Lothar Papula Mathematik fiir Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2
Die drei Bande Mathematikfilr Ingenieure and Naturwissenschaftier werden durch eine Formelsammlung, ein Buch mit Klausur- und Ubungsaufgaben sowie ein Buch mit Anwendungsbeispielen zu einem Lehr- und Lernsystem erganzt: Lothar Papula Mathematische Formelsammlung fiir Ingenieure und Naturwissenschaftler
Mit zahlreichen Abbildungen und Rechenbeispielen und einer ausfiilirlichen Integraltafel Mathematikfilr Ingenieure und Naturwissenschaftler - Klausurund Ubungsaufgaben Mathematikfilr Ingenieure und Naturwissenschaftler Anwendungsbeispiele
Aufgabenstellungen aus Naturwissenschaft und Technik mit ausfiihrlichen Losungen
Lothar Papula
Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2 Ein Lehr- und Arbeitsbuch fiir das Grundstudium 11., iiberarbeitete Auflage Mit 377 Abbildungen, zahlreichen Beispielen aus Naturwissenschaft und Technik sowie 310 iJbungsaufgaben mit ausfiihrlichen Losungen
Viewegs FachbiJcher der Technik
31 vieweg
Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet iiber
abrufbar.
1. 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9., 10., 11.,
Auflagel983 durchgesehene Auflage 1984 durchgesehene Auflage 1986 durchgesehene und erweiterte Auflage 1988 verbesserte Auflage 1990 verbesserte Auflage 1991 iiberarbeitete und erweiterte Auflage 1994 verbesserte Auflage 1997 verbesserte Auflage 2000 durchgesehene Auflage Oktober 2001 iiberarbeitete Auflage 2007
Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden, 2007 Lektorat: Ewald Schmitt Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de Das Werk einschlieBlich aller seiner Telle ist urheberrechtlich geschiitzt. lede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere fiir Vervielfaltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Technische Redaktion: Hartmut Kiihn von Burgsdorff, Wiesbaden Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Satz: Druckhaus Thomas Miintzer, Bad Langensalza Druck und buchbinderische Verarbeitung: Tesinska Tiskarna, a. s., Tschechien Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Czech Republic ISBN 978-3-8348-0304-7
Vorwort
Das dreibandige Werk Mathematik fiir Ingenieure und Naturwissenschaftler ist ein Lehr- und Arbeitsbuch fiir das Grund- und Hauptstudium der naturwissenschaftlich-technischen Disziplinen im Hochschulbereich. Es wird durch eine mathematische Formelsammlung, einen Klausurentrainer und ein Buch mit Anwendungsbeispielen zu einem kompakten Lehr- und Lernsystem erganzt. Die Bande 1 und 2 lassen sich dem Grundstudium zuordnen, wahrend der dritte Band spezielle Themen iiberwiegend aus dem Hauptstudium behandelt.
Zur Stoffauswahl des zweiten Bandes Aufbauend auf den im ersten Band dargestellten Grundlagen (Gleichungen und lineare Gleichungssysteme, Vektoralgebra, Funktionen und Kurven, Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von einer Variablen, Potenzreihenentwicklungen) werden in dem vorliegenden zweiten Band folgende Stoffgebiete behandelt: Lineare Algebra: Reelle und komplexe Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme, Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix Fourier-Reihen Komplexe Zahlen und Funktionen: Komplexe Rechnung, Anwendungen auf Schwingungen und Wechselstromkreise, Ortskurven Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen: Partielle Ableitungen, totales Differential, Anwendungen (relative Extremwerte, Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen, „lineare Fehlerfortpflanzung"), Doppel- und Dreifachintegrale mit Anwendungen Gewohnliche Differentialgleichungen: Lineare Differentialgleichungen 1., 2. und n-iox Ordnung, Anwendungen insbesondere in der Schwingungslehre, numerische Integration gewohnlicher Differentialgleichungen, Systeme linearer Differentialgleichungen Laplace-Transformationen
Zur Darstellung des Stoffes Auch in diesem Band wird eine anschauliche, anwendungsorientierte und leicht verstandliche Darstellungsform des mathematischen Stoffes gewahlt. Begriffe, Zusammenhange, Satze und Formeln werden durch zahlreiche Beispiele aus Naturwissenschaft und Technik und anhand vieler Abbildungen naher erlautert.
VI
Vorwort
Einen wesentlichen Bestandteil dieses Werkes bilden die Ubungsaufgaben am Ende eines jeden Kapitels (nach Abschnitten geordnet). Sie dienen zum Einiiben und Vertiefen des Stoffes. Die im Anhang dargestellten (und zum Teil ausftihrlich kommentierten) Losungen ermoglichen dem Leser eine standige SelbstkontroUe. In dieser Auflage wurden weitere Hinweise der Benutzer eingearbeitet und das Kapitel Laplace-Transformationen vollstandig neu iiberarbeitet.
Zur auBeren Form Zentrale Inhalte wie Defmitionen, Satze, Formeln, Tabellen, Zusammenfassungen und Beispiele sind besonders hervorgehoben: Defmitionen, Satze, Formeln, Tabellen und Zusammenfassungen sind gerahmt und grau unterlegt. Anfang und Ende eines Beispiels sind durch das Symbol
gekennzeichnet.
Bei der (bildlichen) Darstellung von Flachen und raumlichen Korpem werden Grauraster unterschiedlicher Helligkeit verwendet, um besonders anschauliche und aussagekraftige Bilder zu erhalten.
Zum Einsatz von Computeralgebra-Programmen In zunehmendem MaBe werden leistungsfahige Computeralgebra-Programme wie z. B. DERIVE, MATHCAD oder MATHEMATICA bei der mathematischen Losung naturwissenschaftlich-technischer Probleme in Praxis und Wissenschaft erfolgreich eingesetzt. Solche Programme konnen bereits im Grundstudium ein niitzliches und sinnvolles Hilfsmittel sein und so z. B. als eine Art ,,Kontwllinstanz'' beim Losen von Ubungsaufgaben verwendet werden (Uberpriifung der von Hand ermittelten Losungen mit Hilfe eines Computeralgebra-Programms auf einem PC). Die meisten der in diesem Werk gestellten Aufgaben lassen sich auf diese Weise problemlos losen.
Eine Bitte des Autors Fiir Hinweise und Anregungen - insbesondere auch aus dem Kreis der Studenten - bin ich stets sehr dankbar. Sie sind eine unverzichtbare Voraussetzung und Hilfe fiir die stetige Verbesserung des Lehrwerkes.
Ein Wort des Dankes . . . ... an alle FachkoUegen und Studenten, die durch Anregungen und Hinweise zur Verbesserung dieses Werkes beigetragen haben, ... an die Mitarbeiter des Verlages, ganz besonders aber an Herm Ewald Schmitt, fiir die hervorragende Zusammenarbeit wahrend der Entstehung und Drucklegung dieses Werkes. Wiesbaden, im Sommer 2007
Lothar Papula
VII
Inhaltsverzeichnis
I Lineare Algebra
1
1 Reelle Matrizen
1
1.1 1.2 1.3 1.4
Ein einfiihrendes Beispiel Definition einer reellen Matrix Transponierte einer Matrix Spezielle quadratische Matrizen 1.4.1 Diagonalmatrix 1.4.2 Einheitsmatrix 1.4.3 Dreiecksmatrix 1.4.4 Symmetrische Matrix 1.4.5 Schiefsymmetrische Matrix 1.5 Gleichheit von Matrizen 1.6 Rechenoperationen fiir Matrizen 1.6.1 Addition und Subtraktion von Matrizen 1.6.2 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar 1.6.3 Multiplikation von Matrizen
2 Determinanten 2.1 Ein einfiihrendes Beispiel 2.2 Zweireihige Determinanten 2.2.1 Definition einer zweireihigen Determinante 2.2.2 Eigenschaften zweireihiger Determinanten 2.3 Dreireihige Determinanten 2.3.1 Definition einer dreireihigen Determinante 2.3.2 Entwicklung einer dreireihigen Determinante nach Unterdeterminanten (Laplacescher Entwicklungssatz) 2.4 Determinanten hoherer Ordnung 2.4.1 Definition einer n-reihigen Determinante 2.4.2 Laplacescher Entwicklungssatz 2.4.3 Rechenregeln fiir w-reihige Determinanten 2.4.4 Regeln zur praktischen Berechnung einer ^-reihigen Determinante . 3 Erganzungen 3.1 3.2 3.3 3.4
Regulare Matrix Inverse Matrix Orthogonale Matrix Rang einer Matrix
1 2 6 7 7 8 8 9 10 11 11 12 13 14 19 19 21 21 22 30 30 33 37 37 41 43 46 50 50 51 54 59
VIII
Inhaltsverzeichnis
4 Lineare Gleichungssysteme 4.1 4.2 4.3 4.4
Allgemeine Vorbetrachtungen GauBscher Algorithmus Losungsverhalten eines linearen (m,«)-Gleichungssystems Losungsverhalten eines quadratischen linearen Gleichungssystems 4.4.1 Inhomogenes lineares («,«)-System 4.4.2 Homogenes lineares («,«)-System 4.4.3 Cramersche Regel 4.5 Berechnung einer inversen Matrix nach dem GauBschen Algorithmus (GauB-Jordan-Verfahren) 4.6 Lineare Unabhangigkeit von Vektoren 4.6.1 Bin einfuhrendes Beispiel 4.6.2 Linear unabhangige bzw. abhangige Vektoren 4.6.3 Kriterien fur die lineare Unabhangigkeit von Vektoren 4.7 Bin Anwendungsbeispiel: Berechnung eines elektrischen Netzwerkes . . . . 5 Komplexe Matrizen 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
Bin einfuhrendes Beispiel Definition einer komplexen Matrix Rechenoperationen und Rechenregeln fur komplexe Matrizen Konjugiert komplexe Matrix, konjugiert transponierte Matrix Spezielle komplexe Matrizen 5.5.1 Hermitesche Matrix 5.5.2 Schiefhermitesche Matrix 5.5.3 Unitare Matrix
6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix 6.1 6.2 6.3 6.4
Bin einfuhrendes Beispiel Bigenwerte und Bigenvektoren einer 2-reihigen Matrix Bigenwerte und Bigenvektoren einer n-reihigen Matrix Bigenwerte und Bigenvektoren spezieller Matrizen 6.4.1 Bigenwerte und Bigenvektoren einer Diagonal- bzw. Dreiecksmatrix 6.4.2 Bigenwerte und Bigenvektoren einer symmetrischen Matrix 6.4.3 Bigenwerte und Bigenvektoren einer hermiteschen Matrix 6.5 Bin Anwendungsbeispiel: Normalschwingungen gekoppelter mechanischer Systeme
Ubungsaufgaben Zu Abschnitt 1 Zu Abschnitt 2 Zu Abschnitt 3 Zu Abschnitt 4 Zu Abschnitt 5 Zu Abschnitt 6
65 65 68 72 79 79 83 86 89 91 91 93 95 100 101 102 103 104 106 109 109 112 114 116 116 121 128 134 134 136 138 140 142 142 143 146 149 153 155
Inhaltsverzeichnis
IX
11 Fourier-Reihen
158
1 Fourier-Reihe einer perodischen Funktion
158
1.1 Einleitung 1.2 Entwicklung einer periodischen Funktion in einer Fourier-Reihe 2 Anwendungen 2.1 Fourier-Zerlegung einer Schwingung (harmonische Analyse) 2.2 Zusammenstellung wichtiger Fourier-Reihen 2.3 Bin Anwendungsbeispiel: Fourier-Zerlegung einer Kippspannung
158 160 171 171 173 174
Ubungsaufgaben Zu Abschnitt 1 Zu Abschnitt 2
178 178 180
III Komplexe Zahlen und Funktionen
182
1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl
182
1.1 1.2 1.3 1.4
Definition einer komplexen Zahl Die GauBsche Zahlenebene Weitere Grundbegriffe Darstellungsformen einer komplexen Zahl 1.4.1 Algebraische oder kartesische Form 1.4.2 Trigonometrische Form 1.4.3 Exponentialform 1.4.4 Zusammenstellung der verschiedenen Darstellungsformen 1.4.5 Umrechnungen zwischen den Darstellungsformen 1.4.5.1 Umrechnung: Polarform -^ Kartesische Form 1.4.5.2 Umrechnung: Kartesische Form -^ Polarform
2 Komplexe Rechnung 2.1 Die vier Grundrechenarten fur komplexe Zahlen 2.1.1 Vorbetrachtungen 2.1.2 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen 2.1.2.1 Definition von Addition und Subtraktion 2.1.2.2 Geometrische Deutung 2.1.3 MultipUkation und Division komplexer Zahlen 2.1.3.1 Definition von MultipUkation und Division 2.1.3.2 MultipUkation und Division in trigonometrischer und exponentieller Darstellung 2.1.3.3 Geometrische Deutung 2.1.4 Grundgesetze fur komplexe Zahlen (Zusammenfassung)
182 184 188 191 191 191 194 196 197 197 199 203 203 203 204 204 205 206 206 209 210 216
X
Inhaltsverzeichnis 2.2 Potenzieren 2.3 Radizieren (Wurzelziehen) 2.4 Natiirlicher Logarithmus
3 Anwendungen der komplexen Rechnung 3.1 Symbolische Darstellung von Schwingungen im Zeigerdiagramm 3.1.1 Darstellung einer Schwingung durch einen rotierenden komplexen Zeiger 3.1.2 Ungestorte Uberlagerung von Schwingungen gleicher Frequenz . . . 3.1.3 Anwendungsbeispiele aus Mechanik und Elektrotechnik 3.1.3.1 Uberlagerung zweier harmonischer Schwingungen 3.1.3.2 Uberlagerung gleichfrequenter Wechselspannungen 3.2 Symbohsche Berechnung eines Wechselstromkreises 3.2.1 Das Ohmsche Gesetz der Wechselstromtechnik 3.2.2 Widerstands- und Leitwertoperatoren 3.2.3 Ein Anwendungsbeispiel: Der Wechselstromkreis in Reihenschaltung 4 Ortskurven 4.1 Ein einfiihrendes Beispiel 4.2 Ortskurven einer parameterabhangigen komplexen GroBe (Zahl) 4.3 Anwendungsbeispiele: Einfache Netzwerkfunktionen 4.3.1 Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand und einer Induktivitat (Widerstandsortskurve) 4.3.2 Parallelschaltung aus einem ohmschen Widerstand und einer Kapazitat (Leitwertortskurve) 4.4 Inversion einer Ortskurve 4.4.1 Inversion einer komplexen GroBe (Zahl) 4.4.2 Inversionsregeln 4.4.3 Ein Anwendungsbeispiel: Inversion einer Widerstandsortskurve . . .
216 219 225 227 227 227 231 234 234 236 237 237 239 244 248 248 249 253 253 254 255 255 257 259
Ubungsaufgaben Zu Abschnitt 1 Zu Abschnitt 2 Zu Abschnitt 3 Zu Abschnitt 4
262 262 263 265 267
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen
269
1 Funktionen von mehreren Variablen und ihre Darstellung
269
1.1 Definition einer Funktion von mehreren Variablen 1.2 Darstellungsformen einer Funktion
269 272
Inhaltsverzeichnis 1.2.1 Analytische Darstellung 1.2.2 Darstellung durch eine Funktionstabelle (Funktionstafel) 1.2.3 Graphische Darstellung 1.2.3.1 Darstellung einer Funktion als Flache im Raum 1.2.3.2 Schnittkurvendiagramme 2 Partielle Differentiation 2.1 Partielle Ableitungen 1. Ordnung 2.2 Paritelle Ableitungen hoherer Ordnung 2.3 Das totale oder vollstandige Differential einer Funktion 2.3.1 Geometrische Betrachtungen 2.3.2 Definition des totalen oder vollstandigen Differentials 2.4 Differentiation nach einem Parameter (Kettenregel) 2.4.1 Kettenregel fur Funktionen mit einem Parameter 2.4.2 Kettenregel fur Funktionen mit zwei Parametern 2.5 Anwendungen 2.5.1 Implizite Differentiation 2.5.2 Linearisierung einer Funktion 2.5.3 Relative oder lokale Extremwerte 2.5.4 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen 2.5.5 Lineare Fehlerfortpflanzung 3 Mehrfachintegrale 3.1 Doppelintegrale 3.1.1 Definition und geometrische Deutung eines Doppelintegrals 3.1.2 Berechnung eines Doppelintegrals 3.1.2.1 Doppelintegral in kartesischen Koordinaten 3.1.2.2 Doppelintegral in Polarkoordinaten 3.1.3 Anwendungen 3.1.3.1 Flacheninhalt 3.1.3.2 Schwerpunkt einer Flache 3.1.3.3 Flachenmomente (Flachentragheitsmomente) 3.2 Dreifachintegrale 3.2.1 Definition eines Dreifachintegrals 3.2.2 Berechnung eines Dreifachintegrals 3.2.2.1 Dreifachintegral in kartesischen Koordinaten 3.2.2.2 Dreifachintegral in ZyUnderkoordinaten 3.2.3 Anwendungen 3.2.3.1 Volumen und Masse eines Korpers 3.2.3.2 Schwerpunkt eines Korpers 3.2.3.3 Massentragheitsmomente Ubungsaufgaben Zu Abschnitt 1 Zu Abschnitt 2 Zu Abschnitt 3
XI 272 273 275 275 281 287 287 296 301 301 303 307 308 313 318 318 322 326 333 340 348 349 349 352 352 360 366 366 373 379 386 386 388 388 392 397 397 405 411 418 418 419 426
XII
Inhaltsverzeichnis
V Gewohnliche Differentialgleichungen
433
1 Grundbegriffe
433
1.1 1.2 1.3 1.4
Ein einfuhrendes Beispiel Definition einer gewohnlichen Differentialgleichung Losungen einer Differentialgleichung Anfangs- und Randwertprobleme
2 Differentialgleichungen 1. Ordnung 2.1 2.2 2.3 2.4
Geometrische Betrachtungen Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen Integration einer Differentialgleichung durch Substitution Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung 2.4.1 Definition einer Hnearen Differentialgleichung 1. Ordnung 2.4.2 Integration der homogenen Hnearen Differentialgleichung 2.4.3 Integration der inhomogenen Hnearen Differentialgleichung 2.4.3.1 Variation der Konstanten 2.4.3.2 Aufsuchen einer partikularen Losung 2.5 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 2.6 Anwendungsbeispiele 2.6.1 Radioaktiver ZerfaH 2.6.2 Freier Fall unter Beriicksichtigung des Luftwiderstandes 2.6.3 Wechselstromkreis 3 Lineare Diffentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 3.1 Definition einer Hnearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 3.2 Allgemeine Eigenschaften der homogenen Hnearen Differentialgleichung . 3.3 Integration der homogenen Hnearen Differentialgleichung 3.4 Integration der inhomogenen Hnearen Differentialgleichung 4 Anwendungen in der Schwingungslehre 4.1 Mechanische Schwingungen 4.1.1 Allgemeine Schwingungsgleichung der Mechanik 4.1.2 Freie ungedampfte Schwingung 4.1.3 Freie gedampfte Schwingung 4.1.3.1 Schwache Dampfung (Schwingungsfall) 4.1.3.2 Starke Dampfung (aperiodische Schwingung, Kriechfall) . . . 4.1.3.3 Aperiodischer GrenzfaU 4.1.3.4 Zusammenfassung 4.1.4 Erzwungene Schwingung 4.2 Elektrische Schwingungen 4.2.1 Schwingungsgleichung eines elektrischen Reihenschwingkreises . . . . 4.2.2 Freie elektrische Schwingung 4.2.3 Erzwungene elektrische Schwingung
433 435 436 438 442 443 447 450 453 453 454 456 456 460 463 467 467 468 471 475 475 477 483 490 501 501 501 503 508 508 511 515 519 520 530 530 533 536
Inhaltsverzeichnis 5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . . 5.1 Definition einer linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 5.2 Integration der homogenen linearen Differentialgleichung 5.3 Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung 5.4 Ein Eigenwertproblem: Bestimmung der Eulerschen Knicklast 6 Numerische Integration einer Differentialgleichung 6.1 Numerische Integration einer Differentialgleichung 1. Ordnung 6.1.1 Streckenzugverfahren von Euler 6.1.2 Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung 6.2 Numerische Integration einer Differentialgleichung 2. Ordnung nach dem Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung 7 Systeme linearer Differentialgleichungen 7.1 Systeme Hnearer Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 7.1.1 Ein einfiihrendes Beispiel 7.1.2 Grundbegriffe 7.1.3 Integration des homogenen linearen Differentialgleichungssystems . 7.1.4 Integration des inhomogenen linearen Differentialgleichungssystems 7.1.4.1 Aufsuchen einer partikularen Losung 7.1.4.2 Einsetzungs- oder Eliminationsverfahren 7.1.5 Ein Anwendungsbeispiel: Kettenleiter 7.2 Systeme Hnearer Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
XIII 540 540 541 548 553 558 558 558 563 569 573 573 573 574 577 582 582 586 594 599
Ubungsaufgaben Zu Abschnitt 1 Zu Abschnitt 2 Zu Abschnitt 3 Zu Abschnitt 4 Zu Abschnitt 5 Zu Abschnitt 6 Zu Abschnitt 7
606 606 606 612 615 619 621 623
VI Laplace-Transformationen
626
1 Grundbegriffe
626
1.1 Ein einfiihrendes Beispiel 1.2 Definition der Laplace-Transformierten einer Funktion 1.3 Inverse Laplace-Transformation
626 629 634
XIV
Inhaltsverzeichnis
2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssatze) 2.1 Linearitat (Satz iiber Linearkombinationen) 2.2 Ahnlichkeitssatz 2.3 Verschiebungssatze 2.3.1 Erster Verschiebungssatz 2.3.2 Zweiter Verschiebungssatz 2.4 Dampfungssatz 2.5 Ableitungssatze 2.5.1 Ableitungssatz fiir die Originalfunktion 2.5.2 Ableitungssatz fiir die Bildfunktion 2.6 Integralsatze 2.6.1 Integralsatz fiir die Originalfunktion 2.6.2 Integralsatz fiir die Bildfunktion 2.7 Faltungssatz 2.8 Grenzwertsatze 2.9 Zusammenfassung der Rechenregeln (Transformationssatze)
635 636 637 638 638 641 643 644 644 646 648 648 650 651 654 658
3 Laplace-Transformierte einer periodischen Funktion
659
4 Rucktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich
663
4.1 AUgemeine Hinweise zur Riicktransformation 4.2 Tabelle spezieller Laplace-Transformationen 5 Anwendungen der Laplace-Transformation 5.1 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 5.1.1 Allgemeines Losungsverfahren mit Hilfe der Laplace-Transformation 5.1.2 Integration einer linearen Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 5.1.3 Integration einer linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 5.2 Einfache Beispiele aus Physik und Technik 5.2.1 Entladung eines Kondensators iiber einen ohmschen Widerstand . . . . 5.2.2 Zeitverhalten eines P Ti-Regelkreisgliedes 5.2.3 Harmonische Schwingung einer Blattfeder in einem beschleunigten System 5.2.4 Elektrischer Reihenschwingkreis 5.2.5 Gekoppelte mechanische Schwingungen tJbungsaufgaben Zu Zu Zu Zu Zu
Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt
1 2 3 4 5
663 666 669 669 669 670 672 675 675 677 678 680 683 685 685 686 689 690 691
Inhaltsverzeichnis
XV
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben
694
I
Lineare Algebra
694
Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt
694 695 697 701 706 708
1 2 3 4 5 6
II Fourier-Reihen
714
Abschnitt 1 Abschnitt 2
714 715
III Komplexe Zahlen und Funktionen Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt
1 2 3 4
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen Abschnitt 1 Abschnitt 2 Abschnitt 3 V Gewohnliche Differentialgleichungen Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt
717 717 719 723 725
727 727 729 736 744
1 2 3 4 5 6 7
744 745 752 756 761 765 766
VI Laplace-Transformationen
773
Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt
1 2 3 4 5
773 775 780 780 781
Literaturhinweise
791
Sachwortverzeichnis
792
XVI
Inhaltsiibersicht Band 1
Kapitell:
AUgemeine Grundlagen 1 2 3 4 5 6
Kapitel II:
Einige grundlegende Begriffe iiber Mengen Die Menge der reellen Zahlen Gleichungen Ungleichungen Lineare Gleichungssysteme Der Binomische Lehrsatz
Vektoralgebra 1 2 3 4
Grundbegriffe Vektorrechnung in der Ebene Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum Anwendungen in der Geometrie
Kapitel III: Funktionen und Kurven 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Kapitel IV:
Definition und Darstellung einer Funktion AUgemeine Funktionseigenschaften Koordinatentransformationen Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) Gebrochenrationale Funktionen Potenz- und Wurzelfunktionen Algebraische Funktionen Trigonometrische Funktionen Arkusfunktionen Exponentialfunktionen Logarithmusfunktionen Hyperbel- und Areafunktionen
Differentialrechnung 1 Differenzierbarkeit einer Funktion 2 Ableitungsregeln 3 Anwendungen der Differentialrechnung
Inhaltsubersicht Band 1 Kapitel V:
Integralrechnung 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Kapitel VI:
Integration als Umkehrung der Differentiation Das bestimmte Integral als Flacheninhalt Unbestimmtes Integral und Flachenfunktion Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung Grund- oder Stammintegrale Berechnung bestimmter Integrale unter Verwendung einer Stammfunktion Elementare Integrationsregeln Integrationsmethoden Uneigentliche Integrale Anwendungen der Integralrechnung
Potenzreihenentwicklungen 1 Unendliche Reihen 2 Potenzreihen 3 Taylor-Reihen
Anhang:
XVII
Losungen der Ubungsaufgaben
XVIII
Inhaltsiibersicht Band 3
Kapitel I:
Vektoranalysis 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Kapitel II:
Ebene und raumliche Kurven Flachen im Raum Skalar- und Vektorfelder Gradient eines Skalarfeldes Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes Spezielle ebene und raumliche Koordinatensysteme Linien- oder Kurvenintegrale Oberflachenintegrale Integralsatze von GauB und Stokes
Wahrscheinlichkeitsrechnung 1 2 3 4 5 6 7 8
Hilfsmittel aus der Kombinatorik Grundbegriffe Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen Kennwerte oder MaBzahlen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen Wahrscheinlichkeitsverteilungen von mehreren Zufallsvariablen Priif- oder Testverteilungen
Kapitel III: Grundlagen der mathematischen Statistik 1 Grundbegriffe 2 Kennwerte oder MaBzahlen einer Stichprobe 3 Statistische Schatzmethoden fur die unbekannten Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung („Parameterschatzungen") 4 Statistische Prufverfahren fur die unbekannten Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung („Parametertests") 5 Statistische Prufverfahren fur die unbekannte Verteilungsfunktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung („Anpassungs- oder Verteilungstests") 6 Korrelation und Regression
Inhaltsiibersicht Band 3 Kapitel IV:
XIX
Fehler- und Ausgleichsrechnung 1 „Fehlerarten" (systematische und zufallige MeBabweichungen). Aufgaben der Fehler- und Ausgleichsrechnung 2 Statistische Verteilung der MeBwerte und MeBabweichungen („MeBfehler") 3 Auswertung einer MeBreihe 4 „Fehlerfortpflanzung" nach GauB 5 Ausgleichs- oder Regressionskurven
Anhang:
Teil A: Tabellen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Teil B: Losungen der Ubungsaufgaben
I Lineare Algebra
1 Reelle Matrizen 1,1 Ein einfiihrendes Beispiel Wir betrachten den in Bild I-l skizzierten Gleichstromkreis. Er enthalt die drei ohmschen Widerstande R^, R2 und R^ sowie eine Spannungsquelle mit der Spannung U.
Die Teilstrome /j^, 12, und 73 sind dabei durch R^, R2, R^ und U eindeutig bestimmt. Zwischen diesen Grofien bestehen namlich aufgrund der Kirchhoffschen Regeln die folgenden linearen Beziehungen: Nach der Knotenpunktsregel^^: h-l2-h=0
(I-l)
Nach der Maschenregel^^: R^ I. + R2I2
=U (1-2)
^ Knotenpunktsregel: In einem Knotenpunkt ist die Summe der zu- und abflieBenden Strome gleich Null (zuflieBende Strome werden positiv, abflieBende Strome negativ gerechnet). ' Maschenregel: In jeder Masche ist die Summe der Spannungen gleich Null.
I Lineare Algebra Die Teilstrome genugen somit dem inhomogenen linearen Gleichungssystem h -
h -
Ri / i + R2 ^2
^3=0 =V
(1-3)
Die Koeffizienten dieses Systems fassen wir zu einem Schema mit drei Zeilen und drei Spalten, einer sog. Matrix A, zusammen: / I1 - 1 --11 \ A = I Ri ^2 Ri 0 1 Rl 0 R2 - ^ 3
(1-4)
A wird in diesem Zusammenhang auch als Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems (1-3) bezeichnet und beschreibt den strukturellen Aufbau des in Bild I-l dargestellten Netzwerkes.
1.2 Definition einer reellen Matrix
Wir fiihren weitere Bezeichnungen ein: aii^\ i: k: m: n:
Matrixelemente (i = 1, 2,..., m; k = 1, 2,..., n) Zeilenindex Spaltenindex Anzahl der Zeilen (Zeilenzahl) Anzahl der Spalten (Spaltenzahl)
1 Matrizen
3
Anmerkungen (1) Eine reelle Matrix ist ein geordnetes Zahlenschema aus reellen Zahlen und besitzt keinen Zahlenwert (im Gegensatz zu den spater noch einzufiihrenden Determinanten). (2)
Eine reelle Matrix wird bis auf weiteres kurz als Matrix bezeichnet.
(3)
Gebrauchliche Schreibweisen fiir eine Matrix sind: A' ^{m,n)^ i^ik)^ (^ik){m,n)
(4)
Eine Matrix vom Typ (m, n) wird auch kurz als (m, n)-Matrix bezeichnet.
(5)
Der Platz, den ein Matrixelement a^^ innerhalb der Matrix A einnimmt, ist durch die beiden Indizes i und k eindeutig festgelegt (das Indexpaar U k kann als ,,Platzziffer" aufgefaBt werden). Das Matrixelement a^^ befindet sich dabei in der i-ten Zeile und der k-ten Spake:
(6)
Sonderfall m = n: Die Matrix enthalt gleichviele Zeilen und Spalten und wird daher als n-reihige, quadratische Matrix oder Matrix n-ter Ordnung bezeichnet (verkiirzte Ausdrucksweise: quadratische Matrix).
(7)
Die obige Definition einer (reellen) Matrix laBt sich sinngemaB auch auf den komplexen Zahlenbereich ubertragen. Wir gehen darauf am Ende dieses Kapitels in Abschnitt 5 naher ein. Beispiele (1)
Die Matrix ' 3 1 5 0 \2 - 3 0 1 besitzt 2 Zeilen und 4 Spalten und ist daher vom Typ (2, 4). Ihre Elemente lauten der Reihe nach: a^ = 3, ai2 = 1, <^i3 = 5, ai^ = 0, ^21 = 2, (222 = - 3, ^23 = 0 , a24.= 1.
(2)
Die Matrix
ist ein Beispiel fur eine 3-reihige, quadratische Matrix,
I Lineare Algebra Spezielle Matrizen Nullmatrix 0:
Matrix, deren Elemente samtlich verschwinden.
Spaltenmatrix: Matrix mit nur einer Spalte. Sie ist vom Typ (m, 1) und besitzt die Form
Hm,l)
Zeilenmatrix:
Matrix mit nur einer Zeile. Sie ist vom Typ (1, n) und in der Form
darstellbar. Anmerkungen (1) Eine Spaltenmatrix wird auch als Spaltenvektor, eine Zeilenmatrix auch als Zeilenvektor bezeichnet ^\ (2)
Die Zeilen einer Matrix werden daher auch als Zeilenvektoren, die Spalten einer Matrix auch als Spaltenvektor en bezeichnet. Eine (m, n)-Matrix enthalt genau m Zeilenvektoren und n Spaltenvektoren: /^ii
«i
«21
^22
^2k
^2n
«rl
^i2
^ik
^in
^m2
^mk
T
T
Zeilenvektoren
\^ml
t
^mn /
T
Spaltenvektoren Wir haben dabei (wie in der Matrizenrechnung allgemein iiblich) die Vektoren durch (kleine) lateinische Buchstaben in Fettdruck (aber ohne Pfeil) gekennzeichnet. Spaltenvektoren werden unten rechts, Zeilenvektoren oben rechts indiziert. Der Spaltenvektor a^ besitzt dann genau m Komponenten, ist also ein Vektor aus dem R'", wahrend der Zeilenvektor a^ genau n Komponenten besitzt und damit aus
^ Wir erweitern den in Band 1, Kapitel II eingefiihrten Vektorbegriff und bezeichnen fortan n reelle Zahlen in einer bestimmten Reihenfolge als einen n-dimensionalen Vektor.
1 Matrizen dem R" stammt (der Index „i" im Vektorsymbol a^ hat hier also nicht die Bedeutung eines Exponenten): nk ^2/c
at =
a' = (^il
^il'-'^h
Zeilenvektor
\^mk /
Spaltenvektor Die (m, n)-Matrix A laBt sich dann wie folgt durch Zeilen- bzw. Spaltenvektoren beschreiben: A = (a^ a2 ... a„)
[Zeile aus « Spaltenvektoren)
'ai {Spalte aus m Zeilenvektoren)
A=
Beispiele (1)0=
(2)
/O
0
0\
A=
ist eine Nullmatrix vom Typ (2, 3).
C =
B=
A, B und C sind Spaltenmatrizen, d.h. Spaltenvektoren mit den Dimensionen 4 bzw. 3 bzw. 2. (3)
(4)
A = (l 5 7), B = ( - 1 0 3 5 8 0) A und B sind Zeilenmatrizen, d.h. Zeilenvektoren mit den Dimensionen 3 bzw. 5. /l Die (2, 4)-Matrix A = lich V2 ,1 _
(14
0 2)
4
0
0
1
und
2\ I enthalt zwe/ Zeilenvektoren, nam5/ a2=(2
0
1 5)
und vier Spaltenvektoren, namlich ai
=
^3 = I , I
und
a4 :
I Lineare Algebra
1.3 Transponierte einer Matrix
Anmerkungen (1) Zwischen den Elementen afj^ einer Matrix A und den Elementen a^^ dtx transponierten Matrix A^ besteht der folgende Zusammenhang: T
{Vertauschen der beiden Indizes). (2)
1st A eine Matrix vom Typ (m, n), so ist ihre Transponierte A^ vom Typ (n, m).
(3)
Durch 2-maliges Transponieren erhalt man wieder die Ausgangsmatrix, d.h. es gilt stets (A''^)''^ = A.
(4)
Die Transponierte einer n-reihigen, quadratischen Matrix ist eine Matrix vom gleichen Typ.
(5)
Durch Transponieren geht ein Zeilemektor in einen Spaltenvektor iiber und umgekehrt.
Beispiele Wir transponieren die Matrizen
A=
4
2
,
B=
0-2
5
,
C=
und erhalten:
AT = ( ' .3
*
2
"1.
B-.|,-2
6 I,
C^ = „
2
„
Der Spaltenvektor C ist dabei in den Zeilemektor C' iibergefiihrt worden.
1 Matrizen
1.4 Spezielle quadratische Matrizen Quadratische Matrizen spielen in den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen eine besondere Rolle. Sie besitzen die folgende Gestalt: Nebendiagonale
Hauptdiagonale I a^ «21
Nebendiagonale
a 12
"1
^22
^2n
"\
Hauptdiagonale
Anmerkungen (1) Die Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix verlauft von links oben nach rechts unten. Sie verbindet die Diagonalelemente a^, i = 1, 2,..., n miteinander. Die Nebendiagonale verlauft von rechts oben nach links unten. (2)
Transponieren bedeutet bei einer quadratischen Matrix A: Spiegelung der Elemente von A an der Hauptdiagonalen.
Wir beschreiben nun einige spezielle quadratische Matrizen, die in den Anwendungen von besonderer Bedeutung sind. 1.4.1 Diagonalmatrix
Eine n-reihige Diagonalmatrix besitzt daher die Gestalt 2ii
0
0
...
0
^22 ...
0
(I0
0
I Lineare Algebra Beispiel /4 A= j 0 \0
0 0\ 5 0 J ist eine 3-reihige Diagonalmatrix mit den Diagonalelementen 0-3/
« i i = 4 , a22 = 5, ^33 = - 3 .
1.4.2 Einheitsmatrix Die Einheitsmatrix ist ein Sonderfall der Diagonalmatrix:
Die n-reihige Einheitsmatrix besitzt also die Gestalt
(1-9)
ist eine 3-reihige Einheitsmatrix.
1.4.3 Dreiecksmatrix Haufig treten Matrizen auf, deren Elemente ober- oder unterhalb der Hauptdiagonalen samtlich verschwinden. Sie flihren uns zum Begriff einer Dreiecksmatrix:
1 Matrizen Wir unterscheiden noch zwischen einer unteren und einer oberen Dreiecksmatrix:
ja^,
0 ...
^21
^22
\^nl
'^n2
0 \
Icn i
*12
... a In
0
a^i ^22
a 2n
. \
bzw. ^nnj
Untere Dreiecksmatrix
\ 0
(MO)
0 ..>a,J
Obere Dreiecksmatrix
Anmerkung Fiir die Elemente einer unteren bzw. oberen Dreiecksmatrix gilt demnach: Untere Dreiecksmatrix: a^y^ = 0 fiir i k
ist eine untere Dreiecksmatrix der Ordnung 3.
ist eine obere Dreiecksmatrix der Ordnung 4.
1.4.4 Symmetrische Matrix
Anmerkung Bei einer symmetrischen Matrix sind die Elemente spiegelsymmetrisch zur Hauptdiagonalen angeordnet. Daher gilt fiir eine symmetrische Matrix A stets A^ = A.
10
I Lineare Algebra Beispiel Die Elemente der 3-reihigen, quadratischen Matrix
liegen spiegelsymmetrisch zur Hauptdiagonalen. A ist daher eine symmetrische Matrix.
1.4.5 Schiefsymmetrische Matrix
Anmerkungen (1) Bei einer schiefsymmetrischen Matrix A verschwinden sdmtliche Diagonalelemente: a^^- = 0, i = 1, 2,..., n. Dies folgt unmittelbar aus der Definitionsgleichung (1-12) fur / = k\ ^ii = -^ii (2)
=^ 2aii = 0 =>fljf= 0
(1-13)
Beim Transponieren einer schiefsymmetrischen Matrix A andern samtliche Matrixelemente ihr Vorzeichen. Eine schiefsymmetrische Matrix erfiillt demnach die Bedingung A^ = — A. Beispiele (1)
Die 3-reihige, quadratische Matrix
ist schiefsymmetrisch: a^i = a22 = ^33 = ^ (alle Diagonalelemente verschwinden) «12 = - « 2 l = 4 , a i 3 = - ^ 3 1 = 3, a23 = - ^ 3 2 =
-5
1 Matrizen (2)
H
Die 3-reihige, quadratische Matrix 1
x "0^4
2
^ 2 - 3 \ 0
dagegen ist nicht schiefsymmetrisch. Begriindung: Nicht die Diagonalelemente verschwinden (es ist a^^ = 1 ^ 0)-
1.5 Gleichheit von Matrizen
Anmerkung Gleiche Matrizen stimmen in ihrem Typ und in samtlichen einander entsprechenden Elementen iiberein.
Beispiele 0
3/
\0
3/'
\0
7
Es ist a^i = b^i = 1, ai2 = ^12 = ^' ^21 = ^21 = ^' ^22 = ^22 — ^ ^^^ ^omit A = B. y4/?er: Die Matrizen A und C sind voneinander ver^c/z/^(ie«, da ^22 = ^' ^22 ^ ^ und somit CI22 1^ C22 i^^: A ^ C. Die gleiche Aussage gilt fiir die Matrizen B und C.
1.6 Rechenoperationen fiir Matrizen Wir erklaren in diesem Abschnitt die folgenden Rechenoperationen fiir Matrizen: — Addition und Subtraktion von Matrizen — Multiplikation einer Matrix mit einem (reellen) Skalar — Multiplikation von Matrizen (sie ist nur unter bestimmten Voraussetzungen moglich) Die Rechenregeln sind dabei weitgehend die gleichen wie bei Vektoren (abgesehen von der Matrizenmultiplikation).
12
I Lineare Algebra
1.6.1 Addition und Subtraktion von Matrizen Matrizen werden wie Vektoren elementweise addiert und subtrahiert.
Anmerkungen (1) Addition und Subtraktion sind nur fiir Matrizen gleichen Typs erklart. Summenmatrix C = A + B und Differenzmatrix D = A — B sind vom gleichen Typ wie A und B. (2)
Weitere iibliche Schreibweisen fiir die Summe bzw. Differenz zweier Matrizen sind:
D = [dik) = (atk) - {bik) = {atk - b./c) Rechengesetze Kommutativgesetz Assoziativgesetz
A+ B= B+ A
(1-18)
A + (B + C) = (A + B) + C
(1-19)
Beispiel . /I ^ = 4
5-3\ 0 8>
^ / 5 « n - l
1 4
3 7
Wir bilden die Summe C = A + B und die Differenz D = A — B und erhalten:
^
^ + ®
'(1 + 5) (5 + 1) ( - 3 + 3)\ \ ( 4 - l ) (0 + 4) (8 + 7 ) ;
D = A - B = | ( ^ - ^ ) ^'-'^ \(4 + l) ( 0 - 4 )
(-3-3)\ (8-7);
/6 V3
6 4
0' 15
/-4 4-6 V 5-4 1
1 Matrizen
13
1.6.2 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Die Multiplikation eines Vektors mit einem reellen Skalar erfolgt komponentenweise, die einer Matrix elementweise.
Anmerkungen (1)
Die Matrix k- X ist das Produkt aus der Matrix A und dem Skalar X.
(2)
Die Matrizen X
(3)
Der Multiplikationspunkt im Produkt X
(4)
Besitzen alle Elemente einer Matrix einen gemeinsamen Faktor, so kann dieser vor die Matrix gezogen werden.
A und A sind vom gleichen Typ (m, n). A wird meist weggelassen: i
A = i A.
Rechengesetze X und pi sind reelle Skalare, A und B Matrizen vom gleichen Typ: Assoziativgesetz
A (/i A) = (A /i) A
Distributivgesetze
(1-21)
(A + /i)A = AA + /iA* (1-22)
A(A + B) = /IA +AB Beispiele ^'^
'1 - 5 ^ = \4 1
3 0
Wir berechnen die Matrizen B = 4 A und C = — 3 A: B=4A=4
1 -5 . '4 1
3\ , 0/
/ 4 -20 , 116 4
1
0/
12' 0
\-12 -3
0
14
I Lineare Algebra
(2)
Die Elemente der Matrix A = I
J besitzen den gemeinsamen
Faktor 5. Wir ziehen ihn vor die Matrix: /5 1 0 - 2 0 \ \0-5 30/
Yl 2-4 lO-l 6
1.6.3 Multiplikation von Matrizen Wir fuhren den Begriff der Matrizenmultiplikation zunachst anhand eines einfachen Beispiels ein. Dazu betrachten wir die Matrizen
^ = (2 3) ""^ « = (t I 3)
^'-''^
Matrix A ist vom Typ (2, 2), Matrix B vom Typ (2, 3). Die Zeilenvektoren von A und Spaltenvektoren von B besitzen genau zwei Komponenten. Wir bilden nun Skalarprodukte aus jeweils einem Zeilenvektor von A und einem Spaltenvektor von B nach folgendem Schema: 1. Zeilenvektor -> / I 2. Zeilenvektor -^ \2
5\ /4 3/ \1
T
1 0
2 3/
11 ^C2i
^12 C22
<-i3 ^23
(1-24)
T T
1. 2. 3. Spaltenvektor Zunachst wird der 1. Zeilenvektor von A der Reihe nach mit jedem der drei Spaltenvektoren von B skalar multipliziert. Dann multiplizieren wir den 2. Zeilenvektor von A skalar der Reihe nach mit jedem der drei Spaltenvektoren von B. Wir erhalten insgesamt sechs Skalarprodukte: cii ={\. Zeilenvektor C12 = (1- Zeilenvektor Cj3 = (1. Zeilenvektor C21 = (2. Zeilenvektor C22 = (2. Zeilenvektor C23 = (2. Zeilenvektor
von von von von von von
A) A) A) A) A) A)
(1. Spaltenvektor (2. Spaltenvektor (3. Spaltenvektor (1. Spaltenvektor (2. Spaltenvektor (3. Spaltenvektor
von von von von von von
B) = B) = B) = B) = B) = B) =
1 4 + 5 1= 9 1 1+ 5 0= 1 1 2 + 5 3 = 17 2 4 + 3 1 = 11 2-1 + 3 - 0 = 2 2 - 2 + 3-3 = 13
Der erste Index im Skalarprodukt Cu^ kennzeichnet dabei den Zeilenvektor von A, der zweite Index den Spaltenvektor von B, die an der Skalarproduktbildung beteihgt sind. So ist z.B. C21 das skalare Produkt aus dem 2. Zeilenvektor von A und dem 1. Spaltenvektor von B. Die sechs Zahlen c^^, 0^2^ <^i3? <^2i' ^22? ^23 fassen wir nun zu einer M<3^nx C vom Typ (2, 3) zusammen: C= ("' \c2i
'" C22
' - ) = ( ' C23/ \n
! 2
") 13/
(1-25,
1 Matrizen
15
und bezeichnen C als Produkt der Matrizen A und B. Wir schreiben dafiir 1 2
5\ /4 3/ ll
1 0
2\_/ 9 3/~lll
1 2
17 13
(1-26)
oder kurz C= A B
(1-27)
Die Elemente eines Matrizenproduktes C — A B sind demnach Skalarprodukte aus einem Zeilenvektor von A und einem Spaltenvektor von B. Die Skalarproduktbildung ist jedoch nur moglich, wenn beide Vektoren gleichviele Komponenten besitzen, d.h. von gleicher Dimension sind. Dies aber bedeutet, daB die Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B ubereinstimmen muB. Vertauschen wir etwa in unserem Beispiel die Reihenfolge der beiden Faktoren A und B, so ist das „Produkt"
nicht erklart: Denn die Zeilenvektoren des linken Faktors B sind 3-dimensionale Vektoren, die Spaltenvektoren des rechten Faktors A dagegen 2-dimensionale Vektoren, eine Skalarproduktbildung ist daher nicht moglich. Nach diesen Vorbereitungen sind wir nun in der Lage, den Begriff eines Matrizenproduktes in allgemeiner Form zu definieren.
Anmerkungen (1) Die Produktbildung ist nur moglich, wenn die Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B Ubereinstimmt. (2)
Das Matrizenprodukt A B ist vom Typ (m, /?).
16 (3)
I Lineare Algebra Das Matrixelement c^^ des Matrizenproduktes A - B isi dsis Skalarprodukt"^^ 3.us dem i-ten Zeilenvektor von A und dem /c-ten Spaltenvektor von B: /c-ter Spaltenvektor
(4)
Im Matrizenprodukt A B wird A als linker und B als rechter Faktor bezeichnet.
(5)
Es ist i. a. A B ^ B A, d.h. die Matrizenmultiplikation ist eine nicht kommutative Rechenoperation.
(6)
Der Multiplikationspunkt im Matrizenprodukt A B wird meist weggelassen: A B = A B.
Zur praktischen Berechnung eines Matrizenproduktes Fiir die praktische Berechnung eines Matrizenproduktes C = A B ist das nachfolgende Schema nach Falk besonders geeignet. Dabei wird der linke Faktor A links unten und der rechte Faktor B rechts oben angeordnet. Das Matrixelement c^]^ des Matrizenproduktes C = A B befindet sich dann im Schnittpunkt der i-ten Zeile von A mit der /c-ten Spalte von B:
4)
Die Skalarproduktbildung zweier n-dimensionaler Vektoren erfolgt wie im 3-dimensionalen Raum: Entsprechende Komponenten werden multipliziert und die Produkte addiert.
1 Matrizen
17
Beispiel Wir berechnen das Produkt der Matrizen
A-l^
und B =
* J l
nach dem Falk-Schcmsi:
Es ist somit C= AB = (^
:
: |.| - 2
3
18
I Lineare Algebra
Wir fassen die Ergebnisse dieses Abschnitts zusammen:
Rechengesetze Assoziativgesetz
A (BC) = (AB) C
Distributivgesetze
(1-31)
A(B + C) = AB + AC (1-32)
(A + B)C = AC + BC (AB)^ = B'^ A ^
Weitere Gesetze
(1-33)
AE = EA = A
(1-34)
Anmerkung Die einzelnen Rechenoperationen miissen natiirlich durchfuhrbar sein. So ist beispielsweise das Produkt (A + B) C nur erklart, wenn die Matrizen A und B vom Typ (m, n) und die Matrix C vom Typ (n, p) ist. Beispiele (1)
Wir berechnen mit den beiden 3-reihigen Matrizen
A=
1 0 -3
4 -2 1 1 2 5
und
B:
die Matrizenprodukte A B und B A:
2 Determinanten
19
Es ist A B ^ B A. (2)
Wir bilden das Matrizenprodukt A B mit
2 Determinanten 2.1 Ein einfiihrendes Beispiel Bei der Losung naturwissenschaftlich-technischer Probleme stoBt man immer wieder auf lineare Gleichungssysteme. Es stellt sich dabei sofort die Frage nach der Losbarkeit eines solchen Systems: 1. Ist das vorliegende lineare Gleichungssystem iiberhaupt losbar? 2. Falls 7(3, wie lauten die Losungen des Systems? Bei der Beantwortung dieser Fragestellungen erweist sich eine gewisse mathematische GroBe, die die Bezeichnung „Determinante" erhalt, als ein auBerordentlich niitzliches Hilfsmittel. Zur Einfiihrung des Determinantenbegriffes betrachten wir ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten: (I)
ai 1 Xi + ^12^2 = ^1
(II)
a 2 i X i +a22-X2 =C2
(1-35)
2 Determinanten
19
Es ist A B ^ B A. (2)
Wir bilden das Matrizenprodukt A B mit
2 Determinanten 2.1 Ein einfiihrendes Beispiel Bei der Losung naturwissenschaftlich-technischer Probleme stoBt man immer wieder auf lineare Gleichungssysteme. Es stellt sich dabei sofort die Frage nach der Losbarkeit eines solchen Systems: 1. Ist das vorliegende lineare Gleichungssystem iiberhaupt losbar? 2. Falls 7(3, wie lauten die Losungen des Systems? Bei der Beantwortung dieser Fragestellungen erweist sich eine gewisse mathematische GroBe, die die Bezeichnung „Determinante" erhalt, als ein auBerordentlich niitzliches Hilfsmittel. Zur Einfiihrung des Determinantenbegriffes betrachten wir ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten: (I)
ai 1 Xi + ^12^2 = ^1
(II)
a 2 i X i +a22-X2 =C2
(1-35)
20
I Lineare Algebra
Es soil nun untersucht werden, unter welchen Voraussetzungen dieses Gleichungssystem eindeutig losbar ist, d.h. genau eine Losung besitzt. Dazu eliminieren wir zunachst die Unbekannte X2 wie folgt: Gleichung (I) wird mit a22^ Gleichung (II) mit — ^12 multipliziert, anschlieBend werden die Gleichungen addiert. Wir erhalten dann eine Bestimmungsgleichung fur die Unbekannte x^: (I)
a i i X i +a^2^2
= ^1 |-«22
(II)
a 2 i x i + ^ 2 2 ^2 = ^2 I ' ( - ^ 1 2 )
(I)
^ 1 1 ^ 2 2 ^ 1 + ^12^22-^2 = <^1^22
(II)
- ^ 1 2 ^ 2 1 ^ 1 - ^ 1 2 ^ 2 2 - ^ 2 = -<^2^12 ^11 ^ 2 2 ^ 1 " " ^ 1 2 ^ 2 1 ^ 1 — ^1^22 ~ ^ 2 ^ 1 2 («11 «22 - «12 « 2 l ) ^ l
= ^1 «22 - Cl «12
(1-36)
Analog gewinnen wir eine Bestimmungsgleichung fiir die Unbekannte X2, indem wir die GroBe x^ wie folgt aus dem ursprunglichen Gleichungssystem (1-35) eliminieren: Gleichung (I) wird mit — a 2 i , Gleichung (II) mit a^ multipliziert, anschlieBend werden die Gleichungen addiert. Dies fuhrt zu der folgenden Bestimmungsgleichung fiir X2: ( < ^ 1 1 ^ 2 2 - « 1 2 « 2 l ) ^ 2 = ^2^11 - ^ 1 ^ 2 1
(1-37)
Damit haben wir fur die unbekannten GroBen x^ und X2 jeweils eine Bestimmungsgleichung gewonnen: («ll«22-«12«2l)^l =^1«22-C2«12
,^ ._^
(«11^22 - « 1 2 « 2 l ) ^ 2 = C2«11 -<^1«21 Falls ^11^22 ~ ^12^21 7^ ^ ist, lassen sich diese Gleichungen nach x^ bzw. X2 auflosen und das lineare Gleichungssystem (1-35) besitzt die eindeutige Losung ^1^22~<^2^12 X-^ =
<^2^11~^1^21 ,
^11^22 ~ ^12^21
X2 —
n ic\\ \L-jy)
^11^22 ~ ^12^21
Die aus den vier Elementen der Koeffizientenmatrix ^ = «11^22 - ^ 1 2 ^ 2 1
A= I \^2i
) berechnete GroBe ^22/ (1-40)
wird allgemein als 2-reihige Determinante oder Determinante 2. Ordnung bezeichnet und durch das Symbol j ^ \ H i I ^21
""^^ U All a22 - a i 2 «2i ^22 I
(1-41)
2 Determinanten
21
gekennzeichnet^^. Unter Verwendung des Determinantenbegriffes konnen wir damit die folgende Bedingung fiir die eindeutige Losbarkeit eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten formulieren:
2.2 Zweireihige Determinanten Aus didaktischen Griinden beschaftigen wir uns zunachst mit den zweireihigen Determinaten und ihren Eigenschaften. 2.2.1 Definition einer zweireihigen Determinante Wir ordnen einer 2-reihigen, quadratischen Matrix nach der folgenden Rechenvorschrift einen Zahlenwert, Determinante genannt, zu:
Anmerkungen (1) Weitere symbolische Schreibweisen fiir die Determinante einer 2-reihigen Matrix A sind: A detA, |A|, |a,.fc| (2)
D heiBt auch 2-reihige Determinante oder Determinante 2. Ordnung.
(3)
Die Anordnung der Elemente in einer Matrix A und in der ihr zugeordneten Determinante det A erfolgt in gleicher Weise:
^21
^22
^11
^12
^21
^22
Die Determinante D wird in diesem Zusammenhang auch als Koeffizientendeterminate des linearen Gleichungssystems (1-35) bezeichnet.
22
I Lineare Algebra Man beachte aber die folgenden Unterschiede: 1. Die Elemente einer Matrix werden stets in runde Klammern gesetzt, die Elemente einer Determinante dagegen zwischen zwei senkrechte Striche. 2. Eine Matrix ist ein geordnetes Zahlenschema, eine Determinante reprasentiert dagegen einen Zahlenwert.
(4)
Determinanten konnen nur aus quadratischen Matrizen gebildet werden (hier: 2-reihige Matrizen).
Die durch Gleichung (1-42) definierte l-reihige Determinante kann dabei mit Hilfe der folgenden Kegel berechnet werden:
Beispiele Wir berechnen die Determinanten der folgenden 2-reihigen Matrizen: A=
3
5
2
4/'
B=
5 3 10 - 6 / '
C=
1 0
0 1
Es ist: detA =
3 -2
5 4
=:3-4-(-2)-5-22
detB =
5 3 = 5(-6)-(-10)-3 = 0 -10-6
detC =
1 0
0 = 1.1 - 0 - 0 = 1 1
2.2.2 Eigenschaften zweireihiger Determinanten In diesem Abschnitt werden wir uns mit den wesentlichen Eigenschaften der 2-reihigen Determinanten vertraut machen und sie zu Regeln zusammenfassen. Sie gelten im iibrigen sinngemdfi auch fiir die spater noch zu defmierenden Determinanten hoherer Ordnung.
23
2 Determinanten
Anmerkungen (1) Man bezeichnet diesen Vorgang auch als „Sturzen der Determinante". (2)
Die Vertauschung von Zeilen und Spalten kann auch durch eine Spiegelung der Elemente an der Hauptdiagonalen erreicht werden. Dabei geht die Matrix A in ihre Transponierte AJ iiber. Es gilt somit fur jede 2-reihige Matrix A: det A^ = det A
(3)
(1-44)
Aus Kegel 1 ziehen wir noch eine wichtige Folgerung: Alle fiir Zeilen bewiesenen Determinanteneigenschaften gelten sinngemdfi auch fiir Spalten. Es geniigt daher, alle weiteren Eigenschaften (Regeln) fiir Zeilenvektoren zu beweisen.
Beweis: Durch Sturzen der Determinante detA =
^11
^12
^21
^22
- ^11^22 -
^12^21
(1-45)
erhalten wir: det A* =
^11
^21
ni
"22
= « i i « 2 2 - ^ 1 2 ^ 2 1 = det A
Der Wert der Determinante hat sich dabei nicht geandert.
Beispiel detA =
det A'^ =
8 -3
5 = 8 - 2 - ( - 3 ) - 5 = 31 2
8 -3 5
2
= 8 - 2 - 5 - ( - 3 ) = 31
Somit gilt erwartungsgemaB: det
AT =
det A = 31
(1-46)
24
I Lineare Algebra
Beweis: «11
Wir vertauschen in der Determinante erhalten: ^21
^22
«11
«12
- ^12^21 ~ ^11^22
«12
die beiden Zeilen miteinander und
-
= -(«ll«22-«12«2l)=
-
«11
«12
^21
^22
(1-47)
Es tritt dabei - wie behauptet - ein Vorzeichenwechsel ein Beispiel detA
7 3 = 7-(-l)-3-4= 4 -1
-19
Wir vertauschen nun beide Spalten. Die Determinante andert dabei ihr Vorzeichen: 3 -1
7 = 3-4-7 4
) = 19 =
7 3 4 -1
Wir multiplizieren die Elemente der 1. Zeile der Determinante Skalar k und erhalten: /la 11
.ia 12
«21
«22
«11
^12
«21
^22
mit dem
= >1<^11«22 - ^ ^ 1 2 ^ 2 1 =
= >^(«11«22 - « 1 2 « 2 l ) = ^ '
«11
«12
^21
^22
(1-48)
Zum gleichen Ergebnis gelangen wir, wenn wir die Elemente der 2. Zeile mit X multiplizieren.
25
2 Determinanten Unmittelbar aus Kegel 3 folgen die Regeln 4 und 5:
Anmerkung Man beachte den folgenden Unterschied: Eine Matrix wird mit einem Skalar X multipliziert, indem jedes Matrixelement mit X multipliziert wird. Im Gegensatz dazu erfolgt die Multiplikation einer Determinante mit einem Skalar A, indem man die Elemente einer beliebigen Zeile (oder Spalte) mit X multipliziert. Beispiel In der Determinante
-24 -32
7 besitzen die Elemente der 1. Spalte den gemein1
samen Faktor — 8, den wir nach Kegel 5 vor die Determinante ziehen diirfen. Es ist somit: -24 32
7 1
(-8-3)
7
(-8-4)
1
= -8
3
7
4
1
= -8(3- 1 -4-7)
= - 8 - ( - 2 5 ) = 200
Anmerkungen (1) Zwei Zeilen (Spalten) sind gleich, wenn sie in ihren entsprechenden Elementen iibereinstimmen. (2)
Proportionalitdt zweier Zeilen (Spalten) bedeutet: Einander entsprechende Elemente stehen in einem festen Zahlenverhaltnis.
26
I Lineare Algebra
Beweis: Zu l.\ Wir nehmen an, daB samtliche Elemente der 1. Zeile Null sind: a^i=^ Dann aber ist - wie behauptet D=
«11
^12
0
0
<^21
<^22
^21
^22
a^2^^'
= 0-a22 - 0 - a 2 i = 0
(1-49)
Analog verlauft der Beweis, wenn die Elemente der 2. Zeile verschwinden. Zu 2.: DieDeterminantebesitzezweig/dc/zeZeilen: a2i = a^, a22 = ^i2- Dann aber gilt: D
«11
^12
«11
«12
^21
<^22
«11
«12
=
(1-50)
«11^12-^11«12==0
ZuJ.: Wir wollen annehmen, daB die 2. Z^//^ das /l-fache der 1. Zeile ist: a2i = ^22 = >^«i2- Dann folgt: D
"11 ^21
"12
Hi
^22
Afl^ j^
H2
= 1-
AG^2
«11
«12
«11
«12
Xun,
(1-51)
= >^0 = 0
0
(die Determinante enthalt zwei gleiche Zeilen und verschwindet somit nach Kegel 6, 2.).
Beispiele Die Determinanten der folgenden 2-reihigen Matrizen verschwinden: A=
1 0
5 0
B=
4
2
8
4
C =
4
3
4
3
D
1 0
0 0
Begriindung: det A = 0: Die Elemente der 2. Zeile sind Null. det B = 0: Die beiden Zeilen (bzw. Spalten) sind zueinander;7ro/?or^/o^a/(Faktor 2). det C == 0: Die beiden Zeilenvektoren stimmen Uberein. det D = 0: Die Elemente der 2. Zeile (bzw. 2. Spalte) sind Null.
27
2 Determinanten Beweis: Wir addieren zur L Zeile der Determinante erhalten dann: (ail + ^ « 2 i )
(«12 + ^^22)
^21
^22
^11
<^12
^21
^22
das yl-fache der 2. Z^/fe und
= (^11 + ^^21)^22 - («12 + ^^22)^21 = = ^11^22 + ^^^21^22 ~ ^12 ^^21 ~ '^'^21 ^22 ~ - a i l ^ 2 2 ~ ^12^21 -
ail
^12
^21
^^22
(1-52)
Das gleiche Ergebnis erhalten wir, wenn wir zur 2. Zeile das A-fache der 1. Zeile addieren. Damit ist Kegel 7 bewiesen. Beispiel Addieren wir zur 1. Zeile der Determinante
-6
1
5
41
das 6-fache der 2. Zeile, so
hat sich nach Kegel 7 der Wert der Determinante nicht geandert. Es ist somit: 6 1
5 4
( - 6 + 6) 1
(5 + 24) 4
0 1
29 = 0 4 - 1 29 = - 29 4
Wir bestatigen dieses Ergebnis, indem wir die Ausgangsdeterminante direkt berechnen: 6 1
5 = - 6 - 4 - 5 1 = -29 4
Auf den Beweis dieser Kegel verzichten wir. Anmerkung Mit Hilfe des Multiplikationstheorems (Kegel 8) laBt sich die Determinante eines Matrizenproduktes A B direkt aus den Determinanten der beiden Faktoren berechnen. Die oft miihsame Ausrechnung des Matrizenproduktes entfdllt somit!
28
I Lineare Algebra Beispiel B=
-3 4 1
Die Berechnung der Determinante des Matrizenproduktes A B geschieht am einfachsten nach dem Multiplikationstheorem (Kegel 8). Wir erhalten: det A =
detB =
1 4 = 1-(-2)-5-4= -22 5 -2 -2 - 3 = - 2 - 1 - 4 - ( - 3 ) = 10 4 1
und somit: det (A B) = (det A) (det B) = ( - 22)
10 = - 220
Zu Kontrollzwecken berechnen wir jetzt die Determinante det (A B) auf einem anderen Wege, miissen dabei allerdings einen Mehraufwand an Zeit und Arbeit in Kauf nehmen. Zunachst bilden wir nach dem Anordnungsschema von Falk das Matrizenprodukt A B und im AnschluB daran die Determinante det (A B). Das Ergebnis ist natiirlich das gleiche:
A B det (A B):
14 1 = 1 4 - ( - 1 7 ) - ( - 1 8 ) - l = -220 -18 -17
Anmerkungen (1) Die Diagonalmatrix ist ein Sonderfall der Dreiecksmatrix. Daher gilt fiir ihre Determinante ebenfalls D = a ^ a22-
29
2 Determinanten (2)
Einheitsmatrix E und Nullmatrix 0 wiederum sind Sonderfdlle der Diagonalmatrix. Fiir sie gilt daher: detE =
1 0
0 1
11 =1
(1-55)
detO =
0 0
0 = 00 =0 0
(1-56)
Beweis: Wir beweisen Regel 9 fiir eine obere Dreiecksmatrix: D=
^11
^12
0
^22
= aiia22-«i2-0=
(1-57)
aii«22
Beispiele (1)
Die Determinanten der Dreiecksmatrizen A = besitzen die folgenden Werte: det A =
detB =
(2)
A= (
det A =
5
-4
0
-3
7 -8
5
-4
0
-3
und B
7 -8
0 5
: = 5 - ( - 3 ) = - 15 0 5
= 7
5 = 35
/I 1 ^^^ ^^^^ Diagonalmatrix. Ihre Determinante besitzt den Wert 6 0 = ( - 6 ) ( - 4 ) = 24 0 -4
I Lineare Algebra
30
2.3 Dreireihige Determinanten 2.3.1 Definition einer dreireihigen Determinante Auf 3-reihige Determinanten stoBt man beispielsweise, wenn man ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten vom Typ
(1-58)
^21 ^1 + ^^22^2 + ^ 2 3 ^ 3 ~ ^2 <^31-^1 + ^32^2 + ^ 3 3 ^ 3 = ^3
auf seine Losbarkeit bin untersucht. Wir werden spater zeigen, daB ein solches System nur dann genau eine Losung besitzt, wenn der aus den Elementen der 3-reihigen Koeffizientenmatrix
(1-59)
A= gebildete Term ^ = ^ll<^22«33 + «12«23^31 + « 1 3 ^ 2 1 « 3 2 "
(1-60)
~ ^ 1 3 ^ 2 2 ^ 3 1 ~ ^11 ^23^32 ~ ^12^21 ^33
einen von Null verschiedenen Wert besitzt (vgl. hierzu auch Abschnitt 4). Die Zahl D heiBt Determinante von A. Sie wird in diesem Zusammenhang meist als Koeffizientendeterminante des Gleichungssystems (1-58) bezeichnet.
Anmerkung Die Determinante D heiBt auch S-reihige Determinante oder Determinante 3. Ordnung. Gebrauchliche Schreibweisen sind: D.
ail
«12
«13
«21
^22
«23
«31
«32
«33
detA,
|A|, lOifcl
31
2 Determinanten
Die Berechnung einer 3-reihigen Determinante erfolgt zweckmaBigerweise nach der folgenden, von Sarrus stammenden Regel:
Anmerkung Es sei ausdriicklich darauf hingewiesen, daB die Regel von Sarrus nur fiir 3-reihige Determinanten gilt. Beispiel Wir berechnen die Determinante der 3-reihigen Matrix A = der Regel von Sarrus:
nach
l \ - 2 x / 7 \ , A ^-2 0 Y 1' ^OC^ 3 5- _ r ^4-- ^ 5 - 1
det A = = 1
4 +
5 +
-
- 7 3 5 - 1 2 ( - 1) - ( - 2) 0 4 = 12 - 20 - 105 += 2- 111
32
I Lineare Algebra
In Abschnitt 2.2.2 batten wir bereits darauf hingewiesen, daB die fiir 2-reihige Determinanten hergeleiteten Rechenregeln sinngemdfi auch fur Determinanten hoherer Ordnung und somit auch fiir 3-reihige Determinanten giiltig bleiben.
Beispiele (1)
Es ist 4 2 10 5 -6 - 3
1 0 1
=0
Begrundung: Die Spalten 1 und 2 sind zueinander proportional (Faktor 2). Nach Regel 6, (3) aus Abschnitt 2.2.2 besitzt die Determinante daher den Wert Null (2)
Wir berechnen unter Verwendung des Multiplikationstheorems (Regel 8 aus Abschnitt 2.2.2) und der Regel von Sarrus die Determinante des Matrizenproduktes A B mit und
A=
0 2
B=
det (A B) = (det A) (det B) =
0 5 1 19
26
= 19-(-26)= -494 (3)
Nach Regel 9 aus Abschnitt 2.2.2 gilt (A ist eine obere Dreiecksmatrix): 2 detA =
1
6l = 2 4
3 = 24
33
2 Determinanten 2.3.2 Entwicklung einer dreireihigen Determinante nach Unterdeterminanten (Laplacescher Entwicklungssatz) Wir fiihren zunachst den Begriff einer ^Unterdeterminante" ein.
So geht beispielsweise die Unterdeterminante 0^2 aus D durch Streichen der /. Zeile und 2. Spalte hervor. Zu einer 3-reihigen Determinante gibt es insgesamt neun zweireihige Unterdeterminanten: ^ n , ^12? ^13^ ^ 2 1 ' ^22' ^ 2 3 ' ^ 3 1 ' ^32' ^33Die mit dem Vorzeichenfaktor (—1)^"^'^ versehene Unterdeterminante D^^ wird als algebraisches Komplement A^^ des Elementes a^]^ in der Determinante D bezeichnet. Es ist demnach Aik = {-^) i + k Dn
(1-63)
Die algebraischen Komplemente sind somit nichts anderes als die mit alternierenden Vorzeichen versehenen Unterdeterminanten. Das Vorzeichen kann dabei dem folgenden Schachbrettmuster entnommen werden:
Der Vorzeichenfaktor von A^^ steht im Schnittpunkt der /-ten Zeile mit der /c-ten Spalte (/,fc= 1, 2, 3). Beispiel: ^23 besitzt einen negat/ven Vorzeichenfaktor (graw unterlegt).
Beispiel
,
1 4 61 Gegeben ist die 3-reihige Determinante D = \ 5 —2 3 Wir berechnen die |o 1 7| Unterdeterminanten D^^, D23 und die zugehorigen algebraischen Komplemente ^11^23i f
D,,=
^
A^ T? T
T ~^ (|) 1
3 = 7
-2 1
3 = - 2 - 7 - 1 -3= -17 7
^ii=(-l)'^'-^ii=(-l)'(-17)=-17
I Lineare Algebra
34
= 1 1- 0 - 4 = 1
£>23 =
0
1
7
Wir sind nun in der Lage, eine 3-reihige Determinante durch 2-reihige Unterdeterminanten darzustellen. Dazu formen wir die Definitionsformel (1-61) der 3-reihigen Determinante wie folgt um: D = aiia22<^33 + ^12^23^31 + «13«21^32
"
~ ^ 1 3 ^ 2 2 ^ 3 1 ~ ^ 1 1 ^ 2 3 ^ 3 2 "" ^ 1 2 ^ 2 1 ^ 3 3 = = « 1 1 («22 ^ 3 3 - « 2 3 «32) " «12 (^21 « 3 3 " ^ 2 3 « 3 l ) + « 1 3 («21 ^^32 " «22 ^ 3 l )
D11
D12
D13 (1-64)
(die Elemente aii,ai2 und a^^ treten in jeweils zwei Summanden auf; durch Ausklammern erhalt man den angegebenen Ausdruck). Die drei Klammerausdriicke reprasentieren dabei die Unterdeterminanten ^11,^12 ^^^ ^13 von D\
D,,=
^12 =
oW
64,^^
o ^
^21
^22
^23
aki
^32
^33
a^
aii^
^^^^
^21
^22
^^23
«31
^32
^^33
^22
<^23
^^32
^33
^21
"23
^31
«33
«21
«22
«31
^32
- ^ 2 2 ^ 3 3 "" ^ 2 3 ^ 3 2
= ^91 21 a" 3 3
a^a a 23"31
-^21^^32 -
^22^31
(1-65)
044—«4-2—a\ ^13 =
«21 «31
«22 «32
«3
Damit laBt sich die Determinante D auch in der Form (1-66)
^ = ^11^11 - « 1 2 ^ 1 2 + ^13^13
oder auch - unter Verwendung der algebraischen Komplemente ^ 1 1 = ^ 1 1 , ^ 1 2 — ~ ^ 1 2 und ^13 = Di3 - in der Form ^ = ^11^11 +«12^12 + « 1 3 ^ 1 3 =
^ k= \
«lk^U
(1-67)
2 Determinanten
35
darstellen. Die einzelnen Summanden sind dabei die Produkte der Elemente der 1. Zeile mit demjeweils zugehorigen algebraischen Komplement. Die Darstellung (1-67) wird daher auch als Entwicklung der 3-reihigen Determinante nach den Elementen der 1. Zeile bezeichnet. Eine 3-reihige Determinante D laBt sich aber ebenso nach den Elementen der 2. oder 3. Zeile entwickeln. Die „Entwicklungsformer lautet dann beispielsweise fiir die 2. Zeile: 3
D = a 2 i ^ 2 1 +^^22^22 + <^23^23 =
^
^2k^2k
(1-68)
/c = l
Auch eine Entwicklung nach den Elementen der L, 2. oder 3. Spalte ist moghch. Bei Entwicklung nach der 1. Spalte erhalten wir z.B.: 3
^ = ^ 1 1 ^ 1 1 + ^ 2 1 ^ 2 1 + ^ 3 1 ^ 3 1 = YJ ^^l^^'l
(^"^^^
i = 1
Wir fassen diese wichtigen Aussagen in dem von Laplace stammenden „Entwicklungssatz" zusammen:
36
I Lineare Algebra
Anmerkungen (1) Der Wert einer 3-reihigen Determinante ist unabhdngig von der Zeile oder Spalte, nach der entwickelt wird. (2)
In der Praxis entwickelt man stets nach derjenigen Zeile oder Spalte, die die meisten Nullen enthalt, da diese Elemente keinen Beitrag zum Determinantenwert leisten.
(3)
Bei einer 3-reihigen Determinante bringt die Entwicklung nach Laplace in der Kegel keine nennenswerte Erleichterung. Meist ist es bequemer, die Determinante nach der Kegel von Sarrus zu berechnen. Beispiel 1 -5 D= 4 0 3 6
= 7
Wir wahlen die 2. Zeile als Entwicklungszeile, da in ihr ein Element verschwindet (a22 = 0) (aus dem gleichen Grund hatten wir uns auch fiir die 2. Spalte entscheiden konnen). Die Entwicklung lautet dann nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz: D = ^ 2 1 ^ 2 1 + ^22-^22 + ^ 2 3 ^ 2 3 = ^21 ^ 2 1 + ^ 2 3 ^ 2 3
0 Zunachst berechnen wir die benotigten Unterdeterminanten D21 und D23 und daraus die zugehorigen algebraischen Komplemente A21 und ^23-
^21 =
^23
1 -5 3 4 d 2 = 3 6-7
1 -5 3 4 0 2 = = 3 6-7
-5 3 = ( - 5 ) - ( - 7 ) - 6 - 3 = 17 6 -7
1 -5 = l - 6 - 3 - ( - 5 ) = 21 3 6
^2i=(-l)' + '-02i=(-l)-17=-17 ^23 = ( - l ) ^ ^ ' - ^ 2 3 = ( - l ) - 2 1 = - 2 1 Die Determinante besitzt damit den Wert D = a2iA2i+
023^23 = 4- ( - 17) + 2 (-21) = - 110
2 Determinanten
37
2.4 Determinanten hoherer Ordnung 2.4.1 Definition einer /i-reihigen Determinante Determinanten 2. und 3. Ordnung sind Zahlen, die den 2- bzw. 3-reihigen, quadratischen Matrizen aufgrund einer bestimmten Rechenvorschrift zugeordnet werden. Ihre Eigenschaften und Rechenregeln sind in den beiden vorangegangenen Abschnitten ausfuhrlich behandelt worden. In diesem Abschnitt soil der Determinantenbegriff verallgemeinert, d.h. auf n-reihige, quadratische Matrizen iibertragen werden. Nach einer bestimmten Rechenvorschrift, die wir im einzelnen noch festlegen miissen, werden wir einer n-reihigen Matrix A = (a^^) eine Zahl zuordnen, die als Determinante n-ter Ordnung oder n-reihige Determinante bezeichnet und durch das Symbol
D = det A =
^11
^12
^In
<^21
^22
^2n
(1-72)
gekennzeichnet wird. Die Festlegung der Zuordnungsvorschrift A h^ det A
(1-73)
muB dabei so erfolgen, daB die bekannten Eigenschaften und Rechenregeln der 2- und 3-reihigen Determinanten auch fiir n-reihige Determinanten unverdndert gultig bleiben. Mit anderen Worten: FUr Determinanten bestehen - unabhdngig von der Ordnung - einheitliche Rechenregeln. Anmerkung In Erganzung zu den 2- und 3-reihigen Determinanten wird der Wert einer 1-reihigen Determinante wie folgt festgelegt (A = {a) ist eine 1-reihige Matrix): A = {a) => det A = a
(1-74)
Der Wert einer 1-reihigen Determinante entspricht demnach dem Wert des einzigen Matrixelementes.
Beispiele A = (5)
=> detA = 5
B = ( - 3 ) =^ d e t B = - 3
I Lineare Algebra
38 Festlegung der Rechenvorschrift fiir w-reihige Determinanten
Eine 3-reihige Determinante kann bekanntlich aufgrund des Laplaceschen Entwicklungssatzes nach den Elementen einer beliebigen Zeile oder Spalte entwickelt werden, d.h. aus 2-reihigen Unterdeterminanten berechnet werden. Beispielsweise erhalten wir bei einer Entwicklung nach der 1. Zeile:
detA=
^
«lk^lk = « l l ^ l l + « 1 2 ^ 1 2 + «13^13
(1-75)
oder ail
«12
^13
^21
^22
^23
<^31
<^32
^33
= a 11
«22
^23
«32
^33
H2
«21
«23
«31
«33
+ a13
«21
«22
«31
«32
Auch eine 2-reihige Determinante laBt sich entwickeln, etwa nach den Elementen der 1. Zeile. Die Entwicklungsformel lautet dann ganz analog:
detA=
^
«ik^u =
(1-76)
«ii^ii+^12^12
k=l
Dabeisind ^ n und ^12 die mit einem Vorzeichen nach Sc/zac/iZ?r^ttmMsferversehenen 1-reihigen Unter determinant en von det A, die man aus det A durch Streichen der 1. Zeile und der 1. bzw. 2. Spalte erhalt^^: ^ i i = ( - l ) ^a
+i
Q^—a^^
^21
<^22
0^^
%2
^21
^22
=
(-l)^'|«22|=«22
(1-77) ^12=(-1)'^'
= (-l)^-|«2l| =
-^21
Die Entwicklung der 2-reihigen Determinante nach den Elementen der 1. Zeile fiihrt zu der bekannten Definitionsformel (1-42): ni
«12
^21
«22
= ^11
| - « 1 2 - |<^2l| = « 1 1 « 2 2 - ^ 1 2 ^ 2 1
Die Grofie .4ifc ist das algebraische Komplement von flifc in det A,
(1-78)
39
2 Determinanten
Wir halten fest: Durch Entwicklung nach den Elementen einer Zeile oder Spalte laBt sich die Ordnung einer Determinante reduzieren, Eine 3-reihige Determinante wird dabei auf 2-reihige Determinanten, eine 2-reihige Determinante auf 1-reihige Determinanten zuriickgefuhrt. Es liegt daher nahe, den Wert einer Determinante hoherer Ordnung {n ^ 4) durch eine Art Entwicklungsvorschrift nach dem Muster der 2- und 3-reihigen Determinanten festzulegen. Eine 4-reihige Determinante wiirde demnach durch die Rechenvorschrift ^Entwicklung nach den Elementen der 1. Zeile" wie folgt 2iuf 3-reihige Determinanten zuruckgefiihrt:
D=
^11
«12
«13
ai4
^21
^22
^23
«31
^32
«33
^24 (234
^41
^42
^43
^44
= a i i ^ l l + a i 2 ^ 1 2 + '^13^13 + « 1 4 ^ 1 4 =
(1-79)
YJ ^ I ' ^ ^ l ^ /c=l
^i;^ ist dabei die mit dem Vorzeichenfaktor (—1)^'^'^ versehene 3-reihige Unterdeterminante D^^, die man aus D durch Streichen der 1. Zeile und /c-ten Spalte erhah {k = 1,2,3,4). Beispiel Wir berechnen die folgende 4-reihige Determinante nach der Definitionsvorschrift „Entwicklung der Determinante nach den Elementen der 1. Zeile" und erhalten^^: 1 0 1 1
2 -- 3 4 5 1 0 3 4
4 1 = 1 2 0
4 1 3
5 0 4
+ (-3)-
1 2 -20 0 1 -1
4 1 3
0 1 -1 1 2 -401
5 0 4
1 2 + 0 0 1 -1
4 1 3
5 0 4
= 1 2 - 2 ( - 6) + ( - 3) ( - 4) - 4 4 = 10 Die Berechnung der 3-reihigen Unterdeterminanten erfolgte dabei nach der Kegel von Sarrus (nachrechnen!).
7) Wir werden spater sehen, daB auch n-reihige Determinanten nach einer beliebigen Zeile oder Spalte
entwickelt werden konnen. In der Praxis wird man daher stets nach derjenigen Zeile oder Spalte entwickeln, die die meisten Nullen enthalt. An dieser Stelle jedoch miissen wir noch auf die Definitionsvorschrift („Entwicklung nach den Elementen der 1. Zeile") zuruckgreifen.
40
I Lineare Algebra
Allgemein legen wir fiir eine Determinante n-ter Ordnung die folgende ,,Entwicklungsvorschrift" fest:
Anmerkungen (1) Durch die „Entwicklungsvorschrift" (1-80) wird einer n-reihigen quadratischen Matrix A = (au^) ein Zahlenwert det A, die Determinante von A, zugeordnet. (2)
Durch wiederholte (rekursive) Anwendung der allgemeinen Entwicklungsformel (1-80) laBt sich eine n-reihige Determinante auf 3-reihige Determinanten zuriickfuhren, deren Berechnung nach der Kegel von Sarrus erfolgen kann. Allerdings wachst die Anzahl der zu berechnenden 3-reihigen Determinanten mit zunehmender Ordnung rasch ins uferlose und fiihrt damit zu einem meist nicht mehr vertretbaren Rechenaufwand. In Abschnitt 2.4.4 werden wir uns mit diesem Problem naher auseinandersetzen.
Beispiel Wir berechnen den Wert der 4-reihigen Determinante
det A
1 0 - 5 10 0 1 2 5 3 0 - 6 3 1 4 3 2
2 Determinanten
41
nach der „Entwicklungsvorschrift" (1-80) und erhalten:
det A = 1
1 2 0 -6 4 3
0 5 3 + (-5)- 3 1 2
123
1 0 4 57
5 3 -102
0 3 1
1 2 0-6 — 4 3 9
= 1 123 - 5 57 - 1 0 - 9 = - 2 5 2 2.4.2 Laplacescher Entwicklungssatz Die Berechnung einer n-reihigen Determinante erfolgt definitionsgemaB durch „Entwicklung der Determinante nach den Elementen der 1. Zeile". Von den 2- und 3-reihigen Determinanten her ist bekannt, daB die Entwicklung aber auch nach einer beliebigen anderen Zeile oder Spalte vorgenommen werden kann, ohne daB sich dabei der Wert der Determinante andert. Dieser von Laplace stammende Entwicklungssatz bleibt auch fiir n-reihige Determinanten unverandert gultig. Er lautet^^:
8)
Auf den Beweis des Entwicklungssatzes miissen wir im Rahmen dieser Darstellung verzichten (Literaturhinweis: Fetzer/Frankel: Mathematik, Bd. 1).
I Lineare Algebra
42
Anmerkungen (1) Der Wert einer n-reihigen Determinante ist unabhdngig von der Entwicklungszeile Oder Entwicklungsspalte. (2)
Grundsdtzlich gilt: Es wird nach derjenigen Zeile oder Spalte entwickelt, die die meisten Nullen enthalt (geringster Arbeitsaufwand!).
(3)
Der Vorzeichenfaktor im algebraischen Komplement Au^ kann wiederum nach der Schachbrettregel bestimmt werden.
Beispiele
(1)
det A =
1 0 1 - 1
2 12 0 2
3 5 0 1 1 2 2 1
= 9
Wir entwickeln die Determinante zweckmaBigerweise nach der 2. Zeile, da ^21 = ^23 = ^ ist, und erhalten: det A = a 2 i ^21+^^22 ^ 2 2 + ^23 ^ 2 3 + '^24^24 = ^ 2 2 ^ 2 2 + ^24 ^ 2 4 = 0
0
1 -3 1 -1 1 2
= 12-
5 2 +1 1
1 2 -3 1 0 -1 - 1 2 2
= 12-9 + 1 - ( - 6 ) = 102 (2)
Durch Entwicklung nach den Elementen der 4. Spalte erhalten wir: 1 5 5 2 1-2 0 1 1 1 2 4
detA =
0 3 0 0
— ^^14^14 4- CI24.A24 + ^ 3 4 ^ 3 4 + a^^A^^ 0
3
1 = 3' 0
1
5 1 2
0
5 1 -3-2 = 6 4
0
—
2 Determinanten
43
2.4.3 Rechenregeln fiir Ai-reihige Determinanten Die in Abschnitt 2.2.2 hergeleiteten Rechenregeln fiir 2-reihige Determinanten gelten sinngemaB auch fiir Determinanten hoherer Ordnung (n-ter Ordnung). Wir stellen diese Regeln in allgemeiner Form wie folgt zusammen:
44
I Lineare Algebra
Anmerkungen (1) Zu Kegel 1: Vertauschung von Zeilen und Spalten bedeutet eine Spiegelung der Matrixelemente an der Hauptdiagonalen (auch „Sturzen" der Determinante genannt). Dabei geht die Matrix A in die Transponierte A^ iiber. Kegel 1 besagt damit: det A = det A"^
(1-85)
(2)
Zu Kegel 4: Wir weisen ausdriicklich auf den folgenden Unterschied zwischen Determinanten und Matrizen beziiglich der Multiplikation mit einem Skalar hin: Die Multiplikation einer Matrix A mit einem Skalar A erfolgt, indem man jedes Matrixelement mit A multipliziert. Dagegen wird eine Determinante mit einem Skalar 1 multipliziert, indem man alle Elemente einer Zeile (oder Spalte) mit /I multipliziert.
(3)
Zu Kegel 6: Zwei Zeilen (oder Spalten) sind gleich, wenn sie elementweise iibereinstimmen. Proportionalitdt zweier Zeilen (oder Spalten) bedeutet, daB einander entsprechende Elemente in einem festen Zahlenverhaltnis stehen. Eine Linearkombination aus Zeilen- bzw. Spaltenvektoren entsteht, wenn man diese Vektoren mit Konstanten multipliziert und anschliefiend aufaddiert,
(4)
Zu Kegel 8: Mit Hilfe des Multiplikationstheorems laBt sich die Determinante eines Matrizenproduktes A B direkt aus den Determinanten der beiden Faktoren A und B berechnen. Die oft miihsame Ausrechnung des Matrizenproduktes A B entfallt dabei.
(5)
Wir folgern aus Kegel 9: 1. Fiir eine Diagonalmatrix A gilt ebenfalls D = det A = a^i a22 2. det E = 1
n
(1-86) (1-87)
3. det 0 = 0
(1-88)
Beispiele (1)
Die Determinanten der folgenden quadratischen Matrizen besitzen den Wert Null:
f^
1 -3 0 0 5 3
B
f"^1
0 3 1
D =
^=1{'u c=l
^5
4 1 5
45
2 Determinanten
Begrundung: det A = 0: Alle Elemente der 2. Zeile sind Null (Kegel 6, (1)). det B = 0 : Zeile 1 und Zeile 2 sind zueinander proportional (Kegel 6, (3)). det C = 0: Spalte 1 und Spalte 3 sind gleich (Kegel 6, (2)). det D = 0: Spalte 3 ist eine Linearkombination der Spalten 1 und 2 (Kegel 6, (4)). Es gilt:
a. =
0
= 2ai + 3a2 =
(2)
Wir berechnen mit Hilfe des MultipUkationstheorems (Kegel 8) die Determinante des Matrizenproduktes A B fiir
und
A=
B
0 7 2
2 1 3
3NV
4 ly/
und erhalten: 1 4 -2 det (A B) = (det A) (det B) = 0 3 1 2 1 -5
1 7 ^21 1 -2
21
3 39
= 21 39 = 819 (3)
Nach Kegel 9 ist
det A =
0 1 12 0
= 4-1 -12-(-3) =
(A ist eine obere Dreiecksmatrix).
144
3 4 1
46
I Lineare Algebra
2.4.4 Regeln zur praktischen Berechnung einer /i-reihigen Determinante Eine n-reihige Determinante laBt sich durch wiederholte Anwendung des Laplaceschen Entwicklungssatzes ?iuf 3-reihige Determinanten zuriickfuhren, deren Wert nach der Kegel von Sarrus bestimmt werden kann. Dabei ist allerdings zu beachten, daB die Anzahl der zu berechnenden 3-reihigen Determinanten mit zunehmender Ordnung n der Determinanten rasch ansteigt. Wir geben hierzu zwei einfache Beispiele: Beispiele (1)
Entwickelt man eine 5-reihige Determinante nach Laplace, so erhalt man zunachst funf 4-reihige Unterdeterminanten und aus jeder dieser 4-reihigen Determinanten durch abermahge Entwicklung vier 3-reihige Unterdeterminanten. Insgesamt waren somit 5 4 = 20 3-reihige Determinanten nach der Kegel von Sarrus zu berechnen! Schematisch laBt sich diese Keduzierung einer 5-reihigen Determinante auf 3-reihige Determinanten wie folgt darstellen:
Insgesamt 20 dreireihige Determinanten
(2)
Entwickelt man eine 6-reihige Determinante nach dem gleichen Schema, so erhalt man nach drei Entwicklungsschritten bereits 120 3-reihige Determinanten!
Diese Beispiele zeigen, daB die Berechnung einer Determinante hoherer Ordnung (zunachst) nur unter erheblichem und meist nicht mehr vertretbarem Kechenaufwand durchfiihrbar ist. Die Rechnung vereinfacht sich jedoch enorm, wenn in einer Zeile (oder Spalte) der Determinante mehrere Nullen stehen und die Determinante nach dieser Zeile (bzw. Spalte) entwickelt wird. Enthalt eine Zeile (oder Spalte) nur Nullen, so besitzt die Determinante nach Kegel 6, (1) den Wert Null Ansonsten tritt der gunstigste Fall dann ein, wenn die Elemente einer Zeile (oder Spalte) bis auf ein Element verschwinden. Dann fuhrt die Entwicklung der Determinante nach dieser Zeile (bzw. Spalte) zu einer einzigen {n — l)-reihigen Unterdeterminante (anstatt von n Unterdeterminanten).
2 Determinanten
47
In der Praxis laBt sich dies stets erreichen, indem man die Determinante mit Hilfe bestimmter Regeln zunachst so umformt, daB in einer Zeile (oder Spalte) nur noch ein einziges von Null verschiedenes Element steht. Umformungen dieser Art, die den Wert der Determinante nicht verandern, heiBen elementare Umformungen. Zu ihnen zahlen wir:
Die aufgefiihrten elementaren Umformungen versetzen uns in die Lage, eine Determinante hoherer Ordnung (n-ter Ordnung) mit einem vertretbaren Rechenaufwand wie folgt zu berechnen:
Anmerkung Will man in einer Zeile Nullen erzeugen, so sind Spalten zu addieren und umgekehrt.
I Lineare Algebra
48 Beispiele (1)
Wir berechnen die 4-reihige Determinante 2 2 0 4 1 -3 D= 0 -1 2 1 -1 0
0 2 1 0
wie folgt: 1. Zunachst wird zur 1. Zeile das Doppelte der 4. Zeile addiert. Der Wert der Determinante bleibt dabei unverandert: 4 0 0 0 4 1 - 3 2 D= 0 - 1 2 1 1 - 1 0 0 2. In der 1. Zeile ist nur noch das 1. Element von Null verschieden. Wir entwickeln die Determinante daher nach dieser Zeile:
D=4
1 -3 1 2 1 0
2 1 0
3. Die verbliebene 3-reihige Determinante wird nach der Kegel von Sarrus berechnet. Wir erhalten als Ergebnis: D = 4 7 = 28 (2)
Die Berechnung der 5-reihigen Determinante
D=
1 1 0 2 1 0 1 2 0 -2
0 -2 1 -1 0 -3 0 0 1 2
0 4 1 3 2
geschieht folgendermafien: 1. Zur 4. Spalte addieren wir das Doppelte der 2. Spalte:
D=
1 1 0 2 1 0 1 2 0 -2
0 0 1 3 0 -3 0 4 1 -2
0 4 1 3 2
49
2 Determinanten 2. Zur 2. Spalte wird nun die 1. Spalte addiert:
D=
1 0 0 2 1 1 1 3 0 -2
0 0 1 3 0 -3 0 4 1 -2
0 4 1 3 2
3. Die Determinante besitzt nun die gewiinschte Gestalt: In der 1. Zeile sind alle Elemente bis auf das 1. Element Null. Wir entwickeln die Determinante daher nach dieser Zeile:
D=
-1
2 1 3 4 1 0 - 3 1 3 0 4 3 -2 1-2 2
2 1 3 4 1 0 - 3 1 3 0 4 3 -2 1-2 2
4. Von der 4. Zeile subtrahieren wir nun die 1. Zeile:
D=
2 1 3 4
1 3 4 0 -3 1 0 4 3 0 -5 -2
5. In der 2. Spalte ist nur das 1. Element von Null verschieden. Wir entwickeln die Determinante daher nach dieser Spalte und erhalten eine einzige 3-reihige Determinante, deren Wert wir nach der Kegel von Sarrus bestimmen. Das Ergebnis lautet schlieBlich:
D
=-{-!) 1 + 2
1 -3 1 3 4 3 = 4 - 5 -- 2
1 -3 1 3 4 3 = 26 -4 -5 -2 26
I Lineare Algebra
50
3 Erganzungen Aufgrund des Determinantenbegriffes sind wir nun in der Lage, die folgenden wichtigen Begriffe aus der Matrizenrechnung einzufiihren: — — — —
Reguldre Matrix bzw. singuldre Matrix Inverse Matrix Orthogonale Matrix Rang einer Matrix
Sie spielen bei der Untersuchung des Losungsverhaltens eines linearen Gleichungssystems eine bedeutende Rolle.
3.1 Regulare Matrix
Anmerkungen (1) A ist regular, wenn det A 7^ 0 ist, und singular, wenn det A = 0 ist. (2)
Man beachte: Die Begriffe „Reguldre Matrix" und „Singuldre Matrix'' sind nur fiir quadratische Matrizen definiert.
Beispiele (1)
/ 1 0 2x Die 3-reihige Matrix A = I — 1 4 1 j ist regular, da ihre Deter\-2 1 2/ minante einen von Null verschiedenen Wert besitzt: det A =
(2)
1 1 2
0 4 1
2 1 = 21 # 0 2
Die 2-reihige Matrix A = (
detA = singular.
-4 2 6 -3
-4
2'
) dagegen ist wegen
3 Erganzungen
51
3.2 Inverse Matrix AusderGleichungslehreistbekannt,daBdielineareGleichung ax = 1 fiir a ^0 genau eine Losung x = 1/a = a~^ besitzt. Diese Zahl heiBt der Kehrwert von a oder die zu a inverse Zahl. In der Matrizenrechnung entspricht der linearen Gleichung ax = 1 die Matrizengleichung A X = E. Dabei ist A eine vorgegebene n-reihige Matrix, E die w-reihige Einheitsmatrix und X eine ebenfalls n-reihige, aber noch unbekannte Matrix. Die Losung dieser Gleichung - falls eine solche iiberhaupt existiert - fiihrt uns dann zum Begriff einer inversen Matrix.
Anmerkungen (1)
Eine quadratische Matrix besitzt - wenn iiberhaupt - genau eine Inverse.
(2)
Besitzt eine Matrix A eine inverse Matrix A~ ^, so heiBt A invertierbar (umkehrbar). Die Matrix A ~ ^ wird auch als Kehrmatrix, Umkehrmatrix oder Inverse von A bezeichnet. Sie ist wie A n-reihig.
(3)
Es ist A A~ ^ = A~ ^ A = E, d.h. A und A~ ^ sind kommutativ.
Es laBt sich nun zeigen, daB nicht jede quadratische Matrix umkehrbar ist. Vielmehr existiert die Inverse A~^ einer Matrix A nur dann, wenn A regular, d.h. det A ^ 0 ist. Diese Bedingung ist notwendig und hinreichend. Eine reguldre Matrix ist somit stets umkehrbar und sie besitzt genau eine Inverse. Singuldre Matrizen dagegen sind nicht invertierbar.
52
I Lineare Algebra
Die Matrixelemente der Inversen A ~ ^ konnen dabei wie folgt aus den algebraischen Komplementen Au^ und der Determinante det A berechnet werden:
Auf den Beweis verzichten wir.
Anmerkungen (1) Man beachte die Reihenfolge der Indizes. In der /-ten Zeile und /c-ten Spalte von A"^ befindet sich das algebraische Komplement Aj^i und nicht etwa A^^ {Vertauschung der beiden Indizesl). (2)
Damit eine Matrix A invertierbar ist, muB sie folgende Eigenschaften besitzen: 1. A ist eine quadratische Matrix; 2. det A 7^ 0, d.h. A ist eine regulare Matrix.
(3)
Haufig fiihrt man die zu A adjungierte Matrix 'ylii
^ 1 9 . . . A.„\'^ In \ "
//A.. ^ll ^12
Aadj = (Aik)
^ 92 11 . . . ^ ^22
A„n l ^
' ^n2
(1-91)
-^ ' .^nl
^«2
^nn
nn ,
A^„
A2„ ... A
ein. Die inverse Matrix A^^ berechnet sich dann aus A^dj wie folgt:
^"^=diA-^-^ (4)
^'-''^
Die Berechnung der inversen Matrix mit Hilfe von Determinanten erfordert in der Praxis einen hohen Rechenaufwand. Wir werden in Abschnitt 4.5 ein praktikableres Verfahren kennenlernen, das auf einer Anwendung des Gaufischen Algorithmus beruht.
3 Erganzungen
53
Beispiel / 1 0 - 1 \ Die 3-reihige Matrix A = I — 8 4 1 j ist wegen det A = — 1 7^ 0 regular \-2 1 0/ und daher invertierbar (umkehrbar). Wir berechnen zunachst die benotigten Unterdeterminanten D^^ und daraus die zugehorigen algebraischen Komplemente A^^ unter Verwendung der Schachbrettregel: ^11 =
4 1
Do, ^21 =
1 = - 1 , 0
^12 =
-8 -2
0 -- 1 = 1, 1 0
^22 =
1 -1 = - 2 , ^23 -2 0
0 -- 1 1
^32 =
1 -1 = -7, -8 1
i»31 = 4
4,
1 = 2, 0
^13 =
=
^33 =
-8 -2
4 = 0, l|
1 -2
0 = 1, l|
1- 8 ^04
^11 = + ^ 1 1 =
1,
^12 = - ^ 1 2 = - 2 ,
^i3=+Di3=0,
A21 = - i ) 2 1 =
1,
^ 2 2 = + £'22 = - 2,
^ 2 3 = - -023 =
^31 = +£'31 = 4 ,
^ 3 2 = - D 3 2 = 7,
'33 =
= 4
-
+^33=4
Die zu A inverse Matrix A~^ lautet somit: '^11 A-i =
^21
detA
Zur Probe berechnen wir die Matrizenprodukte A A ^ und A ^ A und erhalten erwartungsgemaB jeweils die Einheitsmatrix E:
54
I Lineare Algebra
3.3 Orthogonale Matrix Im Zusammenhang mit Koordinatentransformationen treten haufig Matrizen auf, deren Spalten- bzw. Zeilenvektoren orthogonale Einheitsvektoren darstellen. Wir definieren eine solche Matrix wie folgt:
Wir wollen uns jetzt mit den Eigenschaften einer orthogonalen Matrix naher befassen. Bei der Matrizenmultiplikation A A^ wird der f-te Zeilenvektor von A skalar mit dem /c-ten Spaltenvektor von A^ multipliziert: ^
( U = l,2,..,,n)
(1-94)
7 = 1
Unter Beriicksichtigung von ajj^ = aj^j lafit sich dieses Skalarprodukt auch wie folgt schreiben: n
YJ ^ij^Jk= 7=1
n
YJ ^'j^^j
^^"^^^
7=1
Dies aber ist genau das Skalarprodukt aus dem i-ten und dem k-ten Zeilenvektor von A. Da die Matrizenmultiplikation auf die Einheitsmatrix E fiihrt, muB man im Falle gleicher Zeilenvektoren (i = k) den Wert 1 und im Falle verschiedener Zeilenvektoren (i 7^ k) den Wert 0 erhalten. Somit gilt: 1 X ""ij^^kj
i=k fiir
0
(1-96) i^k
{i, /c = 1, 2,..., n). Diese Beziehung aber bedeutet, daB die Zeilenvektoren einer orthogonalen Matrix A normiert sind, also Einheitsvektoren darstellen und zueinander orthogonal sind. Ein Vektorsystem mit diesen Eigenschaften wird als orthonormiert bezeichnet. Die Zeilenvektoren einer orthogonalen Matrix sind also orthonormiert ^\ Die gleiche Aussage gilt auch fiir die Spaltenvektor en einer orthogonalen Matrix.
9) Aus dieser Eigenschaft erklart sich auch die Bezeichnung „orthogonale'' Matrix.
3 Erganzungen
55
Eine weitere wichtige Eigenschaft einer orthogonalen Matrix A ist ihre Regularitdt.Fm ihre Determinante erhalten wir unter Verwendung der Regeln 1 und 8 fiir Determinanten zunachst die folgende Beziehung: det (A A^) = (det A) (det A^) = (det A)^ = det E = 1
(1-97)
detA Daraus folgt dann det A = 1 oder det A = — 1. Somit ist det A 7^ 0 und A regular. Eine orthogonale Matrix A ist also stets regular und besitzt daher eine (eindeutig bestimmte) inverse Matrix A~^. Zwischen diesen Matrizen besteht dann bekanntlich die Beziehung A-A"i = A " i
A= E
(1-98)
Wir multiplizieren jetzt die Matrizengleichung A A^ = E von links mit der Inversen A~^: A-1-(A-AT) = A - 1 - E
(1-99)
Fiir die beiden Seiten erhalten wir dann: A " 1 (A A^) = (A" 1 A) A^ = E A^ = A^ E A " 1 E - A " 1
(MOO)
Somit ist A'^ = A - i
(HOI)
d.h. eine orthogonale Matrix geht beim Transponieren in die inverse Matrix liber, Aus Gleichung (1-98) folgt dann fiir A~^ = A^ die Vertauschbarkeit von A und A^: A A'^ = A'^ A = E
(1-102)
56
I Lineare Algebra
Wir fassen die wichtigsten Eigenschaften einer orthogonalen Matrix wie folgt zusammen:
Anmerkungen (1) Die Einheitsmatrizen sind orthogonal. (2)
n-reihige Matrizen, deren Zeilen- bzw. Spaltenvektoren ein orthonormiertes System bilden, sind stets orthogonal. Diese Aussage gilt auch fur jede n-reihige Matrix A mit A''' = A ~ ^
(3)
Zwar gilt fiir eine orthogonale Matrix A stets det A = . Die Umkehrung jedoch gilt nicht, d.h. aus det A = + 1 diirfen wir nicht folgern, daB A orthogonal ist (vgl. hierzu das nachfolgende Beispiel (1)).
Beispiele (1)
/I Die 2-reihige Matrix A = I
det A =
1 1
2 1
= - 1
2\ . . ) ist wegen
7^0
zwar regular, sie ist jedoch nicht orthogonal:
-HI n HI 0Die Bedingung A A^ = E fiir eine orthogonale Matrix ist hier also nicht erfullt.
3 Erganzungen (2)
57
Bei einer Drehung des kartesischen x, y-Koordinatensystems um den Winkel (p um den Nullpunkt gelten fiir einen beliebigen Punkt P der Ebene die folgenden Transformationsgleichungen: cos cp - sin cp
sm cp \ I X cos (p J \y
Dabei sind x, y die Koordinaten im „alten" x, y-System und u, v die Koordinaten im „neuen" w, i?-System (Bild 1-2).
Bild 1-2 Drehung eines ebenen kartesischen x, yKoordinatensystems
Die Transformationsmatrix A ist orthogonal. Denn es gilt: cos (p - sin cp
A A^:
sm (p cos cp
cos cp sin cp
(cos-^ cp + sin^ (/?) (— sin (/) cos cp -\-smcp 1 ,0 (3)
0 1
—smcp cos cp
(— sin (/) cos (^ + sin (^ cos cp) cos (p) (sin^ (p + cos'^ cp)
E
Die Vektoren /ai
=
und
a3 =
1 \
0
konnen als Spaltenvektoren einer 3-reihigen Matrix A aufgefaBt werden. Ist diese Matrix orthogonall
I Lineare Algebra
58
Losung: Wir zeigen, daB die Vektoren a i , a 2 und a^ dn orthonormiertes Systembi\den. Zunachst einmal gilt:
|ail=^V(V2)2 + ( 7 2 ) 2 + 0 2 = ^ ^ 4 = 1 |a2l = V02 + 02 + l2 = i
fas I = ^ V'(^72)^W2?7o2 = ^ V4 = 1 Die Vektoren sind also normiert, d.h. Einheitsvektoren. Sie sind auch orthogonal, da die aus verschiedenen Vektoren gebildeten Skalarprodukte verschwinden:
\
V 2 = ^ ( 0 + 0 + 0) = 0
Die aus den drei Vektoren gebildete 3-reihige Matrix
II A=
2
0
2
0
0 ist daher orthogonal.
1
2^
/
3 Erganzungen
59
3.4 Rang einer Matrix Unterdeterminanten einer Matrix Zunachst wollen wir den fiir quadratische Matrizen erklarten Begriff einer Unterdeterminante auch diuf nichtquadratische (m, n)-Matrizen ausdehnen. Zur Einfiihrung betrachten wir dazu die Matrix A=
1
(1-105)
Sie enthalt zwei Zeilen und drei Spalten. Durch Streichen einer der drei Spalten lassen sich aus A insgesamt drei verschiedene 2-reihige Matrizen gewinnen, deren Determinanten wiederum als 2-reihige Unterdeterminanten von A bezeichnet werden^^l Es sind dies, wenn wir der Reihe nach die 1., 2. bzw. 3. Spalte in A streichen, die folgenden Determinanten: 1
-35,
= 6,
2 0
1 = 16 8
(1-106)
Wir konnen aus der Matrix A aber auch 1-reihige Unterdeterminanten bilden, indem wir jeweils eine Zeile und zwei Spalten in A streichen. Durch Streichen der 1. Zeile und der 1. und 2. Spake in A erhaken wir beispielsweise die 1-reihige Unterdeterminante |3| = 3
(1-107)
Insgesamt gibt es sechs verschiedene 1-reihige Unterdeterminanten: |3| = 3,
|8| = 8,
|0| = 0,
|-4|=-4,
| 1 | = 1,
|2| = 2
(1-108)
Wir definieren daher den Begriff einer Unterdeterminante p-ter Ordnung von A wie folgt:
Anmerkungen (1) Eine Unterdeterminante p-ter Ordnung wird auch als p-reihige Unterdeterminante bezeichnet. (2)
1st A eine n-reihige, quadratische Matrix, so sind n — p Zeilen und n — p Spalten zu streichen, um eine p-reihige Unterdeterminante von A zu erhalten.
10) Zu A selbst laBt sich keine Determinante bilden (fur m / n).
I Lineare Algebra
60 Beispiel
/4 1 0 - 1 \ A = j 2 — 1 5 3 J ist eine Matrix vom Typ (3, 4). Aus ihr lassen sich durch \1 5 0 6/ Streichen einer Spalte insgesamt vier 3-reihige Unterdeterminanten bilden. Durch Streichen der 4. Spalte in A erhalten wir beispielsweise die folgende 3-reihige Unterdeterminante: 4 1 2 -1 1 5
= -95
2-reihige Unterdeterminanten entstehen, wenn in A eine Zeile und zwei Spalten gestrichen werden. Insgesamt existieren 18 verschiedene 2-reihige Unterdeterminanten. So erhalt man beispielsweise durch Streichen der 1. Zeile und der 1. und 2. Spalte die 2-reihige Unterdeterminante = 30
Rang einer Matrix Den auBerst wichtigen Begriff des Ranges einer Matrix fiihren wir aufgrund der folgenden Uberlegungen ein: Yon einer vorgegebenen (m, n)-Matrix A bilden wir zunachst alle moglichen Unterdeterminanten, betrachten dann aber nur diejenigen unter ihnen, die einen von Null verschiedenen Wert besitzen. Unter ihnen gibt es dann mindestens eine Unterdeterminante von A, die im Vergleich zu alien iibrigen die hochste Ordnung besitzt. Die Ordnung r dieser Unterdeterminante von A heiBt dann der Rang r der Matrix A. Wir defmieren daher:
Anmerkungen (1) Der Rang r einer Matrix A ist somit wie folgt bestimmt: 1. Unter den r-reihigen Unterdeterminanten von A gibt QS mindestens eine won Null verschiedene Determinante; 2. Alle Unterdeterminanten von A mit hoherer Ordnung verschwinden.
3 Erganzungen (2)
Der Rang r ist hochstens gleich der kleineren der beiden Zahlen m und n: r^\
(3)
61
[ m In
fur
m^ n n<m
Fiir eine n-reihige, quadratische Matrix A ist stets r ^n. eine regulare bzw. singulare Matrix: Regulare Matrix A: ^ Singulare Matrix A:
(4)
det .4 7^ 0, d.h. r = n det y4 = 0, d.h. r < n
(I-llO)
Insbesondere gilt fiir
(I-lll)
Fiir die n-reihige Nullmatrix 0 wird festgesetzt: Rg(0) = 0.
Bei der Bestimmung des Ranges r einer (m, n)-Matrix stiitzen wir uns (zunachst) auf die Definition des Matrizenranges. Fur m < n ist r hochstens gleich m: r ^m. Dies fiihrt zu dem folgenden Rechenverfahren zur Rangbestimmung einer Matrix:
Anmerkungen (1) Ist A eine (m, n)-Matrix mit n ^m, so ist in dem beschriebenen Verfahren zur Rangbestimmung von A die Zahl m durch die Zahl n zu ersetzen. (2)
Die Rangbestimmung einer Matrix nach diesem Verfahren kann in der Praxis mit erheblichem Rechenaufwand verbunden sein. Bin geeigneteres Verfahren werden wir bald kennenlernen (Rangbestimmung einer Matrix mit Hilfe elementarer Matrixumformungen).
I Lineare Algebra
62 Beispiel Wir bestimmen den Rang r der Matrix
A=
1 1 2 -1 1 -2
1 1 0
0 3 3
vom Typ (3,4). Er kann hochstens gleich 3 sein: r ^ 3. Wir priifen zunachst, ob es (wenigstens) eine von Null verschiedene 3-reihige Unterdeterminante von A gibt. Dies ist nicht der Fall: 1 1 2
1 1 0
0 3 = 3
1 2 1
1 1 0
0 3 = 3
1 1 2 -1 1 -2
0 3 = 3
1 1 2 -1 1 -2
1 1 =0 0
Daher ist r < 3. Der Matrizenrang kann somit hochstens gleich 2 sein, d.h. r ^^ 2. Wir priifen jetzt, ob es (wenigstens) eine von Null verschiedene 2-reihige Unterdeterminante von A gibt. Eine solche Unterdeterminante existiert tatsachlich. Durch Streichen der 1. Zeile und der 1. und 2. Spalte in A erhalten wir die folgende nicht-verschwindende 2-reihige Unterdeterminante: = 3/0 Die Matrix A besitzt somit den Rang r = 2.
Ein weiteres, in der Praxis brauchbares Verfahren zur Rangbestimmung einer Matrix beruht auf der Moglichkeit, eine Matrix A mit Hilfe sog. elementarer Umformungen in eine ranggleiche Matrix B zu iiberfuhren. Die elementaren Umformungen sind uns dabei zum Teil bereits von den linear en Gleichungssystemen her bekannt (vgl. hierzu Band 1, Abschnitt 1.5.2).
63
3 Erganzungen
Man kann nun zeigen, daB sich eine (m, n)-Matrix A vom Rang r mit Hilfe der oben aufgefiihrten elementaren Umformungen stets in eine ranggleiche Matrix B vom gleichen Typ und von trapezformiger Gestalt iiberfiihren laBt^^^: /
^11
foX
bu
^1 , r + l
b. ,r
^22
b2r
b2 , r + l
h
0
0
B
^12
Kr K , i - + l \. ~o"~ ~b^. .. 0 "o 0 . .. 0 0
1'
0 . .. 0
\ «
b2n \
,r + 2
} r Zeilen
K ,r + l Kn "o ~.. 0
0
r Spalten
^1«\
+ 2
0
. .. 0
0
. ..o/
(1-112) (m — r) Zeilen („Nullzeilen")
{n — r) Spalten
Wir beschreiben nun die Eigenschaften dieser Matrix etwas genauer: 1. Die letzten m — r Zeilen enthalten nur Nullen („Nullzeilen") und brauchen daher nicht weiter berucksichtigt zu werden. Die verbleibende Restmatrix besitzt damit r Zeilen und n Spalten. 2. Alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen (sie verbindet die Elemente ^22' ' ^rr) ^ind Null
bn,
3. Die Hauptdiagonalelemente sind samtlich ungleich Null: /7../O
1 = 1, 2,...,r
fur
(1-113)
4. Der Rang der Matrix B ist r, da es eine von Null verschiedene r-reihige Unterdeterminante von B gibt, namlich ^11
^12
0
b22
0
0
'Ir ..
b2r
=
1b,,b 1^22
..b,,^0
(1-114)
aber sdmtliche Unterdeterminanten von hoherer Ordnung verschwinden (sie enthalten mindestens eine Nullzeile).
11) Die auBere Form der Matrix B {ohne Nullzeilen) erinnert an ein Trapez.
64
I Lineare Algebra
Die Rangbestimmung einer Matrix kann daher auch wie folgt geschehen:
Beispiel Wir bestimmen den Rang der (3, 4)-Matrix
A=
1 2 1
3-5 0 7-8 7 0 11 21
indem wir die Matrix A der Reihe nach den folgenden elementaren Umformungen unterwerfen (die jeweils durchgefiihrte Umformung wird an die betreffende Zeile geschrieben; Z: Zeile):
-3Z2
„Nullzeile" Die Matrix hat jetzt die gewiinschte Trapezform (1-115). Ihr Rang betragt somit Rg(A) = 2.
4 Lineare Gleichungssysteme
65
4 Lineare Gleichungssysteme 4.1 AUgemeine Vorbetrachtungen Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten vom Typ
^21 ^1 + ^^22-^2 +
+ ^2n^n ~ ^2
(1-116)
(im folgenden kurz als lineares (m, n)-System bezeichnet) laBt sich unter Verwendung von Matrizen in einer besonders iibersichtlichen Form darstellen. Aus diesem Grunde fassen wir zunachst die Koeffizienten a^^ des linearen Systems zu einer Koeffizientenmatrix A, die unbekannten GroBen x^, ^2, „ zu einem Spaltenvektor x und die absoluten Glieder c^, C2,..., c^ zu einem Spaltenvektor c wie folgt zusammen^^^: "In . . a2n
A =1
.
I,
c=
X =1
.
(1-117)
^n/
Der Spaltenvektor x wird in diesem Zusammenhang auch als Losungsvektor bezeichnet. Das lineare (m, n)-System besitzt dann in der Matrizenschreibweise die besonders einfache Gestalt Ax = c
(1-118)
Unter Verwendung des Falk-Schemas laBt sich namlich leicht zeigen, daB das Matrizenprodukt A X zu einem Spaltenvektor fiihrt, dessen Komponenten genau die auf der Hnken Seite von (1-116) stehenden Ausdriicke sind:
12) Spaltenvektoren kennzeichnen wir durch kleine lateinische Buchstaben in Fettdruck.
66
I Lineare Algebra
Anmerkungen (1) Das lineare Gleichungssystem (1-118) heiBt homogen, wenn c = 0 ist, d.h. alle Absolutglieder verschwinden. Ein homogenes System ist daher stets in der Matrizenform Ax = 0
(1-119)
darstellbar. Ein inhomogenes System liegt vor, wenn mindestens ein Absolutglied von Null verschieden ist, d.h. c ^ 0 ist. (2)
Fiir m = n liegt der in den Anwendungen besonders wichtige Sonderfall eines quadratischen linearen Gleichungssystem vor (auch lineares (n, n)-System genannt). Die Koeffizientenmatrix A ist in diesem Falle quadratisch.
Bei spateren Untersuchungen iiber das Losungsverhalten eines Hnearen Gleichungssystems spielt die sog. erweiterte Koeffizientenmatrix^^^
(A|c) =
/^ii
«12
.. ai„
^1
«21
«22
«2n
^2
\«ml
^m2
^mn
^m
(1-120)
eine bedeutende Rolle. Sie entsteht aus der Koeffizientenmatrix A durch Hinzufugen einer weiteren Spalte mit den Absolutgliedern c^, C2,...,c^ und ist daher vom Typ (m, n + 1).
Beispiele (1)
Das lineare (2, 3)-System Xi — -^^2
'
"^3 ^^
lautet in der Matrizenform:
13)
Mit der Schreibweise (A | c) bringen wir zum Ausdruck, dafi die Matrix A um den Spaltenvektor c erweitert wurde.
4 Lineare Gleichungssysteme (2)
67
Das in der Matrizenform vorliegende lineare Gleichungssystem 5^
lautet in der herkommlichen Schreibweise, auch Komponentenschreibweise genannt, wie folgt: x^ — 3x2 + 5x3 = 0 2X2 + 8X3 = 1
5xj^ + 7x2
= 3
In Band 1, Abschnitt 1.5 wurde bereits gezeigt, wie man ein lineares (m, n)-System A x = c mit Hilfe des Gaufischen Algorithmus losen kann. Wir erinnern in diesem Zusammenhang an die folgende Aussage iiber das Losungsverhalten eines solchen Gleichungssystems:
Eine Entscheidung jedoch dariiber, ob ein vorgegebenes lineares (m, n)-System iiberhaupt losbar ist und ob das System dann eine Losung oder gar unendlich viele Losungen besitzt, konnte dabei erst im Verlaufe der Rechnung getroffen werden. Haufig interessieren in den Anwendungen weniger die Losungen an sich als das Losungsverhalten des linearen Systems. Wir werden uns daher in diesem Abschnitt vorrangig mit den folgenden Problemstellungen befassen: 1. Unter welchen Voraussetzungen ist ein lineares Gleichungssystem iiberhaupt Idsbar 1 2. Wann besitzt ein hneares Gleichungssystem genau eine Losung, wann dagegen unendlich viele Losungen?
68
I Lineare Algebra
4.2 GauBscher Algorithmus Vorbemerkung In Band 1, Abschnitt 1.5 wurde bereits gezeigt, wie sich ein lineares Gleichungssystem A X = c mit Hilfe des Gaufischen Algorithmus losen laBt. In diesem Abschnitt werden wir nun zeigen, daB der Gaufische Algorithmus letztlich auf elementaren Zeilenumformungen in der erweiterten Koeffizientenmatrix (A | c) des linearen Systems beruht. Zum besseren Verstandnis der nachfolgenden tJberlegungen erscheint es mir daher sinnvoll, daB sich der Leser nochmals mit den im ersten Band, Abschnitt 1.5 dargestellten Grundlagen vertraut macht. Der Gaufische Algorithmus ist ein in der Praxis weit verbreitetes Losungsverfahren fur ein Uneares Gleichungssystem. Er beruht auf dquivalenten Umformungen des linearen Systems, die wir im folgenden nochmals einzeln auffuhren^"^^: 1. Zwei Gleichungen diirfen miteinander vertauscht werden. 2. Jede Gleichung darf mit einer beliebigen von Null verschiedenen Zahl multipliziert werden. 3. Zu jeder Gleichung darf ein beliebiges Vielfaches einer anderen Gleichung addiert werden. Mit Hilfe dquivalenter Umformungen laBt sich dann ein hneares (m, n)-System Ax = c in ein dquivalentes gestaffeltes System A* x = c* uberfuhren, aus dem dann (im Falle der Losbarkeit des Systems) die unbekannten GroBen Xi,X2,...,x„ sukzessiv berechnet werden k5nnen. Uns interessieren nun insbesondere die Verdnderungen in der Koeffizientenmatrix A und in der erweiterten Koeffizientenmatrix (A|c), die durch die dquivalenten Umformungen des linearen Systems hervorgerufen werden. Die Wirkungen der Aquivalenzumformungen auf diese Matrizen woUen wir dabei zunachst anhand eines einfachen Beispiels naher studieren. Wir wahlen dazu das Hneare (3, 3)-System x^ + 2x2 "~ 2x3 = 2x1 + 3x2 2xi +
=
7 0
(1-121)
X2 + 8x3 = — 28
aus und unterwerfen dieses System der Reihe nach den folgenden dquivalenten Umformungen {Gaufischer Algorithmus):
14) Aquivalente Umformungen verandern lediglich die dufiere Gestalt eines linearen Gleichungssystems, nicht aber dessen Losungsmenge.
