Verhexte Zahlen

IN JEDES HAUS GEHÖRT DIESES WERK das ist das überzeugende Urteil von Presse und Rundfunk über die große, spannend geschriebene Weltgeschichte „Bild der Jahrhunderte" des Münchner Historikers Otto Zierer. Von ungeheurer Dramatik sind die Bände dieses neuartigen, erregenden Geschichtswerkes erfüllt. Hier sind nicht, wie in Lehrbüchern alter Art, die historischen Ereignisse mit trockener Sachlichkeit aneinandergereiht: die Vergangenheitwird vor dem Auge des Lesers in kulturgeschichtlichen Bildern zu neuem Leben erweckt. Menschen wie Du und ich schreiten über die wechselnde Bühne der Geschichte und lassen den Ablauf der Jahrhunderte, das Schauspiel vom Schicksal der Menschheit, ergriffen miterleben. Zierers „Bild der Jahrhunderte" ist ein Werk für die Menschen unserer Zeit, für die Erwachsenen wie für die Jugend. DER KAUF LEICHT GEMACHT... „Schüler, deren Eltern das Bild der Jahrhunderte zu Hause haben, sind die besten Geschichtskenner in meinen Klassen", schreibt ein bekannter Erzieher. Der Verlag hat die Beschaffung der Bücherreihe leicht gemacht. Um {eder Familie den Kauf dieses prächtig ausgestatteten Standardwerkes zu ermöglichen, werden günstige Zahlungserleichterungen eingeräumt. Das „Bild der Jahrhunderte" kann auf Wunsch bei sofortiger Lieferung ohne Anzahlung gegen zwanzig Monatsraten erworben werden: DM10,90 für die RotleinenAusgabe, DM 13,75 für die Lux-Luxus-Ausgabe. Das Werk besteht aus zwanzig Doppelbänden, dem Band 41/44 und dem Historischen Lexikon; es umfaßt rund 8000 Seiten. 189 ausgewählte Kunstdrucktafeln, 500 Lexikonbilder und 124 historische Karten ergänzen den Text. Jeder Band enthält Anmerkungen, ausführliche Begriffserklärungen und Zeittafeln. : .

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V E R L A G S E B A S T I A N LUX MURNAU • MÖNCHEN • INNSBRUCK • ÖLTEN (SCHWEIZ)

.KLEINE

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LUX-LESEBOGEN .NATUR- U N D KU LTURKU N DLICHE HEFTE

K U R T SO BOT TA

Rechenkunststucke u n d Zahlenzauber

VERLAG SEBASTIAN LUX M U R N A U • M Ü N C H E N • I N N S B R U C K . OL-IEN

Dieser Lesebogen läßt sich nicht hastig lesen wie eine abenteuerliche Geschichte, die man zur Frühstückspause herunterschlingen kann. Es ist schon etwas Verhextes und Verzwicktes daran, und du mußt wohl manchmal dein nachdenkendes Haupt in die Hände stützen und munter aufpassen, daß du dich ja nicht in die Hexenstränge des Zahlenzaubers verstricken läßt. Der Kopf wird dir jedoch über dem Nüsseknacken nicht zerbredien, denn alles lost sich in Wohlgefallen auf und ist nichts als ein gar lehrreicher Spaß. Kommt dir das eine oder andere zu verhext vor, nun, so nimm dir deine Freunde hinzu oder versuche es zunächst einmal mit den Spielaufgaben, die auf den Seiten 3, 6 und 17 gestellt sind. Zur Selbstanfertigung dieser Spiele sind an „Rohstoff" und Werkzeug notwendig: die Schere, ein Stück Pappe, der Bleistift oder die Tuschfeder. Auch auf solch unterhaltsame Weise kannst du dich also in den Zauberbereich der Zahlen hineinlocken lassen, in grübelnder Unsicherheit wirst du ihn vielleicht betreten, ganz gewiß aber schmunzelnd und mit klarerem Kopf wieder verlassen. Wenn uns Onkel Otto besuchte, so war das jedesmal ein besonderes Ereignis. Onkel Otto war nämlich das Aushängeschild der Familie, er war Professor der Mathematik. Eigentlich gab es in unserem Kinderdasein kaum etwas Schrecklicheres als die Mathematik, die anscheinend nur dazu geschaffen war, uns schlaflose Nächte und qualvolle Stunden zu bereiten; denken doch selbst Erwachsene oft nur mit Schaudern an jene Zeiten, in denen von ihnen verlangt wurde, irgendein gleichgültiges „X" auszuredinen oder gar ein Dreieck aus gegebenen Winkeln und Seiten zu konstruieren. Bei unserem Onkel Otto aber war das etwa;. anderes! Er war so gar nicht wie unser damaliger Mathematiklehrer, der nur von „Wurzeln" zu leben schien, Onkel Otto war ein natürlicher Mensch, immer zu Spaßen aufgelegt, bereit zu helfen und zu erklären, und wenn er bei uns war, dann gab es einen heiteren und anregenden Plauderabend. Immer wieder konnten wir ihm zuhören.

Es waren aber auch tolle Sachen, die Onkel Otto auskramte. Aus nüchternen Zahlen machte er spannende Erlebnisse. Da wurde die Mathematik lebendig, und wir konnten verstehen, daß jemand ihr sein ganzes Leben verschrieb. So haben wir ihn in gutem Gedächtnis, den freundlichen Mathematikonkel. Was uns von seinen heiteren mathematischen Einfällen in Erinnerung geblieben ist, davon haben wir einiges Merkwürdige zusammengetragen.

Spiel mit der Zwei

^

Schon mit der Zahl 2 fangen die Merkwürdigkeiten der Zahlenwelt an. Ist sie doch die einzige Zahl, die zu sich selbst addiert, das gleiche Resultat ergibt, das man erhält, wenn man sie mit sich selbst multipliziert oder gar potenziert: Es ist 2 + 2 = 4, aber es ist auch 2 X 2 = 4 und ebenso ist 22 = 4. Bei allen anderen Zahlen ist das anders! So ist 3 + 3 = 6, aber 3 X 3 =" 9 und 33 = 27. Selbst die Zahl l macht darin keine Ausnahme: zwar ist l1 == l X l == l, aber es ist l + l = 2. Auf der Zahl 2, oder besser gesagt auf den Potenzen der Zahl 2 baut sich übrigens ein nettes Geduldspiel auf, das ihr euch selbst anfertigen könnt: Ihr schneidet aus Pappe eine Anzahl kreisrunder Scheiben von verschiedener Größe aus. Diese Scheiben legt ihr (siehe Abb. l) so übereinander, daß die größte Scheibe unten liegt

Abbildung 1

und die kleinste oben. Dann zeichnet ihr auf eine größere rechteckige Pappscheibe drei Kreise, A, B und C, die etwas größer als die größte Pappscheibe sind; euren Scheibenturm baut ihr auf dem Kreise „A" auf. Das Spiel kann nun beginnen. Die Aufgabe lautet: Der Scheibenturm ist so auf „C" aufzubauen, daß immer nur eine Scheibe bewegt und n i e m a l s eine größere Scheibe auf eine kleinere gelegt wird. Außerdem dürfen die Scheiben n u r auf den Kreisen A, B oder C abgelegt werden. Kreis B ist ein Hilfsplatz. Wir wollen den Vorgang einmal durchdenken. Habt ihr nur eine Scheibe, so könnt ihr sie einfach von A nach C legen. Bei zwei Scheiben kommt zunächst Scheibe l, also die klei-

nere, nach B, dann Scheibe 2 nach C und endlich Scheibe l oben auf Scheibe 2 nach C. Bei zwei Scheiben sind also bereits drei Umlegungen zu machen. Besteht das Spiel aus drei Pappscheiben, dann sind folgende Umlegungen erforderlich: Scheibe l nach C, Scheibe 2 nach B, Scheibe l nach B, Scheibe 3 nach C, Scheibe l nach A, Scheibe 2 nach C und Scheibe l nach C. Bei drei Scheiben habt ihr demnach mindestens 7 Umstellungen. Bei •vier Scheiben verläuft das Spiel in folgender Weise: Scheibe l nach B, Scheibe 2 nach C, Scheibe l nach C, Scheibe 3 nach B, Scheibe l nach A, Scheibe 2 nach B, Scheibe l nach B, Scheibe 4 nach C, Scheibe l nach C, Scheibe 2 nach A, Scheibe l nach A, Scheibe 3 nach C, Scheibe l nach B, Scheibe 2 nach C, Scheibe l nach C. Jetzt waren also 15 Umstellungen nötig. — Nun kommt aber die Mathematik in das Spiel. Es sind nämlich die Potenzen von 2: 21 =2, 22 = 2 X 2= 4, 23==2X2X2=:8,

24 -= 2 X 2 X 2 X 2 - 16 und so fort. Vergleichen wir das mit der Zahl der Umstellungen; bei l Scheibe l Umstellung, bei 2 Scheiben 3 Umstellungen, bei 3 Scheiben 7 Umstellungen, bei 4 Scheiben 15 Umstellungen, •so finden wir, daß diese Zahlen immer um l kleiner sind als die entsprechenden Potenzen von 2. Da 23 = 32 ist, bekommen wir also bei 5 Scheiben 31 Umstellungen, bei 6 Scheiben: 2 6 — l = 64 — l = 63 Umstellungen und so weiter. Dabei ergibt sich folgende erstaunliche Feststellung: Die Differenz von 63 und 31 ist 32, also eine Potenz von 2, nämlich 25. Die Differenz von 31 und 15 ist 16, wieder eine Potenz von 2, und zwar 24. Die Differenz von 15 und 7 ist 8 = 23, und so geht das weiter. Haben wir zum Beispiel 7 Scheiben mit 27 -— l = 128 — l = 127 Umstellungen, &o wird uns eine weitere, die achte Scheibe, nochmals 27 == 128 Umstellungen h i n z u b r i n g e n , so daß wir bei 8 Scheiben insgesamt: 127 + 128 = 255 Umstellungen haben. 255 aber ist == 28 — l. Obgleich wir mit jeder neuen Scheibe die Zahl der notwendigen Umstellungen nur ungefähr verdoppeln, wächst doch insgesamt die Zahl der Umstellungen mit zunehmender Scheibenzahl erstaunlich schnell.

