Podstawy analizy układów kinematycznych

Antoni Gronowicz

Podstawy analizy uk³adów kinematycznych

Oficyna Wydawnicza Politechniki Wroc³awskiej Wroc³aw 2003

Wydanie publikacji dofinansowane przez Ministerstwo Edukacji Narodowej i Sportu

Opiniodawcy Franciszek SIEMIENIAKO Stanis³aw WOJCIECH

Opracowanie redakcyjne Alina KACZAK

Korekta Hanna JUREK

Projekt ok³adki Zofia i Dariusz GODLEWSCY

© Copyright by Oficyna Wydawnicza Politechniki Wroc³awskiej, Wroc³aw 2003

OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WROC£AWSKIEJ Wybrze¿e Wyspiañskiego 27, 50-370 Wroc³aw

ISBN 83-7085-672-1

Drukarnia Oficyny Wydawniczej Politechniki Wroc³awskiej. Zam. nr 23/2003

Spis treœci WSTÊP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.  STRUKTURA UK£ADÓW KINEMATYCZNYCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Pojêcia podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Cz³ony uk³adów kinematycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Pary kinematyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. £añcuch kinematyczny, mechanizm, maszyna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. W³asnoœci ruchowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Ruchliwoœæ teoretyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Ruchliwoœæ teoretyczna uk³adów wielokonturowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Geometryczne warunki ruchu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.1. Ruchliwoœæ lokalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.2. Wiêzy bierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Uk³ady kinematyczne racjonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 9 10 15 16 18 21 24 26 29 35

2.  KONFIGURACJA UK£ADÓW KINEMATYCZNYCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2. Wzglêdne po³o¿enie dwóch cz³onów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.1. Wspó³rzêdne absolutne – uk³ady p³askie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.2. Wspó³rzêdne absolutne – uk³ady przestrzenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2.3. Wspó³rzêdne Denavita–Hartenberga – uk³ady przestrzenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.3. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów p³askich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.3.1. Rozwi¹zanie graficzno-analityczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.3.1.1. Metoda bezpoœrednia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.3.1.2. Metoda poœrednia – modyfikacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.3.2. Metody analityczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.3.2.1. Metoda wektorowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.3.2.2. Metoda liczb zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.3.3. Metoda wspó³rzêdnych absolutnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.3.3.1. Równania wiêzów par kinematycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.3.3.2. Równania wiêzów uk³adów kinematycznych p³askich . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.3.4. Rozwi¹zanie równañ nieliniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.3.4.1. Algorytm Newtona–Raphsona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.3.4.2. Konfiguracja pocz¹tkowa i krok analizy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 2.4. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów przestrzennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 2.4.1. Uk³ady o strukturze szeregowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 2.4.2. Uk³ady zamkniête . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3. PRÊDKOŒÆ I PRZYSPIESZENIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Metody graficzne – uk³ady p³askie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Œrodki obrotu chwilowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Uk³ady równowa¿ne kinematycznie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Równania wektorowe, plany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. Uk³ady z³o¿one p³askie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110 110 111 111 116 118 124

4 3.3. Metody analityczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Ruch we wspó³rzêdnych wektorowych – uk³ady p³askie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Uporz¹dkowanie macierzowe – uk³ady p³askie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Ruch we wspó³rzêdnych absolutnych – uk³ady p³askie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Ruch we wspó³rzêdnych DH – uk³ady przestrzenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Uk³ady o strukturze szeregowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Uk³ady o strukturze zamkniêtej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

129 129 132 138 146 146 156

4. ELEMENTY DYNAMIKI UK£ADÓW KINEMATYCZNYCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Parametry masowe cz³onu, si³y bezw³adnoœci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Masa cz³onu i masowy moment bezw³adnoœci – ruch p³aski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Tensor bezw³adnoœci – ruch przestrzenny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3. Wypadkowa si³ bezw³adnoœci – ruch p³aski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Równowaga kinetostatyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Statyczna wyznaczalnoœæ uk³adów kinematycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3. Macierzowy zapis si³ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4. Metoda prac przygotowanych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.5. Tarcie w parach kinematycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.6. Tarcie w ujêciu analitycznym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Dynamiczne równania ruchu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Równania Newtona–Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Zasada zachowania energii kinetycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2.1. Modele uk³adów typu R i T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2.2. Redukcja mas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2.3. Redukcja si³ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2.4. Analiza ruchu, nierównomiernoœæ biegu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3. Równanie Lagrange’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4. Równania ruchu we wspó³rzêdnych absolutnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4.1. Równanie ruchu cz³onu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4.2. Si³a uogólniona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4.3. Równanie ruchu uk³adu wielocz³onowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4.4. Mno¿niki Lagrange’a i si³y oddzia³ywania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

161 161 163 163 166 167 169 169 173 178 183 191 196 202 202 207 207 209 211 213 217 226 226 226 231 236

LITERATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

5

WSTÊP W przyrodzie i technice istnieje wielu uk³adów i systemów, w których budowie ³atwo wyró¿niæ przemieszczaj¹ce siê wzglêdem siebie elementy sk³adowe. Elementy te po³¹czone w sposób umo¿liwiaj¹cy ruch wzglêdny tworz¹ uk³ady kinematyczne. Znajduj¹ siê one w maszynach, pojazdach i urz¹dzeniach, wszêdzie tam, gdzie jest wymagany ruch elementów wykonawczych. Za przyk³ad niech pos³u¿¹ uk³ady kostne ssaków i wzorowane na nich roboty i manipulatory, uk³ady zawieszenia kó³ pojazdów, wysiêgniki koparek i ³adowarek. Podstawowe w³asnoœci uk³adów kinematycznych nie s¹ zwi¹zane z typem maszyny czy urz¹dzenia. Zarówno w przypadku d³oni cz³owieka, jak i chwytaka robota rodzaj i zakres mo¿liwych ruchów s¹ zale¿ne od sposobu po³¹czenia elementów sk³adowych oraz od wymiarów geometrycznych. Budowa robota i uk³adu prowadzenia ³y¿ki koparki jest zupe³nie odmienna, chocia¿ ruchowe po³¹czenia elementów mog¹ byæ identyczne. Z ruchem elementów ³¹cz¹ siê si³y oporów u¿ytecznych lub szkodliwych. W pojazdach s¹ to opory toczenia i opory powietrza, w koparce si³y reakcji urabianego gruntu, wioœlarz zmaga siê z oporem ruchu ³odzi. Pokonanie si³ oporów wymaga wywo³ania si³ napêdzaj¹cych. W pojazdach s¹ to si³y ciœnienia gazów spalanej w silniku mieszanki, w koparce si³y napêdzaj¹ce powstaj¹ w cylindrach hydraulicznych, si³y miêœni wioœlarza transformowane s¹ do ³opat wiose³. Przedstawione przyk³ady uk³adów kinematycznych odznaczaj¹ siê wieloma ró¿nymi cechami. Ró¿na jest ich budowa oraz rodzaje ruchu elementów. W ka¿dym z przytoczonych uk³adów wyst¹pi¹ znacz¹ce ró¿nice w wartoœciach rozwijanych prêdkoœci, przyspieszeñ i si³. S¹ to jednak ró¿nice iloœciowe, jednakowe s¹ natomiast zjawiska – opisywane jednakowymi metodami. Niniejsza ksi¹¿ka prezentuje kilka metod analizy uk³adów kinematycznych, ukierunkowanych na zastosowania komputerowe. Rozwój technik komputerowych i dostêpnoœæ pakietów obliczeñ matematycznych daj¹ nowe, znacznie szersze mo¿liwoœci analizy i projektowania uk³adów kinematycznych. Ksi¹¿ka w istocie dotyczy metod opisu ruchu pocz¹wszy od w³asnoœci ruchowych wynikaj¹cych ze struktury, przez opis iloœciowy w sensie kinematyki i dynamiki. Czêœæ pierwsza obejmuje zagadnienia struktury w zakresie pozwalaj¹cym na stwierdzenie czy dany zespó³ elementów, po³¹czonych ze sob¹ w okreœlony sposób ma mo¿-

6

Wstêp

liwoœæ wykonywania ruchu wzglêdnego. Wiele uwagi poœwiêcono strukturalnym i geometrycznym uwarunkowaniom ruchu. Przedstawiono sformalizowane metody modyfikacji struktury uk³adów kinematycznych tak, aby by³y ruchliwe w ka¿dych warunkach wykonania. Ta czêœæ umo¿liwia zrozumienie istoty struktury w stopniu daj¹cym szansê twórczego podejœcia do projektowania nowych, innowacyjnych uk³adów kinematycznych. W czêœci drugiej przedstawiono metody opisu konfiguracji uk³adów kinematycznych. Tylko bardzo proste uk³ady s¹ ³atwe w opisie, wiêkszoœæ nie daje siê opisaæ w formie jawnych zale¿noœci lub ich uzyskanie wymaga uci¹¿liwych przekszta³ceñ z³o¿onych wyra¿eñ algebraicznych. Miêdzy innymi pokazano wspó³czeœnie stosowany opis za pomoc¹ tzw. wspó³rzêdnych absolutnych. Wzglêdnie ³atwo formu³uje siê wtedy stosowne uk³ady równañ, rozwi¹zywane metodami numerycznymi. Czêœæ trzecia obejmuje metody okreœlania prêdkoœci i przyspieszeñ. Skuteczne uporanie siê z opisem konfiguracji sprowadza ten problem do rozwi¹zywania uk³adów równañ liniowych. Czêœæ czwarta to dynamika opisuj¹ca zwi¹zki miêdzy ruchem, si³ami i parametrami masowymi elementów uk³adów kinematycznych. Zaprezentowano metody dynamiki odwrotnej, czêsto nazywanej kinetostatyk¹, która zajmuje siê opisem stanu si³ w znanym ruchu. Opisywano zw³aszcza si³y oddzia³ywania miêdzy po³¹czonymi ruchowo elementami. Omówiono te¿ regu³y opisu si³ tarcia w ruchowych po³¹czeniach. Wiele uwagi poœwiêcono badaniu ruchu uk³adów masowych dla zadanych obci¹¿eñ si³ami zewnêtrznymi. Zaprezentowano metody formu³owania ró¿niczkowych równañ ruchu, akcentuj¹c te, które s¹ zorientowane na obliczenia za pomoc¹ komputera. Prezentowane metody umo¿liwiaj¹ analizê dowolnych uk³adów p³askich i przestrzennych. Dla lepszego zrozumienia poszczególnych metod zamieszczono wiele przyk³adów, czêœæ z nich uzupe³niono wynikami liczbowymi. Ksi¹¿ka jest przeznaczona dla in¿ynierów praktyków zajmuj¹cych siê twórczym projektowaniem maszyn i urz¹dzeñ. Przedstawiono metody analiz wspomagaj¹cych wspó³czesne projektowanie uk³adów kinematycznych maszyn, pojazdów i urz¹dzeñ. Niniejsza ksi¹¿ka powinna te¿ byæ pomocna dla studentów kierunków: mechanika i budowa maszyn oraz automatyka i robotyka, stanowi¹c uzupe³nienie wyk³adów z teorii maszyn i mechanizmów, dynamiki oraz robotyki. Jej efektywne wykorzystanie wymaga znajomoœci podstaw mechaniki analitycznej oraz rachunku wektorowego i macierzowego w zakresie wyk³adanym na wydzia³ach mechanicznych.

1. STRUKTURA UK£ADÓW KINEMATYCZNYCH 1.1. Pojêcia podstawowe Za uk³ad kinematyczny uwa¿a siê powszechnie dowolny zespó³ elementów (cz³onów) po³¹czonych ze sob¹ (parami kinematycznymi) w sposób umo¿liwiaj¹cy ich ruch wzglêdny, stworzony przez naturê lub cz³owieka do wype³nienia celowych funkcji. Uk³adem kinematycznym jest np. uk³ad kostny cz³owieka, którego cz³ony (koœci) s¹ po³¹czone ze sob¹ przegubami (stawami) i wraz z miêœniami i wiêzad³ami umo¿liwiaj¹ nam chodzenie, bieganie, pokonywanie si³ itp. Zbiór uk³adów kinematycznych w ró¿nego rodzaju maszynach, urz¹dzeniach i pojazdach stworzonych przez cz³owieka jest bardzo liczny i bardzo ró¿norodny. Powszechnie u¿ytkowany przez cz³owieka samochód osobowy sk³ada siê z wielu przemieszczaj¹cych siê wzglêdem siebie cz³onów. Przyk³adowy uk³ad napêdowy, bêd¹cy z³o¿onym uk³adem kinematycznym przedstawiono na rysunku 1.1. Ciœnienie gazów

Rys. 1.1. Uk³ad kinematyczny napêdu samochodu

8

1. Struktura uk³adów kinematycznych

w cylindrze 1 silnika powoduje przemieszczanie siê t³oka 2, które jest dalej transformowane przez korbowód 3 do wa³u korbowego 4, wywo³uj¹c jego ruch obrotowy. Obrót wa³u korbowego 4 jest przenoszony przez sprzêg³o 5 do skrzyni biegów 6, w której podstawowymi cz³onami s¹ ko³a zêbate, a nastêpnie przez mechanizm ró¿nicowy 7 do kó³ jezdnych napêdzanych. Utrzymywanie przez kierowcê po¿¹danego kierunku jazdy lub jego zmiana jest realizowana za pomoc¹ kolejnego uk³adu kinematycznego, którego pierwszym elementem jest ko³o kierownicy, a ostatnimi elementami kierowane ko³a jezdne. Komfort jazdy Rys. 1.2. Schemat ideowy uk³adu po nierównych nawierzchniach wymaga, zawieszenia samochodu aby ko³a jezdne mia³y mo¿liwoœæ przemieszczania siê wzglêdem nadwozia samochodu, co wymaga kolejnego uk³adu cz³onów, w tym elementów sprê¿yn i t³umików, które ³¹cznie okreœla siê jako uk³ad zawieszenia (rys. 1.2). Inn¹ grup¹ powszechnie znanych urz¹dzeñ z³o¿onych z wielu cz³onów po³¹czonych parami kinematycznymi s¹ roboty i manipulatory, stworzone przez cz³owieka urz¹dzenia w celu wyrêczania go w pracach monotonnych, uci¹¿liwych i niebezpiecznych. Spe³nianie przez robota po¿¹danej funkcji wymaga œciœle zdefiniowanego prowadzenia jego koñcowego cz³onu (czêsto okreœla siê go mianem efektora), którym mo¿e byæ chwytak (dla zadañ manipulacyjnych) lub jakieœ narzêdzie, czy nawet g³owica (dla zadañ technologicznych). Efektor wykonuje zwykle z³o¿ony ruch w przestrzeni, co umo¿liwia celowe skojarzenie wielu cz³onów w czêsto z³o¿ony uk³ad kinematyczny. Przyk³ad robota do prac pod wod¹ zamieszczono na rys. 1.3. Jedno z jego ramion wyposa¿ono w chwytak, a drugie pe³ni funkcjê pomocnicz¹, nakierowuj¹c uk³ad optyczny w okolice efektora. W pralce automatycznej bêben zamocowany w obudowie wraz z silnikiem napêdowym równie¿ tworz¹ uk³ad kinematyczny, a jakoœæ rozwi¹zania przejawia siê w zachowaniu pralki w fazach intensywnego wirowania. Poprzestaj¹c na omówionych przyk³adach odnotujmy, ¿e uk³ady kinematyczne s¹  we wszystkich tych maszynach, pojazdach i urz¹dzeniach, których dzia³anie wymaga transformacji ruchu, zapewnienia przemieszczania elementów wykonawRys. 1.3. Robot p³ywaj¹cy czych wed³ug po¿¹danych charakterystyk, trajek-

1.1. Pojêcia podstawowe

9

torii itp. Nie s¹ natomiast uk³adami kinematycznymi, sk¹din¹d bardzo z³o¿one, mosty wisz¹ce, maszty stalowe czy wie¿e, choæ wszystkie takie obiekty sk³adaj¹ siê z wielu elementów, których ruch mo¿na ³atwo zaobserwowaæ lub nawet odczuæ. S¹ to jednak przemieszczenia w granicach sprê¿ystych odkszta³ceñ elementów sk³adowych, nie s¹ natomiast wynikiem celowego ruchowego po³¹czenia elementów.

1.1.1. Cz³ony uk³adów kinematycznych Na podstawie podanych przyk³adów mo¿na ju¿ jednoznacznie zdefiniowaæ pojêcie cz³onu jako elementu uk³adu kinematycznego, który wchodzi w ruchowe po³¹czenia z innymi cz³onami. Jednoczeœnie ³atwo siê domyœliæ, ¿e tak jak wielka jest ró¿norodnoœæ uk³adów kinematycznych, podobnie wielka jest ró¿norodnoœæ cz³onów. Ich podzia³y, wymieniane w literaturze i przydatne w opisie w³asnoœci strukturalnych, bazuj¹ na ró¿nych kryteriach. Wyró¿nia siê na przyk³ad wêz³owoœæ cz³onu wyra¿on¹ liczb¹ par kinematycznych, jakie tworzy on z cz³onami s¹siednimi. Przyk³adowo korbowód silnika spalinowego (rys. 1.1) ³¹czy siê z dwoma innymi cz³onami, t³okiem i wa³em korbowym, jest wiêc cz³onem dwuwêz³owym. Ogólnie nale¿y stwierdziæ, ¿e im bardziej z³o¿ony uk³ad kinematyczny, tym wiêksza wêz³owoœæ jego cz³onów. Inny podzia³ cz³onów jest zwi¹zany z funkcj¹, jak¹ pe³ni¹ w uk³adzie kinematycznym. W przypadku uk³adu transformuj¹cego ruch odbywa siê od cz³onu czynnego (napêdzaj¹cego) do cz³onu biernego (napêdzanego), przy czym cz³on czynny tylko w najprostszych uk³adach oddzia³uje bezpoœrednio na cz³on bierny, najczêœciej natomiast w przekazywaniu ruchu uczestnicz¹ cz³ony poœrednicz¹ce. W tej klasyfikacji mieœci siê te¿ podstawa uk³adu kinematycznego, inaczej jego korpus (obudowa). Wzglêdem tego cz³onu zwykle opisuje siê ruch pozosta³ych. Wiele maszyn i urz¹dzeñ zawiera w swej budowie si³owniki hydrauliczne lub pneumatyczne, a tak¿e elementy sprê¿yste. W hamulcu samochodu dociskanie szczêk do bêbna wykonuje siê uk³adem kinematycznym, którego jednym z cz³onów poœrednicz¹cych w przekazywaniu ruchu jest p³yn hamulcowy. W uk³adzie zawieszenia (rys. 1.2) wystêpuje sprê¿yna, która akumuluje gwa³towne nadwy¿ki energii kinetycznej. Cechy cz³onów charakteryzuje siê przez wprowadzenie ich podzia³u na cz³ony o strukturze cia³ sta³ych i p³ynnych – te ostatnie to cz³ony cieczowe lub gazowe. Dominuj¹c¹ grupê cz³onów w rzeczywistych uk³adach stanowi¹ cz³ony nieodkszta³calne, jakkolwiek ze wzglêdu na w³asnoœci sprê¿yste cia³ sta³ych zmieniaj¹ one swoje wymiary. Jednak takie zmiany, o charakterze odkszta³ceñ sprê¿ystych, s¹ w wielu analizach pomijane. Dla uproszczenia przyjmuje siê, ¿e s¹ to cz³ony sztywne, w odró¿nieniu od cz³onów podatnych, takich jak np. sprê¿yny. Pomijanie sprê¿ystych odkszta³ceñ cz³onów jest niedopuszczalne w wielu analizach dynamicznych, w szczególnoœci opis drgañ towarzysz¹cych pracy uk³adów kinematycznych wymaga uwzglêdnienia sprê¿ystoœci materia³u, z jakiego s¹ wykonane cz³ony. Przyk³adowo badanie w³asnoœci kinematycznych uk³adu korbowego silnika dopuszcza pomijanie faktu zmiany d³ugoœci korbowodu pod wp³ywem obci¹¿aj¹cych go si³. Jednak szczegó³owa analiza

10

1. Struktura uk³adów kinematycznych

naprê¿eñ w poszczególnych jego przekrojach mo¿e ju¿ wymagaæ uwzglêdnienia nawet jego zginania wywo³anego si³ami masowymi. Przyk³ady cz³onów o ró¿nych cechach przedstawiono na rysunku 1.4.

Rys. 1.4. Przyk³ady cz³onów

1.1.2. Pary kinematyczne Para kinematyczna to ruchowe po³¹czenie dwóch (para) cz³onów, po³¹czenie daj¹ce ³¹czonym cz³onom mo¿liwoœæ wykonywania ruchów wzglêdnych. To niezwykle istotny element uk³adu kinematycznego. W sensie kinematycznym ma zapewniæ po¿¹dany ruch wzglêdny, a jednoczeœnie musi mieæ zdolnoœæ przenoszenia si³ towarzysz¹cych ruchowi cz³onów. Pary kinematyczne dzieli siê wed³ug ró¿nych kryteriów, tutaj ograniczymy siê do podzia³u par kinematycznych na dwie grupy: • wed³ug liczby stopni swobody, jak¹ w danej parze dysponuj¹ wzglêdem siebie cz³ony j¹ tworz¹ce – podzia³ na klasy, • wed³ug rodzaju styku tworz¹cych j¹ cz³onów – podzia³ na pary ni¿sze i wy¿sze,

1.1. Pojêcia podstawowe

Klasy par kinematycznych. Podzia³ na klasy jest bardzo u¿yteczny ze wzglêdu na w³asnoœci ruchowe uk³adów kinematycznych. Rozpoczniemy ten podzia³ od par kinematycznych, jakie wystêpuj¹ w uk³adach p³askich, tj. takich, których cz³ony, w wyniku specyficznych po³¹czeñ parami kinematycznymi, poruszaj¹ siê w p³aszczyznach do siebie równoleg³ych. Mo¿na wtedy ruch cz³onów rozpatrywaæ na    jednej, wspólnej p³aszczyŸnie. Wzglêdne po³o¿enie dwóch cz³onów j  oraz k mo¿na opisaæ za pomoc¹ przypisanych im uk³adom wspó³rzêdnych prostok¹tnych (rys. 1.5). Dopóki nie tworz¹ one pary kinematycznej, dopóty ich wzglêdne po³o¿enie, przypisanych im uk³adów wspó³rzêdnych, opisuje siê wektorem:

q kj =

[p j

j kx

pky

j

Èk

11

Rys. 1.5. Parametry wzglêdnego po³o¿enia cz³onów

]

T

co oznacza, ¿e cz³on k wzglêdem j (i odwrotnie) dysponuje trzema stopniami swobody. Utworzenie pary kinematycznej skutkuje ograniczeniem swobody ruchu wzglêdnego, inaczej narzuceniem wiêzów. Nie trzeba wykazywaæ, ¿e dla par uk³adów p³askich liczba wiêzów musi wynosiæ dwa lub jeden i wtedy jeden cz³on wzglêdem drugiego dysponuje odpowiednio jednym lub dwoma stopniami swobody ( fkj = 1, 2). Liczbê dysponowanych wzglêdnych stopni swobody przyjêto tutaj1 jako kryterium podzia³u na klasy, a numer klasy odpowiada liczbie wzglêdnych stopni swobody cz³onów tworz¹cych parê kinematyczn¹ – pary klasy I i II. Przyk³ady najczêœciej wystêpuj¹cych par kinematycznych uk³adów p³askich zestawiono na rys. 1.6. Identyczne rozumowanie dla par kinematycznych uk³adów przestrzennych (ruchy cz³onów nie ograniczaj¹ siê tutaj do równoleg³ych p³aszczyzn) prowadzi do oczywistego wniosku, ¿e tym razem wzglêdne po³o¿enie dwóch cz³onów j, k wyra¿a wektor:

q kj =

[p j

j kx

pky

j

p kz

α

β

γ

]

T

Trzy pierwsze sk³adowe wektora qkj to wspó³rzêdne liniowe, trzy pozosta³e – k¹towe2. Tworz¹c parê kinematyczn¹, nale¿y wiêc wprowadziæ wiêzy w liczbie od piêciu do jednego. W wyniku tego cz³ony j, k w uk³adach przestrzennych mog¹ mieæ wzglê1 2

Mo¿na te¿ spotkaæ podzia³, gdzie numer klasy odpowiada liczbie na³o¿onych wiêzów, np. [22]. Na przyk³ad k¹ty Eulera, k¹ty Bryanta.

12

1. Struktura uk³adów kinematycznych

Rys. 1.6. Pary kinematyczne uk³adów p³askich

1.1. Pojêcia podstawowe

Rys. 1.7. Pary kinematyczne uk³adów przestrzennych

13

14

1. Struktura uk³adów kinematycznych

dem siebie od jednego do piêciu stopni swobody ( fkj = 1, 2, ..., 5), tworz¹c tym razem pary I, II, III, IV i V klasy. Najczêœciej spotykane pary kinematyczne uk³adów przestrzennych zestawiono na rys. 1.7. Oprócz par kinematycznych zestawionych na rys. 1.7 wystêpuj¹ równie¿ pary IV i V klasy. Parê IV klasy tworzy np. kula umieszczona w cylindrze, która dysponuje wtedy trzema obrotami (jak para III klasy – sferyczna) i ruchem postêpowym wzd³u¿ osi cylindra. Parê V klasy tworzy skojarzenie kuli z powierzchni¹, a wzglêdne stopnie swobody to trzy obroty i dwa ruchy translacyjne. W realnych uk³adach pary

Rys. 1.8. Przyk³ady wêz³ów kinematycznych – symbole jak na rys. 1.7

1.1. Pojêcia podstawowe

15

kinematyczne IV i V klasy s¹ wykonywane czêsto jako wêz³y kinematyczne, inaczej ³añcuchy cz³onów tworz¹cych z regu³y pary ni¿sze. Takie rozwi¹zania stosuje siê te¿ dla innych par ni¿ IV i V klasa – wybrane przyk³ady wêz³ów kinematycznych zamieszczono na rysunku 1.8. Pary kinematyczne ni¿sze i wy¿sze. Jak ju¿ wspomniano, wiêzom, jakie nak³adaj¹ na siebie wzajemnie dwa cz³ony tworz¹ce parê kinematyczn¹ towarzysz¹ si³y tych wiêzów. Zdolnoœæ przenoszenia si³ zale¿y od w³asnoœci materia³ów konstrukcyjnych u¿ytych na wykonanie pó³par3 i ich cech geometrycznych (ograniczenie wynika z dopuszczalnych nacisków jednostkowych). Ju¿ pobie¿na analiza par zestawionych na rys. 1.6 i 1.7 wskazuje na istotne ró¿nice zwi¹zane ze zdolnoœci¹ do przenoszenia si³ w postaci rodzaju styku (kontaktu) cz³onów. Mo¿na wyró¿niæ pary, gdzie cz³ony kontaktuj¹ siê powierzchniami (np. pary R, T, S – rys. 1.7), które okreœlane s¹ jako pary kinematyczne ni¿sze oraz takie, które tworz¹ styk liniowy lub punktowy (np. pary K, J – rys. 1.6), które okreœla siê jako wy¿sze. Pary ni¿sze maj¹ wiêksz¹ zdolnoœæ do przenoszenia si³, a przede wszystkim wykazuj¹ siê korzystniejszym rozprowadzaniem œrodka smaruj¹cego wspó³pracuj¹ce powierzchnie. Szczególnie korzystne cechy w tym zakresie wykazuje para obrotowa R. W przypadku natomiast kontaktu liniowego lub punktowego zachodzi zjawisko wyciskania œrodka smaruj¹cego spomiêdzy kontaktuj¹cych siê pó³par. Podzia³ na pary ni¿sze i wy¿sze nie jest tak oczywisty, jeœli rozpatruje siê kontakt pó³par w skali mikro. Dla pary obrotowej R, w której musi wyst¹piæ luz promieniowy, styk powierzchniowy staje siê w istocie liniowy, podobnie jest w przypadku par postêpowych T. Korzystniejsze cechy par ni¿szych w stosunku do par wy¿szych sprawiaj¹, ¿e podzia³ ten funkcjonuje w praktyce. Ze wzglêdu na wymienione cechy przyjê³o siê wydzielaæ grupê uk³adów kinematycznych, których cz³ony tworz¹ pary ni¿sze, okreœlaj¹c je mianem uk³adów dŸwigniowych.

1.1.3. £añcuch kinematyczny, mechanizm, maszyna Przedmiotem niniejszego opracowania s¹ uk³ady kinematyczne. Pojêcie to obejmuje niezwykle szerok¹ gamê bardzo ró¿norodnych tworów natury i tych tworzonych przez cz³owieka charakteryzuj¹cych siê ruchem wzglêdnym elementów sk³adowych. Dla porz¹dku jednak przytoczmy definicje spotykanych w praktyce tworów mieszcz¹cych siê w grupie uk³adów kinematycznych, takich jak ³añcuch kinematyczny, mechanizm i maszyna. W literaturze spotkaæ mo¿na kilka nieco odmiennych definicji. Przytoczymy definicje przyjête przez IFToMM4 [14]. £añcuch kinematyczny to zespó³ cz³onów po³¹czonych parami kinematycznymi.

3 „Zakoñczenie” cz³onu ukszta³towane dla utworzenia pary kinematycznej; pó³parami s¹ np. tuleja i sworzeñ w przypadku pary cylindrycznej. 4 International Federation of the Theory of Mechanisms and Machines.

16

1. Struktura uk³adów kinematycznych

Mechanizm to: • system cz³onów zaprojektowany do przekszta³cania ruchu jednego lub kilku cz³onów na ruch innych cz³onów, • ³añcuch kinematyczny, którego jeden z cz³onów jest podstaw¹. Maszyna jest uk³adem mechanicznym, który wykonuje okreœlon¹ pracê, na przyk³ad formowanie materia³u, z wykorzystaniem przenoszenia i transformacji ruchu oraz si³.

1.2. W³asnoœci ruchowe Podstawowe funkcje wype³niane przez uk³ady kinematyczne s¹ zwi¹zane z ruchem wzglêdnym ich cz³onów. W tym celu s¹ ³¹czone ze sob¹ parami kinematycznymi. Ró¿norodnoœæ cz³onów i par kinematycznych poci¹ga za sob¹ ró¿norodnoœæ uk³adów kinematycznych, o ró¿nych w³asnoœciach. Z codziennych obserwacji wnioskujemy, ¿e niektóre z uk³adów kinematycznych s¹ bardzo proste, a sposób po³¹czenia ich cz³onów nie pozostawia ¿adnych w¹tpliwoœci co do mo¿liwoœci wykonywania ruchów wzglêdnych. Za przyk³ad mo¿na tutaj podaæ no¿yce czy przek³adniê ³añcuchow¹ roweru. Jednak ju¿ œrubowy podnoœnik samochodowy, niezbêdny do wymiany ko³a, w niektórych wykonaniach okazuje siê uk³adem na tyle z³o¿onym, ¿e dopiero praktycznie stwierdzamy mo¿liwoœæ ruchu wzglêdnego cz³onów. Z praktyki wnioskujemy, ¿e obrót œruby skutkuje podnoszeniem samochodu. Wtedy wszystkie cz³ony uk³adu kinematycznego z³o¿onego z podnoœnika i pojazdu (rys. 1.9) wykonuj¹ œciœle okreœlone ruchy. Stwierdzamy wiêc praktycznie, ¿e: • sposób po³¹czenia cz³onów uk³adu podnoœnik–pojazd daje mo¿liwoœæ ruchu wzglêdnego, • przy³o¿enie jednego napêdu (obrót œruby) wywo³uje jednoznaczny ruch cz³onów. £atwa czynnoœæ rêcznego wiercenia otworu wymaga odpowiedniego, z³o¿onego ruchu ostrza wiert³a. Ruch obrotowy wywo³uje wspó³czeœnie silnik elektryczny, nato-

Rys. 1.9. Uk³ad kinematyczny podnoœnik – samochód

1.2. W³asnoœci ruchowe

17

miast liniowe przemieszczanie wzd³u¿ osi otworu jest realizowane przez cz³owieka. Tym razem, nie wchodz¹c w szczegó³ow¹ budowê wiertarki, stwierdzamy praktycznie, ¿e: •  wszystkie cz³ony uk³adu kinematycznego wiertarki wykonuj¹ ruch, •  jednoznaczny, wymagany ruch ostrza wiert³a wymaga dwóch napêdów. Na rysunku 1.10 przedstawiono dwa rozwi¹zania uk³adu rozrz¹du silnika spalinowego. W obu przypadkach ruch grzybka zaworu 1 jest wymuszany za pomoc¹ obrotowej, odpowiednio ukszta³towanej, krzywki 2 za poœrednictwem cz³onu 3. Rozwi¹zanie z rys. 1.10a charakteryzuje siê tym, ¿e cz³on poœrednicz¹cy 3 wykonuje ruch wahad³owy wokó³ sta³ego punktu obrotu O. Jest to koncepcja klasyczna, wykorzystywana

Rys. 1.10. Schematy uk³adów rozrz¹du silnika spalinowego

w silnikach przez dziesiêciolecia, a jej niedogodnoœci¹ jest potrzeba okresowej regulacji luzu zapewniaj¹cego poprawn¹ pracê. W tym uk³adzie zatem stwierdzamy mo¿liwoœæ ruchu wszystkich cz³onów, ruch ten jest jednoznaczny przy jednym napêdzie – okreœlonemu po³o¿eniu krzywki 2 odpowiadaj¹ jednoznaczne po³o¿enia pozosta³ych cz³onów. Wspó³czesn¹ koncepcjê uk³adu rozrz¹du przedstawiono na rysunku 1.10b. Cz³on poœrednicz¹cy 3 wykonuje ruch obrotowy wzglêdem punktu O, który jest usytuowany na t³oczku 4. Po³o¿enie punktu O (t³oczka) jest utrzymywane ciœnieniem oleju z uk³adu smarowania. W konsekwencji takiego rozwi¹zania jednoznaczne po³o¿enie zaworu jest zale¿ne nie tylko od po³o¿enia krzywki 2, ale tak¿e po³o¿enia t³oczka 4. Rozwi¹zanie to, jakkolwiek bardziej z³o¿one w sensie strukturalnym, uwalnia u¿ytkownika od potrzeby regulacji luzów w uk³adzie rozrz¹du. Z analizy podanych przyk³adowo uk³adów mo¿na wysnuæ dwa ogólne stwierdzenia: • cz³ony uk³adu kinematycznego powinny byæ po³¹czone parami kinematycznymi tak, aby mo¿liwy by³ ich ruch wzglêdny, • w ró¿nych uk³adach potrzebne s¹ ró¿ne liczby napêdów niezbêdnych do wywo³ania potrzebnego ruchu. Mo¿liwoœæ ruchu wzglêdnego w po³¹czeniu z liczb¹ wymaganych napêdów s¹ okreœlane jako w³asnoœci ruchowe uk³adów kinematycznych. Wynikaj¹ one w znacznej mie-

18

1. Struktura uk³adów kinematycznych

rze ze struktury uk³adu i wi¹¿¹ siê œciœle z liczb¹ stopni swobody, jak¹ dysponuj¹ cz³ony tworz¹ce pary kinematyczne, przyjêt¹ wczeœniej jako kryterium podzia³u na klasy. Podobnie jak para kinematyczna, równie¿ uk³ad kinematyczny dysponuje okreœlon¹ liczb¹ stopni swobody, rozumian¹ jako ³¹czna liczba stopni swobody cz³onów ruchomych w relacji do podstawy. £atwiejsza interpretacja stopni swobody uk³adu kinematycznego przypisuje im liczbê ograniczeñ ruchu, jakie nale¿y narzuciæ, aby sta³ siê on uk³adem sztywnym. W literaturze przyjê³o siê okreœlaæ tê liczbê mianem ruchliwoœci. Rozró¿nia siê przy tym ruchliwoœæ rzeczywist¹, rozumian¹ jako te stopnie swobody, które stwierdzamy w uk³adzie realnym, w jego modelu lub, dla uk³adów prostych, w sposób intuicyjny, ruchliwoœæ teoretyczn¹ (strukturaln¹), ruchliwoœæ lokaln¹ oraz wiêzy bierne.

1.2.1. Ruchliwoœæ teoretyczna Rozpatrzmy p³aski uk³ad kinematyczny robota obróbkowego p³askiego (rys. 1.11), z którego cz³onem 2 jest zwi¹zany wrzeciennik z elektrowrzecionem [30]. Uk³ad ten pokazuje wspó³czesne tendencje w budowie obrabiarek bazuj¹cych na zamkniêtych uk³adach kinematycznych, co skutkuje wieloma zaletami w porównaniu z rozwi¹zaniami konwencjonalnymi, a najwa¿niejsze to du¿a sztywnoœæ i mo¿liwe du¿e prêdkoœci. Aby uzyskaæ mo¿liwoœæ obróbki ró¿nych kszta³tów, oœ elektrowrzeciona powinna byæ prowadzona po dowolnej trajektorii. £atwo wykazaæ, ¿e okreœlone po³o¿enie œrodka S narzêdzia (cz³on 2) uzyskuje siê przez zapewnienie œciœle okreœlonego po³o¿enia cz³onów 1 i 4 opisanego k¹tami Θ1 i Θ4 – w praktyce mo¿na to zrealizowaæ za pomoc¹ silników liniowych. Cz³ony 1, 2, 3, 4 wzglêdem podstawy 0 dysponuj¹ ³¹cznie dwoma stopniami swobody, a jednoznaczny ruch wymaga dwóch napêdów. W tym przypadku zatem ruchliwoœæ jest równa dwa. Omówiony uk³ad kinematyczny jest stosunkowo prosty i wystarczy elementarna analiza geometryczna, aby bezb³êdnie okreœliæ jego ruchliwoœæ. Bardziej k³opotliwa jest

Rys. 1.11. Schemat kinematyczny robota obróbkowego (frezarki) – ³añcuch równoleg³y

1.2. W³asnoœci ruchowe

19

analiza uk³adu kinematycznego, nawet p³askiego, z³o¿onego z wiêkszej liczby cz³onów. Podobnie stwierdzenie liczby stopni swobody cz³onów uk³adu przestrzennego mo¿e nastrêczaæ wielu k³opotów. W zwi¹zku z tym zaistnia³a potrzeba stworzenia metody formalnego, nie intuicyjnego, okreœlania ruchliwoœci uk³adu kinematycznego. W praktyce przyjê³o siê, ze wzglêdu na ich prostotê, wykorzystywaæ do tego celu wzory Grublera–Artobolewskiego, które wi¹¿¹ w formu³ê matematyczn¹ ruchliwoœæ teoretyczn¹ WT, liczby cz³onów ruchomych k oraz par kinematycznych pi i-tej klasy. Ruchliwoœæ teoretyczna wynika z faktu, ¿e jest ona wyznaczana wy³¹cznie na podstawie parametrów strukturalnych uk³adów kinematycznych, tj. liczby cz³onów i par kinematycznych poszczególnych klas. Zale¿noœci te maj¹ nastêpuj¹ce postaci: •  dla uk³adów p³askich WT = 3k − 2 p1 − p 2

(1.1)

•  dla uk³adów przestrzennych 5

WT = 6k − ∑ (6 − i )pi

(1.2)

i =1

Interpretacja podanych zale¿noœci jest relatywnie prosta. Dla uk³adów p³askich ruchliwoœæ teoretyczna WT (1.1) wynika z tego, ¿e: •  cz³ony ruchome w liczbie k przed ich po³¹czeniem w uk³ad kinematyczny dysponuj¹ ³¹cznie na p³aszczyŸnie stopniami swobody w liczbie 3k (ka¿dy cz³on swobodny ma na p³aszczyŸnie 3 stopnie swobody), •  utworzenie par kinematycznych I klasy w liczbie p1 oznacza, ¿e odbieramy cz³onom ruchomym 2p1 stopni swobody (w ka¿dej parze I klasy pozostaje jedna mo¿liwoœæ ruchu), •  utworzenie par kinematycznych II klasy w liczbie p2 oznacza, ¿e odbieramy cz³onom ruchomym p2 stopni swobody (w ka¿dej parze II klasy pozostaj¹ dwie mo¿liwoœci ruchu), •  w uk³adach p³askich mog¹ wyst¹piæ tylko pary kinematyczne I i II klasy, gdy¿ z trzech stopni swobody mo¿na odebraæ co najwy¿ej dwa. W uk³adach przestrzennych rozumowanie jest identyczne, tylko liczba stopni swobody pojedynczego cz³onu swobodnego wynosi 6, a wiêc utworzenie ka¿dej z par i-tej klasy oznacza zredukowanie ogólnej liczby 6k stopni swobody ka¿dorazowo o (6–i)pi. Postaæ wzorów okreœlaj¹cych ruchliwoœæ teoretyczn¹ mo¿na ³atwo uogólniæ, wprowadzaj¹c pojêcie liczby cw wiêzów na³o¿onych na ruch wszystkich cz³onów ³añcucha kinematycznego. Dla uk³adu przestrzennego nie wprowadza siê ¿adnych wiêzów (ruch cz³onów mo¿e byæ dowolny) i wtedy cw = 0, natomiast dla uk³adów p³askich, których cz³ony mog¹ wykonywaæ w p³aszczyŸnie jedynie dwa ruchy translacyjne i obrót wzglêdem osi prostopad³ej do tej p³aszczyzny mamy cw = 3. Takie widzenie ruchu cz³onów tworz¹cych uk³ad kinematyczny umo¿liwia uwzglêdnienie tak¿e innych uk³adów ni¿ p³askie i przestrzenne [6].

20

1. Struktura uk³adów kinematycznych

Uogólniony wzór okreœlaj¹cy ruchliwoœæ strukturaln¹ (teoretyczn¹) przybierze postaæ:

WT = (6 − c w )k −

5 − cw

∑ (6 − c w − i ) pi

(1.3)

i =1

Gdy oznaczymy przez sw = 6 – cw liczbê stopni swobody, jak¹ dysponuje ka¿dy z ruchomych cz³onów uk³adu, wówczas ruchliwoœæ teoretyczna wynosi:

WT = s w k −

sw −1

∑ (s w − i )pi

(1.4)

i =1

Podane zale¿noœci daj¹ pewien komfort w stwierdzaniu ruchliwoœci uk³adu kinematycznego, zw³aszcza gdy jest on z³o¿ony lub nie dysponujemy wystarczaj¹c¹ wyobraŸni¹ i doœwiadczeniem. Z analizy uk³adu kinematycznego (rys. 1.11) wynika, ¿e: • liczba cz³onów ruchomych k = 4 – cz³ony 1, 2, 3 i 4, • wszystkie po³¹czenia cz³onów (A, B, C, D, E) s¹ parami kinematycznymi I klasy, wiêc p1 = 5, • pary II klasy nie wystêpuj¹, wiêc p2 = 0, • z zale¿noœci (1.1) jest wiêc ruchliwoœæ WT = 2, co potwierdza wczeœniejsze ustalenia. Ocena ruchliwoœci uk³adu kinematycznego p³askiego wed³ug wzoru (1.1) jest wygodna, choæ przy niewielkiej wprawie mo¿e byæ dokonywana na drodze intuicyjnej, przez badanie elementarnych cech geometrycznych. Mo¿liwoœæ ruchu ³atwo stwierdziæ, rozpatruj¹c trajektorie charakterystycznych punktów, a zw³aszcza analizuj¹c punkty wspólne cz³onów – œrodki par kinematycznych. Intuicja w uk³adach p³askich mo¿e zawieœæ dopiero w przypadku uk³adów z³o¿onych z wielu cz³onów. Zupe³nie inaczej jest w przypadku uk³adów przestrzennych. Analiza cech geometrycznych wymaga rozpatrywania nie tylko trajektorii punktów, ale czêsto p³aszczyzn i   powierzchni. Oparcie siê na intuicji, a nawet doœwiadczeniu, mo¿e prowadziæ do b³êdnych wniosków. Mo¿liwoœæ formalnego wyznaczenia ruchliwoœci z zale¿noœci (1.2) nie mo¿e wiêc byæ przeceniona. Mo¿na siê o tym przekonaæ na przyk³adzie stosunkowo prostego uk³adu przestrzennego przedstawionego na rys. 1.12, gdzie: •  liczba cz³onów ruchomych k = 7, •  pary kinematyczne: A÷F (I klasy), G, H, J (III klasy), wiêc p1 = 6, p3 = 3, Rys. 1.12. Schemat uk³adu przestrzennego

1.2. W³asnoœci ruchowe

21

• pary innych klas nie wystêpuj¹, wiêc p2 = p4 = p5 = 0, •  z zale¿noœci (1.2) otrzymujemy ruchliwoœæ WT = 3. Uk³ad kinematyczny z rysunku 1.12 jest jednym z szerokiej grupy tzw. manipulatorów o strukturze równoleg³ej. Cz³on 7 mo¿e byæ efektorem robota sterowanego trzema napêdami (np. silniki elektryczne) wymuszaj¹cymi ruch obrotowy cz³onów 1, 3, 5 w parach A, B i C.

1.2.2. Ruchliwoœæ teoretyczna uk³adów wielokonturowych Przytoczone zale¿noœci (1.1)÷(1.4) s¹ ogólne, z zastrze¿eniem, i¿ odnosz¹ siê do uk³adów, dla których jest znana liczba wspólnych wiêzów cw na³o¿onych na ruchy cz³onów uk³adu. Jest to ³atwe do ustalenia w przypadku prostych uk³adów p³askich lub przestrzennych. Jednak z³o¿onoœæ uk³adów kinematycznych sprawia, ¿e nawet w tych grupach obliczona ruchliwoœæ WT wymaga jeszcze dodatkowej interpretacji. Dotyczy to zw³aszcza uk³adów z³o¿onych, których cz³ony tworz¹ zamkniête kontury. Mo¿e w nich bowiem zaistnieæ taka sytuacja, kiedy ruchliwoœæ ca³ego uk³adu wskazuje na mo¿liwoœæ ruchu wzglêdnego cz³onów (WT > 0), podczas gdy w pewnych fragmentach uk³ad mo¿e byæ sztywny (WT* = 0) lub nawet przesztywniony (WT* < 0). W sformalizowaniu analizy ruchliwoœci pomocne jest wprowadzenie pojêcia konturu uk³adu kinematycznego, nawi¹zuj¹cego do pojêcia cykli grafu planarnego [12] – jednej z mo¿liwych prezentacji uk³adu kinematycznego, przydatnej do zapisu struktury uk³adu z wykorzystywaniem komputera. Na rysunku 1.13 przedstawiono z³o¿ony uk³ad kinematyczny w postaci schematu strukturalnego i grafu. W tym ostatnim wierzcho³ki (punkty) reprezentuj¹ cz³ony 0÷5, natomiast krawêdzie (³uki) odpowiadaj¹ parom kinematycznym Pi. Uk³ad ten charakteryzuje siê wystêpowaniem trzech konturów (dwa wewnêtrzne K1 i K2 oraz jeden zewnêtrzny K3). Z teorii grafów wiadomo, ¿e liczbê konturów wewnêtrznych (cykli) wyznacza siê na podstawie liczby wierzcho³ków (tutaj cz³onów) i krawêdzi (tutaj par ki-

Rys. 1.13. Uk³ad kinematyczny w formie schematu strukturalnego (a) i grafu (b)

22

1. Struktura uk³adów kinematycznych

nematycznych). Odnosz¹c to do wielokonturowego uk³adu kinematycznego, liczbê jego konturów, w³¹cznie z zewnêtrznym, okreœla siê wed³ug zale¿noœci

l k = ∑ pi − k + 1

(1.5)

gdzie: Σpi – ³¹czna liczba par, k – liczba cz³onów pomniejszona o jeden. Wiadomo te¿, ¿e graf mo¿na w sposób przejrzysty zapisaæ w formie macierzy, któr¹ okreœla siê mianem macierzy rozmieszczeñ, a która jednoznacznie reprezentuje uk³ad kinematyczny i zawiera nastêpuj¹ce informacje: • który cz³on, z którym tworzy parê kinematyczn¹, • jakiej klasy s¹ poszczególne pary. Dla uk³adu z rysunku 1.13 macierz ta ma postaæ:

0

1

2

3

4

0   P1  MR =  P2  0 P  1

P1

P2

0

0

P3

0

P3

0

P2

0

P2

0

0

0

P4

P1   0  0  P4  0 

0 1 2 3 4

Ka¿da z kolumn oraz ka¿dy wiersz macierzy MR reprezentuje jeden cz³on, ka¿dy niezerowy element Pi wskazuje, ¿e miêdzy cz³onami u, j utworzono parê kinematyczn¹ i-tej klasy, natomiast zerowy element macierzy MR oznacza brak pary kinematycznej. Je¿eli dodatkowo przyj¹æ umowê, ¿e np. podstaw¹ jest cz³on o numerze 0, to macierz MR reprezentuje strukturê uk³adu w sposób jednoznaczny i mo¿e byæ traktowana na równi ze schematem. Mo¿na na tej podstawie wysnuæ wnioski o budowie konturów –  przyk³adowo dla uk³adu z rys. 1.13 kontury maj¹ postaæ: • kontur K1: (cz³on) 1 – (para) P3 – 2 – P2 – 0 – P1, • kontur K2: 2 – P2 – 3 – P4 – 4 – P1 – 0 – P2, • kontur K3: 0 – P1 – 1 – P3 – 2 – P2 – 3 – P4 – 4 – P1. Kontury uk³adu kinematycznego mo¿na traktowaæ jako poduk³ady, z których ka¿dy z osobna powinien mieæ strukturê zapewniaj¹c¹ ruch wzglêdny. Mo¿liwoœæ ruchu ³atwo stwierdziæ, wykorzystuj¹c odpowiedni¹ zale¿noœæ na ruchliwoœæ, któr¹ do celów analizy konturów nale¿y zmodyfikowaæ. Gdy pojedynczy kontur przyjmiemy jako odrêbny uk³ad kinematyczny, wówczas mo¿emy na podstawie (1.4) po przekszta³ceniu napisaæ:

WTK = s w k K − s w

sw −1

s w −1

i =1

i =1

∑ pi +

∑ ipi

(1.6)

1.2. W³asnoœci ruchowe

23

W kolejnych zale¿noœciach pomijamy wskaŸniki sumowania. Dla pojedynczego konturu, zawieraj¹cego kK + 1 cz³onów w myœl (1.5) jest:

k K = ∑ pi − 1

(1.7)

co po podstawieniu do (1.6) daje zale¿noœæ:

WTK = s w ∑ pi − s w − s w ∑ pi + ∑ ipi

(1.8)

która po przekszta³ceniu stanowi prost¹ i dogodn¹ formê wzoru okreœlaj¹cego ruchliwoœæ teoretyczn¹ pojedynczego konturu w postaci:

WTK = ∑ ipi − s w

(1.9)

Ruchliwoœæ teoretyczn¹ WT pojedynczego konturu, a zatem tak¿e prostego uk³adu kinematycznego, mo¿na obliczyæ z zale¿noœci:

WTK = ∑ ipi − 3

(1.10)

w przypadku uk³adu p³askiego lub z równania:

WTK = ∑ ipi − 6

(1.11)

w przypadku uk³adu przestrzennego. Na podstawie poduk³adów jednokonturowych mo¿na tworzyæ kolejne poduk³ady z³o¿one z kilku konturów. Ka¿dy z takich poduk³adów równie¿ musi mieæ strukturê zapewniaj¹c¹ mo¿liwoœæ ruchu wzglêdnego cz³onów. Zgodnie z prost¹ intuicj¹ mo¿na napisaæ zale¿noœæ okreœlaj¹c¹ ruchliwoœæ teoretyczn¹ poduk³adu z³o¿onego z dwóch s¹siaduj¹cych ze sob¹ konturów, co oznacza istnienie co najmniej jednej wspólnej dla nich pary kinematycznej (przyk³adowo dla uk³adu z rys. 1.13 w sk³ad konturów K1 i K2 wchodzi para P2 utworzona przez cz³ony 0 i 2). Mamy wtedy [9], [11]: K1K 2

WT

K1

= WT

K2

+ WT

K1K 2

− ∑ ipi

(1.12)

przy czym pierwszy i drugi sk³adnik (1.12) to ruchliwoœæ konturów K1 i K2, a trzeci oznacza liczbê stopni swobody, jak¹ dysponuj¹ cz³ony par wspólnych dla obu konturów. Rozszerzenie zale¿noœci (1.12) na wiêksz¹ liczbê konturów poduk³adu kinematycznego nie nastrêcza ju¿ ¿adnych trudnoœci. Pos³uguj¹c siê zale¿noœci¹ (1.2), dla uk³adu przestrzennego z rys. 1.13, stwierdzamy, ¿e w skali globalnej jego cz³ony tworz¹ pary umo¿liwiaj¹ce ruch wzglêdny, gdy¿ ruchliwoœæ teoretyczna wynosi WT = 1. Jednak analiza w skali konturów prowadzi do wniosków: K • z zale¿noœci (1.11) kontur K1 ma ruchliwoœæ WT 1 = 0 , K •  z zale¿noœci (1.11) kontur K2 ma ruchliwoœæ WT 2 = 3 , KK •  z zale¿noœci (1.12) kontury K1 i K2 maj¹ ³¹cznie ruchliwoœæ WT 1 2 = 1 (jak z zale¿noœci (1.2)).

24

1. Struktura uk³adów kinematycznych

Pierwszy wniosek o mo¿liwoœci ruchu wzglêdnego cz³onów, nasuwaj¹cy siê z wyliczonej ruchliwoœci teoretycznej WT , okaza³ siê nieprawdziwy. W istocie cz³ony 0, 1, 2 (rys. 1.13), wchodz¹ce w sk³ad konturu K1 nie dysponuj¹ mo¿liwoœci¹ ruchu i tworz¹ poduk³ad sztywny, wzglêdem którego mog¹ siê poruszaæ cz³ony pozosta³e 3 i 4. Uk³adom, w których pewne fragmenty tworz¹ konfiguracjê sztywn¹ (a nawet przesztywnion¹) przypisuje siê ruchliwoœæ niezupe³n¹ w przeciwieñstwie do ruchliwoœci zupe³nej, kiedy mo¿liwy jest ruch wszystkich cz³onów. Podany przyk³ad ilustruje koniecznoœæ pos³ugiwania siê pod³añcuchami, tworzonymi na bazie konturów, w przypadku analizy ruchliwoœci uk³adów z³o¿onych, wielokonturowych. Jest to szczególnie istotne w syntezie struktur, gdy poszukuje siê mo¿liwych rozwi¹zañ uk³adów dla zapewnienia po¿¹danych funkcji. Mo¿na wtedy ³atwo eliminowaæ ze zbioru rozwi¹zañ teoretycznie mo¿liwych uk³ady zdegenerowane, które choæ teoretycznie mo¿liwe powinny byæ odrzucone jako nieprzydatne w mo¿liwie wczesnej fazie projektowania. Nie trzeba wykazywaæ, ¿e syntezê strukturaln¹, w³¹cznie z weryfikacj¹ otrzymanych rozwi¹zañ, ze wzglêdu na wieloœæ mo¿liwych uk³adów dogodnie jest prowadziæ za pomoc¹ komputera. Wykorzystuje siê wówczas, wprowadzony w tym podrozdziale, zapis uk³adów kinematycznych w postaci macierzy rozmieszczeñ [10].

1.2.3. Geometryczne warunki ruchu W rozpatrzonych w poprzednim punkcie przyk³adach ka¿dorazowo stwierdzono, ¿e ruchliwoœæ teoretyczna WT odpowiada stanowi rzeczywistemu, który mo¿na opisywaæ ruchliwoœci¹ rzeczywist¹ WR. Innymi s³owy, w ka¿dym z rozpatrzonych uk³adów WT i WR mia³y jednakowe wartoœci liczbowe. Wiadomo jednak, ¿e struktura uk³adu kinematycznego ma dominuj¹cy, lecz nie jedyny wp³yw na w³asnoœci ruchowe. W zwi¹zku z tym ruchliwoœæ wyznaczona na podstawie wzorów strukturalnych wymaga ka¿dorazowo weryfikacji. Poprzednio stwierdzono ju¿ wyst¹pienie ruchliwoœci niezupe³nej. Inne mo¿liwe i czêsto wystêpuj¹ce w uk³adach kinematycznych osobliwe w³asnoœci ruchowe to wspomniane ju¿ wczeœniej przypadki ruchliwoœci lokalnej oraz wiêzów biernych. Maj¹ one swe Ÿród³o w szczególnych w³asnoœciach geometrycznych ich cz³onów. Ogólnie mo¿na postawiæ nastêpuj¹c¹ tezê: W³asnoœci ruchowe uk³adu kinematycznego, rozumiane jako mo¿liwoœæ (lub jej brak) wyst¹pienia ruchu wzglêdnego cz³onów uk³adu kinematycznego zale¿¹ nie tylko od jego struktury (cz³ony, klasy par kinematycznych), ale równie¿ od wymiarów cz³onów. Szczególne wartoœci wymiarów cz³onów mog¹ zarówno zapewniæ ruch w przypadku uk³adu teoretycznie sztywnego, a nawet przesztywnionego (WT ≤ 0), jak równie¿ spowodowaæ brak mo¿liwoœci wyst¹pienia ruchu w przypadku uk³adu teoretycznie ruchliwego (WT > 0). Do opisania tych osobliwoœci ruchowych pomocne jest wprowadzenie pojêcia wymiarów podstawowych cz³onów.

1.2. W³asnoœci ruchowe

25

Wymiary podstawowe. Cechy geometryczne cz³onu s¹ opisywane przez wymiary liniowe i k¹towe w liczbie tym wiêkszej, im bardziej z³o¿one s¹ kszta³ty cz³onów. Wszystkie one s¹ istotne w fazie wykonywania cz³onu, kiedy niezbêdne jest podanie ich nominalnych wartoœci uzupe³nionych dopuszczalnymi odchy³kami wykonawczymi. Niektóre spoœród wymiarów maj¹ jednak znaczenie szczególne, a ich wartoœci s¹ istotne we wszystkich fazach projektowania i wytwarzania. Decyduj¹ one w pe³ni o w³asnoœciach kinematycznych (trajektorie, prêdkoœci, przyspieszenia), a poœrednio o cechach dynamicznych (si³y masowe, si³y oddzia³ywania, tarcie i sprawnoœæ). Ze wzglêdu na ich dominuj¹cy wp³yw okreœla siê je mianem wymiarów podstawowych [15]. Stanowi¹ one tê grupê wymiarów cz³onów, które opisuj¹ wzglêdne po³o¿enie pó³par kinematycznych, które opisywane s¹ punktami, osiami i powierzchniami. Nie s¹ natomiast podstawowymi wymiary samych pó³par. Kilka przyk³adowych cz³onów z zaznaczeniem ich wymiarów podstawowych zestawiono na rys. 1.14. W przypadku cz³onu dwuwêz³owego (rys. 1.14a) z pó³parami w postaci kuli i tulei ich wzajemne usytuowanie opisuje tylko jeden wymiar a. Dla opisania najbardziej z³o¿onego spoœród cz³onów przedstawionych na rys. 1.14 potrzebne s¹ a¿ cztery wymiary podstawowe (rys.1.14d).

Rys. 1.14. Wymiary podstawowe wybranych cz³onów

W uk³adzie kinematycznym, w okreœlonej jego konfiguracji, wymiary podstawowe cz³onów tworz¹ przestrzenny wielobok, którego opis jest równoznaczny z opisem jego kinematyki. Na rysunku 1.15 przedstawiono schemat uk³adu przestrzennego RCSR (sekwencja symboli par), zbudowanego z cz³onów przedstawionych na rys. 1.14, którego konfiguracjê opisuje wielobok przestrzenny ABCDEFG. Wartoœci wymiarów liniowych i k¹towych wieloboku s¹ funkcj¹ wymiarów podstawowych jego cz³onów. Przyk³adowo odcinek CB opisuje odleg³oœæ zwichrowanych

26

1. Struktura uk³adów kinematycznych

osi pó³par cz³onu 2 i odpowiada wprost wymiarowi b cz³onu przedstawionego na rys. 1.14c. Z kolei wymiar FG jest funkcj¹ odpowiednich wymiarów podstawowych cz³onów 1 i 4. Nale¿y przy tym podkreœliæ, ¿e niektóre z wymiarów uk³adu kinematycznego pozostaj¹ nie zmienione, pomimo ¿e s¹ funkcjami wymiarów podstawowych o ró¿nych wartoœciach. Dla uk³adu z rys. 1.15 w miejsce pary obrotowej R, utworzonej przez cz³ony 1 i 4 mo¿na utworzyæ parê R*. Mo¿e to byæ wynikiem zmiany wymiarów podstawowych cz³onów 1 i 4. Je¿eli jednak, pomimo tych Rys. 1.15. Schemat uk³adu przestrzennego zmian, zachowa siê niezmiennoœæ geometryczn¹ wieloboku ABCDEFG, to w³asnoœci kinematyczne uk³adów RCSR i RCSR* pozostan¹ nie zmienione. Dysponuj¹c pojêciem wymiarów podstawowych, mo¿na wskazaæ kilka konkretnych przyk³adów, w których wystêpuje rozbie¿noœæ pomiêdzy w³asnoœciami wynikaj¹cymi z ich struktury a stanem faktycznym wynikaj¹cym z geometrii.

1.2.3.1. Ruchliwoœæ lokalna Jako ruchliwoœæ lokaln¹ rozumie siê mo¿liwoœæ wykonywania przez cz³on (czasem grupê cz³onów) takiego ruchu, który nie wp³ywa na ruch ca³ego uk³adu. Oznacza to inaczej, ¿e w przypadku wyst¹pienia ruchliwoœci lokalnej okreœlonego cz³onu mo¿e on wykonywaæ ruch przy unieruchomieniu pozosta³ych cz³onów uk³adu, w³¹cznie z tymi, które ³¹cz¹ siê z nim parami kinematycznymi. Przedstawiono dalej kilka przyk³adów ruchliwoœci lokalnej. Na rysunku 1.16 pokazano dwa mechanizmy krzywkowe p³askie. Pierwszy z nich (rys. 1.16a) sk³ada siê z dwóch cz³onów ruchomych, krzywki 1 i popychacza 2. Cz³o-

Rys. 1.16. Przyk³ady mechanizmów krzywkowych

1.2. W³asnoœci ruchowe

27

nem napêdzaj¹cym jest krzywka, której kszta³t jest dobrany tak, aby uzyskaæ ruch popychacza wed³ug po¿¹danej charakterystyki kinematycznej. Nie trzeba wykazywaæ, ¿e ruch popychacza 2 jest okreœlony dla jednego cz³onu czynnego, a wiêc ruchliwoœæ rzeczywista wynosi jeden (WR = 1) i jest równa ruchliwoœci teoretycznej (WT = 1), co mo¿na potwierdziæ korzystaj¹c z zale¿noœci (1.1). W przypadku uk³adu z rys. 1.16b zdecydowano zamieniæ tarcie œlizgowe krzywki i popychacza na korzystniejsze tarcie toczne. W tym celu popychacz 2 zakoñczono kr¹¿kiem 3 w taki sposób, aby nie zmieniaæ charakterystyki ruchu popychacza. Intuicja wskazuje wiêc równie¿ w tym przypadku ruchliwoœæ rzeczywist¹ równ¹ jeden (WR = 1), gdy¿ ruch jednego cz³onu czynnego (krzywki 1) wywo³uje jednoznaczny ruch cz³onu biernego (popychacza 2). Ruchliwoœæ teoretyczna natomiast obliczona z zale¿noœci (1.1) wynosi WT = 2. Rozbie¿noœæ miêdzy WR i WT jest tutaj wynikiem szczególnej geometrii. Wprowadzony do uk³adu element 3 (kr¹¿ek) dysponuje mo¿liwoœci¹ ruchu obrotowego przy nieruchomych cz³onach s¹siednich krzywki 1 i popychacza 2. Taki lokalny ruch, okreœlany mianem ruchliwoœci lokalnej cz³onu 3 (WL3 = 1), mo¿e wyst¹piæ dlatego ¿e kr¹¿ek 3 ma kszta³t ko³owy. Lokalny ruch cz³onu, nie wp³ywaj¹cy na zasadnicz¹ funkcjê uk³adu kinematycznego mo¿e byæ przez projektanta tolerowany. W tym przypadku zosta³ nawet wprowadzony celowo dla poprawienia w³asnoœci eksploatacyjnych (tarcie toczne zamiast œlizgowego). Obliczona ze wzoru (1.1), który nie uwzglêdnia geometrii, ruchliwoœæ teoretyczna WT jest poprawna. Nie oddaje jednak stanu rzeczywistego i musi byæ zweryfikowana. Nietrudno dociec, ¿e w przypadku gdyby cz³on 3 nie by³ ko³ow¹ tarcz¹, lecz np. eliptyczn¹, ruchliwoœæ teoretyczna i rzeczywista by³yby sobie równe (WT = WR = 2), jednoznaczny ruch wymaga³by dwóch cz³onów czynnych. Odnotujmy na koniec, ¿e wyst¹pienie jednej ruchliwoœci lokalnej kr¹¿ka 3 skutkuje zmniejszeniem ruchliwoœci teoretycznej o jeden, ale uk³ad (rys. 1.16) pozostaje ruchliwy. P³aski uk³ad czterocz³onowy (rys. 1.17a) ma za zadanie transformowanie ruchu obrotowego5 pomiêdzy cz³onami 1 i 3. Poniewa¿ cz³on poœrednicz¹cy 2 tworzy z cz³onami 1 i 3 pary postêpowe, wiêc przemieszczenia k¹towe 1 i 3 s¹ takie same. Mo¿liwoœæ ruchu ³atwo wywnioskowaæ z obserwacji, ¿e osie l2' i l"2 musz¹ w ka¿dym po³o¿eniu uk³adu pozostawaæ w sta³ych odleg³oœciach h1 i h3 odpowiednio od punktów A i D. W sensie geometrycznym oznacza to stycznoœæ osi l2' i l"2 do okrêgów µ1 i µ3, a to mo¿e byæ zrealizowane na wiele sposobów dopóki osie l2' i l"2 nie pokrywaj¹ siê (α2 ≠ 0). Taka w³asnoœæ wskazuje, ¿e ruch cz³onu 1 bêdzie transformowany na ruch cz³onu 3. Zupe³nie odmienny wniosek wysnujemy dla przypadku szczególnego, kiedy l2' i l"2 pokrywaj¹ siê (α2 = 0). Sytuacja taka jest dla uk³adów przedstawionych na rys. 1.17b, c, d, e i nietrudno zauwa¿yæ, ¿e istnieje tam jedynie mo¿liwoœæ zmontowania uk³adu w czterech konfiguracjach. Po zmontowaniu natomiast mamy do czynienia z usztywnieniem uk³adu, a wiêc brakiem ruchu. Ruchliwoœæ rzeczywista wynosi tutaj zero (WR = 0) i jest o jeden mniejsza od ruchliwoœci teoretycznej (WT  = 1). Mamy zatem tutaj równie¿ do czynienia z uk³adem, w którym nast¹pi³o zmniejszenie ruchliwoœci rzeczywistej, ale 5

Na takim schemacie oparte jest sprzêg³o Oldhama.

