A der Strecke ijegt, sofem x=+: y. Dann ist S die Menge aIler Paare (x, y), bei denen entweder x kleiner ist als yoder x = y. Benutzt man kartesische Koordinaten, so ergibt dies das Dreieck in der Ebene mit den Ecken (0,0). (0, 1), (I. 1). (*72) Welche Flliche wird durch die Menge aIler geordn'eten Punktepaare gebildet, von denen jeder erste Punkt zu einer Geraden und der zweite zum Umfang eines Kreises gehOrt? (Antwort: ein Zylinder.) (73) Welche Flliche wird durch die Menge aIler geordneten Punktepaare auf einem Kreise gebildet? (Antwort: ein Torus.) (*74) Welche Flliche wird durch die Menge aIler ungeordneten Punktepaare eines Kreises gebildet? (Antwort: ein Mobiussches Band.) (75) Die folgenden Regeln gelten ftir ein Spiel, das mit Pfennigstiicken auf einem kreisformigen Tisch gespielt wird: A und Blegen abwechselnd Miinzen auf den Tisch. Die Miinzen brauchen sich nicht zu beriihren, und jede Miinze darf auf eine beliebige Stelle des Tisches gelegt werden, nur darf sie nicht iiber den Rand ragen oder eine liegende Miinze ganz oder teilweise iiberdecken. Jede niedergelegte Miinze darf nicht verschoben werden. N ach hinreichend langer Zeit wird der Tisch so weit mit Miinzen bedeckt sein, daB kein Platz fiir eine weitere Miinze mehr iibrig ist. Der Spieler, der in der Lage ist, die letzte Miinze auf den Tisch zu legen, hat das Spiel gewonnen. Man beweise: Wenn A das Spiel beginnt, kann er, einerlei wie B spielt, mit Sicherheit gewinnen, sofem er richtig spielt. (76) Man beweise: Wenn bei dem Spiel von Aufgabe (75) der Tisch die Form von Fig. 125b hat, kann B immer gewinnen.

384

Anhang

Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit (77) Man entwickle das Verhaltnis OB: AB von S. 98 in einen Kettenbruch. (78) Man zeige, daB die Folge a o= an+ 1 = + an monoton zunimmt, die obere Schranke S = 2 hat und daher einen Grenzwert besitzt. Man zeige ferner, daB dieser Grenzwert die Zahl2 sein muB. (Siehe S. 99 und 248.) (*79) Man suche durch ahnliche Methoden wie auf Seite 242 zu beweisen, daB sich zu jeder glatten, geschlossenen Kurve ein Quadrat zeichnen laBt, dessen Seiten die Kurve beriihren. Die Funktion u = 1(x) heiBt konvex, wenn der Mittelpunkt jeder Strecke, die zwei beliebige Punkte ihres Graphen verbindet, oberhalb des Graphen liegt. Zum Beispiel ist u = eZ (Fig. 278) konvex, wahrend u = In x (Fig. 277) es nicht ist. (SO) Man beweise, daB die Funktion u = 1(x) dann und nur dann konvex ist, wenn

V2

V2,

wobei das Gleichheitszeichen nur fur Xl = X. gilt. (*81) Man beweise, daB fur konvexe Funktionen die noch allgemeinere Ungleichung

Al/(x1) + A2/(x2) ~ I(A1 Xl+ A2 X 2)

gilt, wenn AI' As zwei be1iebige Konstante sind, fur die Al + As= 1 und Ax ~ 0, A2 ~ o. Dies ist aquivalent mit der Behauptung, daB kein Punkt der Verbindungsstrecke zweier Kurvenpunkte unterhalb der Kurve liegt. (82) Mit Hilfe der Bedingung der Aufgabe SO beweise man, daB die Funktionen u = yT+Xi und u = l/x (fur x> 0) konvex sind, d. h. daB

Vf+Xf -; Vl+Xf ~

1(1

-2 -

Xl

+ -!EO 1) '" XI

Xl

VI + (

Xl -; XI

r'

+2XI f··ur POSI·t·Ive Xl und x 2•

(83) Man beweise dasselbe fur u = ~2n,u = tan x fur 0 < x ~ n/2, u =

XII, U

= x" fur X > 0, u = sin X fur n

-Vl-

Xl

~ X ~

fur /x/ ~ 1.

Maxima und Minima (84) Man ermittle den kUrzesten Weg zwischen P und Q, wie in Fig. 178, wenn der Weg die beiden gegebenen Geraden abwechselnd n-mal beriihren soIl. (Siehe S.253f.) (85) Man suche die kurzeste Verbindungslinie zwischen zwei Punkten P und Q im Innem eines spitzwinkligen Dreiecks, wenn der Weg die Seiten des Dreiecks in einer vorgeschriebenen ReihenfoJge beriihren soIl. (Siehe S. 254.) (86) In einer FIache uber einem dreifach zusammenhangenden Gebiet, deren Randlinie in einer horizontalen Ebene liegt, zeichne man die H6henlinien und weise die Existenz von mindestens zwei Sattelpunkten nacho (Siehe S. 262.) Wieder muB der Fall, in dem die Beriihrungsebene langs einer ganzen geschlossenen Kurve horizontal ist, ausgeschlossen werden.

385

Maxima und Minima

(87) Ausgehend von zwei beliebigen positiven rationalen Zahlen a o und bobilde man SchrittfUr SchrittdieZahlenpaareafl +! = Vaflb fl , bfl+! = ~ (a n + bfl)' Manzeige, daB sie eine Intervallschachtelung definieren. (Der Grenzpunkt fur n ~ 00, das sogenannte arithmetisch-geometrische Mittel von a o und bo, spielte in den fruhen Untersuchungen von GAUSS eine groBe Rolle.) (88) Man bestimme die Gesamtlange der Strecken in der Fig. 219 und vergleiche sie mit der Summe der beiden Diagonalen. (·89) Man untersuche die Bedingungen fur vier Punkte AI> As, As, A" die entscheiden, ob sie zu Fig. 216 oder zu Fig. 218 fuhren. (·90) Man suche Systeme von funf Punkten auf, fur die es verschiedene StraBennetze gibt, welche die Winkelbedingung erfiillen. Nur einige von ihnen ergeben relative Minima. (Siehe S. 273.) (91) Man beweise die Schwarzsche Ungleichung (~bl+ ••.

