This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
0, deci k posibil numai dacă A este constant, = k(n > — k \ < 1 pentru n > JJL şi cum k sînt întregi, & n O, îi corespunde o vecinătate V cz U aşa fel că n m^ m COS 6. 3*0 0, seria în w converge pe cercul | w j = 1 în punctele unde 6 = arg w # p
n
w
# + 1
ll+1
n
n+1
a
n
n
0 este în interiorul inter (teorema 6 § 11) G - > 0 ; — k - > 0, ceea ce este jx > v ) (deoarece ( & — = k ). Astfel w
n
n + 1
n + 1
% + ... + 6* - > 6 + 2kn
n
(k constant)
şi a doua serie (72) este convergentă, cu suma
6 -f- 2kn.
Observaţia 1. D a c ă definim (cum se v a v e d e a în § 14, capitolul I I ) ca valoare principală a funcţiei l o g z: (73)
l o g z = l o g \ z \ + i arg z, 0
00
cu —iz < a r g 2 < 7i, p u t e m zice c ă : produsul JJ (1 + w ) n
presupus
debarasat
o oo
de eventualii factori nuli (dacă aceştia sînt în număr finit) şi seria y ^ l o g (1 +
u
0
w) n
t
unde se ia determinarea principală a logaritmilor, sînt convergenţi în acelaşi t i m p . I a r dacă seria are suma S, produsul are valoarea e*, Observaţia 2. T e o r e m a se demonstrează la fel pentru produse m u l t i p l e : 1 1 ... E I (1 + W n , , . . . , » * )
şi
S ... E l o g o ( l +
w»,,...,»*)
sînt
convergente
în
acelaşi t i m p , dacă factorii (1 + ^ni...»»*) sînt toţi # 0 . ( î n cazul contrar se v a considera restul produsului debarasat de factorii nuli, dacă aceştia sînt în număr finit). A v e m P = e* dacă P # 0, iar seria are suma S . 96
§ 29. Criterii de convergenţă pentru produse infinite cu factori pozitivi supraunitari sau subunitari
simple
Considerăm produse infinite de forma co
oo
ŢI (1 + u ) cu w > 0 ( w > v ) sau Ţ\ (1 — u ) cu 0 < w < 1 ( w > v ) . n
n
0
n
n
0
Dacă ne-
o
0
glijăm factorii (de rang < v ) care nu satisfac aceste condiţii, produsele parţiale P cresc sau descresc m o n o t o n şi produsul dat este convergent sau diverge la 0 atunci cînd P sînt mărginiţi, altfel el diverge la + oo. 0
n
n
00
Teorema 1. Ţ[ (1 + u ) o
unde
n
u > O (n > v ) este convergent n
0
odată
cu
CO
seria (cu termeni pozitivi) P u t e m presupune
^
u , sau divergent la + oo. o v = 0. A f i r m a ţ i a rezultă din inegalităţile 0
S
care arată că P
n
t
< P
t
n
-(s.-î>).
<
e
este mărginit cînd s este mărginit şi vice-versa.
n
n
00
Teorema 2 . Ţ[ (1 — u ) o H
unde 0^u
n
<
1 (n > v ) este convergent 0
odată
00
cu seria
(cu termeni pozitivi)
u , sau divergent la 0. u
P u t e m presupune v = 0. Produsul dat este convergent odată cu pro0
J
oo
dusul Ţ[ o
co
\
= Ţ[ 11 H - — ) > care după teorema 1 converge odată o l 1— u J
1 —u
n
^
oo
cu seria ^
U
/
oo
-—
--Este
de arătat că această serie şi ^
u c o n v e r g simultan. n
Dacă prima converge, inegalitatea
um u 1 —
n
ne arată că converge şi a doua. D a c ă a doua serie converge, din u : H
căci u
n
- > 0) urmează că şi cea dintîi c o n v e r g e .
Exemple 1. TT I 1 H
l
1
2. 1 T I 1 2 l
I (a rea/) este convergent cînd a > 1, = -f oo cîntf* a ^ l . a
» J
I (a rea/) ef/e convergent cînd a > 1
divergent la O cma* a ^ 1.
a
* J
Singurele produse cu factori reali, care au produsele parţiale P m o n o tone, sînt cele studiate m a i sus. N u m a i ele au analogie cu seriile cu termeni pozitivi (şi nu în general produsele cu factori p o z i t i v i ) . n
7 — Teoria funcţiilor •— c. 1275
97
§ 30. Convergenţa absolută a produselor infinite A m putea fi ispitiţi de a defini convergenţa absolută a unui produs infi nit prin condiţia ca produsul format de modulii factorilor să fie convergent. Dar această definiţie nu poate fi primită pentru că ea nu asigură convergenţa unui produs absolut convergent. n
Exemplul 1. I I ( — l ) este neconvergent (oscilator), în timp ce produsul modulilor I I 1* este convergent. Singura definiţie care, în perfectă analogie cu teoria seriilor, asigură convergenţa şi comutativitatea, este următoarea: oo
Definiţie. Un produs
oo w
infinit
Ţ[ • • • JJ (1 + n o o
...,»*) se numeşte
lt
oo
convergent dacă există v
1
#
v
f
c
absolut
oo
aşa fel încît seria
•-^log(l +
absolut convergentă. D i n această definiţie şi din teorema 3 § 22 decurg imediat rezultate:
Wn »*) u
să fie
Teorema 1. Un produs infinit
următoarele
absolut convergent este convergent.
Teorema 2. Un produs infinit absolut convergent este comutativ. produsul e multiplu, produsele simple obţinute prin ordonarea factorilor absolut convergente şi au aceeaşi valoare ca cel dat. Teorema 3. Orice produs infinit extras dintr-un convergent este de asemenea absolut convergent.
produs
infinit
Dacă sînt
absolut
Teorema 4. Un produs infinit absolut convergent poate fi efectuat prin asocierea arbitrară a factorilor săi, în număr finit sau infinit. în particular, un produs dublu absolut convergent poate fi înmulţit prin linii sau coloane. Teorema 5. Un produs infinit semiconvergent îşi poate pierde sau schimba valoarea prin permutarea factorilor. 00
Teorema
6.
00
Pentru
e necesar şi suficient
ca ŢI • • o să existe v , x
• -fMogol 1 + w , n
V,
convergenţa
s
• n
+
k
0
V,
absolut
convergent
seriile
.,!, ] £ • • f > r g ( l
Vfc
e
& fi
^ « i » •••>»*)
o v aşa fel încît
+
w„ ...,„ ) u
t
V*
să fie absolut convergente. V e z i (73) şi teorema 8 § 22). Aceste condiţii pot fi înlocuite prin una mult m a i simplă: 00
Teorema 7. Pentru
ca produsul
00
Ţ\ • • • J~J (1 + w»„ ...,»*) o o 00
convergent e necesar şi suficient
ca seria
nii produsului)
convergentă.
98
să fie
absolut
să fie
absolut
00
•
w»,,...,n (formată k
de terme
Pentru simplificarea scrierii considerăm un produs simplu, J~J ( 1 + ^ » ) . o Să punem w = u + iv , 1 -f- w = p (cos 0 + isin 0 ) ( — T T < 0 < 7u), deci n
n
n
n
u =
(74)
n
— 1 +
n
Pn
n
cos
6„,
n
t; = w
p sin n
n
0*.
D u p ă teorema precedentă, convergenţa absolută a produsului dat este echivalentă cu aceea a seriilor (75)
£ > g p l V
U
unde v se dă aşa fel încît să se evite termenii ce corespund la p = 0 ; pe de altă parte convergenţa absolută a seriei J^w e echivalentă cu aceea a seriilor (teorema 8 § 22) n
H
(76)
x > » > £ > . o o Cea dintîi implică p -> 1, 0 - > 0 , iar a doua u - > 0 , v fapte sînt echivalente în virtutea formulelor ( 7 4 ) . Cum n
n
n
2
n
- > 0 . Aceste două
1
Pn — 1 logp ,
1,
2
seriile 2
£log „, £ ( ? * , - 1 ) = £ « + 2 „ + ^ ) P
M
v
0
0
sînt absolut convergente în acelaşi timp. L a fel seriile
0
deoarece
Şi la fel seriile e
E
«
E * »
fiindcă
e.
e.
OO
00
î n sfîrşit, d a c ă Ş ^ u este absolut convergentă, tot aşa este ^ n
i%, fiindcă
\v \ < 1 ( » > v) şi deci < \v \ (n > v ) . D i n toate acestea rezultă acum că convergenţa absolută a seriilor ( 7 5 ) este echivalentă cu aceea a seriilor ( 7 6 ) , ceea ce demonstrează teorema: Astfel, dacă seriile ( 7 5 ) sînt absolut n
n
y
l
2 w
1
convergente, tot aşa sînt: ] C » > Z X ] C (A — )> ] C K + «) = ]C(p£— — z;») ş i ^ w . Iar dacă seriile ( 7 6 ) sînt absolut convergente, la fel sînt: Y)Qn> n
2
£ ^ , £ K + 2 « ) , £ ( p - l) £logpŞ. n
n
ş i
Observaţia
1. Demonstraţia se face imediat dacă se admite că log (l + w) = 0
n
P„w , n
unde p„ -> 1, ( v e z i teoremele 1, 2, § 1 9 ) ; căci de aici urmează că £ 1 l o g (1 + w ) | Şi E l ^ n l c o n v e r g simultan. 0
n
Observaţia 2. T e o r e m a demonstrată se m a i poate enunţa astfel: Pentru ca produsul ŢJ ... Yl (1 + w»„...,»&) & fi absolut convergent, este necesar şi suficient ca produsul n 11 (1 + I «fe,, . . . , » * | ) să fie convergent. Căci, după teorema 1 § 29, acesta din urmă şi seria £ ... L|ie> ,..., | sînt convergente în acelaşi t i m p . Astfel, prin analogie cu convergenţa absolută a seriilor, aceea a unui produs se poate defini prin converganţa produsului ce se obţine înlocuind termenii (nu factorii!) prin modulii lor. s
e
ni
Exemple. 1. z T~T 11 1 l \z\* -
njb
— ) ( = — sin izz\ este absolut convergent în tot planul pentru că n ] [ 7t ) 2
2 — este convergentă. în punctele z — k (întreg) produsul are cîte un factor nul, fără a-şi pierde convergenţa. 2. jar TT j 1 — — I I 1 -J- — J , egal cu precedentul (§ 27, teorema 7), este numai semiconl l nJ\ n) \z\ vergent, fiindcă 2 2 — este divergentă, n
§ 31. Criterii de convergenţă pentru produse oarecare w
T e o r e m a 1. Produsul ^|w
t t
|
2
e
Yl (1 + n)
^te
convergent
dacă seriile^
w
H
şi
sînt convergente) este neconvergent dacă a doua dintre aceste serii e con
vergentă şi cealaltă nu. (Cauchy). Demonstraţia se face uşor dacă ne servim de rezultatul următor, con secinţă a dezvoltării în serie a funcţiei l o g (1 + z) pentru \z\ < 1 ( v e z i teo rema 2, § 8 2 ) : 0
(77)
l o g (1 + w ) = w — 0
H
n
y W>, n
00 2
unde y -> 1/2. D e aici urmează că convergenţa seriei ^
| w | atrage pe aceea
n
n
u 00
a seriei
y wj (chiar absolută). Astfel, dacă seriile din enunţ sînt convern
o 00
gente, este convergentă şi J~) l o g (1 + w ), n
pentru
un
v convenabil şi deci
V
00
produsul dat (teorema 3, § 28). P e de altă parte, dacă ^ 00 n
nu
este
conver-
00 n
sînt convergente, seria
0
poate fi convergentă şi nici produsul 100
n
00 2
gentă, d a r ^ | z e > | şi deci şi Y) y w\ 0
w
l o g (1 + w ) nu H
v
dat.
Observaţia
7. Condiţiile teoremei nu sînt necesare: se poate ca
produsul
să fie convergent cînd cele două serii nu sînt c o n v e r g e n t e ( e x e m p l u l 1), să fie divergent cînd prima serie este c o n v e r g e n t ă şi a doua
sau
neconvergentă
(exemplul 2),
Exemple. 1.
TT f 1
—) [ 1H
al
T
«'Jl 0 0
f
— A——1 f — < a ^ —1 este convergent, căci asociind
n- n««Jl3
\
2j
\
factorii cîte doi obţinem T T I 1 I care este convergent (exemplul 2 § 29) şi avem apoi 2 l " J dreptul să desfacem parantezele (teorema 6, § 27) intrucît —• 0 şi î • 0. Pe de altă n n 3a
a
ia
a
parte, seriile Lit»» şi S|a>n| nu sînt convergente: asociind termenii lor cîte doi obţinem seriile divergente — şi I 1 la acela al seriei — tinde la 0. L—t za
1
I — ultima pentru că raportul termenului general
n
0 0
( 2. T~T I 1 i l J~] y 1 H =
—
(-l)*i —= v»
1 1 nu este convergent pentru că produsul modulilor factorilor ;
J este divergent. Aici
w = i
—
n
—
este convergentă, iar
| w |* = n
— e divergentă. n 3.
]~J ^1 H——- j
n
u
este convergent pentru că
1
w nu este convergentă, iar
l^nl
n
•
convergentă. 0 0
/
(_
4. J~J I 1
1
1
I este convergent pentru a > — > divergent pentru 0 < a < — » oscilator n
* ) 2 2 pentru a < 0. Teorema precedentă ne dă convergenta pentru a > — > dar nu spune nimic cînd 2 0 < a ^ — 9 fiindcă ^^ n convergentă, iar | u>» | nu. Grupînd termenii 2
\
w
avem
FT [7 1
e s t e
1
— ) [\ +
V LI (2m)«J l -f=
a
(2m) (2m+l) i
L«
2«(l + l p a
OT
a
2
11 =
T"T (1 — % ) , cu u
m
2 m
= —
V
(2m + 1)«JJ
> 0. Deoarece u : f 1 + -!)" - «- + -11
1
m
-
(2«)-
2 a
a
wî
4 • — î
= +
— > divergent 2
m
m
"-' 2-(l l)*L2
—* 1, ultimul produs e convergent pentru a >
la
' (a < 1) căci u: ^ «««. + -U. 2
h
(2m + 1)«
x
2
'
1
unde
° J
la 0 pentru a ^
— 2
(teorema 2, § 29). în cazul a > 0 avem dreptul să desfacem parantezele şi obţinem produsul dat (§ 27, teorema 6). Restul se vede uşor. 5. n
c
o
s
a
n
este convergent cînd 2 | a » |
este absolut convergentă pentru că 2 sin — 2
2
2
este convergentă. Aici w = — 2 sin — . %w 2 n
n
2
: | a j -* 1. Deci şi produsul este absolut convergent. n
101
Observaţia 2. Dacă se împinge mai departe aproximaţia în (77), luînd P termeni din dezvoltarea logaritmului: log (1 +
Wn)
0
=
»»
Ş+**•
-
+ ~
+
( -
1
)
P
T n <
+
1
,
2 p obţinem criterii din ce în ce mai puternice.
unde y -> n
p + 1 w
Produsul nO
e s
+ n)
t e convergent dacă seriile
sînt convergente; divergent dacă a doua serie este convergentă şi prima nu. î n legătură cu teorema precedentă să mai observăm: 2
Teorema 2. DacăY)\w \
converge şi w # — 1, produsele parţiale P
n
n
=
n
o a
=» n (l+ur ) n
u
n
9
acelaşi ordin ca e' , undeS
= Y)w
n
n
o
(adicăP :e n
are o limită #
S9
o
# 0, oo); ceea ce scriem: P
~e*\
m
Această relaţie ne spune ceva nou atunci cînd seria 2 w şi prin urmare produsul infinit ]~I 0 + n) s* * convergente. A v e m , într-adevăr, din (77) n
w
n
u
11
logoP, « S , - Ş 1
şi cum S y » ^
e s
*
e
Y
. « 4
sau
= e*e~ • * *
convergentă,
$
lirnP,: e » = e
•
* # 0,
oo
z
s-a întrebuinţat aici continuitatea funcţiei e şi faptul că e* ^ 0, oo, ! + - + •••+— 1 / Exemple. 6. e * * ~ n sat* 1 -f ... + — ~ l o g n , căci T~T I 1 H n
i
l
1% l I = n şiY^ — n
w
/
*
este convergentă. 7. ^ + *) - (* + » ) ^ 1 ...n
n
* ( ^ f»fr<;tt
Primul membru este F l ţ * ,
, +
l
P,~e ^ '"" *)~e
, I o f
negativi).
Z
j
? i
c
u
m
J ^ ~
este convergent»
* » n* (exemplul 6).
Exerciţii f
A
1. >
V
1
(« + n)(« + n+l)...(a + n + />)
fnlrţg < 0, £ Intoff > 0. 102
i = —
l
P a(a + 1) ...(a + P - 1)
, a
n«-i
R. Seria este de forma
(w — Wn+i) cu u
o
1 W
n
=
1
—
P
(a + n) ... ( a + n + p - 1)
R. Se ia în 1, a = 1 şi /> — 1 în loc de p. 3. Dacă S - * S, puntnd w — c S -f- ... -f c^S*^ cwc -f ... + c = 0 (A ^ 1 / i * ) , avm n
n
Q
n
0
n
oo
J^w o
n
= c S -f (c + cJSt + ... + (c + ... + c^Sn-t 0
0
0
x
2
» «+1 n+h ... + ie>» = c ] p S p + ^ £ 5 * + ... + <*
R. w + 0
... + ^ i ^ 5
+ (c + 2c + ... +
0
t
kc )S. h
A-S
*-S
0
J
p
+ J(^o+...+^)Ş5 | + U
... + < » g S * J -
p
Partea a doua este = O, a treia —• c S + 2cgS + ... -f hc^S. x
4. Dacă S —• S, avem n
5
S
< » - n+h) - 5 + ... +
- AS.
0
O
R. Se ia în 3 c = 1, c = ... = 0
00
= 0,
t
Cj|=-1.
1
5. p
i
=
1 *"* = 1 ^ ph
V
1 1 (a + n) (a + n + A) ... [a + n + {p - l)/i]
R. Se ia in 4, 5 » =
1
1
—
ph (a + n) (a + n + A) ... [a + n + (p - 1)A]
1
Ş
n ( n - 1) 2
1
2
R. Se ia în 3, S = — , 5 = 0 , w n n
n
2
^ 2 37T ^ > ^ arctg — = — > >• arctg n
m
7.
Se
aplică
1 arctg n + n -f 1 2
n
4,
observînd
1 = arctg — n
n + 1
= w(n — 1) 2
1
2
£f
R.
= Sn-i — 2 S + S
M
a
+
w
+
=
i
2 arctg — n
că
2
7T
4
1 = arctg
n -
1
— arctg
n + l
1 — arctg
• n + l 103
8.
— tg — = 2»
cotgx.
4-/ 0 2»
x
R. Se aplică 4 cu ajutorul formulei tg y = cotgy — 2 cotg2y. " 9. V
n
V
+
2
l
*) ( * +
l = —
) ~'(
n z
+
*
*)
1 -l,
1 >
2
l
0 0
1
^ >• • • I• 3 )
1 w
R. Ca la 1; seria este
h Y ^ (w -i — n) cu w = 1 V n
z+ 10. Fie Pi,Pis grad ^ k — 2. Fie
( h # 0 ,
întregi > 0
•
n
2
W * * l ) . . . ( n * + 1)
diferiţi; a n « - i fn/reg ^ 0 ; c
/(*-«)
i ,
.
X + />i +
(X + />i)... (X+ PT)
/(#) e
wn polinom de
.
••• + * +
avem atunci s
=
£
=
/ w
_ £
J _ L
c
. . .
+
!
+
}.
a
V ( + Pi R
+
w
M
) - ( * + P* +
)
1
fi
/ M (a + #i + » ) - ( a + ^ + w)
a + />* -
a
l
.... i
+ »
1
*
1J
Cfc
«+/>* + »
1
Fie Pi < P < — < Pic- Ţinînd seamă că c -f • •• + cjt = 0 (fiindcă / este de grad < k — 1), avem 2
5 =
x
Cl
— — + c y^ -
p
* +
n
V
si scăzînd 0 = (c -f ... + c*) y ^ a
— ! —
p
^ i
iii < i;
y ^ - ^ —
=
n
(i - Z ) ţ i 0 + * " ) = o 2
1
-**
n + î
>
de unde derivând logaritmic şi înmulţind cu z: 2**2
n
—
z
z
2* 1
Formula a doua se obţine schimbînd Z în — • Z 104
+
M
i*i > i.
— — .
R. Se verifică prin inducţie (sau din aproape în aproape):
A
a
n
V + ,
... +
w
+
se obţine rezultatul. Seria este finită.
x
ii. y ^ - — - —
a
+
—
2
p?
+ 1
_
+ 1
-z*« 2
2
n
+
l
* 1 -
Z
<
z ft
2
pentru \z\ < 1,
I 1— Z
N - i
12. V = ' L-t 1 _ * I i I pentru \z\ > 1. I 1- 2 R. Se verifică prin inducţie: n
z
1
n
1 x —
- j -
fv
13.
V
1- 2 00
n
,
P cos 6 -r P
y N
p
»
s
n
Z 2
i
n
M
0
ipKL
=
V
1 -
-
2P cos 0 + P
2
2
P cos 0 + i P sin 0
» 6 + î sin n0) = —
P cos 0 - P
P
00
-j- i
=
P sin 0 .
P
(1 — cos 0) — i sin 0 1— Schimbînd 0 în —0, adunînd şi scăzînd, se obţine rezultatul.
2
2 P cos 0 -f- P
OC n
14. ^
2
( | * | < 1), z = P (cos 0 + i sin 0) (|P| < 1); 1
N , •• A X c o s
^ 2
=
V n
2
1 —
2
z
R. Punem în \ ^ z x^s > P (
1 —
£2»
pcose-P
cos ne =
z — z*
cos 0 cos n 0 = 0,
w
^
1
cos 0 sin « 0 = cotg 0
(0 real),
1
R. Se pune P = cos 0 în 13. 15. Dacă seria cu termeni pozitivi V ^ — este divergentă şi a > O, — < — t—r k ' k a n
(n > v ), 0
n
atunci 1 *i R. —
-
'
a \ teorema
i
_
1
*i — *n
"
*J
hj{
{
—)
A
ST1
— O căci )
— £->
este dive-
k
n
2).
1) • • • ( « + » ) 6(6 + 1) ... (6 + n)
^
( » , - a ) •••(*„ -a)
S„ = — [ 1 - — ) f i - — ) . • • f 1
a gentă (§29,
«
&
a 6 - a - 1
(6 > a -
1 > 1).
R. Se găseşte, punînd h = b — a — 1 > 0 ; a(a + 1) ... (a 4- n + 1) 6 - a -
1
6 ( 6 + 1 ) . . . (6 + n)(6 - a -
I
E
A 6 + n
1)
6-a a -
l
1
6 ) \
6+
lj
*> + « J
este divergentă.
_ _ , + 2w- + ... + nw 17. Daal 2tt'„ este convergentă, —LJ LJ î — n w
n
0.
R. Aplicaţie a teoremei lui Kronecker (§ 17). 105
18. Pentru seria
** avem — — * —• 5 cînd \z\ < 1. Limita există şi atunci V * + cfnrf \z\ = 1, Jar * # 1 (seria fiind oscilatoare). 1
1 _ R . Prima afirmaţie cunoscută (§ 17). Avem S
n
—
(z # 1), l —z
i
1
r 1_ n+ 1- * L 1-*
( S + ... + S ) = 0
n-f
n
(» + l ) ( l - i )
1 1
= J
+1
1-
1 - *
T
z*
(„ + 1) (1 _ *)t 1
Dacă |*| ^ 1 şi 2 ^ 1, expresia
1 - ** Observaţie. Se zice că seria este sumabilă de primul ordin după Cesaro (sumabilă C ), t
cu suma
• 1 - z
19. Pentru seriile 1 + ^cosn6
(6#2Atc), ^ p s u m O
(O^Att)
1
1 0 ( S + ... -f S ) —• 0, respectiv — cotg — < n + 1 " ' 2 2 0
n
R . Urmează din 18, punînd * = cos 0 -f- i sin 0 şi separînd realul şi imaginarul. M
w
W
e
20. Dacă 2 n este o serie convergentă cu termeni > 0, seria E V » » + I convergentă. Reciproca este adevărată cînd u descreşte monoton.
e
^
asemenea
n
R. <
w
w
M
V «+i *+2 +
+
Juu+p-iUn+p
^
-Ţ
(*n+l +
— + " j H - p î se aplică criteriul Cauchy. Reciproc, dacă u descreşte monoton (u ^ u
««+2) +
... +
- y
M
( *+P-i +
M
*M-p)
<
ih-i +
n
n
+
-
+
w
^ ...)
n+1
M
V »+p-l *+p
^
w
«+l +
— +
u
n+p
şi se aplică acelaşi criteriu. 21. Exemplu din care să reiasă că teorema precedentă nu poate fi inversată cînd u nu des creşte monoton. n
r.
Luăm
u
n
t-i
= y^ ^n[n
seria diverge fiindcă seria extrasă
22V*»
~ J2
^ este convergentă.
= 1 + — + — + — + — + .... n
1)]
2.3
3
4.7
1 H—— - ] — - — h ... este divergentă. Seria
V (n + 1) [n + ( ~ 1)» (n - 1)] [n + 1 - ( - 1)» n] w
1
^ 106
î + ( - l) (» -
<J2m{2m + 1) (4m - 1)
1
+^ ^
l{2m + 1) (2m + 2) (4m + 3)
%
5
22. Dacă şirul w este astfel că seria 21 2|o>ii — o>,ţ il , k întreg > 1, este convergentă. n
w
w
n
e s t e
~~ a+i\
convergentă, atunci şi scria
+
R . Ipoteza implică w
mărginit \w \ < M
n
w
n
w
\ n - w +p\ < \ n -
(fix),
căci există n aşa ca
+ l^n+i - »»«| + ••• + l">n+p-l - " >
n
n + p
| < ^
/> arbitrar. Apoi avem ^
^
\wt*wtm\
+
+
1
. . . < AM*- ,
de unde afirmaţia. Să se găsească natura seriilor următoare: 1
2 3 ~
.+1 1
1 -— R. u : — = n —• 1. Divergentă, n n
2
4
y s V» + i - V»
R.
= —
*
—; u
: —7=—• — •
n
Convergentă.
25. ] C [ ( n + 1)* - » * ] (/> tntreg > 0). R.
w =
!
w
ft-l P
(n+l) 1 P-l P
u: n
;
j>-2
-f (n + 1)
P
/>-!
t
n
P
+ ... + n
'
P
1 p
n Seria este divergentă. 26. n« - n
Vn R.
1
u =
>
n
n —1
. Divergentă. n —1
0 0
n° 27. V * — (a real). W
1
!
G
R.
= =
u
n
(^LLL] \ n )
* ( \\v 28. \ ^ J L J _
! n+ 1
> 0. Convergentă.
n
?
i„/regt > 0.
107
4-oo («4w»
P > q
p
l)
P = q
(qn -f 1) ... (?n -f ?)
divergentă, = 1
divergentă, convergentă,
P < q
convergentă.
convergentă, V
n J
1, 3 ... (2« -
30.
f
[a < O di divergentă. 1)
2, 4 ... (2n)
1 2n 4- 1
R. Se aplică criteriul lui Raabe: 6«
l
J
J
U 2 » + 2)(2n + 3)
(2n
2
- 5n
3
2) (2n + 3 )
2
Convergentă.
w
2
R. Se aplică criteriul de condensare a lui Cauchy-Schlomilch, § 18, (a > 0). Seria este de aceeaşi natură ca
E
-
v
\^2™
l Q
g 2™ _ _
m log 2
Avem Vm+i — v
l w 4 - l 2"-
m
(Pentru a = 1, 2 v fiindcă: u
n
1
1
1
m
2"-
este evident
w
fa ^ . f a> > l1 convergentă, Seria este j[a a < < 11 divergentă.
1
^
divergentă.)
Pentru a < 0 criteriul nu se poate
nu descreşte monoton. Dar atunci seria este evident divergentă.
32. i «
R.
^
«
Cum
• -f oo monoton, avem u
logn n
1
> — , u
n
logw
e
Seria este divergentă. 00 3 3 . £ 2
a
l
o
g
n
( « > < > ) •
î |0 < a < — l o
R. w = e 8 n
n
l o
convergentă,
g « = n'og« < f
a >
divergentă, e
0 0
1
34.
(a, a.,
^ 108
fl
n«(logw) i ... (lo >n)«* gj
a
p
reate).
>
1
. e
—= g
1
— u
aplica
R. Aplicăm criteriul lui Ermakoff luînd /(*)
=
f a
a
x (log x)** ... (logp x) *
n
n
1 a
F(x) =
= < - >*
a
x -«i
e
(log * ) " ' - " * . . .
a
,
a
(k>gp- *) * -i- P 1
a
(log *) *. p
/(*) x
Pentru n destul de mare fiecare din funcţiile e , x, log x, log x,... este mai mare decît orice putere de exponenţi > 0 a funcţiilor următoare, de unde se conchide că, pentru x-+ + oo, F(x) —• 0 sau + oo, ceea ce dă convergenţa, respectiv divergenţa seriei. Şi anume: 2
a > 1, (F(x) —• 0), convergent, a < 1, ( F ( * )
+ oo), divergent.
a = 1, a > 1, (F(#) A
a < 1 (F(*)
0), convergent, + oo), divergent,
x
a = 1 • . A
. a^^! = 1 , a > 1 convergent. a < 1 divergent. v
p
!
35.^a ^ » (a>0) 1 p
l
a
R. u = (logp_in) °8 : Dacă /> = 1, vezi 33. Dacă p > 1, seria este divergentă după 34. n
36.
n
2> *
(a > 0). + oo a > 11 — oo a < 1> J > 0 , 0 a = 1J
R. log u = n* log a n
log a
^ =0,
0
? <0.
u nu —• 0 cînd q < 0 sau # > 0 şi a ^ 1; seria este atunci divergentă. Cînd q > 0 şi a < 1, m„ 0 monoton. Aplicăm criteriul de condensare al lui Cauchy: Seria dată are aceeaşi natură ca n
V
m
2m
m
v
2 » = Z 2 a *. Avem V m = 2a
m
—• 0. Aşadar seria dată este convergentă cînd q > 0
şi 0 < a < 1; divergentă în celelalte cazuri (a > 0). 37. Pentru 0 < p < 1, expresia
^ arc o limită yp *w (0, 1] câ/re care tinde descrescînd. 0 0
R. Aplicaţie a observaţiei 2, teorema 2, § 18, la seria divergentă
1 w
i-p
• 0
oo
38.
t-j
Daci seria \^d (d >0) n
n
0
este divergentă şi S sînt sumele ei parţiale, seria n
0*
—
* ste convergentă cînd p > 0. (Pringsheim ) . 1 rf» <*n R. Fie /> întreg astfel că — < p; < şi este destul să considerăm seria p S-nS*^ S <% cu acest termen. Cum seria t t
109
este convergentă şi are termenii > 0, este destul să avem d
^Sn-Sn-v
n
(_}
<
M
sau 1 _ ^zL
^ 1
ceea ce este adevărat [1 — x*> = (1 — x) (x^- + ... -f 1) < p(l — x) pentru 0 < x ^ 1]. 00
39. Dacă y ^ ă
n
(d
n
> 0) este divergentă şi are sumele parţiale S , n
convergentă pentru a > 1 divergentă pentru a ^ 1
(AbeUDini).
R. Divergenţa în exemplu 2 § 19. Convergenţa rezultă din 3 8 : — <
^
M
00
40 . Dacă y ^ Cn(c > 0) e*/e convergentă şi are resturile R , o w
E
c„ R%-i
n
, (convergentă pentru a < 1 este J [divergentă pentru a ^ 1
R. Cum i?„—• 0 (monoton),
,^. . , (Dini).
< 1 (n > v) si — ^ — > — ( n > v )
pentru 3 > 1,
ajunge să stabilim divergenţa în cazul a = 1. Avem, într-adevăr,
i?n
Rn+p-i
Rn
Rn
pentru p—*ao, ceea ce arată că condiţia lui Cauchy nu poate fi satisfăcută (cu un e < 1). în cazul a < 1, putem lua un întreg p > 0 astfel ca a < 1
ajunge să demonstrăm convergenţa seriei
—
(
-
u
m
s e r
*
a
lp > /> l
î \ j 1- a / 9
^* )
a
r
e
t e r
"
menii ^ 0 şi este convergenţă, ajunge sa avem pi-vp
m-iip ^n—i
^n—1
adică
1
<
ceea ce este adevărat fiindcă
P
[
l
(ifn-i)
] '
— < 1. Rn-i
00
^
41. Dacă^^d 1
n
_.
este divergentă şi — - * 0, avem pentru sumele parţiale S
n
$n
__
divergente 2 — I 5. ( Cesaro )
110
S s logS n
w
|odicâ
_> 1J .
ale seriei
x
R. Avem
d d S • 1 pentru x —• 0. Deci luînd x = — » avem — : log S
log——
n
S
n
S
*-
1— x Urmează (exerciţiul 6, § 13), luînd d = 1,
1. x
0
d
d
S\
Sn
x
n
— +•••+ — l o g
5L ... . +
4
l o g
S
.
n
£ L ?
SQ
SN
X
(avînd în vedere că log S -+ oo). n
42. Să se stabilească natura seriilor hiperarrnonice si logaritmice cu ajutorul exercitiilor
39. şi 41. °o
i f convergentă pentru a > 1
R. Luînd d — 1, avem y^ — ţ
\ precum şi 1 -\
n
-\
(-
n
1 " l divergentă pentru a < 1, 2 -|—— £ log n. Luînd o* = — şi înlocuind S cu log n în 2 — (ceea ce nu schimbă natura n n S* [ d d \ acestei serii pentru că S ~ log n, fiindcă — : • 11 > avem n
n
n
n
n
l
(convergentă pentru a > 1 1 / " 9 precum şi
y^
V
^aog n ) \(divergentă pentru
a^ 1
a
d
n
i
v
n
1
1
£ log
— ^ log n etc. ^-5T n(log w) t-şf n 43. Daca numerele h satisfac condiţia 0 < h < 1, seriile 8
y
n
n
p
SA»+i[(l - A ) ( ! - Ai) ... (1 - A»)] , 2 0
— P > 0 sm* convergente. [(I + h ) ... (I + h )]e 0
n
R. Se aplică criteriul lui Kummer (§ 20) cu k = — — : pentru prima n+i
serie k —
n
n
h
_^n+i_
- (1 - /* )P] ^ p > 0 (căci (1 - x)<> < 1 - p * pentru | ar | < 1, ^n+i 1 ^ p > 0). L a fel pentru seria a doua. kn+i
=
n+1
u
n
Convergenţa funcţiilor depinzînd de parametri şi în special a seriilor şi produselor infinite de funcţii § 32. Generalităţi Definiţie. Fie f(z , z: t, t ) o funcţie de două serii de variabile, z z şi t , t , definită în mulţimile D x D X ... X D = D şi Ei X X £ X ... X E = £ . Considerînd t , ...,t drept parametri, avem o funcţie de (z , z ) în D, depinzînd de acei parametri. Fie (T , x ) un punct limită al mulţimii E (adică T , -z sînt, res pectiv, puncte limită pentru E E ). Dacă există în fiecare punct din D (adică oricare ar fi z <= D , z <= D ) x
l
f
p
x
2
p
x
q
q
x
q
x
x
2
p
q
p
x
q
x
lt
x
lim
x
p
f(z
lf
q
q
p
z; t p
lt
t ) = y(z , q
x
z ), p
111
aceasta se va numi funcţia limită a funcţiei f pentru (t , t ) —> ( T r) sau în punctul ( T , Funcţia limită depinde numai de valorile funcţiei / într-o vecinătate F( ... oricît de mică. î n D putem avea puncte unde limita este finită (puncte de convergenţă) sau infinită (puncte de divergenţă). Atunci cînd 9 este finită în toate punctele din D se zice că / converge la 9 , sau că / este convergentă în D. Noţiunea generală de funcţie limită subsumează diverse procese de limită prin care o funcţie y(z z ) este obţinută şi studiată cu ajutorul unei funcţii cu parametri, m a i simplă. M a i curente sînt următoarele: o(z z ) limită a unui şir de funcţii / „ , ' ...(z z ). ( î n acest c a z £ este o putere carteziană a mulţimii numerelor întregi ^ 0 şi T = + 00, x
q
1 #
q
X
Tl>
lt
lt
T' =
+
P
P
W
f
lt
p
00,...):
/»,«',
lt
l9
z ) - > 9(21,
z)
p
p
în
D.
z ) sumă a unei serii de funcţii: p
z)
--Q
00
0
0
valoare a unui produs infinit de
p
00 * , )
=
n
n
o
funcţii:
00 -
o
+ / » . - ' .
—
**))•
o
O funcţie
q
it
P
Capitolul I I
Noţiunea de funcţie monogenă (olomorfă) de o variabilă şi reprezentările conforme plane. Funcţiile elementare Monogeneitate (derivabilitate)
§ 33. Diferenţiabilitate Definiţie. Se zice că o funcţie u{x , mulţime A, este diferenţiabilă în punctul vecinătate U *
x ) de variabile reale, definită într-o interior x°(x\, xţ) dacă avem într-o
x
n
x
(1)
Aw = (Ui +
unde Au
este creşterea lui
sînt nişte numere fixe,
+ ... + (U
u corespunzătoare
şi ^
0 pentru
Teorema 1. Dacă o funcţie difer enţiabilă
în punctul
+
n
interior
Ax
u(x
n
Ax
i
Ax definită
u
= x — x*,
U
{
f
0.
n
x)
lt
n
creşterilor
-+0,
x
Z )Ax ,
într-o
mulţime
A
este du > dx
x°, atunci există în x° derivatele parţiale
i
egale cu Căci punînd în ( 1 ) x =
AS,
2
lim A*l
+
A
X
* »
l
o
x
n
U
*> ~ Axi
{
X
= x*, a v e m
° *
S
)
=
Um -> o
+ ^) -
U
v
Astfel (1) se scrie Au = -^-Ax dxi
1
+ ... + -^-Ax dx
+ l,
n
l = ^ A ^ x + ... +
l Ax u
nt
n
unde \ este de ordinul al doilea. Partea de ordinul întîi a lui Au (partea prin cipală) se numeşte diferenţiala
funcţiei u ( x
du =
{
în ofi şi se notează:
dx ; n
independente
x (ce se obţin luînd t
O funcţie diferenţiabilă este continuă după cum rezultă din
Teorema 2. Funcţia x° dacă:
)
n
sînt aici diferenţialele variabilelor
u = x ).
n
dx
x
i
x
t
d#i + ... +
dx ăx
l
1° într-o
u(x
vecinătate
lt
x)
este diferenţiabilă du U * există derivatele u
x
în punctul finite
şi
(1).
(interior) 2°
aceste
dXi
derivate sînt continue în x°, chiar cu excepţia uneia din ele, care poate să existe (finită)
numai în x°.
8 — Teoria funcţiilor — c. 1275
113
Ajunge să considerăm o funcţie de două variabile tt(x, y). Au = [u(x + A * , 3/0 + Ajy) — u(x , y + Ay)] + [u(x , 0
0
=
A tt(* , y x
0
0
y + Ajy) — u(x ,
0
0
+ Ay ) + A u(x ,
0
0
y
Să scriem 0
y )] = 0
y ).
0
0
Presupunînd existenţa derivatelor finite — > — într-o vecinătate U * dx dy (în care luăm punctul (x + Ax, y + Ajy)), putem scrie aplicînd teorema x
0
0
creşterilor finite: dti + A > ) = A * — (x + O A * . y dx
4r«(*o.
0
= Ax^(x ,y ) 0
\u(x ,y ) 0
0
= Ajf ^
|6|<1,
( * , ^ 0 + B'Aj,) = A ; y ( ^ ( * , ^ o ) + >))' 0
I 6 ' | < 1.
0
Dacă m a i presupunem (2)
+ ^ ,
0
+ Ajy) =
0
continuitatea
l = ~ (x + QAx, y dx 0
0
derivatelor în
+ A y ) - ^ (x , dx 0
x, 0
y) 0
Şi (2')
1= ^
(*» y + 6'Ay) -
^
0
dy Ay-+0. du Este însă destul ca numai — dx
( * . jy,) 0
dy
tind la 0 pentru Ax-+0,
să verifice condiţiile de m a i sus,
— să existe (finită) în x°. Căci punînd A u(x , dy da Y] —>• 0 în virtutea existenţei lui y
0
y ) = Ay(-^\dy 0
0
+ vj) » )
iar
avem
Observaţie. Simpla existenţă a derivatelor parţiale în x° nu asigură diferenţiabilitatea, care este o proprietate intermediară între aceasta şi existenţa derivatelor parţiale continue; ea nu atrage nici măcar continui tatea: v e z i e x e m p l u l 8, § 34. Exemple, l . w = Vl *y\ * (0,0) are derivatele parţiale —(0,0) = 0 , — (0,0) = 0 dx dy (A^O.O) = 0); dar nu este diferenţiabilâ pentru că am avea n
Am
=
*J\ xy\ = \x + r\y (Ax = x, Ay = y)
sau în coordonate polare V l sin 281 = <J~2. (£ cos 0
114
+ tj sin
0);
or, dacă x —• 0, y —• 0 pe o direcţie
0 = const. # K—, membrul al doilea ar tinde la 0, 2 Se observă că derivatele parţiale nu există într-o vecinătate U :
iar membrul I ar fi ^ 0.
0
du
V\y\
- j j j - (0,>*) nu există pentru y ^ 0 fiindcă raportul incrementar corespunzător,
y — sgnx,
nu are limită. Aceasta nu se întîmplă în exemplul următor. 2. u = -fy x + y . în (0,0) derivatele sînt = 1. Se vede la fel că funcţia nu e diferenţiabilă în acest punct. în acest caz derivatele există în vecinătatea punctului: x y u = — — u = dar pe dreapta x -f y = 0 sînt = -f oo, 3
3
2
x
2
r
f/( 3
v
^3)2
+
X
y
^ ( , 3
^3)2
+
cu excepţia originei.
u(x
Teorema 3. Dacă funcţia vate parţiale
finite
x ),
lt
n
definită
în domeniul
şi continue într-un domeniu închis D
a D, ţ
x
tind la zero uniform într-adevăr,
în
t
derivatele parţiale sînt uniform continue
\< 8
din ( 2 ) , ( 2 ' ) . I5|<e
(i =
şi
1,
|i)|<e
—(x' ,...,x' )— 1
n
u)
(x*, F(x
lt
x^)
şi
u {x
n
sînt
m
iau
n
în
u (x))
H
x)
v
diferenţiabile
x ) == f{ux{x)t
în D
(V)
( I , §13) şi
x
— (x ,...,x )
acest
punct,
8.
în punctul
valorile
u\,
atunci
este diferenţiabilă
m
\Ay\<
este diferenţiabilă
m
x ),
x
din
t
pentru I A * | < 8 ,
lt
u (xi,
n
< e 1 n dx « ) . Deci, în cazul a două variabile a v e m
Teorema 4. Dacă f(u şi funcţiile
ţ
x
dXi
| x\ — x
9
D.
deci la un e > 0 corespunde un 8 > 0 astfel că pentru
D are deri
l t
in (*?,
(u\,
u%, în funcţia
u? ) n
punctul compusă
x%).
Avem
în u°,
cu
în x°, cu ţ
YJ*->0
kt
pentru Au ->0;
şi
k
-> 0 pentru A # , - > 0. Urmează
rriVifel du dx k
)
{
unde £J este o sumă de termeni care conţin factori E finiţi. Cum, pentru A * * - > 0, \ Corolar. în
ipotezele
k i
sau r , (k
cu coeficienţi
-> 0 şi r -> 0, urmează şi !;! -> 0. ik
teoremei dF _™ dx
t
HI
t<
HI du
k
df
jhi du,
dx
t
du
k
dXi
HI
du
k
115
§ 34. Derivata unei funcţii de o variabilă complexă
Definiţie. Fie f(z) = u -\- \v o funcţie finită de variabila z = x + iy în mulţimea A şi z un punct interior. Derivata ei în z se defineşte ca pentru funcţii de o variabilă reală: 0
0
v
d/
e finită).
Au +
Az->o Az
0
(cînd limita existaşi
Af
v
dz
A*->O Ax
Cînd derivata f'(z )
iAv
+
iAy
există, funcţia
0
se zice
monogenă.
Pentru ca limita să existe este necesar să existe limitele pe dreptele y = (pentru
A * - > 0 ) şi x = x
(pentru
0
teorema 3 ) . P r i m a limită,
(——t-LJL|
lim A*-»0
.. hm
Au(x, y ) L_22L 0
Ax^o
=
\
Ax
du. _(* ,j, ) 0
Ax
y
0
A j y - > 0 ) şi aceste limite să fie egale (§8, există
9
. şi h m
0
există numai dacă Jy=y
dx
Av(x, y ) $v . i_J2L = _ ( * , 0
0
Ax->o
Ax
. y) 0
ox
şi la fel a doua limită. D e c i este necesar să existe în z (x , 0
0
y) 0
derivatele
— > — > — > — • A p o i cele două limite trebuie să fie e g a l e : dx dy dx cy du
, .dv \( du h i — = —I
dx
, . dv\ h i —
i\dy
dx
^y)
in z , ceea ce înseamnă: 0
dz; dx
dy'
Acestea se numesc condiţiile Să e x p r i m ă m +
dv dy lui
aceste condiţii
dx
Cauchy. în
coordonate
polare:
z=
p(cos 0 -f-
i sin 0 ) . F i e şi w = u + n; = 2?(cos 0 + i sin 0 ) . A v e m u = u cos 0 + u sin 0, p
=
x
u
?{— x
y
s
i
n
^ + u cos 0 ) , y
v = v cos 0 + v sin 0, p
x
y
VQ = p(—v
sin 0 + v cos 0 ) ,
x
y
deci, dacă z ^ 0, w — — v* = ( ^ — v ) cos 0 + (u P p
^
P
y
+ — UQ
= — (u
x
y
+ ik) sin 0,
— t^) sin 0 + (u + v ) cos 0, x
P de unde rezultă că condiţiile lui Cauchy sînt echivalente cu . (4) / A
116
du dv p— = — > dp dQ
dv p— = dp
du dQ
într-un punct v = R sin 0 ,
z # 0.
Introducînd apoi R
(dR ~ . ^ 0 \ p — cos 0 — R sin 0 — = \dp dp)
dR dQ
p — sin 0 + R cos 0 — = \dp dp)
dQ
D
echivalente
şi 0 ,
avem din u = R cos 0 ,
- r\ i T> n> sin 0 + R cos 0
£0
'
cos 0 + R sin 0 (
cu
(5)
p * * - * * . 8p BB
p * * ® = - « * . dp e>6
D e asemenea, introducînd R şi 0 A , c o s 6 — Rsine-@
=
x
în (3), avem A , sin6 +
i?cos0-0 , v
R cos 0 — R sin 0 • 0 „ = —R sin 0 — R cos 0 • 0 , , v
echivalente
x
cu
(6)
=
sau (In R)
= 0 ,
x
(In 2?), = -
y
0,.
Acestea arată că funcţia In R + i© este monogenă; deci In R şi 0 funcţii armonice dacă w # 0. Teorema 1. Pentru ca f(z) să fie monogenă în z este necesar ca derivatele du du dv dv „ . , . , . „ ... ,, — > — > — > — sa existe m acel punct şi sa verifice condiţiile ( 3 ) . dx dy dx dy ' Dacă f(z) este monogenă, f'(z ) este egală cu limitele parţiale consi derate mai sus: 0
A
A
v
0
,n\
/v/
7
du
v
f(*o) = —
x
+
. dv 1 —
dx
=
dx
\{du
,
T
+
—
i\dy
.dv) 1
—
dyj
în z . 0
Condiţiile teoremei
1 nu sînt suficiente.
Exemple de funcţii nemonogene într-un punct, care satisfac condiţiile lui Cauchy: 1. w — r(cos n0 + i sin n0) n întreg > 1 este o funcţie uniformă de z = r(cos 0 + + i sin 0). în 0(r = 0) condiţiile lui Cauchy (4) sînt satisfăcute: ru = r cos n0,
VQ
ru = r sin n0,
WQ = — nr sin n0
r
r
= -f nr cos n0,
(acestea sînt nule pentru r = 0). însă funcţia nu este monogenă: Ait> Az
cos n0 + i sin n0 cos 0 + î sin 0
nu are limită cînd Az —* 0(r —• 0). 117
2. w = J\ xy \. Funcţia este nulă pe axe, deci derivatele parţiale ale lui u şi v sînt nule în z — O şi satisfac condiţiile lui Cauchy. însă
/ Az
y-
x + iy
Sin 20 |
I
cos 0 + i sin 6
nu are limită pentru r —• 0. 3. Raportul
Az
poate avea limite egale în toate direcţiile fără ca totuşi să aibă limită. + x* 4- y*
(
Z #
Q);
0,(0=0.
în origine, dacă : - > O p e o dreaptă y = kx, — = Ar
— 1+
1
Dar pe parabola x = y
• 0. L a fel pe x = 0.
avem A w _ _l Ar "~ 2 *
Funcţia satisface condiţiile lui Cauchy în 0. Condiţii necesare şi suficiente sînt date de
Teorema 2. Pentru ca o funcţie w = u(x, y) + iv(#, j>) să fie monogenă într-un punct, este necesar şi suficient ca funcţiile u(x, y) şi v(x, y) să fie dife renţialele în acel punct şi să satisfacă condiţiile lui Cauchy \ u = V
u = — v.
x
y
într-adevăr, pentru ca raportul
x
să aibă o limită finită A + iB
în
z
0
Az este necesar şi suficient ca (8)
J ^
=
^
+
i
J 5
+
(Az*0),
e
Az unde e - > 0 pentru
- » 0. Punînd e =
aceasta înseamnă că e ^ O ş i
C l
+
k , 2
e - * 0 c î n d A # - * 0 ş i Ay->0. 2
Separînd realul
de imaginar, condiţia (8) revine la Au = A Ax — BAy + e A * — ^Ajy, x
Av = BAx + AAy -f- t Ay + 2
ti&y,
cu €x -> 0 şi e -> 0 pentru A # - > 0, A y - > 0. D e aici rezultă teorema, observînd că trebuie să avem A = u B = —w = v 2
z
y
118
=
Corolarul 1. O funcţie continuă în acel punct.
monogenă
(cu derivata finită
într-un
punct)
este
P r i n ipoteză Au = (u
+ l) Ax + (u +
x
Av = (v + V) Ax + (v + x
Ay,
7))
y
Ay,
7]')
y
unde £, 7), S', 7]' - > 0 pentru Ax -> 0, Ay -> 0 şi deci pentru scrie, ţinînd seamă d e ( 3 ) , f'(z ) fiind definit d e (7) :
A z -> 0.
Putem
0
A / _
K
+ Wş) A * + (u, + fo,) Ay
A*
ţ
+
/ ' ( z ) A * + i / ' f a ) Ajy
=
0
+ iAy
AX
Ax +
iAy
sau (9)
y . Az
=
r
{
j
h
+ z
)
cu ( 9
,j
^
+ r^Ay + i(ţ'Ax
=
+ r\'Ay) ^
Az cum şi (9")
K | <
(căci | Ax\
l5| +
h l +
l5'|+ h T I
< | A z j , . . . ) , urmează £ —• 0 pentru A z —• 0.
Deci Af=
Az(f(z )
+ C ) - > 0 s a u l i m f(z)
0
=f(z ). 0
Corolarul 2. Dacă funcţiile f(z) şi g(z), monogene în z , se anulează în acest dar /'(*o) Şi g'{ o) sînt amîndouă nule, atunci 0
punct,
z
n
u
l
i
m
_ / ( l
=
z
« - * g( ) (se înţelege că limita
este oo cînd g'(z ) 0
i'(zo) = 0 şi f'(z )
=
(f'(z ) 0
+ t),
# 0).
0
î n t r - a d e v ă r , a v e m într-o vecinătate f(z)
/ M
U,,\
g(z) = &z(g'(z ) 0
+ e ), x
unde e, z -> 0 pentru A * -> 0. D e c i x
M
=
/foi) + «
, /'(*o) .
*'(*o) + «
*'(*o)
Observaţie. D i n existenţa derivatelor finite ale funcţiilor w(#, 3/), u(#, y) nu rezultă continuitatea funcţiei f(z), care e însă o consecinţă numai a m o n o geneităţii. Căci, de exemplu, u(x, y) poate fi discontinuă chiar cînd există du du . . 1 1 \ — > — ( v e z i e x e m p l u l 8). 0
119
Teorema 3. Fie w = f(z) o funcţie monogenă în z şi w = f(z ) un punct interior pentru mulţimea valorilor funcţiei. Dacă funcţia F(w) este definită într-o vecinătate V şi monogenă în w , funcţia O ( z ) = F(w(z)) este monogenă în z şi 0
W9
0
0
0
0
d O _ dF
dw
dz
dz
dw
0
Avem,
0
0
într-adevăr, A0> = AF = Aze{ —
(
dw d*
+z]>
\ hU' ;
0
Z - > 0 pentru
£->0
Aw->0,
pentru Az
->0.
Cum Aze>->0 pentru Az - > 0 (corolarul 1), a v e m ( dF dw \ A O = Az — — + & , \dz£/ d^o ; A
r
0
dF ( dw unde Ci = £ ~ [ ^ ~ + ^ I ~ + £) -> 0 pentru A * - > 0. Observaţie. vecinătate U w = f(z).
Z
Q
Se v a v e d e a m a i tîrziu că, dacă f(z) este monogenă într-o , punctul w este interior pentru mulţimea valorilor 0
Teorema 4. Dacă fi(z),
f (z) 2
sînt monogene în z ,
avem
0
-r(/i(*) +/.(*))=-^/i(*)+-£-/«(*).
d^
dz
8
n
^(f(z)) dz
=
n ( f ( z
0
—
d^o
=
1
2
U
(/i(*o)) L
f
a
(ko
0
0
) r ^ , dz 0
)
^
dz
0
d^o J
Mzo) * 0).
Demonstraţia ca la variabile reale. Corolar. Polinoamele sînt funcţii monogene pentru toate valorile variabilei. Funcţiile raţionale sînt monogene pentru toate valorile variabilei care nu anu lează numitorul. Derivatele acestor funcţii se obţin ca în cazul variabilelor reale. Definiţii. O funcţie (uniformă) f(z) se zice olomorfă într-un domeniu D dacă este finită şi are derivată finită în fiecare punct din D. E a este m o n o g e n ă şi continuă în D (teorema 2 ) . f(z) se zice olomorfă în z dacăjeste olomorfă într-o vecinătate U, ; este olomorfă într-un domeniu închis D dacă este olomorfă într-un domeniu D => D. 0
0
x
f(z)
se consideră
olomorfă în z = oo dacă funcţia
olomorfă în z = 0 (se defineşte / * ( 0 ) = /(oo)). 120
/|—j
= / * ( z ) este
Partea reală şi imaginară, modulul şi argumentul unei funcţii olomorfe sînt derivabile în raport cu x şi y. O funcţie poate fi monogenă într-un punct fără a fi olomorfă. Exemplul
4. w = | z \
n
Teorema 5. Dacă f(z)
este olomorfă
în domeniul
Af=Az(f'(z)
+
închis D, avem
ţ),
unde £ —*• 0 pentru Az —> 0, uniform în D. A d m i t e m , urmînd a da demonstraţie m a i tîrziu, că f'(z) în D. Cum — > ... sînt continue,
u(x y)
şi v(x, y)
t
este continuu
sînt diferenţiabile înZ>
dx (§ 33, teorema 2 ) , şi în ( 9 ' ) Y J , Y ) ' ^ 0 uniform în D (§ 33, teorema 3 ) ; de unde rezultă afirmaţia, a v î n d în v e d e r e ( 9 " ) . Observaţie.
Ştim de asemenea că A / — > 0 uniform în D (§ 13).
D e r i v a t e l e de ordin superior ale unei funcţii f(z) se definesc recurent. Se v a v e d e a că o funcţie olomorfă are derivate continue de orice ordin. A d m i ţ î n d aceasta, putem enunţa: Teorema 6. Dacă f(z) = u(x, y) + iv(x y) este olomorfă u(x,y), v(x, y) verifică ecuaţia lui Laplace:
în D,
t
în
d\
,
c\ (\0) { U )
= 0
-_L- + _ I 2
funcţiile
2
dx
dy
D. Deoarece u şi v au derivate continue de ordinul 2 iar din (3) urmează 2
2
du
2
dv
2
dx
2
du _
dv
2
dxdy
dy
2
du
dydx
rezultă 2
du 2
„
2
dx ^ dy 2
dv . ... „ = aceste derivate fund dxdy dydx Soluţiile ecuaţiei (10) se numesc funcţii Reciproc: 2
w
(pentru
Vv
x
J
A
ca
. , continue). armonice.
Teorema 7. O soluţie u(x, y) a ecuaţiei lui Laplace, finită,
du
continuă şi cu
du
derivatele — > — finite şi continue în domeniul simplu conex D este partea dx dy reală a unei funcţii f(z) = u + iv, olomorfă, în D, determinată pînă la o constanţă aditivă. într-adevăr, v(x, y) satisface ecuaţiile ( 3 ) , deci (într-un domeniu simplu conex), y
(11)
v(x,y)
f(*» )
= \
du
-"JLdx
+
du
^dy+V(x ,y ), 0
0
121
care este integrala unei diferenţiale totale, deoarece u(x, y) satisface ( 1 0 ) . î n particular
,
v
v x
(>
f
x
Ou(x, y)
y) = \
——
, p 8u(x , y) ,
A x
9
d
+ \
dy
Jx
.
,
.
y + (*o>
y*)>
0
d
Jy
o
v
dx
0
dacă condiţiile sînt satisfăcute într-un dreptunghi. Funcţia f(z) = u(x, y) + + iv(x, y) astfel determinată este olomorfă fiindcă satisface condiţiile lui Cauchy şi u(x, y), v(x, y) sînt diferenţiabile (§ 33, teorema 2 şi teorema 2 d e m a i sus) şi d e r i v a t e l e parţiale d e ordinul I continue. Se zice că două soluţii ale ecuaţiei (10) legate prin relaţia (11) sînt
conjugate. Exemple €. f(z) = z nu este monogenă nicăieri: u — 1, u = 0, v — 0, v = — l n u satisface condiţiile lui Cauchy. x
y
x
y
6. O funcţie olomorfă nu poate avea numai valori reale decît dacă este o constantă. Căci v = 0 ne dă u = u = 0, deci u — const. x
y
7. Dacă modulul sau argumentul unei funcţii olomorfe este constant, funcţia este constantă. Rezultă din (5) sau (6). 8. Funcţia 0
pentru x = y = 0, xy
f(*.y) 2
pentru x sau y ^ 0 2
x 4- y
are derivată în origine, dar nu este continuă. Căci avem / ( # , 0) — 0, / (0, y) = 0, de unde / (0,0) = 0, /j,(0,0) = 0. Iar f(x y) = cos 8 sin 0 arată că / nu are limită pentru x - * 0, y —• 0. Funcţia nu este diferenţiabilă. x
t
9. f(z) = —-— cu /(oo) = 1 este olomorfă în z = oo pentru că f[—\ = — este z—1 V z ) 1— z P(z) olomorfă în z = 0. Mai general, o funcţie raţională f(z) = este olomorfă în z — oo dacă gradul lui P(z) este < gradul lui Q(z).
Exerciţii 1. Să se determine funcţiile olomorfe f(z) cu proprietatea \f(z) \ = cp(J z |). R. Din (5) urmează i? = i?(p), 8 = 0 ( 0 ) şi 1 di? d0 p— — = — = a i? dp d© Rezultă, integrînd, R = Cp°,
(const.).
0 = a0 + 0 , O
/ ( * ) = Cp*(cos(a0 + 0 ) + i sin (a0 + 6 )) 0
0
a
sau f(z) = oiZ unde am pus t
a = C(cos 8 -f i sin 8 ). 0
0
2. Funcţia f(z) = e^cosy + i sin y) este olomorfă în tot la planul (la distanţă finită) şi are derivata = f(z). 3. Să se stabilească ecuaţiile cu derivate parţiale de ordinul 2 la care satisfac R = \f(z) \ şi 0 = arg f(z) ale unei funcţii olomorfe. 122
R. Acestea se deduc din (5) sau (6): log R +
log R = 0,
1
dx
Sxx + ®«y = 0
dy*
Aşadar log \f{z) | şi arg f{z) sînt funcţii armonice. 4.A |/( )| = ^ 1
Z
^
+
3* R. Din (6): R
+ R
xx
bian» -^®L=iî 1
; r
= - i 8y* 8 (
=
yv
e ,-^e l
: c Ş
l/Ml Q
)
e
*' = 8(x, y)
)
^ d(u, v)
isegâse te
8 ( m
' " > , unde. de e » m p l » . d(x, y)
ifci-ZL =
Ş
fi.
f i ^
=
J
tt
+
t
,
î
=
5. S£ se determine funcţia olomorfă astfel ca /(O) = 0
şi
u — e?(x cosy — y sin y ) .
R. Condiţiile lui Cauchy dau (funcţia u fiind armonică): v =* e*((* x
-f
1) sin y
-f
y cos y), v = e*((*
-f
y
1) cos y — y sin y),
de unde aplicînd (11): v = e*(* sin y /(*)
s
6. itfem, />nn condiţiile /(O) = 0 R. v = 2y — x, x
Vy
aas
y cos y)
-f
e'(* - f iy)(cos y - f i sin y) = xe*. şi u = x* — y* -f *y.
2# -f y,
r e » y) 1 , v = \ 2(yd* -f *dy) — xdx + ydy = 2xy — — * H J(0, 0) 2
1
8
. y ;8
2
8
f(z) — x*
y* -f- 2i*y - - i ( * - y* + 2i*y) = z*|l - 1 i J
f
y
7. Idem, prin condiţiile f(\) = 0 şi v = x* + y* R.
u
=
x
x* — y*
2xy
(x* + y*)*'
5
{X
*
V)
(1,0)
9
(** + y»)*'
(** — y*) dx -f 2*y dy _ f y 8
1
(* + y )
8
2*y dy
)o (x* + y*)
** -f y
C* d* _ 8
Ji *•
1
*
S. 54 se determine funcţiile olomorfe pentru care
u
8
—
R. Scriind că M este armonică, avem
r
+ ** + y*
i.
- ( * + V*
2
+ y*)?" + - V = o
2
8
2o9 (a) + 9 » = °> a = * + V * + r » ,,
C
de unde 9' = — —
u = 9 = cjct + c
t
De aici înainte este preferabil să întrebuinţăm reia
v
ţiile (4): 2
a = 2r cos — , 2
u = cJlr cos
G
c
v, =
. V2r
f- c,, 2
0
C i -
sin — > vo = —— 2 V2
cos — . 2
de unde v == cJ2r sin — -f c 2
(
0
ai
0^
cos
h i sin — I -f c + i c = c y[z + c + ic (c c^ c reali). 2# ~}~ y 2J 9. Funcţia u = - — este armonică. Să se determine funcţia olomorfă f(z), pentru x* + y* care u = Re / ( z ) . Ce sin/ curbele u = const şi v = const? R. f(z) = *
x
2
0
x
?
0l
t
* + ic (c real). Curbele cerute sînt cercurile prin O, cu centrele pe bisecz
toarele axelor. 10. Să se calculeze în coordonatele polare r, 6:
Ar9 = R.
9x -f 9v
A
l
9
S
A
1
29 = ?** +
9î/.V
= 9? + - % e , r
2
1 A 9 = 9rr H
~
2
r
2
1 9©G H
?rr
11. Sdf sg stabilească formulele următoare pentru o funcţie olomorfă w = f(z): ^ f u>'\ d r B\w\ Re I z — I = — arg vv = —- » [ w ) BQ \w\ dr w'\ d d !
(
z— I = log \w\ = r — arg w. w) ev er R. Avem ' = — = — (R cos 0 + ii? sin 0) = ( — + i0*)(i? cos 0 -f ii? sin 0) 8x 8x [ R ) w
w 3
124
R
) (Rezultă imediat din formula ce se va stabili mai tîrziu: log w = log i? -f i0-)
de unde, aplicînd formulele (6) Re | i — j = x -5? - e y
x
= x9 - ry©* = 0 * + 0^0 = ©o y
X
O
Im | * — \ = y —- + x
?.
x
R
Celelalte expresii se deduc la fel sau rezultă din formulele (5). 12. Fie w = f(z) o funcţie olomorfă. La o curbă z = z{t) corespunde o curbă w = f(z(t)). La un punct, unde prima curbă are tangentă şt f'(z) ^ 0, corespunde un punct unde a doua curbă are tangentă. Dacă a si CI sînt înclinările acestor tangente pe axa reală, avem Q = o + arg f'{z). R. 1°. — = f'(z) z' # 0. dt dv 2°. Q = arc tg — = arg du; = arg (f'(z) dz) = arg dz -f arg / ' ( * ) = co + arg f'(z). du
Reprezentarea definită de o funcţie
olomorfă
§ 35. Funcţia inversă Definiţie. Vom zice că o transformare (12)
u = u(x, y),
definită într-o vecinătate U( y X9t
1°. Funcţiile
plană
v = v(x, y)
t
este regulată în (x , y ). dacă:
o)t
0
0
u(x, y), v(x, y) admit derivate parţiale
continue în U(
Xtt
;
y#)
d(u
v) 2°. Jacobianul ' — ^ 0. (xQ>yo) dlu v) (de unde urmează şi ' ' # 0 într-o vecinătate C/( , y ) . d(x, y) Dacă f(z) = u(x, y) + iv(x y) este funcţie olomorfă de z = x + \y în *o = *o + i.yo> condiţia 1° este satisfăcută (admiţînd că f'(z) este continuă — cum v o m demonstra m a i t î r z i u ) . A v e m apoi v
d
v
y§
o )
t
— — uv d(x, y) 9
v
— uv y
x
= ul + vţ = u; + v\
(condiţiile lui Cauchy) sau (B)
J & ± = d(x, y)
Aşadar şi 2° este satisfăcută dacă f'(z ) 0
i r { g )
r.
^ 0. A ş a d a r :
Teorema 1. O funcţie w = f(z) olomorfă într-un punct z reprezentare (transformarea z —> w) regulată în z dacă f'(z ) # 0.
0
0
defineşte o
0
125
T e o r e m a funcţiilor implicite, aplicată unei transformări regulate ( 1 2 ) , ne spune c ă : E x i s t ă o vecinătate V( „ şi o vecinătate astfel c ă ecuaţiile (12) au o singură soluţie Uot
(12')
o )
y o )
x = x(u, v), y = y(u, v)
pentru orice (u, v) din V „ ; aceste funcţii satisfac d e asemenea condi ţiile 1°, 2° în V şi iau valori (x, y) în U ; e l e verifică relaţiile x(uo, v ) = x , y(u , v ) = y şi u(x(u, v), y(u,v)) = u, v(x(u, v), y(u, v)) = v; deriv î n d aceste identităţi se obţin relaţii care e x p r i m ă x , x y , y : {Uot
o )
{Uot Vo)
0
0
0
{Xoi
0
y < ) )
0
u
ux x
+ uy
u
y
= 1, v x
u
x
+ vy
u
y
u
vt
u
v
= 0
de unde
A
A
d(x,y)
şi analog X = :Z
' ?'
(H')
T
A Ca consecinţă:
-
A
.J ^ L d(u,v) d(x,y) Ţ i n î n d seamă d e teorema 1, aceste rezultate se transpun imediat în complex: =
L
Teorema 2. Fie f(z) = w o funcţie olomorfă în z , f(z ) = w şi / ' (z ) ^ 0. în aceste condiţii există o vecinătate U şi o vecinătate V astfel că ecuaţia f(z) = w are o singură soluţie z = z(w) în V ; funcţia z = z(w) astfel definită ia valori numai în £/ , z(w ) = z , este olomorfă în w şi are ca derivată 0
0
0
Xn
0
W9
w%
1#
0
0
0
d£
1
=
dw~'f'(z)
'
Funcţia z(w) este inversa locală a funcţiei f(z). Deoarece x , x , y , y există şi sînt continue î n V numai condiţiile lui Cauchy: u
v
u
A
v
w%
A
A
avem de
A
(ţinînd seamă d e ( 1 4 ) , ( 1 4 ' ) şi condiţiile lui Cauchy pentru Apoi avem dz
, .
+
v — \v v
u — iv
T
x
verificat
1
x
f(z)). 1
v
— = x iy = — — = — = = dw uv — uv u\ + v* u + iv f'(z) Ceeace se poate stabili şi ca în cazul funcţiilor reale d e o variabilă: F i e Az şi Aw creşteri corespunzătoare. Deoarece f(z) este olomorfă, fiind dat e > 0, există 7) > 0 aşa că 0 < | Az\ < YJ atrage u
u
x
y
y
Ase; Az 126
x
x
r
.,
x
x
A p o i , z(w) fiind continuă, pentru v) precedent există un 8 > 0 astfel că | Aw\ < < 8 atrage \Az\ < TQ şi deci inegalitatea de m a i sus. Ceea ce înseamnă Aw . Az 1 x A f\ >f (z) sau > pentru Aw->0. Az Aw f'(z) Mai tîrziu v o m demonstra această teoremă cu mijloace proprii teoriei funcţiilor de variabilă c o m p l e x ă şi v o m studia şi cazul cînd f'(z ) = 0. 0
Observaţie. remei:
Condiţia f'(z )
^ 0
0
este necesară
pentru
validitatea
n
teo
n
Exemplu, w = z (n întreg > 1). Aici /'(O) = 0. în orice V ecuaţia w = z are n rădăcini care iau valori într-o vecinătate U dată. Anume, punînd z = r (cos 0 -f- i sin 6), w — p [cos 9 -f -f i sin
0
y w = V P Icos-î-
-f isin-*—
I,
A = 0, 1, ...,n - 1. Ele se vor găsi în J7 dacă luăm p destul de mic (w în V ). Funcţia inversă ^/w este multiformă în orice V , deci nu este olomorfă în w = 0. 0
0
0
§ 36. Transformarea domeniilor F i e w = f(z) olomorfă şi f'(z) # 0 în domeniul D şi E mulţimea v a l o rilor funcţiei: Transformarea (reprezentarea) z-+w efectuată de funcţie duce D —* E. 1°. E este deschisă. Căci dacă w eE, vecinătatea V din teorema precedentă este acoperită de valori ale funcţiei adică V cz E. 0
Wft
W(i
2°. E este conexă. Aceasta rezultă din corolarul 1, § 34, sau direct cum urmează: D a c ă E ar admite o partiţie E == E \jE , Ei(\E = 0 (mul ţimea v i d ă ) şi E E deschise, fie D şi D submulţimile lui D cărora le corespund puncte din E respectiv E ; D = D UD ar fi o partiţie. întradevăr, Z>i ^ 0, D ^ 0 şi DxftDz # 0 ( e v i d e n t ) ; în sfîrşit, Z>! şi£> sînt deschise. Căci de e x e m p l u , dacă z eD şi w =f(z ), există o vecinătate V cz Ei ( m u l ţ i m e deschisă prin i p o t e z ă ) şi o vecinătate U astfel că la orice z e U corespunde w e V (din cauza continuităţii lui f(z)), ceea ce înseamnă U cz D adică D este deschisă. A ş a d a r : 1
lt
2
x
lt
2
2
2
2
x
2
2
2
0
W(t
x
0
0
Z(i
Zo
Wn
Zo
lf
x
Teorema 1. (Invarianta domeniilor). O funcţie f(z) olomorfă şi vata f'(z) # 0 într-un domeniu D transformă acest domeniu într-un Mai tîrziu v o m elibera această teoremă de restricţia f'(z) = putea zice atunci: mulţimea valorilor unei funcţii olomorfe într-un este tot un domeniu.
cu deri domeniu. 0. V o m domeniu
Exemplul 1. în exemplul din § 35 punctul w = 0 este interior. Căci la cercul \z\ < R cores punde cercul \w\ < R . Corespondenţa însă nu este biunivocă: fiecare punct ^ 0 din al doilea cerc corespunde la n puncte din primul cerc. n
î n general, corespondenţa z —• w între D şi E nu este b i u n i v o c ă ; ea defineşte o funcţie inversă (globală) z = z(w) multiformă. T e o r e m a 2, para graful precedent, ne dă „ e l e m e n t e " olomorfe ale acestei funcţii în vecinătăţi destul de mici ale punctelor din E (corespunzătoare) la puncte din D cu cu f'(z) 7 * 0. într-un acelaşi punct din E putem avea m a i multe asemenea elemente. 127
Definiţie. Zicem că o funcţie f(z) este univalentă în domeniul D dacă orice valoare a ei este luată într-un singur punct din D. Sau: z # z' în D atrage f(z) ^ f(z'). Mai general, f(z) este p-valentă în D dacă orice valoare a func ţiei este luată în p puncte distincte din D, cu excepţia eventuală a unor valori ale funcţiei, care corespund la p puncte din D, din care unele sînt confundate. Exemplul
n
2. f(z) = s z
este n-va lentă în tot
planul.
Teorema 2 . Inversa unei funcţii f(z), olomorfe, univalente şi cu derivata f'(z) 0 într-un domeniu D, este o funcţie cu aceleaşi proprietăţi în domeniul E al valorilor lui f(z). într-adevăr, corespondenţa D -> E este biunivocă, deci elementele de funcţie inversă din vecinătatea fiecărui punct din E coincid în vecinătăţile respective cu funcţia inversă g l o b a l ă ; aceasta este deci olomorfă în E şi evident univalentă. Observaţie. Exemplul
Univalentă nu decurge din celelalte condiţii ale teoremei. n
3. f(z) = z într-o coroană de centru O (n > 1).
Dar se v a v e d e a că f'(z)
^ 0 este o consecinţă a univalenţei.
Teorema 3. O funcţie f(z), continuă în închiderea D a unui domeniu D din planul lui Gauss^olomorfăşi cu derivata f'(z) ^ 0 în domeniul D, transformă pe D în închiderea E a unui domeniu; punctele frontieră ale lui E corespund la puncte frontieră ale lui D. ±
±
D i n continuitatea lui f(z) în D rezultă m a i întîi că mulţimea E este închisă, în virtutea teoremei 2, § 57. Demonstraţie directă: F i e X € fr E w un şir convergent la X în E z puncte unde f(z ) = w şi ţ un punct limită al punctelor z . P r i n ipoteză t € D şi a v e m w = f(z ) f(t) = X (din cauza continuităţii), adică X € E t
lt
H
lt
n
n
n
H
n
n
v
A p o i £ e fr D pentru că la puncte interioare ale lui D corespund după teorema 1 puncte interioare ale lui E Mai departe, X este punct l i m i t ă de puncte interioare: Pentru orice V , există o vecinătate Uţ astfel că punctele din UţC\ D sînt transformate în puncte interioare ale lui E conţinute în V . v
x
lt
x
_ î n sfîrşit, int E este un domeniu pentru că este deschis şi c o n e x : int 2?i corespunde unei m u l ţ i m i D intermediară între D şi D care este c o nexă (teorema 6, § 60) şi deci transformată de / într-o mulţime conexă ( t e o rema 3, § 60). M a i trebuie observat că în cazul nostru fr (int E ) = fr E (ceea ce nu este adevărat în general). lt
x
x
±
Observaţie. N u se poate afirma întotdeauna că la punctele frontieră ale lui D corespund puncte frontieră _ale lui E Dacă f(D) = E, putem scrie numai: E = E U fr E, E a int E v
x
v
n
Exemplul 4. f(z) = z (n > 1) satisface condiţiile teoremei în sectorul 0 ^ r ^ 1, 0 ^ 8 ^ 2njn • E\ este cercul \w\ ^ 1. Or, la punctele de pe razele sectorului corespund puncte interioare ale lui E\ (cu excepţia celor de pe arcul sectorului). Funcţia nu este univalentă în D.
Corolar. Dacă funcţia f(z) este univalentă în D, atunci fr D şi fr E se corespund biunivoc şi de asemenea interioarele D şi E (condiţiile teoremei fiind menţinute ) . x
x
128
î n t r - a d e v ă r , deoarece f(z) efectuază_ o reprezentare biunivocă şi con tinuă, funcţia inversă este continuă în E iar d u p ă teorema lui B r o u w e r (reprezentarea fiind un homeormorfiem) şi _int E este transformat în int D = D. Astfel, int E = E, de unde / ( f r D) = fr JBj. lt
x
x
Observaţie, Teorema_precedentă se aplică în cazul unei funcţii olomorfe într-un domeniu închis D (D conţinut într-un domeniu unde funcţia este olomorfă). Exerciţii 1. O funcţie olomorfă într-un domeniu, f(z) = w, poate lua valori w numai pe o curbă simplă din planul (w)} R. Nu, pentru că o curbă simplă nu este un domeniu (nu are puncte interioare, vezi § 5, cap. I). în particular, f[z) nu poate avea numai valori reale sau pur imaginare. 2
$z — a 2. Fiind dată funcţia w = — » ce domeniu corespunde domeniului \z\ < 1? z — 1 < 1, adică semiplanul determinat domeniul cerut este w - p de perpendiculara în mijlocul segmentului ap şi care conţine punctul a. 2
2
3. Fiind dată funcţia w == z — \,ce mulţime de puncte din planul (z) corespunde domeniului \w\ < 1? 2
2
2
2
2
4
2
R. \w\ = (r cos 26 - l ) + {r sin 26) = r - 2r cos 26 -f 1 < 1 sau r < 2 cos 20: domeniile interioare celor două bucle ale unei lemniscate Bernoulli. 2
§ 37. Reprezentări conforme. (Generalităţi) Definiţie. Vom zice că o reprezentare u = u(x, y), este regulată în sens larg în (x , y ) 0
1° aceste funcţii 2
o
9(u,v)
^
(transformare)
plană
v = v(x, y)
dacă:
0
sînt diferenfiabile
în (x , y ) 0
şi
0
Q
8(x, yo) Reprezentarea este continuă. A t u n c i este indusă între direcţiile prin (x , y ) şi (w , v ) o corespondenţă biunivocă, m a i precis omografică, dată de 0
ţj l5
dw= u
dx + u
y
dy,
dv = v dx + v
dy.
x
x
y
0
0
0
(biunivocă pentru că are determinantul ^ 0 ) . N o t î n d cu 0 şi cp unghiurile acestor direcţii cu axele Ox, Ou, corespondenţa lor se poate reprezenta şi prin ecuaţia
i5
< '>
v
««*-
° - i ' T i x + % tg e
u
9 — Teoria funcţiilor — c. 1275
129
Teorema 1. 0 transformare regulată duce o curbă local simplă într-o curbă de acelaşi fel (dacă prima curbă se află în domeniul de regularitate al transformării). într-adevăr, fie z = z(t) curba dată şi z = z(t ) un punct al ei. P r i n ipoteză există o vecinătate U pe care transformarea dată o duce într-un domeniu AQ conţinînd punctul w corespunzător lui z ; se poate presupune (luînd U destul d e m i c ă ) că corespondenţa dintre U* şi AQ este homeomorfă. Există un i n t e r v a l [t — s, t + s] la care corespunde un subdrum z = z(t) conţinut în U şi s i m p l u ; transformarea dată fiind homeomorfă în îl v a duce într-un arc simplu. R e z u l t ă că orice valoare a lui t a d m i t e un subinterval [t — e, t + e] la care corespunde un arc simplu al transformatei curbei date, care este deci tot o curbă local simplă. 0
0
Xo
0
0
Xo
O
0
0
Xo
0
0
Consecinţă. O transformare regulată duce o curbă tot într-o curbă. Căci curba dată este o sumă de arce simple consecutive, care sînt duse în curbe local simple, deci în sume de arce simple consecutive. Exemplul 1. Transformarea w = z* duce arcul simplu z = t(— 1 < / < 1) în curba w = **(— 1 ^ t < 1), care nu este local simplă (căci la un interval —e ^ K s nu corespunde um arc simplu). în cazul acesta curba dată trece prin punctul z = 0, unde w' = 0 şi transformarea nu este regulată.
Definiţie. 0 curbă se numeşte regulată dacă-i reprezentată printr-o ecuaţie de forma z = z(t) (a < t < b), unde funcţia z(t) are derivata z'{t) # 0, oo şi continuă în [a, b]. Teorema 2. 0 transformare de asemenea regulată.
regulată
duce o curbă regulată
într-o
curbă
Căci curba dată fiind z = z(t) cu z'(t) # 0 şi continuă, iar transformarea fiind w = w(z) cu H*>
^ y)
formată v a fi w = w(z(t)), continuă şi
pentru
# 0 şi derivatele parţiale continue, curba transşi v o m avea w' = u x' x
că
altfel ar
urma
(din
+ u y' y
+ i(v x'
+
x
z'#0),
d ( # , v) H*>
v y') y
^
=
y)
Deci transformata este o curbă regulată. Definiţie. O reprezentare regulată în sens larg se numeşte conformă dacă păstreasă unghiurile a două direcţii oarecare prin punctul considerat, sau le schimbă numai semnul. î n primul caz este e v i d e n t că două direcţii corespunzătoare se rotesc în acelaşi sens, adică transformarea este directă: în al doilea caz cele două direcţii se rotesc în sensuri contrare, adică transformarea este indirectă. v +
mv
u
mu
x
Observaţie. N o t î n d m = t g 0, m' = tg
avem
din
m'
=
x
dm'
uv
dm
(u +
x
v
x
f
+
y
y
— uv y
x 2
mu ) y
deci transformarea este directă (m creşte cu m) sau indirectă (m' descreşte 3(u v) cînd m creşte), după cum — i - L - L este > 0 sau < 0.
H%o> 130
y<>)
Să căutăm condiţiile în care transformarea (directă sau indirectă). E l e se scriu 0 -
0' =
± (9 -
precedentă este
conformă
9')
sau
const.
sau t g ( ? T 6 ) = C (const.) sau, încă, după ( 1 5 ' ) v + v tg 0 ^ t g 0 = C * + « tg 0 x
y
r
W
y
/ 1 ± V
^^ +T ^^ t g^ 9V y
T
G
6
u + u tg 0 x
y
sau
v* + (** =F « O t g 0 =F tt t g 0 = C[u + (Uy ± t> ) t g 0 ± Vy tg* 0 ] . 2
y
x
s
tg 0 fiind arbitrar, aceasta echivalează cu Vy^P U = C(Uy ± V ),
V = CU , X
X
x
Relaţia mijlocie împreună
Uy = — CVy.
X
cu
C(vy T u ) + (uy ± v ) = 0, x
x
dedusă din celelalte două, ne dau (16)
u
x
= ± v, y
w = =F v . y
x
Invers, aceste relaţii atrag precedentele, căci ne
dau
-i^ =C U
X
Vy
E l e sînt condiţiile lui Cauchy pentru funcţia f(z) = u ± iv de * = x + iy. Aceste condiţii împreună cu condiţia 1° asigură monogeneitatea funcţiei f(z) în punctul considerat. P e de altă parte, condiţia 2° înseamnă după (13), f'(z) ^ 0, deoarece cînd f(z) = u — iv a v e m (schimbînd v în — v)
^ 4 - - i / w . Deci T e o r e m a 3. O reprezentare regulată în sens larg (12) este conformă într-un punct atunci şi numai atunci cînd funcţia f(z) = u ± iv cu z = x + iy este monogenă în acel punct; reprezentarea e directă sau indirectă după cum se ia semnul superior sau inferior. Consecinţă. O funcţie olomorfă şi cu derivata ^ 0 într-un domeniu D efectuează o reprezentare conformă directă a domeniului D pe domeniul cores punzător E. Observaţie. Condiţia f(z) esenţială:
^ 0 implicată
în
teorema
precedentă
este
131
n
Exemplul 2. Reprezentarea w = z (n > 1) nu este conformă în O
(unde — = o\ . V dz ) Căci în timp ce o direcţie prin O se roteşte de un unghi 0, direcţia corespunzătoare se roteşte de unghiul 9 = n0. Teorema 7. 0 reprezentare conformă este caracterizată şi prin condiţia ds' ca raportul a două elemente de arc corespunzătoare să fie indepeyident de ds direcţie (deci dependent numai de punctul z). într-adevăr, avem ds
2
2
=
dx
+ dy,
ds'
2
2
=
du
2
+
dv
şi după (15) 2
ds' ^ ds
2
{ul +
dx
+
2(u u x
+ vv)
y
2
x
d*
2
dxdy
y
uţ + v Cum
u
x
şi v
x
nu
= u
y
sau & = Avem
±
y
+ vv x
y
=
0. V
[fiindcă
)
l
Hx.y)
^
Q\
a
doua.
con-
j
=
k u ,
+
i« =
u
=
£ K
+
x
y
—
kv , x
devine 2
ti)*0
1. Se regăsesc astfel condiţiile (16).
ds arg f'(z)
x
dacă
cu v
condiţie
2
dy
dy
uu
se anulează simultan
diţie este echivalentă
şi p r i m a
+ 1%,
y
v>)
2
+
Acest raport este independent de direcţia dyjdx 2
+ (uj +
J
1
ds
este unghiul de care se roteşte o d i r e c ţ i e : rezultă din f'(z)
—
dw
dT Exerciţii 1. Dacă f(z) este olomorfă şi f'[z)^ o reţea ortogonală.
0, curbele \f(z)\ = const. şi arg f\z) = const. formează
R. Pentru că ele au drept corespunzătoare, în transformarea conformă w = f{z), cer curile de centru O şi dreptele prin O, care se taie ortogonal. Se poate verifica şi cu ajutorul rela ţiilor (6), care dau R Q -f R Q = 0. X
X
y
y
2. Tot aşa curbele u = const., v = const. Observaţie. în ambele cazuri, familiile de curbe considerate sînt familii echipotenţiale, adică pot fi reprezentate prin cp(#, y) = const., unde 9 este o funcţie armonică (potenţial). 3. Condiţia pentru ca
A19 să fie o funcţie de 9. 132
9! + 9!
R. Dacă curbele 9 = const coincid cu $ = const, avem O = $ ( 9 ) . Liniile 9 = const. sînt echipotenţiale dacă se poate determina o funcţie $ ( 9 ) armonică. Avem d d A 0 ( 9 ) = — ($'9*) H ($'9j,) = 0 " A i 9 + O'A^p. dx dy 2
Deci condiţia este
Ai9
* (?)
Condiţia fiind satisfăcută, vom avea f -?<7(
2
4. Pentru funcţia w = z , curbele u = const. şi v = const. formează două familii de hiper bole echilatere ortogonale. 5. în care puncte corespondenţa definită de w = z* — Az nu este conformă?
(
z —
2
a\ 1 (a > 0), există în planul (z) două domenii reprezenz + a) tate conform şi biunivoc pe semiplanul superor (w); care sînt aceste domenii? R. 0 < argw < n, sau 0 < arg(z — a) — arg(z + a) < TZ\2 ; aceasta reprezintă domeniul exterior semicercului superior \z\ > a, Im z > 0 şi semicercul inferior \z\ < a, Im z < 0. Sau se pune condiţia Im w > 0. 7. Sa sg arate că r =
/(*)
pentru
— « t e o familie de curbe echipotenţială. Să se determine
care aceste curbe sînt liniile
funcţia
u = const.
2
R. Avem pentru 9 = r cos — (vezi exerciţiul 10, § 34): 2 2
Ax9 = cos — , 2
A^p = — » 2r
deci A19
= — == ^ ( 9 ) . 29
Curbele date formează deci o familie echipotenţială (exerciţiul 3). Aplicînd acest exercitiu, avem O = 2C^p -f C . Ecuaţiile (4) ne dau pentru u = 2C^r cos — -f C : 2 x
x
C . 0 v = -— sin — » <Jr 2 r
8 = C y r cos — » 2
de unde r6 v = 2CJr sin 2
V C'.
f(z) = 2C V^|cos OL + x sin ~ j -f C " = 2C
C"
cu C real. Curbele u = const. şi v = const. formează un sistem de parabole homofocale, cu foca rul în origine. 133
Transformări liniare (omografice)
§38. Proprietăţi generale
Definiţie. Se numeşte transformare transformare de forma (17)
w =
(reprezentare)
liniară
(directă)
az + b cz + d
unde a, b, c, d sînt numere complexe cu ad—bc^ 0. Se numeşte transformare antiliniarâ (liniară indirectă), o transformare de forma (17') '
a
0 =
v
z
+
b
cz + d
cu ad—bc*
0.
.. w . A j Se atrage atenţia ca şi în acest caz la z corespunde w = 0
A
X
T
az + b c
z
^ &
5 = 8
ăi + h
+ ă '
Schimbînd notaţia, transformarea poate f i scrisă şi
al + b w =
cl + d
Transformarea (17) se întinde şi la punctul z = w = oo şi cînd c^0,
L a fel (17'). Condiţia ad — bc^ w ~-w'
=
—
oo, luînd cînd c = 0,
w = a/c; în acelaşi caz, pentru z = —d/c se ia w = oo. 0 asigură biunivocitatea transformării. Căci a v e m — > d e unde w ^ w' pentru z # z'. Transformarea
{cz + d){cz' + d) inversă este de acelaşi f e l . ad—bc se numeşte
determinantul
transformării.
Avem
dw
ad — bc
dz
(cz + d)
2
deci
Teorema 1. O transformare liniară sau antiliniară este conformă în toate punctele la distanţă finită. Observaţie. D a c ă ad—bc = 0,
ecuaţia
(17) se scrie, presupunînd
de
e x e m p l u b # 0,
adzw — abz + bdw — b* = 0 sau
{az + b) {dw — b) = 0. A v e m o corespondenţă singulară, în care la un : generic corespunde w = bji, iar la un w generic, z ?= — b/a. 134
Teorema 2. 0 transformare liniară păstrează antiliniară schimbă un biraport în conjugatul său. Biraportul
a patru puncte,
z
birapoartele;
o
transformare
z , z , z este definit prin
lt
2
z
fa, Zz, z , z ] = z
A
fa — z ) fa — * ) 4
z
4
fa —
^4)
d)(cz
+
fa — ^ 3 )
A p l i c î n d (17) a v e m
+
z
i)
şi observînd simplificările, găsim [w
w , w , w ] = [z
lt
2
z
A
z
lf
z, z j .
2t
s
P e n t r u o transformare antiliniară a v e m de asemenea [W
©
lf
2
, ©3, ©
4
[Z
] =
Z
L T
Z ,
2 >
Z ],
S
A
deci [w
lt
w, w 2
= [z
Zt
z
lt
2t
z,
z£.
s
Teorema 3. Există o transformare liniară şi una antiliniară, care duc trei puncte z z , z distincte respectiv în trei puncte w w w distincte. Această transformare este unică şi are ecuaţia lt
2
z
lf
(18)
[w
lt
w , w , w] = [z 2
z
[©!,
©
z, z
lt
2
, ©3,
2
z],
Zt
0 ] == [ Z
L T
2t
z
respectiv
Z , Z , Z]. 2
Z
D u p ă teorema precedentă două puncte corespunzătoare trebuie să verifice această ecuaţie, care este e v i d e n t de forma (17), respectiv ( 1 7 ' ) . A p o i determinantul transformării (18) este ^ 0 pentru că altminteri cel puţin două dintre punctele z z , z , ar avea un acelaşi corespunzător w. lt
2
z
Observaţie. Acelaşi raţionament arată că o transformare z->w, care păstrează birapoartele, este o transformare liniară.
biunivocă
§ 39. Drepte şi cercuri în planul lui Gauss. Păstrarea lor în transformările liniare î n coordonate carteziene x, y, ecuaţia unui cerc sau a unei drepte reale se scrie 2
2
ao(s + y ) + 2&iX + lo^y + a = 0 (a* reali) 3
cu OQ = 0 în cazul dreptei şi a? + a | — aoa > 0 în cazul cercului real. Punînd z = x + iy ecuaţia devine 3
OQZ2 +
sau schimbînd (19)
a^z
+
i)
— i a ( 2 ' — i) 2
+
a
3
=
0,
notaţia: azz +Ş>z + $2 + y = 0, 135
unde a, y sînt reali şi (3, (3 c o m p l e x e conjugate ((3 = a + i a , |3 = a i — i a ) şi a = 0 în cazul dreptei, (3(3 — ay > 0 în cazul cercului real, ceea ce e x p r i m ă că primul m e m b r u al ecuaţiei (19) este real pentru orice z ( c u m se v e d e anulînd partea imaginară pentru x, y arbitrari). î m p ă r ţ i n d ecuaţia cu zl şi făcînd z-> oo, se v e d e că dreptele apar în planul lui Gauss ca cercuri care trec prin punctul oo. V o m cuprinde de aici înainte sub denumirea de cerc şi cazul dreptei. x
T e o r e m a 1. O transformare
liniară
sau
antiliniară
2
duce
2
cercuri
Substituind în cazul transformării liniare (17) z = —
în
cercuri.
f ş i z=—
a — cw \
ă —
-\ Cw)
în (19), obţinem o ecuaţie d e aceeaşi f o r m ă : «!wU>
+
$'w +
p'0 +
y' =
0.
Este clar fără calcul că a', y ' sînt reali şi jî', $' conjugaţi, deoarece primul m e m b r u al ecuaţiei (19) este real pentru z arbitrar şi rămîne real, după substi tuţie, pentru w arbitrar (numitorul comun (a — cw)(ă — cw), cu care a m înmul ţit, fiind real). T o t de aici rezultă şi corespondenţa domeniilor determinate d e cercuri. Această teoremă se poate încă demonstra cu ajutorul ecuaţiei ce v o m stabili a cercului determinat de trei puncte. Să observăm că, fiind date punctele z z , z, a v e m ( v e z i fig. 1 8 ) : lf
arg
= z
2
arg
=
— z
z —
arg
2
(z — z ) x
— arg
(z — ~ ) =
z zz .
2
2
x
z
2
Acesta este un unghi d e semidrepte algebric, adică măsurat p r i n rotaţia semidreptei zz care descrie unghiul, sau o rotaţie care diferă de acesta p r i n 2k~. 2
Dacă aceste puncte sînt p e un cerc, z şi z fiind fixe, cînd z descrie un 1
2
arc Z&2, unghiul z&z± are o valoare constantă co, iar cînd z descrie celălalt arc, el are valoarea constantă co — iz ( v e z i fig. 18). D i n contră, z zz ^ 6>, co — 7r pentru punctele care nu sînt pe cerc (cum v o m v e d e a m a i j o s ) . Aşadar ecuaţia 2
Z-t
(20)
—
arg
z
— = co + k7T (co = const.) z
2
— z
reprezintă un cerc şi reciproc. î n cazul unei drepte a v e m z zz 2
cum z se află în afara sau în segmentul z z , x
zz x
2
x
2
x
^ 0, ±TZ după
d e unde rezultă că ecuaţia dreptei
este
(21)
Im
Z l
z
2
Z
~~
= 0.
— z
Să considerăm acum cercul determinat de trei puncte z
lf
arg —
2
z
Avem
^ = co + k'n şi ecuaţia (20) pentru un punct oarecare al lui. P u t e m Z
^2 — Z
deci scrie această ecuaţie Zi — Z$ arg — #2 —
136
z, z.
^3
Zi — z arg — = k n Z — Z 2
sau arg [z
z , z , z]
lf
2
z
=
&"TT,
sau (22)
I m Oi, * , z , z] = O, 2
valabilă şi atunci cînd z
lt
*, z 2
z
z
sînt coliniare. Cu alte cuvinte punctele cer
cului sînt acele care fac real acest biraport. D e aici decurge imediat teorema 1,
Fig.
Fig. 19
18
a v î n d în v e d e r e conservarea birapoartelor reale în transformările liniare şi antiliniare. Condiţia ca punctele z
z, z, z
îf
[z
2
z
să fie conciclice este aşadar ca
4
~ , z , * ] să fie real ( v e z i şi e x e m p l u l 3 ) . Se v a observa şi formula
lt
2
3
4
a r
z
g
[ l>
Z
~2> 3> Z4J =
*2*3~1 —
*2* *i4
î n m o d analog, pot fi reprezentate şi domeniile determinate de un cerc. O dreaptă z
lf
z
2
determină dcuă semiplane; acela faţă de care sensul
zz ±
2
este direct este format de punctele z pentru care z zz este în intervalul (TT, 2TZ), 2
1
iar în celălalt semiplan acest unghi este cuprins în intervalul (0, 7i) fig.
19). D e c i semiplanele determinate de dreapta z z ±
2
(vezi
sînt reprezentate
de
inegalităţile (23)
Im
Z
l
z
~
$0,
z — z 2
după cum sensul z z 1
2
este direct sau nu faţă de semiplan.
P e n t r u un cerc determinat de z
z , z , se v e d e că z zz
lf
2
z
2
x
este în
inter
valul (
2
ce, dacă 0 < co < 7r, înseamnă că sensul z z z x
interior. A t u n c i putem lua arg [z
lf
cînd
z
2
z , z , zi = z^ z 2
z
x
pe cerc este direct faţă
z
z
Y
— z zz 2
x
de
în intervalul (0, 7c)
este interior şi în (TC, 2TZ) cînd z este exterior. Astfel în acest caz
I m [z z , z , z]{ ^ o după cum z este interior sau exterior. Dacă însă sensul lf
2
z
/ \ zzz x
2
z
este
direct
faţă
de
exteriorul
cercului
(22*3*1
= co),
vom
avea
I m [*i, * , *3, * ] { ^ o după cum z este exterior sau interior. 2
137
Cînd z z z sînt coliniare, sensul z z coincide sau nu cu sensul z z z (pe dreapta închisă cu punctul oo) după cum z este în afara sau înăuntrul x
2
z
x
2
1
2
z
3
segmentului z z . î n primul caz, z z z = 0, în al doilea, z z z = TU. Semiplanul faţă de care sensul z z^ este direct e reprezentat (cum a m văzut m a i x
2
2
x
z
x
2
z
x
z
sus) în primul caz prin T T < Z ZZ < 2TZ, iar în cazul al doilea (sensul z z / \ rect) prin 0 < z zz < n. D e unde deducem în ambele cazuri că arg [z z , poate fi luat în intervalul ( 0 , n ) , adică I m [z z , z , z] > 0. D i n contră, tru semiplanul faţă de care sensul z z , z , este indirect v o m avea Im[z z , z , z] < 0. Aşadar: 2
2
1
X
x
lt
lf
lf
l9
2
2
2
indi-
2
z , z] pen la fel
2
z
3
z
z
Teorema 2. Fiind
(24)
date punctele
Im [z z , z , z} lt
2
3
z
lt
z , z , avem 2
3
= 0 pe cercul z^z^z, > 0 în domeniul faţă de care sensul z z z e direct, < 0 în domeniul faţă de care sensul ZyZ z e indirect. x
2
2
3
3
D e aici urmează, observînd că o transformare liniară păstrează I m [z z , z z], iar o transformare antiliniară îi schimbă semnul: l9
2
pe
Zf
Teorema 3. Transformarea liniară (antiliniară) care duce z z ,z -+ w w w face să se corespundă acele domenii determinate de cercurile (eventual dreptele) z z z şi WiW w , faţă de care sensurile z z z şi w w w sînt la fel (res pectiv sînt deosebite). lt
lf
2t
2
3
3
x
2
z
2
3
Corolarul 1. O transformare liniară la un sens pe un cerc un sens pe cercul
1
2
z
1
au antiliniară transformat.
2
3
face
să
corespundă
Corolarul 2. Transformările liniare (antiliniare), care reprezintă (con form ) un domeniu circular pe alt domeniu circular (în particular semiplane), depind de trei parametri. Căci una din ele este determinată dîndu-se corespunzătoarele pe al doilea cerc a trei puncte de pe primul cerc (cu respectarea condiţiei r e l a t i v e la sensuri). Acest rezultat m a i poate fi enunţat şi astfel: Corolarul 3. Fiind date două cercuri C şi C, (antiliniară) şi numai una, care transformă între de C şi C, ducînd în acelaşi timp trei puncte date date, w w , w pe C, sub condiţia ca sensurile (respectiv deosebite) faţă de acele domenii. lt
2
z
există o transformare liniară ele două domenii determinate z z z de pe C în trei puncte z z z şi w w w să fie la fel lf
x
f
2
z
z
x
2
z
Exemple. 1. Transformarea liniară care duce interiorul cercului \z\ = 1 în exteriorul lui şi totodată păstrează punctele ± 1 şi duce punctul i în —i este [1, — 1, i, *] = [1, — 1, — i, w] sau w = — • Ea inversează sensurile pe cerc. Această transformare duce punctul co şi vecinătăţile lui z (\z\ > R) în punctul O şi vecinătăţile lui
2. Transformarea antiliniară w = — este inversiunea faţă de cercul \z\ = 1. Ea păstrează z toate punctele cercului şi deci sensurile. Conform teoremei precedente, ea face să se corespundă inte riorul şi exteriorul cercului (în particular 0 şi oo).
138
z — z duce Zi —• O şi z —• oo, deci cercurile prin z z în dreptele z — z prin 0. Cum o asemenea dreaptă poate fi reprezentată prin argw = ca -f kir, regăsim ecuaţia (20) a cercurilor prin z z Cercurile concentrice \w\ — const. sînt ortogonale dreptelor prin 0. Deci: fiind dat un fascicul de cercuri (20) există o familie de cercuri ortogonale, reprezentate de ecuaţia 3. Transformarea w ••
x
%
v
9
t
v
r
z. — z
= const. > 0.
Zm — Z
Este un fascicul de cercuri de specia II ţvezi paragraful următor).
§ 40. Puncte duble. Clasificarea transformărilor liniare V o m interpreta variabila w tot în planul z. A s t f e l (17) este o corespon denţă între plane suprapuse.
Definiţie. Vom numi dublu un punct care este propriul său corespunzător: z = w. Punctele duble ale transformării ( 1 7 ) sînt date d e ecuaţia 2
cz + (d — a)z — b = 0.
(25)
Această ecuaţie este identică dacă c = b = d — a = 0, adică atunci cînd (25) este transformarea identică w = z. Acest caz fiind exclus, transformarea liniară are două puncte duble ce se pot confunda. V o m clasifica transformările liniare după natura punctelor duble, î m p ă r ţ i n d (25) cu z şi făcînd z —• oo se v e d e că transformarea are un punct dublu cînd c = 0 şi ambele puncte duble confundate în oo cînd c = 0 şi d = a. î n aceste cazuri, luînd d = 1 (coeficienţii a, b, c, d sînt determinaţi pînă la un factor şi d # 0 fiindcă ad — bc ^ 0 ) , transformarea are forma întreagă: 2
w = az + b. V o m deosebi d e c i : transformări liniare pentru care oo este punct dublu — transformările liniare întregi — şi transformările liniare cu punctele duble
la distanţă finită, transformările liniare
fracţionare.
A. TRANSFORMĂRILE L I N I A R E ÎNTREGI Ai.
A m b e l e puncte duble la oo : a = d =
(26)
w
1,
= z + b
este o translaţie d e v e c t o r b. A . U n singur punct dublu la oo: 2
(27)
w =
az + b cu a # 1.
F i e z celălalt punct dublu, deci z = az + b. Scăzînd aceasta din ( 2 7 ) , ecuaţia transformării se scrie: 0
(27')
0
w
— z0 = a(z — z0)
0
a & 1.
1. D a c ă a este real, cu | a\ ^ 1, a v e m o omotetie de centru z şi raport a, căci Bxg(w — ii>o) = arg(* — z ) sau arg (w — w ) = n + arg (z — z ) după cum a > 0 sau a < 0, şi \w — w \ = \ a\ \ z — z \ . 0
0
0
0
0
0
139
4)
2. D a c ă a este c o m p l e x şi \a\ = 1, sau a = — 1, a v e m o rotaţie de centru z şi amplitudine co == arg a, căci | w — w | = 1 * — z \ şi arg (ze> — w ) = arg(z — z ) + <*>• 0
0
0
0
0
3. Dacă a este c o m p l e x şi \a\ # 1, a v e m o asemănare directă generală de pol z , raport \a\ şi unghiu de rotaţie co = arg a. Cele patru cazuri precedente ne dau t o a t e categoriile de asemănări directe. 0
Observaţia 7. O translaţie păstrează dreptele paralele cu v e c t o r u l e i şi schimbă între ele dreptele care formează un unghi dat cu cele dintîi. O omotetie păstrează dreptele prin centru şi schimbă unul în altul cercurile cu centrul în centrul de omotetie. O rotaţie păstrează cercurile cu centrul î n centrul de rotaţie şi schimbă între ele dreptele prin acest centru. O asemă nare generală nu păstrează nici o dreaptă (reală) şi nici un cerc, dar păstrează spiralele logaritmice de acelaşi p o l , a v î n d ecuaţia polară m e
p =
Ce ,
sau \z — z \ = C e
m a r
0
« <*-*•>,
unde m este determinat prin condiţia \a\ = e
m a r
«
a
l
s a u w =
o
g
arg a şi C arbitrar > 0.
B. T R A N S F O R M Ă R I L I N I A R E
FRACŢIONARE
Fie z z punctele duble. B . z = z = z : Transformările liniare Să punem lt
x
0
2
t
parabolice.
2
z — z
w — z
0
0
Se constată că prin eliminarea lui z, w între aceste ecuaţii şi (17) se obţine o relaţie liniară, e v i d e n t biunivocă, între Z şi W. D a c ă transformările precedente sînt T, 7 \ şi S transformarea dată, obţinem astfel transformarea T~ ST care duce Z în W. P e n t r u z = w = z , a v e m Z = W = oo, care-i singurul punct dublu al transformării liniare Z —* W, care este prin urmare o translaţie W = Z + b. Aşadar, ecuaţia unei transfor mări parabolice de punct dublu z este 1
1
0
0
(28)
_ J _
=
W — ZQ
_
^
+
.
6
Z — ZQ
L a fascicule de drepte paralele cu vectorul de translaţie corespund cercuri prin z , care nu au cîte două alt punct comun şi deci formează un fasci cul de cercuri tangente în z . L a un fascicul de drepte paralele, egal înclinate 0
0
4
k
> Prin „complex" autorul înţelege în acest paragraf „complex cu partea imaginară dife rită de zero" (P.C.). 140
faţă de vectorul translaţiei, corespunde un fascicul de cercuri tangente în z , izogonale fasciculului precedent. Transformarea parabolică păstrează cercurile primului fascicul şi duce unul în altul cercurile celui de-al doilea (vezi şi fig. 20). B . Zi z . Să punem 0
2
2
Fig. 20
Fig. 21
Se v e d e din cele de m a i sus că transformarea liniară Z —> W are punctele duble 0 şi oo, deci este de forma ( 2 7 ) . Transformarea dată, de puncte duble z z , are aşadar ecuaţia lt
2
(29)
^ H L w — z
=
a
2
Corespunzător cazurilor A
^ = l L z — z
(
a
#
i ) .
2
2
avem:
1. a real, cu \a\ ^ 1: transformarea hiperbolică. L a dreptele prin centru şi cercurile concentrice ale o m o t e t i e i Z —> W corespund fasciculul de cercuri prin z z- , păstrate de transformarea hiperbolică şi fasciculul ortogonal de cercuri transformate unul în altul ( v e z i fig. 21). lt
2
2 . a c o m p l e x şi \a\ = 1: transformarea eliptică. L a cercurile concentrice şi dreptele prin centrul rotaţiei din cazul transformării Z —• W corespund un fascicul de specia I I de cercuri păstrate de transformarea eliptică şi fasci culul ortogonal de cercuri care trec prin punctele duble şi sînt schimbate unul în altul. 3. a c o m p l e x şi \a\ ^ 1: transformarea loxoiromică. N u păstrează nici un cerc, ci nişte curbe care au ca puncte asimptotice cele două puncte duble. î n cazul eliptic, a = — 1, sînt păstrate individual ambele fascicule de cercuri de m a i sus. D o u ă cercuri din fascicule deosebite se taie într-o pereche de puncte ce se corespund ( i n v o l u t i v ) . A m i n t i m că o transformare w = f(z) se numeşte involutivă dacă transformarea inversă este tot z = f(w). 5
5
Cazul a = — 1 (care dacă z — co se reduce la o simetrie în raport cu este considerat de autor ca fiind o transformare hiperbolică (respectiv o omotetie). Am preferat să considerăm cazul a == — 1 ca fiind o transformare eliptică (respectiv o rotaţie de unghi iz) deoarece această modificare, care este în armonie şi cu punctul de vedere geometric, care stă la baza clasificării autorului (după cum se vede din observaţia de mai sus), este impusă de următoarele consideraţii analitice: Singurele transformări liniare ciclice sînt cele de tip eliptic (inclusiv a = — 1) (vezi exerciţiul 15, § 43). De asemenea, în cazul eliptic, punctele duble z z sînt două numere complexe imaginar conjugate cu partea imaginară diferită de zero (inclusiv în cazul a = — 1), pe cînd în cazul hiperbolic, z şi z sînt reale (vezi exerciţiul 14, § 43)(P.C). 2
v
x
t
2
141
Observaţia 2. D i n ( 2 7 ' ) şi (29) rezultă că biraportul (30)
[z
lt
z , w, zi = a. 2
Biraportul format de punctele duble cu două puncte corespunzătoare este constant ( e l este egal cu unu cînd punctele duble se confundă). R e c i p r o c a este e v i d e n t ă : F i i n d date punctele distincte z z , corespondenţa definită prin condiţia (30) este o transformare liniară cu punctele duble z z . R e z u l t ă că a este un invariant al transformării liniare. lt
2
lt
2
§ 41. Simetrii faţă de drepte şi cercuri Punctele duble ale unei transformări antiliniare (17) sînt date de ecuaţia (31)
czz — az -f- dz — b = 0,
care nu poate f i identic zero. E g a l î n d cu zero partea reală şi cea imaginară, obţinem două cercuri (cum este v i z i b i l din forma ecuaţiei), nu amîndouă d r e p t e , decît dacă c = 0, ale căror intersecţii sînt punctele duble. Deci putem a v e a unul sau două puncte duble, sau oo puncte duble care formează un c e r c C. V o m examina numai ultimul caz. Cercul C de puncte duble este reprezentat de ecuaţia ( 3 1 ) . R e z u l t ă că acest caz are loc atunci şi numai atunci cînd coeficienţii a, b, c, d (definiţi pînă la un factor arbitrar) pot fi luaţi astfel: b, c reali, a + d = 0, ad — bc < 0. V o m observa că transformarea păstrează cercurile ortogonale cercului C, fiindcă păstrează intersecţiile lor cu C şi ortogonalitatea. U r m e a z ă că cercurile ortogonale la C printr-un punct z trec şi prin punctul corespunzător w\ ele constituie un fascicul care cuprinde dreapta zw, ortogonală la C. D a c ă C este o dreaptă, rezultă că w este simetricul lui z faţă de acea dreaptă. D a c ă C este un cerc nedegenerat d e centru a, două puncte corespunzătoare sînt aliniate cu a şi satisfac condiţia CtZ • OLW
=
2
R,
R fiind raza cercului ( v e z i f i g . 22). Transformarea este atunci o faţă de C. A ş a d a r :
inversiune
Fig. 22
T e o r e m a 1. Transformările antiliniare care au fnai mult decît două duble, şi deci o infinitate, sînt simetriile faţă de drepte şi inversiunile.
puncte
Este obiceiul în teoria funcţiilor de variabilă c o m p l e x ă să se numească aceste transformări cu un c u v î n t : simetrii (faţă de cercuri sau d r e p t e ) . Astfel, două puncte inverse faţă de un cerc se v o r numi şi simetrice faţă de acel cerc. 142
Simetriile sînt transformări i n v o l u t i v e . D i n cele de m a i sus urmează imediat (comparînd (31) cu ( 1 7 ' ) ) : Simetria în raport cu cercul 0
azZ + Jz + $z + y = (a, Y r e a l i ; (3, p conjugaţi,
(3(3 — <xy > 0) este
(32)
• = -
l
L
X - £
az + (3 Să considerăm un cerc dat prin centrul z
şi raza
0
*)
(x -
2
0
2
+ {y-
R:
2
yo) - R
= o
sau (z de unde a = 1, (3 = se scrie d e c i :
z ) (z 0
z) - R
ZQ, Y = *o*o —
W
=
2
= 0,
0
Simetria în raport cu acest cerc 2
2oZ — ztfo +
R
sau 2
R
(33)
Z — Za
Teorema 2. Dacă o transformare liniară sau antiliniară duce un cerc C într-un cerc C, ea duce o pereche de puncte simetrice faţă de C într-o pereche simetrică faţă de C (sau transmută simetria faţă de C în simetria faţă de C ) . R e z u l t ă din faptul că cercurile ce trec prin două puncte simetrice faţă de cercul C sînt ortogonale acestuia şi reciproc. A m v ă z u t (§ 39, e x e m p l u l 3) că cercurile care admit o pereche dată de puncte simetrice, z z , şi care sînt ortogonale cercurilor prin z şi z , au ecuaţia lt
2
1
2
const. > 0.
z —z 2
D e aici urmează că există un cerc şi numai unul care admite o pereche sime trică dată z z şi trece printr-un punct dat ^ z z . Acest punct fiind C ecuaţia acelui cerc se scrie lt
(34)
2
lt
z —z
Zi
z —- z
z
x
sau \ [z z , lt
2
2
2
C z J I = 1.
2
D e aici şi din teorema precedentă
rezultă:
Teorema 3 . Există o transformare liniară şi una antiliniară bine deter minate, care transformă un disc dat într-un disc dat, făcînd să se corespundă totodată două puncte date pe cele două circumferinţe şi două puncte date în acele discuri. 143
F i e date perechile corespunzătoare z —* w în discuri şi £ —> pe cercuri (vezi fig. 2 3 ) . După teorema precedentă cunoaştem încă o pereche, z —* ze>2> formată din simetricele punctelor z Wi în raport cu cercurile res pective. x
2
1
lt
Transformarea
definită prin aceste perechi,
respectiv va duce primul cerc într-un cerc care coincide cu al doilea cerc dat pentru că are în comun cu acesta o pereche simetrică, şi un punct al cercului. A p o i discul determinat de primul cerc, în care se află z v a fi dus în discul deter minat de al doilea cerc, în care se află w ( § 3 9 , teorema 2 ) . lt
±
1 — z
Exemplu,
w= i
duce interiorul cercului \z\ — 1 în semiplanul superior, pentru
1 -f z că duce punctele 0, oo, 1 în i, — i, 0.
Observaţie. F i i n d date două discuri circulare şi două puncte în ele, trans formările liniare (antiliniare), care fac să se corespundă aceste discuri şi cele două puncte, depind de un parametru. După teorema precedentă putem dispune de acest parametru pentru a face să se corespundă şi două puncte de pe cercurile frontieră ale discurilor şi aceasta în m o d unic. î n locul acestei condiţii p u t e m impune să se corespundă două direcţii date prin punctele interioare date. M a i precis: Teorema 4. Există o transformare liniară şi una antiliniară, unice, care fac să se corespundă două discuri şi totodată două puncte din aceste discuri şi două direcţii orientate prin acele puncte.
Fig.
23
Fig. 24
într-adevăr, fie z w punctele d a t e ; prin ele putem duce cîte un cerc tangent direcţiilor date şi ortogonal cercului frontieră al discului respectiv (acest cerc este determinat prin condiţia de a trece şi prin punctul simetric celui considerat). Aceste cercuri taie cercurile frontieră în perechile de puncte ti, £ Şi £i> £2 P care le n o t ă m astfel ca sensurile ^ z ^ şi ^[^1^2 să concorde cu direcţiile orientate date ( f i g . 2 4 ) . D u p ă teorema 3 există o transformare liniară (antiliniară) unică, care face să se corespundă cele două discuri şi lt
e
2
144
x
z
i —* Wi> Ci —* £î- Ea v a duce cercul ortogonal în prin z în cercul ortogonal în ţ[ prin ze^, deci direcţia dată prin z în cea dată prin w Această transfor mare este e v i d e n t unică (pentru că trebuie să satisfacă condiţiile precedente). x
x
v
§ 42. Reprezentări conforme de discuri pe discuri P r o b l e m a de a reprezenta conform un disc pe alt disc este r e z o l v a t ă cu transformări liniare sau antiliniare, în teorema 3 § 39 şi teoremele 3, 4 § 41, sub diverse condiţii suplimentare. V o m v e d e a m a i tîrziu că transformările liniare (antiliniare) sînt singurele care r e z o l v ă această problemă. V o m studia aici c î t e v a cazuri particulare m a i importante.
I. SEMIPLANUL
y > 0 PE EL ÎNSUŞI
SAU PE y < 0
Transformarea liniară trebuie să dea pentru z real oarecare, w real.
Pentru
a
z == 0, oo, 1, v o m avea deci în ( 1 7 ) , — » — > ^ \ i de unde urmează d c c + d că a, b, c, d sînt proporţionale cu numere reale. Aşadar, transformările liniare care reprezintă semiplanul y > 0 pe el însuşi sau pe semiplanul y < 0 sînt de forma ,„ _ az + b (35) — ^ — cz + d T e 3
t
x
w
=
cu coeficienţi a, b, c, d reali (şi ad — bc # 0) (rezultă şi din ecuaţia transfor m ă r i i sub forma [m, n, p, z] = [m' n', p', w] cu m, n, p, m', n', p', reali). Mai precis, aceste transformări păstrează cele două semiplane cîrid ad — — bc > 0 şi le schimbă între ele cînd ad — bc < 0. î n t r - a d e v ă r , ele induc pe axa reală transformarea t
u —
ax + b cx + d
şi din du
ad — bc
dx
(cx +
2
d)
rezultă că în primul caz sensul pe axa reală este păstrat, iar în al doilea este inversat ( v e z i teorema 3, § 39), sau se consideră corespunzătorul lui z = i, ai + b _ ad — bc w = . pentru care I m w = • ci + d c + d Printre transformările precedente să căutăm pe acele care duc un punct a într-un punct a'. î n loc de a impune direct această condiţie coeficienţilor a, b, c, d v o m aplica teorema 3 § 4 1 . F i e m (real) corespunzătorul lui 0. Transformarea este [a, a, 0, z] = [ a ' , a', m, w], i
2
2
t
sau a(oc — z) _
(CL
ă(a — z)
( ă ' — m) (CL' — w)
10 — Teoria funcţiilor — c. 1275
— m) (ă' — w)
145
Să punem m
«(«' ) a(ă' — m) Avem
=
k
\k\ = 1 (k fiind raportul a două numere conjugate). Invers, oLcx/k— aâ' m —— (tk — a
este real dacă 2
2
(ia'jfe _ «a') ( £ - ă) = a ă ( a / M + « ' ) — (a ă'Â + ă a ' £ ) este real, deci (al doilea termen fiind real) dacă ct!kk + a' este real, ceea ce cere a
o/M + â' = ă'£Ă + a' sau (a — ă ' ) (kk — 1) = 0, de unde |&| = 1. A ş a d a r transformările liniare, care duc a—• a' (a, a' complecşi) şi semiplanele determinate de axa reală în care se află aceste puncte unul într-altul, sînt w
i<ss\
—
a'
(36)
,
z
= k
—
a r
w — â'
, , ,
4
cu | k\ = 1.
z — a
I I . SEMIPLAJNUL
y > 0 PE DISCUL
|w\ < R
F i e a punctul din semiplan care se transformă în w = 0. A t u n c i ă se transformă în w = oo (teorema 2, § 4 1 ) . D e c i transformarea liniară este d e forma (37)
*x>=
Z
R k - ^ z —a
(căci acL + b = 0, că + d = 0, în (17)). R ă m î n e să punem condiţia ca axa reală să fie transformată în cercul \w\ = R: Rk
— x —a
R
(x real),
de unde \k\ = 1. D e c i transformările liniare care duc semiplanul y > 0 în domeniul circular \ w\ < R şi punctul z = a ( I m a > 0) în w = 0 sînt (37) cu | * | = 1. Să punem k = — (unde a are modulul arbitrar şi argumentul = — arg k) ă 2 şi acu = — h; dacă lăsăm la o parte condiţia suplimentară a şi b r ă m î n arbi trari şi ecuaţia (37) se scrie (38) Ea
w = R
Z
+
? >
a^0,
65 > 0 .
defineşte reprezentările liniare ale semiplanului y > 0
|v| < R.
146
U
pe
domeniul
I I I . DISCUL
\ z\
PE EL
ÎNSUŞI
Fie a punctul care se transformă în w = 0 ( | a | < R); deci simetricul R său — se transformă în w = oo (presupunem a # 0 ) . Transformarea liniară a este deci de forma 2
w
a
h-
hă 2
az -
R
ă U r m e a z ă să punem condiţia ca pentru \z\ = R Pentru | z | = R, R* = zi şi
\w\ =
R.
\hă\
ha\
R
să corespundă
R
z(ă
(căci ă —2 = 1)(39) A| =
-
2)
Condiţia este deci \Hă. \ = i ?
2
2
şi r e v i n e la Âă = i? A cu
1. Ecuaţia reprezentării w=R*kcăutate este deci de forma iz— z — aR z
cu \k\ = 1 şi | a j < R. Se v e d e că ea convine şi în cazul a = 0 (atunci transfor marea este o r o t a ţ i e ) . Ca m a i sus, o p u t e m scrie (40)
w =
az — b R; bz — ăR 2
b
a ± 0, 2
I
«
sau (înmulţind termenii fracţiei cu i )
w =
2
R
cz + d
âz + dR
o
Observaţie. Celelalte cazuri pot fi reduse la precedentele, transformînd domeniile date în cele considerate m a i sus: U n semiplan determinat de o dreaptă paralelă cu axa reală poate f i transformat în semiplanul y > 0 sau y < 0 printr-o translaţie, iar orice alt semiplan printr-o rotaţie (în jurul punc tului comun dreptei date şi a x e i reale). U n cerc oarecare poate fi transformat într-un cerc cu centrul în origine printr-o translaţie.
§ 43. Proprietăţi grupale ale transformărilor liniare şi antiliniare Teorema 1. Transformările liniare constituie un grup: grupul lui Aceasta se poate v e d e a verificîndu-se proprietăţile grupului. Transformarea inversă z =
Mobius.
dw — b a — av
este de asemenea liniară. 147
Produsul a două transformări liniare este t o t o transformare Considerăm transformarea: (41)
liniară.
a'w + V
W =
c'w + d' Ca să o b ţ i n e m produsul, e l i m i n ă m pe w între (17) şi (41) şi o b ţ i n e m o transformare liniară de aceeaşi formă a
1^,
"
z
+
b
"
c"z + d° Transformarea unitate este w = z, iar asociativitatea este e v i d e n t verificată. Teorema 2. Transformările liniare şi antiliniare formează un grup, care are ca subgrup grupul lui Mobius. A s o c i a t i v i t a t e a este verificată. Transformarea unitate este w = z. Inversa transformării antiliniare ( 1 7 ' ) este dw — b z =
-dw - f - ă
adică t o t o transformare antiliniară. Produsul a două transformări liniare este o transformare liniară, iar produsul dintre o transformare antiliniară şi una liniară (sau una liniară şi una antiliniară) este o transformare antiliniară.
E xer citii 1. Biraportul a patru puncte de pe un cerc nedegenerat este egal cu biraportul dreptelor ce proiectează acele puncte dintr-un punct oarecare al cercului. R. Prin inversiune cu centrul în ultimul punct, cercul se transformă într-o dreaptă, iar cele patru puncte în proiecţiile lor pe această dreaptă. Biraportul fiind real se păstrează in inver siune. O rotaţie aduce dreapta pe axa reală, unde biraportul are aceeaşi expresie cu biraportul din geometria proiectivă, şi deci este egal cu biraportul dreptelor proiectante (rotite şi ele). 2. Pentru ca două perechi de puncte, z , z şi z , z de pe un cerc (nedegenerat) să fie armo nice (adică \z ,z ,z ,z^ = — \) este necesar şi suficient ca dreptele z z şi z z±să fie conjugate faţă de cerc (adică una din ele să treacă prin polul celeilalte). x
x
2
z
z
it
x
2
z
R. Dreapta z z intersectează tangenta în z şi dreapta z z în puncte (exerciţiul 1), deci £ este polul dreptei z z ; şi reciproc. z
z ,z^
2
z
A
1
L
x
2
armonice cu
2
3. Pentru ca două perechi de puncte, z , z şi z , z , de pe un cerc să se separe (z , r în arce deosebite faţă de z ,z sau vice-versa ) este necesar şi suficient ca [z z , z , z ] < 0. x
x
z
A
z
v
Z
R. Dacă r , z separă z z , arg 3
2
2
A
lt
2
Z
2
— şi arg — Z
3
Z
?
2
z
- diferă prin (2k -f- 1) tz, în cazul con-
—
Z
A
trar prin 2kn. 4 . Centrul şi raza cercului R.Centrul: a
azz -f fte + (Î2 -f Y = 0 (a
0).
; raza: R = — V P P - ay. a
5. Condiţia pentru ca cercurile azz + $z + £ 2 + y = 0, ol'zz
să fie ortogonale. 148
4
4
-f P'* + $'z + y' =
0
este
6. Condiţia necesară şi suficientă pentru ca triunghiurile o^fiifi şi
«jŞjYj
să fie asemenea
cc a 1 l
Ti
2
1
T2
R. Condiţia este să existe o asemănare z = az -f b care să ducă a , p , y în Oj, p , y,: 2
a = aa + 6, ?
P =
x
2
t
a
x
6
Pi + »
T2
a
x
t
a
&
= Ti + i
condiţia de compatibilitate a acestor ecuaţii este cea de mai sus. 7. Să se găsească condiţia necesară şi suficientă pentru ca triunghiul <x(Jy să fie echilateral. R. După exerciţiul 6, ea este a
1
P
co
y
1 1
(o
2
=0,
1
co fiind o rădăcină cubică imaginară a unităţii, — (1 -f co) P + y, şi deci
2
sau toa + co P -f y = 0. De unde coa —
3
(P - y ) - (a - P)» = 0 sau (cum p — y =
a
—
P» înseamnă că P este mijlocul lui ay) (P - y )
+ (p -
2
y)
(« - P)
2
+ (« - P) = ° -
adică 2
2
2
a + P + y = py + ya + ap (şi reciproc). 8. Dacă (a - P) (a' - P') = (P - y) (P' - y') = (y - a) (y' - a'), triunghiurile aPy şi a'P'y' sînt echilaterale. R. Din
a - p
- T
etc. se deduce că triunghiurile sînt asemenea, deci | a' — P' | = P - y a' - 0 ' = k | a - P | etc. şi urmează | a - p i = | P - y | = | y - a | . 2
2
2
9. Să se demonstreze teorema lui Ptolemeu: Dacă OaPy este un patrulater convex, inscriptibil într-un cerc, avem Oa • Py + Oy • Pa = Op • ay. R. Revine la | a | |p — y| + |y| |P — a| = | P | |y — <xj, exerciţiul 3):
care rezultă din relaţia (vezi
arg [y, a, 0, p] = arg -î- - arg ^~ (2k + 1) sau arg a(y - P) = arg y(a - P) + a a — P + (2k + 1) (Cum punctele a(y — P) şi y(a — P) sînt coliniare cu O şi de părţi deosebite faţă de O, modulul diferenţei a(y — P) — y(a — P) = P(y — a) este egal cu suma modulilor.)
tt
TT.
10. Să se reprezinte conform semiplanul Im z > 0 pe discul \w\ < 1, astfel ca punctele w = — 1, i, —i să corespundă, respectiv, punctelor z — 0, —1,1. R. Reprezentarea este dată, de [— 1, i, —i, w] = [0, —1, 1, z] sau w =
Ea face
să se corespundă cele două domenii pentru că sensurile — 1, i, —i şi 0, — 1, 1 sînt indirecte faţă de domenii. 149
11. Transformările liniare care păstrează cercul \z\ < 1 fi punctele z = ± 1. R. Transformarea este de forma — W
este reprezentat de arg —
— = a — + 1 2 + 1
> unde arg a = kizideoarece cercul V
= — + k'7t\ • Urmează: w = —
J
2 + 1 2
> cu c real, finit
C-
2
| c =
l
«+ n 1. Sau se pun în ecuaţiile (39) condiţiile pentru punctele duble i 1). lj 12. Sa se o*ea condiţia ca transformarea w = * ^ sa* /t> hiperbolică sau eliptică şi să Y* + 8 se exprime biraportul invariant a. R. Fie 2 2 punctele duble, rădăcini ale ecuaţiei yz* -f- ( $ - a ) : - p = 0; biraportul a -
g
1 #
8
fund a = [ z 2 , , 2 , u>] = —
> formăm
lf
-
(z - w) (z x
t
z)
n + a\* _ r22 2 + 22ic; - (z + z ) (w + 2)1» t
a
x
ll-aj " [
[ sau, înlocuind pe
2y2o>
(h~h)
2 2tt; -
2ft
Y
(
+
t
(S
-
a)
(w
_ j) V ( 5 - a ) * +
w
J
(">-*) +
4p
z)
1*
J
Y
— 2£ din ecuaţia transformării: (a + $)* _ • a ) + 4£y
J*
8
sau — I .
Transformarea este hiperbolică dacă Ay ^ 0 şi — > 0; A P P eliptică dacă Ay ^ 0 şi — ^ 0; loxodromică dacă A y # 0 şi — este complex. Transformarea A A este involutivă cînd I — 0. I şi A sînt invarianţi relativi, legaţi cu D = cc8 — Şy prin relaţia JT — A = 4 D . 2
Mai putem scrie a (1-a)
2
D
(1 + a )
A
a
2
J
2
D
Se calculează direct mai repede 1
1
fl-j
2
=r a
o
2. D
13. Daca o transformare liniară păstrează o dreaptă sau un cerc dat, punctele ei duble sînt pe aceasta sau simetrice in raport cu cercul; transformarea păstrează atunci o infinitate de drepte sau cercuri, care formează un fascicul sau două fascicule atunci cînd ea este involutivă. Clasificarea transformărilor de acest fel. az -f- b 14. Să se clasifice transformările w = cu a, 6, c, d reali şi ad — bc — 1 (adică cz +d transformările care păstrează semiplanul superior). R. (I) c = 0: translaţia în lungul axei reale cînd | a | = 1, omotetie cu centrul pe axa reală şi raport pozitiv cînd \a\ 1. (II) c & 0: (vezi exerciţiul 12) transformare hiperbolică dacă \a -f d\ > 2, cu punctele duble reale; transformare eliptică dacă \a -f d\ < 2, cu punctele duble conjugate; transformare parabolică dacă \a -f- d\ — 2, cu punctul dublu real şi constantă reală. 15. Să se determine transformările liniare ciclice (T* = 1). 150
R. Ele sînt de tip eliptic (cele de tip hiperbolic, loxodromic sau parabolic nu pot fi ciclice, cum se vede din ecuaţiile canonice) şi reductibile la una din formele w — z* z — z w = <x>z + b, sau - = co w — 2j z — z cu co rădăcina primitivă a unităţii, de indice n > 1.
f
>
%
16. w — f(z) fiind o transformare liniară neidentică se consideră punctele z , z = f(z ), z = — f( i) (iteraţele lui z ). Să se arate că în cazul cînd transformarea păstrează un semiplan sau inte riorul unui cerc aceste puncte sînt pe acelaşi cerc (dreaptă ) . în ce caz ele converg către un punct? R. Transformarea dată fiind S, iteratele se obţin aplicînd lui z transformările S* (n întreg ^ 0 ) . Dacă z este punct dublu, ele se confundă cu acesta, caz pe care îl excludem. Cu ajutorul unei transformări liniare putem transforma pe S într-o asemănare. în cazul considerat aceasta va fi o rotaţie, translaţie sau omoteţie şi iteratele sînt evident pe un cerc cu centrul în centrul de rotaţie, pe o dreaptă paralelă cu direcţia translaţiei sau pe o dreaptă prin centrul de omotetie; această proprietate o au transformările de tip hiperbolic, eliptic sau parabolic. Se vede de asemenea că în cazurile hiperbolic, loxodromic şi parabolic, dacă S nu este ciclică, ite ratele converg către un punct dublu (punct atractiv) îndepărtîndu-se de celălalt (punct repulsiv); o transformare ciclică are un număr finit de iterate; o transformare eliptică neciclică nu are puncte de convergenţă. 0
x
0
2
z
0
t
0
0
1
17. O asemănare directă generală păstrează oo spirale logaritmice avînd acelaşi pol. R. Putem considera asemănarea z' — az, unde a == p (cos a -f- i sin a ) . O spirală logaritmică r = k e © va fi păstrată de asemănare dacă pentru orice 0, rp == Ae <6+a) este o consecinţă m
m
m
a relaţiei r = ke Q.
Aceasta are loc dacă p = e^a sau m = — log p. a
Funcţii elementare Sînt numite
n
astfel funcţiile z (n
z
î n t r e g ) , e , funcţiile circulare cos z,
sin z, funcţiile hiperbolice ch z, sh z, inversele acestor funcţii, fz, l o g z,
arc
cos z, arc sin z, arg ch z, arg sh z, precum şi funcţiile formate din acestea prin operaţii aritmetice în număr finit
11
(ajunge să considerăm z , fz,
z
e,
l o g z).
V o m studia funcţiile elementare m a i ales din punctele de v e d e r e ale olomorfiei, univalenţei şi m u l t i f o r m i t ă ţ i i , şi al reprezentărilor conforme ce efectuează.
n
§ 44. Funcţiile z (n întreg), (n întreg > 1). Polinoame şi funcţii raţionale n
A m observat că z pentru n întreg > 0 este olomorfă în t o t planul c o m p l e x , a v î n d d e r i v a t a nz ~ . P e n t r u z —> oo z —> oo (pentru c ă | z * | —> oo), n
x
11
iar — — > 0. P u t e m atribui funcţiei valoarea oo p e n t r u z = cc, făcînd-o astz fel continuă în acest punct în sens larg. E a însă nu este m o n o g e n ă în z = oo (pentru că nu este f i n i t ă ) . P e n t r u că funcţia tinde la oo în z = oo se zice că acest punct este un pol, anume d e ordinul n. I n general orice p o l i n o m de gradul n, n
P(z)
=
+ ... + a
n
(a
0
# 0),
este o funcţie olomorfă în tot planul, afară de z = oo, unde are un pol de ordinul n. A c e a s t a se v e d e scriind
ceea ce arată că în z = oo, P(z) —> oo ca z*. 151
Mai general, să considerăm o funcţie raţională n
P(z)
^a&
+ ... + a
n
(«o * 0, b # 0 ) , 0
Q(z)
b z* + ... + b 0
p
unde presupunem că P(z) şi Q(z) nu au factori comuni. Funcţia este olomorfă în toate punctele care nu anulează pe Q(z). î n aceste puncte ea nu este definită prin expresia precedentă, dar tinde la oo şi îi v o m atribui această valoare. Dacă, de e x e m p l u , a este un zero de ordinul a al lui (?(?), adică t
2(~) = ( r - « ) * < ? ! ( - )
şi
ftW^O.
_{A
atunci funcţia tinde la oc ca (z — a ) , deci ca z'*, şi a este un p o l de ordi nul fjL. Funcţia are limită şi în z = oo. A n u m e , scriind „ a
p(*) Q(=)
U
_L -\
0
_1_ _L » + • • • + —
6,
b
+
0
se v e d e că limita este oo cînd n>p
(de ordinul n — p ) , — cînd n=p
şi 0
cînd n < p (zero de ordinul p — n). Şi în acest punct se ia limita ca valoare a funcţiei. î n cazurile n ^ p funcţia este olomorfă în co pentru că
a
+
b
+ b,z +
0
0
az
a z" n
x
. . . b z* p
n
este olomorfă în z = 0 (vezi § 34, e x e m p l u l 9 ) . D e e x e m p l u , z~ = — ( n > 0 ) este z n
olomorfă în tot planul lui Gauss afară de z = 0, unde are un pol de ordinul n. n
Să considerăm funcţia z = w şi inversa ei, z — fw î n coordonate polare ( v e z i şi fig. 25)avem pentru două valori n
p = r,
de
152
unde
o = « 0 — 2 kiz,
(n întreg > 1). corespunzătoare
n
D i n aceste formule se v e d e că funcţia z ia o valoare dată în punctele z z (formînd un poligon regulat cu centrul în O), confundate numai pen tru w = 0 şi w = oo: lt
(42)
n
z = fp
cos—
k
\
h î sm —
( k = 0 , n — 1).
n
n
)
Argumentele (reduse) ale acestor puncte diferind între ele prin multipli de — > rezultă că un sector de centru 0 şi deschidere — > 0 < 0 < 0 + — » n n n O
O
n
este un domeniu de univalenţă al funcţiei z ; în t i m p ce un sector de deschi dere m a i mare nu poate fi domeniu de univalenţă. Funcţia v a fi deci univa lenţă într-un domeniu dat numai dacă acesta poate fi cuprins într-un sector de centru 0 şi deschidere — • n 11
U n asemenea sector este reprezentat conform şi biunivoc prin w = z , pe planul (w) minus semidreapta w = n% care conţine valorile funcţiei pe latu rile sectorului (egale cîte d o u ă ) . Se zice că semidreapta este o tăietură în planul (w). _ Să considerăm acum funcţia inversă, f w. Pentru w dat, ea are n valori (42). L a cele n sectoare de univalenţă în care este împărţit planul (z) prin 2-x 2(n 1) TT semidreptele 0 = 0 , 0 H > 0 H — corespund n funcţii invern n se olomorfe în planul (w) tăiat după semidreapta co = n% (§ 36, teorema 2 ) . Aceste n funcţii olomorfe sînt date de ( 4 2 ) , cu n% < co < nd + 2iz. E l e constituie împreună funcţia multiformă fw, cu excepţia valorilor ei în punc tele tăieturii co = n% (care de altfel poate fi o semidreapta oarecare unind 0 cu oo în planul (w)). V o m zice că cele n funcţii olomorfe sînt ramurile sau determinările funcţiei fw în domeniul format de planul (w) minus tăietura făcută. V o m zice, de asemenea, că determinările funcţei fw sînt separate în acest domeniu. E l e sînt separate (constituie n funcţii olomorfe) şi în orice domeniu care poate fi cuprins într-un domeniu de felul considerat. D e exemplu, într-un cerc care nu conţine originea (sau într-o vecinătate destul de mică a unui punct ^ O, oo). D i n contră, într-o vecinătate oarecare a punctelor O şi oo separarea determinărilor este imposibilă. Căci co putînd varia oricum, dacă w descrie un circuit (curbă închisă simplă) în acea vecinătate, în jurul lui w = O, p l e cînd cu o determinare z a funcţiei, v o m obţine la întoarcerea în punctul de plecare, prin continuitate, determinarea z (co a crescut cu 2n). Or, dacă determinarea iniţială ar face parte dintr-o funcţie olomorfă (deci uniformă şi continuă) în vecinătatea considerată, ar fi trebuit să obţinem aceeaşi deter minare finală (cum se întîmplă într-o vecinătate excluzînd originea a unui punct # 0 , oo). U n punct în vecinătatea căruia determinările unei funcţii multiforme nu pot fi separate se numeşte punct critic al funcţiei. î n cazul de faţă a v e m n determinări legate prin continuitate între ele (permutîndu-se ciclic atunci cînd punctul co înconjoară originea). D e aceea se zice că 0 şi oo sînt puncte critice algebrice, de ordinul n ale funcţiei fw, sau că în aceste puncte (adică de fapt în vecinătatea l o r ) funcţia are cicluri de ordinul n. O
0
O
0
n
k
kArl
t
153
P e n t r u aceleaşi m o t i v e funcţia ~ = are punctele critice 0 şi yw
oo, alge-
brice de ordinul n. U n punct critic algebric se numeşte punct critic polar cînd limita funcţiei în acel punct este oo. Astfel, w = w = 0 de asemenea pentru ~
oo este punct critic polar pentru fw,
iar
•
Dacă f(z) este o funcţie olomorfă într-un domeniu D, şi w = f(z) descrie domeniul E, fw = ff(z) este o funcţie în general cu n valori în D. Aceasta se întîmplă cu siguranţă cînd f(z) este univalentă în D (corespondenţa z —• w este b i u n i v o c ă ) . î n particular, acesta este cazul într-o vecinătate destul d e mică a unui punct unde f(z) este olomorf şi f'(z) # 0 ( v e z i § 35, teorema 2 ) . î n aceste condiţii, punctele unde f(z) = 0 sînt puncte critice algebrice pentru funcţia ff(z). V o m v e d e a m a i tîrziu că, dacă a este un zero al funcţiei olomorfe f(z), putem scrie f(z) = (z -— a ) * / i ( z ) , unde f (z) este de asemenea olomorfă în a şi / i ( a ) # 0. Aceasta ne este d e altfel cunoscut din algebră în cazul cînd f(z) este un polinom. \i se numeşte multiplicitatea lui a ca zero al lui f(zy A v e m acum ff(z) = f(z — cx.)v-ff (z), unde al doilea factor este olomorf în a. Cînd JX este un multiplu de n, fi = kn, primul factor este = (z — a ) * şi funcţia este olomorfă în a. Cînd cel m a i m i c divizor n comun (fx, n) = h < n, se v e d e că primul factor are — determinări h care se permută ciclic în jurul punctului a. Funcţia ff(z) are deci în a un x
1
punct critic de ordinul — • E l este de ordin n cînd / ' ( a ) # 0 (jx = 1).
h
Exemple. 1. *Jz* -f 1 are două puncte critice, z — ± i, in jurul cărora se permută cele două determinări ale funcţiei. Punctul z — co nu este critic, pentru că un circuit într-o vecinătate de rază > 1, readuce determinarea iniţială', acest punct este însă un pol de ordinul 1. 2. cos ^fz~ nu are puncte critice (este uniformă).
§ 45. Funcţia e
z
(exponenţială)
P e n t r u a construi în domeniul c o m p l e x o funcţie f(z) care să fie analoagă cu funcţia e din domeniul real, v o m impune acelei funcţii următoarele con diţii pe care e* le satisface: x
1°. f(z) m o n o g e n ă în t o t planul c o m p l e x (afară de o o ) ; 2°. f(z) f(z') 3°. fjz) 4°. f(x)
= f(z + z')
pentru
orice z, z' # o o ;
=/(.); x
= e
pentru x real.
Condiţia 4 ° este dealtfel în esenţă o consecinţă a celorlalte. D u p ă 1°, 3°, 2 ° , f(x) este o funcţie reală continuă, care satisface ecuaţia funcţională f(x) f(x') = f(x + x )', se demonstrează că o asemenea funcţie nu p o a t e f i decît e (a r e a l ) . Astfel, 4 ° poate fi înlocuită, d e e x e m p l u , prin / ( l ) = e. P e de altă parte se v a v e d e a m a i tîrziu (principiul d e simetrie al lui Schwarz) că din 1° şi 4 urmează 3 ° . 1
ax
P
154
A v e m , aplicînd p e rînd 3°, 2°, 4°,
l/M l = V/W/W = V M P = v y ^ ) = e . Astfel, (43)
/ ( z ) = e* (cos
1° sînt satisfăcute
condiţiile lui Cauchy
(u = e* cos 9,
v = e* sin 9 ) : (
4 4
)
f e*(cos 9 — sin 99^) = e* cos 99,, \e*(sin9 + COS99J = e* sin 99,,,
de
unde 1 —
9
= 0,
y
9 , = 0,
deci 9 =
y +
c.
P e n t r u y = 0, (43) ne dă, ţinînd seamă d e 4°, e* = e*(cos C + i sin C ) , d e unde C = 2kn. Astfel, funcţia căutată trebuie să fie f(z) = e*(cos y + i sin Definiţie,
e* = e*(cos y + i sin
y).
y).
Ceea ce se m a i scrie (45)
|e*| = e
R e
* , a r g e * = Imz +
lkn.
V o m verifica m a i întîi că funcţia astfel definită posedă cerute.
proprietăţile
1°. e* este olomorfă în tot planul afară de 0 0 , deoarece funcţiile u(x, y) şi v(x, y) au derivatele u , u , v , v continue, care verifică condiţiile lui Cauchy de* de' (44) (se aplică teorema 2, § 33 şi teorema 2, § 34). D e r i v a t a este = —. * x
y
z
y
e
dz e
/(Jf)
este olomorfă în punctele unde f(z)
2°. e V =
e
w
dx
este.
\
R e z u l t ă imediat din (45). 3°. ? = e". Se v e d e din definiţie schimbînd y în — y.
4°. Pentru y = 0, e ' devine funcţia reală e*. Alte
proprietăţi:
5°. e - = — • e' U r m e a z ă din 2°, luînd z' = — z
( e ° = 1). 155
6°. e* #
O z
pentru
orice
z.
z
z
R e z u l t ă d i n e e~ = 1, sau din \e \ = e*. 7°. e*
toate valorile
complexe
afară
de O, oo. Căci m o d u l u l e* p o a t e lua
toate valorile pozitive finite şi argumentul y toate valorile reale. z
e
nu
8°. e are alte
este
z
definit
pentru
are perioada
perioade,
z =
2ni, precum
oo. şi toţi
multiplii
2kni
(k întreg),
şi nu mai
• j
^e** are perioada
într-adevăr, e
*+*ni
=
e
*fi(yf»n)
=
e
* ( c o s ( j y + 2kn) + i sin(y
+
2kn))
sau P e d e altă parte z
e
r
= e
căci atrage e*' = e* deci
atrage
z ' = z + 2Ă7ri,
= x şi y = y + 2 £ - după (45).
î n particular (deoarece e° = 1 ) , 1; z
reciproc, ecuaţia e = 1 are soluţiile z = 2k-i. 9°. bandă
Urmează
limitată
că funcţia
de două
e
paralele
z
ia toate
valorile
la axa reală,
^
0, oo o singură
de lărgime
dată,
într-o
2iz, şi completată
cu
una din marginile ei. O asemenea bandă (şi orice domeniu ce poate f i acoperit de o asemenea bandă) este cu alte cuvinte un domeniu de convergenţă (vezi fig. 26). Banda cu margine este deci reprezentată conform şi biunivoc prin de* \ w
(
deoarece = e* ^ 01 • Planul (z) poate fi împărţit în oo benzi cu aceiaşi pro prietate, fiecare conţinînd cîte unul d i n punc tele z + 2kni în care e are o aceeaşi valoare. z
z
10°. e
nu are limită
în z = oo. P e n t r u
că orice conţine benzi d e univalenţă, adică funcţia ia în orice toate valorile (afară de 0, oo). D e aceea se zice că z — oo este un punct singular esenţial a l funcţiei e . z
11°. Pentru
Fig.
26
cos
(46) e
de
unde
formulele
lui
x =
i y
== cos
0 avem y y
cos
y
sin
y
— î sin
e * — e~
2Î~~ 156
+ i sin
Euler: l
(46')
din y, y
definiţie
12° Putem
scrie un număr
complex
r(cos 0 + i sin 0) = 2kni
Astfel: 1 = e 1 este de forma e .
ni
re 1
= e°, — 1 = e ,
i = e*
i e
etc. U n număr de
modul
i e
§ 46. Funcţia Definiţie. Definim funcţia z = e . Deci
w = \ogz
log z. ca inversă
a funcţiei
exponenţiale:
w
l
z
e °s = z w
1°. Deoarece e 2°. Punînd
# 0, oo, l o g z nu e definit
pentru
z = 0, oo.
w = u + iv, avem w
(45')
\ \ = \e \= z
u
e,
a r g e " = a r g z = v,
deci (46)
w = l o g z = l o g | z\ + i arg z,
(logici este aici logaritm
aritmetic).
3°. Deoarece arg z este determinat pînă la un multiplu de 2TZ, log z este o funcţie multiformă cu o infinitate numărabilă de valori. Una din ele fiind ( l o g z ) , avem 0
(47)
l o g z = ( l o g z) + 0
Pe axa reală una din logaritmi imaginari.
valori
este reală pentru
2kni. z = x > 0. Numerele
<0
au
4°. Am văzut că planul (w) poate fi împărţit în benzi de univalentă a funcţiei e , paralele cu axa Ou şi de lărgime 2n. O astfel de bandă, de exemplu w
2kn
re,
este în corespondenţă biunivocă cu planul (z) minus semiaxa reală (inclusiv punctele 0 şi o o ) ; punctele # 0 , oo ale acestei semiaxe corespund punctelor de pe marginile benzii v — 2kn şi v = 2(k + l)7r — cum se vede din ( 4 5 ' ) . Astfel e fiind considerată într-o bandă, are ca inversă o funcţie olomorfă în planul (z) tăiat după semiaxa p o z i t i v ă , funcţie care este o determinare a funcţiei multiforme l o g 2 (teorema 2 §35) (rezultă şi din faptul că In \z | şi arg z sînt funcţii armonice conjugate). Dealtfel tăietura poate fi făcută de-a lungul oricărei semidrepte de origine O: Dacă deplasăm benzile precedente, adică considerăm benzile w
0 + 2kn < v < 6 + 2(k + O
0
1)
TI,
marginile lor v o r corespunde semidreptei arg z = 0 . A ş a d a r : O
Determinările funcţiei l o g z sînt separate în planul (z) tăiat după o semidreaptă de origine O. E l e constituie în acest domeniu o infinitate de funcţii olomorfe, care diferă între ele prin multipli d e 27ri (după (45)) şi care for m e a z ă împreună funcţia multiformă l o g z, cu excepţia valorilor luate pe 157
tăietură. D e asemenea, determinările funcţiei l o g z pot fi separate în orice domeniu care lasă în afara lui o semidreaptă d e origine O; de e x e m p l u un cerc care nu conţine punctul 0. M a i tîrziu se v a demonstra riguros ( v e z i prelungirea analitică, teorema m o n o d r o m i e i ) că aceeaşi proprietate o are orice domeniu simplu conex care nu conţine punctele 0 şi oo. î n planul tăiat arg z nu poate varia continuu decît într-un i n t e r v a l d e amplitudine < 2n ( v e z i fig. 27). O determinare v a fi reprezentată de w = l o g | -ar| + i6 k
cu 0
O
+
2&7T <
6 <
6
0
+
2(k
+
1)
n.
Să m a i o b s e r v ă m că determinările lui l o g z nu pot fi separate în întregul plan (minus, bineînţeles, punctele 0 şi oo unde funcţia nu este definită). Cu alte cuvinte nu există o funcţie olomorfă în (z) care să ia în toate punc tele (afară de 0 şi oo) valori ale lui l o g z ( t o c m a i acesta este m o t i v u l pentru care determinările lui logz constitue o singură funcţie m u l t i f o r m ă ) . Căci funcţia fiind continuă p e un cerc de centru 0, partea imaginară a ei este o funcţie continuă de unghiul 8, deci ea este 6 + 2krz unde k nu poate v a r i a ; cînd 6 creşte cu 2n (adică cercul a fost descris în sens direct) 6 + 2kiz ar trebui să r e v i e la valoarea iniţială (funcţia presupusă olomorfă fiind uni f o r m ă ) , ceea ce este absurd. 5°. Acelaşi raţionament se aplică şi în interiorul unui cerc dat de centru O. Deci determinările lui l o g z nu pot fi separate în nici o vecinătate a punctului 0 sau a punctului oo. P e n t r u acest m o t i v se zice că acestea sînt puncte critice logaritmice ale funcţiei logaritmice pentru că funcţia are o infinitate de deter minări legate între ele prin continuitate în vecinătatea considerată. A n u m e , dacă plecăm dintr-un punct z cu o valoare w = ( l o g z) şi descriem un cerc (sau o curbă simplă închisă) în jurul lui O, ne întoarcem cu valoarea w sau w ^ după cum a m parcurs circuitul în sensul p o z i t i v sau cel n e g a t i v . 9
M
k
k
6°. Derivata uneia din determinările z # 0, este (teorema 2, § 3 5 ) : (48) ' Ea
k
^
este astfel independentă
7°. Pentru z—>0 ^ | log | z\\ - > o o .
^ dz
=
olomorfe
z->oo,
unui
punct
1=1. w
e
de determinarea
sau
în vecinătatea
z considerată.
log z->oo.
Căci
din
(46)
| l o g z\
>
8°. (49)
l o g z + l o g z* = l o g (zz')
dacă se ia o determinare convenabilă a logaritmului din membrul al doilea. Căci din e = z şi e ' = z' urmează e"* '"' = zz', d e unde w + w' = = l o g z + l o g z' = l o g + 2kni. w
158
w
1
9°. Dacăf(z) este o funcţie olomorfă în vecinătatea unui punct OL şi j\<x) = O, log f(z) are în a punct critic logaritmic. De asemenea dacă a este un pol. într-adevăr, a d m i ţ î n d (ceea ce se va demonstra m a i tîrziu) că putem scrie f(z) = (z — aty*f\(z) (y. > 1), cu f (z) olomorfă în a şi / ( a ) # 0, se v e d e că, atunci cînd z descrie un cerc d e centru a în sens direct, arg (z — a ) creşte cu 2TC{I, iar a r g / ^ z ) revine la valoarea iniţială dacă cercul este destul de mic (aşa ca f (z) să rămînă într-o vecinătate a lui i; = / i ( o c ) , care exclude originea t = 0 ) ; astfel, arg f(z) crescînd cu 2nţi, l o g f(z) creşte cu 2^ui, ceea ce d o v e deşte că determinările funcţiei nu pot fi separate în nici o vecinătate a lui z = a. Cînd a este un pol al funcţiei f(z), raţionamentul rămîne acelaşi, fiind sprijinit pe faptul că în acest caz putem scrie f(z) = (z — oc^f^z) (ţi > 1), cu fi(z) olomorfă în a şi fi(<x) # 0 (cum se v a v e d e a m a i t î r z i u ) . Concluzia x
x
11
x
subsistă şi în cazul a =
oo, cum se v e d e considerînd funcţia log / [ — I în z = 0.
Observaţie. Punctele critice l e g î n d între ele determinările unei multiforme, conferă acestei funcţii o individualitate proprie.
funcţii
Cînd asemenea puncte nu există, se poate întîmpla (nu întotdeauna) ca determinările funcţiei să fie, în tot planul, funcţii olomorfe de sine stătă toare (despre aceasta a se v e d e a capitolul „Prelungirea analitică"). z
z
x
Exemplul 1. log e = log \e \ + i arg e* = log e
-f- i (y -f 2kn) = z -f 2kni.
Această funcţie nu este decît o colecţie de funcţii olomorfe în tot planul, fără legătură între ele.
z
§ 4 7 . Funcţiile a şi z l o
Definiţie, a* = e * «
a
a
(a c o m p l e x ^ 0 ) .
Şi această funcţie este o colecţie de funcţii separate, corespunzătoare valorilor lui l o g a. D e aceea se preferă a se considera numai notaţia e ' , care cu o valoare precizată a lui l o g a, reprezintă o funcţie exponenţială uni formă şi deci oloformă în t o t planul. I o g a
l o
D e r i v a t a ei este e * « a l
Definiţie, z* = e ° * '
a
- l o g a. (z # 0 ) .
a = a + ib fiind un număr c o m p l e x oarecare. Se adaugă 0 raţional > 0 şi 0* = oo cînd a este raţional < 0 . Cînd a = a ( r e a l ) , definiţia ne dă
a
= 0 cînd a este
ceea ce concordă cu definiţiile anterioare în cazul a raţional. Funcţia este în general uniformă. D a c ă (z*) este o valoare a ei, toate valorile sînt 0
=
numărul lor depinde de factorul e
(2«)o e 2 k n i a
:
2k7l
b
= e l-
+
im)
.