28

1. Struktura uk³adów kinematycznych

Rys. 1.17. Uk³ad p³aski R2TR

tym razem doprowadzi³o to do jego zablokowania. Cz³on poœrednicz¹cy 2 ma szczególn¹ geometriê (osie l2' i l"2 pokrywaj¹ siê), co skutkuje jego ruchliwoœci¹ lokaln¹ (WL2 = 1). Przestrzenny uk³ad kinematyczny z rys. 1.18 jest ideowym przedstawieniem powszechnie stosowanego, niezale¿nego zawieszenia kó³ samochodów, znanego jako kolumna McPhersona. Zwrotnica 2 takiego uk³adu ma dwa rzeczywiste stopnie swobody (WR = 2), dziêki którym mo¿liwe jest poddawanie siê zawieszania przy pokonywaniu nierównoœci na jezdni (pierwszy stopieñ swobody) oraz skrêcanie pojazdu (drugi stopieñ swobody). Tymczasem obliczenie ruchliwoœci ze wzoru (1.2) dla uk³adów przestrzennych6 wskazuje, ¿e uk³ad ma trzy stopnie swobody (WT = 3). W tym przypadku obliczona ruchliwoœæ teoretyczna WT obejmuje ruchliwoœæ lokaln¹ cz³onu 3 (WL3 = 1). Jest to ruch obrotowy wokó³ osi pary cylindrycznej C i mo¿e wyst¹piæ tylko, gdy oœ 6

Pary obrotowe A' i A" potraktowano jako jedn¹ parê I klasy (zdwojenie).

1.2. W³asnoœci ruchowe

29

Rys. 1.18. Schemat ideowy kolumny McPhersona

pary C przechodzi przez œrodek przegubu sferycznego D. Ruchliwoœæ lokalna jest wiêc tutaj tak¿e wynikiem specyficznej geometrii i nie jest przeszkod¹ w prawid³owym dzia³aniu uk³adu, co wiêcej cz³on 3 w takim wykonaniu (z par¹ cylindryczn¹) jest korzystniejszy technologicznie. Na podstawie przytoczonych przyk³adów stwierdzamy, ¿e w wypadku wyst¹pienia ruchliwoœci lokalnej WL obliczona ruchliwoœæ teoretyczna (strukturaln¹) WT nie oddaje stanu faktycznego. Jest to cecha wszystkich uk³adów, a wiêc w ka¿dym przypadku wyst¹pienia ruchliwoœci lokalnej nale¿y wprowadziæ poprawkê okreœlaj¹c¹ ruchliwoœæ teoretyczn¹ i rozró¿niaæ ruchliwoœæ rzeczywist¹ WR od ruchliwoœci teoretycznej WT wed³ug zale¿noœci:

W R = WT − WL

(1.13)

Sprawdzenie poprawnoœci wzoru (1.13) dla omówionych uk³adów z cz³onami dysponuj¹cymi ruchliwoœci¹ lokaln¹ (rys. 1.16, 1.17, 1.18) jest czynnoœci¹ elementarn¹ i pozostawiamy to czytelnikowi.

1.2.3.2. Wiêzy bierne Ka¿dy cz³on i ka¿da para uk³adu kinematycznego wnosi do uk³adu wiêzy, tj. ogranicza wzajemne ruchy cz³onów. W sensie geometrycznym oznacza to na przyk³ad ustalenie sta³ej odleg³oœci miêdzy punktami dwóch cz³onów, zabranie mo¿liwoœci ruchu

30

1. Struktura uk³adów kinematycznych

wzglêdnego obrotowego itd. W pewnych warunkach wykonania istnieje mo¿liwoœæ zwielokrotniania niektórych wiêzów i chocia¿ w rezultacie uzyskuje siê uk³ady strukturalnie sztywne lub nawet przesztywnione, to ruch wzglêdny cz³onów jest mo¿liwy. Kilka przyk³adów takich uk³adów kinematycznych przedstawiono na kolejnych rysunkach. Na rysunku 1.19a pokazano schemat kinematyczny czworoboku przegubowego w wykonaniu szczególnym – wymiary cz³onów dobrano w taki sposób, ¿e czworobok ABCD jest w ka¿dym po³o¿eniu równoleg³obokiem. £atwo zauwa¿yæ, ¿e cz³on BCE nie wykonuje ruchu obrotowego wzglêdem podstawy AD, a trajektorie punktów (œrodków par) B, C i E s¹ okrêgami o jednakowych promieniach. £atwo te¿ wywnioskowaæ, ¿e œrodek okrêgu µE znajduje siê w prostym do wyznaczenia punkcie F. Poniewa¿

Rys. 1.19. Przegubowy czworobok równoleg³oboczny

w ka¿dym po³o¿eniu uk³adu jest sta³a odleg³oœæ miêdzy punktami E i F, wiêc mo¿na wprowadziæ do uk³adu dodatkowy cz³on EF o odpowiedniej d³ugoœci (EF = AB = CD). Ten dodatkowy cz³on (rys. 1.19b) wprowadza do uk³adu wiêzy bierne – ustala odleg³oœæ punktów E i F, które ju¿ w pierwotnym uk³adzie, dziêki szczególnej geometrii pozostawa³y w sta³ej odleg³oœci. Ograniczenia zatem wprowadzone przez cz³on EF s¹ wiêzami biernymi. Dodatkowy cz³on EF zmienia strukturê uk³adu (rys. 1.19b). Jego ruchliwoœæ teoretyczna, obliczona jak dla uk³adów p³askich, wynosi tym razem zero (WT = 0) i wskazuje, ¿e mamy do czynienia z uk³adem strukturalnie sztywnym, chocia¿ ruchliwoœæ rzeczywista nie uleg³a zmianie i dalej wynosi jeden (WR = 1). Dla oceny tego stanu wprowa-

1.2. W³asnoœci ruchowe

31

Rys. 1.20. Cz³ony o ruchu obrotowym i postêpowym

dza siê kolejn¹ poprawkê do wzoru na ruchliwoœæ rzeczywist¹ uk³adu kinematycznego, który teraz przybiera postaæ:

W R = WT − W L + W B

(1.14)

gdzie WB – liczba wiêzów biernych. Dla uk³adu kinematycznego z rys. 1.19 na podstawie (1.14) stwierdzamy wystêpowanie wiêzów biernych w liczbie jeden (WB = 1). Kolejne przyk³ady uk³adów o szczególnej geometrii przedstawiono na rys. 1.20. Tarcza 1 (rys. 1.20a) tworzy z podstaw¹ parê kinematyczn¹ obrotow¹ A (sposób ³o¿yskowania zapewnia po¿¹dany ruch obrotowy). Rozwi¹zanie takie nie zadowala konstruktora w przypadku, kiedy cz³on 1 jest wirnikiem (rys. 1.20b) o wymiarach i obci¹¿eniach wymagaj¹cych dodatkowego ³o¿yskowania w parze B. Je¿eli zapewniona jest wspó³osiowoœæ ³o¿ysk A i B, to ruch obrotowy wirnika jest mo¿liwy. Dzieje siê tak, pomimo ¿e utworzenie pary B wprowadza do uk³adu dodatkowe ograniczenia ruchu (dodatkowe, bo przecie¿ para A ju¿ zapewnia wymagany ruch obrotowy), zatem i w tym uk³adzie wprowadzono wiêzy bierne – zbêdne kinematycznie ograniczenia ruchu. Ruchliwoœæ tego uk³adu traktowanego jak przestrzenny wynosi minus trzy (WT = –3), czyli tym razem zgodnie z zale¿noœci¹ (1.14) WB  = 4 – wirnik mo¿e siê obracaæ, wiêc WR = 1. 7

Sekwencja symboli par kinematycznych od cz³onu czynnego do biernego.

32

1. Struktura uk³adów kinematycznych

Podobn¹ interpretacjê ³atwo przypisaæ uk³adom prowadzenia platformy 1 (rysunek 1.20c, d). Pierwszy z nich, w którym prowadnica 0 tworzy z platform¹ 1 parê postêpow¹ jest kinematycznie i strukturalnie poprawny – WR = WT = 1. Wymagane dla korzystniejszego rozk³adu si³ zdwojenie pary postêpowej przez utworzenie dodatkowo pary B, mo¿liwe przy spe³nieniu oczywistych warunków geometrycznych, oznacza równie¿ wprowadzenie dodatkowych, zbêdnych kinematycznie wiêzów (ograniczeñ ruchu). Zabieg ten równie¿ spowoduje zmianê ruchliwoœci. Tym razem uk³ad z rysunku 1.20d, traktowany jak przestrzenny, ma ruchliwoœæ teoretyczn¹ minus cztery (WT = –4), a wiêc zgodnie z zale¿noœci¹ (1.14) ma piêæ wiêzów biernych (WB = 5). Wprowadzenie w uk³adzie z rys. 1.20d prowadnic o przekroju ko³owym, dogodniejszym technicznie, jakkolwiek obni¿y stopieñ przesztywnienia, to jednak ci¹gle jego ruchliwoœæ obliczana z (1.2) bêdzie ró¿na od oczekiwanej i wyniesie minus dwa (WT = –2), chocia¿ platforma 1 dysponuje mo¿liwoœci¹ ruchu (WR = 1), wiêc zgodnie z zale¿noœci¹ (1.14) w uk³adzie pozostan¹ jeszcze trzy wiêzy bierne (WB = 3). Rozbie¿noœci miêdzy ruchliwoœci¹ teoretyczn¹ i rzeczywist¹ wystêpuj¹ tak¿e w uk³adach z za³o¿enia przestrzennych. Przeniesienie ruchu obrotowego miêdzy dwoma wa³kami, od cz³onu czynnego 1 do biernego 3, których osie s¹ zwichrowane, umo¿liwia miêdzy innymi uk³ad czworoboku przestrzennego R2SR7 (rys. 1.21a). Jego ruchliwoœæ rzeczywista wynosi jeden (WR = 1), teoretyczna natomiast jest równa dwa (WT  = 2). Wystêpuje tutaj tolerowana w praktyce ruchliwoœæ lokalna cz³onu poœrednicz¹cego 2

Rys. 1.21. Uk³ad przestrzenny transformacji ruchu obrotowego

1.2. W³asnoœci ruchowe

33

(WL2 = 1) –  ruch obrotowy cz³onu 2 wokó³ osi przechodz¹cej przez œrodki par sferycznych. W wykonaniu szczególnym tego uk³adu (rys. 1.21b), w którym osie cz³onów 1 i 3 przecinaj¹ siê, mo¿na zaobserwowaæ pewne cechy szczególne. Jak nietrudno zauwa¿yæ w tym przypadku w czasie ruchu trójk¹t ABC jest geometrycznie niezmienny. W³asnoœæ ta umo¿liwia modyfikacjê struktury, która nie tylko nie zmieni ruchliwoœci rzeczywistej, ale nawet nie zmieni charakterystyki kinematycznej w relacji cz³on czynny 1 – bierny 3. Nowe ruchliwe uk³ady (WR = 1) uzyskane w wyniku modyfikacji uk³adu R2SR to uk³ady RS2R i 4R (rys. 1.21c, d). W ka¿dym z nich nast¹pi³o zmniejszenie ruchliwoœci teoretycznej, a wiêc w ka¿dym wystêpuj¹ wiêzy bierne: •  WT = 0 i WB = 1 dla uk³adu RS2R, •  WT = – 2 i WB = 3 dla uk³adu 4R. Prostota zale¿noœci (1.14), wi¹¿¹cej ruchliwoœæ rzeczywist¹ WR, teoretyczn¹ WT, lokaln¹ WL i wiêzy bierne WB, jest nie do przecenienia. Bardzo wa¿na dla konstruktora jest niesiona przez ni¹ informacja o wystêpowaniu w uk³adzie dodatkowych, zbêdnych kinematycznie ograniczeñ ruchu. Jak pokazuj¹ przytoczone przyk³ady wystêpowanie wiêzów biernych zawsze oznacza koniecznoœæ spe³nienia geometrycznych warunków ruchu, tj. zwi¹zków funkcyjnych pomiêdzy wymiarami podstawowymi cz³onów. Postaæ tych warunków mo¿e byæ ró¿na, czasem jest bardzo z³o¿ona [8]. Dla omawianych uk³adów sformu³ujemy je werbalnie: • dla uk³adu zdwojonego czworoboku (rys. 1.19) wymiary cz³onów musz¹ zapewniaæ w ka¿dym po³o¿eniu istnienie dwóch równoleg³oboków ABCD i CDFE, • dla ³o¿yskowania wirnika (rys. 1.20b) trzeba, aby pó³pary A i B podstawy i wirnika by³y wspó³osiowe, • dla platformy (rys. 1.20d) na prowadnicach o przekroju ko³owym osie pó³par platformy 1 i prowadnic 0 musz¹ byæ do siebie równoleg³e i w jednakowej odleg³oœci, • dla uk³adu RS2R (rys. 1.21c) osie pó³par podstawy 0 i cz³onu 3 musz¹ siê przecinaæ w jednym punkcie, dla uk³adu 4R (rys. 1.21d) wymagane jest ju¿ przecinanie siê w jednym punkcie osi wszystkich par kinematycznych; w tych uk³adach s¹ wymagane te¿ pewne, pominiête tutaj, zwi¹zki na³o¿one na wymiary podstawowe liniowe [25]. Przedstawione uk³ady z wiêzami biernymi raz jeszcze potwierdzaj¹ tezê, ¿e o rzeczywistych w³asnoœciach ruchowych, o mo¿liwoœci ruchu wzglêdnego cz³onów, oprócz struktury w znacznym stopniu decyduje te¿ geometria. Ka¿dy z uk³adów jednokonturowych (rys. 1.22), których struktura wskazuje na brak mo¿liwoœci ruchu (WT  ≤ 0), w szczególnych warunkach wykonania stanie siê uk³adem ruchliwym. W literaturze opisano wiele takich uk³adów [1], [9], [29] – kilka z nich zestawiono na rys. 1.23.

34

1. Struktura uk³adów kinematycznych

Rys. 1.22. Struktury uk³adów teoretycznie sztywnych i przesztywnionych

1.2. Własności ruchowe

35

Rys. 1.23. Schematy układów ruchliwych o szczególnej geometrii

1.2.4. Układy kinematyczne racjonalne Praktyczna realizacja układu kinematycznego, polegająca na wykonaniu poszczególnych członów, jest nieuchronnie związana z odchyłkami wykonawczymi. Ich wartości są uzależnione od wielu czynników, jak np. stanu technicznego dysponowanego parku maszynowego, poziomu technicznego obsługi, zawsze jednak są nieuniknione.

36

1. Struktura uk³adów kinematycznych

Szczególnie wa¿ne bêd¹ odchy³ki wymiarów podstawowych, które decyduj¹ o istotnych parametrach uk³adu kinematycznego. Maj¹ one m.in. wp³yw na dok³adnoœæ realizowanych ruchów, trajektorii, po³o¿eñ, a tak¿e na wartoœci obci¹¿eñ. Te ostatnie w wyniku b³êdów wykonawczych mog¹ osi¹gn¹æ wartoœci powoduj¹ce nawet zniszczenie elementów uk³adu. W uk³adach szybkobie¿nych mog¹ byæ powodem znacznie wiêkszych, od przewidywanych, si³ dynamicznych. Efektem niedotrzymania wymiarów nominalnych mo¿e byæ tak¿e wejœcie w strefê samohamownoœci w tych uk³adach, które pracuj¹ w pobli¿u po³o¿eñ martwych. W przypadku uk³adów z wiêzami biernymi aspekt dok³adnoœci wykonania wymiarów cz³onów nabiera dodatkowego istotnego znaczenia. Nieuniknione odchy³ki wykonawcze sprawiaj¹ bowiem, ¿e geometryczne warunki ruchu takich uk³adów mog¹ byæ spe³nione tylko z pewnym przybli¿eniem. Oznacza to w praktyce, ¿e jeszcze przed wyst¹pieniem obci¹¿eñ zewnêtrznych uk³adu z wiêzami biernymi w parach kinematycznych pojawi¹ siê dodatkowe si³y. S¹ one wywo³ane koniecznoœci¹ „dopasowywania” siê cz³onów, oznaczaj¹cego w praktyce sprê¿yste odkszta³cenie (rozci¹ganie, zginanie itd). Wartoœci tych dodatkowych obci¹¿eñ, zwi¹zane z wartoœciami odchy³ek wykonawczych i sztywnoœci¹ cz³onów, zmieniaj¹ siê w zale¿noœci od po³o¿enia uk³adu. Ich konsekwencj¹ jest przede wszystkim zmniejszona sprawnoœæ mechaniczna oraz nadmierne zu¿ycie elementów par kinematycznych. Tym samym mog¹ nie byæ osi¹gniête zak³adane wartoœci istotnych wskaŸników, jak sprawnoœæ, ¿ywotnoœæ i niezawodnoœæ. W drastycznych przypadkach mo¿e nawet zachodziæ zmêczeniowe (dodatkowe obci¹¿enia zmieniaj¹ siê cyklicznie) zniszczenie któregoœ z cz³onów.

Rys. 1.24. Geometria uk³adu czworoboku przegubowego

1.2. W³asnoœci ruchowe

37

W p³askim czworoboku przegubowym (rys. 1.24a), oprócz oczywistego warunku równoleg³oœci osi wszystkich par kinematycznych (tylko wtedy jest to uk³ad p³aski), wymagane jest spe³nienie zale¿noœci: a+b–c–d=0

(1.15)

Sytuacja idealna, tj. przy zerowych odchy³kach wykonawczych, jest przedstawiona na rys. 1.24a. W warunkach rzeczywistych, kiedy cz³ony wykonano z b³êdami, ju¿ w fazie monta¿u pojawi¹ siê trudnoœci. Zak³adaj¹c monta¿ par w kolejnoœci A, B, C i w ostatniej kolejnoœci D, utworzenie tej ostatniej oka¿e siê niemo¿liwe (rys. 1.24b), pó³pary D' i D" bowiem bêd¹ od siebie „oddalone”, a ich wzglêdne po³o¿enie mo¿e byæ opisane za pomoc¹ parametrów h, β, l', l". Sytuacja taka bêdzie wystêpowaæ równie¿ przy próbach utworzenia pary D (zamkniêcia uk³adu) dla innych po³o¿eñ cz³onu AB, chocia¿ wartoœci parametrów h, β, l', l" bêd¹ siê zmieniaæ. W wypadku wyst¹pienia odchy³ek monta¿ ostatniej pary D jest zatem mo¿liwy tylko w przypadku przy³o¿enia zewnêtrznych si³, które spowoduj¹ odpowiednie, wymagane dla monta¿u, odkszta³cenia cz³onów. Sytuacjê wynikow¹ obrazuje rys. 1.24c, na którym cz³ony s¹ odkszta³cone. Nie trzeba dowodziæ, ¿e w parach kinematycznych tak zmontowanego „na si³ê” uk³adu bêd¹ w czasie ruchu wystêpowaæ dodatkowe, cyklicznie zmienne si³y, a wywo³anie ruchu bêdzie mo¿liwe po pokonaniu si³ tarcia oraz si³ odkszta³cenia sprê¿ystego cz³onów. Wyznaczenie tych dodatkowych obci¹¿eñ jest zagadnieniem z³o¿onym, wymaga stosowania zaawansowanych metod analizy przemieszczeñ uk³adów przestrzennych oraz znajomoœci materia³u i postaci konstrukcyjnej cz³onów. Skalê zjawiska obrazuje podany przyk³ad. W przeniesieniu jednego z napêdów robota IRb [23] stosuje siê równoleg³oboczny uk³ad (rys. 1.25a), s³u¿¹cy do transformacji ruchu obrotowego od cz³onu 1 do cz³onu 2.

Rys. 1.25. Efekty odchy³ek wymiarów zdwojonego czworoboku

38

1. Struktura uk³adów kinematycznych

Uk³ad ten spe³ni swoj¹ funkcjê w sensie kinematycznym tak¿e wtedy, gdy pozbawi siê go jednego z ³¹czników 3 lub 4. Stosowanie dwóch ³¹czników jest podyktowane korzystniejszym rozk³adem si³, powoduj¹c jednak, ¿e nawet przy idealnym spe³nieniu warunków p³askoœci (osie wszystkich par równoleg³e) jest to uk³ad z wiêzami biernymi, a warunki wyst¹pienia ruchu to:

AD = BC = EF AE = DF , AB = CD, α = β

(1.16)

Wykonanie z b³êdami wymiarów wchodz¹cych w zwi¹zki (1.16) doprowadzi do sytuacji, ¿e ju¿ w czasie monta¿u, zw³aszcza w jego ostatniej fazie polegaj¹cej np. na wmontowaniu ³¹cznika 4, wymagane bêdzie u¿ycie si³y. Wynika to z faktu, ¿e rzeczywista d³ugoœæ l′EF bêdzie ró¿na od odleg³oœci pó³par E i F wynikaj¹cej z rzeczywistych wymiarów cz³onów 0, 1, 2 i 3. Ró¿nicê tê reprezentuje odchy³ka ∆l (rys. 1.25b), której wartoœæ zmienia siê w funkcji po³o¿enia uk³adu. Przyjmujemy wymiary nominalne:

AD = BC = EF = 450 mm AE = DF = AB = CD = 60 mm

α =β =ð/2 na rys. 1.25c przedstawiono przebieg zmian ∆l(ϕ) dla dwóch klas dok³adnoœci wykonania IT5 oraz IT8, po za³o¿eniu symetrycznego rozk³adu tolerancji. Z wykresu widaæ, ¿e istnieje po³o¿enie, w którym ∆l = 0, a monta¿ w tym po³o¿eniu nie wymaga odkszta³cania cz³onów – jest mo¿liwy bez u¿ycia si³. Jednak w czasie ruchu odchy³ka ∆l zmienia siê co do wartoœci i znaku. Powoduje to na przemian rozci¹ganie i œciskanie ³¹cznika 4, wywo³uj¹c te¿ odkszta³cenia pozosta³ych cz³onów. Wartoœci si³, które temu towarzysz¹ s¹ zale¿ne od sztywnoœci cz³onów. Zak³adaj¹c na pocz¹tek, ¿e odkszta³ceniu podlega wy³¹cznie cz³on 4, wykonany ze stalowego prêta o przekroju osiowym 10–4 m2, jest on obci¹¿ony si³¹ osiow¹ F o wartoœciach: F ∈ 〈−2,6, + 12,7〉 kN dla IT 5 F ∈ 〈−9,6, + 44,6〉 kN dla IT 8 Uzyskane wartoœci odnosz¹ siê do stosunkowo prostego uk³adu, i wyznaczone zosta³y dla znacznych uproszczeñ, przez co rzeczywiste wartoœci mog¹ odbiegaæ od przytoczonych. W realnym uk³adzie odkszta³ceniom ulegaæ bêd¹ przecie¿ tak¿e pozosta³e cz³ony, a wartoœci si³ zostan¹ zmniejszone w wyniku wystêpowania luzów w parach kinematycznych. Jednak ju¿ na podstawie analizy tego prostego uk³adu nale¿y stwierdziæ, ¿e rzeczywiste uk³ady z wiêzami biernymi, których cz³ony s¹ wykonywane z nieuniknionymi odchy³kami wymiarów, zawsze bêd¹ charakteryzowa³y siê wystêpowaniem w parach kinematycznych dodatkowych si³, nie przewidzianych przez konstruktora wraz ze wszystkimi negatywnymi skutkami.

39

Specyfika uk³adów z wiêzami biernymi, w szczególnoœci k³opoty techniczne zwi¹zane z ich monta¿em i eksploatacj¹, spowodowa³a, ¿e nadano im miano uk³adów nieracjonalnych. Termin ten wynika wprost z niew³aœciwej, nieracjonalnej struktury, skutkuj¹cej nadmiern¹ liczb¹ ograniczeñ ruchu – wiêzów biernych, które s¹ wiêzami biernymi w przypadku spe³nienia okreœlonych warunków geometrycznych na³o¿onych na wymiary podstawowe cz³onów. Ogólnie nale¿y stwierdziæ, ¿e stosowanie takich uk³adów powinno byæ ograniczane na rzecz uk³adów racjonalnych, bez wiêzów biernych, w których mo¿liwoœæ ruchu nie jest ograniczona ¿adnymi warunkami. Przedstawiono dalej wybrane przyk³ady uk³adów nieracjonalnych, wskazuj¹c na geometryczne warunki ruchu oraz pokazano sposoby modyfikacji ich struktury w celu uzyskania rozwi¹zañ racjonalnych. Zdwojone ³o¿yskowanie wirnika (rys. 1.26a), korzystne ze wzglêdu na wielkoœæ si³ w parach kinematycznych, wprowadza jak ju¿ wiadomo wiêzy bierne. Oznacza to, ¿e przy wyst¹pieniu odchy³ek wykonawczych ju¿ ze zmontowaniem takiego uk³adu bêd¹ okreœlone k³opoty. Sytuacjê tak¹, z celowo wyolbrzymionymi b³êdami, przedstawiono na rys. 1.26b, c. W przypadku ogólnym osie pó³par podstawy 0 s¹ zwichrowane, a ich wzglêdne po³o¿enie opisuje odleg³oœæ h0 i k¹t zwichrowania α0. Identycznie wirnik 1, wykonany z odchy³kami, bêdzie mia³ osie pó³par zwichrowane – odleg³oœæ h1, k¹t α1. Wprowadzone cztery wymiary podstawowe, przypisane poszczególnym cz³onom, umo¿liwiaj¹ okreœlenie geometrycznych warunków ruchu w postaci: h0 = h1 = 0 oraz α0 = α1 = 0

Rys. 1.26. Odchy³ki wymiarów wirnika i podstawy

40

1. Struktura uk³adów kinematycznych

Kierunek modyfikacji struktury uk³adu, aby uzyskaæ rozwi¹zanie racjonalne, a wiêc bez wiêzów biernych, wynika wprost z zale¿noœci (1.14) i (1.2). W zmodyfikowanym uk³adzie powinno byæ: •  WB = 0, brak wiêzów biernych, •  WL = 0, brak ruchliwoœci lokalnych, •  Σpi = 2, wirnik powinien tworzyæ z podstaw¹ dwie pary kinematyczne, •  WR = WT = 1, k = 1. Po rozpisaniu równania (1.2) mamy WT

=

6k

–5p1

–4p2

–3p3 –2p4

–1p5

1

=

6·1

–5·0

–4·1

–3·0

–2·0

–1·1

1

=

6·1

–5·0

–4·0

–3·1

–2·1

–1·0

W wyniku otrzymaliœmy wiêc dwa rozwi¹zania: •  k = 1, p2 = 1, p5 = 1 (rys. 1.27a), •  k = 1, p3 = 1, p4 = 1 (rys. 1.27b). Zwróæmy uwagê, ¿e wynikiem rozwa¿añ s¹ klasy par kinematycznych, jakie ma tworzyæ wirnik z podstaw¹. Mog¹ byæ one równie¿ zrealizowane w postaci wêz³ów (rys. 1.8), wa¿ne jest tylko, aby w okreœlonym po³¹czeniu zapewniæ odpowiedni¹ liczbê stopni swobody. Tak w³aœnie utworzono propozycje rozwi¹zañ racjonalnych przedstawione na rys. 1.27a, b, z których ostatnie, uzyskane w sposób formalny, jest znanym ³o¿yskowaniem za pomoc¹ dwóch ³o¿ysk wahliwych, przy czym jedno daje mo¿liwoœæ przesuwu wzd³u¿nego. Wiele maszyn i urz¹dzeñ wymaga realizacji ruchu przesuwnego elementu w podstawie. Jedno z mo¿liwych i chêtnie stosowanych rozwi¹zañ przedstawiono na rys. 1.28a. Jest to Rys. 1.27. Racjonalne ³o¿yskowanie uk³ad z piêcioma wiêzami biernymi (WB  = 5), wirnika w którym dwie cylindryczne prowadnice l' i l" zapewniaj¹ mo¿liwoœæ ruchu przesuwnego cz³onu 1, gdy s¹ spe³nione warunki geometryczne. Oba cz³ony wykonane z b³êdami przedstawiono na rys. 1.28b, c, przy takich odchy³kach zmontowanie uk³adu jest niemo¿liwe. Osie l' i l" prowadnic podstawy 0 oraz osie l' i l" pó³par cz³onu 1 s¹ odpowiednio wzglêdem siebie zwichrowane. Dla poprawnego dzia³ania trzeba, aby by³y spe³nione warunki: α0 = α1 = 0 oraz h0 = h1

1.2. W³asnoœci ruchowe

41

Rys. 1.28. Odchy³ki wymiarów elementu przesuwnego i prowadnicy

Odchy³ki wykonawcze wymiarów wystêpuj¹ zawsze, ich wartoœci zale¿¹ od wielu czynników, ale mniejsze odchy³ki oznaczaj¹ wiêksze koszty. Zabezpieczenie mo¿liwoœci wspó³pracy obu elementów (rys. 1.28), nawet w warunkach niedok³adnego wykonania wymaga modyfikacji w celu uzyskania rozwi¹zania racjonalnego, bez wiêzów biernych. Podobne rozwa¿ania, jakie przeprowadzono dla poprzedniego uk³adu (rys. 1.26 i 1.27), prowadz¹ do formalnego zdefiniowania wymaganych klas par kinematycznych. Cztery przyk³ady rozwi¹zañ racjonalnych przedstawiono na rys. 1.29, gdzie pozostawiono tylko jedn¹ parê cylindryczn¹, drugie po³¹czenie natomiast zapewnia w ka¿dym ze schematów piêæ stopni swobody. Jednak czyst¹ parê pi¹tej klasy, o styku punktowym, zastosowano tylko w rozwi¹zaniu c, w pozosta³ych natomiast przypadkach zastosowano wêz³y, eliminuj¹c parê wy¿sz¹, o ograniczonych mo¿liwoœciach przenoszenia si³. Ka¿dy uk³ad p³aski ju¿ z definicji zawiera wiêzy bierne, na ruch cz³onów bowiem na³o¿one s¹ wiêzy, które zmuszaj¹ je do ruchu w p³aszczyŸnie, œciœlej w p³aszczyznach równoleg³ych. Oznacza to w praktyce koniecznoœæ zapewnienia równoleg³oœci i prostopad³oœci osi okreœlonych par kinematycznych. Rozpatrzmy dla przyk³adu uk³ad czworoboku przegubowego (rys. 1.30a, b). Dla spe³nienia warunku p³askoœci tego uk³adu osie wszystkich par obrotowych musz¹ byæ pro-

42

1. Struktura uk³adów kinematycznych

Rys. 1.29. Rozwi¹zania racjonalne uk³adów, element przesuwny – prowadnica

stopad³e do p³aszczyzny ruchu. Oznacza to, ¿e ka¿demu z cz³onów nale¿y zapewniæ równoleg³oœæ osi pó³par8. Obecnoœæ wiêzów biernych potwierdza formalne obliczenie ruchliwoœci teoretycznej (WT = –2) ze wzoru (1.2) dla uk³adów przestrzennych. Wobec tego, ¿e nie wystêpuje tutaj ruchliwoœæ lokalna (WL = 0), zale¿noœæ (1.14) wskazuje na istnienie trzech wiêzów biernych (WB = 3). Uk³ady p³askie wystêpuj¹ w praktyce masowo, wiele z nich to rozwi¹zania strukturalnie nieracjonalne. Dla zwartej budowy, z zapewnieniem du¿ej dok³adnoœci wykonania cz³onów, uk³ady p³askie pracuj¹ zupe³nie poprawnie. W ka¿dej parze kinematycznej wystêpuj¹ ponadto luzy, które w istotny sposób mog¹ zniwelowaæ niekorzystny wp³yw ewentualnych niedok³adnoœci wykonawczych. Racjonalnoœæ struktury czworoboku przegubowego (rys. 1.30) ³atwo uzyskaæ przez tak¹ modyfikacjê klas par kinematycznych, aby uzyskaæ ruchliwoœæ teoretyczn¹ dla uk³adu przestrzennego równ¹ jeden (WT  = 1). Pozostawiaj¹c bez zmiany pary kinematyczne utworzone przez cz³ony ruchome (1, 3) z podstaw¹ 0, uzyskuje siê jednoznaczne klasy pary B i C. Przyk³adowo, najczêœciej u¿ywane warianty przedstawiono na rys. 1.30c, d, rozwi¹zania szczegó³owe natomiast, po wstawieniu szczególnych postaci po³¹czeñ w parach B, C prezentuje rys. 1.31a, b, c. Uk³ad przedstawiony na rys. 1.31d ma ruchliwoœæ teoretyczn¹ równ¹ dwa, jednak zawiera siê w tej liczbie ruchliwoœæ lokalna cz³onu 2 (WL2 = 1), która nie wp³ywa na ruch transformowany od cz³onu 1 do 3. Jest to czêsto stosowane rozwi¹zanie, w którym ³¹cznik 2 czworoboku jest ³¹czony z cz³onami s¹siednimi 1, 3 za pomoc¹ ³o¿ysk wahliwych.

8

Pomijamy tutaj inne, niezbêdne warunki na³o¿one na wymiary podstawowe cz³onów.

1.2. W³asnoœci ruchowe

Rys. 1.30. Czworobok przegubowy p³aski (a), (b) i struktury racjonalne (c), (d)

Rys. 1.31. Czworobok przegubowy – rozwi¹zania racjonalne

43

44

1. Struktura uk³adów kinematycznych

Jednym z uk³adów kinematycznych umo¿liwiaj¹cych redukcjê obrotów jest przek³adnia obiegowa – mechanizm z³o¿ony z kó³ zêbatych, z których niektóre wykonuj¹ ruch obiegowy (ich osie przemieszczaj¹ siê ruchem liniowym) – przedstawiona na rys. 1.32a, b. Sk³ada siê ona z ko³a centralnego 1 (cz³on czynny) o zazêbieniu zewnêtrznym, drugiego ko³a centralnego 0, bêd¹cego jednoczeœnie podstaw¹ oraz trzech kó³ obiegowych 2 u³o¿yskowanych w jarzmie J (cz³on bierny). Dla jednoznacznego przeniesienia ruchu miêdzy ko³em 1 i jarzmem J wystarczy jedno ko³o obiegowe. Stosowanie wiêkszej liczby tych kó³ (tutaj trzech) podyktowane jest chêci¹ zwiêkszenia momentów, jakie mog¹ byæ transformowane przez ten mechanizm. Jednak wprowadzenie do uk³adu wiêkszej liczby kó³ obiegowych jest równoznaczne z wprowadzeniem dodatkowych, zbêdnych kinematycznie, wiêzów biernych. Ruchliwoœæ teoretyczna wynosi tym razem WT  = –7, co oznacza, ¿e uk³ad jest przesztywniony, a wiêc nieracjonalny strukturalnie.

Rys. 1.32. Przek³adnia obiegowa – rozwi¹zania nieracjonalne (a) i racjonalne (c) i (d)

1.2. W³asnoœci ruchowe

45

Konsekwencj¹ nieuniknionych odchy³ek wykonawczych mo¿e byæ m.in. to, ¿e po¿¹dany jednoczesny kontakt wszystkich par zazêbieñ nie bêdzie realizowany. Mo¿e to skutkowaæ wiêkszymi od zak³adanych si³ami wystêpuj¹cymi w zazêbieniach, co w skrajnych przypadkach prowadzi do przedwczesnego zu¿ycia przek³adni. Nie trzeba wykazywaæ, ¿e unikniêcie tych niekorzystnych zjawisk poci¹ga za sob¹ koniecznoœæ bardzo du¿ych dok³adnoœci wykonania. Innym œrodkiem zaradczym mo¿e byæ poszukiwanie dróg modyfikacji struktury uk³adu w kierunku rozwi¹zania racjonalnego, w którym wyeliminowane zostan¹ wiêzy bierne. Dwa przyk³ady takich rozwi¹zañ przedstawiono na rys. 1.32c, d. Pierwsze z nich charakteryzuje siê tym, ¿e zêby kó³ obiegowych wykonano jako bary³kowe, a ko³o centralne 1 nie jest ³o¿yskowane sztywno – jego po³o¿enie jest ustalane przez zêby kó³ obiegowych. Przeniesienie ruchu od wa³u wejœciowego odbywa siê za poœrednictwem dwóch par II klasy P2, które w realnych uk³adach s¹ sprzêg³ami zêbatymi. W drugim rozwi¹zaniu (rys. 1.32d) ko³a obiegowe 2 maj¹ ju¿ zêby proste, ale s¹ ³¹czone z jarzmem J za pomoc¹ ³o¿ysk wahliwych (pary sferyczne III klasy P3), a ko³o centralne 1 ³¹czy siê z wa³em wejœciowym za pomoc¹ jednego sprzêg³a zêbatego. Obydwa rozwi¹zania s¹ racjonalne, co ³atwo stwierdzi czytelnik korzystaj¹c z wzorów (1.2) i (1.13). Pokazane tutaj rozwi¹zania racjonalne przek³adni obiegowej nale¿y traktowaæ jako przyk³adowe. Konstruktorzy stosuj¹ wiele jeszcze innych modyfikacji [18], [25], ale wszystkie one zmierzaj¹ do ca³kowitego lub co najmniej czêœciowego wyeliminowania wiêzów biernych. Problematyka racjonalnoœci uk³adów kinematycznych jest doceniana przez konstruktorów praktyków. Czêsto ca³kiem nieœwiadomie, opieraj¹c siê wy³¹cznie na intuicji, w swoich rozwi¹zaniach konstruktorzy stosuj¹ takie pary kinematyczne (³o¿yska), które nadaj¹ rozwi¹zaniom cechy racjonalnoœci. Jednak bazowanie wy³¹cznie na intuicji mo¿e byæ zawodne w przypadku uk³adów z³o¿onych, œwiadczy o tym wiele realnych uk³adów zawieraj¹cych wiêzy bierne. Obserwacja wskazuje na pewn¹ prawid³owoœæ: im bardziej odpowiedzialny i zaawansowany technologicznie uk³ad kinematyczny, tym mniejsze szanse na spotkanie choæby fragmentów rozwi¹zanych w sposób nieracjonalny. Nie oznacza to jednak, ¿e stosowanie uk³adów z wiêzami biernymi jest z definicji b³êdem konstruktora. S¹ przypadki, kiedy jest to niezbêdne i w pe³ni uzasadnione, uk³ady z wiêzami biernymi s¹ te¿ prostsze. Decyzja o ich stosowaniu w praktyce powinna byæ podjêta ze œwiadomoœci¹ potencjalnych k³opotów technologicznych i eksploatacyjnych.

46

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

2. KONFIGURACJA UK£ADÓW KINEMATYCZNYCH 2.1. Wprowadzenie Istot¹ uk³adu kinematycznego jest ruch cz³onów. W ka¿dej chwili cz³ony zajmuj¹ okreœlone po³o¿enie wzglêdem podstawy, a tym samym równie¿ wzglêdem siebie. Wszelkie rozwa¿ania, zarówno dotycz¹ce kinematyki, jak i dynamiki maj¹ za zadanie odpowiedzieæ na pytanie, jakie jest bie¿¹ce po³o¿enie poszczególnych cz³onów, a wiêc, jaka jest konfiguracja uk³adu. W kinematyce po³o¿enie cz³onów uk³adu jest zale¿ne wy³¹cznie od wymuszeñ kinematycznych, zaniedbuje siê natomiast masy cz³onów, si³y zewnêtrzne bierne i czynne. Te ostatnie s¹ natomiast istotne w rozwa¿aniach dynamicznych. Analiza dynamiczna ka¿dego uk³adu musi byæ zawsze poprzedzona analiz¹ kinematyczn¹ – nie ma dynamiki bez kinematyki! Ka¿dy uk³ad kinematyczny z³o¿ony z okreœlonej liczby cz³onów po³¹czonych ze sob¹ ró¿nymi parami kinematycznymi jest okreœlony co do ruchu, jeœli znane s¹ wymuszenia kinematyczne w liczbie równej liczbie stopni swobody1. Zdecydowana wiêkszoœæ mechanizmów to uk³ady o jednym stopniu swobody, oznacza to, ¿e do okreœlenia ich ruchu wystarczy podanie jednego wymuszenia. Przyk³adowo wymuszeniem kinematycznym uk³adu korbowego silnika spalinowego jest funkcja opisuj¹ca przemieszczenie s t³oka w czasie s = s(t), które jednoznacznie opisuje po³o¿enie cz³onów tego mechanizmu, jest to bowiem uk³ad o ruchliwoœci W = 1. W powszechnie znanych uk³adach wysiêgnikowych ³adowarek, których ruchliwoœæ wynosi dwa (W = 2) do opisu ruchu ³y¿ki s¹ potrzebne ju¿ dwa wymuszenia kinematyczne, na ogó³ w postaci zmian d³ugoœci dwóch si³owników w czasie (s1 = s1(t) oraz s2 = s2(t)). Jeszcze wiêcej wymuszeñ jest potrzebnych w analizie mechanizmów robotów. Uk³ady te s¹ tak zbudowane, aby ostatni element (efektor) dysponowa³ kilkoma stopniami swobody. Opis konfiguracji uk³adu kinematycznego tylko pozornie jest najprostszym zadaniem kinematyki, na ogó³ nastrêcza wielu k³opotów. Tylko bardzo proste uk³ady p³askie lub mechanizmy manipulatorów o strukturze szeregowej s¹ ³atwe w opisie, znakomit¹ wiêkszoœæ uk³adów natomiast nie mo¿na opisaæ w formie jawnych zale¿noœci lub ich uzy1 Wyj¹tkiem od tej regu³y s¹ uk³ady z wiêzami biernymi i wtedy przez stopnie swobody nale¿y rozumieæ ruchliwoœæ rzeczywist¹.

2.2. Wzglêdne po³o¿enie dwóch cz³onów

47

skanie wymaga uci¹¿liwych przekszta³ceñ z³o¿onych wyra¿eñ algebraicznych. Z drugiej strony wzglêdnie ³atwe jest sformu³owanie uk³adów równañ algebraicznych nieliniowych wyra¿aj¹cych zwi¹zki miêdzy parametrami kinematycznymi uk³adów. Ich rozwi¹zanie, daj¹ce w wyniku informacjê o po³o¿eniach poszczególnych cz³onów, a tym samym ca³ego uk³adu, mo¿na uzyskaæ za pomoc¹ uniwersalnych programów, korzystaj¹c z procedur opartych na metodach numerycznych. Trudnoœci przenosz¹ siê na rozwi¹zywanie uk³adów równañ nieliniowych. Techniki opisu konfiguracji uk³adu kinematycznego s¹ ró¿ne i ró¿ne œrodki s¹ do tego stosowane. Metody graficzne maj¹ nie tylko znaczenie dydaktyczne. W zwi¹zku z powszechnym stosowaniem programów graficznych uzyskiwane dok³adnoœci metod graficznych nie ustêpuj¹ metodom analitycznym czy numerycznym, a jednoczeœnie rysunek daje czytelne informacje istotne w projektowaniu. Dysponowanie na schemacie uk³adu wektorem prêdkoœci czy przyspieszenia lub wektorem si³y oddzia³ywania miêdzy cz³onami w parze kinematycznej jest wa¿n¹ informacj¹ dla konstruktora, znacznie czytelniejsza ni¿ dwie liczby: modu³ si³y i k¹t nachylenia wektora si³y. Metody oparte na rysunku maj¹ niestety tê wadê, ¿e s¹ czasoch³onne w razie potrzeby wielokrotnego powtórzenia obliczeñ w celu porównania wielu rozwi¹zañ, ró¿nych w sensie geometrycznym. Nale¿y wówczas stosowaæ metody analityczne i numeryczne. Dostêpne pakiety oprogramowania matematycznego wraz z rozwijanymi w ostatnich latach metodami analizy umo¿liwiaj¹ badanie dowolnych uk³adów bez potrzeby siêgania po drogie, a czêsto niedostêpne oprogramowanie specjalistyczne. W przypadku profesjonalnych programów analizy ich poprawne i efektywne wykorzystanie wymaga znajomoœci metod, na jakich te programy bazuj¹.

2.2. Wzglêdne po³o¿enie dwóch cz³onów 2.2.1. Wspó³rzêdne absolutne – uk³ady p³askie Opis konfiguracji uk³adu wielocz³onowego mo¿na rozpatrywaæ jako opis wzglêdnego po³o¿enia uk³adów wspó³rzêdnych lokalnych zwi¹zanych z poszczególnymi cz³onami –  cz³onowi odniesienia (podstawie) przypisuje siê tzw. uk³ad globalny. Takie podejœcie do opisu uk³adu kinematycznego, jakkolwiek skutkuje wiêksz¹ liczb¹ równañ, znakomicie porz¹dkuje i formalizuje modelowanie uk³adów zarówno w zakresie kinematyki, jak i dynamiki. Na rysunku 2.1 przedstawiono dwa cz³ony j, k uk³adu p³askiego, którym przypisano uk³ady wspó³rzêdnych prostok¹tnych {j} oraz {k}. Na cz³onie k-tym obrano k punkt M, którego po³o¿enie w uk³adzie {k} cz³onu k opisuje wektor rM. Ten sam j punkt M w uk³adzie {j} cz³onu j jest opisany wektorem rM. Obydwa wektory opisuj¹j ce po³o¿enie punku M wraz z wektorem pk opisuj¹cym po³o¿enie pocz¹tku uk³adu {k} w  uk³adzie {j} wi¹¿e nastêpuj¹ce równanie: j

rM = j R k k rM + j p k

(2.1)

48

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

Rys. 2.1. Wspó³rzêdne absolutne uk³adu p³askiego

Pierwszy sk³adnik prawej strony równania (2.1) wynika z koniecznoœci transformok wania wektora rM (jego sk³adowe s¹ wyra¿one w uk³adzie {k}) do uk³adu {j}. W formie macierzowej równanie (2.1) przybiera postaæ:

 j x M  cos j Èk j = j  y M   sin Èk

− sin j Èk   k x M   j xk   +  cos j Èk   k y M   j y k 

(2.2)

Wystêpuj¹ca w równaniu (2.1) macierz j Rk w postaci: j

[

R k = j e kx

j

cos j Èk e ky =  j  sin Èk

]

− sin j Èk   cos j Èk 

(2.3)

jest tzw. macierz¹ rotacji, a jej elementy, zestawione w kolumny to wektory jednostkowe (wersory) ekx, eky osi uk³adu {k} wyra¿one w uk³adzie {j}: j

cos j Èk  e kx =   j  sin Èk 

j

− sin jÈk   e ky =   cos j Èk 

(2.4)

Nale¿y tutaj odnotowaæ ciekaw¹ w³asnoœæ macierzy rotacji polegaj¹c¹ na tym, ¿e jej odwrócenie jest to¿same transponowaniu: j

R −k 1 = k R j = j R Tk

 cos j Èk = j − sin Èk

sin j Èk   cos j È k 

(2.5)

2.2. Wzglêdne po³o¿enie dwóch cz³onów

49

Prawdziwoœæ zale¿noœci (2.5) mo¿na ³atwo potwierdziæ, pamiêtaj¹c ¿e iloczyn macierzy i jej odwrotnoœci daje w wyniku macierz jednostkow¹: j

cos j Èk R k j R k−1 =  j  sin È k

− sin j È k   cos j Èk  cos j È k  − sin j Èk

sin j Èk  1 0 = =I cos j Èk  0 1

(2.6)

Zale¿noœæ (2.1) mo¿na w prosty sposób przekszta³ciæ tak, aby z prawej strony równania zamiast sumy wyst¹pi³ iloczyn, co upraszcza zapis uk³adów wielocz³onowych. W tym celu równanie (2.1) nale¿y uzupe³niæ neutraln¹ równoœci¹ jedynek, uzyskuj¹c w rezultacie: j

rM = j A k rM

(2.7)

k

gdzie j

 jR Ak =  k 0 0

j

pk   1 

(2.8)

a po rozpisaniu:

 j x M  cos j Èk j   j  y M  =  sin Èk  1   0   

xk   k x M    j yk   k yM  1   1 

− sin j Èk cos j Èk

j

0

(2.9)

Jak widaæ z (2.9), wektory opisuj¹ce po³o¿enie punktu M w uk³adzie wspó³rzêdnych j maj¹ teraz trzy sk³adowe, w tym jedn¹ neutraln¹ jedynkê, macierz rotacji Rk natomiast j wraz z wektorem pozycji pk tworz¹ teraz macierz transformacji jednorodnej (homoj genicznej) Ak o postaci:

cos j Èk  j A k =  sin j Èk  0 

− sin j Èk cos j Èk

j j

0

xk   yk  1 

(2.10)

Elementy macierzy transformacji jAk s¹ wyra¿one trzema parametrami, które zebrane w wektor: j

[

q k = j pTk

j

Èk

] =[ x T

j

j k

yk

j

Èk

]

T

s¹ okreœlane mianem wspó³rzêdnych absolutnych2 [3], [5]. 2

Spotykane jest te¿ okreœlenie wspó³rzêdne uogólnione kartezjañskie [13], [26].

50

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

Podobnie jak w przypadku czystej rotacji istnia³a macierz rotacji odwrotnej (zale¿noœci (2.5), (2.6)), tak te¿ w przypadku macierzy transformacji jednorodnej istnieje jej forma odwrotna. Jej postaæ mo¿na uzyskaæ wykorzystuj¹c dwa oczywiste spostrze¿enia: • po odwróceniu podmacierz jRk macierzy jAk ulegnie prostej transpozycji, • poniewa¿ po odwróceniu uk³ad {j} ma byæ wyra¿ony w uk³adzie {k}, wiêc wektor pozycji jpk musi zmieniæ znak, a jego sk³adowe nale¿y teraz wyraziæ w uk³adzie {k}. Prowadzi to, po wykorzystaniu (2.4) oraz (2.5), do nastêpuj¹cych wyra¿eñ: k

 j R T − j R T jp  k k A j = jA k−1 =  k 0 0  1   j  − jeTkx p k  j T   R k Aj = k j T j  − e ky p k   0 0 1  

(2.11)

(2.12)

Korzystaj¹c z omówionej formy zapisu, mo¿na ³atwo okreœlaæ wzglêdne po³o¿enia dowolnych cz³onów oraz ich punktów, a na ich bazie tworzyæ zwi¹zki algebraiczne, wyra¿aj¹ce wiêzy wynikaj¹ce z ³¹czenia cz³onów za pomoc¹ par kinematycznych oraz definiowaæ kinematyczne wymuszenia ruchu.

2.2.2. Wspó³rzêdne absolutne – uk³ady przestrzenne Podobnie jak w przypadku uk³adów p³askich istniej¹ zale¿noœci okreœlaj¹ce transformowanie wspó³rzêdnych punktów cz³onów uk³adów przestrzennych. Na rysunku 2.2 pokazano dwa cz³ony i przypisane im uk³ady wspó³rzêdnych prostok¹tnych {j} i {k}. Analogicznie do uk³adów p³askich mamy tym razem równanie: j

rM = j R k k rM + j p k

(2.13)

Macierz rotacji jR k w przypadku uk³adu przestrzennego ma wymiar 3×3, a równanie (2.13) po rozpisaniu do formy macierzowej ma postaæ:

 j xM   k xM   j xk         j y M  = j R k  k y M  +  j yk  j  k  j   z M   z M   z k 

(2.14)

2.2. Wzglêdne po³o¿enie dwóch cz³onów

51

Rys. 2.2. Wspó³rzêdne absolutne uk³adu przestrzennego

Kolumny macierzy rotacji jRk to wektory jednostkowe (wersory) osi uk³adu {k} wyra¿one w uk³adzie {j}, a poszczególne elementy tych kolumn to inaczej rzuty wersorów osi uk³adu {k}na osie uk³adu {j}. Poniewa¿ wersory z definicji maj¹ modu³y równe jednoœci, wiêc elementy kolumn s¹ wprost kosinusami kierunkowymi [20]. Przyk³adowo sk³adowe wersora osi x uk³adu {k} wyra¿one w {j} wynosz¹:

j

e kx

 cos( ∠( x j , xk ))    = cos( ∠( y j , xk ))     cos( ∠( z j , xk )) 

(2.15)

Jest wiêc j

Rk =

[e j

j kx

e ky

j

e kz

]

(2.16)

Macierz rotacji  j Rk dla uk³adów przestrzennych, podobnie jak w uk³adach p³askich (uk³ady s¹ tak¿e ortogonalne), ma prost¹ formê odwrócon¹ – odwracanie jest to¿same z transponowaniem, a zatem

 j eTkx    k R j = j R −k1 = j R Tk =  j eTky  j T   e kz 

(2.17)

52

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

Spoœród dziewiêciu elementów macierzy rotacji jRk tylko trzy s¹ niezale¿ne. Mo¿na siê o tym przekonaæ na podstawie iloczynu:

 j eTkx    k R j jR k = I ⇒  j eTky  j T   e kz 

[e j

kx

j

eky

j

]

e kz

1 0 0    = 0 1 0    0 0 1

(2.18)

Po wykonaniu mno¿enia i porównaniu elementów macierzy obu stron równania (2.18) uzyskuje siê zale¿noœci:

( e ) ( e )= 1

( e ) ( e )= 0 ( e ) ( e )= 0

( e ) ( e )= 0

( e ) ( e )= 1 ( e ) ( e )= 0

( e ) ( e )= 0

( e ) ( e )= 0

T

j

j

T

j

T

j

kz

ky

(2.19)

( e ) ( e )= 1

j

kz

kx

kz

j

ky

T

j

j

kz

j

kx

j

ky

T

j

ky

T

j

kx

T

j

j

kx

j

ky

T

j

kx

kx

T

j

ky

j

kz

kz

W równaniach (2.19) wystêpuje trzykrotne powtórzenie (porównaj jednakowo podkreœlone). Dziewiêæ elementów macierzy rotacji jest zatem powi¹zanych szeœcioma równaniami, a to oznacza, ¿e tylko trzy z nich s¹ niezale¿ne3. Oznacza to, ¿e znajomoœæ trzech elementów macierzy transformacji pozwala obliczyæ pozosta³e. Podobnie jak w przypadku uk³adu p³askiego transformacja jednorodna (homogeniczna) realizuje siê wed³ug zale¿noœci: j

rM = j A k rM

(2.20)

k

Po przedstawieniu w formie macierzowej jest to równanie

 j xM       j yM   j R k = j  zM    0 0 0   1  

k xk   xM     k j yk   yM    k j zk   zM  1   1    j

(2.21)

Macierz transformacji jednorodnej, a wiêc uwzglêdniaj¹cej jednoczeœnie rotacjê i translacjê, ma postaæ: j

3

 Ak =  0

j

j

Rk 0

0

p k   j e kx = 1   0

j

e ky 0

j

e kz 0

j

pk   1 

(2.22)

Potwierdza to powszechnie znan¹ prawdê, ¿e orientacjê cz³onu w przestrzeni wyznaczaj¹ trzy k¹ty.

2.2. Wzglêdne po³o¿enie dwóch cz³onów

53

Macierz transformacji odwrotnej uzyskuje siê podobnie jak dla uk³adu p³askiego:

 − j eTkx jp k   k j T j  k j −1  R e p − j ky k A j = Ak =   j T j  − e kz p k   1 0 0 0 

(2.23)

Wartoœci elementów macierzy transformacji jAk s¹ tym razem zale¿ne od wielu parametrów, z których oczywiste s¹ jedynie sk³adowe wektora pozycji jpk. Niestety nie istniej¹ w tym przypadku niezale¿ne k¹ty, które mog¹ pos³u¿yæ do ³atwego obliczania elementów podmacierzy odpowiedzialnej za rotacjê. Z tego wzglêdu macierz transformacji tworzy siê w praktyce w sposób poœredni, np. przez sk³adanie kolejnych transformacji elementarnych – translacji i rotacji wokó³ poszczególnych osi uk³adu wspó³rzêdnych. Przedstawiona postaæ macierzy transformacji jAk jest ogólna i ³atwo z niej mo¿na wyprowadziæ macierze transformacji elementarnych, a mianowicie: •  translacjê

j

(

A k transl : j p k

)

1  0 = 0 0 

0 0

j

1 0

j

0 1 0 0

xk   yk   j zk  1 

(2.24)

• rotacjê wokó³ osi x

0 1  0 cos È x j A k (rot : x, È x ) =  0 sin È x 0 0 

0 − sin È x cos È x 0

0  0 0 1

(2.25)

•  rotacjê wokó³ osi y

j

(

A k rot : y , È y

)

 cos È y   0 = − sin È y  0 

0 sin È y 1

0

0 cos È y 0

0

0  0 0 1 

(2.26)

54

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

•  rotacjê wokó³ osi z

cos È z   sin È z j A k (rot : z , È z ) =   0  0 

− sin È z cos È z 0 0

0 0  0 0 1 0  0 1 

(2.27)

Nale¿y zwróciæ tutaj uwagê, ¿e k¹ty transformacji elementarnych Θx, Θy, Θ z s¹ odmierzane zgodnie ze zwrotami poszczególnych osi. Sk³adanie transformacji elementarnych. Jak ju¿ wspomniano, ogólna postaæ macierzy transformacji jAk jest czêsto trudna do zdefiniowania. Jednak mo¿na j¹ okreœliæ za pomoc¹ macierzy transformacji elementarnych, wzglêdne po³o¿enie bowiem dwóch elementów (uk³adów wspó³rzêdnych) wynika wprost z kolejnych przemieszczeñ elementarnych – translacji i rotacji. Wynikowa macierz transformacji bêdzie wtedy iloczynem transformacji elementarnych.

PRZYK£AD 2.1 Sk³adanie transformacji elementarnych przeœledzimy na przyk³adzie (rys. 2.3) opisu przemieszczania elementu z po³o¿enia k0, kiedy osie zwi¹zanego z nim uk³adu {k0} wspó³rzêdnych prostok¹tnych pokrywaj¹ siê z osiami uk³adu odniesienia {j} do nowego po³o¿enia k, uzyskanego w wyniku translacji i dwóch rotacji. Kolejne przemieszczenia elementarne pokazane na rys. 2.3 sk³adaj¹ siê na przemieszczenie ca³kowite, które opisuje macierz:

transf

( A )= (transl : p ) rot : y, È j

j

k

k



y

ð ð = −   rot : x, È x =  2 2

(2.28)

Macierz (2.28) ³atwo mo¿na wyprowadziæ przez podstawienie kolejnych macierzy elementarnych (zal. (2.24), (2.25), (2.26)), co daje w rezultacie: 1  0 j Ak =  0  0

0 0 1 0 0 1 0 0

 π xk   cos −    2 j y k   0  j   z k  − sin − π    2 1   0  j

 π 0 sin  −   2 1 0  π 0 cos −   2 0 0

0 0  1 0  π  π  0 cos  − sin  0  2  2  π  π 0 0 sin   cos  2   2  1  0 0 0

0  0   0  1

2.2. Wzglêdne po³o¿enie dwóch cz³onów

55

Rys. 2.3. Sk³adanie transformacji elementarnych

Podstawienie wartoœci funkcji trygonometrycznych i kolejne mno¿enia macierzy 1  0 j Ak =  0  0

0 0 1 0 0 1 0 0

1  0 j Ak =  0  0

xk  0  j y k  0  j z k  1  1  0 j

0 0 1 0 0 1 0 0

0 − 1 0  1  1 0 0  0  0 0 0  0  0 0 1  0

0

0  0 − 1 0  1 0 0  0 0 1

x k   0 − 1 0 0   j y k   0 0 − 1 0   j z k   1 0 0 0   1  0 0 0 1 j

0

56

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

daj¹ w efekcie postaæ macierzy transformacji 0 − 1 0  0 0 − 1 j Ak =  0 1 0  0 0 0

j

xk   j yk   j zk   1 

(2.29)

Poprawnoœæ (2.29) ³atwo potwierdziæ wprost z rys. 2.3, pamiêtaj¹c, ¿e trzy pierwsze elementy pierwszej kolumny to sk³adowe wersora osi x uk³adu {k} (wektora jednostkowego na osi xk) wyra¿one sk³adowymi w uk³adzie {j}. Podobnie w drugiej kolumnie mamy sk³adowe wersora osi y, a w trzeciej kolumnie sk³adowe wersora osi z uk³adu {k} wyra¿one sk³adowymi w uk³adzie {j}. Zgodnie z w³asnoœciami iloczynu macierzy4 w przypadku sk³adania transformacji elementarnych nale¿y bezwzglêdnie przestrzegaæ kolejnoœci poszczególnych przemieszczeñ, które s¹ dokonywane w sukcesywnie zmieniaj¹cych siê uk³adach wspó³rzêdnych5. W omawianym przyk³adzie (rys. 2.3) mieliœmy: •  translacjê w uk³adzie bazowym {j}, •  rotacjê w uk³adzie przesuniêtym {k1}, • rotacjê w uk³adzie obróconym {k2}.

2.2.3. Wspó³rzêdne Denavita–Hartenberga – uk³ady przestrzenne Du¿¹ popularnoœæ w opisie uk³adów przestrzennych zdoby³a sobie notacja DH6, szczególnie chêtnie stosowana do opisu uk³adów kinematycznych robotów (manipulatorów), chocia¿ jej pierwotna prezentacja dotyczy³a uk³adów kinematycznych zamkniêtych. Dominuj¹ca grupa praktycznie wykorzystywanych uk³adów jest zbudowana z cz³onów tworz¹cych przewa¿nie pary kinematyczne obrotowe R i postêpowe T. W wypadku wystêpowania par o wiêkszej liczbie stopni swobody mo¿na ³atwo przekszta³caæ je do wêz³ów kinematycznych zawieraj¹cych wy³¹cznie pary obrotowe i postêpowe. Dwa przyk³ady takich przekszta³ceñ, dla pary cylindrycznej C i przegubu sferycznego S, zaprezentowano na rys. 2.4. Ju¿ z tych dwóch przyk³adów widaæ, ¿e zast¹pienie dowolnej pary kinematycznej odpowiedni¹ kombinacj¹ par obrotowych i postêpowych nie zmienia w³asnoœci kinematycznych uk³adu. 4

AB ≠ BA Sk³adanie transformacji nie jest przemienne, a wiêc uzyskanie poprawnej transformacji z³o¿onej wymaga zachowania odpowiedniej kolejnoœci transformacji elementarnych oraz dokonywania ich w kolejnych poœrednich uk³adach wspó³rzêdnych. 6 Po raz pierwszy opublikowana w pracy: Denavit J., Hartenberg R.S.: A Kinematic Notation for Lower Pairs Mechanisms Based on Matrices. Transactions of ASME, Journal of Applied Mechanics, Vol. 22, 1955. 5

2.2. Wzglêdne po³o¿enie dwóch cz³onów

57

Rys. 2.4. Przekszta³cenie par C i S w wêz³y RT i 3R

W uk³adach zawieraj¹cych wy³¹cznie pary obrotowe R i postêpowe T mo¿na poszczególnym cz³onom przypisaæ lokalne uk³ady wspó³rzêdnych kieruj¹c siê dwiema zasadami: • osie zj poszczególnych uk³adów s¹ zawsze poprowadzone wzd³u¿ osi par wyznaczaj¹cych odpowiednio kierunek przesuwu (dla pary T) lub oœ obrotu (dla pary R), • osie xj poszczególnych uk³adów s¹ zawsze poprowadzone w taki sposób, aby by³y prostopad³e do osi zj+1 uk³adu kolejnego. Zgodnie z tymi zasadami na rys. 2.5 pokazano dwa uk³ady wspó³rzêdnych {j} i {k} z zaznaczeniem ich kolejnych przemieszczeñ. Jak ju¿ pokazano macierz transformacji jA miêdzy uk³adami {j}, {k} mo¿e byæ uzyskana przez z³o¿enie kolejnych transfork macji elementarnych, tak aby przemieœciæ uk³ad {k0} to¿samy z {j} do po³o¿enia ostatecznego {k} wed³ug nastêpuj¹cej sekwencji:

transf ( j Ak ) = transl( x j : a j ) ⋅ rot ( x j : α j ) ⋅ transl( z k : d k ) ⋅ rot ( zk : Èk )

(2.30)

Jak nietrudno zauwa¿yæ ca³kowita transformacja bêdzie zale¿na od tylko czterech parametrów zaanga¿owanych w kolejne transformacje elementarne, które wyst¹pi³y w zale¿noœci (2.30). S¹ nimi (rys. 2.5): •  odleg³oœæ aj miêdzy osiami zj oraz zk, •  k¹t j zwichrowania osi zj oraz zk, •  odleg³oœæ dk pocz¹tku uk³adu {k} od osi xj mierzona wzd³u¿ osi zk, •  k¹t Θk orientacji osi xk wzglêdem xj obróconej wzglêdem osi zk.