4 Lineare Gleichungssysteme
69
Xi
^2
1
2
-2
-2-£i
2 -2
3 -4
-2-£i
2 -2
fi
£2^
Cj
Si
7
8
0 4
0 -14
5 -16
1 -4
8 4
-28 -14
-17 -16
-1
4
-14
-11
12 -12
-42 42
-33 33
0
0
0
-3 3
-3-E2
3
Wir haben damit das Gleichungssystem (1-121) in das gestaffelte System
-
(1-122)
X2 -\- 4x3 = - 14 0x3 =
0
iibergefiihrt, das nun sukzessiv von unten nach oben gelost werden kann. Die letzte Gleichung OX3 = 0 ist dabei fixr jedes X3 E R erfiillt, d.h. die Unbekannte X3 ist als frei wdhlbarer Parameter zu betrachten (wir setzen daher X3 = >!). Das lineare Gleichungssystem (1-121) besitzt somit unendlich viele (noch von einem Parameter X) abhangige Losungen, die in der folgenden Form darstellbar sind: xi = - 6 ^ - 2 1 X2= 4/1+14
Oder
(/lelR)
X =
(1-123)
X3 = /I
Bei den beschriebenen aquivalenten Umformungen des Systems (1-121) wurde sowohl die Koeffizientenmatrix A als auch die erweiterte Koeffizientenmatrix (A | c) in eine jeweils ranggleiche Matrix mit trapezformiger Gestalt iibergefiihrt:
A=
(1-124)
Rg(A) = Rg(A*) = 2
(A|c
1 2 2
2 -2 3 0 1 8
/I 2 -2 7\ 0 => (A*|c*) = 4 -1 -28/ 0 0
Rg(A|c) = Rg(A*|c*) = 2
°
Vo
7 -14 0
(1-125)
70
I Lineare Algebra
Im iibrigen genugt es, wenn wir uns bei unseren Untersuchungen auf die erweiterte Koeffizientenmatrix beschranken, da sie die Koeffizientenmatrix mitenthdlt: /I 2 -2 (A* I c*) = ( 0 - 1 4 \0 0 0
(1-126)
A* Die dquivalenten Umformungen des linearen Gleichungssystems A x = c haben also in den Matrizen A und (A|c) lediglich elementare Zeilenumformungen zur Folge und iiberfiihren diese Matrizen (im Falle der Losbarkeit des Systems) in die Trapezform. Der Rang der Matrizen wird dabei nicht verandert (vgl. hierzu Abschnitt 3.3). Zuldssige elementare Zeilenumformungen sind: 1. Vertauschen zweier Zeilen. 2. Multiplikadon einer Zeile mit einer von Null verschiedenen Zahl. 3. Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile. Bin lineares Gleichungssystem A x = c kann demnach gelost werden, indem man zunachst die erweiterte Koeffizientenmatrix (A | c) des Systems mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen in die Trapezform (A* | c*) bringt (dies ist im Falle der Losbarkeit des Systems stets moglich) und anschlieBend das dann vorliegende dquivalente gestaffelte System A* x = c* sukzessiv lost.
Wir fassen diese wichtigen Aussagen zusammen:
4 Lineare Gleichungssysteme
71
Anmerkung Man beachte, daB beim Gaufischen Algorithmus nur elementare Zeilenumformungen zulassig sind. Ausnahme: Umnumerierung der Variablen, die einer Spaltenvertauschung in der Koeffizientenmatrix entspricht. Beispiel Wir kehren zu unserem Anfangsbeispiel zuriick und losen das nun in der Matrizenform
dargestellte lineare Gleichungssystem (1-121) mit Hilfe element arer Zeilenumformungen in der erweiterten Koeffizientenmatrix (A | c) wie folgt, wobei wir die jeweils durchgefuhrte elementare Zeilenumformung an die entsprechende Zeile der Matrix schreiben (Z: Zeile): -2 0
A 1 2 -- 2 4 0 -1 0 0 0
7 -14 0
-(A^
A* Koeffizientenmatrix und erweiterte Koeffizientenmatrix besitzen jetzt die gewiinschte Trapezform. Das gestaffelte System lautet somit: X-^ -\- 2,X2 — -^-^3 ^^
-
'
X2 + 4X3 = - 14
0x3 =
0
und wird durch Xi = - 6 A - 2 1 ,
X2 = 4/i + 14, X3 =/i
gelost (X3 = /I ist ein frei wahlbarer Parameter, d.h. ylelR).
72
I Lineare Algebra
4.3 Losungsverhalten eines linearen (m, /i)-Gleichungssystems Wir untersuchen in diesem Abschnitt das Losungsverhalten eines linearen (m, n)-Systems worn allgemeinen Typ A x = c oder (in der Komponentenschreibweise) a i i x i + ai2^2
+ «i„^„ = c^
«21^1 + «22^2
+
« 2 n ^ « = ^2
(M28)
Mit Hilfe dquivalenter Umformungen laBt sich dieses System in ein dquivalentes gestaffeltes System der Form ^11-^1 "^ ^ 1 2 -^2 "^ ^22^2 +
"^ ^Ir-^r ^~ ^ 1 r + l - ^ r + l ^~
^~ ^In-^n ~ ^1
+ ^2r^r
+ ^2n^n
+ ^2,r+l^r+l +
~ ^2
0 = c*+i
(1-129)
0 = c* +2
iiberfiihren (a-^ 9^ 0, i = 1,2,..., r). Unter Verwendung von Matrizen laBt sich dafiir auch schreiben A*x = c*
(1-130)
Den Ubergang vom linearen System A x = c zum dquivalenten System A* x = c* konnen wir symbolisch wie folgt darstellen: Aquivalente Ax = c
A*x = c*
(1-131)
Umformungen Die Koeffizientenmatrix A* geht dabei aus der Koeffizientenmatrix A und die erweU terte Koeffizientenmatrix (A* | c*) aus der erweiterten Koeffizientenmatrix (A | c) durch elementare Zeilenumformungen hervor: A
]
(A|c) J
Elementare
f
A*
Zeilenumformungen
[ (A*|c*)
73
4 Lineare Gleichungssysteme Die Matrizen A* und (A*|c*) besitzen die folgenden Strukturen:
(A^
r-*^
Hi
"12
0
ah
0
0
0 0
^2r
"l,r+l
4n
cf\
^2,r+l
^2n
4
a
c*
/7*
/7*
"rr
"r, r + 1
0
0
0
0
^r+1 \
0
0
0
0
^r+2
0
0
0
=
Cm /
(1-133) Diese Zahlen entscheiden uber die Losbarkeit des Systems
A* Das lineare (m, n)-System Ax = c bzw. A*x — c* ist offensichtlich nur losbar, wenn die Elemente c*+ ^, c*+ 2 ? ' ^m sdmtlich verschwinden. Andernfalls erhalten wir widerspruchliche Gleichungen, in denen die linke Seite den Wert Null und die rechte Seite einen von Null verschiedenen Wert besitzt. Die erweiterte Koeffizientenmatrix (A* | c*) muB daher im Falle der Losbarkeit die spezielle Form ail
0
(A*|c*) =
^12 . Hi
Hi
/7*
Hi
Hi
«22
a*
.. af„
^2,r+l
Hi
Hi
cX\ c! 4:
0
0 .
0
0 . .. 0
0
. .. 0
0
0
0 . .. 0
0
.. 0
0
0
0 . .. 0
0
.. 0
0/
a*
(1-134) im — r) Nullzeilen
A* annehmen. Beide Matrizen, sowohl A* als auch (A* | c*), sind dann von trapezformiger Gestalt und enthalten jeweils in den letzten m — r Zeilen nur Nullen. Sie stimmen daher in ihrem Rang uberein: Rg(A*)-:Rg(A*|c*) = r
(1-135)
Da das System A* x = c* durch dquivalente Umformungen bzw. elementare Zeilenumformungen aus dem System Ax = c hervorgeht, sind A und A* bzw. (A|c) und (A* |c*) jeweils ranggleich. Bin lineares (m, n)-System Ax = c ist demnach nur losbar, wenn A und (A | c) vom gleichen Rang sind. Die Bedingung Rg(A) = Rg(A|c) = r
(1-136)
74
I Lineare Algebra
ist somit notwendig und hinreichend fiir die Losbarkeit eines linearen Systems. Wir halten diese wichtige Aussage in einem Satz fest:
Anmerkungen (1) Ein lineares (m, n)-System Ax = c ist unlosbar, wenn Rg (A) 7^ Rg (A |c) ist. In diesem Fall ist stets Rg (A | c) > Rg (A). (2)
In einem homogenen linearen (m, n)-System Ax = 0 ist die Losbarkeitsbedingung Rg (A) = Rg (A I c) = r stets erfiillt. Denn die erweiterte Koeffizientenmatrix (A 10) unterscheidet sich von der Koeffizientenmatrix A lediglich durch eine zusdtzliche Spalte mit lauter Mullen, die aber den Matrizenrang in keiner Weise verandert:
(A|0) =
«11
«12
^Xn
^21
^22
^2n
a^ni
flw2
(1-138)
^mn I ^,
Diese Nullspalte hat keinen EinfluB auf den Matrizenrang
Fallunterscheidungen bei einem losbaren linearen System Im Falle der Losbarkeit eines linearen (m, n)-Systems A x = c miissen wir noch die Falle r = n und r
^22^2 +
+ <^2n^n = ^2
/7* Y =
r*
(1-139)
75
4 Lineare Gleichungssysteme
Die Koeffizientenmatrix A* ist eine (obere) Dreiecksmatrix, die erweiterte Koeffizientenmatrix (A*|c*) besitzt Trapezform: ^^11
«12
0
a* 22
/7*
cp
^2n
4
^\o^\=\ (A*|c
0
(1-140)
0
Das lineare Gleichungssystem besitzt jetzt genau eine Losung, die man sukzessiv von unten nach oben aus dem gestaffelten System (1-139) berechnet.
Das gestaffelte System A*x = c* besitzt fiir r
^22^2 +
+ ^2r^r +
fr
r
+ ^In^n — ^2
f r ~l~ 1
I ~l~ 1 "^ * * *
iti fi
(1-141) r
Wir haben in diesem Fall mehr Unbekannte (n) als Gleichungen (r): n > r: Dahersind n — r der Unbekannten, z.B. x^+i, x^ + ' /^^^ wdhlbare Grofien (Parameter). Das gestaffelte System (1-141) wird dann wiederum sukzessiv von unten nach oben gelost. Wir erhalten unendlich viele Losungen, die noch von n — r Parametern abhangen.
Ein lineares Gleichungssystem zeigt damit das folgende Losungsverhalten:
76
I Lineare Algebra
Anmerkungen (1) Ein lineares (m, n)-System Ax = c ist unlosbar, wenn Koeffizientenmatrix A und erweiterte Koeffizientenmatrix (A | c) von unterschiedlichem Rang sind, d.h. Rg (A) / R g ( A | c ) ist. (2)
Bei einem homogenen System A x ^ 0 ist die Losbarkeitsbedingung Rg (A) = Rg (A I c) stets erfiillt. Ein homogenes lineares System ist daher immer losbar und besitzt wenigstens die triviale Losung x^ = X2 = ... = x„ = 0. Sie ist die einzige Losung, wenn r = n istNicht-trivialeLdsnngQn,d.h.\on x = 0 verschiedene Losungen, existieren nur fur r < n.
Die oben aufgefuhrten Kriterien fur die Losbarkeit eines linearen Gleichungssystems lassen sich in einem Schema besonders ubersichtlich wie folgt darstellen:
Anmerkung Ein homogenes lineares (m, n)-System Ax = 0 ist bekanntlich stets losbar. Der durch den gestrichelten Weg angedeutete Fall kann daher nur fiir ein inhomogenes System eintreten.
4 Lineare Gleichungssysteme
77
Beispiele (1)
Wir zeigen mit Hilfe von Determinant en, da6 das lineare (3,2)-System 3 x i — 4^2 =
2
5xi + 2^2 = 12 n/c/if /o5^(2r ist. Der Rang der Koeffizientenmatrix
betragt Rg (A) = 2, da es wenigstens eine von Null verschiedene 2-reihige Unterdeterminante, namlich -1 5
27/0
gibt (in A wurde die /. Zeile gestrichen). Die erweiterte Koeffizientenmatrix
(A|c) = / - 1
ist quadratisch und sogar regular: 2 4 = - 26 / 0 12
det (A I c) =
Somitist Rg (A I c) = 3 und Rg (A) / Rg (A | c). DasvorliegendeGleichungssystem ist daher unlosbar.
(2)
Wir untersuchen mit Hilfe der Matrizenrechnung das Losungsverhalten des folgenden linearen (4,3)-Systems: 4xi
— X2 — ^3 = ^
Xi
-h 2 x 3 = 0
— Xi -\- 1X2 + 2-^3 — 2 J X-^ —
X2
^^ -3
I Lineare Algebra
78
Die erweiterte Koeffizientenmatrix des Systems wird zunachst den folgenden elementaren Zeilenumformungen unterworfen:
(A|c) =
| = (A*|(
A*
NuUzeile
Rg (A) = Rg (A*) = 3, Rg (A I c) = Rg (A* | c*) = 3
Das lineare Gleichungssystem ist somit wegen Rg (A) = Rg (A | c) = 3 Idsbar und besitzt genau eine Losung, da r = n = 3 ist. Die Losung berechnen wir aus dem gestaffelten System A*x = c* sukzessiv wie folgt: Gestaffeltes System + 2x3 = 0
Xi = 2 X2 = 3
-
X3 = 1
X3 -
-1
Losung: x^ = 2, X2 = 3, X3 = — 1
4 Lineare Gleichungssysteme
79
4.4 Losungsverhalten eines quadratischen linearen Gleichungssystems Fiir m = n erhalten wir den in den Anwendungen besonders haufigen und wichtigen Sonderfall eines quadratischen linearen Gleichungssystems mit n Gleichungen und n Unbekannten: a^i x^ -^ a-^2^2 "f~ ^ 2 1 ^ 1 + ^ 2 2 -^2 +
^nl^l
" ^\n-^n — ^1 + ^2n^n
+ ^n2^2 + . . . +
~ ^2
oder
AX = c
(1-143)
««„->C„ = C„
Die Koeffizientenmatrix A ist dabei quadratisch, die erweiterte Koeffizientenmatrix (A I c) vom Typ {n, n + 1): ail
^\2
^21
^22
<^nl
^«2
«2«
(A|c) =
2 I
J
(1-144)
Wir beschaftigen uns zunachst mit den inhomogenen und anschlieBend mit den homogenen linearen (n, n)-Systemen. Dabei behalten alle fiir (m, n)-Systeme hergeleiteten Satze auch fiir quadratische {n, fi)-Systeme ihre Gultigkeit.
4.4.1 Inhomogenes lineares (/i, /i)-System Nach den Ausfiihrungen iiber die linearen (m, n)-Systeme in Abschnitt 4.3 ist ein inhomogenes \mQ2ires{n,n)-System Ax = c nur/6!»s^(2r, wenn Koeffizientenmatrix A und erweiterte Koeffizientenmatrix (A | c) vom gleichen Rang r sind: Rg(A) = Rg(A|c) = r
(1-145)
Ein lineares (n, n)-System besitzt dabei genau eine Losung, wenn r = n und somit A eine regulare Matrix ist. Dies ist fiir det A 7^ 0 der Fall. Ist die Koeffizientenmatrix A dagegen singular, d.h. ist det A = 0, so erhalten wir entweder unendlich viele Losungen, falls Rg (A) = Rg (A I c) = r < n ist, oder iiberhaupt keine Losung, wenn namlich Koeffizientenmatrix A und erweiterte Koeffizientenmatrix (A | c) in ihrem Rang nicht iibereinstimmen, d.h. Rg (A) 7^ Rg (A | c) ist.
I Lineare Algebra
80
Das Losungsverhalten eines inhomogenen linearen (n, n)-Systems Ax = c laBt sich demnach schematisch wie folgt darstellen:
Anmerkung Ein inhomogenes lineares (^i, n)-System Ax = c besitzt demnach genau eine Losung, wenn die Koeffizientenmatrix A regular, d.h. det A ^ 0 ist.
Beispiele (1)
Die Koeffizientenmatrix A des inhomogenen linearen Gleichungssystems
ist regular:
detA =
2 3 2 = 1-1-3 3 5 5
47^0
4 Lineare Gleichungssysteme
81
Das lineare (3,3)-System besitzt demnach genau eine Losung, die wir mit Hilfe des Gaufischen Algorithmus bestimmen (wir verwenden dabei das aus Band 1, Abschnitt 1.5 bekannte Losungsschema): X
y
z
Ci
2
5;
2-El
-2
3 -2
2 -6
2 -10
9 -20
fi
-1
-1
-3
-5
-10
3 -3
5 -3
5 -9
3 -15
16 -30
-4
-8
-11
-4 8
-12 16
-14 22
4
4
8
3 El
1
ii
2 -2
-2-E2
Das gestaffelte System lautet damit: — x~y
— 3z=—5 j;_4z= - 8 4z=
4
=> x= 6 >;^-4 z= 1 T
Es wird durch x = 6, y = — 4, z = 1 gelost. (2)
Wir zeigen mit Hilfe von Determinant en, daB das inhomogene lineare (3,3)System x^ -f- X2 ~\~ x-^ = 1 — x^ — 2X2 ~h x^ = 2 xi — X2 -\- 5x3 = 0 nicht losbar ist. Zunachst einmal ist die Koeffizientenmatrix A wegen 1 1 det A = I - 1 - 2 1 -1
1 1I = 0 5
singular. Daher ist ihr Rang kleiner als 3: Rg (A) < 3. Die erweiterte Koeffizientenmatrix
(A|c)=
-
82
I Lineare Algebra besitzt dagegen den Rang Rg (A | c) == 3, da es eine von Null verschiedene 3-reihige Unterdeterminante von (A | c) gibt, namlich 1 1 -2 1 - 1 5
1 2 = - 2 1 7^0 0
(in (A I c) wurde die L Spalte gestrichen). Somit ist Rg (A) < Rg (A | c), d.h. das vorliegende (3,3)-System ist unlosbar. (3)
Wir bestimmen die Losungsmenge des inhomogenen linearen (4,4)-Systems Xi -\-
X2 + 2 X2
— X-j^ —
X3 + 3X4 = 0 ~h 2 X4 = J
Xo — -^-^3 — -^X4 ^=- 4
2xi + 4X2 + 2^3 + ^^4 — ^ mit Hilfe der Matrizenrechnung. In der erweiterten Koeffizientenmatrix (A | c) werden die folgenden elementaren Zeilenumformungen vorgenommen:
(A|c) =
(A* I c*)
Rg(A) = Rg(A*) = 3, Rg(Alc) = Rg(A*|c*) = 3
Die erweiterte Koeffizientenmatrix hat jetzt die gewiinschte Trapezform. Wegen Rg (A) = Rg (A | c) = 3 ist das lineare System losbar, besitzt aber unendlich viele Losungen mit einem Parameter, da n — r = 4 — 3 = 1 ist.
4 Lineare Gleichungssysteme
83
Diese Losungen bestimmen wir aus dem gestaffelten System ^1 +
-X2 + -x:3 + 3 X4 = 0 Z X2
~r Z X^ = J — X3 +
X4 = 4
Wir wahlen X4 als Parameter: x^ = )i (A G R ) . Fiir die iibrigen Unbekannten erhalten wir dann sukzessiv die folgenden parameterabhdngigen Werte: — X3+ 2x2
^4 = 4
=>
X 3 = X 4 —4 = /l —4
+ 2x4 = 5
=^
X2 = — X4 + 2,5 = — A + 2,5
Xi -\- X 2 + X 3 + 3X4 = 0
^>
Xj^ = —X2 — X3 — 3X4 = — 3 1 + 1,5
Das lineare System besitzt somit die unendliche Losungsmenge Xi = — 3/1 + 1,5 X2 = — A + 2,5
AER
X3 = A - 4 X4 = A
4.4.2 Homogenes lineares (/i, /i)-System Ein homogenes lineares {n, n)-System von Typ
^21'^l ~l~^22^2 ~^
~^ ^2n -^n ^^ ^
Oder
Ax = 0
(1-146)
ist als Sonderfall eines homogenen (m, n)-Systems nach Abschnitt 4.3 stets losbar, da die erweiterte Koeffizientenmatrix (A 10) ranggleich mit der (quadratischen) Koeffizientenmatrix A ist: Rg(A)-Rg(A|0) = r
(1-147)
Das homogene (n, n)-System besitzt dabei genau eine Losung, namlich die triviale Losung Xi=X2 = ... = x„ = 0 oder x = 0, wenn die Koeffizientenmatrix A regular, d.h. det A 7^ 0 ist. Nicht-triviale Losungen, d.h. von der trivialen Losung x = 0 verschiedene Losungen, gibt es nur, wenn A singular, d.h. det A = 0 ist. In diesem Fall existieren unendlich viele Losungen, die noch von n — r Parametern abhangen, wobei r der Rang von A und (A|0) ist.
I Lineare Algebra
84
Das Losungsverhalten eines homogenen linearen (n, n)-Systems laBt sich daher wie folgt schematisch darstellen:
Anmerkung 1st A regular, d.h. det A 7^ 0, so besitzt das homogene System nur die triviale Losung. Nicht-triviale Losungen, d.h. vom Nullvektor verschiedene Losungen, liegen nur dann vor, wenn A singular, d.h. det A = 0 ist. Beispiele (1)
Wir untersuchen das Losungsverhalten des homogenen hnearen Gleichungssystems 2xi + 5x2 — 3x3 = 0 4xi — 4x2 + ^3 = 0 4xi — 2x2 =^ Die Koeffizientenmatrix A ist wegen 2
5
detA = 4 - 4
= 0
4 -2
singular. Das homogene Gleichungssystem besitzt somit nicht-triviale Losungen.
4 Lineare Gleichungssysteme
85
Wir iiberfuhren nun das homogene System A x = 0 mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen in ein dquivalentes gestaffeltes System A*x = 0^^^:
A=
+ Z2
r = Rg(A) = Rg(A*) = 2 Die Losungen des vorliegenden homogenen (3,3)-Systems hangen somit noch von einem Parameter ab, da n — r = 3 — 2 = 1 ist. Wir losen das gestaffelte System 2xi + 5x2 — 3^3 = 0
und erhalten mit dem Parameter X3 =/I ( i e R ) die folgende unendliche Losungsmenge: xi =0,25 A X2 = 0,5 i
AeR
Xa = /I
(2)
Besitzt das homogene lineare Gleichungssystem 1 -2 4 1 1 -2 0 -1
0 -1 1 1 1 3 4 4
nicht-triviale Losungen? Um diese Frage zu beantworten, miissen wir den Wert der Koeffizientendeterminante 1-2 0-1 4 1 1 1 det A = 1 - 2 1 3 0 - 1 4 4 berechnen. Dies geschieht wie folgt: Zunachst addieren wir zur 4. Spalte die 1. Spalte und zur 2. Spalte das 2-fache der 1. Spalte. AnschlieBend wird die Determinante nach den Elementen der 1. Zeile entwickelt. 15)
Bei einem homogenen System geniigt es, die elementaren Zeilenumformungen an der Koeffizientenmatrix A vorzunehmen (die Absolutglieder des homogenen Systems bleiben Null).
86
I Lineare Algebra Wir erhalten dann: 1 0 4 9 1 0 0 -1
detA:
0 1 1 4
0 5 = 1 4 4
9 1 0 1 - 1 4
5 4 4
= 1 -(-107)- -107
-107 Wegen det A = — 1 0 7 / 0 ist das vorgegebenene homogene System nur trivial losbar. Einzige Losung ist somit x^ = X2 = x^ =X4 = 0.
4.4.3 Cramersche Kegel Nach den Ausfuhrungen aus Abschnitt 4.4.1 besitzt ein lineares (n, n)-Gleichungssystem A x = c genau eine Losung, wenn die Koeffizientenmatrix A regular ist. Dann existiert auch die zu A inverse Matrix A ~ ^ und die Losung des Systems laBt sich wie folgt berechnen: Wir multiplizieren die Matrizengleichung Ax = c von links mit A " ^: A'l
Ax = A
(1-148)
c
Die linke Seite dieser Gleichung laBt sich noch wie folgt umformen: A"i
Ax = (A~i A)x = Ex = x (1-149) E
Der Losungsvektor x ist somit das Matrizenprodukt aus der zu A inversen Matrix A ~ ^ und dem Spaltenvektor c: (1-150)
x=A
Wir berechnen nun dieses Produkt, wobei wir die Darstellung (1-90) fiir A ^ verwenden, und erhalten: Lll
^^7211
^12
^22
^n2 I I ^2
\^ln
^2n
^nn /
/ = A " l - C ^
- An l
det A
/c,A det A
+ CoA^, 11 "1~ <-2^21
\ ^n,
+ ... + c„A M^nl
C i ^ l 2 + <^2^22 + . . . +
\ c i ^ l „ + C2A2n
C^A^2
+ C„^„,
(1-151)
4 Lineare Gleichungssysteme
87
Oder in komponentenweiser Darstellung: Xi
=
det A ci^ii
+C2A22 -^ det A
---^c^A^i
(M52)
det A Im Nenner dieser Formelausdriicke steht die Koeffizientendeterminante D = det A. Auch der jeweilige Zdhler laBt sich durch eine Determinante darstellen. Ersetzen wir in der Koeffizientendeterminante beispielsweise die 1. Spalte durch die Absolutglieder Cj, C2,..., c„ des Systems, so erhalten wir die n-reihige Determinante
^'2
D,
<^22
^23
nn ^2n
(1-153)
Durch Entwicklung von D^ nach den Elementen der 1. Spalte folgt weiter: ^ 1 = ^1^11 + ^2^21 +
+ ^n^ni
(1-154)
Dies aber ist genau der Zdhler im Formelausdruck fiir x ^, den wir damit auch wie folgt schreiben konnen: {D = det A)
D
(1-155)
Entsprechend erhalten wir fiir die iibrigen Unbekannten X2 , X3 , . . ., X^ '. Xj
=
D2 D
Xa
=
D
D
(1-156)
Die Hilfsdeterminanten D^, Z)2,..., D„ gewinnt man aus der Koeffizientendeterminante Z) = det A dadurch, daB man der Reihe nach die 1., 2.,..., YI-XQ Spalte durch die Absolutglieder c^, C2,..., c„ ersetzt. Die Losung eines eindeutig losbaren linearen (n, n)-Systems A X = c ist daher in der Form
D
{i=U2,...,n)
darstellbar (sog. Cramersche Kegel).
(1-157)
I Lineare Algebra Wir fassen zusammen:
Anmerkungen (1) Man beachte: Die Cramersche Kegel darf nur angewandt werden, wenn die Koeffizientenmatrix A regular, d. h. D = det A ^ 0 ist. (2)
Um die Losung eines (n, n)-Systems nach der Cramerschen Kegel zu bestimmen, miissen insgesamt n -\- 1 n-reihige Determinanten berechnet werden, namlich D, D j , D2,..., /)„. Der Rechenaufwand ist dabei - insbesondere bei Determinanten hoherer Ordnung - erheblich. In der Praxis wird man daher die Losung eines linearen (n, n)-Systems fur n > 3 stets mit Hilfe des Gaufischen Algorithmus bestimmen. Die Cramersche Kegel spielt dagegen bei theoretischen Betrachtungen eine gewisse Rolle.
Beispiel Das inhomogene lineare Gleichungssystem 2xi
+
X2 + 3x3 = 8
— Xj — 4^2 +
X3 = 3
Xi + 2X2 ~ "^^3 = ^
besitzt genau eine Losung, da die Koeffizientendeterminante D einen von Null verschiedenen Wert besitzt:
D = det A =
1 3 -4 1 = 31 ^ 0 2 -4
89
4 Lineare Gleichungssysteme
Die Losung bestimmen wir nach der Cramerschen Kegel. Dazu benotigen wir noch die folgenden Hilfsdeterminanten:
D,=
8 1 3 3 -4 1 = 155 1 2 -4
D,=
2 1 1
8 3 3 1 = -62 1 -4
i)^ =
2 1 1 -4 1 2
=0
Das lineare Gleichungssystem besitzt demnach die folgende Losung: Di D
^
155 = 5 31
D, D
62 = -2 31
^3
0
D
31
^
4.5 Berechnung einer inversen Matrix nach dem Gaufischen Algorithmus (GauB-Jordan-Verfahren) Das in Abschnitt 3.2 besprochene Verfahren zur Berechnung einer inversen Matrix erweist sich in der Praxis infolge des hohen Rechenaufwandes als wenig geeignet. Von Gaufi und Jordan stammt ein wesentlich praktikableres Verfahren. Es beruht auf den aus Abschnitt 4.2 bereits bekannten elementaren Zeilenumformungen einer Matrix {Gaufischer Algorithmus).
90
I Lineare Algebra
Im Rahmen dieser Darstellung miissen wir uns auf eine kurze Beschreibung dieses Verfahrens zur Berechnung einer inversen Matrix beschranken:
Beispiel Wir kehren zu dem Beispiel aus Abschnitt 3.2 zuriick und berechnen die zur reguldren 3-reihigen Matrix
gehorige inverse Matrix A ^, diesmal nach dem Gaufi-Jordan-Verfahren. Die jeweils durchgefiihrten Operationen schreiben wir dabei rechts an die Matrix (Z: Zeile):
4 Lineare Gleichungssysteme
91
(A IE)
1 0 .0
0-1 4-7 1 -2
1 0
0-1 1 -2
.0
4 -7
1 0 .0
0 1 0
1 0 .0
0 1 0
1
E
1 0
1-4 = (E|A -U A
Die zu A inverse Matrix A~^ lautet somit:
4.6 Lineare Unabhangigkeit von Vektoren 4.6.1 Ein einfiihrendes Beispiel Die in Bild 1-3 dargestellten ebenen Vektoren a und b sind zueinander parallel bzw. anti-parallel und somit in beiden Fallen kollinear, d.h. sie lassen sich durch Parallelverschiebung in eine gemeinsame Linie bringen.
a)
b)
Bild 1-3 Kollineare Vektoren a) parallele Vektoren b) anti-parallele Vektoren
92
I Lineare Algebra
Jeder der beiden Vektoren ist daher - wie aus Band 1, Kap. II bereits bekannt - als ein bestimmtes Vielfaches des anderen Vektors in der Form a = c^ b
bzw.
b = C2 a
(1-161)
darstellbar. Im Falle para//g/^r Vektoren sind beide Koeffizienten c^ und C2 pos/tfv, bei anti-parallelen Vektoren beide jedoch negativ. Wir konnen den Zusammenhang zwischen den Vektoren a und b aber auch durch eine lineare Vektorgleichung vom Typ ^ i a + A2b = 0
(M62)
ausdriicken, wobei die Koeffizienten X^ und /12 beide von Null verschieden sind. Zwischen den beiden Vektoren besteht somit eine lineare Beziehung oder lineare Abhdngigkeit, Sie werden daher folgerichtig als linear abhdngige Vektoren bezeichnet. Jetzt betrachten wir zwei ebene Vektoren a und b mit verschiedenen Richtungen. Solche Vektoren lassen sich durch Parallelverschiebung nicht in eine gemeinsame Linie bringen, da sie miteinander einen von 0° und 180° verschiedenen Winkel (p bilden (Bild 1-4) ^^\
Bild 1-4 Nicht-kollineare Vektoren
In diesem Fall kann daher keiner der beiden Vektoren als ein Vielfaches des anderen Vektors ausgedruckt werden. Wir haben es hier mit sog. linear unabhdngigen Vektoren zu tun, zwischen denen es also keine Beziehung vom Typ a = c^ b bzw. b = C2 a geben kann. Eine lineare Vektorgleichung der Form /iia + /i2b = 0
(1-163)
kann demnach bei linear unabhdngigen Vektoren nur dann bestehen, wenn beide Koeffizienten verschwinden, also /l^ = ^2 = ^ i^^- Offensichtlich lafit sich in diesem Fall ein beliebiger y^ktor c der Ebene durch eine Lm^ar/com/?mation der Vektoren a und b wie folgt darstellen: c = /la + /ib
(1-164)
In Bild 1-5 wird dieser Zusammenhang verdeutlicht. Die drei Vektoren a, b und c sind dabei - im Gegensatz zu den beiden Vektoren a und b - linear abhdngig, da in der aus Gleichung (1-164) folgenden Vektorbeziehung /la + / i b - c = 0
(1-165)
nicht alle Koeffizienten verschwinden (der Vektor c beispielsweise tritt mit dem von Null verschiedenen Koeffizienten — 1 auf).
Die Vektoren a und b sind nicht-kollinear.
4 Lineare Gleichungssysteme
93
Bild 1-5 Vektor c ist als Linearkombination der (nicht-kollinearen) Vektoren a und b darstellbar
4.6.2 Linear unabhangige bzw. abhangige Vektoren Am Beispiel zweier nicht-kolllinearer Vektoren der Ebene haben wir den Begriff der Jinearen Unabhdngigkeit von Vektoren" eingefiihrt. Wir definieren diesen Begriff daher allgemein wie folgt:
Anmerkung Im Falle der linearen Abhdngigkeit gibt es also mindestens einen von Null verschiedenen Koeffizienten in der Vektorgleichung (1-166). Beispiele (1)
Die beiden Basisvektoren e^ = (
j und ^y = i
I der Ebene sind linear
unabhdngig. Die Vektorgleichung ^1 ^x + ^2^y = ^ fuhrt namlich zu dem homogenen linearen Gleichungssystem 2^ . 1 + 2 2 - 0 = 0 Ai 0 + A2- 1 = 0 mit der eindeutigen Losung A^ = /i2 = 0.
94
I Lineare Algebra (2)
An einem Massenpunkt greifen gleichzeitig drei Krafte F^, F2 und F3 an. Wir fassen diese Einzelkrafte in der iiblichen Weise zu einer resultierenden Kraft Fj^ = Fi + F2 + F3 zusammen. Die vier Kraftvektoren bilden dann in ihrer Gesamtheit ein System aus linear abhdngigen Vektoren, da in der linearen Vektorgleichung F|? ~ ^1 - F2 - F3 = 0 sogar alle vier Koeffizienten von Null verschieden sind.
Enthalt das Vektorsystem a i , a 2 , . . . , a „ den Nullvektor (etwa a^ = 0), so sind die n Vektoren sicher linear abhdngig. Denn die lineare Vektorgleichung /li ai + ^2 ^2 + . + 4 0 + ... + 4 a„ = 0
(1-167)
laBt sich fur ein beliebiges /l^ 7^ 0 und Nullsetzen der iibrigen Koeffizienten A^ (i ^ k) stets erfiillen. Kommen unter den n Vektoren a i , a 2 , . . . , a „ zwei gleiche oder kollineare Vektoren vor, so sind sie ebenfalls linear abhdngig. Diese Aussage gilt auch dann, wenn mindestens einer der n Vektoren als Linearkombination der iibrigen Vektoren darstellbar ist.
Wir fassen diese Aussagen wie folgt zusammen:
Beispiele (1)
Die in Bild 1-6 dargestellten ebenen Vektoren e^, e^ und a sind linear abhdngig, da sich der dritte Vektor a wie folgt als Linearkombination der beiden iibrigen Vektoren darstellen laBt: a = 5 e^ + 3 e,^
17) Hier gilt auch die Umkehrung: Sind die Vektoren a^, 82, ...,a„ linear abhdngig, so ist mindestens einer der Vektoren als Linearkombination der ubrigen darstellbar.
4 Lineare Gleichungssysteme yi
i
Seyi
i
95
0 /
1 ^yi i
^ ^
0
(2)
Bild 1-6
^1 5e,
^x
X
Die aus n Einzelkraften F^, F 2 , . . . , F„, die alle an einem Massenpunkt angreifen, gebildete resultierende Kraft Fi^ = F i + F 2 + . . . + F„ ist eine spezielle Linearkombination dieser Kraftvektoren (namlich die Vektorsumme). Die n -\- 1 Krafte F^, F 2 , . . . , F„ und ¥j^ sind daher linear abhdngig-
4.6.3 Kriterien fiir die lineare Unabhangigkeit von Vektoren Wir wollen jetzt Kriterien fiir die lineare Unabhangigkeit von n Vektoren a^, a2,..., a„ des m-dimensionalen Raumes IR^ herleiten. Die gegebenen Vektoren konnen dabei wie folgt als Spaltenvektoren einer Matrix A vom Typ (m, n) aufgefaBt werden: «11 «21
«12 «22
«l/c «2fe
«i«
. a2„
(1-168)
A= ^ml
T ai
^m2
^mk
^mn
T
T
t
a2
at
a„
Der Spaltenvektor a/^ besitzt also der Reihe nach die Komponenten ciik^aik^ ---^^mk (/c = 1, 2,..., n). Das Matrixelement a^^ ist demnach die /-te Komponente des /c-ten Spaltenvektors a^^. Mit diesen Bezeichnungen konnen wir die lineare Vektorgleichung Ai ai + ^ 2 ^ 2 + ... + ^na„ = 0
(1-169)
96
I Lineare Algebra
wie folgt auch als Matrizengleichung schreiben:
Oder ^ml
A}i = 0
(1-170)
^m2
Es handelt sich hierbei um ein homogenes lineares Gleichungssystem mit den n unbekannten Koeffizienten 1^, w ^i^ wir noch zu dem Spaltenvektor X. zusammengefaBt haben. Aus Abschnitt 4.3 wissen wir bereits, daB dieses System stets losbar ist, wobei allerdings noch zwei Falle zu unterscheiden sind, die wir jetzt diskutieren wollen:
Der Rang r der aus den Spaltenvektoren a i , a 2 , . . . , a „ gebildeten Koeffizientenmatrix A ist gleich der Anzahl n der vorgegebenen Vektoren^^l In diesem Fall gibt es nach den Ausfiihrungen in Abschnitt 4.3 genau eine Losung, namlich die triviale Losung A = 0, bei der also alle Unbekannten A^, /I2,..., /l„ verschwinden: r = n => 2i = ^2 =
= ^n = 0
(1-171)
Die n Vektoren a^, a2,..., a„ sind daher linear unabhdngig.
Der Rang r der Koeffizientenmatrix A ist jetzt kleiner als die Anzahl n der vorgegebenen Vektoren. In diesem Sonderfall gibt es bekannthch unendlich viele Losungen fixr die unbekannten Koeffizienten, d. h. also auch Losungen, bei denen nicht alle Xi verschwinden: r nicht alle /Ij = 0
(i = 1, 2,..., n)
(1-172)
Die n Vektoren a^, a2, ...,a„ sind in diesem Falle daher linear abhdngig. Damit konnen wir das folgende Kriterium fiir die lineare Unabhdngigkeit von Vektoren formulieren:
1 R'J
Wegen r ^n, r ^m kann dieser Fall nur fiir n ^m eintreten.
4 Lineare Gleichungssysteme
97
Beispiele (1)
Die aus den drei Vektoren a =
und c
gebildete Matrix
ist regular, da ihre Determinante nicht verschwindet: 4 =
det A =
-4^0
Die Matrix besitzt damit den Rang r = 3. Wegen r = n = 3 handelt es sich hier also um linear unabhdngige Vektoren. (2)
Drei Vektoren a i , a 2 und a3 des WJ^ bilden die folgende (4,3)-Matrix:
A=
Um festzustellen, ob sie linear unabhdngig sind, bestimmen wir zunachst den Rang dieser Matrix mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen:
A=
1 1 1 1
0 AI 2 -- 1 1 0 -Zi
1 0 0 0
0 3\i 2 -- 4 0 0 / > Nullzeilen 0 0/
Ij
M: =
- 0,5 Z2
98
I Lineare Algebra Die Matrix besitzt jetzt die gewunschte Trapezform, fiir ihren Rang gilt somit Rg (A) ^ r = 2. Wegen n = 3 und somit r < n = 3 sind die Vektoren a^, a2 und a3 linear abhdngig. Zwischen ihnen besteht der folgende Zusammenhang (wie man leicht nachrechnet):
a3 = 3 a^ — 2a2 = 3
Wir konnen aus dem Kriterium fiir linear unabhangige Vektoren noch weitere Schliisse Ziehen:
Es liegen n Vektoren a i , a 2 , . . . , a „ aus dem IR" vor, die aus ihnen gebildete Matrix A ist daher quadratisch. Dann aber gilt: regular, d.h. det A ^ 0 => linear unabhangige Vektoren singular, d.h. det A = 0 => linear abhdngige Vektoren
Die Anzahl n der Vektoren ist grofier als die Dimension m des Raumes, aus dem sie stammen. Fiir den Rang r der Matrix A gilt dann: r ^m,
r ^n,
m
r^ m
r
Der Rang r der Matrix A ist somit kleiner als die Anzahl n der Vektoren, diese sind daher linear abhdngig. Folgerung aus den beiden Sonderfallen: Ist die Anzahl der Vektoren grofier als die Dimension des Raumes, aus dem sie stammen, so sind die Vektoren linear abhdngig. Die Dimension des Raumes gibt somit die Maximalzahl an linear unabhdngigen Vektoren in diesem Raum an.
4 Lineare Gleichungssysteme
99
Wir fassen diese wichtigen Ergebnisse wie folgt zusammen:
Anmerkungen (1) Lineare Abhdngigkeit bedeutet demnach: Mindestens einer der n Vektoren ist als Linearkomhination der librigen darstellbar. (2)
Der Rang r einer (m, n)-Matrix A mit m Zeilen (Zeilenvektoren) und n Spalten (Spaltenvektoren) laBt sich auch wie folgt deuten: r ist die Maximalzahl linear unabhangiger Zeilen- bzw. Spaltenvektoren (r ^ m, r ^ n).
Beispiele (1)
Die drei Basisvektoren e^ = j 0
, e^ = ( 1 | und e^ = ( 0 | des drei-
dimensionalen Anschauungsraumes sind linear unabhdngig, denn die aus ihnen gebildete 3-reihige Matrix
I Lineare Algebra
100 ist wegen 1 detA = 0 0
0 0 = 1 ^0 1
0 1 0
regular. (2)
Dagegen sind die drei in einer Ebene liegenden Veictoren
'2\
b=
a =
.
und
c=
/-r
linear abhdngig. Begrundung: Im R^ gibt es maximal zwei linear unabhangige Vektoren, mehr als zwei Vektoren (hier: drei) sind also stets linear abhdngig. Zum gleichen Ergebnis fiihrt eine Untersuchung des Ranges r der aus a, b und c gebildeten Matrix 2 -1 1 5
A = (a b c) =
Es gilt: Rg (A) = r = 2 und somit ist r
4.7 Ein Anwendungsbeispiel: Berechnung eines elektrischen Netzwerkes Das in Abschnitt 1.1 im Rahmen eines einfuhrenden Beispiels behandelte elektrische Netzwerk mit den ohmschen Widerstanden R^, R2, R^ und einer Spannungsquelle U fiihrte uns zu dem inhomogenen linearen Gleichungssystem
h-
h
h=0 = U
Ri Ii + ^2^2
Oder
^3/3 = 0
(1-175) (vgl. hierzu auch Bild I-l). Das System besitzt wegen -1 D = det A =
-1 0
jRo — K^
= - (Ri R2 + Ri R3 + R2 R3) # 0
(1-176)
5 Komplexe Matrizen
101
eine reguldre Koeffizientenmatrix A und ist somit eindeutig losbar. Die Teilstrome Ii, I2 und 12 berechnen wir nach der Cramerschen Kegel unter Verwendung der drei Hilfsdeterminanten 0 --1 Di =
u 0 1
D2 =
^1
0 1 D^ =
^1
0
-1
Ri R2
0 -R3
= -R2U R2U -R^U
0 -1 = -i?3[/ U 0 0 -K3 -1 R2 Ri
0 U 0
=
= -{R2 + R3)U
(1-177)
- ^ 2 ^
und erhaltei1: J
—
h =
L_> 1 _
{R2+Rz)V
(1-178) D
h= D
i^ii^2+ ^ 1 ^ 3 + ^ 2 ^ 3
R.R^i-R.R^
+ R2R ^2^3
5 Komplexe Matrizen Bisher haben wir uns ausschlieBlich auf Matrizen mit reellen Elementen beschrankt. Bei der mathematischen Behandlung von linearen Netzwerken und Vierpolen (auch „Zweitore" genannt) stoBt man jedoch auf Matrizen, deren Elemente komplexe GroBen darstellen. So kann man z. B. die komplexen Widerstdnde in einer solchen Schaltung in einer sog. Wider St andsmatrix zusammenfassen. Wir geben in diesem Abschnitt eine kurze Einfiihrung in die komplexe Matrizenrechnung, mussen dabei aber grundlegende Kenntnisse liber komplexe Zahlen voraussetzen. Eine ausfiihrliche Darstellung dieser Zahlen und der damit verbundenen komplexen Rechnung erfolgt dann etwas spater im dritten Kapitel dieses Bandes.
5 Komplexe Matrizen
101
eine reguldre Koeffizientenmatrix A und ist somit eindeutig losbar. Die Teilstrome Ii, I2 und 12 berechnen wir nach der Cramerschen Kegel unter Verwendung der drei Hilfsdeterminanten 0 --1 Di =
u 0 1
D2 =
^1
0 1 D^ =
^1
0
-1
Ri R2
0 -R3
= -R2U R2U -R^U
0 -1 = -i?3[/ U 0 0 -K3 -1 R2 Ri
0 U 0
=
= -{R2 + R3)U
(1-177)
- ^ 2 ^
und erhaltei1: J
—
h =
L_> 1 _
{R2+Rz)V
(1-178) D
h= D
i^ii^2+ ^ 1 ^ 3 + ^ 2 ^ 3
R.R^i-R.R^
+ R2R ^2^3
5 Komplexe Matrizen Bisher haben wir uns ausschlieBlich auf Matrizen mit reellen Elementen beschrankt. Bei der mathematischen Behandlung von linearen Netzwerken und Vierpolen (auch „Zweitore" genannt) stoBt man jedoch auf Matrizen, deren Elemente komplexe GroBen darstellen. So kann man z. B. die komplexen Widerstdnde in einer solchen Schaltung in einer sog. Wider St andsmatrix zusammenfassen. Wir geben in diesem Abschnitt eine kurze Einfiihrung in die komplexe Matrizenrechnung, mussen dabei aber grundlegende Kenntnisse liber komplexe Zahlen voraussetzen. Eine ausfiihrliche Darstellung dieser Zahlen und der damit verbundenen komplexen Rechnung erfolgt dann etwas spater im dritten Kapitel dieses Bandes.
102
I Lineare Algebra
5.1 Ein einfiihrendes Beispiel Der in Bild 1-7 dargestellte Vierpol auch „Zweitor" genannt, enthalt einen komplexen Querwiderstand Z, bestehend aus einem ohmschen Widerstand R und einer Induktivitat L in Reihenschaltung.
Bild 1-7 Vierpol (auch Zweitor genannt) mit einem komplexen Querwiderstand
Am „Eingangstor" (Klemmenpaar 1,1') liegt die komplexe Eingangsspannung (7^, am „Ausgangstor" (Klemmenpaar 2,2') die komplexe Ausgangsspannung 1/2^^^- ^^^ (ebenfalls komplexen) Eingangs- und Ausgangsstrome I^ und 12 besitzen die eingezeichneten Zahlrichtungen. 1st co die Kreisfrequenz der Wechselspannungen und Wechselstrome, so besitzt der komplexe Querwiderstand den Wert Z = R+}coL
(1-179)
Zur vollstandigen Beschreibung des Vierpols oder Zweitors benotigen wir den (linearen) Zusammenhang zwischen den vier Strom- und SpannungsgroBen. Diese linearen Gleichungen erhalten wir durch Anwendung der Maschenregel-^^^ auf die im Bild eingezeichneten Maschen (I) und (II): (I)
-U,^ZI,-Zl2
(II)
U2-ZI^
=0
^j_^^^^
+Z/2=0
19) In der Wechselstromtechnik werden Spannungen und Stroma ebenso wie Widerstande durch komplexe
(meist zeitabhangige) GroBen dargestellt. 20) Maschenregel: In jeder Masche ist die Summe der Spannungen gleich Null.
5 Komplexe Matrizen
103
Wir losen diese Gleichungen noch nach (7^ bzw. U2 auf:
(II)
t/2 = Z / i - Z / 2
Dieses inhomogene lineare Gleichungssystem laCt sich in der Matrizenform auch wie folgt darstellen: Oder U
Z
U = ZI
(1-182)
I
In dieser Darstellung sind die beiden StromgroBen I^ und 12 die unabhdngigen Variablen und die beiden SpannungsgroBen U^ und U2 die abhdngigen Variablen. Zwischen dem ,,Spannungsvektor" U = l
I, dem ,,Stromvektor" I = (
I und
der sog.
„ Wider St andsmatrix"
\Z
-Zj
\R+](joL
-{R+]coL)J
^
^
besteht dann die lineare Beziehung U = ZI
(1-184)
Diese Matrizengleichung reprasentiert das Ohmsche Gesetz fiir die in Bild 1-7 beschriebene Vierpolschaltung in der speziellen Matrizenform. Die Widerstandsmatrix (1-183) enthalt dabei komplexe GroBen, namlich den komplexen Querwiderstand des Vierpols Oder Zweitors und liefert uns somit ein erstes Beispiel fur eine komplexe Matrix, d.h. eine Matrix mit komplexen Elementen. Durch die komplexe Wider standsmatrix Z werden die elektrischen Eigenschaften und damit das Verhalten des Vierpols in eindeutiger Weise beschrieben.
5.2 Definition einer komplexen Matrix Bislang haben wir uns ausschlieBlich mit reellen Matrizen beschaftigt, d.h. also mit Matrizen, deren Elemente reelle Zahlen darstellen. Diese Einschrankung wollen wir jetzt fallenlassen und lassen ab sofort auch komplexe Matrixelemente zu.
104
I Lineare Algebra
Anmerkung Die reellen Zahlen b^^ und Cj^ sind der Real- bzw. Imagindrteil des komplexen Matrixelementes a^^ = bi]^-\- j - c^^, j ist die imagindre Einheit (j^ = — 1).
Beispiele (1)
A= I
(2)
A= I
Q I ^^^ ^^^^ 2-reihige komplexe Matrix.
.
0 ) ^^^ ^^^^ komplexe Matrix vom Typ (2,3).
5.3 Rechenoperationen und Rechenregeln fiir komplexe Matrizen Die fiir reelle Matrizen definierten Rechenoperationen, Rechenregeln und Aussagen lassen sich sinngemaB auch auf komplexe Matrizen ubertragen. So werden beispielsweise zwei komplexe Matrizen vom gleichen Typ wie im Reellen elementweise addiert und subtrahiert. Die Multiplikation einer komplexen Matrix mit einem (reellen oder komplexen) Skalar erfolgt ebenfalls elementweise. Auch fiir die Matrizenmultiplikation gilt (unter den aus Abschnitt 1.6.3 bekannten Voraussetzungen) die alte Regel „Zeilenvektor des linken Faktors mal Spaltenvektor des rechten Faktors". Eine komplexe Matrix A = (au^) = {bu^ + j Cu^) laBt sich daher stets (ahnlich wie eine komplexe Zahl) wie folgt in einen Realteil B und einen Imagindrteil C zerlegen oder aufspalten: A = (a,-,) = (^.fc + j
q^) = {bi^) + G
qfc) = {hk) + J (^k) = B + j B
Wir fassen diese Aussagen wie folgt zusammen:
C
C
(1-186)
5 Komplexe Matrizen
105
Anmerkung Eine komplexe Matrix A geht durch Spiegelung ihrer Matrixelemente an der Hauptdiagonalen in ihre Transponierte A^ iiber.
Beispiele (1)
A=
/3-2j l-4j
l+5j\ 2 + 2j ,
V 3
4 - 2j /
B=
l-j 2
J
2 + 3j 6-4j 1 +2j
Beide Matrizen sind worn gleichen Typ und konnen daher elementweise addiert und subtrahiert werden:
A+ B=
B=
(2)
Wir multiplizieren die beiden 2-reihigen komplexen Matrizen
V2-2J
1+iJ
\2
l-j
21) Hier ist zu beachten, daB die Matrizenmultiplikation nur unter den in Abschnitt 1.6.3 genannten Voraussetzungen moglich ist.
106
I Lineare Algebra unter Verwendung des Falk-Schemas:
5.4 Konjugiert komplexe Matrix, konjugiert transponierte Matrix Konjugiert komplexe Matrix
Anmerkungen (1) Den Ubergang A ^ A* bezeichnet man auch als Konjugierung. (2)
Beim Ubergang von der komplexen Matrix A zur zugehorigen konjugiert komplexen Matrix A* gilt somit: ^ik = t^ik+y Cik -^ 4k = ^ik - J ^ik
(1-189)
A* besitzt daher die folgende Darstellung: A* = {bik - j (3)
C
(1-190)
Der Ubergang von der Matrix A = B + j C zur konjugiert komplexen Matrix A* = B — j C laBt sich auch durch die formale Substitution j ^ — j beschreiben: A= B+jC
(4)
c,-,) = (b,vt) - J (Cik) = B - j
- ^ — ^
A*=B-j-C
(1-191)
Es gelten die folgenden Rechengesetze: (A*)* = A
(1-192)
(A + B)* = A* + B* (A B)* = A*
B*
(1-193) (1-194)
5 Komplexe Matrizen
107
Beispiele (1)
A
'l+2j
4 + 5j
j
\2-3j
2
3-j
Die konjugiert komplexe Matrix A* lautet: /l-2j V2 + 3J
4-5j 2
Wir berechnen die Matrix (A verschiedene Arten:
-j^ 3+j
B)* mit Hilfe der Rechenregel (1-194) auf zwei
/. Losungsweg: A, B -> A B ^ (A B)* A B= ,
'j
3-2j\
/I , , 4 + 3 j / VJ
2 /
j \ , 1/
2-4j
2 + 2j
*^-^' H - 1 - 4 J
4-5J
2. Losungsweg: A, B ^ A*-(
J
A*, B* ^ A*
3 + 2j\
A*.B* = '
"J 2
/ 2 + 4j , V-1+4J
/
2-2j 4 + 5j
B* 1
3 + 2j\ / 1 4 - 3 j y V-J
-j
- j \ 1/
/ 2-4j V-1-4J
2 + 2j 4-5j
Somit gilt (wie erwartet): (A
B)* = A*
B* = f ^ " "^-^ V-1-4J
^ "^ ^^ 4-5j
Konjugiert transponierte Matrix Durch Transponieren der zur Matrix A konjugiert komplexen Matrix A* erhalt man definitionsgemaB die sog. konjugiert transponierte Matrix A = (A*)^:
108
I Lineare Algebra
Anmerkungen (1) Der Ubergang von A zur zugehorigen konjugiert transponierten Matrix A laBt sich wie folgt schematisch darstellen: A
^—^
A*
^—'-
>
(A*)T = A
Fiir die Matrixelemente ajjj gilt daher: «.fc ^ 4k ^ 4i
(1-196)
Die konjugiert tmnsponierte Matrix A besitzt somit die folgenden Matrixelemente: «ifc = 4 (2)
(1-197)
Die Operationen „Konjugieren" und „Transponieren" sind vertauschbar: A = (A*)'' = (A^)*
(3)
(1-198)
Es gel ten die folgenden Rechengesetze: S = A
(1-199)
(A + B) = A -h B
(1-200)
(A-B) = B-A
(1-201)
Beispiele (1)
/1+j A= 2 \2-j
3 + 2j -l+4j 5
l+2j\ j l-3j/
Wir bilden die zugehorige konjugiert transponierte Matrix A: /. Schritt: A -» A* /1-j A* = { 2 \2+j
3-2j -l-4j 5
l-2j\ -j l + 3j/
2. Schritt: A* ^ (A*)^ = A / I - j (A*)T = A = ( 3 - 2 j \l-2j
2 -l-4j -j
2+ j \ 5 I l+3j/
5 Komplexe Matrizen
109
Wir bilden die zugehorige konjugiert transponierte Matrix A auf zwei verschiedene Arten: 1. Losungsweg: A -^ A* -> (A*)^ = A
V4+J
i+5)J
V2 + 3J
l + 5j
2. Losungsweg: A -> A''^ -> (A"*^)* = A
V2-3J
l-5j;
l 2 + 3j
l+5j
Somit gilt (wie erwartet): A = (A*)T = (AT)* = f^
J
^ + J^
5.5 Spezielle komplexe Matrizen Wir beschreiben in diesem Abschnitt einige besonders wichtige quadratische Matrizen, die in den technischen Anwendungen (insbesondere in der Elektrotechnik) eine bedeutende Rolle spielen. Es handelt sich dabei um die hermiteschen, schiefhermiteschen und unitdren Matrizen. Sie entsprechen im Reellen der Reihe nach den symmetrischen, schiefsymmetrischen und orthogonalen Matrizen. 5.5.1 Hermitesche Matrix
Anmerkung Fiir die Matrixelemente einer hermiteschen Matrix A = (a^-^) gilt somit: aij, = 4i
( U = l,2,...,n)
(1-203)
110
I Lineare Algebra Beispiel / 4 2-2j l-3j\ — j j herWir zeigen, daB die komplexe Matrix A = j 2 + 2 j 1 \ l + 3j j 2 / mitesch ist. Zunachst berechnen wir die zugehorige konjugiert transponierte Matrix A = (A*)'': /
4 A* = 2 - 2j \l-3j /
2 + 2j 1 -j
4 (A*)T = A = 2 + 2j V l + 3j
l + 3j\ j 2 / 2-2j 1 j
1-3JX -j 2 /
Somit gilt / A = A=
4 2 + 2j \ l + 3j
2-2j 1 j
l-3j\ -j 2 /
d.h. A ist hermitesch. Wir beschaftigen uns noch mit einigen besonders wichtigen Eigenschaften der hermiteschen Matrizen: 1. Die Hauptdiagonalelemente an einer hermiteschen Matrix A sind immer reelL Denn aus (1-203) folgt fiir i = k: au = 4
(i = l,2,...,n)
(1-204)
Eine komplexe Zahl mit dieser Eigenschaft ist aber reell, da der in der GauBschen Zahlenebene dargestellte zugehorige Bildpunkt auf der reellen Achse liegt (vgl. hierzu Abschnitt 1.3 in Kapitel III). 2. Im Reellen ist A* = A. Dann aber gilt dort fur eine hermitesche Matrix A: A = A = (A*)'^ = A^ ^ A = A^
(1-205)
Die Matrix A ist damit symmetrisch. Folgerung: Im Reellen fallen die Begriffe „hermitesche" Matrix und „symmetrische" Matrix zusammen. 3. Wir zeigen noch, daB eine hermitesche Matrix A = B + j C stets einen symmetrischen Realteil B und einen schiefsymmetrischen Imaginarteil C besitzt. Aus A = A = (A*)''^ folgt namlich: A= B+j
C = A = (B - j
C)'^ = BT - j . C^
(1-206)
Real- und Imaginarteil miissen auf beiden Seiten dieser Matrizengleichung jeweils iibereinstimmen.
5 Komplexe Matrizen
111
Somit gilt B = RT
und
C = - C^
(1-207)
Dies aber bedeutet, daB der Realteil B eine symmetrische und der Imagindrteil C eine schiefsymmetrische Matrix darstellen. Umgekehrt gilt (ohne Beweis): 1st A = B 4- j C eine n-reihige komplexe Matrix mit einem symmetrischen Realteil B und einem schiefsymmetrischen Imaginarteil C, so ist A hermitesch.
Wir fassen jetzt die wichtigsten Eigenschaften einer hermiteschen Matrix wie folgt zusammen:
Anmerkung Es gilt auch die Umkehrung der zweiten Eigenschaft. Besitzt demnach eine komplexe Matrix A = B + j C einen symmetrischen Realteil und einen schiefsymmetrischen Imaginarteil, so ist A hermiteschl
Beispiele (1)
Wir wollen zunachst zeigen, daB die 2-reiliige komplexe Matrix A= I^
^.
hermitesch ist. Dazu zerlegen wir A in einen Real-
V3 + 4J
5
;
und einen Imagindrteil: 1
3 + 4j
3-4j\_/l
5 ;
3\
/0-4
V3 SJ'^-'U Realteil B
0,
Imaginarteil C
112
I Lineare Algebra Realteil B ist symmetrisch, Imaginarteil C dagegen schiefsymmetrisch. Somit ist A eine hermitesche Matrix. Sie besitzt (wie erwartet) ausschlieBlich reelle Hauptdiagonalelemente, namlich a^ = 1 und a22 = 5, und eine reellwertige Determinante: det A =
1 3 + 4j
3 - 4j = l - 5 - ( 3 - 4 j ) ( 3 + 4j) = 5
= 5 - (9 + 16) = 5 - 25 = - 20
(2)
Die Matrix A = ( . 1 kann nicht hermitesch sein, da sie ein V^+J 5j J nicht-reelles Hauptdiagonalelement enthalt, namlich das imagindre Element «22 = 5j.
5.5.2 Schiefhermitesche Matrix
Anmerkung Die Matrixelemente einer schiefhermiteschen Matrix A = (au^) erfullen somit die Bedingung ciik=-4i
( U = l,2,...,n)
(1-209)
Beispiel Wir wollen zeigen, daB die 2-reihige komplexe Matrix A = I schiefhermitesch ist. Zunachst berechnen wir daher die zugehorige konjugiert transponierte Matrix A = (A*)^:
vi-j
- 3 j ;
^
'
v-i-j
-3j
Somit gilt
"^^(-i-j
-3j)^"(i+j
^ir~^ A
Aus A = — A folgt A = — A, d.h. die Matrix A ist schiefhermitesch.
5 Komplexe Matrizen
113
Eine schiefhermitesche Matrix besitzt stets rein imagindre Hauptdiagonalelemente, wobei die Zahl Null als Grenzfall dazu gehort. Denn aus (1-209) folgt unmittelbar fiir i = k: a.. = -afi
(/ = l,2,...,n)
(1-210)
Komplexe Zahlen mit dieser Eigenschaft liegen aber in der Gaufischen Zahlenebene genau auf der imagindren Achse (Richtungsumkehr des zugehorigen Zeigers, siehe hierzu Abschnitt 1.2 in Kapitel III). Weitere Eigenschaften einer schiefhermiteschen Matrix sind (ohne Beweis):
Anmerkung Die zweite Aussage laBt sich auch umkehren: Eine komplexe Matrix A = B + j C mit einem schiefsymmetrischen Realteil B und einem symmetrischen Imaginarteil C ist immer schiefhermiteschl Beispiel Die 2-reihige komplexe Matrix A = I Real-und Imagindrteil zQrlQgQu: V ~ J
VI-J
Realteil B
5j ;
\i
Oj
. 1 laBt sich wie folgt in einen J /
\-i
5j
Imaginarteil C
Da der Realteil B eine schiefsymmetrische, der Imaginarteil C dagegen eine symmetrische Matrix darstellt, ist A selbst eine schiefhermitesche Matrix. 22)
Die Null wird hier als Grenzfall einer imaginaren Zahl betrachtet und dazu gerechnet (0 j = 0).
114
I Lineare Algebra
5.5.3 Unitare Matrix
Anmerkung Die Reihenfolge der beiden Faktoren in der Definitionsformel (1-211) darf vertauscht werden, d.h. fiir eine unitare Matrix A gilt stets: A A= A A= E
(1-212)
Beispiel Um zu zeigen, daB die 2-reihige komplexe Matrix A = I
. I unitdr ist, -j 0, _ berechnen wir zunachst die zugehorige konjugiert transponierte Matrix A:
Fiir das Matrizenprodukt A A erhalten wir dann:
Die Matrix A ist somit unitdr.
Ist A reell und unitdr, so gilt A* = A und weiter A = (A*)^ = A^. Aus der Definitionsformel (1-211) folgt dann: A - A = A-A'^ = E
(1-213)
Die Matrix A ist somit orthogonal Dies aber bedeutet, da6 im Reellen die Begriffe „unitare" Matrix und „orthogonale" Matrix zusammenfallen.
5 Komplexe Matrizen
115
Allgemein lassen sich fiir unitdre Matrizen folgende Eigenschaften nachweisen:
Beispiel Anhand der (bereits als unitdr erkannten) 2-reihigen komplexen Matrix A=
/
0
v-j
j \
wollen wir die soeben festgehaltenen Eigenschaften einer unitdren
oy
Matrix verifizieren. Die Determinante von A besitzt den Betrag 1 (wie erwartet): det A
0 -j
j 0
0 + j ^ = - 1 => IdetAI = 1
Ferner wollen wir zeigen, da6 A = A ^ ist. Dazu berechnen wir zunachst die konjugiert transponierte Matrix A:
Die noch benotigte inverse Matrix A ^ berechnen wir mit Hilfe von Unterdeterminanten nach Formel (1-90).
116
I Lineare Algebra Die algebraischen Komplemente der vier Matrixelemente in der Determinante von A lauten dabei wie folgt: ^ii=(-l)'^'-^ii=(-l)'0==0
^12=(-1)'^'-^12=(-1)'(-J)=J
^22=(-l)'''^-^22=(-l)^0 = 0 Somit ist ^_,^
1
[A,,
detA\^i2
A2i\_
fO-}\_f
^22/
\J
0/
0
\-j
j
0
die zu A gehorende Inverse und zugleich identisch mit der konjugiert transponierten Matrix A, was zu erwarten war.
6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix In zahlreichen naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen stoBt man auf sog. Matrizeneigenwertprobleme. Die dabei grundlegenden Begriffe wie ,,Eigenwerf' und „Eigenvektor" einer quadratischen (reellen oder auch komplexen) Matrix wollen wir zunachst an einem einfachen geometrischen Beispiel erlautern.
6.1 Ein einfiihrendes Beispiel Wir betrachten die Spiegelung eines beliebigen Punktes P = (x^; X2) an der x^-Achse einer Ebene (Bild 1-8). Der Punkt P geht dabei in den „Bildpunkt" P' = (w^; M2) iiber. Die Transformationsgleichungen konnen wir unmittelbar aus dem Bild ablesen. Sie lauten wie folgt: Ui = Xi
u^ = 1 Xi -\- 0 ' X2
Oder
(1-216) U2 = 0
M2 = — ^ 2
Xi — 1 ' X2
Wir bringen diese Gleichungen noch in die Matrizenform: 'wi\ U2/
/I
0
,
\ 0 — 1 / \X2^ X
Oder
u = Ax
(1-217)
116
I Lineare Algebra Die algebraischen Komplemente der vier Matrixelemente in der Determinante von A lauten dabei wie folgt: ^ii=(-l)'^'-^ii=(-l)'0==0
^12=(-1)'^'-^12=(-1)'(-J)=J
^22=(-l)'''^-^22=(-l)^0 = 0 Somit ist ^_,^
1
[A,,
detA\^i2
A2i\_
fO-}\_f
^22/
\J
0/
0
\-j
j
0
die zu A gehorende Inverse und zugleich identisch mit der konjugiert transponierten Matrix A, was zu erwarten war.
6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix In zahlreichen naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen stoBt man auf sog. Matrizeneigenwertprobleme. Die dabei grundlegenden Begriffe wie ,,Eigenwerf' und „Eigenvektor" einer quadratischen (reellen oder auch komplexen) Matrix wollen wir zunachst an einem einfachen geometrischen Beispiel erlautern.
6.1 Ein einfiihrendes Beispiel Wir betrachten die Spiegelung eines beliebigen Punktes P = (x^; X2) an der x^-Achse einer Ebene (Bild 1-8). Der Punkt P geht dabei in den „Bildpunkt" P' = (w^; M2) iiber. Die Transformationsgleichungen konnen wir unmittelbar aus dem Bild ablesen. Sie lauten wie folgt: Ui = Xi
u^ = 1 Xi -\- 0 ' X2
Oder
(1-216) U2 = 0
M2 = — ^ 2
Xi — 1 ' X2
Wir bringen diese Gleichungen noch in die Matrizenform: 'wi\ U2/
/I
0
,
\ 0 — 1 / \X2^ X
Oder
u = Ax
(1-217)
6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix X2i
117
I ^1
X
P^(Xi:X2)
^2
0
N^^
^1=^1
^1
U2 = -X2
Bild 1-8 Spiegelung eines ebenen Punktes P an der x^-Achse
u > P' = (Uj;U2)
Der Vektor x ist dabei der Ortsvektor des Punktes P, der Vektor u der Ortsvektor des zugehorigen Bildpunktes P^ Jetzt interessieren wir uns ausschlieBlich fur alle diejenigen (vom Nullvektor verschiedenen) Ortsvektoren, die bei dieser Spiegelung in einen Vektor gleicher Richtung oder Gegenrichtung iibergehen-^^^ Diese (noch unbekannten) Vektoren geniigen also der Bedingung u = 2x
(1-218)
und somit der folgenden Matrizengleichung: Ax = Xx = lEx
Oder
(A - / I E) x = 0
(1-219)
Dabei ist E die 2-reihige Einheitsmatrix. Die als charakteristische Matrix von A bezeichnete Matrix A — >l E besitzt die folgende Gestalt: 0
0-1/
Vo
1/
V 0
-i-x
(1-220)
Die Matrizengleichung (1-219) lautet daher in ausfiihrlicher Schreibweise: 1 -1 0
23)
0 1 -A
Die Vektoren u und x sollen also kolUnear sein.
(1-221)
118
I Lineare Algebra
DiQSQshomogene lineare Gleichungssystem mit den beiden unbekannten Koordinaten Xi und X2 enthalt noch einen (ebenfalls unbekannten) Parameter X und ist bekanntlich nur dann nicht-trivial losbar, wenn die Koeffizientendeterminante verschwindet, d.h. det(A-2E) = | A - A E | =
1 -/I 0
0 - 1 -X
= 0
(1-222)
gilt. Hieraus erhalten wir die sog. charakteristische Gleichung der Matrix A: det(A - AE) = (1 - A) ( - 1 - A) = 0
(1-223)
Die Losungen dieser Gleichung heiBen Eigenwerte der Matrix A. Sie lauten hier also: 2^ = 1,
A2=-l
(1-224)
Zu diesen Eigenwerten gehoren bestimmte Ortsvektoren, die in diesem Zusammenhang als Eigenvektoren der Matrix A bezeichnet werden. Man erhalt sie, indem man in das homogene lineare Gleichungssystem (1-221) fiir den Parameter X den jeweiligen Eigenwert einsetzt und anschlieBend das Gleichungssystem lost. Mit der Bestimmung dieser Eigenvektoren wollen wir uns jetzt naher befassen. Eigenvektoren zum Eigenwert Aj = 1 Einsetzen des erst en Eigenwertes A^ = 1 in die Gleichung (1-221) liefert das homogene lineare Gleichungssystem Oxi +0x2
0
=0
^ ^ x^ — 2 X2 = ^
(1-225)
Dieses System reduziert sich auf die eine Gleichung -2x2 = 0
(1-226)
mit der Losung X2 — 0. Da die erste Unbekannte x^ in dieser Gleichung nicht auftritt, diirfen wir uber x^ frei verfugen und setzen daher x^ = a. Das Gleichungssystem (1-225) besitzt damit die von dem reellen Parameter cc abhangige Losung xi=a,
X2 = 0
Oder
Xi=(
j=a(
j
(1-227)
(a 6 R). Der zum Eigenwert A^ = 1 gehorige Eigenvektor ist somit bis auf einen beliebigen konstanten Faktor a ^0 eindeutig bestimmt. Wir wahlen a = 1 und erhalten den normierten Eigenvektor x,=(i)
(1-228)
Alle weiteren zum Eigenwert X^ = 1 gehorenden Eigenvektoren sind dann ein Fie//ac/ies (a-faches) des normierten Eigenvektors x^ (a ^ 0). In der Praxis beschrankt man sich daher auf die Angabe dieses Eigenvektors und betrachtet x^ als den zum Eigenwert ^1 = 1 gehorenden Eigenvektor.
6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix
119
Geometrische Deutung: Die zum Eigenwert X^ = \ gehorenden Eigenvektoren sind die Ortsvektoren der auf der x^-Achse liegenden Punkte, die bei der Spiegelung an dieser Achse in sich selbst iibergehen (ausgenommen ist der Nullpunkt; Bild 1-9). / a\
Spiegelung an der
/a\
^;^l
P=P'=(OC;0)
!»
Bild 1-9
Eigenvektoren zum Eigenwert ^2 = "- 1 Wirsetzenjetzt den zweif^n Eigenwert /I2 = — 1 in die Gleichung (1-221) ein und erhalten das homogene lineare Gleichungssystem ^ 0 - Xi H- 0
(1-230)
2 = 0
Dieses System reduziert sich auf die eine Gleichung 2xi=0
(1-231)
mit der Losung x^ = 0. Die zweite Unbekannte tritt in dieser Gleichung nicht auf, darf daher frei gewdhlt werden. Wir setzen X2 = P und erhalten fiir das Gleichungssystem (1-230) die von dem reellen Parameter f] abhangige Losung xi=0,
X2 = P
Oder
x^ = ("^ j = i^ ('^')
(1-232)
()S EIR). Wiederum ist der Eigenvektor bis auf einen beliebigen konstanten Faktor p 9^ 0 eindeutig bestimmt. Wir wahlten P = 1 und erhalten so den normierten Eigenvektor X2 = ( J )
(1-233)
Alle weiteren zum Eigenwert /I2 = — 1 gehorenden Eigenvektoren sind dann ein Vielfaches (j^-faches) dieses normierten Eigenvektors X2 (P ¥" 0).
120
I Lineare Algebra
Geometrische Deutung: Die zum Eigenwert X2 — ~ ^ gehorenden Eigenvektoren sind die Ortsvektoren der auf der X2-Achse liegenden Punkte (wiederum mit Ausnahme des Nullpunktes), die bei der Spiegelung an der x^-Achse in den jeweiligen Gegenvektor iibergehen {Richtungsumkehr des Ortsvektors bei gleichbleibender Lange; Bild I-10): / 0\
Spiegelung an der
/0\
i
(> P=(0;ft)
i^ .
0
^1
Bild I-IO U2 = -X2 1
^ P'={0;-ft)
Fazit Die Eigenvektoren der Transformationsmatrix A sind in diesem Beispiel diejenigen (vom Nullvektor verschiedenen) Ortsvektoren, die bei der Spiegelung an der x^-Achse entweder in sick selbst oder in den entsprechenden Gegenvektor iibergehen. Den beiden Eigenwerten kommt dabei die folgende geometrische Bedeutung zu: >oi = 1:
Richtung und Lange des Ortsvektors bleiben bei der Spiegelung erhalten (Punkte auf der x^-Achse mit Ausnahme des Nullpunktes; Bild 1-9)
X,2 = - 1- Richtungsumkehr des Ortsvektors bei der Spiegelung (Punkte auf der X2-Achse mit Ausnahme des Nullpunktes; Bild I-IO) Die Spiegelung an der x^-Achse haben wir in eindeutiger Weise durch die 2-reihige Transformationsmatrix
beschreiben konnen.
6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix
121
Die Eigenwerte und Eigenvektoren dieser Matrix lieferten uns dabei diejenigen Ortsvektoren, die bei dieser Spiegelung entweder unverdndert blieben oder aber eine Richtungsumkehr erfuhren. Man nennt allgemein ein Problem dieser Art ein Matrixeigenwertproblem. Die Aufgabe besteht dann darin, die Eigenwerte und Eigenvektoren der vorgegebenen (quadratischen) Matrix A zu bestimmen.
6.2 Eigenwerte und Eigenvektoren einer 2-reihigen Matrix A sei eine 2-reihige Matrix-^^l Wir ordnen dann jedem Vektor x der Ebene durch die Abbildungsgleichung (Transformationsgleichung) y = AX
(1-236)
in eindeutiger Weise einen Bildvektor y der gleichen Ebene zu. Wie in unserem einfiihrenden Beispiel konnen wir wiederum den Vektor x als den Ortsvektor eines (ebenen) Punktes P auffassen, der bei dieser Transformation in den Ortsvektor y = A x des zugeordneten Bildpunktes P' iibergefiihrt wird. Unsere Problemstellung lautet jetzt wie folgt: Gibt es bestimmte Richtungen, die sich von den anderen Richtungen dadurch unterscheiden, daB der Urbildvektor x und der zugehorige Bildvektor y = A x in eine gemeinsame Linie (Gerade) fallen? Fiir eine solche bevorzugte Richtung muB also gelten: Fallt der Urbildvektor x in diese Richtung, so liegt auch der Bildvektor y = A x in dieser Richtung (Bild I-ll).
y= Ax
Bild I-ll Sonderfall: Urbildvektor x und der zugehorige Bildvektor y = A x fallen in eine gemeinsame Linie, sind also kollineare Vektoren
24) Bei unseren weiteren Ausfiihrungen gehen wir zunachst von einer reellen Matrix aus, lassen diese Einschrankung jedoch spater fallen.
I Lineare Algebra
122
Die Richtung selbst ist dabei durch Angabe des in diese Richtung fallenden Urbildvektors X eindeutig festgelegt. Fiir solche bevorzugten Richtungen muB also gelten, daB der Bildvektor y = A x ein (positives oder negatives) Vielfaches (>^-faches) des Urbildvektors X darstellt-^^^: y = A X = 2x
(1-237)
Die (noch unbekannten) bevorzugten Richtungen bzw. die in diese Richtungen fallenden Urbildvektoren geniigen somit der Matrizengleichung Ax = Xx = XEx
oder
(A - >^E)x = 0
(1-238)
Durch diese Gleichung wird ein sog. Matrixeigenwertproblem beschrieben. Die Matrix A — >l E ist die sog. charakteristische Matrix von A. In ausfiihrlicher Schreibweise lautet die Matrizengleichung (1-238) wie folgt: -X «21
»12
(1-239)
«22 - ^
Nicht-triviale Losungen, d.h. vom Nullvektor 0 verschiedene Losungen treten jedoch nur dann auf, wenn die Koeffizientendeterminante des homogenen linearen Gleichungssystems (1-239) verschwindet. Dies fuhrt zu der folgenden charakteristischen Gleichung mit dem unbekannten Parameter 1: det (A - A E) =
CLil — X
^12
^21
^ 2 2 ~" ^
(1-240)
=0
Die 2-reihige Determinante det (A — 1E) wird dabei als charakteristisches Polynom p (X) der Matrix A bezeichnet. Die Losungen der charakteristischen Gleichung heiBen Eigenwerte, die zugehorigen (vom Nullvektor verschiedenen) Losungsvektoren Eigenvektoren der Matrix A. Die Eigenwerte der Matrix A werden aus der charakteristischen Gleichung (1-240) berechnet, sind also die Nullstellen des charakteristischen Polynoms p(X}: p{X) = dQt{A-lE)
= ^21
^22 ~ ^
= («11 - ^ ) («22 - ^ ) - ^ 1 2 ^ 2 1 =
= X^ - ( « 1 1 + « 2 2 ) ^ + ( ^ l l « 2 2 - « 1 2 ^ 2 l ) = 0
Sp(A)
(1-241)
det A
Die Koeffizienten dieser quadratischen Gleichung haben dabei die folgende Bedeutung: Der erste Koeffizient ist die mit einem Minuszeichen versehene sog. Spur der Matrix A, definiert durch die Gleichung Sp(A) = a i i +^22 25)
(1-242)
Die Vektoren x und y = A x mussen kollinear sein, d.h. sie sind entweder parallel oder anti-parallel orientiert.
6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix
123
{Summe der Hauptdiagonalelemente). Der zweite Koeffizient ist die Koeffizientendeterminante det A =
ni ^21
"12 ^22
n i " 2 2 ~ "12"21
(1-243)
Sind Xi und ^2 diebeiden£igenwerre, d.h. diebeiden Losungender charakteristischen Gleichung (1-241), so konnen wir das charakteristische Polynom p{X) = 1^ - ( a i l + « 2 2 ) > ^ ' + ( ^ 1 1 ^ 2 2 - « 1 2 ^ 2 l ) =
= A^ - Sp (A) 2 + det A
(1-244)
auch in der Produktform p{X} = (A - Ai) (i - ^2) = ^^ - {^i + /l2)^ + ^1 ^2
(1-245)
darstellen (Zerlegung in Linearfaktoren). Durch einen Vergleich der Koeffizienten in den beiden Gleichungen (1-244) und (1-245) erhalten wir dann zwei wichtige Beziehungen zwischen der Spur und der Determinante von A einerseits und den beiden Eigenwerten ^1 und ^2 ^^^ Matrix A andererseits: Sp (A) = ai 1 + ^22 = ^\ -^ ^2 FV / 11 22 1 2 det A = a i i a 2 2 - «i2<^2i = ^1^2
^j_24^^
Dies aber bedeutet, daB die Spur der Matrix A gleich der Summe und die Determinante von A gleich dem Produkt der beiden Eigenwerte ist. Die Berechnung des zum Eigenwert 2^ gehorenden Eigenvektors Xj erfolgt dann aus dem homogenen linearen Gleichungssystem (A-A^E)x^ = 0
(i = l,2)
Wir fassen die Ergebnisse wie folgt zusammen:
(1-247)
124
I Lineare Algebra
Anmerkungen (1) Sind die beiden Eigenwerte voneinander verschieden, so sind die zugehorigen Eigenvektoren linear unabhdngig. (2)
Zu einem doppelten (zweifachen) Eigenwert gehoren mindestens ein, hochstens aber zwei linear unabhdngige Eigenvektoren. Beispiele (1)
f-2 Wir berechnen die Eigenwerte der 2-reihigen Matrix A = I
-5\ 1. Sie
sind die Losungen der folgenden charakteristischen Gleichung: det (A - 1E) =
1 1
-5 4-1
= (-2-A)(4-;i) + 5 = P - 2 ; i - 3 = 0 Die Eigenwerte lauten demnach: X^ = — 1, X2 — ^^ Der zum Eigenwert A^ = — 1 gehorende £/genve/ctor wird aus dem homogenen linearen Gleichungssystem (A4-lE)x = 0
Oder
( " I " 3 ) ( ^ j ) = (o
6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix
125
bestimmt. In ausfiihrlicher Schreibweise lautet dieses System wie folgt: — jx^ — 5 ^ 2 = 0
x^ + 5^2 = 0 Dieses Gleichungssystem reduziert sich auf die eine Gleichung Xi + 5X2 = 0
Eine der beiden Unbekannten ist somit frei wdhlbar. Wir entscheiden uns fiir X2 und setzen daher X2 = a (a G R ) . Die vom reellen Parameter a abhangige Losung lautet dann x^ = — 5(x, X2 = oi. Den Losungsvektor (Eigenvektor)
wollen wir noch normieren: ' ' ' = 26
1
Analog laBt sich der zum Eigenwert A2 = 3 gehorende Eigenvektor aus dem homogenen linearen Gleichungssystem
bestimmen. Dieses Gleichungssystem lautet in ausfiihrlicher Schreibweise wie folgt: — 5xi — 5x2 = 0 Xi -\-
X2 = 0
Es reduziert sich auf die eine Gleichung X| + X2 = 0 die aber noch zwei unbekannte GroBen enthalt. Wir konnen daher eine der beiden Unbekannten frei wdhlen und entscheiden uns dabei fiir X2, d.h. wir setzen X2 — ^ {P e R). Die von dem reellen Parameter p abhangige Losung ist dann Xi = — P, X2= P. Der gesuchte Eigenvektor lautet somit
''^=("^)'''('0 "*'' oder (in der normierten Form)
1 /-r
I Lineare Algebra
126
Die normierten Eigenvektoren x^ und X2 der Matrix A sind dabei linear unabhdngig, da sie zu verschiedenen Eigenwerten gehoren. (2)
Durch die Transformationsmatrix A=
cos (p — sin (p
sm (p cos (p
wird die Drehung eines ebenen Xi,X2-Koordinatensystems um den Winkel (p um den NuUpunkt beschrieben (Bild 1-12). Fiir welche Drehwinkel erhalten wir reelle Eigenwerte {0° < (p < 360°)?
X2 i
i
Bild 1-12 Drehung eines ebenen kartesischen x^, X2-Koordinatensystems um den Koordinatenursprung
'^y^]
^^.
0
^7
Losung: Die Eigenwerte berechnen sich aus der charakteristischen Gleichung A .fA :jr\ \cos(p-l det (A — / E) = I —smcp
sincp
= (cos (/) — /l)^ + sin-^ (p =
cos (p — A
= )? -1 (cos (p) /I + 1 = 0 Sie lauten: ^1/2 = cos (/) + V COS^ (p — \
Reelle Werte sind demnach nur moglich, wenn die Bedingung cos^ cp — 1 ^ 0
und damit
cos^ cp ^ 1
erfullt ist. Andererseits gilt stets cos^ cp ^1- Beide Bedingungen zusammen fuhren dann auf die Gleichung cos^ (p = 1
6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix
127
die im Intervall 0° < cp < 360° genau eine Losung besitzt, namlich cp = 1S0° Oder (im BogenmaB) cp = n. Dieser Wert entspricht einer Drehung des Koordinatensystems um 180° imGegenuhrzeigersinn. ZumWinkd cp = n gehort der doppelte Eigenwert ^1/2 = cos n = — 1. Die zugehorigen (linear unabhangigen) Eigenvektoren lassen sich dann aus dem homogenen linearen Gleichungssystem (A+lE)x = 0
Oder
(^
o) ( x j ) = (o
bestimmen (in der Matrix A wurde cp = n gesetzt). Dieses Gleichungssystem lautet in ausfiihrlicher Schreibweise 0-Xi + 0 - X 2 = 0 0- xi + 0 .X2 = 0 und reduziert sich auf die eine Gleichung 0
xi + 0- X2 = 0
Die Unbekannten x^ und X2 sind somit beide frei wdhlbar. Wir setzen daher Xi = oc und X2 = j^ (a, j^ e R). Damit erhalten wir den von zwei Parametern abhangigen Losungsvektor (Eigenvektor)
unddarausfiir a = 1, j5 = 0 bzw. a == 0, p = 1 dk bddQn linear unabhdngigen (und bereits normierten) Eigenvektoren
)
und
X9 = I
Der allgemeine Losungsvektor x ist dann als Linearkomhination dieser (orthonormierten) Eigenvektoren x^ und X2 darstellbar:
Er beschreibt den Ortsvektor des Punktes P = (a; j5) und geht bei der Drehung um 180° in den Gegenvektor
iiber. Diese Aussage wird in Bild 1-13 verdeutHcht. Der zweifache Eigenwert Xij2 = — 1 bewirkt also lediglich eine Richtungsumkehr des Ortsvektors x {Punktspiegelung am Koordinatenursprung, der Nullpunkt selbst muB wiederum ausgenommen werden).
I Lineare Algebra
128
P=(oL:ft)
Bild 1-13 Punktspiegelung am Koordinatenursprung P'=(-oc;-pJ
6.3 Eigenwerte und Eigenvektoren einer n-reihigen Matrix Im vorangegangenen Abschnitt haben wir uns ausfiihrlich mit den Eigenwerten und Eigenvektoren einer 2-reihigen Matrix beschaftigt. Analoge Betrachtungen fiihren bei einer n-reihigen Matrix A auf das n-dimensionale Eigenwertproblem AX = AX
Oder
(A — A E) x = 0
(1-253)
Die Losung dieser Aufgabe, d.h. die Bestimmung der Eigenwerte und der zugehorigen Eigenvektoren, erfolgt dann ahnlich wie bei einer 2-reihigen Matrix.
6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix
129
Anmerkungen (1) Die Eigenwerte der Matrix A sind die Nw/Zsre/Z^n des charakteristischen Polynoms (2)
Eine n-reihige Matrix A ist genau dann regular, wenn sdmtliche Eigenwerte von Null verschieden sind.
(3)
Ist /Ij ein Eigenwert der regular en Matrix A, so ist der Kehrwert l/Aj- ein Eigenwert der inversen Matrix A~^.
(4)
Beim Auftreten mehrfacher Eigenwerte kann also die Gesamtzahl linear unabhangiger Eigenvektoren kleiner sein als n.
9 fi'i
Mehrfach auftretende Werte werden entsprechend oft berucksichtigt.
130
I Lineare Algebra Beispiele (1)
Welche Eigenwerte und Eigenvektoren besitzt die 3-reihige Matrix
Losung: Die Eigenwerte sind die Losungen der charakteristischen Gleichung
det (A - /I E) =
1-/1 -1 0
0 3-A -3
0 0 -A
Sie lauten: X^ = 0 , 22 = 1' ^3 = ^ Wir bestimmen jetzt die zugehorigen Eigenvektoren. Eigenvektor zu Aj = 0 Der Eigenvektor genugt dem homogenen linearen Gleichungssystem
(A - 0 E) X = 0 Oder In ausfiihrlicher Schreibweise: xi =0 ^ + 3x2 = 0 -3x2 = 0 Die Losung lautet: x^ = 0, X2=0, X3 = a. Dabei ist a 7^ 0 eine willkiirliche Konstante (da X3 in den Gleichungen nicht auftritt, konnen wir iiber diese Unbekannte frei verfugen und setzen daher X3 = a). Der zum Eigenwert Ai = 0 gehorende Eigenvektor lautet somit:
(a/0)
Er ist bis auf den konstanten Faktor oc^O eindeutig bestimmt. Durch Normierung erhalten wir schlieBlich den gesuchten Eigenvektor
6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix
131
Eigenvektor zu A2 = 1 Das homogene lineare Gleichungssystem lautet jetzt:
(A - 1 E) X = 0 Oder In ausfiihrlicher Schreibweise: — x^ + 2^2
= 0
— 3^2 — X3 = 0
Da dieses System drei Unbekannte, aber nur zwei Gleichungen besitzt, kann eine der unbekannten GroBen frei gewdhlt werden. Wir entscheiden uns fur die Unbekannte X2 undsetzen X2 = j^ (j5eIR). Das Gleichungssystem wird dann gelost durch x^ = 2^, Xj = P, x^ = — 3 p. Damit lautet der zum Eigenwert ^2 = 1 gehorende Eigenvektor wie folgt:
(i?#0)
Er ist bis auf den konstanten Faktor ^ ^0 eindeutig bestimmt. Durch Normierung folgt schlieBlich:
Eigenvektor zu X3 = 3 Diesmal erhalten wir das homogene hneare Gleichungssystem
(A - 3 E) X = 0 Oder In ausfiihrlicher Schreibweise: -2xi -xi
=0 =0 — 3^2 — 3x3 = 0
Die Losung lautet: x^ = 0, X2 == — 7, X3 = y. Dabei ist 7 / 0 eine willkiirliche Konstante (wir konnen uber X2 oder X3 frei verfiigen, wobei wir uns fur X3 entschieden und daher X3 = 7 gesetzt haben).
I Lineare Algebra
132
Der zum Eigenwert A3 = 3 gehorende Eigenvektor ist damit bis auf den konstanten Faktor y ^0 eindeutig bestimmt. Er lautet:
, 3 = ( - : ) = , ( - : )
oder in der iiblichen normierten Form:
Die drei Eigenvektoren sind - wie erwartet - linear unabhdngig, da die aus ihnen gebildete 3-reihige Matrix ^^^
A= wegen 0 2 detA = 0 1 1 -3
= -2/0
regular ist.
(2)
Die Eigenwerte der 3-reihigen Matrix A = I 1 gen der charakteristischen Gleichung \ i
det (A - 1E) =
sind die Losun-
2 1 1 1 -X 1 = - / l ^ + 3A + 2 - 0 1 1 -A
Sie lauten: I112 = — 1 und /I3 = 2. Wir bestimmen jetzt die zugehorigen Eigenvektoren.
21) Die konstanten Koeffizienten (Normierungsfaktoren) der Eigenvektoren haben wir der Einfachheit halber weggelassen, da sie in diesem Zusammenhang ohne Bedeutung sind.
6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix
133
Eigenvektoren zu X112 = — I Die gesuchten Eigenvektoren geniigen dem homogenen linearen Gleichungssystem (A + 1 E) X = 0 Oder
1 \1
1 1
In ausfiihrlicher Schreibweise: x^ + X2 + X3 = 0 X j + X2 + X3 = 0 Xj + ^ 2 + X3 = 0
Das Gleichungssystem reduziert sich somit auf die eine Gleichung Xi -\- X2 -\- x^ = 0
in der zwei der drei Unbekannten frei wdhlbar sind. Wir entscheiden uns fiir die Unbekannten X2 und X3, setzen daher X2 = oc, x^ = p und erhalten damit die folgende Losung: XjL = — a — j5,
X2 = oc,
x^ = P
(X und j5 sind dabei zwei beliebige reelle Konstanten. Fiir a = 1, p = 0 bzw. a = 0, P = 1 erhalten wir die beiden linear unabhdngigen Eigenvektoren
und
X9 =
und daraus durch Normierung die gesuchten (Hnear unabhangigen) Eigenvektoren und
Eigenvektor zu ^3 = 2 Der zum Eigenwert ^3 = 2 gehorende Eigenvektor wird aus dem homogenen Hnearen Gleichungssystem (A - 2 E) X = 0 Oder ermittelt.
134
I Lineare Algebra Das Gleichungssystem — 2xi +
^2 -\- ^ 3 = 0
Xi — 1X2 + ^1 +
^3 = ^
^2 ~ 2^3 — ^
besitzt die vom Parameter y abhangige Losung x^ = X2 = x^ = y. Der bis auf einen konstanten Faktor y 7^ 0 bestimmte Eigenvektor lautet damit:
(y^o)
Xa =
Durch Normierung wird daraus schlieBlich 1 Xq =
Die drei normierten Eigenvektoren x^, X2 ^^^ ^3 ^^^^ linear unabhdngig, da die Determinante der aus ihnen gebildeten Matrix nicht verschwindet (die Normierungsfaktoren haben wir dabei der Einfachheit halber weggelassen, da sie in diesem Zusammenhang keine Bedeutung haben): 1 -1 1 0 0 1
= 39^0
6.4 Eigenwerte und Eigenvektoren spezieller Matrizen 6.4.1 Eigenwerte und Eigenvektoren einer Diagonal- bzw. Dreiecksmatrix Die Eigenwerte einer n-reihigen (oberen) Dreiecksmatrix vom allgemeinen Typ *ll
A=
\o
H2
*ln
^22
^2n
(1-259)
6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix
135
sind die Losungen der charakteristischen Gleichung '12
*ii
det (A - i E) -
0
^22
nn X
0
0
^2n
=0
(1-260)
^nn~~ ^
Nach der Kegel 9 fiir Determinanten aus Abschnitt 2.4.3 folgt weiter det (A — A E) = (a^ 1 — X) (^22 — X)... (a^^ — X) = 0
(1-261)
und somit durch Nullsetzen der einzelnen Faktoren schlieBlich Xi=aii,
X2=a22^
,
K = ^nn
(1-262)
Die Eigenwerte einer oberen Dreiecksmatrix sind demnach genau die Elemente in der Hauptdiagonalen der Matrix. Diese Aussage gilt natiirlich auch fiir eine untere Dreiecksmatrix und selbstverstandlich auch fiir eine Diagonalmatrix, da diese ja einen Sonderfall der Dreiecksmatrix darstellt. Wir fassen zusammen:
Beispiele (1)
/ 2 0 A= j —5 4 \ 3 0 X^=2,
(2)
0\ 0 I ist eine untere Dreiecksmatrix mit den Eigenwerten 8/
X2 = 4 und X^ = 8.
Die 4-reihige Diagonalmatrix B =
besitzt die Eigen-
werte Xi = — 2, /I2/3 = 1 und ^4 = 2, d.h. also zwei einfache und einen doppelten Eigenwert.
136
I Lineare Algebra
6.4.2 Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix In den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen kommt den symmetrischen Matrizen (A = A^) eine besondere Bedeutung zu. Ihre Eigenwerte und Eigenvektoren besitzen die folgenden Eigenschaften (ohne Beweis):
Beispiel /I 2' Die Eigenwerte der 2-reihigen symmetrischen Matrix A = I ) erhalten wir aus der folgenden charakteristischen Gleichung: ^ ~ ' det (A - 2 E) =
1-/1 2
= P-^2^-6
2 -2-X
= {l-X)(-2-X)-4
=
=0
Sie lauten: Xi = — 3, I2 = ^- ^^^ ^^^ Eigenwert /l^ = — 3 gehorende Eigenvektor wird aus dem homogenen linearen Gleichungssystem
bestimmt. Dieses Gleichungssystem lautet in ausfiihrlicher Schreibweise: 4xi + 2 x 2 = 0 2xi +
^2 = ^
Da die beiden Gleichungen zueinander proportional sind, diirfen wir eine der beiden Gleichungen weglassen. Das System reduziert sich damit auf die eine Gleichung 2xi + X2 = ^ Eine der beiden Unbekannten ist daher frei wdhlbar. Wir entscheiden uns fiir x^ und setzen x^ = a (a e IR).
6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix
137
Das Gleichungssystem besitzt also die von dem reellen Parameter oc abhangige Losung Xi = a, X2 = — 2 a. Somit ist
der gesuchte Eigenvektor, den wir verabredungsgemaB noch normieren wollen: 1
/
""^^
1^
r\-2
Der zweite Eigenwert ^2 = ^ fiihrt auf das homogene lineare Gleichungssystem (A - 2 E) X = 0
Oder
,
1
2\ / x i \ . . ,
/O' ,
\x2j
\0
2 -4J In ausfiihrlicher Schreibweise: — x^ + 2^2 = 0 2xi - 4 x 2 = 0
Wiederum sind die beiden Gleichungen zueinander proportional Wir diirfen daher die untere Gleichung weglassen und erhalten das reduzierte System — Xi + 2x2 ^ ^ Eine der beiden Unbekannten ist dabei frei wdhlbar. Wir entscheiden uns diesmal fiir die zweite Unbekannte und setzen daher X2 = Pi^elR). Die Losung lautet damit in Abhangigkeit von dem reellen Parameter p wie folgt: x^ = 2j5, X2 = p. Somit ist
der zum Eigenwert /I2 = 2 gehorende Eigenvektor, den wir noch normieren wollen: 1 X7 = —
/2' .
Die beiden (normierten) Eigenvektoren x^ und X2 sind - wie erwartet - orr/jogonal, da sie zu verschiedenen Eigenwerten gehoren. In der Tat verschwindet das Skalarprodukt dieser Vektoren:
138
I Lineare Algebra
6.4.3 Eigenwerte und Eigenvektoren einer hermiteschen Matrix tjber die Eigenwerte und Eigenvektoren einer hermiteschen Matrix A (A = A) lassen sich ahnliche Aussagen machen wie bei einer symmetrischen Matrix:
Anmerkung Die Eigenvektoren einer hermiteschen Matrix besitzen im allgemeinen komplexe Komponenten oder Vektorkoordinaten. Im Komplexen wird der Betrag eines Spalten- oder Zeilenvektors x nach der Formel
|x| = Vx-x*
(1-264)
gebildet. Dabei ist x* der zugehorige konjugiert komplexe Vektor, der aus dem Vektor x durch Konjugierung gewonnen wird (alle komplexen Vektorkompenten werden durch die entsprechenden konjugiert komplexen Werte ersetzt) und x x* das formale Skalarprodukt aus X und x* (berechnet wie im Reellen).
Beispiel Die 2-reihige (komplexe) Matrix A = I
.
. I ist hermitesch. Ihre Eigenwerte
erhalten wir aus der charakteristischen Gleichung det (A - A E) =
1-^ -j
j = (1 - 2)2+j2 = 2 ^ - 2 2 = 0 1-A
Sie lauten: X^ =0, ^2 = 2. Der zum ersten Eigenwert X^ =0 gehorende Eigenvektor laBt sich aus dem homogenen linearen Gleichungssystem (A-OE)x = 0 bestimmen.
Oder
(_|
j ) (^j) = (o
6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix
139
Dieses Gleichungssystem lautet in ausfiihrlicher Schreibweise: -j-xi+
^2=0
Es reduziert sich auf die eine Gleichung -^1 + j -^2 = 0 da die beiden Gleichungen zueinander proportional, d.h. linear abhdngig sind^^^l Wir konnen daher uber eine der beiden Unbekannten frei verfugen und entscheiden uns hier zweckmaBigerweise fur X2, d.h. wir setzen X2 = a (a e R). Damit erhalten wir die vom Parameter a abhangige Losung x^ = —ja, X2 = a und den Eigenvektor
-=(t)-("i) '«-» Fiir die Normierung dieses Eigenvektors benotigen wir noch den Betrag von x^: xi
xT = a (
M
ar j
= a^ ( - j ^ + 1) = 2a
Der normierte Eigenvektor x^ muB also die Bedingung | x i | = V x i -xl = V2a^ = y 2 a = 1 erfiillen. Der gesuchte Normierungsfaktor betragt somit a = 1/V ^ und der zum Eigenwert l^ = 0 gehorende normierte Eigenvektor lautet demnach wie folgt:
1 /-J
«
Der zweir^ Eigenwert ^2 = 2 fuhrt auf das homogene lineare Gleichungssystem (A - 2 E) X = 0
Oder
,
1 i\ , f^A f^' . , , -J - 1 / K^iJ
\0
Oder (in ausfiihrlicher Schreibweise) -Xl
+j
- j -Xl -
2 =0 ^2 = 0
Wiederum sind beide Gleichungen zueinander proportional (d.h. linear abhdngig). Denn die untere Gleichung geht aus der oberen Gleichung durch MultipHkation mit j hervor. Das reduzierte System -Xl +j
2 = 0
28) Multipliziert man z.B. die obere der beiden Gleichungen mit — j , so erhalt man genau die untere Gleichung.
140
I Lineare Algebra wird allgemein durch x^ = jP, X2 = P gelost, wobei wir X2 = P als freien Parameter gewahlt haben ( J 5 G R ) . Der zweite Eigenvektor lautet daher:
Durch Normierung folgt schlieBlich:
1 fi
6.5 Ein Anwendungsbeispiel: Normalschwingungen gekoppelter mechanischer Systeme Bild 1-14 zeigt zwei identische schwingungsfahige mechanische Systeme, die jeweils aus einer Schwingungsmasse m und einer elastischen Feder mit der Federkonstanten c bestehen und iiber eine Kopplungsfeder mit der Federkonstanten k miteinander verbunden, d.h. gekoppelt sind.
m
K
m
\V\A-t-A/WV-f-AAA^ X1
X2
Bild 1-14 Kopplung zweier schwingungsfahiger Systeme (Masse m, Federkonstante c) iiber eine Kopplungsfeder (Federkonstante k)
Dieses System ist zu sog. Normalschwingungen in Richtung der Systemachse fahig. Beide Massen schwingen dabei harmonisch mit der gleichen Kreisfrequenz co, ihre Lagekoordinaten Xi und X2 sind also pmo^fsc/z^ Funktionen der Zeit mit der Schwingungsdauer T = 2 n/co. Die noch unbekannten Kreisfrequenzen dieser Normalschwingungen sind die positiven Wurzeln aus den (reellen) Eigenwerten der sog. ,,Systemmatrix" A, die hier das folgende Aussehen hat: /(c + k)/m -k/m \ _ / a ~\-k/m (c + k)/mj ~ \-P
-p a
(mit den Abkiirzungen a = (c + k)/m und p = k/m).
6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix
141
Die Berechnung der benotigten Eigenwerte erfolgt aus der charakteristischen Gleichung det (A - A E) =
- P
a-/l|
= {(x-X)^ -l]^
=0
Wir erhalten:
Die Eigenwerte der Systemmatrix A lauten somit: X^ = (X — P
c + /c m
k
c mm
c + /c
k c -\- 2k +- = m m m Durch Wurzelziehen erhalten wir daraus die gesuchten Kreisfrequenzen der Normalschwingungen: ^2 = a + i^ =
'^i=+^^^=Vm /c + 2/c C02 = + V ^ = .
m
Das System besitzt also zwei Normalschwingungen in Richtung der Systemachse. Sie erfolgen mit den Kreisfrequenzen coi bzw. CO2, wobei der erste Wert der sog. ^Eigenkreisfrequenz" COQ, d.h. der Kreisfrequenz der entkoppelten Feder-Masse-Systeme entspricht: CDl =
I'-
COQ
m Die Massen schwingen dabei in Phase, die Kopplungsfeder wird bei dieser Normalschwingung liberhaupt nicht beansprucht. Bild 1-15 verdeutlicht diesen Schwingungstyp.
bzw. m
Bild 1-15 Die Massen der gekoppelten Systeme schwingen in Phase
142
I Lineare Algebra
Bei der zweiten moglichen Normalschwingung mit der grofieren Kreisfrequenz CO2 > co^ dagegen schwingen die Massen in Gegenphase, wobei die Kopplungsfeder diesmal in maximaler Weise beansprucht wird. Dieser Schwingungstyp wird in Bild 1-16 verdeutlicht. ^1
^2
^
^
^1
bzw.
mm
m
m
Bild 1-16 Die Massen der gekoppelten Systeme schwingen in Gegenphase
Ubungsaufgaben Zu Abschnitt 1 1)
Transponieren Sie die folgenden Matrizen:
A=
2)
Welche der nachstehenden Matrizen sind symmetrisch, welche schiefsymmetrischl
A=\
.
.
.
I,
B=
D=
3)
fl
0 -1
,
E
Berechnen Sie mit den (2,3)-Matrizen , A=
3 - 1.
2 .2
5\ 3 ;i,
/I B - f V3
8 -2\ .0 1. /
^ und
^ /5 0 10 C = 'V O - 2
die folgenden Ausdriicke: a)
A+ B+ C
b)
3A-2(B4-5C)
d)
2(A + B) - 3(AT - B Y + 5(C - 2A)
c)
3A^ - 4(B + 2C)'^
Ubungsaufgaben 4)
143
Fuhren Sie mit den Matrizen /
3
4
0\
/"^
^\
/I
4
0
die folgenden Rechenoperationen durch (soweit dies uberhaupt moglich ist): a)
5)
2A + C - B T
b)
AT-B-3CT
c)
A-2C + B
Berechnen Sie unter Verwendung des Falk-Schemas die Matrizenprodukte A A = A^, A B, B A und B B = B^ (soweit diese uberhaupt existieren) fur
a)
/3 A= 1 \ 0
/I
'^ ^ = to
4 5 1
2
2x 3 , 0/
3
B=
7
2 0 1,
Zeigen Sie ferner anhand dieser Beispiele, daB i. a. A B 7^ B A ist.
6)
Gegeben sind die Matrizen
A = (J I ly ^
0 2 1 ] und € = (" 2 5 1
BJ
^
\ -1
5
1/
c)
A (B + Q ^
\ -1
1
1
Berechnen Sie (falls moglich): a)
(A-B)-C
b)
A-(B-C)
d)
Zu Abschnitt 2 1)
Berechnen Sie die Determinanten der folgenden 2-reihigen Matrizen:
(A B)^
144
I Lineare Algebra
2) Welchen Wert besitzen die 3-reihigen Determinanten?
a)
1 2 3
4 5 6
7 8 9
-2 1 4
b)
8 0 3
2 7 1
3 -7 0
c)
4 -10 4 1 2 8
(Berechnung nach der Kegel von Sarrus). 3)
Fur welche reellen Parameter 1 verschwinden die Determinanten?
a)
4)
5)
1-/1 1
2 A
b)
1 -A 0 0
2 3-/1 0
0 1 2-/1
Begrunden Sie (ohne Rechnung), warum die nachstehenden Determinanten verschwinden: 1 -2 -4 8 0,5 - 1
a)
det A =
c)
1 0 det C = 1 0
3 0 3
4 -3 2 3 4 -3 1 1
6 8 6 1
1 5 0
0 -2 0 3 0 4
b)
det B =
d)
6 - 3 - 1 5 24 3 5 - 7 0 det D = -2 1 5-8 1 1 0 0
Berechnen Sie die 4-reiiiige Determinante 2 -5 det A = 1 9
5 3 7 3
1 4 0 0 0 -- 3 4 5
durch Entwicklung a) nach den Elementen der 2. Zeile, b) nach den Elementen der 3. Spake. 6)
Berechnen Sie den Wert der folgenden 4-reihigen Determinanten mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes:
a)
det A =
1 2 1 0
0 1 4 2
3 0 1 2
4 3 5 0
b)
1 1 det A = 0 4
0 2 1 0
5 3 2 1 3 1 2 -3
Hinweis: Entwickeln Sie nach derjenigen Zeile oder SpaUe, die die meisten Nullen enthalt.
Ubungsaufgaben 7)
145
Berechnen Sie mit moglichst geringem Rechenaufwand die Determinante der folgenden Matrizen: 0 -2 1
8)
B=
0 4 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4
4 3 2
6 1 4
8 4 0
b)
|A| =
1 2 1 1
1 4 8 3
0 3 1 2
2 5 5 4
Berechnen Sie nach dem Multiplikationstheorem fur Determinanten die Determinante des Matrizenproduktes C = A B fiir
a)
b)
10)
b)
1 0 0 0
Man zeige mit Hilfe elementarer Umformungen, die den Wert der Determinante nicht verandern, dafi die nachstehenden Determinanten verschwinden:
|A| =
9)
0' 0 5.
A=
1 0 1
4 3 1
0 4 0
B=
A=
2 7 1
3 0 1
9 1 0
B=
Das Vektorprodukt a xb zweier Vektoren a und b aus dem Anschauungsraum kann bekanntlich formal in Form einer 3-reihigen Determinante dargestellt werden (vgl. hierzu Band 1, Abschnitt 11.3.4)^^);
'a X b =
Berechnen
Sie
das
Drehmoment
M =~r x F
fiir
r
F = 1 20 N. \50/
29) Wir kennzeichnen in dieser Aufgabe - wie in der elementaren Vektorrechnung ublich - Vektoren durch Pfeile.
146 11)
I Lineare Algebra Aus Band 1, Abschnitt II.3.5 ist bekannt: Das Spatprodukt [a b 'c] = a (b x'c) dreier Vektoren aus dem Anschauungsraum kann aus den skalaren Vektorkomponenten mit Hilfe der Determinante [a b c]
'^x
'^y
^x
^y
^z
berechnet werden. Zeigen Sie, daB die drei Vektoren
komplanar sind, d.h. in einer Ebene liegen. Hinweis: Das Spatprodukt [ab'c] 12)
mu6 verschwinden^^l
Fiihren Sie die folgenden Determinanten hoherer Ordnung durch fortlaufende Reduzierung auf eine einzige 3-reihige Determinante zuriick und berechnen Sie diese nach der Kegel von Sarrus:
a)
-1 -3 3 1 det A = -2 -2 -2 -3
1 4 3 1
6 5 3 4
1 2 det A = 1 3 0
b)
4 0 0 1 0 1 2 -- 1 1 - 2 -- 3 -- 4 4 0 0 1 1 1 3 5
Zu Abschnitt 3 1) Welche Matrizen sind regular, welche singular 1 2 A=
B=
4 0 8
1 -3 1 1 1 9
c=
30)
Wir kennzeichnen in dieser Aufgabe - wie in der elementaren Vektorrechnung ublich - Vektoren durch Pfeile.
Ubungsaufgaben 2)
147
Zeigen Sie, da6 A eine reguldre Matrix ist und bestimmen Sie die inverse Matrix A~^. Das Ergebnis ist anhand der Beziehung A ~ ^ ' A = A ' A ~ ^ = = E zu iiberpriifen.
a)
Sin (p
(p """^ cos ^:^n sin (p
A =(
A=
cos cp
-1 0 % 1 11 0 1 0- 1 /
0
b)
d)
3) Zeigen Sie, daB die folgenden 2-reihigen Matrizen orthogonal sind. Welchen Wert besitzt die jeweilige Determinants
A,,
-^/A I 1/2
4)
._ii'-8 10 V 6
8/
Welche der folgenden 3-reihigen Matrizen sind orthogonall
B
1/V2 C= I 0
1/V2 0
5)
/ Zeigen Sie, daB die Matrix A = I
1/V2 ^ '1
1/V2 ^ I die fiir eine orthogonale \Nl
Matrix hinreichende Bedingung A^ = A ~ ^ erfiillt. 6)
Matrix A beschreibt die Spiegelung eines Raumpunktes an der x, y-Ebene, Matrix B die Drehung des raumlichen Koordinatensystems um die z-Achse um den Winkel a. Zeigen Sie, daB beide Matrizen orthogonal sind.
148 7)
I Lineare Algebra Zeigen Sie, daB die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren der 3-reihigen Matrix
^2/75 A = I 1/75
-1/730 2/V30
0
-1/^' 2/^6
5/^30
-l/>/6,
ein orthonormiertes Vektorsystem bilden, die Matrix A daher orthogonal ist. Bestimmen Sie die inverse Matrix A~^ sowie die Determinante von A. 8)
9)
Bestimmen Sie den Rang der nachfolgenden Matrizen unter ausschlieBlicher Verwendung von Unterdeterminanten:
A=
B=
C =
D =
0 -1
Bestimmen Sie den Matrizenrang mittels elementarer Umformungen in den Zeilen bzw. Spalten:
B=
C =
10)
D =
1 2 3 0 1 -2 -5 -1
0 3 2 5
-1 1 -1 5
' ' 5/
1 3 10 4
2 -3 1 0 5 -3 3 -3
'\
A 0 1 3 1
1 2 1 1
Zeigen Sie, daB die folgende 5-reihige Matrix regular ist: 2 5
5
4
1
11
2
6\ 13
3 -1
13 1
8 11 1
2 1
15 1
I 3
10
8
2
12/
/ A =
Hinweis: Rangbestimmung mit Hilfe elementarer Zeilen- bzw. Spaltenumformungen in der Matrix.
Ubungsaufgaben
149
Zu Abschnitt 4 1)
Losen Sie die folgenden nicht-quadratischen linearen Gleichungssysteme mit Hilfe elementarer Umformungen in den Zeilen der erweiterten Koeffizientenmatrix (Gaufischer Algorithmus):
a)
2xi - 3x2 = 11 — 5xi + X2 = — 8
b)
3x2 — 5x3 +
c)
2)
—
X i — J X2
—
^4 =
0
X ^ =^ — J
— 2xi + X2 + 2x3 + 2 x 4 = — 3 x ^ + 4 x 2 + 2x3 + 2 x 4 =
2 8
Zeigen Sie: Das lineare (4,3)-System x^ + — ZXj^
X2 — +
X3 =
2
X3= —2
5xi — X2 + 2x3 = 2xi + 6x2 — 3x3 =
4 5
ist nicht losbar.
3)
Gegeben ist das homogene lineare (4,3)-System 2x|^ — X2 + 4x3 = 0 — 4xi + 5x2 + 3^3 = 0 2xjL — 2x2 + ^ 3 = 0 6x1 + 5x3 = 0 Es ist zu zeigen, daB dieses System nur trivial losbar ist.
4)
Ist das homogene lineare Gleichungssystem
nicht-trivial losbar? Gegebenfalls sind samtliche Losungen zu bestimmen.
150
I Lineare Algebra
5) Zeigen Sie, daB das homogene lineare (3,3)-System
nicht-triviale Losungen besitzt. Wie lauten die Losungen? 6)
Fiir welche reellen Werte des Parameters X besitzt das homogene lineare Gleichungssystem nicht-triviale Losungen?
0 0
b)
1 7)
-A
Losen Sie die folgenden homogenen linearen {n, n)-Systeme: Xi + 2^2 + 3^3 = 0 a)
Xi -\-
X2
=0
b)
2x2 + 5x3 = 0 8)
2 1 0 4
1 2 2 1
4 4 5 0
Zeigen Sie: Das inhomogene quadratische Gleichungssystem 2xi + 3x2 + ^3 = ~ 1 — 4x1—8x2 — 3 x 3 = 7 — ZX-^ — ^ ^ 2 — -^-^3 ^
— ^
ist nicht losbar. 9)
Untersuchen Sie das Losungsverhalten der folgenden quadratischen linearen Gleichungssysteme und bestimmen Sie im Falle der Losbarkeit samtliche Losungen:
a)
b)
Ubungsaufgaben
151
Xi
+ 2x3 — 5x4 = 0
Xi + 4^2 + 4x3 — 5x4 = 10 c)
X^ "h 2X2 ~\~ -^-^3 — -5X4 =
J
4xi + 2x2 + 9x3 — 20x4 = ^
d)
10)
Zeigen Sie, daB die folgenden quadratischen linearen Gleichungssysteme genau eine Losung besitzen und bestimmen Sie diese Losung nach der Cramerschen Kegel: Xi +
2X2
=
^
xi + 7x2 + 4x3 = 18 3xi + 13x2 + 4x3 = 30
b)
10 - 3 4 5 11)
lOxi - 4x2 + 5 x 3 = - 13 2 Xj^ + 8 X2 — 7 x.^ F= 35
d)
7xi
X2+9X3=
20
Man berechne Teilstrome und Gesamtstrom im Netzwerk nach Bild 1-17 fiir die Widerstands- und Spannungswerte i? = 60 Q, R^=R^ = 100^, i^2 = 200 Q, t/ = 10 V.
Bild 1-17
12)
Die nachfolgenden Matrizen sind regular, Berechnen Sie die jeweils zugehorige inverse Matrix nach dem Gaufi-Jordan-Verfahren. A=
3 1 0
1 4 2 0 1 -2
B=
4 2 3
-1 0 1 1 0 5
c=
3 1 0
4 5 1
2 3 0
152 13)
I Lineare Algebra Begriinden Sie, warum die folgenden Vektoren linear abhdngig sind:
' ""-(:) '=("!) 'K-D '"-('} -'-(i)- "'^(i) Vi/'
2' 14)
lor
\-i
Zeigen Sie die lineare Unabhdngigkeit der folgenden Vektoren:
' "^Q' --i"'}"''(-!)
15)
Zeigen Sie zunachst, daB die Vektoren
a=
L
b= I
und
c=
1
linear abhdngig sind und stellen Sie anschlieBend den Vektor c als Linearkombination der beiden iibrigen Vektoren dar.
Ubungsaufgaben 16)
153
Zeigen Sie, daB die drei raumlichen Vektoren
komplanar sind, d.h. in einer gemeinsamen Ebene liegen. 17)
Fiir welchen Wert des Parameters /I sind die Vektoren
linear abhdngigl 18)
Sind die Spalten- bzw. Zeilenvektoren der folgenden Matrizen linear unabhdngigl
Zu Abschnitt 5 1) Berechnen Sie mit den (2,3)-Matrizen
V 2
1+j
1/
Vl+j
5
\0
4-3j
1
1+j
die folgenden Ausdriicke: a) 2)
A+ B+ C
b)
3A-4(B-2C)
c)
2AT-3(B-C)T
Berechnen Sie unter Verwendung des Falk-Schemas die Matrizenprodukte A A = A^, A B, B A und B B = B^ (soweit diese iiberhaupt existieren) fiir ^^,2+j 2
b)
A= (' \1
1+A l - j /
'^' 5
' j
^
/2j Vsj
3-3J l+2j
154 3)
I Lineare Algebra Welchen Wert besitzt die Determinante der nachfolgenden Matrizen?
.1+j
4)
/2+j A= ( 0 Vl-j
-3j
l+2j 2-2j 5 + 3j
j \ 1 j j /
b)
/ 1 0 + 5J A= j 3-2j V 5 + 5j
l-2j\ 4 + 2j j l-2j/
Welche der nachstehenden Matrizen sind hermitesch, welche schiefhermiteschl /
1
A=
-
-T!; 6)
vi-j
Bilden Sie die jeweils zugehorige konjugiert komplexe Matrix A* sowie die konjugiert transponierte Matrix A:
a)
5)
3 ;'
J 0
OX 1 ,
B=
-
"3?I.
Zerlegen Sie die folgenden Matrizen in ihre Real- und Imagindrteile und priifen Sie dann, welche Matrizen hermitesch bzw. schiefhermitesch sind:
A = (-[.
5 + 2j
/-j C=
V
-'^'^ -4j
0
0 -j
0
0
y
0),
BJ
'
V2 + 4J
'-'^
2
D =
Welchen Wert besitzen die zugehorigen Determinanten'}
7)
Zeigen Sie aufm6glichsteinfachemWege,da6 die Matrix A = ( . sein kann. ^^
. ) nichtunitdr ^'
Ubungsaufgaben 8)
155
Zeigen Sie, daB die folgenden Matrizen unitdr sind: / 1 A=
2
l-Tsj
-2j
ys-j
Vs+j
2
-2
\-2
3V J
-l->/3j'
-I-J7
J
\O
Zu Abschnitt 6 1) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden 2-reihigen Matrizen:
^) ^ = G'2)
^' ^ = (1 I)
^^ ^ = (4 2
2)
Welche Eigenwerte und Eigenvektoren besitzen die Matrizen
3)
Berechnen Sie die Spur und die Determinante der Matrix A aus den Eigenwerten der Matrix:
^ ']
b) A = f ^ - M c) A = (' '
3 oy 4)
^
\-2
oy
^
vo-i
Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden 3-reihigen Matrizen: /
2 1 IX 2 3 4 \ -1 -1 - 2 /
a)
A=
c)
/O 1- 1 \ C= [ 1 0 1 I \1 -1 2/
/a
/-2 2-3X 2 1-6 \ -1 -2 0/
b)
B=
d)
/O - 4 - 2 \ D= j 1 4 1 j \2 4 4/
b
a\
5) Zeigen Sie: Die Matrix A = j b a a \ besitzt u.a. den Eigenwert \ a a b/ Xi = 2a -\- b. Wie lauten die iibrigen Eigenwerte?