Funcţia z* este uniformă numai cînd a este întreg, căci în acest caz fac torul precedent trebuind să fie = 1 , pentru k oarecare, a v e m b = 0 şi 2&7rai = = 2A7ri, ceea c e cere (pentru k întreg arbitrar) a întreg. 159
Cînd a este raţional, oc = — cu p, q primi între ei,z* = z« are, cum ştim, q determinări. 1
î n toate celelalte cazuri z* are oo determinări distincte corespunză toare valorilor lui k. î n t r - a d e v ă r , dacă b # 0, le *"* ! = e * * are valori distincte. I a r dacă 6 = 0, arg e * "" = 2knia ia valori distincte (care nu diferă prin multiple de 2TT) pentru că în cazul contrar, 2knia — Ik'râa = 2/ra, 2
2
01
-2
7
6
7
ar urma a = — - — raţional.
k — k' Cînd z descrie un circuit direct în jurul originei, l o g z creşte cu 27ii, deci z* se înmulţeşte cu e şi astfel determinările lui z trec în determină rile următoare (w în w ). D e unde se conchide că 0 şi oo sînt puncte critice ale funcţiei z* cînd a nu este întreg şi anume, algebrice cînd a este raţional (cum ştiam), logaritmice cînd a nu este raţional. 2lzia
k
a
k+1
Determinările funcţiei pot fi separate tăind planul (z) după o semidreaptă cu originea în O. A t u n c i determinările lui l o g z sînt separate şi ne v o r da func ţii e * olomorfe. a l o g
D e r i v a t a unei determinări este (§ 34, teorema 3 ) .
=
e
a log z
a
_
_
Az
a
e
(a
-
1) l o g * _
a
z
z
sau
(50)
^ r
=
l
* * * - >
az unde se înţelege că l u ă m determinarea a — • z Cînd z descrie un circuit direct în jurul originei, arg z* creşte (cum a m v ă z u t ) cu 2na (a = R e a ) . D a c ă a = a < 1 (6 = 0 ) , a v e m = \z\ şi planul (z) tăiat este reprezentat conform şi biunivoc pe sectorul de deschidere 2na şi centru O din planul (w). Reprezentarea nu m a i este biunivocă dacă a > 1. a
llo
l
Exemplu.? =e &
= e
1
V 2
J
' = e
V s
Această expresie deci nu este determinată; ea are o infinitate de valori reale.
§ 48. Funcţiile circulare cos z şi sin z Definiţie, cos z =
>
sin z =
>
2 îs
iz
e — e~ sin z tg z = — —= > i(e + e ) cos 2 u
160
1 S
2i iz
iz
1
12
e + e~ cos z cotg* = i = e * — e~ sin z A
r
P e axa reală (z = x) aceste funcţii sînt egale cu funcţiile circulare reale, după cum rezultă din formulele lui E u l e r : e
i* _L -i* e
cos x =
e" —
u
ix
e"
sin x =
9
2 1°. cos z şi sin z sînt olomorfe în tot planul
• 2i afară de oo unde nu sînt
defi
nite. R e z u l t ă din expresia lor prin 2 .
d . — cos z = — sin z, dz
. . d caci — cos z = dz 3°.
exponenţiale.
iz
ie
is
d . — sin z = cos z, dz is
— ie~
iz
e
— e~
. . . . = — sin z şi la fel pentru sin z. x
= 2
f
2i
cos z = cos z, sin z = sin
l.
R e z u l t ă din proprietatea analoagă a exponenţialei: 1 /"TI . -71. 1 / 77 . . 7 7 . 1 cos z = - ( e + e " ) = - ( e + e~ ) = — ( e " 2 2 2 T i
ix
i s
4°. cos z este o funcţie
pară,
ix
sin z o funcţie
i z
i z
+ e ) = cos 2.
impară:
cos(—z) = cos z, sin(—z) = — sin z. R e z u l t ă imediat din definiţie. f
5° cos (z ± z') = cos z cos z ^ sin (z ±
= sin 2 cos
sin z sin
± sin
z',
cos 2.
D i n formulele cu semnul superior urmează cele cu semnul inferior aplicînd 4°. V e r i f i c ă m prima formulă: is
u
is
ix
cos z c o s / — sin z sin z' = - (e + e " ) (e ' + e " " ' ) + - (e 4 4
H
îf
— e *) (e*** — e ~ ' ) =
= 1 ( e ^ * * *'> + e-^* + *')) = cos (z + z'). 2 Din
prima formulă 5° cu semnul inferior şi z' = z o b ţ i n e m : z
2
cos z + sin * =
1.
L a fel se stabileşte şi a doua formulă. D i n 4°, 5° şi cos 2kn = cos kiz =
1 (—1)*,
cos — = 0 2 I I — Teoria funcţiilor — c. 1275
sin 2kn = 0,
,
sin kn = 0 , sin — = 1 2 161
2
7
(care rezultă imediat din definiţie ţinînd socoteală de e * " = 2
e
=
± i ) , urmează toate formulele cunoscute din
(
cos — — z\ = sin z, 2
1, e*™ =
(—1)*,
trigonometrie:
sini — — z\ = cos z,
) = —cosz,
\2 ) sin (n — z) = sin z,
7°.
COS(TC
8°.
cos (z + 2kn) = cos z,
sin (z + 2kn) = sin z,
cos (2 + kn) = ( — l)*cos2,
sin (z + kn) = ( — 1)* sin z etc.
—z)
Penultimele (cuprinse în ultimele) e x p r i m ă că funcţiile cos z şi sin z au perioada 2n (şi deci perioadele 2kn). Ceea ce este o consecinţă imediată a periodicităţii exponenţiale. V o m arăta că acestea sînt singurele perioade ale celor două funcţii. V o m rezolva ecuaţia cos z = w în raport cu z. E a se m a i scrie: e
ii
+
e
-u
2ix
2w sau e
=
ix
— 2we + 1 = 0,
de unde ix
(51)
2
2
e = w ±Jw
— 1, z = - î - l o g ( w ± Vw — 1) 2
pentru orice o > # 0 , o o (conform definiţiei lui e*), dar, deoarece w±<Jw — 1 # 0 , ecuaţia în e a v î n d rădăcinile # 0 rezultă că este suficient să presupunem w finit. Cum aceste rădăcini sînt inverse pornind de la rădăcina ce corespunde semnului superior, m a i putem scrie u
2
± — l o g (w + V^ — l)?
= 2
4w — 1 a v î n d o determinare fixată. Această formulă pune în e v i d e n ţ ă paritatea lui cos z şi arată c ă rădăcinile ecuaţiei cos z = w sînt de forma z = ± z + 2 & 7 T , de unde se v ? d e că funcţia cos z nu poate avea alte perioade decît 2kn. T o t aşa ecuaţia sin z = w sau 0
e
2 U
iz
— 2\we
—1 = 0
ne dă pentru orice w finit 2
(51')
z = !log(ize,±Vl--w )' i iz
D i n faptul că rădăcinile ecuaţiei în e au produsul — 1 se deduce că ecuaţia sin z = w are soluţiile de forma z = z + 2kn şi z = (2& + l)7u — z . (căci 0
l o g ^ —— j = — l o g a + (2& +
1) rci).
D e unde se v e d e că
0
nici sin z nu
poate avea alte perioade decît 2kn. T o t o d a t ă a rezultat din cele de m a i sus (deoarece logaritmii din (51) şi ( 5 1 ' ) sînt definiţi pentru orice w f i n i t : căci w ± V^ — 1 # 0 şi ize> ± V1 — ze^ # 0 pentru orice w f i n i t ) : 9° Funcţiile cos z şi sin z iau toate valorile w finite şi nu iau valoarea 00. Mai precis: cos z ia toate valorile finite, o singură dată, într-o bandă 0 < Rez < n plus semidreptele frontieră z = iy, z = n —• iy cu y > 0 ( v e z i fig. 2 8 ) . 2
162
2
î n t r - a d e v ă r , t o a t e punctele z, unde cos z ia o valoare w, se p o t obţine din unul dintre ele z , aplicînd acestuia o translaţie 2kn (în direcţia a x e i reale), ceea ce ne dă punctele z + 2kiz, şi eventual simetria faţă de 0, ceea ce ne m a i dă punctele — z + 2kn. Astfel, z fiind dat, printr-o translaţie 2kn v o m obţine un punct z echivalent în banda — n < Rez < n plus semidreptele z = — TC + iy, z = TZ —- iy (y > 0 ) ; iar dacă acest punct nu e în banda din enunţ, sime * tricul său faţă de 0 v a fi un alt punct echivalent cu z / / / ! o în această bandă. P e d e altă parte, un punct din 7t această bandă nu poate fi echivalent cu nici un alt punct al b e n z i i : pentru că translaţiile 2kn şi simetria -n \ / faţă de 0 ne dau puncte în afara ei. \ / 0
0
0
0
0
A
jtf.
P e scurt: banda 0 < Rez
< iz este un d o m e
.
D-
Fig. 28
niu fundamental sau d e univalentă al funcţiei cos z. Orice reprezentare biunivocă a acestui domeniu împreună cu frontierele are aceeaşi proprietate. D e e x e m p l u un domeniu obţinut printr-o translaţie în direcţia a x e i reale. T o t planul poate fi î m p ă r ţ i t în asemenea domenii, defi nite prin (k — l)7u < R e z < kn, la fiecare adăugîndu-se jumătatea superioară a frontierei din stînga şi j u m ă t a t e a inferioară a frontierei din dreapta. Funcţia cos z — w efectuează o reprezentare conformă a domeniului 0 < R e z < Te pe planul (w) minus semidreptele v = 0, \u\ > 1, care corespund celor două semidrepte adăugate domeniului. Aceasta rezultă din formulele e v i d e n t e (52)
cos iy = chy
sin iy = i
shy
A v e m deci pentru z = iy (y > 0 ) , w = c h y , ceea ce arată că la semidreapta z = iy (y > 0 ) corespunde semidreapta v = 0, u > 1 biunivoc (căci ecuaţia u = chy cu u > 1 are o singură rădăcnă y > 0 ) . T o t aşa, la semidreapta z = T: — iy (y > 0 ) corespunde biunivoc w = cos (re — iy) = — c o s i y = — — chy, adică semidreapta v = 0, u < — 1. Aşadar, la domeniul D ( 0 < R e z < <
n) din planul (z) corespunde bimr.voc (w) tăiat după semidreptele prece
dente. Corespondenţa e conformă pentru că în D,
— cos z = — sin z # 0. dz A d ă u g i n d lui D semidreptele z = iy (y > 0 ) şi z = n — iy (y > 0) a v e m corespondenţă biunivocă cu întregul plan (w) — oo, dar care nu e con formă în punctele z = 0, n la care corespund w = 1, — 1 . Ceea ce reise din faptul că la segmentul z = x (0 < x < 7:) corespunde segmentul w = u(— 1 < < u < + 1) deci la unghiul d e — din O, al frontierei lui D cu primul segment, 2 corespunde un unghi de deschidere 7u. P e n t r u a găsi ecuaţiile corespondenţei v o m folosi formulele (53)
cos z = cos x chy — i sin x shy, sin z = sin x c h y + i cos x shy,
care rezultă din formulele de adunare şi ( 5 2 ) . Ecuaţiile reprezentării sînt d e c i : (54)
u = cos x chy,
v = — sin x
shy.
E l e ne dau v < 0 pentru 0 < A ; < 7 : ş i j y > 0 : L a semibanda D+ a lui D din semiplanul superior corespunde semiplanul (w) inferior şi vice-versa. (Se m a i poate observa că la valori z conjugate corespund v a l o r i w conjugate.) 163
Astfel funcţia cos z r e z o l v ă problema de a reprezenta conform o semibandă de l ă r g i m e n p e un semiplan. ( D u p ă c u m e reprezintă conform o bandă în treagă d e aceiaşi lărgime, pe un semiplan: de e x e m p l u 0 < I m z < rz pe I m w > 0.) z
Să m a i o b s e r v ă m că la semidreapta z = - ~ + iy
din
D
corespunde
axa imaginară din planul (w): w = — i shy (corespunzîndu-se semidreptele superioare cu cele inferioare). D e aici sau din (54) reese că cele patru sferturi TZ
în care D e împărţit de dreptele y = 0 şi x = — > corespund celor patru ca2 drane în care planul (w) e împărţit de axele s a l e ; şi anume aşa cum se v e d e în figura 29.
fw)
Fie. 29
Să eliminăm din ecuaţiile (54) pe x sau pe y\ = 1 2
sh y
= 2
(y*o),
2
ch y
cos x
obţinem
1
2
sin x
Aceste ecuaţii reprezintă elipse şi hiperbole de focare w = ± 1, care corespund respectiv dreptelor y = const. şi x = const. Se regăsesc astfel, cu ajutorul unei corespondenţe conforme, proprietăţi cunoscute ale siste melor omofocale de conice cu centru: printr-un punct exterior axelor trece o elipsă şi o hiperbolă a sistemului, ce se taie sub unghi drept. Să m a i observăm că o elipsă corespunde la două drepte y = ± y mai precis, jumătatea superioară a elipsei corespunde biunivoc segmentului din D al dreptei inferioare şi vice-versa ( v e z i f i g . 2 9 ) . A p o i cele două ramuri ale unei hiperbole corespund biunivoc la două drepte din D, simetrice faţă 0
de dreapta x = — şi paralele cu ea. 2
Astfel
la
interiorul unui
din D, cu laturi paralele axelor şi centrul în z = — > corespunde
dreptunghi domeniul
limitat de o elipsă şi o hiperbolă. Se v e d e cum, atunci cînd dreptunghiul tinde către banda D, ultimul domeniu tinde către planul (w) tăiat. 164
Reprezentarea w = sin z se poate studia la fel. Considerînd z
2kn şi simetria faţă d e punctul
=
~~
c
a
r
e
l
a
s
a
neschimbată
translaţiile
valoarea
func
ţiei (z' = z + 2kn şi z' = iz — z) se ajunge la domeniul fundamental — — < 2 < R e z < — (la care 2
se adaugă
semidreptele z = — — + iy (y > 0) şi z = 2
= — — iy (y ^ 0 ) ) . D e altfel rezultatele 2
p o t fi deduse
imediat
din cele
ce preced observînd că simetria faţă d e punctul z = ~ ^z' = ~ — z j trans formă cos z în sin z. ( E a duce domeniul D fundamental pentru cos z în dome niul definit m a i sus, fundamental 10°.
Din formulele
(53)
pentru sin z.)
rezultă
2
2
2
| c o s z | = c o s xch?y
+ sin # s h
2
2
y.
|sinz| = sin #ch 3/ + cos^sh )/. 2
Folosind
relaţiile
2
2
2
cos x +
sin x =
2
2
2
1,
ch
2
x—
2
2
sh x =
1,
2
2
2
2
mai
putem
scrie
cu axa
reală.
| cos z\ = c o s x + s h y = c h y — sin x, (55) 2
2
2
| s i n z | = sin x + sh y Se
deduc
= c h ^ — c o s x.
inegalităţile
| c o s ^ | , I s h j y | < I c o s u l < ch^y, | s i n # | , I s h ^ y l < | s i n z | < chy. Consecinţă: cos z şi sin z sînt
11°.
mărginite
într-o
bandă
paralelă
l i m ^ i = l . *-»o
z
î n a d e v ă r , în real a v e m c u m se ştie l i m * * = 1, l i m ^ ^ = 1. A t r i S
n
x->o . i r sin x . sh y buind funcţiilor ş i — — valoarea n
x
S
x
y^o
y
^ . 1 pentru # = 0, respectiv 3/ = 0, ele
m
A
y
devin continue în origină. P u t e m scrie după (53) ^ n z _ ( s i n x \
x ^
valabil şi pentru x = 0 sau 3/ = 0 _>
ch^/ - > 1, COSA;
A
>
^ . ( s h y \ y
(dar ^
0 ) . Pentru
z ->0,
sin # >1,
1, deci putem scrie
y
Z
Z
Z
Z
Z 165
unde c - > O, s' - > 0. Cum
1.
S
i
n Z
< 1, urmează - > 1. (Se poate obz ţine direct considerînd raportul derivatelor pentru z = 0.) <
1,
V o m m a i observa că f u n c ţ i a — - - , definită cu valoarea 1 în z = 0, este z olomorfă în acest punct şi are derivata egală cu 0. î n adevăr, se ştie (formula lui T a y l o r ) că =
1+
chy =
1+
t\ y
shy —£ y
1 ,
/
2
X . , cos x = 1 + unde Y ) ! , Y ) ,
,
= l + r^y
?fe - > 0 cînd 2 r - > 0 . R a p o r t u l incrementar al funcţiei
2
derate, în z=0, este (pentru A z = ; ? ) — j
S
m
£ \
consi
* — 11 = - ^ (*)i* + ? ) 2 j ' + ? î i ? î 2 * y ) + 2
) Z iv # v + o ( l î ^ + iQiy + IQÎ>I*^y)-Ţinînd socoteală că | # | , |jy| şi — > — sînt mărgi2 z z [z niţi se v e d e că acest raport tinde la z e r o . 12°. Funcţia sin z se anulează în punctele z = kn şi numai în acestea. Căci z = 0 fiind imul din acele puncte, toate celelalte sînt 0 + 2kn şi (2k + 1) n — 0. într-un z e r o foc al funcţiei a v e m (57)
l i m _5HL^
*
(_i)*.
=
z+tot z — kn
P u t e m scrie _şin£_ £—
, rin ( « - * » )
=
foc
£—
şin^
=
_
Ă7U
T o t de aici rezultă, a v î n d în v e d e r e observaţia d e m a i sus, că CÎN
funcţia
v
-> definită cu valoarea ( — 1 ) pentru z= kn, este olomorfă în acest punct z — kn şi are derivata nulă. A s t f e l p u t e m scrie în vecinătatea unui z e r o al funcţiei sinz: sin z = (z — kn)
acest
motiv
— z se deduce că funcţia cos z are zerourile simple
1) — şi în vecinătatea unui z e r o 2 /
2k
+
COS 2 = I Z unde 9(2) e olomorfă în z =
166
Din
l
\
,
,
7CJ
n
Şi
W
J
^
§ 49. Funcţiile ciclometrice arc cos z şi arc sin z. Definiţie,
cos z) =
w =
arc
cos
z
este
inversa
funcţiei
z =
cos
w;
deci
cos
(arc
z.
1°. Deoarece cos w şi sin w iau numai v a l o r i finite, arc cos z şi arc sin z nu
sînt
definite
2°. Aceste care
sînt
date
decît
la
distanţă
funcţii
sînt
finită.
multiforme,
de formulele
cu o infinitate
( 5 1 ) , ( 5 1 ' ) , unde
schimbăm
numărabilă z şi w între
de ele
valori,
(formulele
obţinute r e z o l v î n d ecuaţiile z = cos w respectiv z = sin w): arc cos z = ~ l o g (z +
j
(58)
2
Vz — l ) ,
arc sin z = — log (iz + V l — z ). %
i
D u p ă cum a m v ă z u t , dacă n o t ă m cu w o determinare, toate determi nările acestor funcţii p o t fi reprezentate prin formulele: 0
a
(58') a r c c o s * = ( '
0
+
2
[ —w
*
+
0
7 t
=
B
2
' "
2kiz =
W
arc sin , = (
ze>2*-i,
°
+
2
k
* =
l — ^ o + (2k+
l)n
=
w ^
x
(k întreg oarecare). 3°. Comportarea precedent,
plane
al
este aici
acestor
corespondenţei
inversat).
determinări z =
cos
reise
w
din
respectiv
studiul, z =
sin
făcut w
în
(rolul
paragraful celor
două
î n ce priveşte p r i m a funcţie, a m v ă z u t că planul (w)
poate fi î m p ă r ţ i t în domeniile fundamentale D (kn < R e w < (k + l)rc) şi fiecare dintre aceste domenii e reprezentat biunivoc şi conform prin z = = cos w, pe planul (z) minus tăieturile z = x(x < — 1) şi z = x(x > + 1 ) . k
R e z u l t ă de aici că în planul (z) astfel tăiat determinările funcţiei arc cos z sînt separate în funcţii o l o m o r f e ; derivata uneia din aceste ramuri este dz
dată de teorema funcţiilor inverse, a v î n d în v e d e r e că — = — sin w nu se dw
anulează decît în punctele w = kiz, care corespund la Aşadar — arc cos z = dz
: = cos kn = ± 1.
— sau ţinînd socoteală de z = cos w, sinw 1
<*
(59)
— dz arc cos z
=
V l — .2
formulă în care determinarea radicalului urmează a fi precizată. A n u m e , valoarea lui w = arc cos z, în care z = 0, fiind ( 2 k + 1) — > a v e m 2
sin w =
2
= ( — 1 ) * = V l — z î n z = 0 ; deci determinarea radicalului este aceea care ia valoarea 1 în origine cînd k este par şi cealaltă cînd k este impar. ( S e v a observa că tăieturile noastre separă şi determinările radicalului.) Cele de m a i sus nu se aplică direct punctelor de pe tăieturi, în care R e w = k7u, cu k par pentru prima tăietură şi k impar pentru a doua. Totuşi şi acestea pot fi înglobate, cu excepţia punctelor z = ± 1, în domenii unde determinările lui arc cos z sînt separate. D e e x e m p l u , pentru un punct de p e semidreapta z = x, (x > 1) şi o determinare w = iv, (v > 0) v o m considera 167
domeniul — ~ < Rev < - y > Irme> > 0, care corespunde biunivoc şi conform semiplanului Rez > 0 (cum rezultă din formulele d e transformare ( 5 4 ) , sau din corespondenţa sferturilor domeniului fundamental cu cadranele planului (z). Deci şi în asemenea puncte determinările lui arc cos z sînt funcţii olo morfe şi au derivate date d e aceiaşi formulă. 4°. Determinările lui arc cos z fiind notate cu w , ca mai sus, să observăm că trecerea de la w la w^-i, se face prin simetria w' = — w + 2kn faţă de punctul w = kn. Aceste determinări corespund în planul (w) la domenii D , D _ adiacente, . . - ' al doilea la stînga primului. De la w la w 0-1 I #0 ^1 ^2 se trece prin translaţia 2n, care duce D în | (fig. 3 0 ) . Să presupunem că punctul z trece peste tăietura z = x(x > + 1 ) , m e r g î n d d e e x e m p l u pe un arc al unei elipse d e focare z = ± 1. D a c ă în (z) considerăm determinarea w , la arcul d e elipsă, v a corespunde un segment paralel cu axa reală, în planul (w), cu o extremitate Fig. 30 în D . Deoarece acest arc intersectează numai tăietura z= x(x> +1), care corespunde dreptei R e w = kn, cînd k e par, a doua extremitate a [segmentului corespunzător v a fi atunci în D _ Aşadar, trecerea peste tăietura z = x(x > + 1 ) , într-un sens sau altul, duce o determinare w în cea precedentă, w _ sau cea urmă toare după c u m k este par sau impar. P e n t r u acelaşi m o t i v , cînd z trece prin tăietura z = x(x < — 1), o determinare w este dusă în cea următoare, w respectiv cea precedentă. k
2k
2k
2k
x
v
2k
2k+2
2k
N
k
k
k
v
k
k
lt
k
k+1
R e z u l t ă d e aici că, dacă z descrie un circuit în jurul lui z = + 1, care nu înconjoară şi p e z = — 1, o determinare w urmărită prin continuitate devine w _ respectiv. w ; iar în urma unui circuit în jurul lui z = —1 ea devine w , respectiv w ^. D e e x e m p l u la un circuit în jurul lui z— + 1 , format dintr-un arc d e elipsă şi altul de hiperbolă d e focare z = ± 1 , cores punde un drum format dintr-un segment paralel cu a x a reală şi altul paralel cu axa imaginară care duce cînd k este par, d e la punctul w la punctul w _ simetric faţă d e w = kn (sau invers). P e n t r u acest m o t i v punctele z = ± 1 sînt puncte critice logaritmice. k
k
lt
k+1
k+1
k
k
k
x
Acest efect nu se poate produce într-o vecinătate (destul d e m i c ă ) a unui punct # ± 1 , la distanţă finită. P e n t r u că un asemenea punct poate fi înglobat într-un domeniu unde determinările sînt funcţii olomorfe separate, î n vecinătatea punctului oo, un circuit direct care înconjoară amîndouă punc tele ± 1 nu v a readuce determinarea iniţială: c u m se v e d e uşor, e l este echi valent cu un circuit î n jurul lui —1 urmat d e altul în jurul lui + 1 , ceea ce duce succesiv w (k par) î n w şi p e aceasta în w . ( E x e m p l u : o elipsă d e focare ± 1 . ) A ş a d a r : h
M
k+2
Funcţia arc cos z posedă trei puncte logaritmice, z = ± 1 , oo, şi numai pe acestea. în jurul fiecărui punct critic toate determinările funcţiei sînt legate prin continuitate. Observaţie. R e z u l t ă din discuţia d e m a i sus că determinările lui arc cos z pot f i separate în orice domeniu simplu conex care nu conţine nici un punct critic. D e e x e m p l u î n exteriorul unei hiperbole d e focare ± 1 . 168
5°. Rezultatele precedente pot fi transportate la funcţia că, deoarece sin w = cos |
(60)
—
arc sin z, observînd
te>j > avem
arc sin ~
=
~ —
a
r
c c
o
s
~-
P e n t r u a v e d e a cum se corespund determinările celor două funcţii în această formulă, să n o t ă m cu accente pe acelea ale lui arc cos z şi să presu punem că w
0
şi WQ se corespund: w = — — w' . A v e m atunci 2 0
w
2k
W -l
= WQ + 2krz = — — (WQ — 2kn) = — — 2 2
= — W + (2k + 1)
2lc
0
0
7T =
+
—
—
(— W
Q
—
2kiz)
wL^,
=
2
—
—
W'_2l-V
2
Se v e d e acum că un circuit în jurul punctului + 1 duce pe w (par) în — — w'-k-i = Wk+i Şi n circuit în jurul punctului —1 duce pe w în w _ 2 Aşadar şi funcţia arc sin z posedă punctele critice logaritmice z = ± 1, oo, şi numai p e acestea, determinările ei fiind legate prin continuitate în vecină tatea fiecărui punct critic. k
u
k
§ 50. Funcţiile circulare t g z şi 1°. Aceste funcţii sînt şi ele reale pe reale tgx şi c o t g x. Apoi avem:
k
v
ctgz
axa reală, unde coincid
cu
funcţiile
tg z = t g z, c t g z = c t g z. Acestea rezultă din proprietăţile analoge ale funcţiilor cos z, sin z şi ,. ... sinz cosz din expresiile t g z = » ctg z = cos z sin z 2°. t g z nu este definită în oo (punct singular esenţial) şi în punctele x
z = (2k + 1) olomorfă
care anulează
(ca raport de funcţii
z = (2k +
numitorul
cosz;
în
toate celelalte puncte
este
olomorfe).
Deoarece în vecinătatea unui punct
1) — a v e m 2 cos z = ^z -
(2k + 1) y W ) ,
? [(2k + 1)
=
1
(-1)*" ,
unde
»'+!,•<•>. *pifi.)—1 169
cu <J>(z) olomorfă şi # 0 în acel punct. Aceasta înseamnă că punctele z = 2k + 1 = n sînt poli de ordin 1 (simpli) ai funcţiei t g z . 2 într-un pol t g z - > oo (cum arată formula precedentă). L a fel se v e d e că funcţia c t g z este nedefinită în oo (punct singular esenţial) şi în punctele z = kn, care sînt poli s i m p l i ; în vecinătatea unuia din ei avîndu-se ctg z = cu ty(z) olomorfă şi # 0 în e olomorfă. V o m conveni într-un pol. 3°. Derivatele acestei obţinute cu ajutorul regulei d
.
ty(z), z — kn
= 1
acel punct. î n toate celelalte puncte funcţia c t g z să atribuim valoarea oo funcţiei t g z sau c t g z funcţii în punctele de derivare a unui 1 d
unde sînt cît) sînt: 1
.
tg Z =
— ctg
9 2
dz 4°. t g z şi ctgz
ty(kn)
cos z sînt funcţii
olomorfe
(derivate
Z = 2
dz
sin z
impare:
t g (—z) = — tgz, c t g l—z) = — c t g z . 5°. împărţind formulele pentru cos (z ± %') şi sin (z ± z') obţinem mulele de adunare: , , , t g z ± tgz" ctgzctgz' ± 1 t g (z + z ' ) = — — - » c t g ( * ±z) = 2 _ - s 1 ± tgztgz ctgz' ± ctgz Din 4°, 5° şi k 4- 1 t g k~ = 0, c t g — — — n = 0 2 urmează toate celelalte formule cunoscute:
for
n
6°. t g
— zj = ctgz,
ctg^— — z j =
7°. t g (n — z) = — t g z ,
tgz,
c t g (n — z) = — c t g z ,
8°. t g (z + k?w) = t g z , c t g (z + kn) = c t g z ; etc. U l t i m a spune că funcţiile t g z şi c t g z admit dele kn). Aceasta se v e d e şi din expresiile 2iz _ J _ , , > i(e * + 1 ) e
t
Sz=
observînd că e
2 i x
o; 2i
are perioada
v
perioada
e
ctgz=i-
2U
+
7r (şi deci
i
2i
e * — 1
n.
V o m arăta că acestea sînt singurele perioade ale funcţiilor, f
tg z = t g z urmează z ' = z + for. Deoarece c t g z =
> este tgz
ocupăm de t g z . Ecuaţia t g z == w sau 2l
e * ( l — iw) — (1 + \w) = 0 170
perioa
adică d i n
destul să
ne
ne dă 1 ,
l + iw
2i
1 — iw
(61)
Rădăcinile ecuaţiei t g z = w sînt deci de forma z = z + kn. Ceea ce înseamnă că t g z are numai perioadele kn. F o r m u l a (61) este valabilă cît t i m p logarjtmul din m e m b r u l I I este definit, adică pentru 0
W
— # 0, oo, ceeace înseamnă w # 1 — iw
9° Funcţiile t g z şi c t g z iau toate valorile de w = ± i (valoarea w = oo / u n i /watfa M Mai precis: Funcţia
tgz
ia orice valoare w
D
± i . Aşadar:
(zi
afară poli).
27
_7T 2
2
± z , o singură
dată, în banda D: — ~ < Rez < — ^ / H S 2 2
O
IV
m
semidreptele
Fig. 31 — + iy(y > 0 ) şi z = - +iy (y < 0 ) . (Tot 2 2 oja în orice bandă dedusă din aceasta printr-o translaţie în direcţia axei reale ( v e z i f i g . 31.)) î n a d e v ă r , deoarece punctele unde t g z ia o valoare dată w ^ ± i se o b ţ i n imul din altul prin translaţii kn, unul şi numai unul din ele se v a afla în banda D sau pe una din semidreptele adăugate. A p l i c î n d acestei benzi toate translaţiile kn v o m obţine o împărţire a planului (z) în benzi D cu aceiaşi proprietate (D = D ). Banda D este aşadar un domeniu fundamental al funcţiei t g z. E a este reprezentată conform şi biunivoc pe planul (w) minus tăieturile: w = iv(v > 1) şi w = iv (v < — 1 ) . k
0
în adevăr:
m a i întîi — t g z = — ^ — ^ 0, deci corespondenţa este condz cos z formă. A p o i , a v î n d în v e d e r e rezultatele de m a i sus, rămîne să cercetăm 2
ce
corespunde
semidreptelor adăugate.
Pentru
z == — + iy(y 2
> 0) a v e m
după (52)
( P e n t r u y>
n
\
eh v
i sh v ~~~ + ijyJ = — c t g 13/ = — — — = i c t h j y (sau u = 0, v = 0, v =
1
cthy
>
1 şi pe de altă
parte
pentru
cthy). v > 1,
ecuaţia cth ;y = v
sau
e
2
^ — 1) — (v + 1) = 0
V
are o soluţie unică, y = — l o g * > 0. D e c i semidreapta z = — + 2 v — 1 2 (jy > 0 ) corespunde biunivoc tăieturii w = iv(a > 1 ) ; la extremitatea z —
( p o l ) corespunde
a> =
0 0 . L a fel se v a
v e d e a că la
iy ei
semidreapta
2 = — — + i ^ (y < 0 ) corespunde tăietura 10 = iv (v < — 1). 2 171
î n sfîrşit e x t r e m i t ă ţ i l e w = ± i ale tăieturilor nu corespund nici unui punct din planul (z) ( f i g . 32). Ecuaţiile reprezentării w = t g z şe v o r obţine uşor folosind ( 5 3 ) : 1
sin z cos z
w
2
Icos z\
(sin x ch y+ i cos x sh y) (cos x ch y + i sin # sh y),
cos zj de unde sin 2x u = 2|coszl
(62)
sh2y 2
2|cosz|
2
2
| c o s z | fiind dat de ( 5 5 ) . Cu ajutorul lor se constată următoarele: L a axa imaginară z = iy corespunde biunivoc u = 0, v = thy, adică segmentul w = iv ( — 1 < < v < + 1) de e x t r e m i t ă ţ i ± i din planul (w). Fig.
32
L a segmentul z = x | — ^
< x < + - ~ j cores
punde biunivoc z; = 0, u = tg x, adică axa reală din planul (w). L a sferturile în care domeniul D este î m p ă r ţ i t de a x e corespund cadranele planului (w), corespondenţa fiind aceea indicată în figuri. L a aceleaşi concluzii se poate ajunge şi cu ajutorul formulei ( 6 1 ) , care e echivalentă cu 2 x = arg
1 +
iw
2y-
1 +
log
1
iw
1 — iw
sau (63)
2x = tz + arg
w •
2y=—
w —i
log
w + i
w + i
D e aici se m a i v e d e c ă : L a o dreaptă x = x (const) corespunde un arc d e cerc de e x t r e m i t ă ţ i 0
±
i, situat la stînga sau la dreapta axei imaginare, după c u m — < x < 2
n sau
0
2>TZ
rz < x
<
0
2 L a o dreaptă y = y (const) sau numai la segmentul ei din D cores punde un cerc care a d m i t e punctele simetrice (inverse) ± i şi este situat dea supra sau dedesubtul axei reale, după cum y > 0 sau y < 0 ( v e z i § 39, E x . 3 ) . Aceste familii (fascicole) de cercuri sînt ortogonale. Ecuaţiile lor se pot obţine astfel: a v e m din ( 5 5 ) , 0
0
\Wf
2
= U +
2
V = ;
0
2
sin u\
sau u + v'2 2
9
2
2
2
2
2
c o s x + sh y
cos z\
2
s i n x + sh y _ sh y + s i n x 2
c h y — sin x
de unde . 1 . 2 s i r
2
(u
+
2
2
V) COS X
o
2
2
2
2
(u + z; )ch v — s h v
şi introducînd în (62) obţinem 2
u
2
2
2
+ v + 2u c t g 2x — 1 = 0, u + v — 2v cth 2y + 1 = 0,
ecuaţii echivalente cu (63). Rezultatele precedente se transportă uşor la funcţia
ctg z,
observînd
că simetria faţă de z = — \z' =— — z\ transformă tgz în ctz. Se găseşte 4 V 2 ) astfel ca domeniu fundamental pentru ct z, domeniul 0 < R e z < TZ, care v a fi completat cu semidreptele z = iy (y < 0) şi z = iz + iy (y > 0) etc. 10° (64)
|tgh^|<
|
t
g
* ' < |cth>'| |ctg*|
pentru \y\ # 0.
R e z u l t ă din (56) sau direct din expresiile funcţiilor. D e aici şi din periodici tatea celor două funcţii d e d u c e m : 11°. t g z şi c t g z sînt mărginite în tot planul minus cercurile cu centrele în polii funcţiei şi de rază r arbitrar de mică. î n adevăr, pentru \y\ > y > 0 a v e m | c t h y\ < | c t h y \ (căci cth y este o funcţie descrescătoare, a v î n d derivata < 0 ) . Deci | t g z\ şi [ c t g z\ sînt mărginite pentru \y\>yţ>. Să considerăm acum, în banda \y\
0
0
0
x
x
0
12° Limite importante. A m observat că funcţia exponenţială nu are limită în z = oo. Aceasta este adevărat şi pentru funcţiile circulare; m o t i v u l este acelaşi: o vecinătate V conţine întotdeauna domenii în care funcţia ia toate valorile de care e capabilă (obţinute prin translaţie dintr-un domeniu fundamental). Aceasta însă nu împiedică să existe limită în raport cu domenii m a i restrînse ( a v î n d pe oo ca punct frontieră). V o m arăta că în adevăr este aşa, şi că pentru domenii convenabile funcţiile considerate au ca Urnită v a l o rile pe care nu le pot lua (valorile e x c e p ţ i o n a l e ) . Să considerăm întîi pe e* care are valorile excepţionale 0 şi oo. A v e m |e*| = e = e «(R = \z\, 6 = a r g z ) . D e aici se v e d e că, dacă cos 6 > 0, e - > oo, iar dacă cos 6 < 0, e* - > 0. Cu alte c u v i n t e : într-un unghi închis, cu centrul în 0 şi care lasă în afară axa imaginară, lim e* este egală cu oo sau cu 0, după cum acel unghi se află la dreapta m
x
Rcos
z
sau la stînga axei imaginare. P e axa imaginară şi deci într-un unghi care o conţine, e ' = cos y + î sin y nu are limită. T o t aşa: într-un unghi cu centrul în 0 şi care lasă în afară axa reală, este egală cu 0 sau oo, după cum acel unghi se află deasupra sau
iz
lim e Z - > 00
iz
dedesubtul axei reale. P e axa reală e
nu are limită.
D e aici urmează i m e d i a t : î n orice unghi cu centrul în 0, care lasă în exterior axa reală l i m sin z — oo şi l i m cos z = oo. P e axa reală aceste funcţii nu au limită. oo
z-*ao
173
î n ce priveşte t g z şi c t g z, scriind 2iz _
!
e
tgz
j _
=
e
-2i,
= 2i
2 i
i ( e * + 1)
i(l-e" *) iz
şi aplicînd rezultatul precedent r e l a t i v la e , v e d e m c ă : într-un unghi d e centru O, care lasă în exteriorul său a x a reală şi se în semiplanul p o z i t i v l i m t g z = + i, l i m c t g z = — i ; într-un
află unghi
d e vîrf
0, care
se află
î n semiplanul negativ,
l i m t g z = — i, Z> 00
lim
c t g z = + i. P e axa reală aceste funcţii nu au limită.
§ 51. Funcţiile ciclometrice arc t g z şi arc c t g z Definiţie,
1°. Aceste
w =
arc
t g z este
w
arc
c t g z este
=
funcţii
sînt
inversa
definite
în
z = d = i | w z = oo, arc t g z = ~~~~ 2°. analogă
Ele sînt funcţii (unde
/ « \ (65) (a
multiforme
z este schimbat
funcţiei
inversa
z =
funcţiei
tot planul
7 1
a
r
cc
tg
z =
w.
ctg
lui Gauss
*g
cu co valori,
z
=
w. afară
de
punctele
*
date
de formula
(61) şi
formula
cu w):
* 1 . 1 + i z l . z + i arc t g z = — l o g > arc ctg z = — l o g 2i 1 — iz 2i z—i doua
formulă
s-a obţinut
schimbînd
în (61) wîn—
şi
apoi
w
în
z).
Cum
w am
observat,
dacă
w
e una din aceste
0
valori,
toate
valorile
sînt
cuprinse
în
for
mulele:
arc t g z = 3°. (aici în
Din
rolul
studiul
celor
domeniile
plane
fundamentale
conform
z =
<
şi w (z), k
+
kn =
w, k
— pe
planul
care
iau
tg w
inversate)
k
în
arc c t g
z =
sînt D
biunivoc
— 1 ) . Deci
olomorfe
dz
0
reprezentării
două
prezentat funcţii
w
planul
w
făcut
< Rcw (z)
în
<
^
w
k
paragraful
precedent
(w) este
^ " * 7 r j » fiecare
tăieturile funcţia
valorile
kn =
că planul
minus tăiat
+
Q
a reieşit
(z) astfel respectiv
z =
din
z =
fiind
\y(y
arc t g z se
domeniile
împărţit
D. k
> separă
în
re1) si în planul
1
tăiat
— = & O şi derivata este dată de teoria dw cos w fiecare determinare a funcţiei arc t g z ea este aceeaşi
funcţiilor
inverse;
pentru
± i , d e o a r e c e şi
punctele
2
şi
anume
d 1 — arc t g z == dz 1 + z',2 Formula
este
valabilă
pentru
orice
z finit
şi
^
tăieturilor, cu excepţia acestora, p o t fi înglobate în domenii unde determină rile funcţiei p o t fi separate în funcţii olomorfe. 174
4°. Considerînd o vecinătate a punctului z = + i, care exclude punctul z = — i , să presupunem că z descrie în această vecinătate un circuit direct în jurul punctului. A t u n c i arg (1 + i * ) = arg i(z — i ) creşte cu 2TZ, iar arg (1 — iz) = TZ -f- arg i(z + i ) revine la valoarea iniţială. Deci, cum arată for mula ( 6 5 ) , o determinare w urmărită prin continuitate de-a lungul circui tului creşte cu TZ, adică d e v i n e w ; ea d e v i n e w _ în urma unui circuit indirect. T o t aşa, un circuit direct într-o vecinătate a punctului z = — i , care exclude pe z = + i , duce w în w _ iar un circuit indirect, în w+ Deci z = ± i sînt puncte critice ale funcţiei arc tgz, în vecinătatea cărora toate determinările funcţiei sînt legate prin continuitate: aşadar sînt puncte critice logaritmice. Acestea sînt singurele puncte critice, căci acelaşi raţionament ne arată că un circuit în jurul ambelor puncte z = ± i readuce determinarea iniţială, aşa că oo nu e punct critic. k
k+1
k
k
k
x
x
k
5°. Toate acestea se pot aplica şi funcţiei arc c t g z =
v
arc c t g z, observînd că
arc t g z. 2
( v e z i § 50, 6°). Se v e d e astfel că funcţia arc c t g z are aceleaşi puncte critice.
§ 52. Funcţiile hiperbolice Definiţie. z
, e ch z =
z
+ e~
z
z
z
?
cos iz = \ ch z,
sin
= i sh z,
t g iz = i th z,
c t g iz = — i cth z.
(66)
V a fi deajuns 1°. Pe axa
să enunţăm
rezultatele.
reală aceste funcţii
coincid
cu funcţiile
avem ch z = ch z etc. 2°. Ele nu sînt definite în oo, care e punct singular ch z şi sh z sînt olomorfe în tot planul la distanţă finită. th z are polii
simpli
hiperbolice
reale şi
esenţial.
Funcţiile
z = — - — TZÎ.
cth z are polii simpli z = kni. Valorile acestei funcţii se definesc în poli egale cu oo. 3°. Derivatele funcţiilor hiperbolice în punctele unde sînt — chz = sh z, dz — th z = — — » dz ch z 2
olomorfe:
— sh z = ch z, dz — cth z dz
2
sh z 17.*
4°.
chz
e funcţie
5°. Avem
pară;
formulele
shz,
de
thz,
c t h z funcţii
impare.
adunare:
ch (z ± z') = ch z ch z' ± sh z sh z', sh (z ± z ' ) = sh z ch z ' ± sh z' ch z, th z dz th z '
th(z ±
cth z cth z' ± 1
cth(z ± z') =
z')
cth z' ± cth z
1 ± th z th z' 6°. ch kni
=
( — 1)*,
ch
7ii
= O,
sh km
=
sh
O,
7Ti
2
=
th krzi =
O,
(— 1 ri,
cth
TZ\ =
2
0.
2
D i n 5° şi 6° urmează: 2
2
7°. c h z - s h z = 8°. c h ^ i
1.
± z j = ± i s h z , s h ^ y i ± zj = ichz, t h ^ - i ± z j =
9°. ch(k7ii ± z) = ( - 1)* ch ar,
sh(fori ± z) =
±
cth z.
± ( - 1 ) * sh z,
th(^7ii ± z ) = ± th z etc. U l t i m a arată că ch z şi sh z au perioada 27ri, iar th z şi cth z perioada 7ii. Se v e d e apoi că acestea sînt singurele p e r i o a d e ; m a i precis, dacă z dă o valoare w unei funcţii hiperbolice, t o a t e valorile lui z pentru care funcţia ia aceeaşi valoare sînt: 0
z =
±
{
z
+
0
z
Ikrzi
+
0
- z
0
pentru w =
Ikni
pentru w = sh z, pentru w = th z sau w = cth z.
0
10°.
La
Ca
domeniu
conform
/?/
-
şi
fundamental
biunivoc
~ < I m : <
z,
(2k + 1) Tzi
+
z = z - f kr zentat
ch
-f
avem
pe
planul
(w)
-
pentru
sh
pentru minus
ch z,
0 <
semidreptele
Im z < u =
0,
n, 1 v\
repre >
1
z.
E x e r c i ţ i i
f
lim n-+oc
R. Putem
presupune y
1 -f
\
— 1
= e
n J
0.
iKN-KrH^rf-Kr arg I 1 -j V
I
n)
, +
— n arc tg — X -~-n
determinarea argumentului fiind aceea din intervalul I — — , l 2 Deci lim I 1 -\
co ^
n-> 2. lim
I
nJ \cos
176
= e^cos y -f i sin y) =
z
)
m'
z
e.
-|
I pentru n destul de mare.
_ 1 — sin z R. Iun — 1t
2 = 0.
COSZ
7C
— sin — 3* 2 3. lim ch z — oo într-un unghi — — -j- c < arg 2 < — — e sat* — +- ee << argz arg z < < — — c. 2 2 2 2 4. lim sh z = oo în aceleaşi unghiuri ca în exerciţiul precedent. 2
1 într-un unghi — — -f e < arg z < — — e, 2 2 5. lim th z J8-»0O
-1 într-un unghi — -f s < arg 2 < 2 6. lim
= J
*-*oo e*
-
1
— z. 2
' fn aceleaşi unghiuri ca în exerciţiul 5. |0,
R. Pentru exerciţiile 3—6 vezi § 50, 12°. a
z
7. lim z~ e* — 0 In semiplanul superior, dacă a > 0. «-•00 a
u
1
R. | - 2 - e [ =
6
fl-ae-*" »
ie
<
— 0. (Am pus z = R e ) .
î 8. Liniile de modul constant şi cele de argument constant ale funcţiei _ _ 1 x 1 —y K . Ke — = = const si Im — = = const; z
x* + y*
'
2
z
z
e.
2
x + y
familiile de cercuri tangente în 0 la axa imaginară şi cea reală. 9. Ce curbe reprezintă ecuaţiile următoare, unde coeficienţii sînt reali şi t ia toate valorile reale? a
w
e< + >* (6^0). R. Spirală logaritmică: r = e* . z = a ( l -f- i / ) e - . R. Evolventa cercului \z\ = a: x = a (cos / -f / sin / ) , y = a (sin / -f- / cos*). z = =
h
z = Rt + i r e
lt
(R ± 0).
R. x — Rt — r sin t, y = r c o s / cicloidă ordinară (R = r), scurtată (/? > r) sau alun gită (R < r). (<*#0). (1 + e")* R. x=
a
Ţ~ , y = 2
a
t tg — parabolă.
2
4 cos *
2
u
* = ae
!t
+ fce-
2
2
( a ^ 6 ).
R. ^ = (a |
J) cos t, y = (a — b) sin / elipsă, ji 10. Funcţia e admite un grup (discontinuu) de transformări liniare care îi păstrează valoarea (este o funcţie automorfă). Domenii fundamentale. e
1-
1
R. Avem e*' = e* pentru z' —
z
• aceste transformări liniare constituie un Ikizxz + 1 '
grup ciclic infinit, generat de transformarea corespunzînd la k — 1. Domeniile fundamentale se deduc din acelea ale funcţiei e£ prin transformarea z — — • unul din ele este domeniul cuprins 12 — Teoria funcţiilor — c. 1275
177
între Im z = O şi Im - i = 2TZ, din care se deduce prin transformările grupului precedent un z şir de lunule.
az-H> cz+
Generalizare: e * (ad — bc = 1). 11. Să se determine funcţia olomorfă în planul (z) cu excepţia punctelor z = kiz si z = oo, pentru care _ 2 sin 2x Kew = , w(0) = oo. w - ^ - 2 cos 2* 2
e
+
e
R. w = cotg z. 12. S i se determine funcţia olomorfă in planul (z) cu z ^ 0, pentru care Re w = F(8). R. ai log ; -f a, a real, a complex oarecare, 13. Sdf se determine funcţia olomorfă în planul (z) cu z # 0, pentru care Im w = F(r). R. ai log 2 + a, a real, a oarecare. 8
14. Să se studieze funcţia multiformă w = V'l — z . R. Două puncte critice algebrice: z = ± 1. Cele două determinări pot fi separate prin tăietura (—1, + 1 ) sau prin tăieturile ( —co, —1) şi ( + 1 , + oo) pe axa reală. în ultimul caz, ele reprezintă conform şi biunivoc planul (z) tăiat, pe planul (w) tăiat după semidreapta supe rioară sau inferioară a axei imaginare. 15. Să se studieze funcţia multiformă w =
z*(z — 1).
R. Puncte critice: z = 0,1 (oo nu e critic). Numerotînd cu 1,2, 3 determinările egale cu o*'v x (x — 1) pe semidreapta x > 1, (co o rădăcină cubică imaginară a unităţii), un circuit direct în jurul lui 1 produce ciclul (1, 2, 3), iar în jurul lui 0, ciclul (1, 3, 2). y
2
16. Determinările funcţiei w — ^/z\z — 1) fiind separate prin tăietura (0, 1) pe axa reală, se consideră aceeea care ia Maiori pozitive pe semidreapta x > 1 a axei reale. Se cer valorile acestei determinări 1° pe marginea superioară a tăieturii, 2° pe marginea inferioară, 3° în punctul z = i. R.2°. Urmărind determinarea prin continuitate de-a lungul axei reale, în sens negativ, şi înconjurînd punctul 1 în sens direct pe un semicerc, obţinem w = e
3
x*( 1 — x) (arg w, care era 0, a devenit — în urma semi3
/
circuitului căci, arg -
r
HV
l-J
O '
"*
x — 1 creşte cu — , iar argty~x*rămîne 3 nul ca şi cînd am trece prin 1 fără a ocoli acest punct) (vezi fig. 33). ici 3
%
2°. w = e ^x {\ - x). 3°. Plecînd de pe marginea superioară a tăieturii, tre^
cern pe
axa
imaginară făcînd
un ocol de — în jurul lui 0.
ni în urma acestuia z = r e& trece de la valoarea r = x, la z = r e 2 = ri şi determinarea 1° devine Ini
e
3
2_
r
3
1 3
(1 — i r ) . Făcînd apoi ca r să varieze pînâ la 1, obţinem ca valoare în z = i: — JL _L w = e (1 — i) , unde (1 — ir) a fost urmărit prin continuitate. Pentru a obţine valoarea lui ^ 1 — * , observăm că, trecînd pe axa imaginară, argumentul acestei expresii variază 3
3
3
l
2TT
foarte
puţin
tul z = 1. 178
cînd r este foarte mic,
si
el
rămîne < — cîtă vreme nu înconjoară punc3
Deci, cînd parcurgem segmentul (ir, i), el va lua valoarea — < — fcăci arg ( 1 — i) = 12 +
Aşadar w = ^2 ^ ~ x
^ = ^2e~^~ =
--^-=-(1
+ i) = -
V2
3
l
—— i/2
A _1 Mai scurt: valorile factorilor z şi (2 — 1) într-un punct oarecare sînt determinate printre cele trei valori pe care le pot avea, de faptul că argumentele lor variază cu mai puţin 3
3
2TZ
decît — 3
cînd z nu înconjoară punctele 0 respectiv 1 .
Să se studieze funcţiile:
17.
w = ty\ -
18.
w
19.
w = V(l ~
20.
w = log (z
3
z
2
z)
*)(1 +
i/*
2
R. E inversa funcţiei z mice: z — 4- i, oo).
+
(1
-
3
* ).
1)
ch w şi va fi studiată ca funcţia arc cos z (puncte critice logarit
21. Sa se reprezinte conform şi biunivoc un unghi pe semiplanul
superior.
1
R. Funcţia w= z* (0 < a < 2 ) , cu determinarea reala pe semiaxa reală pozitivă, repre zintă conform şi biunivoc unghiul 0 < arg z < caz pe semiplanul superior. în cazul general, unghiul dat va fi adus în situaţia precedentă cu ajutorul unei transformări liniare de forma z' — a(z — r ) . Pentru a — 2 obţinem w = ^lz, care reprezintă planul (z) tăiat după semiaxa reală pozitiva, pe semiplanul superior. L a fel se reprezintă un unghi pe un unghi. Dacă deschiderile acestor unghiuri sînt an si p7r, avînd fiecare ca una din laturi semiaxa reală pozitivă, reprezentarea este efectuată de J_ 0
a
w — z , cu determinarea reală pe semiaxa pozitivă. 22. Să se reprezinte conform şi biunivoc o lunulă
pe semiplanul
superior.
R. Fie caz unghiul lunulei, a şi b vîrfurile ei. Vom duce întîi a,b în 0,oo prin transformarea z —a liniară z' = k
. . . ; lunula e dusă într-un unghi de aceiaşi deschidere.
. Dispunînd
de z —b k — e^ putem aduce acest unghi în situaţia din exerciţiul 2 1 . Transformarea cerută va fi ţe _ . 1 w=e l~ | cu determinarea pe semiaxa reală pozitivă. [z - Săb)se reprezinte conform şi biunivoc banda a < y < b, pe semiplanul superior. Cazul 23. unei benzi oarecare. a
a
z
R. Plecăm de la faptul că w = e ' duce banda 0 < y < iz în semiplanul superior. Cu o z — ai transformare de forma z' = OLZ -f P ducem banda dată în precedenta, anume z' — TZ b —a
x—al « f—
Reprezentarea aceasta este deci w = e
a
, Cea mai generală se va obţine aplicînd lui w mw -f~ ii o transformare liniară care păstrează semiplanul superior, w' — cu m, n, p, q reali pw -f q şi mq — np > 0. ~Z 2
Pentru o bandă simetrică faţă de axa reală — h < y < h, w = ie *. 179
Fie acum o bandă oarecare, dată printr-un punct z pe linia ei mijlocie, direcţia a şi lărgimea 2h. Cu o translaţie ducem z în 0, iar cu o rotaţie facem banda paralelă cu axa reala 0
0
I * |
(fără a-i schimba lărgimea); transformarea va fi z' = — a < y < h, reprezentarea cerută este w = ie
(z — z ). Noua bandă fiind — h < 0
^
De exemplu, pentru banda 0 < x < TZ găsim, luînd a = — i, h = — 2 tt; = e .
z
9
0
= — : 2
iz
24. Sa se reprezinte conform şi biunivoc semibanda a < x < b, y > 0, pe un De asemenea, semibanda a < y < b, x > 0.
semiplan.
R. 1°. Pentru 0 < x < TZ, se ştie că reprezentarea pe semiplanul superior e dată de w = — cos z. (§ 48). Pentru semibanda dată reprezentarea va fi w — — cos |7r - l (con\ b - a) form exerciţiului 23). 2°. Printr-o rotaţie de — obţinem pentru 0 < y < TT, x > 0: w = — ch z şi în cazul 2 general w = — ch
1
(-Hi )-
Observaţii 1) Alte formule simple de transformări se obţin reprezentînd convenabil w + 1 pe el însuşi semiplanul superior (w) Astfel, punînd w = , obţinem pentru 0 < x < TC, 2 z 1 y > 0: zv = sin — ; apoi punînd w = 1 , mai obţinem w = — ctg — • 2 w 2 2) De aici, punînd w = Jw sau w =
2
2
l
2
2
l
1
2
25. Să se reprezinte conform şi biunivoc planul tăiat după semidreptele ( — oc, a) şi (b, -f oo) ale axei reale (a < b) pe un semiplan. R. Reprezentăm întîi planul (z) tăiat după semidreptele din enunţ pe planul (w) tăiat după semiaxa reală pozitivă. Pentru aceasta e destul să ducem printr-o transformare liniară cu coeficienţi reali, punctele a, b în oo, 0: u\ = c
( c > 0 ) . Rămîne să contractăm planul z — a
(wt) în semiplanul
superior prin w — <Jw cu determinarea pozitivă pentru w > 0. Repre v
zentarea cerută este aşadar w = k ~^~ superioară a tăieturii z — x > b.
l
? (k > 0) cu determinarea pozitivă pentru marginea
26. Să se reprezinte conform şi biunivoc planul tăiat după segmentul \a, b) al axei reale semiplan. z - b > cu determinarea pozitivă pe marginea superioară a —z a tăieturii.
pe un
y
27. Să se reprezinte conform şi biunivoc, discul \ z | < 1, tăiat după raza (0,1), pe un semiplan. R. Prin w = * -ducem tăietura (0,1) în ( l , + oo) şi cercul în axa imaginară (punctele 1 —2 x
1, — 1, i—• co, 0, i). Prin w = wl obţinem planul ( w ) cu tăieturile (— co, 0) şi (1, + oo). 2
Prin w = 1/ 180
2
obţinem, luînd determinarea pozitivă pentru w > 1 semiplanul 2
superior
2 Jz (exerciţiul 26). Aşadar: w = -—^— cu determinarea pozitivă a radicalului pe marginea superioară 1+ z a tăieturii. 2 J~x Verificarea: Cînd z descrie marginea superioară a tăieturii, w = — - — (0 < x < 1) des1 ~h x
crie (0,1); cînd z descrie cercul z = cos 0 -f i sin 6 (0 < 0 < 2TC), W =
descrie ( 1 , + 0 cos — 2
-f oo) şi (—oo, — 1 ) ; cînd z parcurge marginea inferioară a tăieturii, determinarea lui ^z avînd semnul schimbat, w descrie (— 1,0). La z =
din domeniul dat, corespunde w = 2
= 2i ^2 din semiplanul superior ^căci determinarea considerată a lui z are în acest punct valoarea
-4=1 • ]/2)
28. Să se reprezinte conform şi biunivoc sectorul circular \ z | < R, 0 < arg z < caz pe un semiplan. 2
R. Prin z = z, semicercul | z | < 1, 0 < arg z < TZ se transformă în cercul | z | < 1 tăiat după (0,1); deci (exerciţiul 27) acest semicerc este dus în semiplanul superior de transformarea
—f
sau de cele ce se deduc din ea printr-o reprezentare a semiplanului pe el însuşi,
etc.j •
fi w =
Din acest rezultat deducem reprezentarea sectorului dat: 21 w = —
(t) cu determinarea lui I — l ~ care este pozitivă pe marginea superioară a razei (O, R). I R) 29. Sa se reprezinte conform şi biunivoc planul (z) tăiat după semidreapta (1, + oo) pe cercul | w \ < 1. R. Prin w = z — 1 ducem planul (z) tăiat în planul (w) tăiat după (0, + oo); prin w = V i determinarea pozitivă pe marginea superioară a tăieturii, acesta este dus în semii — Wo planul superior (w ); prin w = obţinem | w\ < 1. Reprezentarea cerută este deci: i + w 1
w
c
u
2
2
2
i _ yjz - 1 w • cu determinarea pozitivă a radicalului pe marginea superioară a tăieturii. Transformarea inversă este z = \w + l )
2
30. Să se reprezinte conform şi biunivoc discul \ z \ < 1 pe discul \ w \ < 1 tăiat după segmentul I —, 11 • R. Vom duce discul | w \ < 1 cu tăietura | — , l j în discul J w \ < 1 cu tăietura (0,1). x
Avînd în vedere principiul simetriei aceasta se va face prin transformarea liniară
[î-H= 181
1
2 —w = [O, co, 1, w j sau 2w —
1
2w
1
-h
1
= — w
sau w =
. Trecem apoi la semiplanul superior w
t
w + 2
2 JttT
1
x
(exerciţiul 27) prin transformarea w = 7—^—-, de unde w\w\ -\- 2w (w\ — 2) -f- w\ = 0, a/, = l -r w 2 - w* - 2 / l - wl. (\ - J\ - wl) . . . . . . . —, sau o;, = I I j [cum marginea superioara a tăieturii w\ \ w ) corespunde segmentului 0 < w < 1 (exerciţiul Z7) şi rădăcinile ecuaţiei pătratice în w au produsul 1, va trebui ca, în acest segment, să luăm rădăcina cea mai mică, adică determinarea radicalului pozitivă în (0.1)]. în sfîrşit trecem la discul \z\ < 1 prin transformarea w* = 2
x
1
2
N
r
2
2
.2
=
—1 z
t
+1
. Obţinem
— 1 _ A - w \ - A ^ \ - w \ _
10 - w\ - 6 V l - w%
2 + w\-2 v1 -R ^2 _ 112* - I82 + 11 + 6(2 - 1) )/2(z* + 1) * ~ Iz* 8
I82 + 7
sau w =
[3(2 - 1) + V2Q:» + 1)J* 72* - I82 + 7 11 ± 6
Pentru a fixa determinarea radicalului, considerăm 2 = 0, pentru ca w =
.
-—— >
de unde se vede că trebuie să luăm determinarea care e pozitivă în 2 = 0. 31. Să se reprezinte conform şi biunivoc semiplanul Im 2 > 0 în semiplanul Im w > 0 cu tăietura (0,i). R. Păstrînd semiplanul din (w), vom duce tăietura (0,i) în (i, ioo) pe axa imaginară, ceea ce se face prin
= —
Apoi dublind argumentele prin TX = w\= — , obţinem planul (w ) iv w cu tăieturile ( — 0 0 , — 1) şi (0, 4- 00). De la acesta trecem la semiplanul superior din [z) prin 2
2
2
w
9
w* +
1
(exerciţiul 25). Urmează reprezentarea căutată:
w =
1 cu determinarea pozitivă pentru 2 > 0. (Cum se vede pentru 2 = 2).
32. Să se reprezinte conform şi biunivoc discul \ z | < 1 cu tăieturile — 1 < x < — a şi b < x < 1 (0 < a, b < 1) pe semiplanul superior. .1-2 R. Prin w =i x
. . . / " l - f a ducem domeniul dat în semiplanul superior cu tăieturile j i 9 A
1+2 i o o j şi |o, i -
-j •
i
Cu rotaţia w — — iw acesta e dus în semiplanul 2
t
1-a
Rte > 0, cu tăie 2
a
turile [* ~*~ , + col si (0, -\ • Prin w~ — w\ = — w5 acesta este dus în planurile cu [l-a J { l + b) tăieturile |
|
—
,
+ oo I > JO, [
1 | . însfirşit trecem la semiplanul superior din (w) prin
U-«J
1 + =
6
]f + ») (1 f+i V»
62) cu determinarea pozitivă pe marginea inferioara a tăieturii a doua, sau negativă pe marginea superioară a tăieturii întîia (cum se vede luînd de exemplu z = 0). 182
(1 4 . W (1 + a) Cele două tăieturi corespund respectiv la (0,1) şi (k, -f oo), k = — — • — — - . înca(1-6) (1-a) Jk — w zul a = b, pentru mai multă simetrie, să punem W — —
> ceea ce păstrează semi-
planul superior, atunci 2
_ V(* - a) (1 - ~ ^ T - V(T+ a) (1 + o*) V(* - a) (1 - a-?) -f V(* + a) (1 + az)
w = =
2
2
2
2
(1 + a ) * - V(z - a ) (1 - a * )
=
a
z
( * + *) cu aceeaşi determinare a radicalului. Tăieturile din planul (z) corespund acum segmentelor (— 1, - a), 1). 33. Să se reprezinte conform şi biunivoc domeniul exterior sau cel interior parabolei y = 4#, pe semiplanul superior.
(a, +
2
2
R. Plecăm de la reprezentarea parametrică x = u , y = 2u. Luînd u = Rea/, parabola va corespunde axei reale (x = u) în reprezentarea definită de z = w* -j- 2iw sau w = i(— 1 4 Yl — z). Punctul critic z = 1 fiind interior şi z = oo pe parabolă, determinările lui w pot fi sepa rate în exterior. Luînd determinarea radicalului pozitiv pentru z < 1, vom avea deci o repre zentare biunivocă a exteriorului. 2
2
Verificare: Fie J1 — z = £ + it), deci # = YJ — £ + 1, y = — 2£TQ. Punctul z este exterior parabolei dacă 2
y* - 4* = 4(£ -
2
1)(YJ -h 1) > 0, adică | \ \ > 1.
Cum v = £ — 1 se anulează numai pe parabolă şi este > 0 pentru z < 0 (unde 7) = 0 şi \ > 1), vom avea v > 0 în tot exteriorul parabolei. Invers, la un z corespund două puncte w,tt/ astfel că w + w' — — 2i, deci simetrice faţă de w = — i; numai unul din ele are v > 0: reprezen tarea este deci biunivocă. în această simetrie semiplanul superior e transformat în v < — 2, care va fi descris de cealaltă determinare a funcţiei w. Spre a putea utiliza funcţia w = i( — 1 4- V1 — z) în interiorul parabolei, trebuie să ducem o tăietură de la punctul critic 2 = 1 pînă la curbă, de exemplu (0,1). Luînd *J 1 — z > 0 pe marginea superioară a tăieturii, vom avea în domeniul considerat u = — tq > 0 (căci 7) # 0 în tot domeniul şi 7) < 0 pentru z > 1, cum se vede descriindu-se un semicerc în sens indirect, în jurul lui z = 1, plecînd de la un punct al marginii superioare a tăieturii) şi — 2 < v < 0 (deoarece | £ | < 1 în interior). Aşadar funcţia ^ = i(~ 1+^/1-2) cu ^ 1 — z > 0 pe marginea superioară a tăieturii (0,1) reprezintă conform şi biunivoc interiorul tăiat pe semibanda u > 0, — 2 < v < 0. (Cealaltă determinare îl va reprezenta pe semibanda complementară.) Se deduce reprezentarea biunivocă a aceluiaşi domeniu pe semiplanul superior (exer ciţiul 24): w* = — ch — (1 4- J l—z) = sin — J1 — z. 2 2 Pentru a obţine o reprezentare biunivocă a întregului interior, reprezentăm semiplanul superior (w ) pe discul | w | < 1 tăiat după raza (0,1) (exerciţiul 27), aşa ca aceasta să corespundă tăieturii: 2
Această funcţie este uniformă în interiorul parabolei (netăiat!), iar inversa ei, z = 1 — | — arc tg y/w^ ,
183
cu determinarea principală a lui arc tg w, este uniformă în discul | w | < 1. Am obţinut astfel o reprezentare biunivocă a interiorului parabolei pe discul j w \ < 1. Putem trece apoi la semi1 -w planul superior prin transformarea W = i > adică 1 -f w W = i cos — V1 — z. 2 2
2
Verificare: Pentru z = t + 2it, avem 1 - z = - {t + i ) si W = i cos — (it 2
1) =
= - s h * *. 2 v
2
A
34. Aceeaşi problemă pentru elipsa
2
1 2
= 1 (a > 0). 2
ch a
sh a
R. Plecînd de la reprezentarea parametrică x = ch a cos u, y — — sh a sin w, sîntem conduşi la z = cos ( « ^ 4- ia), w = — ia 4 - arc cos 2. l
Funcţia w are punctele critice z = ± l interioare elipsei (focarele) şi z = oo; putem deci s-o separăm în exterior trăgînd tăietura (cha, -f oo). Avem 1
x = cos u ch (v + a ) ,
y = — sin u sh (v + a)
iar z este exterior elipsei dacă
^ L + - ^ . _ i = p E ^ + il fi.^_L«L . A 2
2
ch a
2
sh a
lsh a
J i
2
ch a
> 0
,
J
adică dacă v > 0 sau dacă t; < — 2a. Avînd în vedere periodicitatea putem lua 0 < u < 2ÎC, ceeace corespunde tocmai tăieturii precedente, care se obţine pentru u = 0, 2TZ şi v > 0 res pectiv v < — 2a. Se delimitează astfel două semibenzi: 0 < u < 27T, t / > 0 şi 0 < u < 27C, v < — 2a, care corespund fiecare, biunivoc, domeniului de mai sus din planul (z). Considerăm pe cea dintîi, care e descrisă de determinarea lui w cu arc cos z pur imaginar pe marginea superioară a tăieturii. Ca în exemplul 24 vom duce această semibanda în semiplanul superior (w ) prin v
2
, =-co 2
S
i,
l
=
y i _ i sh | _ y
i ± i ch —
cu determinările convenabile ale radicalilor. Tăietura corespunde semidreptelor
( —oo, — 1)
şi (-f-1, + o o ) . Spre a o face să corespundă segmentului ( — 1, 4-1), punem w' = t
>
ceea ce păstrează semiplanul superior, apoi transformăm semiplanul în discul | w' \ < 1 cu tăietura (0,1):
Avem
deci
2
i
u/ = e*(z - yjz* -
1), z =
a / 4 e** 1 26*0/
184
2
cu yjz — 1 > O pentru z > 1. Am obţinut astfel o reprezentare biunivocă a exteriorului elipsei pe discul | « / 1 < 1. Verificare: Punînd w' = e«-*+0i(0 < 0 < 2n, a < X < + co) avem z = ch (X - 0i) = cos (0 + iX); deci z descrie o elipsă homofocală cu cea dată şi exterioară ei (de semiaxe chX, shX, mai mari) în timp ce w' descrie un cerc interior lui | uf | = 1 (de rază e « - * ) . Punctele z = oo şi uf = 0 se corespund. Punînd W = — vom obţine o reprezentare a exteriorului elipsei pe exteriorul w' cercului, în care se vor corespunde punctele de la oo. Aceeaşi funcţie ne permite să reprezentăm coroana cuprinsă între două elipse homofocale, pe o coroană circulară: coroana dintre elipsele de parametri a şi a' e reprezentată pe coroana dintre cercurile de rază 1 şi e«— Făcînd a' —• 0 obţinem o reprezentare a interiorului elipsei date, cu tăietura interfocală (— 1, -f 1), pe coroana 1 < | uf | < e ; elipsa corespunde cercului de rază 1 şi tăietura cercului de rază e , determinare lui Jz* — 1 putînd fi fixată oricum. a
a
f
Ducînd însă tăieturile (— cha, — 1), ( + 1, + cha)
şi luînd — în locul lui w obţinem w' o reprezentare a interiorului elipsei astfel tăiat, pe discul | w' | < 1 cu tăieturile ( — 1 , — e~ ), (e-«, + 1), dată de a
a
2
w' = e- {z + Jz
-
1), z =
2e-*«/
2
cu Jz — 1 > 0 pentru z > 1. Acest domeniu poate fi transformat biunivoc în semiplanul superior (exerciţiul 32). 35. Să se studieze reprezentarea conformă efectuată de w = z -j- — şi funcţia inversă. z z + w "l// w &2 R. Funcţia se mai poate scrie şi w = — > iar inversa z = ——|- w j - ^ J 1
2
—
Este tocmai cazul limită al exerciţiului precedent (34), pentru a—• 0, şi unde înlocuim pe z w z + 1 prin — » iar pe w prin z. Funcţia w = reprezintă | z \ > 2 pe planul cu tăietura 2 z ( - 1 . +1). 36. Aceeaşi problemă pentru exteriorul hiperbolei 2
2
2
2
2
^0 < a < - ~ j •
2
x sin a — y cos a = sin 2a
R. Plecînd de la reprezentarea parametrică ^ = ± 2 sîntem conduşi la
cos a c h u, y = — 2 sin a ch u,
z = ± 2 cos (iu^ - f a ) , w = ia — i arc cos t
K)
Funcţia w are punctele critice z — ± 2 interioare hiperbolei (focarele ei), deci determi nările ei sînt separabile în exterior (§ 49). Avem x
x = ± 2 cos {y — a) ch u,
y — 2 sin (v — a) sh u.
Pentru un punct exterior hiperbolei
_i!
>f_-i
=
rjgii
iU
+
c o s 2
fr-«>
1
- i | <
0
,
2
4 cos a 4 sin* a ţ sin* a ) \ cos a J deci cos (v — a) < cos^, de unde 2 a < v < 7 c ş i 7 c + 2 a < t ; < 2n. Se obţin astfel două benzi: 2a < v < n şi7C + 2 a < v < 2 7 C care corespund fiecare biunivoc domeniului de mai sus, din planul (z). Considerăm pe cea dintîi. Ca în exerciţiul 23, vom duce această bandă în semiplanul superior (w) prin 2
w.—2oti • —
cc+arc — ITt
cosţ±yJ
n—2a
185
37. Fiind dată relaţia w — e**, să se determine în planul (z) un domeniu care să cores pundă biunivoc discului \ w \< 1 tăiat după raza [0,1]. Punctele critice ale funcţiei inverse log w. Comportarea acestei funcţii în cercurile de centre 0, l,i şi rază 1. Punem z = x + iy, w = u + iv = pei
9 = 2 xy.
Domeniul din planul (w) fiind reprezentat biunivoc de 0 < p < 1, 0 < 9 < 2TX, îi corespunde în planul (z) mulţi mea A definită de 2
2
— oo < x — y < 0,
0 < xy
Prima condiţie defineşte unghiul superior şi cel infe rior dintre bisectoarele axelor. A doua, regiunea cuprinsă între axe şi hiperbola xy —
Fig.
TZ.
Deci A este regiunea haşurată (vezi fig. 34). La 0 < p = const < 1 corespunde hiperbola
34
*2
_
2
y = log p
cuprinsă între axe şi H . L a 0 < 9 = const < 1 corespunde hiperbola 0
(K)
xy = 9,
care taie H în două puncte simetrice faţă de O. Urmează că domeniul dublu haşurat este în corespondenţă biunivocă cu cercul precedent minus tăietura [0,1]. Funcţia z = <Jlog w are punctele critice 0, 00, 1. Cînd w rămîne în cercul dat, determi nările lui log w sînt legate prin continuitate, dar determinările lui <^log w constituie două func ţii multiforme distincte, care iau valori respectiv în D şi în domeniul JD' simplu haşurat, cîtă vreme 0 < 9 < 2TZ. Cînd 2TZ < 9 < 4TC (W trecînd peste tăietură), z va descrie două domenii adiacente, limitate de hiperbolele xy = TZ, xy = 2TZ şi dreapta x = y etc. în definitiv se vede că se obţin două funcţii multiforme care iau valori în cele două unghiuri dintre bisectoarele axelor; aceste unghiuri sînt împărţite de axa imaginară şi hiperbolele xy = k în triunghiuri curbilinii ce reprezintă determinările funcţiei Vl°6 din cercul tăiat. Cum cele două unghiuri sînt disjuncte, funcţiile multiforme ce iau valori în aceste unghiuri sînt separate în cercul | w | < 1. în cercul | w — 11 < 1, determinarea lui log w, care se anulează în w = 1, ne dă două determinări ale lui ^/log w legate prin continuitate; celelalte determinări ale funcţiei sînt separate. în cercul | w — i \ < 1 toate determinările sînt separate. w
186
Capitolul I I I
Elemente de topologie a planului lui Gauss
§ 53. Spaţii cu vecinătăţi Definiţie. Se numeşte spaţiu cu vecinătăţi (spaţiu (V ) o mulţime 3 în care e dată o familie de submulţimi (U) conţinînd mai mult decît astfel că la orice punct ze3 corespunde (după o anumită regulă) o mulţime U care să-l conţină pe z; aceasta se numeşte vecinătate a notează cu U .
de puncte un punct cel puţin lui z şi se
z
O m u l ţ i m e A cz 3 devine un spaţiu cu vecinătăţi subordonat lui 3 se atribuie unui punct ze A vecinătăţile Uf = U 0 A.
dacă
z
Definiţie. 0 transformare w = f(z) care duce mulţimea A cz & în mulţi mea BCZTJ (3 şi fiind spaţii cu vecinătăţi) se numeşte o reprezentare continuă a mulţimii A pe mulţimea B, dacă: 1°. La un ze A corespunde un singur we B (f funcţie uniformă în A). 2°. Dacă w = f(z), pentru orice V există o vecinătate Uf astfel că mul ţimea J"(Uf) cz V (f funcţie continuă în A). w
w
Transformarea w = f(z) se numeşte homeomorfism dacă atît ea cît şi inversa ei sînt reprezentări continue, ale mulţimii A pe mulţimea B şi invers. Un homeomorfism este, cu alte cuvinte, o corespondenţă biunivocă şi bicontinuă. D a c ă z = f(z) este o reprezentare continuă a mulţimii A pe mulţimea B şi z = g(zi) o reprezentare continuă a m u l ţ i m i i B p e mulţimea C, atunci produsul celor două transformări, z = g(f(z)) = h(z) este o reprezentare continuă a m u l ţ i m i i A p e mulţimea C. ( U r m e a z ă imediat din definiţie). x
2
2
Homeomorfismele unui spaţiu cu vecinătăţi (care reprezintă acest spaţiu p e el însuşi) formează un g r u p : grupul topologic al lui 3. Căci după definiţie inversa unui homeomorfism este tot un h o m e o morfism şi după observaţia precedentă, produsul a două homeomorfisme d e asemenea. Topologia spaţiului S este totalitatea proprietăţilor păstrate de grupul topologic al lui 3. I n loc d e „topologia lui S" se m a i zice structura topolo gică a lui SPrintre proprietăţile d e această natură sînt remarcabile acele de echi v a l e n ţ ă (identitate t o p o l o g i c ă ) : Definiţie. Două mulţimi A şi B din S se zic topologic echivalente logic identice) dacă există un homeomorfism a mulţimii A pe mulţimea zice mai scurt că A şi B sînt homeomorfe în 3. Se scrie A *y B.
(topo B; se
187
E v i d e n t : A ~ B atrage B
(simetrie),
A ~ B şi B ~ C atrag A ~ C
(transitivitate).
D e unde apoi urmează că un homeomorfism a spaţiului & duce două m u l ţ i m i topologic echivalente, A ~ B, în m u l ţ i m i topologice echivalente, A ~ B Căci A ~ A ~ B ~ Z ^ c e e a ce tocmai probează că relaţia ~ este de natură topologică. Submulţimile spaţiului S se împart în clase — numite tipuri t o p o l o gice — formate din submulţimi topologic echivalente. A i c i ne interesează îndeosebi: x
v
x
Planul euclidian C, unde am definit ca v e c i n ă t ă ţ i ale unui punct z, discurile de centru z. Planul lui Gauss C, care se obţine adăugind precedentului punctul ideal oo, a v î n d ca vecinătăţi exterioarele tuturor cercurilor. Sfera lui Riemann, p e care definim ca v e c i n ă t ă ţ i ale unui punct calo tele care îl conţin şi îl au ca pol. Exemplul 1. în planul euclidian sînt homeomorfisme asemănările (directe şi indirecte) dar nu inversiunile. în planul lui Gauss toate transformările liniare sînt homeomorfii. Pe sfera lui Riemann sînt homeomorfisme rotaţiile sferei în jurul unui diametru al ei. Structura unui spaţiu S cu v e c i n ă t ă ţ i depinde de familia sa de v e c i nătăţi ( U ) . Se poate ca două familii de vecinătăţi, ( U ) şi ( U ) , să dea aceeaşi structură, în care caz v o m zice că cele două familii sînt (topologic) echiva lente. Aceasta se întîmplă atunci şi numai atunci, cînd o reprezentare w =f(z) a lui c5 pe un spaţiu oarecare 'TJ este homeomorfism faţă de vecinătăţile ( ţ / ) dacă este homeomorfism faţă de vecinătăţile ( U ) şi vice-versa. Căci numai în aceste condiţii spaţiul g cu vecinătăţile ( U ) are acelaşi grup topologic ca spaţiul S cu vecinătăţile (C7). D e aici se deduce uşor: Pentru necesar
şi
versa
ca
f-\V )czU w
familii
ca orice
de
vecinătăţi
vecinătate
U
z
(U) să
şi
(U),
conţină
o
să fie
echivalente,
vecinătate
U
z
şi
este vice
(Hausdorff).
Necesitatea: corespunde
îi
două
suficient
Fie - > u n h o m e o m o r f i s m / : z->w şi U o v e c i n ă t a t e ; vecinătate V , şi acesteia o vecinătate U , astfel că z
o
w
şi / ( £ / , ) a
z
V
w
sau
z
x
U
z
a f (V ).
D e aici U cU ;
w
9
şi vice-versa.
a
Suficienţa este e v i d e n t ă . D e unde consecinţa: 0 dacă
reprezentare
transformă
biunivocă
familia
(U)
a spaţiului ataşată
lui
S pe S
el însuşi
într-o
familie
este
un
homeomorfism
echivalentă.
Exemplul 2. Astfel în planul C amintim ca familii echivalente cu aceea a discurilor U ' Pătratele de centru z, discurile (care conţin pe z ) , dreptunghiurile (deschise ) care conţin pe z. etc. 9
I n planul C putem lua ca vecinătăţi ale punctului oo, în cazul familiei de pătrate, exterioarele tuturor pătratelor (dreptunghiurilor). P e sferă, o familie de vecinătăţi echivalentă cu cea definită m a i sus este formată, pentru fiecare punct, de toate calotele care conţin acel punct. Proiecţia sterografică este o corespondenţă biunivocă între planul C şi sferă. E a duce cercurile (în sens larg) din C în cercuri pe sferă şi deci vecinătăţile U din C într-o familie de vecinătăţi pe sferă. Aşadar proiecţia stereografică este un homeomorfism — ceea ce dealtfel se constată şi din formulele acestei corespondenţe (§ 5 ) . z
188
Planul lui Gauss şi sfera sînt deci topologie echivalente. Astfel se justi fică întrebuinţarea sferei în locul planului lui Gauss, pentru a reprezenta o variabilă complexă. Aceasta are avantajul de a evita considerarea mulţi milor nemărginite (§ 5 ) . Dealtfel acelaşi scop poate fi atins pentru o mulţime nemărginită dată A, fără a ieşi din plan, aplicînd o inversiune sau o transformare z = — - — cu a $ A ; şi acestea sînt homeomorfisme. z — a P r i n faptul că un spaţiu S cu vecinătăţi determina, cum am v ă z u t mai sus, v e c i n ă t ă ţ i în orice m u l ţ i m e AczS, topologia lui S induce în submulţimea A, ca spaţiu subordonat lui S, o topologie. Este evident că orice homeo morfism al lui S induce un homeomorfism între mulţimile A şi transformata ei B. Dar, reciproc, nu este necesar ca un homeomorfism al lui A pe B să fie indus de un homeomorfism al lui 5 (să se poată extinde la tot spaţiul S).
§ 54. Noţiunile topologice fundamentale (în spaţiu
punct
aici,
sistematizîndu-le,
Definiţii. Fie S un spaţiu z poate fi: în A ori în complementara
cu vecinătăţi.
C(A
R
proprietăţi
Faţă de o mulţime
A(]CA
=
bine
A cz S,
un
0.
identităţile:
U B) = CA n CB,
C(A (] B) =£A
\J CB,
A — B = A fi CB, A fi B = A—CB Complementar C A = (CA) Punct interioare se
şi
lui A, CA = S — A. Vom scrie
S = A fi CA, Reamintim
noţiuni
C(CA) =
A,
= B — CA.
ea unei mulţimi A relativă la o mulţime R se notează n R. interior, dacă există o vecinătate U cz A. Mulţimea punctelor numeşte interiorul lui A şi se notează: int A: z
Punct exterior dacă există o vecinătate U cz CA (U n A = 0). tele exterioare formează exteriorul lui A, care se notează: e x t A. z
z
Punc
Punct frontieră, dacă orice vecinătate U conţine atît puncte din A cît şi puncte din CA (U f| A ^ 0 , U f| CA # 0). Punctele frontieră formează frontiera lui A, care se notează: fr A. z
z
z
Punct aderent, dacă orice vecinătate, U conţine puncte din A (U (]A ^ Mulţimea punctelor aderente se numeşte aderenţa (închiderea) lui A : Ă. z
Z
Punct limită, dacă orice vecinătate U conţine puncte —z) # 0), mulţimea punctelor limită este mulţimea z
(U^(](A
0).
din A — z derivată A'.
Punct izolat, dacă există o vecinătate U care intersectează mulţimea A numai în punctul z (U n A = z). Mulţimea punctelor izolate se va nota cu A. z
z
T o a t e aceste noţiuni sînt de natură topologică: ele rămîn, în adevăr, neschimbate dacă se înlocuieşte familia de vecinătăţi dată, cu alta topologic echivalentă. 189
D i n aceste definiţii decurg uşor următoarele
1. int S = S, e x t & =
0,
2. int 0
= c5, fr 0
= 0,
ext 0
fr S =
relaţii:
0. =
3. int CA = ext ^4, e x t CA = int
0.
A
4. fr A = fr ( M . 5. S = int ^4 U ext ,4 U fr 6. i
=
 [J A' = A
<7. S = Ă [) ext 8.
A.
= int A U fr 4 = A U fr ^4 =
= ^
u A'
9. fr A = i
v_A'.
A = CA [) int U_ext
n
_
10. fr A = A n Scriem
9: S2LU
4.
A U (M 0
_
_
fr A = [ ( i —_^4) u -4] fi CA = i fr
A
=
A
(] CA
[) CA
(]
n (M n CA [} A
_ (]{CA
Ă.
D e aici urmează 10 cu ajutorul ultimei relaţii 6. 11. A cz B
atrage:
int A cz int B, e x t A z> ext B, Ă cz B, A' cz 12. Dacă (A) sînt mulţimi int
[)A z> U i n t A,
Definiţie. O mulţime închisă, Deschisă, Perfectă, Izolată, Discretă,
în număr finit
dacă A =
fi A => ţ j e x t A,
avem c: fi Ă.
A cz & se numeşte: Ă.
dacă A = int dacă A =
ext
sau nu,
B'.
A.
A'.
dacă A = A sau A' = dacă int A =
0.
0.
Densă, în sine, dacă Ă = A' . Densă în &, dacă Ă = S. Ceea ce înseamnă că orice vecinătate conţine puncte din A. Nicăieri densă în & (sau rară), dacă ext A e dens în & (adică e x t A = S) sau int Ă = 0 . 13. Condiţii
necesare şi suficiente
pentru
ca A să fie
închisă:
Ă cz A, A z> îx A, sau A z> A' R e z u l t ă din 6. 14. Condiţii
necesare şi suficiente
pentru
ca A să fie
int A z> A sau A fi fr A = R e z u l t ă din definiţii. 15. Pentru ca A să fie perfectă densă în sine. 16. Condiţia
A cz A', Rezultă din 6. 190
0.
e necesar şi suficient
necesară şi suficientă
pentru
sau ^4 =
ca A 0.
deschisă:
ca să fie închisă
să fie
densă în
şi
sine:
Şi
17. Pentru vice-versa.
ca A să fie închisă e necesar şi suficient ca CA să fie
deschisă.
Rezultă din 4, 13, 14. 18. 0 şi £ sînt şi închise şi Rezultă din 1, 2, 6.
deschise.
19. Pentru ca A să fie totodată închisă şi deschisă este necesar şi ca fr A = 0. Rezultă din 13, 14.
suficient
j
deschise
20. atunci
Dacă
mulţimile
(A),
în
număr
finit
sau
nu,
sînt
A este închisă A este deschisă. Rezultă din 12. j
Consecinţă. închisă.
Dacă
A
e închisă
şi B
deschisă,
A — B = A Ci CB
este
Fie (U un spaţiu subordonat lui &. Noţiunile de mai sus se pot aplica unei mulţimi Aczfll, fie considerînd pe A în & (noţiuni absolute), fie considerînd pe A în (& (noţiuni relative (la
=
21. 22.
,
A
C
K
Â.
m
=
n
A'
de unde, ţinînd seama de 6 rezultă: =
A u A™
= A u
m
n
A'
=
n A U
=
m
1
n (A u A )
adică 23.
i
9
2
=
n Ă
«
(sau direct: un z e este caracterizat prin: ze
extc^ i l =
t
« - i
C
)
e
=
«
-
«
n
şi U\ z
a
doua
i
sau 24.
extcE A =
A. 191
=
m
n
Şi tot aşa int
9 2
(
A=m-
=
1
Af
n ( « -
A)
sau 25.
intcE A = 01 — ifk — A) = 01 n e x t (01 — A).
zGint^
U
z
Altfel: A înseamnă: zeOl şi există U^(] (01 — A) = 0 fi « n ( « — A) = 0 , sau Î7 n — ^ ) = 0 , adică * e e x t ( « — 4). î n sfîrşit, după 9 . Z
sau 26.
fr92J=«n
i
0
— 4 ) =
«
— [ext
^
U ext
(01 — 4 ) ] .
Pentru m u l ţ i m i închise în deschise în 01, dense în 01, a v e m teoremele ce urmează, la care v o m adăuga încă una m a i t î r z i u : 2 7 . Dacă A este intersecţia mulţimii B
i
închisă [ deschisa
{ a b s o l u t )
A
01 cu o
f închisă \ deschisa
e s t e
Aplicînd 1 1 , a v e m în adevăr, dacă B ,C
A*
=
01
n
A'
mulţime
czm
n
,
s
c
^
f | |
este
închisă
«
£
n
=
(deci
B' cz B)
^ ,
ceea ce dovedeşte prima parte, după 1 3 . A doua parte rezultă din cea dintîi aplicînd 1 7 şi observînd că — A =01 — B = 01 ^ CB este închisă în Ol pentru că CB este închisă. Consecinţă. 0 mulţime închisă orice mulţime care o conţine. 2 8 . Dacă A
este
[ \
sau deschisă este tot astfel şi
în
este
X
deschisa
relativ
\ ţ
la
deschisa
şi în (Ux U Prima parte: i
=
«
n
1
i =
«
2
n
i
=
( «
1
u nit)
Ă.
u
Partea a doua: prin ipoteză A = 0G n e x t (f& — A) = 0> 0 ext (02 — A) (după 2 5 ) , de unde se deduce uşor X
A
=
(Ol\
U
x
« « ) fi [ e x t ( « ! — i4)
n
2
ext ( «
2
-
2
4)]
şi rămîne să aplicăm 2 7 , observînd că mulţimea [ e x t (ffc — A) f| e x t (01% — A)] este deschisă ( 3 4 şi 4 1 ) . x
2 9 . Dacă A este densă în sine faţă densă în sine şi faţă de celălalt spaţiu. R e z u l t ă imediat din
de unul din spaţiile
S sau Ol, este
1 5 şi 2 1 .
3 0 . Dacă A este izolată faţă de unul din spaţiile S sau Ol este izolată şi faţă de celălalt spaţiu. 192
sau
31. Pentru
ca mulţimea
A cz (Jl să fie densă în
suficient
ca
(ca
proprietate
relativă)
=
adică
T o a t e cele de m a i sus se aplică la orice spaţiu cu vecinătăţi şi în parti cular planelor C, C şi sferei. P r o p r i e t ă ţ i noi apar cînd vecinătăţile satisfac condiţii particulare (de natură t o p o l o g i c ă ) .
U
z
Astfel să a d m i t e m că, aşa cum se întîmplă în cele trei spaţii precedente,. A ) Dacă U\, L/F sînt două vecinătăţi ale punctului z, există o a treia conţinută în ambele (U cz U\, U T / F ) . (Axioma I al lui Hausdorff). z
K
(3) Pentru orice U există o vecinătate U' cz U , astfel că fiecare are o vecinătate U cz U . (Cu alte cuvinte, int U conţine nu numai z, ci şi o vecinătate U' ). (Axioma II al lui Hansdorff) z
tl
x
z
z
z
f
z czU punctul 1
x
x
y ) Dacă z # z' există o vecinătate U disjunctă de z' (U 0 z' = 0) (Axioma lui Frechet). Spaţiile care satisfac condiţiile a ) , (3), y ) , se numesc spaţii topologice ( A . W e i l ) . Denumirea se aplică în m o d obişnuit spaţiilor care satisfac a ) şi p ) . î n aceste spaţii sînt a d e v ă r a t e şi u r m ă t o a r e l e ) . f
z
z
6
32. A
fiind m u l ţ i m i în număr finit,
n
int fi A
=
n
fi int A
ext
nt
U A
n
= f| e x t A .
[a)]
n
f
33. T T I n = U Ă (u A ) = U A' . [ a ) ] R e l a ţ i a a doua: D i n 11 urmează (0A )' = [} A' . Dacă ze(\)A )\ trebuie să a v e m zeA' pentru un n, căci în cazul contrar ar exista nişte 17? astfel că (U — z)ţ\ A = 0 (pentru t o ţ i n), şi deci o vecinătate comună [ a ) ] cu (U — z) (\ A = 0 şi (U — z) fi U A = 0 , contrar i p o tezei. A ş a dar a v e m şi ( l M ) ' U ^ . R e l a ţ i a a doua ne dă apoi imediat pe cea dintîi, aplicînd ultima relaţie 6. nf
n
N
n
n
n
n
n
x
n
z
n
z
n
c
n
34. Dacă
A, n
în
număr
U r m e a z ă din 33 şi 32. Consecinţă. Dacă deschisă.
finit,
sînt
{ ^ [ s e \ deschise
$
f j j A este închisă \ (] A este deschisa n
[a)] A
e deschisă şi B închisă,
A — B = A fi CB
este
35. fr (A fi B) cz B fi fr A U Ă 0 fr B. într-adevăr, a v e m aplicînd 9, 12, 3 3 : ÎR
=
A
n Bn
n
(A
B) = A
n
(CĂ[}CB)czĂo
n c(ii n
B
Sn
(CĂ[)CB)
B) = A o B
= Sn
n
CA
n
CB =
(Ă(\cĂ) u Ă n
(Sn
î n 35 nu putem pune, în general, = ( V e z i exemplul 8, § 70). 36. Dacă A şi B sînt amîndouă fr (A fi B) cu egalitate în cazul A şi B
3
închise sau amîndouă
B fi fr A U A 0 fr B.
Dar„
deschise, avem [a)]
închise.
•) în exerciţiile care urmează se va indica la dreapta în paranteză pătrată care din con diţiile a ) , P), y) t e satisfăcută. e s
13 — Teoria funcţiilor — c. 1275
193
CB).
î n primul caz, calculul de la 35 ne dă egalitate pentru
că
A f) B
fiind închisă, a v e m A fi B = A (] B = Ă (] B. î n al doilea caz este destul să demonstrăm B f) fr A cz fr (A (] B). O r i dacă ze B f| fr A, z nu este în A, deci nici în A B; apoi există o v e c i nătate (7^ cz B şi orice vecinătate U conţine o vecinătate UI cz U* [ a ) ] , în c a r e se află puncte din A şi deci din A (] B. D i n toate acestea rezultă * e fr (A fi £ ) . z
37. ir (A [) B) cz CB (\ ir A \] CĂ () fr B. U r m e a z ă din 35 prin complementarizare:
[a)]
fr (A U B) = fr C(A U 5 ) = fr (CA (] CB) cz CB fi fr A U ( M fi fr £ . 38. Dtfca A şi B sînt amîndouă
închise sau
deschise
fr (A U B) z> CB U fr A U ( M n fr B egalitate în cazul A şi B
[a)]
deschise.
U r m e a z ă la fel din 36. 39. fr U A cz U fr A fr n A U r m a r e evidentă a formulelor 35, 37. n
40. Dacă A
n
nt
sînt disjuncte
cz U fr
n
şi în număr
fr U A
=
n
A. n
finit
U fr A .
[a)]
n
Ajunge _să demonstrăm f r ^ i c z fr U A : dacă ze fr -z nu este în Ă .... şi există o vecinătate U° disjunctă de A , n ă t a t e U conţine o vecinătate U' cz şi aceasta conţine deci din [) A , precum şi puncte care nu'sînt în A şi nici î n U*) deci nici în [)A . n
2f
z
z
2
z
n
x
f
lt
lf
lf
2i
n
41. adică
A zeĂ deci ... . Orice v e c i puncte din A în A ... (fiind
int (int A) = int A, int ( e x t A) = ext A
int A şi ext A sînt mulţimi 42.
A"
= (A')'
[p)]
deschise
czA'
f
fF^4 = f r ^
(Ă) = Ă, [p)] [«)], [p)]
P r i m a relaţie se v e d e uşor. D i n ea urmează după 6: ( I )
=
A
U
A'
=
i
u
i
'
=
i
u
Ă
r
^ T Ă
n
=
Ă
[)
Ă'
V
Ă"
=
Ă
căci i 4 " c: y l ' cz J[ Demonstraţia directă este deasemenea imediată. î n sfîrşit fF]4 = Ă 0~CĂ = Ă n CĂ = fr A pentru că Ă, CA şi deci Ă fi ( M sînt închise. Relaţiile 42 spun că, oricare ar fi A, A', A" închise.
f
stituie
ir A sînt m u l ţ i m i
43. într-un spaţiu cu vecinătăţi care satisface p ) , mulţimile deschise con o familie de vecinătăţi (topologic echivalentă cu cea dată). 44. {z} fiind
mulţimea formată
din unicul punct
{ 7 } = {*}.{*}' = 0 . [y)] 194
Ă,
z,
45. Dacă c
h
s
A
este [ \
.
deschisa
tn mulţimea
c h
C&
s â
\ ^ { ^ \ deschisa
atunci
A
ă
este ! ^ [ absolut. [ deschisa P r i m a parte este valabilă în orice spaţiu V: A = = C& fi Ă este închisă ca intersecţie de m u l ţ i m i închise (20, 4 2 ) . Sau fără a face a p e l la p ) : D i n A cz CU rezultă (după \\)Ăcz C&SIMĂCZ C&. D e c i i 4 = < 3 P n Ă = Ă. v
A doua parte presupune a ) şi (3): A = intc# A = (H fl ext (CU — A) este deschisă ca intersecţie a două m u l ţ i m i deschise (34, 41). T e r m i n ă m cu o observaţie e v i d e n t ă : Dacă spaţiul S satisface una din condiţiile a ) , (3), y ) şi un spaţiu subor donat CJl o satisface.
§ 55. Spaţii compacte Definiţie. Se zice că o mulţime A dintr-un spaţiu topologic este compactă^ dacă orice submulţime infinită (adică avînd o infinitate de puncte distincte) a mulţimii A are cel puţin un punct limită în A. Noţiunea are evident caracter topologic. După această definiţie o m u l ţ i m e finită este compactă. Definiţia se aplică şi la spaţii (topologice). Teorema 1. Planul C şi sfera, mulţimile închise ale acestora, precum şi mulţimile închise şi mărginite ale planului S sînt compacte (Bolzano-W eierstrass). î n ce priveşte ultima afirmaţie, v a fi deajuns să a r ă t ă m că o m u l ţ i m e infinită şi mărginită, A cz C, are un punct l i m i t ă (care v a fi în A dacă A este închisă). P u t e m acoperi A cu un pătrat de latură /, Qo)
<*o < x < a' ,
b ^ y < &£.
0
0
Să î m p ă r ţ i m Q în 4 pătrate de latură « i / . 0
U n u l din ele v a conţine o«
infinitate de puncte din A ; fie acesta Qi)
< x < a[, P r o c e d î n d la fel cu Q
x
Q, n
h ^ y ^ b[.
şi aşa m a i departe, obţinem un şir de p ă t r a t e
de laturi — /
Q»)
a
n
astfel că a
n
şi b
n
< x ^ a' , n
b
n
< y < b'
n
cresc m o n o t o n , iar a' şi b' descresc m o n o t o m , în t i m p c e n
n
a'n — a = K — K = -^ln
U r m e a z ă că există limitele a -> a, a' -> a, b -> b, b' -> b. O vecinătate p ă trată V a punctului (a, b) conţine pătratul Q (n > v) şi prin u r m a r e (a, b) este un punct l i m i t ă al mulţimii A. n
(at
b )
n
n
n
n
19>
î n C teorema este verificată dacă A are oo ca punct l i m i t ă ; dacă nu, A este, cu eventuala excepţie a acestui punct, într-un cerc destul de mare, deci este mărginită în S şi se aplică rezultatul obţinut m a i sus. î n sfîrşit teorema sc aplică şi sferei, care este homeomorfă cu C Observaţie. Planul euclidian C nu este compact căci există mulţimi n i t e care nu au puncte l i m i t ă (în C ) . Exemplu: z
n
infi
= n.
Teorema 2. într-un spaţiu compact, orice mulţime închisă este compactă. Dacă A cz £ este închisă, orice submulţime infinită B cz A are puncte l i m i t ă în S şi deci în A . Teorema 3. într-un spaţiu compact, un şir de midţimi închise şi #0, în care fiecare mulţime conţine pe cea următoare (şir monoton descrescător) are o intersecţie ^ 0 (Cantor). F i e A Z> A Z> ... z> A z> A 3 ... şirul dat. T e o r e m a este e v i d e n t verificată dacă şirul conţine numai un număr finit de m u l ţ i m i distincte. î n caşul con rar, fie B = A , apoi B prima m u l ţ i m e a şirului care este # B, B prima mulţime B , B etc. Şirul B z> B z> ... conţine toate mulţi mile date şi este format din m u l ţ i m i distincte. Există un şir de puncte z eB — B evident distincte şi deci în număr infinit. S fiind compact, punctele z au un punct l i m i t ă £. Acesta este şi punct Urnită al şirului z ,z ,... (axioma lui Fr£chet şi prima a x i o m ă a lui Hausdorff, § 5 4 ) , deci acest şir fiind czB închisă, a v e m £ e £ ( l l , § 54) şi prin urmare £ e A (n = 0, 1,...). 0
X
N
0
0
2
n
+
1
x
0
0
N
0
x
0
x
n¥l
n
n
n+1
n
N
n
Teorema 4. Dintr-o familie numărabilă de mulţimi deschise care acoperă -un spxţiu compact, se poate extrage o familie finită, cu aceeaşi proprietate. Fie {B } familia dată. Să punem A = S — (B (J ... U B ). E v i d e n t , A sînt închise şi A A z> ... . Dacă aceste m u l ţ i m i ar fi toate # 0 , ele a r avea un punct comun, pe care familia {B } nu l-ar acoperi. Deci există o m u l ţ i m e A == 0 , adică a v e m g = B [J ... U B . N
n
N
0
0
n
X
n
N
Observaţie.
0
Proprietatea
din
enunţ
n
caracterizează
spaţiile
compacte.
§ 56. Topologie în spaţii metrizabile Spaţiile C, C şi sfera intră în categoria de spaţii descrise în următoarea Definiţie. Un spaţiu S cu vecinătăţi se zice metrizabil dacă: 1°. Se poate defini în & o funcţie reală şi uniformă p(z, z') de o pereche de puncte oarecare, numită funcţie de distanţă, astfel încît: a) ' p(z, z') > 0 b) p(z, z') = p(z', z) c) p(z, z') = 0 atunci şi numai atunci cînd z = z' d) z,z',z" fiind trei puncte oarecare, avem inegalitatea triunghiulară p(z,z) < (z,z") + p(z',z"). 2°. Mulţimile U (R) definite prin ^ p(z, z') < R, R > 0, constituie o familie de vecinătăţi (echivalentă cu aceea dată apriori în&). Vecină tăţile astfel definite se numesc sferice. Se mai zice că funcţia p(z, z') defineşte o metrică în S. ?
Z
196
Planul C şi sfera sînt e v i d e n t m e t r i z a b i l e , luîndu-se pentru p(z, z') distanţa euclidiană z, z'. Vecinătăţile p e care le-am ataşat acestor spaţii sînt chiar vecinătăţile U (R) ale definiţiei. î n planul lui Gauss C v o m lua pentru p(z, z') distanţa punctelor c e coresupund la z şi z' pe sferă, în proiecţia stereografică. Cum această cores pondenţă este un homeomorfism (§ 5 ) , la vecinătăţile U (R) ale sferei cores pund v e c i n ă t ă ţ i U (R) în C. P r i n acelaşi procedeu, metrica unui spaţiu g metrizabil se poate tran splanta în orice spaţiu h o m e o m o r f cu g, care d e v i n e astfel şi el metrizabil. Noţiunea de spaţiu m e t r i z a b i l este deci topologică. U n spaţiu subordonat unui spaţiu m e t r i z a b i l este şi el metrizabil cu aceeaşi metrică. într-un spaţiu m e t r i z a b i l pot exista m a i multe metrici — chiar o infi nitate. Z
Z
Z
Exemple. Pe sferă putem lua ca funcţie de distanţă, distanţa geodezică, adică lungimea celui mai scurt arc de cerc mare între două puncte. în S putem lua ca funcţie de distanţă p(z,z ) — \ x— x | -f- J y — y* |. Se vede uşor că a) — d) sînt satisfăcute. O vecinătate U (R) este în acest caz un pătrat cu diagonalele paralele axelor şi centrul în z; este clar că aceste vecinătăţi satisfac condiţia de echivalenţă. în general avem: Q
0
Z
T e o r e m a 1. Pentru ca două metrici, p(z, z') şi a(z, z'), să fie topologic echivalente, e necesar şi suficient ca pentru fiecare punct £, p(£, z) şi
atrage
p(C z) <
R
Şi p(C z[) < R'
atrage
a ( C z) <
R.
Condiţia este suficientă: ea ne spune, în a d e v ă r că, fiind dată Uţ(R), există o vecinătate Vţ(R') a Uţ(R), şi v i c e - v e r s a ; adică cele două familii d e v e c i n ă t ă ţ i sînt echivalente. Condiţia este necesară: dacă cele două familii de vecinătăţi sînt echiva lente, trebuie să a v e m inegalitatea d e m a i sus în condiţiile indicate. N e v o m servi întotdeauna de metricile definite m a i sus pentru spaţiile noastre, C,C şi sfera. î n ultimele două, funcţia de distanţă este m ă r g i n i t ă : 0 < p < 2. î n C ea nu este mărginită, şi — în raport cu această metrică — putem a v e a m u l ţ i m i d e puncte m ă r g i n i t e sau nemărginite. Distincţia aceasta este l e g a t ă de metrica aleasă şi nu are caracter topologic, căci putem întot deauna înlocui o m e t r i c ă p(z, z') prin alta a(z, z') m ă r g i n i t ă şi echivalentă cu prima. Exemplu. în cazul lui S nu avem decît să luăm metrica sferei. în general, putem pune n(z z^ - i
C Î n d
(
P *' *') <
Condiţiile a), b ) , c) sînt evident satisfăcute. Cît priveşte condiţia d) o(z,z') < v{z,z") + o(z',z") ea este evidentă cînd unul din termenii membrului al doilea este = 1, căci atunci membrul al doilea este ^ 1, în timp cea(*, z ) ^ 1 prin definiţie; în cazul contrar, avem 0
o(z, z') < p(z, z') < p(z, z") + p(*', O =
z
în sfîrşit cele două metrici sînt echivalente în virtutea teoremei precedente. 197
Observaţie. Acest e x e m p l u arată că nu toate proprietăţile legate de o metrică sînt de natură topologică. După cum proprietăţile topologice nu sînt particu/are unei familii de vecinătăţi, ci comune tuturor familiilor de v e c i n ă t ă ţ i echivalente, tot aşa ele sînt comune tuturor metricilor echivalente. Dacă o noţiune sau propoziţie nu este e x p r i m a t ă direct prin noţiuni deja recunoscute ca topologie, caracterul ei topologie v a putea f i d o v e d i t prin invarianta ei faţă de homeomorfisme, sau faţă de o schimbare a familiei de vecinătăţi în alta echivalentă, sau (în spaţii m e t r i z a b i l e ) faţă d e o schimbare a m e t r i c i i în alta echivalentă. Vecinătăţile şi metricile joacă aşa dar numai un rol accesoriu în t o p o logie. Spaţiile metrizabile sînt cele m a i importante pentru studiul nostru, pentru că ele constituie generalizarea imediată a planelor C, C şi a sferei. Aceste spaţii nu sînt de altfel atît de particulare cît par. S-a demonstrat { U r y s o h n ) că orice spaţiu topologic care satisface şi condiţia 8, § 59 {spaţiu normal) este homeomorf cu o m u l ţ i m e dintr-un spaţiu euclidian şi prin aceasta este metrizabil. Teorema 2. într-un spaţiu şi mărginită (cu orice metrică).
metrizabil
orice mulţime
compactă
e
închisă
Există în fiecare mulţime A f| uA — \
Fie A mulţimea dată şi ţeA'.
\ n ) (n= 1 , 2 , . . . ) cîte un punct z şi aceste puncte, fiind distincte în număr infinit, au un punct limită, care nu poate fi decît £: căci oricare ar fi z există o vecinătate U (R), cu R
Z
n
p
z
p(*i> p)
atunci p(z , z ) ^ p
| p(z
q
lt
Z
>
P( I
Z
P-I)
+
1
;
z ) — p(z , z ) \ > 1 (p ^ q) şi acest şir n-ar avea nici p
x
Q
un punct limită. Corolar. Un spaţiu cele
compact metrizabil
e mărginit
(în orice
Teorema 3. Mulţimile compacte ale unui spaţiu metrizabil închise. R e z u l t ă din teorema precedentă şi teorema 2 § 5 5 .
metrică). compact
sînt
Definiţie. Se zice că un număr finit de puncte dintr-un spaţiu S formează o e — reţea, dacă orice punct al lui S este la distanţă < e de unul din acele puncte. Teorema 4. într-un spaţiu metrizabil compact există z-reţele pentru orice e > 0. î n adevăr, z fiind un punct, să definim inductiv punctele z astfel ca z să fie la distanţă ^ e de punctele deja alese. Punctele z nu pot fi în n u m ă r infinit pentru că nu pot avea nici un punct limită. D a c ă de e x e m p l u şirul se opreşte la z , toate punctele lui & sînt la distanţă < e de unul din x
n
n
n
n
n
punctele 198
z
lf
z: n
S =
^2U (e). Zyt
Definiţie. Se zice că un spaţiu S este separabil, dacă conţine o numărabilă şi densă (în g).
submulţime
Teorema 5. Un spaţiu metrizabil compact este separabil. 00
î n a d e v ă r , dacă P
H
sînt ( l / w ) reţele, mulţimea, ( J P
n
este evident numă-
i
rabilă şi densă puncte din P Teorema cu un sistem rezultat mult n
în g, căci oricare ar fi punctul z, există într-o vecinătate U (R) (n > 1/2?). 4 spune că un spaţiu metrizabil compact poate fi acoperit finit d e v e c i n ă t ă ţ i d e rază < e dat. V o m stabili acum un m a i general. A v e m n e v o i e de următoarea Z
Lemă. Dacă mulţimile deschise {D} acoperă spaţiul metrizabil compact g, există un e > O astfel că orice vecinătate de rază < e e conţinută într-o mul ţime D. î n adevăr, dacă nu ar fi aşa, ar exista pentru fiecare n un punct z astfel că U (\jn) nu este în nici o m u l ţ i m e D. Aceste puncte pot fi presupuse distincte în număr infinit, pentru că, pentru oricare z există o vecinătate U (\\m) cu m destul d e m a r e conţinută în aceeaşi m u l ţ i m e D ca z. F i e £ un punct l i m i t ă al acelor puncte şi D mulţimea dată care îl c o n ţ i n e ; D conţine o vecinătate i7^(2/v). Vecinătatea C/^(l/v) conţine puncte z cu w > v şi p r i n urmare vecinătăţile U (\\n) ale acestor puncte v o r fi în Uţ(2/v) şi deci în D contrar presupunerii. n
Xn
z
0
0
n
Xn
Q>
Teorema 6. (Heine-Borel-Lebesque). Dintr-o familie infinită (numă rabilă sau nu) de mulţimi deschise, care acoperă un spaţiu metrizabil compact se poate extrage o familie finită avînd aceeaşi proprietate. Fie e numărul stabilit d e l e m ă pentru familia dată {D} şi P o e — r e ţea în spaţiul nostru, P = (z z ). Fiecare U (e) (n = 1, 2, q) se află r
lf
într-o m u l ţ i m e D
n
q
Xn
a familiei date şi a v e m g = \J U „ (e) = IJ D . z
n
î
D
lf
D
q
acoperă aşa dar
Mulţimile
i
g.
Observaţie. T e o r e m a aceasta spune m a i mult decît teorema 4, § 55. U n spaţiu care posedă proprietatea din enunţ se numeşte bicompact. Spaţiile metrizabile compacte sînt aşa dar chiar bicompacte.
§ 57. Reprezentări continue şi homeomorfisme F i i n d dată o reprezentare w = f(z) a spaţiului g pe spaţiul T J ( / funcţie uniformă ale cărei v a l o r i umplu spaţiul T ) ) , v o m nota cu / transformarea inversă (care poate să nu fie uniformă şi deci să nu fie o reprezentare). V o m scrie d e e x e m p l u B = f(A) pentru a indica transformata unei m u l ţ i m i A prin / şi în m o d analog A = f~ (B) (se pcate ca A±z> A)» V o m presupune că g şi sînt spaţii topologice (cel puţin). _
1
x
x
Teorema 1. O reprezentare B = f(A) este continuă atunci şi numai atunci, cînd oricare ar fi submulţimea N deschisă (închisă) în B, f~*(N) = M e deschisă (închisă în A). î n adevăr, condiţia teoremei spune că, fiind dat un ze A şi w = f(z)e B> la orice V* ( m u l ţ i m e deschisă în B) corespunde o m u l ţ i m e / ( F ^ ) care conţine o vecinătate Uf (z punct interior r e l a t i v la A); condiţia este astfel echivalentă cu continuitatea reprezentării w = f(z). _ 1
199
î n ce priveşte a doua afirmaţie, se v a observa că, dacă N e închisă în B, B — N e deschisă în B şi deci — N) deschisă în A, de unde M = A — — N) închisă în A; şi reciproc. Corolar. într-o acelaşi corespunzător
reprezentare continuă B = f(A), punctele în B formează o mulţime închisă în A.
Teorema 2. Imaginea unei mulţimi e de asemenea compactă.
tinuă
compacte printr-o
din A care
reprezentare
au
con
F i i n d dată reprezentarea continuă B = f(A) cu A compactă, este de arătat că orice m u l ţ i m e infinită N cz B are un punct limită în B. Să l u ă m din M = / ( i V ) numai cîte un corespunzător al fiecărui punct din N. M u l ţimea astfel constituită are prin ipoteză un punct limită z e A. F i e w = = f(z ). P e n t r u o vecinătate V există, din cauza continuităţii, o vecinătate U astfel că /(U*) cz V . P r i n construcţie U conţine puncte din M şi deci V„ conţine puncte ^w din N; ceea ce înseamnă că w e B este punct limită pentru A . _ 1
Q
0
0
Wo
Zo
Wo
Zo
9
0
0
r
într-un
Teorema 3. 0 reprezentare continuă şi biunivocă a unei mulţimi spaţiu metrizabil, este chiar un homeomorfism.
compacte,
După teorema 1 este destul să d o v e d i m că, dacă o m u l ţ i m e M este în chisă în mulţimea compactă dată A, N = f(M) este închisă în mulţimea B = f(A); or, cum M este compactă (§ 55 teorema 2 ) , N este de asemenea compactă (teorema precedentă) şi deci închisă în B (§ 56, teorema 2 ) . Cazuri particulare ale teoremelor 2 şi 3 ( v e z i § 55, teorema 1). Imaginea printr-o reprezentare continuă a unei mulţimi închise şi mărginite dintr-un spaţiu euclidian, în alt spaţiu euclidian, este tot o mulţime închisă şi mărginită, iar dacă reprezentarea e şi biunivocă, ea este un homeomorfism. L a fel în ce priveşte planul lui Gauss, mulţimea dată fiind presupusă numai închisă. Teorema 4. Dacă A şi A sînt mulţimi închise în spaţiul £ şi B = /x(Ax) B = 72(^2) reprezentări continue într-un spaţiu C, care induc aceeaşi reprezentare în intersecţia A fi A , atunci A \) A este astfel reprezentată continuu pe B U B . x
2
x
f
r
2
x
x
2
x
2
2
Reprezentarea / definită prin f în A şi f în A este evident uni v o c ă . Să arătăm că este continuă, de e x e m p l u într-un punct zeA . Prin ipoteză w = fx(z) = f(z) şi fiind dată o vecinătate V , există o vecinătate U aşa fel că / i ( ^ 4 i fl U ) = / ( ^ 4 i <= U ) cz V . Dacă z ţ A , A fiind închisă, se poate lua U^U^ aşa ca U (]A =0 şi atunci ( ^ i U A ) fl U = = A fl ^ c ^ f l U şi deci x
x
2
2
x
w
lz
lz
u
z
x
2
(A
x
2
2
2
z
lz
/{(Ai
/(A
w
2
Dacă n U A) 2
U A) 2
n
U ) cz
v
z
w
.
însă a v e m şi zeA , există şi o vecinătate U cz V . L u î n d atunci U cz U f| U v o m avea 2
z
n U cz Ax n U z
u
aşa
2z
w
U A
2
u
fel
că
2z
n U^,
deci
/((Ax
U A) 2
f| U ) cz z
V. w
Teorema 5. Pentru ca reprezentarea /a spaţiului & cu metrica p în spaţiul cu metrica a să /ie continuă în punctul z este necesar şi suficient ca la orice e>0,să corespundă un YJ > 0, astfel ca: p(z , z) < r^să atragă G(f(z ),/(z)) < e. Este o nouă expresie a definiţiei. 0
0
200
0
Teorema 6. Fie f o reprezentare continuă a spaţiului compact £ cu metrica p, sau a unei mulţimi compacte din S, în spaţiul cu metrica o\ Atunci la un e > 0 dat corespunde un >) > 0, astfel că p(z, z') < atrage ^(f(z),f(z')) < e în g. P e n t r u fiecare punct z există un număr TQ astfel că p(z, z') < 2YJ atrage < j ( / ( z ) , / ( ? ' ) ) < e/2. D i n familia de vecinătăţi U (r\), care acoperă g, se poate e x t r a g e o familie finită U (ri ) (n = 1, q) cu aceeaşi proprietate (teorema 6 § 56). F i e y) cel m a i mic dintre numerele y j ; v o m arăta că acesta este numărul care corespunde lui e în sensul enunţului. î n adevăr, fie p(z, z') < Y ) . A v e m ze U (ri ) pentru un n şi t
Zn
n
n
Zn
u
2
*') < p(*»> *) + pfr *') < *)« deci
*(/(*»)./(*))< | . «(rt*.)./(*'))<| d e unde
§ 5 8 . Aplicaţii la continuitatea funcţiilor O funcţie reală sau c o m p l e x ă uniformă efectuează o reprezentare a unei m u l ţ i m i A — domeniul ei de definiţie — în dreapta închisă (cu punctele ± oo) sau în planul lui Gauss. Reprezentarea este continuă cînd funcţia este continuă, î n acest fel teoria continuităţii funcţiilor se subsumează aceleia a reprezen tărilor continue. R e g ă s i m astfel următoarele teoreme cunoscute: Teorema 1. Mulţimea punctelor unde o funcţie continuă (de reale sau complexe) ia o valoare dată X este închisă în domeniul de (§ 57 teorema 1, corolar). sau
variabile definiţie.
Teorema 2. Mulţimea punctelor unde o funcţie de variabile reale continuă, modulul unei funcţii de variabile complexe continuă, ia valori i > X sau \ > X sau Căci mulţimea
aplică § 57, teorema
< X < X
e s t e
f deschisă | închisa
ţ
n
d
o
m
e
n
M
d
f tie.
e
valorilor considerate ale funcţiei este
de ini J
j
ŞÎ
1.
Teorema 3 . Mulţimea valorilor luate de o funcţie continuă (de variabile reale sau complexe) într-o mulţime compactă e de asemenea compactă şi deci închisă. Se aplică § 57, teorema 2 şi § 56, teorema 2, observîndu-se că dreapta este un spaţiu metrizabil. Teorema 4. O funcţie de variabile reale, continuă într-o mulţime compactă, maximul şi minimul ei în acea mulţime. R e z u l t ă din faptul că mulţimea valorilor funcţiei e închisă şi deci con ţine marginea superioară şi marginea inferioară a acestor valori (care fac parte d i n închidere). Caz particular. Modulul unei funcţii de variabile complexe continuă într-o mulţime închisă în C ia o valoare maximă şi una minimă în acea mul ţime. atinge
201
Teorema 5. 0 funcţie finită şi continuă într-o mărginită în acea mulţime. R e z u l t ă din teorema 3 şi § 56, teorema 2. Teorema 6. O funcţie continuă uniform continuă. (Heine). R e z u l t ă din teorema 6, § 57.
chiar
într-o
mulţime
mulţime
compactă
metrizabilă
este
compactă
e
§ 59. Distanţa între mulţimi F i e S un spaţiu metrizabil cu metrica
p(z, z').
Teorema 1. p(z, z') este o funcţie continuă în Sx& de punctul (z, z'). î n adevăr, fiind dat e > 0, să luăm (z z[) în C / ( e / 2 ) x P ' ( £ / 2 ) , adică p(z, z ) < e/2 şi p(z', z[) < e/2. V o m avea atunci lt
2
z
x
p(z, z') ^
(1)
p(z. zi) +
p(*i, z'i) +
p(z', z[)
sau p(z, z') — p(z
z[) < p(z, z ) +
lt
p(z', z[) < e
x
şi la fel p(zi, z[) — p(z z') < e, t
deci I P(z, z') Definiţie. Fiind Diametrul unei
t
dată metrica p(z, z') mulţimi A :
numim
t
8(A) Distanţa
p(zi z[) | < e.
mulţimilor
= sup p(z, z')
ze A, z'e
A.
A,B:
p(A, B) = inf p(z, z')
ze A? z' e B.
Cazuri particulare ale ultimei noţiuni sînt: distanţa distanţa de la un punct z la o mulţime A:
p(z, z')
şi
Teorema 3. 8(A) = Mai întîi 8(^4) < 8(Ă) ( T e o r e m a precedentă). A p o i luînd z, z' în Ă şi z în A fl ^ ( e / 2 ) , r e s p e c t i v a fl U >(e/2),avem (1)_, de unde p(z, z') < 8(A) + e c u e > 0 arbitrar; aceasta probează că 8(Ă) = sup 8(z, z') < 8(A).
z[ +
r
p(z, A) = sup p(z, z') Teorema 2 . Dacă Evident.
A cz B,
S(A) <
a două puncte
z e A.
8(B).
lt
z
Teorema 4. Dacă
A
este compactă, 8(A)=
există
două puncte
z , ZQ astfel 0
{z ,z' )
9
0
0
şi aceste puncte sînt în fr A dacă spaţiul este euclidian. P r i m a afirmaţie rezultă din § 58, teorema 4, împreună cu teorema de mai sus. 202
că
1
Teorema 5. Dacă
A cz A
şi B cz B
x
p(A, B) > p(A
lt
lt
B ). x
Evident.
Teorema 6. p(A, p) = p(Ă,B). Demonstraţia ca la teorema 3: L u ă m z e Ă, z[e B; există nişte puncte n U (ej2), z'eB fi C/.;(e/2) şi a v e m ( 1 ) , de unde x
zeA
zi
A
p(*i.
> ?i >
B
)
-
deci p ( i , B) > p(A, B), s fiind arbitrar > 0 . P e de altă parte, p ( i , B) < p(A, B) în virtutea teoremei 5. Teorema 7, Fiind dată mulţimea A, p(z, A) este o funcţie continuă de z în S. F i e z, z' două puncte aşa fel că p(z, z') < e ( d a t ) . Oricare ar fi YJ > 0, există un z e A astfel că x
p(z, ) Zl
< p(z, A) + r
t
şi deci f(z\
f
A) < p(z
z ) < p(z, z') + p(z, )
lt
< p(z z') + p(z, A) + v;,
Zl
t
d e unde p(z', A) — p(z, A) ^ Schimbînd z cu z'
p(z, z').
obţinem
| p(z' A) — p(z A)\ < e pentru p(z, z') < s. t
Observaţie. adevărată.
t
p(z, A) = 0 în Ă (definiţia şi teorema 6 ) . Şi reciproca este
Teorema 8. Pentru ca z să aparţină unei mulţimi închise A, este necesar şi suficient ca p(z, A) = 0. î n a d e v ă r dacă p(z, A) = 0, există, pentru e > 0 arbitrar, un z e A aşa fel ca p(z, z') < e, ceea ce înseamnă A fi U (z) # 0 , adică ze Ă = A. f
z
Teorema 9. Dacă mulţimile şi z' astfel că
A şi B sînt compacte,
există în ele
puncte
0
p(A, B) = dacă spaţiul
este euclidian,
p(z ,z' ); 0
0
aceste puncte sînt respectiv în fr A şi fr p(A,B)=
(frA,
p
B, şi
avem
fvB).
Demonstraţia ca la teorema 4. Corolar. Pentru ca mulţimile compacte A şi B să aibă un punct comun e necesar şi suficient ca p(A, B) — 0. Observaţie. Aceasta este adevărată şi în ipoteza m a i generală cînd d e e x e m p l u A este compactă şi B numai închisă, după cum v a rezulta din T e o r e m a 10. p(A B) = inf p(z, B) ze A. Mai întîi p(z, B) > p(^4, B) (teorema 5 ) . A p o i există prin ipoteză puncte z'e B astfel că t
zeA,
p(z, z') < p(A, B) + z şi deci p[z, B) < p(A, B) +
c
. 203
D i n teoremele 7 şi 10 urmează că, dacă A este compactă şi p(A, B) = 0 există un z eA aşa că p(z , B) = 0. Dacă în plus B este închisă, a v e m şi z e B (teorema 8 ) . A m stabilit astfel observaţia d e m a i sus.
P
0
0
0
Definiţie. Fiind dată în spaţiul £ cu metrica p(z,z'), mulţimea A, vom numi R-vecinătate a acestei mulţimi, U (R), mulţimea formată de punctele z' situate la distanţă < R de A: p(z', A) < R. Este evident că U (R) este reuniunea tuturor vecinătăţilor U (R) ale punctelor ze A. D e aici urmează: A
A
Teorema 11. U (R)
Z
este o mulţime
A
Teorema 12. Dacă A a Teorema 13. U (R)
A
cz
u
A
=
A
U (R)
= U (R)
U3
Teorema 14. U (R)
B,
deschisă. U (R). B
U (R). B
U*(R).
Teorema 15. în C şi C, hU (R)
este mulţimea
A
(2)
?(ţ.A)
=
punctelor
* pentru
care
R.
Demonstraţia arată că, în orice spaţiu metrizabil, irU (R) satisface relaţia ( 2 ) . î n a d e v ă r : Dacă ţefr U (R), o vecinătate Uţ(z) conţine un z[eU (R) şi există un ze A cu p(z z[) < R. A v e m atunci p(£, A) < p(z Z) < p(z, z[) + + p(L z[) < R + z, deci p(£, A) < R. Dar cum ţ nu este în U (R) (teorema 11), a v e m chiar p(£, A) = R. I n v e r s , fie p(£, A) = R. Există un ze A cu p(z, Z) < R + z, z > 0 arbitrar. D e c i în Uţ(z) există puncte z' cu p(z, z') < R şi prin urmare p(z', A) < R (Uţ(z) şi cercul de centru z şi rază R se intersectează). D e c i £ e f r U (R). A
A
A
f
f
A
A
Corolar. Punctele închisă,
anume
z' situate la distanţa
f
p(z
f
A) < R formează
o
mulţime
U (R). A
Teorema 16. într-un spaţiu metrizabil este adevărată proprietatea: 8) Două mulţimi închise disjuncte nevide pot fi acoperite cu mulţimi deschise disjuncte. (Axioma lui Tietze). F i i n d date mulţimile închise disjuncte A şi B, să punem (cf. teoremei 8 ) : R= e
B) pentru zeA
şi Rj
A
zeA
=
2 x
=
U U (R ) t
z
şi
—p(A,z') 2 B
x
=
pentru z'e U U >(R .) Z
Z
B;
z' e B.
E v i d e n t A , B sînt deschise şi acoperă A, B. E l e sînt disjuncte, căci dacă ar a v e a un punct comun z , atunci ar exista z e A, z[e B, aşa fel încît x
x
0
?{*u *î) <
x
*o) + ?K
zo) < l/2[p(^i, B) +
p(A,z[)]
şi dacă de e x e m p l u p(A, z[) < p(z , B), ar urma p^, z[) < p(z , B) cu absurd. x
Definiţie. Un spaţiu topologic care posedă proprietatea Spaţiile metrizabile sînt aşadar normale. Exemple.
x
8) se zice
z[eB, normal.
Două mulţimi închise pot avea distanta — 0 fără a se intersecta: A(y = 0) şi
B{y = II x). D e c i restricţiile din teorema 9 şi din observaţia de la corolarul t e o r e m e i 9 nu pot fi înlăturate. 204
Teorema 17. Dacă, într-un spaţiu metrizabil, A este intersecţia unui şir monoton descrescător de mulţimi compacte, A , atunci la fiecare R corespund un v astfel că A cz U (R) pentru n > v. n
n
A
A j u n g e să a r ă t ă m că există un A cz U (R). î n cazul contrar, m u l ţ i mile A — U (R)^0, sînt închise şi deci compacte ( § 3 , teorema 3 ) , şi formează un şir m o n o t o n descrescător. D e c i au o intersecţie # 0 (§3, teorema 3 ) . Or intersecţia lor este A — U (R) = 0 . n
n
A
A
A
§ 60. Conexiune. Continuuri şi domenii Definiţie. Fiind dată mulţimea A cz S, se zice că {A închisă a ei dacă A U A = A şi A A sînt, \° nevide, 2° disjuncte şi 3° închise în A.
A}
lt
x
2
lt
2
este o
partiţie
2
Condiţia 3° este echivalentă cu: 3 ° A Pentru ca să existe partiţia închisă {A să existe submulţimea A 1° ne vidă, 2° diferită de A, 3° închisă în A şi 4° deschisă în A.
x
lf
şi A deschise în A. A } este necesar şi suficient 2
2
lt
Mulţimea A se zice conexă dacă nu admite nici o partiţie
închisă.
A c e s t e definiţii se aplică şi spaţiului ambiant <£. Teorema 1. Pentru ca A să fie conexă, este necesar şi suficient să nu conţină nici o submulţime simultan închisă şi deschisă în A, afară de 0 şi A Teorema 2. Pentru ca A să fie conexă, este necesar şi suficient submulţime nevidă şi diferită de A să aibă o frontieră nevidă în A. M
ca orice
Căci o m u l ţ i m e simultan închisă şi deschisă M este caracterizată z> fr M şi M fi fr M = 0 , adică fr M = 0 .
Caz particular. de & are frontieră.
într-un
spaţiu
conex S orice mulţime
Definiţii. O mulţime închisă şi conexă se numeşte Un
continuu
O mulţime
diferită
continuu.
care se reduce la un punct se numeşte
deschisă şi conexă se numeşte domeniu
nevidă şi
prin
degenerat.
.
E v i d e n t , toate aceste noţiuni sînt topologice. Dar pe cînd ultimele depind de spaţiul ambiant, noţiunea de conexiune depinde numai de m u l ţimea considerată A (este intrinsecă). D e altfel conexiunea se păstrează nu numai în homeomorfisme, ci şi în reprezentări continue oarecare: Teorema 3. O reprezentare continuă transformă mulţimi conexe în muU conexe. F i e / o reprezentare continuă a spaţiului & în spaţiul T J şi B= f(A): A fiind conexă, să arătăm că şi B este conexă. î n cazul contrar, ar exista o partiţie închisă { B B } a lui B, la care v a corespunde o partiţie închisă timi
L T
A) 2
L
a m u l ţ i m i f~ (B)
2
(§ 57, t e o r e m a 1). Or, cum A cz f~\B),
am
avea
205
atunci partiţia închisă {A f| Ai, A fl A ) a mulţimii A pentru că e v i d e n t , A f| A # 0 şi A f| A # 0 şi A = A f] A [} A f| A ; aceasta rezultă din 2
x
2
±
2
L e m a I . Dacă {A : A } este o partiţie închisă a mulţimii A şi A cz A , atunci {A f| A A f| A ) este o partiţie închisă a mulţimii A, dacă A f| A # 0 şi A f| A # 0 . Căci -4 f | ^ 4 i ş i ^ 4 fl ^4 sînt disjuncte şi închise în A pentru că A şi A sînt închise în ^4 (spaţiu ambiant pentru A) (27, § 54 ) . x
l
2
t
0
0
2
x
2
2
2
x
0
T e o r e m a 4. O mulţime A, în care două puncte oarecare se pot uni prin tr-o submulţime conexă, este conexă. î n adevăr, nu poate exista o partiţie A = A U A fiindcă luînd z e Ai şi z e A , a m avea o submulţime conexă B => {z z ) şi conform lemei ar urma partiţia {B f| A , B f| A ) a mulţimii B. 1
x
2
2
2
l9
x
2
2
T e o r e m a 5. Dacă două mulţimi conexe au puncte comune, reuniunea lor conexă. F i e A! şi A conexe, cu punctul comun a. Să presupunem că ar exista o partiţie închisă {M M ) a mulţimii A U A ; fie de e x e m p l u aeMj. A r urma (lema 1) A = A fl M U A f| M , şi cum sigur A f| M # 0 , iar ^4i este conex, a v e m fl M = 0 şi la fel ^4 fl M = 0. Deci Ax (J ^ 2 ) fl ^ 2 = 0, adică M = 0 , contrar presupunerii. e
2
lt
2
x
x
±
x
2
x
2
x
2
2
x
2
2
Observaţie. î n acelaşi fel se poate arăta: Dacă o familie de mulţimi conexe (chiar nenumărabilă) au punct comun, reuniunea e conexă. Fie U A = M U M . Fie a e Există un A aşa că A fl M 2 # 0 Intersectînd cu acest A a v e m ^4 = ^ 4 f | M U ^ 4 i f l M , adică o partiţie închisă. x
2
1
Teorema 6. Odată cu o mulţime satisface A c
2
A este conexă şi orice mulţime
M
care
M cz Ă.
Dacă ar exista o partiţie închisă {M M) a mulţimii M, cum A = A fl M (J A (] M nu poate fi o partiţie închisă, urmează (lema__l) d e e x . : A[\M = 0. A t u n c i A cz M , deci Ă cz M (§ 54,_11), deci A f cz Af Deoarece ikf este închis în M, a v e m M = M (] M = M (23, § 54) şi M1 = 0 , contrar presupunerii. Cazuri particulare: 1) Dacă ^4 este conexă, atunci şi Ă este conexă, deci un continuu. N u şi reciproc (exemplele 4, 8 § 70). 2) U n domeniu închis este un continuu. N u şi reciproc ( e x e m p l u l 8, § 70). lt
x
2
2
X
2
2
2
2
Teorema 7. Dacă D este un domeniu domeniu şi
2
2
şi A = int D, atunci
A este
un
D = Ă, fr 5 = fr A cz fr D . 1°. D i n D cz Q, urmează int D cz int D sau D cz A . D e conex, A este conex după teorema 6. Cum A este deschis, este un domeniu. 2°. D i n D cz A urmează
D cz A , iar din
A cz D
Cum A cz D
urmează
A c
Deci D = Ă . 3°. Egalitatea revine, după 2°, la fr A = fr A . A v e m K= 206
int Ă U fr Ă = int D U fr Ă = A (J fr Ă , A fl fr Ă =
0,
şi
D.
şi pe de altă parte Ă = A U fr A , A
f|
fr A =
0,
fl
fr D =
0,
de unde afirmaţia. î n sfîrşit a v e m D = D U fr D, D şi
D = A = A U fr A ; A
cum
fl
fr A =
0;
D c A , urmează fr A cz fr D. Observaţie.
N u putem scrie în general fr D = fr D.
Exemplu: Fie D cercul | z\< 1 minus raza a (O ^ x < 1). Aici Z) este | s | < 1 fr 2 ) este circumferinţă | 2 | = 1 , pe cînd fr D este formată din această circumferinţă plus raza a. Raza a este o frontieră interioară pentru D.
Teorema 8. Dacă o mulţime conexă M uneşte puncte din mulţimile plementare A şi ZA, M intersectează ir A.
com
î n adevăr, M = A fl M U ( M fl M, cu ^4 fl M ş i CA fl M mulţimi ne v i d e şi disjuncte. D a c ă nici una nu ar conţine puncte din fvA, am avea o par t i ţ i e închisă, fiindcă A fl M = M fl int A şi CA fl M = M fl ext ^4 ar fi deschise în i l f (§ 5 4 , 2 7 ) . D e c i M (] h A ^ 0 .
atunci
Corolarul 1. Dacă M este conexă şi M cz A.
are
Corolarul 2. într-un frontiere.
spaţiu
M (] A ^ 0 , dar M (] fr A =
conex orice mulţime
0,
nevidă şi diferită de &
Acest rezultat a fost obţinut şi ca un caz particular al teoremei 2 . Teorema 9. 0 mulţime conexă e densă în sine, dacă conţine mai mult decît un punct. A fiind astfel, arătăm că A = 0 ( § 5 4 , 1 5 ) . într-adevăr, dacă oue A ar fi un punct izolat, { a, (A — a ) } ar fi o partiţie închisă a mulţimii A (este e v i d e n t că A — OL este închisă în ^ 4 ) . Corolar. Un continuu
care nu se reduce la un punct este o mulţime
per
fectă. Teorema 10. Pe o dreaptă euclidiană sînt mulţimi conexe: punctele izolate, segmentele şi semidreptele închise, deschise sau semiînchise şi dreapta însăşi. V o m arăta întîi că un segment închis [a, b] este conex (continuu). î n a d e v ă r , să presupunem că ar exista o partiţie închisă {M M } a segmentului [a, b]; putem admite că de e x e m p l u ae M . A i c i M i şi M sînt închise în [a, b], care este închisă, şi deci sînt închise absolut (§ 5 4 , 4 5 ) . F i i n d şi m ă r g i nite, Mi şi M sînt compacte (§ 5 5 , teorema 1 ) şi cum sînt disjuncte, p ( M i , M ) = p > 0 ( § 5 9 , teorema 9 , corolar). F i e c marginea inferioară a punc telor din M : deoarece ae M , c > a. î n (a, c) nu există puncte din M şi nici puncte din Mi la distanţă < p de c: absurd. lt
±
2
2
2
2
2
x
2
Sau: orice punct din M are o vecinătate czM la fel pentru orice punct din M . Dacă a e M c = inf M > a, fiindcă există U cz M . Cum ce M , există U cz M — contradicţie. x
2
2
±
c
ît
x
2
a
x
2
207
Se v e d e acum imediat că segmentele neînchise, semidreptele şi dreapta sînt c o n e x e ; pentru că două puncte dintr-o asemenea mulţime se pot uni printr-un segment închis, conţinut în m u l ţ i m e (teorema 4 ) . Reciproc, fie A o mulţime conexă pe dreaptă. Dacă a şi b sînt în A segmentul [a, b] cz A. Căci, dacă un punct ce (a, b) nu ar fi în A, semidrep tele x ^ c şi x < c ar intersecta A în m u l ţ i m i care ar forma o partiţie a lui A. A t u n c i notînd cu u şi v marginea inferioară şi marginea superioară a punctelor din A (care pot fi şi — oo, respectiv + oo), rezultă că A este identic cu segmentul (u, v) plus eventual o extremitate sau ambele (segment care poate fi semidreapta sau toată d r e a p t a ) . p
Corolarul 1. Continuările unei drepte euclidiene segmentele şi semidreptele închise, şi dreapta însăşi.
sînt;
punctele
izolate,
Domeniile unei drepte euclidiene sînt: segmentele şi semidreptele des chise şi dreapta însăşi.
(linie
Corolarul 2. în planele C şi C (şi în orice spaţiu poligonală) este un continuu. P r i n linie frîntă
[«1*2] +
a
[ 2<*3] +
....
... +
a _ia n
n
(Se
[a _iaj. n
euclidian)
o linie
frîntă
se înţelege suma de segmente închise aplică teoremele 5 şi 10).
Corolarul 3. într-un spaţiu euclidian, orice mulţime convexă este conexă* P r i n mulţime c o n v e x ă se înţelege o m u l ţ i m e cu proprietatea că două puncte oarecare ale ei sînt extremităţile unui segment conţinut în aceeaşi mulţime. Se pot considera domenii şi închideri de domenii c o n v e x e . ( S e aplică teoremele 4 şi 10). Corolarul 4. în particular
un spaţiu
euclidian
este conex.
Corolarul 5. Planul lui Gauss C este_conex (teoremele 4 şi 1 0 ) ; de ase menea sfera (pentru că este homeomorfă cu C). Corolarul 6.0 funcţie reală f(t) continuă pe un interval închis [a, b] ia toate valorile cuprinse între f(a) şi f(b). Căci reprezentarea continuă T = f(t) duce [a, b] într-o m u l ţ i m e închisă şi conexă, deci într-un segment [A, B], unde A, B sînt evident m i n i m u l şi m a x i m u l lui / ( / ) . Corolarul 7. Prima parte se aplică mulţime compactă şi conexă (continuu
la orice funcţie mărginit).
reală continuă
pe o
Corolarul 8. Orice reprezentare homeomorfă a unui segment [a, b] pe alt segment este efectuată de o funcţie t = [a b ] (corolarul 6 ) , iar la I prin transformarea inversă (deasemenea continuă prin i p o t e z ă ) , corespunde un segment ce conţine [a,b] şi care trebuie să fie chiar [a, &]. D e c i I = [a b{\ şi
x
X
lf
x
±
l t
x
lf
x
v
lt
x
x
Teorema 1 1 . Pentru ca o mulţime deschisă dintr-un spaţiu euclidian să fie un domeniu este necesar şi suficient ca două puncte oarecare ale ei să poată fi unite printr-un drum poligonal (linie frîntă) conţinut în acea mulţime. 208
F i e A o m u l ţ i m e deschisă şi z un punct al e i ; fie A mulţimea punc telor din A care se pot uni cu z prin drumuri conţinute în A (şi deci con ţinute în A ). Este clar că A este deschisă, căci dacă ze A , există o vecină tate U cz A şi cum orice punct din U se poate uni cu z printr-un drum poli gonal prin z, în A, U cz A . Dintr-un m o t i v analog, Z A = A — A este de asemenea deschisă (dacă z' e C ^ o Şi U * cz C A , deoarece nici un punct din U , nu poate fi unit cu z printr-un drum poligonal în A, căci atunci ar putea fi unit şi z' cu z printr-un asemenea d r u m ) . Astfel A = A [} C A , unde A şi C A sînt m u l ţ i m i deschise disjuncte. Pentru ca A să fie conexă e necesar şi suficient C A = 0, adică A = A , ceea ce demonstrează teo rema. 0
0
0
0
0
0
z
z
z
0
0
A
z
z
A
Q
0
0
0
0
0
A
0
A
0
0
A
0
0
Observaţie. Este suficient ca orice punct din A să poată fi unit cu un punct f i x z e A printr-un drum poligonal cz A. 0
Definiţie. într-un p(z, z')) un sistem finit consecutive este < e:
spaţiu metrizabil de puncte z , z , 0
2
p(z -i*Zn) < e n
se numeşte z-lanţ (pentru o metrică z astfel că distanţa a două puncte n
( » =
1
q).
O mulţime A se zice bine înlănţuită dacă două puncte pot uni prin z-lanţuri, cu z arbitrar > 0, conţinute în A. Teorema 12. într-un lănţuită.
spaţiu
metrizabil,
o mulţime
oarecare ale ei se
conexă este bine
în
F i e A c o n e x a ş i z e A. Să considerăm mulţimea A a punctelor care pot fi unite cu z prin e-lanţuri în A. Ea este închisă în A. Căci dacă z este un punct limită al ei în A, o vecinătate U (z) conţine puncte din A , deci z se poate uni cu z prin e-lanţuri în A, trecînd prin asemenea puncte; adică zeA . Pentru un m o t i v analog C A = A — A este de asemenea închisă în A. Astfel A = A U C A , unde A şi C ^ sînt mulţimi disjuncte şi închise în A, de unde C A = 0, adică A = A . 0
z
0
z
t
0
t
A
t
A
A
t
t
t
z
e
t
t
Observaţie. E de reţinut că, oricare ar fi A şi punctul r al acestei mulţimi, mulţimea A definită m a i sus este închisă în A, ca şi completarea ei C ^ . Reciproca nu este adevărată în general ( e x e m p l u 8, § 7 0 ) . P u t e m însă afirma: 0
t
e
Teorema 13. Pentru ca o mulţime compactă într-un spaţiu metrizabil să fie conexă (şi deci un continuu mărginit) este necesar şi suficient să fie bine înlănţuită. A v e m de arătat suficienţa condiţiei. Dacă mulţimea dată A n-ar fi conexă, ar a d m i t e o partiţie închisă {A A ). unde A şi A fiind închise în A care este metrizabil şi compact, sînt compacte (§ 55, teorema 2) şi prin urmare p(Ax. A ) = p > 1 (§ 59 teorema 9, corolarul). A t u n c i un punct din Ax şi unul din A n-ar putea fi unite printr-un p/2-lanţ în A, contrar ipotezei. îf
2
x
2
2
2
Definiţie. Vom zice că o mulţime A într-un spaţiu metrizabil este e-conexă dacă două puncte oarecare ale ei se pot uni prin e-lanţuri în A.
mînd
Lema 2. Dacă într-un spaţiu metrizabil, nişte mulţimi compacte şi forun şir monoton descărcător sînt z-conexe, intersecţia lor este z-conexă.
14 — Teoria funcţiilor — c. 1275
209
F i e A şirul dat şi A = ()A ; fie z e A şi A mulţimea punctelor din A ce se pot uni cu z prin e-lanţuri în A. D u p ă cum am v ă z u t (teorema 12, observaţie), A şi C A = A — A sînt închise în -4 şi deci compacte. Există prin urmare nişte puncte a e A şi p e C ^ e astfel că ( § 5 9 , teorema 9) n
n
0
t
0
t
A
9
t
%
(3)
p(A , C A ) e
Evident p > e (pentru că A cz JjJ^
£
^
n
j
A
că
(§ 59,
S
= p(a, p) =
a şi p nu pot fi e-conexe). Există teorema
17). F i e ze A
s
deci în ^^p)
a
u
î
n
A
Fiecare punct z
n
n
U
C
A
M
un n astfel
şi z'eZ A .
t
puncte pot fi unite printr-un e-lanţ în A . î n ^ ^ - ^ j ,
p > 0.
^ - ^
Aceste
%
al lanţului este
(§ 59, teorema 13),
şi numai în una din aceste mulţimi, care nu pot a v e a puncte comune (căci dacă £ ar fi un punct comun, ar exista în A şi C A puncte X şi fx cu t
p(X, £) =
p(ji, ţ) < -
-> de
unde ar urma
A
t
p(X, fx) < p — e, contrar
lui
2 (3)). Urmează că există în lanţ două puncte consecutive astfel că
z^eUAs^-^y
ze t/^^LZliJ, n
adică ?{A ,
Z _i) <
e
~
n
A r fi deci în A
z
şi C A A
t
^
'
P ( C ^ , *n)
< ?
£
~y^'
P(*»-l'*«)
<
puncte X şi JJ. astfel că 9
<
P
1
E
p(K v - i ) < ^Y^' ^ *») ^~Y^' ^*~ ' ^ ^ ' de unde ar urma p(X, ^ ) < p contrar lui ( 3 ) . R ă m î n e C A A
Z
= 0, adică A e-conex.
Teorema 14. într-un spaţiu metrizabil, intersecţia unui descrescător A de continuări compacte este un continuu.
şir
monoton
n
Ştim că intersecţia A = f| A # 0 . P e n t r u orice e > 0, A sînt e-co nexe (teorema 12) şi deci tot aşa este A (lema 2 ) , care este deci un con tinuu (teorema 13). n
n
Teorema 15. Dacă punctele OL şi p ale mulţimii compacte A (dintr-un spaţiu metrizabil) pot fi unite prin e-lanţuri în A oricare ar fi e > 0, atunci OL şi p se pot uni printr-o mulţime conexă în A. Fie A mulţimea punctelor din A care se pot uni cu a prin 1/w-lanţuri în A. Mulţimile A sînt închise în mulţimea compactă A (teorema 12, o b servaţie) şi deci c o m p a c t e ; ele formează e v i d e n t un şir m o n o t o n descrescător. Fiind dat arbitrar v > 0, A este l / v — c o n e x ă pentru n > v şi deci tot aşa e B= (]A (lema 2 ) . Cum l/v este arbitrar > 0 , B este conexă. D a r p e B pentru că $eA (orice n). D e c i a şi p se pot uni prin mulţimea conexă B în A. Vn
1/n
1/n
1/n
1/n
210
Teorema 16. Dacă punctele OL şi (3 ale mulţimii compacte A dintr-un spaţiu metrizabil, nu pot fi unite printr-o mulţime conexă în A, există o partiţie închisă {A A } a mulţimii A unde a e A şi $e A . Conform teoremei 15, există un e > 0 astfel că a şi (3 nu se pot uni printr-un e-lanţ în A. F i e A mulţimea punctelor ce se pot uni cu a prin e lanţuri în A şi G A = A — A \ {A , C A } constituie o partiţie închisă a mulţimii (teoreme 12, observaţie) şi a v e m a e A , $eG A . lt
2
±
2
e
A
t
z
t
A
&
t
A
z
§ 61. Componente
F i e A o m u l ţ i m e de puncte într-un spaţiu S. Proprietatea a două puncte de a fi unite printr-o mulţime conexă M cz A este o relaţie evident simetrică şi transitivă: D a c ă există mulţimile conexe M şi N aşa fel încît a, p e M cz A şi p, y e N cz A, atunci M U N este o mullţime conexă (§ 60 teorema 5) care uneşte a şi y în A] rezultă: Teorema 1. Punctele unei mulţimi A se împart în submulţimi disjuncte, A = U B, astfel că două puncte din A pot fi unite printr-o mulţime M conexă şi conţinută în A sau nu, după cum sînt sau nu sînt în aceeaşi submulţime. ţimii
Definiţie. Aceste submulţimi, A.
evident unice, se numesc
componentele
mul
Corolarul 1. O submulţime conexă a mulţimii A este conţinută într-o componentă a lui A. ( P e n t r u că două puncte oarecare ale ei pot fi unite printr-o mulţime conexă din A), Corolarul 2 . Componentele unei mulţimi sînt mulţimi conexe. (Pentru că submulţimea c o n e x ă care uneşte două puncte dintr-o c c m p o nentă este conform corolarului 1 în acea componentă.) Teorema 2 . Componentele unei mulţimi A sînt închise în A. î n t r - a d e v ă r dacă B este o componentă, B este conexă (corolarul 2) şi tot aşa B (§ 60, teorema 6) care este conţinută în A şi deci conţinută în B cu care are puncte comune (corolarul 1). A
Corolar. Componentele unei mulţimi închise sînt mulţimi închise şi deci continuuri. Componentele unei m u l ţ i m i deschise nu sînt întotdeauna mulţimi deschise. D a r : Teorema 3. într-un spaţiu euclidian, în C, pe sferă, componentele unei mulţimi deschise sînt mulţimi deschise şi deci domenii. într-un spaţiu euclidean o vecinătate (sferică) U este o mulţime conexă ( c o n v e x ă ) . Deci, dacă A este deschisă şi U cz A, U se află în aceiaşi compo nentă ca z (teorema 1, corolarul 1). P e n t r u a termina demcnstraţia, rămîne să o b s e r v ă m că: z
z
O
mulţime
A cz C poate
fi transformată
z
topologic într-o
mulţime
czC— oo care este un plan euclidean (prin transformarea z' = — ~ unde a£ ^4). Z — OL I a r sfera este homeomorfă cu C. 211
Definiţie. Fiind dată o mulţime A închisă într-un spaţiu euclidean, în planul lui Gauss sau sferă, componentele mulţimii complementare CA sînt domenii; ele se numesc domeniile (regiunile) determinate de A. Se zice că două puncte din CA sînt separate sau nu de către A după cum sînt în domenii diferite determinate de A sau în acelaşi domeniu. Teorema 4. Un domeniu D este unul din domeniile determinate de fron sa. F i e D un domeniu, fr D este o m u l ţ i m e închisă (42, § 54). Este de arătat că D este componentă a mulţimii deschise S — fr D. î n orice caz, D fiind conexă se află într-o componentă D± (teorema 1, corolarul 1); dacă aceasta ar conţine şi puncte din C A ea ar intersecta fr D (§ 60, teorema 8), imposibil fiindcă se află în <J-fr D. tiera
Teorema 5. Dacă un domeniu D este o componentă a unei mulţimi chise A, atunci fr D cz fr A. Dacă numărul componentelor D este ir A = u fr D . n
des finit,
n
î n adevăr, D este închisă în A, D = A 0 D (23, § 54), şi a v e m îrD
= D — D = Sf)5
— AnB==CA
f]DczCĂf\Ă
= îr A.
A doua afirmaţie rezultă din § 54, 38 şi prima parte a teoremei. Corolar. Frontierele domeniilor determinate de o mulţime închisă A tr-un spaţiu euclidean, din planul lui Gauss sau sferă) sînt cz ir A.
(din
Definiţie. Fiind dat un domeniu D într-un spaţiu euclidean sau C se zice că un punct £ e f r D este liniar accesibil din D, dacă poate fi unit cu un punct din D (şi deci cu oricare) printr-un drum poligonal conţinut în D cu excepţia extremităţii £. Teorema 6. Frontiera unui domeniu D dintr-un spaţiu euclidean C sau are puncte liniar accesibile din D în orice vecinătate a unui punct al său. (Altfel zis, mulţimea punctelor liniar accesibile din D este densă în fr D). F i e ZefrD şi o vecinătate Uţ. Aceasta conţine un zeD. Segmentul [z, C] intersectează fr D, m u l ţ i m e închisă (42, § 54), într-o m u l ţ i m e închisă, care are un punct ^ cel m a i apropiat de z (§ 59, teorema 9 ) ; segmentul [z, ţ{] este disjunct de fr D şi deci t este liniar accesibil. t
Teorema 7. Dacă B este o componentă euclidean, C sau sferă,
a mulţimii
A
dintr-un
spaţiu
int B = B n int A. în aceleaşi condiţii,
dacă A este închisă, fr B = B n fr A.