58

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

Rys. 2.5. Uk³ady wspó³rzêdnych usytuowane zgodnie z notacj¹ DH

Po podstawieniu poszczególnych macierzy transformacji elementarnych, zgodnie z zale¿noœciami (2.24), (2.25), (2.27) mamy:

1  0 j Ak =  0  0 1  0 × 0  0

0 0 0 a j  1  1 0 0  0 cos α j  0 1 0  0 sin α j  0 0 0 1  0 0  cos Èk  1 0 0   sin Èk  0 1 dk   0  0 0 1 0 0 0

0 − sin α j cosα j 0

− sin Èk cos Èk 0 0

0  0  0  1

0 0  0 0  1 0  0 1

2.2. Wzglêdne po³o¿enie dwóch cz³onów

59

a po wykonaniu mno¿enia macierz jAk dla notacji DH uzyska nastêpuj¹c¹ postaæ:

 cos Èk  cosα j sin Èk j Ak =   sin α j sin Èk  0 

− sin Èk

0

cosα j cos Èk

− sin α j

sin α j cos Èk

cos α j

0

0

  − d k sin α j   d k cos α j   1  aj

(2.31)

Zwróæmy uwagê, ¿e struktura macierzy DH (2.31) jest taka sama jak dla wspó³rzêdnych absolutnych. Ostatnia jej kolumna zawiera sk³adowe wektora pozycji jp uk³adu {k} w {j}, a pozosta³e elementy to wyra¿one poœrednio odpowiednie kosik nusy kierunkowe. Kolumna pierwsza, a œciœlej jej trzy pierwsze elementy, to sk³adowe wersora osi xk uk³adu {k} wyra¿one w uk³adzie {j}, podobnie kolumna druga i trzecia to kolejno sk³adowe wersorów osi yk i zk w uk³adzie {j}. Macierz odwrotna powstaje zgodnie z zasadami, o których by³a mowa w przypadku macierzy transformacji (2.23). Wymagane jest wykonanie dwóch zabiegów, a mianowicie: • odwrócenie podmacierzy jRk macierzy jAk odpowiedzialnej za rotacjê wymaga prostego transponowania, • poniewa¿ uk³ad {j} ma byæ wyra¿ony w uk³adzie {k}, wiêc wektor pozycji jpk musi zmieniæ zwrot, a jego sk³adowe nale¿y teraz wyraziæ w uk³adzie {k}, co wymaga jego transformowania, a wiêc wykonania mno¿enia kRj jpk. Prowadzi to do nastêpuj¹cej zale¿noœci:

 cos Èk  − sin È k k j −1 A j = Ak =   0   0

cos α j sin È k

sin α j sin È k

cos α j cos È k

sin α j cos Èk

− sin α j

cos α j

0

0

− a j cos È k   a j sin È k   − dk   1 

(2.32)

Cztery parametry, z których mo¿na obliczyæ poszczególne elementy macierzy DH dogodnie jest zebraæ w wektor: j

[

Ak ≡ a j

αj

Èk

dk

]T

(2.33)

co porz¹dkuje i u³atwia opis uk³adów wielocz³onowych. Dysponuj¹c macierz¹ transformacji zgodn¹ z za³o¿eniami DH, przeanalizujemy teraz znaczenie geometryczne i kinematyczne poszczególnych parametrów – sk³adowych wektora (2.33). W tym celu cz³onom j, k fragmentu uk³adu kinematycznego przypisujemy uk³ady lokalne {j}, {k}. Na rysunku 2.6 pokazano przypadek, kiedy cz³ony j, k

60

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

Rys. 2.6. Uk³ady wspó³rzêdnych dla notacji DH – para obrotowa

tworz¹ parê obrotow¹, na rys. 2.7 parê postêpow¹. Zgodnie z regu³¹ osie zj i zk s¹ poprowadzone wzd³u¿ osi par kinematycznych, natomiast oœ xj jest prostopad³a do osi zk. Jak nietrudno zauwa¿yæ w obu przypadkach (rys. 2.6, 2.7) cz³on j w sensie geometrycznym mo¿e byæ rozpatrywany jako dwie proste zwichrowane, których odleg³oœæ (mierzona wzd³u¿ prostopad³ej do tych prostych) ma wartoœæ sta³¹ i jest pierwszym elementem aj wektora (2.33). K¹t zwichrowania αj tych osi jest kolejnym parametrem w (2.33) i tak¿e ma wartoœæ sta³¹. Dwa pozosta³e parametry nale¿y rozpatrywaæ oddzielnie dla pary obrotowej i postêpowej. W przypadku pary obrotowej (rys. 2.6) k¹t Θk jest zmienny i wyra¿a przemieszczenie k¹towe w tej parze. Dok³adniej k¹t Θk opisuje obrót uk³adu {k}, zwi¹zanego

Rys. 2.7. Uk³ady wspó³rzêdnych dla notacji DH – para postêpowa

2.3. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów p³askich

61

z cz³onem k, precyzyjnie osi xk wzglêdem osi xj wokó³ osi zk, a pomiar k¹ta Θk nastêpuje zgodnie z regu³¹ œruby prawoskrêtnej. Brak przemieszczenia cz³onu k wzd³u¿ osi zk wskazuje jednoznacznie, ¿e czwarty parametr zale¿noœci(2.33) ma w przypadku pary obrotowej wartoœæ sta³¹ (dk = const). W przypadku pary postêpowej (rys. 2.7) k¹t Θk ma wartoœæ sta³¹, poniewa¿ konstrukcja tej pary nie umo¿liwia ruchu obrotowego wzglêdem osi zk. Natomiast mo¿liwe jest tutaj przemieszczenie liniowe cz³onu k wzglêdem j wzd³u¿ osi zk. Odleg³oœæ dk mierzona wzd³u¿ osi zk – miêdzy osiami xj i xk – wyra¿a przemieszczenie liniowe w parze postêpowej. Równie¿ tutaj istotny jest znak tego przemieszczenia, dodatni znak dk oznacza, ¿e od osi xj do osi xk przemieszczamy siê zgodnie ze zwrotem osi zk.

2.3. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów p³askich 2.3.1. Rozwi¹zanie graficzno-analityczne 2.3.1.1. Metoda bezpoœrednia Bezpoœrednia metoda geometryczna opisu konfiguracji uk³adu kinematycznego stanowi w istocie zapis analityczny kolejnych etapów metody wykreœlnej, która polega na znajdowaniu po³o¿eñ charakterystycznych punktów cz³onów. Po³o¿eñ tych punktów poszukuje siê na ich trajektoriach wynikaj¹cych z wiêzów (d³ugoœci, k¹tów) narzucanych przez poszczególne cz³ony i pary kinematyczne. Nale¿y podkreœliæ, ¿e obecnie, gdy konstruktor dysponuje komputerowymi systemami graficznymi, uzyskiwane dok³adnoœci metod graficznych nie ustêpuj¹ metodom analitycznym. Mo¿na z pe³n¹ odpowiedzialnoœci¹ stwierdziæ, ¿e wiele zalet rozwi¹zania graficznego czêsto sk³ania do ich wykorzystywania w praktyce. Przede wszystkim otrzymany schemat jest najlepszym noœnikiem informacji o w³asnoœciach uk³adu kinematycznego zwi¹zanych z jego konfiguracj¹. Zasadnicz¹ niedogodnoœci¹ metod graficznych jest brak mo¿liwoœci szybkiego uzyskiwania wyników przy jakichkolwiek zmianach wymiarów. Metoda ta mo¿e byæ zatem polecana do analiz jednostkowych oraz, co zostanie uwypuklone w dalszej czêœci, jako pierwsze rozwi¹zanie przydatne w metodach numerycznych. Dalej przedstawiono przyk³ady analizy po³o¿eñ, które wskazuj¹ na metodê postêpowania.

PRZYK£AD 2.2 Jako pierwszy rozpatrzmy prosty uk³ad jarzmowy (rys. 2.8), w którym cz³on napêdzaj¹cy 1 obraca siê wokó³ punktu A, w wyniku czego sworzeñ B wchodzi okresowo w ruchowe po³¹czenie z cz³onem napêdzanym 2, przemieszczaj¹c siê w odpowiednio ukszta³towanej szczelinie. Jak widaæ z rysunku 2.8 przejœcie punktu B po trajektorii µB

62

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

Rys. 2.8. Mechanizm przystankowy – rysowanie po³o¿enia

z po³o¿enia B do B1 wywo³a przemieszczenie cz³onu 2 o skok s2. Zwróæmy uwagê, ¿e po wyjœciu sworznia B ze szczeliny cz³onu 2, ten ostatni bêdzie pozostawa³ w spoczynku. Uk³ady tego typu nosz¹ miano mechanizmów przystankowych – transformuj¹ ci¹g³y ruch cz³onu czynnego na  ruch przystankowy cz³onu biernego. Sformu³owanie zale¿noœci analitycznej wi¹¿¹cej k¹t obrotu cz³onu 1 z przesuwem cz³onu 2 nie nastrêcza k³opotów.

PRZYK£AD 2.3 Na rysunku 2.9 przedstawiono czworobok przegubowy w dwóch po³o¿eniach z zaznaczeniem konstrukcji graficznej znajdowania tych konfiguracji. Niezbêdne czynnoœci graficzne wynikaj¹ wprost z cech tego uk³adu. Jest oczywiste, ¿e trajektori¹ µB punktu B jest okr¹g, natomiast punktu C ³uk µC okrêgu, co w po³¹czeniu ze sta³¹ d³ugoœci¹ cz³onu BC umo¿liwia zakreœlenie z punktu B1 ³uku promieniem R = BC, ustalaj¹c po³o¿enie punktu C1. Dowolna zmiana wartoœci k¹ta Θ1 jednoznacznie ustala po³o¿enie punktu B, a to skutkuje zmian¹ konfiguracji czworoboku. Sposób postêpowania w metodzie geometrycznej omówiony na przyk³adzie czworoboku przegubowego (rys. 2.9) mo¿e stanowiæ podstawê do wyznaczenia zale¿noœci umo¿liwiaj¹cych œcis³e okreœlanie zmiennych konfiguracyjnych, a zadanie sformu³owane jest nastêpuj¹co: ZnaleŸæ konfiguracjê uk³adu (rys. 2.10) dla zadanego po³o¿enia cz³onu napêdzaj¹cego AB (k¹t Θ1), co w istocie oznacza, po przyjêciu uk³adu odniesienia x0 y0

Rys. 2.9. Czworobok przegubowy – rysowanie po³o¿enia

2.3. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów p³askich

63

zwi¹zanego z podstaw¹ AD, koniecznoœæ zdefiniowania zale¿noœci wyra¿aj¹cych orientacjê cz³onów 2 i 3 (k¹ty Θ2 i Θ3) oraz po³o¿enie punktu M (wspó³rzêdne xM i yM). Znane s¹ wymiary cz³onów (rys. 2.10), a zadanie polega na wyprowadzeniu zale¿noœci:

È 2 = È2 (a, b, c, d , È1),

È3 = È3 ( a, b , c, d , È1)

xM = xM ( a, b, c, d , e, β , È1),

y M = y M ( a, b, c, d , e, β , È1)

Rys. 2.10. Czworobok przegubowy – oznaczenia wymiarów i zmiennych

Po przyjêciu uk³adu odniesienia x0 y0 (oœ odciêtych przyjêto wzd³u¿ wymiaru d podstawy AD) wyznacza siê wspó³rzêdne punktu B:

x B = a cos È1

(2.34)

y B = a sin È1

(2.35)

Gdy s¹ ju¿ umiejscowione punkty B i D, po³o¿enie punktu C okreœla siê graficznie, kreœl¹c do przeciêcia dwa okrêgi (rys. 2.9) o promieniach b i c – pierwszy z punktu B, drugi z D. Odpowiada to nastêpuj¹cym równaniom:

b 2 = (xC − xB ) + (yC − y B )

(2.36)

c 2 = (xC − d ) + yC2

(2.37)

2

2

2

64

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

Dalsze postêpowanie polega ju¿ tylko na wykonywaniu stosownych przekszta³ceñ. Po wykonaniu potêgowania prawych stron równañ (2.36) i (2.37), po uwzglêdnieniu (2.34) i (2.35), ich zsumowanie prowadzi do zale¿noœci:

xC =

a2 − b2 + c2 − d 2 2 y B yC 2 y B yC − = C1 − 2(x B − d ) 2(xB − d ) 2(x B − d )

(2.38)

Po podstawieniu (2.38) do (2.37) otrzymujemy równanie kwadratowe: 2

  y y yC2 +  C1 − B C − d  − c 2 = 0 xB − d  

(2.39)

z którego mo¿na wyznaczyæ dwie wartoœci wspó³rzêdnej yC:

yC =

− s ± s 2 − 4 pq 2p

(2.40)

gdzie

p=

y B2

(xB − d )

2

+ 1,

q = ( d − C1 ) 2 − c 2 ,

s=

2 y B (d − C1 ) xB − d

Dwa rozwi¹zania równania (2.40) wskazuj¹ jednoznacznie na dwie mo¿liwe konfiguracje uk³adu – punkty C i C* oraz odpowiednio k¹ty Θ2 i Θ3 oraz Θ2* i Θ3*. Dysponuj¹c wspó³rzêdnymi punktu C (zal. (2.38), (2.40)), wyznaczamy wartoœci k¹tów opisuj¹cych orientacjê cz³onów 2 i 3 z zale¿noœci:

 y − yB È2 = arctg  C  xC − xB

  

 y  È3 = arctg  C   xC − d 

(2.41)

(2.42)

Wyznaczenie wspó³rzêdnych punktu M nie stanowi ju¿ ¿adnego k³opotu: xM = a cos È1 + e cos (È 2 + â )

(2.43)

y M = a sin È1 + e sin (È2 + â )

(2.44)

2.3. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów p³askich

65

Dysponowanie analitycznym opisem po³o¿enia uk³adu kinematycznego w postaci funkcji jawnych jest korzystne z wielu wzglêdów. Jest to przede wszystkim punkt wyjœcia do kolejnych analiz, nie tylko kinematycznych. Z metod analitycznych otrzymuje siê wyniki dok³adne, a wykorzystanie najprostszego œrodowiska obliczeñ umo¿liwia wielokrotn¹ analizê dla ró¿nych wariantów wymiarowych.

2.3.1.2. Metoda poœrednia – modyfikacji W poprzednim uk³adzie (przyk³ad 2.3) graficzne okreœlenie po³o¿enia sprowadza³o siê do prostych operacji kreœlenia ³uków. W innych przypadkach konieczne bêdzie wykreœlanie stycznych do okrêgów, prostych równoleg³ych itp. prostych operacji graficznych. Istnieje wiele uk³adów kinematycznych, dla których rozwi¹zanie zadania znalezienia konfiguracji jest niemo¿liwe do wykonania metod¹ bezpoœredni¹ wykorzystan¹ w poprzednim uk³adzie. Na ogó³ w takich przypadkach konieczne s¹ specjalne zabiegi wydzielania czêœci uk³adu, wspomagaj¹ce wyznaczanie trajektorii itp. Istotê takiego podejœcia ilustruje przyk³ad.

PRZYK£AD 2.4 Przyk³ad mechanizmu, dla którego okreœlenie konfiguracji wymaga szczególnych zabiegów pokazano na rys. 2.11. Jest to uk³ad o piêciu cz³onach ruchomych, w którym mo¿na wyró¿niæ czworobok przegubowy ABCD oraz do³¹czony do niego dwucz³on EF w postaci ³¹cznika i suwaka. Rozpatrzmy oddzielnie dwa przypadki ró¿ni¹ce siê miejscem przy³o¿enia napêdu. Cz³onem czynnym bêdzie w jednym przypadku cz³on AB, w drugim przypadku suwak. Je¿eli cz³onem czynnym jest cz³on AB, to konfiguracja uk³adu jest ³atwa do okreœlenia, z rys. 2.11 widaæ, ¿e: • punkt B porusza siê po okrêgu µB i jego po³o¿enie jest znane w przypadku zdefiniowanego ruchu cz³onu AB – œrodkiem okrêgu jest punkt A, • trajektoria µC punktu C te¿ jest okrêgiem, którego œrodkiem jest punkt D, • trajektoria µF punktu F jest odcinkiem, • odleg³oœci pomiêdzy punktami B, C oraz E, F s¹ œciœle okreœlone. Podane spostrze¿enia dla znanego po³o¿enia punktu B umo¿liwiaj¹ ³atwe wyznaczenie kolejno punktów C, E, a nastêpnie punktu F. Wymagane jest wykonanie prostych operacji graficznych z wykorzystaniem o³ówka, cyrkla i linijki. Wielokrotne powtórzenie tych operacji pozwala znaleŸæ m.in. trajektoriê µE, jak widaæ krzyw¹ zamkniêt¹ o z³o¿onym kszta³cie. Przypadek drugi, kiedy ruch uk³adu jest wymuszany ruchem suwaka, okazuje siê bardziej k³opotliwy. Jak widaæ poprowadzenie z punktu F ³uku promieniem R = EF umo¿liwi rozwi¹zanie, je¿eli wczeœniej znana bêdzie trajektoria µE. Jej wykreœlenie wymaga uprzedniego roz³¹czenia uk³adu w parze kinematycznej E i rysowania kolejnych po³o¿eñ czworoboku ABCD, co nie sprawia ¿adnego k³opotu. Z rysunku 2.11 widaæ te¿, ¿e nawet dysponuj¹c trajektori¹ µE pojawia siê nastêpny problem. £uk o promieniu

66

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

Rys. 2.11. Uk³ad szeœciocz³onowy – rysowanie po³o¿enia

R = EF i œrodku w F przecina tor µE w dwóch punktach E i E*, co odpowiada dwóm konfiguracjom czworoboku ABCD i AB*C*D. Wybór w³aœciwej wymaga wiêc znajomoœci „historii ruchu” – informacji o po³o¿eniach wczeœniejszych. W zadaniu tym do okreœlenia konfiguracji zastosowano metodê poœredni¹, polegaj¹c¹ na wydzieleniu czêœci uk³adu i rozpatrzeniu zadania prostszego (czworoboku ABCD). Takie sposoby s¹ czêsto stosowane do znajdowania konfiguracji i szerzej do rozwi¹zywania zadañ kinematyki i nosz¹ nazwê metody modyfikacji [19]. Trudnoœci w graficznym znajdowaniu konfiguracji przek³adaj¹ siê na metody analityczne. W wielu przypadkach mo¿e to oznaczaæ, ¿e znalezienie rozwi¹zania jawnego jest bardzo k³opotliwe, czêsto niemo¿liwe. W rozpatrywanym przypadku, gdy znane jest po³o¿enie suwaka, znane s¹ wspó³rzêdne punktu F (xF, yF), rozwi¹zanie analityczne polega na znalezieniu jawnych wyra¿eñ na po³o¿enie punktu  E, co jak w metodzie graficznej wymaga uprzedniego zajêcia siê czworobokiem ABCD. Wczeœniejsze rozwa¿ania dotycz¹ce czworoboku (rys. 2.10) wykazuj¹ jednoznacznie z³o¿onoœæ wyra¿eñ okreœlaj¹cych wspó³rzêdne punktu E, a k³opoty potêguje istnienie wielu rozwi¹zañ (dwóch konfiguracji czworoboku ABCD dla za³o¿onej wartoœci Θ1). Za³ó¿my znajomoœæ tych wyra¿eñ w postaci:

xE = xE (È1 ),

y E = y E (È1 )

(2.45)

Wtedy nale¿y ju¿ tylko rozwi¹zaæ nastêpuj¹ce równanie: 2 =0 F = (x E − x F ) + (y E − y F ) − lEF 2

2

(2.46)

2.3. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów p³askich

67

Z³o¿onoœæ i uci¹¿liwoœæ wymaganych dzia³añ algebraicznych zmierzaj¹cych do znalezienia wyra¿enia okreœlaj¹cego k¹t Θ1 nie musi ju¿ byæ wykazywana. Mo¿na te¿ pos³u¿yæ siê metodami numerycznymi. Wtedy zadanie mo¿e polegaæ na znalezieniu w³aœciwego pierwiastka funkcji F (2.46), w której wystêpuje tylko jedna zmienna Θ1.

2.3.2. Metody analityczne 2.3.2.1. Metoda wektorowa W metodzie wektorowej opis analityczny uzyskuje siê z zapisu wieloboków wektorów utworzonych z odpowiednich wymiarów liniowych cz³onów. Liczba równañ wektorowych – zwyk³e sumowanie wektorów – odpowiada liczbie zamkniêtych konturów uk³adu kinematycznego. Po przyjêciu globalnego uk³adu wspó³rzêdnych prostok¹tnych i przypisaniu kolejnym wektorom k¹tów ich zorientowania wzglêdem osi odciêtych, równania sumy wektorów rzutuje siê na osie uk³adu wspó³rzêdnych, czego wynikiem jest uk³ad równañ algebraicznych. Tak otrzymany uk³ad równañ nale¿y ju¿ tylko odpowiednio przekszta³caæ a¿ do uzyskania wyra¿eñ na zmienne wielkoœci liniowe i k¹towe.

PRZYK£AD 2.5 Sposób postêpowania w metodzie wektorowej przedstawiono na przyk³adzie czworoboku przegubowego (rys. 2.12), a zadanie sformu³owane jest podobnie jak w metodzie geometrycznej: ZnaleŸæ konfiguracjê uk³adu dla zadanego po³o¿enia cz³onu napêdzaj¹cego AB (k¹t Θ1), co w istocie oznacza, po przyjêciu uk³adu odniesienia x0 y0 zwi¹zanego z podstaw¹ AD koniecznoœæ zdefiniowania zale¿noœci wyra¿aj¹cych orientacjê cz³onów 2 i 3 (k¹ty Θ2 i Θ3) oraz po³o¿enie punktu M (wspó³rzêdne xM i yM). Znane s¹ wymiary cz³onów (rys. 2.12), a zadanie polega na wyprowadzeniu zale¿noœci:

È2 = È2 (a, b, c, d , È1) È3 = È3 ( a, b, c, d , È1) xM = xM ( a, b, c, d , e, β , È1) y M = y M ( a, b, c, d , e, β , È1) W uk³adzie czworoboku (rys. 2.12) wystêpuje tylko jeden kontur ABCD, który zast¹piony stosownymi wektorami daje jedno równanie wektorowe o postaci:

a +b −d −c =0

(2.47)

68

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

Rys. 2.12. Czworobok przegubowy – wspó³rzêdne „wektorowe”

Wektory rzutowane na osie x0 i y0 daj¹ uk³ad równañ:

a cos È1 + b cos È2 − d − c cos È3 = 0  a sin È1 + b sin È2 − c sin È3 = 0

(2.48)

W zale¿noœciach (2.48) wystêpuj¹ dwie niewiadome Θ2 i Θ3, których wyznaczenie wymaga rutynowych przekszta³ceñ. W pierwszej kolejnoœci znajdujemy wyra¿enie okreœlaj¹ce k¹t Θ3. W równaniach (2.48) wyrazy z k¹tem Θ2 grupujemy po ich lewych stronach i podnosimy obustronnie do kwadratu:

b cos È = − a cos È + d + c cos È 2 2 1 3   2 b sin È2 = −a sin È1 + c sin È3 otrzymujemy:

b 2 cos 2 È2 = (− a cos È1 + d + c cos È3 )2  2 2 b sin È2 = (− a sin È1 + c sin È3 )2

(2.49)

a po dodaniu obu równañ (2.49) stronami mamy:

(

)

b 2 cos 2 È2 + sin 2 È2 = (− a cos È1 + d + c cos È3 )2 + (− a sin È1 + c sin È3 )2

(2.50)

Wykonanie potêgowania, wykorzystanie jedynki trygonometrycznej oraz pogrupowanie sk³adników daje:

b 2 = a 2 + c 2 + d 2 − 2ad cos È1 + 2cd cos È3 − 2ac (sin È1 sin È3 + cos È1 cos È3 )

(2.51)

2.3. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów p³askich

69

Uproszczenie równania (2.51) polega na pomno¿eniu wszystkich sk³adników przez 1/2ac oraz wykorzystaniu wyra¿enia:

(sin È1 sin È3 + cos È1 cos È3 ) = cos(È1 − È3 ) Wprowadzenie sta³ych:

k1 =

d , a

k2 =

d , c

k3 =

a2 − b 2 + c2 + d 2 2ac

prowadzi do zale¿noœci: k1 cos È3 − k 2 cos È1 + k 3 = cos (È1 − È3 )

(2.52)

okreœlanej w literaturze powszechnie jako równanie Freudensteina, szczególnie u¿yteczne w syntezie mechanizmu czworoboku przegubowego. W analizie dogodniej jest pos³u¿yæ siê równaniem o postaci: k1 cos È3 − k 2 cos È1 + k3 = sin È1 sin È3 + cos È1 cos È3

(2.53)

a w celu jego rozwik³ania wykorzystaæ podstawienie:

sin Èi =

2u , 1+ u2

cos Èi =

1− u2 , 1+ u2

È  u = tg  i   2 

(2.54)

Kolejne przekszta³cenia prowadz¹ wtedy do równania kwadratowego:

È  È  C1 tg 2  3  + C2 tg 3  + C3 = 0  2   2 

(2.55)

gdzie: C1 = cos Θ1 – k1 – k2cos Θ1 + k3 , C2 = –2sin Θ1 , C3 = k1 – (k2 + 1) cos Θ1 . Dwa pierwiastki równania (2.55) to:

 − C ± C 2 − 4C C 2 2 1 3 È3 = 2arctg  2C1 

   

(2.56)

Identyczna droga prowadzi do wyprowadzenia zale¿noœci okreœlaj¹cej k¹t Θ2. Tym razem z równañ (2.48) nale¿y wyeliminowaæ k¹t Θ3. Przeniesienie sk³adników z k¹tem Θ3 na praw¹ stronê równañ i ich podniesienie do kwadratu:

a cos È + b cos È − d = c cos È 2 1 2 3   2 a sin È1 + b sin È2 = c sin Θ3

70

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

daje wyra¿enie:

(a cos È1 + b cos È2 − d )2 + (a sin È1 + b sin È2 )2 = c 2 które ju¿ nie zawiera Θ3. Wykonuj¹c kolejne dzia³ania i stosowne przekszta³cenia, otrzymuje siê równanie: k1 cos È 2 + k 4 cos È1 + k5 = cos È1 cos È2 + sin È1 sin È 2

(2.57)

w którym dokonano podstawieñ:

k1 =

d , a

k4 =

d , b

k5 =

c2 − d 2 − a 2 − b2 2ab

Kolejne podstawienie wyra¿eñ (2.54) do (2.57) prowadzi do równania kwadratowego w postaci:

È  È  C4 tg 2  2  + C5 tg  2  + C6 = 0  2   2 

(2.58)

w którym: C4 = cos Θ1 – k1 – k4cos Θ1 + k5 , C5 = –2sin Θ1 , C6 = k1 + (k4 – 1) cos Θ1 + k5 . Ostatecznie, podobnie jak w przypadku wyra¿enia okreœlaj¹cego k¹t Θ3, otrzymano relacjê daj¹c¹ dwa rozwi¹zania:

 − C ± C 2 − 4C C 5 5 4 6 È2 = 2arctg   2C 4 

   

(2.59)

Wyznaczenie wspó³rzêdnych punktu M wymaga ju¿ tylko rzutowania oczywistego równania wektorowego:

rM = a + e co daje ostatecznie:

xM = a cos È1 + e cos(È2 + â ) y M = a sin È1 + e sin (È2 + â )

2.3. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów p³askich

71

2.3.2.2. Metoda liczb zespolonych W metodzie tej równie¿ wykorzystuje siê mo¿liwoœæ zast¹pienia uk³adu kinematycznego odpowiednimi ³añcuchami wektorów. Wektory zapisuje siê za pomoc¹ liczb zespolonych, a otrzymane równania po odpowiednich przekszta³ceniach daj¹ w rezultacie równania algebraiczne. Nie trzeba dowodziæ, ¿e takie podejœcie w efekcie koñcowym daje wyniki podobne do uzyskiwanych w metodzie wektorowej. Jak wiadomo liczba zespolona z reprezentuje wektor o sk³adowych x, y:

z = x + iy

(2.60)

a zapisana w notacji geometrycznej (Eulera) ma postaæ:

z = re iÈ = r (cos È + i sin È )

(2.61)

gdzie i = − 1 . Modu³ r wektora oblicza siê z zale¿noœci:

r = x2 + y2 natomiast jego kierunek opisany jest k¹tem mierzonym wzglêdem osi x i wynosi:  y È = arctg   x

W analizie za pomoc¹ liczb zespolonych potrzebne jest jeszcze pojêcie liczby zespolonej sprzê¿onej, któr¹ definiuje siê wed³ug zale¿noœci:

~z = re −iÈ = r (cos È − i sin È )

(2.62)

oraz elementarne dzia³ania w postaci: z~z = re iÈ re −iÈ = r 2

(2.63)

z + ~z = re iÈ + re −iÈ = r (cos È + i sin È ) + r (cos È − i sin È ) = 2r cos È

(2.64)

oraz

PRZYK£AD 2.6 Rozpatrzmy czworobok przedstawiony na rysunku 2.13, którego cz³ony ponumerowano podobne jak w uk³adzie analizowanym metod¹ wektorow¹. Identyczne s¹ te¿ oznaczenia d³ugoœci cz³onów i k¹ty ich orientacji.

72

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

Punktem wyjœcia jest równanie wektorowe: (2.65)

a+b =c+d

W zapisie za pomoc¹ liczb zespolonych równanie (2.65) ma postaæ: 0 ae iÈ1 + beiÈ2 = de i⋅ + ce iÈ3

(2.66)

Korzystaj¹c z (2.61) po rozdzieleniu czêœci rzeczywistej i urojonej mamy uk³ad równañ:

Rys. 2.13. Czworobok przegubowy – wspó³rzêdne „zespolone”

a cos È1 + b cos È2 = d + c cos È3

(2.67)

a sin È1 + b sin È2 = c sin È3 Zastosujemy teraz liczby zespolone sprzê¿one:

~ ~ a = ae −iÈ1 , b = be −iÈ2 , ~c = ce −iÈ3

(2.68)

W celu eliminacji k¹ta Θ2 trzeba z prawej strony równania (2.65) pozostawiæ liczbê o k¹cie orientacji Θ2 , a wiêc b: (2.69)

a − c − d = −b

Liczby zespolone sprzê¿one zestawione w równanie identyczne z (2.69) daj¹ równie¿ prawdziw¹ zale¿noœæ:

~ ~ ~ a − ~c − d = −b

(2.70)

Po wymno¿eniu stronami równañ (2.69) i (2.70) otrzymujemy:

~ ~ (a − c − d )( ~ a − ~c − d ) = b b i kolejno

~ ~ ~ ~ a~ a − c~ a − d~ a − a~c + c~c + d ~c − ad + cd + dd = b b Po podstawieniu (2.63), (2.68) i pogrupowaniu mamy:

(

) (

)

a 2 + c 2 + d 2 − (dae iÈ1 + dae −iÈ1 ) + cde −iÈ3 + cde iÈ3 − ace −i (È1 −È3 ) + ace i (È1 −È3 ) = b 2 a po wykorzystaniu (2.64) uzyskujemy relacjê:

a 2 + c 2 + d 2 − 2ad cos È1 + 2cd cos È3 − 2ac cos(È3 − È1 ) = b 2

(2.71)

2.3. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów p³askich

73

Po przekszta³ceniu równania (2.65), tak aby wektor c znalaz³ siê po prawej stronie, jest mo¿liwe wyeliminowanie k¹ta Θ3. Otrzymamy wtedy:

a +b −d =c

(2.72)

~ ~ ~ a + b − d = ~c

(2.73)

i w formie liczb sprzê¿onych

Po wymno¿eniu stronami (2.72) i (2.73) jest:

~ ~ ~ ~ ~ ~ a~ a + b~ a − d~ a + ab + b b − db − ad − b d + dd = c~c a po podstawieniu (2.63), (2.68) i pogrupowaniu uzyskujemy:

(

)

(

)

a 2 + b 2 + d 2 + abei (È2 −È1 ) − dae iÈ1 + dae −iÈ1 + abei (È1 −È2 ) − dbe iÈ2 + dbe −iÈ2 = c 2 i kolejno

(

) (

) (

)

a 2 + b 2 + d 2 + abe i (È2 −È1 ) + abe −i (È2 −È1 ) − dae iÈ1 + dae −iÈ1 − dbe iÈ2 + dbe − iÈ2 = c 2 Zastosowanie (2.64) prowadzi do nastêpuj¹cego równania:

a 2 + b 2 + d 2 + 2ab cos (È2 − È1 ) − 2da cos È1 − 2db cos È2 = c 2

(2.74)

Otrzymane tutaj zale¿noœci s¹ oczywiœcie to¿same z tymi, które uzyskano metod¹ wektorow¹ dla uk³adu z rys. 2.12. Mo¿na siê o tym przekonaæ, porównuj¹c np. zale¿noœci (2.71) i (2.51). Pomimo pozornej identycznoœci zapisu wektorowego i za pomoc¹ liczb zespolonych, te ostatnie s¹ chêtnie i czêsto wykorzystywane zarówno w analizie, jak i w syntezie uk³adów kinematycznych. Popularnoœæ tego opisu w analizie wynika, jak siê wydaje, z korzystnych w³asnoœci liczb zespolonych, szczególnie w operacjach ró¿niczkowania i ca³kowania. Zachodzi bowiem zale¿noœæ:

d iÈ e = ie iÈ dÈ a gdy k¹t Θ jest funkcj¹ czasu mamy:

d iÈ (t ) e = (ie iÈ ) È dt

74

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

2.3.3. Metoda wspó³rzêdnych absolutnych Wspó³rzêdne absolutne stanowi¹ wspó³czeœnie jedn¹ z czêœciej stosowanych koncepcji opisu uk³adów wielocz³onowych. Popularnoœæ sw¹ zawdziêczaj¹ z jednej strony prostocie i ³atwoœci sformalizowania wyprowadzania równañ, z drugiej coraz ³atwiej dostêpnym komputerom. Sformu³owanie równañ opisuj¹cych uk³ad kinematyczny za pomoc¹ wspó³rzêdnych absolutnych wymaga znajomoœci równañ wiêzów dla poszczególnych par kinematycznych. Poni¿ej wyprowadzono równania wiêzów dla najczêœciej wykorzystywanych w praktyce uk³adów p³askich.

2.3.3.1. Równania wiêzów par kinematycznych Para obrotowa. To najbardziej oczywisty przypadek i dlatego jest rozpatrywany w pierwszej kolejnoœci. Dwa cz³ony j, k (rys. 2.14) maj¹ przygotowane pó³pary (sworzeñ i tuleja), których œrodki – punkty Mj i Mk – zawsze siê pokrywaj¹. Porównuj¹c zatem wektory opisuj¹ce po³o¿enie obydwu punktów w uk³adzie globalnym {0}, otrzyma siê równania wiêzów pary obrotowej.

Rys. 2.14. Para obrotowa uk³adu p³askiego

Przypisuj¹c cz³onom j, k uk³ady lokalne {j}, {k}, w których jest opisane po³o¿enie punktów Mk oraz Mj, ³atwo mo¿na opisaæ po³o¿enie tych punktów w uk³adzie {0}7

rM = rMk = p k + A k rM k

rM = rMj = p j + A j rM j

(2.75)

7 W kolejnych równaniach pomijane bêd¹ stosowane dotychczas oznaczenia – wyk³adnik przed symbolem – wskazuj¹ce, w którym uk³adzie jest wyra¿ony wektor lub macierz. Taka zasada bêdzie stosowana, kiedy uk³adem odniesienia bêdzie uk³ad globalny {0}, który zawsze ma numer zerowy, np. 0rM = rM.

75

2.3. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów p³askich

Na podstawie (2.75) równania wiêzów dla pary obrotowej maj¹ postaæ: •  w formie wektorowej:

rMk − rMj = 0

→

k

j

p k + A k rM − p j − A j rM = 0

(2.76)

• w formie macierzowej:

 x k  cos È k  +  y k   sin È k

− sin È k   k rMx   x j  cos È j − −  cos È k   k rMy   y j   sin È j

− sin È j   j rMx   = 0 (2.77)  cos È j   j rMy   

Para postêpowa. W przypadku pary postêpowej cz³ony, które j¹ tworz¹, odbieraj¹ sobie wzajemnie dwa stopnie swobody. Na kierunku dopuszczalnego ruchu wzglêdnego (rys. 2.15) obieramy dwa punkty M, Q le¿¹ce na cz³onie j oraz punkt N le¿¹cy na cz³onie k. Punkty te wyznaczaj¹ dwa wektory djk oraz u, które umo¿liwiaj¹ sformu³owanie równañ wiêzów tej pary. Przyj¹wszy uk³ady lokalne {j} i {k} przynale¿ne cz³onom j, k oraz uk³ad globalny {0} mo¿emy opisaæ punkty N, M i Q w uk³adzie globalnym nastêpuj¹cymi równaniami:

rN = rk + A k k rN rM = r j + A j j rM rQ = r j + A j j rQ

Rys. 2.15. Para postêpowa uk³adu p³askiego

76

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

Za pomoc¹ wektorów opisuj¹cych po³o¿enie punktów N, M, Q mo¿na zdefiniowaæ dwa wektory. Pierwszy wektor opisuje przemieszczenie liniowe w parze postêpowej i wynosi:

d jk = rN − rM

(2.78)

Drugi wektor opisuje kierunek ruchu wzglêdnego i ma postaæ:

u = Aj

(r j

Q−

j

rM

)

Po odwróceniu wektora u o k¹t prosty uzyskuje siê:

0 − 1 j j j j ⊥ u⊥ =   A j rQ − rM = R A j rQ − rM 1 0  

(

)

(

)

(2.79)

Pierwsze równanie wiêzów pary przesuwnej wynika wprost z koniecznoœci zapewnienia wspó³liniowoœci wyprowadzonych z punktu M wektorów djk oraz u i ma postaæ:

d jk ⋅ u ⊥ = 0

(2.80)

Drugie równanie musi zapewniæ jednakowe przemieszczenie k¹towe obu cz³onów:

È j − Èk − c = 0

(2.81)

gdzie c = const. Równania (2.80) i (2.81) wraz z (2.78) i (2.79) s¹ równaniami wiêzów pary postêpowej. Para jarzmowa. Takie po³¹czenie cz³onów powoduje odebranie tylko jednego stopnia swobody. Sworzeñ cz³onu k (rys. 2.16) opisany punktem Mk musi zawsze pozostawaæ w szczelinie cz³onu j, która w rozpatrywanym przypadku ma kszta³t prostoliniowy, a jej kierunek wyznacza wersor e. Na osi wzd³u¿nej szczeliny obrano punkt Qj zwi¹zany z cz³onem j. Punkt Mk jest œrodkiem geometrycznym sworznia i nale¿y do cz³onu k. Wektory opisuj¹ce po³o¿enie punktów Qj i Mk w uk³adzie globalnym opisuj¹ równania:

rQ = r j + A j j rQ Rys. 2.16. Para jarzmowa uk³adu p³askiego

rM = rk + A k k rM

2.3. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów p³askich

77

Odleg³oœæ miêdzy punktami Qj i Mk, opisuj¹ca przemieszczenie liniowe w parze jarzmowej, wynosi:

d jk = rM − rQ = rk + A k k rM − r j − A j j rQ

(2.82)

Kierunek szczeliny na cz³onie j w uk³adzie globalnym wyznacza wersor e o sk³adowych:

e = [cos(È j + α j )

sin(È j + α j )] T

Ortogonalny do wersora e wektor:

e ⊥ = R ⊥ e = [ − sin( È j + α j )

cos(È j + α j )]T

(2.83)

wraz z wektorem djk okreœlaj¹ warunki wiêzów dla pary jarzmowej o szczelinie prostoliniowej. Punkt Mk bêdzie siê znajdowa³ w szczelinie, je¿eli wektory djk oraz e bêd¹ wspó³liniowe, a to oznacza koniecznoœæ spe³nienia nastêpuj¹cego iloczynu skalarnego:

e ⊥ ⋅ d jk = 0

(2.84)

Para kinematyczna „krzywka–kr¹¿ek”. Dla tej pary (rys. 2.17) w ka¿dym po³o¿eniu musi byæ zachowany kontakt krzywki i kr¹¿ka. Oznacza to, ¿e punkty P i Q (pierwszy nale¿y do krzywki j, drugi do popychacza k) musz¹ zawsze pozostawaæ w sta³ej odleg³oœci równej promieniowi r kr¹¿ka. Ponadto wektor n wyznaczony przez te punkty musi byæ zawsze prostopad³y do stycznej t do zarysu krzywki j w punkcie styku.

Rys. 2.17. Para krzywka–kr¹¿ek uk³adu p³askiego

78

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

Kszta³t krzywki mo¿e byæ zadawany funkcyjnie lub dyskretnie za pomoc¹ promienia ρ i k¹ta β. Wtedy po³o¿enie punktu P w uk³adzie cz³onu j opisuje wektor: j

cos β  rP = ρ    sin β 

(2.85)

co umo¿liwia wyznaczenie wektora jJ le¿¹cego na stycznej do zarysu krzywki, którego sk³adowe w uk³adzie {j} wynosz¹ [26]:

∂ρ   j − ρ sin β + ∂β cos β  ( ) ∂ r j P t=  = ∂β  ρ cos β + ∂ρ sin β    ∂β

(2.86)

a w uk³adzie globalnym j

t = Aj t

(2.87)

Po³o¿enie punktów P i Q w uk³adzie {0} opisuj¹ wektory:

rP = p j + A j rP j

k

rQ = p k + A k rQ co umo¿liwia wyznaczenie wektora n j

k

n = rP − rQ → n = p j + A j rP − p k − A k rQ

(2.88)

Równania wiêzów zatem maj¹ ostatecznie postaæ:

nT n − r 2 = 0 tT n = 0

(2.89)

Pierwsze z równañ (2.89) gwarantuje, ¿e odleg³oœæ punktów P i Q bêdzie równa promieniowi r kr¹¿ka, drugie – promieñ r (wektor n) bêdzie zawsze normalny do zarysu krzywki, tutaj prostopad³y do stycznej t. Para kinematyczna „krzywka–talerzyk”. Dla tego skojarzenia cz³onów (rys. 2.18), podobnie jak w poprzednim przypadku, oba cz³ony musz¹ pozostawaæ w ci¹g³ym kontakcie, a dodatkowo kierunek œlizgu (talerzyka) cz³onu k musi pokrywaæ siê ze styczn¹ t do zarysu krzywki j. Obieramy punkt P le¿¹cy na cz³onie j i wyznaczaj¹cy punkt styku obu elementów. Drugi punkt Q obieramy na œlizgu cz³onu k. Z punktu Q wyprowadzamy dwa prostopa-

2.3. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów p³askich

79

Rys. 2.18. Para krzywka–popychacz talerzykowy uk³adu p³askiego

d³e wektory nk i dkj, które umo¿liwiaj¹ sformu³owanie równania wiêzów. Podobnie jak w poprzednich przypadkach mamy wektor:

d kj = rQ − rP = p k + A k rQ − p j + A j rP k

j

(2.90)

zale¿ny, jak widaæ, od wspó³rzêdnych krzywki i popychacza oraz od kszta³tu krzywki. Wektor t wyznaczaj¹cy kierunek stycznej, opisywany jest podobnie jak dla pary krzywka–kr¹¿ek (2.86), (2.87). Równania wiêzów maj¹ tym razem postaæ:

d Tkj n k = 0 tT nk = 0

(2.91)

Pierwsze z równañ (2.91) gwarantuje kontakt obu elementów, drugie równanie natomiast zapewnia równoleg³oœæ œlizgu talerzyka do stycznej t. Dla opisanych tutaj par kinematycznych „krzywkowych” wyprowadzono po dwa równania wiêzów, chocia¿ w obu przypadkach mamy do czynienia z parami klasy drugiej (o dwóch stopniach swobody), co sugeruje istnienie jednego warunku wiêzów jak to jest w przypadku pary jarzmowej. Zwróæmy jednak uwagê na fakt, ¿e tym razem dochodzi jedna niewiadoma w postaci k¹ta β opisuj¹ca kszta³t krzywki, któr¹ nale¿y równie¿ wyznaczyæ przy okreœlaniu konfiguracji uk³adu kinematycznego. Para kinematyczna „zazêbienie”. Dla tego skojarzenia cz³onów (rys. 2.19) zachodzi toczenie siê po sobie dwóch kó³ tocznych, co skutkuje jednakow¹ prêdkoœci¹ liniow¹ punktów Pj i Pk wyznaczaj¹cych punkt kontaktu P. Rozpatruj¹c ruch obu kó³ j i k wzglêdem cz³onu m (jarzma), stwierdzamy, ¿e dla zazêbienia zewnêtrznego (rysunek 2.19) wektory prêdkoœci k¹towych maj¹ przeciwne

80

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

Rys. 2.19. Para kinematyczna typu zazêbienie

znaki, a wiêc wa¿ne jest równanie wyra¿aj¹ce prêdkoœæ liniow¹ punktów Pj i Pk w uk³adzie cz³onu m:

ν P = (ω j − ω m ) r j = −(ω k − ω m ) rk

m

które zapisane za pomoc¹ pochodnych k¹tów orientacji cz³onów j, k ma postaæ:

(È j − È m ) r j = −(È k − È m ) rk a po sca³kowaniu otrzymuje siê nastêpuj¹ce równanie wiêzów pary typu zazêbienie:

[(È j − È j 0 ) − (È m − È m 0 )] r j + [(È k − Èk 0 ) − (Èm − Èm 0 )] rk = 0

(2.92)

przy czym Θj0 Θk0 Θm0 to wartoœci pocz¹tkowe k¹tów orientacji odpowiednio cz³onów j, k, m odmierzane w uk³adzie globalnym {0}.

2.3.3.2. Równania wiêzów uk³adów kinematycznych p³askich Przystêpuj¹c do sformu³owania równañ opisuj¹cych konfiguracjê uk³adu z zastosowaniem wspó³rzêdnych absolutnych, przypomnijmy macierz transformacji (2.10) miêdzy dwoma uk³adami {j} i {k}:

cos j Èk  j A k =  sin j Èk   0

− sin j Èk cos j Èk 0

xk   j yk   1   j

2.3. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów p³askich

81

Jak widaæ elementy tej macierzy s¹ wyra¿one trzema zmiennymi – dwie sk³adowe wektora pozycji i k¹t orientacji. W przypadku kiedy odnosiæ bêdziemy cz³on k w relacji do podstawy (zawsze cz³on o numerze 0), dla uproszczenia zapisu sk³adowe wektora pozycji i orientacji cz³onu k (uk³adu {k}) wzglêdem podstawy 0 (uk³adu {0}) zbierzemy w wektor, w którym pomijamy wskaŸnik 0:

q k = [xk

Èk ]T

yk

Podobnie macierz transformacji z uk³adu {k} do uk³adu podstawy {0} zapiszemy jako:

cos È k  0 A k = A k =  sin È k   0

− sin È k cos È k 0

xk   yk   1 

Na podstawie za³o¿eñ dla uk³adu z³o¿onego z n cz³onów ruchomych wektor opisuj¹cy jego konfiguracjê ma zatem postaæ:

q = [x1

y1 È1

x2

y2

[

q T2

È2

... xn

yn

Èn ]

T

(2.93)

lub krócej q = q1T

... qTn

]

T

(2.94)

Wobec takiej umowy ³atwo stwierdzamy, ¿e dla jednoznacznego opisania uk³adu z³o¿onego z n cz³onów ruchomych (rys. 2.20) potrzebna jest znajomoœæ 3n wspó³rzêd-

Rys. 2.20. Uogólniony schemat kinematyczny

82

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

nych absolutnych, a to oznacza koniecznoœæ sformu³owania 3n równañ, które zbierzemy w wektor równañ o postaci:

Ö P ( q )  =0  Ö≡  ÖC (q, t )  3n×1

(2.95)

Pierwsza grupa równañ (.P) jest konsekwencj¹ ³¹czenia cz³onów parami kinematycznymi i s¹ to wyprowadzone wczeœniej równania wiêzów par. Druga grupa równañ (.C) jest wynikiem znajomoœci równañ opisuj¹cych wymuszenia kinematyczne (ruch cz³onów czynnych). Typy wymuszeñ. Wymuszenia kinematyczne mog¹ byæ ró¿nego rodzaju. Najogólniej s¹ to zale¿noœci zmian wielkoœci liniowych lub k¹towych wyra¿onych w funkcji czasu. Inaczej wymuszenia kinematyczne to funkcje zmian niektórych sk³adowych wektora q (2.93) w czasie lub funkcje wi¹¿¹ce ze sob¹ sk³adowe wektora q i czas. Ten ostatni przypadek oznacza np. wymuszanie zmian odleg³oœci (si³ownik) miêdzy dwoma punktami dwóch dowolnych cz³onów lub zale¿noœæ opisuj¹c¹ zmianê wzglêdnej orientacji dwóch dowolnie wybranych cz³onów. Liczba wymuszeñ kinematycznych jest to¿sama z ruchliwoœci¹ uk³adu.

Rys. 2.21. Ilustracja najczêstszych wymuszeñ

2.3. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów p³askich

83

Przyjmijmy, ¿e przez f (t) oznaczamy ogólnie funkcjê opisuj¹c¹ zmianê pewnej wielkoœci liniowej lub k¹towej w czasie. Najczêstsze rodzaje wymuszeñ dla opisu uk³adu za pomoc¹ wspó³rzêdnych absolutnych zestawiono na rys. 2.21. W przypadku kiedy wymuszamy ruch cz³onu k wzglêdem podstawy {0}, zmieniaj¹c po³o¿enie lub orientacjê przypisanego mu uk³adu lokalnego {k}, równania wymuszeñ kinematycznych maj¹ postaæ (rys. 2.21a):

 xk − f x ( t ) = 0  ÖC ≡  y k − f y (t ) = 0  Èk − f È (t ) = 0

(2.96)

Dla ruchu wzglêdnego dwóch cz³onów j i k, liniowego lub k¹towego, równania wymuszeñ z wykorzystaniem wspó³rzêdnych uk³adów {j} oraz {k} s¹ opisane zale¿noœciami (rys. 2.21b):

 xk − x j − f x (t ) = 0  ÖC ≡  y k − y j − f y (t ) = 0  Èk − È j − f È (t ) = 0

(2.97)

Stosunkowo czêsty przypadek (rys. 2.21c) wymuszenia ruchu uk³adu za pomoc¹ zmiany d³ugoœci si³ownika (ogólnie cz³onu zmiennej d³ugoœci) implikuje równanie w postaci:

(

ÖC ≡ x M − x N

) + (y 2

M

− yN

)

2

− f 2 (t ) = 0

(2.98)

W tym przypadku nale¿y pamiêtaæ, ¿e wspó³rzêdne punktów M i N s¹ wyra¿one w uk³adzie globalnym {0}, a wiêc do ich wyra¿enia stosuje siê równanie (2.7). Dla punktu M na cz³onie k oraz dla punktu N na cz³onie j otrzymujemy równania:

 k xM   xM  k  rM = A k rM →   = A k   k y M   y M  j

rN = A j rN

 j xN   xN  →  =Aj  j  y N   y N 

(2.99)

W niektórych sytuacjach mo¿e zachodziæ potrzeba wymuszania ruchu uk³adu przez przemieszczanie punktu, np. M przynale¿nego do cz³onu k (rys. 2.21d). Wtedy, podobnie jak w przypadku cz³onu zmiennej d³ugoœci (rys. 2.21c), wspó³rzêdne punktu M nale¿y transformowaæ do uk³adu {0} podstawy wed³ug (2.99). Tego typu wymuszenie bêdzie zatem zapisywane równaniami:

84

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

 xk + k xM cos È k − k y M sin Èk − f x (t ) = 0 Ö ≡ k k  y k + xM sin Èk + y M cos Èk − f y (t ) = 0 C

(2.100)

Dla wymuszenia w parze kinematycznej obrotowej utworzonej przez cz³ony j i k wzglêdne usytuowanie k¹towe przypisanych im uk³adów lokalnych {j} i {k}, zmienne w czasie wed³ug zale¿noœci f(t) oznacza, ¿e równanie wiêzów ma w tym przypadku postaæ:

ÖC ≡ Èk − È j − f (t )= 0

(2.101)

Równanie opisuj¹ce wymuszenie kinematyczne cz³onów j i k, tworz¹cych parê postêpow¹ ³atwo sformu³owaæ wed³ug rys. 2.15. Przemieszczenie w parze postêpowej (ruch wzglêdny) opisuje wektor djk, którego modu³ wyra¿ony w funkcji czasu daje równanie wiêzów pary postêpowej:

ÖC ≡

d jk ⋅ u u

− f (t ) = 0

(2.102)

Na podstawie równañ wiêzów, wynikaj¹cych z ³¹czenia cz³onów parami kinematycznymi, w sposób jednolity dla ró¿nych typów uk³adów mo¿na ³atwo formu³owaæ uk³ady równañ, które s¹ opisem konfiguracji. Poni¿ej przedstawiamy szczegó³owo wyprowadzenie równañ wiêzów dla wybranych uk³adów kinematycznych.

PRZYK£AD 2.7 Jako pierwszy rozpatrzmy uk³ad jarzmowy (rys. 2.22). Dzia³anie jego polega na transformowaniu ruchu obrotowego korby 1 na ruch p³aski cz³onu 2. Uk³ady lokalne {1} i {2} przyjêto tutaj w sposób szczególny, aby uzyskaæ mo¿liwie najprostsze równania wiêzów. Z rysunku 2.22 widaæ, ¿e punkt A (œrodek geometryczny pary A) w uk³adzie {0} zwi¹zanym z podstaw¹ 0 ma sk³adowe:

rA = [0 w]

T

(2.103)

natomiast w uk³adzie {1} cz³onu 1 punkt A wyznaczaj¹ sk³adowe: Rys. 2.22. Uk³ad jarzmowy

1

T rA = [0 0]

(2.104)

2.3. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów p³askich

85

Na podstawie (2.103) i (2.104) po³¹czenie cz³onów w parê A daje nastêpuj¹ce równania wiêzów: 0  0   x1   0   x1    =   + A1   →   −   = 0 0  w  y1   w  y1 

(2.105)

Punkt B transformowany z cz³onu 1 (uk³adu {1}) do cz³onu 0 (uk³adu {0}) ma wspó³rzêdne:

 x  cos È1 − sin È1  a  rB =  1  +     y1   sin È1 cos È1  0 

(2.106)

Punkt B transformowany z cz³onu 2 do cz³onu 0 opisuj¹ wspó³rzêdne:

 x  cos È2 rB =  2  +   y 2   sin È2

− sin È2  0 cos È2  b 

(2.107)

Na podstawie (2.106) i (2.107) para B generuje wiêzy zapisane równaniami: .

 x1  a cos È1   x2  − b sin È2   y  +  a sin È  −  y  −  b cos È  = 0  1   2  1 2 

(2.108)

Para jarzmowa wymusza ruch punktu C w szczelinie o kierunku osi x0. Jak widaæ, na rys. 2.22 punkt C pokrywa siê z pocz¹tkiem uk³adu lokalnego {2}. Wektor pozycji uk³adu {2} opisuje jednoczeœnie zatem punkt C w uk³adzie {0}:

p 2 = rC = [x2

y2 ]

T

Postaæ równania wiêzów pary jarzmowej C dla tak przyjêtego uk³adu lokalnego {2} nie wymaga wyprowadzeñ. Punkt C bêdzie zawsze znajdowa³ siê w szczelinie (na osi x0), je¿eli bêdzie spe³nione równanie:

y2 = 0

(2.109)

Identyczny wynik uzyska siê z zale¿noœci (2.84). Mamy bowiem w tym przypadku (rys. 2.22): T e ⊥ = [0 1]

d jk = rC = [x2

y 2 ]T

co ze wzoru (2.84) daje:

 x2  e ⊥ ⋅ d jk = [0 1]   = 0 → y 2 = 0  y2  równanie to¿same z (2.109).

86

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

Wszystkie wiêzy par uk³adu jarzmowego z rys. 2.22 tworz¹ uk³ad równañ:

x1     w − y1   Ö P ≡  x1 + a cos È1 − x2 + b sin È2  = 0    y1 + a sin È1 − y2 − b cos È2    y2  

(2.110)

Podany przyk³ad wskazuje na pewien automatyzm w uk³adaniu równañ wiêzów, wynikaj¹cych z kojarzenia cz³onów w pary kinematyczne. Na kolejnym przyk³adzie poka¿emy, ¿e sposób postêpowania jest taki sam dla uk³adów zamkniêtych i otwartych. Ta cecha sprawia, ¿e wspó³rzêdne absolutne chêtnie stosuje siê w tworzeniu systemów komputerowych analizy uk³adów kinematycznych.

PRZYK£AD 2.8 Rozpatrujemy p³aski uk³ad manipulatora szeregowego (rys. 2.23), który umo¿liwia przemieszczanie punktu K efektora 2 (chwytaka) po dowolnej trajektorii. Pocz¹tki uk³adów lokalnych {1} i {2} umieszczono na cz³onach w œrodkach mas. Wywo³uje to nieco bardziej z³o¿on¹ postaæ równañ wiêzów, ale w zamian upraszcza zapis dynamiki. Równania wiêzów pary kinematycznej A s¹ oczywiste i przytaczamy je tutaj bez wyjaœnieñ:  x1  cos È1  −  y1   sin È1

Rys. 2.23. Manipulator p³aski

 x1  cos È1 rB =   +   y1   sin È1

− sin È1   − a     = 0 (2.111) cos È1   0 

Œrodek pary kinematycznej B w uk³adzie {0} opisuj¹ wektory uzyskane przez transformowanie wspó³rzêdnych punktów B odpowiednio z uk³adu {1} i {2}:

− sin È1  b    cos È1   0 

 x 2   cos È 2 rB =   +   y 2   sin È 2

− sin È 2   − c    cos È 2   0 

2.3. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów p³askich

87

Porównanie tych wektorów prowadzi wprost do równañ wiêzów pary kinematycznej B:  x1  cos È1  +  y1   sin È1

− sin È1   a   x 2  cos È 2  −  − cos È1   0   y 2   sin È 2

− sin È 2   − c     = 0 (2.112) cos È 2   0 

Wiêzy par uk³adu z rys. 2.23, na podstawie równañ (2.111) i (2.112), tworz¹ uk³ad czterech równañ:

x1 − a cos È1     y1 − a sin È1   P Ö ≡ =0  x1 + a cos È1 − x2 + c cos È 2     y1 + a sin È1 − x2 + c sin È 2 

Zapis konfiguracji uk³adów kinematycznych za pomoc¹ wspó³rzêdnych absolutnych jest stosunkowo prosty, ale niestety mamy za to zwiêkszon¹ liczbê równañ. Zwróæmy uwagê, ¿e dla uk³adu z³o¿onego z k cz³onów ruchomych liczba równañ wiêzów wynosi 3k. Je¿eli w dwóch poprzednich przyk³adach liczba równañ nie robi jeszcze wra¿enia, to ju¿ w kolejnym przyk³adzie jest inaczej – pamiêtajmy, ¿e mamy do czynienia z równaniami nieliniowymi.

PRZYK£AD 2.9 Uk³ad p³aski, przedstawiony na rys. 2.24, sk³ada siê z czterech cz³onów ruchomych i charakteryzuje siê dwoma stopniami swobody (ruchliwoœæ W = 2). Ruch p³aski cz³onu 2 mo¿e byæ wykorzystywany do przemieszczania elementu el po ró¿nych trajektoriach. Dziêki tej w³asnoœci, wymagaj¹cej jednak dwóch cz³onów czynnych, uk³ad nabiera cech elastycznoœci. Mo¿e np. obs³ugiwaæ liniê automatyczn¹, w której zachodzi potrzeba zmiany trajektorii przemieszczania elementu el w zale¿noœci od zmieniaj¹cego siê asortymentu produkcji. Po¿¹dany ruch cz³onu 2 mo¿na w tym przypadku uzyskaæ przez zastosowanie do napêdu korby 1 konwencjonalnego silnika o sta³ej prêdkoœci k¹towej, natomiast ruch cz³onu 4 wymuszany powinien byæ za pomoc¹ serwonapêdu. Uk³ady takie mieszcz¹ siê w szerokiej grupie uk³adów mechatronicznych. Dla uk³adu z rys. 2.24 w sposób systematyczny, w celu u³atwienia œledzenia kolejnych kroków, wyprowadzono równania wiêzów poszczególnych par kinematycznych.

88

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

Rys. 2.24. Mechatroniczny generator trajektorii

W przypadku pary kinematycznej A prostota równañ wynika wprost z przyjêtych uk³adów wspó³rzêdnych. Uk³ad globalny {0} pokrywa siê ze œrodkiem pary A. Podobnie jak w poprzednim przyk³adzie mamy:  x1  cos È1  −  y1   sin È1

− sin È1   − a    =0 cos È1   0

(2.113)

Œrodek pary B w uk³adzie {0} opisuj¹ wektory uzyskane przez transformowanie wspó³rzêdnych punktów B odpowiednio z uk³adu {1} i {2}:

 x1  cos È1 rB =   +   y1   sin È1

− sin È1  a    cos È1  0 

 x2  cos È2 rB =   +   y 2   sin È2

− sin È2  − b    cos È2   c2 

(2.114)

Porównanie równañ (2.114) daje równania wiêzów pary B w postaci:

 x1  cos È1  +  y1   sin È1

− sin È1  a   x 2  cos È 2   −  −  cos È1  0   y 2   sin È 2

− sin È 2  − b     = 0 (2.115) cos È 2   c 2 

2.3. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów p³askich

89

Œrodek pary kinematycznej C w uk³adzie {0} opisuj¹ wektory uzyskane przez transformowanie wspó³rzêdnych punktów C odpowiednio z uk³adu {2} i {3}:

 x2  cos È2 rC =   +   y 2   sin È2

− sin È2  − b    cos È2   c1 

 x3  cos È3 rC =   +   y3   sin È3

− sin È3  d    cos È3   0 

(2.116)

Wiêzy pary C wynikaj¹ z porównania (2.116):

 x 2  cos È 2  +  y 2   sin È 2

− sin È 2  − b   x3  cos È 3   −  − cos È 2   c1   y 3   sin È 3

− sin È 3  d    =0 cos È 3   0 

(2.117)

Œrodek pary kinematycznej D w uk³adzie globalnym {0} opisuj¹ wektory uzyskane przez transformowanie wspó³rzêdnych punktów D odpowiednio z uk³adu {3} i {4}:

 x3  cos È3 rD =   +   y3   sin È3

− sin È3  − d    cos È3   0

 x4  cos È4 rD =   +   y 4   sin È4

− sin È4  e    cos È4  0

(2.118)

Wiêzy pary D wynikaj¹ce z porównania (2.118) to:  x3  cos È3  +  y3   sin È3

− sin È3   − d   x 4  cos È 4   −   −  cos È3   0   y 4   sin È 4

− sin È 4   e    = 0 cos È 4   0

(2.119)

Œrodek pary kinematycznej E w uk³adzie globalnym {0} opisuje wektor uzyskany przez transformowanie wspó³rzêdnych punktu D z uk³adu {4}, natomiast wspó³rzêdne punktu D w uk³adzie podstawy s¹ oczywiste. Daje to dwa równania w postaci:  x 4  cos È 4 rE =   +   y 4   sin È 4

− sin È 4   − e    , cos È 4   0 

 h rE =   − g 

(2.120)

Wiêzy pary E wynikaj¹ce z porównania (2.120) maj¹ postaæ:    −

h   x 4  cos È 4 − − g   y 4   sin È 4

− sin È 4   − e    =0 cos È 4   0 

(2.121)

90

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

£¹cznie równania wiêzów par mechatronicznego generatora trajektorii (rys. 2.24) maj¹ postaæ:

x1 + a cos È1     y1 + a sin È1    x + a cos È − x + b cos È + c sin È  1 2 2 2 2   1 y a y b c sin sin cos È È È + − + −  1 1 2 2 2 2   x2 − b cos È 2 − c1 sin È 2 − x3 − d cos È3   P =0 Ö ≡ y2 − b sin È2 + c1 cos È 2 − y3 − d sin È3    x3 − d cos È3 − x4 − e cos È 4     y3 − d sin È3 − y 4 − e sin È4     h − x4 + e cos È 4     − g − y 4 + e sin È4

(2.122)

W uzupe³nieniu opisu zauwa¿my, ¿e ruch tego uk³adu wywo³uj¹ cz³ony czynne 1 i 4. Je¿eli ich przemieszczenia k¹towe s¹ wyra¿one funkcjami f1(t) oraz f4(t), to równania wymuszeñ maj¹ postaæ:  È1 − f 1 (t )  ÖC ≡  =0 È 4 − f 4 (t )

(2.123)

2.3.4. Rozwi¹zanie równañ nieliniowych Opis analityczny konfiguracji uk³adu kinematycznego sprowadza siê do ¿mudnych przekszta³ceñ równañ algebraicznych, a¿ do uzyskania jawnych zale¿noœci okreœlaj¹cych zmienne wielkoœci konfiguracyjne k¹towe lub liniowe. Znajomoœæ takich zale¿noœci jest niezwykle po¿¹dana, zw³aszcza ze wzglêdu na uzyskiwane dok³adnoœci obliczeñ. Trzeba jednak podkreœliæ, ¿e: • dla wielu uk³adów uzyskanie zale¿noœci jawnych jest niezwykle uci¹¿liwe, a otrzymywany rezultat, teoretycznie zawsze mo¿liwy, w postaci wielomianów wysokich stopni mo¿na rozwi¹zaæ tylko metodami numerycznymi, • istnieje wiele uk³adów, zw³aszcza wielokonturowych, dla których brak jest rozwi¹zania jawnego i wówczas korzystanie z metod numerycznych jest koniecznoœci¹. Wobec wymienionych trudnoœci wspó³czesne metody analizy polegaj¹ na sformu³owaniu uk³adu równañ opisuj¹cych konfiguracjê i nastêpnie ich rozwi¹zaniu za pomoc¹ metod numerycznych. Równania opisuj¹ce konfiguracjê uk³adu s¹ w zasadzie, poza nielicznymi wyj¹tkami, równaniami nieliniowymi.

