Metode de Calcul în Analiza Matematică: Teorie şi Probleme

c.

FL. SMARANDACHE .

" "

"

"

'"

.

•

.

X ,. l;

..

,

--:.

rh. "

,_

M S O "c "' f"" , _

'

• ..,... i. �. . . ..

IN TEMATICA

ANALIZA

TEORlE SI PROBLEME ,

•

PROEILEME de MATEMATlCA $; FIZICA SERlE PCNTRU L,CELI

--. -"

"

,(/.

-

,.

.

JrDrTOR.l

INIOM�D

,

- - '

METODE DE CALCLTL

ANALIZA MATEMATICA Teorle $i probleme

,.

..---. -

Referellfi �liinfifici: Lect.dr. Paul Popescu

Prof. Gheorghe Constantin

". �

.

METODE DE CALCUL IN ANALIZA

MATEMATICA

Teone $i probleme

C. Dumitrescu

Fl. Smarandache

Editura INFOMED Craiova

1995

@

1995 Editura INFOMED METODE DE

cALCUL IN

ANALIZA MATEMATICA.

c. Dmnitrescu , Fl. St;narandache Toate drepturile rezervate Editurii INFOMED.

ISBN:

-

973 - 96940 -0 - 4

Editura INFOMED

Consilier editorial:

Craiova CaleaBu�i bI. b4, sc. 1, ape 4. Tel. 05 11 4 16759

Ing. Saul Paslre

Tebnoredactare computerizatl: Constantin Antoniu Dumitrescu

Hotto:

Iub1rea est.e \-elul.perunca sacr-a f'1rii. MAna\-i de ea vult.uri1 se caut.a prin spa\-ii. Deifinele iau marea in piept. sa-�i af'le mirii Chiar st.elele in ceruri se-:-njuga-n censt.ela\-ii. (Vasile Voiculesc�

CWANT INAINTE

Ne bucuram exprimAnd mul\-umirile noast.re f'a\-a de t.o\-i acei.cunescu\-i sau mai pu\-in cunoscu\-i.care de-a Iungul aniler ne-au ajut.at. sa ajungem la aceast.a cart.e.Sunt. mul\-i.sunt. f'oart.e mul\-i cei care ne-au ajut.at. ...

Unii ne-au dat. sugest.ii.al�ii ne-au oferit. idei.

uneori ne-am st.raduit. impreunA sa descif'ram un amanunt. nelamurit.. alleori Inv�\-am din Int.rebarile me�t.e�ugit.e sau poale chiar naive ale

inlerloculorilor no�t.rii:

Devenirea spre aceast.a cart.e esle un f'oart.e bun exemplu de allru1sm.de bunalat.e �i daruire.de mars impreuna pe drumul desceperirii frumuse\-ilor vie\-ii. Cine g�nde�le nu dear la

mama

sa �i Ia lat.al sau.la sine �i

Ia f'amilia sa.descepera e familie mull mai mare.descopera pretu-.

5

lindenl viat-a.pe formele e1

de

incepe sa

care

ne

ajula

pe

1

0

ur�de

de

rica

-

in

Penlru milere in aceast..A

lice

1

suIlet"."c..sca

e1evi

;;1

s uc c es i une

bleme noi 1a cat..

tru cit..ilor.a

He

de

sa

mal

Ie perrr�la

Intr-o

1a

-

met..ode pent..ru

demcnstrarea

1a Imboaco-

ev01 uti e empi-

0

toti

concursul de ad-

1a

cei

inleresa\-l,oIerim

in sludiul cat..

lucru deJ�

analizei

wAl

�At..ema-

diverse pro-

cunoscut..e.

maniera met..odica,avant..aJoasa penmetode

acest.

Aslfel,ln aceaslA carte pulet-i

�1

/

de

f r ec vent e

malematice

doar

reducerea a

mulle scheme

celor mai

1mbogatin-

ordine �i luminA

cand1da\-li

intilnit..e

melode

f'acem

esle pos! bi 1 a

ca.

superior,penlru

prezenlarea

st.udiul.analize!

sa.

ajula

pr-ofesori,penU-u

inva\-amantul

urmal'it..

mulle Ieluri conlribu1e

in�ine.

de 1iceu.care

Am

in

nceput_ s1 mteam

noi

in loale

mal mull

inLe1ecluale.gandirea.logica �1 a1gor1l-

decizie,dar

noas':J-a

1a

lol

acesl drum.solicil�ndu-ne �1

du-ne nu dear capa c it.. a \-i le

ga.tirea

iubeasca

manifest-are.

Malemalica

mii no�t..rii

0

de

calcul lnlalnile in

nivel.

g�si: ega1 i

t.. 5J; i1 or de mul\-inU ..

•

rr.elode per:t.ru demonstrarea biject.ivit.at.ii functiilor.

--

met.ode

p?nt. r u

st.udiul

m�tcde

comune

pen+_ru calculul

monolcniei

$ir-urilor �i

f'unc\--iilor.

limit.elor de �lrurl �i

de

functli. met.ode specifice metode pentru

pent.ru

sludiul

calculul

limit.elor de �iruri.

conf..inuit.a\--ii

�i

a

derivabl1it.a\--ii.

melode pent.ru a delermina exist.en\--a radaclnilor unei ecuatii. aplicatii ale t.eoremelor

lui Fermat.Rolle,Lagrange.Cauchy.

5

-

met.oae

- met.ode

pe nt.r u

demonst.rarea

pent.ru a

arAt.a

cA

a arA t. a

cA

met.ode

pent.ru

met.ode

pent. ru

a ar A t. a

cA

met.ode

pe nt.ru

a arA t.a

cA

Pent.ru 1mbunAt.A\-irea acest.ei min sugest.iile

0

0

0

0

unOI' egal i t.A \-i �i

inegalit.A\-i.

f'unc\-ie

are

f'unc\-ie

nu ar e

f'unc \-i e

est.e ! n legr abilA

f' unctie

nu est.e

pre:zent.Ari

primi t. ive

•

primit.ive. .

ingrabila.

suntem bucuro�i sA

pri-

$1 cbservati11e dumneavoas t.r!..

C.

Dumit.rescu.

Cas u t a

Po�t.ala

Cralova

F.

Smarandache.

P.C.

811

Cl100).Romania

Box

42561

Phoenix.Arizona.U.S.A.

7

CUPRINS

1.

TEORIA MULTI MI LOR

Opera\-ll cu mul t1 mi

.

.

.

. .

.

.

. .

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

,..............

.

. . . . ....

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

.

.

Melode penlru demonslrarea egalll�tilor de multlmi Propriel�\-1 ale �unctiel Exerci\-11

2.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

FUNCTII ...........

De�inl\-1 a �unctiel

.

.

Inversa unel �unctii

.

.

caracterislice .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

•

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

14

.

.

13

18

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

19

.

.

.

.

.

.

•

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

20

34

.

.

.

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

•

�

.

.

.

.

Gra�icul �unctlel inverse 0

Melode penlru a ar�la c�

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

.

..

.

.

34

. . . . . . ..

39

, .......................

43

.

.

.

.

.

.

.

•

.

.

�unctie es£e bijecllv�

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Exercl\-il

44 47

Monolonie $i �rginire penlru $iruri $i �unc\-ii

. .

.

64

Exerci\-ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.

66

LIMITE DE SIRURI SI

Li mile de �unctl i .Exercltii

.

.

.

.

.

.

Limi la de $iruri

.

.

.

.

.

.

.

DE FUNCTIr

.. . .

.

.

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

.. .

.

.

.

. .

.

..

.

.

.

.

. .

.

.

.

.. .

.

.

.

.. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

66 71

. "............................ .......... 76 .

Melode penlru calculul limilelor de �unctli $i de �iruri Meloda comuna penlru $iruri $i penlru �unctii

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

77

.

.

77

77

1.

Ulilizarea de�initiei

2.

Darea �aclorului comun �ortal

.

3.

Ampll�lcarea cu conjugata

.

8

.

.

..

. .. .

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

78

.

80

4.

Ulilizarea lim.! lelor 1'undamenlale

5.

Ceva marginil inmultil eu eeva eare linda la zero, linde la zero

6.

7. 8.

9.

10�

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

Meloda majorarii �i minorarii

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. ...

Ulilizarea leoremei lui l'Hospilal

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

-.. ,

81

..

..

..

..

86

.

.

.

.

86

.

.

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

Exereitii in eare apare pa ;lea inlreaga . Ulilizarea delinitiei derivalei

.

.

.

...

.

.

93

..

97

.

Ulilizarea crileriului eu �iruri (erileriul lui Heine)

100

Melode speci1'ice penlru �iruri 11.

12.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Orice �ir moncton �i marginil esle convergenl Ulilizarea lemelor Cesaro-S�olz �i Rizzoli

.

. . .

.

.

.

Siruri A.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....

Recurenta liniara de ordinul inlai

B.

109 114

dale prin relatii de recurenta

Recuren\a liniara

106

. . 105-

13.Ulilizarea leerernei lui Lagrange 14.

gO

.

.

.

.

.

120

.

120

. . .

.

.

.

.

120

Recurenta liniara de ordinul doi

120

Recurenta liniara de ordinul

123

Recurenta neliniara

.

.

.

.. ...

Recurenta de 1'orma a Recuren\-a de 1'orma a Recurenta de forma a Exercitii

.

n+t

n+i n+t

.

=

a.a

=

Ol.a

=

n

n

1'Cn)

16.

Griee

16.

Ulilizarea de1'initiei inlegralei

�ir

.

h)2

.

.

+ +

.

.

(1

.

. .

.

.

.

1'( n) .

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

125

.

.

126

.

.

Cauchy de numere reale esle convergenl

9

.

126

127 129 130 133

4.

CONTINUITATE $I DERIVABILITATE . . . . . . .

Cont.inuit.ate

.

.

.

.

.

.

.

.

. . .

.

.

.

.

. . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

.

.

. .

.

..

136

.. . . . . .

.

. ..

.

.

.

.

.

.

.

.

. . .

.

.

.

. . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

..

136

. .

.

.

136

.

.

.

139

Prelungirea prin cont.inuit.at.e .. .... ................

.

140

Cont.inuit.at.ea :func\-iilor compuse ...................

.

140

Met.ode pent.ru st.udiul cont.inuit.��ii Tipuri de punct.e dediscont.inuit.at.e

.

.

.

. .

.

Exerci\-ii ............... .................. . . . ...... .

Derivabi1 it.at.e ................................. .........

141

.

144

De:finitle.interpret.are geomet.rica.consecin\-e .......

.

144

Derivarea :func\-iilor compuse ............ ...........

.

145

Derivat.e de ordinul n ........... .......... . ..... ...

.

149

Studiul derivabilit.A\-ii

149

Aplica\-ii ale derivat.ei in economie Exerci\-1i

.

.

.

..

.

.

.

....

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

. . .

.

..... . .

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

5. TEOREMELE FERMAT.ROLLE.LAGRA�GE.CAUCHY

.

.

. .

.

.

.

152

. ..

.

... .

153

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

158

Teorema lui Fermat. CEnun\-.Int.erpretare geomet.ric� $i algebr ic�,Exer ci\-ii)

..................................... 158

Teorema lui Rolle (Enun�.Interpret.are geomet.ric� $i algebric�.Consecin\-e.Exerci�1i)

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Met.ode pent.ru st.udiul r�d�cinilor unei ecua\-ii

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Teorema lui Lagrange CEnun\-.Int.erpretare geomet.r1c� �i algebric�.Corolar,Exerci\-ii)

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

. . .

.

..

...

161

.

166

..

.

.

.

.

.

169

Teorema lui Cauchy CEnun�.Int.erpret.are geomet.ric� �i algebric�. Exerci\-ii) 6.

EGALITATI

Egalit.�"i

.

.

.

.

.

.. . .

.

INEGALITATI

$I .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

.

.

.

. . ..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.. . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

10

.

. 174

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

177 177

InegalilA\.1

178

Me�oda

1

Me�oda

2 C Me�oda

CUlilizarea leoremei lui Lagrange) mi nimului )

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

178

........................... 180

Me�oda 3 Clnegali���i pen�ru in�egrale ��r� calculul

in�egralelor)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

181

.

.

.

.

183

.

185

.

191

Me�oda 4 U�ilizarea inegali���ilor din de�ini�ia

�unc�iilor convexe �i concave)

7.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Exerci�ii

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.. .

PRIMITIVE

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Conexiuni cu al�e no�iuni speci�ice �unc �ii lor 0

Me�ode pen�ru a ar��a c�

Exempl e

.

Exerci�ii 8.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

., ... . .. ...

�unc�ie are primi �iv e

0

Me�ode pen�ru a ar��a cA

.

.

.. ....... 196

�unc �ie nu are primi�ive .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

191

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

197

.

.

.

.

.

.

1 98

......................... ............ ........ ... 204

I NTEGRABI LI TATE

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Conexiuni cu al�e no�iuni speci�ice �unc�iilor 0

Me�ode pen�ru a ar��a c� bil� C Riemann) pe [a. b)

.

.

0

Me�ode pen�ru a ar��a c� bil� C riemann) pe (a. b)

.

� unc �i e

Exerci�ii ................. ..

.

•

.

•

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

209

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

215

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

21 7

.

.

.

.

.

.

.

217

es�e in�egra.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

�unc�ie nu es�e in�egra.

E

.

.

.

B1 BLI OORAF1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

223 .

.

.

.

.

11

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

:

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

229

12

t

MU L T IMI L OR

T E ORIA

:::

mul�ime este determinat� cu ajutorul uneia sau mai multe pro­ priet��i pe care eerem s� Ie satisfae� elementele sal e . Cu aceastA deflni�ie s-ar pArea putem considera ca mul �ime oriee tota l i tate de obieete. Totu�i luerurile nu stau a�a . Daea presupunem, prin absurd , eA oriea total itate de obieeta formeazA mul �ime atunei total i tatea mul �imi lor ar forma la r�n­ dul ei mul�ime, pe care s� not�m de exemplu cu M.Dar atunci �i fami lia �(M ) a pAr�i lor sale ar forma mul �ime . Am avea deci �( M) E M. Not3nd prin card M num�rul elementelor lu� M. vom avea : card �(M) � card M Dar teorem� datoratA lui Cantor aratA e� avem intotdeauna card M < card �(M) Prin urmare, in mod surprinzAtor poate , nu orice total itate d. obi.cte poate 1i consideratA mul Xime. o

�

0

0

0

0

0

13

CU

OPERATII

MULTIMI .

nume�te mu1 ti totalA, notatA cu T mul �1mea obiectelor matematic@ cu care se lucreaz� la un moment dat. De exempl u , desen�nd m l� i mi pe foaia de caiet, mul�imea total� este foaia de caiet; desen3nd multimi pe tabl�. mu l ti a tota l � este mul1;-imea punctel_or tablei . Prin urmare multimea totalA nu este unicA� ea depinde de felul obiectelor matematice cu care lucrAm la un moment dat. 1 n diagramele urmAtoare vom reprezenta mul1;-imea totalA printr-un dreptunghi, iar submul1;-imile lui T prin suprafete interioare acestui dreptunghi . 0 astfel de diag r a a se nume�te diagramA Euler-Venn . Avem 1n vedere urmAtoarele eperatii cu mul1;-imi DEFINITl£:

Se

me

•

u

me

iTl

:

1.

I NTERSECTI A.

=

�i B } Deoarece la un moment dat lucr�m doar cu elemente din di�ia x T peate fi sub�n�eleasA, deci putem 5cr1e: A B { x X A $i x B } A 11 B

E.

()

A

{

X

E

T

X

E

A

E

=-

(I) A

n B

14

E

x

E

B

T ,

con-

Mai gen era l,

.

.�

\=1

A. = { \

V i E �

X

X. E A }

�

I.

S� observ�m c�: x • A n B

2. REUNIUHEA.

A uB= {

<=�->

x

sau

X . A

X EA

sau

x .B

x eB}

A u B

Ca $i In

cazu l in tersec � iei , putem considera:

.B

\. =1

A.

\.

= {

3 i e �

X

,

X. E A } \.

Se observl. c� :

x e A u B

3.

<===>

x e A

si

x

e B

DIFERENTA. A

-

B = {

x

X E A

$i

X .B }

B

A - B

x • A

-

B

<=-=>

II:

CAB x . A

1�

.au

x eB

4.

COHPLEHENTARA.

Comp l ementara unei multimi A este dlferen t a d intre tota l a �i A. C A = {

X

X

Com p l em T

e n t ar a

u ne i

E

T

A

x � CA

0

x

x

e

A } •

/ -

C A

So\ observAm cA

de

A } = {

�

m u l ti mi se m a i notea z A cu CA sau cu �

\ '�

Mat genera l �

x

�i

mu l t1 mea

x

< ===)

E

A

putem vorbi de com p l emen tara unei multimi f a t a

a l ta mu1ti me,oarecare.

Astf e l , X

E

B

�i

x

eA }

este com p l ementa�a multimli B fata de mu1timea A. 5.

DIFERENTA SIHETRICA. A A B =

(A - B)

u (B - A)

B

A AB Ava.

6.

x

e

A AB

< ===>

x

e

A

-

B

�i

x

e

B

-

A

•

PRlJDUSUL CAJUEZIAN. A X 8 = {

( x ,y)

X

E

A

$i

Y e B }

Produsul cartezian a douA multimi este deci

16

0

mu l �i.e de pe-

rechi ordon a te de elemen te, primul elemen t f i i nd d i n pri ma mu l � iMe, iar al doilea elemen t f i ind din a doua .ul�1me. De e x em p l u,

� X � = {

x e � , y

( x�y)

e

� } , �ar 0

imagine in tui tivA a acestei mul � i mi este datA 1 n f igura 1.1.

y

l--

( x ,y ) ..,

� X IR

Prin analog i e ,

Fig.

produsul car tez i an a trei mul�imi este 0

mul\ ime de triplete : A XB X C

1.1

c

{

( x , y,z )

o imag ine i n tui tivA

a lui

�

3

x

y e B

e A ,

= � X � X

�

,

z

E C

este d atA In f1-

gura de mai jos .

( x,y,z ) 1

z

y

I

..J-

�XIR XIR

,

,

,

,

y

I ,

Fig .

Mai general,

17

}

1.2

n

\,=1 o

X

\,

Ao

{

=

( X ,x ..

2

,

•

•

•

,X )

Xo E Ao pen tru o rice i E· 1 ,n }

n

\,

\,

METODE PENTRU DEMONSTRAREA EGAL I TATI I A DOUA MULTIMl

DificultA�ile· $i su r pri z.le 1 n t� l n i te in cerc�nd sA d ef in i m riguros no� iun.. de .ul�im. nu s8n t singurele din teoria mul �i-

.i lor .

o �ltA surprizA este cA binecunoscutul ( $i intuitiv eviden tul )

procedeu de da.oristrar� a ega l i tA� i i a douA .ul�i.i prin dubla incluziune este - la n ivelul definirii riguroase a fttUl � imilor

doar e ax i ontA .

A � B

<===>

A

S

B

B

$i

S

A

( 1. 1 )

Accept8nd a ceastA a x iomA,vom exentp l i f i ca in ce l e ce u rmeazA urmAtoa re l e douA metode pentru demonstrarea ega l i tA�i l or de mu l �imi : (A)

DUBLA INCLUZIUNE ( ex p r imatA pr i n echivalen �a ( 1. 1»

caj

UTILIZAREA FUNCT I E I CARACTERISTICE A UNEI MULTIMI

DAm mai 1 n t�i c�teva detali i a l e acestei a doua metode, care i n prac t i c� este mult mai rapid�� deci mai comod de uti l izat dec�t prima metodA . Se nume$ te fun c�ie caracter i st i cA a mu l � imii A fun c-

DEFI NI TIE.

�ia

1/>.

.. T

{O, 1}

•

I/>

(x)

def in i t� prin ..

{0

dad x E A

1

=

dacA x

DupA cum se observA numera l e

0

$i

1

!Ii!

A

fol osa sc pantru a 1 m-

pAr�i el�ntele mu l �imi i tota l e T 1 n douA categorii : i f

( 1)

0

ca tegorie con � ine ace l e e l emen te x i n care va-

loarea l u i (2)

'P

.

estEt 1 ( elementele lui A )

,

.

din a doua categorie f ac parte ace l e e l emente 1 n

18

este 0

care val oarea l u i

A).

nu sun t in

Proced eu l (8) de d etM3n st.,- a re a ega l i Ut-i i a douA aau l t-imi

!Ie

bazeaza pe f aptu l ca ori ce mu 1 t-i .. . . te deter.inata 1n mod un i c

�

d e fun c ia s a caracteristica, 1 n sensu l cA: e xi sta lui

biject-ie de la mu l t-imea

0

T.

def i n i te pe

a subfaul Xiai l or

a fun c\ i i l or caracteristice

�( T)

l a mu l r imea

T

�( T)

( vezi e xercit-iul V I I )

A=B

(===>

.

p ..

-

=

p

(1.2)

.

PROPRI£TATI ALE FUNCTIEI CARACTERISTICE

= p ( x )'p ( .. .

P

( x)

AU.

=

P

A

x) •

(x) + p

( x)

x ) = P A ( x ) - P &� ( x ) P A-. ( _ -. .. (x) = 1 P CA P Aa ( x ) A P

AX.

A S

A

= P

(>: )

+ p ( x) .

- 2· P ( x) Af"IB

( x ,y) = p ( x )·p ( y) .. .

z P ( x) ..

P ) p

- P ( x) A

=

P ( x) ..

< ===>

B

sa d emon stra. de e xemp l u

P

A

P

�

( x) � P ( x ) •

pen tru or i ce

x

) . Pen tru aceasta sa observam

E

T.

ca

mu l t-imea tota l a T este 1mpart-i tA de mu l t-imi l e A �i B 1 n ee l mu l t patru reg iun i : 1)

pantru puncte l e x care nu apart-in n i c i l ui A n i c i l ui B

ave. p ( x) .. 2)

=

p ( .

pantru punctal e

x) x

=0

�i

P&� ( x ) ... ..

care sunt in

19

A

=0

•

�i nu Bun t 1n

B

avem

(x) � r d a c� x

3)

4)

x

dacA

1

=

A

•

.

E A

E B

p B

x

�i $i

=0

(x)

�i

lJti l i
1.

A

(8

2.

A

3.

(B U

e(a ('\ C)

=

4..

C(B u

C)

=

5.

A

(8

C)

=

6.

A u (B

A)

= A u B

7.

A

B)

= A

8.

C(CB)

9.

A u CA

()

C)

:=

(A

CB

:oK

T

(B)

u (A

C)

B)

(A

B)

()

(A

C)

B)

-

(A

() C)

CC

arAta\-i ca

:

CB ('\ CC

( A ()

B

=

�i

(A

u

•

ega l i tAti l e rezu l tA ana l og .

e A

x

I.

=

=0

e B

EXERCITII

('\ C)

p �(x) AI�

,

() B

A ('\ CA

0

=

REZOLVARI :

CAl

(dub l a

in c l u z i un e)

SA observ�m c� pen t r u rAspund em succe s i v

(q) (Q)

1

l a g rupe de dOLla i n t rebari

:

CUM ARATAM ?

Astfe l , (r )

pro b l eme de matematica

CE AVEM DE ARATAT ?

R�spun z�n d

(q).

rezolva rea u nei

l a In t reba rea (Q) putem ajung e l a

pen tru exerci\-i u l 1 raspunsu l

: avem de ara ta t

e

0

noua ln t re bare

la in trebarea (q) estel

ega l i tate de mu l t imi •

iar rAspunsul l a In t rebarea (Q) este : (R) 1

:

putem a rata aceasta ega l i ta te prin deua metode

z�nd dub l a i n c l uz i une ,

: u ti l i -

sau u t i l i z and proprietA\-i l e f un c\-iei carac-

te ri$tice.

20

Alegem prima metodA $i ajunge. din nau 1 a (q).De data. aceasta rAspunsul este : (r ) : ave. de arAtat douA incluziuni, iar rAspunsul la 1ntrebarea (Q) corespunzatoare est. : aratam pe rand c�te incluziune Apoi , ) : avem de arAtat inc1uziune : aratam cA un element arbitrar din "mul � imea inclusA" este 1n "mul � imea care include". Sigur ca de obicei tot acest ra\- ionament este mttn ta1 , rezolvitorul Incepe prin: a) fie x A - C) oarecare < ===} x A $i x « C <=-=} 2

0

(R )

2

(r

•

0

3

(R ) 3

E

-

(B

ul t i ma opera t ie Cdijeren t aJ]

•

[pen· t ru a cont t:nua c i t im

,

E

B n

[ci-

tim opera t ia deuenita ul t i ma Cin t ersec t i aJ]

x

{

eA $i

x 'lEB saLt x

<===>

�C

{

x eA $i x sau x eA $i x

Ii! B

If!!

( 1 .3)

C

Din acest moment nu mai avem opera\- ii de explicitat $i putem regrupa enun �ul la care am ajuns in mai multe 1eluri ( multe implica� ii rezulta din ( 1.3), dar oumai una ne intereseaza - concluzia exerci � iului) de aceea trebuie sa actual izam concluzia: x e (A ( A C) <===> x e A B sau x A - C Obsarvam ca din ( 1 .3 ) rezul ta imediat aceastA concluzie, deci incluziunea este'demonstrata. Pentru a daua incluziune: fie x (A C) , - B)U

ul t ima opera t i e Creuni unea.)]

{

saLt x A

X

E A - B

E

-

(===>

e

-

-

E

-

B) U ( A

-

[ci t im

(==->

[c i t im operatia a.v.nita uL t ima]

C

21

(=a=)

{X Nu

A �i sau A �i

e

x

E

• 8

x

x

e

f6

� B ('t -e

9.

j. j.

(R (r

A

x E

-

( B ('t

x

(1. 4)

sau f6

)

2

I

:

)

(R ) 2

avem da

0

arAtat

C

· ·

avem

· ·

aratam

E A

(==:=0.::

/erent.w]

A

�i

( 1.4)�

ara tAm douA incluziun� de aratat

ca

l

x

e

eg a l i ta te d e mu l \.imi

0

in cl-uziune

fiecare elemen t din

este In mu ti me a care include. Fie

x

e), ad i cA

a f i r�a � i e care rezultA imed i a t din

,

(r )

-

(A

-

x e

<===>

ultima]

devenit.

)( • B

.

mai ave. operati i de e x plici tat, d.ci deta l iem conclu z i a

l a care v rem s A ajungem : )(

{

X E A

(=== >

x E

A

B)

A

$i

f6 A

�i

x

{

x � A

Nu mai avem ccera�ii

}!

l ;, im ea in c l u sa

[citim. ultill'
oarecare

,

mu

[citUl<.

B

ope-ratta

care a

(1 . 5)

sau E

B

de e x pl i c i tat. deci reactua11zAm

concluzia:

ObserY�m

ca.

X

E

(l.S)

{X x

X

aCiicA

A ('l B

E

este echiva l ent cu e

A

e A

X

sau

f6

A

$i

x

e

B.

:

A

x e B

P rima a f ir m a !-i e este fal"sA ,

iar d i n a doua rezu l ta

x

e

A

I"'l

8.

Vom rezo l va ace l ea� i exerci\.ii u t i l i z �d proprietA!-i l a func\.iei caracteristi�e � i echivalent-a 1. Avem de arAtat c� (r ) 1

j.

(R )

:

avem de arAtat

(1. 2 ) .

tp

0

A-CBt"'lc)

= 1{)(A-B>UA-c>

egali tate da f un ct- i i

: deoarece domen i u l � i codomen i u l ce l or douA funct-i i

22

coin�id , mai trebuie ar�tat c� (r

2

)

:

Ii')

rA-(Bt"'lc>

(x ) =

valori l e l or coincid ,

Ii')

rCA-B)UCA-C>

(x)

adic�

pentru orice

x e T

R�spunsul la l n t rebarea (0) corespunzAtoare este (Rz) : e x p l i c�tAm am�ii membri ai egalit� � i l precedente. A-CBne>

tp

(x) = .

1

apl. i cam. proprttJ t at.ea tp ]

=

( 1.6)

l � i devine succ S1V: e

ega it � i

x )." ( x ) C

tp (x).tp ( >:).tp 4 B . C

2

5.

(

Pe�tru

:.:

) a

observam ca : 'P

=

tp (x) - " (x) . tp (x) .tp (x) A B C A

Membrul doi al

'P ( 4

apt i c am

= tp ( X) - tpAlicBne)( x ) = [c i t i m opera t ta deven i t a A

proprte t a t ea tp 1 1.Lt t i ma s i

[c t t tm u l t i ma opera t te Cdtferen t � s i

4-(A-8)

( x)

= "

A

(}:)

=

.

tp ( x ) · "B ( x ) · " (}:). A C

demonstra ega l i tatea -

tp

AII
(x) =

'P A

23

( x)

tp (x) ' 4-(A-8) -

= Ii')

tp (X)·'P A A fIB

r

ArB

(>:)

=

( x)

5. A n ( 8 A C) = (A n B) A (A n C) 6.

(A A B) X C =

(A X C)

A (8 X C)

REZOLVARI .

Matoda (A) 1.

( du bl a incluziun.) n B)

Fie x E (A

X (C n D),

operatie Cprodusul scalarJ] � E C n D x =

<===>

E (A X C)

�e D

a

E A

� eC

a e A nB

eu

a

e A , a eB

de exp l. ic i t at .

x

� eC

E

[nu mai

D

cu

E A, � E C

a

.0 eB,

$i

x e-B X D.

$i

xe (A - B)

$i

�

�eC,

u l t i me l e)

de aceea ac t ua l tzam. c oncl.U2 i a:

= (a,�)

xeA X C

Fie

�i

$1

deci x apar t i ne une i i n t e r sec t i i Cuttima

(B X D).

<===)

B

eu

(a,�) ,

(a,�)

<=2)

3.

=

[exp l i c i t am opera t i i l e care au devent t

n

operatie�]

x

(===)

<===)

avem. opera t i i X

oareeare - [exp l i c i t am u l t i ma

oareeare

XC, x

<===)

=

(0,($)

x

<===)

eu

a eA

=

eu

(0,($)

$i

a

eB

$i

[detal i ind cone Z.uzia deducem. urma-toTul mad de a continuaJ

<===> x =

(0,($)

x

A X C

e

,

xe B X

$i

Reei proe, x = ( 0,($)

( 0,($) e A X C

eu

e

(A - B)

Metoda (B) 1.

___

===)

oeB, ($ e C

(0,($)

, oareeare

�B

X C

$ i ($ E C sau $i ($ E C

<-==>

<===)

x

= (a,($)

oeB

(fals)

XC.

( uti l i z a rea f une� iei earaeteristi ce )

(A, _)x(-.. ..., )

9

$i

o e A

($1Ii!'C (0,($)

(a,�)

(8 XC)

-

{OeA

<=== >

sau

=

C.

f i e x e (A X C)

{0I11i!'B

===)

x

$i

0 e A , ($ e C

__�

x , y ) =" (

AI

...... ... _

( x)

.

9_ ....... ( Y ) =9 � ....

24

A

( x )· 9 ( x ) · 9 ( y ) B

C

.

tp ( y ) D

3.

9

'A-B)XC

x; y. )

4. p (x ) A

9A-

=

.

(

x)

"9 (y) C

=

9 (X)"9 (Y) A C

9 ( (AxC>-(BxC> - 9Axe (

(X � V)

+

·

)( , y)

"9

axe

=

9Ax (X C

( x , y)

9 ( AAUlAc)

A

= tp

x) = If>

A(

,y)

(x)·

)( )

29 (x)" 9 B C

"

9 (Y) C

-

If>

A

+ 9 A (x) B C

29 B

C

( x)

II

- 29 A

(x)"9 (x) -f:> (y)" B C

A

(x) - 9

(x)

=

(x)

'PAxC (

X ,Y )

.2 - 9 ( y) C

- 9 A ( )( ) B C a

A

C

=

- 2" 9 A

(x)

C

-p a

+ 4"9 (x)"P (x)"P (x)

- 2"9 (x)"P (x) - 2"" (x)"9 (x) c a e A

•

- 29 ( x ) (p (x) + 9 (x)

+ 9 (x)

9 a

'"

'P

- 9'AXC}()(BXC} ( X , y)

p� ( x) + (x) - (x)-p (x) ) = p (x) + ( x ) 9 C

-

A

C

B

(x) •

Explicitl nd analog pe 9 A._ AC (x) obtinem egal i tatea doritA . DacA obervAm cA expl i citarea lui PAAcaAc) (. x) de mai sus este simetricA ,uti l iz�nd comutativitatea adunarii �i In mul �irii ega l i tatea cerutA rezul ta mai u�or. (ALUI)

!5. 2'9 A

ifJ

( x ,y)

(A�)xC A_

=

( x ){1B (x) ) 9C ( y )

y) P(Axc)A(BXC) ( X , 9 (x,y) BxC

=

rp

A

ifJ

_ ( X ) -ifJ (Y) C

A ALUI

=

(p .. (>:) _

+ PB(x) -

;

:: 9 ( >: AXC (X)'9 (y) C

axc (

,y) + 9

+

x , y) - 2· 9 (X ,y ) Ax

9 (X)'9 (Y) a C

C

•

2"9 (>:)"9 (X)"9 ( y ) . A

B

Z C

Egal ita�ile 4)-9) s-a� demonstrat u�or uti l izlnd func�ia caracteristica ; ele sunt �ai gre� de demonstrat utiliz�nd p rima me todA. ln general func�ia caracteristicA este de preferat, datoritA comodita�ii cu care se util izeaza �i rapiditA�ii cu care sa o btine rezul tatul . -

III.

Demonstrati echivalentelel 25

<s:}

A

c: C

$i

B

C

<=)

A

c B

$i

c C

<=}

A ()

B cC

1.

A

2.

A

C

3.

A

II

4.

A

C

5.

(A - B ) U B

U B cC B B

(i

<=>1

B U C

A ()

<-}

C C

B

UC

•

c:

C .

cC

B UA

REZOLVARI:

avem de aratat Rehivalan\-a ar�tam ctoua implieat- ii

r :

-0

t

1.

R : r

t

2

..

A U

C

c

B

=}

cC

A

�i

B

cC

B c C ( doua in c luz iun $i aratam ea C Fie x A aarecare [ nu mai avem operat-ii deexpl icitat, de aceea actualizam concluzia : x E C; dar acest lucru nu rezult.1 imediat d i n x E ci dear cu a j u tar u l ipatezei B e e ] =} x E C =} x E B => [p rin ipoteza x B aareeare => x B e e => x E C Fie acum R : 2

A

i

C

E

A

x eA

,

]

AU

AU

eA U

e

Reci proe

)

(. daua implicat-ie ) :

( e ineluziune ) dearatat ea B ee fie x E U B aarecare ( explicitam ul tima apera�i £ daterita ipotezei ) x C x C datorita ipotezei ) r : ave. d e aratat echival en�a aratam daua implica�ii 1

£

r :

avem

AU

R.

e) :

A

e

e

£

5.

0

R: 2

r : R I

Fie

x

2

S

e

r :

!I

R:

(A -

B)

UB

= A

aratam cancluzia B

oareeare

=>

avem d e aratat

B c

=> (a

A

incluziune

xE implica�ia:

.(A - B ) U B B

ara tam a egali tate de mul�imi

Pentru prima plicitAm ultima

incluziune fie x E a p era t- i e ] => 26

C A

(A -

lpot.za.

) , utilizlnd

=> =>

x

E

A

(A -

B)

UB a A

( dauA in cluziun i

B)

UB

aa reca

re

)

[e x -

{ xS:uA )(

=)

e

x

(a) ( b)

_ B

B

nu mai avem opera�ii de explicitat. �e aceea actual�z�m concluzia].Astfel, observ�m c� din (a) rezult� x A , iar din (b), cu ajutorul ipotezei, B c A� se oti�ine de asttmenea A. [

E

X

E

Metoda 2: 1.

A U B ee

(

=)

A

ce

R

$i

=)

c

<=>

C)

ar�tat dou� inegalit�� i intre func�ii� Prin ipotez�, �i 1n plus intr-adevAr, <=} adevArat d eoare e (=> funct iile caracteristice iau doar doua valori: 0 �i Avem-de '

YAUB �

T""c

/

�

v

", ( 1 •

.,.,

Rec:iproc� pentru imp � ica1r ia inversa, adica

rAUII

" �

", ) A

I

0

c

-

trebu�e

1

).

ar�tat C�J

tn

T"" c

!'

(1.

7)

in ipoteza: ( 1.8)

pot lua doar doua valori: 0 $i 1 . Din cele Dar opt cazuri posibile in care trebu ie verificata (1 . 7) , datorit� ( 1 . 8) mai ramin urmatoarele patru: = a) (x) = (x) = (x) = (x) = 1 (x) = c) (x ) (x) = 9 (x) 1 d) (x) = (x) = (x) tn fiecare din aceste cazuri (1.7) este indeplinitA. Avem de aratat ca 5.

lui

b)

9

9

9 (x)

9

I/>

,

9

,

9

A

At.

I/>

•

,:>

A

•

c

C

s

C

II> 11

.

rp c

1

0

•

...

A

...

0

27

0

p


(x )

A

(X)

'Ps ( X ) <;

<=>

PA( X )

I

Pentru implica�ia directa, prin ipoteza, aVeRa + p adicAI Prin urmara: . )= ( datorita valorilor 0 $i care le ia func�ia

p (X) A

= 'P

•

- p (X)"P {X)

(X )

9 (x)

4

-

B

0

4

= p

(X) ,

•

a>

1 pe

p )

=

A

p ( x) s O

,

<=>

ps(x)

(

=

p (x) = 1 A

=>

iar

_

( x) P (A-B>UB

0

(1 .9) deducem :

din

tpA

<=>

(X)

1 - p ( x) .

)

A

p ( x)

'P (x) •

nu putem avea -

+ tp (X) B

tp A

( x)·p ( x ) = tp ( x) B

= 0 - egalitate adevarata

cazuri posibile ramase: a) b)

c)

P ( x) A

1

=

rpA

(x)

=

tpA

( x)

=

•

'P B

rp

'PB

( }� )

A

in cele tre�

(x) = 0

B

(x)

= 1

= 1 =

0

Utilizlnd propriata\-ile func�iei caracterist-ice, sa se rezolve urmatoarele ecua"\-ii $i sisteme de ecua\-ii cu mul"\-im�: IV.

1-

A u

B

{ {:

X

A

2.

A u X

3.

()

X =

)

=

B u X

B

=C

X

=

B

u X

=

C

$i

daca

B cA

daca

B CA c C

28

A

()

C =

f)

{: � �

4.

x

:

:

dac�

B

A

C

C

�

A

C

B

,

y = C

-

()

C

fJ

=

Rezolvare: A u ( B - X

1.

)

= B u X

<=)

9 (x) + 9 (X)'- 9 ( X )'9 (x) a_x . • a-x <=)

+ 9 (x)

9 (x)

a

A

<=> = 9 (x) a

9 (x)"9 ( x ) a x

A

- 9

9 (x) x

+ 9 (x ) x

(x)'''' (x) + a

- 9 (x)'9 ( x ) a x

.

,

Avem

(x) 9C(A.� ...)

A x

d)

B

avem :

(X ) 9 Af'CB

deci pentru a fi indep l ini t

= 0

9 (x) = 0 . x

A�adar orice punct care nu

� i nici l ui B, nu apar� ine nici l u i X. E

= 1

A

�i

�i

9

x. _ B.

(x) AI� tL.B

a.vem: = 1

9 (x) x

=

deci pentru a fi inde p l init 1

•

A�adar, oric. punct din A

-

B

•

dacl.

x

buie � avem in X

_

x

trebuie sA avem

este 1n X c)

�i

trebuie sl. ave.

dacl.

(1.10)

A �i

= 1

apar�ine l u i b)

�

x

9C(A()&)(X) ( 1.10)

(1.10)

de an l izat ur.�toare l e cazuri :

dacA

a)

<�)

- 9 (X)"9 (x) a x

_ A 9 (x ) x

�i

= 0

pentru a f i indep l ini tl. (1.10)

E B

x

deci nici

,

un

punct d i n B

-

tre-

A nu este

•

dac�

X E

A

�i

Deci orice punct d i n A�adar X este de form.

X

putem civea

E B

A

() B

X =

(

9 ( x )- = x

0

sau

If' (x) = 1 x

,

poate �A f ie I n X sau sA nu f ie .

A \ B )

29

U

D

unde

D C A "":B 2.'

A

� " (x) • x

-

-

arbi trar .

X = B <= >

#/> ( x x

A = C



) "., (x)

#/> (X)" x

Pc

A

A

x

=

- (> ( )( ) .

., (x) A

-



x

A

a

<�>

., (x) C

#/> ... ()() - ., ... ()() "" ()() _

_

x

(> (x)

tp ( X )"tp (x)

tp (x)

<=> <�>

#/> ( )( ) A-a

=

(1. 1 1 )

- ., (x) C



( X ) = ., (x ) C -

(1 . 1

2)

Avae de analizat patru cazuri, -dupA cum se vede din tabelul urmAtor:

Cazuri x tJA

$i

tp (x )

#/> (x ) •

0

0

A

p (x) C

(> (x) X

x EA x _B x

)(

E

Deci

1.

2.

0"0=0-0

(A )

0"t=o

1

�"o=o-o

(A)

0

O"t=t-O

t"t=O

,

0

(F)

0'0=0

. (A )

(A)

t'o=o

(A)

(A)

0 " 0 =0

(A)

t"t=t-O

1

O"t=t-t

0

B,

EC

v.

0

1

0 0

x _C

$i

1

1

X = ( A

0

0

0

-

B )

C

A - { x «IN

x -

f

x

-

6n

t"o=o

(A)

0

0"0=0-0

(A)

0" t=t

(F )

1

t oO=O-O

(A)

t ot=t

(A)

7 + 1

,

�a_2n na_

n

e

+ 1 1

30

(F )

(F)

•

2i1

,

t"t=f.-t

1

u

(A)

1

SA se determine ... It-i.milea A - { x cZ

(1 . 1 2)

(1.1 1)

,

Z }

n

e

IN }

3.

X -

3

A = �X EZ -� (

5.

A

6.

A =� ( x,y)

7.

Fie

P(q ) = 15

x,y)

sJ.

3x + 2 2x + 1

51!

eZ

2 2 x - 2xy +3y = B } q eZ . $ti1nd c�

un polinOfll da grad n $i

determine mul�· i _. : P(x) x - q

A = { x EZ

8.

}

z 2 9y - ( x + 1 ) =32 }

EZ X Z

P eZ ( x ) ,

...

(N

x

EdN

n eZ }

,

x -

2 a - a +. 1 a + 1

x =

3a elR ,

A =�x EIR

EZ }

•

•

Indi c a t i i :

Se pune In.eviden�J.

1.

0

parte lntreagJ. �imalJ. . Acest IUCTU

ob�ine .fJ.c�od lmpJ.r�i rile : x

,

10 2n + 1

= 3 -

2n + 1

10 este d ivizibilcu x

E =

4.

deci

EZ

E

27 2x + 1 1

,

4 ,

3x + 2 2x + 1

=

1

�

(

10 2n + 1

EZ

<=>

n

6

Z 4x - 2x - 11 +

< c=>

A

13 } . (x + 1)

2

= 32



( 3y

-

.. e

27 2x + 1

2x + 1

{

EZ

-14

<=>

-2 }

,

{ 0 , 1

27 este d ivizibil cu

<=>

este multiplu de B

9y2_

5.

2

X

deci

)

$i 4x ,

,

Z

3y

x

1 = u

3y + x + 1 = v

CU

x - 1 ) ( 3y + x + 1 ) = 32

u $i v d1v izori ai lui 32 .

31

2x -11

-� ,-2 , -1

deci x $i V slnt SDl�i i ln t regi ale unor sisteme de forma :

{

sa

,

0

+ ,

x

y

-

=

2

$i

0

2y

+

C(X){X - q )

x - q.

He t odD. t:

8.

q)

-

P (x) = C(X)(X

7. ==

= 8

15 . 0eci

+ <=> ax+a P(x) x - q

X 4! ( -Q) ,

-3

Hetoda·2:

A =

1(0)

, cu

-

2-1""3"]

= -3

U [ -3 +

±

0 a � \ { -1}

A

2.

A

3.

A

{ = { = { =

[ [

X E Z

X

EZ

b

a + b

r 2x ]

elR

x

a +

o

=

15 este d ivi zibil cu

1

1

x

<=>

0

<=)

trebui e s� avem

2,1""3,

+Q)

=

f(a)

•

a ++1.

2 a - a

1

d omeni ul lui 1. A se ob�ine din

S� se determine multimile urmatoare ,

1.

a

2� , deduce. :

Cons�der�m fun c�ia

tabelul de variatie al lui f. VI.

+ +

n-i.

1 -

deci • .z

<=)

x

avem

a = x

n-i.

x = aZa_ +a+ a2_ a(l +x) + =

<=) <=>

EZ

a � -1

Pen tru

n

n

R

cind

x ] [ :] } x]=[:]+1}

a , b E<�

:

==

= 2tx) }

unde [ t] este pa rte. lntreag� a lui t.

Folosim inegali t�\-ilel

Reaol.uar i :

1.

(=>

[a ; x ] a + x· [ a + x ] + <=> [: ] a+ < [: ] (

x

EA

<::a>

r--lf �] b

-

ttl ( t < [ t]

(

a (

x

<

r

os.

b

+ 1

x

b

1

ill b J _

<

b

+

b

32

-

a

1

+

1, deci :

,

z.

X

(=)

b

E

A

[ �.]

+ b - a <;

Ap l i ca� ia

VI I .

este

[� ]

<=>

0

+ 1 < >:

f : �(T)

< b

a + x b

[ :]

[� ]

<=>

+ 2

+ 2b - a .

�

T

------+�

<

defin i ta prin

9 A

f{A) =

bijec�ie de la familia par�i l or l ui T 1. fa_i l i a func�i i l or

caracteristi ce defini te pe T. Pen tru demons trarea injectivi tA�ii , fie

Re20lvare:

cu A a)

�

B

•

Din

xo c A

A

$i J

tn primu l caz

� )(

0

B

deducem ca e x ista _B

9.(

xo)

doilea caz , de asemenea ,

sau =

b)

1

9 j1I. •

'I>

3 A

E

X

o

, Pa ( )(0)

a

x

EB

E T

o

= 0

$i ,

A,B

E

�(T)

astfel 1nc3 t : x

_A

0

P•,.

deci

•

p

•

tn a l

•

Surje c tivi tatea revine l a :

Fie deci avem

9

E �

T

�(T)

a.l.

oarecare . A tun ci pen tru

A =

{

x

I p( x) = 1 }

2.

FUNC T I I

-

DEFINITIA FUNCTIEI

o

f n c �i e u

este determin a ta de

denta de

e l emente D

s\lnt

mul�l.mi�

e n ica t i i D � i E si odom iul fun c� i e i , i l a D l a E ca e f a c e c a : :

urma toare l e s m i f

domeniul

trp.l

c

en

ar

f

es te 0

�

E

�i

f

•

av�nd

num i te respe c tiv l eg e

de

corespc n -

r

fiecarui element x € 0 sa-i si ntlmai tmul y € E.

corespunda

un

element

CF)

s pun e c a f un c t 1e este un tri p l e t (D,E, f ), elementele acestui triplet av�nd semn i f ica til e d e mai sus. E. Acest triplet se noteaz� 1n mod frecvent prin f D Doua functii sunt deci egal e daca sunt egale ca triplete , adica atunci c�nd au cele trei elemente consti tutive respectiv egale(�i nu doar legi le de corespondenta ) . e ru subl inia i m port an � a pe care au domeniul si codomeDe c i

se poate

0

:

P nt

0

a

34

�

niul �n defini�ia func�i.i yom da �n cele ce urmeazA exemple in care pAstr3nd lege. de coresponden�A f n.schimbat� �i modificand dear demeniul sau (�i )

codomeniul , putem �nt31ni toate situ.�iil.

posibile , de la aceea �n care tripletul nu este func�i. pana l a

o functie bijectivA . Pentru a ceasta este nevoie sA detaliem mai �nt3i condi�la (F ) , ce caracterizeaz�

0

func�ie .