+ aflbfl)2

~ (a~

+ ... + a~)

(b~

+ ... + b~)

,

die flir ein beliebiges System von Zahlenpaaren ai' bi gilt; man weise nach, daB das Gleichheitszeichen nur dann gilt, wenn die at den bi proportional sind. (Anleitung: Man verallgemeinere die algebraische Formel der Aufgabe 8.) (·92) Aus n positiven Zahlen Xfl bilden wir die Ausdrticke Sk, die durch

"l> ... ,

Sk=

XIX1'" XJ:+'" (~)

definiert sind, wobei das Symbol .. + ... " bedeutet, daB aIle (~) Produkte aus Kombinationen von k dieser GroBen addiert werden sollen. Dann solI gezeigt werden, daB

V

1:+1

S k+l

~

J:

VS;,

worin das Gleichheitszeichen nur gilt, wenn alle GroBen Xi einander gleich sind. (93) Fur n = 3 sagen diese Ungleichungen aus, daB fur drei positive Zahlen a, b, c gilt:

ravc_y1/ ab + ae3 + be

IT,;j;-;:b ::;;.

::;;. a

=-

+ 3b + e

.

Welche Extremaleigenschaften des Wurfe1s ergeben sich aus diesenUngleichungen? (·94) Man ermittle den kiirzesten Kurvenbogen, der zwei Punkte A, B verbindet und mit der Strecke AB einen vorgeschriebenen Flli.cheninhalt einschlieBt. (Losung: die Kurve muB ein Kreisbogen sein.) (·95) Gegeben sind zwei Strecken A B und A' B'; gesucht ist ein Bogen, der A und B und ein zweiter, der A' und B' verbindet, derart, daB die beiden Bogen mit den beiden Strecken eine vorgeschriebene Flache einschlieBen und eine minimale Gesamtlli.nge haben. (Losung: die Kurven sind Kreisoogen mit demselben Radius.) (·96) Dasselbe fur eine beliebige Anzahl von Strecken, A B, A' B', usw. (·97) Auf zwei von 0 ausgehenden Halbgeraden sollen zwei Punkte A bzw. B gefunden und durch eine Kurve minimaler Lange verbunden werden derart, daB die von ihr und den Halbgeraden eingeschlossene FlachengroBe vorgeschrieben ist. (Losung: die Kurve ist ein Stuck eines Kreises urn 0.) (·98) Dasselbe Problem, aber jetzt solI der Gesamtumfang des eingeschlossenen Gebietes, d. h. der Bogen plus OA plus OB, ein Minimum sein. (LOsung: die Kurve ist ein nach auBen gewolbter Kreisbogen, der die beiden Geraden beriihrt.) Courant u. Robbins, Mathematik

25

Anhang

386

(·99) Dasse1be Problem filr mehrere Winkelsektoren. (·100) Man beweise, daB die nahezu ebenen Flii.chen der Figur 240 nicht eben sind, abgesehen von der stabilisierenden Flii.che in der Mitte. Zu beach ten : Die Bestimmung und analytische Kennzeichnung dieser gekriimmten Flii.chen ist ein noch ungelostes Problem. Dasselbe gilt von den Flii.chen der Figur 251. In Figur 2.58 dagegen haben wir tatsachlich zwolf symmetrische ebene Flachen, die langs der Diagonalen unter 1200 zusammentreffen. Hinweise filr einige weitere Seifenhautexperimente: Man filhre die in den Fig. 256 und 257 angedeuteten Experimente filr mehr als drei Verbindungsstabe durch. Man untersuche die GrenzfaIle, wenn der Luftinhalt gegen Null strebt. Experimente mit nichtparaIlelen Ebenen oder sonstigen Flii.chen. Die wfirfelformige Blase in Fig. 258 ist durch Einblasen von Luft zu vergroBem, bis sie den ganzen Wiirfel erftlllt und iiber die Kanten hinausschwillt. Dann sauge man die Luft wieder ans, so daB sich der Vorgang wieder umkehrt. (·101) Man bestimme zwei gleichseitige Dreiecke mit gegebenem Gesamtumfang und minimaler GesamtBache. (Losung: die Dreiecke miissen kongruent sein. [Differentialrechnung anwenden IJ) (·102) Man bestimme zwei Dreiecke mit gegebenem Gesamtumfang und maximaler GesamtBache. (Losung: das eine Dreieck entartet zum Punkt, das andere ist gleichseitig.) (·103) Man bestimme zwei Dreiecke mit gegebenem Gesamtinhalt und minimalem Gesamtumfang. (·104) Man bestimme zwei gleichseitige Dreiecke mit gegebenem Gesamtinhalt und maximalem Gesamtumfang. Infinitesimalrechnung

Vf+X. VI +

V: +!

(105) Man differenziere die Funktionen Xl. durch direkte Anwendung der Ableitungsdefinition, indem man den Differenzenquotienten bildet und so umformt, daB der Grenzwert leicht durch Einsetzen von Xl = X ermittelt werden kann. (Siehe S. 319.) (106) Man beweise, daB aIle Ableitungen der Funktion y = r l/z', wobei y = 0 fiir X = 0 sein soIl, an der Stelle X = 0 den Wert Null haben. (107) Es ist zu zeigen, daB die Funktion der Aufgabe (106) sich nicht in eine Taylorsche Reihe entwickeln laBt. (Siehe S. 364.) (108) Es sind die Wendepunkte (I" (x) = 0) der Kurven y = r z' und y = xe-III' zu bestimmen. (109) Man beweise, daB fiir ein Polynom 1(x), dessen n Wurzeln Xl' X., • •• , XII aUe voneinander verschieden sind, die Formel gilt

E

f'(tr} = _1_ f(tr} i - I tr - tr, •

(·110) Mit Hilfe der direkten Definition des Integrals als Grenzwert einer Summe ist zu beweisen, daB filr n ~ 00 n(

1

1

1

11 +,.1 + 21 +,.1 + ... + ,.1 +,.1

)

n

~ 4" .

Intinitesimalrechnung

387

(*111) Man beweise auf ahnliche Weise, daB . nb) b nb (.sm nb + sm. n2b +··· + SInn -+ cos -

1

.