2.3. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów p³askich

91

2.3.4.1. Algorytm Newtona–Raphsona Jedn¹ z powszechnie stosowanych metod w przypadku uk³adów kinematycznych jest metoda Newtona–Raphsona [2]. Metodê zilustrowano dla funkcji jednej zmiennej f (x) – wtedy znana jako metoda Newtona. Jak w ka¿dej metodzie numerycznej, wymagane jest oszacowanie przybli¿onej wartoœci x(1) poszukiwanego pierwiastka x0 ( f (x0) = 0). Niech ta przybli¿ona (oszacowana) wartoœæ wynosi x(1) (rys. 2.25). Wtedy za pomoc¹ linearyzacji funkcji f (x) w punkcie x(1) mo¿na przyj¹æ, ¿e funkcja w punkcie x(2) = x(1) + ∆x, ma postaæ:

f ( x ( 2) ) = f ( x (1) ) +

df dx

x (1)

∆x

(2.124)

Wówczas punkt przeciêcia stycznej t z osi¹ odciêtych (x), oddalony od x(1) o wartoœæ ∆x, wyznacza siê z zale¿noœci:

( )

0 = f x (1) +

df dx

x (1)

∆x

→

∆x =

( )

− f x (1) df dx x (1)

(2.125)

Kolejna wartoϾ pierwiastka x(2) funkcji f(x) wynosi:

x ( 2) = x (1) + ∆x

(2.126)

Nastêpny krok w omawianej metodzie jest ju¿ oczywisty i polega na wyznaczeniu wartoœci funkcji dla nowej wartoœci pierwiastka x(2), a œciœlej na sprawdzeniu warunku:

f ( x( 2 ) ) ≤ ε

Rys. 2.25. Idea metody Newtona–Raphsona

(2.127)

92

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

wskazuj¹cego, czy otrzymana wartoœæ funkcji jest wystarczaj¹co bliska zera – wartoœæ ε nale¿y przyjmowaæ z umiarem, gdy¿ przyjêcie zbyt ma³ej wartoœci mo¿e niepotrzebnie zwiêkszyæ liczbê iteracji, a tym samym niepotrzebnie wyd³u¿yæ czas obliczeñ. Gdy warunek (2.127) nie jest spe³niony, nale¿y wykonaæ kolejn¹ iteracjê, korzystaj¹c z zale¿noœci (2.125) i (2.126). Ogólny zatem algorytm znajdowania pierwiastka funkcji f (x) sk³ada siê z nastêpuj¹cych kroków: 1. Przyjmij i = 1, wartoœæ ε. 2. Oszacuj wartoœæ pierwiastka x(1). 3. Podstaw x(i) = x(1). 4. Oblicz ∆x z zale¿noœci:

∆x =

( )

− f x (i ) df dx x (i )

5. Oblicz x(i+1) z zale¿noœci: x ( i +1) = x (i ) + ∆ x

6. SprawdŸ warunek (2.127):

f ( x (i +1) ) ≤ ε 7. Jeœli (2.127) jest spe³niony, to przyjmij x0 = x(i+1), jeœli nie, to idŸ do punktu 8. 8. Podstaw i = i + 1, x(i) = x(i+1) i wróæ do punktu 4. £atwo zauwa¿yæ, ¿e dla funkcji maj¹cej wiele rozwi¹zañ niezbêdna jest znajomoœæ ich liczby, a wyznaczenie ka¿dego pierwiastka wymaga powtórzenia kolejnych kroków podanego algorytmu. Trzeba te¿ wyraŸnie podkreœliæ, ¿e koniecznoœæ szacowania pierwszej wartoœci rozwi¹zania mo¿e prowadziæ do otrzymania rozwi¹zania niekoniecznie najbli¿szego oszacowanej wartoœci. Zilustrowano to na przyk³adzie rozwi¹zywania wielomianu trzeciego stopnia, a wiêc o pierwiastkach ³atwych do wyznaczenia wed³ug znanych wzorów.

PRZYK£AD 2.10 Za³o¿ono, ¿e równanie f (x) ma postaæ

f ( x) =

1 3 x − x2 + 4 = 0 6

(2.128)

Pochodna f (x) to

df 1 2 = x − 2x dx 2

(2.129)

2.3. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów p³askich

93

Pierwiastki równania (2.128) zestawiono w wektor: x = [5,0642    2,6946 –1,7588]T – wykres funkcji f (x) przedstawiono na rys. 2.26. Korzystaj¹c z zale¿noœci (2.125) i (2.126), wyznaczamy pierwiastki równania (2.128), przyjmuj¹c kolejno jako wartoœci pocz¹tkowe x = [2; 0,3; –1], a rezultaty otrzymane w kolejnych krokach zestawiamy w tabeli 1.

Rys. 2.26. Wykres funkcji (2.128) Tabela 1 (i)

x(i)

f(x (i))

df/dx

∆x

x(i +1)

= x(i) + ∆x

1

2,00000

1,33333

–2,00000

0,66667

2,66667

2

2,66667

0,04938

–1,77778

0,02779

2,69444

3

2,69444

0,00026

–1,75887

0,00015

2,69459

4

2,69459

0,00000

–1,75877

0,00000

2,69459

1

0,30000

3,91450

–0,55500

7,05315

7,35315

2

7,35315

16,19391

12,32812

–1,31357

6,03958

3

6,03958

4,24062

6,15910

–0,68851

5,35107

4

5,35107

0,90308

3,61482

–0,24983

5,10124

5

5,10124

0,10198

2,80884

–0,03631

5,06493

6

5,06493

0,00204

2,69691

–0,00075

5,06418

1

–1,00000

2,83333

2,50000

–1,13333

–2,13333

2

–2,13333

–2,16928

6,54222

0,33158

–1,80175

3

–1,80175

–0,22115

5,22666

0,04231

–1,75944

4

–1,75944

–0,00339

5,06669

0,00067

–1,75877

Nale¿y zwróciæ uwagê na wartoœæ pierwiastka x = 5,06418, któr¹ uzyskano przy oszacowaniu jego wartoœci na 0,3. Z wykresu na rys. 2.26 widaæ wyraŸnie, ¿e bli¿szy wartoœci 0,3 jest pierwiastek x = 2,69444. Powy¿szy przyk³ad wskazuje, ¿e szacowaniu wartoœci pierwiastków nale¿y poœwiêciæ nale¿yt¹ uwagê.

94

2. Konfiguracja układów kinematycznych

Przytoczone rozważania, i podany przykład, dotyczyły numerycznego znajdowania pierwiastków funkcji jednej zmiennej. Identyczne reguły dotyczą układów równań F(x) = 0 wielu zmiennych i wtedy dotychczasowy pierwiastek x należy rozumieć jako wektor pierwiastków x = [x1 x2 ... xn]T, który jest rozwiązaniem układu n równań nieliniowych, a sposób ten jest znany jako metoda Newtona–Raphsona. Podobnie wektorem staje się poprawka ∆x, a pochodna funkcji jest teraz macierzą jakobianową ∂F/∂x [2], [22].

PRZYKŁAD 2.11 Rozpatrzmy układ kinematyczny o ruchliwości dwa (rys. 2.27), którego zadanie polega na przemieszczaniu punktu M po założonej trajektorii µM. Kształt trajektorii µM zależy od wymuszeń w postaci ruchu obrotowego członu AB, opisanego kątem q1 i zmiany długości siłownika CD o długości q2. Zadanie polega na wyznaczeniu konfiguracji układu, zwłaszcza współrzędnych punktu M, którą zajmie układ dla znanych wartości wymuszeń q1 i q2. Jak łatwo zauważyć, obliczenie wartości współrzędnych xM i yM wymaga wcześniejszego wyznaczenia orientacji członu BCM opisanej kątem x1. Stosownie do przyjętych na rys. 2.27 oznaczeń obowiązuje równanie wektorowe: a + b − c − q2 = 0

które skutkuje dwoma równaniami nieliniowymi (rzuty na osie układu współrzędnych) o postaci: f1 = a cos q1 + b cos x1 − c − q 2 cos x 2 = 0 f 2 = a sin q1 + b sin x1 − q 2 sin x 2 = 0

(2.130)

Dla uogólnienia metody funkcje f1 i f2 można zapisać łącznie jako F = [f1 f2]T, a w rozpatrywanym układzie jako: F(q1 , q2 , x1 , x2 ) = 0

Rys. 2.27. Generator trajektorii o ruchliwości dwa

2.3. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów p³askich

95

przy czym, zgodnie z za³o¿eniem, jest: • q1, q2 – zmienne niezale¿ne (znane wymuszenia), • x1, x2 – zmienne zale¿ne (niewiadome), a pozosta³e wielkoœci stanowi¹ sta³e. Analogicznie do zale¿noœci (2.124) w przypadku uk³adu równañ F(x) wielu zmiennych mamy:

F ( x (i +1) ) = F ( x (i ) ) +

∂F ∂x

x( i )

∆x

Poprawkê ∆x okreœla zale¿noœæ:

0 = F (x(i ) ) +

∂F ∂x

 ∂F  ∆x  ∆x → ∆x =  1  = −   ∂x ∆x2  x( i )

−1

 i  F(x( ) ) x( i ) 

(2.131)

Poprawka oszacowanego wektora rozwi¹zania prowadzi do nowej wartoœci:

x (i +1) = x (i ) + ∆x

(2.132)

Potrzebny w obliczeniach jakobian wyznacza siê z zale¿noœci:

 ∂f1 ∂F  ∂x1 = ∂x  ∂f 2  ∂x  1

∂f1  ∂x 2  ∂f 2  ∂x 2 

(2.133)

W przypadku omawianego przyk³adu (rys. 2.27) jakobian ma postaæ:

∂F − b sin x1 = ∂x  b cos x1

q 2 sin x 2   − q 2 cos x 2 

Zgodnie zatem z (2.131) mamy dalej poprawkê:

 ∆x1  − b sin x1   = − ∆x 2   b cos x1

−1

( ) ( )

 f1 x (i ) q 2 sin x 2    − q 2 cos x 2  ( i )  f 2 x (i ) x

i kolejne przybli¿enie pierwiastka z zale¿noœci (2.132). Wspó³rzêdne punktu M w przyjêtym uk³adzie wspó³rzêdnych, dla wartoœci zmiennych zale¿nych x1 oraz x2, wyznacza siê z zale¿noœci:

x M = a cos q1 + d cos(x1 + β ) y M = a sin q1 + d sin (x1 + β )

96

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

Z podanego przyk³adu widaæ, ¿e ³atwo tê metodê uogólniæ na przypadki uk³adów równañ o wielu niewiadomych – zale¿noœci (2.131), (2.132), (2.133) s¹ ogólne. Wa¿ny dla praktyki wniosek nale¿y wyci¹gn¹æ z analizy zale¿noœci (2.131), w której wystêpuje operacja odwracania macierzy jakobianowej. W zwi¹zku z numerycznymi k³opotami z odwracaniem macierzy równanie (2.131) rozwi¹zuje siê innymi metodami (np. metod¹ eliminacji Gaussa [2]). Jednak zastosowany zapis wskazuje, ¿e dla pewnych wartoœci elementów macierzy jakobianowej jej odwrócenie jest niemo¿liwe. Wystêpuje wtedy, gdy jej wyznacznik jest równy zeru. Jak wiadomo macierz o takiej w³asnoœci okreœla siê mianem macierzy osobliwej. W przypadku realnego uk³adu kinematycznego wyst¹pienie takiej w³asnoœci oznacza, ¿e uk³ad przyj¹³ pewn¹ szczególn¹ konfiguracjê, któr¹ równie¿ okreœla siê mianem konfiguracji osobliwej [26].

2.3.4.2. Konfiguracja pocz¹tkowa i krok analizy W metodach numerycznych rozwi¹zywania uk³adów równañ nieliniowych istotnym problemem jest w³aœciwe oszacowanie wektora rozwi¹zania pocz¹tkowego. Dok³adnoœæ tego szacunku jest tym istotniejsza, im liczniejszy jest uk³ad równañ. W wiêkszoœci przypadków praktycznych, kiedy uk³ady licz¹ trzy, czasem piêæ cz³onów ruchomych, oszacowanie wektora pocz¹tkowego mo¿na oprzeæ na schemacie uk³adu narysowanym w podzia³ce. Potrzebne wielkoœci mo¿na wówczas odczytaæ wprost z rysunku. W wielu sytuacjach wa¿ne bêdzie obranie takiego po³o¿enia pocz¹tkowego uk³adu, aby mo¿na by³o pos³u¿yæ siê prostymi zale¿noœciami trygonometrycznymi. Metoda iteracyjna (graficzno-analityczna). Rozwi¹zanie graficzne mo¿na te¿ uœciœliæ bardzo prost¹ metod¹ iteracyjn¹, któr¹ przedstawiono na przyk³adzie czworoboku przegubowego. Uœciœlimy wartoœci zmiennych Θ2 i Θ3 zmierzonych z rysunku wykonanego w podzia³ce (rys. 2.28). Zmienn¹ niezale¿n¹ jest k¹t Θ1. Równanie zamkniêcia wieloboku wektorów (rys. 2.28a) w postaci:

a +b +c−d = 0

Rys. 2.28. Uk³ad 4R – k¹ty poprawne (a) i z odchy³kami (b)

(2.134)

2.3. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów p³askich

97

sprowadza siê do sumy rzutów na osie globalnego uk³adu wspó³rzêdnych {0}:

f1 = a cos È1 + b cos È 2 + c cos È3 − d = 0 f 2 = a sin È1 + b sin È2 + c sin È3 = 0

(2.135)

Dla dok³adnych wartoœci k¹tów równania (2.135) s¹ spe³nione. Inaczej w przypadku, kiedy zmierzone wartoœci k¹tów Θ2(1) i Θ3(1) s¹ obarczone odchy³kami, co wystêpuje w przypadku odczytania ich z nawet bardzo starannie sporz¹dzonego rysunku. Wtedy równanie wieloboku wektorowego nale¿y uzupe³niæ o wektor odchy³ek δ:

a +b +c −d = ä

(2.136)

którego sk³adowe s¹ miar¹ pope³nionego b³êdu w rysunku i pomiarze k¹tów, a obliczane z zale¿noœci:

f1 = a cos È1 + b cos È 2(1) + c cos È3(1) − d = δ x f 2 = a sin È1 + b sin È2(1) + c sin È3(1) = δ y

(2.137)

Otrzymane z rysunku wartoœci k¹tów Θ2(1) i Θ3(1) nale¿y wiêc skorygowaæ w taki sposób, aby δ x i δ y mia³y wartoœci zerowe. Nowe zatem poprawione wartoœci k¹tów powinny wynosiæ:

È 2( 2 ) = È 2(1) + ∆È 2 È 3( 2 ) = È 3(1) + ∆È 3

(2.138)

co umo¿liwia obliczenie poprawek ∆Θ2 i ∆Θ3 z poni¿szych równañ:

a cos È1 + b cos(È 2(1) + ∆È 2 ) + c cos(È3(1) + ∆È3 ) − d = 0 a sin È1 + b sin( È 2(1) + ∆È2 ) + c sin( È3(1) + ∆È3 ) = 0 Korzystamy ze wzorów na sinus i kosinus sumy k¹tów

cos(È + ∆È ) = cos È cos ∆È − sin ∆È sin È sin (È + ∆È ) = sin È cos ∆È + sin ∆È cos È a tak¿e przyjmijmy dla uproszczenia, ¿e dla ma³ych wartoœci k¹tów zachodzi: sin ∆È ≅ ∆È ,

cos ∆È ≅ 1

(2.139)

98

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

co skutkuje

cos(È + ∆È ) ≅ cos È − ∆È sin È

(2.140)

sin (È + ∆È ) ≅ sin È + ∆È cos È Po podstawieniu (2.140) do (2.139) uzyskuje siê zale¿noœci:

( a sin È + b (sin È

) ( )+ c(sin È

) )= 0

a cos È1 + b cos È 2(1) − ∆È 2 sin È 2(1) + c cos È3(1) − ∆È3 sin È3(1) − d = 0 1

(1) 2

+ ∆È 2 cos È 2(1)

(1) 3

+ ∆È3 cos È3(1)

(2.141)

które po uporz¹dkowaniu, zapisane w postaci:  − b sin È 2(1)   b cos È 2(1)

− c sin È 3(1)   ∆È 2   − a cos È1 − b cos È 2(1) − c cos È 3(1) + d    = c cos È 3(1)   ∆È 3   − a sin È1 − b sin È 2(1) − c sin È 3(1) 

umo¿liwiaj¹ wyznaczenie poprawek ∆Θ2 i ∆Θ3 wed³ug relacji:

∆È 2  − b sin È 2(1) =  (1)  ∆È 3   b cos È 2

− c sin È 3(1)   c cos È 3(1) 

−1

− a cos È1 − b cos È 2(1) − c cos È 3(1) + d    (2.142)  − a sin È1 − b sin È 2(1) − c sin È 3(1) 

Poprawione wed³ug zale¿noœci (2.138) wartoœci k¹tów Θ2(2) i Θ3(2) wstawiamy ponownie do wzorów (2.137), a w razie uzyskania niesatysfakcjonuj¹cych wartoœci odchy³ek δ x i δ y przeprowadzamy kolejn¹ iteracjê. Metoda ta jest bardzo efektywna i ju¿ w kilku krokach daje wyniki zupe³nie wystarczaj¹ce dla praktyki in¿ynierskiej. Metody numeryczne. Pos³uguj¹c siê pomocniczo rysunkiem, mo¿liwe jest te¿ wykorzystanie do uœciœlenia rozwi¹zania algorytmów optymalizacji – poszukiwania minimum funkcji wielu zmiennych – rozpoczynaj¹c od wartoœci zmierzonych wprost z rysunku. Wtedy dla uk³adu 4R z rys. 2.28 funkcja celu ma postaæ:

F (È2(1) , È3(1) ) = f12 + f 2 2 → min

(2.143)

Korzystaj¹c ze znanych algorytmów optymalizacji, wartoœci pocz¹tkowe k¹tów Θ2(1) i Θ3(1) mo¿na poprawiæ stosownie do zak³adanego dopuszczalnego b³êdu . Problem okreœlenia pierwszej konfiguracji uk³adu kinematycznego jest szczególnie istotny w przypadku wyst¹pienia du¿ej liczby równañ (niewiadomych), na przyk³ad w przypadku opisu uk³adu za pomoc¹ wspó³rzêdnych absolutnych. Wtedy zagro¿eniem dla poprawnoœci wyniku mo¿e byæ np. istnienie dwóch, czasem wiêcej konfiguracji.

2.4. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów przestrzennych

99

Przypomnijmy tutaj wyprowadzone wczeœniej równania wiêzów (2.122), opisuj¹ce uk³ad mechatroniczny z rys. 2.24 (przyk³ad 2.9):

x1 + a cos È1     y1 + a sin È1    x + a cos È − x + b cos È + c sin È  1 2 2 2 2  1  y + a sin È − y + b sin È − c cos È  1 2 2 2 2   1   x b c x d cos sin cos − − − − È È È 2 2 1 2 3 3 ÖP ≡  =0  y 2 − b sin È 2 + c1 cos È 2 − y 3 − d sin È 3    x 3 − d cos È 3 − x 4 − e cos È 4     y 3 − d sin È 3 − y 4 − e sin È 4     h − x 4 + e cos È 4     − g − y 4 + e sin È 4 Mamy tutaj uk³ad dziesiêciu równañ nieliniowych, a wektor q niewiadomych ma postaæ:

q = [x1

y1

x2

y2

È2 ... x4

y4 ]

T

(2.144)

Tym razem minimalizowana funkcja mo¿e mieæ postaæ:

[ÖP (q)]T ÖP (q) → min

(2.145)

Jednak dla zapewnienia po¿¹danego rozwi¹zania, bliskiego oszacowanemu, a opisanego wektorem startowym q(1) zaleca siê wprowadzaæ modyfikacjê (2.145) i minimalizowaæ wyra¿enie

[q − q (1) ]T [q − q (1) ] − [Ö P (q)]T Ö P (q) → min

(2.146)

Jak widaæ z funkcji (2.146) jej pierwszy sk³adnik „utrzymuje” rozwi¹zanie w pobli¿u konfiguracji po¿¹danej, opisanej wektorem q(1). Krok analizy. Wyznaczanie konfiguracji w kolejnych chwilach wymaga wielokrotnego stosowania algorytmu rozwi¹zywania uk³adu równañ nieliniowych (np. algorytmu Newtona–Raphsona). W ka¿dym kroku wymagana jest oczywiœcie znajomoœæ pocz¹tkowego wektora rozwi¹zania. W sposób naturalny nasuwa siê tutaj pomys³ wykorzystania w kolejnym kroku wektora rozwi¹zania poprzedniego. W wielu prostych uk³adach jest to podejœcie prawid³owe, daj¹ce poprawne wyniki. Zagro¿enie co do po-

100

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

prawnoœci wystêpuje wtedy, gdy dwie konfiguracje uk³adu s¹ „bliskie” siebie. Taka sytuacja mo¿e wyst¹piæ szczególnie w przypadku uk³adów o wielu stopniach swobody. Podobnie w przypadku rozwi¹zywania du¿ej liczby równañ nieliniowych algorytm Newtona–Raphsona mo¿e wykazywaæ brak zbie¿noœci. W obu przypadkach, kiedy dwa rozwi¹zania s¹ bliskie siebie oraz dla du¿ej liczby równañ, pomocne jest wprowadzenie poprawki wynikaj¹cej z przyjêtego kroku analizy ∆t. Korzystaj¹c z szeregu Taylora, wektor pocz¹tkowy w chwili ti+1 mo¿na wyznaczyæ z zale¿noœci:

q i +1 ≅ q i + ∆tq i +

1 2 ∆t q i 2

(2.147)

gdzie ti+1 = ti + ∆t. Takie podejœcie nie tylko prowadzi do w³aœciwych wyników, ale tak¿e znakomicie skraca czas analizy. Jak widaæ z zale¿noœci (2.147) okreœlanie konfiguracji powinno byæ  . prowadzone ³¹cznie z wyznaczaniem prêdkoœci q i przyspieszeñ q

2.4. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów przestrzennych Uk³ady kinematyczne przestrzenne s¹ rzadziej wykorzystywane w praktyce. Najliczniejsz¹ grupê stanowi¹ uk³ady kinematyczne robotów. Ich zespo³y mechaniczne – manipulatory – maj¹ najczêœciej strukturê szeregow¹, tworz¹c tzw. otwarte ³añcuchy kinematyczne. W ostatnich latach intensywnie rozwijane s¹ te¿ manipulatory o strukturze równoleg³ej. Jest oczywiste, ¿e uk³ady przestrzenne, jako zespo³y po³¹czonych ze sob¹ cz³onów dogodnie jest rozpatrywaæ jako zespó³ lokalnych uk³adów prostok¹tnych, przypisanych poszczególnym cz³onom. Wtedy ruch cz³onów mo¿na rozpatrywaæ jako ruch uk³adów wspó³rzêdnych. Poni¿ej przedstawiono metodê opisu konfiguracji uk³adów przestrzennych szeregowych i zamkniêtych z wykorzystaniem notacji DH.

2.4.1. Uk³ady o strukturze szeregowej Jak ju¿ wspomniano opis uk³adu przestrzennego polega na przypisaniu kolejnym cz³onom lokalnych uk³adów wspó³rzêdnych i rozpatrywaniu ich wzajemnych po³o¿eñ, prêdkoœci i przyspieszeñ. Zgodnie z regu³ami opisu wed³ug notacji DH poszczególne uk³ady lokalne musz¹ byæ usytuowane w sposób szczególny (p. 2.2.3). Na rysunku 2.29 przedstawiono uogólniony k-cz³onowy uk³ad przestrzenny o strukturze szeregowej. Dla opisania po³o¿enia cz³onu k wzglêdem podstawy 0 potrzebna jest znajomoœæ macierzy transformacji 0Ak o postaci zgodnej z (2.22): 0

 0 Rk Ak =  0 0 0

0

pk   1 

2.4. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów przestrzennych

101

Poszczególne elementy tej macierzy s¹ zale¿ne od: • geometrii cz³onów 0, 1, ..., k–1, • rodzaju par kinematycznych, • wzglêdnego po³o¿enia cz³onów tworz¹cych pary kinematyczne. Jak wiadomo opis uk³adu z wykorzystaniem notacji DH wymaga, aby cz³ony tworzy³y pary obrotowe R i/lub postêpowe T. Wystêpowanie innych par kinematycznych wymaga ich uprzedniego zast¹pienia parami R i T. Po spe³nieniu tego warunku kolejnym cz³onom nale¿y przypisaæ uk³ady lokalne, poczynaj¹c od podstawy 0, której przypisuje siê uk³ad nieruchomy {0}, a kolejnym cz³onom kolejRys. 2.29. Uk³ad szeregowy przestrzenny ne uk³ady lokalne – ostatniemu uk³ad {k} (rys. 2.29). Dysponuj¹c uk³adami lokalnymi, mo¿emy zdefiniowaæ kolejne macierze transformacji jAk zgodnie z (2.31), które zawieraj¹ informacje o orientacji i pozycji kolejnych cz³onów wzglêdem siebie, a po wykonaniu odpowiednich mno¿eñ macierzy transformacji o orientacji i pozycji kolejnych cz³onów wzglêdem podstawy. Cz³on k (uk³ad {k}) wzglêdem podstawy 0 (uk³ad {0}) jest opisany macierz¹: 0

A k = 0 A11 A 2 2 A 3 ... k −1 A k

(2.148)

Zale¿noœæ (2.148) umo¿liwia ponadto okreœlenie wspó³rzêdnych punktu M nale¿¹cego do cz³onu k w uk³adzie podstawy {0} z równania: 0

rM = 0A k k rM

(2.149)

PRZYK£AD 2.12 Jako przyk³ad analizy rozpatrzymy uk³ad przestrzennego trójcz³onowego manipulatora (rys. 2.30). Zgodnie z regu³ami przyjmujemy nastêpuj¹ce uk³ady wspó³rzêdnych: • oœ z1 uk³adu {1} zwi¹zanego z cz³onem 1 jest poprowadzona wzd³u¿ osi pary kinematycznej utworzonej przez cz³ony 0 i 1, podobnie wzd³u¿ osi kolejnych par prowadzimy osie z2 i z3, • oœ x1 ma przecinaæ oœ z2 i byæ do niej prostopad³a, co wyznacza pocz¹tek uk³adu {1}, a tym samym oœ y1,

102

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

Rys. 2.30. Uk³ad kinematyczny manipulatora

•  oœ x2 ma przecinaæ oœ z3 i byæ do niej prostopad³a, co wyznacza pocz¹tek uk³adu {2} • pocz¹tek uk³adu {3} zwi¹zanego z cz³onem 3 mo¿na przyj¹æ dowolnie na osi z3, podobnie istnieje dowolnoœæ w przyjêciu kierunku osi x3 – tutaj przyjêto x3 równolegle do osi x2, co upraszcza zapis kinematyki, • uk³ad nieruchomy {0} zwi¹zany z podstaw¹ mo¿na przyj¹æ dowolnie – tutaj dla prostoty zapisu przyjêto wspó³osiowoœæ z0 i z1. Przyjmuj¹c oznaczenia wielkoœci geometrycznych jak na rys. 2.30, mo¿emy ju¿ zdefiniowaæ parametry DH niezbêdne do wyznaczenia poszczególnych elementów macierzy transformacji:

a   á   : È    d 

 a1 = b   0   0   3ð   3ð      2    0 1 0 0 A 3 = A1   A2  2  A3  2  È 2 = q 2   0  È1 = q1        d 3 = q 3   d1 = h   d2 = c 

(2.150)

2.4. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów przestrzennych

103

Etap ten wymaga szczególnej starannoœci, poprawne bowiem okreœlenie parametrów DH jest podstaw¹ poprawnoœci wszelkich analiz, których dalsze etapy bêd¹ polega³y ju¿ tylko na przekszta³ceniach algebraicznych. Z³o¿onoœæ otrzymywanych zale¿noœci w ogólnym przypadku sprawia, ¿e mo¿liwoœæ weryfikacji, jakkolwiek mo¿liwa, jest jednak bardzo ograniczona. Poszczególne macierze transformacji, zgodnie z (2.31), maj¹ postaæ:

cos q1   sin q1 0 A1 =   0   0

− sin q1

cos q 2   0 1 A2 =   sin q 2   0

− sin q 2

cos q1 0 0

0 − cos q 2 0

1 0  0 0 2 A3 =  0 − 1  0 0

0 0  0 0  1 h  0 1

(2.151)

0 b  1 c  0 0  0 1

(2.152)

0  1 q3  (2.153)  0 0  0 1 Kolejne mno¿enia daj¹ macierze transformacji poszczególnych cz³onów do uk³adu podstawy: cos q1   sin q1 0 A 2 = 0A11A 2 =   0   0 cos q1 cos q2  sin q cos q 1 2 0 A2 =   sin q2  0 

− sin q1 cos q1 0 0

0 0  cos q2 − sin q2 0 b    0 0 1 c 0 0    1 h   sin q2 − cos q2 0 0   0 0 0 1 0 1 

− cos q1 sin q2 − sin q1 sin q2 − cos q2 0

0

− sin q1 b cos q1 − c sin q1  cos q1 b sin q1 + c cos q1   h 0  0 1 

(2.154)

104

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

A 3 = 0A1 1A 2 2A 3 = 0A 2 2A 3 =

0

cos q1 cos q2   sin q1 cos q2 =  sin q2  0 

0

− cos q1 sin q2

− sin q1 b cos q1 − c sin q1  1 0  cos q1 b sin q1 + c cos q1  0 0  h 0  0 − 1  0 1  0 0

− sin q1 sin q2 − cos q2 0

0

0  1 q3   0 0  0 1

A3 =

cos q1 cos q2  sin q1 cos q2 =  sin q2  0 

sin q1 − cos q1 0 0

− cos q1 sin q2 − q3 cos q1 sin q2 + b cos q1 − c sin q1   − sin q1 sin q2 − q3 sin q1 sin q2 + b sin q1 + c cos q1   (2.155) − cos q2 − q3 cos q2 + h   0 1 

Wspó³rzêdne punktu M w uk³adzie podstawy {0} opisuje iloczyn: 0

rM = 0 A 3 3 rM =

cos q1 cos q 2   sin q1 cos q 2 =  sin q 2  0 

sin q1

− cos q1 sin q 2

− cos q1

− sin q1 sin q 2

0

− cos q 2

0

0

− q 3 cos q1 sin q 2 + b cos q1 − c sin q1  0   − q 3 sin q1 sin q 2 + b sin q1 + c cos q1  0   − q 3 cos q 2 + h  l    1  1 

Po wymno¿eniu otrzymujemy:

0

rM

− l cos q1 sin q 2 − q3 cos q1 sin q 2 + b cos q1 − c sin q1     − l sin q1 sin q 2 − q 3 sin q1 sin q 2 + b sin q1 + c cos q1  =  − l cos q 2 − q 3 cos q 2 + h     1  

(2.156)

2.4. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów przestrzennych

105

2.4.2. Uk³ady zamkniête Na rysunku 2.31 przedstawiono ogóln¹ postaæ jednokonturowego uk³adu przestrzennego zamkniêtego. Kolejnym cz³onom przypisano uk³ady lokalne, na cz³onie 0 obrano punkt M.

Rys. 2.31. Uogólniony jednokonturowy uk³ad zamkniêty

Opiszmy wspó³rzêdne punktu M w kolejnych uk³adach lokalnych: •  w uk³adzie cz³onu n n

rM = n A 0 0 rM

•  w uk³adzie cz³onu n-1 n −1

rM = n −1A n n r M = n −1 A n A 0 0rM n

•  w uk³adzie cz³onu 1 1

rM = 1A 2 ...

n −1

n

A n A 0 0 rM

•  w uk³adzie cz³onu 0 0

rM = 0 A1 1A 2 ...

n −1

n

A n A 0 0 rM

106

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

Otrzymana powy¿ej zale¿noœæ daje tzw. równanie zamkniêcia8 konturu uk³adu przestrzennego w postaci 0

A1 1 A 2 ...

n −1

A n A0 = I n

(2.157)

Równanie (2.157) stanowi podstawê analizy kinematycznej. Jego wykorzystanie w sposób formalny prowadzi do równania macierzowego, które umo¿liwia zdefiniowanie równañ algebraicznych. Równanie (2.157) mo¿na te¿ rozwi¹zywaæ metodami numerycznymi bez potrzeby dokonywania ¿mudnego mno¿enia macierzy.

PRZYK£AD 2.13 Jako przyk³ad analizy zamkniêtego uk³adu przestrzennego rozpatrzmy uk³ad czterocz³onowy o szczególnej geometrii, którego cztery pary obrotowe przecinaj¹ siê w jednym punkcie (rys. 2.32). Znany jest on w wykonaniu przedstawionym na rysunku jako przegub uniwersalny, a potocznie jako sprzêg³o Cardana. Dziêki szczególnej geometrii uk³ad ten ma mo¿liwoœæ transformowania ruchu obrotowego miêdzy wa³ami, których osie przecinaj¹ siê pod pewnym k¹tem, przy czym bardzo korzystn¹ cech¹ tego sprzêg³a jest mo¿liwoœæ zmiany k¹ta β w czasie pracy. To sprawia, ¿e jest ten uk³ad czêsto wykorzystywany w napêdach maszyn i pojazdów. Cz³onem czynnym jest wa³ 1. Do analizy pos³u¿ono siê tutaj notacj¹ DH, co wymaga³o spe³nienia obowi¹zuj¹cych w tej metodzie regu³. Osie zi poszczególnych uk³adów wspó³rzêdnych poprowadzono wiêc wzd³u¿ osi poszczególnych par kinematycznych, osie xi s¹  prostopad³e do osi zi+1. Zgodnie z (2.157) dla zamkniêtych uk³adów jednokonturowych obowi¹zuje równanie: 0

A1 1 A 2 2 A 3 3 A 0 = I

które dla u³atwienia przekszta³cono do postaci: 1

A 2 2A 3 3A 0 =( 0A1 ) −1

Wstawienie poszczególnych parametrów DH zestawionych poni¿ej

a  0 0 0 0      3ð   3ð  ð á  0  β  1   2   3     : A1   A 2  2  A 3  2  A 0  2  = I È  È1  È 2   È3  È0            d  0 0 0 0 8

Podobne równanie mo¿na uzyskaæ ³atwo dla uk³adów p³askich.

(2.158)

2.4. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów przestrzennych

107

Rys. 2.32. Przegub uniwersalny – sprzêg³o Cardana

do ogólnej postaci macierzy DH (2.31) daje w rezultacie nastêpuj¹ce macierze transformacji:

− sÈ1  cÈ1  cβsÈ1 cβcÈ1 0 A1 =   sβsÈ1 sβcÈ1  0  0  cÈ3   0 2 A3 =  − sÈ3   0

− sÈ3 0 − cÈ3 0

0 − sβ cβ 0

0  0  0  1

0 0  1 0  0 0  0 1

 cÈ 2   0 1 A2 =  − sÈ2   0

− sÈ 2

cÈ0   0 3 A0 =   sÈ3   0

− sÈ0

0 − cÈ2 0

0 cÈ3 0

gdzie oznaczono: sΘi = sin Θi, cΘi = cos Θi. Kolejne dzia³ania na tych macierzach skutkuj¹ zale¿noœciami:

 cÈ 3 cÈ 0 − cÈ 3 sÈ 0 sÈ 3  0 cÈ 0  sÈ 0 2 A 33 A 0 =  − sÈ 3 cÈ 0 sÈ 3 sÈ 0 cÈ 3  0 0 0 

0  0  0  1

0 0  1 0  0 0  0 1 0

0  − 1 0  0 0  0 1

108

2. Konfiguracja uk³adów kinematycznych

 cÈ2 cÈ3cÈ0 − sÈ2 sÈ0 − cÈ2 cÈ3 sÈ0 − sÈ2 cÈ0 cÈ2 sÈ3  − sÈ3 cÈ0 sÈ3 sÈ0 cÈ3  2 3 1 A 2 A3 A0 =   − sÈ2 cÈ3 cÈ0 − cÈ2 sÈ0 sÈ2 cÈ3 sÈ0 − cÈ2 cÈ0 − sÈ2 sÈ3  0 0 0 

 cÈ1 cβsÈ1 sβsÈ1  − sÈ1 cβcÈ1 sβcÈ1 − 1 ( 0A1 ) =  cβ − sβ  0  0 0  0

0  0  0  1

0  0  (2.159) 0  1

(2.160)

Zgodnie z (2.158) porównanie odpowiednich elementów macierzy (2.159) i (2.160) daje zale¿noœci okreœlaj¹ce k¹ty opisuj¹ce konfiguracjê uk³adu. Wyrazy 2,3 (wiersz 2, kolumna 3) oraz 1,3 macierzy (2.159) i (2.160) daj¹ równania umo¿liwiaj¹ce obliczenie k¹tów Θ2 i Θ3 dla zadanej wartoœci Θ1 po³o¿enia cz³onu czynnego w postaci:

cos È3 = sin β cos È1 ,

cos È 2 sin È3 = sin β sin È1

Porównanie natomiast wyrazów 2,1 i 2,2 macierzy (2.159) i (2.160) daje nastêpuj¹ce zale¿noœci: − sin È3 cos È0 = − sin È1 ,

sin È3 sin È0 = cos β cos È1

które po podzieleniu przez siebie stronami daj¹ zale¿noœæ wi¹¿¹c¹ przemieszczenie k¹towe wa³u napêdzanego 3 w funkcji przemieszczenia wa³u napêdzaj¹cego 1:

1 tgÈ1 = tgÈ0 cos β

⇔

tgÈ1tgÈ0 = cos β

(2.161)

Rozwi¹zanie numeryczne. Pokazane na przyk³adzie przegubu Cardana wykorzystanie notacji DH doprowadzi³o w konsekwencji przekszta³ceñ do jawnych wyra¿eñ umo¿liwiaj¹cych wyznaczanie przemieszczeñ w poszczególnych parach uk³adu. Jednak uzyskanie tych zale¿noœci by³o mo¿liwe dziêki temu, ¿e rozpatrywany uk³ad ma bardzo szczególn¹ geometriê, w której parametry DH maj¹ wartoœci zerowe (di = 0) lub szczególne, kiedy sinus lub kosinus k¹ta αi wynosi odpowiednio 1, –1 lub 0. W ogólnym przypadku uzyskanie takich jawnych zale¿noœci w uk³adach przestrzennych zamkniêtych jest trudne, a nawet bywa niemo¿liwe. Mo¿na siê wtedy uciec do rozwi¹zania numerycznego, którego ideê przedstawiono w pracy [8].

109

Jak nietrudno zauwa¿yæ równanie macierzowe: 0

n −1

A1 1 A 2 ...

A n A0 = I

(2.162)

n

bêdzie spe³nione, jeœli znany bêdzie wektor q0 zmiennych parametrów DH. W przypadku gdy przyjmiemy ich wartoœci z pewnym przybli¿eniem, uzyskamy po wymno¿eniu macierzy: 0

A1 1 A 2 ...

n −1

A n A0 = H ≠ I n

(2.163)

Macierz H bêdzie tym bli¿sza macierzy jednostkowej I, im lepiej oszacujemy wektor rozwi¹zania q0. Miar¹ poprawnoœci rozwi¹zania mo¿e byæ funkcja celu F w postaci:

F=

∑∑ u i

(2.164)

2 ij

j

gdzie: uij = hij dla i ≠ j uij = 1 − hij dla i = j , (hij – elementy macierzy H). Dla tak sformu³owanej funkcji celu jej minimalna wartoœæ równa zeru odpowiada wektorowi q, który spe³nia równanie (2.162) i jednoznacznie okreœla konfiguracjê uk³adu. Zadanie minimalizacji funkcji celu (2.164) mo¿na rozwi¹zaæ jedn¹ z wielu znanych metod programowania nieliniowego. Jedn¹ z nich, któr¹ skutecznie wykorzystano do znajdowania konfiguracji uk³adów kinematycznych przestrzennych [8], jest metoda gradientowa DFP (Davidon-Fletcher-Powell) [2]. Podstawow¹ zalet¹ tej metody, potwierdzon¹ wieloma eksperymentami numerycznymi, jest przede wszystkim brak koniecznoœci dok³adnego okreœlania rozwi¹zania pocz¹tkowego w postaci wektora q0, co jest cech¹ nie do przecenienia w przypadku uk³adów przestrzennych. Metoda DFP wymaga obliczania w kolejnych krokach gradientu G minimalizowanej funkcji celu F w postaci:

 ∂F G=  ∂q1

∂F ∂q2

∂F  ...  ∂qk 

T

gdzie qi – sk³adowe wektora q. K³opotliwy zabieg wyznaczania pochodnych mo¿na zast¹piæ wartoœciami przybli¿onymi wed³ug zale¿noœci:

∂F F (qi + ∆qi ) − F (qi ) = ∂qi ∆qi lub

∂F F (qi + ∆qi ) − F (qi − ∆qi ) = 2∆qi ∂qi Dla takiej koncepcji uproszczenia obliczeñ wielokrotnie uzyskano praktyczne potwierdzenie, uzyskuj¹c wyniki z zadowalaj¹c¹ dok³adnoœci¹.

110

3. Prêdkoœæ i przyspieszenia

3. PRÊDKOŒÆ I PRZYSPIESZENIA 3.1. Wprowadzenie Gdy znamy wielkoœci opisuj¹ce konfiguracjê uk³adu kinematycznego, mo¿emy przyst¹piæ do opisu ruchu w zakresie prêdkoœci i przyspieszeñ, które definiujemy jako kolejne pochodne przemieszczenia wzglêdem czasu. Oczywiœcie, przemieszczeniu liniowemu sK(t) punktu K odpowiadaj¹ prêdkoœæ i przyspieszenie liniowe:

v K = s& K =

ds K , dt

a K = &s&K =

dv K d 2 s K = dt dt 2

(3.1)

a przemieszczeniu k¹towemu Θk(t), odnoszonemu do cz³onu k, odpowiadaj¹ prêdkoœæ i przyspieszenie k¹towe:

ω k = È& k =

dÈk , dt

ε k = È&&k =

dω k d 2Èk = dt dt 2

(3.2)

Na podstawie zale¿noœci (3.1) i (3.2) mo¿na stwierdziæ, ¿e dla znanej konfiguracji uk³adu, opisane jawnymi zale¿noœciami zmienne w czasie przemieszczenia liniowe i k¹towe, umo¿liwiaj¹ obliczenie ich pierwszych i drugich pochodnych wzglêdem czasu, daj¹c kolejno wyra¿enia okreœlaj¹ce prêdkoœæ i przyspieszenie. Jednak ju¿ w przypadku analizy po³o¿eñ pokazano, ¿e dla wielu uk³adów znalezienie takich jawnych funkcji jest bardzo k³opotliwe, a czasem nawet niemo¿liwe. Jak siê jednak oka¿e, jawne zale¿noœci nie s¹ niezbêdne do wyznaczania prêdkoœci i przyspieszenia. Ponadto, w przeciwieñstwie do analizy po³o¿eñ, gdzie na ogó³ zachodzi potrzeba rozwi¹zywania uk³adu równañ nieliniowych, w przypadku wyznaczania prêdkoœci i przyspieszenia mamy do czynienia z uk³adami równañ liniowych. S¹ ró¿ne metody wyznaczania parametrów ruchu, wiele z nich wynika wprost z metod opisu konfiguracji. Do wyznaczania prêdkoœci i przyspieszeñ wykorzystuje siê wiêc wspó³rzêdne wektorowe, liczby zespolone, wspó³rzêdne absolutne i inne. Omówione zostan¹ wybrane z nich, jednak takie, które umo¿liwiaj¹ wykonanie analizy dowolnego uk³adu, p³askiego i przestrzennego. Skrótowo zostan¹ te¿ omówione metody graficzne.

3.2. Metody graficzne – uk³ady p³askie

111

3.2. Metody graficzne – uk³ady p³askie Pracê in¿yniera wspomagaj¹ komputery osobiste i wielorakie oprogramowanie, nasuwa siê wiêc pytanie o zasadnoœæ zamieszczania w podrêcznikach i programach wyk³adów metod analizy in¿ynierskiej opartych na rysunku. Dotyczy to równie¿ graficznych metod wyznaczania prêdkoœci i przyspieszeñ, dla których kiedyœ nie by³o alternatywy. Metody graficzne wymagaj¹ przecie¿ ¿mudnego, wielokrotnego analizowania uk³adu w kolejnych po³o¿eniach, a uzyskiwana dok³adnoœæ, szczególnie w przypadku przyspieszeñ pozostawia wiele do ¿yczenia. W niniejszym opracowaniu zdecydowano jednak zamieœciæ podstawowe informacje o metodach graficznych w stopniu umo¿liwiaj¹cym rozwi¹zywanie prostych uk³adów, a argumenty za tym przemawiaj¹ce to: • metody graficzne maj¹ niezaprzeczalny walor dydaktyczny i pomagaj¹ lepiej zrozumieæ ruch cz³onów uk³adu kinematycznego, • pos³ugiwanie siê wektorami prêdkoœci i przyspieszenia znakomicie wspomaga wyjaœnienie nie tylko elementów kinematyki, ale tak¿e statyki i dynamiki, • umiejêtnoœæ graficznej analizy uk³adu kinematycznego umo¿liwia zweryfikowanie w³asnych procedur bazuj¹cych na metodach analitycznych, a tak¿e poprawnoœci modeli tworzonych z wykorzystaniem profesjonalnych programów analizy uk³adów kinematycznych. Szczegó³owe rozwa¿ania analityczne, stanowi¹ce podstawê metod graficznych mo¿na znaleŸæ w wielu podrêcznikach mechaniki [24], [27], [28]. Poni¿ej podano, bez dowodów, tylko te informacje, które s¹ niezbêdne do rozwi¹zywania uk³adów p³askich.

3.2.1. Œrodki obrotu chwilowego Cz³ony p³askich uk³adów kinematycznych mog¹ wykonywaæ ruch postêpowy (wtedy wszystkie punkty maj¹ jednakowe prêdkoœci), ruch obrotowy wokó³ nieruchomej osi oraz ruch p³aski bêd¹cy z³o¿eniem ruchu postêpowego i obrotowego. W tym ostatnim przypadku, dla zrozumienia istoty ruchu, pomocne jest wprowadzenie pojêcia œrodka obrotu chwilowego. Ruch p³aski cz³onu k w uk³adzie podstawy 0 (rys. 3.1), opisany prêdkoœciami vA i vB punktów A i B (wektory prêdkoœci s¹ styczne do odpowiednich torów), mo¿na przyrównaæ do ruchu obrotowego wokó³ punktu Sk0, którego po³o¿enie znajdujemy na przeciêciu prostych prostopad³ych do wektorów prêdkoœci vA i vB poprowadzonych z punktów A i B. Proste prostopad³e s¹ jednoczeœnie normalnymi do trajektorii µA i µB. Otrzymany punkt Sk0 jest œrodkiem obrotu chwilowego cz³onu k w ruchu wzglêdem podstawy 0. To bardzo przydatny element analizy kinematycznej (i nie tylko). Umo¿liwia ³atwe obliczenie prêdkoœci k¹towej cz³onu k ze wzoru:

ωk =

vA v = B , ASk 0 BS k 0

v A = ω×r

(3.3)

112

3. Prêdkoœæ i przyspieszenia

Rys. 3.1. Œrodek obrotu chwilowego

Dla rysunku wykonanego w podzia³ce wyra¿enie okreœlaj¹ce prêdkoœæ k¹tow¹ ωk jest w sensie geometrycznym tangensem k¹ta ϕk, pod jakim ze œrodka obrotu chwilowego widziane s¹ wektory prêdkoœci:

ωk =

vA v = B = tgϕ k AS k 0 BS k 0

(3.4)

W³asnoœæ ta u³atwia wykreœlenie wektora prêdkoœci ka¿dego innego punktu cz³onu k, który te¿ jest widziany z punktu Sk0 pod tym samym k¹tem. Rozpatrzony przypadek (rys. 3.1) dotyczy³ ruchu cz³onu k wzglêdem nieruchomej podstawy 0, co znakomicie u³atwia analizê. Jednak w uk³adzie kinematycznym sytuacja jest bardziej z³o¿ona. Mamy bowiem do czynienia z wiêksz¹ liczb¹ cz³onów, z których ka¿dy porusza siê wzglêdem podstawy, ale jednoczeœnie obserwujemy ruch cz³onów ruchomych wzglêdem siebie. Ogólnie liczba œrodków obrotu iS wynika z faktu, ¿e ka¿dy cz³on z ka¿dym pozostaje w ruchu wzglêdnym, a zatem w uk³adzie z³o¿onym z n cz³onów, w³¹cznie z podstaw¹, jest:

 n  n(n − 1) i S =   = (3.5) 2! 2 Taka sytuacja wystêpuje ju¿ w prostym uk³adzie czworoboku przegubowego (rys. 3.2), w którym zgodnie z (3.5) wyró¿niamy szeœæ œrodków obrotu – zebrane w tablicê dla uk³adu z rys. 3.2:  Nr cz.   0  1   2   3

0

1

2

× S 01

S 02

×

×

S12

×

×

×

×

×

×

3   S 03  S13   S 23   × 

S ij ≡ S ji

3.2. Metody graficzne – uk³ady p³askie

113

Rys. 3.2. Czworobok przegubowy – œrodki obrotu chwilowego

Po³o¿enie czterech z nich jest oczywiste – tworz¹c pary obrotowe A, B, C, D fizycznie zmuszono cz³ony 0, 1, 2 i 3 do wzglêdnego ruchu obrotowego i odpowiednie œrodki le¿¹ w œrodkach geometrycznych par (patrz rys. 3.2). Wobec tego, ¿e ruch cz³onu 2 wzglêdem podstawy 0 mo¿na rozpatrywaæ jako ruch punktów B i C, których trajektorie s¹ ko³owe, œrodek obrotu chwilowego S20 le¿y na przeciêciu siê normalnych do torów punktu B i C, a wiêc na przed³u¿eniu cz³onów 1 i 3. Nieco bardziej k³opotliwe mo¿e siê wydawaæ okreœlenie po³o¿enia œrodka obrotu chwilowego S13, który wynika z ruchu wzglêdnego cz³onów 1 i 3. Mo¿na tutaj, przez analogiê do ruchu wzglêdnego cz³onu 2 w uk³adzie cz³onu 0, obserwowaæ ruch cz³onu 3 w uk³adzie cz³onu 1, lokuj¹c siê (jako obserwator) na cz³onie 1. Wtedy oka¿e siê, ¿e przed³u¿enie kierunków cz³onów 0 i 2 daje na przeciêciu po³o¿enie S13. Z analizy schematu uk³adu z rys. 3.2, z naniesionymi œrodkami obrotu, wynika pewna prawid³owoœæ – po trzy œrodki obrotu chwilowego le¿¹ na liniach prostych poprowadzonych wzd³u¿ kolejnych cz³onów:

prosta BC : S13 S12 S 23 prosta AD : S13 S10 S 30 prosta AB : S12 S10 S 20 prosta CD : S 23 S 30 S 20

indeksy [1, 2, 3]

indeksy [1, 3, 0]

indeksy [1, 2, 0]

indeksy [2, 3, 0]

Zauwa¿my, ¿e na ka¿dej prostej le¿¹ po trzy œrodki obrotu, jakie tworz¹ ze sob¹ trzy cz³ony, których numery dla kolejnych prostych zestawiono w nawiasach kwadratowych.

114

3. Prêdkoœæ i przyspieszenia

Taka prawid³owoœæ jest w ka¿dym uk³adzie p³askim i znana jako twierdzenie o trzech œrodkach obrotu1: Je¿eli trzy cz³ony k, l, m uk³adu p³askiego znajduj¹ siê w ruchu wzglêdnym, to wystêpuj¹ce wtedy trzy œrodki obrotu Skl, Skm, Slm zawsze le¿¹ na jednej prostej – zatem po³o¿enie dwóch z nich wyznacza prost¹, na której musi le¿eæ trzeci. Podana regu³a u³atwia znajdowanie œrodków obrotu w bardziej z³o¿onych przypadkach, o czym mo¿na siê przekonaæ ju¿ na przyk³adzie prostego uk³adu jarzmowego z rys. 3.3. Poszukuj¹c prêdkoœci punktu K suwaka 2, dogodnie jest pos³u¿yæ siꠜrodkiem

Rys. 3.3. Uk³ad jarzmowy – œrodki obrotu chwilowego

obrotu S20, którego po³o¿enie okreœlimy z przeciêcia siê dwóch prostych poprowadzonych przez inne, których po³o¿enie jest oczywiste. Podobnie jak w przypadku uk³adu poprzedniego, w wyniku utworzenia par kinematycznych A, B i C, cz³ony 1 i 0, 1 i 2 oraz 3 i 0 s¹ zmuszone do wzglêdnego ruchu obrotowego, tworz¹c œrodki S10, S12 i S30. 1

Twierdzenie Aronholdta–Kennedy’ego.

3.2. Metody graficzne – uk³ady p³askie

115

Cz³ony 2 i 3 poruszaj¹ siê wzglêdem siebie ruchem postêpowym, co jest wymuszone par¹ postêpow¹. Prêdkoœæ wzglêdna v23 w parze postêpowej le¿y na kierunku cz³onu 3, a prostopad³a do v23 wyznacza kierunek, na którym w nieskoñczonoœci le¿y œrodek S23. Pos³uguj¹c siê twierdzeniem o trzech œrodkach obrotu:

S10 i S12   → S 20 S 30 i S 23  znajdujemy zatem S20. Dla znanej prêdkoœci k¹towej ω1 cz³onu 1 wyznaczamy prêdkoœæ punktu B: vB = ω1 × rAB Prêdkoœci punktów B i K, które nale¿¹ do cz³onu 2, widziane s¹ ze œrodka S20 pod jednakowym k¹tem ϕ2, co wynika wprost z równañ:

v B = ù 2 × rS20 B  vB v = K  → ω2 = BS 20 KS 20 v K = ù 2 × rS20 K  W uzupe³nieniu dla uk³adu z rys. 3.3 znaleziono te¿ œrodek obrotu S31, kreœl¹c dwie proste na podstawie twierdzenia o trzech œrodkach obrotu: S 30 S 21

i

S10   → S 31 i S 23 

Informacje dotycz¹ce œrodków obrotu wymagaj¹ jeszcze uzupe³nienia odnosz¹cego siê do uk³adów z parami wy¿szymi. Znane powszechnie skojarzenie, w którym wystêpuje toczenie bez poœlizgu nie wymaga wyjaœnieñ – œrodek obrotu le¿y w punkcie styku. Odmienna sytuacja jest w przypadku skojarzenia dwóch cz³onów par¹ wy¿sz¹ w taki sposób, ¿e w punkcie styku wystêpuje poœlizg (rys. 3.4). Wtedy S12 le¿y na prostopad³ej do prêdkoœci poœlizgu v12. Poniewa¿ w wyniku utworzenia par obrotowych po³o¿enie œrodków obrotu S10 i S20 jest oczywiste, wiêc z regu³y o trzech œrodkach obrotu mamy drug¹ prost¹: S10

i

S 20 → S12

na której równie¿ le¿y S12. Punkt przeciêcia tych prostych wyznacza zatem S12 jednoznacznie.

Rys. 3.4. Mechanizm krzywkowy – œrodki obrotu chwilowego

116

3. Prêdkoœæ i przyspieszenia

3.2.2. Uk³ady równowa¿ne kinematycznie Analiza kinematyczna, z zastosowaniem metod graficznych, opiera siê przede wszystkim na równaniach wektorowych wi¹¿¹cych prêdkoœæ i przyspieszenie punktów. Równania te s¹ jasne i zrozumia³e dla tych uk³adów, których cz³ony tworz¹ pary ni¿sze – obrotowe (R) lub postêpowe (T). Kiedy cz³ony tworz¹ parê wy¿sz¹, oczywiste s¹ równania wi¹¿¹ce wektor prêdkoœci, natomiast dla przyspieszenia napotykamy trudnoœci interpretacyjne. W zwi¹zku z tym do celów analizy kinematycznej dogodnie jest pos³ugiwaæ siê uk³adami równowa¿nymi kinematycznie, które powstaj¹ przez zast¹pienie par wy¿szych dodatkowymi cz³onami i parami ni¿szymi. Okazuje siê, ¿e taka modyfikacja uk³adu kinematycznego jest mo¿liwa w ka¿dym przypadku i jakkolwiek skutkuje zwiêkszon¹ liczb¹ cz³onów uk³adu, to w zamian procentuje przejrzystoœci¹ równañ okreœlaj¹cych prêdkoœæ i przyspieszenie. Tworzenie uk³adów równowa¿nych kinematycznie opiera siê na dwóch regu³ach. Pierwsza dotyczy eliminowania par wy¿szych i mówi, ¿e w miejsce skojarzenia dwóch cz³onów par¹ kinematyczn¹ wy¿sz¹, utworzon¹ w uk³adach p³askich przez dwa krzywoliniowe segmenty, mo¿na wprowadziæ dodatkowy cz³on dwuwêz³owy, który w³¹czony jest w uk³ad pierwotny parami I klasy R lub T. Je¿eli krzywizny obu segmentów maj¹ skoñczone wartoœci, dodatkowy cz³on z parami obrotowymi ³¹czy œrodki obu krzywizn. Jeœli jedna z krzywizn ma œrodek w nieskoñczonoœci, to jedna z par jest postêpowa. Druga z regu³ dotyczy mo¿liwoœci przemieszczania pary kinematycznej postêpowej o dowoln¹ wartoœæ, je¿eli tylko zachowamy równoleg³oœæ kierunku ruchu wzglêdnego cz³onów j¹ tworz¹cych. Na rysunku 3.5 przedstawiono uk³ad transformuj¹cy ci¹g³y ruch obrotowy krzywki 1 na wahad³owy popychacza 3, charakteryzuj¹cy siê dwoma przystankami. Postój cz³onu biernego 3 jest wtedy, kiedy kr¹¿ek 2 wspó³pracuje z krzywk¹ 1 na segmentach dc i ae. W po³o¿eniu przedstawionym na rys. 3.5 wspó³praca krzywki i kr¹¿ka oznacza sta³¹ odleg³oœæ œrodków krzywizn O1 i O2. Wyeliminowanie pary wy¿szej przez zast¹pienie jej dodatkowym cz³onem O1O2 nie zmienia charakteru ruchu, a wa¿noœæ tego uk³adu zastêpczego rozci¹ga siê na ca³y segment ab. W tym po³o¿eniu zamiast rozpatrywaæ kinematykê mechanizmu krzywkowego (z par¹ wy¿sz¹ 1–2) dogodniej jest prowadziæ analizê równowa¿nego uk³adu dŸwigniowego AO1O2B. Je¿eli w takim uk³adzie bêdziemy wymuszaæ ruch cz³onu AO1 Rys. 3.5. Mechanizm krzywkowy R → R w sposób to¿samy z ruchem krzywi uk³ad równowa¿ny kinematycznie

3.2. Metody graficzne - uklady plaskie

ki 1, to uzyskany mch czlonu 0 2 Bjest tozsamy z ruchem popychacza 3 ukladu rzeczywistego. Latwo zauwazyd, ze na ogbl wymiary ukladu z a s t ~ c z e g obqdq sip zmieniad. Dla ukladu z rys. 3.5 w fazie kontaktu krzywki i krqzka na segmencie ae irodek krzywizny krzywki lezy w punkcie A i czlon AOI ma dlugoSC zerowg co skutkuje przystankiem popychacza 3. Przypadek utworzenia pary wyzszej z dw6ch segmentbw, z kt6rych jeden ma zarys prostoliniowy (promieh krzywimy rbwny nieskonczonoSC) pokazano na rys. 3.6. Uklad rbwnowazny powstaje przez wprowadzenie dodatkowego czlonu z jednq parq postepowq. ~rostoli'niow~ fragment popychacza 2 wsp6lpracujqcy z h y w k q 1 pozostaje w kazdym polozeniu mechanizmu w stalej odlegloici od Srodka kolowej tarczy 1 umocowanej w podstawie obrotowo w punkcie A. Analizq mechanizmu krzywkowego prowadzimy na rbwnowainym ukladzie diwigniowym - na rys. 3.6 naniesiony liniq przerywana Na rysunku 3.7 pokazano schemat mechanizmu jarzmowego, ktbrego zadanie polega na przemieszbzaniu punktu M po trajektorii pM,przy czym ruch ukladu jest wymuszany obrotem czlonu 1. Wiqzy czlonu 3 naloione na ruch czlonu 2 zabezpieczajq stalq odlegloSC linii BM od punktu D - irodka pary obrotowej utworzonej przez czlony 0 i 3. Identyczne wiqzy - stalit odlegloSd linii BM od punktu D - zapewnia uklad narysowany liniq przerywang w ktbrym para postqpowa zostala przeniesiona do punktu D z zachowaniem pierwotnego kiemnku ruchu wzglqdnego czlon6w Rys. 3.6. Mechanizm krzywkowy R+R 2 i 3. Dla wiqzbw nie zrnienionych uzyi r6wnowazny uklad diwigniowy skany uklad bqdzie realizowal identycznq transforrnacj~ruchu obrotowego czlonu 1 na ruch punktu M, a analiza ukladu zastegczego, zwlaszcza na etapie okreilania przyspieszenia, jest zdecydowanie prostsza. Przedstawione reguly eliminowania par kinematycznych wyzszych prowadz%kaidorazowo do ukladu diwigniowego. Nie oznacza to, ze analiza kinematyczna uklad6w z parami wyiszymi zawsze wymaga takiego zabiegu. Sugerowane tutaj po-

Rys. 3.7. Mechanizm jarzmowy i uklad rbwnowazny kinematycznie

118

3. Prêdkoœæ i przyspieszenia

stêpowanie nale¿y traktowaæ jako propozycjê u³atwienia analizy, a zw³aszcza jednolitego traktowania wszystkich uk³adów jako dŸwigniowych. Zwróæmy przy tym uwagê, ¿e czasem w uk³adach zastêpczych zostanie wyeliminowany jakiœ cz³on (np. kr¹¿ek 2 na rys. 3.5), a tym samym pozbawiamy siê mo¿liwoœci analizy jego ruchu. W razie takiej potrzeby przejœciowe stosowanie uk³adu zastêpczego mo¿e mieæ funkcjê pomocnicz¹.

3.2.3. Równania wektorowe, plany Wobec poczynionych sugestii eliminowania par wy¿szych w uk³adach kinematycznych podlegaj¹cych analizie kinematycznej przedstawiamy równania wektorowe wi¹¿¹ce prêdkoœæ i przyspieszenie punktów cz³onów p³askich uk³adów kinematycznych. Aby zale¿noœci takie by³y prawdziwe, punkty, których one dotycz¹, musz¹ spe³niaæ jeden z warunków: • obydwa punkty nale¿¹ do jednego cz³onu, • punkty nale¿¹ do dwóch cz³onów tworz¹cych parê postêpow¹2 i pokrywaj¹ siê. Ruch wzglêdny punktów jednego cz³onu. Rozpatruj¹c ruch p³aski (rys. 3.8), zwróæmy uwagê, ¿e mo¿emy go rozpatrywaæ jako z³o¿enie ruchu postêpowego i obrotowego. T³umaczy to schemat przemieszczania cz³onu MN od po³o¿enia M1N1 do M2N2. Faza pierwsza to ruch postêpowy do po³o¿enia M2N2*, po której punkt M ju¿ zaj¹³ swoje po³o¿enie M2, a druga to ruch obrotowy wokó³ M2, tak aby N2* przemieœciæ do po³o¿enia N2.

Rys. 3.8. Ruch z³o¿ony p³aski cz³onu MN

Przechodz¹c od przemieszczenia do prêdkoœci i przyspieszenia, mo¿emy dla ruchu z³o¿onego p³askiego napisaæ równania wi¹¿¹ce parametry ruchu punktów M i N jednego cz³onu (rys. 3.8). • Dla prêdkoœci mamy:

v N = v M + v NM 2

Istniej¹ te¿ zwi¹zki miêdzy punktami „w styku” dwóch cz³onów tworz¹cych parê wy¿sz¹.