156
I Lineare Algebra
6)
BerechnenSie die £igenwertederjeweiligen Matrix A und daraus die Spur und die Determinante von A:
7)
a)
/I 2 - 1 \ A = |0-1 Ij \1 -1 1/
c)
.2 A= 2 \3
1 3 3
b)
/ 0 0 A =j \ -10
1 0 1
0\ ij 10/
IX 2 4/
Bestimmen Sie die drei Eigenvektoren der Matrix A =
/7 2 \0
2 6 2
Ox 2 1 und zeigen 5/
Sie, dafi die aus ihnen gebildete 3-reihige Matrix orthogonal ist. '2 0 8)
1 2-2-4 I ?
Welche Eigenwerte besitzt die 4-reihige Matrix A = ( ,0
9)
0
0-1
0/
/ -2 Zeigen Sie, daB die Eigenvektoren der 3-reihigen Matrix A = I 7
2-1 3—1
V-4 -4 -2, linear unabhdngig sind. Welchen Wert besitzen Spur und Determinante von A?
10)
Welche Eigenwerte besitzen die folgenden Matrizen? Begriinden Sie das Ergebnis ohne Rechnung. /I A= j 0 \2
11)
0 5 1
00 8,
/4-1 C = j 0 -2 \0 0
B=
31 5,
Die mathematische Behandlung einer 2-stufigen chemischen Reaktion vom Typ X -^ Y -* Z fuhrt auf das folgende KgenwerfproWem:
i-ki-X)
0
'^i
(-^2-'^)
0
k2
Wie lauten die Eigenwertel
0 0 =0 -A
Ubungsaufgaben 12)
157
Wie lauten die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden 2-reihigen symmetrischen Matrizen?
^)
/O
1\
^ = (1
0)
/I ^>
2\
/ - 2 - 4
^ = (2-2)
fa
^^
^ = (-4
p\
(
4
-0,5\
\
13)
Welche £/g^nw^rfg besitzen die Matrizen A = l
14)
Berechnen Sie die Eigenwerte der folgenden schiefsymmetrischen Matrix:
15)
Wie lauten die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden 3-reihigen symmetrischen Matrizen?
16)
Welche Eigenwerte besitzen die folgenden symmetrischen Matrizen?
/2 A= | l \1 17)
1 2 1
1\ 1 j, 2/
/ 3 -1 1\ B= ( - l 5-1 j, \ 1 -1 3/
und B = (
/a C= | 1 \0
)?
1 b 1
0' 1 a,
Bestimmen Sie die Eigenwerte der folgenden symmetrischen Matrix:
A=
18)
Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden hermiteschen Matrix: A= |
' 2j
'^ 1
158
II Fourier-Reihen
1 Fourier-Reihe einer periodischen Funktion 1.1 Einleitung In einfachen Fallen laBt sich ein zeitlich periodischer Vorgang wie beispielsweise die Schwingung eines Federpendels oder eine Wechselspannung durch ein Sinusgesetz der allgemeinen Form y{t) = ^ • sin (wt + cp) oder
y{t) = A^ • sin (ot) + A2 ' cos (cot)
(ii-i)
beschreiben. Wir sprechen dann von einer harmonischen Schwingung oder Sinusschwingung mit der Kreisfrequenz co und der Schwingungsdauer T = In/cu (Bild II-l)^^:
Bild II-l Harmonische oder Sinusschwingung
In den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen (insbesondere in der Elektrotechnik) treten jedoch haufig auch zeitabhangige Vorgange auf, die zwar periodisch, aber nicht mehr sinusformig verlaufen. Wir nennen zwei einfache Beispiele: — Kippschwingung (Kippspannung, auch Sdgezahnimpuls genannt (Bild II-2)) — Sinusimpuls (Sinushalbwellen) eines Einweggleichrichters (Bild II-3)
Die harmonischen Schwin^ungen wurden bereits in Band 1, Abschnitt IIL9.5.1 ausfuhrlich behandelt.
1 Fourier-Reihe einer periodischen Funktion
159
Bild II-2 Kippschwingung (Sagezahnimpuls) 3T
t
u k
7/2
T
3T/2
2T
ST/2
Bild II-3 Sinusimpuls eines Einweggleichrichters
Von grundsdtzlichem Interesse ist daher die Frage, ob die Moglichkeit besteht, eine nichtsinusformige Schwingung aus harmonischen Einzelschwingungen zusammenzusetzen. Wir werden spater zeigen, daB es unter gewissen Voraussetzungen tatsachlich moglich ist, einen Schwingungsvorgang y = y(t) mit der Schwingungs-oder Periodendauer T und der Kreisfrequenz COQ = 2 n/T in eine unendliche Summe aus sinus- und kosinusformigen Einzelschwingungen wie folgt zu ,,entwickeln'': UQ
y{t)
+
7
[^n • ^OS (^ ^ 0 0 + ^n • si^ (" ^ 0 0] =
n = 1
«0
= -— -\- ai • COS (COQ 0 + «2 ' cos (2 (DQ t) -\- a^ - cos (3 COQ 0 + • • • (11-2) ... + ^1 • sin {CDQ 0 + ^2 * sin (2 COQ t) -\- b^- sin (3 COQ 0 + • • • Diese Darstellung in Form einer unendlichen trigonometrischen Reihe-^^ heiBt FourierReihe, die Entwicklung selbst wird als harmonische oder Fourier-Analyse bezeichnet. In dieser Darstellung erscheint die Gesamtschwingung y = y{t) als ungestorte Uberlagerung unendlich vieler harmonischer Teilschwingungen mit den Kreisfrequenzen COQ, 2O)Q, 3(DQ, ... . Die Kreisfrequenzen der einzelnen Schwingungskomponenten sind somit stets ganzzahlige Vielfache von COQ, der sog. Grundkreisfrequenz. Die Teilschwingung mit der kleinsten Kreisfrequenz (COQ) heiBt Grundschwingung, alle librigen Teilschwingungen werden als Oberschwingungen bezeichnet. 2)
Die „Zerlegung" (II-2) enthalt noch den zeitunabhdngigen Bestandteil UQ/I.
160
II Fourier-Reihen
Vom physikalischen Standpunkt aus bedeutet die Darstellung einer nicht-sinusformigen Schwingung y = y{t) durch ihre Fourier-Reihe eine Zerlegung der Schwingung in ihre harmonischen Schwingungskomponenten. Sie wird daher in den Anwendungen auch als Fourier-Zerlegung bezeichnet. Die „Entwicklungskoeffizienten" UQ, a^, a2, a^,..., bi,b2, b^,... heiBen Fourierkoeffizienten.
1.2 Entwicklung einer periodischen Funktion in eine Fourier-Reihe Bei den weiteren Uberlegungen gehen wir zunachst von einer nicht-sinusformigen periodischen Funktion /(x) mit der Periode p = 2n aus (Bild II-4).
27t
^n
STC
Bild II-4 Schaubild einer nicht-sinusformigen periodischen Funktion (Periode: p — 2n)
Sie kann unter gewissen Voraussetzungen, auf die wir spater noch eingehen werden, in eine unendUche trigonometrische Reihe der Form 00
/W =y +
^
K • COS (nx) + b„ • sin (nx)] =
n=\
=
h a^ • cos X + a2 • cos (2x) + ^3 • cos (3 x) + ... ^ ... + ^1 • sin X + /?2 • sin (2 x) + 63 • sin (3 x) + ...
(11-3)
entwickelt werden. Diese Art der Darstellung heiBt Fourier-Reihe von / (x). Sie enthalt neben den Sinus- und Kosinusfunktionen mit den „Kreisfrequenzen" 1, 2, 3 , . . . noch ein konstantes Glied ao/2. Die Konstanten UQ, a^, a2, ^ 3 , . . . , b^, ^2, ^3, • • • der Entwicklung (II-3) sind die Fourierkoeffizienten, mit deren Bestimmung wir uns jetzt beschaftigen werden.
1 Fourier-Reihe einer periodischen Funktion
161
Bestimmung der Fourierkoeffizienten Fiir die Bestimmung der Fourierkoeffizienten werden einige Integrale benotigt, die wir in der folgenden Tabelle 1 zusammengestellt haben.
Tabelle 1: Integrale, die fiir die Berechnung der Fourierkoeffizienten benotigt werden (m, n G N)
II Fourier-Reihen
162 (1) Bestimmung des Fourierkoeffizienten UQ
Wir integrieren die Fourier-Reihe (II-3) gliedweise im Periodenintervall {0,2n): In
In
I—
In
dx-^ y
f{x)dx = 0
0
2n
COS (nx)dx +fe„• sin {nx)dx
n= 1
0
(11-4)
0
Fiir die einzelnen Integrale gilt dann unter Verwendung von Tabelle 1: 2n
In
In
cos {nx)dx = 0,
dx = 2n, 0
0
sin {nx)dx = 0
(II-5)
0
Gleichung (II-4) reduziert sich daher auf 2n
(11-6)
f (x) dx = QQTI
0 Wir erhalten damit fur den Fourierkoeffizienten UQ die Integralformel In
1 ao
f (x) dx
(11-7)
(2) Bestimmung der Fourierkoeffizienten a„ (n = 1, 2, 3,...) Wir multiplizieren die Fourier-Reihe (II-3) zunachst mit cos (mx) (m e N) und integrieren anschlieBend wiederum iiber das Periodenintervall {0,2n): In
In
f{x)' COS {mx)dx =ao
00
-I n= \
I—
cos {mx)dx + In
In
cos (nx) • cos {mx)dx + b„ • sin(nx) • cos {mx)dx
a„ • 0
(II-8)
0
Die anfallenden Integrale berechnen sich nach Tabelle 1 wie folgt: In COS {mx)dx = 0 0
(11-9)
1 Fourier-Reihe einer periodischen Funktion
163
Fiir m^ m In
In
COS (nx) • cos (mx) dx = 0,
sin [nx) • cos {mx)dx = 0
(11-10)
0
Fiir n = m: In
In
COS {nx) • cos {mx)dx = cos^ {nx)dx = n 0
0
2n
271
(11-11)
sin (nx) • cos (nx)dx = 0
sm{nx) • cos(mx)rfx
(11-12)
0
Daher ist 2n
In
f{x) • COS {mx)dx = f (x)' cos (nx) dx = a^n
(11-13)
und somit 2n
(11-14)
f{x) • COS {nx)dx
(3) Bestimmung der Fourierkoeffizienten A„ (w = 1, 2, 3,...) Die Fourier-Reihe (II-3) wird jetzt zunachst mit sin (mx) (m e N) multipliziert und anschlieBend in den Grenzen von x = 0 bis x = 2n integriert: 2n
2n
f{x) • sin(mx)^x =
00
-h
I
r-
n = l '-
ao
sin {mx)dx +
2n
a„-
2n
COS (nx)' sin {mx)dx + b^ 0
sin (nx) • sin(mx)^x
(11-15)
164
II Fourier-Reihen
Die anfallenden Integrate werden wiederum nach Tabelle 1 berechnet: In
sin(mx)Jx = 0
(11-16)
0
Fiir m^ n: 2%
In
COS (nx) • sin {mx)dx = 0,
sin (nx) • sin (mx) dx = 0
(11-17)
0
Fiir m = n: In
In
COS {nx) • sin (mx) dx = cos (nx) • sin (nx) Jx = 0 0
0
2n
2n
si„M.sin(.x).x=jsin^(nx).x = .
(11-18)
(11-19)
0
Aus Gleichung (11-15) folgt somit 2n
2n
| / ( x K) ) • sin(mx)^x = /(x) • sin (nx)dx = b^n 0
(11-20)
0
und hieraus schlieBlich 271
1 f bf. = - • /(x) • sin (nx) dx
(11-21)
^ J 0
Die Fourierkoeffizienten ao, a^, a2, ^ 3 , . . . , ^ i , ^ 2 ' ^ 3 ' • • • lessen sich demnach aus den Integralformeln (II-7), (11-14) und (11-21) berechnen.
1 Fourier-Reihe einer periodischen Funktion
165
Wir fassen die Ergebnisse wie folgt zusammen:
Anmerkungen (1) Die Entwicklung einer periodischen Funktion f{x) in eine Fourier-Reihe ist unter den folgenden Voraussetzungen moglich (sog. Dirichletsche Bedingungen): 1. Das Periodenintervall laBt sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen, in denen / (x) stetig und monoton ist. 2. In den Unstetigkeitsstellen (es kommen nur Sprungunstetigkeiten mit endlichen Spriingen in Frage) existiert sowohl der Hnks- als auch der rechtsseitige Grenzwert. Unter diesen Voraussetzungen konvergiert die Fourier-Reihe von f{x) fiir alle X EIR. In den Stetigkeitsstellen von f{x) stimmt sie mit der Funktion f{x) uberein, wahrend sie in den Sprungstellen das arithmetische Mittel aus dem hnks- und rechtsseitigen Grenzwert der Funktion hefert. So besitzt beispielsweise die FourierReihe der in Bild II-5 skizzierten Kippschwingung in den Unstetigkeitsstellen (Sprungstellen) Xj, = k - In {k = 0, 1, denFunktionswert (4 + 0)/2 = 2.
166
II Fourier-Reihen
y• i,v^
1
X 1
y^ 1
\ 2n
y^ 1
y
47r
1 1 6%
X
Bild II-5 „Kippschwingung" mit den Sprungstellen Xk = k- 2n {k = 2,...)
(2)
Symmetriebetrachtungen Die Fourier-Reihe einer geraden Funktion f{x) enthalt nur gerade Reihenglieder, d.h. neben dem konstanten Glied nur Kosinusglieder (^„ = 0 fiir n = 1, 2, 3,...): (11-24) n= l
Die Fourier-Reihe einer ungeraden Funktion f{x) enthalt dagegen nur ungerade Reihenglieder, d.h. Sinusglieder (a„ = 0 fur n = 0, 1, 2,...): f{x)=
^
bn'sininx)
(11-25)
n= 1
(3)
Die Integration darf iiber ein beliebiges Periodenintervall der Lange 2 n erstreckt werden (beispielsweise auch iiber das Intervall (— n, n)),
(4)
Durch Abbruch der Fourier-Reihe (11-22) nach endlich vielen Gliedern erhalt man eine Naherungsfunktion fur f{x) in Form einer trigonometrischen Reihe. Ahnlich wie bei den Potenzreihen gilt auch hier: Je mehr Glieder beriicksichtigt werden, um so „besse/' ist die Naherung (vgl. hierzu das nachfolgende Beispiel).
(5)
Die Fourier-Entwicklung ist keineswegs auf periodische Funktionen mit der Periode 2 n beschrankt. Sie laBt sich auch auf periodische Funktionen mit beliebiger Periode p ausdehnen. Diesen allgemeinen Fall behandeln wir im folgenden Abschnitt im Zusammenhang mit der Zerlegung einer nicht-sinusformigen Schwingung in ihre harmonischen Schwingungskomponenten. Der allgemeine Fall kann jedoch stets (mit Hilfe einer geeigneten Substitution) auf den hier dargestellten speziellen Fall der Fourier-Entwicklung einer Funktion mit der Periode 2n zuruckgefuhrt werden.
1 Fourier-Reihe einer periodischen Funktion
167
Beispiel Wir entwickeln die in Bild II-6 dargestellte Rechteckskurve mit der Funktionsgleichung r 1 f{x) = \ [—1
0^x^71 fur n < X <2n
und der Periode p = 2n in eine Fourier-Reihe. yi i 1-
1 1 1
1 9
1
\ 1
1
1
1
-1-
1
1 1 1 1
1 1 1 1 • —
1 1 1 •
• 3n
4jr 1
1 1
^^ X
1 1
Bild II-6 Rechteckskurve (Rechtecksimpuls) Da / (x) eine ungerade Funktion ist, reduziert sich ihre Entwicklung auf 00
f{x)=
^
b„-sin(nx)
n= 1
(fl„ = 0 fiir n = 0, 1,2,...). Die Berechnung der Fourierkoeffizienten b^ {n e N) geschieht nach der Formel (11-23): 2n
In
f{x)' sin {nx)dx =
bn =
1
1 • sin(nx)^x + (—1) • sin(nx)^x
0 n
271
1 %\xi{nx)dx —
cos (YIX)
n
sin(nx)rfx
In
I COS m x
0
^
1 1 = — [— COS (n7c) + cos 0] H [cos {nln) — cos (nn)] = nn nn 1 = — [cos (n 2 7c) + cos 0 — 2 • cos (n n)] nn
168
II Fourier-Reihen Dabei ist cos (n 2 7r) = cos 0 = 1 und r 1 cos (nn) = < t —1
n = gerade, d.h. n = 2, 4, 6,... fiir n = ungerade, d.h. n = 1, 3, 5,...
Die Fourierkoeffizienten verschwinden daher fiir gerades n, d.h. fur n = 2/c (/c e N): 1 b2k =
2kn
(1 + 1 - 2) = 0
Fiir ungerades n, d.h. fiir n = 2k—l dagegen den Wert 1 (2k-l)n"
^2fe-l
(/ceN) besitzen die Fourierkoeffizienten
4 (1 + 1 + 2)' = (2/c-1)71
1 71 2 / c - 1
Die Fourier-Reihe der Rechteckskurve besitzt damit die Gestalt
fix) = n
1 1 sin X + - • sin (3 x) H 3 5
sin (5 x) H-...
4 . . . . . . 4 v^ s i n ( 2 / c - l ) x = y 7^1 7 7 - s i n ( 2 / c - l ) x = - - Y lk-\ % k LJ kL^ = \ilk — 1)71 =\ Durch Abbruch dieser Reihe nach dem 1., 2. bzw. 3. Glied erhalten wir die folgenden Ndherungsfunktionen: 1. Ndherung: fi (x) = - • sinx 2. Ndherung: /2 W =
sin X + - • sin (3 x)
3. Ndherung: f^ix) =
sin X H
1 1 sin (3 x) H 3 5
sin (5 x)
Bild II-7, a) bis c) zeigt den Verlauf dieser Naherungskurven im direkten Vergleich mit der Rechteckskurve. Die Approximation wird dabei mit zunehmender Anzahl der Glieder immer besser.
1 Fourier-Reihe einer periodischen Funktion
169
a) 1. Naherung
.y=f2(x}
b) 2. Naherung
c) 3. Naherung
Bild II-7 Naherungsfunktionen der Rechteckskurve
170
II Fourier-Reihen In Bild II-8 sind die Rechteckskurve und ihre ersten drei Naherungskurven skizziert.
y=f,ix) y=f2(x)
Bild II-8 Rechteckskurve im direkten Vergleich mit ihren ersten drei Naherungsfunktionen
2 Anwendungen
171
2 Anwendungen 2,1 Fourier-Zerlegung einer Schwingung (harmonische Analyse) Wirbetrachteneinennicht-sinusfdrmigenSchwingungsvorgang y = y{t) mitderSchwingungsdauer T und der Kreisfrequenz CDQ = 2n/T (Bild II-9):
Bild II-9 Nicht-sinusformiger Schwingungsvorgang
Die zeitabhdngige periodische Funktion y (t) laBt sich dann unter den bekannten Voraussetzungen ^^ in eine Fourier-Reihe vom Typ y{t) = -— -\- >
[a„ • cos {n COQ t) + b^- sin (n COQ t)] =
n= 1
= -— + «! • COS (CDQ t) + a2 • COS (2 WQ t) -\- a^ • cos (3 COQ 0 + • • • (11-26) ... + hi ' sin {CDQ 0 + ^2 * si^ P<^o0 + ^3 ' sin (3COQ 0 + • • •
entwickeln. Diese Entwicklung in unendlich viele Sinus- und Kosinusfunktionen bedeutet aus physikalischer Sicht eine Zerlegung der Schwingung y{t) in ihre harmonischen Bestandteile, auch Schwingungskomponenten genannt. Sie bestehen aus der Grundschwingung mit der Grundkreisfrequenz COQ und den harmonischen Oberschwingungen, deren Kreisfrequenzen ganzzahlige Vielfache der Grundkreisfrequenz sind: 2(DQ, 3COQ, 4(JOQ, ... . Bringen wir umgekehrt Grundschwingung und Oberschwingungen zur ungestorten Uberlagerung, so erhalten wir als Resultierende genau die Schwingung y = y{t) (Superpositionsprinzip der Physik). ^ y{t) mu6 im Periodenintervall die Dirichletschen Bedingungen erfiillen.
172
II Fourier-Reihen
Die Fourierkoeffizienten UQ, a^, ^2, ^ 3 , . . . , b^, ^2' ^ 3 ' ••• bestimmen dabei die Amplituden der harmonischen Teilschwingungen und somit letztlich deren Anteile an der Gesamtschwingung. Die als harmonische Analyse oder auch Fourier-Analyse bezeichnete Zerlegung einer nicht-sinusformigen Schwingung y = y{t) in Grundschwingung und harmonische Oberschwingungen lauft somit auf die Bestimmung der Fourierkoeffizienten in der Entwicklung (11-26) hinaus. Sie konnen mit Hilfe der folgenden Integralformeln berechnet werden:
Anmerkung Das Symbol (T) unter dem Integralzeichen bedeutet, daB die Integration iiber ein (beliebiges) Periodenintervall der Lange T zu erstrecken ist. Ein Beispiel folgt in Abschnitt 2.3.
2 Anwendungen
173
2.2 Zusammenstellung wichtiger Fourier-Reihen In Tabelle 2 haben wir die Fourier-Reihen einiger in den Anwendungen besonders wichtiger periodischer Funktionen (Impulse) mit der Perioden- oder Schwingungsdauer T zusammengestellt. Tabelle 2: Fourier-Reihen einiger besonders wichtiger periodischer Funktionen (T: Periodendauer)
II Fourier-Reihen
174 Tabelle 2 (Fortsetzung)
2.3 Ein Anwendungsbeispiel: Fourier-Zerlegung einer Kippspannung Wir betrachten den in Bild 11-10 dargestellten zeitlichen Verlauf einer Kippspannung mit der Schwingungsdauer T: U i
. Bild 11-10 Zeitlicher Verlauf einer Kippspannung (Sagezahnimpuls)
u-
Xix T
21
31
t
2 Anwendungen
175
Dieser sdgezahnfdrmige Impuls wird im Periodenintervall [0, T) durch die Funktionsgleichung u{t) = - t
(11-29)
{0^t
beschrieben. Seine Fourier-Zerlegung in Grundschwingung und Oberschwingungen erfordert die Berechnung der Fourierkoeffizienten in der Darstellung (11-27). Die dabei auftretenden Integrale haben wir der Integraltafel der Formelsammlung entnommen und stellen sie der Rechnung voran^^:
Integraltyp (A) Bei der Integralberechnung werden folgende Beziehungen beriicksichtigt: coQT = 2n,
sin(n27r) = 0,
(n e N)
cos(n2 7t) = l
(11-30)
T t' cos (n (JOQ t) dt =
t • sin {n COQ t)
cos {n CDQI) 2 ..,2 n" 0),
nCDn
Integral Nr. 232 cos [n (OQT) 2
T
T ' sin (nln)
2 ...2
n" CO,
2
n^ coi
HCOQ
2
2
= 0
1
T)
2 ^,.2
ncDr
cos [nln)
2
• sin [n COQ
2
n^ (D
1 2 ...2
n"' CO,
(11-31)
n"^ con
Also: (A):
4)
t • COS {n COQ t)dt = 0
(11-32)
Die Integrale lassen sich leicht durch „Partielle Integration'' losen (vgl. hierzu Band 1, Abschnitt V.8.2).
176
II Fourier-Reihen
Integraltyp (B) Fiir den Integraltyp (B) erhalten wir unter Bemcksichtigung von (11-30): T t • sin (n COQ 0 ^^ =
sin (M COQ 0
t • c o s (n
COQ
r
0
0
) Integral Nr. 208 sin {n (JOQT)
sin (nln)
T - cos {n COQ T)
T • cos (n 2 TC)
T
2^2 w CO;
UCOQ
0
Inn
(11-33)
Also:
(B):
\t- sin (n coo t)dt= —
^ • • \
(11-34)
Inn
Berechnung des Fourierkoeffizienten UQ Aus der Integralformel (11-28) folgt: 2 «o
r
(0 dt
7^ J 2u
T^
T^
2 =u
u , 2M — tdt = —^ T T^
tdt =
2u
(11-35)
Berechnung der Fourierkoeffizienten a„ (/i = 1, 2, 3,...) Wir erhalten fur die Fourierkoeffizienten a„ nach Formel (11-28):
u (t) • COS (n COQ t)dt =
^n = Y
-t' cos{nCOQt)dt =
0
2w T2
2M
J
;;;T * 0 = 0 t' COS (n COQ 0 ^^ =72
0
Integraltyp (A) Die Fourier-Reihe der Kippspannung (11-29) enthalt somit keine Kosinusglieder.
(11-36)
2 Anwendungen
177
Berechnung der Fourierkoeffizienten A„ (/i = 1, 2, 3,...) Die Integralformel (11-28) liefert fur die Fourierkoeffizienten b„:
u (t) • sin (n CDQ t)dt =
2w
2u t • sin {n COQ t) at = —
T2
; ^ • sin (n CDQ t) dt =
Inn
u
u \
nn
n n
(11-37)
Integraltyp (B)
Die Fourier-Reihe der Kippspannung besitzt somit die Gestalt ..
U
uf^l'j = 2 U
2'"n
U
^
1
. \ - • sm{n(j)Qt) = n n ^= 1 n 1
U
sin (COQ 0
H
1 sin (2 COQ r) + - • sin (3 COQ 0 +
(11-38)
In der Kippspannung sind demnach folgende Komponenten enthalten (sog. harmonische Analyse): 1. Der Gleichspannungsanteil u/2. 2. Die Grundschwingung mit der Kreisfrequenz WQ und der Amplitude u/n. 3. Sinusformige Oberschwingungen mit den Kreisfrequenzen 2COQ, 3 COQ, 4a)Q,... und den Amplituden u/2n, u/3n, u/4n,... . Einen sehr anschaulichen Einblick in die Struktur der Kippspannung gewinnt man aus dem sog. Amplitudenspektrum (Bild 11-11). In ihm werden die Amplituden der einzelnen Schwingungskomponenten als Funktion der Kreisfrequenz abgetragen. Dem Amplitudenspektrum konnen wir dabei unmittelbar entnehmen, welche Schwingungskomponenten iiberhaupt in der Kippspannung enthalten sind und mit welchem (prozentualen) Anteil sie an der Gesamtschwingung beteiligt sind ^\
5)
Dem Gleichspannungsanteil u/2 wird dabei die Kreisfrequenz (0 = 0 zugeordnet.
178
II Fourier-Reihen
k Amplitude
0
1
n U
5
Bild 11-11 Amplitudenspektrum einer Kippspannung
L_L 6
Uj/UJn
Ubungsaufgaben Zu Abschnitt 1 1) Die in Bild 11-12 skizzierte periodische Funktion besteht aus Parabelbogen. Ihre Funktionsgleichung lautet im Periodenintervall 0 ^x ^2n: f{x) = x{2n — x) Bestimmen Sie die Fourier-Reihe dieser Funktion.
y = x(27C-x)
271
Bild 11-12 Parabelfdrmiger Impuls
UTC
179
Ubungsaufgaben 2)
Wie lautet die Fourier-Reihe der in Bild 11-13 dargestellten periodischen Funktion mit der Gleichung f{x) = x
fiir
0^x<27r?
BiM 11-13
3)
Bcstimmcn Sic die Fouricr-Rcihc der in Bild 11-14 skizzicrten periodischen Funktion, die im Pcriodcnintcrvail [—n,n] durch die Gleichung
fix) = \x\ bcschriebcn wird?
m\d IM4
II Fourier-Reihen
180
Zu Abschnitt 2 1) Zerlegen Sie den folgenden Kosinusimpuls {Einweggleichrichtung nach Bild 11-15) in seine harmonischen Komponenten (Fourier-Zerlegung): u- cost fur
1/(0 =
I 0
n 2
n 2
n 2
3 2
u iI
/
1 1 1 TT
TT
2
?
\ \ \
1 1 1
\
/
\
I'T 2
In 2
In 2
t
Bild 11-15 Kosinusimpuls (Einweggleichrichtung)
2)
Wie lautet die Fourier-Zerlegung des in Bild 11-16 dargestellten Dreiecksimpulsesl
Bild 11-16 Dreiecksimpuls
Ubungsaufgaben 3)
181
Bild 11-17 zeigt einen trapezformigen Impuls. Zerlegen Sie diese periodische Funktion in ihre harmonischen Komponenten.
^ I I / I / I / Jl T/2
T
I / I / I / \l
1/
/
3T
2T
Bild 11-17 Trapezformiger Impuls
4)
Wie lautet die Fourier-Zerlegung der in Bild 11-18 dargestellten Kippschwingung {Sdgezahnfunktion) ?
T
2T
f
Bild 11-18 Kippschwingung (sagezahnformiger Impuls) 5) Zerlegen Sie den in Bild 11-19 dargestellten Sinusimpuls {Zweiweggleichrichtung) mit der Funktionsgleichung 3;(0 = j)|sin(a;or)|
(O^t^T)
in seine harmonischen Bestandteile (Fourier-Analyse). , y-
T
2T
Bild 11-19 Sinusimpuls (Zweiweggleichrichtung)
t
182
III Komplexe Zahlen und Funktionen
1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl Die komplexen Zahlen stellen eine Erweiterung der reellen Zahlenmenge R dar und erweisen sich in den Anwendungen als ein sehr niitzliches mathematisches Hilfsmittel. Ein wichtiges Beispiel dafur bietet die komplexe Wechselstromrechnung der Elektrotechnik, auf die wir im Anwendungsteil naher eingehen werden.
1.1 Definition einer komplexen Zahl Wir gehen bei unseren Betrachtungen von der einfachen quadratischen Gleichung x2-fl=o
Oder
x^=-l
(III-l)
aus. Sie hat keine reelle Losung, da das Quadrat einer reellen Zahl stets grojkr oder gleich Null ist. Ziehen wir rein formal auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel, so erhalten wir zwei „formale Losungen": x2 4- 1 = 0 =^ Xi/2 ^1/2 = - :c-y/^
(III-2)
I>em Symbol \/ —i gcbcn wir nun durch die folgcnde Definition einen Sinn und Namen.
Anmerkung In der Mathematik wird die imagindre Einheit meist durch das Symbol i gekennzeichnet. Wir werden dieses Symbol jedoch nicht verwenden, um Verwechslungen mit der Stromstdrke i zu vermeiden. Die „Losungen" der Gleichung x ^ + 1 = 0 lauten damit unter Verwendung der imaginaren Einheit j wie folgt: x^ + i = 0 => Xi/2=
J
(ni-5)
1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl
183
Sie konnen als „Produkte" aus der reellen Zahl + 1 bzw. — 1 und der imagindren Einheit j aufgefaBt werden: ^1 = 1 J = J
und
X2 = - 1 j = - j
(111-6)
Auf ahnliche „Zahlen" stoBen wir beim formalen Losen der Gleichung x^ + 9 = 0: x2 + 9 - 0 ^ x^,2=
=
=
=
j
(in-7)
Zahlen dieser Art werden als imagindre Zahlen bezeichnet.
Anmerkungen (1) Zulassige Schreibweisen sind: bj, ib oder b j , j b. (2) Das Quadrat einer imaginaren Zahl bj ist stets eine negative reelle Zahl: (bjf = b^ -i^ = b^
-b^
<0
(5/0)
(HI-8)
Beispiel Die folgenden Zahlen sind imagindr: 2j;
-iiJj;
5 r - j ; v3j;
nj
Bei quadratischen Gleichungen treten haufig auch formale Losungen in Form einer algebraischen Summe aus einer reellen Zahl und einer imagindren Zahl auf. So besitzt beispielsweise die Gleichung x 2 - 4 x + 13 = 0
(III-9)
die formalen Losungen Xi/2 =
^4-
13 =
y ^
= 2
3j
Zahlen dieser Art werden als komplexe Zahlen bezeichnet.
(III-IO)
184
III Komplexe Zahlen und Funktionen
Anmerkungen (1) Komplexe Zahl bedeutet soviel wie zusammengesetzte Zahl, namlich aus einer reellen und einer imaginaren Zahl zusammengesetzt. (2)
Die Darstellungsform z = x + j y ist die Normalform einer komplexen Zahl. Sie wird auch als algebraische oder kartesische Form bezeichnet.
(3)
Die reellen Bestandteile x und y der komplexen Zahl z = x + j y werden als Realteil und Imagindrteil von z bezeichnet. SymboUsche Schreibweise: Realteil von z:
Re (z) = x
Imagindrteil von z: lm{z) = y (4)
Die Menge C = {z|z = x + j y ; x , ) ; e ] R }
(III-12)
heiBt Menge der komplexen Zahlen.
1.2 Die Gaufische Zahlenebene FaBt man Real- und Imagindrteil einer komplexen Zahl z = x -\- jy als kartesische Koordinaten eines Punktes P der x, j-Ebene auf, so laBt sich jeder komplexen Zahl genau ein Bildpunkt P{z) = (x; y) zuordnen und umgekehrt (Bild III-l): z = x+iy
lm(z)
^
P{z) = {x;y)
(IIM3)
I
P(z)
Bild III-l Bildliche Darstellung einer komplexen Zahl durch einen Punkt in der GauBschen Zahlenebene Rerz;
Die Bildebene heiBt komplexe Ebene oder Gaufische Zahlenebene, die beiden Koordinatenachsen werden - aus spater noch ersichtlichen Griinden - als reelle und imagindre Achsen bezeichnet.
1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl
185
In den Anwendungen werden komplexe Zahlen meist durch sog. Zeiger dargestellt. Es handelt sich dabei um eine bildliche Darstellung der komplexen Zahl z in Form eines Pfeils, der vom Koordinatenursprung aus zum Bildpunkt P (z) gerichtet ist (Bild III-2). Wir kennzeichnen ihn durch das Symbol z = x + j y (unterstrichene komplexe Zahl).
lm(z)
1
y
Bild III-2 Bildliche Darstellung einer komplexen Zahl durch einen Zeiger in der GauBschen Zahlenebene X
Re (z)
Wir kommen nun auf die Bezeichnungen der Koordinatenachsen in der Gaufischen Zahlenebene zuriick. Eine reelle Zahl kann als eine komplexe Zahl mit verschwindendem Imagindrteil aufgefaBt werden. Die reellen Zahlen sind daher in der Form z = x+j'0 = x
(III-14)
darstellbar (Im (z) = 0). Ihre Bildpunkte liegen auf der horizontalen Koordinatenachse, die daher zu Recht die Bezeichnung reelle Achse tragt (Bild III-3). Auch die imagindren Zahlen sind ein Sonderfall der komplexen Zahlen. Bei ihnen verschwindet der Realteil (Re(z) = 0): z = 0 + j y =jy
(III-15)
Die Bildpunkte der imagindren Zahlen liegen daher auf der vertikalen Koordinatenachse der GauBschen Zahlenebene, die daher folgerichtig als imagindre Achse bezeichnet wird (Bild III-3).
lm(z) A
z=jy (Imagindre Zahl) Bild III-3 Zur Lage einer reellen bzw. imaginaren Zahl z=x (Reelle Zahl)
R9L(Z)
186
III Komplexe Zahlen und Funktionen
Wir fassen zusammen:
Anmerkungen (1) Der Zeiger z ist eine geometrische Darstellungsform der komplexen Zahl z und nicht mit einem Vektor zu verwechseln (Vektoren und Zeiger unterliegen unterschiedlichen Rechengesetzen). (2) Sowohl die Menge der reellen Zahlen als auch die Menge der imagindren Zahlen sind echte Teilmengen der Menge (C. (3) Wir kennzeichnen den Bildpunkt P(z) einer komplexen Zahl z meist durch das Zahlensymbol selbst.
Beispiele (1)
Bild III-4 zeigt die Lage der Bildpunkte von z i = 2 + 4j,
z2=4+j,
Z6=-3-4j,
Z3 = 3 j ,
Z7 = 2 - 3 j ,
Z4=-3,
Z5 = - 6 + 2 j ,
Z 8 = - 2 + 7j
in der GauBschen Zahlenebene. (2)
Die komplexen Zahlen z i = 9 + 3j, z2 = 4 + 5j, Z 3 = - 5 + 6j, zs = -3-6i,
z^=-l,
Z6 = 3 - 2 j
sind in Bild III-5 durch Zeiger in der GauBschen Zahlenebene dargestellt.
1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl
187
lm(z)k
5+
4^z,
_i
1
1
^
1
(-
H
1
1
1
h 5 Re (z)
7+
Bild III-4
lm(z)i
Bild III-5
188
III Komplexe Zahlen und Funktionen
1.3 Weitere Grundbegriffe Wir behandeln in diesem Abschnitt die folgenden Grundbegriffe: Gleichheit zweier komplexer Zahlen, konjugiert komplexe Zahl, Betrag einer komplexen Zahl. Gleichheit zweier komplexer Zahlen
Zwei komplexe Zahlen sind demnach gleich, wenn sie in ihrem Real- und ihrem Imagindrtell iibereinstimmen. Die zugehorigen Bildpunkte bzw. Zeiger fallen dann zusammen. Konjugiert komplexe Zahl
Der Ubergang von der komplexen Zahl z zur konjugiert komplexen Zahl z* bedeutet einen Vorzeichenwechsel im Imaginarteil, wahrend der Realteil unverdndert bleibt: Re (z *) = Re (z)
und
Im (z *) = - Im (z)
(III-l 8)
Die zugehorigen Bildpunkte bzw. Zeiger liegen daher spiegelsymmetrisch zur reellen Achse (Bild III-6). Im^z^i i
y-
1 \
1 1
X
\
1
\ \
-y-
1
Rerz;
Bild III-6 Zum Begriff der konjugiert komplexen Zahl
1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl
189
Anmerkungen (1)
Formal laBt sich der Ubergang von der komplexen Zahl z = x -\- }y zur konjugiert komplexen Zahl z * = x — jy durch die Substitution j ^ — j beschreiben.
(2)
Fiir zwei zueinander konjugiert komplexe Zahlen z^ und Z2 gilt: ^2
(3)
und uiiu
7 2 - =7 z *i Z
(III-19)
Es ist stets (z*)* = z (zweimalige Spiegelung an der reellen Achse fiihrt zum Ausgangspunkt zuriick).
Beispiele (1)
Gegeben sind die komplexen Zahlen z i = 3 + 5j,
Z2=-2-4j,
Z3 = 5
2j,
Z4= - 2 j ,
Die konjugiert komplexen Zahlen lauten: zi = 3 + 5j
= 3-5j
Z2 = - 2 - 4j
= - 2 + 4j
Z3 =
= 5 + 2j
5-2j
Z4 = - 2j
= 2}
Z5=8 Bild III-7 zeigt die Lage der zugehorigen Bildpunkte und Zeiger in der GauBschen Zahlenebene (Zeigerspitze = Bildpunkt).
Bild III-7
190
III Komplexe Zahlen und Funktionen (2)
Wir zeigen geometrisch, daB eine komplexe Zahl z mit der Eigenschaft z = z* reell ist. Die Zeiger zweier/con/ugiert komplexer Zahlen z und z* liegen bekanntlich spiegelsymmetrisch zur reellen Achse (vgl. hierzu Bild III-6). Die Gleichung z = z^ bedeutet, daB die Zeiger z und z* zusammenfallen. Beide Bedingungen sind nur miteinander in Einklang zu bringen, wenn der Zeiger z in der reellen Achse liegt und somit eine reelle Zahl darstellt (Bild III-8). imrzjA
Rerzj
Bild III-8
Betrag einer komplexen Zahl
imrz;4
Bild III-9 Zum Begriff des Betrages einer komplexen Zahl Rerz;
Anmerkungen (1) Defmitionsgleichung (III-20) folgt unmittelbar aus Bild III-9 durch Anwendung des Satzes von Pythagoras auf das eingezeichnete rechtwinklige Dreieck. (2)
Der Betrag \z\ einer komplexen Zahl ist eine Abstandsgrofie. Daher ist |z| ^ 0.
1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl
191
Beispiel Die komplexen Zahlen z^ = 3 — 4j, Z2 = 3j und Z3 = gende Betrdge:
2 — 8j besitzen fol-
k i l = V 3 ^ + ( - 4 ) ^ = V25 = 5 |z2| = V 0 ^ + 3 ^ = 3 IZ3I = V ( - 2 ) 2 + ( - 8 ) 2 = 7 6 8 = 8,25
1.4 Darstellungsformen einer komplexen Zahl 1.4.1 Algebraische oder kartesische Form In Abschnitt 1.1 wurde die komplexe Zahl z als algebraische Summe aus einer reellen Zahl X und einer imagindren Zahl j y eingefuhrt: z=
(III-21)
x-^jy
Diese Darstellungsform heiBt daher ,,algebraisch'\ Auch fiir die ebenfalls ubliche Bezeichnung kartesische Form gibt es eine einleuchtende Erklarung: Real- und Imaginarteil der komplexen Zahl z reprasentieren die kartesischen Koordinaten des zugehorigen Bildpunktes P (z) in der GauBschen Zahlenebene. Die algebraische oder kartesische Form ist die Normalform einer komplexen Zahl. 1.4.2 Trigonometrische Form Den Bildpunkt P{z) einer komplexen Zahl z = x + jy konnen wir auch durch Polarkoordinaten r und cp festlegen (Bild III-10). Mit Hilfe der Transformationsgleichungen X = r ' cos (p,
(III-22)
y = r ' ^m. (p
laBt sich dann die komplexe Zahl z aus der kartesischen Form in die sog. trigonometrische Form z = x-\-']y = r' cos cp -\- ] r - smcp = r (cos (p -\- ] - sin cp)
(III-23)
iiberfiihren.
\m(z)i
Bild III-IO Zur trigonometrischen Form einer komplexen Zahl RQ(Z)
192
III Komplexe Zahlen und Funktionen
Fiir r und (p sind in der komplexen Rechnung die Bezeichnungen r: Betrag von z (p: Argument ^\ Winkel oder Phase von z iiblich. Fur die Abstandsgrofie r gilt stets r ^ 0. Die Winkelkoordinate cp ist unendlich vieldeutig, denn jede weitere voile Umdrehung fiihrt zum gleichen Bildpunkt. Man beschrankt sich daher bei der Winkelangabe meist auf den im Intervall 0 ^ (p <2n gelegenen Hauptwert. Wichtiger Hinweis zum Begriff „Hauptwert eines Winkels" VereinbarungsgemaB liegt unser Winkelhauptwert im Intervall 0 ^ (p <2n.lm technischen Bereich wird jedoch haufig der kleinstmogliche Drehwinkel als Hauptwert angegeben. Den 1. und 2. Quadrant erreicht man dabei durch Drehung im Gegenuhrzeigersinn {positiver Drehwinkel von 0° bis 180° bzw. von 0 bis n), den 3. und 4. Quadrant dagegen durch Drehung im Uhrzeigersinn {negativer Drehwinkel von 0° bis — 180° bzw. von 0 bis — TT), wobei die Drehung jeweils aus der positiv-reellen Achse heraus erfolgt. Die Hauptwerte des Winkels liegen bei dieser Festlegung dann im Intervall —n<(p^n. Der Obergang von der komplexen Zahl z zur/con/wgi^rt komplexen Zahl z* bedeutet geometrisch eine Spiegelung des Bildpunktes P(z) an der reellen Achse (Bild III-11). Dabei tritt ein Vorzeichenwechsel im Argument (Winkel) cp ein (Drehung im mathematisch negativen Drehsinn), wahrend der Betrag r unverdndert bleibt. Die zu z = r (cos (p -\- i' sin (p) konjugiert komplexe Zahl lautet daher in der trigonometrischen Darstellungsform r [cos {— (p) -\-}' sin {— (p)] = r (cos cp — j - sincp)
(III-24)
Formal kann der Obergang von z nach z* auch durch die Substitution j ^ — j beschrieben werden. lm(z)h
Bild IIMl Zur trigonometrischen Darstellungsform der konjugiert komplexen Zahl
Schreibweise: (^ = arg(z)
1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl
193
Beispiele (1)
Die in der trigonometrischen Form vorliegenden komplexen Zahlen zi = 2 (cos 30° + j Z3 = 5 (cos 71 + j
sin 30°), sin TT),
zs=4 cosl-l+jsin
Z2 = 3 cos I -
TC
I+j
Z4 = 3 (cos 250° + j -
sin ( -
TI
sin 250°),
, Z6 = 4[cos(-45°)+j-sin(-45°)]
sind in Bild III-12 durch Zeiger in der GauBschen Zahlenebene dargestellt.
Bild III-12
(2)
71 \
.
I Tl
z i = 3 COS I - I + J sm 3 / ' '' ~"'\3^
, Z2 = 4 [ c o s ( - 1 6 0 ° ) + j - s i n ( - 1 6 0 ° ) ]
Wie lauten die zugehorigen konjugiert komplexen Zahlen? Losung: zt = 3 COS I - j - j
sin ( - , zf = 4 ( c o s l 6 0 ° + j s i n l 6 0 ° )
In Bild III-13 ist die Lage der Bildpunkte und Zeiger in der GauBschen Zahlenebene anschaulich dargestellt.
III Komplexe Zahlen und Funktionen
194 lm(z)k
Bild III-13
1.4.3 Exponentialform Unter Verwendung der von Euler stammenden Formel ^^ e J^ = cos (p -\- i' sincp
(III-25)
erhalt man aus der trigonometrischen Form z =^ r (cos cp -\-} - sin (p) die als Exponentialform bezeichnete (knappe) Darstellungsform (III-26)
r ew
X
2)
Die Eulersche Formel erhalt man am bequemsten aus der Mac Laurinschen Reihe von e , wobei man x durch j (p ersetzt und die Beziehung j = — 1 beachtet: 1 +
iicp)' . {}(pf 1! 2! (p
, ijcpf 3! (p
(p
, (jcp)^ , iicpf 4! 5!
+ ... =
, (p
'P'
.'P'
' - ^ + 7r-+-J+Jr-37^5! COS (p
= COS (p -\- i
sm (p
sinq)
Die in den Klammern stehenden Potenzreihen sind namlich die Mac Laurinschen Reihen von cos (p und sin (p.
1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl
195
Diese Schreibweise wird sich spater noch als besonders vorteilhaft bei der Ausfiihrung der Rechenoperationen Multiplikation und Division erweisen. Die zu z = r Q^^ konjugiert komplexe Zahl z* lautet in der Exponentialform: z* = [r-eJ^]* = r - e ~ J ^
(III-27)
Anmerkungen (1) Die in der Eulerschen Formel (III-25) auftretende komplexe Exponentialfunktion ist im Gegensatz zur reellen e-Funktion periodisch mit der Periode }2n: Q{W + k-}2n) ^ QJ{(p + k-2n) ^ gjcjo {k E Z) (2)
Wiederum gilt: Ersetzt man j durch — j , komplexe Zahl z*.
(III-28)
so erhalt man aus z die konjugiert
Beispieie (1)
Die in der Exponentialform vorliegenden komplexen Zahlen zi = 3-eJ^5°,
Z9 = 4
= 3c-Jiio°,
^h
e 3
Z5 = 6 .J"
An
Z3 = 5-e^2 , Z6 = 4-eJ340°
sind in der Gaufischen Zahlcnebcne durch Bildpunkte und Zeiger bildHch darzustellen. Die Losung fmdct der Lcscr in Bild III-14.
Im^zM
Bild III-14
III Komplexe Zahlen und Funktionen
196 (2)
Wir bestimmen die zu zi = 3-e-'3,
z2 = 5-eJi^^
und
z,^6-e-J20°
konjugiert komplexen Zahlen. Sie lauten: zi = 3 - e J- 'T3
.
, * _= a3. ^e Zj"
^3=3-6'^
3i
z | = 5 - e - J i 6 0 ° = 5-eJ(-i60°) = 6-eJ2^° In Bild III-15 ist die Lage der Bildpunkte und Zeiger in der GauBschen Zahlenebene dargestellt. ln\(z)k
Bild III-15
1.4.4 Zusammenstellung der verschiedenen Darsteilungsformen Die nachfolgende Zusammenfassung enthalt die verschiedenen Darsteilungsformen einer komplexen Zahl.
1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl
197
Anmerkungen (1) Sowohl der trigonometrischen als auch der exponentiellen Darstellungsform liegen Polarkoordinaten zugrunde. Wir fassen diese Schreibweisen daher unter der Sammelbezeichnung „Polarformen" zusammen. Die Exponentialform ist dabei gewissermaBen eine Kurzschreibweise fiir die trigonometrische Form. (2)
Fiir alle drei Darstellungsformen gilt: Ersetzt man j durch — j , so geht die komplexe Zahl z in die zugehorige konjugiert komplexe Zahl z* iiber.
1.4.5 Umrechnungen zwischen den Darstellungsformen 1.4.5.1 Umrechnung: Polarform -> Kartesische Form Die komplexe Zahl liegt in der trigonometrischen oder in der Exponentialform vor und soil in die kartesische Form umgerechnet werden. Dies geschieht wie folgt:
Anmerkung Die Transformationsgleichungen (III-32) beschreiben den Ubergang von den Polarkoordinaten zu den kartesischen Koordinaten. In der Praxis geht man dabei wie folgt vor:
III Komplexe Zahlen und Funktionen
198
Zunachst wird die komplexe Zahl von der Exponentialform in die trigonometrische Form gebracht, dann wird „ausmultipliziert"^^: 2= r
eJ^ = r(cos cp -\-} - sincp) = {r
cos cp) -{-}{r - sin cp) = x + }y
X
y
Beispiek Die in der trigonometrischen Form bzw. Exponentialform vorliegenden komplexen Zahlen zi = 2(cos 30° -h j 3.eJ250o^
sin 30°), Z5=4
Z2 = 3 e ^-^^ 7t \
.
z^ = 5(cos TC + j
. i n
cos I - I + J sm
^6
sin TI),
4.e-J^5o
sind in der Normalform {kartesischen Form) darzustellen {Zeigerdarstellung in Bild III-12).
Losung:
zi = 2 ( - V 3 + j 0 , 5 ) - V 3 + j = 1,73+j Z2 = 3 e 4 = 3 cosi - 7 i l + j s m ( -7cj = - - V 2 + - V 2 j = = - 2,12 + 2,12j Z3 = 5 ( - 1 + j
0) = - 5 {reelle Zahl)
z^ = 3 eJ 250° _ 3(cos 250° + j sin 250°) = - 1,03 - 2,82j Z5 = 4(0 H- j
1) = 4j {imagindre Zahl)
Z6 = 4 e - J ^ ^ ° = 4 [ c o s ( - 4 5 ° ) + j s i n ( - 4 5 ° ) ] = 2 V 2 - 2 x / 2 j = = 2,83 - 2,83 j
Der erste Schritt entfallt natiidieh, wenn die komplexe Zahl bereits in der trigonometrischen Form vorliegen sollte.
1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl
199
1.4.5.2 Umrechnung: Kartesische Form -> Polarform Die komplexe Zahl liegt in der kartesischen Form {Normalform) vor und soil in die Polarform, d.h. in die trigonometrische oder in die Exponentialform umgerechnet werden. Anhand von Bild III-16 ergeben sich dabei folgende Transformationsgleichungen:
lm(z)k Bild III-16 Zur Transformation einer komplexen Zahl aus der kartesischen Form in eine Polarform
Bei der Winkelbestimmung ist besondere Sorgfalt geboten. Wir beschranken uns dabei vereinbarungsgemaB auf den im Intervall 0 ^ cp <2n gelegenen Hauptwert (s. hierzu den Hinweis auf Seite 192). Dieser Winkel laBt sich am bequemsten anhand einer Lageskizze der komplexen Zahl iiber einen Hilfswinkel in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen (s. hierzu das nachfolgende Beispiel (1)). Allgemein ergeben sich fiir den Hauptwert des Winkelsc/) in Abhangigkeit vom Quadranten die folgenden Berechnungsformeln (Winkelangabe im BogenmaB):
200
III Komplexe Zahlen und Funktionen
Zur Herleitung dieser Formeln: Wir beschranken uns auf den 2. Quadrant. Anhand von Bild III-17 berechnen wir zunachst den Hilfswinkel a: y y tan a = -— =
il)
(III-34)
^ a == arctan I -^— | = — arctan
Fiir den Hauptwert (p folgt dann: (p = 180° - a = 180° + arctan ( - j 4 TC + arctan [ -
(III-35)
i
"y
y
Bild III-17 >
n^fz)
lxl=-x
Anmerkungen (1) Werden die Hauptwerte im Intervall —n<(p^n angegeben (wie in der Technik oft ublich, s. hierzu den Hinweis auf Seite 192), so erhalt man die folgende Berechnungsformel: arccos (x/r) (p
(2)
y ^0 fiir
arccos (x/r)
(III-36) y <0
Fiir die reellen Zahlen z = x + 0-j = x ist
r = IXI
und
r 0 (p =\ unbestimmt i n
x>0
fiir
x == 0 (Nullpunkt) > (III-37) x<0 J
Den drei Fallen entsprechen die Zeiger z^, Z2 und Z3 in Bild III-18.
Imrz;A
Bild III-18 ^3
RQ(Z)
1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl (3)
201
Fiir die imagindren Zahlen z = 0 -\- jy = jy ist y>0 r = \y\
und
(p =
(III-38)
fiir 71
y
<0
Den beiden Fallen entsprechen die Zeiger z^ und Z2 in Bild III-19. Im (z) 1
M^
RQ(2)
Bild III-19
Beispiele (1)
Die komplexe Zahl z =
^3 - j liegt im 3. Quadrant (Bild III-20).
Bild III-20
Ihr Betrag ist
r = |z| = V ( - 7 3 ) ' + ( - 1 ) ' - y^TT = 2 Der Phasenwinkel cp liegt zwischen 180° und 270° (Hauptwert). Wir berechnen ihn uber den Hilfswinkel a: tan a =
|-1|
|-v/3|
=
1
V3
^ a = arctan
/ 1 \
VV3/
(p = 180° + a = 180° + 30° = 210° 4 - TT
= 30°
III Komplexe Zahlen und Funktionen
202
Die Anwendung der weiter vorne angegebenen Berechnungsformel fur den 3. Quadranten fuhrt selbstverstandlich zum gleichen Ergebnis: (p = n (2)
arctan
-1
\ / 1 \ 71 7 ] = n -\- arctan ] = n -{- - = -n
Die in der kartesischen Schreibweise gegebenen komplexen Zahlen z i = 3 + 4j, Z 2 = - 4 + 2j, z 3 = - 8 - 6 j ,
z^ =
4-4j
sind in der trigonometrischen und in der exponentiellen Form darzustellen und in der GauBschen Zahlenebene durch Bildpunkte bzw. Zeiger zu veranschaulichen. Losung: Die Bildpunkte und Zeiger der Zahlen z^ bis z^ besitzen die in BildIII-21 skizzierte Lage in der GauBschen Zahlenebene. Im (z) 1
Bild III-21
ri = | z i | = 7 3 2 + 4 2 = 5 (Pi = arctan I - j = 53,13° = 0,927 z^ = 3 + 4j = 5(cos 53,13° + j = 5(cos 0,927 + j
sin 53,13°) = 5 eJ^^'1^° =
sin 0,927) = 5 eJ^'^^T
2 Komplexe Rechnung
203
r2 = |Z2| = x/(^4)2 + 22 = V20 = 4,47 (/)2 = arctan (
)-\- n = arctan ( - 0,5) -\- n = - 0,464 -i- n = 2,678
Z2 = - 4 + 2j = ^ 2 0 (cos 2,678 + j
sin 2,678) = ^ 2 0
eJ ^'^^^
r3 = | z 3 | ^ V ( - 8 ) 2 + (-6)2 = 10 (/)3 = arctan (
) + TT = arctan 0,75 + 71 = 0,644 + 71 = 3,785
Z3 = - 8 - 6j = 10 (cos 3,785 + j
sin 3,785) - 10 eJ ^'^^^
r^ = | z 4 | = V4^ + ( - 4 ) ^ = 4 V 2 /-4\ (^4 = arctan I \ -\- 2n = arctan (— l) + 27r= Z4 = 4 - 4 j = 4 V 2 cos -TT + 1
U
'
sin
\4
-n
TT
7 \- 2n = -n
= 4V2-e^^"
2 Komplexe Rechnung 2.1 Die vier Grundrechenarten fiir komplexe Zahlen 2.1.1 Vorbetrachtungen Auf der Zahlenmenge C lassen sich - wie bei den reellen Zahlen - vier Rechenoperationen, die sog. Grundrechenarten erklaren. Es sind dies — — — —
Addition {-\-) Subtraktion ( —) als Umkehrung der Addition Multiplikation ) Division (:) als Umkehrung der Multiplikation
2 Komplexe Rechnung
203
r2 = |Z2| = x/(^4)2 + 22 = V20 = 4,47 (/)2 = arctan (
)-\- n = arctan ( - 0,5) -\- n = - 0,464 -i- n = 2,678
Z2 = - 4 + 2j = ^ 2 0 (cos 2,678 + j • sin 2,678) = ^ 2 0 • eJ ^'^^^
r3 = | z 3 | ^ V ( - 8 ) 2 + (-6)2 = 10 (/)3 = arctan (
) + TT = arctan 0,75 + 71 = 0,644 + 71 = 3,785
Z3 = - 8 - 6j = 10 (cos 3,785 + j • sin 3,785) - 10 • eJ ^'^^^
r^ = | z 4 | = V4^ + ( - 4 ) ^ = 4 V 2 /-4\ (^4 = arctan I \ -\- 2n = arctan (— l) + 27r= Z4 = 4 - 4 j = 4 V 2 cos -TT + 1 • sin
U
'
\4
-n
TT
7 \- 2n = -n
= 4V2-e^^"
2 Komplexe Rechnung 2.1 Die vier Grundrechenarten fiir komplexe Zahlen 2.1.1 Vorbetrachtungen Auf der Zahlenmenge C lassen sich - wie bei den reellen Zahlen - vier Rechenoperationen, die sog. Grundrechenarten erklaren. Es sind dies — — — —
Addition {-\-) Subtraktion ( —) als Umkehrung der Addition Multiplikation (•) Division (:) als Umkehrung der Multiplikation
204
III Komplexe Zahlen und Funktionen
Bei der Festlegung dieser Operationen ist jedoch zu beachten, daB die reellen Zahlen einen Sonderfall der komplexen Zahlen darstellen (IR cz (C). Die vier Grundrechenarten miissen daher so definiert werden, daB die Rechenregeln fiir komplexe Zahlen im Reellen mit den bereits bestehenden Rechenregeln fur reelle Zahlen ubereinstimmen (sog. Permanenzprinzip). Mit anderen Worten: Die vier Grundrechenarten miissen so festgelegt werden, dafi reelle und komplexe Zahlen den gleichen Grundgesetzen genugen. Mit einer einzigen Ausnahme: Fiir komplexe Zahlen laBt sich kein Anordnungsaxiom formulieren. Daher haben Ungleichungen, etwa vom Typ z^ ^2, fiir komplexe Zahlen keinen Sinn.
2.1.2 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen 2.1.2.1 Definition von Addition und Subtraktion Die Rechenoperationen Addition und Subtraktion sind in der kartesischen Darstellungsform wie folgt definiert:
Anmerkungen (1) Realteil und Imaginarteil wQrdQn jeweils fiir sich addiert bzw. subtrahiert. (2)
Addition und Subtraktion lassen sich nur in der kartesischen Form durchfiihren. Gegebenenfalls miissen daher die Zahlen erst in diese Form umgerechnet werden (vgl. hierzu das nachfolgende Beispiel (2)).
Beispiele (1)
Wir bilden mit den Zahlen z^ = 4 — 5j und Z2 = 2 + 11 j die Summe z^ + Z2 und die Differenz z^ — Z2: zi + Z2 = (4 - 5j) + (2 + 11 j) = (4 + 2) + ( - 5 + ll)j = 6 + 6j zi - Z2 = (4 - 5j) - (2 + 11 j) ^ (4 - 2) + ( - 5 - ll)j = 2 - 16j
(2)
Gegeben: zj = 3 • eJ ^^\
Z2 = 2 c o s ( ^ j + j - s i n f ^
Gesucht: z^ + Z2 und z^ — ^2-
2 Komplexe Rechnung
205
Losung: Die Zahlen miissen zunachst in die kartesische Form gebracht werden: zj = 3 • eJ ^^° = 3 (cos 30° + j • sin 30°) = 2,598 + l,500j -2
cos ( - 1 + J • sm .4; V4^
= 1,414 + i,4i4j
Addition und Subtraktion sind jetzt leicht durchfiihrbar. Wir erhalten: zi + Z2 = (2,598 + 1,500 j) + (1,414 + l,414j) = = (2,598 + 1,414) + (1,500 + l,414)j = 4,012 + 2,914j zi - Z2 = (2,598 + 1,500j) - (1,414 + l,414j) = = (2,598 - 1,414) + (1,500 - l,414)j = 1,184 + 0,086j
2.1.2.2 Geometrische Deutung Die Summen- bzw. Differenzbildung erfolgt bei komplexen Zahlen komponentenweise, d.h. nach den gleichen Regeln wie bei 2-dimensionalen Vektoren (vgl. hierzu Band 1, Abschnitt II.2.2.2). Den beiden Vektorkomponenten entsprechen dabei Real- und Imaginarteil der komplexen Zahl. Die Addition und Subtraktion zweier komplexer Zahlen kann daher auch geometrisch nach der aus der Vektorrechnung bekannten Parallelogrammregel erfolgen. In Bild III-22 haben wir die geometrische Addition naher dargestellt.
lm(z)k
Bild III-22 Zur geometrischen Addition zweier komplexer Zahlen
206
III Komplexe Zahlen und Funktionen
2.1.3 Multiplikation und Division komplexer Zahlen 2.1.3.1 Definition von Multiplikation und Division
Formal erhalten wir das gleiche Ergebnis, wenn wir das Produkt (xi + j j/i) • {X2 + j 3^2)
z^-Z2=
(III-42)
wie im Reellen gliedweise ausmultiplizieren und dabei die Beziehung j^= -1
(III-43)
beachten: Zi ' Z2 ={X^ +Jyi)-(X2 +jy2) = ^l-^2 +J^l}^2 +J->^2>^1 +j^)^l}^2 = = (xi X2 - yi y2) + j (-^^i 3^2 + ^2 yi)
•
(III-44)
Beispiele (1)
zi=2-4j,
Z 2 - - 3 + 5J, zi-Z2 = ?
Losung: zi • Z2 = (2 - 4j) • ( - 3 + 5j) = - 6 + lOj + 12j - 20j2 = 14 + 22j (2)
Wir berechnen die ersten Potenzen von j : ji=j;
j'=-i;
j ' = j ' j = (-i)-j = - j ;
j ^ = j ' - j ^ = ( - i ) - ( - i ) = i; j ' = j * - j = i - j = j ; ••• Die ersten vier Potenzen besitzen der Reihe nach die Werte j , —1, — j und 1. Von der 5. Potenz an wiederholen sich diese Werte. Daher gilt fiir jedes
J
(3)
~ J ? J
~
^
?
J
J ? J
^
Wir berechnen das Produkt aus z und z* und erhalten: z-z* = ( x + j y ) - ( x - j » = x ^ - j x y + j x 3 ; - j ^ } ; ^ ^ x ^ + y ^ = | z p Fur den Betrag \z\ einer komplexen Zahl z = x+J3^ konnen wir daher auch schreiben: \z\ = s/x^ + y^ =
2 Komplexe Rechnung
207
Wir beschaftigen uns nun mit der Umkehrung der Multiplikation, der Division. Dazu betrachten wir die Gleichung (III-45)
Z'Z2 = z^
mit vorgegebenen Zahlcn z^ = x^ -^ jy^ und ^2 =^ ^2 + 3^2 (^2 ^ 0)- Sie hat - wie wir gleich zeigen werden - genau dn^ Losung z, die als Qwofienr aus z^ und Z2 bezeichnet wird. Die formale Schreibweise lautet dabei wie im Reellen: z • Z2 = zi
=> z = —
(^2 v^ 0)
(III-46)
^2
Wir wollen nun diese Losung berechnen. Dazu wird die linke Seite der Gleichung (III-45) gliedweise ausmultiphziert: Z • Z2 = (X + J » • (X2 + J>2) = ^2 ^ + J ^2 -^ + J -^2 y + J ^ }^2 y = = {^2^-y2y)+}
(yi -^ + ->^2 3^)
(111-47)
Aus (III-45) folgt dann: (X2X - y2y) + '}{y2^ + ^ly) = ^1 ^Hi
(III-48)
Diese Gleichung kann jedoch nur bestehen, wenn beide Seiten sowohl in ihrem Realteil als auch in ihrem Imaginarteil iibereinstimmen: x?x — y? y = x^ (III-49) y2^ + ^2y = yi Dieses lineare Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten besitzt genau eine Losung, wenn die Koeffizientendeterminante D von Null verschieden ist: D
^2
-y2
y2
^2
(III-50)
x\^y\i^^
Dies ist genau dann der Fall, wenn (wfe vorausgesetzt) Z2 ¥"0 ist. Die Losung des (2,2)Systems (III-49) lautet dann nach der Cramerschen Kegel wie folgt:
X2 ~r 3^2
-^2
-^2
Gleichung (III-45) wird daher durch die komplexe Zahl x^X2 + yiy2
z= X2+y2
eindeutig gelost.
^ . X2yi-^iy2
.,„
+J
(III-52) ^2+>^2
.^,
208
III Komplexe Zahlen und Funktionen
Dies fiihrt zu der folgenden Definition:
Anmerkung Wie im Reellen so ist auch im Komplexen die Division durch die Zahl Null nicht erlaubt.
In der Praxis geht man bei der Quotientenbildung wie folgt vor. Der Quotient 2^/22 wird zunachst mit z*, d.h. dem konjugiert komplexen Nenner erweitert. Durch diese Operation wird der Nenner reell (22 • z* ist eine reelle Zahl!). Man erhalt dann Schritt fur Schritt: ^1 ^^i'4 Z2
^ ( ^ 1 + j > i ) - ( ^ 2 - J > 2 ) ^ - > ^ i ^ 2 -j^iyi
Z2'zf
(^2 + j y 2 ) ' ( ^ 2 - J > 2 )
+i^2yi
-j^yiyi
^
^ 2 + >^2
^ (^1 ^2 + yi yi) + J (^2 y\ - -^i yi) ^
xl + yl x2 + y2
^i^yi
Beispiele (1)
Mit z^ = 4 — 8j und Z2 = 3 + 4j berechnen wir den Quotienten Z1/Z2: ^1 ^ 4 - 8j ^ (4 - 8j) • (3 - 4j) ^ 12 - 16j - 24j + 32j^ ^ Z2 3 + 4j (3 + 4j) • (3 - 4j) 9 + 16 - 20 - 40 j 25
(2)
20 40 . ^ ^ , ^. - -25 - - J 25' =-0,8-l,6j
Wir berechnen den Kehrwert der imaginaren Einheit j :
j
j(-j)
1
2 Komplexe Rechnung
209
2.1.3.2 Multiplikation und Division in trigonometrischer und exponentieller Darstellung Multiplikation und Division sind in der trigonometrischen bzw. exponentiellen Schreibweise besonders einfach durchfiihrbar. Mit Zi = r^ (cos (pi + j ' sincp^) und
Z2 = ^2 (cos (p2 -^} ' sin (p2)
(III-55)
erhalten wir fur das Produkt z^ - Z2 den Ausdruck ^1 • ^2 = ^1 (cos (Pi + j • sin (pi) • r2 (cos (/?2 + j • sin (^2) = = ri r2 (cos (pi + j • sin (pi) • (cos (^2 + J * sin (^2) = = r^ r2 (cos (pi ' cos (p2 +} ' sin (^2 * cos (p^ + j • sin (p^ • cos (p2 + + j^-sin(/)i •sin(/)2) = = ri r2 [cos (^1 • cos (p2 — sin (p^ • sin (p2 + + j (sin (pi • cos (p2 + cos C/J^ -sin (P2)]
(III-56)
Unter Verwendung der Additionstheoreme cos {(pi -\- CP2) = cos cpi • cos (/)2 — sin (p^ • sin (p2
(III-57)
sin ((^^ + (P2) = sin (/)i • cos (p2 + cos (^^ • sin (p2 folgt hieraus weiter zi • Z2 = (ri r2) [cos ((Pi + (^2) + J' sin ((/?i + (/)2)]
(III-58)
Oder - in der kixrzeren Exponentialform -: zi • Z2 = (ri • eJ^i) • (r2 • eJ^^) ^ (^^ ^2). eJ(<^i +^2)
(III-59)
Wir stellen fest: Zwei komplexe Zahlen werden multipliziert, indem man ihre Betrage multipliziert und ihre Argumente (Winkel) addiert. Eine analoge Rechnung hefert fiir den Quotienten zweier komplexer Zahlen: ^ = r A [cos((/)i - (P2) + j • sin((/)i - (P2)] = P ) • eJ(^i-^2)
(III-60)
Also gilt fiir die Division: Zwei komplexe Zahlen werden dividiert, indem man ihre Betrage dividiert und ihre Argumente (Winkel) subtrahiert.
210
III Komplexe Zahlen und Funktionen
Wir fassen diese Ergebnisse wie folgt zusammen:
2.1.3.3 Geometrische Deutung Die Rechenoperationen Multiplikation und Division lassen sich in sehr anschaulicher Weise wie folgt geometrisch deuten: (1)
Multiplikation mit einer reellen Zahl Die Multiplikation der komplexen Zahl z^ = r^ - Q^^^ mit der positiven reellen Zahl r (r > 0) bedeutet eine Streckung des Zeigers z ^ um das r-fache, wobei der Winkel cp^ erhalten bleibt (Bild III-23). Erfolgt die Multiplikation jedoch mit einer negativen reellen Zahl r {r < 0), so ist der Zeiger z^ um das | r |-fache zu s^rec/c^/i und anschlieBend um 180° (in positiver Oder negativer Richtung) zu drehen (Richtungsumkehr).
2 Komplexe Rechnung
211
lm(z)k
Bild III-23 Zur Multiplikation der komplexen Zahl zi = ri • e^''^ mit der reellen Zahl r > 0 Re(z}
(2)
Multiplikation mit einer komplexen Zahl vom Betrag Eins Der Multiplikation der komplexen Zahl z^ = r^ • e^^^ mit der komplexen Zahl e^^ entspricht eine Drehung des Zeigers z ^ um den Winkel (p (Bild III-24). Fiir (p > 0 erfolgt die Drehung im positiven Drehsinn (Gegenuhrzeigersinn), fiir cp <0 dagegen im negativen Drehsinn (Uhrzeigersinn). Die Lange des Zeigers bleibt dabei unverdndert, da leJ^^I = 1 ist. Im (z) k iCPj *^)
Bild III-24 Zur Multiplikation der komplexen Zahl z^ = r^ • e mit der komplexen Zahl e^ vom Betrage 1
Rerzj
(3)
Multiplikation mit einer komplexen Zahl (allgemeiner Fall) Die Multiplikation der komplexen Zahl z^^r^- Q^^^ mit der komplexen Zahl z = r-Q^^ laBt sich geometrisch als Drehstreckung des Zeigers z^ darstellen: Zunachst wird der Zeiger z^ um das r-fache gestreckt (Streckung) und anschlieBend um den Winkel cp gedreht (Drehung). Bild III-25 zeigt die einzelnen Phasen dieser geometrischen Operation.
III Komplexe Zahlen und Funktionen
212 imrz;i
Bild III-25 Zur Multiplikation der komplexen Zahl zi = Vi - Q^ mit der komplexen Zahl
Wir fassen zusammen:
Anmerkungen (1) Die Operationen diirfen auch in der umgekehrten Reihenfolge ausgefiihrt werden: Zuerst erfolgt die Drehung, dann die Streckung des Zeigers. Diese Reihenfolge erklart auch die Bezeichnung „Drehstreckung" fur die zusammengesetzte Operation. (2)
4)
Da die Multiplikation eine kommutative Rechenoperation ist (z^ • z = z - z^), kann man bei der geometrischen Konstruktion des Produktes z^ - z auch vom Zeiger z ausgehen.
Fiir (p > 0 erfolgt die Drehung im positiven Drehsinn, fiir (p <0 im negativen Drehsinn.
2 Komplexe Rechnung (3)
213
Die Division zweier komplexer Zahlen laBt sich auf die Multiplikation zuriickfuhren. So bedeutet der Quotient z^/z das Produkt aus z^ und dem Kehrwert von z: -j
z
1
.-j<^
r • eJ^
(III-63)
Damit erhalten wir fiir den Quotienten z^/z die folgende geometrische Konstruktion: Zunachst wird der Zeiger z^ um das 1/r-fache gestreckt, dann um den Winkel (p zurUckgedreht oder umgekehrt (Bild III-26). Fiir cp > 0 erfolgt die Drehung im negativen Drehsinn {Zuriickdrehung des Zeigers), fiir cp <0 dagegen im positiven Drehsinn {Vorwdrtsdrehung des Zeigers).
Imrz;i
Bild III-26 Zur Division zweier komplexer Zahlen
Beispiele (1)
Gegeben sind die komplexen Zahlen z^ = 2 • e-J ^^° und Z2 = 3 • e^ ^^°. Wir berechnen und konstruieren das Produkt z^ • Z2. Rechnerische Losung: zi • Z2 = (2 • eJ30°). (3 . eJ80°) = (2 • 3) • eJ(30° + 80o) ^ 5 . ^j 110° Konstruktion des Zeigers z^ • Z2: Mit dem Zeiger z^ fiihren wir nacheinander die folgenden geometrischen Operationen durch (Bild III-27): 1. Streckung auf das 3-fache. 2. Drehung um den Winkel 80° im positiven Drehsinn. Das Ergebnis dieser Drehstreckung ist der Zeiger von z^ • Z2 = 6 • e-J ^^^°.
214
III Komplexe Zahlen und Funktionen imrz;i
Bild III-27
(2)
Wir berechnen den Quotienten aus z^ = 4 • eJ ^"^^^ und Z2 = 2 • eJ^^°. Rechnerische Losung: zi
4.eJ^^^°
/4\
Geometrische Losung: Der Zeiger z^ wird zunachst um das 1/2-fache gestreckt (d.h. auf die Halfte gestaucht) und anschlieBend um 90° zuriickgedreht (Bild III-28).
Bild III-28
2 Komplexe Rechnung (3)
215
Die Multiplikation einer komplexen Zahl z mit der imagindren Einheit j =eJ^^° bedeutet geometrisch eine Drehung des Zeigers z um 90° im Gegenuhrzeigersinn (Bild III-29):
Imrz;i
Bild III-29 Zur Multiplikation einer komplexen Zahl z mit der imaginaren Einheit j Re(z)
Die Division einer komplexen Zahl z durch die imagindre Einheit j = e^ ^^° 1 bedeutet eine Multiplikation von z mit - = e J^^°. j Geometrische Deutung: Der Zeiger z ist um 90° zt/rwc/czwJr^/z^n(Bild III-30): j
z
r•e
J
ej90°
= r • eJ^ • e"J^^° = r •
Q^(^-^^°)
lm(z)k
Bild III-30 Zur Division einer komplexen Zahl z durch die imaginare Einheit j Re(z)
216
III Komplexe Zahlen und Funktionen
2.1.4 Grundgesetze fiir komplexe Zahlen (Zusammenfassung) Die vier Grundrechenoperationen fiir komplexe Zahlen geniigen - im Einklang mit den reellen Zahlen - den folgenden Grundgesetzen:
Eine Menge mit diesen Eigenschaften wird in der Mathematik als Korper bezeichnet. Die Menge C der komplexen Zahlen bildet somit einen Korper.
2.2 Potenzieren Wir erheben die komplexe Zahl z = r(cos cp -\- j - sincp) = r • c^^ in die n-te Potenz und erhalten (n 6 N): zn = [r. Q^^]n = (^ . eJ^). (r • e^^)... (r • e^^) = (III-67) = (r • r... r) • eJ^^"^^"^ ••• "^^^ = r" • eJ"^ (Faktor r und Summand cp treten jeweils n-mal auf). Diese nach Moivre benannte Formel lautet in der trigonometrischen Schreibweise: z^ = [r (cos (p + j • sin (^)]" = r" [cos (ncp) -\-} • sin (ncp)]
(III-68)
2 Komplexe Rechnung
217
Wir folgern aus ihr: Eine komplexe Zahl z wird in die n-te Potenz erhoben, indem man ihren Betrag r in die n-te Potenz erhebt und ihr Argument (Winkel) cp mit dem Exponenten n multipliziert (Bild III-31).
Bild III-31 Zur Formel von Moivre
Wir fassen zusammen:
Anmerkungen (1)
Die Operation „Potenzieren" bedeutet eine wiederholte Multiplikation. Dem entspricht in der geometrischen Betrachtungsweise eine wiederholte Drehstreckung (vgl. hierzu Bild III-31).
(2)
Man beachte: Vor dem Potenzieren ist die komplexe Zahl in eine Polarform zu bringen.
(3)
Die Operation ,,Potenzieren" kann auch in der kartesischen Form durchgefiihrt werden, ist dann jedoch im allgemeinen wesentlich aufwendiger.
218
III Komplexe Zahlen und Funktionen Beispiele (1)
Wir erheben die komplexe Zahl z = 2 (cos I - j + j • sin I - ) ) in die 3. Potenz: V V^/ \^ • z^ = 2(cos( 3 ] + J s i n ( ^
= 2' c o s ( 3 - - j + j - s i n ( 3 - ^
= 8 (cos 71 + j • sin 7c) = 8 ( - 1 + j • 0) = - 8 In Bild III-32 haben wir diese Operation geometrisch dargestellt (es handelt sich um zwei nacheinander ausgefuhrte Drehstreckungen).
Im (z)k
Bild III-32
(2)
z = l , 2 - 2 , 5 j , 2^ = ? Zunachst bringen wir z auf die Polarform (Bild III-33): r = V l , 2 2 + ( - 2 , 5 ) 2 = 2,7731 tan cp =
-2,5 i,z
= - 2,0833 ^ (p = arctan ( - 2,0833) + 27c = 5,160
Daher ist z = 1,2-2,5j = 2,7731-eJ^'i^^ und nach der Formel von Moivre folgt weiter: z^ = (2,7731 • eJ^'i^o)^ = 2,7731^ • eJ^'^'^^^ = 454,77 • eJ30,96 = 454,77 (cos 30,96 + j • sin 30,96) = 408,32 - 200,23 j
2 Komplexe Rechnung
219
Im (z) k
J ^ z = 1.2-2,5}
(3)
Bild III-33
Fur r = 1 besitzt die Formel von Moivre (III-70) die spezielle Form (cos (/) + j • sin (p)^ = cos (ncp) + j • sin (ncp) Aus dieser wichtigen Beziehung lassen sich z.B. Formelausdriicke fiir cos (ncp) und sin (ncp) herleiten. Wir zeigen dies fiir n = 2: (cos cp -\- } • sin (p)^ = cos (2 (/)) + j • sin (2 cp) cos^ (p -\-} • 2 ' sin cp • cos (/? + j ^ • sin^ cp = cos (2 (/)) + j • sin (2 cp) cos^ (/) — sin^ (/) + j (2 • sin (/) • cos (/)) = cos (2 cp) + j • sin (2
2.3 Radizieren (Wurzelziehen) Aus der Algebra ist bekannt, daB eine algebraische Gleichung n-ten Grades vom Typ .n-l
+ ... + a^ X + ^0 = 0
(III-71)
hochstens n reelle Losungen, auch Wurzeln genannt, besitzt (vgl. hierzu Band 1, Abschnitt IIL5.4). Werden jedoch auch komplexe Losungen zugelassen, so gibt es genau n Losungen.
220
III Komplexe Zahlen und Funktionen
Diese wichtige Aussage halten wir in dem sog. Fundamentalsatz der Algebra wie folgt fest:
Anmerkungen (1) Die linke Seite der algebraischen Gleichung (III-72) ist ein Polynom vom Grade n mit i.a. komplexen Koeffizienten a^- (i = 0, 1,..., n). Es laBt sich auch im komplexen Zahlenbereich wie folgt in Linearfaktoren zerlegen: fl„z" + a „ _ i z " ~ ^ + ... + fl^z + ^0 = a„(z - Zi)(z — Z2)...(z — z„) (III-73) z^, Z2,...,z„ sind dabei die n Polynomnullstellen, d.h. die n Losungen der algebraischen Gleichung (III-72). Die Zerlegung (III-73) in Linearfaktoren wird wie im Reellen auch als Produktdarstellung des Polynoms bezeichnet (vgl. hierzu auch Bandl, AbschnittIII.5.4). (2)
Bei ausschlieBlich reellen Koeffizienten a^ (i = 0 , 1 , . . . , n) treten komplexe Losungen immer paarweise auf, namlich als Paare zueinander konjugiert komplexer Zahlen. Mit zi ist daher stets auch z* eine Losung der Gleichung.
Beispiel Die algebraische Gleichung 3. Grades z^ - z ^ + 4 z - 4 = 0 besitzt nach dem Fundamentalsatz genau drei Losungen. Durch Probieren finden wir eine reelle Losung bei z^ = 1. Den zugehorigen Linearfaktor z — \ spalten wir nach dem Homer-Schema^'^ ab: 1 Zi = l
1
5)
-1
4
-4
1
0
4
0
4
0
Vgl. hierzu Band 1, AbschniU III.5.5.
2 Komplexe Rechnung
221
Die Nullstellen des /. reduzierten Polynoms z^ + 4 liefern die beiden iibrigen Losungen: z 2 + 4 = 0 =^ Z2/3=
j
Die algebraische Gleichung 3. Grades besitzt somit eine reelle Losung und zwei zueinander konjugiert komplexe Losungen: z^ - z^ + 4z - 4 = 0 =^ ^1 = 1, ^2 ^ 2j, Z3 = - 2j Das Polynom z^ - z^ + 4z - 4 ist daher auch in der Produktform z^ -z^
+ iz-4
= {z-\){z-
2j) (z + 2j)
darstellbar {,,Zerlegung in Linearfaktorert').
Eine besonders einfache Struktur besitzt die algebraische Gleichung z^ = a (aeC). Ihre Losungen werden als n-te Wurzeln aus a bezeichnet. Dies fiihrt zu der folgenden Definition:
Wir beschaftigen uns nun mit den Losungen der Gleichung z « - a = ao-eJ^
(«o>0)
(III-74)
Mit dem Losungsansatz in der Polarform z = r (cos cp -\-i • sincp) = r • Q^^
(III-75)
und unter Beriicksichtigung der Periodizitdt der komplexen Exponentialfunktion wird dann aus Gleichung (III-74) r« . eJ"^ = ao • eJ^ = a^ • Q^(^ + ^-^^)
(keZ)
(III-76)
und somit r" = QQ und
ncp = a -]- k • 2n
(III-77)
Alle Losungen besitzen daher den gleichen Betrag ""^
(III-78)
222
III Komplexe Zahlen und Funktionen
Ihre Argumente (Winkel) sind a -\- k' 2n , _^ (Pk = (/c e I) (III-79) n Allerdings erhalten wir - im Einklang mit dem Fundamentalsatz der Algebra - insgesamt nur n verschiedene Werte. Diese werden beispielsweise fiir /c = 0 , 1 , . . . , n — 1 angenommen ^\ Die Bildpunkte der n Losungen liegen in der GauBschen Zahlenebene auf einem Mittelpunktskreis mit dem Radius R = \/a^ und bilden dabei die Ecken eines regeU mdfiigen n-Ecks (vgl. hierzu auch die nachfolgenden Beispiele).
Anmerkungen (1) Fiir reelles a gilt: 1st z^ eine komplexe Losung der Gleichung z" = a, dann ist auch die konjugiert komplexe Zahl zf eine Losung dieser Gleichung. (2)
Die n Losungen der speziellen Gleichung z" = 1 werden auch als n-te Einheitswurzeln bezeichnet. Sie liegen auf dem Einheitskreis der GauBschen Zahlenebene (vgl. hierzu das nachfolgende Beispiel (1)).
Beispiele (1)
Die Gleichung z^ = 1 hat genau sechs verschiedene Losungen, deren Bildpunkte in der GauBschen Zahlenebene an den Ecken eines regelmaBigen Sechsecks liegen (Bild III-34).
Fiir k = n,n -\- l,n + 2,... wiederholen sich die Werte, ebenso fiir negative Werte von k. Der Grund dafiir liegt in der Periodizitdt der Kosinus- und Sinusfunktion (bzw. in der Periodizitdt der komplexen e-Funktion).
2 Komplexe Rechnung
223
Sie lauten (^Q = 1, a = 0): A 27r\ . . / 271 zj^ = COS [k ' -~ I + J • sin I /c • -— c o s ( / c - - j + j •sin(/c•(/c = 0,1,2,3,4, 5) k = 0:
ZQ =
COS 0 + j • sin 0 = 1
k = 1: zi = cos( - I + j -sml ^VO'5 -
+ ^V3j
27r\ fin k = 2: Z2 = cos ( - y I + j • sin I —k = 3: Z3 = cos Ti: + j • sin 71 = — 1 , 47r\ . . /47i k = 4: Z4 = cos ( —- I + J • sm I —) = - 0 , 5 - ^ y 3 j k = 5: Z5 = cos ( Y I + J * sin ( —
Die Losungen ZQ und Z3 sind reell, wahrend z^ und Z5 bzw. Z2 und z^ Paare zueinander konjugiert komplexer Losungen darstellen. Bild III-34 zeigt die Lage der zugehorigen Bildpunkte und Zeiger in der GauBschen Zahlenebene. lm(z}k
Bild III-34 Bildliche Darstellung der Losungen der Gleichung
224
III Komplexe Zahlen und Funktionen (2)
Wir bestimmen die Wurzeln der Gleichung z^ = 3 -{- 2}. Es ist z^ = 3 + 2j = Vl3-6^33,690 und somit ao = s/l3
und
a = 33,69° 4 0,588
Fiir die Betrdge und Argumente (Winkel) der komplexen Losungen folgt dann nach (III-82): n/—
4/
/—
8/—
r = 7ao = V V13 - V13 - 1,378 a + /c-27r 0,588+ /c-27r (Pk = = ;, (k = 0,1, 2, 3) n 4 (Po = 0,147, (pi-1,718, (^2 = 3,289, c/^j = 4,859 Wir erhalten damit vier verschiedene Losungen. Sie lauten: zo = r • eJ^o = 1378 . Q}0,I^I
^ ^ 373 (^os 0,147 + j • sin 0,147) =
= 1,363 + 0,202j z^ =:r-eJ^i = 1,378 •eJ^''^^^ = 1,378 (cos 1,718+j • sin 1,718) = = - 0,202+ l,363j Z2 = r • eJ^2 = 1378 . gj 3,289 _ 1 378 (^os 3,289 + j • sin 3,289) = = - 1,363 - 0,202j Z3 = r • eJ^3 = 1378 .
^ 1 378 (^os 4,859 + j • sin 4,859) =
Q}^,^59
= 0,202 - 1,363 j Zwischen den vier Losungen bestehen die folgenden Zusammenhange: ZQ=
- Z2
z^ = -z^
bzw.
Z2=
bzw.
Z3 = - zi
-
ZQ
Die Lage der zugehorigen Zeiger in der GauBschen Zahlenebene entnimmt man Bild III-35.
2 Komplexe Rechnung
225 ln)(z)k
Bild III-35 Bildliche Darstellung der L5sungen der Gleichung z^ = 3 + 2j
2.4 Natiirlicher Logarithmus Im Bereich der reellen Zahlen wird der naturliche Logarithmus einer (positiven) Zahl a als derjenige Exponent erklart, mit dem die Basiszahl e potenziert werden muB, um die Zahl a zu erhalten: a = e^ o X = \na
(a>0)
(III-83)
(vgl. hierzu Band 1, Abschnitt III. 12.1). Wir iibertragen diesen Begriff nun sinngemaB unter Beachtung des Permanenzprinzips auf den komplexen Bereich. Jede von Null verschiedene komplexe Zahl z ist nach den Ausfuhrungen aus Abschnitt 1.4.3 in der Exponentialform ^^y.^iicp
+ k-in)
(III-84)
{keZ)
mit r > 0 und 0 ^ (p < 2 TT (Hauptwert) darstellbar. Unter ihrem natiirlichen Logarithmus verstehen wir die (unendlich vielen!) komplexen Zahlen In z = In [r • Q^cp + k-in^
=. in r + In QH^^^-^^)
= In r + j ((p + /c • 27i)
(fc G Z)
=
(111-85)
Fiir k = 0 erhalt man den Hauptwert Lnz = \nr+}(p
(O^qxln)
(III-86)
Sein Realteil ist der naturliche Logarithmus In r des Betrages r, sein Imagindrteil das Argument cp der komplexen Zahl z (ifawptwerf). Die librigen Werte heiBen ATebenwerte. Sie ergeben sich aus dem Hauptwert durch Addition ganzzahliger Vielfacher von 2 TTj: In z = Ln z + /c • 2 7ij
(/c e Z)
(III-87)
226
III Komplexe Zahlen und Funktionen
Wir fassen die Ergebnisse zusammen:
Anmerkungen (1) In z ist fuvjede komplexe Zahl z ^ 0 erklart, also beispielsweise auch fiir negative reelle Zahlen (vgl. hierzu das nachfolgende Beispiel (2)). (2)
Die verschiedenen Werte von In z stimmen im Realteil iiberein und unterscheiden sich im Imagindrteil um ein ganzzahliges Vielfaches von 2 n.
(3)
Man beachte, daB die komplexe Zahl z vor dem Logarithmieren zunachst in die Exponendalform zu bringen ist.
(4)
Die Rechengesetze fiir Logarithmen komplexer Zahlen sind die gleichen wie im Reellen.
(5)
Wie wir aus dem Hinweis auf Seite 192 bereits wissen, wird in der Technik haufig der Hauptwert des Winkels cp auf das Intervall —n<(p^n beschrankt. Bei dieser Festlegung andern sich natiirlich auch der Haupt- und die Nebenwerte des Logarithmus einer komplexen Zahl entsprechend.
•
Beispiele
(1)
z = - 8 + 6j, lnz = ? Losung: Wir stellen z zunachst in der Exponentialform dar: ^ ^ _ 8 + 6j = io-eJ(^'^^ + '^'^^) Fur den naturlichen Logarithmus von z erhalten wir damit die unendlich vielen Werte In z = In [10 • eJ(2,50 + /c-27r)] ^ j ^ 10 + j (2,50 -^k-2n) = 2,30 + j (2,50+ /c-271) Der Hauptwert von In z ist damit Ln z = 2,30 + 2,50j
{keZ)
=
3 Anwendungen der komplexen Rechnung (2)
227
Wir berechnen den naturlichen Logarithmus von z = — 5. Es ist z= -5 = 5-eJ^^ + ^"2^) und daher In ( - 5) = In [5 • Q^^ + k-in)^ = \n5 + i{n ^ k • 2n) = = 1,609 +j(7i + /c-27r)
(keZ)
Der Hauptwert von In (— 5) ist somit L n ( - 5 ) = ln5 +J7r = 1,609 +J7i
3 Anwendungen der komplexen Rechnung 3.1 Symbolische Darstellung von Schwingungen im Zeigerdiagramm 3.1.1 Darstellung einer Schwingung durch einen rotierenden komplexen Zeiger Wir gehen bei unseren Betrachtungen von einer sich mit der Zeit t sinusformig verandernden GroBe {Schwingung) y{t) = A ' sin {cot + cp) aus (Bild III-36).
Bild III-36 Zeitlicher Verlauf einer harmonischen Schwingung (Sinusschwingung)
(III-90)
3 Anwendungen der komplexen Rechnung (2)
227
Wir berechnen den naturlichen Logarithmus von z = — 5. Es ist z= -5 = 5-eJ^^ + ^"2^) und daher In ( - 5) = In [5 • Q^^ + k-in)^ = \n5 + i{n ^ k • 2n) = = 1,609 +j(7i + /c-27r)
(keZ)
Der Hauptwert von In (— 5) ist somit L n ( - 5 ) = ln5 +J7r = 1,609 +J7i
3 Anwendungen der komplexen Rechnung 3.1 Symbolische Darstellung von Schwingungen im Zeigerdiagramm 3.1.1 Darstellung einer Schwingung durch einen rotierenden komplexen Zeiger Wir gehen bei unseren Betrachtungen von einer sich mit der Zeit t sinusformig verandernden GroBe {Schwingung) y{t) = A ' sin {cot + cp) aus (Bild III-36).
Bild III-36 Zeitlicher Verlauf einer harmonischen Schwingung (Sinusschwingung)
(III-90)
228
III Komplexe Zahlen und Funktionen
Dabei kann es sich beispielsweise um eine mechanische Schwingung, eine Wechselspannung Oder um einen Wechselstrom handeln. Die in der periodischen Funktion (III-90) enthaltenen GroBen A, CD und (p besitzen die folgende physikalische Bedeutung: A: Schwingungsamplitude oder Scheitelwert (in der Wechselstromtechnik; A > 0) co: Kreisfrequenz {co > 0) (p: Phase, Phasenwinkel oder Nullphasenwinkel Zwischen der Perioden- oder Schwingungsdauer T, der Frequenz f und der Kreisfrequenz CO bestehen die folgenden Beziehungen: 1
271
^ =7 = —
bzw.
In CO = 2nf =
(III-91)
Die durch die Funktion y = A- s\n{(ot -\- cp) beschriebene harmonische Schwingung laBt sich in einem sog. Zeigerdiagramm durch einen mit der Winkelgeschwindigkeit co im positiven Drehsinn um den Nullpunkt rotierenden Zeiger der Lange A anschauHch darstellen(BildIII-37)'^>.
Bild III-37 Zur Darstellung einer harmonischen Schwingung durch einen rotierenden Zeiger
7)
Die Darstellung einer harmonischen Schwingung durch einen rotierenden Zeiger wurde bereits in reeller Form in Band 1, Abschnitt III.9.5.2 behandelt.
3 Anwendungen der komplexen Rechnung
229
Der Zeiger befindet sich dabei zu Beginn {t = 0) in der Position (1): Sein Richtungswinkel gegeniiber der (horizontalen) Bezugsachse ist der Nullphasenwinkel cp. In der Zeit t dreht er sich um den Winkel co t weiter und befindet sich dann in der Position (2). Sein Richtungswinkel gegeniiber der Bezugsachse betragt nunmehr (p -{- cot. Der Ordinatenwert der Zeigerspitze entspricht dabei dem augenblicklichen Funktionswert y = A- sin {cot -h (p). Bei der Rotation des Zeigers um den Nullpunkt durchlauft daher die Ordinate nacheinander sdmtliche Funktionswerte der Sinusschwingung. Wir deuten nun die Ebene, in der die Rotation des Zeigers erfolgt, als Gaufische Zahlenebene und beschreiben die augenbhckhche Lage des Zeigers durch die zeitabhdngige komplexe Zahl y = A [cos {cot -\- (p) -\-} • sin {cot + cp)] = = ^ .eJ(^^ + ^) = ^ . eJ^ • eJ^^ = A • e^^^
(III-92)
(Bild 111-38)^^. Der komplexe Zeiger y enthalt demnach einen zeitunabhdngigen Faktor A = A'Q^^ und einen zeitabhdngigen Faktor e-^^^ fiir die wir noch folgende Bezeichnungen einfiihren: A = A-Q^^: gjcof.
Komplexe
Amplitude
Zeitfunktion
lm(y)k
Bild III-38 Zur Darstellung einer harmonischen Schwingung y = A- %in{(jot -\- cp) durch den rotierenden Zeiger y = ^-eJ^^
8)
Bezugsachse ist die reelle Achse.
230
III Komplexe Zahlen und Funktionen
Die komplexe Amplitude A besitzt den Betrag \A\ = A und den Richtungswinkel {Phasenwinkel) cp und legt die Anfangslage des rotierenden Zeigers fest. Die Zeitfunktion eJ^^ bQSchrQibt diQ Rotation dQS ZQigQVS mit der Winkelgeschwindigkeit co um den Nullpunkt der komplexen Zahlenebene. Der Momentanwert der Sinusschwingung (III-90) entspricht dann dem Imagindrteil des rotierenden komplexen Zeigers y: y=.lm (y) = lm[A- eJ^^] = ^ • sin {cot + cp)
(III-93)
Wir fassen zusammen:
Anmerkungen (1) Die Rotation des Zeigers erfolgt im mathematisch positiven Drehsinn {co > 0). (2)
Wir haben uns zunachst bewuBt auf sinusformige Schwingungen beschrankt. Denn eine Kosinusschwingung vom allgemeinen Typ y{t) = A-cos {(ot-\-(p)
(III-96)
laBt sich stets wegen cos (cot) — sin {cot + n/2) auf eine Sinusschwingung zuriickfuhren:
„ „ = .^cos,„, + ., = ..si„(», + . + ^)
(,..-97)
Mit anderen Worten: Eine Kosinusschwingung ist eine Sinusschwingung mit einem um n/2 vergrofierten Nullphasenwinkel. Bei der Behandlung von Schwingungsprohlemen ist die komplexe Rechnung der reellen Rechnung aufgrund der einfacheren komplexen Rechengesetze iiherlegen. Bin Beispiel dafiir bietet die Superposition zweier gleichfrequenter Schwingungen oder Wechselstrome,
3 Anwendungen der komplexen Rechnung
231
die wir im nachsten Abschnitt ausfiihrlich behandeln werden. Die komplexe Rechnung spielt daher insbesondere in der Wechselstromtechnik eine bedeutende Rolle.
Beispiel Wir transformieren die Gleichungen fiir Wechselspannung und Wechselstrom aus der reellen Form in die komplexe Form: Wechselspannung u{t) = u ' sin {cot + (p^) -^ u{i) = u- Q^^^ u = u-Q^^^: Komplexer Scheitelwert der Spannung Wechselstrom i{t) = ?- sin (wt + (pi) -^ |(t) = i-eJ^^ i = i' Q^^i: Komplexer Scheitelwert des Stroms
•
3.1.2 Ungestorte Uberlagerung von Schwingungen gleicher Frequenz Wir beschaftigen uns in diesem Abschnitt mit der ungestorten Uberlagerung (Superposition) zweier gleichfrequenter Schwingungen unter Verwendung der komplexen Rechnung ^\ Nach dem Superpositionsprinzip der Physik iiberlagern sich die beiden Schwingungen yi = Ai ' sin {cot + cpi) und
y2 = ^2 ' ^i^ (^^ + ^2)
(III-98)
ungestort und ergeben eine resultierende Schwingung gleicher Frequenz: }^ = ^1 + ^2 = ^ • sin (cor + cp)
(III-99)
Amplitude A und Phase cp lassen sich dabei schrittweise wie folgt aus den AmpHtuden AI und A 2 und den Phasenwinkeln cp^ und (p2 der Einzelschwingungen berechnen: 1. Schritt: Ubergang von der reellen Form zur komplexen Form Die Einzelschwingungen y^ und y2 werden durch komplexe Zeiger dargestellt: y. -^ y. = A. -eJ^^ ^^ -^ -^ yi - y2 = 4 2 - e J " ^ AI und A 2 sind dabei die komplexen SchwingungsampHtuden: 4 i = ^ 1 • eJ^i,
4 2 = ^2 • eJ^'
(III-lOO)
(III-lOl)
9) Dieses Thema wurde bereits in Band 1, Abschnitt III.9.5.3 auf trigonometrischer Basis erortert.
232
III Komplexe Zahlen und Funktionen
2. Schritt: Superposition in komplexer Form Die komplexen Zeiger y^ und ^2 werden jetzt zur L//)^r/flgerMWg gebracht und ergeben den resultierenden komplexen Zeiger ^ = j ; ^ + j ; ^ = 4 i • eJ^^ + ^2 • eJ"^^ = ( 4 i + ^2) • eJ"^^ = 4 • eJ^'
(III-102)
Wir stellen dabei fest: Die komplexen Amplituden der Einzelschwingungen addieren sich zur komplexen Amplitude der resultierenden Schwingung: (III-103)
A = A^+A2 Und: ^ 1 , ^ 2 ^^^ y besitzen Ji^se//}^ Zeitfunktion ej*^^ 3. Schritt: Riicktransformation aus der komplexen Form in die reelle Form
Die resultierende Schwingung y = A • sm{(jot -\- cp) ist der Imagindrteil des resultierenden komplexen Zeigers y: y = lm (y) = lm{A- eJ^O = ^ * sin {ojt + cp)
(III-104)
Fiir die Berechnung der komplexen Amplitude A aus Ai und A 2 wird die Zeitfunktion eJ^^ mc/it benotigt. Es geniigt daher, die Einzelschwingungen y^ und y2 im Zeigerdiagramm durch ihre komplexen Amplituden A^ und A2, d.h. durch zeitunabhdngige Zeiger darzustellen. Durch geometrische Addition der komplexen Schwingungsamplituden A^ und A 2 erhalt man dann die komplexe Schwingungsamplitude A der resultierenden Schwingung, aus der sich die reellen GroBen A und (p sofort berechnen lassen (Bild III-39). Imrz;4
Bild III-39 Zur geometrischen Addition der komplexen Schwingungsamplituden
Die komplexen Schwingungsamplituden entsprechen dabei einer Momentanaufnahme der rotierenden Zeiger zur Zeit t = 0. Sie beschreiben daher die Anfangslage der Zeiger zu Beginn der Rotation:
>;2(0) = 4 2 - e J " ^ = 4 2 y{0) = yiiO) + y2{0) = A, -^ A2 = A
(in-105)
3 Anwendungen der komplexen Rechnung
233
Wir fassen wie folgt zusammen:
Anmerkung Liegen beide Einzelschwingungen als Kosinusschwingungen vor, yi = Ai ' cos {(Dt -\- (pi) und
y2 = A2 ' cos {cot -\- cp2)
(III-112)
so ergeben sich fiir die Berechnung der resultierenden Schwingung y = yi +3^2 prinzipiell zwei Moglichkeiten: 1. Die Schwingungen y^ und y2 werden zunachst als sinusformige Schwingungen dargestellt. AnschlieBend erfolgen die weiter oben angegebenen drei Rechenschritte. Die resultierende Schwingung liegt dann in der Sinusform vor.
234
III Komplexe Zahlen und Funktionen
2. Die Schwingungen y^ und y2 werden in der Xosmws/orm belassen. Dann erfolgen die ersten beiden der oben angegebenen Rechenschritte und anschlieBend die Rucktransformation aus dem Komplexen ins Reelle. Diesmal jedoch ist der Realteil des resultierenden komplexen Zeigers y zu nehmen: y = y^-\-y^
= RQ (y) = Re (^ • Q^"^^) = A COS {CDt + (p)
(III-113)
Die resultierende Schwingung liegt jetzt als Kosinusschwingung vor.
3.1.3 Anwendungsbeispiele aus Mechanik und Elektrotechnik 3.1.3.1 Uberlagerung zweier harmonischer Schwingungen Die mechanischen Schwingungen y^ = 4 cm • sin (2 s ~ ^ -1) und
3/2 = 3 cm • cos ( 2 s ~ ^ • f — - j
(IIM14)
sollen ungestort zur Uberlagerung gebracht werden. Vor der Durchfuhrung der komplexen Rechnung miissen wir die Schwingung y2 zunachst als Sinusschwingung darstellen: ^2 = 3 cm • cos 12 s ^ • t — - j = 3 cm • sin I 2 s ^ ' ^ ~ 7 + x I /
— 1
(III-115)
= 3 cm • sm 2 s ^ • t -\- 3 Jetzt fuhren wir die einzelnen Rechenschritte aus. (1)
Ubergang von der reellen Form zur komplexen Form yi -^ ^1 = 4 cm • eJ^^ y^ -^ );2 = 3cm-e^^'^'"^3) = (3 cm • e^^) . gj^^
(III-116)
(mit CO = 2s~^) Die komplexen Schwingungsamplituden lauten: Ai = 4 cm und (2)
j -
A2 = ^cm-Q ^
(III-117)
Addition der komplexen Amplituden A = Ai-\-A2 = 4cm-\-3cm'Q
j -
^ = 4 cm+ 3 cm
71 \
/ n
cos I - I + j • sin
= 4 cm + 1,5 cm + j (1,5 • ^3 cm) = 5,5 cm + (1,5 • ^ 3 cm) j
(III-118)
In Bild III-40 ist die geometrische Addition der komplexen Schwingungsamplituden dargestellt.
235
3 Anwendungen der komplexen Rechnung lm(z)i
i
cm
4
A - A
3/
t A
j ^
Ay^^25,5'\
Bild III-40
4
A,
R&(z)
Wir berechnen nun den Betrag A = \A\ und die Phase cp der komplexen Schwingungsamplitude A\ \A\ = A = V(^'^ c^)^ + (1'5 • V3 cm)^ = 6,08 cm l,5-x/3cm tan (p =
5,5 cm
(III-119)
0,4724
(p = arctan 0,4724 = 25,28° = 0,44
(III-120)
A = A't^'P = 6,08 cm • eJ^''^'^
(III-121)
Die resultierende Schwingung lautet daher in komplexer Form: y = A' e-J^^ = 6,08 cm • e^^'^^ • eJ^^ = 6,08 cm • QHcot + OA^r)
(3)
(III-122)
Rucktransformation aus der komplexen Form in die reelle Form y = lm (y) = Im [6,08 cm • Qiio^t + OA^)j = = Im [6,08 cm • (cos {cot + 0,44) + j • sin (cor + 0,44))] = = 6,08 cm • sin {cot + 0,44)
(III-123)
Mit CO = 2 s~ ^ erhalten wir schlieBlich fur die resultierende Schwingung: y = yi+y2
= 6,08 cm • sin (2 s ~ ^ • r + 0,44)
(III-124)
236
III Komplexe Zahlen und Funktionen
3.1.3.2 Uberlagerung gleichfrequenter Wechselspannungen Auf einem Oszillographen werden die gleichfrequenten technischen Wechselspannungen u^{t) = 100V-sin(a;0 U2 (t) = 200 V • sin (ot + - TT J
(III-125)
u^{t) = 150 V-cos (cor) ungestort zur Uberlagerung gebracht (Frequenz / = 50Hz; co = 27r/ = 314s~^). Wie lautet die Gleichung der resultierenden Wechselspannung u{t)l
Losung: Zunachst stellen wir die Wechselspannung U2,{t) in der Sinusform dar: M3 (0 = 150 V • cos (cor) - 150 V • sin (<^^ + ^ )
(III-126)
Die komplexe Rechnung erfolgt nun in drei Schritten. (1)
Ubergang von der reellen Form zur komplexen Form u^ ^
u^ = lOOV-eJ^^
^2 - ^ M2 = 2 0 0 V - e ^ W3 -^
6 j = 200V-e6
-gJ^^
(III-127)
M3 = 1 5 0 V - e ' ' ( ' ' ' ^ t ) = 150V-e^t.eJ^f
Die komplexen Scheitelwerte lauten damit: Ml = 100V M2 = 2 0 0 V e ^ 6
(III-128)
M3 = 150V-e-^2 (2)
Addition der komplexen Scheitelwerte ^ = ^^ + ^ 2 +M3 = 100V + 200V-e 6 + 150V-e 2 = = 100 V + 200 V cos I - 711 + j • sin I - 71 + J 1 5 0 V = = 100 V - 173,2 V + j • 100 V + j • 150 V = = - 73,2 V + j • 250 V
(III-129)
3 Anwendungen der komplexen Rechnung
237
Wir berechnen nun den reellen Scheitelwert u = \u\ und den Nullphasenwinkel cp der resultierenden Wechselspannung w. \u\ = u = V ( - 7 3 , 2 V)2 + (250 V)2 = 260,5 V
(III-130)
250 V tan (D = = - 3,4153 => ^ - 73,2 V cp - arctan ( - 3,4153) + 180° = 106,3° ^ 1,86
(III-131)
^ = tJ • eJ^ = 260,5 V • eJ ^'^^
(III-132)
Die resultierende Wechselspannung lautet daher in der komplexen Form: u = ^^ eJ^^ = 260,5 V • eJ ^'^^ • eJ^^ = 260,5 V • Qncot+i,S6)
(3)
(III-133)
Rucktransformation aus der komplexen Form in die reelle Form t^ = Im (M) = Im [260,5 V • eJ(^^+ i'^^^] = 260,5 V • sin {ojt + 1,86) (III-134) Mit co = 314s~^ erhalten wir schliefilich fur die resultierende Wechselspannung: w = Mi +W2 + W3 = 260,5 V-sin (314 s~i -t^
1,86)
(III-135)
3.2 Symbolische Berechnung eines Wechselstromkreises 3.2.1 Das Ohmsche Gesetz der Wechselstromtechnik In einem Wechselstromkreis erzeuge die in der komplexen Form dargestellte sinusformige Wechselspannung u = {i- QHcot + cpu) ^ ^ . QJcot = J2\]_' eJ^^
(III-136)
den gleichfrequenten sinusformigen Wechselstrom X = r eJ^^^ + ^^> = 1- eJ^^ = V2 / • eJ^^
(III-137)
u und i sind dabei die komplexen Scheitelwerte, U_ und / die komplexen Effektivwerte von Spannung und Strom ^^^: u = ^U
und
1= 72/
(IIM38)
Der Effektivwert eines Wechselstroms bzw. einer Wechselspannung ist der quadratische zeitliche Mittelwert wahrend einer Periode (vgl. hierzu auch Band 1, Abschnitt V.10.7). Der Scheitelwert ist stets das ^2-fache des Effektivwertes. Dies gilt sowohl im reellen als auch im komplexen Bereich.
238
III Komplexe Zahlen und Funktionen
Das Verhaltnis der komplexen Spannung u zur komplexen Stromstdrke i wird in der Elektrotechnik als komplexer Widerstand oder Widerstandsoperator bezeichnet und durch das Symbol Z gekennzeichnet. DefinitionsgemaB ist also u
.
Q}((Pu-(Pi)
(III-139)
/ . eJ^^
/2/.eJ^^
Der Widerstandsoperator Z ist demnach ein zeitunabhdngiger komplexer Zeiger. Seine exponentielle Form ist (III-140) mit dem als Scheinwiderstand oder Impedanz bezeichneten Betrag U I
Z = \Z\ = — =
Effektivwert der Spannung Effektivwert des Stroms
(III-141)
und dem Phasenwinkel (p = (Pj^ — q)i = Spannungsphase minus Stromphase
(III-142)
(Bild III-41). In der kartesischen Schreibweise besitzt der Widerstandsoperator {komplexe Widerstand) die Form (III-143)
Z = R-]-iX
imrz;i
Z =
R*\X
Bild III-41 Widerstandsoperator Z (komplexer Scheinwiderstand) Rerz;
Fiir Realteil R und Imagindrteil X sind dabei die Bezeichnungen R: Wirkmderstand X: Blindwiderstand ublich. Aus der Zeigerdarstellung in Bild III-41 folgt dann unmittelbar:
\Z\ = Z = X
tan cp = R
^R^^X^
(IIW44) (III-145)
3 Anwendungen der komplexen Rechnung
239
Zwischen den komplexen GroBen L/, X und Z besteht dabei nach Gleichung (III-139) die wichtige Beziehung U =Z l
(III-146)
die uns an das Ohmsche Gesetz der Gleichstromlehre erinnert und daher als Ohmsches Gesetz der Wechselstromtechnik bezeichnet wird. Die Beziehung ]J_ = ZL' L stellt somit das Ohmsche Gesetz in komplexer Form dar.
Anmerkung Die Effektivwerte L/ und X diirfen auch durch die Scheitelwerte u und i ersetzt werden. Das Ohmsche Gesetz lautet dann: u = Z'?
(III-148)
3.2.2 Widerstands- und Leitwertoperatoren Wechselstromwiderstdnde und elektrische Leitwerte lassen sich in symbolischer Form durch zeitunabhdngige komplexe Zeiger, sog. Widerstands- bzw. Leitwertoperatoren darstellen. Diese Art der Darstellung besitzt den groBen Vorteil, daB die aus der Gleichstromlehre bekannten physikahschen Gesetze wie beispielsweise das Ohmsche Gesetz oder die Kirchhoffschen Regeln (Knotenpunktsregel, Maschenregel usw.) auch fiir Wechselstromkreise unverandert giiltig bleiben. Bei den folgenden Betrachtungen wahlen wir den Stromzeiger X als Bezugszeiger und legen ihn in die positiv-reelle Achse. Dann folgt unmittelbar aus dem Ohmschen Gesetz IL = ZL' h daB der Spannungszeiger L/ mit dem (komplexen) Widerstandsoperator Z mdmQ gemeinsameRichtungi?i\\i\ U_ und Z besitzen den g/efc/z^n Phasenwinkel cp, der Spannungszeiger H geht aus dem Widerstandsoperator Z durch Streckung um das I-fache hervor (Bild III-42).
240
III Komplexe Zahlen und Funktionen
imagindr ii
^
U=ZI
Bild III-42 Zum Ohmschen Gesetz der Wechselstromtechnik I
reell
Widerstandsoperatoren (komplexe Wechselstromwiderstande) Der Wechselstromkreis kennt drei Grundschaltelemente: R: Ohmscher Wider stand C: Kapazitdt L: Induktivitdt Sie werden durch die folgenden Widerstandsoperatoren beschrieben: (1)
Ohmscher Widerstand R (Bild III-43) Fur einen ohmschen Widerstand R gilt bekanntlich u = R- i
bzw.
u = R- i
(IIM49)
Mit M = M • eJ^^ = V2 iZ • eJ"^^ und i = 1 • e^^^ = V 2 1 ' e^^^ erhalten wir daraus: (III-150) U =
(III-151)
RI
Ein ohmscher Widerstand wird somit durch den reellen Widerstandsoperator Z^ = R dargestellt (Bild III-44). Spannung und Strom sind dabei in Phase i9u = 9h d-h. (p = 0).
Bild III-43 Ohmscher Widerstand R
lm(Z)k Bild III-44 Widerstandsoperator eines ohmschen Widerstandes R
Z=R
Re(Z)
3 Anwendungen der komplexen Rechnung (2)
241
Kapazitat C (Bild III-45) Bei einem Kondensator gilt der folgende Zusammenhang zwischen Ladung q, Kapazitat C und Spannung u: q= C'u
bzw.
q=C•u
(III-152)
Wir differenzieren diese Gleichung nach der Zeit t und beachten dabei, da6
^(^) = i.st: d
d
^(^) = C--(M)
Oder
l =
HH
d C--{u)
(III-153)
Bild III-45 Kapazitat C
\m(Z)k
Re(Z)
'
-
Bild III-46 Widerstandsoperator einer Kapazitat C
^ (JJC
Mit w = w-eJ^^ = y 2 L / - e J ^ ^ welter
und i = f-e-J^^ = V ^ I • eJ^^ folgt hieraus
11).
V 2 / • e J ^^ = C • - (V 2 i / • e J ^0 = J \ / 2 o; C • L/ • e J ^^ dt l = }coC'U
11)
Oder
U=
1 I=-j }coC
1 coC
I
(III-154)
(III-155)
Aus dem Permanenzprinzip folgt, daB die Differentiation nach den gleichen Regeln verlauft wie im Reellen. Die komplexe Funktion e-"*^^ wird daher nach der Kettenregel differenziert, die imaginare Einheit j ist dabei als ein konstanter Faktor zu betrachten.
242
III Komplexe Zahlen und Funktionen Eine Kapazitdt C wird somit durch den Widerstandsoperator 1
-J
JCDC
1
(IIM56)
beschrieben. Er fallt in die negativ-imagindre Achse (Bild III-46). Sein Betrag ist der kapazitive Blindwiderstand XQ = I/OJC. Bei einer Kapazitat lauft der Spannungszeiger U_ dem Stromzeiger X um 90° in der Phase hinterher {cp = — 90°).
(3)
Induktivitat L (Bild III-47) Aus dem Induktionsgesetz d u = L ' — (i) dt
d u = L- — {i) dt
bzw.
folgt mit u = U' eJ^^ = J2U'
e^^^ und i = ?• e-J^^
(III-157) =
J2I'Q^'
/2 17 • eJ^^ = L • 4 ( V 2 i • eJ^O = J \ / 2 coL • i ^}(0t dt U=icDLl
(III-158) (III-159)
Eine Induktivitat wird somit durch den imagindren Widerstandsoperator (IIM60)
Z=imL
beschrieben. Er fallt in die positiv-imagindre Achse, sein Betrag ist der induktive Blindmderstand Xi^ = CDL (Bild III-48). Der Spannungszeiger 1/ lauft jetzt dem Stromzeiger X um 90° in der Phase voraus {cp = 90°).
Bild III-47 Induktivitat L
imrz;A
A Z=iwL Bild III-48 Widerstandsoperator einer Induktivitat L Rerz;
243
3 Anwendungen der komplexen Rechnung Leitwertoperatoren (komplexe Leitwerte)
In der Gleichstromlehre wird der Kehrwert eines (ohmschen) Widerstandes als Leitwert bezeichnet. Entsprechend wird der Leitwertoperator Y als Kehrwert des Widerstandsoperators Z erklart: 1 1 Y =- = ^ Z Z-eJ^
>-j<^
(III-161)
Geometrisch erhalt man Y durch Spiegelung des Widerstandsoperators Z an der reellen Achse {cp -^ — cp) undanschliefiender 5^r^c/cwngumdas l/Z^-fache(sog./nv^rsion, vgl. Bild III-49).
l^(Z)k
Bild III-49 Der Leitwertoperator Y entsteht durch Inversion des Widerstandsoperators Z
Der Leitwertoperator lautet in der kartesischen Darstellung: Y=G+jB
(IIM62)
Realteil G und Imagindrteil B werden dabei wie folgt bezeichnet: G: Wirkleitwert B: Blindleitwert Fiir die drei Grundschaltelemente R, C und L erhalten wir aus den entsprechenden Widerstandsoperatoren der Reihe nach die Leitwertoperatoren {komplexen Leitwerte) 1 1 = -, R
Y = }coC,
Y=
1 1 : jcoL - J coL
(III-163)
244
III Komplexe Zahlen und Funktionen
Wir fassen die Ergebnisse zusammen.
3.2.3 Ein Anwendungsbeispiel: Der Wechselstromkreis in Reihenschaltung Der in Bild III-50 dargestellte Wechselstromkreis enthalt je einen Ohmschen Widerstand R, eine Kapazitdt C und eine Induktivitdt L in Reihenschaltung.
Bild III-50 Wechselstromkreis in Reihenschaltung
Nach den Kirchhoffschen Regeln addieren sich dabei die Widerstandsoperatoren der drei Schaltelemente zum Widerstandsoperator Z des Gesamtkreises (co: Kreisfrequenz der angelegten Wechselspannung): Z = R+icoL-j — = R-\-i((DL )=:ZeJ^ coC \ coCJ
(III-164)
3 Anwendungen der komplexen Rechnung
245
Bild III-51 zeigt die Lage der Widerstandsoperatoren im Zeigerdiagramm.
lm(Z)k
Bild III-51 Zeigerdiagramm eines Wechselstromkreises in Reihenschaltung
Re(Z)
Wirk- und Blindwiderstand der Reihenschaltung lauten: Wirkwiderstand: Re (Z) = R
(III-165)
Blindwiderstand: Im (Z) = X = coL — coC
(III-166)
Fur den Scheinwiderstand (auch Impedanz genannt) erhalten wir damit:
1V coC
(III-167)
Die Phasenverschiebung cp = cp^- cp- zwischen Spannung und Strom laBt sich nach Bild III-51 aus der Beziehung
X tan (p = — = R
1 coC
(oL
(III-168)
R
berechnen^^^:
(p = arctan — = arctan I R \
12)
(III-169) R
.
Der Phasenwinkel cp liegt im 1. oder 4. Quadrant.
246
III Komplexe Zahlen und Funktionen
Ob die Spannung dem Strom oder der Strom der Spannung vorauseilt, hangt vom Verhdltnis der beiden Blindwiderstdnde X^ = coL und X(^ = 1/coC zueinander ab. Dabei gilt: XL>XC
XL<XC
(0° < (^ ^ 90°)
(p>0 (p = 0
(sog. Resonanzfall) ^ ^^
(p<0
(-90°^(p<0°)
(IIM70)
Aus dem Ohmschen Gesetz erhalten wir fiir den Effektivwert des Stroms: U ! = -= •^
U , / R^ +
(III-171) /
\coL-
1
^ ^
coC {U: Effektivwert der angelegten Wechselspannung). Die an den Schaltelementen R, C und L abfallenden Teilspannungen Uji, UQ und Ui lassen sich aus dem Ohmschen Gesetz fur den jeweiligen Teilwiderstand berechnen. Wir erhalten dann fiir die Effektivwerte der Reihe nach lJj^ = RU
Uc = -^,
(IIM72)
UL = (DLI
Rechenbeispiel An einem Wechselstromnetz {U = 220 V, / = 50 Hz) liegen in Reihenschaltung der Ohmsche Wider stand R = lOOQ, die Kapazitdt C = 20 |iF und die Induktivitdt L = 0,1 H. Zu berechnen sind: a) Der Scheinwiderstand Z und der Effektivwert I des Wechselstroms, b) die Phasenverschiebung (p zwischen Spannung und Strom und c) die Effektivwerte der Spannungsabfdlle an den Einzelwiderstanden.
Losung: a) CO = 2 7 c / = 271 • 50 s~ ^ = 100 71-s"^ Xc = ^ = r^ ^ (oC 1 0 0 7 r s ~ i - 2 0 XL = OJL=
^ - = 159,15 Q 10~^F
100 7is" ^ • 0,1 H = 31,42 Q.