Putem considera cA AceastA condi�ie este fermatA din deuA subcondi�ii , �i anume: 1

(f )

/i..eca.r1J.i.. e l emen t x d i n domeni..1J. 1 i.. c orespund.e i n sens1J.l de "ce l pu t i.. n

'Un

1.1.1\

eZ ....n t .

e l emen t ". i n codomeoni.. 1J.. _

eu ajutoru1 unor diagram. de falul celor de mai jos , aceasta cond i � ie se peate exprima prin propozi�ia "Din

f i ecare punct al domeniului pleacA

(eel pu\in )

e sageata."

-f

D >:

!{

x

------

• .

�•

f

D

E

x

x

X

X

x

x

------..

---

f

x

:

x,

X

�

.. ..

-

...

E x

)C x

b)

a)

0

•

E

f

D )(

x x

x

X

X

=

.. d)

c) Fig .

2.1

35

•

E )C

X

)(

i ar mai riguros cond i � i a se e x pr ima prin

(f ) 2.

v x

e D

3 y

e:

E

,

y

=

f(x)

A doua subcon d i �ie referi toare l a f 1 n def 1ni�i. func�iei este : e l. emen t u l. di n codonwn i u ce c ores pv:n.de unui x es t e un i c .

(f ) 2 Pen tru

d iagramA de fa l u l ca l or d i n f ig . 2 . 1 1 nseamnA cA s�geat.

0

care p l eaca d i n tr-un punc t est. un i c� . AceastA con d i � ie are for-mu l are. echiva l en ta : .. Dac a doua sa6e t i au ace l. asi punc t de p l ecare a t une i e l e au pune t. de sos i re . ..

si ace l. as i

ad i ca (f ) 2

Cond i Li i l e ( f ) S •

o

�i

v x

1

= )(

2

f(x )

=-->

1

:0::

f(x )

2

( f ) sun t necesare � i suf i c i en te pen lru ca 2

l ege de coresponden �a f

s�

f i e fun ct- i e . Aceste cond i t- i i sun t

U$or de uti l i z a t i n pra c t i ca . 1 n figura 2 . 1 ,

�i

1

l egea de coresponden �a de l a a ) satisf ace ( f )

nu satisfaca ( f ) ; 2

la b)

l egea de coresponden�� nu satisface

( f ) , dar satisface. ( f ) . 1 n d i ag rama c ) nu este satisfacuta n i c i 1 2 ( f ) n i ci ( f ) , t. 2

iar 1 n d )

l eg ea de coresponden�A satisface $ i

( f ) $ i ( f ) , deci est. ( slngura ) f un cL ia . S 2 •

o tuncti e

este deci

un t r i pl e t

corespondenta t s a t 1 stac e ( f" )

t.

si

( D, E, t)

i n care l egea de

( f" ) . 2

SA obaarvam ca aceete dou� cond i � i i sa refera doar l a domen iul func�iei :

(f

1

) - d i n f iecare punct a l domeni ul ui p l eaca ce l pu� in

0

sagea ta ;

( f ) - sageata care p l eaca d in tr-un pun ct a1 domeni ul ui este un 1 ca . . 2

Se �tie ca g ra f i cu l unei func� i i este format d in mu l � 1mea �-

(x , f ( x » ) ,

rechi l or de pun cte

6

f

(

{

=

cl nd x parcurge domen iu l func� iei .

)

x,f(x)

X

E D }

CUM RECUNOASTEH PE UN GRAF I C DACA 0 LEGE. DE CORESPONDENTA ESTE

FUNC T I E ? ( deci daca satisface ( f ) $ i ' ( f » 1

2

Pen tru a raspunde l a aceasta l n trebare vom a.i� ti .ai i n tl i ( pen tru caz u l D

,

E

c

R)

r�spun su l 1 _ a l te .douA I ntrebari :

1 . Fi ind dat x , cum ob� inem - co aj utoru l g raf i c u l u i - pe f ( x )

( ad i ca

i ma6i �a

lui x

( sau

i ma8i n i l � ,

?

daca sun t ma i mu l te ,

� i desigur I n acest caz l egea de coresponden�a f nu este func�ie » Raspuns

:

•

Ducem d i n x

0

para l e l A l a Oy p�n a c�nd aceasta I n t� l -

ne� te g raf i cu l , i ar d i n pun ctu l

( pun ctv l e ) d e i n tersec�ie cu g ra-

f i cu l ducem apoi par_ l e l a ( para l e l e ) �ie a l e acestor para l e l e cu 2 . Rec i pro c ,

sun t imag i n i l e 1 ( x )

�Y

f i ind dat y

l a Ox . Pun c te l e d. in tersec-

,

pen tru a 6b�ine pun c tu l

x avl nd proprietatea f ( x ) = y , ducem prin y d i n pun ctu l

a l e lui

0

x.

( pun c te l e )

Ox,

para l e l a l a

0

( pun cte l e ) de in tersec�ie cu g ra f i cu l ducem apoi

ra l e l A ( para l e l e )

1 ar pa

-

l a Oy .

EXEHPLE:

1 . Un cerc cu cen tru l I n origine �i de raza r nu es t e grafi c ul unei f unc t i i (f ) 1

f: �

-----+. � , deoarece nu sa tisface n i c i cond i � i a

( ex i s� a punc t e i n do�n i u care nu au n i c i

0

i ma6 i ne .

� i'

anume toate pun cte l e p r i n care para l e l a 1 . Oy nu I n t� l n e$ te g raf i cu l ) � i nu este sati s fa cuta n i ci cond i � i a ( 1 ) , pentru ca z

37

exi s t a

punc t . I n domsni u c ar. au mat m.u l. t de H

E ( -r , r )

0

imQ6i ne

( toat. pun cte l e

au dou� i mag i n i )

f

)(

( aeest punct nu are n i ci

0

imag ine )

Fig . 2 . 2

2 . Un cerc cu cen tru l 1 n orig ine $ i de raz� r nu este graC i c ul unei 2

( f' )

Cuncti i

f :

[ -r , r ]

----�� �

. deoarece nu satisface con d i � ia

( de data aceasta nu mai ex istA 1 n d omen iu puncte f�r� n i ci

i mag ine , dar con tinua � ex iste pv.nc t e c are au doua i mas i n i ) .

0

3 . Un cerc cu cen tru l I n oriqine $ i de raza r nu este graf i c ul unei

C unc t i i

f : �

----��

[0

,

t

� i a ( f ) . Codomen iu l f i ind [ 0 ,

�)

, deoarece nu satisface con d i -

�)

aunt I nsa $ i punc t . c.arfl nu au n i c i

4. une i

punc te l e au ce l. mu l. t 0

0

i mas i ne .

i m.asi ne .

� cere cu centro l I n orig ine $ i d e raza r este graf i c ul functi i

f : [ -r , r ]

----�.

[0 , 1 ]

, deoarece t oa t e punc te t e

�.

Un cere eu cen tru l I n origine � i de raz�

unei tunc�ii

:

f

[0

, rJ

----+_

r

es�e grat i cui

[ -1 , 0 ] .

t n toate aceste examp l e l egea d e eoresponden �� a r�mas neseh�mbatA ( un cere eu een tru l I n origine $ i de

x2

tia

+

y2

= r

2

, de unde obt inem

raz�

y = ± (r

2

r , av3nd deei ecua­ _

x2)s/2 ) .

Mod i f i eand doar domen iu l $ i ( sau ) eodomen i u l am pus I n eviden�A •

•

toate .i tuat.. i Ue _-posibi l e , I ncepand de l a a nu f i I ndepl i n i U n i ci •

una d in eond i� i i 1 e ee def inesc

0

f un etie , p�n� 1 a a f i I ndep l in i te

ambe l e cond i � i i .

CU AJUTORUL PARALELELOR LA AXELE DE COORDONATE RECUNOASTEM I NDEPL I N l REA CONDl T I I LOR

a.)

Un

6Ta/ i c

91

( of )

2

ASTFEL :

sa t i s/ace c ondi t i a. C / s:>

Oy

para l e l a

la

6ra/ i c u l

in cel

Un 6ra/ i c

bY

S

(f )

Oy

6ra/ i cu l

i n ce l

d.a.ca o� i ce

i n t i l nes t e

pu t i n un punc t .

2

l o.

nwnai

duso. pr i n punc t e l e domen i u l ui

sa t i s/ace c ondi t i o. C/ :>

para l e l a

�ac a s i

daca s i

numai

d:usa pr i n punc t e l e dom.eni u l. u i �ti l t

d.a.c a or i c e

i n t i l nes t e

un punc t .

•

I

F U N C T I I

U N E I

N V E R S A

Inver.and l ege. de coresponden�A ( invers3nd sen su l s�ge� i l or ) pen tru

0

fun e� ie oar.eare

f

I

D

o fune�ie . Ast f e l , I n of igurr 2 . 3

---�c�.

f

39

E

nu se ob�ine totdeaun a

este fun e�ie , dar

f -�

( ob�inutA prin inversarea legii de coresponden�� 1 ) nu mai este fune�i., deoareee nu sati s f ace (f ) 2

o imagine ) .

( ex ista punete eu mai mu l t de

Cu ajutorul aeestor diag rame observ�m ca inversa nu satisfaee ( f ) ori de c�te ori e x i sta pun cte I n codomen i u l lui f care sun t 2

imaginea a eel pu\- in doua punc te d in domen iu l lui· f Altfel spus ,

/

-1

2

nu sa t i s/ace C/ � ar i deca t e ari

care au aceeas i

d i /er i t e

i ma6 i ne pr i n

/.

•

exi s t a punc t e

Deci :

Pen tru ea invers8nd legea de coresponden�a sA f ie satisfaeuta con d i..;. �_i_a ( f ) este necesar �i suf icien t ca prin f une�ia direeta . ;.;..... . _ .:. z __.......J. pun cte d i feri te sA aibA imagini d i feri te , adica (f )

V )(

3

o

a

1

, )(

2

E D ,

)(

1

� )(

2

===)

1 ( )( ) 1

� f ( )( ) /

2

1 doua situa�ie I n care f - nu est. fun c�ie este atunei c�nd

ea nu satisface condi�ia ( f ) 1

D )( )(

f

--------.. ------.... . ...

--------..

I

D

E )(

)(

)(

)(

)(

Fig 2 . 4

40

f-

1

• •-----------

. .-----------�.------

E

)(

)(

)(

ObservAm cA aceasta 5e Intl mplA ori de c�te ori prin func�ia direct� exi5t� puncte In codomeniu care nu sunt imagini le niciunui punct din domeniu . Pentru ca invers8nd legea de coresponden�A a unei func�ii sA fie satisfAcu� condi�ia ( f . ) este necesar $i suficient ca /une pune adid pr i n

t i a di rec t a sa se cons ume

(f4)

v Y

t oa t e

E B

3

tele

d i n c odomen i u ,

x E D , 1 ( x)

= Y

1 n concluzie, 1 -� satis1ace ( 1 2 ) dacA $i numai dacA 1 satisface ( f :I ) f . sati�face ( f ) dacA $i numai dacA f satisface ( f ) f -· este func�ie daca $i numai daca f satisface ( 1 ) + ( f ) Dupa cum se $tie� func�ie care . satisface ( f 3 ) se nume�te functie inj ectiva, 1unctie care satisface ( f 4 ) se nume�te functie surj ectiva, iar functie care satis1ace ( 1 :I ) + ( f 4 ) se nume�te tunctie bij ectiva . Vedem deci cA afirmatia : -

-

�

0

:I

0

,

4

4

0

functie are inversa daca $i numai dacA este bij ectivA . " are 1 ntelesul cA inversa 1 -· ( care existA totdeauna , ca lege de corespondenra , chiar daca 1 nu este bij ectiva) este func�ie dacA �i numai daca f este bijectivA . Cu aj utorul paralelelor l a axele de coordonate recunoa$tem dacA un grafic este graficul unei functii inj ective sau 5urj ective; astfel : "0

Cc:>

un �a/ i c numa i

es t e 6ra/ i c u l

une i

daca or i c e para l e l a

41

/un.c t i i

i niec t i 'Oe daCa s i

l a Ox dusa pr i n punc t e l. e co-

domen i u l. ui I n t 1 l. � t e 6ra/ ! e u 1. i n ee l. m.u l t c o. /

-t

un punc t

Cad.! -

sat i s/act!) Cf :>:> . z

Cd:)" Un 6ra/ i e es t e 6ra/ ! e u l. une ! /unc t i i surjee t i ue da.c a s f. num.ai

da.c a or i e e

domen i u l. u i co. /

-1

sa t i s/ace -

para l e 1. a

l. a Ox dusa pr i n punc t e l.e eo-

i n ee l. pu t i n

i n t i l. nes t e sra/ i eu l.

C/ X) . 1

un punc t

Cadi -

EXEHPLE:

Un cere cu centrul In origine unei func�ii f : [ 0 r] ----+) [ 0 nu surj ectiva . 1.

,

$�

,

de raz� r este graficul co ) care este injectiv� da r

Un cere cu centrul In ori g i ne $i de raza r este grafi �u l unei func�ii f " : [ -r , r ] -----+t [ 0 , r ] care este surjectiv� dar nu injectiva. 2.

�

Un cerc cu centrul I n o r i g i ne � i de raza r este graficul unei func�ii bij ective f : [ 0 r ] [0 r]. Deci modific�nd doar domeniul $ i codomeniul , cu aj utorul unui cere eu eentrul in origine $i de raza r se pot ob�ine toa t situa�iile, i neep.and de la a nu fi satisfaeuta" n i c iuna din eele doua condi�ii ce definesc 1unc�ie, p.ana l a func� i e bij ectiv� . 3.

,

---+)

,

.

0

0

OBSERVATI E :

f se ob�ine prin inversarea legii de coresponden�a f , adiea -1 f • Y <==c) x • 1 X y cu alte euvin te (2. 1 ) <==== ) y = f(x) = 1 ( y) In cazul func�iei exponen�iale de exemplu , eehivalen�a ( 2 . 1) -1

..

)C

42

-1

devine:

)(

x = log y (2 . 2 ) deoarece inversa func�iei exponen�iale se noteazA prin f ( y) = l og y . Relalia ( 2 . 2 ) d.f ine�te lagaritmul : Logaritmul unui numAr y Intr-o bazA data , a , este exponentul x la care trebuie ridicata baza pentru a ob�ine pe , y . y = a

<===>

Q

-1

•

Q

8

R A F

I

C

U

L

F U N C T I E I

I

N V E R S E

Daca D �i E sunt submul �imi ale lui R $i se figureaza pe ax. Ox domeniul 0 al lui f ( d.ci codomeniul lui f -t ) , iar pe axa Oy codo­ meniul E ( deci domeniul lui f -1 ) atunci graficul lui f �i f -1 coincid , deoarece f -1 nu face decl t sa inverseze legea de corespondent-a ( inverseaza sensul saget-i lor ) . Dar daca figur-am $i, p�tru f -1 domeniul pe orizontala, iar codomeniul pe verticala, deci figuram -E pe Ox iar 0 pe Oy , atunci punct oarecare de pe graficul init-ial 8 f ( care , fara conven�ia a­ mintita este grafic at�t pentru f c�t $i pentru f - 1 ) un astfel de punct ( x , f ( x » devine ( f ( x ) , x ) . Punctele ( x , f ( x » $i ( f ( x ) , x ) sunt simetrice fat-a de prima bi­ sectoare, d e c i pe l�nga 8 f mai ob�inem un grafic 8 ; , dacA �i do­ meniu l lui f -t este pe Ox . Convenind sa figu��m do i11e tuturor func�iilor pe Ox rezulta ca 8 f este grafic al lui f Cu aceasta convent-ie graficele l ui f �i f -1 sont simetrice fat-a de prima bisectoare . un

men

Q

-1

•

43

P1 E T 0 D E

A R A T A

A

C

A

B I J E C T I V A

E S T E

F U N C T I E

o

t.

P E N T R U

U t i l i zarea de/ i n i t i e i .

pen tru s tud iu l inj ectivitA� i i veri f i cAm d acA 1un c� i a sa tisface con d i � i a ( f ' .

•

.

pen tru stud i u l surj ectivi tA� i i veri f i cAm dacA este ..

1 ndep l in i tA cond i t- ia ( 1 )

2.

.

He t oda Bra/ i ea .

pen tru stud i u l i n j ectivi tAt- ii u t i l i zAm propo z i � i a e � pen tru s tudi u l surj e c t i v i tAt- i i uti l i zAm propo z i t- i a d�

Observa�ie importan tA :

DacA u ti l i zam metoda gra f i cA es te

esen� i a l , pentru fun ct- i i d e f i n i te pe ramuri , sA trasAm c�t mai e>:act g raf i cu l 1 n j uru l punctu l u i

( pun c te l or ) de l egatura d i n t re

ramuri .

Exemple :

1 . Fun c� i a

1

:R

--... R

f(x) =

,

dacA

x

�

1

dacA

>:

>

1

este inj ectivA , dar nu este surj ectivA . Bra f i cu l este 1 n f igura 2.5 a) .

2 . Func�ia

f

: R

--.... R

,

f(x) =

44

{

3x

1

dacA

x � 2

2x

1

d a cA

x > 2

este surj ecti v� , dar nu est. inj ectiv� . Sraf i cu l est. 1 n f igur. 2.5 b) .

3 . F un c� i a

f

: �

---+.

� ,

f(x) =

{

2)( + 1

dad

x

S 1

)( + 2

d.c�

x

> 1

este bij ectiv� . Gra f i cu l este 1 n f i g . 2 . 5 c ) .

, • 3

/ I

b)

a)

/

c)

Fig . 2 . 5 3.

Ut i t i zarea t eoreme i

o f un c�ie stri ct monatan� este inJ .ct-

tiv� . Pen tru stud i u l surj e c t i v i ta� i i veri f i c�m dac� fun c� ia es t. .

'\

can-

tinu� � i 1 n caz a f i rma t i v ca l cu l am l im i te l e la e )( t reai tA � i le domen iu l ui .

45

E x amp 1 u :

f ( )( )

SA arj, t�m cA

(- � , ; )

f:

tg x ,

=

---.... IR

este bij ectiva . f' (x)

( i ) inj ectivitatea : deoarece

1

=

este stri ct

2

cos x poz i tivA , deducem c£ fun c�ia este stri ct crescatoare , deci ,este inj ectivj, . ( i i ) surj ectivi tatea :

fun c� i a este con tinua pe tot d omen i u l de

def in i�ie. deci are proprietate� l ui Darboux �i

1 im

f(x)

=

-

x -1l/ 2 x < 1l/Z

de unde rez u l tA cA este surj ectivA .

4.

f ( x) =

l im

,

CD

x _ - 1l/ 2 x > - 1l/2

D

Ut i l i aarea propoz i t i e i

CD

este b i j ec-

E

---�.

tivA daca �i numai daca v Y E E

ecua� ia f ( x ) = y

are

0

so l ut. ie un i ca .

( ve z i manua l u l de a l gebra c I s . X I I )

E x emp lu .

fun c�ia

f-

A

D

Fie :

0

::I

Q

x

•

D

Q

� i matri cea A ,

este bij ectiva ( a l gebra a l s .

f

-

A

(x ,x ) 1

=

2

=

( 3x

(: t.

2 1

x

2

)

. Atun ci

, 4x t

+ 2x

z>

XI I) .

SA observAm ca 1 n propoz i � i a uti l i zatA l a acest pun c t , a f i rma�ia "ecua�ia f ( x ) = y are so lu�ie It asigura surj ectivi tatea func� iei iar a f i rma\.ia It so lu�ia este un icA" asigurA inj ectivitatea . 5.

g o f =1

Ut i l i aarea propoz i t i e i D

atunc i

f

:

OacA f , g

: D

--_I

D

este inj ect1va �i 9 este surj ectivA .

c l asa X I I ) .

46

$i ( a l gebrA

E XEMPLU .

Fie

�------+.

fA ( x

1

D

, x ) = ( 2x 2

D

Z x Z

A

�i

(

a

)

_:

2

- 1

.

A�unci 1unc�ia

def in i t� prin + 3x

1

este bij eetiv� .

c

2

-

'

X

2x ) satis face

1

f 0 1

A

2

A

( a l gebr� , c l s . X I I )

SA observAm cA propo z i� i a uti l i zatA l a acest pun c t peate f i genera l i zatA astfel

:

" Fie 1

:

D

-----... E , .g

E

I

-------+.

F

ast1el I n-

cat g 0 1 este bij eetivA . Atune i f este inj .etivA $i 9 este surj ectivA . N

EXERCI TI I . I.

SA se traseze g raf i ce l e u rm�toa re l or f un c� i i � i sA se $pe�

ci f i ce 1 n f iecare caz I n par te d ac� fun c � i a respeetivA est. inj ec� ti vA., surj ectiv� sau b i j ectivA . =

(

+ 1

1.

f(x)

2.

f(x)

3.

f ( >: )

=

min ( 2x

4.

f(x)

=

min (

5.

f(x)

::II

6.

f(x) =

7.

f(x)

8.

f ( x ) - � iQ ( -2_ t _x

9.

1(x)

=

min max

- 1

=

-=

�tg

(

3x

Ix t

x

t. < )(

inf

in f l < )(

min

X

-2 < t < x

(

X

,

1

2x + 3

,

3 , 4x -

31

z

, 4x

5 )

2 2 t + 2t + 3 )

(t + 1) 2 t + 1 t

Z

2

It - 21 t

)

+ 2 , 3x

2

)

"

( t + 7)3

47

,

,

x

2

[x l

2x

-

)

)

1 0.

f (x)

::z

11.

f ( x)

-

1 2.

f ( x ) ::z

sup

o< , <x .ax � .:s , :sx

(t

.. x

-

2 arctg

t )

sin t

-"/ 4St. �

RE2Q.VARI.

Sa $tie a . .in ( u ( x ) , v ( x ) , ... ( x »

{

==

u ( x , dacA u ( x ) :S v e x ) $i u ( x ) :S ... ( x ) :S u ( x ) $i v e x )

v e x ) dac4 v e x )

:S ... O e )

... ( x ) dacA ... ( x ) :S u ( x ) $i ... ( x ) :S v e x )

Pentru a explicita .. i u$or condi�iile din inegalitA�ile asupra lui u , v $i ... procedAm astfel

:

1 . fac.. tab loul cu semn.le func�iilor u

2.

-

v ,

u

-

... $i v - ...

uti l izand tabloul e x p l i ci tA. U$or inegalitA�ile, deoarece

1.

u( x )

Pentru

tab l OId urMtor

x + 1

==

I

,

v h c) = x

1

x

2'

2

+ 2

$1

... ( x ) = 3x

1

2

o

o

av�m

u ( x ) -v ( x )

u ( x )-.. h c )

+

v e x , .... ( x-)

+

deci l a) x e b) x

•

(-CD ,

(i-

�]

, 1

]

�

--.

0 +

+

u ( x ) :S v e x ) $i u ( x ) � H ( X ) , deci f ( x )

u( x )

:S v e x ) $i u ( x )

48

:S H ( X ) , de c i f ( x )

=

=

+

H( X )

u(x)

c) x d) x

e

&

( 1 , 2] (2 ,=)

�

�

1(x)

...

u( x ) � v { x ) $i u ( x ) � "( x ) , deci f ( x ) =u ( x ) u ( x ) � ve x ) $i u ( x ) � "( x ) , deci 1 ( x ) - u ( x )

{

3x

x

+

1

dacA x � 1/2 dacA x > 1/2

Pentru expl icitarea lui 1 procedAa ast1el l ( 1 ) fac.. tabloul de varia�ie Al func�iei y e t ) ... t2 ( 2 ) consider3nd pe x 1 n primul interval de monotonie ( dedu9 din tabel ) la dreapta lui -1 ( deoarece ns intereseazA doar valorile t � -1 ) cal culAm minimul lui y e t ) pentru t E [ - 1 , x ) . ( 3 ) consider3nd pe x 1 n urmAtorul interval de monotonia cal culAm din nou maximul lui y e t) pe intervalul t E [ - 1 x ] etc. +00 x o x -CD t -1 + + + 0 + + y' 1 \ 0 I y 5.

,

a) pentru primul interval de monotonie , x

( -1 , 0 ) , func�ia Z y ( t ) = t are pe intervalul (-1 , x ] un singur punct de minim , Fiind un singur punct i n t = x ; valoarea sa este y ( x ) = x 2 de minim el este $i minimul g lobal ( absolut ) al lui y ( t ) " pe in­ tervalul [ - 1 , x ] , deci valoarea lui f este f ( x ) x 2 , pen tru X E ( -1 , 0] . b ) pentru al doilea in�erval de .anotonie , x E (0 - , = ) , func�ia y e t ) = t2 are pe intervalul [ -1' , x l un singur punct de minim, 1 n t ... 0 I valoarea sa este y eO ) = o. Fiind un Bingur punct de min�m, avam f ( x ) '" O ' pentru x E ( 0 , = ) , deci E

-

49

fIx) =

{:

Sa observam ca d i n

func�ia g (x ) =

z

dac� x

e

(-1

, 0]

dacA x e (0 , cc )

a ce l a� i tab l ou de varia�ie putem e x p l i ci ta

' _ l _x

�a � t

2

•

As t f el

:

( -1 -_, 0 ] fun c\. i a y e t ) = tz ° are un singur ma x i m , pe [-1 , x ] I n t = - 1 ; va l oarea sa este M = yet) = 1 Dec i q(x ) = 1 , pentru x e ( 1 , 0) 2 b ) pentru x e ( 0 , + � ) , y e t ) = t are doui punc te da ma x im, In t = 1 $ i tz= x ; va l or i l e l or sl n t M2-= y ( l ) = 1 $i ' a)

pen tru x e

•

•

-

M =

2

y ( x ) = x 2 • Va l oarea l ui f g(x ) = .a x ( l

Rezul� g(x ) =

E.

Deci g ( x ) =

9.

y ' (t )

ye t )

pen tru x

1

I

aaa x ( 1 , dacA

x

2

e

dac� x e

( -1

, 0]

(0 , 1J

,

( -2

, 0]

,

;

e

[-1

c·

, 0)

dacA

X E (-1

da c�

x ) ·1

, 1)

y e t) = x

o

o

o

"

x l , In t = x

pen tru x > 0

=

dacA x > 1

\

(0 , +cc ) .

dacA x > 0

x )

x

::5-

e

dacA x

-2

pen tru x E

[-2 2.

x

Din tabelul de varia \. i e al lui

t

1.

{

,

g l oba l , daci :

este max i mu l

+

+

+0)

+

+

, y e t ) are un singur minim pa in tervalul X

va l earea sa este m = y (x ) =

y e t ) are un singur m i n i m , pe

50

[-2

,

4

x] ,

1n

=

t

0

;

valoarea sa este m �(.)

{

-

= yeO)

•

)(

o

[ 16

= o.

dac�

)(

dac� t·

)(

Analog , pentru g ( x ) :e - 2 !f!x (t =

get)

1 0.

y e t)

deducem : ( a ) dac� e

,

(0

(b) x

S

,= 0

(0

e

+

I

+

I I

I

�

+

+ co

t. ) 0

--

-1

.

,

f(x)

,

) , x 2 In

func�ia

CD

=

x

y e t) are dou� valari supreme :

•

X

= o

II.

+

x I

1

( 0 ,

re $i M = y ( x )

Deci

, 0)

. func�ia y e t ) = t2 In t are, pentru ] -re yet) = O. un singur supremum S = t.Ii. -to x

x]

E

( -2

E

t2 In t

y e t) =

0 -1/2e

)(

dac� )( > 0

)

(x + 7)-

\

I

\

0

.

lIre

II

(t)

ave. dac�

t4

)( I

( -2 , 0 )

E

> 0

+ 7)3

de varia�ie a1 lui

0

t

t

16 max ( 125 '

tab 1 ou 1

Din

y'

125

Deci '

SA · ..

studieze

, x

2

In )(

)'

bij ectivitatea

51

x

E

e

(

(

pentru :

0 ,

-1

of

-1

-re

II

.:

CD

] )

o ·1 .

f(x)

1 x

f(x)

3.

f(x)

P h t ),

==

-

P

,

R

x +

log ( G

Q

fiind un polinOia de grad i_par .

�X2

+ 1 X

)

E

Q

x e lR \ C

!S.

f(x) = A-x

f

I

s IR

s IR

• -----+ •

III.

e

x

f(x) -

6.

0

-

,.

x

2.

x =

f(x)

:z

A-x

unde

+

(!

A =

unde

f ( x , y ) = ( lg x + 2 - 1 9 Y

(R2

A =

,

:3 - 1 g

U x

sh (. x )

2.

ch ( x )

x

e

=

-x

e

( s i nus h i perbo l i c )

2 e

:I.

x + x e-

( cos i nus h i perbo l i c )

2

x

th ( x )

e

=

e

4..

e th ( x )

-

e

-x

x + -x e

eX +

x a-x

( tangenta h i perbcH i eA )

( eotangeta hiper bo l i cA )

e

$1 d

..

1

4

9 16 ...:

2 - 1g

]

Y)

SI. 5e s tud ieze i nversab i l i tatea f un c\- i i l or h i perbo l l. ce :

1.

3.

1 :3

serie invers.le l or . 2 f(x) - x

I V.

52

-

x + 1

,

f 0

:

. .

[� [� 2. 3.

f(x) = 4.

f(x)

-

5.

f(x)

=

,

CD )

,

CD )

•

lR

• R

ArAta�i cA

O ( x )_ �

�i

5.

/x

-

3

4"

,

1 1

f(x) -

co incide cu invar sa ai .

x + x

Deter.ina�i parametri a , b , c , d astfal I n cat ax + b cx + d

sA coincidA

ArAta� i cA func�ia f 4

31'1

x

dacA x e

,

cu :

inversa Ri .

(0

,

[�,

Pa ce subinterval fun c� i a

l/x

- -I 2x

-

1

-------+.

1 ]

13n--

31'1

f ..

]

R

def in i tA prin

esta bij ectivA .

[- i- , CD)

est. bij ectivA ?

Pen tru a U$ura ra�iona-.n tu l ,

se

•

R

h

sc i�eaz A g raf i cu l l u i f .

Se uti l 1 zeazA formu la de - descompunere a radica l i l or supra±

pu� i :

unde

+

Bun t inver.. una a H :.ia .

I NDICATII . 4.

1

2"

B

53

,

f'IONOTON I E 9 1 I"IARG I N l RE PENTRU S I RUR I 5 1 FUNCT I I

Un � i r este 0 func � ie def i n i t� pe "�l � imea numerel or natura l e .

Domen i u l unei astf e l d e f un c� i i est. deci mu l � imea numere l or natura l e � . Codomen i u l �i l egea de cor.esponden�� pot fi oarecare . ! n ce l e ce urmeaz� vom considera doar � i ruri de numere rea l e , &d i c� $ irur i avl nd d rept .codomen iu mu l � imea IR a n umere l or rea l e . f

: IN

---.... IR

S I R DE NUMERE REALE

Pen tru astfel de fun c� i i , domen i u l � i eodomen i u l f i ind totdeauna ace l ea� i , mai trebui e pree i z a � doar l agea de coresponden �� f , ceea ee revine l a a preciza mu l � imea va l ori l or sa l e : f lO)

,

f(l)

,

f(2)

,

•

•

,

•

f (n )

,

•

•

•

IN. 0

+

00

1 ...

f (O ) 2

f(2)

3

f en ) n·

1(1)

- 00 Pen tru eomod i tatea serieri i se noteaz� de exemp l u : f lO)

=

a

1

,

f(l)

=

a

2

,

, fen)

=

a

n

,

. .

.

Deci pRn t ru a eunoa$ te un $ i r este necesar $i suf i cien t s� eu-

54

o

noa$ telD 1RU 1 " i m.a 'Ia l ori l or sa l e :

a

•••

,

a

'

n

Aceast� mu l " ime se noteaz� prescurtat cu Prin urmare un $ l r este un caz parti cu l ar de fun c r i e . Trecerea de l a

0

func�ie l a un $ i r se f ace astfel : ' 1 n l ocuind domen iu l D cu � I n l ocuind codomen i u l E cu � I n l ocuind variabi l a x cu n ( sau cu m , sau i

I n l ocuind f ( x ) cu a

(s ) •

COOOW ENIUL

OOM E NIUL

, etc )

VA. I A.XLA

Functi..

D

E

...

S \' 1"

IN

IR

n

n

CORES P .

DE

LEOEA

f(x)

r .

a

n

t n ce le ce urm.az� yom uti l i z a .cest mod de trecere de

f un c " i e oarecare l a un $ i r , nie

,

0

pentru a ob�ine no�iun i l e de monoto­

m�rg i n i re $ i i imi tA a l e unui $ i r d rept cazuri par t i cu � are

I n mod Irecven t lune t i e . sia

£X£J1PLU:

f(x) =

la

x + 3

Zx

L ui

pu t em. a t asa unu L

ob t i nu t a pr i n a

n

$i ru l u i

i n L ocu i rea

sir

Lui

n

('a :>

...At

n n�

cu x

o

i n expre-

('a dev i ne I('x):> . n

a

n

=

n + 3 Zn +s

+ S

Totu$i ex ist� $ i ruri c�rora nu I e putem ata$a acest procedeu . D� exa.p l u

a

n

=

nt

0

func� 1 e prin

eu aj u toru l func"iei .t�ate unu i $ i r putem rezol v& mai u$or prob l eme l e de monoton ie , m�rg in i r. $i convergen�� a $ i ruri l or , �

a$a cum vom vedea 1 n ce l e ce urmeaz� .

55

Uti l i zaraa unei 1unc� i i pen tru stud i u l monoton i.i , �rg i n i r i i � i a l imitai unui $i r ofer� avanta j u l u t i l i z�r1i derivat.i � i

�

a tabe l u lui d e varia ie . Pe de a l t� parte , este uti l s� observ�m c� ati t monoton i a ci t � i mArg i n i rea $ i l imi ta unu i $ i r sun t cazuri perti cu l are a l e

�

ace lora$i n o iun i defini te pen tru 1unc� i i . AceastA par t i cu l arizare

�

1

se ob in. cu aj utoru l ce lor petru atape

�

4

lDen ionate .

(s ) - (s )

l atA cum 5e ob ine aceastA part i cu l arizare , Ma1 i n tai pen tru

�

�oton ie $i IDArg in i re , apoi $ i pen tru l im i tA .

S I RUR I MONOTONE

F1.JNCT I I I1ONOTONE

a ) fun c\- i a f : D

_

fR ,

D S fR a ' ) � i ru l

este monoton cresc�to a re dac� :

Vx 1 , x 2

e

"

'

D . x �x

2

__

f

( x t ) �f ( x 2 )

f : IN

_

IR este monoton

crescAto r d a c� : Vn

1

,

2

n e IN , n

i.

�

2

a

--.

n

1

� a

n

2

.

(1)

DacA este I ndep l in i tA cond i ia ( 1 )

�

1

2

l ui nd i n pa r t i cu l a r n =n � i n =n + 1 deducem �

.n

S

a

1"1 +

(2)

pen t ru ori ce n

t

1 n con c l uz i e

(1)

(2)

---,

�

Este ad ev�r atA � i imp l i ca ia re-

�

ci procA . Demonstra ia ai se poate deduce d in urmAtor u l exemp l u : dacA es te i ndep l i n i tA ( 2 ) $i l uAm n �7 , n = l l , avem n � $i d in aproa2

1

2

1

pe i n a p ro a pe a �a , a �a , a � 7

$i a

10

�a

11

·

•

7

, deci a �a (1)

Prin urmare

�

<

•

1t

Q

0

i. 0

•

->

(2)

Deoarece condi i i le ( 1 ) $i

•

(2)

sun t ec h iv a l en te , i ar ( 2 ) este mai

56

comod� , pen t r u d e f in i t- i a � i ru l ui cres c � tor se u ti l i z eaz�

monoton

aceast� con d i t- i e . Da r

nu trebuie

s� p i e r d em d i n

vede r e c� sa este

echiva l en t� cu

acea

se obt- i ne d i n

c ond i t i e care

d e f i n i � i a mon o to-

n i.i f u n c� i i l o r , pri n Cs ) s

z�r i l e

•

(s )

-

,

parti e u l ari-

c e caracteri'

zeazA t rece r e a de l a

func t- i e l a

�ir . - IR , DSIR este

b ) f un c t- ia f : D

b ' ) $i ru l

•

2

•

-=> f ( x

2

) 2!f ( x •

IN

IR este morio-

_

ton desc r e s c�tor d A C� :

monoton desc r esc�to a r e d ac� : Vx· , x 'eD , x !: x

:

f

2

'In

)

t.

, n eIM , n !: n S

2

==> a

2

Se pea t e ar� t a

n

FUNCT I I

a) f : D

M ARG I N I T E

---+

IR

,

n

2! a

S I RUR I

D S IR as te

a ' ) � i ru I

f

(3) 2

CU I e

p.n t ru or i ce n

n+S

n

cA a c e ast� cond i -

� ie es t e ech i v a l en t A a

2! a •

IN

(4)

M ARG I N I T E IN

:

IR

--+

es te

marg i n i ta i n f erior d a c� nu

urg i n i t i n f erior d .. c� nu are

are v a l ori s p re - 00

va l o r i spre

3aSR , VxeD b) f : D

,

---+ IR ,

f(x) D S IR

, ad i c� 2!

3a elR , 'In eN

a ,

-

f

e s te

:

00 , a

IN

. d i c�

2!

n

a

---+ IR

este

mArg i n i t� su perior d a c � nu

m�rg i n i t s u p erior d a ca nu are

are va l ori s p re + 00

va l o r i spre + 00 , a d i cA

3beIR , VxeD c) f : D

---+ IR

f ( x )' �

, ad i c�

3befR , VxefN

b.

, D S IR e s te

c · ) $i ru l

marg i n i ta d a ca este ma r g in i t�

57

f :

a IN

n

�

---+ IR

b est.

aArg i n i t d a c � este .argin i t in-

inferior �i �uparior, adic� 3a, beR,VxeD a �f ( x ) � b , eu a l te euv i t interval [ a , b ] I n care sunt

s

ferior �i u 3a , befR , Vn elN SAU

n e e x i s t� un

I

toa te va l o r i l e fun e t ie 1 .

3

II

M)-O , VneiN

pe r i a

,

or ad c� an

�

i

� b

� M

l an I

este, in ge- I nera l s i me t r l c . d e orig1ne, I . i d a r 1 1 putem considera astfel I l� 1n d d i n extremit��1 suf i e i en t de u l n Beest eaz I (a,b] dev i n e [-M M) I· ! Ace

st

i n t erva l

nu

f aLa

• .

rg

I

una

t

m

.

!

,

i a r eon d 1 � i a d e m�rg i n 1 re are

forma:

-M � f ( x )

3 M>O , Vx eD a:

adi e 3I'1>O,VxeD

� M

�

If(x) I

M

METODE PENTRU STUDIUL MONOTONIEl SI MARGINIRI I METODE PENTRU I Ii---

I

�-------;

METODE PENTRU SI RUR I Studiul monotoniei I 1 . Utilizarea defini�iei 1 ' . til i z a ea definitiei : x x se com- se campara diferen�a a - a Para diferen�a f( x ) - f ( x ) zero, iar cu tercu zero. Aceasta se poate' face meni pozitivi putem compara c8tul a j o r i succu unu.Putem face cesive, sau aplic�nd teorema lui rari �i majorari succesive,sau sa I Lagrange functiei f interva- aplicam teorema lui Lagrange funcFUNCTI I -=---, I

_ _ _

sa

con s ide ra

J.

:

�

•

___

2

r

U

�i

J.

•

2

prin minorar i � i m

ar

eu

a

pe

58

n+ �

n

pen t ru � i ru r i

n+ 1

I a

n

mino-

..

2.

Uti 1 i z area tab l ou l u i de va-

cum

2.

stud i em

derivabi l e ) Dup�

$irului considerat e U t i 1 izarea tabl oului de varia-

r iei ata$Ate

.2

luI [ x , x ] .

se $tie , din tab l ou l

monotonia

f un c\- i-ei ata$ate

$ i ru l ui dat $ i uti l i z3nd cri teriu 1

da variar ie a l unei f un c \- i i

c u $ i ruri se deduce c � aono�onia

derivabi l e ave. in forma \- i i

� i ru l ui este d a t� de .anotania a-

exacte at3t des pre IRonotqni e

ceste i f

cat $ i despra m�rg in! rea une!

[ 0 , =) , ( vezi Metoda 1 0 ponctu l c )

func:� i i . 3.

u

Uti l i zarea teoreme i l i Lag range :

3.

u

o C: \-i i

U t i l i z area

,

pa i.n ter-va l u l

teoremei l ui �ag range

i

permi t. i n l ocui rea d f e ren\-ei f- ( x ) - f ( x ) cu f ' ( c ) 2

..

se compara apei

cu

,

care

zero . Stud i u l m�rg i n i ri �

1. 2.

Ut i l i z area def ini�i ei . Util izarea tabl oului de variatie. .

. U t i l izarea definitiei . 12' . U t i l izarea tabloului de l'

1

1

3'

. D a ca

tr-un

$iru1 se

descompune 1n-

numar f i n i t de sub$i ruri

m a rgini te , e l este

4'

. U t i l izarea

Daca

.

un $ i r este monoton ce l pu\- in

marginirii

rezo l vata $ i anume :

a ) da c a tor , e l

59

m�rgini t .

mon oton iei

j uma t a te d in pro b l ema este

varia-

$irul este monoton crescaeste marg i n i t in ferior de

I

prillUl

t.ernaen $ i mai t.rebuie g�­

' s i t.A doar marginea 5uperioar� . b ) dac� $ i ru l est.e monat.on descresc�t.or � e I este m�r9 in i t superior de pr imu l t.ermen $ i mai trebu1 e g�s i t� doar marg inea i n ferioar� . C ) DACA $ I RUL ESTE MONOTON DESCRESCATOR $1 CU TERMEN I POZ I T I V I , EL ESTE MARG I N I T .

EXERCITII :

I.

Stud i a t- i mono ton ia $ i m�rg i n i rea fun ct- i i l or :

C·

+ 1

1.

f(x) =

2.

f(x) =

)(

3.

f(x)

( In x )

4.

f(x) =

=

4

+ x + 1

I

+

I.x Ix

3x tn

-

x � 1

d a c� ·

x > 1

I

4

x

f

,

mx + n 2+ -

..

[ 1 � co ) :

f

,

X + 1

5.

f(x)

6.

f ( x ) = arctg x

=

2

dac�

2

-

-

-0/ 2x f

5 ..

,

,

•

IR

..

f •

IR

IR

IR

[ 3 , co )

(- �- ' ; )

Ras p"I..ms "U.r i :

3.

Putem scrie f ( x )

=

e

tn x In(ln x>

variat- ie :

60

$ i avem tab i ou l de

,

IR

)(

1

f' (x)

func�ia

6. 1

-1/.

e1/. nu

,

co )

.

IA

Fi )

e

- f(

)(

< )(

1

x

2

et./ · ) $i

,

Pen tru

a

l '

E �

_

2

x )

ob� ine semnu l

( sun t l ndep . l in i te

1

2

1

)(

2

) =

deci fun c � i a este crescatoare .

n

3.

an

4.

an

date , teoremei ) 1

cond i t. i i l e

1 --- ( x 2 .. C 1

-

x

2

)

< 0

Stud ia\-i monoton i a $ i marg i n i rea $ i ruri 1 0r ..

II.

n

dif.ren�ei

ast f e l I n c� t :

f ( x- ) - f ( x ) = f ' ( c ) ( x

=

= = n

=

In n

n

Tn

determina\-i

an n In n

$1 cel $i

determina\-i

1

rn

I

,

2

putam apl i ca tearema l ui Lagrange fun c�i.i

)

existA deci c

a

(1 ,

Este mArgini tA inferior, IIlinillUl

A + C

•

2

(x

2.

I

est. atArginitA superior.

+ ,ra

pe in terva l u l

1. a

+

+

+

+

UtilizAm for.ula de descompunere a radicali lor 5Upra�i

f(x) =

)(

a

+

sste descrescAtoare pe in tervalul

m - e-t./e $i

5.

f(

-

,

crescAtoare pe f i ind

.

-

1

f(x)

deci

-

-

e 0

mai mi c termEtn a

cel mai

mic termen al $irulu1 .

pen tru

,

61

l $irului .

n

� 2

•

5.

an

(1

=

a E

� )n

+

(0

� iarA e

d

n

bn

=

(1

=

(1

+

) � )nd , n (1 Y 1 ) n , Y f i ind valoarea n n

.,

e

ob�ine a p l i e�nd

sa

x

C

+

, 1)

f ( x ) = In

2.

,

1

r,

+

2

teorema l ui L ag

-

n+Ct ,

c:u

in ter-me-

rang e func�iei

pe in terva l e I e [n , n + 1 ] .

Fune�ia ata$ a tA $ i ru l ui .s�e

f(x) 2 x

'/K

0

Din

tab l ou l de

varia� i. :

1« :)

f(x)

1

2

+

+

I

I

It

3

0

1 (e )

\

"

( eriteriul lui Heine, vezi Metoda 10 , pune�u l c ) ) , t i pu l d e monotonie al $irului studiat. Si rul are aeeea$i monoton ie ca $ i 1un c� i a ata$ata , deei este des erescAtor pen tru n � 3 De oa re ce $ i ru l este deserescator daca n � 3 , pen tru a a1 1a ce l mai mare termen trebuie compara�i doar

dedueem , con form eri teriu l ui eu $ i ruri

•

a2 $i a3

•

Deduceftl

eA eel mai mare termen al �irului este :

a3

= x

varia�ie pen tru a E

l'

(x)

1 (x)

o

ax

Din tabelt.i l de

(0, 1 ) :

+

( -I n a ) o

+ I

-'

I

\

\

uti l iz�nd punctul c ) de la Metoda 1 0 deducem cA $irul dat este lui ereseAtor pentru n mai mie sau ega l cu partea Intreaga a

62

( - I n a ) -1

este descrescAtor

�i

l im

Decarece

d ed u cem

ca

crescator

genera l a EO

•

•

a

,

"

[

termen

[( - I n

de

mare

a

este descresc�to r ,

a) �i

lui

x

= =

r • \,.

n +

2n

l im

iar

,

1

se a rate

st

u

i ta

b

n) 1

+ 1

ea � i ru l ,

este

+ 21n

==

n

c

n

care

� i ru l

•

, este

mi c a

� i ru l

de

termen

crescAtor d a ca a E

pen tru

I si n a

e!lte

=

1

�

x l

sin

x

mono ton

[ n -y

Tl

�lJ .

Ix l �

$i

a

pen t ru

2

=

sin

marg in i t

o r i ee

sin

)(

,

ori eare

z ero .

�Arg i n i rea

. ( 2 -fn �+n )

e

= + CD

es te

� i ru r i l or c

a r eS l. f1

n

1

-

crescAtor �

i a r � i ru l

mono ton i a � i

d i eze

In

+ 1

Lagrange :

s in x

•

sa

1 ,n

+

•

a)

o r i c� t de

este d es c rescAtor

teorema

•

-1] ]

es te

n

a ) -1 ]

[ (-In

( -1n

l im

gen era l

�i

0. ... 1 0. ( .1

0

,

1

c r i c� t

= s i n s in

n

sa se

2.

tI

n

de

1i

apoi sa

,

ar 1 i

n

poate

1 =

sa se demon streze i n eg a l i tatea

x r ea l

a

a)-

i n terva l u l

U t i l i z �nd

I II

•

b

( 0

1.

0. > 0

$i ru l

6.

( -In

0. ... 0

n �

pen tru

n

==

n o

/

n

n

::

2

: In n

2

n

+ n

n + 3 ,..

Ras pu.nsur i :

1.