(112) Indem man Figur 276 in groBem MaBstabe auf Koordinatenpapier zeichnet und die kleinen Quadrate auszahlt, solI ein Naherungswert fUr:lt gefunden werden. (113) Man benutze die Formel (7) S. 336 zur numerischen Berechnung von :It mit einer garantierten Genauigkeit von mindestens 1/100. (114) Man beweise, daB en' = -1. (Siehe S. 365.) (115) Eine geschlossene Kurve von gegebener Gestalt wird im Verhiiltnis 1: x vergroBert. L (x) und F (x) bedeuten Lange und FIache der vergroBerten Kurve. L(x) 0 fU' r x -+ 00 und allgememer . L(x) 0 fU'r x -+ 00, wenn . d aB F(x) Man zetge, -+ F(x).I: -+

k > !. Man kontrolliere dies fUr den Kreis, das Quadrat und *dieEllipse. (Die Flache ist von hOherer GroBenordnung als der Umfang. Siehe S. 358.) (116) Haufig kommt die Exponentialfunktion in besonderen Verbindungen vor, die folgendermaBen definiert und geschrieben werden:

v=

u = sinh x = ! (e z - e- z ) , W

= tanh x =

coshx = ! (eZ+ e- Z )

,

t/"-e- Z t/" e '"

+

und die als hyperbolischer Sinus, hyperbolischer Cosinus bzw. hyperbolischer Tangens bezeichnet werden. Diese Funktionen haben manche Eigenschaften, die denen der trigonometrischen Funktionen analog sind; sie stehen mit der Hyperbel v2 = 1 in etwa dem gleichen Zusammenhang wie die Funktionen u = cos x und v = sin x mit dem Kreise u2 + vl = 1. Der Leser moge die folgenden Tatsachen nachprfifen und mit den entsprechenden Tatsachen bei den trigonometrischen Funktionen vergleichen. US -

D coshx = sinh x ,

D sinhx = cosh x ,

D tanh x =

1

COShlX •

+ x') = sinh x cosh x' + cosh x sinh x' , cosh (x + x') = cosh x cosh x' + sinh x sinh x' . sinh (x

Die inversen Funktionen heiBen x = ar sinh u (sprich: Areasinus) = 1n(u + x=arcoshv=1n (v±Vv2-1) (v~l)undx=artanhw= !1n Ihre Ableitungen sind gegeben durch Darsinhu=

~,

Dar cosh v = 1

D ar tanh w = -1-·-w --I

•

±

1

y'fii=T'

V

US

+1}.

!~: (lwl 1) •

(Iwl < 1).

(117) Auf Grund der Eulerschen Formel kontrolliere man die Analogie zwischen den hyperbolischen und den trigonometrischen Funktionen. (*118) Man stelle einfache Summationsforme1n auf fUr sinhx + sinh 2 x +

... + sinhnx 25*

388

Anhang

und 1

"2+ cosh x + cosh 2x + ... + coshnx, analog zu den in Aufgabe 14 angegebenen fur die trigonometrischen Funktionen.

Integrationstechnik Der Satz auf S. 334 fuhrt das Problem, eine Funktion f (x) zwischen den Grenzen a und b zu integrieren, darauf zurUck, eine primitive Funktion G(x) fUr f(x) zu finden, d. h. eine so1che, fUr die G' (x) = f(x) ist. Das Integral ist dann einfach G(b) - G(a). Fur diese primitiven Funktionen, die durch f(x) (his auf eine willkurliche additive Konstante) bestimmt sind, ist der Name "unbestimmtes Integral" und die Schreibweise G(x) = J f(x) dx ohne Integrationsgrenzen gebrauchlich. (Diese Schreibweise konnte auf den Anfanger verwirrend wirken; vgl. die Bemerkung auf S. 333.) Jede Differentiationsformel enthii.lt zugleich die Losung eines unbestimmten Integrationsproblems, da man sie einfach umgekehrt als Integrationsformel interpretieren kann. Wir konnen dieses etwas empirische Verfahren mit Hilfe zweier wichtiger Regeln erweitern, die nur das Aquivalent der Regeln ffir die Differentiation von zusammengesetzten Funktionen und von Produkten mehrerer Funktionen sind. Fur die Integration heiBen diese die Regeln der Integration durch Substitution und der Produktintegration oder partiellen Integration. A) Die erste Regel ergibt sich aus der Formel fur die Differentiation einer zusammengesetzten Funktion, H(u) = G(x), worin x = tp (u) und u = tp (x) Funktionen voneinander. sein sollen, die in dem betrachteten Intervall eindeutig definiert sind. Dann haben wir H' (u)

G' (x) tp' (u) .

=

1st G'(x)

=

so konnen wir schreiben G(x)

f(x),

J f(x)dx

=

und auch G'(X)tp/(U)

=

f(x)tp'(u),

was gemaB der oben angegebenen Formel ffir H' (u) aquivalent ist zu H(u)

=

J f(tp(U))tp/(U)du.

Folglich ist, wegen H(u)

=

G(x),

(I)

J f(x)ax = J f(tp(u»

tp' (u)au.

In der Leibnizschen Schreibweise (siehe S. 330) erhii.lt diese Regel die suggestive Form

f

f(x)dx=

f

f(x) :: au,

389

Integrationstechnik

das heiBt, daB das Symbol dx durch das Symbol :: du ersetzt werden darf, genau als ob dx und du Zahlen waren und :: ein Bruch. Wir wollen die Niitzlichkeit der Fonne1 (I) an einigen Beispielen demonstrieren. a) ] =

fu

Rier gehen wir von der rechten Seite von (I) aus, indem

_}1_ duo nu

wir x = In u =

tI, (u) T

setzen. Wir haben dann

oder

f u:u

tIl'

T

(u) =

-.!., / (x) = -.!.; X "

folglich ist

=lnlnu.

Wir konnen dieses Resultat nachpriifen, indem wir beide Seiten differenzieren.

= Wir erhalten _}1_ u nu b) ] =

f

dd

cotu du =

(In In u), was sich leicht als richtig nachweisen HiBt.

f :~::

u

duo Setzt man x = sin u = tp(u), so hat man 1

"1" (u) = cos u ,

und daher J= oder

f

/(x) =-;

dX

--;-=Inx

J CQtudu =

lnsinu. '.1

Dieses Resultat kann wieder durch Differenzieren bestatigt werden. c) Raben wir ganz allgemein ein Integral von der Fonn

f

] =

y'(u) y(u)

du

,

so setzen wir x = tp(u), /(x) = l/x und erhalten

d) ] =

J

f

d"

-;-=Inx=lntp(u).

sin x cos x dx. Wir setzen sin x = u, cos x = :: . Dann ist

)] J

e

J=

=

J

u :: d x =

] = }n u d

-u-

U.

J

u du =

W·lr setzen In u = x,

J=

f

x :: du=

f

U1

xdx=

~I = ~ =

dx

d,,'

sins x .

Dann 1St .

~I = ~

(Inu)s.

In den folgenden Beispielen wenden wir (I) an, gehen aber von der linken Seite aus.,

f) ] =

f ;; . Man setze y'X = u. Dann ist x = u ] =

J~

2u du = 2u = 2

2

und :: = 2u. Daher ist

yx.

g) Durch die Substitution x = au, in der a eine Konstante ist, finden wir

J

a2

+

dx

,,2

= J~'''' ~_l_du_ J2.~=2.arctan~ d u a' 1 + US a 1 + u· a a .

390

Anhang

h) 1 =

JVI 1 =-

Xl d x.

J.

