Theoretische Elektrotechnik: Eine Einführung 16. Auflage

Springer- Lehrbuch

Karl Kiipfmuller, Wolfgang Mathis, Albrecht Reibiger

Theoretische Elektrotechnik Eine Einfuhrung 16., vollstandig neu bearbeitete und aktualisierte Auflage

Mit 372 Abbildungen

4Q Springer

Professor Dr.-Ing. Karl E.h. Kupfmuller t em. o. Professor an der Technischen Hochschule Darmstadt Professor Dr.-Ing. habil. Wolfgang Mathis Universitat Hannover Institut fur Theoretische Elektrotechnik und Hochfrequenztechnik Appelstr. 9A 30167 Hannover [email protected] Professor Dr.-Ing. habil. Albrecht Reibiger Technische Universitat Dresden Institut fur Grundlagen der Elektrotechnik und Elektronik Mommsenstr. 13 01062 Dresden [email protected] 15. Auflage erschien unter dem Titel Kupfmuller, Kohn - Theoretische Elektrotechnik und Elektronik Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet uber abrufbar.

ISBN 3-540-20792-9 Springer Berlin Heidelberg New York Dieses Werkist urheberrechtlich geschutzt. Die dadurch begriindeten Rechte, insbesondere die der Obersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder Vervielfaltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfaltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulassig. Sie ist grundsatzlich vergiitungspflichtig. ZuwiderhandlungenunterliegendenStrafbestimmungendes Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-VerlagBerlinHeidelbergl932,1952,1955,1959,1962,1965,1968,1973,1984,1988,1990,1993,2000,and 2005 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwarenunddahervonjedermannbenutztwerdendurften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z.B. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewahr fur die Richtigkeit, Vollstandigkeit oder Aktualitat iibernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls fur die eigenen Arbeiten die vollstandigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils giiltigen Fassung hinzuzuziehen. Umschlag-Entwurf: Design &Production, Heidelberg Satz: Digitale Druckvorlage der Autoren 7/3020Rw 5 4 3 2 1 0 Gedruckt auf saurefreiem Papier

Unseren Frauen Barbara und Christine gewidmet

Vorwort

Im Jahre 1932 hat Karl K¨ upfm¨ uller das erste Vorwort zu seinem Buch Einf¨ uhrung in die Theoretische Elektrotechnik“ verfasst, aber es ist, wie man ” sich leicht u ¨berzeugen kann, nach wie vor ebenso aktuell wie sein Plan, der Ingenieurwissenschaft Elektrotechnik ein einheitliches Fundament zu verschaffen. In den Jahren nach dem erstmaligen Erscheinen dieses Buches wurden vor allem in der Nachrichtentechnik zahlreiche neue Konzepte entwickelt, die sich wie die Informationstheorie nicht mehr unter dem Dach einer feldtheoretisch und netzwerktheoretisch orientierten Elektrotechnik zusammenfassen lassen. Mit der Regelungstechnik hat sich nach dem 2. Weltkrieg eine neue Theorie entwickelt, die sich zwar urspr¨ unglich aus der Netzwerktheorie entwickelte, aber inzwischen mit anderen Disziplinen wie Maschinenbau und Verfahrenstechnik ein neuer ingenieurwissenschaftlicher Bereich mit interdisziplin¨arer Auspr¨ agung geworden ist. Schließlich ist zumindest der materialwissenschaftliche Teil der Halbleiterschaltungstechnik eine scheinbar unaufl¨osliche Verbindung mit der Physik und Chemie eingegangen. Anstatt dasjenige, was man unter Theoretischer Elektrotechnik versteht, immer weiter auszudehnen, beschr¨ anken wir uns ganz im Sinne von K¨ upfm¨ ullers erster Auflage weitgehend auf die netzwerk- und feldtheoretischen Grundlagen der Elektrotechnik und wagen allenfalls hier und da ein Blick auf das, was auch noch zur Elektrotechnik geh¨ ort. Bevor wir n¨ aher darauf eingehen, was sich an Aufbau und Inhalt dieser 16. Auflage der Einf¨ uhrung in die Theoretische Elektrotechnik ge¨andert hat, wollen wir zun¨ achst noch einmal Karl K¨ upfm¨ uller selbst sprechen lassen, indem wir das im Jahre 1932 noch an der Universit¨at Danzig verfasste Vorwort voranstellen:

Die Elektrotechnik bildet heute ein so großes und vielfach verzweigtes ” Gebiet der Ingenieurwissenschaften, dass es f¨ ur den einzelnen nicht m¨oglich ist, dieses Gebiet auch nur einigermaßen kennenzulernen; in noch st¨arkerem Maße muss sich der am Fortschritt der Technik arbeitende Ingenieur auf die

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Bet¨ atigung in einem verh¨ altnism¨ aßig engen Teilgebiet beschr¨anken. F¨ ur das Studium an den Hochschulen, das nicht angen¨ ahert so weit spezialisiert werden kann, wie es die sp¨ atere T¨ atigkeit des Studierenden erfordern w¨ urde, ergibt sich daraus die Notwendigkeit einer Beschr¨ ankung auf diejenigen Grundlagen, die m¨ oglichst vielen Gebieten gemeinsam sind. Das sind insbesondere die den elektrotechnischen Anwendungen zugrunde liegenden physikalischen Gesetze. Es gibt heute eine Reihe von vorz¨ uglichen Einf¨ uhrungen in die einfacheren Grundgesetze der Elektrotechnik. Es gibt ferner eine ausgezeichnete Spezialliteratur, die sich mit den Anwendungen der Grundgesetze besch¨aftigt. Hinsichtlich der theoretischen Vorbildung sind nun die Anforderungen an die allgemeinen Kenntnisse des wissenschaftlich t¨atigen Ingenieurs in den letzten Jahren bedeutend gewachsen, und wenn hier auch sehr gute physikalische Lehrb¨ ucher zur Verf¨ ugung stehen, so folgen doch Schwierigkeiten daraus, dass sich die Sprache der Elektrotechnik zum Teil nicht unerheblich von der der Physik entfernt hat und dass der Studierende nicht in der Lage ist, das f¨ ur ihn Notwendige aus der großen Stoffmenge herauszufinden. In dem vorliegenden Buch habe ich versucht, eine Einf¨ uhrung in die Vorstellungen und die Methoden zu geben, deren Kenntnis nach meinen Erfahrungen heute zur Allgemeinbildung des an der Weiterentwicklung der Elektrotechnik interessierten Ingenieurs geh¨oren muss. Damit ergab sich eine Abgrenzung des Stoffes gegen die mehr physikalischen Lehrb¨ ucher. Eine weitere Einschr¨ ankung wurde noch im Hinblick auf die vorhandene einf¨ uhrende Literatur der Elektrotechnik vorgenommen, die gewisse Gebiete sehr ausf¨ uhrlich behandelt. Diese Gebiete konnten daher hier etwas zur¨ uckgestellt werden. Ebenso wurde kein Versuch gemacht, die Theorie der elektrischen Maschinen aufzunehmen; sie stellt ein hochentwickeltes Spezialgebiet dar, das ein besonderes Studium erfordert. Die Stoffeinteilung ist keine systematische, sondern so gew¨ahlt, wie es f¨ ur das Verst¨ andnis am zweckm¨ aßigsten erschien. Daraus folgte eine Einteilung in einzelne Abschnitte, die nur verh¨ altnism¨ aßig lose zusammenh¨angen und z.T. ahr von Leichterem zu Schwierigerem fortineinander greifen, die aber ungef¨ schreiten. Der Stoff ist so weit fortgef¨ uhrt, wie es zum Verst¨andnis und zum Studium der Spezialliteratur notwendig ist; insbesondere ist bei der Darstellung auch den Bed¨ urfnissen von Studierenden der Physik, die auf dem Gebiet der Elektrotechnik t¨ atig sein wollen, Rechnung getragen. S¨ amtliche Formeln sind als Gr¨oßengleichungen geschrieben. Wer in der Praxis einmal weniger gel¨ aufige Formeln zahlenm¨aßig auszuwerten hatte, kennt den f¨ ur den Ingenieur besonders unzul¨assigen Zweifel u ¨ ber die richtige Wahl der Einheiten der verschiedenen Gr¨ oßen; meist ist ein zeitraubendes Nachrechnen der Formeln oder Nachsuchen in der Literatur erforderlich, wenn bei irgendeiner Gr¨ oße die Angabe der Einheit fehlte. Diese Schwierigkeiten verschwinden restlos, wenn man sich der Gr¨oßengleichungen bedient. Die den Gr¨ oßengleichungen zugrunde liegende Auffassung wurde bereits von J.C. Maxwell vertreten; wird verdanken den erneuten und tatkr¨aftigen Hinweis auf die Zweckm¨ aßigkeit der Gleichungen J. Wallot. Es ist zu hoffen, dass

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sich auch die anderen Gebiete der Technik und insbesondere der Physik von den veralteten Zahlenwertgleichungen, die nur f¨ ur bestimmte Einheiten richtig sind, im Einklang mit den k¨ urzlich vom A.E.F. herausgegebenen Empfehlungen m¨ oglichst bald abkehren werden. Eine erhebliche Erleichterung und ein bedeutender Zeitgewinn f¨ ur die sp¨ ateren Generationen w¨are der Lohn daf¨ ur1“.

Die von K¨ upfm¨ uller geschilderten Vorstellungen u ¨ ber die Bedeutung von Theorie in der Elektrotechnik und ihr Verh¨ altnis zu den technischen Anwendungen sind, so glauben wir, nach wie vor – und vielleicht sogar mehr denn je – richtig. K¨ upfm¨ ullers Theoretische Elektrotechnik“ kann auch mehr als ” siebzig Jahre nach dem Erscheinen der ersten Auflage trotz Computer und Internet und der dennoch fast un¨ ubersehbaren F¨ ulle von Literatur auf diesem Gebiet noch ihren Platz in den B¨ ucherregalen von ElektrotechnikerInnen und InformationstechnikerInnen finden. Ein Grund daf¨ ur mag sein, dass es K¨ upfm¨ uller nicht darum ging, ein neues Buch u ¨ ber elektromagnetische Felder zu schreiben, denn auch zu seiner Zeit gab es hervorragende Werke wie etwa Breisigs Theoretische Telegraphie“ aus dem Jahre 1910. Vielmehr wollte ” er auf einem theoretisch durchaus anspruchsvollen Niveau eine Gesamtschau u ¨ ber diejenigen Bereiche der Elektrotechnik bieten, bei denen man durch Probieren nicht weiterkommt und daher Theorie ben¨otigt. Eine solche Intention kann heute aus den oben genannten Gr¨ unden kein Ziel mehr sein; dazu ist die theoretische Basis der Elektrotechnik und Informationstechnik heute zu breit geworden. Beschr¨ ankt man sich jedoch auf die netzwerktheoretischen und feldtheoretischen Grundlagen, dann ist K¨ upfm¨ ullers Unternehmung auch heute noch sinnvoll. Deshalb haben wir genau diesen Weg beschritten, als wir uns an die Neubearbeitung der Theoretischen Elektrotechnik“ gemacht ” haben. Nicht die Inhalte sondern die Form der Theoretischen Elektrotechnik“ ” sind ein wenig in die Jahre gekommen. Das liegt nicht zuletzt daran, dass bisher keine elektronische Form von K¨ upfm¨ ullers Buch vorlag. So haben G. Bosse, der die 11. Auflage bearbeitete, und G. Kohn, der sich um die 12. bis ahrten Methode des Copy and Pas14. Auflage k¨ ummerte2 noch mit der bew¨ ” te“ gearbeitet. Dadurch konnten strukturelle Ver¨anderungen nicht ausgef¨ uhrt werden. Als wir die Arbeiten an der 16. Auflage aufnahmen, war es das Ziel, einen strukturellen Neuaufbau durchzuf¨ uhren und dabei die K¨ upfm¨ ullersche Art der Aufbereitung des Materials unbedingt zu beachten. Die Leserinnen 1

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K¨ upfm¨ ullers Danksagung von 1932: F¨ ur eine Reihe von Anregungen bei der Auswahl des Stoffes bin ich Herrn Dir. Dr. phil. Dr.-Ing. E.h. F. L¨ uschen zu Dank verpflichtet. Ferner danke ich den Herren Dr.-Ing. H. Jenss und Dipl.-Ing. H. Werrmann f¨ ur ihre freundliche M¨ uhewaltung bei der Durchsicht des Manuskripts und der Korrekturen. Der Verlagsbuchhandlung danke ich f¨ ur das bereitwilligem Eingehen auf meine W¨ unsche In der 15. Auflage haben W. Mathis und A. Reibiger die 14. Auflage nur hinsichtlich der Abbildung ein wenig kosmetisch ver¨ andert

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und Leser m¨ ogen beurteilen, ob das gelungen ist. Zur besseren Orientierung wollen wir jedoch die Grundgedanken der neuen Struktur des Buches skizzieren. Bevor wir n¨ aher auf die Grundelemente der theoretischen Elektrotechnik eingehen, stellen wir im ersten Teil zun¨ achst einmal die Frage: Was ist theoretische Elektrotechnik? Dabei werden systemtheoretische Grundgedanken betont, wie sie von K¨ upfm¨ uller bereits in den 1920er Jahren erdacht und in seiner ber¨ uhmten Monographie systematisch entwickelt wurden. Wie in K¨ upfm¨ ullers urspr¨ unglicher Konzeption der Theoretische Elektrotechnik“ ist ” der zweite Teil des Buches der Theorie elektrischer Netzwerke gewidmet. Dieser Teil ist v¨ ollig neu konzipiert worden, wobei auch neuere Entwicklungen wie alternative Darstellungen der Grundlagen der resistiven Netzwerke und der Wechselstromrechnung einbezogen wurden. Anschließend werden die Methoden anhand ausgew¨ ahlter Beispiele demonstriert. Im gleichen Sinne wie der zweite Teil sind auch die anderen Teile der Neufassung des Buches aufgebaut. Dazu wurden die theoretischen und methodischen Anteile, die zugeh¨ origen Interpretationen und die Beispiele der vorherigen Auflage der Theoretischen Elektrotechnik“ getrennt und in syste” matischer Weise neu geordnet. Um die inhaltliche Einordnung zu verbessern, wurden jedem Abschnitt in kompakter Form die wesentlichen theoretischen Aspekte hinzugef¨ ugt. Nach der Theorie elektrischer Netzwerke wird die Theorie elektromagnetischer Felder in induktiver Weise aufgebaut. Darunter versteht man, dass nicht die vollst¨ andigen Maxwellschen Gleichungen f¨ ur das elektromagnetische Feld Ausgangspunkt der Betrachtungen sind wie beispielsweise bei Sommerfeld [207], sondern es werden schrittweise auf der Grundlage entsprechender experimenteller Erfahrungen n¨ aherungsweise g¨ ultige Theorien entwickelt, bis die vollst¨ andige Theorie aufgebaut ist. Im dritten Teil wird in ausf¨ uhrlicher Weise auf die Theorie des statischen elektrischen Feldes – die Elektrostatik – eingegangen. Dazu wird wie im gesamten Buch intensiv vom Satz von Helmholtz (vgl. Anhang A.2) Gebrauch gemacht, um die mathematischen Felder zur Beschreibung des physikalischen Sachverhaltes in nachvollziehbarer Weise einzuf¨ uhren; dabei wird auch das Nahwirkungsprinzip verwendet. Nach den theoretischen Grundlagen und einem Abschnitt u ¨ ber die Interpretation der Elektrostatik werden zahlreiche Beispiele diskutiert. Danach werden die Methoden zur L¨ osung der mathematischen Probleme ausf¨ uhrlich diskutiert. In entsprechender Weise wird im vierten Teil das elektrische Str¨omungsfeld behandelt. Es ist zu hoffen, dass die Leserinnen und Leser aufgrund der neuen Struktur des Buches sehr viel besser auf die teilweise hochinteressanten Inhalte von K¨ upfm¨ ullers Theoretischer Elektrotechnik“ zugreifen k¨onnen. ” Im f¨ unften Teil des Buches wird auf die Theorie des station¨aren Magnetfeldes eingegangen. Dabei werden die mathematischen Felder der Theorie auf eine wenig bekannte, aber sehr durchsichtige Weise aufgrund einer einfachen uhrt, die auf Falk und Ruppel [66] zur¨ uckexperimentellen Beobachtung eingef¨ geht. Es folgen wiederum Beispiele und Rechenmethoden sowie weitere theo-

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retische Aspekte. Ebenfalls auf eine alternative Weise wird das Induktionsgesetz in sechsten Teil des Buches eingef¨ uhrt, die man in dem klassischen Buch u ¨ ber Theoretische Physik von Weizel [238] finden kann, die aber kaum beachtet wird. F¨ ur uns ist es besonders wichtig, dass die Gleichungen des quasistation¨ aren elektromagnetischen Feldes entwickelt werden. Diese Gleichungen enthalten auch einen Anteil des Verschiebungsstromes, um die Ladungsbilanz zu gew¨ ahrleisten, aber ohne dass Wellenl¨osungen m¨oglich sind. Auf diese Erweiterung hat Ludwig [141] erstmals in voller Klarheit hingewiesen; siehe auch Mathis [148]. Ansonsten wird der Gedanke der Felddiffusion in die Theorie des quasistation¨ aren elektromagnetischen Feldes eingearbeitet, wie er beispielsweise in der ausgezeichneten Monographie von Lehner [134] zu finden ist. Im siebten Teil des Buches wird dann die vollst¨andige Theorie des elektromagnetischen Feldes entwickelt, wobei der noch fehlende Anteil des Verschiebungsstromes – die Maxwellsche Erg¨ anzung – hinzugef¨ ugt wird und somit Wellenl¨ osungen auftreten k¨ onnen. V¨ ollig neu ist der Abschnitt u ¨ ber TEMWellen auf Leitungen. Dabei werden die Leitungsgleichungen f¨ ur verlustfreie homogene Leitungen konsequent aus den Maxwellschen Gleichungen hergeleitet. F¨ ur verlustbehaftete Leitungen gelten diese Gleichungen nur n¨aherungsweise. Wie auch in den anderen Abschnitten wird der Zusammenhang der feldtheoretischen Inhalte mit der Netzwerktheorie im zweiten Teil des Buches und der Zustandsdarstellung, die bei Leitungen unendlich dimensional ist, betont. Im achten Teil des Buches wird die Anwendung netzwerk- und feldtheoretischer Methoden auf die Modellierung von Bauelementen und Schaltungen behandelt. Auch in diesem Abschnitt werden zahlreiche neue Aspekte diskutiert. In den Anh¨ angen werden einige wichtige mathematische Ergebnisse zusammenfasst. Aus Platzgr¨ unden konnten nicht s¨ amtliche Inhalte der 15. Auflage der Theoretischen Elektrotechnik“ u ¨bernommen werden. In Absprache mit dem ” Springer-Verlag haben wir uns entschieden, einige, eher in den Hintergrund getretene, aber dennoch interessante Aspekte der theoretischen Elektrotechnik auf der Homepage des Buches verf¨ ugbar zu machen. Dazu geh¨oren die Abschnitte u ¨ ber Elektronenoptik 14.5, Stromleitung in Gasen 37.1 und Elektronenr¨ ohren 38, deren Inhalte an den sachlich richtigen Stellen des Buches und im Gesamtinhaltsverzeichnis erscheinen, die aber als PDF-File von der Homepage http://www.springeronline.com/de/3-540-20792-9 heruntergeladen werden k¨ onnen. Dort findet man auch umfangreiches weiteres Material zur theoretischen Elektrotechnik: Eine Biographie von Karl K¨ upfm¨ uller, PowerPoint-Files und PDF-Files von Vorlesungen u ¨ber theoretische Elektrotechnik, Animationen, historische Hinweise, vieles andere mehr. andig daran, zus¨atzliDer eine von uns (W.M.) arbeitet mit seinem Team st¨ ches Material bereitzustellen. Da bei der erstmaligen Umsetzung eines derart umfangreichen Manuskripts in eine elektronische Version eine erh¨ohte Fehler-

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quote auftreten kann, wird auf der Homepage auch ein Errata bereitgestellt, das laufend aktualisiert wird. F¨ ur ihre Hinweise w¨aren wir allen Leserinnen und Lesern sehr dankbar. Wir laden Sie ein, die Seiten zu besuchen und freuen uns u ur steht auf der Homepage ¨ ber ihre Anregungen. Eine Email-Adresse daf¨ zur Verf¨ ugung. Um dem Inhalt des Buches folgen zu k¨ onnen, sollten einige grundlegende Kenntnisse der Physik und Mathematik sowie der Grundlagen der Elektrotechnik bekannt sein. Hinsichtlich der physikalischen Vorkenntnisse sollte zumindest die Schulphysik (wie Metzler Physik [162]) aber besser noch die Physik f¨ ur Ingenieure (wie bei Dobrinski, Krakau, Vogel [57]) pr¨asent sein. Die notwendigen mathematischen Vorkenntnisse der linearen Algebra und Vektoranalysis kann man bei J¨ anich [113], [112] erlangen. Zur Auffrischung dieser Mathematik kann das Repetitorium von Merziger und Wirths [160] sehr empfohlen werden. Die Grundlagen der Elektrotechnik werden in einer Vielzahl von Lehrb¨ uchern dargestellt; vgl. z. B. Unbehauen [220]. Abschließend sei noch darauf hingewiesen, dass in den letzten Jahren alternative Darstellungen der Theorie elektromagnetischer Felder mit Hilfe sogenannter Differentialformen entwickelt wurden. Man erh¨alt gute strukturelle Einsichten in die Theorie und hat Vorteile bei analytischen Rechnungen. Allerdings gen¨ ugen Differentialformen nicht, sondern es m¨ ussen orientierte Formen eingef¨ uhrt werden. Darauf wird u. a. in den Monographien von Meetz und Engl [158] sowie von Hehl [90] hingewiesen werden; vgl. auch Russer [200]. Inzwischen konnten Bossavit [33], Hiptmair [100] und andere nachweisen, dass man von diesem geometrischen Standpunkt aus gesehen auch neuartige Einblicke in die Numerik elektromagnetischer Felder gewinnen kann. Diese Aspekte gehen jedoch weit u uhrenden Buches hinaus, und ¨ ber den Rahmen dieses einf¨ wir m¨ ussen daher auf die Literatur verweisen. Am Schluss dieses Vorwortes sollen noch einige Danksagungen folgen, da ohne die entsprechende Hilfe das Buch wohl kaum in der vorliegenden Form entstanden w¨ are. Zun¨ achst m¨ ochten wir unseren Familien herzlich f¨ ur die Unterst¨ utzung danken, die uns zuteil geworden ist, da sie u ¨ ber einen l¨angeren Zeitraum nicht selten auch an Abenden und Wochenenden auf uns verzichten mussten; aufgrund sehr großen Arbeitsanteils gilt das insbesondere f¨ ur die (W.M.)-Familie. Weiterhin m¨ ochten wir uns zutiefst bei Herrn Hans-J¨ urgen B¨odecker bedanken, denn ohne dessen engagierte und unerm¨ udliche Arbeit bei der Vorbereitung eines großen Teils des Textes hinsichtlich der elektronischen Fassung und bei der Aufbereitung der Bilder das Erscheinen dieses Buches urgen B¨odecker ist einer sich noch lange hinausgeschoben h¨ atte. Mit Hans-J¨ von uns (W.M.) schon lange und intensiv freundschaftlich verbunden, wobei sich sein Wahlspruch Die Liebe zur Sache“ und seine darauf gegr¨ undete Art ” des Arbeitens auch bei diesem Buchprojekt auf das Trefflichste bew¨ahrt hat. Wir danken auch unseren Mitarbeitern, den Herrn Dipl.-Ing. F. Felgenhauer und M. Streitenberger (beide Hannover) und Herrn Dipl.-Ing. T. N¨ahring (Dresden) f¨ ur mannigfache Hilfe bei der computerm¨aßigen Erstellung des Manuskripts, verschiedenen Abbildungen und Diskussionen zum Thema der je-

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weiligen Abschnitte. Dar¨ uberhinaus dankt einer von uns (W.M.) seiner Frau Barbara f¨ ur das Korrekturlesen. Von zahlreichen Fachkolleginnen und Kollegen haben wir immer wieder ermunterndes Interesse erfahren; dabei m¨ochte wir Herrn Prof. J¨ urgen Nitsch (Otto-von-Guericke-Universit¨at Magdeburg), Herrn Prof. Gerhard Wunsch (TU Dresden) und Herrn Prof. Sigurd Falk (TU Braunschweig) besonders erw¨ ahnen. Schließlich m¨ochten wir uns bei den Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern des Springer-Verlages f¨ ur die ausgezeichnete Zusammenarbeit bedanken.

Hannover und Dresden im Juli 2004 Wolfgang Mathis und Albrecht Reibiger

Inhaltsverzeichnis

Teil I Was ist Theoretische Elektrotechnik? 1

Die elektrotechnischen Disziplinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2

Systemtheoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3

Grundlegende Aspekte physikalischer Systeme . . . . . . . . . . . . . 15 3.1 Verteilte physikalische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Mechanik und Energie-Impuls-Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Teil II Theorie elektrischer Netzwerke 4

5

Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Netzwerkmodellierung und Widerstandsnetzwerke . . . . . . . . . . . 4.2 Einschwingvorg¨ ange in elektrischen Netzwerken . . . . . . . . . . . . . 4.3 Die Wechselstromrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 4.4 Darstellungen von Ubertragungsfunktionen ................. 4.5 Zweitore und Vierpole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23 23 35 38 44 52

Beispiele f¨ ur elektrische Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Netzwerke aus Kapazit¨ aten und Widerst¨anden . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Der zeitliche Auf- und Abbau eines elektrischen Feldes . 5.1.2 Wechselstromkreis mit Kapazit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Netzwerke aus Induktivit¨ aten und Widerst¨anden . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Der Aufbau eines magnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Wechselstromkreis mit Induktivit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Dreiphasennetzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Der Gyrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59 59 59 64 69 69 72 77 83

Inhaltsverzeichnis

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Teil III Das elektrostatische Feld 6

Die Grundgleichungen des elektrostatischen Feldes . . . . . . . . 89

7

Elementare Betrachtungen zur Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . 94

8

Materialgesetze in der Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9

Influenzwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

10 Einfache Beispiel f¨ ur elektrostatische Felder . . . . . . . . . . . . . . . 112 10.1 Das elektrische Feld von Punktladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 10.1.1 Die homogen geladene Kugel und die Punktladung . . . . 113 10.1.2 Endlich viele Punktladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 10.1.3 Das Potenzial zweier Punktladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 10.1.4 Der elektrische Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 10.1.5 Das elektrische Feld zweier Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 10.1.6 Endlich ausgedehnte Linienladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 10.2 Ebene elektrostatische Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 10.2.1 Unendlich lange Linienleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 10.2.2 Koaxialkabel, Zylinderkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 10.2.3 Zweidrahtleitung, parallele Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 10.2.4 Zylinder und Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 10.2.5 Liniendipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 10.2.6 Erdseil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 11 L¨ osungsverfahren der Poisson- und Laplace-Gleichung . . . . . 142 11.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 11.1.1 Poisson- und Laplace-Gleichung und ihre L¨osungsmengen143 11.1.2 Rand- und Grenzbedingungen, Eindeutigkeit des Potenzials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 11.2 Elementare Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 11.2.1 Die graphische Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 11.2.2 Eindimensionale Potenzialprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 ¨ 11.2.3 Uberlagerung von Punktladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 11.3 Das Kirchhoff-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 11.4 Die Greensche und Neumannsche Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 152 11.5 Die Multipolmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 11.6 Die Spiegelungsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 11.7 Konforme Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 11.8 Die Separationsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 11.9 Bemerkungen zu numerischen Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

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Inhaltsverzeichnis

12 Kapazit¨ atskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 12.1 Der elementare Kapazit¨ atsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 12.2 Graphische Berechnung von Kapazit¨atskoeffizienten . . . . . . . . . . 177 12.3 Kapazit¨ at einfacher Anordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 12.4 Parallel- und Reihenschaltung von Kapazit¨aten . . . . . . . . . . . . . . 187 12.5 Kapazit¨ aten in Mehrleitersystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 12.5.1 Maxwellsche Kapazit¨ atskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 12.5.2 Definition und Messung von Teilkapazit¨aten . . . . . . . . . . 189 12.5.3 Form des elektrischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 12.5.4 Berechnung von Teilkapazit¨ aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 13 Energie in der Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 13.1 Elementare Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 14 Mechanische Kr¨ afte in der Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 14.1 Kr¨ afte an Leiteroberfl¨ achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 14.2 Mechanische Spannungen im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . 208 14.3 Kr¨ afte an Grenzfl¨ achen zwischen Nichtleitern . . . . . . . . . . . . . . . 210 14.4 Berechnung der Feldkr¨ afte aus der Kapazit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . 212 14.5 Einwirkung elektrischer Felder auf Elektronenbahnen: Elektronenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Teil IV Das elektrische Str¨ omungsfeld 15 Grundgleichungen des elektrischen Str¨ omungsfeldes . . . . . . . 219 16 Elementare Betrachtungen zum elektrischen Str¨ omungsfeld 224 16.1 Experimentelle Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 16.2 Das station¨ are Str¨ omungsfeld und Widerstandsnetzwerke . . . . . 228 16.3 Zusammenhang zwischen Kapazit¨ at und Widerstand . . . . . . . . . 234 17 Beispiele von elektrischen Str¨ omungsfeldern . . . . . . . . . . . . . . . 238 17.1 Punktquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 17.2 Spiegelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 17.3 Linienquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Teil V Das station¨ are Magnetfeld 18 Grundgleichungen des station¨ aren Magnetfeldes . . . . . . . . . . . 257

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XVII

19 Elementare Betrachtungen zum station¨ aren Magnetfeld . . . 264 19.1 Magnetische Kraftwirkungen und das B-Feldes . . . . . . . . . . . . . . 264 19.2 Beispiele f¨ ur magnetische Kraftwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 19.3 Das Durchflutungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 19.4 Der magnetische Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 20 Materialgesetze im station¨ aren Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . 279 20.1 Diamagnetismus und Paramagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 20.2 Messung der Permeabilit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 20.3 Ferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 20.4 Magnetische Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 20.5 Magnetische Anisotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 21 L¨ osungsverfahren f¨ ur die Vektorpoisson-Gleichung . . . . . . . . . 297 21.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 21.2 Das vektorielle Kirchhoff-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 21.2.1 Kirchhoff-Integral f¨ ur Stromdichteverteilungen . . . . . . . . 299 21.2.2 Kirchhoff-Integral f¨ ur Stromf¨ aden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 21.3 Das Biot-Savart-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 21.4 Die Multipolmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 21.5 Das skalare magnetische Potenzial und konforme Abbildungen 308 22 Beispiele f¨ ur station¨ are Magnetfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 22.1 Anwendung der Amper`eschen Formel und des Vektorpotenzials 316 22.2 Anwendung des magnetischen Potenzials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 22.3 Der magnetische Kreis: Elektro- und Dauermagnete . . . . . . . . . . 322 22.3.1 Grundgleichungen des magnetischen Kreises . . . . . . . . . . 322 22.3.2 Angen¨ aherte Berechnung von Elektromagneten . . . . . . . . 324 22.3.3 Scherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 22.3.4 Berechnung von Dauermagneten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 22.3.5 Theorie der Kompassnadel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 23 Induktionskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 23.1 Der Induktivit¨ atsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 23.2 Induktivit¨ aten einfacher Anordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 23.2.1 Induktivit¨ at einer Ringspule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 23.2.2 Induktivit¨ at einer Zylinderspule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 23.2.3 Induktivit¨ at einer Doppelleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 23.2.4 Induktivit¨ at eines Drahtringes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 23.2.5 Induktivit¨ at von Dr¨ ahten beliebiger Form . . . . . . . . . . . . 340 23.2.6 Induktivit¨ at bei beliebigen magnetischen Kreisen . . . . . . 340 23.3 Gegeninduktion und Gegeninduktivit¨aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 24 Energie im station¨ aren Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

XVIII Inhaltsverzeichnis

25 Kr¨ afte im station¨ aren Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 25.1 Kr¨ afte zwischen Stromleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 25.2 Kr¨ afte zwischen Stromleitern und magnetischen Stoffen . . . . . . 359 25.3 Kr¨ afte an Grenzfl¨ achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 Teil VI Das quasi-station¨ are elektromagnetische Feld 26 Grundgleichungen des quasistation¨ aren Feldes . . . . . . . . . . . . . 367 26.1 Elektrisches und magnetisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 26.2 Das Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 26.3 Die Grundgleichungen mit Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 26.4 Das Induktionsgesetz und die Kontinuit¨atsgleichung . . . . . . . . . 371 26.5 Die Grundgleichungen des quasistation¨aren elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 27 Elementare Betrachtungen zur Induktionswirkung . . . . . . . . . 377 28 L¨ osungsverfahren f¨ ur Diffusionsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 394 29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 29.1 Wirbelstr¨ ome und Skineffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 29.1.1 Stromverdr¨ angung im zylindrischen Leiter . . . . . . . . . . . . 398 29.1.2 Ebene Wirbelfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 29.1.3 Einseitige Stromverdr¨ angung in Ankerleitern und Spulen408 29.1.4 Wirbelstr¨ ome in Eisenblechkernen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 29.1.5 Abschirmung von Hochfrequenzfeldern . . . . . . . . . . . . . . . 417 29.1.6 Triebstr¨ ome eines Wechselstromz¨ahlers . . . . . . . . . . . . . . . 419 29.2 Ummagnetisierungsverluste bei ferromagnetischen Werkstoffen 420 29.3 Der Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 29.3.1 Allgemeine Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 29.3.2 Streuungs-Ersatzbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 29.3.3 Die Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 ¨ 29.3.4 Der lineare Ubertrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 ¨ 29.3.5 Kopplungs-Ersatzbilder des linearen Ubertragers . . . . . . 439 29.4 Elektrisch-mechanische Energiewandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 29.4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 29.4.2 Die Grundgleichungen der elektrischen Maschine . . . . . . 442 29.4.3 Die Gleichstrommaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 29.4.4 Die Synchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 29.4.5 Die Asynchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 29.4.6 Lineare elektrisch-mechanische Systeme . . . . . . . . . . . . . . 459 30 Der Verschiebungsstrom im quasistation¨ aren Feld . . . . . . . . . 465

Inhaltsverzeichnis

XIX

31 Bewegte Leiter und das Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 31.1 Bewegte Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 31.2 Bewegte nichtleitende K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 31.3 Weitere Bewegungseffekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 Teil VII Das instation¨ are elektromagnetische Feld 32 Die Maxwellsche Theorie des elektromagnetisches Feldes . . 479 32.1 Die Maxwellsche Erg¨ anzung und Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 32.2 Die Maxwellschen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 33 Elementare Betrachtungen zum instation¨ aren elektromagnetischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 34 Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 34.1 Elementarform der elektromagnetischen Welle . . . . . . . . . . . . . . . 493 34.1.1 Nahfeld der schwingenden Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498 34.1.2 Fernfeld der schwingenden Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 34.1.3 Energiefluss in der Elementarwelle, Strahlungswiderstand500 34.2 Energiedichte des elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . 506 34.3 Ebene Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 34.4 Empfangsantennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519 34.5 Elektromagnetische Schirme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520 35 TEM-Wellen auf Doppel- und Mehrfachleitungen . . . . . . . . . . 524 35.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 35.2 Verlustfreie Doppelleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526 35.2.1 Feldtheoretische Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526 35.2.2 Leitungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534 35.2.3 Konstruktion von Leitungsmodellen mit Differenzenformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 35.2.4 Ausblick: Mehrfachleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549 35.2.5 Schlußbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550 35.3 Verlustbehaftete Doppelleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551 35.3.1 Doppelleitungen mit verlustbehaftetem Dielektrikum . . . 551 35.3.2 Doppelleitungen mit verlustbehaftetem Dielektrikum und verlustbehafteten Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553 35.4 L¨ osung der Leitungsgleichungen im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . 556 35.4.1 Wellenausbreitung auf verlustlosen Doppelleitungen . . . . 556 35.4.2 Leitungsmodelle zur Netzwerkanalyse im Zeitbereich . . . 570 35.5 L¨ osung der Leitungsgleichungen im Frequenzbereich . . . . . . . . . 579 35.5.1 Sinusf¨ ormig eingeschwungene L¨osungen der Leitungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580

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35.5.2 Leitungsmodelle f¨ ur die Netzwerkanalyse im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 35.5.3 Eigenschaften der L¨ osungen der Leitungsgleichungen im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589 36 Hohlleiter und Hohlraumresonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598 Teil VIII Das elektromagnetische Feld in elektronischen Bauelementen 37 Mechanismen der Stromleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 37.1 Stromleitung in Gasen: Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 37.1.1 Stoßionisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 37.1.2 Elektronenausl¨ osung an der Kathode . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 37.1.3 Anlaufspannung. Durchschlag in Gasen . . . . . . . . . . . . . . 613 37.1.4 Koronaentladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 37.1.5 Kurzzeitige Gasentladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 37.1.6 Bogenentladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 37.1.7 Bogenentladung an Kontakten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 37.1.8 Die Kapazit¨ at bei Feldern mit Raumladungen . . . . . . . . . 613 37.1.9 Der Durchschlag von Isolierstoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 37.2 Stromleitung in festen K¨ orpern und Fl¨ ussigkeiten . . . . . . . . . . . . 614 37.2.1 Atomstruktur der Leiter und Leitungsmechanismen . . . . 614 37.2.2 Metallische Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615 37.2.3 Ionenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620 37.2.4 Schwankungserscheinungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621 37.2.5 Das Wesen der Stromquellen - Quellenspannung . . . . . . . 623 37.3 Stromleitung in Halbleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624 37.3.1 Siliziumkristall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624 37.3.2 B¨ andermodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626 37.3.3 Eigenleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627 37.3.4 St¨ orstellenleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629 37.3.5 Feldstrom und Diffusionsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633 37.3.6 Diffusion von Minorit¨ atstr¨ ager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635 37.3.7 Diffusion von L¨ ochern aus einer p-Zone in eine n-Zone. Diffusionsspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639 37.3.8 Thermoeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643 37.3.9 Photoeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643 38 Elektronenr¨ ohren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646 38.1 Die Raumladungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646 38.2 Elektronenemission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646 38.3 Photoemission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646 38.4 Die Strom-Spannungsrelation f¨ ur Elektronenr¨ohren . . . . . . . . . . 646

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XXI

38.5 Die Hochvakuumtriode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646 38.6 Die Hochvakuumtriode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646 38.7 Raumladung in leitenden Stoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646 39 Halbleiterbauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647 ¨ 39.1 Der pn-Ubergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647 ¨ 39.1.1 Der pn-Ubergang im stromlosen Zustand . . . . . . . . . . . . . 647 ¨ 39.1.2 pn-Ubergang im Durchlassbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651 ¨ 39.1.3 pn-Ubergang im Sperrbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656 ¨ 39.1.4 Kapazit¨ at des pn-Uberganges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656 39.2 Der bipolare npn-Transistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661 39.2.1 Der Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663 39.2.2 Die Ersatzschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663 39.3 Der MOSFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670 40 Schaltungen und Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675 40.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675 40.2 Der Bipolartransistor und seine Grundschaltungen . . . . . . . . . . . 675 40.3 Systeme mit R¨ uckkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685 40.3.1 Stabilit¨ atsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685 40.3.2 Negativer Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687 40.3.3 Die beiden Typen von negativen Widerst¨anden . . . . . . . . 692 40.3.4 R¨ uckkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695 40.3.5 Erzeugung von Schwingungen in Oszillatoren . . . . . . . . . 699 A

Mathematische Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705 A.1 Differentialoperatoren und Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705 A.2 Das Satz von Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709

B

Der Laplace-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711 B.1 Skalare Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711 B.2 Vektorielle Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727

Teil I

Was ist Theoretische Elektrotechnik?

1 Die elektrotechnischen Disziplinen

Viele technische Aufgaben k¨ onnen im Prinzip durch Probieren gel¨ost werden, z. B. der Bau eines Elektromotors oder einer Verst¨arkerr¨ohre oder einer Fernsprechverbindung. Beim Bau eines Transistores oder einer mikro- oder gar nanoelektronischen Schaltung in integrierter Technologie ist das jedoch nicht mehr so einfach und kann bei fehlerhaften Ergebnissen hohe Kosten verursachen. Wendet man die Probiermethode“ an und erf¨ ullt das erste Ger¨at nicht ” die gew¨ unschten Bedingungen, ist z. B. die Leistung des Elektromotors nicht ausreichend oder zeigen sich irgendwelche anderen M¨angel, dann wird man ein zweites Ger¨ at herstellen und versuchen, durch Ab¨anderungen diese M¨angel zu beseitigen, und es ist wahrscheinlich, dass man bei Verwertung der dabei gemachten Erfahrungen nach einer gewissen Anzahl von Versuchen schließlich zu einem brauchbaren Ger¨ at kommen wird. Dieses empirische Verfahren ist in der Tat das Verfahren, das in der Technik, besonders in der Anfangszeit neuer Zweige der Technik, h¨ aufig angewendet wurde und noch angewendet wird. Offensichtlich erfordert es aber zumindest große Aufwendungen an Hilfsmitteln und an Zeit. Sie lassen sich um so mehr verringern, je genauer man die Vorg¨ ange kennt, die sich in der betreffenden Einrichtung abspielen. Diese Kenntnis kann zwar grunds¨ atzlich nur durch Erfahrung ermittelt werden; es ist jedoch m¨ oglich, auch ohne dass Erfahrungen mit der besonderen Einrichtung vorliegen, um deren Herstellung es sich handelt, Voraussagen u ¨ber ihre Eigenschaften zu machen. Dazu dient die Theorie. Die Theorie bildet die Zusammenfassung der jeweils vorliegenden, durch Beobachtung und Messung gewonnenen Gesamterfahrungen, so dass diese auf m¨oglichst viele F¨alle ¨ ubertragen werden k¨onnen. Diese unseren heutigen Vorstellungen entsprechende Definition unterscheidet sich grunds¨ atzlich von der alten Bedeutung dieses Wortes, wie sie Goethe im Faust“ meint, wenn er von der grauen“ Theorie spricht. Jene Theorie“ ” ” ” ging nicht von der Erkenntnis der Naturvorg¨ange aus, sondern beruhte auf einer dogmatischen Weltbetrachtung. Zur L¨ osung einer technischen Aufgabe stehen also grunds¨atzlich Versuch und Theorie zur Verf¨ ugung, wobei die Theorie die bereits fr¨ uher gemachten

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1 Die elektrotechnischen Disziplinen

Versuche und Erfahrungen ber¨ ucksichtigt. Daher sind zur L¨osung einer technischen Aufgabe im allgemeinen drei Arten von Aufwendungen erforderlich: 1. Gedankenarbeit zur Verwertung der theoretischen Erkenntnisse. 2. Mittel zur Ausf¨ uhrung von Versuchen (Rohstoffe, Werkstoffe, Bauelemente, Herstellungskosten der Versuchseinrichtungen, Betriebskosten). 3. Zeit: Zur L¨ osung ein und derselben Aufgabe sind nun mehr Versuche und Versuchseinrichtungen erforderlich, wenn von den theoretischen Erkenntnissen wenig Gebrauch gemacht wird. An materiellem Aufwand kann gespart werden, wenn mehr geistige Arbeit bei der L¨osung des Problems aufgewendet wird. Dazu kommt noch, dass das empirische Verfahren unvergleichlich mehr Zeit und Gesamtarbeit erfordert als bei Anwendung der theoretischen Erkenntnisse notwendig ist. Hierin liegen die Erfolge des wissenschaftlichen Verfahrens der Bearbeitung technischer Aufgaben, das den Gegensatz zum empirischen Verfahren bildet, und dessen Einf¨ uhrung die raschen Fortschritte der Technik in den letzten Jahrzehnten erm¨oglicht hat. Die theoretischen Erkenntnisse sind allerdings gegenw¨artig – und das galt nicht nur in der Zeit K¨ upfm¨ ullers, sondern aufgrund des st¨andigen Technologiewandels gilt diese Aussage in jeder Epoche – ist das noch weit von dem idealen Zustand entfernt, dass man jede technische Aufgabe rein durch Gedankenarbeit l¨ osen k¨ onnte, dass also die zweite Art von Aufwendungen vollst¨ andig durch die erste ersetzt werden k¨onnte; um so wichtiger ist es daher, mit der Auswertung des Vorhandenen so weit zu gehen wie irgend m¨ oglich. Jede technische Aufgabe ist l¨osbar. H¨aufig erfordert die L¨ osung große Aufwendungen an Mitteln und an Zeit; sie k¨onnen in dem Maße vermindert werden, in dem es m¨ oglich ist, theoretische Erkenntnisse anzuwenden. Gew¨ ohnlich gibt es zur L¨ osung einer technischen Aufgabe viele verschiedene Wege oder verschiedene Arten der Ausf¨ uhrung, die alle die gestellten Bedingungen an sich erf¨ ullen. Die zweckm¨ aßige und daher richtige L¨osung ist dann immer diejenige, die den geringsten Gesamtaufwand erfordert. Es k¨onnen z. B. die Herstellungskosten der verschiedenen Ausf¨ uhrungen verschieden sein oder der Materialbedarf, der Bedarf an besonders wertvollen Rohstoffen oder der Raumbedarf; es k¨ onnen aber auch die Betriebskosten oder diejenigen Kosten verschieden sein, die f¨ ur die Instandhaltung der betreffenden Einrichtung und die Sicherstellung des Betriebes laufend erforderlich sein werden. Daher ist es in vielen F¨ allen schwierig, die zweckm¨ aßigste L¨osung zu finden. Es geh¨ort aber grunds¨atzlich zur L¨osung einer technischen Aufgabe, dass sie die gestellten Bedingungen mit einem Minimum an Gesamtaufwand erf¨ ullt. Je genauer man die Eigenschaften der herzustellenden Einrichtung im voraus ermitteln kann, um so sicherer wird dies zu erreichen sein. Auch in dieser Beziehung ergeben sich daher wichtige Anwendungen der theoretischen Erkenntnisse. Es ist nicht m¨ oglich, dass jeder Einzelne alle Erfahrungen, die im Laufe der Zeit gemacht worden sind, in der gleichen Reihenfolge und Vollst¨andigkeit sammelt, besonders wegen der F¨ ulle des Erfahrungsmaterials, die unge-

1 Die elektrotechnischen Disziplinen

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heuer groß ist im Vergleich zu dem was ein Mensch w¨ahrend seines Lebens auf diese Weise aufnehmen k¨ onnte. Daher ist es n¨otig, die Erfahrungen in eine m¨oglichst konzentrierte Form zu bringen und in dieser Form zu verbreiten. Ein Hilfsmittel dazu stellt die Mathematik dar, die, vom Standpunkt der Anwendung aus betrachtet, einerseits eine Art Kurzschrift zur Zusammenfassung der Erkenntnisse bildet und andrerseits Anweisungen f¨ ur die Auswertung dieser Erkenntnisse gibt. Aus diesem Grunde sind mathematische Kenntnisse eine unentbehrliche Voraussetzung zum Verst¨ andnis der Ingenieurwissenschaften. Die mathematischen Verfahren erm¨ oglichen es, viel kompliziertere Zusammenh¨ ange zu erfassen, als es mit bloßem Nachdenken m¨oglich w¨are; sie k¨onnen Denkprozesse ersetzen, die u ahigkeit des menschlichen Gehirns weit ¨ ber die F¨ hinausgehen. Gewisse Erfindungen konnten sogar nur auf dem Weg u ¨ ber ma¨ thematische Uberlegungen entstehen; ein Beispiel daf¨ ur bilden die Wellenfilter. Allerdings sind dies seltene F¨ alle. F¨ ur den wissenschaftlich arbeitenden Ingenieur gilt die Grundforderung, dass er sich eine klare Vorstellung von dem Wesen der Naturvorg¨ ange erwirbt, mit denen er es zu tun hat. Darunter ist zu verstehen, dass mit dem Ablauf dieser Vorg¨ange bestimmte Ideen verbunden werden, die die Erscheinungen auf wenige allgemeine Gesetzm¨aßigkeiten zur¨ uckf¨ uhren. Zu jeder Technik geh¨ ort eine ganz bestimmte Vorstellungswelt, die durch die Theorie vermittelt wird. Die Fortschritte der Technik gehen jeweils von dieser Vorstellungswelt aus. Jede Erweiterung der theoretischen Vorstellungen gibt daher die M¨ oglichkeit weiterer Fortschritte. Diese Vorstellungen aber k¨onnen in vollem Umfang nur mit Hilfe der Mathematik erworben werden. Weitere interessante Ausf¨ uhrungen u ¨ ber die Philosophie des Schal¨ tungsentwurfs und des Schaltungsdesigners findet man bei O’Dell [173]. Uber den Sinn und Zweck von Theorie in den Ingenieurwissenschaften findet man Lesenswertes bei Mathis [151]. Der Computer ist dabei ein m¨ achtiges Werkzeug besonders zur Aufl¨osung sehr großer linearer Gleichungssysteme, zur Wurzelbestimmung von Polynomen h¨ oheren Grades, zur automatischen Durchf¨ uhrung der Fouriertransforurlich zur mation beim Wechsel von Zeit- und Frequenzbetrachtung, und nat¨ Feldberechnung, die mit Hilfe verschiedener Diskretisierungsmethoden ihrerseits wieder auf die Aufl¨ osung linearer Gleichungssysteme zur¨ uckgef¨ uhrt werden kann. Rechnung und Simulation ganzer Systeme erh¨ohen insbesondere u ¨ ber eine graphische Ausgabe der Ergebnisse die Anschaulichkeit. Unentbehrlich sind f¨ ur eine wissenschaftliche T¨atigkeit auf dem Gebiete der Elektrotechnik aber nach wie vor die Elemente der Differential- und Integralrechnung, die Lehre von den Potenzreihen und den Fourierschen Reihen, ferner die komplexe Rechnung und die Elemente der Vektorrechnung und Vektoranalysis; es ist nicht im geringsten ausreichend, diese Gebiete der Mathematik zu kennen, sondern es geh¨ ort dazu die F¨ahigkeit, die in diesen Gebieten gelehrten Regeln anzuwenden. Diese F¨ ahigkeit kann man durch ein noch so ausgedehntes Studium der Formeln nicht erwerben, sondern nur dadurch, dass man spezielle Aufgaben in hinreichend großer Zahl selbst l¨ost.

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1 Die elektrotechnischen Disziplinen

Die Vorstellungen von dem Wesen der Naturerscheinungen werden durch die Physik geschaffen. Die allgemeine Aufgabe der Physik besteht darin, unsere Erkenntnisse von den Naturvorg¨ angen zu erweitern. Die physikalischen Gesetze fassen die beobachteten Naturerscheinungen quantitativ zusammen und bilden damit auch die theoretischen Grundlagen der technischen Anwendungsgebiete. Neue physikalische Entdeckungen f¨ uhren immer auch zu neuen technischen Anwendungen. Die physikalische Forschung, die eine st¨andige Verbesserung der physikalischen Vorstellungen und die Entdeckung neuer Zusammenh¨ ange anstrebt, bestimmt daher, u ¨ ber lange Zeiten gesehen, grunds¨atzlich die Schnelligkeit aller technischen Fortschritte. Dabei f¨ ordern sich die Fortschritte der Physik und die der technischen Anwendungen in einem fortgesetzten Kreislauf. Neue technische Produkte, neue technische Ideen und Erfindungen f¨ uhren bei der Durcharbeitung in der Regel auf neue physikalische Fragestellungen, sei es, dass die Genauigkeit der vorhandenen Kenntnis bestimmter physikalischer Zusammenh¨ange nicht ausreicht, sei es, dass physikalische Effekte als St¨orungen auftreten, die noch nicht n¨ aher untersucht worden sind, sei es, dass die Ursachen irgendwelcher Erscheinungen noch unbekannt sind. Daher kommt es, dass ein großer Teil der physikalischen Erkenntnisse aus der Entwicklung technischer Erzeugnisse stammt. Beispiele daf¨ ur bilden die Entwicklung der Akustik, die Entwicklung der Elektronenoptik oder die Entwicklung der Festk¨orperphysik und Halbleiterphysik in den letzten Jahrzehnten. Neue technische Aufgaben, f¨ ur die noch keine brauchbare L¨ osung vorliegt, stellen vielfach Aufgaben f¨ ur die physikalische Forschung und regen diese zum Aufsuchen neuer Erkenntnisse an. Aus solchen Arbeiten entstehen andererseits nicht selten technische Anwendungen f¨ ur ganz andere Zwecke; Beispiele daf¨ ur aus der neuesten Zeit bilden die Legierungen und Stoffe f¨ ur Dauermagnete und Magnetkerne oder die Halbleiter f¨ ur Gleichrichter und Verst¨ arker. Man kann das Ineinandergreifen von Physik und Technik beim Werdegang der technischen Produkte etwa durch die folgende Reihe veranschaulichen: •

•

Die Physikalische Forschung: Umfasst Entdeckungen, Versuche und Messungen und f¨ uhrt zu physikalischen Erkenntnissen, Gesetzen und Theorien, auf deren Basis sich Erfindungen und Verbesserungsideen entwickeln k¨ onnen. Anschließend folgt die Modellierung und Simulation und/oder es m¨ ussen Versuchsger¨ ate und Modelle erstellt werden, um Versuche und Messungen auszuf¨ uhren. Die Technische Entwicklung: Baut auf den Entdeckungen der physikalischen Forschung auf und nutzt deren Erkenntnisse, Gesetze und Theorien, um zu Erfindungen und Verbesserungsideen zu kommen, die mit Hilfe von Simulationen und messtechnischen Versuchen weiterentwickelt werden. Zur Produktentwicklung f¨ uhrt die Konstruktion und Projektierung auf der Grundlage von Berechnungen und es folgen Fertigungsversuche und Fertigungsmuster. Am Ende steht die technische Erprobung und schließlich die Fertigung.

1 Die elektrotechnischen Disziplinen

•

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Betriebsentwicklung: Anwendungsforschung und Betriebsversuche.

Jedes Stadium hat die vorhergehenden zur Voraussetzung; ein wesentlicher Vorgang ist jedoch der, dass sich aus allen diesen Stadien laufend Fragestellungen nach r¨ uckw¨ arts ergeben, die wieder zu neuen Wegen, Erkenntnissen und Verbesserungen f¨ uhren, so dass das Fortschreiten der gesamten Entwicklung mit vielfachen R¨ uckkopplungen“ vor sich geht. Daher kann auch die ” Grenze zwischen der Forschung und der technischen Entwicklung nicht scharf gezogen werden, ebensowenig wie die zwischen der technischen Entwicklung und der Erforschung der Anwendungsm¨ oglichkeiten technischer Erzeugnisse. Das letztgenannte Gebiet ist in der Aufstellung durch den Begriff Betriebs” entwicklung“ gekennzeichnet; dazu geh¨ oren z.B. die Anwendungen der Automatisierung in Verwaltungs- und B¨ urobetrieben. Unter der Bezeichnung Elektrotechnik werden alle technischen Aufgaben und Anwendungen zusammengefasst, bei denen elektrische Vorg¨ange wesentlich sind, die also auf der Ausn¨ utzung der Wirkungen elektrischer Str¨ome oder Spannungen beruhen. Die Elektrotechnik ist daher kein eigenes technisches Aufgabengebiet, sondern fasst verschiedenartige technische Aufgaben unter einem physikalischen Gesichtspunkt zusammen. Zwei technische Aufgabengebiete sind besonders eng mit der Elektrotechnik verbunden: die Energietechnik und die Nachrichtentechnik. ¨ Die Energietechnik befasst sich mit der Umwandlung und der Ubertragung von Energie. F¨ ur den Anteil der Elektrotechnik an diesem Aufgabengebiet ist die Bezeichnung Starkstromtechnik gebr¨ auchlich. Die Aufgabe der Starkstrom¨ technik besteht in der Erzeugung, Umwandlung, Ubertragung, Verteilung und Speicherung elektrischer Energie. ¨ Die Aufgabe der Nachrichtentechnik ist die Ubertragung, Verteilung, Verarbeitung und Speicherung von Nachrichten (Information). Der zur Elektrotechnik geh¨ orige Teil wird als elektrische Nachrichtentechnik bezeichnet. Hier werden gew¨ ohnlich die beiden Hauptgebiete Nachrichten¨ ubertragung und Nachrichtenverarbeitung (Informationsverarbeitung, Datenverarbeitung) unterschieden. Die Messtechnik kann nach diesen Definitionen als Teil der Nachrichtentechnik angesehen werden, da der Zweck jeder Messung die Gewinnung oder Umwandlung von Information ist. Gew¨ ohnlich wird die Messtechnik als Sondergebiet der Technik betrachtet. Die elektrische Messtechnik befasst sich mit der Messung von elektrischen und nichtelektrischen physikalischen Gr¨oßen mit elektrotechnischen Hilfsmitteln. Ebenso wird die Steuerungs- und Regelungstechnik als ein Sondergebiet betrachtet, da sie Energietechnik und Nachrichtentechnik miteinander verkn¨ upft: Jede Steuerung kann als die Einwirkung einer Nachricht auf einen Energiefluss oder einen Transportvorgang aufgefasst werden. Unter Elektronik wird die Schaffung und Anwendung elektronischer Bauelemente verstanden. Dies sind solche Bauelemente der Elektrotechnik, bei denen keine mechanischen Bewegungen vorkommen (z.B. Verst¨arkerr¨ohren,

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1 Die elektrotechnischen Disziplinen

Braunsche R¨ ohren, Halbleiter- und R¨ ohrengleichrichter, Transistoren, fr¨ uher magnetische Speicherkerne und inzwischen integrierte mikroelektronische und ¨ nanoelektronische Schaltungen (Chips) oder ¨ ahnliches); einen aktuellen Uberblick u ¨ber nanoelektronische Systeme gibt Goser et al. [75]. Die Bezeichnung theoretische Elektrotechnik“ soll alle diejenigen physika” lischen Gesetzm¨ aßigkeiten und mathematischen Verfahren umfassen, die bei der L¨ osung von Aufgaben der Elektrotechnik n¨ utzlich sein k¨onnen. Es gibt jedoch keine eigentliche Abgrenzung zwischen diesen theoretischen Grundlagen der Elektrotechnik und der Physik und der Mathematik. Bei neuen technischen Problemen m¨ ussen oft neue mathematische und physikalische Hilfsmittel herangezogen werden. Dieses Buch soll so weit in die verschiedenen f¨ ur die Elektrotechnik wichtigen Theorien einf¨ uhren, dass ein Spezialstudium und das Verst¨andnis f¨ ur schwierigere Zusammenh¨ ange dadurch erleichtert werden. Bei der Auswahl und Anordnung des Stoffes wurde versucht, von Leichterem zu Schwierigerem fortzuschreiten, so dass durch das Studium des Vorhergehenden das jeweils Folgende leichter verst¨ andlich wird. Die in den Text des Buches eingestreuten Zahlenbeispiele sollen eine Vorstellung von den Gr¨ oßenverh¨ altnissen der besprochenen Zusammenh¨ange geben. Es ist zweckm¨ aßig, beim Studium m¨ oglichst viele von diesen und ¨ahnlichen Zahlenbeispielen selbst durchzurechnen, da man auf diese Weise ein Gef¨ uhl f¨ ur die Bedeutung der Gr¨ oßen erh¨ alt. F¨ ur ein weitergehendes Studium wurden zahlreiche Literaturhinweise eingef¨ ugt, anhand derer spezielle Aspekte der dargestellten Theorie vertieft werden k¨ onnen.

2 Systemtheoretische Grundlagen

In der Einleitung zu diesem Buch wurde zun¨ achst einmal versucht, die Gegenst¨ ande etwas n¨ aher zu charakterisierten, die im folgenden betrachten werden sollen. Jedoch hat Ludwig [140] bereits im ersten Band seiner Einf¨ uhrung in die Theoretische Physik darauf hingewiesen, dass es zumindest schwierig wenn nicht gar unm¨ oglich ist, eine Wissenschaft und insbesondere die Theoretische Physik – wir k¨ onnen das wohl letztlich auch auf die Theoretische Elektrotechnik u ¨ bertragen – inhaltlich zu charakterisieren, ohne dasjenige detailliert zu schildern, was diejenigen wirklich tun, welche in der Disziplin arbeiten. Dem ist kaum etwas hinzuzuf¨ ugen, denn auch K¨ upfm¨ uller hat bei der Konzeption der ersten Ausgabe seines Buches Eine Einf¨ uhrung in die Theoretische ” Elektrotechnik“ mit Hilfe von Motivationen, theoretischen Ausf¨ uhrungen und vorgerechneten Beispielen gezeigt, wie ein theoretischer Elektrotechniker arbeitet. Er hat die Theoretische Elektrotechnik“ zwar nicht erfunden, denn ” Vorlesungen und Lehrst¨ uhle dieser Art gab es schon lange (z.B. vertrat W. Kohlrausch an der TH Hannover ab 1886 das Lehrgebiet Grundz¨ uge der elektrotechnik und Theoretischen Elektrotechnik und H. Hertz hielt an der TH Karlsruhe im Studienjahr 1885/86 eine Vorlesung Theoretische Grundlagen azisiert, was Theoretische Elekder Elektrotechnik1 ), aber er hat genauer pr¨ ” trotechnik“ bei sich wandelnder Technologie bedeutet. Anders als die Theoretische Physik, h¨ angt das was theoretische Elektrotechniker tun und damit auch die Inhalte der Theoretische Elektrotechnik wesentlich von den technologischen M¨ oglichkeiten der jeweiligen Epoche ab. K¨ upfm¨ uller hat aber nicht nur f¨ ur die Entwicklung der Theoretischen Elektrotechnik eine maßgebliche Rolle gespielt. Noch weit wichtiger war er f¨ ur das Entstehen einer neuen technischen Disziplin, der Systemtheorie“, welche – ” zun¨ achst als N¨ aherungstheorie zur Charakterisierung komplexer technischer und insbesondere nachrichtentechnischer Systeme gedacht – zu einer v¨ollig neuen Sichtweise bei der Beschreibung von Natur und Technik gef¨ uhrt hat. 1

Fridericiana - Zeitschr. der Universit¨ at Karlsruhe (TH), Heft 52: 100 Jahre Elektrotechnik and der Universit¨ at Karlsruhe

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2 Systemtheoretische Grundlagen

Der signaltheoretische Hintergrund der linearen Systemtheorie wird in dem Aufsatz von Mathis [152] sehr ausf¨ uhrlich geschildert; siehe auch Krabs [126]. Diese Entwicklung ist, wie Wunsch [243] in seiner Geschichte der Sys” temtheorie“ dargelegt hat, auch noch keineswegs beendet, sondern erfasst immer weitere Bereiche der Wissenschaft. So hat Wunsch vor einigen Jahren, aufbauend auf einer Vielzahl von Grundkonzepten aus der Systemtheorie (Mesarovic, Klir, Pichler, etc.) und der Physik und der entsprechenden Basisdisziplin Mathematik die Grundz¨ uge einer allgemeinen Theorie der Prozesse entworfen. Besonders interessant sind Bestrebungen, auch die M¨oglichkeiten, welche heutige Computer und Programmsysteme bieten, mit in die Betrachtungen einzubeziehen und zu einer Computer-Aided Systems Theory (CAST) zu kommen, wie es Pichler [178] vorschlug. W¨ahrend die Physik viele Jahrzehnte lang wichtige Grundelemente“ f¨ ur den Aufbau theoretischer ” Fundamente technischer Disziplinen lieferte, zeigen neueste Entwicklungen wie Quantencomputing und Quanteninformationsverarbeitung (siehe u. a. Leuchs, Beth et al. [135]), dass es inzwischen zur R¨ uckwirkung“ von der Technik in ” die Physik gekommen ist. Eine Quanten-Systemtheorie k¨onnte die klassische Systemtheorien in Zukunft erg¨ anzen. Man spricht nun auch in der Physik von Systemen und Modellen im engeren Sinne, wie es zun¨achst nur in der Technik u urfen, ob es zu einer vereinheitlichten ¨ blich war. Man wird gespannt sein d¨ System- oder Prozesstheorie kommt, die als gemeinsame Sprache f¨ ur Naturwissenschaften und Technik dienen kann; vgl. Wunsch [245]. K¨ upfm¨ uller hat sich in seinen ersten Arbeiten zur Systemtheorie auf eine kleinere Klasse von Systemen beschr¨ ankt, obwohl er auch schon damals an eine Erweiterung seiner Betrachtungsweise auf allgemeinere technische und sogar an nichttechnische Systeme dachte. Die Bezeichnung Systemtheorie“ f¨ uhrte ” er u ¨ brigens erst im Jahre 1949 im Titel seiner Monographie Die Systemtheorie ” der elektrischen Nachrichtentechnik“[129] ein. Der Kerngedanke der Systemtheorie linearer zeitinvarianter Systeme (LTISysteme) besteht darin, deren Systemverhalten durch eine einzige Funktion zu charakterisieren. Dazu verwendet man die Systemantwort auf ein spezielles Eingangssignal – die sogenannte Impulsantwort. Der Gedanke ist eigentlich nicht neu, denn in der Theorie linearer Differentialgleichungen als auch bei der L¨ osung der Feldgleichungen f¨ ur elektromagnetische Felder hatte man diesen Gedanken implizit bereits benutzt. Auch in der Praxis liegt es nahe, das Verhalten eines physikalischen Systems m¨ oglichst nur durch eine einzige Ant” wort“ zu charakterisieren. So schl¨ agt ein Glockengießer mit einem Hammer an seine neue Glocke, um anhand des sich ergebenden Klangs die G¨ ute seiner Arbeit zu ermitteln. Eine mathematische Formalisierung dieses Gedankens war in vielen Arbeiten bereits enthalten, aber K¨ upfm¨ uller hat diese Konzepte systematisch weiterentwickelt und eine vereinheitlichte Sprache entwickelt. Insbesondere konnte er zeigen, dass es in vielen F¨allen g¨ unstiger ist, die Systemantwort eines LTI-Systems nicht aus den Grundgleichungen abzuleiten, sondern nur die wesentlichen Aspekte zu modellieren. Auf diese Weise gelang es, f¨ ur die Anwendungen hinreichend genaue Systembeschreibungen zu ermit-

2 Systemtheoretische Grundlagen

11

teln, die jedoch die f¨ ur den Entwurf von Systemen notwendige Einfachheit besitzen. Auch wenn sich die K¨ upfm¨ ullersche Systemtheorie sp¨ater als zu eng erwiesen hat, war diese neuartige Sichtweise, als deren Begr¨ under K¨ upfm¨ uller zusammen mit Nyquist gelten muss (vgl. Bissell [29]), f¨ ur die Analyse als auch den Entwurf von technischen Systemen von kaum zu untersch¨atzender Wichtigkeit. Auch in der Theorie elektromagnetischer Felder ist der systemtheoretische Standpunkt als Ordnungsprinzip sehr hilfreich und wir werden daher immer wieder auf systemtheoretische Konzepte zur¨ uckgreifen. Um das mathematische Konzept der Impulsantwort“ zu verdeutlichen, ” soll eine kurze Betrachtung u ¨ ber die Verwendung der Methode der Greenschen Funktion zur L¨ osung von gew¨ ohnlichen linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und Inhomogenit¨at folgen. Diese Vorgehensweise entspricht weitgehend der Impulsantwort in der Systemtheorie. M¨ ochte man die Menge aller L¨ osungen linearer inhomogener Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten ermitteln, dann kann man davon ausgehen, dass sich die L¨ osungsmenge aus s¨ amtlichen L¨osungen der zugeh¨origen homogenen Differentialgleichungen und einer speziellen oder partikul¨aren L¨osung der inhomogenen Differentialgleichungen in additiver Weise zusammensetzt2 . Diese recht allgemeine mathematische Aussage h¨angt u ¨brigens nicht davon ab, ob es sich um algebraische Gleichungen oder gew¨ohnliche oder partielle Differentialgleichungen handelt. Daher notieren wir lineare inhomogene Gleichungen in Operatorform L[x] = f,

(2.1)

wobei der Operator L[·] ein algebraischer oder ein Differentialoperator sein kann. Ein Differentialoperator kann sich aus gew¨ohnlichen oder partiellen Ableitungen zusammensetzen und soll konstante Koeffizienten besitzen, so dass er gegen Verschiebungen der Variablen invariant ist. Der Einfachheit halber beschr¨ anken wir uns an dieser Stelle auf Ableitungen nach der Zeit t. Dann l¨ asst sich L[·] in folgender Weise darstellen L[x] :=


d(n−1) (·) d(·) dn (·) + a0 (·) x = f (t), an n + an (n−1) + · · · + a1 dt dt dt

(2.2)

wobei die Koeffizienten ai konstant sind und die Funktion x hinreichend oft differenzierbar ist. Auch wenn sich die allgemeine L¨ osung der Operatorgleichung (2.1) aus zwei Anteilen zusammensetzt, ist man h¨ aufig nur an einer partikul¨aren L¨osung interessiert. Sie ist in bestimmten F¨ allen sogar eindeutig. Andernfalls ist eine solche partikul¨ are L¨ osung eindeutig bis auf eine L¨osung der zugeh¨origen homogenen Gleichung3 L[x] = 0, die an dieser Stelle nicht weiter interessieren soll. Die Bedeutung einer solchen Eindeutigkeitsaussage liegt darin, dass jede 2 3

Eine solche Menge wird auch affiner Raum genannt [114] ¨ In der Mathematik kann man an dieser Stelle zu Aquivalenzklassen“ u ¨ bergehen ”

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2 Systemtheoretische Grundlagen

Methode, die zu einer L¨ osung f¨ uhrt, angewandt werden kann. Dabei spielt es keine Rolle, ob die Methode mathematisch gerechtfertigt werden kann, da ein Ergebnis durch Einsetzen daraufhin u uft werden kann, ob es sich ¨ berpr¨ um eine L¨ osung handelt. Die im folgenden skizzierte Methode der Greenschen Funktion (siehe z. B. [89]) arbeitet mit der sogenannten Delta-Funktion δ(t), die keine Funktion im Sinne der gew¨ ohnlichen Analysis ist (z. B. J¨anich [110]), aber dennoch eine partikul¨ are L¨ osung f¨ ur die Gl. (2.1) liefert. Man geht davon aus, dass sich alle praktisch“ vorkommenden reellwerti” gen Funktionen f (t) mit Hilfe der δ-Funktion darstellen lassen, d.h.  f (τ )δ(t − τ ) dτ. (2.3) f (t) = R

Weiterhin geht man davon aus, dass G(t) eine L¨osung der folgenden Differentialgleichung mit der δ-Funktion als rechter Seite ist L[G] = δ(t).

(2.4)

Diese L¨ osung G(t) wird Greensche Funktion oder Impulsantwort des durch Gleichung ((2.1)) festgelegten Operators L genannt. Nach einer Verschiebung“ der Gleichung (2.4) um τ , einer skalaren Mul” tiplikation mit f (τ ) und der Integration bez¨ uglich der Variablen τ erh¨alt man   f (τ )L[G(t − τ )] dτ = f (τ )δ(t − τ ) dτ = f (t). (2.5) R

R

Mit der Beziehung Gl. (2.3) und der Vertauschbarkeit des linearen Operators L[·] mit der skalaren Multiplikation und der Intergration bez¨ uglich τ ergibt sich schließlich   f (τ )G(t − τ ) dτ = f (t). (2.6) L R

Wenn wir Gl.(2.1) mit Gl.(2.6) vergleichen, dann erhalten wir eine Darstellung der L¨ osung von Gl.(2.1)  x(t) = f (τ )G(t − τ ) dτ. (2.7) R

In vielen F¨ allen kann man dazu die Fouriertransformation verwendet. Geht man n¨ amlich von der Fouriertransformierten von G(t) aus, die man wie folgt darstellen kann  1 ˆ G(jω) ejωt dω, (2.8) G(t) = 2π R und verwendet die Fouriertransformierte“ der δ-Funktion ”  1 ejωt dω, δ(t) = 2π R so ergibt sich

(2.9)

2 Systemtheoretische Grundlagen

 L [G(t)] = L

1 2π

 R



1 ˆ G(jω) ejωt dω = 2π

13

 ejωt dω.

(2.10)

R

Da der Differentialoperator L [·] nur auf Funktionen in t angewendet wird, ist eine Vertauschung mit der Integration m¨ oglich     1 1 ˆ G(jω) L ejωt dω = ejωt dω. (2.11) L [G(t)] = 2π R 2π R Vergleicht man die beiden letzten Integranden in Gl. (2.11), so erh¨alt man eine Beziehung f¨ ur die Fouriertransformierte der gesuchten Greenschen Funktion ˆ G(jω) =

ejωt . L [ejωt ]

(2.12)

ˆ ¨ In der Systemtheorie wird G(jω) auch Ubertragungsfunktion genannt. Zweifellos ist die genannte Vorgehensweise sehr elegant, aber es hat sich ge˜ ] (mit dem zeigt, dass wenn die rechte Seite der Gl. (2.1) nicht f sondern L[f ˜ Differentialoperator L[·]) ist, weitere Schwierigkeiten mit der Interpretation ¨ der Ubertragungsfunktion auftreten. Dieses Problem, das mit den Anfangsvorgaben der Differentialoperatoren zusammenh¨angt, hat Wunsch [242] schon sehr fr¨ uh erkannt und ausf¨ uhrlich diskutiert. Mit Hilfe eines neuartigen Operaˆ ¨ torkalk¨ uls zeigte Mathis [148], dass die Ubertragungsfunktion G(jω) auch bei ˜ ] immer unabh¨angig von den geDifferentialgleichungen der Form L[x] = L[f nannten Anfangsvorgaben ist; einen Beweis mit klassischen Techniken lieferte Wunsch bereits in seiner Arbeit [242] aus dem Jahre 1962. Die genannten Schwierigkeiten konnten von Kalmann Anfang der 1960er Jahre durch Einf¨ uhrung des Konzepts der sogenannten Zustands- und Beobachtungsgleichungen wenigstens teilweise u ¨berwunden werden. Dabei wurden neben den Eingangs- und Ausgangsgr¨ oßen auch noch Zustandsgr¨oßen eingef¨ uhrt, die das innere“ Verhalten eines Systems beschreiben. Dieser Stand” punkt war keineswegs neu, denn in der Physik hat man schon die Newtonschen Bewegungsgleichungen mechanischer Systeme in dieser Weise formuliert. In der Elektrotechnik und insbesondere der Nachrichtentechnik sowie der daraus entstandenen Regelungstechnik ist man andere Wege gegangen, ¨ da man h¨ aufig nur an dem Ubertragungsverhalten eines Systems interessiert war. Lineare zeitinvariante Systeme (LTI) werden im Sinne der Theorie der Zustandsgleichungen in folgender Form dargestellt x˙ = A x + B u, y = C x + D u,

(2.13) (2.14)

wobei u der Vektor der (zeitabh¨ angigen) Eingangsgr¨oßen, y der Vektor der Ausgangsgr¨ oßen und x der Vektor der Zustandsgr¨oßen ist; die Koeffizientenmatrizen A, B, C, D sind konstant. Die erste Gl. (2.13) wird Zustandsgleichung und die zweite Gl. (2.14) Beobachtungsgleichung genannt. Die Eigenwerte der Matrix A bestimmen die Stabilit¨ at des Systems; vgl. z. B. Kisacanin und Agarwal [4], Mathis [148].

14

2 Systemtheoretische Grundlagen

Auch bei dieser Systembeschreibung ist es m¨oglich und h¨aufig auch sinnvoll, die Zustands- und Beobachtungsgleichungen nicht aus den fundamentalen Beziehungen f¨ ur die Teilsysteme und den Gleichungen f¨ ur deren Verbindungen abzuleiten, sondern modellm¨ aßig festzulegen. Somit kann man neben den im Rahmen des gew¨ ahlten Modellsatzes exakt g¨ ultigen Gleichungen auch hier gen¨ aherte Beschreibungsgleichungen verwenden, die f¨ ur die urspr¨ ungliche ¨ Ubertragungstheorie nach K¨ upfm¨ uller und Nyquist charakteristisch war. Es handelt sich also bei den Zustands- und Beobachtungsgleichungen um eine konsequente Erweiterung der Theorie von K¨ upfm¨ uller und Nyquist. Wir werden den Gedanken der Zerlegung der Beschreibungsgleichungen in Zustandsund Beobachtungsgleichungen auch im Rahmen der Theorie elektromagnetischer Felder aufgreifen und seine N¨ utzlichkeit bei der Interpretation der Theorie erl¨ autern.

3 Grundlegende Aspekte physikalischer Systeme

3.1 Verteilte physikalische Systeme In der Physik gibt es zahlreiche Systeme, deren Verhalten lokalisiert ist, d. h. die r¨ aumliche Ausdehnung eines betrachteten Systems ist klein gegen den Durchmesser des Gebiets, in dem die Dynamik des Systems untersucht wird. Das wichtigste Beispiel ist die Newtonsche Punktmechanik, im Rahmen derer man die Bewegung von Punktmassen unter dem Einfluss von Kr¨aften diskutieren kann. Dabei wird die Dynamik im Raum durch Orts- und Geschwindigkeitsgr¨ oßen charakterisiert; zusammengenommen handelt es sich um die Zustandsgr¨ oße der Newtonschen Mechanik – auch klassische Mechanik genannt. Solche Punktmassensysteme sind offensichtlich lokalisiert. Sie dienten als Vorbild f¨ ur viele andere physikalische Systeme. Die Dynamik elektrischer Netzwerke, die durch Str¨ ome und Spannungen beschrieben werden, ist ein weiteres Beispiel daf¨ ur. Daneben gibt es in der Physik auch solche Systeme, deren Eigenschaften nicht lokalisiert sind, d. h. man muss die beschreibenden Zustandsgr¨oßen in einem ganzen Gebiet kennen, um das zuk¨ unftige Systemverhalten zu bestimmen. Beispielhaft sei die Kontinuumsmechanik und die Hydrodynamik genannt, wo erst die Kenntnis der mechanischen Spannungen bzw. der Geschwindigkeiten in einem Raumgebiet das Systemverhalten charakterisiert. Wir sprechen von einem verteilten oder nichtlokalisierten System; elektromagnetische Felder sind ein weiteres Beispiel f¨ ur ein nichtlokalisiertes System. Dort werden die elektrischen oder magnetischen Kraftwirkungen auf nicht bewegte oder bewegte Ladungen durch gewisse Feldgr¨oßen repr¨asentiert, die in einem Raumgebiet bekannt sein m¨ ussen, um das elektromagnetische System vollst¨ andig zu beschreiben. Im Unterschied zur Kontinuumsmechanik und Hydrodynamik besitzen diese Feldgr¨ oßen zun¨ achst keine unmittelbar anschauliche Interpretation wie ein Geschwindigkeitsfeld zur Charakterisierung einer hydrodynamischen Str¨ omung. Allerdings k¨ onnen mechanische Spannungen (Kraft pro Fl¨ ache) eines Materials auch nicht direkt beobachtet werden, aber durch messtechnische Hilfsmittel der Optik gelingt es, wenigstens den Span-

16

3 Grundlegende Aspekte physikalischer Systeme

nungszustand transparenter Materialien sichtbar zu machen. In der fehlenden direkten Anschauung liegt sicherlich eine besondere Schwierigkeit der Theorie elektromagnetischer Felder begr¨ undet. Erst mit Hilfe des Zusammenspiels von Theorie und experimenteller Erfahrung sowie der rechnerischen Analyse von Beispielen gelingt es, tiefere Einblicke in das Gebiet elektromagnetischer Felder zu gewinnen. Auch im Hinblick auf die Dynamik verteilter Systeme k¨onnen ¨ahnliche Bemerkungen gemacht werden. Anstatt mit einem modifizierten Kraftbegriff zu arbeiten, ist es oft g¨ unstiger, die Dynamik verteilter Systeme als EnergieImpuls-Transporte aufzufassen, wie es vor allem in der Elementarteilchenphysik u alt bereits die Newtonsche Mechanik mit dem ¨ blich ist. Allerdings enth¨ Kraftkonzept ein nicht lokalisierbares Element, das mathematisch mit einem vektoriellem Feld beschrieben wird (vgl. Anhang A). Darauf wird in den klassischen Darstellungen leider nur selten hingewiesen. Auf diese Weise k¨onnte n¨ amlich die begrifflich durchaus schwierige Einf¨ uhrung physikalischer und mathematischer Felder erheblich erleichert werden, was u. a. auch damit zu tun hat, dass man physikalische und mathematische Felder klar unterscheidet. In diesem Buch wird zumindest in den einf¨ uhrenden Abschnitten auf eine solche Unterscheidung geachtet. W¨ ahrend die physikalischen Felder zur Charakterisierung der qualitativen Eigenschaften eines physikalischen Systems herangezogen werden, ben¨otigt man zur quantitativen Beschreibung mathematische Hilfsmittel, mit denen man die physikalischen Felder modellieren kann. Beispielsweise ist ein r¨aumliches physikalisches Temperaturfeld ungerichtet; mathematisch beschreibt man ein solches physikalisches Feld mit einer skalarwertigen oder in diesem Fall reellwertigen Abbildung u ¨ ber dem R3 , der – wie bereits erw¨ahnt – den Ortsraum modelliert. Man nennt solche Abbildungen auch skalares (mathematisches) Feld oder Skalarfeld und definiert es in folgender Weise ϕ : R3 → R,

ϕ : r → ϕ(r).

(3.1)

Der Definition ist zu entnehmen, dass jedem Raumpunkt r eine Zahl ϕ(r) – in diesem Fall ein positiver Temperaturwert – zugeordnet wird. Es ist sehr zweckm¨ aßig das physikalische Temperaturfeld und das mathematische skalare Feld ϕ, das zur physikalischen Modellierung verwendet wird, auseinander zu halten. Ein wesentlicher Grund daf¨ ur ist, dass die Modellgleichungen, die das skalare Feld ϕ erf¨ ullt, je nach Genauigkeit der Beschreibung unterschiedlich sein k¨ onnen. Dabei ¨ andert sich nat¨ urlich nur das Feldmodell ϕ, ¨ w¨ahrend das physikalische Feld keiner Anderung unterliegt. Diese Unterscheidung ist beim hierarchischen Aufbau der Theorie elektromagnetischer Felder ausgehend von Grundexperimenten f¨ ur das Verst¨andnis außerordentlich wichtig. Außer den skalaren Feldern, die jedem Raumpunkt eine Zahl zuordnen und die zur Beschreibung ungerichteter physikalischer Felder ben¨otigt werden, werden auch mathematische Beschreibungshilfsmittel f¨ ur gerichtete nichtlokalisierte physikalische Eigenschaften gebraucht. Das schon erw¨ahnte Geschwin-

3.2 Mechanik und Energie-Impuls-Transporte

17

digkeitsfeld einer inhomogen sich bewegenden Fl¨ ussigkeit w¨are ein Beispiel daf¨ ur. Dazu verwendet man vektorielle mathematische Felder oder auch Vektorfelder, die in folgender Weise definiert sind v : R3 → R3 ,

v : r → v(r).

(3.2)

Auf diese Weise wird jedem Raumpunkt r ein Vektor v(r) zugeordnet. Fasst man den R3 als Vektorraum auf, wobei der Nullpunkt der ausgezeichnete Punkt ist, dann kann man jedem Punkt des Ortsraumes einen vom Nullpunkt ausgehenden Ortsvektor zuordnen. Im Gegensatz dazu ist der Vektor v(r) an den Punkt r angeheftet“ und wird erst durch die Abbildung v spezifiziert. ” Die Menge aller solcher Vektoren im Punkt r wird als Tangentialraum in r bezeichnet. Da es sich bei den genannten mathematischen Feldern um Abbildungen handelt, lassen sie sich in Klassen einteilen (stetige, differenzierbare, usw. Abbildungen). Eine wichtige Teilklasse der unendlich oft differenzierbaren Vektorfelder v wird dadurch charakterisiert, dass v zusammen mit seinen Ableitungen im Unendlichen verschwindet. Nach dem Satz von Helmholtz (vgl. Anhang A) lassen sich diese Vektorfelder v bis auf ein konstantes Vektorfeld mit Hilfe der Rotation rotv und der Divergenz divv eindeutig festlegen. Der Satz von Helmholtz wird beim hierarchischen Aufbau der Theorie elektromagnetischer Felder eine wichtige Rolle spielen. Schließlich wird auch deutlich, dass man in der Mathematik die Freiheit hat, auch andere mathematische Objekte wie Matrizen, Fl¨achen, Differentialgleichungen und dergleichen an die Punkte des Ortsraumes R3 anzuheften. Damit wird noch einmal deutlich, dass zwischen dem physikalischen und dem mathematischen Feldbegriff ein grunds¨ atzlicher Unterschied besteht, der beim Aufbau einer physikalischen Theorie auf keinen Fall verwischen sollte.

3.2 Mechanik und Energie-Impuls-Transporte In der Newtonschen Theorie der Bewegung mechanischer K¨orper unterscheidet man Kinematik und Dynamik. Die Kinematik bezieht sich auf die mathematische Beschreibung der mechanischen Bewegung durch Bahnen oder Trajektorien, die man als L¨ osungen von Differentialgleichungen interpretiert. Dazu muss man voraussetzen, dass die Ausdehnung der K¨orper in einem gewissen Sinne physikalisch lokalisiert sind. Geht man etwa von der Menge aller m¨ oglichen Orte eines K¨ orpers aus - oft Ortsraum des K¨orpers genannt und wird dieser Ortsraum als R3 modelliert, dann l¨asst sich die Ausdehnung mit Hilfe eines geeigneten Abstandsbegriffes quantifizieren. Da es physikalisch nicht sinnvoll ist, irgendeinen Punkt im Orts auszuzeichnen, sollte der R3 als affiner Raum oder lineare Mannigfaltigkeit angesehen werden, der nur lineare Verschiebungen als zus¨ atzliche Struktur enth¨ alt. Das Modell der Punktmasse kann bei einem starren ausgedehnten K¨ orper mit der Lage des Schwerpunktes

18

3 Grundlegende Aspekte physikalischer Systeme

identifiziert werden. Da es physikalisch nicht sinnvoll ist, irgendeinen Punkt im Orts auszuzeichnen, Ver¨ anderungen eines Punktes im Ortsraum werden mit Hilfe einer reellen Gr¨ oße t parametrisiert; t wird Zeit genannt. Man geht davon aus, dass eine Folge von Ver¨anderungen als mit der Zeit parametrisierte Bahnen r(t) im Ortsraum repr¨ asentiert werden k¨ onnen. Entsprechend der auf Experimenten basierenden Vorstellungen von Galilei und Newton (vgl. Longair [139]) werden f¨ ur den Aufbau der kinematischen Mechanik die erste und die zweite Zeitableitung von r(t), d.h. die Geschwindigkeit r˙ (t) und die Beschleunigung ¨r(t) ben¨ otigt. Nach Newton wird die physikalische Bewegung eines Massenpunktes in der Mechanik mit einer von null verschiedenen Geschwindigkeit bzw. Beschleunigung in Verbindung gebracht. Nach Galilei wird ein mechanischer K¨orper ohne Wechselwirkung mit seiner Umgebung als beschleunigungsfrei interpretiert und mit Hilfe von ¨r = 0 mathematische charakterisiert. Demzufolge wird ein wechselwirkender K¨ orper nach Newton durch eine Kraftfunktion F(r) definiert, d.h. es gilt die Newtonsche Bewegungsgleichung m¨r = F(r),

(3.3)

der Einfluß auf die Beschleunigung des K¨ orpers noch umgekehrt proportionaler Weise von der Masse m des K¨ orpers abh¨ angt. An dieser Stelle sollte darauf hingewiesen werden, dass die Kraftfunktion im Gegensatz zu den bisher betrachteten mechanischen K¨ orpern ein nichtlokalisiertes physikalisches System modelliert. In solchen F¨ allen spricht man von einem physikalischen Feld, das durch ein mathematische vektorielles Feld beschrieben wird. So hat Newton mit dem Gravitationskraftfeld ein erstes Beispiel angegeben und n¨aher untersucht. Hat man es mit mehreren Massen zu tun, dann lassen sich diese Betrachtungen ohne Schwierigkeiten verallgemeinern, wobei der 3-dimensionale Ortsraum durch einen 3n-dimensionalen R3n ersetzt wird. Im Zusammenhang der Einf¨ uhrung einer Kraftfunktion und der Masse spricht man u brigens auch klassischer Newtonscher Mechanik. Erst im Zu¨ sammenhang mit der Entwicklung der Prinzipien der klassischen Mechanik (vgl. z. B. Goldstein [74]; siehe aber auch F¨ oppl [71]) traten Erhaltungsgr¨oßen wie Energie, linearer“ Impuls und Drehimpuls in den Mittelpunkt des Inter” esses. Insbesondere die sogenannte Hamiltonsche Form der klassischen Mechanik bildet die Grundlage der Quantenmechanik, so dass die Dynamik der Elementarteilchen auf Erhaltungss¨ atzen begr¨ undet wird. Man beachte, dass Energie und linearer“ Impuls im folgenden keine abgeleiteten Gr¨oßen wie ” in der Newtonschen Mechanik sind sondern Fundamentalgr¨oßen des entsprechenden Dynamikkonzepts. Daher ist es zweckm¨aßig, auch die Dynamik der elementaren Mechanik auf der Basis von Erhaltungsgr¨oßen aufzubauen. Es zeigt sich, dass dieser Zugang eine sehr durchsichtige Darstellung der Dynamik geladener K¨ orper und der eng damit zusammenh¨angenden Theorie elektromagnetischer Felder gestattet, die mit Hilfe physikalisch nicht lokalisierter Feldgr¨ oßen formuliert wird.

3.2 Mechanik und Energie-Impuls-Transporte

19

Eine erste ausf¨ uhrliche Darstellung einzelner Aspekte einer solchen Darstellung findet man bei Falk [67], [68] sowie Falk und Ruppel [66]. Im folgenden sollen die wichtigsten Elementen dieser Theorie zusammengestellt werden. Um die Diskussion zu vereinfachen, betrachten wir nur solche Situationen, wo Energie E und linearer“ Impuls p die einzigen Erhaltungsgr¨oßen sind und f¨ ur ” die im Ortsraum eine, das zu untersuchende physikalische System charakterisierende Energiefunktion E(p, r) existiert. F¨ ur den Aufbau der zugeh¨origen Dynamik wird nach Falk das totale Differential der Energie betrachtet1 d E(p, r) =

∂E ∂E dp + dr, ∂p ∂r

(3.4)

wobei die Ableitungen nach p und r die entsprechenden Gradienten sind. Ein Zusammenhang mit den kinematischen Gr¨ oßen Geschwindigkeit v und Kraft F kann wie folgt hergestellt werden v :=

∂E , ∂p

−F :=

∂E . ∂r

(3.5)

¨ Damit k¨ onnen mit den zeitlichen Anderungen von p und r die verallgemeinerten dynamischen Gleichungen eines mechanischen Systems formuliert werden dr = v, dt

dp = F. dt

(3.6)

Die Vorgabe der charakteristischen Energiefunktion eines mechanischen Systems legt somit dessen verallgemeinerte dynamische Gleichungen fest. Anhand der Geschwindigkeits- und der Kraftfunktionen lassen sich noch spezielle Klassen mechanischer Systeme angeben. H¨angt n¨amlich die Kraftfunktion F(p, r) nur vom Ort ab, dann kann man leicht zeigen, dass die Geschwindigkeit v(p, r) nur vom linearen Impuls abh¨angt; auch die Umkehrung gilt. Wenn also F(r) und somit v(p) gilt, spricht man von Kr¨aften 1. Art andernfalls von Kr¨ aften 2. Art. Die nach Newton benannte Gravitionskraft ist eine Zentralkraft und ist nur vom Ort abh¨angig. Es handelt sich also um eine Kraft 1. Art. Wir werden im Abschnitt Elektrostatik“ kennenlernen, ” dass die von Coulomb in Analogie mit der Gravitationskraft formulierte elektrostatische Kraft ebenfalls eine Kraft 1. Art ist. Im Gegensatz dazu wird sich erweisen, dass die magnetischen Kr¨ afte nicht von 1. Art sind. Sie erf¨ ullen auch nicht die sogenannte Newtonsche Relation p = mv, die nur f¨ ur Kr¨afte 1. Art gilt. Mit dieser Relation lassen sich die verallgemeinerten dynamischen Gleichungen (3.6) auch auf die Newtonschen Bewegungsgleichungen (3.3) reduzieren.

1

Die Ableitung von skalaren Feldern nach Vektoren entspricht dem GradientenOperator

Teil II

Theorie elektrischer Netzwerke

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

4.1 Netzwerkmodellierung und Widerstandsnetzwerke Elektrische und elektronische Schaltungen geh¨ oren zu den wichtigsten physikalischen Systemen, die auf elektromagnetischen Eigenschaften basieren und daher grunds¨ atzlich mit der Theorie elektromagnetischer Felder behandelt werden m¨ ussten. Eine mathematische Modellierung und Beschreibung mit Hilfe elektromagnetischer Felder ist jedoch aufgrund der hohen Komplexit¨at solcher Schaltungen – d. h. der großen Anzahl von Bauelementen – und der damit zusammenh¨ angenden komplizierten Geometrie zumeist außerordentlich schwierig, wenn nicht gar unm¨ oglich. Außerdem wird die vollst¨andige Kenntnis der elektromagnetischen Felder gar nicht ben¨otigt, da fast alle Messger¨ate, mit denen man elektrische und elektronische Schaltungen untersucht, nur bestimmte Aspekte und integrale Gr¨ oßen dieser Felder ermitteln. Es ist daher sehr zweckm¨ aßig, eine eigenst¨ andige Theorie f¨ ur solche Schaltungen aufzubauen, die von Anfang an auf diesen integralen Gr¨oßen aufbaut. Tats¨achlich ist man physikhistorisch gesehen auf diese Weise vorgegangen. Noch lange bevor eine vollst¨ andige physikalische Theorie elektromagnetischer Felder existierte, haben Ohm und Kirchhoff sowie Helmholtz und andere eine eigenst¨andige Theorie linearer Widerstandsnetzwerke entwickelt, die man als Modelltheorie f¨ ur elektrische Schaltungen aus metallischen Drahtleitern verwenden kann. Ausgangspunkt war die Suche von Ohm nach geeigneten physikalischen Gr¨ oßen zur Beschreibung solche physikalischen Systeme. Auch wenn u ¨ ber Strom und Spannung auch schon vor Ohm gewisse Vorstellungen existierten, so ist es doch allein sein Verdienst, die Bedeutung dieser Gr¨oßen f¨ ur die Analyse elektrischer Schaltungen bestehend aus metallischen Drahtleitern (damals galvanische Kette“ genannt) erkannt zu haben; vgl. z. B. Wunsch [243], ” Mathis [148]. Nach umfassenden Untersuchungen u ¨ ber die physikalischen Gesetzm¨ aßigkeiten von Str¨ omen und Spannungen in elektrischen Schaltungen hat Ohm in seiner im Jahre 1828 erschienen Monographie Die galvanische Kette ” – mathematisch erkl¨art“ [174] die heute als Kirchhoffsche Gesetze bekannten Beziehungen in verbaler Form angegeben. Eine mathematische Formulierung

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4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

in der uns bekannten Form wurde allerdings erst von Kirchhoff in seiner ersten Ver¨ offentlichung von 1845 publiziert. Nach dem Ohm die Gr¨oßen Strom und Spannung als zentrale physikalische Gr¨ oßen zur Beschreibung von elektrischen Schaltungen aus metallischen Drahtleitern erkannt hatte und gleichzeitig physikalische Messger¨ ate zur Messung dieser Gr¨oßen vorschlug, war es nat¨ urlich eine einfache Aufgabe, den Zusammenhang f¨ ur Strom und Spannung an metallischen Drahtleitern zu bestimmen, der bis heute als Ohmsches Gesetz bezeichnet wird. An dieser Stelle soll aber noch einmal betont werden, dass nicht die Ermittlung des Ohmschen Gesetzes sondern die Modellierung von Schaltungen aus metallischen Drahtleitern die eigentliche Leistung Ohms gewesen ist. Leider wird dieser Umstand – h¨ aufig aus didaktischen Gr¨ unden – nicht immer in der notwendigen Klarheit hervorgehoben. Im folgenden wollen wir die Modellierung und mathematische Beschreibungsmethoden von Schaltungen aus Widerst¨ anden sowie unabh¨angigen Spannungs- und Stromquellen im Sinne der Theorie von Ohm und Kirchhoff diskutieren. Dazu gehen wir so vor, dass zun¨ achst die Bauelemente modelliert werden, aus denen sich solche Schaltungen zusammensetzen. Das gesamte Modellsystem wird auch als elektrisches Netzwerk bezeichnet, obwohl inzwischen der Ausdruck Netzwerk“ anders als bis in die 1960iger Jahre hinein in ganz ” vielf¨ altiger Weise verwendet wird (Computernetzwerke, Energieversorungsnetzwerke, neuronale Netzwerke, etc.). Als physikalische Gr¨oßen werden fast ausschließlich Str¨ome und Spannungen oder aus ihnen abgeleitete Gr¨oßen verwendet, die nicht nur einen numerischen Wert sondern auch eine Richtung aufweisen, was in einfacher Weise anhand von messtechnischen Experimenten best¨ atigt werden kann. Mikroskopisch gesehen, kann man sich den elektrischen Strom als fließende elektrische Ladung vorstellen, ganz analog zu den fließenden Wasserteilchen eines Wasserstromes. Seine Stromrichtung liegt durch die Flussrichtung der Wasserteilchen eindeutig fest. Da es aber bekanntlich positive und negative Ladungen gibt, muss beim elektrischen Strom eine positive und eine negative Flussrichtung festlegen werden: Aus mikroskopischer Sicht gesehen k¨ onnte man die positive und negative Richtung des elektrischen Stromes I mit Hilfe der Flussrichtungen der Ladungen festlegen. In der Netzwerktheorie, die das mikroskopische Geschehen nicht in ihre Betrachtungen einbezieht, kann man die Stromrichtungen ganz willk¨ urlich festlegen und durch einen Pfeil kennzeichnen. Diese sogenannten Z¨ahlpfeile f¨ ur die Str¨ome m¨ ussen, nachdem sie festgelegt sind, nur konsequent verwendet werden. Wir wollen noch anmerken, dass eine bestimmte Art der Festlegung gelegentlich noch als technische Stromrichtung“ genannt wird, was aber nur aus der ge” schichtlichen Entwicklung der Elektrizit¨ atslehre zu begreifen ist, da sie lange vor der Entdeckung des Elektrons erfolgte. Im allgemeinen ist die technische Stromrichtung der tats¨ achlichen Bewegung der negativ geladenen Elektronen, ager des Stromes in metallischen Leitern sind, entgegengerichtet. welche Tr¨ Auch bei der Spannung soll eine kurze Motivation auf der Grundlage einer mikroskopischen Betrachtung vorangestellt werden, obwohl das eigentlich nicht notwendig ist. Wie wir in einem sp¨ ateren Abschnitt 13.1 ausf¨ uhrlicher

4.1 Netzwerkmodellierung und Widerstandsnetzwerke

25

diskutieren werden, hat eine Ladung Q in einem Punkt a eine bestimmte potentielle Energie Wa , die proportional zur Ladung ist; der Proportionalit¨atsfaktor wird Potenzial Va genannt. Weiterhin sei Vb das Potenzial in einem weiteren Punkt b. An dieser Stelle soll darauf hingewiesen werden, dass das elektrische Potenzial erst in der Theorie elektromagnetischer Felder auf physikalischer Grundlage eingef¨ uhrt und insbesondere auch in der Elektrostatik mit dem Buchstaben ϕ bezeichnet wird; vgl. u. a. Abschnitt 18. Ebenso wie einen Wasserstrom, der sich an einem Wasserfall vom Ort h¨oherer potentieller Energie zu einem Ort kleinerer Energie bewegt, fließt ein elektrischer Strom von einer Klemme a mit hohem Potenzial Va zur Klemme b mit niedrigerem Potenzial Vb . Die Spannung entspricht einem Gef¨alle in der hydrodynamischen Analogie und der Spannungspfeil gibt die Richtung des Gef¨ alles“ an, in welcher der Strom fließt, wenn es sich nicht um eine ” Stromquelle handelt. Im hydrodynamischen Bild entspricht die Stromquelle nat¨ urlich einer Wasserpumpe, mit das Wasser auch bergauf fließen“ kann. ” Die elektrische Spannung zwischen den Punkten a und b ist gleich der Potenzialdifferenz (4.1) Uab := Va − Vb . Die positive Richtung der Spannung wird, wie in Abbildung 4.1 gezeigt, in einem Netzwerk durch einen Z¨ ahlpfeil markiert; eine Richtungsangabe durch Indizes a, b ist darum nicht mehr n¨ otig.

i

u

Abbildung 4.1. Nichtlinearer Widerstand mit Z¨ ahlpfeilen

Der Strom i eines realen Bauelements h¨ angt in vielen F¨allen von der anliegenden Spannung ab. Modellm¨ aßig kann man diese Abh¨angigkeit h¨aufig mit Hilfe einer Funktion i = i(u) oder u = u(i)1 charakterisieren und durch das in Abbildung 4.1 gezeigte Symbol darstellen, wobei das Symbol als Netzwerkelement bezeichnet wird. Dabei kann i = i(u) eine komplizierte Funktion – wie beispielsweise bei pn-Dioden; vgl. Abschnitt 39.1. Strom-Spannungsrelationen der genannten Art werden in der Netzwerktheorie als (nichtlinearer) Widerstand bezeichnet, wenn Strom und Spannung, wie in Abbildung 4.1 gezeigt, eines zweipoligen Netzwerkelements einander zugeordnet sind. 1

wie in der Technik u ¨ blich, werden wir den Funktionswert und die Funktion in diesem Buch h¨ aufig nicht unterscheiden, wenn aus dem Zusammenhang klar ist, was gemeint ist.

26

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

Bei vielen Materialien, besonders bei metallischen Leitern, ergibt das Experiment aber einen linearen Zusammenhang zwischen Spannung und Strom, der in Abb. 4.1 gezeigt wird und den Ohm bereits 1828 aufgrund der von ihm durchgef¨ uhrten Experimente angegeben hat. Der Strom durch einen Leiter ist also der anliegenden Spannung u proportional und die Proportionalit¨atskonstante wird sein Leitwert G genannt. Das ist der Inhalt des Ohmschen Gesetzes i = Gu. (4.2) Gleichbedeutend damit ist die Aussage: Fließt durch einen Leiter ein Strom

i

u

Abbildung 4.2. Linearer Widerstand mit Z¨ ahlpfeilen

i, so f¨ allt an ihm eine Spannung u ab, wobei u proportional zu i ist. Die Proportionalit¨ atskonstante wird Widerstand R des Leiters benannt. Dann lautet das Ohmsche Gesetz u = Ri. (4.3) Der Leiter kann also v¨ ollig gleichberechtigt durch seinen Leitwert G oder durch seinen Widerstand R gekennzeichnet werden. Es ist immer R=

1 . G

(4.4)

In Abb. 4.2 wird das Netzwerkelement Linearer Widerstand“ gezeigt. ” Bemerkung: Im deutschen Sprachgebrauch wird das Netzwerkelement selbst kurz Widerstand“ genannt, im Englischen wird die Eigenschaft mit resistan” ” ce“, das Element selbst mit resistor“ bezeichnet. Die Bezeichnung Ohmscher ” ” Widerstand“ wird verwendet, wenn die lineare i − u-Abh¨angigkeit besonders betont werden soll. Die Berechnung des Widerstandswertes wird besonders einfach, wenn es sich um homogene drahtf¨ ormige Leiter handelt. Sind die Querschnittsabmessungen der Dr¨ ahte sehr klein gegen die Drahtl¨ ange, dann f¨ ullt der elektrische Strom den Querschnitt der Leiter gleichm¨ aßig aus, und es gelten f¨ ur den Widerstand eines Drahtes von der L¨ ange l und dem Querschnitt A die folgenden Formeln A l oder G = σ . (4.5) R=ρ A l

4.1 Netzwerkmodellierung und Widerstandsnetzwerke

27

Die Gr¨ oßen ρ und σ werden spezifischer elektrischer Widerstand und elektrische Leitf¨ ahigkeit genannt. Aus Gl. (4.5) geht hervor, dass als Einheit f¨ ur den spezifischen Widerstand z. B. 1 Ωm, als Einheit f¨ ur die spezifische Leitf¨ ahigkeit z. B. 1 S/m gew¨ ahlt werden kann (S: Siemens, = 1/Ω). Eine praktisch h¨ aufig verwendete Einheit f¨ ur den spezifischen Widerstand ist auch utte“ [104] findet man die Werte des 1 Ωmm2 /m. In dem Nachschlagewerk H¨ ” spezifischen Widerstandes und der Leitf¨ ahigkeit bei ϑ = 20◦ C f¨ ur zahlreiche Stoffe, ferner der Temperaturkoeffizient α bei dieser Temperatur, der definiert ist durch die Gleichung (4.6) R(ϑ) = R20 (1 + αϑ). Als einfachste Quelle stelle man sich einen Bleiakkumulator (z. B. Autobatterie) vor. Trotz komplizierter elektrochemischer Vorg¨ange in seinem Inneren ist seine Klemmenspannung u leicht zu messen und wenig vom entnommenen Strom i abh¨ angig, weshalb diese Quelle den Namen Spannungsquelle f¨ uhrt. Im Idealfall w¨ are die Spannung der Quelle vom entnommenen Strom v¨ollig unabh¨ angig; man spricht von einer eingepr¨agten Spannung oder fr¨ uher auch Urspannung. Das Symbol einer (idealen) Spannungsquelle wird in Abb. 4.3, Teil a gezeigt, wobei die eingepr¨ agte Spannung mit U0 bezeichnet wird.

Abbildung 4.3. Ideale Quellen: a) Spannungsquelle, b) Stromquelle

Der in Wirklichkeit bei Stromentnahme immer auftretende Abfall der Klemmenspannung u = u(i) l¨ asst sich durch Einf¨ uhrung eines Innenwiderstandes Ri der Quelle, der in Reihe zu einer idealen Spannungsquelle mit der ucksichtigt. So entstehen die eingepr¨ agten Spannung U0 2 geschaltet ist, ber¨ Ersatzschaltung f¨ ur eine reale Quelle, die je nach Gr¨oße des Widerstandes als reale Spannungs- oder Stromquelle bezeichnet werden kann. Im Fall der realen Spannungsquelle verwendet man die Ersatzschaltung mit einem Innenwiderstand Ri in Reihe, wobei Ri klein“ sein sollte. In diesem Fall kann man ” Klemmenspannung U und Klemmenstrom I offensichtlich in folgender Weise in Zusammenhang bringen U = U0 − IRi . 2

(4.7)

Wenn wir betonen wollen, dass wir uns auf Gleichstr¨ ome und Gleichspannungen (konstante Funktionen!) beschr¨ anken wollen, dann verwenden wir große Buchstaben; z. b. U oder I

28

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

Die Ersatzschaltung f¨ ur eine reale Stromquelle erh¨alt man, indem man die Gl. (4.7) nach I umstellt und den eingepr¨agten Strom I0 – fr¨ uher auch als Urstrom“ bezeichnet – einf¨ uhrt ” I = I0 − Gi U,

(4.8)

mit Gi = 1/Ri und I0 = U0 /Ri . In diesem Fall sollte der Leitwert Gi groß sein. Es ist offensichtlich, dass sich die Leerlaufsspannung bei I = 0 zu U = U0 und der Kurzschlussstrom f¨ ur U = 0 zu I = I0 ergibt. Durch Zusammenf¨ ugen von Netzwerkelementen (Widerst¨anden und Quellen) entsteht ein elektrisches Netzwerk, wobei es sich um ein Modell f¨ ur eine elektrische Schaltung handelt. Die einzelnen Netzwerkelemente eines solchen Netzwerkes sind in den Knoten miteinander verbunden. Sieht man davon ab, um welches Netzwerkelement es sich handelt, dann sprechen wir auch von Zweigen des Netzwerkes. Geht man ein irgend einem Knotenpunkt aus und bewegt“ sich l¨ angs der elektrischen Leiter, so kann man immer auf mindes” tens einem Wege zu dem Ausgangspunkt zur¨ uckkehren, ohne dass ein Zweig mehrmals durchlaufen wird. Einen solchen geschlossenen Weg nennt man eine Masche Netzwerkes. Ein solches Netzwerk ist hinsichtlich seiner Verbindungsstruktur durch Knoten, Zweige und Maschen charakterisiert, w¨ahrend die physikalischen Eigenschaften eines Netzwerkes durch die speziellen Netzwerkelemente in den Zweigen festgelegt sind. Ordnet man den Zweigen Stromund Spannungsz¨ ahlpfeile zu, Dann lassen sich die Grundgesetze der Verbindungsstruktur mathematisch formulieren. Das Kirchhoffsche Stromgesetz Dieses – wie bereits erw¨ ahnt erw¨ ahnt – auf die Arbeiten von Ohm zur¨ uckgehende Gesetz bezieht sich auf die Knotenpunkte des Netzwerkes. Es bringt die Erfahrungstatsache zum Ausdruck, dass sich der elektrische Strom an der Verzweigungsstelle wie eine inkompressible Fl¨ ussigkeit verh¨alt, dass also mikroskopisch gesehen von der Verzweigungsstelle in jedem Zeitelement die gleiche Ladung wegfließt, die dem Verzweigungspunkt zugef¨ uhrt wird. Man kann daher das Kirchhoffsche Stromgesetz mikroskopisch auch als eine Formulierung des Gesetzes von der Erhaltung der Ladung bezeichnen. Dabei ist nat¨ urlich auf eine bez¨ uglich der eingef¨ uhrten Strompfeile vorzeichengerechte Addition der Str¨ ome zu achten. Werden beispielsweise alle Str¨ome Iµ mit dem Z¨ ahlpfeil zum Knoten mit einem positiven Vorzeichen versehen und ahlpfeil vom Knoten weg zeigt, nedementsprechend alle Str¨ ome Iν , deren Z¨ gativ gez¨ ahlt, dann erh¨ alt man folgende Stromsumme f¨ ur einen ausgew¨ahlten Knoten   Iµ − Iν = 0; (4.9) + µ

ν

Das gilt f¨ ur alle Knoten eines Netzwerks. Bringt man die Summe aller negativen Str¨ ome auf die rechte Seite der Gleichung, dann kann man auch sagen:

4.1 Netzwerkmodellierung und Widerstandsnetzwerke

29

Die Summe der einem Knoten zufließenden Str¨ome ist gleich der Summe aller ” abfließenden Str¨ ome des Knotens“. In Kurzform schreibt man auch  Iν = 0, (4.10) ν

wenn man die entsprechenden Vorzeichen bei den Pfeilrichtungen der Str¨ome ber¨ ucksichtigt. ome aller Zweige eines Netzwerkes Wenn man im Vektor I ∈ Rb die Str¨ zusammenfasst ⎛ ⎞ I1 ⎜ I2 ⎟ ⎜ ⎟ I = ⎜ . ⎟, (4.11) ⎝ .. ⎠ Ib wobei b die Anzahl der Zweige ist, dann ergibt sich aufgrund des Kirchhoffschen Stromgesetzes bei einem Netzwerk mit k Knoten ein homogenes lineares Gleichungssystem AI = 0; (4.12) dabei besitzen die Koeffizienten der k × b-Matrix nach Gl. (4.9) die Werte ±1, wenn die Str¨ ome den entsprechenden Knoten ber¨ uhren und ansonsten den Wert 0. Das Kirchhoffsche Spannungsgesetz Das Kirchhoffsche Spannungsgesetz bezieht sich auf die Maschen des Netzwerkes. Es besagt, dass die Summe aller Spannungen, die man bei einem vollst¨ andigen Umlauf um eine Masche vorfindet, null ist, wenn man die bei dem Umlauf im positiven Sinn der Z¨ ahlrichtung durchlaufenen Elemente als positiv, die anderen als negativ einsetzt. F¨ ur die Anwendung des zweiten Kirchhoffschen Spannungsgesetzes in linearen Widerstandsnetzwerken gelten daher die folgenden Vorschriften: 1. Man versehe jeden Zweig mit einem Z¨ ahlpfeil f¨ ur die positive Stromrichtung; jeder dieser Z¨ ahlpfeile kann willk¨ urlich angenommen werden. 2. Man versehe alle Quellen mit den Z¨ ahlpfeilen ihrer Spannungen, die vom Pluspol zum Minuspol zeigen. 3. Man gehe von einem Knotenpunkt aus und umlaufe in einem beliebigen Sinn die ganze Masche. Auf diesem Wege bilde man f¨ ur jeden Zweig die Summe der Quellenspannungen U0 , und der ohmschen Spannungsabf¨alle Iν , Uν . Alle Spannungen, die in der Richtung der Z¨ahlpfeile durchlaufen werden, erhalten ein positives, die anderen ein negatives Vorzeichen. 4. Die Summe aller dieser Spannungen l¨ angs einer Masche ist Null.  Uν = 0, (4.13) ν

30

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

wenn man die Richtung der Z¨ ahlpfeile geeignet w¨ahlt. Das gilt f¨ ur alle Maschen eines Netzwerkes. Die Vorzeichenregeln sind f¨ ur die Anwendung der Kirchhoffschen Gesetze von grundlegender Wichtigkeit; werden sie nicht beachtet, so verlieren die beiden Gesetze ihren Sinn. Mikroskopisch gesehen ist des Kirchhoffsche Spannungsgesetzes eine spezielle Form des Energiesatzes. Bringt man die Ladung Q von einem Punkt b mit der potentiellen Energie Wb = QVb zu einem Punkt a mit der potentiellen Energie Wa = QVa , so muss man die Arbeit Wab = QUab = Q(Va − Vb )

(4.14)

aufwenden. Beim Umlauf um die ganze Masche kommt man bei G¨ ultigkeit des Kirchhoffsche Spannungsgesetzes auf die gleiche potentielle Energie zur¨ uck. Sehr h¨ aufig werden die beiden Kirchhoffschen Gesetze kurz als Knotenregel (KN) und Maschenregel (MR) bezeichnet. Sie sind ihrer Natur nach als Erhaltungss¨ atze von Ladung und Energie sehr allgemein und gelten f¨ ur jede Schaltung unabh¨angig davon ob sie linear oder nichtlinear ist. Weiter unten werden sie zur Charakterisierung von Kirchhoffschen Verbindungselementen verwendet. Sind im Vektor U ∈ Rb alle Zweigspannungen enthalten ⎛ ⎞ U1 ⎜ U2 ⎟ ⎜ ⎟ U = ⎜ . ⎟, (4.15) ⎝ .. ⎠ Ub wobei b die Anzahl der Zweige ist, dann bilden s¨amtliche m Maschengleichungen eines Netzwerkes ein homogenes lineares Gleichungssystem BU = 0;

(4.16)

dabei besitzen die Koeffizienten der m × b-Matrix entsprechenden der obengenannten Vorschriften die Werte ±1, wenn die Spannungen an der entsprechenden Masche beteiligt ist und ansonsten den Wert 0. Die Gleichungen (4.12) und (4.16) k¨ onnen beim Aufbau einer axiomatischen Theorie linearer Widerstandsnetzwerke in sehr unterschiedlicher Weise interpretiert werden. Am h¨ aufigsten wird wohl die bereits auf Kirchhoff zur¨ uckgehende Vorgehensweise mit gerichteten Netzwerkgraphen verwendet. Dabei wird dem elektrischen Netzwerk ein orientierter Graph – Netzwerkgraph –zugeordnet, und die Matrizen A und B als Knoten-Zweig- bzw. MaschenZweig-Inzidenzmatrizen gedeutet. Wir wollen an dieser Stelle nicht weiter auf diese Vorgehensweise eingehen und stattdessen auf die umfassende Literatur verweisen, z. B. Balabanian, Kuh, Rohrer [131], Vlach, Singhal [227]. Mit Hilfe des Konzepts der dualen“ Netzwerkgraphen kann man beispielsweise mit ”

4.1 Netzwerkmodellierung und Widerstandsnetzwerke

31

Hilfe der L¨ osungsmenge eines Netzwerkes auf die L¨osungsmenge des dualen Netzwerkes schließen. Konstruktionsvorschriften f¨ ur den dualer Netzwerkgraphen findet man z. B. bei Desoer und Kuh ([54], S. 448ff). Besonders einfache F¨ alle dualer Netzwerke sind die sogenannten widerstandsreziproken Netzwerke, bei denen man die Impedanz- und Admittanzformeln mit Hilfe bestimmter Regeln u ¨bertragen kann; vgl. Cauer [41] [42], Feldtkeller [69]. Ein Nachteil der Verwendung von Netzwerkgraphen ist, dass nicht immer ein dualer Netzwerkgraph existiert; erste Hinweise findet man bereits bei Cau¨ er [40]. Erst mit Hilfe idealer Ubertrager (vgl. auch Abschnitt 29.3.1) duale Netzwerke angegeben werden (siehe Bloch [30]). Ein Ausweg bieten verallgemeinerte Konzepte, die Graphen als Spezialf¨alle enthalten. Reibiger hat auf der Grundlage von Bondgraphen und Matroiden das Konzept graphoidaler Netzwerke entwickelt (siehe z. B. Reibiger [189]), wobei er auf Ideen von Minty zur¨ uckgreift. Alternativ dazu griffen Mathis und Marten [149] auf Ideen von Ghenzi, Bloch und Belevitch [19] und entwickelten ein Konzept verallgemeinerter Verbindungselemente, wobei sie nach Ghenzi einige Bezeichnungen der algebraischen Topologie verwendeten; die entsprechende Literatur findet man in der Monographie von Mathis [148]. Da das Konzept von Netzwerken mit Kirchhoffschen Verbindungselement ohne große Vorbereitung mit Hilfe der Matrizen A und B formuliert werden kann, sollen die Grundz¨ uge dargestellt werden. Ein Kirchhoffsches Verbindungselement (siehe Mathis [148]) wird durch zwei reelle Matrizen A ∈ Rk×b und B ∈ Rm×b definiert, welche die folgende Exaktheitsbedingungen erf¨ ullen • •

ABT = 0, Rang(A) + Rang(B) = b.

Zwei Matrizen, die diese Bedingungen erf¨ ullen, nennen wir exaktes Matrizenpaar. Die verallgemeinerten Kirchhoffschen Gleichungen lassen sich nun mit einem solchen exakten Matrizenpaar formulieren AI = 0,

BU = 0.

(4.17)

Nach Belevitch [19] kann jedes exakte Matrizenpaar mit Hilfe von idealen n¨ Tor-Ubertragern realisiert werden. Vertauscht man die Matrizen in den Gln. (4.17), dann erh¨ alt man das bez¨ uglich der Str¨ome und Spannungen duale ¨ Netzwerk nach Bloch, dessen Verbindungselement auch ideale Ubertrager enthalten kann (siehe Mathis, Marten [149]). Zusammen mit den Zweigbeziehungen der Ohmschen Widerst¨ande und unabh¨ angigen Quellen k¨ onnen alle linearen Widerstandsnetzwerke beschrieben werden. Eine kompaktere Form ergibt sich, wenn man den Satz von Weyl-Tellegen (siehe Mathis [148]) bez¨ uglich der Bezeichnung) verwendet. Dazu wird das nat¨ urliche innere (oder Skalar-)Produkt (x, y) von Vektoren x, y ∈ Rb benutzt.

32

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

Satz von Weyl-Tellegen: F¨ ur alle Str¨ ome I und Spannungen U, welche die verallgemeinerten Kirchhoffschen Gleichungen erf¨ ullten, gilt (I, U) = 0.

(4.18)

Zum Nachweis verwendet man die expliziten L¨osungen der verallgemeinerten Kirchhoffschen Gleichungen (4.17). Man kann zeigen, dass die L¨osungen der beiden linearen homogenen Gleichungssysteme (4.17) mit Hilfe der Transponierten der Matrizen A und B bestimmt werden k¨onnen U = AT V,

I = BT J,

(4.19)

wobei die Vektoren V und J Knotenpotenziale bzw. Maschenstr¨ome genannt werden; die Koeffizientenmatrizen sind ein exaktes Matrizenpaar, das ein verallgemeinertes Kirchhoffsches Verbindungselement charakterisiert, und daher ¨ auch ideale Ubertrager enthalten kann. In speziellen F¨allen kann man dieses Verbindungselement auch mit Hilfe eines Netzwerkgraphen darstellen, wobei das Matrizenpaar die Inzidenzmatrizen des Graphen bildet. Einen Beweis f¨ ur die L¨ osungsformeln (4.19) findet man bei Mathis ([148], Anhang). Danach kann der Satz von Weyl-Tellegen mit den Rechenregeln f¨ ur innere Produkte und lineare Abbildungen sehr leicht bewiesen werden (I, U) = (BT J, U) = (J, B U) = 0,

(4.20)

da B u = 0 ist. ¨ Auf der Grundlage der bisherigen Uberlegungen k¨onnen nun die Knotengleichungen und die Maschengleichungen f¨ ur eine sehr allgemeine Klasse linearer Widerstandsnetzwerke sehr einfach abgeleitet werden. Dazu wird angenommen, dass jeder Zweig eines Netzwerk in Standardform vorliegt, d. h. es gilt die sogenannte Admittanzform Ik = Gk Uk + I0k + Gk U0k

(4.21)

f¨ ur alle k Zweige, oder es gilt die sogenannte Impedanzform Uk = Rk Ik − U0k − Rk I0k

(4.22)

f¨ ur alle k Zweige. Verwendet man die Admittanz- und Impedanzform in Matrizenschreibweise und benutzt die L¨ osungen der verallgemeinerten Kirchhoffgleichungen, dann erh¨ alt man I = YAT V + I0 + YU0 ,

(4.23)

wobei die Leitwertmatrix Y eine Diagonalmatrix mit den Leitwerten Gk auf der Hauptdiagonalen ist, bzw. U = ZBT J − U0 − ZI0 ,

(4.24)

4.1 Netzwerkmodellierung und Widerstandsnetzwerke

33

wobei die Widerstandsmatrix Z eine Diagonalmatrix mit den Widerst¨anden Rk auf der Hauptdiagonalen ist. Multipliziert man die Gln. (4.23) und (4.24) mit A bzw. mit BT 0 = AI = AYAT V + A(I0 + YU0 ), 0 = BU = BZBT J − B(U0 + ZI0 ),

(4.25) (4.26)

dann erhalten wir daraus die verallgemeinerten Knoten- bzw. Maschengleichungen, die in die gew¨ ohnlichen Knoten- bzw. Maschengleichungen u ¨ bergehen, wenn die Matrizen A und B Inzidenzmatrizen eines Netzwerkgraphen sind. Die Knotenleitwertmatrix AYAT und die Maschenwiderstandsmatrix BZBT sind nicht notwendigerweise regul¨ ar und daher haben diese Gleichungssysteme nicht unbedingt eine eindeutige L¨ osung V und J, so dass es in beiden F¨ allen der Bezeichnung Potenzial“ f¨ ur diese Gr¨oßen gerechtfertigt w¨are. ” Eindeutigkeit der L¨ osungen kann erreicht werden, wenn A und B als Inzidenzmatrizen eines Netzwerkgraphen gedeutet werden k¨onnen und geeignete Gleichungen gestrichen werden bzw. bestimmte Komponenten von V und J auf feste Werte (z. B. auf null) gesetzt werden; im Fall der Knotengleichungen entspricht diese mathematische Vorgehensweise der Festlegung der sogenannten Masse eines Netzwerkes. Außer den Ohmschen Widerst¨ anden, die Strom und Spannungen in einem Zweig eines Netzwerkes in Beziehung setzen, gibt es auch sogenannte gesteuerte Quellen, die Str¨ ome und Spannungen in verschiedenen Zweigen koppeln. Eine lineare stromgesteuerte Stromquelle koppelt beispielsweise die Str¨ome I2 und I5 mit Hilfe eines Kopplungskoeffizienten β, d. h. I2 = βI5 . In analoger Weise kann man lineare spannungsgesteuerte Spannungsquellen einf¨ uhren; z. B. U2 = vU5 . Außerdem gibt es noch lineare spannungsgesteuerte Stromquellen und stromgesteuerte Spannungsquellen. W¨ahrend sich die beiden zuerst genannten Arten gesteuerter Quellen weder in die Knoten- noch in die Maschengleichungen einbringen lassen, k¨ onnen stromgesteuerte Spannungsquellen in die Maschengleichungen und spannungsgesteuerte Stromquellen in die Knotengleichungen eingef¨ ugt werden. Steuert beispielsweise die Spannung U2 den Strom I1 , d. h. I1 = gU2 , so kann man dieses Netzwerkelement in die Leitwertmatrix Y als Nichtdiagonalelement einbringen. Die u ¨ blicherweise als gesteuerte Quelle bezeichneten Teilnetzwerke werden noch durch zus¨atzliche Beziehungen erg¨anzt; vgl. Mathis [148], Vlach und Singhal [227]. Netzwerke k¨onnen somit aus zusammengeschalteten Admittanzzweigen und spannungsgesteuerten Stromquellen mit Hilfe von Knotengleichungen beschrieben werden. Entsprechend k¨ onnen Netzwerke aus zusammengeschalteten Impedanzzweigen und stromgesteuerten Spannungsquellen mit Hilfe von Maschengleichungen beschrieben werden. Neben diesen Grundgleichungen linearer Widerstandsnetzwerke gibt es zahlreiche andere M¨ oglichkeiten f¨ ur Beschreibungsgleichungen, die in speziellen Situationen vorteilhaft sind. In einige dieser Beschreibungsgleichungen lassen sich auch lineare stromgesteuerte Stromquelle und spannungsgesteuerte

34

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

Spannungsquellen einf¨ ugen. Diese Beschreibungsgleichungen sind zwar f¨ ur die Anwendungen und insbesondere f¨ ur die Konstruktion von Schaltkreissimulatoren (SPICE, siehe Vlach, Singhal [227], Kielkowski [118]) von wesentlicher Bedeutung, aber es ergeben sich daraus keine grunds¨atzlich neuen Einsichten, so dass wir den interessierten Leser auf die Literatur verweisen; ausf¨ uhrlich wird die Aufstellung von Netzwerkgleichungen auch bei Reinschke und Schwarz [196] diskutiert. Allgemeine nichtlineare Widerstandsnetzwerke k¨onnen ebenfalls mit Hilfe eines Kirchhoffschen Verbindungselementes dargestellt werden, das mit linearen und nichtlinearen Zweipol-Widerst¨ anden sowie gesteuerten und unabh¨ angigen Quellen beschaltet ist. Gelingt es beispielsweise, s¨amtliche Netzwerkelemente in einer nichtlinearen Standardform zu beschreiben, so dass sie folgendermaßen repr¨ asentiert werden k¨ onnen I = f (U − U0 ) + I0 ,

(4.27)

dann kann man in der obengenannten Weise mit Gl. (4.19) die Beschreibungsgleichungen solcher nichtlinearen Widerstandsnetzwerke ableiten Af (AT V − U0 ) = −AI0 .

(4.28)

Da sich die nichtlinearen Elemente nur in Ausnahmef¨alle in der Standardform (4.27) formulieren lassen, k¨ onnen die allgemeinen Beschreibungsgleichungen nichtlinearer Widerstandsnetzwerke nur in die sehr allgemeine Form fN L (I, U) = 0,

(4.29)

AI = 0, BU = 0

(4.30)

notiert werden, wobei fN L die nichtlinearen Widerst¨ande beschreibt. Geometrisch gesehen handelt es sich um die Nullstellenmenge von f bzw. die L¨osungen der nichtlinearen Gleichungen (4.29), die mit der L¨osungsmenge der homogenen linearen Gleichungen (4.30) in der Menge aller Str¨ome und Spanosungsmengen homogener Gleichungen nungen Rb × Rb geschnitten werden; L¨ tragen grunds¨ atzlich eine Vektorraumstruktur. Diese Schnittmenge kann auch Zustandsraum eines (nichtlinearen) Widerstandsnetzwerkes genannt werden (siehe Mathis [148]); die Elemente eines Zustandsraumes werden Arbeitspunkte genannt. Bei linearen Netzwerkelementen ist die Nullstellenmenge eine lineare Mannigfaltigkeit, die im Fall eines echten (transversalen) Schnittes“ ebenfalls ” eine lineare Mannigfaltigkeit ist, die in den meisten F¨allen zu einem Punkt entartet. Dann besteht der Zustandsraum genau aus einem Arbeitspunkt. Das Arbeitspunktproblem bei linearen Widerstandsnetzwerken kann auf die L¨ osung linearer Gleichungen zur¨ uckgef¨ uhrt werden und ist daher gut verstanden und auch f¨ ur die numerische L¨ osung stehen verschiedene Algorithmen zur Verf¨ ugung (siehe z.B. Vlach und Singhal [227]). Dagegen kann man das Arbeitspunktproblem nur f¨ ur wenige Klassen nichtlinearer Widerstandsnetzwerken analytisch behandeln. So gibt es wichtige Schaltungsklassen, die Netz-

4.2 Einschwingvorg¨ ange in elektrischen Netzwerken

35

werkmodelle mit mehreren Arbeitspunkten erfordern; beispielsweise zwei (stabile) Arbeitspunkte von Flip-Flop-Schaltungen, die in SRAM-Speichern eingesetzt werden. Eine Reihe von Ergebnissen u ¨ ber die Anzahl von Arbeitspunkten sind f¨ ur nichtlineare Widerstandsnetzwerke aus Ohmschen Widerst¨anden und unabh¨ angigen Quellen sowie aus Halbleiterdioden und Bipolartransistoren verf¨ ugbar. Wie in Abschnitt 39 n¨ aher ausgef¨ uhrt wird, werden f¨ ur die Ersatzschaltungen dieser Halbleiterbauelemente, die das Gleichstromverhalten ¨ modellieren, gesteuerte Quellen verwendet. Einen Uberblick u ¨ ber die Ergebnisse solcher Netzwerke findet man bei Wilson [240], Hasler, Neirynck [85], Mathis [148]. Interessante neue Resultate sind in Arbeit von Reibiger, Mathis et al. enthalten [190], welche auf einer Idee von Kronenberg, Mathis und Trajkovic basieren [127].

4.2 Einschwingvorg¨ ange in elektrischen Netzwerken Im vorangegangenen Abschnitt 4.1 haben wir uns auf Schaltungen beschr¨ankt, die keine dynamischen Netzwerkelemente enthalten. Im Rahmen der Theorie elektromagnetischer Felder werden wir sehen, dass die Str¨ome und Spannungen dynamischer Netzwerkelemente u ¨ ber differentielle und integrale Beziehungen zusammenh¨ angen und somit der bisherige netzwerktheoretische Rahmen erweitert werden muss. In Abschnitt 12 wird gezeigt, dass Leiteranordnungen, die sich auf unterschiedlichen Potenzialen befinden, mit Hilfe des Kapazit¨ atsbegriffs in integraler Form beschreiben lassen. In der Schaltungstechnik werden solche Anordnungen als Kondensatoren bezeichnet, so dass man auf der Ebene der Str¨ ome und Spannungen das folgende einfache Netzwerkmodell definieren kann du = i, (4.31) C dt welches Kapazit¨ at genannt wird und ohne dass auf den feldtheoretischen Hintergrund zur¨ uckgegriffen werden muss. In ¨ ahnlicher Weise kann man das magnetische Feld in stromdurchflossenen Leiteranordnungen mit Hilfe des Begriffs der Selbst- oder Gegeninduktivit¨at in integraler Form beschreiben, so dass solche Anordnungen, die man in der Schaltungstechnik als Spulen bezeichnet, mit Hilfe des folgenden einfachen Netzwerkmodells beschreiben kann L

di = u, dt

(4.32)

welches Induktivit¨ at genannt wird. Bemerkung: Ebenso wie beim Widerstand werden die Bauelemente, die feldtheoretischen Kenngr¨ oßen und die Netzwerkmodelle hinsichtlich ihrer Bezeichnung in der deutschsprachigen Literatur nicht unbedingt unterschieden, so dass man dem inhaltlichen Ausf¨ uhrungen entnehmen muss, was gemeint ist.

36

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

Fasst man s¨ amtliche Kapazit¨ aten bzw. Induktivit¨aten in jeweils einer vektoriellen Form zusammen C

du = i, dt

L

di = u, dt

(4.33)

wobei C die (diagonale) Kapazit¨ atsmatrix bzw. L die (diagonale) Induktivit¨ atsmatrix ist, dann k¨ onnen die Beschreibungsgleichungen dynamischer Netzwerke, bei denen man sich auf die obengenannten dynamischen Netzwerkelemente beschr¨ankt, mit Hilfe der Gleichungen (4.29) und (4.30) fN L (i, u) = 0, Ai = 0, duC = iC , C dt

Bu = 0, diL = uL . L dt

(4.34) (4.35) (4.36)

Dabei werden die dynamischen Netzwerkelemente mit Hilfe derjenigen Str¨omen und Spannungen des Kirchhoffschen Verbindungselements beschrieben, an denen diese Netzwerkelemente angeschaltet sind; sie werden daher mit iC , uC , iL und uL bezeichnet, sind aber auch in den Vektoren i und u enthalten. Dieses System von Gleichungen besteht aus linearen Differentialgleichungen und algebraischen Gleichungen (linear, und nichtlinear), die sich nur in speziellen F¨ allen in eine kompakte Form bringen lassen. Im Fall nichtlinearer Kapazit¨ aten und Induktivit¨ aten, denen der Kapazit¨atswert von der Spannung atswert vom Strom iL abh¨angt, besitzt das GleichungsuC bzw. der Induktivit¨ system die Form B(x)

dx = f (y), dt 0 = g(x, y),

(4.37) (4.38)

welche man auch als Algebro-Differentialgleichungen bezeichnet. Solche Gleichungen besitzen unter bestimmten Umst¨ anden L¨osungen, die explizite Differentialgleichungen der Form x˙ = f (x) nicht besitzen und m¨ ussen daher gesondert klassifiziert (Indexbegriff, Differentialalgebra) und analytisch behandelt werden; auch bei der numerischen Analyse m¨ ussen Besonderheiten beachtet werden. Bez¨ uglich der Einzelheiten verweisen wir auf die Literatur: ¨ einen Uberblick geben z. B. Mathis [150] und Deuflhard [56]. Wenn die dynamischen Netzwerke nur lineare Widerst¨ande, Kapazit¨aten und Induktivit¨ aten sowie gesteuerte und unabh¨angige Quellen enthalten, dann kann man diese Netzwerke, bei denen Eingangs- und Ausgangsgr¨oßen gesondert bezeichnet sind, in bestimmten F¨ allen (sogenannten Index1-Systeme) mit Hilfe der obengenannten Zustandsgleichungen (2.14) x˙ = A x + B u, y = Cx + Du

(4.39) (4.40)

4.2 Einschwingvorg¨ ange in elektrischen Netzwerken

37

beschrieben, wobei die Gr¨ oßen x, u und y geeignete Str¨ome und Spannungen des Netzwerkes sind. In diesen F¨ allen kann man auf die analytischen L¨osungsverfahren der Theorie linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten zur¨ uckgreifen; siehe z. B. J¨ anich [110]. Die allgemeine L¨osung der Zustandsgleichung (4.39) lautet bei vorgegebenen Anfangswerten x(0) = x0 (f¨ ur t0 = 0)  t eA(t−τ ) Bu(τ ) dτ = eAt Bu(t), (4.41) x(t) = eAt x0 + 0

wobei exp(At) die allgemeine L¨ osung von x˙ = A x

(4.42)

und das zugeh¨ orige Faltungsprodukt ist. Die Ausgangsgr¨oße y l¨asst sich danach in einfacher Weise bestimmen. Weitere Einzelheiten zur L¨osung expliziter linearer Vektordifferentialgleichungen findet man in der Literatur; vgl. z. B. Kisacanin, Agarwal [4], Mathis [148]. In Abschnitt 5 wollen wir jedoch auf beispielhafte Anwendungen eingehen. Wir wollen nur darauf hinweisen, dass lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und insbesondere die Zustandsgleichungen auch mit Hilfe der Laplace-Transformation und Methoden der sogenannten Operatormethode l¨ osen kann. Das liegt vor allem daran, dass der L¨osungsraum solcher Gleichungssysteme (4.42) grunds¨ atzlich ein endlich dimensionaler Funktionenvektorraum ist und somit das Problem auch explizit algebraisch formuliert werden kann. Wie in Gl. (4.41) zu ersehen ist, kann man die spezielle L¨osung der Zustandsgleichung mit Hilfe eines Faltungsintegral formulieren. F¨ uhrt man diese Faltung als Produkt in den entsprechenden Funktionenvektorraum ein, dann kann in dieser Algebra auch L¨osungen des Differentialgleichungssystems ausrechnen. Eine sehr zweckm¨ aßige Methode geht von dem sogenannten Mikusinski-Kalk¨ ul f¨ ur Distributionen aus und reduziert die Menge der verf¨ ugbaren Distributionen auf sogenannte Hyperfunktionen (vgl. Yosida [247]). In Anwendung auf die System- und Netzwerktheorie, in der die Klasse der Algebro-Differentialgleichungen im Vordergrund steht, gelangt man zu dem eleganten, von Mathis und Marten (siehe z. B. Mathis [148]) entwickelten HY-Kalk¨ ul, bei dem es sich um eine erweiterte Fassung des Heaviside-Kalk¨ uls (vgl. Courant, Hilbert [51]) handelt. Auf analytische, beweistechnisch aber sehr viel kompliziertere Art und Weise erh¨ alt man die Ergebnisse des HYKalk¨ uls auch mit Hilfe der Laplace-Transformation, deren Anwendbarkeit darauf beruht, dass man das Faltungsprodukt im Urbildraum als Produkt komplexwertiger Funktionen im Bildraum dieser Transformation schreiben kann. Hinsichtlich weiterer Einzelheiten verweisen wir auf die Literatur; z. B. Kisacanin, Agarwal [4], Ziemer, Tranter, Fannin [251]. Bei vielen Anwendungen derartiger Methoden geht es insbesondere darum, die spezielle L¨ osung einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten ermitteln, die man nach Gl. (4.41) mit Hilfe eines Faltungsproduktes

38

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

darstellen kann. Ist die Impulsantwort eines Input-Output-Systems h mit dem Eingang x und dem Ausgang y bekannt, dann erh¨alt man im Zeitbereich die folgende Beziehung y = h x, (4.43) wenn das Symbol das Faltungsprodukt bezeichnet. Dabei soll darauf hingewiesen werden, dass nach Abschnitt 2 ein enger Zusammenhang mit der Greenschen Funktion besteht. Im Bildbereich der Laplace-Transformation erh¨alt man die Produktform der Input-Output-Beziehung Y = H(s) X,

(4.44)

wenn s die komplexe Frequenz sowie Y, H und X die Laplace-Transformierten ¨ von y, h und x sind. Die Ubertragungsfunktion H(s) ist eine komplexwertige Funktion, die auch als Quotient Y /X definiert werden kann. In Abschnitt 5 werden die genannten Verfahren anhand einiger Beispiele illustriert.