Si

a n+1

[O, x]

� x

I

�

a p l i ea ta

Lag range sau

x

sin

I

,

=

l eos

1(t)

fun.c ,\- i a i cum

x

�

1

e l

=

sin

este n eg a t i v

deci

dacA

iar

d a ca

sin

n

� 1

<=>

,

= sin a

cresea to r ,

d u pa

x

I

•

x

t

sau

$i ru l

sat i s f a ee

sin

> 0

<

x 0

$ i ru l

63

•

Din

teorema

p e i n tarva l u l poz i ti v ,

re l at i a

se deduce e s te

lui

[ x , O]

s. ob� i n e de

recu ren ,\- A :

ca $ i ru l

crescato r .

este

Ev i d en t

d.. cA

-

-1

este .Arginit l ntr.

I i_i tA 1 n rel a�ia d e 2.

a) f (n

=

•• �

n b)

+

an

fen}

1)

+ 1

Apl ic3nd tearema [ n , n+1 }

intervalul

semnu l

stabi l i t

f'

(x) =

'

(X

I'I+t-

g(x)

I V.

an

II

n+i

=

unde t ( x )

l ui

( 1

+

(

=

(1

_

1

an

1'1+1

+ )X •

,

g ( x)

)

1

x

1

> 0

1

-

+

x

pen tru

•

L

= O.

_

tunc\-ia

$irului ,

Tr�i.

pe

deci

)

-

)(

1 JC + 1

-

1 x + 1 >

•

)

Din tabloul

0 ,

•

\

0

dat ,

f

i

I

-----.. I

este :

creseAtor daea f ( x )

( b)

desereseAtor dacA an S bn

$i

rel at-i. de r.ecuren\-A

$ irul definit prin cu a

Q)

\

I un i n t.erva l oa r-e ca re

$i

deci

at...�A

n

-

x

(a)

d..crescAtor

traclnd l a

_f 1A1t$�e

f' (c )

-

1

g ( x ) :o In (

> 0

d

)n

n

Lagrange fun�i.i a

•• $i

sin L ,

-

+

1 +

-

\

1. Fie

f ( an )

L

+

SA se arate a

)n.t

1

n + 1

, deducem

de mai j os deducem ga

Notand cu L l i.it•

•

derivatei :

adicA semnul lui

deci

,

n

1

racuran�A Db�in..

1 +

(

=-

$i

-

x > 0

f(x)

pen t ru

.pe I

- x < 0 PIt I .

orice n , atunc.i l

64

a

func� ie .

(b

n�OO

l im

n

n

- a ) = 0

(b)

dac�

( c)

s� se a p l 1 ce a ceste raz u l tate .iruri l o r d a te prin 10r-

b

mu l e l e de o

cu

�i

Cl

REZOL VARI : 1.

a

2.

n+1

- a

ce l e

= f(a

n

n

a

re curen �a : 0

)

d a \- i

- a

n

.

> 0

atunci e 1 e au ac ..a$i l im i tA .

=

n+i

b Ian" bn

n+t.

i n primu l caz .

doua $ i ru r i sun t mArg in i te i n tre a

,

.i

b

,

deci $ i ru­

II

ri l e sun t convergen te , deoarece sun t $i monotone . Fie respectiv I

2

rez u l tA "i = to

b2

n

1. 2.

3.

4.

l i mi te l e l or . Din i po teza de l a 2

a

2

n

u

( bn-1a

2

=

( b)

1,

$i

•

$ i ruri l e

(c)

v.

1

b

n n 2

a +

=

termeni poz i tivi $ i : a

n-.

r

> 0 .

Sa se stud ieze mArg in i rea $ i ruri l or :

1 1 1 1 1 , 21 1 1 1 , 1 , sin ( � ) , '2 '

2

'

2,4

1

3

,

5.

cos( 1l14 )

6.

1

0

RASPUNS:

( ch i a r

, a

5

27 S

,

, cos ( cos ( 1l1 4 } )

,

n+i

=

,

,

3

2"

.., 1

+

-(3,

,

a

1.'

II

.. .

,

(

... b

n+' .

II

-

)n

1

1 +

n

a

n

2n

1

1

' n +

, sin

...

, b ,

...

,

4

.., , -12' , ....

2

1

, 4 ,

9

,

... ,

4 ' 4 ' 8 ' 5 '

2

1 ,2

=

'

1

sin

b

3

,

bn

1 + b

2

n

( �2] (

II

,

2'

.1 +

...

...

,

1 n

cu

)n., . - 1 , 0 •

F i e c a re $ i r se descompune 1 n douA sub$ i ruri .Argi n i te

convergen te ,

( con vergen te )

•

avand a ceea$i l imi tA ) deci aunt aArgln i te

3.

-l

I MI T

E

D E

S I

S I R U R I

F U N C T I I

D E

Der in i � i a monotoniei $i m�rg in i ri i � i ruri l or a fost dedus� din def in i� i i l e corespun z�toare pen tru fun c� i i , prin procedeu l ar�tat , de i n l ocui re a l u i x

cu

n

� i a l ui ICx� cu

a

n

.

Cu ace l a�i

procedeu vom ob��ne � i defin i � i a l imi tei u�ui � i r din defini�ia l imi t � i unei fun c� i i . Aceast� metod� de part i cu l ari zare a unai def i n i � i i pen tru func� i i 1n scopu l ob� ineri i d e f in i � iei an a l oage pen tru � i ruri pune i n eviden�a l eg�tura d in tre � i ruri �i func� i i . $i rur i l e f i ind cazuri par t i cu l are de fun c� i i � este norma l ca d.f i n i � i i l e monoton iei , marg i n i r i i � i l im i tei unui $ i r s� f ie cazuri par t i cu l are a l e def i n i � i i l or corespun zatoare pen tru func� i i .

L I M I TE DE FUNCTI I

nef in i �ia l i.i tei une i fun c� i i se bazeaza pe no� i unea de vecinatate a unui pun c t .

66

I n tui t i v , mu l � imea V c R e s t e vacinAtate pan tru pun ctu l x E � ,

cu x

x

(1)

daci. o

(

(a,b)

V

ca c

V con \- in e � i pun cte ve c i n e

(2)

� i 1 n p l us ,

l a st l n g a � i l a d rea p t a

Ev i den t X OE

e

o

)

.

da ca e x i s ta un i n t e r v a l d es c h i s ( a . b ) a s t f e l i n c �t atun ci cel e doua cond � t i i sun t I ndep l i n i te .

V.

! n pa r t i cu l a r , or i ce 1 n terva l desch� s ( a , b ) ce con \ ine pe x --�------------�--------------- ---------------���--------� -----�----o -

�i i , d e c i este vecinatat. pen tru x sat i sface ambe l e cond i � � � -o

---------------- --

--------------

-----

•

Pen t ru pun c te f i n i te YOm considera i n con tinuare ca vecini.ta\-i

in terva l e desc h i se cu cen tru l 1 n ace l e puncte , deci d. forma : V = t

-

( l.

&

l.

+ &)

V

x

( x - 6 , x + 6)

=

0

0

o

� i mu l \- imi care con � in astf e l de in terva l e .

a

Pent,.-u +co n u are sens V = ( co co

-

1&

,

co + 1& ) ,

deci trebuie g As i ta

a l ta forma pen tru vecinata\- i l e l ui +co . Pen tru aceasta observAm

ca l a d reapta l ui +co nu putem considera puncte ,

I n l ocui t cu +co. De asemenea , deoarece co co -

c cu c .

-

e

=

deci co + e t r.buie

co,

I n l ocuim pe

A�adar , vom con s i d era vecinata\-i l e l ui +co de forma : V

=

co

(e

,

co )

� i mu l \- imi care con\- i n astf e l de in terva l e . An a l og , vecinat3.\- i l e l ui v

-co

=

-co

sun t d e f orma : ( -co

,

e)

Defi n i \- i a l im i tei unei fun c\- i i I n tr-un pun ct expriaA cond i \- i a ca atun c i cl nd x s e apropie d e x l.

o

, f ( x ) sa se apropie d e va l oarea

a l imi tei . eu aj utoru l vecinati.\-i l or , -aceasta condi \- i e se d escr i e p r i n I l im

x -> xo

f(x) =

l.

<

=>

67

<=>

.., X E V , X " x 0 =) x

DupA cum ( ••• )

�

o

+�

!

l itera

]

d i n def i n i t i a

corespun z ator pun cte l o r f i n i te

-=.

�i

vecin�t�� i l or

Pentru scrier.a

Conven t. ie : &,

�

o

�i respectiv lui

l itera

E V,

arAtat , pentru vecin�t�� i le V t. � i V x

existA trei forme esen�ia l e ,

,

f(x)

iar pentru scrierea vacin��� i l or

lui

L se f o l ose� te

xo

l ui

se fo l ose� te

6.

Avem deci urmAtoar.l e cazuri : a) iar (=>

b)

=>

x o- finit

x E Vx (2) o

-6 < x - x x = +=

c)

x = -�

-

l

d e ci

condi�i.

<=>

l

i ar

c· )

0

6

x

6

I

V

+

l

I

<

6:

l =* +co

condi�ia -co.

l.

=ill)

v

1(x) e =>

V

=

.l

v

l

&\

t

0

6 < x < x + 6

d

6)

,

x

< 6

,

1.

.&

devine .&

=

(e

co

-=

,

( -ex;)

.& )

f(x)

,

68

45

( l

-

.&

< f(x) - l <

+� )

f(x) >

devine

-

+

-&

(=>

+c:o

Vl V

-

( l

E

<

-

-

< 6

xo

)

x

devine

V 1.=

f(x)

0

o

< f(x)

f(x)

t =

x

=)

finit

- .&

E V

o

x

(=>

+�)

,

dev ine

0

-

x

(0

0

6)

x + 6) 0

,

<=)

0

x +

�

Vx = V -� = ( -�

X

a' )

b' )

-

o

iar condi� ia

<=)

0

V = V= =

=>

o

-

e (x - 6

x E Vx

iar condi�ia

(x

o

<

o

=

x

)(

.. )

0

V

.& }

.&

1. .&

+ c:.� ) < = .>

(. - J-.

<=)

devine f ( x } < iar condi�ia f ( x ) E Toate aceste cazuri apar in tabelul 3 . 1 . c

V

\\

xo

l

\\

Vt=( 0

finit

I

l

I

e

x

I I I

<=)

<=> V

)(

t

x

o

l -c

Vx

0

V

e

x0=

-01)0

x

x

o

£

0

( -co , o )

=

=

x e

x

0

I

.1

V

x

0

x

<

£

I

f

<=> 0

Vt=

(

0

<

I

t

x)

I I I

- ',, .... - .�

V

)(

0

f (

< ;:: ) 6

f ( x ) e V t <-- ....,' > c <=> f ( x )

- 6 , 'X 0 +6 ) c)

- co ,

f(x) 1 ! -

, I

I

1 i

I

x

Vt

0

V

x

x

0

E

f (

<=>

V

x

,

(=>

f)

}

< €I

<=> c

<

= ( 0 . :::0 )

<=)

<=:> £

x

co

I x - Xo I

<=)

x e

6 >

o

-co ,

V

x e

-

=

= ( >�

,

f(x) e Vt

( =:> >

0

Vt=(

( c , co )

<=) x

c

..

= ( - co , o )

x e Vx

<=> x < 6

< =)

f(x) e V

I. V x

<=)

f he ) E V t < => <=> I f ( x ) - q <

I

a

x •

= ( o , co )

<=>

( l - c , l +c ) V

e

x e Vx

<=>

0

V

1-

V, =(

V t <=) ; < => f ( x ) > £

:> 6

I f ( >� ) - L I

( X o - 6 , x 0 +6 ) j

Ix- x o l < 6

f(x)

( =>

V t

E

:II

<= >

= ( l. -£ .. 1. + £ )

<=>

t

<

0

x E Vx

<5

<=>

= ( 0 , co )

f(x)

V

<

x

,

V 1. = < C , IXI }

<=>

Vt

e

(=>

x

1. +£ )

If ( x } -l l

= +co

V

0

,

I x- x o I

f(x)

v

�{

V

1

= + IXI

l

V x = ( x o - 6 , x 0 +6 ) 0

>:

1 i nit

-

l

Tabe l u l :3 .

=

:=

f(x) < =>

{=) :>

6

V ,

<: = >

x) L

(

C

( - co , o )

( - 0::. , & )

x E V <=>

c)

x

x

0 <

( => 6

E V t <=> f( x) < &

Consider�nd 1 n defini�ia ( * * * ) fiecare situa�ie corespunzatoare lui o �i , avem i n �otal 9 forme pentru defini�ia l imitei unei x

l

69

I

f un c� i i .

x

( 1. ) 2, -

x

l im -> x

<=)

o

( l ) 2

f(x)

[v 0

0 ) lim

>

•

= ;:>

-

)

x

0

l im f ( x )

x -> x

(=>

( 1.

5

0

[V x

)

lim

[V

(=)

x

<5

)

l im

>:

(1. ) 7

0

=

f(x)

-> -co

<=>

=

f{x)

x -> CD

(l.

0

[V x

0

-

t ,

&>0

36

l.

=

(t ) •

[V

<=

3 <5

f in i 1:

=>

I

f(

x)

-

=>

f ( x )-l

I

1

<&

]

1 in i t

V E

V

1.

x <6

=)

&

I

f ( x ) - l.

1 (£

1 < 6£

=}

]

+ CD

x;Cx

0

'

x-x

0

= + co

<=>

+00

36

V x>6&

C 1.

+co

=

+

-.

. _ , '

f(x»

&

]

. _ , -/

f(x»

&

]

co

<=>

3 ¢& V x<¢&

f in i t

&

&

3 6 )0 C

- co ,

/£

,

<=>

+ co ,

=

)

l.

= + CD

£

0

V x >,s&

>0 -

,

c.

1.

&>0

=

1ini t

3 6&

- 0;) ,

£

s i tua� i i :

1ioit

v x. ."s x

>0

&

av em u raAtoare l e nou�

3.1

(=>

&>0

=

-

1.

+ co . ,

l im f ( x )- = -CD x -> x 0 <=>

l

<=>

co

[V

tab l ou l

l

f(x)

<=>

( l

[V x

3

-

=

f(x)

> 00

-

<=>

x

f in i

0

x =

l im

x

U t i l i z3nd

,

l.

==

-co

(=>

3¢

&

>0

V

x;Cx

0'

x = + co , 0

70

f(x)

£

]

1

1 (&

]

f ( x ) = -CD

l im

-)

x

-

a

<=) ( l x

p)

l im

[

3 6

V&

&

x = - CD , 0

f(x) = -) -co

[

<=>

<=)

-

�

=>

]

f ( x ) <&

l = - CD

<=)

co

3

V&

&

Vx >6

£

=>

&

V x <6

6

]

f ( x ) <&

EXERC I TI I : I. L

Utl 1 i z �nd d e f i n i t. i a � .� se arate ca : x

-) 5

x -> 1

l im

2.

3.

x

2x

+

3

3x + 2

=

1

l illl (x

14

S. x l->im 0 e.

1

= 2

-> 2

l im -f x + 2

x -) �

4.

1) =

l im ( 3 x

1)2

7.

-1 2

5x

f l im sin

x

-) �

,

= -ex:> = sin a

l im In x = I n a

x -> �

+co

=

R�spun�uri : I n teate �azur i l e ave. - x -f ini t e o

2. a) x

Parcurge. u r.atoare l e etape : part i cu l ar i zAm de f i n i � ia l illl i tei

-> 1

l im

(=)

2x + 3 3x + 2

[

V &)0

= 1

(=>

3 6 >0 &

Ix - 11 =>

I

=�

< 6 &

2)( + 3 3x + 2

- 1

I

< &

]

( � in�nd can t de forma vecinAta� i i ) . b) consideram c)

&

:>

o ·

Garecare ;

f acem ca l cu l e I n expresia

c�utam pe 6

&

f ( x )-l

d� l u l

71

astf e l : .

pun30d 1 n evidlm �a mD-

! x - 1 I I 3� + 2 I • I maj or�m ( minor�m ) ex presia ob�inut� , �in1nd cont c� ne in-

f ( x )� l

d)

I �: : �

=

1

I

-

tere!ieaz� numai ace l . va l ori a l e l ui x pen tru care l' x-x o I < 6& 6& x - 1 I < Deci : 3x + 2 I 3x + 2 I e) dacA expresLa care mai depinde de x este ��rgini�A ( continuA ) I n tr-o vecinatate a lui x e l imina pe x

o

, putem maj ora 1 n continuare , pentru a

Avem :

•

6

&

= 6&

I

3x + 2

.1 < 6& 2

1 3x + 2 I

deoarece i n in �erva l u l [ 0 , 2 ] de exempl u , care este a lui x = 1

func� i a

o

mar-g in i tA :

g (>O

determinAm

f)

aj uns mai

1 3x + 2

g(x) =

pe

[0,2] .

E

6& , pun�nd condit�a ca expresia l a care am

�i care nu mai depinde de x , ci doar de

mi ca deci t

& : 6

6

Drice

de

este con tinua , deci

X

daca

e

£

0 ve c i n a tate

&

6

&

< 2£

care i ndep l ine�te aceasta condi�ie este convenab i l . Putem

exemp l u a l ege

, 6

3

=

&

-&

2

6

sau

&

=

&-

etc .

Pen tru a putea f o l osi � i maj orarea fAcutA func�iei Rezu l ta :

3.

<= )

a)

-

l

x - 1 I I = -+--=3�x-+�2'--:-'1:-

l im

x -> 2

[V

Ix

& )0

+

2 &

3 6 )0

=

2

<

g

,

trebuie

3 & ) ( de exempu l ) . 6& = min ( 1 , 2

deci de fapt

sa avem �i f( x)

sa f ie

6& 3x + 2

3 ) < & min ( .1 , �

<

< =)

V xJ"t2 ,

Ix

-

2 1 < 6& =)

72

->

Ix

+

2

- 2

I

< &

]

b)

Ix +

c)

x d)

e)

;

fie £ > 0 2

- 2

-

c.lut.lm pe

I Ix +

I

' 6

Ix + 2 + 2 6 £ Ix + 2 + 2

<

..

&

I x - 2 I

=

2

6

2

+

2

I

&

Ix + 2 + 2 1 1 , deoarece 1n < 6& 3 6& Ix + 2 + 2

intervalul [ 1 , 3] de exe,.plu, func�ia g ( x ) =

1 Ix + 2 + 2

..te

1 1 �i h+ 2 .(; + 2 6 I:: f) determin.lm pe 6 din condi�ia : £. £ --g- < Ob�inem 6£ < 3£ , deci putem lua de exemplu 6£= £ . Dar pentru a fi valabi l.l $i lRajorarea care am facut-o func�iei g trebuie- s.1 avem $i 6� :S 1 , deci de fapt <>£ = min ( 1 , & ) Rezul t.1 : 6 6 I x + 2 1 -£ = min ( 1 , £ ) < £ £ < < 3 3 Ix + 2 + 2 IX + 2 + 2 deci condi�ia din defini�ia l imitei este $i 1n acest caz 1 ndepl init.l . m.lrginit.l 1ntre

•

4)

a)

<=>

v

l

=

l im

)( -> 1

[

V

1 (x £>0

= GO < =>

1 )2

3 6

£ >0

V

=>

xJll! 1 , =>

1

(x fie £ oar.care ( nu neap.1rat pozitiv deoarece l = +GO , deci b) ( £ , +GO) are !Dens pentru orice & , nu numai pentru & pozitiv ) . c)

1 (x

1

= I

x

-

2 .1 1

73

1

d)

( deoarece se

<

1 )(

pen tru care

<

11

«5

£

1

)

1

=

1

=

=

1

4£

4£

Utiliz�nd de f ini� i a 3 1 . lim 32xx 11 = 2"

101 .

+

lC

,

s�

se arate

:>

1

= £

c� :

1 = lim xx -+ 100 )( -> co 2

2.

-> co

acei x ,

vedere doar

, deci pu �em l ua o£

£

Atun ci :

1n

) .

1

=)

) £

au

co

R�spunsuri : 1 . a)

3x + 1 = 3 2"

lim lC

-)

[

<=>

co

1

2x

V £)0

36

,£;

V

x)6

<=> ,£;

3x + 1 1

=)

2x

-

�2 I

<:

,£;

]

fie > 0 oarecare ; c�ut�m pe 6,£; c) d a rece x nu mai este finit, nu mai putem pune i n eviden�a I x x o l . Vom pro ce�a al tfel : con s i er m inega l i tatea ca inecua�ie i n n e cu oscut a x ( uti l i z�nd If(x) � I faptu l c� x -> deci putem considera 1 2x + 1 1 = + 1 ) . Avem 3x + 1 I f ( x ) � I < £ <=) I 2x 1 � I £ < => 1 1 1 <::a) < < ,£; <=) [ pen tru )( - 2" 2 ( 2)( + 1 ) 2 1 2)( + 1 1 1 1 2£ 2)( + 1 ) 4£ 2£ 1 1 2& ) avem : Deci pentru «5 ( 2" x ) «5 ,£;

b)

eo

-

:

<:

-

.

00

,£;

co

d

a

n

,

�i

2 >:

<

,£;

< =)

<=)

&

= max -

x

-

)

'

)

-

4&

74

£ '

]

2.

a)

x

lim

-) c:c

�I <&

-

3x + 1 2x 1

x

2

+ 1 100

= c:c

X -

<-=)

- 100 > 1 00 ] b) 1ie ' & oar.ecareJ determin�m pe «5 c) exprimAtn p e x din inltgalitatea f ( x ) ) c, : + 1 < => ) c ( putem presupune x ) 100 pentru c'� - 1 00 <=) + 1 - cx + 100& > o . Daca �i x sunt rAd�[v&

< =)

X

&

x x

&

3 «5

V ' x > «5

2

+

1

&

•

2

x

x

--..

CD

)

x

ci n i I e e cua� iei avem

t(x)

)

£

2

x

gr adu l doi ata�ate �i <=> x > ma x ( 100 , )

de

Deci pu tem I ua

x

6

£

2

= max ( 1 00 , x ) 2

1

2

presupunem

x

1

< x

2

,

•

•

L I M I TE DE S I RUR I

Def i n i \- i a

l i m i te i

unui

� i r se deduce d in det i n i � i a

l imi

te i

unel fun ct i i t ac�nd pa r t i cu l ar i z ari I e men � i on a te : (1)

x se i n l ocuie�te eu

(2)

t

eu a x se i n I oeuie�te eu n (3) 0 o �i n i e i n In p l us t rebui e observat cA nu are sens n c�ci n tiind numar nafinit ( de exem p l u , n u are sens n tural , nu se poate apropi.a _� ricl t de mul t de 3 ) . A�adar, din ce I e n oua forme ale limitei unei func�ii se particularizeaza doar trei: cele corespunzAtoara lui x o= + c:c . Avem deci : ( >: ) se In I

oeui e�

n

te

n

o

= -CD

-+

3

,

,

75

0

finit ( se transpune defini�ia � l ) J ( V &>0 3 c5& V n>c5& lim a = ! n -> co n Deoarece 1n inega1itatea n c5& n este numar natural , putem considera �i pe c5& numar natural . Pentru subl inia acest l u cru vom serie n £ 1n loc de ¢c Avem deci: lim a = l ( => ( V £>0 3 n £e IN V n>n => n -)co n u

10

)

l

-

(=

z

>

:>

A

•

c

.

(l

u

)

l

-

(se transpune d.fini�ia ( l » <=> [ V £>0 3 n e IN V n>n £ => an >

+co

lim a = co n -)co n 0

12

)

l

lim a = n ->co n

5

c

=

-co -co

& ]

( se transpune defini�ia ( l » ) (=> ( '1& 3 n£e IN V n>n & => 8

•

EXEHPLE : I. 1.

2.

Uti 1 iz:.i:nd defini�ia, aratat-i ca: 1 l im 3n 3n + 1 = 1

n ->co

l im

1

n2 + n

n ->co

+

1

=0

3.

4.

1i'm

3

= 0 n -)co 2n + 3 lim I n 2 + n + 1 n -> co

=

co

RASPUNSURI :

Adaptam· etapele corespunzatoare pentru limite de func�ii , 1n cazul )( o = +co. 1 1 <=> ( V £>0 3 n IN V n>n lim 3n £ 3n 1 n -)co

1.

a)

+

e

=-

c

fie > 0 oarecare; determinam pe n e IN . c ) consideram inega1itatea: l a - I I < & ca inecua�ie cu necu­ noscuta n : 2 1 2 3n 1 <=> n > <=> < 3n + 1 3 3n + 1 b)

c

c

n

c

76

c

[

n :I

deei

&

2. a)

lim n -) 00

<=> [ c)

n

2

+

1

n

1

::

0 <=)

IN V

n e &

n >n

1 2 n + n

&

<= >

< &

+ n + 1

&n 2 + , &n +

so l ut. i i l e aeestei eeuat i i de g radu l doi n

>

.

n

2

Deei

+

•

&

1

n

oarecare ; dete rm i nam pe

& > 0 1

2

+

n + 1

3

V &>0

b) f ie

]

2 - & 3&

1

-

(n

t

&

<

E

I

>

<

&

IN astfe l l 0

;

&

= [

n

2

]

+

Fie n

t

�i n

2

n ) . Atun ei pen tru 2

avem sa tisfaeuta i n ega l i tatea eonsiderata n

]

•

1.

METODE PENTRU CALCULUL L I M I TELOR

DE FUNCTI I �I DE � I RUR I

l ata aeum ee l e mai f reeven te metode de ea l eu l a l im i te l or de � i ru r i �i de f un c� i i ,

l a n i ve l u l manua l e l or de l i eeu .

METODE COMUNE PENTRU S I RUR I � I PENTRU FUNCTI I

t .

DEFI NI TI A .

1 n eap i to l u l unu a m aratat cum se f o l ose� t. def in i�i.

pen t ru demon strarea l i m i te l or ,

ati t pen tru � i ruri ,

e�t �i pen tru

fune t i i � Comp l etam ee l . s puse cu urma toru l set de ex.rei t i i :

77

Cu ajutorul defini \- iei , studiat- i daca exista IifDita urdtoarelor $iruri �i func� ii : 2 = a 4 . - f ( x ) = rx - 1n 2 �i a .. I n n 100 0 0 = In2 5. f(x ) = cos x 1n 0= "'2 $i x = a 2. n 2 2 X + � = 6. f ( x ) 3. 5 a = I n700- 100 1n x 0= $i x 0 a n I.

1.

X

,..

•

100

n

)(

1t

0

1

-

-

)(

a

==

�toda se util izeaza CD CD , adesea pentru InlAturarea nedeterminarilor de forma -0;, CD � Prin scoaterea factorului comun fo �at se urmarR$te obt- inerea a c3t mai mul te expresii ce tind 1a zero. Pentru aceasta se uti1izeaza frecvent urmatoarele trei limite: dacA 0.)0 l im = daca 0.=0 daca 0.<0 daca 0.)0 CD dacA 0.=0 (2) l im x =

2.

DAREA FACTORULUI

COHUN FORTAT.

-

o

•

(1)

)C

{: { lim x = {

->" 0 x>o

x -> co

(3 )

n -> co

)(

a

a

n

1

0

d a ca 0<0

0

d a ca

1

da c a

co

da c a

x

>!

>:

E

=

( -1

1)

1

> 1

Pentru a avea expresii ce tind la zero se urmare�te a$adar: - obt- inerea a c�t mai mu1 t- i termeni de forma x cu 0.(0, dacA 00. x ob\- inerea a c3t mai mul t- i termeni de forma x , cu eVO , daca x > O. a

-->

a

-

-

£X£HPL £: I.

Sa sa calc:uleze:

78

,

1.

x -> CD

1 1m

3.

.,;,)

11m

n -> CD 7

11m

.

n -> co

li

-

"

n -> CD

S.

2

7n+9 + 9n x + 2 2. lim 9 n+1 7 n+z X2 + X + 5 n -> co n n n + 3n + xn n 2 + 2·3 + 3 S 2 . 1 1 m · , x )O n n .,. n 3n + 3 · 4n + + n -> co S 4 ' n n 4 + 2·a b ( n + 2 ) !4 ( n + 1 ) ! l i m 6 . n + bn 3·a n -) co (n + 2) ! + (n + 1 ) ! · 4 /1'13_ 2 · n 2 - 2 + ;t n . + 1 cS ? � n + 6 · n 5+ 2 + � n + 3 · n 3 + 1

3x

Ii.

m Ix + 2 . � 12 X r.

x -) 0 x)O

8.

10 .

ix

1 1m X )O x -) 0

12 . X 1 1m -) 0

+

3·

x -) CO

T.

11 .

13'X + rx

1n l x l + In / x /

1

I n ( x 2+ x + 1 ) 1n ( x 1 0 + x + 2 )

11m

9.

�3

.

11m

x -) CO

lim x

) CO

-

(x + l) ·

•

T ( nx ) n +

•

•

1

+ eX ) 1n ( x 2+ e2 X )

· ( xTl+ 1 )

]

--

2

n+ 1

In ( x

RASPUNS,,-,RI :

D�nd factor comun pe subunitar . 2.

9.

=

In ( x 2 + In ( x 1 0+

x x

21n x

In

lOIn

c�nd I I . SA .

x

+

+ 1.) + 2)

x + In

t1nde

la

=

ob � 1nem termeni de forma x

9n

In

1 x2 1 + ( x

= li

m

)

1 (1 + x 0

�

cu x

=

0

) expresie care tinde la + !o ) x

se traseze graf1ce1e 1unc � i 11or :

1. f(x)

x2 1

In x1 0 (1 + 1 + !o ) x x

1 1 (1 + x + -x 2 1nfin i t .

+

n

, x

)

0

n -) CO

79

1

""5

2.

n

3.

X

f(x) = lim

f(x)

=

-> co

1

lim n -> co

4.

f(x)

=

f(x)

=

b.

f(x)

=

-+00

l im

n

+ X

lim

+

+ x

1

11

lim n -> 00

5.

2 n+2

+ x

n

n

+

x

>

-1

n

,

X

n n In ( 2 + _ x )

n (x

1 ) - arctg X

-

n

n -> co

7.

f(x)

=

x n -t- .

lim

2 - ln

n

X +

n -> co

n+ .

x

n

3 - 1n X

8 . Pen tru or i ce fun c1;- i e ra1;-iona l a , nenu l a , R ,

cu coe f i cien t- i

rea l i , avem l lim )( -> co

R(x )

=

R ( x +1 )

Manua l c I s X I I

1

3 . AHPL I FI CAREA CU CONJUGATA_

Se uti l i z eazA pen tru I n l a tura-

rea ned eterminAr i l or ce con t i n rad i ca l i . DacA n edeterm i narea provine de l a

0

ex p resie d e f orma :

�U ( X ) - �V ( x ) atun ci amp l i f i cAm cu : (3.1)

+

I n 5copu l e l iminAri i rad i ca l i l or d i n e x presi a i n i t ia l A . Suma d i n ( 3 . 1 ) 5 e numR� te con j ugata d e ordi n p . nacA n edeterm inarea este d a tA de

�u( x } cu p - numAr impar , Pf P - 1 � u

(x)

+

0

e x presie de f o rma :

�V( x )

con j ugata este : -

P

f -Z � uP ( x )

-v( x )

eo

+

•

•

•

Pv f

+ �

p-l

(x)

Un exemp l u de a p l i care a acestei f ormu l e oeste e x .r c i � iu l � � ma i j os . EXERC I TI I :

1.

lim x -) CD

2.

lim

x ->CD

3.

l im

(�

)(3.

1 )(2+

l im

)(

l im x -> - s

i' l.

+ x +

1 + 1

n -)CD lim

a + o

• + 1

)

1

2)( + :5

- 3

�1

/1

-

)(

-

)(

+ r; mp

•

+ ./ )( 2_

2 )( .

� �n �n

C · aorn + •

� )( 9_

-

1

.

)(

)(

n

7.

)(

+

x -> 0

�.

1

�1

x -> 0

4.

2

)(

•

+

a

t

+

1

�n

1

i' n �n

+ 1

+ 1 +

•

1 •

•

+ il

Ie

;t' n

+ k

)

"

cu

a = 0 le

RASPUNSURI :

7 . Se 1 n locuie$ te de . )(emp l u a = -a - a 0

1

2

$i se ca l cu l ea2a k l im i te de f orma : lim n

4.

-) CD

Ai.

rn

C

-

�n

+ i

t n cel e ce u rmeaz� vom

UTI L I ZAREA L I HI TELOR FUNDA HENTAL E .

' numi l imi te fund amen ta l e u rllt�toare l . l imi te.:

l im

(a) a

-

>0

sin a Cl

81

=

)

1

l im

( b)

a -) 0

(c)

l im

(

a

C( -) 0

+ a

1

ct

j. a.

)

1

=

a

=

e

In

a

Observa t i e :

Din ( a ) se d educe : a

a r csin a

l im a -) 0

=

tg c(

l im

. ,

1

a

=

a

-) 0

1

;

arctg a

l im

a

a -) 0

..

1

Din ( b ) 5e deduce : lim

a Din

( c)

-) CO

(

)

1 c(

1 +

a = e

s e d ed u ce : a

U:m

In (

1 + a ) a

Cf -) 0

=

1

!I a

-

)

0

a

a

l im

.

01

=

a 0

a 0

Ct

0

a o ln a

EXERC I TI l :

I.

Sa se ca l cu l ez e :

1. x

3.

) 0

l im )(

5.

' .i. m

7 >:

1

cos

-

l im

l �m

X

-

2

11 .

12

l im x -> £. l im

X -) 0

I i",

l( -) 0

1 0:

4.

cos 2x 2

X

x

m

cos

-

x

1)

8.

l im

sin

1

n -t- 2 X

M

s

-

2

tg

x

X

x -) 11' n

arcsin x

X

l im

10 ..

2

sin X

3 cos x

-

-) 0

pentru d i f e r i te

arc�g x

13 .

B2

x

2

-

2

x

tg x

cos

cos n x

>:

X

x -) 0

cos 11' X + 1

(x

l im

x

cos x

1

l im x -) 0

6.

x -) 0

9.

1

)( -) 0

sin 3x s in ax 1

l im

2.

sin

-) 0

x -> 11'

7.

s in 3 x

sin

2

mx

sin n x

val ori a l e l ui n e �

l( -> n11' l im

arcsin ( tg x arctg ( sin x

)

)

1n ( 1 l im arctg( l x

13

-) 0

In ( l - x ) aretg ( l

x) x)

+ +

x)

RASPUNSURI :

Not3nd a = arcsin x - arctg x observAm c� a tind. l a zero c�nd x tinde la zero, deci urm�rim sA obtinem sin a tn acest seop amplific�m eu sin a = sin ( arcsin x -- arctg x ) = sin ( aresin x ) cos( arct;g' x ) sin( arctg x ) cos ( aresin x ) . v = arctg x , Not3nd cu: u arcsin rezultA x = sin u, . de e i cos· u = / 1 x 1 1 si n v x = tg v , deci cos v = 12 .

,

=

x

,

2

/1

I I . Sa se 1 -

x

lim -> 00

[

X

7.

x

l im -) 0

l im x -)..e

[

(

+

2 2

X

n

1'1 -> 00

5.

+ x

cal cu1eze:

lim tg

3.

::II

,

a a

i

r

2

x

b

+

b

-

In

x

]

x

X

2

X

x

-) 0

2

) +-

6.

1

- 3 .x

2

2

2

4.

+

x

x x 2 . lim ( cos cos 2x ) ctg x ( 1 x )

""4 2

+

1

2

IT

x

/1

z

2 +2.

8.

RASPUNSURI :

+

l im ->

x

0

lim - > - co

- lim '

1'1 -> co

2

In ( l In ( l

(3

+

+

3 3 1'1

+

1

n

3x ) ) x 2

) 31'1

In. limitel. 1n care apar nedeterminAri cu logaritmi , se urmAr�te permutarea l imitei cu logaritmul : 6.

-

83

x

-) - 00

= In

X + 2 )

- [

l im X

1

[ (1

In

=

( permut�m

l ie

x -} - OO

x + 3 )

+

lrKS

�]

)

]

3x

+

In(1

-+

x

=

2 )

::0:

x

2 )

-+

nou l imita

din

-) - 00

1

] 3x

[

in 1

= l im X

3x

+

-) - 00

=

- In ( 1

1

In( 1

l im

1

1 lrKS

x

2 )

-+

=

x

Ii

In( 1

-) - 00

logaritmul )

cu

.

=

3

x

+

x

2

-

)

1 1:... - In ( 1

----:---------

I i.

x

+ 2 )

x x -) - 00 3

..

1

li x

m In (1

+ 2

x

)

=

t.

3

x

1 In x

-> - 00

1

=

In l im x -;;' - 00

[( 1

+

l im

2

)(

)

·

2

x

rx

3

)

-

=

-

00

(1

+ 2

1

=

CX)

x

se cal culeze: Q. 1 . l im a a

III.

x .

)C

m

n - ) CX)

•

x

0

-

1 n (cos n

1 im n ( n -) ce

9 ..

2.

a

x

-) C

5. 1i

7

3

SA

x·

3

)

X

-

t. --

Tl

4.

T -

1) 1)

(

1--:::

n

lim n

+

r;:;

84

+

2tg x

"

x

}'cos �. -) CX)

l im -} O

i

l m n

n -) CX)

1

)(

(h

-

1)

. 1 I i n - arCS1n n .

6.

n -) CX)

8.

lim

+

n

-) CX)

n ( r.

r:r;::

-

p

)

-

1

)

=

RASPUNSURI :

1.

l im

x -> a

b

l

o t- i n em :

4.

a

x

a

x

a

a =

a

=' a

a

l im

x -> a a

l im

Ol -> 0

CJ(

1

CJ(

x -a

a

(

-

x

)

1

a

a

a = a ln

a = a,

-

� i no t�nd x

.

1

f(x)

f u n c t- i a :

Con s i deram

a

)

- 1

ob" i nut� di n a

n

1

prin

=

i n l oc u i rea

In

n c u x . Ca l cu l am :

lui

cr i te r i u l u i

cu � i ru r i

lim

avem d e asemen ea :

a

" -> co

5,

C£,/ A

1 1m g ( x ) -> �

Daca.

f

=

a tun c 1

O.

2.

lim

1

n

lim

x -> co

x

es t e

o

i n tr e 0 � i

3.

lim

x -)

2 x

1 1

co

x

( ve z i

me tod a 10

=

lim

- > co

tinde

1

-

2, 51n

0

la

x

x

lim

a

- > co

"

'b

n

marg i n i ta 1 1m -> x

pen tru

= 0

2

i ar

c) ,

C A RE TI ND£ L A

=

" -) co

0

b

"

ZERO .

= 0,

i n tr-o v e c i n a t a te a

f ( x ) 'g(x )

=

O.

TI NDE

atun c i :

l ui

x

o

o

< _1 )

ca

"

e s te marg i n i t i n tre - 1

z e ro ;

cos X X

pun ctu l

In 2.

=

x

EXEHPL E :

iar

"

n

" - ) 00

1.

=

lim

(B)

1.

- ) co

I Nl'fUL TI T eu C EV A

HARG I NI T

ZERO ,

x

x

f(x)

2.

Con f o r m

LA

lim

1 X

2

pen t r u

t inde

la

ca

z er o ;

= 0;

85

1 - cos x

es te m�rg in i ta

�i

Cln

4.

n-

5.

n -> co

2n

lim

2n

lim

) co

lim

n

n

unde �

�

2 + . 1

este a n -a zeci.a l � a nu.�ru l u i n ;

Cl

, unde

n

este apro x i ma�ia cu n zecima l e exacte

a nulDA.ru l u i e ;

n-

6.

7.

I i .. n

8.

-) co

I i .. n -) CO

9.

n -)

lim

10 .

2

sg n ( n

x

2

•

n

12 . x

2

+

)

.,

)

;

•

a - c tg ( n - x ) . nx

2

2

+

,

1 x

_

.

'

n - sin ( n ! ) n2 + 1 x x

-) co

l im

- 30

n:t-

2

-) CD

lim

•

+ 30 + � sin ( n 2 n + 3n + 5

-) 0

lim

n

n

l im x - arctg

11 .

13 .

Co

-

n

) co

( _2 )

+

( -1 )

x -) 0

;

[x]

[xl

.

2

- s l. n ( x ) x

I ndi c a ! i i :

(Cln) nEiN (�JnEIN

4_

5.

8_

0

este m�rg i n i t I n tre

2

este m�rg i n i t I n t re

HETODA HAJOR.ARI I

51

HI NORARl 1

$ i 9 !1

f i ind format d i n c i f re ;

$i 3 ;

(A)

_

Dac� e� ist�

9 $ i h as tfel i n ci t i n t r-o vec i n � ta te a l u i x

g ( x ) � f ( x ) � he x )

1 ia x -> x

9(x) o

-= l im h ( x ) = l X -) x

86

o

o

s� aveRt :

func� i i l e

l im f ( x ) = t .

atun ci

)[ -> )[

o

Schema ti c : f ( x ) � h( x )

U · t

( B)

DacA ex istA ' � i ruri l e a

b1"1::S

1"1

::S c

1"1

)

(c ) �

�i

neN

1"1

i n cep3nd de I a un rang n

1"1

atun ci :

(b

1

<--.J

l im

a

1"1

=

l.

0

as t f e l

nc::s..

$i

l im b

1"1-+00

i n c� t : =

1"1

l im c

1"1 -+ 00

1"1

=l

•

n - ) co

Sc hema t i c :

Observa t i. e :

D ac a

= + co ,

z.

i a r dac a

'

Z. =

se poa te renun t a

,- co �

se

la

h

.

poa t e ren un t a l a

( respect i v l a g ( es ect r

p

(cn) neIN

iv l a

)

(b n) nEiN

�

).

Aceas ta metoda este mai g r eu de a p l i ca t , d a tori ta maj orar i l or � i minorari l or pe care I e presupune . Acestea trebu ie sa duca I a ex pres i i ci t ma i put i n d i fer i te d e forma ini t i a l A pen tru a n u mod i f i ca I imi ta . Amin t i m cl teva procedee , d i n tre ce l e mai f recven t I n t� l n i te ,

b

pen tru o t inerea � i ruri l or 1.

Punem i n l ac de tot i termen i i � i ru l ui

m i c d in tre ei

( pe ce l mai ,ma.re )

(an) nEiN

.

£xem.p l. e :

a}

a = 1"1

1

+

1

+

87

•

•

•

+

1

pe ce l ma i

b)

+

1

a = n

1

+

Raspu.T'l.Sur i : ,

1

termen ,

' / n 2+

n

1 1�2 +

:S

,

a

n

I

�

1.,

-( deei

a

1

1

2 n +

n

n

-->

e x i s tA un eel mai m i c

eIN

In2+ 1

2 . M in orAm

1 / 2 -{ n + 1

+ ... +

+

1 In Z+ n

+ ...

(

maJ o rAm

)

1 In 2+ 1 1

I n 2+ n

+

n In2+ 1

=

In 2+

f o rme a z a

termen i i ee

E:xemp l. e :

+

a = n

b)

s n

in .-, + ' " 2 +

2

+

+

a = n

+ sin

£..

•

n •

--.>

+

n

� i ru l a

fun c t i a <

n

f ( x ) = s i n x nu este

:S 1

sin x a

:S

n

,

putem maj ora

1 + 2 n + 1

•

n

+

a ce­

+

n

(

�e l

mai mare

)

Aceas t a d a to r i ta f aptu l ui ca

n l o cu i n d

1 + ... 2 n + 1

eu

n"

monotonA . Tin�nd i

n

n

De d a t a a eeas ta nu e x i s t A un ce l ma i m i c

termen 1 n suma ce fo rmeaza � i ru l a

-1

+

2

1

n

sin

•

Ras pu.T'l.Sur i :

a)

2

> 1

n

=

ea� i can t i t a te .

a)

Ap l i -

avem :

+

1.

.

1

ee l rnai mare termen ,

n

ei nd proeedeu l a

un

� l.

1

+

•

•

(a J n

t n suma care e>: pr i mA � i ru l

a)

•

can t

ca

avem :

peste to t sin >: cu

1 2 n + 1

=

1 --/.... 2 n + 1

1 . 0bt inem :

0

An a l og , pu tem m i nora I n l ocu i n d pes te tot s i n x eu - l , apoi a p l i c�nd p r i mu l p roced eu rezu l tA :

88

--

1"1

3.

+

-1

+

•

•

•

-1

+

=

--- --> -n 2

o + n

0

> O.

a

deci

-1

ren un t �nd l a un i i termen i ce

MinorAm ( maj orAm )

f o rmea z �

a

� i ru l

1"1

£xem.p 1. e :

a)

it =

P P r:; l + 2 +

a =

r:; 1 1"1+

1"1

b)

1"1

21"1+

·

.

·

.

.

+

+ n

.

Raspunsur t: : /

b)

it � 1"1

� nn

,

n -->co

=

nP 1"1

deci a

1"1

--

> ::0

£X£RCI TI I :

1 ( /1 J,( /l k t� --

Sa se ca l cu l eze l i mi te l e � i ru r i lor :

I.

1.

a =

2.

a

3.

a =

4.

a =

s.

a =

1"1

= 1"1

1"1

1"1

1"1

+

k n

tg

n

0

bn

+

.

·

.

.. .

+

+

RasptJ.nS-ur t: :

1.

JJ /1

+

]

2

� Z +

1

s

)

2 1<

I b12 + b22 + I-, bn

1

1< 2

+

1"1

2

·2

k

.0

)

b2

k

k

bl"l

.t,/ 1"1

=

1 < b

eu

eu

1

i

b > 0 1.

k

n2 1 +

k

0

= 2

< b < 2 e

•

•

T;"k

•

<

b t.. ...

=

lcf� -;--:;:::::====­ . n

1

7

k

1

Maj or�m uti l i z l nd ce l mai m i c � i ce l

k

+

n

2

mai mare numi tor . Obt- inem astf e l numi tori comun i pen tru sumA .

3.

tg

� 2

51n

=

2k 2

---

n

$i

21< cos 2. n

--

n

se f a c minor�ri � i majorAri uti -

l i z3nd cel mai mare $ i c e l mai m i c numi tor . 7.

IN

£X£RC I Tl l

CA�E

PARI£A

APAPL

Ce l e

I NTREAGA .

mai

I n t3 l n i te metode pen t ru rezo l v a rea l o r sun t : (A)

Metoda maj or�ri i � i minorAri i u ti l i z&nd dub l a a

inega l i tate :

-

1 < [ a ] � a

(3.2)

eu aJutoru l cJ.reia se l n cadreazA fun c t- i a ( $ i ru l trebuie ca l cu l ata i n t re dou� f �n ct i i

) a cAre i l im i tA care

� i ruri

nu

mai

con t- in partea i t re a g a . es t�

Uti l i z&nd a cest procedeL' c�nd mai mu l te

l imi t a

or1

�u

sa

vorba de func� i i ,

o�t i ne

d i rect ,

ci

cu

de

ce l e

aj u toru l

l imi te l or l a tera l e . £x�mp l. ti.

pen tru ca l cu l u l

l i m i te i : )!

l im ->

-

2 X +

2x

7

2

procedam ast f e l : (a)

Uti l i zAm inega l i t a� i l R ( 3 . 2 ) pen tru

nu con t- in partea i n trega : 2

5

X - )( - 6

(b)

- 1

)(

2

-

5 ] x

-

6

<

A

obt-ine ex pres i i ca

5

2

>: - )( - 6

Pen tru a obt- i n e fun c t- i a a cAre i l im i t A se cere , amp l i f i -

cAm inega l i tat-i l e precedente co

- l a s t�ng a l U 1

-2

2 X + 2x _ --�7�--- ' •� 1n3nd can t ca :

a v em :

90

>

0,

deci :

x

z+ 2x 7

'.

x2

( -X-2----�-----6-

)

- 1

(

X

2+

2x 7

X2

l a d reap ta l u i -2 avem : + 2x 7

(-X-2---'�----6

)

- 1

X 7

+ 2x

)

X

)

( c)

l imi tA

Trec3ng l a

( O!J

r i i $ i minDr�ri i ) , ob� inem I i m i t a I a s t3ng a : mi ta la d reapta :

Dac� nu se

(B )

pentru Ie,

l d ( -2 )

x -> n

l im f ( x ) ,

=

;

,

poate

deci

l.