Ein König -— mein Freund Paul und ein Topf Hefe Eine ähnliche Erfahrung mußte auch, wenn man einer alten Sage Glauben schenken will, jener König machen, der den Erfinder des Schachspiels belohnen wollte. Als der Meister des Schachs seinen Wunsch vorgetragen hatte, war der König über die Geringfügigkeit und Bescheidenheit der Bitte gar sehr erstaunt. Der Erfinder hatte nämlich gebeten, ihm soviel Weizenkörner zu schenken, wie sich ergaben, wenn man auf das erste Feld des Schachbretts ein Weizenkorn legte, auf das zweite zwei; auf das dritte vier, auf das vierte acht und so fort, also auf jedes Feld immer die doppelte Menge an Körnern, wie sie auf dem vorhergehenden lagen. Das Schachbrett hat 8 X 8 == 64 Felder. Und darum sollten auf dem letzten Feld 263 Körner liegen, die Gesamtsumme aller Körner aber 264 — l betlagen. Berechnet man 284, so ergeben sich 18 446 744 073 709 551 615 Kömer, d. h. rund 18V2 Trillionen Körner. Mehr als 5000 Jahre lang hätten der König und seine Erben dem Erfinder und seinen Nachkommen die Weltweizenernte im Umfang einer heutigen Jahresernte zur Verfügung stellen müssen, um das Versprechen einzulösen. Vielleicht hatte mein Freund Paul von dieser uralten Schachrechnung Kenntnis, als er im Scherz dem Max folgendes Angebot machte; „Du willst also", sagte Paul zu Max, „meinen Anzug kaufen. Gut, ich bin dein Freund, ich will dich nicht ausplündern, du brauchst nur die Knöpfe zu bezahlen, und zwar mit Pfennigen!" Und dann entwickelte er seinen Zahlungsplan: Der Anzug hatte zusammen 30 Knöpfe, 9 an der Jacke, 8 an der Weste, 13 an der Hose. Für den ersten Knopf verlangte Paul l Pfennig, für den zweiten Knopf 2 Pfennig, für den dritten 4 Pfennig und so für jeden weiteren Knopf jeweils das Doppelte des vorhergehenden Betrages. Max, dem nur die „Pfennige" im Ohr klangen, erklärte sich vergnügt zum Handel bereit. Als die beiden den Kaufpreis feststellen wollten, da wurde Maxens Gesicht länger und länger. Wer an das Beispiel des Schachspiels denkt, weiß warum. Denn die Summe, die sich ergab, belief sich auf 230 — l Pfennig — das aber waren 10737418,23 Mark. Wie schnell eine Masse bei dieser Rechnung — man nennt sie „geometrische Reihe" — anwachsen kann, dafür gibt es noch ein überraschendes Beispiel: Organische Stoffe vermehren sich durch Zellteilung, indem jede Mutterzelle sich in zwei Tochterzellen spaltet. Hefe ist ein solch organischer Stoff. 87 Tage brauchte solch eine

Hefemasse, um durch ständige Zellteilung die Hälfte eines Topfes anzufüllen. Es entsteht nun die Frage, wie lange die Hefe braucht, um den ganzen Topf auszufüllen. Die Aufgabe erscheint schwierig Doch verhilft uns eine einfache Überlegung zur Lösung: Wenn die Masse bereits die erste Hälfte des Topfes ausgefüllt hat und sich ihrer Natur gemäß jeweils im Laufe eines Tages verdoppelt, so füllt sie selbstverständlich schon nach einem weiteren Tag den ganzen Topf, weil eben das Doppelte einer Hälfte immer das Ganze ergibt. Dabei ist es völlig nebensächlich, ob nun zur ersten Hälfte 87 oder 50 oder 100 Tage gebraucht wurden. ^ -''

Von Gewichten und Zauberkarten Doch kehren wir zur Zahl 2 zurück, von der wir ausgegangen sind. Dem Kaufmann hinter dem Ladentisch steht im allgemeinen ein Satz Gewichte zur Verfügung, der Je ein Gewicht von l, 2, 5, 10, 20, 50 und 100 Gramm umfaßt, dazu noch je ein zweites Gewicht von 2 und 20 Gramm. Mit diesen neun Gewichten kann man von Gramm zu Gramm sämtliche Gewichte bis zu 210 Gramm abwiegen. Aber noch praktischer wäre oft ein auf der Zahl 2 aufgebauter Gewichtssatz, also mit je einem Gewicht zu l, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 Gramm. Dann würde man mit nur acht Gewichten sämtliche Gewichtsmöglichkeiten bis zu 255 Gramm erfassen. Prüft das einmal nach! Auf der gleichen Überlegung beruht auch folgendes Zauherkartenspiel: Wir schreiben folgende Zahlenreihen an: I. l • 3 • 5 • 7 • 9 . 11 • 13 • 15 II. • 2 3 • • 6 7 • • 10 11 • • 14 15 III. . • . 4 5 6 7 • • • • 12 13 14 15 IV. . . . . . . . 8 9 10 11 12 13 14 15 Betrachten wir diese vier Reihen, so erkennen wir sofort ihren gesetzmäßigen Aufbau. In I haben wir nach jeder Zahl eine Lücke, in II fehlen nach je 2 aufeinanderfolgenden Zahlen die beiden nächsten, in III folgen stets 4 Zahlen aufeinander, worauf die 4 anschließenden ausfallen, und in IV würde bei weiterer Fortsetzung auf je 8 Zahlen eine Lücke folgen, in der die 8 Nachbarzahlen ihren Platz hätten. Femer sind die ersten Zahlen jeder Reihe Potenzen von 2, nämlich 2° = l in I, 21 =2 in II, 22 = 4 in III. 23 = 8 in IV. Greifen wir nun irgendeine Zahl heraus, so steht z. B. 5 in III und I, zugleich aber ist 4 + l = 5 oder 11 steht in IV, II und I, zugleich i s t 8 + 2 + l = Ä l l oder 15 steht in allen vier Reihen, und

es ist 8 + 4 + 2 + l = 15. Somit: jede Zahl ist gleich der Summe der Anfangszahlen jener Reihen, m denen sie steht. Man könnte die vier Reihen in sich selbst noch weiter fortsetzen und auch eine V., VI., VII. usw. Reihe hinzufügen. Dabei würde ^ Reihe V mit 24 = 16, VI mit 2° = 32, VII mit 26 = 24 beginnen, und sämtliche sieben Reihen würden mit 27 — l = 127 schließen. Bei fünf Reihen wäre die Schlußzahl 25 — l ^ 31. Nun fertigen wir unser Spiel an. Es bestehl aus fünf Zauberkarten, auf denen die vorigen Reihen I, II, III, IV, V mit der gemeinsamen Schlußzahl 31 aufgezeichnet sind (s. Abb. 2). l 3 5 7 9 11 13 15

17 19 21 23 25 27 29 31 I

.,

2

18

3

19

6 7 10 11 14 15

22 23 26 27 30 31 II

4 5 6 7 12 13 14 15

20 21 22 23 28 ' 29 30 31 III

8 9 10 11 12 13 14 15

24 25 26 27 28 29 30 31 IV

16 17 18 19 20 21 22 23

24 25 26 27 28 29 30 31 V

Abbildung 2

Jetzt bitten wir jemand, sich eine Zahl zwischen l und 31 zu denken und uns zu sagen, auf welchen Karten sie steht. Wir haben dann nur nötig, die jeweils erste Zahl der betreffenden Karten zu addieren, um die gedachte Zahl zu finden. Sagt man euch z. B., daß die Zahl auf den Karten I, III, V steht, so kann es sich nur um 1 + 4 4 16 = 21 handeln. Da man sich die ersten Zahlen als Potenzen von 2 leicht merken kann, so läßt sich die überraschende Wirkung steigern, wenn man die Karten überhaupt nicht ansieht, sondern nur ihre römischen Nummern nennen läßt.

„Denk dir mal eine Zahl.. ,1." Das Zahlenraten ist überhaupt ein beliebtes Gesellschaftsspiel. Es gibt da sehr viele Methoden. Meist geht das Spiel etwa folgendermaßen vor sich: Jemand denkt sich eine Zahl; nun fordert ihr ihn auf, die Zahl zu verdoppeln, dann fünf hinzuzuzählen, dann alles zu verdreifachen, davon die gedachte Zahl abzuziehen und das Ganze