4.3 Die Wechselstromrechnung In diesem Abschnitt beschr¨ anken wir uns auf lineare zeitinvariante Netzwerke mit sinusf¨ ormiger Anregung, die durch lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und sinusf¨ ormiger Inhomogenit¨at beschrieben werden. Interessieren wir uns nur f¨ ur eine Netzwerkvariable x(t) und besitzt das Netzwerk nur eine sinusf¨ ormige Quelle, dann reduzieren sich die Beschreibungsgleichungen auf eine Differentialgleichung der Form an

dn−1 x d2 x dx dn x + a0 x = bf, + a + · · · + a + a1 n−1 2 dtn dtn−1 dt2 dt

(4.45)

wobei f zur Menge der sinusf¨ ormigen Funktionen geh¨ort, d. h. f ∈ Fω := ¨ {f (t) = α sin ωt + β cos ωt}. Bei der Ubertragung der in diesem Abschnitt diskutierten Methoden auf Netzwerke mit mehreren Eingangsquellen und Ausgangsgr¨ oßen muss man auf Systeme inhomogener linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten zur¨ uckgreifen, was jedoch zu keinen neuen Einsichten f¨ uhrt. Daher verweisen wir an dieser Stelle auf die Literatur; vgl. Mathis [148]. Ist man an L¨ osungen x der Gl. (4.45) in der Menge Fω interessiert, dann k¨ onnen spezielle Rechenmethoden entwickelt werden, die wir unter Methoden ” der Wechselstromrechnung“ zusammenfassen wollen. Wenn man die skalare Multiplikation sinusf¨ ormiger Funktionen punktweise anf¨ uhrt, dann handelt es sich offensichtlich um einen reellen Vektorraum, der aus Funktionen besteht. Letztlich laufen diese Methoden darauf hinaus, dass das unbequeme Arbeiten mit Sinus- und Kosinus-Funktionen und den dazu notwendigen Additionstheoremen durch das Arbeiten mit einer einzigen Funktion – n¨amlich der

4.3 Die Wechselstromrechnung

39

e-Funktion – ersetzt wird. Methoden dieser Art wurden bereits von Helmholtz und Rayleigh um 1880 benutzt (siehe Marten, Mathis [147]), aber erst durch Steinmetz und Kennelly wurde im Jahre 1893 ein systematisches Verfahren entwickelt und auf Probleme der Energietechnik angewendet. Wenig sp¨ater wurde auch das Konzept der komplexen Leistung durch Janet (vgl. Breisig [37]) eingef¨ uhrt. Um 1910 war die Methode schon vollst¨ andig etabliert und es gab zahlreiche Darstellungen der symbolischen Methode“, wie sie schon von Rayleigh ” genannt wurde. Eine mathematisch befriedigende Darstellung der Methode zur L¨ osung der obengenannten Klasse von Differentialgleichungen existierte jedoch lange nicht. Erst im Jahre 1937 hat Quade [185] die vielfach angewendete Methode in eine mathematische Form gebracht. Allerdings hielt er an den komplexen Str¨ omen und Spannungen fest, welche von vielen Ingenieuren, die an reellwertige Funktionen f¨ ur physikalische Gr¨oßen gew¨ohnt waren, mit zum Teil erheblicher Skepsis betrachtet wurden. Mathis und Marten haben eine alternative Darstellung der Wechselstromrechnung pr¨asentiert, die auf komplexe Str¨ ome und Spannungen verzichtet und die komplexen Zahlen zur mathematischen Darstellung von Differential- und Integraloperatoren verwendet; siehe u. a. Mathis [148], Marten und Mathis [147]. Ein besonderer Vorteil dieser alternativen Methode zur L¨ osung von Wechselstromaufgaben ist, dass die komplexe Leistung in mathematisch sehr durchsichtiger Weise eingef¨ uhrt werden. Im folgenden soll kurz auf die Grundideen der Methode eingegangen werden. Ausgangspunkt der Methode nach Mathis und Marten ist, dass der Diffeur alle x ∈ Fω definiert ist durch rentialoperator Dω , der f¨ 1 dx , ω dt

(4.46)

Dω ◦ Dω = −idFω

(4.47)

Dω (x) := die interessante Eigenschaft

besitzt, wobei ◦ die Hintereinanderschaltung von Operatoren und idFω die Identit¨ at auf Fω ist. Offensichtlich ist die Inverse von Dω der Operator −Dω . Zum Nachweis dieser Aussagen mache man sich klar, dass Dω auch auf die Basisfunktionen cos ωt und sin ωt angewendet werden kann, woraus sich folgendes ergibt Dω cos ωt = − sin ωt,

Dω sin ωt = cos ωt.

(4.48)

Daraus folgt f¨ ur die Basisfunktionen sofort die Beziehung (4.47), die offensichtlich auch f¨ ur beliebige Linearkombinationen g¨ ultig ist. Wenn auf einem 2-dimensionalen Vektorraum eine lineare Abbildung mit der in Gl. (4.47) genannten Eigenschaft existiert, die dann komplexe Struktur genannt wird (vgl. Mathis [148]), dann kann man die reelle skalare Multiplikation durch eine komplexe skalare Multiplikation ersetzen. Dazu f¨ uhrt man

40

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

einen Operator j ein, der die Rechenregeln der imagin¨aren Einheit i erf¨ ullt und somit mit i identifiziert werden kann. Eine komplexe skalare Multiplikation auf Fω wird wie nun folgt definiert (α + βj)  f := α · f + β · Dω (f ),

(4.49)

wobei das  zur Unterscheidung von der gew¨ ohnlichen skalaren Multiplikation · beibehalten wird, obwohl das bei der Anwendung der Methode unn¨otig ist und das Symbol wie bei · aus Gr¨ unden der Bequemlichkeit h¨aufig weggelassen wird. j entspricht also der Anwendung des Differentialoperators Dω . Nat¨ urlich handelt es sich bei den Funktionen f weiterhin um reellwertige Funktionen, die jedoch im Sinne von  mit komplexen Zahlen α + βj multipliziert werden k¨ onnen. ¨ Ubersetzt man die Beziehungen in Gl. (4.48) mit Hilfe von , dann erh¨alt man j  cos ωt = − sin ωt, j  sin ωt = cos ωt. (4.50) Das bedeutet aber, dass die beiden Basisfunktionen in Bezug auf  linear abh¨ angig sind und der mit  versehene Raum der sinusf¨ormigen Funktionen Fω ist ein 1-dimensionaler komplexer Vektorraum. Als Basis kann man cos ωt, sin ωt oder irgendeine Linearkombination dieser Funktionen verwenden, die f¨ ur vorliegende Anwendung zweckm¨ aßig ist. Sucht man nun eine sinusf¨ ormige L¨ osung einer Differentialgleichung vom Typ (4.45) (man kann zeigen, dass es sich i. a. um eine eindeutige L¨osung handelt) , dann kann man die Differentialoperatoren dn /dtn durch Erweitern uhren und anschließend mit Hilfe von  formulieren in Potenzen von Dω u ¨berf¨   an ω n j n + an−1 ωn−1 j n−1 + · · · + a2 ω 2 j 2 + a1 j + a0  x = bf. (4.51) Entsprechend den Rechenregeln der imagin¨ aren Einheit k¨onnen nun die Potenzen von j bis auf ein Vorzeichen auf j reduziert werden, so dass sich die Klammer in Gl. (4.51) als komplexe Zahl A + Bj schreiben l¨asst (A + Bj)  x = bf,

(4.52)

wobei A und B von den Koeffizienten a0 , a1 , . . . , an−1 , an und der Frequenz ω abh¨ angen. Die L¨ osung kann nun einfach in folgender Form notiert werden x=

b  f. (A + Bj)

(4.53)

¨ Der Nenner des komplexen Vorfaktors von f , der sich auch als Ubertragungsfunktion H(ω) von f nach x interpretieren l¨ asst, kann reell gemacht werden und das Ergebnis mit Hilfe der Definition (4.49) in eine Linearkombination von f und der Zeitableitung von f umgewandelt werden x=

bA bB 1 df b(A − Bj) f = f− 2 . 2 2 2 2 2 (A + B ) (A + B ) (A + B ) ω dt

(4.54)

4.3 Die Wechselstromrechnung

41

Insbesondere Gl. (4.54) zeigt, dass im Rahmen der Darstellung der Wechselstromrechnung nach Mathis und Marten die komplexen Zahlen zur Darstel¨ lung von Differentialoperatoren dienen, wobei komplexe Aquivalente f¨ ur die Funktionen f und die L¨ osungen x u ussig sind. ¨ berfl¨ ¨ Die Ubertragungsfunktion in Gl. (4.53) kann als rationale Funktion H(jω) ¨ in jω dargestellt werden. Die in Abschnitt 4.2 eingef¨ uhrte Ubertragungsfunktion H(s) kann durch analytische Fortsetzung von H(jω) in die komplexe Ebene C gewonnen werden (vgl. z. B. J¨ anich [110]). Auf verschiedene Darstel¨ lungen von Ubertragungsfunktionen kommen wir noch einmal in Abschnitt 4.4 zur¨ uck. Sind x und y sinusf¨ ormige Spannungs- und Stromfunktionen eines Zweiges in einem Netzwerk, dann ist die zugeordnete Wirkleistung P in folgender Weise definiert (T := 2π/ω)  1 T x(t)y(t)dt. (4.55) P := T 0 Dieser Ausdruck kann auch als inneres Produkt oder Skalarprodukt (x, y) im Raum der sinusf¨ ormigen Funktionen Fω gedeutet werden. Die Basisfunktionen cos ωt und sin ωt sind bez¨ √ uglich (x, y) orthogonal; erst nach einer Multiplikaalt man orthonormale Basisfunktionen mit tion mit dem Faktor 1/ 2 erh¨ √ √ √ √ ((1/ 2) cos ωt, (1/ 2) cos ωt) = 1, ((1/ 2) sin ωt, (1/ 2) sin ωt) = 1; (4.56) die anderen inneren Produkte verschwinden. Es fragt sich nun, ob und in welcher Weise sich dieses innere Produkt P = uhrt. (x, y) ver¨ andert, wenn man die neue skalare Multiplikation  in Fω einf¨ In einem komplexen Vektorraum muss es sich nat¨ urlich um ein Hermitesches inneres Produkt x, y handeln, das nicht mehr symmetrisch hinsichtlich der Vertauschung von x und y ist; vielmehr gilt x, y = y, x∗ . Weiterhin ist x, y nur noch bez¨ uglich der rechten oder linken Seite linear. Beispielsweise gilt λx, y = λx, y, w¨ ahrend mit y multiplizierter komplexer Skalar λ konjugiert komplex herausgezogen wird; das kann leicht mit Hilfe der Vertauschungregel x, y = y, x∗ gezeigt werden. Mathis und Marten konnten zeigen, dass unter der Voraussetzung, dass der Realteil des Hermiteschen inneren Produkts gleich (x, y) ist, der zugeh¨orige Imagin¨ arteil bis auf ein Vorzeichen eindeutig festgelegt ist. Man erh¨alt x, y := (x, y) ± j(x, Dω (y)).

(4.57)

Die Eigenschaften dieses inneren Produkts werden klar, wenn man die m¨oglichen Produkte der Basisfunktionen cos ωt und sin ωt berechnet. Das Hermitesche innere Produkt x, y wird – nach Festlegung des Vorzeichens – komplexe Leistung und der Imagin¨ arteil Blindleistung genannt; den Betrag |x, y| bezeichnet man als Scheinleistung. Wir nehmen nun an, dass x und y bez¨ uglich einer orthogonalen Basis in Fω und mit  durch komplexe Zahlen X und Y dargestellt werden. Dann wird

42

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

sofort klar, dass sich die komplexe Leistung x, y in Bezug auf diese Basis mit Hilfe des Produkts XY ∗ darstellen l¨ asst, wenn x, y linear bez¨ uglich x ist und damit der Koeffizient Y konjugiert komplex aus x, y herausgezogen wird. Nach der Darstellung der Grundideen der Wechselstromrechnung nach Mathis und Marten soll noch kurz skizziert werden, wie die Wechselstromrechnung nach Steinmetz und Kennelly u uhrt wird. Dabei geht ¨blicherweise eingef¨ man von einer allgemeinen sinusf¨ ormigen Gr¨ oße in folgender Form aus x(t) = x ˆ cos(ωt + ϕ),

(4.58)

wobei x ˆ der Scheitelwert und ϕ der Phasenwinkel ist, und erweitert x im Sinne der Eulerschen Formel (exp z = cos z + j sin z 3 ) mit einem Imagin¨arteil x˜(t) = x ˆ cos(ωt + ϕ) + j x ˆ sin(ωt + ϕ) = x ˆej(ωt+ϕ) .

(4.59)

Zerlegt man exp(j(ωt + ϕ)) in ein Produkt, dann ist x ˜ vollst¨andig durch den zeitunabh¨ angigen Teil X := x ˆ exp(jϕ) festgelegt. Der zeitabh¨angige Anteil exp(jωt) ist f¨ ur alle komplex erweiterten sinusf¨ormigen Zeitfunktionen mit derselben Frequenz ω identisch und kann daher bei den Rechnungen weggelassen werden. Erst wenn man wieder auf reelle Zeitfunktionen u ¨ bergehen will, wird exp(jωt) wieder hinzugef¨ ugt und trennt den Imagin¨arteil ab. Bildet man die Zeitableitung von x ˜ und trennt wiederum den zeitabh¨angigen Anteil exp(jωt) ab, dann kann diese Ableitung von x˜ auch durch Multiplikation des zeitunabh¨ angigen Teils X von x ˜ mit jω dargestellt werden  j(ωt+ϕ)    d x ˆe d˜ x(t) = → jω xˆejϕ = jωX. (4.60) dt dt Auch bei der Darstellung der Wechselstromrechnung nach Steinmetz und Kennelly wird also die Ableitung (bis auf ω) durch eine Multiplikation mit j ausgedr¨ uckt, aber gleichzeitig m¨ ussen die Zeitfunktionen durch eine komplexe Gr¨oße ersetzt werden. Somit wird der eigentlich Grund f¨ ur die Einf¨ uhrung komplexer Zahlen in die Wechselstromrechnung, n¨ amlich eine alternative algorithmische Behandlung von Differential- und Integraloperatoren in der Menge der sinusf¨ ormigen Zeitfunktionen zu gestatten, eher verdeckt als explizit herausgearbeitet. Die Ergebnisse der beiden Darstellungen der Wechselstromrechnung f¨ uhren nat¨ urlich zu den gleichen Ergebnissen. Es soll darauf hingewiesen werden, dass man in beiden Konzepten auch das Impedanz/Admittanz-Konzept einf¨ uhren kann. Beispielsweise kann man die konstitutive Differentialgleichung f¨ ur Kapazit¨ aten du =i (4.61) C dt 3

Wie in der Elektrotechnik u ur die imagin¨ are Einheit auch ¨ blich, verwenden wir f¨ weiterhin das Symbol j, obwohl es zun¨ achst f¨ ur die Darstellung des Ableitungsoperator Dω reserviert wurde.

4.3 Die Wechselstromrechnung

43

in der Form jωCU = I schreiben oder alternativ mit dem  Produkt ωj  u = i. Dabei wird jωC bzw. ωCj Admittanz (verallgemeinerter Leitwert) genannt. In entsprechender Weise kann auch die Impedanz (verallgemeinerter Widerstand) als Kehrwert der Admittanz definiert werden. Nutzt man Impedanzen und Admittanzen in der Wechselstromrechnung, dann kann man die grundlegenden Netzwerkanalyseverfahren f¨ ur Gleichstromnetzwerke, wie sie in Abschnitt 4.1 diskutiert wurden, ohne Probleme auf Wechselstromnetzwerke u ¨ bertragen. Anstatt der reellen Widerst¨ande erscheinen dann in der Leitwertmatrix Y bzw. der Widerstandsmatrix Z Admittanzen und Impedanzen. An der Form der Gleichungen ¨ andert sich nichts. Noch weniger systematisch als die Rechenmethoden zur L¨osung von Wechselstromaufgaben werden in der Wechselstromrechnung nach Steinmetz und Kennelly die verschiedenen, obengenannten Leistungsgr¨oßen eingef¨ uhrt. Wir wollen an dieser Stelle auf eine ausf¨ uhrliche Darstellung verzichten und diesbez¨ uglich auf die Literatur verweisen (z. B. Bosse [35]). Grunds¨atzlich ergibt sich folgendes: Sind U und I die komplexen und zeitabh¨angigen Anteile der komplex erweiterten Zeitfunktionen u(t) und i(t), dann entspricht die komplexe Leistung P dem folgenden Produkt S = P + jQ =

1 U I ∗. 2

(4.62)

Den Faktor 1/2 kann man eliminieren, indem man √ auf orthonormale Basisfunktionen (Multiplikation mit dem Faktor 1/ 2) u ¨ bergeht und damit auf Effektivwerte anstatt der Scheitelwerte. Es sei angemerkt, dass wir weiter oben im Rahmen der Wechselstromrechnung nach Mathis und Marten bereits eine Begr¨ undung daf¨ ur geliefert haben, unter welchen Voraussetzungen ein ur die komplexe Leistung auftreten muss. Produkt U I ∗ f¨ Trotz der ohne weiteres erkennbaren Vorteile der neuen Methode werden wir in den folgenden Abschnitten des Buches und damit auch bei den in Abschnitt 5 behandelten Beispielen zur Wechselstromrechnung fast ausschließlich die Darstellung nach Steinmetz und Kennelly verwenden, um die Leserschaft mit dieser bisher noch gebr¨ auchlichen Methode vertraut zu machen. Wir hoffen aber auch gezeigt zu haben, wie man die Wechselstromrechnung alternativ mit Hilfe einiger weniger Kenntnisse aus der linearen Algebra in systematischer Weise entwickeln und anwenden kann. Damit erf¨ ullt die neue Methode alle diejenigen Bedingungen eines L¨ osungsverfahren f¨ ur Differentialgleichungen, wie sie von Quade schon vor vielen Jahren gefordert wurden, so dass die Methode in Zukunft auf weiteres Interesse stoßen k¨onnte. Es soll abschließend noch einmal betont werden, dass wichtige Techniken der Wechselstromrechnung, wie Zeigerdiagramme und Ortskurven, auch in der neuen Darstellung nicht nur ihren Wert behalten, sondern da sich die komplexen Gr¨ oßen H(jω) direkt auf den Systemoperator des betrachteten Systems beziehen, wird ihre Bedeutung unserer Meinung nach noch klarer. Ein aus unserer Sicht durchaus interessanter Gesichtspunkt, der zumindest begriffliche Vorteile bringt.

44

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

¨ 4.4 Darstellungen von Ubertragungsfunktionen ¨ Bei den bereits erw¨ ahnten Ubertragungsfunktionen H(jω) und H(s) handelt es sich um Abbildungen der Form H : C → C mit H : jω → H(jω) bzw. H : s → H(s). Verwendet man die Laplace-Transformation zur L¨osung der Beschreibungsgleichungen elektrischer Netzwerke, dann gilt das auch f¨ ur die von der komplexen Frequenz s abh¨ angenden Str¨ome I(s) und Spannungen U (s). F¨ ur graphische Darstellungen von H(s) ist offensichtlich eine Dimensionsreduktion um mindestens eine Dimension notwendig. Im Rahmen der komplexen Wechselstromrechnung hatte man das schon fr¨ uh erkannt und sogenannte ¨ Ortskurven eingef¨ uhrt. Bei dieser Art der graphischen Darstellung von Ubertragungsfunktionen H(s) bildet man nicht die gesamten komplexen Ebene C auf C ab, sondern beschr¨ ankte sich auf die Abbildung der imagin¨aren Achse in C. Das Bild ist nat¨ urlich ebenfalls eine Kurve in C. Dabei wird als Argument jω ∈ jR anstatt s ∈ C verwendet. Da der Definitionsbereich dieser Funktionen H(jω) klar ist, kann man auf seine graphische Darstellung verzichten und stellt nur die Kurven in der komplexen Ebene dar. Auf einige wichtige Aspekte solcher Ortskurven soll im folgenden eingegangen werden. Etwas allgemeiner gesagt, kann die Abh¨ angigkeit einer Wechselstromgr¨oße von einer Ver¨ anderlichen, z. B. von einem ver¨anderlichen Widerstandswert, einer Stromst¨ arke oder auch von der Frequenz ω, als Ortskurve dargestellt werden. Sie gibt den geometrischen Ort der Zahlen – im folgenden auch Zeiger genannt – in der komplexen Ebene an. Insbesondere kann man auch jω als komplexen (imagin¨ aren) Parameter w¨ ahlen. So ist z. B. die komplexe Impedanz einer Kapazit¨at ohne Verluste Z(jω) =

j 1 =− . jωC ωC

(4.63)

Sie l¨ asst sich f¨ ur eine feste Frequenz ω in der komplexen Z-Ebene durch einen

Abbildung 4.4. Ortskurve einer Kapazit¨ at

Zeiger darstellen, der auf der negativen imagin¨ aren Achse liegt, Abb. 4.4, und die L¨ ange 1/ωC hat. Beim Ver¨ andern der Frequenz oder des Kapazit¨atswertes wandert die Spitze des Zeigers auf dieser Achse, so dass die imagin¨are Achse

¨ 4.4 Darstellungen von Ubertragungsfunktionen

45

die Ortskurve f¨ ur die Impedanz der Kapazit¨at bildet. Die Reihenschaltung von Widerstand und Kapazit¨ at besitzt die Impedanz Z(jω) = R +

1 . jωC

(4.64)

Die Ortskurve bez¨ uglich der variablen Frequenz ω ist eine Parallele zur imagin¨ aren Achse, Abb. 4.5, mit dem Abstand R. Auf dieser Linie kann eine Skala der Frequenzen angebracht werden, welche man auch Bezifferung nennt.

Abbildung 4.5. Ortskurve einer Kapazit¨ at mit Reihenwiderstand

Aus der Impedanz ergibt sich die Admittanz Y (jω) =

1 . Z(jω)

(4.65)

Zerlegt man Z in Betrag und Phase Z(jω) = r(ω)ejϕ(ω) ,

(4.66)

so erkennt man, dass Y (jω) =


1 −jϕ(ω) e = r (ω)ejω (ω) ; r(ω)

(4.67)

L¨ ange und Phase des zugeh¨ origen Zeigers ergeben sich also aus r (ω) =

1 ,; r(ω)

ϕ (ω) = −ϕ(ω).

(4.68)

Sollen Admittanz und Impedanz in das gleiche Bild eingezeichnet werden, so kann man die Richtung der imagin¨ aren Achse f¨ ur die Admittanzen um¨ kehren. Dann bleibt beim Ubergang von der Impedanz zur Admittanz der Winkel gegen die reelle Achse der gleiche, und es ¨andert sich lediglich die L¨ ange des Zeigers entsprechend dem Kehrwert. Man nennt die Bildung des Admittanzzeigers aus dem Impedanzzeiger in dieser Form auch Spiegelung am Einheitskreis oder Inversion. Beim Rechnen mit Ortskurven ist nun der Satz wichtig, dass durch Spiegelung eines Kreises wieder ein Kreis entsteht. Auf eine Ableitung dieses Satzes soll hier verzichtet werden. Wir verweisen den

46

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

interessierten Leser stattdessen auf die mathematische Literatur u ¨ber komplexwertiger Funktionen, die auch auch Funktionentheorie genannt wird, und die dort behandelten M¨ obiustransformationen; vgl. z. B. J¨anich [110]. Die gerade Linie kann als Grenzfall eines Kreises interpretiert werden, so dass ihr Spiegelbild ebenfalls ein Kreis ist; er geht durch den Nullpunkt des Achsenkreuzes. Statt einer Ableitungen soll diese mathematische Aussage anhand eines Beispiels verdeutlicht werden. Beispiel: Als Anwendungsbeispiel werde die Parallelschaltung von Widerstand R mit Kapazit¨ at C und Induktivit¨ at L betrachtet. Die Admittanz dieses Schwingkreises ist 1 1 . (4.69) Y (jω) = + jωC + R jωL ¨ Bei Anderung der Frequenz ergibt sich als Ortskurve eine Gerade mit dem

Abbildung 4.6. Ortskurve der Impedanz eines Schwingkreises

Abstand 1/R von der imagin¨ aren Achse, Abb. 4.6 Die Frequenzen k¨onnen auf dieser Ortskurve angegeben werden. Die Impedanz Z entsteht hieraus durch Spiegelung; seine Ortskurve ist nach dem obengenannten Satz ein Kreis, der durch den Nullpunkt geht und dessen Durchmesser R ist. Im Punkt A hat die Impedanz seinen Maximalwert R (Resonanz). Die zugeh¨orige Frequenz ist die Resonanzfrequenz ω, f¨ ur die ωC = 1/ωL ist. Die allgemeine Form einer Wechselstromgr¨oße W, deren Ortskurve ein Kreis ist, erkennt man aus der folgenden Betrachtung. Es sei zun¨achst W = a1 f (x),

(4.70)

worin a1 eine komplexe Konstante, f (x) eine beliebige reellwertige Funktion der reellen Ver¨ anderlichen x ist. Zerlegt man W und a1 in die reellen und imagin¨ aren Teile, W = W  + jW  , a1 = a1 + ja1 , (4.71) so folgt

W  = a1 f (x) and W  = a1 f (x).

(4.72)

¨ 4.4 Darstellungen von Ubertragungsfunktionen

Hieraus W  =

a1  W . a1

47

(4.73)

Dies ist die Gleichung einer durch den Nullpunkt gehenden Geraden mit der Steigung tan α = a1 /a1 . Der geometrische Ort von W bei variablem x ist eine gerade Linie, die den Zeiger a1 enth¨ alt. Daraus folgt sofort, dass die Ortskurve von (4.74) W = a0 + a1 f (x) eine um den Zeiger a0 gegen die Gerade verschobene gerade Linie ist, Abb.

Abbildung 4.7. Allgemeine Gerade in C

4.7. Bildet man den Kehrwert, so ergibt sich nach dem oben Ausgef¨ uhrten als Ortskurve ein Kreis. Die Ortskurve der Funktion W=

1 a0 + a1 f (x)

(4.75)

ist ein Kreis, der durch den Nullpunkt geht und dessen Mittelpunkt M auf dem zu der Geraden in Abb. 4.7 senkrecht stehenden Strahl liegt; siehe den gestrichelt gezeichneten Kreis in Abb. 4.8. Addiert man zu allen Punkten des Kreises einen Zeiger c, Abb. 4.8, so ergibt sich die Funktion

Abbildung 4.8. Allgemeiner Kreis in C

W=

1 + c, a0 + a1 f (x)

(4.76)

48

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

Abbildung 4.9. Beispiele von Ortskurven

¨ 4.4 Darstellungen von Ubertragungsfunktionen

49

deren Ortskurve also ein allgemeiner Kreis ist. Die Gl. (4.76) ist die allgemeine Form f¨ ur eine Wechselstromgr¨ oße mit kreisf¨ ormiger Ortskurve; man kann sie auch schreiben b0 + b1 f (x) , (4.77) W= a0 + a1 f (x) wobei c = b1 /a1 gesetzt ist. Ist die Wechselstromgr¨oße W in der Form (4.77) gegeben, so bringt man sie zun¨ achst auf die Form (4.76). Dann l¨asst sich der Kreis in der angegebenen Weise leicht konstruieren. Schließlich folgt noch der allgemeine Satz, dass auch jede beliebige lineare gebrochene Funktion der Gr¨ oße W wieder eine Kreisabbildung liefert. Ist R=

p0 + p1 W , q0 + q1 W

(4.78)

mit den beliebigen komplexen Koeffizienten p0 , p1 , q0 , q1 , so u ¨ berzeugt man sich durch Einsetzen von W aus Gl. (4.77) leicht, dass R wieder auf die gleiche Form (4.77) gebracht werden kann. Die Ortskurve von R ist also f¨ ur jede Funktion f (x) ein Kreis. Weitere Beispiele: 1. Die in Abb. 4.9 dargestellten Ortskurven f¨ ur ver¨anderliche Frequenz k¨ onnen leicht ohne Rechnung abgeleitet werden. 2. In Abb. 4.10 seien L1 , L2 , L3 sowie die Eingangsspannung U0 und die Frequenz ω konstant. Gesucht ist der Strom I bei ver¨anderlichem Widerstand R. Die Rechnung ergibt I=

U0 jωL3 . jω(L1 + L3 )R − ω 2 (L1 L2 + L1 L3 + L2 L3 )

(4.79)

Abbildung 4.10. Netzwerk mit einer kreisf¨ ormigen Ortskurve

Dies ist in Bezug auf den Widerstand R eine lineare gebrochene Funktion gem¨ aß Gl. (4.76) oder (4.77). Die Ortskurve von I f¨ ur variables R ist daher immer ein Kreis. Legt man U0 in die reelle Achse, so ergibt sich die Abb. 5.19. Der Kreis wird leicht gefunden, wenn man zun¨achst die Punkte A und B f¨ ur R = 0 und R = ∞ einzeichnet und beachtet, dass I die Form b/(R + ja) hat. Die Ortskurve f¨ ur R + ja ist bei variablem R eine waagrechte Gerade im

50

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

Abbildung 4.11. Ortskurve f¨ ur I bei variablem R

Abstand a von der reellen Achse. Der Kehrwert ist daher ein Halbkreis u ¨ ber der Strecke AB. 3. Die Impedanz einer Wechselstrominduktionsmaschine ist nach Abb. 29.44   u ¨2 R2 2 jω u ¨ L + jωL h1 σ2 s U1 = R1 + jωLσ1 + . (4.80) Z1 = 2 u ¨ 2 I1 jω (Lh1 + u ¨ Lσ2 ) + sR2 Die Ortskurve der Impedanz bei variablem Schlupf s ist also ein Kreis. Die

Abbildung 4.12. Bodediagramm eines Tiefpasses

¨ 4.4 Darstellungen von Ubertragungsfunktionen

51

Ortskurve f¨ ur den St¨ anderstrom I1 bei konstanter sinusf¨ormiger St¨anderspannung ist das Spiegelbild davon, also ebenfalls ein Kreis, So ergibt sich das genaue Kreisdiagramm der Wechselstrominduktionsmaschine. ¨ Eine weitere wichtige Darstellungsform komplexer Ubertragungsfunktionen H(jω) ist das sogenannte Bodediagramm, bei dem Betrag |H(jω)|und Phase arg(H(jω)) von H(jω) u ¨ber der Frequenz ω mit logarithmischem Maßstab aufgetragen werden. Beispielhaft wird in Abbildung 4.12 das Bodedia¨ gramm der Ubertragungsfunktion des dort abgebildeten Tiefpasses gezeigt. Schließlich soll auch noch auf die Betragsfl¨ache von |H(s)| hingewiesen werden, wobei s die komplexe Frequenz ist. Die Betragsfl¨ache kann qualitativ sehr ¨ einfach konstruiert werden, wenn man die Pole und Nullstellen einer Ubertragungsfunktion kennt. Mit Hilfe der Vorstellung eines Gummituches4“ erh¨alt ” man eine qualitative Vorstellung von der zugeh¨origen Betragsfl¨ache |H(s)|, wenn man die Pole und Nullstellen von H in C kennt und das Gummituch“ ” an den Nullstellen auf der C-Ebene festheftet“ und an den Polstellen an sehr ” hohen Masten befestigt. Kennt man die Betragsfl¨ ache, so kann man qualitativ auf den Betrag einer ¨ Ubertragungsfunktion schließen. In Abbildung 4.13 wird die Betragsfl¨ache der ¨ Ubertragungsfunktion H(s) =

H0 , 1 + sT

H0 , T ∈ R+

(4.81)

illustriert.

¨ Abbildung 4.13. Betragsfl¨ ache einer Ubertragungsfunktion mit einem reellen Pol

4

Diese sehr suggestive Vorstellung u achen wurde von Eduard Schwarz ¨ ber Betragsfl¨ – Professor an der TU Braunschweig bis zu seinem fr¨ uhe Tod 1984 und Lehrer des Autors W.M. – gebraucht und soll hier auch zum Andenken an ihn wiedergegeben werden

52

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

4.5 Zweitore und Vierpole Unter einem Zweitor“, h¨ aufig auch Vierpol“ genannt, versteht man ein Netz” ” ¨ werk, das zwei Eingangs- und zwei Ausgangsklemmen besitzt und zur Ubertragung von Energie und/oder Signalen dient. Die Klemmenpaare werden jeweils durch hinein- und herausfließende Str¨ ome und eine Spannung beschrieben. Die Torbedingung ist erf¨ ullt, wenn die beiden Str¨ ome eines Tores einander gleich sind. Bei echten“ Vierpolen werden diese Einschr¨ankungen nicht verlangt, ” so dass man Vierpole und Zweitore tats¨ achlich unterscheiden sollte. Die Bezeichnung Vierpol“ stammt u ¨brigens von Breisig. In seiner 1921 erschienenen ” ¨ Arbeit charakterisierte er erstmals bestimmte nachrichtentechnische Ubertragungssysteme mit zwei Klemmenpaaren am Eingang und Ausgang in dieser Weise; vgl. Wunsch [243]. Kurze Zeit sp¨ ater benutzen Strecker und Feldtkeller [212] die damals noch neue Matrizenrechnung, um Vierpole (eigentlich Zweitore) mathematisch zu kennzeichnen und die Vierpolmatrizen verschiedener Zusammenschaltungen von Vierpolen wie bei Zweipolwiderst¨anden mit Hilfe von Matrizenoperationen zu ermitteln.

Abbildung 4.14. Bezeichnung von Spannungen und Str¨ omen bei einem Zweitor

Will man besonders kennzeichnen, dass in dem Zweitore keine Energiequellen vorhanden sind, so spricht man von einem passiven Zweitor. Ist das Zweitor aus linearen Elementen aufgebaut, so nennt man es ein lineares Zweitor. Bei linearen Zweitoren gelten eine Reihe allgemeiner Beziehungen, die im Rahmen der Zweitortheorie (fr¨ uher: Vierpoltheorie) behandelt werden. Abb. 4.14 stelle ein beliebiges lineares Zweitor mit den Eingangsklemmen 1, 2 und den Ausgangsklemmen 3, 4 dar. Diese Klemmen stehen im Innern des Zweitors miteinander durch beliebige Anordnungen von linearen Elementen, z.B. Wi¨ derst¨ anden, Leitungen, Spulen, Kondensatoren, Ubertrager in Verbindung. Da die Energie¨ ubertragung durch das Zweitor vor sich gehen soll, so muss der bei 2 austretende Strom gleich dem bei 1 eintretenden und der bei 3 austretende Strom gleich dem bei 4 eintretenden Strom sein. Dies ist die bereits erw¨ahnte Torbedingung, die eine wesentliche Voraussetzung der Zweitortheorie ist. Die Bezugsrichtungen der Spannungen und Str¨ome seien durch Abb. 4.14 ¨ festgelegt (symmetrische Bepfeilung). Alle Gr¨oßen sind komplex, der Ubersichtlichkeit wegen aber nicht unterstrichen. Die Beziehungen zwischen den Eingangs- und Ausg¨angsstr¨omen I1 und I2 und den Eingangs- und Ausgangsspannungen U1 und U2 findet man, wenn man die Maschengleichungen anschreibt; vgl. Abschnitt 4.1. Bei n voneinander unabh¨ angigen Maschen sind dies n Gleichungen

4.5 Zweitore und Vierpole

53

Z11 I1 + Z12 I2 + Z13 I3 + · · · + Z1n In = U1 ,

(4.82)

Z21 I1 + Z22 I2 + Z23 I3 + · · · + Z2n In = U2 , Z31 I1 + Z32 I2 + Z33 I3 + · · · + Z3n In = 0, .. .. .=.

(4.83) (4.84)

Zn1 I1 + Zn2 I2 + Zn3 I3 + · · · + Znn In = 0.

(4.85) (4.86)

Die beiden ersten Maschen schließen die Spannungsquellen U1 und U2 ein. Mit Hilfe der Cramerschen Regel k¨ onnen wir die L¨osungen f¨ ur I1 und I2 formulieren D11 U1 + D D12 I2 = U1 + D

I1 =

D21 U2 , D D22 U2 , D

(4.87) (4.88)

wobei D die Determinante der Koeffizientenmatrix des Gleichungsssystems und die Dij die folgenden Unterdeterminanten sind      Z22 Z23 . . . Z2n   Z12 Z13 . . . Z1n       Z32 Z33 . . . Z3n   Z32 Z33 . . . Z3n      D11 = +  . (4.89) .. . . ..  , D21 = −  .. .. . . ..    ..  . .  . .  . .   .  Zn2 Zn3 . . . Znn   Zn2 Zn3 . . . Znn       Z21 Z23 . . . Z2n   Z11 Z13 . . . Z1n       Z31 Z33 . . . Z3n   Z31 Z33 . . . Z3n      D12 = +  . (4.90) .. . . ..  , D22 = +  .. .. . . ..     ..  . . . . . . .      Zn1 Zn3 . . . Znn   Zn1 Zn3 . . . Znn  Die Beziehungen zwischen Spannungen und Str¨omen an dem passiven Zweitor haben also allgemein die Form I1 = Y11 U1 + Y12 U2 , I2 = Y21 U1 + Y22 U2 . In Matrizenschreibweise erh¨ alt man


 I1 Y11 Y12 U1 = oder I = YU. I2 Y21 Y22 U2

(4.91) (4.92)

(4.93)

Die Yij haben die Dimension von Leitwerten und daher nennt man diese Gleichungen auch die Zweitorgleichungen in Leitwertform, wenn es das Zweitor nur Ohmsche Widerst¨ ande enth¨ alt und Admittanzform oder YMatrixform, wenn das Zweitor allgemeine Admittanzen enth¨alt. Es sind zwei lineare Gleichungen mit vier Koeffizienten. Sie gelten f¨ ur beliebige lineare Zweitore. Unter der eingangs gemachten Voraussetzung u ¨ ber den Aufbau des

54

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

Zweitors aus Zweipol-Elementen reduzieren sich nun diese Koeffizienten auf drei wegen der Gleichheit der Kopplungswiderst¨ande Zik = Zki .

(4.94)

D12 = D21 .

(4.95)

Es ist n¨ amlich Dies erkennt man, wenn man die eine dieser beiden Determinanten nach der ersten Zeile, die andere nach der ersten Spalte in die Unterdeterminanten entwickelt und dieses Verfahren bei den Unterdeterminanten fortsetzt. Es gilt daher (4.96) Y12 = Y21 . Ein Zweitor, bei dem diese Beziehung gilt, nennt man kopplungssymmetrisch

Abbildung 4.15. Umkehrungssatz

oder reziprok. Beim Anlegen einer Spannung an das eine Klemmenpaar und Kurzschluss des anderen Klemmenpaares ergibt sich dort ein Strom, der unabh¨angig davon ist, welches Klemmenpaar als Eingang gew¨ahlt wird, Abb. 4.15. Aus den Gln. (4.91) und (4.92) folgt

 I2 I1 =− . (4.97) U2 U1 =0 U1 U2 =0 Die symmetrische Bepfeilung hat den Vorteil, dass bez¨ uglich der Vorzeichen beide Tore gleich behandelt sind. Sie f¨ uhrt allerdings dazu, dass z. B. bei einem Zweitor, das eine kurze Leitung repr¨ asentiert, der Ausgangsstrom dem Eingangsstrom entgegengesetzt gleich wird. Deswegen wird manchmal auch eine Kettenbepfeilung mit umgekehrter Z¨ ahlrichtung von I2 benutzt. Wegen der Vorteile der symmetrischen Bepfeilung, insbesondere bei Schaltungen mit mehr als zwei Toren, empfehlen die Normen nur noch diese. Die Bedeutung der Gr¨ oße Y11 erkennt man, wenn man U2 = 0 setzt: Y11 ist der Eingangsadmittanz des Zweitors bei Kurzschluss am Ausgang. Setzt man U1 = 0, so folgt I2 . (4.98) Y22 = U2 Y22 ist die Admittanz an den Ausgangsklemmen und daher die Ausgangsadmittanz, wenn die Eingangsklemmen kurzgeschlossen sind. Die Vierpolgleichungen in der Admittanzform k¨onnen bei der betrachteten Gruppe von passiven Zweitoren durch eine Dreieckschaltung (eine sogenannte

4.5 Zweitore und Vierpole

55

Abbildung 4.16. Darstellung des Zweitors durch eine Dreiecksschaltung

Π-Schaltung) mit drei Admittanzen veranschaulicht werden, Abb. 4.16. Nach dem oben Ausgef¨ uhrten gilt Y1 + Y3 = Y11 ,

Y2 + Y3 = Y22 ,

Y1 = Y11 + Y21 ,

Y2 = Y22 + Y21 ,

Y3 = −Y21 ,

(4.99)

also Y3 = −Y21 .

(4.100)

Beispiel: Bei einer Π-Schaltung aus drei Ohmschen Widerst¨anden R1 , R2 , R3 wird Y11 =

1 1 + , R1 R3

Y21 = Y12 = −

1 1 1 , Y22 = + . R3 R2 R3

(4.101)

Man beachte, dass bei allgemeinen Admittanzen die Dreieckschaltung das Zweitor nur f¨ ur eine feste Frequenz, nachbildet. Grunds¨ atzlich gibt es auch andere M¨ oglichkeiten der Darstellung von Zweitor-Gleichungen. Das wird besonders deutlich, wenn man nach Belevitch [18] (wenn nennen diese Form auch Belevitch-Form f¨ ur Zweitore) die Gln. (4.91) und (4.92) in folgender Weise umformt ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0  I1
⎟ ⎜ ⎟ 1 0 −Y11 −Y12 ⎜ ⎜ I2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ . (4.102) 0 1 −Y21 −Y22 ⎝ U1 ⎠ ⎝ 0 ⎠ U2 0 Insgesamt gibt es 6 verschiedene M¨ oglichkeiten der Aufl¨osung nach zwei der vier Variablen eines Zweitors. Dabei muss beachtet werden, dass diese Umrechnungen gewissen Einschr¨ ankungen unterliegen. So kann man nicht jede Y-Matrixform eines Zweitors in eine Z-Matrixform umgewandelt werden, die man nach Inversion der Y-Matrix in Gl. (4.93) erh¨alt 


Z11 Z12 I1 U1 = oder U = ZI. (4.103) U2 Z21 Z22 I2 Dabei k¨ onnen die Koeffizienten Zij in folgender Weise berechnet werden

56

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

−Y12 Y22 , Z12 = , Y11 Y22 − Y12 Y21 Y11 Y22 − Y12 Y21 Y11 −Y21 , Z22 = . = Y11 Y22 − Y12 Y21 Y11 Y22 − Y12 Y21

Z11 =

(4.104)

Z21

(4.105)

Anhand des Nenners Y11 Y22 −Y12 Y21 lassen sich sofort Beispiele finden, wo die Y-Matrix nicht verschwindet aber die Z-Koeffizienten nicht existieren; in diesen Punkten ist die Y-Matrix nicht invertierbar. Ein einfaches Beispiel ist der Fall eines Zweitors, bei dem die Klemmen 1,3 in Abb. 4.14 mit der Admittanz Y verbunden und die Klemmen 2,4 kurzgeschlossen sind. Die Koeffizientenmatrix ist offensichtlich singul¨ ar. Die Kopplungssymmetrie oder Reziprozit¨ at u ¨ bertr¨agt sich sinngem¨aß auf die Z-Koeffizienten (4.106) Z12 = Z21 . Die Z-Darstellung l¨ asst sich am besten durch eine Stern- oder T-Schaltung veranschaulichen. Auch das gilt nur f¨ ur eine feste Frequenz. Zweitore sind im allgemeinen Fall l¨angsunsymmetrisch. Ein l¨angsunsymmetrisches Zweitor ist dadurch definiert, dass man Eingang und Ausgang vertauschen darf, ohne dass sich an den Spannungen und Str¨omen etwas ¨andert. Vertauscht man in Gl. (4.103) U1 und U2 sowie I1 und I2 , so erkennt man, dass f¨ ur das (l¨ angs-)symmetrische allgemeine Zweitor folgende Beziehungen gelten (4.107) Z22 = Z11 , Z21 = Z12 . Das symmetrische Zweitor ist durch zwei Koeffizienten vollst¨andig bestimmt. L¨ ost man die Belevitch-Form (4.102) n ach U1 und I1 auf, so erh¨alt man die Kettenform der Zweitorgleichungen oder A-Matrixform. In dieser Form wird u ¨ blicherweise die Stromrichtung von I2 umgekehrt, d. h. man verwendet (−I2 ) als Variable; es ergibt sich 


U1 A11 A12 U2 . (4.108) = I1 A21 A22 (−I2 ) W¨ ahrend die ¨ außere Form der Reziprozit¨ atsbedingung bei der Y- und Z¨ Matrixform von Zweitoren gleich sind, transformiert sie sich beim Ubergang auf die A-Matrixform auf eine andersartige Bedingungsgleichung A11 A22 − A12 A21 = 1.

(4.109)

Eine detaillierte Diskussion u ¨ ber einen Reziprozit¨atsbegriff der unabh¨angig von der Darstellung eines Zweitors ist, findet man bei Mathis [148]. Bemerkung: Die Bezeichnung Kettenform r¨ uhrt daher, dass diese Darstellung f¨ ur Zweitore zweckm¨ aßig verwendet wird, wenn mehrere Zweitore kettenartig aneinander geschaltet werden, so dass die Ausgangsgr¨oßen des einen Zweitors identisch sind mit den Eingangsgr¨ oßen des folgenden Zweitors. Deswegen steht in den Kettengleichungen (4.108) auch (−I2 ), denn dieser Strom

4.5 Zweitore und Vierpole

57

ist bei der Kettenschaltung gleich dem Eingangsstrom des nachfolgenden Zweitors. Eine weitere wichtige Darstellung f¨ ur Zweitore ist die Hybridform oder H-Matrixform 


H11 H12 I1 U1 = , (4.110) I2 H21 H22 U2 die insbesondere bei der Beschreibung von Transistor-Ersatzschaltungen eingesetzt werden. Neben den Zweitor-Darstellungen, die sich durch passende Permutation aus den Netzwerkvariablen U1 , I1 , U2 , I2 ergeben kann man durch Superposition dieser Gr¨ oßen noch weitere Darstellungen ableiten. Die wichtigste Darstellung aus dieser Gruppe ist die sogenannte S-Matrix-Darstellung. Sie wurde im Jahre 1943 von Heisenberg in der Quantenfeldtheorie eingef¨ uhrt. Am Ende des 2. Weltkrieges wurde die S-Matrixbeschreibung von Kernphysikern (u. a. R. H. Dicke) auch in der Mikrowellentechnik verwendet. In der Netzwerktheorie hatte Campbell eine bestimmte Form der S-Matrix bereits in einer Arbeit aus dem Jahre 1922 benutzt. In allgemeiner Form wurde sie aber erst von Belevitch um 1946 in die Netzwerktheorie eingef¨ uhrt und sehr erfolgreich bei der damals sehr wichtigen Synthese klassischer Filter angewendet. F¨ ur die Mikrowellentechnik ist die S-Matrix nach wie vor eine wichtiges Verfahren zur Beschreibung von Mikrowellenschaltungen; vgl. z. B. Pozar [179]. Ausgehend von den Variablen U1 , I1 , U2 , I2 werden die Eingangs- und Ausgangsvariablen jeweils einer Heaviside-Transformation unterzogen; man erh¨alt die neuen Netzwerkvariablen U1 − Z0 I1 U1 + Z0 I1 √ √ , b1 := , 2 Z0 2 Z0 U2 − Z0 I2 U2 + Z0 I2 √ √ , b2 := . a2 := 2 Z0 2 Z0 a1 :=

(4.111) (4.112)

Die Gr¨ oßen a1 , b1 , a2 , b2 , die man traditionell mit Hilfe kleiner Buchstaben definiert, werden Wellengr¨oßen oder Streuvariablen genannt. Mit Hilfe dieser Gr¨ oßen kann man die alternative S-Matrixform f¨ ur Zweitore formulieren 


S11 S12 a1 b1 = oder b = S a. (4.113) b2 S21 S22 a2 Insbesondere die S11 und S22 sind unter bestimmten Voraussetzungen als Reflektionskoeffizienten interpretierbar; z. B.
 b1 (4.114) S11 = a1 a2 =0 als Eingangsreflektionskoeffizient, wenn das Ausgangstor mit ZL = Z0 abgeschlossen wird. Die S-Matrix-Koeffizienten k¨onnen auch aus Koeffizienten

58

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

anderer Darstellungen ermittelt werden; beispielsweise aus den Z-MatrixKoeffizienten (Z11 − 1)(Z22 + 1) − Z12 Z21 , (Z11 + 1)(Z22 + 1) − Z12 Z21 2Z12 , = (Z11 + 1)(Z22 + 1) − Z12 Z21 2Z21 , = (Z11 + 1)(Z22 + 1) − Z12 Z21 (Z11 + 1)(Z22 − 1) − Z12 Z21 . = (Z11 + 1)(Z22 + 1) − Z12 Z21

S11 =

(4.115)

S12

(4.116)

S21 S22

(4.117) (4.118)

Die S-Matrixform von Zweitoren ist besonders interessant, weil sie in engem Zusammenhang mit Leistungsbegriffen von Zweitoren stehen. Weiterhin kann man Stabilit¨ atseigenschaften von Zweitoren mit den S-Parametern besonders gut ausdr¨ ucken. Weitere Einzelheiten dazu findet man z. B. bei Pozar [179]. Verlustlose Zweitore werden beispielsweise durch unit¨are Matrizen mit der Eigenschaft SS† = 1 beschrieben, wobei S† die konjugiert-komplexe und transponierte Matrix von S ist. Wir wollen nun auf wichtige Anwendungen der verschiedenen Darstellungen von Zweitoren hinweisen. Schon in der ersten Arbeit u ¨ ber Zweitormatrizen haben Strecker und Feldtkeller [212] gezeigt, dass man die verschiedenen Arten der Zusammenschaltungen von Zweitoren mit Verkn¨ upfungen bestimmter Matrizen in Verbindung bringen kann. So eignet sich die Y-Matrix, um am Eingang und Ausgang parallel geschaltete Zweitore zu beschreiben; man addiert die entsprechenden Y-Matrizen. Die Reihenschaltung von Zweitoren wird durch die Addition der Z-Matrizen beschrieben und auch bei den Mischformen Reihen-Parallelschaltungen sowie Parallel-Reihenschaltung kann man geeignete Matrizen addieren. Leider wird nur selten darauf hingewiesen, dass dabei auch nach der Zusammenschaltung die Torbedingung ( jedes Klemmenpaar wird durch eine ” Spannung und ein Strom“) f¨ ur jedes Tor (Klemmenpaar) erf¨ ullt sein m¨ ussen. Das ist insbesondere bei sehr einfachen Zweitoren nicht der Fall und dann kann die Zweitormatrix der zusammengeschalteten Zweitore auch nicht mehr mit Hilfe der obengenannten Matrizenoperationen berechnen. Es sind zwar schon seit langer Zeit Kriterien bekannt, mit denen man u ufen kann, ob ¨ berpr¨ die Matrizenoperationen f¨ ur die Berechnung der zusammengesetzer Zweitore eingesetzt werden k¨ onnen, aber sie werden nur selten angegeben; Ausnahmen sind Baerwald [11], Cauer [41], Bosse [35]. Die einige Art der Zusammenschaltung, die uneingeschr¨ ankt mit einer Matrizenoperation in Verbindung gebracht werden kann, ist die Kettenschaltung. In diesem Fall sind die Torbedingungen offensichtlich immer erf¨ ullt und die gesamte A-Matrix erh¨alt man durch Multiplikation der A-Matrizen der einzelnen Zweitore. Entsprechendes gilt auch f¨ ur die S-Matrix.

5 Beispiele fu ¨r elektrische Netzwerke

5.1 Netzwerke aus Kapazit¨ aten und Widerst¨ anden 5.1.1 Der zeitliche Auf- und Abbau eines elektrischen Feldes Im folgenden soll das zeitliche Verhalten eines einfachen Netzwerkes behandelt werden, das aus einer Kapazit¨ at und einem Ohmschen Widerstand besteht. In ersten Fall wird in einem bestimmten Zeitpunkt (t = 0) eine ideale Spannungsquelle und ein dazu in Reihe geschalteter Widerstand u ¨ ber einen Schalter parallel mit der ungeladenen Kapazit¨ at verbunden. Im zweiten Fall ist die Kapazit¨ at elektrisch geladen und im Zeitpunkt t = 0 wird ein Widerstand parallel geschaltet. Bemerkung: Im Vorgriff auf die Ausf¨ uhrungen im Rahmen der Theorie elektromagnetischer Felder lassen sich die Vorg¨ ange in beiden Anordnungen physikalisch interpretieren. Man beachte jedoch, dass die verwendeten Begriffe im Rahmen der Netzwerktheorie nicht notwendigerweise eine physikalisch interpretiert werden m¨ ussen. Der Hinweis gilt auch f¨ ur die nachfolgenden Abschnitte. Infolge der im elektrischen Feld gespeicherten Energie ist zu dessen Aufbau mit endlicher Stromst¨ arke Zeit erforderlich. Man kann diese Verz¨ogerung des Feldaufbaues auch so deuten, dass der Zufluss von Ladungen einem Strom entspricht, der in den Widerst¨ anden des Stromkreises einen Spannungsabfall zur Folge hat. Dieser Spannungsabfall kann h¨ochstens bis zum Betrage der Quellenspannung im Stromkreis wachsen, da sonst die treibende Spannung fehlen w¨ urde; dadurch ist die Stromst¨ arke und damit die Schnelligkeit des Feldaufbaues begrenzt. Entsprechend der konstitutiven Relation einer Kapazit¨at k¨onnen Stromst¨arke und Ableitung der Spannung in folgender Weise in Beziehung gesetzt werden

60

5 Beispiele f¨ ur elektrische Netzwerke

i=C

du . dt

(5.1)

Abbildung 5.1. Stromkreis mit Kapazit¨ at

Dieser Strom tritt an der einen Elektrode in den Kondensator ein und verl¨ asst ihn an der anderen wieder; er fließt als Verschiebungsstrom“ durch ” den Nichtleiter hindurch. In einem Stromkreis, Abb. 5.1, der aus einer Kapazit¨ at C, einem Widerstand R und einer abh¨angigen Spannungsquelle U0 besteht, fließt der Strom dann bei der Aufladung der Kapazit¨at auf einem geschlossenen wie in einem metallischen Stromkreis. Die Quellenspannung U0 deckt die Spannung u an der Kapazit¨ at und den Spannungsabfall iR an dem Widerstand R, in dem auch der Innenwiderstand der Quelle enthalten sei. Es ist du (5.2) U0 = u + iR = u + CR . dt In jedem Zeitpunkt ist die f¨ ur den Spannungsabfall im Widerstand R zur Verf¨ ugung stehende Spannung U0 − u. Feldtheoretisch gesehen kann daher die Ladung des Kondensators nur so rasch zunehmen wie es diese Spannung erlaubt. Die gr¨ oßte Ladungszunahme tritt unmittelbar nach dem Einlegen des Schalters auf. War der Kondensator zun¨ achst ungeladen (u = 0), so gilt hier CR

du = U0 dt

oder

u=

U0 t . RC

(5.3)

Die Spannung nimmt also anfangs proportional mit der Zeit zu, und zwar um so rascher, je kleiner das Produkt aus Widerstand und Kapazit¨at ist. Man bezeichnet dieses Produkt als Zeitkonstante oder Abklingzeit RC =: τ.

(5.4)

F¨ ur den Wert der Ladungsvariablen“ q := Cu des Kondensators gilt unmit” telbar nach dem Einschalten q=

U0 U0 Ct = t. τ R

(5.5)

In dem Maße, in dem infolge der Ladung die Spannung u w¨achst, wird die f¨ ur den Spannungsabfall am Widerstand zur Verf¨ ugung stehende Spannung kleiner, der Wert der Ladungsvariablen nimmt langsamer zu. Die Gl. (5.2) l¨asst sich mit der sogenannten Methode der Trennung der Ver¨anderlichen schreiben

5.1 Netzwerke aus Kapazit¨ aten und Widerst¨ anden

dt du = . U0 − u τ

61

(5.6)

Durch Integration ergibt sich hieraus − ln

t U0 − u = , k τ

(5.7)

wobei k eine Integrationskonstante ist, und schließlich u(t) = U0 − ke−t/τ .

(5.8)

Soll u = 0 f¨ ur t = 0 sein, so gilt 0 = U0 − ke0 oder k = U0 , und es wird   (5.9) u(t) = U0 1 − e−t/τ . F¨ ur die Stromst¨ arke folgt i(t) = C

U0 −t/τ du(t) = e . dt R

(5.10)

Sie hat im ersten Augenblick nach dem Einschalten den gleichen Wert I = U0 /R, als ob kurzgeschlossen w¨ are; man sagt daher, die Kapazit¨at verhalte sich im ersten Augenblick nach dem Einschalten so wie ein Kurzschluss. F¨ ur den Wert der Ladungsvariablen q ergibt sich

Abbildung 5.2. Aufladung einer Kapazit¨ at

    q(t) = U0 C 1 − e−t/τ = Q 1 − e−t/τ

(5.11)

mit Q := U0 C. Der zeitliche Verlauf dieser Gr¨ oßen ist in Abb. 5.2 dargestellt. Die Spannung n¨ahert sich allm¨ ahlich ihrem Endwert U0 , der Strom nimmt im gleichen Maße allm¨ ahlich ab. Der Vorgang der Aufladung dauert streng genommen unendlich lang; praktisch ist aber schon nach einer bestimmten endlichen Zeit kein Unterschied mehr gegen¨ uber dem Endzustand wahrzunehmen. Mit Hilfe eines Taschenrechners lassen sich rasch einige Zahlenwerte der beiden Zeitfunktionen bestimmen. Je nach der Genauigkeit, mit der die Spannungen und Str¨ ome gemessen werden k¨ onnen, wird man im allgemeinen

62

5 Beispiele f¨ ur elektrische Netzwerke

als Dauer des Aufladungsvorganges eine Zeit zwischen 4τ und 8τ anzusehen haben. ¨ Unter der Voraussetzung von verh¨ altnism¨ aßig langsamen zeitlichen Anderungen, die im Abschnitt 33 noch genauer definiert wird, ¨andern sich feldtheoretisch gesehen die Feldgr¨ oßen, also z. B. die elektrische Feldst¨arke, u ¨ berall im ganzen Feld gleichzeitig mit der Spannung u; ihr zeitlicher Verlauf stimmt also mit dem Verlauf von u u ¨ berein. Die bei der Aufladung aufgewendete Energie ist  ∞  ∞ U0 i(t)dt = U0 i(t)dt = U0 Q = CU02 . (5.12) 0

0

(1/2)CU02

im elektrischen Feld gespeichert; vgl. Abschnitt Sie ist zur H¨ alfte 13. Die andere H¨ alfte wird bei der Aufladung im Widerstand R in W¨arme umgesetzt.

Abbildung 5.3. Entladung einer Kapazit¨ at

¨ Ganz ¨ ahnliche Uberlegungen gelten auch f¨ ur die Entladung einer Kapazit¨at, wobei es sich um ein Netzwerkmodell f¨ ur den Vorgang der Entladung eines Kondensators handelt. Ein Kondensator wird entladen, indem man seine Elektroden u ¨ ber einen Widerstand miteinander verbindet; im Modell wird die Kapazit¨ at mit einem idealen Schalter an einen Ohmschen Widerstand geschaltet (Abb. 5.3). Bei offenen Klemmen stellt der Isolationswiderstand des Kondensators bereits eine solche Verbindung her. Der Spannungsabfall iR am Schließungswiderstand muss hier in jedem Augenblick die Spannung u am Kondensator zu Null erg¨anzen; es gilt gem¨aß Gl. (5.2) du = 0. (5.13) u+τ dt Durch Integration ergibt sich u(t) = U e−t/τ ,

(5.14)

wobei der Anfangswert f¨ ur t = 0 mit U bezeichnet ist. Der Strom wird nach Gl. (5.1) U (5.15) i(t) = − e−t/τ . R Er hat die entgegengesetzte Richtung und den gleichen zeitlichen Verlauf wie bei der Aufladung. Die bei der Entladung durch den Widerstand R flie∞ ßende Elektrizit¨ atsmenge ist Q = 0 i(t)dt; sie hat den Wert U C.

5.1 Netzwerke aus Kapazit¨ aten und Widerst¨ anden

63

Nach den Formeln (5.10) und (5.15) w¨ urde die Stromst¨arke im ersten Augenblick nach dem Einschalten unendlich groß werden, wenn der Widerstand Null w¨ are. Abgesehen davon, dass dieser Fall nicht realisierbar ist, ergibt sich in Wirklichkeit immer ein endlicher Wert der Stromst¨arke wegen der Wirkung der gleichzeitig mit dem Strom auftretenden magnetischen Felder, die hier nicht ber¨ ucksichtigt sind (siehe Abschnitt 17). Zahlenbeispiele: 1. Wird ein Kondensator mit der Kapazit¨ at C = 1µF u ¨ ber einen Widerstand von R = 1000Ω durch eine Spannung von 220V aufgeladen, so hat die Stromst¨ arke im ersten Augenblick nach dem Einlegen des Schalters den Wert I = U0 /R = 220V /1000Ω = 0, 22A. die Zeitkonstante betr¨agt τ = CR = 10−6 · 1000F Ω10−3 = 1 ms. Nach einer Zeit von 3ms hat daher die Ladung 95% , nach 4ms 98% ihres Endwertes Q = U0 C = 220 · 104 V F = 2, 2 · 10−4 As erreicht. Der Strom ist nach 4ms auf i = 0, 22 · 0, 0183A = 4mA abgeklungen. 2. Hat der Kondensator einen Isolationswiderstand von 100M Ω, so entl¨adt er sich nach Unterbrechen des Stromkreises mit einer Zeitkonstante von τ = 10−6 · 108 F = 100s. Die Spannung ist nach einer Zeit von 400s = 6, 7min auf 1,83% ihres Anfangswertes, also auf 4V gesunken. Nach der doppelten Zeit betr¨ agt die Spannung noch 0, 000335 · 220V = 0, 074V . 3. Die M¨ oglichkeit, bei der Entladung eines Kondensators die ganze ihm zugef¨ uhrte Elektrizit¨ atsmenge wieder zu gewinnen, kann z. B. zur Messung der Frequenz von Wechselstr¨omen ben¨ utzt werden. Dazu wird u ¨ ber ein von dem Wechselstrom gespeistes Relais A, Abb. 16.4, ein Kondensator C in jeder Periode des Wechselstromes einmal auf eine bestimmte Spannung U aufgeladen und u ¨ ber ein Gleichstrommessinstrument entladen. Ist f die Frequenz“ (Zahl der Perioden geteilt durch Zeit), dann ist die durch ” das Instrument je Zeiteinheit fließende Elektrizit¨atsmenge bestimmt durch f CU . Dies ist die Gleichstromst¨ arke I im Instrument. Sie ist proportional der Frequenz f . Voraussetzung f¨ ur diesen einfachen Zusammenhang ist, dass w¨ ahrend der Schließungszeiten der Kontakte die Ladungen bzw. die Entladungen praktisch v¨ ollig beendet sind.

Abbildung 5.4. Frequenzmesser

Ist z. B. C = 1µF, U = 100V , so ergibt sich bei 50Hz ein Strom

64

5 Beispiele f¨ ur elektrische Netzwerke

I = f U C = 50 · 10−6 100s−1F V = 5mH.

(5.16)

Der Widerstand R des Instrumentes muss so klein sein, dass die Zeitkonstante CR kleiner als etwa 1/6 der Periodendauer 1/f wird, d. h. R < 1/(6f C). Der Instrumentenwiderstand darf danach in dem Zahlenbeispiel nicht gr¨ oßer als 3000Ω sein. Auch der Vorwiderstand im Ladestromkreis darf diesen Betrag nicht u ¨ berschreiten. Zwischen dem Isolationswiderstand Ri und der Kapazit¨at C eines Kondensators besteht nach Gl. (16.29) die Beziehung Ri C =

ε , σ

(5.17)

wenn mit σ die Leitf¨ ahigkeit des Isolierstoffes bezeichnet wird. Die Zeitkonstante f¨ ur die Selbstentladung eines Kondensators ist daher τ=

ε , σ

(5.18)

Zahlenbeispiel: Die Schnelligkeit, mit der die Selbstentladung vor sich geht, ist also unabh¨ angig von Form und Gr¨ oße des Kondensators und nur durch die Eigenschaften des Isolierstoffs bestimmt, gute Isolierung der Zuleitungen vorausgesetzt. Ist z. B. εr = 4, σ = 10−13 S/m, so wird τ=

4 · 8, 86 · 10−12 F m εr ε0 = = 354s ≈ 6min. σ 10−13 Sm

(5.19)

5.1.2 Wechselstromkreis mit Kapazit¨ at Praktisch besonders wichtig ist das Verhalten der Nichtleiter in elektrischen Feldern, wenn sich die Feldgr¨ oßen zeitlich sinusf¨ormig ¨andern. Das elektrische Feld kann der Einfachheit halber durch zwei Platten (Plattenkondensator) erzeugt werden, die auf unterschiedlichem, sinusf¨ormig sich ¨anderndem Potenzial liegen. Diese Anordnung kann nach Abschnitt 12.1 durch den Kapazit¨ atswert C charakterisiert werden. Um die zugeh¨origen Wechselspannungen und -str¨ ome mathematisch darzustellen, ist es erforderlich, positive Richtungen willk¨ urlich festzulegen. Wir kennzeichnen die positive Richtung des Stromes in einem Leiter durch einen Stromz¨ahlpfeil auf dem Leiter und setzen fest, dass die Spannung zwischen zwei Punkten des Leiters als positiv bezeichnet werden soll. Wenn der Spannungsz¨ahlpfeil vom h¨oheren zum niedrigeren Potenzial weist, Abb. 5.5. Gibt man beiden Z¨ahlpfeilen die gleiche Richtung (Verbraucherz¨ahlpfeilsystem), so gilt f¨ ur den Ladestrom iC in einem Kondensator mit der Kapazit¨ at C die Beziehung iC = C

du . dt

Eine zeitlich sinusf¨ ormige Spannung stellen wir dar durch

(5.20)

5.1 Netzwerke aus Kapazit¨ aten und Widerst¨ anden

65

Abbildung 5.5. Wechselstromkreis mit Kapazit¨ at

√ (5.21) u(t) = U 2 sin ωt = uˆ sin ωt, √ ˆ den Scheitelwert, ω die Kreisfrequenz, wobei U den Effektivwert, U 2 = u ω = 2πf,

(5.22)

und f die Frequenz der Wechselspannung bezeichnen; f ist die Zahl der Perioden geteilt durch die Zeit; als Einheit der Frequenz wird 1 Hertz = 1Hz = 1 P er/s gebraucht. Die Periodendauer ist T =

1 . f

(5.23)

¨ Andert sich die Spannung zwischen den beiden Elektroden einer Kapazit¨at gem¨ aß (5.21), so wird der Ladestrom nach Gl. (5.20) 

√ 1 1 ˆ sin ω t + T . ˆ sin ω t + T = ωC u iC (t) = ωCU 2 cos ωt = ωC u 4 4 (5.24) Das elektrische Feld in einer Kapazit¨ at ist ein Wechselfeld, f¨ ur das die gleichen

Abbildung 5.6. Zeitlicher Verlauf von Spannung und Strom bei einer Kapazit¨ at

Gesetze gelten wie f¨ ur ein elektrostatisches Feld. Der Ladestrom der Kapazit¨at erreicht entsprechende Werte um 1/4 Periode fr¨ uher als die Spannung, Abb. 5.6; er eilt also der Spannung um 1/4 Periode voraus. Sein Effektivwert ist IC = U ωC.

(5.25)

Indem man die Periode T in 360 Grad einteilt, sagt man auch: Der Strom iC ” eilt der Spannung u um 90◦ voraus“. Diese Aussage hat nur dann einen Sinn, wenn die positiven Richtungen so wie oben definiert werden.

66

5 Beispiele f¨ ur elektrische Netzwerke

Hat der Nichtleiter eine endliche Leitf¨ ahigkeit σ, so entsteht an jeder Stelle unter der Einwirkung der elektrischen E-Feldst¨arke ein Strom von der Dichte σE. Da die elektrische Feldst¨ arke in jedem Augenblick proportional der Spannung zwischen den Elektroden ist, also mit ihr in Phase“ schwingt, so ” ist auch der Leitungsstrom Phase mit der Spannung. Bezeichnen wir diesen Strom mit iR , so gilt daher iR (t) =

U√ u(t) = 2 sin ωt, R R

(5.26)

wobei R den Isolationswiderstand f¨ ur Wechselstrom von der Frequenz f darstellt. Der gesamte Strom ist in jedem Augenblick i = iC + iR .

(5.27)

Er eilt der Spannung um einen Phasenwinkel zwischen 0◦ und 90◦ vor, und

Abbildung 5.7. Ersatzbild einer unvollkommenen Kapazit¨ at

man kann auf Grund dieses Zusammenhanges f¨ ur den Kondensator das in Abb. 5.7 dargestellte Ersatzschema aufstellen, in dem man sich den Kondensator zerlegt denkt in einen Kondensator mit vollkommener Isolierung und in einen Widerstand, der den Isolationsstrom f¨ uhrt. Die elektrische Arbeit, die der Kondensator w¨ahrend einer Periode aufnimmt, ist  T u(t)i(t)dt. (5.28) W1 = 0

Durch Einsetzen von u und i und Ausf¨ uhren der Integration erh¨alt man W1 =

U2 T. R

(5.29)

Diese Arbeit ist unabh¨ angig vom Kapazit¨ atswert und nur bestimmt durch den Widerstand R. Der Strom zeigt lediglich ein Hin- und Herpendeln von Ladungen an, wobei in jeder Periode die w¨ ahrend der Zeitabschnitte mit gleichen Vorzeichen von u und i aufgenommene Arbeit w¨ahrend der anderen Zeitabschnitte vom Kondensator wieder abgegeben wird. Die elektrische Arbeit wird w¨ ahrend der ersten Zeitabschnitte im elektrischen Feld als elektrische Energie aufgespeichert. Im Sinne einer elektrostatischen Betrachtung (vgl. Abschnitt 13.1) gilt in jedem Zeitpunkt t

5.1 Netzwerke aus Kapazit¨ aten und Widerst¨ anden

W =

1 2 Cu (t). 2

67

(5.30)

Die aufgespeicherte Energie erreicht den Maximalwert Wm =

1 2 Cu ˆ = CU 2 , 2

(5.31)

wenn die Spannung ihren positiven oder negativen Maximalwert hat. Nimmt dann die Spannung ab, so verringert sich die aufgespeicherte Energie entsprechend, und es wird Energie aus dem elektrischen Feld zur Stromquelle zur¨ uckgeliefert. Nur infolge des Leitungsstromes entstehen elektrische Verluste. Nach Abschnitt 16.2 zeigt die endliche Leitf¨ahigkeit des Isolierstoffes eine Umsetzung elektrischer Energie in W¨ arme an. Die w¨ahrend einer Periode des Wechselstromes entwickelte W¨ armemenge ist W1 Gl. (5.29). Die Rate des W¨armeumsatzes ist daher U2 W1 = = P. (5.32) T R Dies ist die elektrische Leistung P , die dem Kondensator im Mittel zufließt. Durch Messen dieser Leistung kann man die Gr¨oße R bestimmen. Derartige Messungen zeigen nun, dass bei wirklichen Isolierstoffen der so ermittelte Wert von R im allgemeinen nicht dem Isolationswiderstand entspricht, den man mit Gleichstrom feststellen kann; er ist vielmehr meist erheblich kleiner. Um auszudr¨ ucken, dass es sich hier nicht um den Gleichstromisolationswiderstand handelt, ist es u uhren ¨ blich, den reziproken Wert von R, den Leitwert G, einzuf¨ und diese Gr¨ oße zu definieren durch die vom Kondensator aufgenommene Leistung zur Deckung der dielektrischen Verluste, P = U 2 G.

(5.33)

G wird als die Ableitung des Kondensators bezeichnet. F¨ ur den Effektivwert des Leitungsstromes gilt IR = GU. (5.34) Zur Veranschaulichung von sinusf¨ ormigen Str¨ omen und Spannungen kann man im Sinne der Darstellung der Wechselstromrechnung nach Steinmetz und Kennelly ein Zeigerdiagramm verwenden, ohne dass komplexe Str¨ome und Spannungen explizit verwendet. Es ist f¨ ur den hier betrachteten Fall eines Kondensators in Abb. 5.8 aufgezeichnet. Die Wechselstromgr¨oßen werden durch Zeiger dargestellt, deren L¨ ange in einem willk¨ urlich gew¨ahlten Maßstab gleich dem Effektivwert gemacht wird; sie bilden Winkel miteinander, die gleich den in Graden ausgedr¨ uckten zeitlichen Verschiebungen sind, wobei eine Voreilung einer Drehung links herum entsprechen soll. Die Projektionen dieser Zeiger auf eine im Uhrzeigersinn mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotierende Zeit√ ” linie“ Z geben, mit 2 multipliziert, die Augenblickswerte der Spannungen und Str¨ ome an. Oft wird f¨ ur die Zeigerl¨ ange auch der Scheitelwert ben¨ utzt, so dass die Zeigerprojektionen auf die Zeitlinie direkt die Augenblickswerte

68

5 Beispiele f¨ ur elektrische Netzwerke

ergeben. Die Zeitlinie wird ebenfalls mit einem Pfeil versehen und dadurch in eine positive und negative H¨ alfte geteilt. Die Augenblickswerte gelten als positiv, wenn die Projektionen auf der positiven H¨alfte der Zeitlinie liegen, im anderen Falle als negativ. Der Ladestrom IC = U ωG eilt der Spannung U um 90◦ vor, w¨ ahrend der Leitungsstrom IR = U G in Phase mit U liegt.

Abbildung 5.8. Zeigerdiagramm f¨ ur den unvollkommenen Kondensator

F¨ ur die Wechselstromzeiger gelten die geometrischen Additionsgesetze der Vektoren; man bezeichnet sie daher manchmal – vor allem in der ¨alteren Literatur – als Vektoren. Wie aus Abb. 5.8 ersichtlich ist, gilt bei geometrischer ur die Projektionen auf die Zeitlinie Addition von IR und IC f¨ OA = OB + OC

oder

i = iC + iR ,

(5.35)

wie es nach Gl. (5.29) sein soll. Der Zeiger des Gesamtstromes ergibt sich also durch geometrische Addition der die Teilstr¨ ome darstellenden Zeiger. Die Winkel zwischen den Zeigern bilden ein Maß f¨ ur die zeitliche Verschiebung der Wechselgr¨ oßen. Man bezeichnet sie auch als Phasenwinkel. Als Maß f¨ ur die dielektrischen Verluste kann man den Winkel δ ben¨ utzen, um den der Gesamtstrom dem Ladestrom nacheilt. Man bezeichnet diesen Winkel als den Verlustwinkel des Kondensators, da sich durch ihn die Verlustleistung ausdr¨ ucken l¨ asst. Es ist tan δ =

G IR . = IC ωC

(5.36)

Der Verlustwinkel stellt eine Stoffkonstante dar, da das Verh¨altnis G/C nach Gl. (16.29) unabh¨ angig von den Abmessungen ist. H¨aufig wird auch der Verlustfaktor tan δ als Maß f¨ ur die Verluste ben¨ utzt; bei kleinen Verlustwinkeln ist tan δ ≈ δ. Die in W¨ arme umgesetzte Leistung wird P = U 2 G = U IR = U I sin δ = U I cos ϕ. F¨ ur den Gesamtstrom l¨ asst sich aus Abb. 5.8 die Beziehung ablesen

(5.37)

5.2 Netzwerke aus Induktivit¨ aten und Widerst¨ anden

 I = U G2 + (ωC)2 .

69

(5.38)

Statt die Zeitlinie im Uhrzeigersinn rotieren zu lassen, kann man auch eine festliegende Zeitlinie annehmen und das ganze Zeigerdiagramm entgegengesetzt umlaufen lassen. Wird die Darstellung der Wechselstromrechnung nach Mathis und Marten verwendet, dann kann man ein Zeigerdiagramm f¨ ur den Differentialoperator zwischen zwei ausgew¨ ahlten Gr¨ oßen (z. B. u und i) angeben, dessen Aussagewert dem oben gezeigten Zeigerdiagramm der Str¨ome und Spannungen aquivalent ist. Zeichnet man mehrere solcher Operator-Zeigerdiagramme“ in ¨ ” ein Bild, dann lassen sich auch die Zeigerdiagramme der Str¨ome und Spannungen rekonstruieren. Zumeist enthalten diese Zeigerdiagramme aber zuviele Informationen und werden in dieser Form in praktischen Anwendungen gar nicht ben¨ otigt. Im Sinne der Darstellung der Wechselstromrechnung nach Steinmetz und Kennelly kann die obenstehende Rechnung noch einmal mit komplexen Gr¨oßen wiederholt werden, obwohl sich dieses Verfahren erst bei der Analyse umfangreicherer Netzwerke lohnt.

5.2 Netzwerke aus Induktivit¨ aten und Widerst¨ anden 5.2.1 Der Aufbau eines magnetischen Feldes Die Spannung der Selbstinduktion sucht nach dem oben besagten den Stroma¨nderungen entgegenzuwirken. Wird an eine Spule eine Gleichspannung gelegt, so bildet sich daher mit dem Anwachsen des Stromes eine der treibenden Spannung entgegenwirkende Spannung. Der Strom kann nur so rasch ansteigen wie es die zur Verf¨ ugung stehende Spannung zul¨asst. In dem Stromkreis Abb. 5.9 gilt nach dem Einlegen des Schalters

Abbildung 5.9. Schalten einer Spule

U0 = Ri + uL , oder U0 = Ri + L

di ; dt

(5.39)

(5.40)

70

5 Beispiele f¨ ur elektrische Netzwerke

hieraus folgt (nach Trennung der Ver¨ anderlichen) dt =

Ldi , U0 − iR

(5.41)

und man findet durch Integration i(t) =

U0 + ke−(R/L)t . R

(5.42)

War die Spule vor dem Einschalten stromlos, so muss i = 0 f¨ ur t = 0 sein, uhrt man noch die Zeitkonstante also k = −U0 /R. F¨ τ := ein, so wird i(t) =

L R

 U0  1 − e−t/τ . R

(5.43)

(5.44)

¨ Ahnlich wie die Spannung bei der Aufladung eines Kondensators n¨ahert sich

Abbildung 5.10. Stromanstieg in der Spule

der Strom in der Spule allm¨ ahlich seinem durch das Ohmsche Gesetz bestimmten Endwert, Abb. 5.10. Die Zeit, die verstreicht, bis der station¨are Gleichstrom erreicht ist, betr¨ agt etwa 4 · · · 8τ . Als Ursache f¨ ur die Verz¨ogerung des Stromanstieges kann wie im elektrischen Feld die Speicherung von Feldenergie angesehen werden. Multipliziert man auf beiden Seiten der Gl. (5.40) mit idt, so wird (5.45) U0 idt = i2 Rdt + Lidi. Links steht die in irgendeinem Zeitpunkt w¨ ahrend des Zeitabschnittes dt von der Stromquelle gelieferte Arbeit. Das erste Glied rechts gibt die w¨ahrend dieses Zeitabschnittes entwickelte W¨ armemenge an. Der Rest der gelieferten Arbeit wird in der Spule gespeichert, und zwar kann man ¨ahnlich wie beim elektrischen Feld das ganze magnetische Feld selbst als Sitz der gespeicherten Energie ansehen. Die w¨ ahrend des Zeitabschnittes dt aufgenommene Energie ist nach Gl. (5.45) dW = Lidi. (5.46)

5.2 Netzwerke aus Induktivit¨ aten und Widerst¨ anden

71

Die zu einem beliebigen Zeitpunkt im Feld gespeicherte Energie, die man als die magnetische Energie des Feldes bezeichnet, ergibt sich durch Integration: W =

1 2 Li . 2

(5.47)

Abb. 5.11 zeigt den zeitlichen Verlauf der von der Stromquelle gelieferten

Abbildung 5.11. Energieaufnahme der Spule

Leistung U0 i sowie der in W¨ arme umgewandelten Leistung i2 R. Die schraffierte Fl¨ ache zwischen den beiden Kurven gibt die gespeicherte Energie an. Diese kann beim Abbau des Feldes wiedergewonnen werden. Verbindet man die beiden Enden der Spule miteinander, so gilt di ; dt

(5.48)

i(t) = Ia e−t/τ ,

(5.49)

0 = iR + L daraus folgt

wenn mit Ia der Strom im Moment des Kurzschlusses bezeichnet wird. W¨ahrend der Strom gem¨ aß dieser Funktion allm¨ahlich auf Null abf¨allt, wird die im Feld gespeicherte Energie an den Stromkreis abgegeben und in W¨arme umgewandelt. Bei einer pl¨ otzlichen Unterbrechung eines Stromkreises, der eine Spule mit hoher Induktivit¨ at enth¨ alt, muss sich die in der Spule aufgespeicherte Energie in sehr kurzer Zeit umsetzen; es ergibt sich daher eine sehr hohe Selbstinduktionsspannung, die einen Funken oder Lichtbogen an der Unterbrechungsstelle zur Folge hat, wobei die magnetische Energie in W¨arme umgewandelt wird. Um derartig hohe Spannungen, die f¨ ur die Isolation der Wicklung gef¨ahrlich werden k¨ onnen, zu vermeiden, verbindet man bei großen Spulen vor dem Abschalten der Stromquelle die beiden Wicklungsenden durch einen Widerstand R1 . Die Spannung an der Spule wird dann nach dem Abschalten der Stromquelle −t/τ (5.50) u(t) = i(t)R1 = Ia R1 , wobei

72

5 Beispiele f¨ ur elektrische Netzwerke

τ=

L ; R + R1

(5.51)

sie springt also beim Abschalten auf den Wert Ua = Ia R1 = U0

R1 . R

(5.52)

Zahlenbeispiel: Es sei L = 0, 2H, R = 10Ω, U0 = 100V . Die Zeitkonstante wird 0, 2H L = = 0, 02s. (5.53) τ= R 10Ω Der Aufbau des magnetischen Feldes ist in etwa 0,1 Sekunden beendet. Dann ist die Stromst¨ arke 100V = 10A. (5.54) I= 10Ω die in der Spule aufgespeicherte Energie W =

1 2 1 LI = 0, 2 · 100HA2 = 10W s. 2 2

(5.55)

Bei gegebenem Wickelraum, F¨ ullfaktor und magnetischem Widerstand ist die Zeitkonstante einer Spule unabh¨ angig von der Windungszahl, da nach Gl. (23.23) und (22.28) sowohl der Widerstand als auch die Induktivit¨at proportional dem Quadrat der Windungszahl ist. 5.2.2 Wechselstromkreis mit Induktivit¨ at Magnetische Wechselfelder werden durch Wechselstrom erzeugt. Fließt in einer Spule mit der Induktivit¨ at L ein Strom √ (5.56) i(t) = I 2 sin ωt = Im sin ωt, so entsteht nach Gl. (4.32) eine Selbstinduktionsspannung uL (t) = L

di(t) = ωLIm cos ωt. dt

(5.57)

Dabei gilt die Spannung dann als positiv, wenn sie einem Potenzialgef¨alle in Richtung des Stromz¨ ahlpfeiles entspricht. Aus Gl. (5.57) geht hervor, dass die Selbstinduktionsspannung dem Strom um 90◦ voreilt. Ferner ist ersichtlich, dass der Effektivwert der Selbstinduktionsspannung UL = ωLI betr¨ agt.

(5.58)

5.2 Netzwerke aus Induktivit¨ aten und Widerst¨ anden

73

Infolge des Widerstandes R der Spule entsteht nach dem Ohmschen Gesetz eine Spannung uR (t) = Ri(t) = RIm sin ωt, (5.59) die in Phase mit dem Strom schwingt und deren Effektivwert UR = RI

(5.60)

betr¨ agt. Man bezeichnet UR auch als Ohmschen Spannungsabfall, UL als induktiven Spannungsabfall. Die gesamte Spannung u an der Spule ergibt sich in jedem Zeitpunkt als Summe der beiden Spannungen uR und uL u = uR + uL .

(5.61)

Im Zeigerdiagramm, Abb. 5.12, m¨ ussen daher die beiden Zeiger UR und UL

Abbildung 5.12. Zeigerdiagramm einer Spule

geometrisch addiert werden. Aus dem rechtwinkligen Dreieck folgt f¨ ur den Effektivwert der Gesamtspannung an der Spule   (5.62) U = UR2 + UL2 = I R2 + (ωL)2 . Zs (ω) =

 R2 + (ωL)2 .

(5.63)

ist die Impedanz der Spule. Umgekehrt folgt bei gegebener Spannung die Stromst¨arke aus der Gl. (5.62). Der Strom in der Spule eilen der Spannung an der Spule um einen Winkel ϕ nach, der zwischen 0◦ und 90◦ liegt, und der berechnet werden kann aus ωL . (5.64) tan ϕ = R Die Spule nimmt in jedem Zeitelement dt die elektrische Arbeit uidt auf. Die der Spule zufließende Leistung ist daher in jedem Zeitpunkt t Pt = ui = uR i + uL i.

(5.65)

uckSetzt man hier uR , uL und i nach Gl. (5.56), (5.57) und (5.59) ein und ber¨ sichtigt, dass

74

5 Beispiele f¨ ur elektrische Netzwerke

2 sin2 ωt = 1 − cos ωt;

2 sin ωt cos ωt = sin 2ωt,

(5.66)

so ergibt sich unter Verwendung von Effektivwerten Pt (t) = I 2 R − I 2 R cos 2ωt + I 2 ωL sin 2ωt.

(5.67)

Die Leistung schwankt zeitlich mit der doppelten Frequenz des Wechselstromes. Der Mittelwert zeigt die in der Spule entstehenden Verluste durch Stromw¨ arme an. Er betr¨ agt  1 T u(t)i(t)dt = I 2 R. (5.68) P = T 0 Dies ist der erste Summand in Gl. (5.67). Der zweite Summand stellt eine

Abbildung 5.13. Augenblicksleistung Pt bei einer Spule

Schwankung mit dem gleich großen Scheitelwert dar. Der Augenblickswert der Leistung in dem ohmschen Widerstand R ist immer dann Null, wenn der Strom durch Null geht, er hat den Maximalwert 2I 2 R, wenn der Strom ein positives oder negatives Maximum durchl¨ auft. Abb. 5.13 zeigt den zeitlichen Verlauf der vom ohmschen Widerstand R aufgenommenen Leistung PRt . Der dritte Summand in Gl. (5.67) stellt ebenfalls eine Leistungsschwankung mit der doppelten Frequenz des Wechselstromes dar, aber mit dem Mittelwert Null. Der Scheitelwert der Schwankung ist I 2 ωL, Abb. 5.67. Diese Leistung PLt ist immer dann Null, wenn der Strom i oder die Spannung uL durch Null gehen. Dazwischen liegen die Maximal- und Minimalwerte. Diese schwankende Leistung zeigt die im magnetischen Feld gespeicherte Energie an. Jeweils w¨ahrend einer Viertelperiode des Stromes (+) wird Energie in das magnetische Feld geliefert und w¨ ahrend der darauffolgenden Viertelperiode (−) fließt diese Energie wieder zur Stromquelle zur¨ uck. Der Scheitelwert dieser Leistung ist auch (5.69) I 2 ωL = IUL . Die maximal im magnetischen Feld gespeicherte Energie ergibt sich durch Integration u ¨ber eine Viertelperiode

5.2 Netzwerke aus Induktivit¨ aten und Widerst¨ anden

 Wm =

0

T /4

PLt (t)dt = I 2 ωL



T /4

sin 2ωtdt = I 2 L.

75

(5.70)

0

Dies ¨ berein mit Gl. (5.46), wenn dort der Scheitelwert des Stromes √ stimmt u ur den betrachteten Zeitpunkt T /4 eingesetzt wird. I 2 f¨ Der aus der gemessenen Verlustleistung nach Gl. (5.68) berechnete Wert von R ist im allgemeinen gr¨ oßer als der mit Gleichstrom gemessene Widerstand. Man bezeichnet daher den aus Gl. (5.68) definierten Widerstand als den Wirkwiderstand der Spule; der Unterschied gegen¨ uber dem Gleichstromwiderstand ist bedingt durch die im magnetischen Wechselfeld auftretenden Verluste, die sich aus verschiedenen Anteilen zusammensetzen (siehe Abschnitt 29.1 und 29.3). ωL wird auch als Blindwiderstand bezeichnet, da die mittlere Leistung nur durch den Spannungsabfall IR bestimmt ist und der Spannungsabfall IωL zur mittleren Leistung nichts beitr¨ agt. Bemerkung: Auch wenn Induktivit¨ aten erst im Rahmen der Theorie des station¨ aren Magnetfeldes n¨ aher betrachtet werden, f¨ ugen wir schon hier einige Bemerkungen an. Die verwendeten Begriffe des magnetischen Feldes muss der Leser gegebenenfalls in Abschnitt 18 nachlesen. Wenn n¨amlich der magnetische Kreis im wesentlichen aus Eisen besteht und hohe B-Feldst¨arken vorkommen, so dass die nichtlinearen Effekte eine wesentliche Rolle spielen, vermeidet man den Begriff der Induktivit¨ at und berechnet die Selbstinduktionsspannung unmittelbar aus dem durch die Wicklung mit N Windungen hindurchgehenden B¨ undelfluss Φ. Ist Φm der Scheitelwert dieses Flusses, so ist der Augenblickswert (5.71) Φ(t) = Φm sin ωt. Die Selbstinduktionsspannung wird nach dem Induktionsgesetz uL (t) = N

dΦ(t) = N ωΦm cos ωt. dt

(5.72)

Sie eilt gegen¨ uber dem Fluss danach um 90◦ vor. Der Effektivwert der Selbstinduktionsspannung wird 1 UL = √ N ωΦm = 4, 44N f Φm 2

(5.73)

In manchen F¨ allen ist die hierin enthaltene Voraussetzung, dass der B¨ undeloße mit allen Windungen verkettet ist, nicht zul¨assig. fluss Φm in voller Gr¨ Der Gesamtfluss Φgm ist verschieden von N Φgm . Man dr¨ uckt dies durch die Beziehung aus (5.74) Φgm = ξN Φm und nennt ξ den Wicklungsfaktor. Dann gilt also allgemein UL = 4, 44ξN f Φgm .

(5.75)

76

5 Beispiele f¨ ur elektrische Netzwerke

H¨ aufig ist bei Spulen mit Eisenkern der ohmsche Spannungsabfall klein gegen den induktiven Spannungsabfall. Dann stimmt die Selbstinduktionsspannung UL , angen¨ ahert mit der Gesamtspannung U an der Spule u ¨ berein. Durch eine an der Spule wirkende Wechselspannung U ist nach Gl. (5.75) der Scheitelwert des magnetischen Flusses Φm im Eisenkern zwangsl¨aufig und unabh¨angig von den Eigenschaften des Eisenkerns bestimmt Φgm ≈

U . 4, 44ξN f

(5.76)

Er eilt gegen¨ uber der Spannung U angen¨ ahert um 90◦ nach. Aus dem Scheitelwert Φm des Induktionsflusses folgt der Scheitelwert die magnetische BFeldst¨ arke Bm durch Division mit dem wirksamen Eisenquerschnitt. Auch die magnetische Induktion verl¨ auft zeitlich sinusf¨ormig und eilt gegen¨ uber der Spannung U um 90◦ nach. Die magnetische Induktion bestimmt nun in jedem Zeitpunkt gem¨ aß der Magnetisierungskurve des Eisens die magnetische Feldst¨ arke und damit Durchflutung und Strom in der Spule. Wegen der Kr¨ ummung der Magnetisierungskurve verl¨ auft der Strom bei sinusf¨ormiger Spannung daher nicht sinusf¨ ormig (siehe Abschnitt 33). Zahlenbeispiel: An einer Spule mit der Induktivit¨at 1H und dem Wirkwiderstand 10Ω liegt eine Wechselspannung mit dem Effektivwert U = 220V und der Frequenz f = 50Hz. Der Blindwiderstand der Spule wird ωL = 314 Ω. Der Scheinwiderstand der Spule wird  Zs = 102 + 3142 Ω ≈ 314Ω.

(5.77)

(5.78)

Der Effektivwert der Stromst¨ arke wird I=

220V U = 0, 7A. = Zs 314Ω

(5.79)

Die von der Spule aufgenommene Leistung ist P = I 2 R = 490W.

(5.80)

Die komplexe Wechselstromrechnung l¨ asst sich mit Vorteil anwenden, wenn die Induktivit¨ at als konstant angesehen werden kann. Dabei werden UL , I, UR und Z als komplexe Gr¨ oßen angenommen, ohne sie besonders zu kennzeichnen. Dann gilt f¨ ur die Selbstinduktionsspannung UL = IjωL.

(5.81)

5.3 Dreiphasennetzwerke

77

Man kann Z = jωL

(5.82)

als die der Induktivit¨ at L entsprechende komplexe Impedanz auffassen. Der Ohmsche Spannungsabfall ist UR = IR,

(5.83)

U = UR + UL = I(R + jωL).

(5.84)

und es gilt Die Gr¨ oße R + jωL stellt den komplexen Widerstand der Spule dar, R ist der Wirkwiderstand, ωL der Blindwiderstand. N¨aheres u ¨ ber die komplexe Wechselstromrechnung siehe in Abschnitt 4.3.

5.3 Dreiphasennetzwerke Beim symmetrischen Dreiphasensystem haben die drei Sternspannungen (Spannung zwischen Außenleiter und Sternpunkt) untereinander gleiche Effektivwerte und Phasenverschiebungen von je 2π/3 = 120◦, Abb. 5.14. Ohne weitere Kennzeichnung werden s¨ amtliche Spannungen, Str¨ome, Impedanzen, und Faktoren als komplex angenommen. Nennt man die drei Sternspannungen U1 , U2 , U3 , die drei Dreiecksspannungen U12 , U23 , U31 , so gilt

Abbildung 5.14. Zeigerdiagramm der Dreiphasenspannungen

U2 = kU1 ,

U3 = kU2 = k 2 U1 ,

(5.85)

wobei ◦

k = ej120 = cos 120◦ + j sin 120◦ = −0, 5 + j0, 866, 2

j240◦

3

j360◦

k =e k =e

bedeuten. Ferner ist

(5.86)

= −0, 5 − j0, 866,

(5.87)

=1

(5.88)

78

5 Beispiele f¨ ur elektrische Netzwerke

U12 = U1 − U2 = U1 (1 − k) = U1 (1, 5 − j0, 866) =

√ −j30◦ 3e U1 , (5.89)

U23 = U2 − U3 = kU1 − k 2 U1 = kU12 , U31 = U3 − U1 = k 2 U1 − U1 = k 2 U12 .

(5.90) (5.91)

Bei beliebiger unsymmetrischer Belastung des Netzes erh¨alt man die Str¨ome durch Anwenden der Kirchhoffschen Gesetze.

Abbildung 5.15. Dreiphasensystem ohne Sternpunktleiter

Mit Hilfe der Dreiecksternumwandlung kann bei Systemen ohne Sternpunktleiter jeder Belastungsfall auf das Schema der Abb. 5.15 zur¨ uckgef¨ uhrt werden. Der Sternpunkt des Verbrauchers nimmt hier im allgemeinen Falle uber dem Sternpunkt des Netzes an. F¨ ur die drei eine Spannung U0 gegen¨ Str¨ ome gilt U1 − U0 , Z1 U2 − U0 , I2 = Z2 U3 − U0 . I3 = Z3

(5.92)

I1 =

(5.93) (5.94)

Da die Summe dieser drei Str¨ ome gleich 0 sein muss, folgt I1 + I2 + I3 =

U2 − U0 U3 − U0 U1 − U0 + + =0 Z1 Z2 Z3

(5.95)

und hieraus ergibt sich
U0 = Zp

U2 U3 U1 + + Z1 Z2 Z3

 ,

(5.96)

wobei zur Abk¨ urzung Zp den Ersatzwiderstand der drei parallel geschalteten Verbraucherwiderst¨ ande bezeichnet 1 1 1 1 = + + . Zp Z1 Z2 Z3 Damit k¨ onnen die drei Außenleiterstr¨ ome berechnet werden.

(5.97)

5.3 Dreiphasennetzwerke

79

Abbildung 5.16. Dreiphasensystem mit Sternpunktleiter

F¨ ur Systeme mit Sternpunktleiter ist das allgemeine Schema durch Abb. 5.16 gegeben. Hier ist (5.98) U0 = I0 Z0 und die Summe der drei Leiterstr¨ ome gleich dem Sternpunktleiterstrom I0 also U2 − U0 U3 − U0 U0 U1 − U0 + + = . Z1 Z2 Z3 Z0 Daraus ergibt sich Z0 Zp U0 = Z0 + Zp




U1 U2 U3 + + Z1 Z2 Z3

(5.99)

 .

(5.100)

Das Zeigerdiagramm ist f¨ ur den Fall von symmetrischen Dreiphasenspannun-

Abbildung 5.17. Symmetrisches Dreiphasennetz mit unsymmetrischer Belastung

gen in Abb. 5.17 gezeigt. Die Lage des Sternpunktes 0 der Verbraucher unterscheidet sich im allgemeinen um die Spannung U0 von 0. Die Verbindungsstrecken zwischen 0 und den drei Eckpunkten des Dreiecks geben die Zeiger der Spannungen an den drei Verbraucherstr¨ angen; z. B. ist 0 1 = U1 − U0 = I1 Z1 die Spannung am Verbraucherwiderstand Z1 . Beispiele: 1. Bei der in Abb. 5.18 dargestellten Anordnung zur Feststellung der Phasenfolge bei Dreiphasenspannungen, bestehend aus den beiden Gl¨ uhlampenwiderst¨ anden R und dem Kondensator mit der Kapazit¨at C, ist Z1 = Z2 = R,

Z3 =

1 . jωC

(5.101)

80

5 Beispiele f¨ ur elektrische Netzwerke

Abbildung 5.18. Phasenfolgezeiger

Hieraus

2 1 + jωC = Zp R

und U0 = U1

1 + k + k 2 jωCR . 2 + jωCR

(5.102)

(5.103)

Daher wird U1 U1 − U0 = (1 + jωRC − k − k 2 jωRC) R R(2 + jωCR)

(5.104)

U1 kU1 − U0 = (k + kjωRC − 1 − k 2 jωRC) R R(2 + jωCR)

(5.105)

I1 = und I2 =

Durch Einsetzen von k und k 2 ergibt sich  √ I  1 − 3ωRC + (ωRC)2  1 √  = I2 1 + 3ωRC + (ωRC)2

(5.106)

Dieser Quotient ist f¨ ur alle Werte von ωCR > 0 kleiner als 1. Die heller brennende Lampe zeigt daher die der dunklen Lampe zeitlich folgende Spannung an.

Abbildung 5.19. Zeigerdiagramm f¨ ur Beispiel 1.

F¨ ur die Anordnung der Abb. 5.18 gilt das Zeigerdiagramm Abb. 4.11 Die Summe der beiden Zeiger 0 1 und 0 2 ist O A = (I1 + I2 )R und somit ein

5.3 Dreiphasennetzwerke

81

Maß f¨ ur die Summe der beiden Str¨ ome, die entgegengesetzt gleich I3 sein muss. Der Zeiger der Spannung 0 3 am Kondensator muss daher gegen O A um 90◦ voreilen. Daraus folgt die in der Abb. 4.11 angedeutete Konstruktion. B halbiert die Strecke 12. Der Punkt 0 liegt auf dem Halbkreis u ¨ber B3. 2. Wenn in einem Dreiphasennetz ohne Sternpunktleiter Erdschluss eines Außenleiters z. B. des Leiters 3, eintritt, so fließt zwischen diesem Außenleiter und Erde ein Strom, der sich u ¨ ber die Erdkapazit¨at der anderen Leiter schließt. Bezeichnet man die Teil-Erdkapazit¨ at eines Leiters mit C, so ist im Erdschlussfall 1 1 1 , = jωC + , (5.107) Z1 = Z2 = jωC Z3 R3 wenn mit R3 der als klein angenommene Erd¨ ubergangswiderstand bezeichnet wird. Daraus folgt 1 1 = j3ωC + , (5.108) Zp R3 und nach Gl. (5.96) 
U3 U3 + U3 jωC = . U1 jωC + U2 jωC + R3 1 + 3jωR3 (5.109) Der Strom in Z3 wird also

U0 =

1 3jωC + 1/R3

U3 U3 (1 + jωCR3 ) U3 − U0 (1 + jωCR3 ) = + U3 jωC − = R3 R3 (1 + 3jωCR3 )R3 1 + jωCR3 . (5.110) = 3jωCR3 1 + 3jωCR3

I3 =

Angen¨ ahert folgt hieraus I3 = 3jωCU3 , also f¨ ur den Effektivwert |I3 | = 3ωC|U3 | = 3ωC|U1 |. Ist z.B. |U1 | = 100kV, ω = 314s−1 und bei 100km Leitungsl¨ange C = 0, 7µF , so wird |I3 | = 66A. Ein Lichtbogen zwischen Leiter und Erde kann also einen Strom bis zu dieser St¨ arke f¨ uhren. 3. Man senkt die bei Erdschluss einer Leitung entstehende Stromst¨arke durch die Erdschlussspule (W. Petersen 1913). Diese Spule wird zwischen den Sternpunkt der Stromquelle und Erde eingeschaltet. Bei Erdschluss der Leitung 3 ergibt sich dann ein Stromkreis wie in Abb. 4.8 mit Z1 = Z2 =

1 , jωC

1 1 = + jωC, Z3 R3

Z0 = jωL,

(5.111)

wenn L die Induktivit¨ at der Erdschlussspule bezeichnet. Damit folgt 1 1 = 3jωC + Zp R3 und nach Gl. (5.100)

(5.112)

82

5 Beispiele f¨ ur elektrische Netzwerke

U0 =

1 jωL

1 + 3jωC + 

= 1 + R3

1 R3


U3 + U3 jωC = U1 jωC + U2 jωC + R3

U3 1 jωL

.

(5.113)

+ 3jωC

Nach Gl. (5.93) ergibt sich I3 =

U3 − U0 ≈ U3 Z3




1 + 3jωC jωL

 (5.114)

und f¨ ur den Effektivwert angen¨ ahert
|I3 | = |U1 |3ωC 1 −

1 3ω 2 LC

 .

(5.115)

Dieser Ausdruck verschwindet, wenn die Induktivit¨at so gew¨ahlt wird, dass 3ωLC = 1. Im Zahlenbeispiel 2. muss also L=

1 ω2C

=

1 3 · 9, 83 ·

104

· 0, 7 · 10−6

H = 4, 84H

(5.116)

gemacht werden. In diesem Fall ist |U0 | = |U3 |, und der u ¨ber die Erdschlussspule fließende Strom |U3 |/(ωL) hat die gleiche St¨arke wie der gesamte kapazitive Strom des Netzes, aber entgegengesetzte Phase, so dass der Erdschlussstrom kompensiert wird. Im unsymmetrischen Dreiphasensystem, bei dem die drei Sternspannungen U1 , U2 , U3 beliebige Werte und Phasen sowie einen von Null verschiedenen Summenwert haben k¨ onnen, sind auch die Dreieckspannungen U12 = U1 − U2 ,

U23 = U2 − U3 ,

U31 = U3 − U1

(5.117)

im allgemeinen voneinander verschieden und ungleich gegeneinander phasenverschoben; ihre Summe ist jedoch immer Null. F¨ ur die Berechnung der Leiterstr¨ ome gilt grunds¨ atzlich das gleiche wie im symmetrischen Dreiphasensystem; es gelten also auch hier die Gl. (5.93), (5.96) und (5.100), durch die alle F¨ alle beliebiger Unsymmetrien und Belastungen erfasst sind. Ein besonderes Verfahren, das h¨aufig mit Vorteil anwendbar ist, bildet die Zerlegung in symmetrische Komponenten. Dieses Verfahren zerlegt ein beliebiges System von drei unsymmetrischen Sternspannungen in eine Summe aus 1. einem System von drei symmetrischen Sternspannungen mit positivem Umlaufsinn ( Hauptsystem“ oder Mitsystem“) ” ” (1)

U1 ,

(1)

U2

(1)

= kU1 ,

(1)

U3

(1)

= k 2 U1 ,

(5.118)

2. einem System von drei symmetrischen Sternspannungen mit negativem Umlaufsinn ( Nebensystem“ oder Gegensystem“) ” ”

5.4 Der Gyrator (2)

(2)

U1 ,

U2

(2)

(2)

= kU1 ,

U3

(2)

= k 2 U1 ,

83

(5.119)

3. einem System von drei gleichphasigen Sternspannungen ( Gleichpha” sensystem“ oder Nullsystem“) ” (0)

U1

(0)

(0)

= U2

= U3 .

(1)

(2)

(1) U2 (1) U3

(2) U2 (2) U3

(5.120)

Man setzt also (3)

U1 = U1 + U1 + U1 , U2 = U3 =

+ +

+ +

(3) U2 , (3) U3 .

(5.121) (5.122) (5.123)

Durch Aufl¨ osen nach den drei Komponenten erh¨alt man (0)

U1

(1)

U1

(2)

U1

1 (U1 + U2 + U3 ) , 3  1 U1 + k 2 U2 + kU3 , = 3  1 U1 + kU2 + k 2 U3 . = 3

=

(5.124) (5.125) (5.126)

Mit diesen Gleichungen k¨ onnen die Komponenten leicht berechnet oder graphisch bestimmt werden. Die Berechnung der Leiterstr¨ome l¨asst sich dann f¨ ur die drei Komponenten einzeln durchf¨ uhren wie bei den symmetrischen Spannungssystemen. Die wirklichen Str¨ ome ergeben sich durch Summieren der drei Komponenten.

5.4 Der Gyrator Ein interessantes Beispiel f¨ ur ein Zweitor ist der Gyrator. Wir haben in Abschnitt 4.5 ausf¨ uhrlich erl¨ autert, dass der Umkehrungssatz gem¨aß der obigen Ableitung bei jedem passiven linearen Zweitor gilt, das beliebig aus Widerst¨ anden, Kondensatoren, Spulen mit und ohne magnetische Kopplungen und aus Leitungen zusammengesetzt ist. Solche Zweitore nennt man auch kopplungssymmetrische oder reziproke Zweitore. Es gibt jedoch eine Gruppe von passiven linearen Zweitoren, f¨ ur die der Umkehrungssatz nicht gilt. Ein Beispiel bildet ein elektrodynamischer Lautsprecher, der auf ein Kondensatormikrophon einwirkt. Werden die Klemmen des Lautsprechers als Eingangsklemmen, die Klemmen des Mikrophons als Ausgangsklemmen betrachtet, so liegt ein lineares Zweitor vor, f¨ ur den z. B. die Z-Matrixform existiert. Es l¨asst sich aber zeigen, dass hier nicht die Reziprozit¨ atsbedingung nicht gilt, sondern Z21 = −Z12 .

(5.127)

84

5 Beispiele f¨ ur elektrische Netzwerke

Abbildung 5.20. Feldberechnung bei einem Dipol

Gegen¨ uber dem kopplungssymmetrischen Zweitor kehrt sich die Richtung der Spannung am leerlaufenden Ende beim Vertauschen von Eingang und Ausgang um. Einen solches Zweitor nennt man einen Gyrator; er l¨asst sich nicht durch eine Stern- oder Dreieckschaltung von Widerst¨anden darstellen. Ein anderes Beispiel liefert der Hall-Effekt; siehe Abschnitt 27. In Abb. 5.20 seien 1 2 und 3 4 die 4 Anschlussklemmen eines d¨ unnen Pl¨attchens aus einem geeigneten Hall-Effekt-Leiter; es befinde sich entsprechend Abb. 27.5 in einem konstanten B-Feld B. Die Klemmen 1 2 seien nun die Eingangsklemmen, die Klemmen 3 4 die Ausgangsklemmen eines Zweitors mit den Bezugsrichtungen f¨ ur die Spannungen wie in Abb. 4.14. Die Zweitor-Gleichungen lassen sich dann in der Form schreiben: 


R1 −r I1 U1 = . (5.128) U2 I2 r R2 Dabei bezeichnen R1 und R2 die zwischen den Klemmen 1 2 bzw. 3 4 gemessenen Gleichstromwiderst¨ ande (B = 0), r ergibt sich aus den auf in Abschnitt 27 erl¨ auterten Zusammenh¨ angen zu Rh /d. Es zeigt sich also, dass auch hier die Gl. (5.127) gilt und nicht der Umkehrungssatz. Der ideale Gyrator (H. Tellegen 1948) entsteht, wenn die Widerst¨ ande R1 und R2 vernachl¨assigbar klein gegen den Gyratorwiderstand“ r sind. Die Zweitor-Gleichungen des idealen ” Gyrators lauten in der Z-Matrixform 


0 −r I1 U1 = . (5.129) U2 I2 r 0 Die Kettenmatrix ist




0 r 1/r 0

 .

(5.130)

¨ Der ideale Gyrator bildet danach ein Gegenst¨ uck zum idealen Ubertrager, dessen Kettenform oder A-Matrixform nach Gl. (4.108) lautet
 u ¨ 1/¨ u . (5.131) 0 0 Die Vorzeichenumkehr im Kopplungswiderstand nach Gl. (5.127) hat merkw¨ urdige und praktisch wichtige Konsequenzen:

5.4 Der Gyrator

85

¨ Abbildung 5.21. Gyrator mit Uberbr¨ uckung

¨ 1. Wird der Ausgang eines idealen Ubertragers mit einer beliebigen komplexen Impedanz Z2 abgeschlossen, so erscheint nach Gl. (29.171) zwischen den Eingangsklemmen die damit proportionale transformierte Impedanz u ¨Z2 . Wird dagegen der Ausgang des idealen Gyrators mit Z2 abgeschlossen, so folgt aus der Kettenmatrix f¨ ur den Eingangswiderstand Z1 =

r2 U1 = . I1 Z2

(5.132)

D. h. der Scheinwiderstand zwischen den Eingangsklemmen ist umgekehrt proportional dem Abschlusswiderstand. Wird der ideale Gyrator mit einem Kondensator abgeschlossen, so wirkt er am Eingang wie eine Spule. Der ideale Gyrator transformiert eine Impedanz in seine widerstandsre” ziproke“ oder duale Impedanz; siehe z. B. Feldtkeller [69]. 2. Besondere Effekte ergeben sich ferner, wenn der Ausgang des Gyrators u ande mit dem Eingang verbunden wird. Die ¨ ber irgendwelche Widerst¨ Abb. 5.21 soll ein einfaches Beispiel veranschaulichen. Nach Gl. (5.129) gilt f¨ ur den idealen Gyrator G U1 = −rI2 , ferner ist

I1 = I1 + I1 ,

U2 = rI1 ; I2 = I2 + I2 ,

(5.133) (5.134)

sowie

1 (U1 − U2 ). 2R Daraus folgt f¨ ur das gesamte Zweitor
 1 1 1 U1 + − U2 , I1 = 2R r 2R 
1 1 1 + U2 . − −I2 = r 2R 2R I1 = −I2 =

(5.135)

(5.136) (5.137)

In dieser Leitwertform der Zweitor-Gleichungen kann man Y22 = 0 machen, indem man 2R = r w¨ ahlt. Dann wird aus Gln. (5.136), (5.137)

86

5 Beispiele f¨ ur elektrische Netzwerke

U1 = rI1 ,

(5.138)

U2 = 2U1 + rI2 .

(5.139)

Der Eingangswiderstand wird also gleich r, unabh¨angig vom Abschlusswiderstand des Ausgangs; das Zweitor sperrt in der Richtung vom Ausgang zum Eingang. Die Ausgangsspannung U2 ergibt sich, indem von einer konstanten Quellenspannung 2U1 ein Spannungsabfall rI2 abgezogen wird. F¨ ur das Zweitor gilt also das in Abb. 5.22 gezeigte Ersatzbild. Er liefert in einen Abschlusswiderstand Z2 = r die volle, dem Eingang zufließende Leistung. Ein solches Zweitor bezeichnet man als ideales Trennzweitor. Praktisch verwendete Trennzweitore ben¨ utzen die Drehung der Polarisationsebene in Ferritmaterial (Faraday-Effekt, siehe Abschnitt 20.1). Diese Drehung f¨ uhrt a ¨hnlich wie die Ablenkung der Ladungstr¨ager beim HallEffekt zu einer Gyrator-Wirkung.

Abbildung 5.22. Ersatzbild des idealen Trennzweitors

Teil III

Das elektrostatische Feld

6 Die Grundgleichungen des elektrostatischen Feldes

Elektrostatische Anziehungskr¨ afte eines mit einem Wolltuch geriebenen Bernsteins (griech. electron) waren bereits den Griechen bekannt waren (Thales von Milet; 626 - 547 v. Chr.), aber erst Benjamin Franklin schlug die Bezeichnungen negativ“ und positiv“ f¨ ur die beiden elektrischen Fluida“ vor, ” ” ” mit denen K¨ orper bestimmter Art – beispielsweise auch Metalle – beaufschlagt werden k¨ onnen. Man wusste auch, dass sich K¨ orper mit unterschiedlichen elektrischen Fluida anziehen, w¨ ahrend sie sich bei gleichartigen Fluida abstoßen. Zwischen 1771 und 1789 entdeckten Henry Cavendish und Charles Augustin de Coulomb (vgl. Spektrum der Wissenschaft-Biographie von Maxwell [209]) die Gesetzm¨ aßigkeit dieser Anziehungs- und Abstoßungskr¨afte. Einzelheiten zur Fr¨ uhgeschichte der Elektrizit¨ at findet man in dem 1772 erschienenen Werk von Priestley [183] und u. a. auch bei Simonyi [206]. Sie fanden heraus, dass der Betrag der Kraft umgekehrt proportional mit dem Quadrat des Abstands abnimmt und proportional zu den Ladungen der beiden K¨ orper ansteigt. Die Richtung der Kraft liegt auf der Verbindungsgerade der Schwerpunkte der beiden K¨ orper. Es zeigte sich also, dass die Form des elektrischen Kraftgesetzes dem des Gravitationsgesetzes von Newton entspricht. Das elektrische Kraftfeld kann also im Rahmen Experimente von Cavendish und Coulomb mit Hilfe des folgenden (mathematischen) Vektorfeldes modelliert werden 1 Q1 Q2 r , (6.1) F12 (r) = − 4πε r2 r wobei Q1 , Q2 die Ladungen der K¨ orper 1 und 2 sind, die ihren zugeh¨origen Schwerpunkten zugeordnet sind. Dieses nach Coulomb benannte Kraftfeld hat bei r = 0 zwar eine Singularit¨ at, aber es verschwindet im Unendlichen zusammen mit seinen Ableitungen. Damit kann F12 in einfach zusammenh¨angenden Gebieten mit Hilfe seiner Rotation und Divergenz (bis auf eine Konstante) eindeutig festgelegt werden, die den Ursprung r = 0 nicht enthalten. Man kann

90

6 Die Grundgleichungen des elektrostatischen Feldes

leicht zeigen, dass die Rotation von F12 gleich null ist, d.h. rot F12 = 0, und somit nur seine Divergenz bestimmt wird, die jedoch auch verschwindet1 . Die Kraft h¨ angt nur vom Ort ab, so dass nach Abschnitt 3.2 die Newtonsche Relation gilt und somit f¨ ur die beiden geladenen K¨orper die Newtonschen Bewegungsgleichungen q1 q2 r1 − r2 1 , 4πε r1 − r2 2 r1 − r2  q2 q1 r2 − r1 1 . m2 ¨r2 = 4πε r2 − r1 2 r2 − r1  m1 ¨r1 =

(6.2) (6.3)

aufgestellt werden k¨ onnen. Bereits die L¨ osung dieses einfachen dynamischen Problems f¨ ur das elektrische Kraftfeld kann nicht analytisch ermittelt werden, da die Bewegungsgleichungen nichtlinear sind. Man kann jedoch auf die L¨ osung des Zwei-K¨ orper-Problems der Gravitationstheorie zur¨ uckgreifen und die entsprechende L¨ osung anpassen (vgl. Goldstein [74]); diese L¨osung kann nur bis auf ein elliptisches Integral bestimmt werden. Daher ist es offensichtlich, dass es auch f¨ ur allgemeinere Probleme keine analytische L¨osung gibt. An dieser Stelle wollen wir noch darauf hinweisen, dass Ladungen zwar immer an massebehaftete K¨ orper gebunden sind, aber die Gravitationskraft gegen¨ uber der elektrostatischen Kraft vernachl¨ assigt werden kann, da die Gravitationskraft um viele Zehnerpotenzen schw¨ acher ist als die elektrostatischen Kraft. Anstatt die dynamischen Gleichungen mit der Coulomb-Wechselwirkung zu l¨ osen, stellt man sich in der statischen Theorie des elektrischen Feldes – kurz auch Elektrostatik genannt – zun¨ achst einmal die Aufgabe, das Kraftfeld f¨ ur vorgegebene Ladungsverteilungen zu ermitteln. Das berechnete Kraftfeld k¨ onnte dann auch als Ausgangspunkt f¨ ur dynamische Betrachtungen sein, die ggf. numerisch durchgef¨ uhrt werden m¨ ussen. Man sollte an dieser Stelle noch einmal darauf hinweisen, dass mathematische Vektorfelder als Modelle f¨ ur physikalische Felder genutzt werden. Wie in anderen F¨ allen d¨ urfen Modell und Realit¨ at keinesfalls verwechselt werden. Wir kommen im folgenden auf diesen wichtigen Punkt immer wieder einmal zur¨ uck. Da sich das elektrische Kraftfeld beim Einbringen einer ausgedehnten Ladungsverteilungen in ein vorhandenes Kraftfeld ver¨andert, gehen wir davon aus, dass der geladene K¨ orper mit der Ladung q wenig“ ausgedehnt ist und ” somit das elektrische Kraftfeld des anderen K¨ orpers mit der Ladung Q kaum“ ” st¨ ort; den kleinen K¨ orper nennt man Probek¨orper. Daher wird das Kraftfeld auf die Ladung des Probek¨ orpers normiert und definieren wir auf diese Weise das elektrische Feld oder E-Feld E(r) := 1

F(r) , q

(6.4)

wie man anhand der Beziehung divU (
r
)r = 3U (
r
) +
r
U
(
r
) leicht ermittelt

6 Die Grundgleichungen des elektrostatischen Feldes

91

wobei es sich nat¨ urlich um das mathematische Modell des physikalischen elektrischen Feldes handelt. Das als elektrisches Feld eingef¨ uhrte physikalische Feld repr¨ asentiert im Sinne der Grundexperimente von Cavendish und Coulomb die Kraftwirkung, die von einem K¨ orper mit der Ladung Q auf einen geladenen Probek¨ orper ausge¨ ubt wird. Da das E-Feld proportional zur Coulombschen Kraft F ist, erbt“ das E-Feld auch einige Eigenschaften von F. ” Insbesondere gilt rot E = 0. Das Coulombsche Kraftgesetz wirkt wie das Gravitationsfeld im Sinne einer Fernwirkung. Der dazwischenliegende Raum sowie die Art und Geschwindigkeit der Ausbreitung der Kraftwirkung wird in diesem Modell nicht ber¨ ucksichtigt. Da die Zeit in das Kraftgesetz nicht eingeht, breitet sich die Kraftwirkung mit unendlich großer Geschwindigkeit aus. Wir werden sp¨ater sehen, dass das nur n¨ aherungsweise g¨ ultig ist. Daher sollte man das physikalische elektrische Feld und sein mathematisches Modell klar unterscheiden. Obwohl in der Folge des Newtonschen Gravitationsgesetzes alle Kraftfelder im Sinne einer Fernwirkung formuliert worden sind, stellte sich diese Auffassung beim Aufbau der Theorie des elektromagnetischen Feldes als bedeutendes Hindernis heraus. Maxwell ging davon aus, dass Ursache und Wirkung am gleichen Ort stattfinden sollten. Grunds¨ atzlich handelt es sich allerdings um ein philosophisches Prinzip, das seit Maxwell beim Aufbau s¨amtlicher physikalischer Theorien beachtet wird. Insbesondere ist es im Fall statischer oder station¨ arer Theorien, in denen eine explizite Zeitabh¨angigkeit nicht auftritt, eigentlich entbehrlich. Dennoch wird das Nahwirkungsprinzip schon beim Aufbau der Theorie des elektrostatischen Feldes beachtet und auch beim Ausbau der Theorie wird dieser Vorgehensweise gefolgt. Um die Fernwirkung des mit der Ladung Q geladenen K¨orpers auf den Probek¨ orper zu eliminieren, wird zun¨ achst die Ladung durch ein gerichtetes Feld in ¨ aquivalenter Weise ersetzt. Mathematisch gehen wir dabei vom Helmholtzschen Satz aus, der besagt, dass ein Vektorfeld, das im Unendlichen mitsamt seinen Ableitungen verschwindet, bis auf ein konstantes Feld durch Divergenz und Rotation festgelegt sind. Ausgehend von der Erfahrungstatsache, dass sich gleichnamige Ladungen aufsummieren lassen und ungleichnamige Ladungen subtrahieren, k¨onnen verteilte Ladungen mit Hilfe einer Ladungsverteilungsdichte feldm¨aßig repr¨asentiert werden  (r)dV, (6.5) Q= V 3

wobei  : R → R gilt. Die elektrische Erregung in der Umgebung des K¨orper mit der Ladung Q wird durch ein weiteres (mathematisches) Vektorfeld D(r) repr¨ asentiert, dass um Unendlichen verschwinden soll. Da die Ladungsverteilungsdichte  ein skalares Feld ist, liegt es nahe, die Divergenz von D mit  in Zusammenhang zu bringen; man setzt divD := .

(6.6)

92

6 Die Grundgleichungen des elektrostatischen Feldes

Die elektrische Erregung wird auch dielektrische Verschiebungsdichte oder einfach D-Feld genannt. Um die Rotation dieses D-Feldes D festzulegen, wird nunmehr ein Materialgesetz D = D(E, r) eingef¨ uhrt. Bei vielen Materialien ist die Materialbeziehung nicht richtungsabh¨ angig (isotrop) und h¨aufig gilt sogar ein lineares Materialgesetz D = ε(r) E. Ist das Material auch noch homogen, dann ist ε konstant und die Eigenschaft rotE = 0 kann auf das D-Feld u ¨ bertragen werden. Es sei noch einmal darauf hingewiesen, dass die Ladung Q und das D-Feld nur alternativ verwendet werden d¨ urfen. Dabei geh¨ort der Ladungsbegriff Q zum Fernwirkungsprinzip, w¨ ahrend das D-Feld dem Nahwirkungsprinzip zugeordnet werden muss. Bei dieser Einf¨ uhrung der beiden mathematischen Felder in der elektrostatischen Theorie des elektrischen Feldes wird auch deutlich, dass das E-Feld und das D-Feld physikalisch gesehen v¨ollig unterschiedliche Eigenschaften diese physikalischen Systems repr¨asentieren. Vielfach wird in der Literatur diese Problematik unklar oder sogar falsch dargelegt. Auf dieser Basis k¨ onnen nun die Grundgleichungen der Elektrostatik mit Hilfe des E- und des D-Feldes f¨ ur den Fall linearer, isotroper, homogener Materialien formuliert werden rotE = 0,

D = εE,

divD = ϕ.

(6.7)

Mit Hilfe dieser Gleichungen lassen sich zusammen mit den vorgegebenen Randbedingungen die Felder E und D bei vorgegebener Ladungsverteilung  berechnen. Allerdings handelt es sich um gemischte algebraische und partielle Differentialgleichungen, die f¨ ur eine direkte L¨osung etwas unbequem sind. Man kann jedoch aus diesen Beziehungen in einfacher Weise eine mathematisch handlichere Grundgleichung ableiten, wenn man sich auf einfach zusammenh¨ angende Raumgebiete beschr¨ anken2 . Dazu nutzt man die bekannte Vektoridentit¨at rotgrad = 0, um das rotationsfreie E-Feld mit Hilfe des Gradienten eines Skalarfeldes, das elektrisches Potenzial ϕ genannt wird, darzustellen E = −grad ϕ. (6.8) Setzt man diese Beziehung unter Verwendung des Materialgesetzes in die Divergenz des D-Feldes ein, man erh¨ alt schließlich  ϕ = − , ε

(6.9)

wobei der Laplaceoperator := divgrad verwendet wird. Im Fall linearer inhomogener Materialien erh¨ alt man eine allgemeinere partielle Differentialgleichungen (PDgln.), die in Abschnitt 8 abgeleitet wird. Die Gleichung in (6.9) ist eine sogenannte Poisson-PDgl., bei der es sich um eine lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung handelt. In kartesischen x, y, z-Koordinaten kann der Laplaceoperator beispielsweise in 2

der Fall mehrfach zusammenh¨ angender Gebiete muss gesondert betrachtet werden

6 Die Grundgleichungen des elektrostatischen Feldes

93

folgendermaßen notiert werden ϕ =

∂ 2 ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2 ϕ + + . ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

(6.10)

Auch in allgemeineren Koordinatensystemen bleibt die Ordnung der Differentialgleichung erhalten, wobei die Koeffizienten der Differentialoperatoren bez¨ uglich der einzelnen Koordinaten nicht notwendigerweise konstant sein m¨ ussen. In Anhang B.1 findet man Darstellungen des Laplaceoperators in den wichtigsten Koordinatensystemen. Im Sinne der Theorie der Zustandsgleichungen nach Abschnitt 2 kann man die Gleichung (6.9) als Zustandsgleichung des elektrischen Feldes interpretieren, wobei (6.8) und die Materialgleichung als Beobachtungsgleichungen erscheinen, mit denen ggf. die beobachtbaren E- und D-Felder ermittelt werden k¨ onnen. Im Mittelpunkt der Analysen im Rahmen der Elektrostatik steht aber die Poisson-PDgl. (6.9). Im Abschnitt 11 wird auf einige grundlegenden analytische und numerische L¨ osungsverfahren eingegangen. Neben der differentiellen Form der Grundgleichungen der Elektrostatik (6.7) gibt es noch eine integrale Formulierung, die mit Hilfe der Vektoranalysis und den dort zur Verf¨ ugung stehenden Integral-S¨atzen leicht ermittelt werden kann. Mit dem Integralsatz von Stokes erh¨ alt man  E dr = 0 f¨ ur rotE = 0, (6.11) C

w¨ ahrend der Gaußsche Satz angewendet werden muss, um den folgenden Darstellungswechsel zu ermitteln   D dA =  dV f¨ ur divD = . (6.12) O

V

Schließlich kann man auch eine integrale Formulierung f¨ ur die Definitionsgleichung des elektrischen Potenzials (6.8) angeben  r0 E(˜r) · d˜r. (6.13) ϕ(r) = r

Mit Hilfe der Definition des Potenzials kann man damit auch eine Potenzialdifferenz einf¨ uhren  r2 E(˜r) · d˜r, (6.14) ϕ(r1 ) − ϕ(r2 ) = r1

die man elektrische Spannung bezeichnet. An dieser Stelle sollte darauf hingewiesen werden, dass die in den integralen Formulierungen auftretenden Linien- und Fl¨achenintegrale nur symbolischen Charakter haben. Zur Ausf¨ uhrung konkreter Rechnungen m¨ ussen einige Vorbereitungen (z. B. die Parametrisierung der entsprechenden Fl¨achen und Kurven) getroffen werden, auf die in der Repetitorium von Merziger und Wirths [160] eingegangen wird; eine umfassende Darstellung der mathematischen Theorie findet man in dem Monographie von J¨anich [112].

7 Elementare Betrachtungen zur Elektrostatik

Eine wesentliche Grundlage f¨ ur den Aufbau einer statischen Theorie des elektrischen Feldes war die in Abschnitt 6 n¨ aher betrachtete elektrostatische Kraftwirkung, die man schon seit langer Zeit kannte. Wir sagen demnach, dass die Umgebung einer Ladung mit einem elektrischen Feld erf¨ ullt ist. Die auf eine Punktladung im elektrischen Feld ausge¨ ubte Kraft ist nach Gl. (6.1) F = QE.

(7.1)

Dabei bedeutet E das urspr¨ unglich am Ort der Punktladung vorhandene EFeld. Die Kraft, die zwischen zwei Punktladungen Q1 und Q2 im Abstand a auftritt, l¨ asst sich danach in folgender Weise berechnen. W¨are nur die Punkturde sich am Ort der anderen Punktladung nach ladung Q1 vorhanden, so w¨ Gl. (6.4) ein E-Feld mit dem Betrag E =

Q1 4πεa2

(7.2)

einstellen. F¨ ur den Betrag der Kraft gilt daher (Coulomb 1785) F =

Q1 Q2 ; 4πεa2

(7.3)

sie sucht Ladungen gleichen Vorzeichens voneinander zu entfernen, Ladungen entgegengesetztes Vorzeichens einander zu n¨ahern. Von diesem durch Coulomb experimentell entdeckten Gesetz hat die Elektrizit¨atslehre ihren Ausgang genommen; ihre geschichtliche Entwicklung ging gegen¨ uber dem hier Dargestellten den umgekehrten Weg. Das Coulombsche Gesetz gab die M¨oglichkeit, Elektrizit¨ atsmengen zu messen; damit konnte man aufgrund der Gl.(6.14) das E-Feld und die elektrische Spannung definieren. Weiterhin wurden im letzten Abschnitt darauf basierend die Grundlagen der statischen Theorie des elektrischen Feldes entwickelt. Setzt man die G¨ ultigkeit des Nahwirkungsprinzips voraus, dann werden zwei mathematische

7 Elementare Betrachtungen zur Elektrostatik

95

Vektorfelder n¨ amlich das E-Feld und das D-Feld ben¨otigt, um alle physikalischen Aspektes des elektrischen Feldes zu beschreiben. Auch wenn sich diese Vektorfelder zur Beschreibung der physikalischen Zusammenh¨ange gut eignen, ist es f¨ ur die Analyse komplexer Probleme der Elektrostatik zweckm¨aßig, bei der Ableitung entsprechender Verfahren von der Poisson-PDgl. auszugehen. Diese Differentialgleichung f¨ ur das elektrische Potenzial kann als Zustandsgleichung der Elektrostatik aufgefasst werden. Zuvor wollen wir anhand einiger ¨ elementarer Uberlegungen u ¨ber die Vektorfelder E und D und das elektrischen Potenzial ϕ zur Veranschaulichung dieser Gr¨ oßen beitragen. Dazu geht man besser vom elektrischen Potenzial aus; das E-Feld kann dann nach (6.8) durch Bildung des Gradienten ermittelt werden. Das Potenzial wird veranschaulicht durch die Niveaufl¨ achen, die Richtung des E-Feldes durch Feldlinien oder Kraftlinien“. Sie gehen vom Leiter mit dem h¨oher” en Potenzial zum Leiter mit dem niedrigeren Potenzial und geben u ¨ berall die Richtung der Kr¨ afte an, die im elektrischen Feld auf positive elektrische Ladungen (Elektrizit¨ atsmengen) ausge¨ ubt werden. Geometrisch zeigt das EFeld die Abnahme des Potenzials l¨ angs einer kleinen Strecke mit der st¨arksten Abnahme geteilt durch diese Strecke an. Das E-Feld ist punktweise also ein Vektor, der senkrecht auf der Niveaufl¨ ache steht und in die Richtung abnehmenden Potenzials zeigt. Um f¨ ur einen beliebigen Punkt eines Potenzialfeldes das E-Feld zu bestimmen, denke man sich durch den betrachteten Punkt die Niveaufl¨ ache gelegt, Abb. 7.1, und errichte die Senkrechte auf dieser Ni-

Abbildung 7.1. Berechnung der E-Feldst¨ arke

veaufl¨ ache. Man schreite dann l¨ angs dieser Senkrechten um ein kleines St¨ uck dn1 in Richtung abnehmenden Potenzials fort und bestimme die Abnahme dϕ des Potenzials auf diesem Weg. Dann ist der Betrag des E-Feldes  dϕ    (7.4) E := E =  . dn Diese Ableitung ist gerade der Betrag des Gradienten des Potenzials, wobei noch eine Richtung f¨ ur das vektorielle E-Feld ausgezeichnet werden muss. 1

wir benutzen hin und wieder die Bezeichnung ds oder ds etc. als skalare oder vektorielle differentielle“ Wegelemente, die man sich im Sinne des linearen Terms ” einer Taylorreihe von f als endliche Differenzen denken kann. Im skalaren Fall gilt: x0 f (x) := f (x) − f (x0 ) ≈ f
(x0 )(x − x0 ) = f
(x0 )x0 x =: dx0 f (x); Die Indizes oße x0 x wird mit dx bezeichnet. x0 werden u ¨ blicherweise weggelassen und die Gr¨

96

7 Elementare Betrachtungen zur Elektrostatik

Entsprechend (6.8) verwendet man im Sinne einer Konvention den negativen Gradienten. Zeichnet man das Niveaulinienbild so, dass benachbarte Niveaulinien immer die gleiche Potenzialdifferenz entspricht, so liegen die Niveaulinien um so dichter nebeneinander, je gr¨ oßer der Betrag des E-Feldes ist. Die Potenzialdifferenz zwischen zwei beliebigen Punkten a und b im Potenzialfeld l¨ asst sich mit Hilfe des Wegintegrals in (6.11) berechnen, wobei statt geschlossenen Weges irgendein Weg von a nach b in Abb. 7.2 verwendet

Abbildung 7.2. Berechnung der Spannung aus der E-Feldst¨ arke

wird. Wir betrachten einen kleinen Abschnitt ds des Weges. Die Potenziale der Endpunkte des Wegelements ds seien ϕ und ϕ−dϕ. Das E-Feld steht senkrecht zu den Niveaufl¨ achen; sie bilden einen Winkel α mit dem Wegelement ds. Der Abstand dn der beiden Niveaufl¨ achen ist daher dn = ds cos α,

(7.5)

dϕ = Edn = Eds cos α.