1°. B f| int A este o reuniune de componente ale mulţimii deschise int A (41, §54), căci dacă o asemenea componentă intersectează B, este czB (teorema 1, corolarul 1). Deci B n int A e o submulţime deschisă a lui B şi astfel este czint B. I n v e r s , este evident că int B — B n int BczB fl int A. 2°. Dacă A este închisă şi componenta B este închisă (teorema 2, coro larul) şi atunci a v e m fr B = B — int B = B (] A — B n int A = B fj fr A. 212
Demonstraţie directă: E v i d e n t B f| fr A cz fr B. A p o i cum fr B cz B, rămîne de arătat că fr B cz fr A. Dacă £e fr B, o vecinătate L\ nu poate fi czA căci punctele lui Uţ putînd fi unite printr-o mulţime conexă conţi nută în A ar urma £ e i n t B; deci £ e f r A. t
T e o r e m a 8. Fie, într-un spaţiu metrizabil, A o mulţime închisă şi K continuu compact care intersectează fr A. Atunci: 1 ° . Fiecare componentă a lui K (] A intersectează fr A. 2 ° . Dacă K f| CA # 0 , fiecare componentă a sa are puncte limită fr A. 3 ° . La fel pentru K(\mkA (Janiszewski). 1 ° . V o m arăta întîi că, dacă K f| A = M U X cu M fl X = 0, şi N închise şi M#0,
atunci Mfl fr_4 # 0 .
deci a v e m iC = A f U {X \J K 0 CA)
î n adevăr, K = KCi A [j
un
în
M
KOCA,
unde cei doi termeni sînt
mulţimi
închise; dar cum K este un continuu, trebuie să a v e m M fl (N U K fl
CA)^0
f
deci M fi K n CT # 0 , deci A f fl fr 4 # 0 . Aceasta stabilită, fie oce K (] A şi K mulţimea punctelor din K fl A care pot fi unite cu a prin e-lanţuri în K (] A] ştim că i f şi C K ^ A K = K n A— K sînt închise în K fl ^4 ( § 6 0 , teorema 1 2 , observaţie) şi deci închise absolut ( 4 5 , § 5 4 ) . Cum K (] A = K [) C/^ ^^e(şi K # 0 ) , urmează din rezultatul stabilit m a i sus K fl fr A # 0 . î n particular iCi/ fl fr ^4 # 0 (w = 1 , 2 , . . . ) . Or cempenenta lui K fl A care cenţine a (şi care poate fi o cempenentă oarecare) este evident egală cu (]Ku , şi ea intersectează ir A în fj K fl fr A # 0 (şir descrescător de m u l ţ i m i cempacte, § 5 5 , teorema 3 ) . 2 ° . Fie A mulţimea punctelor z care satisfac p(A,z) > \\n. E v i d e n t , CA = [)A . Dacă fie K fl (M, v o m avea p e i C n ^ i / ( » > v ) . După 1 ° , compenenta lui K fl A prin (3 şi deci cc a a lui K fl (M are un punct z e ivA , adică p(^l, z ) = l/w (§ 5 9 , teorema 1 5 ) . Punctele au un punct limită ţ în componenta considerată a lui K (care este închisă) şi pentru care p(Aj £ ) = 0 , din cauza continuităţii funcţiei p(^4, z) ( § 5 9 , teorema 7 ) . Astfel £e Ă şi cum t
Z
c
t
t
n
t
t
n
n
ljn
ljn
î/n
n
l l n
n
1/n
n
SeCZnuK, a v e m £e i fl (M = fr A 3 ° . Dacă K fl int A ^ 0, cum a m presupus iC fl fr A # 0 , a v e m (S — int i 4 ) # 0 şi (fr int 4 ) # 0 ( § 6 0 , teorema 7 ) . P u t e m deci aplica 2 ° la int A: orice componentă a lui K fl int A are puncte limită în f r i n t A şi deci în fr A. T e o r e m a 9. într-un spaţiu metrizabil, un continuu compact nu poate fi o reuniune finită sau numărabilă de mulţimi închise disjuncte (Sierpinski). 00
V o m arăta că, dacă C = \JC
n
cu C # 0 n
şi închis, C conţine un con-
i
tinuu C
( 1 )
care intersectează o infinitate de m u l ţ i m i C , dar nu pe Ci'. n
o» =uc,n c
(1)
= uctf> (»' * i), c p # 0 .
A p l i c î n d acelaşi procedeu acestei descompuneri, v o m avea un C< > cz CW.
continuum
2
2
C< > = ( 1 )
U C& fi C< > = 2
U CJ?)
( n " # nî)
Ci?) # 0
etc.
( 2 )
Cum C , C , ... nu intersectează respectiv C ^ C , ...şi mulţimile precendede, a v e m C fl C fl C fl ... = 0 , în contrazicere cu teorema lui Cantor. Pentru a construi continuul C cu proprietăţile dorite, fie p ( C , C ) = p > 0 şi să considerăm mulţimea B a punctelor z care satisfac p(Cx, z) ^ — p. 2
a )
( 2 )
( 1 )
x
2
213
( 1 )
E v i d e n t , C c: B f| C cz C — C F i e apoi C componenta lui B fl printr-un punct din C ; C > 0 ^ = 0 (pentru că C c B fl C c C şi C fl C =^ 0 prin construcţie. Cum C intersectează fr Z? (pentru intersectează B şi C B ) urmează (teorema 8) că C intersectează fr 2
v
(1
( 1 )
2
( 1 )
2
( 1 )
într-un punct
adică un
punct
C Q că B
pentru
care p ( C i , £) = — p ( § 59, t e o 2 • rema 15). Acest punct nu este deci în C , ci în altă m u l ţ i m e C (n > 2 ) . A s t f e l C , care este un continuu, intersectează cel puţin două dintre m u l ţ i m i l e închise disjuncte C şi deci o infinitate (căci altfel ar a d m i t e o partiţie închisă). 2
n
(1)
n
L e m ă . Dacă A e o mulţime conexă în spaţiul conex S şi M o simultan închisă şi deschisă în CA, atunci A (J M este conexă.
mulţime
într-adevăr, să presupunem că a m a v e a o partiţie închisă {M M} a mulţimii A \J M. Cum A este conexă, v o m a v e a de e x e m p l u ^4 c: M± şi M c: M. Deoarece M este simultan închisă şi deschisă în A [) M, este la fel şi în M (pentru că M cz A [) M, v e z i 27, § 54 consecinţa) şi cum M este închisă şi deschisă în CA, şi M este astfel (45, § 54). D e c i M este închisă şi deschisă în CA [) (A \J M) = S, absurd pentru că & este conex. lt
2
2
2
2
2
Teorema 10. Dacă A este continuu într-un spaţiu euclidean, C sau sferă, şi B o reuniune de domenii determinate de A, atunci A U B este conexă. într-adevăr, B şi C^4 — B sînt deschise şi deci şi închise în CA ; se aplică aşadar lema. Teorema 11. Dacă A este o mulţime conexă în spaţiul conex S şi K o componentă a complementarei CA, atunci CK este conexă. într-adevăr, să presupunem că a m avea o partiţie închisă {N N} a mulţimii CK. V o m arăta că atunci A = A fl N (J A fl N este o partiţie a lui A, contrar ipotezei. E v i d e n t , A cz CK = N U N . R ă m î n e de v ă z u t că A fl N # 0 şi A fi A ^ 0 . Or A fl N = 0 ar însemna K\jN cz CA; dar K (J Ni este conexă în virtutea lemei (K fiind conexă şi N simultan închisă şi deschisă în CK) şi deci K (J N fiind în CA, trebuie să se afle într-o componentă a lui CA, a n u m e : K \J N cz K; ceea ce este absurd pentru că K n N = 0 şi N # 0 . lt
x
2
2
±
2
r
x
2
±
1
t
lt
±
±
±
Teorema 12. Dacă, într-un spaţiu metrizabil, mulţimea compactă A are (printre altele) componentele B şi B , există o partiţie închisă {A A} a mulţimii A, astfel că B cz A şi B cz A. F i e punctele a e B (3e B . Cum ele nu p o t fi unite printr-o m u l ţ i m e conexă conţinută în A, există după teorema 16 § 60, o partiţie închisă {A A } a mulţimii A cu a e ^ , $e A . V o m avea atunci B cz A B cz A (căci dacă B <£ A B ar intersecta A şi A , de unde ar urma o partiţie închisă a lui B ). x
x
2
x
lt
lt
2
2
2
2
lt
2
2
x
lt
x
±
x
lf
2
2
2
±
§ 62. Curbe N u este uşor de a preciza m a t e m a t i c noţiunea intuitivă de „ c u r b ă " . Este vorba de a găsi o definiţie care să nu fie prea restrictivă şi nici atît d e generală încît să înglobeze m u l ţ i m i de puncte care nu au caracterele ce se atribuie în m o d tacit noţiunii de curbă, de e x e m p l u unidimensionalitatea. O curbă într-un spaţiu euclidean ne apare înainte de toate ca o reprezentare a unei drepte sau segment de dreaptă. 214
A t î t însă nu este deaj uns; trebuie să m a i punem oarecare condiţii unei asemenea reprezentări. P r i m a care se prezintă este condiţia ca reprezentarea să fie biunivocă şi aceasta este insuficientă, c ă c i : T e o r e m a 1. Un segment de dreaptă poate fi reprezentat biunivoc pe un (Cantor). Este destul să considerăm segmentul [0, 1]. F i e t abscisa unui punct al segmentului. D a c ă t # 0, p u t e m reprezenta acest număr în m o d unic ca serie convergentă de forma
pătrat
(4)
/
±
=
sau t = (o^, a , . . . ) • Şi zintă, transformat în V o m face acum a , ...) 0 din (0, 1],
+
^
.
+
...
« * ... > 0 )
invers, orice şir de numere întregi > 0 , (ai, a , . . . ) repre seria ( 4 ) , un număr 0 < t < 1. să corespundă la t = 0 punctul (0, 0) şi la un t = (<x. punctul (x, y) de coordonate.
2
2
lf
2
* =
y =
(ai, ag, a , . . . ) , 5
(a , a , a , 2
4
6
...).
A m definit astfel o corespondenţă evident biunivocă între intervalul [0, 1] şi pătratul 0 < x < 1, 0 < jy < 1. Să e x a m i n ă m în al doilea rînd reprezentările continue ale segmentelor de dreaptă. Mulţimile astfel definite se numesc continuuri peaniene. E l e p o sedă proprietăţile următoare: 1°. Sînt compacte. (§ 57, teorema 2 ) . 2°. Sînt c o n e x e . (§ 60, teoremele 3, 10). 3°. Sînt local conexe, adică fiecare punct z al ei are o vecinătate Î7f conexă. Aceasta poate fi submulţimea corespunzătoare unui subinterval al intervalului T la care corespunde C. 1° şi 2° spun că mulţimea K este un continuu mărginit într-un spaţiu euclidean, un ccntinuu în C sau pe sferă. Să presupunem că continuul peanian K este imaginea continuă a inter valului T = [0, 1], K = f(T), unde f este o funcţie continuă. A ş a de exemplu sînt: ecuaţiile parametrice, ale unui ccntinuu peanian plan
x=M*). cu f
lf
y=Mt)
(0 « * < 1)
f funcţii continue. Să subdividem intervalul T în două intervale egale, 2
T
x
= [0, 1/2], T
2
= [1/2, a] şi fie K
=f{T ),
x
K
1
=f(T ).
2
2
Să subdividem apoi la fel intervalele T T în T T , respectiv T T , de lungime 1/2 şi fie K , K , K , K mulţimile corespunzătoare, î n general, v o m avea la subdiviziunea de rang p: lf
2
lt
lf
h
2
2t
if
P
2f2
l t l
r=ur .„ t t
l t 2
n
,
2 t l
Şi
K=
2t2
U ^ n , , » „ . . . , tip*
unde indicii n n iau valorile 1 şi 2 în toate modurile, şi intervalele de rang p, pe care le n o t ă m în bloc cu T au lungimea 1/2*. V o m aşeza inter valele J T în ordine lexicografică: din două intervale v o m pune înainte pe cel care are un indice m a i m i c decît indicele o m o l o g al celuilalt. ( D e e x e m p l u î, î, 2 precede pe T ) . î n această ordine două intervale T consecutive au o e x t r e m i t a t e comună. A v e m , oricare ar fi şirul n n , n , lt
p
(P)
( P )
( P )
lt
l t 2 t x
lt
2
z
215
Cum lungimile unui asemenea şir descrescător de intervale - > 0, ele au în comun un singur punct t; mulţimile corespunzătoare
au în comun punctul z =
f(t).
Orice punct te T se poate obţine, într-un singur m o d , ca intersecţie a unui şir de intervale ( 5 ) , dacă convenim de e x e m p l u ca din două intervale cu acelaşi număr de indici (de acelaşi rang) care au eventual pe t ca e x t r e mitate comună, să luăm pe cel dintîi în ordine lexicografică. Cu o convenţie analogă, orice punct al continuului C se v a obţine ca intersecţie a unui şir ( 6 ) . Să m a i observăm că un şir ( 5 ) este determinat de şirul indicilor n *>H, *h> care nu este altceva decît mantisa numărului t în sistemul de numeraţie diadic (cu cifrele 1 şi 2 ) . lf
Definiţie. Fie A , A , satisfăcînd condiţiile: ni
ţimi
1. Sînt
închise
2. Dacă S 3. Oricare
nit
tt
3
şi mărginite
este diametrul
p
unde n
A „ n ,...,
n i t t l i
ar fi şirul
n
n,
lf
An
(adică
maxim
it
4. In ordine lexicografică puncte comune.
1 şi 2, mul-
2t
compacte). (P)
al mulţimilor
A
cu p indici,
S
0.
p
n,
2
3
Z> An n
x
n ... iau valorile
lt
Z> An n n
t
lt
tt
Z> . . .
3
a indicilor,
două mulţimi
m
A
consecutive
au
Atunci fiecare intersecţie A n A ,n fl A ,n ,n fl... corespunzătoare diverselor şiruri n n , n , ... este cîte un şir pentru z (§ 55, teorema 3 ) , căruia putem face să-i corespundă numărul cu reprezentarea diadică t = 1, n n n ... mulţimea tuturor punctelor z astfel obţinute se numeşte continuu diadic. Hl
ly
2
ni
t
ni
t
a
3
x
Teorema 2. Continuările
peaniene
sînt identice
cu continuurile
2
s
diadice.
A m văzut că un continuu peanian este un continuu diadic. R ă m î n e să arătăm că corespondenţa definită m a i sus între un continuu diadic şi segmen tul [0, 1] este o reprezentare continuă. M a i întîi corespondenţa este biunivocă. L a un număr t din [0, 1] pot corespunde două reprezentări diadice numai dacă el este de forma t = kj2 şi atunci q
t = 1, n ...
n _x 1 22 ... =
x
Or, punctele
1, n ...
q
=
A
n
HI
z' = A ,
... n
A n
n ... n A
n
, . . n
x
n
i
A„
n
i
A
Deoarece A
X
x
n
A
0 A
lt
2
2
n
# 0, Ai
A
2
lt
A
lt
2
, n ..., 2
f| A
2t
U A, 2
2 11
x
t
t
n
f
_,,i
l
_
NQ
IT
2
n
n ....
1, adică
f
z = A
2
n
A
2t
x
n
A
2t
l t
x
n ...
^ 0 , ... ( 5 ) , mulţimile
±
Ai
l
A„I
coincid. Pentru simplificare să luăm q =
==
q
corespunzătoare, z
z
n_
x
2
U A
2t
i, ...
au diametrii <25*i, 2S , ... - > 0 ; cum ele formează un şir descrescător ( 6 ) au un singur punct comun. D a r z şi z' sînt comune acestor m u l ţ i m i ; deci z = z'. 2
216
f
î n al doilea rînd funcţia z = / ( / ) este continuă. Dîndu-se un s > 0, a v e m 28 < s pentru p > v ( 2 ) . Or, dacă luăm \t — t \ < 1/2 (p > v), deci t, /i într-un interval T sau două asemenea intervale consecutive, v a urma p(z, z ) < U < e. p
x
P
(P)
t
p
Observaţii.
T e o r e m a şi demonstraţia sînt valabile în orice spaţiu metri
zabil. Observaţia 2. î n m o d analog se pot defini continuuri poliadice şi se poate arăta că ele coincid cu continuurile peaniene. T e o r e m a 3. Există continuuri peaniene care sînt închideri de domenii plane. Altfel zis: un segment de dreaptă poate fi reprezentat continuu pe un domeniu plan închis (Peano).
Fig. 35
V o m demonstra aceasta cu următorul e x e m p l u dat de K n o p p : L u ă m un triunghi dreptunghic isoscel A de ipotenuză a, pe care îl subdividem în două triunghiuri de acelaşi fel, şi ^4 ^ prin înălţimea coborîtă p e ipotenuză, apoi subdividem în acelaşi m o d A şi A în A , A şi A, A etc. Condiţia 1 v a fi satisfăcută luînd triunghiurile închise. î n ce priveşte condiţia 2 a v e m 8 =a/(V2) ~*°Condiţia 3 este vizibil satisfăcută. Pentru con diţia 4, atunci cînd subdividem un triunghi A , v o m atribui indicele de rang p - f 1 egal 1 primului triunghi întîlnit de-a lungul ipotenuzei triunghiului de rang p parcursă în sens p o z i t i v (faţă de interiorul triunghiului) dacă g este par şi în sens n e g a t i v (faţă de interiorul triunghiului) dacă p este impar ( v e z i fig. 35). î n felul acesta a m definit un continuu diadic, deci un continuu peanin, care, e v i d e n t , umple triunghiul A. T e o r e m e l e 1 şi 3 ne arată că reprezentările biunivoce şi cele continue ale segmentelor de dreaptă nu pot fi considerate ca atare drept curbe. N o ţiunea cea m a i generală de curbă trebuie să implice reprezentări în acelaşi t i m p biunivoce şi continue, deci homeomorfe. 2
x
2
l t l
l t 2
2fl
2 t 2
P
p
(P)
Definiţie. Se numeşte arc simplu imaginea topologică (transformata homeomorfă) a unui segment de dreaptă închis. Acest segment poate fi de altfel oricare, de exemplu [0, 1]. Căci un segment poate fi transformat homeomorf în oricare altul: astfel x' = a + (b — a)
x
(b > a)
duce [0, 1] în [a, b]. ^ Ca şi continuurile peaniene, arcele simple posedă proprietăţile 1°, 2°, 3°. î n plus: 4°. Cu excepţia a două puncte, a şi p, numite extremităţile arcului şi care corespund la e x t r e m i t ă ţ i l e segmentului imagine, orice alt punct z al unui arc simplu constituie o tăietură; cu alte cuvinte prin scoaterea punctului arcul îşi pierde conexiunea. Mai precis, dacă n o t ă m arcul cu [a, p], a v e m partiţia închisă { [ a , z), (z, p]} a m u l ţ i m i i [a, p] — z. Căci această proprietate o are segmentul imagine [a, b]. 217
Definiţie. Se numeşte curbă simplă închisă imaginea topologică a unui segment de dreaptă ale cărui extremităţi sînt identificate (într-un singur punct abstract). E v i d e n t , si curbele simple închise posedă proprietăţile 1°, 2°, 3°, dar în loc de 4 ° : 4'°, o curbă închisă simplă nu-şi pierde conexiunea prin scoaterea unui punct (ea devine atunci un arc simplu deschis, adică fără e x t r e m i t ă ţ i ) ; din contra, îşi pierde conexiunea prin scoaterea a două puncte (rămîn atunci două arce deschise a v î n d acele puncte ca e x t r e m i t ă ţ i ) . T o a t e aceste proprietăţi de natură topologică aparţine în a d e v ă r cer cului. Teorema 4. Fie C C , C , n arce simple astfel că două arce consecutive au ultima şi prima extremitate comună şi două arce oarecare nu au alte puncte comune. Atunci U C este o curbă simplă, închisă în cazul cînd prima extremitate a lui Ci coincide cu a doua extremitate a ultimului arc C . Luîndu-se ca imagini ale arcelor, segmente adiacente, [a a \, [a , a ], ... [a , a ^], se v e d e că C (] ... U C este imaginea topologică a segmentului lt
2
n
n
n
lt
n
n
x
2
2
3
n
Definiţie. Vom numi curbă (în sensul cel mai general) o reuniune finită sau numărabilă, U C , de arce simple astfel că a doua extremitate a fiecăruia coincide cu prima extremitate a celui următor (cînd nu e vorba de ultimul arc). Cînd numărul arcelor C este finit, reuniunea lor este un arc dacă prima extremitate a primului arc C şi a doua extremitate a ultimului arc C sînt dis tincte; iar dacă aceste extremităţi se confundă reuniunea arcelor este o curbă închisă. Arcele simple C se pot intersecta şi în alte puncte decît extremităţile co mune. Acestea se numesc noduri. Dacă nu sînt noduri, şi numărul arcelor este finit, avem un arc simplu sau o curbă simplă închisă (teorema 4 ) . N o d u r i l e sînt în număr finit sau numărabil. Este clar că curbele generale posedă şi ele proprietăţile 1°, 2°, 3°. O proprietate analoagă cu 4 ' ° ar depinde de numărul şi poziţia nodurilor. î n orice caz, scoaterea tuturor nodurilor (la o curbă care nu este simplă) distruge conexiunea curbei. Căci dacă X este un n o d şi C arcul cu indicele cel m a i m i c pe care se află, iar jx primul nod întîlnit pe un arc C de indice ^ i (fi poate n
n
x
n
n
t
}
coincide cu X ) , a v e m arcul [X, z ] U Zţ ] U ... U [z yi], care este simplu şi constituie o m u l ţ i m e închisă şi deschisă în curba C, diferită de C. i+1
arc
+2
Teorema 5. Un continuu pe o curbă simplă simplu. R e z u l t ă din § 60, teoremele 3 şi 10.
jt
(închisă
sau nu)
este
un
Teorema 6. O curbă nu are puncte interioare. F i e m a i întîi C un arc simplu. D a c ă punctul său X este interior, există o vecinătate sferică £7 cz C. E v i d e n t , scoaterea unui punct din J 7 nu strică conexiunea acesteia şi deci nici a curbei C, ceea ce este în contradicţie cu proprietatea 4° a arcelor simple. L a fel se poate raţiona (pe baza proprietăţii 4'°) în cazul unei curbe închise simple. Dacă C este o curbă formată din arce simple conform definiţiei de m a i sus, se v e d e în primul loc că un punct X care aparţine unui singur arc simplu nu poate fi interior: putem lua atunci C7 disjunctă de celelalte arce şi ar urma ca X să fie interior acelui arc. Dacă însă X este pe m a i multe arce ( e x t r e m i t a t e comună la două arce sau n o d ) , v o m lua (dacă este cazul) din aceste arce porţiunile cu extremitatea X care X
X
218
X
sînt conţinute în f/ . Este sigur că conexiunea acestei m u l ţ i m i este distrusă prin scoaterea tuturor nodurilor şi extremităţilor care sînt în Î7 . Dar pe de altă p a r t e : Conexiunea interiorului unei sfere (şi în general a unui domeniu) nu este distrusă prin scoaterea unui număr numărabil sau finit de puncte. î n a d e v ă r z, z' fiind două din punctele rămase, să considerăm toate arcele de cerc care le unesc şi sînt c z £ 7 ; evident ele au puterea continuului şi deci nu toate v o r întîlni punctele pe care le-am scos; z şi z' pot fi deci unite printrun asemenea continuu în mulţimea rămasă, care este deci tot un domeniu. x
X
x
Definiţie. Un sens de parcurs pe un arc simplu se defineşte ca corespun zător unui sens în segmentul imagine. Dacă un sens este fixat, un punct pre cede pe altul cînd imaginea primului precede pe aceea a celui de al doilea. Ca şi pentru segmentul imagine, sensul arcului este determinat de ordinea în care se iau extremităţile lui. D a c ă această ordine este a, (3, punctul z precede pe z' cînd arcul [a, z]a [a, (3] exclude pe z ' . Astfel sensul e definit topologic. î n m o d analog se defineşte un sens de parcurs pe o curbă închisă simplă, referindu-ne la cercul imagine. U n sens e atunci determinat printr-o succe siune de trei puncte. D e asemenea noţiunea de sens se întinde la curbe generale, constituite conform definiţiei de mai sus din arce simple într-o ordine dată. însăşi această ordine defineşte un sens pe fiecare arc simplu şi prin aceasta pe întreaga curbă, î n acest caz nu trebuie p r i v i t ca o suprapunere de puncte aparţinînd diverse lor arce ce se întretaie în n o d . Noţiunea de curbă este, în toată generalitatea ce i-am lăsat, încă foarte complicată şi poate ieşi din sfera ideii intuitive de curbă. V o m da aici cîteva e x e m p l e de această natură. V o m observa în prealabil că construcţia diadică de mai sus ne dă un arc simplu dacă mulţimile considerate A satisfac şi condiţia: 5°. Cele cu acelaşi număr de indici şi neconsecutive sînt disjuncte. E destul să arătăm că un punct z al continuului diadic nu poate cores punde la două puncte t, de e x e m p l u (pentru simplitate) la ^ i = l , l nn 2
c
A m avea atunci ze A n apoi a m avea ze A f] A ' Astfel h
12nt
t
21n 3
z
... şi t =
1, 2 n' n' ... 2
s
A » ; , ceea ce cere după 5°, n = 2, ri = 1; ceea ce cere n = 2, n' = 1 etc. 2i
h = 1, 1 22 deci ti =
2
2
3
2
%
t = 1, 2 11 ... 2
t. 2
Exemple: 1) Curbă simplă care nu are tangentă în nici un punct. Construim un arc simplu ca con tinuu diadic în felul următor:
Fig.
36
Luăm un triunghi isoscel cu unghiurile de 37r/5, TC/5, TC/5 şi-1 împărţim în trei triun ghiuri prin cevienele care divid unghiul obtuz în trei unghiuri de nf5; numim A şi A cele două triunghiuri laterale; ele sînt asemenea cu cel primitiv (vezi fig. 36). l
2
219
Apoi procedăm la fel cu A şi A%. obţinînd triunghiurile A A şi ^2.1» ^ 2 . 2 asemenea cu cel primitiv. Se vede imediat că, numerotînd convenabil triunghiurile, ele vor satisface condiţiile 1—5. Curba astfel definită trece prin vîrfurile tuturor triunghiurilor. Dacă ar avea tangentă într-un punct z, cum orice V (R) conţine triunghiuri cu vîrf urile pe curbă, unghiurile acestor triunghiuri ar trebui să tindă la 0 sau iz pentru R —• 0. Ori ele sînt constante. Primul exemplu de curbă fără tangente (funcţie continuă fără derivate) a fost dat de Celerier; altul rămas celebru a fost dat de Weientrass. 1
lt
lf
l t 2
Z
2) Curbă iimplă care are o arie > 0. N e putem servi de construcţia din exemplul pre cedent convenabil modificată. Renunţînd la constanţa unghiurilor, vom lua primul triunghiu şi toate triunghiurile nehaşurate isoscele; astfel triunghiurile haşurate vor avea un unghiu o! tuz şi latura opusă ca diametru. Apoi vom divide un triunghi cu p indici A< > astfel ca raportul triunghiului nehaşurat la AW să fie 1/2P+ ; acesta va fi şi raportul laturilor opuse la vîrful comun. Atunci, dacă A este aria triunghiului primitiv, triunghiurile A* * au aria totală p
1
1
1
1
\A,
2)
triunghiurile <4< aria I I
II 1
\A, şi în general triunghiurile A
aria
K ) H ) - K)< care tinde la o limită > 0 Icăci ]~T ( 1 l i l vezi
I este convergent, seria £1/2? fiind convergentă, 2P) (
§ 29, teorema 2 J . P e de altă parte este uşor de văzut că diametrii triunghiurilor A *>>
tind la 0. Deci curba are o arie exterioară > 0. V o m da acum nişte t e o r e m e care caracterizează topologic direct arcele simple şi curbele simple închise. L e m ă 1. Dacă, în continuul A — z = M
A, punctul 0 N,
M
z face o
fl N =
tăietură;
0,
atunci M şi M, N
sînt
deschise în A
= M (nu
0 z,
numai
N
= N
U
z
în A — z).
Deoarece M este închisă în A — z, M
= M
deci
f|
(A — z)
M c
zo
M — z,
M U z.
Şi tot aşa N
fi (N U z) =
M î n sfîrşit
M
M
este deschisă
f| N c în A
M
fl (N U Z) = 0.
pentru că M = A — N;
şi la fel N.
T e o r e m a 7. într-un spaţiu metrizabil, un continuu nedegenerat K este un arc simplu dacă: 1° este compact şi 2° toate punctele lui, afară de cel mult două, constituie tăieturi (Janiszewsky ) . 1. D u p ă ipoteza 2°, un punct z e K, care nu este e x c e p ţ i o n a l , d e t e r m i n ă q j ) a r t i ţ i e închisă {M, N} a m u l ţ i m i i K — z, unde, conform l e m e i precedente M = M [) z, N = N 0 z şi M,N sînt deschise în K. 220
2. M şi N sînt continuuri (adică sînt c o n e x e ) . Căci dacă am avea o partiţie închisă { P , Q) a mulţimii M şi de e x e m p l u ze P , ar urma Qf)N şi {Q, (P V N)}
= Q()(N[}z)^Qf\N
=
0
ar fi o partiţie închisă a m u l ţ i m i i K.
3. Dacă o altă tăietură z'eM determină partiţia închisă { A T , N'} a mulţimii K — z', atunci una din părţile A f ' , N' este cz Af. Căci N cz K — z' şi deci N, care este un continuu (2) se află în una din părţile A f ' sau N' (altfel ar admite o partiţie î n c h i s ă ) ; atunci cealaltă parte se v a găsi în A f = K — N. A. Fiecare parte, Af, N conţine cîte un punct excepţional. Să presupus nem că M nu conţine asemenea p u n c t e ; atunci nici M nu conţine. Cum M este compact (§ 56, teorema 3) şi metrizabil, există în M şi deci în Af, o mul ţ i m e densă şi numărabilă z z , z , ... de puncte evident neexcepţionale (§ 56, teorema 5 ) . F i e (cf. 3) K — z = Af U N cu M cz Af. Cum M este deschisă în K şi deci în Af, conţine puncte z ; fie z acela care are indicele n cel m a i mic (evident n # 1 ) ; şi fie K — z = M U N cu M cz M . P e n t r u acelaşi m o t i v M conţine puncte z şi fie z cel de indice mai mic ( e v i dent n ^ n , 1) şi K — Zn = A f U iV _etc. Se defineşte astfel un şir descres cător de m u l ţ i m i închise M z^ M z> M z^ . . . j p M z> ... a cărui intersec ţie L # 0 (§ 55 teorema 3 ) . D e altfel cum M = M U z , z $L, şirul M A f , ... are aceeaşi intersecţie L. Să considerăm un punct X e L . E l nu este punct excepţional (căci c M), deci determină o partiţie închisă {H, J) a mulţimii K — X. Fiecare A f conţine pe / f sau K (conform 3 ) . D e e x e m p l u H se v a găsi într-o infinitate de M , şi deci H cz L. Dar H fiind deschisă în şi deci în Af, con ţine un z* şi dacă n^i este indicele definit m a i sus imediat superior lui v , ajungem la contradicţia că z nu este punctul z de cel m a i mic indice din M , căci şi z cz M . (Un n > v trebuie să existe pentru că indicii n sînt distincţi). Aşadar A f şi N conţin puncte excepţionale, şi cum numărul acestora este < 2 , A f şi N conţin fiecare cîte un punct excepţional, a şi p. 5. A f şi N sînt conexe (ca şi M şi N) şi deci componentele lui K — z. Căci fie A f = P U ^ o partiţie şi de e x e m p l u a e P . A v e m K — z = = A f U A , de unde i f — z = ( ) u ( P U A r ) , care ar fi o partiţie închisă pen tru că Q este închis şi deschis în Af, care e la fel în K — z şi deci Q este închis şi deschis în K — z. Or o asemenea partiţie este imposibilă pentru că Q nu conţine nici a (care este în P) şi nici p (care este în N). 6. M u l ţ i m e a K poate fi bine ordonată după regula următoare: zicem că z precede pe z' (sau că z' urmează p e z) dacă K — z' = M > U N >, cu M > f| N > = 0 şi a e Af >, iar A f , , sau dacă z' = p. U r m e a z ă că a precede pe orice z # a (a este primul punct al lui K) şi p urmează pe orice z # p (p este ultimul punct al lui K). V o m scrie relaţia definită: z -< z\ R ă m î n e să arătăm că ea este o rela ţie de ordonare, adică: 6 . z -< z. E v i d e n t . 6 . Dacă z # z ori z -< z', ori z' - < z. Dacă :?-!< z ' , a : 3 a s t a î n s 3 a m n ă că ze K — A4V = *' U şi deci ze N -. După 3, N cz iV <, ( P e n t r u că a m b e l e m u l ţ i m i conţin pe p) şi deci K — N z> K — N >, sau z\j M zzz' () M >, d e u n i e urmează (fiindcă z # z) z' e M , adică z' -< z. 6 . Dacă z z ' şi 2r' -< z" atunci z -< z '. P r i n ipoteză 2reAf , şi z'eM f. După 3, A f ^ c z A f ^ (ambele m u l ţ i m i conţinînd pe a ) , deci ze M », deci z -< 2 " . lt
2
y
x
x
x
x
v
2
2
Hf
2
3
2
y
3
3
x
2
2
2
x
n3
3
2
3
p
v
lt
x
n%
p
Hp
np
2
p
p
0
0
Hp+1
v
Vo
p
v
p+1
0
p
r
z
t
z
2
z
z
X
2
t
z
z
z
z
2
z
z
z
n
3
z
t
z
z
221
f
7. F i e z', z"eK, z' < z" şi (z , z") mulţimea punctelor z astfel că z' -< z -< z", sau cum v o m zice, mulţimea punctelor situate între z' şi i r " . Atunci (z', z") este deschisă în K şi # 0 . î n adevăr, (a, z " ) = M , , (prin definiţia 6 ) , iar (z', p) = A \ , (vezi 6 ) . i W > şi 2V> sînt deschise în K şi tot aşa este (z', z") = (a, s " ) n"V> P). A p o i dacă (z , z") = 0 , orice alt X ar satisface z - < z ' sau z >- 2 - " , adică K = (M , \J z') (j (N " U z " ) şi aceasta ar fi o partiţie închisă pentru că termenii sînt m u l ţ i m i # 0 , închise în K şi disjuncte, întrucît un punct comun z ar satisface z - < 2 ' şi z " - < 2 , ceea ce cu 2 ' - < 2 " ar da ( 6 ) z < z, contrar 6 . 8. P e n t r u a stabili un homeomorfism între continuul ordonat K şi segmentul [0, 1] v o m stabili m a i întîi o corespondenţă biunivocă între m u l ţimea punctelor raţionale din (0, 1) şi o m u l ţ i m e densă în K — OL — § şi numărabilă (existentă pentru aceleaşi m o t i v e ca la 4 ) , corespunzătoare care să păstreze relaţiile de ordonare. F i e z z , 2 , ... şi t t , t^, ... cele două mulţimi numărabile, aranjate ca şiruri. L e v o m ordona din nou în nişte şiruri Ki, ^2, .... ţ > Şi i > 2 , . . . . t > ••• * £n ŞÎ n corespunde în m o d u l voit. î n acest scop luăm întîi t = t şi ^ = z . A p o i fie £ punctul r de c e l mai mic indice, care este # £ şi t punctul de c e l m a i mic indice care este în aceeaşi relaţie de ordonare faţă de t ca £ faţă de £x- M a i departe, luăm drept t punctul ty, de cel m a i mic indice, care este # r t şi drept £ punctul t de cel m a i mic indice, care este în aceeaşi situaţie faţă de -z t (de e x e m p l u , dacă T x - < t - < t , v o m avea conform alegerei precedente £x -< £2 şi în m u l ţimea (ţ ţ ) care este deschisă v o r exista puncte z , din care v o m lua pe c e l d e indice m a i m i c ) etc. Rolurile celor două şiruri se schimbă alternativ. Este evident că orice z„ este un ţ şi orice t^ un t . Relaţiile de ordonare între punc tele Z sînt aceleaşi, prin construcţie, ca între punctele t „ corespunzătoare (cu indici egali). 2
2
f
z
t
3
X
lt
T
n
T
n
c
a
r
2
V
e
lt
s
T
e
v
o
2
r
n
x
x
x
x
2
v
2
x
2
3
lf
2
3
lt
3
lt
v
2
2
2
v
n
w
n
9. P e n t r u a extinde corespondenţa definită între şirurile (z ) şi (t^) l a o corespondenţă între K şi [0, 1], procedăm astfel: F i i n d dat punctul te (0, l ) considerăm mulţimea T de puncte t^ -< t. Acesteia îi corespunde o m u l ţ i m e Z de puncte z , care se bucură, ca şi T, de proprietăţile: a) nu are un ultim puuci (care urmează pe toate c e l e l a l t e ) ; v
r
v
b ) dacă Zv este în Z, toate punctele z ce preced pe acesta sînt de ase menea în Z. Mulţimea Z este o secţiune în mulţimea (z ) în sensul lui Dedekind, Urmează: c ) mulţimea W formată din punctele lui K care nu preced nici un punct din Z , are un prim punct z. într-adevăr, dacă nu, oricare ar fi w e W, ar exista în W un punct w' -< w şi w ar avea vecinătatea deschisă (w p) cz W, aşa că W ar fi deschisă (în K); pe de altă parte, şi K — W = V este o m u l ţime deschisă, pentru că un punct veV precede un punct v eZ cz V, d e c i are o vecinătate deschisă ( a z / ) cz V. A m avea atunci o partiţie K = V U Punctul z astfel definit v a fi corespunzătorul lui î n sfîrşit v o m face să corespundă la 0 şi 1 respectiv a şi p. 10. Corespondenţa astfel definită între [0, 1] si K este un homeomorfism. E a este biunivocă: la un / corespunde un z bine d e t e r m i n a t ; invers, un ze K corespunde unui singur t. Căci z determină o secţiune Z în m u l ţ i mea ( ? ) , formată din punctele z - < z, iar la Z corespunde o secţiune T î n mulţimea (t^) care defineşte în m o d unic punctul / ; la acest t corespunde z în virtutea regulii de la 9. E evident că la un t^ = T corespunde punctul z = £ . 0
v
y
f
r
v
v
n
222
v
n
Corespondenţa noastră păstrează relaţiile de ordonare: la t < t' cores punde z < z'. Aceasta este clar cînd t şi V sînt puncte t^. Dacă t' = t^ = T , T (relativ la t) nu conţine pe t' şi prin urmare Z nu conţine pe z' = ţ ; deci z < z'. D a c ă însă t = -z T' (relativ la t') conţine pe t şi prin urmare Z' con ţine pe z = ţ , deci z -< z'. I n sfîrşit, în cazul general, (t, t') conţine un T . raţional: t - < T - < t' şi deci în virtutea rezultatelor precedente z ţ -< z'. P e n t r u ca corespondenţa să fie un homeomorfism, este destul să fie continuă în sensul z->t (§ 57, teorema 3) şi pentru aceasta este destul ca orice m u l ţ i m e deschisă în [0, 1] să fie transformată într-o mulţime deschisă în K, sau ca orice interval deschis din [0, 1] să fie transformată într-o mul ţime deschisă în C. Ori intervalul (0, / ) este transformat în V = (a, z), inter valul (t, 1) în W = (z, p) — m u l ţ i m i deschise în K şi deci un interval (t,f) în (a, t') fl (t, P) — mulţime deschisă în K. W
n
nt
W
n
N
Observaţie.
n
Punctele excepţionale a şi p sînt extremităţile arcului.
Corolar. Un continuu compact nedegenerat într-un cel puţin două puncte care nu constituie tăieturi.
spaţiu
metrizabil
are
T e o r e m a 8. într-un spaţiu metrizabil, un continuu compact este o curbă simplă închisă dacă conexiunea lui este distrusă prin scoaterea a două puncte oarecare. 1. F i e a, (3 două puncte din continuul dat K. P r i n ipoteză a v e m o par tiţie K — OL — p = M U N. 2. A v e m K = M J J N . Ceea ce înseamnă a, (3e M U JV.^Într^adevăr, dacă de e x e m p l u OL$M U N , am avea partiţia închisă { a , (M U N U £ ) } a mulţimii K. 3. Unul^cel puţin dintre punctele a, p este în M şi în N . Căci în cazul contrar {M, N) ar fi o partiţie închisă a mulţimii K. 4. Dacă M sau N nu este conex, are numai două componente, din care una conţine_a şi cealaltă (3. _ Dacă M nu este conex a v e m o partiţie închisă {M M } a mulţimii M. N u este posibil ca M să nu conţină nici a nici (3, căci am avea partiţie închisă {M (M U a U $ [) N ) . D e c i de e x e m p l u a e M şi pentru acelaşi m o t i v P e M . A p o i M x şi M sînt conexe, căci dacă de e x e m p l u {H, J) ar fi o parti ţie închisă a mulţimii M a m avea o partiţie închisă {(H [) M ), J) unde a şi p ar fi în H U M contrar rezultatului obţinut adineaori. Deci M şi M sînt componentele lui M. lt
2
x
îf
2
x
2
2
lt
2
2t
1
2
5. Cel puţin una__dintre mulţimile M, N este un continuu ( c o n e x ă ) . Căci altfel am avea M = M U M , N = N 0 N cu a e M fl N p e eM ()N şi ar urma partiţia închisă { ( M U (M [) N )} a mulţimii C. x
2
2
±
2
2
±
x
2
l9
2
6. M şi N sînt amîndouă continuuri nedegenerate. Dacă cel puţin una din mulţimile M, N nu ar fi conexă am avea după 5 şi 4, M = M i U M cu M fi M = 0 , a e M p e M şi M M N conexe. A t u n c i a, p e N, căci dacă de e x e m p l u a £ N , ar urma partiţia închisă {M (M U ^ V ) } a m u l ţ i m i i K. A p o i , deoarece M şi M nu sînt puncte ( e v i d e n t ) , există în M un punct y # a şi în M un punct y # p care nu fac tăieturi (corolarul teoremei p r e c e d e n t e ) ; ceea ce înseamnă că M — y şi M — y sînt c o n e x e . Dar cum N are în comun punctul a cu Af — y şi punctul p cu M — y , ar urma ca reuniunea 2
ît
x
2
lt
2
2
x
x
x
lt
2
2
2
x
2
2
2
2l
x
±
x
2
(Mi -
Y l
) U N U (Af 2
Y 2
) = K -
Y
l
-
y
2
să fie conexă (§ 60, teorema 5 ) , contrar ipotezei. 223
T
Dacă unul din continuuri ar fi degenerat^ de e x e m p l u A ==_y ^ a, p„ atunci a m avea pentru C partiţia închisă {M,N} unde K = M (J N = = (M U _oc U £) U iV = (M U a U P) U y. 7. şi N sînt arce simple, cu extremităţile a şi p. După_teorema p r e cedentă este destul să arătăm că de e x e m p l u orice punct zje M, cu excepţia punctelor_a şi g, constituie o tăietură. Să presupunem că M — z este conex. După X M şi N au cel puţin un punct a comun. A t u n c i oricare ar fi z' ^ a în N, N — z' nu este conexă, căci dacă ar fi, ar urma ca (M - z )
[) (N - z ' ) =
K - z - z '
să fie conexă, întrucît M — z şi N — z' au pe a în comun şi jrfnt c o n e x e . P e de altă parte, după corolarul teoremei pre£edente continuul N trebuie să aibă cel puţin un punct z' # a excepţional (cu N — z' c o n e x ă ) . Această contra zicere dovedeşte afirmaţia. 8. Deqarece_.M şi N nu au alte puncte comune decît extremităţile o. şi p, K = M U este o curbă simplă închisă (teorema 4 ) . § 63. Poligoane şi domenii poligonale în C şi C Definiţie. O linie poligonala (linie frîntă) este o curbă formată din seg mente în număr finit care se succed într-o ordine astfel că a doua extremitate a fiecărui segment coincide cu prima extremitate a segmentului următor (cînd acesta există) (vezi definiţia unei curbe generale). Linia poligonală este un poligon cînd extremităţile ei coincid ea este atunci o reuniune de segmente care se succed într-o ordine ciclică, cu condiţia de mai sus. O linie poligonală este simplă cînd este o curbă simplă, adică segmentele ei nu au alte puncte comune decît extremităţile comune la segmente consecutive. Analog se defineşte un poligon simplu (curbă simplă închisă). Domeniu poligonal se numeşte un domeniu a cărui frontieră este o reuniune de poligoane. U n domeniu poligonal este unul din domeniile determinante de reuniu nea de poligoane ce formează frontiera sa (§61, teorema 4 ) . Lemă 1. Fie K un continuu (în C sau C) care conţine segmentul [a, p ] , astfel că K — (a, p) este disjunct de (a, p). Dacă un domeniu D determinat de K are un punct frontieră în (OL, fi), atunci [OL, p] cz fr D şi o vecinătate a segmen tului (OL, P) disjunctă de K — (a, p) şi de o anumită parte a segmentului, este în D. P r i n vecinătate a segmentului (a, p) de o anumită parte a lui, înţelegem o mulţime deschisă care se află într-un semiplan determinat de dreapta ap în planul C, sau într-un unghi determinat de dreapta ap şi de o altă dreaptă care nu taie segmentul [a, p], în C, o mulţime care conţine un semicerc cu trul într-un punct oarecare al segmentului ( a p ) . F i e Co € (a, p) un punct din fr D (vezi fig. 37). Să considerăm un cerc de centru t , disjunct de K — [OL, p]. D i n cele două semidiscuri limitate d e acest cerc şi diametrul său de pe dreapta ap, unul v a conţine un punct z e D. Cum acest semidisc r (considerat deschis) este disjunct de fr D cz K (§ 61, teorema 5 ) , a v e m T cz D. F i e acum p = p([£ , £ ] , K — [OL, pj) unde ţ este un punct oarecare din (a, p). P u t e m acoperi segmentul [£ , cz (a, p) cu un număr finit de discuri de rază p, astfel ca două discuri consecutive să aibă puncte (interioare) comune. Semidiscurile lor care sînt de aceiaşi parte ca T faţă de [a, p] v o r avea două cîte două puncte comune şi pentru acelaşi 0
o
0
0
0
e
224
m o t i v ca m a i sus, v o r fi toate în D. A m demonstrat astfel că orice punct £ e (a, P) are ca vecinătate un semidisc de centru £ conţinut î n D , toate aceste semicercuri fiind de aceiaşi parte faţă de [a, p]; aceste semidiscuri constituie o vecinătate a segmentului (a, p), de aceiaşi parte a segmentului şi cz D. D e aici rezultă că (a, p) cz fr D. î n sfîrşit a, p sînt puncte frontieră ale lui D ca puncte limită ale unor puncte frontieră. (42, § 54).
Fig.
Fig. 37
38
Definiţie. Vom zice că o linie poligonală P traversează o semidreapta A într-un punct OL dacă OL este interior unui segment al lui P, sau extremitate comună la două segmente ale lui P situate în semiplane deosebite faţă de A; într-un segment lt OL ), dacă segmentele adiacente (<XQ, OL ) şi (a , a ) ale lui P sînt semiplane deosebite faţă de A (vezi fig. 38) (considerînd bineînţeles că două segmente consecutive nu pot fi coliniare).
(oL
2
x
2
3
Teorema 1. Fiind dat un poligon P, semidreptele cu origina într-un punct z T£ oo şi nesituat pe poligon sînt traversate de acesta de un număr de ori a cărui paritate e aceeaşi pentru toate aceste semidrepte. î n adevăr, fie A şi B două semidrepte cu originea în z. E l e determină două domenii unghiulare R, R' (care sînt semiplane cînd A şi B sînt semidrepte opuse). Să considerăm punctele sau segmentele de traversare ale semidreptelor A şi B în ordine ciclică pe P . (Se v e d e că putem e v i t a uşor ca A sau B să con ţină puncte din P care să nu fie de traversare). Porţiunile din P cuprinse între două puncte sau segmente de traversare consecutive sînt în acelaşi unghiu (§ 60, teorema 8, corolarul 1). Cum aceste porţiuni, în număr egal cu traver sările, sînt alternativ într-un unghi şi celălalt, numărul lor este par. Astfel numărul traversărilor semidreptelor A şi B fiind par, numerele de traversări ale acestor semidrepte în parte sînt de aceiaşi paritate. Definiţie. Vom zice că un pmct # oo şi situat pe poligonul P este par sau impar faţă de P , după cum numărul de traversări ae unei semidrepte cu origina în acel punct este par sau impar. Teorema 2. Un poligon simplu în C sau C determină două domenii, care au poligonul ca frontieră comună. Aceste domenii sînt formate respectiv din punctele pare şi punctele impare, cu eventualul adaos al punctului oo. 1. Punctele unui domeniu D determinat de un poligon P (simplu sau nu) au aceiaşi paritate. într-adevăr, dacă segmentul z z cz D, două semidrepte de acelaşi sens şi cu originile în z şi z dau aceleaşi traversări şi deci z şi z au aceiaşi paritate. După § 60, teorema 11, două puncte oarecare, z şi z' din D pot fi unite printr-o linie poligonală z z z ... z z' în D. Ori z şi z z şi z , z şi z', au aceiaşi paritate şi deci şi z şi z' au aceeaşi paritate. x
x
2
2
x
x
15 — Teoria funcţiilor — c 1275
2
n
lt
2
x
2
n
225
în
2. Există puncte de ambele parităţi faţă de un poligon P (simplu sau n u ) . Căci dacă [a o,] este un segment din P şi [z z ] un segment care inter sectează P numai într-un punct £ e ( a , a ) , punctele z şi z au parităţi d e o sebite : din două semidrepte de direcţie z z , de acelaşi sens şi origini z z una e traversată în £ şi pe deasupra în acelaşi puncte sau segmente ca cealaltă semidreapta. lt
lt
x
2
2
x
x
2
2
Xt
2t
3. D i n 1 şi 2 rezultă că un poligon P (simplu sau nu) determină cel puţin două domenii. 4. U n poligon P simplu determină cel mult două domenii, a căror frontieră este. D a c ă D este un domeniu determinat de P , fr D cz P (§ 61, teorema 5 ) . Să presupunem de e x e m p l u că fr D are un punct în segmentul ( O Q , 0 ^ ) c: P (vezi fig. 39). A t u n c i conform lemei, [ O Q , axŢczfr D şi o vecinătate a segmentului ( a , a ) , de o anumită parte a lui este în D. Să considerăm sun cerc de centru a , care nu intersectează alte segmente ale lui P decît [ a , ax] şi [ a , a ] . Aceste segmente împart interiorul cercului în două sectoare, din care imul con ţine puncte din D de aceeaşi parte a segmentului ( a , a x ) ; acel sector este deci în D (fiind disjunct de P , § 60, teorema 8, corolarul 1). U r m e a z ă că fr D are puncte pe segmentul ( a , a ) . A p l i c î n d iar lema, v e d e m că [ a , o^l cz cz ir D etc. Astfel P cz fr D şi cum fr D cz P , a v e m fr D = P . T o t o d a t ă rezultă că D conţine vecinătăţi ale segmentelor lui P , de anumite părţi ale acestor s e g m e n t e ; de unde urmează că P nu m a i poate determina decît cel mult un al doilea domeniu D', care v a conţine vecinătăţile segmentelor lui P de părţile opuse. 0
F i
x
3 9
x
0
t
x
2
0
2
2
x
Cazul cînd punctul iniţial al fr D ar fi un vîrf al lui P , de e x e m p l u <x se tratează cu argumentul de m a i sus: unul din sectoarele considerate de centru a trebuie să conţină puncte din D (fiindcă ax e fr D) deci acel sector este în D, de unde apoi urmează că segmentele ( O Q , ax) şi (ax, a ) conţine puncte din fr D ş.a.m.d. 5. D i n 3 şi 4 rezultă că P determină două domenii, a căror frontieră este P , iar din 1 şi 2 că punctele acestor domenii au parităţi deosebite. lt
x
2
Definiţie. Fiind dat un poligon simplu P , numim domeniu interior deter minat de P pe acela care conţine punctele impare şi domeniu exterior pe acela care conţine punctele pare. Aceste domenii le notăm şi: int P , e x t P . Teorema 3. Dacă poligonul află în ext P.
simplu
P nu trece prin punctul
oo, acesta se
î n adevăr, să considerăm o semidreapta cu originea într-un punct exterior z şi care nu trece prin nici un vîrf al lui P . Ea intersectează P într-un număr par de puncte, care determină un număr impar de segmente, dintre care ultimul este o semidreapta. Este clar că punctele a două segmente conse cutive (cu extremitatea comună pe P ) sînt de parităţi deosebite. Segmentele sînt deci alternativ exterioare şi interioare. Cum primul segment (cu o e x t r e mitate în z ) este exterior, ultimul, cu o e x t r e m i t a t e oo, e de asemenea e x t e rior. 0
Q
T e o r e m a 4. O linie poligonală simplă şi deschisă (cu extremităţi diferite) determină (în C sau C) un singur domeniu, a cărui frontieră este linia poli gonală. 226
R a ţ i o n a m e n t u l de la teorema 2 punctul 4. ne arată că linia poligonală oo « i . . . OL determină cel mult două domenii conţinînd vecinătăţi ale segmentelor liniei poligonale de o parte sau de alta. Ori, un cerc cu centrul în extremitatea OCQ şi care nu intersectează decît segmentul [OQ, a j , determină un sector de deschidere 2n (interiorul cercului minus o r a z ă ) conţinut într-un acelaşi d o m e niu (pentru că sectorul este disjunct de linia poligonală). Acest domeniu are deci puncte d e ambele părţi ale segmentului [OLQ, a j şi deci de ambele părţi ale tuturor segmentelor liniei poligonale. D e c i linia poligonală nu poate deter mina decît un domeniu. %
L e m a 2 . Dacă un poligon simplu P are n > 3 laturi un segment interior avînd ca extremităţi două vîrfuri.
necoliniare,
există
1. Laturile necoliniare ocroti şi 0C1OC2 determină un unghiu A deschis, care conţine puncte interioare în vecinătatea lui a (un sector al unghiului, de rază destul de m i c ă este interior lui P). Să presupunem întîi că deschide rea acestui unghi este < n. A t u n c i interiorul T al triunghiului a ,a a este conţinut în A . Dacă T este disjunct de P, segmentul (a , 0 2 ) poate fi dis junct d e P, sau poate conţine vîrfuri sau l a t u r i ; în primul caz un segment care satisface cerinţa este ( a » , a^), în al doilea caz (oti, a ) , unde OL este un vîrf aparţinînd lui ( a , <x ). x
x
J
x
1
2
n
p
w
P
2
2. D a c ă T intersectează P , orice latură care are puncte comune cu T are cel puţin un vîrf în T (deoarece o asemenea latură nu poate fi ( a „ , <x ) şi nu poate intersecta fr T decît într-un punct). F i e OL e T un vîrf. I n segmen tul ( a i , ap ) a v e m un segment (ai, a , ) cz int P . Punctul a , la distanţă m i n i m ă de ai, dacă nu este un vîrf este pe o latură care are un vîrf e T. A p l i c ă m acelaşi raţionament triunghiului T = ocia^a^. Cum T z> T 3 T zo ... şi fiecare triunghiu lasă afară vîrfurile de indice m a i mic, vîrfurile considerate sînt disjuncte şi cum numărul vîrfurilor este finit, procesul se opreşte la un = *pk'» atunci segmentul (oti, o ^ ) răspunde cerinţei. 3. Să considerăm în sfîrşit cazul cînd A are deschiderea >n. Cum pe orice semidreapta a acestui unghiu trebuie să existe un număr par de puncte sau segmente de traversare (din care unul este ax), A intersectează poligonul P . Să m a i o b s e r v ă m că orice latură a lui P care intersectează A are cel puţin un vîrf în A căci altfel A ar proiecta un segment şi deci ar avea o deschidere < 7 R . Aceste două circumstanţe ne permit să aplicăm şi în acest caz raţiona mentul de la 2, rolul lui T fiind jucat de A 2
PX
t
q
x
x
2
x
x
lt
lf
x
v
L e m a 3. Fie D un domeniu determinat de poligonul simplu P; L o linie poligonală simplă, cu extremităţile OL, fi e P şi conţinută (cu excepţia extremi tăţilor ) în D; Px şi P liniile poligonale în care P este împărţit de aşi fi ( P = = P U ^ 2 ) - Atunci D — L are două componente, D şi D , astfel că avem: 2
a
x
(7)
D = D
x
Px unul D Px U L). ultimele lt
U D
2
U L,
fr D = P [} x
L,
x
2
fr D = P 2
2
U L.
U L fiind un poligon simplu, determină două domenii, dintre care este disjunct d e P (căci unul z > P — a — fi, care este disjunct de T o t aşa, P \J L determină un domeniu D disjunct de P . Cu aceasta două relaţii ( 7 ) sînt satisfăcute în virtutea teoremei 2. 2
2
2
2
x
D n D = 0 căci în cazul contrar, cum D este disjunct de fr ar urma D cz D şi pentru un m o t i v analog, D cz D deci D = D ; Di şi D au frontiere diferite. x
2
x
x
2
2
l9
x
2
D, ori 2
2
U r m e a z ă că D şi D deosebite ale acesteia. x
2
conţin vecinătăţi ale transversalei L de
părţi
227
U n punct ze D şi 4 L poate fi unit cu L printr-un drum poligonal c z Z ) , oprit la prima sa intersecţie £ cu L. Acest drum are, într-o vecinătate UţczD, un punct £i din D sau D . Porţiunea [z, a drumului fiind disjunctă de fr Dx sau fr D , v a fi în D respectiv D şi tot aşa în particular punctul z. Aşadar D cz D U D U L . P e de altă parte, D cz D pentru că D conţine puncte din D în v e c i nătatea liniei L şi este disjunctă de fr D ( = P (J P 2 ) . L a fel D cz D , deci Z) z> D [) D u L . Cu aceasta e demonstrată şi prima relaţie ( 7 ) . x
2
2
x
x
2
2
x
lt
x
1
2
2
T e o r e m a 5. Interiorul unui poligon simplu P , mărginit de n > 3 laturi necolineare, se poate descompune în triunghiuri disjuncte şi laturile comune la cîte două din aceste triunghiuri, astfel încît vîrfurile fiecărui triunghi sînt vîrfuri ale poligonului şi laturile necomune sînt laturi ale poligonului. T e o r e m a fiind e v i d e n t ă pentru n = 3, o demonstrăm prin inducţie. Conform l e m e i 2, fiind dat un poligon cu n > 3 laturi necolineare există un segment interior a v î n d ca e x t r e m i t a t e două vîrfuri, fie (oti, OL ). Conform l e m e i 3, poligoanele simple a , a ... OL OLI şi ... a a i determină două domenii D şi D astfel că V
a
2
P
n
x
2
D = int P = D
x
U D
2
U (ax, a ) . P
D şi D sînt interioarele poligoanelor precedente pentru că nu conţin oo ca şi £>.. Cum aceste poligoane au m a i puţin de n laturi, ipoteza de inducţie li se aplică. D e aici urmează teorema şi pentru poligonul P , observînd că (oti, OL ) este latură comună a două triunghiuri componenţe din D şi D . x
2
P
x
2
Definiţie. Zicem că o linie poligonală L traversează un poligmi P într-un punct OL dacă L conţine segmente (a, X), (a, fx) (nu în mod laturi), conţinute în cele două domenii determinate de P; într-un [ a , ] cz P , dacă L conţine segmente (a, X), ( a ' , \L) situate în cele două determinate de P . A v e m sigur o traversare într-un punct a dacă acesta e interior o latură din P şi din L .
simplu necesar segment domenii la cîte
T e o r e m a 6. Fiind dat un poligon simplu P şi o linie poligonală L, dacă extremităţile acesteia nu sînt situate pe P , ele sînt separate sau nu de P , după cum L traversează P de un număr impar sau par de ori. Se v e d e imediat observînd că, dacă scoatem din L punctele şi segmen tele de traversare, rămîne un număr de bucăţi conexe (linii poligonale) egal cu numărul traversărilor plus unu, şi că aceste bucăţi sînt, conform definitei precedente, alternativ în cele două domenii determinate de P (cu excepţia punctelor de pe P unde nu sînt traversări). Teorema 7. O linie cu aceleaşi extremităţi.
poligonală
L conţine o linie
poligonală
simplă
L
0
Linia L este prin definiţie o succesiune de segmente, a a i a .... a „ p . D a c ă nu este simplă, parcurgînd-o de la extremitatea a spre extremitatea (3, v o m trece pentru prima oară printr-un punct y i prin care a m m a i trecut ( n o d ) . L ă s ă m la o parte poligonul astfel parcurs, începînd din y şi sfîrşind în y i ( b u c l ă ) ; m e r g e m m a i departe. P r o c e d ă m la fel cînd trecem iar printr-un punct y prin care a m m a i trecut e t c , pînă ajungem în p. L ă s î n d la o parte toate buclele în ordinea arătată, rămîne o linie poligonală L , de e x t r e m i t ă ţ i a şi p, care nu are noduri, adică, este simplă. 2
x
2
0
228
Teorema 8. Un poligon este o reuniune de poligoane simple. U n poligon P este o succesiune de segmente Parcurgîndu-le în sensul dat prin definiţie d e la a la a, îl v o m descompune ca m a i sus într-un poligon simplu P şi alte poligoane (bucle). Acelaşi proces fiind apoi aplicat acestor poligoane, se ajunge la descompunerea în poligoane simple. 0
simple
Corolarul 1. O linie poligonală L este reuniunea unei linii cu aceleaşi extremităţi şi a unor poligoane simple.
Corolarul 2. Frontiere unui domeniu poligonal este o reuniune goane simple. Nu este necesar ca acestea să fie conexe.
poligonale de
poli
§ 64. Leme de separaţie Lema 1. O mulţime A închisă şi mărginită (în C sau C) poate fi acoperită cu un sistem finit de domenii poligonale disjuncte cu frontierele formate din reuniuni de poligonale simple şi conţinute într-o vecinătate U (t) dată a ei. A fiind mărginită, poate fi acoperită cu o reţea de pătrate în număr finit şi de latură / < e / V 2 . F i e (Q) pătratele deschise care conţin puncte d i n A sau au puncte frontieră în A. Considerăm mulţimea A formată din: 1° toate pătratele Q, 2° toate segmentele deschise care sînt laturi comune la cîte două pă trate Q adiacente, 3° toate punctele care sînt vîrfuri comune la cîte 4 pătrate Q. Deoarece punctele segmentelor 2° şi vîrfurile 3° sînt evident interioare în A , aceasta este o mulţime deschisă. Ea are un număr finit de componente, D , formate evident în acelaşi m o d . Este clar că A cz A <= U (s), căci orice punct z din A este într-un pă A
n
A
trat închis Q, care conţine puncte din A, la distanţa *^l\ll < e de z. R ă m î n e să d o v e d i m că D sînt domenii poligonale, adică fr D sînt reu niuni de poligoane simple. Ştim că fr D este formată din puncte frontieră ale pătratelor Q din D (§ 54, 39). Dintre acestea, cele de categoriile 2° şi 3° sînt interioare; celelalte însă sînt puncte frontieră pentru că nu sînt în D şi au în vecinătăţile lor puncte din D . Cu alte cuvinte, fr D se compune d i n : laturile care aparţin la cîte un singur Q şi vîrfurile care aparţin la cîte unul, două sau trei pătrate Q . U n vîrf OL din fr D poate fi în una din urmă toarele 4 situaţii (fig. 40). n
n
{n)
n
n
n
n
(n)
(n)
P
Fig.
n
40
î n toate cazurile oc este e x t r e m i t a t e comună a două segmente bine deter minate din fr D , dacă facem convenţia ca în cazul 4 să considerăm OL ca dublu şi să împerechem o latură a unui pătrat, cu o latură perpendiculară a celuilalt. î n felul acesta frontiera v a fi formată numai din poligoane simple (ce pot avea vîrfuri c o m u n e ) . Este apoi clar că extremităţile fiecărei laturi din fr D sînt în această frontieră. Cu convenţia de mai sus, fiecare latură din fr D este urmată de alta, bine determinată, făcînd parte din aceiaşi fron tieră. Cum numărul laturilor este finit, orice succesiune de laturi din fr D se închide: fr D este deci o reuniune de poligoane simple. p
n
P
n
n
n
H
229
Corolarul 1. Un continuu mărginit (în C sau €) poate fi acoperit un domeniu poligonal, conţinut într-o vecinătate a lui. Căci A are în acest caz o singură componentă (§ 60, teorema 8 ) .
cu
Corolarul 2. Dacă A şi A sînt continuuri disjuncte (în C sau C) şi Ax este mărginit, există un poligon simplu P care le separă şi este conţinut într-o vecinătate U (e) dată. După corolarul 1 există un domeniu poligonal D, astfel ca A cz Dcz UAi(e) '> luînd e < p(A A ) v o m avea şi ^4 ^ e x t D. F i e P primul poligon simplu din fr D, traversat de un drum care uneşte un punct z e A cu un punct z e D; Axşi A sînt în domenii diferite faţă de P. I n adevăr, dacă £ este punc tul de traversare, porţiunea [z , a domeniului fiind, ca şi z , în e x t D (pen tru că este disjunctă de fr D), este într-un domeniu determinat de P diferit de acela care conţine pe D. P r i m u l domeniu conţine z şi deci A (continuu disjunct de fr D) iar al doilea conţine A . x
2
Al
x
lt
2
2
2
x
2
2
2
2
2
2
x
L e m a 2. Fiind dată mulţimea compactă A (în C sau C), dacă A şi A sînt două compomente (continuuri) ale ei, există un poligon simplu P care separă A de A şi este disjunctă de A. x
x
2
2
După § 61, teorema 12, există o partiţie închisă {M M } a lui A cu A cz M şi A cz M \ părţile M şi M sînt compacte şi deci mărginite în C, iar în C una cel puţin nu conţine oo şi deci e mărginită. Presupunînd M mărginită şi luînd e < p(M M ), a v e m după lema 1 o reuniune A de domenii astfel că M cz A cz U M ( G ) . Unul din aceste domenii D zo A şi v o m a v e a A cz D cz U M ^ Z ) şi A cz M cz e x t A cz e x t D. Dacă acum P este primul poligon din fr D traversat de un drum care uneşte un punct din A cu un punct din D, se v e d e ca la corolarul 2 că P separă A de A . T o t o d a t ă P este disjunct de A (fiindcă P cz fr A şi M cz A , M cz e x t A ) . lf
x
x
2
2
x
2
2
x
lt
2
X
x
x
2
x
2
2
x
x
2
2
Observaţie. Se poate arăta că poligonul separator P poate fi luat într-o vecinătate dată UAl(e) ( ^ i fiind m ă r g i n i t ) . Corolarul 2 al lemei 1 apare atunci ca un caz particular. L e m a 3 (Alexander). Fie (în C sau C) A şi A mulţimi închise, dintre care una mărginită, OL şi fi două puncte care pot fi unite printr-un drum poli gonal Lx disjunct de A şi un drum poligonal L disjunct de Ax- Dacă L U L este un poligon simplu care nu separă mulţimea Ax 0 A , atunci OL şi fi nu sînt separate de A U A . x
2
2
2
x
2
2
x
2
1. Cazul Ax fl A = 0 este e v i d e n t , aşa că v o m presupune A (] A # 0. V o m arăta întîi că, dacă condiţiile lemei sînt satisfăcute de nişte dru muri poligonale L şi L oarecare, ele sînt satisfăcute şi de nişte drumuri L[ şi L'o formate din segmente paralele cu axele (sau cu două direcţii f i x e ) . P e n tru a construi asemenea drumuri, î m p ă r ţ i m fiecare latură a poligonului L i U L =P în cîte două segmente, pe care le v o m numi semilaturi. F i e acum p minimul distanţelor dintre semilaturi neconsecutive (fără e x t r e m i t ă ţ i c o m u n e ) ; px = p ( L i , A ); p = p(L , Ax), P r i n ipoteză, un domeniu D, determinat d e P, este disjunct de Ax (] A . E v i d e n t , a v e m p(D, A 0 A ) ^ ^ m a x (p p ) (§ 59, teorema 9 ) . î m p ă r ţ i m apoi fiecare semilatură în seg 2
x
x
2
2
2
0
2
2
2
2
lf
x
2
2
m e n t e de lungime < m i n j — p , p p \ pe care le înlocuim cu cîte două seg mente paralele axelor, astfel ca segmentele ce înlocuiesc semilaturile care ies dintr-un vîrf al lui P să fie luate în unghiul ^ n al acelor semilaturi (ceea ce 0
230
lt
2
face ca ele să formeze o linie poligonală simplă ( v e z i fig. 41). Punctele acestor segmente sînt la distanţe
< m i n ^~~~Po* 9i> P2J
de
semilaturile
respective.
P r i m a inegalitate asigură că diversele linii poligonale simple obţinute construcţia
prin
precedentă constituie un poligon simplu L[ U L' , iar celelalte 2
inegalităţi asigură că L[ este disjunct de A Şi L disjunct de A T o t aceste inegalităţi m a i spun că poligonul L[ \J L este într-o vecinătate U (e) cu e < pi, p < p{D, A f ) ^ 4 ) , Şi deci determină un domeniu D' cz U (z) disjunct de A fl 4 . 2. P u t e m aşadar presupune că P este format din segmente paralele axelor. A p o u deoarece teorema este e v i d e n t ă în cazul L fl Ai = 0 sau L fl A = 0 , care implică L n (A i U A ) = 0 , respectiv L fl (A U A) = 0 , este suficient să considerăm cazul L ţ\A ^0 (k = 1 , J ) . 2
-
2
v
2
D
2
x
2
D
x
00\
2
x
v
2
x
Fig- 41
x
x
(] A
2/
2
x
k
F i e y4x mărginit ş\ B de A
2
2
p(B
= A
x
() D
f
B
2
= A
2
B ) = 8 > 0. A p l i c ă m
lf
fl D. Cum Z ) este disjunctă
peste
2
k
B
x
(care este m ă r g i n i t ă )
o reţea formată din drepte paralele axelor, la distanţe < — S, în care facem 2 să intre toate dreptele pe care stau laturile poligonului P . Astfel un dreptunghi deschis al reţelei este disjunct de P şi dacă intersectează D, el este conţinut în D. F i e acum (Q) dreptunghiurile reţelei care sînt în D şi t o t o d a t ă au puncte interioare sau puncte frontieră în B (adică în ^4x). F i e A mulţimea constituită din dreptunghiurile deschise Q, segmentele deschise care sînt laturi comune la două dreptunghiuri Q şi punctele care sînt vîrfuri comune la patru d r e p t unghiuri Q. Se v e d e , ca la lema 1, că A este o reuniune de domenii poligonale. Cum dreptunghiurile Q sînt disjuncte de B , poligoanele frontieră ale lui A sînt disjuncte de ^4 . D e asemenea este clar că aceste poligoane pot intersecta ^4x numai pe L Căci B cz A <= Z ) , deci un poligon intersectează A în B ; apoi un punct din B care nu este pe P (deci pe L ) , este prin construcţie în int A . x
2
2
v
x
x
x
x
x
Fig. 42
Să parcurgem linia L d e la a spre p şi fie ax primul punct din fr A î n t î l n i t ; e l aparţine unui poligon ITx şi fie p ultimul punct al acestui poligon pe L (vezi fig. 42) x
x
x
231
şi să presupunem că a porţiunea (a, ax) a lui L
este disjunctă de A . Poligonul
x
I i i conţine o porţiune (linie poligonală) I i i = (ax, fi ) cz D
şi care împarte
x
p e D în două domenii (§ 63, lema 3 ) , dintre care unul D are frontieră formată x
din TI[ şi porţiunea [a fi ] = I I " a lui L lt
x
Cum acest domeniu are puncte din
v
A în vecinătatea lui OL (căci [ax,Px] r e puncte din fr A în vecinătatea lui ax), el conţine componenta lui A care are p e IIx ca poligon frontieră. Să m a i obser v ă m că punctele OL , fii nu pot fi în A căci altfel, dacă de e x e m p l u OL e A dreptunghiurile reţelei care au pe ax ca vîrf ar fi în A şi OL n-ar putea fi pri m u l punct din fr A pe L Punctul fii poate fi un vîrf al unui al doilea poligon n din fr A , exterior domeniului D (fi prezintă atunci cazul 4 de la lema 1) a
X
x
lt
±
lf
X
v
2
x
x
sau a v e m o porţiune (fii oc ) a liniei L disjunctă de fr A ; în acest caz poate fi 2
x
înglobat şi precedentul luînd a = fi . A v e m ca m a i sus o porţiune n 2
poligon frontieră
2
2
Li etc. Astfel drumul L
x
U nU
2
2
2
este. înlocuit
cu
. . . U 11^ (j [fi , fi] disjunct de A
2
dintr-un
2
x
I I , W = (a , fi ) unde fi
q
x
urmează
după
a pe
[a, a i ] U nj
drumul
drumul
2
U [fii, a ] U 2
şi ^4 . E v i d e n t în cazul cînd o c e A 2
sau fie A v o m avea a = a , respectiv fii = fi. x
2
Observaţia 1. î n C condiţia ca A sau ^4 să fie mărginit nu este nece sară. E a intervine în demonstraţie numai ca să asigure că B sau B este măr ginit şi cum aceste m u l ţ i m i sînt disjuncte, este sigur că una din ele este m ă r ginită (aceea care nu conţine oo). x
2
x
2
Corolarul 1. (Janiszewsky). Dacă mulţimile A şi A închise în C au o intersecţie conexă, două puncte OL şi fi care nu sînt separate de Ai şi de A nu sînt separate nici de A [} A . Cu un homeomorfism (care lasă neschimbate raporturile de separaţie) p u t e m aduce punctele a şi fi la distanţă finită. E x i s t ă atunci două drumuri între a şi fi, L disjunct d e A şi L disjuncte d e A . Aceste două linii poli gonale, pe care le p u t e m presupune simple v o r putea a v e a un număr finit de puncte comune, pe care le luăm în ordinea în care se prezintă pe drumul Li (de la a spre fi): y , y , y . (Se v e d e uşor că p u t e m e v i t a ca L şi L să aibă segmente comune). Punctele a şi yx pot fi unite printr-o porţiune a liniei Li, disjunctă de ^4 şi printr-o porţiune a liniei L , disjunctă de ^x* aceste două linii poligonale nu au alte puncte comune şi deci formează un poligon simplu, care nu poate separa A (] A pentru că această m u l ţ i m e este disjunctă d e poligon şi conexă. Deci a şi y nu sînt separate de A U A . L a fel y şi y etc. x
2
2
x
2
x
2
x
2
2
x
p
x
2
2
2
x
2
x
x
2
x
2
Corolarul 2. Dacă A şi A sînt închise în C şi ( M i , ZA sînt conexe (domenii), iar intersecţia A (] A este de asemenea conexă (continuu), atunci şi Z(A U A ) este conexă (domeniu). Urmare imediată a corolarului 1. x
x
X
2
2
2
2
Observaţia 2. Condiţia relativă la A (] A este satisfăcută A = 0. Ca o primă aplicaţie a lemei precedente v o m demonstra: x
A
x
n
2
dacă
2
Teorema 1. Dacă mulţimea închisă A determină în C sau C, ( A ) şi este conţinută în domeniul D, atunci componentele mulţimii sînt (D n A ) . '
domeniile D — A
A fiind unul din domeniile determinate de A, D fl A # 0 . într-adevăr, CA — A este deschisă, ca reuniune a celorlalte domenii determinate de A şi dacă D fl A = 0 , a m a v e a partiţia S = A u [{CA - A ) U D ]
(S = C sau € ) .
A p o i D fl A fiind deschisă, m a i trebuie arătat că este c o n e x ă : Două puncte z z din această m u l ţ i m e nu sînt separate de CD şi A; cum CD C\A=0, se aplică corolarul 1 al lemei 3: z , z nu sînt separate de CD\J A, adică sînt în aceeaşi componentă a m u l ţ i m i i C(CD [) A) = D n CA = D — A. lt
2
x
2
î n sfîrşit, D — A = D f| CA — D f l U A = U că (D f| A ) sînt componentele lui D — A.
fl A , ceea ce dovedeşte
§ 65. Domenii determinate de curbe simple
Teorema 1. Un arc simplu a cărui frontieră este.
C determină în C sau C un singur 0
domeniu,
A doua afirmaţie rezultă imediat (dacă prima este demonstrată) din faptul că un arc simplu nu are puncte interioare (§ 62, teorema 6 ) . P e n t r u a demonstra prima afirmaţie v o m arăta că două puncte a şi p, care nu aparţin arcului simplu C , pot fi unite printr-un drum poligonal în CC . V o m arăta că i p o t e z a : C separă a de p, duce la absurd. î n acest caz, dacă C este împărţit în două arce simple C = C U C" cu C f| C" = z, unul din aceste arce trebuie să separe a de p. Căci în cazul contrar aplicînd § 64, l e m a 3, corolarul 1, ar urma că C nu separă a de p. A c u m , arcul C fiind considerat ca imagine a intervalului [0, 1], să-1 î m p ă r ţ i m în două arce împăr ţind intervalul în intervale e g a l e ; fie C arcul care separă a şi p. împărţindu-1 iar în două arce prin împărţirea intervalului corespunzător v o m a v e a din nou un arc C care separă a şi p. î n definitiv se defineşte astfel un şir de arce C Z> C I Z> C Z> ... care corespund unui şir de intervale m o n o t o n descrescă tor şi care au un punct comun t Corespunzătorul z al acestuia este comun arcelor C , C i , C , ... . Ori, dacă o vecinătate U lasă afară punctele a şi p, arcele C care (pentru n > v ) sînt c U (din cauza continuităţii reprezentării) nu pot separa a de p. 0
0
0
0
0
0
0
x
2
0
2
0
0
0
2
Xo
n
Zo
Teorema 2. (Jordan). O curbă simplă închisă C determină, în C sau C, domenii a căror frontieră este. 0
două
D a c ă C (considerat în C) trece prin oo, o aducem la distanţă finită cu transformare liniară. 0
o
1° Orice domeniu D determinat de C are frontiera C . într-adevăr, fr D cz C . Aceasta este adevărat pentru orice domeniu D determinat de o m u l ţ i m e închisă C . U n punct z care nu este în C aparţine unui domeniu determinat de C şi deci este în D sau în e x t D. A p o i fie £ e C un punct care n-ar fi în fr D. Cum fr D este închisă şi deci închisă în C , există un arc C cz C care conţine £ şi este disjunct de fr D, aşa că fr D cz C — C . D u p ă teorema 1, £ şi un punct ze D nu sînt separate de arcul simplu C — C şi cu atît m a i puţin de fr D. D e c i C G D , ceea ce-i absurd. 0
0
0
0
0
0
0
0
x
0
0
x
0
x
233
2° T e o r e m a este a d e v ă r a t ă cînd C conţine un segment ab. D e m o n s t r ă m întîi că C determină cel puţin două domenii. F i e ce ăb şi o vecinătate U disjunctă de C — ab = C ( m u l ţ i m e închisă). î n U considerăm punctele z, z' situate de o parte şi de alta a lui ab. D a c ă z, z' n-ar fi separate de C , ar exista o linie frîntă L cu e x t r e m i t ă ţ i l e z, z', disjunctă de C . Linia zz' U L este un poligon care se descompune în orice caz în poligoane simple. D i n t r e acestea unul, P , are o latură ce conţine punctul c = ab f] zz' şi este situată pe segmentul zz'. Punctele a, b sînt separate de P fiindcă ab traversează P numai în c (L fiind disjunctă de ab); deci C intersectează P şi prin urmare L (deoarece nu intersectează zz' cz U ). Contrazicerea demonstrează că z,z sînt în domenii diferite faţă de C . D u p ă 1°, orice domeniu determinat de C are frontiera C şi în parti cular punctul frontieră c. E l conţine unul din semicercurile deschise în care U e s t e împărţită de ab. D e c i C determină numai două domenii. 3° î n cazul general, fie D un domeniu determinat de C . Dintr-un punct m e D să ducem două semidrepte care intersectează C şi fie a, b primele lor intersecţii cu C . Linia frîntă X = am U mb cz D. Punctele a, b d e t e r m i n ă în C nişte arce C şi C (C = C U C U # U b). 0
c
0
x
c
0
0
x
r
c
0
0
c
0
0
0
0
0
0
x
2
0
x
2
Considerăm curbele simple închise I \ = C U X, r = C U X, pentru care teorema este a d e v ă r a t ă ( 2 ° ) . Dintre cele două domenii determinate d e r unul Ei z> C (disjunct de I \ ) , iar celălalt A este disjunct de C . L a f e l r determină un domeniu E z> C\ şi altul A disjunct de C V o m demonstra că D = A (J A (J X. Mai întîi A fl A = 0 . Căci dacă A A ar a v e a un punct comun, c u m A este disjunct de fr A = C U X, ar urma A cz A şi tot aşa A cz A ^ deci A = A , şi în consecinţă fr A = fr A sau T = Y , absurd. U n punct qe X are o vecinătate circulară U cz D; aceasta conţine c î t e un sector în A şi A (q fiind în frontierele F F ale acestor d o m e n i i ) . A c e s t e sectoare sînt deosebite, căci altfel Ax fl A # 0 . U r m e a z ă A cz D şi A cz D (întrucît Ax şi A sînt disjuncte de C = fr D) şi D z> Ax (J A U X. I n v e r s , dacă ze D, dar z nu-i pe X, p u t e m uni z în D cu un punct d e pe X, printr-o linie frîntă pe care o o p r i m la prima sa intersecţie q cu X ; aceasta v a intersecta imul din sectoarele considerate m a i sus, şi cum ea nu are a l t punct comun cu F sau T decît q, punctul z v a aparţine aceluiaşi d o m e n i u determinat de T sau T ca şi sectorul intersectat. Astfel D cz A U A (J X, ceea ce demonstrează afirmaţia. 4° C determină cel puţin două domenii. x
l f
2
2
x
2
2
l f
x
v
2
2
2
2
2
x
x
x
2
2
x
2
2
x
2
x
x
x
2
2
q
x
2
lf
2
2
2
x
0
x
2
2
2
x
2
2
2
F i e £ e C P r i n definiţia lui A , £ nu este în A = A (J F . Deci e x i s t a Uţ disjunctă de A . Cum £ e fr E Uţ conţine puncte din E ', acestea nu sînt în Ax, nici în A , deci nici în D = D (J C = A U A ; ele aparţin aşadar unui al doilea domeniu determinat de C . 5° C determină numai două domenii. v
2
2
2
2
lt
2
x
2
x
2
0
0
într-adevăr, D fiind domeniul considerat la 3° (care are frontiera Co)„ fie z z q ^ x t D. Cum z z nu sînt în Ax (căci nu sînt în A cz D, nici m I \ = Cx U X), ele nu sînt separate de I \ ; tot aşa nici de T , deci după l e m a lui Janiszewski (§ 64, lema 3, corolarul 1) nici de I \ U T = CQ U X, şi c u atît m a i puţin de C . Astfel e x t D este al doilea domeniu detesminat de C . şi după 4° el nu este v i d . lt
2
lt
2
x
2
2
0
234
0>
Observaţie. î n C un arc simplu sau o curbă simplă închisă sînt prin defi niţie mărginite ( v e z i § 56, cazuri particulare ale teoremelor 2, 3) în C aceste curbe sînt mărginite dacă nu trec prin oo. Definiţie. Un domeniu care are ca frontieră o curbă simplă închisă se mai numeşte domeniu Jordan sau scurt: domeniu J. Dacă o curbă simplă închisă C este mărginită (nu trece prin oo), dintre cele două domenii pe care le determină se numeşte domeniu exterior cel care conţine oo şi domeniu interior, celălalt. Ele se pot nota cu ext C şi int C (aceste nota ţii neputînd duce la confuzii). De asemenea, se zice că o mulţime A este exterioară respectiv interioară curbei C, cînd A cz e x t C sau A cz int C. Cînd curba C nu este mărginită (trece prin oo) nu se poate face în gene ral o discriminare între cele două domenii (ci numai pentru anumite categorii d e curbe, cum sînt poligoanele simple (§ 63), sau alte curbe c o n e x e ) . Teorema 3, Dacă două curbe simple închise sînt disjuncte, fiecare dintre ele este într-un domeniu determinat de cealaltă şi acest domeniu conţine un do meniu determinat de prima curbă. P r i m a afirmaţie rezultă imediat din faptul că o curbă închisă este un continuu şi din § 60, teorema 8. F i e curbele C determinînd domeniile D , D şi C domeniile D[ şi D' ( v e z i fig. 43). A v e m de exemplu C cz D şi C cz D ; atunci D[ cz D . î n a d e v ă r D[ este disjunctă de C (fiindcă C cz D cz CD[) şi cum are puncte în D — în vecinătatea lui C — urmează D[ cz D . x
2
2
x
x
2
2
x
x
Teorema 4. Două curbe simple închise disjuncte şi mărginite pot prezenta următoarele două cazuri: 1°. Una din ele, C, este interioară celeilalte, C, şi atunci int C cz int C, e x t C z> e x t C, iar C este exterioară lui C. 2°. Fiecare este exterioară celeilalte, şi atunci int C cz e x t C int C cz e x t C. într-adevăr, dacă de e x e m p l u C cz int C, int C conţine, după teorema precedentă, un domeniu determinat de C ; cum nu conţine oo, a v e m int C 3 int C . D e aici urmează imediat C cz e x t C şi, printr-un raţiona ment analog, e x t C 3 e x t C. Dacă nu are loc cazul precedent rămîne numai C cz e x t C şi C cz ext C . A t u n c i e x t C conţine după teorema precedentă un domeniu determinat d e C şi acesta nu poate fi ext C , care z>C, deci e x t C 3 int C . L a fel e x t C z> int C.
numai
Teorema 5. Fie D un domeniu în C sau C şi C cz D o curbă simplă închisă. Atunci D — C are două componente (domenii) ale căror frontiere sînt C U F şi C (J F , unde F şi F sînt intersec ţiile fr D cu cele două domenii determinate de C . 0
0
0
x
0
2
x
2
0
Dacă D şi D sînt domeniile determinate d e C , mulţimea descihsă D — C are c o m p o nentele 3>! = D f| D şi £> = D f| D (§ 64, teorema 1 ) ; cît priveşte frontierele acestora, să aplicăm 35 şi 36 din § 54: Q x
2
0
0
x
fr ®x cz D f| fr D
x
căci fr D
UD
2
x
2
f| fr D = C U D 0
x
n fr
D,
Fig.
43
= C disjunctă de fr D,
x
f r ^ D D
0 fr D
x
[} Di
fl fr D = C
0
U D
x
f) fr D.
D e c i fr ® = C U ^ 1 cu F = D (\ fr D. L a fel se raţionează pentru 3 ) x
0
X
X
2
235
§ 66. Conexiunea domeniilor V o m studia a i c i j n a i d e aproape proprietăţile d e conexiune în d o m e niile unui plan C sau C. Definiţie. Numim (tăietură) transversală într-un domeniu D, un arc simplu L cz D. dar cu extremităţile conţinute în fr D. (Cu L am notat arcul fără extremităţi; deci arcul întreg se va nota cu L.) Noţiunea a fost deja între buinţată în cazul transversalelor poligonale. O transversală este de specia I sau II după cum extremităţile ei sînt în aceiaşi componentă a fr D sau în componente deosebite. Numim tăietură cu un capăt într-un domeniu D, un arc simplu L cz D, cu o singură extremitate aparţinînd la fr D (L este aici arcul fără această extre mitate). Observaţie. D i n § 61, teorema 6 rezultă că, fiind date două puncte a, p e fr D, există transversale a v î n d extremităţile în vecinătăţi U , U$ date. î n particular există transversale care unesc două componente ale fr D dacă numărul componentelor este finit. a
Teorema 1. Dacă L este o tăietură în domeniul D sau o curbă simplă conţinută în D, atunci D — L este o mulţime deschisă şi fr (D — L) = fr D U L. P r i m a afirmaţie este evidentă. A p o i , deoarece D — L = D f| CL, a v e m (§ 54, 36.) fr (D -
L) z> CL
n fr D
[) D (] fr CL = fr D (J L.
P e de altă parte se v e d e imediat că fr (D — L) cz fr D (J L. Definiţie. Zicem că un domeniu D în C are ordinul de conexiune (mai scurt: conexiunea) k, dacă fr D are k componente (în C). Ordinul de conexiune este infinit, k = oo, dacă fr D are o infinitate de componente. Un domeniu se zice simplu conex dacă are conexiunea k = 1, ceea ce înseamnă că frontiera lui este conexă. Aceeaşi definiţie a conexiunii se poate aplica în C unui domeniu m ă r g i nit. Dacă domeniul nu_este mărginit, ordinul d e conexiune în C este prin definiţie acelaşi ca în C (conform exemplului 1 § 7 0 ) . Teorema 2. Dacă D este un domeniu şi T o componentă a complemen tarei CD (în C), atunci fr T este o componentă a fr D. Mai întîi, după § 61, teorema 7, fr T = F n fr CD = T D fr D. A p o i fr T este conexă. într-adevăr, altfel ar exista un poligon simplu I I care o separă fără s-o intersecteze (§ 64, lema 2 ) . Dar, cele două domenii determinate de I I conţin atît puncte din T cît şi din D (în veciunătatea punctelor din fr T cz fr D), ar urma ca I I să coţină puncte din F şi din D (cz C T ) şi deci şi puncte dinfr T ; contradicţie. fr r fiind conexă, se află într-o c o m ponentă .Fi a fr D: fr T cz F cz fr D ( v e z i Fig. 44 fig. 4 4 ) . Cum F cz CD şi intersectează T , a v e m F cz T , şi deci F cz T (] irD = = fr r ; aşa dar F = fr T. x
x
x
x
x
Teorema 3. Pentru ca un domeniu DînC să aibă ordinul de conexiune k, este necesar şi suficient ca CD să aibă k componente; frontierele acestora sînt componentele frontierei lui D. 236
U r m e a z ă din teorema 2, observînd că, deoarece fr D cz CA orice c o m ponentă a fr D se află într-o componentă a lui CD. Teorema 4. O tăietură cu un capăt L nu schimbă conexiunea unui domeniu D: D — L are aceiaşi conexiune ca D şi fr (D — L) = fr D (J L. Două puncte z, z' e D — L pot fi unite printr-o m u l ţ i m e conexă din D — L, după cum rezultă din § 64, lema 3, corolarul 1, aplicat mulţimilor închise fr D şi L, a căror intersecţie este conexă (fiind un punct) (vezi fig. 45). D e c i D — L este un domeniu şi ca şi în teorema 1, fr (D — L) = fr D U L. Cum L are puncte comune cu o componentă a fr D, fr(D — L) are acelaşi număr d e componente ca fr D. Teorema 5. O transversală de specia II nu distruge conexiunea unui domeniu, dar micşorează ordinul de conexiune cu 1. F i e Fi,F , ... componentele fr D şi L o transversală cu extremităţile € F şi a e F ( v e z i fig. 46). Este de arătat că D — L este un d o m e n i u ; atunci v o m avea după teorema 1, 2
x
2
2
fr (D — L) = fr D U L = (F
[} L u F ) [) F
x
2
3
[} ...
Şi cum F 0 L U F este un continuu, ordinul de conexiune al lui D — L este k — 1 (k fiind conexiunea lui D). Pentru a d o v e d i că D — L este un domeniu, să considerăm două puncte z, z' e D — L. E x i s t ă o partiţie fr D = M U N astfel că A f 3 F , N zi F ( § 6 1 , teorema 12). A p l i c î n d § 6 4 , lema 3, corolarul 1 mulţimilor M şi L (cu M (\ L = <xi c o n e x ) rezultă că M U ^ nu separă z, z'; apoi apli cînd din nou aceeaşi lemă mulţimilor închise M U LşiN, rezultă că A f [} L [) g JV == fr D U L nu separă z, z'. Cum fr (D — L) = fr D U afirmaţia este demonstrată şi cu ea întreaga teoremă. x
2
x
2
Corolar. Dintr-un domeniu de conexiune k (finită) se pot scoate h < k transversale de specia I I care sînt disjuncte şi astfel ca două din ele nu unesc aceleaşi componente ale frontierei; atunci se obţine un domeniu de conexiune k — — h. în particular domeniul poate fi făcut simplu conex cu ajutorul a k — 1 transversale de specia a I l - a . Se v e d e aplicînd repetat teorema şi observaţia de la începutul para grafului. F i e F F , ...,F componentele frontierei lui D. P u t e m d e exemplu uni F cu F printr-o transversală cz D; D — L are conexiunea k — 1 lt
x
2
k
k
x
Fig. 45
Fig. 46
şi fr (D — L ) = F U ... U (F U F U L ). A p o i putem uni F cu F prin tr-o transversală L cz D — L ; D — L — L are conexiunea k — 2 şi fr (D - L - L ) = F ... U (F U F \j F [) L [) L ). E t c . x
2
k
2
x
2
x
x
x
3
k
x
t
x
2
2
2
x
2
Teorema 6. Pentru ca un domeniu D în C sau C să fie simplu conex este necesar şi suficient ca orice curbă simplă închisă conţinută D şi chiar numai orice poligon simplu conţinut în D să determine un domeniu conţinut în D (sau: să nu separe irD). 237
Considerăm D simplu conex în C; atunci fr D este un continuu şi o o curbă simplă închisă C cz D nu poate separa fr £>(§ 60, teorema 8 ) . 0
Reciproc, să presupunem că nici un poligon simplu ZD nu separă fr D (în C sau în C ) . D a c ă D nu ar fi simplu conex, fr D în C nefiind c o n e x ă , ar exista un poligon simplu P care o separă (§ 64, lema 2) ( e v i d e n t , atît î n C cît şi în C ) , fără s-o intersecteze, şi care este în D fiindcă ambele domenii determinate de P conţin puncte din D (în vecinătatea fr D) şi deci P c o n ţine puncte din D, p e drumuri ce unesc asemenea puncte în D. Teorema 7. Un domeniu D simplu conex, în C sau C, este împărţit de o transversală L în două domenii simplu conexe: D — L = D U D cu D f| D = 0 , şi avem: fr D = L (J C fr D = L U C , unde C U C = = F = fr D şi C C sînt continuuri. x
x
2
t
lt
xiunea
lt
2
2
2
x
2
2
Reciproc, dacă orice transversală, chiar numai poligonală, unui domeniu, acel domeniu este simplu conex.
distruge
cone
1. Demonstrăm că D — L are două componente cînd L este o linie poli gonală. Continuul F 0 L conţinînd cel puţin un segment I (se aplică $ 63, lema 1) determină două domenii, D şi D , care sînt conţinute în D — L pentru că au puncte din D — L în vecinătatea lui / . Se v e d e ca în l e m a 3 (§ 63) că D # D şi că D şi D conţin vecinătăţile transversalei I d e o parte şi de alta a ei. A p o i orice punct ze D — L poate fi unit cu L prin tr-un drum poligonal Jl = zX.czD, care nu are decît extremitatea £ în L (îl oprim la prima sa intersecţie cu L). Cum j g conţine puncte din D sau D în vecinătatea lui j g — £ şi totodată punctul z este în D sau D (fiind disjuncte de frontierele acestor domenii, care sînt czF U L). A ş a d a r D — L = D U D , cu D f| D = 0 . x
x
2
x
2
2
x
2
x
x
2
x
2
2
2. Demonstrăm acum acelaşi rezultat în cazul unei curbe L oarecare. Con siderăm o linie poligonală simplă M cz D, care intersectează L numai în extremităţile ei, ^ şi X> ( v e z i fig. 4 7 ) . ( P u t e m construi o asemenea linie ducînd dintr-un punct ze D — L ca e x t r e m i t a t e , două linii poligonale simple şi disjuncte, în D, pe care le oprim la primele lor intesrsecţii cu L.) P e n t r u a asigura aceste condiţii v o m face construcţia într-o vecinătate Uţ cz D a unui punct £ e L. Punctele distincte d , £ definesc un arc L cz L şi linia L 2
2
0
este astfel L = L U L II = L 0
x
0
împărţită U L. U M este
în
trei
arce :
o
curbă
simplă
2
închisă, care determină un domeniu A cz D (teorema 6 ) . Cum disjuncte, simplu Fig.
o
47
(8)
descompune
în
D -
U
două -
U
x
conex
transversală
conform se
D — L
L
ri
x
— L
2
L
un
4)
şi
(teorema în
acest
punctului
1,
sînt
2
este
tăieturi domeniu M
domeniu;
D — L
x
— L
2
este deci — M
domenii: -
M = Ax U A , 2
Ax n A = 2
0.
Cum A este disjunctă de frontierele acestor domenii (conţinute. în fr (D — Lx — L — M) = F u L (J L \J M (teorema 1)), A este într-unui din domeniile A A ; fie A cz Ax. V o m avea atunci şi L cz Ax, L fiind socotit 2
1 #
238
X
2
2
0
0
fără extremităţile £ scrie (8)
£
1#
pentru
2
Z) =
(Ax -
A -
că L
cz A cz A
0
L = (Ax -
dar LQ <£ fr A x ) . P u t e m
1 #
Io) U ( A U Af) 2
L ) U ( A U A U A f ) = Z)xU D , 0
2
D ()D
2
1
=
2
0.
R e z u l t a t u l urmărit v a fi stabilit dacă v o m arăta că ultimele două mulţimi sînt domenii # 0. Avem A U A U Af # 0 pentru că A # 0 şi A — A — L o ^ 0 pentru că vecinătatea unui punct din L nu poate fi în A U i o - Se v e d e uşor că D = A U A U A f este deschisă: A şi A sînt des chise şi A f are vecinătăţi în A şi în A ; de asemenea D = A — A — LQ = = Ax fi C A . A p o i , D este conexă pentru că A poate fi unit cu M şi la rîndul lui A f cu A . Mai rămîne de d o v e d i t că D este conexă. 2
t
0
2
2
2
2
x
2
x
2
x
Cum Dx = Ax f l C A , două puncte z z s D nu sînt separate de fr A şi nici de fr A = L U M . D e aici urmează, a v î n d în vedere că fr Ax fl 0 fr A = M este un continuu, că z z nu sînt separate de fr A U fr A = = frAx U L ( § 64, lema, 3, corolarul 1 ) . E l e nu sînt separate nici de fr D deoarece fr D cz fr A U L ; într-adevăr, D fiind una din componentele m u l ţ i m i i A — L (căci A este o componentă şi A — L = A U D ), a v e m ( § 6 1 , teorema 5 ) fr D cz f r ( A — L ) = fr A U L (teorema 1 ) . lt
2
x
x
0
v
2
x
0
LF
x
x
x
0
x
0
x
x
x
0
x
Aceasta rezultă şi din 3 9 , § 54, aplicat la 3. Domeniile m i n ă un domeniu şi fr (D — L) = fr aplică teorema 6.
0
X
0
D = A x
n CA.
x
D şi D sînt simplu conexe: un poligon simplu în D deter care conţine fr D [} L, căci poligonul se află în D — L D U L ; deci poligonul nu separă fr D cz fr (D — L) şi se E x a c t la fel se arată că D este simplu conex. x
2
x
x
2
4. L cz fr£>x. Dacă un punct ^ G L nu ar fi în fr D ar exista chiar un arc LQ C Z L disjunct de fr D (într-o vecinătate L\ disjunctă de fr D{); dar atunci, dacă L = LQ U L[ U L' L[ şi L fiind tăieturi cu un capăt în D, a m putea uni un punct din D cu un punct din D printr-un drum în D — Lx — L (teorema 4 ) , care nu intersectează fr D (cz fr D U L). lf
x
2T
2
x
2
2
x
î n acelaşi m o d se arată de asemenea că L cz fr D . 2
5. P u t e m pune acum fr D = L U C fr D = L U C şi teorema 5 ) : fr (D — L) = fr (D U D ) = fr D U fr D sau = Cx U C U L, de unde C U C = fr Z ) . x
lt
x
2
x
Observaţie.
2
2
2
x
2t
avem ( § 6 1 , fr D U L =
2
î n această relaţie nu a v e m , în general, C
x
f] C =
0.
2
6. Cx si C sînt continuuri. Să presupunem că Cx nu este conexă. E x t r e m i t ă ţ i l e a , a ale lui L nu pot fi în aceeaşi componentă H a lui C fiindcă atunci H [} L ar fi e v i d e n t o componentă a fr Z>x (care este c o n e x ă ) . Deci C are două componente, H z> a şi ZZ z^ a ; şi nu poate avea alte compoponente căci atunci H U H U L ar fi o componentă a fr Z>x. Aşa dar Cx = ZZx U H , unde H () H = 0 . Să ducem acum, în Z>x, o transversală poligonală A f ' , cu e x t r e m i t ă ţ i l e £i, XJ în L (ca la 2 ) . D u p ă cele demonstrate pînă acum, Z>x — A f ' = A i U A ' , cu A ( n A ' = 0 , unde A ' este desigur un domeniu Jordan cu fr A ' = M' U m, m cz L a v î n d extremităţile £J, XJ . P u n î n d L = L" U L Q ' U L ^ , C U L" 9 ax, ^ şi L ' ^ a , ^ , urmează fr A i = = Cx U Z i ' U L ' U A f ' = (ZZx U Z i ' ) U (H \J L' ')() A f ' c u L ^ , L ,M' disjuncte; de asemenea şi H U L i ' , Zf U L , M' sînt disjuncte (se aplică 5 ) . Conti nuurile Zfx U f-i' şi H U L i ' pot fi separate printr-un poligon simplu 11', disjunct de ele (§ 64, lema 1, corolarul 2 ) (căci unul din ele este m ă r g i n i t ) . 2
x
2
lf
x
X
x
X
2
2
2
2
X
2
2
2
2
2
2
X
2
2
2
2
2
2
239
Poligonul I I ' conţine puncte ze AJ, pentru că domeniile pe care le determină conţin puncte din A[ (în vecinătatea lui H şi H )\ el separă de ţ' şi deci traversează M' într-un număr impar de puncte sau segmente (§ 63, teorema 6 ) . ( I I ' nu poate intersecta fr A[ decît în M ' ) . Scoţînd din 11' punc tele şi segmentele de traversare ale lui M ' , rămîne un număr impar de linii poligonale, care trebuie să fie alternativ în AJ sau CAi — absurd. x
2
2
7. Teorema reciprocă: Dacă odomeniul D nu este simplu conex, fr D are cel puţin două părţi disjuncte fr D = O U <&2- E l e sînt liniar accesi bile din D ( § 6 1 , teorema 6 ) , adică există nişte drumuri poligonale L şi L , a v î n d cîte o extremitate în D şi cealaltă în $> respectiv 0 (anume, în vecinătăţi disjuncte a două puncte din Q> 0 ) ; deci aceste din urmă e x t r e m i t ă ţ i sînt în componente diferite ale fr D. F i e apoi L un drum poligonal care uneşte în D, extremităţile din D ale drumurilor L şi L . Linia LjU L \J L conţine o linie poligonală simplă cu aceleaşi e x t r e m i t ă ţ i . Aeasta v a fi o transversală de specia I I şi astfel (teorema 5) ipoteza ar fi contra zisă. x
x
1
lt
2
2
2
0
x
0
2
2
Teorema 8. Un domeniu D de conexiune k finită în C sau C, este ţit de o transversală L de specia I în două domenii: D — L = D D (]D = 0 , ale căror ordine de conexiune verifică relaţia
x
1
împăr u D, 2
2
ki + k = k + 1. 2
Dacă L are extremităţile fr D = C x
x
U L U
x
unde Ci, C sînt continuuri
a fr D
lt
ir D = C 2
2
avem
(J L [} Cf
2
şi
2
CiUC
în componenta F
2
= F
Cf
îf
u Cf = fr D -
x
F
2
v
1. F este frontiera unei componente F a lui ZD (teorema 3) şi Cr\ este un domeniu ( § 6 1 , teorema 1 1 ) ; e v i d e n t D D . Cum fr = fr I \ este un continuu, ZT este simplu conex şi după teorema 7, a v e m : x
x
X
C T i — L = §> U
® i Şi ® 2 fiind domenii simplu conexe disjuncte;
±
fr §>! = L U C
fr ® = L U C
lt
2
2
cu
C
x
U C = i^. 2
Să punem D
x
= Z) f| ® i ,
D - L
=
i ) = D fl ® ; 2
(cr -
2
z)j u z> , z ^ n £> = 0 .
L) n o =
x
avem 2
2
V o m arăta că D sînt componentele lui D — L. Aceste m u l ţ i m i fiind evident deschise şi disjuncte, m a i rămîne să d o v e d i m că sînt conexe, î n t r - a d e v ă r : Două puncte z z e Z ) nu sînt separate de fr Z), nici de fr %b \ şi cum fr D f l fr © i = C este un continuu (teorema 7 ) , z z nu sînt sepa rate nici de fr Z) U fr£>i ( § 6 4 , lema 3, corolarul 1), şi cu atît m a i puţin de fr = fr (D f| ® i ) c fr Z) U fr 9> (39, § 54). 2
lf
2
x
x
x
lt
2
x
2. A p l i c î n d unele relaţii stabilite în § 54, (35 şi 36), a v e m (9)
fr Z>! c
5 n
fr Z>! => D 240
fl
fr © ! U ® i 0 fr D = L U fr £>i U ® i
fi
fr D = L U
U
<7i,
<7i,
unde Cf.x = §) (] fr D. V o m ameliora ultima inegalitate arătînd că C cz fr D F i e ze Cx] deci zeF = fr F este disjunct de celelalte compo nente ale lui CD (presupuse în număr finit). O vecinătate U disjunctă de aceste componente conţine puncte din ® , adică din C T i — L şi aceste puncte sînt şi în D = CTx — T — ... — D e aici urmează zeir ( D f | ® i ) = fr D A v e m deci şi inegalitatea contrară lui ( 8 ) , deci x
x
v
x
x
z
x
2
v
fr D = L U
C
1
cu Cf. = §>! f| fr D,
U CŞi,
x
Cfi = ®
x
2
fr D = L (J C 2
(J Cf. ,
2
2
fl fr Z). î n sfîrşit a v e m
2
(?.x U f ? . = (»i U ® ) n f r D = ( C r - L ) n f r Z > = C r N F R Z > = f r Z > - - F . 2
2
1
1
1
Cu aceasta teorema este complet demonstrată. T e o r e m a 9. Pentru ca un domeniu D în C sau C să aibă ordinul de conexiune k (finit) este necesar şi suficient să existe k — 1 transversale (de specia I I ) L L _i care nu-i distrug conexiunea (D — L —...—L _\ = = domeniu), dar nu k transversale. lt
k
x
k
Condiţia teoremei este necesară, după cum rezultă din teorema 5, coro larul ei şi teorema 7. Suficienţa condiţiei se v a demonstra prin inducţie cu pri vire la k. Cazul k = l este cunoscut (reciproca teoremei 7 ) . î n cazul g e neral, fie Li una din cele k — 1 transversale care nu distrug conexiunea lui D. T o a t e aceste transversale sînt de specia I I (teorema 8 ) . F i e F şi F componentele fr D care conţin e x t r e m i t ă ţ i l e lui L Să considerăm domeniul D — L A v e m prin ipoteză (D — L ) — L — ... — L _ = domeniu. Dacă de e x e m p l u L intersectează L se v e d e uşor că un arc L al lui L este trans versală în D — Li; transversalele L , L _ i conţin transversalele L , L'^ în D — L distincte (L = L' cînd L nu intersectează L ) şi este clar că (D — Lx) — L — ... — L _ = domeniu (un punct £ din această m u l ţ i m e , care nu este în D — L — L — ... — L _ are o vecinătate L\ în aceeaşi m u l ţ i m e şi care conţine un z în a doua m u l ţ i m e ; deci £ şi z pot fi unite în prima m u l ţ i m e ) . P e d e altă parte, nu pot exista în D — L k — 1 trans versale Jl , £ care nu distrug conexiunea acestui domeniu. într-adevăr, dacă o asemenea transversală J2 are ambele e x t r e m i t ă ţ i în fr D, ea este şi transversală în D (să se observe că fr (D — L ) = fr D [} L ); dacă nu, J2 are o e x t r e m i t a t e în L (şi cealaltă într-o componentă a fr D diferită de Fi şi F ) şi adăugind la Jg un arc al lui L obţinem o transversală J2' în D. Scriind şi în primul caz J> = M' a v e m D — L — J& — ... — == = (D — L) — J2 — ... — J2 = domeniu, contrar, ipotezei. x
2
v
v
x
2
2
k
lt
2
x
m
2
m
k
x
2
2
k
2
m
x
x
x
2
k
lt
lt
2
k t
m
x
m
x
x
2
m
x
m
2
m
mt
Y
2
k
Aşa dar, în virtutea ipotezei de inducţie, D — L este un domeniu de conexiune k — 1, adică fr (D — L ) are k — 1 c o m p o n e n t e : fr (D — L ) = = C£ \) F U . U F . Una din componente este desigur Cf. = F \J F () L (continuu disjunct de restul frontierei lui D — L ); astfel x
x
2
s
x
k
2
x
2
t
x
fr (D - L de unde F
lt
...,F
k
1
) = irD\)L
= F \)F \)
1
fr D = F
x
1
U F
2
... U F
2
k
U L
l9
U ... U F ; k
fiind continuuri disjuncte, teorema este demonstrată.
10 — Teoria funcţiilor — c. 1275
241
§ 67. Domenii limitate de curbe simple închise Sînt importante pentru teoria funcţiilor domeniile d e conexiune finită ale căror frontiere au drept componente curbe simple închise (în număr finit şi disjuncte), care se v o r numi contururile domeniilor. L e v o m numi pe scurt domenii J. U n domeniu J (simplu conex (cu un contur)) este un domeniu Jordan. Domeniile J (cu două contururi (ordinul de conexiune 2 ) ) se m a i numesc inele şi dacă sînt mărginite, coroane. î n cazul domeniilor Jordan, teorema 7, § 6 6 poate fi completată c u : k
x
2
Teorema 1. 0 transversală L împarte un domeniu Jordan D în două domenii Jordan, ale căror frontiere sînt L U C şi L U C , unde C şi C sînt arcele simple determinate de extremităţile lui L în conturul lui D. _ Deoarece curba simplă închisă L U C este disjunctă de domeniul CD, ea determină un domeniu ® cz D (disjunct de C O ) . Cum 9> este dis junct de L, ® i este conţinut într-o componentă D a lui D — L. A v e m chiar ® i = Di, pentru că altfel D ar intersecta fr ® = L U C Aşadar fr D = = L (J Ci; şi tot aşa, pentru a doua componentă a lui D — L, a v e m fr D = = L U C . x
2
x
2
x
x
x
x
x
x
v
x
2
2
Teorema 2. Două curbe simple închise, disjuncte, dintre care un domeniu J (inel) şi două domenii J 2
determină trei domenii, (domenii Jordan).
x
F i e Cx şi C C
2
C
x
ce]e două curbe
2
şi © — C
2
= D
x
U D 3.ie 2
are
2
2
=
căror frontiere sînt: fr D = C
2
şi
x
2
mele 3 şi 5 ) . î n sfîrşit &*
4 8
de
două componente, 3) — C
fr D = C U fr © fl C^i = C Fi
( v e z i fig. 48).
se găseşte într-un domeniu ® , determinat
U C (§ 65,teore-
x
2
C& = D
este
2
al treilea
domeniu.
Observaţie. î n S putem avea cazurile: C cz int C , (sau v i c e - v e r s a ) : atunci inelul D este m ă r g i n i t ; sau C cz e x t C , C cz e x t C şi atunci I > este nemărginit (vezi § 65, teorema 4 ) . Teorema 3. k curbe simple închise, disjuncte, determină k + 1 domenii J , care au aceste curbe (sau o parte din ele) drept contururi. Cel puţin două sînt domenii Jordan (sau cel puţin două din curbe nu separă pe toate celelalte). 2
2
x
2
x
2
x
2
H
Suma ordinelor de conexiune ale domeniilor este Zk. T e o r e m a este cunoscută pentru k = 1. O demonstrăm prin inducţie. Fie C C curbele date. Curbele C C _ determină k domenii S j , ® a v î n d frontierele formate din una sau m a i multe dintre aceste curbe şi ordine de conexiune care satisfac relaţia l f
k
lt
k
x
t f
«i + + ** = 2(A 1). Curba C fiind disjunctă de celelalte aparţine unuia din acele d o m e n i i ; fie C cz §> . A v e m §> ~C = D U D^, unde fr D = C [} & f] fr % şi fr D = C U CA^ fl fr ® A ^ şi C A fiind domeniile determinate de C . Cum fr ®* este formată din curbe C (m = \,...,k-\) şi aceste curbe sînt disjuncte de C , deci situate în A sau CA , urmează că fr D este formată din curbe C . Mai mult, notînd cu d şi ordinele de conexiune ale lui D şi D , avem k
k
k
k+Î
k
k
k
k
k
fc>
k
k
m
k
m
k
242
k
t
k+i
k
fc
k
k
Aşadar, punînd ®
= D
m
şi S
m
= d,
m
avem
m
<5 — Cx — ... — C* = ®x U ... U ®* — C
k
= A U unde domeniile D ...,
D
lt
... U D
U D
k
(cJ = C sau C ) ,
t + 1
au frontierele formate din curbe C (n = 1,
k+l
n
d + ... + d x
k+1
= 8,+
+ (8 . + 2)
... + 8
k+î
2(k -
=
k);
A
1) + 2 = 2 * .
î n sfîrşit a doua parte a enunţului rezultă din această formulă: dacă toate domeniile afară de unul, ar avea conexiunea > 1, suma d + ... + d ar fi > 2k + 1 > 2 * . x
k+1
Teorema 4. Un domeniu J (cu k contururi) este intersecţia a k domenii Jordan cu aceleaşi contururi. A v e m (§ 66, teorema 3) CD = (J T , cu I \ n = 0 pentru i # / , D = n Cr„, unde fr Cr* = ft F = C (n = 1 , A ) , C „ iiind contururile lui D) CT fiind deschise şi a v î n d C ca frontiere sînt domenii Jordan. k
n
n
w
n
n
Teorema 5. în C un domeniu D cu k contururi mărginite poate fi: 1° Mărginit şi atunci un contur C conţine în interiorul lui pe celelalte, C , C , care sînt mutual exterioare, şi D = int C (] e x t C FL ... FL e x t C . 2° Nemărginit, în care caz contururile C C sînt mutual exterioare şi D = e x t C F| e x t C FL . . . FL e x t C . Reciproc; Dacă curbele simple închise C ..., C sînt într-una din situaţiile 1° sau 2°, ele sînt contururile unui domeniu, respectiv mărginit sau nemărginit. 1° V o m păstra notaţiile de la teorema 4. Dacă D este mărginit, CD este nemărginit, deci o componentă I \ este nemărginită. U r m e a z ă CTX = = int C A p o i T (m = 2, k) fiind disjuncte de T a v e m r c: int C şi prin urmare C cz int C D e c i C T == e x t C (§ 6 1 , teorema 4) şi D = = FL Cr = int C FL e x t C FL... FL e x t C . Cum F = int C şi aceste m u l ţ i m i sînt disjuncte cîte două, interioarele a două C sînt disjuncte şi deci două C sînt exterioare (§ 65, teorema 4). 2° Dacă D este nemărginit, CD şi totodată toate F sînt mărginite, deci C T = e x t C şi D = FL C I \ , = e x t Cx FL e x t C FL ... FL e x t C*. Con tururile C sînt exterioare cîte două pentru acelaşi m o t i v ca m a i sus. R e c i p r o c a : F i e în primul rînd C cz int C (m = 2, k) şi C mutual exterioare. A t u n c i int C cz int C şi aceste m u l ţ i m i sînt disjuncte (§ 65, teorema 4). R e z u l t ă că int C şi e x t C sînt k domenii determinate de curbele date, toate de conexiune 1. După teorema 3, aceste curbe determină încă un domeniu de conexiune 2k — k = k, aceea ce înseamnă că acest domeniu ar£ drept contururi toate curbele date. Acelaşi raţionament se aplică şi în cazul cînd curbele C sînt în situaţia 2° (mutual e x t e r i o a r e ) . x
2
k
x
lt
x
2
k
m
lt
m
w
k
k
lt
v
8
k
v
x
M
2
ro
x
m
k
m
m
m
m
n
N
n
2
n
m
m
t
m
x
m
x
n
§ 68.
Invarianta topologică a mulţimilor deschise (în C sau C)
Se ştie că un homeomorfism între un plan S euclidian sau Gauss şi un plan 'Ij de acelaşi fel (care poate coincide cu S) duce o mulţime deschisă A cz S într-o m u l ţ i m e de asemenea deschisă B cz Tj (§ 57, teorema 1). A i c i v o m stabili invarianta noţiunii d e m u l ţ i m e deschisă în condiţii m a i generale: Dacă A este deschisă, un homeomorfism oarecare (care nu este în m o d 243
necesar subordonat unui homeomorfism între plane) o transformă într-o mulţime deschisă. Să amintim că o proprietate analoagă de invariantă are loc pentru mulţimile închise în C ( § 57, teorema 3, cazuri particulare). î n acest scop v o m stabili întîi următorul rezultat particular: Lema 1. Fie M un dreptunghi deschis în C sau C şi N = f(M) topologică fel.
Atunci
a dreptunghiului N = f(M)
o
închis M, în acelaşi plan sau un plan
imagine
de
acelaşi
este un domeniu Jordan şi / ( f r M) este frontiera
acestui
domeniu ; fr N = f(fr M). 1. Ştim că N şi N sînt c o n e x e . V o m arăta că CN este # 0 şi conexă. Să observăm că C = / ( f r M) este o curbă închisă, formată din patru arce simple (imagini topologice ale laturilor lui M) şi deci o curbă simplă închisă. Cum N este conex, N = N (J C nu poate_ocupa tot planul (pentru că atunci N ar avea două c o m p o n e n t e ) . Deci CN # 0 . 2. F i e z z e CN. P e n t r u a d o v e d i că CiV este conexă, v o m arăta că presupunerea z z sînt separate de N ( m u l ţ i m e închisă, după c u m am amin tit m a i sus) duce la absurd. Să î m p ă r ţ i m dreptunghiul M în două dreptun ghiuri egale, M şi M' a v î n d în comun segmentul l (vezi (fig. 49). î n ipoteza adoptată, cel puţin una din mulţimile (închise) Ni = / ( M i ) , N[ = = f(M[) trebuie să separe z de z . î n c a z _ contrar, cum N (] N{ = = / ( / ) este un continuu, ar urma că nici N = N (J N[ nu separă z de z (§ 64, lema 3, corolarul 1). P r i n împărţiri succesive, cu segmente I I alternativ perpendiculare, v o m putea deci construi un şir de dreptunghiuri M z> M z> M z> ... (ale căror diametre ->0) şi astfel că z z sînt separate de mulţimile corespunzătoare prin homeomorfismul_/, N zo N z> N zo ... Cum mulţimile M au un singur punct comun, ae M, mulţimile N au un singur punct comun, fi cz N. Ori, dacă o vecinătate f 7 lasă afară punctele z z , mulţimile N care pentru q destul de mare sînt cz C7 (din cauza continuităţii reprezentării / ) nu pot separa z de z . Această contradicţie dovedeşte afirmaţia (cf. demonstraţiei teoremei 1, § 65). 0
0
lr
2
ît
2
x
lt
l r
x
2
x
3
x
x
2
l t
x
2
lf
2
2
x
0
2
q
p
lr
2
q
3
x
2
3. F i e D şi D cele două domenii determinate de C . Deoarece N este conexă şi disjunctă de C , a v e m de exemulu N cz D şi pentru acelaşi m o t i v CNczD , pentru că conţine oo. însă N\JCN = = N[)C[)CN = Di U C u D , de unde N (} CN = = Dx U D . Deci N = D CN = D şi prin urmare fr N=C =f(irM). x
2
0
0
x
h
2
2
2
lt
2
0
P u t e m acum demonstra: Teorema 1. (Brouwer). Dacă între mulţimile A şi B din plane există un homeomorfism /, atunci acesta duce int A în int B. într-adevăr, fie ze int A şi w = f(z). morfism planului <£, putem presupune z # încît ze M cz A corespunde conform lemei N astfel că we N cz B. D e c i există o we int B.
A p l i c î n d la nevoie un h o m e o oo. L a un dreptunghi M aşa fel precedente, un domeniu Jordan vecinătate V cz N cz B, deci w
Corolarul 1. Dac&B = f(A) este o imagine topologică a mulţimii plan C sau C, şi dacă A este deschisă, şi B este deschisă. 244
C sau C
A
într-un
Corolarul 2 . 0 imagine un domeniu
topologică
a unui
domeniu,
Corolarul 3. Dacă B = f(A)
este o imagine topologică
A, în C sau C (A este închisă în C, închisă şi mărginită =
în C sau C, este tot
(§ 60, teorema 3 ) . a mulţimii
compacte
în C), atunci fr B =
f{îrA). B fiind compactă (§ 57, teorema 2 ) , este închisă şi prin urmare B - int,B = f(A) - / { i n t A) = f(A - int A) = / ( fr A).
=
Corolarul 4. O imagine
topologică
] , este tot o astfel de mulţime
a închiderii
şi contururile
k
J
k
fr B =
în C a unui
acestor domenii se
domeniu
corespund.
R e z u l t ă din corolarul 3 şi din faptul că imaginea topologică a curbe simple închise este tot o astfel de curbă. Corolarul 5. Planul de el
C nu poate fi homeomorf
cu o submulţime
a sa,
unei
diferită
însuşi.
î n t r - a d e v ă r dacă mulţimea A este homeomorfă cu C, ea este deschisă (corolarul 1) şi c o m p a c t ă (§ 57, teorema 2 ) , deci închisă. Cum C este c o n e x ( § 6 0 , teorema 10, corolarul 5 ) , trebuie să a v e m A— £ ( § 6 0 , teorema 1). Observaţia
7. D i n contra planul C poate fi reprezentat h o m e o m o r f p e
o submulţime mărginită. Observaţia
2. î n legătură cu corolarul 4, nu se
ginile topologice ale unui domeniu J
te
D e o c a m d a t ă v o m demonstra următoarea Teorema 2 . O imagine cu acelaşi ordin de
topologică
poate afirma că ima
sînt domenii de aceeaşi natură.
a unui
completare a corolarului 2 :
domeniu în C este un
domeniu
conexiune.
F i e : E h o m e o m o r f cu domeniul D, E = f(D); F o componentă a fr D şi punctul a e F . U fiind un disc de centru a, A f = D (] U este deschisă şi tot aşa N = / ( A f ) (corolarul 1). D a r N nu poate fi czE, pentru că atunci a m a v e a f~ (N) = M cz D (corolarul 3 ) ; or, a cz M nu este în D. D e c i N are puncte frontieră care nu sînt în E şi deci sînt în fr E. a
a
x
Fie acum a , 0L puncte din componente distincte (şi în număr finit) ale fr D. D a c ă luăm cercurile U , U destul de mici, mulţimile cores punzătoare N N v o r a v e a puncte frontieră în h componente distincte ale fr E. î n t r - a d e v ă r : D o u ă oarecare dintre componentele considerate F ...,F , ale fr D, pot fi separate prin poligoane (P) în număr finit ( = ( Â / 2 ) ) , disjuncte de fr D (§ 64, lema 2) şi se v e d e imediat că aceste poligoane sînt în D (fiindcă separă puncte din D fără a intersecta fr D). V o m lua C7 , .., U* disjuncte de aceste poligoane. A t u n c i , dacă de e x e m p l u P separă F de F , f l = f ( P ) este o curbă simplă închisă, care separă N de N . Astfel în caz contrar, ar exista un drum în E unind puncte din N şi N fără a intersecta I I şi la acest drum ar corespunde în D un continuu unind puncte din Afx şi A f fără a intersecta P. Ni şi N au puncte în fr E, care sînt separate de I I (căci nu sînt p e I I ) : aceste puncte aparţin la componente distincte ale fr E. U r m e a z ă că fr E are cel puţin h componente. H
x
ai
lt
ah
h
x
h
ai
h
x
2
x
x
2
2
2
2
Dacă D şi E au ordinele de conexiune k şi k', a v e m aşadar k' ^ k şi t o t aşa k > k'. deci k — k'. Aceasta este a d e v ă r a t şi atunci cînd de e x e m p l u k= oo; în acest caz h poate fi oricît de mare şi deci k' — oo. 245
§ 69. Mulţimi convexe Reamintim: Definiţie: Se numeşte mulţime convexă în C (sau într-un spaţiu eucli dian) o mulţime care odată cu două puncte oarecare ale ei conţine şi segmentul ce le uneşte. Mulţimile c o n v e x e sînt deci conexe. D e aici urmează (§ 60, teorema 10). Teorema 1. Mulţimile convexe ale unei drepte (mulţimi convexe liniare) sînt: punctele, segmentele, semidreptele şi dreapta însăşi. Lema 1. Dacă o mulţime convexă A conţine trei puncte necoliniare OL, fi, y, el conţine şi domeniul triunghiular (OL, fi, y ) determinat de aceste puncte. Căci conţine segmentul (fi, y ) şi t o a t e segmentele (a, z) unde ze (fi, y ) . Corolar. Mulţimile convexe neliniare au puncte interioare. Lema 2. Fie A o mulţime convexă', OL, OL' puncte interioare', £, £' puncte frontieră. Atunci: [a, a ' ] cz int A, [OL, £) cz int A, [£, £'] cz Ă. 1. E x i s t ă într-o vecinătate U cz A, un segment [fi, y ] cz A, conţinînd a în interior şi situat pe o dreaptă ^ aa'. D u p ă lema 1, (a, a ' ) cz (OL , fi, y ) cz cz int A (vezi fig. 50). 2. Demonstrăm întîi (a, ţ) cz A. L u ă m ca m a i sus [fi, 8] cz int A, conţinînd a în interior şi pe o dreaptă diferită de <x£. F i e un punct a
ze(oL, £ ) ; unghiul opus la vîrf unghiului fizy conţine £ şi deci puncte z' e A. ( V e z i fig. 51.) D r e a p t a zz' taie (fi, y ) într-un punct z" eA, deci [z', z"] cz A, deci zeA. Aşadar (OL,Q cz A. Dacă acum z" este un punct oarecare din (fi, y ) , z" e int A după 1 şi ( £ z") cz A deci (C, fi, y)cz int A. R e z u l t ă [a, £) cz int A. 3. După 2, (a, £) cz A şi (a, £') cz A. O paralelă la secantă a domeniului (a, C intersectează (a, £) şi (a, £') în punctele j?/ei deci (z, * ' ) cz A şi (a, C H cz A, deci [a, C cz i şi [C cz Ă (vezi fig 5 2 ) .
Fig. 50
Fig. 51
Fig. 52
Teorema 2. £>#cd? A cz C este ojmulţime convexă, int A — D este un domeniu convex, fr D — fr A şi Ă = D e convexă unde dacă A este liniară, int A se ia în raport cu topologia dreptei considerată ca subspaţiu al lui C. T e o r e m a este e v i d e n t ă cînd A este o m u l ţ i m e c o n v e x ă liniară (teorema 1). P u t e m deci presupune int A # 0 . A t u n c i , după lema 2, 1, int A este c o n v e x şi fiind conex, este un domeniu. După aceeaşi lemă, 2, un punct ţe fr A este punct limită al lui D = = int A, deci ţe fr D; invers, dacă ţe fr D, o vecinătate Uţ conţine puncte din A şi din ( M . ( a l t f e l D) deci £ e fr A A ş a dar fr A = fr D. î n sfîrşit -4 = int A U fr ^4 = D \J ir D = D este c o n v e x conform lemei 2 (1.2.3). Corolar. O mulţime deschisă convexă este un domeniu convex. O m u l ţ i m e închisă c o n v e x ă neliniară este închiderea unui domeniu c o n v e x . 246
Observaţie. T e o r e m a arată că o m u l ţ i m e c o n v e x ă neliniară este un d o m e niu c o n v e x plus eventual puncte frontieră ale lui. Este suficient să ne ocupăm numai de domenii c o n v e x e . Teorema 3. Un domeniu convex D este intersectat de o dreaptă secantă L într-o mulţime convexă liniară, I = D fl L (segment, semidreapta sau dreaptă), ale cărei extremităţi constituie intersecţia dreptei L cu fr D. P r i m a afirmaţie este e v i d e n t ă . P r i n ipoteză L conţine un punct (inte rior) ae D. D a c ă £ este o extremitate a intersecţiei I, orice Uţconţine puncte din D şi ZD (pe L), deci ţeir D. I n v e r s , fie ţe L fl fr D. A t u n c i [a, C ) c D (lema 2, punctul2.) deci [a, ţ) cz J; şi cum ţ ţ l (fiindcă D), ţ este o e x t r e m i t a t e a lui J. Corolar. Un domeniu convex mărginit D este intersectat de o secantă într-un segment deschis, iar fr D este intersectată de secantă în extremităţile segmentului, deci în două puncte distincte. O semidreapta cu originea în D taie deci fr D într-un punct şi numai unul. Teorema 4. Un domeniu convex care conţine o dreaptă sau un semiplan deschis, sau o bandă deschisă. F i e domeniul c o n v e x D şi dreapta LQ cz D. Să observăm că, dacă D conţine un punct z, conţine şi paralela L prin z la L ( v e z i fig. 53). Să luăm (într-o vecinătate U cz D) un punct z în semiplanul determinat de L, care exclude L ; z' fiind oarecare pe L , segmentul [z z']czD şi cum prin orice punct din L trece un asemenea segment, L cz D; de aici urmează uşor teorema.
este planul
C,
0
9
x
0
0
lt
F
Definiţie. Se numesc drepte de sprijin ale unei midţ^mi tele care intersectează ir A dar nu int A.
. lg
5
3
* convexe A,
Teorema 5. Frontiera unei mulţimi convexe este intersectată de o de sprijin într-o mulţime convexă liniară.
drep dreaptă
Căci dacă A este c o n v e x ă şi Jl o dreaptă de sprijin^ Jl fl fr A = = J2 fl Ă (teorema 2 ) ; ori Ă fiind c o n v e x ă (teorema 2 ) , Jlţ\Â este evident convexă. Corolar. O dreaptă poate intersecta frontiera unui domeniu convex mărginit într-un punct sau un segment închis, şi atunci este o dreapta de sprijin, ori în două puncte, şi atunci este o secantă a domeniului. Teorema 6. Printr-un punct frontieră al unui domeniu convex D cz C trece cel puţin o dreaptă de sprijin; dacă trec mai multe, ele formează două unghiuri închise opuse la vîrf (unde prin unghi închis se înţelege închiderea domeniului delimitat de un unghi ascuţit). F i e ţe ir D şi T o circumferinţă de centru £ • X fiind un punct pe T , să n o t ă m cu A semidreapta de origine £ prin X. F i e M mulţimea punctelor X pentru care A intersectează D. E v i d e n t M # 0 şi de asemenea C M = = T — M # 0 , pentru că două puncte diametral opuse, X şi X', nu pot fi amîndouă în M (altfel XX' ar conţine puncte d i n D de ambele părţi ale lui £ şi ar urma ţe D). M este deschisă în Y şi deci C M închisă. Deoarece dacă X e M , A conţine un punct zeD şi semidreptele care proiectează din £ o vecinătate U cz D intersectează T într-un arc care conţine X şi este în M . z
247
I n plus M este conexă. D a c ă X i , X e M , semidreptele corespunzătoare A A conţin puncte z z e D şi segmentul [z z ] cz D este proiectat din £ în 2
2
lt
2
lf
lt
2
arcul [z z ]czM. U r m e a z ă că M este un arc deschis în T (fără e x t r e m i t ă ţ i ) şi deci C M un arc închis. L u n g i m e a arcului CM este ^nR (altfel M ar conţine puncte diametral opuse). Cînd aceasta este = TZR, diametrul care conţine extremităţile lui este o dreaptă de sprijin. î n caz contrar diametrii extremităţilor determină două unghiuri formate din drepte care nu intersec tează M, şi care sînt drepte de sprijin (unghiuri suplimentare cu unghiul format de dreptele care proiectează M din Q. lf
2
Definiţie. Cînd printr-un punct frontieră al unui domeniu convex trec mai multe drepte de sprijin, acel punct se numeşte un vîrf al frontierei. Dreapta de sprijin unică sau laturile unghiului de drepte de sprijin care trec printr-un punct al frontierei se numesc tangenta, respectiv tangentele frontierei în acel punct. Teorema 7. Un domeniu convex este situat de aceeaşi parte a unei de sprijin a lui. Evident. Teorema 8. Domeniile
convexe mărginite
sînt domenii
drepte
Jordan.
F i e D un domeniu c o n v e x mărginit şi să arătăm că fr D este o curbă simplă închisă. L u ă m un cerc iQ cz D cu centrul co şi stabilim între iQ şi fr D o corespondenţă / , atribuind unui punct X e Q punctul £ unde fr D este intersectată de semidreapta A de origină co prin X (teorema 3, corolar). Corespondenţa / este e v i d e n t biunivocă şi afirmaţia v a fi d o v e d i t ă dacă a r ă t ă m că / este continuă în sensul X -> £ (§ 57, teorema 3, cazuri particu lare). F i e Uţ un cerc disjunct de il şi j 2 o dreaptă de sprijin prin fie încă z un punct în Uţ şi (co, £ ) , deci în D (lema 2, 2) ( v e z i fig. 54). Se v e d e uşor că există un segment I paralel cu JL şi a v î n d în interiorul lui punctul z, conţinut în D şi Uţ, şi proiectat din w pe i într-un segment de asemenea conţinut în Uţ. (I este comun la următoarele trei segmente, care conţin pe z
Fig. 54
Fig. 55
în interiorul l o r : intersecţia lui D cu paralela L la Jl prin z, intersecţia L c z Uţ şi proiecţia din w p e L a diametrului Jg, 0 Uţ.) Semidreptele care proiec tează I din co intersectează fr D în Uţ (în puncte situate în semiplanul deter minat de J2. care conţine co şi semiplanul determinat de L care exclude co, deci în puncte situate între I şi J>), aceleaşi semidrepte intersectează Q în punctele unui arc într-o vecinătate a lui iQ. L a această vecinătate / face să corespundă o m u l ţ i m e cz Uţ, ceea ce înseamnă că / este continuă. Observaţie. î n cazul d o m e n i i l o r c o n v e x e n e m ă r g i n i t e diferite d e C, se raţionează ca m a i sus, iar în cazul ^ = oo e fr D , se consideră f i g . 55. 248
Altă demonstraţie se întemeiază pe § 62, teorema 7. F i e d , £ două puncte oarecare în fr D şi L dreapta £1 £ . ( U n u l din aceste puncte poate fi oo cînd D este nemărginit.) Dacă L este o secantă, putem scrie 2
2
fr D -
Ki -
Ci = Fi U F ,
F f]F
2
1
=
2
0,
unde F şi F sînt intersecţiile fr D cu semiplanele deschise determinate de L. Aceasta este o p a r t i ţ i e : F # 0 şi F # 0 pentru că au puncte într-o vecinătate C7 cz D, cu centrul în segmentul ( d , £2) (lema 2 , 1 ) ; apei i ! şi F sînt deschise în fr D — £ — £ (ca intersecţii cu cele două semiplane deschise, § 54, 27). Dacă L este o dreaptă de sprijin, [ţ t \ cz fr D (teorema 5) şi a v e m de asemenea o partiţie dacă punem F = (£1, £2) şi F =C[ţ £ ] f| fr D. î n adevăr, F # 0 pentru că segmentul £ ] poate fi frontieră unui domeniu c o n v e x ( e v i d e n t domeniul pe care îl determină nu este c o n v e x ) şi F este deschis în fr D — CI — £2 (tot § 54, 27). T o t aşa este şi F : să luăm un punct a e D. Domeniul triunghiular (a, ti, £2) A fiindcă este czZ) (lema 1) şi cum F este disjunct de semiplanul determinat de L care nu conţine ( « I C I . £2) (teorema 7) urmează F disjunct de ( £ £2)- P u t e m deci scrie F = C F 2 fl (fr F — — £ ) , de imde afirmaţia. x
2
x
2
c
2
7
2
x
2
lt
2
x
2
n
2
lt
2
u
2
2
x
c
2
2
lf
x
2
P e de altă parte, fr D este un ccntinuu (adică D este simplu c o n e x ) : întradevăr, dacă un poligen simplu este czZ), interiorul său este cz Z), pentru că se poate descompune în demenii triunghiulare şi laturi ale acestora, care sînt în D (§ 63, teorema 5 şi lema 1 de m a i s u s ) ; se aplică deci § 66, teorema 6. î n rezumat, fr D în C este un ccntinuu ( c e m p a c t ) şi cenexiunea ei este distrusă prin scoaterea a două puncte oarecare; putem deci conchide că fr D este o curbă simplă închisă (§ 62, teorema 7 ) . Definiţie.
Se numzşte
ovală frontiera
unui
domeniu
T e o r e m a 9. O ovală este caracterizată (ca mulţime următoarele proprietăţi: 1° Este o curbă simplă închisă şi mărginită.
convex
mărginit.
de puncte în C)
2° Dacă o dreaptă o intersectează în mai mult de două puncte, sectează într-un segment.
o
prin
inter
Că o o v a l ă posedă proprietăţile 1° şi 2° rezultă din definiţie, teorema 8 şi teorema 5. Reciproc, fie C o m u l ţ i m e de puncte care verifică condiţiile 1° şi 2°. î n virtutea celei dintîi, C , determină un domeniu D mărginit (interior), a cărui frontieră este. R ă m î n e să a r ă t ă m că D este c o n v e x . F i e z z eD. Deoarece semidreptele de origini z z de pe dreapta z z conţin puncte din CA ele conţin şi puncte £ 1 , £ e f r D ( § 6 0 , teorema 8 ) ; aceste puncte sînt exterioare segmentului (z z ). 0
0
lt
lf
2
x
2
2
2
l9
2
Dacă segmentul (z z ) tru acelaşi m o t i v , şi puncte deci după 2° dreapta z z ar £1 şi £2, ar conţine z şi z lr
x
x
2
2
2
ar conţine un punct din CZ), el ar conţine, pen din fr D (diferite de £ care sînt e x t e r i o a r e ) ; intersecta fr D într-un segment care, conţinînd — absurd. Deci [z z ] cz D. 2
x
2
T e o r e m a 10. Dacă două ovale C , C se corespund printr-un homeomorfism, d = 9 ( C ) , există un homeomorfism ^ al planelor C, C al celor două curbe, care induce homeomorfismul 9 şi face să corespundă domeniile interioare curbe lor. Se poate impune homeomorfismului şi condiţia de a face să se corespundă două puncte date în aceste domenii. 0
x
0
249
F i e : co, co punctele date în D = int C şi D = int C ; z un punct oare care în C ( v e z i fig. 5 6 ) . Definim o corespondenţă C = <}/(C) în felul u r m ă t o r : Fie A , A semidreptele de origini co, co prin z, Zi respectiv şi £ = A n C , 0
x
x
x
x
x
0
Ci = A j fi Cx. V o m pune z\ = ty(z) dacă: Ci-9(0
(10)
şi ^
avem
ca
s-
5 6
ecuaţii
^ coC
Corespondenţa ^ astfel definită induce d = cp(C ), coi = <}>(co) şi D = ty(D). Ea este evident biunivocă şi rămîne să arătăm că este continuă de e x e m p l u în sensul C — • C . L u î n d co şi co ca origini ale unor sisteme de coordonate polare în C şi C , curbelor C , C : 0
Fi
- = coiSi
x
x
ale
0
p =
p(6),
x
P
=
l
px(6x)
unde p(0) şi px(6i) sînt funcţii continue şi # 0 în [0, 2TZ). Coordonatele punctelor z, z fiind (r, 6), ( r i , 0 ) , a v e m din ( 1 0 ) : x
X
6! = 9 ( 6 ) ,
= Pi
P
unde (p(0) este continuă în [0, 2 T T ) . Ecuaţiile corespondenţei
e
1
=
9
(e
) (
sînt aşadar
r ^ r P î M -
p(9) şi funcţiile din membrul al doilea sînt continue în C. Corolar. Un domeniu
convex se pjate
reprezenta
homeomorf pz un
disc.
§ 70. Accesibilitate Definiţie. Un punct D, dacă există o tăietură
ţ al frontierei unui domeniu D se zice accesibil (curbă simplă) L cz D, cu o extremitate în £.
din
A m definit deja accesibilitatea liniară ( L linie poligonală) şi a m arătat că punctele liniar accesibile sînt dense în fr D, oricare ar fi domeniul D ( § 6 1 , teorema 6 ) . Există domenii a căror frontieră nu este accesibilă în orice punct ( v e z i exemplele 6 şi 7 ) . V o m v e d e a însă că frontiera unui domeniu Jordan este accesibilă peste tot, în sensul larg definit m a i sus (dar nu liniar accesibil în orice punct al său) ( v e z i e x e m p l u l 9 ) ) . L e m a 1. Fiind dat un domeniu Jordan D, determinat de curba C (în C sau C) şi £ fiind un punct al curbei C , la orice Uţ corespunde o vecinătate Vţ astfel că două puncte oarecare din D ()Vţ să poată fi unite (printr-o linie poligonală) în D f l Uţ. 0
0
250
£7; conţine un arc C cz C şi trecînd prin C Cum C — C este închis şi disjunct d e £, există o vecinătate Vţ disjunctă de C — C Două puncte z z 6 D fl ^ nu sînt separate d e C şi de asemenea nici de T()C — C R fiind circumferinţa lui Uţi căci un drum z z cz Vţ este disjunct de T şi d e C — C i . A p o i intersecţia C fl ( r U C — C ) = C fi T u C — C = = C — Cx este un continuu (s-a observat CSL C (] F cz C — C i ) . Urmează (§ 64, lema 3, corolarul 1) că C U ( r U C — C ) = C U T nu separă ^ , J2r. Ceea ce înseamnă că z şi z pot fi unite printr-o linie poligonală într-un domeniu determinat de C U I \ deci în D fl Uţ. x
0
0
x
0
lt
2
v
0
0
x
0
0
0
0
x
6
0
0
0
2
x
0
lt
2
x
0
x
0
2
0
Lema 2. £> fiind domeniul determinat de un arc simplu C , extremităţile acestui arc au proprietatea din lema 1 faţă de D. Demonstraţia este aceeaşi ca în lema 1, cu diferenţa că arcul C are extremitatea £ comună cu C . 0
lt
0
Observaţie. Această l e m ă nu este adevărată pentru un punct al arcului diferit de e x t r e m i t ă ţ i : Dacă Uţ este destul de m i c , circumferinţa lui Uţ inter sectează ambele arce determinate de £ în C ; considerînd primele intersecţii ale acestor arce cu circumferinţa lui Uţ obţinem o transversală (în Uţ) care împarte Uţ în două domenii, în a căror frontieră intră transversala; deci C distruge conexiunea lui D (] U^şi orice Vţ conţine puncte din D în cele două domenii precedente; un drum care uneşte în Uţ asemenea puncte v a tre bui deci să intersecteze C . Se poate de altfel v e d e a că demonstraţia de m a i sus nu subsistă în acest caz. Se zice că un punct din frontiera unui domeniu, care nu posedă proprie tatea descrisă în lema 1, este barat (pentru acel d o m e n i u ) . Astfel punctele unui arc simplu diferite de e x t r e m i t ă ţ i , sînt barate (pentru domeniul determinat d e arc) ( v e z i exemplele 6 şi 7 ) . 0
0
0
Teorema 1. Frontiera unui domeniu Jordan este accesibilă din acel do meniu în orice punct al ei (Schonfliess). F i e £ un punct din fr D (D domeniu J o r d a n ) . Să considerăm o vecină tate circulară L\ şi vecinătatea Vţ care îi corespunde în lema 1 (vezi fig. 57). Să luăm un arc (£, 73) al curbei C = fr D astfel ca £ e ( £ , TQ) {] Vţ. Arcele (!;, X) Şi (*}, £) determinate de £ în precedentul conţin puncte liniar accesibile, X şi jx (§ 61, teorema 6 ) . Există deci în Vţ f| D nişte segmente cu e x t r e m i t ă ţ i X, fx şi celelalte e x t r e m i t ă ţ i pot fi unite în Uţ (] D printr-o linie poligonală. Astfel a v e m o linie poligonală J>czD fl Uţ, cu extremităţile X, fi şi care se poate presupune simplă. Aceasta fiind o transversală î n D determină un domeniu ® cz D care este t
un domeniu Jordan şi are frontiera
j2 U [ X
,
[X, fx] fiind arcul curbei C care conţine £ şi deci este conţinut în Uţ. Cum fr ® cz Uţ şi ® nu poate Fig. 57 conţine circumferinţa lui Uţ, a v e m ® cz Uţ, deci ® cz ® 0 Uţ. ® fiind un domeniu Jordan, putem să-i aplicăm aceleaşi consideraţiuni cu o nouă vecinătate Uţ. P u t e m deci defini inductiv un şir de domenii ® „ (n = 1,2, . . . ) astfel c ă : ® „ cz 9 _ n Uţ{\ţn) % = D şi fr ® = £ U [ X , n j , unde tf (l/n) m
±
t
n
n
n
c
251
este un disc de rază \\n şi centrat în mităţile X , \L eC n
punct z . n
Cum
jg este o transversală în ® _x cu e x t r e n
w
şi £ e ( X , fx ) cz C. Să luăm acum pe fiecare Jg cîte un
n
n
i ? cz
w
n
z -+ţ.
Uţ(\jn),
n
î n © tranversala
n
Jg
n
determină, pe lîngă domeniul ®
n+1
în a cărui frontieră intră
®n — ®n+i — -£n+i
jg
şi
n + 1
n + 1
,
şi domeniul
(pentru că
Jg
n
este
Jg
n+1
disjunctă de fr © ) ( v e z i § 67, teorema 1). Deoarece punctele acestor linii sînt n
liniar L
n
accesibile ( v e z i
§ 63, lema
= fot, Zn+ijcz®» — ©
M + 1
— Jg . n+1
1), există
o
linie
poligonală
simplă
Cum aceste domenii (pentru n =
1, 2 , . . . )
oo
sînt disjuncte, şi z -> C mulţimea Z, = |J L n
(j £ este o curbă simplă, conţi
n
nută în D cu excepţia extremităţii £. într-adevăr, se v e d e imediat că, dacă se reprezintă topologic fiecare L
pe un interval \—-— > — 1 şi £ în punctul + 1 wJ 0 , se obţine o reprezentare biunivocă şi continuă a mulţimii L pe inter valul [0, 1]. n
Teorema 2. domeniul
Un
arc
simplu
C
este
0
accesibil
în
orice
punct
al
său
(din
CC ). 0
Fie m a i întîi £ un punct al lui C
diferit de e x t r e m i t ă ţ i . A f i r m a ţ i a se
0
reduce la teorema 1 dacă a r ă t ă m că există un arc (X, fx) astfel ca £ e (X, fx)czC<) şi ale cărui e x t r e m i t ă ţ i să poată fi unite printr-o linie poligonală simplă Jg în C C ; atunci Jg U [X, fx] este o curbă simplă închisă. Dacă n o t ă m ou a şi 0
fi extremităţile lui C, atunci arcele (a, £) şi ((3, £) conţin puncte X, respectiv [L liniar accesibile din D
=
C C ( § 6 1 , teorema 6 ) . F i e ze D şi fie (2, X), (2, 0
JJ.)CZZ>
două linii poligonale, atunci există o linie poligonală simplă L cz (z, X) U U (z, fx) cz Z), care să unească X cu fx (§ 63, teorema 7 ) . î n cazul cînd £ este o e x t r e m i t a t e , de e x e m p l u £ = a, atunci lema 2 permite să se demonstreze accesibilitatea lui a printr-un raţionament analog cu cel din teorema precedentă. într-adevăr, fie V o vecinătate ce corespunde a
ca în lema 2 vecinătăţii circulare de rază 1, U ( \ ) , a
fie Cx cz V
a
0 C un arc 0
simplu cu o extremitate a, fie Xi, Xj e C două puncte liniar accesibile din D x
(în virtutea primei părţi a demonstraţiei, toate punctele lui C — { a (J fi} 0
sînt liniar accesibile din D), fie L
L
lt
2
cu cîte un punct din D şi fie L[ cz L
două linii poligonale ce unesc Xi şi Xj L' cz L două segmente cu cîte o e x t r e
lt
2
2
mitate în Xi, respectiv XJ şi conţinute în V . D a c ă £ 1 şi £ sînt celelalte două a
extremităţi, atunci, în virtutea lemei 2, czU (\) a
2
există
f]D care să le unească. F i e LczL[(j
L \J V 2
o
linie poligonală
U cz
o linie poligonală simplă
ce uneşte Xi cu Xj. L (J [Xi, Xj] formează evident o curbă simplă închisă ce determină două domenii Jordan L
2
D
x
cz U ( \ ) şi D[. Dacă a £ D a
lt
fie L î ,
două linii poligonale ce unesc un punct fxe [Xi, Xj] cu cîte un punct din
D i şi din D[ (ceea ce-i posibil în virtutea teoremei precedente). F i e LI' cz LI
f| V
a
şi L
2
cz Ll (] V
a
apoi
două segmente cu cîte o extremitate în
fx şi fie z, z' celelalte două e x t r e m i t ă ţ i ale lor. î n virtutea lemei 2, z şi z' p o t fi unite printr-o linie poligonală simplă Z , " cz U ( \ ) fl Z ) . F i e L'" cz L" U a
252
U Li
U L
2
o
linie poligonală ce conţine cîte un segment din LI'
şi
din
Z 4 ' cu o e x t r e m i t a t e fi. Să n o t ă m J> = L \J [X , XJ] dacă a e D i sau Jl = L'" d a c ă a ^ Z ) i şi fie d = p(a, J ^ ) > 0 şi p > \\d un număr natural. E v i d e n t UJMPi, fl -£i = 0 . R e p e t î n d raţionamentul de m a i sus cu vecinătatea U*(llPi) obţine o nouă linie poligonală simplă £ cu £ 0 £! = 0 £2^ şi un domeniu D cu fr Z ) = Mi U - £ 2 - F i e Ztejp! fi £> şi z ej> f| Z ) , ( v e z i fig. 58). întrucît Jl f| Z) şi J> () D sînt linii p o l i g o n a l e simple, rezultă că J?! şi J? pot fi unite în D printr-o linie poligonală simplă Jl[. P u t e m defini inductiv un şir de numere naturale p, d e v e c i n ă t ă ţ i U (\lp ), de puncte z , de Fig. 58 domenii D şi de linii poligonale Jg şi £! . 1
2
x
Y
s
e
2
2
f
2
2
2
2
x
2
2
2
n
a
n
n
n
n
n
oc
Deoarece J> cz U (\fp ), n
a
n
rezultă că z -><x, n
iar mulţimea
J>' = 1J
Jl'
n
7)
este un arc simplu conţinut în D cu excepţia e x t r e m i t ă ţ i i a . E x e m p l e 1) O hiperbolă se compune din două curbe simple închise în C (e o curbă simplă închisă in planul proiectiv ) . 2 ) Ramurile unei hiperbole determină domenii convexe nemărginite. 3) Domenii convexe', unghiurile (în sens restrîns ) , segmentele» benzile, poligoanele convexe interiorul unei elipse. O curbă închisă regulată de ordin 2, cu curbura > 0 determină un domeniu convex. 4) Pentru mulţimea R a punctelor raţionale, R = C = fr R, int R — 0. Deci fr(int R) # fr R fr R ± fr R. 5) (Fig. 59) fr D ^ fr (ext D). 6) Pătratul de latură 2 minus segmentele £0,1 + — J (n = 1,2,...), segmentul (0 1) ef/* inaccesibil (fig. 60).
Fig.
59
7) Pătratul minus segmentele I
Fig. 60
n
<
x ^ —, y 2
^ 2) (fig. 61). Segmentul
1 0 ^ x < ~ al frontierei este inaccesibil. Fie a în acest segment şi o vecinătate V pe care o 2 a
7
) în manuscris nu figura decît enunţul teoremei şt primele trei rînduri ale demonstraţiei. Restul a fost completat de noi — P.C. — urmînd în mare raţionamentul din teorema precedentă. 253
intersectează toate segmentele I ( « > v). Dacă a este accesibil cu o curbă C, un arc C = (a, p ) n
0
al acesteia este în V (fig. 62). Există un segment I
de ordin — < ordinul lui pf el determină. n în V un segment circular care conţine pe p, dar nu pe a. Deci C intersectează frontiera, segmentului circular şi cum nu intersectează circumferinţa lui V , va intersecta pe I . a
n
a
0
a
0
1/
H
2
Fig. 61
Fig. 62
Fig. 63
Fig. 64
8) (Fig. 63) Interiorul acestei mulţimi nu~i conexă. 9) în figura 64, domeniul D este un domeniu Jordan, dar punctul r nu-i liniar acce sibil, arcele L şi fiind formate dintr-o infinitate de segmente. 0
x
254
Capitolul I V
Teoria integrării in domeniul complex
§ 71. Drumuri şi curbe în planul complex 1 a ) N u m i m drum orice reprezentare continuă (în plan) a unui segment (interval) închis [a, b]; cu alte cuvinte, figura reprezentată de o ecuaţie de forma z = z(t) cu z(t) funcţie continuă în intervalul [a, b] descris de parametrul t. V o m m a i presupune că z(t) nu este constantă, adică v o m exclude cazul cînd figura se reduce la un punct. A l t e denumiri: curbă continuă, continuu peanian. A doua (curbă conti nuă) e n e p o t r i v i t ă (deşi foarte u z i t a t ă ) , pentru că poate fi în opoziţie prea flagrantă cu ideea comună de curbă deoarece se pot da e x e m p l e de drumuri care sînt domenii închise. ( P r i m u l e x e m p l u de acest fel a fost dat de P e a n o ; v e z i altul în F . Hausdorff: „ M e n g e n l e h r e " D o v e r Publications, N e w Y o r k 1944). A treia denumire (continuu peanian) este cea m a i potrivită, dar, fiind prea lungă, preferăm pe cea dintîi. b ) Definiţia de m a i sus se întregeşte cu
următoarea:
Două drumuri, cu reprezentările z = z(t)
(a^t^b),
z = z (t ) 1
1
(fli<*i<&i),
sînt p r i v i t e ca identice atunci şi numai atunci cînd între intervalele [a b] şi [a b ] se poate stabili un homeomorfism t = y(t) astfel ca valori corespun zătoare t şi t să dea acelaşi punct z: f
lf
x
x
x
2^(1))
= z(t) în [a, b].