durch fünf zu teilen. Das Ergebnis laßt ihr euch nennen. Ihr braucht davon nur drei abzuziehen, und ihr habt die gedachte Zahl. Hat sich euer Opfer zum Beispiel 37 gedacht, so wird gerechnet: 37 X 2 - - 74; 74+5= 79; 79 X 3 = 237; 237 — 37 = 200; 200 :5 == 40; diese Zahl wird euch also genannt. Davon zieht ihr 3 ab und erhaltet die gedachte Zahl 37. (Für die mathematischen Köpfe geben wir folgende Erklärung: Die gesamte Rechnung kann zusammengefaßt werden in dem Ausdruck [(2x + 5) • 3—x)]: 5. Rechnet man diesen nach den Regeln der Algebra aus, so entsteht x + 3.) Oder ihr wollt den Geburtstag eures Freundes erraten. Fordert ihn auf, das Tagesdatum seines Geburtstages mit 20 zu multiplizieren, 3 hinzuzuzählen und das Ganze mit 5 zu multiplizieren. Dann soll er die Monatszahl seiner Geburt dazurechnen, wieder das Ganze mit 20 multiplizieren, 3 addieren und das Ergebnis mit 5 multiplizieren und schließlich noch die beiden letzten Stellen seines Geburtsjahres hinzuzählen. Von dem Ergebnis, das ihr euch nennen laßt, zieht ihr 1515 ab. Die entstandene Zahl ist das gesuchte Geburtsdatum. Ein Beispiel dazu: Ist euer Freund am 18. Mai 1923 geboren, so ist seine „Tageszahl" 18, die „Monatszahl" 5 oder 05, die „Jahreszahl" 23. Er muß dann auf folgende Weise rechnen: 18 X 20 = 360; 360 + 3 = - 363; 363 X 5 = 1815; 1815 + 5 = 1820; 1820 X 20 = 36 400; 36400 + 3 = 36 403; 36403 X 5 = 182015; 182015 + 23 = 182038 Subtrahiert ihr jetzt 1515, so erhaltet ihr 180 523. und habt damit den Geburtstag: 18. 5. 23. Das Beste bei solchen Spielen ist die Tatsache, daß der Künstler, der .scheinbar die schwierigste Arbeit leistet, in Wirklichkeit am wenigsten zu tun hat. Das Kopfrechnen besorgen nämlich die anderen. Das ist übrigens noch mehr der Fall bei den Rechnungen, bei denen sich jemand eine Zahl denkt und eine Reihe von vorgeschriebenen Rechnungen mit ihi ausführt, worauf ihr ihm zum Schluß das Ergebnis sagt, ohne die gedachte Zahl überhaupt zu kennen. Besonders wirksam ist dieses Kunststück, wenn man mehreren Personen zu gleicher Zeit die Aufgabe stellt. Also etwa: Zur gedachten Zahl ist 3 7 u addieren, das Ganze zu verdoppeln, 4 hinzuzuzählen, das Ergebnis mit 5 zu multiplizieren und davon das Zehnfache der gedachten Zahl abzuziehen. Dann ergibt sich immer die Zahl 50. Denkt sich jemand etwa 21, so muß er rechnen: 21 + 3 == 24; 24 X 2 = 48; 48 + 4 = 52; 52 X 5 = 260; und 260 weniger 10 X 21,^ also 210, ergibt in der Tat; 50. Oder: Man läßt jemand eine vierstellige Zahl merken. Davon sind zuerst die letzte, dann die beiden letzten und endlich die drei letzten Ziffern fortzulassen. Die so entstehenden Zahlen sind zu addie-

rcn und die Summe mit 9 zu multiplizieren. Zu diesem Ergebnis ist die Quersumme der gedachten Zahl hinzuzuzählen und das Resultat zu nennen. Dieses ist aber die gedachte Zahl. Denkt jemand etwa an die Zahl 2683, so rechnet er: 268 + 26 + 2 = 296; 296 X 9 = 2664; 2664 + 2 + 6 + 8 + 8 - 2683. Das Zahlenraten kann auch zum „Hellsehen" werden: Du gibst deinem Freund zwei Zettel. Auf dem einen steht eine gerade, auf dem ändern eine ungerade Zahl. Nun nimmt er in jede Hand einen Zettel und du behauptest, du werdest durch seine geschlossenen Hände hindurchsehen und feststellen, in welcher Hand sich die gerade und in welcher sich die ungerade Zahl befinde. Du wirst nun beide geschlossenen Hände sehr durchdringend anschauen, dann läßt du die in der rechten Hand verschlossene Zahl mit einer geraden, die in der linken Hand verborgene Zahl mit einer ungeraden Zahl multiplizieren, die Produkte addieren und dir die Endsumme nennen. Ist diese Summe eine gerade Zahl, so steht auf dem Zettel der rechten Hand eine ungerade Zahl, in der linken Hand befindet sich dann der Zettel mit der geraden Zahl. Ist die Summe aber eine ungerade Zahl, dann hält umgekehrt die rechte Hand den geraden Betrag und die linke den ungeraden Betrag verborgen. Die Lösung des Rätsels ergibt sich aus folgender Übersicht ohne weiteres: l. Fall rechts links (Ungerade) ' (Gerade) (ungerade) X Gerade + (Gerade) X Ungerade == Gerade

2. Fall rechts links (Gerade) (Ungerade) (Gerade) X Gerade + (Ungerade) X Ungerade == Ungerade.

Viel einfacher läßt sich das Würfelraten erklären. Laß einen Freund einen Würfel etwa sechsmal hintereinander werfen und die oben liegenden und dann die unten liegenden Augen addieren. Ohne den Würfel anzusehen, wirst du das Ergebnis sofort nennen können; denn es muß 6 X 7 == 42 sein. Wenn du mit zwei Würfeln spielen läßt, dann wird das Ergebnis 84 Augen sein. Siehst du dir nämlich einen Würfel an, so findest du, daß die Summe der Augen auf je zwei gegenüberliegenden Seiten immer 7 ist, nämlich 1+6, 2 + 5, 3 + 4. ^ Wenn ihr aber jemand etwas argem wollt, dann laßt ihn folgende Aufgabe rechnen: In einer Straßenbahn befinden sich im Triebwagen 12 Personen und im Anhänger 15, also zusammen 27 Personen. An der ersten Haltestelle steigen vorn 4 Personen aus und 6 hinzu, hinten dagegen 3 aus und 5 hinzu. An der nächsten Haltestelle steigen vorn 2 aus

und 4 zu, hinten aber nur 3 aus. Wenn die Bahn wieder hält, steigen vom 2 aus und 3 ein und hinten ebenfalls 2 aus, aber dafür 5 ein. So könnt ihr das nach Belieben noch eine Weile fortsetzen und zum Schluß fragt ihr mit möglichst harmlosem Gesicht, wie oft die Bahn gehalten hat! Das ist zwar keine Mathematik, aber nach den manchmal harten Nüssen, die es bisher zu knacken gab, eine heitere Erholungspause.

Die Teilbarkeit der Zahlen Nun etwas von der Teilbarkeit der Zahlen: Man schreibe einmal eine beliebige dreistellige Zahl auf; darunter dann die gleiche Zahl mit umgekehrter Ziffernfolge. Zieht man jetzt die kleinere Zahl von der größeren ab und teilt das Ergebnis durch 9, so bleibt niemals ein Rest. Ein Beispiel: die Zahl 735 wurde aufgeschrieben, darunter also 537. Dann ist 735 — 537 == 198. Tatsächlich ist 198 ohne Rest durch 9 teilbar. Jede Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist, durch 4 sind alle Zahlen teilbar, deren letzte zwei Stellen durch 4 teilbar sind; zum Beispiel 932. Durch 8 lassen sich die Zahlen ohne Rest teilen, deren drei letzte Stellen durch 8 teilbar sind; zum Beispiel 6256, nicht aber 6236. Durch 5 ist eine Zahl teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 5 oder eine 0 ist. Durch 3 oder durch 9 kann eine Zahl ohne Rest geteilt werden, wenn sich ihre „Quersumme", dag heißt die Summe aller ihrer Ziffern durch 3 oder durch 9 teilen läßt. So ist 4323 durch 3, aber nicht durch 9 teilbar, denn die Quersumme ist 4 + 3 + 2 + 3 = 12. Durch 6 ist eine Zahl teilbar, wenn sie gerade ist und außerdem ihre Quersumme ein Vielfaches von 3 beträgt. Für 7 gibt es keine Regel der Teilbarkeit. Daß die Quersumme unfehlbar die Teilbarkeit einer Zahl durch 9 angeben muß, das läßt sich nach Zerlegung der betreffenden Zahl leicht nachweisen. Wir wählen als Beispiel die Zahl 4572. Sie läßt sich auf folgende Weise zerlegen: 4572 = 4000 + 500 + 70 + 2 = 4 X 1000 + 5 X 1 0 0 + 7 X 1 0 + 2 = 4 X (999 + 1) + 5 X (99 +1)+7X(9+1)+2=4X999+4+5X99+5+7X9 + 7 =(4 X 999 + 5 X 99 + 7 X 9) + (4 + 5 + 7 + 2) = 4 X 999 + 5 X 99 + 7 X 9) + 18. Wir sehen: Der erste Klammerausdruck ist sicher durch 9 teilbar. Da 18 ebenfalls durch 9 teilbar ist, so muß auch die Summe der beiden, nämlich die gegebene Zahl 4572 durch 9 teilbar sein. Nun ist 18 nichts anderes als die Summe aller Ziffern der Zahl 4572, weshalb man sie die „Quersumme" derselben nennt. Ist die Quersumme einer Zahl nicht durch 9 teilbar, sondern hat 10