Man setze x = cos u,

2 d smu U=-

J

1 - cos 2u

2

Benutzen wir sin 2u = 2 sinu cosu = 2 cosu

1=

-

:: = -sin u. Dann ist

1

d u=-2 u + sin 2u -4-'

VI - cos2;-, so haben wir 1

2 arc cos x + 2

X

1~

r 1 - x2 •

Die folgenden unbestimmten Integrale sind auszuwerten und die Ergebnisse durch Differenzieren zu kontrollieren:

(119) (121) (123) (125) (127)

J + J J +d; + J yT+t2 J~ . J udu

u!- u

(120)

1

(122)

U(!UU)" • Xl

t2 I

I

(124)

dt .

(126) (128)

dt.

t

J

ue"·du.

J !X J + ::x + J + J JVal + 3

4x

dx .

b

Xl

t I VI-II

dt.

cos"t . sin t dt .

I x dx (129) Man bewelSe, daB al dx Xl = -; . ar tanh -; ; (Vgl. die Beispiele g, h). B. Die Regel (S. 325) ftir die Differentiation eines Produktes

(P(x)· q(x))'= P(x)· q'(x) kann als Integralformel geschrieben werden:

p (x) . q(x)

oder (II)

=

f

Xl

arsinh":" . a

+ P'(x)· q(x)

P(x)q' (x)dx + f p' (x)q(x) dx

f

P(x) q'(x) dx = P(x) q(x) - f P'(x) q(x) dx. In dieser Form heiBt sie die Regel ftir die Produktintegration oder partielle Integration. Diese Regel ist ntitzlich, wenn die zu integrierende Funktion als Produkt von der Form P(x)q'(x) geschrieben werden kann, wobei die primitive Funktion q (x) von q' (x) bekannt ist. In diesem Falle reduziert die Formel (II) das Problem, das unbestimmte Integral von p (x)q' (x) zu finden, auf die Integration der Funktion P'(x)q(x), die sich haufig viel einfacher durchftihren laBt. Beispiele: a) 1 = f In xdx. Wir setzen P(x) = In x, q'(x) = 1, so daB q(x) = x. Dann liefert (II) IlnXdx=xlnX- I

;dx=xlnx-x.

b) ] = f x In x d x. Wir setzen p (x) = In x, q' (x) = x. Dann ist XlIX' Xl Xl 1=21nx- ZXdx=21nx-T' c)

1=f

x sin x dx. Hier setzen wir P(x) = x, q(x) = - cos x und finden

f

x sin x dx

= -

x cos x + sin x.

391

Integrationstechnik

Man werte die folgenden Integrale durch partielle Integration aus: (130) J%ezd%

(13l) J%lJln%d%

(132) J %2cos %d%

(133) J %2e"d%

(Anleitung: (II) ist zweimal anzuwenden.)

(Anleitung: man benutze das Beispiel (130}.)

(a=F-l)

Partielle Integration des Integrals J sinm%d %fUhrt zu einem bemerkenswerten Ausdruck fUr die Zahl n als unendliches Produkt. Urn diesen abzuleiten, schreiben wir die Funktion sinm%in. der Form sinm- 1 %• sin % und integrieren partiell zwischen den Grenzen 0 und n/2. Dies fUhrt auf die Formel n/2

3/2

o

0

J sinm%d%= (m-l) J sinm-2%cos2 %d% 3/2

3/2

=-(m-l)J sinm%d%+(m-l)J sinm-z%d% o 0

oder

f

11/2

f

11/2

sinm%d% =

mm 1

sinm- I %d% ;

o 0 denn das erste Glied auf der rechten Seite von (II), pq, verschwindet fUr die Werte o und n/2. Durch wiederholte Anwendung der letzten Formel erhalten wir den n/2

folgenden Wert fUr 1m= J sinm%d% (die Formeln unterscheidensich, jenachdem, o ob m gerade oder ungerade ist): 1

2n - 1

2"=~·

2n - 3 2n-2··

1 n

·22'

2n 2n - 2 2 2n + 1 . 2n - 1 . . . 3" "

lin+! =

Da 0 < sin x < 1 fUr 0 < x < n/2, haben wir sinln - 1 x> sinh x> sinh+! x, so daB (siehe S. 314) oder

Setzen wir die oben fUr 11n - 1 usw. berechneten Werte in die letzten Ungleichungen ein, so ergibt sich 2n+l >~"1.."1.."~"~"~""" 211.-1" 211.+1 "~>1 2

211.

2

4

4

6

6

211.

211.

2

"

Wenn wir jetzt zur Grenze fUr n,.. 00 Ubergehen, so sehen wir, daB der mittlere Ausdruck gegen 1 strebt; also erhalten wir die Wallissche Produktdarstellung fUrn/2: n

2

2

4

4

6

6

2=T·a"a"s"s"'f·"" .

= lim

211. 211. 211.-1" 211.+1

2'-(nl)· [(2n) 1)1 (2n

+ 1)

,

wenn n ,.. 00

•

Hinweise auf weiterfiihrende Literatur Allgemeine Hinweise AHRENS, W.: Mathematische Unterhaltungen und Spiele, 2. Aud., 2 Bande. Leipzig 1910 und 1918. BELL, E. T.: The development of mathematics, 2. Aud., New York 1945. - Men of mathematics. New York 1937 (auch: Penguin Book 1953). ENRIQUES, F. (Herausgeber): Fragen der Elementargeometrie, 2. Aud., 2 Binde. Leipzig 1923. KASNER, E., U. J. NEWMAN: Mathematics and the imagination. New York 1940. KLEIN, F.: Elementarmathematik vom hOheren Standpunkte aus, 3. Aud., 2 Bande. Berlin 1924 und 1925. KRAiTCHIK, M.: La mathematique des jeux ou recreations mathematiques, 2. Aud. Briissel und Paris 1953. NEUGEBAUER, 0.: Vorlesungen uber Geschichte der antiken mathematischen Wissenschaften. Erster Band: Vorgriechische Mathematik. Berlin 1934. RADEMACHER, H., U. O. TOEPLITZ: Von Zahlen und Figuren, 2. Aud. Berlin 1933. RousE BALL, W. W.: Mathematical recreations and essays, 11. Aud., hrg. von H. S. M. COXETER. New York 1939. RUSSELL, B.: Einfiihrung in die Mathematische Philosophie. t)bertragung aus demEnglischen. Darmstadt und Genf 1953. STEINHAUS, H.: Kaleidoskop der Mathematik. Deutsche Ausgabe. Berlin 1959. VAN DER WAERDEN, B. L.: Erwachende Wissenschaft. Basel 1956. WEYL, H.: The mathematical way of thinking. Science 92,43711. (1940). - Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft, Handbuch der Philosophie, Band II S. 3-162. Munchen 1926.