13) Der Gesamtwiderstand Z erreicht fiir XL = Xc seinen kleinsten und die Stromstarke / damit ihren grofiten Wert (bei vorgegebener Spannung U).
3 Anwendungen der komplexen Rechnung
247
Der Widerstandsoperator Z lautet damit (Bild 111-52):
Z = R+jLL-^j
= R+}X = R+i(XL-Xc)
=
= 100 n + j (31,42 Q - 159,15 Q) = 100 Q - j • 127,73 Q
I
S2 i ,}31A2 100 Re (Z) S2
\z
} 127,73^f
\f
Z=100S2-'}127,73n
Bild III-52
-J 159.15
Sein Betrag liefert den Scheinwiderstand Z. Wir erhalten: Z = \Z\ = V(100Q)2+(-127,73 Q)2 = 162,22 Q Die Berechnung des Phasenwinkels cp ergibt nach Bild III-52: 1 wC
CDL
tan (p =
R
-127,73 Q 100 Q
= - 1,2773
cp = arctan ( - 1,2773) = - 51,9° Der Widerstandsoperator lautet daher in der Exponentialform: Z = Z-eJ^-162,22Q-e-J5i'9° Der Spannungszeiger H besitzt die gleiche Richtung wie der Widerstandszeiger Z. Somit ist: U = (7-eJ^ = 2 2 0 V - e - J 5 i ' 9 °
248
III Komplexe Zahlen und Funktionen Aus dem Ohmschen Gesetz (III-147) folgt dann fiir den Stromzeiger 1_\ _U_ 2 2 0 V - e " J 5 i ' ^ ° _ 220V _ - "^ Z ~ 162,22Q-6-^51^90 - 162,22 0 " ^'^^^^ Der Effektivwert des Wechselstroms betragt somit / = 1,356 A. b) Strom- und Spannungsanzeiger besitzen die folgenden Darstellungen: i=l,356AeJ^°-l,356A i/ = 220V-e-J5i>9o (der Stromzeiger liegt in der positiv-reellen Achse!). Daher eilt der Strom der Spannung um 51,9° in der Phase voraus. c) Fiir die komplexen Effektivwerte der an den Schaltelementen R, C und L abfallenden Spannungen folgt aus dem Ohmschen Gesetz: 1,356 A = 135,6 V
U^ = R'l=100Q' Ur= -i
L= -j-159,150-1,356 A = - j - 2 1 5 , 8 V =
= 215,8 V - e - J 9 0 ° UL=icoL'l=y
31,42 O • 1,356 A = j • 42,6 V = 42,6 V - e J ^^°
Die reellen Effektivwerte der abfallenden Spannungen betragen daher der Reihe nach: UR =
135,6 Y,
Uc = 215,8 V,
U^ = 42,6 V
4 Ortskurven 4.1 Ein einfiihrendes Beispiel In den physikalisch-technischen Anwendungen, insbesondere in der Wechselstrom- und Regelungstechnik, treten haufig komplexe GroBen auf, die noch von einem reellen Parameter abhangen. Wie das folgende Beispiel zeigen wird, lassen sich solche Abhangigkeiten in anschaulicher Weise durch sog. Ortskurven in der GauBschen Zahlenebene darstellen. Wir betrachten im folgenden eine Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand R und einer Induktivitat L (Bild III-53).
Bild III-53 Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand R und einer Induktivitat L
248
III Komplexe Zahlen und Funktionen Aus dem Ohmschen Gesetz (III-147) folgt dann fiir den Stromzeiger 1_\ _U_ 2 2 0 V - e " J 5 i ' ^ ° _ 220V _ - "^ Z ~ 162,22Q-6-^51^90 - 162,22 0 " ^'^^^^ Der Effektivwert des Wechselstroms betragt somit / = 1,356 A. b) Strom- und Spannungsanzeiger besitzen die folgenden Darstellungen: i=l,356AeJ^°-l,356A i/ = 220V-e-J5i>9o (der Stromzeiger liegt in der positiv-reellen Achse!). Daher eilt der Strom der Spannung um 51,9° in der Phase voraus. c) Fiir die komplexen Effektivwerte der an den Schaltelementen R, C und L abfallenden Spannungen folgt aus dem Ohmschen Gesetz: 1,356 A = 135,6 V
U^ = R'l=100Q' Ur= -i
L= -j-159,150-1,356 A = - j - 2 1 5 , 8 V =
= 215,8 V - e - J 9 0 ° UL=icoL'l=y
31,42 O • 1,356 A = j • 42,6 V = 42,6 V - e J ^^°
Die reellen Effektivwerte der abfallenden Spannungen betragen daher der Reihe nach: UR =
135,6 Y,
Uc = 215,8 V,
U^ = 42,6 V
4 Ortskurven 4.1 Ein einfiihrendes Beispiel In den physikalisch-technischen Anwendungen, insbesondere in der Wechselstrom- und Regelungstechnik, treten haufig komplexe GroBen auf, die noch von einem reellen Parameter abhangen. Wie das folgende Beispiel zeigen wird, lassen sich solche Abhangigkeiten in anschaulicher Weise durch sog. Ortskurven in der GauBschen Zahlenebene darstellen. Wir betrachten im folgenden eine Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand R und einer Induktivitat L (Bild III-53).
Bild III-53 Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand R und einer Induktivitat L
249
4 Ortskurven
Nach den Kirchhoffschen Regeln addieren sich dabei die Widerstandsoperatoren der beiden Schaltelemente zum Widerstandsoperator Z des Gesamtkreises. Bei festen Werten fiir R und L hangt der komplexe Widerstand Z noch wie folgt von der Kreisfrequenz co ab: Z = Zico) = R-\-icoL
{(o^O)
(III-173)
Jedem Wert der Kreisfrequenz co entspricht dabei genau ein komplexer Widerstandszeiger in der GauBschen Zahlenebene. Beim Durchlaufen samtlicher Werte von co = 0 bis bin zu a; = 00 bewegt sich die Zeigerspitze auf einer Halbgeraden, die im Abstand R parallel zur positiv-imaginaren Achse verlauft (Bild III-54). Sie wird als Ortskurve des Widerstandes Z^ = Z^{co) bezeichnet und beschreibt in anschaulicher Weise die Abhangigkeit des komplexen Widerstandes Z von der Kreisfrequenz oj.
Imrz;i ii Z(iD)
/
/
X
w
I3
(Jj
UJj
~>
A/^^^i,
W2
Bild III-54 Widerstandsortskurve der Reihenschaltung aus Bild III-53
U),
UJ = 0
^ Rerz;
4.2 Ortskurve einer parameterabhangigen komplexen GroBe (Zahl) z sei eine von einem reellen Parameter t abhangige komplexe Zahl mit der Darstellung z = z(t) = x(0 + j • y{t)
(a^^ t ^ h)
(III-174)
DurchdieseGleichung wird jedem Parameterwert t aus dem Intervall [a,b] in eindeutiger Weise eine komplexe Zahl z{t) zugeordnet. Eine solche Vorschrift definiert eine komplexwertige Funktion einer reellen Variablen.
250
III Komplexe Zahlen und Funktionen
Real- und Imagindrteil einer komplexwertigen Funktion z (t) sind somit Funktionen einund derselben reellen Variablen t. Mit dem Parameterwert t verandert sich auch die Lage der komplexen Zahl z = z{t) in der GauBschen Zahlenebene. Die Spitze des zugehorigen Zeigers z = z{t) bewegt sich dabei auf einer Kurve, die als Ortskurve der komplexen Zahl (GroBe) z = z{t) bezeichnet wird (Bild III-55).
Bild III-55 Zum Begriff einer Ortskurve
Zu jedem Parameterwert gehort genau ein Zeiger und damit genau ein Kurvenpunkt. Die Kennzeichnung (Bezifferung) der Kurvenpunkte kann daher durch den Parameter selbst erfolgen, wie dies in Bild III-55 geschehen ist.
4 Ortskurven
251
Anmerkungen (1) Die Ortskurve ist das geometrische Bild einer komplexwertigen Funktion einer reellen Variablen. (2)
Die Ortskurve von z = z (t) = x (t) -\- j - y (t), a ^ t ^ b laBt sich auch durch die Parametergleichungen x = x{t),
y = y{t)
{a^t
(III-177)
^b)
beschreiben.
Beispiele (1)
Die Ortskurve der vom Parameter t abhangigen komplexen Zahl z{t) = a -\-i - bt
(— 00 < t < cc)
{a > 0, b > 0) ist eine im Abstand a zur imaginaren Achse parallel verlaufende Gerade (Bild III-56).
Imrz;i
z(f)
=
a+]bf
.f = 0
Rerz;
Bild III-56 Ortskurve von z{t) = a -\-} • bt {— oo < t < co)
III Komplexe Zahlen und Funktionen
252
(2)
Der komplexe Zeiger z{t) = at -\-}b
(0 ^ r < oo)
beschreibt fur a > 0, b > 0 eine im Abstand b zur positiv-reellen Achse parallel verlaufende Halbgerade (Bild III-57).
Imrz;4
Bild III-57 Ortskurve won z(t) = at + jb
(3)
(0 ^ t < oo)
Die Ortskurve von z(0 = 5 • eJ^^ = 5 • cos (2 r) + j • 5 • sin (2 0
(0 < f < n)
ist der in Bild III-58 skizzierte Mittelpunktskreis mit dem Radius R = 5.
lm(2)k
(f)=5-&'
Re(z)
Bild III-58 Ortskurve von z{t) = 5 • e^"^' {0^t
4 Ortskurven
253
4.3 Anwendungsbeispiele: Einfache Netzwerkfunktionen Eine Netzwerkfunktion beschreibt in der Elektrotechnik die Abhangigkeit einer komplexen elektrischen Grofie von einem reellen Parameter. Ein erstes Beispiel ist uns bereits in Abschnitt 4.1 begegnet: Die Abhangigkeit des komplexen Widerstandes Z einer Reihenschaltung von der Kreisfrequenz co nach der Funktionsgleichung Z = Z{co) = R^}coL
(co^O)
(III-178)
(vgl. hierzu die Bilder III-53 und III-54). Zwei weitere einfache Beispiele fiir Netzwerkfunktionen sollen jetzt folgen. Sie lassen sich durch Ortskurven in einer komplexen Zahlenebene besonders anschauhch darstellen.
4.3.1 Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand und einer Induktivitat (Widerstandsortskurve) Ein variabler ohmscher Widerstand R mit 0 ^ i^ ^ ^max wird mit einer konstanten Induktivitat L in Reihe geschaltet (Bild III-59).
Bild III-59 Reihenschaltung aus einem variablen ohmschen Widerstand R und einer Induktivitat L Der komplexe Widerstand Z dieser Schaltung ist dann bei fester Kreisfrequenz co als eine Funktion des Parameters R zu betrachten. Wir erhalten die Netzwerkfunktion Z = Z{R) = R-^jcoL
{O^R^
(III-179)
R^^^)
Die Ortskurve von Z{R), auch Widerstandsortskurve genannt, fiihrt zu dem in Bild III-60 skizzierten Teil einer Halbgeraden, die im Abstand coL parallel zur reellen Achse verlauft. I
ln)(Z)i
Ortskurve 1 R=0 fill
t
/?;
<^2
iI
R3
1 \ /
1 1
1 1 1 f^2
1 1 1 1
/
Z(R) =
Ri-
]WL
D ^max
*1
1 1
1 1 1 1
1 ^max
Rerz;
Bild III-60 Widerstandsortskurve der Reihenschaltung aus Bild III-59
254
III Komplexe Zahlen und Funktionen
4.3.2 Parallelschaltung aus einem ohmschen Widerstand und einer Kapazitat (Leitwertortskurve) Bei der in Bild III-61 dargestellten Parallelschaltung aus einem ohmschen Widerstand R und einer Kapazitat C addieren sich die komplexen Leitwerte der beiden SchaUelemente nach den Kirchhoffschen Regeln zu einem komplexen Leitwert Y des Gesamtkreises.
Bild III-61 Parallelschaltung aus einem ohmschen Widerstand R und einer Kapazitat C
Wir erhalten bei festen Werten fur R und C die von der Kreisfrequenz w abhangige Netzwerkfunktion Y=Y{(D) = --h}(DC
(60 ^ 0 )
(III-180)
Die Ortskurve dieses parameterabhangigen Leitwertes fiihrt zu der in Bild III-62 skizzierten Halbgeraden, die im Abstand 1/R parallel zur positiv-imaginaren Achse verlauft.
ln\(Y)k
RQ(Y)
Bild III-62 Leitwertortskurve der Parallelschaltung aus Bild III-61
4 Ortskurven
255
4.4 Inversion einer Ortskurve 4.4.1 Inversion einer komplexen GroBe (Zahl) In den physikalisch-technischen Anwendungen wird haufig der Kehrwert einer komplexen GroBe benotigt. Bin einfaches Beispiel dafiir bietet der komplexe elektrische Leitwert Y, der als Kehrwert des komplexen Widerstandes Z definiert ist: Y = 1/Z. Wir bezeichnen diesen Vorgang als Inversion.
Liegt die komplexe Zahl z in der Exponentialform z = r • Q^^ vor, so lautet der Kehrwert w = 1/z in der gleichen Darstellungsform: 1 w=- =
1 r- =
/l\ - • e ~J^ = p • eJ^
(III-182)
Dies aber bedeutet: Vorzeichenwechsel im Argument (S = ~ cp) und Kehrwertbildung des Betrages [p = 1/r; vgl. Bild III-63).
lm(z) i i lm(w) ^ z
RQ(W)
R&(z)
~
z
Bild III-63 Zur Inversion einer komplexen GroBe (Zahl)
256
III Komplexe Zahlen und Funktionen
Anmerkungen (1) Die Operationen konnen auch in der umgekehrten Reihenfolge ausgefiihrt werden. (2)
Der Vorzeichenwechsel im Argument bedeutet geometrisch eine Spiegelung des Zeigers z an der reellen Achse. Man erhalt den konjugiert komplexen Zeiger z*. Die sich anschlieBende Kehrwertbildung des Betrages bedeutet dann eine Streckung des Zeigers z* um das 1/r^-fache.
Beispiele (1)
Wir bilden den Kehrwert der komplexen Zahl z = 0,8 • eJ^^° und erhalten: w= i = ^-— = (—] • e-J40o ^ J 25 • e-J*o° z 0,8-eJ40° \^o,8/ Bild III-64 zeigt die Lage beider Zahlen in der GauBschen Zahlenebene.
lm(z) i
f, = 1.1.25-.->'°' i40° Bild III-64 Inversion der komplexen Zahl z = 0,8 • e-i
4 Ortskurven (2)
257
Der Kehrwert der komplexen Zahl z = 3 — 4j lautet wie folgt: _ 1 _ 1 _ 3 + 4j _3 + 4j_3 + 4j_3 4._ ^ ~ z ~ 3 - 4j ~ (3 - 4j) (3 + 4j) ~ 9 + 16 ~ 25 ~ 25 "^ 25^ " - 0,12 + 0,16j
4.4.2 Inversionsregeln Die Inversion einer komplexen Zahl z soil nun unter einem allgemeineren Gesichtspunkt betrachtet werden. Dazu fassen wir z als eine frei wdhlbare komplexe Variable auf und interpretieren die Gleichung w = 1/z als Gleichung einer komplexen Funktion, die jeder von Null verschiedenen komplexen Zahl z in eindeutiger Weise den Kehrwert 1/z als Funktionswert zuordnet. Wir schreiben dafiir symbolisch: 1
1—> w = z
Oder
1
w=f{z) = z
(III-183)
Graphisch werden die z-Werte als Punkte in einer komplexen z-Ebene und die zugehorigen Funktionswerte w = 1/z als Punkte in einer komplexen w-Ebene dargestellt ^^\ Die komplexe Funktion w = 1/z kann daher auch als eine Abbildung der z-Ebene auf die w-Ebene gedeutet werden. Im Nullpunkt z = 0 selbst ist die Funktion nicht definiert. Man ordnet dieser Stelle meist formal den „unendlich fernen Punkt" als Bildpunkt zu. Er wird durch das Symbol „oo" gekennzeichnet. In den Anwendungen (z.B. in der Wechselstromtechnik) stellt sich oft das Problem, eine parameterabhdngige Kurve (z. B. die Ortskurve einer Netzwerkfunktion) zu invertieren. Besonders haufig treten dabei Geraden und Kreise auf. Sie unterliegen den folgenden Inversionsregeln:
14) In den Anwendungen wird fiir die graphische Darstellung der z- und w-Werte meist eine gemeinsame Zahlenebene verwendet, die daher zugleich z- und w-Ebene ist.
258
III Komplexe Zahlen und Funktionen
Anmerkung Bei der Inversion einer Ortskurve erweisen sich auch folgende Regeln als sehr niitzlich: 1. Der Punkt mit dem kleinsten Abstand (Betrag) vom NuUpunkt fuhrt zu dem Bildpunkt mit dem grofiten Abstand (Betrag) und umgekehrt. 2. Bin Punkt oberhalb der reellen Achse fiihrt zu einem Bildpunkt unterhalb der reellen Achse und umgekehrt.
Beweis der Inversionsregeln Wir beschranken uns auf den Beweis der ersten beiden Regeln. Das Bild der komplexen Zahl z = x + j y bezeichnen wir mit w = u -{• jv. Fiir die Inversion w = 1/z gilt dann: w
=
1 1 = • z x+jy
^-iy {x+}y){x-iy)
-
x^ + y^
-j
^-iy x^-\-y
2 _L „ 2
/ ,=u^jv x^ + y^
(IIM84)
Die Abbildungsgleichungen lauten somit: X
y
x^-^ y^
x^-{-y^
(III-185)
Aus ihnen erhalten wir fiir x und y die folgenden Terme: u
V
u^-^v^'
u^-\-v^
(IIM86)
Wir betrachten nun eine in der z-Ebene liegende Gerade mit der allgemeinen Funktionsgleichung ax-^by-^c
(III-187)
=0
Die zugehorige Bildkurve in der w-Ebene erhalten wir, wenn wir in diese Gleichung die Abbildungsgleichungen (III-186) einsetzen: au
bv + c=0
(III-188)
=0
(III-189)
Oder c{u^ + v^)-\-au-bv
Dies ist die Gleichung einer Geraden (fur c = 0) bzw. eines Kreises (fur c ^ 0). Wir untersuchen nun die beiden Falle naher.
4 Ortskurven
259
1. Fall: c = 0 Die Gerade (III-190)
ax + by = 0 der z-Ebene wird nach Gleichung (III-189) in die Gerade au-bv
(III-191)
=0
der w-Ebene abgebildet. Beide Geraden gehen durch den Ursprung. Dies aber ist die 1. Inversionsregel 2. Fall: c ^ 0 Die Gerade (III-192)
ax + by + c = 0 der z-Ebene verlauft wegen c ^0 in den Kreis c{u^ ^v^) + au~bv
nicht durch den Ursprung. Sie geht bei der Inversion (III-193)
=0
der w-Ebene iiber, der durch den Nullpunkt verlauft ^^^. Damit haben wir auch die 2. Inversionsregel bewiesen.
4.4.3 Ein Anwendungsbeispiel: Inversion einer Widerstandsortskurve Wir betrachten den in Bild III-65 skizzierten Reihenschwingkreis mit dem ohmschen Widerstand R, der Kapazitat C und der Induktivitat L.
Bei festen Werten fiir R, C und L hangt der komplexe Widerstand Z nur noch von der Kreisfrequenz co ab. Nach den Gesetzen der Reihenschahung erhalten wir die Netzwerkfunktion Z(p) = i^ + ja;L - j ^
= K+jL L - -^ )
(p ^ 0)
(III-194)
Die zugehorige Widerstandsortskurve ist eine Gerade, die im Abstand R parallel zur imaginaren Achse verlauft (Bild III-66).
Es handelt sich um einen verschobenen Kreis mit dem Mittelpunkt M = {— a/2c; b/2c) und dem Radius r - y/a^
-^h^/lc
III Komplexe Zahlen und Funktionen
260
imrz; I
Bild III-66 Widerstandsortskurve eines Reihenschwingkreises nach Bild III-65
Durch Inversion erhalten wir die Ortskurve des komplexen Leitwertes. Sie wird durch die Netzwerkfunktion Y{w) =
1 Z{oj)
1 / \
1 coC
(co^O)
(III-195)
beschrieben. Wir bestimmen nun schrittweise den Verlauf diQSQV Ortskurve. 1. Aus der 2. Inversionsregel folgt, daB die invertierte Ortskurve Y = Y{(D) einen durch den Nullpunkt verlaufenden Kreis ergibt. 2. Wir ermitteln nun den Mittelpunkt und den Radius des Kreises. Dazu bestimmen wir zunachst denjenigen Punkt auf der Widerstandsortskurve Z^ = ^{o)% der den kleinsten Abstand (Betrag) hat. Es ist der durch den Parameterwert COQ gekennzeichnete Schnittpunkt mit der reellen Achse. Er gehort zur Kreisfrequenz COQ =^ V \ / L C ? t)ei der der Bhndwiderstand X = coL— 1/CDC verschwindet. Fur diese Kreisfrequenz nimmt Z seinen kleinsten Wert Z^j^ = -^(^o) — ^ ^^- ^^^ zur Kreisfrequenz COQ gehorende Punkt der Widerstandsortskurve wird somit durch dep Zeiger Z^{(OQ) = R beschrieben (Bild III-66). Zum kleinsten Widerstandswert Z^iin = R gehort aber der grofite Leitwert y^^x- Dieser betragt somit Y
=
1
(III-196)
Er entspricht zugleich dem gesuchten Durchmesser des Kreises. Der Mittelpunkt des Kreises liegt daher auf der reellen Achse im Abstand 1/2R vom Ursprung. Die Leitwertortskurve fuhrt somit zu dem in Bild III-67 dargestellten Kreis.
4 Ortskurven
261
Im (Y) 1
Bild III-67 Leitwertortskurve eines Reihenschwingkreises nach Bild III-65
In den Anwendungen verwendet man zur Darstellung der Widerstandsortskurve Z = Z (co) und der zugehorigen invertierten Ortskurve, der Leitwertortskurve Y = Y{a)) = l/Z(co), meist eine gemeinsame komplexe Zahlenebene (Bild III-68). Einander zugeordnete Z- und Y-Werte sind dabei durch denselben co-Wert gekennzeichnet. Diese Zuordnung findet man leicht wie folgt: Wir zeichnen den zur (beliebigen) Kreisfrequenz co^ gehorenden Widerstandszeiger Z{a)i) und bringen ihn zum Schnitt mit der Leitwertortskurve (Kreis). Der Schnittpunkt wird dann an der reellen Achse gespiegelt und fiihrt zum zugehorigen Leitwertzeiger Y{(jo{). IrnfZ)
k lfT\(YJ
Bild III-68 Darstellung der Widerstands- und Leitwertortskurve eines Reihenschwingkreises in einer gemeinsamen komplexen Ebene
262
III Komplexe Zahlen und Funktionen
Ubungsaufgaben
Zu Abschnitt 1 1)
2)
3)
Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen durch Bildpunkte in der GauBschen Zahlenebene symbolisch dar: zi = 3 - 4 j ,
Z2 = - 2 + 3 j ,
Z5 = 3 + 5 j ,
Z6 = - 1 - 2 j ,
Z3=-5-4j,
Z4 = 6,
Die folgenden komplexen Zahlen sind durch einen Zeiger in der GauBschen Zahlenebene bildUch darzustellen: zi = l + 3 j ,
Z2=-2-4j,
Z3 = l - j ,
Z4 = 5 j ,
Z 5 = - 4 + 5j,
Z6=-3-2j,
Z7 = 6 + 2 j ,
zg = - 5
Wie lauten die in Bild III-69 bildlich dargestellten komplexen Zahlen in der kartesischen und in der Polarforml Geben Sie auch die konjugiert komplexen Zahlen an. Hinweis: Alle Werte sind halb- oder ganzzahlig.
Imrz;i
54 • z.
+
•z, • z^
•Zc +
/+ H
1
• Zo
H
h
1
•Ze
1
^
1
z^ 5
-1
1
•
Refz;
• z,, • z„
•Za
•
Z,r
Bild III-69 • Zn
Ubungsaufgaben 4)
263
Die in der kartesischen Form gegebenen komplexen Zahlen ^1 = 2 + 71 j ,
Z2 = 4,5 — 2,4j,
Z5--3-2J,
Z3 = — 3 + 5 j ,
z6=-l+j,
Z7=-4j,
Z4 = — 6, z8=-3-j
sind in die Polarform umzurechnen. Wie lauten die konjugiert komplexen Zahlen? 5)
Bringen Sie die in der Polarform vorliegenden komplexen Zahlen zi = 4 ( c o s l + j - s i n l ) ,
Z2 = 3-eJ^^°,
Z^ =
Z4 = 5 [ c o s ( - 6 0 ° ) + j - s i n ( - 6 0 ° ) ] ,
Z5 = 2 • e ^2'',
Z^ =
Z7 = 2 (cos 210° + j - s i n 210°),
zg = cos ( - 0 , 5 ) + j • sin (-0,5)
5'Q^^^^\
Q^^'^^\
in die kartesische Form und bestimmen Sie die jeweiHge konjugiert komplexe Zahl. 6)
7)
Bestimmen Sie den Betrag der folgenden komplexen Zahlen: zi - 4 - 3 j ,
Z2 = - 2 - 6 j ,
Z3 = 3 (cos 60° - j - s i n 60°),
^4:= - 3 + 4 j ,
Z5 - - 4 j ,
Z6= - 3 - e J 3 ^ °
Bestimmen Sie den Hauptwert des Argumentes (Winkels) (p fiir die folgenden komplexen Zahlen {0 ^ cp <2n): zi= - 2 - 6 j ,
Z2= - 2 - e " J ' ^ ^ ° ,
Z3= - 3 c o s ( ^ j + j - s i n ( - ^
Z4=3-j,
z 5 = - 6 + 8j,
Z6 = 4 [cos ( - 80°) + j • sin ( - 80°)]
Zu Abschnitt 2 1)
Berechnen Sie mit den komplexen Zahlen zi = - 4 j ,
Z2 = 3 - 2 j ,
z3=-l+j
die folgenden Terme: a)
z^—2z2 + 3z3
b)
2z;^-Z2
d)
z i ( 2 z | - Z i ) + Z3*
e)
V
^ 3z|
^1 '^2
f)
Zi + Z j zf-^3
III Komplexe Zahlen und Funktionen
264 2)
Berechnen Sie die folgenden Ausdriicke: a)
3)
4)
(3 - 2j) (4 + 2j)
b)
3-2j : ^ ^ + 3(j-8) 4-3j
4(3-j)* (l+j)(-l+j)
d)
(2-4j)2 +
|1-N/3J|
J
Berechnen Sie die folgenden Ausdriicke und geben Sie die Endergebnisse in der kartesischen Form an: a)
2j n\ n + 2.eJ<-30°) + 3 cos I T I + J • sin 3-4j
b)
(3 + j) • (cos 120° - j • sin 120°) 2 (cos 90° + j • sin 90°) .. . . . . + -jl80° (l-j)'-(2j)*
Mit dem komplexen Zeiger z = 1 + 2j werden folgende Operationen durchgefiihrt:
f)
}'l
b)
Ul
g)
d)
J30° .
2-z
Stellen Sie diese Operationen in der GauBschen Zahlenebene bildlich dar. Was bedeuten sie geometrisch? 5)
Zeigen Sie: Fur jede komplexe Zahl z = x + jy gilt: a)
6)
b)
7 *
=
2j-Im(z)
Berechnen Sie die folgenden Potenzen nach der Formel von Moivre und stellen Sie die Ergebnisse in der kartesischen und in der Polarform dar: a)
{1+)V
d)
(-4-3j)3
g) 7)
z + z* = 2-Re(z)
b)
n\ . . in cos I - I + J • sm ^
K'
(3-V3j)4 3-j 2+j
c)
(2-e-i30°)8
f)
(3-eJ^)5
10
h)
pw^^ [5(cos(-10°)+j-sin(-10°))]
Leiten Sie aus der Formel von Moivre und unter Verwendung der Binomischen Formel die folgenden trigonometrischen Beziehungen her: sin {3 (p) = 3 • sin (^ — 4 • sin"^ cp cos (3 (/)) = 4 • cos"^ (p — 3 ' cos cp Anleitung: Mit z — cos cp -\-} - sincp lautet die Formel von Moivre: (cos (p -\- i • sin (p)" = cos (ncp) + j • sin (ncp)
Ubungsaufgaben 8)
265
Wie lauten die Losungen der folgenden Gleichungen? a)
b)
z^=}
z^ = 16-eJi6^°
c)
z^ = 3 - 4 j
Skizzieren Sie die Lage der zugehorigen Zeiger in der GauBschen Zahlenebene. 9)
Berechnen Sie die folgenden Wurzeln: a)
10)
2/"]
ZTT
^4-2j
3/T~
, .
b)
—; 1 Qno
^
^81-6-^190°
c)
6/
7 - 3 + 8J
Bestimmen Sie sdmtliche Losungen: a)
z ^ = 64 I cos I - I + j • sin I -
b)
z 3 - 2 = 5j
11)
Von der Gleichung x^ — 2x^-\-x^-\-2x — 2 = 0 ist eine (komplexe) Losung bekannt: x^ = 1 — j . Wie lauten die iibrigen Losungen?
12)
Bestimmen Sie samtliche reellen und komplexen Losungen der folgenden Gleichungen: a) x-^ — x^ + 4x — 4 = 0 (Horner-Schema verwenden) b)
13)
x"^-2x^-3 = 0
Berechnen Sie die folgenden naturlichen Logarithmen: a)
ln(l)
b)
ln(-l+j)
c)
Inj
d)
ln(2e^t)
e)
Ln(-l)
f)
Ln^J)
Zu Abschnitt 3 1) Die folgenden harmonischen Schwingungen sind zunachst in der Sinusform y = A • sm{(jot -]- cp) mit A > 0, 0 ^ cp <2n anzugeben und anschlieBend rechnerisch und zeichnerisch durch komplexe Sinuszeiger darzustellen. Wie lauten die komplexen Amplituden (in der kartesischen Form)?
a)
j^i = 3 • sin ( 2 Z: + - I
b)
);2 = - 3 • sin I 41
c)
^3 = - 4 • sin ( 2 r + - )
d)
^4 = 5 • sin (7cr - 1,2)
266 2)
III Komplexe Zahlen und Funktionen Stellen Sie die folgenden Kosinusschwingungen als komplexe Sinuszeiger dar: a)
yi = 3 • cos (cot)
b)
/ y2= — 4 • cos lit
c)
}^3 = 5 • cos (t + 1)
d)
/ 2n y^ = 3 ' coslnt -\
n
Anleitung: Bringen Sie die Kosinusschwingungen zunachst in die Sinusform. 3)
Gegeben sind die beiden gleichfrequenten Wechselspannungen Ui{t) und ^2(0Bestimmen Sie die durch Superposition entstehende resultierende Wechselspannung mit Hilfe der komplexen Rechnung (co = 314s~^): a)
b)
ui = 100 Y -sin (cot) U2 = 150 V-cos (cot
)
u^ = - SOY • sin (cot) U2 = 200 V • sinlcot -\--
4)
Zeigen Sie, daB sich drei gleiche, aber um jeweils 120° in der Phase verschobene Wechselspannungen bei der Uberlagerung ausloschen (die Wechselspannungen entsprechen z.B. den drei Phasen eines Drehstroms). Die Rechnung ist im Komplexen durchzufiihren.
5)
Die mechanischen Schwingungen 3;^ (t) = 20 cm • sin ITT s ~ ^ • r + — I und }^2 (0 = 15 cm • cos I
TT s
~^ •t+ - j
werden ungestort zur Uberlagerung gebracht. Wie lautet die resultierende Schwingung (in der Kosinusform dargestellt)? 6)
Berechnen Sie den komplexen Widerstand der in Bild III-70 skizzierten Reihenschaltung bei der Kreisfrequenz a; = 10^s""^.
Ubungsaufgaben
267
7)
Fiir die in Bild III-71 dargestellte Parallelschaltung aus dem ohmschen Widerstand i^ = lOOQ und der Induktivitat L = 0,5 H ist der komplexe Widerstand Z und der komplexe Stromzeiger X zu berechnen (U^ = 100 V, co = 500 s ~ ^).
8)
Berechnen Sie den komplexen Widerstand Z der in Bild III-72 dargestellten Schaltung als Funktion der Kreisfrequenz o).
Bild III-72
9)
Berechnen Sie den komplexen Widerstand Z der in Bild III-73 dargestellten Schaltung bei der Kreisfrequenz co = 300 s ~ ^.
Zu Abschnitt 4 1) Zeichnen Sie die Ortskurven der folgenden komplexen Zeiger: a)
z{t) = a- cost +}• b ' sin t
{0 ^t
b)
z(0 = 2-cos^ ^ + j •sin(2 0
(0^t<~
<2TI)
268 2)
3)
III Komplexe Zahlen und Funktionen Bilden Sie den Kehrwert der folgenden komplexen Zahlen: zi = 3 + 5 j ,
Z2 = - 6 + 8 j ,
Z4 = 6 • e -J'^O",
Z5 - 3 • e J \
Z3 = 3 cos ( - j + j • sin f z^ = 5 (cos 60° - j • sin 60°)
Skizzieren Sie die Ortskurven folgender Netzwerkfunktionen: a)
Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand R und einer Induktivitat L nach Bild III-74 {R, L: fest; o: variabel). Gesucht sind die Ortskurven des komplexen Widerstandes Z^ = Z^{OJ) und seines Kehrwertes, des Leitwertes Y =
Y{(D).
Bild III-74 b)
Parallelschaltung aus einem ohmschen Widerstand R und einer Induktivitat L nach Bild III-75 {R, L: fest; co: variabel). Gesucht sind die Ortskurven des komplexen Leitwertes Y = Y(oji) und des komplexen Widerstandes Z =
Z{(D).
Bild 111-75
Anleitung: Bei der Reihenschaltung addieren sich die (komplexen) Einzelwiderstande, bei der Parallelschaltung die (komplexen) Einzelleitwerte.
4)
Der in Bild III-76 dargestellte Schaltkreis enthalt einen variablen ohmschen Widerstand R.
Bild III-76
a)
Wie lautet die Netzwerkfunktion Z^ = Z{R)1
b)
Zeichnen Sie die Widerstandsortskurve.
c)
Durch Inversion ist die Ortskurve des Leitwertes zu bestimmen.
269
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen
1 Funktionen von mehreren Variablen und ihre Darstellung 1.1 Definition einer Funktion von mehreren Variablen Bisher hatten wir uns ausschlieBlich mit Funktionen von einer unabhangigen Variablen beschaftigt. Sie warden zur Beschreibung von Zusammenhdngen und Abhdngigkeiten zwischen zwei physikalisch-technischen GroBen x und y herangezogen und meist in der (bequemeren) expliziten Form y = fix) dargestellt. In den Anwendungen treten jedoch auch GroBen auf, die von mehr als einer Variablen abhangen. Wir miissen daher den bisherigen Funktionsbegriff erweitern. Dies fuhrt uns schlieBlich zu dem Begriff einer Funktion von mehreren unabhangigen Variablen. Wir erlautern das Problem zunachst an zwei einfachen Anwendungsbeispielen.
•
Beispiele (1)
Ohmsches Gesetz Die an einem ohmschen Widerstand R abfallende Spannung U hangt nach dem ohmschen Gesetz U = RI vom Widerstand R und der Stromstarke / ab (Bild IV-1), d.h. U ist eine Funktion von R und /: U = U{R;I) = RI Die Schreibweise U {R; I) bringt dabei die Abhangigkeit der GroBe U von den GroBen R und I zum Ausdruck. Bild IV-1 Spannungsabfall an einem ohmschen Widerstand
(2)
Wurfparabel beim schiefen Wurf Wir betrachten die in Bild IV-2 skizzierte Flugbahn (Wurfparabel) eines Korpers, der mit der Geschwindigkeit VQ unter einem Winkel a gegen die Horizontale abgeworfen wurde. Die Wurfweite W hangt dabei nicht nur von der Abwurfgeschwindigkeit VQ, sondern auch noch vom Abwurfwinkel a ab.
270
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen Zwischen diesen Grofien besteht der funktionale Zusammenhang 2
•
2
W= W(vo;(x) = 2 • VQ ' smoc- cos a
VQ - sm{2a)
{g: Erdbeschleunigung; 2 • sin a • cos a = sin (2 a)). W ist somit eine Funkdon von VQ und a.
yi
Wurfparabel
1 1 1 1 ^
Wurfweite W
^
X
Bild IV-2 Wurfparabel beim schiefen Wurf
Aufgrund dieser Beispiele definieren wir den Begriff einer Funktion von zwei Variablen nun wie folgt:
Wir fiihren noch folgende, allgemein iibliche Bezeichnungen ein: X, y: Unabhdngige Variable oder unabhdngige Verdnderliche Abhdngige Variable oder abhdngige Verdnderliche Funktionszeichen (Funktionssymbol) Definidonsbereich der Funktion W^\ Wertebereich oder Wertevorrat der Funktion
Anmerkungen (1) X, y und z sind reelle Variable. (2)
DQY Definidonsbereich D einer Funktion z = f{x;y) kann als eine im allgemeinen fldchenhafte Punktmenge der x, y-Ebene aufgefaBt werden.
1 Funktionen von mehreren Variablen und ihre Darstellung •
271
Beispiele (1)
(2)
(3)
z = z{x;y) = 2x + y + 5 Definitionsbereich D: x, y G IR Wertebereich W: z elR.
(x, y-Ebene)
z = z(x; y) = x^ + y^ Definitionsbereich D: x, y e IR (x, >^-Ebene) Wertebereich W: z ^ 0 (nur positive Funktionswerte) z = z(x; 37) = v 2 5 — x^ — y^ Definitionsbereich D: 25 — x^ — y ^ ^ O , d.h. x^ + 3;^^25 Der in Bild IV-3 skizzierte Definitionsbereich besteht demnach aus alien Punkten (x; y), die von dem Mittelpunktskreis mit dem Radius r = 5 eingeschlossen werden [einschliefilich der Randpunkte). Wertebereich W: 0 ^ z ^ 5
Jild IV-3 Definitionsbereich der ^unktion z = V25 — x^ — y^
(4)
Bei einem idealen Gas besteht zwischen den GroBen p (Druck), V (Volumen) und T (absolute Temperatur) der folgende Zusammenhang: p = p{V',T)^^
(fiir 1 Mol)
{Zustandsgleichung des idealen Gases; R: allgemeine Gaskonstante). Definitionsbereich D: V > 0 und T ^ 0 Wertebereich W: p ^ 0
272
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen
Analog gelangt man zu Funktionen von mehr als zwei unabhangigen Variablen. Bei Funktionen von drei unabhangigen Variablen werden diese meist der Reihe nach mit X, y, z und die abhdngige Variable mit u bezeichnet. Wir verwenden dann die symbolische Schreibweise ^ = f{^'^ yi z) Oder u = u{x; y; z)
(IV-2)
Eine Funktion von n unabhangigen Variablen kennzeichnen wir durch das Symbol y=f{x^;x2;...;xj
Oder y = y(x^; X2;...; x^)
(IV-3)
Die indizierten GroBen x^, X2,..., x„ sind dabei die unabhangigen Variablen, y die abhdngige Variable, auch Funktionswert genannt.
Beispiele (1)
u = u (x; y; z) = In (x^ + y^ + z^ + 1) Definitionsbereich D: x, y, z G IR Wertebereich W\ u^ 0
(2)
Reihenschaltung von Widerstanden Aus der Physik ist bekannt: Bei der Reihenschaltung von n ohmschen Widerstanden R^, R2,., Rfi ciddieren sich die Einzelwiderstande zu einem Gesamtwiderstand R (Bild IV-4):
/?;
R2
Rp
Bild IV-4 Reihenschaltung von n Widerstanden R ist somit eine Funktion der n unabhangigen Variablen (GroBen) R i , R2,..., R„ und fiir R^ ^ 0, R2 ^ 0,..., R„ ^ 0 definiert. Der Wertebereich dieser Funktion ist R ^ 0.
1.2 Darstellungsformen einer Funktion Wir beschranken uns in diesem Abschnitt auf Funktionen von zwei unabhangigen Variablen, fur die es noch anschauliche graphische Darstellungsmoglichkeiten gibt. 1.2.1 Analytische Darstellung In der analytischen Darstellungsform liegt die Funktion in Form einer Gleichung (hier auch Funktionsgleichung genannt) vor.
1 Funktionen von mehreren Variablen und ihre Darstellung
273
Dabei wird noch zwischen der expliziten und der impliziten Form unterschieden: z=f{x;y):
Explizite Darstellung (die Funktion ist nach einer Variablen - hier z - aufgelost)
F{x; y; z) = 0: Implizite Darstellung (die Funktion ist nicht nach einer der drei Variablen aufgelost).
Beispiele (1)
Explizit dargestellt sind die folgenden Funktionen: z = 2x -\- y -\- 1, z = x^ -\- y-^, z = 2-sin{x — y)
(2)
Die folgenden Funktionen liegen in impliziter Form vor: x^+y^ + z ^ - l ^ O ,
2x-Sy-\-
5z-\-3 = 0
1.2.2 Darstellung durch eine Funktionstabelle (Funktionstafel) Setzt man in die (als bekannt vorausgesetzte) Funktionsgleichung z =f(x;y) fur die beiden unabhdngigen Variablen x und y der Reihe nach bestimmte Werte ein, so erhalt man eine Funktionstabelle oder Funktionstafel der folgenden allgemeinen Form:
274
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen
Sie enthalt genau m • n Funktionswerte in m Zeilen und n Spalten. Die Funktionstabelle besitzt somit die Struktur einer Matrix vom Typ (m, n). So erhalt man beispielsweise die in der 1. Zeile stehenden Funktionswerte ^ii,^i2>---?^i«? indem man in die Funktionsgleichung z=f(x;y) fiir die erste unabhangige Variable x den Wert Xi und fur die zweite unabhangige Variable y der Reihe nach die Werte }^i,y2'•••'3^n einsetzt. Allgemein gilt: Der Funktionswert ^^-^ =/(x^; y^) befindet sich in der i-ten Zeile und der k-ten Spalte {eingekreister Wert in der Funktionstabelle; i = 1, 2, ...,m; /c-l,2,...,n). Anmerkung Fine solche Funktionstafel kann auch das Ergebnis einer Mefireihe aus m • n Einzelmessungen sein.
Beispiel Die Schwingungsdauer T eines (reibungsfrei schwingenden) Federpendels hangt bekanntlich wie folgt von der Federkonstanten (Richtkraft) D und der Schwingungsmasse m ab: T=T{D;m)
=
m 2n^-
(vgl. hierzu Band 1, Abschnitt IV2.13.1, Beispiel 2). Es stehen drei verschiedene elastische Federn mit den Federkonstanten lON/m,
15N/m,
20N/m
sowie sechs verschiedene Massen mit den Werten 100 g,
200 g,
300 g,
400 g,
500 g,
600 g
zur Verfiigung. Daraus lassen sich insgesamt 3-6 = 18 verschiedene Federpendel bilden, deren Schwingungsdauern wir wie folgt in einer Funktionstafel zusammenstellen {D in N/m, m in kg, T in s):
1 Funktionen von mehreren Variablen und ihre Darstellung
275
1.2.3 Graphische Darstellung 1.2.3.1 Darstellung einer Funktion als Flache im Raum Durch die Funktionsgleichung z = f{x; y) wird jedem Zahlenpaar (XQ; yo) aus dem Definitionsbereich D der Funktion genau ein Funktionswert ZQ = / ( x o ; y o ) zugeordnet. Wir deuten nun die drei Zahlen XQ, y^ und ZQ als kartesische Koordinaten eines Punktes PQ in einem dreidimensionalen Anschauungsraum, dem wir ein rechtwinkliges X, y, z-Koordinatensystem zugrunde legen (Bild IV-5). Der Funktionswert ZQ besitzt dabei die geometrische Bedeutung einer Hohenkoordinate: Der Punkt PQ = {XQ; ^O^^O) liegt im Abstand | ZQ | ober- oder unterhalb der x, y-Ebene, je nachdem ob ZQ > 0 oder ZQ < 0 ist. Liegt PQ in der x, };-Ebene, so ist ZQ = 0. Ordnet man auf diese Weise jedem Zahlenpaar {x; y)e D einen Raumpunkt P = {x; y; z = f{x; y)) zu, so erhalt man in der Regel eine iiber dem Definitionsbereich D liegende Flache, die in anschaulicher Weise den Verlauf der Funktion z = f{x; y) widerspiegelt (Bild IV-6).
^1
N. \
\ \
\
% ^ o = ^^0'>b''^o^
^0
yo
Bild IV-5 Kartesische Koordinaten eines Raumpunktes
276
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen
Bild IV-6 Geometrische Darstellung einer Funktion z = f{x; y) als Flache im Raum
Beispiele (1)
Ebenen im Raum Das geometrische Bild einer linear en Funktion vom Typ ax -h by -\- cz -\- d = 0 ist eine Ebene. Wir behandeln zunachst einige Sonderfdlle: Koordinatenebenen
1 Funktionen von mehreren Variablen und ihre Darstellung
277
Bild IV-8 X, z-Ebene y = 0
Bild IV-9 y, z-Ebene x = 0
Parallelebenen z = const. = a ist die Funktionsgleichung einer Ebene, die im Abstand d = \a\ parallel zur x, y-Ebene z = 0 verlauft (Bild IV-10). Fiir a > 0 liegt die Ebene oberhalb, fiir a < 0 unterhalb der x, jz-Ebene. Beispiele hierfiir sind: z = 4: Parallelebene im Abstand d = 4 oberhalb der x, y-Ebene z = — 2: Parallelebene im Abstand d = 2 unterhalb der x, j/-Ebene Analog beschreiben die Gleichungen y = const. = a und x = const. = a Ebenen, die im Abstand d = \a\ parallel zur x, z- bzw. y, z-Ebene verlaufen.
278
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen
Ebenen in allgemeiner Lage Die rdumliche Lage einer Ebene mit der allgemeinen Funktionsgleichung ax -\- by i- cz + d = 0 laBt sich aus ihren Schnittpunkten 5^ = (x; 0; 0), iS^ = (0; };; 0) und S^ = (0; 0; z) mit den drei Koordinatenachsen bestimmen (Bild IV-11). Denn eine Ebene ist bekanntlich durch drei Punkte eindeutig festgelegt. So erhalten wir beispielsweise fiir die Ebene 3x-\-6y-\-4z = 12 die folgenden drei Achsenschnittpunkte: S^:
3x + 6-0 + 4 - 0 = 1 2 ^ x = 4, d.h. S^ = (4; 0; 0)
Sy'. 3 • 0 + 6y + 4 • 0 = 12 ^ y = 2, d.h. Sy = (0; 2; 0) S^:
3-0 + 6-0 + 4z = 1 2 = > z = 3 , d.h. S^ = (0; 0; 3)
1 Funktionen von mehreren Variablen und ihre Darstellung
279
Durch diese Schnittpunkte ist die Ebene eindeutig bestimmt. Sie besitzt die in Bild IV-12 skizzierte raumliche Lage.
(2)
Rotationsflachen Die Funktionsgleichung einer zur z-Achse rotationssymmetrischen Flache besitzt die allgemeine Form
Fine solche Rotationsfldche entsteht durch Drehung der Kurve z = f{x) um die z-Achse (Bild IV-13). Dabei bewegt sich der (beliebige) Kurvenpunkt (x; z) mit z = f{x) auf einer Kreisbahn um die z-Achse. Die x-Koordinate wird zum Radius r des beschriebenen Kreises, der im raumHchen X, y, z-Koordinatensystem nach Bild IV-13b) durch die Gleichungen x^ -\- y^ = r^,
z = f{r) = const.
beschrieben werden kann. Mit r = ^x^ -h y^ erhalten wir aus z=f{r) fiir a ^r ^b schHeBHch die Gleichung der gesuchten Rotationsflache:
Formal gesehen erhalt man die Gleichung dieser Flache aus der Kurvengleichung z = f{x) mit Hilfe der Substitution x -^ y x ^2 +I y. , 2 . Kurve z = / ( x )
> Rotationsflache z = fy^x^
-\- y^)
Im Zusammenhang mit den ZyUnderkoordinaten gehen wir hierauf noch naher ein (vgl. hierzu Abschnitt 3.2,2.2).
280
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen
Bild IV-13 Durch Drehung der in Bild a) dargestellten Kurve z =/(x), a ^x ^b um die z-Achse entsteht die in Bild b) skizzierte Rotationsflache z = f(r), a ^r ^b mit r = vx"^ + y'^
Ein einfaches Beispiel fur eine Rotationsflache liefert die Mantelfldche eines Rotationsparaboloids (Bild IV-14), die durch Rotation der Normalparabel z = x^ um die z-Achse entsteht. Die Funktionsgleichung der Rotationsflache lautet daher z = r-^ = x-^ -\- y^.
Bild IV-14 Rotationsflache z = x^ + y"^ (Mantelflache eines Rotationsparaboloids)
1 Funktionen von mehreren Variablen und ihre Darstellung
281
1.2.3.2 Schnittkurvendiagramme Einen sehr anschaulichen Einblick in die Struktur einer Funktion z = f{x; y) ermoglichen haufig auch Schnittkurven- oder Schnittliniendiagramme, die man durch ebene Schnitte der zugehorigen Bildflache erhalt. Meist werden dabei Schnittebenen parallel zu einer der drei Koordinatenebenen gewahlt. Das bekannteste Schnittliniendiagramm ist das sog. Hohenliniendiagramm, das wir aus diesem Grunde auch vorrangig behandeln wollen. Beim Hohenliniendiagramm werden alle auf der Flache z =f(x; y) gelegenen Punkte gleicher Hohe z = c zu einer Flachenkurve zusammengefaBt (Bild IV-15). Diese Kurve laBt sich auch als Schnitt der Flache z = f{x; y) mit der zur x, y-EbcnQ parallelen Ebene z = c auffassen. Die Projektion einer solchen „Linie gleicher Hohe" in die x, _y-Ebene wird als Hohenlinie bezeichnet. Fiir jeden zulassigen Wert der Hohenkoordinate z erhalten wir dann eine Flachenkurve gleicher Hohe und somit genau eine Hohenhnie. Die Hohenlinien einer Funktion (Flache) z = f{x; y) sind demnach durch die Gleichung f {x; y) = const = c
(IV-4)
definiert. Sie bilden in ihrer Gesamtheit das Hohenliniendiagramm der Funktion, wobei verabredungsgemaB der Wert der Hohenkoordinate z an die zugehorige Hohenlinie geschrieben wird.
Bild IV-15 Zum Begriff der Hohenlinie einer Funktion z = f{x; y)
282
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen
Anmerkungen (1) Die durch Gleichung (IV-5) definierten Hohenlinien reprasentieren eine einparametrige Kurvenschar mit der Hohenkoordinate z = c als Parameter, Zu jedem (zulassigen) Parameterwert gehort dabei genau eine Hohenlinie. (2)
Die Hohenlinien sind die Projektionen der Linien gleicher Hohe in die x, };-Koordinatenebene.
Beispiel Die Hohenlinien der bereits bekannten Rotationsflache z = x ^ + }; ^ {Mantelfldche eines Rotationsparaboloids, vgl. Bild IV-14) geniigen der Gleichung x^ -\- y^ = const. = c Fiir jeden positiven Wert des Parameters c erhalten wir hieraus einen Mittelpunktskreis mit dem Radius r = Jc: c
1
2
3
4
r = yjc
1
\/2
V3
2
Der Hohenkoordinate c = 0 entspricht der NuUpunkt (0; 0). Fiir c < 0 liefert die Gleichung x"^ + j ; ^ = c keine Losungskurven. Das Hohenliniendiagramm der Funktion z = x-^ -\- y^ besteht somit aus einem System konzentrischer Mittelpunktskreise (Bild IV-16). Denn jeder Schnitt der Flache z = x^ + j ^ mit einer zur x, 3;-Ebene parallelen Ebene z = c mit c > 0 ergibt wegen der Rotationssymmetrie der Flache einen Kreis, dessen Mittelpunkt auf der positiven z-Achse liegt (Bild IV-17).
1 Funktionen von mehreren Variablen und ihre Darstellung
283
Bild IV-16 Hohenliniendiagramm der Funktion (Flache)
Bild IV-17 Schnitt der Flache z = x'^ + y^ mit der Parallelebene z = c
Wir bewegen uns nun aw/der Rotationsflache in der durch den Pfeil gekennzeichneten Richtung nach auBen (vgl. hierzu Bild IV-16). Dabei kreuzen wir die Hohenlinien mit zunehmender Hohenkoordinate. Der Weg fiihrt daher nach ,,oben" und diese Aussage gilt fuvjeden Weg, der vom Nullpunkt aus auf der Flache nach aufien fiihrt. Man erkennt jetzt leicht, da6 die Rotationsflache z = x-^ + y^ die bereits aus Bild IV-14 bekannte Gestalt besitzt.
284
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen
Analog lassen sich Schnitte der Flache z = f{x; y) mit Ebenen, die zu einer der beiden iibrigen Koordinatenebenen parallel verlaufen, erzeugen. Die Schnittkurven werden anschlieBend wiederum in die entsprechende Koordinatenebene projiziert und ergeben das gesuchte Schnittkurvendiagramm, So fiihren beispielsweise die Schnitte der Flache z ^ f{x; y) mit den Parallelebenen x = const. = c, d.h. Ebenen, die parallel zur y, zEbene x = 0 verlaufen, zu der einparametrigen Kurvenschar z=f{x
= c;y)
(IV-6)
mit dem Kurvenparameter c. Alle Kurven liegen dabei in der y, z-Ebene (Projektionsebene) und bilden in ihrer Gesamtheit das zugehorige Schnittkurvendiagramm. Wir fassen zusammen:
Anmerkungen (1)
Die Schnittkurvendiagramme reprasentieren somit einparametrige Kurvenscharen. Ihre Gleichungen erhalt man aus der Funktionsgleichung z = f{x; y), indem man der Reihe nach eine der drei Variablen (Koordinaten) festhdlt, d.h. als Parameter betrachtet.
(2)
Das Hohenliniendiagramm ist ein spezielles Schnittkurvendiagramm mit der Hohenkoordinate z als Kurvenparameter (z = const. = c).
(3)
In den physikaHsch-technischen Anwendungen wird das Schnittliniendiagramm einer Funktion meist als Kennlinienfeld bezeichnet.
1 Funktionen von mehreren Variablen und ihre Darstellung
285
Beispiele (1)
Das Hdhenliniendiagramm der Rotationsflache z = x^ + y^ hatten wir bereits bestimmt. Es besteht aus den in Bild IV-16 dargestellten konzentrischen Mittelpunktskreisen. Wir bestimmen nun die Schnittkurven der Flache mit Ebenen, die zur y, zEbene parallel verlaufen {x = c). Sie geniigen der Gleichung z = c'^ -\- y-^
oder
z = y-^ -{- c^
und reprasentieren somit ein System von Normalparabeln, deren Scheitelpunkte S = {0;c^) wegen c ^ ^ O auf der positiven z-Achse liegen (Bild IV-18).
Bild IV-18 Schnittkurvendiagramm der Flache z = x^ -j- y'^ (Schnitte parallel zur y, z-Ebene)
Bild IV-19 Schnittkurvendiagramm der Flache z = x ^ + y ^ (Schnitte parallel zur x, z-Ebene)
Auch die Schnitte mit den Parallelebenen zur x, z-Koordinatenebene fiihren wegen der Rotationssymmetrie der Flache zu einem Schnittkurvendiagramm vom gleichen Typ mit dem Kurvenparameter y = c (Bild IV-19): z = x^ + c^
286
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen (2)
Bin typisches Anwendungsbeispiel fur ein Kennlinienfeld liefert die Zustandsgleichung eines idealen Gases (pV = RT fixr 1 Mol). Wir wahlen die absolute Temperatur T als Parameter und erhalten das in Bild IV-20 dargestellte Kennlinienfeld. Es besteht aus den rechtwinkligen Hyperbeln piV) =
RT
const.
(F>0)
Sie beschreiben die Abhangigkeit des Gasdruckes p vom Gasvolumen V fiir den Fall, da6 die Zustandsanderung isotherm, d.h. bei konstanter Temperatur erfolgt. Man bezeichnet diese Kurven gleicher Temperatur daher auch als Isothermen (aus physikalischen Grunden bleiben sie auf den 1. Quadrant beschrankt).
P»
Bild IV-20 Isothermen eines idealen Gases {T^ < T2 < T^ < T4. < T^)
287
2 Partielle Differentiation
2 Partielle Differentiation 2.1 Partielle Ableitungen 1. Ordnung Wir erinnern zunachst an den Begriff der Ableitung bei einer Funktion von einer Variablen: DefinitionsgemaB wird der Grenzwert / ' ( x o ) = lim
fjXQ +
AX)-/(XQ)
(IV-10)
Ax
als 1. Ableitung der Funktion/(x) an der Stelle XQ bezeichnet. Aus geometrischer Sicht laBt sich diese Ableitung als Steigung m der im Punkt P = {XQ; yo) errichteten Kurventangente deuten (Bild IV-21)^^: m = tan oc = f
(IV-11)
(XQ)
Yi i
Tangenfe in P=(XQ;y P / yo-
y=f(x)
y
Bild IV-21 Zum Begriff der Ableitung bei einer Funktion von einer unabhangigen Variablen
yo
)<0
X
Analoge Oberlegungen fiihren bei einer Funktion von zwei Variablen, die sich ja geometrisch als Flache im Raum darstellen laBt, zum Begriff der partiellen Ableitung einer Funktion. Wir gehen bei unseren Betrachtungen dabei von einem auf der Flache z=f{x;y) gelegenen Punkt P = {XQ; yQ; ZQ) mit ZQ = /(xQiyo) aus. Durch diesen Flachenpunkt legen wir zwei Schnittebenen, die parallel zur x, z- bzw. y, z-Koordinatenebene verlaufen (Bild IV-22). Als Schnittlinien erhalten wir dann zwei Fldchenkurven K^ und ^ 2 , mit denen wir uns nun naher befassen werden.
Das Tangentenproblem wurde ausfiihrlich in Band 1, Abschnitt IV. 1.1 dargestellt.
288
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen
Schnitt der Flache z = / ( x ; j) mit der Ebene y = yo (Bild IV-22) Die auf der Schnittkurve K ^ gelegenen Punkte stimmen in ihrer y-Koordinate miteinander iiberein: y = yQ. Die Hohenkoordinate z dieser Punkte hangt somit nur noch von der Variablen x, d.h. der x-Koordinate ab. Die Funktionsgleichung der Schnittkurve Ki lautet daher: Fldchenkurve K^:
(IV-12)
z = f{x; y^) = g{x)
Tangente in P
Bild IV-23
289
2 Partielle Differentiation
Das Steigungsverhalten dieser (raumlichen) Kurve laBt sich besser untersuchen, wenn wir die Kurve in die x, z-Ebene projizieren (Bild IV-23). Dabei wird die Gestalt der Kurve in keinster Weise verandert. Fiir die Steigung der in P errichteten Kurventangente gilt dann definitionsgemaB: m^ = tan a = g'ixo) = lim
g{xo + A x ) - ^ ( x o ) Ax
(IV-13)
Beachten wir dabei noch, daB g{x) = f{x; yo) ist, so konnen wir diesen Grenzwert auch wie folgt schreiben: m^ = lim
f{xo-\-Ax;yQ)-f{xQ;yo) Ax
(IV-14)
Wir erhalten ihn formal, indem wir die Funktion z=f{x;y) nach der ersten Variablen x differenzieren, wobei wahrend der Differentiation die zweite Variable y als eine Art Konstante (Parameter) angesehen wird. Mit anderen Worten: Wir betrachten die Funktion z=f{x;y) zunachst als eine nwr von x abhdngige Funktion undsomit wahrend dcs Differenzierens als eine Funktion von einer Variablen. Fiir das Differenzieren selbst gelten dann die bereits aus Band 1, Abschnitt IV.2 bekannten Ableitungsregeln fur Funktionen von einer Variablen. Der Grenzwert (IV-14) bekommt noch einen neuen Namen und wird fortan als partielle Ableitung L Ordnung von z = f(x; y) nach x an der Stelle (XQ; yo) bezeichnet und durch das Symbol fxix^; yo) oder Z^{XQ; yo) gekennzeichnet. Schnitt der Flache z = f(x;y)
mit der Ebene x = XQ (Bild IV-22)
Die Funktionsgleichung der Schnittkurve (Fldchenkurve) K2 lautet: Fldchenkurve K2''
z = f{xQ; y) = h{y)
(IV-15)
Tangenfe in P
Bild IV-24
290
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen
Denn die auf der Kurve K2 liegenden Punkte besitzen alle die gleiche x-Koordinate (x = XQ), SO daB die Hohenkoordinate z nur noch von der Variablen y abhangt. Wir projizieren diese Kurve nun in die y, z-Ebene, wobei der Kurvenverlauf erhalten bleibt (Bild IV-24). Die Kurventangente in P besitzt dann die Steigung . p /// ^ r h{yo + Ay)-h{yo) m^ = tan jS = h (yo) = lim
m^ .^^ (IV-16)
wofiir wir auch unter Beachtung von h{y) = f{xQ;y) schreiben konnen: .
H^ /(^o;3-o + A,)-/(xo;3^o)
^,^_,,^
Wir bezeichnen diesen Grenzwert als partielle Ableitung 1. Ordnung von z = f{x; y) nach y an der Stelle (XQ; yo) und kennzeichnen ihn durch das Symbol fy{xQ; yo) oder z^(xo; ^o)- Formal erhalten wir diese partielle Ableitung, indem wir die Funktion z = f{x; y) zunachst als eine nur von y abhdngige Funktion betrachten und dann nach der Variablen y differenzieren. Wahrend dieser Differentiation wird die Variable x als eine Art Konstante (Parameter) betrachtet. 1st z = f{x; y) 3.njeder Stelle (x; y) eines gewissen Bereiches partiell differenzierbar, so sinddiepartiellen Ableitungen 1. Ordnung selbst wieder Fwn/cn'onen von x und y. Wir definieren daher allgemein:
Anmerkungen (1) Sprechweisen fur f^: „Partielle Ableitung von f nach x" oder kurz „ / partiell nach x" (analog fur fy). (2)
Die Grenzwertbildung (IV-18) bzw. (IV-19), die zu den partiellen Ableitungen einer Funktion fuhrt, wird als partielle Differentiation oder auch als partielles Differenzieren bezeichnet.
2 Partielle Differentiation
291
(3)
Man beachte: Partielle Ableitungen werden im Gegensatz zu den gewohnlichen Ableitungen nicht durch Striche (oder Punkte), sondern durch die als Index angehangte Differentiationsvariahle gekennzeichnet.
(4)
Weitere, allgemein iibliche Symbole fiir partielle Ableitungen sind:
6/
ez
f^{x\ y),
z^(x; y),
- - (x; y),
—- (x; y)
fy{x;y),
Zy{x;y),
df ^{x;y),
dz ^ (-^'>')
oder (in verkiirzter Schreibweise) A'
^x.
df :^. —,
dz :^ —
o x
o x
Die Schreibweisen
bzw. bzw.
/fy,
Zy, z
^
^
df --, Qy
dz — Qy
df df dz dz
—-, —, —-, —- werden dabei als partielle Differentialdx dy ox dy quotienten 1. Ordnung bezeichnet. Um Verwechslungen mit einem „gewohnlichen" Differentialquotienten auszuschlieBen, verwendet man hierbei das spezielle Symbol „e".
(5)
Geometrische Deutung der partiellen Ableitungen von z = f{x; y) an der Stelle /x(^0' >^o)- ^nstieg der Flachentangente im Flachenpunkt P = (XQ; yQ; ZQ) in der x-Richtung fyixQi yo): Anstieg der Flachentangente im Flachenpunkt P = (XQ; JQ; ^O) in der y-Richtung Die partiellen Ableitungen 1. Ordnung von z = f{x; y) bestimmen damit den Anstieg der Bildflache in P in Richtung der x- bzw. y-Achse (siehe hierzu Bild IV-22).
Als ein oft niitzhches Hilfsmittel bei der Bildung partieller Ableitungen erweisen sich 8 6 die beiden partiellen Differentialoperatoren — und —. Sie erzeugen aus einer Funktion dx dy z = / ( x ; y) durch ihr „Einwirken" die partiellen Ableitungen 1. Ordnung: d [/(^; y)] =fA^\ y). ox
d ^ Ui^'.y)] =fyix;y) dy
(iv-20)
292 •
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen Beispiel z=f(x;y)=
+ Sxy"^ -3x
-4x^y^
+ 2y + 5
Wir bestimmen die partiellen Ableitungen 1. Ordnung dieser Funktion und berechnen ihre Werte an der Stelle x = 1, y = 2: fA^;y)
= ^[-4x^y^ ox
+ 3xy^-3x
+ 2y + 5]=-12x^y^
+
3y^-3
/ (x;3;) = — - [ - 4 x ^ } ; ^ + 3 x } ; ' ^ - 3 x + 2v + 5] = - 8 x ^ V + 12xy^ + 2 oy / , ( l ; 2 ) = - 3 , /,(1;2)^82 Die im Flachenpunkt P = (1; 2; 38) errichteten Tangenten besitzen somit den folgenden Anstieg bzw. Steigungswinkel: Tangente in x-Richtung: m^ = tan a = - 3 ^ a = 180° + arctan ( - 3) = 108,4° Tangente in y-Richtung: m^ = tan jg = 82 => p = arctan 82 = 89,3°
Der Begriff einer partiellen Ableitung 1. Ordnung laBt sich ohne Schwierigkeiten auch auf Funktionen von mehr als zwei unabhangigen Variablen iibertragen. AUerdings ist hier eine geometrische Deutung der partiellen Ableitungen nicht mehr moglich. Bei einer Funktion u = f{x; y; z) von drei unabhangigen Variablen konnen wir partiell nach X, y oder z differenzieren, wobei wahrend des Differenzierens jeweils die beiden iibrigen Variablen als Parameter festgehalten werden. Es gibt somit drei partielle Ableitungen 1. Ordnung, die wir wie folgt kennzeichnen: Partielle Ableitung nach x:
u^,
/v,
du ;— ox
oder
9/ —ox
Partielle Ableitung nach y:
Uy,
fy,
ew — dy
oder
8/ dy
Partielle Ableitung nach z:
u^,
L,
—oz
oder
^— oz
du
a/
Von einer Funktion y ==/(xi; X2; ...;x„) mit n unabhangigen Variablen konnen entsprechend n partielle Ableitungen 1. Ordnung gebildet werden. Wir kennzeichnen sie durch die Symbole y
f ^
^
dy -^ Sxfc
Oder
df -^ oxfc
(/c = 1,2,..., n)
(IV-21)
2 Partielle Differentiation
293
Wir fassen zusammen:
Anmerkungen (1) Die partielle Differentiation wird somit auf die gewohnliche Differentiation, d.h. auf die Differentiation einer Funktion von einer Variablen zuriickgefiihrt. Die Ableitungsregeln sind daher die gleichen wie bei den Funktionen von einer Variablen. So lautet beispielsweise die Produktregel bei zwei unabhangigen Variablen, d.h. fiir eine Funktion vom Typ z = ^fix; y) = ui{x; y) • V(x; y)
u•V
(IV-22)
ie folgt: dz dx
dx
du dx du
dz ~dy
dv •u ox dv u dy
z^ = u^v -{- v^u Oder
(IV-23) Zy = UyV -\- VyU
(2)
Das partielle Differenzieren erfordert viel Ubung und besondere Konzentration. Voraussetzung ist ferner, daB die gewohnlichen Ableitungsregeln (insbesondere die Kettenregell) sicker beherrscht werden. Erleichtern Sie sich (zumindest am Anfang) die Arbeit z. B. dadurch, daB Sie die Differentiationsvariable farbig unterstreichen.
(3)
Bei einer Funktion von einer Variablen besteht kein Unterschied zwischen der gewohnlichen und der partiellen Ableitung. Wir verwenden hier nach wie vor die dy „alten" Symbole, also y' oder f'{x) oder -— fur die Ableitung von y=f{x) nach der Variablen x.
Wir zeigen jetzt an einigen einfachen Beispielen, wie man die aus Band 1 bekannten Ableitungsregeln fur „gewohnliche" Funktionen beim partiellen Differenzieren anwendet.
294 •
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen Beispiele (1)
RT Wir differenzieren die Zustandsgleichung des idealen Gases p = p{V;T) = partiell nach V bzw. T:
dp _ d (RT\_
(2)
RT
dp _ d
fRT\_R
y) = x^y^ + e^ • cos y+lOxly^ + 3 9z 9z Die partiellen Ableitungen -— und — werden nach der Summenregel gebilox oy det {gliedweise Differentiation nach x bzw. y):
z=f{x;
dz
.
— = 2xy^ + e^ • COS); + 10 ox 9z ^ ^ — = 4x'^y^ — Q^ ' siny ~ 4y dy (3)
z = f{x; y) = xy-^ • (sin x + sin y) u
V
dz dz Wir bilden die partiellen Ableitungen —- und — mit Hilfe der Produktregel und erhalten: — = u^v -\- v^u = y^ • (sm x + sm y) + xv^ • cos x 8x .
dz
^
— = u^v -\- v^u = 2xy ' (sinx + siny) + xy^ • cos y dy ^ ^ (4)
z=f{x;y)
= ln{x + y^)
Wir fiihren zunachst die „Hilfsvariable" u = x-\-y'^ ein, erhalten die „au6ere" Funktion z = \nu und wenden dann die Kettenregel an: dz )x
dz du _1 du dx u
3z 9y
9z du 9w 8y
1 w
_
1 X + y^ 2y X + y-^
(5) z =:/(x; y) = ln(x + y^) - e^^^^ + 3x Unter Verwendung von Summen- und Kettenregel bestimmen wir die partiellen Ableitungen z^ und Zy und ihre Werte an den Stellen (x; y) = (0; 1) und { x ; y ) - ( l : - 3 ) :
2 Partielle Differentiation
295
^x(^; y) = ^
[In {X + y^) - e^-3^ + 3x] = ^
-
- 2y • t^^y + 3
z rx; y) = ; ^ [In {x + j;^) - e^^^ + 3x] = - ^ ^ - 2x • e^^^^ ^
(6)
^y
x^-y^
z^(0;l) = 2,
z,(0;l) = 2
z^(l; - 3 ) = 3,115,
z^(l; - 3 ) = -0,605
Die Funktion u = u[x\ y\ z) = 2x - Q^^ ^- V-^^ +3/^ + 2^ ist partiell nach der Variablen j ; zu differenzieren. Die unabhangigen Variablen x und z werden bei der Bildung der partiellen Ableitung nach y als Konstanten behandelt. Wir erhalten unter Verwendung von Summen- und Kettenregel: u=:—[2x'Qy^^ ^^
(7)
V x ^ + y^ + z^] = 2xz-e>^^ + V x 2 + 3 ; 2 + z2
Wir bilden die partiellen Ableitungen 1. Ordnung der Funktion u = f{x; y; z) = sin {x — y) • cos {z -^ 2y) und berechnen ihre Werte an der Stelle x = 7i, y = 0, z = 7r:
e . w^ (x; y; z) = — [sm {x — y) - cos (z + 2 y)] = cos {x — y) - cos (z + 2 3;) (unter Verwendung der Kettenregel) 6 w^(x; _y; z) = ^ [sin (x — j;) • cos (z + 2 y)] = = — cos {x — y)' cos (z + 2 y) — 2 • sin (z + 2 };) • sin (x — y) (unter Verwendung der Produkt- und der Kettenregel) 6 w^(x; y; z) = ^ [sm (x — };) • cos (z + 23;)] == - sin {x — y)- sin (z -h2y) oz (unter Verwendung der Kettenregel) u^{7i; 0; 7i) = cos n • cos n = 1 Uy (TT; 0;
TT)
= — cos n • cos TT — 2 • sin TT • sin TT = — 1
u^ (71; 0; 7i) = — sin TT • sin 71 = 0
296
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen
2.2 Partielle Ableitungen hoherer Ordnung Auf partielle Ableitungen hoherer Ordnung stoBt man, wenn man eine Funktion von mehreren unabhangigen Variablen mehrmals nacheinander partiell differenziert. So erhalt man beispielsweise aus einer von zwei Variablen abhangigen Funktion z = f{x\ y) nach dem folgenden Schema der Reihe nach zwei partielle Ableitungen 1. Ordnung, vier partielle Ableitungen 2. Ordnung und schlieBHch acht partielle Ableitungen 3. Ordnung:
1. Ordnung fxx JXXX
fxy Jxxy
Jxyx
fyx Jxyy
Jyxx
2. Ordnung
fyy Jyxy
-Jyyx
Jyyy
•^' v^ranung
Zur Symbolik (1)
Die einzelnen Differentiationsschritte sind grundsdtzlich in der Reihenfolge, in der die als Indizes angehangten Differentiationsvariablen im Ableitungssymbol auftreten, auszufiihren (von links nach rechts gelesen). Beispiel: Die partielle Ableitung f^y wird gebildet, indem man die Funktion z = f{x; y) zundchst nach der Variablen x und anschliefiend nach der Variablen y differenziert. Unter bestimmten Voraussetzungen jedoch ist bei einer „gemischten" partiellen Ableitung die Reihenfolge der Differentiationen vertauschbar (vgl. hierzu den nachfolgenden Satz von Schwarz). Eine „gemischte" partielle Ableitung hegt dabei vor, wenn nicht nur nach ein- und derselben Variablen differenziert wurde. Beispiel: f^y und fyy. sind gemischte partielle Ableitungen 2. Ordnung, f^^y und fyxy gemischte partielle Ableitungen 3. Ordnung.
(2)
Die Ordnung einer partiellen Ableitung entspricht der Anzahl der Indizes, d.h. der Anzahl der angehangten Differentiationsvariablen. Beispiel: f^y ist eine partielle Ableitung 2. Ordnung, f^y^ eine partielle Ableitung 3. Ordnung.
(3)
Partielle Ableitungen hoherer Ordnung lassen sich auch in Form partieller Differentialquotienten darstellen. So lautet beispielsweise die Schreibweise fiir partielle Differentialquotienten 2. Ordnung wie folgt:
_ 8 fdf\_d^f^ JXX \ ^TT I ~ '^ '''' ~ ^TT dx\dxj 8 x 92''
^^
_ 8 / 9 / \ _ 8V dy\dx) 8x8^'
Jyx ^y^ ~
^^
8 fdf\^
eV
dx\dyj
dydx
_ Q ^y\^yj
(^f\_^^f ^y
Ein Beispiel fur einen partiellen Differentialquotienten 3. Ordnung: f^y^ =
dxdydx
2 Partielle Differentiation
297
Unter bestimmten Voraussetzungen, auf die wir im Rahmen dieser Darstellung nur fliichtig eingehen konnen, ist bei den ,,gemischten" partiellen Ableitungen die Reihenfolge der Differentiationen vertauschbar. Sind namlich die partiellen Ableitungen fc-ter Ordnung stetige Funktionen, so gilt der folgende Satz von Schwarz:
Anmerkungen (1)
Der Satz von Schwarz setzt also die Stetigkeit der partiellen Ableitungen /c-ter Ordnung voraus. Anschaulich (aber etwas unprazise) laBt sich die Stetigkeit einer Funktion z = f{x; y) an der Stelle (XQ; yo) wie folgt erklaren: Der Funktionswert f{x;y) unterscheidet sich heliehig wenig von / ( X Q ; y^), wenn (x; y) nur geniigend nahe an der Stelle (XQ; yo) liegt. Wir verweisen den naher interessierten Leser auf die einschlagige mathematische Literatur (s. Literaturverzeichnis).
(2)
Fiir die in den Anwendungen benotigten Funktionen ist der Satz von Schwarz in der Regel gultig.
(3)
Der Satz von Schwarz bedeutet in der Praxis einen nicht unbedeutenden Zeit- und Arbeitsgewinn, da er die Anzahl der verschiedenen partiellen Ableitungen erheblich reduziert.
(4)
Fiir die gemischten partiellen Ableitungen 2. bzw. 3. Ordnung einer Funktion z = f{x; y) gilt somit unter den Voraussetzungen des Satzes von Schwarz: Jxy ~~ Jyx (IV-24) Jxxy ~ Jyxx ~ Jxyx •> Jyyx ~ Jxyy ~ Jyxy
Die Anzahl der (verschiedenen) partiellen Ableitungen 2. bzw. 3. Ordnung reduziert sich damit von vier auf drei bzw. von acht auf vier Ableitungen: 2. Ordnung: J. Uranung.
f^x^fxyJyy Jxxx-> Jxxy' Jxyy'
Jyyy
298
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen Beispiele (1)
Wir zeigen, daB die gemischten partiellen Ableitungen 2. Ordnung der Funktion z = In (x^ -\- y) miteinander iibereinstimmen:
a z^ = — [\n{x^+y)] = -, ^^^ " 8y x^-\-y Sx 8 Zy=^[\n{x^
^
1 + y)] = — x"- -^y
2x
~|
2x (x2 + >,)2
_^^ +3^ J
1 8 ^^" " 8x _^^ +y_
2x
2x ^xy
(2)
,,,2
2yx
_L
„^2
(x^ + y)^
X—y
Man bestimme fiir die Funktion z = bis zur 3. Ordnung. ^
sdmtliche partiellen Ableitungen
^
Losung: 2y ^:x - (X
^xx
7.
2x
+ yf'
(x+yy
Ay 3' (x + y)3
2x — 2y ^xy ~~ ^yx ~~
(x^y)'^
v3'
ny {x + y)
yy
''
= •
(x + );)3
- 4 x + ^y 4'
^xxy
^yxx
^xyx
~ '
12x
•^x -\- 4y
(^ + y) (3)
4x z
4
'
yyy
(x + yY
Bild IV-25 zeigt die Momentanaufnahme einer mechanischen Transversalwelle, die sich im Laufe der Zeit t in der x-Richtung ausbreitet und durch die Gleichung y = ^ • sin
'2n
{ct — x)
beschreiben laBt. Dabei bedeuten: y: Auslenkung oder Elongation eines schwingenden Teilchens am Ort x in Abhangigkeit von der Zeit t (alle Teilchen schwingen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung x) A: Amplitude {maximale Auslenkung) c: Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle A: Wellenldnge (Entfernung zweier benachbarter Teilchen, die sich in jedem Zeitpunkt im gleichen Schwingungszustand befmden, d,h. „synchron" schwingen)
2 Partielle Differentiation
299
Bild IV-25 Momentanaufnahme einer mechanischen Transversalwelle Die Ausbreitung der eindimensionalen Welle wird in Bild IV-26 in verschiedenen Phasen verdeutlicht.
Bild IV-26 Ausbreitung einer (eindimensionalen) Transversalwelle (ti
t^)
300
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen DieAuslenkung y istalsovom Ort x wnJderZeit t abhangig: y = y{x;t), Wir wollen jetzt zeigen, daB zwischen den beiden reinen Ableitungen 2. Ordnung dieser Funktion eine bestimmte Beziehung besteht. Wir bilden daher die d^y d^y benotigten Ableitungen — - und —~: / = ^ - — • ( - ! ) • cos ox I 9-^y
2?!^
An'
In
InA
T l)(-l)-sin
^ • sin
2%
IncA
2nc
An"-
4n^c^
IncA X
(-l)sin
A • sin
{ct — x)
~2n^ -ict-.
{ct
9y Inc In — = v4 — - - • cos (ct dt X ^^y
2n COS
2n
2n ,
In cos
[ct — x)
{ct 4n^c^
Die letzte Gleichung laBt sich noch wie folgt umschreiben: ^y
2
4n^
'72
y} = ''-h^ dx'
d^y d^y d^y Somit besteht zwischen den partiellen Ableitungen —~ und — - die folgende wichtige Beziehung: d^y
d^y = c'
Diese Gleichung beschreibt nicht nur die Ausbreitung einer mechanischen Transversalwelle, sondern gilt auch fiir elektromagnetische Transversalwellen und auch fur Longitudinalwellen (z.B. Schallwellen). Sie heiBt daher zu Recht Wellengleichung (einer eindimensionalen Welle).
2 Partielle Differentiation (4)
301
Wir bestimmen die partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung der Funktion / ( x ; y; z) = e^~^ • cos(5z). Sie lauten wie folgt: f, =
c^-y-cos{5z)
fy= - e ^ - ^ - 0 0 8 ( 5 2) / , = -5-e--3^-sin(5z) f,, = e--y-cos
(5 z)
fyy = e^">^-008(5 2) f^^=
- 25-e-^-^-008(5 2)
fxy=fyx=
-e^~>'-COS(5 2)
/ x z = / z x - - 5-e^-^-sin (52) / , z = / z , = 5-e--3^-8in(5 2)
^
2,3 Das totale oder voUstandige Differential einer Funktion 2.3.1 Geometrische Betrachtungen Die Rolle, die die Kurventangente bei einer Funktion von einer Variablen 8pielt, libernimmt bei einer Funktion z = f{x; y) von zwei Variablen die 80g. Tangentialebene. Sie enthalt sdmtliche im Flachenpunkt P = {XQ; yQ; ZQ) an die Bildflache von z = f{x; y) angelegten Tangenten (Bild IV-27). In der unmittelbaren Umgebung ihre8 Beriihrungspunkte8 P be8itzen Flache und Tangentialebene i.a. keinen weiteren gemein8amen Punkt.
Bild IV-27 Tangentialebene an die Flache z = f{x; y) im Flachenpunkt P = {XQI yo''> ^o)
302
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen
Wir wollen nun die Funktionsgleichung dieser Tangentialebene herleiten, die wir in der linearen Form (IV-25)
z = ax-i-by-{-c
ansetzen durfen^^. Die unbekannten Koeffizienten a, b und c bestimmen wir aus den bekannten Eigenschaften der Tangentialebene. So besitzen Flache und Tangentialebene im Beriihrungspunkt P den gleichen Anstieg. Dies aber bedeutet, daB dort die entsprechenden partiellen Ableitungen 1. Ordnung ubereinstimmen miissen. Die Ableitungen der linearen Funktion (Tangentialebene) sind z^{x; y) = a und Zy{x; y) = b, die der Funktion z = f{x; y) lauten z^(x; y) = fxi^l y) und Zy{x; y) =fy{x;y). An dQY Beruhrungsstelle {XQ; yo) gilt demnach: ^ = fxi^o'^ yo)^
b=fy{xo;yo)
(IV-26)
Damit sind die Koeffizienten a und b bereits bestimmt. Beachtet man noch, daB P ein gemeinsamer Punkt von Flache und Tangentialebene ist, so erhalt man durch Einsetzen der Koordinaten von P in die Gleichung der Tangentialebene die folgende Bestimmungsgleichung und Losung fur den (noch unbekannten) Koeffizienten c: ZQ = axQ + byQ + c =^ c = ZQ — QXQ — byQ
(IV-27)
Diesen Ausdruck setzen wir nun fiir c in den Ansatz (IV-25) fiir die gesuchte Tangentialebene ein: z = ax -\- by -{- c = ax -\- by -^ ZQ — ax^ — byQ = = a{x-XQ)-^b{y-yQ)
+ ZQ
(IV-28)
Unter Berucksichtigung von (IV-26) erhalten wir damit die folgende Darstellung fur die Funktionsgleichung der Tangentialebene:
z=fxi^o'-> yo)' (^ - ^o)-^fyi^oi yo)' (y - yo) + ^o
(iv-29)
Oder (in symmetrischer Schreibweise):
^ - ^0 =fxi^o'^ yo)' (^ - ^0) + /y(^o; yo) • (y - yo)
Nach Abschnitt 1.2.3.1 wird eine Ebene durch eine lineare Funktion beschrieben.
(iv-30)
2 Partielle Differentiation •
303
Beispiele (1)
Wir bestimmen die Gleichung der Tangentialebene an die Bildflache von z =f{x; y) = x^ -^ y^ im Flachenpunkt P = (1; 1; 2):
fyix;y) = 2y ^ / ^ ( 1 ; 1 ) = 2 Die Gleichung der gesuchten Tangentialebene lautet damit nach Gleichung (IV-31): z-2 (2)
Oder z = 2x +
= 2{x-l)-^2{y-l)
2y-2
Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene im Flachenpunkt P = (1; 0; 1) der Flache z = f {x; y) = x-^ - e^^l Losung: Wir berechnen zunachst die benotigten partiellen Ableitungen 1. Ordnung an der Stelle {x;y) = {l;0): f^{x- y) = 2x-Q''y + x^yQ''y fy{x',y)
= x^-X'Q''y
/,(1;0) = 2,
= x^
= {2x + x^y)- e^>'
'Q'^y
/,(1;0) = 1
Die Gleichung der gesuchten Tangentialebene lautet dann nach Formel (IV-31): z -1 =2{x-l)-\-l{y
-0)
Oder z = 2x-\-
y-1 •
2.3.2 Definition des totalen oder vollstandigen Differentials Wir beschaftigen uns nun mit dem totalen oder vollstandigen Differential einer Funktion, das in den naturwissenschaftlich-technischen Disziplinen vielfaltige Anwendungsmoghchkeiten bietet und beispielsweise bei der Losung der folgenden Probleme verwendet wird: — Linearisierung einer Funktion (eines Kennlinienfeldes) — Implizite Differentiation — Fehlerfortpflanzung Bei unseren weiteren Uberlegungen gehen wir dabei zunachst von einer Funktion ^ = fi^'^ y) vonzwd unabhangigen Variablen aus. P = (XQ; J^Q; ZQ) mit ZQ = /{XQ; JQ) sei ein Punkt auf der zugehorigen Bildflache, T die in P errichtete Tangentialebene (Bild IV-28). Die Problemstellung lautet dann: Welche Anderung erfahrt der Funktionswert, d.h. die Hohenkoordinate z des Flachenpunktes P bei einer Verschiebung dieses Punktes — auf der Flache selbst, — auf der zugehorigen Tangentialebene^
304
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen
Verschiebungen auf der Flache Die bei einer Verschiebung auf der Flache eintretenden Koordinatenanderungen, bezogen auf den Beriihrungspunkt P, bezeichnen wir der Reihe nach mit Ax, Ay und Az. Der Punkt P wird nun so auf der Flache verschoben, daB sich seine beiden unabhdngigen Koordinaten x und y um Ax bzw. Ay andern. Dabei andert sich die Hohenkoordinate z, d.h. der Funktionswert um Az=f{xo + Ax; ^0 + Ay)-f(xo; yo)
(IV-32)
Diese GroBe beschreibt somit den Zuwachs der Hohenkoordinate und damit des Funktionswertes bei einer Verschiebung auf der Flache. Der Punkt P ist dabei in den Punkt Q gewandert (Bild IV-28):
p = (^o; ^o; ^o) ^ 6 = (^0 + ^^; ^o + ^y; ^o + ^^)
(iv-33)
Bild IV-28 Zum Begriff des totalen oder voUstandigen Differentials einer Funktion z = /{x; y)
Verschiebungen auf der Tangentialebene Die mit einer Verschiebung auf der Tangentialebene T verbundenen Koordinatenanderungen (bezogen auf den Punkt P) bezeichnen wir jetzt der Reihe nach mit dx, dy und dz. Dabei soil der Punkt P so auf der Tangentialebene verschoben werden, daB sich seine beiden unabhdngigen Koordinaten wiederum um Ax bzw. Ay andern, d.h. wir setzen dx = Ax und dy = Ay
(IV-34)
2 Partielle Differentiation
305
Die Anderung der Hohenkoordinate von P laBt sich dann leicht aus der Funktionsgleichung der Tangentialebene T berechnen. Wir setzen dazu in Gleichung (IV-31) X — XQ = dx,
y — yo = ^y
^^^
z — ZQ = dz
(IV-35)
und erhalten dz = fx {XQ ; yo) dx + fy (XQ ; yo) dy
(IV-36)
Diese GroBe beschreibt den Zuwachs der Hohenkoordinate z bei einer Verschiebung auf der Tangentialebene. Der Punkt P ist dabei in den Punkt Q\ der zwar auf der Tangentialebene, i.a. aber nicht mehr auf der Flache liegt, gewandert: P = (^o; yol ^o) -^ Q' = (^0 + dx; yo + dy; ZQ + dz)
(IV-37)
Es ist somit Ax = dx und Ay = dy, aber Az ^ dz. Bei geringfugigen Verschiebungen, d.h. fiir kleine Werte von dx = Ax und dy = Ay gilt dann ndherungsweise: Az ^ dz=f^{xo;
yo) Ax-\-fy{xo; yo) ^y
(IV-38)
Man darf unter diesen Voraussetzungen die Flache z = f{x; y) in der unmittelbaren Umgebung des Beriihrungspunktes P durch die zugehorige Tangentialebene ersetzen. Von dieser Ndherung werden wir in den Anwendungen bei der Linearisierung von Funktionen und Kennlinienfeldern (Abschnitt 2.5.2) sowie bei der Fehlerfortpflanzung (Abschnitt 2.5.5) Gebrauch machen. Fiir den Zuwachs dz der Hohenkoordinate z auf der Tangentialebene fiihren wir nun eine neue Bezeichnung ein:
Das totale Differential besitzt somit die folgende geometrische Bedeutung:
306
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen
Anmerkung Die Koordinatenanderungen dx, dy und dz sind die Relativkoordinaten eines auf der Tangentialebene gelegenen Punktes beziiglich des Beruhrungspunktes P = (XQ; yQi ZQ). Der Begriff eines totalen oder vollstdndigen Differentials laBt sich ohne Schwierigkeiten auch auf Funktionen von mehr ah zwei unabhangigen Variablen iibertragen. Wir definieren:
Anmerkungen (1) Das totale Differential hangt noch von den n Variablen Xi,X2,...,x„ und den n zugehorigen Differentialen Jx^, Jx2, ...,^x„ ab. (2)
Das totale Differential einer Funktion beschreibt ndherungsweise, wie sich der Funktionswert bei geringfUgigen Veranderungen der unabhangigen Variablen um dxi = Axi (/ = 1, 2,..., n) andert. Es gilt dann: Ay^dy
= A^ Axi +/^^Ax2 + ... +/,^Ax„
(IV-42)
(3)
Fine geometrische Deutung des totalen Differentials ist bei Funktionen von mehr als zwei unabhangigen Variablen nicht mehr moghch.
•
Beispiele RT (1)
Fin ideales Gas genugt der Zustandsgleichung p{V; T) = Das totale Differential dieser Funktion lautet somit: dp dp = -^dV
dp + -^dT=
RT ---dV
(fur 1 Mol).
R^ + -dT
Fs beschreibt ndherungsweise die Anderung des Gasdruckes p bei einer geringfUgigen Volumen- und Temperaturanderung um dV = AV bzw. dT = AT. (2)
z = / ( x ; y) = 4x^-3xy^-{-X'Qy Man berechne den Zuwachs der Hohenkoordinate z auf der zugehorigen Bildfldche bzw. auf der Tangentialebene an der Stelle x = 1, y = 0 fiir die Koordinatenanderungen ^x = Ax = — 0,1 und dy = Ay = 0,2.
2 Partielle Differentiation
307
Losung: Zuwachs \z
auf der Bildflache
x = l, y = 0 -^ x = l - 0 , l = 0,9, y = 0 + 0,2 = 0,2 Az = /(0,9; 0,2) - / ( I ; 0) = 4,23 - 5 = - 0,77 Zuwachs dz auf der Tangentialebene Fur die Berechnung des totalen Differentials dz benotigen wir zunachst die partiellen Ableitungen 1. Ordnung. Sie lauten: f^{x;y)
+ e^, fy{x; y) = -6xy
= Sx-3y^
+ x-Qy
An der Stelle x = 1, y = 0 gilt dann: /,(1;0) = 9, /3,{1;0) = 1 Damit ist dz =/-,(!; 0) dx+fy{l;
0)dy = 9- (-0,1) + 1 • (0,2) = - 0,7
Geometrische Interpretation Der Stelle x = l, y = 0 entspricht z = / ( l ; 0 ) = 5 und damit der Fldchenpunkt P = (1; 0; 5). Die Koordinatenanderungen dx = Ax = — 0,1 und dy = Ay = 0,2 beschreiben eine Verschiebung des Punktes P auf der Fldche bzw. auf der in P errichteten Tangentialebene. Dabei verliert der Punkt P in beiden Fallen an Hohe. Seine neue Lage ist Q bzw. Q':
P = {U0;5)
i^ = (l;0;5)
(3)
Verschiebung auf
.
e = (0,9; 0,2;4,23)
Verschiebung auf --^/^ ) der Tangentialebene
G' = (0,9; 0,2; 4,3)
I
der Flache
Das totale Differential der Funktion u{x', y, z) = x • In z + sin (xy) + 2 lautet: du = u^dx -\- Uy dy -\- u^ dz = X
= [In z + _y • cos {xy)] dx + x - cos {xy) dy -\— dz z
lA Differentiation nach einem Parameter (Kettenregel) Wir beschaftigen uns in diesem Abschnitt mit Funktionen von zwei (oder mehr) unabhangigen Variablen, die selbst noch von einem oder sogar zwei Parametern abhangen. Insbesondere interessieren uns dabei die Ableitungen dieser Funktionen nach den Parametern.
308
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen
2.4.1 Kettenregel fiir Funktionen mit einem Parameter Wir gehen aus von einer Funktion z = f{x; y) der beiden unabhangigen Variablen x und y, die beide noch von einer weiteren Variablen t, Parameter genannt, abhangen sollen: x = x{t),
y = y{t)
{t^^t^t2)
(IV-43)
Durch Einsetzen dieser Parametergleichungen in die Funktionsgleichung z = f{x; y) erhalten wir die nur noch vom Parameter t abhangige Funktion z=f{xit);y{t))
(IV-44)
= F{t)
Sie wird als eine zusammengesetzte, verkettete oder mittelbare Funktion dieses Parameters dz bezeichnet. Ihre Ableitung z = — = F{t) erhalt man nach der folgenden, als Kettenregel bezeichneten Vorschrift: ,^^, ,^, (IV-45)
dz dz dx dz dy —= —+^ •— dt dx dt dy dt Oder in Kurzschreibweise:
(IV-46)
z = z^x i- Zyy
Formal laBt sich die Kettenregel aus dem totalen Differential dz der Funktion z = f[x',y) herleiten, wenn man dieses durch das Differential dt dividiert: dz = ^— dx ^- —- dy ox dy d^^d^dx^d^ dt dx dt
dt
dy dy dt
Wir fassen die Ergebnisse wie folgt zusammen:
^j^_^^^
2 Partielle Differentiation
309
Anmerkungen (1) Eine haufig verwendete Kurzschreibweise fiir die Kettenregel (IV-50) lautet: z = F{t) = z^x-^ Zyy
(IV-51)
(2)
Die Differenzierbarkeit der beteiligten Funktionen z=f(x;y), y = yit) muB dabei vorausgesetzt werden.
(3)
Die Kettenregel (IV-50) laBt sich sinngemaB auch auf Funktionen von mehr als zwei unabhangigen Variablen ubertragen. Sie lautet z.B. fur eine Funktion u = f{x; y; z) der ^rd unabhangigen Variablen x, y und z, die jeweils noch von einem Parameter t abhangen {x = x{t), y = y{t), z = z(t)), wie folgt:
(4)
(5)
x = x(t) und
du du dx du dy du dz —= . 1 .-rl-j .— (IV-52) dt dx dt dy dt dz dt Die Kettenregel fur Funktionen mit einem Parameter ist die Erweiterung der bereits aus Band 1, Abschnitt IV.2.5 bekannten Kettenregel fur gewohnliche Funktionen auf solche mit mehreren Variablen. Wir konnen die in der Kettenregel (IV-50) auftretenden Ableitungen auch wie folgt zu ,,Ableitungsvektoren'' zusammenfassen:
ZyJ
^/
,,Aufiere Ableitung" (die Komponenten sind die partiellen Ableitungen der „auBeren" Funktion z = f{x; y))
Jnnere Ableitung" (die Komponenten sind die Ableitungen : der beiden „inneren" Funktionen x = x{t) und y = y{t) nach dem Parameter t)
Die gesuchte Ableitung ist dann das skalare Produkt aus der „auBeren" und der „inneren" Ableitung!
310 (6)
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen Die Parametergleichungen x = x{t), y = y{t) definieren bekanntlich eine Kurve C in der x, y-Ebene (Bild IV-29). Die mittelbare oder verkettete Funktion z = F{t) beschreibt dann die Abhangigkeit der Hohenkoordinate z vom Kurvenp a r a m e t e r t, die Ableitung z = F{t) die Anderungsgeschwindigkeit
diQSQY Hohcn-
koordinate langs der Kurve (wiederum in Abhangigkeit von t). Man spricht daher in diesem Z u s a m m e n h a n g a u c h v o n der Ableitung der Kurve C.
der Funktion
z = f{x; y) Idngs
Bild IV-29 Parameterdarstellung einer ebenen Kurve C:x = x(t), y = yit), ti^t^t2
(7)
Bin Sonderfall tritt ein, wenn eine der beiden unabhangigen Variablen selbst als Kurvenparameter auftritt. 1st z.B. x der Kurvenparameter, so lautet die Parameterdarstellung X = X, y = y{x), und die Funktion z =f{x; y) geht dabei iiber in die von x abhangige Funktion z = f{x; y{x)) = F{x). Die Ableitung dieser Funktion nach dem Parameter x lautet dann nach der Kettenregel wie folgt: z = z^'l-{-Zyy
(IV-53)
= z^ + Zyy
Sie wird a u c h als totale Ableitung
der F u n k t i o n z =f{x;
y{x)) = F{x) bezeichnet.
Beispiele (1)
z=f{x]y)
= x^y + y^
mit
x = x{t) = t^, y = y{t)
Wir bilden zunachst die benotigten Ableitungen: dz ^— = 2xy, ox
d_y dz ^ J dx ^— = x^-\-3y^, -— = 2t. = e' dt oy at
2 Partielle Differentiation
311
Fiir die gesuchte Ableitung von z nach dem Parameter t folgt dann mit Hilfe der Kettenregel (IV-50): dz dt
dz dx dx dt
o
dz dy dy dt
o ^
*
= 2^2 • e^ • 2f + (r^ + 3 • e^O • e^ = (4?^ + r^ + 3 • e^O • e' Zu diesem Ergebnis gelangen wir naturlich auch, wenn wir zunachst die Parametergleichungen in die gegebene Funktion einsetzen und diese dann nach dem Parameter t differenzieren: z = x^y + y^ = r"^ • e^ + e^^ = F{t) dz = F{t) = 4r3 • e^ + t^ • e^ + 3 • e^^ = (4r3 + t^ + 3 • e^^ • e^ dt (2)
Wir interessieren uns fiir die Ableitung der Funktion z = f{x; y) = {x — y)^ langs des in Bild IV-30 skizzierten Kreises:
Parametergleichungen: X = 2 ' cos t y = 2- sint {0^t<2n)
Bild IV-30
Dazu benotigen wir die Ableitungen z^, Zy, x und y. Sie lauten:
z^ = 2{x-y), X = — 2 ' sint,
Zy=
-2{x-y)
y = 2 ' cos t
312
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen Mit Hilfe der Kettenregel (IV-50) folgt dann: z = z^x -\- Zy y = 2{x — y) {— 2 • sin t) — 2{x — y) {2 ' cos t) = = — 4{x — y) (sin t + cos t) = = — 4 (2 • cos ^ — 2 • sin r) (sin t + cos t) = = — 8 (cos t — sin t) (sin t + cos t) = = - 8 (cos^ t - sin^ r) = 8 (sin^ t - cos^ t) So besitzt z.B. die Ableitung an der Stelle t = n/3 den folgenden Wert: z{t = n/3) = 4 (3)
Eines der vier Grundgesetze der Newtonschen Mechanik lautet: Die Kraft F ist die zeitliche Anderung des Impulses p = mv, also dp
d
F=- = - ( M Bei einer konstant bleibenden Masse m = const, erhalt man hieraus das bekannte physikalische Gesetz dp d ^ ^ dv F = — = — (mv) = m-— = mv = ma dt dt dt („Kraft F gleich Masse m mal Beschleunigung a"). Es gibt aber auch Vorgange, bei denen sich die Masse mit der Zeit verdndert. So verliert beispielsweise eine Rakete oder ein Satellit wahrend der Antriebsphase durch Verbrennungsvorgange laufend an Masse. In der Funktion p = mv sind dann m und v als zeitabhdngige GroBen zu betrachten. Dann aber gilt nach der Kettenregel (IV-50) fur die Kraft: dp dt
dp dm cm dt
dp dv ov dt
dm dt
dv dt
oder F = vm -\- mv = mv -\- ma Fiir m = 0, d.h. m = const, erhalten wir daraus wiederum das bekannte Gesetz F = ma.
2 Partielle Differentiation (4)
313
Wir bestimmen die Ableitung der Funktion z = sin {x + y) an der Stelle X = 1 der Normalparabel y = x-^ (Bild IV-31):
Parametergleichungen der Normalparabel: X = X,
y = x'^
(— 00 < X < (X))
Bild IV-31
Fiir die benotigten Ableitungen z^, Zy, x und y erhalten wir: z^ = cos (x + y), Zy = cos{x -\- y), x = 1, y = 2x Die Funktion z = f {x; y) = sin {x -\- y) besitzt daher in den Parabelpunkten die folgende Ableitung nach dem Parameter t = x: z{x) = z^x -\- Zyy = [cos (x + y)]- 1 -\- [cos {x -\- y)]- 2x = = (1 + 2x) • cos (x + y) = (1 + 2x) • cos (x + x^) Im Parabelpunkt P = (1; 1) gilt dann: z{P) = z{x = l)= - 1,2484
2.4.2 Kettenregel fiir Funktionen mit zwei Parametern Die unabhangigen Variablen x und y der Funktion z=f{x;y) zwei Parametern u und v abhangen: X = x{u; v), y = y{u; v)
{ui ^u ^ U2\ v^^v
sollen diesmal von
^ V'2).
(IV-54)
Wir erhalten dann die zusammengesetzte, verkettete oder mittelbare Funktion z=f{x{u;v);
y{u;v)) = F{u;v)
der beiden unabhangigen Parameter u und v.
(IV-55)
314
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen
Die partiellen Ableitungen l.Ordnung dieser Funktion nach den Parametern u bzw. V lassen sich dabei mit Hilfe der folgenden Kettenregel bilden: dz du
dz dx dx du
dz dy dy du
dz dv
dz dx dx dv
dz dy dy dv
(IV-56)
Formal erhalt man diese Ableitungsformeln wiederum aus dem totalen Differential dz der Funktion z = f(x; y), indem man dieses Differential der Reihe nach durch die Differential du und dv dividiert. Wir fassen wie folgt zusammen:
Anmerkungen (1) Auch die folgende Kurzschreibweise fiir die Kettenregel (IV-59) ist ublich:
315
2 Partielle Differentiation (2)
Vorausgesetzt wird, daB die an der Kettenregel beteiligten Funktionen z = f{x; y), X = x{u;v) und y = y{u;v) differenzierhar sind.
(3)
Die Kettenregel (IV-59) laBt sich sinngemaB auch auf Funktionen von drei und mehr unabhangigen Variablen iibertragen.
(4)
Wir konnen die in der Kettenregel (IV-59) auftretenden Ableitungen wiederum wie folgt zu ,,Ableitungsvektoren'' zusammenfassen: ,,Aufiere Ahleitung" (die Komponenten sind die partiellen Ableitungen 1. Ordnung der „auBeren" Funktion z=f{x;y))
,Jnnere Ableitungen'' (die Komponenten sind die partiellen Ableitungen 1. Ordnung der beiden „inneren" Funktionen X = x{u;v) und y = y{u; v) nach dem Parameter u bzw. v)
Die gesuchte partielle Ableitung ist dann das skalare Produkt aus der „auBeren" und der (entsprechenden) „inneren" Ableitung!
Beispiele (1)
z = f {x; y) = c^ • cos {x — y) mit x = x{u; v) = u -\- v-^, y = y{u; v) = u — v-^ dz —. Die dadv dz dz dx dx dy , ^y , —-, —-, —-, ^—, ;— und - - lauten: ox 03; on ov ou ov
Wir interessieren uns fur die partiellen Ableitungen , . , . . . ,, , . bei benotigten Ableitungen
dx
dz — du
und
= e^ • cos {x — y) — e^ ' sin {x — y) = Q^ [cos {x — y) — sin (x — y)]
dz = e^ • sin(x — y) dy dx dx dy , = 1 , ^ = 2i;, ^=1, ou ov du
dy -^= dv
-2v
316
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen 9z 9z Fiir die gesuchten partiellen Ableitungen — und — erhalten wir dann mit Hilfe der Kettenregel (IV-59): ^" ^^ dz du
dz 5x dx Qu
8z dy dy du
= e^ [cos {x — y) — sin (x — y)] • 1 + e^ • sin {x — y) • 1 = = Q^ ' cos{x — y) = Q^^^ •cos(2i;^) dz dv
dz dx dx dv
dz dy dy dv
= e^ [cos {x — y) — sin{x — y)]- 2v -\- Q^ ' sm{x — y) • {—2v) = = 2v' Q^ [cos {x — y) — 2' sin (x — y)] = = 2v' e" + ^' [cos {2v^) - 2 • sin (2^^)] Wir gelangen zu dem gleichen Ergebnis, wenn wir zunachst die Parametergleichungen in die gegebene Funktion einsetzen und diese dann nach dem Parameter u bzw. v partiell differenzieren: z = e^ • cos (x — y) = e""^^ cos {2v'^) = F{u; v) dz
du
= e" + ^'-cos(2i;2)
dz = 2v e"^^' • cos (2v^) - 4v • sin {2v^) • e" + '^' dv = 2v' e"-^^" [cos {2v^) - 2 • sin {2v^)] (2)
In der Vektoranalysis (ausfiihrlich dargestellt in Band 3, Kap. I) ist es haufig sinnvoll (z. B. aus Symmetriegriinden), von den ebenen kartesischen Koordinaten X und y zu den Polarkoordinaten r und cp iiberzugehen (Bild IV-32):
Parametergleichungen: X = r • cos (p y = r • sincp {r^0;0^(p<2n)
Bild IV-32 Zum Zusammenhang zwischen den kartesischen Koordinaten x, y und den Polarkoordinaten r, cp
2 Partielle Differentiation
317
Uns interessieren in diesem Zusammenhang die partiellen Ableitungen 1. Ordnung einer (beliebigen differenzierbaren) Funktion mit
z=f{x;y)
r X = x{r; (p) = r ' cos q) < I y = y{r;(p) = r-sm(p
nach den als Parameter betrachteten Polarkoordinaten r und cp. Mit den benotigten partiellen Ableitungen dx dx , dy , dy — = cos (/), — = — r ' smcp, — = sm cp, — = r • cos q) dr 0(p or ccp erhalten wir dann mit Hilfe der Kettenregel (IV-59) die folgenden Ableitungen: 9z or
9z dx ox or = cos (p
dz dy oy or
dz ox
dz oy
dz dz \- sincp ox dy
dz dz dx dz dy dz . dz ^ = - - • ^ + ^ •—- = — - • ( - r • sm (/)) + — • r • cos (p = d(p ox 0(p oy dip ox dy dz = — r • sm (/) 8x
dz \- r ' cos cp • — oj;
Spezielles Beispiel: z = / ( x ; y ) = e^^ '^^ "^ ^- xy ;— = 2x-e^-^ dx
y ^ -\- y = 2r • cos cp - Q^ -\- r • sm cp
— = 2y • Q^-^ y ^ -^ X = 2r • sm cp • Q^ + r - cos cp dy (unter Beriicksichtigung von x^ + }^^ = r^) dz dz dz -— = cos (/) • ^ + sm 9 • — = or
ox
oy
= cos (p{2r • cos (p • Q^ -{- r - sin (p) -\-\- sin cp {2 r • sin (p • Q^ + r • cos (p) = = 2r -cos^ cp • Q^ -\- r • sin cp • cos cp + + 2 r • sin^ cp -
Q^
-\- r • sin (p •
COS
(p =
= 2r - Q^ (cos^ cp + sin^ cp) + 2r • sin cp • cos cp = 1 r • sin (2 cp) = 2 r • e^ + r • sin (2 (/)) = r [2 • e** + sin (2 (/))]
318
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen 8z 9z dz - - = - r • sm (p • — + r • cos (/? • ^ ocp
ox
=
oy
= — r ' sin(p{2r ' cos cp - Q^ + r • sin cp) + + r • cos (p(2r • sinq)' Q^ + r • cos cp) = = — 2r-^ ' sin cp • cos cp •
Q^
+ 2 r^ • sin (p • cos cp -
— r^ - sin^ cp 4Q^
+ r^ • cos'^ cp =
= — r^ • siYi^ cp -\- r^ • cos^ cp = r-^ (cos-^ cp — sin"^ cp) = 1 — sin-^ cp = r^(l -2-sin^(p)
2.5 Anwendungen 2.5.1 Implizite Differentiation In Band 1, Abschnitt IV.2.8 haben wir uns bereits ausfiihrlich mit dem Problem der Differentiation einer in der impliziten Form F{x; y) = 0 gegebenen Funktion von einer unabhangigen Variablen beschaftigt und dabei gezeigt, daB es auch in den folgenden Fallen mit Hilfe der (gewohnlichen) Kettenregel stets moglich ist, die Steigung der Kurventangente in einem Kurvenpunkt P = (XQ; yo) zu bestimmen: — Es besteht keine Moglichkeit, die Funktionsgleichung F {x; y) = 0 nach einer der beiden Variablen aufzulosen. — Die Auflosung der Funktionsgleichung F{x; y) = 0 ist zwar grundsdtzlich moglich, jedoch zu aufwendig oder aber mit zu grofien Schwierigkeiten verbunden.
Kurve F(x,y) = 0
Bild IV-33 Die Kurve F(x; y) = 0 ist die Schnittkurve der Flache z = F{x; y) mit der X, y-Ebene z = 0
2 Partielle Differentiation
319
In diesem Abschnitt werden wir nun mit Hilfe des totalen Differentials ein weiteres praktikables Verfahren der impliziten Differentiation kennenlernen. Wir gehen dabei von einer in der impliziten Form F{x; y) = 0 vorgegebenen Funktion aus und fassen die durch diese Gleichung definierte Kurve als Schnittlinie der Flache z = F{x; y) mit der x, y-Ebene z = 0 auf(Bild IV-33). Unter bestimmten Voraussetzungen ist es dann moglich, den Kurvenanstieg durch die partiellen Ableitungen 1. Ordnung von z = F{x; y) auszudrucken. Zu diesem Zweck bilden wir das totale Differential der Funktion z = F{x; y): (IV-61)
dz = F^dx-\- Fy dy
Fiir die Punkte der Schnittkurve ist z = 0 und somit auch dz = 0. Dann folgt aus Gleichung (IV-61): (IV-62)
F^ dx + Fydy = 0
Wir dividieren diese Gleichung formal durch das Differential dx und berucksichtigen dx dy noch, daB -— = 1 und — = y ist: dx dx dy F^ + Fyf = F,^Fy-/ dx
=0
(IV-63)
Fiir Fy ^0 laBt sich diese Beziehung nach der Kurvensteigung y^ auflosen und wir erhalten: dy dx
K Fy
Wir fassen zusammen:
320
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen
Anmerkungen (1) Die Ableitung y' enthalt nach Formel (IV-65) meist beide Variable. Diese sind jedoch keineswegs voneinander unabhdngig, sondern iiber die implizite Funktionsgleichung F{x; y) = 0 miteinander verknupft. (2)
Es ist bemerkenswert, daB wir auch dann in der Lage sind, eine Funktion zu differenzieren, wenn sie nicht in der expliziten Form y = f{x) darstellbar ist!
•
Beispiele (1)
Wir berechnen die Tangentensteigung der in Bild IV-34 dargestellten Ellipse mit der Gleichung —h=—= 1 36 16 im Ellipsenpunkt P = (xo < 0; 3). yi
i
Tangente in P p yo-^
^ 1 >
3
^"^\^
<0
Is
X Bild IV-34
Die Auflosung der Ellipsengleichung nach der Variablen y ist zwar ohne groBe Schwierigkeiten moglich, dennoch ist es hier bequemer, die Funktionsgleichung implizit zu differenzieren. Zunachst jedoch berechnen wir den Abszissenwert XQ des Kurvenpunktes P:
Wegen XQ < 0 kommt nur die zweite Losung in Frage: XQ = — 3,97 und somit P = (—3,97; 3). Jetzt bringen wir die Ellipsengleichung auf die benotige implizite Form F(x; y) = 0: 2
2
F{x;y) = ^ + ^ - \ = 0 36 16
oder
F{x; y) = 4x^ i-9y^
- 144 = 0
2 Partielle Differentiation
321
Mit F^{x;y) = Sx
und
Fy{x;y) = lSy
folgt dann nach Gleichung (IV-65) F^{x; y) FJx;y)
y
8x ny
4x 9y
Die Ellipsentangente in P = {— 3,97; 3) besitzt damit die Steigung / ( P ) ^ - ^ ^ - ^ ' ^ - f ^^0,588 9yo 9-3 Die Gleichung der Tangente in P lautet daher: y = 0,588 x + 5,334
(2)
Welche Steigung besitzt die Kurve mit der Gleichung (x^ + y^)2 - 2x{x^ -^y^)-y^
=.0
im Kurvenpunkt P = (0; 1)? Losung: Aus F{x; y) = (x-^ + y^)'^ — 2x{x^ +y^) — y^ folgt durch partielle Differentiation: F^{x; y) = 2{x^ + y^) • 2x - 2{x^ + y^) - 2x • 2x = = 4x(x2 + > ' ^ ) - 6 x 2 -2)^2
^);(-^; y) = 2(:>c^ + y^)' 2y — 2x • 2y — 2y = = 4y{x^
^y^)-4xy-2y
Die Steigung der Kurventangente in einem beliebigen Kurvenpunkt betragt damit nach Gleichung (IV-65): ,^
F^ix;y)^ Fy{x; y)
4xix^^-y^)-6x^-2y\_ 4y{x^ + y^) - 4xy - 2y
2x(x^ +y^)-3x^
-y^
2y{x^ -\-y^)-2xy-
y
Speziell im Punkt P = (0; 1) gilt dann: y{P) = y'{x = 0;y=l)
=l
322
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen
2.5.2 Linearisierung einer Funktion Wie bereits aus Band 1, Abschnitt IV.3.2 bekannt ist, laBt sich eine nichtlineare Funktion y = f[x) in der Umgebung eines Kurvenpunktes P = {XQ; yo) durch eine lineare Funktion, namlich die dortige Kurventangente, annahern (Bild IV-35). Diesen Vorgang haben wir als Linearisierung einer Funktion bezeichnet.
Bild IV-35 Zum Begriff der Linearisierung einer Funktion von einer unabhangigen Variablen
Auch eine Funktion z=f{x;y) von zwei unabhangigen Variablen kann unter bestimmten Voraussetzungen in der unmittelbaren Umgebung eines Flachenpunktes p = (XQ; yQi ZQ) linearisiert, d.h. durch eine lineare Funktion vom Typ z = ax -\r by -\- c ndherungsweise ersetzt werden. Der Punkt P wird im naturwissenschaftlich-technischen Anwendungsbereich meist als „Arbeitspunkt'' bezeichnet. Linearisierung einer Funktion z = f{x; y) bedeutet also, daB man die gekriimmte Bildfldche von z =f{x; y) in der unmittelbaren Umgebung des Arbeitspunktes P durch die dortige Tangentialebene ersetzt (vgl. hierzu auch Bild IV-28). Die nichtlineare Funktion z =f{x; y) wird somit durch die lineare Funktion {Tangentialebene) Z-ZQ=
f^{xo; yo)' (^ - ^o) + fyi^o'^ yo)' (y - yo)
(IV-66)
bzw. das totale oder vollstdndige Differential dz = f^ [xo; yo) dx + fy {xo; ^o) dy
(IV-67)
angendhert. In den Anwendungen ersetzt man meist die „Differentiale" dx, dy und dz durch die „Differenzen" Ax, Ay bzw. Az. Sk kQnnzQichnQn die Abweichungen vom Arbeitspunkt P = (XQ; yol ^o)Ax = x - X o ,
Ay = y - yo,
Az = z - ZQ
(IV-68)
Die linearisierte Funktion besitzt jetzt die Form Az = / , ( x o ; yo) Ax + / , ( x o ; yo) Ay
(IV-69)
DieseNaherungistumso/?^ss^r,je/c/dn^rdieAbweichungen Ax und Ay vomArbeitspunkt P sind.
2 Partielle Differentiation
323
Wir fassen die Ergebnisse zusammen:
Anmerkungen (1)
In den Anwendungen verwendet man fiir die linearisierte Funktion (IV-71) meist die Schreibweise
Der Index „0" kennzeichnet dabei den Arbeitspunkt P. (2)
Haufig interessieren in den technischen Anwendungen (insbesondere in der Automation und der Regelungstechnik) nur die Abweichungen der GroBen vom Arbeitspunkt P. Man fiihrt dann zunachst durch Parallelverschiebung ein neues u, v, wKoordinatensystem mit dem Arbeitspunkt P = (XQ; yQ; ZQ) als Koordinatenursprung ein. Zwischen dem „alten" x, y, z-System und dem „neuen" u,v, w-System bestehen dann folgende Transformationsgleichungen: u = X — XQ = Ax,
V = y — yQ = Ay,
w = z — ZQ = Az
(IV-73)
Die linearisierte Funktion (IV-71) besitzt dann im neuen w, r, w-Koordinatensystem die besonders einfache Gestalt (IV-74)
w = au -\- bv mit ^) dxjQ
und
b = (^] K^y/Q
(IV-75)
324
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen Die Koordinaten w, v und w sind die Abweichungen gegenuber dem Arbeitspunkt P (Koordinatenursprung des u,v, w-Systems), also Relativkoordinaten, wahrend a und b die Werte der beiden partiellen Ableitungen 1. Ordnung im Arbeitspunkt P bedeuten.
(3)
Auch eine Funktion von n unabhangigen Variablen laBt sich linearisieren. In der unmittelbaren Umgebung des „Arbeitspunktes" P kann die Funktion y = / ( x ^ ; X2;...; x„) ndherungsweise durch das totale Differential ersetzt werden: Axi+fl^)
Ay = ( ^ ]
Ax2 + ... + f | ^ )
Ax„
(IV-76)
Die partiellen Ableitungen beziehen sich dabei wiederum auf den Arbeitspunkt P, gekennzeichnet durch den Index „0".
Beispiele (1)
Wir linearisieren die Funktion
z=f{x;y) = 5x^-vy in der unmittelbaren Umgebung des Punktes P = (2; 1; 20). Nach Gleichung (IV-71) ist Az=^(2;l)Ax+/3,(2;l)Ay Wir berechnen die partiellen Ableitungen 1. Ordnung: fjx;y)
= 10x-^y
fyix;y) = ^ 2Vy
=> /,(2;1) = 20 => /,(2;1) = 10
Die lineare Ndherungsfunktion lautet somit: Az = 20Ax + 10 Ay Oder, unter Beriicksichtigung der Beziehungen Ax = x — 2, Ay = y — 1 und Az = z — 20: Z-20X +
lOy-30
Rechenbeispiel Wir wahlen Ax = 0,06 und Ay = — 0,05 und erhalten fur Az den Ndherungswert Az = 20 • 0,06 + 10 • (-0,05) = 0,7
2 Partielle Differentiation
325
Daher ist /(2,06; 0,95) ^ 20,7. Der exakte Funktionswert betragt dagegen /(2,06; 0,95) = 20,68. (2)
Der Gesamtwiderstand R einer Parallelschaltung aus zwei ohmschen Widerstanden Ri und ^2 wird nach der Formel R = R(R^;R2) = — — ^ berechnet (Bild IV-36). Wir linearisieren diese Funktion in der Umgebung voni^i = lOOQ, i^2 = 4 0 0 Q .
Bild IV-36 Parallelschaltung zweier Widerstande
Der Gesamtwiderstand der Parallelschaltung betragt R=
100 Q-400 Q = 80 Q 100Q + 400Q
Die linearisierte Funktion lautet nach Gleichung (IV-71):
[ ^R\
f^R\
Wir benotigen noch die partiellen Ableitungen an der Stelle R^ = 100 Q, ^2 = 400Q: RI dR _ ei^i {R^ + R^)^ dR
6^2
_
Rj
{Ri+R2f
( ^ R \ \dR^ / o
(400 Q ) 2 = 0,64 (500 af
f ^ ^ \
_(100Q)^
K^RiJo
(500 Q)
= 0,04
Bei einer Anderung der beiden Einzelwiderstande um Ai^^ bzw. Ai^2 ^^" dert sich der Gesamtwiderstand ndherungsweise um AR = 0,64 • AR^ + 0,04 • AR2 {linearisierte Funktion).