(7.6)

und nach Gl. (7.4) gilt

Zerlegt man andererseits den Vektor des E-Feldes in die Komponenten in Richtung des Wegelements ds und senkrecht dazu, so ist der Betrag der erstgenannten Komponenten (7.7) Es = E cos α. Es gilt daher f¨ ur die Potenzialunterschied der Endpunkte des Wegelementes auch (7.8) dϕ = Es ds. Die ganze Potenzialdifferenz zwischen den Punkten a und b ergibt sich durch Summierung dieser einzelnen Beitr¨ age u ¨ber den ganzen Weg  b Es ds = ϕa − ϕb . (7.9) a

7 Elementare Betrachtungen zur Elektrostatik

97

Es ist positiv einzusetzen, wenn Es in die Integrationsrichtung f¨allt, negativ bei entgegengesetzter Richtung, Es gilt daher 

b

 Es ds = −

a

a

Es ds.

(7.10)

b

Das nach Gl.7.9 gebildete Integral ist das Linienintegral des E-Feldes. In einem Potenzialfeld der betrachteten Art ist das Linienintegral des E-Feldes unabh¨angig vom Weg gleich der Differenz der Potenziale zwischen Anfangsund Endpunkt des Integrationsweges. Im Sinne der Vektoranalysis kann man auch das Wegelement ds als Vektor ds auffassen, dessen Richtung durch eine willk¨ urlich als positiv angenommene Wegrichtung, z.B. die Richtung des +Pfeils in Abb. 5.8, bestimmt ist. Die Potenzialdifferenz zwischen Anfangs- und Endpunkt des Wegelements ist dann das skalare Produkt der beiden Vektoren E und ds, also dϕ = E · ds.

(7.11)

F¨ ur die Potenzialdifferenz zwischen einem Ausgangspunkt und einem auf der positiven Wegrichtung zu erreichenden Endpunkt eines beliebigen Weges gilt daher  b

E · ds = ϕa − ϕb .

(7.12)

a

F¨ uhrt man hier die Darstellung des E-Feldes durch den Gradienten ein, Gl. (6.8), so folgt noch  b gradϕ · ds = ϕb − ϕa . (7.13) a

Im Rahmen dieses Buches soll die Theorie elektromagnetischer Felder im wesentlichen als Kontinuumstheorie entwickelt werden; das gilt auch f¨ ur die Ladungen und Ladungsverteilungen. Allerdings wird es gelegentlich n¨otig sein, auch auf den atomistischen Hintergrund der Ladungen hinzuweisen. In der Festk¨ orperphysik wird gezeigt, dass elektrische Ladungen in bestimmten Materialien – sogenannten Leitern – eine gewisse Beweglichkeit besitzen. In metallischen Leitern sind das haupts¨ achlich negativ geladene Elektronen. In der statischen N¨ aherung des elektrischen Feldes ist innerhalb des leitenden Elektrodenmaterials die Feldst¨ arke null, da sonst aufgrund der Kraftwirkung des Feldes auf die Ladungen eine Verschiebung stattfinden w¨ urde; es w¨ urde ein Strom fließen. Daher gilt: Die Oberfl¨achen leitender Elektroden sind im elektrischen Feld Niveaufl¨achen. Die elektrischen Feldlinien m¨ unden senkrecht auf den Leiteroberfl¨ achen; sie entspringen oder endigen dort; es gilt also Etang = 0.

(7.14)

W¨ ahrend bei den elektrischen Leitern einzelne Elektronen eine gewisse Bewegungsfreiheit haben, werden in den Nichtleitern alle Elektronen durch

98

7 Elementare Betrachtungen zur Elektrostatik

die Atomkr¨ afte im Atomverband oder im Molek¨ ul festgehalten. Befindet sich daher in dem Raum zwischen den Elektroden ein nichtleitender Stoff, so entsteht unter der Einwirkung der elektrischen Feldkr¨afte auf die positiv und negativ elektrischen Bestandteile der Atome und Molek¨ ule lediglich eine elastische Verschiebung dieser Bestandteile; im Gleichgewichtszustand halten die außeren Feldkr¨ afte den inneren Atomkr¨ aften die Waage. Man nennt diese ¨ Erscheinung die Polarisation des Nichtleiters. Die Herstellung des Gleichgewichtszustandes geht mit einer Verschiebung von Elektrizit¨atsmengen l¨angs der Feldlinien einher, d.h. mit dem Auftreten eines kurzzeitigen elektrischen Stromes in dieser Richtung. Dieser Strom wird bei der Herstellung des elektrischen Feldes als Ladestrom beobachtet, der der einen Elektrode zufließt und von der anderen abgenommen wird. Die Ladung einer Elektrode ist gleich der gesamten Elektrizit¨ atsmenge, die durch den Ladestrom transportiert wird. Wird das elektrische Feld so hergestellt, dass an zwei isolierten Elektroden die beiden Pole einer Spannungsquelle gelegt werden, so m¨ ussen die beiden Ladungen wegen der Kontinuit¨ at des elektrischen Stromes entgegengesetzt gleich sein. Entfernt man die Spannungsquelle von den Elektroden, so bleibt der hergestellte Zustand erhalten, da die aufgebrachten Ladungen sich nicht u onnen. Die Elektroden behalten ihre ¨ ber den isolierten Raum ausgleichen k¨ Ladung und damit auch ihren Potenzialunterschied bei. Da im Innern der leitenden Elektroden kein Potenzialgef¨alle besteht und die ¨ außeren Feldkr¨ afte nur an der Oberfl¨ ache der Elektroden angreifen, so ist die Oberfl¨ ache der Leiter als Sitz der Ladungen aufzufassen. Die Ladung Q einer Elektrode verteilt sich in bestimmter Weise u ¨ ber die Oberfl¨ache. Man kann daher eine Ladungsdichte definieren als die in einem Fl¨achenelement der Leiteroberfl¨ ache vorhandene Ladung geteilt durch das Fl¨achenelement. Befindet sich in einem kleinen Fl¨ achenelement A der Leiteroberfl¨ache eine Ladung Q, so ist limA→0 Q/ A die Ladungsdichte (z.B. 0, 1 As/cm2 ). Veranschaulicht man die Richtung des E-Feldes an jeder Stelle des Raumes durch die Feldlinien, die von der positiv geladenen Elektrode zur negativ geladenen u ¨bergeht, so kann man die Menge der Ladungen dadurch darstellen, dass man die Feldlinien an den Leiteroberfl¨ achen um so dichter zeichnet, je gr¨ oßer die Ladungsdichte an der betreffenden Stelle ist (M. Faraday 1831). Die Anzahl der Linien, die von einer Elektrode ausgehen, gibt dann ein Maß f¨ ur die gesamte Ladung der Elektrode an. Wir nennen diese Gesamtheit der Linien den Verschiebungsfluss oder den elektrischen Fluss und bestimmen: Der von einer Elektrode ausgehende elektrische Fluss ist gleich der Ladung der Elektrode. Die gezeichneten Linien werden Fluss oder D-Feldlinien genannt. Die Dichte der Verschiebungslinien wird als Verschiebungsdichte, elektrischer Fluss oder D-Feld bezeichnet. Der Betrag des D-Feldes ist gleich dem Verschiebungsfluss geteilt durch die Querschnittsfl¨ache und dessen Richtung ist durch die Richtung der Verschiebungslinien gegeben. Bezeichnet A das Fl¨ achenelement einer Niveaufl¨ ache, Q die Zahl der Verschiebungslinien, die durch das Fl¨achenelement hindurchgehen, so gilt also f¨ ur den Betrag des D-Feldes an der betrachteten Stelle

7 Elementare Betrachtungen zur Elektrostatik

D = D = lim Q/ A. A→0

99

(7.15)

Der Verschiebungsfluss, der durch eine beliebige Fl¨ache hindurchgeht, ergibt sich, wenn man das D-Feld in jedem Fl¨ achenelement zerlegt in die normale und die tangentiale Komponente. Die letztere tr¨agt zum Fluss nicht bei; es ist  Q= D · dA. (7.16) Der Fluss ist gleich dem Fl¨achenintegral der Verschiebungsdichte bzw. der Fluss, der durch ein B¨ undel von Flusslinien dargestellt wird, ist definitionsgem¨ aß gleich der Ladung, von der das B¨ undel ausgeht oder auf der das B¨ undel endigt. Legt man in das elektrische Feld in elektrostatischer N¨aherung eine beliebige H¨ ullfl¨ ache O, die eine leitende Elektrode umgibt, so ist der durch diese Fl¨ ache tretende Verschiebungsfluss gleich der Ladung Q der Elektrode  D · dA = Q. (7.17) O

Legt man die H¨ ullfl¨ ache so, dass sie keine Ladungen umschließt, so gilt  D · dA = 0. (7.18) O

In Gl.(6.12) haben wir gesehen, dass man die integrale Beziehung zwischen DFeld und Ladungsdichte auch mit Hilfe einer partiellen Differentialgleichung formulieren kann. Dazu wird der Divergenz-Operator ben¨otigt, der mit Hilfe einer Grenzwertbildung in folgender Weise gebildet werden kann. Es werde ein beliebiges elektrisches Feld betrachtet mit einer Anzahl von Elektroden, deren Zwischenraum durch nichtleitende Stoffe ausgef¨ ullt ist. In einem nichtleitenden Raum k¨ onnen im allgemeinen freie Elektrizit¨atsmengen, Elektronen oder Ionen, vorhanden sein; man spricht in diesem Fall von einer Raumladung des Nichtleiters. Grenzen wir irgendeinen kleinen Raumteil V beliebiger Form, z.B. einen W¨ urfel, in dem Nichtleiter ab, so kann daher in diesem Raumteil im allgemeinen Fall eine bestimmte Raumladung Q(V ) enthalten sein. Durch Division mit dem Volumen V des Raumteiles erh¨alt man die auf das Volumen bezogene Ladung. Dieser Quotient n¨ ahert sich einem Grenzwert, wenn man den Raumausschnitt kleiner und kleiner werden l¨asst, vorausgesetzt, dass seine Abmessungen noch groß sind gegen die Abst¨ande der Elektronen oder Ionen. Es sei darauf hingewiesen, dass man die Existenz eines Grenzwertes in physikalischer Weise motiviert anstatt durch bestimmte Eigenschaften der mathematischen Funktion Q(V )/V . Den auf diese Weise erhaltenen Grenzwert nennen wir die Raumladungsdichte  := lim

V →0

Q(V ) , V

(7.19)

100

7 Elementare Betrachtungen zur Elektrostatik

die in Abschnitt 18 bei der feldm¨ aßigen Darstellung von Ladungen Q eingef¨ uhrt wurde. Es ist dies eine positive oder negative Gr¨oße, die man z.B. in As/m3 messen kann. Bei gegebener (konstanter) Raumladungsdichte folgt f¨ ur die Ladung des sehr kleinen Raumteiles Q(V ) =  V.

(7.20)

Nach (7.17) kann man nun diese Ladung auch darstellen durch das Fl¨achenintegral des D-Feldes u ache O des Raumausschnittes V und der ¨ber die Oberfl¨ Grenzwert (7.19)  1

D · dA. (7.21)  = lim V →0 V O

Diese Beziehung kann folgendermaßen gedeutet werden. Ist an jeder Stelle des elektrischen Feldes das D-Feld gegeben und bildet man das Fl¨achenintegral des D-Feldes u ache eines kleinen Raumteiles, so n¨ahert sich der ¨ ber die Oberfl¨ Quotient des Integrals zum Volumen des Raumteiles bei abnehmendem Volumen einer festen Grenze, n¨ amlich der Raumladungsdichte. Man bezeichnet die Operation, mit der man aus dem Vektor des D-Feldes diesen Grenzwert erh¨ alt, als die Bildung der Divergenz des D-Feldes  1

D · dA. (7.22) divD := lim V →0 V O

Diese Definition gilt nicht nur f¨ ur das D-Feld, sondern auch f¨ ur beliebige mathematische vektorielle Felder von ¨ ahnlichen Eigenschaften, z.B. die elektrische Stromdichte oder die magnetische Induktion (B-Feld) oder die Geschwindigkeit einer Fl¨ ussigkeitsstr¨ omung. Die Divergenz bestimmt den je Raumeinheit entspringenden Fluss. Insgesamt erh¨ alt man mit Gl. (7.19) und Gl. (7.23) die Beziehung divD = . (7.23) Die Divergenz des D-Feldes ist gleich der Raumladungsdichte. Wenn keine Raumladungen vorhanden sind, dann gilt divD = 0.

(7.24)

Die in einem beliebigen Raum vorhandene Gesamtladung Q ist    dV = divD dV, Q= V

(7.25)

V

wobei das Integral u ¨ ber den ganzen Raum zu erstrecken ist. Andererseits gilt  Q = D · dA, (7.26) O

7 Elementare Betrachtungen zur Elektrostatik

101

wobei das Fl¨ achenintegral u ¨ ber die den Raumteil begrenzende Fl¨ache zu bilden ist. Durch Vergleich dieser beiden Beziehungen ergibt sich der unter bestimmten Voraussetzungen auch f¨ ur beliebige mathematische vektorielle Felder g¨ ultige Satz von Gauß     dV = divD dV = D · dA. (7.27) V

V

O

Zum Abschluss dieses Abschnittes sollte noch einmal darauf hingewiesen ¨ werden, dass diese Uberlegungen zur Illustration der mathematischen Felder des elektrischen Feldes in elektrostatischer N¨ aherung dienen sollen. Besonders bei der anschaulichen Einf¨ uhrung des D-Feldes wurde deutlich, dass eine wirkliche Begr¨ undung f¨ ur ein zus¨ atzliches Feld in der Elektrostatik nicht gegeben werden kann. Erst mit der Unterscheidung von Fernwirkungs- und Nahwirkungskonzept kann die Einf¨ uhrung des D-Feldes sinnvoll gerechtfer¨ tigt werden. Dennoch sind diese Uberlegungen f¨ ur eine begriffliche Diskussion n¨ utzlich.

8 Materialgesetze in der Elektrostatik

Im vorangegangenen Abschnitt haben wir gesehen, dass der Verschiebungsfluss gleich der Ladung der Elektroden ist. Somit kann das Verh¨altnis des D-Feldes zum E-Feld experimentell untersucht werden. Hierzu kann z.B. eine Anordnung nach Abb. 8.1 dienen. Zwei ebene parallele Metallplatten stehen sich mit der Fl¨ ache A in einem kleinen Abstand d gegen¨ uber. Im Zwischenraum befindet sich der zu untersuchende Nichtleiter. An die beiden Elektroden kann mit Hilfe eines Schalters S eine Spannungsquelle gelegt werden; sie erzeugt an den Elektroden eine Potenzialdifferenz U , die durch das Voltmeter V angezeigt wird. Der Strom fließt dabei durch ein ballistisches Galvanometer G, dessen Maximalausschlag anzeigt, wie groß die Elektrizit¨atsmenge Q ist, die die Platten aufgenommen haben. Diese Elektrizit¨atsmenge ist gleich dem Verschiebungsfluss zwischen den Platten. Wenn der Abstand d der beiden

Abbildung 8.1. Experimentelle Untersuchung des Zusammenhanges zwischen Eund D-Feld

Platten sehr klein gegen die gegen die Fl¨ achenabmessungen ist, so geht der Verschiebungsfluss praktisch vollst¨ andig in dem Zwischenraum von einer Platte zu anderen u ¨ ber. Das Feld zwischen den beiden Platten ist homogen. Alle Niveaufl¨ achen sind parallele Ebenen. Das E-Feld steht senkrecht auf diesen Ebenen; es hat u ¨ berall den Betrag E =

U . d

(8.1)

8 Materialgesetze in der Elektrostatik

103

Der Verschiebungsfluss mit dem Wert Q verteilt sich gleichm¨aßig auf die ganze Fl¨ache A. Das D-Feld hat daher u ¨ berall den Betrag D =

Q . A

(8.2)

Die Messung der Potenzialdifferenz liefert also bezogen auf den Plattenabstand d den Betrag des E-Feldes, w¨ ahrend man aus der Ablesung am ballistischen Galvanometer den Betrag des D-Feldes berechnen kann. F¨ uhrt man derartige Messungen bei verschiedenen Potenzialdifferenzen aus, so findet man, dass bei den u ¨ blichen Isolierstoffen in einem weiten Bereich des E-Feldes das D-Feld proportional zum E-Feld ist, so dass man unter Ber¨ ucksichtigung der Richtung dieser Gr¨ oßen schreiben kann D = εE.

(8.3)

Man spricht von einem linearen Materialgesetz in der Elektrostatik. Die Gr¨oße ε ist eine Materialkonstante; sie wird Dielektrizit¨atskonstante oder Permittivit¨at des betreffenden Stoffes genannt. Es ist ε=

Qd D = . E UA

(8.4)

Setzt man Q in As, U in V , d in m und die Fl¨ache in m2 ein, d.h. arbeitet man mit SI-Einheiten, so erh¨ alt man als Einheit f¨ ur ε 1

F As =: 1 , Vm m

(8.5)

wenn man die Abk¨ urzung Farad 1F := As/m verwendet. Auch wenn sich kein materieller Nichtleiter zwischen den beiden Platten befindet, zeigt das Galvanometer G eine Aufladung der Elektroden an, die proportional der Potenzialdifferenz U ist. Nat¨ urlich kann auch im leeren Raum die Ladung Q im Sinne einer Nahwirkungstheorie feldm¨aßig durch ein D-Feld beschrieben werden und man erh¨ alt eine entsprechende Dielektrizit¨atskonstante, die mit ε0 bezeichnet wird. In anderen Einheitensystemen als dem SI-System kann diese Gr¨ oße auf den Wert Eins normiert werden, was hinsichtlich der Unterscheidung von E- und D-Feld gelegentlich zu Problemen f¨ uhrt. An dieser Stelle sollte noch einmal auf die ganz unterschiedlichen Gr¨ unde der Einf¨ uhrung dieser beiden Felder hingewiesen werden. Der Wert von ε0 kann messtechnisch ermittelt werden oder – wie man sp¨ater in Abschnitt 34.1 sehen wird – mit anderen Naturkonstanten in Zusammenhang gebracht werden. Es gilt nach Gl.(34.12) ε0 = 1/(µ0 c20 ), wobei µ0 die magnetische Feldkonstante oder Permeabilit¨at des freien Raumes (vgl. Abschnitt 20). Es ergibt sich folgender Wert ε0 = 8, 85418782

pF . m

(8.6)

104

8 Materialgesetze in der Elektrostatik

Es ist zweckm¨ aßig die Dielektrizit¨ atskonstante anderer Materialien mit ε0 ins Verh¨ altnis zu setzen; man erh¨ alt dann die relative Dielektrizit¨atskonstante (auch Permittivit¨ atszahl genannt) der betreffenden Materialien εr :=

ε . ε0

(8.7)

Diese Zahl ist f¨ ur Luft und gasf¨ ormige Stoffe fast genau gleich Eins. F¨ ur weitere Isolierstoffe der Elektrotechnik sind die entsprechenden Werte der Dielektrizit¨ atskonstante in der Literatur zu finden; z. B. in der H¨ utte [104]. Auch wenn wir die Theorie des elektrischen Feldes grunds¨atzlich als Kontinuumstheorie auffassen, ist es gelegentlich n¨ utzlich, die Verh¨altnisse mit Hilfe einer mikroskopischen Deutung zu illustrieren. Daher soll auf einige, teilwei¨ se auf Maxwell zur¨ uckgehende Uberlegungen hinzugef¨ ugt werden. Allerdings soll eine Ausweitung auf aktuelle festk¨ orperphysikalischen Vorstellungen nicht vorgenommen werden, da sonst der gesteckte Rahmen dieses Lehrbuches u ¨ berschritten wird. Die interessierten Leserinnen und Leser werden auf die entsprechende Literatur verwiesen (vgl. z.B. Wijn, Dullenkopf [241]). Der Fluss des D-Feldes bzw. Verschiebungsfluss besteht also gem¨aß den obenstehenden Ausf¨ uhrungen aus zwei Anteilen, einem Anteil, der durch der durch Verschiebung“ von Elektrizit¨ atsmengen im Inneren der Molek¨ ule des ” Nichtleiters infolge der Polarisation entsteht, und einem zweiten, der bereits im leeren Raum auftritt. Die Unterteilung des Flusses des D-Feldes in den im Vakuum entstehenden Teil und den durch den Isolierstoff bedingten Teil bringt man dadurch zum Ausdruck, dass man setzt D = εE = εr ε0 E = ε0 E + P = (ε0 + χe ε0 )E,

(8.8)

wobei P = ε0 E gilt. Man bezeichnet P als elektrische Polarisation“ des ” Dielektrikums, χe als dielektrische Suszeptibilit¨at; es gilt χe =

ε − ε0 = εr − 1. ε

(8.9)

Der zweite Teil des Flusses des D-Feldes kann formal in gleicher Weise ge¨ deutet werden wie der erste, wenn man die Existenz eines ruhenden Athers“ ” annimmt, der alle Materie durchsetzt, und der ¨ahnliche Eigenschaften besitzt wie die Materie, nur mit dem Unterschied, dass er viel feiner unterteilt ist. Man kann dann den Fluss des D-Feldes im leeren Raum als die Pola¨ risation des Athers auffassen. Die Folgerungen, die man auf Grund dieser von Maxwell herr¨ uhrenden Vorstellungen ziehen kann, decken sich auf das beste mit der Erfahrung, solange es sich um Vorg¨ange handelt, bei denen sich die materiellen K¨ orper mit Geschwindigkeiten gegeneinander bewegen, die klein gegen die Lichtgeschwindigkeit sind. Die Vorstellung des ruhenden ¨ Athers kann nicht aufrechterhalten werden, wenn man zu einer einheitlichen Darstellung auch bei sehr rasch ablaufenden Bewegungsvorg¨angen gelangen

8 Materialgesetze in der Elektrostatik

105

¨ will; man m¨ usste auf Grund der Erfahrungstatsachen dem Ather komplizierte ¨ Eigenschaften zuschreiben, z.B. die, dass der Ather auf jedem gleichf¨ormig gegen das Fixsternsystem bewegten K¨ orper in Ruhe zu sein, d.h. sich mit dem betreffenden K¨ orper zu bewegen scheint, auch bei beliebigen Bewegungen verschiedener K¨ orper gegeneinander. Obwohl daher die Annahme eines ¨ ruhenden Athers im leeren Raum streng genommen nicht zul¨assig ist, ist doch die Zusammenfassung der beiden Anteile des Flusses des D-Feldes zu einem einzigen außerordentlich zweckm¨ aßig, solange eben die vorkommenden Relativgeschwindigkeiten der materiellen K¨ orper gen¨ ugend klein sind gegen die Lichtgeschwindigkeit (vgl. Abschnitt 33). Eine kurze und leicht verst¨andliche Einf¨ uhrung in die spezielle Relativit¨ atstheorie findet man bei Lehner ([134], A.6); dort findet man auch weiterf¨ uhrende Literatur. Das D-Feld ist im Rahmen der Nahwirkungsvorstellung und bei vorhandenem (nicht notwendigerweise linearem) Materialgesetz an jeder Stelle des Raumes durch das dort herrschende E-Feld bestimmt. Bei der Herstellung des elektrischen Feldes fließt im Sinne der obenstehenden Vorstellungen an jeder Stelle des Nichtleiters l¨ angs der D-Feldlinien ein Strom (Verschiebung von Ladungen, den man als Verschiebungsstrom“ bezeichnen kann), dessen Ge” samtst¨ arke gleich dem in den Leitungen zu den Elektroden fließenden Strom ist; dieser Verschiebungsstrom“ verschwindet im Nichtleiter und daher auch ” in den Zuleitungen wieder, wenn der Vorgang der Aufladung beendigt ist. Dadurch kann auch f¨ ur zeitlich ver¨ anderliche Vorg¨ange die Vorstellung des in sich geschlossenen Stromkreises beibehalten werden; der Strom in den Zuleitungen setzt sich im Nichtleiter als Verschiebungsstrom“ fort. Auf diese Vorstellun” gen werden wir in Abschnitt 26 u ¨ ber das quasi-station¨are elektromagnetische Feld n¨ aher eingehen. Das Resultat dieses Verschiebungsstromes“ ist der Fluss ” des D-Feldes zwischen den Elektroden im Nichtleiter. Die relative Dielektrizit¨ atskonstanten (Permittivit¨atszahlen) von elektrisch leitenden Stoffen kann man nicht in der angegebenen Weise bestimmen; man findet sie durch Wechselspannungsmessungen. Da in den metallischen Leitern nur ein kleiner Teil der Elektronen frei ist, so muss auch in den Metallen dem Leitungsstrom ein Verschiebungsstrom bzw. ein Verschiebungsfluss u ¨ berlagert sein. Die relative Dielektrizit¨ atskonstante der Metalle ist jedoch im Bereich der technischen Wechselstr¨ ome nicht messbar und wahrscheinlich kleiner als 10; bei Germanium ist εr ≈ 16, bei Silizium εr ≈ 12. Nicht f¨ ur jedes elektrostatisch wirksame Material ein linearen Materialgesetz mit konstanter Dielektrizit¨ atskonstante. Beispielsweise ist εr von Bariumtitanat nicht konstant, sondern h¨ angt vom E-Feld ab. Grunds¨ atzlich kann man die folgenden F¨ alle unterscheiden: • • •

Lineare, isotrope, homogene Materialien: D = ε E (ε = konst.) Lineare, inhomogene Materialien: D = ε E (ε = konst.) Lineare anisotrope Materialien mit Symmetrien: D = E E (E ist eine lineare Abbildung, die man Dielektrizi¨ atstensor nennt; deren Eigenvektoren kennzeichnen die Symmetrieachsen)

106

•

8 Materialgesetze in der Elektrostatik

Nichtlineare Materialien: D = f (E) oder F(D, E) = 0 (z.B. bei Hysterese).

Ein Sonderfall sind die linearen inhomogenen Materialien, bei den die Dielektrizit¨ atskonstante ε st¨ uckweise konstant ist, d.h. das interessierende Raumgebiet V kann in Teilgebiete Vk zerlegt werden, in denen ε jeweils konstant ist. Um das Verhalten des E- und des D-Feldes an den R¨andern dieser Teilgebiete zu verstehen, betrachten wir zun¨ achst den allgemeinen linearen, inhomogenen Fall D = ε(r) E. Wir haben bereits darauf hingewiesen, dass wegen des Satzes von Helmholtz die Rotation des D-Feldes bzw. die Divergenz des E-Feldes noch festgelegt werden m¨ ussen, da auf physikalischer Grundlage (elektrostatische Kr¨afte, feldm¨ aßige Darstellung von Ladungen) zun¨ achst nur die Divergenz bzw. Rotation dieser mathematischen Felder begr¨ undbar sind. Die noch fehlenden Beziehungen lassen sich sehr einfach auf der Grundlage eines linearen, isotropen, homogenen Materialgesetzes D = ε E (ε =konst.) festlegen. Wir untersuchen nun, wie man die gesuchten Eigenschaften des D- und E-Feldes in Fall linea¨ rer inhomogener Materialien findet; diese Uberlegungen findet man bei Weizel [238]. Dazu geht man von zwei vektoranalytischen Identit¨aten aus (f : skalares Feld, F: vektorielles Feld) rot(f F) = f rotF + grad(f ) × F, div(f F) = f divF + F · gradf. Davon ausgehend erh¨ alt man die entsprechenden Beziehung f¨ ur die Rotation des D-Feldes und die Divergenz des E-Feldes in linearen inhomogenen Materialien rotD = rot(ε E) = ε rotE + grad(ε) × E = grad(ε) × E, divE = div(ε−1 D) = ε−1 divD + D · gradε−1 = D gradε−1 . Dabei wurde ein rotationsfreies E-Feld und verschwindende Raumladungsdichte vorausgesetzt. Die entsprechende partielle Differentialgleichung f¨ ur das elektrische Potenzial, welche die Poisson-PDgl. im Fall eines linearen, isotropen, homogenen Materials ersetzt, lautet nunmehr div(ε(r) gradϕ) = −.

(8.10)

Verwendet man f¨ ur lineare inhomogene Materialien eine weiter oben beschriebene st¨ uckweise konstante Modellierung, dann kann man die Grenzbedingungen f¨ ur das E- und D-Feld, die an den R¨andern gelten, durch Diskretisierung der f¨ ur ortsver¨ anderliche Dielektrizit¨ atskonstanten gelten Beziehungen erhalten −1 E1n − E2n = Dn (ε−1 1 − ε2 ),

E1t − E2t = 0, D1t

−

D2t

= E (ε1 − ε2 ), t

D1n

−

D2n

= 0,

(8.11) (8.12)

8 Materialgesetze in der Elektrostatik

107

wobei die Indizes t“ und n“ die Transversal- bzw. Normalkomponente kenn” ” zeichnen. Wenn in der Grenzfl¨ ache Ladungen enthalten sind, kann man auch entsprechende Ab¨ anderungen dieser Beziehungen ableiten. ¨ ¨ Ublicherweise finden man in der Literatur eher heuristischen Uberlegungen, um diese Beziehungen zu rechtfertigen. Zur Illustration der eher mathe¨ matischen Uberlegungen von Weizel gehen wir kurz darauf ein. Ausgangspunkt ist die Gleichung (7.18). Danach treten in ein beliebiges Raumgebiet, das keine Ladungen enth¨ alt und mit einem elektrischen Feld durchsetzt ist, genau so viele Feldlinien des D-Feldes ein, wie aus ihm herauskommen. Die Feldlinien des D-Feldes sind in solchen Raumgebieten stetig; sie endigen oder entspringen nur auf elektrischen Ladungen. Daraus folgt f¨ ur die Grenzfl¨ache zwischen zwei Nichtleitern verschiedener Dielektrizit¨atskonstanten, dass die Normalkomponenten des D-Feldes zu beiden Seiten der Grenzfl¨ache, Abb. 8.2, einander gleich sein m¨ ussen

Abbildung 8.2. Grenz߬ ache zwischen zwei Nichtleitern

D1n − D2n = 0.

(8.13)

Die Tangentialkomponenten Et des E-Feldes sind maßgebend f¨ ur das Potenzialgef¨ alle l¨ angs der Grenzfl¨ ache. Schreitet man in Richtung der Tangentialkomponenten l¨ angs der Grenzfl¨ ache um ein kleines St¨ uck ds fort, so ergeben sich die Potenzialunterschiede dϕ1 = E1t

und

dϕ2 = E2t

(8.14)

auf beiden Seiten der Grenzfl¨ ache. Aufgrund von rotE = 0 m¨ ussen die Potenzialunterschiede auf beiden Seiten der Grenzfl¨ache einander gleich sein, d.h. dϕ1 = dϕ2 . Hieraus geht hervor, dass E1t − E2t = 0.

(8.15)

F¨ ur die Tangentialkomponenten des D-Feldes gilt daher ε1 D1t = . D2t ε2

(8.16)

108

8 Materialgesetze in der Elektrostatik

Die Feldlinien des D-Feldes werden an der Grenzfl¨ache gebrochen, und zwar ¨ wird der Winkel mit der Normalen zur Grenzfl¨ache beim Ubergang der Feldlinien von einem Stoff h¨ oherer zu einem Stoff niedrigerer Dielektrizit¨atskonoßer als ε2 . Diese Beziehungen entsprechen stante kleiner; in Abb. 8.2 ist ε1 gr¨ einem Teil der bereits von einem allgemeineren Standpunkt abgeleiteten Beziehungen.

Abbildung 8.3. L¨ angsschlitz zur Messung der E-Feldst¨ arke

¨ Aus diesen Uberlegungen ergibt sich noch folgender Schluss. Bringt man in einen materiellen Nichtleiter einen engen, langgestreckten zylindrischen Schlitz an, dessen Richtung u ¨bereinstimmt mit der Richtung der Feldlinien, Abb. 8.3, und der von Materie frei ist, so muss im Inneren des Schlitzes die elektrische Feldst¨ arke den gleichen Wert haben wie außerhalb, da an der zylindrischen Grenzfl¨ ache das E-Feld stetig u ur ¨bergehen muss. Es gilt daher f¨ das E-Feld im Inneren des Schlitzes Ei = Ea ,

(8.17)

wenn mit Ea das E-Feld in dem Nichtleiter bezeichnet wird.

Abbildung 8.4. L¨ angsschlitz zur Messung der E-Feldst¨ arke

Wird dagegen ein kleiner dosenf¨ ormiger Hohlraum von sehr geringer H¨ohe, dessen Grundfl¨ ache senkrecht zu den Feldlinien stehen, im Innern des Nichtleiters angebracht, Abb. 8.4, so m¨ ussen die Feldlinien des D-Feldes stetig durch den Hohlraum hindurchgehen, d.h. es wird das D-Feld in dem Hohlraum, Di gleich dem D-Feld in dem Nichtleiter Di = Da .

(8.18)

Man kann also in einem L¨ angsschlitz das E-Feld, in einem Querschlitz das D-Feld innerhalb eines Nichtleiters messen.

9 Influenzwirkungen

Bringt man in ein elektrisches Feld, z. B. das Feld zwischen den beiden Elektroden A und B, Abb. 9.1, einen isolierten Leiter C, so entsteht in diesem Leiter unter der Einwirkung der elektrischen Feldkr¨afte eine Wanderung der Elektronenwolke, bis im Inneren

Abbildung 9.1. Influenzwirkung

E=0

(9.1)

ist. Als Resultat dieser Wanderung von Elektronen befinden sich auf der Oberfl¨ache des Leiters elektrische Ladungen. Auf der Leiteroberfl¨ache steht das EFeld senkrecht, d. h. die tangentiale Komponente, die Ladungen verschieben k¨ onnte, verschwindet (9.2) Etang = 0. Die Summe der Ladungen des Leiters ist Null, wenn der Leiter vorher ungeladen war. Es m¨ unden ebenso viele Linien des D-Feldes auf dem Leiter, wie von ihm ausgehen. Diese Einwirkung des elektrischen Feldes auf Leiter bezeichnet man als Influenz. Sie hat zur Folge, dass die Leiter die Linien des D-Feldes zu sich hinziehen; man benutzt diese Erscheinung zur Abschirmung elektrischer

110

9 Influenzwirkungen

Felder (Faraday 1837). Stellt z.B. C, Abb. 9.1, eine Hohlkugel dar, so ergibt sich außerhalb der Kugel die gleiche Feldverteilung wie bei einer Vollkugel, im Innern der Hohlkugel ist jedoch das E-Feld Null. Als weiteres Beispiel ist in Abb. 9.2 schematisch die Abschirmung des Bedienungsraumes A eines Hochspannungslaboratoriums durch ein geerdetes Metallgitter G veranschaulicht. T stellt einen Transformator dar, K die Hochspannungselektrode. Durch das Gitter werden die Verschiebungslinien zwischen der Hochspannungselektrode und den W¨ anden des Raumes aufgefangen; infolgedessen wird der Raum hinter dem Gitter nahezu feldfrei.

Abbildung 9.2. Schirmwirkung

¨ Auf der Oberfl¨ ache eines influenzierten Leiters entsteht teils ein Uberschuss, teils ein Mangel an Elektronen; bestimmte Teile der Oberfl¨ache nehmen eine positive Ladung an, andere Teile eine negative. Wenn man daf¨ ur sorgt, dass die eine dieser beiden Ladungen abfließen kann, so ergibt sich eine Aufladung des betreffenden Leiters durch Influenz. Ein Beispiel daf¨ ur ist durch Abb. 9.3 veranschaulicht. Es ist hier zun¨ achst, Abb. 9.3, Teil a, das elektrische Feld in der Umgebung eines Hochspannungsgenerators T schematisch dargestellt, der einpolig geerdet und am anderen Pol mit einer Kugel K1 versehen ist. Abb. 9.3, Teil b zeigt die Ver¨ anderung, die das Feld erf¨ahrt, wenn in die N¨ ahe des Generators eine Metallkugel K2 gebracht wird. Hat die Kugel K1 in dem betrachteten Zeitpunkt eine positive Ladung, so ergeben sich auf der dieser Kugel zugewandten Seite von K2 negative Ladungen, auf der anderen positive Ladungen. Durch einen Draht, Abb. 9.3, Teil c, werde die Kugel K2 mit der Erde verbunden; dadurch nimmt K2 das Potenzial der Erde an, die positiven Ladungen fließen ab, die Verschiebungslinien zwischen K2 und Erde verschwinden. Entfernt man nun den Draht, so ergibt sich die Abb. 9.3, Teil d. Die Kugel K2 hat eine negative Ladung, die bei hinreichend guter Isolierung dieser Kugel erhalten bleibt, auch wenn K1 auf Erdpotenzial gebracht wird, Abb. 9.3, Teil e. Die zun¨ achst ungeladene Kugel K2 hat damit eine Potenzialdifferenz gegen Erde angenommen, ohne dass sie mit dem Generator in Verbindung gebracht wurde, eine Erscheinung die in Hochspannungsanlagen beachtet werden muss. Sie kann bei Blitzentladungen in der N¨ahe von

9 Influenzwirkungen

111

Freileitungen auftreten. Befindet sich eine Leitung im elektrischen Feld einer geladenen Gewitterwolke, so fließen Ladungen u ¨ ber die Isolationswiderst¨ande der Leitungen ab, Verschiebungslinien spannen sich zwischen Wolke und Leitung. Entl¨ adt sich die Wolke durch einen Blitz, so bleibt zun¨achst die Ladung der Leitung erhalten (K2 der Abb. 9.3); ihr entspricht eine bestimmte Potenzialdifferenz zwischen der Leitung und Erde, die zum Auftreten einer von der betreffenden Stelle l¨ angs der Leitung nach beiden Richtungen hin fortlaufende Wanderwellen f¨ uhrt

Abbildung 9.3. Aufladung eines Leiters durch Influenz

10 Einfache Beispiel fu ¨r elektrostatische Felder

Zur Bestimmung eines E-Feldes m¨ ussen die Grundgleichungen der Elektrostatik gel¨ ost werden, die in Form von Algebro-Differentialgleichungen (6.7) formuliert werden k¨ onnen. Alternative lassen sich die Differentialgleichungen auch als Integralgleichungen (6.11), (6.12) angeben, so dass AlgebroIntegralgleichungen zu l¨ osen sind. Da sich diese Gleichungen nur selten direkt l¨ osen lassen, wird zun¨ achst Differentialgleichung f¨ ur das elektrische Potenzial ϕ abgeleitet und unter Hinzunahme von Randwerten eine entsprechenden L¨ osung analytische oder numerisch ermittelt. Anschließend lassen sich daraus E-Feld und D-Feld durch Gradientenbildung bzw. Multiplikation mit varepsilon bestimmen. In sehr einfachen Anordnungen von idealen Leitern l¨ asst sich das E-Feld zumindest n¨ aherungsweise erraten, in dem man die Randbedingung f¨ ur ideale Leiter nutzt und zus¨atzlich Symmetrie¨ uberlegungen anstellt. Ein Beispiel daf¨ ur ist der Plattenkondensator, wenn man bei ausgedehnten ebenen und parallelen Platten das E-Feld in Punkten wissen m¨ochte, die von den Plattenr¨ andern weit entfernt sind. Die Feldlinien des E-Feldes sind dann orthogonale, auf den Platten stehende Linien. In grober N¨aherung wird diese Vorstellung auf s¨ amtliche Punkte der Platten angewendet. Auf dieser Grundlage lassen sich eine Reihe von Feldproblemen in guter N¨aherung zumindest qualitativ diskutieren. Ein sch¨ ones Beispiel ist die Elektronenoptik, wie sie bei der Braunschen R¨ ohre (vgl. in Fernsehger¨aten und Oszilloskopen) verwendet wird. Wir gehen darauf in Abschnitt 14.5 n¨aher ein. Weiterhin soll anhand einiger Beispiele gezeigt werden, dass auch im Fall anderer einfacher geometrischer Situationen eine direkte L¨osung der AlgebroIntegralgleichungen m¨ oglich ist. Dabei beschr¨ anken wir uns auf das Materialgesetz f¨ ur lineare, isotrope, homogene Materialien, so dass nur eine der beiden Integralgleichungen zu l¨ osen ist.

10.1 Das elektrische Feld von Punktladungen

113

10.1 Das elektrische Feld von Punktladungen 10.1.1 Die homogen geladene Kugel und die Punktladung Betrachtet man beispielsweise eine ideal leitende, homogen geladene Kugel mit dem Radius R, dann kann die Gesamtladung Q der Kugel mit Hilfe des D-Feldes berechnet werden (siehe Gl.(7.26))  (10.1) Q = D · dA. O

Ohne Einschr¨ ankung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass die Kugel mit einer positiven Ladung belegt ist. Gibt man die Ladung Q vor, dann ist das entsprechende D-Feld aus der Integralgleichung zu bestimmen, was bei der Wahl einer beliebigen Oberfl¨ ache O nicht ohne weiteres m¨oglich ist. Man kann aufgrund der Kugelsymmetrie des Problem voraussetzen, dass die D-Feldlinien der Ladungsverteilung von der Kugeloberfl¨ ache nach allen Seiten hin strahlenf¨ ormig ausgehen. Das D-Feld kann demnach mit Hilfe des Einheitsvektors uckt werden zu D(r) = Dr re , wobei Dr der Betrag von D im re von r ausgedr¨ Punkt r ist und re := r/r. Sie m¨ unden auf der Gegenelektrode, die ebenfalls als kugelf¨ ormig und mit gleichen Mittelpunkt wie die betrachtete Kugel vorausgesetzt wird und deren Radius R∞ im Vergleich zu R sehr groß ist. W¨ahlt man f¨ ur die Fl¨ ache O des Oberfl¨ achenintegrals in Gl. (10.1) ebenfalls ein Kugeloberfl¨ ache mit gleichem Kugelmittelpunkt, dann sind deren Normalenvektor und das D-Feld in dem Punkt von O kollinear. Damit kann die Integralgleichung stark vereinfacht werden, da fest fest gew¨ahlter Kugeloberfl¨ache O mit dem Radius r der Betrag von D aus dem Integral herausgezogen werden kann    D · dA = Dr re · dA = Dr re · dA. (10.2) Q= O

O

O

Das Integral ist nur ein Faktor, der gleich der Kugeloberfl¨ache 4πr2 ist. Insgesamt erh¨ alt man also f¨ ur Dr Dr =

Q . 4πr2

(10.3)

Der Fluss des D-Feldes verteilt sich also gleichm¨aßig auf konzentrischen Kugelfl¨ achen. Mit Hilfe des Materialgesetzes und des Richtungsvektors re ergibt sich schließlich f¨ ur des E-Feld Qr . (10.4) E(r) = 4πεr3 Das E-Feld zeigt radial von der Kugel weg, wenn Q – wie vorausgesetzt – positiv ist. In Bezug auf den Raum außerhalb der Kugelelektrode kann man

114

10 Einfache Beispiel f¨ ur elektrostatische Felder

diese ersetzen durch eine Punktquelle oder Punktladung Q im Mittelpunkt der Kugel. Im Zusammenhang mit der Multipolentwicklung (siehe Abschnitt 11.5) werden wir eine mathematische Definition der Punktladung angeben. Das E-Feld in der Umgebung einer Punktladung ist durch konzentrische Kugelfl¨ achen als Potenzialfl¨ achen gekennzeichnet. Im Abstand r von der Punktladung kann das wird das elektrische Potenzial  ∞  ∞  ∞ Q Q d˜r Q ˜r · d˜r = = , (10.5) E(˜r) · d˜r = ϕ(r) = 3 2 4πε˜r r 4πεr r 4πε˜ r r wenn man beachte, dass E und somit r l¨ angs einer E-Feldlinie kollinear mit und dr sind und wenn als Bezugspunkt der unendlich ferne Punkt gew¨ahlt wird. An der Oberfl¨ ache der Kugel vom Radius r0 ist das Potenzial gleich der Potenzialdifferenz (Spannung) zwischen der Kugel und einem sehr weit entfernten Punkt, also Q . (10.6) U= 4πεr0 Die E-Feldst¨ arke hat in der Umgebung einer Kugelelektrode vom Radius r0 den Betrag r0 Q = U 2. (10.7) E = 2 4πεr r Sie nimmt wie im entsprechenden Str¨ omungsfeld umgekehrt proportional mit dem Quadrat des Abstandes vom Mittelpunkt der Kugel ab und betr¨agt an der Oberfl¨ ache der Kugelelektrode E =

U . r0

(10.8)

Der gleiche Wert ergibt sich in einem Plattenkondensator mit dem Plattenabstand r0 bei einer Spannung U zwischen den beiden Platten. Die E-Feldst¨arke wird um so gr¨ oßer, je kleiner der Radius der Kugel ist. Hohe E-Feldst¨arken entstehen daher immer dort, wo die Kr¨ ummungsradien klein sind. Auf die Berechnung der Kapazit¨ atswerte gehen wir in Abschnitt 12.3 ein. 10.1.2 Endlich viele Punktladungen Allgemeine elektrostatische Felder entstehen, wenn mehrere Punktladungen vorhanden sind. Die von den einzelnen Punktladungen herr¨ uhrenden Potenziale, Gl.(10.5), u ¨ berlagern sind dann wegen der linearen Abh¨angigkeit zwischen Ladung und Potenzial, so dass das Gesamtpotenzial in einem beliebigen Raumpunkt 1  Qν (10.9) ϕ(r) = 4πε ν r − rν 

10.1 Das elektrische Feld von Punktladungen

115

wird, wobei Qν die Ladungen der Punktquellen, r − rν  die Abst¨ande des betrachteten Raumpunktes von den Punktquellen bezeichnen. Ist die Verteilung der Elektrizit¨ atsmengen im Raum bekannt, so ist damit also eindeutig das Potenzial bestimmt. Im folgenden soll zun¨achst nur der durchaus interessante Spezialfall zweier Punktladungen behandelt werden. Danach werden in Abschnitt 10.1.6 sogenannte Linienladungen diskutiert, die man sich aus Punktladungen zusammengesetzt denken kann und auf diese Weise ihre Potenzialverteilung ableitet l¨ asst. 10.1.3 Das Potenzial zweier Punktladungen In Abb. 10.1 ist ein Ausschnitt aus dem elektrischen Feld in der Umgebung zweier Punktladungen, deren Ladungen sich wie (−1) : 2 verhalten, dargestellt. Die Potenziallinien lassen sich hier in ¨ ahnlicher Weise ermitteln, wie es in Abschnitt 17 beschrieben wird. Von besonderem Interesse ist, dass bei einer solchen Anordnung von zwei Punktladungen mit Ladungen entgegengesetzten Vorzeichens immer eine Potenzialfl¨ ache zu finden ist, die eine Kugelfl¨ ache bildet; sie ist in Abbildung 10.1 st¨ arker gekennzeichnet. Dies l¨ asst sich folgendermaßen nachweisen. Das elektrische Potenzial im Punkte P , Abb. 10.2, ist nach Gl. (10.9)

Abbildung 10.1. Potenziallinien des Feldes von zwei Punktquellen verschiedener Ladung (Ausschnitt)

1 ϕ(r) = 4πε




Q1 Q2 + r1 r2

 ,

(10.10)

wenn man mit r1 und r2 die Abst¨ ande der jeweiligen Ladungen vom Punkt P bezeichnet. Wir suchen nun die Potenzialfl¨ ache mit dem Potenzial Null. F¨ ur alle Punkte dieser Potenzialfl¨ ache muss gelten Q2 Q1 + =0 r1 r2 oder

(10.11)

116

10 Einfache Beispiel f¨ ur elektrostatische Felder

Q1 r1 =− . (10.12) r2 Q2 Bei gleichem Vorzeichen von Q1 und Q2 hat diese Beziehung keine geometrische Bedeutung; Punkte der gesuchten Art sind nicht vorhanden, wenn man von den unendlich fernen Punkten absieht. Bei entgegengesetzten Vorzeichen wird jedoch das Radienverh¨ altnis positiv; die Niveaufl¨ache mit dem Potenzial Null ist bestimmt durch r1 = k, (10.13) r2 wobei k das Verh¨ altnis der Betr¨ age der beiden Ladungen bezeichnet. Der

Abbildung 10.2. Kugelf¨ ormige Potenzialfl¨ ache

geometrische Ort der Punkte einer Ebene mit konstantem Abstandsverh¨altnis von zwei festen Punkten in dieser Ebene ist nach einem Satz der Geometrie (Apollonius) ein Kreis, der die Verbindungsgerade zwischen den beiden Punkten harmonisch teilt, Abb. 10.2. Es ist Q1 A Q1 B = = k. Q2 A Q2 B

(10.14)

Da diese Folgerung f¨ ur alle Ebenen gilt, die die Verbindungsgerade der beiden Punkte enthalten, so ist die gesuchte Potenzialfl¨ache eine Kugelfl¨ache, die durch Drehen des gekennzeichneten Kreises um die Verbindungsgerade Q1 Q2 entsteht. Die Kugelfl¨ ache umschließt die schw¨ achere Punktladung. Nennt man ihren Radius r0 und kennzeichnet man die Lage ihres Mittelpunktes M durch den Abstand b von Q2 , so findet man durch Anwendung der Gl. (10.13) auf die Punkte A und B (Gl.(10.14))

Hieraus folgt

a + b + r0 a + b − r0 = = k. r0 − b r0 + b

(10.15)

r02 = b(a + b).

(10.16)

Setzt man dies in Gl.(10.15) ein, so ergibt sich Q1 r0 =k=− . b Q2

(10.17)

10.1 Das elektrische Feld von Punktladungen

117

Ferner findet man aus den beiden Gl.(10.16) und (10.17) k , −1 1 . b=a 2 k −1

r0 = a

k2

(10.18) (10.19)

Damit k¨ onnen die Bestimmungsst¨ ucke des Kreises berechnet werden. F¨ ur k = 1 artet der Kreis zur Mittelsenkrechten der Verbindungslinie Q1 Q2 aus, die Mittelebene wird Niveaufl¨ ache, Abb. 17.6. Bringt man im Mittelpunkt M noch eine dritte Punktladung Q3 an, so bleibt die betrachtete Kugel eine Potenzialfl¨ ache; es wird lediglich zu allen Punkten der Kugel das Potenzial ϕ3 =

Q3 4πεr0

(10.20)

hinzugef¨ ugt. Ein elektrostatisches Feld ¨ andert sich nicht, wenn man eine beliebige Potenzialfl¨ ache durch eine d¨ unne ideal leitende Metallschicht ersetzt, der das gleiche Potenzial erteilt wird. Diese Metallschicht verbindet nur Punkte ohne Potenzialunterschied; da die Feldlinien auf den Potenzialfl¨achen senkrecht stehen, so stehen sie auch senkrecht auf der so gebildeten Metallelektrode. Außerhalb der betrachteten Potenzialfl¨ ache bleibt daher das Feldbild erhalten, wenn man den von ihr eingeschlossenen Raum mit einem leitenden Stoff ¨ ausf¨ ullt, dem das betreffende Potenzial erteilt wird. Wendet man diese Uberlegungen auf die eben betrachtete Kugelfl¨ ache an, so ergibt sich das Feldbild zwischen einer Punktladung Q1 und einer leitenden Kugel vom Radius r0 und der Ladung Q2 + Q3 , deren Mittelpunktsabstand von der Punktladung a + b = d betr¨ agt. Ist dieser Abstand d gegeben, wo wird nach Gl.(10.16) b=

r02 , d

(10.21)

nach Gl.(10.12), Gl.(10.13) und Gl.(10.17) Q2 = −

b r0 Q1 = −Q1 = −Q1 . k r0 d

(10.22)

Die Punktladung Q2 wird in diesem Fall wegen der Analogie zu dem Spiegelungsverfahren (vgl. Abschnitt 11.6) bei ebenen Oberfl¨achen als elektrisches Bild (W. Thomson 1845) der Punktladung Q1 in bezug auf die Kugeloberfl¨ache bezeichnet. Sind im Außenraum der Kugel mehrere Punktladungen vorhanden, so kann man zu jeder dieser Ladungen ein Bild im Innern der Kugel angeben; der ganze Außenraum l¨ aßt sich mit Hilfe der Beziehungen (10.21) und (10.22) auf das Innere der Kugel abbilden. Diese Beziehung stellen das Gesetz der reziproken Radien“ dar; je weiter ein Punkt des Außenraumes ”

118

10 Einfache Beispiel f¨ ur elektrostatische Felder

vom Kugelmittelpunkt entfernt ist, um so dichter r¨ uckt sein Bild an den Kugelmittelpunkt heran. Das Feld im Außenraum der Kugel l¨ asst sich durch das der drei Punktladungen Q1 , Q2 und Q3 ersetzen. Die Gesamtladung der Kugel ist Q2 + Q3 . Soll die Kugel keine Ladung haben, so muss Q3 = −Q2 =

r0 Q1 d

(10.23)

gemacht werden. Das Potenzial ist dann f¨ ur beliebige Punkte des Außenraumes im Abstand r3 vom Mittelpunkt der Kugel und damit von Q3 und den Abstand r1 und r2 von Q1 und Q2 
1 r0 1 r0 1 Q1 − + . (10.24) ϕ= 4πε r1 d r2 d r3 Diese Beziehung kann zur L¨ osung der folgenden Aufgabe angewendet werden. Es befindet sich im isolierten Raum eine Punktladung Q1 . Ihr E-Feld ist durch das Potenzial Q1 (10.25) ϕ= 4πε gegeben; der Betrag des E-Feldes betr¨ agt E =

Q1 . 4πεr12

(10.26)

Es werde nun ein ungeladene Metallkugel mit dem Radius r0 in dieses elektrische Feld gebracht mit dem Abstand d zwischen dem Kugelmittelpunkt und der Punktladung. Der Betrag des E-Feldes war im Kugelmittelpunkt urspr¨ unglich Q1 . (10.27) E0  = 4πεd2 Gefragt ist, in welcher Weise das prim¨ are E-Feld durch das Vorhandensein der Kugel ver¨ andert wird. Die Antwort ergibt sich durch Gl.(10.24) mit (10.21); es ist z.B. das Potenzial, das die Kugel annimmt (r1 = d−r0 ; r2 = r0 −d; r3 = r0 ), Q1 . (10.28) ϕ3 = 4πεd Dies ist das vor dem Einbringen der Kugel am Orte des Kugelmittelpunktes bestehende Potenzial. Da sich jedes beliebige elektrische Feld nach Gl.(10.9) durch eine geeignete Verteilung von Punktladungen darstellen l¨asst, folgt: Eine ungeladene Kugel nimmt im elektrischen Feld das Potenzial an, das am Ort ihres Mittelpunktes vor dem Hineinbringen in das Feld bestand.

10.1 Das elektrische Feld von Punktladungen

119

10.1.4 Der elektrische Dipol Im vorherigen Abschnitt wurde gezeigt, dass man die Potenziale zweier Punktladungen u ¨ berlagern kann und damit das Gesamtpotenzial der Ladungsanordnung erh¨ alt. Das ist m¨ oglich aufgrund der Linearit¨at der Poissongleichung bez¨ uglich der rechten Seite. Ein interessanter und f¨ ur die Anwendungen wichtiger Grenzfall entsteht, wenn man den Abstand d immer gr¨ oßer und gr¨oßer werden l¨asst, den Punkt Q1 also immer weiter hinausr¨ ucken l¨ asst und gleichzeitig die Ladung Q1 so vergr¨ oßert, dass E0  konstant bleibt. Mathematische gesehen handelt es sich dabei um einen Doppellimes, bei dem die Reihenfolge der Grenz¨ uberg¨ange durchaus beachtet werden sollte; außerdem h¨ angt der so entstehende Grenzwert nur noch von einem Ort ab. Dann ergibt sich schließlich die Potenzialverteilung in der Umgebung einer ungeladenen Metallkugel, die in ein urspr¨ unglich homogenes Feld gebracht wird. Die Punktladung Q1 muss dabei gem¨aß Gl.(10.27) den Wert erhalten: Q1 = 4πεd2 E0 .

(10.29)

Ihr elektrisches Bild“ Q2 wandert mit wachsendem d immer n¨aher an den ”

Abbildung 10.3. Feldberechnung bei einem Dipol

Kugelmittelpunkt heran. Da wir dort eine Ladung −Q2 anbringen m¨ ussen, so r¨ ucken also im Kugelmittelpunkt zwei entgegengesetzt gleiche Punktladungen n¨aher und n¨ aher zusammen; es entsteht ein sogenannter elektrischer Dipol, Abb. 10.3. Bezeichnet man den Abstand eines Aufpunkt P von dem Dipol mit r, den Winkel mit der Verbindungslinie der beiden Ladungen mit α, so gilt im Fall verschwindend kleinen Abstandes b der beiden Ladungen f¨ ur das durch den Dipol hervorgerufene Potenzial (r := r)
 Q2 Q2 −Q2 cos α 1 + . (10.30) − = ϕ= 4πε r r + b cos α 4πε r2 Auf einen Dipol wird im elektrischen Feld ein Drehmoment ausge¨ ubt. Wir denken uns ein kurzes isoliertes St¨ abchen von der L¨ange b an den beiden Enden mit den Ladungen −Q und +Q versehen und kennzeichnen die Richtung von −Q nach +Q durch die Koordinate x. Das St¨ abchen liege in einem homogenen

120

10 Einfache Beispiel f¨ ur elektrostatische Felder

E-Feld mit der Feldst¨ arke E. Wir legen durch die Richtung von x und E eine Ebene und bezeichnen die in die Richtung von x fallende Komponente E mit Ex , die dazu senkrecht stehende, in die y-Richtung fallende Komponente von abchen keine Wirkung aus, da sich die beiden E mit Ey . Ex u ¨bt auf das St¨ Kr¨ afte +QEx und −QEx aufheben. Ey dagegen verursacht ein Kr¨aftepaar mit dem Drehmoment Md = bQEy  = bQE sin β,

(10.31)

wenn mit β der Winkel zwischen x und E bezeichnet wird. F¨ ur das Drehmoment kommt es also nur auf das Produkt bQ an. Dieses bezeichnet man als elektrisches Dipolmoment p des Dipols. Es gilt Md = pE sin β.

(10.32)

p := −bQ2 .

(10.33)

In unserem Fall ist zu setzen

Damit wird aus Gl.(10.30) die allgemeine Beziehung f¨ ur das Potenzialfeld eines Dipols p cos α . (10.34) ϕ= 4πε r2 Obwohl also ein Dipol im ganzen die Ladung 0 aufweist, so ergeben sich doch in seiner Umgebung Feldkr¨ afte, die allerdings rascher abnehmen als in der Umgebung einer Punktladung.

Abbildung 10.4. Ungeladene Metallkugel in einem homogenen Feld

Die durch das Vorhandensein einer ungeladenen Kugel in einem urspr¨ unglich homogenen Feld entstehende Potenzialverteilung l¨asst sich nach dem oben Ausgef¨ uhrten darstellen durch die gleichzeitige Wirkung einer sehr weit entfernten Punktquelle und eines Dipols: ϕ=

bQ2 cos α Q1 . − 4πε(d + r cos α) 4πε r2

(10.35)

10.1 Das elektrische Feld von Punktladungen

121

F¨ uhrt man hier die Beziehungen (10.21), (10.22) und (10.29) ein und ber¨ ucksichtigt, dass d u ¨ ber alle Grenzen wachsen soll, so folgt 
1 r cos α r03 cos α 2 − + 2 2 . (10.36) ϕ = d E0  d d2 d r ugt, so ergibt sich Wird schließlich als willk¨ urliche Konstante −dE0  hinzugef¨ 
r3 (10.37) ϕ = E0  −r + 02 cos α. r Die Abb. 10.4 zeigt das nach Gl.(10.37) berechnete Feldbild, das man sich rotationssymmetrisch zur waagerechten Achse zu denken hat. Die Feldst¨arke an der Oberfl¨ ache der Kugel betr¨ agt  
  ∂ϕ  r3 (10.38) E =   E0  1 + 02 cos α = 3E0  cos α. ∂f r0 ungliche Sie wird f¨ ur α = 0 und α = 180◦ dreimal so groß wie die urspr¨ Feldst¨ arke des homogenen Feldes, die D-Feldlinien dr¨angen sich dort zusammen. Kleine metallische Einschl¨ usse in Isolierstoffen ergeben also eine ¨ortliche Erh¨ ohung der Feldst¨ arke. Die Dichte der influenzierenden Ladungen auf der Kugeloberfl¨ ache ist gleich dem Betrag des D-Feldes D = 3εE0  cos α;

(10.39)

sie ist ebenfalls in der Achse des Feldes am gr¨oßten; es befinden sich auf der einen Halbkugel negative Ladungen, deren Summe Null ist.

Abbildung 10.5. Geladene Metallkugel in einem homogenen Feld

Ersetzt man die zur Achse senkrecht stehende Hauptebene der Kugel, die gleichzeitig Potenzialfl¨ ache ist, durch eine Metallschicht, so ergibt sich der Fall eines halbkugelf¨ormigen Buckels auf einer leitenden Ebene, z.B. auf der Elektrode eines Plattenkondensators. An einem solchen Buckel ist demnach die Feldst¨ arke im Maximum dreimal so groß wie auf der Ebene.

122

10 Einfache Beispiel f¨ ur elektrostatische Felder

Ist die Ladung der Kugel nicht Null, so hat man zu dem gefundenen Potenzial noch das einer Punktladung Q im Mittelpunkt der Kugel hinzuzuf¨ ugen. Dann wird 
Q r3 . (10.40) ϕ = E0  −r + 02 cos α + r 4πεr Das Feldbild ver¨andert sich in der durch Abb. 10.5 dargestellten Weise. Entsprechend der Ladung gehen von der Kugel mehr D-Feldlinien aus, als auf ihr einm¨ unden; bei negativer Ladung der Kugel gilt das Umgekehrte. 10.1.5 Das elektrische Feld zweier Kugeln Als weiteres Anwendungsbeispiel der Methode der elektrischen Bilder (Spiegelungsmethode) werde die Berechnung des elektrischen Feldes zwischen zwei geladenen Kugeln kurz besprochen, das f¨ ur die Theorie der in der Hochspannungstechnik verwendeten Kugelfunkenstrecken von Interesse ist; siehe z. B. [182]. Die beiden Kugeln, Abb. 10.6 , sollen den Mittelpunktsabstand c und die Radien r0 haben. Ihre Potenziale seinen (1/2)U und −(1/2)U . W¨are nur die erste Kugel vorhanden, so k¨ onnte das Feld außerhalb der Kugel dargestellt werden durch eine Punktladung Q1 im Mittelpunkt A, die aus Gl.(10.5) berechnet werden kann: Q1 1 U= . (10.41) 2 4πεr0 Diese Punktladung w¨ urde auf der zweiten Kugelfl¨ache ein zus¨atzliches Poten-

Abbildung 10.6. E-Feldberechnung zwischen zwei Kugeln

zial ergeben; um dieses aufzuheben, muss auf der Verbindungslinie A B das elektrische Bild B  von A in bezug auf die Kugel 2 angebracht werden. Die Ladung in B  muss den Wert haben: r0 (10.42) Q1 = − Q1 . c Ihr Abstand b vom Kugelmittelpunkt B betr¨ agt b=

r02 . c

(10.43)

Diese Punktladung w¨ urde nun wieder ein Zusatzpotenzial auf der Kugeloberfl¨ache 1 ergeben; zum Ausgleich muss ein Bild in A angebracht werden mit der Ladung

10.1 Das elektrische Feld von Punktladungen

Q1 = −

r0 Q c−b 1

123

(10.44)

und dem Abstand

r02 (10.45) c−b vom Mittelpunkt A. Um die Wirkung dieser Ladung auf der Kugel 2 aufzuheben, muss das Bild B  angebracht werden mit der Ladung r0 Q (10.46) Q 1 = − c−a 1 a=

und dem Abstand

r02 . (10.47) c−a Wenn dieses Verfahren fortgesetzt angewendet wird, so ergibt sich eine unendliche Reihe von Bildpunkten, die alle innerhalb der beiden Kugeln liegen, wobei die Abst¨ ande von den Kugelmittelpunkten sich festen Grenzwerten n¨ahern und die Ladungen mehr und mehr abnehmen (Murphy 1833). Diese Punktladungen liefern das elektrostatische Feld f¨ ur den Fall, dass die Kugel 1 das Potenzial (1/2)U und die Kugel 2 das Potenzial Null hat. Man muss nun eine zweite gleichartige Reihe von Punktladungen anbringen, indem man von der Kugel 2 mit dem Potenzial −(1/2)U ausgeht. Das Gesamtfeld ergibt sich ¨ durch Uberlagern der von den einzelnen Punktladungen herr¨ uhrenden Felder. Mit Hilfe eines Taschenrechners sollte man die Folgen von Ladung und Abstand vom Kugelmittelpunkt f¨ ur beide Kugeln bestimmen, um n¨aheren Einblick in das Verfahren zu erhalten (z. B. f¨ ur den Fall r0 = 0, 2 c). Die E-Feldst¨ arke hat ihren gr¨ oßten Wert in den beiden Punkten P1 und P2 der Kugeloberfl¨ ache. Sie kann f¨ ur diese Punkte berechnet werden durch Summieren der E-Feldst¨ arken, die von den einzelnen Punktladungen herr¨ uhren. Es ist daher im Punkt P1  Q1 0, 2Q1 0, 0417Q1 0, 00870Q1 1 + + + + ··· E = 2 2 2 4πε (r0 (0, 8r0 ) (0, 7917r0 ) (0, 7913r0)2  0, 2Q1 0, 0417Q1 0, 00870Q1 Q1 + + + + ··· = + (0, 8 c)2 (0, 76 c)2 (0, 758 c)2 (0, 758 c)2 b =

= 3, 68

U U = 0, 736 . c r0

(10.48)

Als Vergleich dazu werde bemerkt, dass die E-Feldst¨arke an der Kugeloberfl¨ ache bei gleichem Potenzial und unendlich großer Entfernung der Kugeln nach Gl.(10.8) U (10.49) E = 0, 5 r0 sein w¨ urde; zwischen zwei Platten mit dem gleichen Abstand wie die beiden Punkte P1 und P2 , n¨ amlich 0, 6 c, w¨ urde ferner die Potenzialdifferenz U eine E-Feldst¨ arke

124

10 Einfache Beispiel f¨ ur elektrostatische Felder

E = 1, 67

U U = 0, 333 c c

(10.50)

hervorrufen. In der Mitte zwischen den beiden Kugeln ergibt sich auf dem gleichen Weg wie oben die E-Feldst¨ arke 
Q1 0, 2Q1 0, 0417Q1 0, 00870Q1 2 + + + + · · · = E = 4πε (0, 5 c)2 (0, 46 c)2 (0, 458 c)2 (0, 458 c)2 U (10.51) = 1, 038 . c 10.1.6 Endlich ausgedehnte Linienladungen Denkt man sich eine Reihe von einander gleichen Punktladungen l¨angs einer gerade Linie mit gleichm¨ aßigen Abst¨ anden aufgereiht und verringert man die Abst¨ ande mehr und mehr, so entsteht eine Linienquelle. Dabei wird die Linienquelle symmetrisch auf die x-Achse der x, y-Ebene gelegt. Zun¨achst soll die Linienladung mit endlicher L¨ ange behandelt werden, da die unendlich lange Linienladung zus¨ atzliche Schwierigkeit mit sich bringt, auf die wir erst im folgenden Abschnitt 10.2.1 eingehen wollen. Eine solche Linienladung kann man sich in L¨angenelemente dζ zerlegt denken, die alle als Punktladungen aufgefasst werden k¨onnen; sie f¨ uhren dem Feld eine Ladung zu, die gleich Q dζ/l ist, wenn mit l die L¨ange der Linie, mit Q die gesamte Ladung der Linie ist. In irgendeinem Punkt P mit den Koordinaten x und y ergibt nach Gl.(17.11) die Punktquelle dζ zum Potenzial einen Betrag dϕ = Q

dζ dζ 1  =Q , l 4πεr 4πσl y 2 + (x − ζ)2

(10.52)

wobei ζ den Abstand des L¨ angenelementes vom Mittelpunkt der Linie bezeichnet. Das gesamte Potenzial der Linienladungsquelle ist daher   +l/2 x + 21 l + y 2 + (x + 21 l)2 Q dζ Q   . ln = ϕ(r) = 4πεl −l/2 4πεl x − 1 l + y 2 + (x − 1 l)2 y 2 + (x − ζ)2 2

2

(10.53) ¨ ¨ Ahnliche Uberlegungen f¨ uhren u ¨ brigens auch zu den Linienquellen des elektrischen Str¨ omungsfeldes (siehe Abschnitt 17.3). Die Potenzialfl¨achen sind Rotationsellipsoide, die D-Feldlinien Hyperbeln mit den gleichen Brennpunkten. F¨ ullt man den von einer Potenzialfl¨ ache eingeschlossenen Raum mit einem leitenden Stoff aus, dem das betreffende Potenzial erteilt wird, so ¨andert sich an dem elektrischen außerhalb nichts. Die Gl.(10.53) gibt daher zugleich das Potenzial in der Umgebung einer mit der Ladung Q versehenen Elektrode von der Form eines langgestreckten Rotationsellipsoides an. Ein solches Ellipsoid kann als Ersatz einer zylindrischen Elektrode benutzt werden. Es lassen sich

10.1 Das elektrische Feld von Punktladungen

125

Abbildung 10.7. Linienquelle senkrecht zur Leiterober߬ ache

auf diese Weise z.b. die in den Abb. 10.7 und 10.8 dargestellten F¨alle untersuchen. In Abb. 10.7 befindet sich ein Draht von der L¨ange l und dem Durchmesser d senkrecht u ¨ ber dem Erdboden; in Abb. 10.8 ist der Draht parallel zum Erdboden im Abstand h angebracht. Die in beiden F¨allen geltenden Bedingung, dass das Potenzial an der Erdoberfl¨ ache konstant (gleich Null) sein soll, kann dadurch erf¨ ullt werden, dass unter der Erdoberfl¨ache ein Spiegelbild des Leiters mit entgegengesetzt gleicher Ladung angebracht wird. Dann setzt sich das Potenzial in einem beliebigen Punkt P zusammen aus den Beitr¨agen, die von dem geladenen Leiter und seinem Spiegelbild herr¨ uhren, wobei f¨ ur diese Rechnung die leitende Halbebene unber¨ ucksichtigt bleibt. L¨angs der Erdoberfl¨ ache sind diese Beitr¨ age einander entgegengesetzt gleich, so dass dirt, wie es sein soll, das Potenzial Null wird. Die Potenzialfl¨achen sind dann keine Rotationsellipsoide mehr; sie werden um so mehr verformt, je mehr sie sich der Erdoberfl¨ ache n¨ ahern. In unmittelbarer N¨ ahe der Linienquelle ist die Verformung gering. F¨ ur einen Punkt, der um den kleinen Abstand (1/2)d horizontal vom Mittelpunkt der Linienquelle entfernt ist, gilt bei Abb. 10.7

Abbildung 10.8. Linienquelle parallel zur Leiterober߬ ache

√ √ l + d2 + l2 4h + 3l + d2 + l2 Q Q √  ln ln − ϕ= 4πεl −l + d2 + l2 4πεl 4h + l + d2 + (4h + l)2 oder angen¨ ahert, weil d2 sehr klein gegen l2 ist,  2l 4h + l Q ln . ϕ= 4πεl d 4h + 3l

(10.54)

(10.55)

126

10 Einfache Beispiel f¨ ur elektrostatische Felder

Im Fall der Abb. 11.8 gilt mit der gleichen N¨ aherung  l2 + (4h)2 − l 2l Q  ln . ϕ= 2πεl d l2 + (4h)2 + l

(10.56)

In Abschnitt 12.3 findet der Leser die Kapazit¨atswerte der untersuchten Anordnungen.

10.2 Ebene elektrostatische Felder 10.2.1 Unendlich lange Linienleiter In analoger Weise wie die in Abschnitt 10.1.6 behandelten endlich langen Linienladungen kann man das elektrische Feld von unbegrenzten Linienladung bestimmen. Allerdings treffen wir an dieser Stelle erstmals auf eine grunds¨atzliche Schwierigkeit bei der Modellbildung im Sinne der Elektrostatik, auf die man im gesamten Abschnitt 10.2 aber auch in anderen Teilgebieten der Theorie elektromagnetischer Felder trifft, wenn man zu einer starken Idealisierung einer physikalischen Anordnung u ¨ bergeht. Bei den zur Modellbildung verwendeten mathematischen vektoriellen Feldern – hier das E- und das D-Feld – geht man von der G¨ ultigkeit des Satzes von Helmholtz aus, da nur in solchen Situationen die Felder (bis auf ein konstantes Feld) durch Rotation und Divergenz eindeutig festgelegt sind. Es ist leicht einsichtig, dass im Fall einer unbegrenzten Linienladung weder das D- noch das E-Feld im Unendlichen verschwinden kann. Im Sinne der Grundgleichungen der Elektrostatik ist ein solches Problem also u ¨berhaupt nicht definiert. In der Literatur behilft man sich, ohne diese Schwierigkeit zu erw¨ ahnen, mit einem Symmetrieargument, welches das eigentlich dreidimensionale Problem in ein zweidimensionales Problem u uhrt. In der Ebene verschwinden dann E- und D-Feld im Unendlichen ¨ berf¨ und die Schwierigkeit erscheint gar nicht mehr. Damit wird das Symmetrieargument in einer v¨ ollig anderen Weise, n¨ amlich zur Erzeugung eines sinnvollen mathematischen Problems, als bei anderen physikalischen Problemen, wo eine vorhandene Symmetrie lediglich den Rechengang abk¨ urzt. Anhand des obengenannten Beispiels unbegrenzte Linienladung“, bei dem die entsprechende ” Integralgleichung f¨ ur das D-Feld ebenfalls gel¨ ost werden kann, soll die Problematik noch einmal illustriert werden. Wenn die Linienladung sehr lang (unendlich lang) ist, so bilden die DFeldlinien radiale Strahlen; der von einem Abschnitt mit der L¨ange l ausgehende Fluss des D-Feldes verteilt sich auf konzentrische Zylinder mit der L¨ange l. Daher ist der Betrag des D-Feldes im Abstand r von der Linienladung D=

Ql , 2πrl

(10.57)

wenn mit Ql die Ladung des Abschnittes von der L¨ange l bezeichnet wird. An dieser Stelle wird das Symmetrieargument f¨ ur eine unendlich ausgedehnte

10.2 Ebene elektrostatische Felder

127

Linienladung benutzt, denn diese Beziehung kann f¨ ur eine endlich ausgedehnte Linienladung nur n¨ aherungsweise, wenn man sich in Punkten befindet, die von den Randpunkten weit entfernt sind. Das E-Feld ist radial gerichtet und zeigt von der Linie weg, wenn die Ladung positiv ist, wobei eine Einbettung der Linienquelle in ein lineares, isotropes, homogenes Material vorausgesetzt wird. Der Betrag E des E-Feldes im Abstand r folgt aus (10.57) E :=

Ql . 2πεrl

(10.58)

Das E-Feld nimmt also hier umgekehrt proportional mit dem Abstand r ab ¨ und verschwindet – wie gew¨ unscht – im Unendlichen. Ublicherweise f¨ ugt man hinzu, dass das Feldbild in allen Ebenen, die von der Linienladung senkrecht durchstoßen werden, das gleiche ist, und nennt daher ein solches Feld ein ebenes“ oder zweidimensionales“ Feld, welches aber erst nach Anwendung ” ” des Symmetrieargumentes wohldefiniert ist. In analoger Weise wie bei der Kugelladung kann man auch das elektrische Potenzial im Abstand r durch Vereinfachung des entsprechenden Linienintegrals bestimmen
  ∞  ∞ Q r Q d˜r =− ln . (10.59) E(˜r) · d˜r = ϕ(r) = rl 2πεl b r r 2πε˜ Als Bezugspunkt f¨ ur das elektrische Potenzial ist hier ein Punkt auf einem beliebigen Kreiszylinder mit dem Radius b genommen. Man bezeichnet auf Grund der Gl. (10.59) das Potenzial in der Umgebung einer Linienladung auch als logarithmisches Potenzial. Dieses Potenzial hat konzentrische Zylinderfl¨achen (r=konst.) als Potenzialfl¨ achen und kann daher zur Berechnung des elektrischen Feldes zwischen zwei koaxialen Zylinderelektroden (koaxiales Kabel, Zylinderkondensator) benutzt werden. Darauf gehen wir im n¨ achsten Abschnitt n¨aher ein. Es ist offensichtlich, dass im Fall einer unendlich ausgedehnten, ebenen Ladungsverteilung eine ¨ ahnlich kritische Bewertung der u ¨ blichen Vorgehensweise gilt, wie der unendlich ausgedehnten Linienladung. Im Fall der Ebene sind jedoch in zwei Richtungen Symmetrieargumente anzuwenden, um zu ei¨ nem sinnvollen mathematischen Problem zu kommen. Die Uberlegungen sind einfach und sollen an dieser Stelle nicht ausgef¨ uhrt werden. Im Zusammenhang mit der Dimensionsreduktion der Potenzialgleichung werden wir darauf in Abschnitt 11 zur¨ uckkommen. 10.2.2 Koaxialkabel, Zylinderkondensator außeren Elektrode, und bezeichnet Sind r1 und r2 die Radien der inneren und ¨ Q die Ladung der inneren, so ist die Potenzialdifferenz oder Spannung U zwischen den Elektroden nach Gl.(10.59)

128

10 Einfache Beispiel f¨ ur elektrostatische Felder

U = ϕ1 − ϕ2 =

r2 Q ln . 2πεl r1

(10.60)

Hieraus ergibt sich die Formel f¨ ur die Kapazit¨at der Anordnung; vgl. Gl. (16.31). Das E-Feldbild in einem Querabschnitt des Zylinderkondensators zeigt konzentrische Kreise als Niveaulinien und Radien als D-Feldlinien. Die Feldst¨arke des E-Feldes im Innern berechnet sich nach Gl.(10.58); dr¨ uckt man die Ladung durch die Spannung U zwischen den Elektroden aus, Gl.(10.60), so ergibt sich U . (10.61) E := r ln rr12 Die Feldst¨ arke des E-Feldes nimmt, wie in Abb. 10.9 veranschaulicht, von einem H¨ ochstwert Em an der inneren Zylinderoberfl¨ache nach außen hin umgekehrt proportional mit dem radius ab. Der H¨ochstwert betr¨agt Em =

U . r1 ln rr12

(10.62)

Er ist maßgebend f¨ ur die elektrische Beanspruchung des Isolierstoffes zwi-

Abbildung 10.9. E-Feld im Inneren eines Zylinderkondensators

schen den beiden Elektroden. Bei gegebenem Außendurchmesser und konstanter Spannung U h¨ angt die H¨ ochstfeldst¨ arke Em in der durch Abb. 10.10 dargestellten Weise von dem Innenradius r1 ab. Wenn r1 sehr klein ist, so ummung; n¨ahert ergibt sich eine große Feldst¨ arke Em wegen der großen Kr¨ sich andererseits r1 dem Wert r2 , so wird der Abstand zwischen den beiden Elektroden immer kleiner, womit sich ebenfalls eine wachsende Feldst¨arke ergibt wie bei einem Plattenkondensator. Bei einem bestimmten Radius r10 des Innenleiters wird die Beanspruchung des Isolierstoffes am kleinsten. Durch Differenzieren findet man aus Gl.(10.62) f¨ ur dieses Minimum die Bedingung e r10 = 2, 718 r10 = r2 .

(10.63)

Die Feldst¨ arke am Innenleiter wird dabei Em0 =≈ 2, 718

U . r2

(10.64)

10.2 Ebene elektrostatische Felder

129

Abbildung 10.10. Abh¨ angigkeit der H¨ ochstfeldst¨ arke von dem inneren Radius

Bei einem Plattenkondensator mit demselben Plattenabstand r2 − r10 w¨are dagegen 2, 718 U U ≈ . (10.65) E= r2 − r10 1, 718 r2 Die E-Feldst¨ arke ist also in Wirklichkeit noch fast doppelt so groß wie im Fall gleichm¨ aßiger Verteilung der Spannung. Das Minimum der H¨ ochstfeldst¨ arke in einem Zylinderkondensator hat ¨ noch folgende Bedeutung. Entsteht infolge Uberschreitens der Durchbruchfeldst¨ arke der Luft am inneren Zylinder eine Glimmentladung, so wird der Radius dadurch scheinbar vergr¨ oßert, da der Entladungsraum als elektrisch oßer als r10 , so w¨achst damit die Beanspruleitend anzusehen ist. Ist nun r1 gr¨ chung des Isolierstoffes entsprechend Abb. 10.10; die Glimmentladung pflanzt sich weiter fort, bis der Isolierstoff durchbrochen ist. Wenn dagegenr1 kleiner als r10 ist, so verkleinert die Glimmentladung die H¨ochstfeldst¨arke, es ergibt sich eine stabile Glimmerscheinung (Korona). Zahlenbeispiel: Schreibt man die Gl.(10.62) in der Form Em =

r2 − r1 U , r2 − r1 r1 ln rr12

(10.66)

so stellt der erste Faktor die E-Feldst¨ arke dar, die sich bei gleichm¨aßiger Verteilung der Spannung U im Isolierstoff ergeben w¨ urde. Diese Feldst¨arke muss wegen der Kr¨ ummung der Elektroden mit einem Faktor 
1 r2 (10.67) −1 f= r1 ln rr12 multipliziert werden. In der folgenden Tabelle 10.1 ist dieser Faktor f¨ ur verschiedene Verh¨ altnisse von r2 /r1 angegeben: Ist z. B. U = 3 kV, r1 = 5mm, r2 = 10mm, so wird kV 3 kV r2 = 8, 6 . = 2, f = 1, 44, und Em = 1, 44 r1 0, 5 cm cm

(10.68)

130

10 Einfache Beispiel f¨ ur elektrostatische Felder r2 /r1 = f=

1, 6 1, 8 2, 0 2, 5 3, 0 3, 5 4, 0 5, 0 1, 28 1, 36 1, 44 1, 64 1, 82 1, 96 2, 17 2, 49

Tabelle 10.1. Feldst¨ arkefaktor f in Abh¨ angigkeit von r2 /r1

Bemerkung: Die Beanspruchung des Isolierstoffes hat ein Minimum f¨ ur ein bestimmtes Radienverh¨ altnis. Daraus darf nicht gefolgert werden, dass dieses Radienverh¨ altnis das g¨ unstigste“ ist. Bei der Festlegung der Abmessungen ” eines Apparates oder einer Maschine sind außer der inneren physikalischen Wirkungsweise immer ¨ außere Gesichtspunkte zu ber¨ ucksichtigen, insbesondere Herstellungskosten, Materialaufwand, Betriebskosten, Betriebssicherheit, Bedienungsm¨ oglichkeiten usw. Die Gesamtheit dieser Faktoren bestimmt die g¨ unstigsten“ Abmessungen. Meist kann man diese ¨außeren Einfl¨ usse nicht ” mathematisch formulieren; dann erh¨ alt man die g¨ unstigsten Abmessungen durch Probieren. In vielen F¨ allen k¨ onnen auch Simulatoren eingesetzt werden, um diese Probierarbeit“ in effizienter Weise durchzuf¨ uhren. In jedem ” Fall nimmt man bestimmte, wahrscheinlich g¨ unstige Abmessungen an, pr¨ uft (ggf. anhand der Simulatorergebnisse), wieweit die Anforderungen erf¨ ullt sind, und ¨ andert danach die Abmessungen. Bei der Handanalyse liefert die Theorie Anhaltspunkte f¨ ur die Richtung der Entwicklung. Dabei sollte man beachten, dass auch noch heute geschickte analytische N¨ aherungen zu schnellen Ergebnissen f¨ uhren k¨ onnen und die Verwendung eines Feldsimulators einen großen Aufwand erfordert. Als Beispiel f¨ ur, dass sich bei Ber¨ ucksichtigung anderer Forderungen andere g¨ unstigste“ Verh¨ altnisse ergeben, werde der folgende Fall ” in analytischer Form betrachtet. Es seien die Abmessungen eines Koaxialkabels zu berechnen f¨ ur eine gegebene Spannung, wenn die H¨ ochstfeldst¨ arke einen bestimmten Wert nicht u ¨ berschreiten soll; das Kabel sei so zu bemessen, dass das Gewicht des Isolierstoffes m¨ oglichst klein wird. F¨ ur die Masse des Isolierstoffes gilt m = (r22 − r12 )πl,

(10.69)

wenn mit  die dichte bezeichnet wird. F¨ uhrt man als Abk¨ urzung f¨ ur das Verh¨ altnis der beiden Radien r2 =x (10.70) r1 ein, so wird


1 m = r22 1 − 2 πl. x

(10.71)

Andererseits ist die maximale E-Feldst¨ arke Em  =

U x . r2 ln x

(10.72)

10.2 Ebene elektrostatische Felder

131

Berechnet man hieraus r2 und setzt diese Gr¨ oße in den Ausdruck (10.71) f¨ ur die Masse ein, so folgt U 2 (x2 − 1) πl. (10.73) m= Em 2 ln2 x Diese Funktion des Radienverh¨ altnisses x wird unendlich f¨ ur x = 1 und x = ∞. Sie hat ein Minimum bei r2 = 2, 22 (10.74) x= r1 gegen¨ uber x = 2, 718 in dem oben betrachteten Fall kleinster E-Feldst¨arke bei gegebenem Außendurchmesser. Wenn der Zwischenraum zwischen den beiden koaxialen Zylinderelektroden durch koaxiale Schichten von Stoffen mit verschiedener relative Dielektriullt ist, so gilt f¨ ur die E-Feldst¨arke in jeder Schicht zit¨ atskonstante εr ausgef¨ die Gl.(10.58). Die Spannung zwischen den beiden Elektroden wird durch Addition der Spannungen an den einzelnen Schichten erhalten:  r3  r4  r2 Q Q Q dr + dr + dr + · · · (10.75) U = 2πε lr 2πε lr 2πε 1 2 3 lr r2 r3 r1 
1 r2 1 r3 1 r4 Q ln + ln + ln + ··· . (10.76) = 2πl ε1 r1 ε2 r2 ε3 r3 Daraus kann die Kapazit¨ at berechnet werden oder bei gegebener Spannung der Verschiebungsfluss. Aus diesem ergibt sich die E-Feldst¨arke in irgendeinem Abschnitt: Q . (10.77) E= 2πεν lr Stuft man die relative Dielektrizit¨ atskonstante so ab, dass die Schichten mit kleinerem Radius eine entsprechend h¨ ohere relative Dielektrizit¨atskonstante haben, so kann eine angen¨ ahert gleichm¨ aßige Verteilung des Potenzials zwischen den beiden Elektroden erzielt werden. Ein anderes Verfahren zur Herstellung der gleichm¨ aßigen Potenzialverteilung besteht darin, dass man bei gleicher relative Dielektrizit¨ atskonstante die L¨ ange l mit Hilfe von Metalleinlagen umgekehrt proportional mit r abstuft (Kondensatordurchf¨ uhrung). 10.2.3 Zweidrahtleitung, parallele Zylinder Einen anderen wichtigen Fall stellt das elektrische Feld in der Umgebung von zwei parallelen und im Vergleich zu ihrem Abstand sehr langen Linienquellen mit entgegengesetzt gleicher Ladung dar (zweiadrige Leitung). Die beiden Quellen sollen den Abstand a, Abb. 10.11, und auf einem Abschnitt von der L¨ ange l die Ladungen +Q und −Q haben. Das Potenzial in irgendeinem Punkt P mit den Abst¨ anden c1 und c2 von den Linienquellen ergibt sich als Summe der beiden Einzelpotenziale; es ist nach Gl.(10.59)

132

10 Einfache Beispiel f¨ ur elektrostatische Felder

ϕ=

c2 Q ln + k1 . 2πεl c1

(10.78)

F¨ ur weit entfernte Punkte n¨ ahert sich c2 /c1 dem Wert 1. Daher stellt k1 das Potenzial unendlich weit entfernter Punkte dar. W¨ahlt man einen solchen Punkt als Bezugspunkt f¨ ur das Potenzial, so wird ϕ=

c2 Q ln . 2πεl c1

(10.79)

Die Potenzialfl¨ achen sind durch die Bedingung ϕ =konst. bestimmt. Daraus

Abbildung 10.11. Zur Berechung des E-Feldes zweier paralleler Linienquellen

folgt f¨ ur die Potenziallinien in der Zeichenebene die der Gl.(10.13) entsprechende Bedingung c2 = konst. = k, (10.80) c1 die aussagt, dass die Potenziallinien Kreise sind, f¨ ur deren Bestimmungsst¨ ucke die Gl.(10.18) und (10.19) gelten, Abb. 10.2. Bezeichnet man die Spuren der beiden Linienquellen mit C und D, so ergibt sich die Abb. 10.12, in die außerdem noch der Halbierungspunkt O der Strecke CD = a eingetragen ist. F¨ ur den Abstand des Kreismittelpunktes M von O gilt nach Gl.(10.19) x0 =

a a a k2 + 1 a +b= + 2 = . 2 2 k −1 2 k2 − 1

(10.81)

Daraus folgt mit Hilfe von Gl.(10.18) x20 − r02 =

 a 2 2

.

(10.82)

Auf Grund dieser Beziehung k¨ onnen die Potenziallinien durch die in Abb. 10.13 dargestellte Konstruktion gefunden werden. Man schlage um O mit dem Radius (1/2)a einen Kreis. Um dann zu einem beliebigen Punkt P dieses Kreises die Potenziallinie zu erhalten, lege man in P die Tangente an den Kreis. Sie schneidet auf der Verl¨ angerung von CD den Mittelpunkt M des gesuchten Potenzialkreises aus. Denn im Dreieck OP M ist

10.2 Ebene elektrostatische Felder

133

Abbildung 10.12. Potenziallinie des Feldes

Abbildung 10.13. Konstruktion der Potenziallinien 2

2

2

OM − M P = P O ,

(10.83)

wie es nach Gl.(10.82) sein muss. uckt M an D Je kleiner der Radius r0 des Potenzialkreises ist, um so enger r¨ heran. Um den Potenzialkreis f¨ ur einen vorgegebenen Wert von k zu zeichnen, also f¨ ur ein bestimmtes Potenzial, errichtet man in O die Senkrechte auf CD. Zieht man dann von P aus die beiden Strahlen c1 und c2 und verl¨angert DP bis zum Schnitt N mit der Senkrechten, so entstehen die beiden einander ahnlichen rechtwinkligen Dreiecke: ¨ ∆CDP ∼ ∆DN O.

(10.84)

ON c1 = c2 OD

(10.85)

a ON = k . 2

(10.86)

Daher gilt

oder

ur k eingeteilt werden. F¨ ur k = 1 r¨ uckt Die Senkrechte ON kann also als Skala f¨ M ins Unendliche, der Kreis wird zur Mittelsenkrechten ON . F¨ ur Werte von k, die kleiner als 1 sind, sind der Mittelpunkt des Kreises links von C, f¨ ur Werte von k gr¨ oßer als 1 rechts von D. Das Potenziallinienbild wird symmetrisch zu der Mittelsenkrechten, Abb. 10.14. ¨ Die Verschiebungslinien ergeben sich aus der folgenden Uberlegung. Ebenso wie sich die Potenziale der beiden Linienquellen ungest¨ort zum Gesamtpotenzial u ¨ berlagern, so setzen sich auch die von den Quellen ausgehenden

134

10 Einfache Beispiel f¨ ur elektrostatische Felder

Abbildung 10.14. Potenziallinien und D-Feldlinien der parallelen Linienquellen entgegengesetzt gleicher Ladungen

einzelnen Verschiebungsfl¨ usse ohne gegenseitige St¨orung zusammen. Wir denken uns u ¨ ber a, c1 und c2 , Abb. 10.11, drei auf der Zeichenebene senkrechte Ebenen errichtet. Zwischen den beiden Ebenen u ¨ber a und c1 , die den Winkel α1 einschließen, geht von der linken Linienquelle ein Verschiebungsfluss aus Qa =

α1 Q. 2π

(10.87)

Dieser Fluss geht durch eine u ¨ ber der beliebigen Linie P S errichtete Fl¨ache von links nach rechts hindurch. Zwischen den beiden Ebenen u ¨ber a und c2 ist ferner der Teil α2 Q (10.88) Qb = 2π des auf der rechten Linienquelle m¨ undenden Verschiebungsflusses eingeschlossen. Es tritt durch die Fl¨ ache u ¨ ber P S ebenfalls von links nach rechts hindurch. Insgesamt ist also der Verschiebungsfluss, der durch die u ¨ ber P S errichtete Fl¨ ache hindurchgeht,
 1 α Q (α1 + α2 ) = Q − (10.89) 2π 2 2π Bewegt sich der Punkt P auf einer D-Feldlinie, dann bleibt dieser Fluss konstant. Die Gleichung der D-Feldlinie ist also gegeben durch α = konst.

(10.90)

Die D-Feldlinien sind danach Kreise mit dem Peripheriewinkel α, deren Mittelpunkte auf der Mittelsenkrechten u ¨ ber CD liegen, Abb. 10.14. D-FeldlnienB¨ undel gleichen Verschiebungsflusses erh¨ alt man, wenn man Werte einer arithmetischen Reihe f¨ ur α w¨ ahlt (in Abb. 10.14 ist α = 0◦ , 22, 5◦ , 45◦ , 67, 5◦ usw.;

10.2 Ebene elektrostatische Felder

135

der ganze Verschiebungsfluss Q ist dann in 16 gleiche Teile geteilt; die DFeldlinien bilden in der N¨ ahe der Linienquellen Winkel von 22, 5◦ miteinander). Da die Niveaufl¨ achen Zylinder sind, so gilt das Feldbild auch f¨ ur zwei parallele zylindrische Elektroden. Die D-Feldlinien endigen dann auf diesen Zylindern. Haben die Zylinder die Radien r0 und den Achsenabstand c, Abb. 10.14, so findet man die Lage der Linienquellen, durch die das elektrische Feld außerhalb der beiden Zylinder dargestellt werden kann, aus Gl.(10.82) mit x0 = c/2   c a = − r02 . (10.91) 2 2 Das Potenzial auf der Verbindungslinie CD ist im Abstand x von dem Punkt O nach Gl.(10.79) a −x Q ln a2 . (10.92) ϕ= 2πεl 2 +x Das E-Feld auf dieser Verbindungslinie hat daher den Betrag
 1 1 Q + a E = 2πεl a2 − x 2 +x

(10.93)

und die Richtung der Verbindungslinie. Potenzial und E-Feldst¨arke sind in Abb. 10.15 aufgezeichnet. Die Spannung zwischen den beiden Elektroden ist U=

Q ln πεl

a 2 a 2

+ +

c 2 c 2

− r0 ; + r0

(10.94)

hieraus kann man die Kapazit¨ at ermitteln (vgl. Gl.(12.42)).

Abbildung 10.15. Potenzial und E-Feldst¨ arke zwischen den Linienquellen

Die E-Feldst¨ arke hat ihren gr¨ oßten Wert an der Zylinderoberfl¨ache, n¨amlich   

Em = U (c − 2r0 ) ln

c 2r0

c 2r0

+

2

−1 

c 2r0

2

. −1

(10.95)

136

10 Einfache Beispiel f¨ ur elektrostatische Felder

Wenn der Radius der beiden Zylinder nahezu gleich dem halben Achsenabstand ist, so ergibt sich eine hohe E-Feldst¨ arke, die mit zunehmender Ann¨aherung der beiden Zylinderoberfl¨ achen dauernd anw¨achst. Ebenso wird die EFeldst¨ arke groß, wenn die Zylinderradien sehr klein gemacht werden. F¨ ur ein bestimmtes Verh¨ altnis von Achsenabstand zu Radius ergibt sich ein Minimum der E-Feldst¨ arke, n¨ amlich f¨ ur c = 5, 85. r0

(10.96)

Ist das Verh¨ altnis von Achsenabstand zu Radius gr¨oßer als dieser Wert, dann kann bei entsprechender Spannung eine stabile Glimmentladung der Luft (Korona) auftreten; das ist bei den Hochspannungsleitungen der Fall, bei denen ohnlich gr¨ oßer als 20 ist. C/r0 gew¨ Zahlenbeispiele: Gl.(10.95) l¨ asst sich schreiben Em =

U f. c − 2r0

(10.97)

Hier stellt der erste Faktor die E-Feldst¨ arke dar, die sich bei gleichm¨aßiger Verteilung des Potenzials zwischen den beiden Zylindern ergeben w¨ urde. Der Faktor f hat die Form √ c x2 − 1 √ ; x= . (10.98) f= 2 2r ln(x + x − 1) 0 F¨ ur verschiedene Verh¨ altnisse von c/r0 ergeben sich f¨ ur diesen Faktor die in der folgenden Tabelle angegebenen Werte: 3, 0 4, 0 6, 0 10, 0 20, 0 c/r0 = 2, 0 2, 4 f= 1, 0 1, 065 1, 161 1, 315 1, 604 2, 138 3, 325

(10.99)

Bei relativ großen Abst¨ anden der beiden Zylinder, wie sie bei Freileitungen vorkommen, kann man die Zahl l unter der Wurzel vernachl¨assigen und erh¨alt f=

c . 2r0 ln rc0

(10.100)

F¨ ur c/r0 = 20 ergibt dies den Wert f bereits auf 0, 4% genau. Wie der Vergleich mit Gl.(10.62) zeigt, ist die E-Feldst¨ arke dann ungef¨ahr halb so groß wie zwischen 2 konzentrischen Zylindern mit den Radien r0 und c. Den entsprechenden Kapazit¨ atswert findet man in Gl.(12.43) in Abschnitt 12.3. 10.2.4 Zylinder und Platte In dem Feldbild, Abb. 10.14, ist die Mittelebene eine Potenzialfl¨ache. Wird sie durch eine leitende Elektrode ersetzt, so ergibt sich das Feld zwischen

10.2 Ebene elektrostatische Felder

137

dieser ebenen Platte und einem parallelen Zylinder Bei gleicher Ladung des Zylinders ist die Spannung zwischen Platte und Zylinder halb so groß wie die zwischen den beiden Zylindern. Bezeichnet man den Achsenabstand des Zylinders von der Platte mit h, so ist die E-Feldst¨arke an der Oberfl¨ache einer solchen Leitung angen¨ ahert Em =

h U U ≈ , h − r0 r0 ln 2h r0 ln 2h r0 r0

(10.101)

wenn mit U die Spannung zwischen Leitung und Erde bezeichnet wird. 10.2.5 Liniendipol Werden die beiden Linienquellen einander mehr und mehr gen¨ahert, so ergibt sich ein Gebilde, das in Analogie zu dem bereits betrachteten Dipol der beiden Punktquellen steht (Liniendipol). Das Potenzial ist ϕ=−

Q2 cos α . 2πεl r

(10.102)

Bezeichnet man das durch l dividierte Dipolmoment mit p p =:= −

Q2 b , l

(10.103)

so gilt

p cos α . (10.104) 2πε r Die Potenzialfl¨ achen sind Zylinder, deren Achsen in der Dipolebene liegen und die die Mittelebene des Dipols ber¨ uhren. Man kann, ¨ahnlich wie bei der Kugel, diese Potenzialfunktion benutzen zur Berechnung des E-Feldes in der Umgebung eines leitenden Zylinders, der sich in einem urspr¨ unglich homogenen Feld senkrecht zu dessen E-Feldlinien befindet. Man muss dann zu dem Potenzial des Dipols das Potenzial des homogenen E-Feldes ϕ=−

ϕ = −E0 r cos α

(10.105)

addieren Das Moment p des Dipols erh¨ alt man durch die gleiche Grenzbetrachtung wie bei der Kugel nach Gl.(10.103), (10.21) und (10.58) mit ur das Gesamtpotenzial Q2 = −Q. Es ergibt sich f¨ 
r2 (10.106) ϕ = E0  −r + 0 cos α. r Die E-Feldst¨ arke an der Zylinderoberfl¨ ache wird    ∂ε    E =   = 2E0  cos α.  ∂r  r0

(10.107)

138

10 Einfache Beispiel f¨ ur elektrostatische Felder

Sie ist also hier maximal nur doppelt so groß wie die urspr¨ unglich E-Feldst¨arke. Ganz entsprechend wie im Fall der Kugel l¨ asst sich auch der Fall behandeln, dass der Zylinder geladen ist; dann muss in seiner Achse noch eine Linienquelle mit entsprechender Ladungsbewegung angebracht werden.

Abbildung 10.16. Zur Berechnung der D-Feldlinien eines Liniendipols

Der Verlauf der D-Feldlinien ergibt sich durch eine ¨ahnliche Betrachtung wie bei den parallelen Zylindern. Bezeichnet man den Abstand eines beliebigen Punktes P von der Ebene des Dipols mit y, Abb. 10.16, die Abszisse mit x, so gilt y = r sin α; x = r cos α. (10.108) Durch die Ebene mit der Spur P S geht, vom homogenen Feld herr¨ uhrend, ein Verschiebungsfluss (10.109) Qa = E0 εly von links nach rechts hindurch, wenn diese Richtung der D-Feldlinien des homogenen Feldes vorausgesetzt wird. In C befindet sich dann eine negative, in usse D eine positive Ladung. Die durch P S hindurchgehenden Verschiebungsfl¨ dieser Ladungen sind α1 (10.110) Qb = −Q2 2π und α . (10.111) Qb = Q2 2π Der gesamte Verschiebungsfluss in der Fl¨ ache u ¨ber P S ist also QP = E0 εly + Q2

α − α1 . 2π

(10.112)

Nun gilt bei verschwindenden kleinem Abstand b α − α1 =
CP D =

b sin α . r

(10.113)

Das Dipolmoment wird nach Gl.(10.103), (10.21) und (10.58) p = 2πE0 εr02 .

(10.114)

10.2 Ebene elektrostatische Felder

139

Daher ergibt sich 
r2 QP = E0 εl r sin α + 0 sin α . r

(10.115)

Die Gleichungen der D-Feldlinien lautet QP =konst., die der Potenziallinie ϕ =konst. Potenziallinien und Verschiebungslinien sind in Abb. 10.17 dargestellt (D-Feldlinien gestrichelt).

Abbildung 10.17. Ungeladener Metallzylinder im homogenen Feld; D-Feldlinien gestrichelt

10.2.6 Erdseil Als letztes Beispiel der Berechnung eines elektrostatischen Feldes werde die Wirkung des Erdseils einer Hochspannungsleitung betrachtet. Das u ¨ ber der Hochspannungsleitung angebrachte Erdseil wie an den Masten geerdet und schirmt den darunter liegenden Raum gegen das elektrische Luftfeld ab, indem es einen Teil der Verschiebungslinien dieses Feldes aufnimmt entsprechend der durch Influenz auf ihm entstehenden Ladung Q, Abb. 10.18.

Abbildung 10.18. Schutzwirkung eines Erdseils

140

10 Einfache Beispiel f¨ ur elektrostatische Felder

Wird angenommen, dass das urspr¨ ungliche Luftfeld ein mit der H¨ohe proportional wachsendes Potenzial ϕ1 besitzt, so gilt ϕ1 = E0  x,

(10.116)

arke dieses homogenen Luftfeldes im unwobei E0  die konstante E-Feldst¨ gest¨ orten Zustand bezeichnet und der Nullpunkt f¨ ur das Potenzial in die Erdoberfl¨ ache verlegt ist. Das Erdseil mit seiner Ladung Q erzeugt in irgendeinem Punkt P ein Zusatzfeld mit dem Potenzial (siehe Gl.(10.79)) ϕ2 =

r2 Q ln . 2πεl r1

(10.117)

Das Gesamtpotenzial wird daher ϕ = E0  x +

r2 Q ln . 2πεl r1

(10.118)

Da nun dieses Potenzial an der Oberfl¨ ache des Erdseils mit dem Radius r0 Null sein muss, so ergibt sich die Bedingung 0 = E0  x + Daraus folgt Q = −2πεl und das Potenzial wird

r2 Q ln . 2πεl r1

(10.119)

E0 h , ln 2h r0

(10.120)

 ϕ = E0 

x−h

ln rr12

ln 2h r0

 .

(10.121)

Damit kann berechnet werden, um wieviel das Luftpotenzial unter dem Erdseil durch Anwesenheit des Erdseils erniedrigt wird. Zahlenbeispiel: Auf der durch die Erdseilachse gehenden senkrechten Ebene ist r1 = h − x und h2 = h + x, also   h+x ln h−x . (10.122) ϕ = E0  x − h ln 2h r0 Das Verh¨ altnis η = ϕ/ϕ1 gibt an, auf welchen Bruchteil das Potenzial durch das Erdseil herabgesetzt wird:     h ln 1 + hx − ln 1 − hx . (10.123) η =1− x ln 2h r 0

10.2 Ebene elektrostatische Felder

141

Schreibt man dieses Schutzverh¨ altnis in der Form η = 1 − f k, so ist


 1+ x x  h h  ln 1 + − ln 1 − = ln f= x h h x 1−

(10.124)

x h x h

 (10.125)

eine Funktion von x/h und k=

1 ln 2h r0

(10.126)

eine Funktion von h/r0 . F¨ ur beide Faktoren sind in den folgenden beiden Tabellen 10.2 und 10.2 einige Zahlenwerte angegeben.

x/h f

0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 0, 9 0, 95 2 2, 02 2, 12 2, 32 2, 75 3, 28 3, 85 Tabelle 10.2. Werte von f

Die beiden Gr¨oßen f und k sind also in dem praktisch interessierenden Bereich nur verh¨ altnism¨ aßig wenig ver¨ anderlich: f liegt in der Gr¨oßenordnung von 3, k in der Gr¨ oßenordnung von 0, 13; daher wird in dem praktisch interessierenden Bereich das Schutzverh¨ altnis η ungef¨ahr gleich 60 %. Die Schirmwirkung eines Erdseils ist also gering.

h/r0 k

200 500 1000 2000 5000 0, 167 0, 145 0, 131 0, 121 0, 117 Tabelle 10.3. Werte von k

Die praktisch wichtigere Wirkung besteht darin, dass an der Oberfl¨ache des Erdseils selbst eine hohe E-Feldst¨ arke auftritt, n¨amlich E =

E0 h h Q = = E0  k. ε2πr0 l r r0 ln 2h 0 r0

(10.127)

Dies f¨ uhrt etwa zu einer E-Feldst¨ arke E = (70 · · · 240) E0 . Daher ergeben sich dort bei hohen Luftfeldst¨ arken (Gewitter) Spr¨ uherscheinungen, die eine sich der Leitung n¨ ahernde Blitzbahn auf das Erdseil hinlenken und so die Hochspannungsleitungen vor dem unmittelbaren Blitzschlag sch¨ utzen.

11 L¨ osungsverfahren der Poisson- und Laplace-Gleichung

11.1 Grundlagen Die Feldberechnungsmethoden in Abschnitt 10 beruhten wesentlich auf der Anwendung der feldm¨ aßigen Darstellung der elektrischen Ladungsdichte  mit Hilfe des D-Feldes Das Oberfl¨ achenintegral des D-Feldes u ¨ ber eine ge” schlossene Fl¨ ache ist gleich der eingeschlossenen Ladung“, der Wirbelfreiheit des E-Feldes, was in differentieller Form durch die Einf¨ uhrung des elektrischen Potenzials ber¨ ucksichtigt wird Das E-Feld kann als negativer Gradient des ” elektrischen Potenzials notiert werden“und dem linearen Materialgesetz Das ” D-Feld ist proportional zum E-Feld“. In Abschnitt 6 wurde ein diesen Aussagen entsprechendes System von Algebro-Differentialgleichungen divD = ϕ,

E = −grad ϕ,

D = εE,

(11.1)

angegeben und daraus eine Poisson-PDgl. abgeleitet  ϕ = − , ε

(11.2)

die man zusammen mit den entsprechenden Randbedingungen zur Bestimmung des elektrischen Potenzials ϕ heranziehen kann. Wenn keine Raumladungen vorhanden sind, dann erh¨ alt man die Laplace-PDgl. f¨ ur das elektrische Potenzial (Laplace 1782) ϕ = 0. (11.3) Wie alle Differentialgleichungen so besitzen auch die Poissonsche und die Laplacesche partielle Differentialgleichungen unendlich viele L¨osungen, aus denen man erst nach Angabe von Bedingungen (Randwerte oder Grenzbedingungen) eine eindeutige L¨ osung ausw¨ ahlt. Man muss allerdings erst die Existenz einer L¨osung aus der Menge aller L¨ osungen nachweisen, die zu den vorgegebenen Bedingungen passt, was i. a. sehr schwierig ist.

11.1 Grundlagen

143

11.1.1 Poisson- und Laplace-Gleichung und ihre L¨ osungsmengen Bevor wir in den folgenden Abschnitten auf die verschiedenen L¨osungsverfahren f¨ ur die Poisson- und Laplace-PDgl. eingehen, sollen einige allgemei¨ ne Uberlegungen zur Klassifikation dieser Differentialgleichungen und die Eigenschaften der zugeh¨ origen Mengen aller L¨ osungen – im folgenden auch L¨osungsr¨ aume genannt – vorangestellt werden. Das ist aus zweierlei Gr¨ unden sinnvoll: 1. Es wird sich zeigen, dass die L¨ osungsr¨ aume der beiden Grundgleichungen der Elektrostatik von einfacher Bauart sind (lineare Mannigfaltigkeiten bzw. Vektorr¨ aume), die man auch schon bei der L¨osung linearer algebraischer Gleichungen bzw. linearer gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen der linearen Netzwerk- und Systemtheorie antrifft. 2. Aufgrund der unter 1) genannten Eigenschaften der L¨osungsr¨aume kann man auch auf L¨ osungskonzepte zur¨ uckgreifen, die man bereits aus der linearen Netzwerk- und Systemtheorie kennt. Die beiden, im folgenden zu belegenden Aussagen k¨onnen dazu beitragen, dass man die begrifflichen Schwierigkeiten der Theorie elektromagnetischer Felder und insbesondere auch der Elektrostatik dadurch vermindert, indem man bereits bekanntes Wissen aus vorherigen Gebieten der Elektrotechnik nutzt. Auf diese Weise kann man sich st¨ arker auf die neuartigen Aspekte der Theorie elektromagnetischer Felder konzentrieren. Deutlicher als in den meisten anderen Darstellungen dieser Theorie soll dabei der enge Zusammenhang mit der maßgeblich von K¨ upfm¨ uller aufgebauten linearen Systemtheorie, die wesentlichen Gebrauch von den Konzepten der linearen Netzwerktheorie macht, sowie der daraus entstandenen Regelungstheorie gesucht werden. Insbesondere f¨ ur die Leserinnen und Leser aus dem Bereich der Elektrotechnik und Informationstechnik, bei denen man zumindest Grundkenntnisse der genannten Theorien erwarten kann, wird sich ein denk¨ okonomischer Effekt einstellen. Andererseits k¨ onnen sich Leserinnen und Leser mit anderen Vorerfahrungen vom Nutzen der linearen Netzwerk- und Systemtheorie sowie der Regelungstheorie u ¨ berzeugen. Die grundlegende Beschreibungsgleichung der Elektrostatik ist die Poissonsche Differentialgleichung  ϕ = − , ε

(11.4)

bei der es sich um eine lineare partielle Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten handelt. Die Menge aller L¨ osungen ist eine Teilmenge der zweimal differenzierbaren skalaren Felder u ¨ber dem Rn , wobei n = 1, 2, 3 sein kann. Die wesentlichen Eigenschaften der Differentialgleichung ergeben sich aus der Linearit¨ at des Laplace-Operators (αϕ1 + βϕ2 ) = α ϕ1 + β ϕ2

(11.5)

144

11 L¨ osungsverfahren der Poisson- und Laplace-Gleichung

mit α, β ∈ R. Daraus folgt, dass die L¨ osungen bez¨ uglich verschiedener rechter Seiten, z. B. verschiedener Ladungsdichten 1 und 2 u ¨berlagert werden k¨onnen (1 + 2 ) i . (11.6) ϕi = − (i = 1, 2) ⇒ (ϕ1 + ϕ2 ) = − ε ε Dabei ist zu beachten, dass zwei verschiedene L¨osungen mit gleicher Ladungsdichte nicht u onnen. Allerdings ist die Differenz zweier sol¨ berlagert werden k¨ cher L¨ osungen der Poisson-Gleichung eine L¨ osung der Laplace-Gleichung ϕi = −

( − )  (i = 1, 2) ⇒ (ϕ1 − ϕ2 ) = − = 0. ε ε

(11.7)

Setzt man  = 0, dann sieht man sofort, dass im Gegensatz zur Poisson-PDgl. irgendzwei L¨ osungen der Laplace-DPgl. u ¨ berlagert werden k¨onnen. Im Sinne der bereits in der linearen Algebra behandelten Theorie linearer algebraischer inhomogener Gleichungssysteme sowie der Theorie linearer gew¨ ohnlicher inhomogener Differentialgleichungen A x = b,

A ∈ Rn×n , x, b ∈ Rn

(11.8)

folgende Klassifikation der Poisson- und Laplace-Gleichung m¨oglich ist: • •

Die Poisson-PDGl. ist eine lineare inhomogene partielle Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, deren L¨osungsraum die Struktur einer linearen Mannigfaltigkeit (affiner Raum) besitzt. Die Laplace-PDGl. ist eine lineare homogene partielle Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, deren L¨ osungsraum die Struktur eines linearen Raumes (Vektorraum) besitzt.

Im Fall eines linearen algebraischen Gleichungssystems mit n = 2 lassen sich die Verh¨ altnisse sehr gut anhand von Geraden in allgemeiner Lage (affiner) und Gerade durch den Nullpunkt (Vektorraum) illustrieren. Wie in der linearen Algebra und der Theorie der linearen Differentialgleichungen folgt daraus, dass sich die allgemeine L¨osung der Poisson-PDgl. additiv aus der allgemeinen L¨ osung der homogenen Laplace-Gleichung und einer speziellen L¨ osung der inhomogenen Poisson-Gleichung zusammen setzt  (11.9) (ϕh + ϕs ) = − , ε  (11.10) (ϕs ) = − , (ϕh ) = 0, ε wobei die allgemeine L¨ osung ϕh der homogenen Laplace-Gleichung noch von freien“ Parametern abh¨ angt. Daher handelt es sich bei ϕh + ϕs um eine ” parametrisierte Schar von L¨ osungen, die eine lineare Mannigfaltigkeit bilden. Um aus dieser Menge von L¨ osungen eine eindeutige L¨osung auszuw¨ahlen, m¨ ussen zus¨ atzliche Randbedingungen gestellt werden (vgl. Abschnitt 11.1.2). Aufgrund der gerade geschilderten, speziellen Eigenschaften der Poissonund Laplace-Gleichung kann die Aufgabe der L¨osung der Poisson-Gleichung

11.1 Grundlagen

145

in zwei Teilprobleme zerlegen: 1) Bestimmung einer speziellen L¨osung der Poisson-Gleichung und 2) Bestimmung der allgemeinen L¨osung der LaplaceGleichung. In den folgenden Abschnitten werden verschiedene Methoden f¨ ur diese Teilprobleme vorgestellt. Da man es in der linearen Netzwerk- und Systemtheorie sowie der linearen Regelungstheorie mit dem gleichen Grundproblem zu tun hat, kann man sich, wie bereits erw¨ahnt, zumindest teilweise an den dort behandelten Vorgehensweisen orientieren. 11.1.2 Rand- und Grenzbedingungen, Eindeutigkeit des Potenzials Die gesuchte Funktion der Poisson- als auch der Laplace-PDgl. ist das elektrische Potenzial ϕ, bei dem es sich um ein skalares mathematisches Feld handelt. Daher ist es naheliegend, das Potenzial in gewissen Teilmengen des betrachteten Raumgebietes vorzugeben. Andererseits haben wir in Abschnitt 9 gesehen, dass das E-Feld im Inneren idealer Leiter gleich null sein muss, auf den R¨ andern konstant ist und dort eine verschwindende Tangentialkomponente besitzt. Dr¨ uckt man diese Vorgaben mit Hilfe des elektrischen Potenzials aus, dann sind auch Vorgaben m¨ oglich, bei denen der Gradient von ϕ vorgegeben ist. Der Eindeutigkeitssatz f¨ ur die das elektrische Potenzial bestimmenden Differentialgleichungen zeigt, dass man die Randwerte nicht in beliebiger Weise vorgeben kann. Eindeutigkeitssatz f¨ ur die Poisson- und Laplace-PDgl.: (vgl. z.B. Wunsch, Schulz [244], S. 121f) Ist ϕ eine L¨ osung der Poisson-PDgl. ϕ = −/ε im Gebiet V und nimmt ϕ auf der geschlossenen Randfl¨ ache A von V 1. die Randwerte ϕ(˜r) (˜r ∈ A) an, so ist ϕ auch die einzige L¨osung auf V mit diesen Randwerten. 2. Besitzt andererseits −(grad ϕ)(˜r) = E(˜r) auf dem Rand A die Randwerte n · grad ϕ(r)|r=˜r = (∂ϕ∂n)|r=˜r = n · E, so unterscheidet sich jede weitere L¨ osung mit denselben Randwerten nur durch eine Konstante, d. h.es gilt f¨ ur zwei L¨ osungen ϕ1,2 ϕ1 = ϕ2 + konst.

(11.11)

F¨ ur die Laplace-PDgl. ϕ = 0 gilt Jede L¨osung ϕ, die auf dem Rand verschwindet, ist ¨ uberall gleich null. Die genannten partiellen Differentialgleichungen und deren Verallgemeinerungen werden in der Mathematik im Rahmen der sogenannten Potenzialtheorie untersucht; siehe z. B. Sigl [204]. Bei der Laplace-PDgl. unterscheidet man zwei Randwertprobleme, deren L¨ osungen als harmonische Funktionen bezeichnet werden: (vgl. z.B. Wunsch, Schulz [244], S. 128f oder Lehner [134], S. 131f)

146

11 L¨ osungsverfahren der Poisson- und Laplace-Gleichung

1. Randwertproblem nach Dirichlet: Gesucht ist eine im Gebiet V harmonische Funktion ϕ, die bei Ann¨aherung an den Rand von V vorgegebene Werte ϕA annimmt. Das Dirichletsche Randwertproblem ist nach dem oben aufgef¨ uhrten Eindeutigkeitssatz – wenn u ¨berhaupt – eindeutig l¨osbar. 2. Randwertproblem nach Neumann: Gesucht ist eine im Gebiet V harmonische Funktion ϕ, die bei Ann¨aherung an den Rand von V eine vorgegebene Normalenableitung (∂ϕ/∂n)|A besitzt Das Neumannsche Randwertproblem ist bis auf eine Konstante nach dem oben aufgef¨ uhrten Eindeutigkeitssatz – wenn u ¨ berhaupt – eindeutig l¨ osbar. Grunds¨ atzlich sind nat¨ urlich auch gemischte Randwerte m¨oglich, bei denen auf einem Teil des Randes Dirichletsche und auf dem anderen Neumannsche Randwerte vorgegeben sind; vgl. z. B. Lehner [134]. Neben den zuvor diskutierten Randbedingungen gibt es auch sogenannte Grenzbedingungen innerhalb eines Gebietes V , in dem die L¨osung ermittelt werden soll. In solchen F¨ allen ist das Materialgesetz, d.h. die Beziehung zwischen D- und E-Feld, zwar noch linear aber die Dielektrizit¨atskonstante ε ist eine ortsabh¨ angige Funktion ε = ε(r). Vielfach ist es aber zweckm¨aßig, diese Funktion durch eine st¨ uckweise konstante Funktion zu approximieren, so dass das Gebiet V in Teilgebiete Vk mit konstanter Dielektrizit¨atskonstanten zerlegt werden kann. F¨ ur die Teilgebiete gelten nat¨ urlich die Randbedingungen, aber die Teill¨ osungen ϕk m¨ ussen an den inneren R¨andern von V mit Hilfe von Grenzbedingungen aneinander angepasst werden. Diese Grenzbedingungen lassen sich auf der Grundlage der Eigenschaften bez¨ uglich der Rotation des D-Feldes bzw. Divergenz des E-Feldes ableiten, die sich im Fall einer ortsabh¨ angige Dielektrizit¨ atskonstante ε = ε(r) ergeben; eine entsprechende Ableitung findet man in Abschnitt 8.

11.2 Elementare Methoden 11.2.1 Die graphische Methode In vielen F¨ allen gelangt man durch die Anwendung von graphischen Methoden rasch zur Auffindung der Potenzialverteilung, aus der man dann die interessierenden Gr¨ oßen berechnen kann. Die graphische Feldberechnung ist am einfachsten beim zweidimensionalen Feld. Sie beruht darauf, dass man gef¨ uhlsm¨ aßig Potenziallinien und Feldlinien des D-Feldes (kurz D-Feldlinien) aufzeichnet und das Feldbild mit Hilfe der Grundgesetze des elektrostatischen Feldes korrigiert. Aus der Formulierung der Gesamtladung mit Hilfe des Fl¨ achenintegrals des D-Feldes (10.1) folgt, dass die Feldlinien des D-Feldes stetig von einer zur anderen Leiteroberfl¨ ache u ¨bergehen. Die Proportionalit¨at zwischen D- und E-Feld l¨ asst sich auf folgende Weise einhalten. Es werden die

11.2 Elementare Methoden

147

Potenziallinien so gezeichnet, dass sie gleichen Potenzialunterschieden entsprechen. Dann ist das E-Feld u ¨ berall umgekehrt proportional dem Abstand a zweier benachbarter Potenziallinien. Man denke sich ferner den von einem Leiter ausgehenden Fluss“ des D-Feldes, d.h. das Fl¨achenintegral u ¨ber das ” D-Feld, in eine Anzahl gleicher Teile geteilt und zeichne die diese Teile abgrenzenden D-Feldlinien. Dort, wo der Abstand b von zwei nebeneinander liegenden D-Feldlinien groß ist, verteilt sich der Fluss“ des D-Feldes auf eine ” entsprechende große Fl¨ ache; das D-Feld ist also u ¨ berall umgekehrt proportional dem Abstand b der beiden benachbarten D-Feldlinien. Die Forderung, dass D-Feld und E-Feld einander proportional sein sollen, l¨asst sich daher so erf¨ ullen, dass man den Abstand b zwischen je zwei benachbarten D-Feldlinien u ¨ berall proportional oder am einfachsten gleich dem Abstand a zwischen zwei benachbarten Potenziallinien macht; das ganze Feld ist dann in kleine Quadrate eingeteilt, Abb. 11.1 Insgesamt hat man folgende Regeln beim Aufzeichnen ebener Felder zu beachten:

Abbildung 11.1. Graphische Bestimmung eines zweidimensionalen Feldes

1. 2. 3. 4.

Die Randlinien der Leiter sind Potenziallinien. Die D-Feldlinien stehen senkrecht auf den Randlinien der Leiter. Die Potenziallinien m¨ ussen u ¨berall die D-Feldlinien senkrecht schneiden. Der Abstand zwischen zwei benachbarten Potenziallinien muss an jeder Stelle des Feldes gleich dem Abstand zwischen zwei benachbarten DFeldlinien sein. 5. Wenn Stoffe verschiedener relativer Dielektrizit¨atskonstante vorhanden sind, so muss an den Grenzfl¨ achen das Brechungsgesetz der D-Feldlinien gelten. An die Stelle von 4) tritt dann die allgemeinere Bedingung εr (a/b) = k, wobei die Konstante k willk¨ urlich gew¨ ahlt werden kann. Man geht so vor, dass man erst nach Gef¨ uhl einige Potenziallinien einzeichnet. Dann bringt man D-Feldlinien an, die m¨ oglichst gut die Regel 4 erf¨ ullen, und korrigiert danach das Potenziallinienbild usw. Ist so durch abwechselndes Zeichnen von Potenzial- und D-Feldlinien bei immer feinerer Unterteilung das Feldbild gefunden, und bezeichnet U1 die Potenzialdifferenz zwischen je zwei benachbarten Niveaulinien, a ihren Abstand an irgendeiner Stelle, so gilt f¨ ur den Betrag des E-Feldes an dieser Stelle angen¨ahert

148

11 L¨ osungsverfahren der Poisson- und Laplace-Gleichung

E =

U1 . a

(11.12)

Damit kann auch das D-Feld berechnet werden. Der Fluss des D-Feldes, der von zwei benachbarten D-Feldlinien begrenzt wird, betr¨agt bei einer L¨ange l der Elektroden Dbl. Gehen in dem Feldbild von einem Leiter n D-Feldlinien zu einem anderen u ¨ber, so ist daher der gesamte Fluss des D-Feldes zwischen diesen beiden Leitern b (11.13) Q = εnl U1 = ε0 nlkU1 . b In Abschnitt 12.2 behandeln wir ausgehend von diesem Beispiel auch die graphische Berechnung des zugeh¨ origen Kapazit¨ atskoeffizienten.

Abbildung 11.2. Zur graphischen Bestimmung eines rotationssymmetrischen Feldes

Etwas schwieriger ist die Ermittlung von rotationssymmetrischen Feldern. Man denke sich hier den gesamten von einem Leiter ausgehenden Fluss des D-Feldes durch Rotationsfl¨ achen, die durch D-Feldlinien gebildet werden, in gleiche Teile zerlegt, Abb. 11.2. Bezeichnet man mit b den Abstand zwischen zwei benachbarten Rotationsfl¨ achen an irgendeiner Stelle mit dem Abstand r von der Achse, so ist der Querschnitt des durch diese Fl¨achen begrenzten B¨ undels von D-Feldlinien 2πrb. Das D-Feld ist umgekehrt proportional diesem Querschnitt. Damit das D-Feld proportional zum E-Feld wird, muss daher hier rb proportional dem Abstand a der benachbarten Potenziallinien sein, oder r

a = konst. b

(11.14)

Diese Bedingung tritt also an die Stelle von 4) beim ebenen Feld. Sind Stoffe verschiedener relativer Dielektrizit¨ atskonstante vorhanden, so hat die Konstante in ihnen verschiedene Werte, da in diesem Fall εr r

a = konst. = k b

(11.15)

sein muss. Um das Feldbild aufzuzeichnen, w¨ ahlt man f¨ ur k irgendeinen Wert und geht genau so vor wie oben beschrieben. Das E-Feld wird aus dem gefundenen Feldbild wieder nach der Gl.(11.12) berechnet.

11.2 Elementare Methoden

149

Diese Methode der Feldermittlung kann z.B. bei Isolatoren der Hochspannungstechnik angewendet werden, bei denen wegen der komplizierten geometrischen Formen die mathematischen Methoden versagen. Allerdings wird man in diesen F¨ allen auf einen der vielen Simulatoren f¨ ur elektrostatische Felder zur¨ uckgreifen (siehe Lehner f¨ ur eine kurze Zusammenfassung und z. B. Humphries [106]), mit denen man auch komplizierte geometrische Situationen behandeln kann. Allerdings ist zumindest bei einem unbekannten Simulator nicht klar, ob man den berechneten Ergebnissen trauen kann, da bei einem ungenauen oder sogar falschen Ergebnis vielfach keine Warnung ausgegeben wird. Eine Kenntnis der graphischen Methoden kann den Benutzer wenigstens in einfacheren F¨allen auf Probleme hinweisen, so dass diese Kenntnisse auch dann nicht nutzlos sind, wenn man u ugt. ¨ ber einen Feldsimulator verf¨ 11.2.2 Eindimensionale Potenzialprobleme Die einfachste Form des elektrischen Potenzials ist das eindimensionale skalare Feld, bei dem die Feldgr¨ oßen sich nur nach einer Richtung hin im Raum ¨andern. Legt man die x-Achse in diese Richtung, so liefern die Differentialoperatoren nach der y- und z-Richtung keine Beitr¨age, und die Laplace-PDgl. lautet d2 ϕ = 0. (11.16) dt2 Das allgemeine Integral dieser Gleichung ist ϕ(x) = k1 + k2 x

(11.17)

mit den zun¨ achst unbestimmten Konstanten k1 und k2 . Das E-Feld hat die x-Richtung, ihr Betrag ist (11.18) E = k2 . Die Potenzialfl¨ ache ϕ = konst. sind die Ebenen senkrecht zur x-Achse. Es handelt sich also um das homogene E-Feld, wie wir wir es im Idealfall zwischen zwei unendlich ausgedehnten ebenen und ideal leitenden Platten (Plattenkondensator) finden. An dieser Stelle soll noch einmal auf die Problematik von Symmetrieargumenten hingewiesen werden, auf die wir in Abschnitt 10.2.1 bereits ausf¨ uhrlicher eingegangen sind. Auch im Zusammenhang mit den parallelen ebenen Platten ist das Ausgangsproblem mathematisch nicht sinnvoll, wenn man davon ausgeht, dass das elektrische Potenzial im Unendlichen verschwinden sollte. Da, wie wir in Abschnitt 13.1 sehen werden, das elektrische Potenzial eine energetische Deutung besitzt, erscheint diese Annahme physikalisch sinnvoll zu sein. Erst die Verwendung von Symmetrieargumenten ergibt unter diesen Umst¨ anden ein wohldefiniertes mathematisches Problem. Das gilt weitgehend auch f¨ ur viele andere Beispiele der Elektrostatik, sobald sich die Ladungsverteilungen oder Potenzialvorgaben in der urspr¨ unglichen Problemstellung ins Unendliche ausdehnen.

150

11 L¨ osungsverfahren der Poisson- und Laplace-Gleichung

Aber auch andere Anordnungen lassen sich auf den eindimensionalen Fall reduzieren, wenn sich die Laplace-PDgl. in geeigneten Koordinaten auf eine gew¨ ohnliche Differentialgleichung reduzieren l¨asst. Ein solcher Fall tritt bei der Berechnung des elektrischen Potenzials einer ideal leitenden Kugel mit angt das Potenzial in Kugelkoordinaten dem Radius R0 auf. In diesem Fall h¨ nur vom Radius r und nicht von den Winkeln θ und α ab und der LaplaceOperator reduziert sich auf den Radius-Anteil; es ergibt sich eine eindimensionale Potenzialgleichung
 1 ∂ 2 ∂ϕ r = 0. (11.19) r2 ∂r ∂r F¨ ur r > 0, was bei einem Kugelradius immer erf¨ ullt ist, erh¨alt man eine gew¨ ohnliche Dgl. 1. Ordnung ∂ϕ = konst., ∂r

r2

(11.20)

die sich elementar l¨ osen l¨ asst ϕ(r) =

k , r

r > R0

(11.21)

mit einer Konstante k. Das ist das bereits in Abschnitt 10.1 berechnete elektrische Potenzial. Ein anderes Beispiel ist eine Anordnung zweier voneinander isolierter, ideal leitender ebener Platten, die von einer Schnittlinie aus unendlich ausgedehnt sind. In diesem Fall reduziert sich die Laplace-PDgl. in Zylinderkoordinaten (siehe Anhang B.1) auf den Winkelanteil 1 ∂ 2ϕ = 0, r2 ∂α2

(11.22)

die man f¨ ur r > 0 ebenfalls elementar l¨ osen kann. ¨ 11.2.3 Uberlagerung von Punktladungen In Abschnitt 10.1.1 wurde auf der Grundlage des elektrischen Potenzials einer leitenden Kugel das Potenzial der Punktladung eingef¨ uhrt, das wir im vorhergehenden Abschnitt zumindest f¨ ur einen nicht verschwindenden Kugelradius als L¨ osung der Laplace-PDgl. erhalten haben. Allgemeinere elektrostatische Felder entstehen, wenn mehrere Punktladungen vorhanden sind. Die von den einzelnen Punktladungen herr¨ uhrenden Potenziale, Gl.(10.9), u ¨berlagern sich dann wegen der linearen Abh¨ angigkeit zwischen Ladung und Potenzial, so dass das Gesamtpotenzial in einem beliebigen Raumpunkt ϕ(r) =

1  Qν 4πε ν r − rν 

(11.23)

11.3 Das Kirchhoff-Integral

151

wird, wobei Qν die Ladungen der Punktladungen und rν die Ortsvektoren der Punktladungen bezeichnen. Ist die Verteilung der Elektrizit¨atsmengen im Raum bekannt, so ist damit eindeutig das elektrische Potenzial bestimmt. Besonders hilfreich ist eine Anordnung aus zwei Punktladungen, die man f¨ ur N¨ aherungsbetrachtungen komplizierterer Ladungsverteilungen (z. B. das Coulombsche Experiment oder sogar atomare Anordnungen) verwenden kann. Das Verhalten des Potenzials wird ausf¨ uhrlich in Abschnitt 10.1.3 diskutiert. In Abschnitt 11.6 werden wir diese Ergebnisse nutzen, um die sogenannte Spiegelungsmethode anhand eines einfachen Beispiels zu demonstrieren.

11.3 Das Kirchhoff-Integral In Abschnitt 11.1.1 haben wir gezeigt, dass die Bestimmung der allgemeinen L¨ osung der Poisson-PDgl. auf die Ermittlung der allgemeinen L¨osung der zugeh¨ origen homogenen Laplace-PDgl. und irgendeiner speziellen L¨osung der L¨ osung der Poisson-PDgl. zur¨ uckgef¨ uhrt werden kann. Dabei werden die Randwerte bei der L¨ osung der Laplace-PDgl. ber¨ ucksichtigt. In diesem Abschnitt wollen wir eine allgemeine Darstellung f¨ ur eine spezielle L¨osung der Poisson-PDgl. ableiten. Dazu kann man von den sogenannten Greenschen S¨atzen der Vektoranalysis ausgehen. Hinsichtlich der Einzelheiten und Beweise m¨ ussen wir auf die Literatur verweisen (siehe z.B. Wunsch, Schulz [244]). Sei ρ, ψ, φ : R3 → R skalare mathematische Felder, dann gilt unter bestimmten Voraussetzungen an diese Felder folgende Beziehung, die als 3. Greensche Formel bezeichnet wird  ˜ (ξ(˜ r)ψ(˜ r)gradφ(˜ r) − ξ(˜ r)φ(˜ r)gradψ(˜ r)) dA O  = (ψ(˜ r)Ω(ξ, φ)(˜ r) − φ(˜ r)Ω(ξ, ψ)(˜ r)) dV˜ , (11.24) V

wobei Ω(ξ, ·) := div{ξ grad (·)}, ist. Weiterhin kann man zeigen, dass f¨ ur ψ(r, ˜ r) :=

1 ˜ ˜ + ψ(r, r) r − ˜ r

(11.25)

mit ψ˜ = 0 und konstante Funktionen ξ jedes skalare Feld φ in folgender Weise notiert werden kann  1  − ψ(r, ˜ r)( φ)(˜ r)dV˜ (11.26) φ(r) = 4π V   ˜ . (11.27) (ψ(r, ˜ r)gradφ(˜ r) − φ(˜ r)gradr˜ψ(r, ˜ r)) · dA + O

Sei schließlich φ := ϕ eine L¨ osung der Poisson-PDgl., d.h. ϕ = −/ε, so erh¨ alt man eine Integraldarstellung f¨ ur L¨ osungen der Poisson-PDgln.