Kapite1 I DICKSON, L. E.: Einfuhrung in die Zahlentheorie. Deutsche Ausgabe, hrg. von E. BODEWIG. Leipzig 193I. - Modern elementary theory of numbers, 3. Aud. Chicago 1947. HARDY, G. H.: An Introduction to the theory of numbers. Bull. Am. Math. Soc. 35, 778--818 (1929). - u. E. M. WRIGHT: Einfuhrung in die Zahlentheorie. t)bersetzt von H. RUOFF. Munchen 1958. HASSE, H.: Vorlesungen iiber Zahlentheorie. Berlin, GOttingen, Heidelberg: Springer 1950. SCHOLZ, A.: Einfiihrung in die Zahlentheorie, 2. Aud., hrg. von B. ScHONEBERG. Sammlung GOschen, Band 1131. Berlin 1955.

KapitellI BIRKHOFF, G., and S. MACLANE: A survey of modern algebra, 10. Aud. New York 1951. ENRIQUES, F.: Zur Geschichte der Logik, Deutsch von L. BIEBERBACH. Leipzig und Berlin 1927. FRAENKEL, A.: Einleitung in die Mengenlehre, 3. Aud. Berlin 1928. HARDY, G. H.: A course of pure mathematics, 10. Aud. Cambridge 1952. HILBERT, D., U. W. ACKERMANN: Grundziige der theoretischen Logik, 4. Aud. Berlin, GOttingen, Heidelberg: Springer 1959. KNopp, K.: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 4. Aud. Berlin, GOttingen, Heidelberg: Springer 1947. PERRON, 0.: Irrationalzahlen. Berlin 1947. TARSKI, A.: Einfiihrung in die Mathematische Logik und in die Methodologie der Mathematik. Wien 1937.

Kapitel m

ARTIN, E.: Galoissche Theorie. Leipzig 1959. BIEBERBACH, L.: Theorie der geometrischen Konstruktionen. Basel 1952.

Hinweise auf weiterftihrende Literatur

393

COOLIDGE, J. L.: A history of geometrical methods. Oxford 1947. ENRIQUES, F. (Herausgeber): Fragen der Elementargeometrie, 2. Aufi., 2 Bande. Leipzig 1923. HASSE, H.: Hohere Algebra I und II. 3. Aufi. Sammlung GOschen, Band 931 und 932. Berlin 1951. HOBSON, E. W.: Squaring the circle, a history of the problem. Cambridge 1913. KEMPE, A. B.: How to draw a straight line. London 1877. (Neudruck in: HOBSON, E. W. et al. : Squaring the circle and other monographs. Chelsea Publishing Compo 1953.) MASCHERONI, L.: La geometria del compasso. Palermo 1901. MOHR, G.: Euclides Danicus, mit deutscher tl'bersetzung von J. PAL Kopenhagen 1928. ScHMIDT. H.: Die Inversion und ihre Anwendungen. Mtinchen 1950. WEISNER, L.: Introduction to the theory of equations. New York 1949.

Kapitel IV BLASCHKE, W.: Projektive Geometrie, 3. Aufl. Basel und Stuttgart 1954. COXETER, H. S. M.: Non-Euclidian geometry, 3. Aufl. Toronto 1957. GRAUSTEIN, W. C.: Introduction to higher geometry. New York 1930. HESSENBERG, G.: Grundlagen der Geometrie. Berlin und Leipzig 1930. HILBERT, D.: Grundlagen der Geometrie, 8. Aufi. Stuttgart 1956. O'HARA, C. W., and D. R. WARD: An introduction to projective geometry. Oxford 1937. ROBINSON, G. DE B.: The foundations of geometry, 2. Aufi. Toronto 1946. SACCHERI, G.: Euclides ab omni naevo vindicatus. Englische tl'bersetzung von G. B. HALSTED. Chicago 1920. VEBLEN. 0., and J. W. YOUNG: Projective geometry, 2. Bande, Boston 1910 und 1918.

Kapitel V ALEXANDROFF, P.: Einfachste Grundbegriffe der Topologie. Berlin 1932. HILBERT, D., U. S. COHN-VOSSEN: Anschauliche Geometrie. Berlin 1932. NEWMAN, M. H. A.: Elements of the topology of plane sets of points. 2. Aufl. Cambridge 1951. SEIFERT, H., U. W. THRELFALL: Lehrbuch der Topologie. Leipzig 1934.

Kapitel VI COURANT, R.: Vorlesungen iiber Diflerential- und Integralrechnung, 3. Aufl., 2 Bande. Berlin, GOttingen, Heidelberg: 1955. HARDY, G. H.: A course of pure mathematics, 10. Auf!. Cambridge 1952. OSTROWSKI, A.: Vorlesungen tiber Differential- und Integralrechnung, Band lund U,2. Aufl. Basel/Stuttgart 1960. Ftir die Theorle der Kettenbrtiche siehe Z. B. PERRON, 0.: Die Lehre von den Kettenbrtichen, 3. AufI., 2 Bande, Stuttgart 1954 und 1957.

Kapitel VII COURANT, R.: Soap film experiments with minimal surfaces. Am. Math. Monthly 47,167-174 (1940). PLATEAU. J.: Sur les figures d'equilibre d'une masse liquide sans pesanteur. Mem Acad. Roy. Belgique, nouvelle serle 23, XXIII (1849). Statique experimentale et tMoretique des Liquides. Paris 1873.

Kapitel VIII BOYER, C. B.: The concepts of the calculus. New York 1939. COURANT, R.: Vorlesungen tiber Differential- und Integralrechnung, 3. Auf!., 2 Biinde. Berlin, GOttingen, Heidelberg: 1955. HARDY, G. H.: A course of pure mathematics, 10. AufI. Cambridge 1952. OsTROWSKI, A.: Vorlesungen tiber Differential- und Integralrechnung, Band I und II, 2. Aufl. Basel/Stuttgart 1960. TOEPLlTZ, 0.: Die Entwicklung der Infinitesimalrechnung. Berlin, GOttingen, Heidelberg: 1949.