326
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen Rechenbeispiel Wir vergrofiern R^ um 10 Q und verkleinern gleichzeitig R2 um 20 D: AKi = 10Q, AR2= —20CI. Dann andert sich der Gesamtwiderstand ndherungsweise um AR = 0,64 10 0 + 0,04 • ( - 20 Q) = 5,6 Q Er betragt jetzt K = 80 Q + 5,6 Q = 85,6 Q.. Der exakte Wert dagegen ist R=
110 Q-380 0 = 85,3 Q 110Q + 380Q
2.5.3 Relative oder lokale Extremv^erte Wir beschaftigen uns jetzt mit den relativen Maxima und Minima einer Funktion z = f{x; y), d.h. mit jenen Punkten auf der Bildflache von z = f{x; y), die im Vergleich zur unmittelbaren Nachbarschaft eine hochste oder tiefste Lage einnehmen.
Anmerkungen (1) Die relativen Maxima und Minima einer Funktion werden unter dem Sammelbegriff ^Relative Extremwerte" zusammengefaBt. Die den Extremwerten entsprechenden Flachenpunkte heiBen Hoch- bzw. Tiefpunkte. (2)
Ein relativer Extremwert wird auch als lokaler Extremwert bezeichnet, da die extreme Lage meist nur in der unmittelbaren Umgebung zutrifft.
(3)
Ist die Ungleichung (IV-77) an jeder Stelle (x; y) des Definitionsbereiches von z = f{x; y) erfullt, so liegt ein absolutes Maximum bzw. absolutes Minimum vor.
So besitzt beispielsweise die in Bild IV-37 skizzierte Funktion an der Stelle (XQ; yo) ein relatives Minimum: Der auf der zugehorigen Bildflache gelegene Punkt P = {XQ; yQ; ZQ) nimmt gegeniiber alien unmittelbar benachbarten Flachenpunkten eine tiefste Lage ein und ist somit ein Tiefpunkt der Flache.
2 Partielle Differentiation
327
Bild IV-37 Zum Begriff des relativen Extremwertes einer Funktion z = f{x; y) (die gezeichnete Flache besitzt im Punkt P = {XQ', yol ^o) einen Tiefpunkt) •
Beispiele (1)
Durch Rotation der Normalparabel z = x^ um die z-Achse entsteht die in Bild IV-38 skizzierte Rotationsfldche mit der Funktionsgleichung z = x^ + y^ (Rotationsparaboloid).
Bild IV-38 Die Rotationsflache z = x^ + y^ (Mantel eines Rotationsparaboloids) besitzt im Punkt P = (0; 0; 0) einen Tiefpunkt (absolutes Minimum)
328
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen Aus dem Scheitelpunkt {Minimum) der Parabel wird dabei der Flachenpunkt P = (0; 0; 0), der von sdmtlichen Flachenpunkten die tiefste Lage einnimmt. Die Funktion z = x-^ + y-^ besitzt somit an der Stelle (0; 0) ein (sogar absolutes) Minimum. (2)
Die Rotationsfldche Z = Q~^^ "^^ ^ ist aus der Gaufischen Glockenkurve z = Q~^ durch Drehung dieser Kurve um die z-Achse entstanden (Bild IV-39). Die zugehorige Bildflache besitzt im Punkt P = (0; 0; 1) einen Hochpunkt (Maximum).
Bild IV-39 Die Rotationsflache z = e ^""'^^"^ besitzt im Punkt P = (0; 0; 1) einen Hochpunkt (absolutes Maximum)
Die bisherigen Beispiele lassen vermuten, daB die in einem Hoch- bzw. Tiefpunkt an die Flache z =f{x; y) angelegte Tangentialebene stets parallel zur x, y-Koordinatenebene verlauft (vgl. hierzu die Bilder IV-37 bis IV-39). Besitzt namlich die Funktion z = f{x; y) beispielsweise an der Stelle (XQ; yo) ein relatives Minimum, so trifft diese Eigenschaft auch auf jede durch den Tiefpunkt P = {XQ ; yQ'•>^o) gehende Flachenkurve zu. Somit besitzen alle in P angelegten Flachentangenten den Steigungswert Null. Die partiellen Ableitungen 1. Ordnung von z=f{x;y) miissen daher an der Stelle {XQ; yo) verschwinden, d.h. die Tangentialebene in P verlauft parallel zur x, }^-Ebene. Die beiden Bedingungen fxi^o; yo) = 0 und /^(XQ; yo) = 0 sind somit notwendige Voraussetzungen fiir die Existenz eines relativen Maximums bzw. Minimums an der Stelle (XQ; yo).
2 Partielle Differentiation
329
Dieses Kriterium ist zwar notwendig, aber keinesfalls hinreichend. Mit anderen Worten: In einem Extremum (Hoch- oder Tiefpunkt) verlauft die Tangentialebene stets parallel zur X, y-EhonQ, jedoch ist nicht jeder Flachenpunkt mit einer zur x, };-Ebene parallelen Tangentialebene ein Hoch- oder Tiefpunkt! Das nachfolgende Beispiel wird dies unterstreichen. Beispiel Wir betrachten das in Bild IV-40 skizzierte hyperbolische Paraboloid mit der Funktionsgleichung z = x^ — y^. An der Stelle (0; 0) sind die notwendigen Bedingungen (IV-78) fur ein relatives Extremum erfiillt:
Die Tangentialebene im zugehorigen Flachenpunkt P = (0; 0; 0) fallt daher mit der X, }^-Ebene zusammen. Und trotzdem besitzt die Funktion z = x'^ — y-^ an dieser Stelle keinen Extremwert!
330
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen Begrundung: Der Schnitt der Flache mit der x, z-Ebene (y = 0) ergibt die nach oben geoffnete Normalparabel z = x ^, die in P ihr (absolutes) Minimum besitzt (Bild IV-41). Schneidet man die Flache jedoch mit der y, z-Ebene (x = 0), so erhalt man die nach unten geoffnete Normalparabel z = — y^, die in P ihr (absolutes) Maximum annimmt (Bild IV-42). Der Flachenpunkt P = (0; 0; 0) kann daher kein Extremum sein. Es handelt sich vielmehr um einen sog. Sattelpunkt. Die Rotationsflache z = x^ — j;-^ besitzt die Form eines Sattels und wird daher auch als Sattelfldche bezeichnet. ^»
M
z-V
Bild IV-41 Schnitt des hyperbolischen Paraboloids mit der x, z-Ebene y = 0
Bild IV-42 Schnitt des hyperbolischen Paraboloids mit der y, z-Ebene x = 0
Mit Sicherheit jedoch besitzt eine Funktion z =f{x; y) an der Stelle (XQ; yo) einen relativen Extremwert, wenn die folgenden Bedingungen erfullt sind (ohne Beweis):
2 Partielle Differentiation
331
Anmerkungen (1)
Wie bei den Funktionen von einer Variablen entscheiden auch hier die (partiellen) Ableitungen 1. und 2. Ordnung iiber Existenz und Art von Extremwerten.
(2)
Die Diskriminante A kann auch als zwdref/z/ge Def^rmmanfe geschrieben werden: A=
fxxi^o'^ yo) Jxyi^o'^ yo)
(IV-81)
fxy i^O'^ yo) Jyy(^0'-> -Vo) (3)
Die Bedingungen (IV-79) und (IV-80) sind hinreichend. In den Fallen A < 0 und A = 0 gilt: A < 0: Es liegt kein Extremwert, sondern ein Sattelpunkt vor. A = 0: Das Kriterium ermoglicht in diesem Fall keine Entscheidung dariiber, ob an der Stelle (XQ; J/Q) ein relativer Extremwert vorliegt Oder nicht.
(4)
Der Begriff des relativen Extremwertes laBt sich ohne Schwierigkeiten auch auf Funktionen von mehr als zwei unabhangigen Variablen iibertragen. Notwendig fiir die Existenz eines relativen Extremums ist auch hier, daB an der betreffenden Stelle sdmtliche partiellen Ableitungen 1. Ordnung verschwinden. Auf die hinreichenden Bedingungen konnen wir im Rahmen dieser Darstellung nicht eingehen.
Beispiele (1)
Wir zeigen, daB die in Bild IV-39 skizzierte Rotationsfldche mit der Funktionsgleichung z = f{x; y) = Q~^^ ^^ ^ an der Stelle (0; 0) ein (sogar absolutes) Maximum annimmt. Dazu benotigen wir die partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung: /,(x;y)=-2x-e-<-'+^^)
fyyix;y) =
(4y^-2)-c-(^'+y'^
Sie besitzen an der Stelle (0;0) die folgenden Werte: /,(0;0) = 0, /,(0;0) = 0 (damit sind die notwendigen Bedingungen (IV-79) erfiillt) /xx (0; 0) = - 2, /;,, (0; 0) = /^, (O; 0) = 0, fyy (0; 0) = - 2
332
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen Wegen A = A.(0; 0) • / , , ( 0 ; 0) -/.^^(O; 0) = ( - 2) • ( - 2) - 0^ = 4 > 0 ist auch das hinreichende Kriterium erfiillt. Da ferner fxxi^'^ 0) = — 2 < 0 ist, liegt an der Stelle (0;0) ein relatives Maximum: /(0;0) = 1. An alien librigen Stellen ist / ( x ; y) < 1, so daB der Flachenpunkt P = (0; 0; 1) sogar das absolute Maximum auf der Flache darstellt. Weitere Extremwerte sind nicht vorhanden. (2)
Wir bestimmen die relativen Extremwerte der Funktion z{x;y) = 3xy — x^ — y^. Die dabei benotigten partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung lauten: z^ = 3_y — 3x^,
z^ = 3x — 3_v^
Die notwendigen Bedingungen z^ = 0 und z^ = 0 fiihren zu dem nichtlinearen Gleichungssystem 3y-3x^
=0 ]
y-x^
=0
x-y^
=0
d.h. 3x-3y^ = 0 )
Es wird wie folgt gelost: Wir losen die 1. Gleichung nach y auf, erhalten y = x-^ und setzen diesen Term in die 2. Gleichung ein. Dies fiihrt zu einer Gleichung 4. Grades in x mit zwei reellen Losungen: x-x^
=> xi = 0 ^ x =0 = x{l - x 3 ) = 0 C ^ ^ ^ ^ 1 - x ^ = 0 => X2 = 1
Die zugehorigen j-Werte sind yi =0 und y2 = ^- Damit gibt es zwei Stellen, an denen die notwendigen Bedingungen fiir die Existenz eines relativen Extremwertes erfullt sind: (xi;yi) = (0;0)
und
(x2; >^2) = (1; !)•
Wir priifen jetzt anhand der Diskriminante A aus (IV-80), ob auch das hinreichende Kriterium zutrifft: Stelle (jci; j i ) = (0; 0), d.h. P^ = (0; 0; 0) z^^(0;0) = z^^(0;0) = 0, z^,(0;0) = 3 A = 0-0 — 3 ^ = — 9 < 0 => Kein Extremwert, sondern Sattelpunktl Stelle (X2; yj) = (1; 1), d.h. P2 = (1; h 1) ^x;c(l; 1) = ^yyi^'^ 1) = " 6, Z^^(l; 1) = 3 A = (-6)-(-6)-32 = 27>0 ] [ => Relatives Maximum z^^(l;l) = - 6 < 0 )
2 Partielle Differentiation
333
Die Funktion z = ?>xy — x^ — y^ besitzt daher an der Stelle (x; y) = (1; 1) ein relatives Maximum. Der Flachenpunkt P2 = {^'A'A) ist somit ein Hochpunkt.
2.5.4 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen Bisher haben wir uns ausschliefilich mit dem Extremwerten einer Funktion z = f{x; y) beschaftigt, deren unabhangige Variable x und y keinerlei Einschrankungen unterworfen waren (sog. Extremwerte ohne Nebenbedingungen). In vielen Anwendungsbeispielen ist dies jedoch nicht der Fall, d.h. die Variablen x und y sind nicht mehr unabhangig voneinander, sondern durch eine Neben- oder Kopplungsbedingung miteinander verbunden. Diese wird meist in der Form einer impliziten Gleichung (p{x; y) = 0 angegeben. Aufgabenstellungen dieser Art haben wir bereits in Band 1 kennengelernt (Abschnitt IV.3.4). Dabei sind wir stets so vorgegangen, daB wir zunachst die Nebenbedingung beispielsweise nach y aufgelost haben, um dann den gefundenen Ausdruck y = y{x) in die Funktion z = f(x; y) einzusetzen ^l Die auf diese Weise erhaltene Funktion z=f{x;y{x)) = F{x)
(IV-82)
hangt nur noch von der einen Variablen x ab. Damit haben wir die gestellte Extremwertaufgabe auf die Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von einer unabhangigen Variablen zuruckgefiihrt. Das bisher angewandte Verfahren wollen wir jetzt noch an einem Anwendungsbeispiel aus der Festigkeitslehre verdeutlichen. Beispiel Aus einem (langen) Baumstamm mit einem kreisrunden Querschnitt soil durch Langsschnitte ein Balken mit rechteckigem Querschnitt so herausgeschnitten werden, daB sein Widerstandsmoment W — bh^l6 einen moglichst groften Wert annimmt {b\ Balkenbreite; h\ Balkendicke; Bild IV-43)
3) Vorausgesetzt, diese Auflosung ist moglich und eindeutig. Ebenso verfahrt man, wenn die Nebenbedingung (p{x; y) = 0 eindeutig nach x auflosbar ist.
334
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen Das Widerstandsmoment W hangt dabei sowohl von der Balkenbreite b als auch von der Balkendicke h ab, ist also eine Funktion der Variablen b und h. Diese jedoch sind nicht unabhdngig voneinander, sondern iiber den Satz des Pythagoras mit dem (gegebenen) Radius R des Baumstammes miteinander verkniipft. Die Nebenbedingung lautet hier also b^-^h^ = 4R^
Oder
(p{b;h) = b^ -]-P - 4R^ = 0
In Band 1 haben wir diese Extremwertaufgabe schrittweise wie folgt gelost (Abschnitt IV3.4): 1. Schritt: Die Nebenbedingung wird zweckmaBigerweise nach h-^ aufgelost: h^=4R^-b^ und dieser Ausdruck dann in die Widerstandsformel eingesetzt. Das Widerstandsmoment W hangt jetzt nur noch von der Balkenbreite b ab: W = W{b) = - b{4R^ -b^) = 7 i^^R^b - b^) 6 6 Dabei kann die Balkenbreite nur Werte zwischen 0 und 2R annehmen: 0
-3b^),
W'{b)=
-b
3. Schritt: Berechnung des gesuchten Maximums aus den hinreichenden Bedingungen W = 0 und I ^ ' ' < 0: W' =^{4R^
-3b^)
=0
=> b^i2=
Der negative Wert kommt dabei aus geometrischen Griinden nicht in Frage, der positive Wert dagegen liegt im Defmitionsbereich 0
W'^(b,=^^R\=-^^R<0 ist somit bi das gesuchte Maximum. Die Losung dieser Extremwertaufgabe lautet daher: Das Widerstandsmoment des
2
r
Balkens besitzt seinen grofiten Wert bei einer Balkenbreite von b — - sJ3 R,
2 Partielle Differentiation
335
Der in dem soeben behandelten Beispiel skizzierte Losungsweg laBt sich aber nur dann beschreiten, wenn die Auflosung der Nebenbedingung cp{x; y) = 0 nach einer der beiden Variablen uberhaupt moglich ist. In vielen Fallen jedoch gilt: — Eine Auflosung der Nebenbedingung ist nicht moglich oder aber zu aufwendig. — Die Nebenbedingung laBt sich prinzipiell zwar auflosen, fiihrt jedoch zu einer komphzierten Funktion z = f{x; y{x)) = F{x) der Variablen x, deren benotigte Ableitungen F'(x) und F^'{x) sich nur mit viel Miihe und Aufwand bilden lassen^^ In all diesen Fallen schlagt man dann den folgenden von Lagrange stammenden Losungsweg ein, der unter der Bezeichnung „Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren" bekannt ist: Man bildet zunachst die totalen Differentiale der Funktionen z=f{x\y) u = (p{x\ y) und erhalt dz = f^ dx -\- L dy Jx jy y du = (p^ dx -\- cpy dy
und
(IV-83)
Wegen der Nebenbedingung (p{x\ y) = ^ mu6 w == 0 und somit auch du = 0 sein, d.h. es gilt: du = (p^dx -\- (pydy = 0
(IV-84)
Dies aber bedeutet, daB die beiden Differential dx und dy nicht mehr voneinander unabhdngig, sondern iiber die Gleichung (IV-84) miteinander gekoppelt sind. Das totale Differential der Funktion z = f{x; y) verschwindet dagegen nur am Ort des (gesuchten) Extremums x = XQ, y = y^, so daB an dieser Stelle die folgenden Beziehungen zwischen den Differentialen dx und dy bestehen: fy. dx + L dy = 0 ^ (p^ dx -\- (py dy = 0
(IV-85)
Dieses homogene lineare Gleichungssystem mit den beiden Unbekannten dx und dy ist aber bekanntlich nur dann nicht-trivial losbar, wenn die Koeffizientendeterminante verschwindet^^: Jx
Jy
(Px
^y
=0
(IV-86)
4) Wir haben hierbei vorausgesetzt, daB eine Auflosung nach der Variablen y prinzipiefl moglich ist: y = y{x). Die 2-reihige Koeffizientenmatrix A = I '^''
-^^1 mu6 also singular sein und somit den Rans r = 1
besitzen. Der Rang r = 0 kommt nicht in Frage, da A sonst mit der Nullmatrix identisch ware
336
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen
Daraus folgern wir, daB die beiden Zeilenvektoren linear abhdngig sind. Wir konnen daher die erste Zeile als ein Vielfaches der zweiten Zeile in der Form fx=-
X-(p^ c und
/x + ^
^x =
0
/, + ^
(Py =
0
/ , = - A • cp,
(IV-87)
Oder (IV-88)
darstellen (als Multiplikator haben wir zweckmaBigerweise — X gewahlt, um die letztere Form zu erreichen). Aus den Bedingungsgleichungen (IV-88) in Verbindung mit der Nebenbedingung (p(x; y) = 0 lassen sich dann die drei Unbekannten x, y und 2 bestimmen. Rein formal gelangt man zum gleichen Ergebnis, wenn man aus den beiden Funktionen z = f{x; y) und u = (p{x; y) zunachst die ,,Hilfsfunktion" Fix;y;X)=fix;y)
+ X'(p{x;y)
(IV-89)
bildet und dann deren partielle Ableitungen 1. Ordnung der Reihe nach gleich Null setzt. Dies fiihrt zu dem Gleichungssystem /x + ^ • ^x = 0 ] (IV-90) (p{x;y) = 0 mit drei Gleichungen und drei Unbekannten, aus dem sich die Koordinaten des gesuchten Extremwertes sowie der meist nicht naher interessierende Parameter 1 berechnen lassen.
Wir fassen die Ergebnisse wie folgt zusammen:
2 Partielle Differentiation
337
Anmerkungen (1)
Der Lagrangesche Multiplikator X ist eine „Hilfsgro6e" und daher meist ohne nahere Bedeutung. Er sollte daher moglichst fruh aus den Rechnungen eliminiert werden.
(2)
Die angegebenen Bedingungen (IV-92) sind notwendig, jedoch keineswegs hinreichend fiir die Existenz eines Extremwertes unter der Nebenbedingung (p{x; y) = 0. Es muB daher stets von Fall zu Fall gepriift werden, ob auch tatsachlich ein Extremwert vorliegt und gegebenenfalls, ob es sich dabei auch um das gesuchte Maximum bzw. Minimum handelt.
(3)
Das Lagrangesche Multiplikatorverfahren laBt sich ohne Schwierigkeiten auch auf Funktionen von n Variablen Xi,X2,...,x„ mit m Nebenbedingungen iibertragen {m < n): Funktion:
y = f{x^; X2',-"', x^) (i = 1, 2,..., m)
Nebenbedingungen: cpiix^; X2',...', x^) = 0 Man bildet zunachst die ,,Hilfsfunktion" m
F(xi;...;x„;Ai;...U^)=/(xi;...;%„)+
^ A-(/)^(xi;...; x„)
(IV-93)
/= 1
und setzt dann die {n + m) partiellen Ableitungen 1. Ordnung dieser Funktion der Reihe nach gleich Null: F
z. 0, F^ =0,
... , F^ =0 (IV-94)
Aus diesen {n 4- m) Gleichungen lassen sich dann die (n + m) Unbekannten x^, X2,..., x„, 2^, /I2, •••, >^m bestimmen.
338 •
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen Beispiele (1)
Wir kehren zu dem anfanglichen Beispiel des Widerstandsmomentes eines Balkens zuriick (BildIV-43). Mit der Funktion W= W{b;h) = -bh^ 6 und der Nebenbedingung (p = (p{b;h) = b^+ h^-4R^
=0
bilden wir zunachst die „Hilfsfunktion" F {b; h; X) = W{b; h)-\-A-(p{b;h) = - bh^ + ^{b^ + h^ - AR^) 6 und daraus dann durch partielles Differenzieren die folgenden Bestimmungsgleichungen fiir die Balkenbreite b, die Balkendicke h und den Lagrangeschen Multiplikator X\ 6 1 F^ = - 6/2 + 2/1/2 = 0
Die mittlere Gleichung losen wir nach A auf, erhalten 2.= — b/6 und setzen diesen Wert dann in die erste Gleichung ein:
-h^-2-lb-b 6
6
/i^-26^=0
= -h^-^b^ 6
6
= 0 =>
=> h^ = 2b^
ih = y/2b)
Diesen Ausdruck setzen wir in die letzte der drei Bestimmungsgleichungen ein und erhalten: b^ + h^ -4R^ o
4
= b^ + 2b^ - 4R^ = 3b^ - 4R^ = 0 =>
^
3
2 i/z
r
3 V
Aus geometrischen Griinden kommt aber nur der positive Wert in Frage, der in dem Giiltigkeitsbereich 0
r 2 r h = ^J2b = -^6R^
1,633 R
339
2 Partielle Differentiation
Der in dieser Weise dimensionierte Balken besitzt somit das grofite Widerstandsmoment und damit auch die grofite Tragfahigkeit. (2)
Ein fester Punkt A einer ebenen Biihne wird durch eine in der Hohe h verstellbare punktformige Lichtquelle L mit der konstanten Lichtstarke IQ beleuchtet (Bild IV-44). Die von der Lichtquelle L im Punkt A erzeugte Beleuchtungsstarke B geniigt dabei dem Lambertschen Gesetz B = B{(x; r)
Ic
cos (X
a ist der Einfallswinkel des Lichtes und r der Abstand zwischen der Lichtquelle und dem Biihnenpunkt A. Unter welchem Winkel a wird dieser Punkt optimal beleuchtet?
Bijhne
Bild IV-44 Zur optimalen Beleuchtung des Biihnenpunktes A durch die vertikal verschiebbare Lichtquelle L
Losung: Beim Verschieben der Lampe andert sich sowohl der Einfallswinkel a als auch der Abstand r. Zwischen diesen GroBen besteht jedoch eine bestimmte Abhdngigkeit. Aus dem rechtwinkhgen Dreieck OAL folgt namhch sin a = r
Oder r - sina = a
Dies ist die gesuchte Nebenbedingung, die wir noch in die benotigte implizite Form (p{(x;r) = r • sin a — a = 0 bringen.
340
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen Aus dem Lambertschen Gesetz und dieser Nebenbedingung bilden wir jetzt die folgende „Hilfsfunktion": F{a; r; 1) = B{a; r) -\-1' cp(a; r) =
IQ
• cos a
\- l{r • since — a)
Die drei Bestimmungsgleichungen fiir die unbekannten GroBen a, r und X lauten dann nach den Gleichungen (IV-92) wie folgt: F^=
Fy=
IQ
• sin a
2IQ
h Xr • cos a = 0
' cos a
h / • sm a = 0
F;^ = r ' sinoc — a = 0 Aus den ersten beiden Gleichungen eliminieren wir den (nicht naher interessierenden) Lagrangeschen Multiplikator X und erhalten: /n • sin a r^-cosa
2 /n • cos a r^-sina
sin-^ a = 2 • cos^ a
sin a cos a
2 • cos a sin a
=> tan^ a = 2 => tan a =
v 2
Da die gesuchte Losung im i. Quadrant liegen muB (0° < a < 90°), kommt nur das positive Vorzeichen in Frage: tan a = x/2
=> a = arctan s/l = 54,74°
Bei einem Einfallswinkel von a = 54,74° wird also der Biihnenpunkt A optimal beleuchtet. Die Losung der gestellten Extremwertaufgabe lautet damit: a = 54,74°; r = 1,225a; h = 0,107 a;
0,385/o ^max == 2
2.5.5 Lineare Fehlerfortpflanzung Hinweis: Wir geben in diesem Abschnitt eine knappe EinfUhrung in das fiir den Ingenieur so wichtige Gebiet der „Fehlerrechnung". Eine ausfuhrliche Darstellung auf der Grundlage der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der mathematischen Statistik erfolgt dann in Band 3, Kap. IV.
2 Partielle Differentiation
341_
Direkte Messung einer GroBe In Naturwissenschaft und Technik stellt sich haufig die Aufgabe, den Wert einer physikalisch-technischen GroBe x durch Messungen zu ermitteln. Die Erfahrung lehrt dabei, daB jede Messung - selbst bei sorgfdltigster Vorbereitung und Durchfiihrung und bei Verwendung hochwertiger MeBgerate - stets mit „Fehlern" der verschiedensten Arten behaftet ist, die in der modernen Fehlerrechnung als Mefiabweichungen oder kurz als Abweichungen bezeichnet werden^l Bei einer wiederholten Messung der GroBe x erhalten wir eine aus n voneinander abweichenden Einzelwerten Xi,X2,...,x„
(IV-95)
bestehende Mefireihe. Die Streuung der MeBwerte soil dabei ausschlieBlich diui zufdlligen MeBabweichungen beruhen, die in regelloser und unkontrollierbarer Weise die MeBwerte verfalschen und auf die wir keinerlei EinfluB haben. Die Auswertung einer solchen MeBreihe erfolgt dann wie folgt: Wir bilden zunachst das arithmetische Mittel x der n Einzelwerte:
x = " ^ + " ^ + - + "" = i - V x . . n n L^
(IV-96)
i= 1
Diesen Wert betrachten wir als einen Schdtz- oder Ndherungswert fiir den „wahren" (im allgemeinen aber nicht feststellbaren) Wert der GroBe x. Ein geeignetes Genauigkeitsmo^ fur den Mittelwert x ist dm sog. Standardabweichung s- des Mittelwertes,dQTimQYt durch die folgende Gleichung:
• X i^i-xf
n{n — 1)
(IV-97)
Das Mefiergebnis wird dann iiblicherweise in der Form X = 3c
Ax
(IV-98)
angegeben, wobei Ax die Mefiunsicherheit der GroBe x bedeutet. Als Mq^ fur die MeBunsicherheit verwenden wir an dieser Stelle die Standardabweichung des Mittelwertes, d.h. wir setzen Ax = s^. Das Mefiergebnis lautet damit^^: x =
x =
^
(IV-99)
In der DIN-NORM 1319 (Teil 3) wird empfohlen, die Bezeichnung „Fehler'' durch „Mefiabweichung'' (kurz „Abweichung'' genannt) zu ersetzen (wir gehen hierauf ausfiihrlich in Band 3, Kap. IV ein). 7) „Alte" Bezeichnung fur s-: mittlerer Fehler des Mittelwertes.
342
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen
Wir fassen die bisherigen Ergebnisse kurz zusammen:
Anmerkungen (1) Es sei nochmals ausdriicklich vermerkt, daB es sich hier um eine „vereinfachte" Darstellung der Fehlerrechnung handelt. In Band 3, Kap. IV werden wir dann auf der Grundlage der Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematischen Statistik eine Erweiterung vornehmen, die insbesondere die Wahrscheinlichkeitsverteilung der MeBgroBe sowie die Anzahl n der EinzelmeBwerte beriicksichtigt (Angabe eines sog. Vertrauensintervalles iiiv den Mittelwert). n
(2)
Die in der Formel (IV-102) auftretende Summe N (x^ — 3c)^ heiBt ,,Summe der i= \
Abweichungsquadrate" (die Differenzen x^ — x sind die Abweichungen der einzelnen MeBwerte vom Mittelwert, sie treten hier in quadrierter Form auf). Beispiel Eine wiederholte Kapazitatsmessung ergab die folgenden sechs MeBwerte: i
Ci
1
2
3
4
5
6
50,5
50,9
50,1
51,8
49,7
50,3
2 Partielle Differentiation
343
Wir werten diese MeBreihe wie folgt aus:
Arithmetischer Mittelwert: 6
1 ^ 1 C = - • ) Q = - • 303,3 ^iF = 50,55 |iF 6 Z-i 6 i= 1
Standardabweichung des Mittelwertes:
sc=
/ ^
• Z ('^' - <^)' = J ^ • 2'6750 nF = 0,30 nF /= 1
Mefiunsicherheit: AC = s^ = 0,30 |iF Mefiergebnis: C= C
AC = (50,55
0,30) ^iF
Indirekte Messung einer GroBe In den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen stellt sich haufig das folgende Problem: Es soil der Wert einer GroBe z ermittelt werden, die noch von zwei weiteren GroBen X und y abhangt, wobei der funktionale Zusammenhang zwischen diesen drei GroBen in Form einer expliziten Funktionsgleichung als bekannt vorausgesetzt wird: z=f{x;y)
(IV-103)
344
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen
Das eigentliche Problem dabei ist, daB die abhdngige GroBe z einer direkten Messung nicht unmittelbar oder zumindest nur sehr schwer zuganglich ist - im Gegensatz zu den unabhangigen GroBen x und 3;. Die GroBe z muB dann aus den Messungen der beiden besser zuganglichen GroBen x und y bestimmt werden. Das Mefiergehnis fiir die unabhangigen GroBen x und y soil dabei in der ublichen Form vorliegen: X- X
Ax, y =
(IV-104)
X und y sind die arithmetischen Mittelwerte, Ax und Ay die Mefiunsicherheiten von X und y, fiir die wir in diesem Zusammenhang die Standardabweichungen s- und 5^^ der beiden Mittelwerte heranziehen. Das gesuchte ^Mefiergehnis" fur die Jndirekte" MeBgroBe z = f{x; y) soil dann - und dies ist im folgenden unsere Aufgabe - in ahnlicher Form wie in (IV-104) dargestellt werden, d.h. wir wiinschen eine Darstellung in der Form z- z
Az
(IV-105)
Zunachst kann man zeigen, daB der Mittelwert z der abhangigen GroBe z = f{x; y) wie folgt aus den Mittelwerten 3c und y der beiden unabhangigen MeBgroBen berechnet werden kann: ~z=f(^;y)
(IV-106)
Mit Hilfe des totalen Differentials der Funktion z = f{x\ y) gelingt es dann, ein sog. „Fehlerfortpflanzungsgesetz" herzuleiten, d.h. eine Beziehung, die uns dariiber AufschluB gibt, wie sich die Mefiunsicherheiten Ax und Ay der beiden unabhangigen MeBgroBen X und y auf die Mefiunsicherheit Az der abhangigen GroBe z =f{x; y) auswirken. Zu diesem Zweck bilden wir das totale Differential der Funktion z =^ f{x; y) an der Stelle X = X, 3; = y:
dz = f^(x; y) dx + /,(x; y) dy
(IV-107)
Die Differential dx und dy deuten wir jetzt als Mefiunsicherheiten {„Mefifehler") Ax und Aj; der beiden unabhangigen MeBgroBen x und y. Dann liefert uns das totale Differential dz einen Schdtz- oder Ndherungswert fiir die Mefiunsicherheit {den „Mefifehler") Az der abhangigen GroBe z =f{x; y). Es gilt somit ndherungsweise: Az - / ^ ( x ; y) Ax + / , ( x ; y) Ay
(IV-108)
Die MeBunsicherheiten Ax und Ay gehen dabei mit den ^Gewichtungsfaktoren" f^{x; 'y) und fy(x; ^) in diese Beziehung ein. Da die Vorzeichen von Ax und Ay jedoch unbekannt sind, wird der ungUnstigste Fall betrachtet. Dieser aber tritt genau dann ein, wenn sich die beiden „Einzelfehler" addieren. Wir erhalten dann den grofitmoglichen (absoluten) „Fehler", der als maximale Mefiunsicherheit Az^^^ oder auch als maximaler Fehler bezeichnet wird und durch die Gleichung Az^ax = l/;c(^; y) Ax| + |/,(x; y) Ay I
(IV-109)
defmiert ist. Dies ist die gesuchte Beziehung zwischen den MeBunsicherheiten („MeBfehlern") der GroBen x, y und z = / ( x ; y). Gleichung (IV-109) wird haufig auch als Jineares Fehlerfortpflanzungsgesetz" bezeichnet im Gegensatz zu dem „quadratischen Fehlerfortpflanzungsgesetz" von Gaufi, das wir in Band 3, Kap. IV noch kennenlernen werden.
2 Partielle Differentiation
345
Wir fassen die Ergebnisse wie folgt zusammen:
Anmerkungen (1) Die angegebenen Formeln fiir den Mittelwert und die maximale Mefiunsicherheit einer Jndirekten" MeBgroBe gelten sinngemaB auch fiir Funktionen von mehr als zwei unabhangigen Variablen. 1st }^ = / ( x ^ ; X2;...; x„) eine von n direkt gemessenen GroBen x^, ^2, •.., x„ abhangige GroBe, so gilt analog: y=f(x,;x2;...;x„)
(IV-115)
A^max = l/x, AXil + IA,AX2I + .•• + i/x„Ax„|
(IV-116)
{xf = X; + Ax; sind die vorgegebenen Mefiergebnisse der unabhangigen GroBen). Das Mefiergebnis fiir die abhangige GroBe y wird dann wiederum in der Form y = >^ + Ay^ax
(IV-117)
angegeben. (2)
Das Jineare Fehlerfortpflanzungsgesetz" wird haufig fiir Uberschlagsrechnungen verwendet und insbesondere auch dann, wenn die MeBunsicherheiten der unabhangigen GroBen unbekannt sind und man daher auf Schdtzwerte angewiesen ist.
346
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen
In der nachfolgenden Tabelle 1 haben wir die Formeln fur die maximale Mefiunsicherheit {Maximalfehler des Mittelwertes) Azj^ax f^r einige in den technischen Anwendungen besonders haufig auftretende Funktionen zusammengestellt.
Tabelle 1: Maximale MeBunsicherheit (maximaler Fehler) des Mittelwertes fur einige besonders haufig auftretende Funktionen (C e IR)
Anmerkungen (1) Man beachte: Die GroBen Ax, Ay und Azj^^x sind Absolutwerte und besitzen daher die gleichen Dimensionen und Einheiten wie die MeBgroBen selbst. Dagegen sind ^
, \^\
I XI Iy I
und — ^ ^
relative bzw. prozentuale GroBen. Sie sind
I z I
daher dimensionslos, tragen keine Einheiten und werden meist in Prozenten angegeben. (2)
Entsprechende „lineare Fehlerfortpflanzungsgesetze" gelten auch fur Summen mit mehr als zwei Summanden und Potenzprodukte mit mehr als zwei Faktoren.
Beispiele (1)
Wir berechnen den Gesamtmderstand einer Reihenschaltung aus zwei ohmschen Widerstanden R^ = (100 3) Q und R2 = (150 4) Q sowie die maximale Mefiunsicherheit des Gesamtwiderstandes (Bild IV-45).
Bild IV-45 Reihenschaltung zweier ohmscher Widerstande R^ und R2
2 Partielle Differentiation
347
Nach den Kirchhoffschen Regeln ist R=f{R^;R2)
=
Ri+R2
Fiir den Mittelwert R des Gesamtwiderstandes R erhalten wir nach Formel (IV-112): R=f{R^;R2)
= Ri -\-R2 = ^00a+
150D = 250D
Die absolute bzw. prozentuale maximale Mefiunsicherheit {maximaler „Fehler") berechnen wir nach Tabelle 1 wie folgt (die Funktion ist vom Typ z = X + y): ^ ^ m a x == ARi
+ Ai^2 = 3 0 + 4 0 == 7Q
7Q —
— VAfAo 0 0^9 — Z,o '^ 90/ — /o
250 D Damit erhalten wir als Mefiergebnis: R= (2)
ARrn^^ = (250
Die Oberfldche 0 eines Zylinders laBt sich aus dem Radius r und der Hohe h nach der Formel 0=f(r;
h) = 2nr^ + 2nrh
bestimmen (Zyhnder mit Boden und Deckel). Es wurden folgende Werte gemessen: r = (10,5
0,2) cm,
h = (15,0
0,3) cm
Fiir den Mittelwert 0 erhalten wir den Wert O =f(f;h)
= 271 (10,5 cm) 2 + 271 (10,5 cm) • (15,0 cm) = = 1682,32 cm^;^ 1682 cm^
Fiir die Berechnung des maximalen „Fehlers'' (der maximalen Mefiunsicherheit) AOjnax benotigen wir noch die partiellen Ableitungen der Funktion. Sie lauten: —- = 4nr -\- 2nn, or
— = 2nr oh
80 _ —- (r; h) = 471 (10,5 cm) + 2 7C (15,0 cm) = 226,19 cm or 80 _ —-{r;h) = 2n (10,5 cm) = 65,97 cm oh
348
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen Der maximale ^Fehlef betragt dann nach Formel (IV-113)
ao.
^r-Af-
ar
90 _
hh + — dh
= (226,19 cm) • (0,2 cm) + (65,97 cm) • (0,3 cm) = = 65,03 cm^ ^ 65 cm^ Das Mefiergebnis fur die Oberflache 0 des Zylinders lautet damit: 0 =0
AOjnax = (1682
65) cm^
Der prozentuale „Maximalfehler'' betragt AO^ax 0
65 cm^ 1682 cm^ = 0,039 = 3,9%
3 Mehrfachintegrale In Band 1, Kapitel V hatten wir uns ausfuhrlich mit der Integration einer Funktion von einer unabhangigen Variablen auseinandergesetzt. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von einer gewohnlichen Integration und bezeichnet daher ein Integral vom Typ b
f(x)dx
als ein gewohnliches Integral.
In diesem Abschnitt wollen wir uns mit der Integration einer Funktion von mehreren unabhangigen Variablen, insbesondere mit der Integration einer Funktion von zwei bzw. drei Variablen, beschaftigen. Diese Erweiterung des Integralbegriffes wird uns zu den Mehrfachintegralen {Doppelintegralen, Dreifachintegralen) fiihren, die in den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen u.a. bei der Berechnung der folgenden GroBen auftreten: — — — — — —
Fldcheninhalt Schwerpunkt einer Fldche Fldchenmomente (Fldchentrdgheitsmomente) Volumen und Masse eines Korpers Schwerpunkt eines Korpers Massentrdgheitsmomente
Von groBer praktischer Bedeutung ist dabei, daB sich ein Mehrfachintegral auf mehrere nacheinander auszufiihrende gewohnliche Integrationen zuriickfuhren laBt. Legt man noch ein Koordinatensystem zugrunde, das sich der Symmetrie des Problems in besonders
348
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen Der maximale ^Fehlef betragt dann nach Formel (IV-113)
ao.
^r-Af-
ar
90 _
hh + — dh
= (226,19 cm) • (0,2 cm) + (65,97 cm) • (0,3 cm) = = 65,03 cm^ ^ 65 cm^ Das Mefiergebnis fur die Oberflache 0 des Zylinders lautet damit: 0 =0
AOjnax = (1682
65) cm^
Der prozentuale „Maximalfehler'' betragt AO^ax 0
65 cm^ 1682 cm^ = 0,039 = 3,9%
3 Mehrfachintegrale In Band 1, Kapitel V hatten wir uns ausfuhrlich mit der Integration einer Funktion von einer unabhangigen Variablen auseinandergesetzt. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von einer gewohnlichen Integration und bezeichnet daher ein Integral vom Typ b
f(x)dx
als ein gewohnliches Integral.
In diesem Abschnitt wollen wir uns mit der Integration einer Funktion von mehreren unabhangigen Variablen, insbesondere mit der Integration einer Funktion von zwei bzw. drei Variablen, beschaftigen. Diese Erweiterung des Integralbegriffes wird uns zu den Mehrfachintegralen {Doppelintegralen, Dreifachintegralen) fiihren, die in den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen u.a. bei der Berechnung der folgenden GroBen auftreten: — — — — — —
Fldcheninhalt Schwerpunkt einer Fldche Fldchenmomente (Fldchentrdgheitsmomente) Volumen und Masse eines Korpers Schwerpunkt eines Korpers Massentrdgheitsmomente
Von groBer praktischer Bedeutung ist dabei, daB sich ein Mehrfachintegral auf mehrere nacheinander auszufiihrende gewohnliche Integrationen zuriickfuhren laBt. Legt man noch ein Koordinatensystem zugrunde, das sich der Symmetrie des Problems in besonders
3 Mehrfachintegrale
349
gunstiger Weise anpaBt, so vereinfacht sich die Berechnung der Integrale oft erheblich (Verwendung sog. symmetriegerechter Koordinaten). Bei ebenen Problemen mit Kreissymmetrie etwa werden wir daher vorzugsweise Polar koordinaten, bei rotationssymmetrischen Problemen zweckmaBigerweise Zylinderkoordinaten verwenden.
3.1 Doppelintegrale 3.1.1 Definition und geometrische Deutung eines Doppelintegrals Den Begriff eines Doppelintegrals fiihren wir in anschaulicher Weise anhand eines geometrischen Problems ein. z=f{x;y) sei eine im Bereich (A) definierte und stetige Funktion mit f{x;y)'^0. Wir betrachten nun den in Bild IV-46 dargestellten zylindrischen Korper. Sein „Boden" besteht aus dem Bereich (A) der x, y-Ebene, sein „Deckel" ist die Bildflache von z=f{x;y). Die auf dem Rand des Bereiches (A) errichteten „Mantellinien" verlaufen dabei parallel zur z-Achse. Unser Interesse gilt nun dem Zylindervolumen V.
Bestimmung des Zylindervolumens (1)
Zunachst wird der Bereich (A) („Zylinderboden") in n Teilbereiche mit den Flacheninhalten AA^, AA2, ...,AA^ zerlegt. Der Zyhnder selbst zerfallt dabei in eine gleich groBe Anzahl von „Rohren".
350
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen
(2)
Wir beschaftigen uns nun naher mit der (wahllos herausgegriffenen) /c-ten Rohre. Ihr „Boden" ist eben und vom Flacheninhalt AAj^, ihr „Deckel" dagegen als Teil der Bildflache von z=f{x;y) i.a. gekrummt. Das Volumen AP^ dieser Rohre stimmt dann ndherungsweise mit dem Volumen einer Sdule uberein, die iiber der gleichen Grundflache errichtet wird und deren Hohe durch die Hohenkoordinate ^k =" fi^k'^ yk) ^^s Flachenpunktes Pj^ = (x^; yj^; z^) gegeben ist (Bild IV-47)^^: AV,,^zj,AAk=f{x^;yu)AAu
(IV-118)
Mit den iibrigen Rohren verfahren wir ebenso. Durch Aufsummierung der Rohrenbzw. Saulenvolumina erhalten wir schlieBlich den folgenden Ndherungswert fiir das gesuchte Zylindervolumen V: n
V=
^ k=l
n
A F , ^ ^ f{x,',yk)AAk
(IV-119)
k=\
i^kl yk) ist eine beliebige Stelle aus dem /c-ten Teilbereich. Der Punkt Pk liegt senkrecht iiber (x^; yk) auf der Bildflache der Funktion z = f{x; y).
3 Mehrfachintegrale (3)
351
Dieser Naherungswert laBt sich noch verbessern, wenn wir in geeigneter Weise die Anzahl der Rohren (Saulen) vergrofiern. Wir lassen nun die Anzahl n der Teilbereiche (und damit auch der Rohren) unbegrenzt wachsen {n -^ oo), wobei gleichzeitig der Durchmesser eines jeden Teilbereiches gegen Null streben soil. Bei diesem Grenzubergang strebt die Summe (IV-119) gegen einen Grenzwert, der als 2-dimensionales Bereichsintegral von f{x; y) iiber (A) oder kurz als Doppelintegral bezeichnet wird und fiir / ( x ; y) ^ 0 als Volumen V des zylindrischen Korpers (F) interpretiert werden darf. Wir definieren daher:
Anmerkungen (1)
Auch die symbolische Schreibweise
f{x; y)dA, die nur ein Integralzeichen ver-
wendet, ist moglich. Wir bevorzugen jedoch die Schreibweise mit dem doppelten Integralzeichen. Sie soil uns daran erinnern, daB bei einem Doppelintegral die Integration iiber einen 2-dimensionalen, d.h. fldchenhaften Bereich zu erstrecken ist. (2)
Wir fiihren noch folgende Bezeichnungen ein: X, y: f(x; y): dA: (A):
Integrationsvariable Integrandfunktion (kurz: Integrand) Fldchendifferential oder Fldchenelement Integrationsbereich
(3)
Fiir den Begriff ^Doppelintegral" sind auch folgende Bezeichnungen iiblich: 2-dimensionales Bereichs- oder Gebietsintegral, zweifaches Integral, Fldchenintegral.
(4)
Der Grenzwert (IV-120) ist vorhanden, wenn der Integrand f{x;y) schlossenen) Integrationsbereich (A) stetig ist.
im (abge-
352
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen
3.1.2 Berechnung eines Doppelintegrals 3.1.2.1 Doppelintegral in kartesischen Koordinaten Wir warden in diesem Abschnitt anhand einfacher geometrischer Uberlegungen zeigen, wie man ein Doppelintegral
fix;y)
dA durch zwei nacheinander auszufiihrende ge-
wohnliche Integrationen berechnen kann. Der Rechnung legen wir dabei kartesische Koordinaten zugrunde und beschranken uns zunachst auf Integrationsbereiche, die die in Bild IV-48 skizzierte Gestalt besitzen. Ein solcher „normaler" Integrationsbereich (A) laBt sich durch die Ungleichungen fui^)^y^foM,
a^x^b
(IV-121)
beschreiben, wobei >^^ = /^^ (x) die untere und y^ = f^ (x) die obere Randkurve ist und die seitlichen Begrenzungen aus zwei Parallelen zur y-Achse mit den Funktionsgleichungen X = a und x = b bestehen.
Bild IV-48 Integrationsbereich (A) mit eingezeichnetem Flachenelement dA = dx dy
Das Flachenelement dA besitzt in der kartesischen Darstellung die geometrische Form eines Rechtecks mit den infinitesimal kleinen Seitenlangen dx und dy. Somit ist dA = dxdy
(IV-122)
(vgl. hierzu Bild IV-48). tjber diesem Flachenelement hegt eine (quaderformige) Sdule mit dem infinitesimal kleinen Rauminhalt dV = zdA =f{x; y) dx dy =f{x; y) dy dx
(IV-123)
(Bild IV-49).Das Volumen V des in Bild IV-49 skizzierten Zy/mJ^rs (V) berechnen wir nun schrittweise durch Summation der Saulenvolumina.
3 Mehrfachintegrale
353
Bild IV-49 Zylindrischer Korper mit einer Saule vom Volumen dV = f{x; y) dy dx
Bild IV-50 Zylindrischer Korper mit einer Volumenschicht (Scheibe) der Dicke dx
354
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen
1. Integrationsschritt Wir betrachten eine im Zylinder liegende Volumenschicht (Scheibe) der Breite dx, wie in Bild IV-50 dargestellt. Sie entsteht, wenn in der }^-Richtung Sdule an Sdule gereiht wird, bis man an die beiden Randkurven y^^ = /„ (x) bzw. y^ = f^ (x) des Bereiches {A) stoBt. Dieses Vorgehen haben wir in Bild IV-51 durch Pfeile gekennzeichnet. Die infinitesimal diinne Scheibe liegt dann im Zylindervolumen iiber dem skizzierten Streifen der Breite dx.
Bild IV-51 Die iiber den Flachenelementen dA errichteten Saulen dV ergeben durch Summation die in Bild IV-50 skizzierte Volumenschicht der Dicke dx
Das VolumenrfV'scheibedieser Scheibe erhalten wir dann durch Summation aller in der Volumenschicht gelegener Saulenvolumina, d.h. durch Integration von dV = f{x; y) dy dx^^ in der y-Richtung zwischen der unteren Grenze y = /^^(x) und der oberen Grenze y = fo W • /
foix)
dV,Scheibe
dV = y=fu{x)
foix)
f{x;y)dy\
dx
(IV-124)
\y = fu{x)
Da wir zuerst in der y-Richtung und erst anschliefiend in der x-Richtung summieren (integrieren), schreiben wir auch die Differential in dieser Reihenfolge: Also zuerst dy, dann dx.
3 Mehrfachintegrale
355
Bei der Integration von f{x; y) nach y wird die Variable x als eine Art Konstante (Parameter) betrachtet. Mit anderen Worten: Die Funktion f{x;y) wird wahrend der Integration als eine nur von y abhangige Funktion angesehen. Es handelt sich somit um eine gewohnliche Integration nach der Variablen y. Neu dabei ist, daB die Integrationsgrenzen keine Konstanten (Zahlen) mehr sind, sondern noch von der Variablen x abhangige Funktionen darstellen, die aber wie Zahlen in die ermittelte Stammfunktion eingesetzt werden. Das Ergebnis dieser sog. inneren Integration (Integration nach der Variablen y) ist eine noch vom „Parameter" x abhangige Funktion. 2. Integrationsschritt Nun setzen wir Volumenschicht an Volumenschicht, bis der Zylinder vollstandig ausgefiillt ist. Mit anderen Worten: Wir summieren, d.h. integrieren in der x-Richtung iiber alle zwischen den Grenzen x = a und x = b liegenden Scheiben. Fur das Zylindervolumen erhalten wir dann: W) f{x;y)dA
v=
f{x;y)dy\
dV,Scheibe
dx
(IV-125)
-fuix)
(A)
Bei dieser sog. dufieren Integration handelt es sich um eine gewohnliche Integration einer von X abhangigen Funktion in den Grenzen von x = a bis x = b. Vereinbart man, daB bei einem Doppehntegral die Integrationen in der Reihenfolge der Differentiale ausgefuhrt werden und daB dabei zur inneren Integration die Grenzen des inneren Integrals, zur dufieren Integration die Grenzen des dufieren Integrals gehoren, so darf man die Klammer im Doppehntegral (IV-125) fortlassen und verkiirzt (aber eindeutig!) schreiben: b
foix)
f{x; y) dy dx
f{x;y)dA (A)
x=a
y=fu{x)
Inneres Integral AuBeres Integral
(IV-126)
356
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen
Wir fassen diese wichtigen Aussagen zusammen:
Anmerkungen (1)
Merke: Beim Doppelintegral (IV-127) wird von innen nach aufien integriert, d.h. zuersthQzvi^ichdQV Variablen y und J<2nn erst nach der Variablen x. Dielntegrationsgrenzen des inner en Integrals sind dabei von x abhangige Funktionen, die Grenzen des dufieren Integrals dagegen Konstanten (Zahlen).
(2)
Die Reihenfolge der Integrationen ist eindeutig durch die Reihenfolge der Differentiate im Doppelintegral festgelegt! Sie ist nur dann vertauschbar, wenn sdmtliche Integrationsgrenzen konstant sind (rechteckiger Integrationsbereich, Bild IV-52): yi
yi
f{x; y) dy dx =
^2
fix;
y)dxdy
(IV-128)
3 Mehrfachintegrale
357
Im allgemeinen jedoch gilt: Bei einer Vertauschung der Integrationsreihenfolge in einem Doppelintegral
/ ( x ; j ; ) ^ ^ miissen die Integrationsgrenzen jeweils neu
bestimmt werden.
Bild IV-52 Rechteckiger Integrationsbereich
(3)
Der Integrationsbereich (A) besitzt im allgemeinen die in Bild IV-53a) skizzierte Gestalt, d.h. er wird „oben" und „unten" durch zwei Kurven y = f^{x) und y = fu (^) und seitlich durch zwei zur _y-Achse parallele Geraden x = a und x = b begrenzt (sog. kartesischer Normalbereich).
Bild IV-53 Kartesische Normalbereiche
358 (4)
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen Bei einem Doppelintegral vom Typ
/ ( x ; y)dx dy y=a
(IV-129)
x = g^{y)
wird zundchst nach x und erst anschliefiend nach der Variablen y integriert. Der Integrationsbereich {A) besitzt dann die in BildIV-53b) skizzierte Gestalt. Die inner en Integrationsgrenzen sind dabei im Regelfall Funktionen der Variablen y. (5)
Fiir / ( x ; y) = 1 erhalten wir einen iiber dem Bereich {A) liegenden Zylinder der H5he z = 1. Sein Volumen ist durch das Doppelintegral foix)
foix)
1 dy dx =
dA = x=a
(A)
b
X =a
y=fu{x)
(IV-130)
dy dx y = fu{x)
gegeben. Zahlenmdfiig beschreibt dieses zweifache Integral zugleich auch den Fidcheninhalt des Bereiches (A). Wir kommen im Anwendungsteil darauf zuriick (Abschnitt 3.1.3.1).
Beispiele Hinweis: Die bei der Berechnung der Doppelintegrale anfallenden (gewohnlichen) Integrale werden der Integraltafel der Formelsammlung entnommen (Angabe der jeweiligen Integralnummer). Diese Regelung gilt im gesamten Kapitel, also auch fiir die spater behandelten Dreifachintegrale. 7c/4
1
(1)
X • cos{2y) dy dx.
Wir berechnen das Doppelintegral y=0
x=0
Innere Integration {nach der Variablen y)\ n/4
n/i
X • cos {2y)dy = X '
cos (2 y)dy = X
y= 0
y=0
Integral Nr. 228 Aufiere Integration {nach der Variablen x): 1
1 -X dx = -
x= 0
2
2
X dx =
1 1
1_1
o"4
1
71/4
1
Jy = 0
2
• sin (2 y)
3 Mehrfachintegrale
359 71/4
1
X ' cos (2 y) dy dx
Ergebnis: y^O
x=0
Da das Doppelintegral konstante Integrationsgrenzen hat, darf die Reihenfolge der Integrationsschritte vertauscht werden. Wir integrieren jetzt in der umgekehrten Reihenfolge, d.h. zuerst nach x und dann nach y. Innere Integration {nach der Variablen x):
X • cos (2 y) dx = cos (2 y) •
X dx — cos (2 y)
1
1
x = 0
x-0
x= 0
= --cos(23;) Aufiere Integration {nach der Variablen y): 71/4
7r/4
1 1 Y^o^{2y)dy = ^
cos (2 }^) ^3^ =
1 1
7l/4
1
• sin (2 _y) 0
^4
0
Integral Nr. 228 Somit ist 7c/4
1
7r/4 X • COS ( 2 _y) ^ y ^ x
;c = 0
1 X • cos (2 y) dx dy =
=
y^O
(2)
1
y=0
x=0
X3;ci};rfx = ? X= 0
y = X
Innere Integration {nach der Variablen y):
xy dy — X
y dy = X
1
1 Jy
y= x
y= x
=
-(x2-x3)
1
XI-X--X =X
2 U-
360
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen Aufiere Integration {nach der Variablen x): 1 1 - ( x ^ — x^)dx = 2 2
{x^ — x^)dx =
1
r -4^ 1 = 24
x= 0
Ergebnis:
xy dy dx = X = 0
y = X
1,5
(3)
1 24
5y
Beim Doppelintegral
}^ • e^ ^x Jj; wird zuerst nach der Variablen y=0
x=l
X und anschliefiend nach der Variablen 3; integriert. Innere Integration (nach der Variablen x): 5y
5y 5y
y • e^ dx = y •
Q^ dx = y
= y{Q^y
—
Q) =
y-Q^y 5y. — Qy
x =1 x =1
x = l
Aufiere Integration {nach der Variablen y): 1,5 .5y
{y ' Q^^ — Qy)dy
=
e"-^ e ^ ^(5.-1)-^.^
1,5
= 467,07
y^O
Integral Nr. 313 1,5
5y
Ergebnis:
y'Q''dxdy y=0
= 467,01
x=1
3.1.2.2 Doppelintegral in Polarkoordinaten f{x;y)dA
In vielen Fallen vereinfacht sich die Berechnung eines Doppelintegrals (A)
erhebhch, wenn man an Stelle der kartesischen Koordinaten x und y die Polarkoordinaten r und cp verwendet ^^^. 10)
Die Polarkoordinaten wurden bereits in Band 1, Abschnitt IIL3.3 ausfiihrlich behandelt.
3 Mehrfachintegrale
361
Zwischen ihnen besteht dabei der folgende Zusammenhang (Bild IV-54): X = r • cos (p, y = r • sincp
(r ^ 0, 0 ^ cp < 2 TT)
(IV-131)
Bild IV-54 Zusammenhang zwischen den kartesischen Koordinaten x, y und den Polarkoordinaten r, (p
Die Funktionsgleichung einer Kurve lautet in der Polarkoordinatendarstellung r = f{(p) Oder r = r{(p). Eine von zwei Variablen x und y abhangige Funktion z=f{x;y) geht bei der Koordinatentransformation (IV-131) in die von r und (p abhangige Funktion z = f (x; y) = f {r • cos cp; r • sin cp) = F{r; cp)
(IV-132)
liber. Die bei Doppelintegralen in Polarkoordinatendarstellung auftretenden Integradonsbereiche (A) besitzen die in Bild IV-55 skizzierte Gestalt. Sie werden von zwei Strahlen cp = cpi und (p = (p2 sowie einer inner en Kurve r = r^((p) und einer dufieren Kurve r = ra W) begrenzt und lassen sich durch die Ungleichungen (IV-133)
(Pl^(p^(p2 beschreiben.
Bild IV-55 Integrationsbereich {A) in Polarkoordinaten (Normalbereich)
362
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen
Das Fldchenelement dA wird in der Polarkoordinatendarstellung von zwei infinitesimal benachbarten Kreisen mit den Radien r und r -\- dr und zwei infinitesimal benachbarten Strahlen mit den Polarwinkeln cp und cp -\- dcp berandet (Bild IV-56). Dabei gilt: dA = (r dcp) dr = r dr dcp
(IV-134)
Bild IV-56 Flachenelement dA in Polarkoordinaten
Bin Doppelintegral sehen:
f{x; y)dA besitzt somit in Polarkoordinaten das folgende Aus(A) (Pi
fix;y)dA (A)
rM
f{r ' cos (p; r • sin (p)' r dr dcp
= (P = (Pi
(IV-135)
r = riicp)
Die Integralberechnung erfolgt wiederum von innen nach aufien. Zuerst wird nach der Variablen r zwischen den beiden Randkurven r = ri (cp) und r = r^ {cp) integriert (inner e Integration), anschliefiend nach der Winkelkoordinate cp zwischen den Strahlen cp = (pi und (p = (P2 [dufiere Integration).
f{x;y)dA
Die Variablentransformation {x; y)-^ {r; (p) in einem Doppelintegral (A)
wird also vollzogen, indem man x = r - cos cp, y = r - sincp und dA = r dr dcp setzt. Die Integrationsgrenzen miissen dabei (z.B. anhand einer Skizze) neu bestimmt und ebenfalls in Polarkoordinaten ausgedriickt werden.
3 Mehrfachintegrale
363
Wir fassen die wesentlichen Ergebnisse zusammen:
Beispiele (1)
Welchen Wert besitzt das Doppelintegral
x}; J ^ fiir den in Bild IV-57 {A)
dargestellten Integrationsbereich {Achtelkreisfldche, Radius r = 2)1
Bild IV-57 Zur Integration iiber eine Achtelkreisflache
364
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen Losung: Bei Verwendung von Polarkoordinaten transformiert sich der Integrand f{x;y) = xy wie folgt: / ( x ; y) = xy = (r ' cos cp) - {r • sin cp) = r-^ - sin cp • cos cp Die Integrationsgrenzen des Bereiches (A) bestimmen wir anhand von Bild IV-57: r-Integration: Von r = 0 bis r = 2 (p-Integration: Von cp = 0 bis (p = n/4 Das Doppelintegral lautet somit in der Polarkoordinatendarstellung: 2
7i/4
r^ • sincp ' cos cp dr dcp
xy dA = (p = 0
[A)
r= 0
(dA = r dr dcp). Wir fiihren nun die beiden Integrationsschritte durch. Innere Integration (nach der Variablen r): 2
2
r^ ' sincp • cos (p dr = sin cp - cos cp
r^ dr =
r= 0
r =0
= 4 • sin (/) • cos (p
= sincp ' cos (p r= 0
Aufiere Integration {nach der Variablen cp): n/4
n/4
n/4
4 • sin (/) • cos (p dcp = 4 •sin (p • cos (p dcp = 4 • sin^ cp
=1
(p = 0
Integral Nr. 254 n/4
r^ • sin cp • cos cp dr dcp = 1
xy dA =
Ergebnis: (A)
(2)
2
(p = 0
r = 0
Durch Drehung der Parabel z = 4 — x^ um die z-Achse entsteht der in Bild IV-58 skizzierte Rotationskorper, dessen Bodenflache in die x, y-Ebene fallt. Wir berechnen sein Volumen.
3 Mehrfachintegrale
365
Die Rotationsfldche z = A — {x^ -^ y'^) lautet in Polarkoordinaten: z = 4 — (r^ • cos^ (p -\- r-^' sin^ cp) = 4 — r-^ (cos-^ cp + sin^ cp) = 4 — r-^ 1 Integrationsbereich ist die in der x, y-Ebene gelegene Kreisflache 0 ^ r ^ 2, 0 ^ ^ < 271. Die Integrationsgrenzen lauten somit: r-Integration: Von r = 0 bis r = 2 (p-Integradon: Von (/) = 0 bis cp = 2n
Bild IV-58 Rotationsparaboloid z = 4 — r"^
Fur das gesuchte Rotationsvolumen gilt dann: 2n
f{x;y)dA
v= [A)
=
2
(4 — r^) • r dr dcp
:dA = {A)
(p = 0
r= 0
Die Berechnung dieses Doppelintegrals in Polarkoordinaten erfolgt in zwei nacheinander auszufiihrenden gewohnlichen Integrationsschritten (zuerst wird nach r, dann nach cp integriert). Innere Integration (nach der Variahlen r)\ 2
2
(4-r^)-rdr=
{4r ~r^)dr = 2r^--r^
=4 r = 0
r=0
r=0
366
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen Aufiere Integration {nach der Variablen cp): In
In
d(p = 4 (p
4d(p = 4 • (p = 0
2n
0
0
Das Rotationsvolumen betragt somit F = STT.
3.1.3 Anwendungen Wir beschaftigen uns in diesem Anwendungsteil mit der Berechnung der folgenden GroBen unter Verwendung von Doppelintegralen: — Fldcheninhalt — Schwerpunkt einer Fldche — Fldchenmomente (auch Fldchentrdgheitsmomente genannt) Bei der Herleitung der Integralformeln gehen wir dabei stets von den in Bild IV-59 und IV-60 dargestellten Flachen aus. Bin solcher Integrationsbereich wird auch als „Normalbereich" bezeichnet.
Bild IV-59 Kartesischer Normalbereich
Bild IV-60 Normalbereich in Polarkoordinaten
3.1.3.1 Flacheninhalt Der Fldcheninhalt A eines (kartesischen) Normalbereichs {A) laBt sich nach dem „Baukastenprinzip" aus infinitesimal kleinen rechteckigen Fldchenelementen vom Flacheninhalt dA = dy dx zusammensetzen. Wir betrachten nun einen in der Flache liegenden und zur y-Achse parallelen Streifen der Breite dx (Bild IV-61). Den Flacheninhalt
367
3 Mehrfachintegrale
Bild IV-61 Durch Summation der eingezeichneten Flachenelemente dA zwischen den Randkurven y = fu M ^^^ y = fo M erhalt man einen Streifen der Breite dx
Summation der Flachenelemente bedeutet eine Integration in der y-Richtung zwischen der unteren Grenze y = / M ( X ) und der oberen Grenze y = fo{x). Der Flacheninhalt eines solchen infinitesimal schmalen Streifens betragt somit:
/.W
foix)
dA Streifen
dA
dy\ dx
(IV-138)
,y=fu{x)
y=fuix)
Jetzt summieren, d.h. integrieren wir iiber samtliche Streifenelemente zwischen x = a und X = b. Die horizontalen Pfeile in Bild IV-62 sollen diesen Vorgang verdeuthchen. Als Ergebnis erhalten wir den Flacheninhalt A (dargestellt durch ein Doppelintegral): foix)
dA
dA>Streifen
dy dx x =a
(A)
(IV-139)
y=fu{x)
Bei Verwendung von Polarkoordinaten lautet die entsprechende Integralformel fiir den in Bild IV-60 dargestellten Flachenbereich (Normalbereich): (Pi
rai(p)
A =
r dr d(p (P = (Pi
r = ri((p)
(IV-140)
368
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen
Bild IV-62 Durch Summation iiber samtliche Streifen zwischen x = a und x = b erhalt man den gesuchten Flacheninhalt A
Wir fassen zusammen:
3 Mehrfachintegrale
369
Anmerkungen (1)
Die innere Integration (nach der Variablen y) laBt sich beim Doppelintegral (IV142) sofort ausfuhren. Wir erhalten die bereits aus Band 1, Abschnitt V. 10.2.2 bekannte Darstellung durch ein gewohnliches Integral:
A=
(2)
lfoi^)-fuM]dx
(IV-144)
Auch in der Polarkoordinatendarstellung (IV-143) kann das innere Integral sofort bestimmt werden: ra{(p)
r dr =
1
'ai^)
1
.
.
(IV-145)
r = ri{(p)
Der Flacheninhalt A kann daher auch hier mit Hilfe eines gewohnlichen Integrals berechnet werden: (P2
A=
[r^{(p)-r^{cp)]d
(IV-146)
Beispiele (1)
Wir berechnen den Flacheninhalt einer Mittelpunktsellipse mit der Gleichung b-^ x-^ -\- a^ y-^ = a-^ b-^ mit Hilfe eines Doppelintegrals.
Bei der Integration beschranken wir uns auf den im 1. Quadrant gelegenen grau unterlegten Teil (Bild IV-63). Das Flachenstiick wird somit unten von
370
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen der x-Achse {y = 0) und oben von der Kurve y = -- \la^ — x^ berandet, a die x-Werte bewegen sich dabei zwischen x = 0 und x = a. Die Integrationsgrenzen lauten somit: Von y = 0 bis y = -- v ^ ~ ^ ' a
y-Integration:
x-Integration: Von x = 0 bis x = a Nach der Integralformel (IV-142) ist dann: b
• V?^^ dy dx
A = 4' x=0
y=0
Wir fiihren nun die einzelnen Integrationsschritte nacheinander aus. Innere Integration {nach der Variablen y)\ h
•Ja'-x' -•Ja'-x' a
dy =
3; = 0
b
_- _ ,
la^-x^
^
y = 0
Aufiere Integration {nach der Variablen x):
I^^
•^ — x-^ dx =
a
-'
V«^ — x-^ dx =
x= 0
Integral Nr. 141
=^[K"^
^ — x^ + a-^ • arcsin
^
nab
Der Flacheninhalt der Ellipse betragt somit b
•V^ dy dx = 4 ' —— = nab
A = A' x=0
(2)
y=0
Wir berechnen die im I. Quadrant gelegene Flache zwischen der Kreislinie x-^ -\- y-^ = 25 und der Geraden y = — x + 5 {grau unterlegtes Flachenstuck in Bild IV-64).
371
3 Mehrfachintegrale
Das Flachenstiick wird unten von der Geraden und oben vom Kreisbogen berandet. Die Schnittpunkte beider Kurven liegen bei x^ = 0 und X2 = 5. Damit ergeben sich die folgenden Integrationsgrenzen: y-Integration:
Von y = — x -\- 5 bis y
x-Integration:
Von x = 0 bis x = 5
^25-
Fiir den Fldcheninhalt A erhalten wir nach der Integralformel (IV-142) das Doppelintegral /25 - x^
dy dx
A= x=0
);=—x + 5
das wir nun schrittweise berechnen. Innere Integration {nach der Variablen y): /25 - x^
dy =
U25-X' \y= - X + 5
=
y = _X + 5
/25-x^ + x - 5
j25-x'
( - x + 5) =
372
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen Aufiere Integration {nach der Variablen x): 5
{V25-x^ -\-x-5)dx
=
x = 0 5
-Ix'
yJlS-x^
+ 25 • arcsin ( ^ J | + - x ^ - 5 0
1 1 = - • 25 • arcsin 1 + - • 25 - 25 = 7,13 2 2 (unter Verwendung von Integral Nr. 141) Ergebnis: A = 1,13 (3)
Die Kardioide r (cp) = 1 + cos cp berandet im Intervall 0 ^ cp < 2 TI das in Bild IV-65 dargestellte Flachenstiick, dessen Fldcheninhalt wir nun berechnen wollen.
Bild IV-65 Kardioide r = 1 + cos cp {0^(p< In)
Anhand der Skizze erkennen wir, daB r^ {(p) ^ 0 und r^ {(p) = \ -\- cos (p ist. DerPolarwinkel cp bewegtsichdabeizwischen (p == 0 und cp = In. DieIntegrationsgrenzen lauten somit: r-Integration:
Von r = 0 bis r = 1 + cos cp
cp-Integration: Von cp = 0 bis cp = 2n
373
3 Mehrfachintegrale Somit ist nach Integralformel (IV-143): 1 + cos(p
2n
r dr d(p
A= (p = 0
r=0
Wir berechnen dieses Doppelintegral in der bekannten Weise durch zwei nacheinander auszufiihrende gewohnliche Integrationen. Innere Integration {nach der Variablen r): 1 + COS(p
1 + COS(/)
'dr = r=0
\
= -{\ ^
+COS(p)^
r= 0
Aufiere Integration (nach der Variablen cp): In
In 1 1 -(1 +cos(p)2j(p=--
(1 + 2 • COS (/) + cos-^ (p) d(p =
(p = 0
In 1 1 (p -\- 2 ' sin (p -\- - (p -\- - ' sin (2 (p)
3
(unter Verwendung von Integral Nr. 229) 3 Die Kardioide begrenzt somit ein Flachenstiick vom Fldcheninhalt A = -n.
3.1.3.2 Schwerpunkt einer Flache Dieses Thema wurde bereits in Band 1, Abschnitt V.10.8.2 ausfiihrlich behandelt. Fiir die Schwerpunktskoordinaten x^ und y^ einer homogenen ebenen Flache vom Flacheninhalt A konnten wir dabei die Integralformeln^^^ 1 ^5 =
^J (A)
XdA,
y^ =
1
y dA
(IV-147)
(A)
11) Es handelt sich um die Gleichungen (V-157) aus Band 1. Allerdings verwenden wir jetzt verabredungsgemaB ein doppeltes Integralzeichen, da die Integration iiber einen 2-dimensionalen, d.h. fldchenhaften Bereich erfolgt.
374
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen
herleiten (Bild IV-66). Bei Verwendung kartesischer Koordinaten ist dA = dy dx zu setzen, bei Verwendung von Polarkoordinaten setzen wir x = r • cos cp, y = r • sin cp und dA = r dr d(p. Die Koordinaten x^ und y^ des Fldchenschwerpunktes S lassen sich dann fiir die in den Bildern IV-59 und IV-60 skizzierten Normalbereiche mit Hilfe der folgenden Doppelintegrale berechnen:
3 Mehrfachintegrale
375
Bild IV-66 Zur Berechnung des Schwerpunktes S einer homogenen Flache
Anmerkungen (1)
In den Doppelintegralen (IV-149) ist die innere Integration nach y sofort durchfixhrbar. Wir erhalten die bereits aus Band 1, Abschnitt V.10.8.2 bekannten gewohnlichen Integralformeln
^5 = ^ ' p [ / o W - / u W ] ^ ^ (IV-151)
ys =
(2)
^-\[fo^M-fuM]dx
Auch in der Polarkoordinatendarstellung (IV-150) laBt sich die innere Integration nach der Variablen r sofort ausfiihren: (Pi
^9
=
[^a (^) - ^^ (^)] COS (p d(p
3A
(IV-152) (Pi
ys =
[r^ {(p) - rf ((/))] sin cp dcp
3A (Pi
376 •
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen Beispiele (1)
Wo liegt der Schwerpunkt S der Flache, die von der Parabel y = — x^ + 4 und der Geraden y = x -\- 2 begrenzt wird?
Bild IV-67 Zur Schwerpunktsberechnung der Flache, die von der Geraden y = X -\- 2 und der Parabel y = — x'^ + 4 begrenzt wird
Losung: Das Flachenstiick wird nach Bild IV-67 unten von der Geraden und oben von der Parabel begrenzt. Die Kurvenschnittpunkte liegen bei Xj = — 2 und X2 = 1. Damit ergeben sich folgende Integrationsgrenzen: y-Integration:
Von y = x -\- 2 bis y = — x ^ + 4
X'Integration:
Von x = — 2
bis x = 1
Wir berechnen nun zunachst den Fldcheninhalt A und anschlieBend die Lage des Fldchenschwerpunktes S = (x^l ys)-
Berechnung des Flacheninhaltes A nach (IV-142) 1
A
-I
X= — 2
- x^ + 4
dy dx y = X + 2
Innere Integration (nach der Variablen y): -x^ + 4
y^x
1
+2
dy •=
I
x^ + 4
= _ x ^2 +I 4/i -_ ( xr ^ +I 02\ )_ = _- x^ ^2 - x + 2 y= X + 2
377
3 Mehrfachintegrale Aufiere Integration {nach der Variablen x): 1
{—x-^ — X -^ 2)dx =
1 . 1 . -x"^ --x^ 3 2
+ 2x
-2
x=
= 4,5
J-2
Ergebnis: ^ = 4,5
Berechnung der Schwerpunktskoordinate x^ nach (IV-149) 1
-x^+4
1 ^S =
X dy dx
4^5 X = —2
y = X + 2
Innere Integration {nach der Variablen y): -x^ + 4
-x^ + 4
-x^ + 4
dy = X
X dy = X
y=x + 2 y = X -\- 2
y = X + 2
= x [ - x ^ + 4 - ( x + 2)] = - x ^ - x ^ + 2x
Aufiere Integration {nach der Variablen x): 1
(—x^ —x^ + 2 x ) J x = x=
4
-X^
^ 1
2
X*' + X^
-2
1 Ergebnis: x^ = - — (— 2,25) = — 0,5
Berechnung der Schwerpunktskoordinate y^ nach (IV-149) 1
-x^ + 4
y dy dx
ys-- 4,5 X= — 2
y = X -\- 2
= - 2,25
378
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen Innere Integration {nach der Variablen y): -x^ + 4 -x^ + 4
ydy =
y'
^
= r [ ( - x 2 + 4)2-(x + 2)2] = y=x+2
^
y=x + 2
Aufiere Integration {nach der Variablen x)\ 1
(x^ - 9 x ^ - 4 x 4 - 1 2 ) J x x=
-2
1 :x^ - 3x^ - 2 x ^ + 12x
10,8 -2
1 Ergebnis: j ; ^ = —- • 10,8 = 2,4 Der Fldchenschwerpunkt liegt somit in S = (—0,5; 2,4). (2)
Wir berechnen den Schwerpunkt eines Viertelkreises vom Radius R (Bild IV-68).
Bild IV-68 Zur Schwerpunktsberechnung eines Viertelkreises
Aus Symmetriegrunden liegt der Schwerpunkt S = {x^; ys) auf der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten (y = x). Daher ist x^ = ys- Im Winkelbereich 0 ^ cp ^ n/2 ist rj-((/)) = 0 und r^(cp) = R. Die Integrationsgrenzen lauten somit: r'Integration:
Von r = 0 bis r = i^
cp-Integration: Von (/) = 0 bis cp = 7r/2
379
3 Mehrfachintegrale
Die Berechnung der Schwerpunktskoordinate x^ nach Formel (IV-150) fuhrt nR' zu dem Doppelintegral unter Beriicksichtigung von A n/2
R
r^ • cos (p dr d(p
'''-~^' (p = 0
r=0
das wir schrittweise wie folgt losen: Innere Integration {nach der Variablen r):
r^ • cos (p dr = cos cp • r^ dr = cos (p r=0
R
I = - R^ • cos (p
r=0
r=0
^
Aufiere Integration [nach der Variablen cp): 71/2
71/2
(^ =
1 1 - K ^ • COS cp d(p=-R^ v^ v^ 3 03
xs = ^
4 TiR^
' cos (p dcp = - R^ sm (p
-/2
JO
1
,
3
1 ^ 4i^ ^ -R^ = — = 0,424i^ 3
371
Ergebnis: Schwerpunkt S = (0,4241?; 0,424 i?)
3.1.3.3 Flachenmomente (Flachentragheitsmomente) Fldchenmomente sind GroBen, die im Zusammenhang mit Biegeproblemen bei Balken und Tragern auftreten. Sie erinnern im formalen Aufbau ihrer Definitionsformeln an die in Band 1, Abschnitt V.10.9 behandelten Massentrdgheitsmomente und werden daher in der Technischen Mechanik auch als Flachentragheitsmomente oder Fldchenmomente 2. Grades (kurz: Fldchenmomente) bezeichnet und durch das Symbol / gekennzeichnet. Wir betrachten nun ein beliebiges, in einer Flache A gdQgQnQs Fldchenelement dA, dessen Lage wir durch die kartesischen Koordinaten x und y festlegen (Bild IV-69). Der Abstand des Flachenelementes vom Koordinatenursprung sei r. Fldchenmomente (Flachentragheitsmomente) sind auf bestimmte Achsen bezogene GroBen der Dimension (Lange)"^. Dabei wird noch zwischen axialen oder dquatorialen und polaren Flachenmomenten unterschieden. Bei einem axialen Flachenmoment liegt die Bezugsachse in der Flachenebene, wahrend sie bei einem polaren Flachenmoment senkrecht zur Flachenebene orientiert ist.
380
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen
Bild IV-69 Zum Begriff des Flachenmomentes (Flachentragheitsmomentes)
Wir behandeln zunachst die auf die Koordinatenachsen bezogenen Flachenmomente. DefinitionsgemaB wird dabei die infinitesimal kleine GroBe (IV-153)
dI^ = y^dA
als axiales Flachenmoment von dA beziiglich der x-Achse bezeichnet. Sie ist das Produkt aus dem Flachenelement dA und dem Quadrat des Abstandes, den das Flachenelement von der x-Achse besitzt. Durch Integration iiber die Gesamtflache A erhalten wir hieraus schlieBlich das axiale Flachenmoment I^ der Flache A beziiglich der x-Achse: /v
y^dA
dl,=
=
(A)
(IV-154)
(A)
Analog wird das axiale Flachenmoment ly der Flache A beziiglich der y-Achse als Bezugsachse definiert. Ausgehend von dem Beitrag dly = x^ dA
(IV-155)
eines Flachenelementes dA erhalten wir durch Integration das Flachenmoment der Gesamtflache:
'¥'^ {A)
x^dA
(IV-156)
[A)
Unter dem polar en Flachenmoment Ip einer Flache A, bezogen auf eine durch den Koordinatenursprung senkrecht zur Flachenebene verlaufende Bezugsachse (z-Achse), wird die wie folgt definierte GroBe verstanden:
h'\
(A)
r^dA
(IV-157)
(A)
dip = r'^ dA ist dabei der (infinitesimal kleine) Beitrag des Flachenelementes dA.
3 Mehrfachintegrale
381
Wegen r-^ = x^ + y^ {Satz des Pythagoras, vgl. hierzu Bild IV-69) besteht zwischen den beiden axialen und dem polaren Flachenmoment stets die Beziehung Ip = I, + Iy
(IV-158)
Fiir einen „normalen" Flachenbereich, wie er in Bild IV-59 bzw. Bild IV-60 dargestellt ist, nehmen die Integralformeln der Flachenmomente dann die folgende Gestalt an:
382
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen
Anmerkungen (1)
Man beachte, daB das polare Flachenmoment Ip stets die Summe aus den beiden axialen Flachenmomenten I^ und ly ist.
(2)
In den Integraldarstellungen (IV-161) und (IV-162) laBt sich die innere Integration sofort durchfiihren. Ftir die beiden axialen Flachenmomente beispielsweise erhalten wir dann (in kartesischen Koordinaten) die gewohnlichen Integrale b
1 ^x
\
b
[f0^M-fu^M]dX,
Iy = x'[fo{x)-fu{x)]dx
(IV-163)
a
(3)
Der von den Massentragheitsmomenten her bekannte Satz von Steiner laBt sich sinngemaB auch auf die Flachenmomente iibertragen (vgl. hierzu Band 1, Abschnitt V. 10.9.2). Fiir das Flachenmoment beziiglich einer im Abstand d zur Schwerpunktsachse parallel verlaufenden Bezugsachse gilt dann: I = Is + Ad^ (Z^: Flachenmoment beziiglich der Schwerpunktsachse; Bild IV-70).
Bild IV-70 Zum Satz von Steiner
(IV-164)
383
3 Mehrfachintegrale Beispiele (1)
Wir berechnen das polare Fldchenmoment Ip eines Halbkreises vom Radius R (Bild IV-71).
Im Winkelbereich 0 ^ cp ^n ist ri{(p) = 0 und r^{(p) = R. Dies fiihrt zu den folgenden Integrationsgrenzen: Von r = 0 bis r = R
r-Integration:
(p-Integration: Von (p = 0 bis cp = n Aus der Integralformel (IV-162) folgt dann fiir das polare Fldchenmoment Ip'. n
R
r^ dr dcp
Jp = q) = 0
r= 0
Wir losen dieses Doppelintegral durch zwei nacheinander auszufiihrende gewohnliche Integrationen. Innere Integration {nach der Variablen r): R
'^dr =
1
^
1
0
4
r= 0
Aufiere Integration (nach der Variablen cp):
-R^dcp^-R"^' 4 4 (^ = 0
Ergebnis: I^ = - R^
[d(p = -R^ J ^ 4
^
71
0
4
.
384
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen (2)
Die Querschnittsflache eines Balkens besitze das in Bild IV-72 skizzierte Profil (obere Berandung durch einen Parabelbogen). Man berechne das axiale Fidchenmoment 7^, bezogen auf die zur x-Achse parallele Schwerpunktsachse.
Bild IV-72 Profil mit parabelformiger Berandung
Losung: 1 ^ Die Gleichung der Parabel (obere Berandung) lautet y = — - x ^ + 10. Wir 6 haben sie mit dem Losungsansatz y = ax^ -\- b aus den beiden Parabelpunkten P^ = (0; 10) (Scheitelpunkt) und P2 = (6; 4) bestimmt. Damit ergeben sich die folgenden Integrationsgrenzen: 1 ^ b i s 3 ; = — - x ^ + 10 6
y-Integration:
Von y = 0
x-Integration:
Von x = — 6 bis x = 6
Wir bestimmen zuerst die Lage des Schwerpunktes S = {x^l ys)- Aus Symmetriegrunden ist x^ = 0. Fiir die Berechnung der Schwerpunktskoordinate y^ benotigen wir noch den Fldcheninhalt A. Er betragt 1 -x^ + lO 6 „ A=
6 dy dx = 2 x=0
^
1 --x^ + lO 6 dy dx = 96 y=0
3 Mehrfachintegrale
385
Die Integralformel (IV-149) liefert dann fiir y^ den folgenden Wert: x^ + lO
- - x ^ + 10 6
6
y dy dx
ys = 96 x=
-6
y dy dx =
48
y^O
x = 0
y = 0
201,6 = 4,2
48
Beide Doppelintegrale wurden dabei in der bekannten Weise berechnet (nachrechnen!). Der Schwerpunkt fallt damit in den Punkt S = (0; 4,2). Wir berechnen jetzt das axiale Fldchenmoment I^ und daraus unter Verwendung des Satzes von Steiner das gesuchte Fldchenmoment I^.
Berechnung von /^ --x^ + 10
6
f
y'^dydx = 2-
K = x=
-6
+ 10
(
y = 0
'''^
x=0
y-^ dy dx
y=0
Innere Integration [nach der Variablen y): 1 -x^ + 10
1 3'^
y^dy =
- ^ x ^ + lO
1 /
1
2
.A»
y = 0
- - — - x 6 + - x ^ - 5 0 x 2 + 1000 3 \ 216 6
Aufiere Integration {nach der Variablen x): 6
^ 3\
-T!^X^
216
+
T^"^
- 50x2 _^ 1000 Mx =
x = Q
1 „ 1 ^ 50 . - - — x ^ + - x ^ - — x ^ + lOOOx = 1170,3 1512 6 3 JO /^ = 2-1170,3 = 2340,6
386
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen Berechnung von Ig Mit /^ = 2340,6, A = 96 und d = y^ = 4,2 erhalten wir fiir das gesuchte Fldchenmoment I^ nach dem Satz von Steiner: I, =
Is^Ad^
l^ = l^_Ad^
= I^-
Ayl = 2340,6 - 96 • 4,2^ = 647,2
3.2 Dreifachintegrale Die Integration einer Funktion von zwei unabhangigen Variablen fuhrte uns zu dem Begriff eines Doppelintegrals. Den Integralwert konnten wir dabei in geometrisch-anschaulicher Weise als Volumen eines zylindrischen Korpers deuten. In diesem Abschnitt erweitern wir den Integralbegriff auf Funktionen von drei unabhangigen Variablen und gelangen so zu dem Begriff eines Dreifachintegrals, der jedoch keine geometrische Interpretation zulaBt. 3.2.1 Definition eines Dreifachintegrals Bei der Herleitung des Begriffes ,,DreifachintegraV' lassen wir uns nun von den folgenden Uberlegungen leiten:
Bild IV-73 Raumlicher Integrationsbereich (F) mit einem Teilbereich AK^
3 Mehrfachintegrale
387
u = f{x; y;z) sei eine im raumlichen Bereich (V) definierte und stetige Funktion. Den Bereich (auch Korper genannt) unterteilen wir zunachst in n Teilbereiche, mit dem /c-ten Teilbereich vom Volumen AF^ werden wir uns nun eingehender befassen. In diesem Teilbereich wahlen wir einen beliebigen Punkt Pj^ = {xj^; ykl^k) ^^^' berechnen an dieser Stelle den Funktionswert u^= fi^k'^ yk\^k) ^^^ bilden schlieBlich das Produkt aus Funktionswert und Volumen: /(x^; y^; z^) AF^ (Bild IV-73). Ebenso verfahren wir in den iibrigen Teilbereichen. Die Summe dieser Produkte, auch Zwischensumme Z„ genannt, betragt dann n
^n= Y. f^^k\yk\^k)^yk
(iv-165)
k= \
Wir lassen nun die Anzahl n der Teilbereiche unbegrenzt wachsen {n -^ oo), wobei gleichzeitig der Durchmesser (und damit auch das Volumen) eines jeden Teilbereiches gegen Null gehen soil. Bei diesem Grenziibergang strebt die Zwischensumme Z„ gegen einen Grenzwert, der als 3-dimensionales Bereichsintegral von / ( x ; y; z) liber (F) oder kurz als Dreifachintegral bezeichnet wird. Wir definieren daher:
Anmerkungen (1) In der mathematischen Literatur wird haufig auch die symbolische Schreibweise / ( x ; y;z)dV mit nur einem Integralzeichen verwendet. Wir bevorzugen jedoch (V)
die Schreibweise mit dem dreifachen Integralzeichen, um daran zu erinnern, daB die Integration iiber einen 3-dimensionalen, d.h. raumlichen Bereich zu erstrecken ist. (2)
Wir fuhren noch folgende Bezeichnungen ein: X, y, z: / ( x ; y, z)\ dV: (F):
Integrationsvartable Integrandfunktion (kurz: Integrand) Volumendifferential oder Volumenelement Rdumlicher Integrationsbereich oder Korper
(3)
Weitere, fiir den Begriff ,,DreifachintegraV' iibliche Bezeichnungen sind: 3-dimensionales Bereichs- oder Gebietsintegral, Volumenintegral, dreifaches Integral.
(4)
Der Grenzwert (IV-166) ist vorhanden, wenn der Integrand / ( x ; y;z) im Integrationsbereich (F) stetig ist.
388
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen
3.2.2 Berechnung eines Dreifachintegrals 3.2.2.1 Dreifachintegral in kartesischen Koordinaten Der Berechnung eines Dreifachintegrals \\\f(x;y;z)dV
legen wir zunachst ein kartesi-
(V)
sches Koordinatensystem und einen zylindrischen Integrationsbereich (F) zugrunde, der „unten" durch eine Flache z = Zj^{x; y) („Bodenflache") und „oben" durch eine Flache z = z^{x;y) („Deckelflache") begrenzt wird (Bild IV-74).
Bild IV-74 Zylindrischer Integrationsbereich {V) mit einem Volumenelement dV = dx dy dz
Die Projektion dieser Begrenzungsflachen in die x, y-EbQUQ fiihrt zu einem Bereich (A), der durch die Kurven y = fui^) und y = foi^) sowie die Parallelen x = a und x = b berandet wird und uns in dieser Form bereits von den Doppelintegralen her bekannt ist {fldchenhafter Normalbereich).
3 Mehrfachintegrale
389
Der zylindrische Integrationsbereich (V) kann somit durch die Ungleichungen z„ (x; y)^z^z^
(x; y),
/„ (x) ^ y ^ f^ (x),
(IV-167)
a^x^b
beschrieben werden. Das Volumenelement dV besitzt in der kartesischen Darstellung die geometrische Form eines Quaders mit den infinitesimal kleinen Seitenlangen dx, dy und dz. Somit ist dV — dx dy dz
oder
dV = dz dy dx
(IV-168)
(vgl. hierzu Bild IV-74). Ein Dreifachintegral
f{x;y;z)dV
iiber einem zylindrischen
(V)
Normalbereich (V) nach Bild IV-74 laBt sich dann durch drei nacheinander auszufiihrende gewohnliche Integrationen nach dem folgenden Schema berechnen: fo{x)
f{x;y;z)dV iv)
z„{x;y)
=
f{x; y; z) dz dy dx x=a
y = fu{x)
(IV-169)
z = z^{x;y)
I 1. Integration 2. Integration 3. Integration
Dabei wird wie bei den DoppeHntegralen von innen nach aufien integriert. Die Reihenfolge der Differentiale (hier: dz, dy, dx) bestimmt somit eindeutig die Integrationsreihenfolge: Zundchst wird nach der Variablen z, dann nach der Variablen y und schliefilich nach der Variablen x integriert, wobei die iibrigen Variablen jeweils als Parameter festgehalten werden. Wir beschreiben nun die einzelnen Integrationsschritte etwas eingehender.
1. Integrationsschritt Die Integration erfolgt zunachst nach der Variablen z, die Integrationsgrenzen sind dabei i.a. noch von x und y abhangige Funktionen, namlich: Untere Grenze: „Bodenflache" z = Zj^{x; y) Obere Grenze:
„Deckelflache" z = Zf^{x; y)
Wahrend der Integration werden x und y als Konstanten (Parameter) behandelt. Als Ergebnis der z-Integration erhalten wir dann eine nur noch von x und y abhangige Funktion.
390
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen
2. Integrationsschritt Jetzt wird beziiglich der Variablen y integriert, wobei die Variable x als konstant, d.h. als Parameter angesehen wird. Die Integrationsgrenzen sind die beiden Randkurven des (flachenhaften) Projektionsbereiches (.4) (vgl. hierzu Bild IV-74): Untere Grenze: Untere Randkurve y = fu{x) Obere Grenze:
Obere Randkurve y = foi^)
Das Ergebnis der };-Integration ist eine nur noch von der Variablen x abhangige Funktion. 3. Integrationsschritt Im dritten und letzten Integrationsschritt ist eine gewohnliche Integration bezuglich der Variablen x in den konstanten Grenzen von x = a bis x = b durchzufiihren. Wir erhalten eine Konstante {Zahl), die den Wert des dreifachen Integrals / ( x ; };;z)(iF darstellt. ''•'*' (V)
Zusammenfassend gilt:
Anmerkungen (1) Nach Ausfiihrung des 1. Integrationsschrittes, der z-Integration, ist aus dem dreifachen Integral (IV-170) ein Doppelintegral geworden. Der Integrationsbereich ist jetzt der (flachenhafte) Normalbereich (A), der durch die Projektion des zylindrischen Korpers {V) in die x, y-EbenQ entsteht (vgl. hierzu Bild IV-74). (2)
Die Integrationsreihenfolge ist nur dann vertauschbar, wenn sdmtliche Integrationsgrenzen konstant sind. Im allgemeinen jedoch gilt: Bei einer Vertauschung der Inte-
3 Mehrfachintegrale
391
grationsreihenfolge in einem Dreifachintegral (V)
grationsgrenzen jeweils neu bestimmt werden. (3)
f{x; y;z) dV miissen die Inte-
Fiir / ( x ; y; z) = 1 beschreibt das dreifache Integral (IV-170) das Volumen V des zylindrischen Korpers (V): b
dV = (K)
foix)
z,{x;y)
\
dz dy dx
x=a
y = fu{x)
(IV-171)
z = z^{x; y]
Im Anwendungsteil (Abschnitt 3.2.3.1) kommen wir auf dieses Thema nochmals zuriick.
Beispiel 2
X —y
X
r
r r
y • Q^ dz dy dx = 1 x=\ y=o z=0 1. Integrationsschritt
{Integration nach z):
X— y
X ~ y
x-y
y • Q^ dz = y
= y{Q^-y-l)
Q^ dz = y
y^Q^-y-y
=
z= 0
z=0
z=0
2. Integrationsschritt
(Integration nach y):
(j; • e-^ y -
y)dy
e--^(-3;_l)_
3;^
QX
^Z
Jy = 0 y= 0
(unter Verwendung von Integral Nr. 313) 3. Integrationsschritt
(Integration nach x):
2
Q^ — -x-^
— X - l]dx
=
.
1
3
e-^ — -x^
x= 1 2
X
X —y
Ergebnis:
y • Q^dz dydx = 1,004 X=l
y=0
z=0
1
2
x^ — X
1,004
_
y. _
^
392
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen
3.2.2.2 Dreifachintegral in Zylinderkoordinaten In den physikalisch-technischen Anwendungen treten haufig Korper mit Rotationssymmetrie auf Zu ihrer Beschreibung verwendet man zweckmaBigerweise Zylinderkoordinaten {r;(p;z), die sich der Symmetrie des Korpers in besonderem MaBe „anpassen". Man spricht in diesem Zusammenhang auch von symmetriegerechten Koordinaten. Auch die Berechnung eines Dreifachintegrals
f{x;y;z)dV
laBt sich in zahlreichen
(V)
Fallen bei Verwendung von Zylinderkoordinaten erheblich vereinfachen. Die Anwendungsbeispiele im nachfolgenden Abschnitt 3.2.3 werden dies noch belegen. Die Zylinderkoordinaten fiihren wir nun wie folgt ein: P = {x; y;z) sei ein beliebiger Punkt des kartesischen Raumes, P' = {x; y) der durch senkrechte Projektion von P in die x, y-Ebene erhaltene Bildpunkt. Die Lage von P ' konnen wir auch durch die Polarkoordinaten r und cp beschreiben. Sie bestimmen zugleich zusammen mit der Hohenkoordinate z in eindeutiger Weise die Lage des Raumpunktes P (Bild IV-75). Die drei Koordinaten r, cp und z WQvdenals Zylinderkoordinaten von P bezeichnet.
Bild IV-75 Zylinderkoordinaten eines Punktes P
3 Mehrfachintegrale
393
Anmerkungen (1) Man beachte: r und z sind Ldngenkoordinaten, cp dagegen ist eine Wn/ce//coorrfinate mit ^ ^ cp <2n {Hauptwert des Winkels). (2)
ZyUnderkoordinaten und kartesische Koordinaten besitzen als gemeinsame Koordinate die Hohenkoordinate z.
(3)
Die Zylinderkoordinate r ist der senkrechte Abstand des Punktes P von der zAchse. Daher gilt stets r ^ 0.
(4)
Die Zylinderkoordinate r wird haufig auch durch das Symbol p gekennzeichnet. Wir haben uns an dieser Stelle jedoch fiir das erstere Symbol entschieden, um Verwechslungen mit der Dichte p eines Korpers zu vermeiden.
Zwischen den kartesischen Koordinaten {x; y;z) und den Zy Under koordinaten {r;(p;z) bestehen dabei die folgenden Transformationsgleichungen (vgl. hierzu Bild IV-75): x = r-cos(p,
y = r-sin(p,
z=z
(IV-172)
z=z
(IV-173)
bzw. r = ^x^
+ y^,
tan (/) = - , X
Bild IV-76 Volumenelement dV in Zylinderkoordinaten
394
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen
Das Volumenelement dV besitzt in Zylinderkoordinaten die Form dV = (dA) dz = (r dr dcp) dz = r dz dr dip
(IV-174)
wie man unmittelbar anhand von Bild IN-16 erkennen kann. Fiir ein Dreifachintegral
(V)
erhalt man dann in Zylinderkoordinaten die
(V)
Darstellung f{x;y;z)dV
f{x;y;z)dV
f{r ' cos (p; r - sin cp; z) • r dz dr dcp
=
(IV-175)
(V)
Der Integrand ist jetzt eine von r, (p und z abhangige Funktion, die Integration erfolgt durch drei nacheinander auszufiihrende gewohnliche Integrationen in der Reihenfolge z,r,(p. Wir fassen die Ergebnisse zusammen:
Anmerkung Die Variablentransformation {x; y; z) ^ {r; cp; z)
I
f{x;y;z)dV
in einem
wird durchgefuhrt, indem man x = r-cos(p,
dreifachen Integral y = r'sin(p
und
(V)
dV = r dz dr dcp setzt. Die z-Koordinate bleibt dagegen unverdndert erhalten. Die Inte-
3 Mehrfachintegrale
395
grationsgrenzen miissen jedoch neu hestimmt und in ZyUnderkoordinaten ausgedriickt werden (vgl. hierzu die im Anwendungsteil, Abschnitt 3.2.3 folgenden Beispiele). Rotationssymmetrische Korper spielen - wir batten es bereits zu Beginn dieses Abschnitts erwahnt - in den Anwendungen eine besondere Rolle. Die Mantelfldche eines solchen Rotationskorpers, auch Rotationsfldche genannt, entsteht dabei durch Drehung einer Kurve z = f{x) um die z-Achse, die damit auch zugleich Sj/mmetneacfce ist (Bild IV-77). Bei der Rotation wird aus der kartesischen Koordinate x die Zylinderkoordinate r und die Kurvengleichung z =f{x) geht dabei in die Funktionsgleichung z = f{r) der Rotationsfldche iiber (formale Substitution x ^ r).
Bild IV-77 Durch Drehung der Kurve z = / ( x ) , a ^ x ^ b (Bild a)) um die z-Achse entsteht die in b) skizzierte Rotationsflache z = f{r), a ^r ^ b
Anmerkungen (1) Diese Aussage gilt naturhch auch fiir eine in der impliziten Form F{x; z) = 0 gegebene Kurve. (2)
Bei einer Rotationsflache z=f{r) hangt die Hohenkoordinate z wegen der Rotationssymmetrie nur von r, nicht aber von der Winkelkoordinate cp ab!
396 •
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen Beispiele (1)
Durch Rotation der Normalparabel z = x-^ um die z-Achse entsteht die Rotationsflache z = r^ (Mantel eines Rotationsparaboloid, Bild IV-78).
Bild IV-78 Die Parabel z = x'^ (Bild a)) erzeugt bei Rotation um die z-Achse die in b) skizzierte Rotationsflache z = r'^ (Rotationsparaboloid)
ZJ
(2)
Durch Rotation des Geradenstucks z =
{x — R), ^ ^x ^R um die R z-Achse entsteht ein Kegel (Bild IV-79). Die Funktionsgleichung des KegelTJ
mantels lautet: z =
(r — R), 0 ^ r ^ i^.
Bild IV-79 Der in b) skizzierte Kegel entsteht durch Drehung des in a) dargestellten Geradenstucks um die z-Achse
3 Mehrfachintegrale (3)
397
Aus der Kreislinie x^ + z^ = R-^ entsteht bei Rotation um die z-Achse die Rotationsflache r^ -\- z-^ = R-^ (Gleichung der Kugeloberfldche, Bild IV-80).
Bild IV-80 Die Kreislinie x^+z^ = i?^ (Bild a)) erzeugt bei Rotation um die z-Achse die in b) skizzierte Kugeloberflache mit der Gleichung r^ -\- z'^ = R'^
3.2.3 Anwendungen Wir behandeln in diesem Abschnitt die folgenden Anwendungsbeispiele: — Volumen und Masse eines Korpers — Schwerpunkt eines Korpers — Massentrdgheitsmomente Dabei beschranken wir uns auf zylindrische Korper (Integrationsbereiche), wie in Bild IV-74 dargestellt, und verwenden bei rotationssymmetrischen Korpern ausschlieBlich Zylinderkoordinaten.
3.2.3.1 Volumen und Masse eines Korpers In Abschnitt 3.2.2.1 hatten wir in den Anmerkungen bereits erwahnt, daB man das Volumen V eines zylindrischen Korpers {V) mit Hilfe eines DreZ/ac/zmtegra/s berechnen kann. Es gilt namlich: V =
dzdydx
dV = (V)
(V)
(IV-178)
398
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen
Diese Integralformel laBt sich auch auf sehr anschauliche Weise durch eine geometrische Betrachtung gewinnen. Wir gehen dabei von dem in Bild IV-81 skizzierten zylindrischen Korper {V) mit der Grundfldche z = Zj^{x;y) („Boden") und der „Deckelfldche" z = z^{x; y) aus. Durch Projektion des Zylinders in die x, _v-Ebene erhalt man den Normalbereich (A), der (wie bisher) durch die Kurven yu=fui^) ^^^ 3^o=/oW sowiedie Parallelen x = a und x = b begrenzt wird.
Bild IV-81 Zur Berechnung des Volumens eines zylindrischen Korpers durch ein Dreifachintegral
Wir betrachten nun ein infinitesimal kleines, im Korper gelegenes Volumenelement dV. Es besitzt in einem kartesischen Koordinatensystem bekannthch die Gestalt eines achsenparallelen Quaders mit den Kantenlangen dx, dy und dz. Sein Volumen betragt dV = dxdy dz. Wir werden jetzt zeigen, wie man den Zyhnder Schritt fiir Schritt aus solchen Volumenelementen zusammensetzen kann.
3 Mehrfachintegrale
399
1. Schritt: Volumen einer Saule Zunachst bilden wir eine zur z-Achse parallele Sdule mit der infinitesimal kleinen Querschnittsflache dA = dx dy, indem Volumenelement iiber Volumenelement gesetzt wird, bis man an die beiden Begrenzungsflachen des Korpers stoBt (Bild IV-82).
Bild IV-82 Durch Summation der iibereinander gelegenen Volumenelemente dV zwischen der „Bodenflache" z = z^^{x; y) und der „Deckelflache" z = z^ix; y) erhalt man eine quaderformige Saule
Das Volumen dieser Saule erhalten wir dann durch Summation samtlicher in der Saule gelegener Volumenelemente, d.h. durch Integration der Volumenelemente in der z-Richtung zwischen den Grenzen z = z^(x; y) („Grundflache") und z = Zf^{x; y) („Deckelflache"). Das infinitesimal kleine Sdulenvolumen betragt somit
^^Sauie==
dV = \
dzldydx
(IV-179)
400
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen
2. Schritt: Volumen einer Scheibe (Volumenschicht) Wir legen jetzt - parallel zur y-Richtung - Sdule an Sdule, bis wir an die Randkurven y = fu W bzw. y = fo W des Bereiches (A) in der x, y-Ebene stoBen und erhalten auf diese Weise eine Volumenschicht (Scheibe) der Breite dx (Bild IV-83). Das Volumen ^Scheibe dieser infinitesimal diinnen Scheibe ergibt sich dann durch Summation der Sdulenvolumina, d.h. durch Integration von (IV-179) in der j^-Richtung zwischen den Grenzen y = fuix) und y=f^{x): foix)
foix)
dV,Scheibe
z„{x;y)
dz\ dy\ dx
dV.Saule y =fu{x)
/
,y=fu{x)
(IV-180)
\z = z^{x;y)
Bild IV-83 Durch Summation der nebeneinander gelegenen Saulen vom Volumen dVsiuie entsteht eine Volumenschicht der Dicke dx
3 Mehrfachintegrale
401
3. Schritt: Volumen des Zylinders Jetzt wird (in der x-Richtung) Scheibe an Scheibe gelegt, bis der zylindrische Korper voUstdndig ausgefiillt ist. Das Zylindervolumen V erhalten wir dann durch Summation uber die Volumina samtlicher Scheiben, d.h. durch Integration von (IV-180) in der x-Richtung zwischen den Grenzen x = a und x = b. Demnach ist: foix)
dV = {V)
Zo{x;y)
dz dy dx
dVc Scheibe x=a
y=fu{x)
(IV-181)
z = z„(x;y)
Wir fassen zusammen:
Anmerkung Die Masse m eines homogenen Korpers ist das Produkt aus der (konstanten) Dichte p und dem Volumen V dieses Korpers: m = pV. Bei einem zur z-Achse rotationssymmetrischen Korper verwendet man zweckmaBigerweise ZyUnderkoordinaten. Fiir das Volumen erhalt man dann die folgende Integralformel:
402 •
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen Beispiele (1)
Durch Rotation des Kurvenstiicks z = y x , 0 ^ x ^ 4 um die z-Achse entsteht der in Bild IV-84 skizzierte trichterformige Drehkorper, dessen Volumen wir nun bestimmen.
Bild IV-84 Die Kurve z = ^x, 0 < x ^ 4 (Bild a)) erzeugt bei Drehung um die z-Achse einen trichterformigen Rotationskorper (Bild b))
Wegen der Rotationssymmetrie verwenden wir Zylinderkoordinaten. Die durch die Gleichung z = v r, 0 ^ r ^ 4 beschriebene Rotationsfldche bildet die „Bodenflache" des Korpers. Der kreisformige „Deckel" des Trichters liegt in der zur x, y-Ebene parallelen Ebene mit der Funktionsgleichung z = 2. Die Projektion des Trichters in die x, }^-Ebene fiihrt zu einem kreisformigen Bereich (A), der sich durch die Ungleichungen 0 < r < 4 , 0 ^ cp <2n beschreiben laBt. Somit ergeben sich fur das Volumenintegral folgende Integrationsgrenzen: z-Integration: Von z = ^r bis z = 2 r-Integration: Von r = 0 bis r = 4 (p-Integration: Von cp = 0 bis cp = 2n Fur das Rotationsvolumen folgt damit nach der Integralformel (IV-184): 271
4
K=
2
\ cp = 0
r= 0
z = ^r
r dz dr dcp
403
3 Mehrfachintegrale
Die Berechnung dieses Dreifachintegrals erfolgt in drei Integrationsschritten. 1. Integrationsschritt (Integration nach z): 2
2
2
' dz = r •
= r{2 — yjr) = 2r — r3/2
dz =
2. Integrationsschritt (Integration nach r): 4
I (2r-r^/^)dr
=
y2
_^^5/2
5
= 3,2 r= 0
3. Integrationsschritt (Integration nach cp): 2n
2n 271
3,2 d(p — 3,2
dcp = 3,2 9
= 6,471 = 20,106 0
(p = 0
Ergebnis: F = 20,106 (2)
Gesucht ist die Masse m eines homogenen Kreiskegels mit dem Radius R, der Hohe H und der Dichte p (Bild IV-85).
Bild IV-85 Das in a) skizzierte Geradenstuck erzeugt bei Rotation um die z-Achse den in b) dargestellten Kegel
404
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen Losung: H
DerKegelentstehtdurchRotationderGeraden z =
(x — R), 0 ^x ^ R R um die z-Achse (Bild IV-85). Seine Mantelfldche (Rotationsflache) wird somit ZJ
{r — R),0 ^r ^ R beschrieben (SubR stitution X ^ r) und bildet die obere Begrenzungsflache des Kegels. Die „Bodenflache" ist Teil der x, y-Ebene z = 0. Die Projektion des Kegels in diese Ebene fuhrt zu der Kreisflache 0 ^r ^ R,0 ^ cp <2n. Damit ergeben sich folgende Integradonsgrenzen: durch die Funktionsgleichung z =
rj
z-Integration:
Von z = 0 bis z =
r-Integration:
Von r = 0 bis r = R
{r — R)
(p-Integration: Von (p = 0 bis cp = 2n
Wir berechnen zunachst das Kegelvolumen V nach Gleichung (IV-184): In
H -ir-R)
R
r dz dr dcp
v=
1. Integrationsschritt {Integration nach z): H
-R)
-J'
—
H (f -R) R
r dz = r • .
dz = r z z=0
«
z=0
z=0
R
2. Integrationsschritt (Integration nach r):
R^
- Rr)dr =
H
=0
(r^ - Rr)dr = r=0
=
H "1 _3
1
R
1
1
2
3. Integrationsschritt (Integration nach (p): In
In
-R^Hd(p 6 (p = 0
=
6
-R^H
dcp = -R^H 6
2^
1
0
3
^
3 Mehrfachintegrale
405
Volumen V und Masse m betragen somit: 1 V = ~nR^H,
1 m = pV = p-nR^H
1 =
-nQR^H
3.2.3.2 Schwerpunkt eines Korpers In Band 1, Abschnitt V.10.8 hatten wir uns bereits ausfuhrlich mit der Berechnung des Schwerpunktes (Massenmittelpunktes) eines homogenen Korpers beschaftigt und an dieser StQllQ fur diQ Schwerpunktkoordinaten x^, ys und z^ die folgenden Integralformeln hergeleitet:
If (K)
If (V)
1
dV
(IV-185)
(F)
Nach unsQYQnjetzigen Kenntnissen handelt es sich dabei um Dreifachintegrale, fiir die wir auch verabredungsgemaB die Symbolik mit dem dreifachen Integralzeichen verwenden wollen. Daher gilt zusammenfassend und erganzend:
406
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen
Bei einem rotationssymmetrischen Korper liegt der Schwerpunkt S auf der Rotationsachse. Legt man das Koordinatensystem so, da6 die Rotationsachse in die z-Achse fallt, dann ist x^ = 0 und ys = 0 (Bild IV-86). In Zylinderkoordinaten gilt daher:
Bild IV-86 Zum Schwerpunkt eines Rotationskorpers
Beispiele (1)
Wo liegt der Schwerpunkt einer homogenen Halbkugel mit dem Radius R (Bild IV-87)?
Losung: Die Halbkugel entsteht durch Rotation der Viertelkreislinie z = yjR^ — x^, 0 ^ X ^ i^ um die z-Achse. Die obere Begrenzungsflache lautet damit z = JR^
- r ^ , O ^ r ^ i ? (Substitution x -^ r), die Bodenfldche liegt in
407
3 Mehrfachintegrale
Bild IV-87 Der in a) skizzierte Viertelkreis erzeugt bei Drehung um die z-Achse die in b) dargestellte Halbkugel
der X, y-Ebene z = 0. Durch Projektion der Halbkugel in die x, y-EbeuQ erhalten wir die Kreisflache O ^ r ^ i ^ , 0 ^ (p <2n. Somit lauten die Integrationsgrenzen fiir die Schwerpunktberechnung der Halbkugel wie folgt: z-Integration: Von z = 0 bis z = v ^ ^ ^ r-Integration: Von r = 0 bis r = R (p-Integration: Von cp = 0 bis cp = 2n Fiir die z-Koordinate des Schwerpunktes folgt dann nach der Integralformel (IV-188):
y^
2n
1
zr dz dr dcp
^s-
(Volumen der Halbkugel: V = -nR^).
Wir berechnen nun dieses dreifache
Integral in der bekannten Weise. 1. Integrationsschritt {Integration nach z):
v ^ "^^
/R^-r^
z Jz = r
'dz = z= 0
=0
Z =
[^'
J^-r^)
M 1
2= 0
(R^r - r ^ )
408
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen 2. Integrationsschritt {Integration nach r)
1 -{R^r-r^)dr 2
1 = -2
r= 0
3^/7r (R^r-r^)dr = r= 0
1
R
R^r^--r^
= -R^ r= 0
^
3. Integrationsschritt {Integration nach cp): l-K
In
2K
-RUcp=-R^ O
'
d(p = -R* O
- " '
(p = 0
Damit ist 1
n
.
3
-nR^ Der Schwerpunkt einer homogenen Halbkugel vom Radius R fallt somit in denPunkt S =
(2)
0;0;-i^
Der in Bild IV-88 skizzierte Behalter besitzt die Form eines Rotationsparaboloids mit der Mantelflache z = r-^. Er soil von einem Wasserreservoir aus, das sich in der x, y-Ebene befindet, bis zur Hohe z = h^ mit Wasser gefullt werden. Welche Arbeit ist dabei mindestens aufzuwenden? Losung: Die Mindestarbeit entspricht der Hubarbeit, die zu verrichten ist, um die Fiillmenge m in den Schwerpunkt S = (0; 0; Z5) des Behalters zu bringen. Die Wassermenge wird dabei aus dem Wasserreservoir (z = 0) um die Strecke h = z^ angehoben. Somit ist ^min = ^Qh = mgzs (Hubarbeit: W = mgh; g: Erdbeschleunigung; h: Hohe). Wir miissen daher die Wassermenge m sowie die Schwerpunktskoordinate z^ des rotationssymmetrischen Behalters berechnen. Zunachst jedoch bestimmen wir die Integrationsgrenzen fur die anfallenden Integralberechnungen. Die obere Begrenzungsflache des Behalters ist die zur x, y-Ebene parallele Ebene z = h^, Bodenfldche ist die Rotationsfldche z = r-^. Die Projektion
3 Mehrfachintegrale
409
des bis zur Hohe z = h^^ mit Wasser gefiillten Behalters in die x, y-Ebene ergibt eine Kreisflache mit dem Radius R = y/h^ (berechnet aus der Funktionsgleichung z = r^ fiir z = /z^, vgl. hierzu Bild IV-88). Die Integrationsgrenzen lauten damit in Zylinderkoordinaten: z-Integration:
Von z = r^ bis z = h^
r-Integration:
Von r = 0 bis r = v ^o
(p-Integration: Von cp = 0 his (p = 2n
Berechnung der Fiillmenge (Wassermenge) m Wir berechnen zunachst das Volumen V des Rotationsparaboloids nach der Integralformel (IV-184): In
K
JK
r dz dr dcp
v= (p = 0
r= 0
z — r'^
1. Integrationsschritt {z-Integration)\ K
K r dz = r '
dz = r
= r(hfj — r-^) = h^r — r^
410
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen 2. Integrationsschritt (r-Integration):
QigY — r^)dr = Kr^--r^ 2 ' r-0
3. Integrationsschritt {(p-Integration): In
In
f 1 1 -hldq)=-hl
1
d(p = -hl (p
In
1
0
^
(p = 0 1
9
1
und somit
Ergebnis: V = -nh^
9
m = pV = -nph^
Berechnung der Schwerpunktskoordinate zg des Behalters Wir berechnen die Schwerpunktskoordinate z^ mit Hilfe der Integralformel (IV-188): 2n
y/ho
ho
1
z r dz dr dcp
^s = nh^0
(p = 0
r=0
z= r
1. Integrationsschritt (z-Integration):
:r dz = r •
=
=
:dz = r
-r(hl-r*)
^ih'„r-r'-
2. Integrationsschritt {r-Integration):
^-ih^„r~r')dr r=0
(h^r — r^)dr =
= y r=0
l^'--l' = -,ht
1 1 -h^r^--r^ 2 6
' r=0
3 Mehrfachintegrale
411
3. Integrationsschritt {(p-Integration): In
(p = 0
2n
1 r 1 ho d(p = -h^ • \ d(p = ^hl 6 J 6
Ergebnis: z^ =
1
1 ,^ "z^K
In
1
0
^
2, =^K
Berechnung der Arbeit beim FuUen des Behalters Die Mindestarbeit zum Fiillen des Wasserbehalters betragt damit 1
2
1
3.2.3.3 Massentragheitsmomente Die im Zusammenhang mit Drehbewegungen und Rotationen starrer Korper auftretenden Massentragheitsmomente haben wir bereits in Band 1 in den Anwendungen der Integralrechnung behandelt (Abschnitt V.10.9). Das Massentragheitsmoment stellt sich dabei als eine physikalische GroBe dar, die noch in starkem MaBe von der rdumlichen Verteilung der Korpermasse um die Dreh- oder Bezugsachse abhangig ist.
Bild IV-89 Zum Begriff des Massentragheitsmomentes
412
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen
DefinitionsgemaB liefert ein Massenelement dm des Korpers den infinitesimal kleinen Beitrag dJ = rjdm = rl (pdV) ^ pr^ dV
(IV-189)
zum Massentragheitsmoment J des Gesamtkorpers, bezogen auf eine bestimmte Achse A nach Bild IV-89. r^ ist dabei der senkrechte Abstand des Massen- bzw. Volumenelementes von der Bezugsachse A, p die Dichte des Korpers {dm = pdV). Fiir das Massentragheitsmoment eines homogenen Korpers erhalten wir dann durch Integration der Gleichung (IV-189) die folgende Integralformel:
Anmerkungen (1)
Um Verwechslungen mit der Zylinderkoordinate r zu vermeiden, bezeichnen wir den Abstand des Volumenelementes dV von der Bezugsachse A mit r^. Nur wenn die Bezugsachse A in die z-Achse fallt, ist r^ = r.
(2)
Bei Verwendung kartesischer Koordinaten gilt rj" = x^ -\- y-^. Diese Beziehung wurde bereits in der Integralformel (IV-191) beriicksichtigt (Bezugsachse ist die z-Achse).
3 Mehrfachintegrale (3)
413
Wir erinnern an den Satz von Steiner: Fiir eine zur Schwerpunktachse stand d parallel verlaufende Bezugsachse A gilt (Bild IV-90): JA = JS^
mj2
(J^: Massentragheitsmoment beziiglich der
S im Ab-
(IV-192) Schwerpunktachse)
Bild IV-90 Zum Satz von Steiner
Wir betrachten nun einen zur z-Achse rotationssymmetrischen homogenen Korper (Bild IV-91). Sein Massentragheitsmoment J^, bezogen auf die Rotationsachse (zAchse), besitzt dann in ZyUnderkoordinaten eine besonders einfache Form (es ist jetzt r4 = r):
Bild IV-91 Zum Massentragheitsmoment eines Rotationskorpers bezuglich der Drehachse
414
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen
Beispiele (1)
Man bestimme das Massentrdgheitsmoment eines homogenen Wurfels a) b)
beziiglich einer Kante, beziiglich einer kantenparallelen Schwerpunktsachse
(Kantenlange: a; Dichte: p = const.). Losung: a) Wir legen der Rechnung das in Bild IV-92 skizzierte kartesische Koordinatensystem zugrunde. Als Bezugsachse wahlen wir die z-Achse, die Integration ist dabei iiber den Bereich (Wiirfel) 0 ^ x ^ a,0 ^ y ^ a, 0 ^ z ^ a zu erstrecken. Wir erhalten damit die folgenden Integrationsgrenzen:
3 Mehrfachintegrale
415
Die Anwendung der Integralformel (IV-191) liefert dann fiir das Massentrdgheitsmoment J^: a
Jz = P'
a
a
\ x=0
{x^-^ y^) dz dy dx y=0
z=0
Wir fiihren nun die einzelnen Integrationsschritte nacheinander aus. 1. Integrationsschritt {z-Integration):
2 ,-\-. , 2y. dz = {x"^
{x^ + y^)dz = {x^2 +, y„2^
z= 0 z= 0
z= 0
a{x^ -\- y^) 2. Integrationsschritt {y-Integration):
a{x -\- y ) dy = a y= 0
{x^ + y^)dy = y^O ^
1
y= 0
= a\ax^ \ -a^\
+-fl^
= a^\x^
J. Integrationsschritt {x-Integration):
a^ [x-^ -\- -a'^]dx
= a^
x-^ -\-
3
-a^\dx
x= 0
= a^
1 3 1 2 -x^ -{- -a^ X
3
^
2 .
3
Das Massentrdgheitsmoment eines homogenen WUrfels, bezogen auf eine Kante, betragt somit J^ = P'-a^
=-{pa^)a^ m
(m = pa^: Masse des Wiirfels).
=-ma^
416
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen b)
Wir berechnen nun das Massentrdgheitsmoment Js des Wurfels beziiglich der zur z-Achse parallelen Schwerpunktsachse S mit Hilfe des Steinerschen Satzes. Der Abstand d der beiden Achsen entspricht dabei nach Bild IV-93 genau der halben Lange der Fldchendiagonale des Wiirfels: J - ^ x / 2 . 2
Bild IV-93 Zur Berechnung des Massentragheitsmomentes eines Wurfels beziiglich einer kantenparallelen Schwerpunktsachse S
Nach dem Satz von Steiner ist dann:
9
2
= -ma 3
^
1
I ^
9
r
1
ma — - ma 2 6
Wir erhalten nur den vierten Teil des Massentragheitsmomentes J^: 1 1 2 1 Js = - J^ = - • - ma-^ = - ma-^ ^ 4 ^ 4 3 6 Physikalische Begrundung: Die Massenelemente des Wurfels besitzen beziigHch der Schwerpunktsachse S im Mittel einen erheblich kleineren Abstand im Vergleich zur z-Achse.
3 Mehrfachintegrale (2)
417
Bild IV-94 zeigt den Querschnitt eines Fliigels der Dicke d = 0,05 m. Wir wollen sein Massentrdgheitsmoment, bezogen auf die zur Querschnittsflache senkrechte z-Achse, berechnen (Materialdichte: p = 4500 kg • m~^; Radius: K = 1 m).