152

11 L¨ osungsverfahren der Poisson- und Laplace-Gleichung

 1 ψ(r, ˜ r)(˜ r)dV˜ (11.28) 4πε  V 1 ˜ (11.29) (ψ(r, ˜ r)gradϕ(˜ r) − ϕ(˜ r)gradr˜ψ(r, ˜ r)) · dA. + 4π O

ϕ(r) = +

Als Folgerung des Eindeutigkeitssatzes f¨ ur die Poisson-PDgl. (siehe Abschnitt 11.1.2) ergibt sich, dass das Oberfl¨ achenintegral u ¨ berbestimmt ist, da eine Vorgabe des elektrischen Potenzials und dessen Gradient auf dem gleichen oglich ist. Das skalare Feld ψ enth¨alt noch eine Feld Randbereich AV nicht m¨ ˜ das L¨ ψ, osung der Laplace-PDgl. ist und so gew¨ahlt werden kann, dass die vollst¨ andige L¨ osung der Poisson-PDgl. auch die vorgegebenen Randbedingungen erf¨ ullt. Einzelheiten dazu werden im folgenden Abschnitt behandelt. Das ist aber nur m¨ oglich, wenn eine L¨ osung der Poisson-PDgl. u ¨ berhaupt existiert. Sollte das der Fall sein, ist diese L¨ osung unter den genannten Bedingungen eindeutig. Betrachten wir nur solche Anordnungen, bei denen außer der Bedingung, dass das elektrische Potenzial im Unendlichen verschwindet (die sogenannten nat¨ urlichen Randbedingungen), keine weiteren Randbedingungen gestellt werden, dann entf¨ allt der Anteil ψ˜ und wir erhalten die – auch als Kirchhoffintegral bezeichnete – spezielle L¨ osung der Poisson-PDgl., die dann bereits die allgemeine L¨osung des Problems ist  (˜ r) 1 dV˜ . (11.30) ϕ(r) = 4πε r V r − ˜ Damit ist die L¨ osung der Poisson-PDgl. in diesen F¨allen auf die Berechnung des Kirchhoffintegrals zur¨ uckgef¨ uhrt. Diese L¨ osung der Poisson- PDgl. kann analytisch ermittelt werden, wenn er Integrand des Kirchhoffintegrals und insbesondere die vorgegebenen Ladungsverteilungsdichte  einfach ist. Andernfalls muss man numerische Verfahren zu Hilfe nehmen oder geeignete analytische N¨ aherungsverfahren anwenden. Ein solches N¨aherungsverfahren wird Multipolmethode genannt, die wir in Abschnitt 11.5 behandeln werden.

11.4 Die Greensche und Neumannsche Funktionen Im vorherigen Abschnitt haben wir in Gl. (11.28) eine Integraldarstellung f¨ ur die L¨ osungen der Poisson-Gleichung angegeben. Die in dieser Darstellung auftretende Funktion ψ(r, ˜ r) ist nicht eindeutig, sondern h¨angt von der ausgew¨ ahlten L¨ osung der Laplace-Gleichung ψ = 0 ab. Mit Hilfe geeigneter L¨ osungen der homogenen Laplace-Gleichung kann man das Gewicht der L¨ osungsanteile von Volumen- und Oberfl¨ achenintegral verschieben. Die beiden wichtigsten F¨ alle sollen nun aufgef¨ uhrt werden. 1. Kann die Funktion ψ˜ in Gl. (11.25) so gew¨ahlt werden, dass ψ f¨ ur alle Werte auf dem Rand A des betrachteten Gebiet (auch ∞ ist m¨oglich) verschwindet, dann wird diese so modifizierte Funktion ψ Greensche Funktion

11.5 Die Multipolmethode

153

G(r, ˜r) := ψ(r, ˜r) genannt. Die L¨ osung der Poisson-PDGl. kann dann in folgender Weise dargestellt werden   1 1 ˜ ˜ (11.31) G(r, ˜r)(˜r)dV − ϕ(˜r)gradr˜G(r, ˜r) · dA. ϕ(r) = 4πε 4π O V 2. Kann die Funktion ψ˜ in Gl. (11.25) so gew¨ahlt werden, dass ∂ψ/∂n = ur alle Werte auf dem Rand A des betrachteten Gebiet (auch n · gradr˜ψ f¨ ∞ ist m¨ oglich) verschwindet, dann wird diese so modifizierte Funktion ψ Neumannsche Funktion N (r, ˜r) := ψ(r, ˜r) genannt. Die L¨osung der Poisson-PDGl. kann dann in folgender Weise dargestellt werden   1 1 ˜ (11.32) ˜ N (r, ˜r)(˜r)dV + N (r, ˜r)gradr˜ϕ(˜r)·dA. ϕ(r) = 4πε 4π O V Die Greensche als auch die Neumannsche Funktion werden allein durch die geometrische Form des betrachteten Bereiches festgelegt. Die Greenschen Funktionen einiger wichtiger Gebiete findet man beispielsweise bei Wunsch und Schulz [244]. Die partiellen Differentialgleichungen f¨ ur G(r, ˜r) und N (r, ˜r) sind vom Typ einer Poissonschen PDGl. mit einer Deltafunktion δ(r − ˜r) auf der rechten Seite, d. h. es sind Impulsantworten“ der Gebiete V , wobei G ” bzw. die Normalenableitung von N auf dem Rand O verschwindet. Betrachtet man den unendlich ausgedehnten Raum, dann kann f¨ ur die Funktion ψ˜ nach Gl.(11.25) die Nullfunktion gew¨ahlt werden und das Oberfl¨achenintegral verschwindet; man erh¨ alt dann das Kirchhoff-Integral aus Gl. (11.30), bei dem es sich wie in der Systemtheorie (vgl. Abschnitt 2) um ein Faltungsintegral handelt. Die Impulsantwort“ oder Greensche Funktion des ” unendlich ausgedehnten Raumes ist nach Gl.(11.25) gerade das Potenzial der Punktladung, womit man neben der Punktladung als Monopol einer Multipolentwicklung noch eine weitere Interpretation besitzt.

11.5 Die Multipolmethode In Abschnitt 11.3 wurde das Kirchhoffintegral abgeleitet, bei dem es sich um die allgemeine L¨osung der Poisson-PDgl. bei Vorliegen nat¨ urlicher Randbedingungen handelt. Andernfalls hat man es mit komplizierteren Darstellungen zu tun, auf die wir in Abschnitt 11.4 eingegangen sind. Ist eine analytische Auswertung des Kirchhoffintegrals nicht m¨oglich, weil der Integrand zu kompliziert ist, kann man auf numerische oder analytische N¨ aherungsverfahren zur¨ uckgreifen. In diesem Abschnitt wollen wir die Grundidee der sogenannten Multipolmethode anhand des Kirchhoffintegrals darstellen. Eine allgemeinere Einf¨ uhrung in die Multipolmethode und numerische Varianten findet man bei z. B. Klinkenbusch [120] zusammen mit weiteren Literaturhinweisen.

154

11 L¨ osungsverfahren der Poisson- und Laplace-Gleichung

Die Grundvoraussetzung der ist, dass die Raumpunkte, in denen das elektrische Potenzial ϕ berechnet werden soll, von der Ladungsverteilungsdichte  weit“ entfernt sind. In anderen Worten, es gilt ν := ˜ r/r ist klein“. Die ” ” Idee besteht darin, den Nenner des Kirchhoffintegrals zu vereinfachen, wobei eine Taylorreihen-Entwicklung von ψ(r, ˜ r) nach ν verwendet wird. Allerdings kann nur der Term 1. Ordnung in einfacher Weise ermittelt werden (˜ r wird weggelassen). Die anderen Terme ermittelt man zweckm¨aßigerweise auf der Basis einer Legendre-Polynomentwicklung (vgl. z. B. Wunsch, Schulz [244]); man erh¨ alt damit ψ(r, ˜ r) =

∞ 1  1 = Pn (u) ν n r − ˜ r r n=0

(11.33)

mit u := (r · ˜ r)/(r˜ r) und Pn (u) := 1/(2n n!)dn ((u2 − 1)n )/dun . Setzt man diese Entwicklung in des Kirchhoffintegral ein, dann erh¨alt man eine additive Zerlegung des elektrischen Potenzials ϕ(r) =

∞ 

ϕn (r),

(11.34)

n=0

deren Teilpotenziale bis auf eine Integration bestimmt sind
  r·˜ r 1 Pn r) dV˜ . ˜ rn (˜ ϕn (r) = 4πε r˜ r V

(11.35)

Die ersten beiden Terme heißen Monopol und Dipol und lassen sich folgendermaßen bestimmen  1 (˜ r) dV˜ , (11.36) ϕ0 (r) = 4πεr V  r · ˜ r(˜ r) dV˜ ; (11.37) ϕ1 (r) = 4πεr3 V die beiden Integrale 

 (˜ r) dV˜ ,

Q := V

˜ r(˜ r) dV˜

P1 :=

(11.38)

V

werden Monopol-Moment Q und Dipol-Moment P1 der Ladungsverteilungsdichte  genannt. Die Bestimmung der h¨ oheren Momente (Quadrupolmoment usw.) f¨ uhrt zu aufwendigeren Rechnungen und daher werden sie seltener verwendet (vgl. Schnackenberg [202], Eder [61]). Wie haben bereits darauf hingewiesen, dass im Rahmen der Multipolmethode das Potenzial der Punktladung formal gerechtfertigt werden kann. Das ist notwendig, da Punktladungen streng genommen physikalisch nicht existieren. Im Rahmen der Multipolmethode kann der Monopolterm einer beliebigen,

11.6 Die Spiegelungsmethode

155

endlich ausgedehnten Ladungsverteilungsdichte  als elektrisches Potenzial einer Punktladung Q interpretiert werden, wobei Q das Monopol-Moment von  ist. Dementsprechend gibt es keine elementare Rechtfertigung f¨ ur einen elektrischen Dipol. Das Potenzial der h¨ aufig verwendeten Anordnung zweier Punktladungen, die gleiche Ladung verschiedenen Vorzeichens besitzen und in klei” nem“ Abstand platziert sind, h¨ angt streng genommen noch von den Betr¨agen der Abst¨ ande zum Aufpunkt ab. Erst mit Hilfe eines geeigneten Grenz¨ uberganges kann diese Abh¨ angigkeit auf einen Raumpunkt reduzieren. Es ergibt sich dann das Potenzial ϕ1 , das durch das Dipolmoment festgelegt ist. Da diese Vorgehensweise zur Illustration des elektrischen Dipols gut geeignet ist, soll auf die Darstellung dieses Grenz¨ uberganges nicht verzichten werden; man findet ihn in Abschnitt 10.1.4.

11.6 Die Spiegelungsmethode In diesem Abschnitt wird eine Methode zur L¨ osung der Poisson-PDgl. behandelt, wobei im 2- oder 3-dimensionalen Raum eine Raumladung  enthalten ist und das L¨ osungsgebiet durch einen eingebetten idealen Leiter eingeschr¨ankt ist. Bei der sogenannten Spiegelungsmethode geht es darum, den idealen Leiter durch eine weitere Raumladung zu ersetzen, wobei auf dem Rand des Gebietes, wo der Leiter platziert ist, dasselbe Potenzial herrscht. Bei dieser Ersetzung entsteht ein Problem, bei dem nur noch nat¨ urliche Randbedingungen vorgege¨ ben sind. Das Potenzial in irgendeinem Punkt kann dann durch Uberlagerung (vgl. Abschnitt 11.2.3) ermittelt werden. Abschließend wird das Potenzial des Ersatzproblems f¨ ur das Ausgangsproblem verwendet und man kann auf dem ¨ Rand des Leiters die Oberfl¨ achenladung bestimmen. Ubrigens ist letztlich die Spiegelungsmethode ein Verfahren, mit dem man die Greensche Funktion (vgl. Abschnitt 11.4) von Problemen mit ideal leitenden R¨andern ermitteln kann. Grunds¨ atzlich kann die Methode auch dann angewendet werden, wenn die Leiterfl¨ ache keine Ebene ist. Allerdings ist die praktische Durchf¨ uhrung der rechentechnischen Schritte nur selten durchf¨ uhrbar. Eine Ausnahme stellt die Spiegelung an der Kugel dar, auf die jetzt eingegangen werden soll. Dabei gehen wir von in Abschnitt 10.1.3 diskutierten elektrischen Feld zweier entgegengesetzt geladenen Punktladungen aus, bei dem gezeigt werden ¨ konnte, dass eine kugelf¨ ormige Aquipotenzialfl¨ ache auftritt. Ein elektrostatisches Feld ¨ andert sich nicht, wenn man eine beliebige Potenzialfl¨ache durch eine d¨ unne“ Metallschicht ersetzt, der das gleiche elektrische Potenzial erteilt ” wird. Diese Metallschicht verbindet nur Punkte ohne Potenzialunterschied; das die E-Feldlinien auf den Potenzialfl¨ achen senkrecht stehen, so stehen sie auch senkrecht auf der so gebildeten Metallelektrode. Außerhalb der betrachteten Potenzialfl¨ache bleibt daher das Feldbild erhalten, wenn man den von ihr eingeschlossenen Raum mit einem leitenden Stoff auff¨ ullt, dem das be¨ treffende Potenzial erteilt wird. Wendet man diese Uberlegung auf die eben

156

11 L¨ osungsverfahren der Poisson- und Laplace-Gleichung

betrachtete Kugelfl¨ ache an, so ergibt sich das Feldbild zwischen einer Punktladung Q1 und einer leitenden Kugel vom Radius r0 und der Ladung Q2 + Q3 , deren Mittelpunktsabstand von der Punktladung a + b = d betr¨agt. Ist dieser Abstand d gegeben, so wird nach Gl.(10.16) b=

r02 , d

(11.39)

nach Gl.(10.12), (10.12) und (10.17) Q2 = −

b r0 Q1 = −Q1 = −Q1 . k r0 d

(11.40)

Die Punktladung Q2 wird in diesem Fall wegen der Analogie zu dem Spiegelungsverfahren bei ebenen Oberfl¨ achen als elektrisches Bild (W. Thomson 1845) der Punktladung Q1 in bezug auf die Kugeloberfl¨ache bezeichnet. Sind im Außenraum der Kugel mehrere Punktladungen vorhanden, so kann man zu jeder dieser Ladungen ein Bild im Inneren der Kugel angeben; der ganze Außenraum l¨ asst sich mit Hilfe der Beziehungen (11.39) und (11.40) auf das Innere der Kugel abbilden. Diese Beziehungen stellen das Gesetz der rezipro” ken Radien“ dar; je weiter ein Punkt im Außenraumes vom Kugelmittelpunkt entfernt ist, um so dichter r¨ uckt sein Bild an den Kugelmittelpunkt heran. Das elektrische Feld im Außenraum der Kugel l¨asst sich durch das der drei Punktladungen Q1 , Q2 und Q3 ersetzen. Die Gesamtladung der Kugel ist Q2 + Q3 . Soll die Kugel keine Ladung haben, so muss r0 (11.41) Q3 = −Q2 = Q1 d gemacht werden. Das elektrische Potenzial ist dann f¨ ur beliebige Punkte des Außenraumes im Abstand r3 vom Mittelpunkt der Kugel und damit von Q3 und den Abst¨ anden r1 und r2 von Q1 und Q2 
r0 1 r0 1 1 Q1 − + . (11.42) ϕ= 4πε r1 d r2 d r3 Diese Beziehung kann zur L¨ osung der folgenden Aufgabe angewendet werden: Es befinde sich im isolierten Raum eine Punktladung Q1 . Ihr elektrisches Feld ist bekannt und wird durch das elektrische Potenzial beschrieben ϕ(r) =

Q1 1 ; 4πε r − r1 

(11.43)

Q1 1 . 4πε r − r1 2

(11.44)

das E-Feld betr¨ agt demnach E(r) =

Es werde nun eine ungeladene Metallkugel mit dem Radius r0 in dieses elektrische Feld gebracht mit dem Abstand d zwischen Kugelmittelpunkt und der Punktladung. Das E-Feld war im Kugelmittelpunkt vor Einbringen der Kugel

11.7 Konforme Abbildungen

E0 =

1 Q1 . 4πε d2

157

(11.45)

Gefragt ist, in welcher Weise das prim¨ are elektrische Feld durch das Vorhandensein der Kugel ver¨ andert wird. Die Antwort ergibt sich durch Gl.(17.30) mit (11.39); es ist z.B. das Potenzial, das die Kugel annimmt (r1 = d−r0 ; r2 = r0 − b; r3 = r0 ), 1 Q1 . (11.46) ϕKugel = 4πε d Dies ist das vor dem Einbringen der Kugel am Orte des Kugelmittelpunktes bestehende Potenzial. Da sich jedes elektrische Feld nach Gl.(10.9) durch eine geeignete Verteilung von Punktladungen darstellen l¨asst, folgt: Eine ungeladene Kugel nimmt im elektrischen Feld das Potenzial an, das am Ort ihres Mittelpunktes vor dem Hineinbringen in das Feld bestand.

11.7 Konforme Abbildungen Wir befassen uns nun mit einer auf den zweidimensionalen Fall beschr¨ankten analytischen L¨ osungsmethode f¨ ur die Laplace-PDgl. Das zweidimensionale elektrische Feld, bei dem die Feldgr¨ oßen nach zwei Richtungen hin ver¨anderlich sind, tritt bei Idealisierung sehr h¨ aufig auf. Ein solches Feld liegt immer vor, wenn es sich um langgestreckte parallele Elektroden handelt, z.B. bei Leitungen. Dabei sollten jedoch die Diskussion beachten werden, die wir in Abschnitt 10.2.1 u ¨ ber unendlich ausgedehnte Anordnungen und die Anwendung von Symmetrieargumenten gef¨ uhrt haben. Treten keine Raumladungen auf, dann gilt in solchen F¨ allen die zweidimensionale Laplace-PDgl. ∂2ϕ ∂2ϕ + = 0. ∂x2 ∂y 2

(11.47)

Von den L¨ osungen dieser Gleichungen l¨ asst sich eine bestimmte Teilmenge in allgemeiner Form angeben. Es befriedigt n¨amlich jede beliebige komplex differenzierbare (holomorphe) Funktion f : C → C mit f : ζ → f (ζ) die Laplace-Gleichung. Zum√Nachweis zerlegen wir ζ in Real- und Imagin¨arteil ζ := x + jy (mit j := −1 und betrachten die zweiten Ableitungen von f bez¨ uglich der reellen Argumente x und y ∂2f = f  (x + jy), ∂x2

∂2f = −f  (x + jy). ∂y 2

(11.48)

Die Summe der beiden Differentialquotienten ist gleich null, so dass die komplexwertige Funktion f die zweidimensionale Laplace-PDgl. (11.47) erf¨ ullt. Die komplexwertige Funktion f kann ihrerseits in Real- und Imagin¨arteil zerlegt werden f (x + jy) =: u(x, y) + jv(x, y), (11.49)

158

11 L¨ osungsverfahren der Poisson- und Laplace-Gleichung

wobei u und v reellwertige Funktionen in x und y sind. Geht man mit diesem Ansatz in die Laplace-PDgl. ein, so ergibt sich ∂2v ∂2v ∂ 2 u ∂ 2u + 2 + j 2 + 2 = 0. 2 ∂x ∂y ∂x ∂y

(11.50)

Reeller und imagin¨ arer Teil der linken Seite m¨ ussen f¨ ur sich Null sein, so dass sowohl u als auch v m¨ ogliche L¨ osungen der Laplace-PDgl. darstellen. Man erh¨ alt also mit jeder beliebigen komplex differenzierbaren Funktion f sogleich zwei L¨ osungen der Laplace-PDgl. Beispiel: Es werde gesetzt; dann wird

f (x + jy) = (x + jy)2 U = x2 − y 2 ,

v = 2xy.

(11.51) (11.52)

u und v sind m¨ ogliche Potenzialfunktionen. Die Kurven u =konst. bilden gleichseitige Hyperbeln mit den Halbierungsgeraden der Quadranten als Asymptoten. Die Kurven v =konst. sind gleichseitige Hyperbeln mit den Achsen als Asymptoten (siehe Abb. 11.6). Die reellwertigen Funktionen u und v sind nun in einer eigent¨ umlichen Weise einander zugeordnet. Man erkennt diese Zuordnung, wenn man von der Darstellung der komplexen Gr¨ oßen in der Gaußschen Zahlenebene ausgeht. Zu jedem Wertepaar x, y, also zu jedem Punkt der x, y-Ebene, Abb. 11.3, liefert die Funktion f einen Punkt in der u, v-Ebene, wenn wir unsere Betrachtungen auf eindeutige Funktionen beschr¨ anken. Man kann also mit Hilfe der Funktion f die reelle x, y-Ebene auf die reelle u, v-Ebene abbilden. Es l¨asst sich zeigen, dass diese Abbildung winkeltreu, d.h. eine in kleinsten Teilen ¨ahnliche Abbildung ist. Wir gehen von einem Punkt P1 der x, y-Ebene aus nach einer

Abbildung 11.3. Darstellung der komplexen Funktionen in der Zahlenebene

 beliebigen Richtung um ein sehr kleines St¨ uck δ1 = (dx)2 + (dy)2 weiter zum Punkt P2 . De, Punkt P1 mit den Koordinaten x1 , y1 entspricht in der u, v-Ebene der Punkt Q1 mit den Koordinaten u1 , v1 . Ebenso entspricht dem

11.7 Konforme Abbildungen

159

 ur den Abstand Punkt P2 der Punkt Q2 , und es gilt δ2 = (du)2 + (dv)2 f¨ zwischen Q1 und Q2 . Nun ist f¨ ur den Punkt Q1 u1 + j v1 = f (x1 + j y1 ),

(11.53)

f¨ ur den Punkt Q2 u1 + j v1 + (du + j dv) = f (x1 + j y1 + (dx + j dy)).

(11.54)

Durch Potenzreihenentwicklung der rechten Seite folgt hieraus: u1 + j v1 + (du + j dv) = f (x1 + j y1 ) + (dx + j dy)f  (x1 + j y1 )

(11.55)

und durch Zusammenfassung mit Gl.(11.53) du + j dv = (dx + j dy)f  (x1 + j y1 ).

(11.56)

Bildet man auf beiden Seiten die absoluten Betr¨age und setzt zur Abk¨ urzung    ∂f (x1 + j y1 )   =: k1 (11.57) |f  (x1 + j y1 )| =   ∂x1 so folgt δ2 = δ1 k1 .

(11.58)

ur den Punkt P1 eine Konstante, gleichg¨ ultig nach welcher Richtung k1 ist f¨ man von P1 aus fortschreitet. Geht man nach zwei verschiedenen Richtungen um kleine Strecken weiter, so verhalten sich diese Strecken daher wie ihre Abbildungen in der u, v-Ebene. Wir zeichnen nun in der x, y-Ebene ein kleines Dreieck P1 P2 P3 , Abb. 11.4; dann stellt die Abbildung in der u, v-Ebene wieder ein Dreieck Q1 Q2 Q3 dar. Nun stimmen nach Gl.(11.58) die folgenden Streckenverh¨ altnisse u ¨ berein:

Abbildung 11.4. Konforme Abbildung

P1 P2 Q1 Q2 = P1 P3 Q1 Q3

und

P2 P3 Q2 Q3 = P2 P1 Q2 Q1

(11.59)

Daraus geht hervor, dass die beiden Dreiecke einander ¨ahnlich sind. Das gleiche gilt auch f¨ ur beliebige andere, unendlich kleine Figuren. Die durch die

160

11 L¨ osungsverfahren der Poisson- und Laplace-Gleichung

Funktion f vermittelte Abbildung ist also eine in kleinsten Fl¨achenteilchen ahnliche ( konforme“) Abbildung. Schneiden sich zwei Linien in der x, y¨ ” Ebene unter irgendeinem Winkel, so schneiden sich auch ihre Abbildungen in der u, v-Ebene unter dem gleichen Winkel. Wir denken uns nun in der u, v-Ebene die zu den Achsen parallelen geraden Linien u = konst. und v = konst. (11.60) gezogen. Diese geraden Linien stehen aufeinander senkrecht. Ihre Abbildungen in der x, y-Ebene sind irgendwelche Kurven, die aber nach dem oben Gesagten u ¨ berall senkrecht aufeinander stehen. Wenn wir daher u als Potenzial betrachten,m die Kurven u = konst. in der x, y-Ebene entsprechend als Niveaulinien, so stehen die Kurven v = konst. u ¨ berall senkrecht auf den Niveaulinien, d.h. diese Kurven sind die D-Feldlinien. Ebenso gilt das Umgekehrte. Stellt u bzw. v die Potenzialfunktion dar, so ergeben sich die Gleichungen der D-Feldlinien v = konst. bzw. u = konst. Diese beiden beiden Kurvenscharen sind ortho” gonal“. Fassen wir die Funktion u als Potenzialfunktion auf, so geh¨ort zu einer Vergr¨ oßerung von u um du eine bestimmte Strecke dn := dx + jdy in der x, y-Ebene, die die Richtung einer D-Feldlinie hat, und es gilt nach Gl.(11.56) du = f  (x1 + jy1 ). dn

(11.61)

Bewegen wir uns andererseits vom gleichen Ausgangspunkt l¨angs einer Niveaulinie um eine Strecke ds, so bleibt u konstant, und v ¨andert sich um einen Betrag dv. Die Strecke ds sei gegen dn um 90◦ links herum gedreht und gleich lang; wir setzen daher ds := j(dx + jdy), (11.62) da eine Multiplikation mit j eine solche Drehung ergibt, und es gilt nach Gl.(11.56) dv = −f  (x1 + jy1 ); (11.63) dv = −ds f  (x1 + jy1 ), ds Hieraus folgt dv du =− . (11.64) dn ds Diese Beziehung gilt auch f¨ ur irgendeinen Punkt P1 einer Leiteroberfl¨ache, Abb. 11.5. Dort ist  dv   du      (11.65)   = −  = E. dn ds Das D-Feld hat daher auf der Leiteroberfl¨ ache den Betrag  dv   dϕ      (11.66) D = ε E = ε  = ε . dn ds Daraus kann man den Verschiebungsfluss Q12 berechnen, der zwischen zwei Mantellinien des Leiters mit den Spuren P1 und P2 von der Leiteroberfl¨ache ausgeht. Er ist f¨ ur einen Abschnitt von der L¨ ange l

11.7 Konforme Abbildungen

161

Abbildung 11.5. Zur Berechnung des Verschiebungsflusses bei zylindrischen Elektroden



P2

Q12 = l P1

   v2    Dds = εl dv  = εl|(v1 − v2 |.  v1 

(11.67)

Aus den beiden Funktionswerten v1 und v2 in den beiden Punkten P1 und P2 l¨ asst sich also sofort der Verschiebungsfluss finden. Nur f¨ ur wenige F¨ alle von Elektrodenanordnungen gibt es mathematische Verfahren, durch die zu der gegebenen Anordnung die Funktion f ermittelt werden kann. Der einfacherer Weg zur Berechnung von Potenzialfeldern ist der umgekehrte, n¨ amlich irgendwelche Funktionen f anzunehmen und zu untersuchen, bei welchen Elektrodenformen diese Funktionen die Grenzbedingungen erf¨ ullen. Im folgenden werden einige Beispiele daf¨ ur betrachtet. 1. Die Funktion f (ζ) = c, ζ 2 Es wird mit Gl.(11.49) u(x, y) = c (x2 − y 2 ),

v(x, y) = 2cxy.

(11.68)

W¨ ahlt man v als Potenzialfunktion, so ergeben sich die Niveaulinien x · y = konst.

(11.69)

als gleichseitige Hyperbeln, Abb. 11.6. Die Kurven u = konst. stellen die DFeldlinien dar, es sind ebenfalls Hyperbeln, die auf der Schar der Niveaulinien u ¨ berall senkrecht stehen. Das Feld in einem einspringenden rechten Winkel hat diese Form. Die Feldst¨ arke ist in der Ecke Null und nimmt mit wachsendem Abstand von der Ecke proportional zu. 2. Die Funktion f (ζ) =

c ζ

Es wird f (ζ) = also

c(x − jy c = 2 , x + jy x + y2

(11.70)

162

11 L¨ osungsverfahren der Poisson- und Laplace-Gleichung

Abbildung 11.6. Feld in einer einspringenden Ecke

u(x, y) =

cx , x2 + y 2

v(x, y) = −

cy . x2 + y 2

(11.71)

Die Kurven u = konst. und v = konst. stellen Scharen von Kreisen dar, und zwar ergibt sich das Feldbild eines Liniendipols (vgl. Abschnitt 10.2.5). 3. Die Funktion f (ζ) = c ln ζ Setzt man r :=



x2 + y 2 und α := arctan(y/x), Abb. 11.7, so wird ζ=

r jα e , r0

(11.72)

wobei r0 die Koordinate des Potenzial-Nullpunktes ist, so folgt daraus u(x, y) = c ln

r , r0

v(x, y) = c α.

(11.73)

Mit u = ϕ ergibt sich das Feld in der Umgebung einer Linienquelle; die Niveaulinien sind konzentrische Kreise, die D-Feldlinien α = konst. sind Strahlen durch den Nullpunkt.

Abbildung 11.7. Polarkoordinaten

11.7 Konforme Abbildungen

163

Setzt man umgekehrt v = ϕ, so erh¨ alt man das Feld in der Umgebung einer ebenen Metallplatte, die durch einen geradlinigen, unendlich d¨ unnen Schnitt senkrecht zur Plattenoberfl¨ ache geteilt ist und deren beide Teile verschiedene Potenziale haben. Das Feld zwischen zwei parallelen Linienquellen mit dem Abstand a und entgegengesetzt gleicher Ladung ergibt sich durch den Ansatz 

a a − c ln ζ + . (11.74) f (ζ) = c ln ζ − 2r0 2r0 Es ist in Abb. 10.14 dargestellt. In entsprechender Weise kann das Feld eines B¨ undelleiters f¨ ur Hochspannungs¨ ubertragung oder einer Reusenantenne berechnet werden. n Leiter bilden mit gleichen Abst¨ anden voneinander Mantellinien eines Kreiszylinders vom Radius R, z.B. n = 6 in Abbildung 11.8. Die Leiter sind elektrisch miteinander verbunden, so dass sie alle gleiches Potenzial und gleiche Ladung ur irgendeinen Punkt P des Raumes erh¨alt Q1 haben. Die Potenzialfunktion f¨ ¨ man durch Uberlagern der von den einzelnen Leitern herr¨ uhrenden Potenziale. Legt man den Nullpunkt des in die Mitte des B¨ undels setzt also r0 = R, so ergibt die Addition

Abbildung 11.8. B¨ undelleiter

  2π Q1  ln(ζ − 1) + ln ζ − ej n + 2πεl     2π 2π + ln ζ − e2j n + · · · + ln ζ − e(n−1)j n

f (ζ) = −

(11.75) (11.76)

oder in anderer Schreibweise f (ζ) = −

v=n−1   2π Q1  ln ζ − evj n . 2πεl v=0

(11.77)

Schreibt man die Summe der Logarithmen als Logarithmus des Produktes und multipliziert dieses aus, so findet man

164

11 L¨ osungsverfahren der Poisson- und Laplace-Gleichung

f (ζ) = −

Q1 ln (ζ n − 1) . 2πεl

(11.78)

Setzt man hier ζ = ejα r/R, so stellt der reelle Teil von f (ζ) das Potenzial in Polarkoordinaten dar. In unmittelbarer N¨ahe der Linienquelle bilden die Potenzialfl¨ achen angen¨ ahert Kreiszylinder. Wenn der Radius r0 der Leiter klein gegen R ist, so f¨ allt die Leiteroberfl¨ ache mit einer solchen Potenzialfl¨ache zusammen. Um das Potenzial des Leiters 1 zu finden, muss man ζ f¨ ur irgend einen Punkt der Oberfl¨ ache dieses Leiters einsetzen, z.B. ζ =1+

r0 . R

(11.79)

Da gem¨ aß Voraussetzung r0 klein gegen R sein soll, so kann man die Binomialentwicklung von ζ n nach dem zweiten Glied abbrechen:  nr0 r0 n =1+ . (11.80) ζn = 1 + R R Man findet so f¨ ur das Leiterpotenzial ϕ=−

 nr  Q1 0 ln . 2πεl R

(11.81)

Die Ladung Q1 des Leiters ist 1/n der Ladung Q des Leitersystems; daher gilt auch
   nr  Q nr0 Q 0 ln = =− ln . (11.82) ϕ=− 2πεl R 2πεl R Vergleicht man dies mit dem Potenzial eines einzelnen zylindrischen Leiters mit der gleichen Ladung Q und mit dem Radius R , Gl.(10.59),
 R Q1 ln , (11.83) ϕ=− 2πεl R so erkennt man, dass der B¨ undelleiter hinsichtlich der Ladungen, also auch hinsichtlich der Kapazit¨ at, einem einzelnen zylindrischen Leiter vom Radius  nr0 (11.84) R = R n R gleichwertig ist. Den Betrag des E-Feldes an der Leiteroberfl¨ache erh¨alt man mit Gl.(11.82) und Gl.(11.83):  dϕ  Q   . (11.85) E = = dr0 2πεlr0 n Um die E-Feldst¨ arke an den Oberfl¨ achen der Dr¨ahte zu berechnen, ermittelt man zun¨ achst den Radius R des f¨ ur die Kapazit¨at der B¨ undelanordnung und hieraus die Ladung Q f¨ ur eine gegebene Spannung berechnen.

11.7 Konforme Abbildungen

165

Die E-Feldst¨ arke an der Leiteroberfl¨ ache erh¨alt man mit Gl.(11.82) und (11.83)    dϕ  Q   . (11.86) E =  =  dr0  2πεlr0 n In Abschnitt 12.3 erh¨ alt man daraus die Kapazit¨at C. Eine Spannung U zwischen den beiden B¨ undelleitern f¨ uhrt daher mit Gl.(12.47) zur Ladung πεl U, (11.87) Q=CU = ln Ra
und damit folgt f¨ ur die E-Feldst¨ arke an der Oberfl¨ache der Leiter E =

U . 2r0 n ln Ra


(11.88)

Zwei massive Leiter mit dem Radius r0 und gleichem Achsenabstand a w¨ urden nach Gl.(10.95) (wieder unter der Voraussetzung kleiner Leiterdurchmesser gegen den Abstand) zu einer E-Feldst¨ arke E  =

U 2r0 ln ra0

(11.89)

f¨ uhren. Die E-Feldst¨ arke wird also auf den Bruchteil ln ra0 E = E  n ln Ra


(11.90)

herabgesetzt. Zahlenbeispiel: Die B¨ undelleiter einer Hochspannungsleitung besteht aus je 4 Einzeldr¨ ahten von 10 mm Durchmesser. Sie seien in den Ecken eines Quadrates von 20 cm Seitenl¨ ange angeordnet. Der Abstand zweier B¨ undelleiter sein 10 m. √ (11.91) Es ist also: n = 4, R = 10cm 2 = 14, 1 cm, a = 10 m. (11.92) r0 = 0, 5 cm; Die Gl.(11.84) liefert  4 · 0, 5 = 8, 65 cm. R , 14, 1 cm 4 14, 1

(11.93)

Die B¨ undelleitung hat also die gleiche Kapazit¨ at wie eine Leitung aus massiven Leitern von 8, 65 cm Radius. Die E-Feldst¨ arke auf den Leiteroberfl¨achen wird nach Gl.(11.90) auf den Bruchteil ln 1000 E 0,5 = 0, 4 = E  4 ln 1000 8,65

(11.94)

166

11 L¨ osungsverfahren der Poisson- und Laplace-Gleichung

gegen¨ uber einer Leitung aus Dr¨ ahten von 1 cm Durchmesser im Abstand von 10 m herabgesetzt. 4. Die Funktion f (ζ) = c1 arcoshζ/c2 Wir schreiben die Gleichung in der Form ζ = c2 cosh

ζ c1

(11.95)

und benutzen die Formel cosh(a + jb) = cosh a cos b + j sinh a sin b;

(11.96)

dann ergibt sich x = c2 cosh

v u cos , c1 c1

y = c2 sinh

u v sin . c1 c1

(11.97)

Eliminiert man hieraus v bzw. u, so erh¨ alt man die beiden Gleichungen x2 c22 cosh2

u c1

+

y2 c22 sinh2

u c1

= 1,

x2 c22 cos2

v c1

+

y2 c22 sin2

v c1

= 1.

(11.98)

Die erste Gleichung stellt f¨ ur u =konst. Ellipsen dar, deren Mittelpunkte im Koordinatenursprung liegen und deren Halbachsen a = c2 cosh

u , c1

b = c2 sinh

u c1

(11.99)

betragen. Der halbe Brennpunktabstand einer jeden dieser Ellipsen ist daher  a 2 − b 2 = c2 . (11.100) Die Ellipsen haben gemeinsame Brennpunkte (konfokale Ellipsen). Die zweite Gleichung liefert f¨ ur v =konst. eine Hyperbelschar mit den Halbachsen v v (11.101) a = c2 cos , b = c2 sin . c1 c1  a 2 + b 2 = c2 . (11.102) Die Hyperbeln haben die gleichen Brennpunkte wie die Ellipsen, Abb. 17.13. Setzt man u = ϕ, so ergibt sich das Potenzialfeld in der Umgebung eines elliptischen Zylinders; f¨ ur v = ϕ erh¨ alt man das Feld zwischen zwei Zylindern mit hyperbolischer Spur. Daraus lassen sich die entsprechenden Kapazit¨atswerte bestimmen; vgl. Abschnitt 12.3 (8. Beispiel) .

11.7 Konforme Abbildungen

167

Der Betrag des E-Feldes des elliptischen Zylinders kann allgemein nach Gl.(11.66) berechnet werden. F¨ ur irgendeine elliptische Niveaulinie mit den Halbachsen a und b ist nach Gl.(11.97) und Gl.(11.99) x = a cos

v , c1

y = b sin

v . c1

(11.103)

Daraus folgt dx = −

v a sin dv, c1 c1

dy =

b v cos dv., c1 c1

und es wird das L¨ angenelement der Ellipse   v v dv + b2 cos2 ; a2 sin2 ds = (dx)2 + (dy)2 = c1 c1 c1

(11.104)

(11.105)

also der Betrag des E-Feldes ist nach Gl.(11.66)
−1/2  dv    2 v 2 2 2 v + b cos . E =   = c1 a sin ds c1 c1

(11.106)

Sie ist auf der Oberfl¨ ache des Zylinders ungleichm¨aßig verteilt und hat ihren gr¨oßten Wert f¨ ur v = 0, also in der x-Achse, n¨ amlich E =

|c1 | , b

(11.107)

den kleinsten Wert f¨ ur v = πc1 /2, also in der y-Achse: E =

|c1 | . a

(11.108)

Die Konstante c1 l¨ asst sich bestimmen, sobald die Spannung zwischen den Elektroden gegeben ist, z.B. durch (vgl. Abschnitt 12.3, Gl.(12.52)) U = c1 ln

a1 + b 1 . a2 + b 2

(11.109)

5. Die Funktion f (ζ) = c1 ln(2 sin c2 ζ). Mit Ben¨ utzung der Beziehung sin c2 ζ = sin c2 (ax + jy) = sin c2 xa cosh c2 y + j cos c2 x sinh c2 y;

(11.110)

ergibt sich  u = c1 ln 2 cosh2 c2 y − cos2 c2 x,

v = c1 arctan

tanh c2 y . tanh c2 x

(11.111)

168

11 L¨ osungsverfahren der Poisson- und Laplace-Gleichung

F¨ ur große Werte von y ist cosh c2 y ≈

1 c2 y e , 2

(11.112)

und es ist cosh2 c2 x gegen cosh2 c2 y zu vernachl¨assigen. Dann wird u = c1 c2 y. Fassen wir u als Potenzialfunktion auf, u = ϕ, so geht demnach das durch f dargestellte Feld in großer Entfernung von der x-Achse in ein homogenes Feld u ¨ ber, dessen Feldlinien parallel zur y-Achse und dessen Niveaulinien parallel zur x-Achse verlaufen. Andererseits lassen sich f¨ ur sehr kleine x und y die N¨aherungsformeln 1 cosh c2 y = 1 + (c2 y)2 , 2

und

1 cos c2 x = 1 − (c2 x)2 2

(11.113)

anwenden. Damit folgt ϕ = c1 ln(2c2



x2 + y 2 ) = c1 ln(2c2 r),

(11.114)

wenn mit r der Abstand des Aufpunktes vom Koordinatenanfangspunkt bezeichnet wird. Diese Beziehung zeigt, dass in der N¨ahe des Anfangspunktes das Potenzial in das einer Linienquelle, Gl.(10.59), u ¨ bergeht. Schließlich k¨ onnen wir noch eine dritte Feststellung machen, wenn wir x = x + k

π c2

(11.115)

setzen, wobei k eine ganze Zahl bedeuten soll. Mit diesem Ansatz geht die Formel f¨ ur das Potenzial in sich selbst u ¨ ber, d.h. das Feld ist in der x-Achse periodisch mit der Periode π/c2 ; es ist das Feld einer Gitters paralleler Linienquellen. Die Linienquellen haben den Abstand a = π/c2 ; sie befinden sich in der x-Achse und haben alle die gleiche Ladung, die sich durch die Konstante c1 ausdr¨ ucken l¨ asst. Wir ben¨ utzen nun die dadurch bestimmte Potenzialfunktion zur Berechnung der Schirmgitterwirkung eines Gitters aus parallelen Dr¨ahten, Abb. 11.9, das mit dem Abstand h parallel zu einer leitenden Ebene liegt. Legen wir die x-Achse in diese Ebene, so lautet die Potenzialfunktion f¨ ur das Gitter  (11.116) ϕ = c1 ln(2 cosh2 c2 (y − h) − cos2 c2 x). Damit das Potenzial auf der leitenden Ebene Null wird, muss bei y = −h ein Spiegelbild des ersten Gitters mit entgegengesetzt gleicher Ladung angebracht werden. Das Potenzial beider Gitter wird daher   ϕg = c1 ln(2 cosh2 c2 (y − h) − cos2 c2 x)−c1 ln(2 cosh2 c2 (y + h) − cos2 c2 x). (11.117) ur schreiben Unter Einf¨ uhrung von a = π/c2 kann man schließlich hierf¨   cosh2 πa (y − h) − cos2 πa x c1 . (11.118) ln ϕg = 2 cosh2 πa (y + h) − cos2 πa x

11.7 Konforme Abbildungen

169

In großem Abstand von der x-Achse wird dieser Ausdruck Null. Wenn daher der Betrag des E-Feldes des homogenen Feldes dort einen bestimmten Wert E0 haben soll, so muss man noch das Potenzial des entsprechenden homogenen Feldes hinzuf¨ ugen. Legen wir den Nullpunkt in die leitende Ebene, so ist das Zusatzpotenzial (11.119) ϕ0 = E0 y. Damit wird schließlich das gesuchte Potenzial ϕ = ϕg + ϕ0 .

(11.120)

Die Konstante c1 h¨ angt von der Vorschrift ab, die wir bez¨ uglich des Potenzials des Gitters machen. Es kann z.B. der folgende Fall auf diese Weise untersucht werden. Das Drahtgitter sei ebenfalls geerdet und zu dem Zweck angebracht, den Raum zwischen Gitter und Wand gegen das elektrische Feld abzuschirmen. Auf der Oberfl¨ ache der Dr¨ ahte des Gitters muss dann ebenfalls ϕ = 0 sein. Dies liefert unter der Voraussetzung, dass es sich um im Vergleich zu a und h sehr d¨ unne Dr¨ ahte mit dem Radius r0 handelt, 2

0 = E0 h + oder c1 = E0

π 2 c1 a2 r0 ln 2 2 cosh 2 πa h − 1

h . ln sinh 2π ah − ln π ra0

(11.121)

(11.122)

Der Verlauf der Feldlinien ist in Abb. 11.9 links dargestellt. Das abzuschir-

Abbildung 11.9. Schirmgitter

mende Feld greift zum Teil durch die St¨ abe des Gitters hindurch. Die gr¨oßte Dichte der hindurchgreifenden D-Feldlinien ergibt sich jeweils in der Mitte zwischen zwei St¨ aben des Gitters. Dort ist zu setzen x=

a + ka, 2

k = 0, 1, 2, . . . ,

(11.123)

170

11 L¨ osungsverfahren der Poisson- und Laplace-Gleichung

so dass das Potenzial l¨ angs dieser D-Feldlinien ϕ = E0 y + E0 h

ln cosh πa (y − h) − ln cosh πa (y + h) r0 ln sinh 2π a h − ln π a

(11.124)

wird. F¨ ur die E-Feldst¨ arke ergibt sich hieraus E = E0 + E0 π

h tanh πa (y − h) − tanh πa (y + h) . r0 a ln sinh 2π a h − ln π a

(11.125)

Sie wird am gr¨ oßten in der H¨ ohe des Gitters, y = h, und am kleinsten an der leitenden Wand, y = 0. Die beiden Werte seien dort E1 und E2 . W¨are das Gitter nicht vorhanden, so w¨ are E1 = E2 = E0 .

(11.126)

Man kann daher das Verh¨ altnis der E-Feldst¨ arken E1 und E2 zur Feldst¨arke E0 im homogenen Feld als ein Maß f¨ ur die Schutzwirkung des Gitters ansehen. Dieses Verh¨ altnis ist η1 =

tanh 2π h E1 a h =1−π E0 a ln sinh 2π h + ln πra0 a

(11.127)

η2 =

2 tanh π ha h E2 =1−π a . E0 a ln sinh 2π a h + ln πr0

(11.128)

bzw.

Die hier vorkommenden hyperbolischen Funktionen kann man entweder aus Tabellen entnehmen (z.B. Bronstein et al. [38]) oder nach den Definitionsformeln  1 x (11.129) e − e−x , sinh x = 2  1 x e + e−x , (11.130) cosh x = 2 ex − e−x . (11.131) tanh x = x e + e−x berechnen; sie sind in Abb. 11.10 graphisch dargestellt. Gew¨ ohnlich wird der Abstand h des Gitters von der Wand groß gegen die Gitter¨ offnung a sein. Dann kann man n¨ aherungsweise schreiben tanh π

h = 1, a

dies ergibt mit a > 2πr0




sinh

2πh 1 2πh = e a ; a 2

a a ln 2πh 2πr0 a a . ln η2 = 2πh 2πr0

η1 =

1 2

1+

(11.132)

 ,

(11.133) (11.134)

11.7 Konforme Abbildungen

171

Abbildung 11.10. Die Hyperbelfunktionen

Die E-Feldst¨ arke an der Wand (η2 ) wird also um so kleiner, je kleiner man den Drahtabstand gegen¨ uber dem Abstand zwischen Gitter und Wand macht. Dagegen n¨ ahert sich die E-Feldst¨ arke in der Gitterebene (η1 ) bei Verkleinerung des Drahtabstandes dem Wert (1/2)E0 . Außerdem kann die E-Feldst¨arke gr¨oßere Werte annehmen. Die Schutzwirkung ist also auf einen Raum beschr¨ ankt, der nicht ganz an das Gitter selbst heranreicht. Als weitere Anwendung werde die Wirkung des Steuergitters einer Elektronenr¨ohre mit parallelen ebenen Elektroden betrachtet. Das Gitter bestehe aus Dr¨ ahten, deren Radius r0 im Vergleich zu ihren Abst¨anden a sehr klein ist, r0  a; ferner sei das Gitter feinmaschig im Vergleich zu dem Abstand h von der leitenden Wand, a  2πh. Das Gitter werde nun auf eine bestimmte Spannung Ug ( Gitterspan” nung“) gegen die leitende Wand (Kathode, siehe Abschnitt 38.4) gebracht. Dann ist ur y = h, x = r0 . (11.135) ϕ = Ug , f¨ Dies liefert an Stelle von Gl.(11.122) c1 =

E0 h − Ug , ln sinh 2π ha − ln π ra0

(11.136)

und an Stelle von Gl.(11.128) E2 = E0 −

E0 h − Ug h 2π tanh π . a ln sinh 2π ha + ln πra a

(11.137)

0

Hieraus folgt, wieder unter Ber¨ ucksichtigung, dass a  2πh, E2 =

a a Ug + E0 ln . h 2πh 2πr0

(11.138)

Denkt man sich nun die E-Feldst¨ arke an der Wand erzeugt durch eine einzige Elektrode am Orte des Gitters, also im Abstand h von der Wand, so muss dieser Ersatzelektrode eine Spannung Us = hE2 erteilt werden. F¨ uhrt man

172

11 L¨ osungsverfahren der Poisson- und Laplace-Gleichung

dies ein und ersetzt man außerdem noch das ¨außere E-Feld E0 durch eine Elektrode im Abstand H von der Wand mit einer Spannung Ua = HE0 ( An” odenspannung“), so folgt f¨ ur die Ersatzspannung in der Gitterebene ( Steu” erspannung“) Us = Ug + D Ua , wobei D =

a a ln . 2πH 2πr0

(11.139)

Man kann also das Gitter durch eine Platte im gleichen Abstand h von der uber der Wand ersetzen mit einer Spannung, die um den Betrag DUa gegen¨ eigentlichen Gitterspannung vergr¨ oßert ist. Die Gr¨oße D wird Durchgriff genannt. Sie gibt an, mit welchem Bruchteil das ¨außere Feld durch das Gitter hindurch an der Oberfl¨ ache der leitenden Wand wirksam ist (siehe Abschnitt 38.4). Zahlenbeispiel: In einer Elektronenr¨ ohre sei der Abstand zwischen Steuergitter und Kathode h = 2 mm, der Abstand zwischen Anode und Kathode H = 10 mm, der Radius der Gitterdr¨ ahte r0 = 0, 05 mm. Dann wird der Durchgriff D=

2 2 ln = 0, 0318 ln 6, 37 = 0, 059 = 5, 9 %. 2π10 2π 0, 05

(11.140)

11.8 Die Separationsmethode Eine der wichtigsten Methoden zur analytischen Behandlung von partiellen Differentialgleichungen ist die sogenannte Separationsmethode. Grunds¨atzlich geht man dabei so vor, dass man in den gew¨ahlten Koordinaten einen Produktansatz macht und versucht, die partielle Differentialgleichung in ein System gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen zu u uhren. Diese L¨osungen ¨ berf¨ dieser gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen m¨ ussen dann die Randbedingungen erf¨ ullen, so dass man mit Hilfe des Produktansatzes eine Familie von L¨osungen des Gesamtproblems erh¨ alt, aus denen man dann bei linearen partiellen Differentialgleichungen weitere L¨ osungen durch Superposition dieser L¨ osungen ermitteln kann. Hat es beispielsweise mit einer zweidimensionalen Laplace-Gleichung f¨ ur das skalare Feld u(x, y) in x, y-Koordinaten zu tun ∂2u ∂2u + 2 = 0, ∂x2 ∂y

(11.141)

die in dem Quadrat 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 gel¨ost werden soll, wobei die Randbedingungen u(x, 0) = 0 und u(x, 1) = 1 sowie geeignete Vorgaben der partiellen Ableitungen an den verbleibenden R¨andern vorgegeben sind, dann bietet sich ein Produktansatz X(x) · Y (y)

(11.142)

11.9 Bemerkungen zu numerischen Verfahren

173

an, d. h. man sucht zun¨ achst L¨ osungen der Form u(x, y) = X(x) · Y (y). Setzt man diesen Ansatz (11.142) in die Differentialgleichung (11.141) ein, dann erh¨ alt man nach kurzer Umformung folgende Gleichung ((·) entspricht der Ableitung nach dem Argument) 1 1  X = − Y  =: E. X Y

(11.143)

Da E nicht gleichzeitig nur von x bzw. nur von y abh¨angen kann, muss E eine Konstante sein, die man als Separationskonstante bezeichnet. Somit kann diese Beziehung separiert werden und man erh¨alt zwei gew¨ohnliche Differentialgleichung (11.144) X  − EX = 0, Y  + EY = 0, deren allgemeine L¨ osungen von der Separationskonstante E abh¨angen. Die L¨ osungen X(x) m¨ ussen den vorgegebenen Randbedingungen gen¨ ugen, so dass sich in diesem Fall nur f¨ ur diskrete Werte von E brauchbare L¨osungen ergeben. Entsprechend ergeben sich L¨ osungen Y (y), die von den diskreten Werten En ¨ abh¨ angen. Uberlagert man die Produkte dieser L¨osungen und passt sie an Vorgaben der Ableitungen nach x und y an, dann ergeben sich schließlich die gesuchten L¨ osungen.

11.9 Bemerkungen zu numerischen Verfahren Wenn die in den letzten Abschnitten angesprochenen Methoden zur Berechnung exakter oder gen¨ aherter analytischer L¨osungen der Laplace- und Poisson-Gleichung aufgrund komplizierter Geometrien nicht einsetzbar sind, kann man auf numerische Verfahren zur¨ uckgreifen. Dabei zerlegt man das Gebiet, in dem die partielle Differentialgleichungen gel¨ost werden soll, in kleinere Teilgebiete, in denen die Gleichung leicht l¨ osbar ist. Da man es u ¨ blicherweise mit sehr vielen Teilgebieten zu tun hat, um eine hinreichende Genauigkeit zu erzielen, kann man solche Verfahren nur computergest¨ utzt anwenden. Die Vorgehensweise soll nun anhand eines einfachen Beispiels erl¨autert werden. Soll beispielsweise die zweidimensionale Poisson-Gleichung ∂2u ∂2u + 2 = f (x, y) ∂x2 ∂y

(11.145)

auf einem rechteckigen Gebiet B ⊂ R2 mit B := {(x, y)|0 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ 4} gel¨ ost werden, wobei folgende Randbedingungen vorgegeben sind: u(x, 0) = 0 und u(x, 4) = 0 f¨ ur alle 0 ≤ x ≤ 5 sowie (∂u/∂x)(0, y) = 0 und (∂u/∂x)(5, y) = 0 f¨ ur alle 0 ≤ y ≤ 4. Es ist naheliegend, das Gebiet B mit Hilfe eines quadratischen Gitters mit der Schrittweite h = 1 zu zerlegen. Der Einfachheit halber zerlegen wir die x-Achse in 5 und die y-Achse in 4 Teilintervalle, so dass die folgenden

174

11 L¨ osungsverfahren der Poisson- und Laplace-Gleichung

Gitterpunkte (0, 0), (1, 0), . . . , (5, 0) und weiter (0, 1), (1, 1), . . . , (5, 4) entstehen. Aufgrund der vorgegebenen Randbedingungen verschwindet u auf den Gitterpunkten (0, 0), (1, 0), . . . , (5, 0) und (0, 4), (1, 4), . . . , (5, 4). Auf den inneren“ Gitterpunkten (0, 1), (1, 1), . . . , (5, 1) bis (0, 3), (1, 3), ” . . . , (5, 3) m¨ ussen nun die zweiten partiellen Ableitungen und die Funktion f ermittelt werden, so dass mit Hilfe der linearen Poisson-Gl. (11.145) ein lineares Gleichungssystem aufgebaut werden kann. Zur numerischen Bestimmung der zweiten Ableitungen eines inneren“ ” Punktes kann man die Differenzenformel f¨ ur die erste Ableitung verwenden. Nummeriert man die inneren“ Punkte ausgehend von (0, 3) von links nach ” rechts und zeilenweise nach unten bis zum Punkt (5, 1) mit den Ziffern 1 bis 18, dann kann man zwei Differenzenformeln f¨ ur die ersten partiellen Ableitungen an den angegebenen Zwischengitterpunkten angeben u9 − u8 ∂u  u10 − u9 ∂u  , . (11.146) ≈ ≈   ∂x (1.5,1) h ∂x (2.5,1) h Die zweite partielle Ableitung im Punkt 9 – das entspricht dem Punkt (2, 2) – kann mit der Differenz dieser Differenzenformeln bestimmt werden; es ergibt sich nach kurzer Zwischenrechnung u10 − 2u9 + u8 ∂ 2 u  ≈ . (11.147)  2 ∂x (2,2) h2 In entsprechender Weise lassen sich die zweiten gen¨aherten Ableitungen nach x f¨ ur alle Gitterpunkte xi berechnen, f¨ ur die xi ± h g¨ ultige Gitterpunkte sind; das gilt auch f¨ ur die gen¨ aherten partiellen Ableitungen nach y. Setzt man diese N¨ aherungsformeln in die Poisson-Gl. ein, dann ergibt sich beispielsweise f¨ ur den Punkt 9 folgende Beziehung 4u9 − u10 − u3 − u8 − u15 + h2 f9 = 0.

(11.148)

Insgesamt ergeben sich 12 Gleichungen, die linear bez¨ uglich der Werte von u in den Gitterpunkten sind. Weitere 6 Gleichungen ergeben sich aus den gen¨ aherten ersten Ableitungen am linken und rechten Rand, wo diese nach Vorgabe verschwinden sollen. Somit erh¨ alt man zusammengenommen ein lineares Gleichungssystem A x = b mit 18 Gleichungen f¨ ur die 18 unbekannten Werte von u in den Gitterpunkten die nicht am unteren oder oberen Rand liegen. Die Koeffizientenmatrix A ist – insbesondere bei st¨arkerer Diskretisierung der Achsen – offensichtlich schwach besetzt, so dass man spezielle numerische Verfahren zur L¨ osung von linearen Gleichungssystemen einsetzen kann. Nachteilig an dieser Diskretisierungsmethode ist, dass die Koeffizientenmatrix nicht tridiagonal oder wenigstens Bandstruktur besitzt. Da gelingt jedoch mit alternativen Diskretisierungsverfahren, wie etwa der FEM-Methode. Da hier nur die Grundidee numerischer Verfahren zur L¨ osung von Laplace- und PoissonGleichungen geschildert werden soll, m¨ ussen wir den interessierten Leser auf die Literatur verweisen; vgl. z. B. Lehner [134], Kost [125], [250], Chari und Salon [48].

12 Kapazit¨ atskoeffizienten

12.1 Der elementare Kapazit¨ atsbegriff Im Abschnitt 11 haben wir uns mit der Berechnung des elektrischen Potenzials ϕ befasst, wobei neben der Poisson-PDgl. und der dazu notwendigen Vorgabe einer Ladungsverteilung – ggf. gleich Null – auch Randbedingungen in Form von Potenzialwerten oder Ableitungen des Potenzials, idealer Leiter oder sonstiger Grenzfl¨ achen vorzugeben sind. Wenn wir das Potenzial bestimmt haben, lassen sich alle anderen Feldgr¨ oßen, wie das E- oder D-Feld in einfacher Weise berechnen. In diesem Sinne spielt das elektrische Potenzial die Rolle einer Zustandsgr¨ oße, mit der das elektrostatische Verhalten solcher Systeme ableiten l¨asst. Allerdings ist diese skalare Feldgr¨ oße ϕ nicht eindeutig bestimmt, da sich dieselben physikalisch messbaren Feldgr¨ oßen – im Fall der Elektrostatik handelt es sich um das E- und das D-Feld – auch aus einem Potenzial ableiten lassen, dem eine additive Konstante hinzugef¨ ugt wurde. Beschr¨ ankt man sich auf Anordnungen, in denen keine Raumladung ϕ vorhanden ist und die sich nur aus idealen Leitern zusammensetzen, dann kann man solche Anordnungen im wesentlichen mit Hilfe einer bestimmten Anzahl positiver Zahlen charakterisieren, welche durch die geometrische Form der idealen Leiter und gegebenenfalls durch die Eigenschaften des dielektrischen Materials zwischen den Leitern bestimmt sind. Bevor wir auf die allgemeinen Zusammenh¨ ange eingehen, wollen wir uns zun¨achst mit einer Anordnung aus zwei idealen Leitern besch¨ aftigen. Unter einem kapazitiven Modell oder kurz Kapazit¨at versteht man eine Anordnung, die aus zwei voneinander isolierten, ideal leitenden Elektroden besteht. Reale Anordnungen, die sich auf diese Weise modellieren lassen, bestehen beispielsweise aus zwei isolierten Metallelektroden und werden h¨aufig als Kondensatoren bezeichnet. Legt man an die Elektroden eine Spannung U , so nehmen sie Ladungen auf. Auf dieser F¨ ahigkeit, Elektrizit¨atsmengen aufzuspeichern, beruhen die Anwendungen der Kondensatoren. Beim Anlegen der Spannung an die Elektroden entsteht im Nichtleiter ein elektrisches Feld; das E-Feld wird an jeder Stelle um so gr¨ oßer, je gr¨ oßer die Spannung zwischen den

176

12 Kapazit¨ atskoeffizienten

Elektroden ist. Das D-Feld ist bei konstantem ε proportional zum E-Feld und daher ebenfalls proportional der Spannung. Daher ist auch der gesamte Fluss des D-Feldes der Gr¨ oße Q, welcher von der einen zur anderen Elektrode u ¨ bergeht und gleich den Ladungen der Elektroden ist, proportional der Spannung U zwischen den Elektroden: Q = CU. (12.1) Der Proportionalit¨ atsfaktor C wird Kapazit¨at der kapazitiven Anordnung genannt, der als Parameter in das Modell eines Kondensators eingeht. C ist bei konstantem ε unabh¨ angig von der angelegten Spannung, also nur bestimmt durch die geometrische Form der Anordnung und die Materialeigenschaften (Dielektrizit¨ atskonstante) des Nichtleiters. Es gilt also Kapazit¨ at :=

Fluss des D-Feldes zwischen den Elektroden Spannung zwischen den Elektroden

oder

 D · dA . C := O E · dr C

(12.2)

(12.3)

Die einfachste Ausf¨ uhrungsform bildet der Plattenkondensator, bei dem zwei ebene Elektroden durch einen Nichtleiter von sehr geringer Dicke d voneinander getrennt sind, Abb. 8.1. Die Niveaufl¨ achen sind dann zu den Plattenoberfl¨ achen parallele Ebenen. Der Fluss des D-Feldes geht senkrecht von der einen Elektrodenfl¨ ache zur anderen u ¨ ber, um so vollst¨andiger, je gr¨oßer die Abmessungen der Platten im Vergleich zur Dicke d des Nichtleiters sind. Das B¨ undel der D-Feldlinien hat einen Querschnitt, der gleich der Plattenfl¨ache A ist. Der Fluss des D-Feldes Q verteilt sich gleichm¨aßig auf dieser Fl¨ache, so dass das D-Feld im Inneren des Nichtleiters wie bei Abb. 8.1, Gl.(7.15) D =

Q A

(12.4)

ist. Das Potenzial geht im Inneren des Nichtleiters linear von dem Potenzial der einen Elektrode mit U , so ist daher das E-Feld im Nichtleiter E =

U . d

(12.5)

Mit Benutzung der Gl.(8.3) ergibt sich daraus Q=

εA U, d

(12.6)

εA . d

(12.7)

und es folgt f¨ ur die Kapazit¨ at C=

Diese Beziehung gilt angen¨ ahert auch bei gekr¨ ummten Elektroden, wenn nur der Abstand zwischen den Elektroden klein ist gegen den Kr¨ ummungsradius, so dass man das elektrische Feld zwischen den Elektroden als homogen

12.2 Graphische Berechnung von Kapazit¨ atskoeffizienten

177

ansehen kann. Dies trifft z.B. bei den viel verwendeten Wickel- oder Drehkondensatoren (vgl. B¨ ohmer [32]) zu; den Drehkondensator behandeln wir im Abschnitt 12.3. Da Farad/m die Einheit der Dielektrizit¨ atskonstante ε ist, so dient als Einheit der Kapazit¨ at nach Gl.(12.7) das Farad; die Einheit der Kapazit¨at 1 Farad liegt vor, wenn die Elektroden bei 1 V Potenzialunterschied Ladungen von 1 As aufnehmen. Berechnungsbeispiel: Plattenkondensator In der folgenden Tabelle 12.1 ist f¨ ur verschiedene Verh¨altnisse von A/d und f¨ ur ε = ε0 die nach Formel (12.7) berechnete Kapazit¨at angegeben.

A/d(cm) = C(pF ) =

100 200 500 1000 2000 5000 10000 8, 86 17, 7 44, 3 88, 6 177 443 886

Tabelle 12.1. Kapazit¨ at C und Verh¨ altnis A/d

12.2 Graphische Berechnung von Kapazit¨ atskoeffizienten Im Fall ebener Probleme kann man auch eine graphische Berechnung von Kapazit¨ atskoeffizienten durchf¨ uhren. Wir illustrieren das anhand des Beispiels in Abschnitt 11.2.1. Um die Kapazit¨ at der in Abb. 11.1 gezeichneten beiden Elektroden zu berechnen, hat man den Fluss des D-Feldes durch die Potenzialdifferenz zwischen den beiden Elektroden zu dividieren. Sind m Potenziallinien zwischen den beiden Leitern gezeichnet, so ist die Spannung (m + 1)U1 , und es gilt f¨ ur die Kapazit¨ aten C=ε

n lk, m+1

(12.8)

wobei k die oben eingef¨ uhrte willk¨ urliche Konstante bezeichnet. In Abb. 11.1 sind z.B. n = 17 D-Feldlinien und m = 2 Niveaulinien des Potenzials zwischen den beiden Elektroden vorhanden. Es ist ferner k = 1, wenn der Nichtleiter aus Luft besteht. Daher wird der Kapazit¨ atsbelag pF n C = ε0 = 0, 502 . l m+1 cm

(12.9)

Da die Bedingungen 1 bis 5 erf¨ ullt bleiben, wenn man alle Abmessungen des Feldbildes proportional vergr¨ oßert oder verkleinert, so folgt aus Gl.(12.8), dass die Kapazit¨at geometrisch ¨ahnlicher Elektrodenanordnungen f¨ ur gleiche L¨ange l die gleiche ist.

178

12 Kapazit¨ atskoeffizienten

In Abschnitt 11.2.1 wurde auch eine rotationssymmetrische Anordnung betrachtet. F¨ ur die entsprechende Kapazit¨ at ergibt sich mit den gleichen Bezeichnungen wir oben n k. (12.10) C = 2πε m+1

12.3 Kapazit¨ at einfacher Anordnungen 1. Drehkondensator: Es soll ein Drehkondensator mit der Kapazit¨at von 1000pF mit Platten von r0 = 5cm Radius bei einem Plattenabstand von d = 1mm hergestellt werden. Der gr¨ oßte Querschnitt des Verschiebungsflusses betr¨agt (1/2)r02 π = 39, 3 2 cm . Daher gilt nach Gl.(12.7) 1000 pF = n

0, 0886 · 39, 3cm2 pF , 0, 1cm cm

(12.11)

wenn im ganzen n Zwischenr¨ aume zwischen den zwei Platten vorhanden sind; hieraus n = 29. Es m¨ ussen also 29 Zwischenr¨ aume zwischen den Platten vorhanden sein, d.h. 15 feste und 15 drehbare Platten verwendet werden. Bei halbkreisf¨ormigen Platten, wie in Abb. 12.1, w¨achst die Kapazit¨at von einem Anfangswert ( Anfangskapazit¨ at“ bei ganz herausgedrehten Platten) ” ungef¨ ahr linear mit dem Drehwinkel α auf den Endwert an. F¨ ur manche Zwecke (z.B. Funkger¨ at) ist ein anderer Zusammenhang zwischen Kapazit¨at und Drehwinkel erw¨ unscht; man ¨ andert dann die Form der Platten entsprechend ab, so dass ihr Radius r eine bestimmte Funktion des Winkels α wird. Die Fl¨ ache A zwischen den Elektrode wird dann

Abbildung 12.1. Zur Berechnung der Kapazit¨ at eines Drehkondensators

A=

1 2



α

r2 dα,

(12.12)

0

wenn das bewegliche Plattensystem mit dem Winkel α in das feststehende eintaucht.

12.3 Kapazit¨ at einfacher Anordnungen

179

Soll die Kapazit¨ at C eine bestimmte Funktion f (α) des Winkels α sein, so gilt nε0 f (α) = 2d



α

r2 dα.

(12.13)

0

Hieraus erh¨ alt man durch Differenzieren nach α und Aufl¨osen nach r   nε0 df (α) . (12.14) r= 2d dα Bei anderen Anwendungen ist es zweckm¨ aßig, f¨ ur 1/C eine bestimmte Abh¨angigkeit g(α) vorzuschreiben. Dann gilt   nε0 1 dg(α) . (12.15) − r= 2d g(α) dα Wenn z.B. der Kondensator eines Schwingkreises eine Teilung erhalten soll, √ die linear von der Resonanzfrequenz (1/2)π LC abh¨angt, so muss mit den beiden Konstanten c1 und c2 gelten

Abbildung 12.2. Plattenformen eines Drehkondensators mit linearer Frequenzteilung

 α 1 √ = c1 1 − c2 π C

(12.16)

oder

 α 2 . (12.17) g(α) = c21 1 − c2 π Damit ergibt sich, wenn alle Konstanten in c zusammengefasst werden, aus Gl.(12.15) c (12.18) r=   23 . 1 − c2 α π

Der Radius r hat seinen gr¨ oßten Wert f¨ ur α = π, n¨amlich rm =

c 3

(1 − c2 ) 2

.

(12.19)

180

12 Kapazit¨ atskoeffizienten

F¨ uhrt man diesen Wert an Stelle von c ein, so folgt
r = rm

1 − c2 1 − c2 α π

 23 .

(12.20)

In Abb. 12.2 sind hieraus hervorgehende Formen der Platten f¨ ur verschiedene Werte von c2 bei gleichem rm aufgezeichnet. 2. Kapazit¨at einer Kugel: In Abschnitt 10.6 wurde das Potenzial einer Punktladung Q ermittelt. Daraus l¨ asst sich nun der Kapazit¨ atswert einer Kugel mit dem Radius r0 (gegen den unendlich fernen Punkt) bestimmen. An der Oberfl¨ache der Kugel ist n¨ amlich das Potenzial gleich der Potenzialdifferenz (Spannung) U zwischen der Kugel und einem sehr weit entfernten oder besser dem unendlich fernen Punkt, also Q . (12.21) U= 4πεr0 Die Kapazit¨at der Kugel wird daher C=

Q = 4πεr0 . U

(12.22)

Zahlenbeispiel: Eine Kugel von 1 cm Radius, die sich in Luft befindet mit einem gegen ihren Radius sehr großen Abstand von anderen Leitern oder Nichtleitern, hat danach die Kapazit¨ at C = 4πε0 r0 = 4π · 0, 0886 · 1

pF cm = 1, 11 pF. cm

(12.23)

3. Kugelkondensator. Der gleiche radiale Verlauf der D-Feldlinien liegt in einem Kugelkondensator vor; das ist eine Anordnung aus zwei konzentrischen Kugelelektroden. Aus der Potenzialverteilung einer Punktladung lassen sich die Potenziale auf den Kugelelektroden im Abstand r1 und r2 bestimmen und daraus die Kapazit¨at des Kugelkondensators C=

r1 r2 Q = 4πε . U21 r2 − r1

(12.24)

Der Betrag des E-Feldes zwischen den beiden Elektroden wird im Abstand r vom Mittelpunkt r1 r2 QC = U12 , (12.25) E = 4πεr2 (r2 − r1 )r2

12.3 Kapazit¨ at einfacher Anordnungen

181

wenn U12 die Spannung zwischen den beiden Elektroden bezeichnet. In Abschnitt 10.1.5 haben wir das E-Feld zwischen zwei geladenen Kugeln betrachtet. Die Gesamtladung einer jeden Kugel ergibt sich durch Summieren der Einzelladungen; sie ist mit einem kleineren Fehler als 1 % Q = 1, 25 Q1 = 1, 25 · 2πεr0 U.

(12.26)

Der nur von der Geometrie und dem umgebenden Material abh¨angige Quotient von Ladung und der Potenzialdifferenz U zwischen den Kugel wird in Kapazit¨ at genannt und in Abschnitt 10.1.5 n¨aher betrachtet. In diesem Fall ergibt er sich zu Q = 2, 50πεr0 . (12.27) C= U W¨aren die beiden Kugeln in sehr großer Entfernung voneinander angebracht, so w¨ are die Kapazit¨ at nach Gl.(12.22) und der Beziehung parallelgeschalteter Kapazit¨ aten in Abschnitt 12.4 C = 2πεr0 .

(12.28)

4. Linienladungen. In Abschnitt 10.1.6 haben wir eine Linienquelle senkrecht u ¨ ber einer Leiteroberfl¨ ache betrachtet. Dabei errechneten wir eine Potenzialverteilung f¨ ur Fall, dass d2 sehr klein gegen l2 ist  2l 4h + l Q ln . (12.29) ϕ= 4πεl d 4h + 3l Die Kapazit¨ at zwischen Draht und Erde ergibt sich daraus C=

2πεl Q  . = ϕ 4h+l ln 2l d 4h+3l

(12.30)

Im Fall einer parallel u ache angeordneten Linienquelle ¨ ber einer Leiteroberfl¨ ergibt sich in gleicher N¨ aherung das folgende Potenzial  l2 + (4h)2 − l 2l Q  . (12.31) ln ϕ= 4πεl d l2 + (4h)2 + l Wenn (4h2 ) klein ist gegen l2 , so ergibt sich hieraus die N¨aherungsformel f¨ ur die Kapazit¨ at einer solchen Leitung gegen Erde C=

2πεl . ln 4h d

(12.32)

Zahlenbeispiel: Die Kapazit¨at einer Vertikalantenne ist nach Gl.(12.30), wenn der Abstand h des einen Endes u ¨ber dem Erdboden sehr gering ist,

182

12 Kapazit¨ atskoeffizienten

C=

24, 2 l pF 2πε0 l . = ln √33 dl lg 1, 154 dl m

(12.33)

F¨ ur eine L¨ ange der Antenne von l = 10m und verschiedene Verh¨altnisse von L¨ ange l zu Durchmesser d des Drahtes sind in der folgenden Tabelle 12.2 die nach Gl.(12.33) berechneten Kapazit¨ atswerte angegeben: Die Kapazit¨at eines

l/d = C(pF ) =

100 500 1000 2000 5000 10000 102 87 79 72 64 59

Tabelle 12.2. Kapazit¨ at einer Vertikalantenne

zur Erdoberfl¨ache parallelen Drahtes mit im Vergleich zur L¨ange kleiner H¨ohe h ist nach Gl.(12.32) proportional der Leitungsl¨ange. Der Kapazit¨atsbelag“ ” C/l ist daher unabh¨ angig von der Drahtl¨ ange. Kann jedoch die L¨ange des Drahtes nicht als groß gegen die H¨ ohe angesehen werden, so h¨angt der Kapazit¨ atsbelag sowohl von dem Verh¨ altnis α = h/d als auch von dem Verh¨altnis β = h/l ab; es gilt nach Gl.(12.31): C = l

nF 24, 2 √ . 2 2 4β ( 1+16β +1 km lg 4α − 21 √ 2

(12.34)

1+16β −1

In den folgenden Tabellen 12.3, 12.4 sind die beiden Summanden im Nenner k1 = lg 4α,

  1 1 4β ( 1 + 16β 2 + 1  = lg (1 + 1 + 16β 2 ) k2 = 2 2 1 + 16β 2 − 1

(12.35)

2

(12.36)

f¨ ur praktisch vorkommende Verh¨ altnisse α und β angegeben. Es ist dann 24, 2 nF C = . l k1 − k2 km

α = k1 =

(12.37)

100 500 1000 2000 5000 10000 2, 60 3, 30 3, 60 3, 90 4, 30 4, 60

Tabelle 12.3. Parameter k1 des Kapazit¨ atsbelags

Solange also die L¨ ange der Leitung gr¨ oßer ist als die H¨ohe, spielt die Gr¨oße k2 nur die Rolle einer Korrektur. Bei einer Leitung mit dem Durchmesser

12.3 Kapazit¨ at einfacher Anordnungen

183

d = 5mm und der L¨ ange l = 1km, die sich in einer H¨ohe von h = 10m u ¨ ber dem Erdboden befindet, ist α = 2000, β = 0, 01. Die Kapazit¨at wird daher C=

24, 2 nF = 6, 2 nF. 3, 9

(12.38)

Bei einer horizontalen Rundfunkantenne von der L¨ange l = 30m, der H¨ohe

β = k2 =

0, 1 0, 2 0, 5 1, 0 2, 0 5, 0 10 0, 017 0, 057 0, 21 0, 41 0, 66 1, 02 1, 31

atsbelags Tabelle 12.4. Parameter k2 des Kapazit¨

h = 15m und dem Drahtdurchmesser d = 3mm ist α = 5000, β = 0, 5, also k1 = 4, 3, k2 = 0, 21. Die Kapazit¨ at wird C = 177 pF . 5. Kapazit¨at von Einzeldr¨ahten Bei d¨ unnen langen Dr¨ahten liegt der Hauptteil des Feldes in der n¨aheren Umgebung des Drahtes, da dort die Feldliniendichte am gr¨oßten ist. Die Kapazit¨at ver¨ andert sich daher nur wenig, wenn der Draht verbogen wird, so lange die Kr¨ ummungsradien groß gegen den Drahtdurchmesser sind. Die Gl.(12.31) gilt also auch f¨ ur solche gebogenen Dr¨ ahte. Die Kapazit¨at eines langen d¨ unnen Drahtes mit großem Abstand von der Erdoberfl¨ache (4h2  l2 ) ist C=

2πεl . ln 2l d

(12.39)

Bei kleinem Abstand von der Erde gilt die Gl.(12.32). Nach Gl.(12.39) h¨angt der Kapazit¨ atsbelag C/l eines Drahtes etwas von der Drahtl¨ange ab. Ein Draht von 1 mm Durchmesser und 1 m L¨ ange hat bei großem Abstand von anderen Leitern die Kapazit¨ at C = 7, 3 pF , bei 2 m L¨ ange die Kapazit¨at 13, 4 pF . 6. Parallele Zylinder In Abschnitt 10.2.3 haben wir das E-Feld von zwei parallelen zylindrischen Elektroden untersucht. Wenn die Zylinder die Radien r0 und den Achsenabstand c besitzen, dann kann das E-Feld außerhalb der beiden Zylinder mit Hilfe des E-Feldes zweier Linienquellen im Abstand   c − r02 (12.40) a=2 2 dargestellt werden. Daraus ergibt sich eine Spannung zwischen den zylindrischen Elektrode von a + c − r0 Q ln a2 2c . (12.41) U= πεl 2 − 2 + r0

184

12 Kapazit¨ atskoeffizienten

Hieraus folgt f¨ ur die Kapazit¨ at unter Benutzung von (12.40) C=

Q = U

πεl 

 ln

c 2r0

+

c 2r0

2

.

(12.42)

−l

F¨ ur die Kapazit¨ at zwischen den beiden parallelen Zylindern ergibt sich nach Gl.(12.42), wenn ε0 eingesetzt wird, nF 27, 8 C √  =  ; 2 l ln x + x − l km

x=

c . 2r0

(12.43)

Der Nenner N hat f¨ ur die verschiedenen Verh¨altnisse von c/r0 die in der folgenden Tabelle 12.5 angegebenen Werte Bei gr¨oßeren Werten von c/r0 kann

c/r0 = N =

2, 4 3, 0 4, 0 6, 0 10, 0 20 0, 622 0, 963 1, 317 1, 763 2, 292 2, 993

Tabelle 12.5. Kapazit¨ atsbelag paralleler Zylinder

wieder die gleiche Vernachl¨ assigung eingef¨ uhrt werden wie oben; dann gilt 27, 8 nF C = . l ln rc0 km

(12.44)

Die nachfolgende Tabelle 12.6 gibt einige hiernach berechnete Werte des Kapazit¨ atsbelages

c/r0 = C nF = l km

20 50 100 200 500 1000 9, 29 7, 11 6, 04 5, 25 4, 77 4, 03

Tabelle 12.6. Kapazit¨ atsbelag und Kapazit¨ at paralleler Zylinder

7. Zylinder und Platte In dem Feldbild, Abb. 10.14, ist die Mittelebene eine Potenzialfl¨ache. Wird sie durch eine leitende Elektrode ersetzt, so ergibt sich das Feld zwischen dieser ebenen Platte und einem parallelen Zylinder. Bei gleicher Ladung des Zylinders ist die Spannung zwischen Platte und Zylinder halb so groß wie die zwischen den beiden Zylindern. Bezeichnet man daher den Achsenabstand des Zylinders von der Platte mit h, so gilt f¨ ur die Kapazit¨at

12.3 Kapazit¨ at einfacher Anordnungen

2πεl   2



C= ln

h r0

h r0

+

,

185

(12.45)

−l

eine Formel, die auf eine Einfachleitung mit der H¨ohe h u ¨ber dem Erdboden angewendet werden kann. Wenn man, wie es meist der Fall ist, h/r0 als groß gegen 1 ansehen kann, so geht diese Formel u ¨ber in die Gl.(12.32) , deren G¨ ultigkeit, wie fr¨ uher gezeigt wurde, noch davon abh¨angt, ob h/l gen¨ ugend klein ist. 8. B¨ undelleiter und elliptische Zylinderkondensator In Abschnitt 11.7 wurde gezeigt, dass die E-Feldst¨arke an der Leiteroberfl¨ ache von B¨ undelleitern zu    dϕ  Q   (12.46) E =  =  dr0  2πεlr0 n bestimmt werden kann. Sind zwei solche B¨ undelleiter im Abstand a voneinander in Luft gef¨ uhrt, so ist die Kapazit¨ at nach Gl.(12.43) C=

πεl . ln Ra


(12.47)

Die Kapazit¨at eines elliptischen Zylinderkondensators kann nach Abschnitt 11.7 (Unterpunkt 4.) auf folgende Weise berechnen. Es seinen die Halbachsen ur der beiden Zylinder a1 , b1 , a2 , b2 . Dann gilt nach Gl.(11.99) und (11.100) f¨ das Potenzial auf dem ersten Zylinder b1 , ϕ1 = c1 arsinh  2 a1 − b21

(12.48)

b2 . ϕ2 = c1 arsinh  2 a2 − b22

(12.49)

auf dem zweiten Zylinder

Es ist also die Spannung zwischen den beiden Zylindern   b2 b1 − arsinh  2 . U = ϕ1 − ϕ2 = c1 arsinh  2 a1 − b21 a2 − b22

(12.50)

Unter Ben¨ utzung der Formel arsinh z = ln(z + ergibt sich hieraus

 z 2 + 1)

(12.51)

186

12 Kapazit¨ atskoeffizienten

U = c1 ln

a1 + b 1 . a2 + b 2

(12.52)

Zur Berechnung der Ladung des inneren Zylinders dient Gl.(11.67). Es ist nach Gl.(11.97) auf der x-Achse (y = 0) v = v1 = 0, auf der y-Achse (x = 0) v = v2 = (π/2)c1 , also der vom inneren Zylinder in einem Quadranten ausgehende Verschiebungsfluss π Q12 = −ε c1 . 2

(12.53)

Der ganze Verschiebungsfluss ist daher Q = 2πc1 εl,

(12.54)

und es ergibt sich die Kapazit¨ at C=

2πεl Q . = 1 U ln aa12 +b +b2

(12.55)

Der Kreiszylinderkondensator stellt einen Grenzfall dar, in dem a1 = b1 = r1 und a2 = b2 = r − 2 wird, Gl.(16.31). Ein anderer Grenzfall ergibt sich, wenn die kurze Halbachse b der Ellipse unendlich klein wird; er liefert das E-Feld eines geladenen Blechstreifens von der Breite 2c2 = 2a. Zahlenbeispiel: In der Achse eines Hohlzylinders vom Radius r0 = 5 cm befindet sich ein d¨ unner Blechstreifen von der Breite 2 cm. Wie groß ist die Kapazit¨ at zwischen Blechstreifen und Zylinder f¨ ur 1 cm L¨ange? Der Blechstreifen wird als elliptischer Zylinder mit den Halbachsen a1 = 1cm und b1 = 0 aufgefasst, der Brennpunktabstand ist dann 2c2 = 2cm. Eine Ellipse mit der großen Halbachse a2√= 5cm und den gleichen Brennpunkten hat eine kleine Halbachse von b2 = 52 − 12 cm = 4, 9cm; sie weicht also nur noch wenig von der Kreisform ab, und es ergibt sich eine gute Ann¨aherung, wenn man den Kreiszylinder durch einen elliptischen Zylinder mit a2 + b2 = 2r0 10cm ersetzt. Die Kapazit¨ at wird dann nach Gl.(12.55) C=

2πε0 l , ln 10

und es folgt

C 2πε pF = = 0, 242 . l 2, 30 cm

(12.56)

W¨ urde man den Blechstreifen durch einen Kreiszylinder von gleicher Oberfl¨ache ersetzen, also mit dem Radius 4cm/(2π), so w¨ urde man nach Gl.(16.31) erhalten 2πε pF C = = 0, 270 . (12.57) l ln 2, 5π cm

12.4 Parallel- und Reihenschaltung von Kapazit¨ aten

187

12.4 Parallel- und Reihenschaltung von Kapazit¨ aten Werden mehrere Kapazit¨ aten mit den Kapazit¨atswerten C1 , C2 , C3 usw. parallel an eine Stromquelle gelegt, so verzweigen sich die Ladungen im Sinne der Ladungserhaltung auf die einzelnen Kapazit¨aten. Die gesamte Ladung Q ist nach Abschnitt 7.26 und nach Gl.(7.16) einem Verschiebungsfluss, d.h. dem Oberfl¨ achenintegral des D-Feldes, ¨ aquivalent. Somit setzt sich Q aus der Summe der Verschiebungsfl¨ usse Q1 , Q2 , Q3 usw. in den einzelnen Kapazit¨ aten zusammen. Dabei ist zu beachten, dass auf Grund der Parallelschaltung der Kapazit¨ aten die Potenzialdifferenz – d.h. die Spannung U – zwischen den Platten der Kapazit¨ aten gleich ist, so dass entsprechend der LadungsSpannungsbeziehung die Verschiebungsfl¨ usse nur durch die geometrischen bedingten Kapazit¨ atswerte C1 , C2 , C3 usw. unterscheiden. Ersetzt man die ganze Anordnung durch eine einzige Kapazit¨ at mit einer einem Kapazit¨atswert C0 , dass bei der gleichen Spannung U der gleiche Verschiebungsfluss aufgenommen wird, so gilt daher Q = Q1 + Q2 + Q3 + · · ·

(12.58)

U C0 = U C1 + U C2 + U C3 + · · ·

(12.59)

C0 = C1 + C2 + C3 + · · · .

(12.60)

oder Bei Reihenschaltung der Kapazit¨ aten hat der Verschiebungsstrom in jeder Kapazit¨ at den gleichen Wert. Die Ladungen Q der einzelnen Kapazit¨aten sind daher einander gleich. Die Spannungen an den einzelnen Kapazit¨aten sind bestimmt durch diese Ladung und den Kapazit¨atswert; ihre Summe ist gleich der Gesamtspannung U . Ersetzt man auch hier die Anordnung durch eine einzige Kapazit¨ at C0 , so dass sich bei der gleichen Spannung U die gleiche Ladung ergibt, so gilt U = U1 + U2 + U3 + · · · Q Q Q Q = + + + ··· C0 C1 C2 C3 oder

1 1 1 1 = + + + ··· . C0 C1 C2 C3

(12.61) (12.62)

(12.63)

Die Teilspannungen sind Un = U

C0 . Cn

(12.64)

Sie verhalten sich umgekehrt wie die Kapazit¨ atswerte; an der kleineren Kapazit¨ at liegt die h¨ ohere Spannung. ¨ Voraussetzung f¨ ur die G¨ ultigkeit dieser Uberlegung ist, dass der Isolationswiderstand der jeweils modellierten Kapazit¨ at unendlich groß ist. Bei Gleichstrom stellt sich bei Reihenschaltung in Wirklichkeit eine Spannungsverteilung

188

12 Kapazit¨ atskoeffizienten

ein, die ausschließlich durch die Isolationswiderst¨ande der einzelnen Kapazit¨ aten bestimmt ist; vgl. Abschnitt 5.1 Nur wenn ε/σ f¨ ur alle in Reihe geschalteten Kapazit¨ aten den gleichen Wert h¨ atte, w¨ urde diese Spannungsverteilung u ¨ bereinstimmen mit der hier berechneten. Praktisch schwankt die Leitf¨ahigkeit der Nichtleiter in ziemlich weiten Grenzen, so dass sich bei Gleichstrom große Unterschiede zwischen der wirklichen Verteilung der Spannung und der nach Gl.(12.64) berechneten ergeben k¨ onnen. Dagegen gelten die abgeleiteten Beziehungen sehr genau, wenn es sich um Wechselspannung handelt, da hier der Verschiebungsstrom den Leitungsstrom meist erheblich u ¨berwiegt (siehe Abschnitt 30). Wenn man eine Anzahl n Kapazit¨ aten parallel geschaltet mit einer Spannung U aufl¨ adt und dann hintereinander schaltet, so ergibt sich eine Addition der Einzelspannungen; die Gesamtspannung wird n U . Die ganze Anordnung wirkt dann wie eine Kapazit¨ at mit dem n-ten Teil der Kapazit¨at einer Einzelkapazit¨ at, der auf die n-fache Spannung aufgeladen ist. Man kann dieses Verfahren zur Herstellung von hohen Spannungen f¨ ur Versuchszwecke benutzen.

12.5 Kapazit¨ aten in Mehrleitersystemen 12.5.1 Maxwellsche Kapazit¨ atskoeffizienten In den bisherigen Abschnitten haben wir uns bei der Bestimmung der Kapazit¨ atswerte auf Systeme aus zwei Leitern beschr¨ ankt, die sich unter Umst¨anden durch Parallel- oder Reihenschaltung (vgl. Abschnitt 12.4) auf kompliziertere Anordnungen erweitern lassen. Es stellt sich nun die Frage, ob man den Kapazit¨ atsbegriff auch f¨ ur Systeme aus mehreren Leitern erweitern kann. Dazu gehen wir davon aus, dass ein System von Leitern Lα , α = 1, 2, . . . , n, wobei achen der Leiter, Qα die Ladungen und ϕα die Aα die entsprechenden Randfl¨ vorgegebenen Potenziale sind. Wir haben also das folgende Randwertproblem zu l¨ osen (siehe Schnackenberg [202]) ϕ = 0 f¨ ur r ∈ Lα , ϕ(r) → ϕα , f¨ ur r → Aα , ϕ(r) → 0, f¨ ur r → ∞,

(12.65) (12.66) (12.67)

wobei r ∈ Lα heißt, dass r weder im Leiter Lα noch auf dessen Randfl¨ache at der Laplace-PDgl. kann man eine L¨osung Aα liegt. Auf Grund der Linearit¨ dieses Problems in folgender Form ansetzen ϕ(r) =

n 

ϕβ fβ (r).

(12.68)

β=1

Setzt man diesen Ansatz in das Randwertproblem (12.65)–(12.67) ein, dann zeigt sich, dass die unbekannten Koeffizientenfunktionen fβ (r) die folgenden Forderungen erf¨ ullen

12.5 Kapazit¨ aten in Mehrleitersystemen

fβ (r) = 0 f¨ ur r ∈ Lα ,

189

(12.69)

fβ (r) → 1 f¨ ur r → Aβ , ur r → Aα (α = β), fβ (r) → 0 f¨

(12.70) (12.71)

fβ (r) → 0 f¨ ur r → ∞

(12.72)

Wenn die fβ und somit auch das Potenzial ϕ bestimmt worden sind, dann lassen sich auch die Fl¨ achenladungsdichten σα auf den Lβ aus dem Potenzial ϕ berechnen (12.73) σα = ε0 (n · E(r))Aα = −ε0 (n · gradϕ(r)) . Mit Hilfe entsprechender Oberfl¨ achenintegrale k¨onnen schließlich die Ladungen Qα ermittelt werden    Qα = σα dA = −ε0 n · gradϕ(r) dA = −ε0 gradϕ(r) · dA. (12.74) Aα

Aα

Aα

Setzen wir den Ansatz in Gl.(12.68) ein, dann erhalten wir ⎛ ⎞     ⎝ gradfβ (r) · dA⎠ ϕβ =: Qα = −ε0 gradϕ(r) · dA = Cαβ ϕβ , β

Aα

Aα

β

(12.75) wobei die Teilkapazit¨ aten“ ” Cαβ

 = gradfβ (r) · dA

(12.76)

Aα

als Koeffizienten einer Kapazit¨ atsmatrix C aufgefasst werden k¨onnen. 12.5.2 Definition und Messung von Teilkapazit¨ aten Haben mehrere voneinander isolierte Leiter verschieden hohe Potenziale, so stellen sich, wie im vorherigen Abschnitt gezeigt, bestimmte Ladungen und Ladungsverteilungen auf den Leitern ein. Das Potenzial ist von den im Raum vorhandenen Ladungen demgem¨ aß oder nach Gl.(12.75) linear abh¨angig. Daher lassen sich die Potenziale der n Leiter in Matrix-Form darstellen ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ a11 a12 · · · a1n Q1 ϕ1 ⎜ ϕ2 ⎟ ⎜ a21 a22 · · · a2n ⎟ ⎜ Q2 ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ (12.77) ⎜ .. ⎟ = ⎜ .. .. ⎟ ⎜ .. ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ . ⎠ ⎝ . . . ⎠ ϕn an1 an2 · · · ann Qn Q1 , Q2 , usw. sind die Ladungen der Leiter. Die aνµ sind Konstanten, die durch die r¨ aumliche Anordnung der Leiter im einzelnen gegebenen sind, aber nicht von den Ladungen abh¨ angen. Diese Konstanten k¨onnen aus den Maxwellschen

190

12 Kapazit¨ atskoeffizienten

Kapazit¨ atskoeffizienten berechnet werden (inverse Matrix aus Gl.(12.77)). Aus diesen Gleichungen folgt z.B. f¨ ur die Spannungen zwischen dem Leiter 1 und den u ¨ brigen Leitern ϕ1 − ϕ2 = b11 Q1 + b12 Q2 + · · · + b1n Qn , ϕ1 − ϕ2 = b21 Q1 + b22 Q2 + · · · + b2n Qn , .. . ϕ1 − ϕn = b(n−1)1 Q1 + b(n−1)2 Q2 + · · · + b(n−1)n Qn ,

(12.78)

wobei die Koeffizienten b in leicht ersichtlicher Weise aus den Koeffizienten a zu bilden sind. Sind n Leiter vorhanden, so ergeben sich n − 1 derartige Gleichungen. Mit diesen Gleichungen k¨ onnen die n Ladungen durch die Potenzialdifferenzen (Spannungen) ausgedr¨ uckt werden, wenn man dazu noch als n-te Gleichung die Beziehung Q1 + Q2 + Q3 + · · · = 0

(12.79)

nimmt, die aussagt, dass jede D-Feldlinie auf irgendeinem der Leiter endigt. Durch Aufl¨ osen der Gl.(12.79) und (12.79) erh¨alt man Q1 und ganz analog Q 2 . . . Qn : Q1 = C12 (ϕ1 − ϕ2 ) + C13 (ϕ1 − ϕ3 ) + · · · + C1n (ϕ1 − ϕn ), Q2 = C21 (ϕ2 − ϕ1 ) + C23 (ϕ2 − ϕ3 ) + · · · + C2n (ϕ2 − ϕn ), Q3 = C31 (ϕ3 − ϕ1 ) + C32 (ϕ3 − ϕ2 ) + · · · + C3n (ϕ3 − ϕn ), (12.80) .. . Qn = Cn1 (ϕn − ϕ1 ) + Cn2 (ϕn − ϕ2 ) + · · · + Cn(n−1) (ϕn − ϕn−1 ), Dabei sind die Gr¨ oßen C Konstanten von der Dimension einer Kapazit¨at, die aus den Koeffizienten a berechnet werden k¨ onnen. Die gesamten Verschiebungsfl¨ usse Q1 , Q2 , usw., die von den Leitern ausgehen, sind also gleich der Summe der Verschiebungsfl¨ usse zwischen je zwei Leitern, wie es f¨ ur drei Leiter in Abb. 12.3 dargestellt ist. Man kann diese Verschiebungsfl¨ usse durch Kapazit¨ aten veranschaulichen, die die Leiter miteinander verbinden. Es gibt im ganzen (1/2)n(n − 1) solcher Kapazit¨ aten. F¨ ur eine derartig aufgebaute Anordnung von Kapazit¨ aten gilt das gleiche Gleichungssystem. Da nun der von dem Leiter 2 nach dem Leiter 1 u ¨ bergehende Verschiebungsfluss entgegengesetzt gleich sein muss dem Verschiebungsfluss, der von 1 nach 2 u ¨bergeht, C12 (ϕ1 − ϕ2 ) = −C21 (ϕ2 − ϕ1 ),

(12.81)

C12 = C21 ,

(12.82)

so folgt und allgemein

12.5 Kapazit¨ aten in Mehrleitersystemen

191

Abbildung 12.3. D-Feldlinien zwischen drei Elektroden Abbildung 12.4. Messung der Teilkapazit¨ at zwischen 1 und 2

Cµν = Cνµ .

(12.83)

Man nennt die Gr¨ oßen C die Teilkapazit¨aten des Mehrleitersystems (Maxwell [156]). Die Teilkapazit¨ at zwischen zwei beliebigen Elektroden µ und ν kann grunds¨ atzlich so gemessen werden wie die Kapazit¨at einer Kapazit¨at, indem man die bei irgend einer Spannung U zwischen den Elektroden von diesen aufgenommene Ladung bestimmt. Um z.B. in dem System von f¨ unf Leitern, Abb. 12.4, die Teilkapazit¨ at zwischen 1 und 2 zu messen, l¨adt man die Leiter 2, 3, 4 und 5 gegen¨ uber 1 zum gleichen Potenzial U auf und misst mit dem ballistischen Galvanometer G die Elektrizit¨ atsmenge Q12 , die dabei dem Leiter 2 zufließt. Es ist dann Q12 . (12.84) C12 = U F¨ ur praktische Zwecke besser geeignete Methoden zur Messung der Teilkapazit¨ aten werden Br¨ uckenschaltungen verwendet, die in der messtechnischen ¨ Literatur beschrieben werden; eine kurze Ubersicht geben K¨ upfm¨ uller und Kohn [130]. 12.5.3 Form des elektrischen Feldes ¨ Aus diesen Uberlegungen darf nicht geschlossen werden, dass die den Teilkapazit¨ aten entstehenden Verschiebungsfl¨ usse in der Form von D-Feldlinien in dem Feldbild vorhanden sein m¨ ussten. Die durch Gl.(12.80) ausgedr¨ uckt Zerlegung ist eine rein mathematische, die wir in Abschnitt 12.5.1 mit Hilfe der Greenschen Funktionen abgeleitet haben. Als Beispiel zeigt Abb. 12.5 den grunds¨ atzlichen Verlauf der D-Feldlinien zwischen zwei parallelen Doppelleitungen 12 und 34; es ist dabei angenommen, dass die beiden Leiter 1 und 3 ein und dasselbe positive Potenzial haben, die Leiter 2 und 4 das gleiche negative Potenzial. Obwohl z.B. zwischen den Leitern 2 und 3 die volle Potenzialdifferenz besteht und daher die Teilkapazit¨ at C23 zwischen diesen beiden Leitern einen Betrag C23 (ϕ3 − ϕ2 ) zur Ladung der Leiter liefert, gehen doch keine D-Feldlinien zwischen diesen Leitern u ¨ ber.

192

12 Kapazit¨ atskoeffizienten

Abbildung 12.5. D-Feldlinien bei vier parallelen Dr¨ ahten

Das Bild der D-Feldlinien h¨ angt stark von dem Verh¨altnis der Spannungen zueinander ab. Als weiteres Beispiel werde das elektrische Feld in der Umgebung einer Drehstrom-Freileitung betrachtet. Zwischen den drei Leitungen und Erde findet man sechs Teilkapazit¨ aten, deren Gr¨oße unabh¨angig von den Betriebsspannungen ist. In Abb. 12.6 ist der Verlauf der D-Feldlinien gezeigt, der sich wegen der zeitlich ver¨ anderlichen Spannungen zeitlich fortgesetzt ¨andert. Es sind folgende Zeitpunkte herausgegriffen: a) Die Spannung zwischen Leiter 1 und Erde (Sternspannung) habe ihren H¨ochstwert. Wegen der zeitlichen Verschiebung der drei Sternspannungen um je 1/3 Periode haben dann die Spannungen der beiden anderen Leiter den halben negativen Wert: also Sternspannung 1 = 1 Sternspannung 2 = −0, 5 Sternspannung 3 = −0, 5 b) Eine zw¨ olftel Periode sp¨ ater: Sternspannung 1 = 0, 866 Sternspannung 2 = 0 Sternspannung 3 = −0, 866 c) Eine weitere zw¨ olftel Periode sp¨ ater: Sternspannung 1 = 0, 5 Sternspannung 2 = 0, 5 Sternspannung 3 = −1 d) Eine weitere zw¨ olftel Periode sp¨ ater: Sternspannung 1 = 0 Sternspannung 2 = 0, 866 Sternspannung 3 = −0, 866

12.5 Kapazit¨ aten in Mehrleitersystemen

193

Wie die Abb. 12.6 zeigt, ergeben sich schon in diesem einfachen Fall elektrische Felder sehr komplizierter Form. Das betrachtete Feld stellt ein elektrisches Drehfeld dar; das Maximum der Feldliniendichte wandert im Sinne der Phasenfolge 1, 2, 3 so oftmal in der Sekunde links herum, wie es die Frequenz des Drehfeldes angibt. Das Feldbild ist angen¨ ahert symmetrisch zu einer Achse, die mit der Senkrechten einen Winkel von 0◦ im Fall a), 30◦ im Fall b), 60◦ im Fall c) und 90◦ im Fall d) bildet.

Abbildung 12.6. D-Feldlinien bei einer Drehstromleitung

12.5.4 Berechnung von Teilkapazit¨ aten Trotz des komplizierten Verlaufs der D-Feldlinien ist gerade in dem praktisch wichtigsten Fall der Leitungen die Berechnung der Teilkapazit¨aten sehr ¨ einfach. Am ben¨ utzt dabei den Satz von der ungest¨orten Uberlagerung der Einzelpotenziale. In Abb. 12.7 seien drei parallel zur Erdoberfl¨ache verlaufende Leitungen 1, 2, 3 dargestellt. Die Wirkung der Erdoberfl¨ache kann dadurch ber¨ ucksichtigt werden, dass Spiegelbilder 1 , 2 und 3 mit entgegengesetzten gleichen Ladungen angebracht werden. Nach Abschnitt 10.2 kann man ferner die Leitungsdr¨ ahte durch Linienquellen in den Drahtachsen ersetzen. Dann gilt f¨ ur das Potenzial in einem beliebigen Punkt P , wenn die Abst¨ande dieses Punktes von den Drahtachsen in der aus der Abbildung ersichtlichen Weise bezeichnet werden und Q1 , Q2 , Q3 die Ladungen der Dr¨ahte bedeuten, nach Gl.(10.79) 
r1 r2 r3 1 + Q2 ln + Q3 ln . (12.85) Q1 ln ϕ= 2πεl r1 r2 r3 Der Nullpunkt des Potenzials ist dabei in die Erdoberfl¨ache verlegt. Die Niveaufl¨ achen sind Zylinder, deren Spuren aber nur in der unmittelbaren N¨ahe der Drahtachsen Kreisform annehmen. Unter der Voraussetzung, dass die Dr¨ ahte hinreichend d¨ unn gegen ihre Abst¨ ande sind, erh¨alt man daher das Potenzial eines Drahtes, wenn man den Punkt P bis auf einen Abstand an die Drahtachse heranr¨ ucken l¨ asst, der gleich dem Radius des betreffenden Drahtes

194

12 Kapazit¨ atskoeffizienten

Abbildung 12.7. Berechnung der Teilkapazit¨ aten von Leitungen

ist. Es ergeben sich so ebenso viele Gleichungen f¨ ur die Drahtspannungen als Dr¨ ahte vorhanden sind. Zur Berechnung der Teilkapazit¨aten hat man diese Gleichungen nach den Ladungen aufzul¨ osen und in die Form der Gl.(12.80) zu bringen. Als Beispiel werde die Berechnung der Teilkapazit¨aten einer Doppelleitung betrachtet, Abb. 12.8. Die beiden Dr¨ ahte sollen die Abst¨ande h1 und h2 vom Erdboden haben, der gegenseitige Abstand sei mit a, der Abstand eines Drahtes von dem Spiegelbild des anderen sei mit b bezeichnet. Die Drahtdurchmesser seien d1 und d2 . Dann gilt nach Gl.(12.85)

Abbildung 12.8. Doppelleitung


 4h1 b 1 + Q2 ln Q1 ln ; ϕ1 = 2πε0 l d1 a 
b 4h2 1 . Q1 ln + Q2 ln ϕ2 = 2πε0 l a d2

(12.86) (12.87)

Au߬ osen nach Q1 und Q2 ergibt
 
4h2 b b 4h1 4h2 ln − ln2 − ϕ2 ln = 2πε0 l ϕ1 ln ; (12.88) Q1 ln d1 d2 a d2 a
 
4h1 b b 4h1 4h2 = 2πε0 l ϕ2 ln . (12.89) ln − ln2 − ϕ1 ln Q2 ln d1 d2 a d1 a

12.5 Kapazit¨ aten in Mehrleitersystemen

195

Wir bringen diese Gleichungen in die Form der Gl.(12.80) (ϕ3 = 0 f¨ ur die Erdoberfl¨ ache):     b 4h2 a 4h1 4h2 Q1 2 b ln = ϕ1 ln + (ϕ1 − ϕ2 ) ln ;(12.90) ln − ln 2πε0 l d1 d2 a d2 b a     b a b 4h 4h1 4h2 Q2 1 ln − ln2 ln = ϕ2 ln + (ϕ2 − ϕ1 ) ln .(12.91) 2πε0 l d1 d2 a d1 b a Damit folgt f¨ ur die Teilkapazit¨ aten, die durch die Kapazit¨aten in Abb. 12.9 dargestellt sind, 4h2 a d2 b = 2πε0 l 4h1 4h2 ln ln − ln2 d1 d2 4h1 a ln d1 b = 2πε0 l 4h1 4h2 ln ln − ln2 d1 d2 b ln a = 2πε0 l 4h1 4h2 ln ln − ln2 d1 d2 ln

C10

C20

C12

b a

b a

b a

,

(12.92)

,

(12.93)

.

(12.94)

Wenn die beiden Dr¨ ahte in einer Horizontalebene liegen und gleiche Durch-

Abbildung 12.9. Teilkapazit¨ aten einer Doppelleitung

messer haben, dann ist h1 = h2 = h, d1 = d2 = d, b =

 4h2 + a2 ,

(12.95)

und es wird C10 = C20 =

C12

2πε l  0  ; 2 ln 4h 1 + 2h d a

(12.96)

  2 1 + 2h a = 2πε0 l
  . (12.97)     2h 2 −1 4h 2h 2 4h ln d 1 + a ln d 1+ a ln 4h d

196

12 Kapazit¨ atskoeffizienten

Liegen die beiden Dr¨ ahte in einer Vertikalebene, so ist in Gl.(12.92) bis (12.94) zu setzen a = h2 − h1 , b = h2 + h1 . (12.98) Die Teilkapazit¨ at liefert eine sch¨ arfere Formulierung des Begriffes der Kapazit¨ at. Bei den meisten Anwendungen sind mehr als zwei Leiter vorhanden; dann kann nicht ohne weiteres ein einziger Kapazit¨atswert f¨ ur die betreffende Anordnung angegeben werden; definiert sind dann nur die Teilkapazit¨ aten. In vielen F¨ allen kann man jedoch die Darstellung vereinfachen durch die Einf¨ uhrung der sogenannten Betriebskapazit¨at des Mehrleitersystems. Man versteht darunter die Ersatzkapazit¨at f¨ ur eine bestimmte Betriebsart. Z. B. ist die normale Betriebsart einer Doppelleitung die dass ein Draht als Hinleitung, der andere als R¨ uckleitung des Stromes verwendet wird. In dem Schema der Teilkapazit¨ aten, Abb. 12.7, liegen dann die beiden Kapazit¨aten C10 und C20 in Reihe miteinander zwischen den Klemmen der Stromquelle und parallel zu C12 . Die Leitung wirkt daher f¨ ur die Stromquelle wo wie eine Kapazit¨at mit der Kapazit¨ at (vgl. Abschnitt 12.4) Cb12 = C12 +

C10 C20 . C10 + C20

(12.99)

Das ist die Betriebskapazit¨ at der Doppelleitung f¨ ur diese Betriebsart. Im Fall der beiden in gleicher H¨ ohe liegenden Dr¨ ahte ergibt sich daraus mit Hilfe der Formeln (12.96) und (12.97): Cb12 =

πε0 l πε0 l
 −1 =
  .  2h 2  a 2 −1 4h 2a ln d 1+ d ln d 1 + 2h

(12.100)

Diese Beziehung unterscheidet sich von der fr¨ uher f¨ ur die beiden frei im Raum befindlichen Dr¨ ahte abgeleiteten Gl.(12.44) durch die Wurzel im Nenner. Diese Wurzel ber¨ ucksichtigt also die auf der Erdoberfl¨ache influenzierten Ladungen. Bei sehr großer H¨ ohe u ¨ ber dem Erdboden wird sie 1. Wenn andererseits die H¨ohe h u ber dem Erdboden klein gegen den Drahtabstand a ist, dann wird ¨ die Betriebskapazit¨ at halb so groß wie die Kapazit¨at einer Einfachleitung, Gl. (12.32). Bei den praktisch vorkommenden Freileitungen unterscheidet sich die Wurzel um weniger als ein Tausendstel von 1. Die Betriebskapazit¨at kann daher fast immer nach der Formel (12.44) berechnet werden, um so eher als in Wirklichkeit immer andere Einfl¨ usse vorhanden sind, die die Kapazit¨at mindestens in gleicher Gr¨ oßenordnung ver¨ andern, z. B. Unebenheiten des Erdbodens, B¨ aume und dgl., ferner die Isolatoren und die Maste. Eine andere Betriebsart der Doppelleitung stellt der sogenannte Einfachbetrieb der Telegraphie dar, bei dem ein Draht als Hinleitung und die Erde als R¨ uckleitung des Stromes benutzt werden. Die Betriebskapazit¨at ist dann die Ersatzkapazit¨ at zwischen Draht und Erde. Ihr Wert h¨angt davon ab, ob der andere Leiter isoliert oder geerdet ist. Im ersteren Fall ergibt sich keine Beeinflussung des Potenzialfeldes durch den anderen Leiter, abgesehen von

12.5 Kapazit¨ aten in Mehrleitersystemen

197

der engsten Umgebung dieses Leiters (vgl. Abb. 10.17); die Betriebskapazit¨at ist daher gleich der Kapazit¨ at der Einfachleitung gegen Erde; Cb10 = C10 +

2πε0 l C12 C20 = . 1 C12 + C20 ln 4h d1

(12.101)

Im zweiten Fall dagegen liegen die Teilkapazit¨aten C10 und C12 einander parallel; die Betriebskapazit¨ at ist Cb10 = C10 + C12 = 2πε0 l

2 ln 4h d2

2 4h2 1 ln 4h d1 ln d2 − ln

b a

.

(12.102)

Sie wird um so genauer gleich der Kapazit¨ at einer Einfachleitung, je mehr sich das Verh¨ altnis b/a dem Wert 1 n¨ ahert, je weiter also der zweite Leiter entfernt ist. Im u oßert die Anwesenheit des zweiten Leiters die Kapazit¨at. ¨brigen vergr¨ Zu beachten ist, dass die Teilkapazit¨ aten immer von der Gesamtanordnung aller Elektroden mitbestimmt sind. Die Teilkapazit¨aten zwischen zwei Leitern ¨andern sich also, wenn noch weitere Leiter in dem betreffenden Raum hinzugef¨ ugt werden. Eine weitere Anwendung finden die Teilkapazit¨aten bei der Berechnung der Beeinflussung von Fernsprechleitungen durch parallellaufende Starkstromleitungen. Das elektrische Feld der Starkstromleitung erzeugt Potenzialdifferenzen zwischen den Dr¨ ahten der Fernsprechleitung, die zwar klein sind gegen die Spannungen in der Starkstromleitung, aber doch merkliche St¨orungen in den Fernsprechleitungen wegen der dort verwendeten niedrigen Betriebsspannungen hervorrufen k¨ onnen. Das Schema der Teilkapazit¨aten f¨ ur die Beeinflussung zwischen einer einzelnen Starkstromleitung (Fahrdraht einer elektrischen Bahn) und einer eindr¨ ahtigen Telegraphenleitung ist in Abb. 12.10 dargestellt. Bezeichnet man den horizontalen Abstand zwischen den beiden Leitungen mit c, so ist nach Abb. 12.8

Abbildung 12.10. Kapazitive Beeinflussung einer Fernsprechleitung durch eine Starkstromleitung

 c2 + (h1 − h2 )2 ,  b = c2 + (h1 + h2 )2 ,

a=

(12.103) (12.104)

und die Kopplungskapazit¨ at C12 ist aus Gl. (12.97) zu berechnen. Bei großem Abstand c der Leitungen gegen die H¨ ohen ergibt sich so die N¨aherungsformel

198

12 Kapazit¨ atskoeffizienten

C12 = 2πε0 l

2h1 h2 . 4h2 1 c2 ln 4h d1 ln d2

(12.105)

Die Kopplungskapazit¨ at nimmt also umgekehrt mit dem Quadrat der Entfernung zwischen den beiden Leitungen ab, so dass die Vergr¨oßerung des Abstandes zwischen den Leitungen ein wirksames Mittel zur Verminderung der Kopplung ist.

α C12 /l (pF/km)

5 10 20 50 100 124 31 7, 8 1, 24 0, 31

Tabelle 12.7. Kopplungskapazit¨ at C12 /l als Funktion von α

Zahlenbeispiel: Nennt man das Verh¨ altnis des Leitungsabstandes zur mittleren H¨ ohe der Leitungen α, c , α= √ h1 h2

(12.106)

so ergeben sich f¨ ur ein Verh¨ altnis von h2 h1 = = 100 d1 d2

(12.107)

die in Tabelle 12.7 aufgef¨ uhrten Werte der Kopplungskapazit¨at geteilt durch die L¨ ange l f¨ ur h2 h1 = = 500 (12.108) d1 d2 wird bei Mit Hilfe der Teilkapazit¨ aten werden die Berechnungen u ¨ber die ge-

α C12 /l (pF/km)

5 10 20 50 100 78 19, 5 4, 9 0, 78 0, 195

Tabelle 12.8. Kopplungskapazit¨ at C12 /l als Funktion von α

genseitigen Beeinflussungen von Leitungen zur¨ uckgef¨ uhrt auf die Berechnung von linearen Netzen. Die Abb. 12.11 veranschaulicht die Teilkapazit¨aten zwischen einer Drehstromleitung und einer Fernsprechleitung, die grunds¨atzlich auf dem gleichen Weg wie in dem eben betrachteten Beispiel berechnet werden k¨onnen. Als weiteres Beispiel f¨ ur die Berechnung von Teilkapazit¨aten werde ein symmetrisches Dreileiterkabel betrachtet, Abb. 12.12. Die drei zylindrischen

12.5 Kapazit¨ aten in Mehrleitersystemen

199

Leiter 1, 2, 3 befinden sich im Innern eines zylindrischen Metallmantels. F¨ ur die angen¨ aherte Berechnung der Potenzialverteilung bildet man zun¨achst die drei Leiter durch Linienquellen in ihren Achsen ab. Bezeichnet man deren Ladungen mit Q1 , Q2 , Q3 , so kann die Wirkung des Metallmantels auf die Potenzialverteilung durch drei Linienquellen 1 , 2 , 3 mit den Ladungen ucksichtigt werden. F¨ ur die Abst¨ande b der Spiegelbilder −Q1 , −Q2 , −Q3 ber¨ gilt nach dem Gesetz der reziproken Radien Gl. (11.39)

Abbildung 12.11. Teilkapazit¨ aten zwischen Drehstromleitungen und Einphasenleitung

b=

D2 . 4a

(12.109)

Dadurch wird die Innenfl¨ ache des Mantels mit dem Durchmesser D eine Niveaufl¨ ache. Die die Linienquellen umgebenden Niveaufl¨achen sind ebenfalls Zylinder, deren Grundfl¨ achen aber um so mehr von der Kreisform abweichen, je mehr sie sich dem Mantel n¨ ahern. Bei nicht zu großem Leiterdurchmesser ergibt sich angen¨ ahert Kreisform. Dann gilt f¨ ur die Potenziale der drei unter Ber¨ ucksichtigung, dass die√mittleren Abst¨ a nde der Leiteroberfl¨achen von den √ Linienquellen d/2, b − a, a 3 und a2 + b2 + ab sind,

Abbildung 12.12. Berechnung der Teilkapazit¨ aten eines Drehstromkabels

200

12 Kapazit¨ atskoeffizienten

⎛ ⎞ √ √ 2 2 2 2 ⎞ ⎛ ⎞ √ +ab ln a +b √ +ab ln a a+b ln 2 b−a a Q1 ϕ1 3 a 3 √ √ ⎜ ⎟ 2 2 2 ⎝ ϕ2 ⎠ = 1 ⎜ ln a2 +b √ +ab √ +ab ⎟ ⎝ Q2 ⎠ . ln 2 b−a ln a a+b a ⎠ 3 √ 2πεl ⎝ √ 2a 23 2 2 b−a Q3 ϕ3 √ +ab ln a +b √ +ab ln a a+b ln 2 a 3 a 3 (12.110) Das Potenzial der Kabelmantelfl¨ ache wird ⎛

ϕ0 =

D 1 (Q1 + Q2 + Q3 ) ln 2πεl 2a

(12.111)

mit dem Abstandsverh¨ altnis von den Linienquellen: b − 12 D D = . 1 2a D − a 2

(12.112)

Aus Symmetriegr¨ unden sind die drei Teilkapazit¨aten zwischen den drei Leitern einander gleich, ebenso die drei Teilkapazit¨ aten zwischen den Leitern und dem Mantel (Erdkapazit¨ aten), Abb. 12.13. Es gen¨ ugt daher, einen der drei Leiter zu betrachten. Die Spannung U1 zwischen dem Leiter 1 un dem Mantel ist

Abbildung 12.13. Teilkapazit¨ aten eines Drehstromkabels



 √ 4a(b − a) 2a a2 + b2 + ab √ Q1 ln + (Q2 + Q3 ) ln . Dd aD 3 (12.113) Andererseits folgt aus dem Ersatzbild mit den drei Spannungen U1 , U2 und U3 gegen den Mantel 1 U1 = ϕ1 − ϕ0 = 2πεl

Q1 = U1 C0 + (U1 − U2 )C1 + (U1 − U3 )C1 ,

(12.114)

Q2 = U2 C0 + (U2 − U1 )C1 + (U2 − U1 )C1 , Q3 = U3 C0 + (U3 − U1 )C1 + (U3 − U1 )C1 .

(12.115) (12.116)

Durch Aufl¨ osen dieser Gleichungen nach U1 erh¨alt man U1 =

C1 C0 + C1 Q1 + (Q2 + Q3 ). C0 (C0 + 3C1 ) C0 (C0 + 3C1 )

(12.117)

12.5 Kapazit¨ aten in Mehrleitersystemen

201

Durch Vergleich der Koeffizienten von Q1 , Q2 und Q3 mit Gl. (12.113) ergibt sich 2πεl , (12.118) C0 = 16a(b2 − a2 ) ln 3D2 d 1 2πεl √ (12.119) − C0 . C1 = 3 2 3a(b − a) 3 ln √ d a2 + b2 + ab F¨ ur den Grenzfall, dass sich die drei Leitungen frei im Raum befinden, ergibt sich hieraus (D = ∞) C0 = 0,

C1 =

2πεl √ . 2a 3 3 ln d

(12.120)

Abbildung 12.14. Bedingung f¨ ur die kapazitive Entkopplung zweier Leitungen

In den Kabeln der Fernsprechtechnik ist h¨aufig eine große Zahl von Leitungen untergebracht. Die Teilkapazit¨ aten zwischen den einzelnen Leitungen haben hier eine elektrische Kopplung zwischen den mit den Leitungen gebildeten Stromkreisen ( Nebensprechen“) zur Folge, die nat¨ urlich unerw¨ unscht ” ist. Eine Bedingung daf¨ ur, dass die Kopplung zwischen zwei Leitungen verschwindet, l¨ asst sich allgemein folgendermaßen formulieren. Es seien in Abb. 12.14 1 und 2 die beiden Adern der einen Leitung, 3 und 4 die beiden Adern einer beliebigen anderen Leitung. Wenn dann C13 = C23

und C14 = C24 ,

(12.121)

dann halbieren die Leiter 3 und 4 das Potenzialgef¨alle zwischen 1 und 2, d. h. sie haben gegeneinander keine Spannung. Man vermeidet als die Kopplung, wenn die Teilkapazit¨ aten von jeder Ader zu den beiden Adern einer jeden anderen Leitung einander gleichgemacht werden. Dies wird mit einer gewissen Ann¨ aherung durch das sogenannte Verdrillen der Leitungen erreicht, wobei die beiden Adern einer jeden Leitung schraubenlinienf¨ormig umeinander herumgef¨ uhrt werden.

13 Energie in der Elektrostatik

13.1 Elementare Betrachtungen Bringt man einen kleinen geladenen K¨ orper, z.B. eine kleine Metallkugel, die mit der Ladung Q versehen ist, in ein elektrostatisches Feld, so wird auf diesen geladenen K¨orper eine mechanische Kraft in der Richtung der E-Feldlinien ausge¨ ubt. Die Kraft ist bestimmt durch das E-Feld, das vor dem Einbringen des geladenen K¨orpers in das elektrische Feld an der betreffenden Stelle vorhanden war; sie hat den durch Gl.(7.1) gegebenen Wert. Voraussetzungen f¨ ur die G¨ ultigkeit dieser Beziehung ist, dass die Abmessungen des geladenen K¨ orpers so klein sind, dass das urspr¨ ungliche Feld in seiner Umgebung als homogen angesehen werden kann. Bewegt man den geladenen K¨orper, so bleibt die Kraft durch das gleiche Gesetz bestimmt. Man erh¨alt dann eine mechanische Arbeit, die positiv oder negativ sein kann, je nach der Richtung der Bewegung gegen¨ uber der Richtung der E-Feldlinien. Die Arbeit, die beim Durchlaufen eines kleinen L¨ angenelementes ds des Weges auf die geladene Kugel u ¨ bertragen wird, ergibt sich, wenn die in die Wegrichtung fallende Komponente Fs der Kraft F, Abb. 13.1, mit der L¨ange des Wegelementes multipliziert wird. Unter Wegrichtung ist dabei die Richtung der Bewegung des geladenen K¨ orpers zu verstehen. Die gesamte Arbeit, die auf einem beliebigen Weg von a nach b erhalten wird, ist 

b

W =

F · ds,

(13.1)

a

oder mit Gl.(7.1)



b

E · ds.

W =Q

(13.2)

a

F¨ uhrt man schließlich noch Gl.(6.14) ein, so ergibt sich W = Q (ϕa − ϕb ).

(13.3)

13.1 Elementare Betrachtungen

203

Abbildung 13.1. Zur Berechnung der Arbeit beim Bewegen von Elektrizit¨ atsmengen

An dieser Stelle bietet es sich an, f¨ ur die Potenzialdifferenz (ϕa − ϕb ) den Begriff elektrische Spannung einzuf¨ uhren, die nach dem obenstehenden Ausf¨ uhrungen proportional zur Arbeit ist. Man definiert Uab := ϕa − ϕb .

(13.4)

Der Index ab wird u ¨ blicherweise weggelassen, wenn klar ist, welche Potenzialdifferenz gemeint ist. Die Arbeit, die die elektrischen Feldkr¨afte beim Transport eines geladenen K¨ orpers von einem Punkt a nach einem Punkt b des Feldes leisten, h¨ angt nur von der Potenzialdifferenz oder Spannung zwischen den beiden Punkten und von der Ladung des K¨orpers ab; sie ist unabh¨angig von dem Weg und wird positiv, wenn eine positive Ladung von h¨oherem zu niedrigerem Potenzial oder eine negative Ladung von niedrigerem zu h¨oherem Potenzial gebracht wird, w¨ ahrend bei umgekehrter Bewegungsrichtung eine mechanische Arbeit aufgewendet werden muss. ¨ Diese Uberlegungen k¨ onnen genutzt werden, um den Energieinhalt eines elektrischen Feldes zu bestimmen. Dazu werden nacheinander Punktladungen aus dem Unendlichen herangef¨ uhrt und die jeweils notwendige Arbeit als Feldenergie interpretiert. Bevor wir entsprechende qualitative Rechnungen ausf¨ uhren, u ¨ berlegen wir auf die gleiche Art und Weise, welche Energie das elektrostatische Feld eines Kondensators besitzt. Wenn ein Kondensator mit der Kapazit¨ at C auf die Spannung U aufgeladen wird, so nimmt er nach Gl. (12.1) eine Ladung Q = CU

(13.5)

auf. Die Stromquelle muss also w¨ ahrend der Aufladung eine bestimmte elektrische Arbeit liefern, die auf den Kondensator u ¨ bergeht, wenn sonst keine Energieverluste vorhanden sind. Da nun ein endlicher Betrag von Energie bei endlichen Kr¨ aften nur in endlichen Zeiten u ¨ bertragen werden kann, so erfordert der Vorgang der Aufladung, also der Vorgang der Herstellung eines elektrischen Feldes, Zeit. Bezeichnet man die Spannung in irgendeinem Zeitpunkt w¨ ahrend des Aufladungsvorganges mit u, so ist die entsprechende Ladung in diesem Zeitpunkt ( Augenblickswert“) ” q = Cu. (13.6)

204

13 Energie in der Elektrostatik

Der positiven Elektrode fließen w¨ ahrend der Aufladung positive Ladungen zu; von der negativen Elektrode fließen positive Ladungen ab. Es besteht also in dem betrachteten Zeitpunkt eine bestimmte Stromst¨arke i. Der Strom vermehrt die Ladung der positiven Elektrode in einem Zeitelement dt um den Betrag dq = idt. (13.7) Dadurch w¨ achst die Spannung um einen Betrag du, und es gilt dq = Cdu.

(13.8)

idt = Cdu.

(13.9)

Daraus folgt Die elektrische Arbeit, die der Kondensator w¨ ahrend des Zeitelements dt aufnimmt, ist dW = u i dt = C u du. (13.10) War der Kondensator zun¨ achst umgeladen, und w¨achst seine Spannung auf irgendeinen Wert U , so ist die gesamte vom Kondensator aufgenommene elekU trische Energie 0 C u du, also W =

1 CU 2 . 2

(13.11)

Diese Energie ist im Kondensator aufgespeichert wie die potentielle Energie in einer gespannten Feder. Man kann sie bei der Entladung des Kondensators wiedergewinnen. Die Energiebetr¨ age, die auf diese Weise aufgespeichert werden k¨ onnen, sind freilich verh¨ altnism¨ aßig gering. Wird z.B. ein Kondensator mit der Kapazit¨ at C = 2 µF auf eine Spannung von 1000 Volt aufgeladen, so enth¨ alt er die Energie W =

1 2 · 10−6 · 106 · F V 2 = 1 W s. 2

(13.12)

Als Sitz der Energie kann das elektrische Feld selbst angesehen werden. Wir denken uns durch zwei benachbarte Niveaufl¨ achen mit dem Abstand n und durch D-Feldlinien ein Prisma mit den Grundfl¨achen A im elektrischen Feld abgegrenzt, Abb. 16.5. An dem Feldbild ¨ andert sich nicht, wenn man die Grundfl¨ achen durch d¨ unne Metallfolien mit den entsprechenden Potenzialen ersetzt. Dann entsteht ein kleiner Plattenkondensator mit der Kapazit¨at C=ε

A , n

(13.13)

der auf die Spannung ϕ aufgeladen ist. Die in ihm gespeicherte Energie hat den Betrag 1 1 (13.14) W = C( ϕ)2 = εE2 dV, 2 2

13.1 Elementare Betrachtungen

205

wobei das Volumen des Prismas n A = V gesetzt ist. Daraus geht hervor, dass in dem elektrischen Feld Energie gespeichert ist mit der Dichte 1 1 W = εE2 = ED. V →0 V 2 2

w = lim

(13.15)

Die Energiedichte ist im allgemeinen ungleichm¨aßig u ¨ ber das Feld verteilt, wobei die Richtung der elektrischen Gr¨ oßen ber¨ ucksichtigt werden kann. Die gr¨ oßte Energie sitzt dort, wo die Feldst¨ arke am gr¨oßten ist. Man erh¨alt die insgesamt in dem elektrischen Feld gespeicherte Energie durch Integration u ¨ ber das Volumen in dem sich das Feld befindet  1 E · D dV. (13.16) W = 2 Diese Formel kann man auch dadurch begr¨ unden, dass man N Punktladungen qi aus dem Unendlichen an eine Ort ri bringt und die dabei aufzubringende Arbeit aufsummiert. Im Grenz¨ ubergang N → ∞ erh¨alt man (siehe auch Behnke, Muschik und P¨ asler [22])  1  φ dV. (13.17) W = 2 Mit Hilfe der Poisson-PDGl. und einigen Umformungen lassen sich die Darstellungen der Energie Gl. (13.16) und (13.17) ineinander u uhren. ¨ berf¨ Man muss diese Energie unbedingt von der Wechselwirkungsenergie zwischen zwei elektrischen Feldern unterscheiden, obwohl sich die beiden Ausdr¨ ucke zahlenm¨ aßig nur um den Faktor 1/2 unterscheiden. Man erh¨alt  1 a¨uss φ dV, (13.18) W ww = 2 wobei a¨uss das Potenzial des ¨ außeren und u. U. vorgegebenen elektrischen Feldes ist. Ein schwaches ¨ außeres elektrisches Feld kann mit Hilfe einer MultipolEntwicklung dargestellt werden (vgl. 11.5); es ergibt sich folgende N¨aherungsformel f¨ ur die Wechselwirkungsenergie  1 ww a¨uss φ dV ≈ = W 2 ∂Ej 1  Qij (0), (13.19) ≈ Qϕ(0) − P1 · E(0) − 6 i,j=1 ∂xi wobei Q das Monopol-, P1 das Dipolmoment und die Qij die QuadrupolMomente sind. W¨ ahrend das E-Feld mit dem Dipolmoment wechselwirkt, zeigt die Formel f¨ ur W ww , dass die Quadrupol-Momente mit der Ableitung des EFeldes wechselwirken. Auf diesen Eigenschaften kann man Messverfahren f¨ ur diese Momente aufbauen.

14 Mechanische Kr¨ afte in der Elektrostatik

14.1 Kr¨ afte an Leiteroberfl¨ achen In Abschnitt 6 wurden die Coulombschen Kr¨afte als Ausgangspunkt f¨ ur die Einf¨ uhrung des elektrischen Feldes gew¨ ahlt. Die auf eine Punktladung im elektrischen Feld ausge¨ ubte Kraft ist nach Gl. (6.4) F = QE.

(14.1)

Dabei bedeutet E das urspr¨ ungliche E-Feld am Orte der Punktladung. Die Kraft, die zwischen zwei Punktladungen Q1 und Q2 im Abstand a auftritt, l¨ aßt sich danach in folgender Weise berechnen. W¨are nur die Punktladung Q1 vorhanden, so w¨ urde sich das E-Feld am Ort der anderen Punktladung nach Gl. (7.2) betragm¨ aßig ergeben zu E =

Q1 . 4πεa2

(14.2)

F¨ ur die Kraft gilt daher nach Coulomb (1785) F =

Q1 Q2 ; 4πεa2

(14.3)

sie sucht Ladungen gleichen voneinander zu entfernen, Ladungen entgegengesetzten Vorzeichens einander zu n¨ ahern. Von diesem durch Coulomb experimentell entdeckten Gesetz hat die Elektrizit¨atslehre ihren Ausgangspunkt genommen; ihre geschichtliche Entwicklung ging gegen¨ uber dem hier Dargestellten den umgekehrten Weg. Das Coulombsche Gesetz gab die M¨oglichkeit, Elektrizit¨ atsmengen zu messen; damit konnte man auf Grund der Gl.(6.14) das E-Feld und Spannung definieren. Die Formel (6.4) gilt streng nur f¨ ur Punktladungen; bei r¨aumlich ausgedehnten Elektroden ist sie n¨ aherungsweise g¨ ultig, wenn die Elektrodenabmessungen klein gegen den Abstand sind.

14.1 Kr¨ afte an Leiteroberfl¨ achen

207

Abbildung 14.1. Berechnung der Kr¨ afte in einem Plattenkondensator

Die zwischen Elektroden beliebiger Gr¨ oße und beliebigen Abstandes wirkenden Feldkr¨ afte k¨ onnen berechnet werden, wenn man sich die Ladungen so fein unterteilt denkt, dass sie als Punktladungen aufgefasst werden k¨onnen. Die auf die Elektroden wirkenden Kr¨ afte sind die Resultierenden aller an den Punktladungen angreifenden Kr¨ afte. Als Beispiel sollen die Kr¨afte zwischen zwei parallelen Platten sehr großer Ausdehnung mit dem Abstand a berechnet werden. Bezeichnet man das u ¨berall zwischen den Platten konstante D-Feld D, so hat ein Fl¨ achenelement A1 der einen Platte die Ladung QA = D A. Um die auf das Fl¨ achenelement ausge¨ ubte Kraft zu berechnen, f¨ allen wir von diesem Fl¨ achenelement ein Lot auf die andere Platte, Abb. 14.1, und zerlegen deren Oberfl¨ ache in schmale Kreisringe, die den Fußpunkt dieses Lotes konzentrisch umgeben. Die auf die Ladung QA im Punkt P von einem Fl¨ achenelement eines solchen Kreisringes mit der Ladung Q ausge¨ ubte Anziehungskraft ist nach dem Coulombschen Gesetz D A Q QA Q = . 4πε(r2 + a2 ) 4πε(r2 + a2 )

(14.4)

Die horizontalen Komponenten der Kr¨ afte, die von je zwei einander gegen¨ uberliegenden Fl¨ achenelementen des Kreisringes herr¨ uhren, heben sich auf, w¨ ahrend√sich die vertikalen Komponenten addieren. Die vertikale Komponente ist a/ r2 + a2 mal so groß wie die Kraft selbst; die gesamte Ladung eines Kreisringes mit der Fl¨ ache 2rπdr ruft daher im Punkt P eine Kraft hervor vom Betrag a D A · D2rπdr ·√ . (14.5) 2 4πε(r2 + a2 ) r + a2 Die von der Gesamtladung der unteren Platte auf das Fl¨achenelement A der anderen Platte ausge¨ ubte Kraft wird durch Integration u ¨ ber alle Kreisringe erhalten zu 1

Im folgenden verwenden wir Differenzengr¨ oßen, so dass die entsprechenden Beziehung teilweise nur n¨ aherungsweise gelten. Dennoch verzichten wir darauf, statt des Gleichungszeichens = ein N¨ aherungszeichen ≈ zu verwenden.

208

14 Mechanische Kr¨ afte in der Elektrostatik

aD2 A 2ε

 0

r0

aD2 A rdr = 2 2 3/2 2ε (r + a )



1 1 − 2 a r0 + a2

 .