sie dann einen Rest, so ergibt sich, ohne daß wir erstaunen, derselbe Rest, wenn man die ganze Zahl durch 9 teilt. Die Zahl 4323 hatte die Quersumme 12, die, durch 9 geteilt,'den Rest 3 hat. Und 4323 geteilt durch 9 ist geich 480, Rest 3. Man nennt in diesem Falle 3 den „Neunerrest" von 4323, und da sich dieser Neunerrest so leicht vorher bestimmen läßt, kann man mit seiner Hilfe eine schnelle Probe auf die Richtigkeit einer Rechnung machen. Hat man nämlich zwei Zahlen miteinander multipliziert und multipliziert nun ihre Neunerreste miteinander, so muß man den gleichen Neunerrest erhalten, den das Ergebnis der ersten Multiplikation hat. Als Beispiel: 125 X 316 = 39 500. Der Neunerrest von 125 ist 8, der von 316 ist l. Nun ist 8 X l = 8 und der Neunerrest von 39 500 ist ebenfalls 8, wie auch die Quersumme von 39 500, nämlich 3 + 9 + 5 + 0 + 0 = 17 durch 9 geteilt, den Rest 8 hat. Das Verfahren kann man auch bei Additionen anwenden, nur muß man dann die Neunerreste addieren: 612 + 505 = 1117. Die Summe der Neunerreste ist 0 + l == l und auch 1117 hat den Neunerrest l. Es gibt zwei unterhaltsame Anwendungen dieser Neunerrest-Rechnung. Unterscheiden sich zwei Zahlen nur durch die Reihenfolge ihrer Ziffern oder durch Nullen, so haben beide gleiche Neunerreste 'und ihre Differenz ist stets durch 9 teilbar. 7342 und 4237 sind z. B. zwei Zahlen dieser Art. Ihre Neunerreste müssen gleich sein, weil ihre Quersummen gleich sind, nämlich 16. Ihre Differenz beträgt 7342 — 4237 = 3105. Sie hat die Quersumme 9, ist also durch 9 teilbar. — Die zweite Anwendung ist folgende; Ohne daß man hinsieht, soll eine andere Person zwei Zahlen anschreiben, die sich nur durch die Reihenfolge der Ziffern voneinander unterscheiden, sodann ihre Differenz bilden und darin eine beliebige Ziffer streichen. Die Summe der übriggebliebenen Ziffern der Differenz läßt man sich sagen. Nun kann man zum allgemeinen Erstaunen die durchgestrichene Ziffer erraten, denn sie muß gleich dem Betrag sein, der die mitgeteilte Summe bis zum nächsten Vielfachen von 9 ergänzt; z. B. 7342 — 4237 = 3105. Es wird l gestrichen, dann ist die verbleibende Summe 3 + 0 + 5 =~- 8 und ihre Ergänzung zu 9 ist gleich l. Oder 9786 — 6789 = 2997. Es wird eine 9 gestrichen, dann ist 2 + 9 + 7 = 18 und die Ergänzung bis zum nächsten Vielfachen von 9, d. h. bis zu 27, ist 9. Die Neunerprobe versagt in den Fällen, in denen man sich um 9 oder ein Vielfaches von 9 verrechnet hat. Wer daher ganz sichergehen will, kann noch den Elferrest zu Hilfe nehmen, das ist der Rest, den eine Zahl bei der Division durch 11 aufweist. Anstatt die Zahl durch 11 zu dividieren, kann man den Elferrest auch auf fol11

gende Weise bestmimen. Man addiert zur letzten Ziffer der in Frage kommenden Zahl die dritte von hinten, dazu die fünfte, siebente und so weiter und zieht davon die übrigen Ziffern ab oder was dasselbe ist, man bildet die Quersumme der — von hinten gerechnet — ungeraden Stellen und subtrahiert davon die Quersumme der geraden Stellen. Wird die Differenz dabei negativ, so addiert man 11 oder ein Vielfaches von 11, bis man eine positive Zahl erhält. So hat 125 den Elferrest 125 : 11 = 11 Rest 4, oder 5 + l — 2 = 4, und 316 den Elferrest 6 + 3 — 1 == 8. Die Zahl 39500 hat den Elferrest () + 5 + 3 — 0 — 9 + 11 = 10, und das Produkt 4 X 8 = 32 hat ebenfalls den Elferrest 10. Die Teilung durch 11 spielt in folgender überraschender Tatsache eine Rolle. Es handelt sich um die Zahl 1001. Sie hat den Teiler 11, denn ihr Elferrest ist l + 0 — 0 — 1 = 0 . Sie besitzt aber noch die weiteren Teiler 7 und 13, wie man durch die entsprechenden Divisionen findet. 1001 ist demnach 7 X 11 X 13. Schreibt man nun neben eine völlig beliebige dreistellige Zahl die gleiche Zahl nochmals, so daß eine neue sechsstellige Zahl entsteht, so muß diese neue Zahl htets durch 7, 11, 13 teilbar sein. — Beispiel: Mit 436 bildet man 436 436, diese Zahl ist durch 7, 11, 13 teilbar. Die Erklärung dafür ist folgende: 436436 -= 1001 X 436. In diesem Produkt ist der eine Faktor 1001 durch 7, 11, 13 teilbar, demnach muß auch das Produkt selbst, d. h. die Zahl 436 436, durch 7, 11, 13 teilbar sein.

Vom Schnellrechnen und vom Zahlenmerken Neuner- und Elferrest sind bereits Hilfsmittel beim Rechnen, also Rechenvorteile. Wer da nur einige einfache Regeln kennt, kann sich viel Arbeit ersparen. Daß man beim Addieren langer Zahlenreihen möglichst oft die Zahlen zusammenfaßt, die 10 ergeben, ist jedem wohl geläufig. Man darf aber keine Zahl auslassen! Bei der Addition der Zahlen 17, 92, 38. 53 redinet man: (7 + 3) + (2 + 8) = 20, (gemerkte 2 + 3 + 5 ) + (1 + 9) = 20. Also Resultat: 200. Machen wir die Neunerprobe, so erhalten wir 8 + 2 + 2 + 8 " = 20; Rest: 2; ebenso wie auch 200 den Neunerrest 2 hat. Und schnell auch noch die Elferprobe: 6 + 4 + 5 + 9 = 24 mit dem Elferrest 2, den auch das Ergebnis 200 hat. Hat man 2 Zahlen, wie beispielsweise 37 und 43, die nahe beieinanderliegen und beide gerade oder beide ungerade sind, miteinander zu multiplizieren, so gibt es ein sehr einfaches Verfahren. Man 37+43 bildet aus der Mittelzahl — also ——o— -= 40 und der Differenz 12

- hier also 3 — die Summe und die Differenz, aLo 4 0 + 3 und i0—3. Dann wird 37 X 43 = 40 2 —-3 2 oder 1600—9 = 1591. Die Mathematiker unter euch wissen, daß wir dabei die Formel (a+b)X(a—b)=a2—b2 angewendet haben. Noch ein Beispiel: 66 X 74 = (70+4) X (70—4) - 4900 — 16 = 4884.

Vom großen Mathematiker G a u ß erzählt man sich folgende Geschichte: Schon als Knabe zeigte Gauß seine beispiellose rechnerische Begabung. In der Schule sollten die Buben einmal alle Zahlen von l bis 100 addieren. Während die anderen rechneten: ] + 2 = 3 ; 3 + 3 •= 6; 6 + 4 = 10 usw., gab der junge Gauß beieits nach wenigen Minuten das Ergebnis an: 5050. Wie er verhihr, zeigen wir am einfachen Beispiel der Zahlen von l bis 7: 1+2+3+4+5+6+7 7+6+5+4+3+2+1 Somit 8~+ 8 + ~S+~8 + 8 +8~+ 8 = 7 X 8 Wir haben so den doppelten Wert der gesuchten Summe erhalten, 7x8 mithin ist 9— == 7 • 4 == 28 der einfache Wert. Bei 100 ergibt sich folgender Bruch

100 x 101 ——3—— = 50 X 101 = 5050.

Der Rechenkünstler F e r r o l hat sich ein praktisches Multiplikat tonsverfahren erdacht, bei dem er das Ergebnis sofort niederschreiben kann. Hat er etwa 27 mit 32 zu multiplizieren, so rechnet er: (7 X 2) = 14. Dann ist 4 die letzte Ziffer des Ergebnisses. Dann multipliziert er Einer und Zehner, also (2 X 2) und (3 X 7), addiert die Produkte, also 4 und 21, und rechnet dazu die gemerkte l, das ergibt 26. Die 6 ist die vorletzte Ziffer des Resultates. Nun kommt noch das Produkt der beiden Zehner: (2 X 3) zuzüglich gemerkte 2 = 8. Ergebnis: 27 X 32 = 864. Bei zwei dreistelligen Zahlen sieht die Rechnung folgendermaßen .ms: 125 X_ __316 __ (5X6) = 30 (5 X l) + (2 X 6) + 3 =20 (5 X 3) + (2 X 1) + (1 X 6) + 2 == 25 (2 X 3) + (1 X 1) + 2 = 9 (1 X 3) + 0 - 3 Ergebnis: 39500. 18

Die Sache erscheint anfänglich recht verwickelt; wenn man den Rechenplan aber erst einmal im Kopfe hat, läßt sich viel Schreibarbeit ersparen. Hat eine der Zahlen weniger Stellen als die andere, so ersetzt man die fehlende durch Vorsetzen von 0, also: 416 wird 416 X______23 _ 023_ und rechnet wie zuvor. Ergebnis 9568. Bei großen Zahlen und Ziffern über 6 bleibt man besser bei der alten Schulmethode. Immer lohnt sich aber das Ferrolsche Verfahren, wenn man zwei Zahlen zwischen 10 und 20 miteinander zu multiplizieren hat. Es ist 12 X_____13 156 und man rechnet: « • , (2X3) =6 2X8=6 /1 (2 X l) + (l X 3) = 5 oder einfacher 2 + 3 = 5 (1X1)=1 1X1== l Ergebnis 156. Sind die Zwischenresultate mehrstellig, muß man die jeweils im, Gedächtnis behaltenen Ziffern entsprechend hinzuzählen: 19 X_____17 323

Rechnung: 9 X 7 =63 oder 3 hin, 6 im Sinn 9 + 7 + 6 = 22 oder 2 hin, 2 im Sinn l + 2 = 3 oder 3 hinschreiben Ergebnis: 323. Nicht jeder ist ein Gedächtniskünstler. Aber es gibt viele Zahlen, die man, wie etwa die Telefonnummern, häußg braucht und sich gern merken möchte. Da gibt es nun eine Reihe von Gedächtnis- i stützen, sogenannte „mnemotechnische" Methoden. Man ersetzt die Ziffern durch bestimmte Konsonanten und bildet jetzt Wörter, die zu der zu merkenden Zahl in irgendeiner Beziehung stehen. Ein solches mnemotechnisches System, deren es verschiedene gibt, ist folgendes: Man ersetzt die Zahlen durch Buchstaben, schreibt also etwa für 1—9 die Buchstaben S, Z, D, Q, F, G, B, H, N und für 0 den Buchstaben L. Die Buchstaben sind leicht zu merken, da sie außer g alle in den Zahlen vorkommen: Eins, zwei, drei, quatre für vier, fünf usw. Hat zum Beispiel unsere Erbtante Agathe die Fernsprechnummer 14