2

a

( metoda aaj Dr�-

( -2 ) ""

2

$ i li-

T

78

=

uti l i za

l

6

x2- x - 6

2

7

1 n a ceste inega l i t� � i

X

deci :

2 x +

2- -

du b l a

inega l i tat.

(3.2) ,

n e Z , se ca l cu l ea z � d i rect l i m i te l e I a te r a ­

cu

� inand can t de f aptu l c� : > n

cu

x

dac�

x ->n

cu

)( >

Exemp l. u.

(-

l im

Pen t ru

n -+(X')

deoarece expresi i l e ce

sa

[xl = 0,

x -> � x>1

l im

x e

[

l. - -a:)

DacA

1)

[xl = n.

nu pu tem fo l osi

ob�in pen t ru ca l cu l u l

uti l i zam f a ptu l

lim

x -) a:)

(Xl ( _1 ) x -1

==

=

l im

X

l im

x

x. > � )(

[

(

1

xl = m +

(3.2)

l imi te l or l a tera l e

c� l a

st�ng a l u i

1

[ x l = 1 , deci :

x -> � x
-> '-

)( -->c:o pu tem i n l ocui

m , m+ l ) , .avem :

Exemp l. u:

n , a tun ci

( _ 1 ) [X] x -1

•

(e)

[xl = n - 1.

iar l a d reapta l u i 1 avem

Z. ( 1 ) =

ROe zul tA

atun ci

n,

l [ Xl ) / ( x -

nu au a ceea$ i l im i tA . De a ceea avem

<

dacA

1 1

-

-1

1

=

-a:)

= -co

[ x ] � in3nd can t c� pen tru

( eviden t , x --)a:) imp l i cA m --)a:) ) .

1 [ }( ] + ( -1 ) [ xl

91

)

(X]

(xl+C-t>

x care t inde intregi consecutive: m �

n i t e9te sigur intre douA numere x � m + 1 , deci : [x] +<-1 ) 1 � ( 1 + [x] +( _l ) ' X J ) l a i f ni

Variabi l a

(xl

) lft+ 1 l i lft m

-) co

(

1+

)

+1 1

m

m

=

(1+ !)

lim -) co

m

m+ 1

=

e

EXERCI TI l : I.

1.

[ [ x 9>t )( + )( + 1

2 x - 5x - 6

lim

4

x -) 3

2.

)( 2 _

lim

4.

5. 6.

[.

l im

x -) 0

l im x

x -> 0

'

l

[

3sin

-

. t9 x

� + cos x ] · tg 3 x -y

im

[x]

lim

[x]

+

+

(2 2

+

xl n

[ 32 x J

3

. . .

+

[ 52 x )

n -> co

[ n 2x ) +

. . .

n + [n Jcx)

[ x) ' + [ 2Jcx 1 + n ·2! + lim [ x) · 1 ! + [2x) (n + 1 ) lim

n -> co

4 .·

+

+ [ (2n-l ) 2x ]

3

n -> co

3.

]

Sl.n x

[ sin 2x ] [ 7- ]

n -> co

2.

]

+ 15 3)( + 2 12x + 32

8x

)( 2

x -> 0

II. 1 .

.

5 s in x

]

8

2 )( 2_

8

5x + 3

l im

x -> 0

lim

+

2

x -) co

3.

)(

2

Jc + 1

�

. .

92

. + [nx] · n !

8.

UTI L I ZAREA DEFI NI TI EI

vata unei fun c � i i este :

g' (x ) = o

OupA cum se � t i e , deri-

DERI VATEI .

g(x)

l im

x -> x

g(x ) o

x - x

o

(3.3) ..

o

dacA a ceast� l imi tA e x i s tA $ i este f i n i tA . Ea poate f i u ti l i z atA l a ! ri l atu rarea nedeterminari l or

(A)

o

o

pen tru 1 i m i te

de fun c� i i ce pot f i scrise su b forma :

g(x )

g(x ) l im

x -) x

o

x

o

x

,

o

f i i nd un pun c t i n care 9 este derivabi l � .

�o

Exem.p l. ti.

a

l im

x

x

-

-

a

a.

a

a. g ( a ) = a $ i l imi ta d ev ine : -> a.

x -> a.

0

x O bservam cA not�nd g ( x ) = a , avem

. Ac ea st A l im i ta are va l oarea g ' ( a ) d eoa rece

g(x) - g(a) X - a

l im

e ste

x

9

fun c � i e derivabi l a i n a .

Am redus astfel ca l cu l u l

l imj tei date l a ca l c u l u l va l or i i

g ' ( a ) � ca l cu l c e s e poate f a ce der iv�nd pe 9 : X g ' ( x ) = a ln a , Observa t i e :

.

deci

a. g ' ( a ) = a 1 n a = I. .

a ceasta me toda poate f i u t l i z a t� astfe l :

u fie

g ' ( a ) = a i n a = I. . Nu recomandAm a.

i n sa

l a ex amen acest mod s i n te t i c de reda c ta re a rezo l vari i deoa-

ece e l ��ate i nd�ce i n eroare pe e x aminator i . De aceea deta l i rea : " Ot>�ervam ca noti d ne

•

•

•

•

g(x) =

. .

.

,

avem g ( a ) =

.

. .

= g ' ( a ) deoarece 9 este derivabi l a i n a

� i l imta dev i •

•

•

•

este mu l t

"

mai ind i ca ta . (9)

Ca l cu l u l

l i mi te l or de $ i ruri ,

prin i n termed i u l unor

func�i i a t a $ a te � Fun c� i a ata�ata $ i ru l ui , de data a ceasta , nu se ob�ine prin i n l ocui rea l u i n cu x , tru n cu

x

-------�.

-

1 x

(

00

in . ex presi a l u i a

n

deo.rece pen-

nu putem ca l cu l a derivata , ci prin i n l ocui rea l ui

ceea ce duce l a ca l cu l u l deriva tei 1 n zero ) .

93

�xe1r.p b.!..

Pen t ru

a

lim n(

h

.

- 1)

consideram func� i a

'

-> c:o

obtinuta pr1n i n l ocui rea l u i n cu

f(x) = l ui

n

' l im f ( x )

. Ca l cu L lm

n

•

1 x

P en t ru aceasta observam . ca n o tl nd

)( -> 0

avem g ( O ) = 1

i n ex pres i a

- $ i 1 imi ta devin. :

' g ( x ) - g (O) x - 0

l im -> 0

x

=

f un c� i e derivabi l a I n zero . Avem :

� g ' (0)

deoarece

g ' (x )

)( 2 1 n 2 , deci g ' ( O ) = I n 2 . Atunci con f orm c r i teriu l u i cu

=

este

9

$ i�uri ob� inem l i m a •

n-+OO

n

a

= In 2.

EX£RC I TI I :

I.

1.

x

-)

li

3.

-rx - 1

l im i

m

In

x

)( -) t

l im x -) i

cos x

l im x - > 17:

7.

.

1 ;. l i m x

3.

5.

7.

- ) 0.

a

l im

l im

)( -> 0

X

x

+

x

4"

X

x -)

1

8. )(

-

2

17:

X

4

17:

-

9a i n x

l im

6.

1

17:

a

x x

l im x - ) 0.

x -) 0

X

-

l im 17: x -) •

17:

X

sin x

f2 2

4" 3

-

17:

4""

sin X ' cos x

l im 17: -)

x

4

-

-

17:

4"

1

'2

a > 0 s-a se ca 1 cu l ez e :

I I . Pen tru

�(;:

4.

1

arctg 5.

)( -) 0

>( -

sin x x

l im

2.

x - 1

(

t9

a

X

-

a

x

at

x

l og bx x

b 3

X

lg

+

X

->

0.

0.

l im

4.

X -> 0.

e

X

)

i

-

X

6.

l og x 0.

a

94

a

l im

2.

a

x

+

0.

x

l im -) 0

x

l

)(

x

a x - a

g

x

sin bx

a

(

x

2

a

X

x

x

-

b

b

X

X

0.

1 9

0.

sin ba

2

)2

,

a;o!

Ir� 11'

'"2

Raspuns :

SA se arate cA nu pu tem uti l i z a def ln i � i a der i va te i pen t ru

I II .

ca l cu l u l

l i m i te l or :

1 - )( l-)i 0m

x

:: > 0

I V.

1.

3.

lim n 1'1 -> (X)

l i nv'n 1'1 -> (X)

1im

4.

1'1 -} CO

5.

lim

6.

7.

-

fX - cos x

n

1'1 -) CO

lim 1'1 -> co

[

( Te

-

1

2.

1

)

-2

(

�+ � +

[

r. - � 2

� 2

t

�

•

2

2

i

+

1

1

lim

a

r

fl

hh-

x

1 1

)

� aJc

+

•

cu

r.- + 2

2 ' arcsin

- In

c\ , 8

+

- Ie.

2

> 0

� k

k

)

f,

Z

cu a , a , 1"

...

, a >O Jc

lim n -> CD

In n

K.a5 punsur i :

2.

z

1'1 -> (X)

�

+

x

2.

(

i

1

l im

)( -> . )( > 1

Con siderAm f un c� i a :

e x p res i a � i ru l ui a

1'1

pe n cu

z a def i n i � i a deriva te i ,

)(

2 1 , ---)(

f(x) =

1

3

x·

1

Ca l cu l A

ob� inutA 1 n 1 ocu ind 1 n l im f ( x ) . Pen tru a u t i 1 i ­

)( -> 0

1 mpAr � i m � i numArAtoru l $ i numi toru l cu x �

deci :

f(x)

1

=

1

95

lC g(x) = 2 ,

Observ�m c� n o t1 nd

g(x)

l im

mara tor devine : lC

-)

avem g ( O ) = 1 $ i I imita de I a nu-

g(O)

= g' (x)

x

0

decarace 9 este deri-

vabi l J. I n zero . cu

lC g ' ( x ) = 2 l n 2 , deci con for. cri teriu-l ui x

h( x ) = 3 ,

Ana l og , not3nd l im -) 0

x

=

x ) _ h {.;...O....;) ..;..h....;(....; � _ __

deci , iar

In 3 ,

t = g ' (0) 1

deoarece h est. darivabi l a 1 n zero . t = h' (0) z

con form cri teriu l ui cu � i ruri ,

In 2 In 3 .

1 =

= In 2

l i mi ta de l a nua i tor devine J

= h' (0)

x

1J i ruri

=

Limita cant- ine 0 n ede ta rmi n a re de forma l cc , deci a p l i cam mai

s.

l n ti i metoda 4 :

lim

T'I -) CO

= lim T'I

-) CO

1 =

e

im

[

]" =

2

[1 n

n -> co

+

t::

+

rJa:

lim

T'I -> cc

- 2

'> .L.

t:: + rJa:

-

2

-

)

2

2

r.+

rz-

r. + rz - 2 2

z

=

�---....;.---. 2

Consideram a cum f un ct- i a

. l ocuind pe n cu

1

x.

mita se poate scrie :

l im x

derivabi l a 1 n zero .

f(x) =

I n e>! preS 1- a d e

aceasta , o bserv�m ca noti nd -)

�

( ma1

g(x) = a g(x)

x

0

x

1

g (O)

a

ri teriu l u i cu � i ruri :

96

;

+

sus .+

deci Con f orm

n-

a =

x

2

a:

-

2

)

X Ca 1 cu I d.m avem

g ' (0)

g' (0)

obt- inutA. 1 nl im f ( x ) . Pen tru x -) 0

g ( O ) = 2 �i l idecarece 9 este

=

In a

1

+

In a

2

1a�

lim n ( n -> co

l

este

a

9.

t

'

1a-;

+

-

2 )

In ( a a ) , iar I i.itA ini�ial�

=

t

2

CS z

UTI L I ZAREA TEOREHEI

L UI

L ' HOSPI TAL .

� I ' Hospitai ( 166 1 - 1704 » DacA 1unc�iile f $i 9 indepl inesc condi�ii le: 1. slnt continue pe [ a, b ] $i derivabile ( a�b ) \ { x } Teorema..

2.

f(x ) = g(x ) = 0

3.

g'

o

pe

0

o

nu se anulea�A Intr-o vecinAtate a lui x 4 . existl. l im gf '' (( xx )) finit sau infinit -> )(

x -> X

Cl

=

0

Atunci exista l im gf (( xx )) , )(

=

0

Cl

.

Aceasta teorema se poate uti l iza la : Cal culul 1 1mitelor de forma : l im (A) �in

nedeterminare de forma

0

o

o

o

sau

)( -» ( co

co

o

f(x) g(x)

c�nd aces tea con-

.

Cal culul l imitelor de forma l im fl x ) " g ( x ) c�nd acestea

( B)

con�in

nedeterminare

0

x -) x

�"o.

o

Aceast� nedeterminare poate f i adusA l a forma ( A ) astfel : f(x) ( nedeterminare de forma l im l im f ( x ) " g ( x ) 1

x -) x

-

0

l im

x -) x

0

=

f(x) 'g(x) =

Obser1Ja t i e :

sau ,

co

co

.

x

x

-> )(

0

l im -» (

0

g(x) g(x)

(

1 f(x)

nedeterminare de forma

co

�

)

0

0

uneori este esen�ial daca scriem nedeterminarea

97

) o

o

l im

Exem.p � 'U ; )(

Daca �i

-� -1

-) 0

s c r- i em

X

-8

Z

1

l im

X

X -) 0

2

x

z

a re

Daca

1

X

x -) 0

�e

1 i rr: X -'> 0

e

�

-

x -)x

1

0 _>

_ _ _ _

)

,

l im

x -) x

o

)C

- dacA

I i.

( nedetarminare

-1

z

x -) 0

-;;(;0

sau

fi

g{x) .

ob\-inem

x

l im

-) x o

adusa

1 im f ( x ) . (

=

-

)

X

)

x

o

(

f(x} g(x)

f{x)

-

0

1

,

=

q(x)

( nede-

<6

:

(

f(x)

la

-

t

9 (x)

1 -

g(x)

f{x)

)

= c:;: - a

:::

)

Q(X)

f(x)

nedeterminarea eate de

)

cu

,

cum

�i

co- 5gn a

= o.

d�nd factor

torma ( B )

d ist.ingem doua ca '2!uri : g ( x ) ) = a � 0 ( ad i cA ( 1 f(x)

-

X

.£.. ) o

numi toru l u i mai mare )

f crm�

de

l im e

=

co

l im

avem :

2x

e

2

2

$ 1.

pea te

x

- daca

la

)

) X

f (x)

3

X

x

=.

9(x)

-

x

l i m i te l o r-

nedete rmi n a re

f(x)

g radu l

cu

comun fortat pe f ( x ) Avem , de exemplu : lC

}t

-�

ev i den � A n e d e term 1 n a rea

in

nedeterminare

1 im ( - o

:� - > 0

k --

forma

-1

2

Acea s ta

e

1 :'.- ill ..

:::

x -) 0

Ca l cu l u l

(C)

2

--

punem

l im

x

-g

derivam ,

termin

-1

=

nu ±

co

tinde •

forma ( B ) .

eal.. culul l imitelor de forma 1 im f ( x ) 9(x>

(D)

x -> x

min�ri

o

cu nedeter­

!I

o co

Aceste nedeterminari pot fi aduse l a forma ( C ) uti l iz�nd log aA formula: care pentru a = e , de exemplu , A devine� A e l n A , decl.' : l im g.( x ) · ln f ( x ) gex) -> x ( x ) In f e 1 im f ( x ) l im e =

a

=

gex>

x -> x

o

o

x

:::;

x -> x

=

o

U l tima l imit� cen�ine

0

nedeterminare de forma

(e ) .

Pentru �iruri aceasta metoda se apl ica numai prin intermediul uneia din cele deua func�ii ata�ate �irului ( ob�inute prin 1n101 cuirea lui n cu sau prin l n locuirea lui n cu -x in expresia lui a ) . Conform criteriului cu �iruri rezul ta ca l imita �irului este egal a eu l imita func�iei ata�ate. iar i n loA t en t i e : i n l ocuind pe n cu x cal culAm l imita l a euind pe n eu ..!.. x cal cul�m l imita i n O . x

n

co

,

£X£RCI TI I : I.

eal cula\-i : l im e 1.

o.x

x -> 0

3.

x 1 i m ak x x

In ( l

e- 2 +

:::; .CD

0.

log ax , daca a x

x

k

x)

,

daca a

>

1

4. x

-> co

( u n p o 1. i. nom c r a a t a m o. i. i n c a t t o. } n f i n i t d ac a t 0 a x p o n a n t. i o. l o. )

5.

>

1

x -> co ( un pol inom crae t a mo.i rap e d . 1. 0. i. n t i. n i t dac:a.1. u n 1. ogari. t. m >

l im In ( l + sin 2x ) " ctg In 2 { 1 . + x )

x -> 0

99

l im -> 1

(

1

In x

x

1

1

)

6.

x

8.

sin x

A

-) 0

l im rr x -> z

sin

(

1"'1

-> co

lim

12 . 1"'1

-> co

[

ArA ta� i c�

II.

x 1.

x

l im -) 0

Z

r.

7.

1 n

+

e

nu

x

9.

n -> co

1

... .,;I

se

x

x

-

( re

lim

n

n -> co

e

1

)

1"'1

n

poate a p l i ca regu l a l u i I ' Hospi ta l pen tru :

s i r. -=x

sin

tn

In x

lim n -

11 .

n

a

l im x -> i

rg

x

l i m n - sin

10 .

x

tg

>:

l im

1

..:;.r') .

X

)(

-) co

)(

sin

)(

X + cos x

lim

Raspuns :

1.

Pen tru f ( x ) f' (x) g' (x )

l im

x -> 0

2 . =

1 Sl.n -

x

)(

�i .

1 . ......, x · s 1.n x

l im

x -) 0

1 ·0

=

=

ca :

t o.

Enun t u L

x

O.

GTI L I ZAREA

sin x

avem :

1

cos ­ x

- nu e x i s tA � d e c i nu

din teorem� �

To tu� i l i m i ta poa te f i

2 . 1 >: 51.n ­

l im

x -) 0

sin x

)(

=

)( -) 0

CU SI RURI

C RI TERI ULUI

l im

C

x . 1 -.,---- . x . S 1 n x s i n }:

CRI TERI UL

HEI NE

:>

c r t t er i u l. u t :

l im f ( x ) = - > )(

=

cos )(

e s te l n d e p l in i ta con d i � i a 4 .

ca l cu l a t a obse rvasd

g(x)

l.

[

(=>

0

a)

x

b)

x

c)

x

n n

n

e �

>

x

v

(

x

n

cu propriet�� i l e :

0

rez u l tA

0 x

0

100

l im f ( x ) - l.

n�CIO

n

]

::

nedet.�i-

Acest criteriu nu poate fi fol osit pentru Inl Aturar••

nJ.ri lor decarece $1rul ( )e n ) .... din Itnunt. este oarecar. , dec1 "" 1 f 1 cand �iruri l e , ( un nu.Ar infinit de $irurl ) nu pu t.. I n l Atura nede-

SA 3M + 5 2x + 3

Ex.mptu:

se

11

=

11. n -) CO

f ( xn )

$i rur1

cA l

,

--r

proprietJ.�i l e l a ) x n > b ) x n e IR\ { c ) x n,. 2

cu

=}

CU

arate, uti l izand criter1ul

2

:

}

11

-=r

:I:

'b�

f le

(. x n ) n4lO4 un C!ir oarecare �

cu

proprletA-

� 1 1e a ) , b ) , c ) ,c�

faptu l

cJ.

Ii. n ..

->co

I i . xn n -) CO

(8)

..

3 · x n+ � 2 - x n+ 3

3-2 + 5 2-2 + !

..

1n

x

0.

=

11 --,- .

Pentru a

arAta

11. n -) CC

f(x )

n

:

I i . ( 3x . n+ 5 ) n -) CO I i . ( 2x n+ 3 ) n -) co cA

0

etJ.�11e

gA51. douA

a) ,b) , c)

:I:

••

.re

�.­

+ 5 ..

•

3

l i.1tA

Intr-un

tf.l :

$iruri : . ( x n ) nEIt $1 astfe1 I nc1 t :

101

3 - 1 i. M " n -> CI) 2 - 1 1. M ft n -) CD -

func�i. nu

puncta 1 n acest scop put� proceda 1..

uti 1 iz� p�opr1.tA�i le

$i

( Y n ) neIf

CU

prOprl­

I i .. f ( x

n -) cc

n

)

�

l i a . 't ( y ) n

n -> co

sau: 2 . gAsi. un singur �ir cu prdpri etA�ile a) , b ) � c ) � i astfel lnceit l i m f ( x ) nu existA. B

n

n -> ex)

l i m sin x

nu existA

Exemp � 'U:

x

-) ex)

. fie x 2nft $i Yn 2n n + > a) x > , Yn b ) x , Y E lR $i l i m f { x ) l im sin 2nn: 0 1

D

!

n

::a

=

1'1

n

1'1

=

n

1'1

1'1 -> co

l i m f (y )

n -> ex)

-

. CD

co

n

-)

==

CD

l i m sin (

2nn +

1'1 -> ex)

Deci I imita nu exista . 2 fie x nn Avem: •

.

n

==

a) x b) x E Ii . n

$i 1'1

CIt

-> co

S1" n

"2"" >

lR

1'£ . 2

-

Aveml -

,

2.!... ) 2

=

1.

•

ex)

nu exista .

nn

"-'2

Criteriul cu $iruri se poate uti l iza I n cal culul l imitelor de �iruri astfel : CaY fie f ( x ) func�ia ata$ata �irului , prin in locuirea� de exemplu, a l ui n cu x 1 n expresia lui a ( sau a lui n cu .1x ,dar atunci calculam l im f ( x ) ) (C)

--

1'1

x -) 0

� b�

cal culAm l i m f ( x )

=

�

x -) CO

�c�

avem I i. f ( x ) -) co

1'1 -+0

conform criteriu1ui cu $iruri l im f ( x )

pentru orice $ir 1'1

( rspectiv l im f ( x » .

1'1

( =

x l'

=

) nEfN cu proprietA�i1e: a) x

- b) x

t.

x

=

n

I nseamnA:

l: n 1'1

--->

e II)

co

n Indep1 ine$te condi�iile a ) si b ) $i

102

i n p l us ,

f (x ) = a

pen t ru a ce s t � i r avem :

'

n

deci

lim a

n -> c:o

L

lim f(n) = n -) co £X£RCI T! I

n

n

=

:

Uti l i z�nd cri te r i u l cu � i ru r i s� se ca l cu l eze :

I.

x

-)

�

l im

3. )(

S.

4x

l im

1.

l im

3

(

c tg x

-) -

.( -) 3

2�

2x 1l

2

+ 5 2-

13)(+

( 1 2x +

l im x -> t

)(

+

)

4.

7 cos

l im x -) 0

a f ctg

..., �

)

)(

x

9

Ar�ta � i c � nu e x i st� :

II.

1.

v. 7

5. 7

�

L (x

.

0)

8.

2.

l i m cos x

x -> co

lim e

x -) co

lim

x' -> co

Daca =

s:i.n x

4.

3 +

2 ' si n x + cos x cos 2 x f

/1

-) CO

Ii.

b. )(

-) QO

(

+

z

sin x

x - [xl

� ) n

0

( respe cti v

l im f ( x ) = 1.

T'I -+00

1.

d ( x0 )

=

a tun ci :

lim f { x

T'I -> co

0

Man u a l c I s X I

l im f ( n ) =

1.

n -+00

, a tun ei

)

x0'

are l im i tA l a st�n9a, ( d reapta ) 1 n

-) CO

Daca

-) CO

lim x

lim f(x T'I

l i m tg x 'X

,

+

1 n

-

)

.

)

d a r nu � i

reci proc . 9.

Nu e x i sta

lim f{x)

x -) co

peri od i ca n.constan tA . l i m cos x n

) 0::1

-

Raspuns :

1.- 6.

•

l i m tg

, T'I

-) c:o

da�

f

-----> �

: ID

,

x

l i m c tg x

x -) CO

0

l i m sin x

Conse c i n � e : nu e x istA x

este

•

-) QO

f un c� ie ,

9 . Acest exerci � i u es t e genera l i zarea exerci � i i l cr

Pen tru rezo l vare , e x p l i ci tAm i poteza :

10

3

<->

1

�riad i cA

1

neconstan tA



uti l i za acWR _tada 1

•

3 T > 0

v e

3 a, b

II>

n -) cc

n

n -) CO

n

=

Ii. fey ) =

f

, 9

,

1.

2.

f og

n

g ot

pentru l

x

x E C

2 2

f cos f

=

nT )

n n

sin x

x

x

X

�

•

E

-) CO

f (a)

-) CO

-

Ii. f e b)

Q

o

( x n ) nEfH

$irul

y n=

,

b

nT

+

2x

3x

+

)(

3

1

1

e set1\. i a l

E

Q

fR\Q

x e Q

2

45

x E

x

E

x

-1

daca

E

x

n "2 n

f f

+

(

x

IR \Ct

Q

IR\Q

oarecare . Stud 1e. dacA 1 are

IR

• .

f

g(x) =

x . Pen tru aceasta observi.. ca esta o

este ra\.ion a l sau i ra�ion a l

=-

g(x) =

IR \ Q

1(x )

=

f e b)

Vex)

x E IR \ C x E II> =

nT

=-

Ii. f ( .)

x E ¢)

B

n-

+

x E IR\C

fie

1.

=

-) CC

1(x)

2

+

I i . f ( b + nT ) -

f

Raspuns : 1n

n -) CC

1(x) =

1 ()c )

3.

,

11. 1(a

1(x + T)

10 ,

a

lndep l inesc &:ondi \. i 1 1 e a ) $i - b ) , 1ar l 11m 1 ( x )

E

1 ( a ) ,. 1 ( b ) )(

$i ruri l e

•

)c

l imi tA

n ) nEIN

Consideram .ai I n t�1 s1 tua�ia c�nd

este format doar d i n pun cte ra\.iona 1 e ( !lau doar

doar din pun cte ira�iona l e ) . Fie

( X n ) n4!IN

b ) , c ) AvetR : •

. Fie

un �i r

Ii. f(x ) =

n -) CO

( y n ) nEIN

arlce punc t x

0

n

un $ 1 r

de

puncte

consider-a un $ i r

= X2

de pun cte_

oa reca r.

2

i r.Xiona l e

" 2 , adi ca x

0

(x )

n

.

!

propr ietA\. i l e

a) ,

o

n -) CO

pen tru car. x

ra�iona l e cu

nEN

104

0

c u proprletA\. i i e a ) ,

" ±2 . Pen tru )C .

0

a

'"12- '

cu proprietA\.i l a . ) , b ) , c ) . E l

( x n' ) nEN

se descompune i n douA sub$ i ruri: ra� iona l i � i n

l im

-+00

n

f(x' )

=

( x n' ) nEN

n

l im

-+00

deductHI cJ. l im 'x

-+-Iz-

doar cu ter.en i i ra� iona l i . Deoarece n

( x n' ) z = ( t2- ) z

f(x)

format doar cu termen i

c

= 2 � i l im

2 . An a l og pen tru

K

-+00

,.

f ( x n" ) =

-t2-

n

l im

-+00

2 = 2,

•

METODE SPEC I F I CE PENTRU SIRURI 11.

ORI CE 51 R HONOTON 51

HARGI NI T ESTE CONVERGEHI'.

Ap l i carea

acestei metod� revine l a stud i u l monoton iei $ i marg in i ri i ,

iar

pen tru determinarea l im i tei- s e trece l a l im i tA 1 n rel a� i a de recuren �a

A

$ i ru l ui respecti v e DacA i n i � i a l nu este datA

0

astfel de

re l a� ie � ea se poate ob�ine l a stud i u l monoton iei . Exemp l 'U :

� aJ

a

n

n! -n

=

n -

Pen t ru stud i u l mono ton iei $ i mArg i n i r i i nu putem a p l i ta

( f(x) = metod a raportu l ui daca $ i ru l este

(1)

X

x

nu are sens

).

Uti l i zAm

( i n cepem cu stud i u l monoton iei deoarece

monoton ,

ce l pu� in j umatate din prob l ema mar-

g i r i i este rezo l vata , dupa cum s�a mai arAtat ;

( 2 ) daca $ i ru l nu

este monoton nu putem ap l i ca metoda deci nu mai- studiem marg in irea . Avam deci : (n + 1 ) ! a

n+t

a

n

,.

(n

+

l ) n +t.

n! nn

=-

n

n

(n +

l )n

=

(

)n

n n

+

1

n-XD

>

1

e

<

Deci $ i rul este dascrescAtor . �b')

fltArg in i rea

Fiind descrescAtor $ i cu termen i p o z i ti v i

105

1

� i ru l

este m�rg i n i t I ntre 0 � i a

•

.

Ex ist.a deci

•

t

l im a

�

Pen tru ca l cu 1 u l l ui t observAm cA 1 a stud i u l

CCJ

n -).c;c

n

•

monoton iai

am

obt inut re l a� i a de recuren � A : a

<=>

n+1 a

=

aM t

n

a

n

(

:

n

)

1

n

T rec�nd 1 a 1 i m i t� i n a ceas t.a eg a l i ta te o b � i nem :

1

1. '

t =

-

e

1. == o .

<" = } '

•

EXERCI TI I :

1.

a =

2.

a =

3.

a =

4.

a

5.

a =

2

)2 (n !

n

n

n

n

=

n

6.

a

n

7.

a

n

=

=

l '3 ' S·

a =

9.

a

n

n

=

•

•

•

.

( 2n

1)

-

3n ' n �

12 ( (

+ 2 2�

+ ... +

3�

7

8 · 15

+

n

e

+

•

n

-

2

)

2 n: +

•

r a d i ca 1 i

( 7n

n

+

-

+

n 2: 2

2 ,

n�

7 6 ) ' ( 7n + 1 )

to

S

+

1 7n

+

a)

1

ic

1

Z

I i ..

n -) CD

+

-fT

�

+

b

•

bn = 1

-f2 +

•

1

h

a

CD

+

1

n

b

�

b)

. . .

+

+ .. .

+

+

(

unde

,

b

n

(

b

+

n 1

b

n

b

n

) nEtN

)

i ndepl ine� te

� 1.

1

rn 1

. Yn

RaspuT1.Sur i : 3.

)

2k + 3

b

1

+ . . . + -(2 7

+

7

k�� 1

12

-y:-a-

n

cQnd i � i i l e :

8.

n

.

Sa o bs e rvA re l a � i a de recuren �.a :

l Ob

a

= n+1

+ a

n

+

1

a ) Monotonia: an+t an= /2 + st� di er� � cu zero , f acem '-

f

a

n

a

-

Pen t ru a compara a cea-

n

a l egere , de exemp l u

0

a

n+t

2: a '

pe

n

care 0 transform�m prin achiva l en� e l

an+£2: an a2n

a

n

< =>

a

- 2 :S 0

;

a - n+t ?! a n

Dec i

2

X -

a

<=>

Am aj uns astfel

n

2: a

n

X

-

2

n

= 0

e ( -1

2



=>

+

a

< =>

n

x 2=

x = -1 , t

2

2) .

,

1 a con c l u z i a c� � i ru l este c rescAtar d a ca � i

daca este marg, i n i t I n tre - 1 � i 2 . Avem , evi den t deci mai trebuie a ratat ca a < 2 . Aceasta ineg a l i tate tram prin induc�ie : P ( n ) : an :S 2 numai

n

Ver i 1 i care : =>

pen)

P(n .<=>

a :S 2

P(1) :

1

p e n + 1 )0.

an+s':S

+ 1) :

a $ 2.

< =>

2

(

<=>

+

an

:S 2

ad ev ar a t

<=>

a

2 +

n

a > 0 > -1 n

demons­

0

)

:S 4

.

<=>

n

Deci am demonstrat mono ton ia � i �rg in irea· E x ista deci = l im a Pentru determinarea l ui l - trecem 1a l im i ta I n .

L

n -> co

n

•

de recurent-a . (de data aceas ta ;.

0 astfe1

de re l at ie l

re l a� i a

es te data ini-

t- ia1 ) : + =}

an

l 2= 2 + l

bi 1 , deoa rece

lim a

=) n

=}

- > co

l = -1

a > 0 , n

n+1

=

sau

deducem

+

lim n

-> co

n

=)

Cum l = -1 este impasi-

l = 2 l = 2

a

•

t-

Descompunem f rac � i a

I n tr-o d i feren a d e terman i

consecutiv i :

+

=

1 07

C-k + D S ic

(3.4)

Pentru detarminarea ce l o r pa t ru pAraaetri : u t� l i z�m metoda iden ti f i cAri i $ i

a) b)

.

pune. cond i � i a c a termen i i d i� membru l drept i n

( 3 . 4 ) s A f ie

consecu ti vi .

+

2k

A)

2k



+

3 3

!!

+ 58 -

5Ak

Ck -

= k ( 5A - C )

D

<=>

+ 5B

D

numi tor i i sl n t consecu t i v i , deci punem con di � i a ca $ i nuaAr�-

b)

tor i i s� fie i n aceea� i re l a� i e de - consecu t i v i tate l nu.i toru l pri-

mei frac\- i i se ob\- ine 'd in n um i to ru l ce l e i de-a doua · prin I n l o cu i rea l u i k cu k-l , d ec i $i i tre num�rAtori trebuie s� avem aceea$ i re l a-

A·k

+ B

s

A·k Aa

C(k + B

-1 )

A cu so l u� i a :

RRz u l tA :

-

= �

k - ..

It

�

:

. ..

:

2k 1

Zk

3

2

=

C

=

C

=C =

�

B

1

"2

,

B

=

,

=

- T k-I

3

.

T

5

+

.9

3

C

-3

"8

(D - C)

2

so

D ,.

D

[

- .t

3

1

+

A

5

-n • • •

+

ob�inut. astfel si stemu l l 58

n

D

C·k

,.

5A

a

+

1

D ,.

8

/

[

1

1

+

1 yn +

+

• • •

�·8

=

1

B

,

pr in ur.a re n

108

-) ex>

1

�·8

8

+

+

1

l=-

B.

1

T

+

• • •

]-

Avem

7.

deci an

1.

2.

b

�

1"1

�

(b - b )

1

n+£

+ (b

£

2

-b

1

b

3

,

2) . n

+

Se apl i c� concluzia de la

s.

II.

1

b

+

. .

(b

n+s.

b 1"1 )

=

b

n+s.

b

£

->

co .

7.

Studia�i - convergen�a �irurilor definite prin : 5 - a + .." an+t= cu a dat e an + t x x 2 - 2 - x + 2 , cu dat e �

1"1

0

n+s.

=

x n+Jr=

3.

X 1

4.

a= ;

5.

x a = "2

1"1

+

n

n - x 2n

-(a

n-S.

2

2-a - x

a

x = � n

0{

an - t ,

i-

)

cu x

t

0

>

,

dat e cu a0

e [0

,

> 0

dat e

1]

n-t n-S.

r e-x2dx . n + s.

an=

7.

+ X

cu X

,

+

an - t

1"1

6.

X

n

1"1

n

I nd i ca t

ii:

�ir cu termeni pozitivi ( i n duc� ie ) � i desc resc�tor . 5. a2lc+3 - a2lc+1 < 0 �i. Fie 1 1 �i 1 2 l im i te l e sub�iruri lor de indice par �i impar . Se arat� 4.

d

l. = s.

1 2_

Lem� :

l.

2

UTI L I ZAREA

L£HELOR

CESARO -

STOLZ SI

R1 ZZ0L I

Fie ( ) n� un � i r oarecare � i , ( �n ) n� un �ir strict c res c�to r , av�nd l imita infinit e

(

Cesaro

- S t o l. z

O{ n

)

109

ex n+:l

lim

Daca e x i sta

-

ex n

=

L

-

f in i ta sau in f in i ta �

n -> co ex n

lim

atun ci

... l .

n -> co

Aceasta l ema se peate u t i l i z a l a ca l cu l u l

l i m i te l or de � i ruri

ce pot fi puse sub forma de f rac� i e : ( 3. 5)

lim n -) CO

� i a l i m i te l or de forma :

+:l

lim n

�i

( f1n ) .

n

f1n+:l

-) CO

eIN

-

ex n

-

ex

n

i n i po teza ca aceasta l i mi ta ex ista

f1n/

este str i c t mono ton .

CONSEC I NTE = a Daca

(A)

lim n - ) CO

=

n + :l

a

l

a tun c i

lim

n -> co

n

1"-:: =

l

In a ! n tr - adevar ,

lim e

lim

In a = e

n + :l

n + 1

n -> co

Exemp l. 1../. :

lim .n -> co

a lim n -> co

(B)

n + :l

a

=

In

n

n -) CO = e

n

n -> co

n -) co

l im

l im

- In a n

-

7n

a

n

l im

n ->

co

In

a

= e

n

l im

In

n -> co

n + :l

a

= e

deoarece pen tru

1 ,

=

a

n + :l

a = n

n

,

n

=

avem :

1.

n

Limi te l e med i i l or a r i tme t i ca , geome t r i ca � i armon i ca a pri-

mi l or n termen i a i unu i � i r av�nd l im i ta 1. , au va l oarea tot

:l

2

a + a + lim

n ->co

n

•

•

•

" n

+ a

=

lim n

1 10

-) CO

n

/a

-{ ' :l

"a

2

"

"a

n

=

L :

Ii

=

_n

Observa t i e :

cl nd

an '

� n

fit

-) 00

CI .

+

a .1

+

+

=

1 a

n

1"1

I i ..

-) 00

a n

a varian t� a l emei Cesaro - Sto l z pen tru caz u l

----->

0

a fast demonstrat� de

10-1 1-1 2 , 1992 ,

( Gazeta Mat . Nr . Lema .

n

1

281-284

p.

]:

C �n ) nEiN

Daca

R i 220 l i �

I . R i z za l l.

sun t doua $ i ru r i

de numere rea l e care l nd e p l inesc cond i � i i l e :

an= 0 ; l i m �n= 0 n $ i ru l ( � ) n naN es t e strict n

(i) ( ii )

l- i m

-) 00

-> 00

cat�r sau d escrescator ) e x is ta

( iii )

an f3n

lim

Atun c i

n -> co

1.

=

=

1.

n

a

n+t.

lim

-> co

an

£X£RC I TI I :

I

n

a =

1-

'") .<.. .

a

n

n

-

...) .

a =

4.

a =

'7

5.

6.

7.

· a

a

2 2 1 + 2 +

n n

1 P+ 3 P+

n

=

n

n

n

2

3

+ nP

p+ 1 . .

+

.

n

- l)P

( 2n

p+ t.

l P+ 2 P + . . . + n P nP

n ( 4k k=2t. n

=

+ n n

1 P + 2P +

a =

,

In n ' 2

� P

- l )P

p+ l

1 . 3 + 3 ' 5 + . . .. . + ( 2n

-1 ) ( 2n

2

n-

111

+

1)

mono ton

( cres-

a

8.

n

a

9.

II.

1.

1·2·

=

•

•

•

· k + Z· 3 ·

•

•

· ( k +l ) n

n

= n

a

•

n

-

+

.

•

•

+ Ie

•

•

•

+ ( n-k+l ) · ( n-k+2 ) ·

•

•

•

·n

+

� n

2.

3.

1

a =

n

4.

( n + l ) ( n+2 )

1( /1

a = n

( I nd. :

( 2n )

n!

+

n

k '"

- 1

m+ 1

)

amp l i f i care cu con j ug a ta , metoda maj orAr i i $ i minorAri i , l ema Ce.aro-Sto l z ) .

5.

Fie x

n+ 1

=

III .

.

n

lim n ·x

sA se arate ca ( I nd.

In ( 1 + x )

n -) CO

n

nx . =

= n

2

x

.

o

> O . Uti l i z �nd l ema Cesaro-Sto l z

n_ )

__

1 x

n

Ca l cu l a� i l im i te l e u rmAtoare l or $ i ruri 1 n i po te z a cA e l e

e x i s ta :

.f ( n

n + 1 ,..-----

1.

L =

2.

a =

n

n

n+ 1 /

-I

(

+ 1) !

(n + 2) (n + 3) (n + 1 ) ! •

•

•

$ i ru l La l escu )

( 2n + 2 )

( n +1 ) ( n + 2 ) n!

3.

a =

n

+

+

1

n

1 12

2

]

]

•

•

$ t i in d

•

( 2n )

ca :

lim ,Q ->

CD 4..

5.

(1

1

+

2

+

z

.

.

.

.

1

+

n

(

i 1 1

an=

nP

a n=

l P• 2 P•

s n Z n +

.

.

]

n ""6

Z

sin 2 + Z n + 2

+

.

Z

=

n P-

nP

p

.

.

.

.

+

n +n

sin n

Z

nP

+£

]

2"

1 + + + n1 - I n n p > 0 �i c este constan ta lui Euler.

6.

•

2""

lm��

•

•

c)

unde p

Raspunsuri. : 1 . Aplicam l ema Cesaro - S to l z pen t ru an = y{ n + l ) � �i �n = Avem lim a / � = lim yl n � /n n = l ,Ie �i prin ipoteza rezul ta l im ( a a )/(� - � ) = l , deci l = l,Ie. 1 + 1 6. Consideram an= 1 + �= 1 2 n In n - c 1 n C{ In a +1 = + n 1 Avem 1 1 � (n + l)P nP n 1 nP { n + l ) P ( f1 + 1 + I n n ' + '- 1 ) = nP (n • l)P ' n�OO n+£

n

-

n

n�OO

n

n+£

,

n-

•

:"'1+£

n

n+£

n

B

{

> 0

•

•

-

n

--

.

�n

=

=

= lim n -> co

n

n 1 + 1 + In n + 1 1 "

ata�ata )

ob�inem :

n

=

Z

l

=

[

1

2"

(

ttaca

0

1

daca daca

"2 co

113

sa

poate utiliza func�i..

p E

p p

(0, 1 )

=1 1 >

UTIL I ZAREA TEOREl1EI

t 3.

Teared:

(

Lag range ,

este

Aceasta C A)

den t- a.

0

3 c

teorema

se

L AGRANGE.

) Daca f : [a , b] pe [ a , b] �i derivabil a pe ( a , b ) � f ( b) f ( a ) = f ' ( c) (a,b) a 1 b a

( 1 736- 1 8 1 3 )

con t i n ua

a t un c i :

L UI

E

.

.

IR

--�,

.

poa te u t i l i z a

pe

n t ru :

Cal culul l imitelor de $iruri In care peate fi pusa in evie x p resi e de formill : f(b) f(a) (3.6) b a

pentru func�ia ata$at.a . Exem.p � 1..l :

a n= a)

Re-zo l var eo :

sid er�d f ( x ) tervalul

.yo

:::

b)

[ n , n +1 ]

c)

f ' ( cn ) . Ob�i n em

:

((

1

+ n !

punem i n ev i

(

1

+

!)

a p l � c am 3 C

:

x

n

=

)

d en � a

0

expresie de

f : (n , n + 1 ]

,

teorema

lui

f orma

---> IR

Lag ran ge

(3.6)

n

,

10

E !N f

f un c� i e i

pe

con -

...

•

in-

f ( n+1 ) - f ( n ) = f ' ( c } . n + 1 - n a e x p r e s i a f e b b) af ( a ) cu

E ( n , n +1 )

i n l o cu � m i n

a

1

nH

n

T1

( +

� )

1

n

d ) uti l izam inegal ita� i l e : n < c n< n ab�ine majar.ari ( m i n o r ar i ) convenabi le. !n caz�l 1 1 1 deci n +1 2 < 1 +1 C < n n + 1 < n < n n Rezul tal 1 an < � ( 1 + c1 n + 2 � ) n c

]

114

�

+

n

1 +

1

pen t r u a

os t ru, avem : 1

-rn

=

1 e

n + 2

C B)

Ca l eu l u l

forlAe l e :

.>

----

1'1

a = f ' ( l ) + f' (2) + . . .

B

1'1

a = f ' ( l ) + f' (2) +

B

2 . 0

f i ind

.

+ f' (n) - fen) ,

•

fune� i e eare i a i se poate ap l i ea teorema l ui Lagrange [ n , n+ l ]

marg i n i te

,

n e � .

� i ruri l e d e fo rma 2 �---------------- B

Observa\- i e :

( deei eonvergen te )

pe � � i a s t f e l i n er t f

creseatoare

f'

�i

1 . monoton i a :

�i

a

(

sun t i n totdeauna mon o tone � �i

-----------

0

d a ea f es te

---

f un et ie derivabi } a

au mon oton i i d i f e r i te .

a l egere �

a

sa presupunem ea f este

deseresea toare ;

n

"'

1

a = n

+ f' (2} +

f ' ( n+ l ) -

f'

pen t ru a f a ce

Demons t ra t i e :

=

.

+ f' (n)

1'1

pe i n terva l e l e :

[ f' (1)

0 .-

=

l imite l or de � i ru r i ee po t f i puse su b una d i n

1 .

f

O-e-O

[ ,f ' ( 1 )

+ f ' (2) +

+ f' (n)

f ( n+ 1 )

- fen)

- f(n)

•

•

•

+ f' (n)

-

f ( n+l )

]-

] :;:

)

2 . ap l i cam teorema l u i Lag range f un c�i e i f pe in terva l u l [ n � n+ l ]

•

3

e

1'1

e (n

,

n < e < n+l 1'1

deci

a

n+t.

-

a = f ' ( n+ 1 )

1'1

f ( n+1 ) - f e n ) = f ' ( e )

a.l .

0+1 ) == )

1'1

f' (n)

f' (e ) 1'1

<

0

:>

f' (e ) 1'1

( f'

•

> f ' ( n+i )

descreseatoare )

(3 .7) (3.8)

de

unde d ed ueem ea � i ru l este des eresea tor . marg i n i rea :

3.

de a

1

•

� i ru l f i i n d deserescator , este marg i n i t su pe ri o r

Mai t rebuie g as i ta 0 m arg i n e i n ferioara . Pen tru aeeas t a ,

scr iem ( 3 . 8 ) I n eep�nd d e l a

n = 1

115

� i ob�inem ast f e l pos i b i l i ta-

< 3

=>

f' (2) > f' (e )

3 < e < 4

->

f ' (3) > f ' ( e ) > f ' (4)

n = 2

2 <

n = 3

j.

.

e

. . . . . .

2

3

.

.

.

. . . . .

.

i

.

.

=>

n

n

> f ' (3)

2

. . . .

n < e < n + l deei

:

f ' ( 1 ) > f ' ( e ) > f ' ( 2)

1 < c < 2

. .

n

=>

n = 1

.

� i ru l a

( maj ora )

tea de a minora

.

. .

..

.

.

.

3

.

. . . . .

f ' ( n ) > f ' ( e ) > f ' ( n+l ) n

a = f' ( 1 ) + f' (2) + . . . . + f ' (n) - f(n) > > f' (e ) + f' (e ) + j.

•

2

•

n

+ f' (e ) - fen)

•

Obt inem un i n l oeu i tor conven abi l pen tru suma : 2

i

f' (e ) + f' (e ) +

•

•

n

+ f' (c )

•

Scriem re l a t ia ( 3 . 7 ) i n cep�nd de l a

n = 1

� i adun am ega l i ta-

t i l e ob t inute : n = 1

3 e e (1

n = 2

3 e e (2

n = 3

3 e

n = n

3 e E (n

i

2

3

e

f (2)

f(l)

,

1 (3)

f(2) = f' (e )

3)

(3 , 4)

n

z

f' (e )

2

f (4) - f (3) = f ' ( e ) 3

, n + 1)

fen + 1)

1-( n )

fen + 1 )

f(l) =

= f' (e ) i

rezu l ta :

i

, 2)

n

2

+ f' (e ) +

a � fen + 1) - f ( l ) - 1(n) < - f ( l )

n

= f' (c )

•

•

•

+ f' (e )

, prin u rmare ,

� i ru l este marg i n i t i n f e r i o r . Este deei convergen t . L i m i ta sa es te un numar i n tre

- f(l)

�i

a

i

£X£RC I TI l :

I.

uti l i z �nd teorema l ui Lagrange , sa se e a l eu l eze l im i te l e

� i rur i l or :

1 16

n

1.