(14.6)

Lassen wir nun den Radius r0 sehr groß werden gegen den Plattenabstand a, so verschwindet das zweite Glied in der Klammer gegen das erste; der Plattenabstand a f¨ allt heraus, und die gesamte Zugkraft, die auf das Fl¨achenelement A einwirkt, wird aD2 A . (14.7) 2ε Die auf die Platte wirkende Zugspannung ergibt sich durch Division mit A; sie betr¨ agt also 1 1 aD2 = ED = εE2 . (14.8) σz = 2ε 2 2

14.2 Mechanische Spannungen im elektrischen Feld Die Gl.(14.8) gilt auch bei beliebig gekr¨ ummten Leiteroberfl¨achen, da das elektrische Feld in hinreichend kleinen Ausschnitten an der Elektrodenoberfl¨ ache als homogen angenommen werden kann. Die an der Elektrodenoberfl¨ ache als homogen angreifenden Zugspannungen haben also allgemein den durch Gl.(14.8) gegebenen Betrag auch bei beliebiger Kr¨ ummung der Elektrodenoberfl¨ ache. Die Kr¨ afte greifen senkrecht an der Elektrodenoberfl¨ache an. Man kann sie dadurch veranschaulichen, dass man sagt, es bestehe l¨angs der D-Feldlinien eine Zugspannung gem¨ aß Gl.(14.8) (Faraday, Maxwell), ¨ahnlich wie in einem B¨ undel gespannter Gummif¨ aden. Daraus geht nicht hervor, dass tats¨ achlich derartige Spannungen im leeren Raum vorhanden sind. Diese Vorstellung der Nahwirkungstheorie, die insbesondere durch die mechanischen Spannungen im Nichtleiter gekennzeichnet ist, erlaubt jedoch eine anschauliche Darstellung der Vorg¨ange des elektrischen Feldes, die bei den f¨ ur die Elektrotechnik in Betracht kommenden Erscheinungen nicht in Widerspruch mit der Erfahrung steht. Nach heutigem Wissen ist jedoch die Anschauung zutreffender, dass die Elektroden vermittels des elektrischen Feldes durch den leeren Raum aufeinander einwirken. Die l¨ angs der D-Feldlinien wirkenden Zugspannungen haben einen Querdruck zur Folge, mit dem sich die D-Feldlinien scheinbar abzustoßen suche; er kann auf folgende Weise berechnet werden. Durch zwei benachbarte Niveaufl¨ achen und durch Verschiebungslinien l¨ asst sich an jeder Stelle des elektrischen Feldes ein kleiner Kegelstumpf nach Abb. 14.2 abgrenzen, wobei die Grundfl¨ achen durch die Niveaufl¨ achen gebildet werden. Wir denken uns diesen Kegelstumpf zu einem Kegel vervollst¨ andigt. Das E-Feld innerhalb des Kegelstumpfes ist eine Funktion des Abstandes x von der Spitze des Kegels; f¨ ur den Radius r, der ebenso wie die H¨ ohe x des Kegelstumpfes im Grenzfall verschwindend klein sein soll, gilt r = x tanα. Bezeichnet man die E-Feldst¨arke

14.2 Mechanische Spannungen im elektrischen Feld

209

Abbildung 14.2. Berechnung des Querdruckes der D-Feldlinien

auf der linken Seitenfl¨ ache mit E, so hat sie auf der rechten entsprechend der Zunahme der Fl¨ ache den Wert
 x r2 π = E 1 − 2 . (14.9) E  2 x π r x+x x Die auf die linke Seitenfl¨ ache wirkende Zugkraft ist 1 π εE2 x2 tan2 x, 2 die auf die rechte Seitenfl¨ ache wirkende Kraft ist
 x 1 2 (x + x)2 tan2 x, π εE 1 − 4 2 x

(14.10)

(14.11)

der Kegelstumpf wird daher mit einer Kraft x 2 1 x tan2 x Fx = π εE2 2 x

(14.12)

nach links gezogen. Soll ein Gleichgewichtszustand bestehen, so muss diese Kraft durch einen auf den Kegelmantel wirkenden Fl¨achendruck σq aufgehoben werden. Es ist also zu setzen Fx = 2rπ

x σq sin α; cos α

(14.13)

daraus folgt die Dichte σq =

1 1 εE2 = ED. 2 2

(14.14)

Dieser Querdruck ist also ebenso groß wie der L¨angszug σz . Obwohl die von elektrischen Felder hervorgerufenen mechanischen Spannungen lange Zeit nur bei makroskopischen Betrachtungen eine Rolle gespielt haben, werden solche Kr¨ afte auch bei Mikrosystemen untersucht, wobei man den allgemeinen Maxwellschen Spannungstensor verwendet. Einzelheiten dazu findet man z. B. Hui, Yen, Tien [105].

210

14 Mechanische Kr¨ afte in der Elektrostatik

14.3 Kr¨ afte an Grenzfl¨ achen zwischen Nichtleitern Auch an den Grenzfl¨ achen zwischen zwei Nichtleitern entstehen Kr¨afte. In Abb. 14.3 ist ein Fl¨ achenelement der beliebig geformten Grenzfl¨ache mit A bezeichnet; sie trenne einen Raum 1 mit der Dielektrizit¨atskonstante ε1 von arke greife in dem ersten Raum einem Raum 2 mit ε2 . Die elektrische Feldst¨ unter dem Winkel α gegen die Senkrechte zu A an diesem Fl¨achenelement an.

Abbildung 14.3. Kr¨ afte an Grenzfl¨ achen

Auf das Fl¨ achenelement wirken nun aus dem Raum 1 zwei Kr¨afte ein, eine Kraft dFl , die durch die Zugspannung l¨ angs der Feldlinien bedingt ist und den Betrag hat Fl =

1 E1 D1 A cos α = σ1 A cos α, 2

(14.15)

und eine zweite dFq , die senkrecht zu den Feldlinien steht und durch den Querdruck der Feldlinien hervorgerufen wird; sie hat den Betrag Fq = σ1 A sin α.

(14.16)

Beide Kr¨ afte setzen sich zu einer Resultierenden F1 zusammen. Die Tangentialkomponente dieser Resultierenden ist nach rechts gerichtet und betr¨agt Ft1 = 2σ1 A cos α sin α = σ1 A sin 2α.

(14.17)

Die nach oben zeigende Normalkomponente betr¨agt Ft1 = σ1 A(cos2 α − sin2 α) = σ1 A cos 2α.

(14.18)

Hieraus geht hervor, dass die Gesamtkraft F1 den Winkel 2α mit der Normalen zur Grenzfl¨ ache bildet und den Betrag σ1 A hat. Man kann sich also die an der Grenzfl¨ ache von der einen Seite her angreifenden Kr¨afte hervorgerufen denken durch eine Fl¨ achenkraft ( Maxwellsche Spannung“ T1 ) vom ” Betrag 1 1 (14.19) T1 = E1 D1 = ε1 E12 , 2 2

14.3 Kr¨ afte an Grenzfl¨ achen zwischen Nichtleitern

211

deren Winkel mit der Normalen durch die Richtung von E1 halbiert wird. F¨ uhrt man die Normal- und Tangentialkomponenten von E1 und D1 ein, so folgt aus den Gl. (14.17) und (14.18) (14.20) Ft1 = εEn1 Et1 A, 1 2 2 − Et1 ) A. (14.21) Fn1 = ε1 (En1 2 Ganz entsprechende Kr¨ afte wirken nun auch von der anderen Seite der Grenzfl¨ ache her. Dort ist wegen der Stetigkeit des D-Feldes ε1 (14.22) En2 = En1 und Et2 = Et1 . ε2 Die Tangentialkraft ist dort nach links gerichtet und betr¨agt ε1 Ft2 = ε2 En1 Et1 A = ε1 En1 Et1 A. ε2

(14.23)

Sie ist also genau entgegengesetzt gleich dFt1 , so dass sich die beiden Kr¨afte aufheben. Die gesamte auf die Grenzfl¨ache wirkende Kraft greift immer senkrecht zur Grenzfl¨ache an, gleichg¨ ultig wie groß der Einfallswinkel der elektrischen Kraftlinien ist. Die aus dem Raum 2 herr¨ uhrende nach diesem Raum hin gerichtete Normalkomponente der Kraft hat den Betrag
 ε1 2 1 2 E − Et1 A. (14.24) Ft2 = ε2 2 ε2 n1 Insgesamt ergibt sich also an der Grenzfl¨ ache eine nach dem Raum 1 hin gerichtete Zugspannung vom Betrage Fn1 − Fn2 , A 
ε1 2 1 2 σz = (ε2 − ε1 ) Et1 + En1 . 2 ε2 σz = lim

A→0

(14.25) (14.26)

Sonderf¨alle: 1. Feldlinien senkrecht zur Grenzfl¨ ache: Et1 = 0,

En1 = E1 ;

(14.27)

es ergibt sich

ε1 1 (ε2 − ε1 ) E21 . 2 ε2 Ist ε2 groß gegen ε1 , so gilt angen¨ ahert σz =

σz = wie an einer Leiteroberfl¨ ache.

ε1 1 (ε2 − ε1 ) E21 . 2 ε2

(14.28)

(14.29)

212

14 Mechanische Kr¨ afte in der Elektrostatik

2. Feldlinien parallel zur Grenzfl¨ ache: En1 = 0, es ergibt sich σz =

Et1 = E1 ;

ε1 1 ε1 ) E21 . 2 ε2

(14.30)

(14.31)

Wird eine Glasplatte parallel zu den Platten in einen Plattenkondensator gebracht, so heben sich die Zugkr¨ afte auf beiden Seitenfl¨achen der Glasplatte auf; dagegen wird die Platte in den Kondensator hineingezogen, wenn sie nur zum Teil in den Kondensator hineintaucht, Gl. (14.31). Bei fl¨ ussigen Isolierstoffen wirken die elektrischen Feldkr¨ afte wie ein hydrostatischer Druck; sie suchen das Volumen des Isolierstoffes zu vergr¨oßern.

14.4 Berechnung der Feldkr¨ afte aus der Kapazit¨ at Die praktisch vorkommenden elektrischen Feldkr¨afte sind durchweg sehr klein. Sie haben beispielsweise eine grundlegende Bedeutung bei den elektrostatischen Meßinstrumenten, bei denen sie die Triebkr¨afte bilden. Aber auch in der Mikro- und Nanoelektronik spielen sie als Wechselwirkungskr¨afte bei Atomkraftmikroskopen und sogenannten MEMS (vgl. Jacobs et al. [109]) eine wichtige Rolle. Zur Berechnung der Feldkr¨ afte in diesen F¨allen und bei allgemeinen Elektrodenformen kann man eine andere Methode anwenden, die von der im elektrischen Feld aufgespeicherten Energie ausgeht. In Abschnitt 13.1 wurde gezeigt, dass die in einer Kapazit¨ at gespeicherte Energie W =

1 CU 2 2

(14.32)

ist. Damit l¨ asst sich die im elektrischen Feld wirkenden mechanischen Kr¨afte mit Hilfe des folgenden Gedankenexperimentes berechnen. Wir denken uns die Spannungsquelle, die den Kondensator auf eine Spannung U aufgeladen hat, entfernt, und nehmen ideale Isolation an, so dass die Ladung Q zeitlich konstant bleibt. Die gespeicherte Energie ist W =

Q 1 CU 2 = . 2 sC

(14.33)

Es werde nun verfolgt, wie sich die elektrische Energie bei einer gedachten Verschiebung einer Elektrode ¨ andert. Wirkt auf eine Elektrode die Feldkraft Fx in einer Richtung x, und bewegt sich die Elektrode unter der Einwirkung dieser Kraft um ein kleines St¨ uck x in dieser Richtung zu der Gegenelektrode hin, so wird die Arbeit geleistet Fx x.

(14.34)

14.4 Berechnung der Feldkr¨ afte aus der Kapazit¨ at

213

Diese kann nur der Energie des elektrischen Feldes entzogen worden sein. Die Kapazit¨ at C(x) nimmt zu um (∂C/∂x) x, also nimmt nach Gl.(3.4) die Energie ab um den Betrag W =

1 ∂C 1 Q2 ∂C x = U 2 x; 2 2 C ∂x 2 ∂x

(14.35)

daher gilt 1 2 ∂C U . (14.36) 2 ∂x Die Richtung der Kraft l¨ asst sich immer durch die Regel bestimmen, dass die Feldkr¨ afte infolge des L¨ angszuges und Querdruckes der Feldlinien die Kapazit¨aten zu vergr¨ oßern suchen. Fx =

Beispiel: Bei einem Plattenkondensator mit der Fl¨ache A und dem Abstand a der Platten ist A (14.37) C=ε . a Die auf die Elektroden ausge¨ ubte Zugkraft weist in Richtung der Abstandsabnahme − a = x und betr¨ agt somit 1 εA 2 1 ∂C = U . F = − U 2 2 ∂a 2 a2

(14.38)

Als Anwendungsbeispiel werde das Nadelelektrometer betrachtet. Eine Blech-

Abbildung 14.4. Prinzip des Nadelelektrometers

nadel taucht in einen Plattenkondensator derart, dass sich mit zunehmendem Ausschlag der Nadel die Kapazit¨ at zwischen Nadel und Platte vergr¨oßert, Abb. 14.4. Die Kapazit¨ at zwischen Nadel und den festen Platten ist angen¨ ahert proportional der eintauchenden L¨ ange l der Nadel: C = c l. Legt man eine Spannung zwischen die Nadel und die miteinander verbundenen festen Platten, so sucht sich die Kapazit¨ at zu vergr¨oßern, die Nadel erf¨ahrt ein Triebmoment im Sinne des Uhrzeigers, dem durch das Richtmoment einer Feder die Waage gehalten wird. Bezeichnet man das Triebmoment mit Md , so ¨ gilt auf Grund der gleichen Uberlegung wie oben f¨ ur eine kleine Winkel¨anderung dα

214

14 Mechanische Kr¨ afte in der Elektrostatik

Md α =

1 2 U C 2

oder im Grenzfall

Md =

1 2 dC U . 2 dα

(14.39)

Nun ist bei kreisf¨ ormiger ¨ außerer Begrenzung der festen Platten l = r0 − r;

(14.40)

also wird

dr c (14.41) Md = − U 2 . 2 dα Die Abh¨ angigkeit des Triebmomentes von dem Drehwinkel α des Zeigers l¨asst sich danach durch die Berandungskurve der festen Platten beeinflussen. F¨ ur das Gleichgewicht zwischen dem Triebmoment Md und dem Richtmoment s α der Feder gilt dr c (14.42) s α = − U2 . 2 dα Verlangt man, dass die Skala einen proportionalen Verlauf haben soll, so muss sein (14.43) U = c1 α oder

2s dα cc21 α

(14.44)

α0 2s . ln cc21 α

(14.45)

dr = − und mit α0 f¨ ur r = 0 r=

Diese Bedingung l¨ asst sich praktisch in einem gewissen Winkelbereich verwirklichen. Die Umwandlung von elektrischer Energie in mechanische Arbeit bei der Bewegung einer Elektrode ist ein umkehrbarer Vorgang. Dies l¨asst sich durch den folgenden Versuch zeigen. Ein Drehkondensator werde mit einer Spannung von 220 V bei voller Kapazit¨ at aufgeladen. Seine beiden Klemmen sind mit einer kleinen Funkenstrecke versehen, die bei der niedrigen Ladespannung nicht anspricht. Entfernt man aber die Verbindung mit der Spannungsquelle und dreht den beweglichen Teil des Kondensators rasch in die Nullstellung, so springt ein Funke u ¨ ber. Der Vorgang ist der folgende. Der Kondensator hat bei der vollen Kapazit¨ at die Ladung Q = CU aufgenommen. Schaltet man ihn von der Spannungsquelle ab und verringert die Kapazit¨at auf den Wert der Anfangskapazit¨ at, der (1/n)C betrage, so sorgt die Isolierung der Elektroden ¨ daf¨ ur, dass w¨ ahrend dieser Anderung die Ladung nahezu konstant bleibt. Es muss also die Spannung auf den n-fachen Wert wachsen. Die Ladung dr¨angt sich auf eine kleine Fl¨ ache der Platten zusammen, das D-Feld w¨achst und damit wachsen E-Feld und Spannung. Die gespeicherte elektrische Energie war zu Anfang 1 (14.46) Wa = CU 2 ; 2

14.5 Einwirkung elektrischer Felder auf Elektronenbahnen: Elektronenoptik

215

am Ende des Vorganges dagegen betr¨ agt sie We =

1 11 C(n U )2 = n CU 2 = nWa . 2n 2

(14.47)

Sie ist also n mal so groß geworden. Der Differenzbetrag ist also dem Kondensator bei der Drehung der Platte als mechanische Arbeit zugef¨ uhrt worden. Die Anordnung stellt einen Generator dar, der mechanische in elektrische Energie umwandelt (Influenz-Elektrisiermaschine, s.a. parametrische Verst¨arker). Da die im elektrischen Feld aufgespeicherten Energien sehr klein sind, so lassen sich jedoch auf diese Weise keine großen elektrischen Leistungen herstellen.

14.5 Einwirkung elektrischer Felder auf Elektronenbahnen: Elektronenoptik

Teil IV

Das elektrische Str¨ omungsfeld

15 Grundgleichungen des elektrischen Str¨ omungsfeldes

In den Abschnitten u aherung des elektrischen Feldes wurde ¨ber die statische N¨ angenommen, dass sich die Ladungen und Ladungsdichten ortsfest im Raum befinden und somit keine zeitabh¨ angige Verschiebung erfahren. Im Rahmen der N¨ aherung des station¨ aren elektrischen Str¨ omungsfeldes werden solche zeitlichen Ver¨ anderungen der Ladungen und Ladungsdichten in die Betrachtungen einbezogen, die zu einer zeitlich konstanten Str¨omung“ der elektrischen La” dungen f¨ uhren. Diese Str¨ omung wird mit Hilfe der elektrischen Stromdichte J charakterisiert, die man in Analogie zur laminaren Str¨omung von Fl¨ ussigkeiten lokal – d.h. f¨ ur einen Raumpunkt r - einf¨ uhren kann J(r) := (r) · v(r),

(15.1)

wobei v(r) die Geschwindigkeit der Str¨ omung im Punkt r ist. Der elektrische Strom I wird dann als eine auf die gerichtete Fl¨ache A bezogene integrale Gr¨ oße definiert  J · dA.

I :=

(15.2)

A

Auf diese Weise wird der in Abschnitt 4.1 u ¨ber elektrische Netzwerke in axiomatischer Weise eingef¨ uhrte Strom feldtheoretisch rekonstruiert. Daher k¨onnen die Grundgesetze der elektrischen Str¨omung und insbesondere der elektrischen Stromdichte auch mit Hilfe von Grenzwertbetrachtungen in linearen Widerstandsnetzwerken motiviert werden. Im folgenden wollen wir jedoch eine feldtheoretische Einf¨ uhrung in das station¨are elektrische Str¨omungsfeld geben. Bereits in Abschnitt 6 u ¨ ber das elektrostatische Feld haben wir gesehen, dass der Satz von Helmholtz zur Charakterisierung von Vektorfelder, die zusammen mit ihren Ableitungen im Unendlichen verschwinden, von zentraler Bedeutung ist. Danach muss die Divergenz und die Rotation eines Feldes vorgeschrieben werden, um das Feld (bis auf ein unwichtiges konstantes Feld) eindeutig festzulegen. Da im elektrischen Str¨omungsfeld bewegte Ladungen ¨ im Mittelpunkt der Uberlegungen stehen, m¨ ussen elektrische Kraftwirkungen

220

15 Grundgleichungen des elektrischen Str¨ omungsfeldes

und damit das E-Feld eine wesentliche Rolle spielen. Im Rahmen des elektrischen Str¨ omungsfeldes wird angenommen, dass das E-Feld weiterhin die in der Elektrostatik g¨ ultige Eigenschaften rot E = 0 erf¨ ullt, d.h. es wirken weiterhin Coulombsche Kr¨ afte zur Erzeugung der Bewegung der Ladungen. Von einer Wechselwirkung der bewegten Ladungen untereinander wird – im Sinne einer laminaren“ elektrischen Str¨ omung – absehen. Schließlich bleiben magnetische ” Wirkungen der elektrischen Str¨ omung unber¨ ucksichtigt. Darauf wird erst im Rahmen der Theorie des station¨ aren Magnetfeldes n¨aher eingegangen; vgl. Abschnitt 18. Wie bereits gesagt, ist die elektrische Stromdichte J neben dem E-Feld die andere wichtige Gr¨ oße im station¨ aren Str¨ omungsfeld. Da nach aller Erfahrung das Prinzip der Ladungserhaltung gilt, muss auf ein bestimmtes Volumen bezogen die sogenannte Kontinuit¨ atsgleichung gelten ∂ = −divJ. (15.3) ∂t Die physikalische Interpretation ist einfach und bedeutet nichts anderes, als ¨ dass die zeitliche Anderung der Ladungsdichte (r, t) im Raumpunkt r gleich der durch divJ charakterisierten erzeugten oder vernichteten Ladung ist. Da im station¨ aren Str¨ omungsfeld die Ladungsdichte  nicht zeitabh¨angig sein soll, ergibt sich aus der Kontinuit¨ atsgleichung eine Bedingung f¨ ur die elektrische Stromdichte 0 = div J. (15.4) Um nun die im Sinne des Satzes von Helmholtz noch fehlenden Bedingungen f¨ ur E und J zu erhalten, wird wie im elektrostatischen Feld eine Materialbeziehung ben¨ otigt. In Abschnitt 16.2 wird anhand elementarer Betrachtungen motiviert, dass zumindest in einfachen F¨ allen das verallgemeinerte Ohmsche Gesetz gilt, d.h. J = σ E, (15.5) wobei die Proportionalit¨ atskonstante σ die Leitf¨ahigkeit ist, die auch in Form des spezifischen Widerstandes ρ = 1/σ notiert werden kann. Aufgrund der Linearit¨ at von Gl.(15.5) k¨ onnen die Rotation von J und die Divergenz von E mit Hilfe von rot E = 0 bzw. div J = 0 festgelegt werden. Wie im elektrostatischen Fall lassen sich die Grundgleichungen des station¨ aren elektrischen Str¨ omungsfeldes rot E = 0, div J = 0 J = σE

(15.6) (15.7)

nach Einf¨ uhrung des elektrostatischen Potenzials durch E =: −grad ϕ (d.h. L¨osung von rot E = 0) im Fall konstanter Leitf¨ahigkeit σ auf die Laplacesche PDgl. reduzieren ϕ = 0. (15.8)

15 Grundgleichungen des elektrischen Str¨ omungsfeldes

221

Die Richtung von J und E stimmen nur in isotropen Leitern u ¨ berein, also solchen, bei denen die Leitf¨ ahigkeit f¨ ur alle Stromrichtungen den gleichen Wert besitzt. Bei Kristallen ist diese Bedingung im allgemeinen nicht genau erf¨ ullt, J und E k¨ onnen dann etwas verschiedene Richtungen haben. Dann ersetzt ein Leitf¨ahigkeitstensor (2. Stufe), bei dem es sich in einer Koordinatendarstellung um eine lineare Abbildung handelt, die Konstante σ. Weiterhin kann die Leitf¨ ahigkeit vom Ort abh¨ angen oder J und E k¨onnen sogar in einem nichtlinearen Zusammenhang stehen. In diesen F¨allen kann die Laplacesche PDgl. nicht mehr zur Analyse des elektrischen Str¨omungsfeldes herangezogen werden, sondern es muss wie im elektrostatischen Feld eine verallgemeinerte Form verwendet werden. Um konkrete elektrische Str¨ omungsfelder mit Hilfe von Gl.(15.8) analysieren zu k¨ onnen, m¨ ussen noch Randbedingungen hinzugef¨ ugt werden. Grunds¨ atzlich k¨ onnen wie im elektrostatischen Feld das elektrische Potenzial und/oder das E-Feld, d.h. die Ableitung des elektrischen Potenzials, auf dem Rand vorgegeben werden; im ersten Fall handelt es sich im Dirichletsche im zweiten um Neumannsche Randbedingungen. Physikalisch gesehen wird man in das Gebiet, in dem man die elektrische Str¨ omung berechnen will, einen Strom oder eine Stromdichte einleiten. Nimmt man die G¨ ultigkeit des verallgemeinerten Ohmschen Gesetzes an, dann handelt es sich in diesem Randbereich letztlich die Vorgabe des elektrischen Feldes und damit um die Ableitung des elektrischen Potenzials. Anders als im elektrostatischen Fall sind somit im station¨ aren elektrischen Str¨ omungsfeld Neumannsche Randbedingungen von Bedeutung.

Abbildung 15.1. Grenzfl¨ achen zwischen Stoffen verschiedener Leitf¨ ahigkeit

Neben den Randbedingungen sind im elektrischen Str¨omungsfeld auch Grenzbedingungen zu ber¨ ucksichtigen, wenn sich die Leitf¨ahigkeit σ in dem betrachteten Gebiet sprunghaft ¨ andert, d.h. σ dort st¨ uckweise konstant ist. Durchfließt etwa ein elektrischer Strom Stoffe mit verschiedener Leitf¨ahigkeit, so ergibt sich an den Grenzfl¨ achen eine Brechung der Stromlinien. Tritt der Strom in eine Grenzfl¨ ache zwischen zwei Stoffen mit den Leitf¨ahigkeiten σ1 und σ2 unter einem beliebigen Winkel α1 zur Senkrechten auf der Grenzfl¨ ache ein, Abb. 15.1, so tritt er unter einem Winkel α2 aus, der im allgemeinen nicht gleich α1 ist. Die Winkel α1 und α2 geben die Richtung der Vektoren der

222

15 Grundgleichungen des elektrischen Str¨ omungsfeldes

Stromdichte J1 und J2 zu beiden Seiten der Grenzfl¨ache an. Zerlegt man jeden dieser beiden Vektoren in die Normalkomponente Jn und die Tangentialkomponente Jt , so geben die Normalkomponenten an, wie groß der Strom ist, der durch irgendein kleines Fl¨ achenelement dA der Grenzfl¨ache hindurchtritt. Da wegen der Quellenfreiheit der elektrischen Stromdichte in die Grenzfl¨ache von der einen Seite her genau so viel Strom eintreten muss, wie auf der anderen Seite herauskommt, so muss (15.9) Jn1 = Jn2 sein. Die Normalkomponente der Stromdichte ist an Grenzfl¨achen stetig. Eine Aussage u ¨ ber die Tangentialkomponenten ergibt sich, wenn man das E-Feld einf¨ uhrt, deren Richtung zu beiden Seiten der Grenzfl¨ache mit der Richtung der Stromdichte zusammenf¨ allt. Die Tangentialkomponenten Et des E-Feldes sind maßgebend f¨ ur das Potenzialgef¨alle l¨angs der Grenzfl¨ache. Schreitet man in Richtung der Tangentialkomponenten l¨angs der Grenzfl¨ache um ein kleines St¨ uck ds fort, so ergeben sich die Potenzialunterschiede dϕ1 = Et1  ds

und dϕ2 = Et2  ds

(15.10)

auf beiden Seiten der Grenzfl¨ ache. Auf Grund des zweiten Kirchhoffschen Satzes m¨ ussen die Potenzialunterschiede auf beiden Seiten der Grenzfl¨ache einander gleich sein. Anmerkung: Dies gilt selbst dann, wenn zwischen den beiden Stoffen eine Quellenspannung (Kontaktspannung) besteht. Auf einem geschlossenen Weg, der an der einen Seite der Grenzfl¨ ache beginnt, den Abschnitt ds durchl¨auft, durch die Grenzfl¨ ache hindurchtritt, auf der anderen Seite l¨angs der Grenzfl¨ ache um das St¨ uck ds zur¨ uckgeht und die Grenzfl¨ache zum zweiten Male durchst¨ oßt, um zum Ausgangspunkt zur¨ uckzukehren, ist n¨amlich die Summe der Kontaktspannungen Null, so dass auch hier dϕ1 = dϕ2

(15.11)

Et1 = Et2

(15.12)

σ1 Jt1  . = Jt2  σ2

(15.13)

sein muss. Hieraus geht hervor, dass oder

Tangentialkomponenten der Stromdichte verhalten sich an Grenzfl¨achen wie die Leitf¨ahigkeiten der aneinandergrenzenden Stoffe. ¨ Beim Ubergang des Stromes von einem Stoff mit gr¨oßerer Leitf¨ahigkeit zu einem Stoff geringerer Leitf¨ ahigkeit wird also der Winkel mit der Normalen zur Grenzfl¨ ache kleiner; in dem Beispiel Abb. 15.1 ist σ1 gr¨oßer als σ2 . Wenn das Verh¨ altnis der Leitf¨ ahigkeit extrem groß ist, so gelten hiernach die folgenden S¨ atze:

15 Grundgleichungen des elektrischen Str¨ omungsfeldes

223

Aus einem Stoff mit sehr großer Leitf¨ahigkeit treten die Stromlinien nahezu senkrecht aus. An der Grenzfl¨ache zwischen einem Leiter und einem Nichtleiter ist die Normalkomponente der Stromdichte Null. Im letzten Fall verl¨ auft der Strom im Leiter an der Grenzfl¨ache tangential. Die Potenzialfl¨ achen stehen daher auf der Grenzfl¨ache senkrecht, siehe z.B. Abb. 16.2 in Abschnitt 16.1. Auf die verschiedenen M¨ oglichkeiten zur L¨ osung des Laplaceschen Randwertproblem f¨ ur das station¨ are Str¨ omungsfeld wird in Abschnitt 17 eingegangen. Dabei werden nur beispielhafte L¨ osungen diskutiert, da grunds¨atzlich die Methoden verwendet werden k¨ onnen, die wir bereits aus der Elektrostatik kennen (vgl. Abschnitt 10). Abschließend wollen wir noch auf das Joulesche Gesetz in feldm¨aßiger Darstellungen eingehen. Auf eine Veranschaulichung auf der Grundlage von diskreten Widerstandsnetzwerken gehen wir in Abschnitt 16.1 ein. Dort wird die r¨ aumliche Leistungsdichte p in folgender Weise in Gebieten mit konstanter Leitf¨ ahigkeit σ motiviert p(r) =

1 J(r)2 = J(r) · E(r) = ρE(r)2 . σ

(15.14)

Aus einer diese Darstellungen der Leistungsdichte l¨asst sich die Leistung P , die einem Volumen V zugeordnet werden kann, in folgender Weise berechnen; beispielsweise gilt  1 J(r)2 dV. (15.15) P = σ V

16 Elementare Betrachtungen zum elektrischen Str¨ omungsfeld

16.1 Experimentelle Betrachtungen Nach der allgemeinen Einf¨ uhrung der Grundgesetze des elektrischen Str¨o¨ mungsfeldes im letzten Abschnitt wollen wir noch einige elementare Uberlegungen anf¨ ugen, die der besseren Veranschaulichung des station¨aren elektrischen Str¨ omungsfeldes dienen sollen. Dazu gehen wir von einem langgestreckten zylindrischen Leiter aus gleichf¨ ormigem Material aus. In diesem Leiter breitet sich ein konstanter elektrischer Strom um so genauer gleichm¨aßig u ¨ ber den ganzen Querschnitt aus, je gr¨ oßer die Leiterl¨ange im Vergleich zu den Abmessungen des Querschnitts ist. Denkt man sich den Querschnitt in kleine, unter sich gleiche Fl¨ achenelemente zerlegt, so fließt durch jedes dieser Fl¨achenelemente in der Zeiteinheit die gleiche Elektrizit¨atsmenge. Die Stromst¨arke je Fl¨ acheneinheit ist u ur beliebige ¨ berall im Querschnitt konstant; sie ist f¨ Fl¨achenelemente des Querschnitts gleich dem Gesamtstrom dividiert durch die Fl¨ ache des Leiterquerschnittes. Eine solche gleichm¨aßige Stromverteilung bildete die Voraussetzung der Gl. (4.1). In der Elektrotechnik kommen nun auch F¨ alle einer komplizierteren r¨aumlichen Verteilung des elektrischen Stromes vor. Beispiele daf¨ ur bilden die Erdungen, bei denen sich der Strom nach allen Richtungen hin im Erdboden ¨ ausbreitet, oder Ubergangswiderst¨ ande an Kontakten. Derartige F¨alle r¨aumlicher elektrischer Str¨ omungen sind der Gegenstand dieses Abschnittes. Auch die r¨ aumliche elektrische Str¨ omung wird durch die Gesetze von Ohm und ahrend aber diese Gesetze in Widerstandsnetzwerken ohne weiKirchhoff1 . W¨ teres auf die Str¨ ome und Spannungen angewendet werden k¨onnen, bedarf es im r¨ aumlichen Str¨ omungsfeld der Einf¨ uhrung von einigen neuen Gr¨oßen, 1

Die Grundgesetze elektrischer Str¨ omungen in drahtf¨ ormigen Leitern wurden bereits von Ohm in seinem Werk Die Galvanische Kette – mathematisch bearbei” tet“ [174] vollst¨ andig angegeben. Die Bezeichnung Kirchhoffsche S¨ atze“ hat also ” nicht mit dem Entdecker dieser physikalischen Gesetzm¨ aßigkeiten zu tun. Das hat auch Kirchhoff bereits in seiner ersten Ver¨ offentlichung [119] betont.

16.1 Experimentelle Betrachtungen

225

die aus Strom und Spannung abgeleitet werden und eine Kennzeichnung und Veranschaulichung des Str¨ omungsfeldes vermitteln. Um zu diesen Gr¨oßen zu gelangen, gehen wir von dem folgenden Versuch aus.

Abbildung 16.1. Experimentelle Bestimmung der Potenzialverteilung

Auf einer großen Tafel aus Eisenblech, die isoliert aufgestellt ist, sind zwei Klemmen c und d angebracht, Abb. 16.1; sie werden mit einer Gleichstromquelle verbunden. Es fließt dann Strom durch die Blechtafel von der einen Klemmen zur anderen; in der Tafel ergibt sich ein r¨aumliches Str¨omungsfeld, das genauer untersucht werden soll. Zu diesem Zweck werden die Klemmen eines empfindlichen Spannungsmessers V mit zwei Metallspitzen (Sonden) a und b verbunden. Setzt man diese Spitzen auf zwei beliebige Punkte der Blechtafel, so zeigt der Spannungsmesser die Spannung zwischen diesen Punkten an. Die gr¨ oßte Spannung ergibt sich beim Aufsetzen auf die Elektroden c und d; beispielsweise zeige das Instrument dabei einen Ausschlag von 100 Teilstrichen, die 100mV entsprechen m¨ ogen. Indem wir nun die Sonde a auf c setzen, suchen wir mit der Sonde b alle Punkte der Blechtafel auf, deren Spannung 50mV gegen die Elektrode c betr¨ agt, die also die Spannung zwischen den Elektroden gerade halbiert. Der Versuch ergibt, dass diese Punkte, wie es aus Symmetriegr¨ unden zu erwarten war, auf der Mittelsenkrechten zur Strecke cd liegen. Setzt man die Sonde a irgendwo auf die Mittellinie und die Sonde b auf d, so ergibt sich der gleiche Ausschlag von 50mV . Wir k¨onnen ferner in gleicher Weise die Punkte aufsuchen, deren Spannung gegen c einen beliebigen anderen Wert hat. F¨ ur die Spannung von 70mV erh¨alt man z.B. die in Abb. 16.1 angedeutete Kurve, die die Elektrode d umgibt; andererseits zeigt sich, dass beliebige Punkte dieser Kurve gegen die Elektrode d eine Spannung von −30mV haben. Man kann so systematisch die Spannungsverteilung in der ganzen Tafel untersuchen, indem man die Linien gleicher Spannung gegen die eine Elektrode aufzeichnet. Es ergibt sich eine Anordnung von Kurven, wie sie durch Abb. 16.2 veranschaulicht ist. Wir nennen diese Kurven wie in der Elektrostatik die Linien gleichen Potenzials, Potenziallinien oder Niveaulinien. Setzt man die beiden Sonden auf ein und dieselbe Niveaulinie, so ergibt sich kein Ausschlag des Spannungsmessers V. Entsprechende Punkte gleichen

226

16 Elementare Betrachtungen zum elektrischen Str¨ omungsfeld

Potenzials kann man sich auch im Inneren des Eisenbleches aufgesucht denken. Sie bilden etwa zylindrische Fl¨ achen, deren Spuren an der Blechoberfl¨ache die gezeichneten Niveaulinien sind. Diese Fl¨ achen nennen wir die Potenzialfl¨achen oder Niveaufl¨achen. Potenzialfl¨achen sind Fl¨achen gleichen Potenzials. Zwischen zwei beliebigen Punkten ein und derselben Potenzialfl¨ache besteht daher keine Spannung.

Abbildung 16.2. Experimentelle Bestimmung der Potenzialverteilung

Jede Potenzialfl¨ ache kennzeichnen wir durch den Wert des ihr entsprechenden Potenzials, also durch die Spannung gegen einen willk¨ urlichen Bezugspunkt. Das Vorzeichen wird gem¨ aß der Festsetzung u ¨ ber die Stromrichtung so gew¨ ahlt, dass der Strom vom h¨ oheren Potenzial zum niedrigeren fließt. In Abb. 16.2 befindet sich als rechts der positive, links der negative Pol der Stromquelle, der Strom fließt von d nach c. W¨ urde man die Anschl¨ usse der Stromquelle vertauschen, die Stromrichtung also umkehren, so w¨ urde sich zwar die gleiche Verteilung des Potenzials ergeben; die angeschriebenen Zahlen m¨ ussten dann jedoch mit negativen Vorzeichen versehen werden. Der Bezugspunkt des Potenzials ist ganz willk¨ urlich, da es f¨ ur die Wirkungen nur auf die Potenzialunterschiede, also die Spannungen, ankommt. Bei Wahl eines anderen Bezugspunktes erh¨ ohen sich s¨amtliche Potenziale um einen bestimmten, aber im ganzen Feld konstanten Betrag. W¨ahlt man z.B. einen Punkt der Mittellinie als Bezugspunkt, so wird das Potenzial dieser Mittellinie Null. Alle Potenzialwerte der Abb. 16.2 erniedrigen sich um den gleichen Betrag von 50 mV , so dass die Elektrode c das Potenzial −50 mV erh¨ alt, die Elektrode d das Potenzial +50mV . F¨ ur die Spannungen zwischen ¨ beliebigen Punkten ist eine solche Anderung belanglos. Es gelten die S¨atze: Das Potenzial eines Punktes ist gleich der Spannung zwischen diesem Punkt und einem Bezugspunkt. Die Spannung zwischen zwei beliebigen Punkten ist gleich der Differenz der Potenziale dieser Punkte. Ein Feld, in dem diese Eigenschaften vorliegen, nennt man – wie in der Elektrostatik bereits erw¨ ahnt – ein Potenzialfeld. Ist ϕa das Potenzial eines Punktes a, ϕb das Potenzial eines Punktes b, dann ist die Spannung zwischen den beiden Punkten, Gl.(3.7),

16.1 Experimentelle Betrachtungen

Uab := ϕa − ϕb .

227

(16.1)

Aus der Festsetzung u ¨ ber die Stromrichtung folgt, dass der Strom außerhalb der Quelle von a nach b fließt, wenn Uab positiv ist, und umgekehrt. Sind die Potenzialfl¨ achen eines Str¨ omungsfeldes im Raum gegeben, so ist damit zugleich auch die Stromrichtung an jeder Stelle des Raumes bestimmt. Da l¨ angs der Potenzialfl¨ achen kein Potenzialgef¨alle vorhanden ist, so muss die Richtung der Stromdichte u ¨ berall senkrecht auf den Potenzialfl¨achen stehen. Wir veranschaulichen die Stromrichtung durch sogenannte . Die Stromlinien m¨ ussen die Potenzialfl¨ achen u ¨ berall senkrecht durchstoßen. In dem betrachteten Beispiel eines Str¨ omungsfeldes haben daher die Stromlinien etwa die in Abb. 16.3 dargestellte Form.

Abbildung 16.3. Stromlinien des Str¨ omungsfeldes

Grenzt man auf einer Niveaufl¨ ache ein kleines Fl¨achenelement A ab, so findet man, dass durch dieses Fl¨ achenelement ein bestimmter Teil I des Gesamtstromes hindurchtritt. Wir nennen den Grenzwert, dem das Verh¨altnis J := lim

∆→0

∆I ∆A

(16.2)

mit abnehmender Gr¨ oße des Fl¨ achenelementes zustrebt, die Stromdichte. Die Stromdichte gibt daher an, wie groß die Stromst¨arke je Fl¨ache an irgendeiner Stelle des Raumes ist. Man kann die Stromdichte durch die Dichte der Stromlinien veranschaulichen, indem man willk¨ urlich festsetzt, dass die Zahl der Stromlinien, die durch ein Fl¨ achenelement dA einer Niveaufl¨ache hindurchgehen, proportional der Stromst¨ arke in diesem Fl¨achenelement sein soll. Man k¨ onnte z.B. 1 A = 106 Stromlinien setzen. Daher w¨are die Einheit der Stromdichte z.B. Stromlinien A = 106 . (16.3) 1 cm2 cm2 Entfernen sich die Stromlinien voneinander, so wird in gleichem Maße die Stromdichte kleiner. Von dieser M¨ oglichkeit der Darstellung einer Fluss“” Dichte durch eine Liniendichte wird besonders beim magnetischen Feld Gebrauch gemacht (vgl. Abschnitt 26).

228

16 Elementare Betrachtungen zum elektrischen Str¨ omungsfeld

In einem langgestreckten zylindrischen Leiter breitet sich der Strom gleichm¨aßig u ¨ ber den ganzen Querschnitt A des Leiters aus. Jeder Querschnitt des Leiters stellt eine Potenzialfl¨ ache dar; die Stromrichtung steht senkrecht auf dem Leiterquerschnitt. Ist daher I die Stromst¨arke, so betr¨agt an jeder beliebigen Stelle innerhalb des Leiters J :=

I . A

(16.4)

Ein derartiges Str¨ omungsfeld wird als ein homogenes Feld bezeichnet. Im allgemeinen Fall einer r¨ aumlichen Str¨ omung hat dagegen die Stromdichte an verschiedenen Punkten des Raumes verschiedene Werte. Auf die zugeh¨orige mathematische Darstellung des allgemeinen inhomogenen Fall sind wir bereits in dem vorherigen Abschnitt 15 eingegangen.

16.2 Das station¨ are Stro ¨mungsfeld und Widerstandsnetzwerke Die Stromverteilung wird in r¨ aumlicher Ausbreitung durch die gleichen Gesetze bestimmt wie in Widerstandsnetzwerken. W¨ahrend dort jedoch die Bahnen des Stromes durch die Form der Leiter vorgeschrieben sind, stellen sich hier ganz bestimmte Strombahnen ein, die zun¨ achst unbekannt sind. Man kann sich aber jeden r¨ aumlich ausgedehnten Leiter durch ein r¨aumliches Gitterwerk aus sehr d¨ unnen und kurzen leitenden St¨abchen ersetzt denken mit im Grenzfall unendlich feiner Unterteilung des Gitters; dadurch entsteht aus dem r¨ aumlichen Str¨ omungsfeld ein Widerstandsnetzwerk. Da f¨ ur die Stromverteilung in einem solchen Netz die Gesetze von Ohm und Kirchhoff gelten, so sind diese Gesetze auch f¨ ur die Berechnung r¨ aumlicher Str¨omungen maßgebend; sie werden zun¨ achst in eine f¨ ur diesen Zweck brauchbare Form gebracht. Das Ohmsche Gesetz im Str¨ omungsfeld Man denke sich in einer beliebigen Str¨ omung ein kleines Prisma so abgegrenzt, dass die Grundfl¨ achen durch Stromlinien gebildet werden, also senkrecht auf den Grundfl¨ achen stehen, Abb. 16.4. Der Abstand der betrachteten Potenzialfl¨ achen sei an der betreffenden Stelle des Raumes n, der Potenzialunterschied sei ϕ. Aus den Seitenfl¨ achen tritt infolge der gemachten Voraussetzungen kein Strom aus. Wenn die Grundfl¨achen A des Prismas klein genug gew¨ ahlt werden, dann ist ferner der elektrische Strom gleichm¨aßig u ¨ ber die Grundfl¨ achen verteilt. Innerhalb des Prismas verl¨auft daher der elektrische Strom so wie in einem langgestreckten zylindrischen Leiter; es gilt f¨ ur den Widerstand zwischen den beiden Grundfl¨achen R=

n , σ A

(16.5)

16.2 Das station¨ are Str¨ omungsfeld und Widerstandsnetzwerke

229

Abbildung 16.4. Anwendung des Ohmschen Gesetzes im Str¨ omungsfeld

wenn σ die Leitf¨ ahigkeit des Stoffes bezeichnet, in dem das Prisma abgegrenzt wurde. Ist I der durch die Grundfl¨ ache hindurchtretende Strom, so lautet das Ohmsche Gesetz f¨ ur das Prisma ϕ = R I = hieraus folgt

n I; σ A

1 I ϕ = . n σ A

(16.6)

(16.7)

Ber¨ ucksichtigt man auch die Richtungen der Gr¨ oßen auf der linken und rechten Seite von Gl. (16.7) und bildet die Grenzwerte, so erh¨alt man nach Einf¨ uhrung von E-Feld E in Form der Normalenableitung ∂ϕ/∂n = −grad ϕ = E und der Definition der Stromdichte J in vektorieller Form das Ohmsche Gesetz Gl.(15.5) J = σ E, (16.8) Diese Gleichung enth¨ alt zugleich die Aussage, dass die Vektoren E und J gleiche Richtung haben. Ben¨ utzt man den spezifischen Widerstand ρ an Stelle der Leitf¨ ahigkeit, so lautet das Ohmsche Gesetz in differentieller Form“ ” E = ρ J.

(16.9)

Zahlenbeispiele: Hat z.B. das E-Feld an irgendeiner Stelle zwischen zwei Elektroden im Erdboden den Betrag E = 1 V /cm, und ist die Leitf¨ahigkeit des Erdbodens σ = 10−2 S/m, so betr¨ agt die Stromdichte an dieser Stelle J = 10−2

A S V = 1 2. m cm m

(16.10)

Die Feldst¨ arke ist in metallischen Leitern meist sehr klein. Wird eine Kupferschiene mit einer Stromdichte von 2 A/mm2 belastet, so ergibt sich im Inneren der Schiene bei einer Leitf¨ ahigkeit des Kupfers von σ = 5, 7 · 107 S/m eine Feldst¨ arke E =

µV V m V 2A = 3, 5 · 10−4 = 350 = 0, 035 . 7 2 5, 7 · 10 mm S cm cm m

(16.11)

230

16 Elementare Betrachtungen zum elektrischen Str¨ omungsfeld

In einem langgestreckten Leiter ist der Betrag des E-Feldes gleich dem Spannungsabfall bezogen auf die L¨ angeneinheit des Leiters. Nach Gl.(16.7) ist die Stromdichte proportional dem E-Feld. Da die Feldst¨ arke um so gr¨ oßer ist, je dichter die Potenzialfl¨achen gleichen Potenzialunterschiedes liegen, so kann man die Stromdichte dadurch veranschaulichen, dass man auch die Stromlinien um so dichter anordnet, je kleiner der Abstand zwischen den Potenzialfl¨ achen ist. Man kann in der zeichnerischen Darstellung des Feldes in Abb. 16.3 z. B. den Abstand der Stromlinien u ¨ berall gleich dem Abstand der Niveaulinien machen. Auf diese Weise l¨asst sich zu dem experimentell bestimmten Bild der Niveaulinien leicht das Bild der Stromlinien hinzuf¨ ugen (siehe auch Abschnitt 11.2.1). Das Kirchhoffsche Stromgesetz im Str¨ omungsfeld Das Kirchhoffsche Stromgesetz sagt aus, dass sich der station¨are elektrische Strom bei Verzweigungen wie eine nicht zusammendr¨ uckbare Fl¨ ussigkeit verh¨ alt, so dass der gesamte von einem Knoten wegfließende Strom Null sein muss. Diesen Satz kann man auch folgendermaßen ausdr¨ ucken. Man lege um den Knotenpunkt eine in sich geschlossene Fl¨ ache, die den Knotenpunkt umgibt (H¨ ullfl¨ ache), z. B. eine Kugelfl¨ ache mit dem Mittelpunkt im Knoten, Abb. 16.5. Die von dem Knotenpunkt ausgehenden Leiter durchstoßen dann diese Fl¨ache, und nach dem Kirchhoffschen Stromgesetz muss die Summe aller aus der Fl¨ ache austretenden Str¨ ome Null sein. Man kann eine solche H¨ ullfl¨ache an beliebigen Stellen des Netzes anbringen; auch wenn sie keinen Knoten enth¨ alt, z. B. in Abb. 16.6, ist der ausgesprochene Satz, wie ohne weiteres einzusehen, g¨ ultig. Da man nun eine r¨ aumliche Str¨omung als Grenzfall der Str¨ omung in einem Widerstandsnetzwerk auffassen kann, so gilt auch f¨ ur das beliebige Str¨ omungsfeld der Satz in gleicher Form. Er lautet also:

Abbildung 16.5. H¨ ullfl¨ ache eines Knotenpunktes

Grenzt man in einem Str¨omungsfeld eine beliebige in sich geschlossene Fl¨ache (H¨ ullfl¨ache) ab, so ist der aus der Fl¨ache austretende Gesamtstrom Null. Dieser Satz l¨ asst sich mathematisch folgendermaßen formulieren. Man zerlege die betrachtete H¨ ullfl¨ ache in hinreichend kleine Fl¨achenelemente dA, Abb.

16.2 Das station¨ are Str¨ omungsfeld und Widerstandsnetzwerke

231

Abbildung 16.6. H¨ ullfl¨ ache ohne Knotenpunkt

16.7. In jedem dieser Fl¨ achenelemente kann der Vektor der Stromdichte J als konstant angesehen werden. Der aus dem Fl¨ achenelement austretende Strom ist daher infinitesimal“ ” (16.12) dI = Jn dA = J dA. ache A normale Stromdichte und der infinitesimale“ wobei Jn die zur Fl¨ ”

Abbildung 16.7. Berechnung des durch eine Fl¨ ache fließenden Stromes

Vektor dA nach außen zeigt. Um den Gesamtstrom zu erhalten, der aus der (beliebig geformten)geschlossene H¨ ullfl¨ ache A austritt, hat man das Integral u ache zu bilden (vgl. auch Gl.(15.2)) ¨ ber die ganze Fl¨  I = J · dA, (16.13) A

wobei der Kreis am Integralzeichen andeuten soll, dass es sich um eine H¨ ullfl¨ache handelt. Diese summenhafte Vorstellung zur Ermittlung des Gesamtstromes I ist zur Veranschaulichung ganz n¨ utzlich, aber in praktischen Rechnungen muss man die Fl¨ ache A zun¨ achst parametrisieren und damit die symbolische Form des Oberfl¨ achen-Integrals in eine auswertbare Form u uhren ¨berf¨ (siehe z.B. Merziger, Wirths [160]). In dem gerade betrachteten Fall muss das Integral nicht ausgewertet werden, denn das Kirchhoffsche Stromgesetz sagt aus physikalischen Gr¨ unden, dass  (16.14)

J · dA = 0. A

232

16 Elementare Betrachtungen zum elektrischen Str¨ omungsfeld

Mit Hilfe des Gaußschen Satzes der Vektoranalysis kann man die mathema¨ tische Aquivalenz mit dem in Abschnitt 15 vorausgesetzten Spezialfall der Kontinuit¨ atsgleichung div J = 0 nachweisen. Man nennt daher ein Vektorfeld, in dem eine dieser Beziehungen gilt, quellenfrei; die Gl.(16.14) zeigt an, dass die Str¨ omung nirgends entspringt oder endigt. Das Kirchhoffsche Spannungsgesetz im Str¨ omungsfeld Sieht man von im Str¨ omungsfeld verteilten Spannungsquellen ab, so ist das Kirchhoffsche Spannungsgesetz bei der Definition der Grundbegriffe des Str¨ omungsfeldes bereits dadurch ber¨ ucksichtigt worden, dass jedem Punkt des Raumes ein eindeutiges elektrisches Potenzial ϕ(r) zugeschrieben wird und die Spannungen als Differenzen dieser Potenziale definiert werden. Die Summe der Spannungen auf einem beliebigen in sich geschlossenen Weg ist unter dieser Voraussetzung Null.

Abbildung 16.8. Linienintegral des E-Feldes auf einem geschlossenen Weg

Bildet man das Linienintegral des E-Feldes zwischen zwei beliebigen Punkten a und b des Str¨ omungsfeldes auf dem Weg 1, Abb. 16.8, so ergibt sich die Differenz der Potenziale dieser beiden Punkte. Weg 2 hat den gleichen Betrag, aber das entgegengesetzte Vorzeichen. Addiert man die beiden Integrale, so erh¨ alt man das Linienintegral des E-Feldes auf dem geschlossenen Weg a1b2a; es ist im station¨ aren Str¨ omungsfeld gleich Null: Im station¨aren Str¨omungsfeld ist das Linienintegral des E-Feldes auf beliebig geschlossenen Wegen Null. Dieser Satz lautet in der Schreibweise der Vektoranalysis  E · dr = 0, (16.15) C

wobei C einen geschlossenen Weg im R3 bezeichnet. Hier zeigt der Kreis am Integralzeichen an, dass u ¨ ber einen geschlossenen Weg zu integrierten ist. Nat¨ urlich hat auch dieses Linienintegral wieder nur symbolische Bedeutung. F¨ ur eine praktische Berechnung ist wiederum eine Parametrisierung des Weges C notwendig, so dass die symbolische Form des Linienintegrals in eine auswertbare Form u uhrt werden kann. ¨ berf¨

16.2 Das station¨ are Str¨ omungsfeld und Widerstandsnetzwerke

233

Mit dem Stokesschen Satz der Vektoranalysis kann man ein Linienintegral u achenintegral umwandeln und daraus ¨ ber einen geschlossenen Weg in ein Fl¨ in diesem Fall die bereits in Abschnitt 15 angegebene Beziehung rot E = 0 f¨ ur das Str¨ omungsfeld herleiten. Man nennt ein Vektorfeld, in dem eine dieser Beziehungen erf¨ ullt ist, wirbelfrei. In Gebieten, in denen sich keine Spannungsquellen befinden, stellt also die station¨ are elektrische Str¨omung ein wirbelund quellenfreies Feld dar. In diesem Gebiet treten keine in sich geschlossenen Stromlinien auf, diese m¨ ussen vielmehr die Quellen durchlaufen. Auf einem Integrationsweg, der Energiequellen enth¨alt, ist das Linienintegral des E-Feldes zuz¨ uglich der Summe der Quellenspannungen gleich Null, wie es der zweite Kirchhoffsche Satz verlangt. Das Joulesche Gesetz im Str¨ omungsfeld In einem Leiter vom Widerstand R, der vom Strom I durchflossen wird, ist die umgesetzte Leistung (z.B. W¨ arme) gegeben durch P = I 2 R.

(16.16)

Diese Beziehung kann ohne weiteres auf das bei der Umformung des Ohmschen Gesetzes betrachtete Prisma, Abb. 16.4,angewendet werden. Hier ist I = J A und

R=

n , σ A

(16.17)

also die in dem Prisma umgesetzte Leistung P =

1 2 J A n. σ

(16.18)

Da V := A n das Volumen des Prismas darstellt, k¨onnen wir eine Leistungsdichte definieren durch p = lim

V →0

P . V

(16.19)

F¨ ur diese Leistungsdichte ergibt sich p=

1 2 J = J E = σ E 2 = J E = σ E2 . σ

(16.20)

Zahlenbeispiel: Betr¨ agt z. B. die Stromdichte an der Oberfl¨ache einer in den Erdboden eingegrabenen Erdungsplatte J = 100A/m2 , und ist die Leitf¨ahigkeit des Erdbodens σ = 10−2 S/m, so wird p = 102

A2 W m · 104 4 = 106 3 . S m m

(16.21)

234

16 Elementare Betrachtungen zum elektrischen Str¨ omungsfeld

Nun ist 1 W s = 0, 239 cal oder 1 W = 0, 239 cal/s. Also wird die je Zeit- und Volumeneinheit entwickelte W¨ arme p = 0, 239

cal . cm3 s

(16.22)

Hat der Erdboden z. B. dieselbe volumenbezogene W¨armekapazit¨at wie das Wasser (4, 19 J/(K · cm3 )), so w¨ urde er sich mit der Geschwindigkeit 1 W ·cm−3 /(4, 19 J/(K ·cm3 )) = 0, 239 K/s erw¨armen, wenn die W¨arme nicht abgeleitet w¨ urde.

16.3 Zusammenhang zwischen Kapazit¨ at und Widerstand Zwischen dem Fluss des elektrische Feldes und dem Strom im elektrischen Str¨ omungsfeld besteht eine formale Analogie. Die zur Kapazit¨at analoge Gr¨oße des Str¨ omungsfeldes ist der Leitwert zwischen den Elektroden, vorausgesetzt, dass deren Leitf¨ ahigkeit sehr groß gegen die des leitenden Mediums zwischen ihnen ist. Man kann diese Analogie zur Berechnung der Kapazit¨at benutzen, wenn das entsprechende Str¨ omungsfeld bekannt ist, oder zur Berechnung des Isolationswiderstandes von Kondensatoren, deren Kapazit¨at man kennt. Allgemein gilt f¨ ur den Widerstand zwischen den Elektroden eines Str¨omungsfeldes Uab , (16.23) R= I wobei Uab die Spannung zwischen den Elektroden, I den von der einen zur anderen Elektrode u ur irgendeine ¨ bergehenden Strom bezeichnet. Nun ist f¨ H¨ ullfl¨ ache, die eine Elektrode enth¨ alt, wenn die Stromzuleitung von der Integration ausgeschlossen wird, nach Gl.(15.2)  J · dA, (16.24) I= A

wobei A die H¨ ullfl¨ ache abz¨ uglich der Fl¨ ache der Zuleitung ist. F¨ ur den Fall, dass die Leitf¨ ahigkeit im ganzen Raum konstant ist, wird hieraus  E · dA (16.25) I =σ A

also R−1 = σ

1 Uab

 E · dA.

(16.26)

A

Ist dagegen der Raum zwischen den Elektroden von einem homogenen Nichtleiter erf¨ ullt, so wird der elektrische Fluss

16.3 Zusammenhang zwischen Kapazit¨ at und Widerstand

235

 D · dA,

Q=

(16.27)

A

so dass f¨ ur die Kapazit¨at zwischen den beiden Elektroden gilt  1 Q =ε E · dA. C= Uab Uab

(16.28)

A

Der Vergleich der beiden Beziehungen (16.26) und (16.27) zeigt, dass RC =

ε . σ

(16.29)

Daraus folgt auch, dass der Isolationswiderstand eines Kondensators beliebiger Form bei homogenem Dielektrikum umgekehrt proportional der Kapazit¨at ist. Die Leitf¨ ahigkeit der Isolierstoffe ist mikroskopisch im wesentlichen Ionen zur¨ uckzuf¨ uhren, wie in Elektrolyten. Dichte und Beweglichkeit der Ionen in den Isolierstoffen sind aber immer sehr gering; daher ist auch die Leitf¨ahigkeit entsprechend klein. Sie h¨ angt bei festen Isolierstoffen in hohem Maße von Beimengungen, insbesondere Wasser, ab. In der Tabelle 16.1 ist die Gr¨oßenordnung der Leitf¨ ahigkeit einiger Isolierstoffe angef¨ uhrt; es ist ferner der sog. spezifische Widerstand je cm L¨ ange der Schneiden. Der in Gl.(16.29) betrachtete ist der Durchgangswiderstand. Er ist durch die Leitf¨ahigkeit σ bestimmt. Bei den meisten Anordnungen liegt parallel zum Durchgangswiderstand noch ein Strompfad l¨ angs der Oberfl¨ ache des Isolierstoffes. Hierf¨ ur ist der spezifische maßgebend. Vielfach u ¨bertrifft der Isolationsstrom infolge Oberfl¨achenleitung bei weitem den Isolationsstrom infolge Durchgangsleitf¨ahigkeit. Material

Leitf¨ ahigkeit in S/m

spez. Oberfl¨ achenwiderst. in Ω

Glas Porzellan Hartgummi Glimmer Quarz Transformator¨ ol

10−14 . . . 10−11 10−13 . . . 10−12 10−16 . . . 10−13 10−13 . . . 10−11 10−17 10−11 . . . 10−10

106 . . . 1013 109 . . . 1012 109 . . . 1015 109 . . . 1012 108 . . . 1012 -

Tabelle 16.1. Leitf¨ ahigkeit und spez. Oberfl¨ achenwiderstand verschiedener Materialien

Widerstand und Oberfl¨ achenwiderstand h¨ angen bei den Isolierstoffen stark von der Temperatur ab, und zwar nimmt die Leitf¨ahigkeit mit der Temperatur zu. Bei feuchtigkeitshaltigen Isolierstoffen mit Faserstruktur, z.B. Papier und

236

16 Elementare Betrachtungen zum elektrischen Str¨ omungsfeld

Baumwolle, zeigt sich ferner eine Zunahme der Leitf¨ahigkeit mit der elektrischen Feldst¨ arke; sie wird darauf zur¨ uckgef¨ uhrt, dass infolge der Kraftwirkung des elektrischen Feldes die Fl¨ ussigkeitsteilchen in die L¨ange gezogen werden. Im folgenden Abschnitt 17 wird gezeigt, dass sich f¨ ur den Isolationswiderstand eines einadrigen Kabels von der L¨ ange l und den Radien r1 und r2 von Innenleiter und Mantel folgender Isolationswiderstand ergibt (vgl. Gl.(17.50)) R=

r2 1 ln . 2πσl r1

(16.30)

Dabei wurde die Voraussetzung gemacht, dass der Zwischenraum zwischen Leiter und Kabelmantel von einem homogenen Stoff mit der Leitf¨ahigkeit σ erf¨ ullt sei. Hat dieser Stoff eine Dielektrizit¨ atskonstante ε, so gilt daher auf Grund des soeben gefundenen Zusammenhanges (16.29) f¨ ur die Kapazit¨at des Koaxialkabels oder eines Zylinderkondensators C=

2πεl . ln rr12

(16.31)

Da praktisch die relative Dielektrizit¨ atskonstante gegeben ist, so schreibt man zweckm¨ aßigerweise diese Beziehung in der Form 24, 1 εr nF εr 55, 6 εr 55, 6 εr nF C = 2πε0 r2 = = . = l ln r1 ln rr12 ln rr12 km lg rr21 km

(16.32)

Zahlenbeispiel: F¨ ur verschiedene Werte von r2 /r1 und εr gibt die folgende Tabelle 16.2 die auf die L¨ ange bezogene Kapazit¨at an: Die Formel (16.31) gilt

r2 /r1 C/l (nF/km)

1, 6 1, 8 2, 0 2, 5 3, 0 3, 5 4, 0 5, 0 118 94, 6 80, 2 60, 7 50, 6 44, 4 40, 1 34, 6

Tabelle 16.2. Zusammenhang von R und C

Abbildung 16.9. Luftkondensator mit Schutzring

nur, wenn die Zylinderelektroden so lang sind, dass die D-Feldlinien radial von

16.3 Zusammenhang zwischen Kapazit¨ at und Widerstand

237

der einen Elektrode zur anderen u ur Messzwecke werden in der ¨bergehen. F¨ Hochspannungstechnik zuweilen Zylinderkondensatoren verwendet, bei denen die Elektroden aus kurzen konzentrischen Zylindern bestehen. Hier erreicht man den radialen Verlauf der D-Feldlinien durch Verl¨angerung der Elektroden u utzten Teil hinaus, wie es in Abb. 16.9 dargestellt ist. Werden ¨ ber den ausgen¨ die Verl¨ angerungen a und c ( Schutzring“) auf das gleiche Potenzial gebracht ” wie die mittlere Elektrode b, so ergibt sich zwischen dieser Elektrode und der inneren der gew¨ unschten Verlauf der D-Feldlinien, so dass die Kapazit¨at zwischen diesen beiden Elektroden nach der Formel (16.31) berechnet werden kann.

17 Beispiele von elektrischen Str¨ omungsfeldern

Wir haben bereits im Abschnitt 11 darauf hingewiesen, dass man zur analytischen und numerischen L¨ osung der Potenzialgleichung des station¨aren Str¨ omungsfeldes grunds¨ atzlich alle Methoden verwenden kann, die wir im Fall des ladungsfreien elektrostatischen Feld kennengelernt haben. Im Unterschied zur Elektrostatik wird die Laplacesche Differentialgleichung nat¨ urlicherwei” se“ als Neumannsches Randwertproblem gestellt, da man die Stromdichte J (bzw. den Strom I) vorgibt. Mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes zeigt man, dass das gerade einer Vorgabe der Ableitung des elektrischen Potenzials entspricht. Daher soll das elektrische Str¨ omungsfeld nur anhand einiger ausgew¨ahlter Beispiele diskutiert werden. In der Monographie von Lehner ([134], S. 251ff) findet man ein ausf¨ uhrlich gerechnetes und illustriertes Beispiel, bei dem die Potenzialgleichung mit gemischten Randwerten mit Hilfe eines Separationsansatzes gel¨ ost wird.

17.1 Punktquelle Als einfachstes Beispiel f¨ ur die Berechnung eines elektrischen Str¨omungsfeldes werde zun¨ achst der folgende Fall behandelt. Eine Kugel vom Radius r0 aus einem gut leitenden Material, z.B. Kupfer, sein in einen Stoff mit m¨aßiger Leitf¨ ahigkeit σ eingebettet, z.B. Erde. Der Kugel werde durch einen isolierten Draht Strom zugef¨ uhrt, der in sehr großer Entfernung durch einen zweite Elektrode wieder abgenommen und zur Stromquelle zur¨ uckgef¨ uhrt wird. In der n¨aheren Umgebung der Kugelelektrode werden die Stromlinien aus Symmetriegr¨ unden radial von der Kugeloberfl¨ ache ausgehen, Abb. 17.1. Der gesamte der Kugel zugef¨ uhrte Strom I verteilt sich gleichm¨aßig auf konzentrische Kugelfl¨ achen. Im Abstand r vom Kugelmittelpunkt hat daher die Stromdichte J den Betrag I . (17.1) J(r) = 4πr2

17.1 Punktquelle

239

Abbildung 17.1. Str¨ omungsfeld in der Umgebung einer Kugelelektrode

Diese Beziehung kann auch als der Ausdruck des ersten Kirchhoffschen Satzes betrachtet werden. Eine Kugeloberfl¨ ache mit dem Radius r wird von dem Leiter durchstoßen, der den Strom I in das Innere dieser Kugel einf¨ uhrt. Damit die Summe aller aus der Kugeloberfl¨ ache austretenden Str¨ome Null ist, muss die Stromdichte den durch Gl.(17.1) gegebenen Wert besitzen. Der Vektor J der Stromdichte zeigt vom Mittelpunkt der Kugel weg, wenn der Kugelelektrode durch die Leitung Strom zugef¨ uhrt wird, bei umgekehrter Stromrichtung zeigt er nach dem Kugelmittelpunkt. Auch die Oberfl¨ache der Metallkugel ist eine Potenzialfl¨ ache, da infolge der vorausgesetzten großen Leitf¨ ahigkeit innerhalb der Kugel kein merklicher Spannungsabfall entsteht. Alle Punkte der Kugel und insbesondere ihrer Oberfl¨ache haben daher gleiches Potenzial. Nach dem Ohmschen Gesetz ist durch die Stromdichte auch das E-Feld bestimmt. Es gilt mit r := r E(r) := E(r) =

I 1 . J(r) = σ 4πσr2

(17.2)

Die Richtung ist die gleiche wie die der Stromdichte. Aus dem E-Feld ergibt sich auf Grund der Gl.(6.14) die Spannung zwischen der Kugelober߬ache und irgendeinem Punkt P des Raumes mit dem Abstand r vom Mittelpunkt 0 der Kugel:
  r  r 1 dr I 1 I = − . (17.3) U0P = E(r) dr = 4πσ r0 r2 4πσ r0 r r0 Die Spannung zwischen der Metallkugel und dem beliebigen Punkt P n¨ahert sich also mit wachsendem Abstand dieses Punktes einem Grenzwert, wie es Abb. 17.2 veranschaulicht. Der Grenzwert U=

I 4πσr0

(17.4)

wird mit einem Fehler von 1% erreicht, wenn der Abstand r des Punktes P 100mal so groß wie der Kugelradius ist; man bezeichnet ihn als den Spannungs¨ abfall am Ubergangswiderstand zwischen der Metallkugel und dem leitenden ¨ Stoff. Der Ubergangswiderstand ist daher

240

17 Beispiele von elektrischen Str¨ omungsfeldern

Abbildung 17.2. Spannung in der Umgebung einer Kugelelektrode

R=

1 ; 4πσr0

(17.5)

er liegt praktisch innerhalb einer Kugel vom Radius 100r0 . Die Kugel (17.5) ¨ kann zur Berechnung des Ubergangswiderstandes zwischen einem kugelf¨ormigen Erder und dem Erdboden ben¨ utzt werden. Es ist bemerkenswert, dass ¨ der Ubergangswiderstand nicht umgekehrt proportional mit der Oberfl¨ache der Metallkugel, sondern langsamer abnimmt. Zahlenbeispiel: F¨ ur verschiedene Radien r0 eines Kugelerders ergeben sich ¨ nach Gl.(17.5) die folgenden Ubergangswiderst¨ ande im Erdboden mit der −2 Leitf¨ ahigkeit 10 S/m

r0 /cm 5 10 50 100 R/Ω 160 80 16 8 ¨ Tabelle 17.1. Ubergangswiderstand in Abh¨ angigkeit des Kugelerderradius

Teilt man den Raum in der Umgebung der Kugelelektrode durch eine d¨ unne, isolierende, ebene Schicht, die durch den Mittelpunkt geht, Abb. 17.3, so kann man jedem der beiden so entstehenden Halbr¨aume den Strom 1/2 I entnehmen, ohne dass sich an dem Str¨ omungsbild etwas a¨ndert. Man kann auch noch die Metallkugel durch den gleichen Schnitt teilen und jeder H¨alfte den Strom 1/2 I zuf¨ uhren. Es ergibt sich dann der Fall, dass an der Erdoberfl¨ ache eine Halbkugel vom Radius r0 eingegraben ist, der der Strom 1/2 I zugef¨ uhrt wird. Das Potenzial ist u uher; auch der ¨ berall das gleiche wie fr¨ ¨ ¨ Spannungsabfall am Ubergangswiderstand ist der gleiche geblieben. Der Ubergangswiderstand ist daher doppelt so groß: R=

1 . 2πσr0

(17.6)

17.1 Punktquelle

241

Abbildung 17.3. Halbkugelelektrode

¨ Diese Formel kann in manchen F¨ allen zur Absch¨atzung des Ubergangswiderstandes eines Erders verwendet werden, wenn man diesen angen¨ahert durch eine solche Halbkugel ersetzen kann. Zwischen dem Erder und irgendwelchen Punkten der Erdoberfl¨ ache im Abstand r vom Mittelpunkt ergibt sich eine Spannung, die durch Gl.(17.3) dargestellt ist. F¨ uhrt man dort den gesamten Spannungsabfall U des Erders ein, so folgt  r0  . (17.7) U0P = U 1 − r Diese Funktion hat den in Abb. 17.2 gezeigten Verlauf. Man bezeichnet die dadurch gegebene Spannungsverteilung auch als den Spannungstrichter des Erders. Seine Kenntnis ist von Bedeutung im Hinblick auf Gef¨ahrdungen von Lebewesen, die in die N¨ ahe des Erders gelangen. Zahlenbeispiel: L¨ asst sich die Erdung eines Leitungsmastes durch eine Halb¨ kugel vom Radius 1 m ersetzen, so ist nach Gl.(17.6) der Ubergangswiderstand 16 Ω f¨ ur eine Bodenleitf¨ ahigkeit von 10−2 S/m. Bei Ber¨ uhrung eines Leiters der Freileitung mit dem Mast ergebe sich ein Erdstrom von 100 A. Dann ist die ¨ Ubergangsspannung 1600 A. Die Spannung zwischen zwei beliebigen Punkten, die um den Abstand der Schrittl¨ ange des Menschen voneinander entfernt sind, nennt man die Schrittspannung. F¨ ur eine Schrittl¨ange von 80 cm betr¨agt sie im ung¨ unstigsten Falle nach Gl.(17.7) 
100 = 711 V. (17.8) ∆U = U 1 − 180 Die Spannung zwischen der Vollkugel und irgendeinem Punkt des Raumes, Gl.(17.3), l¨ asst sich als Differenz der Potenziale der Kugeloberfl¨ache, ϕ0 , und des betrachteten Punktes, ϕ, darstellen; es gilt U0P = ϕ0 − ϕ.

(17.9)

Hieraus folgt f¨ ur das Potenzial des beliebigen Punktes im Abstand r vom Mittelpunkt der Kugel

242

17 Beispiele von elektrischen Str¨ omungsfeldern

I + c, (17.10) 4πσr wobei c eine willk¨ urliche Konstante bezeichnet; deren Bedeutung geht daraus hervor, dass f¨ ur sehr große Werte von r das Potenzial gleich c wird. Die Konstante c bezeichnet also das Potenzial weit entfernter Punkte. Bezieht man alle Potenziale auf einen solchen weit entfernten Punkt, so wird ϕ=

I . 4πσr

ϕ=

(17.11)

Abbildung 17.4. Str¨ omung zwischen konzentrischen Kugelelektrode

Ein weiteres Beispiel dieser Potenzialverteilung bildet das durch Abb. 17.4 dargestellte Leitersystem, bei dem der Hohlraum zwischen zwei konzentrischen Kugelelektroden mit einem Stoff geringer Leitf¨ahigkeit σ ausgef¨ ullt ist. Bezeichnet man willk¨ urlich das Potenzial der ¨ außeren Elektrode mit ϕ1 , so ist das der inneren ϕ1 + U , wenn der Strom I von der inneren nach der ¨außeren Elektrode fließt und die Spannung zwischen den beiden Elektroden U betragen soll. Daher gelten die beiden Gleichungen ϕ1 =

I 4πσr2

und

U + ϕ1 =

I , 4πσr1

(17.12)

aus denen hervorgeht, dass U =I

r2 − r1 . 4πσr1 r2

(17.13)

¨ Der Ubergangswiderstand zwischen den beiden Elektroden ist hiernach gleich dem Widerstand eines zylindrischen Leiters aus dem gleichen Material mit der Leitf¨ ahigkeit σ, der L¨ ange δ := r2 − r1 und dem Querschnitt A = 4πr2 r1 , √ der gleich der Oberfl¨ ache einer Kugel mit Radius r0 = r1 r2 ist. Die Spannungsverteilung in der Umgebung einer Kugel ist bei gegebenem Gesamtstrom unabh¨ angig von der Gr¨ oße der Kugelelektrode. Man w¨ urde das gleiche Potenzial auch bei einer Kugel von unendlich kleinem Radius erhalten. In bezug auf den außerhalb der Elektrode liegenden Raum l¨asst sich also f¨ ur die Rechnung die Elektrode ersetzen durch eine Kugel von unendlich kleinem Radius, durch die der Strom I austritt. Eine solche unendlich kleine Elektrode

17.1 Punktquelle

243

nennt man Punktquelle. Das Potenzial in der Umgebung einer Punktquelle ist durch Gl.(17.11) gegeben. Fließt der Strom in umgekehrter Richtung, wird er also durch die Elektrode dem Raum entnommen, so gilt entsprechend ϕ=−

I . 4πσr

(17.14)

Bei Anwesenheit mehrerer Punktquellen u ¨berlagern sich die Einzelpotenzial

Abbildung 17.5. Zur Berechnung des Potenzials zweier Punktquellen

¨ (Uberlagerungssatz), da nach den Grundgesetzen des Str¨omungsfeldes zwischen den Str¨ omen und Spannungen lineare Beziehungen bestehen. Sind z.B. in den leitenden Raum zwei Punktquellen Q1 und Q2 , Abb. 17.5, im Abstand l eingebettet, von denen die eine den Strom I zuf¨ uhrt, die anderen den Strom I entnimmt, so gilt f¨ ur das Potenzial in einem beliebigen Punkt P 
1 1 I − . (17.15) ϕ= 4πσ r1 r2 Die Potenzialfl¨ achen sind durch die Bedingungen ϕ = konst.

(17.16)

bestimmt. In Abb. 17.6 sind einige Potenziallinien dargestellt. Man kann sie auf 1 k 1 (17.17) − = . r1 r2 l Dann folgt r1 =

r2 . 1 + k rl2

(17.18)

Erteilt man nun k Werte einer arithmetischen Reihe, z. B. k = 0, 1, 2, 3 usw., so ergeben sich aus dieser Gleichung die zu Potenziallinien gleicher Potenzialunterschiede geh¨ origen Radien. Die Str¨ omungslinien schneiden die Potenziallinien u ¨ berall senkrecht, sie gehen von Q1 nach Q2 . Halbiert man den ganzen Raum durch eine isolierte Ebene, die durch die Verbindungslinie der beiden Punktquellen geht, so ergibt sich das Str¨omungsfeld f¨ ur zwei Erder an der Erdoberfl¨ache, das etwa die R¨ uckleitung eines Stromkreises bilden kann, dessen Hinleitung aus einem

244

17 Beispiele von elektrischen Str¨ omungsfeldern

isolierten Draht besteht (Einfachleitung der Telegraphie). Auf der Verbindungslinie der beiden Quellen hat das Potenzial den in Abb. 17.7 dargestellten Verlauf. Die Potenziallinien in Abb. 17.6 kann man als H¨ohenlinien eines Gebirges auffassen, das nach Q1 hin ansteigt und nach Q2 hin trichterf¨ormig abf¨ allt.

Abbildung 17.6. Potenziallinienbild zweier Punktquellen entgegengesetzten Vorzeichens

Abbildung 17.7. Potenzialverlauf auf der Verbindungslinie der beiden Quellen

Anwendungsbeispiel: Es seinen Q1 und Q2 die beiden Erder einer Einfachleitung. In irgendeinem Abstand a sei eine zweite Einfachleitung gleicher L¨ange mit den Erdungspunkten P1 und P2 vorhanden (Abb. 17.6). Fließt in der ersten Leitung ein Strom, dann ergibt sich ein Strom¨ ubergang in die zweite Leitung; es liegt eine galvanische Kopplung vor. Die in der zweiten Leitung auftretende Spannung, die nach dem Satz von der Zweipolquelle als eine Quellenspannung U0 aufgefasst werden kann, ergibt sich als Differenz der Potenziale der beiden Punkte P1 und P2 . Ist z.B.

17.1 Punktquelle

 f¨ ur Punkt P1 : r1 = a, r2 = a2 + l2 ,  f¨ ur Punkt P2 : r1 = a2 + l2 , r2 = a,

245

(17.19) (17.20)

so wird nach Gl.(17.15) unter Beachtung, dass jetzt der Strom I nur im Halbraum fließt, 
1 1 I √ − . (17.21) U0 = πσ a a2 + l 2 Bei sehr großer Leitungsl¨ ange im Vergleich zum Abstand der Leitungen ist angen¨ ahert I . (17.22) U0 = πσa Ist die Erdung P2 weit von den drei anderen Punkten P1 , Q1 und Q2 entfernt, so wird U0 angen¨ahert halb so groß.

Zahlenbeispiel: Elektrische Bahn mit einem Erderstrom I = 500 A; im Abstand a = 100 m von dem Erder Q1 befinde sich die Erdung P1 einer Fernmeldeleitung; σ = 10−2 S/m. Nach Gl.(17.22) wird, wenn Q2 wesentlich weiter von Q1 entfernt ist als P1 U0 =

500 Am I = = 80 V. 2πσa 2π · 10−2 · 102 Sm

(17.23)

Die Abst¨ ande zwischen Starkstrom- und Fernmeldeerdungen m¨ ussen daher ausreichend groß gemacht werden. F¨ uhrt man mehreren nebeneinander liegenden Punkten Strom in gleicher ¨ St¨arke zu, so ergeben sich die Potenzialfl¨ achen ebenfalls durch Ubereinanderlagern der Einzelbilder. Das Potenzial in der Umgebung zweier derartiger Punktquellen im Abstand l 
1 1 I + . (17.24) ϕ= 4πσ r1 r2 Man findet in ¨ ahnlicher Weise wie oben die Potenzialfl¨achen, wenn man aus r1 =

r2 . −1

k rl2

(17.25)

f¨ ur Werte von k, die nach einer arithmetischen Reihe fortschreiten, zusammengeh¨ orige Werte r1 und r2 berechnet. Die Potenziallinien sind in Abb. 17.8 dargestellt; in großem Abstand von den Punktquellen geht das Potenziallinienbild in das einer einzigen Punktquelle mit doppelter Stromst¨arke u ¨ ber.

246

17 Beispiele von elektrischen Str¨ omungsfeldern

Abbildung 17.8. Potenziallinienbild der beiden Quellen gleichen Vorzeichens

17.2 Spiegelung Als weiteres Beispiel soll das Str¨ omungsfeld in einer Umgebung einer kleinen Kugelelektrode betrachtet werden, die sich in einer gewissen Tiefe h unter der ebenen Oberfl¨ ache des im u ¨ brigen unendlich ausgedehnten leitenden Raumes befindet, Abb. 17.9. Der Kugel werde durch eine isolierte Leitung der Strom I zugef¨ uhrt, der in sehr großer Entfernung wieder aus dem leitenden Halbraum entnommen werden soll. Um hier die Grenzbedingung an der Erdoberfl¨ache zu erf¨ ullen, wendet man das Prinzip der Spiegelung, das wir bereits in der Elektrostatik kennengelernt haben (vgl. Abschnitt 11.6). Es besteht darin, dass man sich den ganzen Halbraum mit seiner Elektrode an der Grenzfl¨ache gespiegelt denkt, Abb. 17.10. Dann befindet sich in einem gleichm¨aßig leitenden Raum zwei Punktquellen im Abstand 2h, die beide den gleichen Strom I zuf¨ uhren. Auf diese Weise wird die Grenzbedingung an der Erdoberfl¨ache ¨aquivalent durch eine Punktquelle ersetzt, so dass im Endlichen keine Grenzbedingungen mehr auftreten. Eine solche Vorgehensweise ist bei der linearen Laplaceschen Differentialgleichung m¨ oglich.

Abbildung 17.9. Tiefenerder

17.2 Spiegelung

247

¨ Das Potenzial in irgendeinem Punkt P ergibt sich durch Ubereinanderlagern der Teilpotenziale; es gilt die Gl.(17.24). Die Potenziallinien sind durch Abb. 17.8 dargestellt, wobei l = 2h zu setzen ist. Man erkennt, dass f¨ ur die Mittelebene in der Tat die geforderten Grenzbedingungen, Gl.(15.9) und Gl.(15.13), erf¨ ullt sind. Die Richtung der Stromlinien ergibt sich graphisch f¨ ur jeden Punkt P , wenn man die Vektoren E1 und E2 des E-Feldes jeder der beiden Quellen geometrisch addiert, Abb. 17.10. F¨ ur die Punkte Pm der Mittelebene f¨ allt die Richtung der Stromdichte in diese Ebene. Die Spannung U zwischen der Elektrode und weit entfernten Punkten ist gleich dem Potenzial der Kugeloberfl¨ ache. Ist der Radius r0 der Elektrode klein gegen die Tiefe h, so gilt f¨ ur Punkte der Kugeloberfl¨ ache r1 = r0 und angen¨ahert r2 = 2h; daher wird

Abbildung 17.10. Berechnung des E-Feldes eines Tiefenerders

I U= 4πσ




1 1 + r0 2h

 .

(17.26)

r0  1  1+ ; 4πσr0 2h

(17.27)

¨ Der Ubergangswiderstand ist R=

er ist gr¨ oßer als bei unbegrenztem Leiter, Gl.(17.5), da die Stromlinien im oberen Halbraum fehlen; der Unterschied ist jedoch praktisch gering. Schreibt man 1 , (17.28) R=p 4πσr0 so ist nach Gl.(17.27)

 r0  ; (17.29) p= 1+ 2h unter der Voraussetzung, dass r0 klein gegen 2h ist. Andererseits wird f¨ ur h = 0 nach Gl.(17.6) p = 2. F¨ ur beliebige Eingrabtiefen liegt also p zwischen 1 und 2. Das Potenzial an der Erdoberfl¨ ache wird nach Gl.(17.15)

248

17 Beispiele von elektrischen Str¨ omungsfeldern

Abbildung 17.11. Spannungstrichter des Tiefenerder

ϕ=

2 I √ , 2 4πσ h + x2

(17.30)

wenn mit x der Abstand des betrachteten Punktes P von der Eingrabstelle 0 des Erders bezeichnet wird. Der Spannungstrichter ist durch Abb. 17.11 dargestellt. Das gr¨ oßte Potenzialgef¨ alle tritt in einem Abstand s = 0, 707 h

(17.31)

vom Punkt 0 auf; dort ergibt sich die gr¨ oßte Schrittspannung. Das E-Feld hat an dieser Stelle den Wert E = 0, 061

I . σh2

(17.32)

Sie nimmt also mit wachsender Tiefe des Erders sehr rasch ab.

17.3 Linienquelle Bringt man eine sehr große Anzahl von Punktquellen auf einer geraden Linie an, so ergibt sich bei unendlich feiner Verteilung eine Linienquelle. Eine solche Linienquelle, Abb. 17.12, kann man sich in L¨ angenelemente dζ zerlegt denken, die alle als Punktquellen aufgefasst werden k¨ onnen; sie f¨ uhren dem Feld einen Strom zu, der gleich I dζ/(2l) ist, wenn mit 2l die L¨ange der Linie, mit I der gesamte von der Linie ausgehende Strom bezeichnet wird. In irgendeinem Punkt P mit den Koordinaten x und y ergibt nach Gl.(17.11) die Punktquelle dζ zum Potenzial einen Betrag dϕ = I

dζ dζ 1  =I , 2 2l 4πσr 8πσl y + (x − ζ)2

(17.33)

wobei ζ den Abstand des L¨ angenelementes vom Mittelpunkt der Linie bezeichnet. Das gesamte Potenzial der Linienquelle ist daher

17.3 Linienquelle

249

Abbildung 17.12. Linienquelle

ϕ=

I 8πσl



+l

−l

 x + l + y 2 + (x + l)2 dζ I   ln = . (17.34) 8πσl x − l + y 2 + (x − l)2 y 2 + (x − ζ)2

Die Potenzialfl¨ achen sind hier Rotationsellipsoide, die Potenziallinien in der x, y-Ebene sind konfokale Ellipsen, deren Brennpunkte durch die Endpunkte der Strecke 2l gebildet werden, Abb. 17.13. Bezeichnet man n¨amlich die große Achse einer solchen Ellipse mit 2a, so gilt auf Grund bekannter Eigenschaften der Kegelabschnitte f¨ ur die Strahlen zu den beiden Brennpunkten  l = y 2 + (x + l)2 ; a  l r2 = a + −x = y 2 + (x − l)2 . a

r1 = a + x

(17.35) (17.36)

Setzt man diese Achse in Gl.(17.34) ein, so folgt ϕ=

a+l I ln . 8πσl a − l

(17.37)

F¨ ur jeden beliebigen Wert von a ist also das Potenzial eine Konstante. Die Str¨ omungslinien sind Hyperbeln mit den gleichen Brennpunkten, wie in Abb. 17.13 angedeutet. Wenn die kleine Halbachse der Ellipsen sehr klein gegen die L¨ange ist, wenn also a angen¨ ahert gleich l ist, dann ergeben sich nahezu zylindrische Potenzialfl¨ achen, deren Enden abgerundet sind. Die von einer stabf¨ormigen Elektrode mit dieser Form ausgehende Str¨ omung hat daher die gleichen Potenzialfl¨achen wie die Linienquelle. Bezeichnet man den Durchmesser des Stabes in der Mitte (x = 0) mit d, so wird die Spannung gegen weit entfernte Punkte, U , gleich dem Potenzial der Potenzialfl¨ ache, die durch den Punkt x = 0, y = (1/2)d geht; f¨ ur diesen Punkt ist nach Gl.(17.34)   d 2 l + + l2 I 2   . (17.38) ln ϕ=U = 8πσl d 2 2 + l −l + 2

250

17 Beispiele von elektrischen Str¨ omungsfeldern

Abbildung 17.13. Feld- und Potenziallinienbild der Linienquelle

Ber¨ ucksichtigt man, dass der Durchmesser d des Stabes sehr klein gegen seine L¨ange 2l sein soll, so wird angen¨ ahert U=

4l I ln . 4πσl d

(17.39)

Die Potenzialverteilung in der Umgebung eines senkrecht in die Erdoberfl¨ache eingegrabenen Stabes ergibt sich, wenn man das soeben betrachtete Feld durch ¨ die Mittelebene x = 0 teilt. Der Ubergangswiderstand ist in diesem Fall R=

4l 1 ln , 2πσl d

(17.40)

wobei l die L¨ ange des Stabes oder Rohres innerhalb der Erde bezeichnet. Zahlenbeispiel: Ein Rohrerder von der L¨ ange 2m mit einem Durchmesser ¨ d = 5cm hat bei einer Bodenleitf¨ ahigkeit von 10−2 S/m einen Ubergangswiderstand 102 Ω ≈ 40 Ω. (17.41) R= 2π2 ¨ Der Ubergangswiderstand eines zylindrischen Rohres vom Durchmesser d ist in Wirklichkeit etwas kleiner als der berechnete Wert, da der mittlere Durchmesser des Ellipsoids kleiner ist als d (n¨ amlich 0, 785 d). Das Potenzial an der Erdoberfl¨ ache ergibt sich aus Gl.(17.34) f¨ ur x = 0:  l + y 2 + l2 I  ln . (17.42) ϕ= 4πσl −l + y 2 + l2 Bezeichnet wieder U die Spannung des Erders gegen einen weit entfernten Punkt, so ist wegen Gl.(17.39) I = 2πσl also

U , ln 4l d

(17.43)

17.3 Linienquelle

ϕ=

U 2 ln 4l d

 l + y 2 + l2  ln . −l + y 2 + l2

251

(17.44)

Der Spannungstrichter kann danach berechnet werden. Es ergeben sich Kurven, wie sie in Abb. 17.14 dargestellt sind. Die Breite des Spannungstrichters h¨angt hier von dem Verh¨ altnis d/l ab. Wenn y groß gegen l ist, so ergibt sich aus Gl.(17.41) die N¨ aherungsformel ϕ=

I , 2σπy

(17.45)

die zeigt, dass in großer Entfernung vom Erder die Potenzialverteilung sich der eines Kugelerders n¨ ahert.

Abbildung 17.14. Spannungstrichter von Rohrerders

¨ Die folgende Tabelle 17.2 gibt einige Werte des Ubergangswiderstandes eines Rohres von 1m L¨ ange, das senkrecht in den Erdboden eingegraben ist, bei verschiedenen Werten des Verh¨ altnisses d/l und einer Bodenleitf¨ahigkeit von 10−2 S/m.

l/d 10 20 50 100 R/Ω 60 70 85 95 ¨ Tabelle 17.2. Ubergangswiderstand in Abh¨ angigkeit von l/d

¨ Es ist zur Erzielung eines kleinen Ubergangswiderstandes vorteilhaft, mehrere k¨ urzere Rohre parallel zu verwenden statt eines einzigen entsprechenden dickeren oder l¨ angeren Rohres, wenn nicht das l¨angere Rohr in den Boden mit gr¨ oßerer Leitf¨ ahigkeit f¨ uhrt (Grundwasser). Wenn die Linienquelle, Abb. 17.12, sehr lang ist im Vergleich zu den Koordinaten x und y des Punktes P , dann k¨ onnen die Potenzialfl¨achen als koaxiale Kreiszylinder angesehen werden, und zwar um so genauer, je gr¨oßer die L¨ange

252

17 Beispiele von elektrischen Str¨ omungsfeldern

der Linie ist. Der Strom tritt dann auf der ganzen L¨ange gleichm¨aßig in radialer Richtung aus. Begrenzt man in diesem Fall die Potenzialfl¨achen durch zwei auf der Linie senkrecht stehende Ebenen, die voneinander einen relativ kleinen Abstand s haben, so tritt durch jede beliebige Potenzialfl¨ache mit dem Radius r der gleiche Strom I. Er verteilt sich aus Symmetriegr¨ unden gleichm¨aßig auf jeder Potenzialfl¨ ache, so dass die Stromdichte J =

I 2πrs

(17.46)

betr¨ agt. Die Stromdichte zeigt nach außen, wenn der Strom aus der Linienquelle austritt. Die elektrische Feldst¨ arke hat die gleiche Richtung und den Betrag I 1 . (17.47) E = J = σ 2πσrs Das Potenzial im Abstand r von der Achse ist gleich der Spannung zwischen diesem Punkt und dem Bezugspunkt mit dem Abstand b von der Achse; daraus kann das Potenzial mit Hilfe eines Wegintegrals ermittelt werden zu  b r I ln . (17.48) E dr = − ϕ(r) = 2πσs b r Eine derartige Str¨ omung liegt in einem koaxialen Kabel vor, Abb. 17.15,

Abbildung 17.15. Koaxiale Zylinderelektrode

wenn es mit Gleichspannung betrieben wird. Der Isolationsstrom geht radial zwischen Innenleiter und Außenleiter (Bleimantel) u ¨ ber. Bezeichnet σ die ¨ und I den gesamten IsolaLeitf¨ ahigkeit des Isoliermaterials (z.B. Papier, Ol) tionsstrom, so gilt f¨ ur das Potenzial im Inneren der Isolation die Gl.(17.48). Wird jetzt die L¨ ange des Kabels mit l bezeichnet, so ist die Spannung zwischen Innen- und Außenleiter  r2 r2 I ln . (17.49) E dr = U= 2πσl r 1 r1 Der Isolationswiderstand wird daher R=

r2 1 ln . 2πσl r1

(17.50)

17.3 Linienquelle

253

Zahlenbeispiel: F¨ ur verschiedene Werte von r2 /r1 und eine Leitf¨ahigkeit von ¨ σ = 10−12 S/m (Olpapier) ist in der folgenden Tabelle 17.3 der Isolationswiderstand einer Leitung von 1000 m L¨ ange angegeben. Der Isolationswiderstand

r2 /r1 2 5 10 20 50 100 R/M Ω 1100 2600 3700 4800 6200 7300 Tabelle 17.3. Tabelle: Isolationswiderstand

h¨angt also nur verh¨ altnism¨ aßig wenig von den Abmessungen der Leiter ab; dagegen ist die Leitf¨ ahigkeit des Isolierstoffes, die praktisch in weiten Grenzen variieren kann, von großem Einfluss. Die Ausbreitung des elektrischen Stromes in einem r¨aumlich ausgedehnten Leiter wird zwar durch sehr einfache Gesetze geregelt; es ist jedoch nur bei verh¨ altnism¨ aßig einfachen geometrischen Formen der Elektroden und Leiteranordnungen, von denen hier einige Beispiele betrachtet wurden, einfach, die Stromverteilung auf mathematischem Wege zahlenm¨aßig zu bestimmen. Allgemeine Methoden zur graphischen und analytischen Ermittlung von Potenzialfeldern werden im Abschnitt 11 u ¨ ber das elektrische Feld und insbesondere bei der L¨ osung der Poissonschen Differentialgleichung besprochen.

Teil V

Das station¨ are Magnetfeld

18 Grundgleichungen des station¨ aren Magnetfeldes

Es ist bereits von griechischen Naturgelehrten berichtet worden, dass es Anziehungs- und Abstoßungskr¨ afte zwischen bestimmten Materialien gibt. Man fand diese Steine“ in der N¨ ahe der griechischen Stadt Magnesia und ” daher wurden sie als Magneteisensteine“ bezeichnet; wir nennen sie im fol” genden kurz Magnete. In ihrer Umgebung werden Kr¨afte auf andere Magnete ausge¨ ubt, so dass man von einem magnetischen Feld sprechen kann. Auch wenn derartige Experimente bis heute zur Illustration dieser Kr¨afte verwendet werden, sind sie als Startpunkt f¨ ur eine mathematische Modellierung magnetischer Felder nur wenig geeignet. Das hat vor allem zwei Gr¨ unde: 1. Wir wissen heute, dass ein volles Verst¨ andnis magnetischer Eigenschaften von Materialien nur mit Hilfe der Quantenmechanik erreicht werden kann; vgl. z. B. Wijn und Dullenkopf[241]. 2. Die bei bestimmten Materialien in nat¨ urlicher Weise auftretenden magnetischen Felder sind meistens inhomogen und daher mathematisch nicht in einfacher Weise beherrschbar. Es ist daher sinnvoll, einen anderen Startpunkt f¨ ur die mathematische Modellierung von magnetischen Kr¨ aften bzw. das magnetische Feld zu w¨ahlen. Die ¨ folgenden Uberlegungen wurden im Rahmen eines Lehrbuches von Falk und Ruppel [66] ausf¨ uhrlich dargelegt. Damit bietet sich erstmals die M¨oglichkeit, das station¨ are Magnetfeld elementar aber dennoch theoretisch fundiert einzuf¨ uhren, ohne dass auf verwickelte experimentelle Ergebnisse verwiesen werden muss. Die zugrunde gelegte experimentelle Erfahrung l¨asst sich z. B. ohne Problem mit Hilfe des Programmsystems Albert“ [5] diskutieren, mit dem ” auch zahlreiche andere physikalische Experimente simuliert werden k¨onnen. Statt der Kraftwirkung, die von magnetischen Steinen“ ausgeht, zu be” trachten, gehen wir von der Wechselwirkung bewegter Ladungen mit dem magnetischen Feld aus. Wie sich experimentell belegen l¨asst, kann nur dann eine Kraftwirkung auf Ladungen auftreten, wenn sie sich im magnetischen Feld bewegen. Letztlich geht diese Erfahrung auf die Versuche von Oestedt zur¨ uck, obwohl er noch nicht wusste, dass es sich bei elektrischen Str¨omen um bewegte

258

18 Grundgleichungen des station¨ aren Magnetfeldes

Ladungen handelte. Untersucht man die Bewegung einer kleinen“ ladungs” behafteten Masse in einem nahezu homogenen magnetischen Feld, dann zeigt sich, dass der Betrag der Geschwindigkeit des Massepunktes nicht ver¨andert wird. Gleichg¨ ultig wie das magnetische Feld aussieht, d. h. unabh¨angig davon gilt also v = konst., (18.1) wobei v := dr/dt die kinematische Geschwindigkeit der Masse ist. Daraus kann leicht abgeleitet werden, dass kinematische Geschwindigkeit und deren Zeitableitung – die Beschleunigung – orthogonal zueinander sind v·

 1 d  dv = v2 = 0. dt 2 dt

(18.2)

Es soll nun gepr¨ uft werden, ob die Newtonsche Relation p = mv auch im magnetischen Feld gilt. Dazu setzt man die kinematische Geschwindigkeit vk gleich der dynamischen Geschwindigkeit v, die sich als Gradient des Impulses p aus der Gesamtenergie E des betrachteten K¨orper-Feld-Systems ergibt. Dann folgt mit Gl. (18.2) v·

dv dp = mv · = 0; dt dt

(18.3)

verwendet man die dynamische Bewegungsgleichung, dann erhalten wir außerdem dp dv dr = ·v =m · v = 0. (18.4) F· dt dt dt Diese Beziehungen zeigen, dass entsprechend Gl.(18.3) weder Bewegungsenergie v·dP noch entsprechend Gl.(18.4) die Verschiebungsenergie F·dr zwischen dem mechanischen System und dem Magnetfeld ausgetauscht werden. In Abschnitt 3.2 wurde darauf hingewiesen, dass die Newtonsche Relation p = mv nur dann gilt, wenn die Kraft allein vom Ort abh¨angt und nicht vom Impuls und damit von der Geschwindigkeit. Das widerspricht aber Gl.(18.4), denn dort wird verlangt, dass Kraft F und Geschwindigkeit v immer senkrecht aufeinander stehen m¨ ussen, so dass eine Abh¨ angigkeit von F und v vorliegt. Die Annahme der G¨ ultigkeit der Newtonschen Relation f¨ uhrt also zu einer widerspr¨ uchlichen Folgerung und kann somit f¨ ur das station¨are Magnetfeld nicht richtig sein. Demzufolge ist also die magnetische Kraft nicht von 1. Art. ¨ Die Uberlegungen von Falk und Ruppel setzen u ¨ brigens eine eindeutige Definition der Kraft F – Gradient der Energie nach dem Ort – voraus, die man in den u ¨ blichen Darstellungen magnetischer Kr¨afte nicht findet. Es stellt sich die Frage, wie man zu einem Ausdruck f¨ ur die magnetische Kraft kommt. Es ist naheliegend, zun¨ achst nach einem geeigneten Ausdruck f¨ ur die Energie des Gesamtsystems zu suchen. Dazu machen wir die folgende plausible Annahme: Bei jeder Bewegung eines K¨orpers in einem Feld muß die Energie E konstant bleiben.

18 Grundgleichungen des station¨ aren Magnetfeldes

259

Dabei wird kein Dissipationsmechanismus (z.B. Reibung) ber¨ ucksichtigt. Da im magnetischen Feld erfahrungsgem¨ aß der Betrag der Geschwindigkeit konstant ist, machen wir folgenden Ansatz f¨ ur die Energie (ohne Ruheenergie) E :=

m v2 ; 2

(18.5)

dabei ist m die Masse des (Probe-)K¨ orpers. Werden nun die Geschwindigkeitskomponenten vx , vy und vz nach Gl.(3.5) mit Hilfe der partiellen Ableitungen der Energiefunktion E nach den entsprechenden (linearen) Impulsen px , py und pz ausgedr¨ uckt, dann ergibt sich die folgenden Beziehung 


2 ∂E ∂E ∂E + + = E. (18.6) ∂x ∂y ∂z m Es handelt sich um eine nichtlineare partielle Differentialgleichung f¨ ur die Energie E. Eine L¨ osung f¨ ur diese Gleichung ist bekannt E(p) =

 1  2 px + p2y + p2z , 2m

(18.7)

die sich als kinetische Energie des freien Teilchens interpretieren l¨aßt. Offensichtlich gilt in diesem Fall die Newtonsche Relation p = mv, da die zugeh¨orige Geschwindigkeit v nur vom Impuls p abh¨ angt. Mit Hilfe der Kettenregel der Differentialrechnung man erkennt leicht, dass auch die modifizierte Energiefunktion E(p, r) =

 1  (px + ax (r))2 + (py + ay (r))2 + (pz + az (r))2 , 2m

(18.8)

urliches vektorielles mathematiwobei a(r) := (ax (r), ay (r), az (r))T ein willk¨ sches Feld ist, eine L¨ osung der PDgl. (18.6) ist. Nach Falk und Ruppel kann man diese Freiheitsgrade ausnutzen, um das magnetische Feld und seinen Einfluss auf die Bewegung des geladenen Probek¨orpers zu beschreiben. Zuvor notieren wir noch die vektorielle Form der neuen Energiebeziehung (18.8) E(p, r) =

1 2 (p + a(r)) . 2m

(18.9)

Differenziert man die Energie partiell nach den Impulskomponenten, so ergeben sich die zugeh¨ origen Geschwindigkeitskomponenten, die man in einem Vektor zusammenfassen kann v=

1 (p + a(r)) . m

(18.10)

Daraus kann man die in station¨ aren Magnetfeldern g¨ ultige Beziehung zwischen dem linearen Impuls p und der Geschwindigkeit v ermitteln p = mv − a(r),

(18.11)

260

18 Grundgleichungen des station¨ aren Magnetfeldes

welche die Newtonsche Relation ersetzt. Weiterhin kann man die Kraft ableiten, in dem man den negativen Gradienten nach den Ortskoordinaten bildet ∂E ∂x ! ∂ax ∂ay ∂az 1 (px + ax ) + (py + ay ) + (pz + az ) =− m ∂x ∂y ∂z ! ∂ay ∂az ∂ax + vy + vz , = − vx ∂x ∂x ∂x ! ∂ay ∂az ∂ax + vy + vz , Fy = − vx ∂y ∂y ∂y ! ∂ay ∂az ∂ax + vy + vz . Fz = − vx ∂z ∂z ∂z

Fx = −

(18.12) (18.13) (18.14) (18.15) (18.16)

Mit diesen Kraftkomponenten und mit der Beziehung (18.11) kann man die Bewegungsgleichung formulieren d dp = (mv − a(r)) = F(p, r), dt dt

(18.17)

die sich nach der Geschwindigkeit v aufl¨ osen l¨asst m

da(r) dv = F(p, r) + . dt dt

(18.18)

Verschwindet das Feld a, das wir mit dem magnetischen Feld in Verbindung bringen wollen, dann geht die Bewegungsgleichung in die klassische Newtonsche Bewegungsgleichung u ¨ber; aus Gl.(18.11) geht auch die Newtonsche Relation wieder hervor. Mit Hilfe der expliziten Ausdr¨ ucke f¨ ur die Kraftkomponenten kann man die rechte Seite der verallgemeinerten Bewegungsgleichung (18.17) in eine andere Form bringen, wenn man die totale Ableitung der Komponenten von a benutzt. Beispielsweise erh¨ alt man f¨ ur die x-Komponente der rechten Seite von Gl. (18.17) nach einigen Umformungen

  ∂ay ∂az ∂ax ∂ax dax = −vy − − − vz . (18.19) Fx + dt ∂x ∂y ∂x ∂z Man kann leicht zeigen, dass dieser Ausdruck gerade der x-Komponente von −v × rota entspricht. In gleicher Weise kann man auch die anderen beiden Komponenten umformen und man erh¨ alt schließlich eine alternative Form der Bewegungsgleichung eines geladenen, bewegten Probek¨orpers im magnetischen Feld dv = −v × rot a. (18.20) m dt Multipliziert man diese Gleichung mit v, dann ist die rechte Seite von (18.20) gleich null und wie gew¨ unscht stehen die Vektoren der Geschwindigkeit v und

18 Grundgleichungen des station¨ aren Magnetfeldes

261

der Beschleunigung dv/dt in jedem Zeitpunkt t senkrecht aufeinander. Weiterhin zeigt sich, dass im Gegensatz zu der Geschwindigkeits-Impuls-Relation nur die Rotation von a in die Bewegungsgleichung eingeht. Da man die Bewegung des Probek¨ orpers mit der Ladung q als beobachtbare physikalische Gr¨ oße auffassen kann, ist es sinnvoll, die auf die Ladung des Probek¨orpers normierte Rotation von a einschließlich des negativen Vorzeichens (Konvention!) als neue vektorielle Feldgr¨ oße des magnetischen Feldes – das B-Feld – zu definieren 1 (18.21) B(r) := − rot a. q In entsprechender Weise verwenden wir statt a die auf q normierte Gr¨oße 1 A(r) := − a(r) q

(18.22)

und nennen es das Vektorpotential des magnetischen Feldes. Die Bewegungsgleichung lautet somit m

dv = q(v × B); dt

(18.23)

Der Term auf der rechten Seite der Gleichung wird in der Literatur h¨aufig als Lorentz-Kraft bezeichnet. Im Rahmen der auf Falk und Ruppel [66] zur¨ uckgehenden Betrachtungen handelt es sich jedoch nicht um eine Kraft, da sie nicht als Gradient der Energiefunktion E nach dem Ort abgeleitet werden kann. Daraus folgen auch verschiedene Unklarheiten in den klassischen Darstellungen, die mit der hier pr¨ asentierten Vorgehensweise entfallen. Zusammenfassend kann gesagt werden: Das Vektorpotenzial A(r) beschreibt den Einfluss des magnetischen Feldes auf den Impuls eines geladenen K¨orpers und das B-Feld B(r) auf seine Beschleunigung. Nach der Einf¨ uhrung der magnetischen Feldgr¨oßen A und B, die mit der Kraft auf geschwindigkeitsbehaftete und geladene Probek¨orper in Beziehung stehen, gehen wir auf die Erzeugung magnetischer Kraftwirkungen ein. Ausge¨ hend von den vorherigen Uberlegungen ist naheliegend, dass bewegte Ladungen ihrerseits ein magnetisches Feld erzeugen. Mit den Versuchen von Ørsted, die er im Jahre 1820 durchgef¨ uhrt hat (vgl. Simonyi [206]), konnte diese Vorstellung best¨ atigt werden. Ørsted zeigte n¨ amlich, dass zwei stromdurchflossene Leiter eine Kraftwirkung aufeinander aus¨ uben. Das es sich bei den elektrischen Str¨ omen um bewegte Ladungen handelte, konnte Ørsted allerdings nicht wissen, da eine atomistische Deutung des elektrischen Stromes auf der Grundlage bewegter Elektronen in metallischen Leitern noch nicht bekannt war. Die Elektronen als kleinste Ladungstr¨ ager wurden erst von Lenard und Thompson entdeckt. Die Bezeichnung Elektron“ stammt von Thompson. In ” Abschnitt 15 wurde die elektrische Stromdichte J als feldm¨aßige Darstellung eines verteilten Stromes eingef¨ uhrt.

262

18 Grundgleichungen des station¨ aren Magnetfeldes

Im Sinne einer Nahwirkungstheorie ist es notwendig, die magnetische Er” regung“ in der Umgebung einer Stromdichte J durch eine weitere magnetische Feldgr¨ oße zu repr¨ asentieren; dieses vektorielle mathematische Feld bezeichnen wir mit H und nennen es H-Feld. In der Literatur wird es u ¨ blicherweise magnetisches Feld oder magnetische Erregung genannt. Allerdings gibt es eine lang andauernde Kontroverse um diese Bezeichnung auf die wir nicht weiter eingehen wollen; vgl. z. B. [34]. Das H-Feld wird im Sinne des Satzes von Helmholtz, den wir f¨ ur alle mathematischen vektoriellen Felder voraussetzen, i.w. durch die Vorgabe seiner Divergenz und Rotation festgelegt. Im Sinne der Ørstedtschen Versuche ist es naheliegend, die Rotation von H durch die Stromdichte festzulegen rot H = J.

(18.24)

Damit ist nun neben der Divergenz des B-Feldes mit div B = 0 auch die Rotation des H-Feldes bestimmt. Der Satz von Helmholtz fordert aber f¨ ur eine (bis auf ein konstantes vektorielles Feld) eindeutige Festlegung der Felder noch eine Bestimmung der Divergenz des H-Feldes und die Rotation des B-Feldes. Wie in der Elektrostatik werden wir in Abschnitt dazu die Materialgesetze nutzen. Im einfachsten Fall ergibt sich eine proportionale Relation B ∼ H. Die Proportionalit¨ atskonstante wird mit µ bezeichnet und Permeabilit¨at genannt. Wir gehen darauf in Abschnitt 20 genauer ein. Auf dieser Basis k¨ onnen nun die Grundgleichungen der station¨aren Magnetfeldes mit Hilfe des B- und des H-Feldes f¨ ur den Fall linearer, isotroper, homogener Materialien formuliert werden rotH = J,

B = µH,

divB = 0

(18.25)

mit denen sich bei vorgegebenen Randbedingungen die entsprechenden Felder im Fall einer vorgegebenen Stromdichte berechnen lassen. Allerdings handelt es sich um gemischte algebraische und partielle Differentialgleichungen, die f¨ ur eine direkte L¨ osung etwas unhandlich sind. Man kann jedoch aus diesen Beziehungen in einfacher Weise eine mathematische Grundgleichung ableiten. Dazu nutzt man die bekannte Vektoridentit¨ at divrot = 0 (oder der Nutzung der Gl.(18.21), Gl.(18.22)), um das divergenzfreie B-Feld mit Hilfe der Rotation des Vektorpotenzials A darzustellen B = rot A

(18.26)

und setzt diese Beziehung unter Verwendung des Materialgesetzes in die Rotation des H-Feldes ein rot rotA = µ J. (18.27) Mit der Vektoridentit¨ at rot rot = grad div − erh¨alt man schließlich A = −µJ,

(18.28)

18 Grundgleichungen des station¨ aren Magnetfeldes

263

wobei f¨ ur den Laplaceoperator := div grad gilt und die sogenannte CoulombEichung verwendet wird. Dabei wird der im Sinne des Satzes von Helmholtz noch nicht festgelegte Divergenzanteil des Vektorpotenzials (willk¨ urlich) gleich null gesetzt. Im Fall linearer inhomogener Materialien erh¨alt man eine allgemeinere PDgl., die in Abschnitt 20 abgeleitet wird. Auf die verschiedenen L¨ osungsverfahren der Vektorpoisson-PDgl. gehen wir in Abschnitt 21 n¨aher ein. Auf der Grundlage der mathematischen Felder A, B und H, die wir zur Beschreibung des station¨ aren Magnetfeldes eingef¨ uhrt haben, gibt es noch eine wichtige integrale Gr¨ oße – der magnetische Fluss φ. Bekanntlich haben Faraday und Maxwell beim Aufbau einer feldm¨ aßigen Beschreibung elektromagnetischer Ph¨ anomene auf das hydrodynamische Vorbild zur¨ uckgegriffen. In elementaren Darstellungen ist es gelegentlich durchaus sinnvoll, diese Analogie hervorzuheben; das gilt insbesondere f¨ ur das elektrische Str¨omungsfeld (vgl. Abschnitt 15). Daraus erkl¨ aren sich auch manche bis heute noch gebr¨auchlichen Bezeichnungen wie magnetische Flussdichte f¨ ur das B-Feld. Wenn man das B-Feld in diesem Sinne interpretiert, ist es naheliegend, auch die folgende, auf eine Fl¨ ache A bezogene integrale Gr¨ oße einzuf¨ uhren  ˜ B · dA. (18.29) φ(A) := A

Eine weniger auf die Hydrodynamik bezogene Interpretation des magnetischen Flusses φ ist die eines gerichteten Mittelungsprozesses des B-Feldes u ¨ ber die orientierte Fl¨ ache A; in Gl.(18.29) wird das lokal“ mit Hilfe eines Skalarpro” dukts ausgedr¨ uckt. Der magnetische Fluss kann somit als Abbildung von der Menge integrabler“ Fl¨ achen A in die reellen Zahlen ”  ˜ B(˜r) · dA, (18.30) φ : A −→ φ(A) = A

die in der Mathematik als Funktional bezeichnet wird. Auf diese Interpretation werden wir allerdings nicht weiter eingehen. Eine Reihe von Beziehungen in der Theorie des station¨aren und des quasistation¨ aren Magnetfeldes lassen sich mit Hilfe des integralen“ magnetischen ” Flusses φ in alternativer Weise darstellen. Damit wird der Tatsache Rechnung getragen, dass man die Eigenschaften des magnetischen bzw. elektromagnetischen Feldes nicht punktweise ausmessen“ kann. ” Nach Gl.(18.21) kann man das B-Feld auch mit Hilfe der Rotation des Vektorpotenzials B = rotA ausgedr¨ uckt werden. Setzen wir diese Beziehung in Gl.(18.30) ein, dann erh¨ alt man    ˜ = ˜ = B(˜r) · dA rotA(˜r) · dA A(˜r) · d˜s, (18.31) φ(A) = A

A

CA

wobei der Stokessche Satz bei der letzten Umformung verwendet wurde.

19 Elementare Betrachtungen zum station¨ aren Magnetfeld

19.1 Magnetische Kraftwirkungen und das B-Feldes Wie mit dem Vorhandensein elektrischer Ladungen immer ein elektrisches Feld verbunden ist, so tritt immer ein magnetisches Feld auf, wenn elektrische Str¨ ome fließen, wenn sich also elektrische Ladungen bewegen. Ein station¨ares magnetisches Feld entsteht, wenn es sich um Gleichstrom handelt, der also hinsichtlich der Stromdichte J bzw. des Stromes I zeitkonstant ist. Daher sprechen wir in diesem Fall von station¨ ar. Das magnetische Feld kann wie das elektrische durch Feldlinien veranschaulicht werden. Von dem Verlauf dieser Linien geben die bekannten, erstmals im Jahre 1821 von Seebeck [24] durchgef¨ uhrten Versuche mit Eisensp¨ anen eine Vorstellung. Auf langgestreckten Eisensp¨ anen oder auf Magneten werden im magnetischen Feld mechanische Kr¨ afte ausge¨ ubt, die die Eisensp¨ ane in eine bestimmte Richtung zu drehen versuchen. Dadurch wird die Feldlinienrichtung an jeder Stelle des B-Feldes definiert, das nach Abschnitt 18 die Kraftwirkungen des magnetischen Feldes charakterisiert. Diese Feldlinien bezeichnet man als magnetische Induktionslinien, magnetische Feldlinien oder hier als B-Feldlinien.

Abbildung 19.1. B-Feldlinien einer Drahtspule

Wichtige Anwendungen dieser Vorstellung sind magnetische Speichermedien wie Magnetb¨ ander, bei denen man durch ein ¨außeres Magnetfeld die lang-

19.1 Magnetische Kraftwirkungen und das B-Feldes

265

gestreckten Eisenteilchen auf dem entsprechenden Tr¨agermaterial ausrichtet; vgl. z. B. Bhushan [28]. Den Verlauf der B-Feldlinien kann man untersuchen, wenn man eine kleine Magnetnadel, die sich nach allen Richtungen hin frei drehen kann, in das magnetische Feld bringt. Sie stellt sich in die Feldlinienrichtung ein, und man setzt willk¨ urlich einen Richtungssinn der Feldlinien fest, indem man sagt, der Nordpol der Magnetnadel zeige in Richtung der Feldlinien. Denkt man sich die Magnetnadel in dieser Richtung ein kleines St¨ uck weiter bewegt, so wird sie ihre Richtung ein wenig ¨ andern. Bewegt man sie fortgesetzt in der neuen Richtung um ein kleines St¨ uckchen weiter, so erh¨alt man den r¨aumlichen Verlauf einer Feldlinie. Es ergibt sich, dass alle Feldlinien in sich geschlossene Kurven bilden, die mit dem elektrischen Stromkreis verkettet sind wie die Glieder einer Kette (siehe jedoch hierzu Anm. in Abschnitt 22.1). Dabei wird im Sinne der Nahwirkungstheorie, im Rahmen derer nicht der Strom oder die Stromdichte sondern das H-Feld als Ursache der magnetische Kraftwirkung angesehen werden muss, ein lineares Materialgesetz (z. B. Vakuum) vorausgesetzt. Bei einer von Strom durchflossenen Drahtspule nach Abb. 19.1 findet man z.B. B-Feldlinien der gestrichelt eingezeichneten Formen. Ihre Richtung steht zur Stromrichtung im Leiter in der gleichen Beziehung wie die Drehrichtung einer Rechtsschraube zur axialen Bewegungsrichtung. Man beobachtet weiterhin, dass alle B-Feldlinien in sich geschlossen sind. Das magnetische Feld ist ein besonderer Zustand des Raumes, der gekennzeichnet ist durch mechanische Kraftwirkungen. Wie im elektrischen Feld die mechanische Kraftwirkung zur Definition des E-Feldes dienen, so k¨onnen hier Kraftwirkungen zur Festlegung eines Maßes f¨ ur die St¨arke des B-Feldes benutzt werden. Allerdings wird man die Geschwindigkeit der Ladungstr¨ager ggf. indirekt u ucksichtigen haben. ¨ ber die Stromdichte oder den Strom zu ber¨ Im folgenden wollen wir diskutieren, wie man in klassischer Art und Weise das B-Feld einf¨ uhrt. In Abschnitt 18 hatten wir nach Falk und Ruppel [66] lediglich aus der Beobachtung, dass sich der Betrag der Geschwindigkeit eines (gleichf¨ ormig) bewegten und geladenen Probek¨orpers nicht ¨andert, auf die Art der Ankopplung des magnetischen Feldes an die mechanischen Bewegungsgleichungen und die Beschreibungsgr¨ oßen f¨ ur die Kraftwirkungen des magnetischen Feldes geschlossen. Dabei ergab sich auch eine Gr¨oße mit der physikalischen Dimension einer Kraft, die u ¨ blicherweise als Lorentzkraft bezeichnet wird. Im Rahmen der systematischen Einf¨ uhrung des B-Feldes und des Vektorpotenzials nach Falk und Ruppel handelt es sich jedoch nicht um eine Kraft im Sinne der klassischen Mechanik, die mit einer r¨aumlichen Verschiebung in Zusammenhang gebracht wird. Daraus ergeben sich immer wieder Missverst¨ andnisse bei der Diskussion von Kraftwirkungen im magnetischen Feld. Dennoch wollen wir auf die klassische Einf¨ uhrung des B-Feldes eingehen. Bringt man in das magnetische Feld eines r¨aumlich festliegenden Leiters einen zweiten von Strom durchflossenen Leiter, so wird auf diesen eine mecha-

266

19 Elementare Betrachtungen zum station¨ aren Magnetfeld

Abbildung 19.2. Messstab zur Bestimmung der B-Feldst¨ arke

nische Kraft ausge¨ ubt. Zur Messung dieser Kraft kann im Prinzip eine Einrichtung nach Abb. 19.2 dienen. Ein kurzer Kupferstab ( Meßstab“) taucht ” in zwei Quecksilbern¨ apfe ein, die den Strom I zuf¨ uhren. Die auf den Messstab von der L¨ ange l ausge¨ ubte Kraft kann mit einer Federwaage oder mit Gegengewichten bestimmt werden. Derartige Messungen zeigen nun: 1. Der Betrag F der Kraft h¨ angt an jeder Stelle des Magnetfeldes von der Richtung des Messstabes gegen¨ uber der Richtung der B-Feldlinien ab. Wenn der Stab mit einer B-Feldlinie zusammenf¨allt, so wird keine Kraft auf ihn ausge¨ ubt. Die gr¨ oßte Kraft ergibt sich, wenn der Stab zu den ¨ B-Feldlinien senkrecht steht. Andert man den Winkel α, den die Stromrichtung mit der B-Feldlinienrichtung bildet, so ¨andert sich der Betrag F der Kraft wie sin α. 2. Die Kraft ist proportional der Stromst¨ arke I. Mit der Stromrichtung kehrt sich auch die Kraftwirkung um. 3. Die Kraft wirkt immer senkrecht zur Richtung des Stabes und zur Richtung der B-Feldlinien, und zwar so, dass Stromrichtung, B-Feldlinienrichtung und Kraftrichtung ein Rechtssystem bilden. Abb. 19.3. Dreht man die Richtung des Stromes auf dem k¨ urzesten Wege in die Richtung der B-Feldlinien, so erh¨ alt man die Drehrichtung einer Rechtsschraube, die sich in der Kraftrichtung bewegt. 4. Die Kraft ist proportional der L¨ ange l des Messstabes. Aus diesen Beobachtungen kann man die Formel ableiten“ ” F = BI l sin α,

(19.1)

wobei man B als einen Proportionalit¨ atsfaktor auffassen kann, der als ein arke der Kraftwirkung des magnetischen Feldes an der betreffenMaß f¨ ur die St¨ den Stelle benutzen kann. Entsprechend den oben eingef¨ uhrten B-Feldlinien spricht man h¨ aufig von magnetischer Flussdichte oder magnetischer Induktion; in Abschnitt 18 haben wir die Bezeichnung B-Feld eingef¨ uhrt. Bestimmt man mit Hilfe des Messstabes an irgendeiner Stelle des magneur α = 90◦ ), so tischen Feldes die auf das St¨ abchen ausge¨ ubte Kraft Fm (f¨

19.1 Magnetische Kraftwirkungen und das B-Feldes

267

Abbildung 19.3. Richtung von Kraft, Strom und Magnetlinien

findet man den Betrag des B-Feldes aus B =

Fm . Il

(19.2)

Dadurch ist die Gr¨ oße B definiert; ihre Einheit kann willk¨ urlich festgesetzt werden. Die heute verwendete und genormte Einheit der Kraft ergibt sich durch die Festlegung: Die Einheit des B-Feldes liegt vor, wenn auf einen Messstab von der L¨ange 1 m, der von einem Strom mit der St¨arke 1 A durchflossen wird, eine Kraft von 1 N (Newton) ausge¨ ubt wird. Diese Einheit ist also Ws Vs N =1 = 1 2, (19.3) 1 Am A m2 m wof¨ ur gesetzt wird Vs (19.4) 1T = 1Tesla := 1 2 . m Eine ¨ altere, heute nicht mehr benutzte Einheit ist das Gauß, abgek¨ urzt G, 1G := 10−4

Vs . m2

(19.5)

Allerdings l¨ asst sich auf diesem Wege nur der Betrag des B-Feldes festlegen, wobei an das B-Feld als einen Vektor auffassen kann, dessen Richtung durch die B-Feldlinienrichtung gegeben ist. Daraus ist jedoch eine Charakterisierung des B-Feldes im Sinne des Satzes von Helmholtz m¨oglich. Da das B-Feld nach Gl.(19.4) auf die Fl¨ ache bezogen ist, hat man ganz ¨ahnliche Vorteile wie die Auffassung des D-Feldes im elektrischen Feld als Vektor. Wenn man n¨amlich willk¨ urlich festlegt, dass der Betrag von B die Dichte der B-Feldlinien angeben soll, dann erh¨ alt man die gesamte Zahl der B-Feldlinien, die durch irgendeine Fl¨ ache hindurchgehen, als Oberfl¨ achenintegral des Vektorfeldes B u ¨ber diese Fl¨ache. Es ist also der magnetische Fluss  B · dA (19.6) Φ= A

268

19 Elementare Betrachtungen zum station¨ aren Magnetfeld

ganz analog wie beim Fluss des D-Feldes im elektrischen Feld. Diese Gr¨oße, die bereits im vorherigen Abschnitt eingef¨ uhrt wurde, wird magnetischer Fluss oder gelegentliche auch magnetischer Induktionsfluss genannt. Die Aussage, dass alle magnetischen B-Feldlinien in sich geschlossen sind, l¨asst sich damit in der Form schreiben 

B · dA = 0. (19.7) Das Oberfl¨ achenintegral des B-Feldes u ullfl¨ache ist null, ¨ ber eine beliebige H¨ da aus der Fl¨ ache genau so viele B-Feldlinien herauskommen, wie durch sie eintreten. Diese Beziehung kann mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes (unter gewissen mathematischen Voraussetzungen) in die Beziehung div B = 0 umge¨ wandelt werden. Diese Beziehung ergab sich im Rahmen der Uberlegungen von Falk und Ruppel als Folgerung, da das B-Feld als Rotationsanteil des Vektorpotenzials A eingef¨ uhrt wurde. Hinsichtlich der Interpretation dieser Beziehung kann gesagt werden, dass div B = 0 als Quellenfreiheit gedeutet wird und damit das Vorhandensein von magnetischen Monopolen ausschließt. Im Rahmen der Multipolentwicklung in Abschnitt 21.4 l¨asst sich das noch einmal nachrechnen. Die Einheit des magnetischen Flusses φ ergibt sich durch Multiplikation der Einheit des B-Feldes mit der Fl¨ acheneinheit. Die SI-Einheit des magnetischen Flusses ist 1W b = 1Weber := 1V s. (19.8) Danach gilt auch 1T = 1

Wb . m2

(19.9)

Es gilt also auch 1G = 10−8

Wb Wb = 10−4 2 = 10−4 T. cm2 m

(19.10)

In einem homogenen Feld ist das B-Feld u ¨ berall gleich, die Feldlinien bilden parallele gerade Linien. Ein solches Feld ist bei Gl.(19.1) vorausgesetzt; die L¨ ange l des Messst¨ abchens muss also bei einem beliebigen Feld so klein sein, dass das Feld in der Umgebung des Messst¨ abchens als hinreichend homogen angesehen werden kann. Die Kraftwirkung des magnetischen Feldes auf stromdurchflossene Leiter besteht in einer Wirkung auf die im Leiter bewegten Elektrizit¨atsmengen. Fließt in dem Leiter ein Strom I, so ist dies gleichbedeutend mit der Bewegung einer Elektrizit¨ atsmenge Q mit einer bestimmten Geschwindigkeit v, und es gilt I l = Q v. (19.11) Daher kann man allgemein f¨ ur die Kraft, die im magnetischen Feld auf eine bewegte Elektrizit¨ atsmenge Q ausge¨ ubt wird, Gl.(19.1), schreiben

19.2 Beispiele f¨ ur magnetische Kraftwirkungen

F = BQv sin α.

269

(19.12)

Diese Beziehung gilt zun¨ achst nur im homogenen magnetischen Feld; man kann sie aber auch bei beliebigen Feldern anwenden, wenn die r¨aumliche Ausdehnung der Ladung Q so klein ist, dass das magnetische Feld in der Umgebung der Ladung als homogen angesehen werden kann. Die Richtung der Kraft ist durch oben mit 3. bezeichnete Regel bestimmt. Man kann diese Regel in die Gleichung f¨ ur den Betrag der Kraft aufnehmen, wenn man sie vektoriell formuliert; dazu verwendet man das in 3dimensionalen Vektorr¨ aume definierbare Kreuzprodukt und notiert F = Q(v × B).

(19.13)

Danach steht der Vektor der Kraft F senkrecht auf der Ebene, die durch das B-Feld B und den Geschwindigkeitsvektor v der bewegten Ladung Q aufgespannt wird. Wir wollen noch einmal darauf hinweisen, dass diese Betrachtungen nur in sehr verwickelter und von vielen Annahmen gepr¨agter Weise zu einer Kopplung von Mechanik und magnetischen Feld f¨ uhren, was auch dadurch erkennbar ist, dass die Lorentzkraft“ von der Geschwindigkeit abh¨angt. Daher ist ” die in Abschnitt 18 vorgestellte Vorgehensweise, die mit einem eindeutig definierten Kraftbegriff arbeitet, in jedem Falle vorzuziehen.

19.2 Beispiele fu ¨ r magnetische Kraftwirkungen 1. Die Kraftwirkungen des magnetischen Feldes auf elektrische Ladungen zeigen sich besonders deutlich bei Elektronenstrahlen in einem luftleeren Gef¨aß. Die Elektronen beschreiben infolge der magnetischen Feldkr¨afte im magnetischen Feld gekr¨ ummte Bahnen. An jeder Stelle der Bahn erf¨ahrt ein geladenes Teilchen eine Beschleunigung, die senkrecht zur Bewegungsrichtung und zur Richtung der magnetischen Feldlinien steht. Handelt es sich um ein homogenes Feld, so gilt folgendes. Stimmt die Bewegungsrichtung des Teilchens u ¨ berein mit der Feldlinienrichtung, dann ergibt sich eine geradlinige Bahn, da in diesem Falle nach Gl. (19.13) keine Kr¨ afte auftreten. Steht dagegen die Richtung der Bewegung senkrecht auf der Feldlinienrichtung, so ergibt sich eine konstante Beschleunigung senkrecht zur Bahn. Die Bahn wird ein Kreis, dessen Ebene senkrecht zur Feldlinienrichtung liegt. Bezeichnet man die Masse des geladenen Teilchens mit m, so ist die infolge der Kraft F entstehende radiale Beschleunigung a =

QBv F = . m m

(19.14)

Die zentrifugale Beschleunigung bei einer Kreisbewegung mit dem Radius r ist andererseits

270

19 Elementare Betrachtungen zum station¨ aren Magnetfeld

v2 . r Es stellt sich daher eine solche Bahn ein, dass a =

v2 QBv = m r

oder r =

(19.15)

mv . QB

(19.16)

F¨ ur die Zeitdauer eines Umlaufs auf der Kreisbahn folgt τ=

m 2πr = 2π . v QB

(19.17)

Die Umlaufdauer ist also unabh¨angig von der Geschwindigkeit, solange die Masse gleich der Ruhemasse gesetzt werden kann. Die Umlauffrequenz ist fz =

QB 1 = ; τ 2πm

(19.18)

sie wird auch Zyklotronfrequenz genannt (siehe unter 4.).

Abbildung 19.4. Bahn eines elektrisch geladenen Teilchens im homogenen Magnetfeld

Bildet die Bewegungsrichtung irgendeinen anderen Winkel mit der Feldlinienrichtung, so kann die Geschwindigkeit in zwei Komponenten zerlegt werden, von denen die eine mit der Feldlinienrichtung u ¨ bereinstimmt, w¨ahrend die andere senkrecht dazu steht. Die erste bleibt unge¨andert, die zweite liefert eine Kreisbewegung. Im ganzen ergibt sich daher eine Schraubenlinienbahn des geladenen Teilchens, Abb. 19.4. Bei schweren Ladungstr¨ agern werden die Umlaufzeiten und die Bahnradien gr¨oßer. Die Umlaufzeiten werden z.B. bei Protonen entsprechend deren Masse 1836mal so groß wie in der Tabelle, die Bahnradien werden 43mal so groß. 2. Eine Anwendung der Ablenkung von Elektronen im magnetischen Feld bildet das Magnetron. Es ist eine Vakuumr¨ ohre mit Gl¨ uhkathode und kalter Anode, die sich im magnetischen Feld einer stromdruchflossenen Spule befindet, Abb. 19.5. In dem axial gerichteten Magnetfeld der Spule bewegen sich die von der Kathode K ausgehenden Elektronen auf gekr¨ ummten Bahnen zur ¨ Anode A. Uberschreitet der Strom in der Spule S eine bestimmte St¨arke, dann wird die Bahnkr¨ ummung so groß, dass die Elektronen nicht mehr zur

19.2 Beispiele f¨ ur magnetische Kraftwirkungen

271

Anode gelangen, sondern zur Kathode zur¨ uckkehren, so dass der Elektronenstrom unterbunden ist. Mit dem in der Spule S fließenden Strom kann man daher den zur Anode gehenden Elektronenstrom steuern und ¨ahnlich wie mit der Gitterspannung einer Elektronenr¨ohre eine Verst¨arkung erzielen. (Anwendung der umlaufenden Elektronenstr¨ omung im Wanderfeldmagnetron zur Erzeugung von Hochfrequenzschwingungen).

Abbildung 19.5. Prinzip des Magnetrons

3. Die Ablenkung von Ladungstr¨ agern durch magnetische Felder findet ausgedehnte Anwendung bei Anordnungen der Elektronenoptik. Durchl¨auft in einer Braunschen R¨ ohre der Elektronenstrahl ein Magnetfeld, das senkrecht zur Achse der R¨ ohre gerichtet ist, so ergibt sich eine Ablenkung quer dazu, die proportional dem Strom in der das Magnetfeld erzeugenden Spule ist. Ein Magnetfeld mit Feldlinien, die im wesentlichen parallel zur Strahlachse verlaufen, und das rotationssymmetrisch zu dieser Achse ist, stellt eine magnetische Linse“ dar, das Gegenst¨ uck zur elektrischen Linse (H. Busch ” 1926). Auf Grund einer ¨ ahnlichen Betrachtung wie in Abschnitt 14.5 folgt durch Anwendung der Beziehung (vgl. Abschnitt 14.5) f¨ ur die Brennweite der magnetischen Linse 1 m . (19.19) f = 8 Ua  b e 2 Bx dx 0

¨ Die Brennweite kann also durch Andern der Induktion Bx auf der Achse, d. h. ¨ durch Andern des Stromes I in der Spule, eingestellt werden. Vergr¨oßern des Stromes ergibt kleinere Brennweite. Bei der Abbildung entsteht hier wegen des schraubenlinienf¨ ormigen Verlaufs der Elektronenbahnen, Abb. 19.6, eine Drehung des Bildes, die mit wachsender Stromst¨arke I gr¨oßer wird. 4. Im Zyklotron (Lawrence 1931) wird davon Gebrauch gemacht, dass die angig von der Geschwindigkeit der Ladungstr¨ager Umlauffrequenz fz unabh¨ ist. Eine durch einen Radialschnitt geteilte Metalldose, Abb. 19.7, befindet sich in einem luftleeren Gef¨ aß und wird von einem zeitlich konstantem B-Feld B parallel zur Zylinderachse durchsetzt. An den beiden Halbdosen liegt ei-

272

19 Elementare Betrachtungen zum station¨ aren Magnetfeld

Abbildung 19.6. Magnetische Linse der Elektronenoptik

ne Wechselspannung, deren Periode mit der Umlaufdauer r eines Strahles von Ladungsteilchen (Elektronen, Protonen, α-Teilchen usw.) im Feld B u ¨ bereinstimmt. Ein Ladungsteilchen, das w¨ ahrend eines positiven Maximums der Wechselspannung bei A in den Spalt eintritt, wird um die Scheitelspannung Um beschleunigt. Nach einer halben Periode der Wechselspannung kommt es zu dem Spalt bei A , wenn die Spannung gerade ihren negativen H¨ochstwert hat, so dass wieder eine Beschleunigung um Um eintritt. Der Radius der Elektronenbahn erweitert sich dabei mit der wachsenden Geschwindigkeit nach Gl. (19.16). Die Endgeschwindigkeit der Ladungsteilchen entspricht nach n-maligem Durchlaufen des Spaltes einer Anlaufspannung von nUm . Bei sehr hohen Geschwindigkeiten vergr¨ oßert die Massenzunahme der Ladungsteilchen, die Umlaufdauer, Gl. (19.17). Dieser Effekt kann durch eine periodische Steuerung der Frequenz des elektrischen Beschleunigungsfeldes in gewissen Grenzen ausgeglichen werden.