Sachvetzeichnis Abbild\Jng 112 abhiingige Variable 209 Ableitung 315-329 -, zweite 322-324 absoluter Betrag 46 Abstand 59, 240 Abzii.hlbarkeit der rationalen Zahlen 63 - 64 Achsen eines Kege1schnittes 60-61 - (Koordinatenachsen) 59 Addition irrationaler Zahlen 56 - 57 komplexer Zahlen 72 natiirlicher Zahlen 1-2 rationaler Zahlen 43 von Mengen 87 Adjunktion von Quadratwurzeln 105-106 .Aquivalenz von Mengen 62 Algebra, BooLEsche 90 - der ZahlkOrper 93 - 112 -, Fundamentalsatz der 80-82, 204-206 algebraische Gleichung 80, 204 - Zahlen 82 Algorithmus, Definition 35 -, euklidischer 34-41 analytische Geometrie, 58-61, 148-152, 374-379 - -, n-dimensionale 174-176 ApOLLONIUS, Problem des 93, 99-101, 127 Arbeit 355-356 Archimedes, Dreiteilung des Winkels nach 110 Arithmetik, Fundamentalsatz der 19, 38 -, Gesetze der 1- 4 arithmetische Folge 21, 373 - Folgen, Primzahlen in 21- 22 - Reihe 10-11 arithmetisches Mittel 274-276 assoziative Gesetze fiir Mengen 88 - - fiir natiirliche Zahlen 2 - - fiir rationale Zahlen 43 Asymptoten der Hyperbel 61 asymptotisch gleich 24 ausgeschlossenes Drittes, Prinzip vom 69 AusscMpfungsmethode 304 Axiomatik 163-166 Axiome 163 -166 Bereich (Gebiet) einer Variablen 208 Beschleunigung 322 beschrankte Foige 224-225 Bewegung, ergodische 268 -, starre 113

Beweis, Existenz- 69 -, indirekter, konstruktiver 68-69 Bildpunkt einer Abbildung 112 Binomialreihe 363 binomischer Satz 13-15 BogenmaLl 211-212 BoLZANO, Satz von 237 -239 -, - -, Anwendungen 241-244 BooLESChe Algebra 90 Brachystochrone 288, 290-291 Brennpunkte eines Kegelschnittes 60-61 BRIANCHON, Satz von 147, 161-162 Briiche, Dezimal- 49-51 -, Ketten- 40-41,229-230 CANTORS Punktmenge 189-190 - Theorie der unendlichen Mengen 62-68 cartesische (rechtwinklige) Koordinaten 59 Charakteristik, EULERsche 181-184, 197 -198, 199, 381 DEDEKINDscher Schnitt 57 -58 Deformation 185 Delta (.1) 306 DE MOlvREsche Formel 77 DESARGUESscher Satz 134-135, 145-146 Dezimalbriiche 49 - 51 -, unendliche 51 Dichte der rationalen Zahlen 46 Differential329-331 Differentialgleichungen 346 - 352 Differentialquotient 330 Differentiation 316 Differentiationsregein 325 - 327 Differenzenquotient 316 Differenzierbarkeit 353-354 Dimension 189-192 diophantische Gleichungen 40 - 41 DIRICHLETsches Prinzip 279 distributive Gesetze fiir Mengen 88 - - fiir natiirliche Zahlen 2 - - fiir rationale Zahlen 43 Divergenz von Folgen 223 - von Reihen 361 Division durch Null 45, 72 Doppeiverhliitnis 136-140, 144 Drehsinn eines Winkels 125 Dreiecke, Extremaleigenschaften von 252, 253-254,264-268,269-272 Dreiteilung des Winkels 93, lOS-Ill - - - nach Archimedes 110

Sachverzeichnis Dualitatsprinzip inderGeometrie 147, 149 bis 152, 160, 166 - in der Mengena1gebra 89 Duodezimalsystem 5 Durchschnitt von Mengen 87 dyadisches System 7 Dynamik, NEWToNsche 351-352 " EULERsche Zah1226-227 -, - -, als Basis des natiirlichen Logarithmus 339 -, - -, a1s Grenzwert 342-343 -, - -, Ausdriicke fiir 227,230 -, - -, Irrationalitat von 227 Ebene, uneigentliche (unendlich feme) 144 Ecole Polytechnique 132 eindeutige Zerlegung in Primzahlen 19, 38 eineindeutige Zuordnung 62 einfach zusammenhil.ngend 186 einfache geschlossene Kurve 186 einfaches Polyeder 181 Einheitskreis 75 Einheitswurzeln 78-80 einseitige Flii.chen 198-200 Ellipse, Gleichung der 60 -, Tangentialeigenschaften der 254-255 elliptischc (Riemannsche) Geometrie 172 -17" - Punkte 173 empirische Induktion 8 Epizykloide 122 ERATOSTHENES, Sieb des 20 ergodische Bewegung 268 Erlanger Programm 131 Erweiterungsk6rper 104 euklidischer Algorithmus 34-41 EULERSChe Charakteristik 181-184, 197 bis 198, 199, 381 - IP-Funktion 39 Existenz, mathematische 70 Existenzbeweis 69 . experimentelle L6sungen von Minimumproblemen 292-301 Exponentialfunktion 339-343 -, Difierentiaigleichung der 346-349 -, GrOBenordnung der 358-360 Extrema und Ungleichungen 274-277 ExtremaIprobleme 251-301 -, allgemeines Prinzip bei 258-260 - in der elementaren Geometrie 252-258 -mit Randbedingungen 285-288 extreme Abstinde von einer Kurve 256-258 Exzentrizitat 60-61 FarbungeinerLandkarte 188-189, 200-202 Fakultat (!) 14 FERMATS letzter Satz 32-34 FERMATSChe Zahlen 21,94 FERMATscher Satz 30, 40

395

FERMATsches Prinzip 289-290 Fixpunktsatz 192-195 Flii.che unter einer Kurve 303-305, 355 Flii.chen, einseitige 198-200 - zweiter Ordnung 162-163 Folgen 220-230 -, beschril.nkte 224 - 225 -, konvergente, divergente, oszillierende 223 bis 224 -, monotone 224 -226 -, Satz iiber 240-241 Formalisten 70, 164 Fiinfeck, Konstruktion des regulii.ren 79, 98 Fiinffarbensatz 200-202 Fundamentalsatz der Algebra 80-82, 204-206 - der Arithmetik 19, 38 - der Infinitesimalrechnung 332 Funktion, Definition 208 - einer komplexen Variablen 365 - 367 -, Graph einer 212 _., inverse 212-214 -, konvexe 384 - mehrererVariabler 217-219 -, monotone 214 -, primitive 333 -, stetige 236 -, zusammengesetzte 214-215 Funktionen und Grenzwerte 207 - 250 ganze Zahlen, negative 44 - -, positive 1-8 GAussscher Satz 80 gedimpfte Schwingungen 350 Gelenkmechanismen 123-124 geodli.tische Linien 173 - - auf einer Kugel 291-292 Geometrie, anaiytische 58-61, 148-152, 374-379 -, Axiome der 163-166 -, elliptische (RxEMANNsche) 172 -174 -, Extremaiprobleme in der elementaren 252-258 -, hyperbolische 166-172 -, Inversions- 112-117, 125-129 -, kombinatorische 176-179 -, metrische 133 -, n-dimensionale 174-179 -, nichteuklidische 166-174 -, projektive 130-163 -, RxEMANNsche (elliptische) 172 -174 -, synthetische 130 -, topologische 180-206 geometrische Abbildung (Transformation) 112-113, 130-131 Konstruktionen, Theorie der 93-129, 152-153