(3.6)

3.2. Metody graficzne – uk³ady p³askie

119

Pierwszy sk³adnik prawej strony równania (3.6) jest konsekwencj¹ ruchu postêpowego cz³onu k, drugi jego ruchu obrotowego (obrót punktu N wokó³ „nieruchomego” punktu M). W tej sytuacji oczywiste jest powi¹zanie wektora prêdkoœci wzglêdnej liniowej vNM z prêdkoœci¹ k¹tow¹ Mk cz³onu k

v NM = ù k × rMN

(3.7)

a N = a M + a NM = a M + a nNM + a tNM

(3.8)

• Dla przyspieszenia mamy:

Analogicznie do prêdkoœci drugi sk³adnik prawej strony równania (3.8) jest wynikiem obracania punktu N wokó³ „nieruchomego” M. Przyspieszenie wzglêdne aNM roz³o¿one jest na dwie sk³adowe – normaln¹ i styczn¹3 – powi¹zane w sposób oczywisty z prêdkoœci¹ k¹tow¹ Mk i przyspieszeniem k¹towym Ak zale¿noœciami:

a nNM = ù k × (ù k × rMN ) = −ùk2 rMN

(3.9)

a tNM = å k × rMN

(3.10)

Sk³adowa normalna a nNM wektora przyspieszenia wzglêdnego aNM jest skierowana od punktu N do M, sk³adowa styczna a tNM ma kierunek zgodny z wektorem prêdkoœci wzglêdnej vNM (rys. 3.8). Ruch wzglêdny punktów dwóch cz³onów. W przypadku punktów dwóch cz³onów istniej¹ analogiczne zwi¹zki wi¹¿¹ce prêdkoœæ i przyspieszenie, przy czym to ostatnie jest uzupe³nione o sk³adow¹ przyspieszenia Coriolisa [27]. Dwa przypadki skojarzenia cz³onów j, k par¹ postêpow¹ pokazano na rys. 3.9. W pierwszym przypadku mamy wariant ogólny z prowadnic¹ ³ukow¹ (promieñ ρ), w drugim prowadnica jest prostoliniowa. Punkty J i K nale¿¹ odpowiednio do cz³onów j i k. Dla pary z prowadnic¹ ³ukow¹ i prostoliniow¹ mamy równanie prêdkoœci: v K = v J + v KJ

(3.11)

Prêdkoœæ wzglêdna vKJ jest w obu przypadkach styczna do toru punktu K w uk³adzie prowadnicy j. Zwróæmy uwagê, ¿e w przypadku prowadnicy ³ukowej mamy do czynienia z ruchem obrotowym cz³onu k wzglêdem cz³onu j – cz³on k obraca siê wokó³ œrodka krzywizny Oj. Prêdkoœæ k¹towa jMk cz³onu k w uk³adzie cz³onu j i prêdkoœæ wzglêdna liniowa vKJ s¹ powi¹zane równaniem:

v KJ = j ù k × ñ

(3.12)

3 Istnieje tutaj spór z terminologi¹ mechaniki klasycznej, gdzie przyspieszenie styczne i normalne jest przypisywane ruchowi punktu w uk³adzie nieruchomym, natomiast w ruchu wzglêdnym operuje siê czêsto, choæ nie zawsze, przyspieszeniem obrotowym (tutaj styczne) i doosiowym (tutaj normalne).

3. PredkoSC i przyspieszenia

Zaleznoik wiqzqca przyspieszenia dwbch punktbw K i J dla prowadnicy hkowej (rys. 3.9) to: t C a, =aJ +aKJ=aJ +a", +aKJ +aKJ

a skladowq normalnq a", przyspieszenia wzglqdnego a, wyraza rbwnanie:

Ruch obrotowy czlonu k W ukladzie czlonuj lqczy siq z przyspieszeniem kqtowym stycznym j e , powiqzanym z przyspieszeniem wzglqdnym stycznym zaleznoicig

Rys. 3.9. Ruch suwaka k W prowadnicyj

Trzecia skladowa przyspieszenia wzglqdnego aKJjest przyspieszeniem Coriolisa, bqdqcego wynikiem obracania siq czlonuj z prqdkoiciq kqt0w;lunoszenia o, i jest obliczane z zaleznoici:

W przypadku prowadnicy prostoliniowej, najczqiciej wystqpujqcej W ukladach rzeczywistych, W rbwnaniu okreSlajqcym przyspieszenie nie wystqpuje skladowa norrnalna przyspieszenia wzglqdnego a", (p = 0) i wtedy:

3.2. Metody graficzne – uk³ady p³askie

121

Plan prêdkoœci i przyspieszeñ. Analizê kinematyki metodami graficznymi prowadzi siê dla jednego po³o¿enia uk³adu, rozwi¹zuj¹c kolejno równania prêdkoœci i przyspieszeñ. Rysuj¹c wektory prêdkoœci (przyspieszenia) punktów jednego cz³onu w taki sposób, aby ich pocz¹tki pokrywa³y siê, uzyskujemy tzw. plan prêdkoœci (przyspieszeñ) cz³onu wyznaczony przez koñce tak poprowadzonych wektorów. W obu przypadkach koñce wektorów prêdkoœci (przyspieszenia) punktów wyznaczaj¹ figurê geometrycznie podobn¹ do tej, jak¹ wyznaczaj¹ te punkty na cz³onie. To bardzo po¿yteczna cecha planu prêdkoœci i przyspieszenia. Maj¹c bowiem wyznaczon¹ prêdkoœæ (przyspieszenie) dwóch punktów jednego cz³onu, mo¿emy bez uciekania siê do równañ wyznaczyæ prêdkoœæ (przyspieszenie) ka¿dego innego punktu tego samego cz³onu. Mniej wa¿n¹ cech¹ planu prêdkoœci jest to, i¿ jest on figur¹ obrócon¹ w stosunku do odpowiadaj¹cej jej na cz³onie o k¹t prosty w kierunku zgodnym z prêdkoœci¹ k¹tow¹.

PRZYK£AD 3.1 W uk³adzie przedstawionym na rys. 3.10 jest zadany ruch korby AB, ze sta³¹ prêdkoœci¹ k¹tow¹ ω1, co okreœla prêdkoœæ i przyspieszenie cz³onów i ich punktów, które wyznaczymy na podstawie wprowadzonych równañ wektorowych. Zadanie rozwi¹zuje siê w okreœlonym po³o¿eniu. Spoœród cz³onów uk³adu ³¹cznik 2 wykonuje ruch p³aski, który do wyznaczenia prêdkoœci dogodnie jest rozpatrywaæ jako ruch obrotowy wokó³ œrodka obrotu chwilowego S20. Wyznaczenie jego po³o¿enia mo¿na wesprzeæ twierdzeniem o trzech œrodkach obrotu lub prowadz¹c proste prostopad³e do oczywistych kierunków prêdkoœci punktów B i C cz³onu 2. Dla znanych wymiarów i zadanego ruchu cz³onu 1 prêdkoœæ punktu B wyznacza równanie:

v B = ù1 × rAB

(3.18)

Znaj¹c po³o¿enie œrodka S20, korzystaj¹c z zasady, ¿e prêdkoœæ wszystkich punktów cz³onu 2 w ruchu wzglêdem podstawy 0 widziana jest pod tym samym k¹tem ϕ2, mo¿emy ju¿ znaleŸæ prêdkoœæ punktów C i M cz³onu 2. Prêdkoœæ punktu C wyznacza te¿ prêdkoœæ cz³onu 3 o ruchu postêpowym. Prêdkoœæ punktów B, C, M cz³onu 2 i jego prêdkoœæ k¹towa s¹ powi¹zane równaniami:

v B = ù 2 × rS 20 B ,

v C = ù 2 × rS 20C ,

v M = ù 2 × rS 20 M

Inny sposób wyznaczenia prêdkoœci jest oparty na równaniach wektorowych (3.6). Po wyznaczeniu wektora prêdkoœci punktu B (3.18) otrzymujemy równanie:

v C = v B + v CB

(3.19)

Gdy znamy wektor vB (podwójne podkreœlenie) oraz kierunki vC oraz vCB (jedno podkreœlenie), graficzne rozwi¹zanie równania (3.19) jest oczywiste i pokazane na rys. 3.10b – trójk¹t πvbc. Wyznaczenie wektora prêdkoœci punktu M jest mo¿liwe teraz na dwa sposoby.

Rys. 3.10. PqdkoSi: ukladu korbowo-wodzikowego

Spos6b pierwszy polega na rozwiqzaniu graficznym ukladu r6wnaii wektorowych:

Na podstawie poprzednio wykreilonego trhjkqta nvbc wystarczy tylko zgodnie z rbwnaniami (3.20) poprowadzit znane kierunki mc i mb prqdkolci wzglqdnych v, i v, odpowiednio prostopadle do bok6w MC i MB czlonu 2. Analizujqc kierunki bokow trojkqt6w bcm i BCM, stwierdzamy, ze sq one do siebie wzajemnie prostopadle, a to omacza ich podobienstwo geometryczne (Abcm = MCM). Prostq konsekwencjq podobienstwa jest rhwnolC kqtbw pBi pcfigur BCM i bcm. Trijkqt bcm wraz z biegunem % tworzq plan prqdkolci czlonu BCM.Na schemacie prqdkobi moina wyr6iniC tez plan prqdkohi dw6ch pozostalych c z l o n h ukladu. Odcinek ab jest wiqc planem prqdkobi czlonu AB (punkt a pokrywa sip z %, gdyz jego prqdkolt jest zerowa), nato-

-

3.2. Metody graflczne uklady plaskie

miast planem prqdkoSci czlonu 3 - suwaka o ruchu postepowyrn -jest punkt c, gdyz prqdkoSci wszystkich punktbw suwaka 3 S@ jednakowe. Gdy dysponujemy wektorami prqdkoSci, moiemy przystapid do wyznaczania przyspieszeh. Algorytm postepowania jest dokladnym powtbrzeniem kolejnych faz wyznaczania prqdkobi z wykorzystaniem rbwnah wektorowych rozwiqzywanych graficznie4. W pierwszym laoku wymaczamy przyspieszenie punktu B, ktbre ma tylko skladow~norrnalnq

Kolejne rbwnanie wektorowe, podobnie do (3.1g), to:

W rbwnaniu (3.2 1) dwa wektory sq zna-

Rys. 3.1 1. Przyspieszenie ukladu korbowo-wodzikowego

ne (podwbjne podkreglenie), dwa pozostale s~ mane CO do kierunkbw, wiec rozwiq zanie graficzne jest mozliwe (rys. 3. l l b). POwyznaczeniu planu przyspieszenia czlonu 2, na razie tylko W formie punktbw nabc, dalszq analiz~moina oprzeC na, zaobserwowanym ju2 W pnypadku prqdkolci, twierdzeniu o podobiefistwie planu pnyspieszeh i czlonu. Gdy mamy katy qBi pc na czlonie 2, wbwczas moina przenieSC je na plan pnyspieszefi, okreSliC poloienie punktu m, a odcinek 7tam wyznaczy wektor pnyspieszenia punktu M (rys. 3.1 lb). W uzupdnieniu analizy przyspieszenia zauwaimy jeszcze, i e przyspieszenie katowe czlonu 2 wyznacza r6wnanie:

Taka zasada obowiqzuje zawsze, jeieli przy wyznaczaniu predkoici nie posi#kujemy siq irodkarni obrotu lub innymi sposobarni wyznaczania kierunk6w wektor6w prqdkoici, np. trajektoriami.

124

3. Prêdkoœæ i przyspieszenia

3.2.4. Uk³ady z³o¿one p³askie Przedstawione równania wektorowe prêdkoœci i przyspieszeñ, zastosowane w przyk³adzie 3.1, umo¿liwiaj¹ analizê zdecydowanej wiêkszoœci uk³adów kinematycznych w praktyce. Ju¿ w trakcie omawiania topologii zwrócono uwagê na licznoœæ zbioru mo¿liwych rozwi¹zañ uk³adów kinematycznych. Ró¿ne s¹ liczby cz³onów i struktura po³¹czeñ parami kinematycznymi. Poœród wielu mo¿liwych uk³adów s¹ takie, które wymagaj¹ szczególnego podejœcia w analizie prêdkoœci i przyspieszeñ prowadzonej z wykorzystaniem równañ wektorowych. Ich bezpoœrednie wykorzystanie nie prowadzi do rozwi¹zania, a przeszkod¹ okazuje siê brak wystarczaj¹cych informacji o kierunkach lub modu³ach niektórych wektorów. Istotna jest umiejêtnoœæ rozpoznawania takich uk³adów. Mo¿na siê tutaj wesprzeæ klasyfikacj¹ wed³ug Assura [16]. Nie rozwijaj¹c tutaj tego zagadnienia, zwrócimy tylko uwagê, ¿e rozpoznanie takich uk³adów jest jednak stosunkowo proste na etapie sporz¹dzania schematu uk³adu. Jeœli przy graficznym wyznaczaniu konfiguracji uk³adu trzeba pomocniczo wyznaczaæ trajektorie wybranych punktów lub modyfikowaæ uk³ad, zmieniaj¹c jego cz³on czynny, to z ca³¹ pewnoœci¹ prze³o¿y siê to na trudnoœci w analizie prêdkoœci i przyspieszenia. Mo¿na przypomnieæ uk³ad z rys. 2.11, dla którego wyznaczenie konfiguracji wymaga³o wykreœlania pomocniczej trajektorii. W klasyfikacji Assura, po za³o¿eniu, ¿e cz³on czynny to suwak (punkt F) uk³ad z rys. 2.11 jest mechanizmem III klasy. Analizê kinematyczn¹ innego uk³adu III rozpatrzono na przyk³adzie 3.2.

PRZYK£AD 3.2 Na rysunku 3.12 przedstawiono schemat uk³adu, którego cz³on 3 (CEF) wykonuje ruch p³aski, ograniczony sta³ymi odleg³oœciami punktów E i D oraz F i G. Cz³onem czynnym jest si³ownik AC, ogólnie cz³on zmiennej d³ugoœci. Ju¿ narysowanie tego uk³adu dla znanej d³ugoœci si³ownika wymaga szczególnych zabiegów. Tutaj odnotujmy tylko, ¿e w ka¿dym po³o¿eniu punkty C, E, F cz³onu 3 musz¹ znajdowaæ siê na ³ukach, przy czym ³uk, na którym znajduje siê punkt C zmienia swój promieñ. W przyk³adzie bêdziemy rozpatrywaæ prêdkoœæ i przyspieszenia po za³o¿eniu prêdkoœci vw, z jak¹ si³ownik zmienia swoj¹ d³ugoœæ. Przed przyst¹pieniem do analizy zauwa¿my, ¿e w miejsce si³ownika mo¿na wprowadziæ cz³ony 1 i 2, uzyskuj¹c uk³ad równowa¿ny kinematycznie. Cz³on 1 reprezentuje cylinder, cz³on 2 t³ok z t³oczyskiem. Taka modyfikacja znakomicie u³atwia analizê, umo¿liwiaj¹c bezpoœrednie korzystanie z wprowadzonych regu³ formu³owania równañ wektorowych. Zauwa¿my, ¿e prêdkoœæ wysuwu vw w zmodyfikowanym uk³adzie jest prêdkoœci¹ wzglêdn¹ vBA w parze postêpowej suwak 1– cz³on 2, a œciœlej prêdkoœci¹ vB punktu B, co wykazuj¹ równania:

v B = v A + v BA   → v B = v BA  vA = 0

(3.22)

3.2. Metody graficzne – uk³ady p³askie

125

Rys. 3.12. Prêdkoœæ i przyspieszenie uk³adu III klasy (wg Assura)

Dysponuj¹c prêdkoœci¹ vB, mo¿emy zapisaæ tylko jedno równanie:

v C = v B + v CB

(3.23)

którego rozwi¹zanie wymaga znajomoœci kierunku wektora prêdkoœci vC , poniewa¿ jedyna informacja o wektorze vCB to jego kierunek prostopad³y do BC. Znalezienie kierunku prêdkoœci vC nie jest szczególnie k³opotliwe, jeœli odwo³aæ siê do œrodków obrotu chwilowego – tutaj pomocny by³by œrodek S30. Mo¿na te¿ pomocniczo wykreœliæ fragment trajektorii punktu C, do której styczna wyznacza kierunek vC. Podejmiemy jednak zadanie analizy prêdkoœci, nie posi³kuj¹c siê ani œrodkiem obrotu ani trajektori¹, gdy¿ takie rozwi¹zanie oznacza wyznaczenie „œcie¿ki” analizy przyspieszeñ.

126

3. Prêdkoœæ i przyspieszenia

Przyjmijmy, ¿e na cz³onie 3, w nieokreœlonym jeszcze po³o¿eniu, znajduje siê punkt H, wtedy mo¿na napisaæ nastêpuj¹ce równania:

v H = v C + v HC    → v H = v B + v CB + v HC v C = v B + v CB  

(3.24)

Z prawej strony równania (3.24) wystêpuj¹ dwie prêdkoœci wzglêdne vCB i vHC, których kierunki s¹ prostopad³e do odcinków CB i HC. Dotychczas zak³adano jedynie, ¿e punkt H le¿y na cz³onie 3, teraz umiejscowimy go w takim miejscu, aby wektory vCB i vHC mia³y jednakowy kierunek. Nie trzeba wykazywaæ, ¿e bêdzie to spe³nione, je¿eli punkt H bêdzie le¿a³ na przed³u¿eniu odcinka AC. Wtedy otrzymamy: v H = v B + v CB + v HC

(3.25)

Z drugiej strony, id¹c od punktu E do H mamy:

v H = v E + v HE    → v H = v D + v ED + v HE v E = v D + v ED  

(3.26)

a obieraj¹c punkt H na kierunku DE wektory vED i vHE równie¿ bêd¹ mia³y wspólny kierunek:

v H = v D + v ED + v HE

(3.27)

Wnioskujemy zatem, ¿e obieraj¹c po³o¿enie punktu H na cz³onie 3 na przeciêciu kierunków AC i ED sumy wektorów prêdkoœci wzglêdnych:

v CB + v HC

oraz v ED + v HE

umo¿liwiaj¹ wyznaczenie pomocniczo prêdkoœci punktu H z uk³adu równañ:

 v H = v B + v CB + v HC   v H = v D + v ED + v HE

(3.28)

Wychodz¹c od znanego wektora vB rozwi¹zanie graficzne (rys. 3.12b) prowadzi do trójk¹ta πvbh. Zwróæmy uwagê, ¿e nieznane s¹ prêdkoœci wzglêdne równañ (3.28), a znamy tylko ich sumy. Poniewa¿ punkty H i F nale¿¹ do cz³onu 3, wiêc jest uprawnione kolejne równanie w postaci:

v F = v H + v FH

(3.29)

3.2. Metody graficzne – uk³ady p³askie

127

którego rozwi¹zanie daje na planie prêdkoœci (rys. 3.12b) wektor vF. Znana jest wiêc teraz figura πvbhf , która jest podstaw¹ do znalezienia punktów e, c – koñców wektorów prêdkoœci vE i vC. Mo¿na je znaleŸæ z zasady podobieñstwa cz³onu i jego planu, korzystaj¹c ze znanych k¹tów ϕ H i ϕ F, a nastêpnie β C i β F lub pos³uguj¹c siê równaniami:

v E = v F + v EF    → vE v E = v H + v EH  

oraz

v C = v H + v CH    → vC v C = v F + v CF  

(3.30)

Prêdkoœci k¹towe poszczególnych cz³onów wynikaj¹ z oczywistych zwi¹zków

v E = ù 4 × rDE

v F = ù 5 × rGF

v CB = ù 2 × rBC

v FH = ù 3 × rHF

oraz Wyznaczenie przyspieszeñ wymaga podobnej jak dla prêdkoœci drogi postêpowania. W tym celu zapisano kolejne równania, których graficzne rozwi¹zanie przedstawiono na rysunku 3.12c. Za³ó¿my sta³¹ prêdkoœæ wysuwu si³ownika vw = vB = vBA = const. Zwi¹zek przyspieszeñ punktów A i B w parze postêpowej wed³ug (3.17) to:

  C aA = 0  → a B = a BA = 2ω1 × v BA  v BA = const → a tBA = 0 

a B = a A + a tBA + aCBA

(3.31)

Równanie wi¹¿¹ce przyspieszenia punktów B, C cz³onu 2, analogicznie do (3.23) na podstawie (3.8) to:

a C = a B + a nCB + atCB

(3.32)

Rozwi¹zanie graficzne tego równania, podobnie jak równania (3.23) w analizie prêdkoœci, nie jest mo¿liwe, gdy¿ brak jest informacji o przyspieszeniu punktu C. Korzystaj¹c jednak z wprowadzonego pomocniczo punktu H otrzymujemy równania:

a H = a C + a nHC + atHC  n n t t  → a H = a B + a CB + a HC + a HC + a CB n a C = a B + a CB + a tCB  

(3.33)

a H = a E + a nHE + a tHE  n n t t  → a H = a ED + a HE + a HE + a E n t a E = +a E + a E 

(3.34)

128

3. Prêdkoœæ i przyspieszenia

Zwróæmy uwagê, ¿e podobnie jak prêdkoœæ wzglêdn¹ (3.28) równie¿ sumê dwóch wektorów wzglêdnego przyspieszenia stycznego:

a tHC + a tCB

oraz a tHE + atE

mo¿na przejœciowo traktowaæ jako dwa wektory. Dziêki temu mo¿liwe jest graficzne rozwi¹zanie uk³adu równañ:

a = a + a n + a n + a t + a t B CB HC HC CB  H  n n t t a H = a E + a HE + a HE + a E 

(3.35)

Wystêpuj¹ce w (3.35) przyspieszenie normalne oblicza siê z zale¿noœci (3.9): n = −ω 22 rBC a CB

a nHC = −ω 32 rCH

a nE = −ω 42 rDE

a nHE = −ω 32 rEH

Otrzymane rozwi¹zanie graficzne równania (3.35) daje w wyniku wektor przyspieszenia punktu H – na planie odcinek πah (rys. 3.12c). Kolejne równanie wi¹¿e przyspieszenia punktów F i H:

a nF + atF = a H + a nFH + a tFH

(3.36)

a sk³adowe normalne oblicza siê ze wzorów:

a nF = −ω52 rGF

a nFH = −ω32 rHF

Po wyznaczeniu przyspieszenia punktu F – ma³y punkt f na planie wyznacza koniec wektora aF, z zasady podobieñstwa wykreœlamy odcinki fc pod k¹tem ϕ F i hc pod k¹tem ϕ H . Znaleziono w ten sposób punkt c, który wyznacza koniec wektora aC. Sposób wyznaczenia na planie punktu e jest równie¿ oczywisty wobec podobieñstwa trójk¹tów CEF i cef – determinuj¹ go k¹ty β C i β F. W ostatniej fazie wyznaczamy przyspieszenia k¹towe poszczególnych cz³onów, które wynikaj¹ z oczywistych zwi¹zków:

a tE = å 4 × rDE

a tF = å 5 × rGF

oraz

a tCB = å 2 × rBC

a tFH = å 3 × rHF

å1 = å 2

3.3. Metody analityczne

129

3.3. Metody analityczne Metody analityczne wyznaczania prêdkoœci i przyspieszeñ, liniowych i k¹towych, bazuj¹ na równaniach opisuj¹cych konfiguracjê uk³adu kinematycznego, przy czym mo¿liwe jest wykorzystanie wszystkich dostêpnych form zapisu konfiguracji. W przypadku uk³adów p³askich najczêstszym sposobem jest opis za pomoc¹ wspó³rzêdnych wektorowych. To najbardziej in¿ynierskie podejœcie, w mniejszym stopniu wykorzystuje siê liczby zespolone, które koncepcyjnie s¹ to¿same z zapisem wektorowym. Kiedy dysponujemy systemowym oprogramowaniem do rozwi¹zywania ró¿nego rodzaju zagadnieñ matematycznych, popularnoœæ zdobywa zapis we wspó³rzêdnych absolutnych. Jakkolwiek cechuje go wiêksza liczba równañ, to jednak trud w³o¿ony w analizê kinematyczn¹ zwraca siê prostot¹ opisu dynamiki. W przypadku uk³adów przestrzennych du¿¹ popularnoœæ zyska³a notacja Denavita–Hartenberga (DH), zw³aszcza do zapisu uk³adów kinematycznych robotów. W niniejszej pracy zaprezentowano zapis kinematyki z u¿yciem wspomnianych wspó³rzêdnych wektorowych, absolutnych oraz w notacji DH.

3.3.1. Ruch we wspó³rzêdnych wektorowych – uk³ady p³askie Jak ju¿ pokazano w przypadku opisu konfiguracji zapis wektorowy wymaga zast¹pienia cz³onów uk³adu kinematycznego ³añcuchem wektorów, które skutkuj¹ równaniami wektorowymi, a w konsekwencji rzutowania wektorów na osie globalnego uk³adu wspó³rzêdnych, uk³adem równañ algebraicznych. Jedne wektory maj¹ sta³e modu³y, inne zmieniaj¹ siê co do kierunku i modu³u. Wyznaczenie ich pochodnych wzglêdem czasu prowadzi do uk³adu równañ wi¹¿¹cych prêdkoœci, a po kolejnym ró¿niczkowaniu przyspieszeñ. Od strony metodologicznej sposób postêpowania jest oczywisty. Pochodna przemieszczenia liniowego jest prêdkoœci¹ liniow¹, k¹towego – prêdkoœci¹ k¹tow¹. Podobnie z przyspieszeniami. Podane przyk³ady powinny przybli¿yæ czytelnikowi sposób postêpowania i u³atwiæ adaptacjê do analizy innych uk³adów.

PRZYK£AD 3.3 Jako pierwszy rozpatrzmy uk³ad czworoboku przegubowego (rys. 3.13), którego konfiguracjê opisano w przyk³adzie 2.5. Dla wieloboku wektorowego utworzonego z cz³onów uk³adu równanie wektorowe (2.47) w wyniku rzutowania na osie uk³adu globalnego {0} skutkuje uk³adem równañ algebraicznych (2.48), ponownie przytoczonych:

a cos È1 + b cos È2 − d − c cos È3 = 0 a sin È1 + b sin È2 − c sin È3 = 0

130

3. Prêdkoœæ i przyspieszenia

Rys. 3.13. Czworobok przegubowy – dane do analizy kinematycznej

W równaniach tych sta³e s¹ d³ugoœci cz³onów (modu³y wektorów a, b, c, d), natomiast wszystkie k¹ty Θi s¹ zmienne w czasie. Ró¿niczkowanie (2.48) wzglêdem czasu daje uk³ad równañ wi¹¿¹cych prêdkoœci k¹towe poszczególnych cz³onów w postaci:

− aÈ& 1 sin È1 − bÈ& 2 sin È 2 + cÈ& 3 sin È 3 = 0 aÈ& 1 cos È1 + bÈ& 2 cos È 2 − cÈ& 3 cos È 3 = 0

(3.37)

Rozpatrywany uk³ad ma ruchliwoœæ jeden, a wiêc jego ruch bêdzie jednoznaczny przy znanym ruchu jednego z cz³onów. Przyjmijmy, ¿e elementem napêdzaj¹cym jest cz³on 1 – znana jest funkcja Θ1(t) opisuj¹ca zmianê po³o¿enia cz³onu 1 w czasie. Rozwi¹zanie uk³adu równañ (3.37) wzglêdem prêdkoœci k¹towych cz³onów 2 i 3 wymaga uporz¹dkowania do postaci:

− b sin È 2 − a sin È1   È& 1 +    b cos È 2  a cos È1 

c sin È 3  È& 2    =0 − c cos È 3  È& 3 

a po przekszta³ceniu otrzymuje siê wyra¿enie na prêdkoœæ k¹tow¹ cz³onów 2 i 3:

È& 2  − b sin È 2   = − È& 3   b cos È 2

c sin È 3   − c cos È 3 

−1

 − a sin È1   È& 1   a cos È1 

(3.38)

Ró¿niczkuj¹c (3.37) wzglêdem czasu t, otrzymujemy:

&& sin È − aÈ& 2 cos È − bÈ&& sin È − bÈ& 2 cos È + cÈ && sin È + cÈ& 2 cos È = 0 − aÈ 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 && cos È − aÈ& 2 sin È + bÈ && cos È − bÈ& 2 sin È − cÈ && cos È + cÈ& 2 sin È = 0 aÈ 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

3.3. Metody analityczne

131

a po uporz¹dkowaniu:

− a sin È1   a cos È1

&&  − b sin È − a cos È1   È 2 1  2+  − a sin È1  È& 1   b cos È 2 − b cos È 2 +  − b sin È 2

c sin È 3  È&&2    − c cos È 3  È&&3 

c cos È 3  È& 22   =0 c sin È 3  È& 32 

i przekszta³ceniu otrzymuje siê wyra¿enia okreœlaj¹ce przyspieszenie k¹towe cz³onów 2 i 3 w postaci:

È&&2  − b sin È 2  = È&&3   b cos È 2

 b cos È 2 − c cos È 3  È& 22      2  +  −1   c sin È 3   b sin È 2 − c sin È 3  È& 3      & & − c cos È 3    a sin È1 a cos È1   È1   +  − a cos È a sin È  È& 2     1   1 1  

Rys. 3.14. Wyniki analizy uk³adu z rys. 3.13 – ruch cz³onów 2 i 3

(3.39)

132

3. Prêdkoœæ i przyspieszenia

Korzystaj¹c z (2.48), (3.38) i (3.39), wykonujemy przyk³adowe obliczenia dla uk³adu z rys. 3.13, których wyniki przedstawiono na rys. 3.14. Przyjêto nastêpuj¹ce dane: • wymiary [m]: a = 0,2; b = c = 0,6; d = 0,8, • wartoœci pocz¹tkowe k¹tów: Θ1 = π/2; Θ 2 = π/3; Θ 3 = 2π/3, • prêdkoœæ k¹towa cz³onu 1: ω1 = 10 s–1.

3.3.2. Uporz¹dkowanie macierzowe – uk³ady p³askie Rozpatrzony uk³ad by³ stosunkowo prosty – do opisu kinematyki wystarczy³y dwa równania, ruch by³ okreœlony przy jednym napêdzie. W praktyce wystêpuj¹ równie¿ uk³ady bardziej z³o¿one, w których wystêpuje wiêcej zmiennych, a wiêc wymagaj¹ce te¿ wiêkszej liczby równañ. Ich pozyskiwanie jest mo¿liwe przez zast¹pienie uk³adu kinematycznego wielobokami wektorowymi. W takich przypadkach dogodnie jest uporz¹dkowaæ procedurê wyznaczania prêdkoœci i przyspieszeñ, korzystaj¹c ze znanych form zapisu macierzowego. Je¿eli mamy do czynienia z uk³adami o ruchu zdeterminowanym, to liczba równañ algebraicznych do opisu kinematyki musi odpowiadaæ liczbie niewiadomych. Ogólnie wiêc, dla m zmiennych niewiadomych bêdziemy w stanie zapisaæ m równañ o nastêpuj¹cej postaci:

f1 = f1 (w1 , ... , w k , q1 , ... , q n , x1 , ... , x m ) = 0

f 2 = f 2 (w1 , ... , w k , q1 , ... , q n , x1 , ... , x m ) = 0 ...

(3.40)

f m = f m (w1 , ... , w k , q1 , ... , q n , x1 , ... , x m ) = 0 Równania te mo¿na zapisaæ w postaci wektorowej: f (w , q, x ) = 0

(3.41)

gdzie: w – wektor wymiarów cz³onów (liniowych i k¹towych), q – wektor znanych wspó³rzêdnych wektorowych (zmienne niezale¿ne, napêdy), x – wektor nieznanych wspó³rzêdnych wektorowych (zmienne zale¿ne). Poniewa¿ zmienne wspó³rzêdne wektorowe s¹ funkcjami czasu: q = q (t ),

x = x (t )

wiêc zró¿niczkowanie (3.41) wzglêdem czasu daje równanie prêdkoœci:

df ∂f ∂f =0→ x& + q& = 0 dt ∂x ∂q

(3.42)

3.3. Metody analityczne

133

Przyjmuj¹c oznaczenia:

 ∂f1  ∂x  1 A =  ...  ∂f m   ∂x1

∂f1 ∂x 2 ∂f m ∂x 2

∂f1  ∂x m   ∂f m  ...  ∂x m  ...

T x& = [x&1 K x& m ]

 ∂f 1  ∂q  1 B = −  ...  ∂f m   ∂q1

∂f1 ∂q 2 ∂f m ∂q 2

∂f 1  ∂q n   ∂f m  ...  ∂q n  ...

T q& = [q&1 K q& n ]

równanie prêdkoœci (3.42) mo¿emy wówczas zapisaæ nastêpuj¹co: Ax& = Bq&

(3.43)

Wektor prêdkoœci zale¿nych okreœla równanie:

x& = A −1Bq&

(3.44)

Wyznaczenie niewiadomych przyspieszeñ:

&x& = [&x&1 ... &x&m ]T wymaga znajomoœci wektora przyspieszeñ niezale¿nych (przyspieszenia cz³onów czynnych):

&& = [q&&1 ... q&&n ]T q Po zró¿niczkowaniu równañ (3.43) wzglêdem czasu t otrzymuje siê zale¿noœæ:

& x& = B& q& + Bq && A&x& + A

(3.45)

która skutkuje nastêpuj¹cym równaniem okreœlaj¹cym przyspieszenie zmiennych zale¿nych:

& x& + B & q& + Bq &&) &x& = A −1 ( − A

(3.46)

134

3. Prêdkoœæ i przyspieszenia

gdzie [4]:

 a&11 d & = A =  ... A dt  a& m1 a& ij =

a&12 a& m 2

... a&1m     ... a& mm 

n m ∂2 f ∂2 fi d ∂f i i x& k + ∑ q& k =∑ dt ∂x j k =1 ∂x j ∂x k k =1 ∂x j ∂q k

 b&11  & = d B = −  ... B dt  b&m1

b&12 b&m 2

... b&1m     ... b&mn 

m ∂2 f n ∂2 fi d ∂f i i b&ij = x& k + ∑ q& k =∑ dt ∂q j k =1 ∂q j ∂x k k =1 ∂q j ∂q k

Otrzymane równania macierzowe (3.44), (3.46) w stosunku do zale¿noœci otrzymanych wprost z równañ opisuj¹cych konfiguracjê, maj¹ tylko wartoœæ porz¹dkuj¹c¹. Ich forma jest przystosowana do ³atwej implementacji w dowolnym pakiecie obliczeñ matematycznych.

PRZYK£AD 3.4 Jako przyk³ad rozpatrzmy uk³ad p³aski o dwóch stopniach swobody przeznaczony do realizacji dowolnej trajektorii punktu M (rys. 3.15). Mechanizm ten by³ ju¿ rozpatrywany w poprzednim rozdziale, gdzie opisano jego konfiguracjê. Otrzymane równania, powtórzone tutaj dla wygody czytelnika, wynikaj¹ wprost z równania wektorowego:

a + b − c − q2 = 0 które skutkuje dwoma równaniami nieliniowymi (rzuty na osie uk³adu wspó³rzêdnych) o postaci:

 f1  a cos q1 + b cos x1 − c − q 2 cos x 2  f = = =0  f 2   a sin q1 + b sin x1 − q 2 sin x 2  W rozpatrywanym uk³adzie, obok sta³ych a, b, c, wyró¿nimy: • q1, q2 – zmienne niezale¿ne (znane wymuszenia), • x1, x2 – zmienne zale¿ne (niewiadome).

3.3. Metody analityczne

135

Rys. 3.15. Generator trajektorii o dwóch stopniach swobody

Sformu³owanie równania prêdkoœci (3.43) wymaga okreœlenia macierzy A i B, które w tym przypadku maj¹ postaæ:

A=

∂f − b sin x1 = ∂x  b cos x1

B=−

q 2 sin x 2   − q 2 cos x 2 

− a sin q1 ∂f = − ∂q  a cos q1

− cos x 2   − sin x 2 

Pochodne zmiennych zale¿nych i niezale¿nych wzglêdem czasu to odpowiednie prêdkoœci zebrane w wektory:

x& = [x&1

T x& 2 ]

q& = [q&1

T q& 2 ]

Równanie prêdkoœci ma wiêc postaæ:

 x&1  − b sin x1  =  x& 2   b cos x1

q 2 sin x 2   − q 2 cos x 2 

−1

 a sin q1  − a cos q1

cos x 2   q&1    sin x 2  q& 2 

(3.47)

Do wyznaczenia przyspieszeñ (3.45) wymagane s¹ kolejne pochodne, a mianowicie:

− x& b cos x1 & = d A= 1 A dt  − x&1b sin x1

q& 2 sin x 2 + x& 2 q 2 cos x 2   − q& 2 cos x 2 + x& 2 q 2 sin x 2 

q& a cos q1 & = d B= 1 B dt  q&1a sin q1

− x& 2 sin x 2   x& 2 cos x 2 

136

3. Prêdkoœæ i przyspieszenia

Przyspieszenie zmiennych zale¿nych x i niezale¿nych q:

&x& = [&x&1 &x&2 ]T

&& = [q&&1 q&&2 ]T q

Ostateczna forma równania przyspieszenia ma postaæ:  &x&1  − b sin x1  =  &x&2   b cos x1  q&1a cos q1 +  q&1a sin q1

q2 sin x 2   − q 2 cos x2 

−1

  − x&1b cos x1 −    − x&1b sin x1

− x& 2 sin x2   q&1   a sin q1   + x& 2 cos x 2  q& 2   − a cos q1

q& 2 sin x2 + x&2 q2 cos x 2   x&1    − q& 2 cos x2 + x&2 q2 sin x 2   x& 2  cos x2   q&&1      sin x2  q&&2  

(3.48)

Dla analizy uk³adu z rys. 3.15 przyjêto dane (wymiary liniowe w [m]): •  wymiary: a = 0,2; b = 0,5; c = 0,4; d = 0,2; β = π/4; •  ruch cz³onów czynnych: – obrót cz³onu 1:

 2πt  q1 = È10 + ∆È1 sin  ;  T 

È10 =

π ; 2

∆È1 =

5π 18

– wyd³u¿anie si³ownika 3,4:

 2πt  q 2 = q 20 + ∆q 2 sin  ;  T 

q 20 = 0,32;

∆q 2 = 0,08

•  wartoœci pocz¹tkowe zmiennych zale¿nych: x1 = 12π/180; x2 = 74π/180, •  czas jednego cyklu T = 10 s. Wyniki obliczeñ przedstawiono na rys. 3.16. Wyznaczenie parametrów ruchu punktu M jest oparte na równaniu wektorowym

rM = a + e które daje wyra¿enia okreœlaj¹ce po³o¿enie punktu M

 xM  a cos q1 + e cos ( x1 + β )   =   y M   a sin q1 + e sin ( x1 + β ) 

3.3. Metody analityczne

Rys. 3.16. Wyniki analizy uk³adu z rys. 3.15 – ruch cz³onów 2 oraz 3, 4

jego prêdkoœæ

 x& M  − aq&1 sin q1 − ex&1 sin ( x1 + β )   =   y& M   aq&1 cos q1 + ex&1 cos ( x1 + β )  i przyspieszenie

 &x&M   − aq&&1 sin q1 − aq& 12 cos q1 − e&x&1 sin ( x1 + β ) − ex& 12 cos ( x1 + β )    = 2 2  &y&M   aq&&1 cos q1 − aq& 1 sin q1 + e&x&1 cos ( x1 + β ) − ex& 1 sin ( x1 + β )  Wyniki obliczeñ przedstawiono na rys. 3.17.

137

3.

0

2

4

t

6

Predkoik i przyspieszenia

8

10

0

2

4

6

8

10

8

10

t Csl

CS3

1

0

2

4

6

t Csl Rys. 3.17. Wyniki analizy ukladu z rys. 3.15 - ruch punktu M

-

3.4. Ruch we wsp6lrqdnych absolutnych uklady ptaskie Jak jui stwierdzono dla jednoznacnego opisania ukladu zlozonego z k czlonbw ruchomych potrzebna jest najomo6C 3k parametrbw, a to oznacza koniecznoSC sformulowania 3k rbwnan, ktbre tworzq wektor r6wnaii W postaci:

Pienvsza grupa rbwnJ d jest wynikiem lqczenia czlonbw parami kinematycznymi, druga grupa rbwnaii mCopisuje wymuszenia kinematycne - ruch czlon6w czynnych (napqdzajqcych). Rbwnanie (3.49) jest podstawq do znalezienia konfigwacji ukladu opisywanej wektorem:

3.4. Ruch we wspó³rzêdnych absolutnych – uk³ady p³askie

139

lub krócej q = [q1T

gdzie qTi = [ xi

yi

q T2

... qTk ] T

Èi ]

Po za³o¿eniu znajomoœci konfiguracji uk³adu kinematycznego wyznaczenie prêdkoœci:

[

y&1

È& 1

x& 2

y& 2

È& 2

... x& k

y& k

È& k

]T

(3.50)

[

&y&1

&& È 1

&x&2

&y&2

&& È 2

... &x&k

&y&k

&& È k

]T

(3.51)

q& = x&1 i przyspieszenia

q&& = &x&1

nie stanowi ju¿ problemu i wymaga jedynie operacji ró¿niczkowania równania (3.49) wzglêdem czasu, co daje:

∂ Ö ∂ Ö dq + =0 ∂ t ∂ q dt lub krócej

Öt + Ö q q& = 0

(3.52)

gdzie

 ∂Φ Öt =  1  ∂t

∂Φ 2 ∂t

 ∂Φ 1  ∂q  1 Ö q =  ...  ∂Φ 3k   ∂q1

∂Φ 3k  . .. ∂t 

∂Φ 1 ∂q 2 ∂Φ 3k ∂q 2

T

∂Φ 1  ∂q 3k   ∂Φ 3k  ...  ∂q 3k 

(3.53)

...

(3.54)

Wyra¿enie okreœlaj¹ce prêdkoœæ ma wiêc postaæ:

q& = −Ö q−1Öt

(3.55)

Kolejna pochodna równania prêdkoœci wzglêdem czasu prowadzi do równania okreœlaj¹cego przyspieszenie. Z równania prêdkoœci (3.52), przekszta³conego do postaci:

Ö q q& = −Öt

140

3. Prêdkoœæ i przyspieszenia

otrzymamy po obliczeniu pochodnej

(Ö

&

qq q +

)

Öqt q& + Ö q &q& = −Ötq q& − Ött

(3.56)

gdzie

Ö qq =

∂ Öq ∂q

Ö qt =

∂ Öq ∂t

Ötq =

∂ Öt ∂q

Poniewa¿ jednak

(

Ö qq q& = Ö q q&

)

q

oraz

Ö qt = Ötq wiêc ostateczna postaæ równania okreœlaj¹cego przyspieszenia ma postaæ:

(

)

Ö q &q& = − Ö q q& q q& − 2Ö qt q& − Ött = a

(3.57)

Po przekszta³ceniu otrzymamy

&& = Ö q−1[ −(Öq q& ) q q& − 2Öqt q& − Ött ] = Ö −q 1a q

(3.58)

Dla dowolnego cz³onu mamy wiêc jednoznaczny opis ruchu w postaci prêdkoœci i przyspieszenia pocz¹tku uk³adu lokalnego {i} oraz prêdkoœci i przyspieszenia k¹towego tworz¹cych ³¹cznie wektory:

[

y& i

È& i

]

[

&y&i

&& È i

]

q& i = x&i && i = &x&i q

T

T

Wyznaczenie prêdkoœci i przyspieszenia dowolnego punktu M cz³onu i wymaga obliczenia pochodnych wektora po³o¿enia punktu M cz³onu i w uk³adzie globalnym {0}

rM = R i i rM + p i co daje

& i r + p& r&M = R i M i

(3.59)

Pochodna macierzy rotacji R i ma postaæ:

cos È i & = d  R i dt  sin È i

− sin È i  − sin È i  = È& i  cos È i   cos È i

− cos È i   = È& i B i − sin È i 

3.4. Ruch we wspó³rzêdnych absolutnych – uk³ady p³askie

141

wiêc skrócone równanie prêdkoœci punktu M ma postaæ:

r&M = È& i B i i rM + p& i

(3.60)

Równanie okreœlaj¹ce przyspieszenie punktu M w uk³adzie globalnym {0} wynika z równania okreœlaj¹cego prêdkoœæ (3.60):

&& B i r + È& B& i r + p &r&M = È && i i i M i i M

(3.61)

Poniewa¿

− sin È i & = d  B i dt  cos È i

− cos È i  − cos È i  = È& i  − sin È i   − sin È i

sin È i   = −È& i R i − cos È i 

wiêc przyspieszenie punktu M wyra¿a równanie:

&r&M = È&&i B i irM − È& i2 R i i rM + p && i

(3.62)

Identyczne relacje otrzyma siê z równania okreœlaj¹cego macierz Ai transformacji jednorodnej (2.9), gdzie wektor wspó³rzêdnych punktu ma trzeci¹ sk³adow¹ równ¹ jeden. Po³o¿enie punktu M w uk³adzie podstawy {0} opisuje równanie:

rM = A i rM i

które po wyznaczeniu pochodnej daje zale¿noœæ okreœlaj¹c¹ prêdkoœæ:

& ir r&M = A i M

(3.63)

gdzie

− È& i sin È i  & = d A =  È& cos È A i i i i dt  0 

− È& i cos È i

x& i   y& i   0 

− È& i sin È i 0

Podobnie przyspieszenie punktu M wyznacza równanie:

&& i r &r&M = A i M

(3.64)

gdzie

− È&&i sin È i − È& i2 cos È i  && = d A & =  È&& cos È − È& 2 sin È A i i i i i i dt  0 

&& cos È + È& 2 sin È −È i i i i − È&&i sin È i − È& i2 cos È i 0

&x&i   &y&i   0 

142

3. Prêdkoœæ i przyspieszenia

PRZYK£AD 3.5 Na rysunku 3.18 przedstawiono schemat uk³adu jarzmowego, w którym uk³ady lokalne {1} i {2} zwi¹zane z cz³onami 1 i 2 maj¹ pocz¹tki w odpowiednich œrodkach mas. Spe³nienie tego warunku skutkuje uproszczeniem równañ dynamiki. Zgodnie z przyjêtymi regu³ami równania wiêzów par zapisane w postaci funkcji wektora ΦP (3.49) maj¹ nastêpuj¹c¹ postaæ:

x1 − a cos È1     y1 − w − a sin È1     P Ö ≡  x1 + b cos È1 − x 2 − c cos È 2  = 0    y1 + b sin È1 − y 2 − c sin È 2    y 2 − d sin È 2  

(3.65)

Dwa pierwsze równania (3.65) wynikaj¹ z po³¹czenia A cz³onu 1 z podstaw¹ 0, dwa kolejne reprezentuj¹ wiêzy pary kinematycznej obrotowej B, a równanie ostatnie wymusza po³o¿enie punktu C (sworznia) na osi x0 (w szczelinie). Za³ó¿my dalej, ¿e cz³onem napêdzaj¹cym jest korba 1, która porusza siê ze sta³¹ prêdkoœci¹ k¹tow¹ ω1. Wobec tego równanie wymuszeñ, opisuj¹ce k¹t Θ1 odmierzany od wartoœci pocz¹tkowej Θ1p w czasie t, dla rozpatrywanego uk³adu ma postaæ:

[

]

ÖC (q, t ) ≡ È1 − È1 p − ω1t = 0

(3.66)

Równania zatem wiêzów dla uk³adu z rys. 3.18 o znanym ruchu cz³onu 1:

x1 − a cos È1     y1 − w − a sin È1    x + b cos − x − c cos  È1 È2  1 2 =0 Ö ≡  y1 + b sin È1 − y 2 − c sin È 2      y 2 − d sin È 2   È1 − È1 p − ω 1t  

(3.67)

Konfiguracja uk³adu jest opisana za pomoc¹ wektora wspó³rzêdnych absolutnych:

q = [x1

y1 È1

x2

y2

È2 ]T

W tej sytuacji sk³adowe równania prêdkoœci (3.55):

q& = −Ö q−1Öt

3.4. Ruch we wspblrzgdnych absolutnych - uklady plaskie

Rys. 3.1 8. Uklad jarzrnowy

majq zgodnie z (3.53) i (3.54) postak:

q=[o

0 0 0 0 -q

IT

Wystepujqce w rbwnaniu przyspieszenia (3.58):

odpowiednie pochodne i skladniki to

I;., + a@,sin @,

- ah1cos el il-bi), sin - x2 + ch2sin 8, jl+ bgl cos 0,- y2 - ch2 cos e2 y,

aqq =

144

3. Prêdkoœæ i przyspieszenia

(Öq q& )q

0  0  0 = 0  0  0

0

aÈ&1 cos È1

0 0

0

aÈ&1 sin È1

0 0

0 − bÈ&1 cos È1 0 0 0 − bÈ&1 sin È1 0 0 0

0

0 0

0

0

0 0

   0  cÈ& 2 cos È2   cÈ& 2 sin È2   dÈ& 2 sin È 2   0  0

Ö qt = Ött = 0 Prêdkoœæ i przyspieszenie punktu M cz³onu 2 w uk³adzie globalnym {0} opisuj¹ równania (3.60) i (3.62):

r&M = È& 2 B 2 2 rM + p& 2 && B 2 r − È& 2 R 2 r + &p& &r&M = È M M 2 2 2 2 2

Rys. 3.19. Wyniki analizy uk³adu z rys. 3.18 – ruch punktu M

3.4. Ruch we wspó³rzêdnych absolutnych – uk³ady p³askie

145

Wyprowadzone zale¿noœci wykorzystano do analizy przyk³adowego uk³adu jarzmowego (rys. 3.18), przyjmuj¹c nastêpuj¹ce dane (wymiary liniowe w [m]): •  wymiary: a = 0,07; b = 0,11; c = 0,37; d = 0,25; w = 0,2; 2rM = [0,23  –0,2]T, •  ruch cz³onu czynnego 1: ω1 = 10 s–1, •  wektor opisuj¹cy konfiguracjê pocz¹tkow¹ uk³adu (z rysunku) T q 0 = [0,05 0,25 ð/4 0,44 0,13 15ð/18]

Na rysunkach 3.19 i 3.20 przedstawiono przebiegi wybranych parametrów po³o¿enia, prêdkoœci i przyspieszenia punktu M oraz cz³onu BC. W kolejnych krokach i+1 analizy przyjmowano, ¿e konfiguracj¹ pocz¹tkow¹ jest ta, która zosta³a wyznaczona w kroku i-tym.

Rys. 3.20. Wyniki analizy uk³adu z rys. 3.18 – ruch cz³onu CB

146

3. Prêdkoœæ i przyspieszenia

3.5. Ruch we wspó³rzêdnych DH – uk³ady przestrzenne 3.5.1. Uk³ady o strukturze szeregowej Zapis uk³adów przestrzennych za pomoc¹ wspó³rzêdnych DH zak³ada, ¿e cz³ony uk³adu tworz¹ wy³¹cznie pary obrotowe R i/lub postêpowe T. W uk³adach o strukturze szeregowej ruchliwoœæ jest wtedy równa liczbie par kinematycznych, a dla uzyskania jednoznacznego ruchu potrzeba, aby w ka¿dej z tych par okreœlony by³ ruch wzglêdny cz³onów j¹ tworz¹cych. Prêdkoœæ przestrzennego ruchu cz³onu k jest okreœlona przez wektor prêdkoœci liniowej vk pocz¹tku uk³adu lokalnego {k} oraz wektor prêdkoœci k¹towej ωk. Zwykle obydwa wektory s¹ wyra¿one w uk³adzie globalnym {0}. Jak wiadomo, wyra¿enia okreœlaj¹ce prêdkoœæ otrzymuje siê przez ró¿niczkowanie wzglêdem czasu funkcji opisuj¹cej przemieszczenie. Jednak w przypadku zapisu notacj¹ DH (2.31) istnieje tylko funkcja opisuj¹ca wektor po³o¿enia cz³onu k, a œciœlej pocz¹tku uk³adu {k} w uk³adzie podstawy {0}. Natomiast orientacja cz³onu k jest dana macierz¹ 0Rk kosinusów kierunkowych i wprost nie s¹ znane k¹ty, których pochodne s¹ prêdkoœciami k¹towymi [33]. Trudnoœæ tê mo¿na przezwyciê¿yæ, gdy pamiêtamy, ¿e ruch cz³onu k jest z³o¿eniem ruchu cz³onu poprzedniego j i ruchu wzglêdnego w parze utworzonej przez te dwa cz³ony. Rozpatrzmy ruch wzglêdny cz³onów j oraz k (rys. 3.21) w uk³adzie globalnym {0} podstawy. Rodzaj par jest jeszcze nieokreœlony, wiadomo natomiast, ¿e w notacji DH

Rys. 3.21. Uk³ad szeregowy uogólniony

3.5. Ruch we wspó³rzêdnych DH – uk³ady przestrzenne

147

oœ zk jest wyznaczona przez kierunek ruchu wzglêdnego (oœ pary R lub T). Wzglêdne po³o¿enie cz³onów opisuje macierz (2.31):

j

 j Rk Ak =  0 0 0

 cos È k  j p k  cos α j sin È k = 1   sin α j sin È k  0 

− sin È k

0

cos α j cos È k

− sin α j

sin α j cos È k

cos α j

0

0

aj

  − d k sin α j   d k cos α j   1 

W zale¿noœci od typu pary kinematycznej zmianê po³o¿enia cz³onu k wzglêdem j opisuje k¹t Θk dla pary obrotowej R lub odcinek dk dla pary postêpowej T, natomiast prêdkoœæ wzglêdn¹ cz³onu k w relacji do j opisuje prêdkoœæ w postaci:

ω k , j = È& k q& k =  ν k , j = d&k

− dla pary R − dla pary T

(3.68)

Za³ó¿my znajomoœæ ruchu cz³onu j (wektora prêdkoœci liniowej vj i k¹towej ωj) oraz odpowiedniej prêdkoœci wzglêdnej i okreœlmy na ich podstawie prêdkoœci cz³onu k w uk³adzie podstawy. Wprost z rysunku 3.21 piszemy oczywiste równanie wektorowe w uk³adzie globalnym {0}: 0

( )

j

p k = 0 p j + 0 j p k = 0p j + 0 R j p k

(3.69)

przy czym sk³adowe wektora jpk s¹ elementami czwartej kolumny macierzy transformacji jAk (2.31): j

[

pk = a j

− d k sin α j

d k cosα j

]T

(3.70)

Wiadomo, ¿e odleg³oœæ aj i k¹t α j s¹ w ka¿dym przypadku sta³ymi, a odcinek dk ma wartoœæ sta³¹ dla pary R i zmienn¹ dla pary T. To rozró¿nienie skutkuje ró¿nymi zale¿noœciami okreœlaj¹cymi prêdkoœæ dla par obrotowych i postêpowych. Prêdkoœæ – para obrotowa R. W takim przypadku prêdkoœæ liniowa pocz¹tku uk³adu lokalnego jest wynikiem ró¿niczkowania zale¿noœci wektorowej (3.69) i wynosi: 0

& jp p& k = 0p& j + 0 R j k

(3.71)

gdzie jpk = const. Pochodna macierzy rotacji jest zrozumia³a, jeœli przypomnieæ, ¿e jej kolumny s¹ wektorami jednostkowymi: 0

[

R j = 0 e jx

0

e jy

0

e jz

]

148

3. Prêdkoœæ i przyspieszenia

co zgodnie z definicj¹ pochodnej wektora o sta³ym module daje zale¿noœæ: 0

& = d R j dt

( R )=  dtd 0

j



[

= 0 ù j ×0 e jx

0

0

e jx

d 0 e jy dt

0 ù j × e jy

0

d 0  e jz  dt 

]

0 0 0 ù j × e jz = ù j × R j

(3.72)

Wobec tego równanie prêdkoœci liniowych (3.71) ma teraz postaæ: 0

(

j p& k = 0 p& j + 0 ù j × 0 R j p k

)

(3.73)

Prêdkoœæ k¹towa ωk cz³onu k jest natomiast sum¹ wektorow¹ prêdkoœci k¹towych cz³onu j w uk³adzie podstawy ωj i prêdkoœci wzglêdnej ωk,j w parze obrotowej. Zwróæmy uwagê, ¿e prêdkoœæ wzglêdna ωk,j jest mierzona wzd³u¿ osi zk, a wiêc jej wyra¿enie w uk³adzie podstawy wymaga transformacji z uk³adu {k} do podstawy {0} za pomoc¹ macierzy rotacji 0R k. W rezultacie otrzymujemy:

q& k = k ù k , j → 0 ù k = 0ù j + 0 R k [0 0 q& k ]T

(3.74)

lub w formie skróconej: 0

T e z = [0 0 1]

ω k = 0ω j + 0 R k e z q& k

(3.75)

Prêdkoœæ – para postêpowa T. W tym przypadku ró¿niczkowanie zale¿noœci (3.69) po uwzglêdnieniu (3.72) daje równanie: 0

(

)

j j p& k = 0p& j + 0 ù j × 0 R j p k + 0 R j p& k

(3.76)

Dla tej pary, inaczej ni¿ dla obrotowej, wektor jpk (3.70), opisuj¹cy pozycjê {k} w {j}, jest zmienny, a jego pochodna wynosi:

   0  aj     d j p& k = − d k sin α j  = − sin α j  q& k dt      d k cos α j   cos α j  poniewa¿ dk = qk, aj = const, αj = const.

3.5. Ruch we wspó³rzêdnych DH – uk³ady przestrzenne

149

Dla uproszczenia zapisu zauwa¿my, ¿e istnieje relacja:

 0   cos Èk    − sin α j  = cos α j sin Èk     cos α j   sin α j sin Èk

  0   − sin α j  0 = jR k e z   cos α j  1

− sin È k

0

cos α j cos È k sin α j cos Èk

co oznacza dalej, ¿e ostatni sk³adnik równania (3.76) wynosi 0

j j R j p& k = 0 R j R k e z q& k = 0 R k e z q& k

(3.77)

Ostatecznie równanie prêdkoœci liniowych dla pary postêpowej ma postaæ: 0

(

)

p& k = 0p& j + 0 ù j × 0 R j j p k + 0 R k e z q& k

(3.78)

Poniewa¿ w parze postêpowej T mamy tylko ruch wzglêdny postêpowy, wiêc prêdkoœci k¹towe s¹ w tym przypadku jednakowe

ω k , j = 0 → 0ω k = 0ω j

(3.79)

Gdy znamy zale¿noœæ okreœlaj¹c¹ prêdkoœæ, mo¿na, korzystaj¹c z identycznej regu³y sk³adania ruchów, wyprowadziæ równania na przyspieszenia. Równie¿ dla przyspieszeñ niezbêdne jest oddzielne rozpatrzenie par obrotowych i postêpowych. Przyspieszenie – para obrotowa R. W takim przypadku przyspieszenie liniowe pocz¹tku uk³adu lokalnego jest wynikiem ró¿niczkowania wyra¿enia (3.73) okreœlaj¹cego prêdkoœæ 0

(

)

(

& jp &p& k = 0 p && j + 0 ù & j × 0 R j j p k + 0ùk × 0 R j k

)

co po wykorzystaniu (3.72) daje: 0

(

)

[

(

&& k = 0 p && j + 0 ù & j × 0 R j j p k + 0ù j × 0 ù j × 0 R j jp k p

)]

(3.80)

Przyspieszenie k¹towe jest wynikiem ró¿niczkowania (3.75) i wyra¿a siê równaniem: 0

& e q& + 0 R e q&& & k = 0ù & j + 0R ù k z k k z k

Po uwzglêdnieniu (3.72) równanie przyspieszeñ k¹towych ma postaæ: 0

(

)

& k = 0ù & j + 0 ù k × 0 R k e z q& k + 0 R k e z q&&k ù

(3.81)

150

3. Prêdkoœæ i przyspieszenia

Przyspieszenie – para postêpowa T. W tym przypadku ró¿niczkowanie zale¿noœci (3.78) po uwzglêdnieniu (3.72) daje: 0

(

[

)

(

&& k = 0 p && j + 0ù& j × 0 R j j p k + 0ù j × 0 ù j × 0 R j j p k p

)] +

0

(

j 0 ù j × R j p& k

& e q& + 0 R e q&& + 0R k z k k z k

) (3.82)

Wystêpuj¹ca w czwartym wyrazie prawej strony równania (3.82) pochodna wektora jpk pozycji {k} w {j} zgodnie z (3.77) przekszta³ca ten wyraz do postaci: 0

(

(

)

)

(

j ù j × 0 R j j p& k = 0 ù j × 0 R j R k e z q& k = 0 ù j × 0 R k e z q& k

)

(3.83)

Zale¿noœæ okreœlaj¹ca natomiast pochodn¹ macierzy rotacji 0Rk zgodnie z (3.72) wyra¿a równanie: 0

& = 0ù × 0 R = 0ù × 0 R R k k k j k

poniewa¿ 0ωK = 0ωj. Wobec tego pi¹ty wyraz (3.82) przekszta³ca siê do postaci: 0

(

& e q& = 0 ù × 0 R e q& R k z k j k z k

)

i jest to¿samy z czwartym wyrazem. W rezultacie poczynionych przekszta³ceñ równanie przyspieszenia liniowego dla pary postêpowej ma postaæ: 0

&& k = 0 p && j + 0 ù& j × p + 20 ù j ×

(R 0

j

j

( R e q& )+ 0

k z k

[

)

p k + 0ù j × 0 ù j × 0

R k e z q&&k

(R 0

j

j

pk

)] (3.84)

Przyspieszenia k¹towe cz³onów j oraz k s¹ jednakowe, co wynika wprost z równania (3.79):

& k , j = 0 → 0ù & k = 0ù &j ù

(3.85)

Prêdkoœæ i przyspieszenie punktu M na cz³onie k-tym. Gdy mamy prêdkoœæ i przyspieszenia cz³onu k (prêdkoœæ i przyspieszenie liniowe pocz¹tku uk³adu {k} oraz prêdkoœæ i przyspieszenia k¹towe cz³onu k), wówczas mo¿na wprost napisaæ równanie prêdkoœci i przyspieszenia punktu M na cz³onie k, przy czym po³o¿enie punktu M w uk³adzie {k} opisuje wektor krM (rys. 3.22). Analogicznie do zale¿noœci (3.69), (3.73) i (3.80) mamy zatem równanie po³o¿enia: 0

rM = 0p k + 0 R k rM k

(3.86)

3.5. Ruch we wspó³rzêdnych DH – uk³ady przestrzenne

151

Rys. 3.22. Uk³ad szeregowy – prêdkoœæ i przyspieszenie punktu M

prêdkoœci 0

r& M = 0 p& k + 0 ù k ×

(R

k

0

k

rM

)

(3.87)

i przyspieszenia 0

&r&M = 0 p && k + 0 ù &k×

(R

k

0

k

)

[

rM + 0 ù k × 0 ù k ×

(R

k

0

k

rM

)]

(3.88)

PRZYK£AD 3.6 Jako przyk³ad zastosowania wyra¿eñ okreœlaj¹cych prêdkoœæ dla uk³adu o strukturze szeregowej bêdziemy kontynuowaæ analizê uk³adu manipulatora (przyk³ad 2.12). Wykorzystamy tutaj wyprowadzone zwi¹zki opisuj¹ce konfiguracjê uk³adu. Analizowany uk³ad przedstawiono ponownie dla wygody czytelnika na rys. 3.23, z zaznaczeniem wektorów prêdkoœci w parach kinematycznych.