/

366 039, so schreiben wir dafür D G G L D N und bilden daraus durch Einsetzen von Vokabeln und, wenn es nötig ist, durch Hin7unahme weiterer Konsonanten die leicht zu merkenden Worte: Die Gute GeLDtaNte. Man verwende aber möglichst nie mehr als drei Ziffern für ein Wort. Mit solch einer Übersetzungstabelle kann man sich bei einiger Findigkeit zu jeder Zahl leicht ein einfach zu merkendes Wort oder einen Satz bilden. Man kann sich aber auch so helfen, daß man die Anzahl der Buchstaben der einzelnen Wörter eines Merksatzes benutzt. So gibt es für die Kreiszahl n (Pi) verschiedene Merkverse, Zum Beispiel: Wie, o dies n -- ' Macht ernstlich so vielen viele Müh! In diesem Vers gibt die Anzahl der Buchstaben jedes Wortes die Ziffern der Krei&zahl an. Mit diesem Vers kann man sich also neun Stellen hinter dem Komma merken, also 3,141592653. Der Merkspruch hat noch eine Fortsetzung, die uns weitere 14 Stellen hinter dem Komma ins Gedächtnis prägt. Der ganze Merkspruch lautet; Wie, o dies n Macht ernstlich so vielen viele Müh! ^ Lernt immerhin, Jünglinge, leichte Verselein, Wie so zum Beispiel dies dürfte zu merken sein. Ein anderer Merksatz für ^ hat folgenden Wortlaut: Es ist wohl die Größe, die mir den Kopf verdreht! Ist's doch a bissei schwierig zu wissen, wofür sie steht. Hier geben uns die Wörter des zweiten Verses die Ziffern der Kreiszahl bis auf zehn Stellen hinter dem Komma an: 3,1415926535.

Von großen Zahlen und eigenartigen Rechnungen Unendlich große Zahlen gibt es nicht, denn jede noch so große Zahl hat stets einen bestimmten endlichen Wert. Die größte Zahl, die man mit drei Ziffern schreiben kann, ist nicht 999. Weit größer ist unstreitig die Zahl 9. 9 9

. •

, ,

Dieser Zahlenausdruck ist nicht so zu verstehen, daß 99 mit 9 potenziert werden soll, also gleich (99) 9 == 981 ist. qQ Auch 981 ergibt zwar eine recht beachtliche Zahl; aber hier ist (9) gemeint, hier soll also die Zahl 9 mit 9° oder mit 387 420 489 potenziert werden. Das bedeutet aber, daß unsere so einfach' aussehende 15

Zahl (9)Ü-' über 369 Millionen Zittern hat. Nehmen etwa je fünf Ziffern die Breite von 2 Zentimeter ein, so braucht man zum Aufschreiben dieser Zahl einen Streifen, der 1476 Kilometer lang ist, das ist beinahe ein Viertel des Erdhalbmessers. Die Frage tritt auf, wieviel Zeit man benötigt, große Zahlen abzuzählen, z. B. eine Million. Nehmen wir an, ihr braucht für 100 Zahlen nur eine Minute, dann zählt ihr in zehn Minuten bis 1000, in 100 Minuten bis 10 000 und bis zu einer Million braucht ihr 10 000 Minuten oder fast sieben Tage! Solch große Zahlen, die fast unvorstellbar sind, erhält man nicht nur durch Ausrechnung von Potenzen, sondern auch in der Kombinationslehre, die mathematisch die Frage beantwortet, wieviel verschiedene Anordnungen oder Stellungen eine gewisse Anzahl von Personen, Spielkarten oder sonstige Dinge einnehmen können. Ist die Zahl der Elemente klein, so sieht die Sache noch harmlos aus: Zwei Personen können nämlich nur zwei — 1 X 2 — Stellungen zueinander einnehmen: Entweder ist die eine die erste oder die andere. Sind es drei Freunde, Otto, Paul und Max, so gibt es bereits folgende sechs ( 1 X 2 X 3 ) Reihenfolgen: Otto — Paul — Max / Otto — Max — Paul / Paul — Otto — Max / Paul — Max — Otto / Max — Otto — Paul / Max — Paul — Otto. Bei vier Personen sind es 24 oder 1 X 2 X 3 X 4 Stellungen, bei fünf 1 X 2 X 3 X 4 X 5 oder 120 Möglichkeiten. So ergeben zehn Personen die große Anzahl von 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 == 3 628 800 Stellungen. Man schreibt dafür abgekürzt 101 (Die Zahl erhält also ein Ausrufezeichen, und man spricht sie 10-Fakultät aus.) Herr und Frau Liebstöcki hatten gewiß von solchen „Fakultäten" keine Ahnung, als sie anläßlich der Verlobung ihrer Tochter Mieze so verzweifelt über die Ordnung an der Festtafel nachgrübelten. Sie hatten zur Feier acht Personen eingeladen, die Vornehmsten aus dem Ort, und wollten natürlich jedem den richtigen Platz zukommen lassen. So setzten sie sich vier Wochen vor dem glücklichen Ereignis hin, um festzulegen, wer nun neben wem sitzen sollte. Aber als sie nun alle möglichen Sitzgelegenheiten für die zwölf Tischgäste durchdenken wollten, machten sie eine schreck liehe Entdeckung. Je öfter sie die Tischkarten rückten und umlegten, um so verwickelter wurde die Angelegenheit. Warum denn nur? Nun, es stellte sich heraus, daß bei zwölf Personen 449 001 600, also über 449 Millionen Veränderungen ihrer Sitzplätze möglich 16

waren. Da wurden Herr und Frau Liebstödd mutlos; denn hätten sie jeden Tag auch nur 1000 dieser Möglichkeiten durchdacht, so würden sie 120 Jahre dazu gebraucht haben, sie alle durchzuprüfen. Da aber Hans ihre Mieze kriegen sollte, so beschlossen Liebstödds die Verlobung unter sich, d. h. zu viert, zu feiern. Da gab es nur 24 Sitzmöglichkeiten, und da man sich einig war, war die Tischordnung lür Herrn und Frau Liebstöcki und für Hans und Mieze im Handumdrehen festgelegt. Die Kombinationslehre, die hier eine Rolle spielt, zeigt aber auch, wie es kommt, daß viele Spiele so abwechslungsreich sind. Kennt mr das Fünfzehnerspiel? Es gehört hierher. Ihr könnt es euch leicht aus Holz oder Pappe herstellen (s. Abb. 3). Es ist ein quadratisches l

2

3

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1

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12

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15

14

13

Abbildung 3 a

Abbildung 3b

Kästdien, in dem 16 kleine Steine Platz haben, das aber nur 15 Steine mit den Zahlen l bis 15 enthält. Es genügt aber auch ein quadratisches Stück Pappe, das ihr in 16 Felder einteilt und dazu 15 quadratische Pappstücke, die in die Felder passen und die Zahlen l—15 tragen. Nehmt die Steine (die Täfelchen) einmal heraus, mischt sie und ordnet sie in beliebiger Reihenfolge wieder ein. Die Steine sollen nun durch einfaches Verschieben unter Benutzung des freien Feldes in die Reihenfolge der Abb. 3 a gebracht werden. Je nach der Anfangsstellung der Steine wird euch das in der Hälfte aller Fälle gelingen. Die andere Hälfte der Fälle läßt sich nur lösen, wenn ihr die Steine spiegelbildlich, also wie in der Abb. 3 b, anordnet. Die Anzahl sämtlicher möglicher Anfangsstellungen beträgt aber 151 == l 307 674 365 000. Ihr könnt also niemals alle Fälle, die möglich sind, durchprobieren. 17

Auch die Zahl aller möglichen Skatspiele läßt sich mathematisch errechnen. Verteilt man die 32 Karten zu je 10 unter 3 Spieler und legt 32! 2 Karten verdeckt auf den Tisch, so gibt es insgesamt --, -„, '--, -, verschiedene Kartenverteilungen. Wenn man das ausrechnet, so ergibt sich eine Zahl, die über zwei Trillionen beträgt. Die Behauptung mancher Skatspieler, daß sie stets „das gleiche Blatt" erhielten", kann also kaum stimmen.

Magische Quadrate, ein Diebestrick und blauer Dunst Das Fünfzehnerspiel erinnert an eine andere mathematische Spielerei, die man „magische" Quadrate nennt. Hierbei handelt es sich darum, Zahlen in ein Quadrat derart anzuordnen, daß alle senkrechten, waagerechten und diagonalen Reihen stets die gleiche Summe ergeben. Die Abbildung 4 zeigt eine Lösung mit den Zahlen l—9 und der Summe 15. Diese magischen Quadrate sind schon alt.