P a = n n

[

a

(

arctg ( n + l )

t

1

n

n+t

a

2.

n + 1 a = nP ' l n n n

3.

a

4..

a

S.

a =

-=

nP

=-

nP

n

n

1 q n

(

a

n+t

7.

II. 1.

a > 0

,

J.

(n + 1 )q

a

)

- arctg n

1

n

nP

n

1

6.

]

sin n

a = n

s in

n + 1 n

In

a = n

(

2

n

1

n + 1

arctg ( n + 1 ) n + 1

arctg n n

)

Sa se s tud ieze convergen�a � i ruri l o r : a

n

=

+

1

1

2

...

1

3

+

1

.. . . +

- In n

n

< h m i t el QCea t ui air ae numee t e c onat.Clnt.el

l ui E u l e r

2.

a

=

n

+

1

1

2"

+

1

3"

+

...

1

+

(

n

a = n

1

a

l

1

..,Ol

+

L.

n

"-

=

n

n

5.

a =

6.

a

=

n

+

1

... . . . +

n

1 1

1 n + 1

+

1 n + 2

+

...

...

+

1 n + 2

+

. ..

+

117

i

=

S.

)

1-

( a umele pelr t.i. elle elle aeriei el r mon i c:e generell. i Z elt.e )

Ol

1

+

l�

co

k - In k

lc = 2

n

30l 1

(O , t >

a umele p a. r t i elle elle aeriei

el r mon i ce

3.

c E

1

n + k 1 2n

)

7.

1

a n=

"2

1

f' (k) =

nam pe f � in3nd can t c� :

f(x)

1.

-

J

=

- , arctg n

pen t ru a avea una d i n forme l e 1

4.

I nd i c a t i e :

1

+

5 +

+

---:---- d x = 1 n x In x

1 k - In k

.

x

In

B

, deci

sa u

2

B

determi-

f' {x) =

1. x - In x

A pl i cam pen tru aceastA func-

�ie etape l e d in d emonstra� i i l e de la I n ceputu l acestui parag raf .

III.

Sa se arate ca :

1-

1 998

2.

2 - 10 lc

1 +

1

(

a

+

1

.r;

-2<

p

P

3.

<

1 +

-r;

1

+

.r;

Ic(p-�)

1

)

<

...

+

1

+ +

1

-r;

.

1

1 +

h

1

�

..

+

1 +

+

1

2

l nd i c a t i e :

1

"'3

f ( x)

=

•

•

•

+

h

1

P

n + 1 2

>

...

+

(a

1

Ie

-

1

1

+ lc( p -J.)

<

-IaPk 1

p

trebui e ar�tat ca :

1.

1 998

pen tru

+

< 2 - 10

1 102lc 1

+

1 999

1

<

4.

<

J

<

f ' ( 1) + f ' (2)

1 _

_ _

rx

Ser i a armon i ca

dx =

Ser i a

+

2rx 1 +

1

'"2

+

1 3

+

•

•

•

+

1

n

+

•

•

•

se

nume�te ser ie armoni ca d eoare ce are proprietatea : ori care _ trei termen i con secutivi sunt 1 n progresie armon i ca . l n tr -adevar , d a ca n o tam

b

n

=

1

n

avem

ca acaesta ser ie are

b = n

0

2

1 -

b

•

Mu l t t i m p s-a crezu t

n+1

suma s f in i ta . t n an t i chi ta te se cAuta

1 18

obtinerea val orii aproximative a lui s , cal cul �n d suma a c�t mai mul �i termeni ai seriei . Ast�zi se �tie ca s = ri a a rmonica este divergenta ) . Men ti on am c�teva din metodele poate arata acest lucru, metode care u ti l i z ea z a exercitii din manualele de l i ceu , sau e x e r citii de nivelul celor de l iceu : 00

(

se

cu

1.

Teorema lui Lagrange

exercitiul

c a re

se

I. 2 )

1 1 1 > 13 . . . + 2n 24 n + 1 + n +2 care se d emon s t reaza prin indu c t ie I n clasa X-a . ! n tr-adevar , daca s ar avea va l o are f i n i ta : 1 1 + 1 + ... 1 ... < 2.

In�gal i tatea :

+

0

+

a tun .:: i not�nd

�i deoarece Dar

deci 3.

R

U

R

n

n

n

=

2"

R =

s

n

n

1

n -) 00

1 +

1

+

+

1

n

=

n

1 +

...--.. n

...

+

2

1

+ 1

u tinde l a zero . A�adar

+

+

in

R

=

00

n i ci s nu

n

n

2n +

1

1

...

+

2

+

•

•

+

1 2n

+

este finit 1 +

n

a + R = s

o.

+

2

1

n +

n -) 00

n

1 2n

+

s

am avea :

n - ) co

til i z area l imitei l i m

Ut

+

n + 1 + n +2 = l im a , deducem l im n

care se studiaza 4.

+

3

.

.

.

>

.

> 13

24

•

+

1 2n ) =In 2

clasa X I I - a .

i l i z area inegal ita�ii : 1 + 1 + 1 1 1 + 2"" 3

""4

"5

+

•

.

•

+

>

n

2

+

1

d ef i n itiei i n t egralei ( sume Riemann ) (vezi metoda 16 , exercitiul I I . ) 5.

Uti l i z a rea

11 9

1 4_

SI RURI DATE PRI N RELATl 1

DE RECURENTA _

C Al RECURENTA L I N I ARA 1.

Recurenta . l in iar� de ord inu l i n ti i

Este de forma : a

n+1

=

CIt - . · n

'

cu a

a

dat

Ex presia ter.en u l ui genera l rezu l tA observi nd c� : n+1

a a

deci

�

= q

a

.. =

n

2.

-a

n+t

£xempl. 'U:

Avt!dl :

n+1

= q - a = q2 - a n

n-1

=

•

•

•

z

q

n-1

-a

a

0 1

a

a = n

11

.. ( 11 ) n+1 - a

lO an-

a n '

10 10

cu a

o

a

da t e

•

Recuren �a l in i a r� de ord i n doi

Este d� f orma : a P@n tru f o l osim

a

de

n+1

1

= Ol a

n

2

+ Ol a

gAsi e x pres i a

n-1

'

cu a

termenului

a

�i a

1

da�i .

g enera l i n aces t caz , ne

ex presia termenu l u i g enera l de l a recuren �a de ord inu l

I n t�i . Am vazut cA pen t ru aceastA recuren�A avem : tAm

�i

pen tru re cu�en � a

de ordinul

a = a q n

doi ter.enu l genera l

a

n

de

fordlA : a = c·q

n

n

c fj ind

a

con s tan t� i nca nedet.rminat� .

! n l ocuind 1 n re l a� i a de recuren�� , ob� inem : q

de unde , i .pAr� ind

cu

q

n+1

n-1

= 01. - q n+ 1

CIt 2

- q n-1

, ob� ine. ecua}ia caracteri s t i ca :

120

•

CAu­

aceea� i

q

z

Ct - q j,

-

-

Ct = 0 z

Con s i de ram u rma toa rel e cazu ri a) 1l. > 0 ( e cua t ia caracteristica are radaci n i rea l e � i di s t i n c te 1n acest caz , neexi s t�np motiv pen t ru a neg l ija una d in t re c ini , modificam expresia l u i consider3nd-o de forma : n :

&

a, =

n

� i determi n am con s t an te l e

ai �irului

termen i

t

2

1

+

a

. cu a o= a 1

n-1

{

mu 1 :

s i s te

1

(

1

a = n

r5

1

2

2

numele

/1

de

q

z

q

Z

)

f5

=

= 0

1

-

1

doi

cu rad acin i l e :

Consider�nd a

-{"5

0

a = 1

n +

cz

(

1

+

2

rs

)

o a:

de f r m

n n ,

1

-{5

1

[(

-

1

2r5 +

2

r5

Observat i e :

sub

n

obtinem:

a = 1

c = 1

deci

+

1

q 2= a = c

din

Z

�

- f5 2

n

1

�i

1

Ecua ia cara c te r i s i i ca este :

q 1=

+ c -q

n

c2 astfel 1 n c3t pri m i i v a l or i l e d ate i n i t ia l . c

sa a i ba

a n+1= a n

£xem.p � u :

c -q

rada-

numar u l

de aur .

)

c

� i. n _

(

z

1

f5 + 1

=

2r5

2

rs

r]

,

n

2: o

.

este cunos�ut inca d in an t ich i ta te El este l i m i ta � i ru l u i :

radical i ) ( se apl ica metoda 11 ) . ( di s pun e rea c ren g i Acest numar se re g ase$ te adeseori in natura lor pe copaci , a frunzelor pe ramuri , proportii 1 n cor p u l omen esc a

n

=

+

/1

+

•

•

•

+

-{""1

(n

121

am�nun -te

e t c . ( Pentru

or i a ar t e i . Ed i tu r a 6 =

b)

v@z i

de exemp l u Mati l a Ghi ka : Es t e t i c � � i

� t i i n � i f i cA �i en c i c l oped icA , Bu cure� t i , 1981 ) .

e cuat i a caracteri s t i cA are rAdAcin i

0

I n acest caz consideram an an=

( adic� a = q n , p ( n ) , n

m i n am p e

s�

1

1

c

�i

1.

a i b� va l o r i l e a

Exem.p l. u :

Lu�nd

a= 1"1

2

c

2

C "q 1

cu P

1

q - Q

egale q 1=q 2 )

de forma :

-

n

+

1

n " c :z " Q n1

po l i nom de g radu l unu ) _ $i deter-

t

pun�nd aceea$ i con d i i e ,

date i n i ti a l .

1"1+2= a1"1+1

C'Q

t e-

a

o

=

1

a1

•

=

ca primi i do i termen i

2

•

ob�inem e cuat i a ca r a c ter ist i c� :

1"1

+

1

eu r�d�cinil e

0

4 =

Con s ider�n d :

a

en )

=

2

n

, obt-inem :

din sistemul : a

1"1=

1

(

-

6n

4 )

1

c =

�i l'l

c)

Fie Avem : se

c

c

2

1 i m an= -> co

=

,

6

0

dec i :

-

•

ecuatia caracteristic� are rAd A c i n i comp l exe ) aces t e a : q = r ( cos t + i ' sin t ) � i q = r ( cos t - i - s i n t ) n n 'q + c 'q dar pen t ru a f o l osi doar n umere r ea l e , 1 1 2 2

�

<

0

1

a

aratA

A t un

-4

=

:z

c

1"1

c�

i pu te

e

pu t�m i n l ocui p

m s cr i e a1"1

=

n r (

respectiv cu :

c cos n t + c sin n t ) ...1

2

122

.

-:

3.

R e cu r en � a l in i ara de ord i n h forma :

Este de

a cu

( ma i mare dec�t 2 )

!

= a -a

�

n+h

h termeni

primi i

P roced�nd

ca

punem con d i t i a

n+h-

d at i

1

+ a -a

2

+

n+h-2

•

•

+ a

•

h

-a

n

.

n a = c-q

l a recu ren t a d e ord in doi , combinAm

sa f 1 e s a t i s f a cu ta re l at i a de reeurenta .

Obt inem

ecua t i a c a r a c te r i s t i ca : h-t. h h -2 + + 0. - q q = a.t. - q 2

D 1 s t �n g em u rmatoare l e a)

d e termi n am con s tan te l e

b)

(

C

1

.

2

•

•

d i n � x p re s i a g rad 5 - 1 ,

) �

= q ..

lui a

-

q n. + c - q n 1

2

i

+

n

2

•

•

e 1,h

n h

•

+ c -q

,

pun§nd conditia ea primii

h

1

,

i n 1 0 cu i m Buma c

1

-

P

&-1

(n)

este mu l t i p l a de ord in C

1

-q

P

n 1

&-1

+

c

2

-q

n 2

+

•

•

•

5,

+ c -q ..

f i in d un po l i nom d e

n

&

sa a i ba va l o ri l e d a t� in i t ia l .

0

•

1

�

q

d e e xemp l u q

cu :

n

d a ca 0 rad a e i n a ,

con j ugata e i este

e

l.

-

de f orma :

n

ai carui coe f i ei en t i se d e t e rm i n a pun§nd con d i t i a e a

p r i m i i 5 termen i c)

c.

2

a

ai � i r u l u i sa a i ba va l or i l e date in i t ia l .

d aca 0 radac i n a ,

q = q =

�

+

vom con sidera pe

n

termen i

•

ca r a c te r i s t i ca a re toa te rad a c i n i l e rea l e � i

d a ca e cuat i a

a =

k

•

cazur i :

d i s t i n c te :

�i

•

2

de e x em p l u Q ' 1

este comp l ex a ,

r ad a c i n a a eca � iei

!n

a tu n c i $ i

caraete r i s t i ee

(

f ie de

a ce s t c a z i n l ocu i m 1 n ex presia l ui a

n

Buma :

eu :

iar daca rad a cina

n r ( Ql

e cos n t + c sin n t ) 1 2

e s t e mu l ti p l a d e ord in B

( q = q = -� 2

•

•

•

q

�i

•

....

q

&+1

= q

&+2

=

.

•

= q

.

2&

= q

i n l o cu i m i n ex pres i a l u i a

1

ce can t i n rad a c i n a comp l ex a cu : " r (

n c cos n t + c s i n n t ) + n - r ( 1 2 •

EXERC I Tl l : I.

•

c cos n t + c s i n n t )

+ n

•

"

:3

la-1

-r

n

.

( c 2&-1 cos

nt + c

2Q

t e r m en i i

+

•

•

•

•

S l. n n t

t

Determ i n a i e x p resia termen u l u i genera l $ i c a l cu l a t i

) .

l i m i ta

pen tru : '7

1.

a

2.

a

3.

a

4.

a

5.

a

5.

a

7. 8.

a

a

n+1

"+1

n+1

...:>

=

a

-

2

= a - I n >: " x

= a 'a

= "+2 n+:ot

n+3

n+3

?-a

= 3-a

n+4

+ 2-a

o

1.

a

::

In X

0

n

1

2-a

n+1 .

n+2

n+2 n+3 ,

.>(

o

cu a

'")

= 2'a

=

1'1 + 1

dat

o

cu a = a

cu a

n

3·a

a = a = 0

II.

cu a

,

n

16 - a

3-a + 3-a

Cli

•

n

n+ 1

n+1

a = -1 2

a.

1

12 - a

+

n

2

=

o

n+1

+ a

2

a = 0 0

,

a = 1

n

+ 2-a ,

a = 2 2

1

=

a = 1

+ a

n+2

1

n

,

a = 1 1

a = 1

6

,

a

=

2

-1

2

cs = 1 7

= 0

sa

a = 0

Sa se de termine a ast f e l i n c � t � i ru l d a t p r i n re l a t i a de

t-

recuren a :

a

n+2

n+1

= a - cs'

= - an 3

cs = 0 1

,

a = 2 2

sa a i ba l i -

mi ta � i sa se c a l cul eze l im i ta . 2.

Scr i e t- i re l a t- i i l e de recuren t a $ i termen i i gen e r a l l. a l.

$ i ru r i l o r pen tru care :

a = 1 1

a = 2 2

carcscte ri s t i ce sun t :

124

i a r rad a c i n i l e e cua t iei

2

£

a)

q = 1

b)

q :: q :: 1

c)

q ::

1

2

1

1 + i·

q £= 1 + i

d) 3.

A , B

�

4.

,

a = A·a n

Z

n

n

a = A·a n

3

, q = 1

cu

,

a ,

B

,

a ,

{3

a $ i (3 astf e l

e

�

$i

ca :

sA f i @ c onve rgen t ;

Ii. x = 00 n n�CO

Fie

i . r3""

...,

se determi n

b)

=

-

4

i

+ B · {3

( xn )

xn

1

, q = 2

q = 1

$ i ru l

l im

2

-(""3

a)

n�CO

1

3

l a l � ' {3 J . S�

0,

�

2

1 -2 q =

�

n

Fie

c)

A , B

q =

co n

+ B . n . {3

, n � 1

,

cu A , B , a

,

{3

E

�

,

O . SA se determine a $ i , {3 as tf e l ca $ i ru l sA f i e convergen t .

( B ) RECURENTA NEL I N I ARA

1 . Recuren t � de forma !

a

n+l

= a · a + (3 ,

cu a

--- n --'-";"""--- 0

dat

--

E x pres i a termenu l ui gene ra l se ob� i ne observ�nd cA dacA Z = a· Z

a

n

eu

este

l 0

obt i nu tA I n l ocuind pe a

+ {3

•

1 n re l a� i a de recuren�� ) atun ci $ i ru l

prog resie geome t ri cA .

Exemp l u:

a = 1

1

"2

' l

A tun ci $ i ru l

(

a n

a

n+1

a =

+ 1 2

1 )�

n

+

2

1

deducem

@ste

125

0

1

= 1

.

prog res ie geome tr i cA .

l

este

n+l

�i

a

b = n

Fie

a + 1 i

=

n

1

-

j,

2

2

b = a -

2

1

i

- 1 =

2

1

b = a - 1 =

. Avem

•

n-i. b1 0 q

=

_

( )n �

� ( � )1'-. :: l,. "21 ) + 1

_

=

1

q =

2.

(

a = n

b + 1 n

,

f o rm a

(

0

f f iind

n -) CO

1

.

---'---

n+j,

= a ' a + f (n ) --- n f un e \- ie oa rec a re )

Reeu ren t� d e •

a = n

lim

�i

Ob\-i nem :

"2

n

deei

=

- "'4

Ra \- i a p rog res i e i g eome t r i ee este d e e i :

b = n

l

a

Te rmen u l genera l se g Ase$ te pe b a z a o bservati e i e� d a eA b

n

) neIN

e s te un � i r care veri f i eA a eeea $ i re l a\- i e de re eu ren \-A ,

(

a tun e i o r i ce � i r

a

) neIN

n

c a re ve r i f i cA re l a t i a d a ta e s te de

f o rma :

1 n prac t i ca se a l eg e

b

n

f

lui

0

d e f orm a :

n

b =

coe f i c i en t i i

o

c = a - b

cu

,

f(n)

f i i n d nede term i n a\- i . A ce$ t i coe f i c i en \- i se

d e te r m i n a pun�nd con d i t i a ca

t

( b n ) nefN

sa ver i f i ce re l a \- i a d e

recu ren a .

Caz

recu ren t a d e f o rma :

par t i cu l a r :

cu P po l i n om d e g rad s Exemp l. t.L :

a

n+j,

= 3'a

Cautam � i ru l b

n

de

n

a

n+j,

= a° a

n

+ f1n P ( n ) °

•

+ 5

n(

f o rm a :

n 2+ 2n + 3 b = n

5

126

n

(

)

,

a =

o

2 uon + v'n +

l. w

)

•

Pun em con -

ditia

('-

ea

bn ) ne!N sA verifiee rela\-ia de reeuren\-A d a ta : bn+J. 3 - bn+ sn ( n 2+ 2n + 3 ) =

Ob,-inem:

S T'lH ( u ( n + 1 ) 2+ v ( n +

1)

+

w

Prin identifieare rezul tA : a deei : b

"';

�

o

=

a

21 �

7'1

'

a - b o

v =

3

-2

de

f : [a, b]

w

)

+

21

�

'

,

o 1 n2 2

R e cur-en t- a

Teor-ema :

1

2"'

=

=

3 2n + 1

)

•

forma a n+1 -f ( an ) lR funct-ie 'continuA ) '""

---}

"-----...:''---

eu

= 3 - Sn ( un 2+ vn +

)

f : [ a , b] > lR este continua � i c r e s e a to a r e pe (a , b] atunei : �irul ( a n ) nefN este ereseator a ) daca a.1 > a0 a1 a 0 b ) d a ea � i ru l ( an )nefN este descrescator 1.

Daca

fun e t i a

-----

,

,

"".

un punct fix al lui f , adica sotie a eeuatiei earacteristiee f ( x ) = x 2 . Da e a f este descrescatoare pe [ a , b) , atunci sub�iruri le de indice par respectiv impar ale l ui ( a ) nefN slnt monotone �i de monotonii diferite. Daca aceste doua sub$iruri au l imite, atunci acestea sunt egal e. L i n ta

� i ru l u i

0

es te

•

7'1

Exemp 1. U:

a= - 1

10 ,

a 7'1+1=

2'

an

127

Av

em f ( x )

=

2

x 2 ; din tabelul de varia � ie deducem c� f 2x

+

este descresc�toare pe

(0 , � )

$i cresc�toare pe (

,

�

=) .

Prin induc�ie se d.monstreaz� c� a n> f2"" , $i cum a2= 5 , 1 < a� I nseamn� c� $irul este descresc�tor . M�rginirea se poate deduce din proprietatea func�ii lor continue definite pe intervale i nchise $i mkrginite de a fi m�rgini�e " Ecua�ia caracteristicA f ( x ) x are r�d�cinile x 1.2 ± � , deci l = -f2 . =

Caz particular:

recuren�a omografica : a n+1

Avem: f' (x)

a" x + � Y" X + 6

not�nd :

=

a" a

n

y " an

+ � +

,

6

cu a dat o

'

numita func�ie omografic� $i :

deci monotonia lui f- depinde de semnul

=

expresiei Daca

=

01 " 6 x if1l �

e

�" Y

"_

x 2 sunt radacir1i Ie ecua � iei caracteristice f ( x ) Y " X� + 6 + 6 y"X

=

se poate arata ca termenul general a al n

2

$irului este dat de rel a�ia : X an 2 an Exem.p l. u:

a

°

= 1

a

'

= n+S

x x1

en _2

=

2

1 +

a a

o_

_ _ _

a

n

°

Sa se arate c�: a < a < a < < 1 < < a4 < a2 < a0 " De aici rezul tA ca $irul este convergent ( se descompune 1n doua S

=

3

�

•

•

•

1 29

•

•

•

x,

Sa

.

sub� i ruri conv.rg� te )

deduce cA

l im i ta � i ru l ui est.

1.

EXERCI Tl l :

Determina�i termenul general �i s tudi a �i convergen�a

I.

� i ruri l or : 1

1-

a = 1

2.

a = 0

3.

a

4..

a

5.

a

8.

a

7.

a

=

0

=

0

0

1

1

a-a

=

n+t

n

!II .

,

a

a

,

n+1

2

n+1

n+1

/

,

2-a =

2-a ==

astfel l nc�t �iru l sa l imita. 1

a 7lf 2

II. 1 . 2. 3.

x e

0

a

"

(

X = a 0

x = 1 0

0

=

n+1

,

,

2

: ) -

,

a

2

)(

n+1

)(

n+1

=

=

x

n

1 "2

n

+ 1

n

+ 5 n

+' b

es t

8 )(

n-1

a

Ca l cu l a� i aceastA

e periodic.

3n

�

+ 4-x

(

Determina�i coeficien�ii

.

l imita finita .

n

( 3

)

1

a

U

1

2

n

a i ba

2

-

n

n

n

a-a

-n

2

..,n

2

n

n

3 _o n

+

2 1 + a

=

an+1

1

n

(

< 1

l al

"-

a

=

an+1

""2

1 -a

=

n

+

=

a

cu

+ 1 -

2a + 3

=

b

9.

n

1 an a n+t - 2

,

0

=

a

,

0

1

a0

8.

n+t

1

"2

).

0

0

=

a

,

"

n

)

;

s

n

+

129

X

a

n-i

)

in

.

x

n

.+

cos

x

n

=

1

�i

4.

1 5.

x = 1 o

x

=

n+:l

a,b

,

>

0

ORl CE SI R Cauchy DE NUHEPL REALE ESTE CONVERGENT

Unul din exerci�ii le recapitulative din manualul de anal izA pentru cl asa a X I -a cere sA se "arate cA dacA un �ir de numere reale este convergent , atunci: V m , n 2: £ V £ > (1 3 n e IN (3.9) Un �ir care satisface condi�ia ( 3 . 8 ) se nume�te �ir Cauchy sau �ir fundamental . Se demonstreazA cA un �ir de numere reale este £

convergent daca �i numai daca este �ir Cauchy . Aceasta propozitie permite demonstrarea convergen�ei unor �iruri arAt�nd ca ele sunt �iruri Cauchy . t n astfel de exerci�ii se felose�te condi�ia: V £ 0 3 n e IN V m,n 2: n £ v p e IN I an +p I < £ (3.9' ) care este echivalenta cu ( 3 . 9 ) dar mai comed de folosi t . >

£

-

1 + an= 1 + T! Trebuie aratat ca: V > 0 3 n e IN ( a) £ Exem.p l u :

£

fie £ > 0 . loc proprietatea ( a ) ( b)

( c ) avem:

a

n+p

..... 1

-;::;'i.

+

. . .

+

a

1

.�

n 2: n £ V p e lJ'i f an+p- an l . < £ Sa vedem daca existA n £ astfel i nc�t sa aiba an I

=

V

1 1 (n + p) ! + (n + p

1) ! .+

=

n

1 � ! ( ( n + 1 ) (n + 2 )

•

•

•

(n + p) + 130

.

•

•

•

+

+

(n + 1

1) !

=

(;)

+

<

1 -1< n1 1 .

2

T

L� a : n

(;]

'=

c

+ 1

•

•

•

2

Sa

...4 . 2.

3. 4.• 5.

a

a

' •

a

B.

a

7.

a

8.

9.

a

=

-

n

0

=

2

L-

= Tl

=

Ct

0

.

-

Tl

Fie a

=

n

b

1

< 0 b ·b kH k

b)

I

Sa

. .

+

roo

Tl

b I

1

>

lm co se a,.-a te i

n

sunt fundamentale:

+ 2 1· 4 + . . . . + n ( n +1 2 ) 1 + 1 2 + 1 2 + . . . . + 12 3 n 2 + . . . . + cos n x 1 + cos x + cos 2x 2 3 3 3 7'1 sin x + sin 2x + . . + s i n n x 2 . 2 2 + + 1 n n cos x + cos 2x + . . . . + cos ox 22 2n cos Ct cos Ct2 cos 1 + + + . . . o(n + 1) 2·3 1 -2 1 + + ( -1 ) n-1 � 1 - 21 + 31 ""4

a) c)

� i ,,-u"-i

--r:3

=

n

deci putem

1

=

n

<

n

r')

an

1 2

c

1

=

_

2

n

se ar-ate c� u,.-matoa,.-el e a

�

2

EXERC I T I I : I.

]

1

� .

( T)P

-

1

1

n

( d ) punem conditia : 1

•

+

� <

=

1 + 2"

p -1

->

b'

I =

7'1

c:a

+ b 2+ b I

2

>

•

•

•

•

•

•

•

_

+

b

)- . I

Tl

-

•

o

-

uode:

Tl

b I Tl

">

•

•

•

0

..

a

n+p

a I Tl

<

b

7'1+1

131

pen t,.-u o,.-i ce

n , p E IN

•

Sa

se deduc� de aici c� �irul este Cauchy . I NDI CATI 1" :

a

3.

ft+p

an I

1 1 n (n + 1 ) + ( n + 1 } ( n

<

�i facem descompuneri i n f rac�ii simple.

·. +

( _1 ) n

.

·

.

.

.

2) +

1

n +

I I =

1

•

•

•

•

+ ( n + p - 11 ) ( n + p )

+ ( -1 ) n+p-2

a n+p an I

8.

+

1 + p- 1

____ _

�

n

+

•

•

•

1 1 n +2 + n +3

1

n + 1

+ ( - 1 ) p-� n +1 p

Daca p este impar deducem: a n +p a n I ···· -

1

1 (n +�- 1 =

n + 1

-

(n!2

n n

! 3 ) - ···· 1

+

1

,

iar dac� este par: an+p an I ·

.

.

.

-

Deci :

n

1

+ 1

( n + p1 -- 2

nem : n &= 9.

=

I

an+p- an I

[!

n !3 n

<

- 1] + 1

+

1 n +

1 p 1

1 .

)

- n +1 p

- ····

)

-I

Din condi�ia :

<

1 n +1 1 n + 1 <

.

ProcedAm ca la exercit-iul precedent, unde am avut: bn= ( -1 ) n -.!.. n

132

&

obt-i-

t o.

UTI L I ZAREA D£FI NI TI £1

I NT£GRAL£1

Se �tie ca suma Riemann ata$ata func�iei f : [a, b ] corespunzator unei diviziuni : A = { a = x ( x ( x ( ( x n= b } . $i puncelor inter.ediare � . E [ x . , x . ] este : o

1.

t.

•

2

L-t.

•

--> IR ,

•

,

1.

i

1.-1

x - x.

( 3 . 10)

)

Daca punctele x. sunt echidistante , atunci x i- x.1.-1= b 1.

n

a $i avem: ( 3 . l: 1 )

o

func�ie este integrabi la daca:

f i n i ta .

va l u l

l im... {7l:J. ( f , � ) exista $i este Valoarea l imitei se nume�te integrala functiei f pe inter-

[a� b]

U l:J.B

->0

: b

l im {7l:J. ( f , � ) = I f ( x ) dx lI l:J. n -> 0 t j l i z a definitia integralei In cal �ulul l imitelor de �iruri � observam cA pentru divi � iuni l:J. f orma te cu puncte echidisPen t ru

tan

te

�

a

0.

u

avem:

l im al:J. ( f , � ) = l i m al:J. ( f ,� ) H l:J. H n -> co Deci putem proceda astfel : -> 0

a ) aratam ca termenul general a se poate pune sub forma: 1"1

b - a ( f( � ) + f( � ) + + f( � ) ) 1 n cu func�ie continua pe [ a , b] , iar � .' �iind punctele unei diviziuni echidistante. f

an=

z

•

•

•

•

1.

b ) f ' f iind continua este $i integrabi la, iar : 1 33

1"1

lim n

-> = b

a =

lim

n

-> =

n

-- J f ( x ) dx

O'ii ( f , ( )

=

�= gJ;�:c: gggg,},,� =

l i m O'fl ( f , � )

n A il -) 0

Q c h \. d i la l o. n t �

•

0.

1

Exem.p t '\.( :

a ) !Ocrie.

pe .a sub n

forma :

a n ( fe e ) + f( punlnd 1 n eviden,\-� factorul cornun an=

a· n

1

n

=

l n n

1. = 1

t

3

n

3

3 + k

=

n

1

n

b)

tante

n

(b

r...

3

3

+ 1

2

)

3

.

1

deducem

in terva l u l

+ f

(

en

)

)

)

Avem : r

+

+

� 2

3

+

. .

.

n3

+

facem sa apara pun c tele

n3 + n

3

hid is-

]

ali : 3

1

=

1

=

a�ezam punctele echidistante pe n

. . . .

+

1 n

deducem functia f . Avem: f ( x ) c�

�i

n

n

s

n �i

e

b

2 n

dreapta:

3 n

diviziuna : [a, b]

a

Ii

-

7;" -

A =- { o

, .

. . n , 2n ,

1

,

,

1

n -= 1 n

} �i

•

d ) observam c� an est. suma Riemann corespunzatoare functiei continue , deci integrabile ) f � i d i v i z iun i i A deduse, pe inter-va l u l [ a , b ) Cum punctele lui A sunt echidistante , avem: •

134

lim a n -> 00

n

lim

= n

aA ( f , � )

=

-) 00

l im

!l A Il -> 0

0 ( f �� ) A

=

f

1

1

dx

=

-13. 3

o

EXERC I TI I .

Uti l iz�nd definitia integralei cal culati l imitele urmAtoarelor �iruri : 1 1 2. n E = 1. 2 2 n i = s. 3n + i n i.�= s. 1 E i .e n in 3. 4 . an -rnE cos � 2 I.

cS

a

. 5

n

n

it

l.

n

a

n

S . an 7.

a

n

=

n

--

n

,/E

i. = 1

n - S.

i =l

=

i =1

n n

•

•

4.

a

n

=

" n1 2 n

- In n +

� n

cos

n

=

n

+ 1:.) n

•

•

•

( n+n )

-----+,

�

,

( ln n + I n n ( l + � ) n

f(x)

( c ) Cal culati l im

•

=

e �

=

( nI2 } i n

•

n

00 ----., ----+

"l / 2

Jo

cos x dx .

1 - In n + n ( I n n + I n (n+1 ) + • • • +

•

+

n )) + In ( 1 + n 0 ( f,� ) A

l (£ )

�"

\.

=

•

•

+ I n n ( l+ � n »

•

=

In ( l + x ) dx .

n ----+ 00

corespunzAtoare functiei

1 x , di�iziunii

1 ) �i punctelor intermediare

•

n

n

( a ) Scrieti suma Riemann

l ee}

=

1 �n ( n+1 ) ( n+2 )

--

2. 2 n 1.. = 1 In ( i + n ) - 2 ( n - 1 ) In n ) 1

=

f : [e, l ]

= n

-( E

=

2 1 1 -( n ) + n In ( l+ n ) + In ( l + II.

a

6.

Logaritm�nd obtinem In a

1 n ( n+n »

n

i/n

n ( n+i )� n 2+l.. 2

I n.d i c a t i. i :

6.

=

6 =

(e

,

1

n '

i/n . ( b ) Cal culati l im

2 n ,...

n �oo

A( f , � )

0

1 + �i deduceti cA l in ( 1 + 2"

00.

135

n �oo

•

•

•

4.

CON T I NUI T A T E

S I

D E R I V A B I L I T A T E

CONT l NU I TATE

DEFI NI TI E :

Functia

1

:

D

-----+.

�

est. continuA 1 n

1 . are l imit� I n X o 2 . l imita este egal� cu

x

o

E D

�

adic�

CONSEC I NTA :

C Al

1(x ) o

,

Orice functie continu� i ntr-un punct are l imita acel punct a

in

Metode pentru studiul continuitay i i 1.

Util izarea definitiei .

"Exemplu:

t

1(x)

=

1

x + . 2x 3

+

este continu� 1n

Intr-adev�r , s� ar�tam c�: 3 6& > 0

3 V x e lR \ {- - } 2

1 36

Ix

- 1 1 < 6& => =:= > II 2xx ++ 31

x =

1.

1(1) I <

&

& > 0

Fi�

x + 1 2x + 3

-

o a r ec a re .

f(1)

T rebu i e sa determinam pe 6

x + 1 2x + 3

I I =

;I

=

.

c

Avem :

6 Ix 11 < c 5 1 2x 3 1 5 1 2x + -

-

3 1

/

<

deoarece pe interva l u l g in i t i n tre 3 $ i 7

6& =

)

=> $i

3 6 = 2&

0

I f ( x ) -f ( 1 ) I < & deci f es te con tinua 2�

Z

(x sa

0

x

£X£HPLU:

o

Z

d

(x

0

2

pen tru a E [ 0

REZOLVARE:

&

x

Ix -

= 1

este mar-

&

15

<. ;; . .

1/

<

=)

2&

.

)

(=)

e

X sin a i -x

+

3 ,

2n]

Z

)

= z (x

sa - o -- d - o

(x

)

='

f(x )

0 -

s un t respec ti v . l im i ta l a st�n g a $ i l a

stud iem con t� n u i ta tea

Sa

= 1/

6

d in condi ia

{ -� 2}

es te con t i n u a 1 n x

�i

)

31

Atun c i :

------- 0

-d reap ta i n

f(x)

in

�

6

pe

+

Uti l i zarea c r i teriu l ui cu l im i te l aterale

f unde

2&

V x e lR \

&

1 2x

, de exemp lu ,

Determinam

•

Putem l ua d e exemp l u '1 &

[0,2]

X

functiei : 2

�

x

e [0

x

-=

x

e (1

,

1]

,

2]

1

�

Deoarece se cere sa se stud iez8 con tinui tatea ,

137

f

a ra

a

se spe ci f i ca un pun c t anume ,

tr-ebu i e f a cu t s tud i u l pe tot dome-

n iu l, de def i n i t- i e . pun c te l e domen i u l u i apar ca f i i n d de doua categor i i : 1.

Pun c te de l eg a t.ura i n tre ramuri , i n care se stud i a z a con-

tinui ta tea u t i l i z �nd de exem p l u l im i ta l e l atera l e .

2 . Ce l e l a l te pun cte , I n care func�i a este con t inua , exprimatA prin fun ct- i i

f i ind

( e l emen tare ) con tinue ( dar a cest l u cru

trebu i e s pe c i f i ca t de f i ecare d a tA ) . 1 n caz u l nost ru : (a)

x

i n o r i ce pun c t

1

#:

o

fun c t- i a este con t inua f i ind e x p r i -

mata prin f un c� i i con t i nue . s tud i em con t i n u i tatea I n

(b)

z.

&

(1)

x

l im

- ) j. X ( l

=

1

im

f ( }� )

x - > j. x < j.

Ol

1 x

=

x

=

1

1

-

1

2

)2

=

i-m f ( x ) = 1 im

-) 1 x < j.

X

- > j.

s in

Ol -

3

2

- (x 2

<=)

I S1n

1

Ol

f

(1)

1

sin

1.

d a ca

Ol

E.

[ 0

�

IT ]

6

-

4"

=

1)

,

=

1 ... '2

'

1

2 deci f este con t i nua

sin a -

5rr/ 6 +

o

-

2

1

27

n/6 Ol

X

+

2 . Pen tru e x p l i ci tarea modu l u l u i

=

2

j. -x

+x +

uti l i z am tab l ou l e u �emn u l fun ct- i�i

Ol

Avem :

•

=

Va l oa rea fun ct- i e i I n pun ct es te In

=

o

X

Ie s i n

iar

x

U

[

5rr

6

--

1 38

o

,

2rr

]

e euat- i a dev in e :

2rr

-

+

Ct

-sin

d a ca Ct E

2. 01

d eci

2

=

=>

=

a

sin

,

17

=

s i n a =' O

<=>

1

1

2

2

0 , Ct = n CI(

=

,

Ct

= 2n

1

u

Pen tru a ces te pa tru va l or i a l e l i a func�ia este con t i n ua � i 1 n x

pun ctu l

=

1

, .

decl. este con tinua pe IR

•

z

U t i l i a rea cri te ri u l u i cu � i ruri .

3.

Acest cri ter i u se ob� i n e d in c r i te r i u l cu � i ru r i pen t ru l im i te de func t i i i n l ocu i nd pe

x n#

x

0

t

cu f ( x ) � i renunt�nd l a cond i i a

o

l

( ca re i n caz u l l imi te lor este esen t- i a l a , deoarece se

poa te stud i a l i m i ta unei- func � i i i n t r -un pun ct i n care f ( x e x i s ta }

•

EXEHPL U:

=

P ro ced �nd ma i

sus ,

ca

{

3x 2 +

2x

d a ca. daca

+ 4

>:

l a Metoda 1 0

,

X E
X E IR \ <0

cu ce l e doua adaptar1 men � ion a te

rez u l ta ca f este con tinua i n pun c te l e x =

( B)

) nu

x

o

+ 4

ad i ca

,

x

-4 '3

o =

xo · =

1

o

.

pen tru ca re

Ti pur i d e pun cte d e d i scon t i nu i tate . Punc t u l

o

x

c a es t e punc t l i m. i t e t e

e D

de d i sc on t i nu i t a t � de spe t a i n t i i

l a t era l e

Or i c e a l t

i n care f nu es t e c on t i nua se spune

punc t

in x

o

exi s t a s i

sun t

daca

f i. n i t e o .

de d i sc on t i nu i t a t e se spune ca es t e

cis spe t a a dc1.tC%.

139

e e)

Prelungirea

prin con tinui tate .

� I nseamnA a adAfunc�ia f : D uga domeniului D punc te noi � I n care l egea de coresponden�A se defin�te dupA Yoie . A pre l un g i

----�,

es te mul�imea de pun cte adAugatA ponden�A pe " , prelungirea Y� f i l 1p

: D u "

�

--_t

1

{

p( x ) �

t·(

dacA

x) h(x)

=

sin

x

--�,

{

cores-

x e D

dacA x E '"

IR , plu, 1 : 1R \ { O } f(x) = pre l ung i tA l a I n treaga mu l t i me IR pun�nd sin )( d acA x E IR \ { O } x 1 p ( x )" d acA x = 0

De ex ..

legea de

� i h est�

DacA M

x

peate 1 i

t

ExistA deci

foarte mu l te pre l un g i r i a l e unei 1un c i i . Totu�i ,

dacA f este con t inuA pe D $ 1 are l im i tA f i n i ta i n tr-un pun c t

x

o

• D , ex i s tA

care est.

{

sin

este singura e D)

1

p

:

D u {

x0 }

-----,

IR

num i t� pre l un g i re prin con tinui tate a l u i 1

•

Dec! , pentru

=

singur� pre l ung i re

continuA ,

I-n -'pun ctu l x -----0

1p ( x )

0

ex�plul

)( -+0

x � dac� x =

x

dac�

x

1 pre l ung i re

Continuitatea Dace

nostru , deoarece l im

I

a lui

sin

sin

x

x =

1

, 1unc�1a

0

0

x /x

care este con tinuA pe IR .

fun c\ i i l or compuse . es t e con t i nua

1 40

o

in x

si

6 es t e con t i nua i n

D

x

E

f(x

-----+.

o

o

)

F

--------�.

g(f(x

o

»

0

= ( gof ) ( x )

Deci compunerea a douA f un cr i i con tinue este

func� �e con t � n u a .

0

Reci proc nu este adevArat : s-ar putea ca f �i 9 sA nu f i e con tinue � i totu� i gof sA f i e con tinu� . De exemp l u ,

{:

fIx) =

dac�

x E

d a cA

)(

G

e IR

\

Q

nu este con tinuA I n n i ci un pun ct , �ar fun c � i a este fun c � i a iden t i c ega l A cu 1 pun ct d i n IR

,

�(x)

=

( f of ) ( x )

deci este con tinuA I n or�ce

•

EXERC I TI I :

I.

SA se studieze , pe domen i u l max im d e def in i � ie , con tinu i ta -

tea fun c� i i l or def i n i te prin :

1-

f{x)

=

x - Ex]

3.

f(x)

=

n -> 00

5.

f(x) =

l im

{X

2. n

x + x ;::

2n

+ 1

2x

6.

f(x)

-

{

x E

dacA

x E IR \

v,( x )

d acA

x e IR \ Q

x

-

1

x + 1 o

I

x E IR

x =L q

-.

- e TxT

\

Q

..au

1

nx +

I nx I

)(

=

0

( func�ia l u i Riemann )

dacl.

x

dac� x

141

n -+00

l im

Q

x

f(x)

f(x)

4!!

d acA

_

=

f(x)

G

u ('x )

da cA

8.

G

dad

dacA

7.

4-

f ( x ) = [ x l - sin nx

� 0

=

0

9.

1 0.

f(x) l'

dac� x daca x

- x

{

=

(x)

e

1 ]

E

daca x daca x d-aca x

In ( -l-x ) l+e - z x

27 1ft

P

E Z

( Manual )

< 0 0 )0

=

se precizeze tipul puncte10r de discontinuitate pentru funct-ii l e : tg x x � 0 )C 1.f (x) x 0

II.

S�

=

f(x)

2.

3.

4.

x)

::

f( )

::

x

f(x)

=

-I 1

{ t

x

+

-

1

x

X

ct

x -

2

1

0

::

x

sin 2 :x - cos x 1 -

;It

x

x

C(

1

r

=

C(

=

(> ;It

2 k rr 2 k rr

. ( -nrr ) Sl.n ax

+

a

1n l x l + 1n l x l

2

x

7

x

x x

e IR

;It

1

=

1

\

{-

>:

;It 7

1 .'� e} e ,. 0.

-

1 . e1 e se determine prelungiri le prin continuitate, unde este posibi l . 5.

Sa

f(

=

{ t {

C(

e

{- - ,O, - t

se studieze continui tatea func�iilor f , g01 , pentru : x 1. f ( x ) = sgn x g(x) = -x III.

2.

Sa

f(x)

=

g(x)

(x]

142

=

{

In x

9

,

x x

f og

,

e
f(x) =

3.

[

g ( x ) = sgn x

]

+ [xl

1

f ( x ) = sgn ( sgn x )

I V.

1.

2.

f ,9 : �

Fie

f(x) = g(x)

g(x)

----• •

f

Fie

:

I

iR

-�

x e
{ :.2

x e !R \ /Q

func� i i con tinue ast f e l l n c� t

e (Q

)(

pen tru o r i ce

�

=

�

f = 9

SA se arate cA

•

I s:: rR

0

( Manua l )

func\-ie cu proprieta tea

l ui Darbou x . Daca f a re l im i te l atera l e i n ori ce pun ct d i n I , atun ci f este con t inua pe I

.

( M anua..l ) 3.

Fie f : lR

� I x -y l

I f ( x ) - f (y ) 1 � a ) 0

e x i sta I f ( }� ) I X

o

-----+» lR

astfe l i n c�t :

pen tru ori ce

as tfe l I n c� t pen tru o r i ce x cu

Sa 5e arate ca

•

Ix l

a

<

sa avem

< a . Sa 5e deduca e}: i 5 ten�a unui pun ct f i x pen tru f

este pun ct f i x pen tru f d aca 4.

v c

x , y e lR

)

0

Fie f

�

[ a ;b]

3 6 ) 0 c

-----+, �

f(

,

v X , y e (a , b]

xo)

= Xo )

•

" ( Manua l )

con tinua . Atun ci : , =)

I x-y I

< 6

c

=)

I f ( )( ) -f ( y ) I

< c

(4.1 )

( Manua l ) o

fun c \- i e cu proprietatea ( 4 . 1 ) se nume�te fun c � ie un i form

con tinua pe [ a , b ) . Un i form con tinui tatea 5e def ine$te deci pe un in terva l , i n t imp ce con tinui tatea 5e peate def i n i i ntr-un pun ct a Lul nd 1 n

(4. 1 )

y = )( 0

5e deduce cA ori ce f un c� i e un i form con­

ti nua pe un in terva l este con t i nua pe acel i nterva l . Exerci � i u l 4.

de mai

5US

a f i rma reci proca acestei propoz i � i i ,

care este a devarata d aca i n terva l u l este i n chi5 $ i marg in i t .

143

DERIVABILITATE C A)

Defini r ie. lnterpretare geometrica .Consecin�e .

� este derivsbila i n F.unc�ia f D daca exista $i este finita l imita:

x e

----�.

:

DEFI NI TI E .

l im

x Xo o Va l oarea acestei l imite se noteaza cu f ' ( derivata lui f i n x f( x )

o

D

f ( xo )

. x -> x

x ) o

$i se nume$te

o

Derivata unei func�ii Intr-un punct x este pant� tangentei la graficul lui f i n punctul de abscisa x I NTERPRETATRE GEOHETRI C A .

o

f(x)

B

f ( >: o )

C >:

o

Fig .

4.1

C�nd x tinde l a x , coarda AB tinde catre tangenta In A la grafi c , deci panta corzii f ( x ) -f ( xo ) AS x - xo tinde catre panta tangentei . A$adar f ' ( x o � este panta tangentei I n punctul de abscisa x la grafic. o

At

=

o

144

o.

I n te� p�et area g eome t r i ca a d e r i v a te i �i�

de implicatii : x ---)-

AB

=)

l im .....

x

x

t i nua i n

2.

x

0.

f(x)

f ( xc ) )! o

1.

=

m

=)

AT

.. 0. .... ______

CONSECI NTE.

m

48

=)

AT

Orice functie

acel pun c t

x 0. --x---. --....,. m f ' ( xc )

= 1ft

AT

u r ma tdru l

=>-

AT

.

r

.punct est�

der ivabi l a i n t �u n

x

o

i

tangen t e i

�

f(

x

0

)

)

es te :

- f { xc )

= m ( x - xc)

l c n d p e m c u f ' ( x c ) ( pan t a tangen t e i l a g rafi c ) e cu at i a tan g en te i l a grafic 1n punctul d e abscisa x :

i n o ui

nem

y

3.

E cu a t 1 a n o rma l e i

- f ( xo )

=

( pe r pen d 1 cu l a r a

pe

tan g en t� ) III

d e c i e s te : y

- f(

x

o

)

ob� i -

o

- xo}

f ' { xo ) ( x

cond 1 � i a d e p e � pend i cu l a � i t a t e a doua d repte

C B)

COD-

a

y

1

.