După cum ştim, funcţia
Aşadar, noţiunea de drum nu se reduce la aceea a unei m u l ţ i m i de puncte, ci echivalează cu o clasă de reprezentări prin mijlocirea unor anumiţi para metri ai drumului (normali), care se deduc unul din altul prin transformări de forma t =
t
introducem
parametrul
t =
(evident normal).
t
b — a 255
2
Exemple 1. Drumurile z = t (O ^ t ^ \) şi z = -z (O ^ T ^ 1) sînt identice, pentru că t = T este o funcţie crescătoare şi continuă de T. 2. z — sin * (O ^ t ^ 27r) şi z — T ( — 1 ^ T ^ 1) ntt slw* drumuri identice, deşi au ca suport aceeaşi mulţime de puncte: pentru că sin t nu este o funcţie monotonă în intervalul [0,2*]. 2
c ) O imagine continuă şi care nu se reduce la un punct, a unui drum, este tot un drum. E v i d e n t . d ) Mulţimea de puncte ale unui drum este compactă şi conexă, pentru că aceste proprietăţi le are segmentul [a, b] a cărui imagine continuă e drumul. Aşadar, un drum este un continuu m ă r g i n i t în planul euclidian sau un continuu ce conţine punctul oo în planul lui Gauss. î n ultimul caz continuitatea func ţiei z(t) trebuie înţeleasă în sens larg. e ) U n punct al unui drum poate corespunde la m a i m u l t e valori ale parametrului şi atunci el se numeşte punct multiplu (nod); numărul acestor valori (care poate fi infinit) este multiplicitatea punctului. Astfel, drumul z = sin t (0 < t < 2TZ) are toate punctele de mult implicitate 2, afară de z = ± 1, de multiplicitate 1 şi z = 0 de multiplicitate 3. Este e v i d e n t , că o schimbare de parametru (normal) păstrează m u l t i plicităţile punctelor drumului. N i c i multiplicităţile punctelor unui drum nu sînt suficiente pentru a-1 defini. Exemplul
3. Ecuaţiile
reprezintă aceeaşi mulţime de puncte, care au multiplicitatea 1, cu excepţia lui z = 1, de multi plicitate 2. însă ele nu reprezintă acelaşi drum, pentru că funcţia T =
în
e x e m p l u l 2, primul drum este închis (cu punctul
iniţial z = 0 ) .
g ) U n drum z = z(t) poate fi orientat ataşîndu-i un anumit sens de variaţie (crescător sau nedescrescător) a parametrului t. D a c ă drumul nu este închis, orientarea lui este definită prin ordinea în care enunţăm e x t r e m i t ă ţ i l e : oifi sau fioL. P a r a m e t r i i unui drum .orientat sînt definiţi pînă la o transformare t = y(t) cu cp(/) crescătoare şi continuă. ( N u m a i aceste transfor mări păstrează sensul d e v a r i a ţ i e a p a r a m e t r u l u i ) . x
h) V o m numi subdrum al unui drum z = z(t), (a < t < b) drumul repre zentat de aceeaşi ecuaţie într-un subinterval al intervalului [a, b]. Se presu pune că în acest subinterval z(t) nu este constant (altfel subdrumul se reduce 256
la un punct al drumului). P r i n orientarea drumului sînt orientate şi subdrumurile lui. Dacă n o t ă m cu C drumul şi cu T un subdrum, v o m scrie T c C. i) Două drumuri orientate se zic consecutive dacă extremitatea finală a primului coincide cu extremitatea iniţială a celui de al doilea. A l e g î n d inter valele consecutive, ecuaţiile drumurilor v o r fi de forma * = zi(0
(<*
z = z (t)
(b^t^c);
2
ele definesc în intervalul [a, c] o funcţie continuă neconstantă, deci un drum care se v a numi suma drumurilor consecutive date. Acestea fiind notate cu C\ şi C , suma lor se v a nota C = C [) C . Aceeaşi relaţie are loc şi între mulţimile de puncte ale drumurilor. Este evident că dacă două drumuri sînt identice cu alte două, suma pri melor este identică cu suma ultimelor. I n v e r s , un drum poate fi descompus într-o sumă de subdrumuri conse cutive, descompunînd intervalul de variaţie al parametrului în subintervale consecutive. î n e x e m p l u 3 a v e m drumuri consecutive. 2 a ) Cînd toate punctele unui drum sînt simple (de multiplicitate 1), sau, cu alte cuvinte, un parametru al drumului este în corespondenţă biuni vocă cu punctele drumului, acesta se numeşte arc simplu (de curbă). U n arc simplu este, aşadar (ca m u l ţ i m e de puncte), o imagine homeomorfă a unui segment. Arcele simple pot fi definite numai ca m u l ţ i m i de puncte. Aceasta în seamnă: pentru ca două arce simple să fie identice, este necesar şi suficient ca ele să aibă aceleaşi puncte. într-adevăr, necesitatea acestei condiţii este e v i d e n t ă ; reciproc, dacă arcele simple z = z(t) (a^t^b) şi z = Zx(tx) (ax^tx^bi) formează aceeaşi m u l ţ i m e C de puncte, a v e m un homeomorfism între intervalul [a, b] şi C, şi altul între C şi intervalul [a 6J. Produsul aces tora este un homeomorfism între [a, b] şi [a b ], t =
±
2
lt
lt
±
x
x
2
2
2
z
17 — Teoria viincţiilor — c. 1275
2
257
d ) Singurele continuuri (de asemenea simple).
conţinute
într-un
arc simplu
sînt subarcele
lui
R e z u l t ă din faptul că un asemenea continuu corespunde unui continuu «din segmentul [a, b], deci unui segment. e) Orientarea definită m a i sus pentru orice drum poate fi asociată în c a z u l unui arc simplu a(3 cu o ordonare a punctelor lui (sau sens de parcurs), definită (ca şi într-un s e g m e n t ) , astfel: U n punct z precede alt punct z al x
2
arcului dacă z se află în subarcul olz (de e x t r e m i t ă ţ i a şi z ). î n această o r d o nare, a e primul punct şi fi ultimul. x
2
2
f) U n drum închis, ale cărui puncte sînt simple, se numeşte curbă -simplă închisă (în cazul cînd este mărginită, şi curbă Jordan). A l t f e l spus, o curbă simplă închisă este o imagine homemorfă a unui cerc. Acesta poate fi cercul de rază 1 şi atunci curba este reprezentată de o ecuaţie z = z(t) cu z(t) funcţie continuă d e perioadă 2TZ, şi astfel că un punct z al curbei corespunde numai la valori t ce diferă între ele prin 2kn; t poate fi restrîns la un interval de lungime 2~. g ) O curbă închisă simplă este un continuu compact, cu proprietatea c ă prin scoaterea oricărui punct al său nu-şi pierde conexiunea, dar şi-o pierde c î n d se scot două puncte. Aceste proprietăţi caracterizează curbele închise simple (§ 62, teorema 8 ( J a n i s z e w s k y ) ) . Proprietăţile b ) , d ) , e ) rămîn valabile pentru curbele închise, cu deose birea că ordonările ce se pot ataşa unei curbe închise simple sînt ciclice (ca pe arc) şi una din ele poate fi dată cu ajutorul unei succesiuni ciclice de 3 puncte. Exemplul 4. O dreaptă în planul lui Gauss este o curbă închisă simplă, cum reiese din faptul că o putem considera ca transformată a unui cerc printr-o transformare liniară (şi deci homeomorfă), sau din reprezentarea sub forma z = z -f atg/, unde luăm z = oo, pentru Q
t = (2k + 1) J L . 2 Exemplul 5. O elipsă z = a cos / + 2 b sint / este o curbă închisă simplă (mărginită). a ( 7C 7t ^ De asemena o ramură de hiperbolă z = -\- î M g / I < / ^ — 1» cu z=oo pentru cost
1 2
2 j
t = 4- — . Nu însă si hiperbolă întreagă, căci, dacă scoatem din cele două ramuri cîte un punct, 2 •ea nu-şi pierde conexiunea (în planul lui Gauss). 3 a ) V o m numi curbă (în sensul cel m a i general) un drum care este o reuniune de arce simple, consecutive, U a _ip; p
în
număr
finit: C = oco^U
U ...
a şi fi sînt extremităţile curbei. Curba este închisă cînd a =
fi.
b ) 0 curbă este un continuu compact, care nu poate avea puncte interioare. c) Fiecare punct al unei curbe are o multiplicitate finită, care este evident egală cu numărul arcelor componente ce conţin punctul, o extremitate comună la două arce consecutive fiind socotită ca aparţinînd unui singur arc. O curbă poate avea o infinitate d e puncte multiple, care pot forma arce sau şiruri infinite. O curbă fără puncte multiple este e v i d e n t un arc simplu sau o curbă închisă simplă. 258
+ it sin - y Exemplul
|o<*<
-i-j reprezintă o curbă închisă avînd
6. z — 1- *
(T<~)
punctele duble z = — (n = 3, 4, . . . ) . d ) O orientare a unei curbe C = ao^ U ... U <Xp-ip este sensurile de parcurs aa , a ^ ,
asociată cu
pe arcele componente, iar orientarea
x
opusă este asociată cu sensurile $<x. _ a a. Cînd un punct descrie curba în unul din aceste sensuri, el trece de m ori printr-un punct de multiplicitate m. e ) O reprezentare homeomorfă a unei curbe este tot o curbă, ale cărei puncte au aceleaşi multiplicităţi. Cînd un punct descrie prima curbă într-un sens,, corespunzătorul său descrie curba a doua într-un sens. p
lt
x
4 a ) Se numeşte curbă local simplă un drum z = z(t) ( # < £ < . & ) care are proprietatea că fiecare valoare t e [a, b] a parametrului normal p o a t e fi inclusă într-un interval [t — e, t + e ] , la care corespunde un arc simplu (subdrum al drumului d a t ) . (Bineînţeles se consideră numai intersecţia i n t e r v a lului precedent cu [a, b].) Este e v i d e n t că noţiunea precedentă nu depinde de alegerea p a r a m e t i u lui normal şi de asemenea, că o reprezentare homeomorfă a unei curbe local simple este de aceeaşi natură. b ) F i e e(*) valoarea lui e care corespunde intervalului m a x i m cu p r o prietatea precedentă pentru t dat. V o m demonstra că inf e(t) > 0. î n t r - a d e v ă r , dacă inf e(t) = 0, ar exista un şir de valori t , care c o n v e r g către valoarea n
t e[a, 0
b], şi astfel că e(t ) < — n
mare, t
se v a găsi în intervalul ^t
n
aceşti
(n = 1, 2, . . . ) . Or, dacă luăm
n
t
Q
0
t + -~ 0
e(^o)j
Şi
pentru
e(t ), în contradicţie cu e(t ) < — . R e z u l t ă c ă : n Pentru ca un drum z = z(t), (a^t^b) să fie local simplu, este necesar şi suficient să existe un YJ > 0 astfel că la orice subinterval de lungime < Y J al intervalului [a, b] să corespundă un subdrum simplu. D e aici urmează că o curbă local simplă este o curbă în sensul definiţiei de la nr. 3: pentru că î m p ă r ţ i n d intervalul [a, b] în intervale consecutive d e lungime < -q, ea apare ca o reuniune de arce simple consecutive. Reciproca nu este adevărată: n
v o m avea e(t )>—
~ z(t ),
n destul d e
n
0
n
2
2
Exemplul 7. z = t , (— 1 ^ t ^ 1) este o curbă, care constă din segmentul [0,1] de pe axa reală, parcurs de două ori în sensuri opuse; această curbă nu este local simplă, fiindcă punctul / = 0 nu satisface definiţia: într-un interval [ - e, e] ecuaţia z — t nu reprezintă un arc simplu~ La fel curba din exemplul 6. 2
c ) Condiţia necesară şi suficientă pentru ca un drum să fie local simplu, se m a i poate pune sub forma următoare, e v i d e n t echivalentă cu b ) : Un drum este local simplu dacă şi numai dacă există un 73 > 0, astfel ca distanţa dintre două valori ale parametrului normal t, ce dau acelaşi punct z, să fie întotdea una > Y J . 25»
D e aici, urmează imediat că un drum ale cărui puncte multiple au mttltiplicităţi finite şi sînt în număr finit, este o curbă local simplă. d ) Altă condiţie necesară şi suficientă, şi care este independentă de ale gerea parametrului normal este următoarea: Sa existe un 8 > 0, astfel ca orice sub drum de diametru < 8 să fie simplu. 1° î n virtutea continuităţii uniforme, pentru 8 > 0 dat, există un TQ > 0, astfel că la \&t\ < 7j corespunde | A ? | < 8. Deci, dacă este satisfăcută condiţia precedentă, la orice subinterval de lungime \At | < 7) corespunde un subdrum de diametru < 8, care este un arc s i m p l u ; şi drumul dat este deci local simplu. 2° Pentru a demonstra că, invers, o curbă local simplă are proprietatea precedentă, ne v o m folosi de următoarea l e m ă : Lemă. Fiind dat un drum z = z(t) cu z(t) neconstant în nici un subinter val, şi ti fiind un număr > 0 , diametrii'subdrumurilor corespunzătoare la subintervale de lungime > r admit un minim 8 > 0. t
într-adevăr, dacă 8 = 0, v a exista un şir de subintervale [t , t' ] astfel şi t' converg către valori t şi t' din intervalul [a, b], iar diametrul subn
că t
a
n
0
n
0
— 0>r .
A l u n e i , \t — t' \ > r şi din \z(t )
\t — n
— z(Q \ < — urmează că z(t ) n :şi z(Q tind la acelaşi punct z = z(t ) = z(t' ). Deoarece intervalul [t , Q tinde l Po> v o m avea (din acelaşi m o t i v ) şi pentru orice te[t t' ], z(t) = z ( c o n s t . ) ; ceea ce este exclus prin ipoteză. A c u m , >j fiind numărul definit la b ) şi 8 numărul dat de lema precedentă pentru acest 73, urmează din definiţia lui 8 că orice subdrum de diametru < 8 corespunde unui subinterval de lungime < y j , şi deci că un asemenea subdrum este simplu. L e m a este aplicabilă, fiindcă în cazul unei curbe local simple z(t) nu poate fi constant într-un subinterval, deoarece acesta conţine un subinterval ( d e lungime < Y J ) la care corespunde un arc simplu — şi un a r c simplu nu se poate reduce la un punct. t
0
0
t
0
n
0
n
0
n
a
0
0
0
5 a ) Se numeşte arc regulat în planul euclidean un drum z = z(t) (a ^ < / < & ) reprezentat de o funcţie z(t) cu derivată continuă, finită şi diferită de zero în [a, b]. Parametrii normali v o r fi în acest caz legaţi printr-o relaţie de forma t =
b ) U n arc regulat este o curbă local simplă. într-adevăr, pentru o v a loare t oarecare, una din derivatele x'(t), y'(t) trebuie să fie ^ 0. F i e x'(t ) # 0 ; v o m avea, în adevăr, un interval [t — e, t + s] în care x(t) ^ 0 (din cauza continuităţii). î n acest interval, funcţia x(t) este strict monotonă şi continuă, deci t este o funcţie uniformă de x pe subdrumul corespunzător, ceea ce în seamnă că la fiecare x al subdrumului corespunde un singur t; aşadar sub drumul este simplu. 0
0
0
0
U n arc regulat este, prin urmare, o reuniune de arce simple regulate, consecutive, în număr finit (vezi 4 b ) . D i n geometria diferenţială se ştie că un arc regulat are tangentă în fie care punct diferit de e x t r e m i t ă ţ i şi semitangente în e x t r e m i t ă ţ i ; într-un punct multiplu, tangentele sînt acelea ale arcelor simple componente care trec prin el. 260
6. a ) Se numeşte drum deschis (la un c a p ă t ) o reprezentare continuă a unui interval (segment) semideschis [a, b), z = z(t),. cu z(t) neconstantă. U n drum deschis este întotdeauna orientat> în sensul în care parametrul normal t variază de la a (corespunzător e x t r e m i t ă ţ i i ) la b. I d e n t i t a t e a a două drumuri deschise se defineşte ca la nr. 1. D o i para m e t r i normali sînt l e g a ţ i printr-o relaţie de forma t = tinde către fr D, sau că un drum deschis dintr-un spaţiu topologic necompact este strict deschis, dacă pentru orice şir de valori t ce c o n v e r g la b, şirul d e puncte corespunzătoare z(t ) nu c o n v e r g e . I n cazul unui spaţiu t o p o l o g i c oarecare, z trehuie interpretat ca punct din acel spaţiu. x
x
n
k
T e o r e m a 1. Pentru ca un drum deschis în D să tindă la fr D (respectiv într-un spaţiu necompact, să fie strict deschis), este necesar şi suficient ca orice mulţime compactă M cz D (respectiv conţinută în spaţiul dat) să lase afară un subdrum deschis al drumului dat (adică subdrumul corespunzător unui subinterval (t , b) cu t destul de apropiat de b). 1° Presupunem această condiţie satisfăcută şi fie t —• b. Şirul de puncte corespunzătoare z(t ) = z nu poate c o n v e r g e (în D), pentru că, dacă z — luînd M = U (^D) ar urma să existe un t e [a, b) astfel ca subdrumul corespunzător subintervalului [t , b) să fie disjunct de atunci, pentru n destul de mare v o m avea t e [a, t ], în contradicţie cu t —> b. 2° Presupunem că drumul este strict deschis şi fie M o mulţime c o m p a c t ă ( c z £ ) ) . Dacă M nu lasă afară nici un subdrum deschis al drumului dat, M conţine puncte z = z (t ) cu t —> b. A t u n c i un subşir al şirului (z ) ar c o n v e r g e (M fiind c o m p a c t ă ) , în contradicţie cu ipoteza. 0
0
n
n
n
n
t
0
0
n
k
k
k
0
n
k
k
Exemple: 8. Arcul de spirală logaritmică r = (6 ^ 0) este un arc simplu şi regulat deschis. El tinde către origine (ca frontieră a domeniului ce se obţine scoţînd acest punct din plan ) . Adăugind arcului originea, obţinem un arc simplu, care poate fi reprezentat homeomorf pe segment' tul [0, 1] punînd 6 = si făcînd să corespundă la t = 1 originea. Acest arc însă nu este 1- t regulat în origine (nu are semitangentă). 9. în domeniul "Rez > 0, ecuaţia z = t -f i sin — reprezintă un arc simplu deschis, ce tinde către frontiera domeniului. Considerat în tot planul, acest arc are ca aderenţă mulţimea formată din el însuşi şi din segmentul z = iy, [ — 1 ^ y ^ 1). c ) în planul euclidean (care este un spaţiu necompact) un drum strict deschis este reprezentat de o ecuaţie z — z(t) (a < t < b) cu z(t) —> oo pentru z->b. t
261
Căci după teorema precedentă pentru K > 0 dat există un t astfel că \z\ > K pentru t e [t , b). Şi reciproc, dacă z(t) — » oo pentru £ —• b, drumul este strict deschis cum se v e d e , luînd cercul \z\ < K astfel ca să conţină o m u l ţ i m e compactă dată M. 0
0
Cînd drumul este simplu şi regulat, a v e m noţiunea de arc infinit al g e o metriei diferenţiale. î n acest caz, transformarea z* = — duce arcul infinit z C într-un arc deschis C * care tinde către origine. A d ă u g i n d la C punctul oo şi la C* punctul O, o b ţ i n e m e v i d e n t arcele simple C de e x t r e m i t ă ţ i a, oo (în planul lui Gauss) şi € * de e x t r e m i t ă ţ i a*, O; aceste arce nu sînt în general regulate în a doua extremitate a l o r . A r c u l C are o direcţie asimptotică (faţă de O) dacă dreapta Oz are l i m i t ă cînd t —•> b, ceea ce e v i d e n t r e v i n e la condiţia ca dreapta Oz* să aibă Urnită, adică la condiţia ca arcul C* să a d m i t ă semitangentă în O. A r c u l C este (prin definiţie) regulat la oo dacă C * este regulat în origine, adică z*(t) — —-— are derivată continuă pentru t = b (ceea ce înseamnă că z(t) tangenta acestui arc într-un punct z*(t) tinde către tangenta în O cînd —• 6). A t u n c i , tangenta la C tinde către direcţia asimptotică. într-adevăr, fie z(t) = v v' =
x(t) + iy(t).
Direcţia asimptotică este m = l i m — =
l i m — şi deci d i -
recţia tangentei este — • t
9
Exemplul 10, Arcul de spirală logaritmică r = e (8 > 0) este un arc infinit fără direcţie asimptotică transformatul său prin z* = l/z nu are semitangentă în O (vezi exemplul 8). Arcul considerat nu este deci regulat la oo. 7. F i e z = z(t) (a < t < b) un drum oarecare. Să considerăm lanţul (1)
a
= t
0
< t
şi linia .poligonală
1
< ... < * » - i < 6 = *„ înscrisă,
determinată
a = zfo) = z , z = z(h), 0
x
Dacă notăm A ^ = z — z _ k
k
lt
de lanţul
z = z(t ), k
k
corespunzător: p = *(/,) =
z. n
lungimea acestei linii poligonale este
Se zice că drumul este rectificabil dacă mulţimea lungimilor / ale liniilor poligonale înscrise este m ă r g i n i t ă ; în acest caz, marginea superioară s a aces t e i m u l ţ i m i { / } se numeşte lungimea drumului ( P e a n o ) : s = sup / . Dacă se schimbă parametrul normal, totalitatea lungimilor / nu se schimbă şi deci definiţia este independentă de alegerea parametrului. Teorema 2. Lungimea într-un punct.
s > 0, şi s = 0 numai
cînd drumul
degenerează
T e o r e m a 3. Oricare ar fi linia poligonală înscrisă, de lungime l, avem s > / , cu egalitate numai atunci cînd drumul se confundă cu acea linie poli gonală. 262
într-adevăr, dacă linia poligonală &z...z _ $ coincide cu drumul, lun gimea drumului este / , pentru că orice altă linie poligonală înscrisă are lun gimea < / (cum se v e d e i m e d i a t ) . î n caz contrar, fie z(t*) = z* un punct a l drumului, ce nu aparţine liniei poligonale şi /* cuprins între t _ şi t . L i n i a poligonală OLQZI ... z _ z*z ... p are lungimea / * > /, şi cum s > / * , a v e m s > L n
1
k
k
x
x
k
n
Teorema 4. Un drum rectificabil este mărginit. Căci az(3 este o linie poligonală înscrisă, oricare ar fi punctul z — z(t) al drumului; cum lungimea acesteia este ^ \z — a|, a v e m pentru tot drumul \z — a| < 5. ( A d i c ă drumul este conţinut în cercul de centru a şi rază s). Se v e d e la fel că un drum de lungime s este conţinut în cercul de rază s, cu centrul într-un punct al drumului. Teorema 5. Dacă C este un drum rectificabil de lungime s, orice subdrum Ci este de asemenea rectificabil şi are lungimea s < s, cu egalitate numai cînd C = C. Orice linie poligonală înscrisă în C face parte din liniile poligonale înscrise în C; orice lungime l fiind cel mult egală cu o lungime /, urmează s < s. A doua afirmaţie v a rezulta din teorema următoare: x
1
x
x
x
Teorema 6. Dacă C şi C sînt drumuri consecutive rectificabile, de lungimi Si şi s , atunci reuniunea lor C = C U C este un drum rectificabil, de lungime s = s + s. Drumurile C şi C fiind reprezentate pe intervale consecutive [a bj şi [b, c], drumul C este reprezentat pe intervalul [a, c], Considerînd o diviziune a lui [a, c], fie t _ t valorile între care se află b. Linia poligonală azx... ...z „iz ... y corespunzătoare acestei diviziuni are o lungime / . Dacă liniile p o l i gonale o&i... z _x$ şi $z ... Y au lungimile l şi / , a v e m / < l + / . D e aici rezultă că lungimile / sînt mărginite — deci C este rectificabilă — şi a r e lungimea x
2
2
x
x
x
k
k
2
2
2
lt
t
k
k
k
k+1
x
(2)
s < Si +
2
x
2
s. 2
P e de altă parte, prin definiţia lui s şi s există diviziuni ale intervalelor x
[a, p ] şi [p, Y ] , l >
a
c
a
r
e
2
corespund poligonale de lungimi l
x
> s
x
— şi / 2
2
>
s
—, (e > 0 arbitrar). Aceste două linii poligonale constituie împreună 2 o linie poligonală înscrisă în C, de lungime l > s + s — e. Acest rezultat, împreună cu ( 2 ) , arată că s = s + s . 2
x
x
2
2
Teorema 7. Pentru ca un drum z = x(t) + i y(t) (a < t < b) să fie recti ficabil, este necesar şi suficient ca funcţiile x(t) şi y(t) să aibă variaţie mărginită în [a, b] (Jordan). O funcţie / ( / ) are variaţie mărginită în [a, b] dacă suma variaţiilor abso lute | A / | , r e l a t i v e la o diviziune oarecare a. intervalului, este mărginită. într-adevăr, a v e m : t
A
I
** J<|A»*|<|A»*| + |A*y|,
\±*y\ de
unde ^ ^ ^ ' U U S I A ^ I + S I A ^ I .
263
D e aici se v e d e că, dacă drumul este rectificabil, 2 1 A x\ şi 2 1 A*. jy| sînt mărginite, adică x(t) şi y(t) sînt funcţii cu variaţie m ă r g i n i t ă ; şi reciproc. t
T e o r e m a 8. (Jordan). Dacă o funcţie f(t) are variaţie mărginită, ea este egală cu diferenţa a două funcţii mărginite şi crescătoare. Dacă f(t) este şi continuă, aceste funcţii se pot lua continue. f(t) fiind o funcţie cu variaţie mărginită, în [a, b], să n o t ă m cu v suma variaţiilor absolute, v = £ cu p şi — n suma variaţiilor A ^ . / p o z i t i v e , respectiv n e g a t i v e . A v e m v = p + n,
f(b) —f(a)
= p — n,
d e unde v
= p+f(a)-f(b),
v =
2
2n-f(a)+f(b).
Fie apoi V, P, N marginile superioare ale lui v, p, n. E v i d e n t , (3)
V = 2P + f(a) - f(b),
V = 2N — f(a) + f(b).
Pentru un interval [a, t] c: [a, b] a v e m funcţiile V(t), P(t), N(t) l e g a t e prin relaţiile precedente cu t în loc de b şi e v i d e n t nedescrescătoare şi m ă r g i nite. Se v e d e astfel că funcţia cu variaţie mărginită / ( / ) poate fi e x p r i m a t ă ca diferenţă a două funcţii nedescrescătoare şi m ă r g i n i t e : (4)
f(t) = [ C + f(a) + P(t)] -
[C +
N(t)l,
C
constantă arbitrară. Să presupunem acum că / ( / ) este şi continuă. V o m arăta că V(t) este continuă. F i e dat e > 0. E x i s t ă 8 > 0 aşa fel ca
(5)
i/w-yfOK-y
pentru \t — t'\ < 8. P e de altă parte, prin definiţia lui V(t), există diviziuni a l e intervalului [a, f], pentru care v(t) > V(t)
— • 2 Dacă introducem noi valori de subdiviziune în ultimul interval, este clar că v(t) nu poate descreşte. Deci putem presupune că punctul de subdivi ziune / ' care precede pe / satisface condiţia ( 5 ) . Considerăm suma celorlalte variaţii absolute ce intră în v(t) v{t') =
v{t)-\f{t)-f{t')\.
Cum acestea se referă la intervalul [a, / ' ] , a v e m V(f)
> V(t') > V(t) -
£,
sau (deoarece V(t) este nedescrescătoare) | V(t) — V(t') | < e pentru
\t —
t'\<8.
(Dacă t < t' v o m schimba valorile lui / şi t'). Aşadar, V(t) este o funcţie continuă. D i n (3) urmează că P(t) şi Af(/) sînt de asemenea continue, şi (4) a r a t ă că / ( / ) este diferenţă a două funcţii continue şi nedescrescătoare. î n sfîrşit, dacă la aceste două funcţii adăugăm o aceeaşi funcţie crescă t o a r e şi continuă, v o m obţine două funcţii crescătoare şi continue a v î n d dife renţa / ( / ) . 264
Lemă. Dacă C este o curbă continuă şi mărginită, pentru orice e > O există un 8 > 0, astfel că \At\ < 8 în [a, b] atrage \Az\ < e ( | A * | este coarda corespunzătoare subintervalului A / ) . R e z u l t ă din continuitatea uniformă a funcţiilor x(t), y(t) în [a, b]. Teorema 9. Dacă C este continuă şi rectificabilă de lungime s, pentru orice e > 0, există un 8 > 0, astfel că la orice 8-lanţ (1) din [a, b] (adică cu At = ti — / _i < 8, pentru i = 1, n) corespunde o linie poligonală L de lungime l > s — e. Deoarece s(C) = s, există o linie poligonală L înscrisă în C, de lungime ţ
4
0
l
—. Conform lemei, o linie poligonală L înscrisă în C v a avea latu2 rile < e' (număr ce v o m determina ulterior), dacă corespunde unui 8-lanţ, (8 un număr corespunzător lui e ' ) . Să presupunem că între vîrfurile z_ z ale lui L a v e m vîrfurile z , ... , z ale lui L. Q
> s
t
t
0
h
!•«» —
— **\ +
+
I*» —
(căci / —
< 4 —
A
<
e
+
z
••• +
\k —
'
,
1^1
l*« — * J •> |*i —
— **| < e '
< 8 e t c ) . Deci, Z
— K\ +
••• +
I** ~
şi sumînd la toate laturile lui L ,
— 2e',
> l^i —
în număr de n :
0
0
l > lo — 2w e' > s 0
L u î n d e' =
lt
k
^
2n z . Q
v o m avea l > s — z pentru toate lanţurile din [a, b}. An
Q
Corolar. Dacă C este continuă şi de lungime s(< + oo), la un şir de 8 s cu 8 —«>0 corespunde un şir de linii frînte înscrise de lungime l -+s. m
lanţuri
m
m
m
Teorema 10. Pe un drum rectificabil z = z(t) (a < / < b), lungimea s a subdrumului corespunzător subintervalului [a, t] este un parametru normal. A v e m de demonstrat că s = s(t) este o funcţie crescătoare şi continuă. P r i m a afirmaţie rezultă i m e d i a t din teorema 6. P e n t r u a demonstra afirmaţia a doua, v o m folosi teorema lui Jordan. A v e m deci pentru drumul nostru: x(t) =
(t)
Xl
-
x (t),
y(t) = (t)
2
-
yi
y (t) 2
f
funcţiile din m e m b r u l al doilea fiind continue şi nedescrescătoare. L a un sub interval de lungime At corespund Ax = Axx — Ax , 2
Ay = Ay
—
±
Ay , 2
şi a v e m \Ax\ < A * i + Ax , 2
\Ay\ < Ay
x
+
Ay . 2
Să considerăm o diviziune a intervalului precedent, la care corespunde o linie poligonală de lungime Al, înscrisă în subdrumul corespunzător inter valului. A p l i c î n d inegalităţile precedente, a v e m : Al < 2 | A * * | + 2 \ \ y \
< 2 A**! +
I V
2
+
265
sau Al < A*x + Atf + &yi + A^y 2
(căci S A
t
^ =
2
A ^ x e t c ) . î n virtutea continuităţii, fiind dat e > 0, există
8 > 0 astfel că Ax
Ax ,
lt
2
Ay
v
Ay
2
< — cînd A * < 8 . V o m avea deci A / < e şi 4
A s = sup ( A / ) < e pentru At < 8. Aceasta înseamnă că funcţia s(t) este continuă. Corolarul 1. s(t) fiind crescătoare şi continuă, există o funcţie inversă t=t(s) (uniformă), crescătoare şi continuă (C curbă continuă rectificabilă), Corolarul 2. Dacă C este o curbă continuă rectificabilă, la orice e > 0 există 8 > 0 astfel că | As\ < 8 atrage \Az\ < e. Cu alte cuvinte z = z(s) este continuă în [0, s ] . Căci * = z(t(s)). D e altfel se v e d e şi direct că j A s | < e atrage | A / | < e (teorema 3) (putem deci lua 8 < e ) . D e aici urmează teorema în cazul c î n d t este în corespondenţă biunivocă cu curba. Teorema 11. Dacă C este continuă, simplă şi rectificabilă (curbă Jordan rectificabilă), pentru orice e > 0 există un Y) > 0, astfel că orice linie poligo nală L înscrisă de laturi < r\ are lungimea l > s — e (s = s(C)). Corespondenţa t -> z fiind homeomorfă, pentru orice 8 > 0 există 7) > 0, astfel că \Az\ < TQ atrage | A / | < S. T e o r e m a rezultă acum din t e o rema 9. Corolar. Dacă C este o curbă Jordan de lungime s ( < + oo) şi L şir de linii frînte înscrise de laturi < Y j , unde —• 0, atunci s = l i m l fiind lungimea lui L ).
m
m
m
un (l m
m
Observaţie. P e o curbă C simplă şi continuă (curbă Jordan) orientările sînt definite intrinsec (invariante la homeomorf ii) ( v e z i 1 g, i) şi o linie frîntă înscrisă, a = z z ... z = (3 se poate defini de asemnea intrinsec, ca f o r m a t ă din vîrfuri ce se succed în acelaşi sens. 0
x
n
Teorema 12. Pe o curbă Jordan rectificabilă, continuă de punctul z al curbei şi viceversa.
arcul s = s ^ ) este funcţie
într-adevăr s este funcţie continuă de / (teorema 10) şi / este funcţie continuă de punctul z p e C, fiindcă corespondenţa z —> / este continuă. Corolar. C fiind o curbă Jordan rectificabilă, pentru S > 0 astfel că \Az\ < 8 să atragă \As\ < e, sau At < e.
orice e > 0
există
Se poate demonstra (Lebesgue) că o funcţie cu variaţia mărginită a d m i t e derivată aproape peste tot. P r i n urmare, un drum rectificabil are tangentă aproape peste tot. Teorema 13. Un drum rectificabil sură Lebesgue nulă.
formează
o mulţime
de puncte
de
mă
într-adevăr, luînd pe s ca parametru normal, să î m p ă r ţ i m intervalul de variaţie (0, a ) al acestui parametru, în n subintervale egale. Subdrumurile corespunzătoare a v î n d lungimea — , pot fi acoperite cu discuri de rază — • n n 266
7C0"
A r i a totală a acestor discuri, care acoperă drumul, este
şi
poate
fi
n oricît de mică. Consecinţă. Mulţimea de puncte ale unui drum rectificabil nu este nicăeri densă, şi deci nu are puncte interioare. (Căci o m u l ţ i m e densă într-un domeniu are măsura Lebesgue > 0 ) . Lema. 0 funcţie mărginită.
x(t) în [a, b] care are derivată mărginită,
are
variaţie
într-adevăr, teorema m e d i e i se aplică în orice subinteryal, x(t) finită, continuă şi derivabilă (căci x'(t) este f i n i t ) : V
= *'(6«) V
< 6x <
fiind
t. t
Deci
2 \A x\ < 2 |#'(8|)|A|/ < M(b (
M
= sup
nite,
a),
\x'{t)\.
Teorema 14. O curbă z = x(t) + y(t), unde x(t) şi y(t) au derivate (pe scurt: z există şi e mărginit) este continuă şi rectificabilă. f
(6)
mărgi Avem
s<jjV|d/. P r i m a afirmaţie rezultă din teorema 7 şi l e m a precedentă.
Fie
= Ax-
IVI =
*&-i)]
2
+ [y(ti)
-
y(ti-i)f.
S ă n o t ă m pentru m o m e n t t = t şi y(t) = \z(t) — z ( / * _ i ) | . A t u n c i
I V I = A («) = (t) 9
V[*(/') -
9
*&.i)]
= [x'(t')
unde
9
( ^ ) =
+ [y(0
-
=
y(ti-i)?
sin 6 + / ( / ' ) cos 6 ] A / ,
< i' < i şi 4
s i n
e
4{x(t')
-
c o s e =
Vj>(*') aşa
2
-
x ^ f
+ [y(t')
y{t') - y{U-i) x{t^)f + [y(t')
-
y{t^)f
.. -
y{t . )f t r
că
|A,z| =
= [*'(/')sin 6 + y'(t')
Vsin e + cos*e V * ' {t'f
2
+ y' (t')
cos 6]A* < z
A< < V * ' (t') + y' {ff
At, 267
şi notînd cu M
marginea superioară a funcţiei
t
2
2
V*'(*) + / ( / ) =
\z'(t)\
în intervalul [/,_!, t ] rezultă t
|A,s|<M A,*, f
şi sumînd după i :
(6) se obţine luînd un şir de 8 -lanţuri cu 8 - * 0 şi trecînd la limită. m
m
T e o r e m a 15. 0 curbă z = x(t) + iy(t), cu x'(f), este continuă şi are lungimea de arc dată de (7)
y'(t) mărginite şi
2
s(xz) = s(t) = *\ \z'\dt=^
v.r'(/) +
continue,
y'(tf dt.
într-adevăr, într-un interval [t _ t ] determinat de punctele ale unui S -lanţ, v o m avea, în virtutea teoremei creşterilor finite t
lt
t
t_ t
lt
t
ţ
m
(8)
| V | = V(A,*)
2
+ (A y)
2
f <
= A , / 4%' ( 6 , )
2
+
2
/
(T,) ,
unde h-i < 6 „ T<
(i=
1, . . . , » ) .
Fie { s j . } , > 0, un şir care c o n v e r g e la 0. Fiecărui e îi v a corespunde cîte un S -lanţ (pentru un m suficient de m a r e ) , aşa fel încît oscilaţia lui vx' ( G ) + y ( T ) pentru 6 şi T variind in intervalele [t _ t ] (i = 1, n) să fie m a i mică decît e , ceea ce este posibil graţie continuităţii lui z'(t). Atunci, notînd cu m şi M marginea inferioară şi cea superioară a funcţiei >lx'(t) + y'{t) = \z'(t)\ şi ţinînd seama de ( 8 ) , k
mjfc
k
2
2
t
lt
t
k
t
2
f
2
(m
-
t
sj&tt
< | A , s | < (M + t
e )& t k
t
şi sumînd după i £ « A '
-
^(b-a)
< l
k
<
A , / + e (b -
a).
k
Trecînd la limită pentru k-+ oo, şi ţinînd seama că B ,e —^0, fiind continuă este integrabilă, obţinem tocmai formula ( 7 ) . mk
Corolarul 1. Pentru (9)
o curbă regulată z = z(t) £ at
şi în particular
=
(t = s).
Corolarul 2. (10)
dz ds
268
1 sau
2
2
ds = dx
+
2
dy
k
iar
\z'(f)\
T e o r e m a 16. Pe o curbă regalată l i m J ^ - L = 1 uniform. As-»o A s Este destul să considerăm un arc simplu regulat. L u î n d parametrul a v e m (după teorema creşterilor finite)
IA?)
2
2
1 = <x'( )
+y' (s )
Sl
-
2
s,
1,
As unde Si şi s sînt valori cuprinse în intervalul [s, s - f A s ] . Cum x'(s) sînt uniform continue, a v e m
2
2
pentru
şi
2
y'(s)
A s < â, şi ţinînd seama de (10) urmează o , _
JM.+
i _
- ^ ( s i )
V*'^)
As
2
,
- y ( s » ) + /(s )
2
a
+
i
<
g
+ 1
2
dacă A s < 8. JD#C£ a£ ^sfe arc simplu regulat (de extremităţi OL şi există un subarc ay pe care raza vectoare p = \z — aj poate fi luată ca parametru normal. î n adevăr, p este funcţie continuă de s (lungimea subarcului OLZ). A v e m dp
=
(x — a x ) * ' + ( v — a ) / ^ 2
ds unde a = a + i a altă parte x
2
şi x'(s),
Ax
p v ' ( s ) sînt funcţii continue pentru s = 0. P e d e
Ax
As
,
p
. Ay (0) şi - > v (0) p
/AX
x
As Ac
cînd A s = s —> 0, unde Ax = x — a , x
Ay = y — a . 2
Deci, în virtutea corolarului 2 al teoremei 15, l i m ^ = s ^ o ds
x'(0)~
2
+ v ' ( 0 ) = 1.
R e z u l t ă că într-un interval [0, s ] destul de mic a v e m — > 0, şi prin urmare, ds p(s) fiind o funcţie continuă şi crescătoare, cu d e r i v a t ă continuă, finită şi # 0 , p poate fi luat ca parametru normal pe subarcul corespunzător inter valului [0, s ] . 0
0
Consecinţă.
Dacă
un arc infinit
a oo este regulat
(inclusiv
punctul
oo),
există un subarc infinit al său yoo pe care raza vectoare p = \z\ este un para metru normal (deci p funcţie crescătoare şi cu derivată continuă de s). 268
Aceasta rezultă din faptul că
prin transformarea z* = — , arcul dat
se transformă într-un arc regulat a*0 şi luînd s * egal cu lungimea subarcului Oz* a v e m în puncte corespunzătoare t
pp* = de
1, d s = |d*|, d s * = — |
unde D
A *
S
A *
ds*=
d
> dp*= p
d
P
P
d
P *
- > —T = — — • p ds ds*
2
2
Această formulă ne permite să transportăm rezultatul precedent de la arcul a*0 la arcul aoo. Teorema 17. O transformare
continuă într-un
domeniu
D
u = u(x, y), v = (x, y), definită de funcţii cu derivate parţiale mărginite C cz D într-un drum rectificabil.
în D, duce un drum
rectificabil
Fie z = x(t) + i y(t) ecuaţia drumului C (a < t < b) şi 8 distanţa m u l ţimii C la fr D (8 > 0 ) . Deoarece x(t) şi y(t) sînt continue în [a, b] există YJ > O astfel ca \Az\ < 8 pentru \At
Aw = u(x + Ax, y + Ay) — u(x, y + Ay) - f + =
u(x, y + Ay) — u(x, y) =
u (x + QAx, y + Ay) Ax + u (x, y + Q Ay) x
y
x
Ay,
unde 0 şi Q sînt cuprinşi între 0 şi 1. D e c i : ±
2|A^|<M(E|A *| + t
u
a
2|A^|). v
1
Drumul C fiind rectificabil, £ \&k \ l fel 2 \&k \ s^ * mărginite. A c e s tea sînt sume de variaţii absolute, relative la funcţiile u(t) = u{x(t), y(t)) şi v(t) = v(x(t), y(t)) care reprezintă transformatul drumului C ; ele se referă numai la diviziuni ale intervalului [a, b] cu | A ^ | < Y J , dar aceasta este destul pentru a conchide că funcţiile u(t) şi v(t) au variaţie mărginită. D e o a r e c e dacă într-o diviziune a v e m intervale de lungime > Y J . subdivizînd aceste in tervale prin introducerea unor valori intermediare, o b ţ i n e m sume de v a r i a ţ i i absolute cel puţin egale cu cele corespunzătoare diviziunii considerate. Aşadar, drumul transformat (dacă nu se reduce la un punct) este recti ficabil. Observaţie. T e o r e m a precedentă se aplică în cazul unei transformări regulate, caz în care u(x, y) şi v(x, y) au derivate parţiale c o n t i n u e ; pentru a o aplica se v a considera un domeniu închis Ă conţinut în D şi conţinînd dru m u l C; în acest domeniu, derivatele v o r fi m ă r g i n i t e . 270
dy 11. Pentru curba y = y(x) cu — integrabil şi.în particular, mărginit şi continuu dx
Exemple.
dx.
Dacă în
x,
dv
± oo, trebuie ca integrala să fie convergentă.
dx 12. Arcul de curbă
y =
«M
x sin — x
0 < x < a,
0
x = 0
efte rectificabil. Aceste ecuaţii reprezintă o curbă — imagine topologică a segmentului 0 ^ x < a (cores
pondenţa x —¥ z este evident biunivocă şi continuă, chiar şi în 0, unde lim x sin — = 0 *->0
-y{0)).
x
2 Curba face o infinitate de oscilaţii în vecinătatea originii; ea taie axa reală in punctele a,* = — 2 şi e tangentă alternativ dreptelor y = db * în punctele a jt = ( l + (— l)*t),unde (2k + 1) 7 T a
+1
cos — ia valorile (—1)* = ± 1 (vezi fig. 65). x x x Spre a arăta că arcul dat nu este rectificabil, considerăm linia poligonală înscrisă aa a m+i ••• a 2 0, de lungime /. Suma laturilor or *a2t + a?fr+i«a*+2 este > dublul ordonatei lui a *+i în valoare absolută: y
= sin
?TO
2
2 w +
a
+1
a
(2* -f l)7t Deci: 1> (2* + " 1
/" este divergentă I căci
Cum 2k -}- 1
divergentăj,
{
1 2k + 1
1)TU
1 > — •
1
2
k + 1
1 şi seria armonică
este
* + 1
urmează că în arcul dat putem înscrie linii poligonale de lungime oricît de mare;
deci arcul nu este rectificabil. însă orice arc 0 < a ^ x ^ b al aceleiaşi curbe care nu conţine punctul 0 este rectificabil, pentru că pe un asemenea arc y(x) are derivată finită. Se poate însă observa că funcţia y(x) nu are variaţie mărginită în [0, a] pentru că formată pentru o sub2 2 2 diviziune a, — 2 m- — 7T > (2m + l)7u , . . , , (2n + 2)TC 0 este 1
>
şi deci poate fi făcută oricît de mare. ' (2k +
1)7T
13. Arcul de curbă lx* sin — x
0 < x ^ a r > 1 x
=0
Fig. 65 271
este rectificabil.
Lungimea lui este exprimabilă
ca o integrală. r
1
y(x) are derivată finită de-a lungul arcului: Pentru xj^O, y' = r x ~
sin — — # x
r - 2
cos — , x
iar în x = O avem r
l
y'(0) = lim — = lim ^ - = lim x ~ x-+Q X x^O
sin — = O, x
r > i
căci sin —— este mărginiţi • Deci arcul este rectificabil.
(
*
;
Deoarece y'(x)
este continuă pe arc (în x — 0 pentru că y'(x) —* 0 = y'{0)),
se poate
scrie
-P
2
\+y'
Jo
14. Ecuaţia
t + it sin —
reprezintă un arc simplu,
care nu este
(0
1),
rectificabil.
Pentru a dovedi aceasta, considerăm linia poligonală corespunzătoare valorilor t^ = —L k tzk+i——~— ( 2fc+ 1
k
2
= !. > •••> » ) • *
n
triunghiul
22*+2^2*+1^2*
suma laturilor
n
^2A~2A-t-i
şi
*2A-f i^2A+2 W
2 2 este mai mare decît înălţimea, deci lungimea liniei poligonale este Z > —-—> — - — . L-/2k - j - 1 ^ 2 k -i- 2 n
Deci /„ —• oo. 15. 2
este rectificabil 16. Fiind
*-f i* sin — t
( 0 < * < 1),
0
/ = 0
pentru că este regulat. dat arcul de curbă mărginit a(J şi un punct oarecare z al său, dacă arcul cczeste
rectificabil şi are lungimea s mărginită, (s < M fix), egală cu sup s — lim s = a. *-» 3
atunci oc(3 este rectificabil şi lungimea sa este
Cum 5 creşte în sensul a —• (J, şi este o funcţie mărginită de z (sau de un parametru topo logic al arcului oc(3), există lim 5 = a şi este egală cu sup 5 . Fiind dat e > 0, orice linie poligonală înscrisă în a(J are un vîrf z în vecinătatea de rază s a lui (J, sau poate fi înlocuită cu alta mai lungă, prin inserarea unui vîrf z în acea vecinătate. Cum o linie poligonală înscrisă în a~ are lungimea s < a, urmează că orice linie poligonală înscrisă în a[4 are lungimea / < a -f s, deci (e fiind arbitrar), / < a. Pe de altă parte, există linii poligonale înscrise in <xfi, de lungime / > > a — e. Căci, există un punct z al arcului a(J pentru care 5 > a — e/2 (pentru că a = sup 5 ) şi o linie, poligonală înscrisă în caz de lungime /' > s — e/2 (pentru că 5 = sup / ) ; deci completînd-o cu latura z$ vom avea o linie poligonală înscrisă în a(J, de lungime l > s — e/2 > o — eAcestea dovedesc că lungimea arcului a(i este a272
17. Fie arcul de curbă <x|3, cu ecuaţia parametrică z — z[t) (a ^ t ^ b) şi z'(t) finit şi con tinuu în fa, b). Arcul a (J este rectificabil şi are lungimea
.6
într-adevăr, z fiind un punct al arcului a(J, atunci în virtutea teoremelor 14 şi 15, arcul 2
<xz este rectificabil şi are lungimea 5 = \
(0 ^ x ^ 1). 2
y Arcul este rectificabil, cum se vede scriind ecuaţia lui sub forma x = 1
(x'(y)
(0 ^ y ^ 2 ) , 4 este finit şi continuu în acest interval. Avem deci dreptul să scriem (exemplul 16).
2
2
(integrala improprie există). Punînd 2 — x = t ( \ — x), x =
a—
2
r+oo
2t dt
Jv'2"
2
(t - î )
_
*
2
* -
= j 2 - ±
+
;
2tdt (/2
_
, avem 1)2
dt 2
2
> dx = l
t% -
f +-*> i y/r
2
t —2
* -
i
logici-
19. / n coordonate polare p, 6, lungimea unui arc de curbă (rectificabil) este dată de 2
2
= ^ Vp'
/2
+ P 6 d*
\Z'\
=
p*
+
p
2
0
> 2 .
La extremităţi se va aplica, dacă este cazul, exemplul 17. 20. Arcul de spirală logaritmicâ p = C e-<*Q, a > 0, 0 ^ 0, plus punctul O (p = 0, 0 oo), efte rectificabil; să se afle lungimea sa. 2
;2 -2AE + c e r
2 r t e
E
:c V^Tl
(
+ Q
°e-ae 0 d
J0
=
c
V
a
d0
2
+
a
1
Fig. 66 (S-a aplicat exemplul 17) (Vezi fig. 66).
18 — Teoria fcnctiilor — c. 1275
273
8. Rotaţia unui drum faţă de un punct, a ) F i e C un drum mărginit, d e extremităţi a, p şi de ecuaţie z = z(t) (a < t < b), t parametru n o r m a l ; fie C un punct ce nu se află pe C. Teorema 18. Există o funcţie unică, Q(t, Z) continuă în (a, b), egală cu o determinare a lui arg(z(t) — C), şi egală în t = a cu o determinare dată a lui arg(oc — C). Ea este continuă şi ca funcţie de C în orice domeniu disjunct de C. 1°. Unicitatea. Dacă Q(t, Z) şi Q^t, Z) sînt două asemenea funcţii, 6i(2, ~~ 6(2, £) ° funcţie continuă şi egală pentru fiecare t cu un 2kn; din cauza continuităţii, k trebuie să fie constant, dar în t = a a v e m k = 0, deci Oxfc C) = 6(fc C). 2°. Existenţa. V o m construi funcţia 8(2, C) astfel: F i e 8 = p(C, C) > 0 şi 0 < p < 8. D i n cauza continuităţii uniforme, există un or > 0 aşa fel ca \t — t'\ < g şi atrage \z(t) — z(t')\ < p. P r i n urmare, subdrumul C corespun zător intervalului [ / ' , t"] de lungime
s
t
e
lt
n
±
lt
2
1
0
0
0
0
0
de această valoare cu m a i puţin de — , apoi, ţinînd z f i x , v a fi fixată determi2 narea lui arg (z — Z) în V^, care v a diferi cu m a i puţin de — de valoarea 2 precedentă a lui arg (z — Co) Şi deci cu m a i puţin de iz, de valoarea iniţială arg(z(t') — Co)- Cu aceasta arg (z — C) este definit în m o d unic. R ă m î n e să observăm că, pentru z dat în F', determinările acestea sînt funcţii continue de C în V^; de aici rezultă că funcţia 0(2, C) este continuă în pentru fie care t în [a, b]. Observaţie. Se zice că arg(* — C) a fost prelungit din punctul a în punc tul p, de-a lungul drumului C. b ) Se numeşte rotaţia drumului orientat C, faţă de punctul C ce nu-i aparţine, variaţia arg(* — C) de-a lungul acestui drum (obţinută prin prelun girea definită m a i sus). Dacă Q(t, C) este funcţia definită m a i sus, rotaţia este (11)
(C, C) = 6(6, C) -
6(0, C).
Rotaţia (C, Z) este independentă de alegerea valorii arg(<x — C): modificînd această valoare cu 2kn, Q(t, C) v a suferi aceeaşi creştere (din cauza continui tăţii), şi diferenţa precedentă nu se v a schimba. D e asemenea ( C , C) este inde pendentă de alegerea parametrului normal. Aceasta rezultă din faptul că pen tru un nou parametru t = t (t) (funcţie continuă strict m o n o t o n ă ) , Qi(ti, C) =^ x
274
x
= Q(ti(t), Z) este o funcţie continuă de t, care diferă de 0(2, Z) prin 2kn şi fiind egală cu aceasta în t = a, este egală în tot intervalul [a, b], c ) Rotaţia depinde de orientarea drumului C; e v i d e n t , (12)
(C_. Q = -
Dacă C i , C , drum), avem:
(C, Q .
sînt drumuri consecutive şi C suma lor (care e tot un
2
(13)
( C , Q = ( C q + ... + ( C „ Q . 1 (
Căci arg(* — £) poate fi prelungit de-a lungul lui C şi (13) rezultă imediat din (ii). d ) Rotaţia
( C , Z) este o funcţie
continuă
de £ în orice domeniu
disjunct
de C. R e z u l t ă din (11) şi teorema 18 (3°). e ) P e n t r u un drum deschis z = z(t) (a < t < b), rotaţia se defineşte ca l i m (C Z), unde C este subdrumul corespunzător intervalului [a, f] (dacă tt
t
limita există şi este f i n i t ă ) . Se v e d e uşor că această definiţie este independentă de alegerea parametrului normal t. D i n (11) rezultă că (C , Z) este o funcţie continuă de t în [a, b). L a noţiunea precedentă se poate reduce şi aceea a rotaţiei în jurul unui punct ce se află pe drumul simplu dat C. Este destul să presupunem că £ = p. A t u n c i se v a defini ( C , p) ca rotaţia drumului deschis a < t < b, adică drept lim (C,, p), dacă această l i m i t ă există şi este finită. Aceasta se întîmplă t
cînd drumul C are tangentă la stînga în punctul (3, adică dreapta $z are limită T cînd t —> b. într-adevăr, există un interval [b b) în care dreapta $z variază în tr-un unghi de semidrepte [S 5 ) , conţinînd tangenta 7\ Determinările lui arg (z — (3) pot fi separate în intervalul [b b) şi aceasta ne dă mijlocul de a defini în tot intervalul [a, b) o funcţie 9(/, (3) continuă şi egală cu o determi nare a lui arg (z — (3) pentru fiecare t din i n t e r v a l : Q(t, (3) v a fi construită în [a, bx] ca la nr. 1, iar în [b b) v a fi luată egală cu determinarea lui arg(z — (3), egală în t = b cu Q(b (3). V o m a v e a lf
lt
2
lf
lt
±
lf
( C „ p) = 8(*. p) P r i n ipoteză Q(t, (3) —• 0 , unde 0 D e c i (C„ P) 0 - 8 ( « , P). O
O
6(«, p).
este valoarea arg(z, p) pe
tangenta
T.
O
f) î n cele de m a i sus se poate subsuma şi cazul unui drum nemărginit, a oo, de ecuaţie z = z(t) (a < t < b) cu l i m z(t) = oo. Şi în acest caz rotaţia t-+b
(C, Z) v a fi definită ca rotaţia drumului deschis
corespunzător
l i m (C
h
Z).
Se poate observa că ea este egală (dacă există) cu aceea a drumului C* objj^iut prin transformarea
z* — £ = — — - (inversiune de pol ţ), cum reiese
din faptul că arg(^ — Z) = arg(z* — Z). P r i n aceasta, drumul
dat
aoo se
transformă într-un drum a*£ = C*, şi a v e m ( C , Z) = ( C * , Z), deci acest caz se reduce la cazul precedent. R o t a ţ i a din m e m b r u l al doilea există dacă C* are tangenta în deci ( C , Z) există dacă drumul dat are direcţie asimpto tică în raport cu £. 275
g ) Cînd C este un drum închis, mărginit şi orientat (a = (3) rotaţia (C, ţ) relativă la un punct ce nu aparţine lui C, este un multiplu Ikn; k se numeşte ordinul lui £ faţă de C:
Rotaţia ( C , Z) nu depinde de alegerea punctului iniţial: F i e z = z(t) ecuaţia curbei, z(t) a v î n d perioada 2TT, şi a = z(a), y = z(c). L u î n d punctul iniţial a, rotaţia e egală cu (C Z) + ( C , Z), unde C şi C corespund inter valelor [a, c] şi [c, a + 2iz]. L u î n d punctul iniţial y, rotaţia e egală cu ( C , Z) + + (C[, t), unde C[ corespunde intervalului [a + 2TZ, a + c + 2n], deci CI = C i din cauza periodicităţii. Astfel cele două rotaţii sînt egale. î n fiecare domeniu determinat de drumul închis C, rotaţia ( C , Z) este constantă şi egală cu un 2kiz; k se va numi ordinul acelui domeniu. Afirmaţia rezultă din faptul că ( C , ţ) este o funcţie continuă de £ în domeniul considerat (teorema 18). E v i d e n t , orice punct exterior unui cerc care conţine pe C în interior are ordinul k = 0. P r i n definiţie se va atribui ordinul k = 0 şi punctului de la oo. Astfel putem zice că domeniul determinat de C, în care se află oo, are ordinul 0. lf
2
x
2
2
Cînd £ este un punct al curbei simple închise C, sau m a i general, al unei curbe oarecare pentru care £ este un punct simplu, rotaţia ( C , Z) există în cazul cînd C are semitangenta la stînga şi dreapta lui ţ(t este atunci punct unghiular). Descompunînd curba în două arce de e x t r e m i t a t e £ şi a, v o m a v e a , sumînd rotaţiile referitoare la aceste arce: (C, 0 = [6i argumentele 0x şi 0 du-se la tangentele în absolută, de unghiul acest unghi este egal 2
9(a,
Z)] + [6(a, Z) -
0 ]= 2
-
6
2
(determinate de valoarea iniţială arg(£ — a ) ) raportîn£. Aşadar ( C , Z) diferă cu un multiplu de 2TT, în valoare semitangentelor în £. î n cazul cînd există tangentă, cu TZ şi ( C , Z) este de forma (2k + 1)TC.
Exemple
F i g . 67
9. Ordinul
unghiular
al unei curbe închise.
F i e C o curbă închisă local
simplă, şi orientată, z = z(t) cu z(t) funcţie continuă de perioada 2n. E x i s t ă un e > 0, astfel că în intervalul [t — e, t] curba să fie simplă. F i e e ( / ) o fun cţie continuă p o z i t i v ă d e perioadă 2K, e(t) < s < — şi aşa fel încît t — e(t) să 2 fie crescătoare; cînd t creşte cu 2TZ, z(t) şi z(t — e(t)) = z* descriu curba C o dată, în sens p o z i t i v , iar arg(^ — z*) adică înclinarea coardei z*z creşte cu 2hrz (h întreg). întregul h nu depinde de alegerea funcţiei e(t) (în condiţiile prer,6
c e d e n t e ) . î n a d e v ă r , fie funcţiile e (t) şi e^t) ce satisfac condiţiile unde ^(t) < e^t). Să considerăm funcţia: 0
e{t) = X (2) + (1 Sl
^
X)eb(*), (0 < X < 1).
Cum
e(/) satisface condiţiile precedente, z*(t) fiind format cu acest e(t) este o funcţie continuă de X; la fel arg (z — z*) şi creşterea acestuia 2hn. Deci h este constant şi în particular are aceeaşi valoare pentru e ( / ) şi ti(t) (care cores pund la X = 0 şi X = 1). N u m ă r u l h definit mai sus se numeşte ordinul unghiular al curbei C. f
0
î n cazul unei curbe închise regulate, 2hiz este rotaţia suferită de tan gentă. Căci luînd z(t) = e constantă > 0, 2h- = variaţia arg —
—
—;
e
aceasta este independentă de e şi deci 2hn = variaţia arg z'(t) (făcînd e —• 0). Schimbînd orientarea curbei, se schimbă semnul lui h (cum se v e d e schimbînd t în t + s ) . Exemple:
Fig. 68
L e m ă . Dacă o curbă simplă închisă C conţine un segment rectiliniu [a, p], rotaţiile lui C faţă de cele două domenii determinate de C, diferă prin dz 2n. Se poate descrie, cu un punct interior segmentului ca centru, un cerc T, ce nu intersectează arcul simplu C — (a, fi) = C . Cercul F este împărţit de dreapta <xfi în două semicercuri deschise, F şi T , disjuncte de C, deci conţinute respectiv în domenii D şi D determinate de C. F i e a şi a puncte situate în semicercurile T T , şi simetrice faţă de ap. Cum ele se află într-un domeniu disjunct de C , a v e m : 0
x
x
x
2
2
2
lt
2
0
(C , a ) = 0
Pe
de altă
(C ,a ).
x
0
2
parte (C, a ) = ( C , ax) + (I, ax) x
0
I = [a, fii (C, a ) = ( C , a ) + (/, a ) 2
0
2
2
Urmează (C, a ) — ( C , a ) = (/, a ) — (/, a ) = ± x
2
t
2
2-.
T e o r e m a 19. Rotaţia unei curbe simple închise şi mărginite faţă de dome niul exterior curbei este egală cu 0, iar faţă de domeniul interior este ±27r. 277
1° P r i m a afirmaţie este e v i d e n t ă : C poate fi închisă într-un cerc T şi dacă a este un punct exterior cercului (şi deci curbei C ) , determinările lui arg (z — a) se pot separa în I \ 2° Pentru a demonstra a doua afirmaţie v o m observa că, în cazul cînd C cuprinde un segment rectiliniu, ea rezultă dintr-o l e m ă precedentă, după care diferenţa dintre rotaţiile relative la domeniul interior şi cel exterior este ±2TT.
3° î n cazul general, î m p ă r ţ i m domeniul interior D, printr-o transver sală L = ab, în două domenii Ax şi A ( v e z i teorema Jordan § 65 şi teorema 7, § 66). Subarcele C şi C v o r fi parcurse într-un sens ales pe C, de e x e m p l u primul de la a la b, iar al doilea de la b la a. A t u n c i pe frontiera B a lui A este definit un sens în care L este parcursă de la b la a, iar pe frontiera B a lui A un sens în care L este parcursă de la a la b. A v e m d e c i : 2
x
2
x
lt
z
2
(C, z) = (C
z) + ( C , z) = (B
ît
2
z) + (B
lt
2t
z)
(pentru că rotaţiile relative la L sînt opuse). A c u m , dacă de e x e m p l u ze A , a v e m după 2°, (B z) = ± 2iz (JS , z) = 0. Aşadar ( C , z) = ±2n pentru orice punct din D. x
lt
t
2
Definiţie. Se numeşte sens direct faţă de interiorul curbei C (sens pozitiv), acela pentru care rotaţia interiorului este + 2 7 U . Sensul opus se va numi direct faţă de exteriorul curbei C (sens negativ).
§ 72. Integrale Stieltjes Fie f(t)
t
g(t) funcţii reale mărginite în [a, b]. Considerăm lanţurile a = t < h < ... <
0
n
= b
şi sumele corespunzătoare (15) 1
unde şi A , g = g(t ) — Dacă există un prietatea că pentru orice e > 0 există un 8 > 0, astfel că t
număr /
cu
pro
| / - S | < «
pentru toate 8-lanţurile scrie
(16)
(şi oricum s-ar
I =
alege valorile intermediare t*), se
^f(t)dg(t)
şi se citeşte: „integrală Stieltjes de la a la 6". Observaţia 7. E v i d e n t , numărul / (dacă există) este unic: Dacă aceeaşi proprietate ar m a i avea-o şi fie e = \I — I'\ şi S, 8' corespunzînd la relativ la / şi / ' ; dacă 8 < 8', ar urma că există sume S corespunzătoare la 278
S-lanţuri, astfel ca
\I — S\ < —
şi
\F — S\ < — : imposibil.
Observaţia
2. Dacă integrala
(17)
(16) există,
7 = limS , w
S fiind sume (15) corespunzătoare la un şir de S -lanţuri cu 8 —•O. A l t f e l zis, lungimile intervalelor At tind uniform la 0. m
TO
m
Aceasta poate servi ca definiţie a integralei Stieltjes. Deoarece, dacă numărul 7 are proprietatea (17) pentru orice şir de S -lanţuri cu 8 —>0 şi nu ar exista un 8 > 0 aşa ca \I — S\ < e pentru S-lanţuri, ar exista un şir de S -lanţuri cu 8 —• 0, pentru care |7 — S \ > e: şi pentru acest şir lim S nu poate fi 7. (Demonstraţia implică principiul alegerii.) m
m
m
Observaţia
m
m
m
3. dg(t)
= g(t) -
g(a)
căci S = 2 A g = g(b) — g(a). {
T e o r e m a 1.
Avem:
f /
(18)
(a
.'a
(19)
(* kf dg=?fd(kg) Ja
= k¥fdg
«a
(20)
(*
(fi
+/) dg = C* / d g + C / 2
a
Ja
(21)
(k= const)
.a
Ja
dg
2
Ja
\y^i+^)=\yd^ + \yd^
^ / d g = - ^ / ^ ,
unde existenţa integralei din membrul al doilea atrage pe aceea a integralei membrul întîi în cazurile (19)— (21), şi în (18) dacă g este continuă.
din
Demonstraţia relaţiei (18). P r i n ipoteză, 7, I 7 fiind integralele din m e m b r i i I , I I şi S, S i , S sumele (15) corespunzătoare, pentru un e > 0 oare care, există un 8 > 0, astfel că lf
2
2
\I -
S\ < j
, \h -
S i | < - j , \h -
S |< -î 2
pentru toate S-lanţurile din [a, c], [a, b] respectiv [b, c]. U n S-lanţ în [a, c], completat cu punctul b ^dacă nu-1 are) se descompune într-un S-lanţ în [a, b] şi unul în [b, c]. L u î n d / ( / < ) = f(b) în intervalul care conţine b, se v e d e că a v e m S = S i + S , căci 2
g(*i) dacă (*<_! < & < / « ) .
g(*<-i) = (g(ti) -
g(&)) + (g(b) -
g(U)),
Urmează
| ( / i + h) -
I | < |/i -
pentru orice e > 0 ; deci 7 = I
x
Si| +
|7 2
S | + 2
|7 -
S| < e
+ 7 . 2
279
( 1 9 ) : I fiind ultima integrală, o sumă relativă la integrala din m e m b r u l întîi este S = k S A v e m deci \kl — S\ = \k\ j/x — S i | < e pentru S-lanţu rile care fac \Ii — S \ < t\ \k\. x
v
x
x
(20): O sumă relativă la integrala din m e m b r u l I este de forma S = S + S , S i şi S fiind relative la integralele din membrul al doilea etc. c a l a ( 1 8 ) . (21): L a f e l : ( A , ( + g ) = A + A ). x
+
2
2
g l
Se defineşte ^fdg
2
i g l
ig2
d
= — ^ f S
(<*<*)•
Se v e d e uşor că formulele (19)—(21) au loc fără restricţiile a < b < c. Integrala compusă \ fidgx + ... + f
n
gralele simple ^ / x dg
dg
lt
H
dg
se defineşte ca m a i sus. Dacă inte-
n
există, există şi integrala compusă, nu şi
reciproc. î n acord cu (20), (21), a v e m :
i
^fid +f dg gl
2
+ ... = \f dg
2
î
Jo
+ Vf dg +
1
2
Ja
...
2
Ja
cînd integralele din membrul al doilea există. Observaţia 4. Cînd g(t) = t, Riemann.
integrala
Stieltjes
devine
o
integrală
Teorema 2 . ^ / dg există dacă în [a, b]: 1° f(t) este continuă sau eu mărginită
şi 2° g(t) este continuă şi cu variaţie
variaţie
mărginită.
După teorema lui Jordan (§ 1, teorema 7) putem presupune (aplicînd formulele (19)—(21)) f(t) continuă sau crescătoare şi g(t) continuă şi crescă toare (şi ambele m ă r g i n i t e ) . Să punem x = g(t). Există funcţia inversă t = = y ( x ) uniformă, continuă şi crescătoare în inter v a l i d [a, p], unde a = g(a), p = g(b). Funcţia
E/ft)A«g =
2?(T;)A T, f
unde A g = x, — t
T<_X =
A , x şi
T-
=
g(t*),
deci X _ x < X t
< X , .
3
f Să considerăm integrala riemanniană / = V
(22)
P Ja
280
/ d g =
(%(T) Ja
dx
Observaţie. T e o r e m a se aplică şi atunci cînd [a, b] se descompune într-un număr finit de intervale unde condiţiile ei sînt satisfăcute. Astfel, graficele funcţiilor / , g pot fi formate din bucăţi monotone în număr finit, continue în cazul lui g. Punctele de racordare ale acestor bucăţi pot fi puncte de discon tinuitate. Teorema
3. ^ / dg există dacă f este continuă şi există g'(t) continuă
în
•a
[a, b].
Atunci
(23)
C/
Ja
Integrala din m e m b r u l al doilea e x i s t ă ; s-o notăm cu I. P u t e m (presupunînd a < b): & g = g'(%)A t i
scrie
*,-i<6î<< .
i
f
Să considerăm sumele S = E/(tf)A*
f
S' =
S/(6,V(6*)A^.
P r i n definiţia lui I, pentru un s > 0 există un 8 > 0 astfel ca A ^ < 8 g să atragă \I — S'\ < 2 Există un M > \g'(t) \ în [a, b], deci | A g | < MA t. f
t
Cum f(t) este uniform
continuă în [a, 6], există un $ ' > 0 , astfel ca \& t\ < S ' s ă atragă | A / | <
•
t
2M (b — a) î n particular A 2 < 8' v a atrage t
1/(6,*) - / ( ' , * ) ! <
e
2M (b — a)
(căci ]0J — t*\ < Ait). A v e m deci pentru A t < 8' (
\S'-S\ 1
<
£MA,* = 2M(b-a)
— 2
de unde
| 7 - S\ < \I—S'
\ + \S' -
S\ < z
pentru A ^ < m i n (8, 8'), ceea ce stabileşte ( 2 3 ) . Observaţie. Este destul să presupunem despre g că admite derivată g' integrabilă în [a, b]: Integralele Stieltjes improprii cu un număr finit de puncte singulare (unde / sau g nu sînt mărginite, sau a, b = ± oo) se definesc ca şi integra lele R i e m a n n improprii, ca limite de integrale proprii. Se v e d e uşor că formu lele (18)—(21) subsistă. D e asemenea formulele (22), (23) dacă integralele din membrul al doilea sînt convergente. 281
e
Exemple
2
1. J = C e d([t] + (Mt) ), Jo
tinde [t]
partea întreagă a lui t, iar Mt = partea
sa zecimală. Avem, aplicînd teorema 2 (vezi şi fig. 69)
JP'
12
Fig. 69
Fig. 70 în [0, 1], U +
V ' - l ^ [1,2],
1
/ - ^ e ^ d T + £ e +^
dT = 2 ^ a e « d a + 2 ^ 0 e P dp = 1+
= 2(1 + e) ( a e < da = 2(1 + e). Jo a
„ f+ 2./=\
sin < , d ( * + |/|). J— oo t Se aplică teorema 3 (vezi şi fig. 70) ao
#
{
(0 g = 0
/ ^ 0, / ^ 0,
2t
(0
sin /
7=1 J-oo
*
f+ dt + \
J j t
oo
.0
t ^ 0,
sin / ^ ^ f + °o sin/ ^ d(2/) = 2 \ d/= * Jo *
TC.
Observaţii. 1. Formula (18) este a d e v ă r a t ă dacă două din cele 3 integrale există, în cazul c î n d g ( / ) este continuă (cazul se prezintă în paragraful u r m ă r o r ) . Dacă a < b < c a v e m
S" = S + S' + / ( < * ) (sfc) - g ^ . i ) )
-AQm
-
- g(b)) = s + s'+ [f(t*) -f(tU]
-
( (b) - g^)) g
+
+U(n-/(tm (g(h)-g(b)), unde ultimii termeni —• 0, dacă g sau / este continuă, funcţiile fiind m ă r g i n i t e (se v a considera un şir de sume). D a c ă există I şi J " această condiţie nici nu este necesară. 2. Integrala compusă ^ / i dg
x
^ h ^ £ 2 să existe. 282
+ /
2
dg
2
poate
exista
fără ca
dg
r
şi
§ 73. Integrale curbilinii în planul complex F i e C o curbă Jordan mărginită cu extremităţile a, P orientată în sensul <x —• p şi f(z) o funcţie definită (univoc) şi mărginită pe C. Considerăm pe C toate lanţurile <24)
a = z, z 0
z_
lt
n
lt
z = p n
formate din puncte ordonate în sensul a—• p. F i e z\ puncte intermediare oarecare între z _ şi z . F a c e m să corespundă unui lanţ (24) suma k
x
k
n
S = Ş2f(z* )A z, k
k
Az = z — k
k
z_ k
v
i
Dacă există un număr ( c o m p l e x ) I cu proprietatea că pentru c > 0, se poate determina un S > 0 astfel că
pentru toate S-lanţurile p e C (oricum s-ar lua punctele intermediare atunci se scrie: (25)
I = [/(*)
simbolul citindu-se: „integrala funcţiei f(z)
orice
z* )
k t
^ de-a lungul curbei C " .
Observaţia 1. N u m ă r u l I (dacă există) este unic. Demonstraţia ca la § 72, observaţia 1. Observaţia 2. Definiţia este evident independentă de orice reprezentare parametrică a curbei C care păstrează sensul. Observaţia 3. T r e b u i e subliniat că noţiunea implică o orientare a curbei C, Observaţia 4. Definiţia se poate aplica şi unei curbe continue care nu e simplă, dar atunci ea este legată de alegerea unui parametru t, sensul a —* p fiind acela în care creşte t. Sensul se poate schimba atunci cînd schimbăm parametrul şi integrala de asemenea. Exemplu:
F i g . 71
Observaţia
5. V dz = p — a.
Jc Observaţia 6. Dacă C este închisă ( a = p) şi / ( a ) = / ( P ) se v e d e că e x t r e mitatea a = p poate fi înlocuită cu orice alt punct OL = p' pe C sumele S rămînînd aceleaşi. Cînd însă / ( a ) # /(p), a şi p trebuie p r i v i t e ca extremităţi distincte (deşi suprapuse), care nu pot fi schimbate. 233
Teorema 1. Fie f(z) = u(x, y) + iv(x, y) şi z = x(t) + \y(t) o reprezen tare parametrică homeomorfă a curbei C pz intervalul (a, b] (adică C curbă Jordan mărginită) ; a = z(a), fi = z(b). Să notăm u = u(x(t) c
Integrala (26)
y{t))
t
curbilinie
rb I' = \ f
c
v = v(x(t),
t
c
y(t))
f
t
= u + iv .
c
c
(25) există dacă există integrala
c
Stieltjes
rb rb dz = \ u dx — v dy + i V u dy + v dx c
c
c
c
şi este egală cu aceasta. î n a d e v ă r : un lanţ (24) pe C corespunde
unui lanţ
a = t < t < ... < 4 _ i < t 0
x
n
= b
în [a, b] şi punctele intermediare z* la valori intermediare k
K-i
K
(cf. §71).
Avem S =
Z/ («) e
z
K-
D a c ă V există, se poate determina, pentru un e > 0, un 8' > 0 astfel că f
\I
— S\ < e,
pentru A t < k
8'.
Cum însă există un S ^ 0 astfel că | A z | < 8 pe C atrage A t < 8' (fiindcă t este funcţia uniformă şi continuă de z pe C, aceasta fiind o mulţime mărgi nită şi închsă), a v e m t
k
\r — S\ < e
pentru
Az k
ceea ce dovedeşte că integrala (25) există şi este = T e o r e m a 2. Avem (27) Prima
formulele: ^
extremitate
fd*=[
a lui d
f&
+ \
= a doua extremitate
(28)
[
fdz
=
(30)
a lui
C , iar C U C 2
x
2
simplă.
•c
opusă. &/dz =
( (/ Jc
1
+
^
/d?(£ =
/ )ck=(
/id* +
2
Jc
C £s/£ o cwrfta simplă, iar existenţa integralelor pe aceea a integralelor din membrul întîi. Demonstraţia ca la integrala Stieltjes. 284
fdz.
—^/dz
J— c — C /nwrf C a* orientarea (29)
Şi reciproc.
const.),
(/ d*, Jc 2
din membrul
al doilea
atrage
Formula (27) presupune că C U C este tot o curbă Jordan mărginită, î n acord cu această formulă v o m e x t i n d e noţiunea de integrală la orice curbă mărginită care este o reuniune de curbe Jordan, C = C U C U ... în număr finit şi pe care f(z) este definită în m o d univoc şi mărginită, punînd x
2
x
^ fdz
= \
fdz
+ \
2
fdz....
Este uşor de văzut că această definiţie e independentă de împărţirea lui C în arce de curbă Jordan şi că formulele (26) —(29) subsistă, dacă sensul de parcurs pe C a fost determinat. î n particular, dacă curba C este închisă,
{c f dz
este independentă de alegerea extremităţii a = (3. Definiţia se poate
menţine şi atunci cînd / nu e definită univoc pe C (ci numai pe C
lt
dar atunci \ f dz poate depinde de împărţirea lui C în arce Teorema 3. Integrala curbilinie (25) există şi 1°. C este o curbă Jordan rectificabilă (sau curbe) şi 2°. f(z) este finită şi continuă pe C. î n t r - a d e v ă r : C este mărginită ( § 7 1 , teorema mărginită şi continuă; iar x(t), y(t) continue şi cu teorema 7 ) , deci integrala (26) există (§ 72, teorema
C , ...); 2
Jordan.
este egală cu (26), dacă: o reuniune de asemenea
4 ) , / mărginită, deci f variaţie mărginită ( § 7 1 , 2) şi se aplică teorema 1. c
Teorema 4. \ f(z) dz există dacă: )c 1°. C este o curbă Jordan mărginită şi posedînd o reprezentare homeo morfă z — z(t), unde z(f) admite derivata z'(t) mărginită şi continuă în [a, b] (sau, mai general, C este o reuniune de asemenea curbe), şi 2° f(z) este finită şi continuă pe C; avem atunci \ f(z)dz
= ^f (t)z'(t)dt
=
c
(30) = \
(%•*' — v y) c
dt + î ^ (u y c
«a
+ v x') c
dt.
«a
î n a d e v ă r : z(t) şi f (t) sînt mărginite şi continue, iar z'(t) de aseme nea, deci integrala S tieltjes (25) există şi e egală cu integrala din membrul al doilea ( § 7 2 , teorema 3 ) . N u rămîne decît să aplicăm teorema 1. L
Observaţia 1. î n cazul cînd C = \}C , C satisfăcînd condiţia 1° pen tru un parametru t , a v e m conform formulei ( 2 6 ) , formula mai generală h
h
h
\ f(z)dz= Observaţia
YX f (h)z'(t ) h
c
h
dt . h
2. Să presupunem că a m stabilit existenţa integralei \ / d^, .c
constatînd că C este o curbă Jordan recrificabilă şi condiţia 2° este satis făcută, dar că reprezentarea parametrică z = z(t) are un număr finit de puncte singulare, unde z'(t) este infinit, condiţia 1° fiind însă satisfăcută în orice interval dintre punctele singulare. A t u n c i formula (30) este valabilă, 283
m e m b r u l al doilea fiind o integrală impropie (care este convergentă în m o d necesar). într-adevăr, formula (30) se aplică la intervale intermediare şi trecînd la limită se obţin integralele din (30) în virtutea teoremei 6, corolar. f\
a
b
Exemplul 1. C are ecuaţia y = y{x), y(x) fiind crescătoare şi continuă în [a, b] iar y'{x) continuă dar infinită (numai )în b (vezi fig. 72). Atunci C este rectificabilă şi curbă Jordan (§71, teorema 7), deci sub coodiţia 2° putem scrie
x
Integrala din membrul al doilea este improprie şi sigur convergentă în tunetul singular x — b.
Fig. 72
T e o r e m a 5. Fie: C o curbă Jordan rectificabilă, conţinută în domeniul mărginit D\ w = w(z) o transformare biunivocă a domeniului D în domeniul E, efectuată de funcţie w(z) olomorfă şi cu derivata w'(z) # 0 mărginită şi continua în D\ z = z(w) transformarea inversă] f(z) o funcţie mărginită şi continuă pe C. Avem (31)
[ f(z) dz=[
unde C C
este transformata
f(z(w))
curbei
z'(w) dw,
C.
este o curbă Jordan (Corolarul 4 al teorema
1, § 68) rectificabilă
(§ 71, teorema 17). z'{w) = — - — este mărginită şi continuă (§ 35, teorema 2 ) . w'(z) f(z(w)) = f(z) pe C este mărginită şi continuă. Deci ambele integrale există (teorema 2 ) . Să considerăm o sumă S relativă la prima integrală S =
Az k
(am luat z* = z ). A v e m , într-un domeniu închis F, C a F a E (de e x e m p l u un domeniu poligonal care separă C d e fr E (vezi § 64, corolarul 2 a l lemei 1)) k
k
A z = A w [z\w ) k
k
+
k
r ], lk
şi pentru orice e > 0, există un 8' > 0 astfel că |v; | < e pentru ' A ^ j < (theorem 2, § 35). Astfel fc
S=S'
+
unde S' este o sumă relativă C şi s' = s(C),
la
r
8
^A w k
integrala
\S — S'\ < e M l | A w|
a
doua.
(pentru |
k
Dacă
M > \f(z)\
pe
r
A w\<8 ). k
Considerînd un şir de S '-lanţuri pentru care 8 —• 0, pe C, şi corespunzătoa rele lor pe C , care sînt S' -lanţuri cu 8 —> 0 (din cauza continuităţii uni f o r m e ) , v o m avea pentru sumele relative la acestea m
m
m
m
\S -S' \
m
şi la limită \I
-I'\^zMs'
t
I şi / ' fiind cele două integrale (31). Cum e este arbitrar, urmează 286
I =
J\
Observaţia 1. Formula (31) este analogă formulei de integralei reale.
transformare
a
Observaţia 2. î n această teoremă, condiţia ca C să fie rectificabilă se p o a t e înlocui cu condiţia 1° a teoremei 4. Demonstraţia se poate face atunci direct, utilizînd formula (30). Este destul să presupunem biunivocă numai corespondenţa între curbele C şi C \ î n cazul cînd f(z)
nu este mărginită într-un număr finit de puncte
singulare" pe curba C, sau cînd C conţine punctul p e orice arc C ciC
oo, d a r \ fdz
mărginit şi lipsit de puncte singulare, \
x
există
/ dz se defineşte
ca o integrală improprie, drept limită a unei integrale proprii (cînd limita e x i s t ă ) . Punctul oo (în cazul C nemărginită) este considerat ca un punct singular. D e e x e m p l u , dacă extremitatea p a lui C este singurul punct singular, se defineşte f dz = l i m V / dz,
C = az. x
Cînd sînt m a i multe puncte singulare, se împarte C în bucăţi conţinînd un singur punct singular la o e x t r e m i t a t e ; se v e d e imediat că modul de împăr ţire nu are nici o influenţă. Se v e d e uşor că formulele (26)—(29) subsistă. T e o r e m a 1 rămîne valabilă dacă integrala Stieltjes (26) există (ca integrală i m p r o p r i e ) . D e asemenea teorema 4 rămîne valabilă dacă condiţiile ei sînt satis făcute pe orice arc C dintre punctele singulare şi integrala R i e m a n n (30) (improprie) există. x
Teorema 6. Dacă \f(z) | < M pe curba C
rectificabilă,
<32) {cînd, bineînţeles, integrala
există).
Căci \S\
<M"£\A z\^Ms(C) k
d e unde (32) prin trecere la limită. Corolar. în . c
. . . . . .
aceleaşi condiţii, ..ir3 .
Teorema 7. în
dacă pe curba C, z tinde la (3, ^ fdz
tinde
i
condiţiile
teoremei 3 (sau cînd
ambele integrale
există)
287
R e z u l t ă din
ISKZlMJllA^KIl/^iA.sprin trecere la l i m i t ă . Formula mediei pentru integrale reale se extinde la cîmpul c o m p l e x după cum urmează: Teorema 8. Dacă curba C şi şi funcţiile mei 3, iar
f(z),
(/(z)9(*)dz = X|/(Q|(* (s)
s = s(C)
9 c
unde ţ e C şi | X | < 1. După teorema 7
teore
(Darboux).
I [ / ( * ) ?(*) dsl < (* \f (s) | 9 (s) ds. c
c
I Jc
I
Jo
După teorema mediei, a doua integrală se scrie | / ( £ ) j V 9 ( s ) ds, | / ( £ ) ) Jo c
fiind valoarea m e d i e a funcţiei
\f (s) c
|, într-un uunct
cu / integrala dată, a v e m I = X | / ( £ ) | ^ 9 Teorema 9. aceleaşi condiţii, tare omeomorfă a curbei C, (35)
seC.
Deci,
(s) ds cu |X| < 1.
C
z = z(t) (a < t ^ 6) / n / z i
f/c(<)?c(9
notînd
o
reprezen
9c(t)dt.
Ja
unde [jl este conţinut în înfăşurătoarea strass).
convexă a midţimii
valorilor
f (t) c
(Weier
Fie M mulţimea valorilor f (t). înfăşurătoarea c o n v e x ă a lui M este intersecţia tuturor semiplanelor închise care conţin pe M. Să arătăm că punctul c
[ fc?c
dt
Ja
este în toate aceste semiplane. î n cazul contrar, există o dreaptă A care separă p. de M . Printr-o transformare liniară întreagă, w = olz + p putem duce A în axa Oy şi v o m avea de e x e m p l u Reji/ = Re(afji + P ) < 0 şi R e ( a /
C
+ p ) > 0.
Dar C (a/c + P ) Vcdt aa +
P =
\ Ja
288
?c
şi cum
( * < p R e ( a / + p ) dt c
Re( x + p) =
c
Ja
af
V
Ja inegalităţile precedente nu sînt compatibile. T e o r e m a 10. Fie f(z) finită şi continuă în domeniul D ; C o curbă Jordan sau o reuniune de asemenea curbe. Există pentru orice e > 0 linii frînte P cz D astfel că (36) Această condiţie e satisfăcută 75 (corespunzînd lui z).
<
de toate liniile
poligonale
înscrise cu
laturile
f ăz există (teorema 3) şi a v e m un S > 0 astfel că
z
C/cfc-£/&)A z
(37)
t
2 pentru orice linie frîntă OLZ ... z _ fi înscrisă, cu | A z | < 8. L u î n d un domeniu închis C cz B c: D, (împărţind C în arce d e lungime < p număr m a i m i c decît distanţa lui C la fr D, putem acoperit C cu un număr finit d e discuri de rază p ) f(z) este uniform continuă în D şi există un 8' > 0 astfel că n
x
x
k
x
l9
2
I
\ < — (s = s(C)). F i e p = p(C, fr D ) 2s > 0 (ceea ce se poate presupune). V o m lua o_linie frîntă P înscrisă în C, cu | A z | < 8, 8', p. V o m avea atunci P <=. D şi pe fiecare latură a lui z
_ /
t
| < 8' în D atrage \f(z) -/(*') t
t
k
x
A
P. I / M - / ( * » ) ! < - f • Ş Zs (38)
a
c
*
IC / ( * ) d * - £ / ( * » ) V IJP
= f e r
A
[ / ( * ) - / ( * * ) ] d*
I * J*t_j e
e
2s
~2
S-a aplicat formula dz = z — zk_x k
care se verifică imdeiat cu ajutorul definiţiei (sau v e z i e x e m p l u l 2 ) , apoi s-a aplicat teorema 6 şi s-a observat că 2 | A z | ^ s (prin definiţia lui s). ( 3 6 ) rezultă acum din (37), ( 3 8 ) . k
Observaţie. drumurile
Să presupunem
poligonale conţinute
19 — Teoria nmcţiilor — c î?75
că a m constat în D,
că ^ fdz
are pentru
toate
între un punct a şi un punct fi, o 28»
aceeaşi valoare g. A t u n c i , ^ fdz = a pentru toate drumurile Jordan
recti-
ficabile de la a la (3 şi se poate nota c u \ f(z) dz = a. I a t ă o aplicaţie:
h T e o r e m a 1 1 . Dacă f(z) şi finită *\ avem (39)
este olomorfă
în domeniul
D şi f'(z)
este
continuă
£ ^ d * = / ( P ) - / ( a ) = [/(*)]»
în D (adică pe orice curbă Jordan
rectificabilă
C conţitnuă
în
D).
Să presupunem m a i întîi că drumul de integrare C este segmentul a p . Atunci aplicînd teorema 4, rezultă: (40)
^ / ' d z = £ ( ^ )z'(t)dt=^dt=f (b)-f (a) c
=
c
= /({*)-/(«)• unde derivata poate fi luată pe dreapta ap iar t poate fi abscisă pe dreapta ap. A m putut aplica teorema funcţiilor compuse (f'(z) fiind continuă) şi a m putut scrie egalitatea penultimă fiindcă f' este continuă (căci ( / ' ) , z'(t) sînt continue). Şi acum, pentru orice e > 0, există o linie frîntă P aşa fel încît să aibă loc formula (36) (teorema 10). D a r atunci, ţinînd seama de ( 4 0 ) , rezultă: c
C £ d i = C ^ d , +
Jp dz
J
a
dz
+ Uin) -f{*i)} Aşa
+...
... +
f ' £ d r J,, dz
c
= r/fo) - / ( a ) ]
+ r/(P) - / ( * „ ) ] = y ţ p )
+
-/(«).
că, pentru orice e > 0, formula (36) implică [
^d*-!y(p)-/(«)]
Jc dz de unde rezultă ( 3 9 ) . Observaţia 7. Condiţia f'(z) continuă, din enunţul teoremei, este inutilă după cum v o m v e d e a ( £ 7 6 , teorema 3 ) , ea fiind o consecinţă a olomorfiei lui/(*). Observaţia 2. î n loc de f'(z) continuă este destul să presupunem diferenţiabilă (adică u(x, y), v(x, y) diferenţiabile). Observaţia
3. Formula ( 3 9 ) , scrisă ^ f'(z)dz
f(z)
= /(P) — / ( a ) se aplică ori
de cîte ori p u t e m închide curba C într-un domeniu, unde f(z) să fie olomorfă (şi în special uniformă!). A v e m atunci
în particular ^ f'(z)dz
= 0 dacă C
este închisă. •) Vom vedea că această condiţie este inutilă, fiind o consecinţă a celei dinţii. 290
Corolar. Formula labilă
cînd
integrării
f şi g satisfac
V fg' dz = [fg]% — V f'gdz, jc Jc teoremei.
prin
părţi:
condiţiile
e va-
Teorema 12. O funcţie olomorfă în domeniul D, a cărei derivată este nulă în D, este o constantă în D. F i e f'(z) = 0 î n Z ) . D a c ă f(z) este olomorfă în D, p u t e m aplica teorema 11, ( / ' fiind e v i d e n t finită şi c o n t i n u ă ) ; ( > ( * ) d* = / ( * ) - / ( « ) = 0, / ( * ) = / ( a ) . Ja
( R e z u l t ă şi din condiţia lui C a u c h y ) . n + l
rx r z i* Exemple. 2. \ z dz=\ , n întreg ^ — 1, si z , z ^ 0 cînd n < — 1. Se aplică J*. U + lJ*. teorema 11 în tot planul finit, şi 0 cînd n < — 1. rx dz 3. V = [log (z — a)]* într-un domeniu D care nu conţine oc 5» nici ntUJx, z - a înconjură (astfel că arg (z — a) nu ^>oate varia cu 2TZ) ; numai într-un asemenea domeniu se poate defini o determinare a lui log (z — a) separată de celelalte (şi formula se va aplica unei aceleiaşi determinări). O astfel de determinare este deci olomorfă. într-un domeniu care conţine a sau îl înconjoară, integrala depinde de drum. Astfel avem în general (vezi § 71, formula (11)). n
0
t
ţ
(41)
= (C, a) i + [log \z - «|]J5j
JC* -
a
dacă C este închisă, JC Z — OL
(este presupus că C nu trece prin a ) . Aceste formule se demonstrează cu ajutorul precedentei, descompunînd C în arce CK = z^z^ pe care (CK» a) < 2iz. Putem scrie atunci ( = [log (* - a ) ] * = ( C , a) i + [log \z JCA Z — OL *"* * şi nu rămîne decît să adunăm aceste rezultate, observînd că (C, a) = 2(Cjî, a ) . [§ 71, formula (13). Rezultatul este acelaşi ca şi cînd s-ar aplica (39) luînd în extremităţile curbei C valorile unei determinări oarecare a lui log(
K
1
în acelaşi mod avem C - Z i f L dz = [log/(z)]£, f(z) fiind olomorfă şi diferită de zero JC / ( * )
pe C (adică într-un domeniu conţinînd C) şi luînd pentru log f(z) o determinare iniţială oare care, pe care o urmărim continuu pe C pînă în fi. Ceva analog cu (41) nu putem afirma deocamdată (vezi § 90). Observaţie.
P r o c e d e u l este g e n e r a l : cînd o curbă C se poate
descom
pune într-un n u m ă r finit de arce C , ce satisfac condiţiile teoremei 11, ^ / '
d
2
r
k
se v a obţine aplicînd (39) acestor arce şi adunînd rezultatele. A c e a s t a se aplică atunci cînd f(z) este o funcţie multiformă, cu determinări olomorfe pe C (dar nu pe întreaga curbă C ) . î n aceste cazuri, trebuie înainte d e t o a t e să a l e g e m valorile lui f(z) p e C astfel ca să a v e m o funcţie uniformă (definită u n i v o c ) şi c o n t i n u ă ; această alegere este h o t ă r î t ă de determinarea aleasă pentru f(z) în e x t r e m i t a t e a a ( d e e x e m p l u ) : căci prin aceasta f i x ă m k
291
determinarea funcţiei în C
apoi în C
v
2
etc. N u m a i astfel ^ fdz
are un sens
precis. Totuşi, sînt cazuri, cum este c e l din e x e m p l u l 3, şi mai general ^ l o g f(z) dz cu f(z) olomorfă şi diferită de z e r o p e C, în care alegerea determinării iniţiale este indiferentă: aceasta tine de faptul că determinările diferă prin constante (2k7r). 1
ţ_
l
n
Exemple. 4. \ z
dz, n întreg > 0,
C cercul \z\ = 1. Avem
n
z = re*, z
=
JC
j n
n
2 7t
. S ă alegem determinarea egală cu e
.
2«i
n
r
în 2 = 1.
2A7T .
î
1
m
—i
z
= r e r
2k7Z .
1
M
—i n
Găsim 1 z Jc
dz =
1 n
n
n
= s \ ie d ţ = —n(l—e )e , luînd
0
0
qy n
valoarea precedentă înmulţită cu e . Astfel, acest exemplu confirmă nu numai observaţia pre cedentă, ci şi observaţia 6: deoarece nu putem defini univoc f(z) pe curba închisă C, trebuie s-o considerăm ca o curbă cu extremităţi distincte (dar suprapuse) şi atunci este natural să ne aşteptăm ca integrala să depindă de alegerea punctului iniţial pe C. f log Z C log Z f9o+ rc 5. 1 pe cercul \z\ — r, cu punctul iniţial z = re P. I dz = V i(logr+ JC dz ' Jc(, ) z J«p 2
L!
0
0
-f- iţ)
d
0
2TZ\ log r — 27T
0
§ 74. T e o r e m a fundamentală
a lui Cauchy
A m văzut în § 73 e x e m p l e în care ^ fdz depinde numai de e x t r e m i t ă ţ i l e drumului de integrare C (şi, natural, de funcţia / ) , astfel că a v e m analogie c o m p l e t ă cu integrarea funcţiilor de variabilă reală. Să presupunem că acesta este cazul, oricum a m lua, în domeniul mărginit D, curba C cu extremităţile fixe a, (3 ( C fiind o curbă Jordan rectificabilă). Dacă D este simplu conex, două asemenea drumuri, C şi C , care nu se întretaie, (adică nu au alte puncte comune decît a şi (3) formeacă o curbă Jordan închisă, a cărei regiune interioară R este cz D ( v e z i fig. 7 3 ) . Conturul e i , parcurs într-un sens sau altul se v a putea reprezenta cu C — C sau C — C A v e m atunci x
2
x
2
2
v
[
fdz=i
fdz-i
/ ( i * = 0.
Cum orice curbă Jordan închisă c D se poate scrie C i — C (luînd două puncte a, p pe e a ) , rezultă că o 2
^
condiţie necesară pentru ca ^ / dz să depindă numai de
este ca ^ fdz
extremităţile drumului
C în D (simplu c o n e x )
= 0, pentru orice curbă Jordan închisă şi cz D.
Condiţia este suficientă. F i e C , C două drupiuri în D, de la a la p. Să l e presupunem m a i întîi poligonale. E l e pot a v e a un număr finit d e întretăieri. Să descriem, de e x e m p l u , C — C . F i e y primul punct în care x
2
x
292
2
x
revenim. Porţiunea de linie poligonală yi —» y p e care a m parcurs-o, este un poligon simplu ( v e z i f i g . 7 4 ) . F i e y al doilea punct în care r e v e n i m . P o r ţiunea y - » Yi - * Y2 este alt poligon simplu etc. Astfel, C — C se descom pune în poligoane simple, P P , . . . şi a v e m prin ipoteză l9
2
2
x
1 #
C
2
2
/ d a r = C / d * + C fdz + ... = 0, de unde (
= C
.
f
Jc.-c, Jp, Jp, Jc, Jc, \ ? Dacă C i şi C sînt curbe Jordan (rectificabile) oarecare, a p r o x i m î n d integrala cu ajutorul unor linii poligonale C[, C , cu A * aceleaşi e x t r e m i t ă ţ i , a v e m (§ 73, teorema 10) *\ e 2
1
2
\i
/dr-C
I Jc,
/dr
~2
Jci
deci
I
/ dz Se,"
\cf
< e pentru orice e > 0,
deci C fdz=\ Jc,
fdz. Jc,
Aşadar:
Teorema 1. Pentru ca în domeniul mărginit D, integrala V fdz să depindă Jc
numai de extremităţile drumului C (curbă Jordan rectificabilă) este necesar şi suficient ca ea să fie = 0 pentru toate curbele Jordan închise şi rectificabile conţinute în D; şi chiar numai pentru toate poligoanele simple cz D. Aceasta se întîmplă cînd f(z) este olomorfă în D (în condiţiile teoremei precedente). V o m demonstra acest fapt fundamental în condiţii m a i l a r g i :
Teorema 2 . (Cauchy). Fie f(z) o funcţie olomorfă în domeniul D interior unei curbeJordan închise şi rectificabile C = fr D, continuă şi finită în 3 (=D [) U C ) ; atunci
J
(42)
/ ( * ) ck = 0.
V o m considera m a i întîi cazul c î n d C este un poligon simplu, conţinut împreună cu interiorul său într-un d o m e n i u D, unde f(z) este olomorfă. A c e s t poligon se p o a t e descompune în triunghiuri interioare, D = T \}T \}... astfel ca C să fie format din laturi ale acestor triunghiuri, iar laturile care nu sînt în C aparţin la cîte două triunghiuri (teorema 5, § 63) ( v e z i figura 75), A v e m X
C fdz=[ Jc
fdz + [ Jc,
2
fdz+...,
Jc, 293
Ci, C ,... fiind contururile triunghiurilor T T parcurse în acelaşi sens ca C ( d e e x e m p l u în sensul direct). î n adevăr, descompunînd fiecare i n t e grală din membrul a l doilea după laturi, se v e d e că integralele relative l a laturile interioare lui D se anulează, aceste laturi fiind parcurse d e cîte două ori în sensuri contrare (căci pentru fiecare triunghi sensul p e contur este acela care lasă la stînga interiorul triunghiului). R ă m î n e să demonstrăm (42), pentru un triunghi T. Să punem 2
lt
2t
=
Este d e arătat că M = 0. Descompunem T în 4 triunghiuri T T[, T \ 2 7 ' , ducînd paralele la fiecare latură prin mijlocul celorlalte. D a c ă s este perimetrul lui T, aceste F i
<, 7
M.
5
v
triunghiuri au perimetrul
x
Avem
Cel puţin un termen din m e m b r u l al doilea este > — M; 4 fdz Repetînd
raţionamentul se obţine
fie
> — M. 4
d e triunghiuri T z> T 3 ... s if | 1 ... d T d ... astfel că C = fr T are lungimea — şi V > — M ( v e z i fig. I JC . 4* 76). Se ştie (teorema lui Cantor) că există un punct £ comun triunghiurilor T . O vecinătate Vţ d e rază 8 conţine toate m u l ţ i m i l e T , pentru n > v, b
n
un
şir
x
n
2 1 1
N
u
n
căci distanţa | £ — z\ la un z e T
n
este e v i d e n t < perimetrul — al lui 2
T; n
5 va fi deci suficient să luăm — < S. 2
»
Deoarece / ' ( £ ) există, a v e m pentru orice e > 0, o vecinătate Vţ astfel că
Ifc) - / « ) - (* - Q f (91 < e k - q în V , z
deci pentru n > v S
Fig. 76
pentru
că | z — £| < — p e C . Cum însă (§ 73, exemplul 2) 2 n
Jc„ 294
S
e — [m-f(Z)-(z-z)m]dz < — 2» 2*
ţ
Jc,
avem 1 < — s e » 2
f(z)dz
4
2
şi deci M < s e, de unde M = 0. Cu aceasta (42) este demonstrată pentru orice poligon simplu c D şi, a v î n d în v e d e r e teorema 1, pentru orice curbă Jordan rectificabilă închisă în D. (Demonstraţia lui Goursat, în varianta lui P r i n g s h e i m ) . Demonstra ţiile m a i vechi presupuneau continuitatea derivatei. Demonstraţia
teoremei lui Cauchy
1°. F i e Q un disc conţinut
în condiţiile
enunţului
(Pollard).
în D, d e centru co şi 8 = p(C, Q)
> 0.
2°. F i e e > 0. Există un număr T J , 0 < 73 < 8, astfel că z
l/OO —f( ) \ <
pentru \z' — z\ < 73 în D.
s
3°. F i e s = s ( C ) . î m p ă r ţ i m C în n > m a x ^ — > 4J arce d e lungime cel mult — > C = a ^ a * (k = 1, n; OLQ = a ) . F i e p distanţa m i n i m ă între n două arce C , C ,, neconsecutive. 4°. V o m subdivide fiecare C în arce C : C = U jC (j= 1, 2, m). care se succed în sensul ql^ —• a , într-un m o d p e care-1 v o m preciza. F i e s lungimile lor, c mijloacele l o r . k
w
k
0
k
k
ktj
k
ktj
t
ktj
ktj
5°. P e n t r u fiecare C
construim
ktj
c
ktj
un pătrat Q
şi laturile paralele cu axele Ox, Oy şi d e lungime l
C
cz Q ,
ktj
deoarece pentru ze C
ktj
.
1
2
_
Zf ,
/ D
6°. Două pătrate consecutive, Q', Q", istanţa centrelor este
W
ktj
= — s . 4 ktj
centrul Atunci
1
/
Zf se intersectează.
+ s " ) = — ( / ' + l") < — (V 5 2
2
cu
avem
ktj
1
deschis,
kJ
într-adevăr,
+/").
7°. F i e Q reuniunea pătratelor Q , la care a d ă u g ă m segmentele des chise eventual comune, la contururile a două p ă t r a t e adiacente (neconse cutive!): Q = U A j . A v î n d în v e d e r e 6° şi că punctele adăugate sînt interioare, uimează că Q este un domeniu. E v i d e n t C cz Q . k
ktj
k
k
k
8°. F i e încă: Q = [ ) Q .
k
E v i d e n t C czQ.
k
Două domenii, Q şi Q consecutive se intersectează, şi Q i,i se intersectează ( 6 ° ) . D e c i Q este un domeniu. 9°. V o m face subdiviziunea arcelor C astfel c a : k
k+1
dccarece
Q
k>m
k+
1) Două m u l ţ i m i Q , Q > , neconsecutive să fie disjuncte. k
k
2) Două m u l ţ i m i Q , Q comună pătratelor Q , , k
k m
k+1
consecutive să se intersecteze n u m a i de la capătul comun.
î n partea
295
Să observăm că, dacă două pătrate Q'.Q" se intersectează, a v e m , £ fiind punct c o m u n :
|c' - c"\<\c'
=
+ k " - Z\
-^in
s
( '+
s
(/' + /") =
" ) < *' + « " •
V o m satisface condiţia 1) luînd toate
s
< — p . 2 P e n t r u 2 ) , fie px distanţa m i n i m ă între C şi C —G t i i
0
k
arcele C
fiind luate provizoriu.
M t l
Luăm
k+1
s
(£ = 1,
A + l f l
< - i - p . Arcele
ktln
C
x
astfel fixate definitiv, fie p[ distanţa m i n i m ă între C şi C k
w
- C
H
l
1
n)
t
t i W
fiind
( & = 1,
l
n ) . L u ă m noi arce Cjm în interiorul celor vechi, aşa ca s
< — pi, — pl. 2 2 —C consecutive. ktl
î n sfîrşit, fie p distanţa m i n i m ă între două arce C — C 2
k
ktl
S u b d i v i d e m aceste arce astfel ca s
kttn
< — pi, — pi, — p (pe lîngă s < — p , 2 2 2 2 condiţie pusă m a i sus). Se v e d e acum, cu ajutorul inegalităţii (43) că două pătrate Q j,Q +u sînt disjuncte dacă j^m s a u / # \ ceea ce dovedeşte 2 ) . 10°. fr Q , şi fr Q au două puncte comune, p , % (vezi fig. 7 7 ) . Cum aceste pătrate se intersectează, atunci de e x e m p l u Q ,
k
2
k
ktj
0
t
k m
k¥ltl
t
k m
k
c
k
M
t
k
V
ktl
k
Q , {9°).
kt
k
ktVn
k
k
k
im
k
ltl
k
k
k
x
k
k
12°. B şi E sînt disjuncte pentru că sînt conţinute în Q -i. , respectiv, care sînt disjuncte (9°, 1). k
k
k
Qt+i.v
m
13°. fr Q constă dintr-un număr finit d e poligoane simple, compuse d i n segmente ce aparţin contururilor pătratelor Q şi care au c e l mult vîrfuri comune frontierei. într-adevăr, fr Q cz U j fr Q j. E v i d e n t , un z e fr Q nu este î n nici un Q şi nu este exterior pentru toate Q ; deci z e frontierei unui Q . ( S e ^1,1 aplică la orice reuniune finită d e m u l ţ i m i . ) U n z e fr Q , deci situat în conturul unui Q*,j ( l P ^ ţ î n ) , are evident o vecinătate formată dintr-un sector circular, d e deschiA. dere TZ, — sau 3 — , şi cz Q . î n primul caz, k
ktj
k
k
k
ktj
ktJ
kJ
k
c e
K
*k,m Fig. 77 mente, lui
z
căci,
d i n cauza
2 2 ze unui s e g m e n t c z f r Q . î n celelalte cazuri, z este extremitate comună la 2 sau 4 seg convenţiei, d e la 7°, nu p o t exista î n jurul k
decît
c e l mult 2 sectoare disjuncte, d e amplitudine — . î n acest 2 d i n urmă caz, z este vîrf comun la două pătrate (neconsecutive), dispuse ca în fig. 78, nx. 5; z este numai î n acest caz un nod a l f r Q . k
296
P l e c î n d de la un segment, într-un sens determinat, v o m trece la altul cu extremitatea comună; şi aceasta fără ambiguitate, dacă convenim ca în cazul cînd extremitatea comună este un nod, să trecem la segmentul per pendicular al celuilalt pătrat cu acelaşi vîrf (din figura 78 nr. 5) (aparţi-
Fig. 78
nînd unui sector deosebit). Se v e d e atunci că (numărul segmentelor fiind finit) trebuie să r e v e n i m la segmentul iniţial (chiar traversînd noduri), după c e a m parcurs un poligon. î n sfîrşit, toate aceste poligoane (care nu au laturi c o m u n e ) v o r fi descompuse în poligoane simple ca, în demonstraţia teoremei 1, şi a v î n d puncte comune doar în noduri. 14°. Printre poligoanele simple care constituie fr Q , unul singur conţine Q în interior şi t o t o d a t ă celelalte poligoane, cu eventuala excepţie a unor noduri. î l n o t ă m P : Este ultimul întîlnit pe un drum ieşind din Q şi e v i t î n d vîrfurile pătratelor componente. E unic pentru că 2 poligoane simple nu se p o t conţine m u t u a l (§ 65, teorema 4 ) . 15°. Distanţa lui <x la un £ € Q este k
k
k
k
k
k
(44) tt
într-adevăr, fie £ 6 Q ;
avem
tti
|«
t
q < |at -
-
!c -
C | +
ei < ±
w
w
l
+ ^
kJ
=
2s
5V2
n 16°. Q. cz e x t P ,
de unde şi £1 cz e x t Q.
k
2s este într-un disc de centru a* şi rază — , în t i m p ce Q n 2s este la distanţă de a , > 8 > YJ > — (2°, 3 ° ) . n 17°. Bk, B'k cz Pk. într-adevăr, fie B <£ P (de e x e m p l u ) ; atunci B este disjunct de P , pentru că B nu conţine noduri (B cr Q _ care este disjunct de Q — Q , 9°, 2 ) . D u p ă 11°, urmează Q _ disjunct de P şi cum Q _ intersectează (8°) Q ( cz int P ), a v e m Q ^ cz int P . Cum Q _ este disjunct de ( ) * (9°, 1) şi Q _ intersectează Q „ Q _ c: int P e t c . . . . Q ^ int P . î n ipoteza noastră, P * nu conţine nici B (şi deci P disjunct de B' ). F i e P z> B . Cum Q c= int P , există în fr Q un poligon simplu P, c a r e separă ( ? de Q (întîlnit p e un drum de la Q la Q în int P ). Cum B este disjunct de P i (fiindcă B nu are noduri şi este presupus în P ), Q este disjunct de P' (11°). A p o i intersectează Q ( c : int P' ) deci ( ^ c :
k
fc
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
lt
k
k
k
k
2
k
ltin
x
k
2
k
k
k
k
k+2
k
M
w
t
k
k
k
k
k
k
M
k
x
2
k
k
k
k
k
M
k
k
kfl
k
M
k
k
297
noastră, B , B cz int P (fiind cz ixQ şi disjuncte de P ). D e c i Q este disjunct de P (11°). Urmează Q cz int P şi în definitiv Q cz int P , de unde C cz int P (8°) şi D cz int (§ 65, teorema 2 ) , Q cz int P , ceea ce contrazice 16°. Cu aceasta 17° este demonstrată. 18°. D u p ă 12° putem scrie k
k
k
k
k
M
k
k+1
k
k
k
k
P
k
= Ă [) B' [) ÂţU k
B.
k
k
D u p ă 11°, A şi A sînt disjuncte de Q, iar după 9°, 1) toate m u l ţ i mile A şi A' (k = 1 , n ) sînt disjuncte între e l e . 19°. F i e p , p (10°) e x t r e m i t ă ţ i l e lui A ; p , p ^ ale lui A k+l> A t u n c i prima^extremitate a lui A _ fiind p _ , a doua trebuie să fie p _j ar forma un singur (şi nu p£_x)- ^î n t r - a d e v ă r , în cazul contrar t o ţ i A , poligon simplu (18°) şi disjunct de (?(18°): k
k
k
k
M
fc
k
k
x
t
fc
2
fc
k
P * - i P * ftt+i P U P i P * i P w U n domeniu determinat de el ar conţine Q şi deci transversalele J5 ., B' , ale căror e x t r e m i t ă ţ i , p ^ , % _ şi p , pi se separă ( p e p o l i g o n ) ; şi ar urma că B , B se intersectează (§ 67, teorema 1), în contradicţie cu 12° ( v e z i fig. 79). Aşadar U Â = II şi U Ă' = I Y sînt două poligoane simple şi dis juncte. 20°. U n u l din aceste poligoane este în D, de e x e m p l u II cz D. î n a d e v ă r : D u p ă 16° co e e x t Q şi co e e x t P . Cum Q are puncte în D (în v e c i nătatea curbei C cz Q), există un d r u m (poligonal )L = co . . . ţ în D, cu £ e (>. L traversează fr ( ? ; fie £ primul punct de traversare şi să presupunem că L trece în Q . Deoarece P este poligon exterior din fr Q , £ Pk- D a r £ £ £ B , B (care sînt cz ( ? ) ; deci £o € A sau ^4£. Presupunînd primul caz, II conţine punctul din D şi deci II cz D (întrucît I I e disjunct de C ) . 21°. Definind funcţia +
A
l t
k
k
A
k
k
k
k
0
e
k
k
k
k
k
0
0
k
f(z) p(z)
pe C şi
U(czD),
= -
a
* ) + /(<**)
P
e
segmentul a* p , A
9(j?) este uniformă [cele două expresii ( a , ) = /(a .),
dînd
9
A
şi continuă. E x i s t ă deci ^ închise şi orientate simple) Y* =
c
* +
a
y(z)dz pe curbele
(dar nu
* P* — ^ * +
numai
decît
P*-i *-i> a
deoarece y este formată din bucăţi Jordan rectificabile. A v e m A
dz-.
4.
deoarece integralele pe segmentele a de
298
A
p
A
?(^)
dz,
se distrug
(acestea fiind
parcurse
două ori, în sensuri c o n t r a r e ) , iar V 9 d* = V fdz = 0, conform d e m o n Jn Jn
straţiei teoremei lui Cauchy pentru poligoane simple conţinute în de olomorfie. 22°. P e Y* a v e m (45)
domeniul
\ (z)-f(* )\<2z. 9
într-adevăr, 7°, 18° şi faptul
k
a* $ cz Q cz Q implică y cz Q , 2s iar după ( 4 4 ) , a v e m pe y (cz Q ), \<x — z\ < — < rj(3°), deci (45) este v e r i n ficată p e C şi A (unde 9 = / ) , în conformitate cu 2°. P e <x. $ a v e m k
k
că
k
k
km
k
k
k
k
k
\?(*)-Ă**)\
k
=
k
\Ă«*)-AM\
pentru că | 0 ^ — M < v). I a r pe
a '
M
P W
l?W - / f c ) l < l?M
+ l/K)
< 2e
pentru că la primul termen se aplică inegalitatea precedentă, iar celui de al doilea inegalitatea 2° (întrucît |a* — a | < tq). 23°. U r m e a z ă din (45) şi teorema 6, § 73, notînd X = s(y ), M
t
\[
9<1*U(
IJY*
deoarece ^
I
f(**)dz
+ i
IJlfc
k
[?(*)-/(a*)](k
JY*
f(<x ) dz = 0, după cum se v e d e descompunînd-o p e cele 4 bucăţi k
ale lui Y* Şi aplicînd teorema 11, § 7 3 . 24°. Pentru a evalua p e X*, a v e m : s(C ) k
Cît priveşte A , k
< - > a n
M
p
2s
M
2s
< — . oc^p* < — n n
( v e z i 15°)
constă din segmente p e contururile s(A )< k
4£
, = 5 £
s
kt
pătratelor
Q , ktJ
deci
= 5± •
s
Aşadar, \
k
< 10
Şi
< 20 — e. n
Urmează <
20se
d e unde (42). 290
Teorema 3, (Teorema lui Cauchy). (42) este valabilă în aceleaşi condiţii în orice domeniu Jordan, mărginit cu conexiune multiplă (finită), dacă toate contururile sînt parcurse în sensul pozitiv (sau negativ) faţă de domeniu (contu rurile fiind curbe Jordan rectificabile). Demonstraţia se face prin inducţie cu privire la ordinul de conexiune n. P e n t r u n = 1 teorema se confundă cu teorema 2. S-o a d m i t e m pentru conexiunile < n. A v e m un contur C în interiorul căruia sînt celelalte, C i , . . . C _ ( v e z i figura 80). O transversală L care uneşte C cu C determină un domeniu D — L de conexiune n— 1. Dacă în acesta m a i ducem Fig. 80 o transversală analogă, conexiunea se strică şi a v e m două domenii, n
n
n
D -
L -
%
l9
V = D' U D*
de conexiuni n', n" < n, căci n' + n" = n (§ 66, teoremele 5 şi 8 ) . N o t î n d cu C'i, CI şi Cn, C" arcele determinate pe C i şi C de e x t r e m i t ă ţ i l e transversalelor L, V, putem scrie (ibid., teorema 8 ) . n
n
C = fr D' = Ci U L U C ; U L',
fr D" = C{ -
U
U C" n
L =
C\
unde C i , C\ sînt parcurse în acelaşi sens ca C i (directă faţă de D', D", deci faţă de D) şi la fel C' , C » ; în t i m p ce L, V sînt parcurse în sensuri contrare. Cum C şi C sînt curbe Jordan rectificabile (compuse din bucăţi de curbe Jordan rectificabile, disjuncte prin construcţie), a v e m prin ipoteza de inducţie n
C /d* = 0,
\
fdz
= 0,
d e unde
(integralele p e L şi V
se distrug).
Observaţia 1. V o m conveni de acum înainte să orientăm un Jordan în sens p o z i t i v faţă de interiorul lui. A t u n c i (42) se scrie (46)
^
/ d * = ( fdz+...+\
+C
N
JC|
contur
fdz. «C*-a
Observaţia 2. Condiţiile teoremei lui Cauchy nu sînt de prisos. Cele relative la contur trebuie să asigure existenţa integralei. I a r în privinţa condiţiilor relative la domeniu (D mărginit, / olomorfă) v e z i exemplele urmă toare. Aceasta nu înseamnă că ele nu p o t fi lărgite. Astfel, în loc de / olo morfă în D se poate presupune numai că u(x, y), v(x, y) sînt integrabile (în sens R i e m a n n sau Lebesgue) în orice dreptunghi cz D ( M o n t e i ) şi satisfac condiţiile lui Cauchy aproape peste t o t în D (adică cu excepţia unei m u l ţ i m i de măsură n u l ă ) . 3C0
dz
f Exemplul 1. I
$ C un cerc de centru a.
JC* — a 1
Putem aplica teorema 4, § 73, luînd reprezentarea parametrică z — a = re ', r raza cercului: f
dz
f2*
1
.
f2rt
l
1 — —= \ • ire *d9 = i \ d
în ext C toate celelalte condiţii sînt satisfăcute I este olomorfă în z = oo I • \z - a ) Faptul că integrala este independentă de r decurge din teorema 3, aplicată coroanei dintre două cercuri de centru a.
O m u l ţ i m e se numeşte de măsură Lebesgue nulă, dacă poate fi acope rită cu o m u l ţ i m e de cercuri a căror reuniune să fie de arie oricît de mică. O proprietate se zice că are loc aproape peste tot într-o m u l ţ i m e E, dacă are loc peste tot în E cu excepţia unei m u l ţ i m i de măsură nulă. Observaţia 3. V o m extinde teorema 2 la cazul cînd celelalte condiţii fiind v e r i f i c a t e , / ( z ) este olomorfă în D aproape peste tot (dar continuă în D). E v i d e n t ( ţ i n î n d seama de raţionamentul de la teorema 2 ) , este destul să facem demonstraţia pentru un poligon simplu şi deci pentru un triunghi ( v e z i § 63, lema 2 ) . P r i n ipoteză putem acoperi mulţimea A în punctele căreia f(z) nu este o l o morfă cu o reuniune de discuri 2 de măsură < s (oricare ar fi e ) . Cum / este olomorfă în D — A, din definiţia olomorf iei rezultă că D — A este deschisă şi deci A este închisă, aşa că din acoperirea lui A putem extrage (în virtutea teoremei lui Heine-Borel-Lebesgue) o acoperire finită a lui A cu discuri, iar extensiunea dorită apare ca o consecinţă a teoremei precedente.
§ 75. Integrale nedefinite
I ) Să presupunem că în domeniul D, ^ f(z) dz d e extremităţile z o p u t e m scrie
0
există şi depinde
numai
şi z ale drumului C (curbă Jordan rectificabilă). A t u n c i
Aceasta este o funcţie uniformă de z(z fiind ţinut f i x ) , care poate fi numită ca în calculul integral real, integrală nedefinită. Analogia m e r g e m a i departe: 0
T e o r e m a 1. tntr-un
domeniu D unde f(z)
este continuă
şi
?(*) = C/(*') & Jz
9
uniformă,
şi are derivata — =
f(z).
301
P r i n ipoteză
W)-M\<* într-o vecinătate V
z
L u î n d z + A z în V avem
z
(circulară). P u t e m scrie
putem integra p e segmentul ce uneşte z cu A9
<-^—-\Az\ |Az|
Az în
z + Az şi
= e
V.. Deci lim
= /(*).
A*-*O A z
Corolar. într-un = \ f(z)
domeniu
dz este olomorfă
simplu
conex, unde f(z)
şi
o funcţie
este olomorfă,
olomorfă
are o
olomorfă. î n adevăr, după teoremele 1 şi 2, § 74, y(z) e uniformă, aşa că se aplică teorema precedentă. (z)
Observaţie. V o m vedea (teorema 3, § 76) că condiţiile teoremei atrag olomorfă în D. I I ) . într-un domeniu cu conexiune multiplă, unde f(z) este olomorfă se poate
întîmpla c a ^ / d z să depindă de drum, într-o măsură pe care o v o m preciza. d
De
z
1 C* — îpluV e x e m p l u l — într-o coroană circulară cu centrul
z — z înconjoară de k ori O, însemnînd cu 9 drum care nu înconjoară O, a v e m 0
=
finită. (finit)
0
în O: dacă
\fdz
un
9o(z) + 2feci.
Teorema 2. Fie f(z) olomorfă în domeniul mărginit Dacă curbele rectificabile închise C,C a D înconjoară de ori fiecare punct frontieră al lui D,
JC
drumul
valoarea integralei pe
= \
D de conexiune de acelaşi număr
fdz.
JC
P r i n „curbă" înţelegem ca de obicei o curbă Jordan sau formată din bucăţi de curbe Jordan (care adică nu-i nevoie să fie s i m p l ă ) . Este clar că putem presupune C, C poligoane (pe baza teoremei 10, § 73). P u t e m acoperi C U C ' cu un domeniu poligonal conex D', care lasă în exterior fr D (coro larul 1 al lemei 1 § 64, aplicat continuului format din C U C şi un drum C -> C ) . E v i d e n t , D' cz D. 302
D o m e n i u l D' are frontiera formată din poligoane simple, disjuncte; U fiind mărginit, are un contur e x t e r i o r ; fie I I (k = 1 , m ) cele interioare. P u t e m presupune că fiecare II* conţine puncte din fr D; altfel int U cz D şi I I poate fi suprimat. Poligonul C se poate descompune în poligoane simple C (aceste poli goane pot să nu fie distincte; un poligon poate fi descris de m a i multe ori t
t
t
H
şi atunci îl considerăm de tot atîtea o r i ) , ş i ^ / c k = 2 ^ fdz. •iC Jc
După teorema
3, § 74, V fdz
U
t
n
este egală cu suma integralelor pe contururile
situate în
t
int C , pe care le înconjoară o dată în sensul lui C . P u t e m scrie: n
n
s
/dar=^-S*fi> (C. t
II*),
f
unde a m pusV fdz =
n
k
n
k
n
k
n
n
k
(C u ) = s (c , n) k
n
t
n
formula (13), § 7 1 , ) . U r m e a z ă [ /d^ = i - S c o , ( C , II,). t
P e de altă parte, Jc
2n
şi cum ( C , I I , ) = ( C , I I * ) prin ipoteză [în acest scop se v o r lua poligoane aproximante cu laturi destul de m i c i pentru ca să dea acelaşi număr de rotaţii ca şi curbele date. Fiecare H v a da o limitare pentru laturile acestor poligoane (vezi § 73, teorema 10)]. T e o r e m a este demonstrată. Se zice că C şi C sînt echivalente. te
n
Să presupunem că D este un domeniu de conexiune n + l , mărginit, a v î n d contururile interioare F (k = 1, ...,n). Dacă C este o curbă Jordan rectificabilă închisă, care conţine în interior numai T (orientată p o z i t i v ca k
k
k
Şi I \ . ) A fdz este independentă de alegerea acestei curbe sub aceste condiţii, Jc* căci două asemenea curbe înconjoară de acelaşi număr de ori contururile (T o dată şi celelalte nici o d a t ă ) . S-o n o t ă m cu co* şi s-o numim perioadă sau m a i bine, modul de periodicitate r e l a t i v ă la conturul T . k
k
F i e C o curbă închisă rectificabilă şi — ( C , T ) = m \ (C, F ) == ( C , ţ), 2n unde £ este un punct oarecare în F sau int F (după cum rezultă din conti nuitate, v e z i § 65, nr. 8, d ) . Să unim curbele C de m a i sus cu un punct £o e D, prin drumuri în D formînd astfel nişte laţuri în jurul contururilor k
k
k
k
k
k
303
(vezi fig. 81). Fiecare laţ este o curbă închisă, care înconjoară un I \ în sens pozitiv sau negativ. Dacă parcurgem laţul relativ la F de m ori în sens pozitiv sau negativ, după cum m ^ 0 ,şi aceasta pentru fiecare k, obţinem k
k
k
o curbă C , pentru care ^ - ( C , F ) = m (echivalentă cu C ) . ŞiC = C k
• P e un
k
°
Jc
Jc
laţ parcurs în sens pozitiv faţă de C , integrala are aceeaşi valoare ca pe C (căci drumul C -> £ este parcurs în sensuri contrare), deci este egală cu tOj. Urmează k
k
(47)
\făz=Z m <* . k
Fig. 81
interioare
m =
k
4
i-(C,r ). t
Aşadar:
Teorema 3. f(z) fiind rurile
t
k
olomorfă
F (k = 1,
n),\
k
într-un f(z)dz
domeniu
n +
1 conex
pe o curbă închisă
cu
contu
rectificabilă
care
Jc
înconjoară T de m ori este dată de formula relative la aceste contururi. k
k
(47), unde co* sînt
perioadele
Observaţia 1. Cînd_ contururile Y sînt curbe Jordan rectificabile (z) este continuă în D = D cz (\J F ), avem (teorema 3): k
şi
k
fdz.
Observaţia 2. Este evident că în (17), m pot lua toate valorile întregi: curbele formate din lăuturi ne arată aceasta. Urmează acum uşor: k
Teorema 4. într-un are perioade
co
fc
nu
domeniu
multiplu
conex, unde f(z)
toate = 0, y(z) = V f(z)
dz
este
este olomorfă
o funcţie
şi
multiformă,
J*o
avînd
expresia
generală ?(*) = ?o(z) +
S^co^
unde
k
întregi
arbitrari.
Observaţia 3. Determinările funcţiei
304
k
k
k
§ 76. Integrala lui Cauchy Teorema 1. (Cauchy). o curbă Jordan rectificabilă
Dacă f(z) este olomorfă în domeniul C şi este continuă în D,
(«)
r-
D închis
de
d /
LTZl Jet — Z în
D. Fie
T un cerc de centru z şi rază r conţinut în D.
§ 74), ( - = ^ - d * = ( - ^ ^ - d J ş i cum integrala Jet — z Jrt — z = l i m ( £&-ăt. Jr t — z
nu depinde de r \ - = ^ - d / = Jc t — z
Scriem
Jr t — z Din
A v e m (teorema 3,
jr
t — z
caza continuităţii lui f(t)
Jr t — z
în t = z,
l/W — / ( * ) ! <
e
pentru r < tq,
deci
IC
=
< — • 2-nr r
I
2nt.
Jr < - * Astfel această integrală - » • 0. Pe de altă parte (exemplul 1 § 74), C
Ad*
=
27Ti/(2).
Jr t — z Aşadar limC +o J f
M^
r
t — z
= 2 7 l i /
^
de unde rezultă (48). Observaţie. Este remarcabil că o funcţie olomorfă într-un domeniu simplu conex este determinată de valorile ei pe contur. V o m v e d e a de altfel că ajunge spre a o determina chiar o infinitate numărabilă de valori în domeniu. Corolar. în condiţiile teoremei, f(z) nu poate fi constant pe C fără constant şi în D. L u î n d f(t) = k (const.) pe C, (48) ne dă f(z) = k în D. bilă
Teorema 2. Dacă f(z) C,
este o funcţie
(49)
9
(,)»C
finită
şi continuă pe
curba
a
fi
rectifica
Ad/
Jc* — z este o funcţie
(50)
olomorfă în tot planul minus C şi are derivate de orice ordin, date de
,(-)(,)
=
20 — Teoria funcţiilor — c. 1275
K !
^_A_d/. 305
t — z]
jc
(t — z) (t — z — Az)
Ar-/(l) 2
Jc ( < - z )
Jc ( * - * ) *
dt
9
[t — z — Az
Af Az
•/(/)
este p e
Fig.
dt
( t - z - Ar)
s »
82
unde M > | f(z) | p e C , s = s ( C ) şi 8 este distanţa curbei C la un cerc f i x de centru z, în care închidem p e z + Az, şi pe care îl luăm destul de mic pentru ca să nu intersecteze C (fig. 82). \Az\M F i i n d dat e > 0 , p u t e m face - — < £ într-o vecinătate V şi a v e m
S
lim-^- = A*+0
3
z
/(O
A?
d/.
!r
Formula (50) este demonstrată pentru n = 1. A p l i c ă m inducţia cu privire la » . A d m i ţ î n d (50) pentru ^p'* *, a v e m , punînd T — t — z — A r : -1
A
Jc
=
(
w
_ i),C
[\T* m
Jc
r « ! \ t(*-z)»
/(O
n
(T + Az) )
( r + Azr* -
C
d* = + 1
Az
(r +
Ar)"
+ 1
j
d* =
r + ( „ + i ) Ar r» 3
A r • T*{T +
Ar)
B + 1
A Jcr(r +r A r ) V T ) este md este un un p po o lninnoom a ee — cu coeficienţii constanţi şi > 0. Dacă r T ) T Ar este raza cercului f i x considerat, a v e m - - 1 < B + 1
unde (?
=
[ T I Astfel, modulul diferenţei precedente este < | A r (50). Integralele d i n 306
(49) se numesc
MN
integrale de t i p
s. D e unde Cauchy.
urmează
Observaţia 1. Dacă, ne d ă m a priori, v a l o r i p e contur, satisfăcînd numai condiţiei d e a forma o funcţie finită şi continuă / , ele determină după teo rema 2 o funcţie olomorfă
r{z)
(48')
=-fU
2ni J,,
c
1
(t-z)**
olomorfe
dt în D
R e z u l t ă din cele două teoreme precedente. Observaţia 3. T e o r e m e l e 1 şi 3 se aplică şi la domenii mărginite cu conexiune multiplă, cu contururi Jordan rectificabile. D a c ă C este conturul exterior şi C C , cele interioare, a v e m ca generalizare a formulei (48) lt
2
2ni Jc, t — z
2m Jc t — z şi analog pentru ( 4 8 ' ) .
Aceeaşi demonstraţie, bazată pe formula (46), § 74.
şi [ Jc
T e o r e m a 4. (Mor era ) . Dacă, într-un domeniu D,f(z) este finită şi continuă f(z) dz — 0 pe orice curbă rectificabilă închisă (şi chiar numai pe orice
poligon simplu) fundamentale).
conţinută în D, atunci f(z) este olomorfă în D. (Reciproca
într-adevăr,
după teorema
1, § 74, V f(z) dz =
teoremei
funcţiie
um-
formă în D. După teorema 1, § 75, cp(z) este olomorfă în D şi f(z) = 9' (z). Iar după teorema precedentă y'(z) este olomorfă. -
Exemple. 1. 9(2) = — C ——— , 2ni Jc t(t - z) =
J _ ( f
^ L _ C
pe cercul | / | = 1; \x\ < 1. Aici fc = e ^, 9(2) =
£ ) _ o .
2niz [Jc t - z Jc t J Astfel, 9 nu tinde către fc2) Fie f(z) olomorfă in D şi D' cz D avînd conturul (simplu, rectificabil) C. î
n
D
D
J L f - M _ / = J° - ' 2ni Jc / - z \/{z) în D' d
(integrandul fiind olomorf în D' pentru z e D — D').
§ 77. Convergenţa uniformă şi aplicaţiile ei 1. Considerăm o funcţie de două variabile c o m p l e x e , f(z, t), definită pentru orice z în mulţimea D şi orice t în mulţimea C, — pe scurt; în mulţimea D x C. O putem concepe ca funcţie d e z în D, depinzînd d e parametrul t care descrie C, sau vice-versa. 307
Fie t un punct l i m i t ă al m u l ţ i m i i C; dacă există pentru fiecare z e D, lim f(z, t) =
0
Convergenţa se zice uniformă în D, dacă, fiind dat arbitrar e > 0, se poate găsi o vecinătate V ? , dependentă de e dar nu de z, astfel ca }
t
t e V
să atragă
to
\f(z, t) —
î n general, dacă / ( z , t) converge la
I* unde V
t(i
«o|<
p atrage \f(z, t) -
(*)|
9
< e în D x F, , o
este conţinută în domeniul | ^ — ^ 1 < P0
Presupunînd că p este cel m a i mare număr cu această proprietate, el v a fi o funcţie bine determinată de z şi e: p = p(z, e). F i e S(e) = inf p(z, e). zeD Convergenţa v a fi uniformă dacă S(e) > 0. L a fel în cazul t = oo. 0
Exemplu.
f(z, t) = —
2tz ^ - y > t real,
nu converge uniform I
\z\ < 1 pentru t->oc:
într-un
disc
2tz
F i i n d dat 0 < e < 1, a v e m
2
1 +
tz
1 + r\z\
pentru t ^ 0, dacă 2
2
i \z\
-
2 i | * | + z ^ 0, s a u -
^
^ ^ I ^ I ^ J J l ^
de unde rezultă că, pentru un t oricît de mare, dacă \z\ verifică dubla ine galitate precedentă, v o m avea \ f(z, t)\ ^ e şi deci f(z, t) nu converge uniform în
fjar| < 1 pentru t - > oo. D e altfel, este
destul
să luăm
c < t • \z\ < -> e
ceea ce se poate satisface cu / oricît de m a r e . 2. Noţiunile precedente se aplică la şiruri de funcţii, serii de funcţii şi produse infinite de funcţii. Un şir de funcţii f (z) într-o m u l ţ i m e D este o funcţie depinzînd de para metrul n. Singurul punct l i m i t ă al m u l ţ i m i i C este aici oo. Şirul converge uniform la funcţia S(z) în D, dacă, dîndu-se e > 0, există v independent de z, aşa ca n
\f (z) n
— S(z)\ < e pentru n > v în D.
O serie ^ / » ( z ) = S(z) într-o m u l ţ i m e D (S(z) finită) este uniform conn
vergentă în D, dacă şirul sumelor parţiale S (z) = ] > ^ / v ( z ) converge uniform la n
o oo z
S(z); la
sau — ceea ce e tot una — dacă restul r (z) = ^^fn( ) n
converge uniform
0. •) Toate vecinătăţile din acest paragraf se înţeleg cu excluderea punctului considerat.
308
U n produs infinit ŢJ f (z) = p(z) într-o mulţime D (p(z) finit şi # 0 o şi prin urmare tot aşa / „ ( * ) ) , este uniform convergent în D dacă şirul n
1 0 )
n
produselor parţiale p (z)
= ŢJ / ( z ) converge uniform la p(z), o
n
z
YlM ) 00
q (z)
=
n
sau dacă cîtul
v
converge uniform la 1. î n acest caz cu condiţia ca p(z) să fie
n+l
mărginit (vezi nr. 12). Consecinţă imediată. Convergenţa uniformă a unei serii sau produs infinit nu este afectată dacă lăsăm la o parte un număr finit de termeni respectiv factori; pentru că resturile respectiv cîturile r ă m î n aceleaşi (cu începere de la un rang destul de r i d i c a t ) . 3. T e o r e m a 1. (Criteriul Cauchy de convergenţă uniformă). Pentru ca f(z, t), definită în D x C să conveargă uniform în D pentru t ->fo, este necesar şi suficient ca: pentru e > O arbitrar să existe o vecinătate V . independentă de z, astfel ca t t
(51)
\f(z, t') -f(z,
t)\ < z în D X V . X
V ..
t
t
Să presupunem satisfăcută această condiţie. Cum criteriul de convergenţă al lui Cauchy este împlinit în fiecare z e D, în raport cu t, există l i m f(t, z) = =
l i m \f(z, t') - f(z, t) 1 < z în D X
V, u
sau \f(z, t) -
V ., t
ceea ce dovedeşte că f(z, t) ->
a v e m , pentru
\f(z,t')- (z)\<^în
e/2 > O,
DxV „
9
t
de unde \f(z,t')-f(z,t)\
] S + (z) n
P
în DX
V .. t
(51) se scrie:
— S (z) | < e pentru n > v(e) şi p arbitrar în D. n
Sub această formă criteriul se aplică seriilor şi produselor infinite. 4. Criteriile ce urmează sînt numai suficiente. T e o r e m a 2. f(z, t) - >
0
\f(z, t) -
XW . U
1 0
) Se socoteşte convergent şi un produs infinit cn un număr finit de factori care se anu lează, dacă produsul celorlalţi factori este convergent. Pentru punctele unde aceasta se întîmplă, valoarea produsului dat este 0.
309
Căci fiind dat e > O, există prin ipoteză care c(t) < e ; v o m a v e a deci | / M ) - ? ( * ) I < « ceea ce dovedeşte convergenţa
D
h
uniformă,
Caz particular. S (z) - > S(z) uniform constante c - > 0, astfel ca
o vecinătate
fiind independent
to
în
t(t
u>
în D, dacă putem
u
cz W ,
to
v
x
V
V
găsi
de z. un şir
de
n
\S (z)-S(z)\
n
5. Teorema 3. Dacă f(z, t) uniform convergentă, în aceleaşi
în
n
D.
este uniform condiţii.
convergentă,
şi
\f(z, t) \ este
R e z u l t ă imediat din
w/(z.n\ -
\/(z.t)\\
<\/(z,n
-/(z,t)\
aplicînd criteriul lui Cauchy (1). Reciproca nu e a d e v ă r a t ă . Cazuri particulare: Dacă S (z) este uniform convergentă tn D. u
este uniform
convergentă
OO
în D, şi \ S (z) | n
00 z
e s i e
Dacă ŢI f»{z) este uniform convergentă în D şi Y[ \f { ) I uniform conver ti o gentă în D. î n t r - a d e v ă r produsele parţiale ale celui de al doilea produs infinit sînt \p (z)\. n
n
N u se poate afirma
E/„(z). Avem
c e v a analog pentru o serie
însă:
00
6. Teorema 4. Dacă, în D,
\f (z)\ n
z
Ş^^2\Sn( )\
z
< \g ( )\ n
e s i e
uniform
n=l oo z
convergent, atunci şi^^f ( ) u
tste absolut şi uniform
Căci a v e m notînd cu S , n
ls
w + p
-s.i
= \f {z)
S » sumele parţiale ale celor două serii:
+...+f ( )
M
convergent.
| < \f ( )
n+p Z
i + . . . + \f (z)
n+1 Z
i < sk, -
n+p
şi afirmaţia rezultă din criteriul lui Cauchy. Cazuri particulare: Dacă seria modulelor ^
z
\f ( ) n
I ^
e
uniform
s;
conver-
n—1
gentă, seria ^ / « ( z ) e (absolut şi) uniform convergentă (nu şi Dacă \f (z)\ n
< c
%
(constante
> 0) şi ^c
n
invers).
e convergentă, atunci Y)f (z) n
e
absolut şi Mniform convergentă (Weierstrass). Se m a i poate demonstra c ă : Teorema 5, Dacă seria modulilor f (z) n
rămîne uniform
\f (z) \ e uniform n
convergentă,
convergentă şi atunci cînd i se permută termenii (ceea ce,
cum ştim, nu-i schimbă nici suma). î n adevăr, fiind dat e > O, a v e m pentru seria modulilor
310
seria
în D, cu v destul d e mare (această serie fiind uniform c o n v e r g e n t ă ) . N o t ă m cu S sumele parţiale ale seriei date şi cu S* p e acelea ale seriei modificate prin permutarea termenilor. Există o sumă S£ în care intră t o ţ i termenii din S , şi aceasta rămîne adevărat şi pentru sumele SI cu n > evident, [L nu depinde de z. Considerînd restul r „ al seriei modificate, a v e m deci, dacă n>[i: n
v
I
= n+l
v+1
n+ l
(deoarece ultima serie conţine toţi termenii seriei p e n u l t i m e ) . A s t f e l : \K(z)\<e în D, pentru n > jx (independent de z), arată că rl(z) 0 uniform şi deci seria modificată este uniform convergentă. 7. T e o r e m e l e precedente se referă la serii absolut şi uniform convergente, î n cazuri cînd ele nu sînt aplicabile, p u t e m încerca sa ne s e r v i m d e criteriile următoare: 00
T e o r e m a 6.
este uniform convergentă în D, dacă, pu-
Seria ^f { )gn{z) z
n
n=0
nînd
S (z)
=
n
1°. şirul
S (z)g,, (z) n
=
+1
k (z); n
00
00
2° seria
S (z)[g (z) n
— g i(z)]
n
K(z) converg uniform în D.
= £
n+
n=0
n=*)
N e sprijinim pe o identitate a lui A b e l : fn+lgn+l
+
— +fn+pgn+p +
=
S
— ngn+1
+
... +
(Sn+1 — S „ )
=
(S
S*+l(&.+l —
+
(S.
+ 2
— S^ft^a
+
-'n+P-l) g»+p —
g ) n+2
+ ... +
S^y.ife.+p.! —
g^)
+
sau n+p
n+p
n+l
n+ l
(52) Cu notaţiile din e n u n ţ : n+p
n+p
n+l
n+I
P r i n ipoteză, conform criteriului lui Cauchy, cele două sume din membrul al doilea sînt < — pentru n > v (independent de z), deci conform aceluiaşi 2 00
criteriu, seria ^
z
f ( )gn n
{z) este uniform convergentă.
311
Din simple:
teorema precedentă decurg următoarele 4 cazuri particulare
mai
oc
a. ( A b e l ) .
/»(*)#»(*)
este uniform
convergentă în D,
dacă:
o 00
1° ^
f (z) n
converge uniform în D ;
o 2
2° l
număr
independent
de z şi
n;
3° funcţiile g (z) sînt reale şi formează un şir monoton în D (necrescător sau nedescrescător cînd n creşte: g +i(z)
n
n
oo
Să n o t ă m
r (z)
restul
n
seriei convergente ] T ^ / ( z ) .
î n teorema prece-
n
o
dentă putem înlocui S (z) prin r (z), căci punînd f = r — r , identi tatea (52) v a fi înlocuită printr-o identitate analogă, cu semnul — înaintea membrului al d o i l e a ; iar restul demonstraţiei va rămîne neschimbat. A v e m n
n
n+1
n
n+1
00
deci de arătat că seria £
r (z) [g {z) n
— g (z)]
n
=
n+1
H (z) n
şi şirul
r (z)g (z) n
n+1
o
converg uniform. î n ce priveşte şirul, acesta reiese din faptul că r (z) ~ * O uniform şi l g i ( * ) | <M ( f i x ) . P e n t r u serie a v e m , presupunînd şirul g (z) necrescător: n
B +
n
n+p
n+p <
n+l
£ i ^ ( * ) l ( £ v ( * ) - £ v + i ( * ) ) .
n-rl
P r i n ipoteză, \r (z) \ <
pentru n > v independent
n
de z
t
deci
2M n+p
E ^
< - ^ E ( ^ ) - ^ ) ) = —
n+l 5
5
+ !&+,(*)!)<
2M
----- e.
00
b.
z
z
(Du bois R e y m o n d ) . y*) f ( )Sn( ) n
converge uniform în D dacă:
i°E/.(*) converg uniform
o
în D,
3° I < ^ număr independent de n şi z. într-adevăr, aplicînd iar teorema generală cu r (z) în loc de S (z), v e d e m la fel că r (z)g (z) — » O uniform. A p o i luînd un e > O fix, v o m avea | r (z) | < e pentru n > v f i x , deci, n
n
n
n+1
n
I
-&
+ 1
(z)|
f
oo
de
unde se v e d e
că ^
H (z) n
o
312
este uniform convergent, în virtutea ipotezei 2°.
z
z
c. (Dirichlet). Y)f ( )g ( ) convergent uniform în D, dacă: o 1° | S ( z ) | < M număr independent de n şi z; 2° g (z) sînt reale şi formează un şir monoton în D ; 3° g ( ) -* uniform în D. într-adevăr, din 1° şi 3° urmează că S (z)g (z) —• O uniform în D. presupunînd g (z) necrescător, a v e m , dat e > 0; n
n
n
n
z
0
n
n
n
Apoi,
n
<
M(g + (z) n
X
-
g (z))
< C
n+p
în D pentru n > v ( s ) , pentru că, după 2° şi 3°, a v e m g
n + 1
( z ) — g + (z) n
9
< — în D M
pentru n > v(e). 00
d.
(Dedekind).
z
n
o număr
1° | S (z) | < M, n
în D dacă:
converg uniform
z
Y)f ( )Sn( )
independent
de n şi
z\
00
2° ^\g {z) — g +i(z)\ converge uniform în D; o 3° Sn( ) ~ * uniform în D. într-adevăr m a i întîi S (z)g (z) —> O uniform şi 3°, iar în al doilea rînd, n
n
z
0
n
\K(z)\
n
< M \g (z) n
din cauza ipotezelor 1°
g (z)\ n+1
00
ne arată că ^
h (z) n
c o n v e r g e uniform în virtutea
ipotezei 2°.
1
8. Teorema 7. f(z, t) —• 9(2) uniform în D pentru t —• / , avew 19(0) | > > m > O ( / * # ) , atunci log f(z, t) —* /og 9(0) uniform în D, determinările logaritmi lor fiind alese convenabil. Se ştie că l o g z este o funcţie uniform continuă dacă se ia în expresia sa 8 + 2kn + TI < arg 0 + 2(k + 1) n — T)(8 , tq şi A f i x e ) . P r i n urmare, dacă a ^ O , v o m avea | l o g z — l o g a| < e pentru | * — a| < S(e), cu con diţia ca să luăm argumentele lui a şi z într-un acelaşi interval închis, de amplitudine < 2n. N u m ă r u l S(e) este evident independent de alegerea lui k. Să m a i observăm că v o m putea satisface condiţia precedentă dacă \z— a| < | a | (vezi fig. 83). D i n cauza convergenţei uniforme, a v e m o veci nătate U astfel ca 0
0
O
0
t%
\f(z, <) — ?(*) | în D x U
to
<m
şi deci
\f(z. O-?(*)|< î
n
Z
)
X ^ '
°
P u t e m deci alege arg f(z, t) şi arg 9(2) în felul d e m a i sus, pentru fiecare z e D. Funcţiile l o g f(z, t) astfel definite, v o m avea
Uog/M-!<*?(*) I< *
Fig.83
şi
l o g 9(2)
fiind
(dat) 313
dacă
!/(*.<)-?(*)!<*(«). dependent numai de e. D a r , prin ipoteză, această inegalitate este satisfăcută pentru o vecinătate V cz U ,, dependentă numai de 8(e) (şi nu de 2 ) . Aşadar, log f(z, t) —• l o g
t
Teorema 8. Dacă f(z, t) —> ty(z) uniform w*) uniform în D.
f(*,t)
în D, pentru
t —»t , 0
atunci
e
e
Demonstraţie analogă cu cea de m a i sus, bazată pe continuitatea ţiei e .
func
z
Observaţie. Condiţia |
to
\f(z, t)\>\ Invers,
dacă
această condiţie este
I cp(^) | >
11 > 0 în D x
satisfăcută,
U. u
a v e m , luînd
e <
[i,
ŢJ f (z) = p(z) este uniform în D şi \p(z)\
>
\f(z, t) | — e > jx — e = m > 0 în D X U . to
00
Cazuri
particulare.
Dacă
n
n=0 00
> m > 0 fix, avem ^
log f (z)
= log p(z) uniform în D, cu determinări conve
n
nit
fiabile ale logaritmilor. 00
Dacă^2f (z) n
00 q
= q(z) uniform în D, avem Ţ[ ef*M = e W, uniform în D.
o n=0 Se poate adăuga că, dacă seria dată este, în plus, absolut c o n v e r g e n t ă şi produsul infinit v a fi absolut convergent. Aceasta nu este decît definiţia convergenţei absolute pentru produse infinite: un produs infinit este absolut convergent dacă seria logaritmilor factorilor este absolut c o n v e r g e n t ă . Convergenţa absolută astfel definită atrage convergenţa simplă şi comutativitatea produsului. N u are sens să definim convergenţa absolută a unui produs prin condiţia ca produsul modulilor factorilor să fie c o n v e r g e n t , căci această condiţie este consecinţă a convergenţei simple. 00 z
9. Teorema 9. ŢI (1 + fn( )) o
converge absolut şi
uniform
în D
dacă
00 z
^2fn( )
converge uniform în D.
o n
P u t e m presupune ^
|/ (z) | < 0 genţei uniforme seria considerată v a termenii de rang
v
1 pentru orice n. Căci din cauza c o n v e r a v e a un rest r (z) < 1 şi p u t e m neglija şi factorii corespunzători ai produsului V a fi destul să d o v e d i m convergenţa
A) + -
P
+ (Pn -
Pn-l)
+
-
(sumele parţiale ale ei fiind t o c m a i produsele parţiale p ).
Or, a v e m
n
\Pn(")\
<
0
+
\M*)\)
-
(1 +
) <
el/.wi+-+!/-(«)i< e;
deci
lAW-A-iWl<e|/„Wl ceea ce demonstrează afirmaţia privitoare la convergenţa uniformă. î n ce priveşte convergenţa absolută a produsului, se poate arăta că ea este chiar OO
echivalentă cu aceea a seriei ^ / » ( * ) •
Aceasta rezultă din faptul că l o g (1 +
o
+ / » ) = / » £ » > unde g»-+L ( f i i n d c ă / , - > 0 ) ; astfel seriile S l l o g ( l +f )\ şi S l / n l stat convergente în acelaşi t i m p . (Şi convergenţa uniformă se poate d o v e d i p e această cale.) n
10. V o m da c î t e v a proprietăţi simple ale convergenţei uniforme.
Teorema 10. Dacă f(z, t) converge uniform pentru t —• t , într-un de mulţimi D D , converge uniform şi în D \J ... (J D .
număr
0
finit
lt
m
1
m
Căci inegalitatea (51) v a a v e a loc în Dx
H
lj
Dx
0
Vl?>, deci şi în Dx
V%> f]... n
V , unde l\cz to
V£\
Observaţie. R e z u l t ă că funcţiile l i m i t ă relative la D D v o r fi egale în părţile comune acestor m u l ţ i m i (şi v o r constitui o funcţie în reuniunea acestor m u l ţ i m i ) . T e o r e m a aceasta ne permite să simplificăm cercetarea convergenţei uniforme prin împărţirea m u l ţ i m i i date în m u l ţ i m i p o t r i v i t e , care vOr putea fi considerate separat. lt
m
11. Se zice că f(z, t) este uniform mărginită în D şi t dacă există număr M şi o vecinătate V aşa fel ca |f(z, t) | < M în D x V . 0
to
un
to
D a c ă f(z, t) —•
0
Teorema 1 1 . Dacă f(z t) este uniform convergentă în D pentru t—>t şi mărginită pentru fiecare t dintr-o vecinătate Ut , ea este uniform mărginită în D şi t , şi deci funcţia limită, este mărginită în D. t
Q
9
0
r
R e z u l t ă din criteriul lui Cauchy (51) luînd t f i x :
\A*'*)\<\A*>
f)\ +
£
în D x V (V cz [/,.). to
to
oo
]p/,»(*)
Consecinţă. Dacă o serie este uniform convergentă în D şi f (z) sînt mărginite în D, atunci suma seriei este mărginită în D. La fel pentru produse infinite. Teorema 12 (reciprocă). Dacă f(z,t) y(z) pentru t t , uniform în D, iar y(z) este mărginit în D, atunci f(z, t) este uniform mărginit în D şi t . n
0
0
A v e m |f(z, t) — y(z) \ < e într-o <\tf(z)\
+ c < M f i x în D x
vecinătate
V
tt
şi D,
deci |f(z, t) | <
V. u
315
Z
12. Teorema 13. Dacă \^ '
\ uniform în D pentru
t-+L,
2° fg-+ yty dacă 9 $* 9 sînt mărginite în D, 3° — — • — dacă Itfl > m > O (fix) în D, uniform în g 4»
D.
1° Demonstraţia este imediată
2° l/S - 9*1 = \g(f~ ?) + ? ( g - * ) | <M\f- \
+ N\g-
?
+|,
unde M şiN sînt numere fixe, într-o vecinătate V , şi Z> (existenţa lui M şi N rezultă din ultima t e o r e m ă ) . t
1
1
g
*
l g - * l
<
m\L
unde m, jx sînt mmiere fixe, într-o vecinătate V lui v e z i observaţia d e la nr. 8).
to
şi D
(pentru
existenţa
Caz particular. Dacă f(z, t) converge uniform în D pentru t-+ t şi g(z) este mărginit în D (sau o constantă), atunci g(z) f(z, t) converge uniform în D. 0
00
Consecinţe.
Dacă ^ f (z) este uniform convergent în D, f (z) —• O uni n
n
form în D. Căci f = S — S - - » O uniform. n
n
n
t
00
Dacă ŢI f (z) = p(z) uniform în D, şi \p(z)\ > m > O în D, atunci cîtul n
o
q (z) —• 1 uniform în D. n
Căci q (z) =
^
n
, unde \p (z) \ > fx > O, pentru n > v (jx independent n
de » şi z), conform observaţiei de la nr. 8. D e c i \ q (z) — 1| < ' ^ - ^
,
n
de unde rezultă
afumaţia.
aceleaşi condiţii, f (z) —• 1 uniform în D. n
V o m avea 1 — e < I £ » ( * ) ! < urmare
L(z) =
? n
1
~ ^
1 + e cu e < 1, pentru w > v f i x şi prin 0
1 uniform (după 2
şi 3 ) .
z
9* ( ) 00 z
Daca n fn( )
e s i e
convergentă şi p(z) mărginit în D, iar cîtul q (z) —• 1 wmn
o
form în D, atunci produsul este uniform convergent. Se v e d e scriind p (z) =
şi aplicînd 2, 3.
n
?•(*) Teorema 14. (Porter). Fie f(t, T ) O funcţie definită în Ax B, t şi T limită ale mulţimilor A, respectiv B. Dacă: 0
1° f(t, T ) —• f(t) pentru ? —• r , uniform cu privire la t s A, 0
2° / ( * , ? )
cp(r) ^ n f r w *
to;
atunci f(t) converge pentru t-+ t şi l i m f(t) = l i m
316
0
puncte
P r i n ipoteză, fiind dat
e > 0, a v e m
T ) — f(t) | < — pentru r e Vx independentă de te A,
|f(t,
0
(53)
* 1/(2, T ) —
4
D o v e d i m că f(t) 1/(0
converge pentru t-+
t: 0
- / ( * .T ) | +
1/(0
T)-
l/(*.
( T ) |
- R t ' ) \
<
+
— / C . ) I + l/C.~) —/(Ol <
9
t
+
e
r
pentru € C / ( T ) ş i T € K - ( f i x a t ) . Aceasta arată, după criteriul lui Cauchy, că / ( 2 ) —• / (finit) pentru /—• t . F ă c î n d acum t—• t în ( 5 3 ) , a v e m : 0
o
0
0
| cp(T) — /1 < e pentru T e V~ , 0
ceea ce arată că ( T ) —• / pentru T —• T . Q . E . D . T e o r e m a se m a i scrie: 9
0
lim l i m f(t,
T)
= l i m l i m f(t
t
T) ;
este o teoremă de intervertire a limitelor. T e o r e m a 15. Fie f(t, T , Z) O funcţie definită în A X B x D şi condiţiile teoremei precedente satisfăcute uniform cu privire la z e D. Atunci f(t, z) şi 9(T, Z) converg uniform la aceeaşi funcţie limită ty(z). Demonstraţia este aceeaşi ca m a i sus, vecinătăţile V şi U ( r ) fiind independente de z. Xo
to
Aplicaţii T e o r e m a 16. Fie f(t, T ) definită în A x B; t şi T puncte limită ale mulţimii A, respectiv B. Dacă f(t, T ) —• f(t) uniform, pentru x —• T , şi f(t T ) este funcţie continuă de t în t , pentru orice T e B ; atunci f(t) este funcţie continuă în t . A i c i condiţia 2° este satisfăcută pentru că f(t, T ) —*• f(t , T ) = ( T ) pentru t—> t . A p o i a v e m prin ipoteză ( T ) - * / ( * o ) pentru r —• T . D e c i / ( * ) "~*/(A>) pentru £ —• £ , adică / ( £ ) este continuă în £ . 0
0
0
t
0
0
9
0
0
9
0
0
S(t)
0
Cazuri particulare. este continuă.