152

3. Prêdkoœæ i przyspieszenia

Rys. 3.23. Manipulator o strukturze szeregowej

Oprócz znanych wymiarów cz³onów dysponujemy teraz prêdkoœciami wzglêdnymi w poszczególnych parach kinematycznych zebranymi w wektor

q& = [q&1

q&3 ]T

q& 2

oraz macierzami transformacji 0A1, 0A2, 0A3 oraz 1A2, 2A3, z których wykorzystamy odpowiednie podmacierze jRk, opisuj¹ce rotacjê i wektory pozycji jpk. Znany jest te¿ wektor 3rM opisuj¹cy po³o¿enie punktu M w uk³adzie cz³onu 3. Cz³on 1 wykonuje wzglêdem podstawy ruch obrotowy. Prêdkoœæ k¹towa tego ruchu z uwagi na szczególnie dobrane uk³ady wspó³rzêdnych {0} i {1} jest oczywista. Jednak dla formalnoœci na podstawie (3.73) napiszemy: 0

(

)

p& 1 = 0 p& 0 + 0 ù 0 × 0 R 0 0 p1 = 0

(3.89)

3.5. Ruch we wspó³rzêdnych DH – uk³ady przestrzenne

153

a na podstawie (3.75), po wykorzystaniu (2.150):

cos q1  0 ω1 = 0ω 0 + 0 R1e z q&1 =  sin q1   0

− sin q1 0 0 0     cos q1 0 0 q&1 =  0      0 1 1 q&1 

(3.90)

Prêdkoœæ pocz¹tku uk³adu {2} cz³onu 2 wed³ug (3.73) wynosi: 0

(

p& 2 = 0 p& 1 + 0 ù1 × 0 R 11p 2

)

(3.91)

Korzystaj¹c z (2.150) i (2.151) mamy zatem:

 0   cos q1 − sin q1 0 b         0& p 2 = 0 +  0  ×   sin q1 cos q1 0 c          0 1 0   q&1    0

(3.92)

a po wykonaniu kolejnego mno¿enia jest

 0  b cos q1 − c sin q1  − q&1 (b sin q1 + c cos q1 )       0& p 2 =  0  × b sin q1 + c cos q1  = − q&1 (b cos q1 − c sin q1 )       0 0    q&1  

(3.93)

Na podstawie (3.75) mamy wyra¿enie okreœlaj¹ce prêdkoœæ k¹tow¹ cz³onu 2 w postaci: 0

ù 2 = 0ù1 + 0 R 2 e z q& 2

(3.94)

Po zastosowaniu (2.154) równanie (3.94) otrzymuje postaæ:

 0  − sin q1  − q& 2 sin q1        0 ω 2 =  0  +  cos q1  q& 2 =  q& 2 cos q1        q&1 q&1   0   

(3.95)

Cz³on 3 wykonuje wzglêdem cz³onu 2 ruch postêpowy. Zgodnie z (3.76) mamy wiêc wyra¿enie okreœlaj¹ce prêdkoœæ liniow¹ w postaci: 0

(

)

p& 3 = 0 p& 2 + 0 ù 2 × 0 R 2 2p 3 + 0 R 3e z q&3

(3.96)

154

3. Prêdkoœæ i przyspieszenia

Znalezienie prawej strony wyra¿enia (3.96) wymaga korzystania ze wzorów (2.153), (2.154) i (2.155) i wykonania kolejnych mno¿eñ:

0

R2

2

cos q1 cos q 2  p 3 =  sin q1 cos q 2   sin q 2

− cos q1 sin q 2 − sin q1 sin q 2 − cos q 2

− sin q1   0    cos q1  q 3    0   0 

− q 3 cos q1 sin q 2    =  − q 3 sin q1 sin q 2     − q 3 cos q 2 

(3.97)

− q& 2 sin q1  − q3 cos q1 sin q 2      0 ω 2 × 0 R 2 2p 3 =  q& 2 cos q1  ×  − q3 sin q1 sin q 2      q&1   − q3 cos q2  

(

)

− q& 2 q3 cos q1 cos q 2 + q&1q3 sin q1 sin q 2     = q& 2 q3 sin q1 cos q 2 + q&1q3 cos q1 sin q 2    q& 2 q3 sin q1 sin q1 sin q 2 + q& 2 q3 cos q1 cos q1 sin q 2  − q& 3 cos q1 sin q 2    0 R 3 e z q& 3 =  − q& 3 sin q1 sin q 2     − q& 3 cos q 2 

(3.98)

(3.99)

Ostatecznie z zale¿noœci (3.93), (3.98) i (3.99) mamy:

− q&1 (b sin q1 + c cos q1 ) − q& 2 q3 cos q1 cos q 2 + q&1q3 sin q1 sin q2      0 p& 3 = − q&1 (b cos q1 − c sin q1 ) +  q& 2 q3 sin q1 cos q 2 + q&1q3 cos q1 sin q2      0 q& 2 q3 sin q 2     − q&3 cos q1 sin q2    +  − q&3 sin q1 sin q 2     − q&3 cos q 2 

(3.100)

3.5. Ruch we wspó³rzêdnych DH – uk³ady przestrzenne

155

Poniewa¿ cz³ony 2 i 3 nie wykonuj¹ wzglêdem siebie ruchu obrotowego, mamy:

ω 3, 2

− q& 2 sin q1    = 0 → 0 ω3 = 0 ω 2 =  q& 2 cos q1    q&1  

(3.101)

Prêdkoœæ punktu M okreœlamy na podstawie zale¿noœci (3.87): 0

(

r&M = 0 p& 3 + 0 ù3 × 0 R 33rM

)

(3.102)

Pierwszy sk³adnik (3.102) jest ju¿ okreœlony równaniem (3.100), a drugi wyznaczono nastêpuj¹co:

0

0

3

R 3 rM

(

cos q1 cos q 2  =  sin q1 cos q 2   sin q 2

sin q1 − cos q1 0

− cos q1 sin q 2  0  − l cos q1 sin q 2      − sin q1 sin q 2  0 =  − l sin q1 sin q 2      − cos q 2   l   − l cos q 2 

)

ω3 × 0 R 33rM =

− q& 2 sin q1  − l cos q1 sin q2  − q& 2l cos q1 cos q2 + q&1l sin q1 sin q 2        =  q& 2 cos q1  ×  − l sin q1 sin q2  = − q& 2l sin q1 cos q2 − q&1l cos q1 sin q 2        q&1 q& 2l sin q 2    − l cos q 2   

(3.103)

Na podstawie (3.102) i (3.103) mamy:

0

r& M

− q&1 (b sin q1 + c cos q1 ) − q& 2 q 3 cos q1 cos q 2 + q&1 q 3 sin q1 sin q 2      = − q&1 (b cos q1 − c sin q1 ) +  q& 2 q 3 sin q1 cos q 2 + q&1q 3 cos q1 sin q 2      0 q& 2 q 3 sin q 2     − q& 3 cos q1 sin q 2  − q& 2 l cos q1 cos q 2 + q&1l sin q1 sin q 2      +  − q& 3 sin q1 sin q 2  + − q& 2 l sin q1 cos q 2 − q&1l cos q1 sin q 2      q& 2 l sin q 2  − q& 3 cos q 2   

(3.104)

Poprawnoœæ (3.104) mo¿e byæ zweryfikowana przez ró¿niczkowanie wzglêdem czasu trzech pierwszych wierszy macierzy (2.155) opisuj¹cej po³o¿enie punktu M w uk³adzie podstawy {0}.

156

3. Prêdkoœæ i przyspieszenia

3.5.2. Uk³ady o strukturze zamkniêtej W punkcie 2.4.2 omówiono regu³y opisu konfiguracji uk³adu zamkniêtego przestrzennego z wykorzystaniem wspó³rzêdnych DH. Otrzymane tam ogólne równanie (2.157) zamkniêcia jednokonturowego uk³adu kinematycznego 0

A1 1 A 2 ...

n −1

A n A0 = I n

mo¿e stanowiæ podstawê do iloœciowej analizy kinematycznej – wyznaczenia prêdkoœci i przyspieszeñ. Dla przypomnienia przytaczamy ogóln¹ postaæ macierzy transformacji (2.31):

 cos È k  cos α j sin Èk j Ak =   sin α j sin È k  0 

− sin È k

0

cos α j cos È k

− sin α j

sin α j cos È k

cos α j

0

0

aj

  − d k sin α j   d k cos α j   1 

Dla uproszczenia zapisu przyjmujemy, ¿e cz³on odniesienia ma numer k (regu³¹ w tym opracowaniu jest, ¿e cz³on odniesienia – podstawa – ma numer 0). Ponadto pominiemy górne indeksy macierzy transformacji. Wobec takiej umowy równanie zamkniêtego uk³adu kinematycznego opisuje zale¿noœæ (to¿sama z (2.157)):

A1 ... A i ... A k = I

Rys. 3.24. Uk³ad 3D uogólniony z parametrami DH

(3.105)

3.5. Ruch we wspó³rzêdnych DH – uk³ady przestrzenne

157

Wyznaczenie pochodnej równania (3.105) wzglêdem czasu prowadzi do oczywistej zale¿noœci:

& A KA + K + A KA & KA + K + A A KA & =0 A k i k k 1 2 1 1 2

(3.106)

Wystêpuj¹ce w równaniu pochodne macierzy transformacji s¹ zale¿ne od tego, jak¹ parê kinematyczn¹ reprezentuj¹. Ogólnie jest:

& = d A A i i dt

(3.107)

lecz dla pary R (zmienna Θi(t)) mamy:

& = A Q (R ) È& A i i i i

(3.108)

Macierz Qi(R) to operator ró¿niczkowania dla pary obrotowej R w postaci:

0 − 1  (R )  1 0 Qi =  0 0  0 0

0 0  0 0  0 0  0 0

(3.109)

Podobnie jest w przypadku pary postêpowej T (zmienna di(t)):

& = A Q (T )d& A i i i i

(3.110)

a operator ró¿niczkowania dla pary postêpowej T ma tym razem postaæ:

0  (T )  0 Qi =  0  0

0 0 0  0 0 0  0 0 1  0 0 0

(3.111)

Ogólnie wiêc, przyjmuj¹c jednakowy symbol zmiennej qi dla ka¿dej macierzy transformacji, otrzymujemy:

& = d A = A Q q& A i i i i i dt

(3.112)

158

3. Prêdkoœæ i przyspieszenia

Przy takiej umowie zale¿noœæ (3.106) przyjmuje postaæ: A 1Q1A 2 K A k q&1 + K + A1 K A i Q i K A k q&i + K + A1A 2 K A k Q k q& k = 0

(3.113)

lub po wykonaniu mno¿enia macierzy dla kolejnych prêdkoœci otrzymamy: B1q&1 + B 2 q& 2 + K + B i q&i + K + B k q& k = 0

(3.114)

Za³ó¿my, ¿e mamy do czynienia z uk³adem zamkniêtym o ruchliwoœci jeden, a cz³onem czynnym jest element o numerze 1. Wtedy zmienna q1 i jej pochodne determinuj¹ ruch uk³adu. W tej sytuacji obliczane zmienne zale¿ne to:

q Z = [q2 K qi K qk ]

(3.115)

T

a równanie prêdkoœci (3.114) przyjmuje postaæ:

B 2 q& 2 + K + B i q&i + K + B k q& k = −B1q&1

(3.116)

Macierze Bi maj¹ wymiar 4×4, dysponujemy wiêc formalnie szesnastoma równaniami, z których nale¿y wyznaczyæ co najwy¿ej 6 niewiadomych. Cztery spoœród 16 równañ s¹ trywialne i wynikaj¹ z porównania wyrazów ostatnich wierszy. Jednoznaczne rozwi¹zanie natomiast uzyskamy z szeœciu równañ powsta³ych z porównania wyrazów macierzy le¿¹cych powy¿ej g³ównej przek¹tnej. Forma macierzowa tych szeœciu równañ to

Bq& Z = C V q&1

(3.117)

gdzie:

b2,12   b2,13  b2,14 B= b2, 23 b  2 , 24 b  2,34

L bi ,12 L bk ,12   L bi ,13 L bk ,13   L bi ,14 L bk ,14   L bi , 23 L bk , 23  L bi , 24 L bk , 24  L bi ,34 L bk ,34 

[

CV = − b1,12

b1,13

b1,14

b1, 23

B n = [bn,ij ] (3.118)

b1, 24

b1,34

]T

(3.119)

3.5. Ruch we wspó³rzêdnych DH – uk³ady przestrzenne

159

Wobec tego prêdkoœæ oblicza siê z zale¿noœci:

q& Z = B −1CV q&1

(3.120)

W przypadkach szczególnych, kiedy mamy do czynienia z uk³adem z wiêzami biernymi, liczba cz³onów k mo¿e byæ mniejsza ni¿ 7. Tak jest w przypadku przegubu uniwersalnego Cardana (rys. 2.32). Wtedy liczba cz³onów, a wiêc tak¿e liczba niewiadomych jest mniejsza i wykorzystanie równania (3.102) wymaga jego przekszta³cenia do postaci:

BT Bq& Z = BT CV q&1 co umo¿liwia wyznaczenie prêdkoœci z zale¿noœci:

(

q& Z = BT B

)

−1

BT CV q&1

(3.121)

Kolejne zró¿niczkowanie równania prêdkoœci (3.114) daje równanie wyjœciowe dla wyznaczania przyspieszenia w postaci:

B& 1q&1 + B1q&&1 + B& 2 q& 2 + B 2 q&&2 + K + B& i q&i + Bi q&&i + K + B& k q& k + B k q&&k = 0 (3.122) gdzie & = d (A K A Q K A ) = A Q K A Q K A q& + K B i i i k i i k 1 1 1 1 dt k

+ A1 K Ai Qi Qi K A k q&i + K + A1 K Ai Qi K A k Q k q& k = ∑ Di( j ) q& j

(3.123)

j =1

natomiast

Di( j ) = A1...A i Q i ...A j Q j ...A k Wobec (3.123) po uproszczeniu mamy:

B& i q&i = D(i1)q&1q& i + K + D (i i )q&i q& i + K + Di(k )q& k q&i =

k

∑D

( j) & j q&i i q

(3.124)

j =1

Grupuj¹c w równaniu (3.122) wyrazy z nieznanymi przyspieszeniami z lewej strony, po wykorzystaniu (3.124) otrzymujemy:

B 2 q&&2 + K + B i q&&i + K + B k q&&k = −B1q&&1 + D

(3.125)

160

3. Prêdkoœæ i przyspieszenia

gdzie k

k

D = −∑∑ D i( j ) q& j q& i i =1 j =1

Zauwa¿my, ¿e lewa strona równania (3.125), podobnie jak w przypadku prêdkoœci (3.116), po wykorzystaniu szeœciu równañ powsta³ych z porównania wyrazów macierzy le¿¹cych powy¿ej g³ównej przek¹tnej (3.118) ma postaæ: && Z B 2 q&&2 + K + B i q&&i + K + B k q&&k = Bq

(3.126)

Prawa strona (3.125) natomiast jest znana i zale¿y od konfiguracji uk³adu, okreœlonego ju¿ wczeœniej wektora prêdkoœci oraz przyspieszenia w parze czynnej (cz³onu g³ównego 1), a mianowicie od: T q& = [q&1 K q& i K q& k ]

oraz

q&&1

Pierwszy wyraz prawej strony (3.125) jest iloczynem macierzy B1 oraz przyspieszenia cz³onu czynnego, przy czym macierz B1 jest to¿sama z macierz¹, jaka wyst¹pi³a w równaniu prêdkoœci (3.116). Po uporz¹dkowaniu i pogrupowaniu wyrazów z prawej strony równanie przyspieszenia mo¿na doprowadziæ do postaci: && Z = CV q&&1 + D A Bq

(3.127)

przy czym macierz kolumnowa DA zawiera elementy macierzy D le¿¹ce powy¿ej g³ównej przek¹tnej i ma strukturê podobn¹ jak wektor CV (3.119), a mianowicie:

D A = −[d12

d13

d14

d 23

d 24

d 34 ]

T

W przypadku gdy k < 7, wyznaczenie wektora przyspieszeñ zale¿nych wymaga przekszta³cenia (3.127) do postaci podobnej jak (3.121)

(

&& Z = BT B q

)

−1

BT (CV q&&1 + D A )

(3.128)

Nale¿y podkreœliæ, ¿e wyprowadzone równania odnosz¹ siê wy³¹cznie do uk³adów zamkniêtych jednokonturowych, w których wystêpuj¹ tylko pary obrotowe i/lub postêpowe. Uk³ady z³o¿one przestrzenne wymagaj¹ innego podejœcia.

4. ELEMENTY DYNAMIKI UK£ADÓW KINEMATYCZNYCH 4.1. Wprowadzenie W poprzednich rozdzia³ach rozpatrzono ruch cz³onów uk³adów kinematycznych, nie interesuj¹c siê przyczynami tego ruchu. W kinematyce zak³adano ruch cz³onu (cz³onów) czynnego, co skutkowa³o okreœlonym ruchem pozosta³ych. Tymczasem z ruchem cz³onów nierozerwalnie s¹ zwi¹zane opory u¿yteczne (si³y bierne), opory tarcia itd. W uk³adzie napêdowym pojazdu s¹ to opory toczenia i opory powietrza. W uk³adzie kinematycznym koparki si³y oporu wynikaj¹ z reakcji urabianego gruntu itd. Pokonanie si³ biernych wymaga, aby do uk³adu dostarczyæ energiê z zewn¹trz w postaci si³ czynnych przy³o¿onych do przemieszczaj¹cych siê cz³onów czynnych. W pojazdach s¹ to si³y wynikaj¹ce z ciœnienia spalanej w cylindrze silnika mieszanki, we wspomnianej koparce si³y oporu s¹ transformowane do cylindrów hydraulicznych uk³adu wysiêgnika. Oprócz si³ czynnych i biernych wystêpuj¹ jeszcze opory tarcia wynikaj¹ce z przemieszczania wzglêdem siebie cz³onów tworz¹cych pary kinematyczne – miêdzy cz³onami wystêpuj¹ si³y oddzia³ywania. Przemieszczanie œrodków mas cz³onów w pewnych fazach przeciwstawia siê, w innych pomaga ruchowi. Niezwykle istotny udzia³ iloœciowy w uk³adach kinematycznych maj¹ si³y wynikaj¹ce z tego, ¿e w rzeczywistoœci mamy przecie¿ do czynienia z przemieszczaniem siê cz³onów masowych. Przyspieszenie liniowe œrodków mas skutkuje wiêc si³¹ bezw³adnoœci, przyspieszenie k¹towe momentem bezw³adnoœci. Dynamika uk³adów kinematycznych to rozleg³a dyscyplina zajmuj¹ca siê opisywaniem zwi¹zków miêdzy „iloœci¹” ruchu (q(t)), si³ami wywo³uj¹cymi ten ruch (si³y czynne (FC)) i si³ami oporu (si³y bierne (FB), si³y tarcia (Fµ)), masami cz³onów wraz z ich roz~ ³o¿eniem na cz³onach ( M ), czasem (t) i geometri¹ cz³onów (w). Opisanie takiej zale¿noœci w postaci funkcji:

~ f (q (t ), FC , FB , Fì , M, t , w ) = 0

162

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

umo¿liwia uzyskanie odpowiedzi na dwa podstawowe pytania, w sposób naturalny zwi¹zane z ruchem uk³adu kinematycznego: • jaki jest ruch uk³adu dla znanych si³ czynnych FC i biernych FB? • jaka si³a czynna FC jest potrzebna, aby wywo³aæ oczekiwany ruch q(t)? Dzia³ zajmuj¹cy siê poszukiwaniem odpowiedzi na pierwsze pytanie jest okreœlany dynamik¹ prost¹, na drugie dynamik¹ odwrotn¹, czêsto kinetostatyk¹. Oprócz tych podstawowych pytañ w dynamice interesujemy siê te¿ si³ami oddzia³ywania w parach kinematycznych, niezbêdnymi do konstrukcyjnego kszta³towania elementów par i cz³onów. Istotne w praktyce s¹ te¿ zagadnienia tarcia w parach kinematycznych skutkuj¹ce nie tylko stratami, ale równie¿ ograniczeniem mo¿liwych zakresów ruchu – w wyniku tarcia po³o¿enia martwe przechodz¹ w strefy po³o¿eñ martwych itp. Za przyk³ad ilustruj¹cy istotê analiz dynamicznych niech pos³u¿y uk³ad korbowy silnika spalinowego (rys. 4.1). Jego funkcja kinematyczna polega na transformacji ruchu liniowego t³oka 3 na ruch obrotowy korby 1. Obrotowi korby 1 (wa³u silnika) przeciwstawia siê moment bierny MB. Jego pokonanie zapewnia si³a czynna FC dzia³aj¹ca na t³ok 3. Przekazywanie si³y FC ³¹czy siê z oddzia³ywaniem si³ Fjk w parach kinematycznych. Ich wartoœci s¹ zale¿ne nie tylko od si³y FC i momentu MB. Musz¹ one uwzglêdniaæ przemieszczanie siê masowych cz³onów (mk, Ik), wywo³uj¹ce si³y bezw³adnoœci Fbk od przyspieszenia liniowego i momenty bezw³adnoœci Mbk od ruchu obrotowego.

Rys. 4.1. Uk³ad korbowy silnika spalinowego

4.2. Parametry masowe cz³onu, si³y bezw³adnoœci

163

Wartoœci si³ bezw³adnoœci mog¹ w wielu przypadkach byæ znacz¹ce. Przyk³adowo dla uk³adu korbowego z rys. 4.1 si³a bezw³adnoœci Fb2 korbowodu mo¿e osi¹gaæ wartoœæ rzêdu 10 kN, a moment bezw³adnoœci oko³o 1 kN·m (podane wartoœci dotycz¹ danych: AB = 0,2 m, m2 = 0,2 kg, I2 = 0,01 kg·m2, ω1 = 500 s–1). W niektórych uk³adach, jak np. mechanizmy krzywkowe, si³y bezw³adnoœci mog¹ byæ jedynym realnym obci¹¿eniem, natomiast opory ruchu mog¹ byæ pomijalnie ma³e. Wobec przytoczonych przyk³adów nale¿y stwierdziæ, ¿e si³y masowe stanowi¹ bardzo znacz¹ce obci¹¿enie uk³adów kinematycznych, a ewentualne ich pominiêcie powinno byæ zawsze poprzedzone szczegó³ow¹ analiz¹. Wzajemne oddzia³ywanie cz³onów si³ami Fjk skutkuje si³ami Tjk lub momentami M Tjk tarcia (rys. 4.1) i mo¿e istotnie zaburzyæ uk³ad si³, jaki wystêpuje przy za³o¿eniu braku tarcia. Zjawiska towarzysz¹ce ruchowi masowych uk³adów kinematycznych, szczególnie dynamiki prostej, s¹ opisywane równaniami ró¿niczkowymi. Ich rozwi¹zanie jest na ogó³ k³opotliwe, a w postaci jawnej mo¿liwe tylko w przypadkach najprostszych. Obecnie do rozwi¹zywania równañ ró¿niczkowych dynamiki aplikuje siê i intensywnie rozwija ró¿norodne metody numeryczne. Trzeba jednak podkreœliæ, ¿e modele dynamiki ci¹gle s¹ jeszcze niedoskona³e, a otrzymywane wyniki nierzadko odbiegaj¹ od realnych, uzyskiwanych z pomiarów. Sk³ada siê na to wiele czynników, a najwa¿niejsze wynikaj¹ z niedoskona³oœci modeli tarcia, trudnoœci w modelowaniu luzów w parach kinematycznych czy podatnoœci cz³onów. Wiele zaawansowanych problemów dynamiki, takich jak numeryczne metody rozwi¹zywania równañ ruchu [7], [26], badania uk³adów zawieraj¹cych cz³ony podatne i uwzglêdniaj¹ce tarcie [31], [32] wykracza poza ramy tego opracowania. Zostan¹ tutaj omówione jedynie wybrane zagadnienia dynamiki o istotnym znaczeniu praktycznym.

4.2. Parametry masowe cz³onu, si³y bezw³adnoœci 4.2.1. Masa cz³onu i masowy moment bezw³adnoœci – ruch p³aski W ruchu p³askim wszystkie punkty cz³onu poruszaj¹ siê po torach równoleg³ych do pewnej p³aszczyzny. Podczas ruchu pojedynczego elementu masowego (rys. 4.2) dm z przyspieszeniem a nale¿y uwzglêdniæ zwi¹zan¹ z tym elementarn¹ si³ê bezw³adnoœci d Fb. Dla wielu mas elementarnych sk³adaj¹cych siê na cz³on oznacza to obci¹¿enie cz³onu polem elementarnych si³ masowych. Dla równowagi globalnej cz³onu pole si³ elementarnych zastêpuje siê si³¹ i momentem bezw³adnoœci. Ich wyznaczenie wymaga znajomoœci parametrów masowych cz³onu, tj. po³o¿enia œrodka masy S na cz³onie, masy m cz³onu i masowego momentu bezw³adnoœci I. Ostatni parametr niesie informacje o roz³o¿eniu masy na cz³onie. Po³o¿enie œrodka masy S opisuje siê wed³ug zale¿noœci (rys. 4.2):

xS =

1 xdm, m mò

yS =

1 ydm m mò

164

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

Rys. 4.2. Cz³on uk³adu p³askiego – parametry masowe

korzystaj¹c z pojêcia momentów statycznych [27], natomiast masowy moment bezw³adnoœci wzglêdem osi z0 obliczany jest z równania:

I Z = ∫ ( x 2 + y 2 ) dm m

Przesuwanie osi odniesienia równolegle do z0, np. do œrodka masy, wywo³uje zmianê masowego momentu bezw³adnoœci wed³ug relacji1:

I Z = I S + m ( x S2 + y S2 )

(4.1)

Podane zale¿noœci maj¹ przede wszystkim znaczenie definicyjne. Ich praktyczne wykorzystanie jest ograniczone do cz³onów o bardzo prostych kszta³tach (dla elementarnych figur i bry³ mo¿na pos³u¿yæ siê gotowymi wzorami). Bardzo pomocne s¹ wspó³czesne œrodowiska graficzne wspomagaj¹ce projektowanie, które s¹ standardowo wyposa¿one w modu³y wyznaczania œrodka masy i momentów bezw³adnoœci dowolnie z³o¿onych elementów – wystarczy dysponowaæ rysunkiem, œciœlej modelami bry³owymi cz³onów. W przeciwnym przypadku nale¿y wspomóc siê pomiarem – np. metod¹ wahad³a fizycznego, metod¹ drgañ skrêtnych [20]. Masy skupione. W pewnych przypadkach dogodnie jest, zamiast pos³ugiwaæ siê cz³onem o ci¹g³ym rozk³adzie masy (parametry m, IS), zamodelowaæ cz³on uk³adem mas skupionych po³¹czonych ze sob¹ bezmasowymi prêtami. Uzyskuje siê wtedy korzyœæ na prostocie równañ dynamiki, co jest np. wykorzystywane w opisie warunków wywa¿ania uk³adów kinematycznych. Zast¹pienie cz³onu uk³adem mas skupionych jest 1

Twierdzenie Steinera–Eulera.

4.2. Parametry masowe cz³onu, si³y bezw³adnoœci

165

mo¿liwe, je¿eli s¹ spe³nione oczywiste warunki dynamicznej ekwiwalentnoœci cz³onu i modelu w postaci (rys. 4.3): • masy cz³onu i modelu s¹ jednakowe, • œrodki mas cz³onu i modelu pokrywaj¹ siê, • masowe momenty bezw³adnoœci cz³onu i modelu s¹ jednakowe.

Rys. 4.3. Cz³on i równowa¿ny uk³ad mas skupionych

Wymienione warunki, dla modelu k-masowego, prze³o¿one na równania przyjmuj¹ postaæ: k

∑ mi = m

(4.2a)

1

k

∑ mi xi

= mx S

(4.2b)

∑ mi yi = my S

(4.2c)

∑ mi ( xi2 + yi2 ) = m( x S2 + y S2 ) + I S

(4.2d)

1 k

1

k

1

Uk³ad k-mas skupionych jest opisywany liczb¹ 3k parametrów (xi, yi, mi), co w zwi¹zku z dysponowaniem czterema równaniami (4.2) oznacza, ¿e spoœród 3k parametrów mo¿na dowolnie przyjmowaæ p parametrów, przy czym p = 3k – 4. Daje to np. swobodê w wyborze umiejscowienia mas w takich punktach, które s¹ ³atwe w opisie ruchu. Dysponuj¹c modelem mas skupionych w analizie dynamicznej, bêdziemy interesowaæ siê ju¿ tylko przyspieszeniami punktów–mas, pomijaj¹c przyspieszenie ruchu obrotowego.

166

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

4.2.2. Tensor bezw³adnoœci – ruch przestrzenny Rozpatrzony przypadek odnosi³ siê do ruchu p³askiego. Parametry masowe wystarczy³o opisaæ tylko dwiema wielkoœciami, mas¹ i masowym momentem bezw³adnoœci. Bardziej z³o¿ona jest sytuacja ruchu ogólnego w przestrzeni. Wtedy oprócz masy m jej roz³o¿enie opisuje tensor (macierz) bezw³adnoœci. Jego postaæ jest podobnie jak w przypadku ruchu p³askiego zale¿na od uk³adu odniesienia. £atwo zauwa¿yæ (rys. 4.4), ¿e definiowanie rozk³adu masy cz³onu k w uk³adzie odniesienia {0} oznacza ci¹g³¹ zmianê wektora 0r w czasie ruchu cz³onu, co musi skutkowaæ ci¹g³¹ zmian¹ wartoœci momentów bezw³adnoœci. Pokonanie tej niedogodnoœci polega na definiowaniu parametrów roz³o¿enia masy cz³onu k w jego lokalnym uk³adzie wspó³rzêdnych {k}. W takim

Rys. 4.4. Cz³on w 3D i uk³ad w œrodku masy S i przesuniêty

przypadku w czasie ruchu cz³onu wartoœci elementów macierzy bezw³adnoœci nie ulegaj¹ zmianie, co znacznie upraszcza obliczenia. Macierz bezw³adnoœci ma postaæ:

 Ix ~  I =  I yx   I zx

I xy Iy I zy

I xz   I yz   I z 

(4.3)

gdzie: • momenty bezw³adnoœci

I x = ∫ ( y 2 + z 2 ) dm, m

I y = ∫ ( x 2 + z 2 ) dm,

I z = ∫ ( x 2 + y 2 ) dm,

I xz = I zx = − ∫ xzdm,

I yz = I zy = − ∫ yzdm

m

m

• momenty dewiacji

I xy = I yx = − ∫ xydm, m

m

m

4.2. Parametry masowe cz³onu, si³y bezw³adnoœci

167

Wartoœci elementów macierzy bezw³adnoœci (4.3) s¹ zale¿ne od po³o¿enia uk³adu wspó³rzêdnych. Staje siê ona diagonaln¹ przez szczególne usytuowanie uk³adu wspó³rzêdnych, takie aby momenty dewiacyjne mia³y wartoœci zerowe – osie xyz s¹ wtedy nazywane g³ównymi osiami bezw³adnoœci. Jeœli dodatkowo pocz¹tek takiego uk³adu umieœciæ w œrodku masy cz³onu, mówimy o g³ównych centralnych osiach bezw³adnoœci [24]. Przesuniêcia i obroty osi uk³adu lokalnego skutkuj¹ zmian¹ wartoœci elementów tensora bezw³adnoœci. Przydatna w praktyce, w opisie dynamiki uk³adów przestrzennych, translacja uk³adu wspó³rzêdnych od œrodka masy S do dowolnego punktu o wektor p = [px, py, pz]T skutkuje zmian¹ elementów tensora bezw³adnoœci (4.3) wed³ug zale¿noœci:

 px p y   I xy   I Sxy         I xz  =  I Sxz  − m  p x p z         p y p z   I yz   I Syz 

 p 2y + p z2   I xx   I Sxx        2 2  I yy  =  I Syy  + m  p x + p z    2     2  p x + p y   I zz   I Szz 

(4.4)

gdzie IS odnosi siê do uk³adu lokalnego o pocz¹tku w œrodku masy S.

4.2.3. Wypadkowa si³ bezw³adnoœci – ruch p³aski Zgodnie z drug¹ zasad¹ dynamiki Newtona dzia³anie wypadkow¹ F si³ zewnêtrznych na cz³on o masie m wywo³uje ruch jego œrodka masy S z przyspieszeniem a wed³ug równania: (4.5) F = ma Dla elementu obrotowego o masowym momencie bezw³adnoœci IS (wzglêdem osi przechodz¹cej przez œrodek masy S) moment M (od si³ zewnêtrznych liczony wzglêdem œrodka masy S) wywo³uje natomiast ruch obrotowy z przyspieszeniem k¹towym zgodnie z równaniem: M = IS ε

(4.6)

Przekszta³cenie równañ (4.5) i (4.6) do postaci2: F - m a = 0 « F + Fb = 0

M - I S e = 0 « M + Mb = 0

(4.7)

sprowadza zagadnienie dynamiczne do quasi-statycznego, a iloczyny masy m i przyspieszenia a oraz masowego momentu bezw³adnoœci IS i przyspieszenia k¹towego ε s¹ nazywane odpowiednio si³¹ Fb i momentem Mb bezw³adnoœci. Dziêki temu przyk³adaj¹c do ruchomego cz³onu si³ê/moment bezw³adnoœci, problem dynamiczny mo¿e byæ rozwi¹zywany metodami statyki. 2

L. d’Alembert (1717–1783)

168

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

Na rysunku 4.5a przedstawiono si³ê i moment bezw³adnoœci cz³onu w ruchu p³askim. Je¿eli zast¹piæ moment Mb par¹ si³ FM–FM o ramieniu h, a nastêpnie przyj¹æ, ¿e si³y FM maj¹ modu³y jak Fb, to wynikiem dzia³ania si³y i momentu bezw³adnoœci jest tylko jedna wypadkowa si³ bezw³adnoœci (rys. 4.5b) przesuniêta wzglêdem œrodka masy o wielkoœæ h liczon¹ z zale¿noœci:

h=

Mb F

M

=

Mb ISε = Fb ma

(4.8)

Rys. 4.5. Si³a i moment bezw³adnoœci (a) oraz wypadkowa si³ bezw³adnoœci (b)

Rys. 4.6. Bijak strzepywacza elektrofiltrów

Na podstawie rozpatrzonego ruchu p³askiego ³atwo mo¿na przejœæ do ruchu obrotowego czy postêpowego. Regu³y postêpowania s¹ identyczne, a przypadek ruchu postêpowego upraszcza siꠖ brak obrotu oznacza, ¿e Mb = 0. Pos³ugiwanie siê pojêciem wypadkowej si³ bezw³adnoœci znakomicie u³atwia interpretacjê zjawisk dynamicznych. Jako przyk³ad niech pos³u¿y uk³ad strzepywacza zastosowany do usuwania py³ów z elektrod zbiorczych elektrofiltrów. Pomijaj¹c szczegó³y budowy (rys. 4.6) wzbudzanie drgañ elektrod uzyskuje siê przez cykliczne uderzenia bijaka 2 w belkê 3, podwieszon¹ na pionowych elektrodach – ruch belki 3 jest poziomy. Ci¹g³e obracanie korby 1 z prêdkoœci¹ k¹tow¹ ω1 powoduje wynoszenie w górê bijaka 2, który w pewnym po³o¿eniu punk-

4.3. Równowaga kinetostatyczna

169

tu B rozpoczyna spadek i w koñcowej fazie – po³o¿enie 2" – uderza w belkê 3 z si³¹ F. Dalszy obrót korby 1 ponownie wynosi bijak 2 i cykl siê powtarza. Si³a F jest oczywiœcie wynikiem powstania si³ masowych w zwi¹zku z gwa³townym zahamowaniem ruchu bijaka, co skutkuje du¿ym przyspieszeniem. Jest oczywiste, ¿e najlepsz¹ skutecznoœæ urz¹dzenie uzyska wtedy, gdy si³a F bêdzie maksymalna. Oznacza to, ¿e bijak powinien byæ tak ukszta³towany, aby si³a F by³a wypadkow¹ si³ bezw³adnoœci. Zwróæmy uwagê, ¿e powy¿szy warunek zapewnia jednoczeœnie minimalizacjê si³y oddzia³ywania w parze B, co przyczynia siê do zwiêkszenia ¿ywotnoœci uk³adu. Wymienione warunki spe³nia optymalny kszta³t bijaka [21], zmieniony w stosunku do stosowanego kszta³tu cylindrycznego, pokazany na rys. 4.6. Na zakoñczenie rozwa¿añ o si³ach masowych zwróæmy uwagê, ¿e dla rozwa¿añ prowadzonych metodami analitycznymi redukcja si³ bezw³adnoœci do jednej wypadkowej nie daje istotnych korzyœci. W uk³adach p³askich pos³ugujemy siê najczêœciej sk³adowymi zarówno si³, jak i parametrów ruchu, a to skutkuje sk³adowymi si³ bezw³adnoœci.

4.3. Równowaga kinetostatyczna Jednym z podstawowych zadañ dynamiki jest okreœlanie wartoœci si³ zewnêtrznych, na ogó³ czynnych, potrzebnych do utrzymania równowagi uk³adu obci¹¿onego si³ami biernymi w zdefiniowanym ruchu. Wymaga to oczywiœcie uwzglêdnienia si³ masowych wynikaj¹cych z ruchu poszczególnych cz³onów, które w tej analizie traktuje siê jak si³y zewnêtrzne. Znajomoœæ si³ czynnych jest niezbêdna w doborze napêdów. Kolejnym zadaniem analizy kinetostatycznej jest okreœlanie si³ oddzia³ywania w parach kinematycznych. Ich znajomoœæ jest konieczna w obliczeniach konstrukcyjnych cz³onów i par – wymiarowanie przekrojów cz³onów z warunków wytrzyma³oœciowych, dobór i obliczenia sprawdzaj¹ce ³o¿ysk itp. W zwi¹zku z przemieszczaniem siê elementów par kinematycznych niezbêdna jest w tej analizie umiejêtnoœæ uwzglêdnienia tarcia, które w niektórych sytuacjach mo¿e istotnie zniekszta³ciæ obraz uzyskany z analizy pomijaj¹cej tarcie. Istnieje wiele metod rozwi¹zywania tak postawionych zadañ, jednak wszystkie oparte s¹ na oczywistym spostrze¿eniu, ¿e równowaga ca³ego uk³adu oznacza te¿ równowagê ka¿dego cz³onu, a tak¿e dowolnie wydzielonej grupy cz³onów. Tok analizy opiera siê na rozwi¹zywaniu równañ równowagi odpowiednich si³ i momentów.

4.3.1. Si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych Para wy¿sza – krzywkowa. Na rysunku 4.7 przedstawiono skojarzenie dwóch powierzchni krzywoliniowych. Brak tarcia oznacza, ¿e przemieszczanie siê cz³onów wzglêdem siebie wzd³u¿ stycznej t nie napotyka ¿adnych oporów. Ruch wzglêdny cz³onów j

170

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

oraz k w kierunku normalnej n jest natomiast zabroniony, co oznacza, n o r malnej: • si³¹ Fjk oddzia³uje cz³on j na cz³on k, • si³¹ Fkj oddzia³uje cz³on k na cz³on j, przy czym Fjk = –Fkj. Gdy znana jest geometria cz³onów, wówczas si³a oddzia³ywania w ka¿dej parze wy¿szej (tj. parze II klasy) jest okreœlona co do punktu styku i kierunku dzia³ania (k¹t β) – nieznany jest tylko jej modu³.

Rys. 4.7. Para krzywkowa, si³y

Para obrotowa. Rozpatruj¹c parê obrotow¹ w powiêkszeniu (rys. 4.8a), stwierdzamy, ¿e w istocie czop cz³onu k w skojarzeniu z pa-

Rys. 4.8. Para obrotowa, si³y

newk¹ cz³onu j tworz¹ parê wy¿sz¹, jak na rys. 4.7. Wobec tego si³y Fjk i Fkj oddzia³ywania cz³onów na siebie wzajemnie równie¿ le¿¹ na kierunku normalnej do obu okrêgów wyprowadzonej w punkcie styku. Niestety punkt styku czopa i panewki nie jest znany. Jest on zale¿ny od stanu obci¹¿enia cz³onów j i k. Zwróæmy jednak uwagê, ¿e zawsze, bez wzglêdu na obci¹¿enia, si³a oddzia³ywania w parze obrotowej przechodzi przez jej œrodek geometryczny. Mo¿na zatem si³ê w parze obrotowej przenieœæ do jej œrodka geometrycznego, co uwalnia nas od wnikania w szczegó³y rozwi¹zania konstrukcyjnego. Rozbicie si³y Fjk na dwie sk³adowe Fjkx i Fjky (rys. 4.8b) informuje, ¿e tym razem wektor si³y oddzia³ywania w parze obrotowej wnosi dwie niewiadome – znany jest punkt jej przy³o¿enia (œrodek pary).

4.3. Równowaga kinetostatyczna

171

Para postêpowa. Parê tak¹ tworzy prowadnica j oraz przesuwaj¹cy siê po niej suwak k (rys. 4.9a). Rozpatruj¹c szczegó³owo wspó³pracuj¹ce elementy, stwierdzamy, ¿e w wyniku obci¹¿enia na powierzchniach styku wystêpuj¹ naciski, których rozk³ad jest zale¿ny m.in. od sztywnoœci prowadnicy i suwaka. Okreœlenie rzeczywistego stanu si³ oddzia³ywania w takiej parze wymaga ka¿dorazowo z³o¿onej analizy stanu naprê¿eñ, np. metod¹ elementów skoñczonych.

Rys. 4.9. Para postêpowa, si³y

Do celów praktycznych modeluje siê tê parê, bazuj¹c na mo¿liwoœci zast¹pienia pola si³ nacisków si³ami skupionymi F ′jk i F′jk′ . Oznacza to wprowadzenie modelu (rys. 4.9b), w którym suwak ma mo¿liwoœæ kontaktu z prowadnic¹ w punktach A, B, C, D. Na podstawie doœwiadczenia przyjmuje siê, ¿e rozstaw si³ F ′jk i F′jk′ , a w³aœciwie rozstaw punktów styku na suwaku wynosi lo = 2l/3 lub 3l/4. Wprowadzony model zapewnia odwzorowanie uk³adu si³, jaki wystêpuje w realnej parze, a w ka¿dym punkcie styku sytuacja si³owa odpowiada tej, jaka wystêpuje w parze wy¿szej (rys. 4.7). Nie oznacza to, ¿e cz³ony tworz¹ce tê parê zastêpcz¹ kontaktuj¹ siê ze sob¹ jednoczeœnie w czterech punktach. Na ogó³ bêd¹ siê stykaæ w dwóch spoœród czterech punktów A, B, C, D, a w przypadku szczególnym nawet w jednym. Ostatni przypadek bêdzie wtedy, gdy F ′jk  = 0 lub F′jk′ = 0. Zwróæmy uwagê na to, ¿e jakkolwiek o punktach styku bêd¹ decydowaæ zwroty si³, to linie ich dzia³ania s¹ zawsze niezmienne – jedna si³a F ′jk dzia³a na linii wyznaczo-

172

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

nej przez punkty A i B, druga F′jk′ na linii wyznaczonej przez punkty C i D. Dla zwrotów si³ F ′jk i F′jk′ przyjêtych na rys. 4.9b jest oczywiste, ¿e suwak z prowadnic¹ kontaktuje siê w A i D. Zarówno w parze realnej (rys. 4.9a), jak i w modelowej (rys. 4.9b) mo¿na mówiæ o wypadkowej sile oddzia³ywania Fjk, której linia dzia³ania jest zawsze prostopad³a do osi prowadnicy i zdefiniowana np. odleg³oœci¹ e mierzon¹ od œrodka suwaka. Dla równowagi globalnej wygodnie jest pos³ugiwaæ siê wy³¹cznie ca³kowit¹ si³¹ oddzia³ywania w parze postêpowej. Wtedy niewiadomymi s¹ modu³ si³y i ramiê e – rys. 4.9c.

PRZYK£AD 4.1 Dla przedstawionych informacji o si³ach oddzia³ywania w parach rozpatrzmy równowagê przyk³adowego uk³adu (rys. 4.10a). Zak³adamy na tyle powolny ruch uk³adu, ¿e mo¿liwe jest pominiêcie si³ bezw³adnoœci. Jedyne obci¹¿enie stanowi wiêc ciê¿ar Q1 cz³onu 1, który jest równowa¿ony si³¹ F43 w si³owniku 4. Warunki równowagi i si³y oddzia³ywania okreœlimy drog¹ graficznego rozwi¹zywania równañ wektorowych si³.

Rys. 4.10. Rozk³ad si³ w uk³adzie p³askim

Znana si³a Q1 sugeruje na pocz¹tek rozpatrzenie równowagi cz³onu 1, co wymaga spe³nienia nastêpuj¹cego równania:

Q1 + F21 + F01 = 0

(4.9)

Si³y F21 i F01 w parach obrotowych s¹ znane jedynie co do punktu przy³o¿enia (œrodki par A i B), a to nie wystarcza do rozwi¹zania równania (4.9). Ka¿da z par cz³onu 1 wprowadza po dwie niewiadome, a równañ równowagi cz³onu w uk³adzie p³askim mamy do dyspozycji trzy (dwie sumy si³ i suma momentów). Podobnie cztery niewiadome

4.3. Równowaga kinetostatyczna

173

wprowadza cz³on 2 – po dwie w parach C i D. Jednak wobec braku obci¹¿eñ zewnêtrznych cz³onu 2, poza si³ami w parach, równanie równowagi w postaci:

F32 + F12 = 0

(4.10)

prowadzi do oczywistego wniosku, ¿e si³y F32 i F12 musz¹ le¿eæ na jednej prostej, któr¹ wyznaczaj¹ œrodki geometryczne par kinematycznych C i B. Podobny wniosek wynika z analizy si³ zewnêtrznych si³ownika 4, który mo¿e byæ rozwa¿any jak cz³on dwuwêz³owy – si³y zewnêtrzne si³ownika le¿¹ na linii MN. Znany kierunek, a nawet linia dzia³ania si³y F12, a wiêc tak¿e si³y F21 pozwala wróciæ do równania (4.9). Poniewa¿ geometrycznym warunkiem równowagi trzech si³ obci¹¿aj¹cych element jest ich przecinanie siê w jednym punkcie (zapewnia to zerowy moment od tych si³), linia dzia³ania trzeciej si³y F01 równania (4.9) musi przechodziæ przez punkt K. Umo¿liwia to rozwi¹zanie równania (4.9), co pokazano na rys. 4.10b. Rozpatruj¹c teraz równowagê cz³onu 3, stwierdzamy, ¿e równanie równowagi si³ zewnêtrznych

F23 + F43 + F03 = 0

(4.11)

bêdzie spe³nione pod warunkiem ich przecinania siê w punkcie L, st¹d linia dzia³ania si³y F03 i graficzne rozwi¹zanie na rys. 4.10c. Znajomoœæ si³y F23 wynika wprost z równania (4.10) i trzeciej zasady dynamiki Newtona Fjk = –Fkj. Równowagê uk³adu z rys. 4.10a okreœlono na podstawie analizy równowagi poszczególnych cz³onów. By³o to mo¿liwe wobec szczególnego, w istocie uproszczonego, stanu obci¹¿eñ zewnêtrznych nie uwzglêdniaj¹cego si³ bezw³adnoœci ani nawet ciê¿arów cz³onów 2 i 3.

4.3.2. Statyczna wyznaczalnoœæ uk³adów kinematycznych Uproszczenie, które umo¿liwi³o proste rozwi¹zanie równowagi uk³adu z rys. 4.10, a polegaj¹ce na pominiêciu si³ masowych, w przypadku wielu innych uk³adów jest niedopuszczalne. Tak bêdzie w przypadku uk³adów szybkobie¿nych. Przyk³adowo pominiêcie si³y bezw³adnoœci korbowodu silnika spalinowego oznacza inny, w stosunku do realnego stan obci¹¿eñ ³o¿ysk, w mechanizmach krzywkowych czêsto si³y masowe s¹ jedynymi, które obci¹¿aj¹ uk³ad. Z drugiej strony, w wielu uk³adach, nawet o powolnym ruchu, b³êdem jest pominiêcie si³ ciê¿koœci. Przyk³adem mo¿e byæ tutaj zespó³ cz³onów wysiêgnika koparki albo ¿urawia wypadowego. W takich sytuacjach, kiedy analiza równowagi poszczególnych cz³onów nie prowadzi do okreœlenia stanu równowagi, nale¿y siêgaæ po wiêksze, kilkucz³onowe fragmenty uk³adów. Z uk³adu nale¿y wydzielaæ te fragmenty, których rozwi¹zanie jest mo¿liwe

174

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

za pomoc¹ metod statyki. Nosz¹ one nazwê grup statycznie wyznaczalnych. Sformalizowanie sposobu wydzielania takich grup wynika wprost z koniecznoœci zapewnienia jednakowej liczby mo¿liwych do u³o¿enia równañ statyki i liczby niewiadomych. Dla ka¿dego cz³onu uk³adu p³askiego mo¿na u³o¿yæ dwa równania sumy si³ (ΣFx = 0, ΣFy = 0) oraz równanie momentów (ΣM = 0), co dla zespo³u u cz³onowego oznacza dysponowanie liczb¹ 3u równañ. Z drugiej strony wiadomo, ¿e: • ka¿da para kinematyczna II klasy wnosi 1 niewiadom¹ – znana jest linia dzia³ania wektora si³y, nieznany modu³ (rys. 4.7), • ka¿da para I klasy wnosi 2 niewiadome – dla pary obrotowej (R) znany jest punkt przy³o¿enia, nieznane obie sk³adowe; dla postêpowej (T) nieznany jest modu³ i linia dzia³ania (rys. 4.8 i 4.9). Wnioskujemy zatem, ¿e ³¹cznie jest: Grupa statycznie wyznaczalna:

Liczba niewiadomych

2 p1 + p 2

=

Liczba równañ

=

3u

(4.12)

Podany warunek (4.12) statycznej wyznaczalnoœci wskazuje na mo¿liwoœæ zestawienia grup statycznie wyznaczalnych dla kolejno przyjmowanych wartoœci liczby cz³onów u. Najprostsze grupy zestawiono na rys. 4.11. Liczba mo¿liwych grup, dla uzasadnionej praktycznie liczby cz³onów u, jest skoñczona, a dla ka¿dej z nich istnieje prosta procedura okreœlania warunków równowagi [16] – tutaj pokazujemy tylko przyk³adowe, uzupe³nione rozwi¹zaniem graficznym. Dla grupy RRT (rys. 4.12) przyjmujemy obci¹¿enie cz³onów 2 i 3 si³ami F2 i F3, które reprezentuj¹ wypadkowe si³ zewnêtrznych, si³ bezw³adnoœci i si³ ciê¿koœci. Sposób rozwi¹zania polega na roz³o¿eniu nieznanej si³y F12 na dwie sk³adowe – styczn¹

Rys. 4.11. Przyk³ady grup statycznie wyznaczalnych – uk³ady p³askie

4.3. Równowaga kinetostatyczna

175

Rys. 4.12. Uk³ad si³ w grupie statycznie wyznaczalnej RRT

i normaln¹ – prostopadle i wzd³u¿ cz³onu AB. Takie podejœcie umo¿liwia wyznaczenie sk³adowej stycznej z równania momentów dla cz³onu 2 wzglêdem punktu B

∑ M 2B = 0

→ F2 h2 − F12t ⋅ AB = 0 → F12t =

F2 h2 AB

(4.13)

a wtedy równanie równowagi si³ zewnêtrznych grupy cz³onów 2 i 3 t + F2 + F3 + F43 = 0 F12n + F12

(4.14)

jest ju¿ rozwi¹zywalne3, co pokazano na rys. 4.12b. Poniewa¿ ka¿dy z cz³onów grupy tak¿e ma byæ w równowadze, wiêc równania

F12 + F2 + F32 = 0 F43 + F3 + F23 = 0

jednoznacznie wskazuj¹ na koniecznoœæ przecinania siê w jednym punkcie wypadkowej si³ zewnêtrznych cz³onu 2 (punkt K) i w drugim dla cz³onu 3 (punkt L). Konsekwencj¹ jest jednoznacznie ustalona linia dzia³ania si³y F43. Poprzestajemy na opisanej procedurze rozwi¹zywania grupy 2RT, odnotujemy, ¿e nie nale¿y tego sposobu, jak i innych, traktowaæ jako jedynie mo¿liwy. S¹ to procedury, które w sposób najprostszy prowadz¹ do rozwi¹zania, a w ka¿dym przypadku nale¿y siê kierowaæ regu³ami statyki. 3

Wektory dwukrotnie podkreœlone s¹ znane, jednokrotnie znane co do kierunku.

176

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

PRZYK£AD 4.2 Rozpatrzmy uk³ad z rys. 4.13, w którym nale¿y okreœliæ si³y i momenty stanu równowagi, a zw³aszcza momenty napêdowe M1 i M4 oraz si³y oddzia³ywania w parach. Dla cz³onu 2 obci¹¿enie stanowi¹ si³y Q2 i Qel oraz si³a i moment bezw³adnoœci. Dla cz³onu 3 pominiemy si³ê ciê¿koœci, natomiast uwzglêdnimy si³y masowe.

Rys. 4.13. Przyk³ad uk³adu mechatronicznego

Równanie równowagi si³ cz³onu 2 w postaci:

Q 2 + Q el + Fb 2 + F12 + F32 = 0

(4.15)

nie znajdzie rozwi¹zania wobec czterech niewiadomych wnoszonych przez si³y w parach obrotowych B i C. Identyczny wniosek wynika z analizy równania równowagi si³ cz³onu 3

Fb3 + F23 + F43 = 0

(4.16)

Niezbêdne jest wydzielenie grupy statycznie wyznaczalnej. W tym przypadku jest to dwucz³on BCD (cz³ony 2, 3), który przedstawiono na rys. 4.14a. Cz³on 2 jest obci¹¿ony znan¹ si³¹ F2, która jest sum¹ wektorow¹

F2 = Q 2 + Q el + Fb 2

(4.17)

przy czym si³a Fb2 jest wypadkow¹ si³ bezw³adnoœci cz³onu 2 (uwzglêdnia moment bezw³adnoœci Mb2). W przypadku cz³onu 3 uwzglêdnia siê tylko wypadkow¹ si³ bezw³adnoœci Fb3, zak³adaj¹c, ¿e ciê¿ar jest pomijalny.

4.3. Równowaga kinetostatyczna

177

Rozwi¹zanie dwucz³onu z trzema parami obrotowymi opiera siê na odpowiednim roz³o¿eniu zewnêtrznych si³ grupy F12 i F43 w parach B, D na sk³adowe styczne i normalne – rys. 4.14a. Wtedy suma wektorowa si³ zewnêtrznych to

åF = 0

t t n ® F12n + F12 + F2 + Fb 2 + F43 + F43 =0

(4.18)

Wektory dwukrotnie podkreœlone s¹ ³atwe do okreœlenia, dla cz³onów 2 i 3 bowiem s³uszne s¹ równania momentów wzglêdem œrodka pary C w postaci:

∑ M 2C = 0 ∑ M 3C

→ F2 h2 − F12t BC = 0 → F12t =

F2 h2 BC

t = 0 → − Fb 3 h3 + F43t DC = 0 → F43 =

Rys. 4.14. Rozwi¹zanie uk³adu z rys. 4.13

Fb 3 h3 DC

178

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

W równaniach powy¿szych uwidacznia siê sens rozbicia si³ F12 i F43 na sk³adowe wzd³u¿ i prostopadle do cz³onów 2 i 3 – sk³adowe normalne nie wchodz¹ do równañ momentów. Graficzne rozwi¹zanie równania (4.18) przedstawiono na rys. 4.14b. Dodatkowo znaleziono si³ê oddzia³ywania F32 w wewnêtrznej parze C i rozwi¹zano równanie wyra¿aj¹ce sumê si³ zewnêtrznych dla cz³onu 2

åF = 0

® F2 + F12 + F32 = 0

Pe³ne rozwi¹zanie uk³adu wymaga jeszcze wyznaczenia wartoœci si³ w parach kinematycznych A i E oraz momentów M1 i M4 potrzebnych do realizacji ruchu wed³ug funkcji Θ1(t) i Θ4(t). Uzyskuje siê to przez rozpatrzenie równowagi cz³onów 1 i 4, wychodz¹c od znanych ju¿ si³ F12 = –F21 oraz F43 = –F34 i rozwi¹zuj¹c oczywiste równania si³ i momentów: • dla cz³onu 1 (rys. 4.14c)

F21 + F01 = 0,

F21h1 - M 1 = 0

• dla cz³onu 4 (rys. 4.14d)

F34 + F04 = 0,

F34 h4 - M 4 = 0

4.3.3. Macierzowy zapis si³ Przedstawione sposoby oparte na rozwi¹zywaniu kolejnych cz³onów lub grup statycznie wyznaczalnych mog¹ byæ równie¿ prowadzone metodami analitycznymi. £atwo wykazaæ, ¿e ka¿dy uk³ad poprawny strukturalnie, bez wiêzów biernych, jest statycznie wyznaczalny. Wobec tego mo¿liwe jest te¿ jednoczesne rozwi¹zywanie ca³ego uk³adu przez napisanie równañ równowagi wszystkich cz³onów i ³¹czne ich rozwi¹zanie. W takich sytuacjach jest wskazane macierzowe uporz¹dkowanie uk³adu równañ najbardziej dogodne do zastosowañ komputerowych.

PRZYK£AD 4.3 Dany jest uk³ad czworoboku przegubowego (rys. 4.15a) o znanych parametrach masowych mi, Ii. Ruch jest opisany funkcj¹ zmiany k¹ta Θ1(t), a obci¹¿enie zewnêtrzne stanowi moment M3. Nale¿y okreœliæ si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych oraz zewnêtrzny moment równowa¿¹cy M1. Ciê¿ar cz³onów pomijamy.

4.3. Równowaga kinetostatyczna

179

Rys. 4.15. Uk³ad si³ w czworoboku

Równania równowagi zostan¹ napisane dla poszczególnych cz³onów i uporz¹dkowane do zapisu macierzowego. Na pocz¹tek przypomnijmy zapis momentu M si³y F dzia³aj¹cej na ramieniu r: é rx ù é Fx ù M = r ´ F « M = ê ú ´ ê ú ® M = rx Fy - ry Fx ëê ry ûú ëê Fy ûú

Równania równowagi dla cz³onu 1 to sumy si³:

F01 x + F21x + Fb1x = 0 F01 y + F21 y + Fb1 y = 0

(4.19)

180

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

i momentów wzglêdem œrodka masy S1 cz³onu 1

M1 + M b1 + (− a S )× F01 + (a − a S )× F21 = 0 co daje M 1 + M b1 + [ - ( F01 y a S cos È1 ) + ( F01x a S sin È1 )] + [( a - a S ) cos È1 F21 y - ( a - a S ) sin È1F21x ] = 0

(4.20)

 . gdzie: M b1 = − I 1ε 1 = − I 1È 1 Dla cz³onu 2 suma si³ daje równania

F12 x + F32 x + Fb 2 x = 0

↔

− F21x − F23 x + Fb 2 x = 0

F12 y + F32 y + Fb 2 y = 0

↔

− F21 y − F23 y + Fb 2 y = 0

(4.21)

a suma momentów wzglêdem œrodka masy S2 M b 2 + (− b S )× F12 + (b − b S )× F32 = 0

i dalej M b 2 + [ -( - F21 y bS cos È2 + F21x bS sin È2 )] + [ - F23 y (b - bS ) cos È2 + F23 x (b - bS ) sin È2 ] = 0

(4.22)

 . gdzie: M b 2 = − I 2 ε 2 = − I 2 È 2 Równowaga cz³onu 3 daje równania si³

F03 x + F23 x + Fb3 x = 0 F03 y + F23 y + Fb 3 y = 0 i momentów wzglêdem œrodka masy S3

M 3 + M b3 + (− c S )× F03 + (c − c S )× F23 = 0

(4.23)

4.3. Równowaga kinetostatyczna

181

a nastêpnie

[(

)] + [F23 y (c − c S )cos È3 − F23 x (c − c S )sin È3 ] = 0

M 3 + M b3 + − F03 y c S cos È3 − F03 x c S sin È3

(4.24)

 . gdzie: M b 3 = − I 3ε 3 = − I 3 È 3 Uzyskane dziewiêæ równañ (4.19)÷(4.24) przekszta³camy w taki sposób, aby z lewej strony pozostawiæ jedynie wielkoœci znane, tj. si³y i momenty bezw³adnoœci oraz znane obci¹¿enie zewnêtrzne w postaci momentu M3. Uzyskujemy wtedy w wyniku równania:

Fb1x = − F01x − F21x

(4.25)

Fb1 y = − F01 y − F21 y

(4.26)

M b1 = − M 1 + F01 y a S cos È1 − F01x a S sin È1 − F21 y (a − a S )cos È1 + F21x (a − a S )sin È1

(4.27)

Fb 2 x = F21x + F23 x

(4.28)

Fb 2 y = F21 y + F23 y

(4.29)

M b 2 = − F21 y bS cos È2 + F21x bS sin È2 + F23 y (b − bS )cos È 2 − F23 x (b − bS )sin È2

(4.30)

Fb3 x = − F03 x − F23 x

(4.31)

Fb3 y = − F03 y − F23 y

(4.32)

M b 3 + M 3 = F03 y c S cos È3 − F03 x c S sin È3 − F23 y (c − c S )cos È3 + F23 x (c − c S )sin È3

(4.33)

182

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

Równania równowagi (4.25÷4.33) zapisane w formie macierzowej: -1 é Fb1x ù é ê ú ê 0 ê Fb1 y ú ê ê ú ê ê M b1 ú ê- a S sin È1 ê ú ê 0 ê Fb 2 x ú ê ê F ú=ê 0 b2 y ê ú ê ê M ú ê 0 b2 ê ú ê ê F ú ê 0 b3 x ê ú ê ê Fb 3 y ú ê 0 ê ú ê êë M 3 + M b 3 úû êë 0

0

0

-1

0

-1

0

0

-1

a S cos È1

- 1 (a - a S ) sin È1

- (a - a S ) cos È1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

b S sin È2

- bS cos È2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

- (b - bS ) sin È2

(b - bS ) cos È2

0

-1

0

-1

0

-1

0

(c - c S ) sin È3

- (c - c S ) cos È3

- c S sin È3

ù é F01x ù ú úê 0 ú ê F01 y ú ú úê 0 ú êM 1 ú ú (4.34) úê 0 ú ê F21x ú ú êF ú 0 ú ê 21 y ú ú êF ú 0 ú ê 23 x ú ú ê F23 y ú 0 ú úê - 1 ú ê F03 x ú ú úê c S cos È3 ûú êë F03 y úû 0

W formie skrótowej mamy zatem

Fzn = GFx

(4.35)

gdzie: Fzn – wektor si³ znanych (si³y masowe i obci¹¿enie zewnêtrzne M4), G – macierz wspó³czynników znanych dla znanej konfiguracji uk³adu, Fx – wektor si³ okreœlanych (si³y oddzia³ywania w parach, moment M1). Rozwi¹zanie równania (4.35) nie stanowi ju¿ problemu, dla formalnoœci zapiszmy

Fx = G −1Fzn

(4.36)

4.3. Równowaga kinetostatyczna

183

4.3.4. Metoda prac przygotowanych Prace przygotowane (wirtualne) s¹ efektywnym narzêdziem analizy si³ w sensie statycznym i quasi-statycznym, kiedy si³y bezw³adnoœci, wynikaj¹ce ze znanego ruchu, potraktowaæ jak si³y zewnêtrzne. Jak wiadomo praca si³y F na przesuniêciu s jest dana iloczynem skalarnym

L = ò F × ds = ò F (cos â )ds s

s

gdzie k¹t β jest mierzony miêdzy si³¹ F i przemieszczeniem ds w p³aszczyŸnie utworzonej przez te wektory. Podobnie praca wykonana przez moment M na drodze k¹towej Θ dana jest równaniem:

L = ò M × dÈ = ò M (cos g ) dÈ È

È

gdzie k¹t γ jest wyznaczony przez wektor M i oœ obrotu chwilowego. Praca przygotowana (wirtualna) δ L odnoszona jest natomiast do tzw. przemieszczeñ przygotowanych δ r i δΘ, a stosowne wyra¿enia to d L = F × d r = F (cos b )d s d L = M × d È = M (cos g )d È

Zasada prac wirtualnych mówi, ¿e: Uk³ad kinematyczny, w okreœlonej konfiguracji (po³o¿eniu), znajduje siê w równowadze statycznej lub quasi-statycznej, je¿eli suma prac przygotowanych wykonana przez si³y i momenty zewnêtrzne, w tym równie¿ przez si³y i momenty masowe, na odpowiadaj¹cych im przemieszczeniach przygotowanych jest równa zeru. Zapisujemy to równaniem

å Fk ×d rk + å M j × d Èj = 0 k

j

(4.37)

w którym w wektorach si³ mieszcz¹ siê si³y zewnêtrzne i si³y masowe. W formie macierzowej dla uk³adów p³askich mamy æ

å çç [drkx k

è

é Fkx ù ö drky ] ê ú ÷ + å (dÈ j M j ) = 0 êë Fky úû ÷ø j

(4.38)

184

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

Przemieszczenie przygotowane jest w istocie wielkoœci¹ wirtualn¹ (pomyœlan¹), która nie wystêpuje w rzeczywistoœci. Dla przybli¿enia tego pojêcia rozpatrzmy prosty uk³ad p³aski czworoboku przegubowego w odmianie równoleg³obocznej (rys. 4.16) i przyjmijmy, ¿e jego konfiguracja jest „zamro¿ona”, po czym dokonajmy nieskoñczenie ma³ego przemieszczenia δΘ cz³onem AB, co bêdzie skutkowa³o przemieszczeniem punktów B, C, K. Opisuj¹c po³o¿enie punktu K w uk³adzie podstawy {0} wektorem rK, jego przemieszczenie wirtualne wyznacza δ rK. Zwróæmy uwagê, ¿e te elementarne przemieszczenia realizuj¹ siê na kierunkach wektorów prêdkoœci, jakie mog¹ wyst¹piæ w „zamro¿onym” po³o¿eniu uk³adu. W uk³adzie z rys. 4.16 jest to spostrze¿enie oczywiste, dodatkowo z uwagi na szczególn¹ geometriê uk³adu przemieszczenia wirtualne punk-

Rys. 4.16. Czworobok równoleg³oboczny – przemieszczenia wirtualne

tów B, C, K s¹ jednakowe jak ich prêdkoœci. Taki wniosek rozci¹ga siê na wszystkie uk³ady kinematyczne – przemieszczenia wirtualne realizuj¹ siê na kierunkach odpowiednich prêdkoœci liniowych i k¹towych. W ka¿dym jednak uk³adzie ich wartoœci s¹ ze sob¹ powi¹zane. W sensie matematycznym przemieszczenia wirtualne s¹ wariacjami funkcji [24], a ich wyznaczanie jest to¿same z ró¿niczkowaniem. Poniewa¿ rozpatrujemy uk³ad zamro¿ony, wiêc czas jest sta³¹ (t = const), natomiast zmiennymi s¹ wszystkie wielkoœci geometryczne (kinematyczne), które zmieniaj¹ siê w czasie ruchu uk³adu. Ogólnie wiêc mamy dla funkcji w postaci jawnej: =const ¾ ¾® d z = z = z ( x , y , t ) ¾t¾

¶z ¶z dx + dy ¶x ¶y

(4.39)

i w postaci uwik³anej = const f ( x, y , z , t ) = 0 ¾t¾ ¾ ¾®

¶f ¶f ¶f dx + dy + dz =0 ¶x ¶y ¶z

(4.40)

4.3. Równowaga kinetostatyczna

185

Powracaj¹c do uk³adu z rys. 4.16, bez trudu opisujemy po³o¿enie punktu K w uk³adzie {0} podstawy

x K = a cos È + b y K = a sin È + c co w oczywisty sposób (4.39) prowadzi do zale¿noœci

d x K = - a (sin È ) d È d y K = a (cos È) d È

(4.41)

Dla tego uk³adu zgodnie z (4.38) mamy

[- a(sin È)d È

é Fx ù a (cos È )d È ] ê ú + d È × M = 0 ëê Fy ûú

(4.42)

co po przekszta³ceniach daje wyra¿enie na moment w postaci

M = a (sin È ) Fx − a (cos È ) F y Uk³ad z rys. 4.16 jest bardzo prosty, natomiast na ogó³ mamy do czynienia z uk³adami z³o¿onymi, gdzie okreœlanie równañ przemieszczeñ i w œlad za tym przemieszczeñ wirtualnych, jest bardziej k³opotliwe. Przekonuje o tym kolejny przyk³ad.