SE

m

2

de d u ::::

-1

ce )

din

�i

=

Derivarea functii lor compuse . ( f(u( x »

Din

din

la graficu l unei f un c t i derivabi l e . Se $tie ca ecuatia unei drepte ce trece prin punctul

E cua t i a

(

�i

r e z u l ta deci

f ormu l a ( 4 . 2 )

) '

se deduce :

(f (f (f (x) } » 3 2 1

'

=

= f' (1 3

(4.2)

f ' (u(x ) } 'u' ( x )

2

( f1 ( x »

145

)

'

f 2' ( f 1 ( x »

' f' (x) 1

Deci, pentru a deriva func�ie compusA proced�m astfel : ( a ) deriv�m u l tima func� e care se compune ( In cazul nostru f 3 ) �i I n locuim i n a ceast� func�ie variabi la x cu expresia rezul tata din compunerea celorl al te functii ( I n cazul nostru f 2 o f 1 ) . ( b ) neg l ij�nd functia etapa precedenta ( In cazul nostru pe f 3 ) se- deriveaza functia care a devenit ultima ( pentru noi f 2 ) �i de a semenea se I n locuie�te variabi l a x cu e p esia rezul tata din compunerea care inca nu au fost derivate ( aceasta etapa avem doar f 1 ( x ) ( c) se continua procedeul se derlveaza toate func�iile . 0

i

d e r i va t�

la

x

r

f un c t i i l or

In

noi

p�n a

EXEI1PLU:

_ cos 2Sl.n

1 Apli c�nd formula

3,

-{

x 2+ 1

(4.2)

avem : l ' = 2 o cos sin ;t' x 2+ 1

f' (x)

2 ' cos sin ;t' x 2 +

}

1

0

( -sin

Putem ob�ine acela�i rezul tat mul t mai repede , uti l iz�nd general izarea formu lei ( 4 . 2 ) , prezentata mai sus .

1 46

.

As t f e l �

ca � e

fun c�i i l e

se CDmpun

f

f

4

iar

�x)

=

4

CONSECI NTE: 1

-1

EXEHPLU:

{x)

3

2

Din

= e

x

"

= x

fI (x)

,

..

a p l i c�nd

1

s l. n

.,

f(x)

deci

.

i r:w erse .

f o r mu l a y

sau no t�nd

1

=

Pen t r� �i

l' x �+

cum

In

=

y

( 1 l "X

=

In

) -1

=

x

::

}; x

:::

X

::-

ey

= f(x)

rezu l t� : :

----;.) lR

f

,

( 4 .2 )

"'"

e

y

avem :

o b t- i n em :

•

De r i vate de ord in supe r i o r a l e funct- i i l or compuse . (f ( U ( X » ) = f ' ( u ( x »

'u' (x)

,

d e � i v�nd d i n nou 1 n r a p o r t e u x

r e zu l ta:

(f ( U ( X » + f ' (u( x »

= 'u"

(f ' (x}

(u(x) 'u" (X» :;;

)

=

f " ' (u( x »

f " I ( u t x } ) ' (u ' ( X » )

Am obt i n u t a s t f e l der ivata d e ord inu l �i

=

deci :

Deri vata f Ll n c� i e i

1.

=

2.

,

» ) )

i.

2 ' cos s i n

=

( f ( }� » )

u-1 ( f ( x ) » )

-1

(x)

f' (f (1 (f (f (x» » ) 'f' (f {f (1 <x» ) ) ·f' (1 (f (x» ) " 5 4 3 2 i 3 2 1. 4 3 2 1

·f' (1 (x» , 1' (x) 2 i t

Din

:!

COS X 5

=

f

( >: )

f (x ) = . f ( f ( f ( f ( f ( x »

f' (x)

f

2

s�n t :

p roced eu l

poate

con ti n u a .

147

2

doi

·u· ( x ) ·u' ( x )

+

+

f ' ( u ( x ) -) · u ' · ( x )

a

f un c t i e i eompu s e ,

SA cal cul Am f " ( x ) dacA func�ie derivabilA de douA ori pe R Avem: f ' ( x ) g ' ( e x ) . ( -e x ) +

g ' (e -x ) ( e-x ) e e)

=

• -x

,

g fiind

0

•

-

-

=

-x

g ee )

=

f(x)

£X£HPLU:

( g ' ( e -x )

g ' ( e -x ) e -x •

_

.

)

•

Derivate de ordinul n

Pentru cal culul derivatei f (n} ( x ) putem uti l iza una din urmAtoarele metode: 1 . Cal cul �m c�teva derivate ( f' , f fI I ' . . . ) pentru a deduce expresia lui f(T)} , pe apoi prin in duc�ie. 2 . Util iz�m formula lui derivare a produsului a doua func�ii : . care

0

L e i bn i z

( Formu l a

poate

f(x) 1i

. 9 ( >; )

)

ap l i ca t �

{ n}

$i

"\ n

=

L k ::: O

unui

,

,

d emon s t ram

de

Cl<

n

f {n-k} (

c�t . 1

( D)

I I

(x) .

>:

1

/

.

9

(x)

c '

x,

C e o a rec�

1 g( x )

Studiul derivabi l it��ii .

Pentru a studia derivabi l itatea unei 1unc�i� procedAm astfel : ( a ) deosebim doua categorii de puncte ale domeniului : puncte 1 n care �tim ca func�ia este derivabil a ( fiind exprimata prin func�ii derivabil e) $i puncte i n care urmeaz� s� studiem deriva� bi l itatea ( 1 n general puncte de legatura dintre ramuri ) . ( b) pentru studiul aceasta doua categorie derivabi l i tat � i

1 48

in

a

de puncte se uti lizeazA una din urmAtoarele metode: ( 1 ) cal culAm derivatele laterale cu aj utorul defini�iei ( 2 ) cal culAm derivatele laterale cu aj utorul Cor6larului teoremei lui Lagrange: Dac;! f este derivabill. intr-o vecin�tate a lui x �i continua i n x �i dac� exist� o

"A.

•

=

l im f ' ( x )

x .....x

0

( respecti v

.

o

"A.

d

=

l im f ' ( x ) )

x .....x

o

atunci f are derivata la st�nga ( respectiv la dreapta ) 1 n x o ( respectiv f d' ( x ) "A. ) =

o

•

d

i poteCond-i �ia de continui tate In x care se cere za corolarului este esen�iala pentru apl icarea acestuia , dar ea nu constituie de fapt 0 restrict ie c�nd studiem derivabi li tatea , deoarece daca f nu/ este continua I n x nu este nici derivabi la. in

----��--------------------------- o --------------------��----

o

EXEHPLU:

S�

determinam parametri

{ In2

a, � e �

astfel I nc�t func�ia :

x > e = ax + {5 x < e sa fie derivabi la. Care este interp retarea geometric� a rezul tatului ob�inut f(x)

x

?

Ra.:spuns: Metoda 1 . ( uti l izarea derivatelor laterale) ( a ) I n or � ce punct x # e func�ia este derivabilA, fiind ex� primata prin func� � i derivabile. ( b) studiem- derivabi l itatea I n x Datorita propozi�iei : f non cOntinua == ) f non derivabil A studiem mai I ntl i continuitatea. •

= e

•

•

l

•

(e)

=

l im f ( x )

x ..... e x(e

=

l im (

x ..... e x(e

ax + f3 ) = ae + f3

149

im xx
2 In x = 1

im xx
f(x) =

f con t inua i n e

<= >

2

f ( e ) = In e = 1

�i

ae + � = 1

(4.3)

Daca nu este i ndep l i n i ta con d i t. i a de con tinui tate i n ,

x = e ,

fun c t ia nu .ste n i ci derivabi l a i n a cest punc t , deci stud i Em �erivabi l i tatea presupun�nd ca este I ndep l in i ta con d i X i a d e con ti-o nui tate . of ' ( e ) •

l im xx (-+e e

=

- -

ax

im xx l<-+e e f� ( e ) =

+

f(x)

)(

t1 X

ae e

xx (-+e e

fee) e -

X

ax

l im xx (-+e e

+

1

�

�

=

e

[

1

t::Je +

=

]

t1

= a .

f(e) = e

f(x)

l im

t1

=

xx <-+9 e

In

l im

2

):

1

X - e

Pen t ru c a l cu l u l a c es tei l im i te pu tem : (1)

a p l i ca def i n i t- i a der i va tei ,

(2)

permuta l i m i ta cu l og a r i tmu l ,

(3)

uti l i z a regu l a l u i I ' Hosp i ta l .

( 1 ) O bservam ca not�nd

9

2 ( >: ) = I n x

g(e) = 1

avem

� i l im i t a

d ev i n e : g(x) - g(e) x - e

l im

g'

= g' (e)

=

( x )

( deoarece 1 x

2 In x °

=}

9

este d er � va bi l a i n e )

=

xx <-)e e

l im

( In x -I

In ( x

xx <->8 e x

2 - l im

e

2

e

=

(2)

=

deci f � ( e )

2

g' (e) =

-

-

In e) ( In x + I n e ) X - e

le ) •

( xx <->e e

= l im

X

1

e

- In

1 50

xx <->e e

= 2 - l im

(

:

)

)

In

x X

x

= l im

x<e

-) 9

In e e

( In

=

2-

: ) x-e

=

=

"". =

1

( ..::.. ) x -e

-> .

l im

In

x(e x

e

A�ad a r �

<=>

f

1

00

etc .

este d e r i v a b i l � i n

2

at =

=

�i

e

din

con d i t 1 a

Avem d R C i :

f(x)

{

=

In

de

2

y

2 ): -

=

e

-

este

1

Dac� g

ramura

�--------- o

pun ctu l

x

2:

(a)

In

e x p r i ma t�

abscisa

la

x

pun c t

� e

x

f un ct i i

te l e l im xx < e -> .

es te

ft

obtinut : In

>:

2

d re a p ta

•

este e x p r � ma t�

ramu r i

dac�

p r i n tr-o

�i

n uma i

der�vabi l e

-- I n

l

�

=

(e)

cor-a l a ru l

�

d

x

:> <

x x

(e)

teoremei

)

.

f i in d

avem :

at

In

Lagrange

derivabi l a �

x

2 >:

este

de

ramu r i .

lui

Teoreme i

�i

i n pun c tu l

tan gen ta

ce l e i l a l te

functia

S tu d iem d e r i v a b i l i t a tea

Pen t r u a u t i l i z a

e

!

( · U t i l i z a r e a Coro l a ru l u i

t i a d e con t i n u i t a t e :

=

.

f un ct i a es te d e r i va b i l � i n

g r a f i cu l

f' (x)

(b)

<

l eg �tur� d i n t re

de

r e s pe c t i va

prin

x

f un c� i i

unei

d a c � d re a p t a

o r i ce

:>

-1

------��----------�------------------�---------

------- 0 ---

Metod a

x

Y

curba

:::0 ax + (1 )

y

d re a p t l.

a

<=>

- !

con t i n u i t a te o b t i n em � =

rezu l ta tu l u i

la

f d' ( <=> '

==

Ii

1

2

tangen t a

f ' (e)

x

-x e

I n te rp r e tarea geome t r i ca a

< = .>

e

=. e

=

•

e

Punem m a i <=}

f(e)

lui

e

L ag range

ate

+

I n t� i

� =

c a l cu l am

c on d 1 -

1

•

l im i -

l a tera l e a l e d e r i v a te i : at = at

•

Din

coro l ar

d e d u cem

1 51

f' (e)

=

at

•

An a l og ,

f ' (e ) d

=

im f '

x -> " x < e

1

Deci

( x )

2

=

e

e s t e d e� i va b i l a i n

f

x

=

e

daca � i numai dac�

D i n con d i t i a d e con t i n u i t a te ded u cem e E)

�

=

-1

a =

2 e

:

Ap l i ca\ i i a l e derivatei I n economie { ve z i man u a l ul .de ana l i z � matemati cA c l s . I X )

1 . F i e � ( x ) benef i c i u l rea l i za t pen t ru

0

che l tuia 1 a de x l ei

.

Pen t ru o r i ce che l tui a l � su p l imen tara de h l e i benef i ciu l sup l imentar pe l eu che l tu i t este : �( x + h ) - - �( x ) h Daca h este 5uf i c ien t d e m i c a cest raport da

0

ind i ca � i e asup�a

varia�iei bene f i c iu l ui co�espun z a to r sumei de x l e i . Daca e x i sta

h h 1->�" m0 ��----�----��-�( x + h )

a ceas t a

- �( x )

=

(1' ( x )

l i m i t a se nume� te bene f i c i u l ma�g i n a l co�espun z� tor sumei

de x l ei .

2.

Fie

y(p)

costu l to ta l pen t ru p rodu ce �ea a p un i t��i

d i n t �-un p rodus . Atun c i costu l pe un i ta te sup l i men tar� de p rod us este : y( p + h ) - y(p) h � i l imi ta acestui raport ,

c�nd h t inde l a zero , daca e x i sta ,

se

nume� te cost marg i n a l a l prod u c � i e i pen t ru p un i ta� i d i n produsu l con s i d e �a t .

£X£I1PLU:

Ben e f i c i u l rea l i z a t pen t�u

1 52

0

c he l tu i a l � de x l e i

3x + 2 Pentru orice chel tuiala su p l imen tara de h l e i , caicuIa�i beneficiul supl imentar pe leu che l tu i t �i beneficiul marginal corespunzator sumei de 1000 lei .

este

�( x )

a pn � ( x + -h ) h Pent ru

R s u s:

1<

x2 -

=

=

•

leu che l tuit este : ( x ..:- h) 2 _ 3 ( x + h ) + 2 h 1000 acesta este egal cu 1 997 + h , iar

Be n B( x )

ef i

=

ci u l

su p l i men tar pe

_

1n�o

�( x

I "'

+

h ) - �( x )

=

h

1 997

EXERC I Tl l : I.

Se

cere:

Ecua�ia tangentei la graf icu l 1 punctul de abscisa

l u-i f

1.

x

o

=

Ecuai;.-1c3 tangentei l a curba f ( >: ) paralela Q >:

In 11 + x 2 in

=

I x2

-

k 2 , care es te

•

Ecuai;.-ia tangentei la curba f ( x ) bisectoare. 3.

=

•

2.

eu

(x)

=

}!

3

para lela cu prima

3>: + 2 Ecuai;.-ia tangentei l a curba care este para2>: + 6 lela cu coarda ce une�te punctele de abs c ise x 1 �i x 3 = ax + � �i 5. Sa se determine a �i � astfel inc�t x - 1 sa f ie tangente 1n x 1 Sa se scrie tan gen ta lor y x comun a . 6. Sa se !Elrate ca dreapta 7x - 2 este -cangenta. l a curba 2 + 4x y = x ( Man u al ) 4.

=

y

=

y

=

=

y

=

•

1 53

•

=

•

II.

1.

S� se c a l cu l ez e der i v a t a fun c� i e 1 :

x

f(x)

=

z e

J

l

sin

Ci

t 2 d 'C

a

2.

1

Fie

( -co , O )

:

ne un su b i n te r v a l 1i@

sa

g

'

•

( -1 )

3.

x,y e I

g(x)

11(x)

5.

( x

-

=

f(x )

=

inve rsa e i .

:z

3x

•

Sa

( -oo, O )

s� d e te r m 1 -

---..... J

SA �e ca l cu l eze

ex - x

sin

(

1

:

o

M- IX •

constan t a

y l 1+0. '

I n pun e tu l a

l i mi tA

este

$

f este

a) - f(x) f

Daca

g(x)

g

f(y) J

-

f un ct i a

,

Da c� f a re =

ie

f :

I n e�t

ast1el

X

g ' ( -1 )

$i

( Manua l )

Da ca

4.

J S �

F

b i j ect ivA .

::::

f(x)

pe

i n t r -o

marg i n i ta

)2 f(x)

I

in

a

fun c t i a

.

v e c i n �ta t e

este derivabi l a

in

pen t ru ar i ee

•

a tun ei

�

este d e r i v 3 b i l �

a ) 0

cu

x

)

0

a

l ui

Caz

•

x

\)

a tun c �­

p a r t 1 cu l a r :

I n d i ca t- i i : 1.

Avem

� .

de

Fie F

0

I(x}

s tan ta

III.

F(x

=

Pen t ru

unde ,

p r i m i t 1 va

�

x

4-

)

y

pe

I

fun c t i e i

- F(O)

,

deci

-f- (

I .

t)

= e

(x)

t

($

sin

i n eg a l i ta tea d i n e n un t e s t e

I pen t ru

a

y

f ( }� ) x

_

echivalenfa

- f{y) - y x

cbt- i n em

f'

( >: }

:::

0 ,

•

Ca l cu l at i

cu :

derivate l e

de

ord 1 n u !

1 54

n

pen t ru

deci

f

este con-

f{x)

1 -

3e f ( x ) 5.

f(x)

7.

f(x)

9.

f(x)

I V.

1

x

==

1

2 x

=

3 2

+

3 >: 2

+

In ( x - 3x

== ==

a)

( sin

b;

( cos

x ;, ( 1"1> x)

en}

==

==

4.

f(x)

ax

::::: ( x 3=

n

+

5)

2 X 2+

-

5x

9

(x - 2) ( x x

'

3) - e

XT�

3)

ox

ax

f ( x ) e e din expresia derivatei de ordinu l n sA se deducA formula binomului lui Newton .

x

1 0.

· S l.n ( cos. (

�,

x

nll' + � nIT

+

2

==

) , )

.

2 . Apl i c�nd formul a l ui Leibniz pentru sa

+

I n { 2x

==

1(x)

b

1

==

f(x)

8.

Aratat-l. ca :

L

f(x)

6.

..fX x + 3

arctg

==

2)

2.

f(x)

1

==

,

arate ca :

se

1

� .

_

1)

1

l"l +l

(x

-

2)

]

n + :I,

==

=

1

Gasi�i formule asemanatoare , cu aj utorul fun c�ii lor : f{x) 3.

u(x}

==

. x2

5x + 6

Fie ==

f(x)

1

I

inf

(x

. yE I

�i funct-iil e

= (0, 1 ) -

y )2

,

v(x}

vabi l itatea func�ii lor u inf v e x )

x EX

•

=

�i

= v

sup y EX

�i

u,v

( x

:

I

- y)2

-----+,

•

1 55

,

u(x)

Sa se studieze

sA se cal culeze sup

( Manual )

lR

x EI

u( x )

,

==

der­

i n

3.

Daca

or i ce

1. 2. 3.

4�

n

(x)

pun c t

.

v.

f

(

e s te

x

f ( l im -> co ..

SA se stud i e z e

f(x) 1

f (x)

f 3 (x )

f(x)

==

f

.,. , �

es t e

f(x)

f(x)

�

min

:l

=

i (x

2)

{ {

3

.

4x

-

-

r

? \ -

2

f (x)

J

==

t2

I

-l

C

J.

dt

.. 2

"

"

X

-4

f(x)

1

sin

>� 1

1

(

-

2)2

{x

.

-

=

-1

E

( -1

,

1)

\..

IT

2

I ( >:

3> 1 x

x

(0,1)

;

-

3) I

(x

E

x � 1

2

4"

d a cJ.

=

l im� ta

fun c \- i i l or

- IT

{

I

=

a v �n d

( Ma n u a l )

X

�{

2} { x

rI

(x)

f '

-+ 2 - 1 n

.1 )

l<x

f' (x)

de�ivab� l e �

"1- 3 x )

5

l

6.

2

""4 ( x

l

1 im r> -> co

==

==

=

f un ct � i

d e r i v a b i l i ta te a

In { x

j

5&

}: } )

�

==

de

�i�

a t un c i :

n

f(x)

un

1 +

i 1 n 'l \/ �

{

=.

2 tg x

.J.&

)

x

x

-

.

156

X

f

1

+

x �

>0

1

:$

0

x � 0

x

indef in i t d e r i v a b i l � pe !R � ; .

=

+ e

:#

=

0 0

j,/x

0

�

x )(

=

0

3)

I

=

B.

9.

1 0.

(

X

nn 2

1

n+�

f(x)

f(x) f(x)

x

1

x · In x

=

{

_

e

x

:5 0

X

E

x �

- x

e

)

dt

(0, 1 ) 1

arccos ( cos

x)

X

E

(-

;

,

arcsin ( sin

>� )

X

E

(

;

�

= e

nx

+

e

-nx

1 57

]

�

2rr ,

] a

E !R

5.

C A)

1 .

TEOREMELE

FERMAT, ROLLE, LAGRANGE, CAUCHY

TEOREMA LU I FERMAT

E n u n \- :

D a cA

pe

trem d i n

D a ca

x

o

pun c t

1 66 5

(a,b) (

,

d in

)

e s te

a tun c i

con t i n u A pe in

i n t e r i oru l

o r i ce

[ a , b]

pun c t

i n terva l u l u i

�i

de

ex-

)

de-

anu l ea z a .

X E (a,b)

este

-

-----

(a,b)

r i va ta se o

1601

> �

f : [ a � b]

d e r i va b i l A

Obs reva t i e :

(

pun c t

de

de e x trem

e x t rem

la

=== >

ca pete l e

f' (x

o

)

= 0

i n terva l u l u i

,

d e r i va t a

p o a t e sa nu se an u l e z e I n Exemp b.l :

e�-( t rem : 2.

a) a

In

f(x)

i.

x =

= 3x

-1

�i

+ 2 in

f : [ -1 , 2 ]

,

2

x = 2

I n terpre t a re g eome t r i ca � i

l n terpretare g eom e t r i ca

,

iar

-----} � f ' ( -1 )

are d oua =

f ' (2)

pun cte d e

= 3

•

a l g e b r i ca

r e z u l ta d i n

i n t e r p r e t a rea g eome t r i cA

d e r i va te i : - d a ca sl n t I n de p l in i te

con d i \- i i l e

1 58

teoreme i

l ui

Fermat

In

or i ce

pun e t d i n

i n te r i o ru l

i n t9rva l u l ui �

x

tan gen ta

fun e t i e i

l a g ra f i Gu l

para l e l A e u a a Ox .

este

b)

I n ter p re t a re a l ge b r i eA :

remei

lui

Ferma t

pe

,

[ a , b]

f' (x)

rAd Ae i n A a e eu a� i e i

d a eA sl n t o r i ee

= 0

teo-

cond i � i i l e

I nd e p l in i te

pun e � d e E x t rem d i n

(a,b)

e s te

•

EXERC I TI I : 1.

DacA

a

it

�

t

�

+ a

•

,

•

a

•

sun t numere

n

x

� n pen tru o r i ee

n )(

a

a . t

2

.

a

poz i t i ve a s t f e l

e � =

n

1 (

2.

Fie a

a

t

poz i t i ve a s t f e l 1

a .

b

pen tru o r i ee

X

t

n

b

I n e� t :

+ a .

b

2

x e �

)( + 2

•

a

f(a)

=

b

d a cA

( ii )

a

tg

a

tg

b

,

f'

dacA

DacA

5.

= 0

x

<

_

>

n

•

2

t

•

•

,

Manua l

b

+ a

.

a b

2

n

n

=

+

2

.

+ a

"

�i

derivabi l A

pe

p re ceden t

( a , �) ,

e rescAtoare ,

rezu l tA

este d e s e rescAtoare ,

X <1

pen t ru o r i ee

a

b

d a eA

o <

a

x

re z u l tA

> 0

< b <

f(x)

a tun c i

� 0 f ( �)

a

=

�

pe

e

Tl

"2

REZOL VARI : 1.

Exerci � iu l

n

1

genera l i z a re a e x e r e i � i u l u i [a � b]

rea l e

n u mere

n

)

iar

a tun ei :

este

f'

b

2

este �on t i n u A pe

f(b)

(i)

4.

f

+ a

•

a

t

(

DaeA

•

,

Atun c i :

•

b

3.

•

t

avem :

a tun c i

,

i n e� t :

este

caz

pa r t i cu l a r a l

1 59

exerci � iului

2.

0 •

[ a , b) pe

;

[a , b]

.

2. pe � .

e v id en

in

PUnem

observ�nd c�

f(x} �

a

f u n c t i e ce a re un pun ct de e x t rem

0

inega l i ta tea d i n

f(x)

cu

f (O} ,

�

=

a

�

.

b

X

�

+ a

:I:

i poteza se poate scrie :

b

.

aceasta inega l i ta t. este ad ev � r a t �

x = 0 este punc t de m i n i m g l oba l

I n acest

pu n c t

=

"" (x)

a

.

b

3.

(i)

ftc)

> 0

un

�

�

<=> a

+ b

2

2

a

+

de

= 0

pun ct

�i

b e x i sta

ee l

ca

c rescatoare

es te

a

Atun c i

•

x > _

x

tru o r i ce f(x)

=

5.

(

d a ca

•

•

pen tru

+ a

•

o r i ce

n

n

+

a

+

l"I

:I:

' In

b

2

•

•

b

.

X

n

. Deoarece

rea l �ezu l t� ca x

x

t eo r em ei

f . Con form

.

l u i Fermat

O . Avem :

+

•

a

+

n

· In

b

1"1

0

=

<=>

= 1 c a e K i s ta

e este

con form

pu� i n

c E

ehiar

(a,b)

astfe l

pun ct

de ma x i m

lui

Ro l l e deei

tearemei

a.

pe

x

> 0

x

In

i n c� t

deoarece a ve m

( c,b)

<

a

<

b

f'

f' (x)

> 0

care

pen t ru o r i ce

�i

deci

� a · In

f(c)

cu

x

S

f '

x e f(b)

(

(d)

< 0

c,b)

,

rez u l ta i mp l i ca

= 0

deducem con trad i c� ia :

f ' ( e)

< f ' ( c)

(x) = 0 tg

<=>

b

0 < a <

a

in

d

c

<

d

In

<= >

a

In

a

x

(

x

pen -

De c i a este abscisa max imu l u i· func�ie i :

•

Avem :

x

tg a tg b

x - In

)

pun c t

f ' (d) S 0 =

din

<=}

un

f' (x) � 0

1I

2"

)

a

a

< =>

x

=

e

,

deci

a

=

e

.

tg b b

<

.

Este suf i ci ent sa aratam ca ad i ca

a

2

ca

f' (d) 4.

+

pen t r u

a bsu rd

ex i sta ,

p r i n .absurd

= 0

+ b

prin

caci d a ca

f { c)

X

.

l n tre c

f

b So

' In

presu pune

Putem

.

�

. . .

P resupunem

astf e l

f ' ( e)

a

a

+

deci : " " ( 0 ) = 0 < == =>

2

derivata se anu l eaza , deci f ' ( 0 ) =

�

( g l ob a l )

f(x)

=

.

1 60

x

tg

x

este cresca toare ,

CB) 1.

TEOREMA LU I

Enun t :

Daca.

( 1652 - 1719 )

ROLLE

f : [ a , b)

> !R

---

este con tinua pe [.a � b ] ,

derivabi l A pe ( a , b ) � i f ( a ) c e (a,b)

astfel i n c� t

= f e b ) , a tun ci ex istA

f' (c) = 0 .

Teorema l u i Fermat a f i rma ca i n t r-un pun c t de e x t rem d i n in te­ rioru l unui i o terva l derivata se anu l ea z a , d a r nu spune �i c�nd e x i sta un asemenea pun c t . Teorema l u i Ro l l e da 0 con d i y i e suf i c i en ta pen t ru ex i sten ta a ce l put- i n un as t f e l de pun ct ,

adaug§nd

Fermat � i cond i t- i a :

=' f (b)

2.

f(a)

l a i poteze l e d i n teorema l u i

I n terpre tare geomet r i ca � i a l gebr i ca I n te rpretare georne t r i ca :

a)

teoremei

l u i Ro l l e ,

d a ca sun t 1 nd ep l i n i te cond i t- i i l e

ex i st a ce l

pUr i n un pun c t 1 n in terva l u l

(a,b)

i n care tangen ta l a g ra f i c este para l e l a cu o x . b)

I n terpre tare a l gebri cA :

teorernei

l u i Ro l l e ,

i n i n terva l u l

ecuat- i a

d a ca sun t i n dep l l. n l. t� cond i t- i i l e f" (x)

='0

a r� ee l put in

c

rad a c i n a.

(a,b)

I n terpreta rea a l gebri ca a teoremei pune 1 n ev id en �a. 0 me tod a pen tru a arata ca ecuat- i a . i n terva l u l

= 0

a re ee l

pu t- in 0 rad ac i n a i n

( a , b ) . Pen t ru a ceasta �ste su f i cient sA con s iderAm 0

pr i m i t iva F a l u i f , remei

f(x'

pen t ru care sun t 1 ndep l in i te cond i t- i i l e teo­

l u i Ro l l e pe [ a , b ) . Va re z u l ta ca ecuat- i a F ' ( x ) = 0 a re ee l

put- i n 0 rad a c i n a i n in terva l u l i n terva l u l

(-a , b ) ,

ad i ca f (x ) are 0 radacina 1 n

(a,b) .

o a d oua metoda pen tru a arata ca ecuat- i a

161

f(x) = 0

are ce l

pu� i n

0

radacina I n i n t@rva l u l

este eon t i n u � � i

< 0

f (a) - f ( b)

3 . Cons@cinte:

(a,b)

este de a arAta doar ea f

.

!

� .

•

I n t ra douA rad a c i n i a l e un e i fun e � i i d e r i vab i l e pe un i n terva l 0

@x ista ee l pu � i n

rad a e i n a a d e r i va te i .

! n t re d oua radaei n i a l e d e r i vatei unei fune � i i derivabi l e pe

2.

0

i n terva l e x i sta e@ l mu l t

i

rAdae in a a f un c � i e i

.

un

p@ rm te d ete rminarea numaru l ui rAdAc in i l or un@i

Consecin � a 2 .

fun c� i i pe un in tervAl cu aj utoru l rad a ci n i l o r derivatei sa l e ( � i ru l l ui Ro l l e ) : f ie

-•

x

rAd A ci n i l e d e rivatei .

n

Atun c i f a re a tl tea rad a e i n i rea l e s imp l e ci te varia � i i de semn slln t I n � i ru l : t ( -co )

( daca avem

f(x )

0

=

\.

.

1

f(x )

,

,

2

f { >� )

•

f(x

•

.'

n

)

, f ( co )

a tu n c i x . e s te rAd A c i na mu l t i p l a \.

£XERC I Tl l : I.

Sa se s tud i @ z e ap l i cabi l i ta tea teo remei

fun c � i i l e :

1.

2.

f.( x ) =

f(x) =

{ {

2

x

8x

15

2 -x -

x

lOx

2

f(x) =

>: E [ 2 , 4 ] }�

10

+

x e [ 1 , 2)

x e ( -1 , 1 )

1 x

2

x e ( -2 , -1 ]

+ 2x + 2

1 cos

x

e

[

x e" )(

E (4, 5)

x E [ 5,7]

2x + 2

s i n )(

3.

+ 1

x e

(

[

, 2n

0 rr

'"2 2n ,

162

,

]

2n 9n

--"2

)

]

l u i Rol l e pen t ru

Ca re este i n terpretarea geome tr i ca a rez u l tatu l u i ob� inut

I nd i c a t i e :

va l u l

II.

[ 4 � 5 ] , g ra f i cu l

,

arate c� ecua� i a :

are ee l p u t i n 2. a x

Dac� n

+

C\

n

i.

""-1

�o

0

n o a 0 >:

n-1

n

radacina

+

+

•

•

- I) oa

=

•

0

b o s in k x k

n-1

( -1 , 0 )

e �

n

.

Sa se

) = 0

( O , 2rr ) .

( Manua l )

1

- 0

0

are ce l

0

pu� i n

rAd A c i n a

x

n-2

+

,

� 0

n

+ a

1

a tun c i ecuat- i a : =

0

a re ce l pu t in

0

(0�1) . put i n

?

0

rad acina

a

rad a-

A ceea � i i n t r e b a re pen t ru ecuat i i l e : 2n

a pe i n terva l u l

ox

2n+1

+

2n

oX

2n+1

( -1 , 1 ) .

f : !R

cini a l e l ui f .

----} - !R

a

2n- 1

+

a

- x 2n

oX

+

2n

derivabi l a � i

Sa se arate ca

+

+

2n-1

f'

+

a a

a < a < 1

=

0

2

•

0

=

0

are c e l pu� i n

•

•

0

•

<

n - 1

n

r adaci n i .

( Manua l )

Consecint.e . : a)

b

atun ci ecua\:. i a :

,

a x + a

•

,

2

ce con d i t- i i a ceea� i ecua t ie are ce l

a

Fie

+

b

,

1

su l ut i e I n i n terva l u l

a

i n terva l u l

4.

b

1"\

a " cos k x k

I n i n terva l u l

( iii )

a

(0,1 ) .

(n

( i i )" 1 n in

(

lc: = 1

i + 1

x n-1

i n i n terva l u l

.�

I n ori ce pun ct d i n i n ter-

•

coi n cide cu tangen ta l a g ra f i c .

Fie

1.

c e [4� 5]

S e ob�ine

1.

?

0 fun c t i e po l i n omi a l a de g rad n are ce l

-

rea l e d i s t i n c te .

163

mU l t n z erour i

b)

Daca toa te radac i n i l e unui po l i nom sun t rea l e � i d i s t i n c te 0

aceea� i proprietate c)

a re � i d e r ivata sa .

Daca toate radac i n i l e unu i po l in om sun t rea l e

a tun c i � i

der i va ta sa a re aceea� i p ro p r i e ta te .

are n rad Aein i d i s t i n c te i n in terva l u l 6.

DacA

f

es te de n o r i derivabi l a pe I � i are

d i s t i n e te p e I 7.

Fie

(a�b)

eu

�

f (TI) (

a tun c i

g(x)

j1t

0

x)

a re- ce l

> lR

f ,g : [a, b] g

$i

I

e e

S a se arate ca e x i s ta

(a,b)

•

f : [ a , b]

(x)

j1t

0

f

[a

0 ,

1

n + 1

,

iar

derivabi l e pe

f(a)

=

g(a)

feb) g(b)

n c� t :

( c)

g ' ( .c )

=

I

con t i nua pe ( a , b ) � i derivabbi l a pe

A tun c i I n tre doua rada c i n i a l e l u i f e x i s tA ce l

rAdaeina a l ui

rAdAc i n i

radacina pe I .

b]

[a� b] ,

pe astfel

(a,b)

---> IR

pu� in

con t i n ue pe

f ( c) g(c) 8 . Fie

( -1 , 1 )

put in 0

a- f + f '

9 . Daca f un c� i i l e derivab i l e f ' ( >: ) - g ( x )

-

f

9

�i

au

proprietatea :

f{x) -g' (x)

=

0

pe un in terva l , a tun c i i n tre doua rad a e i n i a l e l u i se af l a 0 rad AcinA a l u i 9 �i reci proc Con se c i n t.A :

f '

Daca

t

•

( x ) - cos x rr

in terva l de l un g ime mai mare d e cl t a l ui f 10 .

f ( x ) - sin x

j1t 0

,

I n o r i ce

se a f l a ce l put in 0 radAc i n a

•

Daca

f , g : [ a , b]

b i l e pe ( a , b ) , ex ista

+

g(x)

c e (a,b) TI

----) - IR

j1t 0

,

sun t con t inue pe ( a , b ]

g' (x)

j1t

astfe l i n c�t :

1 64

0

�i f (a) = f e b) =

,

0 ,

der ivaa tun c i

1

=�

n

f'

(

g'

(

)

en

)

c n

REZOLVAR1 :

7 . Eg a l

Ace�st� vatei

ega l i t a t e

h (x)

h

peat e s

i

u

ca F

a' f ( x ) ",4

:

==

p

condi�iile

i

F( x )

=

e

ax

condit-iile

sat i s fa ce

lui

demon stram cA

Ro l l e pe

(a , b] .

prov ine d i n eg a l area cu z e r o a

f' Cx) = 0

+

teoremei

a l e der�

rAd�cin i

e e

:!:� , deci este suf icient sA

=

f nc� e i

derivatei

cr i e

- f' (c) .9(c) 0 1n un c t l c care sin t

apare

i n d e p l i ne� ta

E cu a � a

tam

de demonstrat sa mai

ea

f ( c ) . 9 ,- ( c )

lui

func�ia 8.

i ta t

f{x)

' deei

,

teo refDei

lui

este

su f i c ien t s.1 a ra-

Ro l l e .

radAcini a l e lui 1 . Pr i n i potezA ) g(x ) 0 Daca p r i n absurd , i ntre x se gase� te 2 f(x) s t i s f ce l ui i nseamn� ca f un c� i a g ( !! ) ccnd i t i i 1 e d i n teo r em Ro l l e � i deci h ' t x ) se an u l eaza cel putin i n t r-tin pun ct nt �i x ceea ce con t ra z i ce i po tez . Fie

9.

avem

�

1.

•

r�d � c i n a a

g,

a

i

10 .

>

3

3

<=}

C

TI

E

cne

(a,

re

X

nu

2

a

� 0

1.

0

a

lui x

t

i

n

=

n ' f(c

n

a

�

2

b)

( a , b)

•

g(x

<=>

) -g' {c )

n

- g(c ) ·f ' (c ) = 0 n

n

<= >

n . f (x ) . 9 . ( x ) - 9 ( x ) . f ' ( x ) = 0 are ee l u t i n 0 t rada�ina i n ( a , b ) (=) h O ( x ) 0 a re ee l put in r ad a c in� f(x) unde h ( x ) = ( ,b) , g' n > ( x ) c e urmea z � doua metode pen t ru s tu di u l ,r�Vom p r z n ta i n d a c i ni o r un e i e cu �i i . P r im dintre c� s te a util izeaza teorema l ui Ro e , i a r cea l l t� te consecin � a a faptu l ui ca o r i ce func�ie <=

e cua i a :

;

p

0

=

a

e e

ce l e

l

ll

a

a

a

es

a

0

165

In

proprietatea

con t i nua are

l u i Dar bou x .

Metode pen t ru s tud i u l rAd A c in i l or unei ecuar i i

1 . U t i l i z are.a teoremei l u i Ro l l e

(

i n terpretarea s a a l gebr i ca )

2 . Uti l i z rea proprietat i i l u i Dar boux l ui Dar bou x

Exemp l. e :

1)

Daca

e x i s ta

2 ) Fie

daca f are praprie tatea

( I n par t i cu l ar d a ca este con t inua ) � 0

f (a) - f ( b)

(

,

radacina I n [ a , b )

) .

a , b ] este o f un c � i e con tinua , a tun ci [ a , b] astfel n l t f e u ) = u �i f e y ) = v -----+.

f: [a,b]

u,v e

0

a tun c i f are

pe ( a , b ] � i :

-----+.

f : ( O , 2n ]

[

�

i

e

0

f un c� i e con tinua ast f e l i n c� t

•

( Manua l )

f ( O ) = f ( 2n ) . S a s e a rate c a e x i sta

c e

f ( c) = f t c + n} .

ast f e l i n c�t

( Manua l )

c A �i aj unge seara In local itatea B , j un ge! n A , sa s e arate c a e x i s ta u n ConseC t n t a :

[ O , n]

D a a un d rumet p l eaca d �mineata d i n

lQca l i tatea

i a r a d oua z i p l eca i n apoi � i pun c t pe d rumu l d in tre A � i

B In

care d rumetul a fast l a aceea� i ora I n ee l e d oua z i l e de d rum . I nd i ca t i e :

5 ( 0 ) = 5 ( 24 )

Daca

� i deci e x i sta

s e t ) = s e t + 12 ) . o

S ( t ) este spa� iu l parcu rs de d rume t , avem : t

4!!

o

[ 0 , 12]

as t f e l I n c�t

0

Astfe l f ormu l ata pro b l ema , re z u l tatu l pare surpr i n z Ator , d ar ea este echiva l en ta cu a spune ca doi d rumet i c a re p l eaca unu l d in A catre B $i cel a l a l t d in B catre A , se I n t� l nesc pe d rum .

3.

Uti l i zarea � i ru l ui l u i Ro l l e .

1 66

S� studiem natura r�d�einil or eeua t iei : 3 X 3x 2 + a = 0 a fiind un parametru real . R�d�eini le derivatei sunt: x ' = 0 �i x " = 2 �i Raspuns : avem : f ( x ' ) = a �i f ( x " ) = a 4 Rezul tatele sunt euprise 1 n tabelul urm�to�: Exemp l. 'U :

-

x

a

o

co

f(x) a < 0 a=

a

-

--<X)

a

4

.>

4

4 0

Na tura radae�ni lor rad acina real a x > 2 J.

E (O�4)

=

+=

+

(>

a

a

2

,

.

o

+

+

+

i x = x = o �

Ix : : 1

+

o

+

+

+

+

x3> 2

(0,2) , x3> 2 x < 0 , >: 2 = x 3 = 2 o r�daeina real � x < 0 (-

, 0 ) ..

J.

X E

2

J.

Metoda grafica . Eeuat ia F ( x ,m ) = 0 se reduce 1 a forma f (>: ) = Numarul radacini l or este egal eu numarul punctelor de = f ( x ) �i y = m intersec t ie dintre graficele : 3 + 1 X (= > Exemp 1. >: 3+ m>: + 2m>: + 1 = = x(x 2) Numarul r�dacini lor ecua t iei date este egal eu numarul punctelor de intersec t ie dintre graficele: 4.

. ;}

•

y

2

U:

.y

.

=

x3 x(x

+ +

.

0

1ft

1 2)

Relat iile lui Viette. Sa se arate ea eeua t ia: EXemp 1. a + 1 ) ' x2 + )( + ( a + 1 ) ' x 3 + ( a2 + 2 are eel mul t do�� radaeini real e. avem: Rasptins :

y

-

=

+

m

5.

•

t.t :

1 67

b \I X

+e

= 0

eu a, b , e

E IR

r,

1.

;{

1

x x

+ x +

1 2

=)

2

x

<=>

)(

X

<=>

2

J.

2

+ x

x )( 2 3

1

+

J.

3 +

+ x

X

2 2

)(

+ •

2

•

+

+

X

2 "

+

t

x

:I

+

aoua radacin i

�u�i .. 6�

-

=

.,.

-

a

X X 3 ..

+

x �,

X

::

'" 2

4

4

1

==

,2

a

--

J

+

2

1

a

+ 2' (x x

::

- .-

a

comp l e x l?

2

2 2

+

2

,.., �a

+ +

I

Daca

.

(

f : (a � b]

deci marg i n l ta b

f

} .

+

1 +

<

a

0

dx

<=> . . .. ;

=

�

F i p.

So

2f

o

f(x)

dx

=

f : [0 , 1 ]

1 . Sa s e a rate

f'x) hex)

;:

f t x)

x

=

�( b

-

o

r J o

�

E

Dar-bau x ,

a

f m,M) deci

•

-

f(x)

Fun c � i a h f i i n d

pen t ru

�

e x i s t a,

dx

x =

0

=

=

�i x

�

as t f e l i n c�t

are 0 rad a c i n a

deci

hex)

con t l nu j ,

;-; E ( 0 , 1 ) o

Ecua \- i i l e �

1 68

not�n ¢ ! = 0

� re

. 1 2f ( h ( x ) + x )

1

0

o

con �8rm

£XERC I Tl 1 ; 1.

\

e cuat i a f ( x }

f(x)

<=>

Avem : I

2J

< == >

ca

as t f e l I n c� t :

a)

con ti n ua

trebu i e a r � t a t ca e cuat i a

i n in ter-v a l u l

eu

x

iR

---��

(., M]

�

a.

exemp t u:

deci ecua� ia a re ee l

�

� x i s t�

f(x)

=>

1

x X 2 3

U t i l i z area teoremei de m�d ie �

Teorema :

+

a

are

t e o r eme i

dx

-

de

med i e ,

p ro p r- i e t a tea

as t f e l

i n c�t

j.I

rad A c i n �

=

lui

1

h ( x o. ) .

b)

X

c}

x

( s in et )

•

-f 20 x

4

. x

3

3

+ X

+ ax

2

2

=

+ �x + y

+ (Jx

1

+

0

0

=

a. , � , y E lR

n u pot avea toa te radacin i l e rea l e d a ca . 1 ndi c a t i e : b-)

2

2.

:1

o

+ >:

j.

Daca

f(x)

d >:

Clna i n 3.

6J

J.

= �

o

are

0

4.

dx

1 )

J0 f (

f : [ (} , 1 ] 2a

=

�

-----+.

�.:

in

dx

)

....

< 0 >:

:1

x

Z

3

x

, 0

"

4

este con t inua � i cu propr i e t a tea - sin

f(x)

IT X

=

0

are 0 rada-

es te con t i n u a � i cu proprieta tea a tunci e eu a t 1 a

,

�(x)

2 - ax - bx -

c

=

0

(0,1)

=

J. -

=

�

-----+.

3 b + be

+

I n.d i c a t l e :

1.

x

,

0

=

f : [0 , 1 J

x ) ' f { }: )

lR

)

1 +

X

n '

1

a re

. . .

n

,

0' r A d a c i n a

in

+

2

es te con t i n u a � i e x i st a +

1

n

>

1

pen t�LI

ecuat i a : ( 0, 1 )

.

Se a p l i ca teorema de med i e f �n ct iei :

=

f(x) - (

(e)

TEOREMA

h{ x )

2

•

sin a

< 0

•

:1

care

•

a tun c i ecu a t i a

�adaC1na D a ca

2 2 2 2 + X + X + X :1 3 2 4 2 == 2 - ...,

+ "}:

f : [0 , 1 )

Daca

f(x)

(1

(0

X

+ x2 + x

2 3 2 2 2 + >: + >: x j. 2 3

x

c)

J

2

a)

.

1 + X +

•

•

•

+ x

n-l

LU I LAGRANGE ( 1 736 - 1 8 1 3 ) ( Teorema c re� te r i l or f i n i te )

Enun t :

Fie

f : [a,b)

----�>

�

0

f u nc t i e con t i nua

� i d e r i vab i l a pe ( a , b ) . Atun ci ex ista

pe [ a , b]

c E (a,b)

ast f e l i n c�t : f (b )

2.

- f (a)

=

f' ( C) ' (b - a)

I n terpreta re geome t r i ca � i a l ge br1 ca a)

I n terpretare geome t r i c a :

Daca sun t i n d ep l i n i te con d i t l i l e

169

teoremei , e� istA un punet e E ( a , b) i n care tangenta la grafie este para]el� eu eoarda ee une$te extremit� t i le grafieului . In terpretare algebriea: Daea sunt indep l inite eondi�iile teoremei . eeua � ia : ( x ) = f ( b)b af ( a ) are eel pu � in radaeina 1 n intervalul ( a , b ) b)

f '

0

-

Corolarul teoremei lui Lagrange: Daea f este continu� pe un interval I $i derivabi l a pe I \ { x } iar 1n x exista l imita derivatei : l im f ' ( x ) = A , atunci f este derivabila 1n x $i 3.

0

.

x -> x

o

o

f· (x ) = A . Acest corol ar permite efectuarea studiului derivabi l ita � ii unei func � ii intr-un punct mul t mai u�or deci t aj utorul derivatelor laterale . Exemple : 1 . Sa se studieze derivabi l itatea func� iei : o

o

cu

f(x)

=

{

x

j, x

-

1n (

}!

.., ""

�

2

2" h

+

.., ....

)

X

< 1

2= 1

1 n orice punct x � 1 fune � ia este derivabi l a fiind exprimatA prin func�ii derivabi le. Studiem derivabi l itatea in x = 1 uti l iz�nd corolarul teoremei lui Lagrange: continuitatea in x = 1 Rezo L var e :

-

L

a

. .