Abbildung 19.7. Prinzip des Zyklotrons

Die auf einen stromdurchflossenen metallischen Leiter im magnetischen Feld einwirkende Kraft ist als Resultierende der Impulse aufzufassen, die die Leitungselektronen auf die Atome u ¨bertragen. Diese Resultierende ist Null oder unmessbar klein, wenn kein magnetisches Feld vorhanden ist. Wirken

19.3 Das Durchflutungsgesetz

273

dagegen die magnetischen Feldkr¨ afte auf die Elektronen ein, so erfahren diese infolge ihrer Driftbewegung, d. h. infolge ihrer in die Richtung der Leiterachse fallenden Geschwindigkeitskomponenten eine Beschleunigung, die im Mittel eine zur Leiterachse senkrechte Richtung hat. Zahlenbeispiel: Bei der Berechnung der magnetischen Feldkr¨afte ergibt sich das Resultat in elektrischen Krafteinheiten W s/m, wenn das B-Feld in V s/m2 eingesetzt wird. Es sei z. B. B = 1V s/m2 , l = 0, 1m, I = 100A, α = 90◦ . Dann wird nach Gl. (19.1) F = 1 · 0, 1 · 100

V As = 10 N. m

(19.20)

19.3 Das Durchflutungsgesetz Das Durchflutungsgesetz stellt in klassischer Sichtweise die allgemeine Formulierung f¨ ur den Zusammenhang zwischen der St¨arke magnetischer Felder und dem erzeugenden Strom I dar (vgl. auch Abschnitt 22.3)  H(˜r) · d˜s = I; (19.21) Dabei kann es sich auch um eine Summe von Str¨omen handeln. Dieser Zusammenhang kann experimentell mit Hilfe des magnetischen Spannungsmessers nach Rogowski [197] nachgewiesen werden. Dieser besteht aus einer langgestreckten Spule von geringem Querschnitt, deren Drahtenden mit einem ballistischen Galvanometer verbunden sind. Die Spule ist gleichm¨aßig aus d¨ unnen isolierten Draht in dicht nebeneinanderliegenden Windungen gewickelt. Die beiden Drahtenden liegen nebeneinander, so dass durch die Zuleitungen zum Galvanometer keine Schleife gebildet wird, in der st¨orende Induktionswirkungen auftreten k¨ onnen. An dieser Stelle sei noch einmal angemerkt, dass es sich bei der in Abschnitt 18 vorgestellten Deutung des Durchflutungsgesetzes um eine Definitionsgleichung f¨ ur das H-Feld handelt. Der angesprochene Nachweis gelingt nur, wenn man u ¨ ber ein lineares Materialgesetz B ∼ H die magnetischen Kraftwirkungen und somit den Zusammenhang von B-Feld und Strom bestimmt. Das wird im folgenden beschrieben. Damit durch den Spannungsmesser das auszumessende magnetische Feld nicht gest¨ ort wird, nehmen wir an, dass das Innere der Spule hohl ist oder aus dem gleichen Stoff besteht wie der Außenraum (bei der praktischen Ausf¨ uhrung solcher Spannungsmesser wickelt man die Spule auf einen biegsamen Lederriemen, einen Gummischlauch oder ¨ ahnliches; diese Stoffe beeinflussen praktisch das magnetische Feld in Luft nicht). Bezeichnet man die durch die L¨ ange der Spule, Abb. 19.8, geteilte Windungszahl mit N1 , so erh¨alt ein kurzer Abschnitt von der L¨ ange ds

274

19 Elementare Betrachtungen zum station¨ aren Magnetfeld

Abbildung 19.8. Magnetischer Spannungsmesser nach Rogowski

N1 ds

(19.22)

Windungen. In einem magnetischen Feld von beliebiger Beschaffenheit wird das B-Feld an jeder Stelle der Spule im allgemeinen einen anderen Wert und eine andere Richtung haben. Es soll aber der Querschnitt A der Spule so klein sein, dass man an jeder Stelle der Spule innerhalb dieses Querschnitts das B-Feld als konstant ansehen kann. Dann betr¨agt der magnetische Fluss, der mit den N1 ds Windungen des Abschnittes ds verkettet ist, dΦs = N1 AB · ds,

(19.23)

und der Gesamtfluss der Spule ergibt sich durch Integration u ¨ ber die ganze L¨ange:  b B · ds. (19.24) Φs = N1 A a

Dieser Gesamtfluss kann mit Hilfe des ballistischen Galvanometers G wie im vorherigen Abschnitt gemessen werden, wenn man die Spule rasch aus dem Feld entfernt. F¨ uhrt man den Versuch aus, so ergibt sich, dass der Wert von Φs nur von der Lage der beiden Endpunkte a und b des Spannungsmessers abh¨ angt. F¨ ur alle m¨ oglichen Wege zwischen a und b, Abb. 19.9, hat daher das Linienintegral des B-Feldes den gleichen Wert. Biegt man den Spannungsmesser zu einer geschlossenen Figur zusammen, so dass die beiden Punkte a und b zusammenfallen, so ergibt sich experimentell, dass Φs = 0 wird, dass also auch das Linienintegral des B-Feld verschwindet, gleichg¨ ultig in welcher Form man die Spule biegt, allerdings unter einer wichtigen Voraussetzung: Es darf mit der durch den Spannungsmesser gebildeten geschlossenen Figur kein stromf¨ uhrender Leiter verkettet sein. Ist diese Voraussetzung nicht erf¨ ullt, umschließt man also mit dem Spannungsmesser den Stromleiter, so ergibt sich ein ganz bestimmter Wert f¨ ur ur das Linienintegral des B-Feldes. F¨ ur diesen Wert gilt nun Φs und damit f¨ ein außerordentlich einfaches Gesetz. Es zeigt sich, dass das Linienintegral des B-Feldes proportional dem verketteten Strom ist. Den Strom, der mit irgendeinem in sich geschlossenen Weg verkettet ist, bezeichnet man als die Durchflutung Θ dieses Weges. Auf Grund der experimentellen Beobachtung gilt daher die Beziehung

19.3 Das Durchflutungsgesetz

275

Abbildung 19.9. Wege gleicher magnetischer Spannung

 B · ds = µ Θ,

(19.25)

in der µ eine Konstante bezeichnet. Die Gl.(19.25) ber¨ ucksichtigt auch die Vorzeichen, wenn der Umlaufsinn des Linienintegrals mit der Richtung der Durchflutung eine Rechtsschraube bildet, wie es Abb. 19.10 zeigt. In dieser Abbildung ist f¨ ur den gezeichneten geschlossenen Weg

Abbildung 19.10. Durchflutung eines geschlossenen Weges

Θ = I1 + I2 + I3 .

(19.26)

Wird das B-Feld in V s/m2 gemessen und setzt man die L¨ange in m die Stromst¨ arke in A ein, so ergibt sich f¨ ur die Gr¨ oße µ als Einheit 1

Ωs Vs =1 . Am m

(19.27)

Die Einheit 1 Ωs nennt man 1 Henry: 1 Henry = 1 H = 1 Ωs;

(19.28)

als Einheit f¨ ur die Gr¨ oße µ dient 1 H/m. Weitere Einzelheiten u ¨ ber die Gr¨oße µ findet man in Abschnitt 20.1. Die Gl.(19.25) kann unter der Voraussetzung, dass µ innerhalb des magnetischen Spannungsmessers eine Konstante ist, auch geschrieben werden:  B · ds = Θ. (19.29) µ

276

19 Elementare Betrachtungen zum station¨ aren Magnetfeld

Die Gr¨ oße B/µ ist ein neuer Vektor, der in diesem Fall die Richtung von B hat. Man ersetzt B/µ = H, also B = µ H,

(19.30)

und nennt H die magnetische Feldst¨arke, die magnetische Erregung oder einfach H-Feld. Diese definitorische Einf¨ uhrung des H-Feldes, wie man sie in vielen Darstellungen des elektromagnetischen Feldes findet, entspricht nicht der Auffassung, wie wir sie in Abschnitt 18 entwickelt haben. Dort wurde wurde im Sinne der Nahwirkungstheorie das H-Feld als magnetische Erre” gung“ in der Umgebung einer Stromdichte aufgefasst. Demzufolge passt der Begriff magnetische Erregung“ am besten. Entsprechend dieser Auffassung ” ist das Linienintegral des H-Feldes auf irgendeinem geschlossenen Weg gleich der Durchflutung des Weges:  H · ds = Θ. (19.31) Dies ist das Durchflutungsgesetz. Es handelt sich im Sinne der Auffassung von Abschnitt 18 um die integrale Fassung der Definitionsgleichung rot H = J. Das Durchflutungsgesetz ist unabh¨ angig von µ. Das H-Feld ist eine Gr¨oße, deren Betrag, wie man aus Gl.(19.31) erkennt, in A/cm oder in A/m (GiorgiSystem) gemessen werden kann. Als Einheit f¨ ur das H-Feld wurde fr¨ uher 1 Ørsted = 1 Oe =

10 A 4π cm

(19.32)

verwendet. Damit ergab sich im leeren Raum bei der Messung eines magnetischen Feldes in Gauß oder Ørsted der gleiche Zahlenwert. Beide Einheiten werden heute nicht mehr verwendet, aber man ben¨otigt sie, wenn man a¨ltere Arbeiten lesen will. Das Durchflutungsgesetz erm¨ oglicht die Berechnung der Durchflutung, die zur Herstellung eines bestimmten magnetischen Feldes erforderlich ist, wenn der Verlauf der magnetischen Feldlinien bekannt ist. Das magnetische Feld in der Umgebung eines geraden stromdurchflossenen Leiters z.B. wird durch Feldlinien dargestellt, die aus Symmetriegr¨ unden Kreise bilden. L¨angs eines jeden solchen Kreises ist die Flussdichte konstant, daher sind die Betr¨age der Vektoren B und H konstant. Ist r der Radius eines Kreises, I die Stromst¨arke im Leiter, so gilt  H · ds = H2πr = I, H =

I . 2πr

(19.33)

Bez¨ uglich der Richtung der H-Feldlinien sagt das Durchflutungsgesetz aus, dass sie mit der Stromrichtung im Sinne einer Rechtsschraube zusammenh¨angt.

19.4 Der magnetische Dipol

277

Das H-Feld außerhalb des Leiters ist nach Gl.(19.33) unabh¨angig von dem Drahtdurchmesser; es hat die gleiche Beschaffenheit, als ob der ganze Strom I in einem Stromfaden“ in der Achse des Leiters konzentriert w¨are. ” Zahlenbeispiel: Im Abstand r = 10cm von der Achse eines Leiters, der den Strom I = 100A f¨ uhrt, betr¨ agt das H-Feld H =

A A 100A = 1, 59 = 159 . 2π10cm cm m

(19.34)

19.4 Der magnetische Dipol Aus dem Stromkraftgesetz (19.1) folgt, dass auf einen geschlossenen Stromkreis ein Drehmoment ausge¨ ubt wird. Wir denken uns ein schmales Drahtrechteck in die x, y-Ebene eines Koordinatensystems gelegt. Abb. 19.11, so dass die lange Seite b mit der x-Richtung u ¨bereinstimmt. Der Draht sei vom Strom I durchflossen. Das Rechteck befinde sich in einem homogenen magnetischen Feld und sei so orientiert, dass die in die x, y-Ebene fallende Komponente von B in die X-Richtung zeigt. Sie hat den Betrag B cos β, wenn β den Winkel zwischen B und der x, y-Ebene bezeichnet. Die zu dieser Ebene senkrecht stehende Komponente B sin β ergibt f¨ ur das Rechteck keine resultierende Stromkraft, da sich die auf die gegen¨ uberliegenden Seiten ausge¨ ubten Kr¨ afte jeweils aufheben. Die x-Komponente des B-Feldes ist ebenfalls f¨ ur die langen Rechteckseiten b ohne Wirkung, da sie die gleiche Richtung hat. Dagegen werden auf die kurzen Rechteckseiten nach Gl.(19.1) Kr¨afte IaB cos β nach oben bzw. unten ausge¨ ubt; er ergibt sich also ein Kr¨aftepaar mit der y-Richtung als Drehachse. Das Drehmoment ist

Abbildung 19.11. Drehmoment bei einem Drahtrechteck

Md = IabB cos β.

(19.35)

Da die Fl¨ ache des Rechtecks A = ab ist, gilt auch Md = IAB cos β.

(19.36)

278

19 Elementare Betrachtungen zum station¨ aren Magnetfeld

Diese Gleichung kann geschrieben werden Md = I(A × B) = Iµ0 (A × H),

(19.37)

wobei A den Vektor der Fl¨ ache A bezeichnet mit einer solchen Richtung, dass die Umlaufrichtung des Stromes damit eine Rechtsschraube bildet. Man bezeichnet m=IA (19.38) als das magnetische Drehmoment der Drahtschleife, indem man von der Vorstellung ausgeht, dass die Drahtschleife wie ein kleiner Magnet (Dipol) wirkt; das entspricht der Amper`eschen Hypothese. In Abb. 19.11 liegt der Nordpol dieses Magneten oberhalb, der S¨ udpol unterhalb der Zeichenebene. Die Richtung von m zeigt aus der Zeichenebene heraus inn die z-Richtung des Achsensystems. Da man nun jede beliebige berandete Fl¨ ache aus solchen rechteckigen Streifen mit gen¨ ugend kleinem a zusammensetzen kann, so gilt die Gl. (19.37) allgemein f¨ ur eine beliebige ebene Drahtschleife, solange sie nur so klein ist, dass das H-Feld als homogen angesehen werden kann. Das Drehmoment ist allgemein (19.39) Md = m × B; es sucht das Dipolmoment in die Feldrichtung zu drehen. Zahlenbeispiel: Eine ebene Drahtschleife von 10cm2 Fl¨ache, die von einem Strom von 1A durchflossen wird, hat ein magnetisches Moment vom Betrage m = 1A · 10−3 m2 = 10−3 Am2 .

(19.40)

In einem Magnetfeld mit B = 1T = 1V s/m2 wird das maximale Drehmoment (β = 0) Md  = m B = 10−3 Am2 1

Vs = 10−3 N m(= 100 dyn m). m2

(19.41)

Eine allgemeine Einordnung des magnetischen Dipols diskutieren wir in Abschnitt 21.4 u ¨ber die Multipolentwicklung.

20 Materialgesetze im station¨ aren Magnetfeld

20.1 Diamagnetismus und Paramagnetismus Alle Stoffe haben Einfluss auf das im magnetischen Feld. Das l¨asst sich mit Hilfe eines Zusammenhanges der krafterzeugenden Gr¨oße B des magnetischen Feldes und der magnetischen Erregungsgr¨ oße“ H ausdr¨ ucken. Wir haben ” bereits erw¨ ahnt, dass das B- und das H-Feld unter bestimmten Umst¨anden proportional sein k¨ onnen. Versuche zeigen, dass der Proportionalit¨atsfaktor, der u ¨ blicherweise mit µ bezeichnet wird, von dem Stoff abh¨angt, in dem die Messungen ausgef¨ uhrt werden. Man schreibt daher µ = µr µ0 ,

(20.1)

wobei µ0 den Wert von µ im leeren Raum bezeichnet. Im leeren Raum ist also µr = 1. Die Gr¨ oße µ0 wird magnetische Feldkonstante , Induktionskonstante oder Permeabilit¨at des leeren Raums genannt. Die elektrische Einheiten sind aus historischen Gr¨ unden so gew¨ ahlt worden, dass genau µ0 = 4π10−7

Vs Vs ≈ 1, 257 · 10−6 Am Am

(20.2)

gilt. Mit der Widerstandseinheit Ohm bzw. der Einheit der Induktivit¨at Henry kann man weitere Darstellungen f¨ ur µ0 angegeben. Die Zahl µr gibt an, wieviel mal gr¨ oßer das B-Feld in dem betreffenden Stoff ist im Vergleich zum leeren Raum. Sie wird als relative magnetische Permeabilit¨ at oder als Permeabilit¨atszahl bezeichnet, w¨ahrend µ die absolute Permeabilit¨ at darstellt; µ0 heißt auch Permeabilit¨at des leeren Raumes. Mikroskopisch kann die Proportionalit¨ at damit erkl¨art werden, dass die Elektronen innerhalb der Atome geschlossene Bahnen durchlaufen und um ihre Achse rotieren (Elektronenspin oder Elektronendrall). Jede derartige Elektronenbewegung kann entsprechend der Amper`eschen Hypothese als ein elektrischer Ringstrom und damit als magnetischer Dipol aufgefasst werden. Abb. 20.1 veranschaulicht das magnetische Feld eines solchen Ringstromes.

280

20 Materialgesetze im station¨ aren Magnetfeld

Abbildung 20.1. Magnetischer Elementardipol

Durchl¨ auft das Elektron mit einer Geschwindigkeit v die Bahn mit dem Radius r0 , so ist dies einem Strom I0 ¨ aquivalent, f¨ ur den die Beziehung gilt I0 =

ev . 2πr0

(20.3)

Das magnetische Moment eines solchen Elementardipols betr¨agt daher nach Gl.(19.38) 1 (20.4) m0 = I0 r02 π = evr0 . 2 Die magnetischen Dipolmomente k¨ onnen innerhalb der Atome entweder durch Dipolmomente entgegengesetzter Richtung aufgehoben werden, oder es kann ¨ ein Uberschuss von Dipolen einer Richtung vorhanden sein. Im ersten Falle ist das Atom unmagnetisch, w¨ ahrend es im zweiten Falle wie ein kleiner Magnet wirkt. Betrachten wir zun¨ achst Stoffe der ersten Art, bei denen die Bahn- und Spinmomente im Inneren der Atome kompensiert sind. Auf die rotierenden Elektronen werden im magnetischen Feld Kr¨ afte ausge¨ ubt, und zwar werden nach dem Induktionsgesetz (vgl. Abschnitt 26.4) bei der Herstellung des ¨außeren magnetischen Feldes diejenigen Elektronen beschleunigt, die um die Feldlinienrichtung im Sinne einer Rechtsschraube rotieren, w¨ahrend die anderen ¨ verz¨ ogert werden. Es ergibt sich eine Uberschusswirkung der Strombahnen mit rechtsl¨ aufig rotierenden Elektronen. Diese Elektronen wirken aber wie ein Strom, der die Feldlinien linksl¨ aufig umkreist, der also f¨ ur sich allein ein magnetisches Feld in entgegengesetzter Richtung hervorrufen w¨ urde. Daher ergibt sich in dem betrachteten Fall eine Schw¨achung des magnetischen Feldes; das B-Feld ist bei Vorhandensein des betreffenden Stoffes kleiner als im leeren Raum; es ist (B := B, H := H) B < µ0 H

oder

µr < 1.

(20.5)

Man bezeichnet solche Stoffe als ; ein Beispiel daf¨ ur bildet Wismut. Im anderen Fall, wenn die Atome nicht kompensierte Bahnen enthalten, also wie Magnete wirken, suchen sich diese im magnetischen Feld so einzustellen, dass sie gem¨ aß Gl.(19.39) das ¨ außere magnetische Feld unterst¨ utzen; das B-Feld wird gr¨ oßer als im leeren Raum:

20.1 Diamagnetismus und Paramagnetismus

B > µ0 H

oder

µr > 1.

281

(20.6)

Derartige Stoffe nennt man paramagnetisch oder, wenn µr erheblich gr¨oßer als 1 ist, ferromagnetische, weil das wichtigste Beispiel eines solchen Stoffes das Eisen ist. Auch in paramagnetischen Stoffen tritt wegen der Beschleunigung der Elektronenbewegung immer bis zu einem gewissen Grade eine diamagnetische Wirkung auf. Paramagnetische Stoffe sind daher eigentlich solche, bei denen der zweite Effekt den diamagnetischen u ¨bertrifft. Anmerkung: Genau genommen ergibt sich durch die Einwirkung der ¨außeren elektrischen Feldkr¨ afte auf rotierende oder kreisende Elektronen wie bei einem Kreisel eine rotierende Bewegung der Kreiselachse (Pr¨azession). Diese Rotation wirkt sich aber im Effekt so aus wie eine Vergr¨oßerung oder Verkleinerung der Winkelgeschwindigkeit der Ringstr¨ome. Man kann die Frequenz der Pr¨ azessionsbewegung daher auf folgende Weise berechnen. Die kinetische Energie einer mit der Winkelgeschwindigkeit ω auf einer Kreisbahn mit dem Radius r bewegten Masse m ist (1/2)mr2 ω 2 . Tr¨agt die Masse noch eine Ladung e, so erf¨ ahrt sie außer Zentrifugalkr¨ aften und Kernanziehungskr¨aften noch Beschleunigungskr¨ afte in der Bahnrichtung, wenn diese ein zunehmendes oder abnehmendes magnetisches Feld umschließt. Diese Kr¨afte haben den Betrag er dB 1 dΦ = . (20.7) F := F = eEi  = e 2πr dt 2 dt ¨ Die der Ladung e bei einer Anderung des B-Feldes um den Betrag B zugef¨ uhrte Arbeit ist daher    1 1 (20.8) F ds = F rω dt = er2 ω dB = er2 ωB. 2 2 Sie vermehrt die kinetische Energie der kreisenden Ladung, so dass die Winkelgeschwindigkeit ω um den kleinen Betrag ωL w¨achst. Daher gilt 1 1 1 2 mr (ω + ωL )2 = mr2 ω 2 + er2 ωB. 2 2 2

(20.9)

Hieraus folgt wegen der Kleinheit von ωL gegen ω: ωL =

1 e B. 2m

Die Frequenz ( Lamor-Frequenz“) ist also ” 1 e B. fL = 4π m

(20.10)

(20.11)

F¨ ur B = 0, 1 T ergibt sich z. B. nach Gl. (20.11) f¨ ur Elektronen eine Frequenz fL =

1 1, 6 · 10−19 · 0, 1 AsV s = 1, 4 · 109 Hz = 1, 4 GHz. 4π 9, 11 · 10−28 gm2

(20.12)

282

20 Materialgesetze im station¨ aren Magnetfeld

Die Lamor-Pr¨ azession spielt eine Rolle bei der Anwendung von Ferriten in H¨ ochstfrequenzfeldern. Bei Vormagnetisierung von Ferriten mit einem konstanten B-Feld B prozessieren die Elektronen-Dipole um die Feldrichtung. Wird senkrecht dazu ein Hochfrequenzfeld angelegt, so ergibt sich eine zu beiden Richtungen senkrechte zus¨ atzliche Pr¨ azession, die eine Hochfrequenzfeldkomponente in dieser neuen Richtung erzeugt. Die Folge davon ist eine Drehung der Polarisationsebene der Welle (Faraday-Effekt oder FaradayRotation), die f¨ ur verschiedene Anwendungen ben¨ utzt wird. (Gyrator, Trennzweitor siehe Abschnitt 5.4).

20.2 Messung der Permeabilit¨ at Die absolute Permeabilit¨ at µ beliebiger Stoffe kann bestimmt werden, wenn man die Durchflutung Θ misst, aus der das H-Feld H berechnet werden kann, und außerdem das B-Feld B. Dann gilt µ=

B . H

(20.13)

Die einfachste Methode besteht darin, dass man aus dem zu untersuchenden Stoff einen Ringkern herstellt und diesen mit zwei Wicklungen aus isoliertem Draht versieht. Die eine Wicklung wird an ein ballistisches Galvanometer G angeschlossen Abb. 20.2; sie dient zur Messung von B. Durch die andere m¨oglichst gleichm¨ aßig u ¨ber den Ring verteilte Wicklung kann ein Gleichstrom geschickt werden, der mit einem Strommesser gemessen wird und das H-Feld H zu berechnen gestattet.

Abbildung 20.2. Aufnahme der Magnetisierungskurve

Die magnetischen Feldlinien sind hier aus Symmetriegr¨ unden konzentrische Kreise; sie verlaufen im Inneren des Ringes, da sie mit den Wicklungen verkettet sein m¨ ussen. Die Flussdichte ist daher l¨angs einer Feldlinie konstant. F¨ ur irgendeine Feldlinie mit dem Radius r gilt nach dem Durchflutungsgesetz   (20.14) H · ds = H ds = H2πr = I N1 , wobei N1 die Windungszahl der Erregerwicklung bezeichnet. Daraus folgt

20.3 Ferromagnetismus

H =

IN1 . 2πr

283

(20.15)

Ist der Querschnitt des Ringes gen¨ ugend klein, so kann man mit einer mittleren Feldst¨ arke in dem Ring f¨ ur einen mittleren Radius rm rechnen. Die mittlere Flussdichte ergibt sich aus der Beziehung B =

Φ , A

(20.16)

in der φ den B¨ undelfluss im Ring und A den Ringquerschnitt bezeichnen. Wird der Strom im Erregerkreis pl¨ otzlich unterbrochen oder hergestellt, so entsteht nach dem Induktionsgesetz ein Stromstoß im Galvanometerkreis. Die vom Galvanometer angezeigte Ladungsmenge Q dient zur Berechnung der zu der ¨ Strom¨ anderung geh¨ orende Anderung des Induktionsflusses. Der magnetische Fluss ist R Q, (20.17) Φ= N2 wobei N2 die Windungszahl der zweiten Wicklung und R den Gesamtwiderstand im Sekund¨ arkreis bezeichnen. Daraus folgt µ=

2πrm RQ B = . H N1 N2 Al

(20.18)

Im leeren Raum ergibt sich hieraus die absolute Permeabilit¨atskonstante (Feldkonstante) µ0 . In der folgenden Tabelle 20.1 sind die Werte der Permeabilit¨atszahl f¨ ur einige diamagnetische und paramagnetische Stoffe angef¨ uhrt:

Material: Wismut Kupfer Wasser Luft Aluminium 1 − 160 · 10−6 1 − 10 · 10−6 1 − 9 · 10−6 1 + 0, 4 · 10−6 1 + 22 · 10−6 µr : Tabelle 20.1. Permeabilit¨ at verschiedener Stoffe

Die Permeabilit¨ at der nicht ferromagnetischen Stoffe kann man bei praktischen Anwendungen fast immer zu µ0 annehmen; solche Stoffe nennen wir auch magnetisch neutral.

20.3 Ferromagnetismus Bei den ferromagnetischen Stoffen ist die magnetische Induktion nicht proportional zum H-Feld und steht nicht in eindeutiger Beziehung zu ihr; sie

284

20 Materialgesetze im station¨ aren Magnetfeld

h¨angt davon ab, auf welche Weise der betreffende Wert des H-Feldes hergestellt wurde. Man veranschaulicht diesen Zusammenhang durch die Magnetisierungskurven, die das B-Feld in Abh¨ angigkeit vom H-Feld darstellen. Vergr¨ oßert man das H-Feld stufenweise, indem man jeweils die Stromst¨arke in der Erregerwicklung um einen bestimmten Betrag vergr¨oßert, so findet man das BFeld durch Summieren der einzelnen Beitr¨ age, die zu den einzelnen Spr¨ ungen des Stromes geh¨ oren und aus den ballistischen Ausschl¨agen des Galvanometers nach Gl.(20.16) und (20.17) berechnet werden k¨onnen. War der Eisenring noch nicht magnetisiert, so erh¨ alt man auf diese Weise die sogenannte Neukurve OA, Abb. 20.3. Verkleinert man nun das H-Feld von dem erreichten Wert Hm aus wieder stufenweise, so nimmt auch das B-Feld ab. Das Galvanometer gibt ballistische Ausschl¨ age nach der entgegengesetzten Richtung. Aus diesen Ausschl¨ agen kann wieder jeweils die zu der Verkleinerung von H geh¨orige Verminderung von B berechnet werden.Die Durchf¨ uhrung der Messung ergibt Werte f¨ ur das B-Feld, AD Abb. 20.3, die gr¨oßer sind als die der Neukurve. Selbst wenn der Erregerstrom ganz unterbrochen wird, also H = 0 ist, enth¨ alt der Ring noch einen magnetischen Induktionsfluss. Man bezeichnet das Zur¨ uckbleiben des B-Feldes hinter dem H-Feld als Hysterese, die Erscheinung eines R¨ uckstandes an Magnetismus als Remanenz. Der Abschnitt OD auf der Achse des B-Feldes stellt eine remanente Induktion dar.

Abbildung 20.3. Magnetisierungskurve

Um den Induktionsfluss zum Verschwinden zu bringen, muss eine Erregung OF in entgegengesetzter Richtung aufgewendet werden. Geht man bis zum asst dann die H-Feldst¨ arke wieder zunehmen, so ergibt sich Wert −Hm und l¨ wieder ein Zur¨ uckbleiben des B-Feldes hinter dem H-Feld. Wiederholt man diesen Prozess mehrmals, so wird schließlich eine ganz bestimmte Schleife durchlaufen, die man als Hystereseschleife bezeichnet. Die drei wichtigsten ferromagnetischen Elemente sind Eisen, Nickel und Kobalt. Die magnetischen Eigenschaften zeigen sich in reiner Form bei Kristallen dieser Stoffe. Eisen kristallisiert kubisch, wobei die Eisenatome in den Ecken und im Mittelpunkt des W¨ urfels angeordnet sind. Versucht man, einen solchen Eiseneinkristall zu magnetisieren, so findet man, dass er sich in den verschiedenen Richtungen verschieden verh¨ alt. Es gibt Richtungen leichter und schwerer Magnetisierbarkeit. Die ersteren sind die Richtungen der W¨ urfel-

20.3 Ferromagnetismus

285

kanten, die letzteren die Diagonalrichtungen; die Kristalle sind magnetisch ” anisotrop“. Aus den Beobachtungen sind die folgenden Vorstellungen entwickelt worden. Von den zwei m¨ oglichen Beitr¨ agen zum Magnetismus des Eisenatoms, den Beitr¨ agen der Elektronenuml¨ aufe und denen des Elektronendralls, kompensieren sich die ersteren gegenseitig. Die Elektronendralle sind ebenfalls teils rechtsl¨ aufig, teils linksl¨ aufig, kompensieren sich jedoch nicht vollst¨andig. Auf die nicht kompensierten Elektronen, die als magnetische Elementardipole aufgefasst werden k¨ onnen, wirken nun in dem Kristall zweierlei Kr¨afte. Erstens wirken Kr¨ afte, die die Dipole parallel zu einer W¨ urfelkante ausrichten wollen; sie sind durch die Wirkung des ganzen Kristallgitters zu erkl¨aren und werden Anisotropiekr¨afte genannt. Zweitens wirken auf jeden Dipol Kr¨afte ein, die bei Eisen die Dipole einander parallel zu stellen suchen. Sie werden auf die Wirkung der benachbarten Dipole zur¨ uckgef¨ uhrt und heißen Austauschkr¨afte. Anisotropiekr¨ afte und Austauschkr¨ afte bewirken, dass sich in einem gr¨oßeren Kristall Bezirke bestimmter gleicher Magnetisierungsrichtung ausbilden (Weisssche Bezirke, Elementarbezirke). Diese sogenannte spontane Magnetisierung ist ein wesentliches Kennzeichen des Ferromagnetismus. Im W¨ urfel gibt es sechs Richtungen parallel zu den Kanten. Daher k¨onnen Bezirke in irgendeiner dieser sechs Lagen auftreten. Wenn der ganze Kristall unmagnetisch ist, so besitzt etwa 1/6 aller Elementarbezirke eine der sechs m¨oglichen Ruhelagen der Elementarmagnete. Wird ein ¨ außeres magnetisches Feld angelegt, so sind zwei Arten von Ver¨ anderungen m¨ oglich: 1. Die Bezirke ver¨ andern ihre Ausdehnung, 2. die Bezirke behalten ihre Ausdehnung, aber die Elementarmagnete drehen sich aus ihrer Ruhelage heraus. Beide Arten von Ver¨ anderungen kommen vor; sie sind durch Abb. 20.4 schematisch veranschaulicht. Abb. 20.4, Bild a soll den unmagnetischen Zustand des Kristalls darstellen. Es sind 4 Bezirke mit 4 Ruherichtungen der Elementarmagnete gezeichnet. Bei Abb. 20.4, Bild b hat ein ¨außeres von rechts unten ande zwischen nach links oben gerichtetes Feld H zu einer Verschiebung der W¨ den Bezirken gef¨ uhrt, derart, dass nun diese Magnetisierungsrichtung u ¨ berwiegt. Bei noch gr¨ oßerer ¨ außerer Feldst¨ arke, Abb. 20.4, Bild c, drehen sich die Elementarmagnete in die Richtung des ¨ außeren Feldes. Wandverschiebun” gen“ nach Abb. 20.4, Bild b ergeben sich im Eisen bei kleinen und mittleren Feldst¨ arken, Drehprozesse“ nach Abb. 20.4, Bild c bei hohen Feldst¨arken. ” Dass sich Bezirke einer ganz bestimmten Gr¨oße (0, 01 bis 1mm) ausbilden, ist dadurch bedingt, dass sich jeweils ein Zustand geringster Gesamtenergie einstellt. In den Grenzfl¨ achen selbst vollzieht sich aus dem gleichen Grunde ein ¨ stetiger Ubergang von der einen zur anderen Magnetisierungsrichtung. Diese Grenzfl¨ achen haben also eine endliche Dicke“ und werden daher W¨ande ” (Blochw¨ande) genannt. Innerhalb der W¨ ande sind die Elementardipole aus ihrer Richtung leichter Magnetisierbarkeit, in der sie durch die Anisotropiekr¨afte elastisch gehalten werden, herausgedreht. Je gr¨oßer die Dicke der Wand ist,

286

20 Materialgesetze im station¨ aren Magnetfeld

Abbildung 20.4. Feldberechnung bei einem Dipol

um so gr¨ oßer wird die Zahl der in eine schwere Richtung gedrehten Dipole, um so gr¨ oßer also der dazu notwendige Energieaufwand. Je geringer andererseits die Wanddicke ist, um so gr¨ oßer sind die Drehwinkel zwischen den ¨ Dipolen benachbarter Atome, um so gr¨ oßer daher der f¨ ur die Uberwindung der Austauschkr¨ afte erforderliche Energieaufwand. Daher stellt sich eine ganz bestimmte Dicke der Wand ein, bei der der gesamte Energieinhalt der Wand ein Minimum wird. Diese Wanddicke hat die Gr¨oßenordnung 107 m (ca. 1000 Atomabst¨ ande). Schließlich sind f¨ ur die Ausbildung der W¨ande noch Inhomogenit¨aten des magnetischen Stoffes, besonders auch kleinste Einschl¨ usse nichtmagnetischer Art (Gasbl¨ aschen, materielle Teilchen) von entscheidendem Einfluss. Die W¨ ande stellen sich so ein, dass sie m¨ oglichst viele solcher Einschl¨ usse umfassen, weil hier die Bindungskr¨ afte zwischen den Elementardipolen unterbrochen sind und damit der Energieinhalt der Wand verringert wird. Mit

Abbildung 20.5. Abh¨ angigkeit der gespeicherten Energie W von der Lage x einer Blochwand

jeder Wandverschiebung sind daher Energie¨ anderungen verbunden. Einerseits andert sich die Wandenergie selbst, andererseits nehmen die bei der Verschie¨ bung betroffenen Raumteile infolge der Inhomogenit¨aten verschieden große Energiebetr¨ age auf. Die gesamte in dem betrachteten K¨orper gespeicherte Energie W h¨ angt daher von der Lage der Blochwand ab, wie es Abb. 20.5 f¨ ur eine Verschiebung in der x-Richtung veranschaulichen soll. Da sich immer ein

20.3 Ferromagnetismus

287

Zustand niedrigster Energie einstellt, befinden sich die Blochw¨ande im Ruhezustand bei Minimalwerten von W , z.B. kann sich im Minimum bei x1 eine Blochwand befinden. Die Wand trenne zwei Gebiete mit entgegengesetzter Magnetisierungsrichtung (180◦ -Blochwand). Wirkt nun ein ¨außeres Magnetfeld H in solcher Richtung auf die Dipole, dass es die Wand nach rechts zu verschieben versucht, so wirken damit auf die Wand Verschiebungskr¨afte F , die proportional H sind: F = kH. Bei einer kleinen Verschiebung der Wand um dx vermehren diese Kr¨ afte die Energie W um dW und es gilt F dx = dW . Daraus folgt, das die zur Verschiebung der Blochwand notwendige magnetische Feldst¨ arke proportional dem Differentialquotienten dW/dx ist: H∼

dW . dx

(20.19)

Der r¨ aumliche Verlauf dieses Differentialquotienten ist unter der Kurve des Energieinhaltes in Abb. 20.5 angegeben. Die ¨außere H-Feldst¨arke H schiebt die Wand aus dem Energieminimum bei x1 heraus, z.B. bis zum Punkt x1 . Wird die ¨ außere Erregung jetzt wieder abgeschaltet, dann geht die Wand und damit die Magnetisierung zu dem Ausgangszustand x1 zur¨ uck. Dies ist eine ¨ ¨ reversible Anderung. Erst wenn das ¨ außere Feld zum Uberschreiten des Punkuhrt, in dem dW/dx ein Maximum hat, reicht die Feldst¨arke aus, um tes x2 f¨ die Wand u achste Energiemaximum hinwegzubewegen und zwar bis ¨ ber das n¨ zum Punkt x5 , wo sich ein neuer stabiler Zustand einstellt. Wird jetzt das ¨außere Feld abgeschaltet, dann stellt sich die Wand auf das neue Minimum bei x4 ein. Die Wand ist nun irreversibel verschoben worden. Nur durch eine entgegengesetzt gerichtete ¨ außere Feldst¨ arke ausreichenden Betrages kann die Wand wieder nach links u uckgebracht werden. Eine weitere ¨ ber x2 hinweg zur¨ Rechtsverschiebung erfordert dem hohen Maximum im Punkt x6 entsprechend eine ausreichende a arke H. Daraus erkl¨aren sich die Erscheinun¨ußere Feldst¨ gen der Hysterese und der Remanenz. Haben schließlich bei hohen Feldst¨arken alle Raumteile eine entsprechende Richtung leichter Magnetisierung angenommen, dann kann bei weiterer Erh¨ ohung der Feldst¨arke der Drehungseffekt in Erscheinung treten, der wiederum reversibel ist, bis schließlich alle Magnetisierungsrichtungen mit der a ¨ußeren Feldrichtung im Zustand der magnetischen S¨attigung u bereinstimmen. ¨ Gew¨ ohnliches Eisen ist polykristallin. Die einzelnen Kristallenen haben v¨ ollig verschiedene Orientierungen, so dass Wandverschiebungen und Drehprozesse in großer Vielf¨ altigkeit auftreten. Daraus erkl¨art sich die Abrundung der Magnetisierungskurve, wie sie die Messungen an wirklichen Stoffen zeigen. Die Magnetisierungskurven ferromagnetischer Stoffe sind genau genommen keine glatten Kurven, sondern setzen sich aus einer außerordentlich großen Zahl von kleinen Spr¨ ungen zusammen, die dem Umspringen der Blochw¨ ande entsprechen. Diese Folgerung wird durch die Beobachtung best¨a¨ tigt: Andert man den magnetischen Zustand eines Eisenst¨ uckes, das sich im Innern einer Spule befindet, z.B. durch N¨ ahern eines Stahlmagneten, so wird in der Spule eine Spannung induziert. Die Spannung enth¨alt kleine rasch aufein-

288

20 Materialgesetze im station¨ aren Magnetfeld

anderfolgende Spr¨ unge, die mit Hilfe von Verst¨arkern in einem Fernh¨orer als prasselndes Rauschen h¨ orbar gemacht werden k¨onnen Barkhausen-Effekt“. ” Im Gebiet der S¨ attigung unterscheidet sich das B-Feld wegen der durch die Molekularstr¨ome gegebenen zus¨ atzlichen Durchflutung von dem B-Feld im leeren Raum, also von der Gr¨ oße µ0 H, um einen bestimmten konstanten Betrag. Die Magnetisierungskurven gehen in gerade Linien mit der Steigung /mu0 u ¨ ber, Abb. 20.6. Die auf diese Weise bestimmte Hystereseschleife bezeichnet man als die Grenzkurve. Nur Punkte auf der von dieser Kurve eingeschlossenen Fl¨ ache k¨ onnen durch entsprechendes Variieren von H erreicht werden. Der nach S¨ attigung und Abschalten der Erregung erzielte Wert der magnetischen Induktion heißt Remanenzinduktion“ Br . Die Feldst¨arke, die nach ” S¨attigung in der entgegengesetzten Richtung aufgebracht werden muss, damit das B-Feld verschwindet, heißt Koerzitivfeldst¨arke Hk . Diese beiden Werte beziehen sich also auf die Grenzkurve. Allgemein nennt man die Differenz zwischen dem B-Feld B und dem Wert µ0 H die magnetische Polarisation oder innere Induktion J = B − µ0 H.

(20.20)

(20.20) Die magnetische Polarisation ist also kennzeichnend f¨ ur den Beitrag, den das magnetische Material zum B-Feld liefert.

Abbildung 20.6. Hystereseschleife bei S¨ attigung

Tr¨ agt man statt der Induktion die magnetische Polarisation J in Abh¨angigkeit von der Erregung auf, so ergeben sich Kurven, die sich bei hoher Erregung ahern, Abb. 20.6. Die Remanenzpolarisation Jr einem konstanten Wert Js , n¨ stimmt mit der Remanenzinduktion B, u ¨berein, wie aus der Definitionsgleichung (20.20) folgt. Dagegen ist die Feldst¨ arke Hkj , die nach S¨attigung die Polarisation zum Verschwinden bringt, verschieden von der Koerzitivfeldst¨arke Hk . Eine andere gebr¨ auchliche Definition ergibt sich, wenn Gl. (20.20) auf beiden Seiten durch /mu0 dividiert wird: M=

B J = − H. µ0 µ0

(20.21)

20.3 Ferromagnetismus

289

M heißt die Magnetisierungsst¨arke oder Magnetisierung oder innere Feldst¨arke. Es gilt B = µ0 (H + M ). (20.22) M ist also die durch die innere Durchflutung der Elementardipole erzeugte Erregung oder H-Feldst¨ arke. Im Gebiet der S¨ attigung sind J und M konstant und heißen S¨attigungspolarisation bzw. S¨attigungsmagnetisierung: Js , = µ0 Ms .

(20.23)

Zwischen der Magnetisierung M und dem magnetischen Moment m0 der

Abbildung 20.7. Innere Durchflutung einer Feldlinie mit dem Radius r

Elementardipole besteht ein einfacher Zusammenhang. Es seien je Volumen des magnetischen Materials n gerichtete Dipole vorhanden. In einem Ringkern nach Abb. 20.2 tragen zur Durchflutung einer Feldlinie mit dem Radius r alle in diese Feldrichtung zeigenden Elementardipole nach Abb. 20.1 bei, deren Mittelpunkte um nicht mehr als r0 von der Feldlinie entfernt sind. Die Mittelpunkte aller zur Durchflutung beitragenden Dipole sind also in einer ringf¨ ormigen R¨ ohre vom Radius r0 , Abb. 20.7, enthalten. Die L¨ange dieser R¨ ohre ist l = 2πr, ihr Querschnitt r02 π, das Volumen also lr02 π. Die R¨ohre enth¨ alt nlr02 π gerichtete Dipole und der Beitrag dieser Dipole zur Durchflutung der Feldlinie mit dem Radius r ist nlr02 πI0 , wobei I0 den der Elektronenbewegung gem¨ aß Abb. 20.1 entsprechenden Elementarstrom bezeichnet. Daher gilt M l = nlr02 πI0 , und mit Gl. (2), wenn man m0 und M als Vektoren schreibt, (20.24) M = nm0 . Die Magnetisierung M ist demnach analog P die Summe der Dipolmomente je Volumen. Die spontane Magnetisierung nimmt bei h¨oheren Temperaturen ab und verschwindet bei Temperaturen oberhalb einer bestimmten Grenze (CurieTemperatur), bei Eisen z.B. oberhalb 760◦ C, bei Nickel oberhalb 360◦C. F¨ ur die Wechselstromtechnik ist das Verhalten der Stoffe bei wechselnder Magnetisierung von Interesse. Man erh¨ alt die sogenannte Kommutierungskurve, wenn man bei einer bestimmten Erregung die Stromrichtung mehrmals umkehrt und dann den zu einer Umkehrung geh¨origen ballistischen Ausschlag

290

20 Materialgesetze im station¨ aren Magnetfeld

Abbildung 20.8. Definition der Kommutierungskurve

des Galvanometers abliest; er liefert den doppelten Wert des zu der betreffenden H-Feldst¨ arke geh¨ orenden B-Feldes. Die Kommutierungskurve, Abb. 20.8, verbindet die Umkehrpunkte der Hystereseschleifen.

Abbildung 20.9. Reversible Permeabilit¨ at

In der Nachrichtentechnik handelt es sich h¨aufig um sehr kleine Feldst¨arke¨anderungen; dabei kann gleichzeitig eine Vormagnetisierung vorhanden sein, wenn n¨ amlich durch die Erregerwicklung neben dem Wechselstrom noch Gleichstrom fließt. F¨ ur solche kleinen Feldst¨arke¨anderungen an irgendeiner Stelle innerhalb der Grenzkurven gilt folgendes. Verkleinert man im Punkte A einer Magnetisierungskurve, Abb. 20.9, die H-Feldst¨arke um den kleinen Betrag ∆H, so wird auch das B-Feld B um einen Betrag ∆B kleiner. Wenn ¨ die Anderung der Feldst¨ arke sehr klein ist, so gelangt man von dem erreichten Punkt D aus bei einer Vergr¨ oßerung der H-Feldst¨arke um den gleichen Betrag wieder zum Punkt A zur¨ uck, der Vorgang ist umkehrbar. Man bezeichnet das Verh¨ altnis ∆B (20.25) µrev = ∆H als reversible Permeabilit¨at. Die reversible Permeabilit¨at ist im allgemeinen kleiner als die totale Permeabilit¨ at“ ” B (20.26) µ= H

20.4 Magnetische Werkstoffe

291

und auch kleiner als die differentielle Permeabilit¨at“ dB/dH an der be” treffenden Stelle da der Magnetisierungskurve. Die reversible Permeabilit¨at h¨angt nach den experimentellen Befunden nur von der magnetischen Induktion ab, nicht aber von der magnetischen Erregung; sie hat also bei A den gleichen Wert wie bei A; Abb. 20.9. Den gr¨ oßten Betrag hat die reversible Permeabilit¨ at µrev bei B = 0; man bezeichnet diesen Wert als Anfangspermeabilit¨at µa . Mit wachsendem B-Feld nimmt die reversible Permeabilit¨at ab. Die aus der Kommutierungskurve nach Gl. (20.26) entnommene Permeabilit¨at µ wird Wechselpermeabilit¨at genannt; sie hat ihren gr¨oßten Wert dort, wo eine gerade Linie vom Nullpunkt die Kommutierungskurve ber¨ uhrt.

20.4 Magnetische Werkstoffe In Abb. 20.10 sind Kommutierungskurven f¨ ur einige ferromagnetische Stoffe dargestellt, und zwar mit einem logarithmischen Maßstab f¨ ur B und H. Die Kurven konstanter Permeabilit¨ at sind dann gerade Linien, die parallel zur Magnetisierungskurve f¨ ur neutrale Stoffe (µr = 1) verlaufen. Bei niedrigen Feldst¨ arken n¨ ahern sich s¨ amtliche Magnetisierungskurven solchen geraden Linien (Anfangspermeabilit¨ at). Die magnetischen Eigenschaften von Eisen und Eisenlegierungen h¨ angen sehr stark von der Zusammensetzung und von der W¨ armebehandlung ab. Bei den magnetisch weichen Stoffen“ wird hohe Per”

Abbildung 20.10. Gemessene Kommutierungskurven

meabilit¨ at und geringe Hysterese angestrebt. Eisen ist der gebr¨auchlichste magnetisch weiche Stoff. Durch Gl¨ uhen mit langsamer Abk¨ uhlung werden innere mechanische Spannungen beseitigt und verh¨altnism¨aßig gute magnetische Eigenschaften erzielt. Schon geringe Beimengungen, besonders von Koh-

292

20 Materialgesetze im station¨ aren Magnetfeld

lenstoff, Stickstoff, Sauerstoff, Schwefel verschlechtern aber die magnetischen Eigenschaften erheblich. Durch Reinigen und Gl¨ uhen in Wasserstoff sind Permeabilit¨ atszahlen bis u ¨ ber 250000 erzielt worden. In Abb. Abb. 20.10 ist mit der Bezeichnung gegl¨ uhtes Eisenblech“ angegeben, welche Werte bei han” dels¨ ublichem Eisen erreicht werden. Die Kurve mit der Bezeichnung, Eisen” blech“ ergab sich bei dem gleichen Material, wenn dieses kalt verformt wurde. F¨ ur die praktischen Anwendungen ist besonders Eisen mit bis zu etwa 4% Siliziumgehalt wichtig, weil es bei niedrigen Herstellungskosten verh¨altnism¨aßig hohe Permeabilit¨ at und geringe Hysterese ergibt. Als Beispiel ist in Abb. 20.10 die Magnetisierungskurve f¨ ur ein Eisenblech mit 4% Silizium-Gehalt ( Dynamoblech IV“) gezeigt. Bei solchen Blechen kann eine erhebliche Ver” besserung durch Kaltwalzen und nachtr¨ agliches Gl¨ uhen erzielt werden. Bei diesem Herstellungsprozess bilden sich Kristalle, die mit ihren magnetischen Vorzugsachsen vorwiegend in der Walzrichtung liegen ( Walztextur“), so dass ” bei Magnetisierung in dieser Richtung besonders gute Eigenschaften erzielt werden. Die Abb. 20.10 zeigt als Beispiel die Magnetisierungskurve eines so hergestellten Eisenbleches mit 3% Si-Gehalt. Bei sehr hohen Anforderungen an die Anfangspermeabilit¨at werden besonders Legierungen von Eisen und Nickel verwendet. Bei etwa 80% Nickel und 20% Eisen ergeben sich Werte der Anfangspermeabilit¨at von u ¨ ber 10000. Nickel-Eisen-Legierungen mit niedrigerem Nickelgehalt werden verwendet, wenn die Anfangspermeabilit¨ at in einem m¨oglichst großen Bereich der Feldst¨ arke konstant sein soll. Eine magnetisch weiche Legierung mit besonders hoher Anfangspermeabilit¨ at ist das Supermalloy, das außer Nickel und Eisen noch Molybd¨ an und Mangan enth¨ alt. Derartige Legierungen weichen zum Teil in ihrem magnetischen Verhalten wesentlich von Eisen ab; als Beispiel ist in Abb. 20.11 eine Hystereseschleife von Perminvar“ (45% Ni, 30% ” Fe, 25% Co) dargestellt.

Abbildung 20.11. Hystereseschleife von Perminvar

Extrem hohen spezifischen Widerstand, wie er zur Verminderung der Wirbelstromverluste bei hohen Frequenzen n¨ utzlich ist (Abschnitt 29.1), zeigen die Ferrite. Das sind Verbindungen von Eisenoxyd (F e2 O3 ) mit ande-

20.4 Magnetische Werkstoffe

293

ren Metalloxyden, die durch Sintern der feinpulvrigen Ausgangsmaterialien bei bestimmten Temperaturen hergestellt werden. Verwendet wird insbesondere Mangan-Zink-Ferrit und Nickel-Zink-Ferrit verschiedener Zusammensetzung. Allerdings liegt bei diesen Stoffen die Curie-Temperatur niedrig at stark von der Temperatur abh¨angt. (130 . . . 200◦ C), so dass die Permeabilit¨ Auch die elektrische Leitf¨ ahigkeit der Ferrite h¨angt stark von der Temperatur ab; sie folgt der gleichen Gesetzm¨ aßigkeit wie die Eigenleitf¨ahigkeit von Halbleitern. Bei Mangan-Zink-Ferrit ist z.B. Ta ≈ 1000K. Einige Besonderheiten im magnetischen Verhalten der Ferrite erkl¨aren sich durch die eigent¨ umliche Anordnung der Elementardipole. Bei den ferromagnetischen Stoffen suchen die Austauschkr¨ afte die magnetischen Elementardipole benachbarter Atome parallel zu stellen. In den Ferriten sind zwei oder mehrere Arten von Metallatomen (Metallionen), z.B. Eisen und Zink, abwechselnd in den Zellen des Kristallgitters angeordnet; damit sind die beiden Metallgitter ineinander verschachtelt. Die Austauschkr¨ afte suchen hier die Elementardipole der beiden Untergitter“ je f¨ ur sich parallel, aber gegeneinander antiparallel ” auszurichten. W¨ urden die beiden Arten von Metallatomen je die gleiche Anzahl unkompensierter Dipolmomente haben, so w¨ urden sich daher im ganzen Kristall alle Elementardipole kompensieren. Solche Stoffe sind paramagnetisch; man nennt sie auch antiferromagnetisch. Bei den Ferriten haben die Eisenatome und die anderen Metallatome ein verschiedenes Dipolmoment, so dass die Kristallzelle ein entsprechendes resultierendes Dipolmoment besitzt. Damit ergibt sich eine spontane Magnetisierung, n¨amlich als Differenz der spontanen Magnetisierungen der beiden zueinander antiparallelen Untergitter A und B, Abb. 20.12. Stoffe mit einer solchen Struktur werden ferrimagnetisch genannt. Sie verhalten sich im wesentlichen wie ferromagnetische Stoffe, zeigen aber Besonderheiten, wie z. B. niedrigere Remanenz und S¨attigungsmagnetisierung, die sich aus dem Gegeneinanderwirken der beiden Gitter erkl¨aren. Ferner bilden sich in solchen Stoffen besonders leicht 180◦ -W¨ande aus. Ein zun¨ achst in der einen Richtung magnetisierter Ringkern nach Abb. 20.2 wird z.B. nur bis zu einem bestimmten Radius r ummagnetisiert, wenn die Durchflutung in der neuen Richtung nur bei Radien, die kleiner als r sind, eine ausreichende Feldst¨ arke oberhalb der Koerzitivfeldst¨arke erzeugt.

Abbildung 20.12. Dipolmomente im Kristallgitter eines Ferrits

Magnetisch harte Stoffe haben ausgepr¨ agte Hysterese-Eigenschaften. Sie werden f¨ ur die Herstellung von Dauermagneten ben¨ utzt und sollen daher m¨ oglichst hohe Koerzitivfeldst¨ arke und hohe Remanenzinduktion besitzen. Ein bekanntes Beispiel ist Stahl mit etwa 1% Kohlenstoffgehalt. Hier bewirkt

294

20 Materialgesetze im station¨ aren Magnetfeld

Gl¨ uhen mit nachfolgendem raschen Abk¨ uhlen, dass die Kohlenstoffatome in fein verteilter Form die Gitter der Eisenkristalle verzerren (Martensit), so dass sich starke innere mechanische Spannungen ergeben. Auch magnetisch harte Ferrite werden mit g¨ unstigen Eigenschaften hergestellt (insbesondere BariumFerrit). Nach Abb. 20.5 kann man die Koerzitivfeldst¨arke aus dem Energiediagramm der spontanmagnetisierten Bereiche erkl¨aren. Magnetisch harte Stoffe ¨ entstehen infolge starker Anisotropien, die zu steilen r¨aumlichen Anderungen der Energie W f¨ uhren. Bei magnetisch weichen Stoffen m¨ ussen solche Anisotropien (z.B. Anisotropien infolge innerer mechanischer Spannungen) vermieden werden. Sind die Schwankungsamplituden von dW/dx r¨aumlich etwa ¨ konstant, dann gen¨ ugt das Uberschreiten einer bestimmten Feldst¨arke zum v¨ olligen Ummagnetisieren großer Bezirke oder des ganzen K¨orpers. Die Hystereseschleife n¨ ahert sich einer Rechteckform. Stoffe mit nahezu rechtecki” ger“ Hystereseschleife werden f¨ ur Schaltkerne und Speicherkerne verwendet. Bei diesen Stoffen wird angestrebt, dass die Remanenzinduktion Br m¨oglichst gleich der S¨ attigungspolarisation Js , und die Koerzitivfeldst¨arke Hk relativ gering ist. Einige Zahlenwerte f¨ ur verschiedene magnetisch weiche und magnetisch harte Stoffe sowie f¨ ur Stoffe mit Rechteck-Hystereseschleife findet man bei K¨ upfm¨ uller und Kohn ([130], S. 284f). Die Zahlen zeigen ungef¨ahr die praktisch vorkommenden Werte; die Eigenschaften magnetischer Werkstoffe h¨angen immer stark von der genauen Zusammensetzung und von der thermischen und mechanischen Behandlung ab.

20.5 Magnetische Anisotropie Die Permeabilit¨ at kann in verschiedenen Richtungen ein und desselben K¨orpers verschiedene Werte haben. Der K¨ orper ist dann magnetisch anisotrop. Wie oben ausgef¨ uhrt, ist bereits der einzelne Eisenkristall anisotrop. Ein praktisches Beispiel bilden die ebenfalls oben erw¨ ahnten Eisenbleche mit magnetischer Vorzugsrichtung. In solchen F¨ allen brauchen die Richtungen der Vektoren B und H sowie auch die Richtungen der Vektoren M und H nicht u ¨ bereinzustimmen. Der Vektor M gibt die resultierende Richtung der Elektronenspins an, und es gilt die Vektorgleichung 1 B = H + M. µ0

(20.27)

Als Beispiel f¨ ur eine solche Anisotropie soll das Verhalten d¨ unner magnetischer Schichten mit Rechteck-Hystereseschleife betrachtet werden. Solche magnetische Filme werden durch Aufdampfen im Vakuum von ferromagnetischen Stoffen, z.B. von Nickel und Eisen, auf einen magnetisch neutralen Stoff erzeugt, wobei man gleichzeitig ein magnetisches Feld auf die wachsende Schicht parallel zur Schicht einwirken l¨ asst. Bei Schichtdicken von der Gr¨oßenordnung

20.5 Magnetische Anisotropie

295

0, 1µm. und Abmessungen von der Gr¨ oßenordnung einiger mm2 kann so erreicht werden, dass der Film im Idealfall einen einzigen Weissschen Bezirk mit einer Vorzugsrichtung bildet, die durch die Richtung des bei der Herstellung aufgepr¨ agten Magnetfeldes bestimmt ist. Die Magnetisierung hat zwei stabile Ruhelagen, eine in dieser Richtung, die andere entgegengesetzt dazu. Ein solcher Kern kann daher als ein bin¨ ares Speicherelement ben¨ utzt werden. In Abb. 20.13 sei x die Vorzugsrichtung des Filmes F. In der Ruhelage hat der Vektor M diese Richtung oder die dazu entgegengesetzte Richtung. Ein ¨ außeres H-Feld H dreht die Dipole und damit die Magnetisierung M um einen Winkel α aus dieser Ruhelage heraus. Der Winkel M ist abh¨angig von den beiden Komponenten Hx und Hy von H. Die Magnetisierung klappt um, wenn H eine bestimmte negative Komponente Hx hat und der Winkel α eine bestimmte Grenze u ¨ berschreitet. Der zum Umklappen erforderliche angt in der durch Abb. 20.14, Kurvenst¨ uck AB, dargestellBetrag von Hx h¨ ten Weise von Hy ab. Alle Feldst¨ arkewerte, die links von dieser Kurve liegen, f¨ uhren zum Umklappen der Magnetisierung. Die Koerzitivfeldst¨arke Hk hat bei Nickel-Eisen die Gr¨ oßenordnung einiger A/cm. Zum Umklappen ist gem¨ aß Abb. 20.14 eine geringere Feldst¨ arke als Hk erforderlich, wenn gleichzeitig ein Feld in der y-Richtung erzeugt wird. F¨ ur das Zur¨ uckklappen gilt die Grenzkurve AC, und das Verhalten ist auch bei negativen Komponenten Hy symmetrisch zu dem f¨ ur positive Hy beschriebenen. Bei der Verwendung als bin¨ ares Speicherelement werden zur magnetischen Erregung zwei Drahtschleifen verwendet, die den Film l¨ angs der x-Richtung bzw. l¨angs der y-Richtung umschlingen. Die Zeit, die zum Umklappen der Magnetisierung erforderlich ist, ist bei d¨ unnen Filmen sehr kurz (Gr¨ oßenordnung 1 ns). Weitere tech-

Abbildung 20.13. Anisotroper Magnetfilm unter der Einwirkung einer ¨ außeren H-Feldst¨ arke

nisch interessante Eigenschaften zeigen anisotrope magnetische Stoffe mit nur einer einzigen leichten Magnetisierungsrichtung und extrem niedriger Koerzitivkraft. Es sind dies sogenannten Orthoferrite (Verbindungen mit F eO3 ) in Kristallform sowie bestimmte Granatkristalle (Verbindungen von der Form A3 F e5 012 , wobei A z. B. Yttrium sein kann). In einem d¨ unnen Pl¨attchen, das senkrecht zur leichten Magnetisierungsrichtung aus dem Kristall herausgeschnitten wird, verbleiben bei magnetischer Umerregung in dieser Richtung

296

20 Materialgesetze im station¨ aren Magnetfeld

Abbildung 20.14. Grenzkurve f¨ ur die Ummagnetisierung

kleine Bezirke entgegengesetzter Magnetisierung, Abb. 20.15; sie haben wegen ¨ der Ubereinstimmung zwischen leichter Achse und Magnetisierungsrichtung Zylinderform ( Blasen“). Diese Zylinderchen lassen sich wegen der sehr ge” ringen Koerzitivkraft leicht durch ¨ außere Magnetfelder oder Str¨ome r¨aumlich verschieben und bleiben dann jeweils in ihrer Lage; weitere Einzelheiten findet man bei O‘Dell [172].

Abbildung 20.15. Ferrit mit verschiebbaren Magnetisierungszonen

21 L¨ osungsverfahren fu ¨r die Vektorpoisson-Gleichung

21.1 Grundlagen Wir wissen aus Abschnitt 18, dass sich das H-Feld unter Ber¨ ucksichtigung des Nahwirkungsprinzips und des Helmholtzschen Satzes hinsichtlich seines divergenzfreien Anteils in folgender Weise ergibt rot H = J.

(21.1)

Diese Beziehung wird auch differentielle Form des Durchflutungsgesetzes genannt, das man aus (21.1) mit Hilfe des Stokesschen Satzes in die integrale Form bringen kann   H · ds = CA

J · dA.

(21.2)

A

Beispiel: F¨ ur ein H-Feld mit geraden parallelen Feldlinien, wie es z. B. angen¨ ahert in den Eisenblechen einer Drosselspule vorliegt, sei Hx = H, Hy = 0, Hz = 0.

(21.3)

Die x-Achse hat also die Richtung des H-Feldes. Ferner sei die H-Feldliniendichte in allen Ebenen parallel zur x, z-Ebene konstant, H also nur von y abh¨ angig. Dann gilt definitionsgem¨ aß rotx H = 0, roty H = 0, rotz H = −

∂H . ∂y

(21.4)

Nach Gl.(21.1) folgt nun, dass das vorausgesetzte Magnetfeld mit einem Strom verbunden sein muss, der parallel zur z-Achse fließt. Die Stromdichte betr¨agt nach Gl.(21.1) ∂H . (21.5) Jz = − ∂y

298

21 L¨ osungsverfahren f¨ ur die Vektorpoisson-Gleichung

W¨ are das Magnetfeld homogen, dann w¨ are also die Stromdichte Null. Nimmt die Flussdichte mit der y-Richtung ab, so fließt Strom in der z-Richtung, nimmt sie zu, in der entgegengesetzten Richtung. Ein konstante Stromdichte ist mit einer linearen Zunahme der Flussdichte verbunden. Da das B-Feld B nach Abschnitt 18.25 quellenfrei ist, so gilt unter der Voraussetzung, dass µ =konst. ist, div H = 0.

(21.6)

Bemerkung: In ferromagnetischen Stoffen kann div H wegen des feldst¨arkeabh¨ angigen µ von Null verschieden sein. Auf Grund der Gl. (21.6) kann man nun den Ansatz machen H =:

1 rot A(r), µ

(21.7)

wobei A(r) einen Vektor darstellt, der durch diese Beziehung definiert ist. Im folgenden wird der Buchstabe A f¨ ur das Vektorfeld A als auch f¨ ur das Fl¨ achenelement in differentieller Form dA (z. B. in Fl¨achenintegralen) verwendet. Dennoch sollte keine Verwechslung mit dem Vektorfeld A(r) auftreten, wenn der Kontext beachtet wird. F¨ uhrt man dies in Gl. (21.1) ein, so folgt 1 rot rot A(r) = J, µ

(21.8)

oder mit einer Rechenregel f¨ ur rot rot (siehe A.1) grad div A(r) − A(r) = µJ.

(21.9)

Nach Gl. (21.6) ist nur die Rotation des Vektorfeldes A(r) festgelegt, so dass u ugt werden kann. Man spricht in diesem Zu¨ ber seine Divergenz noch verf¨ sammenhang von der Eichung des Vektorfeldes A(r). Im Rahmen der Theorie des station¨ aren Magnetfeldes verwendet man u ¨ blicherweise die sogenannte div A = 0.

(21.10)

A = −µJ,

(21.11)

Damit folgt aus Gl. (21.9) eine Gleichung, die der Laplaceschen PDgl. (6.9) der Elektrostatik analog ist. Sie wird auch als Vektor-Poissongleichung bezeichnet. Auf einige L¨osungsmethoden dieser partiellen Differentialgleichung wird in den folgenden Abschnitten eingegangen.

21.2 Das vektorielle Kirchhoff-Integral

299

21.2 Das vektorielle Kirchhoff-Integral 21.2.1 Kirchhoff-Integral f¨ ur Stromdichteverteilungen Im vorherigen Abschnitt 21.1 haben wir eine partielle Differentialgleichung f¨ ur ein Vektorfeld A(r) abgeleitet, aus dem man bei bekannter Materialgleichung auch das B- und das H-Feld ableiten kann. Die Gr¨oße kann somit wie im elektrostatischen Feld als Zustandsgr¨ oße angesehen werden, wobei Beziehungen des Typs (21.7) als Beobachtungsgleichungen f¨ ur die physikalischen Felder H und B aufgefasst werden k¨ onnen. Es wurde auch erw¨ ahnt, dass die Bestimmungsgleichung (21.11) vom Typ einer Vektor-Poissongleichung ist. Ein Unterschied gegen¨ uber der PoissonPDgl. in der Elektrostatik scheint lediglich darin zu bestehen, dass A und J hier Vektorfelder sind. Wir werden nun zeigen, dass im Sonderfall der x, y, zKoordinaten eine L¨ osungsformel abgeleitet werden kann, die der Kirchhoffschen L¨ osungsformel des elektrostatischen Feldes entspricht. Im Anhang B.2 wird gezeigt, dass der Laplace-Operator auf vektorielle Felder im Sonderfall der x, y, z-Koordinaten komponentenweise angewendet werden kann. Dort wird auch gezeigt, dass im Fall anderer Koordinatensysteme wesentliche kompliziertere Terme auftreten. Da aber zwei Vektoren nur dann einander gleich sind, wenn ihre drei Komponenten u ¨ bereinstimmen, so zerf¨ allt die Gl. (21.11) in drei Gleichungen f¨ ur die Komponenten der Vektoren, die als skalare Gr¨ oßen betrachtet werden k¨ onnen: Ax = −µJx , Ay = −µJy ,

(21.12) (21.13)

Az = −µJz .

(21.14)

Auf Grund der Analogie zu den Verh¨ altnissen im elektrischen Feld k¨onnen wir f¨ ur die Komponenten von A sofort die L¨ osungen anschreiben. An Stelle von /ε bei der Raumladungsgleichung tritt hier die Gr¨oße µJ. Ist im elektrischen Feld die Ladungsdichte an jeder Stelle des Raumes bekannt, so gilt f¨ ur das Potential (vgl. Gl.(11.3))  (˜r) ˜ 1 dV , (21.15) ϕ(r) = 4πε r − ˜r wobei dV˜ das Volumenelement ist, r − ˜r den Abstand des Aufpunktes von diesem Volumenelement bezeichnet und das Integral u ¨ ber den ganzen geladenen Raum zu erstrecken ist. Entsprechend gilt daher hier  Jx (˜r) ˜ µ dV , (21.16) Ax = = 4π r − ˜r  Jy (˜r) ˜ µ dV , (21.17) Ay = = 4π r − ˜r  Jz (˜r) ˜ µ dV , (21.18) Az = = 4π r − ˜r

300

21 L¨ osungsverfahren f¨ ur die Vektorpoisson-Gleichung

wobei sich die Integration auf alle vom elektrischen Strom erf¨ ullten Leiter bezieht. Diese drei Gleichungen kann man wieder zu einer einzigen Vektorgleichung zusammenfassen:  J(˜r) ˜ µ dV . (21.19) A(r) = 4π r − ˜r Mit Hilfe der Rechenregeln der Vektoranalysis l¨asst sich zeigen, dass dieser Ansatz auch die Bedingung (21.10) erf¨ ullt. Wenn die elektrische Str¨omung in jedem Punkt des Raumes gegeben ist, kann also mit der Formel (21.19) der Vektor A(r) berechnet werden. Das Vektorpotenzial A(r) kann auch zur Berechnung des magnetischen Flusses Φ herangezogen werden. Nach Abschnitt 19.1 ist der durch eine beliebige Fl¨ ache A gehende magnetische Fluss gleich dem Fl¨achenintegral des B-Feldes u ache ¨ber diese Fl¨  B · dA. (21.20) Φ= A

Wegen B(r) = rot A(r) folgt somit

(21.21)

 rot A(r) · dA

Φ=

(21.22)

A

und mit Hilfe des Stokesschen Satzes schließlich  Φ= A(r) · ds.

(21.23)

∂A

Man erh¨alt den magnetischen Fluss Φ, der durch eine beliebig berandete Fl¨ache hindurchgeht, indem man das Linienintegral des Vektorpotenzials l¨angs der Randlinie der Fl¨ache A bildet. 21.2.2 Kirchhoff-Integral f¨ ur Stromf¨ aden Um die Kirchhoffsche Formel f¨ ur das Vektorpotenzial (21.19) auf linienf¨ormige Leiter anwenden zu k¨ onnen, muss man zun¨ achst das Vektorpotenzial auf einer Mantellinie eines linienf¨ ormigen Leiters bestimmen. Es hat dort praktisch den gleichen Wert, wenn man sich den ganzen Strom in einem durch die Achse des Drahtes gebildeten Stromfaden konzentriert denkt, vorausgesetzt, dass der Leiterradius r0 sehr klein ist gegen den Ringdurchmesser d (N¨aherung des Linienleiters). Dann gilt J dV = I ds, (21.24) und aus Gl.(21.19) ergibt sich eine N¨ aherung f¨ ur das Vektorpotenzial

21.2 Das vektorielle Kirchhoff-Integral

301

Abbildung 21.1. Zur Berechnung des magnetischen Flusses

I A(r) = 4π



d˜s . r − ˜r

(21.25)

Um danach in irgendeinem Punkt r des Raumes das Vektorpotenzial A(r) zu berechnen, hat man sich den Stromfaden in die L¨angenelemente ds zerlegt zu denken. Jedes L¨ angenelement liefert einen Beitrag zum Vektorpotenzial in dem betrachteten Punkt, dessen Richtung u ¨bereinstimmt mit der des L¨angenelementes, und dessen Betrag proportional der L¨ange des Elementes dividiert durch den Abstand r des betrachteten Punktes von dem L¨angenelementes ist. An dieser Stelle soll noch einmal darauf hingewiesen werden, dass diese eher physikalisch motivierte Betrachtung im Hinblick auf eine praktischen Berechnung des Linienintegrals wenig hilfreich ist. Vielmehr muss die Kurve, die der Stromfaden beschreibt, parametrisiert werden und damit das Linienintegral in ein einfaches Integral umgewandelt werden. Einzelheiten dazu findet man in Abschnitt bei Merziger und Wirth [160]. F¨ ur eine Punkt einer der kreisf¨ ormigen Mantellinien des Leiters, z. B. der agt, Abb. 21.1, ergibt sich also das Vektorinneren, deren Radius d/2 − r0 betr¨ potenzial, wenn man den Abstand r1 zwischen diesem Punkt der Mantellinie und dem L¨ angenelement ds der Leiterachse in Gl. (21.24) einf¨ uhrt. Nach der Bestimmung des Vektorpotenzials f¨ ur linienf¨ormige Leiter kann man daraus auch den magnetischen Fluss Φ berechnen. Ist die Fl¨ache A, bez¨ uglich derer der magnetische Fluss berechnet werden soll, durch eine geschlossene Kurve begrenzt, dann erh¨ alt man nach Gl. (21.23) den Fluss Φ, der mit der Mantellinie des linienf¨ ormigen Leiters verkettet ist, indem man das skalare Produkt des Vektorpotenzials mit einem L¨angenelement ds1 der Mantellinie bildet und die einzelnen Beitr¨ age u ¨ ber die ganze Mantellinie summiert (bzw. integriert). Es ergibt sich  
 d˜s µ0 I ds (21.26) Φ= 4π r − ˜r oder Φ=

µ0 I 4π

 

d˜s · ds . r − ˜r

(21.27)

302

21 L¨ osungsverfahren f¨ ur die Vektorpoisson-Gleichung

Beispiel: F¨ ur kreisf¨ ormige Linienleiter kann die Formel (21.27) weiter spezialisiert werden. Gem¨ aß der Definition des skalaren Produktes gilt die Beziehung d˜s · ds = d˜ s ds cos α,

(21.28)

wobei α der Winkel ist, den die beiden L¨ angenelemente miteinander bilden, Abb. 21.1. F¨ uhrt man dies in Gl. (21.27) ein, so folgt   d˜ sds cos α µ0 I . (21.29) Φ= 4π r − ˜r Den Abstand zwischen den beiden L¨ angenelementen und das L¨angenelement d˜ s kann man gem¨ aß Abb. 21.1 auf folgende Weise ausdr¨ ucken 

2  1 1 1 2 d + d − r0 − d d − r0 cos α; (21.30) r − ˜r = 4 2 2 
1 d − r0 dα. (21.31) d˜ s= 2 Die Integration u uhrt werden. Sie ergibt dπ. Damit ¨ ber ds kann vorab ausgef¨ erh¨ alt man eine in α parametrisierte Form des Liniendoppelintgrals  1  2π 1 µ0 I 2 d 2 d − r0 cos αdα  2π . (21.32) Φ= 2  1 1 4π 1 2 0 cos α d + d − r − d d − r 0 0 4 2 2 Das Integral l¨ asst sich durch die sogenannten elliptischen Integrale1 darstellen. Unter der Voraussetzung, dass der Drahtradius sehr klein ist gegen den Radius des Kreises, kann man einen einfachen N¨aherungsausdruck ableiten. Dann wird n¨ amlich aus Gl. (21.32) angen¨ ahert µ0 I Φ= √ d 4 2



2π

0

cos αdα  . r2 1 − cos α + 2 d02

(21.33)

oße sein soll, so ergeben sich erDa nun 2r02 /d2 eine gegen 1 sehr kleine Gr¨ hebliche Werte des Integranden nur in der Umgebung von cos α = 1, also f¨ ur α = 0 und α = 2π; der Verlauf des Integranden in Abh¨angigkeit von α ist in Abb. 21.2 aufgezeichnet. Man erh¨ alt daher einen N¨ aherungswert des Integrals, wenn man die N¨aherungsformel α2 (21.34) cos α ≈ 1 − 2 1

vgl. z. B. Abramowitz und Stegun [2]

21.3 Das Biot-Savart-Integral

303

Abbildung 21.2. Angen¨ aherte Berechnung des Integrals 21.33

ben¨ utzt und von 0 bis π/4 integriert, also in einem Bereich, in dem diese N¨aherungsformel noch brauchbar ist; das ganze Integral hat dann den doppelten Wert. Es gilt also   π/4  1 − 21 α2 dα µ0 I  d . (21.35) Φ≈ 2 r2 0 α2 + 4 d02 und daraus folgt angen¨ ahert Φ≈

d µ0 Id ln . 2 2r0

(21.36)

Das Ergebnis soll mit Hilfe folgender Zahlenwerte illustriert werden: Es sei d = 20cm, r0 = 1mm, I = 2A. Befinde sich die Drahtschleife in Luft, so wird nach Gl. (21.36) Φ≈

Vs 1, 257 · 10−6· 2 · 20 ln 100 Acm = 1, 16 · 10−6V s = 1, 16µW b. (21.37) 2 Am

Verdoppelt man den Durchmesser d, so wird Φ ≈ 2, 66µW b. Der magnetische Fluss w¨ achst also nicht proportional mit der Fl¨ache, wie man dies zun¨achst vermuten k¨ onnte, sondern eher proportional mit dem Durchmesser. Das magnetische Feld ist in der unmittelbaren Umgebung des Drahtes so stark konzentriert, dass im wesentlichen die Drahtl¨ ange maßgebend f¨ ur den Fluss ist.

21.3 Das Biot-Savart-Integral Eigentlich war das Gesetz von Biot, Savart und Amper`e der Ausgangspunkt f¨ ur die quantitative Behandlung des Magnetfeldes von stromf¨ uhrenden Leitern – der sogenannte Elektromagnetismus – und dessen Kraftwirkung Anfang des 19. Jahrhunderts. Einzelheiten der Entstehungsgeschichte der Theorie, die in u ¨ berraschend kurzer Zeit ausgebaut wurde, findet man u.a. bei H. Ebert [60]. An dieser Stelle soll nur summarisch auf einige Aspekte eingegangen werden.

304

21 L¨ osungsverfahren f¨ ur die Vektorpoisson-Gleichung

Grunds¨ atzlich waren magnetische Erscheinungen schon seit den Griechen bekannt, aber dabei handelte es sich um magnetische Wirkungen sogenannter Magneteisensteine. Erste Beobachtungen u ¨ ber die Kraftwirkung von stromf¨ uhrenden Leitern gehen auf Romagnosi im Jahre 1802 zur¨ uck. Systematische Experimente u ¨ ber elektromagnetische Erscheinungen anhand eines stromdurchflossenen Drahtes und einer Magnetnadel (vgl. Abschnitt 22.3.4) wurden dann erstmals von Ørsted durchgef¨ uhrt. Seine Ergebnisse teilte er am 21. Juli 1820 mit. Ørsteds Entdeckung teilte Arago am 4. September 1820 seinen franz¨ osischen Kollegen mit; der Versuch wurde dort am 11. September 1820 demonstriert. Wenige Tage sp¨ ater, n¨ amlich am 25. September 1820 zeigte Amper`e die gegenseitige Beeinflussung zweier stromf¨ uhrender Dr¨ahte. Weitere vier Wochen sp¨ ater – 30. Oktober 1820 – pr¨asentierten Biot und Savart erste quantitative Aussagen u ¨ber die magnetische Kraft“ auf einen Draht. ” Die bekannte Illustration der magnetischen Kraftwirkung mit Eisensp¨anen wurde u ¨ brigens erstmals von Seebeck im Jahre 1821 angegeben. Mit Hilfe eine Schwingungsvariometers“ zeigten sie, dass folgende Proportionalit¨aten ” gelten 1 , B ∼ I, (21.38) B ∼ r wobei wir uns der modernen Bezeichnungsweise B f¨ ur die Kraftwirkung bedienen. Daraus ergibt sich dann insgesamt (C: Konstante) B = C

I . r

(21.39)

Eine allgemeinere Form wurde 1823 von Amper`e angegeben. Dieses Ergebnis war damals h¨ ochst ungew¨ ohnlich und erregte die Gem¨ uter, denn die Kraftwirkung fiel nicht wie beim Gravitationsgesetz und der elektrostatischen Coulombkraft mit 1/r2 ab sondern mit 1/r. Laplace zeigte schließlich, dass es eine differentielle Form der Biot-Savartschen Gesetzm¨aßigkeit f¨ ur die magnetische Kraftwirkung gibt, die wieder im Einklang mit dem 1/r2 -Abfall der Kraftwirkung steht, obwohl Laplace dazu – in mathematisch nicht zwingender Weise – von der Summe auf die Summanden schließen musste; vgl. z. B. Behnke, Muschik, P¨ asler [22]. Man kann jedoch ein Experiment angeben, dass in einem gewissen Sinne die Vorgehensweise von Laplace rechtfertigt. Im folgenden gehen wir auf die Ableitung der Biot-Savart-Integrals, das eigentlich von Amper`e stammt, auf der Grundlage des Vektorpotenzials ein. In Abschnitt 21.2.2 haben wir gezeigt, dass das B-Feld eines Linienleiters mit einem modifizierten Kirchhoffintegral f¨ ur das Vektorpotenzials A ermittelt werden kann. Oft braucht man jedoch das Vektorpotenzial selbst nicht zu berechnen. Wir leiten im folgenden aus dem Vektorpotenzial eine Formel zur Berechnung des H-Feldes ab, die es gestattet, eine entsprechende Formel f¨ ur das B-Feld anzugeben. Das H-Feld ist nach Gl. (21.7) und (21.19)

21.3 Das Biot-Savart-Integral

H(r) =

1 rot 4π



J(˜r) dV˜ . r − ˜r

305

(21.40)

Diese Gleichung wenden wir nun auf einen Stromfaden“ an, also auf einen ” stromdurchflossenen Leiter von sehr geringem Querschnitt, oder auf einen durch Str¨ omungslinien begrenzten Ausschnitt aus einem drahtf¨ormigen Leiter endlichen Querschnittes. Ist A der Querschnitt des Stromfadens, ds ein L¨ angenelement und I der von dem Stromfaden gef¨ uhrte Strom, so gilt f¨ ur die Stromdichte I ds (21.41) J= A ds und es wird das Volumenelement dV = A · ds,

(21.42)

wobei ds := ds ist. F¨ uhrt man Gl. (21.41) und (21.42) in Gl. (21.19) ein, so geht das Volumenintegral in das Linienintegral l¨ angs des durch den Stromfaden gebildeten Stromkreises u ¨ ber. Es ist  d˜s I rot . (21.43) H(r) = 4π r − ˜r Dieser Ausdruck l¨ asst sich noch weiter vereinfachen, wobei r := r − ˜r

Abbildung 21.3. Zur Ableitung der Formel von Biot-Savart und Amper´e

gesetzt wird. Wir legen zur Berechnung von rot(ds/r) ein kartesisches Koordinatensystem so in den Raum, dass die x-Achse mit dem Linienelement ds zusammenf¨ allt, der Nullpunkt in dem Linienelement und der Punkt P in der x, y-Ebene liegen, Abb. 21.3. Der Vektor ds/r hat dann ebenfalls die xRichtung; sein Betrag ist ds ds =  . (21.44) 2 r x + y2 Daher wird nach Definition des Rotationsoperators

306

21 L¨ osungsverfahren f¨ ur die Vektorpoisson-Gleichung

 ds = r
 ds = roty r
 ds = rotz r
 ds rotz = r


rotx

0,

(21.45)

0,

(21.46)

∂ − ∂y



ds

yds  = 2 2 2 r x +y



ds × r , r3

=

sin αds . r2

(21.47) (21.48)

wenn unter r ein Vektor verstanden wird, der durch den Abstand zwischen dem Nullpunkt und dem Punkt P gegeben ist und nach dem Punkt P hinzeigt. F¨ ur das H-Feld ergibt sich damit schließlich  ds × r I . (21.49) H(r) = 4π r − ˜r3 Man kann diese Formel zur Berechnung magnetischer Felder von stromdurchflossenen linienf¨ ormigen Leitern folgendermaßen deuten. Die magnetische Feldst¨ arke setzt sich aus Anteilen zusammen, die von den einzelnen L¨angenelementen ds des Leiters herr¨ uhren, und die sich einfach summieren. Jeder Anteil ist gegeben durch dH =

I ds × r 4π r3

(21.50)

er hat also den Betrag dH := dH =

I ds sin α 4π r2

(21.51)

und eine Richtung, die senkrecht auf der durch ds und r gebildeten Ebene steht. Der Vektor der magnetischen Feldst¨arke selbst ergibt sich, wenn man alle Teilvektoren, die von den einzelnen L¨angenelementen des elektrischen Stromkreises herr¨ uhren, geometrisch addiert. Da der r¨aumliche Verlauf des Stromes in den meisten F¨ allen durch die Stromleiter vorgeschrieben ist, so kann man mit Hilfe der Amper`esche Formel, Gl. (68), grunds¨atzlich die Aufgabe der Berechnung magnetischer Felder von elektrischen Stromkreisen l¨osen, wenn auch die zu diesem Zweck auszuf¨ uhrende Integration in vielen F¨allen nicht zu einfachen Ausdr¨ ucken f¨ uhrt. Weiterhin wird, wie bereits gesagt, bei der Amper`eschen Interpretation von der Summe“ (21.3) auf die Summanden geschlossen, was nat¨ urlich nicht ” korrekt ist. Außerdem ist zu beachten, dass die Amper`esche Formel nur unter der Voraussetzung gilt, dass µ im ganzen Raum konstant ist.

21.4 Die Multipolmethode

307

21.4 Die Multipolmethode In Abschnitt 21.2.1 haben wir das Kirchhoff-Integral f¨ ur die Vektor-Poissongleichung A = −µJ diskutiert, wobei es sich um eine spezielle L¨osung dieser partiellen Differentialgleichung handelt; man erh¨ alt nach Gl. (21.19)  J(˜r) ˜ µ dV . (21.52) A(r) = 4π r − ˜r Dieses Integral l¨ asst sich nur sehr selten analytisch behandeln. Daher haben wir in Abschnitt 21.2.2 ein N¨ aherungsverfahren diskutiert, bei dem d¨ unne“ ” Stromf¨ aden vorausgesetzt werden. Aus dem Volumenintegral in Gl. (21.52) wird dann ein Linienintegral, das man deutlich ¨ofter in analytischer Weise bestimmen kann. In diesem Abschnitt wollen wir noch kurz auf eine andere N¨aherung eingehen, die wir schon in Zusammenhang mit der skalaren Poissonsche Gleichungen vorgestellt haben; es handelt sich um die Multipol-Entwicklung. Wie in Abschnitt 11.5 beschrieben, gehen wir dabei von einer vollst¨andig im Endlichen gelegenen Stromverteilungsdichte J aus und entwickeln den Nenner des Integranden des Kirchhoff-Integrals (21.52) 1/r − ˜r in eine Reihe; im allgemeinen f¨ uhrt das nach Gl. (11.33) auf Legendre-Polynome. Man erh¨alt dann eine Reihe von additiven Anteilen des Vektor-Potenzials ∞ 

A(r) =

An (r),

(21.53)

n=0

wobei die Anteile An in integraler Form in integraler Form vorliegen. Die erste beiden Terme ergeben sich zu   µ J(˜r) ˜ r · J(˜r) ˜ µ dV + dV . (21.54) A(r) ≈ 4π r 4π r − ˜r3 V V Der interessanteste Anteil ist der magnetische Monopolterm in Gl. (21.54). Grunds¨ atzlich muss dieser Term wegen divB = 0 verschwinden, weil damit magnetische Monopole ausgeschlossen sind. Tats¨achlich folgt das Verschwinden des Monopolterms aus divJ = 0, wobei eine etwas verwickeltere Rechnung durchgef¨ uhrt werden muss; vgl. z. B. Schnackenberg ([202], S. 137ff). Der Dipolterm in Gl. (21.54) kann etwas umgeformt werden; man erh¨alt (siehe auch Abschnitt 19.4) µ m×r , 4π r3

A(r) ≈ mit

1 m := 2

(21.55)

 ˜r × J(˜r) dV˜ .

(21.56)

V

Man kann nat¨ urlich die Multipol-Entwicklung auch noch mit der in Abschnitt 21.2.2 behandelten N¨ aherung mit Stromf¨ aden kombinieren, so dass die Dipolund sogar die Quadrupol-N¨ aherung analytisch ausgewertet werden kann.

308

21 L¨ osungsverfahren f¨ ur die Vektorpoisson-Gleichung

¨ Allgemeinere Uberlegungen zur magnetischen Multipol-Entwicklung findet man bei u. a. Eder [61] und Schnackenberg [202]. Verallgemeinerte Multipol-Entwicklungen mit sogenannten Debye-Potenzialen diskutiert Gray [78], wo man auch zahlreiche weitere Hinweise und Literatur zur Methode der Multipol-Entwicklung findet.

21.5 Das skalare magnetische Potenzial und konforme Abbildungen Die Berechnung des genauen Verlaufes des H-Feldes, aus dem dann bei konstanter Permeabilit¨ at das B-Feldes berechnet werden kann, stellt ein ¨ahnliches Problem dar wie die Berechnung elektrischer Felder, und es gelten sogar außerhalb der stromdurchflossenen Leiter ganz ¨ ahnliche Gesetze wir dort. Nach dem Durchflutungsgesetz hat das Linienintegral des H-Feldes den Wert Null, wenn der Integrationsweg nicht mit Str¨omen verkettet ist. In der ¨aquivalenten differentiellen Form gilt rot H = 0.

(21.57)

Unter bestimmten Voraussetzung kann man eine L¨osung dieser partiellen Differentialgleichung angeben H = −grad ψ. (21.58) Aus der integralen Form geht hervor, dass das Linienintegral des H-Feldes f¨ ur beliebige Wege zwischen zwei Punkten a und b denselben Wert hat, wenn die Wege ineinander u uhrt werden k¨ onnen, ohne dass stromdurchflossene ¨bergef¨ Leiter geschnitten werden. Das Linienintegral h¨angt nur von der Lage der Endpunkte a und b im magnetischen Feld ab; man kann dies, wie im Falle des elektrischen Feldes mit Hilfe des skalaren Feldes ψ ausdr¨ ucken, das wir gerade eingef¨ uhrt haben. Wir verwenden daher auf der Grundlage der Gleichung (21.58) die folgende Integraldarstellung des magnetischen Potenzials  b H · ds = ψa − ψb . (21.59) a

Das H-Feld kann also außerhalb der Stromleiter durch den Gradienten eines skalaren Potenzials ausgedr¨ uckt werden. Das Linienintegral des H-Feldes zwischen zwei Punkten bezeichnet man daher auch als magnetische Spannung. Es kann mit dem magnetischen Spannungsmesser nach Rogowski (vgl. Abschnitt 19) gemessen werden. Das Linienintegral u ¨ber einen in sich geschlossenen Weg ist die magnetische Umlaufspannung, und das Durchflutungsgesetz kann daher auch in der Form ausgesprochen werden: Die magnetische Umlaufspannung l¨angs eines beliebigen ” Weges ist gleich der Durchflutung des Weges.“ Als Einheit der magnetischen Spannung dient wie f¨ ur die Durchflutung 1A; fr¨ uher wurde auch ben¨ utzt:

21.5 Das skalare magnetische Potenzial und konforme Abbildungen

1 Gilbert =

1 10 A= A. 4π 1, 257

309

(21.60)

F¨ uhrt man in Gl.(21.58) das B-Feld mit Hilfe der Gln. (18.25) ein, so ergibt sich div(µgrad ψ) = 0. (21.61) Wenn die Permeabilit¨ at µ eine Konstante ist, wie insbesondere in Luft, so folgt daraus ψ = 0. (21.62) F¨ ur das magnetische Potenzial außerhalb der Stromleiter gilt also die Laplacesche Potenzialgleichung. Zur Berechnung solcher magnetischen Felder k¨onnen daher die gleichen Methoden angewendet werden wie beim elektrischen Feld.

Abbildung 21.4. Zur Berechnung der magnetischen Schirmwirkung einer Hohlkugel

Beispiel: Als Anwendungsbeispiel werde die magnetische Schirmwirkung einer Hohlkugel aus Eisen betrachtet. Die Hohlkugel mit den Radien r1 und r2 , Abb. 21.4, bestehe aus Material mit der konstanten Permeabilit¨at µ und befinde sich in einem homogenen magnetischen Feld. Gefragt ist nach der H-Feldst¨ arke Hi im Innern des Hohlraumes, wenn die H-Feldst¨arke Ha des urspr¨ unglichen homogenen Feldes gegeben ist. Wir wenden die in Abschnitt 10.1.4 behandelte Vorgehensweise an und versuchen, die Grenzbedingungen durch den Ansatz (10.36) zu erf¨ ullen. Es gelte also f¨ ur den Innenraum  c21  (21.63) ψ1 = c11 r + 2 cos α, r f¨ ur die Kugelwand

f¨ ur den Außenraum

 c22  ψ2 = c12 r + 2 cos α, r  c23  ψ3 = c13 r + 2 cos α, r

(21.64) (21.65)

310

21 L¨ osungsverfahren f¨ ur die Vektorpoisson-Gleichung

Die Grenzbedingungen sind ∂ψ2 ∂ψ2 ∂ψ1 ∂ψ1 = und µ0 =µ ; ∂α ∂α ∂r ∂r ∂ψ3 ∂ψ2 ∂ψ3 ∂ψ2 = und µ = µ0 . f¨ ur r = r2 : ∂α ∂α ∂r ∂r f¨ ur r = r1 :

(21.66) (21.67)

Ferner muss im Innenraum ψ1 endlich bleiben, d. h. c21 = 0 sein, und das Potenzial im Außenraum muss f¨ ur r → ∞ in das Potenzial des homogenen Feldes u uhren der Ans¨atze (21.63)¨bergehen, d. h. c13 = Ha . Durch Einf¨ (21.65) in die Grenzbedingungen findet man leicht, dass diese mit bestimmten Werten der Koeffizienten erf¨ ullt werden k¨ onnen. F¨ ur die H-Feldst¨arke Hi im Innenraum (= c11 ) ergibt sich  Hi = 9Ha

(µr − 1)2 5 −2 2µr + 5 + µr µr




r1 r2

3 −1 .

(21.68)

Wenn die relative Permeabilit¨ at des Schirmmaterials µ groß gegen 1 ist, folgt aus Gl. (21.68) die N¨ aherungsformel f¨ ur den Schirmfaktor“ ” 4, 5 r22 Hi = . Ha µr r23 − r13

(21.69)

Im Innern, der Hohlkugel entsteht also ebenfalls ein homogenes Feld mit einer Feldst¨ arke, die um so kleiner wird, je gr¨ oßer µr ist. In der folgenden Tabelle 21.1 sind einige Zahlenwerte angegeben f¨ ur ein Abschirmgeh¨ause mit einem ohnlichem Eisen mit µr = 200 und verschiedener Radius r1 = 5cm aus gew¨ Wandst¨ arke d. In gleicher Weise kann man untersuchen, wie eine Unterteilung

d/mm = Hi /Ha =

1 2 5 10 0, 40 0, 20 0, 090 0, 053

Tabelle 21.1. Zusammenhang von Schirmfaktor und Wandst¨ arke

der Kugelwand in mehrere Schichten die Schirmwirkung verbessert. Das hier berechnete Feldst¨ arkeverh¨ altnis gilt nur f¨ ur station¨are magnetische Felder. Bei magnetischen Wechselfeldern w¨ achst die Schirmwirkung infolge der im Eisen entstehenden Wirbelstr¨ ome, die das erzeugende Feld noch weiter schw¨achen, siehe Abschnitt 29 und 34.1. Das magnetische Potenzial ist keine eindeutige Gr¨oße, da das Linienintegral des H-Feldes, also die Spannung bei einem mit Str¨omen verketteten Weg, nicht Null ist, sondern Θ. Geht man n-mal um den Stromleiter herum, so

21.5 Das skalare magnetische Potenzial und konforme Abbildungen

311

vergr¨ oßert sich das Potenzial ψ um den Wert nΘ. Da jedoch nur Potenzialdifferenzen gemessen werden k¨ onnen und die Wirkungen nur von dem H-Feld abh¨ angen, so spielt diese Vieldeutigkeit praktisch keine andere Rolle als die Unbestimmtheit des Potenzials u ¨berhaupt. An die Stelle der Grenzbedingungen des elektrischen Feldes treten hier die in Abschnitt 22.3 abgeleiteten analogen Bedingungen und das Durchflutungsgesetz. Genau wie beim elektrischen Feld kann auch hier die Methode der konformen Abbildung (vgl. Abschnitt 11.7) benutzt werden. Z.B. liefert die Funktion f (ζ) = c ln ζ (21.70) das H-Feld in der Umgebung eines geraden langgestreckten Leiters, das konzentrische kreisf¨ ormige H-Feldlinien aufweist und ebene Potenzialfl¨achen, die die Leiterachse enthalten. Das Potenzial ist ψ = c α;

(21.71)

die Potenzialfl¨ achen sind durch α =konst. gegeben. F¨ ur den Betrag des HFeldfeldes folgt daraus H = Hα = −

c dψ =− , d(rα) r

(21.72)

und die Konstante c ergibt sich aus dem Durchflutungsgesetz; man erh¨alt c=−

I , 2π

(21.73)

wenn die positive Richtung von α und H rechtsl¨aufig mit der positiven Richtung des Stromes I verkn¨ upft ist. Da die Potenzialgleichung eine lineare Differentialgleichung ist, so folgt, dass sich bei Vorhandensein mehrerer Leiter die Einzelfelder ungest¨ort u ¨ berlagern. Voraussetzung daf¨ ur ist lediglich, dass u ¨ berall µ = konst.

(21.74)

ist. Mit Hilfe dieses Satzes kann man die magnetischen Felder in der Umge-

Abbildung 21.5. Berechnung des magnetischen Feldes

312

21 L¨ osungsverfahren f¨ ur die Vektorpoisson-Gleichung

bung von Mehrleitersystemen berechnen. Bezeichnet 1, 2 und 3 in Abb. 21.5 drei parallele Leiter, die von den Str¨ omen I1 , I2 , I3 durchflossen werden (positive Richtung von hinten nach vorn), so gilt f¨ ur das magnetische Potenzial in irgendeinem Punkt P ψ=−

1 (I1 α1 + I2 α2 + I3 α3 ). 2π

(21.75)

Daraus leiten sich die Komponenten des H-Feldes in der x- und y-Richtung ab. Es ist z.B. Hx = −gradx ψ =

∂α1 ∂α2 ∂α3 1 (I1 + I2 + I3 ). 2π ∂x ∂x ∂x

(21.76)

¨ Die partiellen Differentiale der Winkel α bei einer Anderung von x findet man aus der Beziehung x = y cot α + k. (21.77) Hieraus ergibt sich durch partielles Differenzieren: 1=− oder

Daher wird Hx = −

1 2π

y ∂α . sin2 α ∂x

(21.78)

sin2 α sin α ∂α =− =− . ∂x y r

(21.79)


sin α1 sin α2 sin α3 + I2 + I3 . I1 r1 r2 r3

(21.80)

Genau so folgt f¨ ur die Komponente von H in der y−Richtung 
cos α1 cos α2 cos α3 1 + I2 + I3 . I1 Hy = − 2π r1 r2 r3

(21.81)

In großer Entfernung von den drei Leitern werden die Abst¨ande und die Winkel einander gleich. Dann folgt 1 (I1 + I2 + I3 ) sin α, 2πr 1 (I1 + I2 + I3 ) cos α. Hy = + 2πr

Hx = −

Der Betrag der magnetischen Feldst¨ arke ist in großer Entfernung  1 (I1 + I2 + I3 ). H = Hx2 + Hy2 = 2πr

(21.82) (21.83)

(21.84)

Das magnetische Feld ist also in großer Entfernung von einem System paralleler Leiter so beschaffen, wie wenn nur ein Leiter vorhanden w¨are, der die Summe der Str¨ ome f¨ uhrt.

21.5 Das skalare magnetische Potenzial und konforme Abbildungen

313

Handelt es sich um Hin- und R¨ uckleitung eines einzigen Stromkreises, dann ist zu setzen I1 = −I2 = I, und es wird ψ=−

1 I(α1 − α2 ). 2π

(21.85)

Die Potenziallinien sind daher Kreise, die durch die Spuren der Leiterachse hindurchgehen, und deren Mittelpunkte auf der Mittelsenkrechten zur Verbindungslinie dieser Spuren liegen; sie entsprechen den Verschiebungslinien des elektrischen Feldes. Da die magnetischen Induktionslinien die Potenziallinien senkrecht schneiden m¨ ussen, so sind sie durch die Appollonischen Kreise dargestellt wie die Potenziallinien des elektrischen Feldes (Abb. 10.14). Die H-Feldst¨ arke ist auf der Verbindungslinie der Leiterspuren
 1 1 1 I + , (21.86) H = Hy = 2π r1 r2 da cos α1 = +1 und cos α2 = −1. Sie setzt sich zusammen aus den von den beiden Leitern herr¨ uhrenden Beitr¨ agen kreisf¨ ormiger Leiter nach dem Durchflutungssatz. Bezeichnet a den Abstand zwischen den beiden Drahtachsen, so wird r2 = a − r1 und
 1 1 1 I + . (21.87) H = 2π r1 a − r1 Der magnetische Fluss Φ, der durch einen Streifen von der Breite dr1 und der L¨ange l zwischen den beiden Leitern hindurchgeht, ist
 1 1 µ0 Il + . (21.88) dΦ = Bldr1 = 2π r1 a − r1 Der gesamte Fluss im Luftraum zwischen den beiden Leitungen ergibt sich hieraus durch Integration von r1 = r0 bis r1 = a−r0 , wenn r0 den Leiterradius bezeichnet. Es wird   a−r0
a − r0 1 µ0 1 µ0 Il Il ln + . (21.89) dr1 = Φ= 2π r a − r π r0 1 1 r0 ¨ Von dem Prinzip der ungest¨ orten Uberlagerung der Einzelfelder kann man ferner Gebrauch machen zur Berechnung des magnetischen Feldes bei stabf¨ormigen Leitern beliebigen Querschnitts. Man zerlegt den Querschnitt in Fl¨achenelemente dA; dann wird bei einer Stromdichte J die Stromst¨arke in einem solchen Querschnitt JdA. Die Komponenten des H-Feldfeldes in einem Punkt P sind dann nach den Gl. (21.80) und (21.81)  sin α 1 dA, (21.90) Hx = − J 2π r  cos α 1 J dA, (21.91) Hy = 2π r

314

21 L¨ osungsverfahren f¨ ur die Vektorpoisson-Gleichung

Abbildung 21.6. Berechnung des magnetischen Feldes eines Rechtstabes

wobei die Integrale u ¨ ber den ganzen Leiterquerschnitt zu bilden sind. Beispiel: F¨ ur die in Abb. 21.6 gezeichnete Schiene mit rechteckigem Querschnitt stellt man das Fl¨ achenelement durch ein kleines Rechteck dar. Die Koordinaten des Rechtecks seien x = X, y = Y , die Seiten Dann wird  (21.92) r = (y − Y )2 + (x − X)2 , x−Y y−Y , = cos α = , (21.93) sin α = r r und es ergibt sich 1 I Hx = − 2π ab





+b/2

+a/2

dX −b/2

−a/2

y−Y dY. (y − Y )2 + (x − X)2

(21.94)

Die Ausf¨ uhrung der Integration liefert  2 2 + x2+b/2 + x2−b/2 y+a/2 y+a/2 1 1 I x+b/2 ln 2 − x−b/2 ln 2 (21.95) Hx = 2 2πab 2 y−a/2 + x+b/2 2 y−a/2 + x2−b/2 
x−b/2 x+b/2 − arctan (21.96) +y+a/2 arctan y+a/2 y+a/2 
x−b/2 x+b/2 − arctan . (21.97) −y−a/2 arctan y−a/2 y−a/2 mit x+b/2 := x + b/2, x−b/2 := x − b/2, y+a/2 := y + y/2 und y−a/2 := y − a/2. Der Ausdruck f¨ ur Hy ergibt sich hieraus, wenn u ¨berall x und y sowie a und b miteinander vertauscht werden. Die Feldlinien bilden ellipsen¨ahnliche Kurven, wie in Abb. 21.6 gestrichelt angedeutet. Die Beziehungen (21.90) und (21.91) gelten auch f¨ ur das Feld innerhalb des Leiters, wenn der Leiter die gleiche Permeabilit¨at besitzt wie die Umgebung. Genau so wie außerhalb des Leiters addieren sich auch im Innern in jedem Punkt des Leiterquerschnitts die Wirkungen der Str¨ome aus den u ¨ brigen Querschnittsteilen. Dagegen gilt im Innern der Leiter nicht die Laplacesche Potenzialgleichung, bei deren Ableitung vorausgesetzt wurde, dass der betrachtete Raumteil stromlos ist. Beim geraden Leiter mit Kreisquerschnitt

21.5 Das skalare magnetische Potenzial und konforme Abbildungen

315

Abbildung 21.7. H-Feld bei einer Doppelleitung

muss wegen der Symmetrie die magnetische Feldst¨arke im Innern des Leiters ebenso wie außerhalb f¨ ur Punkte gleichen Abstandes von der Achse konstante Werte haben; die Feldlinien sind konzentrische Kreise. Man kann daher das Durchflutungsgesetz unmittelbar anwenden. Bei gleichm¨aßiger Verteilung des Stromes u ¨ ber den Leiterquerschnitt ist die durch eine Feldlinie mit dem Radius r hindurchgef¨ uhrte Stromst¨ arke Ir =

r2 I, r02

(21.98)

wenn r0 wieder den Leiterradius und I den Gesamtstrom bezeichnen. Daher wird nach dem Durchflutungsgesetz   r2 (21.99) H · ds = H ds = H2rπ = 2 I, r0 r I. (21.100) H = 2πr02 Auf der Verbindungsebene der beiden Drahtachsen ergibt sich damit ein Verlauf der magnetischen Feldst¨ arke, wie ihn Abb. 21.7 zeigt. Das Feld im Leiterinnern gen¨ ugt nicht der Laplaceschen Potenzialgleichung. Diese lautet im vorliegenden zylindrischen Fall aufgrund der Rotationssymmetrie (vgl. Anhang B.1) 1 ∂ψ ∂2ψ = 0. + ∂r2 r ∂r Aus der Gl. (21.100) ergibt sich das Potenzial (H := H)  1 r2 αI + k. ψ = − Hrdα = − 2π r02 Daraus folgt

1 r2 ∂ψ = − 2 αI; ∂r π r0

∂2ψ 1 αI =− . 2 ∂r π r02

(21.101)

(21.102)

(21.103)

Der Ausdruck auf der linken Seite von Gl. (21.101) wird daher −(2/π)(αI/r02 ), ist also von Null verschieden.

22 Beispiele fu are Magnetfelder ¨r station¨

22.1 Anwendung der Amper` eschen Formel und des Vektorpotenzials Zun¨ achst werde mit Hilfe der Amper`eschen Formel das B-Feld auf der im Mittelpunkt eines stromf¨ uhrenden Drahtringes, Abb. 22.1, senkrecht zur Ringebene stehenden Achse berechnet. In irgendeinem Punkt dieser ruft nach Gl.(21.51) ein Leiterelement des Stromkreises ein H-Feld hervor vom Betrage dH =

I ds 1 ds . I = 4π r 4π a2 + 41 d2

(22.1)

Der entsprechende Vektor liegt in der durch die Achse und das Leiterelement gehende Ebene und steht senkrecht auf der Verbindungslinie des Leiterelementes mit dem betrachteten Punkt. Je zwei einander gegen¨ uberliegende Leiterelemente ergeben daher einen Beitrag zum H-Feld, der in die Richtung der Achse f¨ allt, Abb. 22.1, er ist 2dH sin β = dH

a2

d , + 41 d2

(22.2)

da β auch als Winkel zwischen a und r vorkommt. Man erh¨ alt die gesamte H-Feldst¨ arke in dem betrachteten Punkt, wenn man alle diese Beitr¨ age summiert. Da hier  πd (22.3) ds = 2 ist, so ergibt sich H =

I d2 I = sin β.  3 8 d a2 + 41 d2

(22.4)

22.1 Anwendung der Amper`eschen Formel und des Vektorpotenzials

317

Abbildung 22.1. Magnetisches Feld eines Drahtringes

Bei großen Abst¨ anden nehmen H- und B-Feld also umgekehrt proportional zur dritten Potenz des Abstandes ab. Im Mittelpunkt des Ringes, α = 0, β = 90◦ , wird I (22.5) H = . d Die Formel (22.4) kann zur Berechnung des B-Feldes in der Achse einer Zylinderspule ben¨ utzt werden; man hat hier die von dem einzelnen Windungen herr¨ uhrenden Beitr¨ age zum H-Feld zu summieren. Anmerkungen: 1. Ein magnetisches Feld von der hier betrachteten Art entsteht auch im Außenraum einer Ringspule (Toroid), wenn der Ring fortlaufend bewickelt ist. Bei gegenl¨ aufig gewickelten Lagen heben sich je zwei aufeinander folgende Lagen in ihrer Wirkung nach außen auf; ist die Anzahl der Lagen ungerade, so ergibt die u ¨ brigbleibende Lage ein magnetisches Feld außerhalb der Spule wie ein Drahtring vom Durchmesser des Toroids. 2. In unmittelbarer N¨ ahe des Drahtringes, Abb. 22.1, bilden die Feldlinien ungef¨ ahr konzentrische Kreise in Ebenen, die die Ringachse a enthalten. Jede solche Achsenebene zeigt ein ¨ ahnliches Bild der magnetischen Feldlinien, wie es in der Querschnittsebene einer Doppelleitung (Abschnitt 21.5) vorliegt. Zu einer theoretisch interessanten Feststellung gelangt man, wenn man sich in die Achse a des Drahtringes einen zweiten stromf¨ uhrenden geraden Leiter gelegt denkt. Die von diesem Leiter allein herr¨ uhrenden Feldlinien w¨ urden Kreise sein, die zum Drahtring koaxial verlaufen. Fließen in beiden Leitern Str¨ome, so u uhrenden an jeder Stelle ¨ berlagern sich die Felder; zu dem vom Drahtring herr¨ quer zum Drahtring gerichteten H-Feld addiert sich eine vom geraden Leiter herr¨ uhrende Komponente in tangentialer Richtung. Das resultierende Feld hat daher in der N¨ ahe des Drahtringes schraubenf¨ormige Feldlinien, die sich um den Drahtring herumwinden. Die Gangh¨ ohe h¨angt von dem Verh¨altnis der Stromst¨ arken in den beiden Leitern ab, so dass sich die Schraubenlinien erst nach einem oder mehreren Uml¨ aufen, gegebenenfalls sogar erst nach unendlich vielen Uml¨ aufen schließen.

318

22 Beispiele f¨ ur station¨ are Magnetfelder

22.2 Anwendung des magnetischen Potenzials Die Amper`esche Formel gilt nicht, wenn ferromagnetische Stoffe im Raum vorhanden sind; denn sie bezieht sich auf s¨ amtliche Str¨ome im Raum, also auch auf die Molekularstr¨ ome in den magnetischen Stoffen, die aber von vornherein nicht bekannt sind. Bei der Ableitung wurde die Voraussetzung eingef¨ uhrt, dass die Permeabilit¨ at µ im ganzen Raume eine Konstante sei. Wenn µ in verschiedenen Raumgebieten verschiedene Werte hat, innerhalb dieser Gebiete aber als konstant angesehen werden kann, dann lassen sich die Methoden der Potenzialtheorie anwenden, da nach Abschnitt 21 in diesen Gebieten die Potenzialgleichung gilt. Als Beispiel werde ein gerader Stromleiter betrachtet, der in einen Eisenk¨ orper mit ebener Begrenzung eingebettet ist. Der Leiter soll in einer Bohrung im Eisenk¨ orper parallel zur Begrenzungsebene liegen, Abb. 22.2 (z.B. Stromleiter im Anker einer elektrischen Maschine). Der Abstand der Leiterachse von der Begrenzungsebene sei h. Wir nehmen ferner an, dass die Permeabilit¨ at des Eisens konstant sei. Dies gilt nur angen¨ahert f¨ ur kleine Feldst¨ arken. Die Ver¨ anderlichkeit der Permeabilit¨at mit der Feldst¨arke f¨ uhrt zu Komplikationen, die theoretische nur schwierig ber¨ ucksichtigt werden k¨onnen.

Abbildung 22.2. Stromleiter in einem Eisenk¨ orper

In Analogie zu dem Verfahren der Spiegelung versuchen wir, die Grenzbedingungen an der Oberfl¨ ache des Eisenk¨ orpers dadurch zu erf¨ ullen, dass wir f¨ ur die Berechnung des Feldes im Innern des Eisenk¨orpers einen zweiten Leiter A mit dem Abstand h auf der anderen Seite der Grenzfl¨ache anbringen und uns dann auch den Außenraum durch einen Stoff mit der gleichen Permeabilit¨ at ausgef¨ ullt denken. Bezeichnet I die Stromst¨arke im Leiter A, I  die Stromst¨ arke im Leiter A , so hat die Tangentialkomponente des H-Feldes in irgendeinem Punkt P der Grenzfl¨ ache gem¨aß Gl.(21.81) den Betrag 
 1 OA OA 1  OA −I (I − I  ). (22.6) = I Ht = 2  2 2π 2π (AP )2 (AP ) (A P )

22.2 Anwendung des magnetischen Potenzials

319

F¨ ur die Normalkomponente des B-Feldes ergibt sich dot nach Gl.(21.80) der Wert µ OA (I + I  ). (22.7) Ht = 2π (AP )2 Das Feld im Außenraum denken wir uns versuchsweise dargestellt durch einen ahrend das Eisen durch Luft ersetzt wird. Ein solcher Strom I  im Leiter A, w¨ Strom ruft in der Grenzfl¨ ache die Tangentialkomponente des H-Feldes Ht =

1 OA  I 2π (AP )2

(22.8)

und die Normalkomponente des B-Feldes Ht =

µ OA  I 2π (AP )2

(22.9)

hervor. Da beide Komponenten an der Grenzfl¨ ache stetig sein m¨ ussen, so folgt I  = I − I  ;

I  = µr (I + I  ).

(22.10)

Die Grenzbedingungen sind also erf¨ ullt, wenn µr − 1 I; µr + 1 2µr I. I  = µr + 1 I = −

(22.11) (22.12)

In Abb. 22.2 sind einige Feldlinien gestrichelt gezeichnet. Das gleiche Verfahren kann man auch anwenden, wenn der Leiter außerhalb des Eisenk¨ orpers liegt. In vielen F¨ allen ist die Permeabilit¨at µr so groß, dass die B-Feldlinien praktisch senkrecht aus dem Eisen austreten. Dann wird die Eisenoberfl¨ ache eine Niveaufl¨ ache. Um unter dieser Voraussetzung das Feld im Außenraum, Abb. 22.3, zu berechnen, hat man jenseits der Grenzfl¨ ache das Spiegelbild A des Leiters A anzubringen, das den gleichen Strom I f¨ uhrt wie der Leiter A. Das magnetische Potenzial kann dann nach Gl. (21.75) berechnet werden; in der Abbildung sind einige Feldlinien eingezeichnet. Auf der durch den Leiter gelegten Normalebene hat das H-Feld den Wert
 1 1 I + ; (22.13) H = 2π x − h x + h sie erscheint gegen¨ uber der Feldst¨ arke des im freien Raum befindlichen Leiter bei großen Abst¨ anden x verdoppelt infolge der Wirkung des Eisenk¨orpers. Das Verfahren der Spiegelung f¨ uhrt auch bei zylindrischen Eisenk¨orpern zum Ziel. Nach Abb. 22.4 befinde sich bei A ein Leiter mit dem Strom I in einem Eisenzylinder mit dem Radius r0 und der relativen Permeabilit¨at µr .

320

22 Beispiele f¨ ur station¨ are Magnetfelder

Abbildung 22.3. Stromleiter außerhalb des Eisenk¨ orpers

Hier kann man das Feld im Innern darstellen als Feld in einem Raum mit der uhrt wird, wobei Permeabilit¨ at µr , durch den bei A ein Strom I  gef¨ d=

r02 . b

(22.14)

Abbildung 22.4. Stromleiter im Innern eines Eisenzylinders

Das Feld im Luftraum l¨ asst sich darstellen als Feld zweier paralleler Stromleiter, M mit einem Strom I  und A mit einem Strom I  , die sich frei in Luft befinden. Durch Einf¨ uhren der Grenzbedingungen f¨ ur die tangentialen und radialen Feldkomponenten an der Oberfl¨ ache des Eisenzylinders ergeben sich drei Bedingungsgleichungen f¨ ur die unbekannten Str¨ome I  , I  und I  , aus denen diese berechnet werden k¨ onnen. Es folgt I  = I  = −

µr − 1 I µr + 1

und

I  =

2µr I. µr + 1

(22.15)

Wird µr = ∞ gesetzt, so folgt I  = I  = −I;

I  = 2 I.

(22.16)

22.2 Anwendung des magnetischen Potenzials

321

In den meisten F¨ allen komplizierterer Formen der Eisenk¨orper, wie in elektrischen Maschinen und Apparaten, kann der Feldverlauf mit einem Feldsimulator bestimmt werden. Es ist auch m¨ oglich, den Feldverlauf auf graphischem Wege zu ermitteln. Es gelten dann außerhalb der Stromleiter sinngem¨aß die gleichen Regeln, wie sie in Abschnitt 11.2.1 f¨ ur das elektrische Feld abgeleitet wurden; an die Stelle der Dielektrizit¨ atskonstante tritt die Permeabilit¨at. Meist kann man dabei zur Berechnung des Luftfeldes die Permeabilit¨at des Eisens als unendlich groß annehmen, so dass die Begrenzungsfl¨achen Niveaufl¨ achen sind. F¨ ur den Feldverlauf innerhalb der Wicklung erh¨alt man eine brauchbare Ann¨ aherung, wenn man sich den Strom gleichm¨aßig u ¨ber den Wicklungsquerschnitt verteilt denkt; die Flussdichte muss dabei mit Hilfe des Durchflutungsgesetzes kontrolliert werden.

Abbildung 22.5. Streufeld einer Drosselspule

Die Abb. 22.5 veranschaulicht z.B. das Luftfeld der in Abschnitt 22.3 berechneten Eisenkernspule, Abb. 22.9. Alle Feldlinien, die auf den Eisenk¨orper einm¨ unden, schließen sich innerhalb des Eisenk¨orpers und zwar so, dass sie mit der Wicklung oder mit einem Teil davon verkettet sind. H¨aufig kann man die magnetischen Streufelder mit einer gen¨ ugenden Genauigkeit berechnen, wenn man den magnetischen Widerstand des Eisens vernachl¨assigt. F¨ ur die Flussdichte an der Stelle 1, Abb. 22.5, gilt z.B. B · 7, 2 cm = µ0 (IN − 1960 A) oder Vs 1, 257 · 1660 µV s A 0, 029 2 = 0, 029 T. B = 7, 2 Am cm m

(22.17) (22.18)

In der Mitte des Wicklungsquerschnittes, etwa bei 2, hat die Flussdichte einen noch kleineren Wert, weil die Durchflutung der Feldlinie2 nur noch halb so groß ist. Eine f¨ ur manche Zwecke zul¨ assige Vereinfachung ergibt sich, wenn man die Wicklung durch unendlich d¨ unne, stromf¨ uhrende Schicht ersetzt. Man versteht unter Strombelag A den Strom, der in dieser Schicht je L¨ange des Querschnittes gef¨ uhrt wird. In einer solchen Schicht erfahren die magnetischen Feldlinien eine Brechung, da die Normalkomponente des B-Feldes stetig

322

22 Beispiele f¨ ur station¨ are Magnetfelder

Abbildung 22.6. Feldbild einer Gleichstrommaschine

hindurchgeht, w¨ ahrend f¨ ur die Tangentialkomponente des H-Feldes nach dem Durchflutungsgesetz gilt (22.19) Ht1 − Ht2 = A. Die Abb. 22.6 zeigt als Beispiel das auf diese Weise ermittelte Feldbild einer Gleichstrommaschine bei Leerlauf1 . Durch einen solchen Strombelag kann nach Abschnitt 22.3 auch die innere Durchflutung bei permanenten Magneten dargestellt werden.

22.3 Der magnetische Kreis: Elektro- und Dauermagnete 22.3.1 Grundgleichungen des magnetischen Kreises ¨ F¨ ur den Ubergang eines magnetischen Induktionsflusses von einem Stoff zu ¨ einem anderen gelten ¨ ahnliche Gesetze wie f¨ ur den Ubergang des dialektischen Verschiebungsflusses zwischen zwei Isolierstoffen. Erfahrungsgem¨aß gibt es aber keine Quellen des magnetischen Induktionsflusses. Das l¨asst sich mathematisch mit folgender Gleichung formulieren  B · dA oder div B = 0. (22.20) A

An der Grenzfl¨ ache zweier Stoffe muss daher die Normalkomponente Bn des B-Feldes stetig sein. Ferner m¨ ussen die Tangentialkomponenten Ht des H-Feldes auf beiden Seiten der Grenzfl¨ ache den gleichen Wert haben. Man erkennt dies, wenn man das Durchflutungsgesetz auf einen Rechteckweg anwendet, dessen L¨angsseiten auf beiden Seiten der Grenzfl¨ ache liegen, und dessen hinreichend kurze Schmalseiten die Grenzfl¨ ache durchstoßen. Es gilt also auch bei gekr¨ ummter Magnetisierungskurve 1

Richter, R.: Arch. Elektrotech. 11 (922) 93ff

22.3 Der magnetische Kreis: Elektro- und Dauermagnete

Bn1 = Bn2 ,

Ht1 = Ht2 .

323

(22.21)

¨ Durch eine ¨ ahnliche Uberlegung wie dem elektrostatischen Feld findet man hieraus, dass das B-Feld in einem Querschlitz, das H-Feld in einem L¨angsschlitz den gleichen Wert hat wie im Inneren des Stoffes. Unter Einf¨ uhrung der Permeabilit¨ at (totale Permeabilit¨ at folgt ferner f¨ ur die Winkel α1 und α2 , die B-Feldlinien mit der Normalen einer Grenzfl¨ache bilden, µ1 tan α1 = . tan α2 µ2

(22.22)

Aus Stoffen hoher Permeabilit¨ at treten daher die B-Feldlinien nahezu senkrecht aus. F¨ ur die Tangentialkomponenten des B-Feldes gilt µ1 Bt1 = . Bt2 µ2

(22.23)

In Stoffen hoher Permeabilit¨ at ist die Tangentialkomponente des B-Feldes groß im Vergleich zu der im Außenraum. Die B-Feldlinien werden also durch den Stoff hoher Permeabilit¨ at gef¨ uhrt, ¨ ahnlich wie der elektrische Strom durch die metallischen Leiter. Da ferner die B-Feldlinien in sich geschlossen sind, so bezeichnet man eine Anordnung, bei der die B-Feldlinien in der Hauptsache in ferromagnetischen Stoffen verlaufen, als magnetischen Kreis.

Abbildung 22.7. Feldlinien bei einem Elektromagneten

Bei einem Elektromagneten nach Abb. 22.7 besteht der magnetische Kreis aus dem Luftspalt 1, den beiden Polen 2 und 6, den Schenkeln 3 und 5, die die Wicklungen tragen, und dem Verbindungst¨ uck 4. Durch gestrichelte Linien a, b, c, d und e ist der grunds¨ atzliche Verlauf der B-Feldlinien angedeutet. Da der Elektromagnet zur Herstellung eines bestimmten Induktionsflusses im Luftspalt 1 dient, so bezeichnet man den Teil des gesamten Induktionsflusses, der aus B-Feldlinien nach der Art von a besteht, als den Hauptfluss, w¨ahrend die anderen B-Feldlinien den Streufluss darstellen. Wegen der hohen Permeabilit¨ at des Eisens ist die Flussdichte im Eisen sehr viel h¨oher als außerhalb,

324

22 Beispiele f¨ ur station¨ are Magnetfelder

so dass der Hauptfluss den weitaus gr¨ oßten Teil der gesamten B-Feldlinien enth¨ alt. Darauf beruht das folgende N¨aherungsverfahren zur Berechnung magnetischer Kreise. 22.3.2 Angen¨ aherte Berechnung von Elektromagneten Man geht vom Induktionsfluss Φ aus, der durch das B¨ undel der Feldlinien des Hauptflusses dargestellt wird, und berechnet hieraus das B-Feld in den einzelnen Abschnitten des magnetischen Kreises, wobei man den Streufluss vernachl¨ assigt. Bezeichnet Aν den Querschnitt des Flusses in den einzelnen Abschnitten ν, so gilt Φ . (22.24) Bν  = Aν alt man das H-Feld Hν  mit Hilfe der MagnetisieAus dem B-Feld Bν  erh¨ rungskurve des betreffenden Stoffes. F¨ ur Luftspalte gilt H1  =

H1  . ν0

(22.25)

Dann wird das Linienintegral des H-Feld angen¨ahert berechnet durch   Hν lν , (22.26) H · ds ≈ ν

wobei lν die mittlere L¨ ange der Feldlinien in den einzelnen Abschnitten bezeichnet. Die Summe ist u ¨ ber den ganzen Kreis zu bilden. Andererseits ist die Durchflutung gegeben durch die Windungszahl der Wicklung und die Stromst¨ arke. Tr¨ agt in dem Beispiel der Abb. 22.7 jeder Schenkel eine Wicklung aus je N/2 Windungen, und werden diese Windungen von einem Strom I derart durchflossen, dass sich die Wirkung der beiden Wicklungen unterst¨ utzen, so gilt  Hν lν = Θ = N I. (22.27) ν

Die umgekehrte Aufgabe, zu einer gegebenen Durchflutung den Induktionsfluss zu finden, kann nicht unmittelbar gel¨ ost werden, da die Permeabilit¨at der Eisenabschnitte selbst wieder vom B-Feld abh¨angt, die zun¨achst unbekannt ist. Man geht daher so vor, dass man f¨ ur eine Reihe von willk¨ urlich angenommenen Werte des Induktionsflusses die Durchflutung berechnet und damit die magnetische Kennlinie des Kreises aufzeichnet, die die Abh¨angigkeit der beiden Gr¨ oßen Φ und Θ voneinander darstellt, Abb. 22.8. Aus der magnetischen Kennlinie kann dann zu dem gegebenen Wert von Θ der Fluss entnommen werden. Zur Herstellung eines bestimmten Induktionsflusses ist eine bestimmte Durchflutung Θ n¨ otig; es ist jedoch gleichg¨ ultig, ob diese Durchflutung mit kleiner Stromst¨ arke und großer Windungszahl oder großer Stromst¨arke und entsprechend kleiner Windungszahl erzeugt wird.

22.3 Der magnetische Kreis: Elektro- und Dauermagnete

325

Abbildung 22.8. Magnetische Kennlinie

Die Unbestimmtheit der Windungszahl verschwindet, wenn der durch den Wicklungswiderstand entstehende Spannungsabfall vorgegeben ist. Bezeichnet man den Wicklungsquerschnitt mit A und den F¨ ullfaktor der Wicklung mit k(< 1), ferner die mittlere L¨ ange einer Windung mit lm , so wird der Widerstand einer Wicklung von N Windungen R=

N 2 lm . kA

(22.28)

Andererseits gilt das Ohmsche Gesetz R = U/I, oder unter Einf¨ uhren der durch die Wicklung erzeugten Durchflutung R=

UN . Θ

(22.29)

Daher ergibt sich die Windungszahl aus 

UN kA N 2 lm = zu N = U . kA Θ Θlm

(22.30)

Die Windungszahl muss also um so gr¨ oßer gemacht werden, je h¨oher die zur Verf¨ ugung stehende Spannung ist. F¨ ur den Drahtquerschnitt ergibt sich damit A1 =

Θlm kA = . N U

(22.31)

Er ist also unabh¨ angig von der Gr¨ oße des Wicklungsquerschnittes und vom F¨ ullfaktor. Zur Aufrechterhaltung des Induktionsflusses ist theoretisch keine Leistung erforderlich. Wegen endlichen Wicklungswiderstandes ist jedoch bei wirklichen Elektromagneten immer eine bestimmte elektrische Leistung zur Aufrechterhaltung der Durchflutung notwendig. Diese Leistung, die also vollst¨andig innerhalb der Wicklung in W¨ arme umgewandelt wird, hat den Betrag Pv = I 2 R = 

lm 2 Θ ; kA

(22.32)

sie wird um so kleiner, je gr¨ oßer der Wicklungsquerschnitt ist und je besser er ausgenutzt wird, dagegen ist sie unabh¨ angig von der Windungszahl, also auch

326

22 Beispiele f¨ ur station¨ are Magnetfelder

von der Spannung. Durch die Stromw¨ arme wird die Durchflutung begrenzt, die man in einem Elektromagneten herstellen kann. Zahlenbeispiel: In dem aus Dynamoblechen zusammengesetzten Eisenkern, Abb. 22.9 soll mit Hilfe der im Schnitt gezeichneten Wicklung ein B¨ undelfluss von Φ = 0, 5mW b erzeugt werden. Die H¨ ohe des Blechpakets betr¨agt 2cm; infolge der Isolierung der einzelnen Bleche sei mit einem Eisenf¨ ullfaktor von 90% zu rechnen.

Abbildung 22.9. Berechnung einer Drosselspule

Nimmt man n¨ aherungsweise an, dass der ganze Fluss im Querschnitt des Luftspalts konzentriert bleibt, so wird die Induktion im Luftspalt B1 =

5 · 10−4 W b = 1 T. 5cm2

(22.33)

Die zugeh¨ orige magnetische Feldst¨ arke ist H1 =

Am 1V s/m2 B1 = 7960 . = µ0 1, 257 · 10−6 V s/Am cm

(22.34)

Da die Feldlinienl¨ ange im Luftspalt 0, 2cm betr¨agt, so wird also der auf den Luftspalt entfallende Anteil der Durchflutung Φ1 = H1 l1 = 7960 · 0, 2

Am cm = 1592A. cm

(22.35)

Die Induktion in dem die Wicklung tragenden Schenkel wird B2 =

5 · 10−4 W b = 1, 85T. 0, 9 · 3cm2

(22.36)

Dazu ergebe sich aus der Magnetisierungskurve des Bleches eine H-Feldst¨arke von Am . (22.37) H2 = 200 cm Der Anteil dieses Schenkels an der Durchflutung wird, da die L¨ange l2 = 9, 7cm betr¨ agt, Θ2 = H2 l2 = 200 · 9, 7A = 1940A. Schließlich erh¨alt man f¨ ur die Induktion in den u ¨brigen Abschnitten

22.3 Der magnetische Kreis: Elektro- und Dauermagnete

B3 =

5 · 10−4 W b = 1, 11T, 0, 9 · 5cm2

327

(22.38)

Dazu geh¨ ore die H-Feldst¨ arke H3 = 4A/cm. Die gesamte L¨ange dieser Abschnitte ist 2l3 = 21, 5cm und der Anteil der Durchflutung Θ2 = 2H3 l3 = 4 · 21, 5A = 86A.

(22.39)

Die gesamte Durchflutung muss also Θ = Θ1 + Θ2 + Θ3 = 3618A betragen. Das Beispiel zeigt, wie groß der Einfluss der Eisens¨attigung auf den Bedarf an Durchflutung ist. Infolge der Verkleinerung der Breite des Wicklungsschenkels auf 1, 5cm gegen¨ uber 2, 5cm in den anderen Abschnitten wird die f¨ ur diesen Abschnitt notwendige Durchflutung gr¨oßer als der auf den Luftspalt treffende Anteil, w¨ ahrend die viel l¨ angeren u ¨ brigen Abschnitte des Eisenkerns nur einen kleinen Bruchteil der Durchflutung beanspruchen. Wird mit einem Kupferf¨ ullfaktor von k = 60% gerechnet, so ist nach Gl. (22.32) zur Herstellung der Durchflutung eine, Leistung aufzuwenden von Pv = 

14 · 36202 Ωmm2 A2 lm 2 Θ = 0, 0175 = 59, 5W. kA 0, 6 · 9 mcm2

(22.40)

Dabei ist die mittlere Windungsl¨ ange lm = 14cm gesetzt. Um die infolge dieser Verlustleistung entstehende Temperaturerh¨ohung berechnen zu k¨onnen, muss man den W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten kennen; dieser liegt bei derartigen Anordnungen in der Gr¨ oßenordnung von h = 0, 0015

W . cm2K

(22.41)

Die Oberfl¨ ache der Wicklung ist rund 170cm2 ; dazu kommt f¨ ur die Abk¨ uhlung noch ein Teil der Eisenkernoberfl¨ ache im Betrag von etwa 200cm2 , so dass die gesamte W¨ armeableitende In den F¨ allen, in denen µ als konstant angesehen werden kann, ist der Begriff des magnetischen Widerstandes von Vorteil. Das Durchflutungsgesetz l¨ asst sich bei einem magnetischen Kreis mit einer Anzahl einzelner Abschnitte mit etwa homogenem Feld in der Form schreiben: Oberfl¨ ache etwa O = 370cm2 ausmacht. Es ergibt sich daher eine Temperaturerh¨ ohung von ∆Θ =

59, 5 W cm2 K Pv = = 107K. Oh 370 · 0, 0015 cm2 W

(22.42)

Soll die Erregung mit einer Spannung von U = 110V hergestellt werden, so ergibt sich der Drahtquerschnitt nach Gl.(22.31): A1 =

0, 0175 · 14 · 3620 Ωmm2 cmA lm Θ = = 0, 0806mm2. U 110 Vm

Die Windungszahl wird

(22.43)

328

22 Beispiele f¨ ur station¨ are Magnetfelder

0, 6 · 9 cm2 kA = = 6700, A1 0, 0806 mm2

(22.44)

l ≈ N lm = 6700 · 14cm = 938m,

(22.45)

N= die gesamte Drahtl¨ ange

der gesamte Widerstand R=

0, 938 Ωmm2 km l = 0, 0175 = 204Ω A1 0, 0806 mmm2

und die Stromst¨arke I=

110V U = = 0, 54A. R 204Ω

(22.46)

(22.47)

In den F¨ allen, in denen µ, als konstant angesehen werden kann, ist der Begriff des magnetischen Widerstandes von Vorteil. Das Durchflutungsgesetz l¨asst sich bei einem magnetischen Kreis mit einer Anzahl einzelner Abschnitte mit etwa homogenem Feld in der Form schreiben  (22.48) Hν lν = Θ. Da nun Hν =

Bν µν

so ergibt sich Φ



und

Bν =

lν = Θ. µν Aν

Φ Aν

(22.49)

(22.50)

Diese Gleichung hat eine ¨ ahnliche Form wie das Ohmsche Gesetz f¨ ur einen elektrischen Stromkreis, wenn man den Induktionsfluss zum elektrischen Strom und die Durchflutung zur Quellenspannung in Analogie setzt ( ma” gnetomotorische Kraft“). Es entspricht dann die Gr¨oße Rm =

lν µν Aν

(22.51)

dem elektrischen Widerstand, wobei an die Stelle der elektrischen Leitf¨ahigkeit die absolute Permeabilit¨ at im magnetischen Kreis tritt. Man nennt Rm den magnetischen Widerstand des betreffenden Abschnitts; das Reziproke davon ist der magnetische Leitwert: Λ=

µν Aν . lν

(22.52)

Der magnetische Leitwert kann, wie sich beim Einsetzen der einzelnen Gr¨oßen zeigt, in Henry gemessen werden.