2

7

6

9

5

1

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9

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1

4

3 8

Abbildung 4

Abbildung 5

Auf einem der berühmtesten Bilder von Dürer, def im Jahr 1514 entstandenen „Melancholie", hat der Meister ein solches magisches Quadrat errechnet und abgebildet. Es zeigt (s. Abbildung 5) 16 Quadrate. Jede Längs-, Quer- und Schrägreihe weist die Summe 34 auf. Interessant ist, daß die beiden Ziftern in der Mitte der untersten Reihe das Jahr 1514, das EntstehungsJahr des Kupferstiches, zugleich auch das Todesjahr der Dürer-Mutter, nennen. Die magischen Quadrate tragen ihren Namen übrigens nicht zu Unrecht; sie haben immer einen geradezu magischen Reiz ausgeübt. Kluge Köpfe haben 18

im Laufe der Zeit alle möglichen magischen Quadrate mit den verschiedensten Sonderbedingungen aufgestellt. Die Abbildung 6 zeigt ein doppelt-magisches Quadrat, das innen neunzellig mit der Summe 72 und außen fünfundzwanzigzellig mit der Summe 120 ist. 12

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Abbildung 6

Die Geschichte von dem betrogenen Weinliebhaber hat zwar v^enig mit dem magischen Quadrat zu tun, aber sie soll hier stehen: Dieser Mann hatte in einem besonderen Raum seines Weinkellers 60 Flaschen kostbarsten Weines aufbewahrt. Die Flaschen waren so aufgestellt, daß in Jeder Ecke 6 Flaschen und in der Mitte jeder der vier Wände je 9 Flaschen standen. Zählte er dann die Reihen durch, dann hatte er stets 6 + 9 + 6 = 21 Flaschen (Abb. 7). Das war leicht zu merken und kürzte die Nachprüfung ab. Eines Tages nahm der Diener, der ebenfalls einen guten Tropfen liebte, vier Flaschen des kostbaren Weines fort, ordnete aber die Flaschen so geschickt an (Abb. 8), daß wieder in jeder Reihe 21 Flaschen standen, 6 9 6 9 9 6 9 6 Abbildung 7

7 7 7 7 7 7 7 7 Abbildung 8

8 5 8 5 5 8 5 8

9 3 9 3 3 9 3 9

10 1 10 1 1 10 1 10

Abbildung 9

Abbildung 1 0

Abbildung 1 1

19

wenn auch in der Zusammensetzung: 7 + 7 + 7 ^ 21. Der Besitzer merkte so nichts von dem Diebstahl, auch nicht, als wieder vier Flaschen verschwunden waren und in jeder Reihe 8 + 5 + 8 Flaschen .standen; wieder zählte der Herr 21 Flaschen in jeder Reihe (Abb. 9). Bei der nächsten Prüfung standen die Flaschen wie in Abb. 10. Dem Weinbesitzer kam das jetzt nicht mehr ganz geheuer vor, aber die Zählung 9 + 3 + 9 ergab wie bisher 21 Flaschen in jeder Reihe. Als aber dann die Flaschen wie in Abb. 11 standen, wurde der Reiche doch stutzig. Zwar stimmte immer noch die Zahl 21 an jeder Wand (10 + l + 10 == 21), aber es waren, als er nun die Flaschen wirklich zählte, insgesamt nur noch 44! Sicher könnt ihr besser als jener reiche Mann rechnen, und wißt, daß man einen Bruch wie -04- nicht dadurch kürzen kann, daß man einfach die 6 im Zähler und Nenner fortstreicht. Aber ihr werdet erstaunt sein zu hören, daß das trotz dieses Fehlers in diesem Fall stimmt; denn tatsächlich ist l6 — J64

~ 4

19

49

26

Immer geht das natürlich nicht, aber bei '95'»~ss~ und "es" könnt ihr ebenfalls die 9, beziehungsweise die 6 ohne weiteres streichen. Das sind aber auch die einzigen Fälle, bei denen eine solche Falschrechnung ein richtiges Ergebnis erbringt. Sehr hübsch ist auch die folgende, an sich falsche Rechnung: a2 — b2 a2 b2 —__—, == ? Kürzt man hier fälschlich —— == a und -. ^ b und setzen wir für minus durch minus plus, so erhält man durch diese 3 Fehler das durchaus richtige Ergebnis a + b. Denkt aber beileibe nicht, daß man das immer so machen könnte! Falsch rechnen ist überhaupt gar nicht so leicht. Falsch gerechnet wird auch in folgenden Beispieleny obwohl dei Fehler nicht gleich erkannt wird: Aus Zigarettenstummeln lassen sich bekanntlich neue Zigaretten drehen. Man rechnet erfahrungsgemäß, daß aus je 3 Stummeln eine neue Zigarette zu fabrizieren ist. Da war nun ein Mann, der hatte 20

18 Stummel beisammen. „Da bist du ja fein heraus!" sagte sein Freund zu ihm, „daraus kannst du dir sechs neue Zigaretten drehen!" „Daraus drehe ich sogar neun", entgegnete der Mann. Und tatsächlich brachte er das Kunststück zustande. Er drehte also zunächst aus den 18 Stummeln 6 Zigaretten. Davon blieben 6 neue Stummel. Die ergaben wieder 2 Zigaretten und wieder 2 Stummel. Nun borgte sich der Mann von seinem Freund, der gerade eine Zigarette zu Ende geraucht hatte, den übriggebliebenen Stummel, drehte aus diesen 3 Stummeln eine weitere Zigarette, und als er sie aufgeraucht hatte, konnte er dem Freund auch noch seine Schuld begleichen und ihm den geborgten Stummel zurückgeben. — Mit 13 Stummeln hätte sich unser Mann sogar 6 Zigaretten drehen können, ohne sich einen Stummel borgen zu müssen. Er hatte vielmehr noch einen Stummel übrig. Die Sache ist leicht nachzurechnen. Ein andermal hatten die beiden Freunde 5 Zigarren geschenkt bekommen. Der freundliche Geber hatte aber die Bedingung gestellt, daß einer der Freunde die Hälfte, der andere ein Drittel erhielt. Lange überlegten die beiden, wie das zu machen sei, kamen aber zu keinem Ergebnis. Als sie ihren Kummer einem Dritten klagten, meinte der lachend: „Nichts einfacher als das! Hier lege ich noch meine Zigarre dazu, dann sind es 6. Davon bekommst du die Hälfte, also 3 Zigarren, und dein Freund ein Drittel, also 2 Zigarren. So habt ihr zusammen eure 5 Zigarren und meine Zigarre nehme ich wieder zurück." Bei den Zigarettenstummeln betrügt sich der Raucher selbst, denn er raucht nicht 9 Zigaretten, sondern nur 9 X ^is = ^/s = 6 Zigaretten. Auch bei den Zigarren stimmt etwas nicht. In der Tat, ein Ganzes kann niemals in die Hälfte und ein Drittel zerlegt werden, denn da ^+-^- =-j-ist, so würde ^übrigbleiben. In Wirklichkeit sind die 3 Zigarren des Paul -3- und die 2 Zigarren des Gustav ^ des ursprünglichen Ganzen, d. h. der 5 Zigarren. Ein Richter, der sich peinlich an den Wortlaut der „Schenkung" hält, hätte dem Paul 2 -y- Zigarren, dem Gustav l „- Zigarren zugeteilt und die restliche ' - Zigarre dem Spender zurückgegeben. Schade um die beiden 21

Zigarren, die dann hätten zerschnitten werden müssen! Unsere Freunde waren darum mit der unmathematischen Lösung des Fremden durchaus zufrieden.

Was man alles beweisen kann Von allen mathematischen Hexenkünstlem hat keiner das Einmaleins so auf den Kopf gestellt wie die berühmte Hexe in Goethes „Faust". Wer kennt nicht ihr verdrehtes Einmaleins: „Du mußt verstehn! Aus Fünf und Sechs, Aus Eins mach Zehn, So sagt die Hex Und Zwei laß gehn, Mach Sieben und Acht Und drei mach gleich, So ist's vollbracht So bist du reich. , Und Neun ist Eins Verlier die Vier! Und Zehn ist Keins." Freilich wollte Goethe mit dieser Rechen- und Beschwörungsformel der Hexe ein Muster vollendeten Unsinns aufstellen, oder wie Mephisto es in jener Szene ausdrückt, einen vollkommenen Widerspruch, der gleich geheimnisvoll für Kluge wie für Toren bleibt. Und doch hat man scherzhaft versucht, diese unsinnigen Rechnungen mathematisch zu beweisen. „Aus Eins mach Zehn!" Nichts leichter als das! Also rechnen wir: I: a + b = a + b II: 10a+ lOb = 10a+ lOb I + II: a + b + lOa + lOb = lOa + lOb + a + b oder (a + b) + lOa + lOb == 10 (a + b) + a + b Nun fügen wir für (a + b) die Abkürzung c ein: c + lOa + lOb = lOc + a + b oder c — a — b = 10 c — 10 a — 10 b (c — a — b) = 10 (c — a — b) Dividieren wir hier beiderseits mit dem Klammerausdruck, so folgt: c—a—b l l c.————i — a — D oder -iI == 10 oder —.— i == 10 oder l == 10 Und Neun ist Eins! Gibt es etwas Einleuchtenderes als diese B ins enwahrheit ? I: x + 3 y = 9 II: 2 x + 5y= 2 — y Aus I: x = 9 — 3 y 22

eingesetzt in II: 2 (9—3y) + 5y = 2 — y i -^ " oder 18—6y+5y=2—y oder 18—6y + 6y = 2 18 = 2 oder 9 = 1 . Und Zehn ist Keins! Das soll doch wohl heißen: 10 = 0. Wer aber möchte dies nach der folgenden Ableitung bezweifeln? I. l l x + y == 60 II. x + 11 y == 60 Diese beiden Gleichungen sind durchaus einwandfrei, denn sie ergeben in der üblichen Weise die Lösungen x = 5 und y = 5. Man kann aber auch folgendermaßen mit ihnen verfahren: I = II: llx + y = x + lly llx—lly - = x — y ll(x—y)=l.(x—y) ll-(x-y) _ (x-y) - - 1 11 = l oder 10 = 0 Man kann, wie man sieht, alleilei beweisen, was niemals stimmen kann. Zeichnet euch einmal ein schachbrettartig aufgeteiltes Quadrat und schneidet es sorgfältig aus (s. Abb. 12). Dann zerlegt es durch die Schnitte AB, BC und DE in die Teile I, II, III und IV. Ordnet ihr diese Teile jetzt so an, wie es rechts oben angegeben ist, so könnt ihr insgesamt 5 X 13 = 65 Felder zählen. Aus dem Quadrat mit 64 Feldern ist also ein Rechteck mit 65 ebenso großen Feldern geworden. Das heißt aber nichts anderes, als daß 64 = 65 ist.