(1)

=

l im f ( x ) x -> j, x ( j,

X

= (>

j,

-) j,

=

l im I n ( x 2 x -> x > j,

x -> j, x > j,

�

-

x < j,

l im f ( x ) 1 ( 1 ) = In 1 \ { 1 } ) .

l im 2

=

j, x

=

0 , deci

�

1

-

2x

+2 )

=

este continua pe

1 70

0 �

( $i derivabil a pe

- derivabi l i tatea

x = 1

Pen t ru stud iu l derivabi l i ta � i i I n

•

,

avem :

f' (x)

1

�___ _ _

(x

=

1)2

1)

2(x x 2 _ 2x

+

-2 x

1 1

-

2

In

2 (

<

1

x >

1

x

f · � t i m ca ex ista d oa r pa lR

-

{1}

EXERC I TI I : Sa se s tud ieze a p l i cabi l i ta tea

I.

teoremei l u i Lag ran ge

�i

sa �

d etermine pun cte l e i n termed i a re c pen tru :

1.

f(x)

=

x

2

+ 1

=

f(x)

..,

..J .

f(x)

=

4.

f(x )

=

5.

f(x)

{x

sin 2

(

x

8

4x

2.

x

2

2x

x

+ cc - x + rr

2"

2

36

+

rr ex ""6

�

)3

_

cos

x

I

1 x 1 + x

[0 , rr

( ""6 '

, ,

rr

"6 ]

� 2 ]

x e [ O , rr ] x e [O , n )

x e [ -1 , 1 ] x =

o

rr

x e X E

a rctg x + a rctg

=

I nd i c a t i e :

, 2] ( 2 ,3]

e [1

x e

x

-

e [0, 1 )

2. + {3 =

1

'

x � 0

0

Cond i � i a d e con tinui tate I n

2"

,

x =

rr

""6

i a r cond i � i a de deriva b i l i ta te

171

es te : coro l a-

ru 1 teoremei Lagrange )

e s te

�

:

.L

f

este 50 1 u ,, 1 a eeua" i e i :

f' (x)

:::

IT

6

+

-

(

;

C(

)

1.

Fie

f ( x ) = ax

f i n i te pe i n terva l u l Sa

+

2

0

IT

[x

bx +

j. '

. x

2

]

SA

Pun e tu l

2

e

f (O)

*"2 II.

f3

=

=

0

.

se a p l i ce teorema ere$ teri l or

gAsindu-se pun c tu l e in termed i ar .

•

se dedueA de a i e i un mod de a cons tru i tan gen ta l a 0 parabo l A

i n tr-un pun et d a t a 1 e i . 2 . Avem :

d a ca :

m ' 1 )( 3.

5

m y

f" 5

i

(x)

If(x)

5

M

pen tru o r i ee f

-

(

y) I

(

sgn

V

e x i s ta

a.

pun e tu l u i p�q

E

f(a

a)

f (8

b)

V

+ +

h)

f

f(b) -

sa

(

)

a)

e

•

�

(a,b)

(Ll )

as t f e l i n e� t = ( L2 )

sgn f ' ( e )

=

- f (a - h)

(

=

h

su f i e i e n t

de m i c

f' (p)

h ) - f ( a - h ) -2f ( a ) 2 h

f : [ 0 , co ) = 0 �i fie

e >: i s tA un � i r

se a r a te ea pen tru

2h

-------+.

a

[ � + n

f i ecare i n terva l X

n

) n�

>

0

x

- ) co

�

::: f " ( q ) ( Manua l )

0 f u n c " i e d e r i va bi l A a s tfe l I n e� t Ap l i e�nd teorema Lag rane pe

f i xat e

, a + n + 1

]

, n e � ,

sA se a rate ea

av�nd l im i ta i n f i n i t � i ast f e l I n e� t :

i�O f ' ( n

lim 6)

E I

as t f e l I n c � t :

'F i e

lim f ( x ) x -) co

d aea $ i n umai

Presupun�nd eA f este de doua o r i d e r i v a b i l A i n t r-o vee i n aa

5.

I , v x,Y

5 t1 - I >: - y !

pe [ a , b ] �i derivab i l A pe ( a , b ) � e x i s t A

tate

e

Genera l i z a rea teoremei l u i Ro l l e ) . Daca f e s te con t inua

(

4.

x

}'' .

l.

)

=

- f ( a)

Teorema cre� teri l or f i n i te se mai poate s e r i e :

172

f(x + h) - f(x )

=

h . f ' ( x + ch )

Cli

E (O�

C

1)

•

se apl ice aceasta formula func�ii lor a ) f ( x ) = x 2 b ) f ( x ) = x 3 , c ) f ( x ) = m x + r. sa se studieze valorile corespunzatoare punctului real c .

Sa

�1

REZOLVARI :

deci fiind dat punctul de abscisa c , penc= tru a construi tangenta in punctul ( c f ( c » ) a I .g ra f i cu lui con si deram doua puncte simetrice fa�a de x = e-& , x =c+&. 1. 2 ( c , f ( c» ) �i este paralela T angen ta r e e prin punctul coarda determinatA de punctele 1.

,

.,

t

Necesitat�a : Pentru

2.

}:

,,:

<=)

< = >-

c

avem :

y

<=>

( Ll )

x

=

m :S

I

Y

(

c:

cu

este veri fieata� iar pentru - f ( Y ) :S M < = >

{ Ll }

f x) x

-

Y

I

m :S f ' ( c x . ) ::: M inegal ita�i adevarate datorita ipotezei . J

oarecare . Pentru x ,,: Reciproe � fie x ( Ll ) <=> f_( Y_) _f_<_X _ I ,->): ...:. _ :S M �i fac�nd pe sa tindA la avem: n'l

:S

E

y

I

Y

I

x ,

Y

_ _

f ' ( x ) :S M 3 . Distingem trei eazuri : f{ a ) < f ( b ) 1n aeest caz tl) trebuie sa aratam ea e }: i s ta ( a , b ) astfel inc�t f ' ( e ) 0 . Daca prin absurd , am avea f ' ( c ) :S . O pe ( a , b) , ar rezulta ea f este descrescatoare, deei f ( a ) > f e b} (2) f ( a ) = f e b ) Ne afl am i n cor.ditiile teoremei lui Rol le. ( 3 ) Cazul f ( a ) > f e b ) este . anal og eu ( 1 ) . 4 . a ) Se apl iea teorema lui Lagrange lui f pe (a h a + h] . b ) Se aplica de doua ori teorema lui Lagrange func�iei g ( x ) = f ( a + x ) - f ( x ) pe intervalul [a - h a] . m

:S

•

•

c

>

EO

•

•

-

,

1 73

,

6.

a) c

=

1/2 , c ) se ob�ine mh

(D)

TEOREMA

1 . E..nunl:

LU I

=

mh,deci c nu se poate determina .

CAUCHY ( 1789 - 1857 )

Fie f , g : [a , b] � continue pe [ a , b ] �i derivabi le pe ( a , b ) astfel Inc�t g ' ( x ) 0 V e ( a , b ) . Atunci exist� c E ( a , b ) astfel I nc�t: feb) f (a) f ' ( c) g(b) - g(a) g ' ( c) -----+.

!

�

�

=

Interpretare geometric� �i algebric�

2.

Interpretare geometrica: I n condi�iile teoremei exista un punct 1 n care raportul pantelor tangen telor la cele doua graf ice este egal cu raportul pantelor corzi l or ce unesc extremit��i l e graficelor . a)

b ) I nterpretare algebric�� 1 n condi�iile teoremei , ecua�ia : f ' ( x ) ( g ( b) - g ( a ) ) - g ' ( x ) ( f ( b ) - f ( a ) ) = ° are cel pu�in radacina 1 n ( a, b ) .

0

EXERC I TI I :

Sa se studieze apl icabi l itatea teoremei l ui Cauchy �i s� se determine punctu l intermediar c pentru : e IR 1 . f ( x ) In x , g ( x ) f ,g : [ 1 ,e] x � 2. . f ( x ) In x , g ( x ) 2 � - 1 f , Q : [ 1 , e]

I.

=

3. f(x) 4.

f(x)

=

=

-/

=

•

,

-

=

sin x , g ( x )

u:

x

+

2

4

"3

+

1

=

cos >: , f , g : [ � , >(

x

1 74

e

e

[ 1 , 3] [0, 1]

•

�]

( Manual )

g(x)

Da ca

1.

II.

= X

2

+ 1

,

----+�

f , g : [ 0 , 3]

IR

1 are derivate de ori ce ord in

pe

[ a , b ) , a p l i ci nd for-

mu l a lui Cauchy f un c � i i l or :

g(x)

a) C

E (a,b) b)

ca

= f(x

=

g(x)

c E feb

c) g(x) (b

=

feb)

-

f(a)

=

)

f(x)

(a,b) =

x)3 +

,

(b

+

+

sa

-

1�

feb

)

=

-

x

,

t ea)

(b - x)f' (x)

sa se arAte c� e x i s ta

+

,

h

1!

l'

(x)

e x)

+

a)

f' (a)

+

(b

-

2!

2

a) .

-

-

-

•

•

- ,

•

-

+

•

•

•

•

2.

c

,

sa

se a ra te

.

c:

E (a,b)

astfe l i n c2 t : 3 (b - a) f ' " (c) 3!

f

f' � (a) +

g ( x ) = f ( a ) + b 1 ! a f ' ex ) + ( b 2 ! X ) 2 + + ( b n . x ) n f en> ( x ) ' 9 ( x ) = ( b x ) sa ex i sta c E (a,b) astfel i n c� t : b � a f ' (a) ( b �I a )2 f " (a) + f(b) = f(a} + ! d)

Z

x)

-

(b

se arte ca ex ista

(b

=

•

a )z f ' ( c) 2! x )z f " ( x ) , 2:

+ (b

(b - a)1' (a)

b - x

(b - a)f ' ( c)

+

ast f e l I n c�t :

f(a}

= f(x}

b

hex ) =

,

ast f e l I n cl t

e x � s ta

he x )

)

-

se arate

n+�

.... .

•

•

ca

•

+

Apl i c�nd con c l u z i a de l a pun c tu l b ) ,

f un � i i

f : !R

----+.

!R

sa

se a r ate ca nu e x i s ta

de d oua ori derivab i l e ast f e l i n c3t :

f(x)

f" (x) < 0

� 0

( nu e x i sta f un c� i i neneg a t i ve � i stri c t concave pe I n treag a a >: a rea l a )

.

REZOLVARE: 2.

Din

f"

(x)

< 0

pen t ru

orice

175

x E !R ,

dedu cem c� f '

este

stri ct

descresc�toare

or- i ce

x e iR

d e c i n u pu tem avea

�1

x

•

Dar atwnci din relatia : = 1(x ) + (

f(x)

rezul t�

1(x)

la

-

l(

co i n

( 2 ) daca

pe

<

)

( Cl )

( f(x)

-) - CO

urman;�

o

si tuat i i :

1 im

prin

- 1(x

dou�

Avem

tinda

o

l im

x -> - cc

x � � tina�

f' (

la

o

x

(x

- x ....

o

0

)1' (x

dac�

(1)

�

f ( x0 )

)

==

�

+ co .

0

)

- 0;) '

e �

)1' (x

avem :

f(x)

�

x

o

x

0

-) -'- CO

+

( x

2

x

)

2

o _f"

_ _ _ _ _

pen t r u (x

)

o ·

;tit. 0

.

(c)

( Cl )

)

(

f '

astf e l I n c�t

)

1' (x

1 im

=

0

f' (x) = 0

o

)

x

>

0

- x

o

,

fac3nd

)f' (

con t rad i ct i e

x

0

)

pe x

= -

s�

co

obt i nem a ceea� i con trad i ct i e d aca f a cem

1 76

•

6.

S I

E G A L I T A T I

I N E G A L I T A T I

EGAL I TAT I

�tie ca d aca . d e � � v a ta unei f un c t i � es te eg a l a eu zero pe un inte�val � func�ia �espectiva es te constan ta pe ace l i n terva l . A ceasta obse�v a t i e perm i te- e n s t � a�ea eg a l � t ati de f orma : Se

s

f ( >� )

sau , 1 n particular- , f(x)

mo

=

f ( :c )

-

g(x»

)

=

= g ( ;-: )

+ C

f(x} = C =

= g(x)

!ntr-adevar , f ( x ) g ( x ) + demonstrarea aces tei eg a l i ta t i (

unor

C

�i pentru su i cien t sa demonstram ca:

�=> .

este

0

constant

f (x)

g(x)

= C

f

Daca derivata este egala cu zero pe 0 reuniune de i n terva l e d i sj un cte , ste posibi l sa d ifere constanta de la un interval la a l tuI . Observa t i e :

e

1 77

Pentru determinarea constantei doua metode : 1 . Cal cu l �m expr.sia f ( x ) - g ( x ) i ntr-un punct convenabi l ales din intervalul considerat . 2 . Dac� nu este poaibil sa apl icam metoda precedenta. Dutem 1i.ind de asemenea un punct con­ cal cula l im ( f ( x ) - g ( x ) ) C�

l(

->

lC

9

o

pu tem

uti l i za

Xo

venabi l ales ( un capAt de interval ) . SA se arate cA avem:

Exem.p l 1..l :

x

x arctg x + arctg -::11:---:+­ x

e

X E

( -co " - 1 ) ( - 1 , co )

Pentru h ( x ) = arctg x + ar-ctg -11�-­ + x avem h ' ( x ) = 0 pentru orice x E fR \ {-1 } , d ni'u ce este reuniune de intervale disj uncte . Cal culam valoarea constantei pe fiecare interval . ( 1 ) Pentru -1 , alegem punctul x = 0 1 n care putem face = arctg ( O ) + arctg ( 1 ) = u�or ca1 cu1e1e: (2) Pentru x nu gasim .un punct i n care sA putem ca1 cu1a u�or val oar-ea l ui h, dar observam cA putem ca1 cu l a : Rezo l uar e :

ome

}!

0

}!

;.

h(O) {

l im

-> - 1 l( - 1 x

he x )

n

= - 4

-1

2

17

INEGALI TATI Metoda '1 : Uti 1 izarea teoremei lui Lagrange sau a teoremei lui Cauchy . 1n unel e inegal itA�i poate fi pusA 1 n eviden�A

178

0

expresie de

f eb)

:

punctele d , b fiind coftv n a bi l a l ese . acest ca z se poa te u t i l i z a teorema l ui Lagrange pentru d emcn s t r a rea l n e g a l i t�t i l e s pe c e i n l ocuind ex re s i a f o r ma

b

:0

-

-

f(a) a

f �i

@

r

tiv

b

z�

i ri e g a l l ta t e �

poa te

z�nd

f' (c) .

Noua forma a inega l i tat l i se d emon s t rea-

faptul ca a < c $i o ed eu asemanator oa te f i a p ca t pune I n eviden�a 0 p-xpresie de forma

t i n � n d con t d e

Un

eu

pr

<

c

:

f(a) a

f e b) dln

p

,

p

b

de monoton i � l u i f " .

li

d a ca I n

neg a i t a te se f(b) - f (a) g ( b ) -g ( a ) , u t " l " i

l

1

1-

teorema l u i Cauchy .

EXEl1PLE :

Uti li z�nd teorema l ui Lagrange , sa se arate ca : b a b a < In b d aca 0 < a < b . a a b Parcurgem urmatoarele etape : Re-zo L var e : f(a} o s Punem i n e i en a 0 e x re e d e forma (a) b- a vgnd ca In � In b In a � i "impa�ind cu b a . Inega l i t a tea a d i e In b 1 In a < 1 a a b b < { b ) a pl i c am teorema 1 4i Lag rang e f un c� i e i f(x) In x pe a l [a, b) . Ex ista c e ( a � b ) astfel i c� t 1 I n b - In a f' ( c) = c b a ( c ) " inegal i tatea devine: 1.

-

v

d

=

ev

n

�

-<

p

f ( b)

si

-

-

b

-

:

i n ter-

=

v

er -

n

lu

-

=

1

b

<

1 c

a < c

<

<

inegal i ta�ii b �i f ' ( x ) = 1x

Aceasta noua f orma a f a p tu l c a

:

179

1

a se d emon s rea z a

tin�nd cant de

este descrescatoare .

Uti iiz�nd teorema lui Lagrange , sa se arate ca eX > 1 + x pentru drice x � 0 . 2.

Rezo l. var e :

Pentru a folosi teorema lui Lagrange , cautam un interval [ a , b ] �i functie ast1el Inc�t i n inegal itatea noastra sa putem pune i n Pentru aceasta observa.m ca. daea eViden t a raportul 1 ( bb) 1 ( a ) x � 0 , avem doua situa� ii : (1) x· > ! n acest putem eonsidera intervalul [ O , x ] ( a ) Punem in evidenta i n inegal itatea d a t a expresie de forma : 1 ( x ) 1 ( 0 ) observand ca dac:.! avem eX :> 1 + x (=> x -° e 1 >. 1 . " <=> 0

-

0

at

•

caz

•

•

}{

:>

0

0

�

x

( b ) Ap1 1 eam va l u l

[O, x ] .

t eo r e

E X 1 st a

<

c

E

(O,x)

astfe l

Inegal i tatea AceastA f o rm� a i n eg a l i t�t i i c x f' (x) d eV l n e :

(c)

o

ma l ui Lagrange functiei

<

( 2 )->

�

D a c a.

Me tod a 2 :

iar

x

derivata

< 0

demonstratia

se =

eX

se

i n c� t

e

= e

f ( t) x

x

l

pe inter-

1

demonsreaza tin�nd cont ca: e ar este

cr

s c a to

{

e

jeci

f a ce ana l og .

Metoda minimLi l ui

Aceasta metoda se bazeaza pe .observatia ca daca x este un punct de minim g lobal ( eel mai mic minim ) pentru func t ie pe un domeniu !D � i daea h b: ) � 0 ( cea mai mica valoare a lui h este nenegativa ) , atunci h ( x ) � 0 pentru orice x e !D ( toate valorile lui h slnt nenegative ) . Putem demo�stra deci inegal itat i o

o

1 80

0

h

d e f o r-rna : d e f orma :

h ( >: )

Exem.p L 'U :

� O

,

cu a l te cuv i n te ,

U t i l i z �nd metod a m i ni mu lu i � s a s e arate ca

X

> 1 +

x

x � 0 .

Scr- iem i nega l i ta tea sub f orma : <=> h( x ) = e

Fie

e

Pen tru a u t i l i z a a ceasta metoda procedAm a s t fe l :

Rezo l. var e :

( b)

- g(x) � 0

.

pen t ru o r- i ce

Ca)

f(x)

ad i cA

X

(

ca l cu l am min i mu l g l oba l

-

x

x . Cu a j u toru l tabe l u l ui de var ia � ie

-

1

e

h( x ) � 0 : x 1 >0

ee l mai m i e minim )

al

l ui .

h :

+

o

co

co

I

'-:-;�:-:�)-+-------\-------\--�--\------:---+--I-+---+---+--I-+---+---+--I-+--� D i n tabe l se observa ca a cesta es te � i pen t ru

x

Me tod a

� 3:

h

are un s i ngur m in i m � i n

m i n i mu l g l oba l . Va l oarea sa este

0

avem

(

h( x )

>

0

x

h(O) =

= 0

0

,

de ci

Deci

•

I neg a l i t a � i pen tru i n teg ra l e �

f ara ca l cu l u l

in teg ra l e l o

F'en t r-u d emon str-ar-ea

UI c. .

Cl :5

i n eg a l i t a � i d e f or-ma : b

J

f { x ) dx

:S

(1

a.

far-a a ca l cu l a l n teg ra l a , se f o l ose� te observa t i a ca d aca m , respec t i v M � sun t va l ori l e de minim �i de ma x im g l oba l a l e l ui f pe i n terva l u l [ a , b ] , avem : m :$ f ( x ) :S

M

pen tru or i ce

181

>: E [ a � b ]

'

� i deci

� n teg r�nd ;

obt i n em :

pen t r u demon s t r a r e a

dec1

Exem.p L -u :

Sa

5

se ara te ca : :s

( a)

� i m a x imu l

valul

[0 , 1 ]

f' (x) t

( }: )

o

>:

2

dx

e

�

1

(

I

o

e

X

2

.1 >: + e -

g l oba l

,

fi scrisa sub

2

)

f qrma :

d }: � 1 + e

= e

X

2 2 i-X + e

pe

i n ter-

[a�b]

+

0

+ e

1

1

Y2

0

11

o

e

1

I

I

1

f3

5

1 +

dx 5

f { >: ) .

f un c 1;.- i e i

al

2

t r bu i e d emon -

tabe l u l ui de v a r i a t i e c a l cu l am m i -

0

I

I

i-X

a)

mai

:

Avem d e c i

terva l u l

e

.1

-

M(b

eu a j utoru l

C b) n i mu l

I

- a)

propuse ,

I ne g a l i t a tea pa te

2 ..,,---e-

x

ineg a l i t�� i i

m( b - a)

2 -f& Rezo L vare :

M(b

f ( x ) dx �

a

nume r i ce J :

s t r a te i n eg a l i ta� i l e Ot

b

J

5

m(b - a)

m = ( c)

2-1e-

\

" 2�

+

I

I

d >:

I n teg r-am i n eg a l i �at i l e

�

1

f

f ( x ) dx

o

2-te

1 + e

M = 1 + e .

�i

m �

f(x)

� M

$ i o b t i nem �

2-te

+

�

.1

J

o

�

f

f ( x ) dx

182

1

o

(1 + e)

�

dx

1 + e

<=>

pe i n -

Metoda

4:

Fie I un Def i ni t- i e

convexe

(

in terva l

pe a x a rea l a .

f (x )

f(x

1

)

)

•

x

T

y

con cave

d i n de f i n i � i a f un ct i i l c r

e s te con ve>: ,i pe I daca i n t re F,unct-ia f : 1 orice doua puncte � . x e g ra f i cu l l u"i f se a f l a �i x x sub coarda ce u n e� t e pun c te l e de a b s c l se 2 1

:

f ( '>: z )

inegal i tatii

U t i l i z a rea

+. . ..... i

.

I t t

.

.

�,

:

x

I

2

.

B

_ . ----.... . . . . . . . . . . . ........ . . . . . . . . . . . . ..

.

.

[R

X

2 Fig .

desenul a

eu n o tat- i i l e d in ex p r i ma p r i n i n eg a l i ta tea �

f(x)

){

� i pe

Pen t ru 1.

a

x este

e >: p l i ei ta

in

pe

i n ter-va l u l

[x

•

1"

x J 2

t

,

a ceasta

condit-ie 5e

v

< -

y

l a t u ra

6.1

/

�

ea : numai d a c a

o bse rvam

d aca $ 1

se poa t e

s c r i e sub f o rma : x = a ' >:

3.

+

(1

eu

a E [0, 1 )

(E. ! .l )

I n tr-adevar .• daca. >: e [ x 1 ' >� J este suf i e i en t sa l uam a = ( >: - x ) / ): -x ) "

2

2

satisfaeuta egal itatea do r i ta Reciproc;daca are exprimarea din ( E . I . 1 ) , pentru a ara.ta ca x e [x x ] t re bu i e veri f i ca t 5 i s temu l d e i n eg a l i t a t i : .

pen tru a avea

�.

•

z

x

1 83

1

2

a ' :-: {

a' x

( 1 - ct ) · x

+

�

( 1 - a) ' x

+

�

>

2

g a l i ta te este e e h i va l en t�

Con d i � i a

Observa t i. e :

a S O

eu

a S

.

a E (0 , 1 ]

i

2

1 n eg a l i ta te es te e e n 1 v a l en tA eu

P r i ma

}�

1

iar a doua

�

i n e-

( E . I . 1 ) este d e c i esen

din

-

�iala .

din def i n i � l a

I n eg a l i ta tea

2.

Pen tru a - I

exprima

�i

x - X x

deci : a' x X

pe x �

f:l

{=}

[v

>:

1

,

x eI

.2

-

+

2

d e u n d e r e z u l ta :

1 n l oc u i n d

�

2

- 1

X

(1

ct · ,-, �

y

�i

=

eonve x i ta� i i d ev in e :

pe y o bservam ea :

CA CB

=

CIt )

• x

( 1

-

a- f(x )

pe y ,

1

a)

+

X

.x

-

f(x ) 2.

z

f ( y. )

=

1 �

y

- y

-

f(x )

f ( xz )

-

� .

Y

(1

ob��nem :

este eon v e x a

V ae( O , l ]

2

y

=

< =>

f (ax 1+ ( 1 -a ) x

2

)

<

af ( x

1)

+ ( 1-a)

f ( :-: z )

1

J

• � f:l se spune ca este can cava d a ea pen t ru a r i ce , x e I , n t re pun c 'te l e de abscise �i x graficul fune�iei este deasupra corzii ce une�te a c es te pun cte , adica : )(

£

2

){

I

184

£

2

f

concav1tatea unei Se �tie ca. putem ve r i f 1 c a c on v e x 1 t a te a functii de doua. ori derivabi le pe un interval cu ajutorul de r iv tei a doua: (=) f convexa. pe I f ' , ( x ) > 0 pe f' , (x) ( 0 pe I ( = ) f concavA pe uti l iz:find cele douA moduri de ' exprim�re a convexit t- ii putem formula �i demonstra unele inegal itati . �1

1

Exerrtp l u :

1

a-

�

SA se arate ca pentru orice x �i x � din IR · avem: x J. + X 2 X J. 2 + e e 2· e < 2 Functia f ( x ) e este convexa pe IR ( f " ( x ) ) 0 ) , J.

;l(

x

•

Re'Zo l var e :

decl. : v x . >: E !R 1"

2

de unde pentru

=

V a E a =

(0,1 )

( l -a } f ( x ) 2

1 obtinem inegal itatea din enunt .

�

EXERC I TI I : I. 1.

2.

3.

Sa se arate ca :\ a r csin x + arccos x = arc ctg x + ar t

1 c g -

2arctg x

+

x

arcsin

4.

arcsin cosrx +

5.

Pentru intervalele

pentru ·o rice

=

2x

{

1 + x

2

IT

2

2

1

=

· sin

f3"

. 1

J. .

x x

IT

-�

2

{

c !R

185

E ( -co , O ) E (0

,

co )

>: e [ 1 , co )

IT

x

�IT

rx

X E [ -1 , 1 )

- rx

e ( -co ,

=

IT

6'

-1 )

X

IT E [0 , 1- - ] 6

sa consideram functiile con­

tinue inj ective I n interiorul lui

f:1

�i

�

z u l ta

=

u(x)

f

f( l )

.

1

(c

-�

+

!R

----+)

�

,

g: I

Din conditia

2

E

pen tru

g ! >d )

�

fo rma

=

=

d

ec

u(x)

i

u{ x) IT

""4

c + g{x) =

f2 ,..,L. - (

cos

-

=

+ >:

2

x

• .

deci avem : arccos -; 2-(

2

s

. in

-

c

)�

2

)

}{

e

iar

-

X

�ile:

2.

3.

U t i l i z �n d

b -a sin 2 b b -a sin 2 a x + 1 x + 2

teorema l u i

<

< <

Lagrange �

d

:::

conditia :

IT

""4

2

IT

=

""4

IT

""4

se de�onstreze inegal itA-

b ·- a , [a , b] sin 2 a ctg a - ctg b < b -2 a , [a , b] sin b ctg

In ( )-:

a

+

-

2)

ctg b

<

x

<

+

1

•

1 86

; ]

,

[ -/1 -

sa

],

d e e >:emp l u

d in

[ /1

---

u

1T

==

X E

II.

x

x

-

-= 2� . --

--

=

f ( [-1 , 1 ] ) = [- ; , ; in conditia: 2 arccos u { x } C + X , Pentru avem ""4

deducem

E [ -1 1 ]

--

2.

+ x )

f(u(x» )

ori ce

devine

care

cos ( c

con s t a n t a

x

tg

f ( u ( �{ »

�i

c + g ( x ) recare i ndep l ine$te conuti l izand acea5tA observatie, sA sa con­ h( x ) = c pentru :

g(x) f(l I . struiasca egal i t.iti de 2 f ( x ) = arccos x , g ( x } (a) ( b ) f ( x } = tg x , g ( x ) = 3x + 2 ( c) f(x) , g ( x) = Raspuns: ( a ) Avem f : ( - l , l J ----., f.R g :" [ O , ::o ) -�---+> !R . Determ i n Am funct ia c +

----+, !R

, x > -1

C

(

C

(

,

0

IT

""2

IT

""2

,

IT

) )

1 + e 2

X 1 + ex2 e < , V x , x fR 2 1 1 1 n , n 1 n + 1 < In ( 1 + n ) Util iz�nd teorema lui Cauchy ap1 icata func�ii1or : ( 1 + t ) ln ( 1 + t ) , g ( t ) arctg t , f , g : [O, x ] ----+. X

x

4.

1

-<

5. 6.

f(t)

2

=

2

E

>

=

x 1n ( 1 + x ) > arctg 1 + x

sa se arc�te ca

pentru

x

> 0

IR

•

III. Uti l iz�nd metoda minimu1ui sa se demonstreze inega l ita�i le: 2x ' arcsin

1.

� <

2.

- 3 ,(....

3.

5.

2cos x

x

cos 2x

-

In

( 1 + 2x + 2x 2

x

-

x

-

X

2

<

'2

6. sin

x

7.

X

nT1

)

n

1

, >

(

,

1 ,

x

e IR

X

E IR

n

-

1 , x

x ,

[0

x ,

x n ) n+t

>

0

!l'

2"

,

]

IV. Fara a ca l cula integralele, sa se arate ca : x 3 dx ( 1 1 < J x + 5 3 4 7

2.

3.

1

1

x2 f0 e d x < e

(

16

---y

(

J x+ d

•

x2

2

dx (

e

>0

x

x e

(1 +

3

x2 <

"2

, <

x2

2'"

-

>

1n ( 1 + x ) x +

')

x

)

< sin x < x

3

6 >�

+ 2� 1 +

9

187

n E IN

( -1 , 1 )

rIO

4.

0

o <

5.

J- � 2

17

I e 2

6.

-3 1 X 2 + J-4

<

0

x In (

-8in x

dx <

x

sin e dx

t n 17

7.

1 +

J0

17

1

x2

"2 < 17

dx

\

dx

)

1 4 In 4 3

<

-e

( -1

-

rr.=r

1

)

1

Fara a cal cula integral a � sa se arate care d in urmatoarele integrale are valoare mai mare : 2 2 1. In ( 1 + x } dx sau J J x +X--1_-, dx v.

�

1

.0

_ _

10

J2 x - arctg x dx sau J2 In ( 1 2 2 dx sin x sau J J sin

2.

IT

17

3.

1'1

0

+

1'1 + 1

0

x2

)

dx

x dx

Util iz�nd metoda minimului se demonstreaza 1negal itat-i de forma f • ( x ) < f 2 ( x ) sau f ( >: » f 2 ( x ) pe intervalele considerate. Integram apoi inegal itatea obt-1nota . I nd i. c a t i. e :

1

.

VI .

1. •

•

Daca f : l eate convexa� atunci pentru orice � , x E I , avem inegal itatea ( lui Jensen ) : ----��

•

. 1'1

f( 2.

_

x

1

+ x +

2

+

)

< .

f ( x 1 } + f ( >: 2 )

+

+ f(x

)

n ( Manual ) Util iz�nd inegal itatea lui Jensen apl i cata funct-iei conn

x

1'1

188

. . .

1'1

vexe f ( x )

=

x

e,

se demonstreze inegal itatea medii lor :

sa

a

a " 2

avem:

3.

Sa

�

1

n

n

.

•

+ a

.

n

se arate ca pentru orice

+: . . . + x sin n x + x + . . + xn cos 1 2 n x+

a + a2+

x

n

2

.

IT

"2

sin x 1 + sin x 2 + n cos x 1 + cos x 2 + n

) )

. .

.

.

. ."

+ sin +

cos

x

]

n

X n

Care sunt domenii le max ime c� con�in pe zero � in �are au loc aceste inegal ita�i ? Da�i exemple de a l te domenii , ce nu con�in or1g1nea $i i n care au loc inegal i ta�i l e m a i s u s . I n ce domenii au loc inegal i tA�i le. inverse ? d�

Uti l iz�nd concavitatea func�iei logaritmice demonstra�i ca pentru orice x 1 " x 2 " x avem : + x }{ + X + >:.1 x 2 'x < [ 1 2 n 4.

•

•

,

n

)-

0

n

n

C(

r

x ) 0 este conve >:a. Uti l iz�nd aceastA proorietate arata�i ca pentru orice numere nenegative . x are loc inegal i tatea : 5.

x

"

>: 2

+

•

•

•

C( >

1

•

n

+

+

x�

•

+

•

•

+ x: )

Apl ic�nd inegal itatea lui Jensen func�iei f ( x ) x 2 sa se arate ca pentru or1ce x x 2 , . x E IR avem : + >: � ) . + x ) ( X + "X 2 + < n " ( x: + x: + Ce inegali tate analoaga se poate deduce din func�1a convexa. =

6.

�"

•

1

•

•

•

n

"

2

n

•

189

•

.

:I

:I

f ( !-: ) = � pentru x :> 0 Dar din 1unc�ia concav� 1 ( x ) x , pentru x � 0 7. Apl ic�nd inega l itatea lui Jensen pentru fun c�ia convex� 1 f(x) x + aT'I-� x + + a� x + a0 P( x ) = a x X

?

?

=

1"'1-1

T'I

.

•

.

T'I

este un pol inom cu toate r�dacini le rea le �i pozitive � avem: a a n 2 . -Ce se poate spune daca pol inomul are toate ra- · aT'I- � � a •

T'I

•

o

dacini le reale �i negative

?

REZOL VARI :

Compar�nd membrul drept al inegal 1ta�ii de demonstrat cu membrul drept al inegal itatii lui Jensen , deducem ca punctele , x se determin� din condi�iile: 1 ( x � ) = a• , f ( x 2 ) = a2 , , f ( >: ) = a Avem: x e 1 = a 1 =} x •= In · a � � i , . in genera 1 >:. = In a Cu aceste puncte inegal itatea lui Jensen , pentru f .= e , devine : 2.

T'I

1"'1

�

T'I

\.

to

(x)

e

tT'l

a

1

... tT'l a

2

1"'1

T

.

+

tT'l a

1"'1

<

a� +

a + 2

+

a

x

n Facand cal culele I n membrul stl ng � se ob�ine inegal itatea medii lor rr 3. Pe intervalul 0 , 2 ] functiile sin x �i cos x sunt [ concave . Cel mai mare interval ce con�ine originea �i I n care este este concava sin x este intervalul [ O � rr ] . Pe [ rr , 2n ] de exemplu ace�a�i functie este convex� , deci inegalit.tea din enunt se schimba. •

-

190

T'I

7. P R I M I T I V E

CONEX IUNI CU

Def initie :

ALTE

f:I

NOT IUNI SPECIFICE FUNCT I ILOR

are primitive pe intervalul I d a c� ex i s t� d f u n t e F: I IR derivab i l � �i F ' ( x ) = f ( x ) pe ! .

.

.

--�--+.

� c

Se �tie

i

----+�

doua primitive difera printr-o con s tan t� : F t ( x ) = F2 ( x ) + C Mul t imea tuturor primitivelor ' se n ume � te i n teg ra l a n ede f i n i t f un c t i e i f � i se n o te a z � c�

CU �

J

f(x)

a

a

191

a

dx

Pentru a putea en un t a metoda p r i n · c re s e poa te func t ie are priml tive � i metoda pentru a a t a ca i!

�

r

a rAta ca 0

q

u

f n ct i

e nu are

primitive , amintim 0 parte dintre legaturi le care exista i ntre prineipa lele notiuni de ana l iza matematica studiate in l � eeu � rela�iv la functii : 1. LIMITA 2. CONTINUITATEA 3. DERIVABILITATEA PROPRIETATEA LUI DARBOUX 4. 5. PRIMITIVA 6. INTEGRALA Legaturi le Intre aeeste notiuni sunt date de urmatoarele proOrice funetie continua intr-un punct x 0 are l imita I n aeest c -------f>, L punct : P ) •

Orice functie" derivabi la i ntr-un punct x 0 este cont�nua in C D acest punct : P ) 2

------_,

rice functie cont�nua pe [a, b) are p r r� tat a lui C Darboux pe [ a , b) : Da.rb. P

3)

op

O

�

e

,

p

..

)

Orice functie continua pe [ a b ] are primitive pe [ a , b] : ,

) P

C

P 5 ) Orice functie cont1c1uA pe . [a , b] este integrabi la pe [a; b] : C I Pd ) Orice f unc t i e care are primitive pe [a, b] are proprietatea Darb . lui Darboux pe [a . b] : P ) Daca functie are proprietatea lui Darboux pe [a , b] , atunei i n orice punct x i n care l imita ( l imita lateralA ) existA , ea este egala cu f ( x o ) . )

7

p

0

-------f>.

o

192

Consecinte: 1 . 0 func�ie cu proprietatea lui Darbou� ( deci o functie care admite primitive nu poate avea intr-un punct >: o l imita l imita lateral a ) infinita . Funetii le pentru care eel pu�in l imita l aterala este infinita sau difera de f ( x o ) nu au primitive 0

----------------

�

x o es e LA NU E X I STA . t

Darb .

un

+

•

Daca f are proprietatea lui Darbaux pe [a, b ] punct de discontinuitate , CEL PUTIN 0 LIMITA LATERA­

}: o

2.

d.l.scon t .

======

impl i ca t i i l o r de

D a t o r i ta

--------�----��---

>

x

� z. s; ( 0 )

sau

i!

z. d (

x0 )

sus , . putem forma tabloul :

mai

DERIVABILITATE CONTINUITATE / ! I '

J

PR IMITIVA

""

I NTEGRAB I L I TATE

i

r-------�----/--------_I

DAR OUX

d l.scont .

�

>:

o

-

==to

l

LIMITA

I { }:

)

sau

__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __

so

0

�

OBSERVATIE : Daca x o este un punct de discontinuitate pentru f , este posibi la una din urmatoarele situatii : (1)

l .l.mitele

l a te r- a l e

exista

��

1 93

sunt finite

(2) (3) (4)

( 5) (6)

l imita lateral� este ambele l imite laterale l imita laterala este l i m i ta laterala este ambele l imite laterale 0

0

0

finita� cealal ta este infinita sunt infinite infinita� cealalal ta nu exista finita � cealalal ta nu exista nu exista

DINTRE TOATE FUNCTI ILE D ISCONTINUE ! N CEL PUTIN UN PU�T , SINGURELE CARE EVENTUAL AU PRIMITIVE SUNT ACELEA PENTRU CARE CEL PUTIN 0 L�MITA LATERALA NU EX ISTA ( IAR CEALALTA , DACA EX ISTA , ESTE FINITA ) . De asemenea, sa observ�m ca de�i i n cazul ( 1 ) .f unc\-ia nu a re primitive pe [ a , b] ( nu are proprietatea lui Darboux ) totu�i � daca in p l us l imitele laterale .sunt egale, atunci f are primitive pe [a . b] \ { x } . prin intermediul functiei f pre l un g i re a p r i n continuitate a restric\-iei lui f la domeniul [ a , b ] { x o .

0

Exemp l. -u:

p

•

.

f(x) =

{

a sin � 1

x

:x

>

()

-

\

...·

J •

a re p r a p r i e t a t e a

lui

Darbaux pentru orice a e [-1 , 1 ] , dar nu are primitive d a ca a � ! ntr-adevar , presupun�nd prin absurd ca f are primitive, f ie o primj.tiva a sa . Atunci F trebuie. sa fie de fo r a

F

m

F(x )

=

I

a·x

+ c

x <

j,

. 1 dx J S1n x

+ c

2

}!

:

0

> 0

1 dx observam ca S1n 1 provine d1n . ­ Pentru a cal cula J S1n x 1 derivarea func�iei x 2 cos !ntr -adev�r , x .

�

•

1 94

O.

(

x

1

_

x

S1n ­

d ec i :

f

=

= 2x · "cos -

x

1

2

( x cos x

s i n � d x = J ( x 2COS � }! X

)

= x

x

2 x · cos

1

x

�i :

1

= x cos ­ x g(x)

" 1

S l. n ­

) ' d X - 2 J x · cos � d x = X

1

2

+

1

)

1

2

>{ cos -

cos - d x x

1 x

are primi tive pe ( O , CO) , deoarece es"te

cos ­

con tinua pe a ces t i n terva l , d a r nu a re primi t i ve pe [ O , co ) i n teresea z a ca s tud i a

sa

con t i n u i tatea � i derivabi l i tatea

prin

i n terv a l .

p

F ).

lui

x -) 0 x>o

l im g ( x ) = 0 , putem con sidera p r e l ung i ­

con t i n u i ta te :

9

A ceastA

1

x

(x)

· cos ­

)-

}{

x

°

x =

f unc t � e f i i n d con t i n ua pe [ O , co ) ,

F�e

G

ne

in terva l u l sa f i e I n chis l a zero pen tru a putea

O bservam ca d eoarece rea

(

un a d i n t r e a c e s te p r i m i t i ve .

f

S1n - d x = 1 x

F( x ) =

>:

+ { a�. :

F(O)

F

ca

=

l

a

deci t rebuie Sa avem

1

cos ­

.

x

+C

sa f i e con t i n ua i n

(0) = c

1

C2 = C 1 +

, 2 - 6(0)

obtinem u rmatoa rea forma :

195

0

a re p r i m i t i ve pe a ce s t A tun c i :

- 2 · G( x )

- 2·6( x )

x cos X

Pun em con d i t i a

2

°

�i :

x , 0 x

2 o

>

°

x = o . Avem : c

2

,

� i a tun ci pentru primi ti va

F( x ) Punem

F'

II

=

(0)

F� ( O)

con d i � i a

l im

F(x)

l im

F(x)

x

Prin

O.

=

Observa t i e :

c o ro l a ru l

0

nu

In

observam

a

28 ( x )

0

deoarece 8

este

C1

c1

der ivabi l �

pr i m i tiva a In

d e r i va b i l i ta t i i �i

+

>:

e s te d e r i v a b i l a

ca

>

+ 28 ( 0 )

u t i l i z area

lui

g

p

In

) , deci

a _ O.

z e r o d a cA

a m men t ion a t

coro l a ru l u i

de

mai

Lag range

d e o a r e ce

nu

e x i s tA

sus

nu

doua

teoremei putem u t i l i z a

l im

F'

x -) 0 x > O

( >! ) .

1 9 3 n e permi te s A f o r m u l am metode pena re

de

n e c es i t a te a

p r i m i t i ve

�i

metode

pen t ru

a

arAta

ca

metode b

Ie

yom e x e m p l i f i ca , l n

ana l i z A

ma tema t i c a

f am i 1 1 a r i z A r i i

cu

cIs.

primul

X I I , pen t r u

d i ve r se l e

n o t i un i

r�nd a

cu

sub-

i n t� l -

l i ceu .

pen t ru

-----+.

1

cos x

6 es te 0

(

me tode � i

manua l u l

trei

-

0

pri m i t ive .

manua l e l e d e

P r i me l e

2

e x em p l u l

f un c t i e

a ce s te

Me t o d a

z ero :

in

p�g i n a

are

din

astfe l

(A)

f o rma

- 28 ' ( 0 )

=

In

x -) 0 x ) O

s tup i u l

lui

x

l im

Pen tru

la

enun t a

exerc i t i i

.n i te

(0)

x

1

<;

,

F

cA 0

f un c t i e n u

l inia

=

=

p

a

urmare

SA

de

arata

Vom

9

teoreme i

T a b l ou l

a

=

+ c

+ 2 '8(0)

derivabi l A

u t i l i z a rea d e f i n i t i e i

Lag ran g e .

a

f ie

F(O) 8(0)

F� ( O )

t ru

sA

x 6' (0)

metod e :

F

X

-) 0 X ) O

=

- 2 '6( x )

1

X

F(O)

8(x)

l im

x

cos -

ca

-) 0 X ) O

x

2

j.

X

z e ro . Avem

lui

x

x -) 0 x (O

=

-2

=

{

=

+C

a ' x,

a

a r A ta

ca a

se d ed u c

d in

f un c y i e

a re

p r i m i t i ve

t a b l ou u t i l i z l n d

:

196

imp l i cat i i

de

( EP )

Aratam ca functia este derivabi la.

( EP ) 2

Ar�t�m cA functia este continuA .

( EP ) 3

Construim primitiva .

1

•

( EP )

ArAtam c� functia este

sum� de func�ii care admit pri­

0

mitive . De retinut ca metoda EP 2 este preferatA metodei EP 1 deoarece este mai u$or de demonstrat continuitatea dec8t derivabi litatea, iar metoda EP3 se folose�te doar dac� intr-un punct de discontinuita�e functia nu are l imi ta ( este singura situatie In care mai paate avea primitive ) .

Metode pentru a ar�ta cA 0 funcr ie n� are primitive Primele trei metode se deduc d in acela�i tablau util iz8nd non a . b nan b echfvalenta : Avem deci : (B)

a

----..

a)

1

b)

1

c)

PRIMITIVE :t

P . DARBOUX r

3 � ( sa

x

sa'lL 3 � d (

0

197

)

x

0

)

(

non c )

3

1

l

l.

iI

3

(x ) d

(

<

0

x

0

< '

�i

3

co

"

l iii

3

( x l. d (

0

) = co x

0

)

sau

= co

/

[ n on DARBOUX I

non b )

1 non

)

co

III

!

non PRIMITIVE

a)

Deducem astfel urmatoa�ele metode pentru a are primitive :

arata

ca

0

functie nu

Ara tam ca i ntr-un 'punct de discontinui tate ambele 1 imi te l aterale exista �i sunt f inite sau cel pu� in l i m 1 ta l a t e ra l A (

NP

1

)

0

este 1 n f i n 1 ta. . NP

2

)

A ....

ata,m

ca

func�ia nu a

P .... esu pun em p ....

cont .... adict ie .

....

e prop

in absurd c a f a

.... ietatea lui Darbou>: . ....

e

p ....

1mi tive

�1

Daca f este suma a doua functii . u n a admitind ceala l ta n u � ....e z u l ta ca f nu are p .... 1mitive . ( NP ) 4

Exemp 1... e :

1

(

EP ) 2

f(x)

=

X

o

5

e

-

1

-

x

2 x

x

;lit 0 = 0

a ....e primi tive deoarece f este continua . •

198

obtine� pr

0

imi t i v e �

(

EP )

=

f(x)

3

Rezo L uare :

{

1

1

0.

d e c l.

cond i t i a ca F

;OJ

(0)

=

Ld(

=

C

l im

= X

-> 0

la

t lnde

1 im x

( >� )

1 x

z ero ,

x

=

0

tinde

(

f

2

1 x

EP ) 4

f(x) =

cos

1

"2

t rebu i e sa

2 . x S l. n

1 im x

fie

= C , F(O) =

ex

x 0 x =0 ;rI.

}�

C

1, x

zero :

+C-C

___________

=

-) 0

ceva marg i n i t i n mu l t 1 t

l a �ero

men ea i n d ep l i n i ta , d e c i

{

)

1 +C

Dar t ro bu i e sa avem � i F " ( 0 )

(

1 +C

2 . x s�n ­ x

2 x sin -

=

F(O)

f

x �0 x =0

ca F sa f i e d e r 1 Va b l. l a i n

-> 0

}; . S l. n

(

-> 0

{

=

p rov i n e d 1 n d e r 1 va-

f i e con t in ua i n z e ro :

� i avem :

F

0

lui

1 +C x 2s �. n ­ x

l im x

Punem cond i t i a =

sa

0) =

F(x)

F' (0)

{

=

F(x)

1.,

1 cos "­ x

2x ' s � n ­ x

d e c i 0 p r i mi t i va a

1 x

2 x s�n

�0

x =

f o rma :

Punem

x

o

Q bservam ca

rea f u n c t � e i

1

cos x

2x ' s�n x

) , =

cu ceva

d e c i F este d e r l v a b i l .i i n

c a re z e ro .

f ( O ) , eg a l i t ate care este d e ase-

a re p r i m i t ive .

x �0 x =0

1.99

de

Avem:

f( x )

2 1 - cos ­ x 2 1

=

x

r

"2

unde g { x )

=

iar func � i i le ( NP ) •

. a)

puncte x finite .

o

=

1

9

iar h ( x )

,

2"

x =0 2 ) /2 eo"" -.

g(x)

=

x

x

0

�

=

+

0 0

h(x)

,

,

f ( x ) [ x ] - x nu are primitive pe R deoa�ece In n este discontinuA �i ambele l imite laterale sunt =

1 . ­ S1n x

tive deoarece x l-)im0 f ( x ) x )O

2

0

�i h admit prim i tive .

b)

( NP )

=

�

=

-

o

1 cos x x

x x

( >

0 nu are primi0

�.