22.3 Der magnetische Kreis: Elektro- und Dauermagnete

329

Zahlenbeispiel: Im vorigen Zahlenbeispiel ist der magnetische Leitwert Λ=

5 · 10−4 V s Φ = = 1, 38 · 10−7 H. Θ 3620A

(22.53)

Er nimmt mit wachsender Stromst¨ arke ab, da die Permeabilit¨at des Eisens abnimmt. Der magnetische Widerstand des Luftspalts ist Rm =

0, 2cmcm = 3, 18 · 106 H −1 . 1, 257 · 10−8 · 5Hcm2

(22.54)

22.3.3 Scherung Durch einen Luftspalt im magnetischen Kreis eines Eisenkerns wird der ge¨ samte magnetische Widerstand vergr¨ oßert, aber der Einfluss von Anderungen der Eisenpermeabilit¨ at, z. B. mit der Temperatur, wird dadurch gleichzeitig verringert. Ist A1 der Querschnitt, l1 die L¨ ange des Eisenpfades und hat der Luftspalt die kleine L¨ ange l0 , so wird der gesamte magnetische Widerstand
 l0 l1 µ l0 l1 + = 1+ . (22.55) Rm = µA1 µA1 µA1 µ0 l1 Der durch den Luftspalt unterbrochene Magnetkern wirkt also wie ein geschlossener Magnetkern mit der L¨ ange l1 und dem Querschnitt A1 der aus einem Material mit der effektiven Permeabilit¨at“ ” µ (22.56) µef f = 1 + µµ0 ll10 hergestellt ist. F¨ ur sehr große µ n¨ ahert sich die effektive Permeabilit¨at dem Grenzwert µef f = µ0 (l1 /l0 ), der unabh¨angig von µ ist. Von dieser Methode der Scherung“ wird h¨ aufig Gebrauch gemacht, wenn hohe Anforderungen ” ¨ entweder an die Konstanz der Permeabilit¨ at bei Anderungen der Feldst¨arke oder an die Unabh¨ angigkeit der Permeabilit¨ at von der Temperatur gestellt werden. Zahlenbeispiel: l1 = 10 cm, L0 = 1 mm, µ = 1500 µ0 ergibt µef f = 93, 7 µ0 ; µ = 2000 µ0 ergibt µef f = 95, 2 µ0. 22.3.4 Berechnung von Dauermagneten Bei der Berechnung von Dauermagneten kann grunds¨atzlich das gleiche Verfahren wie bei Elektromagneten angewendet werden. Es sei z.B. zu berechnen, wie groß die Induktion im Luftspalt 1 des in Abb. 22.10 dargestellten permanenten Magneten ist. 3 sei der Magnetstahl, 2 und 4 seinen Polst¨ ucke aus weichem Eisen. Wird der ganze magnetische Kreis einmal, z.B. mit Hilfe einer vor¨ ubergehend aufgebrachten stromdurchflossenen Wicklung, bis in das

330

22 Beispiele f¨ ur station¨ are Magnetfelder

Abbildung 22.10. Zur Berechnung eines Dauermagneten

Gebiet der S¨ attigung magnetisiert, so geht das B-Feld nach dem Ausschalten des Magnetisierungstromes im B, H-Diagramm auf einer Kurve zur¨ uck, die dem absteigenden Ast der Grenzkurve entspricht, Abb. 22.11. Es stellt sich ein bestimmter Gleichgewichtszustand ein, z.B. Punkt P , in dem die innere Durchflutung des Magneten gerade den Durchflutungsbedarf des Kreises deckt. Die Wirkung der Inneren Durchflutung ist durch die Koerzititvfeldst¨ arke Hk gekennzeichnet. Man denke sich nun auf den Stahlmagneten zwei gleichartige Wicklungen gebracht, die von konstanten Str¨omen gleicher St¨arke aber entgegengesetzter Richtung durchflossen werden derart, dass die durch eine der beiden Wicklungen gelieferte Durchflutung gerade gleich ist der inneren Durchflutung

Abbildung 22.11. Magnetisierungskurve eines Dauermagneten

Θk = Hk l,

(22.57)

wobei l die L¨ ange des Stahlmagneten 3 bezeichnet. Da sich die beiden Zusatzdurchflutungen gegenseitig aufheben, so ¨andert sich dadurch nicht an dem Gleichgewichtszustand im magnetischen Kreis. Die eine der beiden Zusatzdurchflutungen kompensiert jedoch gerade die innere Durchflutung des Magneten, sie verschiebt die Magnetisierungskurve um den Betrag Hk nach rechts, wie es in Abb. 22.11 gestrichelt angedeutet ist. Die Magnetisierungkurve hat dann einen Verlauf wie bei einem Stoff ohne Remanenz. Man kann sich daher den Stahlabschnitt des magnetischen Kreises ersetzt denken durch einen Abschnitt aus weichem Eisen, dessen Magnetisierungskurve aus dem absteigenden Ast der Grenzkurve des Stahls durch Parallelverschiebung hervorgeht, und durch eine Wicklung, die eine Durchflutung Θk liefert. Damit ist

22.3 Der magnetische Kreis: Elektro- und Dauermagnete

331

die Berechnung des Stahlmagneten auf die Berechnung eines Elektromagneten zur¨ uckgef¨ uhrt. Da hier die Durchflutung gegeben ist, so muss die magnetische Kennlinie des Kreises berechnet werden, aus der man dann den Induktionsfluss zu dem Wert Θk entnehmen kann. F¨ ur eine u agige Berechnung von Dauermagneten k¨onnen h¨aufig alle ¨ berschl¨ Abschnitte des magnetischen Kreises außer dem Luftspalt und dem Stahlabschnitt vernachl¨ assigt werden. Bezeichnen A0 und l0 Querschnitt und L¨ange des Luftweges, A und l Querschnitt und L¨ ange des Feldlinienb¨ undels im Magnetstahl, ferner B0 und B das B-Feld, H0 und H das H-Feld im Luftspalt und im Stahl, so gilt nach dem Durchflutungsgesetz B0 l0 + H l = 0. µ0

(22.58)

Der magnetische Fluss im Luftspalt, B0 A0 , ergibt sich aus dem Fluss im Stahl, BA, durch Multiplizieren mit einem Faktor S, der die Streuung der Feldlinien ber¨ ucksichtigt und kleiner als 1 ist: B0 A0 = SBA.

(22.59)

F¨ uhrt man hieraus B0 in die oben angesetzte Form des Durchflutungsgesetzes ein und l¨ ost nach H auf, so folgt B , µ0

(22.60)

l A l0 A0

(22.61)

H = −η wobei zur Abk¨ urzung η=S

gesetzt ist. Gl. (22.60) ist die Gleichung einer geraden Linie, die man in das Diagramm der Magnetisierungskurve einzeichnen kann; sie gibt den Durchflutungsbedarf des Luftspaltes f¨ ur jede vorgegebene B-Feldst¨ arke B im Stahlmagneten an. Ihr Schnittpunkt mit der Kurve liefert den Betriebspunkt P , Abb. 22.11, in dem der Durcbflutungsbedarf gerade durch die innere Durchflutung des Magneten gedeckt wird. Den Zahlenfaktor η;, der meist kleiner als 1 ist, nennen wir den Entma” gnetisierungsfaktor“. Die Steigung der geraden Linie OP in Abb. 22.11 ist ur den Betriebspunkt P abgelesenen Wert von B folgt die −µ0 /η. Aus dem f¨ Induktion im Luftspalt nach Gl. (22.59) B0 = S

A B0 . A0

(22.62)

Zahlenbeispiel: Die Magnetisierungskurve eines Aluminium-Nickelstahles sei im 2. Quadranten durch folgende Werte in der Tabelle 22.1 gegeben:

332

22 Beispiele f¨ ur station¨ are Magnetfelder H(A/cm) B(T )

0 −50 −100 −150 −200 −250 −300 −350 0, 600 0, 563 0, 520 0, 466 0, 403 0, 314 0, 1774 34, 6 Tabelle 22.1. Zusammenhang von R und C

Der Luftspalt des zu berechnenden Magneten habe die Abmessungen A0 = 4cm2 , l0 = 2mm. F¨ ur den Streufaktor werde S = 0, 8 angenommen. Setzen wir zun¨ achst den Querschnitt des Stahlmagneten A gleich dem des Luftspaltes A0 , so wird der Entmagnetisierungsfaktor η = 0, 8l0 /l und die B-Feldst¨ arke im Luftspalt B0 = 0, 8B. Das Volumen des Stahlabschnittes ist gleich V = Al. Anhand der obenstehenden Formeln kann man die Wertepaare der Kurven f¨ ur die beiden folgenden Abbildungen mit Hilfe eines Taschenrechners leicht ermitteln. Die Abb. 22.12 zeigt, wie hiernach mit wachsendem Volumen des Stahlabschnittes die erreichte B-Feldst¨ arke im Luftspalt zun¨achst rasch ansteigt, schließlich aber durch eine Vergr¨ oßerung des Stahlvolumens nur noch wenig gesteigert werden kann. Wird auch der Querschnitt des Stahlmagne-

Abbildung 22.12. Abh¨ angigkeit der B-Feldst¨ arke im Luftspalt vom Volumen des Stahlmagneten bei konstantem Querschnitt

¨ ten ver¨ andert, wobei der Ubergang vom Stahlquerschnitt zum Luftspaltquerschnitt durch entsprechende Polschuhe hergestellt werden muss, so gilt f¨ ur das gleiche Zahlenbeispiel folgendes: Aus irgendeinem angenommenen Stahlvolumen V erh¨alt man den Stahlquerschnitt A = V /l, und es wird der Entmagnetisierungsfaktor η=S

l0 V l2 A0

(22.63)

V B. lA0

(22.64)

und die B-Feldst¨arke im Luftspalt B0 = S

F¨ ur V = 10cm3 kann man wiederum mit einem Taschenrechner bei verschiedenen L¨ angen l des Stahlabschnittes die Werte f¨ ur η und B0 bestimmen

22.3 Der magnetische Kreis: Elektro- und Dauermagnete

333

Abbildung 22.13. Abh¨ angigkeit der B-Feldst¨ arke im Luftspalt vom Stahlquerschnitt bei konstantem Volumen

und graphisch darstellen. Wie aus Abb. 22.13 hervorgeht, ergibt sich mit einem Stahlquerschnitt von etwa 4, 5cm2 die gr¨ oßte B-Feldst¨arke im Luftspalt, n¨amlich etwa 0, 32T . Das Maximum der Kurve erkl¨art sich daraus, dass eine weitere Vergr¨oßerung des Stahlquerschnittes zwar durch die Einschn¨ urung des Flusses im Luftspalt eine Verdichtung der Feldlinien bewirkt, dass aber gleichzeitig wegen der Verk¨ urzung des Stahlmagneten die innere Durchflutung verringert wird. Eine einfache Kennzeichnung der Wirksamkeit eines Magnetstoffes, die auf den eben benutzten Voraussetzungen beruht, erh¨alt man durch die folgende Betrachtung. V B. (22.65) B0 = S lA0 Aus Gl. (22.58) folgt f¨ ur den Betrag der Luftspaltinduktion l , l0

(22.66)

A . A0

(22.67)

B0 = µ0 H und aus Gl. (22.59) B0 = SB

Bildet man das Produkt dieser beiden Ausdr¨ ucke, so ergibt sich B02 = S

A l µ0 BH. A0 l0

(22.68)

Durch Einf¨ uhren des Magnetvolumens V = Al und des Luftspaltvolumens alt man hieraus V0 = A0 l erh¨  V (22.69) B0 = S µ0 BH. V0 Bei gegebenen Volumina h¨ angt die Luftspaltinduktion also nur von dem Produkt BH ab. Dieses ist durch die Lage des Betriebspunktes P auf der Magnetisierungskurve bestimmt. Es hat in einem bestimmten Punkt P0 ein Maximum, Abb. 22.14. Dies ist der g¨ unstigste Betriebspunkt; n¨aherungsweise gilt,

334

22 Beispiele f¨ ur station¨ are Magnetfelder

dass dieser Punkt auf der Diagonale des Rechtecks Br Hk liegt. Aus den zugeh¨ origen Werten von B und H berechnet sich der g¨ unstigste Querschnitt des Magneten gem¨ aß Gl. (22.59) und (22.69) zu  µ0 H V A0 . (22.70) A= B l0 S Zur u agigen Beurteilung eines Magnetmaterials kann also die Gr¨oße ¨berschl¨ (BH)max dienen, die man der entsprechenden Literatur entnehmen kann. Zahlenbeispiel: Mit der Magnetisierungskurve des vorigen Beispiels liefert die soeben beschriebene, durch Abb. 22.14 dargestellte Konstruktion B = 0, 375T, H = 220A/cm; das Produkt BH hat also den Maximalwert ur verschiedene Werte des Ma0, 375V s/m2 · 220A/cm = 8, 25W s/dm3. F¨ gnetvolumens V folgen damit die g¨ unstigsten Werte von A, l und B0 aus den Gl. (22.70) und (22.69).

Abbildung 22.14. Konstruktion des g¨ unstigsten Betriebspunktes

Dabei ist wieder A0 = 4cm2 und l0 = 2mm gesetzt. Durch Vergr¨oßern des Magnetquerschnitts u ¨ ber den Luftquerschnitt hinaus l¨asst sich also eine Induktion im Luftspalt erzielen, die h¨ oher ist als die im Magnetstahl. Eine Voraussetzung dieser Betrachtungen war, dass der magnetische Kreis als Ganzes magnetisiert wird und dann sich selbst u ¨ berlassen bleibt. Magnetisiert man dagegen den Magneten f¨ ur sich und setzt ihn nachtr¨aglich erst in den magnetischen Kreis ein, so erh¨ alt man etwas andere Verh¨altnisse, und zwar wird dann im allgemeinen die im Luftspalt befindliche B-Feldst¨arke geringer. Abb. 22.15 soll diesen Fall veranschaulichen. Nach der Magnetisierung uck, geht die B-Feldst¨arke im Magneten auf den durch P1 gegebenen Wert zur¨ der sich aus dem Schnitt mit der Linie 0P1 des Durchflutungsbedarfs f¨ ur den herausgenommenen Magneten ergibt; sie hat entsprechend dem gr¨oßeren

22.3 Der magnetische Kreis: Elektro- und Dauermagnete

335

Abbildung 22.15. Magnetisierungskurve des Stahlmagneten bei nachtr¨ aglichem Einsetzen in den magnetischen Kreis

Luftweg des Magneten eine geringere Steigung als in dem oben betrachteten Fall. Schließt man nun den magnetischen Kreis nachtr¨aglich, so w¨achst die B-Feldst¨ arke nicht mehr auf dem zuletzt durchlaufenen Ast der Magnetisierungskurve, sondern wegen der Hysterese auf einem aufsteigenden Ast ur den maP1 B1 , der tiefer liegt. Ist OP die Linie des Durchflutungsbedarfs f¨ gnetischen Kreis, dann ergibt sich also nicht, wie oben, die dem Punkte P entsprechende B-Feldst¨ arke, sondern der Betriebspunkt wird P2 . 22.3.5 Theorie der Kompassnadel Wird ein Magnetstab in einem magnetischen Feld drehbar aufgeh¨angt, so stellt er sich in die Richtung der magnetischen Feldlinien. Man erkennt hier die Wirkungsweise am einfachsten, wenn man sich den Dauermagneten durch einen magnetisch neutralen Stab mit einer stromdurchflossenen Wicklung ( Strom” belag“) ersetzt denkt. Ist Φm der gesamte Magnetfluss des Stabmagneten mit dem Querschnitt A, so ist (1/µ0 )Φm /A die B-Feldst¨arke, die der gedachte Strom I in der Wicklung mit N Windungen im Innern der Spule erzeugen muss. Bei einem Stabmagneten von der L¨ ange l gilt daher (angen¨ahert) 1 Φm IN = . l µ0 A

(22.71)

Jede Windung der Wicklung erf¨ ahrt nun in einem homogenen Feld mit der H-Feldst¨ arke H nach Gl. (19.37) ein Drehmoment Iµ0 HA sin α,

(22.72)

wenn α den Winkel zwischen der L¨ angsrichtung der Magnetnadel und der H-Feldrichtung bezeichnet. Das Drehmoment aller N Windungen ist Md = IN µ0 HA sin α = Φm lH sin α. Das magnetische Moment des Magnetstabes ist

(22.73)

336

22 Beispiele f¨ ur station¨ are Magnetfelder

m=

1 Φm l. µ0

(22.74)

Zahlenbeispiel: Eine Magnetnadel mit Φm = 0, 6µW b und einer L¨ange l = 5cm hat das magnetische Moment m=

0, 6 · 0, 05µV s · Am · m = 0, 0239Am2. 1, 257µV s

(22.75)

Im Erdfeld mit der Horizontalkomponente der B-Feldst¨arke B = 30µT wird auf die Nadel ein Drehmoment ausge¨ ubt Mdmax = B · m = 30 · 0, 0239 · 10−6 Md = 0, 717µN m sin α.

Vs Am2 = 0, 717 · 10−6 , (22.76) m2 (22.77)

Auch ein nichtmagnetisierter weicher Eisenstab sucht sich in die Feldrichtung zu drehen mit einem Moment, das umso h¨ oher ist, je mehr die Permeabilit¨at des Stabes von µ0 abweicht (siehe Abschnitt 25). Dieses Drehmoment addiert sich zu dem durch die Dauermagnetisierung bedingten, ist aber im allgemeinen gegen dieses vernachl¨ assigbar.

23 Induktionskoeffizienten

23.1 Der Induktivit¨ atsbegriff Nach dem Induktionsgesetz entsteht in einem Stromkreis eine induzierte Umlaufspannung, wenn sich der Induktionsfluss, der mit dem Stromkreis verkettet ist, zeitlich ver¨ andert; sie ist durch Gl.(27.25) gegeben. Dabei ist es gleichg¨ ultig, wie die Fluss¨ anderung in der Schleife erzeugt wird, ob durch Bewegen des Stromkreises in einem station¨aren Magnetfeld oder durch Form¨ anderung des Stromkreises, oder dadurch, dass sich das magnetische Feld selbst zeitlich ver¨ andert. Da nun jeder Strom in seiner Umgebung ein magnetisches Feld hervorruft, dessen Feldlinien mit den Stromlinien verkettet sind, so tritt induzierte Umlaufspannung auch auf, wenn sich die Stromst¨arke in einem Leiter ¨ andert, eine Erscheinung, die man als Selbstinduktion bezeichnet. Aufgrund der Richtungsregeln findet man, dass bei einer Zunahme des Stromes diese Spannung der Selbstinduktion dem Strom entgegenwirkt. Die Erfahrung zeigt, dass das Durchflutungsgesetz in der Form (18.24) auch gilt, wenn sich der Strom zeitlich ¨ andert. Bemerkung: Streng genommen gilt dies nur, wenn die Abmessungen der R¨ aume, in denen das Durchflutungsgesetz angewendet wird, klein gegen die Wellenl¨ ange der Feld¨ anderungen im Raum. Da sich die Feld¨anderungen nahezu mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten, ist diese Bedingung bei nicht zu großen Anordnungen f¨ ur Wechselstromvorg¨ ange mit Frequenzen bis in den MHz-Bereich erf¨ ullt. Wenn ausschließlich magnetisch neutrale Stoffe in der Umgebung des Stromkreises vorhanden sind, oder Stoffe mit konstanter Permeabilit¨at, dann ist nach dem Durchflutungsgesetz die Flussdichte an jeder Stelle des Raumes proportional der Stromst¨ arke im Leiter. Daher ist auch der von dem Stromkreis insgesamt erzeugte Induktionsfluss Φg jederzeit proportional dem Augenblickswert der Stromst¨ arke i, so dass man schreiben kann

338

23 Induktionskoeffizienten

Φg = L · i.

(23.1)

L ist also der Proportionalit¨ atsfaktor zwischen dem Induktionsfluss und dem diesen Fluss erzeugenden und mit ihm im Rechtsschraubensinn verketteten Strom i; er ist durch die Geometrie – die Abmessungen und die Form – des Stromkreises sowie durch die Permeabilit¨ atswerte bestimmt und wird als die Induktivit¨at des Stromkreises bezeichnet. Als Einheit dient 1 V s/A = 1 H. Bei Strom¨ anderungen entsteht nach dem Induktionsgesetz

23.2 Induktivit¨ aten einfacher Anordnungen 23.2.1 Induktivit¨ at einer Ringspule Die Induktivit¨ at kann auf Grund der Definitionsgleichung (23.1) mit Hilfe der f¨ ur die Berechnung magnetischer Felder abgeleiteten Regeln bestimmt werden. Bei einer Ringspule, Abb. 20.2, mit einem mittleren Radius r0 und der Windungszahl N ist z.B. nach Gl.(20.15) H =

iN , 2πr0

(23.2)

und daher

iN . (23.3) 2πr0 Bezeichnet man den Querschnitt des Ringkerns mit A, so wird der mit der Wicklung verkettete B¨ undelfluss B = µ

Φ = µA

iN . 2πr0

(23.4)

µA i. 2πr0

(23.5)

Der Gesamtfluss hat daher die Gr¨ oße Φg = N 2

Daraus folgt auf Grund der Gl.(23.1) f¨ ur die Induktivit¨at der Ringspule L = N2

µA . 2πr0

(23.6)

Genau genommen muss die Abh¨ angigkeit des H-Feldes H von dem Radius r ber¨ ucksichtigt werden. Bei rechteckigem Kernquerschnitt mit der Breite b gilt   r2 iN r2 dr ; (23.7) Φ= bB dr = bµ 2π r1 r r1 hieraus folgt der verbesserte Induktivit¨ atswert Lv = N 2

r2 µb ln . 2π r1

(23.8)

23.2 Induktivit¨ aten einfacher Anordnungen

339

23.2.2 Induktivit¨ at einer Zylinderspule Bei einer zylindrischen Spule, deren L¨ ange l groß gegen die Abmessungen ihres Querschnittes A ist, liegt der magnetische Widerstand im wesentlichen im Innenraum der Spule. Vernachl¨ assigt man den magnetischen Widerstand des Außenraumes, so gilt f¨ ur das H-Feld H = damit wird B = µ

iN , l

iN ; l Φ = µA

(23.9) iN l

(23.10)

und

µA i; l die Induktivit¨ at einer solchen Spule ist also Φg = N 2

L = N2

µA . l

(23.11)

(23.12)

23.2.3 Induktivit¨ at einer Doppelleitung Bei einer Doppelleitung von der L¨ ange l mit dem Achsenabstand a und dem Leiterradius r0 kann man den mit dem Strom verketteten Fluss im Luftraum ¨ am einfachsten durch Uberlagerung der von den beiden Leitern herr¨ uhrenden Fl¨ usse berechnen. W¨ are nur der eine Leiter vom Strom i durchflossen, so w¨ urde außerhalb dieses Leiters das H-Feld nach Gl.(19.33) i (23.13) 2πr sein. In dem Zwischenraum zwischen der Oberfl¨ache dieses Leiters und der Achse des zweiten Leiters ergibt sich der Fluss   2 µ0 il a µ0 il 2 dr = ln . (23.14) Φ1 = µ0 Hl dr = 2π r 2π r 0 r0 r0 H =

Genau so groß ist der Betrag des vom Strom i in entgegengesetzter Richtung durchflossenen zweiten Leiters. Der Gesamtfluss ist daher a µ0 il ln (23.15) Φg = π r0 und die Induktivit¨at der Doppelleitung a µ0 l ln . L= π r0

(23.16)

Diese Beziehung ber¨ ucksichtigt nur das H-Feld im Luftraum und nicht das Feld innerhalb der Leitungsdr¨ ahte. Man bezeichnet die so berechnete Induktivit¨ at daher als ¨außere Induktivit¨at. Dazu kommt noch die innere Induktivit¨at, die von dem inneren H-Feld herr¨ uhrt, und deren Berechnung weiter unten besprochen wird.

340

23 Induktionskoeffizienten

23.2.4 Induktivit¨ at eines Drahtringes Die ¨ außere Induktivit¨ at eines Drahtringes vom Durchmesser d und dem Drahtradius r0 ist nach Gl.(21.36) d d . L = µ0 ln 2 2r0

(23.17)

23.2.5 Induktivit¨ at von Dr¨ ahten beliebiger Form Die Induktivit¨ at von Stromkreisen beliebiger Form, die aus verh¨altnism¨aßig d¨ unnen Dr¨ ahten gebildet sind, l¨ asst sich mit Gl.(21.29) berechnen. Diese Gleichung gilt unter der Voraussetzung, dass man die Stromleiter durch einen Stromfaden ersetzen kann (Linienleiter-N¨ aherung). Dann ist die Induktivit¨at eines derartigen Stromkreises, der in einem Stoff mit der Permeabilit¨at µ eingebettet ist,   ds cos α µ ds1 . (23.18) L= 4π r1 ds bedeutet ein L¨ angenelement der Leiterachse, ds1 ein L¨angenelement einer Mantellinie, r1 den Abstand zwischen den beiden L¨angenelementen ds und ds1 , α den Winkel, den die beiden L¨ angenelemente miteinander bilden. Auch diese Formel liefert nur die ¨außere Induktivit¨ at des Stromkreises. 23.2.6 Induktivit¨ at bei beliebigen magnetischen Kreisen Wenn der magnetische Kreis Eisen enth¨ alt, so ist die Induktivit¨at von der Stromst¨ arke abh¨angig. Nur bei sehr kleinen Strom¨anderungen, bei denen praktisch die reversible Permeabilit¨ at in Betracht kommt, kann mit einer konstanten Induktivit¨ at gerechnet werden. Im allgemeinen Fall kann die Induktivit¨at f¨ ur jede Stromst¨ arke aus der magnetischen Kennlinie Φ(i) des Kreises entnommen werden: ˆ := N Φ . (23.19) L(i) i ˆ Dieser verallgemeinerte Induktivit¨ atskoeffizient L(i) entspricht geometrisch einer Sekante an die Kennlinie Φ(i), durch die St¨ utzpunkten (0, 0) und (Φ(i), i) geht. Eine andere Verallgemeinerung benutzt die Tangente an die Kennlinie im Punkt (Φ(i), i) dΦ . (23.20) L(i) := di In der Literatur wird meistens diese Definition verwendet (z. B. Mathis [148]). Bei der Anwendung des Induktionsgesetzes ist dann aber zu beachten, dass ˆ der verallgemeinerte in jedem Fall eine Funktion von i ist. Im Fall von L(i) gilt f¨ ur das in Strom und Spannung formulierte Induktionsgesetz

23.3 Gegeninduktion und Gegeninduktivit¨ aten

uL =

ˆ ˆ d(L(i)i ˆ di + i dL di = =L dt dt di dt



ˆ ˆ + i dL L di



di . dt

341

(23.21)

Im Fall von L(i) gilt dΦ di dΦ = . (23.22) dt di dt Die Abh¨ angigkeit der Induktivit¨ at von der Stromst¨arke l¨asst sich bei Eisenkreisen vermindern, wenn in dem Eisenkern ein Luftspalt angebracht wird, der den Hauptteil des magnetischen Widerstandes enth¨alt. Aus Gl. (22.50) und (22.51) geht hervor, dass die Induktivit¨at einer Wicklung mit N Windungen N2 (23.23) L= Rm wird, wenn Rm der magnetische Widerstand des von der Wicklung umschlungenen magnetischen Kreises ist. uL =

Zahlenbeispiele: 1. Eine Zylinderspule mit der Lange l = 30cm, dem Durchmesser d = 5cm und N = 300 Windungen ohne Eisenkern hat angen¨ahert die Induktivit¨ at L = 3002 · 1, 257 · 10−6

H 0, 052 πm2 = 740µH. m 4 · 0, 3m

(23.24)

2. Eine Doppelleitung mit a = 30cm Drahtabstand, r0 = 2mm Leiterradius und l = 1km L¨ ange hat die Induktivit¨ at L=

1, 257 · 10−6 H1000m 300 ln = 2, 0mH. πm 2

(23.25)

3. Ein Drahtring von d = 30cm Durchmesser und r0 = 2mm Drahtradius hat die Induktivit¨ at L = 1, 257

300 µH 0, 15m ln = 0, 814µH. m 4

(23.26)

Der Strom in der Ablenkspule einer Braunschen R¨ohre w¨achst innerhalb 0, 1ms linear um 1A. Die Induktivit¨ at der Spule ist 0, 05H. Die Spannung an der Spule wird daher w¨ ahrend des betrachteten Zeitabschnittes bei Vernachl¨ assigung des Widerstandes der Spule u=L

1A di = 0, 05H = 500V. di 0, 1 · 10−3 s

(23.27)

23.3 Gegeninduktion und Gegeninduktivit¨ aten Befindet sich in der Nachbarschaft eines Stromkreises 1 ein zweiter 2, so wird ¨ bei Anderung des durch den Kreis 1 erzeugten magnetischen Feldes nach dem

342

23 Induktionskoeffizienten

Induktionsgesetz im Kreis 2 eine Spannung induziert. Umgekehrt entsteht eine induzierte Spannung im Kreis 1 bei Strom¨ anderungen in 2. Man nennt dieses Erscheinung die Gegeninduktion. Die Induktion und das Induktionsgesetz werden im Rahmen des quasistation¨ aren elektromagnetischen Feldes in den Abschnitten 26 und 26.4 n¨ aher behandelt. Im allgemeinen Fall wird nur ein Teil des in Stromkreis 1 durch den Strom i1 erzeugten Flusses mit dem Stromkreis 2 verkettet sein. Man definiert nun die Gegeninduktivit¨at M21 zwischen Stromkreis 1 und 2 durch die Beziehung Φ21 =: M21 i1 ,

(23.28)

in der Φ21 den magnetischen Fluss bedeutet, der mit dem Stromkreis 2 dann verkettet ist, wenn der Strom im Stromkreis 2 Null ist, wenn also dieser Stromkreis z.B. ge¨ offnet ist. Die Einheit der Gegeninduktivit¨at ist wie die der Induktivit¨ at 1 H. Bemerkungen: 1) In Abschnitt 26.4 wird gezeigt, dass dieser magnetische Fluss nach dem Induktionsgesetz maßgebend f¨ ur die in Stromkreis 2 induzierte Quellenspannung ist; sie betr¨agt di1 , (23.29) u2 = −M21 dt wenn die Z¨ ahlrichtung f¨ ur i2 den gemeinsamen Induktionsfluss im gleichen Sinne wie die Z¨ ahlrichtung von i1 umkreist. 2) Die Indizierung der Gegeninduktivit¨ at entspricht der in der mathematischen Literatur u ¨ blichen Indizierung. In der Elektrotechnik wird gelegentlich auch die umgekehrte Indizierung, bei der der verursachende Stromkreis an erster Stelle genannt wird, verwendet. Die gleiche Definition der Gegeninduktivit¨at gilt auch bei Spulen mit beliebiger r¨ aumlicher Ausdehnung. Der magnetische Fluss Φ21 setzt sich dann zusammen aus den Teilfl¨ ussen, die mit den einzelnen Windungen der Spule verkettet sind. Den mit einer Spule verketteten Gesamtfluss kann man immer berechnen als Summe der Teilfl¨ usse in den einzelnen Windungen, indem man sich die Windungen in der Abb. 23.1 veranschaulichten Weise zu geschlossenen Stromkreisen erg¨ anzt denkt; die in den Erg¨ anzungsst¨ ucken induzierten Spannungen heben sich gegenseitig auf. In Abb. 23.1 setzt sich der Gesamtfluss Φ21 aus den Beitr¨ agen zusammen, die die Fl¨ ache a, b, c, d, f liefern. h¨aufig kann man auch hier den Gesamtfluss als Produkt der Windungszahl mit einem B¨ undelfluss berechnen. Es ist zu beachten, dass die Gegeninduktivit¨at aus dem Feldlinienbild definiert ist, das entsteht, wenn der Stromkreis 2 stromlos ist. In Abb. 23.2 in dies f¨ ur zwei parallele kreisf¨ ormige Drahtringe veranschaulicht. Der gemeinsame Fluss Φ21 wird durch das zwischen den beiden stark ausgezogenen Feldlinien liegenden B¨ undel dargestellt. Die anderen Feldlinien

23.3 Gegeninduktion und Gegeninduktivit¨ aten

343

Abbildung 23.1. Zur Bestimmung des mit einer Spule verkettenden Induktionsflusses

bilden den Streufluss. Fließt auch im Stromkreis 2 Strom, dann kann sich das Feldlinienbild wesentlich ¨ andern; siehe Abb. 29.32. Bemerkung: Ganz entsprechend l¨ asst sich die Einwirkung von Stromkreis 2 auf Stromkreis 1 auf Grund des Induktionsgesetzes durch die Gleichung u1 = −M12

di2 dt

(23.30)

ausdr¨ ucken. ¨ Die folgenden Uberlegungen zeigen, dass die Werte M21 und M12 einander gleich sind, dass also zwei beliebige Stromkreise 1 und 2 nur eine einzige Gegeninduktivit¨ at haben. Nach Gl.(21.23) ist der magnetische Fluss, der von einem Leiter 1 erzeugt und mit einer geschlossenen Kurve C2 verkettet ist,

Abbildung 23.2. Gegeninduktivit¨ at zwischen zwei parallelen Drahtringen

 Φ12 = µ

C2

A · ds2 ,

(23.31)

wobei das Linienintegral u ¨ ber die Kurve C2 zu bilden ist. Das Vektorpotenzial A ist durch den Strom im Stromkreis 1 bestimmt, und es gilt nach Gl.(AnwendPA), wenn der Stromkreis 1 durch einen Stromfaden ersetzt wird,

344

23 Induktionskoeffizienten

 Φ21 = µ

C1

A · ds1 ,

(23.32)

f¨ ur jeden Punkt der geschlossenen Kurve C1 , wobei ds2 das Linienelement der Kurve C2 , r12 den Abstand zwischen ds1 und ds2 bedeutet. Daher gilt   ds1 · ds2 µ , (23.33) M21 = 4π C1 C2 r1 − r2  ein Ausdruck, der unabh¨ angig davon ist, welche Kurve mit 1 und welche mit 2 bezeichnet wird. Daraus folgt M12 = M21 =: M.

(23.34)

Voraussetzung f¨ ur die G¨ ultigkeit dieser Beziehung ist, wie bei Gl.(21.23), dass die Permeabilit¨ at µ im ganzen Raum unabh¨ angig von der Feldst¨arke ist. Die Beziehung gilt also insbesondere bei Stromkreisen, die sich in Luft oder magnetisch neutralen Stoffen befinden. Bei Abwesenheit ferromagnetischer Stoffe im magnetischen Feld h¨ angt die Gegeninduktivit¨at von der Stromst¨arke ab, und es ergeben sich im allgemeinen verschiedenen Werte der Gegeninduktivit¨ at, wenn nicht daf¨ ur gesorgt wird, dass die Flussdichte im Eisen die gleiche bleibt. Die Gegeninduktivit¨ at kann entweder mit Hilfe von Gl.(23.33) oder mit der Definitionsgleichung (23.28) berechnet werden. Eine andere M¨oglichkeit besteht darin, die Gegeninduktivit¨ at u ¨ber die Energie des magnetischen Feldes zu bestimmen (siehe Abschnitt 24). Bei dem praktisch besonders wichtigen Fall paralleler, gerader Leitungen ist der Weg u ¨ber die Definitionsgleichung der einfachste.

Abbildung 23.3. Gegeninduktivit¨ at zwischen zwei parallelen Drahtringen

In Abb. 23.3 sollen 1 und 2 die Spuren der beiden Dr¨ahte einer Doppelleitung, 3 und 4 die Spuren einer dazu parallelen Doppelleitung bezeichnen; es soll die Gegeninduktivit¨ at zwischen den beiden Leitungen berechnen werden. Wir denken uns die Leitung 3, 4 stromlos und schicken durch die Leitung 1, 2 den Strom I1 . Das durch diesen Strom hervorgerufene Magnetfeld durchsetzt

23.3 Gegeninduktion und Gegeninduktivit¨ aten

345

die Schleife 3, 4. Die Bezugsrichtung f¨ ur diesen verketteten Fluss sei durch die gezeichneten Feldlinien festgelegt; er kann aus den beiden Teilfeldern berechnet werden, die von den Dr¨ ahten 1 und 2 herr¨ uhren. Bei der in der Abbildung angedeuteten Stromrichtung w¨ urde der Strom im Leiter 1 f¨ ur sich allein einen Fluss mit kreisf¨ ormigen Feldlinien hervorrufen, von dem der Teil  r14 µ0 l r14 µ0 l I1 dr = I1 ln (23.35) Φ1 = 2π r12 r12 2π r mit der Leitung 3, 4 in der angegebenen Richtung verkettet ist. Von Leiter 2 herr¨ uhrend w¨ urde der Fluss  r24 µ0 l r22 µ0 l I1 dr = I1 ln (23.36) Φ12 = 2π r 2π r 24 r22 mit der Leitung 3, 4 verkettet sein. Der Gesamtfluss ist daher Φ21 = Φ1 + Φ2 =

r14 r23 µ0 l I1 ln . 2π r13 r24

(23.37)

Die Gegeninduktivit¨ at wird M=

µ0 l r14 r23 ln . 2π r13 r24

(23.38)

Unter r13 , r23 usw. sind die Abst¨ ande der Leiterachsen zu verstehen. Das Feld im Innern der Leiter tr¨ agt praktisch nichts zur Gegeninduktivit¨at bei, da sich die Beitr¨ age in den beiden H¨ alften eines jeden Leiters aufheben. Anders ist es dagegen, wenn zwei der vier Leiter, z. B. 1 und 3, zusammenfallen, dann ist das innere Feld dieses Leiters beiden Stromkreisen gemeinsam. Zur Untersuchung dieses Falles eignet sich die Energiemethode“ besser; die entsprechende ” Berechnung findet man in Abschnitt 24.

24 Energie im station¨ aren Magnetfeld

Die im magnetischen Feld aufgespeicherte Energie l¨asst sich wie die elektrische Energie durch die Feldgr¨ oßen ausdr¨ ucken. Allerdings st¨oßt man bei der Ableitung des Ausdrucks f¨ ur die magnetische Energie auf einen wichtigen Unterschied. Im elektrischen Feld konnte der Ausdruck f¨ ur die elektrische Energie auf der Grundlage eines Gedankenexperimentes hergeleitet werden: Transport ¨ von Ladungen aus dem Unendlichen. Diese Uberlegung setzt voraus, das man es mit einem energetisch abgeschlossenen System zu tun hat, was im Fall des elektrischen Feldes gegeben ist. Wenn man kleine“ Stromschleifen, die man in Analogie zu den Punktla” dungen als elementare Erzeuger des magnetischen Feldes ansehen kann, aus dem Unendlichen an beliebige Orte transportiert, so ergibt sich die Schwierigkeit, dass der Strom in den Schleifen konstant gehalten werden muss; vgl. Eder ([61], S. 72). Das l¨ asst sich nur machen, wenn man jeder Schleife eine ideale Stromquelle zuordnet, wodurch man nat¨ urlich ein energetisch offenes physikalisches System erh¨ alt. Es bleibt nur, f¨ ur die feldm¨aßige Form der magnetischen Energie einen Ausdruck in Analogie zum elektrischen Feld aufzubauen. In der Literatur wird dieses Problem selten erw¨ ahnt und man begn¨ ugt sich h¨aufig damit, wie weiter unten gezeigt, einen Energieausdruck f¨ ur den magnetischen Fall auf der Grundlage der Netzwerkgleichungen abzuleiten. Das ist jedoch im wesentlichen a ur das ¨quivalent zu der direkten Angabe des Ausdrucks f¨ magnetische Feld. In diesen Ableitungen wird h¨aufig das Induktionsgesetz verwendet, dass nicht zur Theorie des station¨aren Magnetfeldes geh¨ort. In Analogie zum elektrostatischen Feld (13 ) ergibt sich f¨ ur die magnetische Energie des magnetischen Feldes in einem Volumen V  1 B(˜r)2 dV˜ (24.1) Emag := 2µ V oder mit der linearen Materialbeziehung  1 B(˜r) · H(˜r)dV˜ . Emag = 2 V

(24.2)

24 Energie im station¨ aren Magnetfeld

347

Diese Definition ist konsistent mit der Ableitung des Ausdrucks f¨ ur die magnetische Energie auf der Grundlage einer speziellen magnetischen Anordnung. Dazu kann man beispielsweise eine Ringspule mit einem Kern aus beliebigem Material w¨ ahlen. Der Querschnitt A des Ringkernes soll jedoch so klein sein, dass das magnetische Feld im Innern des Kernes als homogen angesehen werden kann. Dann l¨ asst sich der magnetische Fluss in dem Kern in der Form schreiben Φ = BA. (24.3) Unter Verwendung des Induktionsgesetzes, das erst im Rahmen des quasistation¨ aren Feldes in Abschnitt 26.4 behandelt wird, erh¨alt man bei einer zeitver¨ anderlichen B-Feldst¨ arke B := B eine Selbstinduktionsspannung in der Wicklung mit N Windungen bei irgendwelchen Strom¨anderungen uL = N A

dB . dt

(24.4)

Wirkt in dem Stromkreis der Spule eine a ¨ußere Quellenspannung U0 , so gilt daher dB . (24.5) U0 = Ri + N A dt ¨ Mit der gleichen Uberlegung wie oben ergibt sich hieraus f¨ ur die w¨ahrend eines Zeitelements dt gespeicherte magnetische Energie dW = iN AdB.

(24.6)

Andererseits ist nach dem Durchflutungsgesetz (H := H) iN = lH,

(24.7)

wenn l die Feldlinienl¨ ange bezeichnet. Daher gilt dW = AlHdB.

(24.8)

Wird hier das Volumen des Kerns Al = V eingef¨ uhrt, so ergibt sich dW = V HdB.

(24.9)

Die bei irgendeiner magnetischen Feldst¨ arke insgesamt gespeicherte Energie ist daher  B W =V HdB. (24.10) 0

Da nun das Feld im Innern des Kerns nach Voraussetzung homogen ist, so wird die magnetische Energiedichte 

B

w := V 0

H · dB.

(24.11)

348

24 Energie im station¨ aren Magnetfeld

Diese Beziehung gilt nun auch f¨ ur ein Feld von ganz beliebiger Form, da jedes Feld in gen¨ ugend kleinen Ausschnitten als homogen angesehen werden kann. Die in einem beliebigen Feld gespeicherte magnetische Energie wird daher durch Integration der Beitr¨ age der einzelnen Volumenelemente erhalten  W = wdV. (24.12) Bei der Ableitung der Gl. (24.11) wurden keine Voraussetzungen u ¨ ber den Zusammenhang zwischen B und H gemacht. Diese Gleichung gilt daher auch f¨ ur ferro-magnetische Stoffe. Durch die Einf¨ uhrung des skalaren Produkts wurde auch ber¨ ucksichtigt, dass H und B verschiedene Richtungen haben k¨onnen. Bei Stoffen mit konstanter Permeabilit¨ at kann dagegen gesetzt werden dB = µ dH

(24.13)

Dann l¨ asst sich die Integration ausf¨ uhren, und es ergibt sich w=

1 1 B · H = µH2 . 2 2

Die im ganzen Feld gespeicherte Energie wird   1 1 B · H dV = µ H2 dV. W = 2 2

(24.14)

(24.15)

Man kann also die magnetische Energie berechnen, wenn die H-Feldst¨arke gegeben ist. Dieser Zusammenhang kann zur Bestimmung der Induktivit¨at von r¨ aumlich ausgedehnten elektrischen Stromleitern dienen. Dazu dr¨ ucken wir Gl.(24.15) mit Hilfe des Vektorpotenzials A und der Stromdichte J aus  1 A(˜r) · J(˜r) dV˜ (24.16) W = 2 wobei man einige Hilfsmittel der Vektoranalysis (div(M × N) = N · rotM − M · rotN, Gaußscher Satz) zur¨ uckgreifen muss. Im Fall linienhafter Leiter erhalten wir  iΦ i . (24.17) A(˜r)d˜s = W = 2 Leiter 2 Wenn Φ und i linear zusammenh¨ angen, wobei die Induktivit¨at L der Proportionalit¨ atskoeffizient ist, erh¨ alt man die Beziehung L=

2W . i2

(24.18)

Als Anwendungsbeispiel werde die Berechnung der inneren Induktivit¨at von Dr¨ ahten mit Kreisquerschnitt betrachtet. Die magnetische Feldst¨arke im Leiterinnern ist nach Gl. (21.100)

24 Energie im station¨ aren Magnetfeld

H =

r i. 2πr02

349

(24.19)

Bei Voraussetzung konstanter Permeabilit¨ at enth¨alt daher ein Hohlzylinder vom Radius r, der Dicke dr und der L¨ ange l innerhalb des Leiters die Energie oder mit Gl. (24.19) 1 (24.20) dW = µH2 2πrldr, 2 oder mit Gl. (24.19) µl 3 r dr. (24.21) dW = i2 4πr04 Die in dem Draht aufgespeicherte Energie ist  r0 µl 2 µl , r3 dr = i2 W =i 4πr04 0 16π

(24.22)

und f¨ ur die innere Induktivit¨ at ergibt sich gem¨aß Gl. (24.18) Li =

µl . 8π

(24.23)

Bei einer Doppelleitung von der L¨ ange l hat man diesen Wert zu verdoppeln, entsprechend der in Hin- und R¨ uckleitung aufgespeicherten Energie. Bei der Ableitung der Gl. (24.23) wurde die Voraussetzung gemacht, dass der Strom den Drahtquerschnitt gleichm¨ aßig ausf¨ ullt. Das gilt in langgestreckten Leitern bei Gleichstrom und niederfrequentem Wechselstrom. Bei h¨oheren Frequenzen wird der Strom nach der Drahtoberfl¨ ache hin abgedr¨angt“, so dass die innere ” Induktivit¨ at kleiner wird (siehe Abschnitt 29.1). Dort wird dieser sogenannte Skineffekt allerdings als Felddiffusion gedeutet, wobei das elektromagnetische Feld nicht vollst¨ andig in den Leiter eindringt. angig von der Drahtst¨arke. Auf die Die innere Induktivit¨ at Li ist unabh¨ L¨ ange bezogen hat sie f¨ ur alle magnetisch neutralen Leiter (µ = µ0 ) den Wert µ mH Li = = 0, 05 . l 8π km

(24.24)

¨ Bemerkung: Ein naheliegender Uberlegungsfehler besteht darin, dass zur Berechnung der inneren Induktivit¨ at die Definition Φ = L i ben¨ utzt wird und dabei ein Stromfaden betrachtet wird, der die Achse des Leiters enth¨alt. Ein solcher Stromfaden umschließt zwar den gesamten Induktionsfluss im Leiterinnern, aber dieser Fluss ist nicht mit dem ganzen Strom i des Leiters verkettet, sondern nur mit dem Bruchteil, der durch den betrachteten d¨ unnen Stromfaden gef¨ uhrt wird. Die anderen Stromf¨aden im Leiterinnern parallel zur Achse umschließen einen kleineren Induktionsfluss; die Selbstinduktionsspannung l¨ angs des Leiters nimmt von innen nach außen ab, und es wird daher

350

24 Energie im station¨ aren Magnetfeld

ein mittlerer Wert beobachtet; dieser ist durch die Gr¨oße Li Gl. (24.23) gegeben. Auf Grund dieser Vorstellung kann man die innere Induktivit¨at auch mit der Definition Φ = L i berechnen. Dazu denkt man sich den Querschnitt des Leiters in Stromf¨ aden mit dem im Grenzfall unendlich kleinen Querschnitt dA zerlegt, so das der Leiter aus r02 π/dA solchen Stromf¨aden besteht. In einem ringf¨ ormigen Ausschnitt mit dem Radius r und der Breite dr befinden sich Stromf¨ aden, die alle mit dem gleichen Fluss Φr verkettet sind. Da die H-Feldst¨ arke im Leiterinnern nach Gl. (21.100) den Wert H := H =

i r 2πr0 r0

(24.25)

hat, so ist dieser Fluss  Φr =

r0

Hµldr = r

i µl(r02 − r2 ). 4πr02

Der mit s¨ amtlichen Stromf¨ aden verkettete Fluss ist daher  r0 iµl 2rπ dA Φr dr = , Φi = 2 r0 pi r dA 8π

(24.26)

(24.27)

woraus mit Definition Φ = L i die Gl. (24.23) f¨ ur die innere Induktivit¨at folgt. Eigentlich handelt es sich jedoch nicht um die Anwendung einer falschen Formel sondern um die Verwendung einer ung¨ unstigen N¨aherung der vollst¨andigen Theorie elektromagnetischer Felder. F¨ ur hochfrequente Felder ist die Theorie des station¨ aren Magnetfeldes ung¨ unstig und man sollte besser die Theorie des quasistation¨ aren elektromagnetischen Feldes anwenden.

Abbildung 24.1. Koaxiales Kabel

Ein anderes Beispiel bildet die Berechnung der Induktivit¨at eines Koaxialkabels Abb. 24.1. Das magnetische Feld kann hier in drei Teile zerlegt werden: 1. Innenleiter. F¨ ur die Induktivit¨ at des Innenleiters gilt wie oben L1 =

µ1 l . 8π

(24.28)

24 Energie im station¨ aren Magnetfeld

351

2. Isolierstoff. Die H-Feldst¨ arke, ist wegen der Symmetrie des Feldes H=

i . 2πr

(24.29)

Der zwischen Innen- und Außenleiter enthaltene Fluss wird daher  ri µ0 l r1 ln , (24.30) Φ = µ0 l Hdr = i 2π r0 r0 entsprechend einer Induktivit¨ at 3. Außenleiter. F¨ ur die Feldst¨ arke im Außenleiter folgt mit Hilfe des Durchflutungsgesetzes 2πrH = i − i

r2 − r2 r2 − r12 = i 22 . 2 2 r2 − r1 r2 − r12

(24.31)

In einem Volumenelement, das durch zwei koaxiale Zylinder mit den Radien r und r + dr begrenzt ist und die L¨ange l hat, ist eine Energie aufgespeichert vom Betrag dW = i2

dr µ2 l (r22 − r2 )2 . 2 2 − r1 ) r

4π(r22

Daraus folgt die gesamte Energie in dem Außenleiter
 r24 r2 3r22 − r12 µ2 l 2 ln − W =i 4π(r22 − r12 ) r22 − r12 r1 4 Die entsprechende Induktivit¨ at wird daher
 r2 3r22 − r12 r24 µ2 l ln − . L3 = 2π(r22 − r12 ) r22 − r12 r1 4

(24.32)

(24.33)

(24.34)

Die Gesamtinduktivit¨ at ergibt sich durch Addieren der drei Anteile. Bemerkung: Bei supraleitenden Stromkreisen bleibt wegen des verschwindend kleinen Widerstandes ein einmal eingeleiteter Strom mit seinem magnetischen Feld praktisch unbegrenzte Zeit bestehen. Durch zus¨atzliche magnetische Felder kann der Zustand der Supraleitung aufgehoben werden; die Sprungtemperatur der supraleitenden Stoffe erniedrigt sich n¨amlich mit zunehmender B-Feldst¨ arke. Wird daher ein Supraleiter auf eine Temperatur unterhalb der Sprungtemperatur gebracht, so geht die Supraleitung beim ¨ Uberschreiten einer bestimmten B-Feldst¨ arke in die normale Leitung u ¨ ber. Durch das magnetische Feld kann also der Widerstand eines supraleitenden St¨ abchens und damit der Strom in einem Gleichstrom- oder Wechselstromkreis gesteuert werden. Davon wird bei Einrichtungen zum sehr schnellen Schalten und Steuern von Str¨ omen Gebrauch gemacht ( Kryotron“). Das ma” gnetische Feld wird mit einer kleinen Spule hergestellt, die das St¨abchen umgibt. Als Leitermaterial f¨ ur diese Spule wird ebenfalls ein Supraleiter ben¨ utzt,

352

24 Energie im station¨ aren Magnetfeld

der in dem ganzen verwendeten Bereich des B-Feldes supraleitend bleibt. Zur Steuerung ist dann nur die geringe durch die Induktivit¨at der Spule bedingte Blindleistung erforderlich. Die durch das St¨ abchen steuerbare Stromst¨arke ist dadurch begrenzt, dass der gesteuerte Strom selbst ein magnetisches Feld in dem St¨ abchen verursacht. Diese Grenzstromst¨ arke ist daher Ig = πd

Bg , µ0

(24.35)

wenn mit Bg die zum Umkippen des Leitungsmechanismus notwendige BFeldst¨ arke, mit d der Durchmesser des St¨ abchens bezeichnet wird. Die zur Umsteuerung notwendige Stromst¨ arke in der Spule von der L¨ange l mit N Windungen ergibt sich aus Bg l . (24.36) Is = µ0 N Daher ist die Stromverst¨arkung des Kryotrons N Ig = πd . Is l

(24.37)

Z. B. ergibt sich mit d = 0, 1mm, N/l = 10mm−1 eine Stromverst¨arkung Ig = π · 0, 1mm · 10mm−1 = 3, 14. Is

(24.38)

Fließen Str¨ ome in zwei separaten Stromkreisen, so entsteht ein magnetisches Feld, das durch beide Str¨ ome bestimmt ist. Die Energie dieses Feldes l¨asst sich genau so wie im Falle eines einzigen Stromkreises durch die Werte von B und H an den einzelnen Stellen des Feldes berechnen, Gl. (24.15). Sie l¨ asst sich andererseits ausdr¨ ucken durch die Induktivit¨at und die Gegeninduktivit¨ at, wie die folgende Betrachtung zeigt. Dabei ebenfalls vom Induktionsgesetz Gebrauch gemacht, obwohl das Ergebnis davon unabh¨angig ist. Die in Stromkreis 2 induzierte Quellenspannung addiert sich im allgemeinen Fall zu den u ¨ brigen im Kreis 2 vorhandenen Quellenspannungen; durch diese Summe ist der Strom i2 im Kreis 2 bestimmt. Die induzierte Quellenspannung −M di1 /dt liefert dabei w¨ ahrend des Zeitelementes dt in den Kreis 2 eine elektrische Arbeit vom Betrage −i2 M di1 . Sie wird dem magnetischen Feld entzogen. Den gleichen Sachverhalt kann man auch dadurch ausdr¨ ucken, dass man sagt, die Arbeit +i2 M di1 werde w¨ ahrend des betrachteten Zeitelementes als Zuwachs der Feldenergie in das magnetische Feld geliefert. Vergr¨ oßert sich auch i2 um einen Betrag di2 , so entsteht eine Selbstinduktionsspannung L2 di2 /dt und die Feldenergie w¨achst um i2 L2 di2 . Ganz entsprechend hat der Strom i1 im Kreise 1 eine Arbeit i1 L1 di1 ¨ zur Uberwindung der Selbstinduktionsspannung und eine Arbeit i1 M di2 zur ¨ Uberwindung der aus dem Kreis 2 induzierten Spannung zu leisten. Die im

24 Energie im station¨ aren Magnetfeld

353

ganzen Feld aufgespeicherte magnetische Energie nimmt also w¨ahrend des Zeitabschnittes dt um den Betrag dW = L1 i1 di1 + M (i1 di2 + i2 di1 ) + L2 di2

(24.39)

zu. L¨ asst man den Strom i1 von Null auf den Wert I1 wachsen und den Strom im Kreis 2 von Null auf I2 , so ergibt sich die Gesamtenergie des magnetischen Feldes durch Integration zu W =

1 1 L1 I12 + M I1 I2 + L2 I22 . 2 2

(24.40)

Die Gegeninduktivit¨ at kann entweder mit Hilfe von Gl.(23.33) oder mit der Definitionsgleichung (23.28) berechnet werden. Eine andere M¨oglichkeit besteht darin, die Gegeninduktivit¨ at u ¨ ber die Energie des magnetischen Feldes zu bestimmen (siehe Abschnitt 24). Bei dem praktisch besonders wichtigen Fall paralleler, gerader Leitungen ist der Weg u ¨ber die Definitionsgleichung der einfachste; die entsprechende Berechnung findet man in Abschnitt 23.3. Dabei zeigt sich, dass das Feld im Innern der Leiter tr¨agt praktisch nichts zur Gegeninduktivit¨ at bei, da sich die Beitr¨ age in den beiden H¨alften eines jeden Leiters aufheben. Anders ist es dagegen, wenn zwei der vier Leiter, z. B. 1 und 3, zusammenfallen, dann ist das innere Feld dieses Leiters beiden Stromkreisen gemeinsam. Zur Untersuchung dieses Falles eignet sich die Energiemethode“ besser. ” F¨ ur r13 ist in diesem Falle der Drahtradius r0 des gemeinsamen Leiters zu setzen, und es ist zu dem so berechneten Wert der Gegeninduktivit¨at, der nur die a ucksichtigt, noch ein Wert zu addieren, der von ¨ußeren Felder ber¨ dem Innenfeld herr¨ uhrt. Um diesen Wert aufzufinden, berechnen wir die in dem Leiter 1 aufgespeicherte magnetische Energie. Die Stromst¨arke ist bei den gew¨ ahlten Bezugsrichtungen I1 + I2 , also wird die H-Feldst¨arke im Innern dieses Leiters nach Gl. (21.100) r (I1 + I2 ), 2πr02

(24.41)

µl 2 (I + 2I1 I2 + I22 ), 16π 1

(24.42)

H= und es folgt aus Gl. (24.15) W =

Der Vergleich mit Gl. (24.40) ergibt f¨ ur den Beitrag des inneren Feldes zur Gegeninduktivit¨ at µl . (24.43) Mi = 16π Damit folgt f¨ ur die Gegeninduktivit¨ at zwischen den beiden Schleifen
 r14 r23 µr µ0 l ln . (24.44) + M= 2π r0 r24 4

354

24 Energie im station¨ aren Magnetfeld

Zahlenbeispiel: Die Achsen der 4 Dr¨ ahte von zwei Doppelleitungen liegen auf einem Quadrat mit den Abst¨ anden r12 = r24 = r34 = r31 = 30cm. Der Radius ahte 1, 2 zu einer Doppelleitung, der Dr¨ ahte ist r0 = 2mm. Werden die Dr¨ die Dr¨ ahte 3, 4 zu einer zweiten Doppelleitung zusammengefasst, so ist die Gegeninduktivit¨ at zwischen den beiden Leitungen  √ √  1, 257 µH 30 2 · 30 2 mH M = ln = 0, 139 . (24.45) l 2π m 30 · 30 km

25 Kr¨ afte im station¨ aren Magnetfeld

Analog zu den Verh¨ altnissen im elektrostatischen Feld sind mit der Speicherung von Energie im station¨ aren Magnetfeld mechanische Kraftwirkungen verkn¨ upft, und zwar finden wir hier dreierlei mechanische Kr¨afte, n¨amlich solche zwischen den Stromleitern, Kr¨ afte an den Grenzfl¨achen von Stoffen verschiedener Permeabilit¨ at und Kr¨ afte zwischen Stromleitern und magnetischen Stoffen; sie k¨ onnen physikalisch s¨ amtliche auf Kr¨afte zwischen bewegten Ladungen zur¨ uckgef¨ uhrt werden. Neben den klassischen Anwendungen magnetischer Kr¨afte interessiert man sich auch auf mikroskopischer Ebene f¨ ur magnetische Kr¨afte. Ein typisches Beispiel sind sogenannte magnetische Kraftmikroskope, die zur Klasse der Atomkraftmikroskope geh¨ oren; vgl. auch 14.4. Ein Beispiel f¨ ur solche mikroskopischen Kraftberechnungen findet man bei Zueco [253]. Dabei werden grunds¨ atzliche die gleichen Methoden angewendet wie bei makroskopischen Kraftberechnungen.

25.1 Kr¨ afte zwischen Stromleitern Zur Berechnung dient im Prinzip die Gl. (19.1). Man hat danach das B-Feld zu berechnen, die von dem ersten Leiter am Orte des zweiten Leiters erzeugt wird f¨ ur den Fall, dass dieser stromlos ist. Bezeichnet B1 das B-Feld am Orte des L¨ angenelementes ds2 des Leiters 2, so ist die Kraft, die vom magnetischen Feld auf dieses L¨angenelement ausge¨ ubt wird, wenn es in seiner Pfeilrichtung einen Strom I2 f¨ uhrt nach Gl. (19.13), dF = I2 (ds2 × B1 ).

(25.1)

Die Gesamtkraft ergibt sich durch Integration u ¨ ber die ganze L¨ange des Leiters 2. Als Beispiel werde die Kraft zwischen zwei sehr langen parallelen Stromleitern mit dem Abstand a betrachtet, Abb. 25.1. Die vom Leiter 1 in der

356

25 Kr¨ afte im station¨ aren Magnetfeld

Abbildung 25.1. Berechnung der Kraft zwischen parallelen Dr¨ ahten

Umgebung des Leiters 2 erzeugte B-Feldst¨ arke B1 := B1  hat auf der ganzen L¨ ange den Wert µ0 I1 ; (25.2) B1 = 2πa sie ist senkrecht zum Leiter 2 gerichtet. Auf jedes L¨angenelement ds2 wird daher eine Kraft vom Betrage dF = I2 B1 ds2 =

µ0 ds2 I1 I2 2πa

(25.3)

ausge¨ ubt, die die beiden Leiter einander zu n¨ahern sucht, wenn die Stromrichtungen gleich sind. Die in einem Abschnitt von der L¨ange l entstehende Anziehungskraft ergibt sich durch Integration  µ0 l µ0 I1 I2 ds2 = I1 I2 . (25.4) F = I2 B1 ds2 = 2πa 2πa Von dieser Beziehung wird bei der Definition der Stromst¨arkeeinheit 1A Gebrauch gemacht.

Abbildung 25.2. Berechnung der Kr¨ afte in einem Schalter

Als weiteres Beispiel soll die Kraft berechnet werden, die auf die Traverse eines Schalters, Abb. 25.2, vom Strom ausge¨ ubt wird. Die Stromkr¨afte sind hier immer so gerichtet, dass sie den Schalter zu ¨offnen suchen. In irgendeinem L¨ angenelement dx der Traverse liefert der in dem L¨angenelement dy der

25.1 Kr¨ afte zwischen Stromleitern

357

Zuf¨ uhrung fließende Strom nach der Amper`eschen Formel entsprechend Gl. (21.51) den Beitrag µ0 dy I sin α (25.5) dB = 4π r2   zum B-Feld, oder mit r = x2 + y 2 und sin α = x/( x2 + y 2 ) dB =

xdy µ0 I 3. 4π x2 + y 2

Die von dem linken Stab herr¨ uhrende B-Feldst¨arke ist daher  ∞ µ0 I dy µ0 Ix  3 = 4π x . 4π 2 2 0 x +y

(25.6)

(25.7)

Der Beitrag des anderen Stabes ist entsprechend µ0 I , 4π a − x

(25.8)

so dass die gesamte B-Feldst¨ arke B=

µ0 I 4π




1 1 + x a−x

 (25.9)

wird. Sie ist senkrecht zur Zeichenebene gerichtet. Die Kraft, die auf das L¨angenelement dx des Messers ausge¨ ubt wird, ist daher
 dx µ0 2 dx I + (25.10) dF = 4π x a−x und es wird die Gesamtkraft
  dx µ0 2 2a − b µ0 2 a−b/2 dx I + I ln , = F = 4π x a − x 2π b b/2

(25.11)

wobei b die Breite der beiden Klemmst¨ ucke bezeichnet. Zahlenbeispiel: Durch einen Schalter mit a = 15cm, b = 2cm fließe ein Kurzschlußstrom von I = 10000A. Dann ergibt sich eine Kraft von F =

HA2 1, 257 · 10−6 8 10 ln 14 = 53N = 5, 4kp. 42π m

(25.12)

Eine andere Methode zur Berechnung der magnetischen Feldkr¨afte besteht ¨ darin, dass man die Anderung der magnetischen Energie feststellt, die infolge

358

25 Kr¨ afte im station¨ aren Magnetfeld

¨ einer gedachten Form¨ anderung des Stromkreises entsteht. Andert man irgendeine Abmessung x eines stromdurchflossenen Kreises um ein kleines St¨ uck dx, so sind dabei (neben den elastischen Spannungen) magnetische Feldkr¨afte zu u ¨ berwinden. Bezeichnen wir die magnetische Feldkraft in der Richtung von x mit Fx , so wird bei der Verschiebung um dx eine mechanische Arbeit dW1 = Fx dx

(25.13)

¨ geleistet. Denken wir uns den Strom I bei dieser Anderung konstant gehalten, z. B. indem ein gen¨ ugend hoher Widerstand im Stromkreis vorgesehen wird, so w¨ achst bei einer solchen Form¨ anderung der Gesamtfluss des Stromkreises, Φ = LI,

(25.14)

um einen Betrag dΦ = IdL = I

∂L dx. ∂x

(25.15)

¨ Erfolgt die Anderung in der Zeit dt, so ergibt sich eine Selbstinduktionsspannung ∂L dx dΦ =I . (25.16) uL = dt ∂x dt Diese erfordert beim Strom I w¨ ahrend der Zeit dt einen elektrischen Arbeitsaufwand ∂L dx. (25.17) dW2 = uL Idt = I 2 ∂x ¨ Schließlich wird bei der Anderung ein Zuwachs der im magnetischen Feld aufgespeicherten Energie Wm =

1 ∂L 1 2 LI um dWm = I 2 dx. 2 2 ∂x

(25.18)

gewonnen. Da die aufgewendete Arbeit gleich der gewonnenen, Arbeit sein muss, so folgt dW2 = dWm + dW1 , (25.19) oder nach Einsetzen der Ausdr¨ ucke (25.16), (25.18) und (25.19) Fx =

1 2 ∂L LI . 2 ∂x

(25.20)

Die Kraft ist also immer so gerichtet, dass sie die Induktivit¨at zu vergr¨oßern sucht. Sie kann berechnet werden, wenn die Abh¨angigkeit der Induktivit¨at des Stromkreises von x bekannt ist. Aus der Gl. (23.16) f¨ ur die Induktivit¨at einer Doppelleitung ergibt sich z. B. sofort die Beziehung (25.4) f¨ ur die zwischen den beiden Dr¨ ahten wirkende Kraft. Handelt es sich um zwei verschiedene Stromkreise 1 und 2, so lassen sich ¨ die zwischen den Stromkreisen auftretenden Kr¨afte durch eine ¨ahnliche Uberlegung finden. Bei der Verschiebung dx der beiden Stromkreise gegeneinander

25.3 Kr¨ afte an Grenzfl¨ achen

359

¨ ergibt sich eine Anderung der Gegeninduktivit¨at M , durch die einerseits die ¨ in den beiden Stromkreisen induzierten Spannungen, andererseits die Anderung der Feldenergie, Gl.(24.40), bestimmt sind. Damit folgt f¨ ur die in der Richtung der Verschiebung wirkende Kraft Fx = I1 I2

∂M . ∂x

(25.21)

Diese sucht also die Stromkreise in eine solche Lage zu bringen, dass die Gegeninduktivit¨at m¨oglichst groß wird.

25.2 Kr¨ afte zwischen Stromleitern und magnetischen Stoffen Meist lassen sich magnetische Stoffe durch ¨ aquivalente stromf¨ uhrende Leiter ersetzen. Als Beispiel werde der in Abb. 22.3 dargestellte Fall betrachtet. Die Anziehungskraft zwischen Leiter und Eisenplatte ist bei unendlich großer Permeabilit¨ at des Eisens als Kraft zwischen den beiden Str¨omen in A und A nach Gl. (25.4) µ0 l 2 I . (25.22) F = 2π 2h Nach dieser Beziehung wird die Anziehungskraft um so gr¨oßer, je kleiner der Abstand des Leiters von dem Eisen ist. Derartige Kr¨afte spielen eine Rolle bei den Wicklungsk¨ opfen der elektrischen Maschinen, wo sie besonders im Kurzschlußfall hohe Betr¨ age erreichen k¨ onnen.

25.3 Kr¨ afte an Grenzfl¨ achen Die an Grenzfl¨ achen ausge¨ ubten Kr¨ afte k¨ onnen wie im elektrischen Feld zur¨ uckgef¨ uhrt werden auf Kr¨ afte, mit denen sich die Feldlinien zu verk¨ urzen und zu verbreitern suchen. Analog den Kr¨ aften im elektrischen Feld haben L¨angszug und Querdruck die gleiche Form wie die Dichte der aufgespeicherten Energie unter der Voraussetzung, dass die Permeabilit¨at eine Konstante ist. Es gilt 1 1 (25.23) σx = BH = µH2 . 2 2 Man kann diese Beziehung durch die Betrachtung einer Ringspule ableiten, die einen Ringkern mit sehr kleinem Querschnitt A und der Feldlinienl¨ange l enth¨ alt. Der Beitrag, den dieser Kern zur Induktivit¨at der Spule liefert, ist nach Gl. (25.4) µA . (25.24) F = N2 l Daraus folgt f¨ ur die Kraft, die die L¨ ange l zu vergr¨oßern sucht, nach Gl. (25.20)

360

25 Kr¨ afte im station¨ aren Magnetfeld

1 µA 1 2 ∂L I = − N 2 2 I 2. (25.25) 2 ∂t 2 l Die Kraft wirkt also in entgegengesetzter Richtung, sie sucht die Feldlinien zu verk¨ urzen. F¨ ur die Gl. (25.25) kann man schreiben F =

1 F = − BHA. 2

(25.26)

F¨ ur die Zugspannung folgt daraus die Gl. (25.23). Dass der Querdruck der Feldlinien ebenso groß ist, ergibt sich durch eine ¨ahnliche Betrachtung wie im elektrischen Feld, Abb. 14.2. Die Kr¨ afte k¨ onnen genau so berechnet werden wie im Fall des elektrischen Feldes, Abschnitt 14. Das Ergebnis ist wie dort, dass die an der Grenzfl¨ache angreifende Kraft immer senkrecht zur Grenzfl¨ache gerichtet ist. Die von einem Stoff mit der Permeabilit¨ at µ2 nach einem Stoff mit der Permeabilit¨at µ1 hin gerichtete Zugspannung hat ganz analog wie im elektrischen Feld, Gl. (14.26), den Betrag
 µ1 2 1 2 H . (25.27) σz = (µ2 − σ1 ) Ht1 + 2 µ2 n1 Handelt es sich um eine Grenzfl¨ ache zwischen Eisen (µ2 = µr µ0 ) und Luft (µ1 = µ0 ) so folgt hieraus σz =

µr − 1 2 (B − µr Bt2 ), 2µr µ0 n

(25.28)

wenn Bn und Bt die Komponenten der B-Feldst¨arke im Luftraum bezeichnen. Eine Anwendung der Formel (25.28) bildet die angen¨aherte Berechnung der Tragkraft eines Elektromagneten. Wenn der Luftspalt des Magneten so eng ist (also z. B. bei anliegendem Anker), dass der Induktionsfluss senkrecht durch die Polfl¨ ache A hindurchtritt, dann ist die Tragkraft f¨ ur µr  1 F = σz A =

1 Φ2 1 B2A , = 2 µ0 2 µ0 A

(25.29)

wobei B die B-Feldst¨ arke im Luftspalt bezeichnet ( Maxwellsche Formel“). ” Zahlenbeispiel: Die gr¨ oßten Werte der B-Feldst¨arke in Luft, die in der Elektrotechnik im allgemeinen angewendet werden, liegen bei etwa B = 2T = 2V s/m2 . Daher sind die gr¨ oßten magnetischen Zugspannungen
 kp V 2 s2 m 4 1 6 N = 1, 59 · 10 2 = 16, 2 2 . (25.30) σz = 2 1, 257 · 10−6 m4 H m cm

Die Gl. (25.29) wurde unter der Voraussetzung feldst¨arkeunabh¨angiger Permeabilit¨ at des Eisens abgeleitet; sie gilt jedoch mit großer Genauigkeit

25.3 Kr¨ afte an Grenzfl¨ achen

361

auch f¨ ur die gekr¨ ummten Magnetisierungskurven des Eisens, soweit die totale Permeabilit¨at µr groß gegen 1 ist. Ein anderer Weg zur Berechnung der an Polfl¨achen auftretenden Kr¨afte geht von der magnetischen Kennlinie des magnetischen Kreises aus. In Abb. 25.3 sei der Zusammenhang zwischen dem mit der Wicklung verketteten Gesamtfluss Φ und dem Strom i in der Wicklung bei irgendeiner Stellung des Ankers durch OA dargestellt.

Abbildung 25.3. Zur Berechnung der Zugkraft eines Elektromagneten

¨ Bei einer Anderung des magnetischen Flusses ergibt sich nach dem Induk¨ tionsgesetz eine Anderung der magnetischen Energie vom Betrage dWm = i

dΦ dt = idΦ. dt

(25.31)

Die Gesamtenergie hat daher bei gegebener Stromst¨arke I den Wert  Φ Wm = idΦ. (25.32) 0

Dieses Integral wird in Abb. 25.3 durch die Fl¨ache OGD dargestellt: ache OGD. Wm = Fl¨

(25.33)

N¨ ahert sich nun der Anker den Magnetpolen um ein kleines St¨ uck ∆x, so wird vom Magneten eine mechanische Arbeit W1 = F ∆x

(25.34)

geleistet. Gleichzeitig wird Φ wegen des kleineren Luftspaltes gr¨oßer, Kurve achst die magnetische Energie auf den Betrag OA . Dabei w¨ ache OC  D , Wm + ∆Wm = Fl¨

(25.35)

¨ wenn der Strom I bei der Anderung konstant gehalten wird. Aus Abb. 25.3 ist ersichtlich, dass ache OCD + Fl¨ ache DD C  C − Fl¨ache OCC  . Fl¨ ache OG D = Fl¨

(25.36)

362

25 Kr¨ afte im station¨ aren Magnetfeld

Daher wird der Zuwachs der Energie nach Gl. (25.35) mit (25.33) ache OCC  . ∆Wm = ∆Φ − Fl¨

(25.37)

¨ Die zur Uberwindung der Selbstinduktionsspannung beim Strom I von der außeren Stromquelle zu leistende Arbeit ist nach dem Induktionsgesetz ¨ W2 = I∆∆Φ.

(25.38)

W2 = W1 + ∆Wm ,

(25.39)

Nun gilt und daraus folgt durch Einsetzen F ∆x = Fl¨ ache OCC  .

(25.40)

eine Beziehung, aus der allgemein die Kraft F ermittelt werden kann. In dem Sonderfall einer geradlinigen Magnetisierungskurve wird Fl¨ ache OCC  = I∆φ,

also F =

1 ∆φ I . 2 ∆x

(25.41)

In dem anderen Grenzfall einer Magnetisierungskurve, die zun¨achst sehr steil ansteigt und dann mit einem scharfen Knick in die Horizontale umbiegt, wird das Dreieck OCC  zu einem Rechteck, so dass in diesem Grenzfall Fl¨ ache OCC  = I∆φ,

und F = I

∆φ . ∆x

(25.42)

In Wirklichkeit liegt die Zugkraft bei Elektromagneten mit Eisenkreisen zwischen diesen beiden Grenzen je nach der Kr¨ ummung der magnetischen Kennlinie des Kreises. Infolge dieser Kr¨ ummung wird also die Zugkraft von Elektromagneten gr¨ oßer als der unter Annahme konstanter Permeabilit¨at berechnete Wert bis h¨ ochstens zum Doppelten dieses Wertes. Allgemein gilt F = Iα

∆φ , ∆x

(25.43)

wobei der Zahlenwert α zwischen 0, 5 und 1 liegt und gr¨oßer wird mit st¨arkerer Kr¨ ummung der magnetischen Kennlinie. In den Nuten der elektrischen Maschinen, Abb. 25.4, ist das B-Feld wegen der hohen Eisenpermeabilit¨ at klein gegen das B-Feld in den Z¨ahnen. Die auf die Stromleiter in den Nuten wirkenden Kr¨ afte sind relativ gering. Die f¨ ur das Drehmoment maßgebenden Triebkr¨ afte greifen hier im wesentlichen an den Zahnflanken an. Bei breiten offenen Nuten greifen die Feldlinien in die Zahnl¨ ucken ein; der Strom im Ankerleiter verursacht eine unsymmetrische Verteilung der Feldlinien wie in Abb. 25.4 angedeutet. Dadurch treten im allgemeinen nur Kr¨afte des L¨ angszuges der Feldlinien an den Zahnflanken auf. In Abb. 25.4 sind diese Kr¨ afte nach rechts gerichtet.

25.3 Kr¨ afte an Grenzfl¨ achen

363

Abbildung 25.4. Kr¨ afte im Anker eines Elektromotors

Bei schmalen tiefen und insbesondere bei geschlossenen Nuten k¨onnen die Kr¨ afte des Querdruckes fast allein das Drehmoment verursachen, Abb. 25.5. Denken wir uns zun¨ achst den in der Nut liegenden Leiter stromlos, und bezeichnen wir die B-Feldst¨ arke des Erregerfeldes in den Z¨ahnen mit B0 , so gilt f¨ ur die B-Feldst¨ arke in der als sehr schmal vorausgesetzten Nut

Abbildung 25.5. Kr¨ afte des Querdrucks bei geschlossenen Nuten

B=

B0 , µr

(25.44)

da die Tangentialkomponente der magnetischen Erregung an den Zahnflanken stetig sein muss. Die auf den Leiter von der L¨ ange l ausge¨ ubte Kraft ist daher F1 =

1 B0 Il, µr

(25.45)

wenn der Leiter von dem Strom I durchflossen wird. Sie ist um so kleiner, je gr¨oßer die Permeabilit¨ at des Eisens ist. Um die Grenzfl¨achenspannungen zu berechnen, m¨ ussen wir das wirkliche Feld betrachten, an dem auch der Ankerstrom beteiligt ist. Infolge der durch den Strom I bestimmten Durchflutung ist die B-Feldst¨ arke an den beiden Zahnflanken verschieden. Es gilt l¨angs der Nutgrenzen f¨ ur die Durchflutung angen¨ ahert die Beziehung  (25.46) H · ds = (Ht1 − Ht2 )a = I.

364

25 Kr¨ afte im station¨ aren Magnetfeld

Daher sind die Tangentialkomponenten der magnetischen Induktion an den beiden Zahnflanken µ0 I B0 , + µr 2 a µ0 I B0 . − = µr 2 a

Bt1 =

(25.47)

Bt2

(25.48)

Die an den Zahnflanken angreifenden Fl¨ achenkr¨afte wirken einander entgegen; ihre Differenz ist nach Gl. (25.35) Die am Ankereisen selbst angreifende Kraft ist also µr − 1 mal so groß wie die auf den Leiter wirkende Kraft. Die Summe der beiden Kr¨afte ist F = F1 + F2 = B0 Il.

(25.49)

Sie hat denselben Wert, als ob sich der Leiter in dem Feld mit der Induktion B0 bef¨ ande. Dieses Ergebnis kann allgemeiner auch aus Gl. (27.55) abgeleitet werden. Im allgemeinen Fall sind Kr¨ afte des L¨angszuges und des Querdruckes von Feldlinien an den Zahnflanken am Drehmoment beteiligt, immer sind aber die Leiter selbst infolge der hohen Eisenpermeabilit¨at stark entlastet.

Teil VI

Das quasi-station¨ are elektromagnetische Feld

26 Grundgleichungen des quasistation¨ aren Feldes

26.1 Elektrisches und magnetisches Feld ¨ Bei den bisherigen Uberlegungen wurden auf der Basis der Experimente von Coulomb sowie von Ørsted, Biot, Savart und Ampere das elektrische und magnetische Feld als separate physikalische Systeme eingef¨ uhrt. Lediglich die Tatsache, dass bewegte elektrische Ladung – elektrische Str¨ome – in ihrer Umgebung eine magnetische Erregung erzeugen, die durch das H-Feld charakterisiert wird, gab Hinweise auf einen Zusammenhang des elektrischen und magnetischen Feldes. Im folgenden wollen wir zeigen, dass es weitere Hinweise auf einen solchen Zusammenhang gibt. Dazu betrachten wir wieder einmal die Mechanik des geladenen Probek¨ orpers. Wir nehmen an, dass wir durch geeignete Experimente mit einem bewegten geladenen Probek¨ orper in einem hinreichend ausgedehnten Raumgebiet konstante magnetische Kraftwirkungen festgestellt haben, die wir durch ein konstantes B-Feld charakterisieren. Diese Eigenschaft l¨asst sich nach Abschnitt 19.1 zumindest im Prinzip dadurch sicherstellen, dass man bez¨ uglich eines willk¨ urlich gew¨ ahlten (Labor-)Koordinatensystems geladene Probek¨orper mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit versieht und dessen Bewegung beobachtet. Die Bahn sollte spiralf¨ ormig oder kreisf¨ormig verlaufen, da der Betrag der Geschwindigkeit konstant bleibt. Nach Gl. (18.23) sind diese Bahnen (bez¨ uglich des gew¨ ahlten Koordinantensystems) L¨osungen der folgenden Differentialgleichung bei konstantem B-Feld m

dv = q(v × B). dt

(26.1)

Die Probeladung wird beschleunigt. Nun betrachten wir eine ruhende Ladung Q bez¨ uglich des gew¨ahlten Koordinatensystems. Die massebehaftete Ladung Q erf¨ahrt keine Beschleunigung, d.h. es gilt dv = 0. (26.2) dt

368

26 Grundgleichungen des quasistation¨ aren Feldes

W¨ ahlen wir nun ein Koordinatensystem, dass sich relativ zu dem Laborsystem mit der konstanten Geschwindigkeit −v gleichf¨ormig bewegt (beispielsweise in Richtung der x-Koordinate), dann gibt es im Sinne der Mechanik keinen Grund, dass die Beschleunigung einen von null verschiedenen Wert annimmt. Offensichtlich ist das ein Widerspruch mit den zuvor angesprochenen Expe¨ rimenten, bei denen bei der dort vorgenommenen aktiven“ Anderung der ” Geschwindigkeit des Probek¨ orper eine Beschleunigung im Sinne von Gl.(26.1) auftritt. Dieses Paradoxon, das z. B. bei Falk und Ruppel [66] beschrieben wird, kann offensichtlich mit den bisherigen feldtheoretischen Konzepten nicht befriedigend aufgel¨ ost werden. Sp¨ ater wird gezeigt, dass erst die experimentellen Befunde der Induktionserscheinung und deren mathematische Beschreibung durch das Induktionsgesetz das soeben diskutierte Paradoxon zumindest f¨ ur kleine Relativgeschwindigkeiten v aufl¨ osen kann. Eine vollst¨andige L¨osung gelingt jedoch erst im Rahmen der speziellen Relativit¨atstheorie.

26.2 Das Induktionsgesetz In Faradays Notizbuch findet sich bereits im Jahre 1822 eine Bemerkung, die Ausgangspunkt f¨ ur eine fast zehnj¨ ahrige Forschungst¨atigkeit gewesen ist Convert Magnetism to Electricity; vgl. z. B. Simonyi [206]. Eine prinzipiell geeignete Versuchsanordnungen zur Erreichung dieses Zieles hatte er, wie das Labortagebuch zeigt, bereits 1825 und 1828 aufgebaut, aber die Meßempfindlichkeit war zu gering. Endlich entdeckte er am 29.August 1831 mit einer Anordnung, die wir heute einfach als Transformator bezeichnen, den langgesuchten Effekt, den wir als elektromagnetischen Induktion bezeichnen. Wir wollen nun einen Einblick in die energetischen Verh¨altnisse im Zu¨ sammenhang mit Induktionsvorg¨ angen gewinnen, wobei wir uns Uberlegungen von Weizel [238] st¨ utzen. Dazu betrachten wir n geschlossene fadenf¨ormige Stromkreise beliebiger Form, in denen jeweils in Strom Ik (k = 1, . . . , n) fließt. Die zugeh¨ orige magnetische Energie kann nach Gl.(24.17) notiert werden zu 1 Ik Φk . 2 n

Emagn =

(26.3)

k=1

Die Leiter werden als drahtf¨ ormig angenommen, so dass man den magnetischen Fluss Φk mit Hilfe des Vektorpotenzials Ak bestimmen kann  Ak (˜r) d˜s; (26.4) Φk = C

man erh¨ alt somit nach Gl.(24.17) 1 Ik 2 n

Emagn =

k=1

 A(˜r) d˜s, C

(26.5)

26.2 Das Induktionsgesetz

369

wobei wir die einzelnen Vektorpotenziale Ak zu einem gesamten Vektorpotenzial A zusammengefasst haben. Nun wird angenommen, dass sich die Stromkreise gegeneinander bewegen, wobei keine Deformation der Geometrie der Stromkreise auftreten soll und die Str¨ ome Ik konstant sein sollen. Demnach muss neben der magnetischen Energie auch die mechanische Bewegungsenergie ber¨ ucksichtigt werden. Weiterhin nehmen wir an, dass es sich bei den Stromkreisen um reale Leiter handelt und somit Joulesche W¨armeleistung auftritt und daher ein thermisches Bad angekoppelt werden muss. Im folgen¨ den soll die zugeh¨ orige Leistungsbilanz f¨ ur kleine Anderungen der Leistungen formuliert werden, wodurch sich auch das zugeh¨orige abgeschlossene physikalische System definiert. Es gilt ∆Emagn + ∆Emech + ∆Etherm = 0.

(26.6)

¨ Es werden nur kleine Anderungen der Energie betrachtet, so dass auch mit den Differentialen gearbeitet werden kann. ¨ Die zeitliche Anderung der magnetische Energie l¨asst sich auf der Grundlage von Gl.(26.5) ermitteln 1 dEmagn = Ik dt 2 n

k=1

 C

∂A (˜r, t) d˜s. ∂t

(26.7)

Man kann zeigen (siehe Weizel [238]), dass die nach außen abgegebene mechanische Arbeit ebenso groß ist, so dass dem System insgesamt entweder die Leistung  n  ∂A (˜r, t) d˜s (26.8) Ik C ∂t k=1

zugef¨ uhrt werden muss oder sie kann an irgendeiner Stelle im Gesamtsystem eingespart werden. In der Leistungsbilanz (26.6) hatten wir bereits die W¨armeleistung ber¨ ucksichtigt, wobei die Beschr¨ ankung auf die mechanische und magnetische Leistung sowie die W¨ armeleistung eine gewisse Willk¨ ur beinhaltet. Sie ist f¨ ur die ¨ unsere Uberlegungen wesentlich und kann nur durch die Erfahrung gerechtfertigt werden. Ansonsten w¨ urde sich das als Ergebnis folgende Induktionsgesetz ableiten lassen, ohne experimentelle Tatsachen zu ber¨ ucksichtigen, was den Grundprinzipien physikalischer Modellbildung widersprechen w¨ urde. Man h¨ atte jedoch das Induktionsgesetz erraten“ k¨onnen. ” Wenn wir davon ausgehend, dass die Str¨ ome Ik in den geschlossen Stromkreisen von einer elektrischen Feldst¨ arke E getrieben werden, die in Richtung des Wegelementes d s des jeweiligen Leiters orientiert ist. Nach Joule (vgl. Abschnitt 15) entsteht in dem gesamten Leitersystem eine W¨armeleistung von  n  Ik E(˜r) d˜s. (26.9) k=1

Ck

370

26 Grundgleichungen des quasistation¨ aren Feldes

Wir nehmen nun an, dass f¨ ur die Energieanteile in der Leistungsbilanz (26.6) ein Erhaltungssatz gilt und der mechanische und magnetische Energiebedarf, er sich aufgrund des bewegten Leitersystems ergibt, nur durch Einsparung von W¨ armeleistung erf¨ ullt werden kann. An dieser Stelle ist die Beschr¨ankung auf die genannten Arten von Energie wesentlich. Es stellt sich nun die Frage, wie diese Einsparung vorgenommen werden ¨ kann. Eine willk¨ urliche, aber im Rahmen der voranstehenden Uberlegungen ˆ naheliegende M¨ oglichkeit besteht in der Annahme eines elektrischen Feldes E, das dem elektrischen Feld E, welche die Str¨ ome in den Leitern treibt, entgegengerichtet ist. Die Annahme, dass die Str¨ ome weiterhin konstant bleiben, ˆ Um die Leisliefert eine Bedingung f¨ ur das induzierte“ elektrische Feld E. ” ¨ tungsbilanz zu erf¨ ullen, m¨ ussen sich die Anderungen der mechanischen und der magnetischen Leistung, die in Gl. (26.8) zusammengefasst sind, mit der ˆ bezogenen Jouleschen W¨ auf E armeleistung zu null addieren. Daraus erh¨alt ˆ man die Bedingungsgleichung f¨ ur E n  k=1


Ik C

 ∂A ˆ + E (˜r, t) d˜s = 0. ∂t

(26.10)

Hinsichtlich der Frage, wie die Energie f¨ ur die W¨armeentwicklung u ¨berhaupt in das Leitervolumen kommt, kann hier allerdings nicht behandelt werden. Dazu verweisen wir auf den Abschnitt 29 u ¨ber Felddiffusion und Wirbelstr¨ome. Die Bedingungsgleichung (26.10) soll nun f¨ ur alle Leitergeometrien und alle m¨ oglichen Bewegungen der Leiter gelten, so dass der Integrand verschwinden muss; man erh¨ alt ˆ = − ∂A . (26.11) E ∂t Wenn wir annehmen, dass rotA = B auch f¨ ur zeitabh¨angige magnetische Felder gilt, dann ergibt sich schließlich 
∂B ∂A ˆ . (26.12) =− rotE = −rot ∂t ∂t Im Gegensatz zum E-Feld der Elektrostatik ist dieses elektrische Gegenfeld“ ” nicht rotationsfrei. Nach Weizel l¨ asst sich das Ergebnis folgendermaßen zusammenfassen: Wird das magnetische Feld durch gegenseitige Ver¨anderung der Lage der Stromkreise variiert, so addiert sich dem E-Feld E, das den Leiˆ das zur Reduktion der Jouleschen terstrom treibt, ein zus¨atzliches E-Feld E, ˆ ist gerade die (negative) zeitliche Ableitung W¨arme f¨ uhrt. Die Rotation von E ˆ ist ebenso wie A gleich null. des B-Feldes B und die Divergenz von E Wir machen nun jetzt die naheliegende Annahme, dass dasselbe zus¨atzliche E-Feld auch dann auftritt, wenn B auf irgendeine Weise zeitlich ge¨andert wird. Dies bedeutet, dass ˆ = 0. ˆ = − ∂B , divE (26.13) rotE ∂t

26.4 Das Induktionsgesetz und die Kontinuit¨ atsgleichung

371

Wir werden sehen, dass diese Annahme zu Folgerungen f¨ uhrt, die sich experimentell ausnahmslos best¨ atigen lassen. Insbesondere kann damit das von Faraday entdeckte und am Anfang des Abschnitts diskutierte Ph¨anomen der Induktion mathematisch beschrieben werden.

26.3 Die Grundgleichungen mit Induktionsgesetz Die der Elektrostatik, dem elektrischen Str¨ omungsfeld und dem station¨aren Magnetfeld zugrunde liegenden Ph¨ anomene f¨ uhrten zu einem System von algebraischen Gleichungen und partiellen Differentialgleichungen der Form rotE = 0, D = εε0 E, divD = , rotH = J, B = µµ0 H, divB = 0, J = κE.

(26.14) (26.15) (26.16)

Nunmehr kommt das Induktionsgesetz dazu und das Gleichungssystem muss ˙ erweitert werden (∂(·)/∂t = (·)) ˙ D = εε0 E, divD = , rotE = −B, rotH = J, B = µµ0 H, divB = 0,

(26.17) (26.18)

J = κE.

(26.19)

Daraus folgt, dass s¨ amtliche mathematischen Felder grunds¨atzlich zeitab˙ ganz h¨ angig sind. Wir werden sp¨ ater sehen, dass der hinzugef¨ ugte Term −B erhebliche Auswirkungen auf die L¨ osungstypen des Gleichungssystems hat. Eine eingehende Betrachtung soll jedoch wieder auf der Ebene der Potenziale ϕ und A stattfinden. Wesentlich ist, dass durch diesen Koppelterm das vorher weitgehend separat betrachtete elektrische Feld und das magnetische Feld von nun an nicht mehr getrennt betrachtet werden k¨onnen. Das Gleichungssystem beschreibt ein physikalisches Feld, n¨ amlich das elektromagnetische Feld, das in diesem Hauptabschnitt mathematisch gesehen in quasistation¨arer N¨aherung modelliert wird.

26.4 Das Induktionsgesetz und die Kontinuit¨ atsgleichung In Abschnitt 26.3 wurden die Grundgleichungen mit Induktionsgesetz formuliert. Sie lauten ˙ D = εε0 E, divD = , rotE = −B, rotH = J, B = µµ0 H, divB = 0, J = κE.

(26.20) (26.21) (26.22)

Dabei handelte es sich um eine Erweiterung der Beschreibungsgleichungen des elektromagnetischen Feldes, die aufgrund des im Jahres 1831 von Faraday

372

26 Grundgleichungen des quasistation¨ aren Feldes

entdeckten Induktionseffekts notwendig geworden sind. Es fragt sich nun, ob diese Gleichungen abgeschlossen sind, d.h. ob sie s¨amtlichen physikalischen Gesetzm¨ aßigkeiten gen¨ ugen, die im Zusammenhang mit quasistation¨aren Erscheinungen ben¨ otigt werden. Die Ladungserhaltung und damit die Kontinuit¨ atsgleichung ∂ =0 (26.23) divJ + ∂t ist eine solche fundamentale Gesetzm¨ aßigkeit, die bereits im Zusammenhang mit dem station¨ aren elektrischen Str¨ omungsfeld diskutiert wurde. Im folgenden ben¨ otigen wir auch die integrale Form der Kontinuit¨atsgleichung  ∂Q(t) = 0, (26.24)

J(r) dV + ∂t die man mit Hilfe des Gaußschen Satzes bestimmen kann. Ihre G¨ ultigkeit ist weit u ber den Rahmen der klassischen Theorie des elektromagnetischen ¨ Feldes experimentell niemals widerlegt worden. Im Gegensatz zum station¨aren Str¨ omungsfeld kann jedoch die Ladungsdichte  zeitabh¨angig sein, so dass im quasistation¨ aren Feld die vollst¨ andige Kontinuit¨atsgleichung auftritt. Betrachten wir nun das Durchflutungsgesetz rotH = J, dann l¨asst sich mit Hilfe der bekannten Identit¨ at der Vektoranalysis div rot = 0 eine Inkonsistenz mit der Kontinuit¨ atsgleichung konstruieren. Wendet man den div-Operator auf das Durchflutungsgesetz an, dann erh¨ alt man n¨amlich 0 = div rotH = divJ = −

∂ = 0. ∂t

(26.25)

Abbildung 26.1. Plattenkondensatz und Verschiebungsstrom (aus Bosse [35])

Die angesprochene Inkonsistenz ist im Fall einer zeitlich ver¨anderlichen Ladungsdichte (t) vom mathematischen Standpunkt aus gesehen evident. Der physikalische Sachverhalt soll nun anhand einer einfachen elektrischen Anordnung – eines Plattenkondensators in Abb. 26.1 – illustriert werden; vgl. z. B. Bosse [35]. Dazu wird die auf eine willk¨ urliche Fl¨ache A bezogene Stromdichte J und damit der entsprechende Strom i berechnet, den wir als zeitabh¨ angig annehmen. Eine solche Zeitabh¨ angigkeit des Stromes i(t) kann beim Aufladevorgang einer Kapazit¨ at beobachtet werden. Der Strom i durch die symmetrisch um den Leiter platzierte kreisf¨ormige Fl¨ache A l¨asst sich nach Definition des Strom (vgl. Abschnitt 15, Gl.(15.2)) wie folgt ermitteln

26.5 Die Grundgleichungen des quasistation¨ aren elektromagnetischen Feldes

373

 J(r) · dA.

i(t) =

(26.26)

A

Wir kommen zur einer geschlossenen Fl¨ ache, indem wir vom Kreisrand von A ausgehend die zugeh¨ orige Platte der Kapazit¨ at vollst¨andig umschließen oder die andere Platte oder der leitende Zuf¨ uhrung zu ber¨ uhren. Im Sinne des station¨ aren Str¨ omungsfeldes sollte das Integral von J u ¨ ber die geschlossene Fl¨ ache gleich null sein. Das ist offensichtlich nicht richtig, da das Integral u ¨ ber den Fl¨ achenanteil, der von A zu der geschlossenen Fl¨ache f¨ uhrte, verschwindet. Die Kontinuit¨ atsgleichung (26.24) zeigt, dass sich die Ladung Q innerhalb der geschlossenen Fl¨ ache – physikalisch die Ladung auf der entsprechenden Platte der Kapazit¨ at – ver¨ andert. Um diesen physikalischen Sachverhalt im Durchflutungsgesetz unterzubringen, wird ein zus¨ atzlicher Term ben¨ otigt. Da sich auf den Platten der Kapazit¨ at die Ladung und somit zwischen den Platten das elektrische Feld zeitlich ¨ andert, ist es naheliegend, diesem Term – unter der Voraussetzung eines linearen Materialgesetzes – als proportional zur Zeitableitung des E-Feldes anzunehmen; man erh¨ alt ∂E . (26.27) rotH = J + α ∂t Wendet man wiederum den div-Operator auf diese Gleichung an, wobei das E-Feld im Sinne des Helmholtzschen Satzes zerlegt wird, dann ergibt sich 
∂(Edivf + Erotf + Ekonst ) . (26.28) 0 = div rotH = divJ + αdiv ∂t Offensichtlich ist der einzige Term, der zu einer Modifikation des Durchflutungsgesetzes f¨ uhrt, die zeitliche Ableitung des rotationsfreien Anteils des EFeldes. Nach Vergleich dieser Beziehung mit der Kontinuit¨atsgleichung ergibt sich α = ε. Das modifizierte Durchflutungsgesetz lautet somit rotH = J + ε

∂Drotf ∂Erotf =J+ ∂t ∂t

(26.29)

mit Drotf := εErotf . H¨ aufig wird statt des rotationsfreien Teil der zeitlichen Ableitung des EFeldes der vollst¨andige Term in die Feldgleichungen eingef¨ ugt.

26.5 Die Grundgleichungen des quasistation¨ aren elektromagnetischen Feldes Nachdem wir im letzten Abschnitt das Durchflutungsgesetz soweit modifiziert haben, dass die G¨ ultigkeit der Kontinuit¨ atsgleichung garantiert wird, sollen nunmehr die allgemeinen Grundgleichungen des quasistation¨aren elektromagnetischen Feldes zusammengestellt werden. Ausgangspunkt sind die in Abschnitt 26.3 notierten vorl¨ aufigen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes

374

26 Grundgleichungen des quasistation¨ aren Feldes

in quasistation¨ arer N¨ aherung. Danach sollen die Zustandsgleichungen im Rahmen dieser N¨ aherung des elektromagnetischen Feldes abgeleitet werden, aus denen sich s¨ amtlichen anderen Feldgr¨ oßen ableiten lassen. Bezieht man in die im letzten Abschnitt aufgef¨ uhrten Gleichungen (26.17) - (26.19) das modifizierte Durchflutungsgesetz ein, dann erhalten wir ˙ D = εε0 E, divD = , rotE = −B, ∂Drotf , B = µµ0 H, divB = 0, rotH = J + ∂t J = κE.

(26.30) (26.31) (26.32)

Diese Gleichungen entsprechen hinsichtlich ihrer Struktur den vollst¨andigen Gleichungen des elektromagnetischen Feldes nach Maxwell. Im Gegensatz zu den Maxwellschen Gleichungen enth¨ alt das verallgemeinerte Durchflutungsgesetz der quasistation¨ aren elektromagnetischen Gleichungen nur den rotationsfreien Anteil des D-Feldes. Im Jahre 1864 formulierte Maxwell die vollst¨ andigen Gleichungen f¨ ur das elektromagnetische Feld erstmals. Die in ihrem G¨ ultigkeitsbereich eingeschr¨ ankten quasistation¨aren Gleichungen waren in ihrem physikalischen Gehalt schon vor Maxwell bekannt (siehe z. B. Tricker [216]), aber eine explizite Formulierung wurde erst in den Jahren 1875-77 von onnen damit auch von den Clausius Gleichungen Clausius 1 vorgelegt. Wir k¨ f¨ ur das quasistation¨ are elektromagnetische Feld sprechen. Nachdem wir die quasistation¨ aren Feldgleichungen kennengelernt haben, wollen wir uns mit den reduzierten Feldgleichungen oder Zustandsgleichungen des elektromagnetischen Feldes befassen. Dazu beschr¨anken wir uns zun¨achst auf den Fall verschwindender Raumladungen, so dass das D- und das H-Feld sowie die Stromdichte J mit Hilfe der linearen Materialgleichungen eliminiert werden k¨ onnen. Es ergibt sich das folgende Gleichungssystem ˙ rotE = −B,

(26.33)

˙ rotf , rotB = µκE + µεE divE = 0, divB = 0.

(26.34) (26.35)

Wird der Rotationsoperator rot(·) auf das verallgemeinerte Durchflutungsgesetz angewendet, dann ergibt sich daraus die Beziehung ˙ rot rotB = µκ rotE = −µκ B,

(26.36)

wenn man das Induktionsgesetz und das Verschwinden des rotationsfreien Anteils ber¨ ucksichtigt. Wird schließlich die Identit¨at rotrot = graddiv − und die Divergenzfreiheit von B genutzt, so erh¨alt man ˙ B = +µκ B. 1

(26.37)

Diesen Hinweis verdankt einer von uns (W.M.) dem ehemaligen Betreuer seiner theoretisch-physikalischen Diplomarbeit, Herrn Prof. Dr. rer nat. Gerhard Gerlich, TU Braunschweig

26.5 Die Grundgleichungen des quasistation¨ aren elektromagnetischen Feldes

375

Es handelt sich um eine lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung vom Typ einer Diffusions- oder W¨ armeleitungsgleichungen im vektoriellen Fall. Wird der Rotationsoperator auf das Induktionsgesetz angewendet und setzt man das verallgemeinerte Durchflutungsgesetz in diese Gleichung ein, dann ergibt sich ˙ + µεE ¨ rotf . (26.38) rot rotE = µκ E Um diese Differentialgleichung diskutieren zu k¨onnen, wird das E-Feld in seinen rotations- und divergenzfreien Anteil zerlegt. Desweiteren nutzen wir auch hier die Identit¨ at rotrot = graddiv − und beachten die Beziehung divE = 0. Es ergibt sich dann ˙ divf = µκ E ˙ rotf + µεE ¨ rotf . Edivf − µκ E

(26.39)

Obwohl auf der rechten Seite der partiellen Differentialgleichungen sogar eine zweite Zeitableitung auftritt, reduziert sich diese Gleichung f¨ ur das E-Feld auf den Typ einer W¨ armeleitungsgleichung, da wir aufgrund der Voraussetzung  = 0 nur an divergenzfreien L¨ osungen interessiert sind. Den rotationsfreien Anteil des elektrischen Feldes kann man gleich null setzen ˙ divf . Edivf = µκ E

(26.40)

Legt man die Ausgangsgleichungen zugrunde, dann wird sofort klar, dass die L¨ osung einer der beiden Diffusionsgleichungen f¨ ur das E- bzw. das B-Feld ausreicht, um alle anderen Gr¨ oßen des elektromagnetischen Feldes zu bestimmten. In diesem Sinne handelt es sich um Zustandsgr¨ oßen im obengenannten Sinne. Nun sollen noch die Bestimmungsgleichungen f¨ ur das skalare elektrische Potenzial ϕ und das Vektorpotenzial A abgeleitet werden. Dazu setzen wir ˙ ein. Daraus folgt den Ansatz B = rotA in das Induktionsgesetz rotE = −B eine verallgemeinerte Darstellung des E-Feldes, die nun von dem elektrischen Potenzial und dem Vektorpotenzial abh¨ angt ˙ E = −gradϕ + A.

(26.41)

Im Gegensatz zur Theorie des station¨ aren Magnetfeldes wird die Divergenz des Vektorpotenzials in der quasistation¨ aren Theorie des elektromagnetischen Feldes nicht gleich null gesetzt (Coulomb-Eichung) sondern wir setzen divA = µκ ϕ. Wenden wir auf Gl.(26.41) den Divergenzoperator an und ber¨ ucksichtigen divE = 0, dann folgt ˙ = − ϕ + µκ ϕ. 0 = divE = −div gradϕ + divA ˙

(26.42)

Das elektrische Potenzial ϕ erf¨ ullt in der verwendeten Eichung ebenso eine Diffusionsgleichung. Bez¨ uglich des Vektorpotenzials ist die Vorgehensweise sehr einfach. Wir setzen die Beziehung B = rotA in Gl. (26.37) ein und erhalten ˙ rotA = +µκ rotA.

(26.43)

376

26 Grundgleichungen des quasistation¨ aren Feldes

Nutzen wir die Eigenschaft der Vertauschbarkeit der Operatoren und rot, dann ergibt sich   ˙ = 0. rot A − µκ A (26.44) Diese Gleichung wird befriedigt, wenn das Vektorpotenzial L¨osung der folgenden vektoriellen Diffusionsgleichung ist ˙ = 0. A − µκ A

(26.45)

Ist eine L¨ osung dieser Gleichung bekannt, dann lassen sich das B-Feld und der divergenzfreie Anteil des E-Feldes (wegen divE = 0) durch Anwendung des Rotationsoperators ermitteln B = rotA,

Edivf =

1 rotrotA. µκ

(26.46)

¨ Der Ubergang zu den Potenzialen hat demnach hinsichtlich des in der Theorie des quasistation¨ aren Feldes zu l¨ osenden mathematischen Grundproblems scheinbar keine besonderen Vorteile. In jedem Fall hat man es mit der L¨osung einer partiellen Differentialgleichung vom Diffusionstyp zu tun, auf die wir in Abschnitt 28 n¨ aher eingehen. Man sollte aber beachten, dass die Diffusionsgleichungen f¨ ur B und E (einschließlich der Divergenzbedingungen) nur hinreichend daf¨ ur sind, das die L¨ osungen dieser Gleichungen auch L¨osungen der Maxwellschen Gleichungen f¨ ur das quasistation¨are elektromagnetische Feld sind. Im Gegensatz dazu f¨ uhren die Potenzialgleichungen f¨ ur ϕ und A immer zu L¨ osungen der quasistation¨ aren Maxwellschen Gleichungen; vgl. auch Wunsch und Schulz ([244], S. 282ff). Weiterhin soll auch an dieser Stelle betont werden, dass die Diffusionsgleichung des Vektorpotenzials (26.45) im Sinne der Systemtheorie (siehe Abschnitt 2) als Zustandsgleichungen interpretiert werden k¨onnen und das die zugeh¨ orige Beobachtungsgleichungen die Beziehungen (26.46) sind. Die Gleichung f¨ ur das skalare Potenzial wird offensichtlich f¨ ur die Bestimmung von E und B nicht ben¨ otigt.

27 Elementare Betrachtungen zur Induktionswirkung

Bewegt man einen Leiter durch magnetische Feld, so werden auch die Leitungselektronen im Inneren des Leiters mitgef¨ uhrt. Die Elektronen erfahren daher Kr¨ afte senkrecht zur Bewegungsrichtung des Leiters und zur Feldlinienrichtung des Magnetfeldes. Wird z.B. ein Kupferstab, Abb. 27.1, mit der Geschwindigkeit v durch ein magnetisches Feld senkrecht zum B-Feld B bewegt, so wirken die magnetischen Feldkr¨ afte auf die Elektronen entgegengesetzt zu der durch den Pfeil gekennzeichneten Richtung. Dadurch tritt an ¨ dem einen Stabende ein Uberschuss, am anderen ein Mangel an Elektronen auf. Auf der Leiteroberfl¨ ache entsteht eine entsprechende Ladungsverteilung. L¨angs des Stabes stellt sich ein Potenzialgef¨ alle ein, das die Elektronen in der Pfeilrichtung zu bewegen sucht. Im Gleichgewichtszustand halten sich die mit dem Potenzialgef¨ alle verbundenen elektrischen Feldkr¨afte den magnetischen Feldkr¨ afte die Waage. Das resultierende E-Feld im Leiter und an seiner Oberfl¨ ache ist Null. Die auf die Leitungselektronen beim Bewegen des Leiters

Abbildung 27.1. Induktionswirkung in einem bewegten Stab

einwirkenden magnetischen Feldkr¨ afte lassen sich durch die Wirkung eines EFeldes Ei ersetzen; dieses Feld hat die Richtung wie der Strompfeil in Abb. 27.1 und kann auf folgende Weise berechnet werden. Auf irgendeine Ladung Q wird durch das E-Feld Ei nach Abschnitt 6 eine Kraft ausge¨ ubt: F1 = Q Ei . (27.1)

378

27 Elementare Betrachtungen zur Induktionswirkung

Die magnetische Feldkraft ist nach Gl.(19.1) F2 = Q (v × B).

(27.2)

Durch Gleichsetzen erh¨ alt man Ei = v × B.

(27.3)

Die ist eine spezielle Form des Induktionsgesetzes; weiter unten wird daraus die allgemeine Form Gl.(27.25) abgeleitet. Das E-Feld Ei wird auch induziertes E-Feld genannt; sie ist senkrecht zum magnetischen B-Feld und zur Bewegung gerichtet. Besteht der bewegte K¨ orper aus einem elektrischen Leiter, so bewegen sich die elektrischen Ladungen unter der Einwirkung des E-Feldes Ei solange, bis das dadurch erzeugte Gegenfeld das E-Feld Ei im Inneren des Leiters gerade kompensiert. Ist der bewegte K¨orper ein Nichtleiter, so ergibt sich eine Polarisation wie in einem elektrischen Feld mit dem E-Feld Ei (siehe dazu Abschnitt 30). Bei einem stabf¨ ormigen Leiter wie in Abb. 27.1 erh¨alt man durch Multiplikation der L¨ ange des Stabes mit der in die Stabrichtung fallende Komponente des E-Feldes Ei eine Spannung. Diese Spannung wirkt wie die Leerlaufspannung einer Spannungsquelle, wenn der Leiter außerhalb des Feldes zu einem geschlossenen Stromkreis erg¨ anzt wird. In einem solchen Stromkreis fließt der Strom außen von dem mit + bezeichneten zu dem mit − bezeichneten Stabende, innerhalb des Stabes von dem Minusende zum Plusende, wie bei einer in dem Stab wirkenden Quellenspannung. Wird mit l die in das Feld eintauchende L¨ ange des Stabes bezeichnet und der entsprechende L¨angenvektor l des Stabes eingef¨ uhrt, so ist f¨ ur die induzierte Quellenspannung Ui = (v × B) · l.

(27.4)

Die Gl.(27.4) gilt auch, wenn sich die Geschwindigkeit v zeitlich ¨andert; es ¨andert sich dann auch die induzierte Quellenspannung, und in jedem Zeitpunkt gilt f¨ ur den Augenblickswert der induzierten Quellenspannung ui = (v × B) · l.

(27.5)

Schneidet ein Stab mit der L¨ ange l die B-Feldlinien senkrecht, und wird er senkrecht zu sich selbst bewegt wie in Abb. 27.1, so ergibt sich hieraus im besonderen (27.6) ui = vBl. Ist das magnetische Feld nicht homogen oder die Geschwindigkeit der einzelnen Punkte des Stabes nicht die gleiche, so gilt die Beziehung (27.5) f¨ ur jeden kleinen Abschnitt von der L¨ ange ds des Stabes, Abb. 27.2: dui = Ei · ds = (v × B) · ds.

(27.7)

die in einem drahtf¨ ormigen Leiter induzierte Quellenspannung ist daher allgemein

27 Elementare Betrachtungen zur Induktionswirkung

379

Abbildung 27.2. B-Feld in einem Draht beliebiger Form

 ui =

b

(v × B) · ds.

(27.8)

a

Die gleichen Gesetze gelten auch f¨ ur r¨ aumlich beliebig ausgedehnte Leiter.

Abbildung 27.3. Induktion in einer Bremsscheibe

Wird z.B. eine Blechscheibe zwischen den beiden Polen eines Magneten gedreht, Abb. 27.3, so erfahren die Elektronen eine Ablenkung in radialer Richtung. Es tritt eine Spannung zwischen der Achse und dem Rand der Blechscheibe auf. Da die Bewegungsrichtung senkrecht auf der Feldlinienrichtung steht, so gilt hier f¨ ur die in einem Abschnitt dr des Radius induzierte Spannung nach Gl.(27.7) dui = vBdr = 2πnBrdr,

(27.9)

wenn n die Drehfrequenz bezeichnet. Kann das magnetische Feld auf der ganzen Scheibe als homogen angesehen werden, so ist die zwischen Rand und Achse auftretende Quellenspannung  r0 rdr = πnr02 B. (27.10) Ui = 2πnB 0

Zahlenbeispiel: B = 1T = 1V s/m2 , r0 = 1m, n = 2000/min. Es wird

380

27 Elementare Betrachtungen zur Induktionswirkung

Ui = π · 2000 · 1 · 1

V sm2 T m2 = 6, 28 · 103 2 = 105V. min m 60s

(27.11)

Bei der in Abb. 27.3 gezeichneten Anordnung ruft diese Spannung Str¨ome

Abbildung 27.4. Wirbelstr¨ ome in der

hervor, die sich innerhalb der Blechscheibe in der durch gestrichelte Linien in Abb. 27.4 dargestellten Weise schließen. Wegen dieses Kurzschlusses wird die Quellenspannung nicht als Spannung zwischen den Klemmen a und b erhalten. Um die Blechscheibe zu drehen, muss man eine mechanische Arbeit aufwenden, die der durch diese Wirbelstr¨ ome“ entwickelten W¨arme gleichwertig ist. ” Es ergibt sich also eine Bremswirkung. Auf dem gleichen Prinzip beruhen die Unipolarmaschine ; siehe Lehner [134]. Hier wird das Auftreten der Wirbelstr¨ ome dadurch vermieden, dass die Scheibe in ihrer ganzen Ausdehnung in ein Magnetfeld gebracht wird, das zur Achse symmetrisch ist, so dass die induzierte Quellenspannung Ui auf jedem Radius die gleiche Gr¨ oße hat. Sie tritt jetzt als Spannung zwischen a und b in Erscheinung. Eine volles Verst¨ andnis der Unipolar-Induktion ist jedoch nur mit Hilfe der Relativit¨ atstheorie m¨ oglich (vgl. Becker [15]).

Abbildung 27.5. Hall-Effekt

Eine weitere Anwendung des Induktionsgesetzes ist der Hall-Effekt; siehe Ibach und L¨ uth [107] Da der elektrische Strom in Leitern immer eine Driftbewegung von Ladungstr¨ agern ist, so ergibt sich eine ¨ahnliche Erscheinung

27 Elementare Betrachtungen zur Induktionswirkung

381

wie die elektrische Induktion auch innerhalb eines in einem station¨aren Magnetfeld ruhenden Leiters, so bald dieser vom Strom durchflossen wird (E. H. Hall, 1880). Fließt z. B. durch ein d¨ unnes Metallband Strom in der L¨angsrichtung des Bandes und wird das Band von einem magnetischen Feld senkrecht durchstoßen, Abb. 27.5, so erfahren die mit der Driftgeschwindigkeit v str¨ omenden Leitungselektronen Kr¨ afte in der Querrichtung des Bandes, die zu einer Anh¨ aufung von negativen und positiven Ladungen auf den beiden L¨ angsseiten des Bandes f¨ uhren. Die auf die Elektronen wirkenden Kr¨afte lassen sich wie bei Abb. 27.4 darstellen durch die Wirkung eines E-Feldes EH := v × B.

(27.12)

Die Stromdichte in dem Leiter ist nach Gl. (37.9) J = ∓nev.

(27.13)

je nachdem, ob es sich um Elektronenleitung oder um L¨ocherleitung handelt. Damit ergibt sich das E-Feld zu 1 (J × B). ne

(27.14)

EH =: RH (J × B).

(27.15)

EH = ∓ Man setzt

und nennt RH die Hall-Konstante; sie kann durch Messung der quer zum Leiter entstehenden Spannung, der Stromdichte und des B-Feldes bestimmt werden. Aus dem Hall-Effekt erh¨ alt man Aufschluss u ¨ber die Art der Leitung (Elektronen- oder L¨ ocherleitung), u ¨ber die Dichte n und u ¨ ber die Beweglichkeit der Ladungstr¨ ager (n = 1/(eRH ); b = σ/(ne) = σRH ). Einige gemessene Zahlenwerte sind cm3 , As 3 cm , ≈ 103 . . . 105 As cm3 . = 200 . . . 600 As

f¨ ur KupferRH = −5, 5 · 10−5 f¨ ur Silizium und GermaniumRH f¨ ur IndiumantimonidRH

(27.16) (27.17) (27.18)

Bei einem rechteckigen Pl¨ attchen mit der Dicke d, das von einem Strom I parallel zu einer Rechteckseite durchflossen wird und sich senkrecht zu den Kraftlinien in eines B-Feldes B befindet, Abb. 27.5, wird die senkrecht zur Stromrichtung entstehende Spannung nach Gl. (27.15) I UH =: RH B. d

(27.19)

Wird z. B. ein Germaniumpl¨ attchen mit RH = 104 cm3 /As und 1mm Dicke von einem Strom I = 1A durchflossen, so wird in einem magnetischen Feld mit B = 0, 1T

382

27 Elementare Betrachtungen zur Induktionswirkung

UH = 104

Vs cm3 1A 0, 1 · 10−4 2 = 1V. As 0, 1cm cm

(27.20)

Die Gl.(27.7) f¨ ur die in einem L¨ angenelement des Leiters induzierte Span¨ nung l¨ asst sich durch die folgenden Uberlegungen in eine andere Form bringen. Dabei wird ber¨ ucksichtigt, dass es sich bei dem Ausdruck (v × B) · ds um ein Spatprodukt handelt, das man geometrisch als Volumen des aus den drei Vektoren v, B und ds gebildeten Prismas interpretieren kann; vgl. Abb. 27.6. Das Produkt v × B entspricht der Fl¨ ache eines Parallelogramms. Das Spatprodukt kann man zyklisch vertauschen (siehe z.B. Merziger, Wirths [160])

Abbildung 27.6. Darstellung der induzierten Quellenspannung durch das Volumen eines Prismas

(v × B) · ds = (B × ds) · v = (ds × v) · B.

(27.21)

Diese Rechenregel benutzen wir zur Umformung des Induktionsgesetzes Gl.(27.7): Ei · ds = (v × B) · ds = B · (ds × v).

(27.22)

Hier stellt ds × v die Fl¨ ache eines Parallelogramms dar, das aus den beiden Vektoren ds und v gebildet wird. Dieses Produkt ist also gleich der Fl¨ache A, die bei der Bewegung des Leiterelementes ds u ¨ berstrichen wird, geteilt durch die Zeit. Das skalare Produkt des Vektors dieser Fl¨ache mit dem Vektor des BFeldes ergibt nach Gl. (19.6) den magnetischen (Induktions-)Fluss, der durch diese Fl¨ ache hindurchgeht, oder die Feldlinienzahl, die von dem Leiterelement ds u ¨ berstrichen wird, geteilt durch die dazu erforderliche Zeit. Daraus folgt der Satz: Die in einem Leiterelement induzierte Quellenspannung ist gleich dem von dem Leiterelement geschnittenen Fluss geteilt durch die Zeit. Bezeichnet man den in der Zeit dt von ds u ¨ berstrichenen Fluss mit dΦs = B · dA,

(27.23)

so gilt daher Ei · ds =

d(dΦs ) . dt

(27.24)

27 Elementare Betrachtungen zur Induktionswirkung

383

Abbildung 27.7. Induktion in einem geschlossenen Drahtkreis

Die zwischen den beiden Enden des Drahtes auftretende Quellenspannung ergibt sich durch Integration von Ei · ds u ¨ber die Leiterl¨ange. Bei den Anwendungen hat man es immer mit geschlossenen Stromkreisen zu tun. F¨ ur die Berechnung der in einem geschlossenen Kreis induzierten Spannung ui die man dann als Umlaufspannung bezeichnet, muss die Fl¨ache, wie in Abb. 27.7 dargestellt, zu einem Kragen“ zusammengebogen werden. ” Bei der eingezeichneten Richtung der Vektoren ds und v zeigt der Fl¨achenvektor des Kragens nach innen. Erg¨ anzt man den Kragen durch zwei Stirnfl¨achen zu einer Trommel, so kann man das Integral der Induktionslinien u ¨ ber die Fl¨ ache des Kragens ersetzen durch die beiden Integrale u ber die Stirnfl¨ achen. ¨ Denn da die Induktionslinien in sich geschlossen sind, m¨ ussen alle durch den Kragen eindringenden Linien an den Stirnfl¨ achen der Trommel wieder austreten. Orientiert man die Fl¨ achenvektoren der beiden Stirnseiten so, dass sie mit der durch ds gegebenen Umlaufrichtung im Sinne einer Rechtsschraube verkn¨ upft sind – in Abb. 27.7 ist das die Richtung nach links –, so ergibt das Integral u ache den Fluss Φ(t), das Integral u ¨ber die linke Stirnfl¨ ¨ber die rechte Fl¨ ache den Fluss Φ(t + dt). Damit ist die Umlaufspannung ausgedr¨ uckt ¨ durch die zeitliche Anderung des magnetischen Flusses durch die vom Umlauf berandete Fl¨ ache  dΦ (27.25) Ei · ds = ui = − . dt wobei Umlaufrichtung und Fl¨ achenvektor rechtsschraubig einander zugeordnet sind. Das ist die von Faraday gefundene Form des Induktionsgesetzes. Es besagt, dass die in einem geschlossenen Stromkreis induzierte Umlaufspannung gleich ist der Abnahmegeschwindigkeit des mit der Schleife verketteten magnetischen Flusses. Die Abnahmegeschwindigkeit des magnetischen Flusses Wird auch als magnetischer Schwund bezeichnet. Das Induktionsgesetz kann daher in der folgenden Form ausgesprochen werden: Die Umlaufspannung in einer geschlossenen Schleife ist gleich dem magnetischen Schwund. Die Fassung (27.25) des Induktionsgesetzes gilt nicht nur f¨ ur die Bewegung von Leiterschleifen in Magnetfeldern, sondern erfahrungsgem¨aß auch dann, wenn sich das magnetische Feld zeitlich ¨ andert. Man kann sich das Verschwinden eines Magnetfeldes in der Feldlinienvorstellung so veranschaulichen,

384

27 Elementare Betrachtungen zur Induktionswirkung

dass sich die geschlossenen Feldlinien mehr und mehr zusammenschn¨ uren, bis sie in einem Punkt zusammenschrumpfen. Dabei werden ebenfalls die Leiter geschnitten. Das Induktionsgesetz gilt ferner auch dann in der gleichen Form, wenn es sich um Bewegungen von Magneten oder Stromkreisen gegen feststehende Stromkreise handelt. Der magnetische Fluss kann berechnet werden als Fl¨achenintegral der magnetischen Induktion u ache, die von dem Leiter berandet wird, Gl. ¨ber eine Fl¨ (19.6). Da die Feldlinien in sich geschlossen sind, ist die Form dieser Fl¨ache ohne Einfluss auf den Wert des Oberfl¨ achenintegrals. Es tragen nur solche Induktionslinien zum Induktionsfluss bei, die mit dem Rand der Fl¨ache verkettet sind. Wenn der Stromleiter ein Feldlinienb¨ undel mehrmals umschlingt, wie z. B. bei einer Spule, dann ist es meist einfacher, den mit dem Stromleiter verketteten Gesamtfluss durch Multiplikation des von einer Windung umschlungenen Induktionsflusses mit der Zahl der Windungen zu berechnen. Bezeichnet man diesen als Windungsfluss oder B¨ undelfluss Φ und wird dieses Flußb¨ undel von den N Windungen einer Spule umschlungen, so ist der Gesamtfluss (27.26) Φg = N Φ, und das Induktionsgesetz lautet ui = −N

dΦ . dt

(27.27)

In den meisten praktischen F¨ allen ist diese Beziehung jedoch nur als eine N¨ aherungsformel zu betrachten. Die in einem geschlossenen Stromkreis induzierte Quellenspannung ist nach dem Induktionsgesetz gleich der Abnahmegeschwindigkeit des Gesamtflusses. Man bezeichnet sie auch als die Umlaufspannung, die Abnahmegeschwindigkeit des Gesamtflusses wird der magnetische Schwund genannt. Das Induktionsgesetz kann daher in der folgenden Form ausgesprochen werden: Die auf einem geschlossenen Weg induzierte Quellenspannung ui ist definiert als das Linienintegral der induzierten Feldst¨arke Ei auf diesem Wege. Ei ist nach Gl. (27.3) dasjenige E-Feld, das an jeder Stelle des Raumes auf Ladungstr¨ ager die gleichen Kr¨ afte aus¨ ubt wie das wirkliche magnetische Feld. Der Nutzen dieser Definition liegt darin, dass man in geschlossenen Stromkreisen die Stromst¨ arke nach dem Ohmschen Gesetz aus der induzierten Spannung berechnen darf. Dies ergibt sich auf folgende Weise. Wir betrachten einen in sich geschlossenen Stromleiter, der irgendwie der Induktionswirkung magnetischer Felder unterliegt. Es kann sich also z. B. um einen Drahtring handeln oder um die Wicklung eines Transformators, die u ¨ ber einen beliebigen ¨außeren Widerstand geschlossen ist. An jeder Stelle des Stromleiters wirken auf die Ladungstr¨ager Kr¨afte infolge der induzierten Feldst¨ arke Ei , Abb. 27.8. Unter der Wirkung dieser Kr¨afte und gegebenenfalls infolge anderer elektrischer Spannungen bildet sich eine

27 Elementare Betrachtungen zur Induktionswirkung

385

Abbildung 27.8. Zusammensetzung der E-Feldst¨ arke in einem induzierten Leiter arke Eq eines wirbelfreien aus der E-Feldst¨ arke Ei des Wirbelfeldes und der E-Feldst¨ Feldes

bestimmte Verteilung von Oberfl¨ achenladungen aus, die an der betreffenden Stelle des Leiters eine zus¨ atzliche Feldst¨ arke Eq erzeugen. Das gesamte E-Feld an der betrachteten Stelle des Leiters ist daher E = Ei + Eq .

(27.28)

An einem L¨ angenelement ds des Leiters, Abb. 27.8, das die betrachtete Stelle enth¨ alt, entsteht daher die Spannung E · ds = (Ei + Eq ) · ds,

(27.29)

wobei die Richtung von ds durch den Strompfeil gegeben sei. W¨are der Stromkreis unterbrochen, so dass kein Strom fließen kann, dann w¨ urde sich eine solche Verteilung der Oberfl¨ achenladungen einstellen, dass Eq = −Ei und E = 0 ist. Bei geschlossenem Stromkreis entsteht eine bestimmte Stromst¨arke i. Sie ergibt sich aus der Spannung zwischen den beiden Endfl¨achen 1 und 2 des L¨angenelementes und dem Widerstand des dadurch abgegrenzten Leiterabschnittes. Nach dem Ohmschen Gesetz ist E · ds = (Ei + Eq ) · ds = i

ds . A

(27.30)

wenn A den Leiterquerschnitt und  den spezifischen Widerstand des Leiters in dem betrachteten Abschnitt bezeichnen. Diese Gleichung integrieren wir auf beiden Seiten u ¨ber den ganzen geschlossenen Stromweg (z. B. l¨angs der Leiterachse):    ds (27.31) Ei · ds + Eq · ds = i . A Das erste Integral ist die Umlaufspannung ui , Gl. (27.25). Das zweite Integral ist wegen rotE = 0 gleich Null, da die Feldst¨ arke Eq durch die Oberfl¨achenladungen verursacht wird, also einem wirbelfreien Feld zugeh¨ort. Im dritten Integral ist i wegen divJ = 0 l¨ angs des ganzen Stromleiters konstant und kann daher vor das Integral gesetzt werden. Als Faktor von i verbleibt das Integral " (/A)ds. Das ist aber nichts anderes als der gesamte Widerstand R des geschlossenen Stromweges, gleichg¨ ultig wie er im einzelnen zusammengesetzt ist. Das Ergebnis lautet also (27.32) ui = i R.

386

27 Elementare Betrachtungen zur Induktionswirkung

F¨ ur die Berechnung der Stromst¨arke in einem geschlossenen Stromkreis kann die Umlaufspannung ui wie eine Quellenspannung behandelt werden. Damit ist die Bezeichnung induzierte Quellenspannung“ f¨ ur die Umlauf” spannung begr¨ undet. Ihre Verwendung ist zul¨assig, wenn es sich um die Berechnung des Stromes in geschlossenen Stromkreisen handelt. Das − Zeichen in Gl. (27.25) bedeutet, dass in einem geschlossenen Drahtring bei Zunahme des mit dem Ring verketteten Induktionsflusses ein Strom entsteht, der den Fluss linksl¨ aufig umkreist (wie die Drehung einer Linksschraube, die sich in der Flussrichtung bewegt).

Abbildung 27.9. Zur Erl¨ auterung des verketteten Flusses

Bemerkung: Bei der Anwendung des Induktionsgesetzes in der Form (27.25) auf Bewegungsvorg¨ ange muss beachtet werden, dass die Linie, auf der die Umlaufspannung festgestellt wird, fest mit den Leitern verbunden zu denken ist. Bei dem im Anschluss an Abb. 27.3 besprochenen Beispiel der Unipolarmaschine ergibt sich das in Abb. 27.9 dargestellte Bild. Der magnetische Fluss gehe von vorn nach hinten durch die Zeichenebene hindurch. In einer Ausgangslage, die durch den gestrichelten Radius OA gekennzeichnet sei, umfasst die Schleife OA21 einen Quadranten, also ein Viertel des Gesamtflusses, der durch die Scheibe hindurchtritt. Dreht sich nun die Scheibe in der Pfeilrichtung bis der Punkt A nach A kommt, so ist die Randlinie zur Berechnung der Umlaufspannung die Linie OA A21. Sie zeigt, dass sich der Fluss Φ proportional mit dem Drehwinkel α vergr¨ oßert, n¨amlich um Φ=

α α Φges = Br02 π. 2π 2π

(27.33)

Die induzierte Quellenspannung betr¨ agt daher Ui =

1 1 dα dΦ = Br02 = Br02 ω = Br02 πn dt 2 dt 2

(27.34)

¨ in Ubereinstimmung mit Gl. (27.10). Durch die Außerachtlassung der genannten Regel werden h¨aufig Fehler bei der Anwendung des Induktionsgesetzes in der Form (27.25) gemacht. Ein

27 Elementare Betrachtungen zur Induktionswirkung

387

Abbildung 27.10. Beispiel f¨ ur die Anwendung des Induktionsgesetzes

instruktives Beispiel ist das folgende. Nach Abb. 27.10, Teil a umgebe ein geschlossener Drahtring AB einen senkrecht auf der Zeichenebene stehenden Eisenkern, der einen magnetischen Fluss Φ durch den Drahtkreis hindurchf¨ uhrt. Der Eisenkern werde nun gem¨ aß Abb. 27.10, Teil b und c so aus dem Drahtkreis herausgef¨ uhrt, dass dieser bei A durchgeschnitten wird, aber w¨ahrend der Bewegung u ¨ber den Eisenkern elektrisch leitend durch verbunden bleibt. Die Frage ist, ob bei dieser Bewegung in dem Drahtkreis eine Spannung und damit ein Strom entsteht. Auf den ersten Blick k¨onnte es scheinen, als ¨andere sich bei der beschriebenen Bewegung der mit dem Leiter verkettete Fluss von Φ auf 0, so dass eine Spannung induziert wird. Dies ist jedoch nicht der Fall. Nach der oben ausgesprochenen Regel muss die Randlinie fest mit jedem K¨orper verbunden bleiben. Als Randlinie kann z. B. die Linie A1 CA2 BA1 betrachtet werden. Diese Linie umschließt w¨ ahrend der ganzen Bewegung keinen Fluss, so dass auch keine Spannung auftritt. Nat¨ urlich w¨ urde eine Spannung entstehen, wenn der Fluss Φ im Falle Abb. 27.10, Teil a durch Abschalten seiner Erregung zum Verschwinden gebracht werden w¨ urde. (Heringsche Versuche; siehe Lehner [134]).

Abbildung 27.11. Spule zur Ausmessung magnetischer Felder

Das Induktionsgesetz liefert nach Rogowski und Steinhaus [197] eine einfache Methode zur Ausmessung magnetischer Felder. Dazu dient eine Probespule S, Abb. 27.11, von so kleinen Abmessungen, dass das magnetische Feld in ihrer Umgebung als homogen angesehen werden kann. Die Spule wird mit einem ballistischen Galvanometer G verbunden; siehe auch Abb. 27.12. Bringt man die Spule rasch in das magnetische Feld oder nimmt man sie aus dem magnetischen Feld rasch heraus, so ¨ andert sich der Induktionsfluss, der mit der Spule verkettet ist; damit ergibt sich kurzzeitig eine induzierte Spannung und ein Stromstoß im Galvanometer. Aus dem ballistischen Ausschlag des

388

27 Elementare Betrachtungen zur Induktionswirkung

Galvanometers kann die magnetische Induktion am Orte der Spule berechnet werden.

Abbildung 27.12. Magnetischer Spannungsmesser nach Rogowski und Steinhaus

Bezeichnet A die Fl¨ ache der Spulen¨ offnung und B die magnetische In¨ duktion in dieser Offnung, so ist der von einer Windung der Spule umfasste B¨ undelfluss Φ = B · A = BA cos α, (27.35) und der Gesamtfluss wird bei N Windungen der Spule Φg = N Φ = N BA cos α,

(27.36)

wobei α den Winkel zwischen Spulenachse und Feldlinienrichtung bedeutet. Der Gesamtfluss hat seinen gr¨ oßten Wert, wenn die Achse der Spule in die Richtung der Feldlinien f¨ allt. Dann wird Φ = BA.