Wir legen die Grundflache des Fliigels in die x, y-Ehene. Die Deckflache befindet sich dann in der Parallelebene mit der Gleichung z = 0,05 m. In Zylinderkoordinaten ergeben sich damit bei Beschrankung auf den 1. Quadrant folgende Integrationsgrenzen: z-Integration: Von z = 0 bis z = 0,05 m r-Integration: Von r = 0 bis r = 1 m (p-Integration: Von cp = 0 bis cp = n/6 Nach der Integralformel (IV-193) erhalten wir dann fur das Massentrdgheitsmoment J^ des Fliigels das dreifache Integral 7r/6
J^ = 2 - 4 5 0 0 k g m ~ 3 -
Im
0,05 m
j (p = 0
r^ dzdr dcp r= 0
z= 0
das wir nun in der gewohnten Weise berechnen.
418
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen 1. Integrationsschritt (z-Integration): 0,05 m
0,05 m 0,05 m
r^dz = r^ •
dz = r^
= 0,05mT^ z= 0
Z= 0
2= 0
2. Integrationsschritt {r-Integration): Im
Im
0,05 m - r ^ d r = 0,05 mr=0
r^ dr = 0,05 m
Im r=0
r=0
= 0,0125 m^ 3. Integrationsschritt {cp-Integration): 7i/6
n/6
71/6
dcp = 0,0125 m ' ^
0,0125 m^J(p = 0,0125 m '
0
= 0,006545 m^ Das gesuchte Massentrdgheitsmoment des Flugels betragt somit 4 = 2- 4500 kg - m~ ^ • 0,006545 m^ ^ 58,9 kg • m^
Ubungsaufgaben Zu Abschnitt 1 1)
Bestimmen und skizzieren Sie den Definitionsbereich der folgenden Funktionen:
a)
z = ^Jy — 2x x-y
2)
b)
z=
d)
z=
^{x^-l)i9-y^) y/x^+y^-l
Berechnen Sie die Schnittpunkte der Ebene 2x — 5y + 3z = l mit den Koordinatenachsen. Welche der folgenden Punkte liegen in der Ebene, welche unterhalb bzw. oberhalb der Ebene? ^ = (1;2;3), B = ( 2 ; - 3 ; - 4 ) ,
C = (-4;2;0),
D = (0;0;0)
Ubungsaufgaben 3)
419
Skizzieren Sie die Hohenlinien der folgenden Funktionen (Flachen): z = x-^ + y-^ — 2y
4)
b)
z = 3x -]- 6y
c)
z = ^Jy — x^
Skizzieren Sie den Rotationskorper, der durch Drehung der Kurve z = v 4 — x^ um die z-Achse entsteht. Wie lautet die Funktionsgleichung der Rotationsfldche, fur welche Wertepaare {x; y) ist diese Funktion definiert? Bestimmen Sie ferner die Schnittkurven der Flache mit den drei Koordinatenebenen {Schnittkurvendiagramme).
Zu Abschnitt 2 1)
Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung der folgenden Funktionen: a)
z{x; y) = {3x — 5y)
c)
z{x;y) =
x^ - v^ —
b)
w{u;v) = 2 • cos {3uv)
d)
z{r; cp) = 3r • Q'^P
X -\- y
e)
z(x; }/) = v x ^ — 2xy
f)
z(x;y) = e ^^^ + In
g)
z(x; y) = arctan ( - I \yj
h)
z(x; y) = In v x-^ -\- y-^
j)
z{t;(p) = sm{at-h (p)
i)
x-2t u{x;t) = -—-2x + t
2) z =f{x; y) = 5x' Q ^^ + In V ^ ^ + }^^ + cos(7cx + y) Berechnen Sie: z^(l;0), z^(0; 1), z ^ ^ ( - l ; 0 ) , Z3,^(5;0), z^3,^(-l;0). 3)
Gegeben ist die Funktion z{x; y) = 3xy — cos{x — y) -\- x^y^. Zeigen Sie die Gleichheit der folgenden partiellen Ableitungen 2. bzw. 3. Ordnung (Satz von Schwarz): b)
4)
Zeigen Sie: Die Funktion u{x; y;z) = -—-—-^——^— + b ist eine Losung der
Vx^ -\- y^ -\- z^ sog. Laplace-Gleichung An = u^^ + Uyy -\- u^^ = 0 {a, b: Konstante). 5) Welchen Anstieg besitzt die Bildflache von z = 3 x • In v ^ + y — cos (xy ^ — TTX) an der Stelle x = 1, y = 0?
420
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen
6) Zeigen Sie: Die Funktion z = a • Q^f^ erfullt die Gleichung xz^-\-yZy = 0 {a: Konstante). 7)
8)
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene in P: a)
z = {x^ + y^)'Q-'',
b)
z = 3- / ^ + 2-cos(7r(x + 2);)), P = (2;l;?)
P = (0;1;1)
Man bestimme das totale oder vollstdndige Differential der folgenden Funktionen: a)
z{x; y) = 4x^y — 3x-Q^
c)
z{x\y) =
x^ -{-y^
'-^^— x-y
t^ + X It-Ax
b)
z{x;t) =
d)
u{x\y\z) =
h\^x-^-\-y-^-\-z^
9)
Berechnen Sie unter Verwendung des totalen Differentials die Oberflachenanderung AO ^ do eines Zylinders mit Boden und Deckel, dessen Radius r = 10 cm um 5% vergrofiert und dessen Hohe /i = 25 cm gleichzeitig um 2% verkleinert wurde und vergleichen Sie diesen Naherungswert mit dem exakten Wert ^O^xakt-
10)
Der Raumpunkt P = {x;y;z) besitzt vom Koordinatenursprung den Abstand r{x; y;z) = v x^ + y^ + z^. Wie andert sich der Abstand des Punktes A = (1; 2; 0), wenn man ihn in den Punkt B = (0,9; 2,2; - 0,1) verschiebt? Anleitung: Naherungsweise Berechnung iiber das totale Differential sowie exakte Berechnung.
11)
Gegeben ist ein Hohlzylinder mit dem Innenradius r^- = 6 cm, dem AuBenradius r^ = 10 cm und der Hohe h = 20 cm. Berechnen Sie mit Hilfe des totalen Differentials die Volumenanderung AV ^ dV, die dieser ZyHnder erfahrt, wenn man die GroBen r^, r^ und h wie folgt verandert: Ar^ = 0,2 cm, Ar^ = — 0,4 cm. Ah =0,7 cm. Vergleichen Sie diesen Naherungswert mit dem exakten Wert ^^exakf
12)
Die Schwingungsdauer T eines ungedampften elektromagnetischen Schwingkreises laBt sich aus der Induktivitat L und der Kapazitat C nach der Formel T = In \JhC bestimmen. Berechnen Sie mit Hilfe des vollstdndigen Differentials die prozentuale Anderung von T, wenn die Induktivitat um 5% verkleinert und die Kapazitat gleichzeitig um 3% vergroBert wird. Anleitung: Gehen Sie von den Werten LQ und CQ aus und berechnen Sie zunachst die absolute Anderung von T.
Ubungsaufgaben 13)
421
Differenzieren Sie die jeweilige Funktion z = f{x; y) mit x = x{t), y = y(t) nach dem Parameter t unter Verwendung der Kettenregel: a)
z = Q^y mit
b)
z = X 'Iny
c)
z = X^ • sin (2y)
x = t^,y mit
=t
x = sin ^, y = cos t mit
x = t^, y = t^
14)
Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion z = tan (xy) langs der Kurve y = x^.
15)
Wie lautet die totale Ableitung der Funktion z = In (x"^ H- j;) mit y = x^ an der Stelle x = 1?
16)
Differenzieren Sie die Funktion z = x^y^ -\- ^x mit x = t^, y = ^t nach dem Parameter t a) unter Verwendung der Kettenregel, b) nach Einsetzen der beiden Parametergleichungen in die Funktionsgleichung.
17)
Bilden Sie die partiellen Ableitungen 1. Ordnung der jeweiligen Funktion z = f{x; y) mit x = x{u;v), y = y{u;v) nach den Parametern u bzw. v unter Verwendung der Kettenregel:
18)
19)
a)
z = tan (x + y) mit
b)
z = x^y^ + x^y^
x = u-^ -\- v, y = u-^ — v mit
x = u-^v,y
=u—v
Differenzieren Sie die Funktion z = In (x^ + y) mit x = w^ + l, y = w^ + i;^ jeweils partiell nach dem Parameter u bzw. i; a)
unter Verwendung der Kettenregel,
b)
nach Einsetzen der beiden Parametergleichungen in die Funktionsgleichung.
Man linearisiere die Funktion z = 5 — in der Umgebung von x = 1, y = 2, X
berechne mit dieser Naherungsfunktion den Funktionswert an der Stelle x = 1,1, y = 1,8 und vergleiche diesen Wert mit dem exakten Funktionswert. 20)
Der in Bild IV-95 dargestellte Stromkreis enthalt zwei variable ohmsche Widerstande R^ und R2 ^^ Parallelschaltung sowie eine variable Spannungsquelle U. Der Gesamtstrom / wird dann nach der Formel R. + R2 R^R2
I = HRuRo; u) = -^ ^ ^
^
^
u
berechnet. Linearisieren Sie diese Funktion in der Umgebung des sog. Arbeitspunktes R^=20Q, R2 = 5Q., U = 10 V
422
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen
Bild IV-95
21)
Das Widerstandsmoment W eines Balkens mit rechteckigem Querschnitt wird nach der Formel W= W{b;h) =
1 6
-bP
berechnet (b: Breitedes Balkens; h: Hohedes Balkens). WdchQ prozentuale AndQrung erfahrt das Widerstandsmoment eines Balkens der Breite b = 18 cm und der Dicke h = 10 cm, wenn man die Balkenbreite um 5% vergroBert und gleichzeitig die Balkendicke um 10% verkleinert? Anleitung: Berechnung mit Hilfe des totalen Differentials. 22)
Gegeben ist die Funktion F(x; y) = {x-^ -\- y-^)-^ — lix'^ — y-^) = 0 in impliziter Form. a)
Bestimmen Sie die Tangentensteigung im Kurvenpunkt P = {x; y).
b)
Zeigen Sie, daB die Kurve im Punkt P^ = I — - v 3; - I eine waagerechte Tangente besitzt. ^ /
23)
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente im Punkt P = {2; y < 0) der Kurve x^ -\- xy -^ y^ = 4.
24)
Unter welchen Winkeln schneidet die in der impliziten Form F{x; y) = 2x^ -\- 6y^ — 24_y + 6x = 0 gegebene Funktion die Koordinatenachsen? Anleitung: Man berechne zunachst die Schnittpunkte mit den beiden Achsen.
25)
In welchen Punkten besitzt die Kurve x^ — 3 x ^ + 4 } ; ^ = 4 waagerechte Tangenten?
Ubungsaufgaben 26)
423
Bestimmen Sie die relativen Extremwerte der folgenden Funktionen: a)
z = 3 x y ^ + 4x^ - 3y^ - 12x^ + 1
c)
z = x3;-27
1 \x
e) 27)
1
b)
z = (x^ + j ^ ) • e~^
d)
z= Vl+^
+y
yj
z = 2x^ - 3xy -^ 3y^ + 1
Einer Mittelpunktsellipse mit den Halbachsen a und b ist ein achsenparalleles Rechteck so einzubeschreiben, daB die Rechtecksflache A moglichst grofi wird (Bild IV-96).
Bild IV-96
28)
Wie muB man den Offnungswinkel a eines kegelformigen Trichters vom Volumen F = 10 dm^ wahlen, damit der Materialverbrauch moglichst klein wird (Bild IV-97)? Hinweis: Der Mantel soil aus einem homogenen Blech konstanter Dicke hergestellt werden.
Bild IV-97
424
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen
29)
Bestimmen Sie die Extremwerte der Funktion z = x -\- y unter der Nebenbedingung x^ + j ; ^ = 1.
30)
Bestimmen Sie die Parameter a und b in den Exponentialfunktionen y^ = e^^ und y2 = Q~^^ so, daB sich die beiden Kurven rechtwinklig schneiden und dabei mit der x-Achse einen moglichst kleinen Flacheninhalt A bilden {a> 0,b > 0; Bild IV-98).
Bild IV-98
31)
Wie muB man die Seiten x und y eines Rechtecks wahlen, damit es bei fest vorgegebenem Umfang U einen moglichst grofien Flacheninhalt besitzt?
32)
Welcher Punkt auf der Ebene 2x + 3}^ + z = 14 hat vom Koordinatenursprung den kleinsten Abstand dl
33)
In einem rechtwinkligem Dreieck wurden der Winkel a und die Hypotenuse c wie folgt gemessen (Bild IV-99): a-(32
,
c = (8
) cm
Welches MeBergebnis erhalt man daraus fiir die Gegenkathete al
Bild IV-99 34)
Kapazitat C und Induktivitat L eines ungedampften elektromagnetischen Schwingkreises wurden wie folgt gemessen: C = (5,0
0,2) ^F,
L = (0,20
0,01) H
Bestimmen Sie die Schwingungsdauer T nach der Formel T = In den (absoluten) Maximalfehler.
LC sowie
Obungsaufgaben 35)
425
Mit einer Briickenschaltung wurden die Widerstande Ri und R2 wie folgt gemessen: / ^1
R2 Q
1
2
3
4
5
6
96,5
97,2
98,6
95,9
97,1
96,7
40,1
42,3
41,5
40,7
41,9
42,5
a)
Wie lauten die Mefiergebnisse fiir die beiden Widerstande?
b)
Der Gesamtwiderstand R der Parallelschaltung aus R^ und R2 wird nach der Formel 1 1 1 - - — +— R Ri R2
K1R2 Oder R = R{R^;R2) = — ^ - ^ Ri + R2
berechnet. Wie wirken sich die MeBunsicherheiten AR^ und AR2 auf die (maximale) MeBunsicherheit des Gesamtwiderstandes aus? Geben Sie das MeBergebnis fiir die „indirekte" MeBgroBe R in der liblichen Form an.
36)
Das Widerstandsmoment W eines Balkens mit rechteckigem Querschnitt wird nach der Formel W = W{b;h) = -bh^ 6 berechnet (b: Breite des Balkens; h: Hohe (Dicke) des Balkens). Fur b und h wurden folgende MeBwerte ermittelt: I
bi_
cm
cm
1
2
3
4
5
6
18,0
17,6
17,9
18,2
18,3
18,0
10,3
10,1
9,7
9,8
10,3
9,8
a)
Bestimmen Sie zunachst die Mittelwerte und Mefiunsicherheiten der unabhangigen MeBgroBen b und h.
b)
Welches Mefiergebnis erhalt man daraus fiir die „indirekte" (abhangige) MeBgroBe Wl
426
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen
37)
Fiir den Radius R und die Dichte p einer homogenen Kugel wurden die Werte R = 12,2 cm und p = 2,50 g/cm^ ermittelt. Eine Schdtzung der zugehorigen MeBunsicherheiten ergab Ai^ = 0,15 cm und Ap = 0,11 g/cm^. Welche Masse m besitzt die Kugel, mit welchem Maximalwert fur die Mefiunsicherheit von m muB man dabei rechnen?
Zu Abschnitt 3 1)
Berechnen Sie die folgenden Doppelintegrale: 1
e
— dy dx
a)
V
X ==
2)
0
y =--
1-X
3 X
{2xy — x-^ — y'^)dy dx
b)
1
Berechnen Sie den Flacheninhalt y ^ x'^ — 2.
jc ==
0
y-= 0
zwischen den Kurven
j = cos x
und
Anleitung: Berechnung der Kurvenschnittpunkte nach dem Newtonschen Tangentenverfahren. 3)
Berechnen Sie die Flache zwischen der Parabel y = x^ und der Geraden y = — X + 6.
4)
Berechnen Sie den Flacheninhalt, den die Archimedische Spirale mit der Funktionsgleichung r{(p) = acp im Intervall 0 ^ cp <2n einschlieBt (a: Konstante, a > 0).
5)
Welche Flache wird von der logarithmischen Spirale r{(p) = Q^'^^ und den Strahn 3 len (pi = - und (p2 = ^^^ eingeschlossen?
6)
Skizzieren Sie die Kurve r{(p) = ^2 • sin (2(/)) im Intervall 0 < (/) < 27i und berechnen Sie die von ihr umrandete Flache. Anleitung: Bei der Losung der Aufgabe ist zu beachten, daB nach unserer Definition der Polarkoordinaten nur solche Winkelbereiche in Frage kommen, in denen r ^ 0 ist!
7)
Gegeben sind die Kurven mit den Funktionsgleichungen y = — x (x — 3) und y = — 2x. a) b)
8)
Welche flache schlieBen sie ein? Bestimmen Sie den Flachenschwerpunkt.
Berechnen Sie den Schwerpunkt der von der Kardiode r((^) = 1 + cos (/), 0 ^ (/) < 2 7c begrenzten Flache.
Ubungsaufgaben 9)
10)
427
Wo liegt der Schwerpunkt der von den Parabeln y = 2 — 3 x^ und y = — x^ begrenzten Flache? Berechnen Sie den Schwerpunkt der in Bild IV-100 skizzierten Flache.
Bild IV-100
11)
Berechnen Sie den Flachenschwerpunkt der von den Kurven y = In x, y = 0,1 X — 0,1 und X = 5 begrenzten Flache.
12)
Berechnen Sie den Schwerpunkt der Flache, die durch die Kardioide r = 1 + cos cp, den Mittelpunktskreis r = 2 und die beiden Strahlen (Pi = 0 und cpj = ^^ berandet wird.
13)
Berechnen Sie die axialen Flachenmomente I^ und ly und das polare Flachenmoment Ip eines Viertelkreises (Radius: R).
14)
Fiir das in Bild IV-101 skizzierte Flachenstiick berechne man mittels Doppelintegralen: a) Flacheninhalt A b) Schwerpunkt S c)
Flachenmomente /^, 7^, Ip
Bild IV-101
428
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen
15)
Bin Trager besitze das in Bild IV-102 skizzierte Profil. Berechnen Sie die Flachenmomente I^, ly und I p.
Bild IV-102
16)
Berechnen Sie das polare Flachenmoment Ip des in Bild IV-103 skizzierten Flachenstiicks.
Bild IV-103
17)
Berechnen Sie fiir die in Bild IV-104 skizzierte Kreisflache die Flachenmomente /^, ly und Ip
Bild IV-104
Ubungsaufgaben
429
a)
auf direktem Wege iiber Doppelintegrale,
b)
unter Verwendung des Satzes von Steiner, wobei auf die als bekannt vorausgesetzten Flachenmomente eines Mittelpunktskreises vom gleichen Radius zuriickgegriffen wird.
Anleitung: Zu a): Stellen sie zunachst die Kreislinie {x — R)-^ -\- y^^ = R-^ in Polarkoordinaten dar und berechnen Sie dann die anfallenden Doppelintegrale in diesen Koordinaten. Zu b): Nach den Ergebnissen aus Aufgabe 13) erhalt man fiir die Flachenmomente eines Mittelpunktskreises mit dem Radius R: I y. = ly, = — R
18)
,
/ „ = — iv
Berechnen Sie die Flachenmomente eines Halbkreises vom Radius R bezuglich der zu den Koordinatenachsen parallelen Schwerpunktsachsen. Anleitung: Berechnen Sie zunachst die Flachenmomente /^, ly und Ip und daraus unter Verwendung des Steinerschen Satzes die gesuchten Flachenmomente.
19)
Berechnen Sie die folgenden Dreifachintegrale: 1
4
n
x^ y • cos (yz) dz dy dx x =0
nil
y=
z=0
1
yz ' sin x dz dy dx
b) x =0
20)
1
y= 0
z—y
Zeigen Sie: Durch Rotation einer ElHpse mit den Halbachsen a und h um die 4 z-Achse entsteht ein Rotationsellipsoid vom Volumen V^ = -na^h.
430
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen
21)
Berechnen Sie fur die in Bild IV-105 skizzierte homogene Kugelhaube, auch Kugelabschnitt genannt, Volumen und Schwerpunkt {R: Radius der Kugel; h\ Hohe der Kugelhaube).
22)
Der durch Rotation der in Bild IV-106 skizzierten Kreisflache um die z-Achse entstandene Drehkorper wird als Torus bezeichnet {TQ < R). Zeigen Sie, daB sein Volumen V = 2n^rQ R betragt.
Bild IV-106
ijbungsaufgaben 23)
431
Der in Bild IV-107 skizzierte kugelformige Behalter soil von einem 10 m unter seinem tiefsten Punkt liegenden Wasserreservoir bis zur Hdlfte aufgefiillt werden. Welche Mindestarbeit ist dazu erforderlich? (Dichte des Wassers: p = 1000 kg/m^; Kugelradius: K = 3 m).
Bild IV-107
24)
Wo befindet sich der Schwerpunkt eines Kreiskegels (Radius: R; Hohe: H)l
25)
Berechnen Sie den Schwerpunkt eines Trichters, der durch Rotation der Kurve z ^ x/x, 0 ^ X ^ 9 um die z-Achse entsteht.
26)
Berechnen Sie das Massentragheitsmoment a)
einer Halbkugel worn. Radius R beziiglich der Symmetrieachse,
b)
einer Vollkugel vom Radius R beziiglich einer Tangente als Drehachse
(Dichte des homogenen Korpers: p).
432
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen
27)
Berechnen Sie das Massentragheitsmoment eines homogenen Hohlzylinders beziiglich seiner Symmetrieachse (Bild IV-108; Innenradius: Ri; AuBenradius: R2I Hohe: H; Dichte: p).
Bild IV-108
28)
Berechnen Sie unter Verwendung der Ergebnisse aus der vorherigen Aufgabe das Massentragheitsmoment eines homogenen Vollzylinders a)
bezuglich seiner Symmetrieachse,
b)
beziighch einer Mantellinie
(Radius: R\ Hohe: H\ Dichte: p). 29)
Berechnen Sie das Massentragheitsmoment eines homogenen Kreiskegels bezughch seiner Symmetrieachse (Radius: R; Hohe: H; Dichte: p).
433
V Gewohnliche Differentialgleichungen
1 Grundbegriffe 1.1 Ein einfiihrendes Beispiel Wir betrachten einen im luftleeren Raum frei fallenden Korper. Zur Beschreibung seiner Bewegung fiihren wir eine von der Erdoberflache senkrecht nach oben gerichtete Koordinatenachse ein (5-Achse, Bild V-1).
5 |
Bild V-1 Zum freien Fall im luftleeren Raum Erdoberflache (s=0)
Der Korper unterliegt dann allein der Schwerkraft und erfahrt in der Nahe der Erdoberflache die konstante Erd- oder Fallbeschleunigung a = — g. Durch das Minuszeichen bringen wir dabei zum Ausdruck, daB die Fallbeschleunigung in der zur Koordinatenachse entgegengesetzten Richtung erfolgt. Wir erinnern ferner an den folgenden, allgemeinen Zusammenhang zwischen der Weg-Zeit-Funktion s = s{t), der Geschwindigkeit V = v{t) und der Beschleunigung a = a{t) einer Bewegung: v{t) = s{t)
und
a{t) = v{t) = s{t)
(V-1)
(vgl. hierzu Band 1, Abschnitt IV.2.13.1 und V.10.1.1). Fiir den freien Fall gih somit: s{t) = -g
(V-2)
Diese Gleichung enthalt die 2. Ableitung einer (noch) unbekannten Weg-Zeit-Funktion s = s{t). Gleichungen dieser Art, die Ahleitungen einer Funktion enthalten, werden in der Mathematik als Differentialgleichungen bezeichnet. Gleichung (V-2) ist demnach die Differentialgleichung des freien Falls ohne Beriicksichtigung des Luftwiderstandes. Sie ist von 2. Ordnung, da sie als hochste Ableitung die zweite Ableitung s enthalt.
434
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Die Losung der Differentialgleichung (V-2) ist eine Funktion, namlich die Weg-Zeit-Funktion s = s{t) der Fallbewegung. Wir erhalten sie, indem wir die Differentialgleichung zweimal nacheinander integrieren. Der 1. Integrationsschritt fiihrt zunachst zur Geschwindigkeits-Zeit-Funktion v{t) = ^a{t)dt=
~ jgdt=
(V-3)
- gt-\- C^
Durch nochmalige Integration folgt hieraus die gesuchte Weg-Zeit-Funktion s{t) = iv{t) dt = ii-gt
+ Ci) dt=--gt^-^C^t
+ C2
(V-4)
Sie enthalt noch zwei voneinander unabhangige Integrationskonstanten, auch Parameter genannt. Das Weg-Zeit-Gesetz (V-4) ist die sog. allgemeine Losung der Differentialgleichung s= —g. Den beiden Parametern kommt dabei eine bestimmte p/iysiTcafcc/ze Bedeutung zu. Wir untersuchen dazu Wegmarke s und Geschwindigkeit v zu Beginn der Fallbewegung (d.h. zur Zeit t = 0) und finden: s (0) = C2: Wegmarke (Hohe) zu Beginn Fur r = 0: ' V (0) = C^: Anfangsgeschwindigkeit (Jbhcherweise schreibt man dafiir: und
s{0) = so
1^(0) = 1^0
(V-5)
Die Integrationskonstanten (Parameter) sind somit durch Anfangshohe SQ und Anfangsgeschwindigkeit VQ festgelegt. Durch Angabe dieser „Anfangswerte" ist die Bewegung des freien Falls eindeutig bestimmt. Die allgemeine Losung (V-4) geht dann in die spezielle, den physikalischen Anfangsbedingungen angepaBte Losung 1 5 ( 0 = - - 6 ^ ^ ^ + 1^0^ + 50
(V-6)
iiber, die auch als partikuldre Losung der Differentialgleichung (V-2) bezeichnet wird (Bild V-2).
s(f)='jgf
•^VQ^-'^O
Bild V-2 Weg-Zeit-Gesetz beim freien Fall
1 Grundbegriffe
435
1.2 Definition einer gewohnlichen Differentialgleichung
Eine gewohnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung enthalt daher als hochste Ableitung die n-te Ableitung der unbekannten Funktion y = y{x), kann aber auch Ableitungen niedrigerer Ordnung sowie die Funktion y = y{x) und deren unabhangige Variable x enthalten. Sie ist daher in der impliziten Form F{x;y;/;...;
(V-7)
y^^^) = 0
Oder, falls diese Gleichung nach der hochsten Ableitung y^"^ auflosbar ist, in der expliziten Form 3;(«)=/(x;};;);^...;3;("-l))
(V-8)
darstellbar.
Anmerkungen (1) Man beachte: Die Ordnung einer gewohnlichen Differentialgleichung wird durch die Ordnung der hochsten in ihr auftretenden Ableitung bestimmt. Die hochste in einer gewohnhchen Differentialgleichung n-ter Ordnung vorkommende Ableitung ist somit y^^\ (2)
Neben den gewohnlichen Differentialgleichungen gibt es noch die partiellen Differentialgleichungen. Sie enthalten partielle Ableitungen einer unbekannten Funktion von mehreren Variablen. Im Rahmen dieses Werkes beschaftigen wir uns ausschliefilich mit gewohnlichen Differentialgleichungen, die wir in Zukunft kurz als Differentialgleichungen bezeichnen woUen (Abkurzung: Dgl).
Beispiele y' = 2x
Explizite Dgl 1. Ordnung
^ + yy' = ^
Implizite Dgl 1. Ordnung
y' + yy" = ^
implizite Dgl 2. Ordnung
s= —g
Explizite Dgl 2. Ordnung
y^^' -\- 2y' = cosx
Implizite Dgl 3. Ordnung
yi6) _ y{4) _^ y^f ^ QX
Implizite Dgl 6. Ordnung
436
V Gewohnliche Differentialgleichungen
1.3 Losungen einer Differentialgleichung Eine Differentialgleichung kann als Bestimmungsgleichung fiir eine unbekannte Funktion aufgefaBt werden. Losungen einer Differentialgleichung sind daher Funktionen.
Wir unterscheiden dabei noch zwischen der allgemeinen Losung und der speziellen oder partikuldren Losung ^^: 1. Die allgemeine Losung einer Differentialgleichung n-ter Ordnung enthalt noch n voneinander unabhangige Parameter (Integrationskonstanten). 2. Eine spezielle oder partikuldre Losung wird aus der allgemeinen Losung gewonnen, indem man aufgrund zusdtzlicher Bedingungen den n Parametern feste Werte zuweist. Dies kann beispielsweise durch Anfangsbedingungen oder auch durch Randbedingungen geschehen. Im nachfolgenden Abschnitt gehen wir auf dieses Thema naher ein.
Anmerkungen (1)
Man beachte, daB die Anzahl der unabhangigen Parameter in der allgemeinen Losung einer Differentialgleichung durch die Ordnung der Differentialgleichung bestimmt ist. Die allgemeine Losung einer Differentialgleichung /. Ordnung enthalt somit einen Parameter, die allgemeine Losung einer Differentialgleichung 2. Ordnung genau zwei unabhangige Parameter usw.
(2)
Die allgemeine Losung einer Differentialgleichung n-ter Ordnung reprasentiert eine Kurvenschar mit n Parametern. Fiivjede spezielle Parameterwahl erhalten wir eine Losungskurve {spezielle oder partikuldre Losung genannt).
(3)
In den einfachsten Fallen, z.B. fiir Differentialgleichungen vom Typ y^'^^ =f{^), kann die allgemeine Losung durch mehrmalige (unbestimmte) Integration der Differentialgleichung gewonnen werden (vgl. hierzu das einfiihrende Beispiel). Man bezeichnet die Losungen einer Differentialgleichung daher auch als Integrale {allgemeines Integral, spezielles oder partikuldres Integral). Das Aufsuchen sdmtlicher Losungen einer Differentialgleichung heiBt auch Integration der Differentialgleichung.
1) In einigen Fallen treten noch weitere Losungen auf, die nicht aus der allgemeinen Losung gewonnen werden konnen. Sie werden als singuldre Losungen bezeichnet.
1 Grundbegriffe
437
Beispiele (1)
Die allgemeine Losung der Differentialgleichung 1. Ordnung y' = 2x erhalten wir durch unbestimmte Integration: y = ^y'dx = \2xdx
= x^-\-C
(CeR)
Die Losungsfunktionen reprasentieren eine Schar von Normalparabeln, die nach oben geoffnet sind und deren Scheitelpunkte auf der y-Achse liegen (Bild V-3). Durch jeden Punkt der x, y-Ebene geht dabei genau eine Losungskurve. So verlauft z.B. durch den Nullpunkt die Parabel mit der Gleichung y = x-^. Die iibrigen Parabeln der Losungsschar y = x^ + C gehen aus ihr durch Parallelverschiebung langs der }^-Achse hervor. Der Parameter C bestimmt somit die Lage des Scheitelpunktes auf der y-Achse.
Bild V-3 Losungen der Differentialgleichung y' = 2x (Parabelschar y =:x^ -\- C mit CeJR)
(2)
Die harmonische Schwingung eines elastischen Federpendels laBt sich bekanntlich durch eine Sinusfunktion vom Typ x{t) = A ' sin {(JOQ t + (p) beschreiben. Sie ist die allgemeine Losung einer bestimmten Differentialgleichung 2. Ordnung, der sog. Schwingungsgleichung, die wir nun herleiten wollen.
438
V Gewohnliche Differentialgleichungen Dazu differenzieren wir die Funktion x{t) zweimal nach der Zeit und erhalten: X = (DQA-
COS ((DQ
t + (p)
X = — COQA- sin {COQ t + cp) = — COQ{A' sin {COQ t -i- cp)) = ~ COQX X
Die harmonische Schwingung genugt somit der Differentialgleichung X= —
CDQX
Oder
x+
COQ
x=0
Die Sinusfunktion x{t) = A- sin (COQ t + (p) ist dabei die allgemeine Losung dieser Gleichung, da sie mit der Amplitude A und der Phase cp zwei unabhangige Parameter enthalt (Bild V-4). X i
i x(f) =
As\n(U)Qt'i-ip)
A-
/ / / t ^IOJQ
-A^0
Bild V-4 Weg-Zeit-Gesetz einer harmonischen Schwingung (allgemeine Losung)
1.4 Anfangswert- und Randwertprobleme Die allgemeine Losung einer Differentialgleichung n-ter Ordnung enthalt noch n unabhangige Parameter. In den Anwendungen ist man jedoch haufig nur an einer speziellen Losung naher interessiert. Um die Parameter festlegen zu konnen, werden noch zusdtzliche Informationen liber die gesuchte Losung benotigt. Sie konnen beispielsweise bei einem physikahschen Experiment in der Angabe der zu Beginn herrschenden Versuchsbedingungen bestehen. Allgemein werden bei einer Differentialgleichung n-ter Ordnung n Bedingungen benotigt, aus denen sich die n Parameter der allgemeinen Losung berechnen lassen. Je nach Art der Vorgabe unterscheidet man dabei zwischen Anfangs- und Randbedingungen.
1 Gmndbegriffe
439
Anfangswertproblem Bei einem Anfangswertproblem, auch Anfangswertaufgabe genannt, werden der Losungsfunktion y = y{x) insgesamt n Werte, namlich der Funktionswert sowie die Werte der ersten n — 1 Ableitungen an einer Stelle XQ, vorgeschrieben: yixo), y'(XQ), /'(XQ), y{n-i) f^^^y ^ j j . bezeichnen sie als Anfangswerte oder Anfangsbedingungen. Sie fiihren zu n Bestimmungsgleichungen fiir die Parameter C^, C 2 , . . . , Q . Die gesuchte spezielle Losung ist dann durch die Anfangswerte eindeutig bestimmt^l Fiir die in den Anwendungen besonders wichtigen Differentialgleichungen 1. und 2. Ordnung laBt sich das Anfangswertproblem geometrisch wie folgt deuten: Dgl 1. Ordnung: Gesucht ist diejenige spezielle Losungskurve der Differentialgleichung, die durch den vorgegebenen Punkt P = {XQ; y{xQ)) verlauft. Dgl 2. Ordnung: Gesucht ist diejenige spezielle Losungskurve der Differentialgleichung, die durch den vorgegebenen Punkt P = {XQ; y(xo)) verlauft und dort die vorgegebene Steigung y' (XQ) = m besitzt.
Beispiele (1)
Wir losen die y' = lx,
Anfangswertaufgabe y(0) = l:
Allgemeine Losung: y = ^ y^ dx = ^ 2x dx = x-^ + C Bestimmung des Parameters:
y{0) = 1 =^ C = 1
Gesuchte spezielle Losung: y = x^ + 1 (2)
Das
Anfangswertproblem X -\- COQX = 0,
x(0) = xo,
x(0) = 0
(XQ > 0)
beschreibt die harmonische Schwingung eines elastischen Federpendels unter den folgenden Versuchsbedingungen (Anfangsbedingungen): 1. Das Federpendel besitzt zu Beginn der Bewegung, d.h. zur Zeit t = 0 eine Auslenkung XQ in der positiven Richtung; 2. Die Bewegung erfolgt aus der Ruhe heraus (Anfangsgeschwindigkeit i;o = x(0) = 0). Die allgemeine Losung der Schwingungsgleichung lautet dann nach den Ergebnissen des vorherigen Abschnitts: x{t) = A- sin (COQ t -\- (p)
{A > 0;0 ^ (p < In)
2) Auf die Existenz- und Eindeutigkeitssatze konnen wir im Rahmen dieser einfiihrenden Darstellung nicht naher eingehen.
440
V Gewohnliche Differentialgleichungen Die Parameter A und (p, d.h. Amplitude und Phase der Schwingung, bestimmen wir aus den beiden Anfangswerten wie folgt: (I)
X (0) = XQ => A ' sin (p = XQ
(11) X (t) =
COQ
X (0) = 0 ^
A ' cos
(COQ
t + (p)
(JOQA- COS (p = 0
cos (p = 0 =^ (pi
3
n
^2'
Wegen ^ > 0 und XQ > 0 ist auch sin (/? > 0. Der gesuchte Phasenwinkel n liegt daher im Intervall 0 < (p < n. Es kommt somit nur die Losung (p = in Frage. Aus Gleichung (I) folgt dann ^ = XQ. Das Federpendel schwingt unter den genannten Anfangsbedingungen nach der Weg-Zeit-Funktion X{t) =
XQ
• sin
COQ^
+
XQ
• COS {COQ t)
(t^O)
Bild V-5 zeigt den Verlauf dieser Schwingung.
Bild V-5 Weg-Zeit-Gesetz einer harmonischen Schwingung (spezielle Losung fur die Anfangswerte x(0) = XQ, x(0) = v{0) = 0)
Randwertproblem Bei einem Randwertproblem, auch Randwertaufgabe genannt, werden der gesuchten speziellen Losung einer Differentialgleichung n-ter Ordnung an n verschiedenen Stellen Xi,X2,...,x„ der Reihe nach die Funktionswerte y(xi), y(x2), ...,3^(x„) vorgeschrieben. Sie werden als Randwerte oder Randbedingungen bezeichnet und fiihren wiederum zu n Bestimmungsgleichungen fiiY diQ n Parameter Ci,C2,...,C„ der allgemeinen Losung. Fur eine Differentialgleichung 2. Ordnung bedeutet dies: Die Losungskurve ist so zu bestimmen, daB sie durch zwd vorgegebene Punkte P^ = (x^; y^) und P2 = (X2; ^2) verlauft. Es soil jedoch nicht unerwahnt bleiben, daB nichtjedes Randwertproblem losbar ist. In bestimmten Fallen konnen auch mehrere Losungen auftreten.
1 Grundbegriffe •
441
Beispiel Wir betrachten einen auf zwei Stutzen ruhenden und durch eine konstante Streckenlast q gleichmaBig belasteten Balken (Bild V-6).
Bild V-6 Biegelinie eines Balkens bei gleichmaBiger Belastung
In der Festigkeitslehre wird gezeigt, daB die Biegelinie y = yix) fiir kleine Durchbiegungen naherungsweise der Differentialgleichung 2. Ordnung ^
EI
geniigt (sog. Biegegleichung)^\ Darin bedeuten: E: Elastizitdtsmodul (Materialkonstante) /: Fldchenmoment des Balkenquerschnitts M^: Biegemoment Fiir das ortsabhdngige Biegemoment M^ erhalten wir in diesem Belastungsfall
Die Biegegleichung nimmt damit die folgende Gestalt an: y"=
- ^ r ^'^ - ^ ' ) 2EI
{0<X^
I)
An den beiden Enden ist die Durchbiegung jeweils Null. Wir haben somit die Randwertaufgabe y"=-^Alx-x\ 2EI
y{0) = y{l) = 0
zu losen. 3)
Vgl. hierzu z.B. Assmann: Technische Mechanik (Band 2).
(0<X
442
V Gewohnliche Differentialgleichungen Zunachst bestimmen wir die allgemeine Losung, indem wir die Biegegleichung zweimal nacheinander integrieren: y
=
y"dx=
- q 2EI
y' dx = —
{Ix — x'^)dx = —
1 2EI\2
-lx^--x^-^Ci]dx
2EI 1 12
2El\6
^
1 3
^
=
^
Die Integrationskonstanten Q und C2 berechnen wir aus den Randbedingungen wie folgt: y{0) = 0
y{l)=0
2EI
Co = 0 => C9 = 0
2EI\6
^1
12 0
l - / 4 + C i / = 0 => Ci =
-4/3
12
12
Die Biegelinie lautet somit:
y{x)=-^-(-lx^-^X^-~l^x] ^^ ^ 2EI\6 12
= 12
J
24 £ /
Das Maximum der Durchbiegung liegt dabei aus Symmetriegmnden in der Balkenmitte und betragt ym^x = yW^) = 384 £ /
2 Differentialgleichungen 1. Ordnung Wir beschaftigen uns in diesem Abschnitt mit der Integration, d.h. der Losung einer Differentialgleichung 1. Ordnung. Ahnlich wie in der Integralrechnung gibt es auch hier kein allgemeines Losungsverfahren. Der einzuschlagende Losungsweg ist vielmehr noch vom Typ der Differentialgleichung abhangig. Wir beschranken uns daher auf einige in den
442
V Gewohnliche Differentialgleichungen Zunachst bestimmen wir die allgemeine Losung, indem wir die Biegegleichung zweimal nacheinander integrieren: y
=
y"dx=
- q 2EI
y' dx = —
{Ix — x'^)dx = —
1 2EI\2
-lx^--x^-^Ci]dx
2EI 1 12
2El\6
^
1 3
^
=
^
Die Integrationskonstanten Q und C2 berechnen wir aus den Randbedingungen wie folgt: y{0) = 0
y{l)=0
2EI
Co = 0 => C9 = 0
2EI\6
^1
12 0
l - / 4 + C i / = 0 => Ci =
-4/3
12
12
Die Biegelinie lautet somit:
y{x)=-^-(-lx^-^X^-~l^x] ^^ ^ 2EI\6 12
= 12
J
24 £ /
Das Maximum der Durchbiegung liegt dabei aus Symmetriegmnden in der Balkenmitte und betragt ym^x = yW^) = 384 £ /
2 Differentialgleichungen 1. Ordnung Wir beschaftigen uns in diesem Abschnitt mit der Integration, d.h. der Losung einer Differentialgleichung 1. Ordnung. Ahnlich wie in der Integralrechnung gibt es auch hier kein allgemeines Losungsverfahren. Der einzuschlagende Losungsweg ist vielmehr noch vom Typ der Differentialgleichung abhangig. Wir beschranken uns daher auf einige in den
443
2 Differentialgleichungen 1. Ordnung
naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen besonders wichtige Typen, wobei die linear en Differentialgleichungen 1. Ordnung im Vordergrund stehen werden. Bei alien weiteren Uberlegungen gehen wir dabei von der expliziten Darstellungsform y' = f{x; y) einer Differentialgleichung 1. Ordnung aus.
2.1 Geometrische Betrachtungen Die Differentialgleichung y' =f{x; y) besitze die Eigenschaft, daB durch jeden Punkt des Definitionsbereiches von f{x; y) genau eine Losungskurve verlaufe. PQ = (XQ; yo) sei ein solcher Punkt und y = y(x) die durch PQ gehende Losungskurve (Bild V-7).
Losungskurve y=y(x) durch PQ
Tangente in R
Bild V-7 Losungskurve der Differentialgleichung y' = f{x; y) durch den Punkt PQ = (^o^ ^o)
Die Steigung m der Kurventangente in PQ kann dann auf zwei verschiedene Arten berechnet werden: 1. Aus der (als bekannt vorausgesetzten) Funktionsgleichung y = y{x) der Losungskurve durch Differentiation nach der Variablen x: m = y'(XQ); 2. Aus der Differentialgleichung y' = f{x; y) selbst, indem man in diese Gleichung die Koordinaten des Punktes PQ einsetzt: m = f{xQ; yQ). Es ist somit in =
y'{xQ)=f{xQ;yQ)
(V-9)
Der Anstieg der Losungskurve in PQ kann somit direkt aus der Differentialgleichung berechnet werden, die Funktionsgleichung der Losungskurve wird dabei iiberhaupt nicht benotigt. Durch die Differentialgleichung y' = f{x; y) wird namhchj^^^m Punkt P = {x] y) aus dem Definitionsbereich der Funktion / ( x ; y) ein Richtungs- oder Steigungswert zugeordnet. Er gibt den Anstieg der durch P gehenden Losungskurve an.
444
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Graphisch kennzeichnen wir die Richtung der Kurventangente in P durch eine kleine, in der Tangente liegende Strecke, die als Linien- oder Richtungselement bezeichnet wird (Bild V-8). Das dem Punkt P = (x; y) zugeordnete Linienelement ist demnach durch die Angabe der beiden Koordinaten x,y und des Steigungswertes m=f{x;y) eindeutig bestimmt. yk
-Linienelement in P=(x;y)
Bild V-8 Zum Begriff des Linienelementes
Die Gesamtheit der Linienelemente bildet das Richtungsfeld der Differentialgleichung, aus dem sich ein erster, grober Uberblick iiber den Verlauf der Losungskurven gewinnen laBt (Bild V-9). Eine Losungskurve muB dabei in jedem ihrer Punkte die durch das Richtungsfeld vorgegebene Steigung aufweisen.
Losungskurve y=y(x)
Bild V-9 Richtungsfeld einer Differentialgleichung 1. Ordnung vom Typ y' = f{x; y) mit einer Losungskurve y = y(x)
445
2 Differentialgleichungen 1. Ordnung
Bei der Konstruktion von Ndherungskurven erweisen sich die sog. Isoklinen als sehr hilfreich und niitzlich. Unter einer Isokline versteht man dabei die Verbindungslinie aller Punkte, deren zugehorige Linienelemente in die gleiche Richtung zeigen, d.h. zueinander parallel sind. Die Isoklinen der Differentialgleichung y' = f{x; y) sind daher durch die folgende Gleichung definiert: f{x;y)
(V-10)
= constant
Im Richtungsfeld der Differentialgleichung konstruieren wir nun Kurven, die in ihren Schnittpunkten mit den Isoklinen den gleichen Anstieg besitzen wie die dortigen Linienelemente. In einem Schnittpunkt verlaufen somit Kurventangente und Linienelement parallel, d.h. das Linienelement fallt in die dortige Kurventangente. Kurven mit dieser Eigenschaft sind dann Ndherungen fur die tatsachlichen Losungskurven. •
Beispiele (1)
Die Isoklinen der Differentialgleichung x -\- yy' = 0 sind Geraden, die durch den Nullpunkt verlaufen (Bild V-10). Mit y' = constant = a erhalten wir namlich:
Losungskurve (Kreis)
Isokline mit Linienelementen
Bild V-10 Richtungsfeld (Isoklinen) der Differentialgleichung x + yy' = 0 mit einigen Losungskurven (konzentrische Mittelpunktskreise)
V Gewohnliche Differentialgleichungen
446 Fur a = 0: x = 0 Fiir a ^ 0: x -\- ya = 0,
d.h.
y=
1 x a
Anhand des Richtungsfeldes erkennt man, daB die Losungskurven konzentrische Mittelpunktskreise vom Typ x-^ -\- y-^ = R-^ darstellen {R> 0). (2)
Die Isoklinen der Differentialgleichung y^ = 2x sind Geraden, die parallel zur };-Achse verlaufen: 2x = constant = a
X
=
In das Richtungsfeld der Differentialgleichung haben wir eine Losungskurve eingezeichnet, die auf das Richtungsfeld „paI3t" (Bild V-11). Es handelt sich dabei um die Normalparabel y = x-^. Die Losungsschar der Differentialgleichung y' = 2x besteht aus den Parabeln y = x^ + C.
ri 1
\ i
\
i\\\ ^y
\
\\ ^
\
1
W
\ \
y
y
\ \ \
\ \^ \ y \
i V\
I \
i \
\
\ \
\
\
i\ ^\ \ \ A i\ ^y \ \\ \ \
^y
^
1 ^
\ 1
~
__
~~
/
/
/
~~
/
v: y
\
\
^ ^ ^
^^
^ r^ \ i\ ^ y \
1
i ^^
/ / ~~ / ___ / / ~ / ~~ / ~~
^
~~
/
~~
/
1 1 1 1 /
-Losungskurve y = x^
ii /
/
//
/l V /
/1 /J
' Isokline mit Linienelementen
T~
/1 / 1
Bild V-11 Richtungsfeld (Isoklinen) der Differentialgleichung y' = 2x mit der Losungskurve y = x'^ 11
2 Differentialgleichungen 1. Ordnung
447
2.2 Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen Eine Differentialgleichung 1. Ordnung vom Typ Oder
/=f{x)-g{y)
(V-11)
^=f{x)-giy) ax
heiBt separabel und laBt sich durch „Trennung der Variablen" losen. Dabei wird die Differentialgleichung zunachst wie folgt umgestellt: f=f{x)-g{y) dx
=> ^ = f{x)dx g(y)
{g{y)^0)
(V-12)
Die linke Seite der Gleichung enthalt nur noch die Variable y und deren Differential dy, die r^c/ite Seite dagegen nur noch die Variable x und deren Differential dx. Die Variablen wurden somit getrennt (daher stammt auch die Bezeichnung dieser Integrationsmethode). Jetzt werden beide Seiten unbestimmt integriert: dy
f(x)dx
(V-13)
Die dann in Form einer impliziten Gleichung vom Typ F^iy) = F2 (x) vorliegende Losung wird nach der Variablen y aufgelost, was in den meisten Fallen moglich ist, und wir erhalten die allgemeine Losung der Differentialgleichung y' =f{x)- g{y) in der expliziten Form y = y{x).
Anmerkung Die Trennung der Variablen ist nur unter der Voraussetzung g{y)¥'0 moglich. Die Losungen der Gleichung g{y) = 0 sind vom Typ y = constant = a und zugleich auch Losungen der Differentialgleichung y' = f{x) • g{y) (vgl. hierzu die nachfolgenden Beispiele).
448 •
V Gewohnliche Differentialgleichungen Beispiele (1)
Die Differentialgleichung y' = y ist vom Typ (V-14) und laBt sich fiir y i^O durch Trennung der Variablen wie folgt losen. Zunachst trennen wir die beiden Variablen: dy dx
=^
—-dx y
Durch Integration auf beiden Seiten der Gleichung folgt dann: ^dy y
(CelR)
dx ^ \n\y\ = x-\-C .
Die Losung liegt jetzt in der impliziten Form vor. Wir losen diese Gleichung nach der Variablen y auf und erhalten ^^:
(CelR)
Wenn die Integrationskonstante C alle reellen Zahlen durchlauft, durchlauft die Konstante e^ alle positiven Werte und die Konstante e^ somit alle von Null verschiedenen Werte. Wir setzen daher
Eine wettere Losung der Differentialgleichung y' = y ist y = 0, so daB diese Differentialgleichung insgesamt folgende Losungsmenge besitzt: >; = 0
und
y=K -
Q""
{K
^ 0)
Sie ist auch in der geschlossenen Form y= Xe^
(XeR)
darstellbar, denn fiir K = 0 erhalten wir hieraus die spezielle oder partikulare Losung y = 0.
Wichtiger Hinweis Bei der Integration einer Differentialgleichung treten haufig „logarithmische" Terme wie In | x |, In | y | usw. auf. Es ist dann zweckmaBiger, die Integrationskonstante nicht in der iibhchen Form, sondern in der „logarithmischen" Form In |C| anzusetzen. Diese Schreibweise fuhrt zu einem geringeren Arbeitsaufwand und ist erlaubt, da mit C auch ln|C| a//e reellen Zahlen durchlauft ^I
4) Wir erinnern: Die Betragsgleichung \y\ = a> 0 hat zwei Losungen, namlich y ^ a. Bekanntlich isi jede reelle Zahl als natiirlicher Logarithmus einer positiven Zahl darstellbar (Band 1, AbschnittIII.12.1).
2 Differentialgleichungen 1. Ordnung
449
Den Vorteil dieser Methode zeigen wir am soeben behandelten Beispiel der Differentialgleichung y' = y. Wie bisher trennen wir zunachst die beiden Variablen und integrieren anschlieBend beide Seiten der Gleichung, wobei wir die Integrationskonstante in der Form In |C| schreiben: dy dx dy
= dx
\n\y\ = x + ln|C|
dx
y
Die logarithmischen Terme werden noch zusammengefaBt: l n | } ; | - l n | C | = ln
=
X
Durch Umkehrung erhalten wir dann Oder
= e-^
C
= +e'
Die allgemeine Losung der Differentialgleichung y^ = y lautet damit y = + C • e^ wobei wir K = (2)
Oder
y = K • Q^
C gesetzt haben (X e R).
Die Anfangswertaufgabe x + y/
= 0, y{0) = 2
losen wir durch Trennung der Variablen. Trennung der Variablen: dy x + y-^ = 0 dx
ydy = — xdx
Integration: ydy= — \ xdx
-J
-x^ + C
Allgemeine Losung der Differentialgleichung: j ^ = — x ^ + 2C
oder
x^ + y^ = 2C
Dies ist die Gleichung eines Mittelpunktkreises mit dem Radius R = v 2 C, falls C > 0 ist. Fiir C = 0 erhalten wir den Nullpunkt („entartete" Losung), fiir C < 0 existieren keine Losungen. Die Losungskurven der Differentialgleichung X -\- yy' = 0 sind somit konzentrische Mittelpunktskreise mit der Gleichung x^ -i-y^ = R^ (Bild V-12).
V Gewohnliche Differentialgleichungen
450 Spezielle Losung fiir y{0) = 2:
y{0) = 2 => 4 = 2C, d.h. C = 2 und somit R = 2 Die Losung der gestellten Anfangswertaufgabe fiihrt zu dem Mittelpunktskreis x2 + 3;2 = 4 mit dem Radius R = 2 (vgl. hierzu Bild V-12).
Bild V-12 Losungen der Differentialgleichung x + yy' = 0 (konzentrische Mittelpunktskreise x'^ + y'^ = R'^; dQT stark ausgezogene Kreis ist die spezielle Losung fiir den Anfangswert y(0) = 2)
2.3 Integration einer Differentialgleichung durch Substitution In einigen Fallen ist es moglich, eine explizite Differentialgleichung L Ordnung y' = fix; y) mit Hilfe einer geeigneten Substitution auf eine separable Differentialgleichung L Ordnung zuruckzufiihren, die dann durch Trennung der Variablen gelost werden kann. In diesem Abschnitt behandeln wir Differentialgleichungen vom Typ y' =f{ax-\-by-\-c)
und
y'= f
(V-15)
Differentialgleichungen vom Typ y' = f(ax -^ by -\- c) Eine Differentialgleichung von diesem Typ laBt sich durch die lineare Substitution u = ax -\- by -^ c
(V-16)
losen. Dabei sind y und u als Funktionen von x zu betrachten. Durch Differentiation dieser Gleichung nach x erhalten wir dann: u' = a -\- by'
(V-17)
2 Differentialgleichungen 1. Ordnung
451
Beriicksichtigen wir noch, daB y' = f{u) ist, so folgt hieraus die Differentialgleichung (V-18)
u' = a-\-hf{u)
die durch Trennung der Variablen gelost werden kann, da die rechte Seite dieser Gleichung nur von u abhangt. Die Losung u = u{x) dieser Differentialgleichung setzen wir dann in die Substitutionsgleichung (V-16) ein und losen anschlieBend die Gleichung nach y auf (sog. Rucksubstitution). (y Differentialgleichungen vom Typ j ' = /
-
Eine Differentialgleichung von diesem Typ wird durch die Substitution u = -,
d.h.
(V-19)
y = xu
X
gelost. Wir differenzieren diese Gleichung nach x und erhalten: (V-20)
y' = \ ' u + X • u' = u + xu'
(wiederum sind y und u Funktionen von x). Da y' = f{u) ist, geht die Differentialgleichung y' = f \ - \ u + xu' =f{u)
schlieBlich in die separable Differentialgleichung Oder
u' = -^
(V-21) X
iiber, die ebenfalls durch Trennung der Variablen gelost werden kann. AnschlieBend erfolgt die Rucksubstitution. Wir fassen die Ergebnisse zusammen:
452
V Gewohnliche Differentialgleichungen Beispiele (1)
/ =
2x-y
Die Differentialgleichung ist vom Typ y^ = f{ax -\- by -\- c) und wird durch die Substitution u = 2x — y gelost. Mit u = 2x — y und u' = 2-y\
d.h.
/ =
2-u'
gehen wir in die Differentialgleichung y' = 2x — y ein und erhalten: 2 — u'= u
oder
—u' = u — 2
Diese Differentialgleichung laBt sich durch Trennung der Variablen losen: du du — ^^ u — 2 = = — dx dx u—2 du ^u—2
dx ^
ln|M-2|-ln|C|-ln u-2 C
l n | M - 2 | = - X + ln|C| u-2\ C
=
— X
w = Ce~^ + 2
(CeR)
Durch Riicksubstitution folgt weiter: u = 2x — y = C ' Q~^-\-2 ^
j; = — C • e " ^ + 2x — 2
Die allgemeine Losung der Differentialgleichung y' = 2x — y lautet somit: }; = Ci • e ~ ^ + 2 x - 2
(2)
{Ci = - C;
C,Ci^^)
Die Differentialgleichung 1. Ordnung
X ist vom Typ y'=f\-] y ^"' u = - wie folgt losen: X
\x/ und laBt sich daher durch die Substitution
2 Differentialgleichungen 1. Ordnung
453
Substitution: y u = -,
d,h.
y = xu,
y^ = u -\- xu'
X
y' = l + 2 ( - )
=> u -\- xu' = 1 -\- 2u
Oder
xu' = 1 -\- u
Integration durch Trennung der Variablen: du du dx X-— = 1 + w => =— dx u -\- 1 X C du u -\- 1
Cdx j X
ln|w + 1| = ln|x| + l n | C | = ln|Cx| u + 1 = Cx
oder
u = Cx — 1
(C e R)
Riicksubstitution: y = xu = x{Cx — 1) = Cx^ — X Die allgemeine Losung der Differentialgleichung y' = die Gestalt y = Cx^ -X
X + 2y
besitzt somit
^
(C e IR)
2.4 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung 2.4.1 Definition einer linearen Differentialgleichung 1. Ordnung
Die Funktion g (x) wird als Storfunktion oder Storglied bezeichnet. Fehlt das Storglied, d.h. ist ^(x) = 0, so heiBt die lineare Differentialgleichung homogen, sonst inhomogen.
454
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Anmerkung Kennzeichen einer linear en Differentialgleichung 1. Ordnung sind: 1. y und y' treten linear, d.h. in 1. Potenz auf. 2. Ein „gemischtes Produkt" yy' kann nicht vorkommen.
•
Beispiele (1)
Die folgenden Differentialgleichungen 1. Ordnung sind linear: y' — xy = 0
Homogene Dgl
xy' -^ 2y = Q^
Inhomogene Dgl
y' + (tan x) • 3; = 2 • sin x • cos x (2)
Inhomogene Dgl
Nicht-linear sind folgende Differentialgleichungen 1. Ordnung: y' = 1 — y-^
{y tritt in der 2. Potenz auf)
yy' -\- X = 0
(Die Differentialgleichung enthalt ein „verbotenes" gemischtes Produkt yy')
2.4.2 Integration der homogenen linearen Differentialgleichung Eine homogene hneare Differentialgleichung 1. Ordnung /^f(x)-y
(V-25)
=0
laBt sich durch Trennung der Variablen wie folgt losen. Zunachst trennen wir die beiden Variablen: ^ + / ( x ) - j = 0 => ^=-f{x)dx ax y
(V-26)
Dann werden beide Seiten integriert, wobei wir die Integrationskonstante wiederum in der logarithmischen Form In |C| schreiben: Cdy
Jy
fix)dx
=> \n\y\ =
f{x)dx-\-\n\C\
(V-27)
Die logarithmischen Terme werden noch zusammengefaBt: f{x)dx
Inlyl-lnlCl^ln
(V-28)
Durch Umkehrung erhalten wir hieraus die allgemeine Losung der homogenen linearen Differentialgleichung in der Form ^^(^^.g-J/W^^
(CeR)
(V-29)
2 Differentialgleichungen 1. Ordnung
455
Beispiele (1)
x^/
+y =0
Oder
/-{-^y
1
=0
(x / 0)
Die vorliegende homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung losen wir durch Trennung der Variablen. Trennung der Variablen: dy dx
dy
1 x^
y
dx
=
Integration auf beiden Seiten:
l7=-|$-'"'-' = - + ln|C X
l n | y | - l n | C | =ln
y
c
=
1 X
Wir losen diese Gleichung noch nach y auf und erhalten die allgemeine Losung der homogenen linearen Differentialgleichung x-^y' -\- y = 0 in der Form y = Cei/^
(2)
(CeR)
= 0, y{0) = 5
/-2xy
Wir bestimmen zunachst die allgemeine Losung dieser homogenen Hnearen Differentialgleichung durch Trennung der Variablen: Trennung der Variablen: dy dx
^ n ^y ^ ^ 2xy = ij ^> — = 2xdx y
456
V Gewohnliche Differentialgleichungen Integration auf beiden Seiten: => ln|v| = x ^ + l n | C |
\^=\2xdx J y J
y x^ l n | } ; | - l n | C | = ln y_ = x^2 => — = e-^ c C
Allgemeine Losung: y= Ce^'
(CeR)
Spezielle Losung fur y(0) = 5: j;(0) = 5 ^
C-5
Das Anfangswertproblem y^ — 2xy = 0, y{0) = 5 besitzt somit die Losung y = 5 ' Q^
2.4.3 Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung Wir beschaftigen uns nun mit der allgemeinen Losung der inhomogenen linearen Differentialgleichung 1. Ordnung und behandeln zwei unter den folgenden Bezeichnungen bekannte Losungsmethoden: 1. Integration durch ^Variation der Konstanten". 2. Integration durch ,,Aufsuchen einer partikuldren (speziellen) Losung''. 2.4.3.1 Variation der Konstanten Eine inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung y'+f{x)-y
(V-32)
= g(x)
laBt sich wie folgt durch Variation der Konstanten losen. Zunachst wird die zugehorige homogene Differentialgleichung /+f{x)-y
(V-33)
=0
durch Trennung der Variablen gelost. Dies fuhrt zu der allgemeinen Losung ^^ yo = K-Q-^^^''^ ^^
{K e R)
(V-34)
Wir ersetzen jetzt die Integrationskonstante K durch eine (noch unbekannte) Funktion K (x) und versuchen, die inhomogene Differentialgleichung durch den Produktansatz y -K(x)-e-^-^(^)^^
(V-35)
Um Verwechslungen mit der allgemeinen Losung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung zu vermeiden, kennzeichnen wir ab sofort die allgemeine Losung der homogenen Gleichung durch das Symbol yo-
2 Differentialgleichungen 1. Ordnung
457
zu losen. Dazu wird noch die 1. Ableitung dieses Losungsansatzes benotigt. Unter Verwendung von Produkt- und Kettenregel erhalten wir: y
K'{x) •Q-U{x)dx ^K{x)'f{x)
•Q-if(^)dx
(Y_35)
Wir setzen nun die fur y und y^ gefundenen Funktionsterme in die inhomogene Differentialgleichung (V-32) ein: K'{x) • e "^^^-^^^^ - K{x)'f{x)
• e -^/(^)^-^ + /(x) • X(x) • e "I/W^^ = g{x)
K'{x)-Q-^f^^^^'' = g(x) K'{x) = g{x)'Q^f^''^^''
(V-37)
Durch Integration folgt weiter: K{x) = \g{x)- Q^f^^'^^'^dx + C
(V-38)
Diesen Ausdruck setzen wir fiir die Faktorfunktion K (x) des Losungsansatzes (V-35) ein und erhalten dann die allgemeine Losung der inhomogenen Differentialgleichung (V-32) in der Form y = {\g{x)- Q^f^^'^^'^dx + C) • e " ^ / ^ ^ ^
Wir fassen die Ergebnisse zusammen:
(V-39)
V Gewohnliche Differentialgleichungen
458
Anmerkung Durch die Bezeichnung ^Variation der Konstanten" soil zum Ausdruck gebracht werden, daB die Integrationskonstante K „variiert",d.h. durch eineFwntoon K{x) ersetzt wird.
Beispiele Hinweis: Die beim Losen einer Differentialgleichung anfallenden Integrale werden der Integraltafel der Formelsammlung entnommen (Angabe der jeweiligen Integralnummer). Diese Regelung gilt im gesamten Kapitel. (1)
3 ; ' + - = cosx X
Wir losen zunachst die zugehorige homogene Differentialgleichung / +- =0 X
durch Trennung der Variablen:
-/ + - = 0 dx
X
dy
dx
y
X
dx — => \n\y\=
dy y
-\n\x\
+ l n | X | = In
X
Die allgemeine Losung der homogenen Gleichung lautet somit: K
(XeR)
yo
Die inhomogene Differentialgleichung losen wir durch Variation der Konstanten (K->K(x)): _ K{x)
K{x) _ K'{x)
^ _K'{x)'X-
K{x)
Wir setzen nun diese Funktionsterme in die inhomogene Differentialgleichung ein: y K'{x) y -\-- = X
X
K{x) K{x) r- + — z - = cos X X^
X^
2 Differentialgleichungen 1. Ordnung = cos X
459
Oder
K (x) = x • cos x
X
Durch unbestimmte Integration folgt hieraus: K{x) = j K' {x)dx = j X ' cos X dx = cos x + x • sin x + C Integral Nr. 232 Die inhomogene Differentialgleichung besitzt damit die allgemeine Losung K (x) cos X + X • sin X + C y=—^ = X
(2)
y-3y
(C EIR)
X
= X'Q'^''
Die zugehorige homogene Differentialgleichung y'-3y
=0
wird durch Trennung der Variablen gelost. Ihre allgemeine Losung ist yo = K-Q^''
(KeR)
(nachrechnen!). Die inhomogene Differentialgleichung losen wir durch den Ansatz y = K{x)-Q^'' {Variation der Konstanten). Wir gehen mit den Termen y = K{x)' e^^,
/ = K'{x) • e^^ + 3K{x) • e^^
in die inhomogene Gleichung ein und erhalten: y -3y
= K'{x)- e^-^ + 3X(x) • e^^ - 3K{x) • e^^ = x • e^^ 0
K'(x)-e^^ = x-e'^^
Oder
K^(x) = x - e ^
Durch unbestimmte Integration folgt: K{x) - j X^(x)rfx = j X • e^ Jx = (x - 1) • e^ + C Integral Nr. 313 Die allgemeine Losung der inhomogenen Differentialgleichung lautet damit: y = K{x) • e^^ = [(x - 1) • e^ + C] • e^^ = (x - 1) • e^^ + C • e^^
460
V Gewohnliche Differentialgleichungen
2.4.3.2 Aufsuchen einer partikularen Losung Bin weiteres Losungsverfahren, das wir als „Aufsuchen einer partikularen Losung" bezeichnen wollen, beruht auf der folgenden bedeutenden Eigenschaft der inhomogenen linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung:
Anmerkung Auch lineare Differentialgleichungen 2. und hoherer Ordnung besitzen diese Eigenschaft.
Beweis: yo sei die allgemeine Losung der homogenen Differentialgleichung, yp eine beliebige partikuldre (spezielle) Losung der inhomogenen Differentialgleichung. Somit ist:
>'o+/W-yo = 0
(V-46)
yp + f{^)-yp = gix)
(v-47)
Wir zeigen zunachst, da6 auch die Summe (v-48)
y = yo + yp eine Losung der inhomogenen Differentialgleichung (V-43) ist: y' + f(x)-y
= (yo + ypY + /(x) • (^o + Vp) = = y'o + y'p+fix)
• yo + / W • yp =
= (yo + / W • yo) + {y'p + f{x)-yp) = g(x)
0
JM
(nach (V-46))
(nach (V-47))
(V-49)
2 Differentialgleichungen 1. Ordnung
461
Die Funktion y ^ yo + yp ist daher eine Losung der inhomogenen Differentialgleichung y' -\- f{x) • y = g{x). Sie ist zugleich die allgemeine Losung dieser Gleichung, da der Summand yQ als allgemeine Losung der zugehorigen homogenen Gleichung und damit auch die Summe y = yo ~^ yp genau einen frei wahlbaren Parameter enthalten. Aus diesem Satz ziehen wir noch eine wichtige Folgerung: Um die allgemeine Losung y der inhomogenen Gleichung y^ -\- fix) - y = g{x) zu erhalten, geniigt es, eine partikulare Losung yp dieser Gleichung zu bestimmen. Dieses Vorhaben gehngt in vielen Fallen mit Hilfe eines speziellen Losungsansatzes, der noch einen oder mehrere Stellparameter enthalt. Die partikulare Losung yp wird dann zur allgemeinen Losung ^Q der zugehorigen/zomog^nen Gleichung y' -\- f{x)- y = ^, diemandurch Trennung der Variablen ermitteU hat, addiert und ergibt die gesuchte allgemeine Losung der inhomogenen Gleichung. Bei diesem Verfahren wird somit die allgemeine Losung der inhomogenen linearen Differentialgleichung y' -^ f{x) - y = g{x) durch „Aufsuchen einer partikuldren Losung" dieser Gleichung bestimmt.
Wir fassen zusammen:
Anmerkungen (1) Prinzipiell laBt sich eine partikulare Losung yp der inhomogenen Gleichung stets durch Variation der Konstanten bestimmen. Dieses Verfahren ist hier jedoch nicht gemeint.
462 (2)
V Gewohnliche Differentialgleichungen Der Losungsansatz fiir eine partikulare Losung yp hangt noch sowohl vom Typ der Koeffizientenfunktion f (x) als auch vom Typ der Storfunktion g (x) ab. Im konkreten Fall mu6 man sich zunachst fiir einen speziellen Funktionstyp entscheiden und dann versuchen, die Parameter so zu bestimmen, daB diese Funktion der inhomogenen Gleichung (V-50) geniigt. Wir weisen jedoch darauf bin, daB dieses Vorhaben nur in einfachen Fallen gelingt.
Beispiel y' — (tan x) • y = 2 - sinx Wir integrieren zunachst die zugehorige homogene Differentialgleichung y' — (tan x) • y = 0 durch Trennung der Variablen und erhalten: dy dx
J y
^ ^ ^ dy (tan x) • y = 0 => — = tan K . dx y
.
tan X dx
Int(sgral Nr. 286 C ln|>;| = — In 1 cos X1 + In 1C1 = In cos x cos X Fiir die partikulare Losung yp der inhomogenen Differentialgleichung wahlen wir den Losungsansatz yp = A' cos X mit dem Parameter A, da dann beide Summanden der Hnken Seite in der inhomogenen Gleichung jeweils zu einer Sinusfunktion, d.h. zum Funktionstyp der Storfunktion g{x) = 2 • sin x fiihren. Durch Einsetzen von yp = A - cos x und der zugehorigen Ableitung y^ = — ^ • sin x in die inhomogene Differentialgleichung erhalten wir eine Bestimmungsgleichung fiir den Parameter A: y'p — (tan x) • y^ = 2 • sin x — ^ • sm X
sin X ^ . • A ' cos X = 2 • sm X cos X
— y4 • sin X — ^ • sin X = 2 • sin X — 2 ^ • sin X = 2 • sin X ^ A = — 1
2 Differentialgleichungen 1. Ordnung
463
yp= — cos X ist somit eine partikuldre Losung der inhomogenen Differentialgleichung, deren allgemeine Losung daher in der Form C ^
C — cos"^ X
cos x =
y = yo + yp =
(c e R) cos X
cos X
darstellbar ist.
2.5 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koefflzienten In den Anwendungen spielen lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten eine besondere Rolle. Sie sind vom Typ y^ay
(V-53)
= g{x)
und somit ein Sonderfall der linearen Differentialgleichungen vom Typ (V-24) fiir f{x) = a. Die zugehorige homogene Gleichung (V-54)
y' ^ay = 0
enthalt nur konstante Koeffizienten und wird durch Trennung der Variablen oder durch den Exponentialansatz (V-55)
yQ = C-Q^''
gelost ^l Mit diesem Ansatz gehen wir in die homogene Differentialgleichung (V-54) ein und erhalten eine Bestimmungsgleichung fiir den Parameter /I: y'Q^ayo
= lC- e^^ + aC • e^^ = (A + a)C • e^^ = 0 0
2+ a=0:^^=-a
(V-56)
Die homogene Differentialgleichung y' -\- ay = 0 besitzt demnach die allgemeine Losung yo^C-e-^^
(CeR)
(V-57)
Beispiele (1)
y'^4y
(2)
/ -0,5y
(3)
-3/
=0
= C-t-^^
(CGR)
= 0 => j/Q^C-e^'^-^
(CeR)
+ lSy = 0 | : ( - 3 ) / -
7)
^yQ
6y = 0 => yo = C'Q^''
Beide Methoden fuhren natiirlich zur gleichen Losung.
(CeR)
464
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Die Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung (V-53) erfolgt wie beim bereits in Abschnitt 2.4 behandelten allgemeinen Typ y' -\- f{x) - y = g{x) entweder durch Variation der Konstanten oder durch Aufsuchen einer partikuldren Losung. Da bei den linearen Differentialgleichungen l.Ordnung mit konstanten Koeffizienten der Losungsansatz fur eine partikuldre Losung yp im wesentlichen dem Funktionstyp des Storgliedes g (x) entspricht, erweist sich die zweite Losungsmethode in den meisten Fallen als die zweckmdfiigere Methode. In der nachfolgenden Tabelle 1 teilen wir die Losungsansatze yp fur einige in den Anwendungen besonders haufig auftretende Storfunktionen mit.
Tabelle 1: Losungsansatz fiir eine partikuldre Losung yp (x) der inhomogenen linearen Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten vom Typ y' + ay = g(x) (a ¥" ^) in Abhangigkeit vom Typ der Storfunktion g{x)
2 Differentialgleichungen 1. Ordnung
465
Anmerkungen zur Tabelle 1 (1) Dieimjeweiligen Losungsansatz yp enthaltenen Parameter sind so zu bestimmen, daB diese Funktion eine (partikulare) Losung der vorgegebenen inhomogenen Differentialgleichung darstellt. Bei einem richtig gewahlten Ansatz nach Tabelle 1 stoBt man stets auf ein eindeutig losbares Gleichungssystem fur die im Losungsansatz befindlichen Stellparameter. (2)
Besteht die Storfunktion g (x) aus mehreren (additiven) Storgliedern, so erhalt man den Losungsansatz fiir yp als Summe der Losungsansatze fur die Einzelglieder nach Tabelle 1.
(3)
Liegt die Storfunktion in Form eines Produktes vom Typ g{x) = gi{x)' g2{x) vor, so sucht man die Losungsansatze fiir die beiden Faktorfunktionen g^ (x) und ^2 (^) auf und multipliziert diese miteinander. Der Losungsansatz ist also durch das Produkt yp = ypi ' yp2 gegeben, wobei yp^ und yp2 die Losungsansatze fiir die bQidQn „Stdrfaktoren" gi{x) und 6^2 W bedeuten.
Zusammenfassend gilt somit:
Anmerkung Ein weiteres Losungsverfahren, das auf einer Anwendung der Laplace-Transformation beruht, werden wir in Kapitel VI kennenlernen (Abschnitt 5.1.2). •
Beispiele (1)
y' -\-2y = 2x^
-4
Die zugehorige homogene Differentialgleichung y + 2y = 0 besitzt die allgemeine Losung
466
V Gewohnliche Differentialgleichungen Der Losungsansatz fur eine partikuldre Losung yp der inhomogenen Differentialgleichung lautet nach Tabelle 1: yp = ax-^ -{- bx + c
{a,b,c: Parameter).
Mit yp = 2ax -}- b folgt hieraus durch Einsetzen in die inhomogene Gleichung: /p^2yp
=
2x^-4
lax + b + 2{ax^ -\-bx-{- c) = 2x^ - 4 2ax + 5 + 2 a x ^ 4 - 2 5 x + 2c = 2x^ — 4 Wir ordnen die Glieder noch nach fallenden Potenzen: 2ax^ + {2a + 2b)x + (b + 2c) = 2x^ + 0 • x - 4 Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir hieraus das folgende, bereits gestaffelte Uneare Gleichungssystem: (I)
2a
=
2 => a=
1
(II)
2a + 2b
=
0 => b=
-1
(III)
b + 2 c - - 4 => c = - 1,5
Es wird gelost durch a = l, b = — 1, c = — 1,5. Damit ist yp = X^ -X-
1,5
eine partikuldre Losung der inhomogenen Differentialgleichung. Die allgemeine Losung der inhomogenen Differentialgleichung lautet dann: y = ^Q + y^ = C • e - 2^ + X 2 - X - 1,5 (2)
(CeM)
3;' + 5y = - 26 • sin x, y{0) = 0 Allgemeine Losung der homogenen Differentialgleichung y^ -\- 5y = 0: y^ = C-Q-^''
(CeR)
Losungsansatz fiir eine partikuldre Losung y^ der inhomogenen Differentialgleichung nach Tabelle 1 (mit co = 1): yp = Ci • sin X + C2 • cos x Bestimmung der Parameter C^ und C2: jp = Cj * cos X — C2 • sin X yp -^ 5yp= - 26 • sin X Ci • cos X — C2 • sin X + 5 Ci • sin X + 5 C2 • cos X = — 26 • sin x
2 Differentialgleichungen 1. Ordnung
467
Ordnen der Glieder: (5 Ci — C2) • sin X + {Ci + 5 C2) • cos x = — 26 • sin x + 0 • cos x Koeffizientenvergleich fiihrt zu dem linear en Gleichungssystem (I) (II)
5 Ci -
C2 = - 26
Ci + 5 C2 =
0 => Ci = - 5 C2
Wir setzen (II) in (I) ein und erhalten: 5 ( - 5 C 2 ) - C 2 = - 2 6 C 2 = - 2 6 ^ C2 = 1 Aus (II) folgt dann: Ci = - 5 C 2 = - 5 - l = - 5 Die partikuldre Losung ist damit eindeutig bestimmt: yp = — 5 • sin X + cos x Die allgemeine Losung der inhomogenen Differentialgleichung lautet somit: y = yQ -{- yp = C ' c~^^ — 5 • sin X -h cosx
(C e R)
Den Parameter C berechnen wir wie folgt aus dem Anfangswert y{0) = 0: y{0) = 0
^C+1=0=>C=-1
Die Anfangswertaufgabe besitzt demnach die Losung y = — e ~ ^^ — 5 • sin X + cos x
2.6 Anwendungsbeispiele 2.6.1 Radioaktiver Zerfall Aus der Physik ist bekannt, daB die Atomkerne gewisser Substanzen wie beispielsweise Uran oder Radium auf natilrliche Art und Weise nach bestimmten statistischen GesetzmaBigkeiten zerfallen. Wir stellen uns zunachst die Aufgabe, diesen als radioaktiven Zerfall bezeichneten Vorgang durch eine Differentialgleichung zu beschreiben. Dazu fiihren wir folgende Bezeichnungen ein: n = n{t): Anzahl der zur Zeit t noch vorhandenen Atomkerne dt: Kurzes Beobachtungsintervall (infinitesimal kleines Zeitintervall) dn: Anzahl der im Beobachtungsintervall dt zerfallenen Atomkerne Wir diirfen dabei annehmen, daB die Anzahl dn der im Beobachtungsintervall dt zerfallenen Atomkerne sowohl dem Beobachtungsintervall dt als auch der Anzahl n der noch vorhandenen Atomkerne proportional ist: dn ^ dt] V =^ dn^n-dt dn ^ n \
(V-59)
V Gewohnliche Differentialgleichungen
468
dn ist somit auch dem Produkt n • dt proportional. Aus dieser Proportionalitat erhalten wir durch Einfuhrung einer Proportionalitatskonstanten X (vom Physiker als Zerfallskonstante bezeichnet) die folgende Differentialgleichung des radioaktiven Zerfalls: dn = — In • dt
oder
dn = — Xn dt
oder
dn -\- Xn = ^ dt
(V-60)
Durch das Minuszeichen bringen wir dabei zum Ausdruck, daB die Anzahl der Atomkerne standig abnimmt. Der radioaktive Zerfallsprozefi wird somit durch eine homogene Hneare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Diese Gleichung wird nach (V-58) durch die Exponentialfunktion n{t) = C-e -At
(V-61)
(CGR)
allgemein gelost. Den Parameter C bestimmen wir aus dem Anfangswert n{0) = HQ, d.h. der Anzahl der zu Beginn vorhandenen Atomkerne: n (0) =
HQ
=> C = no
(V-62)
Der radioaktive Zerfall wird somit durch das Zerfallsgesetz (V-63)
n{t) = no'Q~^' beschrieben (Bild V-13).
Bild V-13 Zerfallsgesetz beim naturlichen radioaktiven Zerfall
2.6.2 Freier Fall unter Beriicksichtigung des Luftwiderstandes Wir untersuchen die Abhangigkeit der Fallgeschwindigkeit v von der Fallzeit t unter Beriicksichtigung des Luftwiderstandes. Auf einen frei fallenden Korper der Masse m wirken dabei die folgenden auBeren Krafte ein: 1. Die Schwerkraft: F^ = mg
2 Differentialgleichungen 1. Ordnung
469
2. Der Luftwiderstand, der proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit angenommen wird: F2 = — kv-^ {g: Erdbeschleunigung; k: Reibungskoeffizient)
i
> i
C3l
]
1
^ Fj=mg
Bild V-14 Zum freien Fall unter Beriicksichtigung des Luftwiderstandes
1f
Erdoberfldche
Der Luftwiderstand wirkt der Schwerkraft stets entgegen (Bild V-14). Nach dem Newtonschen Grundgesetz der Mechanik gilt dann: oder
ma = mg — kv^
m-~ = mg — kv-^ dt
(V-64)
dv a = —: BeschleunigungJ. Diese Gleichung stellt eine nicht-lineare Differentialgleichung 1. Ordnung fur die Fallgeschwindigkeit v dar, die durch Trennung der Variablen losbar ist. Zunachst aber stellen wir sie noch geringfiigig um: dv -- = dt
k r g-~v' m
g 1
(V-65)
mg
Diese Gleichung bringen wir mit Hilfe der Substitution X
=
:^' mg
dx dv
k mg
d.h.
dv •
dx
(V-66)
auf die folgende Form: 'ma dx = k
dt
g{\-x^
oder
'm
dx
gk
dt
= 1
(V-67)
470
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Wir trennen nun die Variablen und integrieren anschlieBend beide Seiten der Differentialgleichung, wobei wir beach ten miissen, daB 0 ^ x < 1 ist: Im
dx
gk
1-x^
= dt
m C dx f J—r\ ^=\dt N gk J i - x ^ J
^
m /—-artanhx = i + C ^ gk
(V-68)
Durch Riicksubstitution nach (V-66) folgt weiter: 'm k \ , —r ' artanh / — v ] = t -\- C gk \\lmg
artanh
-(t + C)
(V-69)
mg
Diese Gleichung losen wir nach v auf und erhalten: V = tanh
(t + C)
mg
V
(f + C)
tanh
=
(V-70)
Wir nehmen nun an, daB der freie Fall aus der Ruhe heraus erfolgt: v (0) = 0. Aus diesem Anfangswert laBt sich dann die Integrationskonstante C berechnen: mq I qk \ t;(0) = 0 => /-7^-tanh / —-C =0
c=o
^
c=o
(V-71)
Fur die Fallgeschwindigkeit erhalten wir damit das Zeitgesetz v{t) = I —--tanh /—t ^' k \V m ,
(V-72)
Fiir t -^ 00 strebt die Fallgeschwindigkeit gegen den Endwert VE=
lim v{t)=
mg —
(V-73)
2 Differentialgleichungen 1. Ordnung
471
Der Korper fallt dann krdftefrei, d.h. mit konstanter Geschwindigkeit v^, da sich Gewichtskraft und Reibungskraft (Luftwiderstand) in ihrer Wirkung gerade aufheben. Die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion laBt sich unter Berucksichtigung von (V-73) auch in der Form v{t) = vr'tanhi
— t]
(t^O)
(V-74)
W J darstellen und besitzt den in Bild V-15 skizzierten Verlauf.
Bild V-15 Fallgeschwindigkeit v als Funktion der Fallzeit t unter Berucksichtigung des Luftwiderstandes
2.6.3 Wechselstromkreis Wir stellen uns die Aufgabe, den in Bild V-16 dargestelUen Wechselstromkreis mit einem ohmschen Widerstand R, einer Induktivitat L und einer Spannungsquelle, die eine sinusformige Wechselspannung liefert, durch eine Differentialgleichung zu beschreiben.
Bild V-16 Wechselstromkreis mit einem ohmschen Widerstand R und einer Induktivitat L in Reihenschahung
Die an R und L abfallenden Spannungen bezeichnen wir mit Uji{t) bzw. Ui^{t). Nach dem 2. Kirchhoffschen Gesetz (Maschenregel) gilt dann^^: UL{t) + UR{t) = u{t)
8)
Maschenregel: In jeder Masche ist die Summe der Spannungen gleich Null.
(V-75)
472
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Fiir die Teilspannungen U]^{t) und Uji{t) und die angelegte Wechselspannung gelten dabei folgende Beziehungen: di UT{t) = L-~ at
(Induktionsgesetz)
Ujf^(t) = Ri
{Ohmsches Gesetz)
(V-76)
u{t) = u ' sin (cot) Gleichung (V-75) geht damit liber in: (V-77)
L- —-\- Ri = u'sin (cot) dt
Diese inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten bcschrQiht denzeitlichen Verlaufder Stromstdrke i = i{t) in dem Wechselstromkreis nach Bild V-16. Wir beschaftigen uns nun mit der allgemeinen Losung dieser Differentialgleichung. Zunachst losen wir die zugehorige homogene Gleichung di L--\-Ri dt
=0
Oder
di R -4--i = 0 dt L
(V-78)
Sie besitzt nach (V-58) die allgemeine Losung io(0 = C e
L
(CelR)
(V-79)
Die inhomogene Differentialgleichung (V-77) losen wir durch Aufsuchen einer partikuldren Losung. Aus Tabelle 1 entnehmen wir dabei den Losungsansatz ip(t) = ?• sin {(Dt-\- (p)
(V-80)
mit dem Scheitelwert i und der Phase (p als Parameter. Mit diesem Ansatz gehen wir in die inhomogene Differentialgleichung (V-77) ein: L • -J- [^' • sin (ojt + (p)] + Ri • sin {cot -\- cp) = u • sin (cot) ojLi' cos {ojt + cp) -\- Ri • sin (cot -\- cp) = u • sin (cot)
(V-81)
Die Funktionen cos (cot + (^) und sin (cot + c^) entwickeln wir nach den Additionstheoremen^^ und erhalten: coLi [cos ((Dt) • coscp — sin (cot) • sin cp] + Ri [sin (ojt) - cos cp -\- cos (ot) • sin cp] = = u-sin{(ot) ^^ Vgl. hierzu Band 1, Gleichungen (III-139) und (III-140).
(V-82)
2 Differentialgleichungen 1. Ordnung
473
Wir ordnen nun die Glieder nach sin (cot) und cos {cot): [— coLi • sin (p -\- Ri • cos cp] sin (cot) + [coLi • cos (p -\- Ri - sin cp] cos (cot) = = w • sin (coO + 0 • cos (cot)
(V-83)
Ein Koeffizientenvergleich auf beiden Seiten dieser Gleichung fiihrt zu dem nicht-linearen Gleichungssystem (I)
— CD Li sin cp -\- Ri • cos cp = u (V-84) coL/ • cos (p ^- Ri- sin cp = 0
(II)
aus dem sich Scheitelwert i und Phasenwinkel (/) wie folgt bestimmen lassen. Zunachst werden beide Gleichungen quadriert und dann addiert. Die Unbekannte (p fallt dabei heraus und wir erhalten eine Bestimmungsgleichung fiir den Scheitelwert i: (I"*"):
CD^ L^i-^ • sin-^ (p — IRcoLi-^ - sin cp - cos cp + R-^i-^ • cos^ cp = w^
(II*):
(D^ L^i^ • cos-^ (p + IRwLi-^
• sin cp • cos (p -\- R-^i^ - sin^ cp + =0
co'^ I? i'^ (sin-^ (/) + cos^ cp) -\- R'^i'^ (cos^ (/? + sin^ cp) = u^ 1 co2• L 2 f •2
+
(« 2 ^ 2 + R 2 )
r^ -
r2 =: « 2
K2
r2 =: M 2
«2
M2
R 2 + 0,2 L2
i?2 + (ft;•L)2
M
(V-85)
•Jh:2 + ((« L)2 Damit ist der Scheitelwert i bestimmt. Den Phasenwinkel cp erhalten wir dann aus der Gleichung (II): coLi • cos (p -\- Ri' sin (p = 0 \: Ri • cos cp (DL sin (D CDL -— + = -— + tan (/) - 0 R cos 9 R
[
CDL
tan (/) = — - -
COL\
[
CDL\
=> cp = arctan I — — 1 = - arctan I — I
(V-86)
Die partikuldre Losung der inhomogenen Differentialgleichung (V-77) lautet daher: ip{t) = i • sin {cot -\- cp) =
sin icot - arctan ( — ))
(V-87)
474
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Interpretation aus physikalischer Sicht Die partikuldre Losung (V-87) stellt einen sinusformigen Wechselstrom mit dem Scheitelwert i = u/^R^ + (coL)^ unddcmPhasenwinkel cp = — arctan(coL/i^) dar. R istder ohmsche und coL der indukdve Widerstand des Kreises. Der Scheinwiderstand des Wechselstromkreises betragt Z - ^R^
(V-88)
+ icoLf
Der Wechselstrom ip{t) lauft dabei der angelegten Wechselspannung u{t) = u • sin (cot) um den Phasenwinkel cp hinterher, d.h. cp ist die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom (Bild V-17).
/ = / s i n ((jjt+(p)
Bild V-17 Die Wechselspannung u = u • sin (cot) erzeugt im Wechselstromkreis nach Bild V-16 den phasenverschobenen Wechselstrom i = i • sin [cot + cp) („stationare" Losung)
Die allgemeine Losung der inhomogenen Differentialgleichung (V-77) ist dann in der Form i{t) = iQ{t) + ip{t) =
= CQ
— i L +
u ^R^^icoL)^
( /WL\\ sm (Dt - arctan — ^ ^^^^
(V-89)
darstellbar. Dem Wechselstrom ip{t) uberlagert sich der exponentiell abklingende GleichR
-jt
, der nach einer kurzen Einschwingphase praktisch keine Rolle Strom iQ{t) = C ' Q mehr spielt und mit der Zeit nahezu verschwindet (sog. fluchtiger Bestandteil der allgemeinen Losung (V-89), vgl. hierzu Bild V-18).
3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
475
Bild V-18 Exponentiell abklingender Gleichstrom im Wechselstromkreis nach Bild V-16 („fluchtiger" Bestandteil)
Die Losung der inhomogenen Differentialgleichung (V-77) besteht daher fiir hinreichend groBes t aus der partikuldren Losung ip{t), d.h. dem Wechselstrom i{t)^ip(t)
sm co^ — arctan
coL
(V-90)
^R^ ^((joLY Man bezeichnet die partikuldre Losung ip{t) daher auch als stationdre Losung der inhomogenen Differentialgleichung (V-77) (vgl. hierzu Bild V-17).
3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten In den naturwissenschafthch-technischen Anwendungen spielen die linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten eine bedeutende Rolle. Sie treten beispielsweise bei der mathematischen Behandlung von mechanischen und elektromagnetischen Schwingungen auf. Im Rahmen dieser Darstellung beschranken wir uns daher auf diesen besonders wichtigen Typ von Differentialgleichungen 2. Ordnung.
3.1 Definition einer linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
475
Bild V-18 Exponentiell abklingender Gleichstrom im Wechselstromkreis nach Bild V-16 („fluchtiger" Bestandteil)
Die Losung der inhomogenen Differentialgleichung (V-77) besteht daher fiir hinreichend groBes t aus der partikuldren Losung ip{t), d.h. dem Wechselstrom i{t)^ip(t)
sm co^ — arctan
coL
(V-90)
^R^ ^((joLY Man bezeichnet die partikuldre Losung ip{t) daher auch als stationdre Losung der inhomogenen Differentialgleichung (V-77) (vgl. hierzu Bild V-17).
3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten In den naturwissenschafthch-technischen Anwendungen spielen die linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten eine bedeutende Rolle. Sie treten beispielsweise bei der mathematischen Behandlung von mechanischen und elektromagnetischen Schwingungen auf. Im Rahmen dieser Darstellung beschranken wir uns daher auf diesen besonders wichtigen Typ von Differentialgleichungen 2. Ordnung.
3.1 Definition einer linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
476
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Die Funktion g (x) wird als Storfunktion oder Storglied bezeichnet. Fehlt das Storglied, d.h. ist ^(x) = 0, so heiBt die lineare Differentialgleichung homo gen, sonst inhomogen.
Anmerkungen (1)
Kennzeichen einer linear en Differentialgleichung 2. Ordnung sind: 1. y, y^ und y" treten linear, d.h. in 1. Potenz auf. 2. „Gemischte Produkte" wie yy\ yy'' und y^y'' sind in der Differentialgleichung nicht enthalten.
(2)
Die lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist ein Sonderfall der allgemeinen hnearen Differentialgleichung 2. Ordnung, die durch die Gleichung
r+fi{x)'/+fo{x)-y
(V-92)
= g{x)
defmiert ist. Mit /^ (x) = constant = a und /Q (X) = constant = b erhalten wir hieraus die Differentialgleichung (V-91).
Beispiele (1)
Die folgenden Differentialgleichungen 2. Ordnung sind linear und besitzen konstante Koeffizienten: y^' + y = 0
(2)
Homogene
Dgl
y^' -\- 2y' — 3y = 2x — 4
Inhomogene Dgl
2 y'^ — 4y^ -\- 20y = cos X
Inhomogene Dgl
Die Differentialgleichungen 2. Ordnung y^' + xy^ -\- y = 0
und
x^y^'-\-x-^y'—
xy = Q^
sind zwar linear, besitzen jedoch nicht-konstante Koeffizienten. (3)
Bei den folgenden Differentialgleichungen 2. Ordnung handelt es sich um nichtlineare Differentialgleichungen: y'' -^ y' -\- y^ = 0 y'y" -^ y = X
{y tritt in der 2. Potenz auf) (Die Differentialgleichung enthalt das „verbotene" gemischte Produkt y' y'^)
3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
477
3.2 AUgemeine Eigenschaften der homogenen linearen Differentialgleichung Wir beschaftigen uns zunachst mit einigen besonders wichtigen Eigenschaften der homogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten:
Beweis Zu 1.: Wir zeigen, daB mit y^ = yi{x) auch die Funktion y = C • y^ eine Losung der homogenen Differentialgleichung (V-93) ist: y'' + ay' ^by = {C' y^f + a{C • y^Y + b{C • y^) = C • y'{ + C • ay[-h C • by^ = = C{y'{ + ay[ +by^) = 0
(V-96)
0 (da y^ eine Losung der Dgl (V-93) ist) Zu 2.; Nach Voraussetzung gilt: yi + ay[ ^by^=0
und
y'{ + ay'2 + by2=0
(V-97)
478
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Dann ist auch die Linearkombination y = Ciy^ -\Differentialgleichung (V-93):
sine Losung der homogenen
y' + a/ ^by = ( Q • ^i + C2 • y2V + a(Ci • y^ + C2 • ^2)' + />(Q • yi + C2 • ^2) == = Ci ' yi + C2 • y^ + aC^'y[+aC2-
y'2 +hC^-y^
+ hC2'y2 =
= Ci {/{ + ayl + by^) + C2 (}^^' + a/2 + by2) = 0 0
(V-98)
0
(nach (V-97))
(nach (V-97))
Zu 3.: Nach Voraussetzung ist y = u -\- j - v eine komplexwertige Losung der homogenen Differentialgleichung (V-93) (u und i; sind Funktionen von x): y" + ay' + by = {u+] - v)" + a(w+j • v)' + b{u + ] • v) = {)
(V-99)
Nach dem Permanenzprinzip wird (wie im Reellen) gliedweise nach der reellen Variablen X differenziert. Wir erhalten dann: u" -\- i • v'' -\- a{u' +} • v') -\- b{u +} ' v) = 0 u" +]• v" -V au' -^ ] • av' + bu + ] • bv = ^ {u" + au' + bu)+] {v" + av' + bv) = ^
(V-100)
Diese Gleichung aber kann nur bestehen, wenn Real- und Imaginarteil der linken Seite verschwinden. Somit ist u'' -\- au' + bu = 0
und
v" ^ av' ^bv = ^
(V-101)
Dies aber bedeutet: Realteil u und Imaginarteil v sind (reelle) Losungen der homogenen Differentialgleichung (V-93). •
Beispiele (1)
Gegeben ist die sog. Schwingungsgleichung^^^ y''-\-Oj^y
=0
(co>0)
Partikuldre Losungen sind u.a.: yi = sin (cox)
und
y2 = cos (cox)
Den Nachweis fuhren wir, indem wir diese Funktionen zweimal differenzieren und anschheBend Funktion und Ableitung in die Schwingungsgleichung einsetzen: Fiir y^ = sin (cox): yi = sin (cox), y'l = w • cos (cox), y'{ = — co-^ • sin (cox) y'l + oj-^ yi = — CO"^ • sin (cox) + co^ • sin (cox) = 0 10)
Wir werden im Anwendungsteil noch zeigen, daB durch diese Gleichung eine harmonische Schwingung beschrieben wird.
3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
479
Fiir y2 = cos (cox): ^2 = cos {(Dx), y2 = — CO • sin (cox), ^2 = — co^ • cos (cox) y'i + (^'^ yi— — ^^ ' cos {(Dx) -{- co-^ ' cos (cox) = 0 Damit sind auch die folgenden Funktionen Losungen der Schwingungsgleichung y^' + co^y = 0: y = Ci • sin (cox)
(C^ e R)
y = C2 ' cos (cox)
(C2 e IR)
3; = C^ • sin (cox) + C2 • cos (cox) (2)
(C^, C2 e IR)
Die Schwingungsgleichung y^' -\- oj-^ y = 0 wird auch durch die komplexwertige Exponentialfunktion y = Q^^^ gelost. Mit y = Qioyx^ 3;^=jco-eJ^^,
y'^ = j ^ co^ ' cJ^"^ = - co^ • e^^^
folgt namlich durch Einsetzen in die Differentialgleichung: y^' + co^y = - co^ • eJ^^ + co^ • eJ^^ = 0 Daher sind auch Realteil und Imagindrteil von y = Q^^^ (reelle) Losungen der Schwingungsgleichung. Unter Verwendung der Eulerschen Formel lauten diese Losungen: yi = Re (eJ ^^) = Re [cos (co x) + j • sin (cox)] = cos {ox) y2 = Im (eJ ^•^) = Im [cos (co x) + j • sin {(ox)] = sin (cox) Es handelt sich um die bereits aus Beispiel (1) bekannten periodischen Funktionen sin (co x) und cos {co x).
Es hegt nun die Vermutung nahe, daB eine aus zwei partikuldren Losungen y^ = yi{x) und ^2 — yi W gcbildete Linearkombination vom Typ y{x) = C^-y^{x)^C2-y2{x)
(V-102)
die allgemeine Losung der Differentialgleichung y'^ -\- ay' -\- by = 0 darstellt. Denn sie enthalt ja zwei frei wahlbare Parameter. Diese Vermutung trifft jedoch nur unter bestimmten Voraussetzungen zu. Zur naheren Erlauterung des Problems bedienen wir uns wieder der Schwingungsgleichung y^' -\- oj-^ y = 0. Die Funktionen yi = sin (cox)
und
^2 = 2 • sin (cox)
(V-103)
sind (wie sich durch Einsetzen leicht nachweisen laBt) partikuldre Losungen dieser Differentialgleichung. Die aus ihnen gebildete Linearkombination y = Ci • yi + C2 \y2 = Q • sin (cox) + 2 C2 • sin (cox)
(V-104)
ist dann ebenfalls eine Losung der Schwingungsgleichung (C^, C2 elR). Sie ist jedoch
480
V Gewohnliche Differentialgleichungen
nicht die allgemeine Losung, da sich ihre Parameter zu einer Konstanten zusammenfassen lassen^^^: y = Ci ' sin (cox) + 2 C2 • sin (cox) = = (Ci + 2 C2) • sin (cox) = C3 • sin (cox)
(C3 e R)
(V-105)
Wahlen wir jedoch als spezielle Losungen je eine Sinus- und Kosinusfunktion aus, also beispielsweise yi = sin (cox)
und
y2 = cos (wx)
(V-106)
so enthalt die aus ihnen gebildete Linearkombination y = Ci • yi -\- C2 ' y2 = Ci • sin {cox) + C2 • cos {cox)
(V-107)
zwei voneinander unabhdngige Parameter. Es ist im Gegensatz zum ersten Beispiel hier nicht moglich, die beiden Konstanten C^ und C2 zu einer Konstanten zusammenzufassen. Die Linearkombination (V-107) stellt - wie wir spater noch zeigen werden - tatsachlich die allgemeine Losung der Schwingungsgleichung dar. Sie enthalt zwei linear unabhdngige Losungen, die man als Basisfunktionen oder Basislosungen der Differentialgleichung bezeichnet. Diese Uberlegungen fiihren zu der folgenden Begriffsbildung:
Anmerkungen (1) Die Wronski-Determinante ist eine 2-reihige Determinante (vgl. hierzu Abschnitt L2.2). Sie enthalt in der 1. Zeile die beiden Losungsfunktionen y^ und ^2 ^^^ i^ der 2. Zeile deren Ableitungen y[ und ^2- ^^^ beachte, daB der Wert der Wronski-Determinante noch von der Variablen x abhangt.
Wir erinnern: Die allgemeine Losung einer Differentialgleichung 2. Ordnung enthalt zwei voneinander unabhdngige Parameter.
3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
481
(2)
Es geniigt zu zeigen, daB die Wronski-Determinante an einer Stelle XQ von Null verschieden ist.
(3)
ZwQi Basislosungen yi{x) und y2W der/lomogenen Differentialgleichung werden auch als linear unabhdngige Losungen bezeichnet. Dieser Begriff kommt aus der Linearen Algebra und besagt, daB die lineare Gleichung Ci-yi(x) + C2-y2W = 0
(V-110)
nur trivial, d.h. fiir C^ = C2 = 0 losbar ist. (4)
Verschwindet dagegen die Wronski-Determinante zweier Losungen y^ und y2, d.h. ist W{yi; y2) = 0, so werden diese Losungen als linear abhdngig bezeichnet.
Wir werden nun zeigen, daB die allgemeine Losung der homogenen hnearen Differentialgleichung 2. Ordnung y'' -\- ay^ i- by = 0 in Form einer Linearkombination aus zwei BasisWsungen darstellbar ist. y^ = }^i W und y2 = y2W seien zwei solche (linear unabhangige) Losungen. Ihre Wronski-Determinante ist dann von Null verschieden: W{y,;y2)
yi
yi
y'l
y'l
^0
(V-111)
Es geniigt zu zeigen, daB es fiir beliebig vorgegebene Anfangswerte
(v-ii2)
y{^o) = yo^ y'{^o) = ^ genau eine Losung in Form einer Linearkombination y(x) = Ci-yi(x) + C2-y2W
(V-113)
gibt^^\ Mit anderen Worten: Die Konstanten C^ und C2 im Losungsansatz (V-113) miissen eindeutig aus den Anfangsbedingungen (V-112) bestimmbar sein. Wir erfullen nun die Anfangsbedingungen und erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten C^ und C2'.
y (->^o) = yo =^ Q • yi (^o) + <^2 • ^2 (^o) = yo (V-114) y' (^o) = ^
=^ Q • yi (^o) + Q • 3^2 (^o) = ^
Oder (wenn wir, wie allgemein ublich, die Unbekannten an die jeweils hintere Stelle setzen): yi M
• Q + y2{xo) 'C2 = yo
(V-115)
yi(xo)-Ci + ^2 (-^^o) • <^2 = ^
12)
. Wir setzen dabei den folgenden Existenz- und Eindeutigkeitssatz voraus: Das Anfangswertproblem y" -h ay' -{-by = 0,
besitzt genau eine Losung.
y{xo) = yo,
y'(XQ)
=-m
482
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Dieses System besitzt genau eine Losung, wenn die Koeffizientendeterminante (V-116)
yii^o)
yii^o)
von Null verschieden ist. Dies aber ist der Fall. Denn die Koeffizientendeterminante ist nichts anderes als die Wronski-Determinante an der Stelle XQ und diese ist nach Voraussetzung ungleich Null.
Wir fassen diese wichtigen Ergebnisse wie folgt zusammen:
Anmerkung Die der allgemeinen Losung (V-118) zugrunde liegenden Basislosungen bilden eine Fundamentalbasis oder ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung (V-117).
Beispiele (1)
Die Schwingungsgleichung y'^ -h o)-^y = 0 hat u.a. die Losungen yi{x) = sin (cox) und
y2 (x) = cos (cox)
Sie bilden eine Fundament alb asis der Differentialgleichung, da ihre WronskiDeterminante einen von Null verschiedenen Wert besitzt:
W{y,;y2) =
3^1 W
}^2W
yiM
yiW
sin (cox)
cos (cox)
CD • cos (cox) - CD ' sin (cDx)
= ~ CD • sin^ (cox) — CD ' cos^ (CDX) = = — CD' [sin^(CDX) + cos^{ojx)] = — CD ^0
3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
483
Die allgemeine Losung der Schwingungsgleichung y'' + co^ y = 0 ist daher in der Form y{x) = Ci • yi (x) + C2 • 3^2 W = ^1 * sin (cox) + C2 ' cos (cox) darstellbar ( Q , C2elR). (2)
Die homogene Differentialgleichung y'^ — 4y' — 5y ^ 0 besitzt u.a. die L6sungen yi{x) = Q^^
und
y2i^) = ^~^
wie man durch Einsetzen in die Differentialgleichung leicht verifiziert. Bilden diese Losungen auch ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung? Losung: Wir priifen anhand der Wronski-Determinante, ob die Losungen linear unabhdngig sind: Q5X
W{y,;y2)
=
=
^.Q5X
Q
X
_ g - x
= e ^ ^ ( - e ~ ' ' ) - e " ' ' - ( 5 •e^-^) = = -e"^-^-S-e"^^ = -- 6 - e ^ ^ / O Dies ist der Fall, da ^ ( ^ i ; 3^2) ^ ^ ist. Die Losungen bilden somit eine Fundamentalhasis der Differentialgleichung und die allgemeine Losung ist daher als Linearkombination der beiden BasisWsungen darstellbar: y{x) = Ci • yi (x) + C2 • y2{x) = Q • e^- + C2 - e " ^
( Q , C2 G R)
3.3 Integration der homogenen linearen Differentialgleichung Eine Fundament alb asis der homogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten vom Typ (V-119)
y" + ay' + by = ^
laBt sich durch einen Losungsansatz in Form einer Exponentialfunktion vom Typ y = Q^''
{X: Parameter)
(V-120)
gewinnen. Mit y = e^^,
y' = X'Q^''
und
j ; ' ' = A2.gAx
(V-121)
484
V Gewohnliche Differentialgleichungen
gehen wir in die Differentialgleichung (V-119) ein und erhalten die folgende quadratische Bestimmungsgleichung fur den Parameter /I: y'' + ay' -\- by = X^ -
Q^^
-\- aX •
Q^^
-\- b •
Q^^
=0
(A^ + a2 + /?)-e^^ = 0 | : e ^ ^ (V-122)
k^ -^ak-\-b = 0
Sie wird als charakteristische Gleichung der homogenen Gleichung y" -\- ay' -\- by = 0 bezeichnet und besitzt die Losungen a
4/2
,
a^
^a^-4b
a
(V-123)
Die Diskriminante D = a^ — 4b entscheidet dabei liber die Art der Losungen, wobei drei Falle zu unterscheiden sind.
Die charakteristische Gleichung besitzt nach (V-123) zwei verschiedene reelle Losungen ^i und ^2 (^1 7^ ^2)- ^i^ fiihren zu den Losungsfunktionen yi=Q
A l JC
und
y2 = ^
X2X
(V-124)
die wegen W(yi;y2)
yi
yi
y'l
y'l
=
Ai X
—
I
.g^l^
^^2^
e 2.
..^^^
= A2e^^^e^^^-lie^^^e^^^ = (V-125)
linear unabhdngig sind und somit eine Fundamentalbasis der homogenen Differentialgleichung (V-119) bilden. Die allgemeine Losung dieser Differentialgleichung ist dann als Linearkombination ^XiX
A2JC
y{x) - Ci • yi + C2 • ^2 = Q • e ^ + ^2 • e darstellbar ( Q , C2eIR).
(V-126)
3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
485
Beispiel
Charakteristische
Gleichung mit Losungen:
2^ + 2 ^ - 8 = 0 => ^1 = 2, ^2=
- 4
Fundament alb asis der Differ entialgleichung:
AUgemeine Losung der Differ entialgleichung: -4-x
y = C^ - e ^ ^ + C
Die charakteristische
(CI,C2G1R)
Gleichung besitzt jetzt zwei gleiche reelle Losungen:
(V-127)
h=h=--l Daher erhalten wir zunachst nur eine Losungsfunktion: >'i=}'2 = e " t "
(V-128)
Durch Variation der Konstanten laBt sich jedoch die allgemeine Losung der homogenen Differentialgleichung y'' -\- ay' -^ by = 0 bestimmen. Mit dem Losungsansatz y = C{x)'Q
2
(V-129)
und den benotigten Ableitungen -iijc
y' = Cix)Q
y
=
-iix
a
2 --C(x)e '-X
c'{x)--a{x) C"(x)-aC'(x)
2
+ -~C{x)
a
= a{x)--C{x)
a{x)--c{x)
(V-130)
•e
•
^
rr
(V-131)
(wobei die Differentiation unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel erhalten wir durch Einsetzen in die Differentialgleichung zunachst: C"(x)-aC'(x) + —C(x)
+ bC{x)-e
2
=0
+ a C'(x)--C{x)
•e-2
erfolgte)
+
(V-132)
486
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Wir dividieren noch durch den gemeinsamen Faktor e 2 : 2
2
C''(x) - aC{x) + ^ C(x) + aC{x) - y C{x) + bC{x) = 0
C'ix)
C{x)-hbC{x) = 0
c''{x)-l---byc{x) C'{x)-j{a^
=o
-4b)-C{x)
=0
0 C''(x) = 0
(V-133)
Dies ist eine besonders einfache Differentialgleichung 2. Ordnung fur die (noch unbekannte) Faktorfunktion C{x). Durch 2-maUge unbestimmte Integration erhahen wir schlieBhch: C (x) = Ci X + C2
(Ci, C2 e IR)
(V-134)
Die homogene hneare Differentialgleichung y^' -\- ay' -\- by = 0 wird daher im Sonderfall D = a-^ — 4b = 0 durch die Funktion y = C{x) • e 2 = (Ci X + C2) • e 2
( Q , C2 e R)
(V-135)
allgemein gelost. Wir konnen diese Losung als Linearkombination der beiden Basisfunktionen (Basislosungen) - ^ X
2
yi=Q
- - X
und
y2=x-Q
2
(V-136)
auffassen. Denn beide Funktionen sind partikuldre Losungen der homogenen Differentialgleichung und sie sind linear unabhdngig, da ihre Wronski-Determinante den von Null verschiedenen Wert ^(yi;}^2) = e-«^
(V-137)
besitzt, wie man leicht nachrechnen kann. •
Beispiel /' -^/
+ 16y = 0
Charakteristische Gleichung mit Losungen: A ^ - 8 i + 16 = 0 => 1^ = 12 = ^ Fundamentalbasis der Differentialgleichung: j;^=e^^,
y2=X'Q'^''
3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
487
Allgemeine Losung der Differentialgleichung: y = Ci • e^-^ + C2X • e"^^ = (Ci + C2X) • e^^^
( Q , C2 e R )
Die charakteristische Gleichung /l^ + a/l + l7 = 0 besitzt jetzt konjugiert komplexe Losungen. Sie lassen sich mit den Abkiirzungen a = - -
und
4(D^ =4b-a^>0
(V-138)
in der folgenden Form darstellen: a 1 2-2 ^ C _ - ^
'1/2
=
=
—2
o
(V-139)
Die Fundamentalbasis der homogenen Differentialgleichung (V-119) besteht in diesem Fall aus den komplexen Losungen yi = e(« + J^)^
und
3/2 - e^^-J^^^
(V-140)
deren Wronski-Determinante den von Null verschiedenen (imaginaren) Wert W{y^;y2)=
-j2co-e^^^
(V-141)
besitzt. Unter Verwendung der Eulerschen Formeln ^ =
j -sinz
(V-142)
laBt sich die komplexe Basis jedoch in eine reelle Basis iiberfiihren. Um dies zu zeigen, formen wir die allgemeine Losung zunachst einmal wie folgt um: y = Ci • j^i + C2 • 3^2 = Q • e^^ + J^)^ + C2 • e^^-J^)^ = = Ci • e^^ • eJ^^ + C2 ' e^^ • e~J^^ = e^^ [Q • eJ^^ + C2 • e~J^^] = = e^^ [Ci (cos (cox) + j • sin (cox)) + C2 (cos (cox) — j • sin (cox))] = = Q'^^ [Ci • cos (cox) + j Ci • sin (cox) + C2 • cos (cox) — j C2 • sin (cox)] = = e^^ [j (Ci - C2) • sin (cox) + (C^ + C2) • cos (cox)] =
= Q''''[jA^- sin (cox) + A2 • cos (cox)]
(V-143)
488
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Bei einer komplexwertigen Losung y{x) = u{x) -\- j - v(x) sind auch Realteil u(x) und Imagindrteil v{x) selbst Losungen der Differentialgleichung (vgl. hierzu Abschnitt 3.2). Daher sind yi = e'^^ • sin (cox)
und
^2 = ^^^ ' ^^^ (^^)
(V-144)
Losungen der homogenen Differentialgleichung y'' -]- ay' -\- by = 0. Sie bilden wegen W{y^; y2)= -CO' e^^^ ^ 0
(V-145)
sogar eine (reelle) Fundamentalbasis dieser Differentialgleichung. Die allgemeine Losung ist daher in der Linearform y = Ki ' e^^ • sin (cox) + K2 • e^^ • cos (CDX) = (V-146)
= e«^ [Ki • sin {(ox) + K2 • cos {OJX)]
darstellbar
m
{K^,K2elR).
Beispiel y' -]-4y' + ny = 0 Charakteristische Gleichung mil Losungen: /l^+4A + 13 = 0 /li/2= - 2
V4-13- -2 +V-9=
j
(a = — 2, o) = 3) Reelle Fundamentalbasis der Differentialgleichung: y^ = e~^^ • sin(3x), ^2 = ^~^^ " cos(3x) Allgemeine Losung der Differentialgleichung: y = C^ •e"^-^-sin(3x) + C2 • e"^^ • cos (3x) = = e~^^[Ci •sin(3x) + C2-cos(3x)]
( Q , C2elR)
3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Wir fassen die Ergebnisse dieses Abschnitts wie folgt zusammen:
Beispiele (1)
y' ^3/
-4y
=0
Charakteristische Gleichung mit Losungen: ^2 + 3 ^ - 4 = 0 ^ ^ 1 = 1, A 2 - - 4 Fundament alb asis der Differ entialgleichung:
Allgemeine Losung der Differentialgleichung: y = C^ •e^ + C 2 e - ^ - ^
( Q , C2GIR)
(1. Fall)
489
490
V Gewohnliche Differentialgleichungen (2)
/' + 4/
+ 20y = 0
Charakteristische Gleichung mit Losungen: 2^ + 42 + 2 0 - 0 X^^2 =
V4-20 = - 2 + y^T6 = - 2 + 4j
(3. Fall: a = - 2, co = 4) Reelle Fundament alb asis der Differ entialgleichung: y 1 = e ~ ^^ • sin (4 x), 3^2 = ^ ~ ^^ " ^^^ (4 x) Allgemeine Losung der Differ entialgleichung: y = Q-^^[C^ •sin(4x) + C2-cos(4x)]
( Q , C2eIR)
3.4 Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung In Abschnitt 2.4.3.2 haben wir gezeigt, daB man die allgemeine Losung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung 1. Ordnung erhalt, wenn man zur allgemeinen Losung der zugehorigen homogenen Gleichung irgendeine partikuldre Losung der inhomogenen Gleichung addiert. Diese Aussage bleibt auch fur eine inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten unverandert giiltig.
Der Beweis verlauft analog wie in Abschnitt 2.4.3.2.
3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
491
Das Losungsverfahren fiir eine inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten entspricht daher weitgehend der in Abschnitt 2.4.3.2 unter der Bezeichnung „Aufsuchen einer partikuldren Losung" behandelten Losungsmethode fiir inhomogene lineare Differentialgleichungen /. Ordnung. Zunachst wird dabei die zugehorige homogene Gleichung gelost. Wie dies geschieht, wurde im vorherigen Abschnitt ausfiihrlich dargelegt. Dann bestimmt man mit Hilfe eines geeigneten Losungsansatzes, der im wesentlichen vom Typ der Storfunktion g (x) abhangt, eine partikuldre Losung der inhomogenen Gleichung und addiert diese zur allgemeinen Losung der homogenen Gleichung. In der nachfolgenden Tabelle 2 sind die Losungsansdtze fiir einige in den Anwendungen besonders haufig auftretende Storglieder aufgefiihrt. Tabelle 2: Losungsansatz fiir eine partikuldre Losung yp (x) der inhomogenen hnearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten vom Typ y^^ -\- ay' -\- by = g{x) in Abhangigkeit vom Typ der Storfunktion g{x)
492
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Tabelle 2 (Fortsetzung)
Anmerkungen zur Tabelle 2 (1) Der jeweilige Losungsansatz gilt auch dann, wenn die Storfunktion zusatzlich noch einen konstanten Faktor enthalt.
3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
493
(2)
Dieimjeweiligen Losungsansatz j ^ enthaltenen Parameter sind so zu bestimmen, daB diese Funktion eine (partikulare) Losung der vorgegebenen inhomogenen Differentialgleichung darstellt. Dies fiihrt stets zu einem eindeutig losbaren Gleichungssystem fiir die im Losungsansatz befindlichen Stellparameter.
(3)
Besteht die Storfunktion g (x) aus mehreren (additiven) Storgliedern, so erhalt man den Losungsansatz fiir yp als Summe der Losungsansatze fur die Einzelglieder nach Tabelle 2 (vgl. hierzu das nachfolgende Beispiel (3)).
(4)
Liegt die Storfunktion in der Form eines Produktes vom Typ g{x) = gi{x) • 02(x) vor, so erhalt man in vielen (aber leider nicht in alien) Fallen einen geeigneten Losungsansatz fiir die gesuchte partikulare Losung yp, in dem man die aus Tabelle 2 entnommenen Losungsansatze yp^ und yp2 fiir die beiden „Storfaktoren" gi{x) und g2{x) miteinander multipliziert: yp = yp^ • ^^2-
(5)
Die unter 4. genannten Storfunktionen g{x) = P„{x) • e^^ • sin {^x)
und
g{x) = P„(x) • e'^ • cos (jSx)
(V-158)
enthalten als Grenzfdlle die unter 1. bis 3. aufgefiihrten Storfunktionen P„(x), e^^ und sin(j6x) bzw. cos(j8x). (6)
Bei periodischen Storfunktionen vom Typ g{x) = sind^x) oder g{x) = cos{Px) verwendet man haufig auch komplexe Losungsansatze der allgemeinen Form };p(x) = C-eJ^^-^ + ^>
Wir fassen zusammen:
(V-159)
494
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Anmerkungen (1) Wir bezeichnen wiederum (wie bereits bei den linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung) die allgemeine Losung der homogenen Gleichung mit yQ = yQ (x) und die allgemeine Losung der inhomogenen Gleichung mit y = y{x). (2)
Ein weiteres Losungsverfahren, das auf einer Anwendung der Laplace-Transformation beruht, werden wir in Kapitel VI kennenlernen (Abschnitt 5.1.3).