23

Sollte aber Jemand bezweifeln, daß 65 == 64 ist, so redinen wir noch einmal ähnlich wie in unserem Hexeneinmaleins. Es wird also | niemand die Richtigkeit der Gleichungen bestreiten: '. 65a + 65b = 65a + 65b l 64 a + 64b =- 64 a + 64b 65a + 65b + 64a + 64b =~64a + 64b + 65a + 65b \ oder anders geschrieben: 65a + 65b + 64 (a + b) = 64a + 64b + 65 (a + b) ' Jetzt führen wir wieder die Größe c == a + b ein und erhalten 6.5 a + 65b + 64 c = 64a + 64b + 65 c oder anders geschrieben: 65a—65c + 65b == 6 4 a — 6 4 c + 64b. Das sieht zwar recht eigenartig aus, ist aber durchaus richtig, wie ihr leicht ^feststellen könnt, wenn ihr an Stelle der Buchstaben Zahlen einsetzt, etwa a = 2, b == 3 und c = a + b ==b2 +b3 = 5. Jetzt klammern wir links die 65 und rechts die 64 aus und lassen den beiden Seiten gemeinsamen Faktor fallen 65 (a — c + b) =64 (a — c + b) dann ergibt sich wiederum 65- 64

Wer es immer noch nicht glauben will, rechne nach dem zweiten Muster des Hexeneinmaleins folgende Gleichung aus. Gegeben ist: x -= 3y == 65 Sx^^y-^l^S—y

• Aus der ersten Gleichung rechnen wir zunächst x aus. Er wird dann

\

x=65—3y

Setzen wir diesen Wert in die zweite Gleichung ein^ so erhalten wir r - 130—6y+ 5 y - 128—y oder 130--6y+5y+y=-l28 oder 130 = 128 beziehungsweise nach der Division beider Seiten durch die Zahl 2: 65= 64

Um nun auch den letzten Zweifel zu beheben, führen wir noch folgende Rechnung durch: Es ist 65 X 64 = 64 X 65 oder 65 (129 — 65) = 64 (129 — 64) Lösen wir jetzt die Klammern auf und multiplizieren die ganze 24

Gleichung mit (— l), so erhalten wir 652 — 65 X 129 = 642 — 64 X 129 Fügen wir auf beiden Seiten den Bruch 129 (--2-)2 hinzu, so stellen beide Seiten reine Quadiate nach der Formel a 2 — 2 a b + b2 = (a—b) 2 dar. Es ist nämlich 129 129 652—65 X 129 +(-3- ) 2 =(65—-^-) 2 und

129 129 642 — 64 X 129 + C-^-)2 = (64 — -^ )2

Ziehen wir auf beiden Seiten die Quadratwurzeln, so ergibt sich „ 129 . 129 65— -y- = 6 4 — „ oder nach Fortfall der Brüche: 65 == 64.

Wo steckt nun der Fehler? Ein Fehler muß vorhanden sein, da niemand glauben kann, daß 65 = 64 ist. Die Gleichung 129 129 l l (65——2-) 2 = (64 --^-)2 oder(y)2 = (-y)2 i&t noch vollkommen in Ordnung, denn es ist das linke Quadrat gleich dem rechten, und zwar gleich V4. Der Fehler entsteht im Augenblick des Wurzelziehens. Denn die Quadratwurzel einer Zahl hat zwei Lösungen, eine positive und eine negative. \ 4 = -r 2, aber auch — 2. Hätten wir auf der einen Seite der Gleichung ein Minuszeichen geschrieben, also 129 129 65— -„- = — ( 6 4 — 3 - ) , dann wäre die Rechnung richtig gewesen und wir hätten 1/2 == l/s

aber nicht 65 = 64 erhalten. Bei der vorhergehenden Rechnung mit den Gleichungen — ähnliches gilt von der Rechnung „Und Neun ist Keins" — ist der Fehler besser versteckt. Sehen wir uns die zweite Gleichung etwas 25

genauer an, dann ergibt sich 2x+5y+y=128 oder 2 x -l- 6 y =128 beziehungsweise nach der Division durch 2: x+3y-=64. Nach der ersten der gegebenen Gleichungen soll aber

| ,' J

x + 3 y = 65

sein. Diese beiden Gleichungen widersprechen sich also, und der Fehler liegt hier in den falschen Voraussetzungen der Aufgabe. ', Unsere erste Rechnung hingegen ist bis zur Gleichung ^ 65 (a — c + b) = 64 (a — c + b) durchaus richtig; denn beide Seiten sind, da c = a + b ist, gleich 0, also tatsächlich gleich. Dividieren wir aber die Gleichung durch den gemeinsamen Faktor (a — c + b), also durch 0, so erhalten wir das •, fehlerhafte Ergebnis 65 = 64.

Der gleiche Fehler liegt bei der Rechnung „Aus Eins mach Zehn" vor. Die 0 ist nämlich mit besonderer Vorsicht zu verwenden. ^ Multipliziert man eine beliebige Zahl mit 0, so wird das Produkt immer gleich 0. So ist 0 X 4 == 0, aber auch 0 X 5 = 0 , mithin ist die Gleichung 0 X 4 == 0 X 5 richtig, denn beide Seiten sind gleich 0, aber niemals ist 4 = 5 . Ebenso eigenartig ist auch folgende Rechnung: Gegeben ist: 65 x + 64 y == 258 64 x + 65 y = 258. Diese Gleichung ist durchaus richtig und ergibt: i

x = 2

y=2. Rechnen wir folgendermaßen: 65 x + 64 y = 258 = 64 x + 65 y oder 65 x — 65 y = 64 x — 64 y 65(x—y)=64(x—y) und teilen beide Seiten durch den Faktor (x—y), so erhalten wir wieder 65 = 64. Der Fehler liegt auch hier in der Division durch 0, denn es ist ja x = y = 2, also x — y = 0. Der Beweis für 65 == 64, der mit Hilfe der Umwandlung des Quadrates in ein Rechteck versucht wurde, hat aber mit Mathematik nichts zu tun. Es ist gar kein Beweis, sondern es liegt hier eine geschickte Täuschung durch ungenaues Zeichnen vor. Die Winkel FDE und ABC sind nämlich gar nicht gleich, auch die Drei26

ecke FDE und ABC sind nicht ähnlich. Es verhalten sich nämlich die Seiten EF und FD zueinander wie 2 zu 5, dagegen die Seiten AO und AB wie 3 zu 8, und ^ / s ist nicht gleich s/8. Zeichnet man die Dreiecke genau auf, wird man erkennen (s. Abb. 12 rechts unten), daß ein schmaler Diagonalstreifen freibleibt. Dieser Streifen entspricht dem angeblich hinzugekommenen 65. Quadrat. Tatsächlich hat das Rechteck nach Abzug dieses einen Quadrates auch nur 64 Quadrate.

Der Ring um die Erde Die Mathematik kann uns aber auch helfen, etwas zu beweisen, was uns zunächst unglaublich erscheint und von dessen Richtigkeit uns erst die Überlegung und die mathematische Logik überzeugen kann. Nehmt einen kleinen Ball, legt um ihn auf seinem größten Kugelkreis, also dem Äquator, ein Band. Es wird eine bestimmte, genau ausrechenbare Länge haben. Dieses Band verlängert nun um einen Meter und legt es so um den Ball, daß es überall den gleichen Abstand vom Ball hat. Dann erhaltet ihr einen Ring, wie ihn etwa der Planet Saturn hat. Jetzt wollen wir aber an Stelle des Balles unsere Erde setzen und annehmen, daß die Erdoberfläche am Äquator so glatt und eben wie unser Ball sei, daß wir also um den Äquator ebenfalls ein Band legen könnten. Dieses Band wird sehr lang sein, nämlich über 40 000 Kilometer. Wenn wir nun dieses Band um die Erde ebenfalls um einen Meter verlängern und wieder gleichmäßig um die Erde legen, wird dann eine Fliege zwischen Band und Erde hindurchkriechen können? Gebt keine leichtsinnige Antwort! Denn ihr werdet euch irren. Man iht wirklich versucht, zu sagen, daß es kaum etwas ausmachen kann, ob das Band 40 000 oder 40 001 Meter lang ist, es wird jedenfalls vom Äquator nicht merklich entfernt sein. Aber es ist doch ganz anders. Die Mathematik belehrt uns, wie sehr wir uns täuschen können. In unserer Abbildung haben wir den Ball als Kreis mit dem Radius r aufgezeichnet. Sein Umfang ist u = Inv

Diesen Umfang verlängern wir um einen Meter und erhalten einen Ring, dessen äußerer Radius R ist. Der Abstand des Bandes von dem Ball ist dann überall a == R — r. 27

Der Umfang des großen Kreises ist U = 2 n R, , und diese Strecke soll nach unserer Aufgabe gleich u + 100 Zenti-j meter sein. Es ist demnach 2 n r + 100 =s 2 n R J oder 100 = 2 ^ (R — r) 1 oder da (R —r) = a ist, 100 -= 2 n a |

100

50

50

es folgt: a == -r,— =- — = o-j-i = 15,9 cm. 2.n n o,14 Fast 16 Zentimeter steht der neue Ring vom Äquator ab, obwohl er aufgeschnitten nur um einen Meter länger als der alte ist! Und was noch erstaunlicher ist, in dem Ergebnis ist gar nicht mehr von der Größe des Balles die Rede. Die Radien R und r sind verschwunden, die Lösung ist vollkommen unabhängig von der Größe des Balles und wird nur durch die Größe der Verlängerung von einem Meter bestimmt. Wir werden nun auch folgendes verstehen: Spaziert ein Wanderer von 1,75 m Körperhöhe auf dem Äquator um die Erde herum, so legt er zweifellos mit dem Kopf einen längeren Weg zurück als mit den Füßen. Nach der Berechnung, die wir im vorigen Beispiel vorgenommen haben, können wir vermuten, daß der Weg, den der Mann mit seinem Kopf zurücklegt, gar nicht so gewaltig ist, wie man es bei der Länge des Äquators annehmen sollte. Unsere vorhin abgeleitete Beziehung- ergibt 2 n • a, und wenn wir für a 1,75 m einsetzen 2 n X 1,75 = 2 X 3,14 X 1,75 = 10,99 m oder rund 11 m, also einen erstaunlich geringen Betrag.