396

Sachverzeichnis

geometrisches Mittel 274-276 Gerade, Gleichung der 60, 375-377 -, uneigentliche (unendlich feme) 142 Geraden, konkurrente 133 -, koplanare 138 Geradenbftndel 157 Geschlecht einer FllI.che 195-197, 199 Geschwindigkeit 321-323 Gleichung der Ellipse 60, 379 der Geraden 60,375-377 - der Hyperbel 61, 379 - des Kreises 60 -, diophantische 40-41 - einer Kurve 60-61 -, KreisteUungs- 79 -, kubische 107,108-109 -, quadratische 73-74,230 -, Vie1fachheit von Wurzeln einer 81 -, Wurzeln einer 80 GOLDBACBsche Vermutung 24-25 goldener Schnitt 98 Graph einer Funktion 212 Grenzwerle 220 - 244 - bei stetiger Anniiherung 231- 237 -, Beispiele von 243 - 249 durch Iteration 248-249 unendlicher Dezimalbriiche 51-53 von Folgen 220-230 von geometrischen Reihen 52-53 griechische Probleme 93, 107-112 GroBenordnungen 358-360 grOBter gemeinsamer Teller 35-37 Grundlagen der Mathematik 70-71 Gruppcn 132 Haufungsstellensatz 240 Halbierung einer Strecke mit dem Zirkel allein 116 harmonisch konjugiert 137 harmonische Reihe 367 HAR'IScher Inversor 124 HERON, Satz des 252 HOhenlinien 218 homogene Koordinaten 150-152 Hftllkurve eines Kegelschnittes 160 Hyperbe1, G1eichung der 61, 379 -, Tangentialeigenschaften der 254-256 hyperbolische Funktionen 387 - Geometrie 166-172 - Punkte 173 llyperbolisches Paraboloid 218 Hyperboloid 162-163 Hyperebene 175 Hypozykloide 122 imaginire Zahlen (s. komplexe Zahlen) Indexwerle 4

indirekter Beweis 68 - 69 Induktion, empirische 8 -, mathematische 8-16 Infinitesimalrechnung 302-372, 386-391 -, Fundamentalsatz der 332 inkommensurab1e Strecken 47-49 Integral 303-314, 355, 388-391 Intervall 46 Intervallschachte1ung 55 Intuitionisten 69, 164 Invarianz 130-131 - des Doppe1verhiltnisses 135-136 - von Winkeln bei Inversion 125-126 inverse Funktionen 212-214 Operationen 3 - Punkte 113 - -, Konstruktion von 115-116 Inversionsgeometrie 112-117, 125-129 Inversoren 123-124 inzident 133 irrationa1e Zahlen, als unendliche Dezimalbriiche 51 -, definierl durch Folgen 58 -, - durch Intervallschachtelung 55-57 -, - durch Schnitte 57-58 isoperimetrische Prob1eme 283-285 Iteration, Grenzwerl durch 248-249 JORDANscher Kurvensatz 186-187,202-204 Kardinalzahlen 67-68 Karte, regulire 201 Kege1schnitte 153-162 - als Hiillkurve 158-160 -, Gleichungen von 59-61 -, metrische Definition von 154,378-379, 380 -, projektive Definition von 157 Kettenbruche 40-41, 229-230 Klassifikation (topologische) der Flii.chen 195-200 KLEINsche Flasche 199 KLEINSChes Modell 168-170 kleinste natiirliche Zahl, Prinzip der 15-16 - Quadrate, Methode der 276-277 Knoten 195 koaxiale Ebenen 138 KOrper45 kollineare Punkte 133 kombinatorische Geometrie 176-179 kommutative Gesetze fiir Mengen 88 - - fiir natiirliche Zahlen 2 - - fiir rationale Zah1en 43 kompakte Menge 240 Komplement einer Menge 89 komplexe Variable, Funktionen einer 365 bis 367

Sachverzeichnis komplexe Zahlen 71-82 -, absoluter Betrag von 75 -, Modul von 75 -, Operationen mit 72-73 -, trigonometrische Darstellung von 76 -, Winkel von 75 Kongruenz geometrischer Figuren 130 Kongruenzen 26-32 konjugiert komplex 74 konkurrente Geraden 133 Konstante 208 konstruierbare Zahlen, Definition 106 - - und Zahlkorper 101-107 Konstruktion, geometrische 93-129 rationaler Gro.l3en 95-97 regularer (regelma.l3iger) Vielecke 97 -99 von Quadratwurzeln 97 von Zahlkorpem 97, 101-106 Konstruktionen, MASCHERONI- 117 -120 mit dem Lineal allein 120, 152-153 - mit dem Zirkel allein 116-120 - mit verschiedenen lnstrumenten 112-129 konstruktiver Beweis 69 Kontinuum, Zahlen- 55 -, -, Nichtabzii.hlbarkeit des 65-66 Kontinuumhypothese 70 Konvergenz von Folgen 221-223 - von Reihen 361 Koordinaten 59, 148 -, cartesische (rechtwinklige) 59 -, homogene 150-152 koplanare Geraden 138 Kreisg1eichung 60 Kreismittelpunkt, Bestimmung des, mit dem Zirkel allein 116 Kreisteilungsgleichung 79 Kreuzhaube 199 Krummung, mittlere 293 Kurve, glatte 260 -, Gleichung einer 59-61 Lange einer Kurve 356-358 leere Menge 15 LEIBNIzsche Formel fur 11 336-337 Lichtstrahlen, Dreiecke aus 267-268 -, Extremaleigenschaften von 252-253 LIOUVILLEscher Satz 83-85 In(n!), Gro.l3enordnung von 360 Logarithmus, natiirlicher 23, 337 -339, 342-346, 359-360 Logik, mathematische 69-71, 89-90 logische Summe (5. Vereinigung) logisches Produkt (s. Durchschnitt) MASCHERONI-Konstruktionen 117 -120 mathematische lnduktion 8-16 - Logik 69-71,89-90

397

Maxima und Minima 251-301, 324, 329 mechanische Gerate, Konstruktionen mit 121-122 mehrfach zusammenhangend 186 Menge 62 -, kompakte 240 -, Komp1ement einer 89 -,leere 15 Mengen, Aquivalenz von 62 Mengenalgebra 86 - 92 Minimaxpunkte 261-263 Mittel, arithmetisches 274-276 -, geometrisches 274-276 Modul einer komplexen Zahl 75 modulo 426 MOBIUssches Band 198-200 monotone Fo1ge 224 - Funktion 214 MORSE und die Theorie der stationaren Punkte 263 Fakultat (n!) 14 n-dimensionale Geometrie 174""': 179 llaturliche Zahl, Prinzip der kleinsten 15-16 - Zahlen 1-16 negative Zahlen 44 NEWToNsche Dynamik 351-352 Nichtabziihlbarkeit des Kontinuums 65-66 nichteuklidische Geometrie 166-174