Dacă S (t) n
sînt continue şi S (t) —• S(£) uniform, n
atunci
00
Dacă^2f (t)
este uniform
n
convergentă şifjf)
continue, suma seriei este o
o
funcţie
continuă.
Analog
pentru
produse
infinite.
oo
T e o r e m a 17. F i e
S(£, z) = ^
2 f i z în A x Z ) ; şi fie f (t, n
/ ( £ , 2 ) uniform convergentă o z) —>
cu privire
la
cu privire
la
în D, S(t, z) converge uniform
în
N
n
0
00 z
z î » D . Atunci
9n ( )
converge uniform
o 00
D pentru
t-*t
0
şi
o 317
Caz particular.
Fie S ( z ) = ^
/» (*)
v
v
uniform
convergentă
cu privire
la
n-0
z e D şi v ; fie / ( z ) —•
v—• oo, uniform
n
cu privire
X>
la z.
Atunci
00
V "
în D, S ( z ) converge uniform în D şi V "
v
n
v
v
o
0
0
to
to
!/(*, t) - (*) |< -|, |/(^', o - 9(01 < ± ?
în D x
V.
L u î n d pe t f i x , a v e m încă
u
W,
t) -f(z.
t)\ < y
pentru
E7„
/ ( z , £) fiind continuă în z. U r m e a z ă r
I9 (z ) — 9(2)1 < e pentru z' e Cazuri particulare. Dacă S (z) —• S(z) uniform în D, atunci S(z) este continuă în D. n
Uz . z
în D şi S (z)
sînt
n
continue
00
Dacă ^2 A( ) z
=
z
$( )
uniform
în D şi f (z)
sînt continui
n
în D, atunci
S(z)
o
este continuă
în
D.
14. Teorema 19. Dacă 1° C este o curbă rectificabilă în planul (z); 2° f(z, t) este continuă în raport cu z pe curba C, pentru nătate Ut,', şi 3° f( > O ~* ?( ) pentru t-+ t uniform pe C, atunci z
orice
t într-o
veci
z
0
\ f(z,t)dz-+i «c
P r i m a integrală există pentru te £//, în virtutea ipotezei 2°, iar a doua integrală există în virtutea teoremei precedente. Fie s lungimea curbei C şi e > 0. D u p ă 3°, a v e m , pentru vecinătatea Ut convenabil aleasă Q
l/M)-
IC
deci e
\ (z) dzI = IC [/(*. t) - 9 ( 2 ) ] dz < s - — I JC *.c I I JC 5 *n Vt,; ceea ce dovedeşte afirmaţia. A c e a s t a se m a i scrie: f(z, t)dz -
9
l i m V fdz *-* *• Jc
(
simbolii \
318
şi l i m sînt permutabili
= \ l i m / dz J c ' o
în condiţiile teoremei I
= e
Consecinţă.
Dacă
^ / « O ? ) = S(z) uniform pe curba rectificabilă
C şi
f (z) n
n=0
sînt continue pe această curbă, avem C S ( * ) d * = £ ( / „ ( * ) d*. Jc
(Seria
n=0 Jc
poate fi integrată termen cu termen.) Condiţia teoremei fiind satisfăcută de sumele parţiale S (z), n
[ S(z)dz Jc =
= [ l i m S (z) Jc ^ ° °
dz = l i m [ S (z)dz ->°° Jc
n
n
n
avem
==
w
lim^C/(,)ck = ^ »-»<*> ~ J c "
C/ (,)
d*.
n
Jc
15. T e o r e m a 20. Daca / ( z , t) este funcţie olomorfă de z în domeniul pentru orice t într-o vecinătate U şi f(z, t) —•
D D
r
0
2° — f(z, t) converge uniform dz (sau: în interiorul lui D).
la
închis
1°. După formula lui Cauchy f(z, t) = — ( f^Jl
r
t
D cz
D
x
fiind un cerc
27riJr£ — z
în D, de centru z ( f i x ) . Deci, aplicîndu-se teorema precedentă, deoarece integrandul este continuu în ţ pe F (unde £ # z), obţinem
9(,) = l i m - L C
f^ ţ=-L\
±*
d
t-*t 2n i j 0
r
£ — z
ij
2TT
IniJr
r
d
ţ
=
£— z
Q — ar
După o teoremă cunoscută, această integrală este o funcţie olomorfă d e z în cercul T , deci j i în centrul său z. Astfel 0, există o vecinătate V astfel că |f(z, t) — y(z) \ < < ep în D x l * , şi a v e m (în virtutea formulei lui Cauchy) 0
x
0
tft
7
0
0
J_f
=
/(C*)-9(Q
d g
dz <
x D.
în
— • 2TTPO-— = 2TC po
Aceasta demonstrează
e
afirmaţia
2°. 00
Cazuri
particulare.
(Weierstrass).
Dacă
^
f (z) n
= S(z)
uniform
în D
n=0 oo
şi f (z) n
sînt olomorfe în D, atunci:
1° S(z) este olomorfă în D\ 2° S'(z) =
^/ (z) w
n=0
319
în orice D cz D (seria dată poate fi derivată termen cu termen); 3° această serie este uniform convergentă în orice B cz D. Se v a observa deosebirea dintre această teoremă şi o teoremă din ana liza reală, în care se presupune că seria derivatelor este uniform convergentă. Această teoremă este d e altfel adevărată şi în c o m p l e x . x
x
00
Dacă Ţ[ f (z) = p(z) uniform o
în D şi f (z)
n
1° p(z) este olomorfă
sînt
n
în D; 2° p'{z) = l i m p' (z)
olomorfe
uniform
n
în D,
în D
lt
3° £ - 1 ^ - =
n-yoo 00
=
tg\
/'
atunci:
P{~)
_
_ y% J n \ )
/.(*)
u
n
ij
o
r
ţ
m
n
{
D
or CE
ţ)
X c
f
c
a
r
e
n
u
conţine
zerouri.
Observaţie. Se poate deduce şi din teorema lui Weierstrass considerînd seria P + (P - P ) + ... . 16. L e m a 1. Dacă D e un domeniu şi F un continuu conţinut în D, putem acoperi F, cu o reuniune de pătrate formînd un domeniu închis A cz D (Fa cz A c z D). 0
x
0
A p l i c ă m p e D o reţea d e pătrate d e diagonală < p = p (F, fr D) şi f i e A mulţimea formată d e pătratele închise ale reţelei, care au puncte comune cu F. A este conex, fiindcă în cazul contrar ar a v e a cel puţin două componente disjuncte, care ar conţine componente disjuncte ale lui F şi acesta n-ar fi un continuu. E v i d e n t , A c D . 0
L e m a 2 . Dacă D este un domeniu şi F cz D un continuu, mărginit, există un număr K astfel că două puncte oarecare din F pot fi unite printr-o linie poligonală conţinută în D şi de lungime < K. Considerăm domeniul A din lema 1 şi fie iV numărul pătratelor din care este format. F i e oc, (3 € F. A fiind conex, există un şir c o n e x d e pătrate d i n A, Q , Q I , . . . , Q ' care duce d e la pătratul Q în care se află a, la pătratul Q ' în care se află (3. V o m lăsa la o parte eventualele bucle ale şirului. ( D a c ă d e 0
0
exemplu Q
N
+
P
= Q , lăsăm N
la o
parte Q
N
+
L
F
. . . , Q
N
+
P
şi c o n t i n u ă m c u
Q
N
+
P
+
1
).
Şirul astfel obţinut v a f i conex şi format din pătrate distincte şi în e l p u t e m uni a şi p printr-o linie frîntă care v a avea numai cîte un segment a l liniei în fiecare pătrat. Cum numărul acestor pătrate este < N, lungimea drumului de la a la p v a f i < iVpo = K, număr independent d e a şi (3. Acest drum v a ti în D. 17. te
T e o r e m a 2 1 . Dacă
1° f(z, t) este olomorfă în domeniul mărginit D, ca funcţie Ut„ 2° f(z, t) —• y(z) pentru t-+ t uniform în D, şi
de z,
pentru
0
este uniformă
în D pentru
orice te
U , atunci avem în D to
uniform în orice domeniu închis B cz D (în interiorul lui D). { P r i m a parte a enunţului rezultă din teorema de la nr. 14.] x
320
Fie K numărul din lema precedentă. D i n cauza ipotezei 2°, if(z, t) — —
to
(V
cz U ).
to
IC' M, t)di - C*
A c u m , luînd integralele
to
9
dd = K" r/(C t)
(0
=
K în D
x
- 9(K)1
pe
aceeaşi
<
z,
x F* , ceea ce dovedeşte a doua afirmaţie a teoremei. o
Observaţie.
q>(z) este olomorfă după teorema lui Morera. OO
Caz particular. / ( z ) sînt olomorfe n
Dacă £^ / ( z ) = S ( z ) uniform n
în D şi V / ( £ ) d £ S Î W / uniforme rt
în domeniul în D,
atunci
mărginit
D,
avem în
D,
J*o
uniform în orice domeniu închis D cz D. Se poate adăuga că, dacă seria dată este, în plus, absoJut convergentă, tot aşa este şi seria integralelor (în D). într-adevăr, seria dată rămîne uniform convergentă oricum i-am permuta termenii şi prin urmare şi seria integralelor; ori de aici rezultă convergenţa absolută a acesteia, ştiindu-se că într-o serie care nu este absolut convergentă putem permuta termenii astfel ca seria să-şi piardă convergenţa (teorema lui R i e m a n n ) . x
18. T e o r e m a 22. Dacă f(z, t) este continuă C fiind o curbă rectificabilă, atunci F(z)=[
ca funcţie
de (z, t) în
DxC,
f(z, t) ât
este o funcţie continuă în D, tinde D este un domeniu mărginit. _ [Ajunge să demonstrăm aceasta pentru un domeniu mărginit D cz D.] A t u n c i , / ( z , t) fiind uniform continuă în D x C (mulţime închisă) (vezi fig. 84), f(z, t) - > / ( z , t) pentru z - > z uniform pe C. După teorema de la nr. 14: x
x
0
0
lim F(z) = [ lim / ( z , t)dt=[ ^ * o Jc ^ o z
z
z
/ ( z , t) dt = 0
F(z ), 0
Jc
ceea ce arată_ că F(z) este continuă în orice punct z din D şi deci din D. 0
x
19. T e o r e m a 23 (De la Vallee-Poussin). Dacă f(z, t) este olomorfă ca funcţie de z şi continuă ca funcţie de (z, t) în D X C, D fiind un domeniu şi C o curbă rectificabilă, atunci F(z)
21 — 1 ' j r » i a
ftmcyiilor
— c. 1275
F i g . 84
= \ f(z, t) dt
321
este olomorfă în D şi are derivata
Prima integrală există pentru că integrandul este funcţie continuă /. A v e m (z + Az fiind luat în D):
AF Az Cum f(z,t)
f / ( z + Az, t)-f(z,t) Jc
de
d t
A?
este olomorfă în punctul z, a v e m :
27riJ (, — z r
T fiind un cerc de centru z şi rază r, conţinut în D (vezi fig. 85). D e asemenea
^ = dz
J M - d C 2ni)r(ţ~z)
(teC).
2
D u p ă teorema precedentă, această integrală este o funcţie continuă de / pe C (integrandul fiind funcţie continuă de (t, £) pe C x T ) , deci şi ( — dt
Jc dz există. A v e m acum
I Ajgr
JC dz
I Jc 2TTI Jr L (S —
I
* —
I JcL
Az)
_|J d*ţ
Az
Az
(£
—
dzj
z) Az
A z / ( C <) d£
(£
—
|
2
z) J
1
a
;27ui3r (C —*) (C — * — Az) \ Prin ipoteză / ( z , £) este continuă ca funcţie de (z, t) în T x C , deci este mărginită: \f(z,t)\ <M fix. Luînd punctul z + Az într-un disc de centru
Fig. 83
z şi rază r — 8 (interior lui T ) , vom avea pentru orice £ € T: \K-*\-r,
K - z _ A z | > 8 ,
deci AF Az 322
Jc dz
dt < s - — • 2nr-—
|As| = — I A r i - » 0
pentru ăz —• 0. Aşadar lim Ax-*0 A z
ceea ce stabileşte
teorema.
dt,
-l
20. Teorema 24. F t « C şi T cwrta rectificabile, conţinute în domeniile D din planul (z) şi E din planul (t); f(z, t) o funcţie olomorfă în D xE ca funcţie de z şi ca funcţie de t şif(z, t) continuă în (z, t); atunci [ dzi f(z, t)dt = [ dA JC
JF
JV
f(z,t)dz.
JC
După teorema lui D e la Vall6e-Poussin, ^ f(z, t) dt este o funcţie olo morfă de z în D, deci prima integrală considerată în enunţ există; şi tot
aşa
a
doua. F i e t şi T extremităţile curbei I \ V o m presupune că această curbă are capătul variabil într-o vecinătate V cz E (fig. 86). A t u n c i , după teorema 1 0
z
§ 75, ^ fdt, fiind uniformă în V , este o funcţie olomorfă
v a t ă în extremitatea T a curbei T , f(z, T ) . După
teorema lui D e la Vall£e-
Poussin aceeaşi integrală este totodată o funcţie
olomorfă de z, şi tot după
această teoremă, V dz \ f(z, jc Jr T , a v î n d derivata M
ox
t) dt = \
f(z,t)dt
= [
olomorfă de
f(Z,T)dz.
Jr Jc A p l i c î n d teorema 11 din § 73, p u t e m scrie: jc
[ dxi f(z,T)dz Jv Jc
= \[
dzi
X.JC
jv
f(z,t)dtfjt 0
D e aici rezultă formula d e demonstrat observînd că integrala din m e m brul al doilea este nulă pentru T = t$ şi apoi schimbînd în primul membru variabila de integrare T în t. 2 1 . Integrale
improprii.
î n defini
ţia unei integrale \ f(z) dz este implicat Jc că drumul C este mărginit şi funcţia f(z) mărginită pe C. î n unele cazuri, în care aceste condiţii nu sînt îndeplini te, se poate defini o noţiune de integrală improprie, analogă cu aceea din ana liza reală.
Fig. 86
F i e a şi p extremităţile drumului C , p e care îl v o m presupune Dacă V / ( z j d z e x i s t ă p e n t r u o r i c e subarc a£ al lui C, cu excepţia JiC [ /(z)(k=limţ Jc C-&JÎ3 cînd această limită există şi este finită.
simplu
(3, v o m defini:
f(z)dz,
323
V o m observa că, în cazul cînd ^ f(z) dz există ca integrală ordinară, C fiind rectificabilă şi f(z) [
continuă,
f â z - [ f â z \
relaţia precedentă este adevărată, =
<
\ [ f d z
căci
Ms(£(3) -> 0
(unde \f(z) \ < M pe C şi s(£(3) este lungimea arcului £(3). V o m folosi integrala improprie în condiţiile următoare: Arcul C este regulat (chiar şi în (3), f(z) continuă şi finită pe C cu excepţia punctului (3. z
După criteriul lui Cauchy aplicat funcţiei de £ \f( )
dz, putem spune:
tt Teorema 25. Integrala improprie există (e convergentă) atunci cînd, pentru orice z > 0 există o vecinătate U$ astfel ca [f(z)ăz
<
z
pentru
atunci şi
numai
£, £' £w C/p fl C.
Următoarele criterii suficiente sînt de multe ori utile: A . (3 / i m / . Integrala improprie e convergentă dacă se poate găsi un nu măr a < 1 astfel că (z — (3) f(z) e mărginit în jurul lui z = (3 (în particular dacă are limită finită pentru z -> (3). a
Arcul C fiind regulat, se ştie că există un subarc y(3 pe care raza vectoare ds p = \z — (3| poate fi luată ca parametru normal. P e arcul y(3> — este deci dp ds m ă r g i n i t ; fie — < fx. P r i n ipoteză a v e m | (z — (3) f(z) | < M sau | f(z) | < dp M < Astfel, luînd £ şi £' într-o vecinătate (/p de rază r, a v e m a
I
[ I Ja-
M
6 z
I < r i/i
c ds <
I
A
rI I /C
Jo
£
d
dp
P
< m x Jop
^ = - f e < ^€ l
-
«
pentru r destul de mic. Integrala improprie este deci convergentă. B . (3 = oo. Integrala improprie este convergentă dacă se poate găsi un număr a > 1 astfel ca z f(z) să fie mărginit la infinit (şi în particular să aibă limită finită pentru z -> oo). a
Ştim că există un subarc *'Oo pe care putem lua drept parametru normal ds M p=\z\ si a v e m — < fx ( f i x ) . A p o i \z f(z) \ <M ( f i x ) sau (f(z) | < dp p Urmează ca mai sus a
a
UC?
I
pentru r destul de mare. 324
Jr
dp
}
a
r
P
a—\
22. Să considerăm o integrală improprie care depinde de un parametru z ce ia valori într-un domeniu D: [ f(t,z)dt
= ]im[
f(t z)dt
( T G C ) ,
t
şi să presupunem că C nu depinde de z. V o m zice că această integrală este uniform convergentă în D, dacă inte grala din membrul al doilea, care este o funcţie ty(z, T ) tinde uniform în D către integrala din membrul întîi care este o funcţie
integrala
pentru
reU^QC.
improprie
uniform
convergentă în domeniul D şi funcţia f(t, z) continuă ca funcţie de (t, z) şi olo morfă ca funcţie de z în (C — (3) xD (|3 fiind extremitatea iui C unde integrala e improprie), atunci
^ = C M ^ )
(54)
dz
Jc
d
,
dz
şi această integrală improprie este uniform convergentă în orice domeniu închis conţinut în D. î n a d e v ă r : ty(z T ) este o funcţie olomorfă de z (teorema 23) şi limita sa
d
9
dz
^
*K*,*)
H
m
T
-*3
dz
^
*-*0jar
dz
adică a v e m formula (54). î n sfîrşit, î n orice domeniu închis conţinut în D, L
— - converge uniform la — (teorema 20), şi prin urmare V — dt dz dz dz converge uniform. Se pot utiliza următoarele criterii pentru convergenţa uniformă a unei integrale improprii, în care se presupune că C este un arc simplu regulat şi că f(t z) este funcţie continua de (t, z) în ( C — (3) x D:
js;
t
A ' . (3 finit.
Integrala
improprie
^ f(t
z) dl este uniform convergentă dacă
t
se poate găsi un număr a < 1 astfel ca (t — j3)° f(t, z) să fie uniform mărginită în jurul punctului t = (3 (în particular dacă această funcţie converge uniform la o funcţie mărginită X(z) pentru t - > (3). B'.
(3 = oo. Integrala
improprie^
f{t, z)dt este uniform
convergentă
dacă
se poate găsi un număr a > 1 astfel ca ff(t z) să fie uniform mărginită jurul punctului t = (3 (în particular dacă această funcţie converge uniform o funcţie mărginită \(z) pentru t T > OO). t
Demonstraţiile fiind aceleaşi ca pentru criteriile A
şi
în la
B. 325
foo z
l
Exemplu. I erH - 6t converge uniform tn domeniul 0 < a < x ^ b (x = Re z). Căci Jo avem, pentru t > 1, n > 1: |/* -«/2-I| -«/*+n-I ^ -^&+n-I O pentru * o o , deci t f(t z) converge uniform. Apoi, pentru f < 1, n
e
E
e
t
a
n
1
|f» e-H^l < - ' / + -
0 pentru *
e
0
n
dacă luăm a < 1 şi (1 — a) < n < 1; deci * / ( * . z) converge uniform. Urmează că T(z) =
J
i 00
00
z x
o
erH - ăt
este o funcţie olomor&în semiplanul x > 0, cu derivata T'(s) = V e-V-Mogfd/. .0 Teorema 27. JFYtf /»(£) funcţii continue de t în [a, + oo) (reale sau complexe) 00
s i seria ^
\ fjf)\
uniform
convergentă în orice interval [a, r].
/•oo oo
(55)
Avem
oo /•oo
\ £/.(<) d< = £ \
dacă una dintre
Ja expresiile
(56)
0
O
| d* * a « £
£
Ja
£
| d*
este convergentă. P r i n ipoteză (ţinînd seama şi de nr. 17),
f E/.(O * = £('/.(<) d*.
(57)
Ja O 0 Ja V o m demonstra întîi teorema pentru funcţii f (t) n
> O, presupunînd că prima
expresie (56) este convergentă. Să n o t ă m cu I şi S cei doi m e m b r i ai egalităţii (55). A v e m :
^f (t)dt^f^f (t) n
de unde rezultă că \ f (t) Ja n
Ja
O
dt este convergentă pentru orice n.
tn C oo
E\
d*<J,
n
Ja
r oo m
Deasemenea
f*oo oo
M*)^ = \ J^fn(t)dt^\
£/„(*) d< = /.
u ,a Ja O Ja O ceea ce dovedeşte că a doua expresie (56) este convergentă şi că S < I. d e altă parte, a v î n d în vedere ( 5 7 ) ,
Ja
(T
O
Pe
Ja
şi făcînd r - > oo urmează J < S. Aşadar I =
S.
Demonstraţie analogă cînd se presupune că a doua expresie (56) este convergentă. 3?6
î n cazul cînd f (t) sînt funcţii c o m p l e x e (sau reale cu semn oarecare) v o m considera funcţiile \f (t)\ ± u (t) şi \f (t)\ ±v (t), unde ujf) şi v (t) reprezintă partea reală şi cea imaginară ale lui f(t). Aceste 4 funcţii sînt con tinue şi > 0 . E l e verifică de asemenea şi celelalte condiţii îndeplinite de func ţiile \f {t)\, cum rezultă din n
n
n
u
n
n
n
Il/.(0l±«.(0l2
şi analoga. Deci egalitatea ( 5 5 ) are loc pentru fiecare din cele 4 funcţii, de unde rezultă (prin scăderi) aceeaşi egalitate pentru funcţiile u (t) şi v (t), şi în defi n i t i v pentru funcţiile f (t). O teoremă analogă se poate demonstra pentru integrale improprii cu i n t e r v a l de integrare finit. n
n
n
E x e r c i ţ i i C dz 1. Să se calculeze V — pe un cerc de centru O şi rază R, aplicînd direct definiţia integralei. .C z R. Integrala există pentru că C este rectificabil şi — continuă pe C. Considerăm o subz 2kni
diviziune a cercului prin punctele Zjc = R e
m
2(k+l) n i m
. Avem A** = R(e
2Arc i
—e
m
) . Evident
A*~ —* 0 cînd m —> oo. Luînd ca valori intermediare ale integrandului — , formăm Zk m—t
2ni
—
m
A^z = w(e
— 1) = 2 mi sin — • e
m
—• 27ci.
0 Zjg
r
t\7
Aşadar JC
2
f
îr
2. Sdf se calculeze \
z
dz (m, n întregi) pe un cerc de centru O.
R. O determinare a integrandului este, pe cercul de rază R: tn
tn .
tn
—
— log z
— Î — e+2*K).
tn...
2 = e = K e într-un interval 9 < 8 < 8 -+- 2n ea este funcţie continuă de 8, deci putem scrie \ * d z = ifl * \ e d8 = Jc Je, 0
0
n
m.f
ni?
m + n
2Arc
e
n
1
2
m +e ni . l ° o + *
le" J „
n J
« , m.
n
9
n
* 7 ' tn
-r
n
m+ n e
n
- ^
(
m+n .
\
_J
dacă — ^ — 1. Cînd — = — 1 avem n n 0 + 2TI 0
d9 = 2:ci.
mul
Integrala este nulă atunci şi numai atunci cînd — este un întreg ^ — 1 (căci numai ultin factor se poate anula). 327
Cînd — nu este întreg, integrala depinde de punctul iniţial z = R e^» (al doilea factor a
n
exponenţial) şi de determinarea iniţială a integrandului (primul factor exponenţial). r
™
3. y z
n
dz (m, n întregi) pe o curbă care înconjoară tn sens direct de n ori, punctul z=Q
JC
este nulă dacă m # — n şi z = lizni dacă m = — n. R. Curba considerată este echivalentă cu un cerc de centru O descris de n ori în sens di rect. Afirmaţia rezultă din calculul de la exerciţiul 2, unde luăm 0 ^ 8 ^ 2nn. 4. Să se calculeze
i
• dz pe un cerc de centru O.
R. Integrandul fiind continuu şi finit pe cercul z = Re'rt, avem
e +27t log R o- i(6 + 2kn) 0
Jc
i ett d0 = 2ir(i log R -
2ATC)
-
Je
z
0
=
[(0e + 2TT)*
2TU
log R - 2(2k + 1) n* -
2K%
2 Integrala depinde de punctul iniţial, de determinarea iniţială a logaritmului şi de raza cercului C. (Ultima particularitate nu trebuie să surprindă, fiindcă integrandul nu are deter minări olomorfe într-o coroană de centru O şi deci teorema lui Cauchy nu este aplicabilă coroanei).
f
dz
5. Să se calculeze I = 1
unde C este una din cele trei curbe din figura
87.
Jc 1 -f- z* R. Deoarece 1 z - i — log 2i z + i
2i
î— = — (—î 1 + z* 2i \z - i log
- — \ o funcţie z + i /
_((arg(z-i) 2
+
z -f i
primitivă a integrandului este
arg (z + i)).
f dz Cînd z descrie cercul C ambele argumente (variind continuu) cresc cu 27T, decil =0. JCjl+z* Şi tot aşa pe orice curbă simplă închisă, care înconjoară punctele ± i . Cînd z dercrie curba C , cele două argumente cresc respectiv cu n şi 0 (primul creşte cu 7t pe semicercul de centru -|-i), iar variaţia primului termen este l f
a
— [log I 2i
C* 1
c * 3
i
I | = —
J
\z + i I Deci
log 3. 2i
r
\ Jc
dz ; 2
1-f;
2
1 = — 2
7C + l l O g 3 ) .
Pe curba C ambele argumente cresc cu TC, iar ©o variaţia primului termen este (pentru # =• — oo şi x = r dz = -f oo) egală cu 0. Deci V = 0. (Integrală imJc. 1 + z* proprie). f dz 6. Există integrala \ pe segmentul [0, 2i] Jc 1 + z* al axei imaginare} 3
R. Nu, pentru că nu există integralele pe segmentele [0, i] şi [i, 2i]. în adevăr, y - U are limita — oo cînd y—• 1. Dacă însă înconjurăm polul -fi al = log iy + i |. ~\y + \\ integrandului cu un semicerc, integrala pe curba astfel formată are o limită finită cînd raza
log
semicercului —• 0, anume — (TT -}- i log 3) (exerciţiul 2). 2 328
în general se numeşte valoare principală a unei integrale luată pe o curbă care trece printrun punct singular a (unde integrandul nu este finit şi continuu), limita (dacă există) a integralei luată pe o curbă modificată prin intercalarea unui arc de cerc de centru a, a cărui rază —• 0, (vezi fig. 88). în mod analog, cînd o integrală este luată pe o curbă ce trece prin punctul oo, numim valoare principală limita integralei luată pe arcul acelei curbe interior unui cerc de cen-
Fig. 88
Fig. 89
tru fix, a cărui rază —• oo (fig. 89). Evident, cînd integrala există (ca integrală improprie), (ceea ce cere existenţa separată a două limite pentru fiecare punct singular sau punctul oo), ea este egală cu valoarea sa principală. Invers, o integrală poate să nu existe, dar să aibă o valoarea principală; cum se vede din exerciţiul precedent. Uneori se notează valoarea principală cu P \ . JC
Astfel, în cazul nostru
P [
= -
(TU -f- i l o g 3 ) .
Jc 1 + z*
2
7. Să se calculeze integralele reale m
J
= ^x
t
e
a x
cos bx dx,
m
J
= ^x
2
fl
e * sin bx dx
m întreg > 0, a, b reali. R. Vom deduce aceste integrale deodată din m
=
^z e d 2 = w
m
z
e
A» = - ( e W » -
m 1
— ^z '
ae
e
a z
dz
ml - ), m
x
OL
/—t = - ( e W » a
1
- (m -
1) / » - , ) ,
/ , -= - ( e « z - /„), a 1 a m
înmulţind aceste egalităţi respectiv cu 1, —m, w(m — 1), ... (— l) obţinem I
m
m
=
(z
1
- ?nz™- -f (m m
m
-
1) z ~* - ... + ( - 1) m
m
m! şi adunîndu-le
!).
a Punînd aici z — x, a = a -+- ib avem I
m = Ji + i /
a — ib
e
a x
m
(cos bx + i sin bx) (x
?
= m
x
- mx ~
+ . . . + ( _ 1)"»
m
!),
a* + 6* 329
de unde „_ a cos bx -f b sin bx , _ , A = e * (x - w * * » - + ... + ( - l ) m ! ) , a -{- 6 fl
m
m
2
1
m
2
a sin 6* — 6 cos bx , ^ ^_ ( * - w*"a + 6 8. Integrarea unei funcţii raţionale de cos z şi sin z. /
„_ = e* a
2
m
2
1
4-
... + ( - l )
m
m!).
2
R. Fie F (cos z, sin z), raţională, de perioadă 2n. Punînd t = e»* şi aplicînd formulele lui Euler obţinem F = R{t) raţională, pe care o descompunem în fracţii simple. Adăugind la
Q partea întreagă şi termenii de forma
— (corespunzînd rădăcinii t = 0 a numitorului lui t — dacă este cazul), obţinem partea n
R(t)
? Cmtm
R
oV)
^2
=
q =
c
m(cos tnz -f isin mz)
t
m—p
m=p
unde m poate avea şi valori negative, şi care se integrează imediat. Fie a 0 o rădăcină a numitorului lui R(t), care dă partea
/ _
(t- a )
a
2
(* -
*)
n
Putem scrie, a fiind o rădăcină a ecuaţiei e'a = a (care există, fiindcă a ^ 0): I
_
I
t — a
_
I
e»* — e'a
j
e»«
- Î
e»(*-a) — 1
/
e*(*-oo +
2e'« [
N
eM*-*) — l j
sau 1
1
t
1 + i ctg
t - a Substituind, obţinem
z-ol\
(
=
2 e'a V
R (t) = P | c t g x
I
2
j
2
z — oc n
]
- l > polinom de gradul n.
n
Observăm că o putere ctg
•
. .
.
2 acesteia pînă la ordinul n — 1. Avem în adevăr — ctg 2 ^ — 1 — ctg 2 sau ctg z = — 1 2
1
a . şi
1
derivata
2
2
— ctg z. dz
dz
în general, dacă ctg"- z =
z —
.
se poate exprima liniar prin ctg
1
1
+ P ^ » - ) ctg z -r P i * - ) — ctg z 4 - ... + P ^ I * — — ctg z, dz dz»2
urmează derivînd - ( » - 1) ctg»-* z(l + ctg z) = P\"-i) A ctg z 4 - ... + P i ^ > ctg *, dz dz de unde 2
11
2
n
2
w
2
- c t g " z = j y - ) 4 - P i " ) c t g z 4 - [Pi ~ >
P
+
^ P(N-l) \
( p(«-2> adică avem
+
H«-3
^=3_) A _ n - 1) dz"-
c 3
P(N-i)
t
g
*+ n -
^
1
}
I — c t g z 4 - ...
n — 1/ n
H ~
2
1
dz p(«—1)
H»-
ctg 1 + ± 5 = 2 - — C t g 1 dz»n - 1 dz»" 2
1
1
d d»" c t g » z = P<»> 4 - P< ) c t g z 4 - P£») — c t g z 4 - ... 4 - PJ») ctg z dz dz»;1
1
330
1
2 >
cu formulele de recurenţa 2
Pfc*> = - i * * - ) ,
P<") = -
P 1> po») = - I Pj.n-2) fe l = ~ ^Pi» - ) 4i P
1
2
+
^j 1
>
(2 < k ^ n - 2) (2 < * ^ n -
p(»-i> n -
!*»-*),
p(»-i)
1
"
n -
1
în definitiv se obţine o descompunere de forma P(cos z, sin z) — C + SC* cos kz + SC^ sin fcz + A ctg
- + ^
x
— ctg - — 2
2 d*-
1
+
2 —a
ctg dz»-
1
+ # i ctg
z —B d z —B £ + B — ctg Z .
2
2
2
dz
d*" +
+
B
1
•
z—B C
T
v
2
dzv-*
2
Pentru a o integra avem de aplicat numai formula C
z —
z —a dz = 2 log sin — > 2
OL
Ictg
j 2 ceilalţi termeni integrîndu-se imediat. Termenii descompunerii se pot obţine în cazurile simple prin identificări. Dacă F are perioada Î T , vom pune t = e**' şi vom introduce ctg (z — a) etc. 1
9.
C
—
(a # fac).
J cos z — cos a ia
Punînd * = e** şi a = e , găsim: cos z — cos a
2
a(* + 1) — t{a* 4- 1)
1 lat Numitorul are rădăcinile simple a şi — . Deci avem o descompunere de forma a 1
= C 4- ^ ctg
z — <x
z 4- a 4- B ctg — ^
cos z — cos a 5
(ecuaţiile e*« = a, e' = — avînd rădăcinile a şi —a). Coeficientul A se determină înmula ţind cu z — a şi făcînd z —• a, ceea ce dă ^4 =
_ 2 sin ———sin
1.
2 2 avem C = 0. Astfel
J
La fel, B=
1 cos <x cos z — Şi
— 2 sin a
(scriem cos z — cos <x = \,
Introducînd aceste valori şi punînd z = 0, 2 sin a. 1 f , 2 sin _ g in a V c t
*- *
4.
*
+
° ^
--ctg—— 2 2 ;
C
^ —
10. V J cos z — cos a 2
(a # hz).
2
2
Perioada integrandului fiind iz, punem t = e »*, a = e2ia şi găsim 1
4
2
2
cos z — cos a
{t —
(a* — 1)
Numitorul avînd rădăcinile simj>le a, — , există o descompunere de forma a = C + A ctg (z 2
OL)
+ B ctg (z + a ) .
2
cos z — cos a Înmulţind cu z — a şi făcînd z —* a obţinem A =
î— şi la fel JB= —î— ; apoi punînd sin 2ot sin 2a
* = 0, găsim C = 0. Deci 1
1
2
2
cos z — cos a dz 2
(ctg<* + « ) - c t g ( * - « ) ) ,
sin 2a 1
— 2
J cos z — cos a
sin 2a
, sin (z + a) log sin (z — a)
Observaţie. A c e a s t ă i n t e g r a l ă se p o a t e d e d u c e d i n p r e c e d e n t a , 1 2
2
cos z — cos a
—(—
—l—
1
2 cos os a V cos z — cos a
532
!
l
2 cos DS a \ cos z — cos
-—)-
a
cos z + cos a /
V
1 cos z — cos
(TZ
— at))
scriind
Capitolul V
Dezvoltări în serie Taylor şi Laurent
§ 78. Serii de funcţii Teorema 1.
olomorfe
Dacă
1° funcţiile f (z) sînt finite 2° C este rectificabilă şi n
şi continue pe curba C,
3° seria
converge uniform
pe C, avem ^ (z)dz
(i)
=
9
ţ;\ Mz)dz. c
într-adevăr, fie S (z) = £ ^ / » ( * ) • I p o t e z e l e noastre sînt şi acelea ale teo n
remei 19 din § 7 7 , pentru S (z)
ca funcţie de z şi parametru n. P u t e m
n
deci
scrie l i m V S (z) dz = V Jim S*(z) dz n
OO
JQ
JQ «-> 00
sau }im£C/ (*)dz=ţ *+*>Hrjc .c n
(z)dz
9
care este relaţia ( 1 ) . Observaţie.
O teoremă analogă are loc pentru şiruri
Teorema 2. (Weierstrass).
S (z). n
Dacă
1° f (z) sînt olomorfe în domeniul 2° seria
D şi
o
converge uniform avem
în D, atunci: suma y(z) este olomorfă D, iar în orice D
şi această serie este de asemenea uniform
L
convergentă în
cz D,
D
v
333
Graţie ipotezelor 1 ° , 2 ° , 9(2) este uniformă, finită (implicat în 2 ° ) şi continuă (§ 7 7 , teorema 1 8 ) . D e aici şi din teorema 1 s-ar putea conchide c ă
JC
JC
0
Pentru a demonstra complet teorema, ne v o m servi însă de teoremele 1, 2 şi 3 din § 7 6 . T fiind un cerc de centru z şi de rază R conţinut în D, a v e m (
2ni Jr t — z
2ni Jr n^o t — z
feo
2ni Jr t — z
feo
Deci
aplicat teorema
v
1 , observînd c ă y y * ' converge uniform pe I \ £=otf — z
deoarece restul are modulul— \r (t)\, R (teorema 3 , § 76) n
2TZI Jr
Â
(t — z)
r
n
*T
fiind restul seriei date. A p o i a v e m
2ni
J
r
[t —
Â
z)
aplicînd la fel teorema 1, ( 2 ) este demonstrată. Pentru a demonstra convergenţa uniformă a seriei ( 2 ) v o m arăta con vergenţa restului e i :
care-i funcţie olomorfă (teorema 3 , § 76), căci a v e m (aplicînd^ iar teorema 1 cu un R fix < p (Di, fr D) astfel ca cercurile de centre z e D şi rază R să fie conţinute în D): x
W deoarece
2ni J
r
este uniform
2ni Jr (t -
(t - zf
1
t)
convergentă.
^ ( t - z f Conform ipotezei 2 ° , pentru un e > 0 există un v aşa fel că | r (z) | < în D, pentru n > r, deci n
1
|ri(*)|<
ER — - • 2isR = e în D
u
27C
pentru n > v.
tR
Q.E.D.
iv
Observaţie. N u a fost necesar să presupunem convergenţa uniformă a seriei derivate, ca în teorema analogă din domeniul real (care, în schimb, se dispensează de convergenţa uniformă a seriei d a t e ) . T e o r e m a următoare este analogă cu aceasta. 334
Teorema 3. într-un olomorfe şi seria
domeniu
mărginit
simplu
conex D, unde f (z) n
sînt
o
converge
uniform,
avem
C' (*)d*=£f/.(*)<**
(3)
9
şi această serie converge uniform
într-un
domeniu închis
(şi mărginit)
D' cz D.
T o a t e integralele din m e m b r u l al doilea există şi sînt independente
de
drumul ZQZ, pentru că f (z) sînt olomorfe şi D simplu conex (corolarul teoremei 1 din § 75). (3) rezultă din teorema 1 luînd toate integralele pe un acelaşi drum. Fie acum 8 = dist (D',frD). P u t e m acoperi 2 ) ' p e un domeniu TZ cz D, 8 — de pătrate de latură - = ; fie N numărul lor. Dacă z , z e D', Je putem uni v 2 cu un drum compus din segmente conţinute în cîte un pătrat fiecare, căci p u t e m m e r g e de la z la z trecînd printr-un şir de pătrate adiacente cîte două. D a c ă se întîmplă să r e v e n i m la acelaşi pătrat, v o m lăsa la o parte bucla de pătrate parcursă de la un pătrat la acelaşi pătrat. Astfel, un pătrat v a conţine n
0
0
cel mult un segment al drumului şi lungimea acestuia v a fi < 4l -== N
=
8N
\2 Aceasta demonstrează că într-un domeniu închis conţinut în D, putem uni 2 puncte printr-o linie de lungime < un număr fix. P r i n ipoteză, r şi R fiind resturile seriei date şi seriei (3), există pentru un e > 0, un v astfel că \r \ < pentru n > v ; deci 8N n
n
n
\R»\
= | f
r„(z)cUr <
• 8N = £
pentru n > v.
8N Observaţia. 7. După cum a m v ă z u t , teorema 1 este un caz particular al teoremei 19, § 76, teorema 2 un caz particular al teoremei 20 din § 77, iar partea a doua a teoremei 3 rezultă ca un caz particular al teoremei 21, din §77. Observaţia conex, darV f dz n
2. T e o r e m a este aplicabilă şi în cazul cînd D nu este simplu sînt uniforme. (Este tocmai cazul particular al teoremei 21
din § 77). Teorema 4. Stf consideră seria
(lui
Dirichlet) a
e
XnS
f(z)=J2 » ~ o
unde a sînt numere complexe şi { X „ } un şir de numere reale monoton crescător la + oo. Dacă seria converge într-un, punct z , ea converge într-un semiplan R e z > a (şi eventual în puncte ale dreptei R e z = a) fiind divergentă pentru n
0
335
R e z < *. Pmtctul gentă în
z fiind an punct ie convergenţa, seriu este uniform
conver
0
sectorul |arg(* — * o ) | < *
1°. Demonstrăm afirmaţia a doua a t e o r e m e i : P u t e m lua z = 0 (căci făcînd transformarea z' = z — z obţinem o serie de aceeaşi formă şi conver genţa uniformă se păstrează). A v e m (identitatea lui A b e l ) 0
0
m
m
unde Vv
a
m +
=
Pentru a aproxima pe [ S
+
«v
| ne v o m folosi de inegalităţile
m>n
JXv
JXv
unde z — A: + i^y. F i e acum z > 0 ( d a t ) . P u t e m alege m ^ |căci 1*1 x
astfel ca
0
> 0 şi | s , | < e cos
v
a, este convergentă prin i p o t e z ă j »
în
sectorul
considerat
avem
1
1 < cos 6 cos 9 IS \ m>n
-|->\
•
A
.
Deci, in acest sector,
< E P £ (e
_ X v
x
x
* — e - W ) + e ~ » * | = s e ~ ^ < e.
Ceea ce demonstrează convergenţa uniformă. 2° Din 1° rezultă că, dacă seria converge în z = x + iy , ea c o n v e r g e în R e z > x . Deci, dacă a este marginea inferioară a absciselor x cu această proprietate seria converge în R e z > a şi d i v e r g e în R e z < a. 0
0
0
0
0
Observaţia
7. Pentru
a
determina
semiplanul
de
convergenţă,
este
00
realăy^
destul să considerăm seria pe axa
t
x
y
a e~ " . w
i z
Observaţia 2. Dacă X = n seria dată devine o serie întreagă în e~ = z'; la domeniul de convergenţă x > a corespunde în planul (z ) cercul de conver genţă \z' \ e~ = R. I n v e r s , o serie întreagă poate fi scrisă ca serie Dirichlet. n
r
a
00 z
Pentru X = log n a v e m o serie Dirichlet ordinară, ^
a n~ .
n
n
i
Teorema 5. 0 serie Dirichlet fiind dată, există un număr a astfel că seria este absolut convergentă pentru R e z > a şi nu pentru R e z < a . (Semiplan de convergenţă absolută.) 0
0
0
Dacă seria converge absolut în z = x + iy , R e z = x > x . Căci a v e m în acest semiplan 0
0
z
\a e-^ \^\a e-^^\] n
336
n
0
0
ea converge absolut în
a este marginea inferioară a numerelor x cu proprietatea că seria este absolut convergentă în z = x + iy. 0
a fiind abscisa de convergenţă, a v e m e v i d e n t a > a, este posibil ca 0
a < a. 0
00
T e o r e m a 6. Dacă f(z) = ^ a z
~> f( o)
într-un
J >
e~
X | ,
* este convergentă
în z ,
atunci f(z) ->
0
sector larg
(z-z )\<
R e z u l t ă din teorema 4 şi xm caz particular al teoremei 16, § 77. 00
Observaţie.
00 n
Se consideră cazul unei serii de p u t e r i ^ a z' n
e
= ^
1
nZ
a~ r n
î
_
convergentă în z' = e ' ° . F i e E domeniul de intersecţie al sectorului prece dent cu banda \y — y \ < n, pe care transformarea z' = z' e~ o reprezintă conform pe planul (z) — O (vezi fig. 90). A v e m 0
0
Q
ie
z' — r ' e ' =
ie
r5e °e~(*~*°)~
r' = r' e-i*-*°\ 0
0' -
i(y_:J 0
% = y
0
')
-
y.
P e porţiunile de laturi ale sectorului cuprinse în banda precedentă
X — A'o
şi ele sînt transformate în arce de spirale logaritmice CT
r' = ' e±b'-«'o) ^ r 0
( - TT < 0' -
65 < T T ) ,
care pleacă din z' şi se intersectează iar într-un punct pe dreapta Oz' (cores punzînd la cele două e x t r e m i t ă ţ i de pe laturile benzii). Aceste arce limitează domeniul corespunzător lui E. Seria de puteri este uniform convergentă în E' şi f(z') - > / ( Z Q ) în E' dacă este convergentă în z' . Aceasta prezintă interes cînd ZQ este pe cercul de convergenţă. Observînd că cele două spirale taie Q
Q
0
dreapta Oz' sub un unghi 9 < — > p u t e m pune rezultatul sub f o r m a : Q
22 — T e o r i a funcţiilor — c. 1275
33T
Dacă o serie întreagă converge într-un punct z' al cercului de conver genţă, ea converge uniform într-un sector cu vîrful în acel punct, conţinut în cercul de convergenţă (vezi fig. 91). Mai putem z i c e : f(z') ->f(zi) pe orice drum netangent cercului de convergenţă şi interior acestui cerc. 0
Teorema 7. Dacă o serie Dirichlet abscisa de convergenţă este a = lim i - l o g Fig. 91
n->oo X
nu converge în z = 0,
+ ... + a | . n
n
1° Seria converge pentru x > a. într-adevăr, fie 0 < z < x — a. P r i n definiţia precedentă a lui a log [ a + ... + a | < (x — z) X
(4)
1
v
(v > v )
v
0
(X > 0 pentru v destul de m a r e ) . D u p ă identitatea lui A b e l v
(5)
£
a e-V v
=
î
£
(a +... + a,) (e~V _ x
x
- W ) + (
e
+ ... + a ) e " » \
ai
9
i x
Xn
XnX
După ( 4 ) ultimul termen are modulul < e^ ~^ e~ termen - > 0 . A p o i x
e
| (a + ... + a„) (e~^ =
x
— e - W ^ ) | < (*- ) v (
x
e
s
xV
= e~
xt
e
- v _
e
e X n
şi deci acest
- w ) =
e
e<*" > K e~ dt < x V
c " ' dt,
căci în intervalul ( \ , (x — e) X < (x — z)t sau (% — z) X — #2 < — zt. Urmează că în (5) suma din m e m b r u l al doilea este a unei serii absolut con vergente — ca şi seria v
00
\ M 1
P^+i
v
1 e~ d/ = — £ ( e ~ ^ s /
JK
S
I
Astfel, seria dată este convergentă pentru x > a. x
2° Invers, fie seria convergentă în z = x şi z > 0 . Punînd 6 = a e ~ v * , V
v
avem *i +
... +
« . = £ ; &v ^ i
x
=
£
(&i +
-
+
6v)
(eV- e W )
+ (b + x
... + 6 . )
x
e "
î 00
(identitatea lui A b e l ) . Seria ^
K
fiind
convergentă
prin
ipoteză,
\h + ... + K \ < M ( f i x ) , deci I
+ . . . + <*» I <
n-1
E
x
M ( e W — V ) + j|fe -* e
=
î Xn
=
x
M ( 2 e * — e »*) <
x
2Afe »*,
•de unde l o g l ^ + ... a \< n
338
\x
+ N < (x + e ) X
n
(N f i x )
avem
pentru n > n .
Cum e este arbitrar de m i c , aceasta arată
0
a = l i m — l o g | a + ... +
a \<x.
x
n-foo
Din
i
că
n
n
1° şi 2° rezultă că abscisa de convergenţă este a.
Teorema 8. Dacă o serie Dirichlet abscisa de convergenţă absolută este
nu este absolut convergentă în z = 0,
a = l i m — log (\a \ + ... + l « J ) . 0
±
1
x
U r m e a z ă din teorema precedentă observînd că ia^e-*» ! = | a | e ~ « * (x = R e z) şi că abscisa de convergenţă absolută este abscisa de convergenţă n
00 x
a seriei
e- «*.
§ 79. Serii de puteri 00
a) Sînt denumite
astfel
seriile de
H
forma ^
a (z — z ) , unde z este o un punct dat la distanţă finită iar coeficienţii a sînt numere complexe. A c e s t e serii joacă un rol capital în teoria funcţiilor de variabilă complexă şi de aceea le v o m studia în detaliu. A l ă t u r i de ele v o m avea de considerat şi serii de puteri cu exponenţi n
0
0
n
00 n
negativi: ^
a (z — z )~ , n
care se deduc din serii de puteri (cu exponenţi p o z i -
0
o t i v i ) prin transformarea
z — z = — • 0
00 n
O serie de puteri ^
a (z — z ) n
converge în orice caz în punctul z
0
=z
0r
unde are suma a . E a nu poate prezenta interes decît dacă converge şi în alte p u n c t e ; atunci mulţimea punctelor de convergenţă (mulţimea de c o n v e r g e n ţ ă ) cuprinde un cerc deschis. M a i precis, a v e m următoarea teoremă funda mentală: 0
Teorema 1. (Teorema
întîia a lui Abel).
Mulţimea
de convergenţă a
unei
00
serii
de puteri
n
^
a (z — z ) n
0
este formată
dintr-un
disc deschis de centru
z
0r
o \z — z | < R, plus eventual puncte de pe circumferinţa \z\ = R. Ea se poate reduce la punctul z (R = 0) sau poate fi tot planul euclidian (R = oo). Seria este (cînd R > 0) absolut convergentă în cercul [z — z \ < R şi uniform conver gentă în interiorul acestui cerc. 1° E v i d e n t , putem presupune z = O, căci o translaţie z — z = z* duce punctele de convergenţă ale seriei date în puncte de convergenţă a l e 0
0
0
0
0
00
seriei transformate;
şi reciproc. Aşadar
considerăm
seria
n
az. n
339
Dacă seria converge numai în z = 0 nu a v e m nimic d e demonstrat. Fie z 0 un alt punct de convergenţă. V o m demonstra că seria dată con v e r g e absolut în tot cercul \z\ < l ^ ) . într-adevăr, a v e m în virtutea i p o t e z e i : a z\ —• 0 pentru n —• o o ; deci, dat e > 0, există un N astfel că ±
n
\a z*\ < e pentru n > N. n
Urmează de aici, pentru \z\ < n
\a z \ u
z
Cum
<
\z \: ±
< e
cu n >
1, seria geometrică
z
^
N.
este c o n v e r g e n t ă ; de unde afir-
*1
maţia Să considerăm acum mulţimea (z ) a tuturor punctelor de convergenţă, şi fie R = sup (\z \). Aceasta înseamnă că seria nu converge în nici un punct z cu \z\ > R) şi totodată că, pentru un punct z cu \z\ < R, există un punct de convergenţă z astfel că \z\ < \z \. A t u n c i seria converge absolut în z, con form rezultatului precedent. Aşadar seria dată converge absolut în tot cer cul \z\
x
±
±
x
x
n
n
Zl
Seria
geometrică
^
nu depinde de z şi este c o n v e r g e n t ă ; deci
seria dată este uniform convergentă în cercul | 2 | < r (după Weierstrass).
criteriul
lui
b ) D i n teorema demonstrată rezultă, aplicînd teorema lui Weierstrass: Teorema 2. 0 serie de puteri
cu raza de convergenţă R > 0 este o
funcţie
00
f[z) fi
= ^
n
a (z — z ) , n
olomorfă
0
derivată şi integrată
/*"»(*) = de unde
in cercul de convergenţă
termen cu termen în interiorul -
1)
- (»-*+!)
\z — z \ < R. Ea poate 0
cercului
- **)"-*
şi
seriile 340
Zo)
astfel obţinute avînd acelaşi cerc de
(I*. convergenţă.
convergenţă:
(I* - * o l < * ) <
nl
(z —
de
A v e m numai d e justificat ultima afirmaţie: Seriile precedente c o n v e r g sigur în cercul \z — z \ < R. Dacă de e x e m p l u seria lui f'(z) ar avea o rază d e convergenţă > R, ar urma ca seria integrată să aibă de asemenea o rază de convergenţă > R; or, această serie este tocmai cea dată. 0
c) Cu ajutorul
transformării
z — z =—,
teorema
0
1 se
extinde
la
z oo
serii de puteri cu exponenţi n e g a t i v i de tipul ^
n
a
n
z~ .
o Teorema 3. Suma
unei serii de puteri
cu exponenţi
negativi
o este o funcţie olomorfă în exteriorul cercului deriva termen cu termen, avînd derivatele (6)
de convergenţi
/<»>(*) = ( - 1 ) - j > ( » + 1 ) . . . ( » + »
T. Seria
_ 1) b.(z -
se poate
z )—» 0
1
cu acelaşi domeniu
de convergenţă ( e x t T ) .
Dacă frj = 0 avem şi (?)
K m
d
z
(*i -
1
= 1b H* ~ ^ o ) - " o 1— n
altfel apare un termen logaritmic:
b
x
log x
0
*v * € e x t
r,
—• z -z
Cercul T este cercul de centru z
1
'o) '*],
0
a v î n d raza egală cu inversa razei d e
00 n
convergenţă a seriei Y) b z - Cum aceasta converge uniform în orice cerc d e o centru O şi rază
T ' de centru z şi rază 0
> — . D e aici urmează R
( 6 ) , în
virtutea
teoremei
2 § 78 în T ' şi deci în e x t T. A p o i aplicînd ( 3 ) , § 7 8 [valabilă fiindcă \
(z —
— z ) * dz sînt uniforme pentru n ^ 1], a v e m ( 7 ) , serie uniform convergentă în orice coroană de centru z conţinută în e x t T (teorema 3, observaţia 2 , §78). 0
0
Cercul d e convergenţă al seriei derivate (m =
1) nu poate avea
<
— , căci integrînd-o după formula ( 7 ) (aplicabilă fiindcă în seria R * lipseşte termenul în 1, am obţine tocmai seria dată. -*o/ n
raza
derivată
n
Exemplul 1. Fie f(z) = ^ a z , g{z) = ^ b z , cu coeficienţi reali, convergente într-un o o cerc de rază > 1 şi centru O. Avem n
n
Y) «nb = — V / ( e ) g(e" )d V *Jo ,
n
l
9
(Parseval).
2
ut
Seriile f(z) şi g(i) fiind absolut şi uniform convergente pe cercul \z\ = 1, putem scrie
Ultima integrala este nulă pentru m # n şi egală cu 2na b m
d ) Teorema 4.
(Cauchy).
pentru m — n.
n
Raza de convergenţă
a unei
serii de
puteri,
00
a ( * — 2b)* este dată de
formula:
n
o R
1
=
limfKi în particular, în punctul
z
0
seria este convergentă în tot planul
dacă fa
n
este
Să n o t ă m / = lim f a
dacă fa
n
—• O ţi
numai
nemărginit. — cantitate existentă întotdeauna.
n
Presupunînd
»-*00
/ # 0 , a v e m prin definiţie pentru un e > O dat, un N astfel că: pentru [>
l — z =
l"
n >
N,
pentru o infinitate
Seria converge în orice punct z astfel că
d e indici
n.
\z — z \ = r < — , căci luînd 0
/ „ pe /
i
i
> / aşa ca r < — < — , v o m a v e a : V I n
n
\a (z-z ) \<(l'r) n
n>N
0
şi seria este convergentă pentru că l'r <
1.
Din contra, seria nu converge dacă \z — z \ = r > — , căci luînd 0
pe
/ J
< l aşa ca r > — < — , v o m a v e a ^ l" l n
n
\a (z-z ) \ n
> ( / " r) >
0
1
pentru o infinitate de indici n şi seria nu poate converge (pentru că termenul general nu tinde la z e r o ) . D i n acestea rezultă R = - y • î n cazul / = O, adică f | a \ —• O, primul argument a r a t ă că seria converg? pentru orice z finit. n
rămîne
valabil
şi
î n cazul / = oo, adică fa nemărginit, rămîne valabil al doilea argu ment, care arată că seria nu converge pentru nici un z ^ z . n
0
Exemple
yă~
n
242
= I 1H
I
—• — şi deci R=
E- > 0 0
0 0
~rt
n
(— l ) y/\a \
= — n
n
4
- £n
l o g w
— 5i mai general V\c \
c —
cu c
n
n
mărginiţi*
< — — O si deci R = oo. n
n
A
1 logn n
$a
= n
n
(Deoarece log
—• 1 şi deci R — l.
106
(„^ ")
2
(log
:
n) -+0.)
e ) D e multe ori se poate T e o r e m a 5. Dacă
există
folosi *n+l
lim
/, atunci
raza de convergenţă
este
n-> oo
R
= T ' î n t r - a d e v ă r , aplicînd teorema lui D ' A l e m b e r t seriei modulilor, se
că ea converge pentru \z — z \ < Q
—
şi diverge pentru \z — z ] > — . Q
seria dată este absolut convergentă în cercul \ z — z \ < Q
vede Cum
R, şi nu este conver
g e n t ă (deci nici absolut c o n v e r g e n t ă ) pentru \z — z \ > R, urmează R = 0
Exemple 5. Fie P(z) şi Q(z) polinoame şi n un indice astfel că Q(n) ^ 0 pentru n ^ u . Seria 0
0
y v i > l
z
»
a r e
R
=
=
i.
într-adevăr P(n+ P(n)
1)
Q(n) Q(n + 1)
OO n
6.
n! z . Avem
a n + 1
= n -f 1—• -f oo, deci R — 0. De aici, comparînd cu teo-
a
0
n
rema lui Cauchy, se deduce ^/n! —• + oo (în adevăr, se constată uşor că această funcţie este crescătoare, deci limita există). 00
7.
n
z —
cite convergentă în tot planul
(R =
oc).
ir \
8. L a fel
cu c
n
mărginiţi.
o într-adevăr
^ \a | = —
n
343
9. <*n+i a»
» 4- « 4- 1 n 4- 1
a(a - nb)*-l
10/
1 şi deci i? = l.
6 # 0.
n! ^
1 [a~(n4-l)fer_a-n6r n + l (a-nfe)»- " n f 1 ţ
i
1
a»
b V» a - nb)
Deci i? = -
PIObservaţie. Dacă există l i m
= /, atunci şi l i m y\a \ = l. 9
într-ad< într-adevăr, fiind dat s > Q, să l u ă m / ' aşa fel ca / < / ' < / iV aşa fel ca
<
/ ' pentru n > N, adică
l*nr+il < l'\*ir\. de
+ s. E x i s t ă
l*Lv+al <
—
unde
l<W \ a ^ Cum
p
< l ^
p
\ a ^
ultima expresie tinde la / ' cînd p - > oo, a v e m
f|a,|
< / + e pentru
n>N >N. x
L a fel se v e d e (cînd / > 0) că f \a \ > l — z
pentru
n
n >
N. 2
A c e a s t ă ohservaţie poate fi utilizată la calculul unor l i m i t e . Exemple 11. Luînd a = n \ se deduce $n \ —• -f oo (exemplul 6). Luînd a = —- se obţine n
_L ^n~\—
n
(exemplul 18). Tot aşa #7 — 1 (a > 0),
a w
1 etc.
M
1 2 . £ ^ e * , a = a + i6
a
a
a
= | e | = e = tf\a \ şi deci J? = e~ . n
344
c
13. Y) o
o
s
w
<*~
w
n
-
6
sin na* , CM a = a -f i& a « i? = e ' '. o oo
într-adevăr, suma şi diferenţa primei serii cu a doua înmulţită cu i sînt seriile: y ^ e < * 2 , i n
w
0 00
şi y ^ e- a^ , care au razele de convergenţă e şi e (teorema lui Cauchy). Urmează că seriile O date au ca rază de convergenţă pe cea mai mică dintre razele precedente, adică e~ . Alt mod de rezolvare: iw
w
b
- &
l&l
a cos(n + l)oc . —-- =s , — = cos a — sin a tg na. a cos na (e [ ++ i cînd b > O fe-* n+l
n
{
a
aa
Şi a
le*
ambele cazuri. ; deci —^i! - * J 6< O n cos ţena ia de o infinitate de ori Pentru 6 = 0: lim tf\ a \- i = cînd lim ^cos na — 1. (Căci n-> oo n-*oo valoarea 1 dacă a este comensurabil cu 7T, sau valori oricît de apropiate de 1 dacă a este inco mensurabil CU 7T.) Deci R = e~ în toate cazurile. Pentru seria a doua se găseşte la fel R = e ' '. a
n
l&l
-
6
00 n
Observaţie. Adunînd la prima serie pe a doua înmulţită cu i obţinem ^)T^ &0*z conver1 gentă. in cercul de rază R — e . Cercul de convergenţă al acestei serii are însă raza R — e . (Exemplul 12.) t
_ | 6 r
b
O aplicaţie imediată a teoremei lui Cauchy este: 00
Teorema 6. (Hadamard).
00 n
Dacă seriile ^
az n
n
şi
b z au razele de conn
o
o
oo
vergenţă R şi x
R pozitive, atunci raza de convergenţă a seriei y ^ a b z
este p >
n
2
n
n
o
> RR. X
Iar în cazul cînd de exemplu fb
2
n
—• — , avem p =
i? i? 2
2
R
2
P r i m a afirmaţie rezultă din propoziţia: Dacăa
n
> O, b > O şi l i m a = X, n
n-*oo
lim b = fx finite,
atunci l i m
n
n ->-oo
a b <7^[i. n
n
n->oo
într-adevăr, dacă de e x e m p l u y. = O, a b —• O pentru că a este măr ginit şi 6 —• 0. F i e acum X > O, y. > 0. F i i n d dat & = &i& > 1, cu k > 1, & > 1, a v e m a < & X şi & < & JJI pentru n > N, deci a b < k\y. pentru n > N. D e unde lim a b ^'h\i. n
n
n
n
2
2
n
X
N
n
2
n
x
n
n
A doua afirmaţie rezultă din propoziţia: în aceleaşi condiţii de mai sus, dacă b fi, avem Um a b = XJJI. Cum am observat, aceasta se verifică în cazul cînd X = O sau y. = 0. Cînd X > O şi y. > O rămîne de demonstrat că lim a 6 ^ X j x . într-adevăr, dîndu-se O < k' = < 1, cu O < k[ < 1 şi n
n
n
n
n
»->00
O < & < 1, a v e m a > &i pentru o infinitate de indici n şi b > k' y. pentru n > N'; deci a 6 > k'hy. pentru o infinitate de indici n. D e unde lim a b > n-> oo ^Xfx. 2
n
n
n
n
2
n
n
345
Exemple. 00 p
14. Dacă | a z% | < kn
a
(k = constant),
n
»*
n
convergent pentru
\z\<\z^\.
0 n
într-adevăr | a z
| < An* | —
n
şi acesta este termenul general al unei serii conver-
Z
Ji I ' ° gente pentru] — < 1 (exemplul 11). oo
w n
v
15. Dacă a 2 arc raza de convergenţă R > O, de convergenţă. yn —• 1. Se aplică teorema 6 (Hadamard).
n
anz
n
n
(p real) are aceeaşi rază
v
oo
oo
a
n
n
16. Dacă ST* a z are raza de convergenţă > O, — z converge în tot O _ V " 8w+1 !->OO, cum se vede din: > / ( 2 « ) ! > ^Jn = Jn şi V(2n -f- 1) ! > * Jn = ^n7 Se aplică teorema 6.
planul.
n
!
2n
n
2i
+1}
n+l
*
f) î n ce priveşte convergenţa seriei de puteri p e circumferinţa de con v e r g e n ţ ă \z\ = R, nu se poate afirma, în general, n i m i c ; se pot prezenta toate cazurile imaginabile. Exemple. oo p
17.
n
n z (p
> 0) cu R = 1 (exemplul 11
MM converge nicăieri
pe circumferinţa
de
1 Căci pentru
j = 1 , termenul general nu tinde la 0. zn
18. La
W^^ " a (n - n Avem = I 1 <*n-i l * J 1
N
n _ 1
n
n
convergenţă J a z n
n
\ — ae n
( = I 1 ^
n
n
1
1 • — deci R = e. Pe circumferinţa de
I W
'
e
i _ _I n şi va fi destul să arătăm că a e
n
n
este crescător, sau că
Qn
l
~ a n
>. _L e
descrescînd. In adevăr:
2
In J
n
n
(S-a* aplicat inegalitatea cunoscută: (1 + n ) ^ î -r n/i pentru 1 -f A > 0.) 19.
— (p > 1) converge absolut pe toată circumferinţa de convergentă \ z\ = 1, pentru
că seria modulilor este convergentă. Observaţie. Seria modulilor fiind aceeaşi pe t o a t ă circumferinţa de con vergenţă, este destul ca seria dată să c o n v e a r g ă absolut într-un punct al circumferinţei pentru ca să conveargă absolut în toate punctele acesteia. Aceasta se întîmplă de e x e m p l u atunci cînd a ^ 0 şi seria c o n v e r g e pentru z = R, căci într-un punct z = R e modulul termenului general al n
i e
CO n
seriei este a R n
n
şi prin ipoteză J~) a R n
n=l
346
este convergentă.
Urmează că în cazul cînd seria nu converge într-un punct aj. circumfe rinţei de convergenţă, sau nu converge absolut, atunci ea nu poate converge absolut în nici un punct al circumferinţei (dar poate converge neabsolut). A l t ă aplicaţie a observaţiei de m a i sus este: oo n
Teorema 7. Fie f(z)=J^
az
t
în
n
cercul
a > 0 şi f(x) este mărginit în intervalul pe toată circumferinţa \ z j = R.
(O, R), atunci
n
P r i n ipoteză f(x)
< M
de convergenţă
\z\ < R.
Dacă
seria converge
p fix, pentru O < x < R. D e c i ^ a x
n
absolut
< M
n
în
p n
acest interval. F ă c î n d x -> R,
obţinem y ^ a R n
< M pentru fiecare p; ceea
00
ce arată
n
că ^
aR
converge, adică seria dată converge absolut
n
şi deci tot aşa pe toată circumferinţa \z\ =
în z = R
R.
oo
Teorema 8. Fie f(z) = y ^ a z
n
în cercul de convergenţă
n
a
n
> O şi există l i m f(x),
\z\ < R.
Dacă
atunci seria converge absolut pe tot cercul de conver-
genţă. tn
P r i n ipoteză f(x)
< M m c î n d x -> R, obţinem y ^ a R
( f i x ) pentru O < x < R;
a
deci ^
x
n * < M. Fă-
oo
n
n
< M, ceea ce arată c ă y ^ a R
n
n
este convergentă.
A f i r m a ţ i a rezultă acum din observaţia precedentă. g ) P r i v i t o r la convergenţa neabsolută pe circumferinţa genţă a v e m :
de
conver
00
Teorema 9. (Teorema genţă
|z| <
1. Seria
a doua a lui Abel).
converge pe circumferinţa
n
Fie ^
a z cu cercul de conver
\z[ =
1 cu excepţia
n
eventuală
00
a punctului
z = 1, dacă # - > O şi seria ^\<*
a
n
n
— n+i\
e s i e
convergentă;
în
parti-
datorit lui A b e l ,
foarte
u
cular, dacă a sînt reali şi ->0 monoton. N e v o m servi de un procedeu de transformare n
00
util în teoria seriilor: F i i n d dată o serie de f o r m a y ^ a b , n
wn-hp
^a b n
n
v o m exprima suma
tn+p n
cu ajutorul coeficienţilor a
n
şi al sumelor G =
Avem:
P
m+l
#n-r 1
m+p
^2 nK = a
dWl<*l +
«»+3(<*2
— <*l) + - + *m+p(Gp ~ °p-l)
m-j-1
sau m+p (*)
X^^»^ m+l
=
~~
+ -
a
a
+ < V - l ( * W - l — m+p) + <*p m+p-
347
într-un punct diferit d e 1 al circumferinţei \z\ =
1 a v e m a z* = « „ ( c o s » 0 u
op
+
i sin 6) cu 0 < 0 < 2n şi a v e m d e demonstrat
că seriile ^
a cos » 0 şi %
00
a
sin 8 sînt c o n v e r g e n t e . P e n t r u prima serie v o m aplica identitatea ( 8 )
H
cu b = cos « 0 . A t u n c i n
sin^cosfmO+^+ie)
-
^.
sui de
unde \a \ <, v
2
'
e T
Şi prin urmare
. 6 sin — 2
^« cosw0
<
n
m+1
— •
"
sin
£
—
;
m+ 1
\
/
T
de unde se v e d e că seria considerată este c o n v e r g e n t ă (după
criteriul lui
00
00
Cauchy) dacă a - » O şi ^
[a, — a
n
»=o
1 este convergentă. L a fel seria ^ a* sin « 0 . o i(/»+l)6 pid + ... + e < " * > = e , de unde e — 1 w+1
e
1
1
P u t e m lua
6
l
,+
f
4 m e
, e
2 |
| l - e
i
— etc. |
e
R ă m î n e să o b s e r v ă m că, dacă a
n
\<*o
— « i |
sînt reali şi ->0 m o n o t o n , a v e m
+ ... + k „ _ i
—
« « | = k o — au\ co
(deoarece a _! — a au un semn constant), şi aceasta arată că ^ w
n
\a -i n
a
—%
este convergentă ( a v î n d suma |Oo|). Exemplul 20. Să se examineze pe circumferinţa de convergenţă seria de la exemplul 5)> presupunînd P(x) şi Q(x) polinoame cu coeficienţi reali de grade p şi q. 1° p > q. Seria nu converge nicăieri pe circumferinţa |*| — 1, fiindcă termenul general nu tinde la 0. t
2° p < q; a = — ~ > O monoton pentru n destul de mare (derivata sfîrşind prin n
a păstra un semn constant). Deci seria converge în punctele diferite de 1 ale circumferinţei (teorema lui Abel). co p co j în sfîrşit pentru z — 1 vom observa că / . — a r e aceeaşi natură ca / , (raporV Q) V n«-" tul termenilor generali ai acestor serii avînd o limită ^ 0, oo); deci seria dată converge cînd q > p -f 1, diverge cînd q ^ p -f 1. ltt
Observaţie. T e o r e m a precedentă se e x t i n d e imediat la o serie cu raza d e e s
convergenţă R ^făcînd transformarea z= enunţul teoremei v a trebui să înlocuim a
n
348
prin
*
e
destul să observăm că î n n
aR. n
Mai departe v o m da alte două teoreme relative la convergenţa pe cir cumferinţa de convergenţă (teoremele lui T a u t e r şi F a t o u ) . h ) A m văzut că o serie de puteri este uniform convergentă în orice domeniu închis A conţinut în cercul de convergenţă. Se pune problema de a v e d e a dacă seria poate converge uniform într-un domeniu A care are puncte comune cu circumferinţa de convergenţă (ceea ce împiedică convergenţa în aceste puncte). U n asemenea caz se prezintă cînd seria converge absolut pe circumfe rinţa de convergenţă (cum a m observat, pentru aceasta este destul să conv e r g ă absolut într-un punct al ei, de e x e m p l u z = R), A t u n c i seria converge uniform în tot cercul de convergenţă închis, \z\ < R. Căci a v e m \a z \ < \a \R şi acesta este prin ipoteză termenul general al unei serii convergente. Astfel este seria de la exemplul 19. P r o b l e m a pusă este mult m a i grea cînd nu a v e m decît convergenţă neabsolută pe circumferinţa de convergenţă. P r i m u l rezultat în această direc ţie se datoreşte tot lui A b e l : n
n
u
n
oo
Teorema 10. (Teorema
n
= a (2
n
m + 1
m+2
-
1
z )
+ ... + a _ ( 2 P
Dacă seria f(z)
n
=^a z , o cu raza de convergenţă 1, converge în punctul 2 = 1 , atunci ea converge uniform în orice sector închis, cu vîrful în 1 şi conţinut în cercul de convergenţă, şi f(z) -> - > / ( l ) în acel sector. U l t i m a afirmaţie este o consecinţă a celei dintîi (căci conform teoremei 16, § 77 şi a cazurilor sale particulare convergenţa uniformă asigură continui tatea funcţiei f(z) în sectorul considerat). Este destul să d o v e d i m convergenţa uniformă într-un sector A simetric faţă de raza [0, 1], cu un unghiu de deschidere 20 < T T . V o m aplica criteriul de convergenţă uniformă a lui Cauchy. A v e m , după identitatea lui A b e l ( 8 ) : az
a treia a lui Abel).
M + P
1
1
" -
m+p
z )
n
+
m+ 1 m+ p
unde <J = ^
a . P r i n ipoteză fiind dat e > 0, există un N astfel că
P
%
\<5 \
m+ 1
pentru m > N şi p arbitrar. î n aceste condiţii pentru \z\ < 1, a v e m m+p
I
(m+p-\
\ n
£ m+l
I
n+1
\z —z \
V m+ l
11 -
m
p
+ \z\ +
/
1*1
/
< e
oo
|1 —z\Y^\z\*
V
+ 1
0
)
Să l i m i t ă m sectorul (închis) A la cercul de diametru [0,1] (vezi fig. 92). F i e z un punct ^ 1 în acest sector şi z' a doua intersecţie a semidreptei Iz cu cercul de centru 0 şi rază \z\,
F i
g - 92
punctului 1 faţă de acel c e r c ) :
şi pe de altă parte, considerînd proiecţia lui O pe dreapta
\z':
|1 — z'\ > C06
Urmează (9)
] l - z ! _
1 + |*| ^
1 — \z\
|1 — z'\
cose
Aşadar m+p n
Y> a z
< e
n
1H
pentru m ^ N, p arbitrar în t o t domeniul închis A (inclusiv z = 1, unde
jo-pl <
e ) . Aceasta demonstrează convergenţa uniformă a seriei date
în A .
Observaţie. T e o r e m a se aplică şi în cazul unei serii cu raza de c o n v e r genţă R, care converge într-un punct oarecare £ = Re al circumferinţei de convergenţă. ( S e v a face transformarea Xg' = z.) ia
00 n
i) După teorema precedentă, dacă seria f(z) =
az n
converge într-un
punct £ al circumferinţei de convergenţă, funcţia f(z) tinde către f(Q pe un drum cuprins între două coarde de extremitate £. Se naşte întrebarea dacă reciproca este adevărată — întrebare care ţine de problema studiată la f ) şi g ) . î n general răspunsul este n e g a t i v : f(z) poate avea l i m i t ă pentru z - > t fără ca seria că conveargă în £. i z
Exemplul 21.
= Y) ( - *)* *
i
n
punctul \ = 1.
i + z
O teoremă reciprocă se poate însă stabili dacă coeficienţii a verifică o condiţie relativă la ordinul lor de m ă r i m e . Cel m a i simplu rezultat de acest fel este următorul: n
00 n
Teorema 1 1 , (Tauber).
Fie f(z) = y^a z n
convergentă în discul \z\ < 1
şi na -> 0. Dacă f(z) - > S pentru z - > 1 pe un drum cuprins între două coarde de extremitate 1, atunci seria converge în z = 1 şi are suma S. N e v o m servi de lema următoare (Cauchy) (vezi exerciţiul 5, § 13). n
Dacă 7
7
.
b ->0 n
cînd n - > oo, atunci
• 6i + ... + 6-
6 -> 6, atunci —
^
1
*" n
^
n
0 saw mai general, dacă
, ->b.
n
n P u t e m presupune că drumul C , pe care z - » 1, este conţinut într-un sector de felul aceluia considerat în demonstraţia teoremei 10. Astfel pe acest drum v a fi valabilă inegalitatea ( 9 ) . Să punem . i — ui J E v i d e n t , v - > oo cînd z - > 1. M a i mult, v ia orice valoare întreagă începînd cu o anumită valoare n (destul de m a r e ) , pentru puncte ale drumului C. Căci aceasta înseamnă: 0
v<
— < v + 1,
1-1*1 350
adică z cuprins în coroana de centru 1, definită de 1
(10)
, ,
1
v + 1
v
şi această coroană conţine puncte ale drumului dacă v este destul de mare. R e z u l t ă de aici că teorema v a fi stabilită dacă v o m d o v e d i că =
£a»z
w
-£<*«->0,
cînd z -> 1 pe C. V o m scrie: <7 . 2
v+1
0
P r i n ipoteză, fiind dat e > 0, există un n astfel că \ na \ x
n
n > n T o t o d a t ă v o m avea v > n într-o vecinătate |1 — z\ < 1, pe C. Deci v
±
z\z
£"*» — <
=
1
|(1 - z ) (1 + ... + * " - ) ! < n\l
pentru
p a
punctului
x
< —>
2(v + l ) £ r f " ' 2 ( v + 1)(1 n a v î n d în vedere ( 1 0 ) . P e de altă parte, aplicînd (9)
|*|)
v+i
II
<
2
2n
- z \ <
cos 8 pe C. Astfel, aplicînd ( 1 0 ) ,
i<*2
<
=
E"i*»i
2(1-UI) cos 8
D u p ă lema de m a i sus, ultima z -> 1 pe C. Aşadar
COS V
expresie - > 0 cînd v - > oo, deci cînd
[ a | < — pentru 11 — z\ < p , pe C 2 2
2
şi în definitiv: ]<jj < s pentru 11 — z\ < p p , pe C. A c e a s t a demonstrează teorema. j ) T e o r e m a lui Tauber poate fi extinsă şi la drumuri C care nu pot fi cuprinse între două coarde, însă regulate — deci la arce de curbă tangente în punctul 1 circumferinţei de convergenţă. D i n contra, o asemenea generali zare este imposibilă pentru teorema lui A b e l , căci se pot da e x e m p l e în care, deşi seria converge în z = 1, suma ei f(z) nu are l i m i t ă pe un cerc tangent inte rior cercului de convergenţă \z\ = 1. Presupunerea că drumul C este regulat înseamnă că el poate fi reprezen tat printr-o ecuaţie z = z(t) (0 < / < 1), unde z(t) admite derivată finită şi lf
2
continuă. Curba este deci rectificabilă. Deci integrala ^ f(z) dz, luată pe C, există (f(z) fiind continuu şi a v î n d limită finită pe C pentru z - > 1 sau t - > 0 ) . 351
V o m m a i presupune că f(z) - > 0 pentru z - * 1 p e C , ceea c e , e v i d e n t , nu m i c şorează generalitatea. A t u n c i 1
1
f V f(z) c k - > 0 1 — zj, într-adevăr,
pentru z - > 1
(pe C ) .
YJ > 0, a v e m \f(z) \ < — 2
fiind dat
pentru
11 — * | <
p,
deci z)dz 1 ~
<
ZJz
L Z
— < e pentru 2|1 — *|
deoarece, cum se ştie, raportul
|1 — z\ < p < 0
p,
dintre lungimea arcului şi coarda
sa
|1 — * | tinde la 1. A v e m (teorema 1, § 78), integrînd p e C între punctele z şi z' diferite de 1: £/(z)d* = £ ^ ( z ' "
+
1
- * • + > ) .
Seria din membrul al doilea este uniform convergentă cu privire la z' pentru \z'\ K 1, căci, deoarece na ->0, termenii ei, pentru e > 0 dat, au t
n
modulii <
— — pentru n > N. D e c i , făcînd z' - > 1 o b ţ i n e m : n(n + 1)
Scriem
unde
şi deci
(ii)
_J_^
V
-f- 1
V
A v e m mai întîi, ţinînd seama de ( 1 1 ) :
pentru |1 — z| < p
lf
astfel ca v > N. Aceasta a r a t ă că ~
2-2-+0
1 — z pentru * - > 1, pe C. A v e m apoi n+1
1 —z 382
=
(1 -
= (1 — * ) (1 + z + ... + a») =
z) (n + 1) -
(1 -
* ) [ * + (n 2
1
1) * + .... + z*- ]
şi prin urmare
unde
Ei Cum,
[«+(»- O » +- +
= (i - * ) Ş ^ q p i
după (11) şi o aproximare evidentă,
a
i£;i
1 —
E
§ 13).
~
z
pentru z-+ 1, p e C [unde 9(2) ~ Mz)
pentru
z-> OL înseamnă
că
-»1 <[>(*)
cînd z->oc] şi astfel
pentru z - > 1, p e C. V a
c e e a
c
e
Dar, cum a m v ă z u t , m e m b r u l I -> 0 ; deci ^ » ~*®> demonstrează o teorema. L i t t l e w o o d a arătat că teorema lui Tauber se poate generaliza în condiţia m a i largă: 1^1 mărginiţi. V o m stabili aceasta m a i departe. 00 n
k ) A t u n c i cînd o serie f(z) = ^
a z diverge într-un punct £ al circumfen
0
rinţei de convergenţă, se pune problema comportării funcţiei f(z) în vecină tatea acelui punct (în special determinarea ordinului de m ă r i m e al lui \f(z)\ cînd z - > £). M a i precis, este vorba ca din comportarea asimptotică a coefin
cienţilor a sau a sumelor parţiale S = ^ u
a , sase deducă comportarea asimp
n
m
totică (pentru z-+ţ) a funcţiei f(z). O teoremă m a i simplă, referitoare la această problemă e s t e : 00
T e o r e m a 12. Fie f(x)
00 n
= ]p ax H
şi g(x) = ^
00
şi cel puţin
una
dintre
seriile ^
n
n
n
cu a
n
> 0 şi b > 0, n
00
a şi ^
b divergente, de exemplu a doua. Dacă
n
o
a ~ X5 cînd
n
bx,
n
o
n-> 00, atunci f(x)
~ Xg(#)
cînd
#-> 1
(X const.
0, 0 0 ) .
P r i n ipoteză, fiind dat e > 0, există un N astfel că <
e sau | a — X6 j < eft^ pentru n > N. n
n
b,n 2 < — Te «rîa f unciilor — c. 1275
353
Avem
acum
\f(x)-\g(x)\
N
=
(a -M )**
:
n
m
V o m observa că, d i n faptul că pentru
b este d i v e r g e n t , urmează g(x) - > + 9
oo
1.
Căci a v e m
«(*) >
£
v
> *
E
e de
6
-
( ° < * < i).
o
unde V
v Şi cum 2 ^ K - * +
oo pentru v - * oo, urmează afirmaţia.
R e z u l t ă că p u t e m alege un număr $ < 1 astfel ca N Ş l * » — M « | < eg(x) p e n t r u * > 1 — S; atunci v o m a v e a l/W
-
<
2 e
S ( * ) > pentru
* >
1
-
*>
ceea ce demonstrează teorema. Exemple 22. Daca fn seria f(x) =
a***, a ~ — , atunci f[x) ~ log
pentru x-¥ 1.
m
n
V
1
- *
Rezultă din compararea cu seria cunoscută: i o g 1— — « y ; — n
- *
V
(w
23. Daco* a ~ log n, avem f(x) ^ — - — log — - — pentru 1 —x 1—* Rezultă din compararea cu seria m
1
log
1
~
-
~
x —• 1.
*
1 - * ştiindu-se că 1 H—— -f- • • • -|—— 2 n
log n.
24. Daco* /> < 1, avem LFNP pentru x-+ l, unde T(x) = V
(l-*)iV
dt este integrala lui Euler de speţa a doua,
B{x a) = t
1
^
—
fiind
integrala lui Euler de speţa întîia.
p < 1; cazul p = 1 la exemplul 22.) 354
(Seria
este divergentă
pentru
Vom stabili întîi: (12)
_ I W T(x + a)
^
A
pentru #—• oo (a = constantă reală). Fie a > 1. Avem * as f T{x + a) Jo r (
) 3 7 ( a )
0
1
=
1
0
(1 - O ' d< = ( ° ° e - « * (1 - e - » ) Jo
e-^u*-
1
du -
0
1
du =
1
[ u * - - (1 - e - » ) - ] e-«* du.
a
Prima integrală are valoarea r ( a ) * ~ . Apoi din inegalităţile cunoscute u* 1 - cr» < u (u > 0), 1 — er« > u
(0 < u < 1), 2
urmează că a doua integrală este pozitivă şi mai mică decît
< J f ^ u e - « * d u + j°°u e-«* du < a
a
a
u e~«*du = KT(a)
a
1
x~ - ,
unde K este o constantă > 1. Deci
*-*(l--L)
_ £ W
cu 0 < e < * .
Formula (12) fiind astfel demonstrata pentru a > 1, se extinde la 0 < a < 1, cu ajutorul formulei r ( * + a + \) = (x + a) T(x + a), şi aşa mai departe. Avem acum dezvoltarea binominala: (1-*)*-»
y,n»-P+
î
ra-p)^
On x
[
i
X
\
<
\ )
r(n+i)
(cum se vede aplicăm formula: T{x + n) = x(x + 1) ... (x -f n —
r(»-»+i)
Aici, după (12).
t
T(n + 1) de unde relaţia propusă. T e o r e m a p r e c e d e n t ă se p o a t e încă aplica considerîndu-se sumele parţiale OO
în locul t e r m e n i l o r seriilor ^
OO
a şi ^ n
b. n
n
#0,
> 0, t > 0, seriile ^ n
şi t , v o m
n
u
00
00
presupune: s
Sumele parţiale fiind s
s», ^
d i v e r g e n t e , şi s ~ 7J n
n
(X const.
oo). Atunci
Ax)--kg(x). î n t r - a d e v ă r p u t e m scrie ( c u m se verifică i m e d i a t ) :
f(x)
= (1 -
* ) £ s.x', g(x) = 00
ş i aplicînd t e o r e m a ,
avem
*„*•
00 n
sx n
~
X
deci / ( * ) ~
Xg(*).
355
Exemplul
25. Dacă s =
^ X», atunci f(x) =
n
w
1
Seria de comparaţie este aici
a*** ^
pentru x -> oo.
n
# , pentru care t = n. n
7) I n v e r s , din comportarea asimptotică a funcţiei f(x) se poate deduce uneori comportarea asimptotică a sumelor S . Astfel rezultatul din e x e m p l u l 25 a d m i t e următoarea reciprocă: n
T e o r e m a 13, (Hardy
şi Littlewood).
Fie f(x)
a
= ^
ac
a
»*"- D &
% > 0
o 1
A; —• 1, atunci S ~ n n
11
pentru
n—> o o ) .
1 Demonstraţia lui Karamata: ne v o m spirijini p e teorema următoare a lui Weierstrass: Daca
funcţiile
g
*n [0, 1].
există nişte polinoame, P(x) şi
p(x),
care l e a p r o x i m e a z ă cu m a i puţin de - ~ :
?(*)
-
P(*)
-
—
-
* 7 '
P(*) +
-
e
* 7
Aceste polinoame satisfac deci c o n d i ţ i i l e : (13)
#(*)«p(*)
(14)
p(x)] dx < e. P [ P ( * ) Jo
V o m demonstra că se pot găsi polinoame ce verifică aceste condiţii chiar şi atunci cînd
l(x),
care ia la e x t r e m i t ă ţ i valorile
£
şi
apoi
Definim 2
funcţia: pentru
# < c — 8 sau
x > c,
+(*) = max|/(#),
u
) Autorul dă şi următoarea generalizare: „Dacă a ^ 0 si / ( * ) ~
1
n
(1 - , ) « a ^ 1, cină* x —• 1, atunci S ~ -
. Pentru demonstraţie, a se vedea anexa de la
n
T(a + 1) sfîrşitul cărţii. 356
-, unde
E v i d e n t , ${x) >
astfel că P(x).
în
* ( * ) _ P (*) +
- !
< — . A t u n c i ty(x) ^ P(x), 8
deci
plus P(x) — ty(x) < — . Să luăm p e 8 atît de m i c , încît în inter4 g
valul (c — 8,c) să a v e m
\y(x) — y(c — 0 ) | < — . A t u n c i , în acest interval 4
£
£
£
, dacă 8 4 2 2 este suficient de m i c pentru ca să a v e m 9(c — 8) < 9(c + 0 ) . A v e m a c u m : 9 (x) -\
< 9(c — 0) H
şi prin urmare ty(x) < y(c + 0 ) -|
C* [ P ( * ) -
Jo
< •i- +
(1 -
8) ±
Jo + *|*(c
— + 8[9(c + 0 ) 4
<
-
+ 0)
?
(c -
0) +
dacă l u ă m pe 8 destul de m i c . L a fel se v a alege 2°. V o m demonstra a c u m : n
l i m (1 -
n
x) Y) a x P(x ) n
0) +
^ j <
1] < e p(x).
= [* P ( * ) d *
pentru un p o l i n o m P(x) oarecare. E v i d e n t este deajuns să stabilim relaţie pentru P(x) = x . într-adevăr:
această
p
— ——=c **d*. 00 v
deoarece (1 — x) £ # * ~ * 1 prin ipoteză, o 3°. D i n 2° v o m deduce că, m a i g e n e r a l : v
n
n
lim (x— l)Y)a x y(x ) n
= C 9^) d *
o
1
t-*
Jo
pentru orice funcţie 9(#) a v î n d cel mult o discontinuitate d e specia I în inte riorul intervalului [0, 1] şi continuă în restul intervalului. î n t r - a d e v ă r , f i e p(x) şi P ( y ) polinoame ce împlinesc condiţiile (13) şi ( 1 4 ) . A v e m (deoarece a > 0): %
n
î î m (1 — x) Y) a x I o n
=f Jo
n
n
< fim (1 — x) Y) a x P(x ) o
P ( * ) d* <
n
C 9(*)
=
d * + £,
Jo 857
după (13) şi (14) şi făcînd e - » 0 : n
l i m ( l — x) y \ a x*y(x ) o
< V Jo
n
y(x)dx.
L a fel se v a arăta, considerînd polinomul p(x), >
^ ( 1 — *)
că
f ?(*)<**• JO
O
inegalitate care, împreună cu precedenta, demonstrează afirmaţia 3°. 4°. Considerăm acum funcţia: O
pentru
1 — x
. 1 pentru
O< x <
— e
— e
< x < 1,
a v î n d o singură discontinuitate de specia I în x = — . P e n t r u e
frt*) d * - P Jo
această funcţie
- = i.
Jl/e
*
v= \ ^ — 1 . Cînd x -+ 1, v —• oo, trecînd prin toate L logxj valorile întregi destul de mari. A v e m : Să presupimem
n
n
£a x (x ) o n
=
9
y;a ==Sv n
o n
(căci după definiţia lui y(x), termenii seriei p o t fi nenuli numai pentru x adică n < log
- — sau n < v ) . Or, după 3°, x
S ^ v
(-£H
> — » e
—-— ~ 1—#
— r^> v log #
pentru x —• 1
T e o r e m a este demonstrată.
m ) Cu ajutorul teoremei 13 v o m stabili acum extensiunea teoremei lui Tauber enunţată m a i sus. A v e m nevoie d e următorul rezultat preliminar: L e m a 1. Dacă funcţia reală f(x) de primele două ordine, şi dacă l i m / ( * ) = 0, (1 -
are, în intervalul *)V(*)| <
atunci lim(l -
358
* ) / ' ( * ) = 0.
[ 0 , 1 ) , derivate
M(fix),
finite
V o m aplica formula lui T a y l o r cu x' — x=
8(1 — x) | o < 8 <
-~j:
/(*') = /(*) + «O - *)/'(*) + ^ ( 1 - *)7"(S) unde # < ^ < x'. D e aici ( i - ^ ) / ' W = ^ f ^
+
|
H
unde h l =
10-*)*/"(*)!<
^
F i i n d dat e > 0, v o m a v e a 18ij | < e cu 8 < — ; apoi,
8 fiind
fixat
astfel
M v o m avea
/(*') - / ( * )
e — 2
<
pentru x' — x = 8(1 — x) < 8 (corespunzător lui e ) , adică 1 — # < — = 8 . 8 Aşadar |(1 — * ) / ' ( * ) ! < e pentru 1 — # < 8 , ceea ce demonstrează l e m a . 0
X
X
co H
Teorema 17. (Littlewood).
Dacă f(x) = J~) a x n
S cînd
x-+ l şi
o co
dacă n \a \ < M fix, atunci ^
a converge la suma S,
n
n
o Demonstraţia lui Titchmarsh. P u t e m presupune, fără a micşora g e n e r a l i tatea, S = 0. A v e m pentru \x\ < 1:
£„(»
-
l)a x-*\
< M £ ( « -
9
I 2
I
1)*-* =
M (1 —
2
(dezvoltare b i n o m i n a l ă ) . D e c i aplicînd l e m a : 00 n
(1 — x)
1
na x ~ n
—> O pentru
x —• 1.
i
Urmează
V l
M j
1 - x
Această serie a v î n d coeficienţii > O, p u t e m să-i aplicăm teorema 13 şi o b ţ i nem:
sau i A / i
* M
.
de unde n
1
0, n
sau, notînd a = Ş v a , a = 0, n
(15)
Vom
v
0
scrie a c u m :
n
n+1
x — x V
l
n(n + 1)J
n+l
1
(ie)
=( -^)E-^i^ + ETTIÎ'V
n+ 1
T
»
K 1)
D u p ă ( 1 5 ) , fiind dat e > 0, există N astfel că < — pentru n > N n+l 2 şi deci
(i
-r'n+ 1 Cum
prima parte din m e m b r u l al doilea tinde la 0 pentru x -* 1, ea g
va fi < — pentru 1 — x < 8 (corespunzător lui e ) ; astfel m e m b r u l I tinde 2 la 0 şi cum / ( # ) —• 0, urmează din ( 1 6 ) : ~
Deoarece
a.
»
• r' -> — a
n
0 după (15), p u t e m aplica acestei serii teorema
lui Tauber, care ne dă: V n(n + 1) Să o b s e r v ă m acum că
l
1) =
v
v + lj
lim »••«)[
=
1
V
W +
lj
ito »-»oo
(ţinînd seamă d e (15) şi
v
lim£a
360
v
=
-
«o-
^
Ceea ce era d e demonstrat. 00
T e o r e m a lui L i t t l e w o o d p o a t e fi stabilită şi în cazul c î n d f(z) =
K
y a z* n
tinde la l i m i t ă finită pentru z —* 1 p e un d r u m cuprins între două coarde de e x t r e m i t a t e 1. E x e r c i ţ i i ] . Să se stabilească
identităţile
(1 + z)(l + * * ) ( ! + **) - (1 +
=
z - 1 1*1 < 1-
0
R. Se verifică pentru n = 1. Inducţie 1
( i + JP? )
(1 + z) (1 + **) ... (1 +
=
i
z — l
z —1
z z z sin 2 2. cos — cos — ... cos — = 2» 2» . * 2* sin — 2» o
m
__L
n >
c o s
z
z
sm
iir = — •
1 2 — tg — = 2* 2
1 ctg z •
W
i*
R.cos — c o s — . . . c o s — = r — e 2 2» 2* 2»
* iz
2
2
ix 2
*
ur
ix
* (1 + e")(l + e
2
2
1
) ... (1 + e *" )
2»-i
unde £ = e
. ApUcînd identitatea 2» 21
z cos — z ... cos - z cos — 2 2» 2»
1 e e *—1 2 » e** , TT - 1 e 2
. * 2 sin — 2
o
n W
W
şi derivînd logaritmic 1 z — tg 2 2
.
1 2*
. 1 z 1 2 J- • • • -\ tg — = — ctg 2* 2» 2 2» 2» 2 : .
tg
Hămîne să trecem la limită, aplicînd lim
ctg z.
W
S
n
* * = 1 şi lim (ctg z
—1 = 0.
361
2*z*
3.
n
1*1 < 1-
T
n
z* + 1
*- *
R. Derivînd logaritmic identitatea 1
,
î + x
1) avem 1
2*-i ia*" -!
2z , i + i*
4
2
1 + z *"
n
2
»ii -i
1
1
2 -
1
Se înmulţeşte cu 2 şi se face n —* 00. 2»
4.
1 1.
*l <
R. Rezultă din 3 ~
1»
înlocuind z cu — . z
_ i-»-i n+l
z
^«-1)
+
( 1 _ 1) (i* + 1)
/tenfrt* | z | < 1 si | z | > 1. R. Scriem termenul general:
—I— - 1 [z* + * - » Termenii se reduc cîte doi rămînînd 1
- - 1 z*
+1
1
+ z-»- J
1
i - l
^
+
2 z
(*-!)(*»+1)
6 . Domeniul
•
V (i - *)» z
2
2
1
< 1 sau x + >> < (1 — # ) + y
R.
sau Rez < — . Suma seriei:
1 - *
1 - z 1 -
0 0
2*
_1
z*
2*'
-1
7. Jiem, a/ 5MET 1
V 2z
R. 1
-
<
C - *)" 2
2
1 sau 4 ( * + y ) < (1 - x)* + y
2
2
sau 3 ( * + y*) + 2* -
2
1 < 0, dome-
1 2
2
niul interior cercului 3(# + y ) + 2x — 1 = 0. Suma seriei: 1 8. Idem al seriei 1 + JTJ ( - 1)'
z(z-
3z
1) . . . ( * - n + 1)
R. Aplicam criteriul lui Weierstrass: n —z n+ 1
w
+ l _ ( i + l ) » + 1
= 1
z+
1
=
1 -
( l + e«).
•K)
Seria este convergentă numai pentru Re (z + 1) > 1, adică Rez > 0. 362
e»-*0.
Ea este chiar absolut convergentă. 9. log(l + ^ a r c t g x = 2 ^ ( - l ) » + i 5
l l l
^^,
| * | < 1, unde S , = 1 + ^ + • • •
• • • -|- — şi sînt luate valorile principale pentru log si arc tg, n R. Se înmulţesc dezvoltările (absolut convergente) t
log(l + *) = p ( - l ) - ^ » 1
arc tgz « Y V - l ) « - i
;
obţinem o dezvoltare de tipul indicat, cu a*M-i = ( 1 \l • (2n -
— + 2(2n-3)
+
1)
= (-i)«+iy^
î
L — + 3(2n-5)
( - i)»-i y ^ ( - + — ?
£fv(2n-2v+l)
2n + 1 U
^
4 ^ oo
e
. . . +1) (-1)^ = nJ
^rfUv
^2n
1 ^ 3 ^
] —î_
=
2n - 2v + l J 2 n + 1
^ 2 n - l]
2n + 1
_i»z
10) Smfl / ( * ) =
reprezintă o funcţie continuă tn semiplanul Imz ^ 0 şi olon mor fă in semiplanul Imz < 0.
inz
wy
Se aplică teoreme cunoscute Se poate însă pune e -iz _ e 10a) Seria\^ a /m X
(X real) are ca domeniu de convergenţă Im z < 0 pentru orice valoare
«ste olomorfă în acest domeniu. (Este o serie ny
e
R. \w \ = — n
e
Dirichlet.)
y
u
y
= « ; y » = w
v
v—• e < 1 pentru y < 0. Deci seria este absolut
şi uniform convergentă pentru Im? < 0. Pentru y > 0 seria este divergentă pentru că termenul general tinde la oo. Pentru y • 0, seria este absolut convergentă cînd X > 1 şi divergentă cînd X ^ 0 (termenul general neavînd limita 0). De asemenea seria este convergentă cînd X > 0 ( y = 0) şi se exceptează pentru x intervalele {2kn — B, 2hz + B) şi | (2k + 1) — — 8, L 2 {2& -f 1) — -f SI (cu $ > 0), cum se vede aplicînd criteriul lui Dirichlet seriilor — sin nx, 2 J -i cos nx.
—• 0 monoton ş i y ^ sin nx, y^ cos w# au
sumele
parţiale
mărginiteJ •
Iz
{Se poate pune e~ = w, conducînd la o serie de puteri.) 00
11) Să se arate că y(z) =
n
z
este convergentă în | z \ < 1 şi | z \ > 1. %n
2±l|=|I|
1+ z 1 + *n+2
—•1*1 pentru I z \ < 1.
z
363
înlocuind 2 cu — seria nu se schimbă şi deci este convergentă şi pentru | z | > 1. z Pentru | z | = 1, z = cos 0 + i sin 0, termenul general este cos n0 + i sin n0
« 0 + i sin n0
COS
1
2
1 + cos 2n0 + i sin 2n0
2 cos n0 + 2i sin n0 cos n0
2 cos n0
Dacă 0 este de forma ?^-t_î — (A prim cu 2k + 1), seria nu este definită. în căzui h 2 contrar a nu tinde la 0, deci seria nu este convergentă. în orice caz 9(2) nu este definită pe cercul J z | = 1. Seria este uniform convergentă în orice cerc | z | < R< 1 sau | z \ > R > 1. în primul caz n
,
,
*
w
l*nl< 1 -
2n
R
termenul general al unei serii convergente. 12) Să se examineze convergenţa seriei n
_2 ~
co
1
T I - / R. 5j =
1 - 2*
1 1_
3
2* 2
Z
+ 1\ - z* ^
1 + 2- 2 - 2
4
1 —
Z
=
(1 - 2*) (1 - 2*) * 1
1-
1 - ^
1 - 2»*
2
-
1-2
/-l
Deoarece
2 1 1 + 1
1_,
1-2*"-* 1_,I»
2« +
W
(1-/-*)(1 +
1
~l-i2»+l
1_^ 1- /
z 1_1
+
( 1 - / +
1
+
1
( 1 - 2 ) / - »
_
)
-i
1-^+1
este obţinut din 5 prin înlocuirea lui n prin n + 1, rezultă prin inducţie că formula ce dă pe S este adevărată pentru orice n natural. Urmează n
n
1
1- 2
l*l
?M = 1 1 - 2
1*1 > 1.
Cînd | 2|—*• 1, cele două funcţii tind la limite diferite, deci 9(2) nu are limită (excepţie z—• 1, cînd limita este 00 pentru ambele). Cercul | 2 | = 1 este format din puncte singulare.
_2L f 13) Să se găsească domeniul de convergentă al seriei
R. Este o serie geometrică în £ =
2
2+1 (x + l ) + y , aşadar în semiplanul Re2 > 2
2
I
> convergentă în
z
n
\ 1 • Să se sumeze.
< 1 sau x* + y* < I2 + 1 I . Suma ei este — - — 9 adică avem 2 1- £
2+ 1
Re2 > — - . 2
0 0
z -f 1
n
C A/2(* - 1)'seria devine y ^ (— 1)* — = log (1 + £) convergentă în | £ | ^ 1 cu excepţia lui £ = — 1. Deci seria dată converge pentru ( # -f 1)* -f- y < < 2 [(# — J) -f- y*]> sau # -}- ^ — 6x -\- 1 ^ 0 , sau | z adică în exteriorul cercului 42- 1 de centru z = 3 şi rază ^3, şi pe acest cerc, cu excepţia punctului z = = 3 - 2 V2 V2+ 1 (care este cel mai apropiat de 0). R. Punînd £
2
2
2
1
2
Avem
cu determinarea care se anulează în z = — 1. 15. Să se stabilească formula
1
Rez > 2
i)
R. Rezultă prin derivare din exerciţiul 13, observînd că seria construită acolo este uni form convergentă pentru | £ | < R < 1 şi deci orice punct z al semiplanului Rez > — —. 2 poate fi înglobat într-un domeniu (cerc) unde seria este uniform convergentă şi deci derivabilă termen cu termen. 00
16. Domeniul de convergenţă şi suma seriei y ^ z( 1 — z ) . Seria nu converge uniform în 2
n
0
vecinătatea lui z = 0. 2
R. Serie geometrică în ţ = 1 — z , multiplicată cu z. Este convergentă pentru | £ | < 1, sau (1 — r* cos 26) -f r sin 26 < 1, adică r < 2 cos 26: este interiorul lemniscatei r = 2cos 26 (vezi fig. 93). Seria converge de asemenea în z = 0. Suma ei este: 2
4
2
2
0
2
z = 0,
ou 2
n
- z)
= — în interiorul z
lemniscatei.
într-un cerc | z | < R seria nu poate converge uniform fiindcă f(z) nu tinde către / ( 0 ) . De altfel restul seriei este 0 pn =
VT
-VT
(i-0). 2
(1 - z )" (1*0)
Fig. 93 şi, pentru orice n destul de mare, există puncte în | z \ < R unde | p» I > c (dat): | p | = |l-z |» (1-i? )» . , , , (1-i? )* dacă luăm n — ^ > e şi | z | < i? se pot satisface cu | z \ < -— 1*1 1*1 log ei? destul de mare pentru ca (1 — i ? ) < ei?, anume n > l o g ( l - i? ) n
2
2
2
t
9
v
2
n
2
365
0 0
n
z
17. Seria f(z) = V ^ — l)**"
1
este uniform
fi absolut convergentă tn
orice cerc
J z | < R < 1. Să se afle domeniul de convergenţă. R*
R»
R. Termenul general are modulul, pentru | z | < R, \ w \ <
n(l-R*) acesta este termen general al unei serii convergente (criteriul lui D'Alembert).
n(l-fl)'
n
Pentru | z | = r > 1 scriem w = f*g* n
convergentă, iar JT^
cu
f
=
n
şi g = -
-
n
• 2l/ / »
— g») absolut convergentă, căci avem
\gn ~ 8n+x \ = I* -
H
< | * ~ l i
(1 + * » ) ( ! +
(r* -
1) y
< l ± l ( - i r
_ 1 ţr» _ 1
r
»+i -
lj
oo <
f
ec
* * _i_
53 i
0 0
' ^* ~~ / I
'
2 1 1 6
1
t e r m e n u
1 1
r
+ 1
* Sperai
mai mic
decît acela al
seriei
convergente
\ 1 . Aşadar, seria dată este convergentă şi în exteriorul cercului l
r - 1Vl'* ~ * - * | z | s=s 1 (criteriul lui Du Bois Raymond, § 24, teorema 3). Pe cercul | z | = 1 seria nu este definită în toate punctele $ — 1, care formează o mulţime densă\z = e *
J. într-un punct z = e
ld
diferit de acestea ^0 #
> avem
» «•* «,
_
( - Q-»
*
M
=
»6
^
_
(-1)-» 2n
ine ine e ^ + e "
C
°
S
X
. . n9 +
COS
(_l)«-i . (-1)»i 1 + i I—i 2w 2n
1
n0 tg — = u 2
n
;
1 S 1 D
-2-_
«0 "2-
, . + ii,,.
Partea reală ^) u este convergentă. Cea imaginară, Vn, este convergentă pentru 0 2A n0 comensurabil cu 7T, cînd seria este definită, adică 0 = — n(2k prim cu h); tg — luînd atunci h 2 un număr finit de valori finite, (—l) tg oscilează între limite finite, iar — —• 0 2 n monoton (criteriul lui Dirichlet, § 24, teorema 6) (sau pentru că seria se descompune într-un 2k -f 1 număr finit de serii alternate convergente). Chiar şi în punctele 0 = iz(2k + 1 prim cu h) h unde seria nu este definită, seria obţinută, dacă lăsăm la o parte termenii infiniţi, este convergentă. n
n
(
\\n-i
Rămîne de studiat componenţa seriei *
n
n
0
tg —• pentru 0 incomensurabil cu n. 2
Observaţia 1. Seria dată nu este absolut convergentă tn exteriorul cercului considerat. într-adevăr, avem pentru | z\ = r > 1: I n\ > w
» ( r » + 1) 366
care este termenul general al unei serii divergente, cum se vede comparînd-o cu V ^ - î - : r
»+i n
n
r
n
1
(n + 1) (r + + 1) n(r» + 1 )
n+i
r
+
n + 1 r»
+ 1
r
i
n
+ 1
n+ l
i
n+ 1 n
Observaţia 2. înlocuind pe z cu — obţinem seria z
care este uniform şi absolut convergentă i? > 1 şi convergentă în | z \ < 1. Avem imediat nvergentă în | z | > .R c 2. De aici rezultă că seria f(z) este uniform convergentă în | z | > R > 1. 18. Domeniul
de convergenţă şi suma seriei
(n - 1)! 4 ^ (z + l)(x + 2) ... (z + n + 1) R. Avem
"
* + l L ( * + !)...(* + n )
( « + 1) . . . ( * + » + 1 ) J
deci 1
l
(z+l)* Or
:
nl
z + 1 (* + 1) ... (* + n + 1)
e-''°8" (§ 31, Exemplu 7), deci avem
( * + !)...(* + ») —x log» (z + 1)... (z + n + 1)
z+ n + 1
0 dacă ar = Rez > — 1
log
(deoarece | e~~* * | = n~*); din contra, această cantitate —» oo dacă Rez < —1. Aşadar domeniul de convergenţă este Rez > — 1 şi avem l
f >
V ( * +
:-JL-
^ t l
l)(z + 2 ) . . . ( z + n + 1)
Observaţie. Pentru z—x (n -
+ iy avem | fv» I ^
Rez>-1.
f
( z + 1)« — — şi dacă x^x > (x + 1) ... {x + n + 1) 9
— 1,
1)!
urmează | w» | <
t deci
( * + l ) . . . ( * - f n + 1) 0
0
l / W I * > - 1 . 0
Totodată se vede că seria dată este uniform convergentă în orice semiplan conţinut în seimplanul de convergenţă. « 19. Domeniul de convergenţă şi suma seriei
2» •
R. Să observăm identitatea 2
1
z ** -
1 = (z -
l)(z + l)(z* + 1) ... (z*- + 1) 367
care se stabileşte uşor prin inducţie. Avem 1
s 0
g
+ 1
z
l
~ , *2 _ x '
=
*î 2
Si = S + 0
+ 1
S, = S H
*4 _ x
=
* ~
— = **+ 1
x
1
(** +2z+
3).
* ~ = (z« -f- 2** + 3* + 4z* + 5
4
Sîntem conduşi la formula generală 5. = _
2-1
1
+
2
+I
3
+ 1
! 7 , [^" '- + 2 ^ " - + - + ( 2 » z* — 1
1)] =
+
(
z -
1
1
z*"+ -* +
1
1
i - l
1
*» +
, - 1
"**
'J
+
1 1
+
z -
l\_
* _ l j ~
l
z - l
z*"+ -l
Verificarea acestei formule prin inducţie: 1
2»+«
Avem acum oo
pentru | z | < 1, 1
,i
pentru | z \ > 1. z - 1 !
Pentru z = e ° cu 0
n (unde seria nu este definită) 2» 1
2» 1 + cos 2»0 + i sin 2*0
2»cos 2»~ 6 (cos 2 » - 6 + i sin 2*- 6) 1
1
1
1
1
= 2 » - ( l - i tg 2»~ 6); de unde se vede că seria nu converge pe | z \ = 1. Deci domeniul de convergenţă este | z | > j 1 şi suma senei • z — 1 20. Domeniul de convergenţă fi suma seriei ~
z* -
z-*-
1
R. Scriem
-—f—
1
—
—
) C ^ D .
deci pentru | z \ ^ 1 5,
= —î—f—î z -
368
1
! l
+ z~
1
z** +
U J
£ (z-l)
(z* + 1)
Pentru z = e^,
= nu axe limită sau este infinit. Aşadar domeniul ^ + 1 + r-*-i 2cos(n + 1 ) 6 de convergenţă se compune din domeniile | z | < 1 şi | z | > 1, iar suma seriei este dată de aceeaşi expresie analitică: f(z) = (z -
1) (** + 1)
21. Dacă n este întreg > 0 şi | z | < 1, avem «21 * 1 T z* z* 1 y ^ — — - = — (i - * » > i o g ( i - z ) + z + _ + ... + _ . v
Să se deducă
*
= — 11 +
ţ v (n + v)
— + ... + — I •
n \
2
n J
R. Se scrie
£rf
!_),v _J.
_L£(_L
v (n + v)
=
i
log(1
i r
_ __L
£
2)
z*
i
z*
=
log (1 - z) + — log (1 - z) + z + h • . • + — • n n** L n J A doua formulă se obţine pentru z—• 1 pe axa reală avînd în vedere că seria dată este convergentă pentru z — 1 şi că (1 — z ) log (1 — z) —• 0 (se aplică teorema lui Abel). 2
n
22. Se consideră seria y (z)
= V
p
(/> real). Să se găsească domeniul de convergenţă.
Sdf se studieze convergenţa pe frontiera domeniului şi să se demonstreze că y' (z) — 2z
p
/
n
2
* 2Air, căci
• 0 monoton şi sumele parţiale ale seriei
2
1
e *© sînt mărginite. Pentru
P L-J 9 = 2Ă7T, w = 1 seria devine Y ^ ~ şi este convergentă numai cînd p > 1. Pentru p < 0 seria t—* n*> tn tf nu este convergentă pentru că termenul general nu tinde la zero. Urmează că seria dată con verge pe toată frontiera domeniului de convergenţă cînd p > 1; numai în punctele diferite de cele de forma z = -^Air (1 -h i) cînd 0 < p < 1 şi nicăieri cînd p ^ 0. Seria dată este uniform convergentă în orice domeniu închis din unghiurile unde converge. Deci poate fi derivată şi obţinem relaţia indicată. N
2
23. Dacă
| w \ converge şi w n
n
# — 1, produsele p
n
= J~J
(1 + u/ ) ~ e S » , v
unde
v-0
v=0
R. într-adevăr, log (1 + o> ) = o> — Yv^î» unde y —* - l - (vezi (77), cap. I ) , log />„ = 2 v
S* — cr», unde c
n
=
v
v
2
Yv^î» iar a = lim a » = o —
24 — Teoria 'uncţiilor — c.
y^w
t
converge, aşa că
7Ti
1275
= e - ° „ - * e ° * 0,
oo.
369
In particular, dacă tt> = — v
atunci
v
v
v=»l l
z
Pn ( )
~
'
e
~ e* io«
/>„(!) =
n~e
de unde 1 + ... H
1 n —1
~ log n.
§ 80. Calculul cu serii de puteri A n u m i t e operaţii cu funcţii d e z v o l t a b i l e în serii de puteri convergente î n acelaşi cerc se pot face asupra acestor serii. Astfel: 00
00
n
a) Adunarea.
Dacă f(z) = ^ ajz — z )
z
şi g[z) =
0
o)*> Pentru
z
\ — *(> I < R» atunci
/(*) + g(z) = £
K
+ * . ) (ar -
zo)*,
k -
* | < 0
o b ) înmulţirea.
Cu aceleaşi notaţii a v e m
/(*)
*w
= 2>(*
-
I*—*ol <
^
cu n
c = *
n
^ 6 ^ .
0
S-a putut utiliza produsul lui Cauchy al celor două serii, deoarece ele sînt absolut convergente. (Demonstraţia din analiză relativă la produsul lui Cauchy se aplică imediat şi în c o m p l e x . ) înainte de a considera împărţirea seriilor v o m stabili următoarea l e m ă :
c ) Lema lui Weierstrass. Dacă seriile
/.(*) = £
z
~ °r
sînt convergente în cercul \z — z \ < R, iar seria 0
370
n
l
( = °' > •••)
converge uniform în interiorul aceluiaşi cerc, atunci avem F(z) =
(18)
f)
b (z - z )* 9
0
\z - z \ < R, 0
P-o
unde
sînt serii convergente. D u p ă teorema lui Weierstrass (§ 78, teorema 2) F(z) este ofomorfă în cercul \z — z \ < R şi deci are o dezvoltare tayloriană (18) valabilă în acest cerc (cel puţin). Lema precedentă afirmă că această dezvoltare se obţine substituind seriile f (z) în seria lui F(z) şi ordonînd rezultatele după puterile lui (z — z ). într-adevăr, avem 0
n
0
şi pe de altă parte (tot după teorema lui Weierstrass)
d"F
P )
= £VA
(\z-z \
*«0
deci 00
Observaţie. Condiţia de convergenţă uniformă a seriei lui F(z) va fi satis făcută dacă, în cercul \z — z \ < R, avem J/J < p (constante) şi seria 0
n
00
2 ^ W\Pn
es
e
^
convergentă. (Criteriul lui Weierstrass.) U n caz important este
următorul: d) Substituţia
seriilor de puteri în serii de puteri. Fie 00 w
F(w) =
K( —
w
n
o)
în cercul | w — w \ < p 0
Şi 00
w — w = Q
a
z
p(
z
p
~~ o)
în cercul \z — z \ < 0
R,
unde \w—w \
< pi < p.
0
Atunci F(w(z)) se obţine substituind seria a doua în cea dintîi şi ordonînd rezultatul după puterile lui (z — z ): seria astfel obţinută este convergentă şi reprezintă funcţia în cercul \z -— z \ < R. 0
0
371
într-adevăr p u t e m scrie F(w(z))
= XX*/^),
M*) = i
unde
\ 00
a
Y^ p
fi(z) = w — w = 0
z
z
v
( — o)
1 00
/«(*) =
f (z)
( » -
«'o)
n
= (w-
n
2
w) 0
=
£
*2p(* -
= £
ZoY
| z - z
| < #
0
*o)*
(făcînd produse C a u c h y ) . L e m a precedentă este aplicabilă pentru că \f (z)\ = = \ w — w \ < pî şi seria 2 l X | : p " este convergentă seria lui F(w) fiind abso lut convergentă în cercul de rază p > p Astfel v o m avea n
n
0
tt
v
unde &0
=
a
^0> lP
a
—
v
Observaţie. Condiţia \w — w \ < pj < p poate fi satisfăcută în orice caz luînd pe R destul de m i c , căci w — w —> O cînd z — z —• 0. P r i n urmare operaţia făcută este totdeauna l e g i t i m ă într-o vecinătate destul de mică a punctului ZQ. Determinarea exactă a acestei vecinătăţi nu este uşoară. 0
0
e ) împărţirea
seriilor
de puteri
0
se poate reduce la cazul —-—, unde
/(*) 00
f(z)
a
= 1—
z
n(
— * o ) în cercul \z — z \ < R şi în acest cerc 11 — f(z) \ < n
0
i 00
<
p < 1. Punînd
n
w = 1 — f(z) = ^
a (z — z ) , n
0
a v e m de substituit această
i
serie în 1
\w\ < 1.
te;"
1 —w D e altfel dezvoltarea astfel obţinută fiind dezvoltarea tayloriană a funcţiei — — 9 v a fi valabilă în cercul de centru z care trece prin punctul singular cel /(*) m a i apropiat al acestei funcţii. 0
00
î n cazul f(z) = ^
372
n
a (z — z ) n
0
cu
a # O, se v a scrie 0
f) Practic, cînd este v o r b a de a găsi p r i m i i coeficienţi ai dezvoltării, se a( ) Z
poate întrebuinţa
metoda coeficienţilor
nedeterminati.
Astfel, fie y(z)=
^-L*
/(*) unde
Funcţia
în z = 0, are
o
dezvoltare de forma
00
= £
ai cărei coeficienţi sînt
de calculat.
Scriem
sau
o £ ^ »
=
(
l
+
£
^
= c + (c + a c )z + (c + a c 0
x
x
Q
2
x
+ a^z
x
2
+ ...
E g a l î n d coeficienţii în cei doi m e m b r i , căpătăm un şir de ecuaţii liniare în Co> i> z> —> determina p e rînd aceşti coeficienţi: c
c
c
a
r
e
v
o
r
c
c
o =
&o> i
+
a
c
c
i o =
bi> 2 +
+
a
c
2o
=
b, 2
de unde c
c
o = b > i = b± — 0
c=
tfi& >
2
0
Ecuaţia generală a sistemului
b — a bi — a b 2
x
2
0
+ a\ b , ... . 0
precedent,
c + ac_ n
x
n
x
+ ... + a c n
0
este o formulă de recurenţă (pentru coeficienţii
=
b
n
c ). n
Aceeaşi m e t o d ă se poate aplica în toate cazurile asemănătoare, ştim dinainte că dezvoltarea căutată există.
cînd
§ 81. Dezvoltarea In serie tayloriană a unei funcţii olomorfe Teorema 1. Dacă f(z) este olomorfă centru z , dezvoltarea tayloriană.
în z ^ oo, avem într-un 0
disc F de
0
W
(19)
/(z) =
£-V ^ o
I p o t e z a înseamnă că f(z) A v e m deci în T
n\ este olomorfă într-un disc T de centru
z . 0
Scriem
373
Seria este uniform convergentă pe I \ Z — %
R
modulul termenului
general
fiind
"
——5
. înmulţind-o cu f(t)
obţinem de asemenea o serie, uniform con
vergentă pe r şi putem scrie (§ 78, teorema 1) f(z)
—Ti
=
m)dt
şi (19) rezultă din teorema 3, § 76.
Teorema 2. Dacă f(z) este olomorfă în oo, avem în exteriorul unui cerc T, (20)
= 0
Căci ipoteza înseamnă că / ^ ~ T j
b z" n
5858
e s
?(*')
*
e
°l
o m
°rfâ
în z' = 0, deci
1
într-un disc I ' .
Observaţia 7. E s t e r e m a r c a b i l că o funcţie olomorfă într-un punct z este analitică în acel punct ( d e z v o l t a b i l ă în serie de puteri cu e x p o n e n ţ i pozi t i v i , dacă z # o o ; n e g a t i v i , d a c ă z = oo, în jurul p u n c t u l u i ) ; şi după cum am văzut (§ 79, teorema 2 ) , i n v e r s , o funcţie analitică într-un punct este o l o morfă acolo. A s t f e l orice funcţie olomorfă în z este funcţie analitică în z şi reciproc Simpla existenţă a unei d e r i v a t e finite atrage această consecinţă. Ceea ce nu are loc în domeniul r e a l : o funcţie poate a v e a chiar derivate finite d e orice ordin, fără a fi analitică. 0
0
0
%
Exemplul
1.
2 -i + — e "
/(*) =
*#0 etc.,
3
x x=0
x = 0
0
nu este analitică în 0 pentru că toate derivatele ei sînt nule în O (seria lui Taylor are raz a de convergenţă co, dar nu reprezintă funcţia nicăieri, fiind = 0 ) (vezi observaţia 2).
Observaţia 2. D e altfel orice d e z v o l t a r e în serie d e puteri (cu e x p o n e n ţ i p o z i t i v i ) este o dezvoltare tayloriană. Dacă
/(*) = 2>.(*-*o)'. o a m văzut (§ 79, teorema 2 ) că
«„=-,/
( n )
D e unde urmează că dezvoltarea în serie de puteri este unică (într-un punct d a t ) . Observaţia 3. F i i n d dat un domeniu D de olomorfie a funcţiei f(z), c e l m a i mare cerc T în care este valabilă dezvoltarea (19) are raza egală cu 0
R
0
374
= distanţa (z , fr 0
D).
Demonstraţia teoremei este v a l a b i l ă hi orice cerc T de rază R < RQ, deci în T . Cercul T atinge fr D în cel puţin un punct. N u se poate însă afirma că RQ este raza d e c o n v e r g e n ţ ă a seriei ( 1 9 ) ; ea poate fi m a i m a r e . T r e b u i e însă amintit că raza d e c o n v e r g e n ţ ă este determinată numai de coeficienţii seriei, adică de valorile derivatelor f (z ) în z . 0
0
{n)
0
0
Teorema 3. (Principiul de identitate pentru funcţiile olomorfe dintr-un domeniu). O funcţie f(z) olomorfă într-un domeniu D, este unic determinată în acest domeniu de valorile ei într-o mulţime numărabilă (şir) de puncte care converg către un punct din D. Este de arătat că două funcţii f(z) şi g(z), olomorfe în D, coincid dacă avem (21)
f(z )
= g(z )
t
(k=\,2,...),
k
şi z c o n v e r g e la un punct z e D. Presupunem întîi numai că / şi g sînt anali tice în jurul lui z : t
0
0
a
/(*) = £
-<* -
= Ş
-
şi a r ă t ă m că f(z) = g(z) în cercul de c o n v e r g e n ţ ă (care v a fi eventual acelaşi), î n t r - a d e v ă r , a v e m din (21) pentru z -+ z , graţie c o n t i n u i t ă ţ i i , / ( 2 ) — g(z ) = 0 k
f(z) sau a = b . Funcţia 0
0
0
0
g(z) ^ i - L este în aceleaşi condiţii, deci a = b
Q
x
v
Etc.
F i e acum un punct oarecare z e D. U n d r u m rectificabil ( d e e x e m p l u poligonal) ZQZ în D poate fi acoperit cu cercuri T , I \ , . . . cz D şi astfel ca cen trul fiecăruia să fie în precedentul, p fiind distanţa drumului la fr D, se î m p a r t e drumul în arce < p . Funcţiile / , g coincid în r . Cum ele iau valorile e g a l e într-un şir de puncte care c o n v e r g către centrul lui T coincid şi în F e t c , şi în definitiv coincid în z. Concluzia subsistă şi pentru z = oo (cînd D 3 0 0 ) : f şi g v o r fi egale într-o vecinătate V^—oo şi deci şi în 00, din cauza conti nuităţii. 0
o
lf
t
Observaţie. N a t u r a l , teorema se aplică la orice m u l ţ i m e care are cel p u ţ i n un punct l i m i t ă conţinut în D (căci din ea se poate e x t r a g e un şir ce c o n v e r g e către punctul l i m i t ă ) . D a c ă însă această condiţie nu este satisfăcută, teorema poate să nu fie verificată. z
Exemplul 2. sin z şi e sin z sînt olomorfe in tot planul minus punctul de la 00, şi iau valoarea 0 in punctele z = kn (k întreg). Cum unicul punct limită al acestei mulţimi z = 00, nu este în D, teorema nu se aplica.
Comparînd cu teorema lui Cauchy (§ 76, teorema 2 ) : f(z) este acolo determinat d e valorile de pe conturul domeniului de o l o m o r f i e ; cazul este diferit, pentru c ă . / nu are n e v o i e să fie olomorf p e contur (ci numai continuă în D).
Teorema 4. Dacă f(z) este olomorfă în D şi neconstantă, mulţimea punc telor din D unde f(z) ia o valoare dată a, este formată din puncte izolate în D (deci nu poate avea puncte limită decît în fr D). Căci în cazul contrar f(z) şi g(z) = a ar fi egale într-o m u l ţ i m e de puncte care are un punct l i m i t ă î n D, şi deci ar coincide în D, adică f(z) = a în D . 375
Corolarul 1. Dacă f(z) este olomorfă în z şi neconstantă, există o vecină tate V astfel că f(z) ^ f (*o) î V — z . De asemenea, există o vecinătate V în care f(z) ^ a, oricare ar fi a ^ f(zo)> 0
n
Xo
Xţi
0
u
Corolarul 2. într-un domeniu închis D', conţinut în domeniul de olomorfie al funcţiei f(z), aceasta nu poate lua o valoare dată a decît de un număr finit de ori. _ A l t f e l mulţimea punctelor unde f(z) = a ar a v e a puncte l i m i t ă în D', deci în D, în contradicţie cu teorema. Corolarul 3. Dacă f(z) ia în orice vecinătate o valoare a, z este punct singular, sau f(z) = a. Mulţimea punctelor unde f(z) ia o valoare dată este numărabilă. ( S e 1 1 consideră coroanele < S(z, fr D) < — care conţine un număr finit n+l n d e puncte.) 0
2
Exemple: 3. e ia orice valoare a # 0, co, în orice (exteriorul oricărui cerc) într-o infinitate de puncte (vezi § 45). Deci co este punct singular pentru & (orice valoare am atribui simbolului e ; din acest motiv se renunţă de a se defini e* în co). 4. La fel, oo este punct singular pentru sin z, pentru că în orice V^, sin* = 0 pentru o infinitate de puncte z = kn. 00
Definiţie. Un punct unde funcţia olomorfă f(z) = 0 se numeşte zero al lui f(z). Dacă z este un zero, a = f(z ) = 0. D a c ă a este primul coeficient diferit de zero, putem scrie f(z) = (z — z ) g(z), unde g(z) e olomorfă în z ca şi f(z) şi g(z ) ^ 0. Se zice că z este atunci un z e r o d e ordin (multiplicitate) m. 0
0
0
m
m
0
0
0
0
Teorema 5. Pentru ca un zero z să fie de ordin > 1 pentru funcţia f(z) (olomorfă în z ) este necesar şi suficient ca f'(z ) = 0. R e z u l t ă din / ' ( * ) = (z - z ) -\mg + (z - z )g'], ( p e lîngă f(z ) = 0 ) . 0
0
0
m
0
0
0
§ 82. Dezvoltări tayloriene ale funcţiilor Teorema 1. în
tot planul
(la distanţă finită) 00
e* =
elementare
avem
n
p— . V nl z
Se obţine imediat d e z v o l t î n d funcţia e în jurul originii. Dezvoltarea este valabilă în tot planul pentru că e este olomorfă în planul. z
tot
D i n precedenta
se deduce imediat
următorul:
Corolar. oo
y2n
cos* = y ^ ( - i ) » - = — , V (2»)! oo
sin z = Y>(—
~2*+l
l )
t
t
—
,
V (2» + l ) ! sînt convergente de asemenea în tot planul. Se aplică formula care e x p r i m ă funcţiile precedente prin exponenţiale. 376
T e o r e m a 2. lo
( i +
g o
=
| * | < i n
i fwie log
( l -f- z)
0
este
determinarea
principală
(aceea
care
se anulează
în
ori-
gine).
Se obţine integrînd între 0 şi z 1
1
+
£
(-!)"*"
|*|<1
z
C* dz (se aplică teorema 3, § 7 8 ) . Se v a observa că V = l o g o ( l + * ) (vezi §73, Jo 1 + z exemplul 3 ) . î n z = — 1 seria diverge (în acest punct critic funcţia nu este definită), î n toate celelalte puncte ale circumferinţei \z\ — 1 seria converge după a 00 g doua teoremă a lui A b e l (aplicată seriei — l o g ( l — z) = — , ai cărei coefin
0
i
n
cienţi tind la O m o n o t o n ) . I a r după teorema a treia a lui A b e l (teorema 10, § 79), în aceste puncte seria reprezintă funcţia. M a i mult, ea converge uni form într^un sector conţinut în cercul l^j < 1 şi cu centrul într-un asemenea punct. Aplicaţii. 1) Pentru z=
1 obţinem: leg 2. î
2) P e n t r u 0\
n
z = cos 0 + i sin 0 (—TZ < 0 < TZ) 0 0
(
avem
l o g (1 + z) = 0
2 cos — I + i — 9 căci 11 + z\ = 2 cos — şi arg z care dă determinarea 2 J 2 2 principală a logaritmului trebuie să fie cuprinsă între —7c şi -\-TZ (vezi fig, 94). Identificînd părţile reale şi imaginare, o b ţ i n e m formulele: " , cos«6 / I 6 |\ 2J(—1) = 10812 c o s — I 1
f
( _ l ) « - i ^ i
=
l
~ 2
n
D e unde încă, schimbînd 0 în TZ — 0: "
cos
,
nQ
/J
.
0 I\ L
~ V
sin
nQ _
fi
~
TZ
/
( O < 0 < 2 T U ) .
— 0 2
Formulele întîia şi a treia sînt valabile pentru orice respectiv 0 ^ 2&7C, cum se v e d e înlocuind p e 0 cu 0 + 2krz.
0 ^ (2k + 1) TZ,
377
A p o i adunînd formula întîia cu a treia şi a doua cu a patra, obţinem A
cos(2n+L)6_ 1
V
2»+
1
c t g
T
8
2
"sin ( 2 » + 1 ) 6 , 7 t , „ . > 0 . , Y~) — ^ — . = ± — dupa cum sm 0 (0 # kn). 2n+ 1 < 0 a
/ f t
U l t i m a formulă stabilită astfel pentru 0 < 0 < n, se e x t i n d e m a i întîi LA — 7 t < 0 < 0 schimbînd p e 0 în — 0 , şi apoi la orice 0 # kn schimbînd p«. 0 cu 0 + 2kn. î n sfîrşit, înlocuind în ultimele formule p e 0 cu 0 + — » m a i 2 » ..,cos(2»+1) 0 . n , „ a i > ° V ( — 1)* * •—— = ± — dupa c u m cos 0 { V 2 » + l 4 \ < 0
( a ^ 10 \
F
»
întreg
..,„..8^(2»» + 1 ) 0
1,
I .
(Q
Teorema 3. (Seria binominală) > 0,
, * M
a /ftVkZ
obţinem:
z
k
+
l
\
• — 7 t | »
2
J
^ . z ^ + M
număr
complex,
care nu este
unde a(a — 1) ... (a — n + 1) 1,
2...n
şi membrul întîi are determinarea: e o ( i + * ) . Cînd a este real, aceasta este deter minarea care este pozitivă în segmentul ( — 1 , + 1 ) . a l o g
P e n t r u a calcula coeficienţii se observă că a
1 0
1
1
— (1 + z) = — — e " ^ * * ) = a e C * - ) * * ^ * ) = ck 1+ z
a
( l + z)*"
1
şi în general (1 + zf
= a(a -
1) ... (
a
- n + l ) ( l +
z)*
R a z a de convergenţă rezultă din
OL — n + 1
(22)
-> 1.
n Deci 2? = Vom 378
1.
P e n t r u a studia seria p e circumferinţa 1 * 1 = 1 v o m pune a = a + ib. v e d e a că comportarea ei depinde numai de a = R e a .
astfel:
c
l . a - f 1 > 0. V o m aproxima
<('-^)[-(^)]<-^ c u O < j + l < a + l ;
aceasta cere
n X
[
v)[ -a+ n
l)
<
a
" "
î
şi se poate satisface cu n > N deoarece p r i m u l m e m b r u - > 0 şi a — q > 0. oo 1 00 V o m compara seria binominală cu seria 5 ^ = K, care con-
*
9+1
(»+
l)
v e r g e pentru q > 0. A p l i c î n d criteriul raportului a v e m
i_(,+i.p_,_t±i ^ +
cu e > 0, pentru că c reprezintă restul unei serii alternate, ai cărei termeni descresc în valoare absolută. V o m a v e a deci pentru n > N: n
n
Aceasta dovedeşte că seria binominală converge absolut pe toată circumferinţa | jsrj = 1 cînd a > 0. ( A t u n c i p u t e m lua q > 0.) 2°. D i n inegalitatea precedentă (valabilă cînd a + 1 > 0 ) , m a i rezultă că a, - > 0 cînd a > — 1. Căci B
<
1**1
N+l U
N+p-l
de
unde -> 0
pentru p - > oo.
3°. F i e — 1 < a < 0. V o m considera sumele parţiale S şi S » ale d e z v o l tării lui (1 + z) şi (1 + Jr) * . A v e m : w
a
0
1
c+^-$C)'('+«»-'+ş[(,: H:)]'+(:)^I
=
1
v+ a
£ (" t )* »*"
+1= 5 ; + a
B+1
»* -
D u p ă rezultatele 1° şi 2° S * converge şi a - * 0 . D e c i seria dată con v e r g e pe circumferinţa | * | = 1 dacă z ^ —1. P e n t r u z = — 1 seria nu con v e r g e în cazul nostru, pentru că ar trebui ca (1 + x) să aibă limită finită n
a
379
pentru x - > — 1 (teorema a treia a lui A b e l ) (teorema 10, § 79). Or, (1-[-#)*== = (1 + x) e * i ° s n d e a m luat determinarea principală; şi | ( l + # ) | = = (1 + oo, unde — 1 < a < 0. a
1
a
U
> 1, cum se v e d e din ( 2 2 ) , de unde urmează
4°. a < — 1. A t u n c i
că a, nu poate tinde la 0. D e c i seria ferinţa 1*1= 1.
nu
converge nicăieri pe
î n r e z u m a t : Seria binominală are următoarea ferinţa de convergenţă. Rea > 0
circum
comportare pe circum
converge absolut şi deci uniform în | z | < 1.
— 1 < Rea < 0
c o n v e r g e cu excepţia lui z = — 1 ,
R e a < —1 nu c o n v e r g e . î n toate punctele de convergenţă seria este egală cu funcţia (1 + z)". Observaţie. Studiul convergenţei seriei binominale pe cercul | z\ = 1 se poate face m a i repede cu ajutorul funcţiei F(z). D u p ă formulele lui Gauss + 1
n
r/ x r (-l)* ttU-« (-\) rr° T ( — a ) = hm — =lim — > n-»ao a(a — 1) ... (a — n) »-»<*> ( » — a ) a r
u
de unde
r(—a)
\n) Şi n a-i
|T(-a)| D e aici se v e d e că seria binominală este absolut convergentă a > 0 şi că a„ 0 pentru a > — 1 . Cazuri
particulare.
1 (l-z)
pentru
= l+
j^m(m+
l)...(m
V
m
1
(24)
,
VT — z
+ n -
1)
ll*l
n\ , ^ *r
1.3 ... ( 2 « -
\ m întreg > 0,
1)
2.4 ... (2n)
D e aici
Aplicaţie.
Pentru a real a v e m (teorema 2) pe circumferinţa a
(1 + ) Z
380
= e
L
2
J
= |2cos - l
Icos — +
|s| =
i s m y j
1:
cu — n < 0 < 7c. E g a l î n d părţile reale şi imaginare în dezvoltarea binominală pentru a = a > — 1, o b ţ i n e m I cos « 0 = 12 cos — I cos — V 2) 2
I
VUJ
l a > - l ,
^ ( < * \ « O r . a0 y^l I sin nv = 12 cos — | sin — 2J 2
VUJ
\~7r<0<7c.
l
Cînd a > 0 aceste formule sînt valabile şi pentru 0 = ±7c (prima funcţie a v î n d valorile 2 şi 0 pentru 0 = 0 şi 0 = ± T Z ) . A v e m d e c i : a
?(:)-*• ?<-'>•(:)-"
<»><»•
T e o r e m a 4. . arc sing = g +
« 1 . 3 . . . (2n — 1 ) v
0
V
7
2.4 ... (2w)
2 n + 1
* - — — 2»+ 1
.
(\z\
1 X
< 1,
cu determinarea care se anulează în origine. 2
Se obţine integrînd (24) unde s-a înlocuit z prin z . Ca şi seria ( 2 4 ) , seria precedentă are raza de convergenţă 1. D u p ă teorema 7, § 7 9 , deoarece a > 0 şi arc© sin x este mărginit, seria este absolut convergentă pe toată circumferinţa | z j = 1, şi prin urmare uniform convergentă în cercul închis | z | < 1. E a reprezintă funcţia în acest cerc. î n particular n
-
_ J _
1.3...(2i»-l) tt. =
Y 2 » + l
2.4... 2 ( » )
2
L a fel se stabileşte: ,
oo
s e c t sh z = log„ ( * + Vl + f>) = z + £ 0
1 î
/•>„ _i_ 1 \
(-1)2.4 ... ( 2 » )
~2»+l
^ — 2»+ 1
(I * | < 1).
c u determinarea radicalului care are valoarea 1 în origine. I n t e g r î n d de la O la z
obţinem: T e o r e m a 5. oo
^2*
+ 1
« . « , , - £ ( - 1 » - —
(,r|<.>.
cw aceeaşi rază de convergenţă ; determinarea fiind aceea care se anulează în z = 0. î n ce priveşte comportarea pentru | z | = 1, v o m observa că seria r» V" (—l) converge pentru | ţ \ = 1 cu eventuala excepţie a lui £ = — 1, 2»+ 1 după teorema a doua a lui A b e l (teorema 9, § 7 9 ) ; e v i d e n t , în acest punct ea diverge. P u n î n d ţ = z şi înmulţind această serie cu z, urmează că seria oo
n
V
2
381
lui arco tg z converge p e circumferinţa | z | = 1 cu excepţia punctelor z = = ± i, care sînt punctele critice ale funcţiei. Seria reprezintă funcţia în punctele de convergenţă (teorema a treia a lui A b e l ) (teorema 10, § 7 9 ) . A v e m deţri d e e x e m p l u : fv
(-ir
*
=
V 2 n + 1
4
L a fel se v a stabili: 0 0
2
+ 1
1 1 o* * secto th * = - l o g = £ ( * 2 1—z o 2 n + l 2
<
0
1,
±1).
Observaţia 1. T o a t e aceste formule se pot scrie imediat cunoscîndu-se formule corespunzătoare p e axa reală. î n general să presupunem că o funcţie f(z) olomorfă în discul | z | < R este reală p e axa reală, deci cu partea reală co egală cu f(x) pentru y = 0. D a c ă f(z) = ^ a z* este dezvoltarea tayloriană a n
00
lui f(z) în z = 0, a v e m / ( # ) = ^
a x*; coeficienţii a sînt deci reali. U r m e a z ă n
n
f(i) = / ( * ) . I n v e r s , aceasta atrage p e n t r u * = # , / ( * ) = / ( * ) pentru c ă / ( # ) este real. A ş a d a r : o funcţie analitică într-un punct real satisface condiţia f(i) = f(z) numai atunci cînd ia valori reale p e axa reală. D e e x e m p l u e , funcţiile circu lare şi funcţiile inverse. D a c ă se cunoaşte această d e z v o l t a r e v o m a v e a i m e diat dezvoltarea funcţiei f(z) şi raza d e convergenţă v a fi eventual aceeaşi (fiind determinată de coeficienţii a conform teoremei lui C a u c h y ) . e
n
Observaţia 2. î n toate exemplele precedente funcţia are un singur punct singular şi cercurile d e convergenţă trec prin punctul singular. Observaţia 3. T e o r i a funcţiilor explică pentru ce în cazul unor funcţii reale c a — - — sau — — > analitice p e întreaga axă, intervalul d e convergenţă 1 + x ch x al seriei Mac Laurin este totuşi finit: m o t i v u l este că funcţiile au în planul c o m p l e x puncte singulare (imaginare) care limitează cercul de convergenţă. 2
Astfel — î — are punctele singulare (poli) z = ± i, iar are z = (2k+1) — i; 1 -f- 2T ch z 2 de aceea în primul caz raza de convergenţă a dezvoltării tayloriene în z = 0 este R = 1, iar în al doilea R = — • 2 Seria
unde a, p, y sînt numere c o m p l e x e şi y nu este un întreg < 0, se
numeşte
seria hipergeometrică. Teorema 6. Seria hipergeometrică reprezintă o funcţie olomorfă.
converge în cercul
Aceasta reiese din (a + n) ( p + n) ( n + l ) (y + n)
1.
| z \ < 1* unde
Pentru a examina comportarea ei pe circumferinţa | z \ = 1, vom apro xima raportul precedent pentru valori mari ale lui n. A v e m , notînd a =
= a + ib,
j/\ +(^^J = » (* + ^) (* + ^)
|a + » | = <](n + a)* + b* = (n + a)
unde c este mărginit şi > 0. Făcînd la fel pentru | p + # | şi | y + # |* obţinem: =
t
p-
Re(a +
|
y -
1) , X
unde X este mărginit. Vom
compara acum seria
| a | cu seria ^ 6, = ^ — > convergentă i i # n
nr pentru A > 1. A v e m
>
1—
b
n
t
Deci, dacă R e ( a + P — Y — 1) < — 1* vom putea lua un A > 1 aşa ca Re(cc + p — y — 1) < — A şi vom avea pentru n>
<
N.
Aşa dar scriem că seria hipergeometrică converge absolut pe toată circumfe rinţa | z | = 1 cînd R e ( a + p — y) < 0. a
Cînd R e ( a + P — y) > 1 avem pentru | z | =
1, pentru că a
n
n+l
>
1 şi seria nu converge nicăieri
nu tinde la zero.
Cazul rămas, 0 < R e ( a + p — y) < 1, va fi elucidat cu ajutorul teo remei a doua a lui A b e l (teorema 9, § 7 9 ) . V o m observa mai întîi că, deoarece Re(cc + p — y — 1) < 0, se poate găsi un A > 0 astfel ca R e ( a + P — y — — 1) < — A. V o m avea atunci pentru n > N:
K de unde se deduce
\a \
K
=
n
pentru
n>N
n (K = const). Aceasta arată că a
%
- > 0 (deoarece A > 0 ) . A v e m apoi
i « . - ^ Hi 4"ii - ( "„ + i )*( ]j h| (g+
)((
+n)
Y + n )
la. -\
n
:
(n +
l ) ( n + y)
i_!
cu H constant ^ 0 ; căci factorul al doilea tinde la | a + p
» +
y — 1 | > 0 . 383
Astfel HK I*. —
(h > 0 ) pentru n > N ,
<
de unde rezultă că seria £ | a „ — | este convergentă. Condiţiile teoremei a doua a lui A b e l (teorema 9, § 79) fiind împlinite, urmează că, în cazul considerat, seria hipergeometrică converge p e circumferinţa | z | = 1 cu e v e n tuala excepţie a punctului z = 1. Se poate arăta d e e x e m p l u cu criteriul lui Weierstrass (teorema 1, § 23) că în acest punct seria nu c o n v e r g e . Observaţia 1. R e z u l t a t e l e precedente se obţin m a i repede folosind funcţia r ( z ) . A v e m imediat din formula lui Gauss:
q(q + 1) ... (a + n — 1)
»!
~T(q)
de unde EW_„«+t>-Y-i
a
T(q)r(p) Ş
1
T(Y)
M
Re(<x+3-Y-l).
r(q)r(p) Aceasta arată că seria hipergeometrică este absolut convergentă p e z | = 1 pentru R e ( a + p — y ) < 0 şi că a - > 0 pentru R e ( a + p — y ) < 1. A p o i dintr-o relaţie anterioară se deduce w
Kl
| a + p - y - l
|a +
p - y - l |
n
T(y) n
Re(a+3-Y-2)
r(a)r(p)
etc. Se v e d e încă, în cazul cînd a, p, y sînt reali, că în punctul z = 1 seria diverge pentru (a + p — y ) > 0. Căci atunci termenii seriei fiind > 0, 00
ea poate fi comparată
cu^n*^-*
Observaţia 2. Să considerăm 1
(l-z)°
- 1
,
care este divergentă.
seria
•= >
binominală (°>0),
c.z-
unde _a(a+
1) . . . ( ( T + t t -
1)
tt!
A v e m deci, luînd a = a + p — y :
r(«+p- )r( ) Y
Y
r(«)r(p) D e aici urmează, după teorema 12, § 79, cînd a, p, y sînt reali ş i a + p — y > 0 : F(ct, ODA
p, y ;
r(a + p - y ) T(y) * ) ~
T(a)
T(P)
1 (1 —
, pentru * - > 1.
în cazul a + 3 — v = O avem a ~
a
^
n
P) _L j considerînd seria s
r(«)r(p) n .
1
n
^
1 —
x
u W
se găseşte: F(a,
3, a + 0; A:) ~
V
K
^
'
F
a
( + P) i
T(a)
o g
5
r(p)
—!
pentru x
1-
x
1.
F
Să considerăm funcţia z ctg z. Deoarece ea tinde la 1 pentru z - > O, este regulată în origine. Se ştie că singurele singularităţi ale ei sînt polii z = kn (k ^ 0) şi punctul singular esenţial z = oo. Deci funcţia este o l o morfă în cercul | z | < TZ. Dec»irece este o funcţie pară, dezvoltarea e i t a y l o riană în jurul originei este de f o r m a : (25)
zc\gz
l_ţ-A_(2^»
=
(|*|<*)
raza de convergenţă fiind TT. Coeficienţii B din această d e z v o l t a r e se numesc numerele lui Din (25) se deduc dezvoltările multor funcţii elementare. Schimbînd z în iz a v e m m a i î n t î i : n
(25')
zcthz
=
z^±^=l+f;(-ir^-^ (2zr r
z
e* — e~
V
Bernoulli.
(|*|<*)-
(2«)!
%
Schimbînd aici z în — > o b ţ i n e m : 2 (26) ' V
— — = e*- 1
J?»-*»
1 2
V
(\z\
<2TZ).
(2»)!
Scriind tg z = ctg z — 2 ctg 2z şi aplicînd (25) a v e m
(27)
2
2
's'- ? !^-"^'
(
| 2 | <
î)'
de unde
(27') (26')
th * = 2 ^
j
( -
— — = —e*+ 1 2 V
( - l)-i
B
»(2*)-* 2
1
6
ft *- )- » (2n)!
[\z\ < | j , 2
z »-*
(Iz | <
TT).
V
A p o i scriind - — = ctg z + tg sin z 2 25 — Teoria iui:ci ilor — c. 1275
305
şi aplicînd ( 2 5 ) , ( 2 7 ) : (28)
_ l _ * sin?
(28')
_ £ sh z
i
=
+
=
l
1
2
+
+
2 2
p - 7 r T 7 V (2«)!
£
e
L
f ; ( •V
1)»
(
2
2
-
5
s
X
-
*
'
} g
(l*l<»>. 2
~ ) » z " (2«)!
( | * | < « ) .
î n sfîrşit, integrînd d e la O la z dezvoltarea lui ctg z
- , avem
z (29)
l o g
0
i î 5 ± = - f ^ -^—(2zr z x* 2n(2n)!
(|*|<*)
şi integrînd dezvoltarea (27)
— Ş ^ ^ W
(30)
( l ' K f ) -
D e r i v î n d (27) a v e m încă:
-V=
M
2
g,(2--l)B
2
cos *
/
V « ( 2 » - 2 ) !
1
'
* V
V
2J
Etc. Numerele lui Bernoulli se pot calcula prin metoda coeficienţilor nedeter minaţi, introducînd în (25) dezvoltările cunoscute ale lui cos * şi sin *, sau în (26) dezvoltarea lui e*. Se stabileşte în acest m o d o relaţie de recu renţă. A v e m din ( 2 6 ) : z =
Egalînd cu zero termenul în z* obţinem B = — şi în general, egalînd 6 cu zero termenul în * avem: x
2 w + 1
n
B 1
(- iy-
6i
1
^
1
+
— = o,
( 2 v ) ! (2n — 2v + 1 ) !
(2n + 1 ) !
2 (2n)!
sau înmulţind cu (2n + 1)1:
(32)
p -
i
r
i [ » + l } B . - * f ± .
Cu ajutorul acestei relaţii se găseşte: 1
R
7 7
R
6
6
1
30 3617
D 8
1
R
42 „
43867
510
798
-Bl =
30 „ W
236 364 091
2
2730 386
1
R
5
R
66
174 611 300
R
„
6
9
1
2730 854 513 138
Se poate observa că relaţia de recurenţă poate fi scrisă simbolic: 2n+1
2
(1 + i yfBY >
+1
+ (1 - i V£)< * > = 2n -
3,
sau 2
2» — 3
+1
R e (1 + i V#)< » > =
=
R e z o l v î n d sistemul liniar obţinut luînd în relaţia de recurenţă 1, 2 , n , se găseşte:
(î)
•
o
n =
1
( - 1) 3, 5, ... ( 2 « + 1)2"
(V)(V) 1
Uneori în loc de B se scrie ( — l ) * " J5 . Mai departe (teoria reziduurilor) se v a demonstra w
2n
B
=
l M l f v _ L
2
1
2
)
formula:
.
D e aici rezultă că numerele fi sînt p o z i t i v e . E l e sînt evident raţionale. Dintr-o teoremă ulterioară ( F a t o u ) v a rezulta că seria (25) converge pe circumferinţa | z \ = 1 cu excepţia punctelor singulare ± n. (Şi analog celelalte serii.) w
(33)
2
-^5 (2*) » 2»(2» — 2)!
2
sin *
log - = i - L = p * V
( _ n-i
*).
2
Se derivează cotg z şi înmulţeşte cu (34)
( I x \<
z.
g
2
" (2 z ) " 2»(2») 1 V
(|*| < * ) •
7
Se integrează cth*= i - +
(35)
z ia
> Se poate demonstra că B
n
<
(2n)l 20
, (n > 1). Pe de altă parte din faptul că raza
n
de convergenţă a seriei (25) este TC urmează că avem B
n
indici n; de aici reiese că B
n
2»-l
2 £ ( - l ) » - i i *r (2»)!
>• [2
(2n)! (TT +
pentru o infinitate de
«)]*
sînt nemărginiţi. 387
(
(36)
2
2
2
l o g ch z = £ ( " (2*) » *T aw(2w)! Se integrează seria ( 2 7 ) sau se deduce din (30).
(l * l < \
o
(37)
2
+ £n (r - * ) " T2w- (2n T T—^ 2^) !^
sh* z
"
T I 2)
( M < * ) -
2
Se d e r i v e a z ă (35) şi se înmulţeşte cu z sau se deduce din (33) schim bînd z î n iz. (38)
- L - =
4£
( -
1
i f
(2*)*-»
Se d e r i v e a z ă ( 2 7 ' ) . Să considerăm încă funcţia 2k &t singularităţi
polii
+
z =
— - — , care este olomorfă în origine şi are cos z 1
TZ şi punctul singular esenţial z = oo. Ea 2
este d e c i olomorfă în cercul | z j < — care trece prin polii cei mai apropiaţi 2 de origine. Funcţia fiind pară, are în acest cerc o d e z v o l t a r e de forma (39)
1
=
i.
.
cos z cu raza d e c o n v e r g e n ţ ă
» E « *2» V(2n)!
(\z\<—) 2j
I
Coeficienţii Zs se numesc numerele n
D i n această dezvoltare se deduce de e x e m p l u : 0 0
1
F
ch z şi prin integrarea lui ( 3 9 ) :
P e n t r u calculul numerelor lui Euler a v e m :
[
V
V
(2»)lJL
de unde, e g a l î n d cu zero termenul în n
(41) V
'
sau
388
y>(£l
l)
v
2
l—W
+ L
=2
( 2 v ) ! (2n -
J
z ":
E w
V(2»)l
2v)!
_
(2w)!
=
o
lui
Euler.
Aceasta se m a i scrie simbolic: 2W)
R e (1 + i V£)<
= 0.
Cu ajutorul relaţiei de recurenţă se găsesc v a l o r i l e :
E
E =
= 1 ,
t
5,
2
Ea =
E =
61,
1385, ... .
%
Deoarece coeficienţii relaţiei de recurenţă sînt întregi şi E are cientul ( — l ) , numerele E sînt întregi. Se găseşte: l 0 . . . 0 1 m
coefi
n _ 1
n
(!)
1
2n — 2
XV)-
0
1
n-l
(
2
1
(V) c;) - L - , ) n
Uneori în loc de E se scrie ( — l ) £ " « N u m e r e l e lui Euler sînt evident întregi şi se poate demonstra c ă sînt pozitive. Seria ( 3 9 ) c o n v e r g e pe circumferinţa | z j = 1, cu e x c e p ţ i a punctelor n
2
singulare z = ± — • 2 Seriile
î3)
lui Lambert .
Se numesc astfel seriile de f o r m a : *|
1
*
1.
A
Convergenţa unei asemenea serii este legată de convergenţa seriei y ^ q » . i Şi anume: co
T e o r e m a 7. Daca ^
a
nu converge, seria lui Lambert converge absolut
n
i co
m acelaşi cerc ca seria ^
n
az n
şi nu converge în afara acestuia. Dacă prima
serie converge, seria lui Lambert converge pentru orice j z j ^ 1 . OO
1°. Fie
30
a
n
divergentă. Deci seria ^
i
a z n
n
are raza d e c o n v e r g e n ţ ă
i
R < 1. Pentru orice punct z din cercul de convergenţă al acestei serii a v e m (deoarece | z | < 1 ) : !
(42)
1 3 )
Berlin,
a
l —
1
1
V . Konrad Knopp, Theorie uni Anwendung der unendlichen Reihen, Springer Vcrlag, 1924.