Beispiele (1)
/' + 10}^' - 24y = 12x^ + 14x + 1 Wir losen zunachst die zugehorige homogene Gleichung /' + 10y' -24y
=0
Die Losungen der charakteristischen Gleichung ^2 + 1 0 1 - 2 4 = 0 sind ^i = — 12 und ^2 = 2. Die Fundamentalhasis besteht daher aus den beiden Losungen (Basisfunktionen) yi=Q~^'^^
und
y2=^^^
Durch Linearkombination erhalten wir hieraus die allgemeine Losung der homogenen Differentialgleichung in der Form );o = C i - e - i 2 ^ + C2-e2-
(Ci,C2eIR)
Ein partikuldres Integral der inhomogenen Differentialgleichung gewinnen wir nach Tabelle 2 durch den Losungsansatz yp = a2X-^ -\- a^x -\-
AQ
(wegen b = - 24 ^ 0). Mit yp = a2X^ ~\- a^x + ao, yp = 2a2X -\- a^,
y'p =2a2
folgt durch Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung: 2^2 + 10(2^2^ + «i) - 24(^2x2 + a^x + ao) = 12x^ + 14x + 1 2^2 + 20a2X + lOai - 2 4 a 2 x 2 - 2 4 a i X - 2 4 a o = 12x2 + 14x + 1 Wir ordnen noch die Glieder nach fallenden Potenzen: - 2 4 a 2 x 2 + ( - 2 4 a i + 20a2)x + ( - 2 4 a o + lO^i + 2^2) = = 12x2 + I4x + 1
3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
495
Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir hieraus das gestaffelte lineare Gleichungssystem -24a2
= 12
+20a2 = 14
-24ai
- 2 4 ^ 0 + 10^1 + 2a2=
1
Es wird durch 1
1
«2 = " 2 '
^1 = - 1. ^0 = " 2
gelost. Damit ist 1
2
1
/p 2 2 eine partikuldre Losung der inhomogenen Differentialgleichung und die allgemeine Losung dieser Differentialgleichung besitzt somit die folgende Gestalt: }^ = yo + yp = Q - e - i 2 - + C 2 - e 2 - 1- - x2 2 - x - -1 2 2
(2)
(CI,C2EIR)
Wir beschaftigen uns nun mit der allgemeinen Losung der inhomogenen Differentialgleichung /' + y -2y
= g{x)
wobei wir fiir die Storfunktion g (x) verschiedene Funktionstypen vorgeben werden. Zunachst einmal losen wir die zugehorige homogene Differentialgleichung y'' + y-2y
=0
Sie besitzt die charakteristische Gleichung 1^ + A - 2 = 0 mit den reellen Losungen A^ = 1 und ^2 = — 2. Dies fiihrt zu der Fundamentalbasis
und damit zur allgemeinen Losung der homogenen Gleichung in der Form
496
V Gewohnliche Differentialgleichungen Wir geben nun verschiedene Storfunktionen g{x) vor und entnehmen der Tabelle 2 den jeweiligen Losungsansatz fiir eine partikuldre Losung y^ der inhomogenen Gleichung:
Zul.: / ' + / - 2 j = 10x + l Wir gehen mit dem Ansatz
in die Differentialgleichung ein: 0 + ai - 2(aix + AQ) = lOx + 1 ai — 2 a^ X — 2 UQ = 10X -{- 1
3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
497
Die Glieder werden noch nach fallenden Potenzen geordnet: — 2ao) = lOx + 1
— 2aiX-\-{ai
Durch Koeffizientenvergleich folgt weiter: -2ai
=10
a^ — 2^0 = 1 Dieses gestaffelte lineare Gleichungssystem wird durch a^ = — 5, UQ = — 3 gelost. Damit ist yp=
-5x-3
und die allgemeine Losung der inhomogenen Differentialgleichung besitzt die Form
Zu2.: j ' ' + j ' - 2 j = x 2 - 4 x + 3 Losung: 1 ^ 3
5
y = yo + yp = Ci-Q''
+ C2- e " ^ ^ -
1
^
2
3
5
2
~4
(Ci,C2e]
Zu3.: / ' + / - 2 j = 3-e4^ Losung: 1
4.
y = yo + yp = Ci • e- + C2 • e-2^ + ^ • e^-
( Q , C2 e R)
Zu4.: / ' + j ' - 2 j = 6-e^ Mit dem Losungsansatz: yp = Ax' e^,
j ; ^ = (^ + ^x) • e^,
yp = {2A + Ax) • e^
folgt durch Einsetzen in die Differentialgleichung: (2v4 + Ax) • e^ + (^ + Ax) • e-^ - 2Ax • e^ = 6 • e-^ |: e^ 2A-\-Ax
-i-A-\-Ax
-2Ax
=6 3^ = 6 ^ ^ = 2
498
V Gewohnliche Differentialgleichungen Somit ist
eine partikuldre Losung der inhomogenen Differentialgleichung und die allgemeine Losung dieser Gleichung lautet:
= (Ci + 2 x ) e ^ + C 2 e " ^ ^
( Q , C2GIR)
Zu5.: j ' ' + j ' - 2 j = jc-e'' Wir gehen mit dem Losungsansatz yp = Q^ia^x^ + QQX) y'p = e^(aix^ + UQX) + Q^ila^x + ao) = = Q^{ai x-^ -\- GQX -{- lai
X -\-
UQ)
y'p = e^(ai x-^ + ^QX + 2ai X + ao) + e^(2ai x + AQ + 2ai) = = e^(ai x^ +
^QX
+ 4ai X + 2^0 + 2ai)
in die Differentialgleichung ein: e^(aiX'^ + aoX + 4aiX + 2ao + 2ai) + e^(aiX^ H-aoX + 2aj^x + ao) — — 2 • e^(a^ x^ + aQx) = X • e^ Nach Division durch e^ und Ordnen der Glieder folgt weiter: 6aiX + 3^0 + 2fli = X Ein Koeffizientenvergleich auf beiden Seiten dieser Gleichung fiihrt zu dem gestaffelten linearen Gleichungssystem 6ai = 1 3aQ + 2ai = 0 1 1 . . mit der eindeutig bestimmten Losung a^ = - , GQ = — . Somit 1st
eine partikuldre Losung und
y = yo + yp = Q • e'' + C2 • e-2^ + f -x2 - -X = Q x 2 -^-x + CA • e^ + C2 • e - 2 ^
(Ci, C2 e R)
die allgemeine Losung der inhomogenen Differentialgleichung.
3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
499
Zu 6.: j ' ' + j ' - 2J = 3 • sin (2x) Mit dem Losungsansatz yp = A ' sin(2x) -\- B ' cos (2x) y'p = 2A- cos (2 x) — 2 5 • sin (2 x) j;^' = - 4 ^ - s i n ( 2 x ) - 4 5 - c o s ( 2 x ) folgt durch Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung: — 4A-sm{2x)
— 4B-cos{2x)-\-2A-cos{2x)
— 2B' sin (2 x) —
— 2A' s,m{2x) — 2B • cos (2x) = 3 • sin (2x) Wir ordnen nun die Glieder nach S/nws- und Kosinusfunktionen: — 6 ^ • sin (2 x) — 2 fi • sin (2 x) + 2.4 • cos (2 x) — 6 5 • cos (2 x) = = 3 • sin (2 x) {-6A-2B)'
sin(2x) + {2A - 6B) • cos(2x) = 3 • sin(2x) + 0 • cos(2x)
Durch Koeffizientenvergleich folgt weiter: =3
-6A-2B
2^1-65 = 0 Dieses lineare Gleichungssystem besitzt die Losung A=
9
, B=
20
3 20
Somit ist yp =
9 3 sin (2 x) 20 ^20
cos (2 x' ^ ^
Die allgemeine Losung der inhomogenen Differentialgleichung lautet daher: 9 . 3 }^ = yo + -V77 = Q • e'' + C2 • e ^^ - — • sin (2x) - ^ • cos (2x) (Ci,C2GlR)
(3)
3;^'-6y^ + 93; = 2 e ^ + 9 x - 1 5 Wir losen zunachst die zugehorige homogene Differentialgleichung y'' -6y'
-h9y = 0
Die charakteristische Gleichung ^2-62+ 9= 0
500
V Gewohnliche Differentialgleichungen wird durch A^ = /I2 = 3 gelost. Die allgemeine Losung der homogenen Differentialgleichung lautet damit: yo = (CiX + C 2 ) e 3 ^
(Ci,C2eR)
Wir beschaftigen uns nun mit der Integration der inhomogenen Differentialgleichung. Zunachst benotigen wir einen geeigneten Losungsansatz fur eine partikuldre Losung y^. Diesen erhalten wir wie folgt: Wir zerlegen die Storfunktion g{x) zunachst in zwei Teile QI (X) und ^2 Wg{x) = 2 • e^ + 9x - 15 - 6^1 (x) + ^2 W
Fiir die Einzelstorglieder g^ (x) und ^2 W entnehmen wir aus Tabelle 2 die Ldsungsansdtze yp^= A' Q""
bzw.
yp2 =a^x-^
a^
Der Losungsansatz yp ist dann die Summe aus y^^ und ^^2*
DiQ drci Parameter A, a^ und aQ werden nun so bestimmt, daB diese Funktion die inhomogene Differentialgleichung lost. Mit yp = A'Q''-\-aiX-\-aQ,
yp = A - Q"" -\- a^,
y'^ = A • Q""
gehen wir in die inhomogene Gleichung ein und erhalten: ^ • e^ - 6 (^ • e^ + ^i) + 9 (yl • e^ + fli X + ao) = 2 • e^ + 9 X - 15 ^ • e ^ - 6 . 4 e ^ - 6 a i + 9 ^ e ^ + 9aiX + 9ao = 2 e ^ + 9 x - 1 5 4^e^4-9aiX-6ai+9ao
= 2 e ^ + 9x-15
Ein Koeffizientenvergleich fiihrt zu dem bereits gestaffelten hnearen Gleichungssystem 4A
= 2 9ai
=
9
— 6ai + 9^0 = — 15 1 Es wird durch A =-, a^ = 1, aQ = — 1 gelost. Damit ist 1 >;^ = - - e ^ + x - l und die allgemeine Losung der inhomogenen Differentialgleichung besitzt die folgende Gestalt: y = yo + Jp = ( Q ^ + Q ) • e^"^ + - • e^ + X - 1
(Ci, C2 e R)
4 Anwendungen
501
4 Anwendungen 4.1 Mechanische Schwingungen 4.4.1 AUgemeine Schwingungsgleichung der Mechanik Ein Feder-Masse-Schwinger (auch Federpendel genannt) soil uns im folgenden als Modell ftir ein schwingungsfdhiges mechanisches System dienen. Das System besteht aus einer Masse m, einer dem Hookeschen Gesetz geniigenden elastischen Feder und einer Ddmpfungsvorrichtung (z. B. einem Kolben, der sich durch eine zahe Fliissigkeit bewegt, wie in Bild V-19 dargestellt).
Gleichgewichfslage (Ruhelage)
Ddmpfungsvorrichtung
Bild V-19 Modell eines schwingungsfahigen mechanischen Systems (Feder-Masse-Schwinger mit Dampfungsvorrichtung)
Feder und Dampfungskolben werden dabei als masselos angenommen. Die Gleichgewichtslage (Ruhelage) des Systems ist dann durch das Eigengewicht der Masse bestimmt. Mit X = x{t) bezeichnen wir die Auslenkung zur Zeit t, bezogen auf die Gleichgewichtslage (Ruhelage). Auf die Masse m wirken dann die folgenden Krdfte ein: 1. Die zur Auslenkung x proportionale Ruckstellkraft der Feder: FI = —ex {Hookesehes Gesetz; c: Federkonstante).
(V-163)
502
V Gewohnliche Differentialgleichungen
2. Die zur Geschwindigkeit v = x proportionale Ddmpfungskraft: F2 = -bv
(V-164)
= -bx
{b\ Dampferkonstante). Sie wirkt stets der Bewegung entgegen. 3. Zusatzlich eine von auBen (z. B. iiber einen Exzenter) einwirkende, zeitabhdngige Kraft: (V-165)
F3 = F{t)
Wir wenden jetzt das von Newton stammende Grundgesetz der Mechanik an. Danach ist das Produkt aus Masse m und Beschleunigung a = x gleich der Summe der einwirkenden Krafte. Somit gilt: (V-166)
ma = Fi ^ F2 ^ F3 mx = -ex
- bx -i- F{t)
Oder
mx -i- bx -\- ex = F(t)
(V-167)
Die Bewegung (Schwingung) eines Feder-Masse-Schwingers wird somit durch eine lineare Differentialgleiehung 2. Ordnung mit konstanten Koejfizienten beschrieben, die in den Anwendungen daher auch als allgemeine Schwingungsgleiehung der Mechanik bezeichnet wird. Wir unterscheiden dabei noch zwischen einer freien und einer erzwungenen Schwingung. Bei einer freien Schwingung unterliegt das System keiner (zeitabhangigen) auBeren Kraft, d. h. es ist F (t) = 0. Diese Schwingung kann geddmpft oder ungeddmpft sein, je nachdem, ob das Dampfungsglied F2 = -bx vorhanden ist oder nicht. Bei zu starker Ddmpfung kommt es allerdings zu keiner eigentlichen Schwingung mehr, wir erhalten eine aperiodische Bewegung (Kriechfall). UnterUegt das System dagegen Qinorperiodischen auBeren Kraft, d. h. ist z.B. F {t) = FQ - sin (oj t), so erhalt man eine erzwungene Schwingung. Wir stellen die verschiedenen Schwingungstypen wie folgt zusammen:
4 Anwendungen
503
Anmerkung Freie Schwingungen werden durch homogene, erzwungene Schwingungen durch inhomogene lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschrieben. 4.1.2 Freie ungedampfte Schwingung Die freie ungedampfte Schwingung eines Feder-Masse-Schwingers wird durch die homogene Differentialgleichung mx -\- ex — 0
Oder
x + O^QX = 0
(V-172)
beschrieben, wobei COQ^^ c/m gesetzt wurde. Die zugehorige charakteristische Gleichung 2^ + a;2 = 0
(V-173)
besitzt die konjugiert komplexen Losungen (V-174)
Xi,2 =
Die Fundamentalbasis der Differentialgleichung besteht daher aus den linear unabhdngigen Funktionen (Basislosungen) xi = sin (a> 0 0
^^^
^2 = cos ((X> o 0
(V-175)
504
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Die allgemeine Losung der Schwingungsgleichung ist damit in der Linearform x{t) = Ci - sin {(DQt) ^ C2 • cos {(DQt)
(V-176)
Oder in der Form x ( 0 = C • sin (ft;o^ + (p)
(V-177)
darstellbar (Ci, C2 G R bzw. C > 0, 0 ^ ^ <
lit).
Interpretation aus physikalischer Sicht Das System schwingt harmonisch mit der Kreisfrequenz CDQ
, die auch als
Eigen- oder Kennkreisfrequenz bezeichnet wird (BildV-20). Die Schwingungsdauer 2 7t
jtYl
ojo
V c
(Periodendauer) betragt T = — = 2ji \ —, Amplitude A und Phasenwinkel w h'SLUgon noch von den Anfangsbedingungen x(0) = XQ, ^'(0) = x{0) = VQ ab.
Xi
i x(t)
=Cs\n(UJQti'ip)
C-
/ /
/
y
^4= ; ^
/
^1^0
f
-cT=
^
^ Bild V-20 Zeitlicher Verlauf einer ungedampften harmonischen Schwingung (allgemeine Losung)
Spezielle Losung Wir bestimmen noch die spezielle Losung ftir die folgenden Anfangsbedingungen: x{0) — A > 0 1 Das schwingungsfahige System startet aus der Ruhe herV (0) = x(0) = 0 i ^^^ ™^ ^^^ anfanglichen Auslenkung A
4 Anwendungen
505
Ftir die Parameter Ci und C2 in der allgemeinen Losung (V-176) ergeben sich dann folgende Werte: x(0)
C1 • sin 0 + C 2 • cos 0 = A 0
C2
(V-178)
1
x{t) = C1 (^0 • cos (coot) — C2(^0 • sin (a>00 ^ =
CICOQ
i (0) = 0 ^
• cos {ojQt) —
ACOQ
' sin {(JO Qt)
C1 a> 0 • cos 0 - A a> 0 • sin (0) = 0 0
1 =^ Ci a)o = 0
Ci
0
(V-179)
(wegen c 7^ 0 ist auch COQ y^ 0). Die den Anfangswerten x(0) = A, i(0) = 0 angepafite spezielle Losung lautet somit: x{t) = A • cos {w 0 0
(V-180)
Der Feder-Masse-Schwinger voUftihrt harmonische Schwingungen nach einer Kosinusfunktion mit der Eigenkreisfrequenz (o 0
und der Amplitude A (Bild V-21).
x(t) = A • COS ((jjQt)
Bild V-21 Zeitlicher Verlauf einer ungedampften harmonischen Schwingung (spezielle Losung ftir die Anfangswerte x (0) = A, x{0) = v (0) = 0)
506
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Wir fassen zusammen:
Anmerkung Fiir die Bestimmung der beiden Integrationskonstanten (z. B. aus vorgegebenen Anfangsbedingungen) erweist sich die Darstellungsform (V-183) meist als rechnerisch giinstiger. Amplitude C und Phase cp lassen sich dann mit Hilfe des (reellen) Zeigerdiagramms leicht aus C i und C 2 bestimmen.
Beispiel Wir untersuchen die Bewegung eines schwingungsfdhigen mechanischen Systems mit der Masse m = 10 kg und der Federkonstanten c = 250 N/m unter den Anfangshedingungen X (0) = 0,6 m, V (0) = i (0) = 0 Zunachst berechnen wir die Eigenkreisfrequenz des Systems: /250N . m - i o^. = M^^ = ^ / — T O k ^
, _i =^'~
507
4 Anwendungen Die Schwingungsgleichung X + 25JC = 0
besitzt nach Gleichung (V-183) die allgemeine Losung x(r) = Ci • sin (5^) + C2 • cos (5r) Die Parameter Ci und C2 lassen sich wie folgt aus den Anfangswerten bestimmen (wir legen dabei ein festes MaBsystem zugrunde und lassen bei alien Zwischenrechnungen der besseren Ubersicht wegen die physikalischen Einheiten fort): x(0) = 0,6 ^
Ci • sinO + C2 • cos 0 = 0,6 -^ C2 = 0,6 0
(in m)
1
x{t) = 5 C1 • cos (5 r) - 5 C2 -sin (51) i(0) = 0 ^
5 C i • cosO - 5C2 • sinO = 0 ^ 1
5 C i = 0 =^ Ci = 0
0
Das mechanische System schwingt demnach harmonisch nach der Gleichung X (t) = 0,6 m • cos (5 s " ^ • t)
{t ^ 0)
Die Schwingungsdauer betragt T = ITT/OJO = 0,4 TTS ^ 1,26 s, die SchwingungsampHtude C = 0,6 m. Der zeitliche Verlauf der Schwingung ist in Bild V-22 dargestellt.
x{t) = 0,6m cos (Ss"^ t)
508
V Gewohnliche Differentialgleichungen
4.1.3 Freie gedampfte Schwingung Die Differentialgleichung einer freien geddmpften Schwingung lautet: (V-184)
mx + bx + ex = 0 Oder — mit den Abkiirzungen 26 = h/m und (o^ = c/m: X + 2dx + (DIX = 0
(V-185)
Die physikalischen GroBen 5 und COQ werden wie folgt bezeichnet: d:
Dampfangsfaktor oder Ahklingkonstante
CO 0: Eigen- oder Kennkreisfrequenz Die zugehorige charakteristische Gleichung X^ +2(52 + o;2 = 0
(V.186)
besitzt die Losungen Ai/2 = - ( 3
1/52 -0)1
(V-187)
iiber deren Art die Diskriminante D = d^ - CD^ entscheidet. Nur bei schwacher Ddmpfung ist das mechanische System zu echten Schwingungen fahig (sog. Schwingungsfall). Dieser Fall tritt fiir D < 0, d. h. d < OJQ ein. Bei starker Ddmpfung, d, h. fiir Z) > 0 und somit 6 > w^ bewegt sich das System aperiodisch auf die Gleichgewichtslage zu (sog. aperiodisehe Sehwingung, auch Krieehfall genannt). Fiir Z) = 0, d. h. 6 = (D{) erhalten wir schlieBlich den sog. aperiodisehen Grenzfall. Wir unterscheiden somit drei Falle: D < 0, d. h. ^ 0 • Geddmpfte Schwingung (Schwingungsfall) D = 0, d. h. (5 = o) 0 • Aperiodiseher Grenzfall Z) > 0, d. h. ^ > a; 0 • Aperiodisehe Schwingung (Krieehfall) Sie werden im folgenden ausfiihrlich diskutiert. 4.1.3.1 Schwache Dampfung (Schwingungsfall) Bei schwacher Dampfung ist D = 6^ - eo'^ < ^, d. h. 6 < COQ. 7MX Abkiirzung setzen wir noch 0)1 = 0)1-
(V-188)
d^ > ()
Die charakteristische Gleichung (V-186) hat dann die konjugiert komplexen Losungen Ai/2 = -<5
^(32 - col =
^-{col-d^)
=
f ^ ,
= (V-189)
=
Die allgemeine Losung der Schwingungsgleichung (V-185) lautet somit nach Abschnitt 3.3 (3. Fall, Gleichung (V-154)) wie folgt: x{t) = e-^'
• [Ci • sin (wdt) + Cj • cos {wat)]
(V-190)
4 Anwendungen
509
(Ci, C2 G ]R). Wir konnen sie auch in der Form x{t) = C
e""^^ • sin {codt + (Pd)
(V-191)
darstellen (C > 0, 0 ^ (59^ < 27r). Interpretation aus physikalischer Sicht Es liegt eine geddmpfte Schwingung vor. Das mechanische System schwingt dabei mit einer gegentiber der ungeddmpften Schwingung verkleinerten Kreisfrequenz, Sie betragt (^d
(V-192)
col - ^^
Infolge laufender Energieverluste nimmt die „Schwingungsamplitude" C • e"^^ mit der Zeit auf Null ab. Die geddmpfte Schwingung zeigt den in Bild V-23 skizzierten typischen zeitlichen Verlauf.
Csinw
Bild V-23 Zeitlicher Verlauf einer gedampften Schwingung (Schwingungsfall)
Spezielle Losung Die Bewegung des mechanischen Systems beginne zur Zeit t = 0 aus der Ruhe heraus mit der Auslenkung A > 0: X (0) = A
und
v{0) = i (0) = 0
(V-193)
Ftir diese Anfangswerte erhalten wir dann die spezielle Losung x{t) = C ' t~^^ • sin {ojdt + q)d)
(V-194)
C = — A a)d
(V495)
mit und
Wd = arctan (-r-) \ o/
510 •
V Gewohnliche Differentialgleichungen Beispiel Gegeben sei ein zu Schwingungen fahiges geddmpftes mechanisches System (Feder-Masse-Schwinger) mit den folgenden Kenndaten: m = 10 kg, b = 80 kg/s, c = 250 N/m Wir untersuchen die Bewegung dieses Systems ftir die Anfangsbedingungen X (0) = 0,6 m
und
i; (0) = i (0) = 0
Zunachst berechnen wir den Ddmpfungsfaktor CO 0 des ungeddmpften Systems: 2m
d und die Eigenkreisfrequenz
2 - 10 kg 6 < (Of
250N-m-i = ,/ ^Q^g
<^o = ^|^.
=5s-
Die Schwingungsgleichung lautet somit (ohne Einheiten): Jc + 8 i + 25x = 0 Wegen d < WQ ist das mechanische System nur schwach geddmpft, wir erhalten eine geddmpfte Schwingung mit der nach Gleichung (V-192) berechneten Eigenkreisfrequenz o)d = ^0)1 - (52 = y^25s-2 - 16s-2 := y^9s-2 == Ss"^ Sie wird durch die Funktion x{t) = C ' t-""'''-' • sin(3s-^ ' t + (pd) beschrieben (allgemeine Losung der Schwingungsgleichung). C und q)d lassen sich mit Hilfe der Gleichungen (V-195) wie folgt aus den Anfangsbedingungen bestimmen: COQ
C = -^A
,
=
5s~^ '-^ 0,6m = I m
cpd = arctan (-7-) = arctan (
-^ j = arctan ( y ) = 0,6435
Das System schwingt demnach geddmpft nach der Weg-Zeit-Funktion x{t) = Im-
e - ^ ' " ' - ' • sin(3s-^ - t + 0,6435)
{t ^ 0)
4 Anwendungen
511
4.1.3.2 Starke Dampfung (aperiodische Schwingung, Kriechfall) Bei starker Dampfung ist D = d^ - col > 0 und somit d > COQ. Die charakteristische Gleichung (V-186) hat dann wegen Jd^
- col < d
(V-196)
zwei verschiedene negative Losungen: (D\
<^
(V-197) Xi = -d -
(52 - a;2 ^ 0
Um die anschlieBende Diskussion iiber den Bewegungsablauf etwas zu vereinfachen, setzen wir Xx = -/cj
(V-198)
und
(/ci und /c2 sind positive Zahlen mit k\ / ki). Die allgemeine Losung der Schwingungsgleichung (V-185) ist dann eine Linearkombination zweier monoton fallender Exponentialfunktionen: x{t) = Ci • Q-^'' + C2 • e-^^r
(^^^ Q^^
^^
(V-199)
(vgl. hierzu Abschnitt 3.3, 1. Fall, Gleichung (V-150)). Interpretation aus physikalischer Sicht
/Umkehrpunkt der Bewegung
Bild V-24 Zeitlicher Verlauf einer aperiodischen Schwingung flir verschiedene Anfangsbedingungen. Anfangslage: x(0) = A > 0; Bewegung zu Beginn: a) aus der i?w/ze heraus (^;(0) = ^0 = 0), b) nach aufien hin, d. h. von der Gleichgewichtslage fort {VQ > 0), c) nach innen hin, d. h. in Richtung Gleichgewichtslage mit ausreichender Geschwindigkeit (^0 < 0, i;o <
-k2A)
512
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Das mechanische System ist infolge zu starker Dampfung und damit zu grofier Energieverluste zu keiner echten Schwingung mehr fahig und bewegt sich im Laufe der Zeit (d. h. fiir t -^ oo) asymptotisch auf die Gleichgewichtslage zu: lim x(t) -
lim [Ci • Q~^'' + C2 • e'^^M = 0
(V-200)
In der Schwingungslehre wird eine solche Bewegung als aperiodische Schwingung Oder auch als Kriechfall bezeichnet. Der genaue Verlauf der Losungskurve hangt dabei noch von den Anfangsbedingungen ab. In Bild V-24 sind mogliche Losungen skizziert.
AbschlieBend untersuchen wir zwei spezielle Losungen. Spezielle Losungen (1)
Die Bewegung des Feder-Masse-Schwingers erfolge aus der Ruhe heraus, die Auslenkung zu Beginn (^ == 0) sei A > 0: und
x{0) = A
v{0) =. i(0) = 0
(V-201)
Wir bestimmen zunachst aus diesen Anfangswerten die beiden Konstanten C1 und C2 in der allgemeinen Losung (V-199): x{0) = A ^ i ( 0 - -kiCi
Ci + C2 = A
(V-202)
• e-^i^ - ^^2^2 • e-^^r
i ( 0 ) = : 0 =^ -kiCi
(V-203)
- k2C2 = 0
Das lineare Gleichungssystem Ci +
C2=A (V-204)
— A:2 C2 = 0
— kiC\
losen wir nach der Cramerschen Kegel. Die Losung lautet: Ci = k2 .
^ . ,
C2 = -k,
k2 ~ ki
.
^ .
(V-205)
k2 - ki
Damit erhalten wir die spezielle Losung x(0 =
{k2 • e-^^^ - ki . e-^^0
"^ rC 2
(^^0)
(V-206)
"^ 1
Der in Bild V-25 dargestellte Verlauf dieser Kriechfunktion zeigt, wie sich der Feder-Masse-Schwinger asymptotisch der Ruhelage nahert.
4 Anwendungen
513
A
•""-^fv--'-v.-')
t Bild V-25 Zeitlicher Verlauf einer aperiodischen Schwingung fiir die Anfangswerte jc (0) = A > 0, 7; (0) = 0
(2)
Die Bewegung des schwingungsfahigen Systems erfolge nun aus der Gleichgewichtslage heraus mit einer Anfangsgeschwindigkeit ^;o > 0. Die Anfangsbedingungen lauten also: jc(0) = 0
und
(V-207)
i;(0) = i(0) = v^
Aus diesen Anfangswerten erhalten wir fiir die Konstanten Ci und C2 in der allgemeinen Losung (V-199) das folgende lineare Gleichungssystem: x(0) - 0
=^
Ci +
C2 = 0 (V-208)
i(0) = VQ ^
-kiCi
- /C2C2 = ^^0
Es wird gelost durch Ci
'^0
ki
C2
^0
(V-209)
k2 — ki
Die den Anfangswerten (V-207) angepafite spezielle Losung besitzt damit die Form x{t)
vo k? — k]
(e
-kit
-/C2
A
(^^0)
(V-210)
Wir entnehmen dabei dem in Bild V-26 skizzierten Funktionsverlauf, daB sich das System aufgrund der erteilten Anfangsgeschwindigkeit VQ zunachst aus der Ruhelage heraus bewegt, zum Zeitpunkt ti die grofite Auslenkung erreicht (Umkehrpunkt der Bewegung) und schlieBHch asymptotisch in die Gleichgewichtslage zuriickkehrt.
514
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Umkehrpunkt der Bewegung
Bild V-26 Zeitlicher Verlauf einer aperiodischen Schwingung fiir die Anfangswerte jc(0) = 0, i;(0) = ^0 > 0
Beispiel Wir losen die Schwingungsgleichung X + 6 i + 8,75x = 0 fiir die Anfangswerte x(0) = 0, i(0) = 8. Die charakteristische Gleichung besitzt zwei verschiedene negative Losungen: X'^ ^6X^
8,75 = 0 ^
Ai
-2,5,
X,
-3,5
Die allgemeine Losung der Differentialgleichung lautet daher: x{t) = C i • e-2'5^ + C2 • e-3'5^
Die Konstanten Ci und C2 werden aus den An/fl^g>yZ)eJmgw^g^^ bestimmt: x(0) = 0 =^ Ci + C2 = 0 =^ C2 = - C i x{t) = - 2 , 5 C i • e-2'5^ - 3,5C2 • e'^^^^ i(0) = 8 ^
- 2 , 5 C i - 3,5C2 =
8
+ 3,5Ci =
8
=> -2,5CI Somit ist Ci = 8
und
C2 = -Ci
= -8
(wegen C2 = - C i )
4 Anwendungen
515
Die gesuchte partikuldre Losung der Schwingungsgleichung lautet damit: .-2,5r
x{t)
-3,5r\
(r^O)
Sie bescheibt die in Bild V-27 skizzierte aperiodische Schwingung (Kriechfall).
/Umkehrpunkt der Bewegung
x(t)=d(Q-^'^^-e-^'^^J
0,3U 0,5
Bild V-27
4.1.3.3 Aperiodischer Grenzfall Fiir Z) = (5^ — (^Q = 0, d. h. (3 = a)o erhalten wir den sog. aperiodischen Grenzfall, der die periodischen Bewegungsablaufe, d. h. die eigentlichen Schwingungen von den aperiodischen Bewegungsablaufen trennt. Auch im aperiodischen Grenzfall ist das schwingungsfahige mechanische System (Feder-Masse-Schwinger) zu keiner echten periodischen Bewegung (Schwingung) fahig. Die charakteristische Gleichung (V-186) besitzt jetzt zwei gleiche negative Losungen: 2i = ^2 = - ^
(V-211)
Die allgemeine Losung der Schwingungsgleichung (V-185) besitzt somit die Form x{t) = (Cir + C2) • e-^^
(Ci, C2 G IR)
(V-212)
(vgl. hierzu Abschnitt 3.3, 2. Fall, Gleichung (V-152)). Interpretation aus physikalischer Sicht Das schwingungsfahige mechanische System verhalt sich ahnhch wie im Kriechfall (starke Dampfung: d > OJQ): ES bewegt sich apmo(i/5'c/z aus der Anfangslage heraus auf die Gleichgewichtslage zu und erreicht diese im Laufe der Zeit (d. h. fiir r —> 00): lim x{t) ^ lim (Ci r + C2) • e ~bt
0
(V-213)
516
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Bild V-28 zeigt mogliche Bewegungsablaufe im aperiodischen Grenzfall fiir verschiedene Anfangswerte.
/Umkehrpunkf der Bewegung
BOd V-28 Zeitlicher Verlauf einer Schwingung im aperiodischen Grenzfall fiir verschiedene Anfangsbedingungen. Anfangslage: x(0) = A > 0; Bewegung zu Beginn: a) aus der Ruhe heraus {v{0) = VQ = 0), b) nach aufien hin, d. h. von der Gleichgewichtslage fort (^o > 0), c) nach innen hin, d. h. in Richtung Gleichgewichtslage mit ausreichender Geschwindigkeit (^o < 0, VQ < -dA)
Umkehrpunkf der Bewegung
Spezielle Losungen (1)
Zunachst erfolge die Bewegung des Systems (Feder-Masse-Schwinger) aus der Ruhe heraus, die Auslenkung zu Beginn (^ = 0) sei A > 0: x{0) ^ A
und
v{0) = x (0) = 0
(V-214)
Die Konstanten Ci und C2 in der allgemeinen Losung (V-212) lassen sich aus diesen Anfangsbedingungen wie folgt berechnen: x(0) =^ A :^ C2 = A
(V-215)
x{t) = Ci . e-^^ + {Cit + C2)(-(3) • e-^^ = = {-dCit i(0) = 0 ^
+ Ci - dC2) • e-^^ Ci - dC2 = 0 =^ Ci - dC2 = dA
(V-216)
Die spezielle Losung hat somit die Gestalt x{t) = A{dt + 1) ' Q-^'
(t^O)
Das System bewegt sich aperiodisch auf die Ruhelage zu (Bild V-29).
(V-217)
4 Anwendungen
517
.x(t) =
A(6t'^1)Q
BildV-29 Zeitlicher Verlauf einer Schwingung im aperiodischen Grenzfall fiir die Anfangswerte x{0) = A > 0, v(0) =^ 0
(2)
Wir stoBen das in der Gleichgewichtslage befindliche schwingungsfahige System kurz an, erteilen ihm somit eine Anfangsgeschwindigkeit VQ > 0. Die Anfangsbedingungen lauten jetzt: x(0) = 0
und
v(0) - i(0) =
(V-218)
VQ
Sie fiihren zu den folgenden Bestimmungsggleichungen fiir die Parameter C\ und C2 in der allgemeinen Losung (V-212): X (0) = 0
C2
i(0) = v^
0 (5C2
(V-219) ^^0
Ci
^0
(V-220)
Der aperiodische Grenzfall wird daher unter den Anfangsbedingungen (V-218) durch das Weg-Zeit-Gesetz x{t) ^ vot
-dt
{t>0)
(V-221)
beschrieben. Diese Funktion hat zur Zeit ti = 0 ihren einzigen Nulldurchgang und erreicht zur Zeit ^2 = 1/(5 ihr (relatives und zugleich absolutes) Maximum (BildV-30). Mit anderen Worten: Die Masse bewegt sich zunachst aufgrund der Anfangsgeschwindigkeit VQ aus der Ruhelage heraus, erreicht zur Zeit ^2 ^ 1/6 ihren Umkehrpunkt und nahert sich dann asymptotisch der Gleichgewichtslage (Bild V-30).
V Gewohnliche Differentialgleichungen
518
.Umkehrpunkt der Bewegung
,x(t) = v^fe
BildV-30 Zeitlicher Verlauf einer Schwingung im aperiodischen Grenzfall flir die Anfangswerte x{0) = 0 , v{0) = VQ > 0
Beispiel Wir betrachten ein schwingungsfdhiges mechanisches System mit der Federkonstanten c = 200 N/m und der Dampferkonstante b = 60kg/s. Wie groB muB die schwingende Masse m sein, damit der aperiodische Grenzfall eintritt? Losung: Der aperiodische Genzfall tritt fixr d = COQ, d.h. _b_ _ 2m ein. Wir losen diese Beziehung nach m auf und erhalten: b^ (60kg.s-i)2 " = 4^ = 4 . 2 0 0 N . m - i - ^ - ^ ' g Zu echten Schwingungen ist das System demnach nur fahig, wenn die schwingende Masse 4,5 kg ubersteigt. Fiir Massen kleiner als 4,5 kg schwingt das System aperiodisch. Der aperiodische Grenzfall wird bei einer Masse von 4,5 kg erreicht.
4 Anwendungen
519
4.1.3.4 Zusammenfassung Bei einer freien geddmpften Schwingung sind — je nach Starke der Dampfung — drei verschiedene Schwingungstypen moglich.
520
V Gewohnliche Differentialgleichungen
4.1.4 Erzwungene Schwingung Auf ein geddmpftes schwingungsfahiges mechanisches System wirke von auBen her die periodische Kraft F{t) = Fo - sin (ft)r)
(V-228)
ein (ft;: Kreisfrequenz des Erregers). Die Schwingungsgleichung lautet dann mx + Z?i + ex = Fo • sin [ojt)
(V-229)
Oder mit den iiblichen Abkiirzungen d = b/{2m), COQ = c/m und KQ = Fo/m: X + 2dx + wlx = KQ • sin (ft;^
(V-230)
Wir beschranken uns zunachst auf die allgemeine Losung der Schwingungsgleichung (V-230) ftir ein schwach geddmpftes System. Losung der homogenen Schwingungsgleichung Die zugehorige homogene Differentialgleichung X + 2dx + (DIX = 0
(V-231)
wird bei (vorausgesetzter) schwacher Ddmpfung (d. h. 6 < COQ) nach den Ergebnissen aus Abschnitt 4.1.3.1 durch die Funktion xo = C • e-^^ • sin {codt + cpd)
(V-232)
gelost. Sie beschreibt eine geddmpfte Schwingung mit der Eigenkreisfrequenz (Dd - ^(ol
- (52
(V-233)
Losung der inhomogenen Schwingungsgleichung Eine partikuldre Losung der inhomogenen Schwingungsgleichung (V-230) konnen wir nach Tabelle 2 (Abschnitt 3.4) sowohl durch den reellen Losungsansatz Xp = A ' sm{a)t - cp)
(V-234)
als auch durch den komplexen Losungsansatz Xp = A' eJ(^'-^) = A [cos (ft>r - ^) + j • sin (ft>r - cp)]
(V-235)
gewinnen^^^ Wir entscheiden uns hier bewuBt ftir den (bequemeren!) komplexen Ansatz, um einmal die Brauchbarkeit dieser Losungsmethode zu zeigen. Bei komplexer Rechnung muB allerdings auch die auBere Kraft F{t) = FQ • sin (cot) in komplexer Form dargestellt werden: F_{t) = Fo ' eJ^' = Fo [cos (ft^O + J ' sin (ft^O]
(V-236)
^^^ Bei komplexer Rechnung ist es in diesem Fall gunstiger, das Argument in der Form cot — cp anzusetzen (anstatt von cot + cp wie bisher). Komplexe Funktionen kennzeichnen wir dabei durch Unterstreichen.
4 Anwendungen
521
Es ist somit Xp = Im (xp)
' Q^^^'-^^)
= lm{A
F{t) = Im (F(0) = Im
(FQ
= A • sin {cot - cp)
• eJ^O = ^o • sin {(ot)
(V-237) (V-238)
Die Schwingungsgleichung lautet dann in komplexer Schreibweise: X + 2dx +
(DIX
= Ko • eJ^'
(V-239)
Mit Xp = A • eJ^^^-'^^
(V-240) Xp = j^co^A
_^,j2^ _ ^jcor _ e~J^ • eJ^"^'-^) = - a ; 2 ^ • e i{o)t-(p) = ^ —CO
gehen wir in diese Gleichung ein und erhalten
(V-241) Wir dividieren diese Gleichung zunachst durch A • t^^^ ^ {) und multiplizieren sie anschlieBend mit eJ"^: - a ; 2 . e-J'^ ^]2doj
J
. e-J^ + a;^
U
-j^?'
^0
(V-242)
^
(a>g-^2)+j(2(5a;)=^.ei^
(V-243)
Diese Gleichung interpretieren wir wie folgt: Auf der linken Seite steht eine komplexe Zahl in algebraischer Form mit dem Realteil a> Q - a; ^ und dem Imaginarteil Ida), rechts steht dieselbe komplexe Zahl in exponentieller Form mit dem Betrag KQ/A und dem Argument (Winkel) cp (BildV-31). lm(z)k
Bild V-31 ReCz;
522
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Zwischen den beiden Darstellungsformen bestehen dann nach Bild V-31 die folgenden Beziehungen: ^0
2^2 , (ft>^ - 0)')' +
AA2
46^0) 7
(V-244)
(folgt aus dem Satz des Pythagoras) 2(5 ft)
(V-245)
tan cp ft>o
— (JO^
Aus ihnen konnen Amplitude A und Phasenwinkel cp bestimmt werden. Fiir die Amplitude erhalten wir aus Gleichung (V-244) den Ausdruck K,
(V-246)
{wl - ft)2)2 + 4(52ft)2
mJ{wl
- w'^y + 46^0)^
Der Phasenwinkel cp wird aus Gleichung (V-245) ermittelt, wobei die Falle ft> o, ft> = ft^o und ft; > ft^o zu unterscheiden sind (Bild V-32).
imrz;4
lmlz)i
26uj
Rerz;
Rerz;
a)
(JJ^UJQ
.
b)
UJ=UJQ
25w Bild V-32 2i) 0) < 0)0 b) (0 = (Do C) 0) > 0)0 C)
W^LUQ
523
4 Anwendungen
Anhand dieser Bilder erhalten wir fiir den Phasenwinkel cp die folgenden Ausdriicke:
2d(jo
arctan
\
CO < (Do (BildV-32, a))
jt
(P
fiir
~2
2^(
arctan
V^o -
+ Jt
= 0)0
(BildV-32, b)) }
(JO > coo
(Bild V-32, c))
(V-247)
^^
Die partikuldre Losung der inhomogenen komp lexer Form
Schwingungsgleichung lautet damit in (V-248)
Xp = A • eJ(^^-^)
wobei A und q) aus den Beziehungen (V-246) und (V-247) berechnet werden. Die gesuchte reelle partikulare Losung Xp ist dann der Imagindrteil der komplexen Losung Xp-. Xp = Im {xp) = Im (^ • eJ^^'-^^) = A • sin {cot - cp)
(V-249)
Die Schwingungsgleichung (V-230) besitzt daher (bei angenommener Ddmpfung) die foigende allgemeine Losung:
schwacher
x{t) = xo -^ Xp = C ' e^^^ • sin {codt + cpd) + ^ • sin {cot - cp)
(V-250)
Interpretation aus physikalischer Sicht Die Bewegung des nur schwach geddmpften mechanischen Systems (Feder-MasseSchwinger) setzt sich aus zwei verschiedenen Schwingungstypen zusammen, die sich ungestort liberlagern: 1. Die/zomogg/te Schwingungsgleichung x + 2dx xo{t)
- C • e-^^ • ^m{cDdt + cpd)
+ co^x = Q liefert den Beitrag (V-251)
fsin^
BildV-33 „Fluchtiger" Beitrag der homogenen Schwingunsgleichung zur Gesamtlosung (gedampfte Schwingung)
524
V Gewohnliche Differentialgleichungen Er beschreibt (^d — J^l
eine geddmpfte
Schwingung
mit der
Eigenkreisfrequenz
- ^^, die aber nach einer gewissen Zeit, der sog. „Einschwing-
phase", nahezu verschwindet (Bild V-33). Man bezeichnet diese Schwingungskomponente daher auch als „fluchtigen" Bestandteil. 2. Der Beitrag der inhomogenen Schwingungsgleichung x + 2(3i + a>Qjc = = i^o • sin {(Dt) zur Gesamtschwingung besteht aus dtx partikuldren Losung (V-252)
Xp (t) = A • sin {(Dt ~ cp)
und bescheibt eine ungeddmpfte Schwingung mit der Kreisfrequenz w des Erregers. Mit anderen Worten: Das schwingungsfahige mechanische System wird durch die periodische auBere Kraft F[t] — F^ - sin {(Dt) zu einer harmonischen Schwingung erregt oder „gezwungen" (Bild V-34). Einen solchen Schwingungsvorgang bezeichnet man daher als erzwungene Schwingung. XI i ^(f)=As\T\((jJf-^)
A-
(piuj /
\
/
-A-
^
^
Bild V-34 „Stationarer" Beitrag der inhomogenen Schwingungsgleichung zur Gesamtlosung (erzwungene Schwingung)
Nach der Einschwingphase ist der „flUchtige" Anteil x o (0 nahezu verschwunden {x 0 (0 ~ 0 fur groBes t) und die Gesamtschwingung x {t) besteht nur noch aus der „stationdren'' Losung Xp {t): x{t) = xo{t) -\- Xp{t) ^ Xp{t) ^ A ' sin {(Dt - cp)
(V-253)
Das mechanische System schwingt jetzt ungeddmpft mit der Kreisfrequenz co des Erregers. Schwingungsamplitude A und Phasenverschiebung^"*^ cp sind dabei noch frequenzahhdngige GroBen: A = A {(D) und (^ — (p{(o). In den physikalischtechnischen Anwendungen wird die Abhangigkeit der GroBen A und (p von der Erregerkreisfrequenz (D als Frequenzgang bezeichnet. 14)
Cp ist die Phasenverschiehung zwischen dem Erregersystem und der stationaren Losung Xp{t).
4 Anwendungen
525
Frequenzgang der Amplitude Wir diskutieren zunachst den Frequenzgang der Amplitude. Nach (V-246) gilt dabei: ^^
A {(D) =
(V-254)
Diese Funktion, auch Resonanzfunktion genannt, hat im statischen Fall [o) = 0) den Wert (V-255)
A(w = Q)=-^ = ^ mco^ ^
Sie besitzt auBerdem ein Maximum und zwar dort, wo der im Nenner unter der Wurzel stehende Term T{w) - {wl - coY
+ 4(32(^2
(V-256)
seinen kleinsten Wert annimmt. Mit den Hilfsmitteln der Differentialrechnung bestimmen wir nun das Minimum dieser Zielfunktion T[a)). Zunachst bilden wir die benotigten Ableitungen: T'[(D)
=
T"{(D)
= 4{a)^ - (0I + 26^) + 4(0 -2(0 = 4{3a)^ - ^ 0 + 2(3^)
2{(DI
- a)^){-2(o)
+ ^6^0) = Aa){w^ - ^ 0 + ^^^)
(V-257) (V-258)
Aus der notwendigen Bedingung T' {(o) = 0 folgt dann^^^: 4a){(o^ - (ol + 26^) = 0 (D^ - 0)1 + 26^ =^
^
(Dr = y ^ ^ ^ g " ^ ^
(V-259)
Diesen Wert setzen wir in die 2. Ableitung ein und erhalten: T"{(D = (Dr) = 4[3{(Dl-2d^)
- OJI + 26^] = 8{(Dl-2d^)
> 0
(V-260)
An der Stelle co = co r liegt demnach das Minimum der Zielfunktion T {(o) und damit zugleich das Maximum der Amplituden- oder Resonanzfunktion A {co). Die Kreisfrequenz (Or heiBt Resonanzkreisfrequenz. Sie ist (bei vorhandener Dampfung) stets kleiner als (D d und o) 0: 1-26^
< (Od = ^0)1 - (52 < a>o
(V-261)
Das mechanische System schwingt also mit grofitmoglicher Amplitude, wenn die Erregerkreisfrequenz (o mit der Resonanzkreisfrequenz (Or Ubereinstimmt: co = cor. Diesen Sonderfall bezeichnet man als ResonanzfalL Die Schwingungsamplitude betragt dann: Am..=A{(D^ajr)= 2md-
^' J(ol~d^
^^) Es kommen fiir oj nur positive Werte in Frage.
- ^ ^" 2md(0d
(V-262)
V Gewohnliche Differentialgleichungen
526
Mit weiter zunehmender Erregerkreisfrequenz w nimmt die Schwingungsamplitude A dann wieder ah und strebt fiir a> ^ oo gegen den Wert 0. Das System ist dann nicht mehr in der Lage, den raschen Anderungen der auBeren Kraft zu folgen. BildV-35 zeigt den Verlauf der Amplituden- oder Resonanzfunktion A — A{a)). Man bezeichnet diese Kurve daher auch als Resonanzkurve.
Resonanzkurve A=A(UJJ
Resonanzstelle Wr
Bild V-35 Frequenzgang der Schwingungsamplitude bei einer erzwungenen Schwingung (Resonanzkurve)
Bild V-36 Frequenzgang der Phasenverschiebung bei einer erzwungenen Schwingung
4 Anwendungen
527
Frequenzgang der Phasenverschiebung Wir beschaftigen uns nun mit der Frequenzabhdngigkeit der Phasenverschiebung cp. Aus der Beziehung (V-247) folgt zunachst, daB die erzwungene Schwingung stets der Erregerschwingung urn den Phasenwinkel cp hinterher eilt, wobei q) zwischen 0 und 7t liegt. Wir erhalten den in Bild V-36 skizzierten typischen Kurvenverlauf fiir den Frequenzgang cp = cp{a)). \m statischen ¥di\\ {co = 0) ist ^ = 0, fiir co ^ WQ ist cp = 71 /2. Bei hohen Kreisfrequenzen {co ^ oo) schwingen Erreger und System (Feder-Masse-Schwinger) nahezu im Gegentakt {cp ^ jx). Wir fassen diese wichtigen Aussagen wie folgt zusammen:
528
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Anmerkungen (1)
BQI fehlender Dampfung [b — 0 und daher auch 6 = 0) ist oj^ = COQ. Der Resonanzfall tritt jetzt ein, wenn die Kreisfrequenz co des Erregers mit der Eigenkreisfrequenz (OQ des (ungedampften) mechanischen Systems iibereinstimmt, d. h. also CO = (Or = 0)0 gilt. Die Amplitudenfunktion wirddurchdie Gleichung A («) =
, f" ^, m\a)^ — a>^ I
(a> ^ 0)
(V-269)
beschrieben. Der Verlauf der Resonanzkurve ist in BildV-37 dargestellt. Im Resonanzfall kommt es dabei zur sog. Resonanzkatastrophe: Das mechanische System schwingt jetzt mit beliebig grofier Amplitude, es kommt zur Zerstorung des Systems. (2)
Die Ergebnisse lassen sich auch auf starker gedampfte Systeme iibertragen. Nach den Ausflihrungen im vorherigen Abschnitt verschwinden namlich die Losungen der homogenen Gleichung mit der Zeit. Die partikuldre Losung der inhomogenen Gleichung fiihrt fiir alle drei Schwingungstypen zur erzwungenen Schwingung (V-265). Man beachte jedoch, da6 die Resonanzkurven mit zunehmender Dampfung flacher werden und da6 sich ihr Maximum (Resonanzfall) nach links, d. h. in den Bereich kleinerer Kreisfrequenzen verschiebt (Bild V-38). Fiir 6 ^ (Oo/y/2 besitzt die Resonanzkurve iiberhaupt kein Maximum mehr!
4 Anwendungen
529
Resonanzkur ve A = A (w)
Bild V-37 Resonanzkurve bei fehlender Dampfung
Bild V-38 Verlauf der Resonanzkurve ftir verschiedene Dampfungsgrade
530
V Gewohnliche Differentialgleichungen
4.2 Elektrische Schwingungen 4.2.1 Schwingungsgleichung eines elektrischen Reihenschwingkreises Ein elektrischer Reihenschwingkreis besteht nach Bild V-39 aus einem ohmschen Widerstand R, einem Kondensator mit der Kapazitat C und einer Spule mit der Induktivitat L in Reihenschaltung.
Bild V-39 Elektrischer Reihenschwingkreis
Wir fuhren noch die folgenden zeitabhdngigen GroBen ein: Ua = wfl(0 •
^^^ auBen angelegte Spannung
UR = UR{t):
Spannungsabfall am ohmschen Widerstand
uc = uc{t)'.
Spannungsabfall am Kondensator
UL = w L (0 • Spannungsabfall an der Spule (Induktivitat) q — q{t): Ladung des Kondensators / = / [t):
Im Reihenschwingkreis flieBender Strom
Nach dem 2. Kirchhojfschen Gesetz (Maschenregel^^^) ist dann: UL -h UR -\- Uc — Ua = ^
Oder
(V-270)
UL ^ UR -[- uc = Ua
Fiir die Teilspannungen WL, UR und uc gelten dabei folgende Beziehungen: UL = L —- (Induktionsgesetz) at
(V-271)
uj^ = Ri
(V-272)
(Ohmsches Gesetz)
Uc =" -^ q
(Kondensatorgleichung)
(V-273)
Gleichung (V-270) geht dann iiber in: L-^ + Ri + - q = Ua at C 16)
Maschenregel: In jeder Masche ist die Summe der Spannungen gleich Null.
(V-274)
4 Anwendungen
531
Wir differenzieren diese Gleichung noch nach der Zeit t und beriicksichtigen, daB definitionsgemaB / = —— ist: at ^ — + ^ X + ^ ' = ^ (V-275) dt^ dt C dt ^ ^ Vor uns liegt jetzt eine inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ftir die Stromstarke / = i{t). Sie beschreibt die elektrische Schwingung in einem Reihenschwingkreis und wird daher als Schwingungsgleichung eines Reihenschwingkreises bezeichnet. Diese Differentialgleichung laBt sich auch in der Form d^i
^ . di + 2(5 - - +
dt^
dt
9 . 1 =~ L
dUa dt
OJU
(V-276)
'
darstellen. Dabei ist d = —
und
(DQ
--
1
\fTc.
(V-277)
Die Bezeichnungen sind die gleichen wie bei einem mechanischen Schwingkreis: 6:
Dampfangsfaktor oder Ahklingkonstante
CO 0: Eigen- oder Kennkreisfrequenz Ein direkter Vergleich mit der mechanischen Schwingungsgleichung^^^ X + 2dx + a)lx = ^
(V-278) m zeigt, daB die Differentialgleichung des elektrischen Reihenschwingkreises vom gleichen Typ ist. In beiden Fallen wird die Schwingung durch eine inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten vom allgemeinen Typ y^2dy^wly=f{t)
(V-279)
beschrieben. Wir stellen die Eigenschaften beider Schwingkreise einander gegeniiber:
^^^ F (i) ist die von auj^en auf das mechanische System einwirkende Kraft.
532
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Der elektrische Reihenschwingkreis ist somit das elektrische Analogon des mechanischen Schwingkreises (Modell: Feder-Masse-Schwinger, haufig auch Federpendel genannt). AUe Aussagen iiber den mechanischen Schwingkreis gelten daher sinngemaB auch flir den elektrischen Schwingkreis. Prinzipiell gesehen besteht somit kein Unterschied zwischen einer mechanischen und einer elektrischen Schwingung. Wir fassen wie folgt zusammen:
Anmerkung Wie bei den mechanischen Schwingungen wird auch hier zwischen einer freien und einer erzwungenen, einer ungeddmpften und einer geddmpften Schwingung unterschieden.
4 Anwendungen
533
4.2.2 Freie elektrische Schwingung Die freie elektrische Schwingung eines Reihenschwingkreises wird durch die homogene lineare Differentialgleichung d^i di + 25 — + (Op dt^ dt ^ 2
•
0
(V-283)
beschrieben. 1st kein ohmscher Widerstand vorhanden, d. h. ist R = 0 und somit auch (3 = 0, so erhalten wir eine ungeddmpfte elektrische Schwingung (Bild V-40). /•
i
i i(t)=C%\n(UJQf-^ip)
c-
4
/
/
/
/
/
ip/ujo
t
-c»»
•^
Bild V-40 Zeitlicher Verlauf einer ungedampften elektrischen Schwingung Bei vorhandener Ddmpfung, d. h. fiir i? 7^ 0 und somit ( 5 / 0 , miissen wir wie bei den mechanischen Schwingungen drei mogliche Falle unterscheiden: 1. Bei schwacher Ddmpfring (5 < o^o) erhalten wir eine geddmpfte Schwingung (Schwingungsfall; Bild V-41). / I
n^,-
^—^^^^i(t)
= C^~
^s'mfuj^f-f-ip^)
^^
Bild V-41 Zeitlicher Verlauf einer gedampften elektrischen Schwingung (Schwingungsfall)
"
534
V Gewohnliche Differentialgleichungen
2. Fiir 6 = (OQ tritt der aperiodische Grenzfall ein (Bild V-42).
Bild V-42 Zeitlicher Verlauf einer elektrischen Schwingung im aperiodischen Grenzfall fiir verschiedene Anfangsbedingungen (vgl. hierzu auch Bild V-28)
3. Bei starker Ddmpfung [d > COQ) verlaufen die elektrischen Schwingungen aperiodisch (Kriechfall', Bild V-43).
Bild V-43 Zeitlicher Verlauf einer aperiodischen elektrischen Schwingung fiir verschiedene Anfangsbedingungen (vgl. hierzu auch Bild V-24)
4 Anwendungen
535
Wir stellen abschlieBend die verschiedenen Schwingungstypen einer freien elektrischen Schwingung mit ihren allgemeinen Losungen wie folgt zusammen:
536
V Gewohnliche Differentialgleichungen
4.2.3 Erzwungene elektrische Schwingung Der in Kap. Ill, Abschnitt 3.2.3 behandelte Wechselstromkreis in Reihenschaltung kann als ein Reihenschwingkreis aufgefaBt werden, der durch eine auBere Wechselspannung zu einer erzwungenen elektrischen Schwingung erregt wird. Wir werden nun zeigen, daB die Losung der Schwingungsgleichung zu den bereits bekannten physikalischen Gesetzen flihrt. Die von auBen angelegte sinusformige Wechselspannung (Erregerspannung) Ua{t) = it ' sin {(Dt)
(V-293)
schreiben wir in der fur den Losungsweg bequemeren komplexen Form Ua{t) = u • eJ^'
(V-294)
{ua = Im (ua))- Die Schwingungsgleichung (V-281) lautet dann (in komplexer Schreibweise):
Die zugehorige homogene Gleichung liefert bei angenommener schwacher Ddmpfung {d < coo) den Beitrag io (0 = C - e-^'
'Sinicodt
(V-296)
+ (pd)
zur Gesamtschwingung {(Od = J^^l - d^; C > 0 ; 0 ^ q)d < 2jt). Es handelt sich hierbei um eine geddmpfte Schwingung, die nach einer gewissen Einschwingphase keine nennenswerte RoUe mehr spielt und daher unberiicksichtigt bleiben kann (sog. „fluchtige" Losung). Eine partikuldre Losung der inhomogenen Schwingungsgleichung (V-295) gewinnen wir mit Hilfe des komplexen Losungsansatzes ip{t) = i- eJ(^^-^)
(V-297)
dessen Imagindrteil dann zur „stationaren" Losung ip (t) ftihrt: (V-298)
ip (t) = Im {ip (0) = Im [/ • eJ(^^-^)] = / • sin {cot - cp) Mit dem Ansatz (V-297) und den beiden Ableitungen ^ = j a > r eJ(^^-^), dt
- ^ = dt^
-w^i-
eJ(^^-^^
(V-299)
gehen wir nun in die inhomogene Schwingungsgleichung (V-295) ein: (o^i- Q^i^'-^) -^]2da)i-
eJ(^^-^^ +(oli'
e^^^^"^) = j ^ -
e^"' (V-300)
4 Anwendungen
537
Nach einigen elementaren Umformungen^^'> erhalten wir schlieBlich: (V-301)
Li
Wir multiplizieren diese Gleichung noch mit - j und beachten dabei, daB j ^ = - l ist:
Li Ida) + ]{(o 2 -
..2^ _
OJQ)
"_^ .
i^
(V-302)
Li
Auf der linken Seite dieser Gleichung steht eine komplexe Zahl in kartesischer Schreibweise mit dem Realteil Idw und dem Imaginarteil o)^ - col, rechts steht uco und dem Argudieselbe komplexe Zahl in exponentieller Form mit dem Betrag —;: ment (Winkel) cp (BildV-44). ^^
\n\(z)\
\
w^-w^o ^^^-^^
Bild V-44 26 U)
R^(z)
Zwischen der kartesischen Form und der Exponentialform bestehen dabei nach Bild V-44 die Beziehungen
co^ - wiy
+46^0)^
(V-303)
(folgt aus dem Satz des Pythagoras) und tan (p
0)"- — 0)^
Ibo)
(V-304)
^^) Der Losungsweg ist der gleiche wie beim mechanischen Analogon (vgl. hierzu Abschnitt 4.1.4).
V Gewohnliche Differentialgleichungen
538
Wir losen diese Gleichungen nach / bzw. cp auf und erhalten schlieBlich unter Be1 R — - und 6 = —— die aus der Wechselstromlehre berlicksichtigung von CDQ LC 2L kannten Beziehungen I
=
LJ{CO^
uco - 0)2)2 + 4 5 2 ^ 2
(V-305) i?2 + [wL
wC
und ^CD'
arctan
cot 2da)
coL arctan
(oC R
(V-306)
Gleichung (V-305) ist dabei das Ohmsche Gesetz der Wechelstromtechnik mit den Scheitelwerten u und / von Spannung und Strom und dem (reellen) Scheinwiderstand Z = Wi?2 + {(joL
1 coC
(V-307)
Die Schwingungsgleichung (V-295) besitzt somit nach einer bestimmten Einschwingphase die stationdre Losung i{t) - /o (0 + h (0 ~ ip (0 = i ' sin {cot - cp)
(V-308)
wobei die frequenzabhdngigen GroBen / (Scheitelwert des Stroms) und cp (Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung) nach Gleichung (V-305) bzw. (V-306) berechnet werden.
Bild V-45 Frequenzgang des Scheitelwertes der Stromstarke bei einer erzwungenen elektrischen Schwingung (Resonanzkurve)
4 Anwendungen
539
Bild V-45 zeigt den Frequenzgang des Scheitelwertes i. Fiir oj = ojo = —==^ tritt \JLC
dabei Resonanz ein, der Scheitelwert des Wechselstroms erreicht dann seinen groj^ten Wert. Die Abhangigkeit der Phasenverschiebung cp von der Kreisfrequenz w ist in Bild V-46 dargestellt. Fiir o) < (D{) eilt der Strom der Spannung in der Phase voraus, fiir (^ > CO 0 ist es umgekehrt. Im Resonanzfall o) = COQ sind Strom und Spannung in Phase [cp — 0). Wir fassen die Ergebnisse wie folgt zusammen:
540
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Bild V-46 Frequenzgang der Phasenverschiebung bei einer erzwungenen elektrischen Schwingung
5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten KoefGzienten 5.1 Definition einer linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Die Funktion g (x) wird als Storfunktion oder Storglied bezeichnet. Fehlt das Storglied, d. h. ist g (x) = 0, so heiBt die lineare Differentialgleichung homogen, sonst inhomogen. Die Koeffizienten AQ, «i, • • , « « - ! sind reelle Konstanten.
540
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Bild V-46 Frequenzgang der Phasenverschiebung bei einer erzwungenen elektrischen Schwingung
5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten KoefGzienten 5.1 Definition einer linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Die Funktion g (x) wird als Storfunktion oder Storglied bezeichnet. Fehlt das Storglied, d. h. ist g (x) = 0, so heiBt die lineare Differentialgleichung homogen, sonst inhomogen. Die Koeffizienten AQ, «i, • • , « « - ! sind reelle Konstanten.
5 Lineare Differentialgleichungen n-icr Ordnung mit konstanten Koeffizienten •
541
Beispiele Die nachfolgenden Differentialgleichungen sind linear und besitzen konstante Koeffizienten: y^^^ — 2y'^ -\- y' — 2y = 0
(3. Ordnung, homogen)
y{4-) _^yff' ^i^yf' _y^ = Q
(4. Ordnung, homogen)
y^^^ -\- 3 y'^ — 4y = sin X
(4. Ordnung, inhomogen)
•
5.2 Integration der homogenen linearen Differentialgleichung Ahnlich wie bei einer homogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung laBt sich auch bei einer homogenen hnearen Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten vom Typ >;(") + a„_ 1 • y^"-1> + ... + ai • };' + «o • 3^ = 0
(V-314)
die allgemeine Losung y = y{x) als Linearkombination von diesmal genau n Basislosungen oder Basisfunktionen darstellen. Darunter verstehen wir n Losungen der Differentialgleichung mit folgender Eigenschaft:
Anmerkungen (1) Die Wronski-Determinante ist n-reihig. Ihre Zeilen werden der Reihe nach aus den n Losungsfunktionen und ihren Ableitungen 1. Ordnung, 2. Ordnung, ..., (n — 1)ter Ordnung gebildet. Man beachte, daB der Wert der Wronski-Determinante im allgemeinen noch von der Variablen x abhangen wird.
542
V Gewohnliche Differentialgleichungen
(2)
Es geniigt zu zeigen, daB die Wronski-Determinante an einer Stelle XQ von Null verschieden ist.
(3)
Die Basislosungen J^i, 3^2' •••'3^n der homogenen linearen Differentialgleichung (V-315) werden auch als linear unabhdngige Losungen bezeichnet. Dies bedeutet (wie bei Vektoren), daB die lineare Gleichung C i - y i + C2-y2 + --- + Q - y „ = 0
(V-317)
nur trivial, d. h. fur C^ = C2 = ... = C„ = 0 erfiillbar ist. (4)
Losungen, deren Wronski-Determinante verschwindet, heiBen dagegen linear ahhdngig.
In Analogie zu den homogenen linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten gilt auch hier fiir die Losungsmenge der Differentialgleichung die folgende Aussage:
Anmerkung Die der allgemeinen Losung (V-319) zugrunde liegenden Basislosungen bilden eine sog. Fundamentalbasis oder ein Fundamentalsystem der homogenen Differentialgleichung (V-318). •
Beispiel Die homogene hneare Differentialgleichung 3. Ordnung y'^' -2y'
+ / -2y
=0
besitzt u.a. die folgenden Losungen: };i=sinx,
};2 = cosx,
3^3 = e^^
5 Lineare Differentialgleichungen ^-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
543
Wir fiihren den Nachweis fur die erste Funktion. Mit y^ = sin X, y[ = cos x,
y'l = — sin x und
y^^' = — cos x
folgt namlich durch Einsetzen in die Differentialgleichung: — cos X — 2 • (— sin x) + cos x — 2 • sin x = 0 — cos X + 2 • sin X + cos X — 2 • sin X = 0 0=0 Ebenso zeigt man, daB die beiden iibrigen Funktionen Losungen der Differentialgleichung sind. Bilden die drei Losungen eine Fundamentalhasis der Differentialgleichung? Um diese Frage zu beantworten, bestimmen wir den Wert der Wronski-Determinante:
iiy2iy3)
=
sin X cos X — sinx
= Q2X
.
cos X — sinx — cosx
sin X cos X — sin X
e^-^ 2 • e^^^ 4'e^^
cos X 1 — sin X 2 — cos X 4
= e ^^ (— 4 • sin^ x — 2 • sin x • cos x — cos^ x — — sin^ X + 2 • sin X • cos x — 4 • cos"^ x) = = e ^^ (— 5 • sin^ x — 5 • cos^ x) = = - 5 • e^^(sin^x + cos^ x) = — 5 • e^^ ^ 0
Wegen Wiy^; y2', y^) T^ 0 sind die Losungen linear unabhdngig und bilden somit eine Fundament alhasis der Differentialgleichung. Die allgemeine Losung ist daher als Linearkombination der drei Basisfunktionen wie folgt darstellbar: y = Cj • }^i + C2 • 3^2 + ^3 • ^3 = ^1 * sin X + C2 • cos X + C3 • e^^ (CI,C2,C3GR).
Eine Fundament alhasis der homogenen Differentialgleichung (V-318) laBt sich allgemein durch einen Losungsansatz in Form einer Exponentialfunktion vom Typ y = e'
mit dem noch unbekannten Parameter X gewinnen.
(V-320)
544
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Mit diesem Ansatz und den Ableitungen y' = X' e^^,
y" = X^ ' e^^,
... , y^") = }!" • e^^
(V-321)
gehen wir dann in die Differentialgleichung (V-318) ein und erhalten eine Bestimmungsgleichung fur den Parameter 1: r • e^^ + a„_i • A"-i • e^^ + ... + ai • ;i • e^^ + ao • e^^ = 0 | : e^^ A" + a „ _ i - A " ~ i + . . . + ai -^ + (30 = 0
(V-322)
Diese als charakteristische Gleichung bezeichnete algebraische Gleichung n-ten Grades besitzt nach dem Fundamentalsatz der Algebra genau n reelle oder komplexe Losungen Ai, /I2, ..., >l„. Die Basislosungen selbst hangen dabei noch von der Art dieser Losungen ab, wobei die folgenden drei Falle zu unterscheiden sind:
1. Fall: AUe Losungen sind reell und voneinander verschieden In diesem Fall erhalten wir n verschiedene Losungen in Form der Exponentialfunktionen y^^e^i^,
};2 = e ^ 2 ^ ,
... ,
(V-323)
y^ = Q^nX
Sie bilden ein Fundamentalsystem der homogenen Differentialgleichung (V-318). Die allgemeine Losung dieser Differentialgleichung ist dann als Linearkombination y = Ci • e^i^ + C2 • e^2^ + ... + Q • e^"^
(V-324)
dieser Basislosungen darstellbar. 2. Fall: Es treten mehrfache reelle Losungen auf Ist X = oc eine r-fache Losung der charakteristischen Gleichung (V-322), also etwa (V-325)
X^=X2 = X2, = ... = K = ^ so gehoren hierzu genau r linear unabhdngige Losungen, die wie folgt lauten: j;^=e«^,
y2 = x-Q'''',
};3 = x2-e«^,
... , y, - x**"^ • e«^
(V-326)
Sie gehen mit den konstanten Faktoren C^, C2, C3, ..., Q in die (aus alien Basisfunktionen gebildete) allgemeine Losung ein und konnen daher auch wie folgt zusammengefaBt werden: Ci • yi + C2 • ^2 + Q • ^3 + ... + Q • y^ = = Ci • e«^ + C2 • X • e^^ + C3 • x^ • e^^ + ... + C, • x**-! • e^^ = = (Ci + C2 • X + C3 • x^ + ... + C, • x'-^) ^ ^ ' Polynom vom Grade r — 1
• e^^
(V-327)
5 Lineare Differentialgleichungen n-lQr Ordnung mit konstanten Koeffizienten
545
Kegel: 1st a eine r-fache Losung der charakteristischen Gleichung (V-322), so ist in dem zugehorigen Beitrag C • e'^^ die Konstante C durch eine Polynomfunktion vom Grade r — 1 zu ersetzen. 3. Fall: Es treten konjugiert komplexe Losungen auf eine (einfache) konjugiert komplexe Losung der charakteristischen Ist l^j2 = OL Gleichung (V-322), so erhaUen wir als zugehorige Basisfunktionen zunachst die beiden komplexen Exponentialfunktionen = Qi^ + JOj)x _ QCCX . QJCDX
y^
=Q^l^
y^
= Q^2X _ g ( a - j c o ) x = QCCX . ^ -JCDX
(V-328)
und (V-329)
Unter Verwendung der Eulerschen Formel ^ =
j 'sincp
(V-330)
lassen sich diese Funktionen auch wie folgt schreiben {(p = cox): y^ = e^^ . e+J^^ = e'^^ [cos (cox) 4-j • sin (cox)]
(V-331)
y^ = Q^^ • e~J^^ = e'^^ [cos (cox) — j • sin (cox)] Wie bei den homogenen hnearen Differentialgleichungen 2. Ordnung gilt auch hier: Ist y{x) = u{x) -\- i ' V(x) eine komplexwertige Losung der homogenen Differentialgleichung (V-318), so sind Realteil u{x) und Imagindrteil v{x) selbst (reelle!) Losungen dieser Differentialgleichung. Daher sind die reellen Funktionen yi = Q^^ • sin (cox)
und
^2 = ^^^ ' ^^^ (cox)
(V-332)
(linear unabhdngige) Losungen der homogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten und somit Basisfunktionen dieser Differentialgleichung. Sie liefern in der allgemeinen Losung den folgenden Beitrag: Q • }^i + ^2 ' }^2 = Q • ^^^ ' si^ (^-^) + ^2 " ^^^ ' ^os (cox) = = e^^ [Ci • sin (ojx) + C2 • cos (cox)]
(V-333)
Tritt das konjugiert komplexe Losungspaar a j co jedoch mehrfach auf, also etwa r-fach, so sind die beiden Konstanten C^ und C2 im Ansatz (V-333) wie im reellen Fall durch Polynomfunktionen vom Grade r — 1 zu ersetzen.
546
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Wir fassen diese Ergebnisse wie folgt zusammen:
5 Lineare Differentialgleichungen ^z-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
547
Beispiele (1)
y'^^ -~4y'' -y'
+ 4y = 0
(3. Ordnung)
Charakteristische Gleichung mit Losungen: ;i^ -41^
-X-^4
i2 = l.
= 0 => 1^ = -1,
^3=4
(1. Fall)
Fundamentalbasis der Differentialgleichung:
Allgemeine Losung der Differentialgleichung: y = Q • e~^ + C2 • e^ + C3 • e^^^
(2)
y^^) - 6y"' + 12y^^ - lOy^ + 3); = 0
( Q , C2, C3 e R )
(4. Ordnung)
Charakteristische Gleichung mit Losungen: ^'^-6yl3 + 12yl^-10^ + 3 = 0 =^ li^2/3 = l' Fundament albasis der Differ entialgleichung: yi=e-^,
y2 = X'e^,
y^ = x^'Q^,
J4 = e^^
Allgemeine Losung der Differ entialgleichung: y = ( d + C2 • X + C3 • x^) • e-^ + C4 • e^^ (Ci,C2, C3,C4eIR)
^4 = 3 (2. Fall)
548
V Gewohnliche Differentialgleichungen (3)
y ^^> + 3 y'' - 4 }; = 0
(4. Ordnung)
Charakteristische Gleichung mit Losungen: ^^^ + 3 ^ 2 - 4 = 0 =^ i i = - 1 , ^2=^1'
h/4.=
(3. Fall) Fundamentalbasis der Differentialgleichung: yi=e~^,
y2 = Q^, y3 = sin(2x), j 4 = cos(2x)
Allgemeine Losung der Differ entialgleichung: y = Ci • e~^ + C2 • e^ + C3 • sin (2x) + C4 • cos (2%) (Ci,C2,
C3,C4GR)
5,3 Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung Auch bei einer inhomogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten vom Typ j^«> + a„_i • y(«-i) + ... + ai • y' + ao • y = ^(x)
(V-342)
laBt sich die allgemeine Losung y = y[x) als Summe aus der allgemeinen Losung yo = >^o W ^^^ zugehorigen homogenen Differentialgleichung und einer (beliebigen) partikuldren Losung y^ = yp{x) der inhomogenen Differentialgleichung darstellen: y{x) = yoix) + yp{x)
(V-343)
(Losungsmethode: „Aufsuchen einer partikuldren Losung"). Zunachst wird dabei die zugehorige homogene Differentialgleichung gelost. Wie dies geschieht, haben wir bereits im vorangegangenen Abschnitt ausfuhrlich dargelegt. Dann wird mit Hilfe eines geeigneten Losungsansatzes, der im wesenthchen vom Typ der Storfunktion g (x) abhangt, eine partikuldre Losung der inhomogenen Differentialgleichung bestimmt und zur allgemeinen Losung der homogenen Differentialgleichung addiert. Die nachfolgende Tabelle 3 enthalt geeignete Losungsansdtze yp = ypix) fur einige in den Anwendungen besonders haufig auftretende Storglieder g{x).
5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
549
Tabelle 3: Losungsansatz fiir eine partikuldre Losung yp{x) der inhomogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten vom Typ y^"^ + a„_ 1 • y^"~^^ + ... + a^ •};' + ao • y = ^(x) in Abhangigkeit vom Typ der Storfunktion g (x)
Anmerkungen zur Tabelle 3 (1) Der jeweilige Losungsansatz gilt auch dann, wenn die Storfunktion zusatzlich noch einen konstanten Faktor enthalt.
550
V Gewohnliche Differentialgleichungen
(2)
Dieimjeweiligen Losungsansatz y^ enthaltenen Parameter sind so zu bestimmen, daB diese Funktion eine (partikulare) Losung der vorgegebenen inhomogenen Differentialgleichung darstellt. Dies fiihrt stets zu einem eindeutig losbaren Gleichungssystem fiir die im Losungsansatz befindlichen Stellparameter (bei richtig gewahltem Losungsansatz nach Tabelle 3).
(3)
Besteht die Storfunktion aus mehreren (additiven) Storgliedern, so erhalt man den Losungsansatz fiir yp als Summe der Losungsansatze fiir die einzelnen Storglieder. Beispiel: Fur die Storfunktion g{x) = g^ (x) + ^2 W l^^tet der Losungsansatz: yp = ypi + yp2
(v-344)
Dabeisind y^^ und yp2 die Losungsansatze fiir die Einze/g/ze^^r ^i(x) bzw. ^2 W ^^^^ Tabelle 3. (4)
1st die Storfunktion ein Produkt aus mehreren Funktionen (auch „Storfaktoren" genannt), so erhalt man in vielen (aber leider nicht alien) Fallen einen geeigneten Losungsansatz fiir die gesuchte partikulare Losung, indem man die aus Tabelle 3 entnommenen Losungsansatze der einzelnen Storfaktoren miteinander multipliziert. Beispiel: Fiir die Storfunktion ^(x) = ^^(x) • ^2 W versuchen wir also einen Losungsansatz in der Produktform yp = ypi • yp2
(v-345)
Dabei sind y^^ und yp2 die Losungsansatze fiir die Storfaktoren g^ (x) und ^2 W ^^^^ Tabelle 3. Wir fassen das Losungsverfahren wie folgt zusammen:
5 Lineare Differentialgleichungen n-tQV Ordnung mit konstanten Koeffizienten •
551
Beispiele (1)
y''' - 3y' + 2y = 2 - s m x + COSX
Wir losen zunachst die zugehorige homogene Differentialgleichung /'' -3/
^2y
=0
Die Losungen der charakteristischen Gleichung A^-3A + 2 = 0 sind Xi = — 2 und /I2/3 = 1. Die Fundamentalbasis besteht daher aus den drei Losungen (Basisfunktionen) yi=Q~'^^,
y2 = ^^
und
^3 = x • e-^
Durch Linearkombination erhalten wir hieraus die allgemeine Losung der homogenen Differentialgleichung in der Form yo = Ci • e - 2 - + (C2 + C3 • X) • e-
(Cj, C2, C3 e IR)
Bin partikuldres Integral der inhomogenen Differentialgleichung gewinnen wir nach Tabelle 3 durch den Losungsansatz yp = A ' sin X -i- B • cos x (Begriindung: ^ = l ; j ^ = j l = j Gleichung). Mit
ist keine Losung der charakteristischen
yp = A • sin X + B ' cos x,
yp = A- cos x — B - sinx
yp = — A ' sinx — B ' cos x,
yp' = — A - cos x -\- B • sinx
folgt durch Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung: — A • cos X + B • sin X — 3 (^ • cos x — 5 • sin x) + + 2 (^ • sin X + 5 • cos x) = 2 • sin x + cos x — A • cos X + 5 • sin X — 3 ^ • cos x + 3 J5 • sin x + + 2 ^ • sin X + 2 5 • cos x = 2 • sin x + cos x Wir fassen noch die Sinus- bzw. Kosinusterme zusammen: (2yl + 45) • sinx + (—4^1 + 2B) • cosx = 2 • sinx + cos X Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir hieraus das lineare Gleichungssystem 2A + 4B = 2 ~4A + 2B= 1 mit der eindeutigen Losung ^ = 0 und B = 1/2.
552
V Gewohnliche Differentialgleichungen Damit ist 1 yp = -' 2 cos X eine partikuldre Losung und 1
y = yo -^ yp = ^ 1 ' ^ ^^ + (^2 + ^3 • x) • e^ +2 ^ • cos x die allgemeine Losung der inhomogenen linearen Differentialgleichung. (2)
y^'^^ + l/''
-3/'
^lOx-Q^""
Wir losen zunachst die zugehorige homogene Differentialgleichung yW^2/''
-3y'
=0
Die charakteristische Gleichung X'^ + lP
-3X^
=0
wird durch /ii/2 = 0> ^3 = ^ ^^^ A4 = — 3 gelost. Die allgemeine Losung der homogenen Differentialgleichung lautet damit: y^ = Ci + C2 • X + C3 • e-^ + C4 • e"^^ (Ci,C2, C 3 , C 4 G 1 R ) .
Wir beschaftigen uns nun mit der Integration der inhomogenen Differentialgleichung. Einen geeigneten Losungsansatz fiir eine partikuldre Losung erhalten wir wie folgt. Die Storfunktion g{x) ist das Produkt zweier Funktionen g^{x) und^2W^(x) = 20x • e^^ = g^ (x) • ^2 W
Fiir die beiden „Storfaktoren" ^i(x) = 20x und g2{^) = ^^^ entnehmen wir aus Tabelle 3 die Losungsansdtze ypi = Ax -\- B
und
yp2 = ^ ' ^'^^
Der gesuchte Losungsansatz 3;^ ist dann das Produkt aus j ^ j und ^^2' yp = ypi'yp2
= iAx + B)'C'
e^^ = (^Cx + EC) • e^^ = a
b
= {ax + b)-Q^'' Die verbliebenen Parameter a = AC und b = EC werden jetzt so bestimmt, daB diese Funktion die inhomogene Differentialgleichung lost. Dazu benotigen wir zunachst die Ableitungen des Losungsansatzes bis zur 4. Ordnung.
5 Lineare Differentialgleichungen n-tQY Ordnung mit konstanten Koeffizienten
553
Sie lauten: yp = {2ax-\- a-i- 2b)-Q^"" y'p =A{ax -^ a + b)'t^'' y'^' =
A[2ax-^?>a^2b)'Q^''
Mit diesen Ableitungen gehen wir in die inhomogene Differentialgleichung ein: 16{ax + 2a + b) • e^"" + 8(2ax + 3a + 2b) • e^^ - 12(ax + a + 5)-e^^ = 20x-e2^ Wir kiirzen noch durch 4 • e^^, ordnen und fassen dann die Glieder wiefolgt zusammen: 4{ax -\- 2a -\- b) + 2(2ax -{- 3a + 2b) — 3{ax -\- a -\- b) = 5X 4ax-\-^a-\-4b-\-4ax
+
6a-{-4b-3ax-3a-3b^5x
Sax + 11a + 5b = 5x Ein Koeffizientenvergleich fiihrt uns zu dem bereits gestaffelten linearen Gleichungssystem 5a
=5
l l a + 5b = 0 mit der Losung a = 1 und b = — 2,2. Damit ist yp = (X - 2,2) • e2^ eine partikuldre und
= Ci + C2 • X + C3 • e^ + C4 • e - 3 ^ + (x - 2,2) • e^^ die allgemeine Losung der inhomogenen linearen Differentialgleichung.
5.4 Ein Eigenwertproblem: Bestimmung der Eulerschen Knicklast Bei vielen naturwissenschaftlich-technischen Problemen stoBt man auf eine Randwertaufgabe, deren Differentialgleichung noch einen gewissen freien Parameter }x enthalt. Man interessiert sich dann fiir alle diejenigen Werte des Parameters, die zu einer nicht-trivialen Losung fiihren, und bezeichnet diese Werte als Eigenwerte und die zugehorigen Losungen als Eigenlosungen oder Eigenfunktionen^^K Aus dem Randwertproblem ist dabei ein sog. Eigenwertproblem geworden. 19) Der Parameter fx kann auch in den Randbedingungen selbst auftreten. Zur Erinnerung: Eine Losung wird als trivial bezeichnet, wenn sie identisch verschwindet, also y = 0 gilt.
554
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Wir wollen jetzt an einem einfachen Beispiel aus der Festigkeitslehre zeigen, wie sich ein solches Eigenwertproblem losen laBt. Formulierung der Rand- bzw. Eigenwertaufgabe Der in Bild V-47 dargestellte homogene Stab der Lange / ist an beiden Enden gelenkig gelagert und wird durch eine in Stabrichtung angreifende (konstante) Druckkraft F belastet.
Bild V-47 Beidseitig gelenkig gelagerter Stab, belastet durch eine Druckkraft F Die sich dabei einstellende ortsabhangige Durchbiegung y = y{x) geniigt der folgenden homogenen Hnearen Differentialgleichung 4. Ordnung (vgl. hierzu Bild V-48): ^(4) j^
y^f ^Q
(O^x^l)
(V-349)
EI Darin bedeuten: E:
Elastizitdtsmodul (elastische Materialkonstante)
/:
Fldchenmoment oder Fldchentrdgheitsmoment des Stabquerschnittes
EI:
Biegesteifigkeit (Konstante)
Mit der Abkiirzung fi-^ = F/EI erhalten wir schheBlich die als Biegegleichung bezeichnete Differentialgleichung der Biegelinie in der speziellen Darstellungsform y(^) + ^2^// _ Q
(0 ^ X ^ /)
(V-350)
Bild V-48 Biegelinie des durch eine Druckkraft belasteten Stabes
Der von der einwirkenden (und zunachst behebigen) Druckkraft F > 0 abhangige Parameter fi kann dabei nur positive Werte annehmen. Da in den beiden Randpunkten des Stabes, d.h. an den Stellen x^ =0 und X2 = I keine Durchbiegungen moglich sind und
5 Lineare Differentialgleichungen ^-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
555
auch keine Momente auftreten konnen, gelten fiir die Biegelinie y = y{x) die folgenden Randbedingungen ^^^: gungen und keine Momente y'^(O) = y^'(/) = 0 J
i^ ^^^ beiden Randpunkten)
Die Losungen dieses Randwertproblems werden dabei in irgendeiner Weise noch von dem Parameter /i > 0 in der Biegegleichung (V-350) abhangen. Wir haben es daher mit einem Eigenwertproblem zu tun, mit dessen Losungen wir uns jetzt naher beschaftigen wollen. Triviale Losung der Eigenwertaufgabe Die Funktion y = y{x) = 0 ist sicher eine Losung der Biegegleichung (V-350), wie man durch Einsetzen in diese Gleichung leicht nachrechnen kann. Sie erfiillt auch sdmtliche Randbedingungen. Aus physikalischer Sicht bedeutet diese Losung, daB der Stab keinerlei Verformung erleidet. Es handelt sich also um die nicht naher interessierende triviale Losung unserer Rand- bzw. Eigenwertaufgabe (Bild V-49). Stab
y(x)^0 Bild V-49 Triviale Losung: Der Stab erfahrt keinerlei Verformung
Eigenlosungen oder Eigenfunktionen der Eigenwertaufgabe Uns interessieren jetzt ausschliefilich diejenigen Druckkrafte F, bei deren Einwirken der Stab auch tatsachlich verformt wird. Man bezeichnet diese Krafte als Eulersche Knickkrdfte oder auch Eulersche Knicklasten. Dabei gehort zu jeder Knickkraft F ein bestimmter Wert des Parameters ji sowie eine bestimmte nicht-triviale Losung y = y{x)^0 unserer Randwertaufgabe. Diese speziellen Werte des Parameters fi (bzw. der Knicklast F), fiir die man also nicht-triviale Losungen erhalt, heiBen Eigenwerte und die zugehorigen Losungen daher Eigenlosungen oder auch Eigenfunktionen. Mit der Bestimmung dieser Eigenwerte und Eigenlosungen wollen wir uns im folgenden beschaftigen. Die Biegegleichung (V-350) fiihrt zunachst auf die charakteristische Gleichung ^ 4 + ^ 2 ^2 _ ^2 (^2 ^^2^
20)
= 0
(V-352)
. . Bei geringen Verformungen ist das Moment M proportional zur 2. Ableitung der Biegelinie: M ^ y . Daher verschwindet die 2. Ableitung in beiden Randpunkten.
556
V Gewohnliche Differentialgleichungen
mit den Losungen Ai/2=0
und
^
(V-353)
Die allgemeine Losung der Biegegleichung (V-350) lautet daher: y = Q + C2 X + C3 • sin (fix) + C4 • cos (//x)
(V-354)
Mit den benotigten Ableitungen y^ = C2 -\- fiCj • cos {fix) — fiC^- sin {fix)
(V-355)
und y'^ = — fi-^ C^ • sin {fix) — fi-^ C^,- cos {fix) — = - ju^ [C3 • sin {fix) + C4 • cos {fix)]
(V-356)
erhalten wir dann aus den Randbedingungen (V-351) vier Bestimmungsgleichungen fur die unbekannten Konstanten Q bis C4: j(0)=:0 => Ci + C4 = 0
(V-357)
j;(/) = 0 => Ci + C2 / + C3 • sin {fil) + C4 • cos {fil) = 0 3;''(0) = 0 =^ -fi^C^
(V-358) (V-359)
=0
j ; ' ' (/) = 0 => - /i^ [C3 • sin {fil) + C4 • cos {fil)] = 0
(V-360)
Aus Gleichung (V-359) folgt sofort C4 = 0 (wegen fi> 0) und damit weiter aus Gleichung (V-357) auch Ci = 0. Das Gleichungssystem reduziert sich damit auf C2 / + C3 • sin {fil) = 0 ^ C3 • sin {fil) — 0
(V-361)
Durch Differenzhildung dieser Gleichungen folgt dann C2 / = 0 und somit verbleibt daher noch eine einzige Bestimmungsgleichung, namlich C3'sin(/i/) = 0
. Es (V-362)
Unser Eigenwertproblem ist daher nur dann nicht-trivial losbar, wenn C3 / 0 ist. Dies aber fiihrt zu der Gleichung sin {fil) = 0
oder
(V-363)
fil = nn
deren Losungen /i„ = y
(n = 1,2,3,...)
(V-364)
die gesuchten Eigenwerte sind. Die zugehorigen Eigenlosungen oder Eigenfunktionen besitzen damit die folgende Gestalt: yn = Jn W = Q • sin f y X j
(0 ^ X ^ /)
(n = 1, 2, 3,...). Dabei ist C3 eine (beliebige) von Null verschiedene Konstante.
(V-365)
5 Lineare Differentialgleichungen n-tQY Ordnung mit konstanten Koeffizienten Einige dieser unendlich vielen Eigenlosungen sind in Bild V-50 graphisch dargestellt.
Bild V-50 Die ersten Eigenlosungen (Eigenfunktionen) beim Eulerschen Knickfall
557
V Gewohnliche Differentialgleichungen
558
6 Numerische Integration einer Differentialgleichung Zahlreiche der in der naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen auftretenden Differentialgleichungen (insbesondere nichtlineare Differentialgleichungen) sind elementar nicht losbar, d.h. es ist nicht moglich, die Losungsfunktionen in Form von Funktionsgleichungen anzugeben. In anderen Fallen wiederum ist eine Losung der Differentialgleichung in geschlossener Form zwar grundsdtzlich erreichbar, jedoch vom Arbeits- und Rechenaufwand her zu aufwendig. Es bleibt dann noch die Moghchkeit der punktweisen Berechnung der Losungskurve unter Verwendung spezieller Ndherungsverfahren.
6.1 Numerische Integration einer Differentialgleichung 1. Ordnung 6.1.1 Streckenzugverfahren von Euler Die Aufgabe besteht darin, das Anfangswertproblem y' = / ( ^ ; y)
(V-366)
Anfangswen: y{xo) = y^
im Intervall a ^ x ^b numerisch zu losen. Zunachst unterteilen wir das Intervall in n gleiche Teile der Lange h=
b—a
(V-367)
Die GroBe h wird in diesem Zusammenhang als Schrittweite bezeichnet. Von Euler stammt das folgende, sehr anschauliche Verfahren zur punktweisen Bestimmung der Losungsfunktion an den Stellen XQ
= a, Xi = a -h h, X2 = ci -\- 2h, ..., x„ = ^
Xj^ = XQ -{- k' h
(V-368)
{k = 0, 1, ...,n)
Ausgehend vom vorgegebenen Anfangspunkt PQ = {XQ; J^Q), der auf der exakten Losungskurve y = y{x) liegt, ersetzen wir die Losungskurve im Intervall XQ ^ x ^ x^ ndherungsweise durch die Kurventangente im Punkt PQ (Bild V-51):
yi
\ exakte Losungskurve
y/^ ^0
^0-
1
Tangenfe
1 1
1 1 1
"0
^I
1 ' 1 1
y(^^)
1
[
h 1
1\
Bild V-51 X
6 Numerische Integration einer Differentialgleichung
559
Die Tangentensteigung MQ erhalt man aus der Differentialgleichung y' = fix; y), indem man fur x und y die Koordinaten des Anfangspunktes PQ einsetzt. Also ist mo
(V-369)
=f{xo;yo)
Die Gleichung der Tangente lautet daher y-yo X — XQ
(V-370)
= f{^o'.yo)
Oder (V-371)
y = yo + (^-^o)-/(-^o;)^o) An der Stelle x^ = XQ -\- h besitzt diese Tangente den Ordinatenwert
yi=yo + (^1 - -^^o) '/(^o; yo) = yo + ^ -/(^o; yo)
(V-372)
Bei geringer Schrittweite h ist y^ ein brauchbarer Ndherungswert fiir den Funktionswert y{xi) der exakten Losung an dieser Stelle: y{^i)^yi
(V-373)
=yo + ^-/(^o;}^o)
Bild V-51 verdeutlicht diesen Sachverhalt.
exakfe Ldsungskurve
Streckenzug nach Euler
Bild V-52 Streckenzugverfahren von Euler
Die ndherungsweise Berechnung der Losungskurve y = y{x) an der Stelle X2 erfolgt analog. Der Punkt P^ = (x^; y^) ist daher der Ausgangspunkt'^^\ Die Losungskurve wird dann im Intervall x^ ^ x ^ X2 durch eine Gerade ersetzt, die durch den Punkt P^ verlauft und dieselbe Steigung m^ besitzt wie die Kurventangente der Losungskurve durch Pi an dieser Stelle (Bild V-52). 21)
Man beachte, daB Pi nicht auf der exakten Losungskurve liegt.
560
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Die Gleichung dieser Geraden lautet somit = m,=f{x,;y,)
(V-374)
y = yi^ix-x^)'f{x^;y^)
(V-375)
^^^^ X — X-i
Oder
An der Stelle X2 = x^ i- h ist dann ndherungsweise yi^i) ^y2=yi-^
(^2 - ^1) -fi^iiyi)
= J i + h-f{x^;
y^)
(V-376)
Dann wird das beschriebene Verfahren fiir den (neuen) Anfangspunkt P2 = (^2; 3^2)' der nicht auf der exakten Losungskurve liegt, wiederholt. Nach insgesamt n Rechenschritten gelangt man schlieBlich zum Endpunkt P„ = i^n'^ yn)- Die ndherungsweise Berechnung der Funktionswerte der Losungskurve y = y{x) erfolgt somit nach der Vorschrift
y{xk) ^yk = yk-i^h
-fix^.^;
j^^.i)
{k = i, 2,..., n)
(v-377)
Beim Eulerschen Verfahren setzt sich die Losungskurve aus geradlinigen Stucken zusammen, d.h. man erhalt eine Naherungskurve in Form eines Streckenzuges (auch Polygon genannt; s. Bild V-52). Wir fassen zusammen:
Anmerkungen (1) Die stiickweise Approximation der exakten Losungskurve y = y{x) durch eine Gerade ist eine relativ grobe Naherung, zumal nur das Steigungsverhalten der Losungskurve an einer einzigen Stelle, namlich im jeweiligen linken Randpunkt, beriicksichtigt wird. Eine ausreichende Genauigkeit der Naherungsrechnung ist daher nur fur entsprechend kleine Schrittweiten zu erwarten. Dies aber bedeutet zugleich auch einen hohen Rechenaufwand. Folgerung: Das Eulersche Streckenzugverfahren ist fiir die Praxis nur wenig geeignet.
6 Numerische Integration einer Differentialgleichung (2)
561
Der Fehler (Verfahrensfehler) kann wie folgt abgeschatzt werden: ^yk = yM-yk^yk-yk
(v-380)
Dabei bedeuten: y{xj^): Exakte Losung an der Stelle x^ yj^: Ndherungslosung an der Stelle x^ bei der Schrittweite h y^: Ndherungslosung an der Stelle Xj^ bei doppelter Schrittweite (/z* = 2/i) Um eine Kontrolle iiber die Genauigkeit der Naherungsrechnung zu erhalten, kann eine Zweitrechnung (Grobrechnung) mit doppelter Schrittweite durchgefiihrt werden. Aus Formel (V-380) laBt sich dann der Fehler abschdtzen (Rundungsfehler sind dabei noch nicht beriicksichtigt).
Rechenschema Fiir die Rechnung selbst empfehlen wir das folgende Rechenschema:
Beispiel Das Anfangswertproblem y' = _y + e^
Anfangswert: y{0) = 1
ist exakt losbar, die Losungsfunktion lautet: y = (x + 1) • e^ Wir berechnen nun die Ndherungslosung dieser Differentialgleichung im Intervall 0 ^ X ^ 0,2 zunachst fiir die Schrittweite h = 0,05 und anschlieBend bei halbierter Schrittweite {h = 0,025). Durch einen Vergleich der Naherungslosungen mit der exakten Losung erhalten wir einen Eindruck iiber die Gute des Eulerschen Strekkenzugverfahrens.
562
V Gewohnliche Differentialgleichungen Schrittweite h = 0,05
Schrittweite h = 0,025
Wir stellen die beiden Ndherungslosungen der exakten Losung gegeniiber:
Der Vergleich zeigt deutlich, daB sich die Funktionswerte bei kleineren Schrittweiten erwartungsgemaB verbessern.
6 Numerische Integration einer Differentialgleichung
563
6.1.2 Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung Das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung erweist sich in der Praxis als ein Rechenverfahren von hoher Genauigkeit. Der Grundgedanke ist dabei der gleiche wie beim Streckenzugverfahren von Euler. Wiederum wird die (exakte) Losungskurve y = y{x) der Differentialgleichung 1. Ordnung (V-381)
y'=f(x-y)
mit dem Anfangswert y{xQ) = yg in jedem Teilintervall der Lange h durch eine Gerade ersetzt. Ausgangspunkt ist der vorgegebene Anfangspunkt PQ = {xQiyo). Wir ersetzen die Losungskurve im Inter vail XQ ^ x ^ x^ durch eine Gerade mit der Gleichung y — yr\ X — XQ
= m
Oder
y = y^ + {x — XQ)m
(V-382)
Anders als beim Streckenzugverfahren von Euler wird hier fiir die Steigung m der Ersatzgeraden eine Art mittlerer Steigungswert der Losungskurve angesetzt, wobei das Steigungsverhalten der Losungskurve in den beiden Randpunkten und in der Intervallmitte beriicksichtigt wird, allerdings mit unterschiedlicher Gewichtung^^l Die Rechenvorschrift fiir das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung lautet:
22) Wir erinnern: Beim Streckenzugverfahren wurde fiir die Steigung m nur das Steigungsverhalten der Losungskurve im linken Randpunkt, d.h. im Anfangspunkt PQ beriicksichtigt (m = f{xo; yo))-
564
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Anmerkungen (1) Die Hilfsgrofien k^, /c2, k^ und k^ miissen in jedem Teilintervall, d.h. i\\x jeden Rechenschritt neu berechnet werden. Sie beschreiben naherungsweise das Steigungsverhalten der Losungskurve y = yix) in den beiden Randpunkten (/c^, k^) sowie in der Intervallmitte (/c2, k^). (2)
Der Fehler (Verfahrensfehler) laBt sich wie folgt abschatzen: 1 ^yk = yin) -yk^j^iyk-
yu)
(v-385)
Dabei bedeuten: y{xj^): Exakte Losung an der Stelle x^ y^: Ndherungslosung an der Stelle Xj^ bei der Schrittweite h yj^: Ndherungslosung an der Stelle x^ bei doppelter Schrittweite (2 h)
Das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung ist im Gegensatz zum Eulerschen Streckenzugverfahren eine Rechenmethode von grofier Genauigkeit (s. hierzu das folgende Beispiel).
6 Numerische Integration einer Differentialgleichung
565
Rechenschema Fiir die Rechnung verwenden wir das folgende Rechenschema: 1 Abkurzung: K = -{k^ + 2/c2 + 2/C3 + k^) 6
Grau unterlegt: Naherungswert fiir yix^)
Geometrische Deutung (Bild V-53) Wir versuchen nun, das Runge-Kutta-Verfahren geometrisch anschaulich zu deuten: Vom Ausgangspunkt (Anfangspunkt) PQ aus geht man langs einer Geraden g mit der (mittleren) Steigung m bis zum Intervallende, d.h. bis zur Stelle x^ = XQ -\- h und gelangt so zum Endpunkt P^, dessen Ordinate y^ ein Naherungswert fiir die gesuchte exakte Losung yix^) ist. Die Steigung der Geraden wird dabei aus vier Steigungswerten ermittelt (je ein Steigungswert in den beiden Randpunkten des Intervalles und zwei weitere Steigungswerte in der Intervallmitte).
V Gewohnliche Differentialgleichungen
566 y /j
Losungskurve
/1
11
y(xi)
V -
'o
1
XQ
1
XQ^^
1
'
Xo*h
X
Bild V-53 Zur geometrischen Deutung des Runge-Kutta-Verfahrens 4. Ordnung
Die in die Runge-Kutta-Formel eingehenden Steigungswerte haben dabei die folgende geometrische Bedeutung:
(1)
Steigungswert /Wj = / ( x o ; JQ) Dieser Wert ist die Steigung der Tangente an die exakte Losungskurve im Punkt PQ (Linienelement a).
(2)
Steigungswert /W2 = / h o + 2' ^o + y I Man geht von PQ in Richtung der Tangente bis zur Intervallmitte und erreicht somit den Punkt Q mit den Koordinaten (V-386)
Die Losungskurve durch Q besitzt an dieser Stelle das Linienelement b mit der / h kA Steigung m2 = / ( x o + - ; y o + y I-
6 Numerische Integration einer Differentialgleichung
(3)
567
[ h k2 Steigungswert W3 = / 1 xo + - ; Jo + y Man geht von PQ aus geradlinig und parallel zum Linienelement b bis zur Intervallmitte und gelangt so zum Punkt R mit den Koordinaten h
1
f
h
kA
y
(V-387)
Die Losungskurve durch R besitzt an dieser Stelle das Linienelement c mit der Steigung m3 = / I XQ + 2' -^^ "^ T
(4)
Steigungswert m^ =f{xQ + h; j o + ^3) Der Weg fiihrt jetzt von PQ aus geradlinig und parallel zum Linienelement c bis zum Intervallende. Man erreicht somit den Punkt S mit den Koordinaten /
Xs = Xo-^h,
h
ys = yo +h-f\xo-^-;yQ^—\
/C2\
= yQ + k^
(V-388)
Die Losungskurve durch S besitzt dann an dieser Stelle das Linienelement d mit der Steigung m^ = / ( ^ o + ^; Jo + ^3)Die Steigung der Geraden g wird dann aus diesen vier Steigungswerten wie folgt berechnet: mi + 2m2 + 2ma + m^ m = -^ ^^ ^ 6
(V-389)
Dieser Wert ist eine Art mittlere Steigung der Losungskurve im betrachteten Intervall XQ
^X
^ X^ = XQ -\- h.
Beispiel Wir behandeln nochmals das exakt losbare Anfangswertproblem y' = y -\- Q^
Anfangswert: y{0) = 1
mit der exakten Losung j; = (X + 1) • e"" diesmal aber nach dem Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung.
568
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Gesucht wird die NdherungsWsung im Intervall 0 ^ x ^ 0,2 fiir die Schrittweite h = 0fi5.
6 Numerische Integration einer Differentialgleichung
569
Die Rechenergebnisse zeigen eine vollige Ubereinstimmung zwischen Ndherungslosung und exakter Losung. Das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung ist daher ein hervorragendes Mittel zur numerischen Integration einer Differentialgleichung 1. Ordnung. Dies zeigt auch der direkte Vergleich mit den Rechenergebnissen, die wir nach dem Eulerschen Streckenzugverfahren erhalten haben:
6.2 Numerische Integration einer Differentialgleichung 2. Ordnung nach dem Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung Das aus Abschnitt 6.1.2 bekannte Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung zur Losung einer Differentialgleichung 1. Ordnung laBt sich auch auf eine Differentialgleichung 2. Ordnung vom Typ /^=fix;y;y)
(V-390)
mit den Anfangswerten y(xQ) = JQ, y' {XQ) = yQ libertragen. Ausgehend von diesen Anfangswerten laBt sich die gesuchte Losungskurve y = y{x) im Intervall a ^ x ^b Punkt fur Punkt mit der konstanten Schrittweite h berechnen (a = XQ). Im 1. Rechenschritt werden Naherungswerte fiir die gesuchte Losungsfunktion und ihre Ableitung an der Stelle Xi = XQ -\- h berechnet. Diese wiederum dienen dann als Anfangswerte fiir den 2. Rechenschritt, d.h. fiir die Berechnung der Naherungswerte der Losungsfunktion und ihrer Ableitung an der Stelle X2 = x^ -\- h usw. Die punktweise Berechnung der Losungskurve erfolgt somit nach der folgenden Rechenvorschrift:
570
V Gewohnliche Differentialgleichungen
6 Numerische Integration einer Differentialgleichung
571
Anmerkung Die Hilfsgrofien k^, kj, k^, k^ und m^, m2, m^, m^, miissen bei jedem Rechenschritt neu berechnet werden. Rechenschema Fur die Rechnung verwenden wir das folgende Rechenschema: 1 Abkurzungen: K = -{k^ + 2/c2 + 2/C3 + /C4), 6
1 M = 7(^1 + 2m2 + 2m3 + m^) 6
Grau unterlegt: Naherungswerte fiir y(xi) und y^ix^)
•
Beispiel Das Anfangswertproblem y^' = y' + 2y
Anfangswerte: y{0) = 3, y'(0) = 0
ist exakt losbar, die Losungsfunktion lautet: y = e^^ + 2 • e " ^ Wir berechnen nun die Ndherungslosung im Intervall 0 < x ^ 0,3 fur die Schrittweite h = 0,1.
572
V Gewohnliche Differentialgleichungen
*3 G
o cq
u (D C3
N
3
(U X)
4^
:D E
.^_,
'5g 3
^G
:3 c/3
a <
G bX) on '5N3 bX) a bX) ci^ G :0
S
^ ^ ^ X ^ u
S o
>
bD G G G ;-i
(D
•g JC
O
<^
w ^s
'53 ^ H r ^
"5b •^O G
W
4->
s
7 Systeme linearer Differentialgleichungen
573
7 Systeme linearer Differentialgleichungen 7.1 Systeme linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 7.1.1 Ein einfiihrendes Beispiel Der in Bild V-54 dargestellte Stromkreis (ein sog. Kettenleiter) enthalt zwei gleiche ohmsche Widerstande R und zwei gleiche Induktivitaten L. Er wird durch die (zeitabhangige) Spannung u = u{t) gespeist.
Bild V-54 Kettenleiter
In den Maschen I und II flieBen die ebenfalls zeitabhangigen Strome i^ = i^ (t) und ^2 = ^2(0- E)iG Anwendung der Maschenregel'^^^ auf diese Maschen liefert dann die folgenden Beziehungen: L—^ + R{i^ -i2)-u
=0
at
(V-393) L - ^ dt
R{i^
-i2)-h
Ri2
= 0
Diese Gleichungen konnen wir auch in der Form R ^
R ^
r ^'l +
V ^'2 +
dt
L ^
L ^
di2 dt
R L ^
2R L ^
dii
u (V-394)
darstellen. Es handelt sich dabei um lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit kon23) Maschenregel: In jeder Masche ist die Summe der Spannungen gleich Null.
574
V Gewohnliche Differentialgleichungen
stanten Koeffizienten fur die beiden unbekannten Maschenstrome ii{t) und i2{t), die jedoch nicht unabhangig voneinander sind, sondern einer Kopplung unterliegen ^^^. Denn beide StromgroBen treten in jeder der beiden Maschengleichungen auf. Man spricht daher auch von miteinander gekoppelten Differentialgleichungen. Der Zusammenhang zwischen den Maschenstromen i^ = /^(t) und ij = ^2(0 wird in diesem Beispiel also durch ein System von zwei inhomogenen linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Die Aufgabe besteht dann darin, das vorliegende System mit Hilfe eines geeigneten Losungsansatzes zu losen, wobei die Werte der beiden Strome zu Beginn (d.h. zur Zeit ^ = 0) meist als sog. Anfangswerte i^ (0) und 12 (0) vorgegeben sind. Eine Problemstellung dieser Art wird daher auch als ein Anfangswertproblem bezeichnet. Mit der Losung dieser wichtigen Aufgabe werden wir uns dann am Ende dieses Abschnitts ausfuhrlich beschaftigen.
7.1.2 Grundbegriffe Das einfuhrende Beispiel fuhrte uns auf ein System von zwei inhomogenen hnearen Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten vom allgemeinen Typ +6'iW
y[ =a^^y^
^Hiyi
y'l = ^2iyi
+ ^22)^2 + Q2M
rV395)
auf das wir uns in diesem Abschnitt auch beschranken wollen. Homogene und inhomogene Systeme Die Funktionen QI (X) und ^2 W werden dabei als Storfunktionen oder Storglieder bezeichnet. Fehlen beide Storglieder, d.h. ist g^{x) = 0 und ^2 W = ^•> so heiBt das lineare System homogen, ansonsten inhomogen. Ordnung eines Systems Unter der Ordnung eines Differentialgleichungssystems versteht man die Summe der Ordnungen der einzelnen Differentialgleichungen, die zu dem System gehoren. Wir haben es hier also mit Systemen 2. Ordnung zu tun. Losungen eines Systems Jedes Funktionenpaar y^ = y^ix) und y2 = 3^2W? das zusammen mit den Ableitungen yi = yi{x) und y2 = J 2 W ^^s lineare System (V-395) identisch erfiillt, bildet eine Losung des Systems. Eine Losung besteht daher immer aus zwei Losungsfunktionen y^ und y2. Die allgemeine Losung eines Systems von Differentialgleichungen enthalt dabei noch frei wahlbare Parameter (auch Integrationskonstanten genannt), deren Anzahl der Ordnung n des Systems entspricht. In dem hier ausschlieBlich behandelten Fall eines Differentialgleichungssystems 2. Ordnung enthalt die allgemeine Losung daher genau zwei Parameter. Diese lassen sich haufig aus zwei Anfangsbedingungen oder Anfangswerten bestimmen 24) Die Kopplung erfolgt hier uber den ohmschen Widerstand R, der beiden Maschen gemeinsam ist.
7 SySterne linearer Differentialgleichungen
575
(sog. Anfangswertproblem oder Anfangswertaufgabe). Aus der allgemeinen Losung des Differentialgleichungssystems wird auf diese Weise dann eine spezielle oder partikuldre Losung des Systems. Matrizendarstellung eines Systems Das lineare Differentialgleichungssystem (V-395) laBt sich auch in der oft sehr niitzlichen Matrizenform darstellen. Zu diesem Zweck fiihren wir zunachst die folgenden Spaltenmatrizen {Spaltenvektoren) ein:
'A yiJ Sie werden y: y': g (x):
r =h ) Kyij
und
gW = (^^!^!) \92MJ
(V-396)
wie folgt bezeichnet: Losungsvektor Ableitung des Losungsvektors ,,Stdrvektor" (aus den beiden Storgliedern gebildet)
Die konstanten Koeffizienten des Systems werden zu der 2-reihigen Koeffizientenmatrix
A^f'^^
""'A
V^21
^22/
(V-397)
zusammengefaBt. Das lineare System (V-395) laBt sich dann auch in der Matrizenform y^ = Ay + g(x)
(V-398)
darstellen. Fiir ein homogenes System gilt g (x) = 0 und somit y^ = Ay Wir fassen die wichtigsten Grundbegriffe wie folgt zusammen:
(V-399)
576
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Beispiele (1)
Das lineare Differentialgleichungssystem
'\=
'
'^^'^ Oder f ^ n = (
}'2 = - ) ' i + )'2
\y2j
\
1 :)
\y2
ist homogen. Mit den Anfangsbedingungen y^{0) = 0 und 3^2(0) = ^ wird daraus ein Anfangswertproblem.
7 Systeme linearer Differentialgleichungen (2)
577
Die gekoppelten linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung
y2=
3^1-2^2 + ^
bilden dagegen ein inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem 2. Ordnung. Die Matrizendarstellung dieses Systems lautet:
yij
\
1 - 2 / \y2
7.1.3 Integration des homogenen linearen Differentialgleichungssystems Das homogene lineare System Oder yi = ^2iyi
y' = Ay
(V-403)
+ «22-y2
laBt sich durch einen Exponentialansatz der Form };i = Ki • e^-^
und
y^ = ^ 2 ' e^""
(V-404)
mit einem beiden Funktionen gemeinsamen (aber noch unbekannten) Parameter A wie folgt losen. Wir bilden zunachst die Ableitung dieser Funktionen: und
y[=lK^-Q^''
y'2 = 2.K2 • Q^""
(V-405)
und setzen diese dann zusammen mit dem Losungsansatz in das homogene lineare System (V-403) ein: IK^ •e^-^ = a i i K i • e^^ 4-ai2i^2 ' e^"^ XK2 • e^^ = «21 ^ 1 • ^
+ ^22^2 • ^
Nach Division durch e'^^ erhalten wir: (V-407) IK2
= ^21 ^ 1 + ^ 2 2 ^ 2
Dieses homogene lineare Gleichungssystem fur die unbekannten Koeffizienten Ki und K2 laBt sich dabei noch auf die folgende Gestalt bringen: (V-408) ^21^1
+(«22 - ^ ) ^ 2 = 0
In der Matrizenform lautet dieses Gleichungssystem: (A-AE)K = 0
mit
K= (
M
(V-409)
578
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Nicht-triviale Losungen erhalten wir nur dann, wenn die Koeffizientendeterminante verschwindet. Diese Bedingung fuhrt zu der charakteristischen Gleichung det (A - /IE) =
= (^11 - ^ ) ( « 2 2 - / 1 ) - « 1 2 « 2 1 = 22
= /I - ( ^ 1 1 + a22)^ + («11«22 - ^ 1 2 « 2 l ) =
Sp(A)
det A
= 2^ - Sp (A) • A + det A = 0
(V-410)
Die Losungen dieser Gleichung sind demnach die Eigenwerte der Koeffizientenmatrix A. Dabei sind wiederum (wie schon bei der homogenen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten) drei Falle zu unterscheiden: 1. Fall: Aj 9^ A2 (reell) Die charakteristische Gleichung besitzt zwei verschiedene reelle Losungen A^ und ^2. Sie fiihren zu den Exponentialfunktionen e^^^ und e^^^, aus denen man durch Linearkombination die erste Losungsfunktion y^ = yiix) gewinnt: y^ = Ci •e^i^ + C2e^2:>c
(Ci,C2e]R)
(V-411)
Die zweite Losungsfunktion y2 = y2 (^) erhalten wir, indem wir die erste Losungsfunktion yi zusammen mit ihrer Ableitung yi in die erste Gleichung des homogenen linearen Differentialgleichungssystems (V-403) einsetzen und diese Gleichung dann nach 3/2 auflosen: (V-412)
y2=-^iy[-a,,y,) «12
2. Fall: A^ = A2 = a (reell) Die charakteristische Gleichung (V-410) besitzt jetzt eine doppelte reelle Losung ^1/2 = ^- ^^ diesem Fall lautet die erste Losungsfunktion wie folgt: yi - (Ci + C2 x) • e«^
(Ci, C2 G R)
(V-413)
Die zweite Losungsfunktion y2 = >^2 W erhalten wir durch Einsetzen von yi und y[ in Gleichung (V-412). 3. Fall: Ai/2 =
^ (konjugiert komplex)
Die konjugiert komplexe Losung X^i2 = oc funktion : y^ = e^^ [Ci • sin (cox) + C2 • cos (cox)]
fiihrt zu der folgenden ersten Losungs( Q , C2 e R)
(V-414)
Die zweite Losungsfunktion ^2 = ^2 W erhalten wir wiederum aus Gleichung (V-412), indem wir dort y^ und yj einsetzen.
7 Systeme linearer Differentialgleichungen Wir fassen die Ergebnisse wie folgt zusammen:
579
V Gewohnliche Differentialgleichungen
580
Anmerkung Wie schon bei den homogenen Differentialgleichungen n-ter Ordnung wird auch hier die allgemeine Losung y^ = y^ (x), ^2 = 3^2 W ^^^ Linearkombinationen bestimmter BasisWsungen oder Basisfunktionen dargestellt. Diese Fundament alb asis lautet dabei wie folgt: Im 1. Fall Im 2. Fall Im 3. Fall
^klX
QOLX
Q?i2^
. gjjj (cox), e*^^ • cos (cox)
Beispiele (1)
J i = -}^i + 3};2
3W,,
-1
oder
2 -2/U
Charakteristische Gleichung mit Losungen: (-1-1) 2
3 = {-1-1) (-2-A)
(-2-1)-6
^2 + 3^ _ 4 ^ 0 => Ai = - 4, ^2 = 1
=0 (1- Fall)
Allgemeine Losung des Differentialgleichungssystems: y^ = Ci-e-^-^ + C2-e-^ j ; ^ = _ 4 C i •e"'^^ + C2-e^,
a ^ = - 1, ^12 = 3
^12
= ^ ( - 4 Ci • e"^^ + C2 • e^ + Ci • e ' ^ " + C2 • e^ | =
3 Ci • e'^^ + 2 C2 • e^ U - Ci • e"^^ + ^ C2 • e^
Das vorliegende System wird somit durch die folgenden Funktionen allgemein gelost: Ci, C2GIR ) ; 2 = - C i - e - ^ - + -C2-e-
581
7 Systeme linearer Differentialgleichungen
Wir konnen die Losung des vorgegebenen linearen Differentialgleichungssystems aber auch durch den Losungsvektor Ci • e - ' ^ ^ + C . - e ^ (Ci,C2elR)
y = Ci-e-^- + -C2-ebeschreiben. (2)
1
1
-yi+yi
1
1
Charakteristische
Gleichung mit Losungen:
y[=
j i + ^2
y2 =
Oder
(1-2)
1
- 1
(1 - A)
= (1 - i ) 2 + l = 0
A^ - 2A + 2 = 0 => Ai/2 = 1 Allgemeine Losung des
j
(3. Fall)
Differentialgleichungssystems:
yi = Q^{Ci • sin X + C2 • cos x) y[ = Q^{Ci • sin X + C2 • cos x) + e^(Ci • cos x — C2 ' sin x) ^11 = 1.
ai2 = l
1 yi = — (^1 -^iiyi)
=
= e^(Ci • sin X + C2 • cos x) + e^(Ci • cos x — C2 • sin x) — — Q^iCi • sin X + C2 • cos x) = = e^ (Ci • cos X — C2 • sin x) Die allgemeine Losung des Differentialgleichungssystems lautet somit: yi = Q^{Ci • sin X + C2 • cos x) Q , C2GIR
y2 = Q^{Ci • cos X — C2 • sin x) (3)
y[ = 4 ^ 1 - 3 ^ 2 yi(0) = l ,
y2{0) = 0
-2^2
y'l = ^yi
Charakteristische
I (4 - 1 ) 3
Gleichung mit Losungen: -3 (-2-/1)
/12-21+ 1 =0
= (4-A) ( - 2 - / I ) + 9 = 0
^ Ai/2 = 1
(2. Fall)
582
V Gewohnliche Differentialgleichungen Allgemeine Losung des Differentialgleichungssystems:
1 yi = — (yi -^iiyi) ^12
=
- - 3 I C2 • e^ + (Ci + C2X) • e^ - 4{C^ + C2X) • e^ ) =
= - V - 3 C i + C 2 - 3 C 2 x y e ^ = (^Ci-^C2 + C2xye^ Das Differentialgleichungssystem besitzt somit die folgenden allgemeinen Losungsfunktionen: yi ={Ci + C 2 x ) - e ^ Ci,C2 6 R
)^2 = f Q - - C 2 + C2xj-e^ Losung des Anfangswertproblems: y,{0) = l ^ C, = 1 y2{0) = 0 ^ C i - ^ C 2 - 0 ^ C2 = 3Ci = 3 - l = 3 Die gesuchte Losung besitzt damit die folgende Gestalt: yi =(1 + 3x)-e^,
372 = 3 x - e ^
7.1.4 Integration des inhomogenen linearen Differentialgleichungssystems Wir beschaftigen uns in diesem Abschnitt mit zwei Losungsverfahren fiir inhomogene lineare Differentialgleichungssysteme 2. Ordnung vom Typ y[ = « i i y i -\-a12y2 ^2 = ^2iyi
+^iW
Oder
y' = Ay + g(x)
(V-422)
+^22^2 +6'2W
7.1.4.1 Aufsuchen einer partikularen Losung Ahnlich wie bei einer inhomogenen linearen Differentialgleichung 1., 2. oder allgemein n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten laBt sich auch bei einem inhomogenen linearen Differentialgleichungssystem 2. Ordnung vom Typ (V-422) die allgemeine Losung des inhomogenen Systems als Summe aus der allgemeinen Losung des zughorigen homogenen Systems und einer partikularen Losung des inhomogenen Systems aufbauen.
7 SySterne linearer Differentialgleichungen
583
Wir fiihren noch folgende Bezeichnungen ein: }^i(0)' 3^2(0)- Allgemeine Losung des homogenen Systems yi(p), y2{p)- P^rtikuldre Losung des inhomogenen Systems y^, ^2-
Allgemeine Losung des inhomogenen Systems
Fiir die allgemeine Losung des inhomogenen Systems (V-422) gilt dann: yi = yiiO) + yi{p)
^nd
y2 = y2i0) + yiip)
(V-423)
Die Losungsansatze yi^p) und y2{p) fiir die partiTcw/flr^ Losung des Systems orientieren sich dabei wiederum an den beiden Srorg/iW^m ^i(x) und ^2W und konnen unmittelbar aus der Tabelle 1 (oder auch aus der Tabelle 3) entnommen werden. Dabei mussen jedoch in y^ ^^^ und y2 (p) jeweils beide Storfunktionen entsprechend berucksichtigt werden. Die Bestimmung der in den Losungsansatzen enthaltenen (und meist sehr zahlreichen) Parameter fiihrt zu einem linearen Gleichungssystem, das (bei richtig gewahlten Losungsansatzen) stets eindeutig losbar ist. Wir fassen dieses Losungsverfahren wie folgt zusammen:
584
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Anmerkungen (1) Durch den Index „0" kennzeichnen wir die allgemeine Losung des homogenen linearen Differentialgleichungssystems, durch den Index „/?" eine partikuldre Losung des inhomogenen linearen Systems. (2)
Bei der Berechnung der in den Losungsansatzen fiir y^ (p) und y2 (p) auftretenden zahlreichen Parameter stoBt man auf lineare Gleichungssysteme, die (bei richtigem Ansatz!) stets eindeutig losbar sind. Durch die Vielzahl der (zunachst unbekannten) Parameter ist der Rechenaufwand jedoch oft erheblich.