Func � i i le pentru care se uti l izeazA aceastA metodA 1m \

manual sunt de forma : f(x)

=

{

g(x) h(x)

X E
cu 9 �i h func� i i continue , 9 � h Vom demonstra pe aeest caz general cA f nu are proprietea lui Darboux . Demonstra � ia poate fi adaptatA la oriee caz particular . Trebuie sA demons trAm eA existA un interval a cArui imagine prin f nu este un interval . Uti l izAm eele douA condi � i i d in ipotezA . •

Rezo t varea exerc i t i u t u i :

Trebuie sA demonstrAm cA existA un in-

200

terval a carui imagine prin funttia f nu este un interval , util iz3nd cele doua conditii din ipiteza . In Din condi�ia 9 � h deducem cA existA eel PUtin un punct in care g ( x ) h e x ) .Atunci pentru & suficient de mic intervalele ( g ( x . ) - & , g { x ) +&) ( h ( x ) -& , h ( x )+&) sunt disjuncte ( vezi figura de mai j os ) . �

o

o

X

o

'

0

o

0

.

0

) +& he x ) h e x ) -& h( X

o

o

o

g ( x )+& g(x ) g ( x ) -& o

o

o

--------�--( ------ ------ ) --------� 6 x - 6

x

o

Din conditia V V

& £

)

9

0

3 6 ) 0

> 0

3 6 ) 0

�i v

2

x

e IR

o

0

deducem:.

-Q

}�

x

x

I

j,

I

< 6

1

=)

Ig

(x)

1h(x)

-

hex ) I o

< &

Consider�nd ,dupA cum am mai spu pe & suficient de mic pentru ca

intervalele ( g ( x )

-

o

£

fie disjuncte , iar

6 =

intervalului ( x -

6

x

continue In

h

x+

0

e (x

-

o

6,x + 0

o

6)

,

n �

, g ( x ) + & ) �i ( h ( x ) - & 0

0

,

hex

0

) + & ) sa

min{6 1 , 62 } , rezu l tA cA imaginea prin func�ia f a x

0

+

=)

6

)

..

f(x)

nu este = g(x)

201

un

int�rval , deoarece:

e (g ( x

0

) -& , g ( x ) +& ) 0

X

o

0

E ( x - 6, x + 6)

( NP

3

)

(a)

n

( �\ Q )

f(x)

E

( h ( x ) -& 7 h ( X ) +& ) . 0 o

Aceasta metod a p re sup un e ace l ea� 1 e t a pe ca � i metoda cautam primi t ive pen tru ramur 1 1 e l u i f � i ob� inem

ex presi e a l u i F ; (b)

= h( x )

F

punem cond i � i a ca

sa f i e con t inua i n pun ctu l

(

0

EP 3

•

p ri ma

pun c te l e )

de l eg atura i n tre ramu r i ; ( c )'

punem cond i � i a ca F sa f ie der ivabi l a I n a ceste pun cte : - daca

( EP3 )

metoda

•

daca

es t e derivabi l a � i

F

n u e 5 te d e r i v a b i l a i n >:

f(x)

4.

{

=

X - 5 1n _

1

! n tr-adevar � avem

g(x) =

{

1

X }:

1

x ;o!

>:

0

x = 0

0

i a r g e s te con t i n u a d e c i z e ro ,

= 0

I

o

0

) : f(x )

are

;o!

0

'f ( x )

p r i mi t i ve p e � .

{

0

X'

1

�

x =

l i m i te

Daca pri n absurd

he x ) = f ( x ) - g ( x )

0 (I

l a tera l e

f a r avea

are primi tive .

Rezo l varea prob l eme l or i n c a re se cere sa se . stud i e z e daca f un c � i e

are

primitive

se

poate

urmatoare :

202

,

cu

h ( ){ ) =

pr i m 1 t i ve .

, am parcurs

F ' ( >: o )

s au

a r e p r i m i t i ve � i - h are

d e c i n u a re

primi tive , ar rez u l ta ca

�i

o

nu

f(x ) = g ( x ) + h(x )

>: - s in -

f i n 1 te i n

(x

NP3 ) .

am parcurs metoda

( NP )

F'

F

f a ce

con f orm

schemei

0

l og i ce

•

F ARE PRIMITIVE

/

DA

j, -

( NP )

( NP

•

NU ARE PRIMITIVE

F

7

• 2

)

\

UIM

NP

•• 3

)

NU ( NP

3

)

DA

(P

3

)

�------�

203

'\

•

( STO�)

£X£RC I TI I :

Uti l iz�nd metoda ( EP2 ) . sa se au primitive pe IR : I.

.

ca urmatoarele f un \- i i

a r a te

c

..

1.

2.

1(x)

=

1(x)

=

3.

f(x )

4.

1(x)

5.

f(x)

6.

f(�)

=

=

max (

{ I

x,x

a

· In ( 3 _ x 2 2

[

1

x -

min I

{ { { ·· 1

>:

In ( l

IxI

=

2 -

k

7.

8.

1(x)

1(x)

=

I

]- x

I

I

x .-

0

x

x .-

x

x

In l x l

=

+

a

s i n ( n o a r ccos

11

-

n

1

x > 1

- x)

a

=

x <

x)

x - 1

x eZ

=

)

2

x

x

=

0

0

0

0

I

x 1f! 0 x = 0

x E ( -1 , 1 )

x}

2

x

UtiI iz�nd metodele ( EP3 ) matoarele 1unc\-ii au primitive : II.

204

=

1

sau

x =

-1

NP3 ) , sa se studieze daca ur-

1-

2. 3.

4.

5.

6.

7. �i

f(x)

f(x)

f(

x)

f(x)

f(x)

f(x)

f(x)

=

=

=

=

=

=

=

satisface :

8.

9.

f(x)

f(x)

1 0.

=

=

{

{

3x

1

x < 2

2x +

1

x > 2

1 cos

{ {

1

{

x J4 0

x

x

-

In

,

x

x

=

x

arctg ( a

+

0

)

1

'c os -

x)

1

x < 0

arctg x

x > 0

1

x ( 0

1

- cos x

x

x > 0

x

:

g' (x) '

0

x )

x

0

< 0

)(

arctg -

in

1

x � 0

g(x)

=

x =

g(x)

{

1

-

a

max (

{ {

z

I

>:

-

<=>

0

x

=

0

1

>:

a I ' S1n .

,

Produsu l d i n t re

0

• !R

. x � 0 x = 0

x � 0 x

0

9 : IR

•

0

s i n ( si n .!... ) x

dac� 0

=

0

func � i e h care ad m i te primi tive � i

fun c t ie 9 derivabi l � cu d e r i vata con tinua este

a

0

f un c t i e care

adm i te primi tive . I nd. :

Dac� H este p r i mi t i va l ui h , atun ci H . g '

205

es te con tinua , deci

admite pr1mitive.Fie G 11.

{.

f(x) =

9

0

primitiva a sa .Avem ( H . g - G ) ' = h . g

( x ) . sin � x

x ;It!

x

o

;abi l� cu deriyata continu� pe uti l iz�nd metoda ( nu au primitive:

NP

III.

1.

2.

f(x}

=

f(x) =

{

{

3. f ( x ) =

4.

f(x)

=

arctg arctg

2.

f(x) =

x

<

;

(1

0

x

1 - cos x )(

)

1 sin x 0

{ 2x3.2 + 1 {

sin x cos x

\

- 3

)

x

x ;It!

x

x

NP2 } �

x

x

)(

x

e

e

>

x <

l �x

-

deri-

x � 0

sup ( _t 2 + t

Uti l iz�nd metod� nu au primitive : f(x} =

x x

inf ( t 2 _ t + 1

x

func�ie

,

l �x

{

0

) s� se arate ca urm�toarel� func�ii

�

1 sin x

fiind

9

�.

0

I V.

1.

J.

=

0 0

•

=

0 1

2"

:> 21

0 0

sa se arate ca urmatoarele func�ii e

e


\

206

f(x)

3.

=

f(x) =

4.

f(x)

5.

=

{ {

x

€ q;}

x

€ IR \ q;}

-rx

x

€ q;}

r.

x

€ IR \ q;}

In x e x

{ x ' [x ]

)"; € q;}

- x2

X € IR \ q;}

RasptLns :

2

'

Func�iile g ( x ) = 3x �i h e x ) = 2x + 1 sunt continue pe IR � h Vom arata ca f nu are proprietatea -lui Darboux . Fie x ­ un punLt i n care avem g ( x o ) = h e x 0 ) , de exemplu o = 2 . Avem g(2) = 6 h(2) = 9 h continua in 0= 2 <=> 1.

9

.0

•

x

•

,

-

[

(=> 9

<=>

-

V

&

>

0 3

x

So

6 >

0

V x € IR ,

....

<=:>

continua in x 0=

[ v. £ > 0

..:.

Ix

-

21 < 6

So

=>

1 3x

-

61 <

Atunci terval f(x) = f(x) =

i n c�t

c

-

+

£)

imaginea intervalului ( 2 6,2 + 6 ) prin t nu este un indeoarece pentru x € q;} n ( 2 3x € ( 5 , 7 ) iar pentru x ( IR \ q;) ) ( 2 - 6 , 2 + 6) avem 2x 2+ 1 ( 8 , 10 ) .......

-

e

e

n

•

Uti l iz�nd metodel e ( EP ) - ( toarele func\ii admit primitive: v.

]

3 62 > 0

d�ttel intervaIeIe ( 6 £ , 6 + & ) �i (9 - &,9 sa fie disjuncte. De exemplu & = 1 �i fie 6 = min ( 6So , 62 ) . Fie

&

•

NP )

207

•

sa se studieze daca

u rma-

f(x)

1.

I nd i c a t i e :

cu :

g(x)

=

{

3 1 3 cos x x = 4 · cos -

x

3 1 cos 4 x

I nd i c a t i e :

+

{

=

� 0

1 , deci f ( x ) = g ( >: ) + cos x

1 1 x sin x sin -

1 +

x =

1 s�n x n

.

o

e

x

o

=

e

x

a

.

{ 30C:S

h(x) =

�i

{ 1 s�n x f(x) =

{

Q

- 3

/

x

f ( x) =

>:

X =0

0

1 . 1 -:----:-� + : in-"- s�n "

3.

x � Q

Q

f(x) =

2.

{

1 cos 3 x

[- � , � ]

x ,;! 0

x =

0

[- : ' � ]

208

,

n

x ,;! 0

\

{

x

=

0

}

0

\

Se ob�ine a =

0

!

e IN

•

{

0

}

+

0

•

h e >: } ,

0

8.

I N T E G R A B I L I TA T E

Integrala se define� te cu aj utorul unei l imite . Mul t mai u�or i ntelege aspectele teoretice referi toare la integra· l .1 acela care a I nteles de ce este nevoie sa se renunte acum la cele doua mari categorii de l imite avute in vedere p�na la acest nivel : 1. 2.

imi c�nd x tinde la x l imita c�nd n tinde l a infinit 1

ta

•

a

�i se introduce alta categorie de l imite: 3. l imita c�nd norma diviziunii t1nde la zero. Precizari le care urmeaza sunt tocmai pentru l amurirea acestui aspect . Teoria integralei a aparut d intr-o necesi tate practica � aceea de a cal cula aria cuprinsa i ntre graficu l unei functii �i axa Ox . 0

I

deocamdata ) nenegativa Fiind data 0 functie marginita �1 � putem aproxima aria dorita cu aj utorul �nor f : [a , b] dreptunghiuri av�nd baza pe O� . -------+,

209

Pentru aceasta se considera punctel e : a = xo < x1 ( ( x n= b Multimea acestor puncte formeaza diviziune a intervalului [a � b] �i se noteaza cu A : , xn } A = { x0 , x1 , x2 , F��iile verticale rea l izate cu aj utorul punctelor x.1. au aria la fel de greu de cal culat ca �i aria initiala, datorita conturului superior . Obtinem dreptunghiuri daca inlocuim contururi le superioare cu segmente orizontale. •

•

•

0

o

x

1

\.-1

�.

\.

x l.. Fig .

x

n

= b

8.1

Pentru ca aproxima�ia astfel ob�inuta pentru arie sa fie rezonabi la este firesc ca aceste segmente orizontale sa i n t�lneasca graficul func�iei . Observam ca astfel de orizontalA este unic . determinata de un . punct � l.. afl at i ntre x 1.- 1 �i x \. Am ob�inut astfel dreptunghiurile cu c·a re urmaream sa aproximam aria cautata. Ariile dreptunghiuri lor sun t : , ( x n- x n-S ) " f ( � n ) ( x S- x ) " f ( � S ) , , Suma acestor arii se nume�te suma Riemann ata�ata functiei f , diviziunii A � i punctelor intermediare e . Aceasta suma: 0

.

0

.

\.

210

•

•

O'

... ( f �· � ) =

x- x

(

u

• • • + ( x n- x n-1 ) f (

.

�

n

)

0

=

)f(

� ) .

+

. l ( x - x. n

i

1. = 1

x 2- x1 ) f ( �2 ) + • •

(

1.-1

)f(

�. ) 1.

aproximeaz� aria c�utat� . Necesi tatea introducerii c e l ei de-a treia categorii de l imite se datore�te necesit��ii ca aproxima} ia s� fie c�t mai bun�. $i acum I ntrebare : aproxima�ia este mai bun� atunci c�nd : C a ) dreptunghiuri le sunt din ce i n ce mai mu l te sau c3nd ( b ) dreptungiuri le sunt din ce In ce mai Inguste Observ�m c� "dreptungiuri le sunt din ce I n ce mai mul te" dac� �i numai dac� n tinde l a infinit� dar f�c3nd pe n sa tind� la i n finit nu ob�inem apro xi ma�ie "din ce 1n ce mai bun�" . tn t r- deva � las�nd primul drep tunghi neschimbat� de exemplu , �i m�rind numarul de puncte de l a el spre dreapta oric�t de mul t ( fac3nd pe n sa tind� l a infinit ) aproximat·ia ram�ne Qrosiera. Aproxima�ia devine insa din ce i n ce mai buna daca "dreptungiuri le sunt din ce in ce mai sub�iri " . Pentru a trece de l a aceasta observa�ie intuitiva la concretul matemati , observam ca dreptunghiuri le sunt din ce 1n ce mai subt-iri <;Jaca " eel mai gros dintre ele" devine din ce i n ce mai 0

?

0

a

c

Cea mai mare grosime a dreptunghiuri lor determinate de .zi·une se nume�te norma divizilJnii 11 . " 11 8 = max{ x - X (- x , x 2- x =1 n • • , x - x, } = . max 1 11

0

"aproximat-ii c3t mai bune"

1

'

<=>

·

n

n-1 ..

" d re ptunghiuri

211

I.

•

i

0

x.

divi -

1.-1

)

din ce In ce mai

r

subti ri " ( = > "cea mai mare gros:i.Jne tinde la zero" { = } "norma lui 0 tinde l a zero" { = } D A U Aria por�iuni i aflate I ntre graticul tunc�ie t $i axa Ox este deci : ----+.

lJ.

•

i

l im CflJ. ( t , � ) b Aceasta l imita se noteaza cu J t ( x ) dx $i se nume$te integrala tunc�iei f pe intervalul [ a , b ] . B A D -) 0

b

J ( x ) dx Q

t

=

l im 0lJ. ( f � � )

H lJ. 1I -> 0

Pentru tunc�i i care nu sunt neap a rat nenegative pe [ a , b] integral'a reprezinta di feren�a dintre aria at lata d easu pra axei 0 >: $i aria af lata sub axa Ox :

b

J t ( x ) dx

= s

Q

2.

- S 2+ S3

Prin urmare , p�ntru a ob�ine aria por�iunii atlata intre grafic $i axa Ox , i ntr-un asttel de caz trebuie considerat modulul lui fO:

212

A

=

Jb · I f ( x ) I dx 0.

o

Fig .

8.3

Revenind 1 a afirmatiile ( a ) � i ( b ) de mai sus , sa observam ca: "dreptunghiuri le sunt d�n ce i n ce mai subtH-l " = "dreptungiurile sunt din ce in ce mai mul te" , adi ca ( b ) = .> ( a ) . 0 = n Al tfel spus , 11 ,t.. " Reciproc i nsa nu este adevarat intotdeauna . De aceea nu putem >

>

---�)

---�)

co

•

e>:lsta un caz care este val abi l a � l lmp l ica�ia reciproca : atunci c�nd punctele diviziunii sunt echidistante: 0 pentru puncte echidistante n ------+. co = :> II .t.. II tn aceste caz dreptunghiuri le au aceea�i d imensiune a bazei �i anume x i - x i-1= b n a pent,ru orice i 1 , 2 , , n , iar suma Riemann devine: in

------+.

•

=

"',t.. ( f , e )

=

b

n

a

(

f(

e S. )

+

f(

�2 )

+

+

f(

e

n

=

•

)

•

)

b

=

n

a

Pentru astfel de diviziuni are deci loc echiva1en�a :

213

.l n

\.

=1

f(

e ) \.

n ----+. co care permite , dup� cum s-a v�zut la metoda 16 de, cal cu l a l imitelor , util izarea defini�iei inte9 ralei la cal culul l imitelor d e $iruri . lnainte de a enumera � i e x em p l i fica metodele pentru studiul i n 0

----+�

<=}

te9rabil ita�ii s� observ� c a d aca tunc} ia este conti nua printre sumsle Riemann aA ( f ,<, ) ce se pot o b � i ne modific�nd doar in�l�imi le dreptungiurilor ( mod i f i ci nd doar pun c te l e intermediare � i ) e x i stA 0 cea m ai mare � i cea mai mic� sum� R i emann . � 1 anume suma ,

,

0

R iemann av�nd va l oarea cea mai m a re se ob�1 ne a l eg �nd pun c te l e �.

\.

E (

X.

\'-1

.x. ]

pen t ru care :

sup { f ( x ) X E [ .-1 , x ] } = M , iar suma Ri emann cu va lOarea cea mai mic� se ob� 1 ne a l eg �n d pun c t e l e e i p en t r u care : X E [ x. , x. ] } = m Not�nd cu Sfl, ( f ) 1 ( � . ) = int { f ( x ) �i respe c t i v s A ( f ) aceste sume numi te suma Darboux supe ri oara , respectiv i n f e ri oara ) avem : f(

� \.. ) =

\.

}: ,

1. -1

\,

, � M. (

\. = 1

x i-

•

\.

I.

\. '

1.

>: , ) '\' -

m. (

1

\.

(8. 1)

Punctele e . care rea l i zea z a supremu l , ,respectiv infimul lui f pe in t erv al e l e [ x . � , x ] e x i sta deoarece s� � t ie ca 0 f unc� i e continua \ pe un i n terva l i n c h i s � i marg i n i t es te marg i n i ta � i i � i atinga marg i n i l e Se � t i e ( ve z i teorema 37 din manualul de anal iz� matematicl. cIs. X I } c� f un c� i e este in teg r abi l a daca �i nUlnai daca : \,

\, - ;0.

\.

\

.

0

1 im

H A JI -) 0

(

( S fl, f ) - s A ( f )

214

)

= 0

(8.2)

CONEX IUNI INTRE INTEGRABILITATE 9 1 SPECIFICE FUNCTI ILOR

ALTE

NOTIUNI

Pentru a formula astfel de conexiuni , complet� l ista propozitii lor P enuntate i n capitolul precedent , cu urmatoarele: ?

orice functie integrabila pe [a , b] este marginita p orice funct ie monotona pe [a , b] este integrabi la p ) Joo orice functie continua pe [a, b] este integrabi la orice funct�e care are pe [ a , b ] un numar finit de puncte p de discontinuitate de speta i nt�i este integrabi l a . p ) 8 I»

i

. . � ...

Demonstratia lui •

P

10

rezul tA din faptul ca daca unei functii •

integrabi le pe ( a , b) i i' modificam valori le i ntr-un numar finit de puncte se obtine tot 0 functie integrabi la �i din proprietatea de aditivitate fatA de interval a integralei : b

f f ( x ) dx a

J f ( >: ) · dx c

=

a

+

b

J f ( >: ) c

dx

Uti l iz�nd propozi�� i le de mai sus putem real iza urmatorul tablou NR . FINIT DISC . I

MONOTONIE

1

INTEGRABILITATE ( Riemann )

1

MARGIN IRE

215

CONTINUITATE

iar t.abolul cuprinz�nd impl ica\-ii i ntre toate no\.iunile de care ne-am ocupat este urm�torul ( l 1 l fiind una din l imitele 2 laterale) : �i

I DER IVABI L ITATE I .----....1. CONT I 1 I TATE 1 ------., NU

,.--____

1

I I l

I

MARG�N'I RE

1

< CD

I

l

I PRIM I TIVE I I . I I DARBOUX

= CD

T

L

(2)

(3)

.1

Go

3 �

� , l. . ( CD

,..--

�

-

< 5>

(

g au

NON CONI NUl TATE

(1) 3

....

L IM I TA

INTEGRAB I LITATEJ

1

__---.

3 l. =CD

3 �

.1

(4)

, l. 2 = ±CD

2

1

_ _

3

3 � 1 =CD

�

l.

,

2

I

--.

l.

�

1

1

(6)

, CD

...�

�

l.

2

l

�

l'

l.

2

NON MARGINIRE

_ _

NON P R IMITIVE

( 5)

----__

I

r--

J

----�

NON INTEGR ABILITATE ---

I

·----,

NON MONOTONIE

NON CONT INUITATE

r----

NON DERI V ABILITATE

216

•

----,

6)

I

MET ODE PENTRU A ARATA CA 0 FUNCTIE ESTE INTEGRABILA ( RIEMANN ) PE [ a , b ] I ) uti l izarea definitiei ( I 2 ) ar�tam ca este continua I 3 ) arA tam ca are un numar finit de puncte de discontinuitate de speta Int�i ( I ) aratam ca monotona I ) aratam ca func�ia este suma de functii integrabi le 1

este

4

5

NU

METODE PENTRU A ARATA CA 0 FUNCTIE ESTE INTEGRABILA ( RIEMANN) PE [a , b]

( NI ) uti l izarea defini�iei l im i ta

1

f i n i ta

2

( NI ) NI )

b1 l a

�1

3

" � H

pen tru

c

------�.

a ra tam

ca f u n t i a

a r a t am

ca

nu

)

este ma r g i n i ta

f un c � 1 a este

un a n e i n teg r a b i l a

0

suma d 1 n tre 0

functie in teg ra-

.

£xemp L e :

( I ) 1

( a)

U t i 1 1 z i nd

def i

ni � i a

func�ie d e r i v a b i l a cu d e r 1 v a ta pe [ a , b ] . Fie f : [ a , b] Rezo l var e :

i n teg r a l e i .

marg i n i ta

------�)

�

pe

ca orice ] este integrabi lA

s a se a ra te

[a

,

b

derivabi lA. Trebuie ara-

finita c�nd U A D ------�) O . Func�ia tat ca A ( f � ) are data f iind derivabi la, este continua, deci are primitive . Fie F a

,

l i m i ta

/

217

0

\ primitivA a sa . Func�iei F i i ·putem apl ica teorema I U 1. Lagrange pe orice interval [ x i-i .' x i ] . ExistA deci C . E ( x. , x ) astfel inc�t :

=

i

�( n

1. = 1

c. ) I.

i�1 (

f(

-

f(

c. ) )

X, -

I.

x

F ( x. )

-

F(

I.

I.

I.

i_i

1.-t

L

Rezul ta:

•

x - x. ) = 1.- 1 i

� )( i

c, ) (

f(

n

=

1. = 1

1

, }:

=

of (

x i - X.1.-1 )

n

.2

O'� ( f , � ) =

L

I.

,2 (

f(

1. = 1

x I.-i ,

)

I.

n

)

.2 (

+

1.=

\..-1

) I.

) =

c,\. )

f(

�, )

f{

1

x,

I.

e.

n

+

X.-

)<

+ f ( ,�, )

)<

f ( c, )

-

)

x.- x. I.-i I.

)<

I.

x"

L

-

>:

=

i-1

)

Cal culam separat cele douA sume:

� ( F(

l. = 1

x, ) . L

+

- F(

x.

1.-1

)

)

=

F(

(

x

) - F(

1

x

o

)

)

+

+ ( F( ) - F ( X n-1 ) ) ) - F( 1) ) + = F( x ) - F( x ) F(b) - F(a) . n 0 -----+� 0 AratAm ca a doua sumA tinde l a zero cl nd Pentru aceasta t- inem cont ca f ' . este margini ta. adica exista. M > 0 astfel i n c� t I f ' ( x ) < M pentru orice din [ a � b ] $i . apl icam funct-iei f teoreme lui Lagran�e , dar pe intervalele ' de exI ntre e , $i c. astfel i n c�t : C'. . Exista

(

F(

X

2

•

X

•

x

.

=

"

=

n

�

U

•

�

x

e, \

L

Rezu 1 tA deci : . f ( �. ) \.

(

R

-

A R oM

f ( c, ) I.

f(

f(

e, ) 1.

=

�.

I.

=

c, ) I.

- c� I

I

°

l.

l.

(

f' (

Pentru a doua suma avem deci :

218

e,

l.

1.

- c, ) f ' ( l.

e, ) l.

e ) l.

�,l.

c, I o M I.

<

1: (

f(

f(

� l. )

:. = 1

i

�I 1

�,\.

=

II

b-

- f ( c ) ) ( x - x i.-2. )

�, )

1'1

1.

- f ( c, )

I-

\.

c,

\.

\.

\.

I -

M - I x. \.

I

X, \.

X.

1.-2.

X,

I

(

� l

H

\.-2.

! <:

\. = 1 .

I

<

b- I

-M- I

II - M ,- l ( x - x. ) = lI fl n - M - ( b - a) n

\.-1

1.

1. = 1

X - X .� 1.

\.-1

D b- I

---+

I

=

, 0

0

•

Condit. ia din ipoteza acestui exercitiu este foarte puternic� Dupa cum se �tie, se poate arata ca func�ie care i ndepl ine�te doar conditia de continuitate este de asemenea integrabi l�_ Totu�i procedeul apl icat i n acest exerci�iu poate fi adaptat u�or l a maj o r i ta tea exer�itiilor i n care se cere sa se arate ca func�ie este in teg r ab i l a . Sa se arate ca f ( x ) = sin x este integrabi l'a pe orice i n terv a l [ a , b ) . ( Manual ) a

.

/

.

a

( b)

Vorn ad a p t a demonstratia precedenta.Functia data este derivabila �i cu derivata f ' ( x ) = cos x marginita .Fiind derivabila este � i continua �i are primitive . F ie F primitiva a sa � F ( x ) - cos x , � i fie = ( a x1 x n= b ) o diviziune a lui [ a , b) . Apl i0 ' cam teorema lui Lagrange func\-iei F pe f iecare interval [ x.\.-1 , x. ] _ E>:ista c e >: , , x. ) astfel Inctit : , Rezo L vare :

6

0

=

=

x

I.

i.

1.-1

\.

F ( x. ) - F ( I.

x,

\.-1

)

= f ' ( "c.\. l · (

X.\.

x. ) \.-1

Func�ia f are derivata marg i n i ta : l cos x l <: 1 pentru orice x di� � , deci �i pentru orice x d in [ a , b ) . T rebuie aratat ca o� ( f , � )

219

are l imita 1inita ci nd " A R limita este ( dupa cum se �tie Avem:

----+. 0

0

(1 A

O'

�

)

�

n

.2 1(

=

I. = �

, 1: ( 1 ( c, ) I.,

I. = j.

!

=

I. = j.

,l n

=

I. = �

1(

( x I., -

1 ( c.l: )

n

=

�, ) \.

x,I.- x i_j. )

C, ) ( \.

( F ( x \.. ) - F (

:: F ( b ) - F ( a )

+

.

x

x.

\. -�

1{

+

�

i fj. (

i-j.

)

)

I ( 1(

x \.,- x.t.-� )

)<

- f(

�i)

. l ( 1(

+

=

c I.. ) ) ( x \.,- x I.-j. , ) - 1 ( c, r

�, ) I.

\. = �

1-

- 1 ( c i. ) ) (

{i)

\. = j.

i)

n

+

::

::

1(

1"1

+

)

F(b)

)

Vom arata ca aceasta F ( a ) - cos b cos a •

x l.. -

=

x,I.-j. )

x.-

)<

I.

::

x,I.-j. )

pe AplicJ:nd teorema lui Lagrange �i 1unct-ie� f ( >: ) = S1n intervalul determinat de punctele � I.. �i c.I. , deducem ca exista i ntre { . �� c. ast1el inc�t : I.

\.

I I( n

1. = 1

"

f(

2 f( n

1. = 1

{ 1- )

sin

x

sin c.

{ 1.

I.

- 1 ( c. ) ) (

{ i. ) -

c ) I.

I.

.

I.

I I sin { I.. - S1n c,I. =1

n

=

i

fj.

cos

e.I. I - 1 { I. -

x i- x.\.-� ) Oeci :

.

i.

I.

I -

X, -

c\., I - ," ::

D

l im O'A ( f , { ) -

B A li -> 0

x -

I - I

n

=

{ I., -

x. - x

I.

f(

=

A

i-1

i. .

\.-1

- cos

e

deci

e,

I.

(

=

= I

(

U - (b - a)

F(b) - F(a)

220 /

I

>: . 1.-1

x - x.

I.

I

)

x 1.. -1 I

c, )

�

n

�

::

f1

1 - U

A

II - I

X. I.

x,

1.-1

-.".. u--=.!I,..------+� 0 A. ----+ 0

cos b

+

cos a

•

•

I

=

I.

(

Func\-ia: f

I ) z

arctg

f (..x )

=

2

[0

. �

,

3

]

IR

Tf

- ·x

Tf/2

definita prin

daca x

E [0 , 2 )

daca x

= 2

daca x

E ( 2 , 3]

�

( ex - z + x -

2)

In ( � ) z<x-Z) 2

este integrabi l a . !ntr-adevar , ea este continua in orice punct x � 2 din domeniul de definitie, fiind exprimata prin func�ii continue . Studiem continuitatea in x = 2 : (2)

=

l d( 2 )

=

l

s;I

terva 1 u 1

1 1m

� <-i �

f(

x)

l im f ( >: )

=

x -) 2 x)2

[O�3] ,

Tf arctg Q'; Tf

=

2"

f(2)

=

arctg ( +c::o ) .

=

Tf 2

. Func\-ia este continua pe in-

deci este ihtegrabil a .

[ x ] , f [ 0 2--13 ] !R poate f 1 o n t i n ua doar in puncte1e in care [ x ] este d iscontinua. n E Z Din t re aces tea doar Acestea sun t d e f o rma x = n pun c te l e 1 , 2 sun t in domeniul func\-iei . Studiem l i m i ta a ceste puncte . Avem: (1) = (2) = L (3) L (3) = 1 �i (

I )

3

f

( >: ) d is

=

= x

:

-

c

----+)

,

•

l

in

�

(>

l

,

,

3

,

=

�

Q

s;I

numar finit de puncte de discontinuitate de speta int�i , a��dar este integrabil a . Despre functia f ( x ) = [ x ] putem spune ca este integrabila fie uti l i z�nd criteriu1 precedent , fie util iz�nd faptul ca ea este monotona pe orice interval [ a , b] . 4

( I )

221

� prin f ( x ) =sgn x + I x l + [ x ] Func�ia f : [ - 1 , 1 ] este integrabilA deoarece este suma a trei func�ii integrabi le: f • ( x ) = sgn x este integrabi l a deoarece are un numAr finit de puncte de discontinuitate ( un singur punct , x = 0 ) $i disconti tatea este de spe�a i nt3i ; func�ia f 2 ( x ) = / x / este integrabila deoarece este continuA , iar func�ia f 3 ( x ) = [ x ] este integrabi la . fiind monotonA ( sau pentru ca are un singur punct de discontinuitate $i el este de spe�a I nt�i ) . ------�,

�

( I )

•

X

E

X

E

�

Ii

(0, 1 ]

(

Ii

[0, 1 ]

� \ �

)

nu este �ntegrabi la deoarece aleg�nd in suma Riemann : 0'11

puncte"le intermediare acest caz

O'I1 ( f , e )

HI

2

)

f(x)

�

.l n

1

i.

�11 ' (

<> . (

>� i.

-- { o�

i!. f

=

>�

)� .

\.- 1

X

x

\.

)

-

x.

1. - .

(

NI ) 3

f(x) =

r

x

1

0

este suma func�ii lor

f

S

)

1.-1

1.

x - >� .

= 0

t­ ( .1. 2 = 1

=

f

(

)

e. ) 1.

= 0

j

iar . dac� o

>: .

\.

-

a

e

\.

deci in sunt ira­

•

E (0,1]

=

°

nu este integrabila ( R�emann ) pe +

)(

e i.

(

ra�ional e , Clvem

e.

1. =

\-�onai e , avem (

=

( f,e )

x K

[0, 1] E

=

deoarece nu este marginita�

(0,1] 0

( x ) = x $ i f2 ( x )

222

=

{

1 x

-

°

..

x X

E (0,1]

=

°

Daca f ar 1i integrabi la, din 1 = f i + f 2 ar rezu 1 ta f 2 = f - " 1� deci f 2 ar 1i integrabi la pe [ 0 , 1 ] ca suma de doua 1unctii integrabi le . £X£RC I TI I :

I. Uti l iz�nd de1initia , sa se arate ca urmatoarele functii s�nt integrabi l e: x 4. f ( x ) = arcsin -;:;1 ( x ) = ex 1.

2.

f(x)

3. 1 ( >: ) II.

f(x)

2.

f(

4.

5

•

6.

7.

=

5.

>:

tg

I x2

1(x)

6.

+ 1

t(x)

=

=

cos

sin

x

......

2x

Studiati integrabi l i tatea 1 un t i i lor :

1-

3.

=

2

}:

)

t(x) 1 ( >: ) .t(x�

1 (x ) 1(x)

=

=

::: �

=

=

=

{ t

t

,

>:

>:

E [0 1]

}: 2

x

E ( 1 , 2]

sup

(

Er o .

max

J. 1

c

t2_

)

1

""2

sn t i

er o . rr )

t

cos

)

nx 2 l i m x + " en x >:

1 + e

n -> co

{ �!] x.

{

[

1 In x 0

-

x

,

X

>:

]

.E

(0,1]

= (I

x

E [0, 1 ]

x t : [a , 1 ]

=

°

----+. IR ,

223

a

e ( 0, 1 )

8.

Functia caracteristica a multimii

9.

f ( x ) · =-

r" ex

x E >: E

b +d +

c

[0, 1 ]

IR .

[ -:- 1 , 0 ] (0,1]

Pentru ce valori ale paraatetrilor a �i b functii 1e de mai jos sunt integrabile ? Pentru ce valori ale parametri lor au primitive ? III .

1.

2.

3.

4. 5.

f(x)

1(x) f(x) f(x

)

f(x)

=

--

=

=

=

{

1

I {

[ !. ] [ !. ]

x

ax + b

{ {

x E x =

arctg ( In x ) a

>: x

1 sin a x

= 2n

(0,1]

= 0

=

1

n

i n rest

0

2n + 1

0,1]

x

x =

0

x E ( x 0

1 e cos x a

1

,:

=

(0,1]

f : ( a , b]

;

!R

,

a E (0, 1 )

I NDI CATI I :

1.

l. cI ( O )

functia are

=

0

deci pentru orice valoare a parametrului , singur� discontinuitate, de speta int�i pe [ 0 , 1 ] .

-

n 2'

'

Pent�u orice valoare a lui a E ( 0 , 1 ) functia are un num�r tinit de puncte �e discontinuitate de speta Int�i . 2.

224

2 x . 1 1 Fun c t- i a e cos ­ x x provine din derivarea l u i x e S 1 n Aratat- i c� orice func�ie continua pe un i t er v a l [a , b) I V. es te integ rab i l a . Ada pta t-i demonstrat-ia de l a punctul precedent pent ru a z. arata ca' funct-iile u rmatoare sunt integrabi le pe inte.rvalul [ 0 , 1 ] : (c) f(x) = e ( b) f ( x ) = sin x (a) 4..

x

•

n

/

x

RASPUNSURI :

Vom

1.

a rata

ca

lim DaD -> 0

e

Av m :

(

Sa ( f ) - s� ( f )

\.

\.-�

x.- x.

( M i. unde

Mi.

m. = i n f { 1.

=

n

)

l

i. = �

x - x,\.-� )

m ,( , \.

= °

)

x

i. -

x.

\.-i.

) =

i.

m, ) ( \.

sup {

f! x)

f(x)

>:

E

X . , X.

[

\.-�

\.

]

]-

,

Fo l osim a cum

p r i e ta t- i a l e f u n c t-

ii l o r continue pe un

doua pro-

i n terva l I n ch i s � i marg 1 n i t :

n c t- i e continua pe un i n teva l i n c h i s � i marg i n i t e s te marg i n i ta � i i � i a tinge m a r g n i l e ; dec i e x i sta U [a, b] a st f l n c t M = f ( u, ) , m = ( v , ) Prin u rm a re � = , I ( f ( u . ) - f ( v . » ) ( x i.- x , ) , 0

(1)

i

e

Pentru ta te a

fu

�

i.

i

1.

i.

1. = �

eva l uarea

1. ' .

f

•

V, E 1.

1.

1.

1.

diferent-ei f ( u. ) - f ( v. ) 1.

:

\.

1.-i.

u t i l i z am

proprie-

fun c t- ie continua pe un interval inchis � i marginit este uni form continua ( vezi cap . 4 , proprie t atea 4 . 1 ) , ad i ca : (2)

0

225

& > 0 V x 1 , x 2 [a, b ] , x 1 - x 2 J 6& =====> 1 f t x1 ) - f ( x ) I < & 2 Pentru a putea lua I n locul lui 1 pe u. �i in locul lui x 2 pe v. trebuie sa consideram diviziune � av�nd norma mai mica dec�t 6 & ( lucru posibi l deoarece facem l imita pentru D � n ----�, ° ) . A�adar , presupun�nd U � 1I < 6& avem I f ( u. ) - f ( v. ) I < & , adica M - m < & �i deci : V

> °

&

E

6

3

<

•

1.

x

0

1.

S

�

(f}

i.

-

\. = 1 .

\.-1

i.

2: '"

s.fJ. ( f ) =

x - x. )

M: - m. ) (

(

1.

l.

&(b -

=

i.

>: -

1.-1

x.

) <

zero . Avem:

=. � ( M m. ) ( x - x. unde

-

i.

\.

X

\.-1

2

)

X

f

1

X.-

&(

\.

x. ) 1.-1

=

deducem ca.:

\.-1

x. .

0

1I t:. 1I --+0

t�nde la

2.

i.

i

-::-:--;;--� ,

deci func�ia este integrabi l a .

x­

'"

a) .

Deoarece & este arbitrar ( de mic

i.

.

l.

=

\. =. 1

1.

1.

�

)

i. = 1

m (

z e ro

x i.

L

>:

cind

1.-1

)

II

� II

tine

=

.-

"""

E

[ x. , x. ] \.-1

1.

} =

2

x.

1.

( x. , x. ] } = x 2i. ' deoarece pe intervalul inf { x 2 I [0 , 1 ] func�ia f ( x ) = x 2 este crescatoare . Deci : i.

m =

X

E

1.-1

\.

2

X.

\. -1

f(x)

=

)(

X;

�

- x. ) \.-1

x 2 este continua pe [0 , 1 ] , deci este uniform

226

la

continua , adi ca : V £'

>

0

3 <5 > £'

0

V

x 1 , x 2 e[ 0 , 1 ] ,

Consider�nd diviziunea deoarece

DAH

-----.,

0

)

,

Deoarece l im

£'

2

I

avem �

-

X

2

x

x_

l.

II

1.-1

)

�l. -1 <

X

=> <5 £'

(

n A U C

'

<

6

£'

2 2

-

x

2 1

I

< -

posib1 1

deci :

X - >: 1.-1 , i.

) = c( b - a ) .

este arbitrar de mic , deducem ca :

II A II -) 0

grabi la pe

1

astfel inc�t

A

X

x - x

I '

adica f ( x ) =

[0, 1] .

227

X

2

este inte-

£'

BIBLIOGRAFIE T. ANDREESCU �i colectiv Prob l eme de ma t ema t i ca da t e examene l e d i n 1 983, Tiparul executat Intreprinderea Pol igrafica Timi�o a , 1 9B4 :

e o ne ursur i l e s i

·" Banat . .

L . · ARAMA si

,

T.

la

de

,

ar

·

.

Teh i c , ucure i 1 978 . C . BORS, C . CH I REA

MOROZAN

i n t e6ra l , Ed .

: Prob l eme de c a l c u l d i feren t i a l

a B

n

�t

,

C. : De l a ma t .­ ma t i a e l emen L ara spre ma L ema L i ca u ar a , Ed . Bucure�ti , 1 977. D. M. de te L c pen t ru t reap t a � d a de c e , Ed A lbatros, Bucure�ti , 1979 . BATlNETU-G IURGIU , V . GHIORGHITA , I . V. TOMESCU F. : Prob l ema da t e de de ma t ema t l ca pen t ru � i c ee . Ed . Stiintifica , Bucure�ti , 1992 . D . BUSNEAG , I . MAFTE I : Teme pen t ru si e e i r , E d . Scrisul Rom�nesc , Craiova , 1 983 . A . CORDUNEANU , G . RADU , L . POP , V . GRAMADA : de b eme de Junimea , Ia�i , 1972 . GH . CALUGARITA , V . MANGU : r a si de L i e eu,Ed A l b a t ros , Bucure� t i , 1 977 . M . COCUZ : Cu e8er de Acad . R . S . R . AVADANE I ,

N.

AVADANE I ,

c

s

BAT I NETU

ou

D.

:

ma

Prob l eme

u

l i

per i o

ma

Acad .

R.S.R,

a

i

.

M.

MAFTE I , I .

� a o l t m.p i a

VORN I CESCU

le

c er e ur i l e

de ma t ema t i e a a l e

i

v

concursur i l e

lo

C u l e8ere

pro

l

ma t ema t i c a . Ed .

Prob l eme

t

e pt a

I -a

a

I I -a e

i.

de �� ! e�� t i c a pen t ru

.

prob l eme de ma 't ema t i c a , Ed .

Bu cure'i' t i , 1 984 .

N . DONCIU , D . FLONDOR : 8eb 8ere de b e E . . , Buc u r e$ t i . GANGA : Te s i prob L eme Bucure$ti , 1991 .. B. G LBAUM J _ M . H . OLMSTED : pro

me ,

l

.

A l.

D P

me

M.

Ed .

R.

E

St .

de

ana L i za ma t ema t i e a . e u l. e-

1 978 .

Tehn ica ,

ma t e�� t i e a , Ed .

C o n t raexemp l e

,

in

ana l i za ,

Bu c u re$ t � , 1973 .

GIURGI U , F . TURTOI U : E . . P . , Bucure�ti , 1980 . I . ILIESCU , B . IONESCU, D . RADU I .

ra s i

C u l e8ere de

prob L eme

de ma t ema t i e a ,

D

pen t ru admi t erea i n i nva t aman t

C. IONESCU-TIU� L . pen t ru adm.i t ere

P I RSAN

u superior , E . D . P . , Prob l. e�..e

:

de ma t ema t i e a

l

: Ca l c u l

i n fac u � t a t e . Ed .

Bucure� t 1 . 1 976 .

A a t r , u cure t i , 1 9 . d i f er e n t i a l lb

i n t e8ra L

si

os B

$

AL . LEONTE, C . NICULESCU : C U L e8ere de prob � eme de ana L i za matemat ica, Ed � Scrisul Rom8nesc , Craiova , 1984 . I . A. Ca l c u l us ar i l e , Mi Publ ishers,Moscow, 1 973 . A . S . MURESAN,V . MURESAN : P b e de a l 8eora a a ma t i e a . c oncursur i de admi tere 1 981 - 1 990,Ed . Tehn ica,

a � 8ebr a s i

P,

MARON

:

Prob � ems

in

of

ro

Bucure� t i , 1 99 1 .

C . NASTASESCU,

si

pr o b � eme

C.

N I TA ,

M.

l

one v

Bucure t i 1 98 1

BRAND I BURU ,

de a l �ebra, E . D . P .

,

D.

$

228

ab

si

me

J O I TA

�

.

75

r

n

l i za ma t e­

: Exerc i t

ii

C . P . N I COLESCU :

Ana l i za

ma t ema t i e a , Ed . A l batros , Bucare�ti , 1ge7 .

C . P . N I COLESCU : Sin teze de matemat i cA Ed . A l batros , Bucure� t i , l990 .

G . R I ZESCU , E . R I ZESCU

:

Terns pen t rtL eeretLr i l e de

� ' n l t c.u , Ed . Tehni cA , Bucure�ti � 1 977 .

ma t ema L i e a

v.

SCHtE I DER , SH . A . SCHNE I DER : CtLl e8ere de prob l. ... de i za ma t ema t i ca pen t rtL e l ase l e XI - Xl l , Ed . Hy p.rion-Apol l o , Craiova , 1�3 . ana l

....----

SH . S I RETCHI : E�re i t i i de ana l i za ma t ema t t e a , T i pogra1 ia Un iversi Ut-ii d in Bucure$ti , 1 975 .

-

N . TEODORESCU , A . CONSTANT I NESCU , 1'1 . M I HA l , L . P I RSAN, E . PER­ JERI U , A . POPESCU-ZOR I CA , P . RADOV I C I -I'1ARCULESCU , I'1 . TENA : PrOb l eme d i n Gaze t e Ha t ema t i e a . Edi t i e se l ee t i va s i me t odo l os i ea , Ed . Tehn i cA , Bucur@$ti , l 9B4 . R . TRANDAF l R I AL . LEONTE : CtLl esere de prob l eme ma t ema ! i ca, Ed . Junimea , I � i , 1975 .

si

exere � t i i

de

CtLl e8ere de prob l ems pen t rtL admi t erea i n StLper i or . Ha t ema t i c a . Fiziea s i Chi m.i e , Ed . St . En ci c l . Bucure�t i , ed i t-i i l e 1984 �i 1989 • .

* * •

i nva t aman t tL l

• • *

'* * *

Hanua l e l e de ma t ema t i e a de

Co l ee t i a rev i s t . i

Gaze t e

229

l i cetL. di verse edi t i i .

Ha t ema t i ea .

Tiplrit la S.C. FEVRODEST TIPO S.R.L. Tel: OS I I 134662 , 134809 -

in aceaSlG carte pute\i g3si: - metode pen!ru danon>Uarca egalit>tilor de mu�imi, . metode pt:$.tm demonsttan::a bijectiviUlii funC\iilor.

- metode oomune pentTt.t ca1culol 1imitelor de �iruri �i de funC\u, - metode specificc pc:n1ru calculul limitelor de !iruri. - D'_etode penllU studiuI continuitl\ii � • derivabililA\i� - mdodc p",,1m a detCllllin3 existenta rlIrl!lcinilor un.ei ecu3\ii� - spliC3\ii ale teolQ!lelor lW Fu",at, Roilc, Lagrange, Cauchy, - metod. penllU d.m�nslruea \Dlor egalitl\i �; inegalfil\i, ructode penn:a a arMa � 0 functie are p,h"j�ive •

. metOOc pentro II artta cl 0 functi: Dll are pnmitive, - metod. pentru • ar.1ta � 0 ftmC\I' este integrnl:Ja, - mKc.de rlxu & � d (\ �i.: on este mtegiabihi

�l1fC.rii sml c¥"c didactiu uu.ive:"Sif.are ell 0 bl.gatA exneriotl didacti.::.l �i a�·Ii'.a1c l'im;ifici lV....N)scutl pe plan int�ionaL .

• •

•

Gomcllzile Ie polep thee fi cu rla T 1 ,a,ubms, adres;ndn-vi. a:tu:oruor 1.J. CP.8ll, Craiov. (1 100 ) Dolj ,

Ob�iile fi sagCf'u1c d--voo!l!rl le ptU.t:9 tth,.ite 1& acua1i ad.,.·ul \'1 mu1twli,um ----_.--

------ ---- ------ --------

ISBN: 073

- 9604(1 - 0 -

4