389
de unde se v e d e că seria lui L a m b e r t converge absolut în z. I n v e r s , dacă această serie converge pentru | z | < 1, a v e m < 2 deci şi seria de puteri converge. P e de altă parte, seria lui L a m b e r t nu poate a 00
converge pentru \z \
> 1. Aceasta ar înseamnă ca seria de puteri ^
0
n
n
^z
să conveargă pentru z = z , deci şi pentru z = 1. Or atunci ar urma ca seria 0
1
A
să fie convergentă contrar
ZQ
i
ZQ
1
ipotezei. Cu aceasta
1
am
d o v e d i t că seria
lui
00
Lambert
n
converge în cercul de convergenţă al seriei ^
az n
şi nu în afara
acestuia. 00
2°. F i e E
a convergentă, deci R > 1. R a ţ i o n a m e n t u l de m a i sus ne arată n
i
că seria lui L a m b e r t converge absolut pentru j z | < 1. E a converge şi pentru | z | > 1, cum se v e d e scriind
JiL
(43) l —z
i
1
i
"(TJ
unde ambele serii din m e m b r u l al doilea converg ^pentru că
— | < 1j •
Observaţie. Convergenţa seriei lui L a m b e r t este uniformă în interiorul domeniului sau domeniilor de convergenţă, căci în primul caz, considerînd un cerc | z \ < r < R, inegalitatea (42) ne dă
î
î
Aceasta se aplică şi în cazul 2° pentru | z \ < r < 1, sau | z \ > r' > 1, ţinînd seama de (43). Să considerăm seria în interiorul cercului de convergenţă care are raza < 1. Cum termenii seriei sînt olomorfi şi seria converge uniform în interiorul cercului, putem aplica lema lui Weierstrass:
'
a
± ! L = z + a z* + a^ ax
x
+ a z* + x
12
az 2
(44)
2
\ - z
2
az
+ a z* +
2
2
3
aşz
1-z
390
a^ 3
6
+ az 6
+
şi adunînd pe coloane o b ţ i n e m dezvoltarea
tayloriană:
unde A este suma coeficienţilor « v cu indicele v divizor al lui n (inclusiv 1 şi n), ceea ce scriem: n
=E"* d/n parcurge divizorii lui w ) . Considerînd ecuaţiile pentru A A , se v e d e că ele determină pe a (care intră cu coeficientul 1 numai în ultima) şi că în expresia astfel obţinută intră numai A cu d divizor al lui n (inducţie). Mai precis, se găseşte l
f
n
n
d
unde fx(m) — simbolul lui Mobius — are valoarea 0 cînd m are factori primi egali şi valorile + 1 sau —1 cînd m are numai factori primi diferiţi, în număr par respectiv impar. 00
Aşa
dar orice
serie
de
n
puteri ^
Az
se poate scrie în m o d unic, ca
n
i
serie L a m b e r t . Exemple. 1. a = 1; avem n
Er^ i> =
( M ) 2
(lz|<1)
"
'
z
1
î ~~ î unde d(n) este numărul divizorilor lui n (egal cu 2 cînd n este prim). După teorema precedentă raza de convergenţă este 1. 2. a» = n. 00 M
n
»
z
n
Ar^ 1 1 — *z
t-r* 1
1
unde $(n) este suma divizorilor lui n. 3. A = 1, ^ » = 0(n > 1), rfeci a» = jx(»); obţinem: l
z= (
2a
n n
u
rt»>
î
m
(1*1 < *>
converge ) .
4. ^ „ = n. Ţinînd seamă de formula
5>(i)-"unde
M
Z
»
=
_ A _
=
^
9
( n ) - i —
( | z | < 1).
391
Sumînd în (44) pe linii oblice (ceea ce este permis fiindcă seria dublă este asbsolut conver gentă), obţinem formula: r
az n
22 Y
=
z
c
r
u g
{
2
)
n
av
v
Z) *
valabilă în cercul de convergenţă al primei serii.
5. ov = — , g(z) = - log ( 1 - 2). 0
V
Se obţine: n
fî[ ,
(1 ~ * ) = exp-i V ) — — — '-t n 1 — z j
< 1).
n
z •6. « v = v, g(z) =
, deci (1 - z)* (1*1 < i).
Exerciţii: 1. Să se dezvolte în serie Laurenl z /w
=
z* - 3z + 2
Cn coroane concentrice cu originea. z
R. / ( * ) = (
2
_ 1) (
2
_ 2)
z
z
2 - 2
z - 1
Pentru \z\ < 1:
1+
+
- ) - f ( f (f) --)=ş( -^) 2+
1
Pentru 1 < |s| < 2: /
M
_
Î
2
(
L
1
-
i
-
_
A
=
_
L
_
±
F
«
^ 2
.
n
Pentru |z| > 2: /W =
—
L _
2:
2.
=
P
I
_
_
P
_
L
=
P
2
_ Z J .
z
s« dezvolte în serie Laurent
z —2
z -f i
m
= — ^ - r flog l
*-2
=
:— 2
J
1-u
1
(
[log(l + iz) - l o g (1 - iz) - m] = _
T )
- T ( - f + ( f r * - ) [ - - T { -
+
( F -
2
+
) «
+
I
( T ^ - ) ] +
( T - ' ) *
- } -
+
-'(f ?(fF-)unde
2 A 2^ = A 2^-i
l
3
2v -
lj
Pentru 1 < \z\ < 2:
/M
:— —r l
l
o
*
r
:
+
+
-(-f+(fr—)(i 5*-)-§*(fr ?4Tr unde
=
i
f_L ^ 2
6
L_ 2 •3 3
+
_i 2 •5 5
(
?v
) J
log
1 ~ L 2 1 + 1 2
1 ) V + 1
= i f ( - l)v î + + • • . ) —= { 2(2v + 1 ) 23(2v + 3) ^ J 2" l
( 2 v + 1) ^ 2 2 ( 2 v + 3 ) ^
Z?,v = -Bjv+x = i [ [ 2
, 2 - i = - log 2
+
- l o g l ^ i - B 2+ i
J 2*>»
f- • • • -l 3 - 23 ^ ^ (2v -
1
2
V
,
2 + i
\• 1) 2»v-iJ
Pentru |*| > 2:
/(*)
2
— iog
i
393
unde 22v-i _
±
+
• • • +
K
3
(
2
—
2v -
22V-2
=
1 J 2**
( _ l)v-i2*\
1 22V+1
2V+1'
., In * = O şi z = oo.
3. S£ se dezvolte în serie de puteri funcţia 1+ z +
3
R. Funcţia are polii z = a, — unde a este o rădăcină imaginară a ecuaţiei z = a fie
2
a = cos
h i sin — . Avem z - f z + 1 = (1 — a*) 1 1 3
l
3
-^
( sau
ou
*
t
J
a
a a
I 1-
l+z+z*
—I,
-_JL~V3Vl
= - = >^2*sin —
n+1
« /
a
—
\z\ < 1.
(Cercul de convergenţă trece prin poli.) Dezvoltarea în z = oo se va deduce înlocuind z c u j — z ceea ce dă - 2 ^ 1 . 2 » - 1)TC = . — > ^ — sin —
1
1*1 > 1
sau se obţine la fel, scriind 1
1 / 2
1+ z+ z
z
1 1- —
1
Z
loc OLZ
I
OL
2
4. Idem [log (1 + z)] , în z = 0 (determinarea care se anulează în 2 = 0). 0 0
( _ n»-i z
n
R. Se face produsul lui Cauchy al seriei log (1 + z) =
(\z\ < 1)
n
însăşi. Coeficientul lui z : ( _
l)v-i ( _ i)n-v-i =
(- 1)»^/ 1 ^
i ]
=
n
2
( - i) y>
1
astfel
2
5. Jiew log(l -f 2 )arc tg z, în z = 0 (determinarea care se anulează în z — 0). 394
R. Produsul lui Cauchy al seriilor log (1 + **) =
J
n
1
z* , arc tg z = y ^ i
w
V (-
i)y-i
^
î)»-»
( -
v
n+1
t n + l
(\z\ < 1).
1
V +
Produsul este impar; coeficientul lui z *
»
z
2 n
este 1
^
( - ir- A ( i
2
*
}
2n + 1 £ ţ [ 2v
2n - 2v + 1
2n +
1 V
i
2n - 2v + 1
j
^ '
Aşadar — log (1 + *) arc tg * = 2 ^ 0 0
6. Seria
i
i
1
+ —H
V
2n + 1
4. _ I * 2n J
2
(UI < 1).
( _ 1)* —p=— (logtt)~*este convergentă în tot planul, dar nicăieri absolut convergentă,
1
V
n
R. Este o serie Dirichlet: y ^
i
.
e-«logf*.
Este destul
să stabilim
convergenţa
V*
pentru x real oarecare (vezi observaţia 1 de la teorema 4, § 78). Ea rezultă din faptul că - l (logn)-*—• 0 monoton (criteriul Leibniz). Pe de altă parte, pentru x < 0,
ifn gog (n +
gog n ) - * _
#
V* + l
*
n (tt + m-*
V»
V ^ + U
ceea ce arată că seria modulilor y > , * > 0, divergenţa rezultă din faptul
i_ . j _
og
l
o
g
n
w
'
V + l * V»
*0— este divergentă, ca şi seria y ^ - l , iar pentru că
* > — . Vwgogn)* tt
7. Să se examineze convergenţa seriei
R. l ° . \a\ < l. Seria converge absolut în tot planul, căci seria modulilor este
ţ|a|»ttşi se aplică criteriul lui D'Alembert. 2°. \a\ > l. Seria diverge în tot planul pentru că \a\ n~ —• + oo. oo i 3°. a = 1. Seria ţ(z) = — are ca semiplan de convergenţă şi de convergenţă absolută n
x
s
t-^ n
R e z > 1. Căci S — este convergentă pentru x > 1 şi divergentă ™»ntru * < 1. Se pot aplica tt* şi teoremele 7 şi 8 din § 78. Pe dreapta Re z — 1 seria este oscilatoare pentru y 0. 8. Să se stabilească formulele : F(a -
Y
1, p, y; 1) =
~
a
~ ^ F (a, p, y; 1)
y - a Re (y - a F(a, p,
Y
+ 1; 1) =
r
(
T
a
P )
" ~ (Y - a) (Y -
P) > 0.
F (a, p, y; 1)
P)
395
n
R. Fie a , a , a" coeficienţii lui z e verifică imediat n
n
înF(a, p, y; z), F(a — 1, p, y; z) şi F(a,
n
(Y - a)a; = (y - a + n) a
- (p -f n -
n
1)
y -f 1; 2).
n ^ 1.
00
Sumînd şi observînd că faptul că seria S a | > + 1
iî_J—L n
n a
*
= 1—-
a
n
e s t e
[na
— (n — lj^n-i] = Hm na
n
convergentă,
î n
^ -|-
s
a
= 0, după cum rezultă din
n
pentru u
m a
i
Re (y — a — P) > 1, cum se vede
din
bine din teorema lui Olivier (§ 17), deoarece
2
n
: 1 - J - Re (y - a - p + 1) + — < 1,
H
2
W
obţinem ( - a) [F(a - 1, fc y: 1) ~ 1] = (Y ~ « ) adică prima relaţie. Se verifică apoi
fc
Y
Yî » ) - ! ] - fc'-fa, fc : 1). Y
oo
de unde, sumînd si observînd că
(a — o ) n
V
1=^1 —
n+1
= 1 — l*
m
F ( a , p , y + 1; 1) ~ [ F ( a -
a
n+i = 1»
1, P.y; 1) - 1].
adică formula F(a, p, Y + 1; 1) =
F(a -
1, p, y; 1);
Y - P din aceasta şi prima formulă demonstrată urmează a doua. 9. Funcţia F(a, p, y; *) —
w
(1*1 <
verifică ecuaţia lui Gauss.
2
ă iv dw z{\ - 2) — + [y - (a -f p + 1)2] 2
d z
apze. - 0.
d2
R. Revine la relaţia între coeficienţi -n(n
-
\)a
+ (n +
n
+ y)a
n + 1
- [n(a + P M ) + ap]a« - 0
sau (n + + y)«»+i = ( » -f a)(n -f P)a„, care este evidentă. 10. în dezvoltarea tayloriană în vecinătatea lui t = 0 a funcţiei
de t
1
cm determinarea - f i a radicalului, coeficientul P (z) este un polinom, numit polinomul lui Legendre, de grad n. Să se calculeze P (z) P (z), P (z). Să se stabilească formula de recurenţă n
0
t
x
s
(n + 1 ) J W * ) - (2n + \)zP (z) n
+ nP . (z) n x
2
R. 1°. Rădăcinile ecuaţiei 1-2/2 + t = 0 sînt <X=2-f^2
396
8
— 1,
2
_1_ = 2 — ^ 2 — 1.
= 0.
Dacă ja| este cel mai mic, dezvoltarea tayloriană este valabilă în j / | < | a | (cantitate > 0). 2°. Aplicînd seria binominală (1 - 2tz +t*)
- I 2
=
1 3 + — (2**-**) + — (21* 2 o
1
=
**)* + . . .
1 + tz + — ( 3 ^ - 1) + . . . , 2
deci
3°. Derivînd seria obţinem 2
l
S
, ~ =- = f n P (Vl-2z/4-<*) V
i
(2)
3
şi înmulţind ambii membri cu 1 — 2z* + *
2
n
de unde, comparînd termenii cu t : zP (z)
- P ^(z)
n
n
= (n + l ) P » W + l
2HZP,(Z)
(n -
+
l)P ^z), u
care este relaţia afirmată. Ea arată că P (z) este un polinom de grad n (inducţie). De altfel, dacăP„(2) =p*z* + —» avem din relaţia de recurenţă n
2n + 1 Pn+i =
— n + l
P:
deci {
Po = >
Pi = -Ţ- Po>
Pi =
1 şi
Pi> "' Pi»
=
1
~~—
2
P*-i
n
înmulţind
/>»=
1 • 3 ... (2n - 1) n!
11. Să se stabilească
F^n + 1 , - n , 1.J-—-ljas(-l)"if^n
+ 1. -n,
1.
^y^J
R. Avem: 1
" = f v ^ f V
(
' ifcf
_
l 2
* = [(1 - O + 2*(1 - *)]
[1-24+fi)
1- t 1 ) n
1- <
1 • 3 ... (2n 2-4...(2»)
1) A
2
= — — fl+ i - ' l
2 • 4 ... (2n) 4
.
1(1-0*
2 < ( 1
Z ) ,
i 2 O-OM
2
J
+ 1) (2n + 2) ... (2» + v) , „ v!
+ v
/l I
z\2
J 397
m
Coeficientul lui t (m = tn + v) este
V =
j
(n!)«(m-n)!l
2
J
y s (m + 1) ... (m + n) ( - m ) ( - m + l ) ... ( - w + n V
1) M - zV»
n!l-2...n
= P |m + 1, -m,
1
1,
l
2
J
~ *j•
Pentru a obţine formula a doua schimbăm z în —2 şi t în —t observînd caprin aceasta coeficien tul lui t devine ( - l ) P ( z ) . m
m
m
12. P ( z ) = w satisface ecuaţia lui Legendre'. w
(1 _ t) — _ 2z — + n(n + 1) ti, = 0. ck cU z
a
1 — z' R. Urmează din exerciţiile 9, 11: punînd a = n + 1, p = — M, y = 1, z —
2
13. 5c numeşte funcţia lui Legendre de specia 1 şi indice n funcţia analitică definită de P (z) = F ţn + 1. - n , 1, ^ - = - i J
|«| < 1,
n
unde n este un număr complex oarecare. Ea satisface ecuaţia precedentă şi admite formulele de recurenţă (n + l ) P
W - (2n + \)z P (z) + « P _ ( z ) = 0,
n + 1
n
nP (z)
n
= *P;« -
n
1
P^(z)
t
P-n(z) = P ( i ) . M
R . l ° . Vezi exerciţiul 10.
§ 83. Principiul maximului modulului a ) V o m stabili întîi o formulă dată de P a r s e v a l : Dacă / ( * ) = £
ajz
-
m
z) 0
b
şi g(z) = £
o
n
n(^o)
în cercul \z-z \ 0
<
R,
o
avem:
(45)
£ a„ b r*> = -L C * / (z + r e") g(z + re" ") d6 1
n
0
o pentru r < U . într-adevăr, precedent, a v e m :
2TZ
punctele
0
JO
z = z + re
, e
0
, e
w
şi z = z + r e " 0
l m
1 0
/ ( * o + r e ) = ] P a r e * , £ ( * + r e " ) = £j o o m
0
deci (aceste serii fiind absolut c o n v e r g e n t e ) (46)
1
f(z
0
+ r e*«) g(z + r e" ») = £ 0
0
398
c,r",
i e
fiind
1
^^e" »
0
în
cercul
unde c
=2>»A
p
e , , w
, e
""
-
m+n=p
Şi m+n=p
Seriile OO 52 o
date fiind absolut
convergente
pentru
| z | = r < R,
seriile
00
^
n
r
Şi ]C ' ^ ' " o
convergente, şi tot aşa produsul Cauchy al lor,
00
care
y
este
y y . Cum
< y , urmează (criteriul lui Weierstrass) că seria o (46) este uniform convergentă cu privire la 0 în intervalul [0,2?TJ. A v e m deci dreptul s-o integram termen cu termen în acest interval. A c u m p
p
Jo
m+n=/> Jo
iar ^
e
i —„ (
d
=
e
j O pentru m +
n.
\2TZ pentru m = « ; deci pentru p
impar,
12™*A pentru p =
Jo
2n.
Astfel
s şi formula lui Parseval este stabilită. L u î n d în formula aceasta f = g (b = ă ) şi observînd că f (z + este conjugat cu f(z + r e ) , o b ţ i n e m : n
n
0
ie
re~ )
i e
0
2
EKL'r " =
(47)
o
^-C* !/(*• +re*) 2TT
|»d6.
Jo
b ) Să presupunem că, în cercul \z — z \ < R, 0
unde seria
dată este 2
convergentă, a v e m \f(z) | < M f i x . A t u n c i integrala din (47) este < — • 2TZ* M 2TZ adică ^ M şi a v e m f^\an\2 r* < M , pentru r < R. o 2
2
Făcînd r - » R, obţinem inegalitatea lui Gutzmer:
(48)
n
2
Y;\a \* R* < M . n
o 399
2
( N o t î n d cu s şi S şi pentru r —• R, S are suma < M .) n
sumele parţiale ale seriilor precedente, a v e m s < M < M , ceea ce arată că ultima serie este convergentă şi
n
n
2
n
2
00
c ) T e o r e m a 1. Fie f(z) = ^ \f(z)\
(z — z )
n
o în acest disc. Atunci
< M fix,
n
a
în
0
discul
\z — z | < R 0
are loc inegalitatea lui
şi
Cauchy.
M
cu egalitate numai
atunci cînd f(z) este de forma:
(49')
f(z) = e
M j± (z -
i 0
n
z)
0 =
0
const. 2
2n
2
Inegalitatea (49) rezultă imediat din ( 5 1 ) : \a \ R < M . Dacă a v e m egalitate, seria (48) reducîndu-se la acest termen, urmează că
v
n
i e
v ^ m şi f(z) = a (z — z ) .
însă prin ipoteză \a \ = — deci a = e — R R fiind o constantă de m o d u l 1). Astfelf(z) are în acest caz forma ( 4 9 ' ) . Observaţie. Inegalitatea (49) se poate deduce şi din formula cunoscută: n
0
n
n
n
iQ
(a
• • - Î MJr r
fiind circumferinţa
+1
(t-z )* 0
| z — z | = r < R. 0
.
a\ n
•
1
<
—
•
n
Ea dă în adevăr M
o
2n r •
M = —
şi făcînd r-+ R obţinem ( 4 9 ) . Dar de aici nu rezultă imediat precizarea refe ritoare la cazul egalităţii. d ) D i n inegalitatea lui Cauchy v o m deduce următoarea teoremă, cunos cută sub numele de principiul maximului (modulului): T e o r e m a 2. Modulul unei funcţii neconstante, olomorfă în domeniul nu este maxim nicăieri în D. Să presupunem, din contra, că | f(z) | este m a x i m în punctul z e şi fie |f(z ) I = M deci | f(z) | < M într-un disc | z — z | < R, conţinut în î n acest disc f(z) fiind olomorfă, este valabilă, dezvoltarea tayloriană f[z) 0
0
t
0
D, D D. =
00 a
=
z
n(
z
n
— o) -
După (49) (n = 0) trebuie să a v e m \a \ = \f(z )\ < M. Ori, o în cazul nostru a v e m chiar j a \ = M, deci după teorema precedentă f(z) = = e M = const., în discul precedent. D e aici rezultă apoi f(z) = const. în D (principiul identităţii) (cf. § 81, teorema 3 ) . Observaţie. Principiul maximului poate fi demonstrat direct în felul următor: fie F un cerc d e rază r < R şi centru z . A v e m 0
0
i e
0
2nt Jr t—
ZQ
2TZ
J
0
de unde
l/(*o)|
re««)|de.
0
io
D a c ă | f(z ) | = M este m a x i m în cercul de rază R, urmează că | f(z + re ) I = = M (altfel m e m b r u l al doilea ar fi < M), deci \f(z) | = M în discul | z—z \< < R. D e aici se conchide f(z) = const. în acest disc (din condiţiile lui Cauchy). Consecinţă. Dacă f(z) este olomorfă în D şi continuă în D, \f(z) \ este maxim pe fr D. 0
0
0
A p l i c î n d teorema precedentă
funcţiei — , care este olomorfă în D dacă
/(*) f(z) este olomorfă şi nenulă, obţinem un rezultat analog (principiul minimului): Teorema 3. Modulul unei funcţii neconstante şi nenule, olomorfă într-un domeniu D, nu este minim nicăieri în D. Bineînţeles, dacă funcţia se anulează în D., teorema nu este adevărată (modulul a v î n d valoarea m i n i m ă 0 ) . Observaţie. T e o r e m e l e precedente au o interpretare geometrică foarte simplă, în planul (w). Dacă a d m i t e m că punctul w = f(z) descrie un domeniu E cînd punctul z descrie domeniul D (ceea ce se v a demonstra m a i departe), atunci principiul maximului spune că distanţa punctului w la origine nu este m a x i m ă în E. E v i d e n t , dacă w e E, într-o vecinătate V <= E, există puncte a v î n d distanţa la origine m a i mare decît a punctului w . Principiul maximului are numeroase aplicaţii, dintre care unele pot fi prezentate chiar de pe acum. 0
Wo
0
e ) L e m a lui Schwarz. Fie f(z) olomorfă în discul \ z J < 7?, unde | f(z) | < < M fix. Dacă f(z) are în z = 0 un zero de multiciplitate > m, atunci avem în discul precedent: m
(50)
\M\^~\*\ :
mai mult, egalitatea într-un punct este atunci de forma (50')
f(z) = e
i
z
x
e
- ^
# 0 atrage egalitatea în tot discul, şi
m
f(z)
6 = const.
Cînd m = 0 (adică f(z) nu are zero în origine, sau are un zero dar nu ţinem seamă de e l ) enunţul precedent se confundă cu principiul maximului. I z < 1, Cînd însă m ^ 1 a v e m o precizare a acestui principiu: deoarece R inegalitatea (50) ne dă o aproximare m a i bună a lui j f(z) \ în discu < R. P r i n ipoteză, | f(z) \ < M şi 1
f(z) = z" ^)
pentru | z \ <
R
cu y(z) olomorfă. D e aici urmează că, pe circumferinţa (51)
| z \ = r < R, a v e m
l9(*)l<^-
După principiul maximului, această inegalitate este adevărată chiar pentru | z | < r. (Căci | y(z) | îşi atinge m a x i m u l pe circumferinţa acestui disc.) Ţ i n î n d fix pe z şi făcînd r - > R, urmează (52)
26 — Teoria funcţiilor — c. 1275
I ? W U |
401
(deoarece inegalitatea
(51) rămîne valabilă cînd r creşte).
înlocuind apoi |
/(*)
obţinem ( 5 0 ) . M
în
(50) a v e m egalitate cînd z = 0. Dacă însă | / ( * i ) | =
e
1
I*** P n -
m
R M tru Zi # 0, adică |
> aceasta înseamnă după ( 5 2 ) , că \
x
l d
0
0
0
0
într-adevăr, fie T o reprezentare conformă a lui D p e E, care este biuni vocă, aşa că T' , care aplică E pe D este tot o reprezentare conformă. Fie z e D şi z' e E două puncte corespunzătoare. Cu nişte transformări liniare S şi S i v o m duce domeniile D şi E în discul | z | < 1 şi totodată punc tele z şi Z'Q în punctul z = 0. Transformarea S^TSx = 7 \ este biunivocă şi conformă, şi duce discul | z | < 1 în e l însuşi păstrînd punctul z = 0, şi tot aşa inversa ei. D a c ă v o m arăta că 7 \ este o transformare liniară, v a rezulta că şi T = S 7 \ S f este liniară. Or, fie z' = f(z) ecuaţia transformării Ti\f(z) este o funcţie olomorfă în discul | z \ < 1, unde \f(z) | < 1 şi / ( 0 ) = 0. (Căci 7 \ duce z = 0 în z' = 0 şi orice punct al discului într-un punct al discu lui.) P u t e m deci aplica l e m a lui Schwarz cu R= 1, m= 1 şi M = 1; ea ne dă 1
0
0
0
1
sau | z' | < | z | pentru orice pereche de puncte corespunzătoare relativ la 7 \ . Considerînd inversa lui T a v e m deasemeni | z \ < deci | z'\ = \ z |. A c u m lema lui Schwarz ne asigură că z' = e z (0 = const.), cu alte cuvinte T este o rotaţie, şi prin urmare T o transformare liniară. A ş a d a r : lt
iB
1
Teorema 4. Singurele reprezentări conforme biunivoce ale unui circular sau semiplan pe un domeniu analog sînt cele liniare.
domeniu
C U R B E L E DE N I V E L . I N E G A L I T A T E A L U I L I N D E L O F
a) A m numit curbă de nivel (de m o d u l constant) pentru o funcţie necon stantă şi olomorfă f(z), locul punctelor în care \f(z) \ = X ( c o n s t a n t ă ) ; o v o m nota cu C . Cînd X = 0, C este mulţimea punctelor unde f(z) = 0, care este o mulţime i z o l a t ă ; v o m exclude acest caz. Dacă f(z) = u(x, y) + iv(x, y), o curbă de n i v e l este reprezentată d e ecuaţia x
0
F(x y) t
402
2
= u(x, y)
2
+ v(x, y)
2
= X .
î n domeniul d e olomorfie D funcţia F(x, y) este continuă şi are deri v a t e continue d e orice ordin, deci a v e m de-a face cu o curbă în sensul geometriei diferenţiale. Punctele multiple ale curbei C sînt date d e F = 0 şi F = 0, sau x
uu
+ vv
x
x
= 0, uu
y
x
y
+ vv = 0, y
Cum, p e curbă, u şi v nu se pot anula simultan (fiindcă a m presupus X > 0 ) , urmează că un punct multiplu este caracterizat prin condiţia ^
^
d(x,y)
= 0 s a u / ' ( * ) = 0.
A ş a d a r : Punctele m u l t i p l e ale curbei d e n i v e l C sînt acelea unde \f(z) | = X şi f'(z) = 0. (Sînt deci punctele unde reprezentarea w = f(z) nu este conformă.) x
Exemple: 1. f(z) = -• Curbele de nivel sînt cercurile care admit perechea simetrică a, b. z — b 2. f(z) s= (z — a)(z — b)(a corespunde la f'(z) = 0, z =
a
b). Curbele de nivel sînt curbe ovale printre care aceea care 2
^ ^ x = J- | a—6 | are un punct dublu (esteolemniscată ) (fig. 95). %
2
4
b ) Să considerăm încă mulţimea punctelor din D, în care | f(z) | < X (X > 0 ) ; o v o m nota cu D . x
Este o m u l ţ i m e deschisă. Căci dacă z e £> , există în virtutea conti nuităţii o v e c i n ă t a t e U în care | f(z) | < X, deci U cz D. 0
x
Xo
Xlt
Curba de n i v e l C este frontiera m u l ţ i m i i Z ) în D (adică C = D fl fr x
x
x
D ). x
într-adevăr, fie £ eD f] fr D . E v i d e n t , | / ( Q | > X, dar \f(ţ) \ > X este exclus pentru că a m a v e a \f(z)\ > X şi într-o vecinătate Uţ, şi ^ ar fi exterior pentru D . D e c i | f(ţ) | = X, adică ^ e C . I n v e r s , fie £ e C . Orice Uţ cz D conţine puncte din Z ) , căci altminteri a m a v e a în acea vecinătate | f(z) | > X şi | f(z) | ar fi m i n i m în z = £ fără a se anula (contrar principiului m i n i m u l u i ) . Deci £ e fr D . x
x
x
x
x
x
Cum se ştie, mulţimea deschisă D
x
se descompune în domenii.
D a c ă o componentă a lui D are toată frontiera sa în D, atunci acea componentă conţine măcar un zero al lui f(z). Căci, în componenta închisă, \f(z) | nu poate fi m i n i m pe frontieră (unde \f(z) | = X) şi prin urmare minimul este atins într-un punct i n t e r i o r ; acolo, după principiul minimului, f(z) se anulează. x
Aceasta se întîmplă cu toate componentele lui D atunci cînd f(z) fiind continuu în D, X este m a i m i c decît m i n i m u l m al lui | f(z) | pe fr D. Atunci cz D şi se descompune în curbe în chise, care limitează componentele lui Z ) . N u m ă r u l acestor componente este cel m u l t egal cu numărul zerourilor lui f(z) în D . x
x
î n particular, în D şi X < tn, D I n v e r s , fie T o A t u n c i interiorul ei x
dacă f(z) are un singur zero Fig. 95 este un domeniu şi Z ) cz D. curbă d e n i v e l simplă şi închisă, în domeniul mărginit D. conţine cel puţin un z e r o al lui f(z). x
403
într-adevăr, dacă pe T a v e m \f(z) | = X, în interiorul lui T v o m avea | f(z) | < X (principiul m a x i m u l u i ) ; şi, ca m a i sus, minimul lui | f(z) | în acest domeniu v a avea loc într-un zero al lui f(z)+ c) Teorema 5. (Lindeldf). Fie f(z) o funcţie olomorfă în domeniul D, ale cărei valori se află în domeniul E, şi în particular w = f(z ). Fie apoi y{z) o funcţie olomorfă în D şi continuă în D, satisfăcînd condiţiile
0
0
0
(53)
I (/(*))
tn
D.
Mai general, dacă z z sînt puncte din D, în care f(z) ia valoarea w , şi 9o(z),
n
Q
| W(z)) | < | 9o(-) . . . ? . ( * ) I în D. P r i n ipoteză |
(53')
z
V o m considera funcţia x( )
| 9(0) | <
= ^ ^ " ^ > care este olomorfă
în
1 în D.
D în-
?(*) tr-adevăr, termenii raportului sînt funcţii olomorfe (f(z) luînd valorile sale în E, unde ty(w) este olomorfă) şi
0
0
y
g
(z) =
(* ~ o ) M * > = W (z — z ) (z)
9l
x
într-o vecinătate U unde ty (z) şi 9 ( z ) sînt olomorfe şi 91(20) # 0 ] . Fie acum 0 < X < 1 şi Dx mulţimea definită prin | 9(2') | < X. Deoarece 9(2) are un singur zero în D, Z ) este, cum am văzut m a i sus, un domeniu avînd ca frontieră curba C definită prin j y(z) \ = X, şi conţinut în D împreună cu frontiera C . P e această frontieră a v e m So
x
1
x
x
x
(54)
i
iiiMj<±
x(2)!
I
?w
I
*
pentru că în E, j ty(w) \ < 1 (principiul m a x i m u l u i ) şi deci în D, \
IxWI
*(/(*))
< — X"
înD
x
de unde se deduce ( 5 3 ' ) făcînd X -> 1. Demonstraţia subsistă şi atunci cînd punctele z .... z nu sînt distincte. De exemplu dacă toate aceste puncte se confundă, w este o valoare M-uplă a funcţiei f(z) şi z un z e r o » - u p l u pentru ( / ( ? ) ) , aşa că funcţia %(z) este olomorfă în z . Atunci (53) se scrie: lt
n
0
x
x
I+(/(*))! < 404
r
Corolar. Dacă în (53 ) avem egalitate într-un avem egalitate în tot domeniul D şi
cu 0 =
< K / ( * ) ) = e » * r f * ) . . .
ie
Căci în acel punct (0 = const.)
[ x(z) | =
punct
1 este m a x i m
diferit
de
z
lt
const.
şi prin
urmare
yjz)
Observaţie. D i n (53) rezultă în < i ?(z) | < X, ceea ce (o < x < i; înseamnă că, atunci cînd z parcurge domeniul D w=f(z) rămîne în mulţimea £ definită prin | ty(w) | < X. î n felul acesta inegalitatea lui Lindelof ne dă o limitare a valorilor lui f(z) depinzînd de poziţia lui z faţă de curbele de nivel ale funcţiei y(z). (E este tot un domeniu dacă w este singurul zero al lui ty(w) şi este simplu.) (fig. 96). d ) Pentru a aplica teorema piecedentă la cazul cel mai simplu v o m pre supune că D este discul | z | < R şi fie M = sup j f(z) I ; aşa că putem lua pentru E discul | w \ < M. O funcţie
x
X
R
z
(
/ x
2
R
0
z
— o) -
zz
0
căci ea duce discul | z \ < R în discul j 9 | < 1 şi z în 9 = = 0 ; apoi este o l o / R morfă în primul disc I punctul — > simetric cu z , fiind în afara cerculuA 0
2
0
V
^0
şi nu are decît un zero simplu în z . L a fel putem lua M(W — WQ) 0
2
M
— wW0
Inegalitatea (56) se scrie a c u m : (55)
Fig.
96
405
şi a v e m egalitatea într-un punct # z numai dacă 0
M(f(z) 2
M
-
-
w) 0
=
R(z-z )
c i e
^
0
2
W f(z)
R -2oz'
0
ceea ce înseamnă că w = f(z) duce discul D în discul E. î n cazul de faţă D şi E sînt discurile: x
x
R(z-z ) 0
2
R
<X,
M(W 2
M
— 2QZ
WQ)
—
<X,
— WQW
care se corespund astfel că, atunci cînd z descrie primul disc, rămîne în al doilea. Scriind ecuaţia circumferinţei C sub forma
w
x
R
= X, Rţ_
1*1
%0 i 2
se v e d e că ea este locul punctelor ale căror
distanţe
la punctele z
0
R şi —
sînt în r a p o r t u l — \z \. Circumferinţele C constituie deci un fascicol d e R specia a doua, a d m i ţ î n d perechea simetrică comună formată din punctele precedente. L a fel circumferinţele din planul (w), perechea simetrică fiind 0
x
w,
si raportul constant — | w \. WQ M Cele de m a i sus ne dau o soluţie a p r o b l e m e i : să se determine o v e c i nătate U în care \f(z) — w \ < e ( d a t ) . O asemenea vecinătate v a fi d o m e niul D dacă domeniul corespunzător E este conţinut în discul | w — w \ < < e. Cel m a i mare E cu această proprietate v a fi e v i d e n t tangent cercului precedent în punctul său cel m a i apropiat de origine. Ţ i n î n d seama d e observaţia de adineaori, a v e m pentru acest E : 0
0
Xo
0
x
x
0
x
x
2
M
-(\w \-z)
= TT N o i , M
0
l^ol de
unde Mz 2
2
M
\w \ 0
+
e\w \ 0
Condiţia 0 < X < 1 m a i cere (M — \ w \ ) (M + \ w \ — e) > 0, adică e < < M + | w \. ( N u m a i aşa E cz E şi D cz D.) Dacă dorim ca U să fie un disc de centru z şi rază Y), v o m lua acest disc tangent la D în punctul cel m a i îndepărtat de origine, ceea ce ne dă 0
0
x
0
x
go
0
A
•»
X
2
R
-(kol+'j) de
unde
R + 406
l\z \ 0
şi introducînd valoarea găsită pentru X: 2
2
M(R -\z \ )e 0
2
R(M
z
-\w \ 0
t\w \)
+
+
0
Ms\z \ 0
O vecinătate d e rază T J I m a i m i c ă , dar d e expresie m a i simplă, se obţine major î n d numitorul lui >) cu ajutorul condiţiei e < M + | w | ; se găseşte 0
R-\z \ 0
D i n (58) se deduce, făcînd z
e.
\w \
M+
0
-+z:
0
R
z
2
\z\
2
M
R
R
(\z\< ).
2
—
\z\
o aproximaţie care devine foarte neprecisă cînd z se apropie de circumferinţa 1*1 = * . e ) A p l i c î n d în acelaşi m o d inegalitatea ( 5 3 ' ) a v e m : (55')
M[f(z) 2
M
-
— w]
R(z- )
0
2
R
0
unde f(zj) = ... = f(z„) =w . « - u p l ă a funcţiei,
2
M
-
-
n
— 2z
R* -
x
î n particular,
0
M(f(z)
R(z-z )
Zl
a f(z)
w)
(\z\
dacă w = f(z ) 0
0
este o valoare
R(Z-Z )
0
0
(\z\
U> f(z)
2
R
0
— 2&
cu egalitatea într-un punct # z numai cînd funcţiile dintre bare diferă printr-un factor constant e . L u î n d aici z = 0 şi w = 0 obţinem din nou lema lui Schwarz. f) A l t ă particularizare importantă a formulei ( 5 5 ' ) se capătă pentru w — 0 şi z = 0. Aceasta este inegalitatea lui Jensen 0
i e
0
0
0
(56)
n
R
>!MI. M
în m e m b r u l I figurînd zerourile lui f(z) în cercul | z \ < R, sau numai o parte din ele. Cînd origina este un zero, această inegalitate nu ne dă nimic. P u t e m însă obţine şi în acest caz o inegalitate implicînd zerourile z ^ 0, făcînd apel la inegalitatea lui Schwarz. A n u m e , dacă z = 0, este un zero de multiplici tate p, putem scrie f(z) = z fi(z), unde f (z) este olomorfă în \z \ < R, şi nu se m a i anulează în z = 0, dar are în restul discului aceleaşi zerouri ca M M f(z). După lema lui Schwarz 1/(^)1 < — \z\ , aşa că | / i ( z ) | < — ; (valabil R R şi în z = 0, cum se v e d e făcînd z -> 0 ) . P r i n urmare, dacă aplicăm inegali tatea (56) funcţiei f (z) şi n o t ă m k
p
x
p
p
p
x
c
= / i ( ° ) =
- r . f
i
P
)
( ° ) >
a v e m inegalitatea (56')
n
R_
M
z*
\c\R»' 407
produsul întinzîndu-se la zerourile diferite de origine ale funcţiei f(z) (sau numai la o parte din e l e ) . V o m observa că, în felul cum a m dedus (56) şi ( 5 6 ' ) , rezultă că un z e r o de multiplicitate m poate figura de m ori în produsul din m e m b r u l I . Să m a i observăm că numărul zerourilor z poate fi infinit. E l e formează atunci un şir infinit (fiind izolate) şi inegalitatea ( 5 6 ' ) rămîne valabilă, cum se v e d e făcînd k -> oo. ( V o m avea deci în m e m b r u l I un produs infinit con vergent.) î n acest caz ( 5 6 ' ) ne dă o informaţie cu privire la m o d u l de creştere a numărului de zerouri cînd modulul lor - > R: zerourile fiind luate în ordinea modulilor nedescrescători, şi \L(T) fiind numărul acelora de m o d u l < r < R, avem k
M(r) n i
R_
<
M \c\R*
R (neglijînd în ( 5 6 ' ) factori > 1). Cum factorii produsului sînt > — > urmează r M R^ !•»(')
<
r P u t e m deci spune că
numărul
de
\c\RP
zerouri
Jtl{r)
nu
creşte
m a i repede
decît — i
R
P e n t r u a m a i face o aplicaţie a formulei lui Jensen, să o scriem pentru cercul \z\ < r < R (r > 0 ) . N o t î n d Jl{r) = m a x \ f(z) \, a v e m : |*|-r
< S^L
n
p
unde Zi,
z
v
" \c\r sînt zerourile conţinute în | z | < r
Cum pentru celelalte zerouri
— z
(56")
n
(şi diferite
de
origine).
< 1, p u t e m scrie:
<
i
c r" unde produsul poate fi întins la toate zerourile diferite de origine ale lui f(z). Această inegalitate în general este m a i precisă decît (56'), căci dacă numărul zerourilor z este n, ea dă pentru R destul de mare k
M n
p+n
\c\r
<'
p+n
\c\R
deoarece, cum se v a v e d e a în alt capitol, Jfr(r) creşte m a i repede decît creşte o o putere a lui r, dacă f(z) nu este un polinom. Exemple. 3. Dacdf(0) # 0 şi într-un disc \z\ < rfuncţia olomorfă f(z) are un singur zero, avem f(z) # 0 în discul rf(0) 1*1 < Jt(r) 408
rf(0)
într-adevăr (56") ne dă pentru acel zero | z | t
4. Fie, în cercul \z\ < 1, f(z) olomorfă şi Im/(z) > 0; /(O) = « + ir . Atunci 0
l/W-Wol
0
în | z | < 1
1*1
/ ( * ) - ®b r 1 1 + r v ^ Im/(z) < 1 - r
*W | 2 | ^ f < 1.
0
— duce semiplanul Im w > 0 în discul | w \ < 1
Se observa că transformarea w =^ -
x
l
(căci la w = w , W corespund w = 0, w = oo şi la a; real, 1^1 = 1). Deci, luînd w = f(z), avem jo^l < 1 şi w (0) = 0. Astfel prima inegalitate se obţine aplicînd lema lui Schwarz funcţiei w (z). Pentru \z\ ^ r < 1, aceeaşi inegalitate ne dă la^MI ^ r. L a discul \w \ < r, transformarea precedentă face să corespundă un disc F din planul (tt»), în care se va afla w = f(z). Se vede Q
Q
x
x
x
x
x
că pentru w = ± r se obţin punctele —
5, diametral opuse pe circumferinţa T. De aici
x
se conchide şi situaţia pe o paralelă la axa imaginară _ w 4- rw Im — 0
_ w — ™ < Im tt; < Im — -
0
0
1 -f r
0
l-r,
care este a doua inegalitate afirmată. 5. Dacă z sînt zerouri ale funcţiei f(z) în cercul de olomorfie \z\ < R, avem R{z-z ) în \z\ < R, l/Ml < i? - z z k
k
2
k
cu egalitate într-un punct z ^ z numai cînd k
n
z
)
=
e
i e
M
n
R
{
z
~ ~
2
k
(0 = const.).
)
Caz particular al inegalităţii {55'). 6. Sa se aplice teorema lui Lindeldf unei funcţii f(z) olomorfe în semiplanul Re z > 0. Se va lua
7. / n semiplanul Re > 0, f(z) este olomorfă şi sup \f(z) | = M . Scf s« demonstreze că z fiind zerouri ale funcţiei în semiplan, avem k
\f(z) i
n
< M
z -z k
(Re z > 0).
FUNCŢIA jfc(r) a ) fiind dată funcţia f(z) v o m considera funcţia de r:
olomorfă
într-o coroană
R
x
< \z \ <
R, 2
Jli(r) = m a x | / ( * ) | , definită în intervalul R
t
< r < i? . 2
U r m ă t o a r e a proprietate a acestei funcţii se obţine fără
greutate: 409
Teorema 6. Funcţia Jfc(r) este (strict) crescătoare şi continuă. într-adevăr, fie r < r şi z, z puncte unde f(z) este m a x i m pe circum ferinţele de raze r, r \ f(z) = JIL(r), f(z ) = JH(r\)^ D u p ă principiul m a x i mului \f(z) ! < \f{z ) |, adică JL(r) < J1l{r ). A p o i , z fiind definit la fel, există pentru e > 0 dat, o vecinătate | z— — Z\ | < t\ în care | f(z) — f(z ) | < e. Aceasta este intersectată de circumfe rinţele | z | = r < r dacă r — r < 73, şi într-un punct de intersecţie a v e m x
x
x
x
î
x
x
x
lt
x
l/MI>l/Wil-«. deci ^ î ( r ) > JL(fi) Schimbînd r cu r
—e
pentru 0 < r — r < 73. x
a v e m de asemenea
1#
JH(r )
> JH(r) — e
x
pentru 0 < r — r < 73, x
aşa că \M{fi) ceea ce dovedeşte b ) Teorema P i < l*| < ps (57)
Şi
— M(r) \ < s
pentru \r — r\ < 73, x
continuitatea. celor 3 Pi<
cercuri
P2 <
p3-
(Hadamard). Fie
f(z)
olomorfă
pentru
Avem
jK(ft) ' * < J0(
P l
) ' * j«(ps)i
V x
Considerăm în coroana precedentă, funcţia * / ( * ) , cu X real. M a x i mul ei a v î n d loc pe frontiera coroanei, a v e m , considerînd valorile de p e circumferinţa \z\ = p : 2
ÂM(Pz)
< m a x {p\JL{?i), x
cu egalitate numai cînd z f(z) X prin condiţia
&M(pz)},
= c (const.), sau f(z) = c z~*. D e t e r m i n ă m p e
de unde log X
=
_
M(PI) l c g ^ Pi
Inegalitatea precedentă se scrie a c u m : -x
sau ridicînd la puterea log — Pi
410
Observaţii 7. Egalitatea este exclusă dacă f(z) nu este de forma cz~\ 2. Inegalitatea lui H a d a m a r d spune că log M(r) este o funcţie con vexă de log r. O funcţie F(x) reală se zice convexă dacă curba y = F(x), în orice in t e r v a l (x x ), rămîne sub coarda ce uneşte punctele curbei corespunzătoare extremităţilor intervalului. Scriind că paralela la axa jy-lor de abscisă x taie coarda într-un punct de ordonată m a i m a r e decît y = F(x), obţinem condiţia lt
2
(58)
F(x)
X
<
z
X
~ F{x ) + x — x
F(x )
x
2
2
x — x
1
2
x
care trebuie să fie verificată pentru fiecare ternă de valori x < x < x (în intervalul de definiţie al funcţiei). Funcţia este c o n v e x ă în sens larg dacă în condiţiile precedente poate a v e a loc şi egalitate. Inegalitatea lui H a d a m a r d fiind scrisă x
iog M{ ) H
<
e
p
3
e
p
; ° - ; ° ° iog MM l0g p — lCg pi
e
+
p
2
e
p
i
; ° - ; ° i log p — log p!
3
2
o g
M
( P 2 )
.
3
e x p r i m ă că log JK(p) este o funcţie c o n v e x ă de log p, (în sens strict, dacă f(z) nu este de forma c z*). 3. O funcţie c o n v e x ă este continuă. într-adevăr, făcînd x —> x în (58) se obţine F(x + 0 ) < F(x ) şi în general F(x + 0) < F(x). Făcînd x -> x, se obţine -F(#) < F(x + 0 ) . D e c i F(x) = F(x + 0 ) . L a fel se arată că F(x — 0) = F(x). Aşa dar, Jfl(r) este o funcţie continuă de log r, şi deci JH(r) o funcţie continuă de r. 4. Printre funcţiile c o n v e x e se află acelea care admit d e r i v a t ă secundă pozitivă. într-adevăr, din F"(x) > 0 urmează F'(x) crescătoare şi de aici x
x
1 t
2
T F' (t) dt < F' (x) <
î
lx
X — X
X
x
X
2
[*' F'(t) dt
— X
J
x
sau F{x)-F(x )
^ F(x )-F(x)
x
2
X — Xx
X
|
— X
2
care este o altă formă a inegalităţii ( 5 8 ) . [Ea spune că raportul incrementar F(x) — F(x') — — - este m a i mare la dreapta (x > x), decît la stînga lui x — x' x (x' < x).] f
5. Dacă punem
în (58) x =
F
a
( T
£
?
<
) i
% 1
C
%7k
F
i
K
)
avem
+
7
r
(
^
)
]
-
Această inegalitate se ia ca definiţie a unei noţiuni m a i generale de cenvexitate. c) Dacă f(z) este o funcţie olomorfă într-un cerc | z \ < R, din faptul că R e / ( z ) este mărginită nu se poate deduce că şi \f(z) \ este mărginit. Astfel, pentru f(z) = i l o g ( l + z) în discul | z \ < 1, a v e m R e / = — a r g ( l + z) 0
0
411
mărginit
în
intervalul
poate afirma că \f(z)
- ^ - j > în t i m p ce
nu este mărginit, însă se
| este mărginit într-un cerc | z | < r < R. Mai precis:
Teorema 7. (Caratheodory).
Dacă f(z)
este olomorfă
în cercul
\z | <
R,
avem (59)
Jft{r)
<
R
+
T
[ sup Ref(z)
R — r
+ j / ( 0 ) | ] pentru
r <
R.
\Z\
Presupunem întîi / ( O ) = 0 şi considerăm funcţia
= 2U-f{z)
unde f(z) = u(x, y) + iv(x, y) şi U = sup
Deoarece / ( O ) = 0, U > 0. Mai
I * I < *
observăm că funcţia u(x, y) nu poate fi m a x i m ă în ] z | < R, pentru că nici \e < >\ = e nu poare fi. D e c i u{x, y) < U în discul \ z \ < R. Din aceste două proprietăţi ale lui U rezultă că numitorul lui 9 ( 2 ) nu se poate anula, partea sa reală fiind > 0, şi prin urmare această funcţie este olomorfă. E v i dent
z
U{XtV)
' *
W
(2C7 -
2
2
«) +
v
căci aceasta revine la AU(U — w) > 0. P u t e m deci conchide, aplicînd lema lui Schwarz:
| 9(2-) | < — , de R
unde. | zi
x
Jft(r) <
R 4- r — ( R — r
<
T T
R —r adică (59) pentru / ( 0 ) = 0. Dacă / ( 0 ) 7^ 0, v o m aplica rezultatul I/(*) - / ( 0 ) I <
2
de
1
2
. _> (r < 2?), x
7
precedent
funcţiei f(z) — / ( 0 ) :
sup R e [ / ( * ) - / ( 0 ) ]
<
[sup R e / ( z ) + 1 / ( 0 ) 1 ] ,
1
R—\Z\
\z\
unde i < 1R 7—^ \z\ 7 it . - i < P * S
-
2
,
2
U
R
1
sup 7? — \z\ \X\
de unde rezultă (59) ca m a i sus 412
R:
R
e
e
/(*) +
i / ( ° ) IJ +
/ ( * ) + £ ± J £ J |/(0)!, R — \z
!
Observaţie. înlocuind f(z) prin —f(z) sau + \f(z) se v e d e că inegalitatea (59) are loc la fel şi cu — inf R e f(z), sup I m f(z) şi — inf I m f(z). Inegalitatea (59) se poate e x t i n d e şi la derivatele ltii J(z). T e o r e m a 8. în aceleaşi condiţii 2
(59')
n + 2
ca în teorema precedentă
avem
n f 7?
\ [sup R e / ( * ) + 1/(0) ! ] . (R — r)" \*\
/
p
U
1
rl
1*1='
unde r este circumferinţa de centru z şi rază — (R — r). A v e m pe V 2 \ t \ < r + —(R-r) 2
= —(R 2
+ r),
şi aplicînd (59) circumferinţei de rază — (R + r): 2 m a x J / W ! < - ^ - [ s u p Ref(z) R—
+ \f(0) |]
r\*\
(59') urmează din formula lui Cauchy cu ajutorul Observaţie.
inegalităţii
(59') este valabilă şi pentru funcţia f(z),
precedente.
(n = 0 ) .
§ 84. Seria lui Laurent
avem (60)
T e o r e m a 1. Dacă f(z) acolo f(z) = J
K
t
este olomorfă
a (z n
V
±Z
n
z) '
într-o
cu
0
coroană
R
< |z — z \ <
x
— ţ ( -/ - Mz ) ^ Ini J
=
n
r
R,
0
2
-
+
1
0
r fiind un cerc oarecare de centru z , în acea coroană, şi seria este uniform cotivergentă în orice coroană interioară precedentei. A v e m ( § 7 6 , observaţia 3) în orice coroană (TJ, TJ) de centru z şi conţinută în cea dată ( r T ) dimpreună cu F[, r : 0
0
l f
2
2
27ii .V; t—z
2KI ,Vi z — t
(Tg cercul e x t e r i o r ) . Raţionamentul de la § 8 1 , teorema 1 , se aplică integrale şi ne dă (61)
n
— \ -LC ^lML^=y^a = £ a (z-z( )z - - z 2*i .V; / - z V n n
0
o
r
f
{
cu a == —-±-[\ 2m Jr; (t -
t
)
d
t
n
9
primei
•
z) 0
Transformăm apoi a doua integrală scriind 1
1
00
/7
z\n-l \ n
0
z — t * —s ?l* — J
9
0
413
serie uniform convergentă p e TJ, pentru că modulul termenului general 1 I R' *~x este -— (independent de t şi dînd naştere unei serii conver\Z ZQ I I Z ZQ g e n t e ) . U r m e a z ă în acelaşi m o d
. VN
1 f 2TO > i * — *
b % { z
_
-n
Zo)
c
u
b%
1 f
=
T
( <
_ ,
o )
»-
1 / W
^
27ui J ' ri
Punînd pentru uniformitate b = a_ , m a i putem scrie n
n
(60) rezultă acum adunînd (61) cu (62) şi observînd că în expresiile coefi cienţilor a (n > 0, şi n < 0 ) , cercurile r , TJ se pot înlocui cu un cerc T oarecare în ( r j , r ) şi deci în coroana dată (§ 74, teorema 3 ) . R ă m î n e să observăm că seria de puteri p o z i t i v e este uniform convergentă în Tg (ca orice serie de puteri p o z i t i v e ) , cea de puteri n e g a t i v e (deci de puterile p o z i t i v e ale lui (Z—ZQY ) este uniform convergentă în exteriorul lui T[. Deci (60) este uniform convergentă în (FJ, T g ) . n
2
2
1
Observaţia 1. D a c ă f(z) este olomorfă şi în F deci în T , a v e m a = 0 pentru n < 0, integrandul din (60) fiind olomorf în T şi (60) se reduce la dezvoltarea tayloriană în jurul punctului z . l9
2
n
0
P e de aJtă parte, dacă f(z) este olomorfă şi în e x t T inclusiv oo, deci 2
în e x t Tx, a v e m a = 0 pentru n > 0.
într-adevăr, făcînd substituţia / —
n
— ZQ = — a v e m dreptul să scriem F
unde T ' e cercul | V \ = — (R fiind raza lui T )
(se v a observa că substi-
R
tuţia schimbă sensul pe drumul de i n t e g r a r e ) ; or, pentru n > 0 integrandul este olomorf prin ipoteză în T ' . Astfel în acest caz a v e m o dezvoltare în oc. Seria Laurent are interes cînd nu se prezintă nici una din aceste circumstanţe, adică cercurile F T sau cele două regiuni exterioare coroanei conţin puncte singulare (ori regiuni în care / nu este definit). lf
(F
lf
2
Observaţia 2. D e z v o l t a r e a Laurent este unică de felul ei, într-o coroană T ) unde f(z) este olomorfă. 2
00 m
într-adevăr, fie f(z) = ^
a (z — z ) m
0
în acea coroană, iar T un cerc de
— oo
centru z . î n coroană a v e m 0
(*-*o)
w + 1
în (F T ) şi seriile parţiale m > n, m < n sînt uniform convergente pe T (prima fiind astfel în T , iar a doua în e x t V ). D e c i putem scrie lt
2
2
3HL [ (t
x
1
ZQ)™**' dt=
* ( kit-zo) * 1
414
1
î n membrul I termenii cum
^ n sînt nuli şi rămîne j
=
r
f(t)dt
n
1
1
Inihit-zo) "
Seria dată este deci aceea a lui Laurent. Observaţia 3. A m v ă z u t că seria (60) se poate deriva termen cu termen în coroana de convergenţă (§ 78, teorema 2 sau § 79, teoremele 2 şi 3 ) . Astfel a v e m şi p e n t r u / ' ( z ) dezvoltarea Laurent f'(z)
=
f^na (z-z rK n
0
— oo 00 n
T e o r e m a 2 . Dacă f(z) = ^
a (z — z ) n
0
într-o coroană (F
lf
T ) şi JH(r) = 2
— 00
= m a x | f(z) | pe un cerc V din coroană, \ a
n
]
avem
^ L ţ i r
<
R
l
<
r
< R
2
n
cu egalitate numai
cînd f(z) =
^ z* unde e este o constantă şi | e j = 1. r Raţionamentele făcute la teoremele 1 şi 2, § 81, se e x t i n d imediat pentru cazul nostru (seria cu două capete fiind descompusă în d o u ă ) , v o m avea deci m a i întîi inegalitatea lui Gutzmer 2
2
£> | r « < n
JH{rf
— 00
din care se deduce la fel teorema actuală.
§ 85. Teoremele lui Vitali şi Montei a) T e o r e m a lui Vitali. Fie {f (z)} un şir de funcţii olomorfe în domeniul D şi uniform mărginite în interiorul lui D. Dacă şirul converge într-un şir de puncte avînd un punct limită în D, el converge uniform în interiorul lui D. Demonstraţia lui Jentzsch. F i e ţ şirul de puncte de convergenţă. Cu o transformare z = z' + z p u t e m aduce punctul limită în origine (transforma rea nu schimbă i p o t e z e l e ) . F i e | z | < p un disc conţinut în D şi | z \ < R un disc m a i mare, de asemenea conţinut în D. F i e n
k
0
f (z) n
= £ a
n
S
în\z\
v-0 z
ŞÎ I fn( )
I < M f i x , în acelaşi disc. D e c i !/.(*) - / . ( 0 ) l < I/.WI +1/.(0)| <
Cum f (z) n
(63)
— f (0) n
IM.
se anulează în origine, după lema lui Schwarz a v e m l/.M-/„(o)|
( \ z \ < R ) .
415
A v e m acum pentru |£ | < R
(deci k destul d e m a r e )
fc
l/»(0) - / » , ( 0 ) | < l/„(0)
| +
+
I + IfnM
<
1/.(W-/. ,(Wl.
<-^-IC»l +
+
4M Deoarece £ —• 0, putem alege k aşa ca
\ţ \
t
k
R £*> { / „ ( * ) }
-fn+v(0)\
e < — 2
( d a t ) şi deoarece în
converge, v o m avea I/«(W
-/»+*(£*) ! < -7
Pentru » > tf, #
arbitrar.
Astfel e
l/n(°) — /n+p(°) I <
ceea ce dovedeşte că / ( 0 ) = a n
pentru w > N,
n t 0
şi p
arbitrar,
c o n v e r g e pentru n —• 00 la l i m i t a
a^.
Funcţiile
in W =
m
~
=
+ -
(»=
1. 2» - ) •
satisfac aceleaşi condiţii ca / „ ( * ) în discul ) z | < R. A n u m e , sînt
olomorfe, 2M
converg
în
punctele
C* (pentru că a
putem conchide că g (0) = a #n.v - * pentru n —• 0 0 . n
n A
n t 0
converg)
converg la
şi
o limită a
!#»(*) | < v
La
Deci R fel, în general,
00
Seria ^a^z"
c o n v e r g e uniform cu p r i v i r e la n şi z î n discul \z\ <
p,
v»0
deoarece după inegalitatea l u i Cauchy
M a
v
l »,v* i < Evident Din |*| <
v
tf , z w v
— p
v
(serie c o n v e r g e n t ă
în
| z | < p).
v
- * tfv* nnifbrm cu p r i v i r e l a z.
acestea
se
conchide
că
{/»(*)}
converge
uniform
în
discul
v
p,la^av* . o P e n t r u acelaşi m o t i v , {f (z)} n
c o n v e r g e uniform şi într-un disc conţinut
în D şi a v î n d centrul în discul p r e c e d e n t ; şi a . m . d . ; de unde se deduce că { / » ( * ) } converge uniform în orice cerc conţinut în D ( v e z i de e x e m p l u p r o prietatea de i d e n t i t a t e ) . U n domeniu A c D p u t î n d fi acoperit cu un număr finit de asemenea discuri, urmează că f (z) n
416
c o n v e r g uniform
în A .
b ) Definiţie (Montei). O familie de ftmcţii {f(z)} se zice compactă (nor mală) în domeniul D, dacă din orice şir {f (z)} ce-i aparţine, se poate extrage un subşir ce converge uniform în interiorul lui D (sau tinde uniform la oo). n
T e o r e m a 10. (Montei). Pentru ca o familie de funcţii olomorfe fie compactă este necesar şi suficient ca ea să fie uniform mărginită în lui D
în D să interiorul
1°. F i e funcţiile {f(z)} uniform mărginite în interiorul lui D şi {f (z)} şirul dat. Considerăm un şir de puncte * z e D. î n general şirul \f (z)} nu converge în ţ dar conţine în totdeauna un subşir f (z) care converge în £ 1 . Acesta conţine un subşir f z(z) care c o n v e r g e şi în £ - Şi Ş i depar te. Se obţin astfel şirurile n
0
n
l t
nl
a
n
f/ll'
M>
2
(64)
a
m
a
2
—>fql>
2 2
M'
Z ' •••'/«* —
l/la' hq> •••>fqq> ••• astfel că fiecare este un subşir al precedentelor şi şirul de rang q converge în punctele ţ ţ . Să considerăm şirul diagonal: l 9
q
(65)
fu, J"22, •••pfqq, •••
î n c e p î n d cu f termenii acestuia aparţin şirului (64) de rang q, şi prin urmare (65) c o n v e r g e în pentru orice valoare a indicelui q. După teorema lui V i t a l i , şirul (65) este deci uniform convergent în interiorul lui D, şi familia { / ( * ) } compactă. 2°. F i e familia {f(z)} compactă şi A c D. D a c ă ea n-ar fi uniform măr ginită în A , ar exista în A un şir de puncte £ şi un şir de funcţii cores punzătoare f (z), astfel că 9V
t
k
>
1. 1/2(^)1 > 2 , . . . , 1 / ^ ) 1 >k
P r i n ipoteză, din şirul { / * ( * ) } se poate e x t r a g e un subşir {f(z)}, care converge uniform în A , la o funcţie y(z) olomorfă. Aceasta este mărginită în A : \
1>N,
| > /.
c ) Aplicaţie T e o r e m a 11. (Montei). Fie f(z) olomorfă în semibanda D: a < x < b, y > 0. Dacă f(z) este mărginită în D şi converge pentru z —> 00 pe semidreapta x = x din D, atunci f(z) converge la aceeaşi limită pentru z —* 00 într-o bandă D: a + B S x S b — S . 0
±
Considerăm şirul de funcţii f (z) = f(z + in). P r i n ipoteză el tinde la o limită / în toate punctele de abscisă x din D; deci după teorema lui Vitali, n
0
27 — Teoria lurcţiilor — c. 1275
417
şirul converge uniform la / într-un dreptunghiu — 8, vj | / ( * + i » ) — /1 < e pentru n > v, în dreptunghiul p r e c e d e n t . Cînd n = v, v 1 , j y + n descrie intervalul [TQ + v, + oo). A v e m deci \f(z) — / | < e în D, pentru y > T Q = + (adică z într-o v e c i n ă t a t e U^); aceasta înseamnă că f(z) —• / în D i . v
0
1 <
Transformînd semibanda prin z = i l o g z ' într-un p' < oo, o b ţ i n e m :
sector a < 6' < p,
Teorema 12. Fie f(z) olomorfă într-un unghi a < 8 < (3. Dacă f(z) este mărginit în acest unghi, şi converge la o limită l pentru z —• oo pe o semidreapta a unghiului, atunci f(z) -» / pentru z —• oo într-un unghi a + 8 < 6 < (3 — 8.
418
Capitolul V I
Punctele singulare ale funcţiilor uniforme Reziduuri
§86.
Generalităţi
1. Funcţie uniformă într-un domeniu €> este o funcţie olomorfă în toate punctele lui €> cu excepţia unei m u l ţ i m i de puncte A, de măsură (L) bidi mensională n u l ă . A c e s t e a din urmă se numesc punctele singulare ale func ţiei ; în ele funcţia poate să nu fie definită. Celelalte puncte, care constituie m u l ţ i m e a ® — A = D, se numesc puncte regulate. 1 4 )
Funcţie uniformă (fără alt calificativ) este o funcţie uniformă în t o t planul (cu sau fără oo). T e r m e n u l de funcţie uniformă are aici o semnificaţie specială, m a i restrînsă decît aceea d e pînă acum. R e a m i n t i m că o funcţie f(z), definită în z = oo, este considerată olo m o r f ă (regulată) în acest punct, dacă / ( l / * ' ) este olomorfă în * ' = 0 (cu valoarea în z' = 0 egală aceleia a lui f(z) în z = oo). R e z u l t ă de aici că l i m f(z) pentru z-> oo este egală cu valoarea funcţiei şi că funcţia este mărginită într-o v e c i nătate V». Observaţii
1) E v i d e n t nu ar a v e a sens să v o r b i m de derivata funcţiei
la oo, şi deci să definim olomorfia în acest punct cu ajutorul monogeneităţii. 2)
î n definiţia precedentă p u t e m
considera
într-adevăr, dacă
—iţy.
N u poate fi v o r b a nici d e d e z v o l t a r e tayloriană în vecinătatea
punctului
oo (care ar comporta d e r i v a t e l e funcţiei). însă, o funcţie olomorfă la oo are o d e z v o l t a r e Laurent d e forma
14
> în cazurile cele mai des întîlnite, această mulţime este numărabilă, deoarece unele metode importante de investigaţie a funcţiilor uniforme (cum ar fi teoria reziduurilor) se pot aplica doar singularităţilor izolate. 419
într-adevăr, / ( l / z ' ) fiind olomorfă în z'=0, riană în vecinătatea originei: /(l/z')
a v e m o dezvoltare taylo-
= o
de unde rezultă dezvoltarea precedentă, valabilă în exteriorul unui cerc de centru 0 . L a fel p u t e m obţine o d e z v o l t a r e de forma 00
J
K
I
b
V ( * - *
0
)
n
(cu alţi coeficienţi) valabilă în exteriorul unui cerc de centru z . Acestea sînt dezvoltări Laurent (din cauza unicităţii d e z v o l t ă r i i Laurent într-o coroană limitată interior de cercul p r e c e d e n t ) . D e altfel se v e d e că, în cazul nostru, dezvoltarea Laurent nu are decît termeni d e e x p o n e n ţ i < 0 : 0
f
(nu se pune — înainte pentru că atunci cînd t parcurge T , t =\jt parcurge T' în sens contrar). Sau: | a | < M / r - > 0 pentru r - > oo cînd n > 0. n
n
Exemple: z
1. e are punctul singular z — oo, pentru că nu este mărginit în nici o vecinătate V & sau pentru că nu are limită pentru z-+ oo. Este o funcţie uniformă; mulţimea A se reduce la z = oo. 1
2
2. Tot aşa, e / are punctul singular z = 0, dar z = oo este regulat, pentru că z' = 1/z = 0, astfel pentru e*' (atribuim lui e / valoarea 1 în z = oo). Dezvoltarea în vecinătatea lui z = o o este 1
2
oo 1
e/
2
1
= 2 — — o n!
n
3. Un polinom P(z) = a z -f- ... -f- a are un punct singular (pol) la oo, pentru că 1 1 P(\lz ) = —(q -f- ... - f a z' ) are ca punct singular z' — 0. este regulat în z = oo. z' P{z) 4. O funcţie raţională ^ifL
f
n
n
0
n
n
=
+
+^
p
0 2
w
2
are ca puncte singulare zerourile lui Q(z) şi z = oorfaca*n > p. Tot aşa e^< >/ < >. 5. O determinare a funcţiei log z este o funcţie uniformă, fără singularităţi, în planul tăiat după semiaxa reală pozitivă. 6. cotg z este o funcţie uniformă, cu punctele singulare z — ATC şi z = oo. 7. sin
—-— este o funcţie uniformă cu punctele singulare date de z = krz, z=oo şi sin sin z
sin z = — hn
(h # 0).
2. a) Mulţimea D = S> — A în care o funcţie uniformă este olomorfă este evident deschisă. E a se descompune în general în domenii în finit sau 420
numărabil.
număr
Exemple. z
1- z 1
1- *
1*1 > l.
1 Se stabileşte inductiv S = se vedea şi exerciţiul 12, § 79.) V l - z l-z* ) ' * ' • ' ' Funcţia nu poate avea limită finită în nici un punct al circumferinţei | z | = 1. Mulţimea A este acest cerc, D se descompune în două domenii. n
y(z) 0 fiind o funcţie olomorfă în domeniul ® simplu conex şi C un contur rectificabil în aici Deşte suma a două domenii. în exemplele precedente avem curbe formate din puncte singulare.
Şi
Observaţii. 7) O curbă rectificabilă are măsura nulă. O epicicloidă d e m o d u l iraţional are măsura > 0. 2) U n mijloc des întrebuinţat de a d o v e d i că un punct este singular este de a arăta că în acel punct funcţia nu are l i m i t ă finită, sau că nu este m ă r g i n i t ă în nici o vecinătate a lui. ( S e aplică şi la oo). 3) Cînd D se descompune în m a i multe domenii, este suficient să stu diem funcţia separat în fiecare. A t u n c i punctele frontieră ale domeniului, care nu sînt în @ , nu m a i apar ca puncte singulare. b) A este închisă în 3), pentru că D = 3) — A este deschisă (absolut şi în ® ) . D e aici rezultă că un punct limită de puncte singulare este un punct singular (dacă se află în 3 ) ) . c) Orice punct singular este punct limită de puncte regulate: A cz D' şi deci A cz D, de unde A cz fr D. î n t r - a d e v ă r altfel ar exista o vecinătate V cz A, contrar cu faptul că m ă s A = 0. D e aici deducem ck: A nu este nicăieri densă în ®. a
d) T e o r e m a 1. fr D = fr © U A. î n t r - a d e v ă r : 1 ° . A cz fr D (cum a m v ă z u t ) . U n punct p e ir ® nu este în D şi orice V$ conţine puncte din D sau din A, care însă sînt puncte l i m i t ă de puncte din D. 2°. U n punct din fr D, dacă nu este în A, nefiind în D (care este deschisă), nu este în @ ; el este punct l i m i t ă de puncte din D (deci din ® ) şi prin urmare face parte din fr 3). T e o r e m a 2. O curbă Jordan
rectificabilă
are măsura
nulă.
într-adevăr, fie s lungimea e i ; s-o î m p ă r ţ i m în n arce de lungime —
n şi din mijlocul fiecărui arc ca centru să descriem un cerc de rază — . 2n astfel n discuri care acoperă curba şi a căror măsură totală,
Obţinem
421
Observaţie. Mulţimea deschisă D în care f(z) este olomorfă poate fi un domeniu, sau o reuniune cel mult numărabilă de d o m e n i i : D = D U Dz U . . . P u t e m desigur considera funcţii egale cu f(z) în fiecare din aceste domenii. Dar un asemenea studiu nu ar fi suficient din punct d e v e d e r e al definiţiei lui / ; căci astfel ne-ar scăpa a d e v ă r a t a natură a punctelor singulare care fac parte din frontiera m a i multor domenii (cu v e c i n ă t ă ţ i aparţinînd la m a i multe d o m e n i i ) . Sîntem obligaţi să considerăm t o t domeniul D în ansamblul lui. Se poate încă întîmpla ca o funGţie să fie definită (ca funcţie uniformă) în domenii fb separate, adică fără puncte interioare şi nici puncte frontieră comune. A t u n c i p u t e m considera fără inconvenient funcţia numai în cîte unul din aceste domenii. x
i9
î n legătură cu aceasta să m a i a m i n t i m că pentru a studia o funcţie neuniformă, se restrînge adesea la un domeniu (cît m a i m a r e posibil) în care să a v e m determinări uniforme (în sensul definiţiei a c t u a l e ) ; procedeul este însă artificial şi nu ne poate da o idee c o m p l e t ă despre comportarea func ţiei. ( S e recurge atunci la înlocuirea planului lui Gauss printr-o suprafaţă a lui R i e m a n n ) . Z»
~
Exemplul 10. f(z) ==
-
— > serie convergentă in interiorul D
x
şi exteriorul D
%
ale circumferinţei A: \z\ = 1, dar nedefinită sau neconvergentă pe A. Circumferinţa A este mulţimea punctelor singulare. Observaţie. î n e x e m p l e l e precedente, m u l ţ i m e a punctelor singulare este închisă. A s t f e l în e x e m p l u l 7 ea are punctele l i m i t ă 0 şi oo, care sînt d e asemenea singulare. 3. O singularitate a se zice izolată dacă există o v e c i n ă t a t e V
a
în care
funcţia este olomorfă cu e x c e p ţ i a lui a. Mai general, o singularitate v a fi numită de specia de singularităţi izolate, adică este punct izolat în A punct izolat în
d
e
1 dacă este l i m i t ă specia S dacă este
(S)
A .
D a c ă A este m u l ţ i m e a punctelor singulare izolate, A' este m u l ţ i m e a punctelor de specie ^ 1, A Q este m u l ţ i m e a punctelor d e specie ^ s. A = A U A' U Ai=* ĂQ U AI (A m u l ţ i m e a punctelor singulare ce nu au specie). Q
0
{
0
]
0
x
Exemplul 11. în exemplul 6, z = oo este punct singular de specia 1. Pentru funcţia 1
sin 1
sin
sin • .
.
1
• sin— z
cu m
1 simboli sin suprapuşi, z = 0 este singular de specia m. Funcţiile uniforme cele m a i obişnuite sînt acele ale căror singularităţi
sînt izolate sau puncte l i m i t ă de singularităţi izolate ( d e specie m ă r g i n i t ă ) . Cînd A este izolată, un domeniu închis §> cz €) poate conţine numai un x
număr finit de puncte din A_ (pentru că un punct l i m i t ă al acestora ar fi un punct singular 422
neizolat în ®x şi deci în ® ) .
A s t f e l , dacă o funcţie uniformă, are numai singularităţi izolate la dis t a n ţ ă finită, î n cercurile d e centru O şi r a z e r = 1 , 2 , n , . . . v o r cădea singu larităţi î n număr finit, care v o r f i numărabile. E l e v o r forma un şir care poate fi aşezat î n ordinea crescătoare a m o d u l i l o r :
kol <
< —<
< —•
D a c ă şirul este infinit, punctul oo v a f i o singularitate d e specia 1. Acest rezultat se p o a t e e x t i n d e la funcţii uniforme într-un domeniu â) oarecare (reprezentîndu-1 d e e x e m p l u conform p e un disc), sau considerînd m u l ţ i m i l e închise 8(z,fr®)>—
(n=l,2,...).
n
R e z u l t a t u l se aplică şi î n cazul cînd singularităţile au specii m ă r g i n i t e : S < K. Se v e d e la f e l că cele d e specie S sînt numărabile, apoi se observă că, într-o vecinătate a unei singularităţi d e specie S, singularităţile d e specie S —- 1 sînt numărabile (pentru un m o t i v a n a l o g ) ; e t c . 4). î n v e c i n ă t a t e a unui punct singular izolat funcţia poate fi reprezen tată de o dezvoltare Laurent.
7(*) « = ] £ « . ( * - * ) • .
(1)
— oo
D a c ă | z — z I < R este o v e c i n ă t a t e lipsită d e alte singularităţi, dezvoltarea precedentă v a l a b i l ă î n orice coroană d e r a z e O < R' < R" < R, deci a v î n d în v e d e r e unicitatea e i , este v a l a b i l ă în domeniul O < | z — z | < R. Seria ( c o n v e r g e n t ă ) formată d e termenii cu e x p o n e n ţ i < O se numeşte partea prin cipală (caracteristica) punctului singular; prezenţa ei face ca punctul să fie singular. î n cazul punctului d e la oo, a v e m la fel o dezvoltare d e forma 0
0
(2)
/(*)=!>.*". — 00
valabilă pentru \ z \ > R, dacă î n acest domeniu nu există altă singularitate, î n acest caz seria termenilor c u e x p o n e n ţ i n < O are ca sumă o funcţie olomorfă la o o ; partea principală, care conferă punctului oo caracterul sin gular, este deci seria d e termeni cu e x p o n e n ţ i n > 0. în
definitiv, în vecinătatea unui punct singular, funcţia este d e forma f(z)
=
P(z)+G(z)
unde G(z) este olomorfă şi P(z) — partea principală — are acel punct singular. a Cînd punctul singular z este la dinstaţă finită, P(z) este o serie ^ -—- ; 1 (z — z ) 00
0
n
0
00
cînd punctul singular este oo, P(z) este d e forma
n
a z . A d ă u g ă m că seria u
P(z) este c o n v e r g e n t ă î n exteriorul unui cerc oricît d e m i c cu centrul î n z ; deci funcţia P(z) nu are, î n t o t planul lui Gauss, decît punctul singular z . 0
0
Exemplul »
z*
==2 — • »-i nl
12. Pentru P e n t r u
/(*) = ——, z —a
P(z) =
î— (tn z = a). Pentru e*, in z = oo z —a
1 c o t
8
*7c, P ( * ) =
• z — kn
423
5. T e o r e m a 3. Dacă f(z) este olomorfă şi mărginită în vecinătatea V cu excepţia punctului OL (despre care nu se ştie nimic), atunci exită l i m / = X finită, a
şi atribuind funcţiei valoarea \în z = a, obţinem o funcţie olomorfă în V (inclu siv a ) . Presupunînd a finit, a v e m o dezvoltare (1) valabilă în V —a şi | f(z) | <M ( f i x ) în acest d o m e n i u ; r fiind raza unui cerc conţinut în V şi de centru a, a v e m a
a
a
M | a
n
| <
> 0 pentru r - > 0, r
dacă w < 0.
n
Deci 0 = 0 pentru n < 0 şi (1) este o serie întreagă, care reprezintă o funcţie f (z) olomorfă în tot V \ f (z) = f(z) în V — OL, deci f(z) are aceeaşi limită pentru z - > a ca / i ( z ) ; or, această l i m i t ă este X = / i ( a ) = a . Dacă a = oo, a v e m o dezvoltare Laurent ( 2 ) şi M | a | < * 0 pentru r - > oo, dacă n> 0. n
x
a
x
a
0
n
r
n
A c u m a = 0 pentru w > 0 şi concluzia rămîne aceeaşi. (Sau reducem acest n
caz la precedentul
z = —•) z' ) Se poate ca f(z) să fie definit în a, dar / ( a ) ^ X. A t u n c i a se zice sin gularitate removibilă (aparentă). O asemenea singularitate poate fi înlăturată schimbînd doar valoarea funcţiei în z = a, ceea ce v o m face întotdeauna; nu v o m m a i avea deci de considerat astfel de singularităţi. Observaţie.
prin mijlocirea transformării
T e o r e m a este aplicabilă cînd se ştie că există l i m f(z)
căci atunci f(z) v a fi mărginită într-o vecinătate 6. T e o r e m a 4. (Liouville). O funcţie la distanţă finită este o constantă. P r i n ipoteză | f(z) \ < M ( f i x ) şi
finită,
V. a
olomorfă şi mărginită
în tot
planul
o
în tot planul la distanţă finită. Avem M 1a
n
| ^
> 0 pentru r - > oo şi n > 0 deci a = 0 (n > 0) şi f(z) = n
a. 0
Teorema 5. O funcţie uniformă, care nu se reduce la o constantă, are cel o singularitate în planul lui Gauss. Căci în cazul contrar, funcţia v a fi mărginită atît în exteriorul unui cerc (fiind olomorfă la oo) cît şi în interiorul şi periferia cercului), deci mărginită în tot planul, şi se aplică teorema precedentă.
puţin
Aplicaţie. Teorema lui d'Alembert. Un polinom (la distanţă finită). 424
(neconstant)
are cel puţin
un zero
î n t r - a d e v ă r , dacă polinomul P(z) nu are nici un z e r o , 1 / P ( z ) este olomorf în t o t planul şi în punctul oo (atribuindu-i valoarea 0, după convenţia făcută m a i sus, deoarece l / P ( z ) - > 0 pentru o o ) ; deci ar urma P(z) = const. r
Sau, fiindcă l / P - * 0 , a v e m \1JP\ <M pentru \z\ >R şi | l / P | < A pentru | z \ < R .... Corolar (Teorema lui Gauss). Un polinom de grad m se descompune în m factori (în complex). 7. Singularităţile aparente fiind excluse, r ă m î n pentru un punct sin gular izolat a, două posibilităţi: 1° l i m f(z) = o o ; atunci a se numeşte pol al funcţiei / . 2° / nu are l i m i t ă pentru z - > a; atunci a se numeşte un punct singular esenţial (izolat). î n general n u m i m singularitate esenţială a unei funcţii uniforme orice singularitate afară de poli (şi, bineînţeles, de singularităţi aparente). Punctele singulare esenţiale p o t f i de natură foarte diversă. î n primul r î n d trebuie să distingem (după c u m a m v ă z u t m a i sus) pe cele izolate, de cele care sînt puncte l i m i t ă de puncte singulare; acestea p o t fi izolate ca puncte singulare esenţiale (deci puncte l i m i t ă de poli) sau puncte l i m i t ă de puncte singulare esenţiale etc. î n cazul unei singularităţi izolate, se v e d e după definiţie că ea este p o l sau punct singular esenţial, după c u m caracteristica are un număr finit sau infinit de t e r m e n i nenuli. -1
Exemple. 13. sin (\\z) are punctul singular esenţial z=0 şi polii z—ijkn (k întreg), care au primul punct ca punct limită. 14. Pentru e , oo este singular esenţial. Pentru cotg z, z — kn sînt poli şi z= oo punct sin gular esenţial (limită de poli). 2
§ 87. P o l i D u p ă definiţie, un p o l este o singularitate izolată, în care funcţia are l i m i t ă infinită. U r m e a z ă că orice punct singular care este l i m i t ă de puncte singulare (adică e de specie > 0) este esenţial (adică nu poate fi p o l ) . Definiţia unui p o l m a i p o a t e fi pusă sub f o r m a : U n punct a este un p o l pentru f(z)
dacă este un zero pentru
ljf(z).
î n t r - a d e v ă r aceasta înseamnă că a este singularitate izolată şi l i m / = oo echivalează cu l i m l / / = 0 . al V: a
<3)
I. Un funcţiei
p o l a se 1 //.
zice
( S e atribuie lui de ordinul
p
1//" valoarea 0 în a.) dacă
el este zero de ordin
p
I I . Cînd a # oo, aceasta înseamnă că p u t e m scrie într-o vecinătate \\f{z) = (z — <x) g(z) cu g(z) funcţie olomorfă şi g(<x) # 0 ; sau p
l
/(*)=— —£P(*) (z - a ) *
( < ? = l/S)
cu
425
I I I . A l t ă caracterizare: un punct a # f(z)
dacă f(z)
oo este p o l d e ordin p al funcţiei p
este olomorfă într-o v e c i n ă t a t e V
a
— a şi f(z) (z — a)
la o l i m i t ă X finită şi nenulă. Căci aceasta înseamnă că f(z)(z este olomorfă în V
a
(nr. 5) şi
I V . O a patra caracterizare a unui p o l a #
tinde p
— a ) =
$ste d e
forma ( 3 ) .
oo d e ordin p e s t e : P u n c t
singular izolat, în care partea principală P(z) este un polinom d e g r a d p în — z — a
î n t r - a d e v ă r , plecînd d e la ( 3 ) , a v e m
(4)
OQ # 0
x
(dezvoltare t a y l o r i a n ă ) , deci
p
\(z—(t) d e z v o l t a r e Laurent
z — a)
(unică) cu partea principală
P(z) = - ^ - + (z — a ) p
•••+
z — a
(ao # 0 )
de grad ^ în — I n v e r s , dacă f(z) a d m i t e o d e z v o l t a r e Laurent de această z — CC formă, se poate pune sub forma (3) cu
oo p o l d e ordin p se demonstrează analog echivalenţa definiţiei
de m a i sus cu u r m ă t o a r e l e : p
I I ' . f(z)=z y(z)
într-o v e c i n ă t a t e V , m
unde 9(2) este olomorfă la 0 0 ,
? ( o o ) # 0. III'.
f(z)
este olomorfă într-o
vecinătate V
m
— 00 şi f(z)— z
tinde la p
o l i m i t ă finită şi nenulă cînd IV.
z-+ 0 0 .
00 este punct singular izolat, în care partea principală P(z)
este
un polinom d e g r a d p în z. Exemple 1. Pentru un polinom P(z) de gradul p, oo este un pol de ordin p, avînd ca parte principală chiar P(z). 2. Pentru funcţia raţională de la exemplul 4) din paragraful precedent un zero de ordin q al numitorului Q(z) (prim cu P(z) !) este un pol de ordin q. Dacă n > p, punctul oo este un pol de ordinul n — p, pentru că 1// axe oo ca zero de acest ordin, sau pentru că f(z) z ~P —* a /6 (finit şi nenul). N
0
Observaţii
1. Caracterizările I I ' , I I I ' , I V rezultă din I I , I I I , I V p e
baza principiului că f(z)
are în oo un p o l de ordin p cînd f(l/z')
are în
z'=0
un p o l de acest ordin. 2. D a c ă f(z) are un p o l d e ordin p la distanţă finită, f'(z) pol d e ordin p +
1. D a c ă polul lui f(z)
de ordin p — 1 pentru f'(z). I I şi I I ' . 426
este la oo, acest
( D e c i punct regulat dacă p =
are acolo un
punct
este
pol
1.) R e z u l t ă din
e
§88. Puncte singulare esenţiale izolate. Funcţii meromorfe 1. Comportarea unei funcţii în vecinătatea unui punct singular esenţial este c o m p l e x ă . D e o c a m d a t ă v o m demonstra.
Teorema 1 (Casorati-Weierstras). în orice vecinătate a unui punct singular esenţial izolat a, funcţia ia valori oricît de apropiate de orice valoare dată. Cu alte c u v i n t e : dîndu-se arbitrar o v e c i n ă t a t e U , o valoare X şi o vecinătate V , există î n U puncte pentru care f(z) este în V . a
x
a
x
1°. Cazul X = oo. T e o r e m a spune atunci că în U funcţia ia valori I / ( ) \ > M dat arbitrar. î n t r - a d e v ă r , dacă nu ar fi aşa ar exista un M astfel că | f(z) | < M î n U — a; dar atunci a ar fi c e l m u l t o singularitate aparentă, în v i r t u t e a teoremei 3 din paragraful precedent. a
z
a
2°. X ^
oo. Funcţia
-
are punctul esenţial a, căci dacă acest
/(*) -
x
punct ar fi regulat sau p o l , f(z) — X şi prin urmare f(z) ar a v e a un punct d e aceeaşi natură în oc (f(z) fiind olomorfă într-o vecinătate V — a şi a v î n d l i m i t ă în a ) . A s t f e l , după 1°, există în U puncte pentru care a
a
*
,
f(z) - X e dat
>
~ e
sau
| / ( * ) - X | <
e
,
arbitrar.
Corolarul 1. Mulţimea valorilor luate de funcţie într-o vecinătate U este densă în planul (w). a
D u p ă o t e o r e m ă a lui P i c a r d , ea este formată din t o t planul (w) minus cel m u l t 2 v a l o r i . Observaţii 1) T e o r e m a se aplică şi la un punct singular care este l i m i t ă de puncte singulare izolate ( d e specie f i n i t ă ) , căci U conţinînd un punct singular izolat, teorema r ă m î n e a d e v ă r a t ă cînd acesta este esenţial (U fiind şi o v e c i n ă t a t e a s a ) ; iar dacă U conţine un pol, v o m a v e a în U puncte pentru care | f(z) \ > M dat arbitrar, astfel că partea 1° a demonstraţiei subsistă; partea 2° r ă m î n e neschimbată. a
a
a
a
T e o r e m a poate însă să nu se aplice unui punct singular esenţial care nu este nici izolat nici punct l i m i t ă d e puncte singulare izolate. D e e x e m p l u într-un punct oc situat p e un arc d e curbă format din puncte singulare, funcţia poate a v e a l i m i t e c î n d z —• oc d e o parte sau alta a arcului şi este e v i d e n t că în acest caz teorema nu este a d e v ă r a t ă ( v e z i e x e m p l e l e 8, 9 din §86). T e o r e m a se poate enunţa şi astfel: fiind dat X, există un şir d e puncte z care converg la oc, astfel că f(z ) —• X ( t e o r e m ă atribuită şi lui Sohotki (1868)). n
n
2) U n punct a cu proprietatea că funcţia ia o valoare dată în orice vecinătate a sa, în puncte # a, dar nu şi în aceast punct, este singular esen ţial. P e n t r u că altfel funcţia ar a v e a l i m i t ă în acel punct şi deci n-ar putea a v e a proprietatea considerată. z
Exemplul 1. Am văzut că e ia orice valoare afară de 0 şi oo, în orice vecinătate a pudului oo (şi chiar de oo ori). Tot aşa sin z ia orice valoare finită, tg z orice valoare afară de ± i. 427
Aceste fapte se subsumează unei teoreme a lui P i c a r d ce v a fi stabi l i t ă m a i tîrziu, şi care precizează teorema Iui Casorati-Weierstrass. Corolarul 2 . 0 funcţie meromorfă (şi în particular olomorfă) şi neconstantă într-un domeniu închis D (adică meromorfă într-un domeniu D z> D) nu poate lua o valoare dată X decît într-un număr finit de puncte din 25. _ într-adevăr, altfel aceste puncte ar a v e a un punct l i m i t ă în D, care ar fi singularitate esenţială. Mai putem z i c e : ecuaţia f(z) — X = 0 are un număr finit de rădăcini în D. Şi acum, în baza notaţiilor de la § 86, fie f(z) o funcţie olomorfă în domeniul D şi să presupunem că într-un punct a e A există l i m f(z) < oo relativ la D. F i e AQQ mulţimea punctelor de acest fel şi P = D U AQQ. Intr-un punct a e A , / ( a ) poate să nu fie definită sau să fie diferită de l i m f(z). 0
0
V o m modifica (dacă este cazul) valorile funcţiilor f(z)
Funcţia fo(z), că:
f(z)
în D,
l i m f(z)
în punctele ae
în AQQ luînd în
D: 0
A ^ .
care coincide cu f(z) în D, este continuă în D ( § 7 ) . V o m arăta 0
D = D U AQQ este deschisă
Teorema 2. Mulţimea olomorfă în D .
şi funcţia
0
f (z) 0
este
0
1°. P e n t r u prima afirmaţie este destul să considerăm un a e AQQ şi f i e y * ( ) = l i m f(z) = X # oo. D e c i fiind dată o vecinătate F , există o vecină0
a
x
*-»<x
tate V astfel că w = f(z)s F cînd ze V f] D (mulţime ne v i d ă ) . Dacă a nu este interior lui D , orice V conţine un punct fie A — AQQ, unde l i m f(z) a
x
0
a
a
nu există, cazul în care această l i m i t ă ar fi oo fiind evident exclus. D e c i , în virtutea teoremei 1, există puncte ze V f] D (într-o vecinătate V$) pentru care w = f(z)$V . Această contradicţie arată că a e i n t D şi D este deschisă. 2°. R ă m î n e să arătăm că f (z) este olomorfă în orice a e AQQ. După c u m am văzut există un cerc C de centru a şi conţinut în D . După teorema 1, există un punct z e i n t C, unde f(z) este olomorfă, şi deci un cerc T d e centru z şi cz int C, în care şi pe care f(z) este olomorfă. P e de altă parte, fo(z) este olomorfă în int C şi pe C, cu excepţia unei m u l ţ i m i de măsură nulă şi este continuă în tot acest domeniu închis. A t u n c i teorema lui Cauchy este aplicabilă şi a v e m ( § 7 4 , observaţia 3) a
x
0
0
0
0
0
0
.c t — z
.V
0
t — z
Jr
0
t — z
0
(Se poate aplica şi teorema lui Morera.) A s t f e l 9
( ) = -LC
Mţ)JL
Z
27T1
Jc
=
m
Î
N
D
N I N T
c.
t — z
Or,
0
0
0
428
Observaţiea 3. î n cazul cînd AQQ este o curbă Jordan rectificabilă putem e v i t a recursul la generalizarea teoremei lui Cauchy d e care ne-am servit. Cum AQQ este un continuu, se v a găsi într-o componentă D' a mulţimii des chise D = AQQ (J D. D a c ă AQQ este o curbă închisă, ea împarte D' în două 0
Q
0
d o m e n i i : D' = D" \j D"' a v î n d pe AQQ în frontiera l o r ; dacă ^4oo extremităţi distincte, le v o m uni cu fr DQ şi v o m împărţi de asemenea D' în două domenii a v î n d pe AQQ în frontiera lor. f(z) este olomorfă în D" şi £ > ' " . F i e acum a e ^ o o (fig. 97). V o m uni printr-o transversală JEL" c D" două puncte (accesibile) p " , y " din AQQ, de o parte şi de alta a lui a şi de asemenea v o m uni printr-o transversală £ " c: D'", puncte Ş'", y'" analoage. Teorema 0
a
r
e
0
Fig. 97 lui Cauchy, aplicată curbelor _|_
Jordan
= C"*, ne dă integrale
Jordan închisă: C = £"
U
închise
11
Jl
a căror sumă
+ f y ^ =
U p"P"' U y ' V
2m Jc
t
C",
este integrala şi
pe
+ curba
avem
=/(*)
—z
cu z în int C" sau în int C " (una din integralele pe C " , C " este nulă şi cealaltă f(z)). D e aici înainte se v a conchide ca m a i sus. Observaţia 4. Domeniul de olomorfie D al funcţiei f nu m a i poate fi lărgit prin aceeaşi operaţie (care ne-a condus de la D la D ). Căci dacă există l i m / o , există a fortiori l i m / (relativ la D) şi deci a e D . 0
0
0
0
Să r e ţ i n e m : Dacă există una din Urnitele l i m / , l i m f , 0
există şi cea-
laltă şi ele sînt egale. N a t u r a şi distribuţia punctelor singulare joacă un rol fundamental în studiul funcţiilor uniforme. Cu ajutorul lor se pot caracteriza diverse clase d e funcţii. O clasă importantă este aceea a funcţiilor întregi. Sînt numite astfel funcţiile uniforme olomorfe în tot planul, la distanţă finită. a ) D e z v o l t a r e a tayloriană în O este v a l a b i l ă , pentru o funcţie întreagă în tot planul: (5) T o t această dezvoltare, minus a , este partea principală a funcţiei în punctul co. b) funcţiile întregi se clasifică după natura punctului co, î n : 0
constante, co punct regulat, polinoame, co p o l d e ordin egal cu gradul polinomului, transcendente, co punct singular esenţial. A i c i este implicată t e o r e m a : T e o r e m a 3. O funcţie uniformă, care nu are altă singularitate pol de ordin m la co, este un polinom de grad m (Liouville).
decît un
429
î n t r - a d e v ă r , dacă P(z) este partea principală la oo — p o l i n o m d e g r a d m — p u t e m scrie f(z) = P(z) + G(z), unde G(z) este o funcţie întreagă, regu lată şi la oo, deci o constantă ( d u p ă p r i m a t e o r e m ă a lui L i o u v i l l e ) . c) O funcţie întreagă periodică este transcendentă ( d a c ă nu este constantă) î n t r - a d e v ă r funcţia luînd o aceeaşi v a l o a r e pentru o infinitate d e v a l o r i z, nu p o a t e fi un p o l i n o m . Exemplul
2. e"*, sin z, cos z sînt
transcendente. (e)
d) D a c ă g(z) este o funcţie întreagă neconstantă, e* este o funcţie în treagă transcendentă. Deoarece e olomorfă pentru orice z finit şi nu p o a t e fi un p o l i n o m , deoarece nu are nici un z e r o . Reciproc:
Teorema 4. 0 funcţie întreagă J(z) ce nu are zerouri, se poate pune sub forma J(z) = e* *\ unde g(z) este întreagă. t'(z) (
Să considerăm funcţia
J
v
1
= h(z); ea este olomorfă în tot planul finit
}{*) ( î n t r e a g ă ) . P u t e m scrie
h(z) dz = l o g f(z) - l o g f{0) = l o g S(0) cu determinarea care se anulează î n 0, căci integrantul a d m i t e funcţia p r i m i t i v ă l o g / ( z ) , care este definită de-a lungul unei curbe d e la 0 la z; l o g f(z) este o determinare urmărită prin continuitate, plecînd d e la determinarea iniţială a lui l o g f(0). U r m e a z ă / ( z ) = e'<*>,
unde
g(z) = f h(z) dz + l o g J{0) •o
este o funcţie întreagă, deoarece h(z) este întreagă. e) }(z) fiind o funcţie întreagă neconstantă, să considerăm JH(r) = m a x \f(z)\; JH(r) —>oo crescînd, c î n d r —*oo. Că JH{r) este crescătoare
=
rezultă i m e d i a t d i n principiul m a x i m u l u i modulului (cf. § 84, t e o r e m a 6 ) . D a c ă afirmaţia n-ar fi adevărată, adică JH(r) —> M ( f i n i t ) , a m a v e a JH(r)^M pentru orice r şi \J(z) \ < M pentru orice z f i n i t ; atunci f(z) = const., după teorema lui L i o u v i l l e . M a i m u l t , JH{f) —•oo m a i r e p e d e pentru o funcţie transcendentă decît pentru un p o l i n o m , iar pentru un polinom d e g r a d m m a i r e p e d e decît pen tru unul d e g r a d <m. într-adevăr, dacă f şi g sînt p o l i n o a m e d e g r a d e n> p, a v e m \f( )l§(*) \ ~* Pentru z-+ oo. D a c ă JH (r) = / ( z i ) şi JH (r) = g(z ), avem 1/(^2)7^(^2) I < JH (r)IJHg(r) —• 00 pentru că p r i m u l m e m b r u —• 00. P e n t r u a demonstra p r i m a afirmaţie este destul să d o v e d i m că, / fiind transcendent, Jt (r)\JIL (f) —• 00 pentru g = z , adică JH {r) = r™. Aceasta înseamnă, că dîndu-se A > O, există R > O aşa că z
0
0
f
g
2
f
m
f
g
9
m
JH (r) > Ar f
pentru r > R.
î n cazul contrar, v a exista un şir JR < r
x
JH (r ) f
430
q
< Ar?.
< r
2
< ... < r
q
< ... astfel că
Dar
atunci v o m a v e a (pentru r > 1) în ( 5 ) q
\a \
<
M
n
fv
%
2
P{Z)
Consecinţă. Dacă o funcţie întreagă f(z) satisface, pentru \z\ > R (fix), inegalitatea \f(z)\ < |
singu
larităţi
k
k
k
decît oc*. Funcţia f(z) —
z
Y^jPk( )
e s
^
e
punct şi oo), Gauss
olomorfă în orice punct care nu este pol.
k într-un p o l Qn a v e m Hz) = P (z) +G (z), q
q
q
unde G (z) q
este olomorfă în <x ; q
deci funcţia f(z) — 22P*{z) = G (z) — ^Pjc(z) este olomorfă în toţi oc*, toţi termenii din m e m b r u l al doilea fiind astfel. Ori, această funcţie fiind olomorfă în t o t planul lui Gauss, este o constantă C (după prima teoremă a lui L i o u v i l l e ) şi astfel f(z) = C + ] T } P * ( z ) este o funcţie raţională. b) Observaţii: 1. P ă r ţ i l e principale ale polilor unei funcţii raţionale apar î n descompunerea ei în fracţii s i m p l e : Y(z)
V
'
[ ar-cfc
Lz -
<x
J
h
(z
- «J* J
P o l i n o m u l P(z) (care nu este o constantă cînd gradul lui
2. O funcţie m e r o m o r f ă transcendentă p o a t e avea un număr finit de poli, sau o infinitate; în al doilea caz polii c o n v e r g către oo (neputînd a v e a alt punct l i m i t ă ) . O funcţie meromorfă periodică (neconstantă) nu p o a t e fi decît transcen dentă (pentru că ia o v a l o a r e d a t ă în oo puncte, contrar funcţiilor r a ţ i o n a l e ) . 2
Exemplul 3. R(z)e este o funcţie meromorfă, dacă R(z) este raţională (poli in număr finit); ctg z de asemenea are o infinitate de poli (z = kn —• oo). c) O funcţie se zice meromorfă într-un domeniu închis 3), dacă este meromorfă într-un domeniu §> z> şi are toţi polii în â) (deci este olomorfă pe fr §>). O asemenea funcţie nu p o a t e avea decît un număr finit de poli în 3). x
d) D i n ultima observaţie de la § 87 reiese că derivata unei funcţii m e r o morfe este de asemenea m e r o m o r f ă şi are aceiaşi poli, cu excepţia punctului oo cînd acesta este p o l simplu al funcţiei d a t e . d') O funcţie raţională de funcţii m e r o m o r f e este de asemenea m e r o morfă. D e exemplu, dacă f(z) şi g(z) sînt m e r o m o r f e , tot aşa sînt f(z) + g(z), j(z)g(z) şi l/f(z)', în primele două cazuri funcţia considerată are cel m u l t polii funcţiilor f(z) şi g(z); în ultimul ea are ca poli şi zerourile lui f(z). e) Principiul de identitate a funcţiilor olomorfe într-un domeniu se aplică şi funcţiilor m e r o m o r f e . î n t r - a d e v ă r : F i e f(z), g(z) m e r o m o r f e în 3) şi egale într-o m u l ţ i m e de puncte care a d m i t un punct l i m i t ă a din £). P u t e m scrie într-o vecinătate V a
J
'
p
6
(z-a)
'
( z - a)
9
unde q>(z), ty(z) sînt olomorfe şi nenule î n a; deci dacă punctul a este regulat pentru / , se v a lua p = 0. A v e m (* -
-
(z -
«)'+(*) = 0
pe mulţimea dată, şi deci primul m e m b r u fiind o funcţie olomorfă, este iden tic unul în V . Astfel f = g î n V şi în tot domeniul ® , unde f şi g sînt amîndouă olomorfe (conform aceluiaşi principiu). într-un p o l oarecare fi al unei funcţii, j şi g au aceeaşi limită, deci fi este p o l pentru amîndouă (deoarece J = g într-o vecinătate V$). M a i mult, fi are acelaşi ordin pentru ambele funcţii, căci dacă de exemplu (z — fi) j(z) are o l i m i t ă finită şi diferită de zero (adică fi are o r d i nul p pentru / ) , aceeaşi Urnită o are şi (z — fi) g(z). A ş a d a r : a
a
p
p
O funcţie m e r o m o r f ă într-un d o m e n i u este determinată prin v a l o r i l e pe care l e ia p e o m u l ţ i m e de puncte a v î n d un punct l i m i t ă în acel domeniu. Observaţie. Acelaşi raţionament arată că, principiul de identitate se poate aplica şi la două funcţii uniforme oarecare, cel puţin una din ele a v î n d numai singularităţi izolate în domeniul 3), cu condiţia ca mulţimea de puncte în care funcţiile sînt egale să aibă un punct Urnită regulat sau p o l . Teorema 6. Dacă z este un punct regulat sau singular izolat al unei funcţii uniforme f(z), cercul de convergenţă (exterior în cazul al doilea) al dezvoltării Taylor sau Laurent în jurul punctului z este acela care trece prin punctul singular cel mai apropiat de z . 0
0
0
432
într-adevăr, dezvoltarea este sigur v a l a b i l ă în acest cerc C ; dacă ar fi valabilă într-un cerc C m a i mare, ea ar reprezenta o funcţie
Teorema 7. Dacă o funcţie meromorfă într-un domeniu §) are derivata nulă în acel domeniu, ea se reduce la o constantă. F i e A cz 3) un domeniu simplu conex, în care f(z) este olomorfă. A v e m în A
O-p'fld* adică f(z) = C', din cauza principiului identităţii, această relaţie este a d e v ă rată în tot domeniul dat â).
§ 89. Metoda reziduurilor şi aplicaţiile ei 1. F i e f(z) o funcţie uniformă şi a un punct regulat sau singular i z o l a t ; deci f(z) olomorfă într-o vecinătate V — a. Se numeşte după Cauchy, rezi duul funcţiei în punctul a: a
integrala fiind luată pe un ceic y c V şi de centru a, în sens direct faţă de a. R e z i d u u l nu depinde de alegerea cercului y în aceste condiţii, întrucît dacă y ' este un alt cerc de acelaşi fel, f(z) este olomorfă în coroana dintre a
y şi y ' , şi a v e m V / d 2 r = V f dz (teorema lui Cauchy). Este de asemenea uşor de v ă z u t că cercul poate fi înlocuit prin orice curbă simplă, închisă şi rectifi cabilă, care înconjoară punctul a şi este conţinută în V . Se v a compara această curbă cu un cerc y conţinut în domeniul determinat de curbă, în care se ală a. Definiţia se aplică şi punctului o o ; cercul y v a fi atunci un cerc de centru 0 în V , parcurs în sens indirect faţă de O (adică direct faţă de oo). N u se defineşte reziduul pentru puncte singulare neizolate. Denumirea de reziduu ( = rămăşiţă, diferenţă) v i n e de la faptul că Cauchy a
m
considera diferenţa a două integrale luate p e arce z ţz z&'zx ale unei curbe y ce înconjoară punctul a; evident, această diferenţă este egală cu integrala luată p e y . 0
Calculul
lt
reziduurilor
2. P e baza noţiunii de reziduu Cauchy a creat o m e t o d ă de calcul şi investigaţie care are numeroase aplicaţii în teoria elementară a funcţiilor uniforme. N e v o m opri m a i întîi asupra calculului reziduurilor. într-un punct regulat, la distanţă finită, reziduul este nul, în virtutea teoremei lui Cauchy. '2?> — T e r n a furcţiilor -— c. 1275
433
F i i n d dat un punct singular izolat a, la distanţă finită, să considerăm dezvoltarea Laurent corespunzătoare:
— oo
Formula ce e x p r i m ă coeficienţii a
n
«-1 =
ne dă pentru
n = —1
^ / ( * ) d z ;
a v e m deci (7)
#(a) =
î n punctul oo, regulat sau singular izolat, a v e m de asemenea o d e z v o l tare Laurent, /(z)=i>„z», — oo
a i cărei coeficienţi se e x p r i m ă prin aceeaşi formulă, integrala fiind luată în sens direct. Cum în definiţia reziduului această integrală este luată în sensul indirect, a v e m (7')
«(oo)
=
în rezumat: T e o r e m a 1. Reziduul
într-un
punct
singular
izolat
a la distanţă
finită
este egal cu coeffcientul
lui —-— din dezvoltarea Laurent; iar în puncttU oo z — a este egal cu coeficientul lui l / z al dezvoltării Laurent, luat cu semnul schimbat. P u t e m deci avea reziduu diferit de zero la oo, chiar dacă acest punct este regulat (căci a_ aparţine î n acest caz părţii regulate a d e z v o l t ă r i i în serie de p u t e r i ) . 3. A v e m pînă acum două m e t o d e generale pentru calculul reziduurilor: x
a) evaluînd integrala ( 6 ) ; b) căutînd coeficientul a_ din dezvoltarea în serie d e puteri în jurul punctului considerat. î n afară de acestea, în cazul unui p o l la distanţă finită, ne p u t e m folosi d e următoarele m e t o d e particulare: x
m
c) dacă a este un p o l d e ordin m, (z — <*) f(z) este olomorfă în a şi coefi m
1
cientul lui (z — a ) ~ din dezvoltarea T a y l o r a acestei funcţii este e v i d e n t coefi cientul lui — - — din dezvoltarea Laurent a funcţiei f(z). z — a
<«)
Deci
K* - «)•/(*)]}
«(«) = j-^-rr. {m—l)\\dz
ml
J,^„
sau sub o formă uneori m a i c o m o d ă : <»')
« ( « ) = ^ - ^ l i m SK* (m — 1 ) ! *-*<x dz" 1
434
1
arm-
E s t e d e observat că în ( 8 ) nu p u t e m aplica regula d e derivarea p r o d u m
sului (z — <x) J(z) (regula lui L e i b n i z ) pentru z = a, fiindcă J(z) nu este o l o morfă
în
a.
Exemplul
1. Pentru funcţia /(*) =
cu 9(2) olomorfă si diferită de zero în z = a> (2—
avem
(8),92(a)=
a)
m
1
î 9(«- )(a). (m - 1)!
d) î n cazul unui p o l simplu a v e m î n (9)
« ( a ) = Km (* -
particular: «)/(*)
e) D a c ă / ( z ) este olomorfă şi diferită de z e r o î n a, iar g ( z ) are un p o l simplu în a, l s
(10)
«„(a) =;(«)#,(«) ).
Căci
lim (z — <x)/g = l i m J • l i m (z — a)g = /(a)tf?,(a).
f)
D a c ă g ( z ) are un z e r o simplu î n a,
(11)
« * ( « ) =
-77T»
deoarece lim ~«
=lim * ~ « gfr)-g(*)
g(z)
* g'(<*)
* —a Ţ i n î n d seamă d e (10) urmează
«,/,(«) = 4T*
(6)
unde / ( ? ) este olomorfă iar g ( z ) are un z e r o simplu în a. Exemple, 2. / = l/sin z are ^o/u z = kn şi aplicînd l
KM-
—
(11), avem
=(-!)*•
COS A7C
3. /(*) cînd (12)
s= cotg z are polii simpli z = hz (care sînt zerouri simple ale lui sin z); avem apli
W
_
C Q S
_ 1.
COS (fat)
15
> se aplică şi cînd a = oo. 439
4. M e t o d a reziduurilor se bazează p e teorema următoare, care nu este decît o aplicaţie imediată a teoremei lui Cauchy: Teorema reziduurilor. Dacă funcţia f(z) are un număr finit singulare oc într-un domeniu §) limitat de curba simplă, închisă şi C, şi este olomorfă pe această curbă, atunci k
(13)
dz =
de puncte rectificabilă
2 m Ş
curba C fiind parcursă în sensul pozitiv faţă de domeniu, şi suma din al doilea întinzîndu-se şi ta punctul oo cînd acesta face parte din ®.
membrul
r Fig. 98
Să scoatem din domeniul considerat 3), cercuri y de centre cc , atît d e m i c i încît ele să fie conţinute în 3) şi să nu aibă puncte comune. Dacă D este domeniul rămas, j(z) v a ti olomorfă în Z>. Domeniul ® fiind presupus m a i întîi mărginit (interior curbei C), v o m putea aplica teorema lui Cauchy pen tru domenii multiplu c o m p l e x e : k
k
\ f ^ = T \ /dar, unde C este parcursă în sens direct faţă de â) iar y în sens indirect faţă d e ® , deci direct faţă de oc ( v e z i fig. 9 8 ) . A v e m deci, după ( 6 ) formula ( 1 3 ) . Dacă domeniul 3) nu este mărginit, el conţine punctul oo (acesta nu poate fi pe curba C, care este rectificabilă şi deci mărginită. T e o r e m a Cauclry nu poate fi aplicată domeniului D (pentru că ea presupune un domeniu m ă r ginit). Să ducem însă un cerc T d e centru O, care să cuprindă în interiorul său curba C şi cercurile y ; curbele C, y şi T v o r limita un domeniu m ă r g i n i t în care f(z) este olomorfă şi v o m a v e a : k
k
k
k
dacă curba C şi cercul T sînt parcurse în sens indirect (direct faţă de oo ( v e z i fig. 9 8 ) ) . Cum f(z) este olomorfă în exteriorul cercului T , cu eventuala excepţie a punctului oo, —
V / d * = rg(oo) şi astfel formula (L3) rămîne v a l a -
27ii J r
bilă, cu condiţia de a lua în m e m b r u l al doilea şi reziduul punctului
oo.
Observaţie. T e o r e m a rămîne v a l a b i l ă dacă frontiera C a domeniu lui 3) se compune din m a i m u l t e curbe simple, închise şi rectificabile. 436
D a c ă }{z) este o funcţie întreagă, funcţia j(z) c o t g s are aceiaşi p o l i la distanţă finită, cu r e z i d u u l J{kn)} se aplică ( 1 0 ) . Exemplul 4. Dacă f(z) este o funcţie întreagă, C este o curbă care conţine în interior numai punctele z = 1, 2 , n , atunci £
fW = [ / « c t g iwdr.
Se aplică (13), (10) şi exemplul 3. Teorema 2. Suma reziduurilor unei funcţii uniforme cu un număr jinit de singularităţi (în tot planul) este egală cu zero. Aceasta se o b ţ i n e aplicînd t e o r e m a precedentă exteriorului unei curbe aleasă astfel ca p e ea şi în interiorul ei funcţia să fie olomorfă. z
e* Exemplul 5.
are polii simpli 2kn cu R(2kn) = — i. e — 1 în exemplele 2, 3, 5, oo este punct limită de poli; pentru un asemenea punct singular nu se defineşte reziduul. Exemplul 6. Să considerăm funcţia raţională f(z) =y(z)lty(z). Vom aplica teorema precedentă funcţiei y(t)j{z—t)ty(t), unde z este diferit de rădăcinile a , <x ,... ale lui <]>. Funcţia are polii t—z simplu şi a 0C2, ••• de multiplicităţi p p , ... egale cu multiplicităţile lor ca zerouri ale lui i\> (dacă presupunem că 9 şi ^ sînt relativ primi). Avem 92(*)= —y(z)lty(z) (aplicăm (12)). Pentru a calcula ^ ( a j vom forma dezvoltarea i2
x
lt
v
-L- = z — t
m
2
2
_ _ ! _ + ! - ! . + ....
i
2
z — a — {t — OLJ) z — OL x
=
P
i (
* -
x
« j +
-5sa. + ... + t-on
(z—aj 6l
-\
(t-
.
«o*
deci
în * = 1 / - z
1
*
t + — t + =— 2
f{t) = P ( l / / ) + ^ + ... + ^
te
= m - n),
deci 9^(00) = C ^ T . . . +
Astfel, teorema precedentă ne dă
-îW- =
v
+ ... + V + - ^ i .
ty(z)
z —a
+
... + _ 5 L > _ ^ (z — a )
x
+ P l
_ ^ L .
... +
+
2: — <x
x
2
+ ... (2 — oc r
8
2
Care este tocmai descompunerea funcţiei raţionale în fracţii simple. z
Exemplul 7. în punctul 00 funcţiile e , sin z, cos z aw reziduul 92(oo) = 0. Mat general o funcţie întreagă are reziduul 92(oo) = 0. Funcţia l/z e are reziduul 92(oo) = — 1, căci dezvoltă rile Laurent in acest punct sînt 2
0 0
n
z
e* = £ — . o n! Funcţia
e /* = V o 1
1 1 _ e * - - + 1 + ... 2
z
are 92(0) = 1, 92(oo) = - 1 .
n\z* 437
Generalizare a teoriei reziduurilor. Fie f(z) olomorfă într-un domeniu €> de conexiune finită, cu excepţia unui număr finit de puncte singulare at* din §>; C fiind o curbă închisă şi rectificabilă (nu necesar simplă) din 3) —y^g , fc
avem \ f(z)ck =
<6')
E
+
unde
h
singulare.
(Punctul co nu se consideră în acest enunţ printre punctele a*).
Aplicaţii
la calculul
integralelor
5. T e o r e m a reziduurilor în condiţiile precizate se aplică în m o d direct
l a calculul integralelor p e curbe închise, reducîndu-1 la un calcul d e reziduuri, f
dz
8. I = V JC JC
Exemple
1 1
-t+ *
» C fiind
4
elipsa
%
F(x, y) = x — xy + y* -f x + y = 0. Integrandul are ca puncte singulare polii simpli a
=
cos
* +
2
k
K
l z
+ i sin
+
2
k
K
* V
=
4
4
+ i5 ) unde ^ 2
± 1.
-
± 1;
2
pentru aceste puncte p
a
1_ ^
=
_j_ ^i + Sa
2
2
V"
şi avem F < 0 numai pentru $ = $ = — 1- Astfel, aplicînd (12): t
2
4a
3
2
2^/2"
(*27t
9. J =s V /(cos 0, sin 0) d0, / fiind
o funcţie
raţională.
JO
Exprimînd cos 0, sin 0 prin exponenţiala z — e& (de unde dz = iz d0), obţinem / = \
C cercul \z\ = 1
•cu 9(2) funcţie raţională. Aplicaţie
10
/ = C j
0
27r ( 1
+
C
°
S e ) > >
C
°
S n
Q
d0
a + b cos 0
n întreg, a > b reali, a > 0 şi \b\ < a (această restricţie face integrandul Este avantajos să scriem
mărginit).
n
[2TC (1 -f cos 0) (cos M0 +. i sin n0)
Jo
d0;
a -f 6 cos 0
integrala adăugată este nulă |cum se v^de schimbînd 0 în 2TC — 0: ^
438
^
^
J'
Avem deci
i — M
c + D - *
2«-*i J
2
6(* + 1) + 2a*
c
2
2
— a + Ja — 6 ^ în cercul \z\ < 1 (căci a' fiind celălalt pol, b
Integrandul are polul simplu a = avem
2
2
2
a - V« - & a = 1
1
*>
< —•— \b\
\b\
Urmează aplicînd (12): _ _ T T _ ^ (tt + l ) I
a + V* -
7c
2 n =
2
2
,,x
,
=
ah. 1
, ;
2
(b - a 4 - V a -
2
Zr
2
6
~ 2 » ~ * 2(6a + a) ~ 2»-Vâ ~ & 1
j
11. Sa considerăm o integrală de forma I = \
/(cos 0, sin 0) d0
/ funcţie raţională. Exprimînd cos 0, sin 0 prin exponenţiale şi punînd e® = z, d0 = dzjiz, obţinem I
Jc C fiind cercul \z\ = 1. 2
r " Aplicaţie:
d0
I = I Jo
a + b cos 0
Obţinem dz 2
Oc fcr + laz + b I există numai dacă a/6 nu este real cu \ajb\ < 1 (cînd integrandul nu este mărginit în inter valul (0, 27r)). Atunci bz + laz + 6 = 0 are două rădăcini: 2
2
-a + V* -
.
&
6
1
2
- V* -
-a
oc
6
Este exclus ca |aj = 1. Deci o rădăcină va fi în C; dacă aceasta este a (adică |oc| < 1), avem 92
(a) =
s —. * 2(6a + a) 2
Va -
7
w/22
=
2 ? r
2
V« -
•
Iar dacă | a | > 1,
vom avea
6 2
b*
Joo
Avem
deci I = —.
Ija* - b*
j - p
12.
.
« a
JLf»» 4 Jo JO
d0 d Q
2
a 4 - sin
a>
ad0 2
0.
2
_ J.r2n q - i s i n Q 2
a 4 - sin 0
4J
2
0
d
2
a 4 - sin 0
Q
+
j ^ * 4J
i dn 6 2
0
d
0
>
2
a 4 - sin 0
sau, ultima integrală fiind nulă, _
1 f2yc
"" 4 J
0
dO
lf
dz
a 4 - i sin 0 ~~ 2i J - 1 + 2az+ z*' c
43»
C fiind cercul \z\ = 1 (vezi exemplul 11). Acest cerc conţine un singur pol al integrandului: a = —a + Ja* -f 1, cu reziduul 92(a) =
î = —. * — . 2(a + a) 2<ja* + 1
Astfel
2^/a* + 1 13
J —f J
să fie
2lt
0
n
( * + 2cos 8 ) cos n6 d0, 1 — r — 2r cos 6
— 1 < r < 1/3
(restricţia face ca integrandul
mărginit). I este partea reală a integralei 7 = - \
l
f
f
J
dz pe cercul
\z\ = 1
( 7 se obţine din / înlocuind cos n0 cu e»»0 = cos n0 -f sin n 0 ) . Dacă r # 0, ecuaţia (1 — r)z — r( 1 + z ) = 0 are două rădăcini 2
^ _
l -
- V(l + r ) ( l - 3 r )
r
o î
i
Şi
2r
. a
Deoarece — 1 < r < 1/3, aceste rădăcini sînt reale şi distincte. Una singură este în C (produsul lor fiind = 1 ) , şi anume a (pentru că are numărătorul pozitiv şi mai mic decît al celeilalte). Avem
qe unde
=
W
(i±«±«£: 1 — r — 2ra
1 — r — 2ra = V1 - 2r - 3r* şi din ecuaţia precedentă l
Deci 9e(a) =
;
/
1
+
—
a
V1 - 2r - 3r
2
4- s=
i - j - , - ^
a
|—j*.
- * - '
-
« .
Astfel 1 -
V 1 - 2r - 3r
1
a
r -
V1 - 2r - 3r* \ * 2r*
\
Pentru r = 0 se găseşte imediat f =: 2TZ = I, care este valoarea limită a expresiei pre cedente.
6. Cînd a v e m de calculat o integrală p e un arc de curbă C simplu şi 0
rectificabil, dar nu închis, p u t e m încerca să f o r m ă m o curbă închisă C U C 0
x
realizînd condiţiile teoremei reziduurilor astfel ca integrala p e C, să se poată calcula uşor sau să aibă o relaţie simplă cu integrala c ă u t a t ă ; în ultimul caz integrala cerută se v a determina
dintr-o
ecuaţie.
Integrala propusă p o a t e fi i m p r o p r i e , adică l i m i t a unei integrale propriu zise: V = l i m \ • A t u n c i şi arcul adăugat v a fi v a r i a b i l şi v o m putea calcula Jc c+c*Jc 0
integrala improprie dacă v o m cunoaşte Urnita V d i n domeniul
şi dacă
suma reziduurilor
3) (variabil) are de asemenea o l i m i t ă cunoscută; v o m a v e a : } dz = — l i m V / dz + 2 m l i m £ < % ( * ) . k
c
0
440
jc,
î n cazul cel m a i simplu, punctele singulare a* r ă m î n într-un domeniu mărginit şi curba C = C [) C le v a putea închide p e toate în tot cursul variaţiei sale; atunci C v a varia continuu şi £
±
k
x
Aplicaţiile de acest gen, cele m a i frecvente, se referă la calculul integra lelor improprii reale. Integrandul fiind
0
mai sus.
x
D e e x e m p l u în cazul unei integrale ^ y(x)dx,
improprie în x = 0,
•o se poate lua un contur de integrare de forma u r m ă t o a r e :
O r
o
-
o
^ Fig.
a
-
o
r
a
99
unde r —• 0 şi R —> oo ( v e z i f i g . 9 9 ) . P e n t r u ca m e t o d a să reuşească v a trebui să p u t e m calcula, sau să p u t e m e x p r i m a cu ajutorul integralei propuse, inte gralele referitoare la partea C± a conturului, respectiv limitele acestor inte grale. f*co
î n cazul unei integrale V y(x) dx, improprie la ambele limite, v o m lua Jo un contur d e forma precedentă, unde v o m face r - > 0 şi a - > oo. Dacă inte grala nu este improprie în x = 0 nu v a fi nevoie să e x c l u d e m puntul z = 0 din contur, decît dacă el este singular pentru funcţia/(2r) aleasă (vezi fig. 100).
Fig.
100
T o t aceste contururi convin şi pentru o integrală V
J—00 rR
la ambele l i m i t e ; în acest caz m e t o d a ne dă limita integralei V
y{x) dx, deci
nu ne asigură că integrala improprie există (în acest scop trebuie să existe limita ^ stabilită
9 dx cînd R->oo
şi R' - > 00 i n d e p e n d e n t ) ; existenţa ei v a trebui
direct. 441
Exemplul 14. 0 0
cos ax
dx
(a real).
ch nx
0
cos az
i z — (2k + 1) — . Pentru ch nz 2 a evita considerarea unei serii de reziduuri (care de altfel este divergentă), vom alege conturul din figura 101, unde i? - + oo. Vom lua f(z) =
Această funcţie are polii simpli
t
i
»
2
-~R
0 Fig.
101
Pe latura z = R + iy
(0 < y < 1) {e-°y + e«y) dy
i f
cosa(/? + iy)
l
d
Ifl
!a(*+iy) +
dy\ < + e-™(*+iy) I -\a(R+\y)
ee*
(
w
e * — e-**
e
(S-a întrebuinţat teorema 7 din § 73). L a fel pe latura z = — R + iy (0 < y < 1). Rămîne
J*
* cos ax J
0
ch nx
cos a (i + #)
Jo L
7C 7r#, cos
Observînd formulele
obţinem
cos a (i — x) '
ch w (i +
ch
ch n(x ± i) = — ch
(i -f * )
ch
7r
(i — * )
a(# rt i) == cos ax ch a =F sin a# sh a,
dx —* 2ni 2 ( 1 + ch a)V l ch nx Jo 0
în sfîrşit ch
7ish
Aşadar
—
7U sh
ch
— 7T1
2ch — 15. Sdt se calculeze f 00 A = 1 e-^ Jo
2
0 0 8
2
20 cos ( * sin 20) dx
0 < 0 < 1
J, = f ^ e - * cos 20 gin (*a ^ Jo
20) d*
8
Se observă că integranzii din I şi —J sînt partea reală şi cea imaginară a funcţiei e~* „ pe semidreapta z = #(cos 0 -f i sin 0) (0 < x < oo). Această funcţie fiind olomorfă în tot pla nul la distanţă finită, vom folosi conturul din figura 102, cu R—• oo. x
442
2
Pe arcul de cerc z = R (cos 9 -f i sin 9 ) (0 < 9 < 0) avem (teorema 7 din § 73).
1^
e-»*d2
< R^
R
e~
d
e
/ d
9
=
v
— ^ e
*'-e
*
J-*0
(
deoarece 0 < — I«
Fig. A m aplicat
103
inegalitatea sin 9 >
|
0
<
<
P
<
* ^ j '
care ne da 29 = sin ^
- 29 J > ^ - 9
^0 < 9 < ^ j .
Ea exprimă că aria sectorului de deschidere 9 a cercului de rază 1 este mai mică decît aria para lelogramului construit pe razele ce limitează sectorul. O inegalitate mai precisă este sm 9 > —9 w
10 < 9 < — I • l 2)
Aceasta spune că lungimea de arc 29 pe cercul de rază 1 este mai mică decît lungimea semicer cului descris pe coarda acestui arc ca diametru (vezi figura 103).
r—fx
Cunoscîndu-se I e~ * dx —
, avem
rco I e-rf'K'Olcos ( * sin 20) - i sin (x sin 20)]eW dx 2
2
Jo
de unde, separînd realul de imaginar i^cos 0 -f J,sin 0 =
i^sin 0 — J cos 0 = 0, 2
Pentru 0 = 7r/4 obţinem integrala lui Fresnel: \ cos x dx = 1 sin x dx = Jo Jo 2
7. c ă t r e un
2
,
•
4
Cu p r i v i r e la l i m i t a unei integrale l u a t ă p e o curbă variabilă t i n z î n d punct sau
îndepărtîndu-se la
0 0 , se pot
formula unele criterii apli
c a b i l e în m u l t e cazuri. 443
A. Fie C(R) un arc de cerc de centru O, deschidere constantă 0 şi rază R tinzînd la oo în mod continuu sau discontinuu; f(z) o funcţie olomorfă pe arcele C(R). Dacă l i m zf(z) = X pe arcele
C(R),
atunci (13)
l i m [ f(z) dz = i0X. Jc — X| < e/8 pentru R = \z\ > p ( c ) .
P r i n ipoteză \(zf)
c
Dacă pe arcul C(R) a v e m z = Re'* ( 0 i < cp < 0 ) — unde 0 — 0 == 0 — putem scrie 2
IC f( ) z
dz -
= I if'
i0x|
Uc
I
I
(zf-
X) d c
2
<°i=<
9
Jo,
pentru R > p ( e ) , ceea ce demonstrează
X
afirmaţia.
Observaţie. î n cazul cînd C(R) este un arc de curbă rectificabil oarecare, depinzînd de parametrul R şi v ă z u t din O sub unghiul constant 0, formula (13) subsistă cu condiţia suplimentară: \z\ > R pe arcul C(R). î n t r - a d e v ă r v o m avea \ zf(z) — X| < e/0 pentru \ z\ > p(e) şi z p e arcele C(R), deci | (zf) — — X| < e/0 pentru R > p(e), p e arcul C(R). c
Se m a i poate v e d e a că, în cazul cînd X = 0, este
destul ca unghiul 0
să fie mărginit (celelalte condiţii fiind m e n ţ i n u t e ) . î n unele cazuri, în care extremităţile arcului de cerc C(R) variază p e două semidrepte fixe arg z = 0 , 0 , se poate întîmpla ca X
2
l i m zf(z)
să nu
2->0O
existe multe limita reală.
decît dacă excludem din unghiul celor două semidrepte unul sau m a i unghiuri arbitrar de mici în jurul unor direcţii excepţionale, p e care nu există. Aşa este cazul funcţiei e , cu direcţiile excepţionale pe a x a Pentru asemenea cazuri a v e m criteriul u r m ă t o r : iz
B . Fie C(R) un arc de cerc de centru O, ale cărui extremităţi
descriu
rile unui unghi de deschidere 0 şi a cărui rază R - > oo, continuu sau f(z) fiind Dacă 1°
olomorfă
pe arcele
latu
discontinuu,
C(R).
l i m zf(z)
= X
pe arcele
C(R)
R->co
cu excepţia unor unghiuri finit, şi
arbitrar de mici, în jurul
unor direcţii fixe,
în
număr
2° există un M > 0 astfel că \zf(z)\ începînd
de la un R suficient
^ M
pe arcele
C(R)
de mare, atunci este valabilă formula
(13).
E v i d e n t este destul să considerăm cazul cînd în unghiul dat 0i < 9 <
0
e
a v e m numai o direcţie excepţională c p = 0 . F i i n d dat s > 0 , fie Y J =
•
2
0 + M + lX| 444
2
Condiţia 1° este satisfăcută în unghiul 0i < 9 < 8 — Y] şi v o m avea 2
I (*/)c -
* | < *î
Pentru R > p(e).
Deci, ca m a i sus, I C f( )
dar—Î6XI < I
z
IJc
I
i>(8 -
<
- *)c d? I + 1 P
V
I Je»
I
+ l ( M + 1*1)
TQ)
1 Je 8 -
YÎ(6
<
( * / - X)
c
d
7j
9
<
+ M + | X | ) = -e
pentru i? > p(e), ceea ce demonstrează formula (13). P e n t r u arce care tind spre un punct, a v e m criteriile următoare, care se demonstrează
tinzînd
la f e l :
A'. Fie C(r) un arc de cerc de centru OL, deschidere constantă la 0; f(z) olomorfă pe arcele C ( r ) . Dacă
8 şi rază r
l i m zf(z) = X pe arcele C(r) atunci (14)
l i m [f(z)dz
= i6X
B'. Fie C(r) un arc de centru a, ale cărui extremităţi unghi de deschidere 0 şi a cărui rază 1°
r -> 0; f(z)
descriu laturile
unui
olomorfă pe arcele C(r). Dacă
l i m zf(z) = X pe arcele C(r) i->0
cu excepţia unor unghiuri finit, şi
arbitrar de mici, în jurul
unor direcţii fixe,
în
număr
2° există un M > 0 astfel că z
z
\ f( )\ începînd
< M
de la un r suficient
pe arcele C(r)
de mic, atunci este valabilă formula
(14).
dx.
o
*
Integrandul este partea imaginară a funcţiei — pe axa reală. Luăm f(z) z
— şi contuz
nil alăturat (fig. 104), cu R -+ oo (care evită polul z = 0). Alegerea lui f(z) are avantajul că există lim zf(z) pe arcul T, pe cînd această limită n-ar exista pentru funcţia R-+ao
S
m
Z
; apoi alegerea contu-
z
rolui are avantajul că ne va da încă o integrală reală. Pe arcul y parcurs în sens indirect zf(z) —• 1, deci V zf(z) dz —• —i— (criteriul A ' ) - Pe arcul T, zf(z) —• 0 cu excepţia direcţiei 9 = 0, dar Jy 2 12/(2)| = le * | = e- < 1 în tot cvadrantul I ; deci I zf(z) dz-* 0 (criteriul B ) . Cum nu avem 1
y
J
r
reziduuri, rămîne f o o e k
I
Jn
-
e
x
-
u
n
J
dx
=
. — 1 ,
2 445
de unde 0 0
Jo
*
2
cos # — e~
x
dx :
J.
7 a. Sînt cazuri î n care criteriile d e m a i sus nu duc la rezultat şi e s t e necesară o a p r o x i m a r e directă a modulului i n t e g r a l e i ; aşa a m făcut în e x e m plele 14, 15. I a t ă încă unul: Exemplul 16a. Fie f(z) o funcţie uniformă tn semiplanul superior închis, avînd un număr finit de singularităţi, dar olomorfă pe axa reală, şi astfel că f(z) —• 0 pentru z—>ooîn acel semi plan. Atunci [ e * * / ( * ) + e - * * / ( - * ) ] dx = 2irill9e;tab)
(a > 0),
Jo te
unde 2 este suma reziduurilor funcţiei g{z) = e° /(-?) în punctele superior (Markuşevici, „Teoria funcţiilor analitice." (p. 313).
singulare
z din k
semiplanul
Vom considera funcţia d**f(z) şi conturul din fig. 105. Vom arăta că % —•0. într-adevăr: Jr
| J
e»*«/(x) dz | ^ ^
(aplicînd teorema 7 din § 73). Prin ipoteză max \f(z)\ = 9#(i2) r
J ^ e«»*/W d*| <
e-*R
* | / ( J ? e » ) | R d?
0, deci
%n
/ 2
^ Re-** * * d? = 29^(1?) ^ / ? e - ^ sin ? d ţ <
f7r/2 -£-*
4
^ J — 0.
a
De aici deducem formula enunţată. Se va observa că criteriile A sau B nu ar fi dus la rezul tat : ze&*f(z) —• 0 cu excepţia unor unghiuri în jurul axei reale, dar nu se poate afirma că aceasta funcţie este mărginită în tot semiplanul superior. Se vede la fel că formula stabilită este valabilă şi în cazul cînd f\z) are un pol simplu în 0 (celelalte condiţii fiind menţinute). Dacă luăm în £ jumătatea reziduului acestui pol, vom modifica atunci conturul de mai sus excluzînd polul O cu ajutorul unui semicerc y de cen tru O şi rază r, pe cercul y vom avea lim z*0*f{z) = lim zf(z) = 92(0), f-> o f-> o de unde ^ —• 7tt92(0) şi trecînd acest termen în membrul I I obţinem formula de demonstrat. Ca aplicaţii avem: Dacă f(z) este o ftmcţie pară, f(x)
446
cos ax dx = 7cȣ ^ f o ) .
şi dacă f(z) este impară,
V° f(x) sin axdx
«
*£%(**).
Jo
*
Astfel:
f
0 0
V
sin ax
Jo
_
d* =
*
7T
— 2
(calculată de altfel în exemplul 16),
f
00
cos ax
V
Jo
AT» +
, e-<* dx = TI .
6»
2b
f \
00
# sin ax
,
7T
d* = — e Jo ** + 6* 2
„ . _ f l
*.
8. D a c ă f ( z ) este o funcţie multiformă, ^ / ( z ) dz se v a referi la o deter minare a funcţiei, fixată într-un punct iniţial şi urmărită prin continuitate de-a lungul curbei C, care nu trebuie să treacă prin vreun punct critic. î n cazul c î n d domeniul interior curbei C nu conţine puncte critice, acea deter minare v a fi o funcţie uniformă în ® (cum se v a demonstra m a i tîrziu — v e z i teorema m o n o d r o m i e i ) şi teorema reziduurilor se v a putea aplica. Să presupunem însă că domeniul ® conţine un punct critic z (fig. 106). P e n t r u a a v e a o determinare uniformă v o m putea scoate din ® un cerc y d e centru z şi o tăietură L unind un punct p de p e y cu un punct q de pe C; în domeniul rămas D , determinarea f i x a t ă în punctul iniţial q v a fi uniformă (pentru că în D nu p u t e m înconjura nici un punct c r i t i c ) . Să n o t ă m cu f(z) această determinare. V o m considera următorul d r u m d e integrare, care este frontiera domeniului D, p l e c ă m din q, pe curba C în sens direct, urmărind prin continuitate determinarea iniţială a funcţiei f(z); ne v o m întoarce în q cu o nouă determinare f (z) (pentru că a m înconjurat punctul critic z); v o m urmări apoi determinarea f (x) de-a lungul tăieturii qp şi m a i departe de-a lungul cercului y în sens indirect, şi ne v o m întoarce în p cu determinarea f(z) (pentru că a m înconjurat din nou punctul critic z , în sensul i n v e r s ) ; 0
0
x
x
0
în sfîrşit parcurgînd iarăşi tăietura pq (în sensul invers) ne v o m întoarce în q cu determinarea iniţială. P e drumul urmat, funcţia astfel definită este uniformă, dacă facem distincţie între marginea inferioară şi cea superioară a tăieturii pq, pe care funcţia ia valori în general deosebite, în acelaşi punct (după c u m parcurgem tăietura în sensul qp — p e marginea inferioară, sau pq — p e marginea superioară). V o m arăta că, deşi conturul domeniului D nu este simplu, teorema rezi duurilor i se poate a p l i c a :
(15)
C / d z + C / i d * - C / d z + C f d2r = 2 m 2 : « ( a ) fc
Jc
Jqp
Jr
Jpq
<x fiind punctele singulare, în număr finit, ale determinării fixate pentru func ţia f(z) în D. P e n t r u aceasta v o m face un raţionament asemănător cu acela folosit la demonstraţia t e o r e m e i lui Cauchy pentru domenii multiplu c o n e x e . k
447
Să ducem î n D o a doua t ă i e t u r ă p ' q ' între y şi C. Aceasta v a împărţi domeniul D în două domenii, D şi D , ale căror frontiere fiind curbe simple, le putem aplica teorema reziduurilor: x
C fdz
+ [
Jc,
[ x
/ d * - (
Jqp
fdz
fdz
+ [
Jy
/dz=27ril«(a ) 1
JY,
Jg'/>'
f
Jp'q*
2
/ d * - C / d * + (
+ [
»C,
unde C (15).
2
/dz=27ri2«(0.
J/»g
U C = C, yx U y = y . A d u n î n d aceste formule se obţine formula 2
Fig.
2
107
Fig.
108
Fig.
109
î n cazul cînd domeniul conţine m a i m u l t e puncte critice, se v o r scoate cercuri cu centrele în aceste puncte şi se v o r face tăieturi alese astfel ca în domeniul rămas să o b ţ i n e m o determinare uniformă a funcţiei f(z). Este clar că formula (15) se poate e x t i n d e şi la asemenea cazuri. Astfel, pentru două puncte critice p u t e m forma conturul de integrare în m o d u l arătat în figura 107. I a r dacă punctul oo nu este critic, putem lua şi conturul din figura 108. r oo
Exemple 17. I
f Considerăm \
a-i
x
D
=V
z
Jodz 1 +
a _ 1
A
* (° < <
x pe conturul din figura 109. Fucţia z*- = e ^ - ) 1
1
l o
«
z
are punctul
critic z — 0, pentru care motiv am ales conturul precedent. V o m considera determinarea ei care co:respunde la arg z=?0 pe marginea superioară a tăieturii. P e y , | z ~ \ = e ( ° > * = r a
şi
pentru
- 1
r
0 _ 1
0. P e T , | zf(z) |
0 . (deoarece a > 0 ) ; deci
\z f(z) | = •
l o
C R*- —• 0 pentru R —• oo (deoarece a < 1), deci V —> 0. în polul z = — 1, aplicînd 11 + *| Jr formula (12), avem de calculat valoarea determinării alese a lui z ~ pentru z— — 1. Ea corespunde la arg z = 7 T , care dă pentru log z valoarea irc, deci —
R
r —• 0,
Y
1
a
1
9 2 ( - l ) = eC"- )* =
-e
o T t
x
*.
în sfîrşit, observînd că pe marginea inferioară a tăieturii arg z=27r şi log * = l o g obţinem dx = -27ri e 1 + *
S
7
«>
0
448
a
1
x - dx 1 + *
1
27ri e* * e2airi _ i
O T t l
x+2ni,
18.
7 = 1 J-l
( - ! < / > < 2; /> # O, 1). 1 4- ** (1 -f z^-vn _ )v Vom lua f(z) = — şi vom integra pe conturul din figura 110. 1+ i Funcţia avînd numai punctele critice z = i 1 (00 nu este punct critic), acest contur permite separarea determinărilor lui f(z) în interiorul său şi chiar în tot planul, în afara tăieturii; vom z
8
Fig. 110
Fig. 111
alege pe aceea care este reală pe marginea superioară a tăieturii ( — 1, -f 1). în acest scop vom considera pentru (1 + z) ~ tăietura ( — 1 , -f 00) şi vom face să varieze arg (1 + z) de la 0 pe marginea superioară la 2TZ pe marginea inferioară; iar pentru (1 — z)P, tăietura ( + 1, -f oo) şi vom face să varieze arg (1 — z) de la — iz pe marginea superioară la -f 7T pe marginea inferioară (figura 111). (în felul acesta vom avea a r g / ( * ) = 0 pe tăietura (— 1, -f 1).) f(z) are polii simpli 2 = i i. în 2 = -fi, avem, după convenţia făcută, arg (1 -f z) = rc/4, arg (1 — z) = —7c/4, iar în z = — i avem arg ( 1 4 - 2 ) = 7w/4, arg (1 — z) = 7r/4. Deci 1
9e
( + i )
p
_ l ^ l ' - V - ^ V ^ ^ J ^ ' ' 2i
2i
-2i 92
( + i )
+
92(-i) =
2i
£.-»»• J
e ^
+
P
T >' -
= ^ e ^ ' sin
+
t~^
+
.
Apoi avem 2
lim {z -f l)f{z) = 0 deoarece | 1 + z «-•-l lim (z i->i
= r -* 1
l
0 (/> < 2 ) ;
1) / ( * ) = 0 deoarece | 1 — 2 j * * =* r * + —> 0
( / » -1).
Deci integralele pe cercurile de centre ± 1 tind la 0 cînd razele r —• 0. în ceea ce priveşte integrala pe cercul T, vom observa că determinarea considerată a funcţiei f(z), definită în tot planul la distanţă finită, cu excepţia tăieturii şi cercurilor de centre* i 1, este olomorfă în a*ara cercului | z | > 1. Modulul funcţiei zf(z) 1
z
l
( 1
rT7l7
1*1
p
\ ~ ( 1 + 1
)
(
7
- i ) | - i p « « " M - o o .
deci punctul 00 este regulat (funcţia fiind mărginită în vecinătatea sa) şi prin urmare există lim z f{z). Modulul acestei limite este 1, iar argumentul se obţine luînd de exemplu z = x > 1 *->co pe marginea superioară a axei reale: aici arg (l-\-z)*=0, arg (\—z) = —n, deci arg f(z) s=* —przi şi astfel lim zf(z) = e-***, «-•oo
23 — Teoria funcţiilor — c. 1275
449
,m!
şi V —• 27tie~ . Dacă notăm cu/(^),/ (^r) expresiile lui f(z) pe marginea superioară, respectiv 1
Jr inferioară a tăieturii (—1, 1) şi mai observăm că pe marginea inferioară a tăieturii (—1, + 1 ) , arg (1 -f z) = 2n, arg (1— z) = 0, arg /(z) = 2(1— p)iz, atunci / ( # ) = / ( ^ e * - * ) " ! , şi deci avem 1
x
(1
+ 2 ^ 6 - ^ '
_ -*Pnl)I e
7RI
=
27riV2"e-P
sin
^
+
.
de unde
.[sin f i + ^
L = 1 _
e
-tPrt
14
L Numerele
lui Bemoulli.
- JJ « - Î L . fsin ^ + cos tL - l ) .
2
J VJ 2
s i n
2
M
Să considerăm funcţia
2
~7~~~J* ^
a
a
; r
e
P ° ^ * simpli
2km cu reziduul 1. D e c i n
—
= — 4 - p ^ e — 1 z o
în
0<|2r|<27T
şi schimbînd z î n —z; 1
0 0
1
=- +E(-D7
j
oo
Adunînd:
2n
—1 = 2
c z ,
d e unde c =
2n
, c = 0 (n > 0 ) . V o m pune
0
2n
o
c w - i - M ) -
1
- ^ - : (2«)!
Astfel
e'-l B
n
2
V
( 2 « ) !
sînt numerele lui B e m o u l l i . E l e se pot calcula prin identificare:
\ 2
4
6J
\ 24
12
48
120 J
de unde
B i
=
— - »
JBo =
6
—
,
...
.
30
A v e m pentru n > 1 x
_LC
dz 2
z
2lm)c.z**(e'raJ .2 *(e c
450
_
1) l)
(-l)- B.^ţ? ( - 1 ) - ^ .
t
+»,
( 2 » ) ! ±i> (2n)l
1 2
(2Ă7ri) "
C
m
fiind un cerc d e centru O şi rază ^2m + " ^ " j
care lipseşte termenul corespunzător
7 t
*
a r
2 ' reprezintă suma din
lui k = 0. £ î n t r - a d e v ă r
este coeficientul lui l / z în dezvoltarea funcţiei
B
î
reziduul în 0
« l Aşadar,
dacă
J *"
^ ( e * _ i) o b s e r v ă m că integrala - > O ' , a v e m 16
{
f
_
B
(2n)l -
1 ^ (2n)!
*
(2n) iri
D e e x e m p l u pentru » = —-
C
Fig.
{In) "*?
V A
2
ti*
1,2 a v e m oo
^2
112
1
2
ti*
1
-
2
2n
1
V *
6
T
4
4
90
Să considerăm formula de sumaţie:
S =^2 ~ * e
n
unde =
este dreptunghiul
» + —-» 2
j y = ± i ?
nz a
c o t
=
BB'C'C
8
'
e
"
< w
a > 0,
ştirbit în O, cu laturile x = 0, # = a =
( v e z i fig. 112). I n t e g r a l a pe semicerc
- > — 1/2 (căci
zf(z) -> I/TC). V o m scrie 1 cotg nz = — 2i 1 . — cotg nz = 2i
1 2
1
1
2
e' ™-1
1 h— e ™— 1
—e
_ o t
pentru y < 0.
2
Cînd semicercul -> 0, — ( —e J^CBM 2 [
pentru y > 0 şi
2
- 0
a
"^—•
- ( e - *
_ a z
*dz-^ — ( e d 2 \ Căci de e x e m p l u V e - ^ d j y are limită 2 JoB'C'^ J M B pentru că | y e | = y - > 0 , în virtutea criteriului A de la integrale improprii,
JM'B'C'A 2
2
a i y
/ 2
-
§ 77. Aşadar cum e * * este olomorfă, cele două integrale I C e - « d * = ± He 2 JOA 2 J
- o t
sînt
egale
cu
* d#.
0
7C
0 pentru 16)
E
Z
h e < arg 2 <
e
2
_
2
este e* -
7T
00 pentru pe
cercurile
C
n
-f e < arg z < 2
mărginit
1
7U
e 2
451
T o t aşa integralele provenite din ceilalţi termeni ai lui cotg nz. ca semicercul
Făcînd
->0 obţinem:
=C V«* dx-1 Jo 2 J Ve - 1 e*" - 1) I+
S
+(*(-£^Z
n
—
h + I,
-
2
2jry
0
_ r*, Jo
\
^
\ E - ^ * + ^
2
1
-
e *'>-
IY)
^
=
iJ
_
f* j â n ^
J
\
. a = n H
1
*xy
e
+
_^ y
i
>
2
2
"
)
\^-2m(*+
o
!
iR)
e
*rf(*-
_
iR)
J *'
1
C ^ e - d* = l ( l - f e - M ) H . l . n
a
Jo
a
Aşadar e~*
a
=
5=s —
V
e « - l
h 2\
a
— dy. e ^ - l ;
2
0
Cum
a
1
e—
1
2sin ay
1
1
a
2
E
^
7?
i
2
=
E^Y_i
0 0
(2»)!
» -
l
x
V
y - V " -
1 ?
(2« — 1)! '
urmează 2
Jo e ** -
APLICAŢII L A D E Z V O L T Ă R I
1
Î N SERIE
9. T e o r e m a reziduurilor are aplicaţii şi la sumarea seriilor sau d e z v o l tarea în serie a funcţiilor uniforme. Principiul acestor aplicaţii este următorul: F i e f(z) D
n
o funcţie meromorfă ai cărei poli formează un şir infinit <x - > o o ; k
un domeniu mărginit de o curbă rectificabilă C
n
un p o l a ; ^ k
^(oc*) suma reziduurilor lui f(z) în polii cc cuprinşi în D . k
[ Jc» 452
şi care nu trece prin nici
f(z)dz
=
2m£;4>(« ). k
~
n
Avem
Presupunem că pentru n - » oo, variază astfel că D tinde către un domeniu ce cuprinde t o ţ i polii a*. Dacă, în aceste condiţii integrala din membrul I are n
00
o l i m i t ă finită, v o m obţine suma seriei de reziduuri ^
OZi**). sumată după
domeniile D . Astfel, dacă indicele k ia valorile 1, 2 , . . . şi | a | sînt strict crescă n
t o r i ; | oc1 < 2
t
|a | <
luînd curbele C astfel ca între două curbe consecutive
2
n
să se afle un singur pol, v o m obţine suma seriei convergente
f g ( a j . L a fel,
dacă | a | şi | oc_ | sînt crescători, v o m putea obţine suma seriei convergente t
Jt
00
^ ( « o ) +12
i
[ # ( « * ) + <£(<*-*)]. adică v o m avea
E ^ ^ A ^ ^ /(*) dz.
(16)
1 D e exemplu, dacă a = k, v o m lua pentru C cercul de centru O şi rază n + ~ " t
n
I n v e r s , dacă seria reziduurilor este convergentă (şi o putem s u m a ) , v o m obţine limita integralei din m e m b r u l al doilea şi v o m putea calcula în unele cazuri integrale improprii reale. V o m urma aici prima cale, care ne v a conduce la d e z v o l t ă r i în serie a unor funcţii meromorfe cu poli simpli. F i e f(z) meromorfă, cu polii simpli a - > oo şi g(z) o funcţie uniformă cu un număr finit de puncte singulare £ , diferite de a . Presupunem că C c u n > « o conţine punctele £ în interior. A v e m pentru funcţia f(z) g(z): k
A
t
u
A
= g(**)
*/(«*)
şi formula (16) devine
g
(17)
« , K k K )
= - L l i m C f(z)g(z)
U l t i m a sumă este nulă dacă g(z)
este funcţie
d z - £
întreagă.
Ca aplicaţie, să luăm f(z) = cotg nz, deci oc = k,
f
k
avem
pentru o funcţie meromorfă g(z) (18)
£>(*) = ±
K m C g(z) cotg nz
dz-
dacă limita există. A c e a s t ă formulă de altfel rezultă din formula de sumaţie finită
= unde X),]p
s
e
j : J ^ W cotg n ar d z
-
referă la punctele z = k, respectiv z = £ , din interiorul lui C. A
L a formule analoage dă loc orice funcţie f(z) care are polii simpli z = k, cu reziduul
forma f(z) = - 3 - L L , tgnz
unde
48»
f(z) =
Jf[^
-9(0),
» sau / ( * ) = - — ^ * j
~?(0).
2 i t t t
• Atunci <Jl{k) are respectiv valoarea
-^?(0).
U n alt t i p de formule se obţine pentru f(z) = - — - — » oc = sinra
(U (^
fc
=
(—1)* — ; 7U
=
v o m avea atunci în aceleaşi condiţii
-M-dz-n^M-
g(-l)*g(*) = ^ l i m C
(19)
f
Formule analoage cu aceasta se v o r obţine luînd f(z) =
cu 9(2') funcţie sin tzz
întreagă d e perioadă 1 ; aici
— 9(0). Funcţia
zată pentru a face ca limita integralei să existe. A l t e formule se v o r obţine luînd f(z) = cth K Z, a* = i k, ^ / ( a * ) = — :
g^i^^i-limC
(20)
)
c t h nz dz -
g{z
sau m a i general f(z) =
— e
—> — 1
2 n x
>
cu 9(2:) funcţie
2rt
1 — e~ *
întreagă d e perioadă i. în
sfîrşit
luînd f(z) =
» a* = ik,
7U
g(-l)*s(i*) = ^ l i m (
(20')
şi o formulă analoagă pentru f(z)
=
— » obţinem
k
Sh 7U*
^
-
d
^
^
(
y
^ cu
Exemplul 19. Să considerăm integralele: t C = — V 2îci Jc»
I
n
r
n
=
cos az (— 7C < a <7r)
£ întreg > 1 ,
sin ÎC z
—C —
Sin a
Z
dz
( — ÎC
w+1
2TW Jc z s i n iz z Vom arăta mai întîi că I —• 0 şi
ÎC)
£ întreg > 0, />e, cercul \z\
= f(n -f - M •
\ 2) —• 0 pentru n —• oo. Dacă q e întreg şi > 0, pentru cos az sin aceasta va fi destul să demonstrăm că funcţiile — şi sînt mărginite în tot sin ÎC z sin ÎC z planul, din care am scos cercurile \ z — k \ < B < — în jurul polilor acestor funcţii. (Căci 2 atunci vom avea zf(z) —• 0 pe cercurile C .) în acest scop observăm că în semiplanul y > y > 0 avem fl
n
n
0
454
cu semnul ± după cum a ^ 0; deci această funcţie este mărginită în semiplanul y > y şi tot aşa în y < — y (cum se vede schimbînd pe 2 în 2). în banda — y < y < y , funcţia 2tz cos az este mărginită pentru că este întreagă şi are perioada — (dacă a = 0, caz-evident); 0
0
0
0
a
într-adevăr, valorile ei în această bandă sînt acelea evaluate în dreptunghiul închis — 7C < < x < tz, — yo ^ y < y ,
unde funcţia fiind olomorfă este mărginită. L a fel funcţia - sin
0
dacă scoatem din banda considerată cercurile de mai sus. Cu aceasta am demonstrat că
7C z cos az
sin tz z sin az
*
este mărginită în tot planul minus acele cercuri. Pentru
se va raţiona la fel. In sfîrşit, sin tz z putea aplica criteriul B, arătînd că
pentru a dovedi că I' —• 0 şi în cazul q = 0, vom sin az z • 0 pentru z —• 00, în tot planul minus unghiurile — e < 0 < e, 7r — e < 8 < ^ + e. sin 7C z într-adevăr, aceasta se vede scriind pentru semiplanul superior n
sin az
e
2 i a x
— 1
sin tz z
e
2 î m
-
1 m
n
1
x
(avînd în vedere că, în acest semiplan ze —• 0 cînd m > 0); şi pentru semiplanul inferior, schimbînd z în z. în interiorul cercului C integranzii au polii: z = 0 de ordin 2q -f 1 şi z = £ k (k = 1,2,...) simpli. Pentru aceştia avem imediat n
r-^r ,v , *.ir cos ak 9 2 ( ± A = ( - 1)* ,
. , sinaA respectiv ( - 1)* TUAW+1
TZk*«
1 Vom calcula pe 92(0) din dezvoltarea Laurent. Mai întîi, spre a obţine dezvoltarea lui
sin tzz
plecăm de la formula cunoscută (21)
TZZ C T G TZZ =
-
—?1-(27C2)2»
£
o UNDE
B
0
=
—
1)
Ş I FOLOSIM
(| Z \ <
1)
(2 n ) !
IDENTITATEA
1 CTG
sin
7C
C T G 7C Z.
2
z
Obţinem astfel
sin
7C
z
=
i — tz
» o** — 2 2 — — - - B . M o {2h)\
4
*
( i * l < i).
,
„ (az)*
Avem acum cosa*
1
® 2** - 2 „ ,
T C ^ + I
^ « S I N T C Z
~
^
*
(2A)!
k
k
o
(2A)!
( 0 < | * | < 1) SIN
a,
_
™ 2* -
a
^2(7+i g j jş 2 n
2
D
_
^
T
,
(a,)*
-y
(2A)!
'
2
2** — 2 ( ~ 1)* — -tt**a**B*, (2A)! (2k)!
(2A+1)|
şi luînd coeficientul lui —— : z
1 respectiv
92(0) = — * 92(0) = — TZ
T
(-1)*
2
2
* ~ Tz^a^Bj,. PA) 1(2*+1)1 455
A v î n d în vedere toate acestea obţinem formulele de sumaţie:
1
n«
2
(2/*) ! (2A) !
A-fţLq
2
2
h
K
M
S
l)
M
[q întreg ^ 0 J
Exceptînd seria a doua pentru q = 0, aceste serii au absolută, decît aceia a unei serii V
—
1)
*»**B l- *).
2
J f - D - i ^ L î l ^ ^ (-1)* ~ 1 2«+i 2 k+kLq (2h) l(2k+
( 2 3 )
[ q întreg ^
termenii mai mici în valoare
(/> > 1), deci sînt uniform convergente în raport cu a.