Hinter den Kulissen der Rechenkünstler . Zum Schluß wollen wir noch schnell den Hexenkünstlern des Rechnens in die Karten schauen. Im allgemeinen ist man der Ansicht, daß sich die Rechenkünstler ilire Zahlen auf die gleiche „mnemotechnische" Art merken, von der wii im Kapitel „Vom Schnellrechnen und vom Zahlenmerken" gesprochen haben. Tatsächlich verfügen aber die meisten von ihnen über ein so hervorragendes Zahlengedächtnis, daß sie keiner solchen Gedächtnisstütze bedürfen, obgleich sie sehr viel Zahlen im Kopf haben müssen. So brauchen sie die Quadrat- und Kubikzahlen möglichst vieler Zahlen, natürlich auch das Einmaleins möglichst hoch hinauf, und außerdem noch Logarithmen, um Produkte schnell überschlagen zu können. Daneben verfügt aber der Rechenkünstler über eine Unzahl von Rechentricks, mit denen er die erstaun28

liebsten Aufgaben löst. Ein wenig davon sei verraten. l 1 1 1 1 2 4 8 16 32 27 3 9 81 243 4 16 1024 64 256 5 125 625 3125 25 6 36 216 1296 7776 343 7 49 2401 16807 8 64 512 32768 4096 9 81 729 6561 59049 10 10000 100 1000 100000 Unsere Abbildung zeigt eine Tabelle, auf der die ersten fünf Potenzen der Zahlen l bis 10 angegeben sind. Dabei wird uns auffallen, daß die letzte Ziffer der fünften Potenz der potenzierten Zahl entspricht. Hat demnach jemand eine Zahl fünfmal — das ist die 5. Potenz — mit sich selbst multipliziert und endet das Ergebnis mit einer 7, so muß auch seine Zahl mit einer 7 endigen. Betrachten wir jetzt die dritten Potenzen, so stellen wir fest, daß die Zahlen l, 4, 5, 6, 9 und 0 in der dritten Potenz ebenfalls aut l, 4, 5, 6, 9 und 0 endigen. 2 und 8 vertauschen dagegen ihre Rollen und ebenso 3 und 7. Da der Rechenkünstler die Kubikzahlen von l bis 10 auswendig weiß, bereitet es ihm keinerlei Schwierigkeiten, eine dritte Wurzel zu ziehen. Verlangt jemand von ihm die Rechnung 1/24389, so weiß der Künstler zunächst, daß das Ergebnis zweistellig sein muß, denn eine einstellige Zahl ist in der dritten Poten/ ein-, zwei- oder dreistellig. Eine zweistellige Zahl aber vier-, fünfoder sechsstellig. Man ermittelt nun die Stellenzahl des Ergebnisses beim Ziehen einer dritten Wurzel dadurch, daß man, von hinten anfangend, immer je drei Ziffern abteilt. Erhält man dabei, wie im vorliegenden Fall, zwei Zifferngruppen, so ist das Ergebnis zweistellig. Da die letzte Ziffer eine 9 ist, muß auch die letzte Ziffer des Ergebnisses eine 9 sein. Die erste Ziffer entsteht aus dei Gruppe 24. Diese liegt zwischen den Kubikzahlen 8 und 27, also muß die gesuchte Zahl zwischen 20 und 30 liegen und 29 heißen. Hat die gegebene Zahl aber mehr als sechs Stellen, so wird die Rechnung schon schwieriger. Immerhin weiß der Rechenkünstler bei der Aufgabe i/ 480 048 687 sogleich, daß das Ergebnis dreistellig sein muß. Er kennt auch bereits die letzte Ziffer, die wegen der 7 eine 3 sein wird. Die Zifferngruppe der ersten Stelle 480 liegt zwischen den Kubikzahlen 343 und 512 und weist auf eine 7 0 __

________

_____

29

als erste Ziffer des Ergebnisses. Für die mittlere Ziffer aber muß er sich eines weiteren Tricks bedienen; Dazu muß er die Elferreste der dritten Potenzen kennen, die in der folgenden Tabelle für die Zahlen l—10 aufgeführt sind.

D a die Zahl 480 048 687 den Elferrest 7 + 6 + 4 + 0 + bat, muß, wie unsere Tabelle angibt, die dritte Wurzel den Elferrest 2 haben. Da die erste Ziffer eine 7 und die letzte Ziffer eine 3 ist, kann es sich nur um die Zahl 783 handeln. ( 7 + 3 — 8) = 2. Fünfte und höhere Wurzeln werden logarithmisch gezogen. Auch hierbei gibt es für den Rechenkünstler Hilfsmittel in Tabellenform, die ihn das Ergebnis schnell erschließen lassen. Wir wollen aber unsere Leser damit nicht plagen. 1. 5. 7. 13. 15. 17. 3. -9. 19. 21. 1 1 1 1 1 1 1 1 - 1 1 2 8 8 8 • 2 8 2 8 2 '2 2 3 3 7 7 7 3 7 3 7 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ' 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 3 3 7 7 3 7 3 7 3 7 2 8 2 8 2 8 8 2 8 2 8 11.

1

9 10

9 0

9 0

9 0

9 0

9 0

9 0

9 0

9 ' 0

9 0

9 0

Diese letzte Tabelle enthält die Endziffern der höheren Potenzen. Daraus entnehmen wir, daß die 9., 13., 17., 21. Potenz genau wie die fünfte mit der Endziffer der Grundzahl enden. Ebenso enden die 7., 11., 15., 19. Potenz wie die dritte. Das führt — so eigenaltig das erscheinen mag — dazu, daß das Ziehen einer höheren Wurzel dem Rechenkünstler wesentlich leichter fällt, als das einer niedrigeren. Verlangt beispielsweise Jemand die 17. Wurzel aus einer 27stelligen Zahl, die mit einer 6 endigt, so braucht der 30

Rechenkünstler gar nicht mehr zu wissen; denn die gesuchte Zahl kann nur 36 sein! Sie muß mit einer 6 endigen, und da der Rechenmeister aus seiner Logarithmentabelle weiß, daß das Ergebnis zwischen 30 und 40 zu suchen ist, ist es ihm nicht schwer, die Zahl 36 zu erraten. Die Zuschauer sind verblüfft, und der arme Mann, der, um die Aufgabe stellen zu können, sich die Mühe machte, die Zahl 36 genau 17mal mit sich selbst zu multiplizieren, ist mit Recht enttäuscht, daß der Künstler von seinen vielen Ziffern nur die Anzahl und die Endziffer benötigt. — Geschwindigkeit und Redinen sind keine Hexerei! ADAM RIESE „Mach, was du willst — die Rechnung stimmt — nach Adam Riese!" Diese Anrufung des alten Rechenmeisters, den unser Bild auf Seite 2 zeigt, verfehlt meist ihre Wirkung nicht. Wenn eine Rechnung „nach Adam Riese" stimmt, kann es keinen Zweifel mehr geben. Dieser sprichwörtlich gewordene Mann ist im Jahre 1492 in Staffelstein, dem schönen Wallfahrtsort in der Nähe von Bamberg, geboren. Als junger Mann wanderte er aus seiner Heimat aus, ging nach Erfurt und schließlich nach Annaberg im Erzgebirge, wo er Bergbeamter wurde und am 30. März 1559 starb. Die von ihm verfaßten Lehrbücher für das praktische Rechnen wurden weltberühmt, zahlreiche Schüler besuchten die von ihm gegründete Rechenschule und galten, wie ihr Meister, als vollendete Rechenkünstler. Die Bücher Adam Rieses: „Rechnung auff der • Linichen", „Rechnung nach der Lenge auff der Linichen und Feder" und „Eyn gerechnet Büchlein auff den Schöffel, Eimer und Pfundtgewicht" blieben rund zweihundert Jahre im Gebrauch. Auch eines der noch heute gebräuchlichen Symbole für eine der Rechnungsarten, das Wurzelzeichen V , hat Adam Riese eingeführt. Dieses Zeichen, das aus dem kleinen lateinischen r (radix ist das lateinische Wort für Wurzel) entstanden ist, erinnert uns also ebenso an den großen Rechenmeister wie die landläufige Redensart „. . . nach. Adam Riese". Umschlaggestalfung: Karlheinz Dobsky L u x - L e s e b o g e n 4 ( M a t h e m a t i k ) - H e f t p r e i s 25 P f Natur- und kulturkundliche Hefte - Bestellungen (vieitelj. 6 Hefte DM 1,50) durch jede Buchhandlung und )ede Postanstalt - Verlag Sebastian Lux, Murnau (Oberb.), Seidipark ^ Druck; Greven & Bechtold, Köln - Printed in Germany 31

STETS IM B I L D E S E I N 1 Heute kann es sich niemand mehr leisten, auf den Gebieten der Naturwissenschaft und der Technik nicht oder schlecht unterrichtet zu sein, weil Naturwissenschaft und Technik das Gesicht unseres Weltbildes und den Ablauf unseres Alltags weitgehend bestimmen. Wer vorwärtskommen, wer etwas erreichen will, der muß sich der Fortschritte von Technik und Wissenschaft zu bedienen wissen l Und deshalb sollten auch Sie sich in allen Fragen der Naturwissenschaft und Technik zuverlässig und regelmäßig durch den ORION unterrichten lassen.

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