(27.37)

Beim Herausnehmen der Spule aus dem Magnetfeld ¨andert sich der Fluss, und es entsteht nach Gl. (27.25) eine induzierte Quellenspannung ui . Der dadurch hervorgerufene Strom ist nach dem Ohmschen Gesetz i=

ui , R

(27.38)

wobei R den Gesamtwiderstand des Stromkreises bezeichnet. Damit wird i=−

N dΦ 1 dΦg =− . R dt R dt

(27.39)

Wird die Spule rasch aus dem Feld herausgenommen, so ergibt sich ein ballistischer Ausschlag des Galvanometers, der die Elektrizit¨atsmenge anzeigt, die w¨ ahrend der Bewegung der Spule durch den Stromkreis fließt, also   ∞ N N dΦ = (Φ1 − Φ2 ), (27.40) Q= idt = − R R 0 wobei Φ1 und Φ1 die Fl¨ usse zu Beginn und Ende der Bewegung bedeuten. W¨ achst also der die Spule durchsetzende B¨ undelfluss von Null auf den Wert

27 Elementare Betrachtungen zur Induktionswirkung

389

Φ beim Hineinbringen der Spule in das Feld, oder nimmt er von diesem Wert Φ auf Null ab beim Herausnehmen der Spule aus dem Feld, so ergibt sich der gleiche aber entgegengesetzt gerichtete Ausschlag des ballistischen Galvanometers; dieser Ausschlag liefert die Elektrizit¨atsmenge Q. Damit l¨asst sich berechnen N (27.41) Φ = Q. R Die Richtung der Feldlinien kann dadurch bestimmt werden, dass man den gr¨ oßten Ausschlag durch Beobachten bei verschiedenen Stellungen der Spule zu erreichen sucht; dann ist das B-Feld B =

RQ NA

(27.42)

und ihre Richtung die der Spulenachse. Anmerkung und Zahlenbeispiel: Da der Wicklungsquerschnitt der Spule eine r¨ aumliche Ausdehnung besitzt, so ergibt sich die Frage, was man unter der ¨ Offnung A der Spule zu verstehen hat. Wir bezeichnen die Abmessungen der Spule nach Abb. 27.13 und denken uns die Wicklung unendlich fein unterteilt. Eine Schicht der Wicklung vom Radius r und der Dicke dr umschließt den in Richtung der Spulenachse verlaufenden Induktionsfluss

Abbildung 27.13. Zur Berechnung der wirksamen Fl¨ ache

Φ = Br2 π,

(27.43)

da das Feld wegen der Kleinheit der Spule als homogen angesehen werden kann. In dieser Schicht sind bdr N b(r2 − r1 )

(27.44)

Windungen vorhanden. Daher ist der Gesamtfluss dieser Schicht dΦg = N

dr Br2 π r2 − r1

(27.45)

390

27 Elementare Betrachtungen zur Induktionswirkung

und der Gesamtfluss der Spule N Bπ Φg = r2 − r1



r2 dr =

N πB r23 − r13 . r2 − r1 3

(27.46)

Setzt man diesen Gesamtfluss Φg = N AB,

(27.47)

so folgt f¨ ur die mittlere Windungsfl¨ ache A=

π π r23 − r13 = (r12 + r1 r2 + r22 ). 3 r2 − r1 3

(27.48)

Ist z. B. r1 = 0, 4cm, r2 = 1cm, b = 0, 6cm, so wird A=

π (0, 16 + 0, 4 + 1)cm2 = 1, 633cm2. 3

(27.49)

Die Spule enthalte N = 10000 Windungen; der Gesamtwiderstand des aus Spule und Galvanometer gebildeten Kreises sei R = 1000 Ohm. Zeigt das Galvanometer eine Elektrizit¨ atsmenge Q = 0, 001As, so wird Φ=

1000 R Q= 0, 001ΩAs = 10−4 V s = 10−4 W b; N 10000

daraus folgt B =

10−4 W b Φ = = 0, 613T. A 1, 633cm2

(27.50)

(27.51)

In den elektrischen Maschinen ist die Anordnung immer so getroffen, dass sich bei der Drehung des Ankers der gesamte Fluss a¨ndert, der mit den Ankerspulen verkettet ist. Verfolgt man z. B. die Drehung eines Gleichstromankers w¨ahrend eines sehr kleinen Zeitabschnittes ∆t, der so kurz ist, dass die B¨ ursten auf den gleichen Stromwenderstegen bleiben, so findet man, dass dabei der magnetische Fluss, der die Ankerwicklung auf dem Wege von der Minuszur Plusb¨ urste umschlingt, um einen ganz bestimmten Betrag ∆Φ ab- oder zunimmt, siehe auch Abschnitt 29.4. Dann hat die zwischen den B¨ ursten auftretende Spannung einen Betrag, der durch den Grenzwert gegeben ist, dem sich das Verh¨ altnis ∆Φ/∆t bei hinreichend kleinem ∆t n¨ahert: ui = dΦg /dt. Da bei den elektrischen Maschinen die Ankerleiter senkrecht von den magnetischen Feldlinien geschnitten werden, so wird hier das Induktionsgesetz meist in der durch Gl. (27.5) gegebenen Form angewendet, die zu dem gleichen Ergebnis f¨ uhrt. 10−4 W b Φ = = 0, 613T. (27.52) B = A 1, 633cm2 Wird der Ankerkreis geschlossen, so fließt in den Ankerleitern Strom (Generator). Die auf die Ankerleiter im magnetischen Feld ausge¨ ubten Kr¨afte

27 Elementare Betrachtungen zur Induktionswirkung

391

verursachen ein Bremsmoment, und die entnommene elektrische Arbeit ist ¨ gleich der mechanischen Arbeit zur Uberwindung dieses Bremsmomentes. Bezeichnet man den in dem betrachteten Wicklungsabschnitt w¨ahrend des Zeitelements dt fließenden Strom mit I, so ist die elektrisch erzeugte Leistung dW = −IdΦg /dt; also ist die Arbeit dW = −I dΦg ;

(27.53)

sie muss in Form von mechanischer Arbeit aufgewendet werden, d. h. es muss bei der Drehung des Ankers um den Winkel dα ein Bremsmoment Md u ¨ berwunden werden, so dass dW = −I dΦg = Md dα;

(27.54)

daraus ergibt sich f¨ ur dieses Bremsmoment Md = −I

dΦg . dα

(27.55)

Die gleiche Beziehung gilt auch f¨ ur den Fall des Motors, bei dem der Strom I von ¨ außeren Quellen erzeugt wird; das Moment Md ist dann als Triebmoment aufzufassen. Ein und derselbe physikalische Vorgang, n¨amlich die Ablenkung bewegter Elektronen im magnetischen Feld, ist also die Ursache von Motor- und Generatorwirkung. Beim Motor werden die Leitungselektronen mit Hilfe einer ¨ außeren elektrischen Energiequelle durch die Stromleiter hindurchgef¨ uhrt. Die Stromleiter befinden sich in einem magnetischen Feld, dessen Feldlinien senkrecht zu dieser Bewegungsrichtung stehen. Dadurch erfahren die Elektronen Ablenkungskr¨ afte quer zur Richtung der Leiter. Da sie im Leiter durch die Bildkr¨ afte festgehalten sind, so u ¨ bertragen sich die Ablenkungskr¨afte auf die Leiter. Beim Generator werden umgekehrt die Stromleiter mechanisch durch das magnetische Feld hindurch bewegt; dadurch ergibt sich eine Ablenkung der Elektronen in der L¨ angsrichtung der Leiter bis zum Gleichgewichtszustand, in dem l¨ angs der Leiter eine Verschiebung von Ladungen entsteht. Zur Aufrechterhaltung dieser Ladungsverteilung ist ein Arbeitsaufwand nicht erforderlich, solange der Stromkreis unterbrochen ist. Fließt beim Schließen des Stromkreises Strom, so ergibt sich eine L¨ angsbewegung der Elektronen in den Stromleitern und damit eine mechanische Bremskraft quer zur Stromrichtung, ¨ zu deren Uberwindung eine mechanische Arbeit aufgewendet werden muss. Beispiele: Eine einfache Anwendung dieser Zusammenh¨ange bildet die elektromagnetische Pumpe f¨ ur leitende Fl¨ ussigkeiten, Abb. 27.14. In einem isolierenden Rohr wird mit Hilfe zweier Metallelektroden (Fl¨ache A = al) durch die Fl¨ ussigkeit ein elektrischer Strom I geschickt. Senkrecht dazu und zur Str¨ omungsrichtung v ist ein konstantes Magnetfeld mit der B-Feldst¨arke B gerichtet. Auf die Fl¨ ussigkeitsscheibe zwischen den beiden Elektroden wirkt die Kraft F = BId und damit der Druck

392

27 Elementare Betrachtungen zur Induktionswirkung

Abbildung 27.14. Prinzip der elektromagnetischen Pumpe

p=

BI BId = . ad a

(27.56)

Dieser treibt die Fl¨ ussigkeit durch das Rohr. Stellt sich dabei eine Geschwindigkeit v der Fl¨ ussigkeitsstr¨ omung ein, so entsteht eine induzierte Spannung Ui = Bvd. Sie vergr¨ oßert den ohmschen Spannungsabfall zwischen den Elektroden. Die zu ihrer Deckung erforderliche Leistung Ui I wird in mechanische Leistung zur Fortbewegung der Fl¨ ussigkeit umgewandelt. Ist z. B. a = 2cm, B = 1T = 1V sm”2, I = 100A, so wird der Druck p=

N 1 · 100V sA = 5000 2 = 0, 05bar. 2 0, 02m m m

(27.57)

Ist die Geschwindigkeit v = 0, 1m/s und d = 10cm, so wird die induzierte Spannung Vs m (27.58) Ui = 1 · 0, 1 · 0, 1 2 m = 10mV m s und die auf die Fl¨ ussigkeit u ¨ bertragene Bewegungsleistung Ui I = 1W = 1N m/s. 2. Das Gegenst¨ uck zur elektromagnetischen Pumpe bildet der sog. magnetohydrodynamische Generator. Das Prinzip ist durch Abb. 27.15 veranschaulicht. Zur direkten Umwandlung von Verbrennungsw¨arme fossiler Brennstoffe in elektrische Arbeit wird in einer Brennkammer Brennstoff mit Luft gemischt und unter Druck verbrannt. Die erhitzten Gase sind teilweise ionisiert (thermische Ionisierung); sie str¨ omen durch die D¨ use D aus. Durch ein magnetisches Feld senkrecht zur Zeichenebene werden die positiven und negativen Ladungstr¨ ager abgelenkt und gelangen zu den Auffangplatten A. Bezeichnet v die Ausstr¨ omgeschwindigkeit der Teilchen und B die B-Feldst¨arke, so ist die auf die Teilchen wirkende Kraft qvB. Infolge der durch die Teilchen erzeugten Aufladung der Auffangplatten entsteht ein elektrisches Gegenfeld E, dessen Feldkr¨ afte qE der magnetischen Kraft entgegenwirken. Die Grenze f¨ ur die Spannung zwischen den beiden Elektroden ist erreicht, wenn beide Kr¨afte einander gleich sind. Daraus folgt die erzeugte Leerlauf Spannung U0 = E d = vBd, wenn mit d der Plattenabstand bezeichnet wird.

(27.59)

27 Elementare Betrachtungen zur Induktionswirkung

393

Abbildung 27.15. Prinzip des MHD-Generators

Die Auffangplatten bilden die Pole eines Generators. Im Kurzschluss des Generators gelangen bei geeigneter Bemessung alle Ladungsteilchen auf die Platten. Der Kurzschlussstrom kann durch die Leitf¨ahigkeit a des heißen ionisierten Gases ausgedr¨ uckt werden. Die Kurzschlussstromdichte ist Jk = σ

U0 = σvB. d

(27.60)

Die Leitf¨ ahigkeit des Gases h¨ angt stark von der Temperatur ab. Bei 3000K lassen sich Leitf¨ ahigkeiten von der Gr¨ oßenordnung σ = 1S/cm erreichen. Ist z. B. B = 1T = 1V s/m2 , v = 100m/s, d = 10cm, so wird die Leerlaufspannung U0 = 100

m Vs · 1 2 · 10cm = 10V. s m

(27.61)

Die Kurzschlußstromdichte wird Jk = 1

A m S Vs 1 100 = 104 2 . cm m2 s m

(27.62)

Bei einer Fl¨ ache der Auffangplatten von 100cm2 wird die Kurzschlussstromst¨arke A (27.63) Ik = 104 2 100cm2 = 100A. m Der durch die Gasstrecke bedingte Innenwiderstand des Generators ist Ri =

10V = 0, 1 Ω 100A

(27.64)

28 L¨ osungsverfahren fu ¨r Diffusionsgleichungen

Um Probleme der quasistation¨ aren elektromagnetischen Felder l¨osen zu k¨onnen, werden Methoden zur L¨ osung von partiellen Vektor-Differentialgleichungen vom Diffusionstyp (vgl. Gl. (26.45)) ∂u = D u. ∂t

(28.1)

ben¨ otigt, wobei k eine reelle Konstante ist. Im Fall spezieller Geometrien sind sogar analytisch L¨ osungen verf¨ ugbar. H¨ angt u nur von der Zeit und z. B. der Ortsvariablen x ab, so kann man die 1-dimensionale Diffusionsgleichung nach Einf¨ uhrung dimensionsloser Koordinaten τ := t/Dl und ξ := x/l (l: charakteristische L¨ ange) in folgender Weise darstellen ∂2u ˜ ∂u ˜ = . ∂t ∂x2

(28.2)

Man kann leicht nachpr¨ ufen, dass (ξ − ξ  )2 e 4πτ √ u ˜(τ, ξ) = C 4τ

(28.3)

eine L¨ osung von Gl. (28.2); dabei ist C eine Konstante und ξ  kennzeichnet das Maximum der Funktion. Offensichtlich reduziert sich das Maximum der L¨osung mit der Zeit und sie verbreitert sich. Diese L¨ osung ist Greensche Funktion des Problems, was man an der folgenden – symbolisch gemeinten – Grenzfunktion erkennt (vgl. Lehner [134], S. 371ff) (ξ − ξ  )2 e 4πτ √ = δ(ξ − ξ  ). (28.4) lim τ →0 4τ Die Deltafunktion“ kann als Anfangsbedingung f¨ ur τ = 0 interpretiert wer” den. Im Fall allgemeiner Anfangsbedingungen h(ξ) kann die L¨osung wie in

28 L¨ osungsverfahren f¨ ur Diffusionsgleichungen

395

der Systemtheorie von Zeitsignalen mit Hilfe eines Faltungsintegrals berechnet werden (ξ − ξ  )2  4πτ e dξ  . (28.5) h(ξ  ) √ u(τ, ξ) = 4πτ IR Weiter Felddiffusionsprobleme, die man wenigstens komponentenweise auf eine eindimensionale skalare Diffusionsgleichung zur¨ uckf¨ uhren kann, werden ausf¨ uhrlich bei Lehner [134] behandelt. Hat man es mit Felddiffusionsproblemen zu tun, bei denen mindestens zwei Ortsdimensionen ber¨ ucksichtigt werden m¨ ussen, muss man wie der Laplaceoder Poissongleichung versuchen, mit Hilfe eines Produktansatzes versuchen, die vektorielle Diffusionsgleichung zu reduzieren. Mit Hilfe der sich daraus ergebenden L¨ osungen kann man aufgrund der Linearit¨at der Diffusionsgleichung weitere L¨ osungen durch Bildung von Linearkombinationen erzeugen. Der zylindrische Leiter ist ein wichtiges Beispiel dieser Klasse von Problemen und wird daher in Abschnitt 29.1.1 ausf¨ uhrlich behandelt. Auch bei diesem Problem tritt nat¨ urlich die Schwierigkeit auf, dass das elektromagnetische Feld im Unendlichen nicht verschwindet. Mit Hilfe von Symmetrieargumenten gelingt es jedoch, ein Problem zu definieren, bei dem das magnetische Feld nur vom Betrag des Radius r := r abh¨ angt. Aus der Quellenfreiheit des B-Feldes (divB = 0) folgt, dass die Radialkomponente Br verschwindet. Insgesamt ergeben sich zwei partielle Differentialgleichungen f¨ ur Bϕ (r, t) und Bz (r, t), wobei ϕ der Winkel des Zylinderkoordinatensystems ist. Mit Hilfe eines Produktansatzes Br,ϕ := Rr,ϕ (r) · Tr,ϕ (t), bei dem die jeweils die Zeit t von der Ortskoordinaten r separiert wird, erh¨ alt man in beiden F¨allen lineare gew¨ohnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom Besselschen Typ gef¨ uhrt, f¨ ur die ein Fundamentalsystem (zwei Basisl¨ osungen) bekannt sind, aus denen man andere L¨ osungen mit Hilfe von Linearkombinationen ermitteln kann. In vielen F¨ allen gelingt es jedoch nicht, das Separationsverfahren erfolgreich einzusetzen. Das kann am Aufbau der partiellen Differentialgleichung oder der Art der Randbedingung liegen. Beispielsweise l¨asst sich ∂u ∂2u  2 =0 + x + t2 ∂x2 ∂t

(28.6)

offensichtlich nicht mit Hilfe des Ansatzes X(x) · T (t) separieren. Andererseits kann man auch die Diffusionsgleichung ∂u ∂2u =0 +κ ∂x2 ∂t

(28.7)

mit den inhomogenen Randbedingungen u(0, t) = g1 (t), u(1, t) = g2 (t) und u(x, 0) = f (x) mit Hilfe diese Ansatzes nicht separieren. Geht man auf eine neue Funktion v(x, t) u ¨ ber, die folgendermaßen definiert ist v(x, t) := u(x, t) − g1 (t) − x(g2 (t) − g1 (t)),

(28.8)

396

28 L¨ osungsverfahren f¨ ur Diffusionsgleichungen

dann erh¨ alt man die folgende inhomogene Diffusionsgleichung ∂v ∂2v = −g1 (t) − x(g2 (t) − g1 (t)) +κ ∂x2 ∂t

(28.9)

mit homogenen Randbedingungen v(x, 0) = f (x), v(0, t) = 0, v(1, t) = 0.

(28.10)

Bei solchen inhomogenen Diffussionsgleichungen kann eine Verallgemeinerung der Separationsmethode zum Erfolg f¨ uhren. Bei der Methode der Entwicklung nach Eigenfunktionen eines Sturm-Liouville-Problems wird der Produktansatz verallgemeinert, indem man im Fall einer Ortskoordinate x folgenden L¨ osungsansatz macht u(x, t) =

∞ 

Tn (t) · Xn (x),

(28.11)

n=1

wobei es sich bei den Xn (x) ein Fundamentalsystem – ein vollst¨andiges Funktionensystem – f¨ ur eine zugeordnete gew¨ ohnliche Differentialgleichung auf dem interessierenden Intervall handelt. Die Vollst¨ andigkeit dieses Funktionensystems wird garantiert, wenn es sich bei der zugordneten Differentialgleichung mit den Randbedingungen um ein sogenanntes handelt. Das Verfahren ist sehr aufwendig und f¨ uhrt vielfach nur zu analytischen N¨aherungsl¨osungen, aber es unumg¨ anglich, wenn man an analytischen L¨ osungen interessiert ist. Weitere Einzelheiten u ¨ ber diese Methode findet man z. B. bei Courant, Hilbert [51]. Diese Ausf¨ uhrungen machen jedoch deutlich, dass analytische L¨osungen nur bei Problemen zu erwarten sind, bei denen gewisse Symmetrien genutzt werden k¨ onnen, um das Problem in seiner Komplexit¨at zu reduzieren. In allgemeineren F¨ allen bleibt nur die numerische Simulation, die allerdings bei parabolischen partiellen Differentialgleichungen – darum handelt es sich n¨amlich bei Diffusionsgleichungen – auch besondere Schwierigkeiten bereitet. Weitere Einzelheit findet man in der entsprechenden Spezialliteratur u ¨ber die numeri¨ sche Analyse von Wirbelstromproblemen. Eine Ubersicht gibt Kost [125], wo man man auch weitere Literatur findet; eine Einf¨ uhrung in die numerischen Methoden gibt Lehner [134].

29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes

29.1 Wirbelstr¨ ome und Skineffekt Befinden sich in einem magnetischen Wechselfeld elektrisch leitende Stoffe, so entstehen in diesen Stoffen nach dem Induktionsgesetz Wechselstr¨ome auf Bahnen, die mit den magnetischen Induktionslinien verkettet sind; man bezeichnet diese Str¨ome als Wirbelstr¨ome. In stromf¨ uhrenden Leitern u ¨ berlagern sich die Wirbelstr¨ ome dem Leiterstrom. Auch durch das magnetische Feld des Leiterstromes selbst werden Wirbelstr¨ ome im Leiter hervorgerufen. Dadurch ergibt sich eine ungleichm¨ aßige Verteilung des Stromes u ¨ber den Leiterquerschnitt, die man als Stromverdr¨angung bezeichnet. Die Wirbelstr¨ome erzeugen selbst ein Magnetfeld und wirken daher auch auf das urspr¨ ungliche Feld zur¨ uck, es scheint eine Feldverdr¨angung zu entstehen. Infolge der im Leiter entstehenden Stromw¨ arme wird dem magnetischen Feld dabei Energie entzogen. Man bezeichnet als Wirbelstromverluste die Leistung, die infolge der Wirbelstr¨ ome in Form von W¨ arme verlorengeht. Bemerkung: In der Einleitung zu diesem Abschnitt als auch in den weiteren Ausf¨ uhrungen wird gelegentlich von Feld- oder Stromverdr¨angung gesprochen. Diese h¨ aufig verwendete Vorstellung entspricht nat¨ urlich in keiner Weise den tats¨ achlichen Verh¨ altnissen bei quasistation¨ aren elektromagnetischen Feldern, da die Grundgleichungen nach Abschnitt 26.5 vom Typ einer Diffusionsgleichung. Vielmehr handelt es sich um eine Felddiffusion (vgl. auch Lehner [134]), bei der die Eindringtiefe begrenzt ist. Demzufolge wird sinnvoller Weise ein Eindringmaß definiert. Dieser Vorgang wird dann als eine Verdr¨angung“ des ” Feldes interpretiert. In einem Wirbelstromfeld sind elektrische und magnetische Feldst¨arke durch das Durchflutungsgesetz und das Induktionsgesetz miteinander verkn¨ upft. Das Linienintegral des H-Feldes ist auf jedem geschlossenen Weg durch die Durchflutung des Weges bestimmt. Auch das Induktionsgesetz gilt in ei-

398

29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes

nem r¨ aumlich ausgedehnten Feld auf beliebigen Bahnen; das Linienintegral des E-Feldes ist also auf jedem geschlossenen Weg gleich dem magnetischen Schwund dieses Weges. 29.1.1 Stromverdr¨ angung im zylindrischen Leiter Ein besonders einfacher Fall der Stromverdr¨angung liegt bei langen kreiszylindrischen Leitern vor. Wenn man sich auf die Betrachtung eines kurzen L¨angenabschnittes eines solchen Leiters beschr¨ ankt, so darf man annehmen, dass die elektrische und die magnetische Feldst¨ arke nur von dem Abstand r von der Achse abh¨ angen, Abb. 29.1, und in jedem Leiterquerschnitt die gleichen Werte besitzen. Die magnetische Feldst¨ arke hat u ¨ berall die tangentiale Richtung, w¨ahrend das E-Feldst¨ arke wie die Stromdichte axial gerichtet ist. Stromdichte und E-Feldst¨arke sind im Sinne des Ohmschen Gesetzes linear verkn¨ upft durch die Beziehung

Abbildung 29.1. H-Feld in einem zylindrischen Leiter

J = σE,

(29.1)

wobei hier durchweg vorausgesetzt wird, dass der Verschiebungsstrom im Leiter gegen den Leitungsstrom vernachl¨ assigt werden kann (siehe Abschnitt 34). Wendet man daher das Durchflutungsgesetz auf einen Kreis vom Radius r an, so folgt f¨ ur jeden Zeitpunkt  r  r 2πrH = J2πrdr = 2πσ E2πrdr, (29.2) 0

0

oder durch Differenzieren: 1 ∂H + H = σ E. ∂r r

(29.3)

H und E bedeuten die Augenblickswerte der Feldst¨arken. Um das Induktionsgesetz anzuwenden, betrachte man ein in einer Achsenebene des Leiters liegendes Rechteck, Abb. 29.2, dessen eine lange Seite in die Achse f¨ allt, und dessen andere davon den Abstand r hat; die L¨ange

29.1 Wirbelstr¨ ome und Skineffekt

399

Abbildung 29.2. Anwendung des Induktionsgesetzes

des Rechtecks sei l. Ein solches Rechteck wird von den H-Feldlinien senkrecht durchsetzt, so dass der Gesamtfluss in dem Rechteck  r  r Φ= Bldr = µl Hdr (29.4) 0

0

betr¨ agt, wenn unter µ die als konstant angesehene Permeabilit¨at des Leitermaterials verstanden wird. Bei der Bestimmung des Linienintegrals der elektrischen Feldst¨ arke hat man die angenommene Bezugsrichtung des Induktionsflusses im Sinne einer Rechtsschraube zu umkreisen. Dies ergibt  r  ∂ ∂Φ = −µl Hdr; (29.5) E · ds = E|r=0 l − E|r l = − ∂t ∂t 0 die aus den Radien gebildeten Rechteckseiten tragen zu dem Linienintegral nichts bei, da die elektrische Feldst¨ arke senkrecht auf diesen Seiten steht. Durch Differenzieren nach r ergibt sich ∂H ∂E =µ . ∂r ∂t

(29.6)

Differenziert man die Gl. (29.3) nach t und f¨ uhrt die eben gefundene Gleichung ein, so ergibt sich ∂E 1 ∂E ∂2E = σµ . (29.7) + ∂r2 r ∂r ∂t Wenn sich die Feldgr¨ oßen zeitlich sinusf¨ ormig ¨andern, so kann man einen speziellen Separationsansatz ( die komplexe Darstellung“) benutzen. Dabei ” setzt man f¨ ur die komplexen Augenblickswerte an √ (29.8) E(t) := E 2 ejωt , √ jωt (29.9) H(t) := H 2 e , √ jωt (29.10) J(t) := J 2 e Die Gr¨ oßen E, H und J stellen f¨ ur jeden Punkt des Raumes Zeiger“ in der ” komplexen Ebene dar. Es werden keine gesonderten Bezeichnungen eingef¨ uhrt wenn klar ist, ob es sich um den ortsabh¨ angigen komplexen Zeiger oder die

400

29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes

orts- und zeitabh¨angige Gr¨ oße E(t) usw. handelt. Die absoluten Betr¨age dieser Zeiger geben die Effektivwerte der Gr¨ oßen in dem betreffenden Raumpunkt an. F¨ uhrt man die Ans¨ atze (29.9) in die Gl. (29.7) ein, so folgt 1 dE d2 E + k 2 E = 0. + dr2 r dr

(29.11)

Dabei ist gesetzt  2

k := −jωσµ;

k = (1 − j)

1 ωσµ. 2

(29.12)

Aus dem E-Feldst¨ arke folgt das H-Feldst¨ arke mit der Gl. (29.6) H=

1 dE , jωµ dt

(29.13)

und es gilt f¨ ur den komplexen Zeiger der Stromdichte J = σ E.

(29.14)

Die Gl. (29.11) ist die Differentialgleichung f¨ ur die Besselschen Funktionen der Ordnung Null1 . Von den verschiedenen Arten dieser Funktionen kommt hier nur diejenige in Betracht, welche f¨ ur r = 0 endlich ist, da die elektrische Feldst¨ arke u ¨ berall im Leiterquerschnitt endliche Werte haben muss. Es ist dies die Besselsche Funktion erster Art, die durch die Potenzreihe J0 (kr) = 1 −

1 12




kr 2

2 +

1 22




kr 2

4 −

1 32




kr 2

6 + ···

(29.15)

definiert ist. Durch Einsetzen in Gl. (29.11) u ¨berzeugt man sich leicht, dass diese Funktion die Differentialgleichung befriedigt. Als L¨osung der Differentialgleichung ergibt sich daher E = c J0 (kr),

(29.16)

wobei c eine willk¨ urliche Konstante bedeutet. Um mit Hilfe von Gl. (29.13) die H-Feldst¨ arke zu berechnen, benutzt man die Formel dJ0 (x) = −J1 (x), dx

(29.17)

wobei J1 (x) die Besselsche Funktion erster Ordnung bezeichnet. Damit wird H = −c 1

siehe Abramowitz und Stegun [2]

k J1 (kr). jωµ

(29.18)

29.1 Wirbelstr¨ ome und Skineffekt

401

Die Integrationskonstante c kann aus dem Effektivwert I des Stromes im Leiter bestimmt werden. Das Durchflutungsgesetz liefert bei Anwendung auf die Randlinie des Leiterquerschnitts H|r0 2πr0 = I,

(29.19)

wenn der Stromzeiger als Bezugsgr¨ oße willk¨ urlich in die reelle Achse der komplexen Ebene gelegt wird; oder mit Gl. (29.18): c=−

I jωµ . 2πr0 k J1 (kr0 )

(29.20)

F¨ ur das E-Feldst¨arke und die Stromdichte ergibt sich damit Ik J0 (kr) jωµ J0 (kr) I = ; 2πr0 k J1 (kr0 ) 2πr0 σ J1 (kr0 ) Ik J0 (kr) . J= 2πr0 J1 (kr0 )

E=−

(29.21) (29.22)

Wenn kr sehr klein ist, also bei sehr niedrigen Frequenzen, gilt f¨ ur J0 (kr) nach Gl. (29.15) die N¨aherungsformel J0 (kr) ≈ 1,

(29.23)

ebenso mit Gl. (29.17) J1 (kr0 ) ≈ Daher wird die Stromdichte J=

1 kr0 . 2

I . r02 π

(29.24)

(29.25)

Bei niedrigen Frequenzen ist also der Strom gleichm¨aßig u ¨ ber den Querschnitt des Leiters verteilt. Die elektrische Feldst¨ arke zeigt an, wie groß der Spannungsabfall l¨angs des Leiters ist. Der Spannungsabfall l¨ angs einer Mantellinie (r = r0 ) kann dargestellt werden durch die Wirkung eines Widerstandes R und einer Induktivit¨at ur einen Abschnitt des Leiters von der L¨ange l Li , Es gilt also f¨ I(R + jωLi ) = E l =

Ikl J0 (kr) , 2πr0 σ J1 (kr0 )

(29.26)

eine Beziehung, aus der die Gr¨ oßen R und Li durch Gleichsetzen von reellen und imagin¨ aren Teilen berechnet werden k¨ onnen2 . Die Gr¨oße R ist maßgebend f¨ ur die Verluste, die in dem Leiter durch die Stromw¨arme auftreten; sie stellt den Wechselstromwiderstand des Leiters dar. Die Gr¨oße Li gibt den Beitrag des Magnetfeldes im Leiterinneren zur Induktivit¨at des Stromkreises an, ist 2

siehe Abramowitz und Stegun [2]

402

29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes

also die innere Induktivit¨at bei Wechselstrom. Einfache Formeln ergeben sich f¨ ur große und kleine Werte von kr0 , also hohe und niedrige Frequenzen. Setzt man r0  πf σµ, (29.27) x= 2 und f¨ uhrt man den Gleichstromwiderstand R0 =

1 r02 πσ

(29.28)

ein, so erh¨ alt man mit Hilfe der Potenzreihe (29.15) f¨ ur kleine Werte von x(< l) die N¨ aherungsformeln 1 R = 1 + x4 , R0 3
 x4 ωLi 4 = x 1− . R0 6

(29.29) (29.30)

und f¨ ur große Werte von x(> 1) mit Hilfe der f¨ ur große Werte des Argumentes geltenden Entwicklungen der Besselschen Funktionen

Abbildung 29.3. Wechselstromwiderstand und -induktivit¨ at eines Drahtes

R = x+ R0 ωLi = x− R0

3 1 + , 4 64x 3 3 + . 64x 128x2

(29.31) (29.32)

Die Gr¨ oßen R/R0 und ωLi /R0 sind in Abb. 29.3 graphisch dargestellt. Bei sehr hohen Frequenzen wird (29.33) ωLi = R.

Zahlenbeispiel: Es sei der Widerstand einer Kupferleitung von 4 mm 0 und 1 km L¨ ange f¨ ur eine Frequenz f = 40000Hz zu berechnen, σ = 57Sm/mm2.

29.1 Wirbelstr¨ ome und Skineffekt

403

Es wird

 S H 1 = 3, x = 0, 2cm π · 40000 · 57104 · 1, 257 · 10−8 s−1 2 cm cm

(29.34)

also nach Gl. (29.31) und Gl. (29.32) R/R0 = 3, 27, ωLi /R0 = 2, 98. Nun ist 1000 R Ω = 1, 4 Ω. (29.35) = R0 57 · 12, 57 Daher ergibt sich R = 4, 57 Ω;

Li =

2, 98 · 1, 4Ωs = 1, 66 · 10−5 H. 40000 · 6, 28

(29.36)

Bei Gleichstrom ist nach Gl. (24.23) die innere Induktivit¨at Li = 5·10−5H. Die Zunahme des Widerstandes mit der Frequenz ist so zu erkl¨aren, dass bei hohen Frequenzen der Strom im wesentlichen in einer Schicht an der Oberfl¨ ache des Leiters fließt. Man erkennt dies, wenn man die N¨aherungsformeln ur großes Argument benutzt; sie lauten der Besselschen Funktionen J0 und J1 f¨ √ √ √ √ 1 2x |J0 (x2 2 −1)| = |J1 (x2 2 −1)| =  √ e . 4πx 2 Damit ergibt sich aus Gl. (29.22) der Effektivwert der Stromdichte  R0 −√πf σµ(r0 −r) I √ e ωσµ . J = |J| = 2πr0 r

(29.37)

(29.38)

Bezeichnet man den Abstand des betrachteten Punktes von der Leiteroberfl¨ ache mit y, r0 − r = y (29.39) so nimmt also die Stromdichte mit wachsender Tiefe y etwa nach einer Exponentialfunktion ab. Große Werte der Stromdichte finden sich bei hohen Frequenzen nur in der N¨ ahe der Oberfl¨ ache des Leiters (Skineffekt, Hauteffekt). 29.1.2 Ebene Wirbelfelder Wenn man von vornherein die Voraussetzung macht, dass die stromf¨ uhrende Schicht sehr d¨ unn ist, dann kann man die Kr¨ ummung der Leiteroberfl¨ache vernachl¨ assigen und die in Abb. 29.4 dargestellten Verh¨altnisse zugrunde legen, die sich bei ebener Begrenzung des Leiters ergeben. Die Feldgr¨oßen h¨angen dann nur von dem Abstand y von der Leiteroberfl¨ache ab. Die Vektoren E und J haben die Richtung der Leiterachse, die in die z-Richtung f¨allt. Nach der Rechtsschraubenregel muss dann die positive Richtung des H-Feldes die

404

29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes

Abbildung 29.4. Ebene Wirbelstr¨ omung

x-Richtung sein. Wendet man das Durchflutungsgesetz auf das Rechteck a, dy in der x, y-Ebene an, so ergibt sich 
dH ∂H dy a = σEady, oder − = σE. (29.40) Ha− H + ∂y dy Die Anwendung des Induktionsgesetzes auf ein Rechteck b, dy in der y, z-Ebene ergibt 
dE ∂E dy b = µbjωHdy, oder − = jωµH. (29.41) −Eb + E + ∂y dy Aus den Gl. (33) und (34) folgt

mit der L¨ osung

d2 E = jωσµE dy 2

(29.42)

E = c1 e−βy−jβy + c2 eβy+jβy

(29.43)

in der β=

 πf σµ

(29.44)

bedeutet. Da die Feldst¨ arke mit zunehmender Tiefe nicht unbegrenzt zunehmen kann, so muss c2 = 0 sein, also E = c1 e−βy−jβy .

(29.45)

Man erh¨ alt den Augenblickswert E(t) von E in irgend einem Zeitpunkt, √ wenn man den Zeiger E mit 2ejωt multipliziert, also mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotieren l¨ asst und die Projektion auf eine feste Achse, z. B. auf die imagin¨ are Achse, bildet; man findet √ (29.46) E(t) = 2c1 e−βy sin(ωtβy). Diese Formel stellt eine Welle dar, die von der Oberfl¨ache des Leiters nach innen fortschreitet. Verfolgt man n¨ amlich die Punkte gleicher Schwingungsphase, so gilt f¨ ur sie

29.1 Wirbelstr¨ ome und Skineffekt

ωt − βy = konst.

405

(29.47)

oder

ω t + konst. (29.48) β Die Geschwindigkeit des Fortschreitens der Schwingungsphase ist also durch y=

v=

ω dy = dt β

(29.49)

gegeben (Phasengeschwindigkeit). Dabei nehmen die Amplituden beim Fortschreiten gem¨ aß einem Exponentialgesetz ab. In Abb. 29.5 sind die augenblicklichen Werte der elektrischen Feldst¨ arke in Abh¨angigkeit von der Tiefe unter der Oberfl¨ ache und f¨ ur verschiedene Zeitpunkte dargestellt. An dieser Stelle

Abbildung 29.5. Eindringen des E-Feldes in den Leiter

sollte angemerkt werden, dass es sich nat¨ urlich nicht um die Wellenl¨osung“ ” einer Wellengleichung handelt, da Wirbelstromeffekte wie in Abschnitt 26.5 dargelegt, durch partielle Differentialgleichungen vom Typ einer Diffusionsgleichung mathematisch beschrieben werden, die jedoch im Fall von zeitlich ¨ sinusf¨ ormiger Anderung der Gr¨ oßen zu schwingenden“ L¨osungen mit D¨amp” ” fung“ f¨ uhren. Die Tiefe δ, bei der die elektrische Feldst¨arke auf den e-ten Teil ihres Oberfl¨ achenwertes abgenommen hat, bezeichnet man als Eindringmaß δ=

1 1 = . β πf σµ

(29.50)

Die Eindringtiefe des Feldes betr¨ agt 4 · · · 8 δ. F¨ ur die magnetische Feldst¨arke ergibt sich aus Gl.(29.41) 1+j β E. (29.51) H= j ωµ

406

29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes

Der Faktor

1 1+j = + 1 = −j + 1 j j

(29.52)

√ stellt in der Zahlenebene, Abb. 29.6, einen Zeiger vom Betrage 2 dar, der einen Winkel von −π/4 mit der reellen Achse bildet. Daraus geht hervor, dass der Zeiger des H-Feldes dem Zeiger des E-Feldes um 45◦ nacheilt. Das H-Feld dringt im u ¨ brigen in der gleichen Weise in das Leiterinnere ein wie das EFeld. Die Konstante c1 kann wieder aus dem Durchflutungsgesetz berechnet

Abbildung 29.6. Phasenverschiebung zwischen E- und H-Feldst¨ arke

werden. An der Ober߬ ache des Leiters ist nach den Gl. (29.45) und (29.51) H=

1+j β c1 . j ωµ

(29.53)

Bei einem kreiszylindrischen Leiter ist der Umfang des Leiterquerschnittes 2πr0 . Daher liefert das Durchflutungsgesetz 1+j β c1 2πr0 = I, j ωµ

(29.54)

wenn der Stromzeiger wieder in die reelle Achse der komplexen Ebene gelegt wird. Daraus folgt ωµ j I. (29.55) c1 = 1 + j β2πr0 Der Spannungsabfall an der Leiteroberfl¨ ache liefert den Wechselstromwiderstand und die innere Induktivit¨ at des Leiters R + ωLi =

ωµ 1 + j ωµ l j l= . 1 + j β2πr0 2 β 2πr0

F¨ ur gen¨ ugend hohe Frequenzen gilt also  l µf l = , R = ωLi = 2r0 πσ σ2πr0 δ

(29.56)

(29.57)

wie es auch aus den Gl. (29.31), (29.32) und (29.33) hervorgeht. Gl. (29.57) zeigt, das R durch den Gleichstromwiderstand eines Rohres vom Radius r0

29.1 Wirbelstr¨ ome und Skineffekt

407

und der Dicke δ gegeben ist; δ wird daher auch ¨aquivalente Leitschichtdicke genannt. Der Wechselstromwiderstand w¨ achst mit der Wurzel aus der Frequenz, w¨ahrend die innere Induktivit¨ at umgekehrt proportional mit der Wurzel aus der Frequenz abnimmt. Es handelt sich also um eine irrationale Impedanz, die nicht in den Rahmen der u ¨ blichen Netzwerktheorie mit konzentrierten Bauelementen passt. Darauf wird in der Literatur h¨aufig nicht hingewiesen. Eine ausf¨ uhrliche Studie u ¨ ber irrationale Impedanzen findet man bei Belevitch [20]; neuere Anwendungen auf die Modellierung des Skineffektes geben Engin und Mathis et al. [62]. Zahlenbeispiel: F¨ ur das vorige Beispiel ergibt sich mit β = 30cm−1

(29.58)

das Eindringmaß

1 cm = 0, 333 mm. (29.59) 30 Die Eindringtiefe hat die Gr¨ oßenordnung des Leiterradius. Trotzdem ergeben die Formel (29.57) noch eine einigermaßen gute Ann¨aherung. Sie liefern f¨ ur den Widerstand  40000 · 1, 257 · 10−8 s−1 Hcm 1000m = 4, 2Ω. (29.60) R = ωLi = 2 · 0, 2cm π · 57 · 104 cmS δ=

und f¨ ur die innere Induktivit¨ at Li =

4, 2Ωs cm = 1, 67 · 10−5 H. 40000 · 6, 28

(29.61)

Bei der Frequenz von 40kHz wird die Laufgeschwindigkeit der in das Kupfer von der Oberfl¨ ache her eindringenden Welle“ nach Gl. (29.49) ” v=

2π40 · 103 cm m ω = ≈ 84 . β 30 s s

(29.62)

Es ist sehr zweckm¨ aßig, das Eindringmaß f¨ ur verschiedene Materialien (Kupfer, Aluminium, Eisen) anhand von Formel 29.57 mit einem Taschenrechner zu studieren, um ein Gef¨ uhl f¨ ur die Gr¨ oßenordnung solcher Eindringtiefen zu gewinnen. Z. B. ist das Eindringmaß bei Kupfer bei 50 Hz gleich 9, 44 mm, bei 1 M Hz nur 0, 0667 mm. Bei hohen Frequenzen sind die elektrischen und magnetischen Felder wegen der geringen Eindringtiefe der metallischen Leiter praktisch auf die isolierenden R¨ aume beschr¨ ankt. Bei langgestreckten Leiteranordnungen beliebigen Querschnitts werden die magnetischen Feldlinien wegen der F¨ uhrung

408

29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes

an den Leiteroberfl¨ achen identisch mit elektrischen Potenziallinien. Daher besteht zwischen der Induktivit¨ at und der Kapazit¨at von Leitungen ein allgemeiner Zusammenhang. Betrachtet man die Funktion u(x, y) Gl. (11.49) als Potenzialfunktion des E-Feldes, dann gibt v(x, y) das magnetische Potenzial an. F¨ ur die Kapazit¨ at zwischen zwei Leitern gilt nach Gl. (11.67) " εl dv U =  . (29.63) C= I du Dabei ist das Integral u angs des Leiterumfanges zu nehmen, das Inte¨ ber dv l¨ gral u ber du von der einen zur anderen Leiteroberfl¨ache. Ganz analog gilt f¨ ur ¨ die Induktivit¨ at  µ0 l du Φ " . (29.64) L= = I dv Daraus folgt

LC = εµ0 l2 .

(29.65)

Das Produkt aus Induktivit¨ at und Kapazit¨at einer Leitung ist bei hohen Frequenzen unabh¨ angig von der geometrischen Form der Leiter und ihrer Anordnung und nur bestimmt durch Dielektrizit¨atskonstante und Permeabilit¨at des Isolierstoffes und die Leitungsl¨ ange. Die bisher betrachtete Form der bezeichnet man als allseitige Stromverdr¨angung. Dazu geh¨ ort auch die Stromverteilung in einem leitenden Stoff, der als R¨ uckleitung eines in diesen Stoff isoliert eingebetteten Leiters dient, wie z. B. im Seewasser als R¨ uckleitung eines einadrigen Telegraphenkabels. Hier werden die Stromlinien im Wasser zum Kabel hingedr¨angt. Sie schn¨ uren sich mit wachsender Frequenz immer enger in der Umgebung des Kabels zusam¨ men. Ahnlich liegen die Verh¨ altnisse bei der R¨ uckleitung des Stromes einer oberirdischen Leitung durch die Erde; auch hier dr¨angen sich die Stromlinien des R¨ uckstromes in der Erde bei h¨ oheren Frequenzen immer dichter unterhalb der Leitung zusammen, so dass der R¨ uckstrom im wesentlichen in einem Kanal unterhalb der Leitung fließt, dessen Querschnitt bei h¨oheren Frequenzen immer kleiner wird. F¨ ur das gilt in allen diesen F¨allen die Gl. (29.50). 29.1.3 Einseitige Stromverdr¨ angung in Ankerleitern und Spulen Eine einseitige Stromverdr¨angung tritt bei den in die Nuten eines Eisenk¨orpers eingebetteten Kupferleitern der elektrischen Maschinen auf, Abb. 29.7. Das durch die Leiter erzeugte magnetische Feld hat Feldlinien, die angen¨ahert senkrecht aus den Zahnflanken austreten und nahezu geradlinig von der einen Zahnflanke zur anderen u ¨bergehen. Die Feldlinien schließen sich im Eisen, wie in Abb. 29.7 angedeutet. Wird der magnetische Widerstand des Eisenweges gegen den des Luftweges vernachl¨ assigt, so ist nach dem Durchflutungsgesetz die magnetische Feldst¨ arke an jeder Stelle des Luftspaltes proportional dem darunter fließenden Strom. W¨ are der Strom gleichm¨aßig u ¨ ber die Leiter verteilt, so w¨ urde die Feldverteilung die neben der Nut aufgezeichnete sein.

29.1 Wirbelstr¨ ome und Skineffekt

409

Abbildung 29.7. Zur Untersuchung der einseitigen Stromverdr¨ angung“ ”

Bei Wechselstrom gilt innerhalb der Leiter die Gl. (29.41), wenn als positive Richtung f¨ ur E die aus der Zeichenebene herauszeigende Richtung gew¨ ahlt wird. Das Durchflutungsgesetz liefert, auf ein schmales horizontales Rechteck in der Nut von der H¨ ohe dy und der Breite b angewendet, analog zu Gl. (29.40) a dH = σ E, (29.66) − dy b wobei der zeitliche Anteil separiert und in komplexer Form abgetrennt wurde (vgl. Abschnitt 29.1.1). In ¨ ahnlicher Weise wie oben lassen sich Gl. (29.40) und Gl. (29.66) zu einer einzigen vereinigen mit der L¨ osung (29.43), wobei jedoch  a πf σµ. (29.67) β= b Daraus folgt f¨ ur die magnetische Feldst¨ arke mit Gl. (29.41) H=

 (1 + j)β  −βy−jβy c1 e − c2 e+βy+jβy . jωµ

(29.68)

Die Konstanten c1 und c2 ergeben sich aus den Grenzbedingungen. Betrachten wir den p-ten Leiter der Nut von unten gez¨ ahlt und legen wir den Nullpunkt der y-Achse in die untere Kante dieses Leiters, bezeichnen wir ferner mit I1 den Strom in einem einzelnen Leiter, so ist die Durchflutung der durch y = 0 definierten Feldlinie (p − 1)I1 die Durchflutung der durch y − h gehenden ur diese beiden Feldlinien Feldlinie p − I1 Das Durchflutungsgesetz liefert f¨ (1 + j)β (c1 − c2 ), jωµ  (1 + j)β  −βh−jβh c1 e − c2 e+βh+jβh , pI1 = −b jωµ

(p − 1)I1 = −b

(29.69) (29.70)

und es folgt durch Aufl¨ osen jωµ pI1 − (p − 1)I1 eβh+jβh ; (1 + j)bβ 2 sinh β(1 + j)h jωµ pI1 − (p − 1)I1 e−βh−jβh . c2 = (1 + j)bβ 2 sinh β(1 + j)h

c1 =

(29.71) (29.72)

410

29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes

F¨ uhrt man diese Werte in Gl. (29.43) ein und berechnet die Stromdichte, so folgt J=

jωσµ pI1 cosh β(1 + j)y − (p − 1)I1 cosh β(1 + j)(h − y) . (1 + j)bβ sinh β(1 + j)h

(29.73)

Um den Effektivwert der Stromdichte hieraus berechnen zu k¨onnen, muss man die Hyperbelfunktionen in die reellen und imagin¨aren Teile zerlegen. Dazu dienen die beiden folgenden Formeln (vgl. Merziger et al. [161]) sinh(x + jy) = sinh x cos y + j cosh x sin y,

(29.74)

cosh(x + jy) = cosh x cos y + j sinh x sin y.

(29.75)

Mit Hilfe dieser Formeln kann der Betrag der komplexen Stromdichte J, der den Effektivwert Jef f der Stromdichte angibt, gebildet werden.

Abbildung 29.8. Zur Berechnung der Widerstandserh¨ ohung eines Leiters in der Nut

Aus dem Effektivwert der Stromdichte ergeben sich die Verluste in einem Abschnitt von der H¨ ohe dy des Stabes mit Hilfe von Gl. (16.20). Die Gesamtverluste in dem Stab erh¨ alt man durch Summieren der einzelnen Beitr¨age u ¨ ber die H¨ ohe des Stabes  h 1 (29.76) J 2 dy. P = al σ 0 Der Wirkwiderstand R1 des Stabes ist definiert durch P = I12 R1 .

(29.77)

Durch Ausrechnung ergibt sich damit die folgende Beziehung R1 = ϕ(x) + p(p − 1)ψ(x), R0 in der R0 den Gleichstromwiderstand des Stabes bezeichnet,

(29.78)

29.1 Wirbelstr¨ ome und Skineffekt

R0 =

l , σah 

und x = βh = h

a πσf µ. b

411

(29.79)

(29.80)

Es bedeutet ferner sinh 2x + sin 2x , cosh 2x − cos 2x sinh x + sin x . ψ(x) = x cosh x − cos x ϕ(x) = x

(29.81) (29.82)

Das erste Glied (29.78) Leiters liegenden St¨abe in dem betrachteten Leiter zus¨ atzliche Wirbelstr¨ ome hervorruft. Die Funktionen ϕ(x) und ψ(x) sind in Abb. 29.8 dargestellt1. Die Abb. 29.9 veranschaulicht die Stromverteilung in den drei St¨ aben einer Nut f¨ ur x = 3. Die Stromdichte in den aneinander

Abbildung 29.9. Stromverteilung in den drei Leitern einer Nut

liegenden Begrenzungsfl¨ achen der St¨ abe sind im allgemeinen voneinander verschieden. Setzt man z. B. in Abb. 29.9 die Stromdichte an der unteren Kante des unteren Leiters = 1, so ist die Stromdichte an der oberen Kante dieses Leiters rund 10; die Stromdichte an der unteren Kante des folgenden Stabes ist rund 12, an der oberen Kante 21; beim dritten Stab ist die Stromdichte an der unteren Kante 23, an der oberen 32. Dagegen geht die magnetische Feldst¨arke nat¨ urlich von Stab zu Stab stetig u ¨ ber. Um die Widerstandserh¨ohung zu ver-

Abbildung 29.10. Schr¨ ankstab

412

29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes

mindern, stellt man die Leiter als Litze her, indem man sie unterteilt. Die einzelnen Dr¨ ahte der Litze m¨ ussen dabei so durch das Gesamtfeld des Leiters hindurchgef¨ uhrt werden, dass der von je zwei Litzendr¨ahten umschlungene Fluss m¨ oglichst klein wird. Als Beispiel zeigt Abb. 29.10 die beiden H¨alften eines Schr¨ ankstabes“; die beiden H¨ alften werden ineinander gelegt, so das ” alle Leiter einmal umeinander herumgef¨ uhrt sind. Wie in Abb. 29.11 veranschaulicht, heben sich die von zwei beliebigen Leitern einer Stabh¨alfte umschlungenen Fl¨ usse gerade auf; die beiden von den Pfeilen rechts umlaufenen und mit − bezeichneten Fl¨ achen ergeben zusammengesetzt eine Fl¨ache, die gleichwertig der links umlaufenen +-Fl¨ ache ist.

Abbildung 29.11. Flussverkettung des Schr¨ ankstabes

29.1.4 Wirbelstr¨ ome in Eisenblechkernen Ein Beispiel f¨ ur die Feldverdr¨angung geben die in Eisenblechpaketen entstehenden Wirbelstr¨ ome. Die Wirbelstr¨ ome umkreisen das magnetische Feld innerhalb eines jeden Bleches, wie es Abb. 29.12 zeigt. Unter der Voraussetzung konstanter Permeabilit¨ at des Bleches und so kleiner Dicke d im Vergleich zur Breite b, dass die Wirbelstr¨ omung im wesentlichen geradlinig verl¨auft, gelten die Gl. (29.40) und (29.41) mit den L¨ osungen (29.43), (29.44) und (29.68). Legen wir den Nullpunkt der y-Achse in die Blechmitte, und bezeichnen wir den Effektivwert der magnetischen Feldst¨ arke an den Begrenzungsfl¨achen des Bleches mit H0 , so ergeben sich die Konstanten c1 und c2 aus den Bedingungen

Abbildung 29.12. Wirbelstr¨ ome in einem Eisenblech

29.1 Wirbelstr¨ ome und Skineffekt

(1 + j)β jωµ (1 + j)β H = H0 + jωµ



H = H0 +



413

 c1 e−β(1+j)d/2 − c2 e+β(1+j)d/2 ;

(29.83)

 c1 e+β(1+j)d/2 − c2 e−β(1+j)d/2 .

(29.84)

f¨ ur y = +d/2 bzw. y = −d/2. Daraus folgt

Abbildung 29.13. Strom- und Feldverteilung in dem Eisenblech

c1 = −c2 =

jωµH0 , (1 + j)β2 cosh β(1 + j)d/2

und es wird B = µH = µH0

cosh β(1 + j)y , cosh β(1 + j)d/2

(29.85)

(29.86)

und nach Gl. (29.40) J =−

sinh β(1 + j)y dH = −β(1 + j)H0 . dy cosh β(1 + j)d/2

(29.87)

F¨ ur den Effektivwert der komplexen Stromdichte Jef f ergibt sich daraus √ √ cosh 2βy − cos 2βy . (29.88) Jef f = |J| = β 2H0 √ cosh βd + cos βd In Abb. 29.13 ist die Verteilung des B-Feldes und der Stromdichte u ¨ ber den Querschnitt des Bleches veranschaulicht. Die magnetischen Feldlinien scheinen nach außen hin zusammengedr¨ angt zu werden. Der ganze durch den Blechstreifen gef¨ uhrte magnetische Fluss ist darstellbar durch den Zeiger 

d/2

bBdy =

Φ= −d/2

d 2µbH0 tanh β(1 + j) , (1 + j)β 2

(29.89)

wobei der komplexe Fluss nicht gesondert bezeichnet wird, da sich im folgenden aus dem Zusammenhang ergibt, ob es sich um den komplexen Fluss handelt oder nicht. Er hat den Scheitelwert

414

29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes

√

 2µbH0 2|Φ| = β

cosh βd − cos βd . cosh βd + cos βd

(29.90)

Daraus erh¨ alt man die mittlere B-Feldst¨ arke durch Division mit dem Querschnitt bd des Bleches; ihr Scheitelwert ist:  1 cosh x − cos x , (29.91) Bm = 2µH0 x cosh x + cos x wobei x = βd

(29.92)

gesetzt ist. F¨ ur die Verluste in dem Volumen V des Bleches ergibt sich, wenn an Stelle von H0 mit Hilfe von Gl. (29.91) die mittlere Induktion Bm in Gl. (29.87) eingef¨ uhrt wird, V

1 σd



d/2

−d/2

J 2 dy =

1 2 3 sinh x − sin x σω 2 d2 Bm V. 24 x cosh x − cos x

(29.93)

Die hier vorkommende Funktion F (x) =

3 sinh x − sin x x cosh x − cos x

(29.94)

ist in Abb. 29.14 dargestellt. Die in einem aus derartigen Blechen zusam-

Abbildung 29.14. Zur Berechnung der Wirbelstromverluste

mengesetzten Eisenkern mit dem VolumenV entstehenden Wirbelstromverluste betragen also 1 2 σω 2 d2 Bm V F (x). (29.95) Pw = 24 F¨ ur kleine Werte von x ist F (x) ≈ 1. Damit ergibt sich die N¨aherungsformel Pw ≈

1 2 σω 2 d2 Bm V. 24

(29.96)

29.1 Wirbelstr¨ ome und Skineffekt

415

Die wachsen im Gebiet niedriger Frequenzen proportional mit dem Quadrat der Frequenz und dem der Blechdicke, so dass man durch Verkleinern der Blechdicke die Wirbelstromverluste erheblich vermindern kann. F¨ ur große Werte von x ist 3 (29.97) F (x) ≈ . x Im Gebiet hoher Frequenzen wachsen also die Verluste bei konstanter BFeldst¨arke wie d ω 3/2 . (29.98) Befindet sich auf dem geschlossenen Eisenkern eine Wicklung mit N Windungen, und betr¨ agt die mittlere Feldlinienl¨ ange l, so gilt nach dem Durchflutungsgesetz IN . (29.99) H0 = l Die in der Wicklung vom magnetischen Fluss φk des ganzen Blechpaketes induzierte Spannung ist dΦk . (29.100) uL = N dt oder unter Einf¨ uhrung der komplexen Gr¨ oßen UL = jωN Φk .

(29.101)

Der Fluss Φk ist durch die Summe der in den einzelnen Blechen gef¨ uhrten Fl¨ usse gegeben. Bezeichnet man daher die H¨ ohe des Eisenblechpaketes mit a, so gilt nach Gl. (29.89) f¨ ur den Fluss Φk =

d 2µabH0 tanh β(1 + j) . (1 + j)βd 2

(29.102)

Damit kann man berechnen, wie groß der Beitrag des Eisenkernes zu dem komplexen Wechselstromwiderstand der Spule ist. Es ergibt sich Z :=

2µabjωN 2 d UL = tanh β(1 + j) . I (1 + j)βld 2

(29.103)

Diese Impedanz ist nat¨ urlich wiederum irrational, so dass die gleichen Hinweise gelten wie zuvor. F¨ ur sehr niedrige Frequenzen folgt daraus Z=

µabN 2 jω = jωL0 , l

(29.104)

wenn mit

µabN 2 . l die Gleichstrominduktivit¨at der Spule eingef¨ uhrt wird. Allgemein wird damit nach Gl. (29.103) L0 :=

(29.105)

416

29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes

Z = L0

d 2jω tanh β(1 + j) . (1 + j)βld 2

(29.106)

Durch Zerlegen in den reellen und imagin¨ aren Teil findet man f¨ ur die Wechselstrominduktivit¨at der Spule L = L0

1 sinh x + sin x x cosh x + cos x

(29.107)

und f¨ ur den Wirbelstromwiderstand der Spule R = ωL0

1 sinh x − sin x . x cosh x + cos x

(29.108)

Die Abb. 29.15 zeigt den Verlauf der beiden Funktionen sinh x + sin x , cosh x + cos x sinh x − sin x . F2 (x) = cosh x + cos x

(29.109)

F1 (x) =

(29.110)

F¨ ur niedrige Frequenzen (x < 0, 5) ergeben sich die N¨aherungsformeln

Abbildung 29.15. Zur Berechnung von Induktivit¨ at und Wirkwiderstand

R ≈ ωL0

1 x2 = σµω 2 d2 L0 ; 6 12

L ≈ L0 .

F¨ ur hohe Frequenzen (x > 4) wird angen¨ ahert  1 4πf ωL0 = L0 . R = ωL = x d σµ

(29.111)

(29.112)

Die Grenze, oberhalb der infolge der Feldverdr¨angung“ eine erhebliche Schw¨a” chung des Feldes auftritt, ist etwa durch x = 1 gegeben. Die dadurch definierte Frequenz bezeichnet man als Grenzfrequenz des Bleches. Es gilt f¨ ur diese Frequenz

29.1 Wirbelstr¨ ome und Skineffekt

 βd = d πfg σµ = 1. also fg =

1 . πσµd2

417

(29.113) (29.114)

Sie l¨ asst sich durch Verkleinern der Blechdicke und durch Wahl eines Materials mit m¨ oglichst geringer Leitf¨ ahigkeit erh¨ ohen. Bei der Grenzfrequenz ist die Induktivit¨ at um etwa 4% kleiner als bei Gleichstrom. Zahlenbeispiel: Eine Drosselspule habe eine Gleichstrominduktivit¨at L0 = 0, 2H; der Kern sei aus besonders dicken Eisenblechen mit d = 0, 2cm zusammengesetzt. Die Leitf¨ ahigkeit des Eisens sei a = 7·104S/cm; die Permeabilit¨at sei µr = 200. Dann ergibt sich   S H f 4 −8 = 0, 149 . (29.115) x = 0, 2cm πf · z · 10 · 200 · 1, 257 · 10 cm cm Hz Die Grenzfrequenz des Bleches ist fg = 45Hz. Die N¨aherungsformeln f¨ ur hohe

Abbildung 29.16. Induktivit¨ at und Wirbelstromwiderstand einer Drosselspule mit Eisenblechkern

Frequenzen gelten also etwa oberhalb f = 200Hz. Hier nimmt die Induktivit¨at umgekehrt proportional mit der Wurzel aus der Frequenz ab, w¨ahrend der Wirbelstromwiderstand im gleichen Maße zunimmt. In Abb. 29.16 sind die Gr¨ oßen R und L in Abh¨ angigkeit von der Frequenz f dargestellt. 29.1.5 Abschirmung von Hochfrequenzfeldern Wird in ein magnetisches Wechselfeld ein Metallblech gebracht, so entstehen in dem Blech Wirbelstr¨ ome, die dem erzeugenden Feld entgegenwirken. Man kann daher mit Hilfe von Metallblechen magnetische Wechselfelder abschirmen, z. B. die Streufelder einer Drosselspule dadurch, dass man die Spule in ein Blechgeh¨ ause einschließt. F¨ ur solche elektromagnetischen Schirme gelten die gleichen Gesetze wie sie hier betrachtet wurden. Die Wirbelstromverluste

418

29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes

Abbildung 29.17. Grenzfrequenz verschiedener Eisenbleche

werden von dem Stromkreis gedeckt, der das magnetische Feld erzeugt. Besonders einfach liegt der Fall, wenn die Eindringtiefe so klein ist, dass nur ein kleiner Bruchteil des Feldes durch die Blechh¨ ulle hindurchgelangt. Dann wird das magnetische Feld innerhalb des Schirmes gef¨ uhrt wie eine Fl¨ ussigkeitsstr¨ omung in einem Gef¨ aß, so dass die magnetische H-Feldst¨arke H0 an der Blechoberfl¨ ache nach Abschnitt 21.5 leicht berechnet werden kann; f¨ ur den Zeiger der Stromdichte folgt aus Gl. (29.45) und (29.53), wenn man den Zeiger der magnetischen Feldst¨ arke als Bezugsgr¨oße durch den Effektivwert H0 ersetzt, (29.116) J = β(1 + j) H0 e−β(1+j)y . √ Dabei ist β = πf σµ und y der Abstand des betrachteten Punktes im Blech von der Blechoberfl¨ ache. F¨ ur die in dem Fl¨ achenelement dA des Bleches in W¨ arme umgesetzte Verlustleistung ergibt sich   πf µ dA ∞ 2 dA. (29.117) |J| dy = h20 dPw = σ 0 µ Die Gesamtverluste ergeben sich durch Summieren u ¨ ber die gesamte Oberfl¨ ache der Schirmh¨ ulle. Die ist um so besser, je gr¨ oßer β ist. Große Leitf¨ahigkeit ergibt daher eine gute Schirmwirkung und ist hinsichtlich der Verluste g¨ unstig, w¨ahrend hohe Permeabilit¨at zwar f¨ ur die Schirmwirkung vorteilhaft ist, aber zu gr¨oßeren Verlusten f¨ uhrt (siehe Abschnitt 34). Um eine m¨oglichst gute Schirmwirkung zu bekommen, verwendet man Doppelgeh¨ause, die innen aus Kupfer oder Aluminium, außen aus Eisenblech bestehen. Das Kupferblech setzt die Feldst¨ arke so weit herab, dass im Eisen keine erheblichen Verluste mehr entstehen k¨ onnen, w¨ ahrend das Eisenblech das restliche Feld abschirmt.

29.1 Wirbelstr¨ ome und Skineffekt

419

29.1.6 Triebstr¨ ome eines Wechselstromz¨ ahlers In manchen F¨ allen kann man die Wirbelstr¨ omung angen¨ahert berechnen, wenn man die R¨ uckwirkung der Wirbelstr¨ ome auf das erzeugte Feld vernachl¨assigt; das ist allgemein bei sehr niedrigen Frequenzen zul¨assig. Als Beispiel werde die Str¨ omung in der Triebscheibe eines Wechselstromz¨ahlers betrachtet. Wir machen dabei die vereinfachende Annahme, dass der magnetische Induktionsfluss in Form eines zylindrischen B¨ undels mit dem gegen den Radius r0 der Triebscheibe kleinen Radius rk durch die Triebscheibe hindurch geht, Abb. 29.18. In den außerhalb des Feldlinienb¨ undels liegenden Teilen der Blechscheibe gilt f¨ ur jeden geschlossenen Weg, der mit dem Kraftlinienb¨ undel nicht verkettet ist,

Abbildung 29.18. Triebstr¨ ome eines Induktionsz¨ ahlers

 E · ds = 0,

(29.118)

d. h. das elektrische Feld und damit das Str¨ omungsfeld sind wirbelfrei. Es kann daher das E-Feld aus einem skalaren Potenzial ϕ abgeleitet werden, f¨ ur das die Potenzialgleichung (14.15) gilt wie in einem station¨aren Str¨omungsfeld. Da die Str¨ omung am Rand der Blechscheibe tangential verlaufen muss, so ist der Rand der Scheibe eine Stromlinie. Ferner m¨ ussen die das Feldlinienb¨ undel unmittelbar umgebenden Stromlinien aus Symmetriegr¨ unden konzentrische Kreise sein. Es ergibt sich also ein Stromlinienbild, das dem Bild der Potenziallinien des elektrischen Feldes zwischen zwei geraden parallelen Leitern entspricht, Abb. 10.14. Der Abstand des zweiten Leiters, B in Abb. 29.18, vom Mittelpunkt der Scheibe ist a=

r02 . b

(29.119)

Die Potenziallinien des Wirbelstromfeldes sind Kreise, die die Strecke AB als Sehne haben. Das Potenzial ist also in irgendeinem Punkt P ϕ = c(α2 − α1 ).

(29.120)

Die Konstante c wird aus dem Induktionsgesetz bestimmt, nach dem die Umlaufspannung um den Punkte gleich der Abnahmegeschwindigkeit des Flusses

420

29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes

ist. Geht man einmal um den Punkt A herum, so w¨achst α1 von Null auf 2π, w¨ahrend α2 auf seinen Anfangswert zur¨ uckkommt. Es gilt daher, wenn mit ω die Kreisfrequenz des Wechselflusses in A bezeichnet wird, mit Φ der Zeiger vom Betrag des Effektivwertes, −c2π = −jΦ;

(29.121)

also wird der Zeiger des wechselnden Potenzials ϕ=

jωΦ (α2 − α1 ). 2π

(29.122)

F¨ ur Punkte innerhalb des von Feldlinien durchsetzten Teiles der Scheibe gilt f¨ ur die elektrische Feldst¨ arke nach dem Induktionsgesetz  r2 (29.123) E · ds = E2πr = −jωΦ 2 . rk Damit ist das Feld in jedem Punkt der Scheibe bekannt. Es ist jedoch zu beachten, dass dieses Resultat nur gilt, wenn das durch die Wirbelstr¨ome erzeugte magnetische Feld vernachl¨ assigbar klein ist gegen das durch den Fluss Φ gegebene urspr¨ ungliche Feld.

29.2 Ummagnetisierungsverluste bei ferromagnetischen Werkstoffen Bei ferromagnetischen Stoffen entstehen im magnetischen Wechselfeld neben den Wirbelstromverlusten noch Verluste infolge der Hysterese. Ein Teil der Energie, die zur Verschiebung der Blochw¨ ande und f¨ ur das Umklappen der Molekularmagnete erforderlich ist, erh¨ oht den W¨armeinhalt des Magnetstoffes. Die Hystereseverluste k¨ onnen aus der Hystereseschleife berechnet werden. Entsprechende systematische Rechnungen wurden erstmals von Steinmetz ausgef¨ uhrt; vgl. Steinmetz [210]. Nach Abschnitt 23 wird bei der Magnetisierung eines Stoffes Energie aufgenommen mit der Dichte  B H dB. (29.124) w= 0

Im magnetischen Wechselfeld pendelt die magnetische Erregung zwischen zwei Grenzen ±Hm , Abb. 29.19. Das Integral (29.124) stellt in irgendeinem Zeitpunkt die in Abb. 33.1 schraffierte Fl¨ ache abcd dar, wenn mit der Berechnung im Punkt a begonnen wird. W¨ ahrend einer Periode durchl¨auft der Punkt ¨ b die ganze Hystereseschleife. W¨ urden die beiden Aste der Hystereseschleife zusammenfallen, dann w¨ are die in der einen halben Periode vom Eisen aufgenommene Energie genau so groß wie die w¨ ahrend der zweiten Halbperiode

29.2 Ummagnetisierungsverluste bei ferromagnetischen Werkstoffen

421

Abbildung 29.19. Berechnung Hystereseverluste

abgegebene. Da dies nicht der Fall ist, so bleibt bei einem vollen Umlauf eine Differenz zwischen aufgenommener und abgegebener Energie, die durch die von der Hystereseschleife berandete Fl¨ ache dargestellt wird. Diese Differenz ist die Arbeit, die w¨ ahrend einer Periode im Eisen in W¨arme umgewandelt wird. Bezeichnet man diese aus der Hystereseschleife zu berechnende Arbeit mit wh und die Frequenz des Wechselstroms mit f , so ist also die r¨aumliche Dichte der Hystereseverlustleistung f wh . Hat der Eisenkern das Gesamtvolumen V , so wird die Hystereseverlustleistung Ph = V f wh .

(29.125)

Man bezieht diese Leistung meist auf das Gewicht, da sie proportional dem Volumen ist. F¨ ur jedes Material ist wh eine bestimmte Funktion des Scheitelwertes der B-Feldst¨ arke Bm . Daher sind auch die auf die Gewichtseinheit bezogenen Hystereseverluste eine Funktion von Bm ; sie sind ferner proportional der Frequenz. Infolge der Kr¨ ummung der Magnetisierungskurve entsteht bei sinusf¨ormigem zeitlichen Verlauf des magnetischen Flusses und damit der induzierten Quellenspannung ein nichtsinusf¨ ormiger Strom, wie dies durch Abb. 29.20 veranschaulicht ist.

Abbildung 29.20. Verzerrung der Stromkurve

422

29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes

Man kann eine nicht sinusf¨ ormige periodische Stromkurve nach Fourier in eine Reihe von harmonischen Sinusstr¨ omen zerlegen: (siehe z. B. Marko [146]) √ √ √ i = I1 2 sin(ωt + ϕ1 ) + I2 2 sin(ωt + ϕ2 ) + I3 2 sin(ωt + ϕ3 ) + · · · , (29.126) wobei I1 , I2 , . . . , In usw. die Effektivwerte der Teilstr¨ome bezeichnen, ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn usw. Phasenwinkel. Diese Gr¨ oßen k¨ onnen aus dem vorgegebenen Verlauf von i(t) berechnet werden mit Hilfe der Formeln  √ ω 2π/ω i sin nωtdt; In 2 cos ϕn = π 0  √ ω 2π/ω i cos nωtdt. In 2 sin ϕn = π 0

(29.127) (29.128)

F¨ ur den Effektivwert des zusammengesetzten Wechselstromes gilt ferner  (29.129) I = I12 + I22 + I32 + · · ·. Zerlegt man nun im vorliegenden Fall den Strom i in die Grundschwin-

Abbildung 29.21. Zerlegung der Stromkurve bei Hysterese

gung i1 und den Rest id , Abb. 29.21, so findet man, dass die Grundschwingung eine Phasenverschiebung α gegen den Fluss aufweist, und zwar eilt die Grundschwingung des Stromes dem Fluss um diesen Winkel α voraus. Zeigerdiagramme gelten nur f¨ ur sinusf¨ ormig ver¨ anderliche Gr¨oßen. Um zu einer angen¨ aherten Darstellung der Verh¨ altnisse in einem Zeigerdiagramm zu kommen, kann man sich den wirklichen Strom i(t) denken durch einen Sinusstrom, der 1. den gleichen Effektivwert I hat wie der wirkliche Strom, 2. die gleiche Frequenz wie die Grundschwingung des wirklichen Stromes, und der

29.2 Ummagnetisierungsverluste bei ferromagnetischen Werkstoffen

423

3. die gleichen Verluste bei gleicher Spannung ergeben w¨ urde wie der wirkliche Strom. Um die letzte Forderung zu erf¨ ullen, denke man sich zun¨achst den Leiterwiderstand R der Spule nach außerhalb verlegt. Dann ist die Spannung an der Spule gleich der Selbstinduktionsspannung UL . Die Hystereseverluste sind nun bestimmt durch die in Phase mit dieser Spannung liegende Komponente Ih des Ersatzstromes, Abb. 29.22. Diese Komponente ist daher

Abbildung 29.22. Zeigerdiagramm einer Spule mit Eisenkern

Ih =

Ph UL

(29.130)

Auch die Wirbelstromverluste im Eisenkern haben eine in Phase mit UL liegende Komponente des Stromes und damit eine Vergr¨oßerung des Winkels δ zwischen Strom und Fluss zur Folge. Man bestimmt daher aus der Summe der Wirbelstrom- und Hystereseverluste Pv einen Wirkstrom Iv =

Pv , UL

(29.131)

der als maßgebend f¨ ur die Phasenvoreilung des Stromes I gegen Φ angesehen wird und an die Stelle von Ih in Abb. 29.22 tritt. Damit kann das Dreieck der Stromzeiger gezeichnet werden und es gilt sin δ =

Iv . I

(29.132)

Der Winkel δ, um den der Ersatzstrom dem Fluss Φ voreilt, wird damit etwas verschieden von dem Winkel α zwischen den Grundschwingungen. Nunmehr kann auch der ohmsche Spannungsabfall IR in der Spule, der in Phase mit dem Strom I liegt, ber¨ ucksichtigt werden wie es Abb. 29.22 zeigt. Da die Wirbelstromverluste bei den in der Starkstromtechnik in Betracht kommenden niedrigen Frequenzen nach dem vorigen Abschnitt ungef¨ahr proportional mit dem Quadrat der Frequenz wachsen, die Hystereseverluste dagegen nur proportional, so lassen sich die Gesamtverluste Pv leicht in diese

424

29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes

beiden Werte zerlegen. F¨ ur kohlenstoffarmes Eisenblech von 0, 35mm Dicke ergeben sich z.B. bei 50Hz folgende Hysterese- und Wirbelstromverluste f¨ ur die maximale B-Feldst¨ arke Bm Bm = 1, 0T : Ph = 2, 2W/kg, Pw = 1, 2W/kg, Bm = 1, 5T : Ph = 6, 3W/kg, Pw = 2, 3W/kg.

(29.133) (29.134)

Durch Legieren mit Silizium lassen sich Wirbelstrom- und Hystereseverluste herabsetzen. Mit 4% Siliziumgehalt kann man die Gesamtverluste Ph + Pw = Pv auf etwa 0, 9W/kg herabsetzen. Bei geringer magnetischer Aussteuerung, wie sie vielfach in der Nachrichtentechnik vorliegt, teilt man die Ummagnetisierungsverluste in drei Teile: a) Hystereseverluste. Sie sind, wie oben festgestellt, proportional der Frequenz f , dem Eisenvolumen V und der von der Hystereseschleife eingeschlossenen Fl¨ ache. Es zeigt sich, dass bei kleinen Flussdichten diese Fl¨ache ungef¨ahr uhrt daher, proportional der dritten Potenz der H-Feldst¨arke Hm ist. Dies r¨ dass hier die Hystereseschleife in vielen F¨ allen angen¨ahert durch zwei Parabel¨ aste dargestellt werden kann, Abb. 29.23. F¨ ur den aufsteigenden Ast kann man dann setzen

Abbildung 29.23. Hystereseverluste bei kleinen Feldst¨ arken

B  = µα H  + νH 2 ,

(29.135)

wobei µα die Anfangspermeabilit¨ at, ν eine andere Materialkonstante bezeichnet. Diese Beziehung bildet den Anfang einer Potenzreihe; sie gilt auch f¨ ur den absteigenden Ast, wenn man sie auf den anderen Eckpunkt der Schleife anwendet. Die in Abb. 29.23 schraffierte Fl¨ ache wird  2Hm 8 3 2 . (29.136) B  dH  = 2µα Hm + νHm 3 0 Die ganze Rechteckfl¨ ache ist 2Bm · 2Hm .

(29.137)

29.2 Ummagnetisierungsverluste bei ferromagnetischen Werkstoffen

425

Nun gilt aber nach Gl. (29.135) 2 . 2Bm = 2µα Hm + 4νHm

(29.138)

Also ist die Rechteckfl¨ ache 2 2 + 8µHm . 4µα Hm

(29.139)

F¨ ur die Fl¨ ache der ergibt sich damit wh =

8 νH 3 , 3 m

(29.140)

und es folgt f¨ ur die Hystereseverluste mit Gl. (29.125) Ph =

8 3 νf V Hm . 3

(29.141)

Man definiert den Rh einer Spule durch die Beziehung Ph = I 2 Rh .

(29.142)

F¨ ur diesen Widerstand gilt dann der Ansatz Rh = k1 If,

(29.143)

in dem k1 f¨ ur die betreffende Spule eine Konstante bezeichnet. b) Die Wirbelstromverluste. Die Wirbelstromverluste sind im allge2 und f 2 . meinen bei den in Betracht kommenden Frequenzen proportional Bm Kann man die Permeabilit¨ at bei den vorkommenden Stromst¨arken als nahezu konstant ansehen, so kann man unter Einf¨ uhrung des Wirbelstromwiderstanur diese Verluste schreiben des Rm f¨

wobei also

Pw = I 2 Rw = k2 I 2 f 2 ,

(29.144)

Rw = k2 f 2 .

(29.145)

c) Die Nachwirkungsverluste. Es zeigt sich, dass die gesamten Verluste noch einen Rest enthalten, der proportional der Frequenz ist wie der Hystereseverlust, aber proportional dem Quadrat der Stromst¨arke wie der Wirbelstromverlust. Man f¨ uhrt diesen Rest auf Diffusionsvorg¨ange im Kristallgitter und andere Nachwirkungserscheinungen zur¨ uck. F¨ ur den entsprechenden Widerstand, den man als Nachwirkungswiderstand bezeichnet, gilt der Ansatz Rn = k3 f.

(29.146)

Die Summe der drei damit eingef¨ uhrten Widerst¨ande stellt den Verlustwiderstand dar: (29.147) Rv = k1 If + k2 f 2 + k3 f,

426

29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes

er bildet die Differenz aus dem Wirkwiderstand R der Spule und dem Gleichstromwiderstand R0 : Rv = R − R0 . (29.148) Zur Bestimmung der Verluste bei kleinen Feldst¨arken wird eine Ringspule mit einem Kern aus dem betreffenden Material hergestellt und der Verlustucke gemessen. Die Abb. 29.24 widerstand Rv in einer Wechselstrommessbr¨ zeigt die einfachste (wenn auch nicht praktisch zweckm¨aßigste) Form einer solchen Messbr¨ ucke. Der Wechselstromgenerator S liefert den Wechselstrom mit der Frequenz f . Durch Ver¨ andern des Messwiderstandes R2 und der Messinduktivit¨ at (Induktionsvariometer) L kann der Ton im Fernh¨orer F (oder anderes Nullinstrument) zum Verschwinden gebracht werden. Dann gilt, da die Potenzialdifferenz zwischen a und b durch die beiden Anschlusspunkte des Fernh¨ orers halbiert wird,

Abbildung 29.24. Messung der Verluste bei kleinen Feldst¨ arken

Lx = L,

Rx = R2 .

(29.149)

Die Flussdichte im Eisenkern der Spule kann aus der Spannung U berechnet werden, die halb so groß ist wie die vom Voltmeter angezeigte Spannung. Die Stromst¨ arke in der Spule ist betragsm¨ aßig U . I=  2 Rx + (2πf Lx )2 Damit kann die Selbstinduktionsspannung  UL = U 2 − (IRx )2 I2πf Lx

(29.150)

(29.151)

berechnet werden. Nach dem Induktionsgesetz ist der Scheitelwert der BFeldst¨ arke bei sinusf¨ ormigem Verlauf der Spannung Bm =

UL 4, 44AN f

(29.152)

wobei mit A der Kernquerschnitt, mit N die Windungszahl der Spule bezeichnet ist. Der Scheitelwert der H-Feldst¨ arke ist

29.2 Ummagnetisierungsverluste bei ferromagnetischen Werkstoffen

Hm

√ I 2N , = l

427

(29.153)

wenn l die mittlere Feldlinienl¨ ange bezeichnet, und es ergibt sich die des Kernes l Bm = Lx . (29.154) µ= Hm AN 2 Die gesamten Eisenverluste betragen Pv = I 2 (Rx − R0 ) = I 2 Rv .

(29.155)

Man zerlegt den Verlustwiderstand Rv in seine drei Bestandteile, indem man

Abbildung 29.25. Trennung der Verlustanteile

Messungen bei verschiedenen Stromst¨ arken und verschiedenen Frequenzen ur bestimmte Stromst¨arken in Abh¨angigkeit ausf¨ uhrt. Die Gr¨oße Rv /f wird f¨ von der Frequenz aufgetragen, Abb. 29.25. Mit den durch die Messpunkte gelegten geraden Linien ergeben sich die Abschnitte r1 und r2 auf der Ordinatenachse. Diese liefern, in Abh¨ angigkeit von I aufgetragen, eine gerade Linie, Abb. 29.26, deren Schnitt mit der r-Achse den Wert k3 ergibt. Dann kann ferner r − k3 (29.156) k1 = I berechnet werden und aus Gl. (29.147) k2 =

Rv − k1 If − k3 f . f2

(29.157)

Eine nur vom Material abh¨ angige Angabe f¨ ur die Verluste erh¨alt man, wenn man sie auf das Gewicht bezieht. Die Induktivit¨ at einer Spule w¨ achst bei kleinen Stromst¨arken etwas mit dem Strom an. Nach Gl. (29.138) gilt f¨ ur die Permeabilit¨at µ=

Bm = µα + 2νHm . Hm

(29.158)

428

29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes

Abbildung 29.26. Zur Berechnung der Verlustanteile

Man kann also bei kleinen Stromst¨ arken eine Spule mit Eisenkern darstellen durch die Reihenschaltung aus einer Induktivit¨at, die mit der Stromst¨arke linear anw¨ achst, und einem Widerstand, der einen konstanten Anteil R0 enth¨alt und einen Anteil Rv , der mit Frequenz und Stromst¨arke zunimmt. In der komplexen Wechselstromrechnung (siehe Abschnitt 4.3) k¨onnen die Ummagnetisierungsverluste einer Spule entweder durch einen Widerstand in Reihe mit der Spule oder durch einen Parallelwiderstand dargestellt werden. Eine andere Darstellung geht davon aus, dass infolge der Verluste der Strom dem Feld um einen Winkel δ voreilt, Abb. 29.22. Es ist also IL = Φg ejδ

(29.159)

ILe−jδ = Φg .

(29.160)

Die Eisenverluste k¨ onnen daher auch durch die Einf¨ uhrung einer komplexen Induktivit¨at (29.161) Lkompl := Le−jδ . ber¨ ucksichtigt werden. Eine weitere vielfach ben¨ utzte M¨ oglichkeit besteht schließlich darin, dass man f¨ ur die Permeabilit¨ at eine komplexe Gr¨ oße einf¨ uhrt, die komplexe Permeabilit¨at (29.162) µ := µ − jµ . ur die Induktivit¨at, der ImaDer Realteil µ ist im wesentlichen maßgebend f¨ ur die Verluste. Es gilt gin¨ arteil µ f¨ tan δ =

µ . µ

(29.163)

29.3 Der Transformator 29.3.1 Allgemeine Beziehungen Eingangs- und Ausgangswicklung des Transformators (Prim¨ar- und Sekund¨arwicklung) befinden sich meist auf einem geschlossenen Kern (Eisenblechpaket,

29.3 Der Transformator

429

Eisenpulverkern, Bandwickelkern oder Ferritkern). Der Kern sorgt daf¨ ur, dass m¨oglichst der ganze in der einen Wicklung erzeugte Fluss auch durch die andere Wicklung hindurchgef¨ uhrt wird, dass also die Streuung gering ist, und dass zur Herstellung des f¨ ur die Energie¨ ubertragung notwendigen Flusses ein m¨ oglichst geringer Magnetisierungsstrom erforderlich wird. Das Schaltbild des Transformators ist in Abb. 5.12 dargestellt. Neben den Z¨ahlpfeilen f¨ ur die Str¨ ome muss hier auch der Wicklungssinn der beiden Wicklungen ber¨ ucksichtigt werden. Er wird zweckm¨ aßig durch einen Punkt am einen Ende der Wicklung markiert, wie in Abb. 5.12. Dadurch soll festgelegt werden, dass beim Durchlaufen der Wicklungen von dem Punkt aus der gemeinsame Kern in gleichem Sinn umkreist wird. In Abb. 5.12 umkreisen also die Z¨ahlrichtungen der Str¨ ome in den beiden Wicklungen den Kern gleichsinnig. Ist der Eisenkern verzweigt, dann m¨ ussen die Punkte f¨ ur je 2 Wicklungen getrennt festgelegt werden, da sich der Magnetfluss jeder einzelnen Wicklung in verschiedener Weise verzweigt.

Abbildung 29.27. Schema eines Transformators, Windungszahlen N1 und N2

Bei der folgenden N¨ aherungsbetrachtung seien nun zun¨achst die Verluste in den Wicklungen und im Eisenkern sowie die Streuung vernachl¨assigt. Die Windungszahlen der Prim¨ ar- und der Sekund¨ arwicklung seien N1 und N2 . Am Eingang 1 2 erzeuge eine Quelle die Wechselspannung U1 mit dem Effektivwert U1 . Bei Leerlauf der Ausgangsklemmen 3 4 stellt sich nach dem Induktionsgesetz in jedem Zeitpunkt ein solcher magnetischer Fluss ein, dass die Selbstinduktionsspannung gerade gleich der Eingangsspannung u1 ist ( Spannungs” gleichgewicht“). Daraus folgt f¨ ur den Scheitelwert Φ1 des Flusses Φ1 =

U1 . 4, 44N1 f

(29.164)

Bei sinusf¨ ormigem Verlauf der Prim¨ arspannung verl¨auft auch der Fluss sinusf¨ ormig. In dem Zeigerdiagramm Abb. 29.28 eilt der Fluss Φ1 der Spannung U1 um genau 90◦ nach. Der dazugeh¨ orige Leerlaufstrom in der Prim¨arwicklung ergibt sich nach Abb. 29.20 aus der und verl¨auft daher nicht sinusf¨ormig; sein Effektivwert sei I0 . Der komplexe Leerlaufstrom oder Magnetisierungs”

430

29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes

Abbildung 29.28. Zeigerdiagramm des verlust- und streuungsfreien Transformators

trom“ I0 liegt bei Vernachl¨ assigung der Hysterese-und Wirbelstromverluste in Phase mit Φ1 und eilt daher der Spannung U1 ebenfalls um 90◦ nach. Wegen der vernachl¨ assigten Streuung ist der Fluss Φ1 auch vollst¨andig mit der Ausgangswicklung verkettet und erzeugt dort die komplexe Spannung U2 mit dem Effektivwert U2 = 4, 44N2f Φ1 . (29.165) Infolge der durch die Punkte gekennzeichneten Festlegung u ¨ ber den Wickuhrung lungssinn der Wicklungen liegt U2 in Phase mit U1 ; so dass unter Einf¨ der Wicklungs¨ ubersetzung N1 (29.166) u ¨= N2 f¨ ur die komplexen Spannungen gilt U2 =

1 U1 . u ¨

(29.167)

Wird nun der Ausgang mit dem komplexen Widerstand Z2 belastet, so entsteht der Sekund¨arstrom U2 1 . (29.168) I2 = − Z2 Das Minuszeichen ist durch die in Abb. 29.27 entgegen der Bezugsrichtung der Spannung u2 festgelegte Bezugsrichtung des Stromes i2 bedingt. Im Zeigerdiagramm Abb. 29.28 erscheint daher I2 um 180◦ gegen¨ uber der bei Verbraucherwiderst¨anden u ¨blichen Darstellung gedreht. Der Strom I2 durchfließt die Ausgangswicklung und erzeugt eine Durchflutung N2 I2 des magnetischen Kreises. Da das Spannungsgleichgewicht auf der Eingangsseite erhalten bleiben muss, muss auch der Fluss Φ1 die gleiche Gr¨oße behalten. Seine Durchflutung wird durch I0 gedeckt; daher muss auf der Eingangsseite zus¨atzlich ein Strom entstehen, der die sekund¨ are Durchflutung gerade kompensiert. Wir

29.3 Der Transformator

431

nennen diesen Strom den prim¨aren Zusatzstrom I1z ; er hat also die entgegengesetzte Richtung wie I2 , und sein Effektivwert ergibt sich aus N1 I1z = N2 I2 .

(29.169)

Infolge des gleichen Flusses bleibt auch die Sekund¨arspannung U2 die gleiche. Mit Gl. (29.167) und (29.168) folgt I1z = −

U1 N2 I2 = 2 . N1 u ¨ Z2

(29.170)

Der prim¨ are Zusatzstrom kann demnach dargestellt werden als Strom in einem Widerstand u ¨Z2 , an dem die Prim¨ arspannung liegt. Der gesamte Prim¨arstrom wird

Abbildung 29.29. Ersatzbild des verlust- und streuungsfreien Transformators

Daraus ergibt sich das in Abb. 29.29 dargestellte Ersatzbild. Der Magnetisierungsstrom I0 wird durch geeignete Bemessung des Eisenkerns immer klein gegen den Betriebsstrom gehalten. Der ideale Transforma¨ tor ( idealer Ubertrager“) entsteht, wenn I0 gegen I1z vernachl¨assigbar klein ” ist. Daher gelten f¨ ur den idealen Transformator die Gleichungen U2 =

1 U1 , u ¨

I2 = −¨ uI1 .

(29.171)

¨ Der Eingangswiderstand des idealen Ubertragers ist gleich dem mit dem Qua¨ drat der Ubersetzung multiplizierten Lastwiderstand. Diese Eigenschaft wird ¨ in der Nachrichtentechnik zur Leistungsanpassung ben¨ utzt, indem die Ubersetzung so gew¨ ahlt wird, dass der u ¨bersetzte Widerstand gleich dem Innenwiderstand der Quelle auf der Prim¨ arseite ist. 29.3.2 Streuungs-Ersatzbild Das Ersatzbild Abb. 29.29 kann leicht durch die Ber¨ ucksichtigung der Verluste und der Streuung vervollst¨ andigt werden. Die Wirkwiderst¨ande R1 und R2 der beiden Wicklungen k¨ onnen nach außerhalb gelegt werden, da sie nur

432

29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes

jeweils von einem der beiden Str¨ ome I1 und I2 durchflossen werden. Ebenso wirken mit je einer Wicklung verkn¨ upften Feldlinien der magnetischen Streufl¨ usse wie Induktivit¨ aten Lσl und Lσ2 in Reihe mit den beiden Wicklungen. Daraus ergibt sich das Streuungs-Ersatzbild Abb. 29.30 des Transformators. Die sekund¨ are Streuinduktivit¨ at und der sekund¨are Widerstand arseite. Der prim¨are Zusatzstrom erscheinen mit u ¨2 multipliziert auf der Prim¨ ist I1z = I2 = I2 /¨ u, und die am Lastwiderstand wirkende Sekund¨arspannung U2 ist als U2 = u ¨U2 auf der Prim¨ arseite eingetragen.

Abbildung 29.30. Streuungs-Ersatzbild des Transformators

Da die Streufl¨ usse ihren magnetischen Widerstand in der Hauptsache in der Luft und magnetisch neutralen Stoffen haben, sind die Streuinduktivit¨aten praktisch unabh¨angig von der Stromst¨ arke und relativ klein; ihre Summe Lσ = Lσ1 + u ¨2 Lσ2

(29.172)

kann daher n¨ aherungsweise durch Messung des Eingangswiderstandes bei kurzgeschlossenem Ausgang bestimmt werden; diese Messung liefert auch die Kupferverluste“ I12 (R1 + u¨2 R2 ). ” Die prim¨are Hauptinduktivit¨at“ Lh1 dagegen h¨angt wegen der Kr¨ ummung ” der Magnetisierungskurve von der Betriebsspannung ab; sie ist definiert durch Lh1 =

U N1 Φ1 √ ≈ 1, ωI0 I0 2

(29.173)

und kann daher n¨ aherungsweise bei Leerlauf des Ausganges gemessen werden. Die Ummagnetisierungsverluste im Eisenkern k¨onnen auf Grund von Abb. 29.22 durch einen ohmschen Widerstand parallel Lh1 ber¨ ucksichtigt werden, und daher ebenfalls bei Leerlauf gemessen werden. 29.3.3 Die Streuung Bei Transformatoren mit Eisenkern sind die magnetischen Streufl¨ usse klein gegen den magnetischen Hauptfluss im Eisenkern. Wegen der r¨aumlichen Ausdehnung der Wicklungsquerschnitte k¨ onnen jedoch die einzelnen Windungen

29.3 Der Transformator

433

mit verschieden großen Magnetfl¨ ussen verkettet sein. Dies soll im folgenden n¨aher betrachtet werden. Der bei offener Sekund¨ arwicklung durch den Prim¨arstrom erzeugte mit dem Prim¨ arkreis verkettete magnetische Fluss sei Φg1 . Mit der Wicklung 2 ist dabei ein bestimmter Fluss Φg12 verkettet. Man denkt sich nun die beiundelfl¨ usse Φg1 und Φg12 von solcher Gr¨oße den Fl¨ usse Φg1 und Φg12 durch B¨ ersetzt, dass sie in den beiden Wicklungen die gleichen Gesamtfl¨ usse ergeben w¨ urden Φg12 Φg1 , Φ12 = (29.174) Φ1 = N1 N2 Wenn keine Feldlinien außerhalb des Kernes verlaufen w¨ urden, dann w¨ urden diese beiden B¨ undelfl¨ usse einander gleich sein und identisch mit dem in Wirklichkeit in dem Eisenkern des Transformators vorhandenen Induktionsfluss. Infolge der Streufeldlinien sind die beiden B¨ undelfl¨ usse etwas verschieden von dem Induktionsfluss im Eisenkern; sie sind als Rechengr¨oßen zu betrachten. Ihre Differenz bezeichnet man als den prim¨aren Streufluss Φσ1 = Φ1 − Φ12 .

(29.175)

Negative Werte dieses Flusses zeigen an, dass die Verkettung der Feldlinien mit der Sekund¨ arwicklung vollst¨ andiger ist als mit der Prim¨arwicklung. Mit Hilfe der so eingef¨ uhrten Fl¨ usse definiert man nun die prim¨are Streuinduktivit¨at Lσ1 =

N1 Φσ1 . i1

(29.176)

¨ Durch eine entsprechende Uberlegung ergibt sich f¨ ur die sekund¨are Streuinduktivit¨at N2 Φσ2 . (29.177) Lσ2 = i2

Beispiel: Berechnung der Streuung eines Transformators. Auf dem Schenkel eines Transformators, Abb. 29.31, befinde sich eine Prim¨arwicklung I mit der arwicklung II mit der H¨ohe h2 ; die durch einen Spalt H¨ohe h1 und eine Sekund¨ von der Breite s getrennt sind. Fließt bei stromloser Sekund¨arwicklung in der Prim¨ arwicklung der Strom i1 , so entsteht neben dem Hauptfluss Φh mit den Feldlinien 1 ein Luftfeld mit Feldlinien 2, w¨ ahrend Feldlinien von der Form 3 nicht auftreten k¨ onnen, da ihre Durchflutung 0 w¨are. Die St¨arke des Luftfeldes kann dadurch abgesch¨ atzt werden, dass der magnetische Widerstand im Eisen gegen den im Luftraum vernachl¨ assigt wird. Das Linienintegral der magnetischen Feldst¨ arke f¨ ur eine Feldlinie 2 ist dann Hl, wobei l die mittlere Feldlinienl¨ ange in der Luft bedeutet. Die Durchflutung der Feldlinie 2 ergibt sich aus dem verketteten Bruchteil (x/h1 )N1 der Windungszahl N1 der Prim¨ arwicklung: x (29.178) Hl = i1 N1 . h1

434

29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes

Abbildung 29.31. Zur Berechnung der Streuung eines Transformators

Die Feldst¨ arke nimmt von H = 0 f¨ ur x = 0 linear auf den Wert i1 N1 /l auf der Innenseite der Wicklung zu. Der magnetische Fluss, der sich aus Feldlinien der Form 2 zusammensetzt, ergibt sich durch Integration der B-Feldst¨arke µ0 H u ormigen Fl¨ achenelemente mit der Breite dx und der mittleren ¨ ber die ringf¨ Windungsl¨ ange l1 der Wicklung I:  h1 l1 1 (29.179) Bl1 dx = µ0 i1 N1 h1 . 2 l 0 Dieser Fluss ist ebenso wie der im Eisen gef¨ uhrte Hauptfluss Φh , ganz mit arwicklung verkettet. Daher ist der mit der den N2 Windungen der Sekund¨ Sekund¨ arwicklung verkettete Gesamtfluss: l1 1 Φg12 = N2 Φh + µ0 i1 N1 N2 h1 . 2 l

(29.180)

Die Feldlinien 2 sind dagegen jeweils nur mit dem Bruchteil (x/h1 )N1 der prim¨ aren Windungszahl verkettet. Daher ist der prim¨are Gesamtfluss  h1 x (29.181) Φg1 = N1 Φh + Bl1 N1 dx h 1 0 oder

1 l1 Φg1 = N1 Φh + µ0 i1 N12 h1 . 3 l Daraus folgt nach Gl. (29.174) l1 1 Φ1 = Φh + µ0 i1 N1 h1 , 3 l

(29.182)

(29.183)

und

l1 1 Φ12 = Φh + µ0 i1 N1 h1 , 2 l sowie nach Gl. (29.175) der prim¨ are Streufluss l1 1 Φσ1 = − µ0 i1 N1 h1 . 6 l

(29.184)

(29.185)

29.3 Der Transformator

435

Die prim¨are Streuinduktivit¨at wird nach Gl. (29.176) l1 1 Lσ1 = − µ0 N12 h1 . 6 l

(29.186)

Fließt andrerseits bei stromloser Prim¨ arwicklung durch die Sekund¨arwicklung der Strom i2 , so stellt sich der gleiche Fluss Φh im Eisenkern ein, wenn i2 N2 = I1 N1 gemacht wird. Die Feldlinien von der Form 2 durchsetzen den ganzen Innenraum der Sekund¨ arwicklung bis zum Eisenkern. Die H-Feldst¨arke ist hier i2 N2 /l, und es ergeben sich Feldlinien der Form 3 mit der H-Feldst¨arke (i2 N2 /l)(y/h2 ). Der sekund¨ are Gesamtfluss wird daher Φσ2 = N2 Φh + µ0 i2 N22 (h1 + s) oder Φσ2 = N2 Φh +

µ0 i2 N22




l2 l1 + µ0 i2 N22 l l



y2 dy h22

(29.187)

.

(29.188)

h2

0

1 l2 l1 (h1 + s) + h2 l 3 l



Der mit der Prim¨ arwicklung verkettete Gesamtfluss wird l1 1 Φg21 = N1 Φh + µ0 i2 N1 N2 h1 . 2 l

(29.189)

Hieraus folgt 
1 l2 l1 , Φ2 = = Φh + (h1 + s) + h2 l 3 l l1 1 Φ21 = Φh + µ0 i2 N2 h1 . 2 l

(29.190) (29.191)

und der sekund¨ are Streufluss


1 l2 l1 Φσ2 = Φ2 − Φ21 = µi2 N2 (h1 + s) + h2 l 3 l

(29.192)

Die sekund¨are Streuinduktivit¨at wird   



l1 l1 1 l2 1 l2 1 1 h1 + s + h2 h1 + s + h2 . . Lσ2 = µ0 N22 2 l 3 l 2 l 3 l (29.193) ¨ 29.3.4 Der lineare Ubertrager Die Eigenschaften des Transformators werden spannungsunabh¨angig, wenn die Permeabilit¨ at des Kernes unabh¨ angig von der Feldst¨arke ist. Dies wird ¨ ¨ bei den Ubertragern der Nachrichtentechnik zwecks verzerrungsfreier Ubertragung der Nachrichtensignale angestrebt. In dem Streuungsersatzbild sind dann alle Induktivit¨ aten konstant; das Bild veranschaulicht, wie bei hohen

436

29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes

Frequenzen die Streuinduktivit¨ aten, bei niedrigen Frequenzen die Hauptin¨ duktivit¨ at die Ubertragung zwischen Eingang und Ausgang sperren. In einem mittleren Frequenzbereich gelten angen¨ ahert die Gl. (29.171) des idealen Transformators. ¨ Auch wenn der ideale Ubertrager schon vorher zumindest formelm¨aßig verwendet wurde, hat Cauer zuerst die Bedeutung dieses Modells erkannt und ausf¨ uhrlich im Zusammenhang mit der Netzwerksynthese untersucht; vgl. Cauer [39], [41] . Mit Hilfe des oben erl¨ auterten Berechnungsganges der Streuinduktivit¨aten k¨ onnen folgende Gr¨ oßen definiert werden. Die prim¨are Gesamtinduktivit¨at ist N1 Φ1 . i1

L1 =

(29.194)

Damit wird die prim¨are Hauptinduktivit¨at Lh1 = L1 − Lσ1 =

N1 Φ12 i1

(29.195)

Die Gegeninduktivit¨at wird nach Gl. (23.28) M=

N2 Φ12 . i1

(29.196)

N1 M N2

(29.197)

Damit gilt auch Lh1 = und Lσ1 = L1 −

N1 M N2

(29.198)

¨ Durch die entsprechenden Uberlegungen findet man die sekund¨are Gesamtinduktivit¨at N2 Φ2 , (29.199) L2 = i2 und die sekund¨are Hauptinduktivit¨at Lh2 = L2 − Lσ2 =

N2 Φ12 . i2

(29.200)

Auf Grund dieser Beziehungen gilt ferner Lh2 =

 N2 N2 M, Lσ2 = L2 − M ; M := Lh1 Lh2 , N1 N1

(29.201)

und es verhalten sich die Hauptinduktivit¨ aten wie die Quadrate der Windungszahlen: N2 Lh1 = 12 = u (29.202) ¨2 . Lh2 N2

29.3 Der Transformator

437

Wenn die Streuinduktivit¨ aten Null w¨ aren, w¨ urde nach den Gl. (29.197) und (29.201) gelten:  (29.203) M = L1 L2 . In Wirklichkeit ist die Gegeninduktivit¨ at immer kleiner als dieser Wert. Dies wird durch den sogenannten Streugrad oder Streufaktor σ ausgedr¨ uckt, indem man setzt M2 . (29.204) σ := 1 − L1 L2 Der Streugrad ist Null, wenn die Streuung Null ist und hat den Wert 1, wenn die beiden Wicklungen vollst¨ andig unabh¨angig voneinander sind. Ferner bezeichnet man √ M2 = 1 − σ. (29.205) k := L1 L2 als Kopplungsgrad oder Kopplungsfaktor; er liegt ebenfalls zwischen Null und 1. Die Streuinduktivit¨ aten sind praktisch meist sehr klein gegen die Hauptinduktivit¨ at; dann folgt aus Gl. (29.204), (29.197) bis (29.201) die N¨aherungsformel Lσ2 Lσ Lσ1 + = . (29.206) σ= L1 L2 L1

Beispiel: In dem vorigen Beispiel ist zur Berechnung des Streugrades nach Gl. (29.206) angen¨ ahert zu setzen L1 =

N1 Φh , i1

L2 =

N2 Φh , i2

(29.207)

und zu ber¨ ucksichtigen, dass zur Erzeugung des gleichen Hauptflusses sein muss. Damit ergibt sich
 1 l1 1 l2 l1 i1 N1 µ0 s + h1 + h2 . (29.208) σ= Φh l 3 l 3 l F¨ uhrt man die mittlere Feldlinienl¨ ange lE des Hauptflusses im Eisen ein, sowie die Permeabilit¨ at µr des Eisens und den Eisenquerschnitt AE , so folgt schließlich 
1 1 1 lE (29.209) sl1 + h1 l1 + h2 l2 . σ= µr AE l 3 3 Der Streugrad ist umgekehrt proportional der relativen Permeabilit¨at des Ei¨ sens. Er bleibt bei proportionaler Anderung s¨amtlicher Abmessungen konstant, ist also in erster N¨ aherung unabh¨ angig von der Gr¨oße des Transformators. Fließen in der Prim¨ ar- und in der Sekund¨arwicklung Str¨ome, dann kann die Induktionswirkung im Kreis 1 auf den Gesamtfluss

438

29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes

Φg = L1 i1 + M i2

(29.210)

zur¨ uckgef¨ uhrt werden; ebenso im Kreis 2 Φg = L2 i2 + M i1 .

(29.211)

Unter Einf¨ uhrung der Streuinduktivit¨ aten kann man hierf¨ ur auch schreiben M (N2 i2 + N1 i1 ); N2 M (N2 i2 + N1 i1 ). Φg = Lσ2 i2 + N1 Φg = Lσ1 i1 +

(29.212) (29.213)

Diese Gleichungen kann man so deuten, als ob mit jedem Kreis jeweils ein Streufluss“, der nur von dem Strom in diesem Kreis herr¨ uhrt, und ein ge” ” meinsamer Fluss“, der von der Summe der Durchflutungen herr¨ uhrt, verkettet w¨ aren. Diese rein mathematische Zerlegung darf nicht zu der Annahme verleiten, dass diese Fl¨ usse in Wirklichkeit Flussb¨ undeln entsprechen m¨ ussten, die nur mit einem Kreis bzw. mit beiden Kreisen verkettet sind. Das resultierende Magnetfeld der beiden Str¨ ome kann zwar Feldlinien enthalten, die mit je einem der beiden Kreise verkettet sind, und solche, die beide Kreise gemeinsam umschlingen; aber die durch diese Feldlinien gebildeten B¨ undel sind nicht gleich den Fl¨ ussen Φg und Φg . Es kann sogar der Fall vorkommen, dass es u ¨ berhaupt keine Feldlinien gibt, die beiden Stromkreisen gemeinsam sind, w¨ ahrend doch die Summe der Durchflutungen beider Kreise einen endlichen Wert hat. Ein Beispiel stellt das in Abb. 29.32 aufgezeichnete Feld zweier paralleler Drahtkreise dar, die in entgegengesetzter Richtung von Str¨omen im Verh¨ altnis 1 : 2 durchflossen sind (vgl. Weber [234]).

Abbildung 29.32. Feldlinienbild zweier paralleler Drahtkreise

In Abb. 29.27 haben die Spannungen der Selbstinduktion, L1 di1 /dt und L2 di2 /dt, sowie die Spannungen der Gegeninduktion, M di1 /dt und M di2 /dt gleiches Vorzeichen bei gleichen Vorzeichen der Strom¨anderungen. Auf der Eingangsseite deckt die Spannung u1 zwischen den Eingangsklemmen 1, 2 in jedem Zeitpunkt die Summe von prim¨ arer Selbstinduktionsspannung, Gegeninduktionsspannung und Ohmschem Spannungsabfall :

29.3 Der Transformator

u1 = L1

di2 di1 +M + i1 R1 . dt dt

439

(29.214)

Auf der Ausgangsseite ergibt sich die Spannung u2 zwischen den Ausgangsklemmen 3, 4 in jedem Zeitpunkt als die Summe der sekund¨aren Selbstinduktionsspannung, der Gegeninduktionsspannung und dem Ohmschen Spannungsabfall di1 di2 +M + i2 R2 . (29.215) u2 = L2 dt dt Unter Einf¨ uhrung der komplexen Zeiger f¨ ur die Wechselstromgr¨oßen erh¨alt man aus den Gl. (29.214) und (29.215) U1 = I1 (R1 + jωL1 ) + I2 jωM,

(29.216)

U2 = I2 (R2 + jωL2 ) + I1 jωM.

(29.217)

¨ 29.3.5 Kopplungs-Ersatzbilder des linearen Ubertragers F¨ ur die in Abb. 29.33 gezeichnete Anordnung gelten die gleichen Beziehungen (29.216) und (29.217), wie man leicht feststellen kann. Hier sind drei Spulen mit den Induktivit¨ atswerten L1 − M, L2 − M und M im Stern miteinander verbunden. Die beiden erstgenannten Spulen enthalten die beiden Wicklungswiderst¨ ande R1 und R2 . Im Querzweig fließt ein Strom von der St¨arke I1 + I2 . Berechnet man die Spannung zwischen a und b auf dem Wege u ¨ ber e und, so ergibt sich sofort die Gl. (29.216). Die Gl. 29.217 entsteht durch Anwenden des zweiten Kirchhoffschen Satzes auf den Kreis d, c, e, f . Man kann mit diesem Kopplungs-Ersatzbild“ die Gegeninduktivit¨at auf eine Induktivit¨at ” zur¨ uckf¨ uhren. F¨ ur die G¨ ultigkeit des Ersatzbildes ist es belanglos, dass bei von eins verschiedenem Windungszahl Verh¨ altnis des Transformators einer der beiden Werte L1 − M und , L2 − M negativ werden kann. Das Kopplungsersatzbild ist dann von Nutzen, wenn die Werte L1 , L2 und M unabh¨angig von den Spannungen und Str¨ omen sind, also bei Spulen mit magnetisch neutralem Kern oder bei hinreichend kleiner magnetischer Aussteuerung des Kernmaterials, wie es in der Hochfrequenz- und Nachrichtentechnik vorkommt. Dann gilt das Ersatzbild bei beliebiger Eingangsspannung und bei beliebiger Belastung. Es gilt sogar bei ganz beliebigen Potenzialen aller Klemmen wenn Prim¨arund Sekund¨ arseite des Transformators so miteinander verbunden sind, wie es in Abb. 29.34 dargestellt ist. Bei der umgekehrten Verbindung der beiden Wicklungen, wie in Abb. 29.35, geht das Ersatzbild in das der Abb. 29.36 u ¨ ber. Die beiden Kopplungsersatzbilder sind also in diesen beiden F¨ allen auch dann anwendbar, wenn sich der Transformator in einem Netz befindet, in dem Sekund¨ar- und Prim¨arwicklung noch in beliebiger Weise u ¨ ber weitere Zweige in Verbindung stehen. Im ersten Fall, Abb. 29.34 ist der komplexe Widerstand zwischen den beiden Klemmen a und c, wenn die anderen Klemmen isoliert sind, nach dem Ersatzbild (29.218) Zac = R1 + R2 + jω(L1 + L2 − 2M );

440

29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes

Abbildung 29.33. Kopplungs-Ersatzbild des Transformators

er geht in den Wirkwiderstand der beiden hintereinander geschalteten Wicklungen u ¨ber, wenn die Streuung Null ist und die Windungszahlen gleich sind. Die beiden Wicklungen sind gegeneinander geschaltet“. Im anderen Fall da” gegen, Abb. 34.9, wird der Widerstand zwischen b und c nach Abb. 29.35

¨ Abbildung 29.34. Aquivalenter Transformator zum Ersatzbild 29.33

Zbc = R1 + R2 + jω(L1 + L2 + 2M );

(29.219)

Die Induktivit¨ at hat hier im Idealfall bei gleichen Wicklungen den vierfachen Wert einer Wicklungsinduktivit¨ at; die beiden Wicklungen sind wirksam hin” tereinander geschaltet“. Durch Messung der beiden Widerst¨ande Zac und Zbc kann die Gegeninduktivit¨ at bestimmt werden. Es ist

Abbildung 29.35. Hintereinanderschaltung der beiden Wicklungen

29.4 Elektrisch-mechanische Energiewandlung

jωM =

1 (Zbc − Zac ) . 4

441

(29.220)

Beim sogenannten Spartransformator, bei dem die Sekund¨arwicklung durch einen Teil der Prim¨ arwicklung gebildet wird, gelten das Streuungs-Ersatzbild Abb. 29.30 und das Kopplungs-Ersatzbild Abb. 29.33. An die Stelle von R1 tritt jedoch R1 − R2 , da nur dieser Teil von i1 allein durchflossen wird; ferner liegt R2 nicht am Ausgang, sondern in Reihe mit Lh1 bzw. M . Wegen des Durchflutungsgleichgewichts werden der Strom in diesem gemeinsamen Wicklungsteil und damit die Stromw¨ armeverluste geringer als beim Transformator mit getrennten Wicklungen.

Abbildung 29.36. Kopplungs-Ersatzbild f¨ ur den Transformator Abb. 29.35

29.4 Elektrisch-mechanische Energiewandlung 29.4.1 Allgemeines Der Vorgang der Umwandlung elektrischer Arbeit in mechanische Arbeit mit Hilfe der elektrischen oder magnetischen Feldkr¨afte ist umkehrbar. Bewegt sich ein geladener K¨ orper in einem elektrischen Feld unter der Einwirkung der Feldkr¨ afte und leistet dabei eine mechanische Arbeit, so ergibt sich eine R¨ uckwirkung der Bewegung auf das elektrische Feld dadurch, dass der Bewegung des Ladungstr¨ agers ein elektrischer Strom entspricht; entweder wird daher durch die Bewegung des Ladungstr¨ agers das elektrische Feld abgebaut, also dem Feld elektrische Energie entzogen, oder es muss aus einer ¨außeren Stromquelle dem Feld elektrische Arbeit zugef¨ uhrt werden. Wird andererseits der Ladungstr¨ ager durch eine ¨ außere mechanische Kraft entgegen den Feldkr¨aften bewegt, so f¨ uhrt er dem elektrischen Feld Energie zu; es wird entweder das Feld verst¨ arkt, oder es kann in einem ¨ außeren Stromkreis elektrische Leistung entnommen werden. Genau das gleiche gilt f¨ ur die Umwandlung von elektrischer Leistung in mechanische Leistung mit Hilfe magnetischer Feldkr¨afte, wie dies bereits in Abschnitt 26.4 ausgef¨ uhrt wurde. Diese umkehrbare Energieumwandlung liegt einer großen Gruppe von elektrotechnischen Ger¨aten zugrunde,

442

29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes

insbesondere den elektrischen Maschinen, den Strom-, Spannungs- und Leistungsmessern, den Elektrizit¨ atsz¨ ahlern, den Fernh¨orern, Lautsprechern und den magnetischen und elektrischen Mikrophonen. Elektrische Feldkr¨afte werden nur in Sonderf¨ allen ben¨ utzt, meist beruht die Energieumwandlung auf der Anwendung magnetischer Feldkr¨ afte. Die Ursache daf¨ ur liegt darin, dass mit magnetischen Feldern leichter hohe Energiedichten hergestellt werden k¨onnen als mit elektrischen Feldern. Die Dichte der in einem elektrischen Feld aufgespeicherten elektrischen Energie ist nach Abschnitt 13 1 εE2 . (29.221) 2 arke E muss hinreichend weit unterhalb der In Luft ist ε = ε0 die Feldst¨ Durchschlagsfeldst¨ arke liegen, darf also in Luft h¨ochstens etwa 10kV /cm sein. Damit wird w=

w=

F V2 Ws Ws 1 0, 886 · 10−13 108 2 = 0, 45 · 10−5 3 = 4, 5 · 10−6 3 . (29.222) 2 cm cm cm cm

Im magnetischen Feld gilt nach Abschnitt 24 w=

1 εB2 . 2 µ

(29.223)

F¨ ur Luft ist µ = µ0 ; es lassen sich Flussdichten von 1 T esla leicht herstellen. Damit wird Ws 1 10−8 V 2 s2 Acm = 0, 4 3 . (29.224) w= −8 4 2 1, 257 · 10 V scm cm Die Energiedichte des magnetischen Feldes kann also in Luft rund 105mal gr¨ oßer gemacht werden als die Energiedichte des elektrischen Feldes. Die elektrischen Maschinen arbeiten daher ausschließlich mit magnetischen Feldkr¨aften. 29.4.2 Die Grundgleichungen der elektrischen Maschine Die Hauptteile der elektrischen Maschinen sind St¨ander und L¨aufer. Einer dieser beiden Hauptteile tr¨ agt die Nutzwicklung, und zwar bei den Gleichstrommaschinen der L¨ aufer, bei den Wechselstromsynchron- und Induktionsmaschinen der St¨ ander. Den Klemmen dieser Wicklung wird die elektrische Leistung entnommen, wenn es sich um einen Generator handelt, die elektrische Leistung zugef¨ uhrt beim Betrieb der Maschine als Motor. Die Nutzwicklung besteht im allgemeinen aus mehreren Wicklungsstr¨ angen, die in verschiedener Weise miteinander verbunden werden k¨ onnen, bei Gleichstrom z. B. in Paralleloder Hintereinanderschaltung, bei Dreiphasenstrom in Dreieck- oder Sternform. Jeder Wicklungsstrang ist grunds¨ atzlich so ausgef¨ uhrt, dass ein durch einen Wicklungsstrang fließender Gleichstrom auf dem Umfang des L¨aufers

29.4 Elektrisch-mechanische Energiewandlung

443

in abwechselnder Folge magnetische Nord- und S¨ udpole, also eine periodische Verteilung der Flussdichte, erzeugen w¨ urde. Die Zahl p der Polpaare ist also durch die Ausf¨ uhrung der Nutzwicklung gegeben. Der zweite Teil ist entweder als Magnetsystem ausgebildet mit der gleichen Zahl p von Polpaaren wie die Nutzwicklung, das mit Gleichstrom erregt wird (z. B. Gleichstrommaschinen und Wechselstromsynchronmaschinen), oder mit einer gleichartigen Wicklung wie der andere Teil (z. B. Wechselstrominduktionsmaschinen). Die in einem Wicklungsstrang der Nutzwicklung induzierte Quellenspannung ist nach dem Induktionsgesetz u0 = −

dΦ , dx

(29.225)

wenn Φ den Gesamtfluss bezeichnet, der mit dem Wicklungsstrang verkettet ist. Φ kann nun hier im allgemeinen Fall sich entweder dadurch ¨andern, dass der Fluss selbst zeitlich ver¨ anderlich ist oder dadurch, dass sich der L¨aufer gegen den St¨ ander dreht. Es kann also Φ eine Funktion der Zeit und des Winkels α zwischen St¨ ander und L¨ aufer sein. Daher gilt allgemein f¨ ur die in einem Wicklungsstrang induzierte Quellenspannung u0 = −

∂Φ dα ∂Φ − , ∂α dt ∂t

dα = 2πn, dt

(29.226)

oder

∂Φ ∂Φ − . (29.227) ∂α ∂t n ist definiert als Quotient Zahl der Umdrehungen geteilt durch Zeit und wird Drehzahl oder Umdrehungsfrequenz genannt. Die Gl. (29.227) nennen wir die erste Hauptgleichung der elektrischen Maschinen. Wird der Generator durch einen Verbraucher belastet, so fließt in der Wicklung ein Strom i. Die w¨ ahrend eines Zeitelementes dt von dem Wicklungsstrang gelieferte elektrische Arbeit ist u0 = −2πn

dW = u0 idt = −2πni

∂Φ ∂Φ dt − i . ∂α ∂t

(29.228)

Ist hier n = 0, so verschwindet das erste Glied, und man erkennt, dass der verbleibende Ausdruck rechts die Abnahme der magnetischen Energie des Stromkreises darstellt, das ist dW = Lidi. Bei endlichem n wird die in den außeren Stromkreis gelieferte elektrische Arbeit dW gedeckt durch diesen Bei¨ trag der magnetischen Feldenergie und die dem Leiter zugef¨ uhrte mechanische Arbeit Md dα. Diese wird also durch den ersten Ausdruck rechts dargestellt, und es gilt ∂Φ (29.229) Md dα = −2πni dt. ∂α Hieraus ergibt sich der Augenblickswert des Drehmoments Md = −i

∂Φ . ∂α

(29.230)

444

29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes

Dies ist die zweite Hauptgleichung der elektrischen Maschinen. Beide Hauptgleichungen gelten sowohl f¨ ur Generator- als auch f¨ ur Motorbetrieb. 29.4.3 Die Gleichstrommaschine Bei der Gleichstrommaschine wird der Fluss Φ durch den konstanten Erregerstrom in der Wicklung des St¨ anders erzeugt; ∂Φ/∂t ist Null, also u0 = −2πn

dΦ . dα

(29.231)

Die B¨ ursten liegen so auf dem Kommutator, dass sie jeweils den Maximalwert der an einem Wicklungsstrang w¨ ahrend einer Umdrehung entstehenden Spannung abgreifen, also den Maximalwert von dΦ/dα. In der zu diesem Maximalwert geh¨ origen Stellung des L¨ aufers (Ankers) geht Φ gerade durch 0; die H¨ alfte aller Windungen des Wicklungsstranges umschließt einen positiven Fluss, die andere H¨ alfte einen gleich großen negativen Fluss. Die einzelnen Windungen der in sich geschlossenen Ankerwicklung sind gleichm¨ aßig auf dem Umfang verteilt und haben eine Breite, die gleich dem Winkelabstand zwischen zwei aufeinander folgenden Magnetpolen ist, so dass jede Windung bei g¨ unstigster Lage gegen¨ uber einem Magnetpol einen m¨oglichst großen Teil Φm des zwischen Magnetpol und Anker u ¨ bergehenden Flusses umschließt. Die Breite einer Windung entspricht also l¨angs des Umfanges einem Winkel π/p. Zwischen zwei B¨ ursten liegt in jeder Stellung des Ankers ein Wicklungsstrang, der N derartige Windungen hintereinander geschaltet enth¨ alt. Wir betrachten nun einen solchen Wicklungsstrang bei einer kleinen Winkeldrehung ∆α des Ankers. In der Ausgangslage war der mit dem Wicklungsstrang verkettete Gesamtfluss Φ = 0, da sich die beiden Flussh¨alften gerade aufheben. Nach der Winkeldrehung ∆α fehlt aber in der einen Flussh¨alfte der Beitrag von N (∆α/(π/p)) Windungen, die gerade unter einem Magnetahrend in der anderen Flussh¨alfte pol lagen, also der Beitrag N (p/π)Φm ∆α, w¨ dieser Beitrag hinzukommt. Die gesamte Fluss¨anderung ist also p 2N Φm ∆α, π

(29.232)

und es wird

∆Φ p dΦ ≈ = 2N Φm . (29.233) dα ∆α π Damit ergibt sich nach der ersten Hauptgleichung f¨ ur die angen¨ahert konstante Leerlaufspannung zwischen den B¨ ursten U0 = 4N npΦm .

(29.234)

Aus der zweiten Hauptgleichung wird, wenn man den Ankerstrom mit I bezeichnet,

29.4 Elektrisch-mechanische Energiewandlung

445

Abbildung 29.37. Leerlaufkennlinie der Gleichstrommaschine

p (29.235) Md = 2IN Φm . π Der Zusammenhang zwischen dem Fluss Φm und dem Erregerstrom Ie , ist durch die magnetische Kennlinie des Magnetsystems gegeben, Abb. 22.8. Wird dieser Strom aus einer fremden Stromquelle entnommen ( Fremderregung“), ” so ¨ andert sich die Leerlauf Spannung bei konstanter Drehgeschwindigkeit mit dem Erregerstrom wegen der Proportionalit¨ at mit dem Fluss Φm in ¨ahnlicher Weise, Abb. 29.37. Man nennt diese Kennlinie Leerlaufkennlinie der Gleichstrommaschine. U0 ist ferner proportional der Drehzahl n des Ankers. Infolge ¨ des Ankerwiderstandes und des Ubergangswiderstandes an den B¨ ursten, die zusammen den inneren Widerstand des Generators bilden, und infolge der R¨ uckwirkung des durch den Ankerstrom erzeugten magnetischen Feldes auf das Gesamtfeld ergibt sich bei Belastung ein Spannungsverlust, so dass die Klemmenspannung etwas kleiner wird als U0 , der Unterschied ist jedoch gering. Beim selbsterregten Nebenschlußgenerator wird der Erregerstrom aus dem Anker entnommen. Der Erregerstrom w¨ achst nach dem Schließen des Erreoßer ist als der Spannungsverbrauch Ie Re des gerstromkreises, solange U0 gr¨ Erregerstromkreises (Re = Widerstand des Erreger-Stromkreises), also bis zum Punkt P , Abb. 29.37 ( R¨ uckkopplung“, siehe Abschnitt 40.3.4). Durch ” Ver¨ andern des Widerstandes Re kann die Leerlaufspannung ge¨andert werden. Beim selbsterregten Reihenschlußgenerator (Hauptschlussgenerator) durchfließt der Ankerstrom auch die Erregerwicklung; es ist Ie = /I. Die Kennlinie in Abb. 29.37 gibt also hier gleichzeitig den Zusammenhang zwischen Leerlaufspannung und Ankerstrom an. Das Drehmoment Md ist beim Generator ein Bremsmoment. Zu seiner ¨ Uberwindung ist eine Leistung P = 2πnMd erforderlich, die genau gleich der gelieferten elektrischen Leistung U0 I ist. Erzeugt man den Gleichstrom I im Anker durch eine ¨ außere Stromquelle, so bleibt das Drehmoment entsprechend der zweiten Hauptgleichung dasselbe; die Maschine wird bei gleicher Stromrichtung unter Umkehr der Drehrichtung zum Motor. Damit kehrt sich auch das Vorzeichen der Spannung um, sie wirkt der ¨außeren Spannung entgegen ( Gegenspannung“). ” Beim Nebenschlußmotor, bei dem Erregerwicklung und Anker parallel von der Netzspannung gespeist werden, w¨ achst die Drehzahl n so lange, bis die mit

446

29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes

n ebenfalls wachsende Gegenspannung U0 bis auf den inneren Spannungsabfall IRi gerade gleich der Netzspannung U ist, also bis U0 = H − IRi .

(29.236)

Da der innere Spannungsabfall klein ist, gilt angen¨ahert U0 = U . Damit wird die Drehzahl U . (29.237) n= 4N pΦm Sie ist nach Gl. (29.237) nur so weit von der Belastung abh¨angig, wie der Spannungsabfall IRi gegen U in Erscheinung tritt. Durch Schw¨ achen des Flusses, also Vergr¨ oßern eines Widerstandes im Erregerkreis, kann die Drehzahl gesteigert werden. Die Ankerstromst¨ arke I ist dadurch gegeben, dass im Gleichgewichtszustand das vom Motor gelieferte Drehmoment Md gleich dem durch die Belastung des Motors bestimmten Lastmoment Mb wird: I=

Mb π . 2N pΦm

(29.238)

Schw¨ achung des magnetischen Feldes Φm hat also bei gleicher Belastung eine Vergr¨ oßerung des Ankerstromes zur Folge.

Abbildung 29.38. Belastungskennlinie von Nebenschluß- und Hauptschlußmotor

Beim Reihenschlussmotor durchfließt der Ankerstrom auch die Erregerwicklung. Daher ist Φm eine Funktion des Ankerstromes, die durch die magnetische Kennlinie dargestellt ist. Die Stromst¨arke ergibt sich wieder aus der Belastung. Sie ist aber nicht mehr proportional dem Belastungsmoment wie beim Nebenschlußmotor, sondern w¨ achst wegen der Zunahme des Flusses mit dem Strom langsamer, Abb. 29.38. F¨ ur die Drehzahl gilt die gleiche Formel (29.237) wie beim Nebenschlußmotor, jedoch ist hier die Drehzahl nicht mehr nahezu unabh¨ angig von der Belastung, sondern nimmt (infolge der Zunahme des Flusses mit dem Ankerstrom) mit zunehmender Belastung ab, Abb. 29.39. Der Reihenschlussmotor ist nachgiebig“, w¨ ahrend der Nebenschlußmotor bei ” Belastungsschwankungen starr“ bleibt. ” Unmittelbar nach dem Einschalten eines Motors ergibt sich wegen des kleinen inneren Widerstandes eine sehr hohe Stromst¨arke; sie kann durch einen

29.4 Elektrisch-mechanische Energiewandlung

447

Abbildung 29.39. Drehzahlkennlinie von Nebenschluß- und Hauptschlußmotor

Vorwiderstand (Anlasser) begrenzt werden. Ist der Widerstand dieses Anlassers Ra , so ist die H¨ ochststromst¨ arke nach dem Schließen des Schalters Ia ≈ U/Ra . Durch diesen Anlaufstrom ist das Anlaufdrehmoment bestimmt; wird z.B. der Anlaufstrom doppelt so groß wie die Nennstromst¨arke des Motors gemacht, so wird das Anlaufdrehmoment beim Nebenschlußmotor doppelt so groß wie das Nenndrehmoment, beim Reihenschlussmotor dagegen wegen des gleichzeitig verst¨ arkten Flusses mehr als doppelt jedoch weniger als viermal so groß. 29.4.4 Die Synchronmaschine Bei den Wechselstromsynchronmaschinen f¨ ur Dreiphasenstrom tr¨agt der St¨ander drei gleichartige Wicklungsstr¨ ange, die gegeneinander l¨angs des Umfanges um je 1/3 Periode des magnetischen Flusses, also um einen Winkel 2π/3p verschoben sind. Fließen durch diese drei Wicklungsstr¨ange Str¨ome, die eine zeitliche Phasenverschiebung von je 120◦ besitzen, deren Maximalwerte also in Abst¨ anden von je 1/3 Periode aufeinander folgen, so durchl¨auft das Maximum des magnetischen Flusses w¨ ahrend einer Periode des Wechselstromes gerade den Winkel 2π/p; es ergibt sich ein umlaufendes magnetisches Feld, das f¨ ur einen vollen Umlauf p Perioden des Wechselstromes ben¨otigt. Die Drehzahl dieses Drehfeldes ist also f (29.239) n= , p wenn mit f die Frequenz des Wechselstromes bezeichnet wird. Der L¨ aufer (Polrad) mit der vom Erregergleichstrom durchflossenen Wicklung dreht sich im Betrieb des Synchronmotors mit dieser sogenannten synchronen Drehzahl. Dabei haben ungleichnamige magnetische Pole von St¨anderund L¨ auferfeld die gleiche Stellung; der L¨ aufer wird durch die magnetischen Feldkr¨ afte vom St¨ anderdrehfeld mitgenommen. Wird der L¨aufer abgebremst, wird also mechanische Arbeit entnommen, dann bleiben die Magnetpole des L¨aufers etwas gegen¨ uber den ungleichnamigen Polen des St¨anderfeldes zur¨ uck, so dass eine Tangentialkomponente der magnetischen Feldkr¨afte am L¨aufer auftritt, die dem Bremsmoment das Gleichgewicht h¨alt; der L¨aufer beh¨alt daher weiter seine synchrone Drehzahl n. Wird die Welle des L¨aufers immer

448

29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes

st¨arker abgebremst, so wird schließlich der Winkel zwischen dem L¨aufer und dem St¨ anderfeld so groß, dass die Pole des L¨ aufers in die L¨ ucken zwischen je zwei St¨ anderpole kommen; dann f¨ uhrt die geringste weitere Vergr¨oßerung der Belastung zum Außertrittfallen des L¨ aufers; er kommt zum Stillstand. Die genauere Beschreibung dieser Verh¨ altnisse ergibt sich aus den Hauptgleichungen. Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass der magnetische Kreis nur wenig ges¨ attigt ist, so dass die von St¨ ander- und L¨aufererregung f¨ ur sich allein erzeugten magnetischen Fl¨ usse sich zum Gesamtfluss addieren. Der mit einem Wicklungsstrang des St¨ anders verkettete Fluss setzt sich hier aus zwei Teilen zusammen: 1. dem von dem L¨ aufer erzeugten Fluss, der von der Winkelstellung des L¨ aufers gegen den St¨ ander abh¨ angt. Im Betrieb der Maschine w¨achst der Winkel zwischen L¨ aufer und St¨ ander entsprechend der Drehzahl proportional der Zeit, ω f (29.240) α = 2πnt = 2π t = t. p p Der mit dem Wicklungsstrang verkettete aus dem L¨aufer herr¨ uhrende Fluss habe in der betrachteten Ausgangsstellung α = 0 gerade ein Maximum. Verdreht man den L¨ aufer um den Winkel (1/4)2π/p, so geht der Fluss durch Null; nach einer weiteren Drehung um (1/4)2π/p hat er das Maximum entgegengesetzter Richtung, geht dann wieder durch Null usw. Im einfachsten Fall sinusf¨ ormiger Verteilung des Flusses l¨ angs des Umfanges gut also f¨ ur den vom L¨ aufer herr¨ uhrenden Teil des Gesamtflusses Φ1 = Φ0 cos pα,

(29.241)

wobei Φ0 den Maximalwert (bei α = 0) des mit dem Wicklungsstrang verketteten Flusses bezeichnet. 2. Der durch den Wicklungsstrang fließende Strom mit dem Augenblickswert i erzeugt einen mit der Wicklung verketteten Fluss, der ihm angen¨ahert proportional ist, da ein großer Teil des magnetischen Widerstandes im Luftspalt liegt. Wir schreiben daher f¨ ur diesen Teil des Flusses Φ2 = Ls i,

(29.242)

wobei Ls die dem Fluss Φ2 entsprechende Induktivit¨at des Wicklungsstranges ist. Bemerkung: Bei einem Polrad hat der L¨ aufer ausgepr¨agte Pole (Schenkelpolrad); dann h¨ angt die Induktivit¨ at Ls des Wicklungsstranges von der Stellung des L¨ aufers ab. Im folgenden wird zur Vereinfachung konstante d. h. von der L¨auferstellung unabh¨ angige Induktivit¨ at angenommen. Es wird also Rotationssymmetrie des L¨ aufers vorausgesetzt (Trommell¨aufer, Vollpolmaschine). Damit gilt

29.4 Elektrisch-mechanische Energiewandlung

Φ = Φ0 cos pα + Ls i,

449

(29.243)

und es wird aus der ersten Hauptgleichung u0 = 2πnpΦ0 sin 2πf t − Ls

di . dt

(29.244)

Sieht man von dem geringen ohmschen Spannungsabfall in der Ankerwicklung ab, so ist die Klemmenspannung des Wicklungsstranges beim Betrieb als Motor u = −u0 , also u = −2πnpΦ0 sin ωt + Ls

di . dt

(29.245)

Danach setzt sich der Zeiger der Klemmenspannung U aus zwei Teilen zusammen, einem Zeiger mit dem Effektivwert 2π Ui = √ npΦ0 , 2

(29.246)

der die in dem Wicklungsstrang durch das L¨ auferfeld erzeugte Spannung darstellt wenn in der St¨ anderwicklung kein Strom fließt, und einem zweiten Zeiger IjωLs , der gegen¨ uber dem Strom I im Wicklungsstrang um 90◦ voreilt. Dieser zweite Zeiger gibt den induktiven Spannungsabfall in der Wicklung an. In komplexer Form lautet die Gl. (29.245) U = Ui + jωLs I.

(29.247)

angt wie Φ0 vom Erregerstrom Ie in der Wicklung des Die Spannung Ui h¨ L¨ aufers ab; der Zusammenhang ist durch die magnetische Kennlinie gegeben. Ui kann also durch den Erregerstrom eingestellt werden. Es ist die Spannung, die an dem leerlaufenden Wicklungsstrang entsteht, wenn das Polrad durch eine Kraftmaschine mit der Drehzahl n angetrieben wird. Das Zeigerdiagramm und das zu Gl. (29.247) geh¨ orige Ersatzschaltbild der Synchronmaschine ist durch Abb. 29.40 gegeben. Wie beim Gleichstrommotor ist die Stromst¨arke I durch das Belastungsmoment Mb bestimmt. Es stellt sich im Gleichgewicht ein solcher Strom ein, dass das Drehmoment des Motors Md gleich diesem Lastmoment ist. Der Zusammenhang des Drehmomentes Md mit der Stromst¨arke kann aus der zweiten Hauptgleichung berechnet werden; sehr angen¨ahert ergibt sich Md auch aus der von einem Strang aufgenommenen Wirkleistung U I cos ϕ, da die Verluste gering sind. Unter Ber¨ ucksichtigung der Beitr¨age aller drei Wicklungsstr¨ ange zum Gesamtdrehmoment wird danach Md = 3

U I cos ϕ . 2πn

(29.248)

Da die Netzspannung U konstant und gegeben ist, kann man das Drehmoment aus der Strecke ab des Zeigerdiagramms, Abb. 29.40, entnehmen. Diese Strecke repr¨ asentiert die Spannung

450

29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes

Abbildung 29.40. Ersatzbild und Spannungsdiagramm der Synchronmaschine

ab = ωLs I cos ϕ,

(29.249)

also gilt f¨ ur das Drehmoment Md = ab

3U 1 . 2πn ωLs

(29.250)

Der Faktor von ab ist bei konstantem U eine Konstante. Bei konstantem Er-

Abbildung 29.41. Kreisdiagramm der Synchronmaschine

¨ regerstrom bleibt auch Ui konstant; jede Anderung der Belastung ver¨andert daher von den Seiten des Dreiecks oac nur ac; daraus ergibt sich das Kreisdiagramm der Synchronmaschine, Abb. 29.41. Hier ist Oc gleich der Netzur die Stromst¨arke spannung, Oa gleich Ui ; die Strecke ac stellt ein Maß f¨ dar, ab ; (29.251) I= ωLs die Strecke ab gibt nach Gl. (29.250) das Belastungsdrehmoment an. Ui eilt der Netzspannung U um den Winkel ϑ nach. Bei Belastungs¨anderung bewegt

29.4 Elektrisch-mechanische