Astfel ele se pot deduce una din alta prin derivare sau integrare în raport cu a. în particular, luînd a = n şi calculînd direct 92(0) din dezvoltarea (21), găsim:
2
i
n*
2(2?) !
Comparînd acestea cu formula (22) pentru a = TZ s-ar numerele lui Bemoulli. Apoi luînd a = 0 în (22) avem }
V
-
=
n*W . Q
T
(2q)\
Din aceste două formule se deduce
adunîndu-le
0 0
1
?
2*« — 1 2(2?) !
2
(2n -
1) «
Pentru q = 1, 2 formula (22) ne dă f i ? ! = — ,
V 0 0
1
) "
1
7i
— =
T
= — 1:
B
2
6
cos an
Ş t -
deduce formula de recurenţa pentru
30 J a
2
2
U - T
481 15
n*
J
Pentru ? = 0,1, formula (23) ne dă °° , „ . sin an a 2 ( - l) " = — i n 2 < x
7 1
1
i
w
( - TT < a < TU),
3
12
Din (22) şi (23) se deduce, schimbînd a în 7U — a: 00
R R > = ;
n
j
92/1-1
1
co=_a» _ 1
V
«
M
=
_
t
i_^
_
îh
»+*-«
y
1
t
(0 < a < 2TT ? întreg > 0),
t
(2*)! (2*)!
( - l)*-
1
2
l
^~ ~
1
7t»*(7t
-
! t
l
a) + B
A
(0 < a < 2n q întreg > 0),
şi în particular 0 0
2
cos an - 7 I -
=
^ i 456
— a) — A
(TC =
2
3
2
77 ' 12
sin an n
7U
(TU
~~
0 0
t
2
sin an
»
— a) (271 — a)a 12
TT
—a
10. A l t ă aplicaţie i m p o r t a n t ă a teoriei reziduurilor se referi, l a d e z v o l tarea funcţiilor m e r o m o r f e î n serie de funcţii raţionale. N e v o m ocupa d e cazul (cel m a i frecvent) al unei funcţii f(z) a v î n d un şir infinit d e poli simpli * , ce converg la oo. Curbele C fiind alese ca la 9, să considerăm integrala d e t i p Cauchy t
n
C— z
2 m Jc,
unde z este un punct diferit d e polii a . Suma d e reziduuri X » & întinde la polii integrandului: £ = z, cu reziduul f(z) (punctul z este interior lui C dacă n este destul d e m a r e ) şi £ = a* interiori curbei C , cu reziduurile k
n
n
oc — z t
A v e m deci (24)
/
(
„
.
K
^
z —
+
^ C Ş H ?
a*
2TUI JC„
;
—
t
z
2 i reprezentînd suma întinsă la polii <x interiori curbei k
C. n
D a c ă integrala din m e m b r u l al doilea are o l i m i t ă X, constantă pentru n - > oo, v o m obţine o d e z v o l t a r e a funcţiei meromorfe f(z) în serie de funcţii raţionale (25)
/ ( * ) = £ > ( * ) + *. 0
unde y (z) n
= ]£« — 2n_i şi (p (z) =
2 , care se m a i poate scrie şi
0
z — a*
0
27a »-•«> j
C j |
(, —- z
Să aplicăm integralei precedente criteriile A sau B, presupunînd că C
u
r sînt cercuri de centru O şi rază R
• 1 pentru £ - > oo şi C—* deci este mărginit pentru w destul de mare, criteriile A şi B v o r fi aplicabile dacă funcţia f(z) satisface condiţiile l o r : f(z) - > X (finit) p e cercurile C (crite riul A ) sau numai cu excepţia unui număr finit de direcţii, dar cu condiţia suplimentară f(z) mărginit pe cercurile C pentru n destul de mare (criteriul B ) . î n aceste cazuri n
- > oo. Cum
n
n
-Li JE-d^x. 27ri Jc, £ — z
V o m arăta că în aceste cazuri seria (26) este uniform convergentă în orice domeniu mărginit  , din care s-au
scos discuri | z — <x. | < 8 (arbitrar k
m i c i ) în jurul polilor a* conţinuţi în domeniul A sau, seria
f
jy— ^
kî
de
este
Z — 0Lk
+ oo
uniform convergentă în A , unde p r i n ^ * a m notat seria ce conţine
numai
— 00
termenii ce corespund la polii <x ce nu sînt conţinuţi în 5 . k
457
şi
într-adevăr, să considerăm restul seriei, care, (25), este
cum
se v e d e din (24)
X, 2TTI J C ,
1 -y
şi fie A conţinut în discul de rază
£
—
R pentru n > n (vezi fig. 113). P u t e m n
0
scrie (z fiind interior lui
C) n
- x dţ
m în cazul'A, avem |/(£) pentru Fig.
şi prin
n > n
> n.
^
£
2
L
K
x
X| < —
pe
A t u n c i pentru
0
cercurile
C
n
orice ze &
113
urmare /
1
x ,
^
Zn
adică p
(n > no)
n
e
pentru n >
n
lt
n
-> 0 uniform în A .
î n cazul B, a v e m \f(z) j < M ( f i x ) (pe cercurile C ) dacă luăm n n
0
destul
de mare. F i e Y) suma unor unghiuri arbitrar de mici, în jurul direcţiilor e x c e p ţionale, şi C" reuniunea arcelor lui C cuprinse în aceste unghiuri; C' n
n
n
reuniu
nea celorlalte arce. A v e m \f(Z) — X] < — pe arcele C' pentru n > n > n 4 şi \f(Z) — X| < M + | X | pe arcele CI) n depinzînd de e şi YJ (dar nu de z). nt
x
0
±
Deci
I 2TTI J ;
Q —
c
<
± ( 2 ^ - r 2-
Luînd 7) =
i
) R
N
^ L ± 4 iL
2(M + |X|)
+
R
R
I
n
I 2ra
z
{
M
+ | x |) iA
27T
vom
N
Jc£
(, —
< i + ( 2
avea j p | < e pentru n
M
z
+ |X
n > n
lt
(» >
n
x
depinzînd
numai de e. E v i d e n t criteriul B se aplică şi atunci cînd f(z) are limite diferite în m a i multe unghiuri a v î n d suma 2n. Dacă de e x e m p l u f(z)
are limitele X
semiplanul superior respectiv inferior — cu excepţia anumitor
1#
X în 2
direcţii — în
formula (25) v o m avea X = X + X . Este apoi evident de asemenea, că demonsx
2
straţia precedentă, privitoare la convergenţa uniformă a seriei (25), în aceste condiţii, rămîne valabilă (demonstraţia făcîndu-se separat pentru unghiurile în care a v e m limite 458
diferite).
Exemple. 20. Să considerăm funcţiile cos az f(z)
( - TZ ^ a < TZ)
= sin TZ z sin az
f(z)
(_ < <
=
w
sin
TZ
TZ).
A
z
Ele satisfac condiţiile criteriului B pentru cercurile | z | = n + — • într-adevăr la exem2 plul 19 am văzut că ele sînt mărginite pe aceste cercuri. De asemenea, am văzut că pentru S
z—• oo, în tot planul minus două unghiuri arbitrar de mici în jurul axei reale
m
a
sin
Z
TZ
—• 0 şi z
cos az • 0 pentru — TZ < a < TZ. Cînd a = TZ, prima funcţie sin TZ z devine ctg TZ z şi în acest caz ştim că cotg TZ Z —• i, după cum z—>oo într-un unghi s < 8 < TZ — e sau într-un unghi 7C + s < 8 < 2 7 C — e. Deci în toate cazurile integrala din (24) —• 0 (în ultimul limita ei este X = — i + i = 0). Prima funcţie are polii simplii = k (întreg oarecare) cu 92{k) = (—1)* ° ^ > iar a se poate deduce la fel că t
C
S a
TZ
doua, polii simpli z = k (întreg ^ 0) cu 92(£) = ( — 1)*
S l n
a
*
TZ
Aplicînd formula (26) va trebui să sumăm împreună termenii de indicii n şi — n; avem astfel dezvoltările: M O v
(28)
cos az Sin
(29)
w
£2? , T ) ( -
=
TT7T
-
cos na *)*
2
2
sin az sm
, = T V - 1 ) «
TZZ
1 , = — +
—w
,
„ 2z cos na l ) — —
<x
Y)(-
n
Z
2
sin na z — n
~
2n sin na ~Z — 2 — n
l
= Y ] ( - ) r^ Sm
(~n
a
8
(-w < a
N
valabile pentru orice z care nu este întreg şi încă pentru z = 0 în cazul formulei (29). Pentru a = TZ formula (28) devine + oo
(30)
7rctg7r. =
t-s
j
1
°°
-
= — + 2 ? z - n z z* -
— 00
n*
1
Iar pentru a = 0:
(31)
_JL_ glziiL==
=
_L
ys _
+
(
1 )
»^l_. 2
sin TZ z z —n z Z — n Toate aceste serii sînt uniform convergente în orice domeniu închis din care s-au scos discuri | z — k \ < 8 arbitrar de mici în jurul polilor k conţinuţi în domeniul respectiv. Punînd a = — şi schimbînd z cu 2z în formula (29), obţinem 2 %
(32)
— cos
TZ
= 2 ^ z
4^
( -
2* - 2* -
= 4V>
V
1
4 2 2
2
~ ( * + *)
2
(unde membrul al treilea se poate obţine din al doilea grupînd termenii cu k şi ( — k — l) TZ 1 această dezvoltare se poate deduce şi din aceea a lui înlocuind pe z cu — — z. sin TZZ 2 Ele pot fi prin urmare derivate sau integrate termen cu termen. Astfel să integrăm seria ctg TZZ, aplicînd teorema 1 din § 78, privitoare la integrarea seriilor de funcţii olomorfe. Pentru a putea lua 0 ca limită inferioară a integralelor, scriem seria sub forma 1 2z TZ Ctg TZ Z = • z £-1 * - n* l
0 0
z
459
Seria din membrul al doilea este uniform convergentă în vecinătatea lui z = 0 şi prin urmare (termenii ei fiind olomorfi acolo) primul membru este de asemenea olomorf în z = 0. în orice domeniu închis  care exclude cercuri cu centrele în punctele z — ± k (k > 0) seria este uni form convergentă şi putem scrie integrînd de la 0 la z pe un drum în A : _ l
sin o
g
TZ
z
"
—
r
^ E
1
0
^
: M 1
- ^ ) '
luînd determinările logaritmilor care sînt nule în z — 0. După teorema citată, aceasta devine o serie uniform convergentă în orice domeniu închis mărginit, dacă excludem termenii referitori la punctele z — ± k din acel domeniu. Deci putem scrie
—
n{'-7)'
produsul infinit fiind uniform convergent în aceleaşi condiţii. 21. Condiţii asemănătoare pot fi aplicate funcţiilor . z
J\ )
sin az =
( -
TC <
a ^ Tt),
( —
TT <
a <
COS TZZ
cos az f(z)
=
TZ).
COS TZZ
Se vede la fel că ele satisfac cos az . > • O m unghiurile e < cos TT z cos tz z f+i sin az
A
condiţiile criteriului B, astfel, pentru — TZ < a < TZ, _ . . o < TU ~ e ş i 7 r - f e < u < 2 7 t — z, iar ine<e<7r-e,
[ — i î n 7 r 4 - e < 0 < 2 7 r — e. De asemenea, cele două funcţii sînt mărginite în tot planul minus cercurile de centre -—^-1
şi
r a z a
r
arbitrar de mică. Ele au polii z = k -\
2 l
-»(u
— , cu reziduurile
2 . 2* + 1 . ( - l)*2* + 1 sin a, respectiv cos a. 2 1
\
vel k H I= \ 2)
K
Se obţin la fel dezvoltările: . 2n + 1 2 z sin a 0
sin az TZ
COS TZ Z
w
C o s ^ cos
TU
z
«
,
t-tf
o ix (2n +, 1) cos 2n + 1 a 2
|2n + 1 j2
s %
şi în particular, luînd a = TC în cea dintîi, a = 0 în a doua: TU
tg
TU
2 =
- V " o
460
2*
( _ „ < « < „ > ,
Toate aceste dezvoltări sînt valabile pentru z ^ k -\
(k întreg oarecare) şi uniform 2 convergente în orice domeniu închis mărginit dacă se lasă la o parte termenii cu poli în acel domeniu. Din dezvoltarea lui tg TZ Z se deduce prin integrare dezvoltarea
Vl
(2n + 1)» )
uniform convergentă în aceleaşi condiţii.
P e n t r u o funcţie g(z) cu un număr finit de puncte singulare ţ = k + şi care verifică criteriul A sau B , v o m avea, conform formulei ( 1 7 ) , h
/
£
<x* (2k+ l
\\
.
sln
2k+
\
_ a=
(- )s [—£-)
—ţ—
w
^
1/2
,„ .
Ş _
sin a ^ COS 712
(33)
COS
_
COS
0C2
TZZ
F = tg P e n t r u o funcţie meromorfă g{z), care are poli ^ # k şi * g ( z ) satisface condi ţiile criteriului A sau B + 00
COS
OLZ
sin
712
(— T Z < a < 7 i ) + 00
sin OLZ " nr sin TZ z ( î n această formulă : = O n u este pol al lui f(z), deci poate fi un £ .) £
( - 1) W
sin
A
a = -
*^
=
fc
2>(*)
=
-
— oo
« ' ( W . * = COtg TZZ g(z). A
(Această formulă rezultă din prima pentru a = 7r.) într-adevăr, dacă z g(z) satisface criteriile A sau B, le satisface şi zF(z), cu l i m zF(z) = 0. î n primele două este suficient ca \z g(z)\ să fie uniform măr ginit pe cercurile C , ceea ce se v a întîmpla dacă z g(z) este mărginit în tot planul minus cercuri arbitrar de mici cu centrele în punctele singulare 2^. î n formula a treia v o m observa că integrala din (17) fiind descompusă în părţile relative la semiplanele superior şi inferior, v o m avea ca limită a ei k
i(—7ri +
7ti) =
0.
L u î n d , în prima formulă (32), g ( z ) = — (q z observînd că F are în 0 un pol de ordin 2q —- 1,
întreg > 0)
obţinem,
2Q
. +
00
sin
2*+ 1 ac
(34)
461
sau (grupînd termenii cu k şi —k — 1 ) : . 2&+ 1 sin a (-
n < a <
T T )
V
y ^ l - 1)* V
l) *
rn, + 1
(
d^" sin OLZ \ hm—— zcos nz ) ^ o d ^ ' 2
1 «
= — 2%
2
(2£ +
=
2
(2q-2)\
Pentru q — 1, 2, 3 v o m calcula pe (Jl din dezvoltarea lui Laurent a funcţiei sin OLZ A . . . . _ in jurul lui O:
1 - F ^ ) = —2 T-/
\
Z*
W
^ ~
C O S 7T
l
Z
V
6
120
' L
2
24J
U
'J
Găsim : . 2A + 1 sin a î = — a, (2£+l) 8 2
V
. 2k+ sin
V
(2* +
l
a
l)*
64
l
3
j
. Ik + 1 sin a V * ( _ i)* V
? (2k+l)
2
=
2
2
(5:t - a ) ,
e
15360
Pentru a = TZ 1 (2* + ^ r/g =
* 2
2
l) *
^
2 ** M
1
1
( 1
2
.. d " hm = (2q — 2 ) ! » - o dz*>-
şi în particular 1
V
(2k + l )
2
8
r V
(2* + l )
4
1
= - > r 96 V
F o r m u l a a doua din (33) ne dă pentru g =
(2* +
2* + 1
^ 462»
( _ i)* }
6
(# întreg > 0)
cos p
l)
a
t
=
ţ2k + 1 j ^ 2
1
-cu
960
sau (grupînd termenii cu k şi —k — 1 ) : 2k + 1
cos
<36)
„
a
' •• " 2
( 2 ? ) ! z-+o dz * \COS 7Z z) care se poate obţine şi derivînd formula (34) în raport cu a cînd q > 1. î n particular (q = 0, 1, 2 ) : cos
2k+
1
a
2* + 1 cos
a ^ — - = — ( * (2* + l ) 32 3
V cos f
V
2k + 1
( - 1)*
-
- a
2
)
, '
a 2
2
4
= _^-(57r -6T: a + a )= 4
-
(2ft + l )
2
V
5
1536
V
'
—
(
1536
2 a
V
înlocuind a cu - — a în (35) şi ( 3 6 ) , obţinem cos
x
(0
T
)Ş
C
(2
2k + 1
^
2
/sin (TC — a ) z \ _ ± _ ^ - ^ s i n ( . - a (2q — 2)1 d z ~' \! z cos rar 71? J
=
l
i
m
)
. ( o < « < 2 * ) £ =
- L .
l
(2q)! şi în particular
=jb-g.
+ 1)M
2 9
^
a
i
m
2£ + 1
( 2 f e+
1
^ f c o dz
n
22
28
\
S
)
M
+
1
=-^m,
( , - a ) z y cos * r
J
-
2 TC
2
)(a
A
-
. S
00
1
V
1
2k + 1 1
1
(2k+l)>
Cum funcţiile (ultima
0
S
" T35F
m
C
O
S
> cos 7ZZ cos
în semiplanele
a ( 2 7 î
a
~
)
(
4
7
t
2
tg 2 satisfac 7t
pozitive
2
+
™~ *>'
condiţiile criteriului
B
2
şi n e g a t i v e ) ,
avem
aplicînd
(26), (vezi
exemplul 21),
, (—7r
+
cos az TT = COS 7T 2
x
. _ Y]
( _ l ) W c 0 8 ^ ± i « 2A + 1 z
( 2 * + 1) c o s ^ ± i a
4
n
1
6
*'
=
?
~ £
(-1)
~
2
4Z -
2k~+l
-
2
(2k + l )
~
8
2
Ş 4 z
-
(2* +
lf'
Z
2
7 r i
m_a£
+ 0 D =
t
_
x
. 2k+ 1 sin—r—a Z
cos T C *
2* + 2
Z
cos TIZr
± ^ £
S
1
2k+ 2 * + l1 Z
. 2k + 1 z sm—-—a 2
n
=
y. _ {
l
)
M
2
V
4z -(2k+l)*
2
VV
4z -(2£+l)
2
2
^
1
2
COS TSZ
r
=
2 H 1 |
S
2
A (2* +
2
V [ 4 ?
2
l) +42
2 >
-
T o a t e aceste d e z v o l t ă r i converg uniform în orice domeniu mărginit care 2
lasă m exterior p u n c t e l e ^ ^~ * • Scriind dezvoltarea lui —7rtg TZ z, log COS
dz 464
6
lOg I 1
TZ Z —
±£dz
{
I
2k+
1)J
cu determinările logaritmilor alese astfel ca să se anuleze pentru z = 0, a v e m integrînd de la 0 la z logcosra
g l o
=
g
( l _ ^ L _ )
serie uniform convergentă în aceleaşi condiţii. U r m e a z ă 2
Az COS
TZZ
iii
2k+ij
VI
(2*+i)V
produsul fiind uniform convergent în aceleaşi condiţii. Schimbînd z în iz formulele precedente . .
+
0
2k+
l
sin—-z
0
^ s n ^ ^ ch TZZ
. a
z . 2k + * + i
t
devin
^
1
*
^ 8 ^ ( - l ) * V
2k + 1
sin—-—a
• 2
4z +
(2A+l)
2
2
+
Tttgh nz =
1
00
00
y
=
±j
Sy-
„ , . 2k + 1 z -1- i
~
—
V
4z* + ( 2 * + l )
2
2
ch az
+»
TZ ch TOT
2*+ 1 c o s — ^ a
„
, . 2* + 1 z+ i 2
V
... , „ 2k+ 1 ( A + 1) cos — ^ a 2
2
4z*+{2k+l)
— — - — - « £ ( - ! ) » chîrz
, .26+1
2
n
=
ctfit:
t| ii
(z | i
2
=
k
2
V
1 +
*)'
2
„ * 4z +
" V
(2£ +
+ 1
.»
(2/fe+l) 2
2
l) -4z
[4z* + ( 2 * +
2
2
2
l) ] , '
Aceste d e z v o l t ă r i converg uniform în orice domeniu mărginit care lasă în
exterior
2k + 1 punctele — - — i.
î n sfîrşit, în cazul m a i general în care l u ă m în (16) funcţia
—=^—- = n+î
(t — z) =
-F(/), z
0L , observînd că H
(
irl
t)
^K)= 7 ^ » (z — a j * * 20 — Teoria funcţiilor — c. 1275
1
w
=-V (*), n! 465
GĂSIM
rri
(z — a )
n + 1
2TTI
J t
OO
*->
(/ — z )
J
CT
n + 1
Exemple. 2 2 . /(x)d X T r C O t g ( 7 T 2 ) / ( z ) d z - 2 = — ţ 2TCi
£/(*) = — ( ;
2rci Jc
=n
2TCÎ
_
2
_ic
=
2m V n
Jc
-2.
2M
12TCI JC
2m
e~ * sin
TC z
C es/e o curbă închizînd punctele z = n, ... p şi 2 suma reziduurilor integrandului în inte riorul ei, în polii (presupuşi diferiţi de z = k) ai funcţiei meromorfe f(z). ( A se vedea alineatul 9., în special (18),. (19)). 23. Fie C o curbă simplă închisă rectificabilă, care înconjură punctele -ni, ...,mi; f(z) o funcţie uniformă avînd în interiorul lui C an număr finit de puncte singulare, diferite de pre cedentele ki (A ^ 0). Avem
2
( - l ) * / ( * i ) sin Aa =
rciS - — (
/(*) dz
( - RE
< a < RE)
2 JC SH 7T z unde suma din membrul I este întinsă la punctele ki interioare lui C iar £ este suma reziduurilor integrandului în punctele singulare ale lui f(z) din interiorul lui C. într-adevăr, pentru un pol z = ki (k ^ 0, reziduul integrandului este 1
sh A a i ch
TC
ATC
24. Dacă J zf[z)\ < — ,
.....
f(k
i sin
î) =
i
cos
TT
Aa . . . . .
/ ( A î) =
i
k
(— 1)* —
ATC
sin
(Aa)/(A î ) .
TC
este mărginit în exteriorul cercurilor de centre z = ki (k ^ 0) şi de rază
dacă — 7C < a < TC şi punctele singulare ale luif(z) formează un şir a cu \a \
(n = 0,1 . . . ) şi a
n
n
# Ai pentru A ^ 0, şirul fiind finit +
l
£
in
(~ )"f( )
n
^ |a
n + l
\,
sau convergent la oo, avem
sin na = TEI £ 92 ( a ) n
— OO
92 ( a ) fiind reziduul integrandului în a . (Cînd una din sume este convergentă. ) Luăm în exemplul 23, C = C cercuri de rază n -f e < R < n — e -f 1 şi centru O, care să nu treacă prin nici un a . Integrandul F(z) satisface condiţiile | z F(z) j mărginit uniform pe C şi zF(z) —• 0 Uniform pe C , în sectoarele — TC ± YJ < arg z < TC ^ YJ. Deci integrala —• 0. n
n
n
n
n
n
n
25. Aplicaţii. f(z) =
,
q+î
A i c i / ( i w ) = + i ( - \)
q
—— ! n^+l
92(0) =
î
ntreg
^ O.
92(0) este reziduul lui —
'
_i_
lim
* L
dz"
Avem astfel formula:
466
h
g
Z
Z*7+L shTCZ
(2q)\
1
s
2
[shnzjz
•O.
în z = O, adică
Pentru q = O, 92(0) = — şi deci n (37) i
n
2
Pentru g = 1, 1+ sh ar sh
_
1
-f ...
_
j
TZZ 1 H
2
7T *
2
-f
...
deci 1
92(0) =
' 6rr
Şi
v r_
n n t t
*
ir
W
=
tt(7r
* ~
3
t t 2 )
,
12
De aici prin derivare (seria este absolut şi uniform convergentă)
~ . y
c o s
«v« i -
î»-
w a
a
1
2
= a
i
n
2
12
4
înlocuind a cu rz — a, deci pentru O < a < 2TZ, avem ^ , (O < a < 2TZ)
°° sin na £
i ~
sin « a
1
«3
(7T — a)(27u — a)a ~"
12
7i — a —
'
n
2 (ÎC — a )
°° cos na '
i
n
2
"~
4
2
2
TZ ~~
TI * ~ "
şi schimbînd a cu — a avem formule variabile pentru — 2TZ < a < 0. 26. Sa Zwam, în
exemplul 23, / ( * ) =
î—;
^ ^ Ai (£ # 0).
*- c e s t e
I*/M I mărginit în tot planul cu excepţia unui cerc j z — £ | < e. Luînd cercuri C „ ca în exemplul 24 (dar nu prin Q , i n t e g r a l a 0 şi avem _
sh a ţ
^
sh Tzţ '
Deci . sh a£ " V T =
7 1 1
Sh
-
7UQ
+5 / S ("
sin na : :
_oo
^
—
« 1
sau
sh ar 2 n sin na . — = - £ (- ) — 7 ( < a < TU) sh TZZ TZ i r + n dezvoltare uniform convergentă în tot planul cu excepţia unor cercuri de centrare z = ki (k j± 0) şi rază < — . 2 Pentru z = 0 obţinem formula (37) de la exemplul 25. l
2
Pentru
a = — 2
2
obţinem
Te
TU
i
2
z + (2n -
l)
2
ch — z
467
ch ^«
f
27.
\
2
TZZ
2
i
TZ
4z + (2n -
2
2
(1 - * - y ) r d * + U 4- ** + r )^dv —
^
2
Jc
v
^
^ ...
J-JLL—L- ,
2
l)
2
^
J
r
C / u n i eZî/>sa ie /ocare z = ± i.
2
1 + 2* - 2>> + {** + y )*,
Integrala poate fi scrisă
1 f 2i Jc
zdz -idz
4- zzjzdz - zds) _
2
1 f
(1 4- 5 )*dz - (1 4- z*)zdl _
%
a
2
1 + z* + z 4- ^ 2i Jc (14- * ) ( l 4- 2 ) Focarele sînt polii integrandului şi 92(i) = 92( — i) = — • +0
d
28. / f ° =
*
f m
"
Mz
_
?
^
]cl-|-2»~
.f»>°l. +1
J_oc (1 + x*)"
{întreg)
r
R
0 Fig.
114
f dz Această integrală improprie există. Pentru a o calcula considerăm / = \ , Jc(l4-* ) C format din segmentul — R < x < R şi semicercul T cu acest diametru în semiplanul pozitiv (fig. 114). Singurul pol interior de ordin n + l , este 4- i (R fiind presupus > 1). 2
m
i
)
J _ [ ^
=
L _ l n
n ! ldz Deci / =
7t(2n) ! 2
f \ Jr
2
•
n + l
(z 4- i )
,
1
Cum z
_
(
i)
» ( » - l ) - ( 2 2
J*= i
n !(2i) » •0
W
)
=
+l
_
L
2i
pentru z —• oo, avem
_ ( 2 n 2
I
w + 1
L
2
(n !) 2 »
(aplicînd criteriul A ) :
(n!) 2 * ^ • x * r —» 0 şi rămîne I =
(1 + w(2»)! • (n !) 2 * cos tnx 2
^
T
f°°
j
0
2
{ m î n t r e e )
T T ^ Ţ ^ * ifHZ
C e dz Considerăm \ = / , pe conturul precedent. Jc 1 + * 4- z* — 1 — z , ecuaţia 1 4- z 4- z = 0 are rădăcinile
z
i
6
2
x
UT
a"
a = e
=
1 4- W 3
2ITC
>
T a = e 1
4IŢC A
=
-
1 4- iV3
t
51*
x 3 • a = e = —a .
3
a* = e
3
= — a
1
Primele două sînt în C şi ne dau poli simpli ai integrandului, cu reziduurile .
3
4a 4- 2a
6
4a + 2a*
46a
«m
T ( ~ V
=—
- 3+
3 4- i>/3
W
3
-
1
W
3
+ 0
2e»
3
2
Cum (1 4- z 4- z )(i—z )
2
2
e ' 2 , 1 t
2e s
=
3
(a = -
6
1. a = 1). Deci
4
• ( . • ( * - Î ) _ . - ( * * T ) ) _ ^ . - - $
ir
l
I
.
1
(
.
+
. )
y
Funcţia e este mărginită în semiplanul superior (căci } e * j = e ^ 1 pentru y ^ 0). în orice unghi din acest semiplan, cu laturi diferite de axa reală, e —• 0 pentru z —• co (căci 11
U
1 e | = e~
R
s i n 6
< e"
R
asemenea unghi, iar
s i n
e
» - + 0 pentru j s | = R -+ oo). Astfel z
2
2
+ Z
4
• 0 într-un
este mărginit în tot semiplanul superior, în exteriorul
1 _|_ 2 _|_ z* 2
cercului unitate. Aplicînd criteriul B rezultă V —• 0 Jr
Jl 2
I = -— e
dx
30. ~ J-oo
—
Deci
'(f + f)-
V3
(0 < a < 1).
1 • dz pe dreptunghiul din figura 115. Integrandul are în drept
Considerăm / unghi polul 7ii. 92(7ii) = — e
l7to
. Pe laturile z = R -f iy, z = — R' -f iy
(0 ^ y < 27t) avem
~aR ( « < 1).
e* - 1
1 + e* respectiv
0
(a > 0).
1 + e* Aceste laturi avînd lungime constantă, integrala corespunzătoare —• 0. Pe celelalte laturi z — x respectiv z = x -f 27ii, deci făcînd R —• oo şi R' —• oo (unde am luat R' # i? pentru a face să rezulte existenţa integralei reale improprii),
S
+oo
eax __ a(*+2Tiţ) dx = — Inie*** e
1 + e*
-oo'
1_ 2ie
f+°°
— \ ina
J-oo
dx 1 + e*
adică
Punînd *' = e* mai putem scrie r+co J_oo
^^-i
d*'
1 + x'
integrală calculată direct din exemplul 17. «6»
31.
=
h
+
[ " JO
x
a
l
l
o
* 1 -r x
r
1
z°-
x d
(O < a < 1).
*
log z
Se consideră J = \
pe conturul din figura 116. Se vede la fel ca în exemplul 17 z 1 + —• 0. 72( — 1) = — ÎTC e° i, se ajunge la
Jc
că^
0 şi ^
(
S
sau utilizînd
K
Ax
+ oo a
a
[x ~i
l
log AT - x ~
e^m (log AT + 27ti)]
=
0
1+
exemplul
Ki
27c*e°
X
17:
7^1 - e
- 27ti e2arc«—— sin an
1
=
2n* e**
sau —7
1
X
8
%
sin an = ir^e ** — i sin an) — n
cos an,
deci cos an J
32.
f + oo e\bx &x V J-oo (q + ix)
l = -
7 7
—7 a
sin «sin* a7t
0 < c < 1, 6 > 0, q real > 0. a
e\b* C el** V dz pe conturul din figura 117. Am izolat punctul critic iq ; & + iz) printr-un cerc y de centru iq şi rază r. Vom alege ca determinarea lui (q -f iz) aceea pentru care arg (r -f iz) = 0 pe marginea din dreapta tăieturii (i^,i/?). Deoarece b > 0, ei&* —• 0 pentru
Considerăm
fl
c
fl
R —• oo în cele două cadrane ale semiplanului superior, din care am scos două unghiuri arbitrar de mici adiacente axei reale, z f(z) —• 0 în aceste unghiuri (vezi exemplul 29). Apoi e*** ^ 1 în tot semiplanul superior. Deci l —• 0, I —• 0. (Căci \ z f(z)\ este mărginit în acest semiplan,
Jr I
Jr,
x
zeU>* I
pentru R > q -f e, întrucît
—•O)- De a
I & + ™) I (pentru că a < 1), deci^ —• 0 pentru r—• 0.
470
asemenea
(z — i^)/(z) —• 0 pentru z —• iq
Pe axa imaginară avem z == iy şi pe marginea din dreapta a tăieturii, q -\- iz = q — y şi argumentul fiind luat = 0 ) [q + iz) = e &te+i*) = e° 1°S(?-?) = (q —y) . în urma circuitului —y arg (q - f iz) = arg i(z — iq) creşte cu — 2TC, deci (q - f iz) se înmulţeşte cu e . Astfel, notînd cu f(iy) restricţia lui f(z) pe marginea din stînga a tăieturii, avem a
olo
a
a
\ JiR
fdz-fi Ji(q+r) =
—
f dz= - i ( l - 2 7 c a i ) l _ }q+r ti x
2n \
e
e
_ 1
a
i
+
I = \ J_l
1
\
rb(R-q)
-bQ a-l -x
e
b
e
x
d
y)*
x
Jbr
x variabilă q — y — — • b
făcînd schimbarea de 33.
- 2 7 r o i
^
( * + 2)3
x
9 d*. 2
f ^ 3 ( z — l)tz — 1) Considerăm / = \ —— dz pe conturul din figura 118 cu deterJC \Z -f* 2) minarea care este reală pe segmentul ( — 1, - f 1), Această determinare poate fi separată în domeniul dintre Y şi tăietură. Deoarece lim z f(z) = 0, lim (z — l)/(z) = 0, lim (z - f l)/(z) = 0, avem ^
—•0 pentru
ţeste p e / ( z ) , cu e
3
•ooşiţ—•O^
= e
- > 0 pentru r —• 0.
Cum circuitul — y înmul-
(din cauza factorului (z — l ) ) , avem
3
3
27ti
(1 - e
3
) 7 = 2m92(-2).
Spre a calcula pe 92(— 2) observăm că în — 2 determinarea aleasă a radicalului este egală cu 3
determinarea reală multiplicată cu e , cum se vede mergînd de la 0 la — 2 pe axa reală şi pe un semicerc al cercului y' (spre a evita punctul critic — 1, unde determinările nu pot fi deosebite). Punînd z + 2 = h, avem în vecinătatea punctului — 2: 1 3
Hi e
8
Tti
._2[i_i_* ..\f,_ +
9 4 de unde 9 2 ( - 2) = — 27
e
8
şi
4TT
2i e
8
27
O A
_
f
00
sha^
I = V
, dx
— 7t
1
4TT 2Ţrt
27
S
< a<
STZ
. w
1 - e T 34.
h ... e l 81 J
m
27
V3
3
7t.
Jo sh re* Integrala există. Vom considera:
-l
e
a z
dz
sh nz 471
pe conturul din figura 119. f(z) are la distanţă finită numai polii z = ki. Este destul să luăm z 0 < a < iz, căci schimbînd a în — a şi z în — z obţinem I{ — a) = — I{a). Avem = z shrzz pentru
Pentru z = R + iy
avem, cînd
mz
tn > 0, | e~
0
mR
\=
e~
m
z —• i.
Deci
pentru R —* oo; iar pentru 2e(o-*)* • 0, iar
z = — R' + iy, e * —* 0 pentru R' -* oo. Decii pe prii prima dreaptă, f(z) =
1 _
e
-2**
2 («+*)* 2e(«+ )« ^ f[z) = 1. Astfel integralele pe segmentele (de e * — 1J lungime 1) paralele cu axa imaginară tind la 0.
(
7t
e
27t
EA(*+I)
= — e
Pe dreapta z = x + î avem f{z) = sh
10
n(x+i)
sh izx
în definitiv: r + o o efl* dx (1 + e»«) V + W -oo
l
) = °>
-
S H 7T#
de unde r+oo \ J_oo
a e
*d*
S H
TZX
a = tg - , 2
f+ + \
CO
-ax
= CO
0 0
j-oo
S H
S H
TZX
sh a,x
J—
TZX
oo
Ş
dx
e
J_
S H
TZX
1
1 a I = — tg 2 2 35.
1
/ _ C
d
*
Considerăm
r Jc 472
dz ^ 1 ^ 3
r - )
dz r
^/f—
-
a tg2
a dx = tg — 2
C fiind format din 3 laţuri din figura 120 si un cerc de centru 0 si rază > 1. Funcţia este m z o~ olomorfă pe exteriorul lui T fiindcă oo nu este punct critic si — e cîndr—>>oo, ty\ - z dacă luăm determinarea radicalului care este reală pe partea inferioară a segmentului (0,1), 3
Fig. 121
Fig. 120
[ căci pe prelungirea acestuia, determinarea considerată este egală cu cea reală înmulţită cu
)
7T tt i!
r = ^ . Apoi integralele pe cele 3 laturi sînt egale, căci
3
; urmează ^ —* — 2TZ\ e
2*1
de exemplu primul este transformat în al doilea prin substituţia z' = e --§-f
f
dz'
dz'f
3
e
3
\Pe C avem determinarea iniţială înmulţită cu e cum ^ (
- * 0 (căci ^căci 1- z
dz
- — • o\ » )
3
27T1 f de unde
*
=
Jc^l-*
1
G
r^lc
d
3
I
3
.
T T
sin
— 3
. _ r°°
jo
log
2JT
AT
• dx.
( i + *:
log
dz ^ ^ g m
Jc ( l + * ) la I; iar integrala
pe
00
Jo (!+*)•
1*1-* «> (1 + * )
r a
i p a
e
a
a
r
tinde
dz si aplicînd teorema reziduurilor, I ar
dz
dispare din calcul. De aceea Jconsiderăm Jc (1 (log z)* Avem
n > 1.
gog * )
_ n
e
n
27ri
S la —I — \
lim
* >
3
Dacă considerăm conturul C din figura 121 pentru f
f
3
e
27ţi 3 2TT
3
36.
x
J1 o ^ l - *
7T
= -
z, deci
.)
2
în sfîrsit,
3
l
I
i
2
m
= o
^(i -i)" +
473
observînd că log z = log | z | + i6, unde 8 este mărginit pe V). Apoi lim = 0 (ana*->o (1 + z) log). Pentru a calcula 9?(— 1) punem z + 1 = £, şi avem pentm determinarea reală pe a, în vecinătatea lui £ = 0: n
(log*)»
(log(C-l))*
(1 + * ) •
ţ"
U .
- = — —
,
I17T
+ ^H
2
,
,
1- . . .
+
n - 1
+
de unde pentru n impar, 92(-l) = 2 r ^ L _ Ln — 1
—L n—
+
+
i + 2(n - 3)
2
(n -
1)* J
iar pentru n par
9 2 ( - 1) = 2
1 +
p T
—2
|_ n — 1
+
2(n - 3)
+
—M-
n(w — 2) J
n —
Aşadar, *)
2
T°o
(log
Jo
(1+*)"
d
^
f0
Joo
— 47ri — f—
Ln -
A
log *
. r ° °° °
,
_ 1
M
2
-
4TT \
(14-*)"
Q
47Ti( °
4
l
0
g
4 7
n
pentru n par.
+ 4:ri
- + ... 42
n - 1
*
2
" n - 1 4
2
4TT
1 I pentru n impar, l) J a
(n -
*
(1 4- * )
x)
(1 +
(n — 1) J
Jo 4rc
n
Jo
_ 2
n
dx d;
0
d*
1 4. 4- ... 4|_n - 1 ^ n - 2
[
n par,
n(n - 2) J
. .r m 47Ti
l) J
+ —*-] pentru
4m V
Jo
d* =
"I pentru n impar,
1 n - 2
.r°°
2
2
(n -
l
de unde
2TCÎ)
(1 +
n-2
\-±— —+...
4TCÎ
* +
h ... +
[ n - 1 -
(log
pentru n impar,
(n - l )
2
2
n - 1
+ 47tii f - ! ~
+
[ n - 2
— 1
... +
pentru n par,
n(n - 2) J
de unde 1 f
00
Jo
log x (1 + x)«
n - 2
pentru n impar, (n - l )
2
dx = 2
1 n-2
474
+ ... +
+ ... + n(n
- 2)
pentru n par. 2
37. Schimbînd z cu iz în formulele (28), (29), (30), (31) şi (32) ale exemplului 20, avem (-7t
»
cha: +f°, T T — = £ Sh7î2 _oo 0 0
+ 7c cth7T2= y
cosfca 1 , _ °° . cos — = — + 2 2 (-1)*— —> Z + l k Z i Z + A
l x t
1 x l r
2
1
1 =
r i 2—i k i
sh az
x
(-7T
7A
.
=
-
, v *
(-1)*-
(
s i n
* «
^ ^
= * —
1 }
1
i 2y i
z
,
«vt
i * sin &x
( _ 1 ) * - 1 _
2£
ik
i
z*
— -f
A
, 2
, s
z + k*
2z - (2* + l)i
TTZ
, z* + k*
1
_oo
* = y° ~ *- = sh TZZ _ oo : — ik
ch
i
2
2
h2 y i
z
+ f ° /
l V
sh TZZ
0 0
o ^
2
8
+ (2* + l ) '
Primele dezvoltări sînt uniform convergente în orice domeniu mărginit, care lasă in exterior punctele z = ik, cu excepţia lui z = 0 în cazul formulei a treia. Aceasta ne dă pentru z = 0, 00 sin koi a y (— 1)* = — , formulă stabilită pe altă cale mai sus (exemplul 19 ) . Ultima dezvol1 k 2 2k -f- 1 tare este uniform convergentă în orice domeniu mărginit, care lasă în exterior punctele i. 2 38. Să luăm în (26) f(z) = - 5 — , 0 < a < 1. e*— 1 _1
2
Avem a* = 2tori,92(a*) = e *™*. Pentru z —• oo, mz
e~ -40
în — — + 7 ) < 0 < — - 7) m > 0.
e™— Oîn -
+ , j < e < — - Y>
Scriind / ( * ) = -
in
- - - f 7
1 — e~*
3
< 0 < - - T ) ,
2
2
se vede că e«* 2
e - 1 în unghiurile
_ *
+
T
1
2 7C _
<e<
* 2
„ 37T , < 0 < _ - r ,
+
Apoi f(z) este mărginit în tot planul minus cercurile de centre 2A7ti şi rază r arbitrar de mică. într-adevăr, mx
| e"™* | = e~
ma
< er
pentru x > a > 0 m > 0.
mz
| e
mx
| = e
< e
- m o
pentru * < — a 475
Uxmează e
e
2
-
<
1
1 -
-(i_a)a _ pentru
x > a,
a
1 -e-
z
e~
~a
e
a
pentru x < —a. z
e
în banda | x \ < a, e
- 1
1 -e-
a z
avînd perioada ^— este mărginit. De asemenea — în această oc e — 1 bandă minus cercurile de rază r (funcţia fiind olomorfă într-un dreptunghi | x | < a, J y \ ^ 7C z
din care s-a scos cercul | z \
Astfel funcţia
satisface e -
cum lim
şi
= 0 cu excepţia unghiurilor de deschidere 2r\ în jurul axei imaginare,
.
<-*oo t — z
condiţiile criteriului B,
1
z
e' — 1
formula (26) ne dă z cos 2Arca — 2 Arc sin 2 Arca
0 < a < 1
4A*TT*
+
dezvoltare uniform convergentă în orice domeniu mărginit, care lasă în exterior punctele 2faci. Pentru a = 0 avem 1
TC
-
-
+
T T
^
7
<
)
<
0
-
-
7
)
,
2
e - 1
2 *
TC
.
- l
2 ,
+ — + 2
.
7)
37T
< 0
TQ
<
2
şi se vede ca mai sus că funcţia este mărginită în aceleaşi condiţii. Aplicînd criteriul B celor simţ două semiplane determinate de axa imaginară, găsin ' ' m^ Jc t1
v
y
— Î7T.
Deci
n
1 -
1
2
^
z - 2A:ri
* cth - = 2
±2 +
.
2
4
1 *
V
Jl z* +
z
formulă care coincide cu una de la exemplul 37. Pentru a = — formula de mai sus se scrie 2
sh-
V
2
* +
4A*TU
care coincide de asemenea cu o formulă de la exemplul 37. Schimbînd z cu iz, avem alte formule. 476
2
^ +
4 A
**
8
39. Să se calculeze
Funcţia
1
f(z) = l / * ~ *
are punctele
critice
O, 1,
şi
polul
—1.
Sîntem
conduşi la
pe conturul din figura 122 şi cu determinarea lui / care este reală pe marginea superioară a tăieturii (0,1). Avem zf-+0,
*/->0,
z —¥ cc
z
(z -
1)/—0,
0
z —*• \ _
27TJ 3
9 2 ( - l ) = ^2"e
Fig.
122
căci determinarea aleasă, prelungită pe semicercul superior al lui C şi segmentul (0, — 1), îşi 2r măreşte argumentul cu cînd z parcurge semicercul considerat şi este reprezentată în 3 0
+
2
4
vecinătatea lui — 1 de e f,f fiind determinarea reală (şi pozitivă) de pe segmentul (0, 1). Aplicînd teorema reziduurilor, obţinem Tti 3
Tti
2îti
3
3
j + e / + / -fe I = 2ni$/2 e . într-adevăr, după ce am parcurs marginea superioară a segmentului (0,1) şi semicercul de centru -f 1 în sens indirect, arg / a crescut de la 0 la — — şi am obţinut pe segmentul 3 1
1
Tti
(1, -f-co) o determinare reprezentată de — e
3
/ , unde / este determinarea reală (negativă) Tti 3
de pe acest segment. Astfel integrala de pe (1, -foo) este e co
C+ h
\fx
— 1
- \
I
v
unde
ăx T T 7
>
0
-
Parcurgînd apoi cercul mare, revenim pe segmentul (1, -f- oo) cu determinarea 2îti T
îti T
+ e" "e~ "/=
- / .
ceea ce dă I pe segmentul (1, -f- oo). Semicercul interior de centru 1 dă o creştere de x
— 3
argumentului, care este acum — n — — > deci determinarea obţinută pe marginea inferioară a 3 Tti
segmentului ( 1 , 0 ) ,
3
va fi — e
/ , / fiind determinarea pozitivă pe acest segment; integrala
îti
corespunzătoare
este deci e
3
I. 477
Să observăm că punînd x = ~ x'
în I
lt
obţinem
* ' ( i + *o
ji
jo r
*-*
i
Deci 3
1+e
J / = 7ri^2 e
27ti 3
.e
3
2îti
- e 2i
V$
2 sin — 3
Exerciţii Integrale \ «nic C
e* dy
y dx, \
2
t
R.
2
semicercul x + y* = a , x > 0 2
C cttf&a y = sin x (0 < x < n). a
w
— — a , - — ( e + 1). 2 2 (log z )
2. S
2
în z = ^ i, pentru determinarea princi
pală a logaritmului,
3. Reziduurile funcţiei w = 1 + ^' R. 92 ( - 1 ) =
(-1)»
ţ
v! d* - = 1. *[(log*) +7l ]
ST
2
2
R. Considerăm
f
dz
JC z log z 478
= 7
cu determinarea principala a lui log z şi conturul C ca in figura 123.
92 (1) = 1, lim z f{Z) — 0;
lim zf(z) = 0. Făcînd r—• 0, 92—• oo, avem
r+®
dx
f0
x (leg | X | + 7TÎ)
J-CO f-oo
27TÎ d #
_
\
Jo
1
l
+
AT
(log |
. f+oo
2
x[(Log 1*1)* + 7 C ]
2ni
dAT
^ =^
2
Jo
.
2TTI.
2
*l(log AT) + T T ]
Jo
^ ]2 ^ - = 22 r a r c t g f l ] - ^2 =
x ) x* + a
= | - 7T1)
AT
2TTI i
=
Jo
5. C » o g f l
Jo
dx
7
l*J* + a
2ţ
l o g ( l
v
A)
+
(a.6>0).
r
Fig.
123
R. Considerăm / = C log f 1 + — ) Jc
V
d
şi A = C l o g f 1 + — ) JC
\.
d
z )
*
a-t-iz
log (z + M) — log z
log•(• + ") determinat
*
* J a — iz
astfel ca pentru y = 0, log(l
+
*i) = i l o
g
(
1
+
g
+
ia
r
ct
g
±
cu determinarea principală a lui arc tg. Funcţia f(z) este olomorfă în interiorul curbei C, dată de figura 124. Pentru f (z) avem polul ia cu reziduul x
92 (ia) = -
i logţl +
-J.
Avem dx
Jo
V
lf°°, -
\
x J a — ix
Jo
^
x) a
(* & \ adx f o o
log
1+ —
\
+
= 0 ix
f b \ xdx
arctg
-
=0
2
2
J a + A T Jo l J a + x* / =riog(i+^-^-+riog(i-^^-=2,iog(i i) 2 Jo
{
2
x
2
AT
l
+
Jo
V
x)a
Jo
+ ix
\,
x j a — \x
a)
\
sau - \
2 Jo
log|l + - l
l
1-\
+
Jo
arctg
-
=wlogll + 2
2
UJa + *
1
- l ,
a)
de unde rezultă valorile date. 479
f+oo
a
cos x -f x sin x ,
6. V
<3at = 2TT e~
(a > 0).
at* + a*
J-oo
R. Integrala improprie există. Considerăm
Jc z — ai cu i? —• oo, unde C este dat de figura 125. 92 (ai) = e~° ; Hm* f(z) = lim e
11
== 0, cu excepţia
unui unghi vecin cu axa reală, unde z f(z) este mărginit. Aşadar dx = 2ni e~
f+oo
at cos x — a sin x
)_«,
* » + a»
a cos at + at sin at
. f ++ oo
+
,
)
a
:27tie- .
8
at + a*
_
(Pentru altă metodă <de rezolvare a se vedea exemplul 16a.) r<X> *I** m dx dx ra> *
7Z
X
7.
(0 < m < n întregi). t
Jo x*» + 1
~ . 2n sin
2m+l 7T 2n
f R. Considerăm
lm
z
dz
\
cu R —• oo şi C dat de figura
126. Integrandul are in
JC *** + 1 2A
contur
+Î
polii z = e
— 2»
2A+1
. (A = 0,
w — 1) cu reziduul
l (2m-2»+l)-£-iri 9?» = — e 2n
aşa că
e
2m + 1 . t
7C1
2mŞ92»
2n
lm + î .
I-
—
e
Tti
- * r e
.
\ \ + e
m
2
.
x
2m+l
JI
+ ...
1
e* "* )**- 1 2m+ 1
n
.
-
1
2ni n
m
2«+l
n
i
2m + l
—2n~~
w sin
2m -f 1 7T 2n
A
Pe
de altă
parte lim z/(z) = 0.
z-> oo Deci 2m
r+co
x
* »4-
(co 8. \ Jo
2m
dx
2
r«> x 1 "
. 2w -f 1 n sin n 2n
1~~
2a 4 - 1 cos AT -ldAT 27T 6 r = T r : 1 + x 4 - AT V3 sin arc
(0
2
f \
R. Considerăm
z
0 - 1
d* 1 — x -f A T
- 1
7t
3 sin atr
2TT
^3
2
1
4-
dz cu 92 —• oo, cu conturul C dat de figura
Jc 1 + z + z determinarea lui z "
. 2a sin
1
)l
7t).
AT »4-
a
s; a 0 la
dx 2
Jo
a
l o g 2
= e^
127 şi cu
2
care este reală pe semiaxa pozitivă (deci arg z variază de 27ti
în contur avem polul z = —- ( — 1 4 - i 0
(«-1)2"! " " ~ A
f « 1
e
2e
i V
;
3
4-
= e
^jfj")
3
2Tri
1 e(-)
3
1 a
2
lim j z/(z) | = lim | z ~ | = lim j z | ° *-*0
x->0
, cu reziduul
2
= 0;
j-»0 a
lim | z/(z) | = lim | z° | = lim | z \ = 0. z-»0
z->0
*-»0
Avem deci roo
^«-idAr -*dx
r
a
x
2
3o 7 Ţ T Ţ 7
+
fl
a
1
a
( - A r ) - i e ( - ) « i dAr
J-
1
4-
AT
2
AT
4-
1
2n ( ~ )^T" — e ^3
sau schimbînd AT în — x în integrala a doua: f
(38)
+
°°
*
a
-
î
d
x
,
\
he
Jo
1+ x
4-
a
AT -ldAT
( a - l ) « i f + * v
271
\
= -—
Jo
2
x
1 - x + **
Egalînd părţile reale şi imaginare căpătăm, dacă a
^
1: 2TU
o 1 — x 4 - AT foo *«-idAr roo Jo
a-i
x
2
dx
14-AT4-AT
2
31
.
2a + 1
1) — ^3 sin (a sin—an ^3 sm sm an 7t 2TU 3 2TU 3 f . 2a 4 - 1 \ I sin 7C I 2n \ 3 2a 4 - 1 cos an — cos TC I =s sin
2n ^3
< • " *>
e
. 1-a sin 3 sin an
Teorii» funcţiilor — c. 127?
an
3
2a
4-
1
cos
7C
_
2n i]3
6 sin an 481
Pentru a = 1 expresiile precedente nu au sens; (38) se reduce la
f «>
Jo
roo
dx
l + x + x*
)o
dx
2rr 2
1
* "~ V
at +
_
3
şi avem
şi deci
Fig. 127
Fig.
log ( 1 + r) r sin 20
9.
128
l < r < 1,
0d0= ^ 2
2r cos 20 -f- r
r < — 1 sau r > 1.
'-r
00
Jo
R. Transformăm integrala într-una cu limitele 0, -f oo prin x = tg 0, 2rx arc tg # - d*. Sîntem astfel conduşi sa considerăm (1 + r) x + ( 1 - r) 1+ * 2
2
2
2
2fz
S
2
2
Ic (1 + r) z
(
avînd în vedere arc tg z = — log 2i
log (1 - iz) 2
+ (1 - r)
+
1+ z
dz
2
> unde C este dat
de figura
128.
l-iz/
determinarea lui log (1 — iz), care este reală pe semiaxa imaginară superioară. Integrandul are polii: . , , 2ir z = î cu reziduul -Ar
log 2
1
z — ± î•
li r
~
1, log 2, 4
=
Q
, 1 1 cu reziduul
x
1+ r . ± ir
1- r , /, log 1 + 1- r \
1-
r\
1+ rJ
Apoi
1
2
i
— log 4 1+ r 1 2r — log 4 l +
,• x, v hm z/(z) == z-»ao
482
ceea ce dă
2
r
(1 +
,• log (1 — iz) hm —— • 2
r)
z->ao
1 -f
z
2
r
Vom lua
A sa dar i log (1 4- r) 2rx 2
log (1 — ix)
2
2
2
( l + r ) * + (1 -r)
foo
2y* 2
2
1+ x
log(l-i*) 2
Jo (1 + r) x
4- <\-r)
14- *
d
j
2
2
\0 ( 1 + r) x
2
de unde rezultatul
log (14-i*)
f
r
2
2rx - 2 t r ? Jo (1 4- ' ) * + ( 1 - 0
=
2
dx =
2
4. (1 - r ) «
arc tg x 2
1+
14- **
, • d#,
2
x
afirmat.
10. Pentru — 1 < a < 1,
1 — r cos 20 2
2 r cos 20 4- r
—=—r^i—n-
(tg 0)° d0
L
a7r
1 4- r cos 20
1
J
2
(ctg0)°d0
S.'T
J
1 + r 1
4 cos — 2
4- 2r cos 20 4- r
cu 4 - cmi — 1 < r <
\,
R. Punînd AT = tg 0 în prima integrală şi x = cotg în ar doua, devin cu —0cînd < — ele 1 sau r > 1.
C°° (1O +4- r)x r)x
- y)
2
2
2
Jo (1 4- r) x Sîntem conduşi (
să
a
4- (1 - r) x dx 4- (1 x_
2
4- O - ' )
2
1
considerăm 2
a
(1 4- r)z 4- (1 - r) 2
2
J c ( l 4- f ) * 4- ( l - ^ )
z
2
dz 8
1+ *
cu C dat de figura 129. Integrandul are în contur, polii:
z = i, cu reziduul
-2r
e e
0
-
4r
2»
4
. 1- r , 2j = ± î 1 + r cu reziduul (1 - ry
1 - r
1+ r ±2i(l - • * )
1+ r
1- y
lim JZT /(z) JT-> OO
lim z / ( z ) =
z^n
an . T
1
arc .
1 I 1 4i I 1 + r
lim 1 + r *-*=o
a+i
z
1 +
lim z \ — r z-fO
a + 1
2
z
= 0.
Deci -f- (1 - r) Jo (1 + r)x* + (1 - r )
2
6
1 + x*
J - o o (1 + r)x* +
(l-r)«
a
( - x)
dx
1 + x* an
2
2
Jo (1 + r ) * + (1 - r )
2
1 + AT
2 [
2
I 1+ r | J
e
i
»
de undtf rezultatul anunţat. Pentru r = 0 avem
^
2
(-\
a
(tg 0 ) « d 0 =
(ctgO) d0 =
<1).
2 cos • Ceea ce se obţine şi pentru r —• 1. H. Pentru —2
real # — 1, a ^ 0.
r sin 20
fl
(tg0) d0
8
ţ Jo 1
c—Jo
2
2 r cos 20 -f r
4sin •
f sin 20
(ctg0)«d0 %
cos 20 + r
1 + 2r a
z dz
2rz R. Se va considera C Jc (1 -h r ) * + (1 -rf ;r = ctg 6. în particular 2
(
2
0
(tg 0 ) -
1
2
d0 = C J
J°
2
1+ z
(ctg
2
. şi se va pune x = tg 0,
respectiv
d0 = — —
°
2sin
a
formulă care se poate obţine «tm cazul particular al exerciţiului precedent dacă înlocuim pe a cu a — 1.
2
.2 C Jo
1 — r cos 20 log cos 0 d0 _ 1 - 2 r cos 20 + r
2
\ — Jo
TC , 1 + * — log — - — 4 4
2
r cos 20
r cos 20 + r 1+ 2,
, < 1 < r < 1,
TC , r , — log r < — 1 sau r > 1. 4 1+ r
log sin 0 d0
f
2
2
R. Se consideră _ }c(\
(1 -f r)z + (1 - r) log (1 - iz) 2
2
+ r) z + ( l - r )
2
dz,
1+ ^
apoi se pune x = tg 0, respectiv AT = cotg 0. în particular, pentru r = 0,
^
444
log (cos 0) d0 = ^
l o
8 (
s i n
6) d0 =
- ~ log 2.
13. Să se calculeze pentru a > O, / > O
t oo I
roo x
\ = \
*~
l e
*
c
o
s
™* d*, I
l a
^fl^i „ z ^ e
c
£ ^
u
a t
1
x*~ e- * sin m* dx.
Jo
R. Fie X = Z 4 - mi = r e ; l
l
= \
2
Jo
^ fig e
considerăm 130 şi
U r a
a
c
x
determinarea principală a lui z ~
u
corespunzătoare
Jc TZ
la
TZ
< arg z < — 2 2 lim | zf(z) | = lim | z«e-* | = lim R*e~ * Rcos
căci - ~ < a < — 2 2
= o,
P > 0). Fig.
lim* / ( * ) = 0.
130
z-*0
Pe latura a doua z = *X Avem deci
(0 < * < 4 - oo).
e - dx =
a
T(a) = f e
e
a o t i
(a
"
! ) [ l o g
'
+
l o g
' +
1
e "
/
X
re
d*
^ ^ e - ^ (cos mt - i sin mt) dt = 0 _0
sau, punînd t = x a
f (cos aa 4- i sin aa) (I
— i 7 ) — T(a) == 0,
x
2
de unde s
i^r" cos aa -f 0,
I = r ., f 14.1
20
JO
f
00
\
Jo
sin aa — I r
cos aa = 0,
2
cos a a T ( a ) ,
x
— T(a) = 0,
a
IjT a
m
a
I
= r
2
sin aa T(a).
a
cos AT , fco # e - * dx = V d AT 4 - a J0 1 - f AT
iR
2
sin
(a > 0).
, f *> Q-*X — dx = \ d x 4- a Jo 1 + x AT
2
{z
C R. Considerăm V
e
dz cu
->
o:
şi conturul C dat de figura 131.
rR
CR
e^dAr 4-
\
Jo x
4-
a
Fig. I
e (
f l + l y
J
f*R
)
iV
— 0
/?
4-
a
4-
d
^
-
iy
eJOR+x) dx
1 — + a + iR JO
(
R
J0
e-^d^
131 =
Q
a + iy
x
Avem rR \
jo 12
R+iy
zK )dy R e
4-
a
4-
y
I er dy ±— | ^ ^ ~ iy \ . o R -f- a
e~
• 0, deci integrala a doua —• 0. R
4-
a
i ( l f l + r r ) dAT
^ i? Jo
R
\ -
z
4-
a
4-
iR
• 0, deci integrala a treia —• 0. R
Rămîne 0 0
f \ Jo
cos x -f- i sin x , .f d* = i l A; + a Ji "o
2,
2
y + a
şi punînd în integrala a doua y = ax se obţine rezultatul afirmat.
f
R. Considerăm
i i i dz
cu R—* oo, unde C este dat de figura 132. Pe arcul T
d0 = —
dz f
i?Jo
(
l - e
4
)->0.
V^Jo
(Criteriul relativ la lim z/(z) nu serveşte aici pentru că z/(z) nu este mărginit pe axa reală.) lim| z/(z) | = lim *->o
e
-
f
s
i
n
e
= 0.
Aşadar 4 C er » cos x + i sin y \ - — d* — e V — d^ = V — dx Jo V * J° J° V* de unde rezultatul enunţat.
f°° e * _ l
00
1- i f » — l 2e V Jo
y
, dx = 0,
2
i6.C*JeL± *=o. JO 1 + X f (log z) R. Considerăm \ — — - dz pentru R—> oo, cu C din figura 133 şi cu determinarea JC l + z iui log z reală pe marginea superioară a tăieturii. d
2
2
2
Fig. 132
92(-i; 2i
-2i 2
2
lim z / ( z ) = lim — (log z) = 0, lim z/(z) = lim z(log z) = 0. z-^oo z-+<x> z z->0 z->0 rco (log .Q»
d
<
~ 47ti ( °
r
1 < > g
_ r » gog
+ ari)»
ă
x
=
2 j ţ
,
* d* + 47t* [arc tg * ] » = 2*3.
Jo 1 + l T . C - J » ! i ! ± i 3 - d , - « l o g 2. Jo 1 + «•
486
x
r
R. Considerăm
log (z + i)
JC
1 +
pentru R —• oo, cu C dat de figura
134, cu determi
Z*
narea lui arg (z 4 - i), care este egală cu — pe semiaxa imaginară superioară. 2 lim z f(z) = lim — log (z
4 -
i) = 0,
log2-f-i 2_ 2i
J_»
1 + *•
2
l
log V1
2
-R
* + i arc tg —
2
iog ( i + A- ) 6
i rr nn* arctg-
J
v
dx — TZ ^log 2
-—
2
1 + *
y
J
dx
0
—i
j
, ^ . = - log 2 4- i -
*J J-*>
LI
2
3
4 -
Jo 1-r* 2 Observaţia 1). Ţinînd seamă de exerciţiul 16 avem şi
\ Observaţia 2) Punînd x
log(*
2
i)
+
- dx
-T'H)
=
7T
lOg 1
deducem
log — I y H — I
4
Jo
l
y)
og y+
,V' ( 7) 1
J
0
+
dy - 4 log 2 [arc tg y]J = - log 2,
y*
de unde
lOg
l
— 1
18.
X
4 -
A-2
4 -
"*<*> #d# 7 T ;
]
d* = — log 2. 2
2
4
1 3
Fig5 C zdz cu R —> oo şi cu C R. Cum integrandul are polii z = KTZ\ [k ^ 0), considerăm I Jc shz dat de figura 135. 0
shx
—
487
lim
[z — ni) f{z)=
— 7ii
j lim
— =
— lim —
= —
11.
Integrandul fiind p a r , şi sh(z + Tui) = — sh z 2
f«_«d
L
+
p
* + iy
i
JO sh x
(R
d
y
(**_+j*
+
dx
Jo sh (R + iy)
Jr
+
sh x
— 7ui „ . C~ — i? + i y d * - i l ^ dy + ( - m ) ( - T C I ) = 0, Jr sh AT Jo sh ( - R + i) w JR -f i y I ARer ic _____—___. d y < • 0, deci integrala a d o u a şi la fel ultima tind la zero. sh(/?+i^) l_e--« x
J
-fl
K
R
5
Q
Rămîne C<*> xdx
A
4
19.
J,
=
—
=
sh
TC
AT
(a real).
f °°
# cos ax ,
V
—
J
y Jo
F® SIN ax , 7U , a7u d# == — th — Io sh AT 2 2
0
2
7u =
— Sh*
4
C
H
2
O Ţ Ţ
2 acelaşi
R. Exerciţiul 18 este un caz particular (a =: 0 în integrala a doua). contur, considerăm •dz
întrebuinţînd
cu R —*> oo,
Jc sh z lim (z — izi) f(z) = — 7ui e" Pe latura din dreapta, pentru a ^ 0, 4flj*e-«*e-«
i*(2? + iy)
1
______ iy) e sh (R + iy) JO Sl
r
dy
d y
< —
< 1 _ e--^
-> o, 1-
2R
e~
iar pentru a < 0, modulul aceleeaşi integrale este majorat de 4TU i ? e * e ~ 1 - e- * -
a7r
0.
2
Astfel integrala pe latura verticală —*> 0. Deci \
—r—d*-f\ Jo sh x Jo
v
dx-\ sh ^
'— sh x
JO
dx + 1
+ f ______ dx - (TUÎ) ( - Tui e—*) = 0 J_oo sh x
foo
JR(rf«« + er*«*)
Jo
sh x
d
r
+
^
e
e
JO
(l + e
468
a
-> *)
foo * ( * « * +
a 7 r
) I 2
1
+
TUÎ
(e"« - ER »*) ^
sh #
7ue-
a
K
2
7u e-
a7C
.
=
f Considerînd acum y
e
i a z
dz, avem la fel sh z
JC
a T Î
lim z f(z) =-. 1, lim (z — 7ui) f(z) = — e
; integralele pe laturile verticale
d
d
V V *+\ ^-h Jo
sh AT
Jo
1
d
*-\
sh z
Aax
{0
+ \
r *+
Jo
sh x
.
dx — T r i -
(Tui)
0 şi obţinem
v
K
(- e^ ) = 0
J— oo sh #
\
~
Jo
adică
a
d* + e" n
-
-
sh x
sh -x
dx = 7 u i ( l - e ^ ) ,
Jo 7U
A = 2
1—e 1
+
e
=
* t h ™ ,
- a K
2
2
Introducînd în rezultatul precedent vom obţine I . Calculul se poate face deodată considerînd t
1) e
l a z
dz.
sh z
20,
O< r < 1
log(l + r )
x sin x dx
SlrJ
2
2 r cos x + r
r >
1
2
R. 1 — 2r cos 2 -f f = O pentru cos z
2i
r«
+
1
1 + e- *
2r
sau r = e
2e-
2ix sin x 1 — 2 r cos * + r
2
1
(r — e *) (r — e"**)
1
r —e*
1
r — e- *
Sîntem conduşi să considerăm %
cu R —• oo şi C dat de figura 136. Integrandul are r — e polii z = i log r + 2^7U, din care numai z = i log r este în contur dacă r > 1; _ i z
JC
0
92 (*o) =
i log r
! iR 4*n
Pe laturile din dreapta şi stînga 71 Jo
r + e»
Jo .foo =
r + dAT
2m
=
27Ti\ Jl
Jo r + e* r
AT
loo
Fig. 27CÎ,
,
136
v
— log = — i g(l+r) r l r -f x Ji r 0
x(r -\- x)
Pe latura superioară *
(x
+ iR) dx
J-R r -
e
-i(s+LR)
2R-R < —
> 0.
48D
Rămîne x dx
f Tt J-7T
x dx 1
Jo r — e~
1 — 2 r cos A- + r
-
ix
Jo f .
Jo
x dx
f * ix
r — e- *
2
e
x sin x dx JO 1 —2 r cos x 4- r
0
0 < r < 1,
i — log r
r > 1.
2
l
- ? ! L l o g ( l + r) + r
2TT
Alt procedeu: transformăm integrala într-una cu laturile 0, oo prin y = tg — (cf. exer2 ciţiul 8). 21. Fie P(z) şi Q(z) polinoame de grade m şi n, unde m ^ n — 2 şi Q(z) nu are rădăcini nule sau pozitive.
S" P(*)
dx = - 9e,
Jo log z
92 fiind suma reziduurilor lui P(z)
în zerourile lui Q(z), log z avînd determinarea cores-
punzătoare la 0 < arg £ < 2n.
Z
R. Considerăm
\ P(z) ^°^ dz cu R —• oo şi C dat de figura 137. Jc Q(z)
lim * /
W
= A»
U
m
=
o.
2 - > CO f°Q
P ( * ) l 0 g *
jo
ew
^
d
_
G(*)
137
3
0
~ ,
v
log
* +
27Ti c L r =
f2
[ î - c o s ( a t g e0)]O : 4- log (cos 0) • sin(a tg 0)
J
6 + (log cos 0) 2
*
2
R. Se va considera ! a z
dz,
z log (1 - iz) unde C este dat de figura 138. a
23
x~ dx
7r 1
Jo 1 + 2 A- COS a + x 490
sin
«TT
sin aa sin a
(— 1 < a < 1,
—ÎI
d0 sin
(a > 0).
1- e
2
w
i
%
(?(*)
Jo
de unde afirmaţia.
Fig.
C'J v
d* l P(*) * - jo
< a <
TT).
20
T.CI
x
a
1
lim zf(z) = lim z~ z-+ oo
Jo
(
p
*->.0
2
1 -f» l x cos a + x
ia
- . - ( - - a ) ai
i a
-
^
-
e
-
i o t
'
\ T t a ,
2 : T
i a
e
%
I = 2^ii e -
-f — e
= 0.
*->>0
Jo 1 + 2* cosa + x
-(7t+a)ai
— e"
a
= O, lim zf(z) =_ lim z ~
z-+ oo
î
—
/
de unde rezultatul.
*\» r°° sin 24.
V
1 , a — cth 4 2
CLX
- - —
dx
-27W JO e— - 1
=
1 (a rea/
2a
^
0).
sin az dz cu i? —• oo şi C dat de figura 140. Integrandul avînd polii J.TZZ JC e—" - 1 z — ki este olomorf in interiorul conturului. ii
i
R. Considerăm
lim zf(z)
căci lim
z-+0
z->0
lim (z — i) f(z) = sin (ai) lim
Jţnz - l
e'
z— , .
n
2TT )
. i
li
V
1
_=
4
sha. 27TÎ
Pe latura din dreapta
li 1
,
0
s
i
n
a
(
R
+
2n{R+iy)
dy | ^ 1
iy) _
e
<—
!
DL
J (' 0
.0. Fig.
2
140
Pe latura din stînga .f 1
1
Jo e
sin aiy 2 7 ţ i y
-
1 fl V sh ay dy 2 Jo
f
1
sh
ay
dy
i Cfl sh ay (cos rzy — i sin 7ry) dy
niy
1 *
Jo c 2isinwy"" ~~ ~2 J1
i f V sh ay ctg n y dy = 2 Jo
1 (ch a — 1) 2a
sin rcy i fl V sh ay ctgrcy dy. 2 Jo 491
Avem deci sin ax
r°o
l
0
S
dx
2
e ** - 1
sin a(x -f- i)
oo
— cha) \
d # = ( L 2n
o
e * - 1
=
— (cha 2a
-r-
d#—îsha
3o
-
S
h ay ctg 7ry dy
2 Jo
00
cos a A2
Jo e ™ -
i
1
IC 2
1) +
f
7T1
i
T
2^
dx i
sh a.
De aici 0 0
sin a A , Jo e ** - 1 d* =
1 . 1
sha
1
1
, a cth — 4 2
=
2
4 ch a - 1 2a f , (a # 0). = i sh ay ctg 7ry dy 71* — 1 2 sha Jo Observaţie. Punînd x = — AT' Ş I a = — a', apoi suprimînd accentele avem 7T ' b 0 0
cosa*
sin ax
°o
o e
,
QA;
—
2a - l
, dx
— 1
1
T T , arc = — cth — Ab 2b
1
(a # O, 6 > 0);
2a
real i
altă soluţie în exerciţiul 49. 25 f
+ C
°
arc tg x dx
_ :7T(0C — 7t)
_
2 cosa
2
j-oo
1 — 2#sina + x
(cu determinarea principală a lui arc tg x) f l o g ( l - iz)dz 1, 1 + iz — log > vom considera \ cu R- •co 2i 1 — iz Jc 1— 2z sin a -f- zşi luăm determinarea lui log (1 — iz) care este reală pe semiaxa imaginară superioară. Conturul C este dat de figura 141. în contur avem polul z = — ie * cu reziduul R. Avînd în vedere arc tg z
1
0
log(l-e w
-R
=
2(ie
10t
i a
)
ilog(l-e
-f sin a )
i a
)
2 cos a
Avem a . (
1 -e
i
a
=
ai
aii
\e
—e
ai
J =
— 2ie
deci log I 2 sin — I + i
—
Fig. 141 2 cosa log(l-iir) lim z f(z) = lim — log (1 — L?) = 0, unde / ( z ) = z-> x> z 1 - 2z sin a + z
;->oo
log +
0
°
2
K R G xJT+~x - i arctg 1 — 2x sin a + x
d# == 7T -
2
— 7T
I
2) cosa
de unde arctg#d#
7T(a ~ 7 T ) !
-oo
1 — 2* sin a + x
2
2 cosa log
f + 00
J-oo
432
LQG(L
+
2
A ) d*
1 — 2* sin a +
_ A
2
h i )
2
sin — >
*L 26. r J__o (a + ix) {b - ix) m
0
—
_ ^(a 2
(a - ix)
J-oo
« « — •
+
(b + U ) »
+ 0
r
t » + « T(m)
d
_f ° * ~" J-oo (a - ix) (b - i*)»
n
Q
m
(a + i * ) * (6 -f ix)
J-oo
^ m
dx
r+oo
CM
0
r
= n
a, 6 > 0, 0 < m, n < \, tn + n > 1. Să se deducă
i
2
(cos e r + » - * cos ( , » - » ) e de = —5—
,
r
m+*-i
0
2
r
(
r
m
(
+
m
! )
*~~ . j i
)
(
n
)
dz
R. Se consideră | (vezi fig. 142). Conturul nu conţine punct ii Jc (a + i * ) (b - iz)* critic z = iu; /(z) este olomorfă în interiorul conturului; determinarea ce vom fixa este aceea pentru care (a 4- i z ) este real în segmentul (0, ia) şi (b — iz)*, de asemenea lim z/(z) = 0 m
m
*->00
(fiindcă m -f n > 1); lim (z — ia) f(z) = 0.
m
dy— — .ie-mw. f1 J. (y - a)"»(6 + y )
n
r+oo
2
sin
m
(b+
= o n
y)
d y
WITC
ar
Ja ~{y -
(a + U ) ~ ( 6 - U )
d y
h ie+»w>\ J« (y -*)
H
r°°
dAT =
JJ—oo -oo
.f »
00
dx 1r-foo J-oo (a + ix) (b - ix)
(b
+
y ) »
Ultima integrală devine, făcînd substituţia AT
y —a—
1
-
* + bx AT
(a -f b) sau y =_
\ — X
M
, , y + b ••
{a + &) -"»- i X~ {\ - *)»+»-» dx = (a + b) 1
n
1
a -f 6 1—
X
T ( l - m)T(m + n - 1)
rw
Jo T(tn + n - 1)
TT
( « + 6)
1
sin mTt
JT(m) JT(n)
A doua integrală dată se deduce din prima schimbînd a cu b. Pentru a patra integrală se întrebuinţează conturul din figura 143, în care nu există nici un punct critic. Se vede imediat că ea este nulă. La fel a treia integrală.
Fig. Punînd a =: b =1,
142
Fig.
143
x = tg 0 şi observînd că
î =: cos 0 (cos 0 — i sin 0), 1 4- i tg 0 1
= cos
m + n
1 - i tg 0
cos 0(cos 0 + i sin 0),
0 (cos(w — w)0 4- i sin (n — m)0),
w
( l 4 - i t g 0 ) ( l - i t g 0)» 493
integrala devine fn/2 cos
m+n-2 Q
c
o
s
(
T(m
TT
- w) 0d0 =
n
n/2
4-
2^+»-2 1
c o s
f»+n-2
6 s
i
n
(„ _
m
n - 1) I
»
) 0 = 0.
J-K/2 0 0
sin
Î « ( A
-oo
A
—
* —a
a) sin n ( * — b) , sin n(a — 6) £. 1 L dx = TZ x —b a — b
( m ^ n ^ O a, b reali, a#fc).
R. Se consideră r îm 2-a) _ j \ dz, Jc - a) (z - b) unde curba C este dată de figura 144 integrandul este olomorf în z = b, e
(
s
i
n n
(
z
{
6
a
lim z / ( z ) = lim — e ™(z- ) x->co r-»-oo Z
sin n(z — 6).
Avem z
2 i?
#
(pentru câ m ^ n ) . > x .. sin « ( * — 6) hm (z - a) / ( z ) = hm e ( - > = *-*a x->a r — i m
Astfel
iwl
a
e
< * - ° > sin n ( * (x — a) i* — 6)
oo 0 0
6)
z
iw
f+*> d* -}- V Ja
sin fw(# — a)sin n ( * — b)
_|_ p f
(x — a) (x — 6)
oo
sin n(a — 6)
a
• a — 6
a
e »(*- > sin n (AT - 6) - a)
(AT 00
c
o
J-oo
s
(AT
-
6)
a
s
~~ ) (AT
— a)
a*
m
(A;
~" ^ —
d —
6)
. sin n(a — b) a - b unde P se numeşte partea principală a integralei respective 00
~~ f 28. V
sin °
W
,
+
1
dx =
: 2
l
2
S
R. Se consideră
»
2lt
, , (a real # 0).
4sh-f-
sin az
c e
ciţiul 24.
1
(vezi exerciţiul 42).
cu conturul dat de figura 145 şi se rezolvă la fel cu exer-
* + 1
-Li 2
-/?
<> R
o
Fig.
" " d t i
144 Fig.
2TZ 29.
f2«
Jo
1- r
d0 1 - 2 r cos 0
4-
r*
2TT
r*- 1 494
145
a
pentru ( - 1 < r < 1), pentru r < — 1 sau r > 1.
R. Punînd x = tg — 2
integrala devine
2 dx
f*» 2
Jo
r«
2
(1 + r ) * + ( l - r ) *
2_c 2 d*
Jo (1 + r ) (1 + x*i)
+
8
2
+
2r(l - x ) '
Se va calcula 2( Jc
dz si 2 f î_ Jc (1 + r»)(l + z*) + 2r(l - z*)
* (1 -f r )
a
-f (1 - r )
2
unde C este dat de figura H6.
«1!
-R
R
0\ Fig. H 6
Fig. 147
O metodă mai rapidă este următoarea: facem transformarea z = e'9, care duce segmentul (0, 2n) în cercul \z\ = 1 (vezi figura H7). Integrala devine i dz +
— r Dacă — 1 < r < 1, arg |
iC
!)-(!+
=
r*)z
\ I creşte cu 2TZ
1 (punctul r fiind interior şi —
exterior
lui C). Deci 2rz 1-r*
2
r - 1 Dacă r < — 1 sau r > 1, am avea / = ' d
30. Jo
6
1-ae'O
2
- 1
- f *
M < 1.
(0
lai > 1.
R. Ca la exerciţiul 29.
J
0
a - i L cos 0
- 6
2
l
6
J
(a, 6, > 0, n > 0 întreg).
495
R. Pentru a transforma această integrală într-o integrală pe un cerc observăm că +
R = _ R
n
Jo
Jo
("=JLC \
d e c i
Jo
2 J_7ţ
!
Punînd acum e 0 = z avem
i r
u
n
z
+ zI = — V — dz 2 Jc b (z* + 1) + 2 ia z
C cercul \z\ = 1.
Dar
r
n
C
z dz
Jc b (z + 1) + 2 ia z
n
z~ dz
Jc b(z* -f 1) + 2 ia z
2
cum se vede înlocuind z cu \\z în una din integrale şi observînd că sensul de parcurs se schimbă. Aşadar
t
T
*• d i
}cb{z* + 1) + 2iaz o
.
.
—
2
a 4- J a 4- 6
2
In interiorul cercului avem polul z = î
cu reziduul
0
b
3
92
i! 2
6
2 i V « -f fe V
0
n
( - . + >±GY'
2
2(fcz 4- ia)
Ş I / =
2;TI9
,.
/
6
32. I = [
e"* cos (sin 0 - 20) d0 = — . Jo 2
j
R
=
_L
f
71
71
_ _ _1_ f
2 J_„
=
4
/ cos6 4- i.(sin6 - 26) ^ e
e
cos0 - i (sinO - 2 6 ) ,
d
Q
=
) _ „
— C e*z dz — e* zM — « 4 JC z _3
= S
— C e* z 2 Jc
—
C fiind cercul | z | = 1. Avem polul z = 0 cu reziduul
- 3
dz,
(cum rezultă din dezvoltarea lui 4
e*). D e c i / = 27ri|- -i-j
= - y.
33. \
Jo
d# = log ch — • 2
# sh #
1
r
\
E
BIX
R.
Considerăm — V dz. Fie a > 0. In conturul C din figura 138 avem 2 Jc ^ sh z polii z = Â 7 C I {k = 1,2, . . . , n ) , cu reziduul total (pentru i? —• oo): i oo 1 -ank i i i i -an — T (-1)* = — [ - l o g 2 4- log (1 4- e - « * ) ] = — l o g — 27ti i k 2ni 2ni 2 Apoi e
e
1
_
şdlX
{
lim z/(z) = lim
z+o
z-to 1 e
496
—
_f-
E
S
- ^
,
2 sh z
N 8
/?cos6 — —.RcosO e
a
i
ţ
2 ?. e
#cos6o
e
-/?cos©9
pentru
O ^ 0 < 0 < - ~ ; la fel pentru - ~ < 0 < 0 ^ 7T. Pe de altă parte | zf(z) \ este O
X
mărginit în tot planul dacă scoatem cercuri arbitrar de mici, cu centrele în punctele z — kni (căci această proprietate o are ——~ \ . Deci integrala considerată 0 pe cercuri de rază sh z ) 2k -f 1 R = 7i; ceea ce este deajuns, pentru că integrala dată există. Avem deci 2 _ \ 2 Jo
S
d*-f
—
x sh x
\
dAr
2 Jo
-
1 — cos ax
o
x sh x
_ dx =
+ (-m)
ai
x sh x
arc
, (- log
2
\
1 -f e~
a7t
2
2
o7ţ
, 1 + e~ = log— __?L 0
2e
- log —— J
2
2
, , arc = log ch — 2
-0
1 — e ** Pentru
a < 0
.0
am considera — V I I JC
V
dz. z sh z
sh x J x
R. Considerăm C f— JC\z
—1 — c u C dat de figura 143. sh z J z
(Integrandul este olomorf în 0). Avem \zf(z)\—*0 pentru R —• oo în orice unghi cu excepţia unui unghi arbitrar de mic în jurul axei imaginare; \zf(z) | este mărginit în tot planul cu excepţia unor cercuri arbitrar de mici în jurul punctelor z = krzi ^aceste —- şi \ • Deci C —• 0 pe cercuri de raze ^ z sh z) Jc 2
n.
proprietăţi
avîndu-le
funcţiile
Suma reziduurilor este T—- nu dă \z
\ 2 ( — 1)* -— = —- log 2. Aşadar integrandul fiind par 7ci A 7ci
reziduuri)
r«>
35.
(j_
i^
j - & \ x
sh x)
* Jo
x
r«> r_i jo \ x
-2- (a* + a ) e -
S i n
(AT*
d# _
" * d* -f l ) 3
î^ sh x J
dx
= 2 log 2.
x
(a > 0).
16 !ox
C z e R. Considerăm! JC (z* + l ) dezvoltarea tayloriană a lui
dz, unde C este dat de figura
143
9i?(-fi) se află din
3
/ ( * ) = [i + (z - i ) ] i « U - i ) - « e
î—f 1 + 3
(2i) {
-LZL_)~
2i
j
î
3
(z - i )
3
în jurul punctului i: 1
a
2
. [i + (z - i ) ] e - [1 -f i a(z - i) - 1 a*(z - i ) + ...] (z - i ) 2
x
3
'<2 -
Tcorlu funcţiilor — c. 1275
497
de unde i e-
a
92( ~ i
=
6
Ll
8
3a
^
2
=
Apoi lim
T / ii
aM
2
2
. 3 /] + ia + - i
J
2
J
a
— (a + a)e- . 16 li
=
-aR sin 6
e
m
0.
=
*->oo R*
Deci r«o jre*°* d # JO
de unde rezultatul C
36. Jo
ROO
•\ Jo
1)3
(A* +
*
E
- I « *
27â 2
(A + 2
l)
d* = — ( a -f a)e 16
3
enunţat.
S
° d.y = — » 1-4 ,r 4 2
|TC
f e * dz R. Considerăm \ cu R —• oo şi C dat de figura 148. Jcl-4*« 1« lim ( iy e2 = P
/
/
2
x
Irr
lim
Deci ţco
, T : x e
d,r
Jo 1 _ 4 *
e~ 2
Jo
l f t ?
r«> cos 7C# d#
2
1 - 4A; ~ ~ Jo
1 - 4A
2
*1
2 if ~
" ţ
*
4 j ~~ 2
ri ^ - ^ ( i _ ^)? dx =
37. jo R.
1 4- x
Considerăm
r
.(l sin pn
+ p-2*)
( - K P < 2).
^-p(i-^
dz cu R —• 0 0 integrandul poate fi separat în determinări Jc 1 4- * uniforme în domeniul mărginit de conturul C din figura 149. ( 0 0 nu este punct critic); vom lua pentru z ~ • (1 — z) determinarea reală pe marginea superioară a tăieturii: x - • (1 — x) (0 < x < 1). în segmentul ( - i ? , 0) aceste determinări sînt ( - A ) - * e l - » ) " • (1 - x) . Deci l
p
p
l
1
9 2 ( - l ) = 2* eU-*»)^ = -
2 * 6 - ^ .
I
—iî^T^ Fig.
-/?V-1
148
Fig.
149
Apoi lim zf{z) = 0,
498
lim {z -
1) f(z) = 0.
1
1
p
p
p
Pe cercul T criteriul relativ la lim z f(z) nu se aplică, limita fiind oo f = lim z f —- — lY* _->oo
^
z-*oo
\
Z
J
= oo j . însă ^ = — 27ii92(oo) (care se aplică ori de cîte ori oo este punct regulat sau singularitate izolată). Avem la oo:
=
T T 7 ( ' - T r -
W
cu determinarea principală a lui l | 1
-(2FI+l)pni
c
u
k
- i
+
- ) -
I . (Factorul exponenţial este în orice caz de forma
"i "TÎ
E
1
- ' " ( ' - T + - ) (
determinat; cum pentru z = -
R el se reduce la e ~ ^ \
[p -f 1) e""*™. Cum pe marginea inferioară a tăieturii si-i^l - )P = X -P(l - *)* e avem
£ = 0.) Deci92(cc) =
=
L
2 ( 1
Z
(1 _
/
=
e
-
2 p n i
)I
= -[2mtf + l ) e ^ p
_
2me ™ 1 _ e~ £»«
tf
! _
+
2
z
. /_c ^ M I - ^ _ r 1
38
Jo
2
1 + **
4
C
n i
+ 2m 2*
») = — — sin pn
O
S
-^™, -*
) T c i
],
4- 1 _ P ) .
tf
2
£-_
,\
4
J
sin />:r \.
( 1 e
(
_ i <
#
< _ , .
l
f z -*>( l — z)* R. Considerăm 1 cu R —• i, conturul de la exerciţiul 37 si aceeaşi deterJc 1+ * . . . minare a integrandului, care poate fi scris a
f[z)
= — - —[ 11 +
2
*l
— Y* e
-75
1
^ , cu determinarea principală a lui ( 1
1
xJ i 9? (i) = — (1 + i)P e~ 2i
i ± = — Z2 2
pni
- ( l - i ) P
92 (—i) =
E
N
^
I
= - ^
-2i TC(i) +
2
__. * 1
e
E
— Y*. * J
p7ti
e~ ,
4
e-/™,
2 TC(-i)
lim zf(z) = 0, lim (z -
lim zf(z) = lim ( l
1
= 2*2 cos ^
• e"^ ,
l)f(z)
l
pn{
-Y
e~
= 0,
pni
=
e~ .
Aşadar (1 _
2
e
- >"V = M e - * "
1
^ c o s t
-
lj,
de unde rezultatul. 499
39.
/ = | J-i
— dx =
Isin — + cos £ sin^l 2 2
1 -f x*
II J
(-l<2).
r ( i + z ) - ^ ( i - z)p V — dz, cu C dat de figura 150 si cu determinarea reală Jc 1 + z* marginea superioară a tăieturii. în acest scop vom duce pentru (1 4- z) ~ făcînd să varieze arg (1 4- z) de la 0 la 2n, iar pentru (1 — z) tăietura varieze arg (1 — z) de la —tt la TZ. Astfel pentru z = i aceste argumente sînt . In n _ . pentru z — — 1, — şi — . Deci 4 4 1
R. Considerăm a integrandului pe tăietura ( — 1 , +00) (1, -f-00), făcînd să n n — si , iar 4 4
l
p
9
9£(i) = — 2 2i
e
2
* — />
2
e
7fti
e
= — V 2i
/>
2 e
>
ni
2 e
f TT
=
„ n \ .
y2 e
»
2i
+
= V2"
lim z / ( z ) = lim f 1 -j
qe _I) (
E " * * ' SIN Ţ - ^ - +
—^
Ş
_
_ L
2i
j
=
^2
E - ^ ' Ţ S I N
711
* (—
1
E - * »
lV* = e~^ , căci
L
( E
tl
T
+
+
T
J
' -
COStl
j
determinarea
E "
L
T
+
T
J
')
=
.
ei
este
de
forma
z-> CC ^ Z J ^ Z J - ( 2 * + i ) p£ f j (deoarece integrandul este uniform la 00) şi luînd z = x > 1, se vede ca k — 0, deoarece argumentele factorilor sînt atunci 0 şi — np pe marginea superioară a axei (sau 2n(\ — p) şi TT/> pe marginea inferioară). lim (z + 1) f(z) = 0; lim (z - 1) / ( * ) = 0.
2 -> 00
1
E
c
u
x
z~> — 1
Cum pe marginea inferioară a segmentului ( — 1 , + 1 ) factorii au argumentele (1 — p)2n şi 0, urmează (1
-
E -
2
» " ) /
+
I =
2m
E - ^
1
=
_ J L _ F S I N ^
sinpn \ 4
0
RI
^ d - ^ ,
Jo
(1 + *)"
d
,
_
2™
E - ^ S I N
+ C O S ^
2
&
-
_
2P
COS ^
j
,
l).
2
Pd-P)n
+
) l
<
p
<
,
2
8 " sin " *pn i-P(l
- z)* — dz, cu C dat
Z
R.
de figura 151 (1 + X)* şi cu determinarea reală pe marginea superioară a tăieturii. m
'R\lV* d§
9//T
l i m
Considerăm
*/M =
L I M
L
lim Fig." 151
1/(1)
l i m
= 0, lim (z -
z
l
=
^2»
E - ^ ( l
-
_
1
p7ti
~ { - — Y e- =
0,
1) / ( z ) = 0.
în s = - 1, (1 + z)* f(z) are valoarea 2* şi deci punînd z-f-1=£, avem / W
500
l
*~ F — - Y =
J L J *
{ i e
~
p ) n i
= - 2*> e ' ^
determinările principale ale lui (1 — £ )
x - p
şi (1
2*
/(r) =
s
;
l
2
a
u
J -
e-**
1)
8
£3
de unde
8 Avem deci (1 _ -2p7cl) / = 27ti 2*
H -przi
e
e
8
8 sin pn
-1
dx = 2
(a + x)
sin />TU!
R. Ca în exerciţiile
precedente.
p + OO S a e ^ d v
42. 1 - e*
J — oo CM
e < X < 1 - e,
£ a = O
v
v
R. Punînd e* =
r
V
Vom calcula
pţ-j^-^jr-'+n JO
1 -
Considerăm lim zf(z)
l
r + O IJO
\—
> cu C dat de figura 152.
Jc 1-
= - lim
X
2
o<*<«.
Jr+lJ
_
= 0
1
lim z f(z) = lim 2 = 0 *-»o
(X -
1 < 0),
Fig.
152
(X > 0),
2->0
e
lim ( 2 — 1) f(z) = i~ * 2-^1 \ — e **
ma
P r g i n e a superioară a tăieturii, pe marginea inferioară a tăieturii*
21
Pe marginea superioară a tăieturii integrandul fiind luat real, pe marginea inferioara are valoarea precedentă înmulţită cu e (X-i). Deci 2TC|
oo
£X-1
(1 _ e*«(X-i)) P C ° ° — Jo 1 oo
P
£X-1
\ î Jo 1
„ . P\
dl
J;
=
x
> e*
Jo 1
n
d£
cotg TTX
2îT
(7ri)(e iX + 1) = 0
0 < X< 1
dx =
TZ C O t g XCX.
501
Cînd
L a = O, funcţia g(z) = — ^—- este olomorfă în z = 0 deoarece zg(z) are v 1— e — £ #v = 0 ( P marginea superioară); deci integrala improprie dată există şi are valoav
e
limita
V c o t
rea 7u £ a
v
43
g *u^v
Jo (1 + * )
2
Jo (1 + * ) »
2
R. Considerăm
Ic (1 + *)»
d
'
cu C dat de figura 153 şi cu 0 < arg z < 27t. log*
92(
. dz
_u—-o
or
\-i
2
J*=-i
7tl e
Ti
.
L \
,
z
V*l z
J*=»-l
* _ i, 2
2.2
lim z f(z)=0, Fig.
lim z f(z) = lim
log z
153
Jo
" ( T W
d
= 0.
— V^flog A- -f 27U) dx = 2izi
* - ) JO o
(1 + * )
2
de unde C°° V* log * Jo (1 + x )
.
00
9
.f V*d* Jo (1 + x)
9
2
44.
S
I
*
2 n
d*
0 ^*(1 -
_
2
jţ_
1.4.7 ... (3n - 2)
V3
3.6.9... 3n
w ^ 1,
2
x)
^
(n întreg)
w = 0.
U3
r R.
Considerăm
n
2n
z
• , cu C dat de figura 154 si
*~ ]ff cu determinarea pozitivă pe marginea superioară a tăieturii (0,1) * / care este uniformă în domeniu. lim z f(z) = 0 (pe marginea superioară şi inferioară), z-+0
Fig. lim zf(z) 2-»oo
lim (z z-+i
154
1) f(z) = 0, lim (z + 1) / ( * ) = 0. z->-\
— x ; totuşi V = — 27ri92 (oo), pentru că f(z)
este uniformă la oc.
Jr
z = oo avem (cum se vede prelungind pe axa reală dincolo de z = 1)
502
în
în dezvoltarea binomului termenul în — are coeficientul -2) n\
\
3)\
3
J
l
3
J
n! 3
3
3
3.6...:3w (n > 0).
Deci 92(00) =
1.4 ... (3n - 2)
-
Y
e
( » > 0),
3.6 ... 3 » iar pentru
n = 0,
8
92(oo) =
e .
Avem acum 2*Tl
2TCf , 7Cl
27ri92(oc ) = i — e
i-he
I
-f e
1
\5/( - * ) 0 - * ) 2
Jo
2
(Se observă că pe, marginea inferioară a tăieturii (0,1),
, a
J-i
x(l — x )
^l-*)(l-* )
27TJ
pe marginea inferioară a tăieturii (— 1,0), acelaşi radical devine e etc). Sau, schimbînd x în — # în ultimele două integrale: 27tj
3
2
x{ 1 — x );
- i 3
2
" ^ ( — *)( 1 — * )
2ŢŢI
3
(1 - e
3
devine e
+, 11 4-, e^
3
3
3)x/ r =
2(1 7 / 1- _ e
3
0
3)
J =27rr92(oo),
de unde 7T1
T -^—1.92(00) = -
/ =
3"
^-92(oo).
Vi
2 sin — 3 00
45.
C
sin 2n x
dx
2
e» - 1
|
=
sin x
2
x + 1 r
R. Considerăm
e
2
(e -
2iniî
JC
(« întreg > 0).
TC
2
2
z + 1
sin z
1
1) e » f
cu C dat de figura 155. S-a luat — 1 la numă-
rător pentru ca integrandul să fie olomorf pe contur (numărătorul avînd zerorile numitorului).
_ 1
2i
e — e 1 e - 1 2 l n z
lim zf(z) = lim «-•oo
1 2im _ 1
2 1 e
< z dx lx
»* - 1 sin #
46P Jo
5
at-
^
sin
+~1
e
E
/?
-
2
oo r«
11
~
e
+
f
00
Jo
2
dx
2
Fie. 155
^.
sin2«#
dx
^.
= 2i I
1
4- l )
*(*
-J—RsinQ
Jo
a:
0
— e
-2i«* — 1
2
3 l
+ 1) sin +
at
l)
2
^
=
* ]e"
sin x ~2~
V3 ) W 6l
+
e"
2tt
— 1
= 2ÎTI
Jo
« f!
2
(*
2 N I Î 5 I L I E
Asin 6
+ 3 , - f 1) c o s , ^ 4
=
sin z
2
e
căci zc
z
j | ţ V3 J
2
x 4~ 1
_ 1
—e
1 cos — , 2 2"
e
•
e
. 1 sin — 1
503
ţ
e
.c
,z
dz
, unde (* + * + l ) X* + X + 1 = (x + 2
C este dat de figura 156 [observînd-se că
a
2
2
2
1)(* -
X +
lz
lim zf(z) = lim —e
+ 1)]. eţ*
= 0 căci
e
Fig.
în contur avem polul z = e
156
2nI
0
/
3
-£sin
<
*3
e
# 3
l + iVT 2
=
2e
(iVT)
-i+iVr
VT ~~2 3 lx
T«>
e
i T
6
dx
f«5
2
Jo ( * 4- * + l )
2+
e
Jo ( *
2
~ -
u
2
i
=
e
"~~2~7 , 2 U 1 114——II cos V V Jl
4
_
+ 1)* "
1+
3
. . U î sin — I , J
1
3
3
d*
X
T
(iVD
y/T
VT i 2i — e 3^3
2
2
2
2
2
f ««> (* + 3x 4- 1) cos x — 2ix(x 4- 1) sin x (*4 2 + 1)2 Jo +
e
cos
X
isin
T( ^) "^( î~ î) de unde rezultatele. 47. ( ° ° t^e-U Jo
2
dt = e
T{z)
(0 < Re 2 < 1).
R. Se ştie că T{z) = Considerăm 1
X?-
1
l 5 Jc
2 _ 1
dt
_
e C d£,
cu
(Re z > 0). C
dat
de
figura
157
cu
determinarea
lui
lo
= e^" ) S - definită prin 0 < arg £ < —. Punem z == * 4- iy, £ = re^ = t 4- is. 2 r
lim | 5/(5) | = lim r*er>0- « » : e = 0 ^-•0 r-»»0
(*> 0).
Pe arcul T nu se poate folosi criteriul analog, fiindcă 5/(5) nu este mărginit în direcţia axei imaginare. Dar 2
f < C I Jr I Jo
{x-l)\oşR-yQ-RcosQ d6
e
i
Jo i
R Fig.
e 2"
157
S-a utilizat inegalitatea cos 0 ^
iii-') h f ) ' 6<
Avem deci 1
t*- e~< dt-
504
l)
ie * f (
1
i8
s*- e~ ds = 0
R
~Î )
— 0
(x < 1).
z-i
t
e
-it
d
t
=
e
La fel, considerînd conturul G din figura 158 se va obţine
*-i u dt = e
t
2
r ( 5 ) .
e
48. Jo
cos t dt = 17*) cos — 2
(0 < Re z < 1),
sin t d* = r W sin —
( - 1 < Re z < 1).
1
f*-
Fig. R. Pentru 0 < Re z<
158
1 ambele formule rezultă din exerciţiul 47. Pentru — 1 < Re z < 0, f
0 0
formula a doua se extinde prin prelungire analitica a ambilor membri A
z
Y
t~
sin / dt este,
Jo
într-adevăr, olomorfă în banda — 1 < Re (z) < 1, pentru că 1° integrandul este finit şi continuu ca funcţie de t şi z; 2° olomorf ca funcţie de z pentru fiecare t\ 3° integrala converge uniform la ambele limite (vezi cap. I V , § 77, teorema 26). Pentru 0 < / < 1, — 1 + e < # < 1 — e, z
l
1+
J/| = | t~
sin / | < / * < *" e
(| sin t \ < /)
şi vom avea pentru / —• 0, a
| t f\
< / - ! + « + « - > 0 uniform cu
1 - e < a < 1,
adică integrala converge la limita inferioară 0 (vezi criteriul A , § 77, cap. I V ) . Pentru t > 1, | / | < t ~ | sin t \ < t~ | sin / [ , x
l
e
Şi a
| *°7I < ' ~
e
| sin t\
şi criteriul nu este aplicabil (pentru oc> 1, a — e > 0). Dar 2
\
1
t-
sin dt\ < V
t-* dt,
ultima integrală fiind convergentă la limita superioară, în virtutea criteriului lui Dirichlet. Formula a doua dă aşa dar o reprezentare ca integrală a funcţiei T{z) în banda — — 1 < Rez < 1. 49,
«> 2sin ax dx Jo
2n
e
z
1
_ l a
e R. Considerăm / = ^ J
dat de figura reziduul total) n
159 avem
c
e
-
2*3
1
1
,
: + («>0). 1 2 a dz . în conturul C _
1
polii z = ki(k = 1,
~-ak
n) cu
1 1 -* - 1 — e ° 27r(e - 1) Jfc=l 27T 2TT e- - 1 pentru n—• oo, iar lim zf(z) — \\2TZ. z-+ 0 Spre a obţine integrala dată şi pe jumătatea din stînga a conturului (unde x este schimbat în — x), vom folosi identitatea a
e
_
fl
a
1
\_
505
Vom scrie anume f
r
J
e2*«- 1
C j
e^dz
r
Jc.e-2»» -
1
e
0
i
,
d
^ _ i .
2
Jc,
2
în ultima integrală C poate fi înlocuit cu segmentul ţo, | n 4 - -î- j i j (integrandul fiind olomorf 2
în dreptunghi): J
Q
=
C e JC,
-
a l z
a
dz = i C T e- My=Jo w
+
- ( «
A
e~~ (
T T +
-
~2~)
l ) — - pentru » — o o . «
Pe latura din dreapta 1 |j
|
n
=
+
Il T _2 ! Jo e **** ^ 2
<
1
n +
V T e - ^ dy-+ pentru n — oo. 1 Jo e2-« - 1
e*** -
1
fl
1 a La fel pe latura din stînga, | / j I —•
pentru 27lR
(e
n —• oo. Rămîne, după ce am făcut
— 1)
r — 0: i c 7 a ?
rR (
Jo e*" -
la
e~ *
e
1
1
i
Jo e 2 « + l
2
Făcînd n—• oo, apoi 7? —• oo, obţinem formula dată (vezi şi exerciţiile 24, 28).
$
2n
l
zo x ~ dx _ _ _ 00 e ** - 1 2
*>
2
AT "
Jo
( „ întreg > 0 ) ,
DAT
=
sh
Br, _JL An
=
( »
J?»TC » 2
întreg > 0 ) .
2
R. î n formula de la exerciţiul 24 dezvoltăm în serie sin ax. Integrandul se scrie (— l ) (ax) -, serie uniform convergentă într-un interval 0 < r < x< R, deoarece (2n - 1) ! e ** - 1 n _ 1
2n 1
2
T
este mărginit. în membrul al doilea avem pentru 0 < a < TC: 2
e ** - 1 1
e
a
-
1
p
00
1
a- - -2 + £ T
1
2
( -
1
-( 2— H ) !^ a " .
Identificînd se obţine prima integrală. A doua se deduce integrînd prin părţi cu privire 2n
l
la x ~
dx şi apoi înlocuind
x cu — . TC
Exemple
f»
22
x dx r°° # 2
^
' Jo sh x ~ 50.
V )Q
22
TC TC
AT
A
Jo sh
6
B TZ
=
sh
0 0
rf ° x dx 2
AT
4
TC
30
2 N
N
2«
R. Se dezvoltă în serie, după puterile lui a, cei doi membri ai uneia din formulele de la exerciţiul 19) şi se identifică. 506
0 0
2n
1 (2ir\ 51. Y — = # *Zi A*» 2(2n) ! 1
;
(n In/r** > 0).
n
R. Plecăm de la dezvoltarea care defineşte numerele lui Bernouli: z cotg z = 1
2
TTTT
7
2
De aici se vede că
(
(2n) !
2 ;
2
) "
2w
J5 este reziduul în 0 al funcţiei
cotg z
Considerăm
n
acum
(2n)! cotg z
dz, pe cercul | z
; în acesta avem, pe lîngă z = 0, polii z = KTZ (k =
= ± 1» •••» ± h); reziduul în z = kn
1
este
-. Astfel 22»
*+°°JCfc
2
-
n
7T
2 n
i
A
2 n
(2n)l
Cînd —• oo, integrala —• 0 (ctg z fiind mărginită în tot planul minus cercuri de centre kn şi rază arbitrar de mică). Obţinem astfel formula dată. 0 0
f cos ax , 52. I dx = Jo ch nx
R. Considerăm
(a real diferit de 0). 2ch-
cos az i JC ch nz dz. In conturul C dat de figura 160 avem polul z = —, cu
a
^
1
92
— ch — ni 2
, in nsh —
ti-
Pe latura din dreapta
r (e-oy-j-^dy
|filcosa(J?+iy)
>
I
| Jo ch n{R -f iy)
e** -
Fig. 160
0
e-**
La fel pe latura din stînga. Rămîne 0 0
-f i) r « i o ş « 5 , r » (( ccos o s «a(x (« + d
J
0
+
C C hh
JO '0
c
V
n
+
(
o cos o s a(—x « H +-f i] ^ ^ z ^ c h
^*
c
n
^*
f
00
cos a A
J0
J
X
C h 7T
A
~>
dx=
2ch —
U
*
de unde rezultatul. roo
in
dx
x
53.
(n întreg ^ 0 ) . l
0
C h 7TAT
22W+
1
R. Amintim că £ sînt numerele lui Euler caracterizate prin formula (39'), § 82. Dezvoltînd cei doi membri ai formulei de la exercuţiul 52, avem n
f
l
00
2n
<»
(ax)
dx
1
n
V (— l ) ^—1——-
0 0
E« n
( n\
2 n
— y» ( _ l ) — — - \ — \
=
(E =l). 0
\ V (2n)lchnx 2 ^convergentă (2n)în! 12 J interval 0 < x < R), de unde (seria din membrul I fiind uniform orice 2n
[-<*> x JO Jo
dx
ch nx ~
E
n
2n
l
2+
* 501
L
54 Y — - **• tx ( 2 * - ! ) • * "
=
— 2(2„)!
1I 2J
( » întreg > 0).
R. Plecăm de la 00
1
F2
o
COS 2
( «) I 1
£ — . Considerăm z»+ cos z (2n)! C dz ~ 2k — l apoi i pe cercul | z | = hiz. în acesta se mai află polii z = ± TC (k= 1 , h ) , jc z^^cosz 2 care dau suma de reziduuri [formula (39), § 82], de unde se vede că
are în z = 0 reziduul
l
k
Integrala —•O (l/cosz fiind mărginit în tot planul, cu excepţia cercurilor de centre 2k — 1 2=4; TC şi rază arbitrar de mică). Deci
(2n)! 55. Integrînd
— 2z
JL
[itj
f
pe un contur convenabil, să se deducă:
COS TC
z
_ , _ _L _L _... + _ , ) . - . _ +
4
L _
(
3
(2k -
5 +
(
1
-
)
1 2
t
i z S ! [Ei _
+
2n -
1
2
2n *
+
l 2 # r - ) (oo (oo
+1
+
\2» (
-
1 )
"
(2n)» + l i ?
yy î^^2d yy
*' E
^
d
k+l
2
Jo
(y +
«
2
)
4
2
2(2n) *+3
C H T C Y
LttSnd n = 5, k = 1, să se arate că 3,1415924 < TC < 3,1415928 (Se dă: E = E = 1, 0
Fig. 161
£
= 50521, £
5
£
E = 5,
x
£ , = 61,
2
E = A
1385,
= 2102165, E = 199360981,
6
1
= 19391512145).
8
2^ R. Se ia conturul din figura 161.
1
în el sînt polii z =
(k = 1, .... n) cu rezi2
duurile
-—; lim z f (z) — —. 2k — 1 *-»0 2 —
=
i -
4
—
Se ajunge la
+ ... + {-1)»-'
— 1 —
3
2» -
+ <-1)»(
*
—
^ 2
1
Jo 2(>* + n ) chizy
Scriind n >
2
+
i N
2
l W
—l !
"
n
r
2
* N
N
2
T
+
4
v*"
+ l
1
2 2
H * tV*-f n ) 2
+ l
2
şi ţinînd seamă de exerciţiul 53 şi de faptul că y* 506
2
+ . . . + ( - l ) * - ^v =* r r + ( - l ) *^ 3
*T
«
2
< — , se găseşte relaţia cerută. w 2
ff
36. Integrînd *
*
pe un contur convenabil, să se demonstreze: 1
1
(n -f l ) — +
2n*
- T - - T
+••• +
a
( « + 2)*
(-!)*
unde
(y» -f * ) * (e2ity - 1) n
l^l<-^~-
(nîntreg>0).
Fig.
162
R. Amintim că B sînt numerele lui Bemoulli caracterizate prin relaţia (32) de la § 82, Conturul va fi cel din figura 162, unde se va face m —• co şi /* —* co. n
f» 2x dx 1 57. \ = , Jo 1 -f- x* e2** - 1 2 y fiind constanta lui Euler-Mascheroni. Să se deducă T
1
1
T = 1H 2
B
1
, log n
+ . . - H
1
n
f c
+ ... + ( — l ) * " — ^ 7 - + (— l ) r 2An *
,
t t
8
%
2n
%
2n
An
unde k
2y* +*
dy c2*y - 1 < ( 2 * + 2)n**+*
2k
(y* + n*)n
Să se calculeze o valoare apropiată a lui y luînd n == 10, k — 2. R. Considerăm /
dz
=
. în conturul C dat de figura 163 avem polii
JC. 1 - iz 2nz - 1 e
n — 1) cu reziduurile
simpli z = ki, (k = 0,
2TZ 1 + k 5 ^ 2 7 c i 9 k = i ( 1 + — + . . . + -11, lim 1 2 n j *-*0
=
V
=
— .
Um
2TC
*-M(«—1)
f(z)[z - i ( » - 1)] =
— , 2fcn
/o = lim C / ( z ) dz = - i ,
y; =
lim \
— *
f { 2 ) d z = t
Fig. unde prin r , am notat razele semicercurilor y şi stingă a conturului identitatea 0
Ca la exerciţiul 49, aplicăm pe partea
0
-2TT S
2
e ** - 1 _ r
î
r
dz
JQ l - i z y
2
e ** -
1
1
Jc, 1 - i *
-
=
1
\
Jo
1;
1 dz
r
e- **-l
)c
1
Jc, 1 - i z
163
2
dz %
1-
ij
— =iîogw. l+ y 50»
Pe latura din dreapta şi din stingă i
T
U
l
| __ | f l
" \ )
w_1
1
d
y
2
l-i(R+iy)
0
Ja
I
+
*<* *>-l
e
M
I . (
l - i { - R +
iy)
-
1
_ţy
i
1..+ y
Jo
i
^
iog n
- 1
log w
<
e-^-^+^-1
_
X
- 1
Rămîne CR
1
1
DAR 2 n x
Jo 1 - ix e
ăx 2
- 1 ~~ Jo l-f- ix e ™ 1
-
f*
2ix
\
c
D*
~
"
Jo 1 -f *
2
e
27t
* -
1
Jo t 1 - i[x + î(n -
1
1)]
2 7 t (
e
*
+ i ( n - 1 ) )
- 1
l{n-\)) _ _ ! jJ"* * + -2»(-,+i(.-i), - Jo ^+ T 7i .o + T Ji J + -r /? + -r /s , 3== t
f*
7 1
in*
1
d
1 _ ir_* + i(n - 1)] =
CRI
2 J A T D A R
l 7 Jo w + AT
•
l
\
2
X 7 *- 1
2rc
2
+
Jo
+
Jo
+
/L +
J2 +
Jz
=
; • • iy Făcînd R —• oo, f»
(39)
2*
ăx 2
Jo 1 + x
27t
e
, f
*-
1
1
00
Jo
2
2
e
27t
- 1
2
n + AT
1
* -
1
1
log n 2
x
ăx 2
d*
*
1
= 1 + — + ...-: 2 n Avem de altfel, observînd că e * — 1 > 2n x f» 2x \ Jo n -f- x
2
2
2ii
1 f<w D * 1 x < — I = — arc tg — TC JO « -f * TCW n 2
2
deci această integrală —* 0 pentru n —• oo. Obţinem astfel 2
°°
Io
*
DAT
1 + A-
2
e
2 n x
1
_ T
- 1 ~
~
T
înlocuind acum această integrală în (39), avem 1 T = 1+ — + - + 2
1
1
log n
n
. f«> 2AT f- V Jo w + x 2
2»
DAT 2
2
e **- 1
Putem scrie 1 -
^
+
-
'
-
»
'
I
F
R
+
"
(
-
'
>
-
(
F
R
-
•
+•
deci 1 y = 1H
1
2 _
r
R
± 2
Jo L n
şi aplicînd exerciţiul Y = 1H
(
«
_ ^.i
J
^
I
2n +
(
-
x
D*
2k
n*
2k
n
2
n (n
-
2
1 2
+ x) J e
27t
X
D
X
* - 1
49 a)
+ » .H 2
510
+
1 log n
h ... H
log u 11
- + 2n ^
-L - + 2
2n
4»4
+ 2
2*n *
(-1)*'*
$
k+1
*>
2x*
1 l_Cf00 2*»*+l d*
dx
2nx
io e 2
2
2nx
<
2
5,fc+l t+
- 1
(2* + 2)n* *
2
o n *(n + x*)(e - 1) n *+ Ji în cazul numeric propus, B = — , —, — ; r-< < 6 30 42 6 • 42 • 10» Vom avea astfel o aproximaţie a lui y cu 8 sau 9 zecimale exacte (în minus). Efectiv x
H
1
+
i)(' + T M - T ) ( T + T) + T + T - ^ 1
+
4 • 10-».
log 10 -r r
%
1200
1200 000
27-2
= 2 +
1
1
1200
1 200 000
- log 10 -f r , 2
63
40 2 0,625 0,2539682380 0,0008333333 0,0000008333 2,3025850929
-
0,5772156451 Observaţie. Expresiile găsite în exerciţiile 55 — 57 depind de un parametru k şi diferă de numărul pe care îl aproximează printr-o cantitate r ce poate fi, luată oricît de mică, deşi pentru n —*• oo ele nu sînt convergente. Sînt expresii asimptotice. n
1 rco
58.
1 log ~ \-
+ţ
r(0
= iog
dx ţ -ix log Jo " Z + ix o - 1
dx
m
7w JhV+x"l
determinările logaritmilor fiind
-
2 7 C X
JÎ: - Y )
l o
« ^-
lo
s
^
<
R e
t > °>-
acele reale pentru valorile pozitive ale argumentelor. Să se deducă
log T(z)= [z - —) log * - s -f k)g V ^ " + — ^ - — — V 2
^ 3-4
-L z*
+
2 J
1 •2 1
...+ (-l)«-i (2n -
l)2n
2
z »"
+
z n
(-l) r , w
1
unde 1
r
foo *2» 1 1 log — . dt TZZ*"-* Jo * + t* \ 1 -e~ (Re z) ^ (Imz)
n
=
2
şi pentru
2
2 n t
2
1
k»l<
2 w + 1
|*i R. Considerăm >
(2w + 1) (2» -f 2)
17
Fig.
164
unde C este dat de figura 164, Re 5 > 0 şi luăm determinarea lui log (£ — iz) care este reală cînd ţ—iz este pozitiv. (Deoarece £ — se anulează pentru z — — i£, punct situat în semi planul inferior, determinările lui log (ţ — iz) pot fi separate în semiplanul superior.) 17
> Altă tratare la Mac-Robert, Functions
of a complexe variable. Londra, 1947, p. 147
şi 149. 511
Avem în interiorul conturului polii z — ki (k = 0, .... n) cu reziduul total -i
£
2TT
O
log(5 + A),
lim ^ / ( z ) = — log 5. lim (z — in) / ( z ) == — log (5 -f-
Punînd în jumătatea stingă a conturului — — e *-\
=
^ e~
2 n
j
+
0
-
log
—
2
n -
—
2
M).
1, avem 2 n z
-\
log (5 +, *)
cu
= -r
7o
log (5 + y) dy = - [y log (5 -r y)B +
f
-
Jo 5 + y
Jo
- w log (5 + » ) -f n - 5 log (5 -f « ) + 5 log ^ , . , r 1 log |5 + » — i J? I + arg (£ + n — i J?) Pe latura din dreapta | / | < n — ^ * - > °» P " tru i? —• 0 0 , arg (5 -f- n — ii?) fiind mărginit. Prin acelaşi raţionament se arată că şi J —>0 pentru R —• 0 0 . Astfel aplicînd teorema reziduurilor pentru / , obţinem: .f«> 5 — i* d* .f , 5 + « — i* d* 1V log — — iV log--ţ + n + ix e - 1 Jo 5 + IAT e * * - 1 Jo 6 | S
1
e n
x
2
00
2 n x
2
=
— T log K + * ) + — logţ -f — log (5 + n) + n log (5 + «) o 2 2 - n + 5 log (5 -f » ) - ţ log 5.
Amintindu-ne
r (Q =
LIM
,
vom scrie
.C°°, 1
-
l
0
\
0
Z — ix
lOg-^—;
dx
5+ ix
g
^ ZîT
e
- (
+
+
?
+
r
^
* -
. f
^ - l \
1
- l " )
- i -
J
0 0
Jo
l
o
g
5 -r « — i x
.
lOg *
C +
5+ n + ix
dx e'
n x
- 1
+ » + 4 - ) log ( 1
+
- f ) +
log n - log n ! - n j •
Făcînd n—*oo, a doua integrală —• 0, iar în membrul al doilea primul termen —* log r(0> al treilea —• 5» i l patrulea are o limită constantă, care, după formula lui Stirling, este egală cu — log ^2TZ. Fără a face apel la această formulă, vom avea în orice caz a r
a
("îog-l—'—
X
*
= log n o - k - 4 ) s s + c + I 2 ; lo
Jo 5 + 1* * - 1 X fiind acea limită. Pentru a o determina, punem aici 5 = — +
2 portarea părţilor reale ale celor doi membri pentru 7) —• 0 0 . 512
fa
real) Şi studiem corn-
00
.f , Re i "A JO
C—ix L,
s:
dx
-f i x
-
e
1 ~~ d* .
arc tg —
^ —0
2 t c A
YJ»
+
—
-
*
l ţ + i x)
Jo ^
e
2 n x
-
f
pentru YJ —> -f oo.
2
4 Pe de altă parte avem
r
+
( T
" )
r
( T - " ) -
deci Re
log
r
f —
4- ivîl =
l 2
Apoi
—
J
*
=
log
—
^2x7
— TQ I —
2J
—
log •2717)
2
1+e"
-f irjj = - 73 arc tg 2Y)
arctg - M = - 7) f—
l 2
73 +
2
ch 7T7)
-L j log £ = Reiyj log
Re | ^
Astfel avem
log
2
— • 1 1 Re £ =
H
l 2
27)
T
—
2
3(273)3 J
>. -f log ^2TC 4- e = 0 unde e —• 0 pentru 7) —• oo, de unde >. = — log ^2TC. Pentru a stabili a doua formulă, se va deduce mai întîi prin integrarea prin părţi, ţinînd seama că
(40) relaţia r»
Jo
°
Jo
x
C 4- i
x
-
1
~ Tjo
( t \ " n
\x?
^
1 r°°
dx 2
e™
p
1 foo 1 f ^
£ —i g
U
1
£ g
+ ţ« °
2
1 - e" 2
/ M *
U
J
J
27T*
d* =
1
i
"
log
Jl
+
1 - e- 2 T C *
şi se va aplica exerciţiul 49 a) şi relaţia (40):
1
s: t
2«-2
.
1
df =
_ -™ e
2TC
2m --
f*>
11 JJ oo e
Tot din această formulă va rezulta aproximaţia lui
*2m-i .
TCB„
d
27rt
-
1
2m(2m -
1)
\r \. n
Observaţii. 1) Oprind dezvoltarea din formula a doua la primul termen, putem scrie log
T(z)
=
log
log z — z 4
V2TC
T(z)
=
V2TC
6 — cu | 0 I < 1 \2z
(Re z > 0)
e
2) Cînd z = n obţinem formula lui Stirling
(o<e
— c. 1275
513
3) Luînd în prima formulă £ = 1, o putem scrie
Jo
2
'
e™-
1
2
cu determinarea principală a lui arc tg. 4) Pentru Rez < 0, vezi Mac-Rotert. 5) Aplicaţie a observaţiei
1): T{Z
lim
+
a )
(Re i > 0 ) .
= 1
T(z) z*
^oo
§ 90. Polinoame speciale şi funcţii Dacă a v e m o dezvoltare
generatoare
convergentă
n=0
valabilă în jurul lui t = 0 ( | / | < şi un domeniu Z) în planul variabilei z, se zice că <S>(z, t) este funcţie generatoare a funcţiilor 9 „ ( 2 ' ) . Uneori din pro prietăţile lui Q>(z, t) se pot deduce proprietăţi ale funcţiilor cp (z). n
I . Polinoamele
lui Bernoulli tz
e
sînt definite prin 00
1 1
—
e* —
1 Vn!
P e n t r u orice 2 finit funcţia generatoare d e z v o l t a r e tayloriană: <* _
e
1
2
/ tz
este olomorfă în t = 0 , deci are o
2
tz
\
+
+
'-*=T-[- Ti
1
~h1
1-2
= + T*-') +f ( '-T FT
2
Z
Z +
T)+
d e unde ?i =
z,
?2
=
* ( *
—
1),
?3
('--Hi*
z
=
1) înlocuind z cu z + 1 şi scăzînd a v e m e
* -
* *+i) _ (
1
1
! — r —
e — 1
e -
u
— \
0 0
, =
* - —r t
'
e
=
£
n
2
!
-V
+)
V »!
e' — 1
d e unde (z
9n
514
+
1) -
(z)
9n
=
n
nz ~\
-
2) P u n î n d z = O în funcţia generatoare, ea devine = 0, deci
9.0)
= 0,
9,(2) = 9.(1) + n • l - \ 1
9,(3) = 9 , ( 2 ) + n • 2 " - . 9.(0
= ?n(P -
1) + » ( # -
l ) - \
de u n d e : —?.(#)
i
=
w
r
~ +
2 W _ 1
+ -
1
+ (P -
n
) ~
1
» >
p
î n t
e
r e > »•
tt 3) Scriind
A + ÎL +... ÎL + ...)=f A + J! +... + L +..) x tz
+
\
21
nl
)
\ l l
2!
%
( t
t
J
nl
t
\
şi identificînd, a v e m relaţia d e recurenţă 1
*i(*) +
!
;
T7TT-. * * ( * ) +
(tt — 1 ) ! 2 !
-
+
1
. . .
2!(tt—1)!
l!tt!
tt!
sau
D e aici reiese că
I I . Polinoamele
lui Hertnite-Cebîşev.
Sînt definite prin:
1 JL d* = —e* — e tt! dz
H (z) n
-JL 2
n
Primele sînt: H = 1,
#
0
(-*
# 3 =
2
= — ( * - 1). 2
2
+ 3^), tf = — (z* 24
3
6z* + 3 ) , ...
4
6 1) P u t e m scrie d
n + 1
-
n
e
d
JL 2
=
( 1— z e dz*
1
w
( d*" d \ -JL ) = |—tt * e dz [ dz ' dz ) 1 — (aplicînd regula lui L e i b n i z ) . î n m u l ţ i n d cu — e obţinem relaţia de recun+1
J L \ 2
2
v
11 1
n
2
tt! rentă: (tt +
1) H (z) n+1
+ zH (z) n
+ H ^(z) n
= 0. 515
2) D e r i v î n d relaţia d e definiţie, a v e m : z*
m
z
)
=
+
-
^
f
*
K
= z H
-
{ z ) + { n + i ) Hn+i{z)
sau, ţinînd seamă d e 1 ) : H' {z) = -
H _ (z)
n
n
1
f
3) D i n 1) si 2) se deduce ecuaţia diferenţială liniară la care satisface H (z): n
H' {z) -
zH' {z) + nH (z)
n
n
= 0.
n
4) A v e m pentru m > n; aplicînd relaţia d e definiţie şi L e i b n i t z :
r
( -iLH \ _jir ^ J = e * d" U -4-H dz"
-
j (»-
m
\H H
n
m
1)!
m
n
+ ... + ( - 1 ) " H _ H ] » m
n
0
sau ^ ^ - [ e - - H j = = e n\ dz
^[H H \ m
n
+
^"j # r o - 2 # » - 2 —
—
+
H _H _
n
m
î
n
1
+
1 !
(—
-^T # r o - n # o V
w!
;
5) Să punem / , m
B
= \
e
* H (z) H,(z) âz. u
Avem f+°° A o
=
_ JL
\
e
^
ds =
V27c,
J— 00 r+°°
î
/..o=\
d
m
r
"— l
e
*)dz = 0 m>0.
Formula stabilită m a i sus ne j _ o odămintegrînd ! dz m
Jm, n —
~ 7
Jm-l,
n-l+
1!
7 T 7 / t n - 2 , n-2
2!
••• +
( ~ 1)"
7 Jm-n,
0
=
®'
nl
Urmează că, dacă m> n, J , = 0. într-adevăr, aceasta este adevărat pentru m > O, n = O şi a d m i ţ î n d că este adevărat pentru indicii O, 1, n — 1, va fi adevărat după formula precedentă şi pentru indicele n. m
516
n
J2TZ
Dacă m = n, v o m stabili prin inducţie J , =
— . Aceasta se verifică n! pentru indicele O şi fiind admis pentru indicele n — 1, v o m avea după aceeaşi formulă: n n
J
" •
=
( i u
1
n , -
\ l ! ( t t — 1)!
1 9
I
,v, +
/
-
+
21 (n — 2)1 +
2
V*
( ~ " 7
nl)
+
-.î[(;)-(:) - «-"-CF =I[i-(i-i)"V^tt!
L
x
7 J
tt!
^
Aşadar polinoamele lui H e r m i t e satisfac relaţiile de ortogonalitate 0
pentru m ^
n,
V2TU — r pentru m = n. nl 6) D i n relaţia de recurenţă rezultă (deoarece H = 1, = — z ) că este un polinom de gradul n, cu coeficienţi reali, al cărui p r i m coeficient 0
#
n
n
este ( — l ) — . D e asemenea rezultă că H = 0 are numai rădăcini simple tt! reale şi separate de rădăcinile lui # _ i = 0. (Aceasta fiind adevărat pentru H , H şi admis pentru H , H , se v e d e că, dacă a şi (3 sînt rădăcini conse cutive ale lui H , ele dau polinomului H semne contrare, fiindcă dau lui # _ i semne contrare.) n
n
0
x
0
n
n
n+1
n
I I I . Polinoamele
lui
Cebîşev. Sînt definite prin 1
1
n
= p
T (z)t . n
1) Punînd pentru prescurtare Z = Jz — \ a v e m 2
\-L 2
4 — t
- ( z - Z ) - ±
4 /
{z-Zf
z + Z
- t ( z - Z f -
z —Z
...J.
deci, pentru n > 0, 517
2Z
T {z)=
±
n
z
1
[(z +
Z)"*
- { z - Z ) ^ }
-
^
[(* +
F ) -
z
=^(
+ r \ ( ? + z ? - 1 ] - j
1
-
1
Z)*- ]
(z -
=
(*-zr\(*-zf-»]•
n
Aici (z +
Zf
1 = 2(z
-
—l =
2
(z — Z)
2
2(z
2
- l +
—
1-
zZ)
2Z(z
=
+
Z),
= -2Z(* -
zZ)
Z).
Astfel
r„(*) = - [(*+ 4z
2
-
1 )» +
(z
2
- V* - 1 ) ] B
( » > 0).
JL
Se v e d e că T (z) este un polinom de gradul n cu coeficienţi reali, conţinînd numai termeni în z * * . T = 1. n
-2
0
2) D e altfel, din arc
cos
z =
— i log
2
(z +
>jz
—
1),
rezultă
Ţ
^
n arc cos a; _|_ g—i n arc cos
2 adică T (z) =
cos
n
arc cos
z)
0).
(n >
3) Să construim o ecuaţie diferenţială pentru T (z).
Observînd
n
{ z + Z
y = l ± L ,
(z-zy=
găsim (
n
n
+
z
Z)
n
- ( z -
Z)
r {z) n
r
T i z ) b
W
n
z
{
*
2
z
+
Z
Y
n
+
{
Z
z
~
z
r
m
2
{
2
z
+
z
r
n
~
{
Z
z
~
Z
)
n
3
R e z u l t ă că T (z) satisface ecuaţia diferenţială n
2
(z
— \)w"
+
zw'
2
— nw
=
0
(cum se poate deduce şi din expresia 2 ) . A n u m e , cum arată expresiile lui T (z) şi T' (z), integrala T (z) a ecuaţiei precedente este determinată prin condi ţiile iniţiale n
n
n
w{\)
518
= — z e / ' ( l )
= - ^ - ,
sau numai prin condiţia de a fi olomorfă în punctul critic z = 1 şi de a lua valoarea — — în acest »-i
punct. ^
2
4) P u n î n d z = 1 — 2£, ecuaţia
v
care este ecuaţia
2
' dţ
\
) d£
2
hipergeometrică -
cu a =
diferenţială ia forma
+
[(a +
p +
y]w' +
1)C -
apa/ =
0
— » , p = n, y = — . A v î n d în v e d e r e condiţiile iniţiale d e m a i sus, 2 .
A
.
,
v
/ ^ v
1
care se scriu m variabila £: w(0) =
r/zxv
,
2«
ze> ( 0 ) =
2
1
=
aB
>
urmează că
5) Dacă, în formula d e la i)
a» -
1
b = (a -
pentru T' , aplicăm
identitatea
n
W K " + b*- ) + ab(a*- + b'- ) + . . . ] , o b ţ i n e m :
n
-
r. = r _
1
1
s
3
+ - l r„_ + - l r„_ +... 8
«
5
4
4
2
Scăzînd expresia analoagă a lui
T'^,
a v e m încă
4 ( » — 2)
«
4
w— 2
6) D i n formula de la 4) se deduce, aplicînd un rezultat general relativ la F^a, % y , - ^ y
1
) (
v
e
z
i
I
V
)
:
1
2
n
» " . 1 . 3 . . . ( 2 « - 1)
dz
{
i
Z
)
P u t e m verifica această formulă prin inducţie, cu ajutorul mule de la 5 ) . Aceasta revine la identitatea: n+1
2n
)
(n-2)[Z (Zl^Y ^-—(Z 'Y ] 1
= + 1 8
n(2n -
-
2n(n -
1)(2» -
3
l^ZÎ"- )'"-» 5
for
=
Zi
2)(2n -
ultimei
1
3) J z ^ Z ^ - ) ^ - ) -
^
+ n
5
n
2
(Zf - )< - ^J
) De aici 0
3-i
Vi-*
m # n,
4
2»n-l
519
2
( Z i ~ Vl — z ), care se verifică cu ajutorul relaţiei 2
X)
(Z»)<-> = — m{zZT T'
= —m(n—
2
l)(Zr )
( w
~
2 )
-
^ ( Z ? -
2
) ^ "
1
) .
R ă m î n e apoi să observăm că cei doi m e m b r i ai formulei au aceeaşi valoare pentru z = ± 1. p
d
n--L —
7) Să considerăm ecuaţia
x%
)
= 0.
Rădăcinile ei
reale
formează perechi opuse. Pentru p = 0, a v e m rădăcinile # = ± 1; pentru p = 1, după teorema lui R o l l e , încă o rădăcină intermediară, care este # = 0 (cum se v e r i f i c ă ) ; pentru p = 2, rădăcinile x = ± 1 şi alte două în interva lele ( — 1 , 0 ) , (0, + 1 ) ; etc. Se ajunge la concluzia că ecuaţia T (x) = 0 are toate rădăcinile reale distincte, formînd perechi opuse în intervalul ( — 1; + 1). Dacă n este impar, x = 0 este o rădăcină. n
8) A p l i c î n d
(1
formula
+
.
z )
+
_
( 1
.
2 )
=
2 F
( _ i , A ^ . i..,).
z
unde înlocuim z cu — , m a i obţinem z r t \ nV
1
7
n
t = — (#e + a 2
- 1
i e
e
{
n
{
1—n
2
2
(
1\ 2
z
j
olomorfă în interiorul unei elipse E de focare ± 1, n
astfel:
1
Cf(t)dt i — — şi utilizăm identitatea 27ri }E t — z
^
-
v
t-z
z—
2
1
1 ^ =
2
1
) , poate poate fi d eezzv\ o l t a t ă în serie de polinoame T (z),
Plecăm de la f(z) =
(41)
x
2-
9) O funcţie f(z), ie
ni7
1
-- / ) " |
_/
"
1
_ 2
[ \-(z+ !z -
1 ) ( * _ V ? - 1)
s
i_ ^_v^zn)(^-v^i))' (
Cele două \
pot i i dezvoltate în serii geometrice dacă 2
a sau — a (după determinarea radicalului). ( V o m lua determinarea pentru care \t — V/ — 1| < 1.) P r i n ipoteză f(z) este olomorfă atunci cînd punctul z este interior lui E (elipsa de fccare ± 1 prin z este interioară elipsei E). înlocuind integrandul prin diferenţa a două serii uniform convergente în E, g ă s i m : z
±
V / -
funcţii
i | \ — 4t t
1| < 1. Or a v e m (pe £ ) |* —
=
2
/(*)
520
a
T
=f2 « « i
c
u
a
» = -^—7 [ fm mz\ j E
-
2
Jt -
n
l)
dt
2
unde \t —
a = -^—[^/(x^x nni J_i
—Jx -
n
l)»dx.
Schimbînd acum în (41) z cu t şi transformînd prima fracţie cu ajutorul 2
identităţilor
2
(z — Vz — \)(z + 4z
1
1 4t ~\
=
/ [
2
t - z ~
— 1) = 1 şi analoaga,
(Z + yl*~L)(t 1-
avem
2
-4t -\)
(z 4- V ^ ~ l ) (t -
V ^ T l )
D e aici d e z v o l t î n d în serii geometrice şi sumînd termenul de rang n — 1 al primei serii cu cel de rang n al seriei a doua:
f{ ) =±KT S
IV.
{t
cu 6 = *±\
n
f(t)
n
1 ) B
~^JZ
dt.
1) Să punem F^oc + n,
Vom
=
p + w, y + n,
-P»^)-
(
w
întreg > 0 ) .
demonstra:
— [(1 dz
z)y(l + z^^F^z)]
= -
2 y ( l — ar)Y-i(l +
(F = F ). 0
Avem:
=
-
2 (1 Y
«
- z)v- l + 1(
a+P
*)«^{ j
( « + ! ) . . . ( « + v)(p +
(1
+ r) v) r Y +
i)...(p +
v ! ( y +a l+) . .p. — ( YY + v+ )
V
Y+1
- (-4^-) +
L
2
y n
Y
l
v
-
n
2
_
J
Y
Punînd înd
1 + z = 211
~2~]'
a
c
e
a
= _ 2y(l - r)r-i(l + ,
s
t
a
s
|l -
e
s c r
g
'
e
+ P+
1
j
+
- (q+v)(P+i)... (P+V)|Y + vH - * V _ q + P + v + l ( l
V
v!<+ l)...( + v) Y
Y
L
Y
l J 2
y
l j JC 2
521
a
Termenul în (a+l)...(
g +
e
coeficientul (în acolade)
v)(P l)...(P v) _ (a l)...( +
+
1) ... (Y + v -
v!y(T +
r
+
1)
(v -
q ( q + 1) ... (a + v -
=
vl)(p l)...(p v-i)
g +
+
1) ! ( + Y
+
1)... (
Y
Y
+ v-
1 ) P ( P + 1) ... (P + v -
v!y(y+ l)...(
+
T
=
1) 1)
v - l )
D e c i expresia din acolade este 2*^q, p, y,
*
2) Observînd că în formula stabilită, factorul lui F înmulţit cu —2(y + 1), este factorul lui F din m e m b r u l al doilea corespunzător indicilor q + 1, p + 1 , Y + 1, Şi aplicînd din nou formula pentru aceşti indici, obţinem lf
d 2
[(i
*)Y+i(i
_
)«*-r+*F (z)]
z
+
t
2
= 2 Y(Y +
-
+
z)«+*~rF(z).
2
ck Etc.
î n general: dz* TT
=
2 Y(Y +
V . Polinoatnele precedent: QJz)
lui Iacobi.
= F^p + q + n+
1) A i c i F
n
p=
1) ... (y + n -
\,
1)(1 -
+
+
z)* *-vF(z).
Sînt seriile hipergeometrice finite, d e tipul
-n,
1
p + 1,
~ * j(rc întreg > 0 , ^ , ? r e a l i ) .
= 1 şi ultima formulă ne dă (luînd acolo oc = p + q + n + 1,
- n, Y = ^ + 1 ) : _ V n V
( - 1 ) ^ 1 - ^ ( 1 + ^
'
2"(# +
1) ... (p + n)
_cŢ dz"
_ LV
V
'
'
J
^ „ ( z ) este un polinom de gradul w cu coeficienţi reali, care depinde încă de parametrii reali p, q, care se pun în evidenţă scriind Q%' {z). Polinoamele q)
lui Cebîşev sînt un caz particular, corespunzînd la ^ = ^avînd însă şi factorul l
-
l
) 4rT d£
2
L 2
- ^ f j ' q)
2) Polinomul Q f' (z) ^
—, q = 2
este o integrală
+ K# + * +
2
^*
+ ^
4Fd£
a
ecuaţiei
-
«tf+ * + » + ^
= °'
1 — z unde
£=
, deci a ecuaţiei în z: 2 dw
d^7P)
( z
2
- ^ ) - ^ dz
2
522
+ [(P + q + 2)z + p ^ q ] -
n(p dz
+ q + n+
l)w =
0.
q
3) Ca şi pentru T (z), se arată cu ajutorul teoremei lui R o l l e că are toate rădăcinile reale, simple, în intervalul (—1, + 1 ) .
Ql' (z)
n
4) Modificînd convenabil factorul numeric, se pot deduce aceste poli noame dintr-o funcţie generatoare. A n u m e , se pune
W*) = (*+'>•••(» + »> «-<*) = ii! . ( * + i ) - t f
+ «
)
^
1l\
,
+
.
+
+
_ „ ,
l f
+
1
. _ L z i ) .
\
z
)
Atunci a v e m
2
™
p
- l (1 + r r
t)~ (l
+ r + t)-« = f)
t»P»>«(z),
o
unde r = <J\-2zt
2
+ t. Q
Pentru a arăta că această relaţie defineşte polinoamele Pi' (z), 1 2 dezvolta funcţia generatoare după t şi £ = . O scriem
vom
2
{
( - i y
=
p
« A
2
x
=
2
±zi£_ +
Vo
« ( ~
r* ™ 1
)
x
+
U
L
~
l
^
)
l
r* ™
1
K
fi !(/> -
f
)
x
( *
+ 1
+
~ T f v r ) tt
tf+ti-DKg
+ 1
1
(
t
( f x — 1)! \
r ^ h o =
+
+
+ v - D » 1) !v l(q -
^ -
^ !(# -
1
!
( 1
_ ,
) t t ( 1
+
,
r
=
1)!
*)!(? + * 1) ! ( X -
v
ir ^ ~ ) f l ± l V = ' v i f o r - 1)! I r J
ţ i - 1)1 n +
iz) \{q -
1) 1
n*-».
\\-t)
A v e m apoi
i
i+
i
^=[( -^ (i ^r =
N
_ ._ „ (X+
,_
+9+1)
£* Aşadar
V
1)0
p+9+i>=
(X + ^ + G + 2 -I)I R 4
2«a!(X + ^ + ? ) !
L(1-0 J 2
tt
I n m e m b r u l al doilea coeficientul lui £ £° trebuie să fie
+
U> + q + » +
n\p\
°)l»lfil
{p + <s)\a\{p + q + n)\{n — a)\
adică
(P + n)\(p
1 ) 0
(p + A v e m deci de 2
(p + q + n)!(» — 6)!
verificat: X
™ y s y ^ y v
( - 1 ) 2 ° ( X + ^ + g + 2a -
jUiUfa x
+ g + n + cs)\
2q-ţi +
ft) 1
x
(* + P + q)l hlCk + p + q + l c - {*)!
(X- n +
+ |x — 1) j( + X— Jf— t !)!_
( » — A —
=
1) | ( X + ^ + g +
0 -
1)!
g 1 ) ! (X — | x ) !
l)!(gw
+ g +
+
g
+
* ) - (P + »)
+
—
( »
cu n — a — h £ h — |x. 5) Cu ajutorul W * )
formulei
= (-1)"
( 1
+
~
)
* " - | 1 (1
2n!
-
+
*)«*
dz
se poate verifica relaţia de recurenţă: (n +
- 4"
(P +
1 +
2
n
\){P + q + n + \){p + g + 2n)P* \{z) +
l
+ ) &
+ g+
2
n
2
+
)
+ 1+
l
n
)
2
-
+ P* -
W * ) +
{p + n)(q + n){p + q + 2n + 2 ) P * i ( a r ) = 0. 6) D e asemenea relaţiile: (1 -
r\l-xr(l
x)'(l +
d* = 0
+ xYW)?*x
=
3-. V I . Polinoamele lui Legendre. L e definim deci prin
— —
( w ^ »),
*<*+»+im+n+i).
p + q + 2n+ lT(n+l)r(p+q+n+l) Sînt polinoamele lui I a c o b i cu p = g = 0
Proprietăţile lor se pot stabili prin calcule m a i simple. 1)
524
P (z) u
= F ( « +
1, - n ,
1, - ^
l
i
L
) =
B
(-1) -F(«+1,
1, i ± £ )
( v e z i exerciţiul 12 de la § 82). P u n î n d z =
Vl -
2zt +
fi
V
2
' \
1
=
1 — 2£ avem
(l-t) })
"
(2v)! r
1 ) V
2
l - t i z i
2*(v\)
Ţ
4 »
t
2
L(i
-*)J
'
de unde v
ÎTo
2 (v ! ) * ( » — v ) ! ( 2 v ) ! ( » + l).-(»+v) ( - » ) ( - » + l)...(-»+v-l)
Vv - 1
Ătf
= 2)
(» +
+
v! (v!)>_v)! 1, - n , 1.
1) P - i W -
(2» +
l)z P (z) n
v!
+ » P^(z)
= 0.
D e r i v ă m relaţia de definiţie cu privire la t:
= + Ş
Pi(z) + t[2 P (z) 2
< " [ ( » + 1) * W * ) -
-
2z Pjiz)]
2«2- P.(sr) + ( » -
+ 1)
Piiiz)].
P e de altă parte
=
zP (*) + ^ P ^ ) 0
n
E g a l î n d coeficienţii lui t
P (*)] + £
f\zP (z)
0
%
-
P^^)]
se obţine relaţia de recurenţă.
3) D i n V punctul 1) se deduce formula lui Rodrigues.
n
2 nl
dr
4) D e aici rezultă ( d e z v o l t î n d binomul şi d e r i v î n d ) : w
2"(»!) 5)
2
L +
2(2» -
1)
^ | P „ ( * ) P „ ( * ) d% = 0
_
1
)
(
n
2.4(2» -
_
2
) ( n - 3 )
1)(2» -
(m # » ) ,
3)
?
B
. _ 4
mai general O
t
(tn *
f .«www*-- _ m±M-j(
I
' (» -
2» + !
r
1
(i -
tK^ fl.
—
—
(tn — n) l(m + n + 1 ) !
J_ i 7)
i)!
r o + =,)- p.w *. -
6)
<„_„,.
v
1
tt),
k%) -
- î -
d * = _ i —
* • (i
_
2» + 1
J-i
T o a t e aceste formule se demonstrează cu ajutorul drigues. 8) D i n relaţia de definiţie rezultă
formulei lui R o -
dt
(42) 2711 Jy t*+ij\
2
—
2zt+t
y fiind un cerc mic cu centrul în O ( v e z i figura 165). Integrandul are punctele critice a = z—
2
ap cu discuri y , Y& în jurul lui a şi p. D e c i \ = \ a
J
Jr
Y
—V + \ Jy
a
—\
J«3
-F \
Jvp
*
Jjăiă
Cercul y nu v a intersecta tăietura dacă segmentul ap nu trece prin O, adică dacă nu
a v e m — < 0. P ± P
=
însă
( _ V ? ^ l ) Z
2
=
2
2
Iz + ylz*~i)~
2
= a = P" ,
deci trebuie să e x c l u d e m cazul cînd a şi p sînt pur imaginare, ceea ce în seamnă că z este pur imaginat sau nul (căci a + p = 2z). A v e m acum l i m ty(t) = 0, l i m (t — a )
^ W l — 2** + *
2
Segmentul ap poate fi reprezentat parametric p r i n t =
Z + W*
2
— 1
— 1 < T £ + 1 .
O b ţ i n e m astfel lf i > . M = ± - \ Fig.
+ 1
, ^
dx / T — ( L a p l a c e ) ,
165
unde trebuie să luăm semnul + pentru R e z > 0, fiindcă P » ( l ) = 1 şi semnul — pentru R e * < 0, pentru că P (— 1) = ( — l ) : Integrala are singun
n
526
valorile lui z care fac
laritate pentru
T V Z
Z +
2
= 0 cu — 1
— 1
<
T <
1,
2
z adică 0 <
<
1, adică z pur imaginar. A x a imaginară este o tăietură
2
z —1 esenţială pentru integrală, care este în restul planului o funcţie olomorfă de z. N u are influenţă alegerea determinării lui Vz — 1, deoarece schimbarea acesteia r e v i n e la schimbarea lui T în — T . M a i p u t e m scrie 2
de TU
(
— 1 cos 6)n+l
2
Jo (z+ylz
= COS 0 ) .
T
Să punem în (42) — în loc de t; o b ţ i n e m
t
i
=
PJ?)
~
f dt
f
27ri J
Vl — 2tz +
r
f dt
i r fi
~
ni ) ^ V f
2tz + fi
( t o t pentru că integrandul este olomorf în V minus tăietura ap şi discurile y . Yp)- D e aici rezultă la fel a
+
P.(*) = ~[
7T
* J _
( * +
T
4z^-\Ţ
2
= — C(z + -Jz -
(Laplace)
= i =
7
V1
1
—
T
1 cos 6 ) " de
Jo cu semnul +
fiindcă P „ ( l ) =
1. 1
-
9) F i e z = cos 9 , deci a = e *, p = e ' *
( v e z i figura 166). înlocuind
segmentul ap prin arcul ap cu centrul în O, a v e m l f dt \ , J i p ^ W l - 2 ^ cos
, . P ( c o s
n
+
lf *
e ^ ^ d e
= — \ =r7u J _
( A m pus t = e
i e
,
2
f t
(0 < < ? < * ) .
= cos 0 + i sin 0 ) ; sau +
f %o (tt + S
P„(cos 9 ) =
— TZ Jo
|0 d6 4-) (
V2(cos 6 — c cos o
înlocuind
sin(» +
4-)ede
^ V2(cos 9 — COS 0) m
Acestea sînt integralele lui Mehler-Dirichlet.
( 0 < 9 < * >
V I I . Polinoamele
lui Laguerre
(generalizate)
=
P+l
sînt definite p r i n :
(^real).
Pentru p = O a v e m polinoamele propriu-zise
ale lui Laguerre,
L (z). n
1) A v e m
vţ(l n
oo
(P + n)! v ! ( » — v) ! ( ^ + v ) !
z .
Astfel
{p + n)\ ^ = E ( - ! )
V
v !(n — v )
v=0
LI =l,Lî=(p+
l)-z,
U=
+ v)! 2
(P+WP
+ )
_
(
p
+
2)z + z\ ....
Zr
2) Cu ajutorul d e z v o l t ă r i i 1) se verifică uşor că L%(z) satisface ecuaţia diferenţială zw"
+ (p + 1 — z)w' + nw = 0.
3) A p o i se verifică relaţia de (n + 1) L* i(z)
+ (z -
n+
p -
recurenţă: 2n -
1) L ( * ) =
+ / * ) L î U ( 2 ) = 0.
n
'e~*.
4)
Se verifică derivînd cu ajutorul formulei lui L e i b n i t z . 5) D e aici se deduce
f
+ 0n + i )
n #
m,
( V e - * I » ( * ) L * ( * ) d* = j
§ 9 1 . Indicatorul
logaritmic
Teorema 1. Fie f(z) meromorfă în domeniul 3) simplu conex şi C © o curbă Jordan rectificabilă închisă care nu trece prin nici un zero sau pol; N şi A oo număeul zerorilor şi polilor funcţiei în domeniul D c ® mărginit de C. Atunci avem, socotind zerourile şi polii cu multipiicităţile lor: 0
T
(43)
xV 0
N„ = —
C
dz
2TTI J C
C fiind 528
parcurs
în sens pozitiv
faţă
de
f(z)
D.
(Cauchy),
A c e a s t ă integrală se numeşte indicator logaritmic pentru domeniul D. Demonstraţia se bazează p e formula ( 6 ) . Integrandul nu poate avea în D alte puncte singulare decît zerourile lui / şi polii lui / , căci în celelalte puncte / şi / '
J
fiind olomorfe şi / # 0, —
este
regulat.
într-un
zero
a
de ordin m a v e m m
f(z)
= ( z - *) g(z)
g ( a ) * 0 , g olomorf, m
/'(*) f(z)
| g'(*) , g(z)
=
z - a
Cum termenul al doilea este olomorf, a v e m un pol simplu şi R(<x) = m. într-un pol (3 de ordin p p
f(z)
= (z — P)~ h(z),
/w
A ( p ) # 0, h olomorf,
*-
P
*(*)
A v e m iarăşi un p o l simplu şi i?((3) = —p. Aşadar, cum zerourile şi polii lui / sînt în număr finit (altfel a m avea puncte singulare esenţiale pe C) putem aplica (6): — ( 2ni Jc Demonstraţia (6') cu zero
de
dz = Xm-I,p
=
N
0
- N
c
c
.
f(z)
se completează la fel cînd D D oo. A t u n c i v o m aplica
cox = ^ fdz
şi v a trebui să calculăm şi i ? ( o o ) . A v e m ,
dacă oo este
m
ordin tn: f(z) = z * g ^ — j , g(0) # 0, g olomorf în U
fyi
a
t
f
— d e unde se v e d e că R( oo) = m. L a fel cazul unui pol. z z g Observaţie. T e o r e m a se aplică şi la domenii oarecare, cînd C este o sumă de curbe simple închise, în număr finit, ce limitează un domeniu D c: g ) . Integrala este luată în sens direct faţă de D. 2
Corolar (generalizare). în condiţiile teoremei, dacă f(z) nu ia valoarea X (în loc de 0) pe C şi este numărul punctelor unde f(z) = X (socotit cu multi plicitatea lor),
27i J
X f(z) — c
A
Se aplică teorema funcţiei f(z) — X. Aplicaţie. F i e f(z) un polinom de grad p. E l are numai polul oo de ordin p (partea principală fiind chiar f(z)). Dacă C este un cerc ce nu trece prin nici un z e r o , aplicînd teorema interiorului şi exteriorului lui C, a v e m
JLC
= -LC
2id) f(z) c
2*iJ_c/(*)
de unde N' + Nţ = p: aceasta este teorema fundamentală Q
34 — Teuiia funcţiilor — c. 1275
a algebrei. 529
Se poate raţiona şi astfel: deoarece l i m i(z) =
oo, există un cerc C în
z-> CO
exteriorul căruia \f(z) \ > M > 0 şi toate zerourile sînt în C. N =
• 2?ri Jc / oo (egal prin definiţie cu — N ) 0
Se v e d e apoi că reziduul integrandului în este — p. î n acelaşi m o d se găseşte pentru o funcţie raţională (meromorfă în tot planul lui Gauss): N — — numărul zerourilor este egal cu al polilor (unii şi ceilalţi fiind socotiţi cu multiplicităţile l o r ) ; ceea ce se v e d e uşor şi direct. 0
0
Teorema 2 . în condiţiile teoremei 1 şi notînd m = m i n | f(z) \ pe C, M = m a x | f(z) \ pe C, funcţia f(z) ia în N puncte din D orice valoare X cu | X | < m şi în puncte din D orice valoare fi. cu | \L | > M. Aceste puncte sînt distincte cu excepţia unui număr finit de valori X respectiv fi. 1 f f'iz) d? î n t r - a d e v ă r : Dacă | X | < m' < m, N = V h N<», inte27ui Jc f(z) — X grandul fiind o funcţie continuă de z şi X în C şi în discul închis | w\ <m' din planul (w) unde variază X, atunci i V este continuă în discul închis | w | < m' ( §77, teorema 22). Cum N este un număr întreg, i V = constant = N . î n i V fiecare z e r o al lui f(z) — X figurează cu multiplicitatea lui. Dacă aceasta este > 1, a v e m / ' ( X ) = 0 ( § 8 1 , teorema 5 ) . Or f'(z) fiind meromorfă în D ( § 8 8 , punctul 2, d ) nu poate avea decît un număr finit de zerouri ( § 88, teorema 1, corolarul 2). 0
x
x
x
x
0
x
Pentru a demonstra
cealaltă afirmaţie a teoremei, v o m aplica
rezul
tatul precedent funcţiei — — care este meromorfă în D şi atinge minimul — /(*) Af e
s
t
e
u
n
pe C. (Se v a observa că un zero de multiplicitate p pentru [~J^ P°î de aceeaşi multiplicitate pentru / (vezi caracterizarea I pentru polii de ordin p de la § 87). Corolarul / . în condiţiile teoremei 1, există un e > 0 astfel că numărul punctelor distincte din D, unde f(z) ia o valoare X cu 0 < | X | < e este egal cu N . CU alte cuvinte numărul zerourilor în D (socotite cu multiplicitatea lor) este egal cu numărul punctelor unde f(z) ia o valoare X de modul destul de mic. La fel, numărul polilor din D (socotiţi cu multiplicităţile lor) este egal cu numărul punctelor unde f(z) ia o valoare jx de modul destul de mare. 0
Corolarul 2. în vecinătatea unui zero (pol) OL de ordin p, o funcţie ia o valoare diferită de 0 (oo) de modul destul de mic (mare) exact de p ori; şi reciproc. A p l i c î n d aceasta funcţiei f(z) — w a v e m rezultatul m a i general: dacă f(z) ia în z valoarea w cu multiplicitatea p (adică f(z) — w are un z e r o de multiplicitate p în z ; sau dacă w = oo, z fiind pol de ordin p al lui / ) atunci f(z), ia o valoare w e V în p puncte distincte din U z> f~ (V ). Urmează că funcţia inversă z = y(w) are p determinări ( r a m u r i ) , care în V iau vaJori din U . Astfel, cele p determinări nu se pot separa în v e cinătatea lui WQ dacă p > 1: w este punct critic pentru y(w), şi anume punct critic algebric de ordin p. Punctele de acest fel sînt punctele regulate unde f'(z) = 0 şi polii de ordin > 1 . ( V o m r e v e n i ) . 0
0
0
0
0
0
0
x
Wo
Wo
z%
Wo
Zo
0
Teorema 3. (Rouche). Fie f(z), g(z) funcţii meromorfe în domeniul §), continue în 3), iar pe fr finite şi verificînd condiţia \g(z) \ < \f(z) \. Atunci, 530
dacă N ,Nao, N' , N'^ reprezintă şi f(z) + g(z) în §) ,avem 0
numărul
0
zeror Hor
şi polilor
funcţiilor
f(z)
N'o-N'n^No-N*. Din
cauza continuităţii pe fr ® , putem ataşa fiecărui punct
un disc V astfel că în V z
frontieră
n ® , să a v e m
z
z
(44)
I g( )
I < !/(*) I <
M
(fix). 19)
R a z e l e acestor discuri au un m i n i m u m p > 0 , toate punctele din la distanţă < p de fr 8) v o r satisface deci condiţia (44). Considerăm mulţimea închisă 3) — A = D, unde A este reuniunea discurilor de rază p cu centrele pe fr £). E a poate fi acoperită cu o reuniune finită de domenii poligonale distincte, situate într-o — — v e c i n ă t a t e a sa. 2 Aceste domenii şi frontierele lor sînt distincte de_fr 3) (astfel un punct din fr 3) ar fi la o distanţă < p, de un punct din D, adică discul de rază p al acelui punct ar conţine punctele din D); deci domeniile poligonale şi fron tierele lor sînt în ®> iar frontierele lor în — A._ Zerourile şi polii funcţiilor / şi f + g sînt în D (neputînd fi în A , unde a v e m (44)). E i sînt în număr finit ( § 8 8 , teorema 1, corolarul 2 ) . F i e P domeniile poligonale care conţin asemenea puncte. Cum fr P <= A condi ţiile (44) sînt satisfăcute pe fr P . R ă m î n e să demonstrăm teorema pentru fiecare P (fiecare zero sau pol fiind într-un singur P ). Aşadar, putem presupune / , g meromorfe în © limitat de curbe simple, închise (poligoane) pe care sînt satisfăcute celelalte condiţii ale teoremei. Avem k
fc
k
k
k
No(f+g)-N (f+g)=^- [ x
^ ^ d z , f+g
T
2m Jc C fiind
ansamblul
contururilor,
descrise
în sens
direct
faţă de €>. Cum
a v e m de arătat că ultima integrală este nulă. V o m forma ca mai sus m u l ţimea A cu aceleaşi proprietăţi, pentru C = fr €), şi luînd p destul de m i c , putem presupune A conţinut într-un domeniu unde / şi g sînt meromorfe. 1 9
) în general: Să presupunem că o proprietate a) relativă la mulţimi de puncte este ereditară, adică este astfel că dacă mulţimea A are o proprietate a), atunci şi orice mulţime B cz A are de asemenea proprietatea a ) . Fie F o mulţime închisă şi r(z) raza celui mai mare disc V care are proprietatea a ) . Dacă funcţia r(z) > 0 în F, ea are un minimum p > 0. în cazul contrar, vor exista în F o infinitate de puncte cu r(z ) —+ 0, care vor avea un punct limită £. Prin ipozeză, un disc Vţ de rază r(ţ) > 0 are proprietatea a). Discul V'ţ de rază g
n
— 2
r(£) va conţine puncte z
n
cu r(z ) < —
r(£). Or pentru aceste puncte avem discuri Vz
n
n
2
de rază — r(£) care fiind conţinute în V , au proprietatea a), astfel că r(z ) ^ — r ( Q . 2 ^ 2 Tot aşa se vede că r(z) este continuă în F. r
n
531
Atunci, w =
1 + -y
este în discul \w — 1| < 1, deci funcţia w este olomorfă
în A şi log w poate fi determinat acolo ca funcţie uniformă şi deci olomorfă. R e z u l t ă că integrala considerată este nulă ( § 7 3 , teorema 11). Corolarul 1. în
condiţiile
teoremei, dacă f şi g sînt olomorfe în ® N (f)
=
0
finită
N (f+g). 0
Corolarul 2. Dacă f este meromorfă în §), continuă pe şi \ f \ > m > 0, avem în €), pentru orice \ < m N
= N.