PRZYK£AD 4.4 Dla ilustracji metody prac przygotowanych rozpatrzmy uk³ad jarzmowy (rys. 4.17), w którym poszukujemy wartoœæ momentu M na cz³onie 1, potrzebnego dla zrównowa¿enia si³ bezw³adnoœci i ciê¿aru cz³onu 2. Masê m1 cz³onu 1 pomijamy.

Rys. 4.17. Mechanizm jarzmowy

186

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

Cz³onem czynnym jest korba AB, której ruch opisuje k¹t Θ1(t). W okreœlonym czasie uk³ad zajmuje œciœle okreœlon¹ konfiguracjê, a wszystkie prêdkoœci i przyspieszenia traktujemy jako znane. Si³y masowe i ciê¿ar cz³onu 2 wyra¿aj¹ zale¿noœci:

é Fbx ù ém2 ê ú ê ê Fby ú = - ê ê ú ê ëê 0 ëê M b ûú

0 m2 0

0 ù é xS ù úê ú 0 ú ê yS ú úê ú I 2 ûú ëêQ2 ûú

G = - m2 g

(4.43)

Suma prac przygotowanych si³ zewnêtrznych wyra¿a siê równaniem:

[d xS

d yS

é Fbx ù ê ú d È2 ] ê Fby + G ú - d È1M = 0 ê ú êë M b úû

(4.44)

Jak widaæ z rysunku wspó³rzêdne œrodka S masy cz³onu 2 opisuj¹ wspó³rzêdne:

 x S  r cos È2   =   y S   r sin È2  a ich wariacje to éd x S ù é - r sin È 2 ù úd È 2 ê ú=ê êëd y S úû êë r cos È 2 úû

(4.45)

Po podstawieniu (4.45) do (4.44) równanie prac przygotowanych ma postaæ:

[- F

bx r sin È2

(

]

)

+ Fby + G r cos È2 + M b d È2 - d È1 M = 0

co po przekszta³ceniu daje równanie na moment M:

[

(

)

]

M = - Fbx r sin È 2 + Fby + G r cos È 2 + M b k È

gdzie k È =

dÈ 2 , dÈ1

(4.46)

4.3. Równowaga kinetostatyczna

187

a po wstawieniu wyra¿eñ z (4.43) mamy:

[

]

 k M = m 2 xS r sin È2 - m2 (yS + g ) r cos È2 - I 2 È 2 È

(4.47)

Aby wyznaczyæ wspó³czynnik kΘ, nale¿y rozpatrzyæ równania konfiguracji uk³adu. Wielobok wektorów daje równania:

ì ïd cos È2 - a - c cos È1 = 0 d -a -b -c = 0 ® í ï î d sin È2 - b - c sin È1 = 0

(4.48)

Po zró¿niczkowaniu, zgodnie z (4.40), mamy tutaj:

d d cos È2 - dd È2 sin È2 + cd È1 sin È1 = 0 d d sin È2 + dd È2 cos È2 - cd È1 cos È1 = 0

(4.49)

a po elementarnych przekszta³ceniach i uproszczeniu otrzyma siê:

k d cos È2 - k È d sin È2 + c sin È1 = 0 k d sin È2 + kÈ d cos È2 - c cos È1 = 0 gdzie k d =

(4.50)

dd . d È1

Rozwi¹zanie uk³adu równañ liniowych (4.50) – dla przypomnienia rozpatrujemy uk³ad „zamro¿ony”, w którym wszystkie zmienne (tutaj Θ1, Θ2, d) maj¹ okreœlone wartoœci – nie sprawia ju¿ k³opotu. Dla zastosowañ numerycznych dogodna jest np. postaæ:

ékd ù écos È2 ê ú = -ê ëê sin È2 ëêk È ûú

-1

- d sin È2 ù é c sin È1 ù ú ú ê d cos È 2 ûú êë- c cos È1 ûú

(4.51)

Po wyznaczeniu kΘ wracamy do równania (4.47) i wyznaczamy wartoœæ momentu M. W tych przypadkach, kiedy chcemy unikn¹æ ¿mudnych przekszta³ceñ, a zw³aszcza gdy analiza si³ zosta³a poprzedzona analiz¹ kinematyczn¹ i dysponujemy na przyk³ad planem prêdkoœci, mo¿na siê uciec do tzw. metody dŸwigni ¯ukowskiego [16], opartej na zerowaniu siê mocy si³ zewnêtrznych. Przyjmijmy dla uproszczenia, ¿e przy okreœleniu równowagi „zewnêtrznej” w miejsce momentów zewnêtrznych, w tym momentów bezw³adnoœci, bêdziemy pos³ugiwaæ siê równowa¿nymi parami si³. Prowadzi to do uproszczenia zale¿noœci (4.37) do postaci:

å Fk ×d rk = 0 k

(4.52)

188

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

któr¹ po podzieleniu przez elementarny czas t przekszta³camy do postaci:

å Fk k

d rk =å Fk × v k = å Fk v k cos (Ð( Fk , v k ) ) = 0 dt k k

(4.53)

Otrzymaliœmy zatem warunek równowagi (4.53) w postaci sumy iloczynów mocy si³ skupionych dzia³aj¹cych na cz³ony uk³adu. Rozpatrzmy cz³on k (rys. 4.18) w ruchu p³askim zast¹pionym obrotem wokó³ œrodka obrotu Sk0, z którego wyprowadzamy wektory prêdkoœci obróconych w stosunku do rzeczywistych o k¹t prosty. Wielkoœci rysunkowe prêdkoœci obróconych narysowano w takiej podzia³ce, aby ich koñce wypad³y odpowiednio w punktach A, B, C.

Rys. 4.18. Cz³on w ruchu p³askim – moc si³y skupionej F

Elementarna analiza geometryczna pokazuje, ¿e

F v cos( F , v ) = F v cos b = F h

(4.54)

Wobec tego warunek równowagi kinetostatycznej uk³adu, sprowadzony do zerowania siê sumy mocy od si³ zewnêtrznych, mo¿na zapisaæ jako sumê momentów si³ przy³o¿onych do odpowiednich punktów planu prêdkoœci obróconych wzglêdem bieguna tego planu:

∑ Fk v k cos(Fk , v k ) = 0 k

↔

∑ Fk ⋅ hk = 0

(4.55)

k

Sposób postêpowania zilustrowano poni¿szym uk³adem, identycznym z wykorzystanym do ilustracji metody analitycznej (przyk³ad 4.4).

4.3. Równowaga kinetostatyczna

189

PRZYK£AD 4.5 Analizowany uk³ad kinematyczny (rys. 4.19a), narysowany w podzia³ce, uzupe³niono si³ami, które przy³o¿ono do poszczególnych cz³onów. Okreœlenie si³ bezw³adnoœci wymaga, pomijanego tutaj, wyznaczenia odpowiednich przyspieszeñ. Wartoœci si³ masowych obliczamy jak w przyk³adzie 4.4 wed³ug (4.43), natomiast moment bezw³adnoœci Mb cz³onu 2 oraz poszukiwany moment M zastêpujemy parami si³:

M b = CS ⋅ F M b

M = AB1 ⋅ F M

Rys. 4.19. Uk³ad jarzmowy, dŸwignia ¯ukowskiego

(4.56)

190

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

M Wszystkie si³y przyk³adamy do cz³onów w odpowiednich punktach – si³y F b w punktach C i S, si³y FM w punktach A i B1, sk³adowe si³y bezw³adnoœci w œrodku masy S (rys. 4.19a). Dla znanego ruchu cz³onu 1 obrócony plan prêdkoœci obróconych (v⊥) (rys. 4.19b) powstaje z rozwi¹zania oczywistego równania:

v ^B2 = v ^B1 + v ^B2 B1 Z podobieñstwa planu i cz³onu mamy:

CS cs = CB2 cb2

→ cs =

CS cb2 CB2

co daje punkt s – koniec wektora obróconej prêdkoœci punktu S. Po narysowaniu planu obróconych prêdkoœci (rys. 4.19b) w odpowiednich punktach – koñcach wektorów prêdkoœci tych punktów – przyk³adamy wszystkie si³y obci¹¿aj¹ce uk³ad. Równanie momentów:

∑Mπ

v

=0

→

(

)

cs ⋅ F M b − h2 Fbx + h1 Fby + G − ab1 ⋅ F M = 0

(4.57)

daje po przekszta³ceniu wyra¿enie na wyznaczenie si³y F M reprezentuj¹cej poszukiwany moment M:

FM =

[

1 cs ⋅ F M b − h2 Fbx + h1 Fby + G ab1

(

)]

(4.58)

Ostatnia faza to okreœlenie wartoœci momentu M z równania (4.56) (rys. 4.19c). Uwa¿na analiza przyk³adu 4.5 sk³ania do nastêpuj¹cych uwag o charakterze ogólnym. W równaniu równowagi (4.57) wyst¹pi³y dwa sk³adniki, iloczyny ramion i si³:

cs × F M b = M b*

ab1 × F M = M *

(4.59)

Zwróæmy uwagê, ¿e porównanie równañ (4.56) i (4.59) daje odpowiednio:

M b* = cs × F M b ü cs ï * ý ® Mb = Mb Mb CS M b = CS × F ï þ

(4.60)

M * = ab1 × F M ü ab1 ï * ý ® M =M M AB1 M = AB1 × F ï þ

(4.61)

oraz

4.3. Równowaga kinetostatyczna

191

Prowadzi to do wniosku, ¿e zamiast rozk³adania momentów na pary si³, mo¿na operowaæ momentami M* przyk³adanymi wprost do planu prêdkoœci obróconych po ich przeliczeniu (4.60) uwzglêdniaj¹cym podzia³kê planu. Mog¹ tutaj jednak wyst¹piæ ró¿nice w znakach momentów, o czym ³atwo mo¿na siê przekonaæ, rysuj¹c plan obrócony w stosunku do aktualnego o 180o. Kolejna istotna uwaga to mo¿liwoœæ obracania si³ i przyk³adania ich w odpowiednich punktach planu rzeczywistego. Jest oczywiste, ¿e wszystkie si³y nale¿y obracaæ w jednym kierunku. Zwróæmy te¿ uwagê, ¿e w analizie statycznej (pomijamy wtedy si³y bezw³adnoœci), kiedy nie dysponujemy opisem ruchu, nale¿y za³o¿yæ ruch w dowolnym kierunku, przyjmuj¹c za cz³on czynny ten, który umo¿liwia najprostszy sposób rozwi¹zania.

4.3.5. Tarcie w parach kinematycznych Fakt kontaktu i towarzysz¹cego mu oddzia³ywaniu si³owego w po³¹czeniu z ruchem wzglêdnym (poœlizgiem) dwóch elementów tworz¹cych parê kinematyczn¹ skutkuje w uk³adach rzeczywistych wystêpowaniem si³ tarcia, które w wielu przypadkach musz¹ byæ uwzglêdnione w analizie dynamicznej uk³adu. Podstaw¹ informacji o tarciu jest wspó³czynnik tarcia µ, wyra¿ony ilorazem si³y tarcia T do si³y normalnej N, którego wartoœæ zale¿na jest od wielu czynników. Najistotniejsze z nich to rodzaj stykaj¹cych siê powierzchni, prêdkoœæ poœlizgu i nacisk jednostkowy. Czynniki dodatkowe to stan powierzchni, ich smarowanie, temperatura i inne. Na rysunku 4.20 przedstawiono przebiegi si³y tarcia Tjk tylko w funkcji prêdkoœci poœlizgu vjk. Najprostszy i najbardziej rozpowszechniony jest model tarcia Coulomba–Amontosa (rys. 4.20a – prosta 1) [22]. Model ten rozwiniêto przez wprowadzenie tarcia statycznego i wiskotycznego (rys. 4.20a – prosta 2). Wspó³czesne zaawansowane metody opisu zjawisk tarcia bazuj¹ na modelu Coulomba–Morina–Striebecka (rys. 4.20b). Modelowanie tarcia w parach kinematycznych jest ogólnie trudne. Szczególnie frapuj¹ce badawczo jest okreœlanie tarcia w fazach przejœcia od spoczynku do poœlizgu.

Rys. 4.20. Przebiegi si³y tarcia w funkcji prêdkoœci poœlizgu

192

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

Wystêpuje to w parach kinematycznych wielu uk³adów, gdzie w czasie ruchu prêdkoœæ wzglêdna zmienia znak. W niniejszym opracowaniu przyjmuje siê, ¿e wspó³czynnik tarcia w ka¿dej fazie ruchu uk³adu jest znany. Wystêpowanie tarcia, co oczywiste, stwarza now¹ sytuacjê w rozk³adzie si³ oddzia³ywania w parach kinematycznych. Para wy¿sza – krzywkowa. W rzeczywistej parze wy¿szej (rys. 4.21) w wyniku poœlizgu z prêdkoœci¹ vjk pojawia siê si³a tarcia Tjk, co skutkuje odchyleniem ca³kowitej si³y oddzia³ywania z tarciem F jkT o k¹t tarcia ρ, przy czym:

m=

T , N

r = arctgm

Relacja pomiêdzy sk³adowymi i ca³kowit¹ si³¹ tarcia jest oczywista

FjkT = N jk2 + Tjk2 = N jk 1 + m 2

(4.62)

Rys. 4.21. Para krzywkowa – si³y oddzia³ywania z tarciem

Nale¿y tutaj (rys. 4.21) zwróciæ uwagê na zgodnoœæ zwrotów prêdkoœci poœlizgu vjk i si³y tarcia Tjk. Ta regu³a tylko pozornie mija siê z powszechnie znan¹ zasad¹ o przeciwstawianiu siê tarcia ruchowi. W przypadku uk³adów kinematycznych, gdzie w parach mamy do czynienia z ruchem wzglêdnym przemieszczaj¹cych siê wzglêdem podstawy elementów, indeksowanie wektorów prêdkoœci i si³ tarcia jest ze wszech miar polecane. Para obrotowa. Uk³ad si³ z tarciem w parze wy¿szej ³atwo prze³o¿yæ na parê obrotow¹ i postêpow¹. Uk³ad si³ w parze obrotowej przedstawiono na rys. 4.22. Podobnie jak w parze wy¿szej ca³kowita si³a uwzglêdniaj¹ca tarcie jest odchylona od normalnej o k¹t tarcia ρ ′, który uwzglêdnia fakt kontaktu powierzchni cylindrycznych o niemal jednakowych œrednicach. Wartoœæ wspó³czynnika tarcia µ′ w parach obrotowych jest skorygowana w stosunku do µ wed³ug zale¿noœci: • µ′ = 1,27µ dla par dotartych, • µ′ = 1,57µ dla par niedotartych. Rozpatrywanie ka¿dorazowo pary obrotowej w skali mikro jest niewygodne. Zwróæmy uwagê, ¿e w wyniku tarcia pojawia siê moment tarcia MT, który mo¿na wyraziæ na dwa sposoby (rys. 4.22): M jkT = hFjkT = rTjk

(4.63)

4.3. Równowaga kinetostatyczna

193

Rys. 4.22. Para obrotowa – si³y oddzia³ywania z tarciem

Ramiê h ca³kowitej si³y z tarciem, po wykorzystaniu (4.62), okreœla zale¿noœæ:

h=

r T jk F jkT

=

r N jk m ¢ N jk

1 + (m ¢ )2

® h @ rm ¢

(4.64)

bardzo u¿yteczna w zastosowaniach praktycznych. Wynika z niej, ¿e si³a z tarciem F jkT w parze obrotowej jest zawsze oddalona od œrodka czopa o ramiê h, a ogólniej jest styczna do tzw. ko³a tarcia o promieniu h. Uzupe³niaj¹ca informacja mówi (rys. 4.22), ¿e ca³kowita si³a z uwzglêdnieniem tarcia F jkT tworzy wzglêdem œrodka czopa moment tarcia MTjk, którego zwrot jest zgodny ze zwrotem prêdkoœci k¹towej ωjk. Para postêpowa. Si³y oddzia³ywania w parze postêpowej modelowej z uwzglêdnieniem tarcia s¹ prost¹ konsekwencj¹ sytuacji w parze wy¿szej, co dla przyk³adowego ruchu wzglêdnego zilustrowano na rys. 4.23. Analiza równowagi uk³adów z uwzglêdnieniem tarcia równie¿ wymaga rozpatrywania równowagi poszczególnych cz³onów i dowolnie wydzielonych fragmentów uk³adów. Bardziej k³opotliwe jest wtedy wyznaczanie linii dzia³ania si³ z tarciem i zawsze, nawet w analizie pomijaj¹cej si³y bezw³adnoœci niezbêdna jest znajomoœæ ruchu. Wobec tych trudnoœci zaleca siê, aby okreœlanie si³ z tarciem poprzedziæ analiz¹ bez tarcia. Sposób postêpowania zilustrujemy przyk³adem.

194

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

Rys. 4.23. Para postêpowa – si³y oddzia³ywania z tarciem

PRZYK£AD 4.6 W uk³adzie z rys. 4.24a si³ownik 2–3 wymusza ruch cz³onu 1. Si³a w si³owniku musi pokonaæ opór zewnêtrzny w postaci si³y F oraz opory tarcia w parach kinematycznych. Zak³adamy znajomoœæ k¹ta tarcia w parze postêpowej 0–1 oraz promieni h21 i h30 kó³ tarcia.

Rys. 4.24. Analiza si³ z uwzglêdnieniem tarcia

4.3. Równowaga kinetostatyczna

195

W pierwszym etapie poszukujemy warunków równowagi bez tarcia. Dla cz³onu 1 wymagane jest spe³nienie równania równowagi si³ w postaci: ' '' + F01 + F21 = 0 F + F01

(4.65)

Rozwi¹zanie równania (4.65) jest mo¿liwe, poniewa¿ znany jest wektor si³y zewnꢢ wzd³u¿ ′ i  F01 trznej F oraz linie dzia³ania pozosta³ych si³: F21 dzia³a w osi si³ownika, F01 linii wyznaczonych punktami A,B oraz C,D. Rozwi¹zanie graficzne, wykorzystuj¹ce prost¹ Culmanna c, przedstawiono na rys. 4.24b. Si³a F21 jest oczywiœcie si³¹, jak¹ nale¿y wywo³aæ za pomoc¹ si³ownika 2–3, wektor si³y F30 jest przeciwny do F21. ¢¢ miêdzy podstaw¹ 0 i cz³onem 1 pozwala ′ i  F01 Wyznaczenie si³ oddzia³ywania F01 ju¿ na jednoznaczne okreœlenie punktów styku obu cz³onów – tutaj cz³ony 0 i 1 kontaktuj¹ siê w punktach B i C. Poniewa¿ za³o¿ono wymuszenie ruchu si³ownikiem, wiêc zwrot wektora v10 jest oczywisty. Do ustalenia stycznoœci si³ w parach obrotowych potrzebna jest znajomoœæ zwrotów wektorów wzglêdnych prêdkoœci k¹towych ω21 i ω30 w parach 2–1 i 3–0. W tym uk³adzie mo¿na to ustaliæ intuicyjnie, rozpatruj¹c myœlowo kolejne po³o¿enie uk³adu. Skracanie siê si³ownika spowoduje przesuniêcie œrodka pary 1–2 w lewo. Si³ownik zajmie po³o¿enie bardziej zbli¿one do pionu, a wiêc obraca siê w prawo i taki jest zwrot prêdkoœci k¹towych ω21 i ω30, gdy¿: w

0

1= w21 = w2 - w1 ¾¾ ¾® w21 = w2

gdzie ω30 = ω3, ′ T i F01 ¢¢T polega na za³o¿eniu, ¿e si³y normalne N ′01 Ustalenie linii dzia³ania si³ F01 ¢ maj¹ zwroty jak si³y F01 ¢¢ bez tarcia. Po dodaniu si³ normalnych N ′01 i N¢01 ¢ ′ i F01 i  N¢01 i si³ tarcia T01 kierunek odchylenia si³ z tarciem jest okreœlony jednoznacznie. Stycznoœæ si³ z tarciem w parach obrotowych wynika ze zgodnoœci zwrotów wektorów moT mentów tarcia i odpowiednich prêdkoœci k¹towych. W parze 2–1 si³a F21 daje moment T o zwrocie zgodnym z prêdkoœci¹ ω21, w parze 3–0 równie¿ mamy zgodnoœæ si³y F30 z prêdkoœci¹ ω30. Po ustaleniu linii dzia³ania si³ z tarciem mo¿liwe jest rozwi¹zanie równowagi cz³onu 1, które dla przypadku z tarciem ma postaæ: T ¢T + F01 ¢¢T + F21 F + F01 =0

Wielobok si³ z tarciem przedstawiono na rys. 4.24c. Na obu planach si³ (b) i (c) celowo dobrano identyczne d³ugoœci wektora zadanej si³y F. Dziêki temu mo¿na stwierdziæ jak znacznie, zarówno w sensie modu³ów, jak i kierunków, zmieni³y siê si³y po uwzglêdnieniu tarcia.

196

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

4.3.6. Tarcie w ujêciu analitycznym Przedstawione regu³y okreœlania si³ z uwzglêdnieniem tarcia w parach kinematycznych, zilustrowane przyk³adem, wskazuj¹ jednoznacznie na z³o¿onoœæ zagadnienia. Nawet rozwi¹zanie wspierane metodami graficznymi wymaga rozpatrzenia ró¿nych wariantów stycznoœci si³ do kó³ tarcia w parach obrotowych, kierunków odchylenia w parach wy¿szych i postêpowych. Analityczny opis równowagi kinetostatycznej z uwzglêdnieniem tarcia napotyka te same problemy jak rozwi¹zanie graficzne. Natomiast podejœcie uproszczone, w którym przyjmuje siê, ¿e si³y bez tarcia s¹ sk³adowymi normalnymi si³ z tarciem w wielu przypadkach jest b³êdne i dok³adnoœæ uzyskiwanych wyników jest niezadowalaj¹ca. Takie uproszczone podejœcie, nawet dla uk³adów wy³¹cznie z parami obrotowymi, czêsto nie nadaje siê do opisu pe³nego cyklu pracy. Jest to szczególnie istotne w pobli¿u tzw. po³o¿eñ martwych, gdzie uzyskiwane rozbie¿noœci w zasadzie dyskwalifikuj¹ takie podejœcie. Obecnoœæ par kinematycznych postêpowych trudnoœci te potêguje. To powoduje, ¿e w praktyce in¿ynierskiej, w wielu uk³adach wp³yw tarcia jest pomijany. Projektant kieruj¹c siê intuicj¹ i doœwiadczeniem dba tylko o staranny dobór ³o¿ysk, a przede wszystkim o zagwarantowanie stosownej, „bezpiecznej” odleg³oœci od po³o¿eñ, w których wystêpuje zagro¿enie zablokowania mechanizmu. Para krzywkowa. W parze krzywkowej (rys. 4.25) w punkcie styku si³a normalna Njk wywo³uje si³ê tarcia Tjk . Rozpatruj¹c sk³adowe si³y normalnej i si³y tarcia w globalnym uk³adzie odniesienia stwierdzamy, ¿e poniewa¿ znany jest kierunek si³y normalnej – k¹t β – poszczególne jej sk³adowe wynosz¹

 N jkx  cos β    = N jk    N jky   sin β 

(4.66)

Ka¿da ze sk³adowych si³y normalnej skutkuje w wyniku wyst¹pienia tarcia sk³adowymi si³y tarcia na kierunkach osi uk³adu globalnego {0}, przy czym

T jkx = sign ( v jkx ) µ N jk sin β

(4.67)

T jky = sign ( v jky ) µ N jk cos β

(4.68)

oraz

£¹cznie wiêc mamy sk³adowe si³y oddzia³ywania z tarciem w postaci: T   F jkx  N jkx  T jkx   = +  T  F jky   N jky  T jky 

4.3. Równowaga kinetostatyczna

197

Rys. 4.25. Si³y tarcia w parze krzywkowej

co po wykorzystaniu (4.67) i (4.68) daje wyra¿enie: T ù é sign ( v jkx ) N jk sin b ù é F jkx écos b ù ê ú ê ú = N jk ê m + ú T êsign ( v jky ) N jk cos b ú êë F jky úû êë sin b úû ë û

(4.69)

Zauwa¿my, ¿e oddzia³ywanie w parze wy¿szej krzywkowej, podobnie jak to by³o bez uwzglêdniania tarcia, opisuje tylko jeden parametr, tym razem w postaci modu³u si³y normalnej Njk. Co oczywiste widaæ te¿, ¿e rozpatrywanie si³ tarcia musi byæ zintegrowane z opisem kinematyki, gdy¿ w ka¿dym po³o¿eniu niezbêdna jest znajomoœæ sk³adowych prêdkoœci vjkx i v jky. Ten najprostszy przypadek kojarzenia cz³onów uk³adów p³askich zostanie wykorzystany dalej do analizy si³ tarcia w parach obrotowej i postêpowej. Para obrotowa. W parze obrotowej (rys. 4.26a) w ka¿dej chwili ustala siê jeden z punktów styku S (1) lub S (2), panewki i czopa o promieniu r, w zale¿noœci od uk³adu si³. W ka¿dym z potencjalnie mo¿liwych punktów styku oddzia³ywanie si³¹ Njk na  kierunku normalnym do kontaktuj¹cych siê powierzchni mo¿na sprowadziæ do dwóch sk³adowych Njkx i Njky w globalnym uk³adzie wspó³rzêdnych {0}. Ka¿da ze sk³adowych si³y normalnej skutkuje w wyniku wyst¹pienia tarcia sk³adowymi si³y tarcia na kierunkach osi uk³adu globalnego {0}, przy czym i) i) (i ) ) µ ′ N (jky T jkx = sign ( v (jkx

(4.70)

198

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

Rys. 4.26. Si³y tarcia w parze obrotowej

oraz i) i) (i ) ) µ ′ N (jkx T jky = sign ( v (jky

(4.71)

Z kinematyki wiadomo, ¿e prêdkoœæ poœlizgu w punkcie styku wynosi:

v (jki ) = w jk ´ r (i ) co po rozpisaniu daje: i)   v (jkx − ry(i ) ω jk  =   i)   rx(i )ω jk   v (jky  

(4.72)

Po wykorzystaniu (4.72) si³y tarcia wyra¿one s¹ dalej równaniami: i) (i ) T jkx = sign ( - ry(i )w jk ) m ¢ N (jky

(4.73)

i) (i ) T jky = sign ( rx(i )w jk ) m ¢ N (jkx

(4.74)

oraz

Zwróæmy uwagê, ¿e zarówno dla punktu styku S (1), jak i S (2) wektory si³ normalnych i promieni maj¹ przeciwne znaki, a mianowicie:

4.3. Równowaga kinetostatyczna

( )

( )

i) sign N (jkx = −sign rx( i )

( )

199

( )

i) sign N (jky = −sign ry(i )

Wobec powy¿szego z (4.73) i (4.74) mamy (i ) (i) (i ) T jkx = sign ( N jky w jk ) m ¢ N jky

(44.75)

oraz (i ) (i ) (i ) Tjky = sign ( - N jkx w jk ) m ¢ N jkx

(4.76)

Bez wzglêdu na punkt styku zale¿noœci na sk³adowe si³ tarcia s¹ identyczne, co pozwala na pominiêcie wyk³adnika (i) w kolejnych równaniach

Tjkx = sign (w jk ) m ¢ N jky oraz

T jky = -sign (w jk ) m ¢N jkx Dla uproszczenia analizy dogodnie jest zredukowaæ obie si³y normalne Njk oraz si³ê tarcia Tjk do œrodka geometrycznego pary kinematycznej, wprowadzaj¹c uzupe³niaj¹cy moment MTjk od si³y tarcia wzglêdem œrodka pary kinematycznej. Taka modyfikacja upraszcza równania równowagi cz³onów. £¹cznie dla pary obrotowej mamy zatem z uwzglêdnieniem tarcia (rys. 4.26b): •  si³ê dzia³aj¹c¹ w œrodku pary kinematycznej o sk³adowych T ù é F jkx é N jkx ù éT jkx ù é N jkx ù é N jky ù ¢ ê ú=ê sign ( w ) m + = + ú ê ú ê ú ê ú jk T êë F jky úû ëê N jky ûú ëêT jky ûú ëê N jky ûú ëê - N jkx ûú

(4.77)

•  moment tarcia 2 2 M Tjk = sign (w jk ) m ¢ r N jkx + N jky

(4.78)

Sytuacjê si³ow¹ w parze obrotowej jednoznacznie opisuj¹ ostatecznie dwie sk³adowe si³y normalnej Njkx i Njky. Niezbêdna jest te¿ znajomoœæ ruchu wzglêdnego – prêdkoœæ k¹towa ωjk. Para postêpowa. W parze postêpowej T uwzglêdnienie tarcia wi¹¿e siê z bezwzglêdn¹ koniecznoœci¹ zamodelowania pary do postaci zastêpczej (rys. 4.27a) i dysponowania wymiarami konstrukcyjnymi lo i b oraz wspó³czynnikiem tarcia µ, a tak¿e wektorem prêdkoœci wzglêdnej vjk. Dla rozpatrzenia si³ oddzia³ywania dogodnie jest pos³u¿yæ siê uk³adem lokalnym {jT} pary postêpowej T, który jest przypisany cz³onowi j, a jego osie zorientowane s¹ jak na rys. 4.27a – oœ xjT wyznacza kierunek ruchu wzglêdnego i pokrywa siê z osi¹ geo-

200

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

Rys. 4.27. Si³y tarcia w parze postêpowej

metryczn¹ pary, oœ ykT jest poprowadzona wzd³u¿ jednej z linii dzia³ania si³ normalnych Njk. W uk³adzie {jT} prêdkoœci wzglêdnej vjk o zwrocie zgodnym z osi¹ xjT przypisuje siê znak dodatni, podobnie dodatnie si³y Njk i Tjk maja zwroty zgodne odpowiednio z osiami yjT i xjT. Przyjmuj¹c podane ustalenia, sprowadzimy si³y oddzia³ywania w parze postêpowej do dwóch si³ normalnych Njk i si³y tarcia Tjk, wszystkie odniesione do uk³adu {jT}. W wypadku wyst¹pienia ruchu wzglêdnego w punktach styku cz³onów j, k pojawiaj¹ siê si³y tarcia, których wartoœci wyznacza siê z zale¿noœci:

T jk(1) = sign ( vjk ) ì N (jk1)

T jk( 2) = sign ( v jk ) ì N jk(2 )

(4.79)

4.3. Równowaga kinetostatyczna

201

Si³y te mo¿na przenieœæ do osi pary kinematycznej (oœ xjT), wprowadzaj¹c dwa dodatkowe momenty Mjk liczone wzglêdem pocz¹tku uk³adu {jT} (rys. 4.27b). Po przyjêciu dodatkowo, ¿e cz³on o numerze j jest cz³onem „zewnêtrznym” obejmuj¹cym cz³on k, dodatnia si³a normalna oznacza styk w punkcie poni¿ej osi xjT i si³a Tjk daje moment na ramieniu –b. Si³a normalna ujemna oznacza natomiast styk powy¿ej osi xjT i wtedy si³a tarcia dzia³a na ramieniu +b. Momenty obu si³ tarcia (4.79) formalnie wyra¿one równaniami: M (jk1) = sign ( v jk ) ìb N (jk1) ,

M (jk2 ) = sign ( v jk ) ìb N (jk2)

mo¿na w tej sytuacji zapisaæ jako

M (jk1) = sign ( v jk ) ìbN (jk1) ,

M (jk2) = sign ( v jk ) ìbN (jk2)

(4.80)

Po takiej redukcji zauwa¿my dalej, ¿e dla globalnej równowagi mo¿liwe jest zast¹pienie sumy momentów

M jk = M jk(1) + M jk( 2 )

(4.81)

par¹ si³ NM dzia³aj¹cych na liniach dzia³ania si³ normalnych Njk, przy czym (1) NM =-

M jk lo

,

(2) NM =

M jk lo

(4.82)

£¹cznie mamy dla pary postêpowej z uwzglêdnieniem tarcia: •  na kierunkach normalnych do ruchu wzglêdnego dwie si³y (1) ù é (1) ù (1) é N jkT é NM(1) ù é N jk(1) ù N jk é- 1 - 1ù é N jk ù ê ú=ê ú+ê ú + sign ( v jk ) m b ê ú ú=ê úê (2) êë N jkT úû êë N jk( 2) úû êë NM( 2) úû êë N jk( 2) úû 1 ûú êë N (jk2) úû ëê 1

(4.83)

•  na kierunku ruchu wzglêdnego dzia³a si³a

T jk = sign ( v jk ) m ( | N jk(1) | + | N jk( 2) | )

(4.84)

Zwróæmy uwagê, ¿e podobnie jak w przypadku si³ oddzia³ywania bez tarcia mamy dla pary postêpowej dwie niewiadome si³y normalne Njk. Nale¿y jednak podkreœliæ, ¿e si³y normalne wyra¿one zale¿noœci¹ (4.83) nie s¹ realnymi si³ami w parze postêpowej, a jedynie u³atwiaj¹ opis równowagi uk³adów z uwzglêdnieniem tarcia. Okreœlenie si³ rzeczywistych wymaga procedury odwrotnej.

202

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

Wyprowadzone zale¿noœci dla par kinematycznych uk³adów p³askich pozwalaj¹ na okreœlanie warunków równowagi kinetostatycznej z uwzglêdnieniem tarcia. Podobnie jak w analizie uproszczonej, z pominiêciem tarcia, wystarczy pos³ugiwaæ siê wy³¹cznie prawami statyki. Jest oczywiste, ¿e konieczna jest znajomoœæ ruchu, a uzyskiwane wyniki s¹ na tyle dok³adne, na ile dok³adnie jesteœmy w stanie okreœliæ wspó³czynniki tarcia.

4.4. Dynamiczne równania ruchu W ostatnich dziesiêcioleciach nast¹pi³ intensywny rozwój metod opisu ruchu uk³adów kinematycznych pod dzia³aniem znanych si³. Metody te, bazuj¹ce na prawach mechaniki analitycznej, rozwinê³y siê w zwi¹zku z postêpem w technikach komputerowych. Metody analityczne, których z³o¿onoœæ dla uk³adów wielocz³onowych wymusza³a stosowanie bardzo uproszczonych modeli, s¹ wypierane przez metody numeryczne. Umo¿liwiaj¹ one znaczne poszerzenie mo¿liwego zakresu badañ dynamiki, np. badanie stanów przejœciowych, uwzglêdnianie podatnoœci cz³onów itd. Przystosowane do metod numerycznych sformu³owania dynamiki umo¿liwiaj¹ tworzenie coraz bardziej szczegó³owych modeli. Na ich bazie powsta³y komercyjne komputerowe systemy analizy uk³adów kinematycznych. Dostêpne na rynku oprogramowania œrodowiska obliczeñ matematycznych stwarzaj¹ dziœ szansê na tworzenie w³asnych modeli analizy dynamicznej i rozszerzenie zakresu analiz pomocnych w projektowaniu uk³adów kinematycznych. Wymaga to, podobnie jak efektywne wykorzystywanie systemów komercyjnych, znajomoœci wspó³czesnych metod opisu dynamiki. Podstawowe z nich, z pominiêciem wyprowadzeñ, przedstawiono w sposób syntetyczny w niniejszej pracy. Czytelnik zainteresowany podstawami mo¿e siêgn¹æ po dostêpne opracowania mechaniki analitycznej [23], [27], [28].

4.4.1. Równania Newtona–Eulera Ruch p³aski. Dal przyjêtych sk³adowych wypadkowej si³ zewnêtrznych (Fx, Fy) i momentu (M) wzglêdem œrodka masy S oraz sk³adowych przyspieszenia liniowego (ax, ay) i przyspieszenia k¹towego ε równanie dynamiki Newtona–Eulera dla ruchu p³askiego cz³onu o parametrach masowych (m, IS) ma postaæ:

 Fx   m 0 0   a x        Fy  =  0 m 0  a y        M   0 0 I S   ε 

(4.85)

Ruch ogólny (przestrzenny). Przyjmijmy, ¿e macierz bezw³adnoœci (4.3), oznaczona teraz IS, jest odniesiona do uk³adu lokalnego {j} cz³onu j, a dodatkowo pocz¹tek uk³a-

4.4. Dynamiczne równania ruchu

203

du {j} pokrywa siê ze œrodkiem masy (S ≡ Oj). Wtedy dla ruchu obrotowego moment MS si³ zewnêtrznych dzia³aj¹cych na cz³on j wzglêdem uk³adu lokalnego powi¹zany jest z parametrami ruchu ω i ε równaniem Eulera [33]: MS = IS ε + ω × (IS ω)

(4.86)

które po wykorzystaniu operatora iloczynu wektorowego przyjmuje formê macierzow¹:

é 0 ~ =ê w w ê z ê êë- w y

~I w MS = ISe + w S

-wz 0 wx

wy ù ú -wx ú ú 0 úû

(4.87)

Wystêpuj¹ce w równaniach (4.86) i (4.87) parametry ruchu ω i ε s¹ wektorami o sk³adowych wyra¿onych w uk³adzie lokalnym {j}:

[

w = jw = j w x

j

wy

j

wz

]

T

[

e = je = j e x

j

j

ey

ez

]

T

(4.88)

Jak widaæ istnieje tutaj wyraŸna ró¿nica pomiêdzy opisem ruchu obrotowego cz³onów uk³adów p³askich i przestrzennych. Niezmienne jest natomiast równanie Newtona opisuj¹ce ruch liniowy œrodka masy. Analogicznie do (4.85) równania Newtona–Eulera dla ruchu ogólnego cz³onu w przestrzeni przyjmuj¹ postaæ:

é F ù é mE3 ê ú=ê ëêM S ûú ëê 0

0 ù éa ù é 0 ù ú ê ú + ê~ ú I S ûú ëe û ëêw I S wûú

[ a = [a x

F = Fx

Fy ay

]T a z ]T Fz

(4.89)

gdzie E3 jest macierz¹ jednostkow¹ 3×3. Podane równania, w po³¹czeniu z zasad¹ d’Alemberta, stanowi¹ jasn¹ koncepcyjnie podstawê równañ dynamiki uk³adów wielocz³onowych. Zauwa¿my jednak, ¿e równania (4.85) lub (4.89) odnosz¹ siê do pojedynczych cz³onów. Oznacza to, ¿e ³¹czna liczba równañ dynamiki dla uk³adu kinematycznego jest znaczna i stanowi wielokrotnoœæ liczby cz³onów. W uk³adach zawieraj¹cych k cz³onów ruchomych dysponujemy liczb¹ 3k równañ dla p³askich i 6k dla uk³adów przestrzennych. Kolejn¹ istotn¹ niedogodnoœci¹ jest to, ¿e w równaniach dynamiki wystêpuj¹ nieznane si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych. Pomimo tych niedogodnoœci metoda Newtona–Eulera zyska³a popularnoœæ szczególnie w badaniu dynamiki manipulatorów. Sposób postêpowania ilustruje przyk³ad.

204

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

PRZYK£AD 4.7 Dla transformacji ci¹g³ego ruchu obrotowego na ruch posuwisto-zwrotny mo¿na zastosowaæ mechanizm jarzmowy przedstawiony na rys. 4.28. Wymiary uk³adu naniesiono na rysunku, znane s¹ masy m1, m2 i masowy moment bezw³adnoœci I1. Zak³adaj¹c znane po³o¿enie uk³adu oraz si³y zewnêtrzne w postaci momentu czynnego M i si³y oporu F (zawsze przeciwnie skierowanej do prêdkoœci cz³onu 2), nale¿y sformu³owaæ równanie ruchu uk³adu, pos³uguj¹c siê metod¹ Newtona–Eulera. Nale¿y sformu³owaæ procedurê okreœlania przyspieszenia k¹towego cz³onu 1, którego ca³kowanie doprowadzi do wyznaczania ruchu uk³adu.

Rys. 4.28. Mechanizm jarzmowy

W pierwszym etapie okreœlamy zwi¹zki kinematyczne. Wspó³rzêdne œrodka masy S1 cz³onu 1 opisuj¹ równania:

é x S1 ù éa cos È ù ê ú=ê ú êë y S1 úû ë a sin È û

(4.90)

które po zró¿niczkowaniu daj¹ prêdkoœæ i przyspieszenie:

é x S1 ù é - a È sin È ù ê ú=ê ú   ëê yS1 ûú ëê a È cos È ûú

 sin È - a È 2 cos È ù é xS1 ù é- a È ê ú=ê ú  2  ëê y S1 ûú ëê a È cos È - a È sin È ûú

(4.91)

4.4. Dynamiczne równania ruchu

205

Cz³on 2 porusza siê tylko w kierunku osi odciêtych, a ruch œrodka masy S2 opisuj¹ równania po³o¿enia, prêdkoœci i przyspieszenia w postaci:

xS 2 = b cos È + f x S 2 = -b È sin È,

(4.92)

 sin È - b È 2 cos È xS2 = -b È

(4.93)

W drugim etapie sformu³ujemy równania ruchu dla obu cz³onów. Dla cz³onu 1 mamy równanie ruchu œrodka masy w kierunkach osi prostopad³ych x i y:

(

)

(4.94)

)

(4.95)

 sin È − aÈ 2 cos È F01x + F21 = m1 − aÈ

(

 cos È − aÈ 2 sin È F01 y − m1 g = m1 aÈ oraz równanie ruchu obrotowego:

 a cos È    F01x   −  ×   − F21 (b − a )sin È + M = I 1È   a sin È    F01 y       które po rozpisaniu iloczynu wektorowego daje:

 F01x a sin È − F01 y a cos È − F21 (b − a )sin È + M = I 1È

(4.96)

Dla cz³onu 2 równie¿ dysponujemy trzema równaniami w postaci:

(

 sin È - bÈ 2 cos È - F21 + F = m 2 - bÈ

)

F02(1) + F02( 2 ) − m2 g = 0

F = -sign (v 2 )F0

(4.97) (4.98)

F21 [(e − h ) + b sin È] + Fh + F02(1) (c − f − b cos È ) + F02( 2) (c + d − f − b cos È ) = 0 (4.99) Otrzymany uk³ad szeœciu równañ zawiera tyle¿ niewiadomych, z których jedn¹ jest przyspieszenie k¹towe cz³onu 1. Analizowany mechanizm jest stosunkowo prosty i kolejne przekszta³cenia doprowadz¹ do uzyskania po¿¹danego równania na przyspieszenie k¹towe Θ·· cz³onu 1. Poni¿ej przedstawimy jednak zalecany sposób wykorzystuj¹cy macierzowe uporz¹dkowanie uk³adu równañ. W tym celu po lewej stronie równañ (4.94)÷(4.99) nale¿y pozostawiæ wielkoœci znane, a z prawej wszystkie sk³adniki zawieraj¹ce niewiadome.

206

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

Prowadzi to do równania macierzowego w postaci:

Fzn = GFx

(4.100)

gdzie: Fzn – wektor si³ znanych – si³y masowe i obci¹¿enia zewnêtrzne, G – macierz, której elementy zawieraj¹ parametry masowe i geometryczne, Fx – jest wektorem wielkoœci nieznanych. Poszczególne macierze przedstawiono poni¿ej:

[

Fzn = m1aÈ 2 cos È - m1 g + m1aÈ 2 sin È M

F + m2bÈ 2 cos È m2 g

0 -1 é -1 ê 0 -1 ê 0 ê- a sin È a cos È (b - a )sin È G=ê ê 0 0 1 ê ê 0 0 0 ê 0 - (e - h ) - b sin È ëê 0 g 64 = -c + f + b cos È

[

Fx = F01x

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

g 64

g 65

Fh

]

T

- m1a sin È ù ú m1a cos È ú ú I1 ú - m 2b sin È ú ú ú 0 ú 0 ûú

g 65 = -c - d + f + b cos È

F01 y

F21

F02(1)

F02( 2)

 È

]

T

Zwróæmy uwagê, ¿e elementy wektora wielkoœci nieznanych Fx to si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych oraz przyspieszenie k¹towe cz³onu 1. Rozwi¹zanie równania macierzowego (4.100) otrzymuje siê w sposób oczywisty wed³ug zale¿noœci:

Fx = G −1Fzn

(4.101)

·· Ostatnim elementem wektora Fx jest przyspieszenie k¹towe Θ cz³onu 1. Takie podejœcie pozwala na wyznaczanie ruchu, np. metod¹ numeryczn¹ Rungego–Kuty [2]. Wyprowadzone zale¿noœci pos³u¿y³y do wykonania przyk³adowego badania ruchu uk³adu z rys. 4.28. Do obliczeñ przyjêto: •  parametry geometryczne [m]: a = f = 0,1; b = 0,3; c = 0,45; d = h = 0,05; e = 0,15; •  parametry masowe [kg], [kg·m2]: m1 = 1; m2 = 5; I1 = 0,1; •  si³a oporu F = 2sign(v2) [N], •  moment czynny: M = 4 [N·m], •  po³o¿enie pocz¹tkowe: Θ = π/2, · •  prêdkoœæ pocz¹tkowa: Θ p = 1 i 10 [s–1].

4.4. Dynamiczne równania ruchu

207

Rys. 4.29. Wyniki symulacji uk³adu jarzmowego (Θ·p = 1 s–1 – linia przerywana, Θ·p = 10 s–1 – linia ci¹g³a)

Wyniki ca³kowania dla dwóch wariantów prêdkoœci pocz¹tkowej uk³adu przedstawiono na rys. 4.29.

4.4.2. Zasada zachowania energii kinetycznej 4.4.2.1. Modele uk³adów typu R i T Zdecydowana wiêkszoœæ uk³adów wielocz³onowych spotykanych w praktyce ma ruchliwoœæ równ¹ jeden. Badanie ruchu takich uk³adów poprzez analizê ruchu wielu cz³onów dogodnie jest sprowadziæ do badania ruchu tylko jednego cz³onu. Jak wiadomo znajomoœæ ruchu jednego cz³onu uk³adu o ruchliwoœci jeden jest równoznaczna ze znajomoœci¹ ruchu cz³onów pozosta³ych. Realizuje siê to przez zast¹pienie uk³adu modelem jednocz³onowym, który jest jednym z cz³onów uk³adu, tzw. cz³onem redukcji.

208

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

Rys. 4.30. Uk³ad kinematyczny i modele dynamiczne typu R i T

Na rysunku 4.30a pokazano schemat uk³adu korbowego, w którym wszystkie cz³ony s¹ masowe, a obci¹¿enie zewnêtrzne stanowi¹ si³a F3 oraz moment M1. Stan ruchu tego uk³adu w ka¿dej chwili mo¿e byæ opisany, np. ruchem korby 1 lub suwaka 3. Przeprowadzenie takiej analizy, sprowadzonej do analizy ruchu jednego cz³onu, wymaga zast¹pienia uk³adu modelem dynamicznym. W przypadku uk³adu z rys. 4.30 rolê tak¹ mo¿e pe³niæ np. suwak 3 lub korba 1. W pierwszym przypadku (rys. 4.30b) mamy do czynienia z modelem o ruchu postêpowym (typ T), w drugim (rys. 4.30c) z modelem o ruchu obrotowym (typ R). Cz³on reprezentatywny dla badania ruchu uk³adu, tutaj suwak 3 lub korba 1, okreœlany jest mianem cz³onu redukcji. Aby uzyskaæ model dynamiczny uk³adu, nale¿y przypisaæ mu pewn¹ bezw³adnoœæ w postaci masy zredukowanej m zr dla modelu o ruchu postêpowym (rys. 4.30b) i zredukowanego masowego momentu bezw³adnoœci Izr dla modelu o ruchu obrotowym (rys. 4.30c). Obci¹¿enie zewnêtrzne okreœla si³a zredukowana Fzr = F lub moment zredukowany Mzr = M odpowiednio dla ruchu postêpowego i obrotowego. Równania ruchu dla obu przypadków wynikaj¹ z zasady zachowania energii, która dla uk³adów kinematycznych mówi, ¿e w okreœlonym przedziale czasu praca δ L si³ zewnêtrznych wywo³uje zmianê energii kinetycznej δ E. Sprowadza siê to do ogólnego równania:

δL = δE

4.4. Dynamiczne równania ruchu

209

które prowadzi wprost do ró¿niczkowych równañ ruchu o postaci: •  dla modelu o ruchu postêpowym (rys. 4.30b)

æ mv 2 ö ÷, Fds = d ç ç 2 ÷ ø è

v=

ds dt

(4.102)

w=

dÈ dt

(4.103)

•  dla modelu o ruchu obrotowym (rys. 4.32c)

æ Iw 2 ö ÷, MdÈ = d ç ç 2 ÷ ø è

Dla przejrzystoœci analizy si³ê i moment zredukowany czêsto dzieli siê na wielkoœci czynne (FC, MC) i bierne (FBzr, MBzr), powi¹zane zale¿noœciami: F = Fzr = FCzr - FBzr

M = M zr = M Czr - M Bzr

(4.104)

Przed przyst¹pieniem do analizy równañ ruchu (4.102), (4.103) okreœlimy regu³y adekwatnoœci uk³adu i modelu, przypisuj¹c im odpowiednie parametry masowe i si³y zewnêtrzne.

4.4.2.2. Redukcja mas Redukcjê parametrów masowych poszczególnych cz³onów wykonuje siê, porównuj¹c ze sob¹ energie kinetyczne uk³adu i modelu. Energia kinetyczna uk³adu sk³adaj¹cego siê z k cz³onów ruchomych jest sum¹ energii kinetycznych poszczególnych cz³onów. Dla ruchu p³askiego i-tego cz³onu nale¿y zsumowaæ ruch postêpowy œrodka masy z prêdkoœci¹ v i oraz ruch obrotowy z prêdkoœci¹ ωi, co daje:

Ei =

mi v i2 I iw i2 + 2 2

(4.105)

a dla ca³ego uk³adu k k æ m v2 I w 2 ö E = å Ei = å çç i i + i i ÷÷ 2 ø i =1 i =1 è 2

(4.106)

Dla modelu energia kinetyczna Em wyra¿a siê równaniem: •  dla modelu o ruchu postêpowym (rys. 4.30b)

Em =

mv 2 2

(4.107)

•  dla modelu o ruchu obrotowym (rys. 4.30c)

Em =

Iw 2 2

(4.108)

210

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

Z porównania równañ (4.106), (4.107) oraz (4.106), (4.108) otrzymamy po przekszta³ceniach: •  dla modelu o ruchu postêpowym (rys. 4.30b) 2 2 k é æv ö æw ö ù m = mzr = å êmi ç i ÷ + I i ç i ÷ ú è v ø úû ê èvø i =1 ë

(4.109)

•  dla modelu o ruchu obrotowym (rys. 4.30c): 2 2 k é æv ö æw ö ù I = I zr = å êmi ç i ÷ + I i ç i ÷ ú è w ø úû i =1 ê ë èw ø

(4.110)

Odwo³uj¹c siê do uk³adu z rys. 4.30, zast¹pionego modelem o ruchu obrotowym, a wiêc sprowadzaj¹c badanie uk³adu do analizy ruchu korby 1, wyra¿enie na ca³kowit¹ energiê kinetyczn¹ jest sum¹ energii poszczególnych cz³onów: 1 1 æ1 ö æ1 ö æ1 ö E = ç m1v12 + I1w 12 ÷ + ç m2 v 22 + I 2w 22 ÷ + ç m3 v 32 ÷ 2 2 2 2 2 è ø è ø è ø

(4.111)

gdzie vi – prêdkoœci œrodków mas poszczególnych cz³onów, a ostatni sk³adnik wyra¿a energiê kinetyczn¹ suwaka 3, który wykonuje ruch postêpowy. Z porównania (4.108) i (4.111) otrzymuje siê: 2

2

2

æv ö æv ö æù ö æv ö I zr = I = m1 ç 1 ÷ + I1 + m2 ç 2 ÷ + I 2 ç 2 ÷ + m3 ç 3 ÷ èùø èw ø èw ø èw ø

2

(4.112)

gdzie: Θ = Θ1, ω = ω1. W zale¿noœci (4.112) parametry masowe mi, Ii s¹ mno¿one przez kwadraty ilorazów odpowiednich prêdkoœci. Z analizy kinematycznej wiadomo, ¿e ilorazy te, w zwi¹zku z liniow¹ zale¿noœci¹ prêdkoœci s¹ zale¿ne wy³¹cznie od po³o¿enia uk³adu, nie zale¿¹ natomiast od wartoœci prêdkoœci. Oznacza to, ¿e zredukowany masowy moment bezw³adnoœci zale¿y od po³o¿enia uk³adu – w uk³adzie z rys. 4.30 mamy Izr = Izr(mi, Ii, Θ). W przypadku zastêpowania uk³adu korbowego z rys. 4.30 modelem o ruchu postêpowym, czyli suwakiem 3, otrzymamy z porównania (4.107) i (4.111) zale¿noœæ: 2

2

2

2

æv ö æw ö æv ö æù ö m zr = m = m1 ç 1 ÷ + I 1 ç 1 ÷ + m2 ç 2 ÷ + I 2 ç 2 ÷ + m3 è v ø è v ø è v ø è v ø

(4.113)

gdzie v = v 3. Równie¿ w tym przypadku obserwujemy zmiennoœæ wartoœci masy zredukowanej w funkcji po³o¿enia uk³adu, mzr = mzr(mi, Ii, s).

4.4. Dynamiczne równania ruchu

211

Zmiennoœæ zredukowanego momentu bezw³adnoœci Izr (zredukowanej masy mzr) nie jest cech¹ wszystkich uk³adów kinematycznych, a jedynie tych, w których obserwujemy zmienne prze³o¿enia. Jednak w wypadku wystêpowania zmiennoœci Izr, mzr w sposób istotny wp³ywa to na trudnoœci w rozwi¹zywaniu równañ ruchu (4.102) i (4.103).

4.4.2.3. Redukcja si³ Kolejn¹ wielkoœci¹ istotn¹ dla ruchu modelu dynamicznego jest si³a zredukowana Fzr = F i moment zredukowany Mzr = M odpowiednio dla ruchu postêpowego i obrotowego. Wartoœci tych si³ mo¿na okreœlaæ dwiema metodami. Pierwsza korzysta z zasady prac przygotowanych, w myœl której suma prac przygotowanych od si³ zewnêtrznych jest równa pracy przygotowanej zredukowanej si³y F = Fzr lub momentu M = Mzr. Zgodnie z definicja prac przygotowanych, dla uk³adów p³askich, mamy zatem z jednej strony sumy:

å d L =å d ri × Fi + å M id Èi

(4.114)

a z drugiej – prace przygotowane si³y zredukowanej i momentu zredukowanego:

d Lzr = d sF ,

d Lzr = Md È

(4.115)

Porównanie wartoœci prac przygotowanych

å d L = d Lzr

(4.116)

daje po przekszta³ceniach: •  dla modelu o ruchu postêpowym (rys. 4.30b):

F = Fzr =

1 (å d ri × Fi + å M id Èi ) ds

(4.117)

•  dla modelu o ruchu obrotowym (rys. 4.30c): M = M zr =

1 (å d ri × Fi + å M id Èi ) dÈ

(4.118)

Dla uk³adu z rysunku 4.30 suma prac przygotowanych od si³ zewnêtrznych wyra¿a siê równaniem:

å d L = F3d s3 + M 1d È1 które po wykorzystaniu (4.116)(4.118) daje: •  dla modelu o ruchu postêpowym (rys. 4.30b): F = Fzr = F3 + M 1

gdzie δ s = δ s3.

d È1 ds

212

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

•  dla modelu o ruchu obrotowym (rys. 4.30c):

d s3 dÈ

M = M zr = M 1 + F3

gdzie δ Θ = δ Θ1. Drugi sposób okreœlania zredukowanej si³y i momentu wynika wprost z zasady prac przygotowanych sprowadzonej do zasady równoœci mocy rozwijanej przez si³y zewnêtrzne i odpowiedni¹ wielkoœæ zredukowan¹. Podobnie jak w przypadku prac przygotowanych mamy teraz z jednej strony od si³ zewnêtrznych sumy:

å N =åd vi × Fi + å M iwi

(4.119)

a z drugiej moce rozwijane przez si³ê zredukowan¹ i moment zredukowany

N zr = Fv,

N zr = Mw

(4.120)

Porównanie wartoœci mocy

å N = N zr

(4.121)

daje po przekszta³ceniach: •  dla modelu o ruchu postêpowym:

F = Fzr =

1 (å vi × Fi + å M iwi ) v

(4.122)

•  dla modelu o ruchu obrotowym:

M = M zr =

1 (å vi × Fi + å M iwi ) ù

(4.123)

Dla uk³adu z rysunku 4.30 suma mocy rozwijanych przez si³y zewnêtrzne daje równanie:

å N = F3v 3 + M1w1 które po wykorzystaniu (4.121)(4.123) daje: •  dla modelu o ruchu postêpowym (rys. 4.30b):

F = Fzr = F3 + M 1 gdzie v = v 3.

w1 v

(4.124)

4.4. Dynamiczne równania ruchu

213

•  dla modelu o ruchu obrotowym (rys. 4.30c):

M = M zr = M 1 + F3

v3 w

(4.125)

gdzie ω = ω1. Z analizy równañ (4.124) i (4.125) wynika podobny wniosek do tego, który sformu³owano po interpretacji zale¿noœci (4.112 ) i (4.113) na zredukowane wielkoœci masowe. Równie¿ si³a i moment zredukowany na ogó³ s¹ zale¿ne od po³o¿enia uk³adu. Stanowi to realne utrudnienie w ca³kowaniu równañ ruchu, które dodatkowo pog³êbia fakt czêstej zale¿noœci si³ od prêdkoœci. Przyk³adem tego jest np. zmiennoœæ momentu napêdowego silnika elektrycznego w funkcji prêdkoœci. Od prêdkoœci zale¿¹ te¿ czêsto si³y oporu u¿ytecznego – np. si³y skrawania, si³y oporu powietrza, si³y tarcia itd.

4.4.2.4. Analiza ruchu, nierównomiernoœæ biegu Przytoczone wnioski o wystêpuj¹cej na ogó³ zmiennoœci zredukowanych parametrów masowych (mzr, Izr), zmiennoœci zredukowanej si³y (Fzr) i momentu (Mzr) stanowi¹ istotne utrudnienie w praktycznym wykorzystaniu równañ ruchu (4.102) i (4.103). Jawne rozwi¹zanie równañ mo¿na uzyskaæ tylko w przypadkach bardzo prostych. Dla analizy uk³adów z³o¿onych z pomoc¹ przychodz¹ coraz ³atwiej dostêpne gotowe procedury numerycznego rozwi¹zywania równañ ró¿niczkowych. Dalsze rozwa¿ania przeprowadzimy ju¿ tylko dla modelu o ruchu obrotowym (rys. 4.30c). Taki model ma powszechne zastosowanie, co wynika z faktu dominuj¹cej roli napêdu obrotowego, przewa¿nie w postaci silnika elektrycznego – wtedy ca³y uk³ad kinematyczny redukuje siê najczêœciej do wa³u silnika. Podobieñstwo analizy obu modeli jest oczywiste i wszystkie wnioski dla modelu obrotowego ³atwo mo¿na przenieœæ na model o ruchu postêpowym. Po za³o¿eniu, ¿e moment zredukowany M i zredukowany masowy moment bezw³adnoœci I s¹ funkcjami po³o¿enia, dla modelu obrotowego otrzymamy:

M (Q ) =

d æ Iw 2 ö dw 1 2 dI ÷ = Iw ç + w ÷ ç dQ è 2 ø dQ 2 dQ

(4.126)

a po kolejnych przekszta³ceniach

M (Q ) = I

dw 1 2 dI + w dt 2 dQ

(4.127)

Równanie (4.127) jest rozwiniêciem równania Eulera dla ruchu obrotowego, które uwzglêdnia zmiennoœæ bezw³adnoœci uk³adu – drugi sk³adnik prawej strony równania (4.127).

214

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

Powróæmy jeszcze do równania ruchu w postaci (4.103), rozk³adaj¹c moment M na czêœæ reprezentuj¹c¹ si³y czynne MCzr i si³y bierne MBzr, co daje:

ö ÷ ÷ 2 ø è æ

(M Czr - M Bzr ) dQ = d çç Iw

2

(4.128)

W wyniku ca³kowania (4.128 ) od pewnej wartoœci pocz¹tkowej Θp do koñcowej Θk otrzymamy równanie: Qk

æ

Qp

è

ö æ I pw 2p ö÷ 2 ø 2 ÷ è ø 2

I kw k ÷-ç ò (M Czr - M Bzr )dQ = çç ÷ ç

(4.129)

w którym Ip, ωp oraz Ik, ωk opisuj¹ zredukowany moment bezw³adnoœci i prêdkoœæ k¹tow¹ w po³o¿eniach opisanych k¹tami Θp i Θk. Dla znanych przebiegów MCzr(Θ) i MBzr(Θ) oraz wartoœci zredukowanych momentów Ip oraz Ik z równania (4.129) mo¿na wyznaczyæ prêdkoœæ koñcow¹ ωk badanego przedzia³u: w k2 =

Ip Ik

w 2p +

Q

2 k (M Czr - M Bzr )dQ I k Qò p

Pobie¿na analiza ruchu wskazuje, ¿e w ogólnym przypadku wykorzystanie równania ruchu (4.128) mo¿liwe jest tylko drog¹ numerycznego ca³kowania. Ten rodzaj równañ spe³ni³ na pewnym etapie rozwoju po¿yteczn¹ rolê w analizie ruchu z wykorzystaniem technik wykreœlnych [16], obecnie metoda ta jest rzadko stosowana. Po pewnych uproszczeniach równanie ruchu (4.129) w sposób zwarty i przejrzysty wykorzystuje siê natomiast do opisania zjawiska tzw. nierównomiernoœci biegu. W wielu maszynach i urz¹dzeniach z napêdem o ruchu obrotowym, nawet w ruchu ustalonym, obserwujemy zmiennoœæ prêdkoœci k¹towej cz³onu napêdzaj¹cego – np. wa³u silnika. Jest to spowodowane w³aœnie zmiennoœci¹ bezw³adnoœci uk³adu, a œciœlej zmiennoœci¹ zredukowanego momentu bezw³adnoœci, co zachodzi zw³aszcza w uk³adach, w których wystêpuje przemieszczanie siê œrodków mas i zmiennoœæ prze³o¿eñ kinematycznych. Drugim, jeszcze bardziej istotnym czynnikiem powoduj¹cym zmiennoœæ prêdkoœci k¹towej jest obserwowana na ogó³ zmiennoœæ si³ biernych, a czasem i czynnych. Si³y bierne s¹ czêsto zmienne ze swej natury. Tak jest np. w uk³adach sprê¿arek, prasach, trakach do przecinania bloków skalnych. Zmiennoœæ si³ czynnych jest oczywista w silnikach spalinowych, gdzie si³a czynna napêdzaj¹ca t³ok ma charakter impulsowy. Zjawisko nierównomiernego biegu jest niekorzystne, gdy¿ zmienna prêdkoœæ czêsto pogarsza jakoœæ realizowanego procesu technologicznego, a zawsze jego konsekwencj¹ s¹ obci¹¿enia dynamiczne i ich niekorzystne skutki (drgania, ha³as).