II

PAPPUS, Satz des 146 Paradoxien des Unendlichen 69-70 - des ZENO 232-233 Parallelenaxiom 167 Parallelitat und Unendlichkeit 140-144 PASCALScher Satz 146,147,161-162 PASCALsches Dreieck 14 PEAUCELLlERscher Inversor 123-124 Perspektive 133 Pflastersatz 191 11 112,227-229,230,336-337 PLATEAusches Problem 292 POINCAR~S Modell 171- 172 Polyeder 181 -, einfaches 181 - -formel, EULERsche 181-184 - im n-dimensionalen Raum 178 -, reguliire 181-184 Postulate 164 primitive Funktionen 333 Primzahl18 Primzahlsatz 22-24,369-372 Produkt, logisches (s. Durchschnitt) -, unendliches 229,368-369 projektive Geometrie 130-163 Transformation 131-134 - Zuordnung 139-158

398

Sachverzeichnis

Punkte, kollineare 133 Punktreihe 160 pythagorii.ische Zahlen 32-34 Quadrant 59 quadratische Gleichungen 73-74,230 - Reste 31-32 Quadratur des Kreises 112, 117 Quadratwurzeln, geometrische Konstruktion von 97 radioaktiver Zerfal1347-348 Randbedingungen bei Extremalproblemen 285-288 rationale GrODen, geometrische Konstruktion von 95-97 Zahlen 42-47 -, Abzll.hlbarkeit der 63-64 -, Dichte der 46 reelle Zahlen 47-58 - -, Operationen mit 57 Refiexion an einem Kreis 112-117 an einer oder mehreren Geraden 252 - 253 - in einem Dreieck 267 - 268 - in einem System von Kreisen 128-129 -, mehrfache 128-129 regulire Polyeder 181-184 - (regelmaDige) Vielecke, Konstruktion von 94, 97 -99, 379 Reihen, unendliche 51-53,361-365 Relativitatstheorie 174, 176 Reste, quadratische 31-32 RIEMANNSChe (elliptische) Geometrie 172-174 Sattelpunkt 261 Schnitt 57-58 SCHWARZSChes Dreiecksproblem 264-269, 286 Schwingungen 349-350 -, gedampfte 350 Sechseck, Konstruktion des reguliren 98 Seifenhautexperimente 292-301 Septimalsystem 5-7 Sieb des Eratosthenes 20 Siebeneck, UnmOglichkeit der Konstruktion des reguliren 111 sprunghafte Unstetigkeit 216 Stammfunktion (s. primitive Funktion) starre Bewegung 113 stationil.re Punkte 260-263 Steigung 315, 375 STEINBRSChe Konstruktionen 120, 152-153 STBlNERSChes Problem 269-274, 286-288, 298

Stellenschreibweise 4 stetig in beiden Richtungen 184 stetige Variable 208

Stetigkeit von Funktionen einer Variablen 215-217, 236-237, 249-250, 320-321 - - - mehrerer Variabler 219 StraDennetzproblem 273-274 Strecke 46 -, gerichtete 59 Summe der ersten n Kuben 12 - - - - Quadrate 12 synthetische Geometrie 130 Tangens 315 Tangentialeigenschaften von Ellipse und Hyperbe1254-256 TAYLORSChe Reihe 364 Topologie 180-206 - und stationare Punkte 262-263 topologische KIassi1ikation der Flachen 195-200 - Transformation 184 Torus 189 -, drei-dimensionaler 200 Trajektorie 268 Transformationen, geometrische 112-113, 130-131 -, Gleichungen von 219-220 -, projektive 131-134 -, topologische 184 transzendente Zah1en 82 Transzendenz von n 82, 112 trigonometrische Funktionen, Definition 211 Umkehrfunktionen (s. inverse Funktionen) unabbil.ngige Variable 209 uneigentiiche Elemente in der projektiven Geometrie 140-144 (unendlich ferne) Ebene 144 (- -) Gerade 142 (- -) Punkte 140-144 unendlich (00) 45, 62-71 unendlich klein 329-331 unendliche Dezimalbriiche 51 Kettenbriiche 229-230 - Produkte 229,368-369 - Reihen 51-53,361-365 Unendlichkeit der Menge der Primzahlen 18, 21,368 Ungleichungen 3, 13, 46, 75, 245, 274-277, 385 UnlOsbarkeit der drei griechischen Probleme 107-112 UnmOglichkeitsbeweise 95-112 unstetige Funktionen a1s Limites stetiger Funktionen 247-248 Unstetigkeit, sprunghafte 216 - von Funktionen 216-217 UnterkOrper 104

Sachverzeichnis Untermenge (Teilmenge) 87 -, echte 63 Urbildpunkt bei einer Abbildling 112 Variable (Veriinderliche) 208-211 -, abhiingige 209 -, allgemeiner Begriff der 208 -, komplexe 366 -, reelle 208 -, stetige 208 -, unabhiingige 209 Variationsrechnung 288 - 292 Verallgemeinerung, Prinzip der 45 Verdoppelung des Wiirfels 93, 107 - 108, 117 Vereinigung 87 Vielfachheit einer Wurzel einer algebraischen Gleichung 81 Vierfarbenproblem 188-189 Vierseit, vollstiindiges 139-140 Wachstumsgesetz 348 Wahrscheinlichkeitstheorie 91- 92 WALLIssches Produkt 369,391 WEIERSTRAssscher Extremwertsatz 239 bis 240, 241 Winkel einer komplexen Zahl 75 Wurzeln einer Gleichung 80

399

Zahlen, algebraische 82 -, FERMATsche 21, 94 -, Kardinal- 67-68 -, komplexe 71-82 -, konstruierbare 101-107 -, natiirliche 1- 16 -, negative 44 -, Prim- 17-26 -, pythagoraische 32 - 34 -, rationale 42-47 -, reelle 47 -58 -, transzendente 82 -, zusammengesetzte (zerlegbare) 18 Zahlenkontinuum 55 Zahlentheorie 17-41,369-372 Zahlkorper 97, 101-107 Zehneck, Konstruktion des reguliiren 97-98 Zerlegung, eindeutige 19, 38 Zeta-Funktion 367 - 368 Zinseszins 348 Zuordnung, projektive 139, 157 - zwischen Mengen 62 zusammengesetzte Funktionen 214 - 215 Zusammenhang 185-186 Zykloide 121-122, 288