0
În aceleaşi condiţii pentru fi > M.
(N (f)
X
dacă f ^ 0 şi
^Se aplică rezultatul
=
aa
iar pe fr 3) este
N (f-X)). a>
<
\f\<Mpeiv 3),
avem Noo =
în 3)
funcţiei - ^ - j -
Corolarul 3. Dacă luăm discul V astfel ca f(z) ^ w , oo în V — z (zerourile şi polii fiind puncte izolate), atunci condiţiile corolarului 2 sînt verifi cate pentru orice U F, _ Reciproc, dacă f(z) are un punct regulat sau pol în z , şi, pentru orice U suficient de mică, ia în p puncte distincte din vecinătatea U valori din (U =f(U ) atunci f(z) ia valoarea w = f(z )în z cu multiplicitatea p. Xo
Xo
0
0
X9
0
v
0
X9
X9
Wo
Xo
0
0
0
Observaţie. I p o t e z a noastră înseamnă în cazul w ^ oo (punct r e g u l a t ) , că f(z) — w are pe z ca zero de ordin p, deci a v e m într-o vecinătate V, cînd z ^ oo: 0
0
0
u
0
p
f(z) = w + (z — z ) h(z), sau, cînd z = oo 0
h(z ) ^ O,
0
0
h(z) olomorfă,
0
f(z)
p
h
h
= w + z~ [—^>
(°)
0
h
* ° ' [—j
olomorfă.
D e r i v a t a f(z) are atunci pe ^ # oo ca z e r o de ordin p — 1, dacă p > 1. iar pe z = oo ca zero de ordin p + l . î n cazul z ^ oo ş i ^ = l,f'(z ) # 0. Dacă z este un pol de ordin p se v e d e la fel (luînd în formulele prece dente w = 0 şi —p în loc de p), că f'(z) are p e z # oo ca p o l de ordin p + 1, pe z = oo ca pol de ordin p — 1, cu excepţia cazului z = oo, p = l, cînd oo nu este nici pol nici z e r o pentru / (oo este punct regulat pentru /' şi/'(co)#0). Să reţinem de aici că o funcţie olomorfă într-un domeniu poate lua o valoare cu o multiplicitate > 1 numai în punctele unde f'(z) = O (ceea ce este adevărat şi în cazul z = oo, căci dacă / este olomorfă în acest punct / ' îl are ca zero de ordin m a i mare decît / ) . 2 0 )
0
0
0
0
0
0
Q
0
§: 92. Aplicaţie la transformarea domeniilor prin funcţii de o variabilă complexă Teorema 1. Dacă funcţia f(z) este olomorfâ într-o vecinătate V , cu eventuală a unui pol în z , la punctele z e V ea face să corespundă o de puncte w = f(z) care are pe w = f(z ) ca punct interior. X(t
0
X9
0
excepţia mulţime
0
2 0
) Amintim că am convenit să considerăm funcţiile modificate. Astfel, în oo, f(z) nefiind definit, ar trebui să spunem: lim z^ f(z) finit şi diferit de zero. 1
x-*oo
532
A m m a i dedus această teoremă din teorema funcţiilor implicite a ana lizei reale, însă cu restricţiile f'(z) ^ 0 şi f(z ) ^ oo. Demonstraţia ce ur m e a z ă se sprijină pe corolarul 3 al teoremei lui Rouch£. E l ne spune că există o vecinătate V (corespunzătoare la V ), în care orice punct w este o valoare luată de f(z) în V ] deci mulţimea considerată în enunţ conţine V , adică are pe w ca punct interior). 0
Wo
s%
Xo
Wo
0
Observaţie. D a c ă f(z) ia valoarea w în z cu o multiplicitate p > 1, f(z) ia orice valoare din V în p puncte din vecinătatea corespunzătoare V şi oricît de m i c ă ar fi V există o vecinătate V cu această proprie tate. Funcţia inversă z = F(w) v a fi deci multiformă, luînd în V , p valori din V ; aceste determinări ale funcţiei inverse nu pot fi separate în veci nătatea lui w , ele sînt amestecate în aceeaşi vecinătate V , oricît ar fi de m i c ă această vecinătate. Se zice atunci că w este un punct critic algebric (punct de ramificare algebrică) de ordin p, pentru F(w). 0
0
Wo
Xţt
Xo
Wf)
w
2 0 )
x%
0
Xo
0
După cum am v ă z u t ( § 9 1 , ultima o b s e r v a ţ i e ) , asemenea puncte numai acolo unde f'(z) = 0, sau cînd z = oo, dacă acesta este zero de > 2 al lui f'(z), sau încă în polii de ordin > 1 ai lui f(z). M a i multe puncte critice algebrice se pot suprapune în acelaşi w . valoarea w este luată de f(z) în punctele z , z .... cu multiplicităţile atunci a v e m în w puncte critice de ordin po,pi, suprapuse. 0
0
0
lf
apar ordin Dacă p ,pi,..., 0
0
Teorema 2 . Dacă f(z) este meromorfă în domeniul D, valorile w = f(z) formează un domeniu. E v i d e n t mulţimea E = f(D) este deschisă şi conexă, transformarea / fiind continuă (teorema 3 § 60). Corolarul 1. Dacă f(z) este meromorfă în domeniul Dji continuă în închi derea sa D din planul lui Gauss, valorile w = f(z) pentru ze D formează închiderea E în planul lui Gauss a unui domeniu E şi punctele fr E corespund la punctele din f r Z ) . D este compact în planul lui Gauss C şi se aplică teoremele 1,2 § 57 şi teorema 3, § 60. î n ce priveşte corespondenţa punctelor frontieră, v o m da deocamdată. Teorema 3. Dacă f(z) e olomorfă pe curba simplă rectificabilă C şi în int C, şi duce C într-o curbă simplă C din planul (w), atunci corespondenţa conformă w = f(z) este biunivocă între int C şi int C'. Deoarece int C este transformat de / într-o m u l ţ i m e deschisă, există puncte în int C care nu sînt duse în puncte pe C (care nu are puncte interioare). F i e £ un asemenea punct şi X = / ( £ ) . Integrala ne dă numărul punctelor din int C unde f(z) ia valoarea X. N este con tinuă în X şi deci rămîne constantă în domeniul E, determinat de C , unde se găseşte punctul X. (Căci în acel domeniu f(t) — X ^ 0 pe C — întrucît 1 f dw f(t) este pe C ) . P e de altă parte putem scrie N = — şi astfel x
x
7
27ri j c
w—X
27ui 2V este variaţia lui \og(w — X), pe C sau rotaţia ( C , X) = 2TZ N . Cum C este curbă simplă închisă şi N > 0, a v e m (C, X) = ln (în ext C ar fi = 0 ) , deci N = 1: corespondenţa int C - > int C este b i u n i v o c ă ) . X
A
x
x
a
) F(w) poate lua mai mult de p valori: dacă ^ este alt punct în care f(z^) = w , F(w) va lua valori şi într-o vecinătate V . Aceste determinări se pot însă separa de primele, luînd V distinctă de V . 0
Ll
Zl
X9
533
§93. Principiul variaţiei argumentului 1. Cele ce urmează sînt aplicaţii teoretice ale teoriei reziduurilor (şi prin urmare, ale teoremei fundamentale a lui C a u c h y ) . F i e f(z) meromorfă în domeniul 3) şi olomorfă pe fr 3) — sau pe scurt, meromorfă în 3). N u m ă r u l punctelor din @ , unde f(z) ia o valoare dată, f(z) = w, este finit. Acest număr, în care fiecare z e r o al funcţiei f(z) — w este socotit cu o multiplicitate egală cu ordinul său, se v a nota cu N. V o m nota încă cu A oo numărul polilor lui f(z) în 3), socotit în acelaşi m o d . w
r
Lema. Dacă f(z) are în z = OL (finit J
v
'
sau nu) un zero sau pol de ordin
are în a reziduul m respectiv —tn; dacă a este un zero sau pol la
m
tn,
distantă
/'<*>
finită,
el este pol simplu
pentru—------
/(*)
î n cazul unui zero a, finit, de ordin m, a v e m
/ ( * ) = ( * - a ) " ?(*) într-o vecinătate
Cum ^ ^
este
V
a
cu
z-a.
olomorfă în
V,
funcţia f ^
a
V. a
are în a, partea
D e aici
principală
g
?(*)
A)
m şi reziduul m. Dacă a este pol de ordin m, nu a v e m decît să schimz —a b ă m pe m cu —m în cele de m a i sus. F i e acum a = oo. Dacă acest punct este regulat şi / ( 0 0 ) 9 * 0 , a v e m într-o vecinătate f(z) = a + 2> a z~», 0
/'(*)
n
n
= -
J£ na z- -*= n
-L
9
( ), s
cu
deci ^ ^ = — > care arată că 00 este zero de ordinul f(z) z* f(z) cel puţin 2, pentru această funcţie, şi deci reziduul ei este nul. Cînd00 este zero de ordin m pentru f(z), putem scrie într-o vecinătate m
f(z) =
z~ {z) 9
cu
=
m z
|
'(z)
9
(z)
9
^ ^ » după cum am v ă z u t , are un zero de ordin > 2. Deci singurul ?(*) 1 m termen în — fiind > reziduul este m. Schimbînd pe m în —m obţinem z z cazul polului de ordin m. 534
T e o r e m a 1. Fie 3) un domeniu (mărginit sau nu), limitat de curba simplă, închisă, rectificabilă C; y(z) olomorfă în ® ; f(z) meromorfă în ® şi f{z)^0 pe C. Dacă f(z) are, în Q), zerourile a de ordine \L şi polii (3* de ordin v , avem: n
N
k
(45)
- £
£ h
C fiind
parcursă
-MM =
[ ?W ^ 27C1
*
în sens direct faţă
Jc
dz f(z)
de 3).
într-adevăr, integrandul este olomorf în toate punctele din ® diferite de şi iar în acestea are, după lema precedentă, şi un rezultat cunoscut,, reziduurile Re(oc ) =
|x> (a ),
A
Regula
9
Re(^)=
A
pentru calculul reziduului funcţie
v (Mk9
J
v
1
se aplică şi la
/(*) oo, cum se v e d e din dezvoltările
în
serie.
Exemple 1. Daca 9(2) este întreagă şi f(z) — sin TZZ,
^ C
n
21 :c
tt
fiind cercul \ z \ = n + - i » 2 2. / n cazw/ 9(2) = 1, teorema de mai sus devine:
(46)
N -Nco 0
= —
f
- ^ d r ,
2iri Jc / W sw& aceleaşi condiţii. Căci, cu notaţia introdusă, N = S ^ . i S T o o = £ v * . h * 0
2. Fief(z) un polinom de gradul n. în exteriorul unui cerc pe care f(z) ^ 0 avem N«>= n (00 fiind de ordin n), iar în interior N'^ = 0. Scriind relaţiile pentru domeniile determinate de cerc, şi adunîndu-le, obţinem N + N' — n, adică teorema lui D'Alembert. 3. Aplicînd la fel formula (46 ) unei funcţii raţionale, se vede că N,o = A'oo, în tot planul lui Gauss. Acest număr se numeşte ordinul funcţiei raţionale. h
0
Cazul particular
Q
(46) al teoremei
precedente m a i
poate fi formulat
astfel: T e o r e m a 2. Dacă f(z) este meromorfă în domeniul simplă, închisă şi rectificabilă C, şi f(z) ^ 0 pe C, avem
(46')
â) limitat
de curba
tfo-tf«=-7-[arg/(*)]c.
în membrul al doilea figurînd variaţia argumentului lui f(z), nuitate de-a lungul curbei C, în sensul direct faţă de €).
urmărit prin
conti
D i n cauza simplităţii acestei teoreme şi numeroaselor ei aplicaţii, poartă numele de „principiul variaţiei argumentului".
ea.
53S
Observîndu-se
că
— log / ( ? ) p e curba C (unde / ( ? ) ^ 0 ) , formula
/(*)
^
2 2
(46') v a urma din (46) în virtutea unei teoreme cunoscute , dacă putem împărţi curba C în arce ce se pot acoperi cu domenii în care determinările funcţiei primitive log f(z) sînt u n i f o r m e ; căci atunci, deoarece log f(z) = = log | / ( 2 ) | + i a r g f[z) v o m avea aplicînd teorema e v o c a t ă : t
şi cum [log | / ( 2 r ) | ] . = 0 (fiindcă l o g | / ( ; r ) | este uniformă p e C ) , v a formula (46 ) . Deoarece f(z) este continuă şi diferită de z e r o pe C, c
m i n 1/(2)1 = tn>
rezulta
0.
P r i n ipoteză, f(z) este meromorfă într-un domeniu ® care conţine în interior curba C şi nu cuprinde alţi poli ai funcţiei decît cei din 3). D a c ă scoatem din ©x cercuri cu centrele în poli şi conţinute în ® , obţinem un d o meniu închis A , care conţine curba C în interior şi în care f(z) este olomorfă. î n virtutea continuităţii uniforme, v a exista un număr fi astfel că \f(z) — "~~f( ) I< P n t r u | z — z' | < fx. Să î m p ă r ţ i m curba rectificabilă C în l t
z
m
e
arce consecutive, de lungime < fi. D a c ă un punct oarecare al său, a v e m | £ — ţ \ k
\z — £ | <
arcului). D e c i discul Y :
T
k
<
fi
este un asemenea arc şi £ ( o coardă f i i n d < l u n g i m e a
J I v a conţine arcul
î
n
I \ avem
Cu alte cuvinte, cînd 2 descrie punctul w = / ( * ) rămîne în cercul de centru w =f(t ) şi rază \w \; or de aici rezultă că în T determinările funcţiei leg w = l o g / ( 2 ) sînt uniforme şi prin urmare olomorfe. Aşadar a m împărţit curba C în arce acoperite d e cercurile T , în care determinările lui \ogf(z) sînt o l o m o r f e ; cu aceasta teorema este demonstrată. k
k
k
k
k
Observaţia.
1. Se mai poate spune că i V — 0
este egal cu numărul
ocolurilor pe care le face punctul w (sau m a i bine vectorul Ow) în jurul ori ginei, atunci cînd z descrie curba C în sensul direct faţă de ® . Căci arg w variind continuu de la 6 la G + 2kiz (k = N — N^), v a trebui să treacă prin valorile intermediare 6 + 2TT, G + 2(k — 1)TT. 0
0
0
0
0
Observaţia 2. Teoremele precedente sînt aplicabile şi unui domeniu multiplu conex a cărui frontieră C este formată din curbe simple, închise şi rectificabile, parcurse în sensul direct faţă de domeniu. Căci teoria reziduurilor a d m i t e o extindere analogă. Observaţia 3. Principiul variaţiei argumentului este valabil şi în urmă toarele condiţii mai puţin restrictive: f(z) meromorfă în domeniul ® şi continuă finită şi diferită de zero pe curba C, formată din curbe simple, închise şi rectificabile. 2 2
) \ — = [
ficabil oeji, sau dacă acest arc poate fi acoperit cu un număr finit de asemenea domenii. 536
V o m presupune că â) este interiorul unei singure curbe. V o m înconjura polii şi zerourile funcţiei cu cercuri conţinute în 3) şi fie 8 > 0 distanţa curbei C la reuniunea acestor curbe. î n mulţimea rămasă după ce s-au scos aceste discuri din â), f(z) este finită şi continuă, deci există un număr 0 < 7) < 8 astfel ca z
!/(-')
— f( )\
=
<-^
Z
> P
e
n
t
r
u
z
I ' — ~i <
n
î
'
n
% >
unde m = m i n \f(z) | > 0. Ca la demonstrarea teoremei lui Cauchy în conc 2tti , 4 ) arce C de lungime *î
(
—
şi construim un poligon simplu n = £
n
k
Ă cz§),
format din linii frînte A
k
k
k
ce sînt părţi din poligoane P conţinînd arcele C în interiorul lor. Curba C fiind parcursă în sens direct, fie <x _ <x e x t r e m i t ă ţ i l e arcului C şi $ _ $ extremităţile corespunzătoare ale liniei frînte A . P r i n construcţie a v e m pantru orice ţ p e P : k
k
k
lt
k
k
k
lt
k
k
t
k
_ C l < i L < ^ l
n
j .
=
2m
D e aici urmează că distanţa dintre C şi I I este < S şi că zerourile şi polii lui f(z) se află în interiorul poligonului I I (dimpreună cu cercurile descrise în j u r u l l o r ) . Să considerăm acum curbele închise c
Y* = k U a ftfc U A t
k
U Pfc-ia^j,
unde şi a _! $ _ sînt segmente iar sensul de parcurs este acela al arcului C (direct), de la spre a*; atunci A este parcurs de la $ spre $ _ P e Y * definim funcţia continuă
k
x
k
k
k
k
v
i ? ( * ) — / ( * * ) \
yk
/(<**) |
pe
y
kt
= 0. U r m e a z ă 0 = £
k
[arg
yk
= [arg/(s)] c
[arg
f(z)\,
pentru că segmentele a*(3* sînt descrise de două ori în sensuri opuse, iar I I în sensul indirect. Or, a v e m jV -A^=^[arg/(*)]„, 0
LTZ
condiţiile restrînse ale principiului argumentului fiind gonul I I ; deci a v e m şi
satisfăcute
de
poli
537
î n cazul cînd © este exteriorul curbei C, a v o m aplica teorema ( v e z i observaţia 2) domeniului ® limitat de C şi un cerc F exterior, ce nu trece prin nici un z e r o sau pol, precum şi domeniul © exterior cercului T . A d u n î n d rezultatele, şi observînd că variaţiile lui arg f(z) de-a lungul lui T , parcurs de două ori în sensuri opuse, se reduc, o b ţ i n e m formula ( 4 6 ' ) pen tru © . ( A m putea de asemenea să ne servim de transformarea z* = * l f
2
*0
unde z este un punct exterior lui © . ) 0
DEMONSTRAŢIE ARGU MENTU
DIRECTĂ
A
PRINCIPIU
LU I
LUI
1) Dacă o funcţie meromorfă f(z) are în domeniul © zerourile a şi polii b , este continuă în © minus polii, fiind finită şi diferită de zero pe fr D, putem scrie n
k
?(*)
Tl(z~b )
în ® ,
k
unde
şi continuă în ® .
h) a) n
2) Dacă y(z) este olomorfă şi diferită de zero în © limitat de o curbă simplă şi rectificabilă C, a v e m [arg y(z)] = 0. c
Rezultă
din \ — dz= 0 şi [arg
c
Sau se poate demonstra la fel ca teorema lui Cauchy chiar numai pentru 9(2) continuu într-un domeniu ®xz> ® . (Variaţia argumentului pe C este egală cu variaţia pe un poligon înscris, cu laturi destul de m i c i . ) N u este nevoie ca C să fie rectificabil. 3) [arg(* — a)] = 2n cînd a e © ( v e z i fig.. 167). c
3. Principiul argumentului ne v a servi spre a da o nouă demonstraţie unei teoreme i m p o r t a n t e : Teorema lui Rouche. Fie f(z) şi g(z) meromorfe în domeniul © limitat de curba închisă şi rectificabilă C. Dacă W Fig.
\g(z)\<
atunci avem pentru funcţiile
167
N
(48)
0
unde NQ şi N'^ reprezintă într-adevăr,
\f{z)\
— AT^ = N' —
numărul
zerourilor
+ J&1\ v
cînd principiul variaţiei argumentului, N i - N '
538
n
= [argf(z)]
c
©,
şi al polilor
scriind f(z) + g(z) = f(z)(l
C,
f(z) şi f(z) + g(z):
în
Q
pe
lui f(z) + g(z). pe curba C şi apli-
/(*);
avem
+ [arg ( l +
funcţii simplă,
.
( S m t e m în condiţiile teoremei precedente pentru că / + g este meromorfă în ® Şi\f+g
I >
k l > O p e C . ) Deoarece W=\
+ -sLl-
satisface condiţia
/(*) \W
-
\ \< \
pe C,
atunci cînd z parcurge C, punctul W descrie un drum închis, conţinut în cercul de centru 1 şi rază 1; deci arg W revine la valoarea iniţială (deter minările lui arg W fiind uniforme în acest c e r c ) . Aşadar Ni
(deoarece \ f \
-
N'„ =
[arg/(*)]e =
A
T 0
-
N„
> 0).
Observaţie. T e o r e m a lui Rouch£ are avantajul de a fi valabilă în condiţii foarte generale r e l a t i v e la domeniu: f(z) şi g(z) meromorfe în ® , domeniu oarecare, continue p e fr ® satisfăcînd condiţia (47) pe fr ® . D e m o n straţie : Presupunem că domeniul ® este mărginit. D i n cauza continuităţii, condiţia (47) este verificată şi într-o vecinătate Vţ n a oricărui punct frontieră £. Reuniunea acestor vecinătăţi Vţ este o mulţime deschisă E, care acoperă fr ® iar în ® n E este verificată condiţia ( 4 7 ) . Să considerăm mulţimea închisă fi^ = ® — £ = ® — ® n £ . Zerourile şi polii funcţiilor /(^J Şi /(*) + g( ) se află în ® căci în S fl £ aceste funcţii sînt finite şi 1 / I > °> I / + g I > 1 / | — | g | > 0 din cauza condiţiei (47). Deci în ® fl £ funcţiile /(ar) şi g ( z ) sînt olomorfe şi satisfac condiţia (47). După o l e m ă cunos cută, mulţimea ®x poate fi acoperită cu o reuniune finită de pătrate închise, A , care este conţinută în ® şi conţine pe ®x în interiorul ei. Mulţimea A se descompune într-o reuniune de domenii poligonale P , ale căror poligoane frontieră (curbe simple, închise, rectificabile) sînt în ® , dar nu au nici un z
1 #
k
punct comun cu ® j (interior lui A = £
P ); k
deci poligoanele P
sînt în
k
® fl E. Fiecare zero sau p o l al funcţiilor f(z) şi f(z) + g(z) fiind în ® se află în interiorul unui poligon P . Aşadar, domeniilor poligonale P , satisfăcînd condiţiile teoremei demonstrate (pentru că poligoanele P se află în ® f| E), le putem aplica formula ( 4 8 ) . A d u n î n d aceste rezultate v o m obţine formula (48) pentru întregul domeniu ® . A m presupus domeniul ® mărginit. Demonstraţia este însă aplicabilă şi unui domeniu nemărginit, dacă o facem pe sfera lui R i e m a n n . 1 #
k
k
k
<
Corolarul 1. Fie f(z) meromorfă | f(z) | < M pe fr ® , avem în ®:
(49)
iV = N
(49')
N
w
w
0
în ® şi continuă peîr
pentru
= Nao pentru
®. Dacă 0 <
\ w \ < m, \w \ >
M.
P r i m a egalitate se obţine aplicînd teorema lui Rouche funcţiilor şi g(z) = —w, observînd că A cînd prima egalitate
r 0 0
m^
= N'^ şi N' = N . 0
w
f(z)
A doua se obţine apli
funcţiei—!-- şi valorii w' = — cu j w' j < f(z) w
M 539
Corolarul 2. Fie f(z) meromorfă în§) şi continuă pe fr © . Dacă w = f(z ) este o valoare luată de funcţia f(z) în ®, şi f(z) # w pe fr â>, există o vecinătate V astfel că f(z) ia în © orice valoare din V de acelaşi număr de ori ca va loarea w . într-adevăr, fie întîi w finit. Considerăm funcţia f(z) — w care este continuă şi diferită de z e r o pe fr @. N u m ă r u l zerourilor ei în © este N (N relativ la f(z)). Dacă \f(z) — w j are minimul m(>0) pe fr 3), v o m avea după corolarul precedent N = N„ pentru | w — w | < m, adică pentru w conţinut în vecinătatea V de rază m ). î n cazul w = oo afirmaţia acestui corolar se confundă cu egalitatea (49'). A c u m o altă demonstraţie şi generalizare a teoremei lui Rouch6. 0
0
0
Wţt
Wo
0
0
0
Wo
0
w
9
0
23
Wo
0
Teorema 3. Fie f(z) şi g(z) meromorfe în domeniul®, continue pe fr © şi f(z) + î>g(z) # 0 pe fr ®, pentru 0 < X < 1. Atunci N — Noo are aceeaşi valoare pentru f şi pentru f + Xg (şi în particular pentru f + g). Presupunem întîi C simplă, rectificabilă şi f(z),g(z) meromorfe p e C. 0
+
X
g
Pentru / + X g a v e m iV£ — N'^ = — ? — ( f ' dz. 2wi J f + X? Cum integrandul este continuu în (z, X) pe C x [0, 1], NQ — A este funcţie continuă de X (după o teoremă cunoscută), şi deci este constantă (căci nu poate varia decît cu î n t r e g i ) . Demonstraţia se face pentru cazul general, argumentînd la fel ca în cealaltă demonstraţie. c
r
GO
Observaţia 1. Condiţia teoremei lui Rouche | g | < \f | pe C atrage / + + Xg 7 ^ 0: | Xg | < | g | < | / | . N u şi invers. D e e x e m p l u : f = z, g = iz. 2
2
2
Sau: / = z + 1, g = z pe cercul \z\ = — • Pentru
z = — , | / | > | g | , pentru
2 2
z = i — > | / | < | g ] ; dar / + Xg ^ 0 pentru că rădăcinile ecuaţiei 2 + Xz + -)- 1 = o au modulul 1. Observaţia 2. Demonstraţia NQ — N'
m
se poate face şi topologic, plecînd de la
= —— [arg ( / + ^g)]c ^rin 2n
ipoteză, cînd X variază,
transformata
curbei C prin w = / + Xg variază continuu fără a trece prin origine. Se poate arăta că în aceste condiţii rotaţia ei faţă de w = 0 variază continuu şi deci este constantă. ( V e z i M . Morse, „ M e t o d e topologice în teoria funcţiilor de o variabilă c o m p l e x ă " , Princeton, 1947, p . 94; K u r a t o v s k i , Fund. math., 33,
(1945, pp. 316—67). Observaţia 3. T e o r e m a lui D ' A l e m b e r t se poate demonstra şi ca apli caţie a teoremei lui R o u c h 6 : Dacă f(z) = a z + ... + a şi f(z) = a& + + g(z), a v e m | g(z) | < \aoZ \ pentru | z | destul de mare. E t c . p
0
p
v
p
4. Teorema 4. (Hurwitz). Fie {f (z)} un şir de funcţii olomorfe în do meniul ® şi continue în @, care converg uniform în © către funcţia f(z). Dacă f(z) # 0 pe fr © , există un număr v astfel că, pentru n > v, funcţiile f (z) au acelaşi număr de zerouri în â) ca şi f(z). n
n
Sau putem aplica direct teorema lui Rouche funcţiilor / i = / — o> şi g = tv — w0
540
Q
După cum se ştie, funcţia limită f(z)
este olomorfă în ® şi continuă
în ® . F i e m = m i n \f(z) | > 0 (prin i p o t e z ă ) . D i n cauza convergenţei unifr§) forme există un număr v astfel că \f (z) — f(z) \ < m în ® , pentru n> v. V o m avea atunci pe f r ® : | / „ ( z ) — / ( z ) | < \f(z) |, ceea ce, după teorema lui Rouch6, dovedeşte că funcţiile f (z) cu n > v au acelaşi număr de zerouri în ® ca şi / ( * ) . n
n
5. Aplicaţiile principiului argumentului la studiul distribuţiei rădăcinilor unei ecuaţii. Principiul argumentului şi teorema lui Rouch6 pot servi la deter minarea numărului rădăcinilor unei ecuaţii y(z) = 0 într-un domeniu unde funcţia
n
1
o(z) == a& + a^"-
+ ... + « » =
= «o*-1*1 + J L ( f î + ... + Şjj
= ^ ( i + W)),
n
[arg
Co
+ e,
unde e = [arg (1 + ty(z))]c poate fi luat oricît de mic în valoare absolută, într-adevăr, deoarece ty(z) - > 0 pentru z - > oo, punctul W = 1 + ty(z) v a rămîne într-un cerc de centru 1 şi rază p oricît de mică v o i m , dacă arcul C este destul de îndepărtat (vezi fig. 168). Şi cum, în acest cerc, o deter minare a aigW poate varia cel mult cu 2arcosinp, | s | v a putea fi făcut oricît de m i c . 0
0
Fig.
168
î n sfîrşit, pentru a aplica teorema lui Rouch£, v o m căuta să punem funcţia y(z) sub forma y(z) = f(z) + g(z), unde f(z) şi g(z) verifică condiţiile teoremei, şi f(z) are, în domeniul considerat, un număr cunoscut de zerouri. 541
u
Exemple. 4. Ecuaţia lui Kepler )
{
O< a <
7C,
0 < « < 1 are o singură rădăcină in banda O < x
IR
v — y — oc cos x shy.
Pe o latură x = mit, — R < y ^ R: u = mr: — a,
(mA)7t
M7T
m
v = y — (— l) <x shy
şi t; descrie intervalul ( — 6, 6) cu f < 0 . ( > 0 pentru i? destul de mare (vezi fig. 169).
w
par,
b = R - ( - l)*»a sh i?
Fig.
169
Presupunînd m ^ 0, avem pe laturile y = i u = x — a — OL sin x ch R,
r» impar,
R, miz ^ x ^ (m -f 1) n:
v = ± i î ^ a cos a; sh R;
« ' = 1 — a cos # ch i? se anulează o singură dată cînd R este foarte mare | pentru cos x = =
î 1 trecînd de la — la -•- cînd m este par, sau invers cînd m este impar. Curba a ch R )
taie axa reală într-un punct dat de cos x =
avînd abscisa
0
OL
{
sh R
2 2
2 2
V aa sh sh R R — —R x -- aa -- V R cth R< 0
m par,
R* cth R>0 x - a + J a sh R - R*
m impar
2
2
0
2
2
n
(R foarte mare). (Se observă că în primul caz sin x > 0, iar în al doilea sin x < 0.) Din toate acestea rezultă formele date de fig. 170 pentru curba descrisă de punctul w. 0
0
I ! I
|
y/7?*i; T - a 0
I
f 'IX
m n-a
1
11 M>
0 par
M>0
Fig. 2 4
MFXR
170
) Ecuaţia lui Kepler dă poziţia unei planete pe orbită la un interval de timp T de
la trecerea prin periheliu, determinînd anomalia excentrică (unde e este excentricitatea
9 : 9 — 27* — e sin 9 = 0 T orbitei şi T perioada de revoluţie). în notaţia noastră z = 9,
a = 2TZ — şi a = e. Excluzînd cazul orbitei circulare, putem presupune 0 < o c < 1 şi 0 < a < 7t. T 542
Din aceste schiţe se vede că arg w creşte cu 4TC în cazul întîi, iar în al doilea revine a valoarea iniţială; aceasta demonstrează afirmaţia pentru tn > 0. Este clar că aceste rezultate se inversează cînd m < 0. în cazul m = 0 forma curbei rămîne aceeaşi ca în prima figură, dar originea cade între cele două segmente paralele ale curbei, aşa că arg w creşte acum numai cu 2TC. Deci în banda 0 ^ x ^ 7r ecuaţia are o singură rădăcină, care este reală pentru că primul membru al ecuaţiei ia semne contrare pentru z = 0, TZ. Să mai observăm că primul membru al ecuaţiei este de semn constant în afara intervalului (0,27r), de unde rezultă că celelalte rădăcini sînt imaginare. Ele formează perechi imaginar conjugate. 5. Numărul
rădăcinilor reale ale ecuaţiei n a
A =
c
2 ( fc k=m puţin 2 m şi cel mult 2n. Să observăm că
o
s
s
^9 +
m
^9)
=
a
0 ( * » ^fc reali) în intervalul (0, 2TZ), este cel
n a
A = Re £ ( k — ti>it)z* pentru | z | = 1. k—m lc?
Cînd 9 descrie intervalul (0,27r), Z = e descrie cercul | z\ = 1 în sens direct, o singură dată; urmează că ecuaţia A = 0 va avea, în acest interval, atîtea rădăcini distincte cîte intern
secţii are curba descrisă de w =
a
£
( fc —i&fc)
2
c
»
u
a
x
a
imaginară (u = Hew=0). Cum ecuaţia
w = 0, are cel puţin m (şi cel mult n) rădăcini, în discul \z \ < 1, curba considerată face, după principiul variaţiei argumentului, un număr de ocoluri în jurul originei cel puţin egal cu m. Pentru fiecare ocol, curba trebuie să traverseze cel puţin de două ori axa imaginară; deci numă rul intersecţiilor ei cu această axă, adică numărul rădăcinilor reale ale ecuaţiei A = 0 în inter valul (0,27r), este > 2m. Pe de altă parte, punînd în A = 0, £ = e , cos fop = — £-*), 2 1 sin fop = —- (£* — £ ) , se obţine o ecuaţie în £ de gradul 2n ale cărei rădăcini de modul 1 2i corespund biunivoc cu rădăcinile ecuaţiei date, din intervalul (0,27r). Deci numărul acestor rădăcini este < 2n. 19
k
6. Dacă 0 < a < a < ... < a , polinomul P(z) = £ o discul | z | < 1. Să se deducă: In aceste condiţii ecuaţia 0
1
atf" are toate zerourile sale în
n
9
n
A —2 k ^9 = 0 o are toate rădăcinile reale şi în intervalul (0,2TT), 2n rădăcinile distincte. Pentru a demonstra prima afirmaţie va fi destul să dovedim că pentru \(z — 1) P(z) | ^ 0, cu egalitate numai pentru z = 1. Or avem, a
\(z -
c
o
s
V)P(z) \ = \a z"+* - [a + K - f l p l ^ t n
> a
n
n
l
\z\ +
0
- [ a + (a - a ) | * | + 0
x
+ K
\z\ ^ 1,
- a _ ) z*]\ ^ n
x
+ (a - a _ ) | * |»],
0
n
n
t
unde putem avea egalitatea numai dacă punctele a , (a — a )z, ... sînt pe aceeaşi semidreapta ieşind din origine, ceea ce se întîmplă numai pentru z pozitiv. Dacă \z\ ^ 1 şi z nu este un nu măr pozitiv, vom avea \(z - l)P(z)\ > a \z\«* - [aoHr+i + ... + ( o , a ^)\z\^] sau |(*\)P(z)\>0. 0
n
l
0
n
Deci P(z) nu poate avea zerouri de modul ^ 1, dacă nu pozitive. Evident, P(z) nu se anulează nici pentru numerele pozitive. După cum s-a văzut în exemplul 5, ecuaţia ^ 4 = 0 are cel mult 2n rădăcini reale în inter valul (0,27r) şi pe de altă parte, numărul acestor rădăcini este egal cu numărul de intersecţii ale n
axei imaginare cu curba descrisă de punctul w = £
a^z* = P(z), cînd z = e
lfl
şi 0 descrie inter-
0
valul (0,2 7t). Dar, cum P(z) are cele n zerouri în cercul \z\ < 1, după principiul argumentului 543
această curbă face n ocoluri în jurul originei, şi deci intersectează axa imaginară în (cel puţin) 2n puncte. Aşadar, ecuaţia A = 0 are 2n rădăcini reale distincte, în intervalul (0,27r). în sfîrşit, ecuaţia în £ = e ° , formată în exemplul 5 are numai rădăcini de modul 1, corespunzătoare celor 2n rădăcini reale ale ecuaţiei A = 0 ; această ecuaţie nu poate deci avea rădăcini imaginare. !
7. Ecuaţia e-* + z - X = 0
(X > 1)
are o singură rădăcină în semiplanul Re z > 0, şi aceasta este reală. Aplicăm teorema lui Rouche funcţiilor / = z — X şi g = e~ , considerate în domeniul interior conturului din figura 171, unde R poate fi oricît de mare. Pe axa imaginară | e~ | = 1. Pe semicercul I \ z = 7?(cos 9 -f i sin 9) şi |e~ | — _ ~R cos 9 ^ ţ ţ ^ 0). Avem deci pe întregul contur, dacă R > X + 1: 2
2
e
z
c Q S
\g\ < K
(X > 1)
l/l
căci l/l > 1 pe contur. Deci ecuaţia dată are în interiorul conturului — şi prin urmare în tot semiplanul Re z > 0 — acelaşi număr de rădăcini ca / = 0, adică o rădăcină. Această rădăcină este reală pentru că ecuaţia trebuie să admită si rădăcina conjugată. (Din er -f z — X = 0 urmează şi e~ -f z— X = = e" + * - X = 0.) 8. Să te separe rădăcinile ecuaţiei z
z
z
s _
2
3
-f 3z -
6*5
1 = 0.
Căutăm întîi o barieră superioară pentru modulii rădăcinilor. In acest scop aplicăm teo rema lui Rouche funcţiilor / = z şig = — 6z* -f 3z — 1, pe un cerc \z\ = R. Vom avea pe acesta \g\ < l / l dacă 6i? -h 3i? + 1 < R , ceea ce se verifică pentru R = 2. Deci toate rădăcinile sînt în cercul \z\ < 2. Vom studia apoi realitatea rădăcinilor. Teorema lui Descartes ne indică o rădăcină negativă, care se încadrează în intervalul ( — 1, 0), şi una sau trei rădăcini pozitive, în intervalul (0, 2). Ele nu pot fi în (0, 1). într-adevăr, ecuaţia derivată (pe axa reală) este x (8x* — — 30x 4- 9) = 0, iar semnul său este dat de factorul al doilea; dar derivata acestui factor este 40* — 60x = 20#(2# - 3), care-i tot timpul negativă în (0,1), şi deci funcţia 8x* — 30x + 9 este mereu descrescătoare, şi avînd în vedere că în extremităţi ia valorile 9 şi —13, rezultă că acest factor, şi deci şi derivata x ($x* — 30x -f 9), sînt pozitive de la x = 0 şi pînăla o valoare intermediară x , unde acest factor, şi deci şi derivata, se anulează, iar de la x pînă la 1, atlt factorul, cît şi derivata sînt negative. Dar funcţia x — 6x* -f- 3# — 1 ia în extremităţi valo rile — 1 şi — 3 descrescînd de la — 1 pînă la valoarea ce corespunde punctului x ce anulează deri vata, iar de acolo creşte pînă la valoarea —3, şi prin urmare funcţia nu intersectează nici o dată axa reală, adică nu are nici o rădăcină în intervalul (0,1). B
5
3
3
B
2
2
4
3
2
2
2
2
2
s
3
x
Fig.
171 2
Fig.
172
2
Cum ecuaţia derivată x (8x* — 30* -f 9) = 0 are o singură rădăcină pozitivă, în (1,2), rezultă (teorema lui Rolle) că ecuaţia propusă are o singură rădăcină pozitivă, situată în (1,2). Cele două rădăcini reale fiind simple, urmează că ecuaţia mai are trei perechi de rădăcini ima ginare conjugate. Spre a le separa vom aplica principiul variaţiei argumentului sectoarelor 0<e<*-^-, 4
0
2, 3,
cu R foarte mare, din care excludem rădăcina x printr-un semicerc (vezi fig. 172). x
544
Pe o rază 0 •* k —
(parcursă înspre centru) avem
5fr u = r — 6r cos — 4 8
5
5
v = —or sm — 4
7C
3k + 3r cos — 4 3
TT —
1,
3
7T -f- Jr sin — 7C. 4
De-a lungul razei 0 = 0, arg w variază cu — TZ (datorită semicercului de centru x ). Pe arcul de cerc al sectorului, după o observaţie făcută mai sus, arg w variază cu 2kn ± e. unde e —• 0 x
cînd R —• oo. Pe raza 0 =
> w descrie un arc de curbă parabolic***, care st termină în punctul
w = — 1 şi situat în semiplanul superior (v > 0) cînd k == 1, 3, şi în cel inferior (v < 0) cînd k — 2 * > ; de unde rezultă că arg w variază în primele două cazuri cu TZ — e, iar în ultimul cu —TZ + e. în definitiv, argw variază pe contururile considerate în figura 173, pentru k = 1, 2, 3, respectiv cu 2TZ, 2TZ, 6TZ. Avem deci o rădăcină în sectorul 0 < 0 < — şi două rădăcini în sectorul 4 TZ
-
3TC
— < 0< — 2 4 Putem ameliora aproximaţia rădăcinilor în modul aplicînd teorema lui Rouche" funcţiilor / i = - 6z* şi = z + 3* - 1. Vom avea fol < | / J pe cercul |;| = R, dacă fl + 3i? + 1 < < 6R?, ceea ce are loc pentru R = 1. Deci sînt 4 rădăcini imaginare în discul \z\ < 1. Spre a le situa în sectoarele precedente vom arăta mai întîi, cu ajutorul variaţiei argumentului că nu există nici o rădăcină în porţiunea de sector mărginită de segmentele radiale de unghiuri 0 = = 0, — şi de arcele de cerc de centru O şi razele r — 1 şi R > 2. în acest scop, urmează să 4 vedem alura curbei, imagine a frontierei domeniului menţionat. Cum am văzut mai sus alura curbei corespunzînd celor două raze şi arcului de cerc de rază R, nu rămîne decît să mai vedem ce devine arcul de cerc de rază r — 1. înlocuind z = e , polinomul iniţial, în care separăm par tea reală de cea imaginară, devine 8
g
3
8
3
l
ifl
u = cos 8 0 — 6 cos 50 -f 3 cos 0 — 1, v = sin 80 — 6 sin 50 + 3 sin 0.
23
> Prin arc de curbă parabolic se-nţelege un arc de curbă infinit a cărui asimptotă este paralelă cu axa reală şi aruncată la infinit. > De aici rezultă că aceste raze satisfac condiţia de a nu trece prin nici o rădăcină a ecua ţiei date. 26
35 — T e r r i a îur.cţiilor — c. 1275
546
Punctele ce corespund intersecţiilor cercului de rază r = 1 cu razele 8 = 0, — > vor avea coor4 donatele ( — 3, 0) şi
9
(h h\
Avînd în vedere şi tabelul
o
0
JL
12
TZ
TZ
TZ
~6
5
4
o + + + +
-3
0 +
Fig.
+
+ +
174
Fig.
175
alura curbei va fi dată de figura 174. Se vede că argw variază pe conturul domeniului pre cedent cu — 7c
+ 8
hs -
TZ —
e = 0
4 şi deci acest domeniu nu conţine nici o rădăcină. Cum însă întregul sector, mărginit de razele 0 = 0,— 4
şi de arcul de cerc de rază R> 2, conţine o rădăcină, rezultă că aceasta
se află
în sectorul mărginit de razele 0 = 0,
— şi arcul de cerc de rază r = 1. în sectorul simetric 4 faţă de axa reală se va găsi rădăcina imaginar conjugată cu acestea. Cum am văzut mai sus că în discul unitate se găsesc numai două perechi de rădăcini imaginar conjugate, rezultă că din cele două perechi ce se află în sectorul mărginit de razele 0 = — > — şi arcul de cerc de 2 4 rază 1, o singură rădăcină (din cele două conţinute în întreg sectorul) este în cercul de rază 1, cealaltă aflîndu-se în porţiunea sectorului mărginită de arcele de cerc de raze r = 1 şi R > 2, această concluzie rămînînd valabilă şi pentru conjugatele acestor rădăcini. Din toate acestea reiese distribuţia rădăcinilor arătată în figura 175. 3
9. Să se găsească numărul rădăcinilor ecuaţiei z* -f- 3z + 1 = 0 din discul \z\ < 1. Aplicăm teorema lui Rouche funcţiilor 3z şi -f 1. Pe circumferinţa unitate vom avea |3* | = 3 > \z* -r 1| ^ 2. Deci ecuaţia are în interiorul cercului unitate tot atîtea rădăcini ca z = 0, adică trei. Una din ele este reală şi se găseşte în intervalul ( — 1, 0). 3
3
3
10. Dacă cp(J) este o funcţie pozitivă, crescătoare şi continuă în intervalul [0, 1], atunci funcţia întreagă
are toate zerourile reale . 27
546
> A.I. M a r k u ş e v i c i ,
Teoria funcţiilor analitice. Moscova — Leningrad, 1950.
Integrandul fiind continuu în (z, t) şi olomorf ca funcţie de z în tot planul, f(z) este o func ţie întreagă (teorema lui De la Vallee-Poussin). Vom construi un şir de funcţii întregi f {z) convergînd uniform către f(z) şi apoi vom folosi teorema lui Hurwitz. Un asemenea şir este dat chiar de definiţia integralei: n
fn (*) =
£
— 9 I—
»0
n
fc
cos
\n)
n
(Intervalul [0, 1] fiind împărţit în subintervale de lungime — >
f (z) este o sumă S n
cores-
n
n punzătoare şi tinde la f{z).) Pentru a demonstra convergenţa uniformă într-un domeniu A mărginit, în care menţinem pe z scriem: t
* + l
/(*) - / » ( * ) = ^
^
J9W cos tz - 9
cos ^ *j d*.
n
Funcţia 9(/) cos rtf fiind uniform continuă în [0, 1] x A , pentru e > 0 dat, există un 8 > 0 astfel că |9(/)
cos tz — 9 ( 0
1
cos t'z\ < e
pentru \t — t'\ < S.
/ î i
Luînd — < 8 vom avea * n avea în acest interval
r&fc-i-in
^ — < 8 în intervalul — , n n [n |9(/)
cos tz — 9
f—1
cos — *
\n)
şi prin urmare vom
J
n
< e.
n
de unde l / M - /nW | < n • — • e = c n
pentru
« > -1 $
n-l W "
Să observăm acum că f (z) este de forma n
1
.
a
£
.
.
.
{
* cos fop cu a* pozitivi şi crescători
I şi
deci (exemplul 6) / are numai zerouri reale. De aici decurge aceeaşi proprietate pentru f{z), cu ajutorul teoremei lui Hurwitz: Dacă f(z) ar avea un zero imaginar a, atunci într-o veci nătate U ce nu intersectează axa reală, funcţiile f {z) cu n destul de mare ar avea cel puţin un zero imaginar. n
a
n
CO 2
n
11. Dacă / ( * ) = £ an " $ discul \z\ < 1 şi \a \ < a»(n ^ p), iar f(z) nu se anulează în o mai mult de p puncte din disc, atunci pe frontiera fiecărui domeniu închis A, care este conţinut în disc şi conţine originea în interiorul său, există puncte unde \f(z) \ ^ a -f ... -f a (Saxer). n
0
p
v a
Avem pentru polinomul p(z) =
zft
Z
n "> \P( )\
^ Oo -f ... -f ct în tot discul. Dacă, pe p
o fr A, am avea \f(z) | > Oq + ••• + <*p» ar urma \p(z) | < \f(z) \ şi după teorema lui Rouche" ar urma 00
ca f(z) şi f(z) — p{z) =
n
£ a ^ să aibă în A tot atîtea zerouri; or, a doua funcţie are cel puţin p+i P -f 1 zerouri (unul fiind z = 0, de ordin /> + 1)» pe cînd cea dintîi are cel mult p zerouri. Deci trebuie să existe pe fr A puncte în care | / ( * ) | < OLQ -f ... + a . n
p
00 B
Consecinţă: Dacă f(z) = V a : în cercul \z\ < 1 şi min | / ( * ) | > \a \ -f ... + \a \,atunci o l*l-"w/m + 1 zerouri (în discul \r\ < r). 9
0
p
547
§ 94. Proprietăţi topologice ale reprezentării efectuate de o funcţie meromorfă 1. î n cele ce urmează v o m demonstra cu mijloace proprii teoriei func ţiilor de variabilă complexă, şi în condiţii m a i generale, teorema invariaţiei domeniilor şi alte teoreme înrudite. Teorema 1. (Teorema invariaţiei domeniilor). Dacă f(z) este meromorfă şi neconstantă în domeniul D, mulţimea E a valorilor luate de funcţie în D (E = = f(D)) este tot un domeniu (în planul lui Gauss). 1°. E este deschisă: fie w un punct din E şi z un punct din D, unde f(z ) = w . Mulţimea punctelor în care f(z) = w fiind izolată, există o vecinătate circulară U în care f(z) # w pentru z # z . D u p ă corolarul 2 al teoremei lui Rouch6, există atunci o vecinătate V astfel că f(z) ia orice valoare w din V , în puncte din U — al căror număr este de altfel egal cu multiplicitatea valorii w în z . Or, aceasta înseamnă că V <^ E. 0
0
0
0
0
Mţt
0
0
Wo
Wo
Zo
0
0
Wo
2°. E este c o n e x ă : aceeaşi demonstraţie ca în cazul cînd f(z) este o l o morfă (considerată m a i d e m u l t ) : conexiunea rezultă din faptul că f(z) efec tuează o reprezentare continuă în planul lui Gauss (w): sau următoarea demonstraţie: fie w w puncte din E, care corespund la z z în D, puncte evident distincte. P u t e m uni z cu z prin o curbă C (de e x e m p l u linie poli gonală) în D. Reprezentarea continuă w = f(z) duce curba C ( m u l ţ i m e c o m pactă şi conexă în planul lui Gauss) într-un continuu C' c= E, ce uneşte w cu w . lt
2
lt
x
x
2
2
2
Observaţie. D i n teorema precedentă se poate deduce principiul m a x i mului (minimului) modulului — cum a m m a i observat. 2. Teorema 2. Dacă f(z) este meromorfă în D şi continua pe fr D , iar f(D) = = E, atunci f(D) = E şi punctele frontieră ale lui E corespund la puncte fron tieră ale lui D: fr E<^ / ( f r D). Mai întîi ultima afirmaţie: D a c ă X este în Ir E (deci nu în E, d o m e niu), există un şir de puncte distincte w , din E, care converg către X. F i e w = f(z ); punctele z sînt distincte, pentru că z = z ', ar atrage w = = w '; deci ele au (cel puţin) un punct l i m i t ă în D sau în fr D. D i n şirul z să e x t r a g e m un şir z c o n v e r g î n d către £. A v e m încă w = f(z ) - > X şi din cauza continuităţii reprezentării, X = / ( £ ) . P e de altă parte, t nu poate fi în D, pentru că atunci, X ar fi în E. D e c i punctul frontieră X corespunde punctului frontieră £. k
k
k
k
k
k
k
k
k
n
n
n
JDe aici urmează şi f(D) zz> E. P e de altă parte, dacă £ este un punct din D şi X = f(Q, orice V conţine puncte din E, deoarece în virtutea con tinuităţii reprezentării, există o vecinătate Uţ ale cărei puncte din D _sînt duse în puncte din V . Aceasta înseamnă_că Xj=i?. Astfel, f(D) c= E şi ţinînd seama de relaţia inversă, urmează f(D) = E. x
x
Observaţia 7. Este posibil ca la puncte din din E (interioare).
ivD să corespundă
puncte
2
Exemplul 1. Fie w = z şi D domeniul din figura 176; E este aici discul \w\ < 1. La punc tele celor două raze ce limitează domeniul D corespund puncte din E, iar fr E corespunde numai arcului de cerc T.
Observaţia 2. Dintr-o teorema relativă la închiderea că fr Ea f E. D e c i a v e m şi fr E cz / ( f D). r
548
r
domeniilor ştim
3. T e o r e m a 3. în condiţiile teoremei precedente, dacă reprezentarea f(D) = E este biunivocă, fr D şi fr E se corespund: fr E = / (fr D) (nu necesar biunivoc). Ţ i n î n d seama d e teorema precedentă, a v e m d e d o v e d i t că f(fvD) c: c: fr E, adică: la orice punct £ din fr D corespunde un punct X = / ( £ ) în fr E. într-adevăr, să presupunem contrariul: X î n E. V o m avea atunci şi X = f(z ) pentru un punct z din D. Să considerăm o vecinătate U c: D şi, în dome niul A = f(U ) din E, să luăm o vecinătate V ( v e z i figura 177). î n virtutea 0
0
Mţt
X9
x
Fig.
176
Fig. 177
continuităţii lui f(z) pentru z = £, există o vecinătate Uţ, disjunctă d e U , astfel că orice valoare w luată d e f(z) într-un punct z din Uţ (] D, se află în V . Aceeaşi valoare v a fi luată şi într-un punct z din U (pentru că f(U ) = A D V^); şi c u m z # z (pentru că Uţ şi U sînt disjuncte), i p o teza biunivocităţii este contrazisă. Xţi
±
x
2
Mo
x
Observaţie.
2
Corespondenţa
%9
Xţt
frontierelor poate
să nu fie biunivocă.
2
Exemplul 2. Fie w = z şi D semicercul din fig. 178. Aici E este discul \w\ < 1 minus raza [0, 1). Corespondenţa dintre diametrul (—1, + 1 ) Şi raza (0, 1) nu este biunivocă, deşi D şi E se corespund biunivoc.
4. T e o r e m a 4. Fie f(z) olomorfă în domeniul D limitat de o curbă simplă închisă C, şi finită pe C şi continuă pe D. Dacă f(z) reprezintă (biunivoc sau nu) curba C pe o curbă C de asemenea simplă şi închisă, atunci domeniul E = f(D) este interiorul curbei C . D u p ă teorema penultimă, îx E cz C (căci / ( f r D ) = C ) . Domeniul E trebuie să aibă puncte comune cu unul (cel puţin) dintre domeniile determinate de curba C. Dacă A este un asemenea domeniu, c u m e l este disjunct d e fr E (pentru că fr E c: C ' ) , a v e m A c: E. A p o i , deoarece E nu conţine punc tul oo (f(z) fiind olomorfă în D), A este interiorul curbei C (care nu trece (z
>
! (w)
Fig. 178
prin acest punct). T o t o d a t ă rezultă că E este disjunct d e exteriorul lui C (căci altfel l-ar conţine). Astfel E c= Ă = A U C , unde A f ) C ' = 0 . A c u m , dacă E ar avea un punct X comun cu C , o vecinătate V <^ E ar conţine puncte exterioare lui C, în contradicţie cu E cz A ; deci E este disjunct de C şi în consecinţă £ cz A . Ţ i n î n d seama d e A cz E stabilită m a i sus, urmează E = A . x
Observaţie. T e o r e m a se aplică şi, în cazul cînd / ( z ^ d e v i n e infinit pe curba C, dacă există o valoare w p e care funcţia n-o ia în D. Demonstraţia rămîne aceeaşi, w jucînd rolul punctului oo; A v a fi domeniul determinat de C , în care nu se află w . (Bineînţeles, nu se m a i poate vorbi de domeniu in terior, pentru că C trece prin punctul oo.) T e o r e m a precedentă (ca şi următoarea) rămîne valabilă cînd în loc de a presupune O simplă, presupunem numai că C determină numai două domenii. ( E x e m p l u un cerc împreună cu o rază a sa.) 5. Următoarea teoremă, de aplicaţie frecventă, permite să deducem, sub anumite condiţii, din biunivocitatea corespondenţei frontierelor, biunivccitatea corespondenţei domeniilor. 0
0
0
Teorema 5. Fie f(z) olomorfă în domeniul D limitat de o curbă simplă, închisă şi rectificabilă C. Dacă f(z) reprezintă biuiiivoţ curba C pe o curbă C, de asemenea simplă şi închisă, atunci reprezintă şi domeniul D biunivoc pe interiorul curbei C. Conform teoremei precedente, E = f(D) este interiorul curbei C \ Cînd punctul £ descrie o dată curba C într-un sens dat, punctul X = . / ( £ ) descrie o dată curba C într-un acelaşi sens, pentru că £ şi X se corespund biunivoc. Dacă w este un punct din E, f(Q nu poate lua valoarea w pe curba C (căci X^ze>). A s t f e l funcţia f(z) — w satisface condiţiile în care se aplică principiul variaţiei argumentului: numărul punctelor din D, în care f(z) = = w, este egal cu variaţia lui —— arg (X — w) pe curba C , descrisă o dată, 2T"
într-un acelaşi sens, deci c u — - = 1. ( E v i d e n t , acest sens trebuie să fie cel 2TC
direct, dacă C este descrisă în sensul direct.) Aşadar, orice punct din E cores punde unui singur punct din D. Observaţia 1. Condiţia ca C să fie rectificabilă face ca această curbă să fie mărginită. î n cazul cînd C nu este mărginită, fie oc un punct exterior domeniului
D. Transformarea
— duce (după teorema z —a precedentă) curba C într-o curbă mărginită C * şi domeniul D în interiorul D* al acestei curbe. E v i d e n t , toate condiţiile teoremei v o r fi satisfăcute de a
funcţia / | ~ ~ + j
=
biunivocă z* =
? ( * * ) Pentru domeniul D*, dacă C * este rectificabilă.
Sub această condiţie teorema se v a putea aplica funcţiei 9(2*) şi domeniului D * ; acest domeniu, şi deci şi D, v o r fi reprezentate biunivoc pe interiorul curbei C \ Observaţia 2. T e o r e m a precedentă se e x t i n d e de asemenea la cazul cînd f(z), în l o c j i e a fi olomorfă în D, este olomorfă numai în D, dar conţină şi finită în D, deoarece principiul argumentului a d m i t e o extindere analogă (§ 93, nr. 2 ) . Observaţia 3. Se poate încă renunţa la condiţia ca f(z) să fie finită pe curba C, dacă în schimb, există o valoarea w pe care funcţia n-o ia în D. într-adevăr, dacă f(z) d e v i n e infinită într-un punct al curbei C (curba O 0
trece prin punctul infinit
0 0 ) , transformarea
w* =
duce curba C w — w într-o curbă C* mărginită şi domeniul E = f(D) într-un domeniu dc asemenea Q
550
mărginit, deci în
interiorul lui
C*. Astfel
funcţia w* = ty(z) =
f(z) — w satisface condiţiile teoremei (inclusiv aceea de a fi finită pe C) şi deci repre zintă biunivoc domeniul D pe domeniul E*. Cum transformarea efectuată este biunivocă, urmează că w = f(z) reprezintă biunivoc D pe E. D a c ă se omite condiţia ca f(z) să fie finită pe curba C, fără a se înlocui prin altă condiţie, teorema nu m a i este adevărată. 0
Exemplul 3. Funcţia
reprezintă biunivoc cercul \z\ — 1 pe axa reală; căci z = e
lfl
3
ne dă w = tg — • Funcţia este 2 infinită în punctul z = — 1 al cercului, dar satisface celelalte condiţii ale teoremei. Or, cînd z descrie discul \z\ < 1, W= — i — descrie semiplanul superior, iar w = W* descrie tot z+ 1 planul cu excepţia punctelor 0, oo. Observaţia 4. Să reţinem şi faptul, care reiese din demonstraţiile de m a i sus, că în condiţiile teoremei, punctele corespunzătoare ale curbelor C şi C se mişcă în acelaşi sens faţă d e domeniile corespunzătoare. 6, T e o r e m a precedentă este un criteriu suficient pentru univalentă unei funcţii într-un domeniu. î n legătură cu aceasta v o m m a i demonstra. T e o r e m a 6. Dacă funcţiile olomorfe f (z) univalente în domeniul D, converg uniform în D către funcţia f(z) neconstantă, atunci şi f(z) este univalentă în D. Ss ştie că f(z) este olomorfă în D (teorema lui Weierstrass). Dacă nu ar fi univalentă, ar exista două puncte z z , unde f(z ) = f(z ) = a. Să considerăm funcţiile f (z) — a, care c o n v e r g uniform către f(z) — a, şi două vecinătăţi U , U , disjuncte. Deoarece f(z) — a are în fiecare din acestea cîte un zero (z respectiv z ) după teorema lui H u r w i t z f (z) — a v a avea de asemenea cîte un zero, pentru n destul de m a r e ; cu alte cuvinte f (z) v a lua valoarea a în două puncte, contrar ipotezei. n
lf
2
±
2
n
Zi
Xt
lf
2
f
n
n
7. Dacă f(z) este univalentă şi olomorfă în domeniul D, a v e m f(z) T £ 0 în D. Reciproca nu este
^
adevărată.
2
Exemplul 4. f(z) = e într-un domeniu unde y poate varia cu 2TZ. Se poate însă afirma: T e o r e m a 7. Dacă f(z)
este olomorfă
într-un
domeniu
îa
convex D şi
un număr a astfel încît R e [ e / ' ( 2 r ) ] > 0 în D, atunci f(z) este univalentă
există în
D.
(Wolff—Namura). într-adevăr, dacă f(z) ar lua aceeaşi valoare în două puncte a, b din D, a m avea
L r ( * ) d * = / ( & ) - / ( « ) = o. Jab
551
integrala fiind luată pe segmentul ab (conţinut în D prin i p o t e z ă ) , ceea ce se scrie încă, reprezentînd segmentul ab prin (b -
a aşa ca R e [e f(z)]
dt = 0, s a u C [ e / ' ( * ) f c d* = 0. Jo
rb
Corolar. Dacă f(z) ia
te
«)C (f'{z)) Jo
Dar prin ipoteză R e [ e
i<x
z = a + t(b — a) (0 < * < 1):
f'(z)]
> 0 şi relaţia precedentă nu poate a v e a loc.
este olomorfă în domeniul convex D şi există un
> 0 în D, atunci funcţia
număr şi z va-
•/ZQ
riabil în D) este univalenţă în D. (Se observă că integrala este uniformă, D fiind simplu conex.)
Fig. 179 8. Alte exemple. 5. Fie w = e *, în domeniul D limitat de segmentul x — y (0 ^ x ^ ^/TT), 2
arcul de hiperbolă y — — (JTZ^ X > 0) şi semiaxa x = 0, y ^ 0 (vezi figura 179). 1<0
y
Dacă w = pe , atunci p = e** *, co = 2xy. Cele trei arce de curbă sînt reprezentate biunivoc pe: cercul = 1, raza 1 0 şi raza 0 1, această rază fiind considerată ca un segment dublu. Domeniul este reprezentat biunivoc pe cercul \w\ < 1 tăiat după această rază. (Se va observa că conturul lui D nu este rectificabil, dar devine astfel printr-o transformare de forma z* =
» şi că f{z) este continuă şi finită pe contur.) Z — 0L
6. Funcţia întreagă f{z) = 1
in banda 0 < x < TT. într-adevăr Re [—/'(-:)] = \ t 0, integrandul fiind > 0 în interJ0 valul de integrare.
§ 95. Inversa locală a unei funcţii meromorfe 1. F i i n d dată o funcţie meromorfă f(z) — w, în domeniul D, şi care reprezintă acest domeniu pe un domeniu E, corespondenţa inversă (de la E la D) defineşte o funcţie inversă
0
0
0
0
552
0
0
0
0
î n condiţii m a i generale, inversa locală poate avea, cum se v a v e d e a , un punct critic algebric. Comportarea unei funcţii ( m u l t i f o r m e ) în jurul unui punct critic algej_
bric este aceea a funcţiei z în jurul lui z = 0. D î n d o formă mai precisă acestei definiţii, o v o m formula astfel: U n punct critic algebric z al unei funcţii multiforme f(z) este caracterizat prin condiţiile: 1° într-o vecinătate U , destul de mică, dar arbitrară, funcţia are un număr finit m d e determinări distincte şi uniforme în vecinătatea tăiată după o rază plecînd din z , 2° aceste determinări sînt legate între ele prin continuitate în vecină tatea întreagă ( n e t ă i a t ă ) . Bineînţeles, în U pot exista şi alte grupe de determinări ale funcţiei, legate la fel între ele. U n asemenea grup de deter minări se numeşte ciclu de origine z , pentru că, după cum v o m d o v e d i mai tîrziu, determinările unui ciclu pot fi numerotate astfel încît un circuit în jurul punctului z (de ex. un cerc de centru z descris o dată, în sens direct) duce determinarea w (urmărită prin continuitate de-a lungul lui) în deter minarea w , apoi w în w , w _ în w şi w în w . n
0
S
0
Xo
0
0
0
L
2
2
3
n
x
m
m
x
2. Teorema locală a funcţiilor inverse. Fie f(z) o funcţie avînd un punct regulat sau pol în z şi luînd acolo valoarea f(z ) = w cu multiplicitatea m; fie U o vecinătate circulară pe al cărei contur f(z) este finită şi continuă, iar în interior regulată [cu eventuala excepţie a punctului z (cînd este pol)], şi astfel încît în U , f(z) # w pentru z # z . Există atunci o vecinătate corespun zătoare V , în care se poate defini o funcţie y(w) = z (element al funcţiei inverse globale), în mod unic, prin condiţiile de a verifica identic ecuaţia f(z) = w (adică f(y(w)) = w în V ) şi de a lua valori numai în U , şi în particular valoarea 9 ( ^ 0 ) = *o Dacă m = 1, y(w) este olomorfă în V cînd z este finit şi are numai un pol simplu în w cînd z = 00. Dacă m > 1, w este un punct critic algebric, în care cele m determinări ale funcţiei y(w) formează un ciclu, şi sînt distincte şi olomorfe în vecinătatea V tăiată după o rază, dacă U este destul de mică. în orice punct unde
0
0
ZO
0
Zft
0
0
Wq
Wq
X%
:
WO
0
0
0
0
9%
T
x
~'
Xo
f'(z)
TX
'
"''
Demonstraţie. Vecinătatea U fiind luată aşa ca să satisfacă condiţia din enunţ, vecinătatea corespunzătoare V v a fi fixată ca în corolarul 2 al teoremei lui Rouch£. A t u n c i , conform acestui corolar, ecuaţia f(z) — w = 0 v a avea m soluţii în U , pentru orice w din V . F ă c î n d să corespundă fiecărui w din V cele m soluţii ale ecuaţiei, definim în V o funcţie
Wo
Xo
w%
Wu
Wo
x%
Wo
Xo
0
x%
0
0
0
Zo
0
0
0
0
0
0
553
1°. m = 1, adică w valoare simplă a funcţiei f(z) î n z = z , ceea c e r e v i n e la f'(z ) ^ 0. D u p ă corolarul 2 a l teoremei lui Rouch£, la vecinătatea U d e rază r corespunde vecinătatea V„ d e rază 0
0
0
Sţt
9
p ( r ) = m i n \f(z) — w0 \, C(t)
unde C(r) este circumferinţa | z — z | = r. Vecinătatea V cea m a i m a r e , în care putem defini (cu procedeul nostru) inversa locală
w%
Xo
Wo
Xft
w%
0
0
z
(50)
C
( ) = - ± J f'W 2TA JC/ f{z) —
9
dz.
W
w
într-adevăr, integrandul este olomorf p e C şi n u are î n interiorul l u i decît un p o l : z = y(w), care este simplu şi are reziduul
-<*.). /(?(»)) (Deoarece ecuaţia f(z) — w = 0 n u are, î n Î 7 decît o rădăcină şi aceasta este y(w), w fiind conţinut î n V' .) Cînd f(z) este olomorf p e frontiera C a vecinătăţii U , se poate lua î n (50) C = C . Să presupunem acum că punctul w descrie vecinătatea V' . Cum inte grandul din (50) este continuu ca funcţie d e (z, w) şi olomorf ca funcţie d e w pentru z p e C şi w î n V' teorema lui D e l a Valtee-Poussin ne asigură că funcţia
w
Xf)
Wo
Wf)t
Wo
Wf>
Wo
Wo
? W
=
V
'
dz,
27d Jc< (f(z) - wf
O putem însă obţine şi d e r i v î n d identitatea f(
9
9
?
V o m m a i observa că funcţia olomorfă y(w) a d m i t e o d e z v o l t a r e t a y l o riană d e forma (51)
(w) = z
9
0
+ ( w -
w )P(w 0
- w) 0
P(0) ± 0,
unde seria P(w — w ) trebuie să aibă primul t e r m e n P(0) ^ 0, deoarece 0
y'(w ) = — î — ^ 0. Această d e z v o l t a r e este valabilă î n cercul d e rază egală f'( o) cu m a x p ( r ) . Q
z
554
2°. m > 1, adică f'(z)
în U
este de forma
r%
m
(52)
f(z) = w + ( z - z ) 0
z ),
Q(z -
0
Q(0) # 0.
0
Să considerăm funcţia multiformă, cu m valori t
(z) =
=
-
g
w = ( s -
z )^Q(z-z ).
0
0
0
E a are m valori g distincte pentru z ^ z fiindcă f(z) # w pentru z ^ z (după definiţia vecinătăţii U ). Dacă impunem vecinătăţii U şi condiţia k
0
0
Zo
0
2o
\Q(z-z )-Q(O)\
<
0
\Q(0)\
(realizabilă fiindcă Q(z — z ) este continuă), arg Q(z — z ) v a fi uniform în U , deoarece p u n c t u l £ = (?(* — z ) rămîne în cercul de centru = Q(0) şi rază \ţ \. A t u n c i determinările lui ^Q(z — z ) v o r fi uniforme şi deci olo morfe în U . Dacă una din ele are dezvoltarea tayloriană Q (z — z ), celelalte 0
0
go
0
n
0
0
St
m
sînt e ţiei g[z):
x
Qi(z — z ) (k = 0,
0
m — 1) şi a v e m pentru determinările
0
func
_ 2krţi
t = &(*) = e
"
(* -
s )
-
0
-o),
Qi(0) * 0,
deoarece
g ' ( * ) # 0. 0
Pentru fiecare valoare a lui A, această funcţie are (după 1°) o inversă locală, definită într-o vecinătate W din planul t, de rază egală cu 0
min\g(z)\ c
= min|f/(*) c
w \ == T p 0
(p = m i n | / ( * ) — w \ fiind raza lui K „ ) ; şi această inversă are o d e z v o l t a r e c tayloriană de forma ( 5 1 ) : 0
t
z = ty (t) = z t
+
0
tP(f"t)
P(0)
* 0,
unde seria P are coeficienţi independenţi de k. Funcţiile inverse sînt carac terizate prin c o n d i ţ i i l e : z = i> (t)eU , k
&(+*(<)) ss t
0
în
W. 0
P e de altă parte, funcţia inversă
f(y(w))
= w
w = w +
r ,
z%
în F . W a
Punînd (53)
0
aceste condiţii se
m
(w
9
scriu
0
+ t )ţ
U,
1
f( (w
H
9
0
+ f ))
m
= w + t
în
0
W
0
m
(căci dacă ze> descrie V , t descrie vecinătatea W de rază { p). A doua condiţie este echivalentă după (52) cu Wo
fe(?(»o +
0
H)l
m
=
sau cu
g ( (w k ?
0
+
H) = 555
Or, aceste condiţii sînt satisfăcute şi de funcţiile ty (t). D e c i cele m. determinări ale funcţiei
0
k
2kni m
m
2kni
tP(e»
0
t)
în
W. 0
R e v e n i n d la variabila w dată de ( 5 3 ) , a v e m cele m determinări ale funcţiei ?(»)
:
m
(54)
m
9(1») = z + (w — w ) 0
J_
P((w — w ) ),
0
P(0)
0
# 0,
2kni
m
m
unde (ze>— ze> ) = e t are w determinări. E a este astfel reprezentată printr-o serie de puteri ale unei determinări a radicalului (w — w ) £ ; cele m determinări ale acestuia ne v o r da cele m determinări ale funcţiei y{w). 0
0
Cum a m observat m a i sus, dacă l u ă m vecinătatea U , destul d e mică, valorile date de (54) v o r fi distincte pentru z # z . T o a t e se obţin din una 1 L dintre ele, înlocuind (w — w ) prin e (w — w ) . D a c ă ducem în V o X
0
m
m
m
0
0
Wo
m
tăietură după o rază, determinările radicalului (w — w ) v o r fi separate şi olomorfe în domeniul rămas. Seria (54) fiind uniform convergentă (ca serie de puteri) în orice domeniu închis conţinut în vecinătatea V tăiată, urmează (teorema lui Weierstrass) că determinările funcţiei
m%
k
Dacă însă punctul w descrie un circuit în sens direct în jurul lui _L m
(w—w )
se multiplică cu e
0
w, 0
— m
;
deci
o
determinare
y
a
k
funcţiei
devine
9 l
0
V o m m a i observa că rezultatele privitoare la cazul m = 1 pot fi consi derate ca o particularizare a precedentelor; aşa d e e x e m p l u pentru m = 1, (54) devine (51). Cazurile cînd z şi w nu sînt finiţi se reduc la precedentul în felul următor : 0
0
=
II. z= oo, w finit. Considerăm funcţia / ^ ~ 7 j > * °l rfă în vecinătatea lui z' = 0, şi ia valoarea w în acest punct. R e z u l t a t e l e pre cedente se aplică acestei funcţii în nişte vecinătăţi UQ şi V , deci se aplică funcţiei f(z) într-o vecinătate ce corespunde la U' prin transformarea 0
w
c
a
r
e
e s
e
o i n o
0
0
WO
0
z = —, şi în vecinătatea V . Wo
Inversa locală a funcţiei / ( — \ a v î n d o d e z v o l -
tare de forma z' = (w) 9l
inversa funcţiei f(z),
m
= (w — w ) 0
P ((w x
m
— w ) ), 0
556
x
care este e v i d e n t — - — , are o dezvoltare de forma _ -L
(55)
P (0) ^ 0
z = y(w) = {w — w ) 0
m
JL m
P((w — w ) ) 0
P(0)
# 0.
m.
z
0
finit, w = 0
co. Consdierăm funcţia
= w',
olomorfă în
z
0
şi egală cu O în acest punct. T e o r e m a se aplică acestei funcţii în nişte v e c i nătăţi U şi V' , iar funcţiei date f(z) în vecinătăţile Ua, şi — transformata Xo
0
lui V' prin w = — . Funcţia inversă este acum 0
_ \_
(56)
z =
m
1^
P(w
0
IV. z = oo, w = co. Considerăm 0
(57)
şi
Cînd ZQ = şi ( 5 7 ) .
co şi m =
=
w'
şi obţinem
la
: JL _ JL P(w ) m
z = y(w) =
P(0) # 0.
funcţia —
Q
fel pentru nişte vecinătăţi
™)
P(0) ^ 0.
1, inversa are un pol simplu, cum se v e d e din (55)
Observaţie. D e z v o l t ă r i l e (54)—(57) arată că şi atunci cînd m > 1, deter minările funcţiei inverse tind la z cînd w -> w . D i n acest m o t i v w este numit, în cazul z = co şi m > 1, cn'fo'c polar. 0
0
0
Q
Notă:
Continuitatea
funcţiei
p(r) = min\f(z) — w \, c
C: \z — z \ = r;
0
într-un
ze> = / ( * o )
0
0
disc închis T de centru z , în care f(z) este continuă (în sesns larg). F i e r, r' razele cercurilor C, C' de centru z . P e C există un punct £ astfel că p(r) = | / ( £ ) — ze> |. F i i n d dat e > O, există, în virtutea continuităţii, un 8 > O aşa că ) / ( £ ) — f(z ) | < e pentru orice z (din T ) conţinut într-o vecinătate Uţ de rază 8. D a c ă \r — r ' | < 5, cercul C conţinînd asemenea puncte z avem 0
0
0
x
x
lf
p(r') = m i n \f(z) — ze> | < l / f o ) — ze> |. c 0
0
C u m | (/(;?!) — ze> ) — ( / ( £ ) — ze^ ) | < e, a v e m în consecinţă 0
0
l/(*i) -
» o l < 1/(0 -
w \ + e, 0
deci p(r') <
p(r) + e
pentru
Schimbînd rolurile cercurilor C C 9
p(r) < Vom
avea
p(r') + e
pentru
\r — r'\ < 8.
se v e d e că putem lua pe § şi aşa ca | r — r'1 <
8.
atunci: | p(r) — p(r') | < e
pentru
\r — r' \ < 8,
c e e a ce dovedeşte continuitatea funcţiei p(r) în T . 3. S m a lui Lagrange. N e punem problema d e a găsi efectiv dezvoltarea tayloriană a funcţiei inverse locale z =
0
557
iar f(z ) # O, această funcţie este olomorfă în V . M a i general, fiind dată o funcţie F(z), olomorfă în cercul U (unde se găsesc valorile lui
Wo
Xo
Wt
2TTI J C
/(£) — w
unde C este un cerc în U , ales astfel ca vecinătatea V' ce-i corespunde să conţină punctul w. T e o r e m a lui D e la Valtee-Poussin fiind aplicabilă într-o vecinătate V' a lui w (aşa cum a m v ă z u t m a i sus), GQ
WŢT
WQ
0
rd"f(9(»)n [
dw"
\
= a
=
«if
,
a
ac _
F(ţ)f(Z)
1
2rri )
WoT
( A m integrat prin părţi şi a m observat că partea integrată este nulă, fiind variaţia pe C a unei funcţii uniforme.) U l t i m u l integrând are, în C , polul de ordin n, ţ = ? ( ^ o ) = *o, cu reziduul jn-l
(«-ljUdC-
1
[/(£)
Notînd
C — Zo a v e m aşadar
L
dze>»
J....
I
dîr
1
k
şi prin urniare dezvoltarea tayloriană căutată e s t e : (58)
F( (w))
= F(z )
9
0
+ £ -L |£^jp££>!j
( P r i m u l termen al d e z v o l t ă r i i este F(y(w )) î n particular, pentru F(z) = z a v e m 0
(58')
d
(u>) = z + f^l
9
1
n
( "" ?? )
0
r
=
(«, _
«,„)».
F(z ).) 0
(» - «*>)"•
Aceste d e z v o l t ă r i sînt valabile c e l puţin în cercul de rază egală cu m a x P('). Aplicaţie. Să considerăm ecuaţia (59)
z - wf{z) = 0
unde f {2) este olomorfă în 2 = 0 şif(0) 0. Această ecuaţie in 2 are ca soluţie inversa locală afuncz corespunzătoare soluţiei particulare 2 =» 0, w = 0. ţiei w = —,
558
în acest caz
şi (580 ne dă (60)
Z{W):
2
Este seria lui Lagrange propriu zisă. Ea este valabilă în discul | « ; | < p, unde p = min C
şi C este un cerc \z\ = r, care poate fi oricare în domeniul unde f(z) este olomorfă şi diferită de z zero. (Deoarece funcţia^-y nu se va anula decît în z == 0.) Bineînţeles se va lua p cît mai mare posibil. în practică, dacă s-a găsit o barieră inferioară 0
pentru
\z\ = r,
(cerc conţinut în domeniul în care/(*) este olomorfă şi diferită de zero), se va lua pentru r, valoa rea r care face maximă această funcţie x(r) şi pentru p, p = T(r ). 0
0
0
4. Exemple. 1. Ecuaţia lui Kepler 28
z = a -f- w sin z
a real ^ for *
are o soluţie locală z = z(w) care ia valoarea z = a pentru w = 0. Ea se pune sub forma (59) făcînd z = K + a: £ — w sin (£ + a) = 0. Aplicînd (60) găsim soluţia
5"^ —
z(w) = a +
» ! da»
1
z —a1
Avem de căutat o barieră inferioară pentru
cu
- 1
a = re
şi r oarecare. Avem
sin z
i e
sin (a + r e ) 1
^
JL
e
(e
f s
m
0
i [ a + r ( c o s 8 + i sin 9)]
+ e"
f
s
m
6
i [ a + r ( c o s 8 + i sin 6)]
) = ch (r sin 6) ^ ch r.
2 Deci putem lua 2r
T(r) r
e + e~
r
Maximul acestei expresii are loc pentru r
e -j- e-
r
r
r
- r(e - e~ ) = 0
sau
r
e* (l - r) + 1 + r = 0.
Ecuaţia are o rădăcină între 1 şi 2, r ~ 1,19967, la care corespunde (prin lipsă). 0
p = T(r ) — 0,6627 0
0
2. Să dezvoltăm soluţia ecuaţiei în w w =
z
ze
care ia valoarea w = 0 pentru z = 0. M
> Pentru a = for soluţia este evidentă: z = for. 559
Aplicînd (58') avem 9(2) « e~*,
9 « ( * ) = e~**,
—
1 1
1
9 » (2) = ( - n ) - e~«* şi obţi-
nem dezvoltarea: _2L
n
«-i
în acest caz p =
min \ze?\ = | I | - R
min r e
I
_ r
= r e ;
| * | - R
r poate fi luat arbitrar fiindcă 2& nu se anulează decît pentru 2 = 0 şi p este maxim pentru r = 1 , atingînd
1 1 valoarea — . Astfel dezvoltarea precedentă este valabilă pentru |ţc;| < —. Acesta e e
este şi cercul de convergenţă al seriei deoarece
•('•r-iTiKr3. Pentru funcţia w = 2 ( 1 + 2)* (p real), funcţia inversă locală ce ia valoarea 0 pentru w — 0 este 2 = w+ V j
rjn-i
2
(Aici 9 = (1 +
n
—
w,
^^
în cazul acesta p=
min
|*(1 -f * ) * | = r ( l + r)*,
| . | - R
cu semnul superior cînd /> ^ 0 şi cel inferior cînd p < 0; cînd p > 0 trebuie presupus r < 1 spre a evita punctul — 1 unde f(z) se anulează, şi de asemenea cînd p nu este întreg spre a evita punctul critic z = — 1 (atunci determinarea lui f(2) este aceea care se anulează în 2 = 0, conform enunţului). Dacă p ^ 0 sau p < — 2* p este maxim pentru r = ± 0
1
î — , atinP + 1
/ P \ I — - — I . Cînd —2 < p < 0, p # — 1, p
gînd valoare p = ±
valoarea precedentă a /> -f l + U lui r căzînd în afara intervalului 0 < r < 1, avem maxim pentru r = 1, cu p = 2 . Pentru p = — 1, maximul lui p = este p = 1. Dezvoltarea de mai sus este valabilă 1 + r pentru \w\ < p . 0
1
P
0
0
0
0
2
4. Inversa locală a funcţiei w = z (\ + 2), care ia valoarea 2 = 0 pentru w = 0. Punem t = w şi avem / = z^ \ + z, unde alegem determinarea radicalului ce are valoa rea 1 în z = 0, determinare definită în discul \z\ < 1. Aplicînd seria lui Lagrange acestei ecuaţii, obţinem: 2
Deci \
560
(
00
^ Z-j
K
'
n +
2)(n + 4) ... (3n (n -
1)! 2 « - i
4)
Punctul w = O este critic pentru funcţia inversă, fiind originea unui ciclu de 2 determinări. Avem a= (trebuie să 2 p = . V27 0
min \zj\ |.|-r
+ z\ = r^A — r
luăm r < 1 spre a evita punctul critic z = — 1). Valoarea maximă a lui p este ( 2\ 4 Ipentru r = — I. Dezvoltarea este deci valabilă pentru J/| < p sau \w\ < — . l 3J 27 0
5. Pentru funcţia din exemplul precedent, să se dezvolte în serie inversa locală care ia valoa rea z = oo pentru w = oo. 1 1 z' Punem w — —, z — — şi considerăm funcţia w' = pentru z' = O, w' = 0. w' z' 1 + z' 3
1_
Apoi punem w' De aici
3
3
t , t = z' (1 -f 2')
= a/
cu determinarea radicalului ce ia valoarea 1 în z' = 0.
I 1+ —w
1
-r •••• »
3
3
^ = a/ f 1 - — w 1 3
J
81 3
3
+ - w 9
l
+ — ur 81
-f
J
•
Punctul te; = oo este critic polar, origine a unui ciclu de 3 determinări. 6. Să considerăm ecuaţia z* - 1 Z = ţ + Zf
•
2 Soluţia z(w) care ia valoarea ţ pentru w = 0 «s/e
într-un cerc \w\ < p fes depinde de ţ). Vom arăta că seria este uniform convergentă cu privire laţ. Să punem în serie în loc de £, YJ = i& (fc > 0): seria va fi convergentă pentru \w\ < p . Termenii seriei fiind polinomi în £, vom avea dacă |£| ^ k şi |a;| ^ p t
l f
Ii J!±(P=LilVI < |n!
(
dt;»-
1
l
2
J
2
i)* — iv*
r a 4-1 "\
I
— - f ^ T I pî;
1
n!
1
d^*- 1
2
J |
n
n
I = (— l) I I ; de aici rezultă afirmaţia, observînd-că seria dată con verge absolut pentru £ = •/) şi w — p Avem deci dreptul de a deriva seria termen cu termen, în raport cu ţ şi obţinem r
bX~
+
*f
n! d t »
1
2
J
valabil pentru orice £ şi \w\ < p. (Deoarece k este arbitrar şi pj^ orice număr pozitiv < p ) . 561
U
J l - 2Zw+ w cu 1 în w = O (la care tocmai corespunde z =. Pe de altă parte, z =
2
w
, unde se ia determinarea radicalului egală
cum se vede dezvoltînd radicalul); de aici
dz
1
Determinarea considerată a radicalului este definită şi olomorfă într^un cerc \ w\ < p , care trece prin cea mai apropiată rădăcină a ecuaţiei în w, 1 — l'Qiv -f a; = 0. în această vecinătate putem scrie 0
2
oo ,
J
=
i + J2
V1 - 2 t > +
p
»ra
1
Comparînd cu dezvoltarea obţinută mai sus avem 1 d Ct — n » P»(0 = - — ^H— . (Rodrigues). n\dţ { 2 ) n
2
n
Se vede de aici că P ( Q sînt polinoame de grad n; ele se numesc polinoamele lui Legendre; n
_ 2
1 2
(1 — iXjiv -f- 10) este funcţia generatoare a lor. Ele intervin în multe probleme de analiză. Cu ajutorul formulei lui Rodrigues se poate determina că polinoamele P » K ) au numai rădăcini reale, care se găsesc în intervalul ( —1, + 1 ) : Considerăm polinomul P * = 1 d* iX? — l i * = j I . P are rădăcinile £ = ± 1 n-uple. P , , (de grad 2n — 1) are rădăcinile n!d£* ( 2 J £ = ± 1 ( » — l)-uple şi o rădăcină simplă în intervalul (—1, -f 1) (teoremalui Rolle). L a fel P „ , , va avea rădăcinile ± 1 şi două rădăcini simple, cuprinse între rădăcina simplă a lui P şi rădă cinile ± 1. Etc. De asemenea se stabilesc relaţiile de ortogonalitate: n
n
0
n
n >x
^
P ( * ) P ( * ) d* = w
n
2w -f 1
0
n ^ m.
Pentru a construi o ecuaţie diferenţială la care să satisfacă P [z) de unde n
2
(S -
t
să punem
n
— l ) = Z,
1)Z' = 2n£Z
şi derivînd de n -f- 1 ori (cu formula lui Leibnitz): a
(£ -
1) Z <
şi introducînd Z
w + 2 )
( n )
+1
+ 2yn + 1) £Z(» > + (n + 1) » Z
( n )
= 2
n + 1 )
+ 2n(n + 1) Z
( n )
= 2»w ! P » ( * ) :
K - 1) PSK) + 2 W K ) - n(n + 1) P , ( Q = 0. 2
Aceasta este ecuaţia lui Legendre. Primele polinoame ale lui Legendre sînt
j>, - î ,
p
t
=c
p%
= 3? - 1 .
Expresia generală se poate obţine din formulele lui Rodrigues. Se poate încă folosi o formulă de recurenţă, la care se ajunge în felul următor: Derivăm (61) cu privire la w: • - = (1 - 2 ! > + nf) V1 - 2ţu> + w*
+ f^w»l(n
562
+ 1) P
a + 1
«W»-»J».(Q =
K) - 2»ţP (0 + (» o
1)P _ K)]. B
X
Pe de altă parte
V1 -
2ţw
2
4- a-
^ + £}w"KP,(0 -P„-XK)]. 2
Identificînd aceste expresii, obţinem relaţia de recurenţă: ( » + 1) P*n(0 - (2n + 1) £ P „ K ) + n P ( Q = 0
(n > 0).
M
Observaţie. î n teorema funcţiei inverse se poate presupune că f(z) meromorfă în U , finită şi continuă p e fr U . Zo
este
0
î n demonstraţia olomorfiei lui
A
Exemplul 7. In exemplul 3, pentru p = —1, w =
, avem polul z = — 1. To1 4- 2
y
tuşi, luînd p =
, putem lăsa r arbitrar şi avem maxim pentru r — oo; p = 1. Acesta 1+ r w este şi raza de convergenţă a seriei z(w) care reprezintă funcţia inversă: z = • 1— w 8. Fie ecuaţia w = a z f a z 4 ... = f(z) unde f(z) e:te o serie convergentă în \z\ < L Inversa locală pentru z = 0, w = 0, are vecinătatea V (unde ette definită) de rază ^ \a \. Căci, după consecinţa teoremei lui Saxer, dacă p = min \f(z)\ pe \z\ = r ar fi >|OxU f(z) ar avea cel puţin 2 rădăcini în discul \z\ < r. Sau, după teorema directă, pe circumferinţa |*| s= r < 1 există un punct unde \f(z) | < \a \, ceea ce dă p = min f(z) ^ \a \. 0
t
2
t
2
0
x
t
.
x
r
.
I«l- .
Această limitare presupune că considerăm / (z) numai în domeniul de olomorfie. § 96. Reprezentarea funcţiilor meromorfe prin serii de funcţii raţionale 1. O funcţie m e r o m o r f ă transcendentă poate a v e a poli în număr finit sau numărabil. î n t r - a d e v ă r , într-un disc oarecare de centru 0, \z\ < p, nu mărul polilor funcţiei trebuie să fie finit, altminteri ei ar a v e a un punct l i m i t ă în disc, care ar fi o singularitate esenţială, contrar definiţiei funcţiilor m e r o morfe. Astfel, coroanele l i m i t a t e de succesiunea de cercuri d e centru O şi raze p = 1, 2, ... v o r conţine cîte un număr finit de poli şi dacă numărul t o t a l al polilor nu este finit, ei v o r forma un şir a , a a , ... ce c o n v e r g e la infinit. Acest şir poate fi numerotat în ordinea modululilor nedescrescători: 0
l«ol < | « i | < ••••
lt
n
< I
<
-
2. Lemă. Două funcţii meromorfe f(z) şif^z), care au aceiaşi poli leaşi părţi principale, diferă printr-o funcţie întreagă.
cu ace
î n t r - a d e v ă r f(z) — f (z) este olomorfă în orice punct care nu este p o l , dar şi în fiecare pol a, deoarece a v e m prin ipoteză într-o vecinătate V : x
a
f(z)
=
P(z)
+
(z),
9
Mz)
=
P(z)
+
9
l
(z).
P(z) fiind partea principală (aceeaşi) şi y(z), cp^z) funcţii olomorfe în V\ deci f(z) — f (z) = y(z) — y (z) (în V ) este o funcţie olomorfă în a. Aşadar a
x
x
a
563
f(z) — f (z) este olomorfă în tot planul la distanţă finită, adică o funcţie în treagă. Consecinţă. Toate funcţiile meromorfe care au aceeaşi poli, cu aceleaşi părţi principale ca funcţia fi(z), sînt x
A*) =
g(*)+M*h
unde g(z) este o funcţie întreagă arbitrară. D e aici urmează că funcţiile meromorfe care au poli daţi a părţi principale date P±(z), P (z) şi numai aceşti poli, sînt
lt
a
m
cu
m
/(*)
= g(z) + P (z) x
+
... +
P (z) m
cu g(z) funcţie întreagă arbitrară. într-adevăr, consecinţa precedentă se aplică, fiindcă funcţia P±{z) + ... ... + P (z) = fi(z) are polii daţi, cu părţile principale P P . ( D e exemplu în a P (z),... P (z) sînt olomorfe şi deci fi(z) are tocmai partea principală m
lt
LT
2
M
m
*i(*>.) 3. Acest rezultat nu poate fi generalizat sub aceeaşi formă la cazul cînd sînt daţi un şir de poli a c o n v e r g î n d la oo şi părţUe principale P (z) deoarece s-ar putea ca seria 2 P ( z ) să nu fie c o n v e r g e n t ă . n
n
t
n
Exemplul 1. Fie polii a = mz cu părţile principale P =
î — (acesta e cazul funcz — mz ~*~ x — mz nu este convergentă, căci partea sa reală — este di±£(x - w T i ) + y* n
+
G
0
n
co
1
Hei cotg z). z-nrz
2
Y
+ co
vergentă ca si Se poate însă
. demonstra:
T e o r e m a 1. (Mittag-Leffler). Există funcţii care admit un şir dat de poli a (distincţi) convergînd la oo, cu părţi principale date, P (z),şi nu mai au alte singularităţi la distanţă finită; aceste funcţii sînt date de formula n
n
(62)
/ ( * ) = g(z) + P (z) + £
(P (z)
0
n
-
Q (z)) n
1
unde g(z) este o funcţie întreagă arbitrară, PQ(Z) pxrtea principală în z = 0 (dacă acesta este pol) şi Q (z) polinoame convenabil alese, suma întinzîndu-se la toţi polii # O (aşezaţi în ordinea modulilor nedescrescători). Această serie este absolut convergentă în tot planul afară de poli şi uniform convergentă în orice domeniu închis mărginit A, dacă s-au scos din el discuri oricît dejmici cu centrele în polii care eventual se află în A , sau dacă (fără a scoate din~Ă ase menea discuri) lăsăm la o parte din membrul al doilea al ecuaţiei (62) termenii cu poli în Ă . Fie a a , polii daţi, diferiţi de zero, şi distincţi aşezaţi în ordinea modulilor nedescrescători ): \a \ < \a \ < . . . . P e n t r u partea principală P (z), z = O este un punct r e g u l a t ; v o m avea deci o d e z v o l t a r e tayloriană n
lt
2
29
±
(63)
2
n
P (z)=Y;a ? n
2 9
np
) Această ordine nu este esenţială, căci într-o serie absolut convergentă putem schimba ordinea termenilor fără ca să se piardă convergenţa absolută şi uniformă. Este însă esenţial ca a —¥ oo. n
564
convergentă în discul \z\ < \a \
(căci a
n
n
este unicul punct singular al acestei
funcţii) şi uniform convergentă în discul r : \z\ < — \a \. n
n
F i e apoi A un dome-
niu închis şi mărginit şi T un disc de centru O şi rază p, în care este conţinut A . (p poate fi m a x |z\ în A ) . Cum \a \
- > oo, v o m avea — | a | ^ p pentru n > v ;
n
n
cu alte cuvinte A c i T , , cu începere de la n = v. L u î n d acum o serie convergentă, cu termeni p o z i t i v i , ^
e „ , v o m observa că seria (63) are un rest î
| R (z) | < e n
în
n
A
pentru
n> v;
deoarece ea este uniform convergentă în T şi deci în A c r„. (n nu este ran gul restului în seria ( 6 3 ) , ci rangul polului a la care se referă P (z) şi restul R (z))V o m considera aşadar seria n
n
n
n
(64)
£
(P.(z) -
Q (z)) n
= f )
V
V z
e s
unde Q (z) = P » ( ^ ) — R ( ) t e un polinom. E a este absolut şi uniform c o n v e r g e n t ă în A ( a v î n d modulii termenilor < e „ ) . Seria nu-şi v a pierde aceste caractere dacă îi adăugăm şi ceilalţi termeni P (z) — Q (z) care nu au p o l i în A , precum şi eventual termenul Po(z) — cînd acesta există şi z = O n u este în A ; deoarece termenii adăugaţi sînt mărginiţi în A . Acelaşi lucru se poate spune dacă se consideră întreaga serie n
n
n
Mz)
=
n
P (z)+f;(P ( )~Q (z)) 0
n Z
n
1
în domeniul A minus discuri de rază arbitrar de mică în jurul polilor a care cad în A ; deoarece aceasta înseamnă a adăuga seiiei (64) un număr finit de termeni, P , P _ i — ( ? - i , m ă r g i n i ţ i în domeniul considerat, — ceea ce nu turbură convergenţa uniformă şi absolută a seriei ( v e z i fig. 180). n
0
v
v
Cum A poate fi orice domeniu mărginit din plan şi discurile precedente de raze oricît de mici, orice punct z la distanţă finită poate fi cuprins în inte riorul unui asemenea domeniu, dacă z nu este un p o l ; deci seria f (z) este abso lut convergentă în orice punct z # a , a şi uniform convergentă într-o vecinătate V suficient de m i c ă . Funcţia f (z) admite polii a cu părţile prin cipale P (z) şi este olomorfă în celelalte puncte din plan. P e n t r u un punct z # a , a ... aceasta rezultă din teorema lui Weierstrass asupra seriilor uniform con v e r g e n t e (în V ). A p o i un punct a este pol pentru ter menul P (z) — Q (z)> cu partea principală P (z), şi punct regulat pentru ceialţi termeni. Cum seria formată din ceilalţi termeni este uniform convergentă într-o v e cinătate Va (cum reiese din cele de m a i sus), suma ei este o funcţie
0
z
lt
x
n
n
0
z
n
lt
n
n
n
n
%
n
n
n
±
n
x
565
Observaţie. Demonstraţia teoremei ne dă şi o m e t o d ă pentru a obţine dezvoltarea în serie din formula (62). Este o d e z v o l t a r e în serie de funcţii raţionale R (z) = P ( ) — Qn{ )> unde R (z) sînt resturi ale d e z v o l t ă r i i t a y l o riene în origine, ale părţilor principale date, P (z); aceste resturi trebuie să fie alese astfel ca să aibă modulii inferiori termenilor unei serii numerice convergente, ^ e. z
n
z
n
n
n
n
4. Aplicaţie.
Fie
daţi polii
simpli
a
n
- > oo cu părţile
principale z—a
n
(sau
cu reziduurile a » , ) . Daca a ^ 0, avem dezvoltarea tayloriană
în O:
n
1 —
n
1 +
a
a*
a
unde am pus în evidenţă
= — fii
\z\ < — \a \ 2
+
/—V" — L _
Wn / a
+
restul:
' R„(Z)
Presupunînd
—
n
1
_
JL
mărginiţi, loc^l < a ( f i x ) şi considerînd seria în discul
n
(ca m a i sus), a v e m
n
2a
deoarece
1-JL
P u t e m lua în orice caz v = n, decaa j 2 xece atunci (a fiind primul pol ^ O în ordinea modulilor) v o m avea în T: ^
1 -
n
x
n
în membrul al doilea figurînd termenul general al unei serii convergente. Dacă v o i m să a v e m v = p număr f i x , v o m scrie w
jî>+l
pentru
\z\ <
şi v o m avea convergenţa uniformă în discul \z\ ^
p (lăsînd la o parte termenii
< p), dacă s^ria 2
corespunzători la \a \ n
este convergentă .pentru un
exponent p + 1. Natural, v o m lua cel m a i mic exponent cu această proprie tate, aşa că p v a fi cel m a i mare
exponent
pentru care
S — — ^ diverge.
Aşadar, funcţiile meromorfe ale căror poli a sînt simpli şi au reziduurile tx mărginite, sînt reprezentate d e : n
ft
<65)
f(z)
+
.566
+ - + ... +
+ z
i
z — a
n
unde seria din m e m b r u l al doilea este absolut şi uniform convergentă în condi ţiile teoremei lui M i t t a g — L e f f l e r şi putem lua întotdeauna v = w ; iar în n
cazul cînd seria 2 — — nu d i v e r g e pentru t o ţ i e x p o n e n ţ i ^ , putem lua v = n
p,
cel m a i mare exponent care face seria divergentă. Observaţie, Dacă f(z) este dată, şi prin aceasta polii ei a şi părţile prin cipale P (z), pentru a o pune sub forma (62) rămîne să determinăm funcţia întreagă g(z). Aceasta este o problemă în general dificilă, care revine la a evalua p e altă cale suma seriei din m e m b r u l al doilea. n
n
Exemplul 2. Fie f(z) = ctg z. Avem polii simpli a = mz cu reziduurile oc» = 1. n
1
+°° (
c t g * = * « + - + yy
z
1 —
—
±r£ \z
-
90
Deci )
1 \ + — •
H7c
rnz)
Pentru a determina pe g{z) observăm că putem scrie
iar pe de altă parte cunoaştem formula (stabilită cu ajutorul teoriei reziduurilor):
Deci g(z) = 0 şi putem scrie
serie absolut convergentă în toate punctele z # 0, ± T:, ... şi uniform convergentă în orice dome niu mărginit din care s-au scos discurile \z — nn\ < e, de rază e oricît de mică. (Am observat mai sus că seria
»P
S 0 3 , 1 : 6
ne-ar ^ dat-o metoda reziduurilor, nu este convergentă).
z — niz — 00
§ 97. Reprezentarea funcţiilor întregi prin produse infinite (canonice) 1. O funcţie întreagă poate avea un număr finit sau un şir de zerouri ce c o n v e r g la oo, şi care pot fi aşezate în ordinea modulilor nedescrescători. Aceasta se v e d e ca şi pentru polii unei funcţii meromorfe, ţinînd seama de faptul cunoscut, că zerourile unei funcţii olomorfe sînt izolate. Printre funcţiile întregi cunoscute d e noi, e* nu are nici un zero, un polinom de grad m are m zerouri, sin z are şirul de zerouri z = niz. g(z)
2. Lemă 1. 0 funcţie este o funcţie întreagă
întreagă lipsită (care poate fi
de zerouri este de forma oarecare).
V(Z)
e ,
unde
•O Seria cu două capete este o aranjare a seriei (65) în acest caz. Seria (65) fiind absolut şi uniform convergentă în domeniile specificate, nu-şi pierde aceste calităţi prin schimbarea ordi00
nei termenilor. Seriile parţiale
—00
şi £ ^ sînt evident la fel. 1
- l
567
9(
}
Mai întîi este e v i d e n t că, oricare ar fi funcţia întreagă g(z), e * este o funcţie întreagă ce nu are zerouri. I n v e r s , dacă funcţia întreagă G(z) nu are G' (z\ nici un zero, funcţia — — = g (z) este d e asemenea întreagă (fiind olomorfă G{z) în tot planul la distanţă finită, fiindcă G(z) # 0 ) . Deci p u t e m scrie ±
G(z ) 0
unde se ia determinarea logaritmului care se anulează în z = z , determinare uniformă în tot planul pentru că integrala din m e m b r u l al doilea este uni formă (după teorema fundamentală a lui C a u c h y ) ; după altă teoremă cunos cută, ea este olomorfă în tot planul la distanţă finită, deci o funcţie întreagă gz{z). (Ceea ce rezultă şi din integrarea seriei tayloriene a lui gi(z), uniform convergentă în orice disc \z\ < R.) P r i n urmare 0
Q( j z
=
e
g , ( * ) + logG(z ) 0
g(z)
=
e
unde g(z) = g (z) + l o g G(z ) este o funcţie întreagă. 2
0
3. Lema 2. Dacă funcţiile întregi f(z) şifi(z) au aceleaşi zerouri cu aceleaşi multiplicităţi, citul lor este de forma e *\ unde g(z) este o funcţie întreagă. 9(
într-adevăr,
este olomorfă în t o t planul la distanţă finită, pentru
că fx(z) T£ 0, adică o funcţie întreagă, şi nu are zerouri, deci este de forma e . 9{Z)
Consecinţă. Funcţiile întregi care au aceleaşi zerouri, plicităţi ca funcţia întreagă fi(z), sînt:
cu aceleaşi
multi
/ ( * ) = e««>./i(*) unde g(z) este o funcţie întreagă
arbitrară.
Exemplu. Funcţiile întregi care au zerourile a mai pe acestea, sînt
a cu multiplicităţiie <x . . - , a , şi mi
v
m
lf
m
*-"(«-ir-(*-=r Formula aceasta nu se poate aplica la cazul unui şir de zerouri a —• oo, pentru că pron
dusul infinit | J | 1
l
1 a
1 n) (zerorile lui sin z), J"T I 1 —
nu este în general convergentă. Astfel, pentru a = w, a » — 1 n
I nu este convergent.
n (i- — ™ )
Teorema 1. (Weierstrass). Există funcţii întregi care au un şir de zerouri date a distincte şi convergînd la infinit, cu multiplicităţi date <x. mărginite, şi - A C I *"W numai aceste zerouri; expresia generală a acestor funcţii este n
(66)
n
fc)
= eMg*.
n f1 -
—r
e-o-W
1 V nJ întreagă arbitrară şi Q polinoame a
wide g(z) este o funcţie
(66')
n
Q (z) = - + \ (-X +...+- (-Y . n
2
568
de forma
a
\ n)
v \ n
a) n
iar produsul infinit, întins la toate zerourile a ^ O, este absolut şi uniform con vergent in orice domeniu mărginit; se poate lua aici v = n întotdeauna şi v = p n
n
fix
cînd seria ^
(Cînd
m
i
oo
-—-
admite
p = O factorul
un
exponent maxim p care o face
exponenţial
divergentă:
lipseşte.)
f'(z) Să considerăm
funcţia -
; ea are în fiecare punct a
n
un zero simplu
/(*) de reziduu a ( v e z i indicatorul logaritmic) şi este olomorfă în celelalte puncte la distanţă finită. D e c i a v e m , aplicînd (65) din § 96, n
m ~m -
YM +
- + £ ; « J — ' — + —
=
y(r) + £
+
. . . + — ( — ) " " ' ]
-
R {z), n
O
această serie fiind absolut şi uniform convergentă în condiţiile ce au fost pre cizate. Punctele a fiind numerotate în ordinea modulilor nedescrescători, n
00
să considerăm un disc T:\z\
< p şi seria £ ^ R (z)> unde v este astfel că | a \ > n
n
V
> p pentru n ^ v. Această serie are termenii olomorfi în T (polii acestor termeni fiind exteriori lui T ) şi este absolut şi uniform convergentă în T (cum am v ă z u t ) . A p l i c î n d a doua teoremă relativă la integrarea unei serii d e funcţii, deducem că seria R (z)âz=f;R' (z) n
v
n
Jo
v
are termenii olomorii în T (teorema lui Cauchy) şi este absolut şi uniform con0 0
* R
(
vergentă în interiorul lui I \ D e aici urmează că produsul J"J e » *) este absolut i
şi uniform convergent în interiorul lui I \ însă
K{z) = f *.(*) dz = C' « J - L . + J - +... + 1 f — ] a
]
g
" [°
(cu
(*
a) n
+
a„
+
+
B_1
v„ ( a „ ) ]
determinarea logaritmului care se anulează în z — 0 ) şi an
^ „ ( z ) a v î n d expresia ( 6 6 ' ) . Cu aceasta am demonstrat că produsul infinit din (66) este absolut şi uniform convergent în orice domeniu mărginit dacă lăsăm la o parte factorii ce au zerouri în acel domeniu. E v i d e n t , el nu-şi pierde această proprietate punînd la loc acei factori. (Se aminteşte că un produs infinit este socotit convergent şi într-un punct unde un număr finit de factori se anulează dacă produsul este convergent cînd lăsăm la o parte acei factori.) Fie f (z) funcţia reprezentată de produsul infinit ( 6 6 ) , fără factorul e \ După o teoremă cunoscută, f (z) este olomorfă în tot planul la distanţă finită pro dusul (fiind uniform convergent şi a v î n d factorii olomorfi). A p o i f (z) are în 0{Z
x
x
x
569
fiecare a un z e r o de multiplicitate dată a . Deoarece lăsînd la o parte facto rul corespunzător lui a , a v e m un produs convergent într-o vecinătate V , n
n
n
an
(1 — — j
unde y(a ) ^ 0 ; ceea ce dovedeşte afirmaţia. D i n acelaşi m o t i v f (z) este dife rit de zero în orice alt punct din V „. A p l i c î n d lema precedentă, v e d e m că funcţiile întregi care admit zerourile date (şi numai p e acestea) sînt reprezen tate de formula ( 6 6 ) . Produsul infinit (66) se numeşte produs canonic dacă v = p. n
x
a
n
Aplicaţie. Să considerăm funcţia f(z) = sin z, care are zerourile cu multiplicităţile a = 1. După teorema lui Weierstrass
a = n
nn
n
N
s i n ^ = e*<*> z T~T11 (p = l ) . Pentru vate logaritmice)
U*
a determina pe g(z), aplicăm o teoremă cunoscută (luînd şi deducem în orice punct diferit de punctele nn,
r £ \z — nn
deri
nn)
confruntînd cu o formulă stabilită anterior [vezi (13) din §82)] a v e m g'(z) = 0, 9{t) _ Q î m p ă r ţ i n d relaţia penultimă cu z, în m e m b r u l al doilea rămîne un produs uniform convergent în z = 0 şi are care acolo valoarea 1; pe de altă sin z parte în membrul I - > 1 pentru z - > 0. U r m e a z ă C = 1 şi
e
+ oo
sin z
z \
/
1
—
eWîT
= *ir — ;
-oo v în orice nn) domeniu mărginit. produs absolut şi uniform convergent Grupînd factorii ce corespund la ± w m a i p u t e m scrie
sin z 5. Observaţie. î n enunţul teoremei lui Weierstrass a m presupus a mărginiţi. F ă r ă a face v r e o ipoteză cu privire la a , demonstraţia de m a i sus ne arată că formula (66) este totdeauna valabilă, polinoamele Q (z) ne m a i fiind însă în m o d necesar de forma ( 6 6 ' ) : căci după teorema lui Mittag-Leffler, a v e m în orice caz tt
n
n
YW
+
- + £ > ( — —
z
V
\z-a
n
+
&(*))>
)
unde Q' {z) sînt polinoame convenabile, această serie fiind absolut şi uniform convergentă în condiţiile ştiute. D e aici se v a deduce ca m a i sus, formula ( 6 6 ) , unde n
570
Teorema 2. 0 funcţie meromorfă este citul a două funcţii întregi. Fie f(z) m e r o m o r f ă ; putem forma o funcţie întreagă g(z) a v î n d ca zerouri polii lui f(z) cu aceleaşi multiplicităţi. Se v e d e imediat că funcţia f(z) g(z) nu are p o l i : într-un pol a lui lui f(z) a v e m f(z) = (z — a)-*y{z), g(z) = (z — a) ty(z) cuy(z),ty(z)olomoiie într-o vecinătate F ; d e c i f(z)g(z) =
a
= Ilifl
e s
t e cîtul a două funcţii întregi.
g(*) § 98. Funcţia gamma 1. Funcţia g a m m a este definită după Gauss, în tot planul punctele z = 0, — 1, — 2 , — n, prin (67)
I » =
lim
—
»->oo
z(z
+
1)
z
.
. . . (z
+
!o
afară
de
n
{n = e~< * ).
n)
Pentru a v e d e a dacă această limită există, considerăm z(z +
-l(
1) ... (z + n\ri
1
+
1
-M
|
T)-- ]-[('
+
+
E
i)-K) -"°" = : ) - " ' ] -
se ştie, 1 -f- — + . . . + — — log n —> C, 2 w Mascheroni ( C ~ 0, 577). P e de altă parte Cum
K
t
t
" * -
constanta
H
-
lui
Euler —
este produsul parţial de rang n al produsului canonic
care după teorema lui Weierstrass este absolut şi uniform convergent în orice domeniu mărginit, şi nu se anulează de cît în punctele z = —n(n > 0 ) ; aşadar limita considerată există în toate punctele z afară de acestea şi a v e m Cz
(68)
~j~r = e F(z) Teorema
iar
1. ~^~ |y
T(z) o funcţie 2. A v e m
es
e
0
*
zŢ[(l ! \
unc
f fa
+
1)
—\e~* . n)
întreagă, cu zerourile simple
meromorfă cu polii T(z —
/w
+
simpli
z = — n. nz
r
= hm T(z)
z = — »,
=
z,
z + n + 1
sau (69)
T(z +
1) = zT(z),
z *
-
n.
571
Punînd în loc de z, z + l, z + 2, ... a v e m încă r ( * + 2) = ( 2 + i ) r ( * + i ) , T{z + m) = {z + m—
\)T(z + m — 1).
Urmează (70)
T{z + m) = z(z + 1) ... (z + m — 1) Y (z)
(z ^
— n).
3. A v e m r ( l ) == h m (n +
«->oo
=lim = 1 -*°° n + 1 n
1)!
şi aplicînd ( 7 0 ) : (71)
I > + 1) = 4. Presupunînd z i± ±n
nl
(z neîntreg), p u t e m scrie pe lîngă (68) şi
^
=
r(-
_ e -
c
^ n f l - - ) e ^
Rezultă 2
z ' sin
Yl
r(-z)
7T2\
n
Observînd că, după (69) urmează formula (72)
zT(-z)
= T(l -
2),
importantă I » r ( l
-
ar) =
(z + ±
n).
sin Aplicaţie. Să calculăm reziduul lui Y(z) într-un pol z= —m (m>0). Dacă a este acest reziduu, r ( z ) r ( l — z) are reziduul OLF(1 + m) = am\ t
n iar
reziduul
= ( — D e c i
sin
a =
7r cos izm
r / +, m)Y(z) xr./x = h rm lim (z *-»-m
m
n are
%-*-m
r(^ + W + l ) z(z +
(—D '— • m!
Sau,
= (—- l ) *
1) ... (z + m — 1)
ml
5. Teorema 2. Avem (73)
T(z) = ^ 1
(
1
e-'f'
dt
_1)
în semiplanul Kez > 0 (f' = e* log f), formulă care extinde în complex integrala lui Euler de specia I. V o m stabili întîi existenţa integralei din m e m b r u l al doilea (ca integrală improprie). Aceasta înseamnă: 1
1° există şi este finită limC'e^V" dt şi
572
2° există şi este finită l i m
- 1
e^f
dt, dacă R e z > 0.
D u p ă criteriul d e convergenră a l lui Cauchy, aceasta înseamnă că ^ > unde 0 < p < q, tinde la 0 cînd q-> 0 sau cînd p-+ oo. V o m arăta că aceasta are loc chiar uniform în orice bandă 0 < a^x^b (x = Rez). într-adevăr avem
l^e-'f-
1
d^^e-'f-
1
dt
şi este destul să considerăm ultima integrală. 1° D a c ă q < 1 şi q -> 0, 9
1
9
[ e-'fJ*
1
q
dt < [ t*- dt= JP
a
p
~
a
- > 0.
A
2° D a c ă p > 1 f
1
J e-f"* d * < J e - V " d/; luînd ^ destul de mare v o m avea e ~ * <
*
pentru
t>p şi integrala ultimă
v a fi
J*
fi
q
P e n t r u a demonstra formula (73) v o m observa că e~* = l i m j 1 — — | • Sîntem astfel conduşi să considerăm integrala ^ 1 (am
-
—
J
1
f-
z
dt = n ^ (1 - T J V -
1
dT
3 1
>
făcut substituţia t = nr). E a poate fi calculată integrînd prin 1
f
(i
_
T )
v - i dr =
Jo
f— L
*
1
+—C
(1 -
z
Jo
(1 -
T)""V
dT
părţi:
=
Jo
= 1LV ( i _ ) » - V d T z Jo
3 2
T
>.
A p l i c î n d d e n ori această identitate, o b ţ i n e m 1
C (i _
T
) V - i
dz =
1
—
Jo deci
*(*
+ 1) . . . ( * +
C T * " -
1
dT
=
z(z + 1) .. (ar + * ) »-
1) Jo z
n\n
* ( * + 1) ... ( * + n) 3 1
) Este o integrală improprie, a cărei existenţă urmează din cele de mai sus (1°) cu aju torul inegalităţii (75). 32) | zj ^logr * _> o pentru T 0, fiindcă * > 0 . T
=
=
T
573
Astfel a m stabilit
formula: 1
T(z) = l i m f f 1 -
— X f-
dt
(Rez > 0 ) .
Formula (73) v a fi demonstrată dacă d o v e d i m că 1
(74) Să
lim ^ Je-' - ^1 - — J'Jf- dt = 0. punem f(t) = 1 -
e'( 1 - — X. A v e m f'(t) = — [ 1 - —X \ \ n) n \ n) intervalul [0, n], deci f(t) crescător; şi cum f(0) = 0, f(t) > 0. Pentru a aproxima p e f(t), v o m scrie /(*) = (' / ' ( « ) d « =
f —f1 - —p e »
du <
—C
t
« dw = —
> 0 în
.
Aşadar, în intervalul [0, n], (75)
0<e-*-fl — — ) " < — \ n) 2n Pentru a stabili ( 7 4 ) , v o m scrie
1
n
+ ^e-'fAvem: | / | < \ 2
dt - ţ j | l - -LJ r x
1
e~H ~ dt<—
pentru
1
dt =/!+ v
J + J (n > v ) . t
destul
de
3
mare
1
^ e"'/*" d*->0 uniform cînd jft-*oo). A t u n c i a v e m şi < — » 3
J
i n , <—-\ t* 2 » Jo +
1
v*
+2
c < — 2n{x + 2) 3
t
x+2
3v pentru n>
. 2 s ( * + 2)
Aşadar +2
3v* i y , i < e pentru n > v, _ _ _ , 2z(x + 2) ceea ce dovedeşte (74) şi totodată formula ( 7 3 ) . § 99. Funcţia T ( z ) 1) Seria lui
că
Gudermann: log T(z) = ^ — ~ j l o g z — z + logV2TT +
1
\Js\<^e~ f- dt<
după ( 7 5 ) . î n sfîrsit, v fiind fixat, a v e m tot după ( 7 5 ) :
\Ji\
574
(pentru
3
./v
valabilă pentru z ^ O , — 1, — 2 , ... (cu determinările separate printr-o tăietură pe axa negativă). P l e c ă m de la definiţia lui Gauss—Euler:
principale
ale
logaritmilor
rfn t T(z) = l i m
z(z + 1) ... (z + n)
n-*a.
de unde l o g T(z) = l i m 5
cu
n
= — £ l o g (z + v ) - f z l o g n + l o g n!.
S
n
v=0
înlocuind aici — 1 = | z + n — y j — ^z + n + ~ j
- | z + n + - i j l o g (z + » +
1) -
+ z l o g n + l o g * ! = £|JZ
£ | z
putem
-1J l o g A (R +
+ v+
+ v + - i j log *
scrie
+ z
*
+
* * -
v) +
j] +
l o g (z + n + 1) + z log w + log n! - f » + 1 .
+ | z — y j log z — ^z + n + Pentru n destul de mare log (z + n +
=
l
0
g
M
+
1) = l o g n + l o g | l +
A ± l ^ J ^ L i l l n In*
(
i
+
1
e )
j =
(^o).
Ţ i n î n d seama de aceasta, a v e m
+ | l o g * ! — \n + unde r
tt
log n + » j +
1
este mărginit pentru n ->OQ . D u p ă formula lui Stirling log nl — ^n + - i - j log 11 + n-xlln
-
Astfel, făcînd w -> oo în formula precedentă se obţine seria lui
Gudermann.
2) Seria aceasta este uniform convergentă în semiplanul R e z > x ( f i x ) , dacă scoatem (pe Ungă tăietura pe axa negativă) discurile de centre z = 0, — 1, — 2 , ... şi raze arbitrar de mici. 0
575
A v e m în general, pentru |£| < p <
1:
r
r2
+... = t-
log (l + 0 = Y - y
y O + e)
C U
3
4
2
+ ...) =
i*i<4( +P P
3
4-r —' e
3 1— p
Termenul general al seriei lui Gudermann se scrie
= U + 1U-J
L±iU-i =
M
\
2)\z
a
+ n
2(z + n) ) 1
- f l +
\
î 2
4{z +
n)
) — ^
2(z + n) ) 2(z + n)
Dacă R e z > x , a v e m \z + n\ > x + ti (luînd n > — x cînd Xo < 0) Astfel, în cazul nostru putem lua 0
0
1
0
1
<
Kl =
=
XQ -\- n
p < 1
pentru w > 1 — x . V o m avea atunci 0
1 x + n 0
1
1
3
x + n — 1 0
şi deci
4(* +
»)
0
2
+ (! + — L — ) _ J \ 2 ( * + n) ) 2>(x + n) 0
Q
1
x + n — 1 0
care este termenul general al unei serii convergente. Condiţia n > 1 — x atrage x + n > 0 pentru x > x , deci exclude termenii pentru care 0
0
l o g — - — ^ — nu este definit. A d ă u g i n d şi termenii excluşi,seria v a f i c o n v e r z + n gentă în domeniul definit m a i sus. 3)
Consecinţa: l o g Y(Z) — ^Z — y j lOg Z + Z-> l o g V27T
pentru z - > oo cw R e z > # . 0
576
4) Seria derivată este convergentă uniform în aceleaşi condiţii şi conver gentă în tot planul minus punctele z = O, — 1,... Ea este: T'(z)
O b s e r v î n d că L ± l
!
* . z + v + 1 Y) l o g — o z+ v p u t e m scrie
L _ U _ _ L
, , z + n + l log n = log — - — rar
Zfâ—lhnf2(, + v + r(z)
l
o
g
.
_
\ ? +
v
* + (
v +
-M
i
? +
+ logn|
v ;
,
±
+
J . .
+
*
JL)] _
+
_
" -
T
_
0
0
L V v
1
—) +
v
z +
Ş [ ±
+
=
J
— + log vl= - — + lim fpf—
« - « L o
+
-^—
» - » L V
= lim ff^
. > — l o g z,
_
v ;
_ L _ j . 8
Y fiind constanta lui Euler-Mascheroni. ( y = 0,57721566 cu aproximaţie d e 10~ ). Aceeaşi d e z v o l t a r e r e z u l t ă din d e z v o l t a r e a lui Weierstrass:
1
«> < =
r(.
2e"n
T(x)
z \ - '
H
e
T.
V l v J
A c e a s t a este uniform c o n v e r g e n t ă în t o t planul minus discurile de centre z = 0 , — 1 , . . . R e z u l t ă că seria lui Gudermann este şi ea uniform c o n v e r g e n t ă în t o t planul minus un unghi (n — e < arg z < n + e ) , exclus p e n t r u a separa determinările logaritmilor, şi minus un cerc de centru O. Căci această serie se obţine prin integrarea seriei lui d o m e n i u d e c o n v e r g e n ţ ă uniformă ca şi seria lui
^
ţ > care are acelaşi
* T(z)
r'(z) 5 ) Derivînd
seria lui —— avem Y{z) 2
d
2
dz
0 0
i r(*) =V £ og
W
1 ( * + « )
2
Serii de factoriale (de specia I ) : *
n \a
n
y V
-
o , — 1 , —2,...
z(z + 1) ... (z + n)
37 — Teoria funcţiilor — c. 1275
577
T E O R E M A
1. (Landau).
Seria
converge în afară
de punctele 0,
—1,...
— • Ea converge
uniform
go
numai în punctele unde converge seria lui Dirichlety*) î
în orice disc unde aceasta converge uniform, tele 0, — 1, ...
a
ff
dacă acel cerc lasă în exterior
punc
Demonstraţie: n \a
a
1
z(z + 1) ... (z + n)
n*
g (z)
n
n
n
«.+•)-•<.+.), z
n \n
După criteriul lui D u Bois R a y m o n d [ S a 6 c o n v e r g e cînd S(6 — b^) este absolut convergentă şi S # c o n v e r g e ] , ajunge să demonstrăm c o n v e r genţa seriei v
v
V
v
6H-I(*) -
(76)
Cum
> r(z),
gn(z)
z
g»( )
este mărginit pentru z dat, deci este
destul
ca
g.(z)
00
J£\gn{*)—g*i(z)\
să conveargă,
unde
î
E x i s t ă o constantă 4 g (z)-+—-—funcţie r(z)
\ n
|z| < p,
^„(z) | < A
deoarece
întreagă, u n i f o r m ) , iar
n
cu \Q (z)\
aşa ca, pentru
n)
mărginit pentru \z\ <
n p, şi deci a v e m 2
\gn(z)
—
gn-l{*)\
n
z
| 2
n
e.(*)
M
zQ (z)
(
n
2
3
n
n
<
Invers, din convergenţa seriei date urmează aceea a seriei D i r i c h l e t ; căci aceasta revine tot la convergenţa seriei 2 | g „ ( z ) —g*+i(z)\. F i e K un disc unde seria Dirichlet c o n v e r g e uniform şi care lasă în e x t e rior punctele 0, — 1 , .... D u p ă criteriul d e convergenţă uniformă, aceasta revine la convergenţa uniformă a seriei (76) plus condiţia ca — - — să fie gn{z) uniform mărginită în K. Aceasta rezultă din cele de m a i sus. R e c i p r o c , dacă seria dată este uniform convergentă in K, şi seria Dirichlet este convergentă. Ceea ce se v e d e tot cu teorema citată, seria \g (z) — £«+1(2) i fiind uniform convergentă şi g (z) uniform mărginite. n
n
578
0 0
1 — ca T z* i
Exemplu.
n\
1
Re z> 0. Avem scăzînd termenii pe rînd din
n z{z -f 1) ... (z + w)
membrul I 1
« ! — o «
z*
z\z -f 1) ... (z + w)
ceea ce —•() pentru Re
z
n\n
1
—
z•n
z
2(z -f 1) ... (z + n)
z>0. oo
Funcţia ţ(z) a lui Riemann. ţ(z)
i —
1
1 ) P e n t r u R e ( z ) > 1, ţ(z) = JJ — 7 - ' u n d e ^ parcurge şirul numep — P relor prime 2, 3, 5 ,7, ... . Fie R e 2 = l - f - 8 > l . Seria şi produsul sînt absolut convergente. ( S e ria ţ(z) are abscisa de convergenţă R e z = 1.) A v e m z
1
1
^
^
î n m u l ţ i n d aceste d e z v o l t ă r i pentru numerele prime p^N, _ 1 N l 00 1
obţinem
II
= V* h T^' — » unde E ' înseamnă că nu se sumează decît z 1 —p~ V j f o rf anumiţi termeni. ( S e ţine seama că un număr > 2 are o descompunere unică în factori primi.) D e c i w 11 00 11 1 1
II
^
P
N
y> < V * ^jfrt
\_p-*
w
n
i+s
M e m b r u l al doilea este restul unei serii c o n v e r g e n t e .
2) ^ = n ( i - ^ ) = n f i - i W f ) - ^ p.(n)
simbolul lui
Mobius. 00
~
ţ (z) = 2 ^ ~7 2
3)
T
n = numărul
divizorilor
lui
n.
A N E X Ă
Generalizarea teoremei lui Hardy şi Littlewood ( p . 356). Dacă 1 n şif{x)~ , unde 1 şi x—* 1, atunci S ~ (1 — x)« ( a + ) Considerăm funcţia
a ^0 n
a
n
r
Fix) V
=
'
î
X
2
[ (x - t ) « - fit) dt = y a
r(a-l))
W 0
V
F
(
n
+
1
1
)
n
T ( n + a)
1
tf**»-
1
V*- * 579
(Se pune t = tx şi se aplică formula
T(x) T(y)
f
— — — ^ - '
=
1
\
T * "
1
(1
—
T)*-
1
dx
(vezi
şi exemplul 24)). Pentru a face trecerea de la seria penultima la ultima, se v a observa că diferenţa resturilor este, în valoarea absolută,
pentru N destul de mare. Pe de altă parte, conform ipotezei,
F(x).
1
x*-
-i)3o
1
f
r(«-i)3
T«-2dT 0
i-
1
r(«)(i-*) (S-a făcut substituţia
x—t 1
r(«)(i-*)
T ) . A v e m aşadar - 1 1
r(«)£
1
— A ;
de unde, după teorema lui H a r d y şi Littlewood ( p . 356),
n î
v
adică
T(a) Pentru a deduce de aici rezultatul enunţat, ne vom servi de formula
o
i
P
Scriem:
s . = E 1
«. = E ^
-
-
1
r^j £ ^
[i +
- (v - 1 ) ev-j -
dacă vom arăta că
~E[^.-(v-i)«».i]v-^o. în adevăr, modelul acestei expresii este 1
fir
£
• [
T
v
«_
v
(
v
-f-i)-i
]
e
w
+
w
1
580
« „ e
nr a
r
(
a
)
unde | M | <M f i x . A m b i i termeni din ultima expresie tind la O (primul în virtutea l e m e i lui C a u c h y ) . v
Observaţie. F o r m u l a ( * ) se poate deduce din următoarea lemă (Jensen), care generalizează l e m a lui Cauchy: Lema lui Jensen. Dacă o » > 0 şi — —• X, iar seria ^ «»
a este divergentă, a
i
atunci
+ .... + P» ai + ... + *n î n adevăr, p u t e m
x.
scrie
+ O cu e — 0
P» =
n
Şi
Pi +
. , «î^i + ... + o,*.
+ P»
ai + ... Pa,»
a + ... + a x
n
E s t e de d o v e d i t că ultima parte tinde la 0. F i i n d dat e > 0, există N astfel că | e | < —pentru n>N.
A v e m deci
m
2
N S OCi^i +
... +
On^n
ai + . . . + a
n
<
« v ^
«i + ... + a
2
w
şi cum prima parte din m e m b r u l I I tinde la 0 cu n —• oo, ea v a fi < — pentru n>N > x
N. A s t f e l m e m b r u l I este < e pentru n >
N. x
p _ 1
p
Spre a obţine formula ( * ) v o m lua (3 = v cu p ^ 1 şi Oy = v — (v — 1)*, ceea ce dă OL + . . . + <x = n . Cum n —> -ţ- oo şi a > 0, lema este aplica bilă şi a v e m V
p
X
p
n
v
1
1
J (deoarece — V» — ( — 1 ) " L e m a lui Cauchy se obţine pentru a = 1. Observaţie. L e m a precedentă poate fi utilă în căutarea unor l i m i t e . V
n
£^.
l
o
g
<
M
!
Ll.
n log w
Se v a lua (3 = l o g n şi a„ = n l o g n — ( » — 1) l o g ( n — 1) (n > 1) şi « i = 0 şi se v a observa că n
l o g ( » + 1)
n+l *n+l
log
+
1.
log(»+l)
581
Indice de materie
Aderenţa unui punct 22 Afixa unui număr complex 18 Amplitudinea unei rotaţii HO — unui număr complex 16 Arc cos z 167 — de curbă parabolic 545 — deschis 257 — — regulat 257 — regulat 261 — simplu 22, 216, 257 — — deschis 261 — sin z 167 — ctg z 174 — tg z 174 Argumentul unui număr complex 16 Asemănare directă generală 140 Axa imaginară 18 — reală 18 Axioma I a lui Hausdorff 193 — I l - a lui Hausdorff 193 — lui Frechet 193 — lui Tietze 204 Axiomele de separaţie 193 a* 159 Centrul unei omotetii 139 chz 175 Ciclu 553 Complementara unei mulţimi 189 Componentele unei mulţimi 211 Condiţiile lui Cauchy 116 Conexiunea 205 Constanta lui Euler-Mascheroni 58 Constantele 429 Continuitatea funcţiilor compuse 42 — uniformă 43 Continuum 205 —- degenerat 205 — diadic 216 — peanian 215, 255 Conturul unui domeniu 242 Convergenţa absolută a unei serii multiple 71 — unei funcţii depinzînd de un parametru 308 — uniformă a unei funcţii depinzînd de un parametru 308 — — — unui şir de funcţii 308 Coroana 242
Corolarul lui Janiszewski 232 cos z 160 Criteriul de condensare Cauchy- Schlcmilch 56 — — convergenţă a lui Pringsheim 94 _ _ uniformă a lui Cauchy 309 — integral al lui Cauchy 57 — lui Abel 81 — — Cauchy de convergenţă uniformă pentru funcţii depinzînd de un parametru 308 — — Cauchy de specia I 63 — — D'Alembert de specia I I 63 — — Dedekind 81 — — Dirichlet 81 — — Du Eois Raymond 81 — — Ermakoff 59 — — Gauss 65 Kummer 66 Ctg z 169 Cth z 175 Curbă 23, 218, 258 — continuă 255 — de nivel 402 — local simplă 259 — regulată 130 — simplă 218 închisă 218, 257 Derivata unei funcţii 116 Determinantul unei transformări liniare 134 Determinările separate ale unei funcţii 153 — unei funcţii 153 — — transformări 153 Diametrul unei mulţimi 202 Diferenţiala 113 Distanţa 202 — de la un punct la o mulţime 202 — între mulţimi 202 Domeniu 22 — determinat de o mulţime închisă 212 —- exterior unei curbe simple închise 235 — — determinat de un poligon 226 —- interior unei curbe simple închise 235 — — determinat de un poligon 226 —- închis 22 — Jk 242 — Jordan 235, 242 — poligonal 224 583
Domeniu simplu conex 236 Dreaptă de sprijin a unei mulţimi convexe 247 Drum 23, 255 — deschis 261 — închis 256 — orientat 256 — rectificabil 262 Drumuri consecutive 256 Ecuaţia lui Kepler 8-lanţ 209 e-reţea 198 Extremitatea unui arc 217 Extremităţile unui drum 256 e* 155 Factorii produsului infinit 92 Familie compactă (normală) de funcţii 417 — de vecinătăţi echivalente 188 Formula lui Parseval 399 — — Rodrigues 525 Funcţia algebrică 28 — armonică 121 — ciclometrică (arc sin z, arc cos z) 167 — — (arc tg z, arc cotg z) 174 — circulară (si z, cos z) 160 — — (tg z, cotg z) 169 — constantă 431 — continuă 31 — convergentă într-un punct 35 — convexă 411 — de o variabilă complexă 26 — depinzînd de un parametru 111 — — — — — convergentă 112 — diferenţiabilă 113 — — într-un punct 35 — elementară 151 — exponenţială 154 — gama 571 — generatoare a polinomului lui Legendre 562 — hiperbolică 175 — inversă 552 locală 552 — iraţională 27 — întreagă 429 — limită a unei funcţii depinzînd de un para metru 111 — lui Legendre 398 — mărginită într-un punct 38 — meromorfă 431 — — transcendentă 431 — monogenă 116 — multiformă 26 — olomorfă 120 — p-valentă 128 — raţională 28, 431 — transcendentă 27, 429 — uniformă 26, 419 — uniform mărginită 315 — univalentă 128 — C (z) a lui Riemann 579 Generalizarea teoremei lui Hardy lewood 580 — — reziduurilor 438 584
şi Litt-
Grupul topologic al homeomorfismelor unui spaţiu cu vecinătăţi 187 Homeomerfisme 187 Indicatorul logaritmic 529 Inegalitatea lui Cauchy 400 — — Gutzmer 399 — — Jensen 407 Inel 242 Interiorul unei mulţimi 189 Integrala curbilinie 283 — improprie 323 — lui Euler de specia I-a 354, 572 Il-a 354 — — Fresnel 443 — nedefinită 301 — Stieltjes 278 — uniform convergentă 325 Integralele lui Mehler-Dirichlet 527 Integrarea unei funcţii raţionale de sin 330 Inversiunea 142
cos
şi
închiderea unei mulţimi 22 Lema lui Alexander 230 — — Jensen 581 — — Schwartz 401 — — Toplitz 87 — — Weierstrass 370 Limita unei funcţii 29 — — — compuse 41 — — — depinzînd de un parametru 111 — unui şir infinit de puncte 35 Linie frîntă 224 — poligonală 224 — — ce traversează o semidreaptă 225 — — — un poligon 228 — — înscrisă 262 log z 157 Lungimea unui drum 262 Maximul absolut 43 — realtiv 43 Metrică 196 Modul de periodicitate 303 Modulul unui număr complex 15 Multiplicitatea zerourilor unei funcţii 154 — unui punct 256 Mulţime compactă 195 — conexă 205 — convexă 246 — densă în sine 190 — — — spaţiu 190 — derivată 22, 190 — deschisă 22, 190 — discretă 190 — e-conexă 209 — izolată 190 — înlănţuită 209 — mărginită 23 — perfectă 190 Mulţimi topologic echivalente 187
Natura seriei 52 Noduri 218, 256 Norma unui număx complex 15 Număr complex 13 — imaginar 14 — pur imaginar 14 Numere complexe conjugate 15 Numerele lui Bernoulli 385, 450 Euler 388 Omotetie 139 Ordin de conexiune 236 Ordinul unei funcţii întregi 431 — unghiular al unei curbe închise 276 — unui pol 425 — — zero al unei funcţii olomorfe 376 Ovală 249 Parametru normal 255 Partea principală a unui punct singular 423 Partiţie închisă a unei mulţimi 205 Plan euclidean 188 Planul lui Gauss 23, 188 Pol 151, 425 Poligon 224 — simplu 224 Polinoamele lui Bernoulli 514 — — Cebîşev 517 — — Hermite-Cebîşev 515 — — Iacobi 522 — — Laguerre 528 — — — (generalizate) 528 Legendre 396, 524, 562 Polinomul 27, 429 Polul unei asemănări 140 Principiul de identitate pentru funcţiile olo morfe într-un domeniu 375 Principiul maximului modulului 400 — minimului — 401 — variaţiei argumentului 535 Produs canonic 570 — cartezian 27 — infinit 92 — — absolut convergent 98 — — convergent 92 — — divergent 92 dublu 92 — — oscilator 92 — — simplu 92 Produse parţiale 92 Produsul lui Cauchy 90 — seriilor 69 Proecţie stereografică 24 Proprietăţi intrinsece 205 Punct aderent 22, 189 — critic 153 — — algebric al unei funcţii 153, 553 — — — de ordin p 530 — — — — — p al funcţiei inverse 533 — — al unei funcţii 153 polar 154, 554 — de convergenţă al unei funcţii depinzînd de un parametru 112 — — discontinuitate 31 — — divergenţă al unei funcţii depinzînd de un parametru 112
Puncte duble ale unei transformări 139 — separate de o mulţime 212 Punct exterior 22, 189 — frontieră 22, 189 — — accesibil 250 — — liniar accesibil 212 barat 251 — impar faţă de un poligon 225 — interior 22, 189 — izolat 189 — limită 22, 189 — liniar accesibil 212 — multiplu 256 — par faţă de un poligon 225 — regulat 419 — singular 419 — — esenţial (izolat) 425 — unghiular 276 Ramurile unei funcţii 153 Raportul unei asemănări 140 — — omotetii 139 Regiune 22 Reprezentări conforme 130 — continue 187 Reziduu 433 Rotaţia 140 — drumului orientat 274 — unui drum faţă de un punct 274 iî-vecinătate 204 Secţiune în sens Dedekind 222 Sens de parcurs pe un arc 219 — direct faţă de interiorul unei curbe 278 — — — — exteriorul — — 278 Seria hipergeometrică 382 — lui Gudermann 574 — — Lagrange 557 — — Laurent 413 — ce converge cel puţin tot aşa de repede ca alta 61 — — diverge cel puţin tot aşa de repede ca alta 61 — — — mai repede ca alta 61 — convergentă 47 — dublă 46 — — sumată după diagonale 47 — — — — pătrate 47 — oscilatoare 47 — simplă 46 — de puteri 339 — factoriale de specia I-a 577 Seriile lui Lambert 389 Serii simple orizontale 48 — — verticale 48 Simpla conexiune 236 Sfera lui Riemann 188 sh z 175 Simbolul lui Mobius 391 Simetrie faţă de cercuri şi drepte 142 Singularităţi izolate 422 — — de specia I 422 S 422 — removibile (aparente) 424 sin z 160 585
Soluţii conjugate ale unei ecuaţii 122 Spaţiu bicompact 199 — cu vecinătăţi 187 — — — subordonat 187 — metri zabil 196 — normal 204 — topologic 187 Structura topologică a unui spaţiu 187 Subdrum 256 Suma drumurilor 257 Sumarea seriei după cuburi 47 — — — diagonale 47 — — — pătrate 47 Suma seriei 47 Sumele parţiale ale unei serii 47 Şir de funcţii 308 Tangentele frontierei unui domeniu convex Tăietură 153, 217, 236 — cu un capăt 236 Teorema a 2-a a lui Abel 347 — — 3-a a lui Abel 349 — celor 3 cercuri (Hadamard) 410 — de invariantă a domeniilor 548 — — — a lui Brouwer 244 — fundamentală a algebrei 529 — — — lui Cauchy 292 — întîia a lui Abel 339 — locală a funcţiilor inverse 553 — lui Abel 91, 312 — — Bolzano-Weierstrass 195 — — Cantor 215 — — Caratheodory 412 — — Casorati-Weierstrass 427 Cauchy 53, 55, 100, 300, 342 — — D'Alembert 424 — — Dedekind 313 — — Dirichlet 313 — — Du Bois Raymond 313 — — Euler 87 Gauss 425 — — Hadamard 345 — — Hardy şi Littlewood 356 Hausdorff 188 — — Heine 43 — — Heine-Borel-Lebesgue 199 — — Hurwitz 540 — — Janiszewski 213 — — Landau 578 — — Leibnitz 79, 83 Lindelof 404 Liouville 424, 429, 431 — — Littlewood 359
586
248
Teorema lui Markov 85 — — Mertens 91 — — Mittag-Leffler 564 Montei 417 — — Morera 307, 310 — — Olivier 55 — — Peano 217 — — Porter 316 — — Raabe 64 — — Riemann 76 — — Rouche 530, 538 — — Saxer 547 — — Schlomilch 64 — — Schonfliess 251 — — Sierpinski 213 — — Weierstrass 75, 78, 333, 568 Wolff-Namura 551 — reziduurilor 436 Teoria funcţiilor de o variabilă complexă Termenii unei serii 46 th z 175 tg z 169 Topologia unui spaţiu 187 Transformări antiliniare 134 — conforme directe 130 — — indirecte 130 — involutive — liniare 134 — — eliptice 141 — — fracţionare 139 — — hiperbolice 141 — — întregi 139 — — loxodromice 141 — — parabolice 140 — regulate 125 — — în sens larg 129 Translaţie 139 Transversală de specia I 236 I I 236 — într-un domeniu 236 Unghi de rotaţie al unei asemănări 140 Valoarea principală a unei integrale 329 Variaţie mărginită 263 Vecinătate 21 Vecinătatea unui punct abstract 30 Vecinătate sferică 21 Vîrf al unui domeniu convex 248 Weierstrass Umordnungsatz 74 195 zero al unei funcţii olomorfe 376
li
Indice de autori
Abel 62. 80, 81, 91, 311, 312, 336, 338, 339, 347, 348, 349, 351, 369, 377, 380, 381, 382, 384 Alexander 230 Argand 18 Bernoulli 25, 129, 385, 386, 456, 507, 509, 514, Bolzano 76, 195 Borel 199, 301 Bouquet 11 Briot 11 Brouwer 129, 244 Cantor 213, 215, 294 Caraman 6, 12 Carathéodory 412 Casorati 427, 428 Cauchy 11, 33, 53, 54, 55, 56, 57, 63, 80, 90, 91, 95, 100, 108, 109, 110, 116, 117, 118, 122, 123, 131, 155, 291, 292, 293, 299, 300, 301, 305, 309, 310, 311, 315, 317,319, 324, 328, 342, 343, 345, 348, 349, 350, 353, 370, 372, 382, 394, 395, 399, 400, 401, 413, 416, 428, 429, 433, 436, 447, 457, 528, 534, 537, 538, 568, 569, 573, 581, 582 Cebîşev 515, 517, 522 Cesaro 106 Climescu 6 D'Alambert 63, 67, 343, 366, 395, 424, 535, 540, Darboux 288 Dedekind 81, 82, 222, 313 De la Vallée-Poussin 321, 323, 547, 558 Descartes 544 Dirichlet 52, 81, 313, 335, 338, 339, 363, 366, 369, 385, 505, 527, 578 Du Bois Reymond 81, 312, 366, 578 Ermakof 59, 109 Euclid 23 Euler 87, 156, 161, 330, 354, 388, 389, 507, 509, 571, 572, 575, 577 Fatou 349, 387 Fréchet 193, Fresnel 443
Gauss 5, 7, 8, 18, 21, 23, 24, 43, 65, 66, 77, 78, 128, 135, 136, 152, 187, 188, 189, 200, 201, 208, 212, 256, 258, 262, 380, 396, 422, 423, 424, 425, 431, 530, 533, 535, 548, 571, 575 Goursat 295 Gudermann 575, 575, 576, 577 Gutzmer 399, 415 Hadamard 62, 345, 346, 410, 411 Hausdorff 188, 193, 255, 257 Hardy 356, 580 Heine 43, 44, 202, 301, 515, 517 Hermite 515 Hunvitz 540, 547, 551 Iacobi 522, 524 Janiszewski 213, 232, 234, 257, 258 Jensen 45, 407, 408, 581 Jentzsch 415 Jordan 233, 235, 242, 243, 244, 248, 250, 254, 258, 263, 264, 265, 266, 278, 280, 284, 285, 286, 298, 290, 292, 293, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 307, 429, 528
251, 283, 298, 421,
Karamata 356 Kepler 542, 559 Knopp 66, 389 Kronecker 54, 105 Kummer 7, 66, 67, 89, 111 Kuratowski 540 Lagrange 20, 557, 559, 560 Laguerre 528 Lambert 389, 390, 391 Landau 578 Laplace 11, 121, 526, 527 Laurent 5, 9, 333, 392, 413, 414, 415, 419, 420, 424, 426, 432, 434, 437, 455, 462 Lebesgue 202, 266, 300, 301 Legendre 396, 398, 524, 562 Leibnitz 79, 83, 395, 435, 515, 516, 528, 562, Levy 77 Lindelôf 402, 404, 405, 409 Liouville 424, 429, 430, 431, Littlewood 353, 356, 359, 361, 580 537
Mac Laurin 50, 382 Mac Robert 511, 5 H , Malmstén 82 Markoff 76, 85, 86 Markuşievici 546 Mascheroni 58, 509, 571, 572 Mayer 5 Mehler 527 Mertens 91 Mittag-LefÛer 564, 567, 570 Môbius 23, 147, 391, 579 Moivre 17 Montei 5, 9, 300, 415, 417 Morera 307, 321, 334, 128 Morse 540 Namura 551 Negoescu 6 Olivier 55, 396
Rodrigues 525, 526, 562 Rolle 520, 523, 544, 562 Rouché 530, 533, 538, 539, 540, 541, 544, 545, 546, 547, 548, 553, 554 Saxer 547, 563 Schlômilch 56, 64, 108 Schônfliess 251 Schwartz 154, 401, 402, 407, 409, 412, 415 Sohoţki 427 Steinitz 77 Stieltjes 9, 278, 280, 281, 284, 285 Stirling 512, 513, 575 Tauber 349, 350, 351, 353, 358, 360 Taylor 5, 9, 12, 166, 333, 359, 374, 432, 434 Tietze 204 Titchmarsh 359 Tôplitz 45, 87, 88 Urysohn 198
Parseval 341, 398, 399 Peano 217, 255, 262 Picard 427, 428 Pollard 295 Pringsheim 62, 94, 95, 109, 295 Ptolemeu 24, 149
Weierstrass 12, 13, 23, 42, 75, 76, 78, .84, 85, 86, 87, 195, 288, 310, 319, 320, 333, 340, 356, 362, 370, 371, 384, 390, 399, 427, 428, 551, 556, 565, 568, 570, 571, 577
Raabe 64, 65, 66, 67 Riemann 7, 11, 21, 24, 43, 76, 77, 188, 280, 281, 287, 300, 321, 422, 539, 579
Weil A . 193 Wessel 18 Wolff 551
Vitali 9, 415, 417
O. M A Y E R , Teoria funcţiilor de o variabilă complexă — (Theory of Functions of a Complex Variable), Editura Academiei R.S.R., 1981, p. 592.
Contents
Introduction
11
Chapter I. Complex variable. Functions. Limits. Continuity. Series and infinite products Complex numbers and variables 1. 2. 3. 4. 5.
Definition of complex numbers. Cartesian form Trigonometric form of a complex number Geometric representation of a complex number Inequalities for moduli The complex variable. Gauss plane and Riemann sphere Problems
13 15 18 19 21 25
Functions. Limits. Continuity. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.
The concept of functions of complex variables (in general) The concepts of limit and continuity Some theorems on the definition domain of a function Cauehy's criterium Limit of an infinite sequence Operations with limits for moduli and arguments Operations with limits for several functions and aplications to the continuity Uniform continuity Problems
26 29 31 33 35 37 40 42 45
Convergence of series and infinite products 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29.
Series (general properties) Operations with series Nature of a series Necessary conditions Criteria of convergence and divergence for simple series with positive terms.. Comparison criteria Kummer's criterium Criteria of convergence of multiple series with positive terms Absolute convergence of series Weierstrass' theorem Criteria of convergence for a series Transformation of simple series The product of two convergent series Infinite products (general properties) General criteria of convergence for infinite products Criteria of convergence for simple infinite products with positive factors that are greater or smaller than 1 30. Absolute convergence of infinite products 31. General criteria of convergence for a product Problems
46 50 52 54 56 60 66 68 71 78 79 85 90 92 94 97 98 100 102 589
Convergence of functions depending on a parameter and especially on series and infinite products of functions 32. Introduction
Ill
Chapter I I . The concept of holomorphic function of a variable and plane conformai mappings. Elementary functions. Monogeneity (derivability) 33. Differentiability 34. Derivative of a function of complex variable Problems
113 116 122
Mapping defined by a holomorphic function 35. Inverse function 36. Domain transformation 37. Conformai mappings (general properties) Problems
125 127 129 132
Linear transformations (homography) 38. General properties 39. Lines and circles in Gauss plane. Their invariance under linear transfor mation 40. Fixed points. Classification of linear transformations 41. Symmetry with respect to lines and circles 42. Conformai mappings of discs onto discs 43. Groupal properties of linear and antilinear transformations Problems
134 135 139 142 145 147 148
Elementary functions n
44. The functions z (entire n), $ z (entire n > 1). Polynomials and rational func tions 45. e* (exponential function) 46. The (exponential) function log z 47. The functions a and sP 48. Circular functions cos z and sin z 49. Cyclometric functions arc cos z and arc sin z 50. Circular functions tgz and ctgz 51. Cyclometric functions arc tg z and arc ctg z 52. Hyperbolic functions Problems z
151 154 157 159 160 167 169 174 175 176
Chapter I I I . Introduction in the topology of Gauss plane 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70.
590
Spaces with neighbourhoods Fundamental topological concepts (in
»
,
1S7 189 195 196 199 201 202 205 211 214 224 229 233 236 242 243 246 250 253
Chapter I V . The theory of integration in the complex domain 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77.
Paths and curves in the complex plane Stieltjes integrals Curvilinear integrals in the complex plane Cauchy's fundamental theorem Indefinite integrals Cauchy's integral Uniform convergence and its applications Problems
255 278 283 292 301 305 307 327
Chapter V . Expansions in Taylor and Laurent series 78. Series of holomorphic functions 79. Power series Problems 80. Operations with power series Si. Expansions in Taylor series of a holomorphic function $2. Expansion in Taylor series of elementary functions «83. The maximum modulus principle .84. Laurent series S5. Vitali and Montei theorems
333 339 361 370 373 376 398 413 415
Chapter V I . Singular points of uniform functions. Residues •86. 87. «88. •89.
General properties Poles Esenţial isolated singular points. Meromorphic functions Residue method and its applications Problems 90. Special polynomials and generating functions 91. Logarithmic indicator 92. Applications to the transformation domains by a function of complex variable 93. Principle of argument variation 94. Topological properties of a mapping produced by a meromorphic function 95. Local inverse of a meromorphic function 96. Extension of meromorphic functions in series of rational functions 97. Extension of entire functions in infinite (canonical) products 98. Function T 99. Function T(z) Annex Subject index Author index #
419 425 427 433 478 514 -528 532 -534 543 552 563 567 571 574 579 583 587
Redactor: L U M I N I Ţ A Z O R I L E S C U Tehnoredactor: M A G D A L E N A I A C O B Coperta de: A U R E L I A N P E T R E S C U Bun de tipar:
13 III Coli C. Z. pentru C. Z. pentru
1981. Format: 16170x100 G/m*. de tipar: 37. biblioteci mari. \ * A r biblioteci mici. f 1
D
1
7
/
7
0
J
Tiparul executat sub comanda nr. 1275 la Întreprinderea poligrafică „13 Decembrie 1918", str. Grigore Alexandrescu nr.M—97 Bucureşti Republica Socialistă România