4.4. Dynamiczne równania ruchu

215

Jako miarê nierównomiernoœci przyjê³o siê u¿ywaæ wspó³czynnika δ definiowanego na podstawie wartoœci ekstremalnych ωmax i ωmin odniesionych do wartoœci œredniej ωœr, wed³ug zale¿noœci:

d=

w max - w min w œr

(4.130)

W rozwa¿aniach praktycznych przyjmuje siê, ¿e

w œr =

w max + w min 2

(4.131)

Spoœród sposobów eliminowania lub ograniczenia niekorzystnego zjawiska nierównomiernego biegu [16], [22] najbardziej rozpowszechniony polega na sztucznym zwiêkszeniu bezw³adnoœci uk³adu, dziêki czemu staje siê on mniej wra¿liwy na wspomniane zmiennoœci si³ czynnych i biernych. Technika ta znana jest jako wyrównywanie biegu za pomoc¹ ko³a zamachowego. Jego wielkoœæ, a œciœlej jego moment bezw³adnoœci IKZ mo¿na wyznaczyæ z równania ruchu w postaci (4.129): Èk

ò (M Czr

Èp

æ I k w k2 ö æ I pw 2p ÷ ç - M Bzr ) dÈ = ç ç 2 ÷-ç 2 è ø è

Przyjmijmy nastêpuj¹ce za³o¿enia: •  rozpatrujemy ruch ustalony o znanej prêdkoœci œredniej ωœr, •  przebiegi momentów zredukowanych MCzr(Θ) i MBzr(Θ) s¹ znane, •  zmiennoœæ zredukowanego momentu bezw³adnoœci jest pomijalna, tj. I = const. Ju¿ pobie¿na analiza wskazuje, ¿e dla znanych przebiegów momentów MCzr(Θ) i MBzr(Θ) (rys. 4.31a) ³atwo przewidzieæ zmiennoœæ prêdkoœci k¹towej (rys. 4.31b). W pierwszej fazie pojedynczego cyklu ruchu ustalonego obserwujemy przewagê momentu czynnego MCzr nad momentem biernym MBzr. Dla sta³ej wartoœci masowego momentu bezw³adnoœci I musi to oznaczaæ zwiêkszenie prêdkoœci k¹towej spowodowane nadwy¿k¹ pracy ∆L. W drugiej fazie cyklu widaæ natomiast nadwy¿kê momentu biernego, co skutkuje spadkiem

ö ÷ ÷ ø

Rys. 4.31. Momenty zredukowane (a) i prêdkoœæ k¹towa ruchu ustalonego (b)

216

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

prêdkoœci k¹towej. Jest oczywiste, ¿e najwiêksza wartoœæ pracy si³ zredukowanych: DL =

Qk

ò (M Czr - M Bzr )dQ

Qp

(4.132)

spowoduje zmianê energii kinetycznej od minimalnej do maksymalnej. Dla za³o¿onej sta³ej bezw³adnoœci uk³adu (I = const) oznacza to, ¿e po³o¿eniom opisanym katami Θp i Θk musz¹ odpowiadaæ ekstremalne prêdkoœci k¹towe:

w p = w min ,

w k = w max

(4.133)

Wynikaj¹ca z (4.133) modyfikacja równania (4.129) daje:

DL =

(

1 2 2 I w max - w min 2

)

(4.134)

Korzystaj¹c z równañ (4.130) i (4.131) mamy:

w max - w min ü ® w max - w min = dw œr ï ï ù œr 2 2 2 ý ® w max - w min = 2dw œr w max + w min w œr = ® w max + w min = 2w œr ï ï 2 þ d=

(4.135)

co prowadzi do zale¿noœci

DL = Id w œr2 ® d =

DL Iw œr2

(4.136)

Równanie (4.136) umo¿liwia okreœlenie wspó³czynnika nierównomiernoœci δ. W wypadku koniecznoœci jego zmniejszenia do wartoœci po¿¹danej δ′ < δ, z równania (4.136) widaæ, ¿e mo¿na to uzyskaæ przez zwiêkszenie momentu bezw³adnoœci I. Wymaga to dodania do uk³adu ko³a zamachowego o momencie bezw³adnoœci IKZ, którego wartoœæ na podstawie (4.136) wynosi:

d¢=

DL (I + I KZ )w œr2

® I KZ =

DL -I d ¢w œr2

(4.137)

Ko³o zamachowe pe³ni rolê mechanicznego akumulatora energii. Akumuluje j¹ w tych fazach ruchu, kiedy si³y czynne przewa¿aj¹ nad biernymi i zwiêkszaj¹ prêdkoœæ uk³adu i oddaje w fazach przewagi si³ biernych, kiedy uk³ad ma tendencjê do zmniejszenia prêdkoœci. Uwa¿na analiza równania (4.137) wskazuje wprost na jeszcze inn¹ mo¿liwoœæ zmniejszenia wspó³czynnika nierównomiernoœci przez wp³ywanie na zmniejszenie pracy ∆L [16].

4.4. Dynamiczne równania ruchu

217

4.4.3. Równanie Lagrange’a Z rozwa¿añ strukturalnych i kinematycznych wiadomo, ¿e minimalna liczba parametrów opisuj¹cych ruch uk³adu jest równa jego ruchliwoœci. Parametry te przyjê³o siê nazywaæ wspó³rzêdnymi uogólnionymi. Przyk³adowo ruch uk³adu korbosuwu (rys. 4.30) mo¿na opisaæ k¹tem po³o¿enia korby, ale te¿ np. przemieszczeniem suwaka – ka¿da z tych zmiennych mo¿e byæ wspó³rzêdn¹ uogólnion¹. Jednoznaczny opis po³o¿enia efektora (np. chwytaka) robota wymaga podania wiêkszej liczby wspó³rzêdnych uogólnionych. Dla robota uniwersalnego obs³uguj¹cego przestrzeñ ruch efektora opisuje na ogó³ szeœæ wspó³rzêdnych uogólnionych. Koncepcjê wspó³rzêdnych uogólnionych wykorzystuje metoda zaproponowana przez Lagrange’a4 najczêœciej spotykana w postaci uk³adu s równañ Lagrange’a II rodzaju:

d æ ¶E ç dt çè ¶q k

ö ¶E ÷÷ = Qk , ø ¶qk

k = 1, 2, ..., s

(4.138)

W równaniu (4.138) E oznacza energiê kinetyczn¹ uk³adu, a ka¿dej z s wspó³rzêdnych uogólnionych qk przypisuje siê si³ê uogólnion¹ Qk. Z si³y Qk mo¿na wydzieliæ czêœæ Qkp pochodz¹c¹ od si³ potencjalnych i czêœæ Qkz pochodz¹c¹ od si³ pozosta³ych. Poniewa¿ w takim przypadku pierwsza z si³ wyra¿ona jest równaniem:

Qkp = −

∂P ∂q k

gdzie P jest energi¹ potencjaln¹ uk³adu, kolejn¹ wiêc postaci¹ równania (4.138) jest:

d  ∂E  dt  ∂q k

 ∂E ∂P −  ∂q + ∂q = Qkz k k 

(4.139)

Jest to czêsto spotykana i wykorzystywana forma równania Lagrange’a II rodzaju. Czasem jest ona upraszczana do postaci:

d  ∂L  dt  ∂q k

 ∂L −  ∂q = Qkz k 

(4.140)

po wprowadzeniu tzw. potencja³u kinetycznego L w postaci:

L=E−P

(4.141)

Aplikacjê tej metody do sformu³owania równañ ruchu wybranych uk³adów przedstawiono w przyk³adach 4.8 i 4.9.

4

Ludwik Lagrange (1736–1813); Mecanique Analytique, 1788.

218

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

PRZYK£AD 4.8

Rys. 4.32. Uk³ad kinematyczny mieszad³a

Wykorzystajmy równanie (4.139) do analizy ruchu uk³adu mechanicznego mieszad³a zamocowanego na kole obiegowym 2 przek³adni planetarnej (rysunek 4.32). Drugie ko³o przek³adni (centralne) jest nieruchome. Ko³o obiegowe 2 jest napêdzane jarzmem 1, którego ruch jest wymuszany silnikiem S i zblokowan¹ z nim przek³adni¹ harmoniczn¹ PH. Elementy uk³adu poruszaj¹ siê w p³aszczyŸnie poziomej, masowe momenty bezw³adnoœci elementów przek³adni harmonicznej s¹ uwzglêdnione w momencie bezw³adnoœci silnika IS oraz w momencie I1 bezw³adnoœci jarzma 1. Dane geometryczne i umiejscowienie œrodków mas przedstawiono na rysunku 4.32. Za opory ruchu przyjêto sta³¹ si³ê F oporu ruchu liniowego i sta³y moment oporu M ruchu obrotowego mieszad³a wokó³ w³asnej osi. Okreœlimy ruch uk³adu po skokowo w³¹czonym napiêciu U zasilania silnika pr¹du sta³ego, którego moment napêdowy wyra¿ony jest równaniem:

M S = M 0 - kÈ S ,

U = const

(4.142)

Uk³ad ma jeden stopieñ swobody – jako wspó³rzêdn¹ uogólnion¹ przyjmujemy k¹t Θ = ΘS  obrotu wa³u silnika – ruch uk³adu opisywany jednym równaniem o postaci:

d æ ¶E ö ¶E ¶P + = Qz ç ÷dt è ¶Q ø ¶Q ¶Q

(4.143)

gdzie: E, P – odpowiednio energia kinetyczna, potencjalna, Qz – si³a na kierunku wspó³rzêdnej uogólnionej (reprezentuje wszystkie si³y zewnêtrzne). Rozpatrzmy na pocz¹tek zale¿noœci kinematyczne. Prêdkoœæ jarzma 1 okreœla relacja:

Q1 = Q iH gdzie iH – prze³o¿enie przek³adni harmonicznej PH.

(4.144)

4.4. Dynamiczne równania ruchu

219

Poniewa¿ œrodek obrotu ko³a 2 wzglêdem podstawy 0 le¿y w punkcie styku obu kó³, oczywista jest relacja:

v B = È 1 (R + r ) = È 2 r co daje po uwzglêdnieniu (4.144):

R+r  R+r È 2 = È 1 i =È r r H

(4.145)

Energia kinetyczna ca³ego uk³adu jest sum¹ energii kinetycznych poszczególnych cz³onów:

E = E S + E1 + E 2 a wiêc

1 1  1  1  E =  I S È 2  +  I 1È 12  +  I 2 È 22 + m 2 v 2B  2 2 2 2      

(4.146)

Po uwzglêdnieniu zale¿noœci kinematycznych (4.145) oraz wyra¿enia na moment bezw³adnoœci tarczy (dla ko³a 2):

1 I 2 = m2 r 2 energia kinetyczna cz³onu 2 jest wyra¿ona 2równaniem: 2

E2 =

1 é1 æ R+r ö iH ÷ + m2 È iH (R + r ) ê m2 r 2 ç È 2 ê2 r è ø ë

(

ù

) 2ú úû

i dalej

E2 =

1 é3 ù m2 (R + r )2 iH2 ú È 2 ê 2 ë2 û

(4.147)

Po podstawieniu i uporz¹dkowaniu otrzymujemy:

E=

1é 3 ù I S + I1iH2 + m2 (R + r )2 iH2 ú È 2 2 êë 2 û

(4.148)

a po kolejnym podstawieniu:

3 I Z = I S + I1iH2 + m2 (R + r ) 2iH2 2

(4.149)

220

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

mamy

E=

1 I È 2 2 Z

(4.150)

Wyznaczenie si³y uogólnionej Qz opieramy na równoœci prac wirtualnych. Mamy zatem d L = M S d È - M d È2 - F (R + r )d È1

(4.151)

d L = Qz d È

(4.152)

oraz

Przemieszczenia wirtualne otrzymujemy z zale¿noœci kinematycznych (4.144) i (4.145): d È1 = d ÈiH ,

d È2 = d È

R+r iH r

(4.153)

Z porównania relacji (4.151) i (4.152) oraz po wstawieniu wyra¿enia (4.142) na moment silnika otrzymujemy wyra¿enie na si³ê uogólnion¹:

R+r Q z = M 0 - kÈ - M iH - F ( R + r ) iH r

(4.154)

Q z = A − kÈ

(4.155)

co zapisujemy krótko gdzie

A = M0 - M

R+r iH - F ( R + r ) iH r

(4.156)

Kolejne pochodne potrzebne do sformu³owania równania Lagrange’a wynosz¹:

∂ ∂ 1  E=  I Z È 2  = I Z È   2 ∂È ∂È  

(4.157a)

d  ∂E     = IZÈ dt  ∂È 

(4.157b)

∂E =0 ∂È

(4.157c)

4.4. Dynamiczne równania ruchu

221

Energia potencjalna P jest pomijana, poniewa¿ za³o¿ono pracê uk³adu w p³aszczyŸnie poziomej, co daje: ¶P =0 ¶È

(4.157d)

Podstawienie (4.155) i (4.157) do (4.143) daje:

 = A − kÈ IZÈ

(4.158)

dÈ = dt A − kÈ

(4.159)

a po przekszta³ceniu otrzymamy:

IZ

Ca³kowanie zale¿noœci (4.159) prowadzi do równania:

−

(

)

1 I ln A − kÈ = t + C k Z

(4.160)

Sta³a ca³kowania C wynosi: 1 t = 0 ® È = 0 ® - I Z ln A = C k

i równanie (4.160) przyjmuje postaæ:

−

(

)

1 1 I Z ln A − kÈ = t − I Z ln A k k

(4.161)

Kolejne przekszta³cenia (4.161) daj¹:

−

[(

]

IZ ln A − kÈ − ln A = t k

)

 kÈ  k  = − ln 1 − t = −ut A I   Z 1−

kÈ = e −ut A

W wyniku koñcowym równanie prêdkoœci k¹towej silnika ma postaæ:

(

A È = 1 − e −ut k

)

(4.162)

222

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

Po wstawieniu zale¿noœci (4.156) na sta³¹ A otrzymamy R+r 1æ È = ç M 0 - M i H - F ( R + r ) iH kè r

(

ö ÷ 1 - e -ut ø

)

Podana zale¿noœæ pokazuje przyrost prêdkoœci, która teoretycznie ustali siê po up³ywie czasu t. W praktyce ju¿ po niewielkim czasie, zwykle u³amkach sekundy, osi¹gana jest prêdkoœæ ruchu ustalonego (t = ∞) wyra¿ona zale¿noœci¹

1æ R+r ö È = ç M 0 - M i - F ( R + r ) iH ÷ kè r H ø

Rozpatrzony w przyk³adzie 4.8 uk³ad charakteryzuje siê wzglêdnie prost¹ budow¹, dziêki czemu proste s¹ zale¿noœci kinematyczne niezbêdne do wyprowadzenia równañ energii kinetycznej i si³y uogólnionej. Z kinematyki wiadomo, ¿e w wielu przypadkach równania te s¹ z³o¿one, czêsto trudne do przedstawienia w postaci jawnej. Dodatkowym u³atwieniem by³ fakt, ¿e cz³ony uk³adu przemieszczaj¹ siê w p³aszczyŸnie poziomej, co zwolni³o nas z zajmowania siê energi¹ potencjaln¹. Jest to cecha szczególna, rzadko wystêpuj¹ca w praktyce. Z³o¿onoœæ opisu kinematyki stanowi istotne ograniczenie stosowania równañ Lagrange’a do analizy uk³adów kinematycznych. Wyj¹tkiem od tej zasady s¹ uk³ady otwarte, o budowie szeregowej, czêsto wykorzystywane w robotach. Prosty uk³ad manipulatora p³askiego o strukturze szeregowej, pokazuj¹cy jedynie technikê wyprowadzania równañ ruchu, rozpatrzono jako kolejny przyk³ad.

PRZYK£AD 4.9 Rozpatrzmy uk³ad p³askiego manipulatora o dwóch stopniach swobody (rys. 4.33). Ka¿dy z cz³onów ma zdefiniowane parametry masowe (masy m1 i m2 oraz masowe momenty bezw³adnoœci I1 i I2). Nale¿y wyprowadziæ zale¿noœci opisuj¹ce ruch uk³adu dla znanych momentów napêdowych MC1 i MC2. Jest oczywiste, ¿e dla uk³adu o dwóch stopniach swobody opisanie ruchu wymaga dwóch równañ Lagrange’a: d æ ¶L ç dt çè ¶È i

ö ¶L ÷÷ ¶È = Qi , i ø

i = 1, 2

(4.163)

Zale¿noœci opisuj¹ce energiê kinetyczn¹ E i potencjaln¹ P cz³onu 1: E1 =

1 1 m1a12È 12 + I1È 12 , 2 2

P1 = m1 ga1 sin È1

(4.164)

4.4. Dynamiczne równania ruchu

223

Rys. 4.33. Manipulator p³aski dwucz³onowy

Dla cz³onu 2 wyznaczenie energii poprzedzamy analiz¹ kinematyczn¹ w celu opisania ruchu œrodka masy cz³onu 2. Wspó³rzêdne œrodka masy cz³onu 2 wyra¿one s¹ równaniami:

 x S 2  b1 cos È1 + a 2 cos (È1 + È2 ) rS 2 =  =   y S 2   b1 sin È1 + a 2 sin (È1 + È 2 )  a jego prêdkoœci

( (

) )

é x S 2 ù é - È1b1 sin È1 - È1 + È 2 a2 sin (È1 + È2 )ù rS 2 = ê ú ú=ê    ëê y S 2 ûú êë È1b1 cos È1 + È1 + È2 a2 cos (È1 + È2 )úû

(4.165)

Energia kinetyczna i potencjalna cz³onu 2 wyra¿ona jest równaniami:

E2 =

1 1 m2rST2rS 2 + I 2 È1 + È 2 2 2

(

)2

P2 = m2 g (b1 sin È1 + a2 sin (È1 + È2 ))

(4.166) (4.167)

224

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

Dla uproszczenia zapisu dokonujemy podstawieñ:

sin Èi = S i

sin (È1 + È2 ) = S12

cos Èi = C i

cos (È1 + È 2 ) = C12

Wystêpuj¹cy w (4.166) kwadrat prêdkoœci œrodka masy cz³onu 2 znajdujemy z iloczynu skalarnego:

( ) [ ] + [È b cos È + (È + È )a cos (È + È )]

2 rST2rS 2 = - È1b1 sin È1 - È1 + È 2 a2 sin (È1 + È2 ) 2

1

1

1

2

2

1

2

( )2 + (È1 + È 2 )2 a22 + 2È1 (È1 + È 2 )a2b1 (S1S12 + C1C12 )

rST2rS 2 = È1b1

Po wykorzystaniu relacji na sinus i kosinus sumy k¹tów:

S1 S12 + C1C12 = C 2 mamy

( )2 + (È1 + È 2 )2 a22 + 2È1 (È1 + È 2 )a2b1C2

rST2rS 2 = È1b1

(4.168)

Po wstawieniu (4.168) do (4.166) otrzymamy energiê kinetyczn¹ cz³onu 2: E2 =

1 é  m Èb 2 2 êë 1 1

( )2 + (È1 + È 2 )2 a22 + 2È1 (È1 + È 2 )a2b1C2 ùúû + 12 I 2 (È1 + È 2 )2

(4.169)

Uproszczona relacja na energiê potencjaln¹ cz³onu 2 ma postaæ:

P2 = m 2 g (b1 S1 + a 2 S12 )

(4.170)

Potencja³ kinetyczny L (4.141) dla tego uk³adu, na podstawie (4.164), (4.169) i (4.170) wynosi:

L = E1 + E 2 − P1 − P2 L= +

1 1 1 m1a12È12 + I1È12 + m2 é È1b1 2 2 2 êë

( )2 + (È1 + È 2 )2 a22 + 2È1 (È1 + È 2 )a2b1C2 ùúû

1 I È + È 2 2 2 1

(

)2 - m1ga1S1 - m2 g (b1S1 + a2 S12 )

(4.171)

4.4. Dynamiczne równania ruchu

225

Kolejne pochodne (4.171) to:

[

1 ¶L = m1a12È1 + I1È1 + m2 2È1b12 + 2È1 + 2È 2 a22  2 ¶È1

(

)

] (

[

(

(

)

+ 2 2È1 + È 2 a2 b1C 2 + I 2 È1 + È 2

(4.172a)

)

d æ ¶L ö  + I È   2   2   ç ÷ = m1a12È 1 1 1 + m2 È1b1 + È1 + È2 a 2 + 2È1 + È2 a2 b1C 2 dt çè ¶È1 ÷ø

)

] (

[(

)

(

)

 + È  - È 2 2È 1 + È 2 a 2b1S 2 + I 2 È 1 2

(

)

)

] (

¶L = m2 È1 + È 2 a22 + È1a2b1C 2 + I 2 È1 + È 2 ¶È 2

[(

)

] (

d æ ¶L ö  + È  a 2 + È  a b C - È È a b S + I È   ç ÷ = m2 È 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 + È2 dt çè ¶È 2 ÷ø

)

(4.172c)

)

(4.172d)

∂L = −m1 ga1C1 − m 2 g (b1C1 + a 2 C12 ) ∂È1

(

(4.172b)

(4.172e)

)

∂L = − m 2 È 1 È 1 + È 2 a 2 b1 S 2 − m 2 ga 2 C12 ∂È 2

(4.172f)

Po podstawieniu (4.172) do (4.163) otrzymujemy równania ruchu cz³onów 1 i 2:

[m a + I + m (b + a + 2a b C )+ I ] È  − m a b S È − 2m a b S È È + [m (a + a b C ) + I ] È 2 1 1 2

1

2 2

2

2 1

2 2

2 1

2

2

2 1

2

2

2

2 2 1 2

1

2 2

2 2 1 2

1

2

+ m1 ga1C1 + m 2 g (b1C1 + a 2 C12 ) = M C1

[m a

2 2 2

]

[

]

 + m a 2 + I È  + m a b S È 2 + m 2 a 2 b1C 2 + I 2 È 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1

+ m 2 ga 2 C12 = M C 2

226

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

Równania Lagrange’a, jedne z najczêœciej stosowanych w opisie zjawisk dynamicznych, okazuj¹ siê niestety ma³o efektywne do opisu z³o¿onych uk³adów o strukturze zamkniêtej. Wymagaj¹ ¿mudnego wyprowadzania równañ opisuj¹cych energiê kinetyczn¹ i ich ró¿niczkowania, a algorytmizacja tych zabiegów jest trudna. Sk³oni³o to wielu badaczy do odchodzenia od równañ Lagrange’a i siêgania po inne metody mechaniki klasycznej, lepiej ukierunkowane na zastosowania komputerowe [3], [7], [13].

4.4.4. Równania ruchu we wspó³rzêdnych absolutnych 4.4.4.1. Równanie ruchu cz³onu Ruch cz³onu uk³adu kinematycznego mo¿e odbywaæ siê tylko zgodnie z wiêzami narzuconymi przez inne cz³ony i pary kinematyczne. Musi to znaleŸæ odzwierciedlenie w równaniach ruchu. Za³ó¿my (rys. 4.34), ¿e ze œrodkiem S masy m cz³onu j pokrywa siê pocz¹tek uk³adu lokalnego {j}. Do pocz¹tku uk³adu lokalnego {j} odniesione s¹ te¿ wypadkowa si³ F i wypadkowy moment M obci¹¿eñ zewnêtrznych, w³¹cznie z si³ami w parach kinematycznych i si³ami grawitacji. Ogólne równanie mechaniki dla ruchu p³askiego ma wtedy postaæ:

[

]

[

 - M d p Tj m j p j - F + d È j I Sj È j

] =0

(4.173)

i jest rozszerzeniem zasady d’Alemberta interpretowanej jako „suma prac przygotowanych niezrównowa¿onych si³ i momentów bezw³adnoœci jest równa zeru”.

Rys. 4.34. Cz³on uk³adu kinematycznego

4.4.4.2. Si³a uogólniona Równanie ruchu (4.173) mo¿na zapisaæ w zwartej formie:

[

~  j - Q j dqTj M j q

] =0

(4.174)

Wektor przemieszczeñ przygotowanych ma postaæ:

[

δ q Tj = δ x j

δ yj

δΘ j

]

227

4.4. Dynamiczne równania ruchu

natomiast parametry masowe ujmuje macierz:

m j  ~ Mj =  0   0

0  0  I Sj 

0 mj 0

(4.175)

Wektor Q jest si³¹ uogólnion¹ o sk³adowych:

[

Q j = Q jx

Q jy

Q jM

]T

(4.176)

który mo¿na wyznaczyæ na podstawie równoœci prac przygotowanych si³ zewnêtrznych F, M i uogólnionych Q. Mamy zatem:

δ L = δ pTj F + δΘ j M ,

δ L = δ qTj Q j

co w wyniku porównania daje:

[dx j

dy j

]

é F jx ù ê ú + dÈ j M j = dx j ëê F jy ûú

[

dy j

é Q jx ê dÈ j ê Q jy ê ëêQ jM

]

ù ú ú ú ûú

(4.177)

Równanie ruchu ma wiêc postaæ:

[dx j

dy j

æ ém j çê dÈ j ç ê 0 çê çê 0 èë

0

]

mj 0

0 ù é x j ù é Q jx ù ö÷ úê ú ê ú 0 ú ê y j ú - ê Q jy ú ÷ = 0 ú ê  ú ê ú ÷÷ I Sj ûú ëêÈ Q ú ëê jM ûú ø jû

(4.178)

Zwróæmy uwagê, ¿e jeœli ruch cz³onu j jest swobodny, bez ¿adnych wiêzów, czyli δ xj, δ yj, i δ Θj mog¹ byæ dowolne, to (4.178) jest równowa¿ne równaniom Newtona– Eulera:

m j   0   0

0 mj 0

0   x j   Q xj      0   y j  =  Q yj        Q  I Sj  È j   Nj 

Napisanie równañ wszystkich cz³onów uk³adu kinematycznego wymaga znajomoœci przypisanych im si³ uogólnionych. Tutaj opisano kilka najczêœciej spotykanych przypadków.

228

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

Si³a uogólniona od si³y zewnêtrznej. Na rysunku 4.35 pokazano cz³on obci¹¿ony si³¹ zewnêtrzn¹ FK. Za³ó¿my, co wystêpuje najczêœciej, ¿e jej sk³adowe s¹ wyra¿one w uk³adzie globalnym {0}. Wychodz¹c z zasady równoœci prac przygotowanych, mamy równanie:

δL = δq Tj Q = δrKT FK

(4.179)

Gdy znamy wyra¿enie (2.7) na wektor opisuj¹cy punkt zaczepienia si³y FK

rK = p j + R j j rK Rys. 4.35. Redukcja si³y zewnêtrznej do uogólnionej

gdzie Rj dane równaniem (2.3), ³atwo uzyskamy równanie przemieszczeñ przygotowanych

ö æ ¶ A j ÷ j rK = d p j + d È j B j j rK d rK = d p j + d È j ç ÷ ç ¶Èj ø è

(4.180)

gdzie Bj dane równaniem (3.60). Po podstawieniu (4.180) do (4.179) otrzymujemy

(

d L = d rKT FK = d p j + d Èj B j jrK

)F T

K

= d p Tj FK + d Èj jrKT BTj FK = d q Tj Q

a nastêpnie wyra¿enie na si³ê uogólnion¹, zastêpuj¹c¹ dzia³anie si³y FK

FK   Q=j T T   rK B j FK 

(4.181)

Je¿eli si³a FK jest zadana sk³adowymi w uk³adzie lokalnym, to jest wymagana jej transformacja do uk³adu globalnego oczywistym równaniem:

FK = R j j FK

(4.182)

i wstawienie (4.182) wprost do równania (4.181) daje j  R j FK  Q=  j rKT B Tj A j j FK 

(

   

)

(4.183)

4.4. Dynamiczne równania ruchu

229

Si³a uogólniona od wymuszenia si³owego (STS liniowy). W uk³adach kinematycznych mog¹ wyst¹piæ elementy o zmiennej d³ugoœci (rys. 4.36) w postaci sprê¿yny, elementu t³umi¹cego i si³ownika (STS). Sztywnoœæ sprê¿yny wynosi k, wspó³czynnik t³umienia c, a si³ownik rozwija si³ê F bêd¹c¹ w najogólniejszym przypadku funkcj¹ d³u· goœci l, prêdkoœci l i czasu t. Ogólnie si³a wzd³u¿na elementu STS zmiennej d³ugoœci wynosi:

( )

f = k (l − l0 ) + cl + F l , l, t

(4.184)

W zale¿noœci (4.184) mog¹ wyst¹piæ wszystkie trzy sk³adniki, dwa lub jeden. Konsekwencj¹ dzia³ania si³y f s¹ odpowiednie si³y uogólnione Qj i Qk na cz³onach j i k. Si³y te mo¿na wyznaczyæ za pomoc¹ równoœci prac przygotowanych, a przytoczone tutaj kolejne kroki traktujemy jako jeszcze jeden przyk³ad zastosowania tej interesuj¹cej i efektywnej metody analizy si³. Praca przygotowana od si³y w elemencie o zmiennej d³ugoœci wyra¿a siê iloczynem: d L = - f dl

(4.185)

Znak minus odpowiada sytuacji, kiedy si³a f jest „œci¹gaj¹c¹” – usi³uje zbli¿yæ do siebie punkty J, K cz³onów j i k – a jej wartoœæ f + jest wtedy dodatnia. Wykorzystuj¹c wspó³rzêdne absolutne cz³onów, wektor djk opisuje zale¿noœæ:

d jk = p k + R k krK - p j - R j jrJ

Rys. 4.36. Wymuszenie si³owe – STS liniowy

(4.186)

230

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

która wyznacza d³ugoœæ l równaniem:

l 2 = d Tjk d jk

(4.187)

Po zró¿niczkowaniu (4.187) wzglêdem czasu otrzymamy:

d 1 2ll = 2dTjk d jk ® l = dTjk (p k + R k k rK - p j - R j jrJ ) l dt co wprost daje zale¿noœæ na przemieszczenie przygotowane δ l:

1 d l = dTjk (d p k + dQ k B k krK - d p j - d È j B j jrJ ) l

(4.188)

Macierze Bj i Bk s¹ pochodnymi macierzy rotacji wzglêdem odpowiadaj¹cego k¹ta orientacji Θj i Θk (patrz zal. (3.60)). Z drugiej strony praca przygotowana si³ uogólnionych Qj i Qk wynosi:

d L = d q Tj Q j + d q Tk Q k

(4.189)

Z porównania (4.185) i (4.189), po wykorzystaniu (4.188) i uporz¹dkowaniu otrzymuje siê æ f ö é d jk ù Qj =ç ÷ ê T j ú è l ø ëêd jk B j rJ ûú

ù æ f ö é d jk Q k = -ç ÷ ê T ú k è l ø ëêd jk Bk rK ûú

(4.190)

Si³a uogólniona od wymuszenia momentowego (STS k¹towy). Ideê takiego napêdu ilustruje rysunek 4.37. Moment wzglêdny n mo¿e pochodziæ od sprê¿yny o sztywnoœci kO, t³umienia o wspó³czynniku cO i od si³ownika k¹towego rozwijaj¹cego mo· ment M, zale¿ny od k¹ta Θjk, prêdkoœci k¹towej Θjk i czasu t. £¹cznie moment n rozwijany przez STS k¹towy wyra¿a równanie:

(

)

(

n = k O È jk − È0 + cO È jk + M È jk , È jk , t

)

(4.191)

Moment n skutkuje si³ami uogólnionymi na cz³onach j, k, równie¿ obliczanymi z zale¿noœci wynikaj¹cych z porównania prac przygotowanych, a tutaj podanymi bez wyprowadzenia:

Q j = [0 0 n]T ,

Q k = -[0 0 n]T

(4.192)

4.4. Dynamiczne równania ruchu

231

Rys. 4.37. Wymuszenie momentowe – STS k¹towy

4.4.4.3. Równanie ruchu uk³adu wielocz³onowego Na podstawie równañ ruchu jednego cz³onu mo¿emy sformu³owaæ równania ruchu dla uk³adu k cz³onów, powi¹zanych parami kinematycznymi. Na pocz¹tek zak³adamy, ¿e si³y uogólnione Q reprezentuj¹ wszystkie obci¹¿enia, ³¹cznie z si³ami w parach. Punktem wyjœcia jest zerowa wartoœæ sumy prac przygotowanych si³ zewnêtrznych dla wszystkich cz³onów, co wed³ug (4.174) zapisujemy jako:

∑ δqTi [M i qi − Q i ] = 0 k

~

(4.193)

i =1

gdzie: q = [ q1T q2T ... qkT ]T ~ ~ ~ ~ M = diag [M1 M2 ... Mk ] Q = [ Q1T Q2T ... QkT ]T

– wektor wspó³rzêdnych absolutnych, – macierz parametrów masowych, – wektor si³ uogólnionych.

Rozdzielmy w si³ach uogólnionych czêœæ pochodz¹c¹ od si³ zewnêtrznych Q Z i czêœæ od si³ w parach kinematycznych Q P, czyli

Q i = Q iZ + Q iP

(4.194)

Po takim rozró¿nieniu równanie (4.193) ma postaæ: k

[

]

k T ~ Z   d q M q Q å i i i å d qTi QiP = 0 i =1

i =1

(4.195)

232

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

Drugi sk³adnik równania (4.195) ma wartoœæ zerow¹. Jest to bowiem suma prac przygotowanych si³ oddzia³ywania w parach kinematycznych. W ka¿dej parze kinematycznej dzia³aj¹ dwie si³y oddzia³ywania – si³a Fjk oraz Fkj = –Fjk. Poniewa¿ przemieszczenia przygotowane dla obu tych si³ s¹ jednakowe, wiêc prace przygotowane maj¹ przeciwne znaki, a wiêc prace przygotowane si³ wewnêtrznych (oddzia³ywania, reakcji) zeruj¹ siê. Równanie (4.195) mo¿na wiêc zapisaæ w postaci:

[

]

~  - Q Z = 0 d q T Mq

(4.196)

którego rozwi¹zanie wymaga znajomoœci wektora przemieszczeñ przygotowanych. Zgodnie z rozwa¿aniami w rozdz. 2 wektor funkcji wiêzów Φ dla okreœlonej konfiguracji uk³adu (czas t jest sta³¹) daje równanie:

Ö(q, t ) = 0 ® Ö q d q = 0 Ruch uk³adu wielocz³onowego mo¿na wiêc opisaæ równaniami wariacyjnymi o postaci:

[

]

T ~  ì - QZ = 0 ïd q Mq í Öq d q = 0 ï î

(4.197)

PRZYK£AD 4.10 Na podstawie wariacyjnych równañ dynamiki, z zastosowaniem wspó³rzêdnych absolutnych, wyprowadzimy równanie ruchu bardzo prostego uk³adu – jeden cz³on ruchomy (rys. 4.38). Oczywiœcie, taki sposób opisu stosowany do tego uk³adu nie jest celowy. Równanie ruchu mo¿na znacznie proœciej zapisaæ innymi metodami. Za³¹czony przyk³ad ma umo¿liwiæ zrozumienie istoty metody i fizyczn¹ interpretacjê równañ. Do opisu ruchu korzystamy z uk³adu równañ (4.197):

[

]

T ~  ì - QZ = 0 ïd q Mq í Öq d q = 0 ï î

Wystêpuj¹ce w nich macierze mas, wektor przyspieszeñ i wektor si³ zewnêtrznych to:

m1  ~ M = M1 =  0   0

0 m1 0

0  0  I 1 

4.4. Dynamiczne równania ruchu

233

Rys. 4.38. Prosty uk³ad dwucz³onowy

[

 = x1 q

y1

 È 1

]T

Q Z = [0 − m1 g 0 ]T Dla wyprowadzenia równañ wiêzów niezbêdne jest okreœlenie wspó³rzêdnych punktów A i B w uk³adzie podstawy 0. Ich postaæ to:

 x A   x1  a   x1 + a cos È1    =   + A1   =    0   y1 + a sin È1   y A   y1   x B   x1  − b   x1 − b cos È1    =   + A1   =    0   y1 − b sin È1   y B   y1  Jak widaæ z rysunku punkt A musi siê zawsze znajdowaæ na osi y0, punkt B natomiast zawsze na osi x0, co mo¿na okreœliæ dwoma równaniami wiêzów w postaci:

 x A   x1 + a cos È1  Ö≡   =  =0  y B   y1 − b sin È1 

234

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

Ich ró¿niczkowanie wzglêdem zmiennych absolutnych q daje:

1 0 − a sin È1  Öq =   0 1 − b cos È1  Korzystaj¹c z podanych zale¿noœci, otrzymujemy:

ì æ ém1 0 0 ù é x1 ù é 0 ù ö çê ï úê ú ê ú÷ ï[d x1 d y1 d È1 ] ç ê 0 m1 0 ú ê y1 ú - ê- m1 g ú ÷ = 0 çê ÷ ï  úú êê 0 úú ÷ ç ê 0 0 I úú êêÈ ï ûø 1û ë 1û ë èë í d é x1 ù ï ú ïé1 0 - a sin È1 ù ê ú êd y1 ú = 0 ïê ú ïêë0 1 - b cos È1 úû ê ëêd È1 ûú î a po wymno¿eniu uzyskujemy uk³ad trzech równañ:

 = 0 δx1 m1 x1 + δy1 (m1 y1 + m1 g ) + δÈ1 I 1È 1

δx1 − δÈ1a sin È1 = 0 δy1 − δÈ1b cos È1 = 0 Ich elementarne przekszta³cenia prowadz¹ do równania ruchu w postaci:

 = 0 m1 x1 (a sin È1 ) + (m1 y1 + m1 g )(b cos È1 ) + I 1È 1 Z rysunku 4.38 wynika, ¿e:

(a sin È1 ) = hy ,

(b cos È1 ) = hx

co sprowadza równanie ruchu do postaci:

 = 0 m1x1h y + (m1 y1 + m1 g ) hx + I1È 1 Otrzymane równanie ruchu jest w istocie równaniem równowagi momentów wzglêdem punktu K (rys. 4.38), który le¿y na przeciêciu linii dzia³ania si³ F01A i F01B oddzia³ywania podstawy 0 na cz³on 1. Dziêki temu si³y te nie wystêpuj¹ w otrzymanym równaniu ruchu.

4.4. Dynamiczne równania ruchu

235

Równania (4.197) s¹ rzadko stosowane w praktyce. Stanowi¹ one natomiast podstawê do wyprowadzenia kolejnej formy równañ ruchu dla uk³adów wielocz³onowych. Uzyskuje siê j¹ przez wprowadzenie tzw. mno¿ników Lagrange’a λ [13], [26]: ~ Mq + ÖTq l = Q Z

(4.198)

Zale¿noœæ (4.198) jest sumowaniem si³ dzia³aj¹cych na poszczególne cz³ony, zredukowanych do œrodków mas, a mianowicie: ~  – wektor si³ bezw³adnoœci, •  Mq • ÖTq l – wektor si³ (zredukowanych) w parach kinematycznych, •  Q Z – wektore si³ (zredukowanych) zewnêtrznych. Nale¿y jeszcze zwróciæ uwagê, ¿e wszystkie te si³y s¹ przy³o¿one w œrodku mas poszczególnych cz³onów, gdzie równie¿ maj¹ swój pocz¹tek uk³ady lokalne cz³onów. Mo¿liwoœæ rozwi¹zania równania (4.198) wymaga uzupe³nienia go o dodatkowe, wynikaj¹ce z kinematyki, równanie przyspieszeñ (3.57):

(

)

Öq q = − Öq q q q − 2Öqt q − Ött ≡ a Do opisu ruchu uk³adów wielocz³onowych stosuje siê zatem równanie ruchu w postaci:

~ M  Öq

  Q Z  ÖTq  q  =  0  ë   a 

(4.199)

Uk³ad równañ (4.199) umo¿liwia rozwi¹zywanie dwóch typowych zadañ dynamiki: • okreœlenie warunków równowagi kinetostatycznej – si³ czynnych potrzebnych do realizacji zak³adanego ruchu oraz si³ oddzia³ywania w parach kinematycznych przy znanych si³ach zewnêtrznych (biernych), • okreœlenie ruchu uk³adu dla znanych si³ zewnêtrznych – czynnych i biernych. Zadanie kinetostatyki sprowadza siê do rozwi¹zania równania: ~ Mq·· + ΦqT λ = QZ wzglêdem wektora λ , co wymaga elementarnego przekszta³cenia do postaci::

( ) [Q

ë = ÖTq

−1

Z

~  − Mq

]

(4.200)

lub po wykorzystaniu równania przyspieszeñ (3.57):

( ) [Q

ë = ÖTq

−1

Z

(

~ − M Ö−q1a

)]

(4.201)

236

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

Zadanie kinetostatyki dotyczy ruchu zdeterminowanego, kiedy liczba równañ tworz¹cych wektor Φ równañ wiêzów jest równa liczbie wspó³rzêdnych absolutnych (liczbie elementów wektora q), a to oznacza, ¿e macierz Φq jest kwadratowa. Bardziej z³o¿one jest natomiast okreœlanie ruchu uk³adu dla znanych obci¹¿eñ zewnêtrznych. Wtedy w równaniach (4.199) niewiadomymi s¹: •  wektor przyspieszeñ q··, •  wektor mno¿ników λ. Formalne rozwi¹zanie jest stosunkowo proste i wymaga kilku przekszta³ceñ. Pierwsze z równañ (4.199) umo¿liwia wyznaczenie wektora przyspieszeñ wed³ug relacji ~ ~ (4.202) q·· = QZ M–1 + M–1 ΦqT λ Po podstawieniu (4.202) do (3.57) mamy równanie

~ ~ Öq M -1Q Z - Öq M -1ÖTq l = a

(4.203)

z którego mo¿na ju¿ wyznaczyæ wektor mno¿ników Lagrange’a

(

~ λ = Öq M −1ÖTq

) (Ö M~ −1

q

−1

QZ − a

)

(4.204)

Po wyznaczeniu wektora mno¿ników λ mo¿na skorzystaæ z równania (4.202) i ca³kowaæ wyra¿enie okreœlaj¹ce przyspieszenie. Mo¿na te¿ pomin¹æ wektor λ i podstawiæ (4.204) do (4.202), a nastêpnie sca³kowaæ równanie:

(

~ ~ ~  = M −1Q Z − M −1ÖTq Öq M −1ÖTq q

) (Ö M~ −1

q

−1

QZ − a

)

(4.205)

Ca³kowanie równania (4.205) wymaga stosowania specjalnych metod. Wynika to z tego, ¿e mamy tutaj do czynienia z du¿ym wymiarowo uk³adem równañ ró¿niczkowo-algebraicznych. Zagro¿enie wi¹¿¹ce siê z ca³kowaniem (4.205) polega na tym, ¿e w konsekwencji wielu kroków obserwuje siê zjawisko „naruszania wiêzów”. Oznacza to w praktyce, ¿e uzyskany w n-tym kroku ca³kowania wektor konfiguracji q nie spe³nia warunków wiêzów Φ . Problemy ca³kowania tego typu równañ s¹ przedmiotem wielu badañ, nie tylko dla poprawienia efektywnoœci numerycznej profesjonalnych uk³adów analizy wielocz³onowych uk³adów kinematycznych [3], [5].

4.4.4.4. Mno¿niki Lagrange’a i si³y oddzia³ywania W równaniu ruchu (4.198) wystêpuj¹ mno¿niki Lagrange’a zestawione w wektor λ. Zwróæmy uwagê, ¿e s¹ to wielkoœci œciœle powi¹zane z si³ami oddzia³ywania w parach kinematycznych, co potwierdza równanie napisane dla cz³onu k:

(

 k = Q kZ - ... - F qT( jk ) l( jk ) Mkq

)

pary ( jk )

- ...

(4.206)

4.4. Dynamiczne równania ruchu

237

Pierwszy wyraz prawej strony tego równania jest wektorem si³ zewnêtrznych uogólnionych (zredukowanych do pocz¹tku uk³adu lokalnego {k}). Jako si³y zewnêtrzne rozumie siê wszystkie si³y, z wyj¹tkiem si³ oddzia³ywania w parach kinematycznych, jakimi na cz³on k dzia³aj¹ cz³ony tworz¹ce z nim pary kinematyczne. Ostatnie, kolejne sk³adniki (4.206), s¹ wynikiem wiêzów par i nale¿y je rozumieæ jako si³y wystêpuj¹ce w parach kinematycznych, tak¿e zredukowane do pocz¹tku uk³adu lokalnego {k} (œrodka masy cz³onu k). Zapiszemy równanie (4.206) w innej postaci:

 k = Q kZ + ... + Q jk + ... Mkq

(4.207)

gdzie Qjk – wektor si³ wiêzów pary kinematycznej jk (rys. 4.39).

Rys. 4.39. Cz³on uk³adu i si³y w parze kinematycznej Pjk

Po przejœciu do sk³adowych wektora si³y uogólnionej Qjk mamy:

Q jk

 Q jkx  =  Q jky  Q jkM

   = −Φ Tq ( jk ) ë ( jk )  

(4.208)

Jak ju¿ wspomniano wektor Qjk okreœla si³y, jakimi cz³on j oddzia³uje na cz³on k –  s¹ to si³y zewnêtrzne dla cz³onu k. Mo¿na zatem na podstawie znajomoœci wektora si³ Qjk okreœlaæ realne si³y oddzia³ywania w parze kinematycznej, odnosz¹c je do dowolnie obranego punktu P na cz³onie k.

238

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

Zbierzmy te si³y w wektor F jkP (si³y sk³adowe na kierunku osi x0 i y0 uk³adu globalnego {0} oraz moment):

[

P F jkP = F jkx

P F jky

P F jkM

]

T

(4.209)

Do okreœlenia relacji miêdzy wektorami F jkP oraz Qjk pos³u¿ymy siê pracami przygotowanymi od obu si³, które powinny byæ sobie równe. Mamy zatem:

d rPT

P ù é F jkx éQ jkx ù P T ê ú + d Èk F jkM d = p ú + d Èk Q jkM k ê P êë F jky úû ëêQ jky ûú

(4.210)

Z zale¿noœci geometrycznych (rys. 4.39) w uk³adzie {0} mamy:

rP = p k + R k k rP co po przekszta³ceniu daje:

p k = rP − R k k rP i zwi¹zek przemieszczeñ przygotowanych w postaci:

δ p k = δ rP − δ È k B k k rP

(4.211)

gdzie Bk jak w (3.60). Korzystaj¹c z (4.211) równanie (4.210) przekszta³camy do postaci: d rPT

P ù é F jkx éQ jkx ù éQ jkx ù P T k T T ê ú + d Èk F jkM r r B = d d È ê ú ê ú + d Èk Q jkM P k P k P êë F jky úû êëQ jky úû êëQ jky úû

z czego sk³adowe wektora si³ oddzia³ywania w parze jk odniesione do punktu P le¿¹cego na cz³onie k wynosz¹:

P  F jkx  P  F jky  P  F jkM

      Q jkx     Q jky =     Q   jkx   Q jkM − k rPT B Tk    Q jky   

(4.212)

4.4. Dynamiczne równania ruchu

239

Dla przybli¿enia sposobu postêpowania rozpatrzmy uk³ad z rys. 4.38, dla którego okreœlimy si³y oddzia³ywania podstawy 0 na cz³on 1 w parze B. Poniewa¿ dla tego uk³adu jest (przyk³ad 4.10):

1 0 − a sin È1  Öq =   0 1 − b cos È1  wiêc dla cz³onu 1 równanie (4.207) ma postaæ:

 = Q1Z + Q 01 A + Q 01B M 1q a po rozpisaniu:

m1     0

m1

0   x1   0   1 0            0 1 λ 2 λ1 −    y1  = − m1 g  −            I 1  È1   0  − a sin È1  − b cos È1 

Mno¿nik λ1 wynika z wiêzów w parze A, natomiast λ2 jest konsekwencj¹ wiêzów w parze B. Korzystaj¹c z (4.208) mamy w tym przypadku dla pary B:

Q 01B

0    Q01x      1 =  Q01 y  = −  λ 2     − b cos È1  Q01M 

Pomocnicze wielkoœci do napisania równania (4.212): 1 T rB

 − sin È1 B1 =   cos È1

− cos È1   − sin È1 

= [− b 0 ] →

 − sin È1 B 1T =   − cos È1

cos È1   − sin È1 

co daje (4.212) w postaci:

é é ù ê 0 ê ú ê -l2 ê ú=ê ê B ú ê êë F01M úû êbl cos È - [ -b 0 ] é - sin È1 1 ê- cos È ê 2 1 ë ë F01B x F01B y

ù ú ú ú ú cos È1 ù é 0 ù ú - sin È1 úû êë-l2 úû úû

240

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

a po wykonaniu mno¿enia mamy:

 F01B x   0       F01B y  = − λ 2   B     F01M   0  Jak nale¿a³o oczekiwa栖 w parze B wiêzy uniemo¿liwiaj¹ ruch sworznia (punktu B) w kierunku pionowym – mno¿nik λ2 przek³ada siê na si³ê oddzia³ywania podstawy 0 na cz³on 1, która z definicji ma zawsze kierunek pionowy (kierunek osi y0), przy czym F01 = –λ2.

PRZYK£AD 4.11 Na podstawie równañ dynamiki opisanych za pomoc¹ wspó³rzêdnych absolutnych przeprowadzona zostanie analiza dynamiczna uk³adu jarzmowego (rys. 4.40). Uk³ad ten by³ ju¿ analizowany w rozdz. 3 (przyk³ad 3.5) i niektóre z wyprowadzonych wtedy równañ pos³u¿¹ nam w analizie dynamicznej. Tutaj rozwi¹¿emy dwa zadania dynamiki: 1. Dla zadanego ruchu uk³adu okreœlimy przebieg momentu czynnego MC niezbêdnego do realizacji tego ruchu. Dodatkowo wyznaczone zostan¹ przebiegi si³ oddzia³ywania w parach kinematycznych. 2. Dla zadanego momentu czynnego MC wyznaczony zostanie ruch uk³adu. W obydwu zadaniach znane s¹ wymiary cz³onów i ich parametry masowe.

Rys. 4.40. Uk³ad jarzmowy

4.4. Dynamiczne równania ruchu

241

Zadanie 1. W rozwi¹zaniu zadania 1 pos³u¿ymy siê równaniem: ~  + Φ Tq λ = Q Z Mq Z analizy kinematycznej (przyk³ad 3.5) znane s¹ równania wiêzów (3.67):

x1 - a cos È1 é ù ê ú y1 - w - a sin È1 ê ú ê x + b cos È - x - c cos È ú P éÖ (q ) ù ê 1 1 2 2ú Öºê =0 ú=ê C êëÖ (q, t )úû ê y1 + b sin È1 - y2 - c sin È2 úú ê ú y2 - d sin È2 ê ú È1 - È1 p - w1t êë úû Ostatnie równanie wektora Φ opisuje wymuszenie kinematyczne, a œciœlej wartoœæ k¹ta Θ1 odmierzanego od wartoœci pocz¹tkowej Θ1p w funkcji czasu t. W wyniku analizy kinematycznej dysponujemy trzema wektorami po³o¿eñ q, prêdkoœci q· i przyspie·· – ostatni z nich przytaczamy poni¿ej: szenia q

[

 = x1 q

y1

 È 1

x2

y2

 È 2

]

T

Transponowana macierz Jacobiego tego uk³adu ma postaæ:

 1   0  a sin È1 T Öq =   0  0   0 

0

1

0

0

1

0

1

0

− a cos È1

− b sin È1

b cos È1

0

0

−1

0

0

0

0

−1

1

0

c sin È 2

− c cos È 2

− d cos È2

Macierz mas:

~ M 1 M=  0

0   M 2 

 m1  0  0 = 0 0  0 

0

0

0

0

m1

0

0

0

0

I1

0

0

0

0

m2

0

0

0

0

m2

0

0

0

0

0  0  0  0 0  I 2 

0  0  1  0 0  0 

242

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

Wektor obci¹¿eñ zewnêtrznych to wy³¹cznie si³y ciê¿koœci cz³onów 1 i 2 dzia³aj¹ce na kierunku osi y0 uk³adu globalnego {0} zapisane w kolejnoœci odpowiadaj¹cej elementom wektora q:

Q Z = [0 − m1 g 0 0 − m 2 g 0 ]T Wektor mno¿ników Lagrange’a to:

ë = [l1 l2

l3

l4

l6 ]T

l5

Ka¿dy z mno¿ników λi reprezentuje si³ê wiêzów koresponduj¹c¹ z równaniami wiêzów Φ. W rozpatrywanym uk³adzie s¹ to: • λ1, λ2 – sk³adowe si³y w parze kinematycznej A odpowiadaj¹ce dwóm pierwszym równaniom wektora Φ, • λ3, λ4 – sk³adowe si³y oddzia³ywania w parze B odpowiadaj¹ce równaniom wiêzów pary B – równanie trzecie i czwarte wektora Φ , • λ5 – si³a oddzia³ywania w parze C – odpowiada równaniu pi¹temu, • λ6 – moment MC niezbêdny do wywo³ania po¿¹danego ruchu cz³onu 1 z zak³adan¹ prêdkoœci¹ k¹tow¹ ω1 – koresponduje z ostatnim, szóstym równaniem wektora wiêzów Φ. Na podstawie powy¿szych zale¿noœci (4.198) mo¿na wyznaczyæ wektor mno¿niλ z równania (4.200): ków λ

( )−1 (Q Z − M~ q )

ë = ÖTq

Znaj¹c wektor mno¿ników λ, mo¿emy ju¿ okreœliæ si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych. Rozpatrzymy tylko si³y w parze B, które powi¹zane z mno¿nikami λ3 i λ4, Φ. s¹ konsekwencj¹ wiêzów zapisanych trzecim i czwartym równaniem wektora wiêzów Φ Dla cz³onu 2 równanie (4.207) ma postaæ:

 2 = Q Z2 + Q12 B + Q 02C M 2q Po rozpisaniu mamy:

m 2     0

m2

0   x2   0   − 1        y2  = − m 2 g  −  0        I 2  È 2   0  c sin È2

0       ë3   1 −1    −   ë5    ë4   − c cos È 2   − d cos È2  0

4.4. Dynamiczne równania ruchu

243

Zgodnie z (4.208) (dla pary kinematycznej B) mamy:

Q12 B

é -1 é Q12 x ù ê ú ê = ê Q12 y ú = - ê 0 êc sin È êQ ú 2 ë ë 12 M û

0

ë3 ù é ù ú ú é ë3 ù ê ë4 -1 ú ê ú = ê ú ë ë4 û ê ú ú - c cos È2 û ë- cë3 sin È2 + cë4 cos È2 û

Korzystaj¹c z (4.212) mamy równanie:

    F12B x   ë3      ë4  F12B y  =    B    ë3    2 F T T  12 M  (− cλ3 sin È2 + cë4 cos È2 ) − rB B 2     ë4    Z porównania trzecich wierszy mamy

 − sin È2 F12BM = (− cë3 sin È 2 + cë4 cos È2 ) − [c 0 ] − cos È2

cos È2   ë3    − sin È 2   ë4 

a po wykonaniu mno¿enia, zgodnie z oczekiwaniem, uzyskujemy ostatecznie:

 F12B x   F12B y  B  F12 M

  ë3      =  ë4       0 

Bez szczegó³owego wyprowadzenia zapiszmy si³y oddzia³ywania cz³onu 0 na 2 w parze kinematycznej C:

é F02C x ù é 0 ù ê C ú ê ú ê F02 y ú = ê- ë5 ú ê C ú ê ú êë F02 M úû ë 0 û

244

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

Dla cz³onu 1 równanie (4.207) ma postaæ:

1 = Q1Z + Q 01 A + Q 21B M 1q Po rozpisaniu mamy:

Q 01 A

 Q01x   1    =  Q01 y  = −  0    a sin È1 Q01M 

0 1 − a cos È1

0   ë1   − ë1      0   ë2  =  − ë2      1  ë6  − aë1 sin È1 + aë2 cos È1 − ë6 

Korzystaj¹c z (4.212) otrzymujemy:

F01Ax

   F01A y  A  F01M

     − ë1     − ë2 =    − ë   (− aë sin È + aë cos È − ë ) −1 r T B T  1   1 1 2 1 6 A 1   − ë2   

Poniewa¿ zgodnie z rysunkiem 4.40 jest 1 T rA

= [- a 0 ],

é - sin È1 B1T = ê êë - cos È1

cos È1 ù ú - sin È1 úû

wiêc po wykonaniu mno¿enia otrzymujemy:

é F01Ax ù é - ë1 ù ê ú ê ú ê F01A y ú = ê- ë2 ú , ê A ú ê ú êë F01M úû ëê- ë6 ûú

F01AM = M C

Na podstawie wyprowadzonych zale¿noœci dokonano analizy kinetostatycznej uk³adu z rys. 4.40, przyjmuj¹c nastêpuj¹ce dane: •  wymiary jak w analizie kinematycznej (przyk³ad 3.5), •  prêdkoœæ k¹towa cz³onu 1 ω1  = 10 s–1, •  parametry masowe: m1 = 0,6 kg, m2 = 1,45 kg, I1 = 0,004 kg·m2, I2 = 0,01 kg·m2. Wyniki analizy przedstawiono na rysunku 4.41.

4.4. Dynamiczne równania ruchu

245

Rys. 4.41. Uk³ad jarzmowy – wykres si³ w parach A, C oraz moment czynny MC

Zadanie 2. Do okreœlenia jest ruch uk³adu w postaci przebiegów prêdkoœci q· (t) i przemieszczenia q(t) dla znanych wektorów stanu pocz¹tkowego q0 i q· 0. Znany jest ponadto moment czynny MC oraz jak w zadaniu 1 wektor obci¹¿eñ zewnêtrznych Q Z. Rozwi¹zanie tak postawionego zadania wymaga ju¿ wykorzystania uk³adu równañ (4.199): ~  M ÖTq  q   Q Z     =   Öq 0  ë  a  Nale¿y tutaj zwróciæ uwagê, ¿e w tym przypadku, inaczej ni¿ w zadaniu 1, równania wiêzów wynikaj¹ wy³¹cznie z po³¹czenia cz³onów parami kinematycznymi – brak jest wymuszenia kinematycznego. Mamy zatem (3.65) równania wiêzów par:

x1 − a cos È1     y1 − w − a sin È1     P Ö = Ö ≡  x1 + b cos È1 − x 2 − c cos È2  = 0    y1 + b sin È1 − y 2 − c sin È2    y 2 − d sin È2  

246

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

W zwi¹zku z tym inna ni¿ w zadaniu 1 bêdzie te¿ postaæ macierzy Jacobiego:

1  0  Öq = 1  0 0 

0

a sin È1

0

1 − a cos È1 0

− b sin È1

1

b cos È1

0

0

0

0

  0 0 0   −1 0 c sin È2   0 − 1 − c cos È2  0 1 − d cos È 2 

i jej transpozycja

 1   0  a sin È1 T Öq =   0  0   0 

0

1

0

0

1

0

1

− a cos È1

− b sin È1

b cos È1

0

−1

0

0

0

−1

0

c sin È2

− c cos È2

  0   0   0   1  − d cos È2 

Wykorzystuj¹c znane z kinematyki wyra¿enie na przyspieszenie (3.57)

(

)

a = − Öq q q q − 2Öqt q − Ött mo¿emy ju¿ wyznaczyæ wektor mno¿ników λ (4.204)

(

~ l = Öq M -1ÖTq

) (Ö M~ -1

q

-1

QZ - a

)

i zale¿noœæ na przyspieszenie (4.205)

(

~ ~ ~  = M −1Q Z − M −1ÖTq Öq M −1ÖTq q

) (Ö M~ −1

q

−1

QZ − a

)

Ca³kowanie ostatniego równania daje w wyniku wektor prêdkoœci q· i wektor opisuj¹cy konfiguracjê uk³adu q. Analizê ruchu przeprowadzono dla danych geometrycznych i masowych jak w zadaniu 1, przyjmuj¹c dodatkowo: • moment czynny zmieniaj¹cy siê wed³ug zale¿noœci: MC = 3 – 5t, N·m, • po³o¿enie pocz¹tkowe uk³adu opisane wektorem (w jednostkach uk³adu SI): q 0 = [0,049 0, 249 p 4 0,441 0,132 148p 180]T

4.4. Dynamiczne równania ruchu

247

• prêdkoœæ k¹towa cz³onu 1 ω1  = 10 s–1, • wektor prêdkoœci pocz¹tkowych (w jednostkach uk³adu SI):

q 0 = [− 0, 49 0,49 10 − 1,745 0,513 − 2, 417]T Wielkoœci opisuj¹ce ruch w chwili pocz¹tkowej przyjêto z analizy kinematycznej (przyk³ad 3.5), moment czynny natomiast odwzorowuje, z pewnym przybli¿eniem, przebieg momentu, jaki jest niezbêdny do utrzymania ruchu cz³onu 1 ze sta³¹ prêdkoœci¹ ω1 = 10 s–1. Jak widaæ z rys. 4.41 w pierwszej fazie (t = 0÷0,1 s) ma on charakter liniowy. Wyniki analizy zestawiono w formie wykresów na rys. 4.42.

Rys. 4.42. Uk³ad jarzmowy – parametry ruchu dla zadanego momentu czynnego MC

Metoda opisu dynamiki uk³adu kinematycznego, oparta na wspó³rzêdnych absolutnych (pozycja i orientacja uk³adu lokalnego cz³onu), charakteryzuje siê du¿¹ liczb¹ równañ. Konsekwencj¹ tego jest du¿y wymiarowo uk³ad równañ ró¿niczkowo-algebraicznych. Pojêciowo s¹ to równania dynamiczne cz³onów z uwzglêdnieniem obci¹¿eñ wynikaj¹cych z par kinematycznych (si³ oddzia³ywania) oraz wiêzów par kinematycznych.

248

4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

Du¿a liczba równañ, co jest niew¹tpliwie wad¹, procentuje w zamian wieloma korzyœciami, z których najwa¿niejsze to: • równania ruchu s¹ klasycznymi równaniami Newtona–Eulera dla poszczególnych cz³onów z uwzglêdnieniem si³ w parach kinematycznych, • równania wiêzów par wyra¿one s¹ tylko za pomoc¹ wspó³rzêdnych absolutnych cz³onów tworz¹cych dan¹ parê, co umo¿liwia tworzenie biblioteki par i przypisanych im równañ, • metoda jest jednakowa dla uk³adów o strukturze zamkniêtej (wszelkie mechanizmy), otwartej (manipulatory) i mieszanej, • w wyniku rozwi¹zania równañ ruchu uzyskuje siê jednoczeœnie wielkoœci opisuj¹ce ruch oraz si³y w parach kinematycznych (mno¿niki Lagrange’a). Metoda nadaje siê zw³aszcza do zastosowañ komputerowych, jej cechy sprawiaj¹, ¿e mo¿liwe jest tworzenie uniwersalnych algorytmów u³atwiaj¹cych modelowanie ró¿norodnych uk³adów kinematycznych – na takiej metodzie oparty jest np. system DADS [13].

249

LITERATURA [1] BAKER J. E., The Bennet, Goldberg and Myard Linkages – in Perspective. Mechanism and Machine Theory, Vol. 14, 1979. [2] BJÖRCK A., DAHLQUIST G., Metody numeryczne. PWN, Warszawa 1987. [3] BLAJER W., Metody dynamiki uk³adów wielocz³onowych. Wydawnictwa Politechniki Radomskiej. Radom 1998. [4] FICHTENHOLZ G.M., Rachunek ró¿niczkowy i ca³kowy. PWN, Warszawa 1997. [5] FR¥CZEK J., Modelowanie mechanizmów przestrzennych metoda uk³adów wielocz³onowych. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej. Prace Naukowe – Mechanika, Z. 196. Warszawa 2002. [6] FREUDENSTEIN F., ALIZADE R., On the Degree of Freedom of Mechanisms With Variable General Constraints. Trans. ASME, Journal of Mech. Eng., 1975. [7] GARCIA DE JALON J., BAYO E., Kinematic and Dynamic Simulation of Multibody Systems. Springer-Verlag 1994. [8] GRONOWICZ A., Identyfikacja mechanizmów dŸwigniowych z wiêzami biernymi, Prace Nauk. Inst. Konstr. i Ekspl. Maszyn PWr., Wroc³aw 1992. [9] GRONOWICZ A., Zwi¹zki pomiêdzy struktur¹ i w³asnoœciami ruchowymi ³añcuchów kinematycznych. Komunikat Inst. Konstr. i Ekspl. Maszyn PWr. Nr 350, Wroc³aw 1978 (praca doktorska). [10] GRONOWICZ A., MILLER S., Mechanizmy. Oficyna Wydawnicza PWr., Wroc³aw 1997. [11] GRONOWICZ A., Identifizierungsmethode der Zwanglaufbedingungen von kinematischen Ketten, Mechanism and Machine Theory, Vol. 16/1981. [12] HARARY F., Teoria grafów. Moskwa 1971 (w jêz. rosyjskim). [13] HAUG E.J., Computer Aided Kinematics and Dynamics of Mechanical Systems. Allyn and Bacon. Boston, 1989. [14] Mechanism and Machine Theory, Pergamon Press, Vol. 26, No. 5, 1991. [15] MILER S., GRONOWICZ A., Wymiary podstawowe elementem oceny struktury uk³adów kinematycznych. Archiwum Budowy Maszyn, z. 2/1982. [16] MILLER S. Teoria maszyn i mechanizmów. Analiza uk³adów kinematycznych, Oficyna Wydawnicza PWr., Wroc³aw, 1996. [17] MILLER S., Uk³ady kinematyczne. Podstawy projektowania. WNT, Warszawa, 1988. [18] MILLER L., WILK A., Zêbate przek³adnie obiegowe. PWN, Warszawa, 1996. [19] M£YNARSKI T., Uogólniona metoda analityczna analizy kinematycznej mechanizmów p³askich. Wydawnictwa Politechniki Krakowskiej, Monografia 165, Kraków 1994. [20] MORECKI A., KNAPCZYK J., KÊDZIOR K., Teoria mechanizmów i manipulatorów. WNT, Warszawa, 2002.

250

Literatura 4. Elementy dynamiki uk³adów kinematycznych

[21] NOWAK A., Optymalizacja parametrów geometrycznych bijaka oraz analiza przyspieszeñ elektrod zbiorczych elektrofiltru. Filia Politechniki £ódzkiej, Bielsko-Bia³a, 2000 (praca doktorska). [22] OLÊDZKI A., Podstawy teorii maszyn i mechanizmów. WNT, Warszawa, 1987. [23] OLSZEWSKI M (red), Manipulatory i roboty przemys³owe. WNT, Warszawa, 1985. [24] OSIÑSKI Z., Mechanika ogólna. Wyd. II, PWN, Warszawa, 1997. [25] RESHETOV L., Self-aligning Mechanisms. Mir Publishers, Moscow, 1982. [26] SHABANA A.A., Computational Dynamics. John Wiley & Sons, Inc., 1995. [27] SKALMIERSKI B., Mechanika. PWN, Warszawa, 1977. [28] STRZA£KO J., GRABSKI J., Wstêp do mechaniki analitycznej. Wyd. Politechniki £ódzkiej, £ódŸ, 1997. [29] WALDRON K. J., A Study of Overconstrained Linkage Geometry by Solution of Closure Equation. Mechanism and Machine Theory, Vol. 8, 1973. [30] WECK M., GIESLER M., Dyna-M – Ein neues Werkzeugmaschinenkonzept auf Basis ebener Koppelkinematiken. Chemnitzer Parallelstruktur-Seminar, Chemnitz, 1998. [31] WOJCIECH S., Dynamic Analysis of Manipulators with Flexible Links. Archiwum Budowy Maszyn, Vol. XXXVII, No. 3, 1990, 169–187. [32] WOJCIECH S., Dynamic Analysis of Manipulators with Consideration of Dry Friction. Computers&Structures. Vol. 57, No. 6, 1995, 1045–1050 [33] YOSHIKAWA T., Foundations of Robotics. Analysis and Control. MIT Press, 1990.