Beispiel
y'l = 2^1 -2y2
+e"^
Zunachst miissen wir das zugehorige homogene System yi = -yi yi = 2yi
+ 3^2 -2y2
losen. Dies ist bereits im vorangegangenen Abschnitt 7.1.3 in Beispiel (1) geschehen und fuhrte uns zu den Losungsfunktionen
y2(0) — ~ ^1' ^
-^ 3''^^2
Eine partikuldre Losung des inhomogenen Systems gewinnen wir aufgrund der beiden Storglieder g^{x) = x
und
^2W = e~^
unter Verwendung von Tabelle 1 durch den speziellen Losungsansatz yi(p) = ax + b + c • e" x y2(^p) = Ax + B-{- C - e-X' Mit diesen Funktionen und ihren Ableitungen yUp) = ^-^'^~''
und
y2{p) =
^-C-Q~''
folgt dann durch Einsetzen in das inhomogene System: a- c- Q~^ = - (ax -}- b + c • e~^) + 3{Ax + B -\- C - e"^) 4- x A-C-
e~^ = 2{ax + 6 + c • e"^) - 2{Ax + J5 + C • e"^) + e~^
Wir ordnen noch und fassen entsprechende GHeder wie folgt zusammen: a - c - e - ^ = ( - a + 3yl + l)x + ( - b + 35) + ( - c + 3 C ) - e - ^ A-C'Q~''
= i2a-2A)x-^{2b~2B)
+ {2c-2C-\-
l)-e"^
7 SySterne linearer Differentialgleichungen
585
Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir hieraus schlieBlich das folgende lineare Gleichungssystem mit 6 Gleichungen und 6 Unbekannten: (I)
0=-fl + 3^ + l
Oder
a-3
(II)
a= -b + 3B
Oder
a + b-3B
(III)
-c=
-C + 3C
A
=1 =0
Oder
3C= 0
(IV)
0 = 2a-2A
Oder
A =a
(V)
^ = 2I)-2B
Oder
- 2 ^ + ^4 + 2 5 = 0
Oder
-2c+ C
(VI) - C = 2 c - 2 C + 1
=1
Aus Gleichung (III) folgt sofort C = 0 und damit weiter aus Gleichung (VI) c = — 1/2. Beriicksichtigen wir noch, daB nach Gleichung (IV) A = a ist, so gehen die restlichen drei Gleichungen uber in: (I*)
a-3a
(II*)
a+
(III*)
a-2b
=1 b-3B
Oder
-2a = 1
=0
+ 2B = 0
Aus Gleichung (I*) folgt unmittelbar a = — 1/2 und somit wegen A = a auch A = — 1/2. Die verbliebenen Gleichungen (II*) und (III*) gehen dann iiber in: (I**)
- - + b-3B 2
=0
b~3B
= 2
oder (II**) - - - 2 5 + 2B = 0 2
-2b
+ 2B = 2
Wir multiplizieren jetzt die obere Gleichung mit 2 und addieren sie zur unteren Gleichung: (2 • I**) (II**)
- 4 B = ^ =. 2
B=-l 8
Aus Gleichung (I**) folgt dann: V 8/
2
8
Damit sind samtliche Unbekannten bestimmt: 1 ^ 5 a=--, b=--, 2 8
1 c=-~,
1 A=--,
2
3 B=--,
2
C=0 8
586
V Gewohnliche Differentialgleichungen Das inhomogene lineare System besitzt daher die folgende partikuldre Losung: _
1
5
1 _^
_
1
3
Die allgemeine Losung des inhomogenen linearen Differentialgleichungssystems ist daher in der Form 1 5 1 _ yi = yi (0) + yi (p) = Q • e"^^ "^ ^^ • e"" - - x - - - - • e"^ y2 = y2{0) + y2{p)=
- Q - e
^'' + ^ C 2 - e ^ - ^ x
3 ^
2
darstellbar ( Q , C2elR).
7.1.4.2 Einsetzungs- oder Eliminationsverfahren Ein weiteres sehr brauchbares Losungsverfahren fiir ein inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem 2. Ordnung, bestehend aus den beiden gekoppelten Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Oder yi = ^2iyi
y' = Ay + g(x)
(V-427)
+^22)^2 +6'2W
ist das sog. Einsetzungs- oder Eliminationsverfahren. Das lineare System (V-427) wird dabei zunachst in eine inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten fiir die (noch unbekannte) Funktion y^ = yiix) iibergefiihrt. Dann wird diese Differentialgleichung gelost und aus der Losung y^ = yi{x) die noch fehlende zweite Funktion ^2 = 3^2 W ermittelt. Insgesamt sind bei diesem Eliminationsverfahren drei Schritte nacheinander auszufiihren: (1)
Wir losen zunachst die erste Differentialgleichung des linearen Systems (V-427) nach y2 auf, erhalten y2 = ^{yi-^iiyi-9i
w]
(v-428)
und differenzieren diese Gleichung dann nach x: y2 = —(y 1-^11 «12 V
(v-429)
y'l-diix)) /
7 Systeme linearer Differentialgleichungen
587
Diese Ausdriicke fiir y2 und y'2 setzen wirjetztindiezwe/r^Differentialgleichung des Systems (V-427) ein: \yl - ^ i i J ^ i - ^ ' i W =«2i-Vi + - ^ ^ yi - « i i 3 ^ i ^\2 \ 1 ^\2 \
y'i-^wy'x
-Q\{A\^QI(A
I
-^iW =
= a^2^2\y\
+^22(^1 -^\\y\
- ^ ' i W) + «i2 6^2W
(v-430)
Diese Gleichung enthalt nur noch eine der beiden unbekannten Funktionen, namlich J i ^^^. Wir ordnen noch die Glieder und fassen zusammen: y'i -^\\y'\
-^iiy'i
+^11^22)^1 - ^ 1 2 ^ 2 1 ^ 1 ==
= Q\ M - «22 6^1 W + '^12 6^2 W
y'i -('^ii ^ ^ii)y'\ ^{^w^ii
--^\i(^i\)y\
=
= Oi W - (^22 9i W - ^12 6^2 W)
(V-431)
Dies aber ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten fiir die unbekannte Losungsfunktion y^. Sie ist vom allgemeinen Typ (V-432)
yi + ay[^by,=g{x)
Die Koeffizienten a und b in dieser Differentialgleichung haben dabei die folgende Bedeutung: (3 - - ((3ii + (222) ^ - Sp(A)
{Spur von A)
b = aiia22 — ^12^21 = d e t A
{Determinante von A)
(V-433) (V-434)
a ist also die mit einem Minuszeichen versehene Spur, b die Determinante der Koeffizientenmatrix A des linearen Differentialgleichungssystems (V-427). Der zweite Summand des Storgliedes g{x) = g[ (x) - (^22 ^1 W - ^12 6^2 W)
(V-435)
der Differentialgleichung (V-431) bzw. (V-432) kann auch als Determinante einer ^Hilfsmatrix'' B aufgefaBt werden, die man aus der Koeffizientenmatrix A gewinnt, wenn man dort die l.Spalte durch die beiden Storglieder gi{x) und ^2(^) des Differentialgleichungssystems (V-427) ersetzt:
^21
I
"22/
\Q2W
^22/
__i
1. Spalte durch die Storglieder ersetzen 25)
Die Funktion ^2 wurde also aus dem linearen System (V-427) eliminiert. Dies erklart zugleich die Bezeichnung dieser Methode („Eliminationsverfahren'').
588
V Gewohnliche Differentialgleichungen Das Storglied g(x) in der Differentialgleichung (V-432) kann somit auch in der Form ^(x)-^i(x)-detB
{V-437)
mit der „Hilfsdeterminante'' detB =
= «22 ^1W - «12 ^2 W
(V-438)
dargestellt werden. (2)
Wir losen jetzt die durch Elimination von ^2 erhaltene inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung (V-432) nach der in Abschnitt 3.4 ausfiihrlich behandelten Methode und erhalten die erste der beiden Losungsfunktionen, namlich
(3)
Die Losung fiir die zweite Funktion ^2 erhalten wir dann, indem wir die inzwischen bekannte Funktion y^ zusammen mit ihrer Ableitung yi in die Gleichung (V-428) einsetzen: y2 = — (yi-^iiyi-9i ^12 \
W)
(v-439)
/
Das aus zwei gekoppelten Differentialgleichungen bestehende lineare Differentialgleichungssystem 2. Ordnung (V-427) ist damit eindeutig gelost.
Wir fassen zusammen:
7 Systeme linearer Differentialgleichungen
589
Anmerkung Das Eliminationsverfahren gilt natiirlich auch fur ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem y' = Ay. Die Differentialgleichung (V-441) fiir die erste der beiden gesuchten Losungsfunktionen ist dann ebenfalls homogen.
Beispiele (1)
Wir losen das inhomogene lineare System 2. Ordnung
y'l = ^y\ -^yi
+ e~^
diesmal nach dem Einsetzungs- oder Eliminationsverfahren. Koeffizientenmatrix A und „Hilfsmatrix" B haben dabei das folgende Aussehen:
590
V Gewohnliche Differentialgleichungen Die Koeffizienten a und b in der Differentialgleichung (F-441) fur die erste Losungsfunktion y^ lauten damit: a = -Sp(A)= - ( - 1 -2) = 3 b = dQtA =
1 2
3 = 2-6 = -2
Fiir das Storglied g{x) dieser Differentialgleichung erhalten wir mit 01 (x) = X und daher g^ (x) = 1: ^(x) = ^ l ( x ) - d e t B = l
X
3
e"-^
-2
= 1 - ( - 2 x - 3 - e - ^ ) = 2x + l + 3 - e - ^ Die Differentialgleichung fiir y^ besitzt damit die folgende Gestalt: yi'^3y[-4y^
=2x + l +3-e-^
Wir losen zunachst die zugehorige homogene Differentialgleichung Ji+33^1-4^1=0 Die Losungen der charakteristischen Gleichung ^2 + 3 1 - 4 = 0 sind 2.1 = — 4 und 2.2 = ^. Die allgemeine Losung der homogenen Differentialgleichung ist daher in der Form yi(0) = Q - e - ^ " + C 2 - e -
(Ci,C2e]R)
darstellbar. Ein partikuldres Integral der inhomogenen Differentialgleichung gewinnen wir nach Tabelle 2 durch den Losungsansatz 3;i(^) = Ax-^ B -^ C-e"-^ (da die Storfunktion die Summe aus einer linearen und einer Exponentialfunktion ist). Mit den Ableitungen
folgt durch Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung: C-e--^ + 3 ( ^ - C - e " ^ ) - 4 ( ^ x + 5 + C - e - ^ ) = 2x + l + 3 - e - ^ C - e ~ ^ + 3 y l - 3 C - e ~ ^ - 4 y l x - 4 5 - 4 C - e ~ ^ = 2x + l + 3 - e " ^ Wir ordnen noch die Glieder und fassen sie zusammen: - 4 y l x + 3 ^ - 4 5 - 6 C e " ^ = 2x + l + 3 e " ^
7 Systeme linearer Differentialgleichungen
591
Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir hieraus das gestaffelte lineare Gleichungssystem -4A 3A-4B
=2 =1 =3
-6C
mit der eindeutigen Losung 1 A= - - , 2'
5 B= - - , 8'
C=
1 -2
Damit ist 1 yiip) = " 2 X
5
1 - •e 2 eine partikuldre Losung und —
^1 = 3^1(0) + yi{p)
C i - e - ' ^ ^ + C2'e^
1
5
1
::^ — T: — ::' ^
2
8
2
die gesuchte allgemeine Losung der inhomogenen Differentialgleichung 2. Ordnung fiir die erste der beiden Losungsfunktionen. Die erste der beiden Losungsfunktionen haben wir damit bestimmt. Die zweite Losungsfunktion ^2 erhalten wir aus Gleichung (V-445) unter Beriicksichtigung von a^^ = — 1, (3^2 = 3 und gi{x) = x: yi = — \yi -^iiyi
-9iM
«12 \
-4Ci-e-^^ + C 2 - e ^ - ^ + ^ - e - ^ + Ci-e^ 2 2 + C. • e^
1 2
5 8
- X
3
+
1 2 3 9 2^-8
3Ci •e"'^-^ + 2C2-e^ = — Ci • e-4-x
4x
1 2
• - X
^
3 8
Das inhomogene lineare Differentialgleichungssystem besitzt somit die folgende allgemeine Losung: yi = C i e - * - + C 2 e -
1
5 1 8~2 • e Q , C26IR
y2=-Ci-e-^- + ^C2-e--^x-^
V Gewohnliche Differentialgleichungen
592 (2)
y'l y'l
>'i(0) = 2, y2(0) = 0 3yi -23^2
Koeffizientenmatrix A und „HUfsmatrix" B lauten wie folgt: 3
A=
B-
• 2 / '
2 - e 2x
Die Differentialgleichung (V-441) fur die erste Losungsfunktion y^ besitzt die Koeffizienten a= - S p ( A ) = - ( - 2 - 2 ) = 4 Z? - det A =
-2
4 + 9-13
-3
und das Storglied g{x) = g[{x) - dQiB = 4 ' Q^"" -
2-e2-^ 0
= 4 . e 2 ^ - ( - 4 - e ^ - ^ ) = 8-e^^ Sie lautet also: =8-e^^
yi-^4y[-^13y^
Wir losen zunachst die zugehorige homogene Differentialgleichung y'( + 4y[ +
13yi=0
Die charakteristische Gleichung 12 + 41 + 13 = 0 besitzt die konjugiert komplexen Losungen lj^/2 = ~ 2 + 3j, die homogene Differentialgleichung somit die allgemeine Losung yi{0)
=e
— 2x
[Ci •sin(3x) + C2-cos(3x)]
Ein partikuldres Integral der inhomogenen Differentialgleichung erhalten wir aus Tabelle 2 durch den Exponentialansatz yi{p)
=
^-^^''
(Ansatz fur das Storglied g{x) = 8 • e^^). Mit den Ableitungen y[^p^ = 2A-c^-
und
/{^p^ =
4A-^^-
7 Systeme linearer Differentialgleichungen
593
folgt durch Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung: 4yl • e^^ + 8 ^ • e^^ + 13^4 • e^^ = 8 • e^^ 25.4-e2^ = 8-e2-^
| le^^
8 2 5 ^ = 8 => A^ — 25 Damit ist y^{v)
- ^ e"
eine partikuldre Losung der inhomogenen Differentialgleichung. Die erste der beiden gesuchten Losungsfunktionen besitzt daher die folgende Gestalt: 3^1 =3^1(0) +3^1 (p) = e"^^[Ci •sin(3x) + C2-cos(3x)]
+^'^^''
Die zweite Losungsfunktion ^2 erhalten wir aus Gleichung (V-445), wenn wir dort die erste Losungsfunktion y^ und ihre Ableitung y[ = - 2 - e " ^ ^ [ C i •sin(3x) + C2 •cos(3x)] + + e~2-^ [3 Ci • cos (3 x) - 3 C2 • sin (3x)] + — • e^-^ = = - e - ^- ^2 x[ 1( 2 C i +3C2)-sin(3x) + ( - 3 C i + 2 C2) • cos (3 x)] + 16 + -.e2^ 25' einsetzen (a^i = — 2, ai2 = 3, g^ (x) = 2 • e^^):
^12 \
/
= 3 f - e - ^ ^ [ ( 2 C i + 3C2)-sin(3x) + + ( - 3 Ci + 2 C2) • cos (3x)] + ^ • e^-" +
V-e-2^[3C2-sin(3x)-3CiCos(3x)]-^-e2A = e " 2 -^ [ - C2 • sin (3 x) + Ci • cos (3 x)]
e^ ^
V Gewohnliche Differentialgleichungen
594
Damit erhalten wir die folgende allgemeine Losung fiir das gegebene inhomogene lineare Differentialgleichungssystem: y^ = Q-^x [Q . sin (3x) + C2 • cos (3x)] + — • e^^
y^ = Q-^x [ - C2 ' sin (3x) + Ci • cos (3x)] - — • e^^
Die Konstanten C^ und C2 lassen sich aus den Anfangswerten j ; ^ (0) = 2 und y2i^) = ^ berechnen: 8 y,i0) = 2 => ^ 2 + ^ = 2 =>
42 C2=-
y2{0) = 0 =^ Q - ^ = 0 => C i = ^ Die Anfangswertaufgabe besitzt damit die folgende Losung: 6 42 2x J i = e ^-^ — • sin (3 x) H • cos (3 x) 25 25 + 25-^ y2=e
^^
42 6 2x — •sin(3x) + —•cos(3x) - 2 5 - ^
7.1.5 Ein Anwendungsbeispiel: Kettenleiter Der bereits im einfiihrenden Beispiel in Abschnitt 7.1.1 behandelte Kettenleiter soil durch eine konstante Spannung u = const. = L/^ gespeist werden (Bild V-55).
Bild V-55 Kettenleiter
7 Systeme linearer Differentialgleichungen
595
Die beiden Maschenstrome i^ = i^ (t) und ^^ = ^2(0 genugen dann dem folgenden inhomogenen linearen Differentialgleichungssystem 2. Ordnung-^^^: U =
R R i^ + L ^ L R
In =
U^ L (V-446)
IR L "
L '
Dieses System laBt sich auch in der Matrizenform R/L 2 R/L
-R/L R/L
UJL 0
H
(V-447)
darstellen. Zu Beginn, d.h. zur Zeit t = 0 soUen beide Maschen stromlos sein. Wir haben es daher mit einem Anfangswertproblem mit den Anfangsbedingungen /i(0) = 0
und
i2{0) = 0
(V-448)
zu tun. Die erste Losungsfunktion i\ ist dann die allgemeine Losung der folgenden inhomogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: i'l -\- ai[ -\- bii = g{t)
(V-449)
Die Koeffizienten a und b sind dabei durch die Koeffizientenmatrix A eindeutig bestimmt. Es gilt nach (V-442) und (V-443): R L
a= - Sp (A) =
5 = det A =
-R/L R/L
2R
3R
(V-450)
17 R/L 2 R/L
2R^
R^
R'
1?
(V-451)
Um die Storfunktion g{t) in der Differentialgleichung (V-449) ermitteln zu konnen, benotigen wir noch die Determinante der ,,Hilfsmatrix'' B=
Uo/L 0
R/L 2 R/L
(V-452)
Sie besitzt den folgenden Wert detB
Uo/L 0
R/L 2 R/L
2RUn
26) Der „Strich" im Ableitungssymbol kennzeichnet hier die Ableitung nach der Zeit.
(V-453)
596
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Mit g[ (t) = 0 und det B = - IRUJL^
ist
KO = Qi it) - det B = 0 + - - ^ = — ^
(V-454)
Die Differentialgleichung fur i^ besitzt damit die folgende Gestalt: 3R . i?2 2RU. ii+—ii+^h=-^
(V-455)
1?
Mit der Abkurzung a = R/L laBt sich diese Gleichung auch in der ubersichtlicheren Form i'i + 3 a / i + a^fi =
(V-456)
schreiben. Losung der homogenen Differentialgleichung fiir den Maschenstrom /j Wir beschaftigen uns zunachst mit der Losung der zugehorigen homogenen Differentialgleichung /i' + 3 a i i + a 2 / i = 0
(V-457)
Die charakteristische Gleichung 2^ + 3aA + a2 = 0
(V-458)
hat die Losungen A^ = —0,382 a und A2 = —2,618 a und fuhrt somit zu der folgenden allgemeinen Losung der homogenen Differentialgleichung (V-457): — r .^-0,382at
h(0) - <-i e
Ir
.^-2,618at_
+ ^2 e
-
(Ci,C2elR). Losung der inhomogenen Differentialgleichung fiir den Maschenstrom ij Wir benotigen zunachst noch eine partikuldre Losung der inhomogenen Differentialgleichung (V-456). Aus Tabelle 2 entnehmen wir den Losungsansatz h (p) = const. = A
(V-460)
da das Storglied g{t) = IRUf^jl? = IOLUQIL konstant ist. Mit iup) = ^^
ii(^) = 0
und iUp) = ^
(V-461)
gehen wir dann in die inhomogene Differentialgleichung ein und erhalten eine Bestimmungsgleichung fiir den noch unbekannten Parameter A: , 2 ^ = 2at^ L
^ ^ =i ^ aL
(V-462)
7 Systeme linearer Differentialgleichungen
597
Damit ist
eine partikuldre und ^1 = ^i(O) + h{p)
=
die gesuchte allgemeine Losung der inhomogenen Differentialgleichung. Bestimmung der Maschenstrome ij und I2 Die erste der beiden Losungsfunktionen ist damit bekannt. Fur die zweite Funktion i2 erhalten wir mit aii = - ^ = - a ,
ai2="r = a
und
g^{t) = —-
sowie
(V-465) fi = - 0 , 3 8 2 a C i •e~^'^^^^^-2,618aC2-e"2'6i^^^
nach Gleichung (V-445): h =
^'i - ^iiH
-9lit)
= - ( - 0 , 3 8 2 a C i -e'^'^^^af _2^^j3^(;;^.g-2,618ar_^
+ aCi-e-0'382ar^^^
-2,618at +
^ _ : ^
= 0,618 Ci • e-0'382at _ 1 613 ^^ . ^-2,618at _^ ^
^
(xL = 0,618 Ci • e-0'3^2at _ 1 613 ^^ . g-2,618af _^ ^ iv
(V-466)
598
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Losung der Anfangswertaufgabe Die Konstanten C^ und C2 berechnen wir aus den Anfangsbedingungen i^ (0) = 0 und h (^) = 0- Mit der Abkiirzung j6 = —^ = —^ erhalten wir dann die folgenden Bestimmungsgleichungen fiir C^ und C2: / (0)=:0 => Ci + C2= -2^6 (V-467) i2{0) = 0 => 0,618Ci-1,618C2= - i ^ Wir multiplizieren jetzt die obere der beiden Gleichungen mit 1,618 und addieren sie dann zur unteren Gleichung: 1,618 Ci + 1,618 C2= -3,236i^" •
+
0,618 Ci - 1,618 C2 2,236 Ci
= - 4,236 j6 =^ Q = - 1,894 j6
(V-468)
Fiir C2 erhalten wir dann aus der ersten Gleichung: C2= -C^-2P=
1,894 i^ -2P=
- 0,106^5
(V-469)
Die Konstanten C^ und C2 besitzen damit die folgenden Werte: Q = - 1,894 B= ~ 1,894 - ^ - - 1,894 — (V-470) - 0,106 jg= - 0 , 1 0 6 ^ = - 0 , 1 0 6 ^
Die zeitabhangigen Maschenstrome werden daher durch die folgenden Gleichungen beschrieben: i, (0 = - 1,894^ • e-0'382ar _ o , l 0 6 ^ • e-^^^iSat + ^ ^^ ^ R R R = ^ ( 2 - 1,894 • e-0,382WDt _ 0406 • e - ^ ^ ^ i s W L ) A
^ (y.471)
/2(0 = - 1,170^ • e-0'382at ^ 0 , 1 7 2 ^ • e-2'6i8at + : ^ ^ = ^ ( 1 - 1,170 • e-0'382WDt + 0,172 • e - ^ ^ ^ i s W L ) A
(y_472)
7 Systeme linearer Differentialgleichungen
599
Beide Strome streben dabei im Laufe der Zeit (d.h. fiir t -^ oo) gegen einen konstanten Wert: t^cc
2U^ R
(V-473)
t^co
u R
(V-474)
Der zeitliche Verlauf der Maschenstrome entspricht den in den Bildern V-56 und V-57 skizzierten ^Sdttigungsfunktionen".
Bild V-56
Bild V-57
7.2 Systeme linearer Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten In Naturwissenschaft und Technik hat man es haufig mit schwingungsfdhigen (mechanischen oder elektromagnetischen) Systemen zu tun, die auf eine bestimmte Weise miteinander gekoppelt sind. Die mathematische Behandlung fiihrt dabei in einfachen Fallen auf zwei gekoppelte lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Wir wollen jetzt die Eigenschaften solcher Systeme exemplarisch an einem mechanischen Modell studieren. Modell zweier gekoppelter schwingungsfahiger Systeme Bild V-58 zeigt zwei schwingungsfahige mechanische Systeme, die jeweils aus einer Schwingungsmasse m^ bzw. m2 und einer elastischen Feder mit der Federkonstanten Ci bzw. C2 bestehen und liber eine Kopplungsfeder mit der Federkonstanten C12 miteinander verbunden {^gekoppelt") sind.
V Gewohnliche Differentialgleichungen
600
^1
^2
Bild V-58 Modell zweier gekoppelter schwingungsfahiger Systeme
Die Lagekoordinaten (Auslenkungen) der beiden Massen bezeichnen wir mit x^ und X2'^^^. Auf jede der beiden Massen wirken dabei gleichzeitig zwei Federkrafte ein, die nach dem Hookeschen Gesetz der jeweiligen Auslenkung der Federn proportional sind. So ubt z.B. die erste Feder (Federkonstante c^) auf die Masse m^ die Ruckstellkraft —CiXi aus, wahrend die Kopplungsfeder (Federkonstante C12) an derselben Masse mit der Kraft — ^^2 (^1 — ^2) angreift '^^\ Nach dem Newtonschen Grundgesetz der Mechanik gilt dann (Reibungskrafte werden vernachldssigt): rriiXi — — c^x^ ~ ^ i 2 ( ^ i ~ ^2)
(V-475)
Analoge Uberlegungen fuhren bei der Masse m2 zu der Gleichung (V-476) Die Bewegungsgleichungen fiir die beiden gekoppelten mechanischen Systeme lassen sich auch in der Form mi Xi + c^xi
-\- ^ 1 2 ( ^ 1 ~ ^2) = ^
(V-477)
^ 2 ^2 + ^2 ^ 2 + <^12 (-^2 - ^1) = 0
darstellen. Sie bilden ein System aus zwei homogenen linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Das Differentialgleichungssystem selbst ist von 4. Ordnung, die allgemeinen Losungsfunktionen x^ = Xi{t) und X2 = ^2(0 enthalten daher genau vier Parameter (Integrationskonstanten). Losung nach dem Eliminationsverfahren Wir wollen uns jetzt mit der Losung dieses linearen Systems beschaftigen. Um das Losungsverfahren zu vereinfachen und libersichtlicher zu gestalten, gehen wir jetzt von zwei identischen schwingungsfahigen Systemen mit den Massen m^ = m2 = 1 und den Federkonstanten c^ = C2 = 1 aus, die uber eine Kopplungsfeder mit der Federkonstanten Ci2 = ^ miteinander verbunden sind.
27)
28)
Wir lassen nur Schwingungen langs der Systemachse (x-Achse) zu. Daher benotigen wir fiir jede Masse nur eine Lagekoordinate. Die Auslenkung der Kopplungsfeder betragt dann X12 = xi — X2.
7 Systeme linearer Differentialgleichungen
601
Die Bewegungsgleichungen (V-477) nehmen dann die konkrete Form x'l -\- Xi -\- 4{xi — X2) = 0
(V-478)
X2 + X2 + 4(^2 — Xj^) = 0 Oder Xi -\- 5xi — 4x2 = 0
(V-479)
X2 + 5x2 — 4xi = 0 an. Das Losungsverfahren, das wir hier verwenden wollen, entspricht weitgehend dem bekannten Einsetzungs- oder Eliminationsverfahren bei Systemen von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Wir losen zunachst die erste der Gleichungen (V-479) nach X2 auf: X2 =
^-(x,^5xA
(V-480)
und differenzieren dann zweimal nach der Zeit t: X2=lUi^
(V-481)
+ 5xA
Die erhaltenen Ausdriicke fiir X2 und X2 setzen wir jetzt in die wnter^ der Bewegungsgleichungen (V-479) ein und erhalten auf diese Weise eine homogene lineare Differentialgleichung 4. Ordnung mit konstanten Koeffizienten fiir die erste der beiden gesuchten Losungsfunktionen, also x^: ^Ui^
+ 5xA + - ff 1 + 5xA - 4xi = 0
x^^^ + 5xi + 5xi + 25xi - 16xi = 0 x f ^ + lOxi + 9xi = 0
(V-482)
Der aus Abschnitt 5.2 bekannte Losungsansatz x^ = e"^^ fiihrt dann auf die folgende charakteristische Gleichung: 2^ + 10^2 + 9 = 0
(V-483)
Diese bi-quadratische Gleichung losen wir mit Hilfe der Substitution ji — 1-^: /|2 + 10/1 + 9 = 0 ^ /ii = - 1 , fi2=-^
(V-484)
Durch Rucksubstitution erhalten wir hieraus vier komplexe Werte fiir den (zunachst unbekannten) Parameter A im Losungsansatz x^ = e"^^: h/2=
.
h/^=
j
(V-485)
602
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Die zugehorigen Losungsfunktionen -^1(1) = eJ',
Xl(2) = e - j ^
Xl(3) = e j 3 ^
xi(4) = e-J3^
(V-486)
bilden eine komplexe Fundamentalbasis der Differentialgleichung (V-482). Mit Hilfe der Eulerschen Formel = cos
(V-487)
laBt sich daraus die folgende reelle Fundamentalbasis gewinnen (wir setzen (p = t bzw. cp = 3r): Xi(^i) = sint,
Xi(2) = c<^s^ Xi(3) = sin(3f),
x^^^>^ = cos {31)
(V-488)
Die erste der beiden gesuchten Losungsfunktionen unseres Differentialgleichungssystems (V-479) ist damit eine Linearkombination dieser vier Basisfunktionen: Xi = Ci ' Xi (1) -\- C2' Xi (2) + ^"3 • Xi (3) + C4 • Xi (4) =
,
^ ,
(V-489) = Ci ' sin t -\- C2 ' cos t + C3 • sin (3 0 + Q ' cos (31) Die zw^/t^ Losungsfunktion X2 erhalten wir aus Gleichung (V-480), wenn wir dort die erste Losungsfunktion x^ und deren zweite Ableitung x\ einsetzen. Mit Xi = Ci • cos r — C2 • sin t + 3 C3 • cos (3 ^ — 3 C4 • sin (31) (V-490) Xi = — Ci • sin t — C2 ' cos t — 9 Ci, • sin (31) — 9 C4 • cos (31) folgt dann: 1 ..
= -1 - Ci • sin ^ - C2 • cos t - 9 C3 • sin (3 0 - 9 C4 • cos (31) + + 5 Ci • sin f + 5 C2 • cos t + 5 C3 • sin (31) + 5 C4 • cos {3t)] =
= - (4 Q • sin t + 4 C2 • cos r - 4 C3 • sin (3 0 - 4 C4 • cos (3 f) J = = Ci • sin t + C2 • cos t - C3 • sin (3 0 - Q ' cos (31)
(V-491)
Die allgemeine Losung des linearen Differentialgleichungssystems (V-479) besitzt daher die folgende Gestalt: Xi = Ci • sin t + C2 • cos f + C3 • sin (3 f) + C4 • cos (31) (V-492) ^2 = Ci • sin t + C2 • cos t — C3 • sin (3 0 — Q ' cos (31)
7 Systeme linearer Differentialgleichungen
603
Diese Losungsfunktionen entstehen durch Uberlagerung von Sinus- und Kosinusschwingungen mit den Kreisfrequenzen 0)^ = 1 und CL)2 = 3 und lassen sich daher auch in der Form Xi = Ai ' sin (t -\- (0]) -\- A2 ' sin {31 -\- cp^ (V-493) X2 = A^ • sin (t + cpi) — A2 • sin (31 + (P2) Oder Xi = ^1 • sin {t + (/)i) + y42 • sin (31 + (P2) (V-494) X2 = ^ 1 • sin (t + (pi) + yl2 • sin (3 t -\- (p2 -^
T^)
darstellen (mit A^, A2> 0 und 0 ^ cp^, (p2 <2n). Normalschwingungen Wir wollen uns jetzt mit speziellen Losungen beschaftigen, die wir aus bestimmten Anfangsbedingungen erhalten.
Die Bewegungen der beiden Massen beginnen jeweils aus der Ruhe heraus mit gleichgrofien Auslenkungen. Aus den Anfangswerten ^^(O) = X2(0) = ^ folgt dann (unter Verwendung der Darstellungsform (V-492)): x^{Q\) = A => (I)
C2 + C^ = A
X2{0) = A => (II)
C2-C^
(V-495) =A
Durch Addition der Gleichungen (I) und (II) erhalten wir 2C2 = 2A und damit C2 = A. Aus (I) folgt dann weiter C4 = 0. Fiir die Berechnung der noch fehlenden Parameter C^ und C3 benotigen wir noch die Ableitungen x^ und X2. Sie lauten: Xi = Ci • cos t — C2 - sin t -\- 3 C^ ' cos (3 ^ — 3 C4 • sin (31) (V-496) X2 = Ci • COS ^ — C2 • sin t — 3 C3 • cos (3 f) + 3 C4 • sin (31) Die Anfangswerte x^ (0) = X2(0) = 0 fiihren dann zu den folgenden Gleichungen: xi(0) = 0 => (III)
Ci + 3 C 3 = 0
^ 2 ( 0 ) ^ 0 => (IV)
Ci - 3 C 3 = 0
(V-497) Addieren wir diese Gleichungen, so folgt 2 Q = 0 und somit C^ = 0 und weiter aus Gleichung (III) 3 C3 = 0 und daher auch C3 = 0. Damit sind sdmtliche Konstanten bestimmt: Ci = C3 = C4 = 0
und
=A
(V-498)
Die beiden Massen bewegen sich also nach den folgenden Gleichungen: x^ = A • cost
und
X2 = ^ • cos ^
(V-499)
V Gewohnliche Differentialgleichungen
604
Physikalische Deutung: Beide Massen schwingen harmonisch mit gleicher Amplitude A und gleicher Kreisfrequenz co = 1 und zwar in Phase. Bild V-59 verdeutlicht diese Aussage.
Xj = X2 = AC0S
f
Bild V-59
Die Kreisfrequenz entspricht dabei der Eigenkreisfrequenz CDQ = 1 der entkoppelten Systeme. Dies ist physikalisch gesehen unmittelbar einleuchtend, da die beiden FederMasse-Systeme synchron schwingen und die Kopplungsfeder daher gar nicht beanspruchen (Bild V-60).
Bild V-60 Die Massen der gekoppelten Systeme schwingen in Phase
Die Bewegungen der beiden Massen beginnen wiederum aus der Ruhe heraus, diesmal jedoch mit entgegengesetzt gleichgrofien Auslenkungen. Aus den Anfangsbedingungen xi{0) = A und X2(0) = — A folgt dann unter Verwendung der Darstellungsform (Y-492): x^{0) = A
=> (I)
C2 + C^ = A
X2{0)= -A
=> (II)
C2-C^=
-A
(Y-500)
Durch Addition dieser Gleichungen erhalten wir 2 C2 = 0 und somit C2 = 0. Aus (I) folgt dann weiter C^ = A. Die beiden restlichen Anfangswerte Xi(0) = ^2(0) = 0 fiihren wie im 1. Fall zu Cj = C3 = 0. Die Konstanten besitzen also die folgenden Werte: Q = C2 = C3 = 0
und
C^ = A
(V-501)
7 Systeme linearer Differentialgleichungen
605
Die Bewegungen der beiden Massen geniigen somit den Gleichungen x^ = A • cos (3 t)
und
^2 = — A • cos (3 t)
(V-502)
x^ = A • cos (3 t)
und
X2 = A • cos {3t -\- n)
(V-503)
Oder
Physikalische Deutung: Beide Massen schwingen harmonisch mit gleicher Amplitude A und gleicher Kreisfrequenz co = 3, aber in Gegenphase (Bild V-61), ^1 i i ^2 A';-/4-C0S (3f) A
\ 'j.
1
T
1
/ \
X^ X
t
2TC/3 . A
Bild V-61
^
-A
X2 = ~Xj = -A-co%(3f)
Bei diesem Schwingungstyp gilt also in jedem Augenblick X2{t)=
(V-504)
-xi(0
Die Kopplungsfeder wird diesmal maximal beansprucht, die Massen schwingen daher mit einer gegenuber der Eigenkreisfrequenz OJQ = \ vergrofierten Kreisfrequenz von co = 3 (Bild V-62). ^1
bzw. Bild V-62 Die Massen der gekoppelten Systeme schwingen in Gegenphase
Fazit: Man bezeichnet harmonische Schwingungen von Massenpunktsystemen, die mit gleicher Frequenz (und damit auch gleicher Kreisfrequenz) erfolgen, als Normalschwingungen. Unser gekoppeltes System besitzt also zwei Normalschwingungen, die wir durch die Gleichungen x^^^ = A • cos t
und
x^2^ = A • cos t
(V-505)
bzw. .(2) _ xY' = A- cos (3 t)
und
(2) x^2 = - A- cos (31
(V-506)
beschreiben konnen (vgl. hierzu die Bilder V-59 bis V-62). Der allgemeine Schwingungstyp entsteht dann durch ungestorte Vberlagerung der beiden Normalschwingungen.
606
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Ubungsaufgaben Zu Abschnitt 1 1) Zeigen Sie durch Differenzieren und Einsetzen, daB die Funktion y =
Cx 1+X
die
allgemeine Losung der Differentialgleichung x(l -\- x)y' — y = 0 darstellt (C G IR). Wie lautet die durch den Punkt P = (1; 8) gehende Losungskurve? 2)
Gegeben ist die Differentialgleichung y'' ~ 4y^ — 5y = 0. Zeigen Sie, daB diese Gleichung die allgemeine Losung y = C^ • e^^ + C2 • e"^ besitzt ( Q , C2 eIR).
3)
Die Aufladung eines Kondensators der Kapazitat C iiber einen ohmschen Widerstand R auf die Endspannung UQ erfolgt nach dem Exponentialgesetz u^{t) = UQ{I - e ' K c )
(t ^ 0 )
Zeigen Sie, daB diese Funktion eine (partikulare) Losung der Differentialgleichung 1. Ordnung dur dt
^
^
ist, die diesen Einschaltvorgang beschreibt (sog. RC-Glied, Bild V-63).
4)
Ein Pendel unterliege der periodischen Beschleunigung a{t) = — 5 • cos t. Bestimmen Sie die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion v = v{t) und die Weg-Zeit-Funktion s = s{t) fiir die Anfangswerte 5(0) = 5, v{0) = 0.
Zu Abschnitt 2 1)
Skizzieren Sie das Richtungsfeld der jeweiligen Differentialgleichung 1. Ordnung mit Hilfe von Isoklinen und versuchen Sie, eine Losungskurve einzuzeichnen. Wie lautet die allgemeine Losung der Differentialgleichung? 2 X
Ubungsaufgaben 2)
3)
607
Losen Sie die folgenden Differentialgleichungen 1. Ordnung mit Hilfe einer geeigneten Substitution: b)
aj
xy' = y-}-4x
c)
x^^y' = -x'^ -\- y^ 4
y'= {x-\-y + 1)^
d)
} ^ ' - sin ( - ) + \xj X
Losen Sie das Anfangswertproblem y^
yy'=X-\-—,
r-
y{l) = ^2
X
mittels Substitution. 4)
5)
6)
Losen Sie die folgenden Differentialgleichungen 1. Ordnung durch Trennung der Variablen: a)
x^y' = y^
c)
y' = {1 — y)^
d)
/{l+x^)
= xy
y' • sin y = — X
Losen Sie die folgenden Anfangswertprobleme durch Trennung der Variablen: a)
y' + {cosx)' y = 0,
yi-j
b)
x ( x + ! ) / = );,
y(l) = ^
c)
y^y' + x ^ ^ l ,
3^(2) = 1
= 27i
Losen Sie die folgenden Anfangswertprobleme: a)
7)
b)
x^y' = y^ + xy,
j;(l) = - 1
b)
yj;'= 2 • e^^,
y(0) - 2
Wir betrachten die folgende chemische Reaktion: Ein Atom vom Typ A vereinige sich mit einem Atom vom Typ B zu einem Molehill vom Typ AB: A -\- B ^ AB. Die Anzahl der Atome vom Typ A bzw. B betrage zu Beginn der Reaktion (d.h. zur Zeit t = 0) a bzw. b. Nach der Zeit t seien x = x{t) Molekiile AB entstanden. Dann laBt sich die chemische Reaktion durch die Differentialgleichung 1. Ordnung dx — = k{a — x) {b — x) dt beschreiben (k: Konstante, vom Chemiker als Geschwindigkeitskonstante bezeichnet). a)
Losen Sie diese Differentialgleichung fiiv a ^ b und den Anfangswert x(0) = 0.
b)
Wann kommt die Reaktion zum Stillstand (Annahme: a > b)l
608 8)
V Gewohnliche Differentialgleichungen Durch die Differentialgleichung 1. Ordnung dv m— i- kv = mg at wird die Sinkgeschwindigkeit v eines Teilchens der Masse m in einer Flussigkeit beschrieben {k: Reibungsfaktor; g: Erdbeschleunigung).
9)
a)
Bestimmen Sie die allgemeine Losung v = v{t) durch Trennung der Variablen.
b)
Wie lautet die partikuldre Losung fiir den Anfangswert v{0) = VQI
c)
Welche Geschwindigkeit v^^^ kann das Teilchen maximal erreichen?
Ein Kondensator der Kapazitat C wird zunachst auf die Spannung UQ aufgeladen und dann uber einen ohmschen Widerstand R entladen. Die Differentialgleichung fiir diesen zur Zeit ^ = 0 einsetzenden Ausschaltvorgang lautet: dur RC—^ + Ur = 0 dt ^ Berechnen Sie den zeitlichen Verlauf der Kondensatorspannung Uc = U(j{t) durch Trennung der Variablen.
10)
Ein Korper besitze zur Zeit t = 0 die Temperatur TQ und werde in der Folgezeit durch vorbeistromende Luft der konstanten Temperatur T^ gekuhlt (T^ < TQ). Der Abkiihlungsprozefi wird dabei nach Newton durch die Differentialgleichung
(a>0)
^=-a{T-TL) dt
beschrieben (a: Konstante). Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Korpertemperatur T fiir den Anfangswert T(0) = TQ durch Trennung der Variablen. Gegen welchen Endwert strebt die Korpertemperatur? 11)
Welche der folgenden Differentialgleichungen 1. Ordnung sind linear, welche nichtlinearl Unterscheiden Sie dabei die Unearen Differentialgleichungen nach homogenen und inhomogenen Differentialgleichungen. a) c) e)
y =xy y' — 2y = sinx yy2_^^2^
1
b)
x^ y' — y = 2xy^
d)
y' • cos X — y sin X = 1
f)
y' = Vy
g)
di L—+ Ri = u{t) dt
h)
y'-x{l+y^)
i)
xy' -\- y = \nx
j)
mv + kv = mg
k)
yVy - ^ = 0
1)
y' =
5xUy+l)
tJbungsaufgaben 12)
13)
609
Losen Sie die folgenden Differentialgleichungen l.Ordnung durch Variation der Konstanten: a)
y^-^xy
c)
xy' -\- y = X ' sinx
e)
y^ — (2 • cos x) • y = cosx
b)
= 4x
3;'+—^^e^-^ 1+X y^ • cos x — y • sin x = 1
d) f)
xy' —y = x^ + 4
Ein Stromkreis mit einem zeitabhdngigen ohmschen Widerstand werde durch die Differentialgleichung 1. Ordnung — + (2 • sin t)-i = sin (21) {t ^ 0) dt beschrieben. Ermitteln Sie den zeitlichen Verlauf der Stromstarke / durch Variation der Konstanten fiir den Anfangswert i{0) = 0.
14)
15)
Losen Sie die folgenden Anfangswertaufgaben durch Variation der Konstanten: ^)
xy^ — y = x-^ ' cos X,
b)
y^ -\- (tan x) • y = 5 • sin (2 x),
c)
xy' -\- y = Inx,
17)
Losungskurve durch Punkt P = (3 71; 2)
y(l) = 1
Wie lauten die allgemeinen Losungen der folgenden homogenen linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten? a)
/^4y
d)
ay'-by
g) j) 16)
y(n) = 27i
b)
2y + 4y = 0
c)
-3y'
= Sy
=0
e)
n = - ^n
f)
-3y'
^l^y
L-^+l^/ = 0 dt Tu -\- u = 0
h)
2-^+18)7 = 0 dx
i)
3y'-5ay
=0
=0 =0
Losen Sie die inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung y^ — 3y = x • Q^ a)
durch Variation der Konstanten,
b)
durch Aufsuchen einer partikuldren Losung.
Losen Sie die folgenden inhomogenen Unearen Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten nach der Methode ^Aufsuchen einer partikuldren Losung": b)
y^ + 2); = 4 • e^^
a)
y' = 2x-y
c)
y' -\- y = Q~^
d)
y' —4y = 5-sinx
e)
y^ — 5y == cosx + 4 • sinx
f)
y' —6y = 3-e^-^
610
V Gewohnliche Differentialgleichungen
18)
Losen Sie die folgenden Differentialgleichungen 1. Ordnung (gemischte Aufgaben):
19)
20)
a)
y' = x{y'^-^l)
b)
y' =
c)
y^ = ^y
d)
xy^ -\- y = 2-\nx
e)
j;^ = 5x^^(3; + 1)
f)
3;'— 5y = 2 • cosx - sin(3x)
y'smx
Losen Sie die folgenden Anfangswertprobleme: a)
y' ^4y
b)
/~y
c)
y'-h 3y = — cos X,
= x^ -X, = Q\
y{l) = 2 y{0) = l y{0) = 5
Ineinemsog. JRL-^trom/cr^fsmiteinemohmschen Widerstand R und einer Induktivitat L genugt die Stromstarke i der linearen Differentialgleichung 1. Ordnung di L— + Ri = u dt Dabei ist u = u{t) die von auBen angelegte Spannung (Bild V-64). Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Stromstarke / = i{t) a)
bei konstanter Spannung u{t) = const. = UQ,
b)
bei linear mit der Zeit ansteigender Spannung u{t) = at {a> 0),
jeweils fiir den Anfangswert i(0) = 0.
21)
Untersuchen Sie das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz v = v{t) eines Massenpunktes, der dem EinfluB einer konstanten Kraft F und einer zur Geschwindigkeit proportionalen Reibungskraft kv unterliegt. Die Anfangsgeschwindigkeit betrage v{0) = VQ. Skizzieren Sie die Funktion v = v{t). Welche Endgeschwindigkeit erreicht der Massenpunkt? Anleitung: Nach dem Newtonschen Grundgesetz der Mechanik ist m~r -\- kv = F dt (m: Masse; k: Reibungsfaktor).
Ubungsaufgaben 22)
611
Die Differentialgleichung eines RL-Kreises laute: — + 20i = 10-sin (20 at Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Stromstarke i fiir den Anfangswert i (0) = 0 (vgl. hierzu auch Aufgabe 20).
23)
Das Verhalten eines sog. PT^-Regelkreisgliedes der Regelungstechnik laBt sich durch die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung Ku
T ' V -\- V =
beschreiben. Dabei ist u = u{t) das Eingangssignal, v = v(t) das Ausgangssignal, T und K sind Konstanten (T: Zeitkonstante; K: Beiwert). Der schematische Aufbau des Regelkreisgliedes ist in Bild V-65 dargestellt. Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf dQs Ausgangssignals v = v{t), wenn das Eingangssignal eine sog. Sprungfunktion nach Bild V-66 ist und zu Beginn (d.h. zur Zeit t = 0) z;(0) = 0 gilt.
24)
Die Aufladung eines Kondensators mit der Kapazitat C liber einen ohmschen Widerstand R wird durch die lineare Differentialgleichung dur dt
RC —
\- Un = U
^
beschrieben (vgl. hierzu Bild V-63). Dabei ist u = u{t) die von aufien angelegte Spannung und u^ = Uc{t) die Spannung am Kondensator. a)
Bestimmen Sie die allgemeine Losung der Differentialgleichung bei einer konstanten auBeren Spannung u{t) = const. = UQ,
b)
Wie lautet die Losung fiir den Anfangswert Uc{0) = 0? Skizzieren Sie die Losung fiir R = 1000 Q, C = 10 )iF und UQ = 400 V.
612
V Gewohnliche Differentialgleichungen
25)
Ein DTi-Glied der Regelungstechnik laBt sich durch die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung T • V -{- V = Kj) • u
beschreiben {u = u{t): Eingangssignal; v = v(t): Ausgangssignal; T: Zeitkonstante; Kj)'. Differenzierbeiwert). Bestimmen und diskutieren Sie die partikuldre Losung dieser Differentialgleichung fur das periodische Eingangssignal u{t) = E ' sin (cor). 26)
Zeigen Sie, dafi sich die nicht-lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
mit Hilfe der Substitution u = y^ in eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung iiberfiihren laBt und bestimmen Sie die allgemeine Losung dieser Differentialgleichung.
Zu Abschnitt 3 1) Welche der folgenden linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung besitzen konstante Koeffizienten? Klassifizieren Sie diese Differentialgleichungen weiter nach homogenen und inhomogenen Gleichungen.
2)
a)
y'' + 2y' -hy = cosx
b)
xy''-2y'
c)
y'' -^6y' -\-9y = 0
d)
2x + x = e " ^ '
e)
y''+ /+
f)
y'' - 4/
x^y = Q''
=0 + 13y = 0
Ein Korper wird zur Zeit t = 0 aus der Hohe SQ = 10 m mit der Anfangsgeschwindigkeit VQ = 30 m/s senkrecht nach oben geworfen (sog. senkrechter Wurf). Bestimmen Sie das Weg-Zeit-Gesetz s = s{t) und das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz V = v{t). Anleitung: Die Bewegung geniigt der Differentialgleichung s= —g (^: Erdbeschleunigung; vgl. hierzu auch das einfiihrende Beispiel in Abschnitt V.1.1).
3)
Zeigen Sie: Die Funktionen yi{x) = Q'^^
und
y2{x) = X ' Q-^^
bilden eine Fundament alb asis der homogenen Differentialgleichung 2. Ordnung y" -Ay' -{-Ay = ^. 4)
Zeigen Sie, daB die komplexwertige Funktion y{x) = e^^'^ + ^ J^^ eine partikulare Losung der Hnearen Differentialgleichung 2. Ordnung y" — 3y' + 6,25 y = 0 darstellt und gewinnen Sie hieraus eine reelle Fundamentalbasis der Differentialgleichung.
Ubungsaufgaben
613
5) Zeigen Sie: Die Differentialgleichung 2. Ordnung x + 2x + 2x = 0 besitzt die linear unabhdngigen Losungen und X9 = e • cos t sm t =e Wie lautet die allgemeine Losung dieser Differentialgleichung? 6)
Losen Sie die folgenden homogenen linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung: a)
y'' ^2y'
=0
b)
2JC
c)
x - 2 x + 10x = 0
d)
cp + 4(p = 0
e)
y'^ -^4/
f)
2 ^ * + 7 ^ + 3^ = 0
-3y ^13y
=0
lay' + a^ y = ^
h) 7)
8)
Losen Sie die folgenden Anfangswertprobleme: a)
3;-+ 43;^+ 5^ = 0,
y(0) = 7i,
y'(0) = 0
b)
y' + 20/
y(0) = 0,
^'(0) = 2
c)
4 x - 4 x + x = 0,
+ 64y = 0,
x(0) = 5,
x(0)=-l
Die Differentialgleichung einer freien geddmpften Schwingung laute: X -^ px -\-2x = 0
9)
+ 20x + 50x = 0
(p>0)
a)
Bestimmen Sie den Parameter p so, daB gerade der aperiodische Grenzfall eintritt.
b)
Wie lautet die den Anfangsbedingungen x(0) = 10, x(0) = — 1 angepaBte spezielle Losung im soeben behandelten aperiodischen Grenzfalll Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf dieser „Schwingung".
Bin einseitig fest eingespannter homogener Balken (oder Trager) der Lange / werde nach Bild V-67 durch eine am freien Ende einwirkende Kraft F auf Biegung beansprucht. Die Biegelinie y = y{x) ist dann die Losung der Randwertaufgabe
^
Er
x),
3/(0) = 0,
y'{0) = 0
(E: Elastizitatsmodul; /: Flachenmoment des Balkens). Wie lautet die Gleichung der Biegelinie?
Bild V-67
614 10)
V Gewohnliche Differentialgleichungen Gegeben ist die inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung f^2y
+ y = g{x)
mit dem Storglied g{x). Ermitteln Sie fiir die nachfolgenden Storglieder anhand von Tabelle 2 den jeweiligen Losungsansatz fiir eine partikulare Losung yp{x) der inhomogenen Gleichung.
11)
12)
13)
a)
g{x) = x^ -2x+
c) e)
\
b)
g{x) = x^ — X
0 (x) = 2 • e-^ + cos X
d)
g{x) = 3 - e " ^
g{x) = 2x • e^^ • sin{4x)
f)
g{x) = Q~^ ' COS a X
Bestimmen Sie die allgemeinen Losungen der folgenden inhomogenen linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung: a)
y" + 2y' ~3y = 3x^-4x
b)
c)
X —2x + x = e^'
d)
y" -2y'
e)
X + l O x + 25x = 3-cos(5£)
f)
y ^-l^y'
g)
X — X = t • sint
h)
y" + 12y' + ?>6y = ?>'Q-^''
i)
y" + 4y= 10-sin(2x) + 2x^ - x + e"
J)
y" + 2y' + y = x'^ • e^ + X — cos x
-?>y=
-2Ay
-I-Q^""
= 2x^
~6x
Losen Sie die folgenden Anfangswertprobleme: a)
f + 6x + lOx = cosr,
x(0) = 0,
x(0) = 4
b)
y'' -^2y' + 3y = Q-^'',
y(0) = 0,
y'(0) = 1
c)
X + 2x + 17x = 2 • sin(5 0,
x(7r) = 0,
x(7r) = 1
Bestimmen Sie diejenige Losungskurve der Differentialgleichung 2. Ordnung
y^' -\- my =x^ -e"", die durch den Punkt P = (0; 2) verlauft und dort die Steigung m = y^ (0) = 1 besitzt. 14)
Bin biegsames Seil der Lange / und der Masse m gleite reibungsfrei liber eine Tischkante. Ist x = x{t) die Lange des iiberhangenden Seiles zur Zeit t, so ist die auf das Seil einwirkende Kraft gleich dem Gewicht des uberhdngenden Seiles, also {x/l)mg (g: Erdbeschleunigung). Die Differentialgleichung der Bewegung lautet somit . . X
mx = -mg
^
oder
»
9
r^
x — -x = 0
a)
Losen Sie diese Differentialgleichung fur ein 1,50 m langes Seil, das zu Beginn (t = 0) zur Hdlfte iiberhangt und sich aus der Ruhe heraus in Bewegung setzt.
b)
Nach welcher Zeit ist das Seil abgerutscht?
Ubungsaufgaben
615
Zu Abschnitt 4 1) Losen Sie die folgenden Schwingungsgleichungen (freie ungedampfte Schwingungen): a)
X + 4x = 0,
x(0) = 2 ,
x(0)
b)
X + X = 0,
x(0) = 1,
x(0)
c)
X + a^x = 0,
X (0) = 0,
x(0)
1
VQ
(«7^0)
2) Ein Feder-Masse-Schwinger mit der Masse m — 600 g und der Federkonstanten c = 50 N/m bewege sich reibungsfrei und frei von aufieren Krdften. a)
Bestimmen Sie die Kreisfrequenz ct>o, die Frequenz /o und die Schwingungsdauer To des Systems.
b)
Wie lautet die allgemeine Losung der Schwingungsgleichung?
c)
Bestimmen Sie die den Anfangsbedingungen x (0) = 0 , x(fS) = v (0) = = 0,5 m/s angepaBte spezielle Losung und skizzieren Sie den Schwingungsverlauf.
d)
Wie groB sind Auslenkung x, Geschwindigkeit v und Beschleunigung a der Masse nach /^ = 2,5 s (fiir die unter (c) bestimmte spezielle Schwingung)?
3) Das in Bild V-68 dargestellte Fadenpendel mit der Lange / und der Masse m schwingt fiir kleine Auslenkungen nahezu harmonisch. Die Schwingungsgleichung lautet dann:
^ + y^
0
Dabei v^i cp ^ cp {t) der Auslenkwinkel (gegeniiber der Vertikalen) zur Zeit t und g die Erdbeschleunigung. A und B kennzeichnen die Umkehrpunkte der Schwingung.
Bild V-68
616
V Gewohnliche Differentialgleichungen a)
Wie lautet die allgemeine Losung der Schwingungsgleichung?
b)
Mit welcher Kreisfrequenz o^o, Frequenz / o und Schwingungsdauer TQ schwingt das Fadenpendel?
c)
Bestimmen Sie die spezielle Losung der Schwingungsgleichung ftir die Anfangsbedingungen q){0) = q)o, (^ (0) = 0 (Bewegung des Pendels aus der Ruhe heraus).
4) Losen Sie die folgenden Schwingungsprobleme (freie geddmpfte Schwingungen):
5)
a)
X + 4 i + 29x = 0,
x(0) = 1,
i(0) = - 2
b)
X + X + 2x = 0,
X (0) = 0,
i (0) = 3
c)
i' + 2 i +
x(0) = 10,
i(0) = 0
5JC
= 0,
Gegeben sei das schwingungsfahige geddmpfte Feder-Masse-System (Federpendel) mit den folgenden Kenndaten: m - 0,5 kg,
b = S kg/s,
c = 128 N/m
a)
Wie lautet die allgemeine Losung der Schwingungsgleichung?
b)
Berechnen Sie die Kreisfrequenz co d, die Frequenz f d und die Schwingungsdauer T d der gedampften Schwingung.
c)
Wie lautet die spezielle Losung, die den Anfangswerten x(0) = 0,2 m, v(fd) = 0 geniigt? Skizzieren Sie den Schwingungsverlauf.
6) Die folgenden Anfangswertprobleme beschreiben mechanische Schwingungen im aperiodischen Grenzfall. Wie lauten die Losungen? a)
2x + lOi + 12,5x = 0,
x(0) = 5 ,
i(0) = 1
b)
X + i + 0,25 jc = 0,
X (0) = 1,
i (0) = - 1
7) Ein schwingungsfahiges mechanisches System bestehe aus einer Masse m — 0,5 kg und einer Feder mit der Federkonstanten c = 128 N/m. a)
Wie groB muB die Dampferkonstante h sein, damit gerade der aperiodische Grenzfall eintritt? Ftir welche Werte von b schwingt das System aperiodischl
b)
Losen Sie die Schwingungsgleichung fiir den unter (a) behandelten aperiodischen Grenzfall, wenn zu Beginn der Bewegung gilt: x(0) = 0,2 m, f (0) = 0. Skizzieren Sie den „Schwingungsverlauf".
8) Losen Sie die folgenden Schwingungsprobleme (aperiodische Schwingungen): a)
X + 6 i + 5x = 0,
x(0) = 10,
i(0) = 2
b)
X + i + 0,16x = 0,
x(0)=2,
x(0) = - 4
c)
X + 7x + 12x = 0,
x(0) = 5,
x(0) = 0
Ubungsaufgaben
617
9) Ein Kondensator mit der Kapazitat C = 5 [xF wird zunachst auf UQ = 100 V aufgeladen und anschlieBend liber einen ohmschen Widerstand von R = 500 Q und eine Spule mit der Induktivitat L = 0,2 H entladen (Bild V-69). Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Stromstarke / = i{t) in diesem Reihenschwingkreis.
Bild V-69
Anleitung: Losen Sie die Schwingungsgleichung d^i
^ . di
dt ' ^
dt^
9.
/,
^
)li = 0
R
[d =—, V
9
0)1
2L' ^
1
LC
fiir die Anfangswerte /(O) = 0 , wc(0) = wo- Zwischen der Kondensatorspannung uc{t), der Kondensatorladung q{t) und der Stromstarke i{t) bestehen dabei die folgenden Zusammenhange: C = —,
i = -q
^
uc{t) = — q{t) = - — C
Uc
i{t) dt
C
10) Stofiddmpferproblem: Untersuchen Sie mit Hilfe der Schwingungsgleichung mx + bx -{- ex = 0 die Bewegung einer Masse von m = 50 kg, die mit einer elastischen Feder der Federkonstanten c = 10200N/m verbunden ist, wenn das System die Dampferkonstante b = 2000 kg/s besitzt. Dabei werde die Masse zu Beginn der Bewegung {t = 0) in der Gleichgewichtslage mit der Geschwindigkeit VQ = 2,8 m/s angestoBen (x{0) = 0, i (0) = 2,8 m/s). Skizzieren Sie den zeitHchen Verlauf dieser aperiodischen Schwingung. 11) Ein schwingungsfahiges mechanisches System, bestehend aus einer Blattfeder mit der Federkonstanten c und einer Schwingmasse m, befindet sich fest verankert auf einem reibungsfrei bewegUchen Fahrgestell (Bild V-70). Unterliegt das Fahrwerk einer konstanten Beschleunigung a in der eingezeichneten Richtung, so geniigt das Weg-Zeit-Gesetz x = x{t) des schwingungsfahigen Systems nach dem Newtonschen Grundgesetz der Meehanik der folgenden linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: mx = — ex -\- ma
oder
x -\- a)lx = a
{<^o = e/m)
618
V Gewohnliche Differentialgleichungen
Bild V-70
Losen Sie diese Gleichung fur die Anfangswerte x (0) = 0 , i; (0) = i (0) = 0 und skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der Schwingung. 12) Die nachfolgenden linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung beschreiben erzwungene (mechanische) Schwingungen. Bestimmen Sie jeweils die allgemeine und die stationdre Losung. a)
i* + 4 i + 29x = 2 • sin (2r)
b)
i' + 6 i + 9x = cos ^ - sin ^
13) Ein schwingungsfahiges mechanisches Feder-Masse-System mit den KenngroBen m = 20 kg,
b ^ 40 kg/s,
c = 100 N/m
werde in einem Experiment durch die von auften einwirkende Kraft F (0 = 20 N • sin {(D t) zu erzwungenen Schwingungen erregt. a)
Bestimmen Sie die allgemeine Losung der Schwingungsgleichung.
b)
Wie lautet die stationdre Losung der Schwingungsgleichung? Zeichnen Sie die Resonanzkurve A = A (co) sowie den Frequenzgang der Phasenverschiebung cp zwischen Erregerschwingung und erzwungener Schwingung.
c)
Bestimmen und skizzieren Sie die stationdre Losung ftir die Erregerkreisfrequenz o) = 1 s~^.
14) Ein Reihenschwingkreis enthalte den ohmschen Widerstand R = 500 Q, einen Kondensator mit der Kapazitat C = 5 jiF und eine Spule mit der Induktivitat L = 0,2 H. Wie lautet die stationdre Losung der Schwingungsgleichung J^/
^ ^ di
9.
1
dUn
Ae
R
9
1
wenn das System durch die von auBen angelegte Wechselspannung Ua{t) = 300 V . sin(500s-i • t) zu erzwungenen elektrischen Schwingungen angeregt wird? Skizzieren Sie den zeithchen Verlauf dieser Schwingung.
ijbungsaufgaben
619
Zu Abschnitt 5 1) Zeigen Sie, daB die Funktionen y^ = e^, y2 = ^~ ^ ^^^ ^3 = ^ " ^ ^ sine Fundamentalbasis der homogenen linearen Differentialgleichung 3. Ordnung
/'' + 2y' - / -2y = 0 bilden. 2)
Losen Sie die folgenden homogenen linearen Differentialgleichungen 3. Ordnung: a)
/'' - l y + 6y = 0
c)
'x -4x-nx-6x
e)
u'" -4u"
-^Uu'
b)
y''^/
=0
d)
y'' + 3ay'' + 3a^y' -^a^y = 0
-l^u^^
f)
y'" -ly"
=0 -^\^y'
- n =^
3) Zeigen Sie: Die homogene lineare Differentialgleichung 3. Ordnung y"' -3y"
^^y'
^\3y
=^
besitzt die linear unabhdngigen Losungen (Basisfunktionen) y^ = e~^, y2 = Q^^ ' sin(3x) und ^3 = e^^ • cos (3x). Wie lautet die allgemeine Losung dieser Differentialgleichung? 4)
5)
6)
Losen Sie die folgenden homogenen hnearen Differentialgleichungen 4. Ordnung: a)
x^^) - X = 0
b)
y^'^^-y"'
c)
2/"^) + Ay" - 2Ay" + 2^y' - lOy = 0
d)
i;('^> + 8 i ' + 1 6 i ; = 0
+ 2y' = ^
Bestimmen Sie die allgemeinen Losungen der folgenden homogenen linearen Differentialgleichungen 5. Ordnung: a)
x^^^ + 2x* + i = 0
b)
y^^'> + 2y^'^^ + y'" = ^
c)
/5> + 3y^^> + lOy^'^ + 6y" + 5y' - 25y = 0
d)
j;^^) + 22y''^ + 2}/^' - 15y' + 50y = 0
Losen Sie die folgenden Anfangswertprobleme: + 4y = 0, y{0) = /{0) = 0, j''(0) = l
a)
/--3/^
b)
X * - 2 x - x + 2x = 0, x(0) = 0, x(0) = l,
c)
x^^) + 1 0 x + 9x = 0, x(7i) = 8, x{n) = 0, x{n) = 0,
d)
y^^'^ + S/" ^4y = 0 y{0) = 0, y^(0) = 0, y''(0) = 0, };''^(0) = 0, );(^)(0) = 12
x(0) = 0 x {n) = 0
620 7)
V Gewohnliche Differentialgleichungen Gegeben ist die inhomogene lineare Differentialgleichung 3. Ordnung /''^f
+ / + y = g{x)
mit dem Storglied g{x). Ermitteln Sie fur die nachfolgenden Storglieder anhand von Tabelle 3 den jeweiligen Losungsansatz fiir eine partikuldre Losung yp{x) der inhomogenen Differentialgleichung.
8)
9)
10)
a)
g{x) = 2x -^ 5
b)
g(x) = x^ — 2x^ -{- 2x
c)
g{x) = 4'Q^''
d)
^(x) = 10-e~^
e)
g(x) = 3 ' cos (2 x)
f)
^ (x) = 8 • sin x
g)
g{x) = 2- e~^ + sin (5x) + 2 • cos x
Bestimmen Sie die allgemeinen Losungen der folgenden inhomogenen linearen Differentialgleichungen 3. Ordnung: a)
/'' ^2y''
-\-y' = 10-cosx
b)
/'' -^3/'
^3/
c)
'x-\-x = 9t^
d)
/ ' ' - / ' - /
^y = x + 6'Q-'' -^y =
16x-Q-''
Welche allgemeinen Losungen besitzen die folgenden inhomogenen linearen Differentialgleichungen 4. und 5. Ordnung: a)
y^^) + 2y'' + y = 8 • sin x + x^ + 4
b)
y^^^ + 3y^^^ + 3^'' + y'' = 2(sinx + cos x + 1)
Bestimmen Sie zu jeder der nachfolgenden linearen Differentialgleichungen eine partikuldre Losung: a)
y'''-y'
b)
y'^' + 4y'' + 13 3;' = e^ + 10
c)
y'^'— 3}^'+ 2y = 2 • cos X — 3 • sin X
d)
x^"^^ ^2x^x
e)
j;(5> - 2};(^> + 3/'^ - 6y" - Ay' + ^y =
= 10x
= t-Q-^
= - 104-e^-^ + 2 4 - s i n x - 12-cos x + 8x^ 11)
Losen Sie die folgenden Anfangswertprobleme: a)
/'' i-9/
b)
y''' + ^y'' + My' + \0y = 34 • sin x + 12 • cos x j;(0) = l,
= nx,
y'{0)=-3,
c)
x ( ' ^ ) - x = 45•e2^
d)
i;(5)_^-^2t + 2
y{n) = n^,
/{n) = 2n,
/'(n) = 20
r{^) = ^ x(0) = 6, x(0) = 0, x'(0) = 15,
t;(0) = 1, r (0) = - 2, v{0) = 2, 'v (0) = 0,
x(0) = 24
i;^^) (0) = - 4
621
Ubungsaufgaben 12)
Ein beiderseits g^/en/cig gelagerter Druckstab der Lange / wirdinderausBild V-71 ersichtlichen Weise sinusformig belastet. Die Biegelinie des Stabes geniigt dann ndherungsweise der folgenden Differentialgleichung 4. Ordnung: EI • y^^) + F y'' = Q^- sin nx
T
Oder
j;^^) + a^ • y'' = K^ • sin {^x)
(mit den Abkurzungen a^ = F / ^ / , P = n/l und X^ = Qf^/EI), Dabei ist F die konstante Druckkraft in Richtung der Stabachse und EI die ebenfalls konstante Biegesteifigkeit des Stabes. Da in den beiden Randpunkten weder Durchbiegungen noch Momente auftreten konnen, gelten folgende Randbedingungen: y(0) = y(/) = 0, / ' ( 0 ) = y"(/) = 0 Welche Losung besitzt dieses Randwertproblem unter der Voraussetzung a ^ p. Stab
F
/ /
rt a(x) = Qo-s\n(^)
Bild V-71
Zu Abschnitt 6 1) Losen Sie das Anfangswertproblem y' = x-y,
y{l) = 2
ndherungsweise im Intervall 1 ^ x ^ 1,4 a)
nach dem Eulerschen Streckenzugverfahren,
b)
nach dem Verfahren von Runge-Kutta
bei einer Schrittweite von /i = 0,1 und vergleichen Sie die Ergebnisse mit der exakten Losung.
622 2)
V Gewohnliche Differentialgleichungen Die Differentialgleichung 1. Ordnung y' = y^ + 3x ist nichtlinear. Bestimmen Sie numerisch die durch den Punkt P = (0; 1) verlaufende Losungskurve im Intervall 0 ^ x ^ 0,5. Anleitung: Verwenden Sie das Runge-Kutta-Verfahren mit der Schrittweite h = 0,1.
3)
Gegeben ist die nichtlineare Differentialgleichung 1. Ordnung y' = ^x + y und der Anfangswert y{l) = 1. Bestimmen Sie ndherungsweise den Ordinatenwert der Losungskurve an der Stelle x^ = 1,2 a)
nach dem Eulerschen Streckenzugverfahren,
b)
nach dem Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung.
Wahlen Sie als Schrittweite h = 0,05. Fiihren Sie ferner eine Zweitrechnung (Grobrechnung) mit doppelter Schrittweite durch und geben Sie eine Abschdtzung des Fehlers. 4)
Losen Sie das Anfangswertproblem y" = 2y-y',
y{0) = \,
y'(0) = 0
im Intervall 0 ^ x < 0,3 naherungsweise nach dem Kwngg-XwUa-l^r/fl/iren^. Ordnung bei einer Schrittweite von /z = 0,1 und vergleichen Sie die Ndherungslosung mit der exakten Losung. 5)
Das Anfangswertproblem x + 4x + 29x = 0,
x(0) = l,
x(0) = i;(0)= - 2
beschreibt eine geddmpfte (mechanische) Schwingung {x: Auslenkung; v = x: Geschwindigkeit). Wie groB sind Auslenkung und Geschwindigkeit zur Zeit t = 0,1
6)
a)
bei exakter Losung,
b)
bei ndherungsweiser Losung der Differentialgleichung nach dem Runge-KuttaVerfahren 4. Ordnung (Schrittweite: h = At = 0,05).
Die {nichtlineare!) Differentialgleichung fur die Bewegung eines Fadenpendels lautet: (/)+-• sm (p = 0 (vgl. hierzu Bild V-68). Dabei ist (p = (p (t) der Auslenkwinkel (gegeniiber der Vertikalen) zur Zeit t,g die Erdbeschleunigung und / die Fadenlange. Das Pendel soil aus der Ruhelage heraus {cp (0) = 0) mit einer anfanglichen Winkelgeschwindigkeit von (p{0) = 1 in Bewegung gesetzt werden. Berechnen Sie fur den Sonderfall g = I den Auslenkwinkel cp sowie die Winkelgeschwindigkeit cp zur Zeit
Ubungsaufgaben
623
^ = 0,1. Welches Ergebnis erhalt man, wenn man die fiir kleine Winkel zulassige Naherungsformel sincp ^ cp verwendet (vgl. hierzu auch Ubungsaufgabe 3 aus Abschnitt 4). Anleitung: Rechnen Sie nach dem Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung mit einer Schrittweite von h = 0,05.
Zu Abschnitt 7 1)
Losen Sie die folgenden homogenen Differentialgleichungssysteme 2. Ordnung mit Hilfe des Exponentialansatzes: a)
yi
y'l =
c)
b)
y[ = -2y^-2y2
d)
y[=y2
2)
f)
6x1 + 3x2
5y2
y'i=^y\-^y2 ^2=2^1+
y2
Bestimmen Sie die allgemeine Losung der folgenden in der Matrizenform dargestellten Systeme homogener linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung:
y'lJ b)
V
y
2 -4
-IW^i 2j{x2
2
-3)[y2
yj^i 3)
y[=7y^-l5y2 y'2 = 3yi -
ii = - 3 x i - 2 x 2 X2 =
^2
^2=
y'2= - 16yi e)
x^=x^+2x2
\y2
Losen Sie das homogene Differentialgleichungssystem X = 3x — 4y y = X — 2y
4)
a)
durch einen Exponentialansatz,
b)
nach dem Einsetzungs- oder Eliminationsverfahren.
Losen Sie die folgenden inhomogenen hnearen Differentialgleichungssysteme 2. Ordnung durch „Aufsuchen einer partikuldren Losung": a)
y[=
2 ^ 2 + 8x
y'2 = - 2 ^ 1
b)
yl = -
yi+
y'2 = -4y^
3/2 + 4-e^^
-\-3y2
624
V Gewohnliche Differentialgleichungen
5)
Bestimmen Sie die allgemeine Losung der folgenden Systeme inhomogener linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung nach dem Einsetzungs- oder Eliminationsverfahren:
y2=
^yi'^^yi
- CD=(1 1)C;)^G: 3
- 1 \ /xi \
-1 6)
Losen Sie das inhomogene Differentialgleichungssystem
y2=
7)
^/ e 3J\xo)~^^\l
yi+
yi
a)
durch „Aufsuchen einer partikuldren
b)
nach dem Einsetzungs- oder
Losen Sie die folgenden a)
y i = - 3 y i + 5y2 }^2 = -
3^1 +
Losung",
Eliminationsverfahren.
Anfangswertprobleme: .
yi(0) = 2,
^2(0) = !
yi
- ';DH; :)C:>C:;:)K" Xi = — 2 x i + 2x7 + ^ ;> X i ( 0 ) = - 3 , ^ 2 = — 2 x i + 3 x 2 + 3-e*
d)
y' = (
e)
J'l = 7 ^ 1 -
5
|)y.
y2 , } }'2 = 53'i + 53/2
y(o) = ( _ i
yi(0) = 2,
j;2(0) = 0
X2(0)=-5
Ubungsaufgaben 8)
9)
625
Losen Sie das Anfangswertproblem
a)
durch „Aufsuchen einer partikuldren Ldsung'\
b)
nach dem Einsetzungs- oder EUminationsverfahren.
Ein Massenpunkt bewege sich in der x, jz-Ebene so, daB seine kartesischen Koordinaten x und y den folgenden Differentialgleichungen geniigen: X = y,
y =
—X
Bestimmen Sie die Bahnkurve fiir die Anfangswerte x{0) = y{0) = 0, x(0) = 0,
y(0)=l
Hinweis: Das Differentialgleichungssystem laBt sich mit Hilfe der Substitutionen u = X und V = y auf ein System linearer Differentialgleichungen L Ordnung zuriickfiihren. Losen Sie zunachst dieses System. Durch Rucksubstitudon und anschlieBende Integration erhalten Sie dann die gesuchten zeitabhangigen Koordinaten X = x{t) und y = y(t) des Massenpunktes.
626
VI Laplace-Transformationen
1 Grundbegriffe 1.1 Ein einfuhrendes Beispiel Bei der mathematischen Behandlung naturwissenschaftlich-technischer Probleme wie z. B. Ausgleichs- und Einschwingvorgdngen stoBt man immer wieder auf lineare Differentialgleichungen 1. und 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Die Standardlosungsverfahren fiir derartige Differentialgleichungen wurden bereits in Kapitel V ausfiihrlich behandelt^\ Ein weiteres Losungsverfahren, das auf einer Anwendung der sog. LaplaceTransformation beruht, hat sich in der Praxis als sehr niitzlich erwiesen und spielt daher (insbesondere in der Elektro- und Regelungstechnik) eine bedeutende Rolle. Wir versuchen nun anhand eines einfachen Anwendungsbeispiels einen ersten Einstieg in diese zunachst etwas kompliziert erscheinende Losungsmethode. Bild VI-1 zeigt einen auf die Spannung UQ aufgeladenen Kondensator der Kapazitat C, der zur Zeit t — 0 iiber einen ohmschen Widerstand R entladen wird.
Bild VI-1 Entladung eines Kondensators iiber einen ohmschen Widerstand
Nach dem 2. Kirchhojfschen Gesetz (Maschenregel) ^^ gilt dann: u - Ri = 0
(VI-1)
u = u{t) ist dabei die Kondensatorspannung zur Zeit t und / = /(t) die Stromstarke in Abhangigkeit von der Zeit. Zwischen der Ladung q = q{t) und der Spannung
^^ Es handelt sich um die Losungsmethoden ^Variation der Konstanten''' und „Aufsuchen einer partikuldren Losung"'. ^^ In jeder Masche ist die Summe der Spannungen gleich Null.
1 Grundbegriffe
627
u — u{t) besteht die lineare Beziehung q = Cu, aus der man durch beiderseitiges Differenzieren nach der Zeit t den Ausdmck i = -q
(VI-2)
= -Cu
fiir die Stromstarke / gewinnt (die Stromstarke / ist die Anderung der Ladung q pro Zeiteinheit; das Minuszeichen bringt dabei zum Ausdmck, dass q und u abnehmen). Unter Beriicksichtigung dieser Gleichung lasst sich der Entladungsvorgang am Kondensator auch durch die folgende lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschreiben: u -{- RCu = 0
Oder
li + RC
•w= 0
(VI-3)
Die Losung dieser Differentialgleichung muss dabei noch dem Anfangswert w (0) = UQ (Kondensatorspannung zu Beginn der Endadung) geniigen. Mit den aus Kapitel V bekannten Losungsmethoden erhalten wir den durch die Funktionsgleichung u ^ u{t) = UQ • t'RC
(r > 0)
(VI-4)
beschriebenen exponentiell abklingenden Spannungsverlauf am Kondensator (Bild VI-2).
Bild VI-2 Spannungsverlauf an einem Kondensator, der iiber einen ohmschen Widerstand entladen wird
Unser Anfangswertproblem (VI-3) lasst sich aber auch bequem mit Hilfe der sog. LaplaceTransformation losen. Die gesuchte Losungsfunktion u = u(t) wird in diesem Zusammenhang als Originalfunktion bezeichnet. Ihr wird durch eine spezielle Transformationsvorschrift, auf die wir im nachsten Abschnitt naher eingehen werden und die eben die Bezeichnung Laplace-Transformation tragt, eine als Bildfunktion bezeichnete neue Funktion [/ = U {s) der Variablen s zugeordnet. Diese Bildfunktion [/ = U {s) heiBt die Laplace-Transformierte der Originalfunktion u — u{t). Wir schreiben daftir symbolisch: U{s) = £^{u{t)}
(VI-5)
Der Operator 5£ heiBt Laplace-Transformationsoperator. In den folgenden Abschnitten werden wir die allgemeinen Eigenschaften der Laplace-Transformation naher kennenlemen und dort u. a. auch sehen, wie man die Laplace-Transformierte der Ableitung u — u{t) aus der Laplace-Transformierten der Originalfunktion u = u(t) leicht berechnen kann. Wendet man dann die Laplace-Transformation gliedweise auf die
628
VI Laplace-Transformationen
Differentialgleichung (VI-3) an, so erhalt man als Ergebnis die folgende algebraische Gleichung 1. Grades fiir die (zunachst noch unbekannte) Bildfunktion U = U (s)^^: 0
(VI-6)
Diese Gleichung losen wir nach U (s) auf und erhalten: '^'k)
' "^'^ = "0
^
U{s) = - ^ ^
(VI-7)
Dies ist die Losung der gestellten Aufgabe im sog. Bildbereich oder Bildraum. Durch Rucktransformation (in der Praxis mit Hilfe einer spezidlen Transformationstabelle, die wir spater noch kennenlemen werden) erhalten wir hieraus die Originalfunktion u — w (^), d. h. die gesuchte Losung der Differentialgleichung (VI-3). Sie lautet (wie bereits bekannt): u = u{t) = uo ' Q~RC
[t > 0)
(VI-8)
Die Praxis zeigt, dass sich beim Losen einer linearen Differentialgleichung mit Hilfe der Laplace-Transformation die durchzufuhrenden Rechenoperationen meist wesentlich vereinfachen. Darin Uegt der Vorteil dieser speziellen Losungsmethode begriindet. Wir halten fest:
^^ Am Ende dieses Kapitels kommen wir auf dieses Anwendungsbeispiel nochmals ausfiihrlich zurtick und werden doit Schritt fiir Schritt zeigen, wie man durch Anwendung der Laplace-Transformation aus der Differentialgleichung (VI-3) diese algebraische Gleichung fiir die Bildfunktion U {s) erhalt (siehe Abschnitt 5.2.1).
1 Grundbegriffe
629
1.2 Definition der Laplace-Transformierten einer Funktion Technische Probleme lassen sich oft durch zeitabhdngige Funktionen beschreiben, die erst ab einem gewissen Zeitpunkt (meist t = 0) von Null verschieden sind (z. B. Einschaltvorgdnge in der Elektro- und Regelungstechnik). Fiir solche Zeitfunktionen gilt also / (^) = 0 fiir / < 0. Wir gehen daher bei den weiteren Betrachtungen von einem zeitlich veranderlichen Vorgang aus, der zur Zeit ^ = 0 „beginnt" (sog. Einschaltzeitpunkt) und durch eine (reellwertige) Funktion / {t) mit / (r) = 0 fiir r < 0 beschriebenwird(Bild VI-3)4).
f(t)i
Bild VI-3 Zeitlich veranderlicher Vorgang (Einschaltzeitpunkt t = 0)
Dieser Funktion wird wie folgt eine Bildfunktion F [s] der (reellen oder komplexen) Variablen s zugeordnet (sog. Laplace-Transformation):
Wir fiihren noch folgende Bezeichnungen ein: / (t):
Original- oder Oberfunktion (auch Zeitfunktion genannt)
F {s):
Bild- oder Unterfunktion, Laplace-Transformierte von / (t)
S^:
Laplace-Transformationsoperator
Die Menge der Originalfunktionen heiBt Originalbereich oder Originalraum, die Menge der Bildfunktionen Bildbereich oder Bildraum. Originalfunktion / (/) und Bildfunktion F [s] — ^ {f {t)} bilden ein zusammengehoriges Funktionenpaar. Man verwendet daftir auch die folgende symbolische Schreibweise, Korrespondenz genannt: /W ^
•t^is)
"^^ Die unabhangige Variable t kann durchaus auch eine andere GroBe als die Zeit sein.
(VI-11)
630
VI Laplace-Transformationen
Anmerkungen (1)
Das in der Defmitionsgleichung (VI-9) auftretende uneigentliche Integral wird auch als Laplace-Integral bezeichnet. Es existiert nur unter gewissen Voraussetzungen (siehe spater).
(2)
Die unabhangige Variable s der Laplace-Transformierten F {s) wird haufig auch als Parameter bezeichnet. Sie kann reell oder komplex sein.
(3)
Eine Originalfunktion f (t) heiBt Laplace-transformierbar, wenn das zugehorige Laplace-Integral existiert. Fiir die Bildfunktion (Laplace-Transformierte) F (s) gilt dann: lim F{s) = 0
(VI-12)
Uber die Konvergenz des Laplace-Integrals Das Laplace-Integral ist als uneigentliches Integral durch den Grenzwert X
lim
/W
'^~''dt
definiert, fiir den man die symbolische Schreibweise
f{t)'t
'^ dt gewahlthat.
Dieser Grenzwert ist vorhanden, wenn folgende Bedingungen erfiillt sind ^^: 1. f (t) ist eine stUckweise stetige Funktion, d. h. in jedem endhchen Teilintervall liegen hochstens endlich viele Sprungstellen. 2. Fiir hinreichend groBe Werte der Zeitvariablen t gilt
1/(01 < / r - e « ^
(VI-13)
(mit K > 0, a = reell). Das Laplace-Integral konvergiert (d. h. existiert) dann in der komplexen Halbebene Re(^) > a 6) Bei den weiteren Ausfiihrungen in diesem Kapitel gehen wir stets von einer reellen Variablen s aus. Das Laplace-Integral konvergiert dann fiir jeden Wert der reellen Variablen s aus dem Intervall s > a. Diese Einschrankung ist (leider) notig, da im Grundstudium die fiir die komplexe Darstellung benotigten Kenntnisse aus dem Gebiet der Funktionentheorie noch nicht verfiigbar sind. Den an Einzelheiten naher interessierten Leser verweisen wir auf die zahlreiche Fachliteratur (siehe Literaturverzeichnis).
^) Die Bedingungen sind hinreichend, nicht aber notwendig, d. h. es gibt auch Funktionen, die diese Bedingungen nicht erfullen und trotzdem Laplace-transformierbar sind. ^) Zur Erinnerung: Re {s) ist der Realteil der komplexen Variablen s.
631
1 Grundbegriffe Beispiele
Hinweis: Die bei der Berechnung der Laplace-Transformierten anfallenden Integrale sind der Integraltafel der Mathematischen Formelsammlung entnommen (Angabe der jeweiligen Integralnummer). Diese Regelung gilt im gesamten Kapitel. (1) Laplace-Transformierte der Sprungfunktion Wir bestimmen die Laplace-Transformierte Sprungfunktion (Einheitssprung) 0
fit) = a{t)
^.. lur
1
der in Bild VI-4 dargestellten
^ < 0
f(t)k
t > 0
Bild VI-4 Sprungfunktion
Sie lautet: -Q-Sf
F(s)
=
1 • Q-'' dt
dt
—s 0
(0-
lim e
OO
-|
"e-^'" ~ - ^
"4
(s > 0; Integral Nr. 312). Denn nur fiir >s > 0 verlauft e ^^ streng monoton fallend und verschwindet im Unendlichen. Somit ist ^{1}
= s
Oder
1 o-
1
(2) Laplace-Transformierte der linearen Funktion (Rampenfunktion) Die Laplace-Transformierte der in Bild VI-5 gezeichneten linearen Funktion mit der Funktionsgleichung
fit)
0 t
^.. lur
^ < 0 t > 0
Bild VI-5 Lineare Funktion f(t) = t lautet wie folgt:
VI Laplace-Transformationen
632 oo
^.
{-St
- 1) • e-^'
- 1 • e^
^
1
1
(^ > 0; Integral Nr. 313). Wiederum gilt: Nur flir 5 > 0 verschwindet e~^^ im Unendlichen. Somit gilt die Korrespondenz ^ {t} = ^ Oder t o • — s^ s^ d. h. die Funktionen f (t) — t und F {s) = — bilden ein zusammengehoriges Funktionenpaar. (3) Laplace-Transformierte der Sinusfunktion Die Laplace-Transformierte der in Bild VI-6 dargestellten Sinusfunktion
fit]
[smr
fiir
t < 0 t > 0
Bild VI-6 Sinusfunktion
lautet wie folgt: oo
F(5) =
sinr • e'''
dt =
^2+ 1
( - 5 • sin ^ - cos t)
= lim
{— s • sint — cos ^) • e ^^ ^2 + 1
- 0 -
(0 - 1) • 1 ^2 + 1
(— ^ • sin 0 — cos 0) • e^ S^ + 1
1 s^ + I
(s > 0- Integral Nr. 322). Somit ist if {sin t} =
1 :2 + 1
Oder sin^ o
•
^2 + 1
1 Grundbegriffe
633
(4) Laplace-Transformierte eines Rechteckimpulses Der rechteckige Impuls besitze den in Bild VI-7 dargestellten zeitlichen Verlauf mit der Funktionsgleichung
{
0
A
t < a
fur
a < t < b
0
f(t)i i
t > b
A-
t)
cI
Bild VI-7 Rechteckimpuls
^ t
Wir berechnen die zugehorige Laplace-Transformierte nach der Definitionsfonnel(VI-9):
F{s)
0 • t-''
dt +
A • Q-'' dt
A • Q-'' dt = A
e-'Ut
0 • Q-'' dt =
- A —s
L-bs
_^-as\
A(e-^^ - e-^')
(s > 0; Integral Nr. 312). Fiir a = 0, A = 1 und den Grenziibergang b -^ oo erhalten wir hieraus die aus Beispiel (1) bereits bekannte Laplace-Transformierte der Sprungfunktion o{t) (BildVI-4): A{t-^'
- e
-bs\
l(ef
1 (1 - 0) _ 1 s s
634
VI Laplace-Transformationen
1.3 Inverse Laplace-Transformation Die Berechnung der Bildfunktion F {s) aus der Originalfunktion / {t) nach der Defmitionsgleichung (VI-9) wurde als Laplace-Transformation bezeichnet (Ubergang aus dem Original- in den Bildbereich). Die RUcktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich, d. h. die Bestimmung der Originalfunktion f (t) aus der als bekannt vorausgesetzten Bildfunktion F {s) heiBt inverse Laplace-Transformation. Beide Vorgange lassen sich wie folgt schematisch darstellen:
Fiir die RUcktransformation vom Bildbereich in den Originalbereich werden folgende Symbole verwendet: if -1 {F (5)} == / (t)
Oder F {s) •
o / {t)
(VI-14)
Die Ermittlung der Originalfunktion f {t) aus der Bildfunktion F {s) erfolgt in der Praxis meist mit Hilfe einer speziellen Transformationstabelle (z. B. der Tabelle in Abschnitt 4.2). Die Originalfunktion / [t) lasst sich aber auch auf dem direkten Wege mittels eines Integrals aus der zugehorigen Bildfunktion F {s) berechnen (sog. inverses Laplace-Integral, auch Umkehrintegral genannt). Die Integration ist dabei in der komplexen Zahlenebene auszufiihren und setzt fundierte Kenntnisse aus der Funktionentheorie voraus. Wir miissen daher im Rahmen dieser einfiihrenden Darstellung auf die Integralformel verzichten^\
Beispiele (1) Aus der vorgegebenen Korrespondenz t^ o
2 • — s^
Oder
^{t^}
2 = -, s^
erfolgt durch RUcktransformation (inverse Laplace-Transformation): \% s
or^
Oder
^ - ^ [ \ \ ^ t ^
2 Zur Bildfunktion F {s) = —r gehort also die Originalfunktion f {t) — t^ .
^^ Literaturhinweis fiir den an Einzelheiten naher interessierten Leser: Ameling: Laplace-Transformation (siehe Literaturverzeichnis).
2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssatze)
635
1 (2) Wie lautet die zur Bildfunktion F Is) — — gehorige Originalfunktion s^~^ 1 unter Verwendung der Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2.? Losung: Aus dieser Tabelle entnehmen wir (Nr. 11 fiXr a = 1):
Somit ist / (t) — sin t die gesuchte Originalfunktion. s^ - 9 — unter Verwen(3) Wir suchen die Originalfunktion f (t) von F (s) = -—^ dung der Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2. Losung: In der Tabelle fmden wir die folgende „passende" Korrespondenz: 2
s
(^2
2
— a
+^2)2
•
o t • COS {a t)
(Nr. 30)
Fiir (3 = 3 erhalten wir hieraus die gesuchte Originalfunktion:
2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssatze) In diesem Abschnitt werden die wichtigsten Eigenschaften der Laplace-Transformation hergeleitet und naher erlautert. Mit Hilfe dieser Satze lassen sich dann u. a. aus bekannten Funktionenpaaren neue Funktionenpaare gewinnen. Sie liefern ferner die fiir die Praxis wichtigen Rechenregeln. Wichtiger Hinweis Da die Originalfunktionen (Zeitfunktionen) / {t) stets fiir r < 0 verschwinden, konnen sie auch als Produkt mit der Sprungfunktion o {t) dargestellt werden:
Diese Schreibweise ist an manchen Stellen von groBem Vorteil, well sie MiBverstandnisse vermeidet (z. B. bei Verschiebungen der Zeitfunktion langs der Zeitachse).
2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssatze)
635
1 (2) Wie lautet die zur Bildfunktion F Is) — — gehorige Originalfunktion s^~^ 1 unter Verwendung der Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2.? Losung: Aus dieser Tabelle entnehmen wir (Nr. 11 fiXr a = 1):
Somit ist / (t) — sin t die gesuchte Originalfunktion. s^ - 9 — unter Verwen(3) Wir suchen die Originalfunktion f (t) von F (s) = -—^ dung der Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2. Losung: In der Tabelle fmden wir die folgende „passende" Korrespondenz: 2
s
(^2
2
— a
+^2)2
•
o t • COS {a t)
(Nr. 30)
Fiir (3 = 3 erhalten wir hieraus die gesuchte Originalfunktion:
2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssatze) In diesem Abschnitt werden die wichtigsten Eigenschaften der Laplace-Transformation hergeleitet und naher erlautert. Mit Hilfe dieser Satze lassen sich dann u. a. aus bekannten Funktionenpaaren neue Funktionenpaare gewinnen. Sie liefern ferner die fiir die Praxis wichtigen Rechenregeln. Wichtiger Hinweis Da die Originalfunktionen (Zeitfunktionen) / {t) stets fiir r < 0 verschwinden, konnen sie auch als Produkt mit der Sprungfunktion o {t) dargestellt werden:
Diese Schreibweise ist an manchen Stellen von groBem Vorteil, well sie MiBverstandnisse vermeidet (z. B. bei Verschiebungen der Zeitfunktion langs der Zeitachse).
636
VI Laplace-Transformationen
2.1 Linearitat (Satz uber Linearkombinationen) Wir unterwerfen eine Linearkombination aus zwei Originalfunktionen f\ (t) und / i {t) der Laplace-Transformation und beriicksichtigen dabei die aus Band 1 bekannten Integrationsregeln: CXD
C\
f,{t)
-C-'Ut
+ C2
= c 1 . if {/i (0} + C2- ^{f2
/ 2 ( 0 -e-^^Jr
W}
(VI-16)
(c 1, c 2: Konstanten). Entsprechend gilt fiir Linearkombinationen aus n Originalfunktionen der folgende Satz:
Beispiel Wir bestimmen unter Verwendung der Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2 die Laplace-Transformierte der Originalfunktion f {t) — ?>t — 5t^ ^ ?> - cos t: ^ { 3 r - 5r^ + 3 • cosr} = 3 • J^{r} - 5 • £e{t^} -h 3 • if {cos f} = 1 ^ 2 ^ = 3-
5-
3
s h3-
10
=
3^ h
3s{s'^ + 1) - 1Q(^^ + 1) + 35^ _ 35^ + 3^^ - 10^^ + 3 5 - 1 0
s^s^ +1)
~
Tn^^TT)
2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssatze)
637
2.2 Ahnlichkeitssatz Die Originalfunktion / {t) mit f (t) = 0 filv t < 0 wird einer sog. Ahnlichkeitstransformation at
(VI-18)
(fl > 0)
unterworfen. Die neue Funktion g{t) = f {a t) mit g{t) = 0 fiir r < 0 zeigt einen dhnlichen Kurvenverlauf wie die urspriingliche Funktion f {t), da sie aus dieser durch Streckung langst der Zeitachse hervorgegangen ist (MaBstabsanderung auf der Zeitachse, siehe Bild VI-8).
BildVI-8 Zum Ahnlichkeitssatz (dargestellt am Beispiel der Sinusfunktion und der AhnUchkeitstransformation f ^ 2f; /(r) = sinr -^ g{t) = sin(2r)) a) Originalfunktion / {t) b) Gestreckte Funktion g (t) Dabei gilt: a < I: Dehnung der Kurve langs der r-Achse a > I: Stauchung der Kurve langs der ^Achse Wir berechnen nun die Laplace-Transformierte der gestreckten Funktion g{t) = f {at). DefinitionsgemaB ist if{g(f)} = i ^ { / ( « r ) }
f{at)'e
'^ dt
(VI-19)
Mit der Substitution u = at,
u t = —, a
^ du at = — a
(VI-20)
bei der sich die Integrationsgrenzen nicht andem, geht dieses Integral iiber in oo
^{fiat)}
=
oo
fiu)
-C-a'
du
1 a
\a
0
F {s/a)
(VI-21)
Denn das auf der rechten Seite stehende Integral ist die Laplace-Transformierte von / (t), wenn man dort formal die Variable s durch s/a ersetzt.
638
VI Laplace-Transformationen
Wir fassen zusammen:
Beispiel Wir berechnen die Laplace-Transformierte von cos {a t) unter Verwendung des Ahnlichkeitssatzes und der (als bekannt vorausgesetzten) Korrespondenz cos t o
• —
s
Oder
s if jcos t\ = F is) = —z
und erhalten:
i^{cos(^0} =-a
F' '^ V^y
^ ^
^"^ f s\'^
+1
^ f s^
A
a^[—^\ 2"
5^+^'
2.3 Verschiebungssatze Wir untersuchen in diesem Abschnitt, welche Auswirkung eine Verschiebung der Originalfunktion / {t) langs der Zeitachse auf die zugehorige Bildfunktion hat. Probleme dieser Art treten z. B. in der Nachrichtentechnik auf: Bei der Ubertragung von Informationen werden Signale haufig zeitlich verzogert (in Folge der endlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit).
2.3.1 Erster Verschiebungssatz (Verschiebung nach rechts) Die Originalfunktion / {t) mit f {t) = 0 fiir ^ < 0 wird zunachst um die Strecke a nach rechts verschoben {a > 0). Dabei verandert die Kurve ledigUch ihre Lage gegentiber der ^Achse, der Kurvenverlauf selbst bleibt aber erhalten (Bild VI-9). Mit Hilfe der Sprungfunktion a (t) lasst sich die verschobene Funktion durch die Gleichung ^ (0 — f {^ ~ ^) • o{t - a) beschreiben.
2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssatze) f(t)k
639
9(t)k
a)
^
b)
Bild VI-9 Zum 1. Verschiebungssatz (Verschiebung nach rechts) a) Originalfunktion / {t) b) Nach rechts verschobene Funktion g {t) Der Verschiebung der Kurve / (t) entspricht die Variablensubstitution t -^ t — a. Wir bestimmen nun die Laplace-Transformierte der verschobenen Funktion g {t). DefinitionsgemaB ist ^{g{t)}
= ^{f{t-a)
-o^t-a)}
=
f{t - a) ' o(t - a) • t''^ dt
f{t - a) • c~''dt
(VI-23)
Dieses Integral losen wir durch die Substitution u = t — a,
t = u + a,
dt = du
wobei sich die Integrationsgrenzen wie folgt dndern: Untere Grenze: t = a =^ u = 0 Obere Grenze:
t = oo ^ u = oo
Damit erhalten wir: ^{g{t)}
= ^{f{t-a)
^a{t-a)}
=
f{u) • e-"^"'"'' du =
) / ( « ) • e-^" • e-'^du = e'"
f{u) • e-'"du
=
F{s) (VI-24) Das letzte Integral ist die Laplace-Transformierte F {s) der unverschobenen Originalfunktion f{t).
VI Laplace-Transformationen
640 Somit gilt:
Beispiel Wir verschieben die Sinuskurve f (t) = sin t um zwei Einheiten nach rechts (siehe Bild VI-10).
Bild VI-10 Verschiebung der Sinusfunktion um zwei Einheiten nach rechts a) Sinusfunktion b) Verschobene Sinusfunktion Die Laplace-Transformierte der verschobenen Kurve g {t) = sin {t — 2) • a{t — 2) lautet dann nach dem 1. Verschiebungssatz: ^{sm{t
- 2) . o{t - 2)} = e-^^ • ^ {sin r} = e-^^
Dabei haben wir von der Korrespondenz ^ {sin t) (siehe Transformationstabelle in Abschnitt 4.2).
1 ^2 + 1
_ -2s
^2^1
1 Gebrauch gemacht s^ + 1
2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssatze)
641
2.3.2 Zweiter Verschiebungssatz (Verschiebung nach links) Die Originalfunktion f {t) mit f {t) = 0 fiir t < 0 wird diesmal um die Strecke a{a > 0) nach links verschoben, wobei das Kurvenstiick mit t < 0 abgeschnitten wird (in Bild VI-11 gestrichelt dargestellt). Mit Hilfe der Sprungfunktion a {t) lasst sich die verschobene Kurve durch die Gleichung g{t) = f {t -^ a) a (t) beschreiben.
g(t)i
f(t)k
/ \
/
/
1 1
a)
b)
1 -a
\
Bild VI-11 Zum 2. Verschiebungssatz (Verschiebung nach hnks) a) Originalfunktion f {t) b) Nach links verschobene Funktion g {t) Fiir die Laplace-Transformierte der verschobenen Kurve lasst sich dann der folgende Satz herleiten (auf den Beweis verzichten wir):
642
VI Laplace-Transformationen Beispiel Aus der Transformationstabelle in Abschnitt 4.2 entnehmen wir fiir die lineare Funktion f {t) — t die folgcnde Laplace-Transformierte:
Wir verschieben diese Kurve um zwei Einheiten nach links und berechnen mit Hilfe des 2. Verschiebungssatzes die Laplace-Transformierte der verschobenen Kurve mit der Gleichung g{t) = (/ + 2) • o{t) (Bild VI-12):
9(t) 1 2;
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/ b)
-2
t
Bild VI-12 Verschiebung der linearen Funktionen f (t) = t um zwei Einheiten nach links a) Unverschobene Funktion b) Verschobene Funktion
^ { ( r + 2) -ait)}
-
= c^' • \^{t}
= e'^
= e2^
p2s
— e -
p25
— e e2^
t • &-"
dt
(i- [(^)-
=
-St
>r + 1) • e-^'"
(i(i-'
:)
2s + I) • e-2^ - 1 ^2
1 + (2^ + 1) • e-2* - ][ s2 {2s + 1) • e-2*
2s + 1
(Integral Nr. 313). Zum gleichen Ergebnis kommen wir, wenn wir die LaplaceTransformation ^ {{t -\- 2) • o{t)} mit Hilfe des Satzes Uber Linearkombinationen durchfiihren (Abschnitt 2.1):
2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssatze) ^{{t
+ 2) • o{t)} = ^{t
643
-oit) + 2 • o{t)} =
= if {? • 1} + 2 • i ^ ( l ) } = ^{t} _ 1
1_1
~^ -|- Z • S^
2 _l —r -\-
S
S"^
S
+ 2 • i?(l)} =
+2s
_2s
+ I
-
-
S^
S^
•
lA Dampfungssatz Die Originalfunktion f {t) mit f {t) — ^ flir r < 0 soil nun exponentiell geddmpft werden. Dies aber bedeutet eine Multiplikation der Funktion / (f) mit der Exponentialfunktion e"^^ Wir interessieren uns fiir die Laplace-Transformierte der geddmpften Funktion g {t) = e""^^ / ( O ™t g (r) = 0 fiir t < 0. Ausgehend von der Defmitionsgleichung (VI-9) der Laplace-Transformation erhalten wir das folgende Ergebnis:
^{g{t)}
= i^{e— -/(Ol
fit)
• c-^'^^^Ut
e"^^ -f{t)
= F{s -{- a)
• t-''
dt
(VI-27)
F{s ^ a) Denn das letzte Integral in dieser Gleichung ist nichts anderes als die Bildfunktion von /(f), wenn man dort formal die Variable s durch s ^ a ersetzt. Wir fassen zusammen:
Anmerkung Die Konstante a kann reell oder komplex sein. Eine ^c/zf^ Dampfung der Originalfunktion / {t) im physikalischen Sinne erhalt man jedoch nur fiir a > ^.
644
VI Laplace-Transformationen Beispiel Zur Sinusfunktion
f {t) — sinr
F{s) = i^{sinf} -
(Originalfunktion)
gehort die
Bildfunktion
1 -. Wir bestimmen mit Hilfe des Ddmpfungssatzes die 2 ^ ,.
Laplace-Transformierte der geddmpften Sinusfunktion g (t) = e~^^ • sin^: • sinf} = F{s + 3) =
^{e-^'
1 {s + 3)2 + 1
1 + 10
s^ ^6s
2.5 Ableitungssatze Wir beschaftigen uns in diesem Abschnitt mit der Differentiation im Original- und Bildbereich.
2.5.1 Ableitungssatz fiir die Originalfunktion Beim Losen einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten mit Hilfe der Laplace-Transformation werden die Laplace-Transformierten der Ableitungen einer Originalfunktion f {t) nach der Variablen t benotigt. Wir beschaftigen uns zunachst mit der Bildfunktion der ersten Ableitung f'(t). DefinitionsgemaB ist
^{f'{t)}
=
fit)
-^-"dt
(VI-29)
Dieses Integral losen wir durch partielle Integration, indem wir den Integrand / ' ( / ) • e"''' wie folgt zer/ege«: M = e ,
u = — s • e'
v'=f'{t), v'
(VI-30)
v=f{t)
u
Nach der Formel der partiellen Integration folgt dann; f'{t)-^-"dt
=
v' u dt
i-s-t~'')
•fit)
•fit)
+s
fit)
-/(O) -f{0)+s-F{s)
u'v dt —
uv' dt = uv
•f{t)dt
-c-^'dt
=
=
F{s) =s-F{s)
-/(O)
(VI-31)
2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssatze)
645
Dies gilt unter der Voraussetzung, dass lim (e~^^ ' / ( O ) = 0 ^^^ / ( ^ ) endlich ist. t^ oo
Das verbliebene Integral der rechten Seite von Gleichung (VI-31) ist die Bildfunktion F{s) v o n / ( 0 . Analog lassen sich Formeln ftir die Laplace-Transformierten der hoheren Ableitungen gewinnen. Es gilt der folgende Satz:
Anmerkung Ist / (t) eine Sprungfunktion mit einer (endlichen) Sprungstelle bei r = 0, so sind fiir /(O), /^ (0), . . . , /^"~^^ (0) jeweils die rechtsseitigen Grenzwerte einzusetzen, fiir die man auch die symbolische Schreibweise / (+ 0), /^ (+ 0), . . . , / ^'^~ '^ (4- 0) verwendet. •
Beispiele (1) Von der Funktion f {t) = sin r sind Anfangswert /(O) und Bildfunktion F {s) bekannt: / (0) = sin 0 = 0 und
F {s) = ^ {sin t} =
-^—
646
VI Laplace-Transformationen Wir berechnen hieraus unter Verwendung des Ableitungssatzes die LaplaceTransformierte der Kosinusfunktion: i ^ { / ' ( 0 } = i ^ | ^ ( s i n 0 } = i f { c o s O =s-F{s) 1
-/(O) =
s
(2) Wir bestimmen aus dem gegebenen Funktionenpaar
mit Hilfe des Ableitungssatzes die Laplace-Transformierten der Ableitungen f'{t) = 2r und /'^(O = 2 (An/a«g^wm^: / (0) = 0, f {0) = 0): 7. Ableitung:
^{f'{t)}
= Se{lt\ = s • F{s) -/(O) = . . 4 - 0 = ^ S^
S^
2. Ableitung: ^{f'm
= ^ { 2 } = .^ . F{s) - s -/(O) - / ' ( O ) = . 2 2 = s^'-.-s-0-0 = -
-
2.5.2 Ableitungssatz fiir die Bildfunktion Wir interessieren uns jetzt fiir die Ableitungen der Bildfunktion F {s) = ^ {/ (r)} nach der Variablen s. Aus der Definitionsgleichung der Laplace-Transformation folgt unmittelbar durch beiderseitige Differentiation nach s (wir differenzieren unter dem Integralzeichen, d. h. vertauschen die Reihenfolge der beiden Operationen): \
CX)
^'(" = 7.^W = l f{t) • ( - 0
-c'^'dt:
-t-f{t)]
•Q-^'dt
=
^{-ff{t)}
^{-t-f{t)} (VI-35) Denn das letzte Integral dieser Gleichung ist nichts anderes als die Laplace-Transformierte der Funktion g{t) = — f -/{t), von der wir voraussetzen, dass sie Laplacetransformierbar ist. Analog lassen sich Formeln fiir die hoheren Ableitungen der Bildfunktion F (s) herleiten.
2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssatze)
647
Es gilt zusammenfassend:
Anmerkung Der Ableitungssatz fiir die Bildfunktion lasst sich auch in der Form ce{t- . / ( f ) } = ( - 1 ) - . F^^^s)
(VI-39)
darstellen. •
Beispiele (1) Aus dem vorgegebenen Funktionspaar f (t) = sinh t o
• F (s)
A
1
erhalt man durch Anwendung des Ableitungssatzes in der Form (VI-39) fiir n — I diQ Bildfunktion (Laplace-Transformierte) von g (t) = t • sinh f:
i.{..s:nh.} = ( - l ) ' . F ' ( . ) = - ^ ( - ^ ) = - ^ ( . ^ - l ) -
648
VI Laplace-Transformationen (2) Ausgehend von der Korrespondenz fit)
= e«' o
. F{s) -
^ s — a
bestimmen wir mit Hilfe des Ableitungssatzes (VI-39) die Laplace-Transform/^r/^ der Funktion g{t) — t^ • e^^: [s - a)-
F"W = | l - ( . - . ) - | = 2 ( . - W - ' - . = i ^ (beide Male wurde nach der Kettenregel differenziert) if{r2-e-}^(-l)2-F^'(.)=--^
2.6 Integralsatze Wir beschaftigen uns in diesem Abschnitt mit der Integration im Original- und Bildbereich.
2.6.1 Integralsatz fiir die Originalfunktion t
An dieser Stelle interessiert uns, wie sich das Integral
f (u) du einer Originalfunktion 0
/ {t) bei der Laplace-Transformation verhalt. Es gilt der folgende Satz (ohne Beweis):
2 Eigenschaften der Laplace-Transfonnation (Transformationssatze)
649
Anmerkung Eine etwas allgemeinere Transformationsformel fiir ein Integral erhalt man, wenn man die Integration im Interval! [a, t] ausfiihrt: '
^
t
'
f
1
du
(M)
F{s)-
(VI-41)
f {u) du
In den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen ist meist a = 0 und Formel (VI-41) geht dann in den Spezialfall (VI-40) uber. •
Beispiele (1) Wir gehen von der als bekannt vorausgesetzten Korrespondenz f{t)
= cosr o
• F{s) =
^ ^ ^
aus und bestimmen aus diesem Funktionenpaar die Laplace-Transformierte der Sinusfunktion. Wegen cos u du = sm u
sin ^ - sin 0 = sin r - 0 = sin ^
folgt aus dem Integralsatz mit / (w) = cos u unmittelbar die gewiinschte Beziehung: cos u du\
^
'
1 1 ^ 1 — ^ {sin t\ = — • F (s) = — • -^ = -^ ^ ^ s ^^ s s^ ^ I s^ ^ I
(2) Aus der bekannten Korrespondenz fit)
=to
.F{s)
= \ S^
konnen wir mit Hilfe des Integralsatzes fur die Originalfunktion problemlos die Bildfunktion von g(t) = t^ ermitteln. Zunachst bestimmen wir das Integral von f {u) — u: f (u) du =
i= '
1
u du =
Aus dem Integralsatz (VI-40) folgt dann: ^
^{t'}
udu}
= ^{—
Oder
F{s)
t
t o
•
2
1
1
1
VI Laplace-Transformationen
650
2.6.2 Integraisatz fiir die Bildfunktion Die Integration einer Bildfunktion F (s) = ^ {f {t)} regelt der folgende Satz, den wir ohne Beweis anfuhren:
Voraussetzung dabei ist, dass die Funktion g{t) = — - f (t) Laplace-transformierbar ist. ^
Beispiel Ausgehend von dem Funktionenpaar
berechnen wir mit Hilfe des Integralsatzes die Laplace-Transformierte der Funktion g{t) = t^, die wir als Quotient aus f (t) = t^ und t auffassen konnen: ^
{f'1
^{t^}
-2
F {u) du =
= -2
0
6u ^ du = 6
2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssatze)
651
2.7 Faltungssatz In den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen (z. B. bei der mathematischen Behandlung linearer Ubertragungssysteme) stellt sich haufig das Problem der Rucktransformation einer Bildfunktion F{s), die als Produkt zweier Bildfunktionen Fi{s) und F2 {s) darstellbar ist: (VI-43)
F{s) = F,{s) • F2{s)
Die Originalfunktionen / i {t) = ^ " ^ { F i {s)} und /2 (0 -^ ^-^{F2{s)} der beiden Bildfunktionen (Faktorfunktionen) Fi (^) und F2 (s) werden dabei als bekannt vorausgesetzt^l Es stellt sich dann die Frage nach der Originalfunktion f{t) des Produktes F {s) = F\ (s) • F2 (s). Man vermutet zunachst, dass sich die gesuchte Originalfunktion / {t) ebenfalls in der Produktform, namhch als Produkt der Originalfunktionen fx {t) und /2 (0 darstellen lasst. Mit anderen Worten: Folgt aus F {s) = F\ {s) • F2 (s) stets auch f {t) = / i {t) ' /2 (^)? Bei der Losung dieses wichtigen Problems, auf die wir im Rahmen dieser einfiihrenden Darstellung nicht naher eingehen konnen, zeigt sich jedoch, dass dies nicht der Fall ist. Die gesuchte Originalfunktion / [t) ist vielmehr durch eine Integralkombination der beiden Originalfunktionen f\ {t) und /2 {t) vom Typ
fit)
/ , {u) •f2{t-
u) du
(VI-44)
gegeben. In der mathematischen Literatur wird dieses Integral als Faltungsintegral oder (einseitige) Faltung der Funktionen f\ (t) und /2 {t) bezeichnet. Fiir das Faltungsintegral wird meist die symbolische Schreibweise f\ (t) * /2 {t) verwendet (sog. Faltungsprodukt; gelesen: / i (t) „Stem" /2 (t)). Wir defmieren:
Anmerkung Die Bezeichnung F^liungsprodukt ist gerechtfertigt, da sich diese GroBe wie ein gewohnliches Produkt, d. h. kommutativ, assoziativ und distrubutiv verhalt.
Sie lassen sich meist ohne groBe Schwierigkeiten aus einer Transformationstabelle bestimmen.
652
VI Laplace-Transformationen
Rechenregeln fur das Faltungsprodukt Kommutativgesetz f\ (t) * / i {t) = / i {t) * f\ (t)
(VI-46)
[/i (0 * /2 (0 ] * / s (0 = / i (0 * [/2 {t) * / s (0 ]
Assoziativgesetz
Distributivgesetz / i (0 * [fi (0 + / s (0] = / i (0 * / i (0 + / i (0 * h (0
(VI-47) (VI-48)
Wir sind nun in der Lage, den sog. Faltungssatz TAX formulieren (ohne Beweis):
Anmerkungen (1)
Der Faltungssatz lasst sich auch in der Form ^-'
{Fi (.) • F2 {s)] = / i (0 * /2 (0
(VI-50)
formulieren: Zum Produkt zweier Bildfunktionen F\ {s) und F2 {s) gehort im Originalbereich das Faltungsprodukt der zugehorigen Originalfunktionen f\{t) undf2{t). (2)
Bei der Rucktransformation einer Bildfunktion F(5'), die sich in ein Produkt F {s) = F\ {s) ' F2 (s) zweier (einfach gebauter) Faktorfunktionen Fi (s) und F2 (s) zerlegen lasst, kann man auch wie folgt vorgehen: 1. Aus einer Transformationstabelle (z. B. der Tabelle in Abschnitt 4.2) entnimmt man die zugehorigen Originalfunktionen f\{t) = ^"^ {Fi {s)}
und/2(r) = i f - ' { F 2 ( . ) } . 2. Die gesuchte Originalfunktion / (t) von F {s) — F\ (5) • F2 {s) kann dann als Faltungsprodukt der Originalfunktionen / i {t) und / i (t) berechnet werden: f{t)
= ^-'{F{s))
= /lW*/2W
= ^-'{F,{s)-F2{s)} f,{u)
•f2{t-u)du
= (VI-51)
2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssatze)
653
Beispiele (1) Wir
bestimmen
mit
Hilfe
des
Faltungssatzes die
zur
Bildfunktion
1 gehorige Originalfunktion f{t). Dazu zerlegen wir die {s^ + 1)^
F{s)
Bildfunktion zunachst wie folgt in ein Produkt aus zwei Faktoren:
whvs-{^0-(}^=''^'^-''^'^
i^ {/(?)} =Fis)
Fi (s)
F2 (s)
Die Originalfunktionen f\ {t) und fj (t) der beiden Faktorfunktionen Fi (s) und F2 (s) lassen sich leicht anhand der Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2 bestimmen:
/,(0 = i--'{f',(5)} = i - - ' { ^ ^ }
Sin t
Die gesuchte Originalfunktion f {t) ist dann das Faltungsprodukt dieser beiden Originalfunktionen:
f{t)
=/l(0*/2(0
/ i (w) 'flit-
u) du
Mit / i [u) = sin w und fiit - u) = 1 erhalten wir schlieBlich: (sin w) • 1 Jw =
/w0 =
sin M [ (iw
cos u
0
— cos t + COS 0 = — cos ^ + 1
=
1— COS t
Somit ist f (t) = I - cos t die Originalfunktion von F (^) 1
(2) Die RUcktransformation der Bildfunktion F [s)
(^2 + 1)^ in den Original-
^ 2 - 4
bereich lasst sich mit Hilfe des Faltungssatzes leicht durchfiihren. Zunachst zerlegen wir F [s) wie folgt in ein Produkt aus zwei Faktoren: Fis)
1
1
1
^2-4
(5+ 2) ( ^ - 2 )
V^ + V F, (.)
1
V^ - 2 F2 {s)
Fi is) . F2 (.)
654
VI Laplace-Transformationen Die Originalfunktionen der beiden Faktoren werden anhand der Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2 wie folgt ermittelt:
/i(0 = i^-^{/^i(.)} = i - - ^ { ^ } = / 2 ( 0 = ^-'{F2[S)}
=
-2f
,2r
^-
s - 2
Die gesuchte Originalfunktion f {t) — ^ ^ [F{s)} — ^ Hann das Has Faltungsprodukt Fnltunosmrndiikt d\es.ex dann dieser hehdew beiden FnnktinnenFunktionen: f {t) = / i (r) * /2 (f) =
/i
(M)
• /2 (/ -
M)
> ist
^ l—^ *<
^
^«
Mit / i (M) = e~2" und /2 (/ - M) = e^*'""' erhalten wir schlieBlich: g - 2 « . g2r . e - 2 « ^ j ^
g-2« . e2('-«)^M
/w
c" • c-''"du
,2f
'1
= e^' •
.2r
-4M
.2?
c~'"'du = e
1 -e
sinh (2 0
(Integral Nr. 312).
2,8 Grenzwertsatze In zahlreichen Anwendungsbeispielen interessiert allein das Verhalten der Originalfunktion / (t) zu Beginn, d. h. zur Zeit t = 0 und am Ende, d. h. fiir t -^ oo. Der genaue Kurvenverlauf der Originalfunktion / (t) spielt nur eine untergeordnete Rolle und wird daher oft gar nicht benotigt. Mit anderen Worten: Von Interesse ist haufig nur der Anfangswert f (0) = lim / (t)
(rechtsseitiger Grenzwert)
(VI-52)
bzw. der Endwert /(oo) =
lim/(0
(VI-53)
In beiden Fallen lasst sich das asymptotische Verhalten der Originalfunktion f {t) fur t -^ 0 bzw. t ^ oo auch ohne Riicktransformation direkt aus der (als bekannt voraus-
2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssatze)
655
gesetzten) Bildfunktion F {s) bestimmen. Die Berechnung von Anfangs- und Endwert erfolgt dabei mit Hilfe der folgenden Grenzwertsdtze (Voraussetzung: Der jeweilige auf der linken Seite stehende Grenzwert muss vorhanden sein):
Anmerkung Der Anfangswert / (0) wird bei Sprungfunktionen haufig auch mit / (+ 0) bezeichnet um anzudeuten, dass es sich um den rechtsseitigen Grenzwert der Funktion fiir ^ ^ 0 handelt (r > 0). Beweis: Wir beweisen exemplarisch die Formel fiir den Endwert / ( o o ) . Nach dem Ableitungssatz fiir die Originalfunktion f [t) gilt: ^{f'{t)}
(VI-56)
= s • F{s) -f{0)
DefmitionsgemaB ist dabei die Laplace-Transformierte der Ableitung f {t) durch das folgende Integral gegeben:
^{f'{t)}
= J f'{t) -c-^Ut
(VI-57)
0
Diesen Ausdruck setzen wir in die Gleichung (VI-56) ein: fit)
•c-''dt
= s-F{s)
-/(O)
(VI-58)
Beim Grenzubergang fur ^ -^ 0 wird hieraus die Gleichung
lim ^^0
f'{t)
. e-^^Jr
= lim [. • F{s) - / ( O ) ]
(VI-59)
656
VI Laplace-Transformationen
Auf der linken Seite darf der Grenziibergang mit der Integration vertauscht werden: |(lim/'(r)-e-")Jf
/ ' ( ? ) • ( ] i m e - ^ ' ) dt
f it) dt = [/ (/)J ^ = / (oo) - / (0)
(VI-60)
Auf der rechten Seite von Gleichung (VI-59) diirfen wir die Grenzwertbildung gliedweise vomehmen: lim [. • F{s) - / ( O ) ] = lim [. • F{s)\
-/(O)
(VI-61)
So geht Gleichung (VI-59) unter Beriicksichtigung der Gleichungen (VI-60) und (VI-61) schlieBlich iiber in / M - / ( 0 )
= limf. • F ( . ) ] - / ( 0 )
(VI-62)
5—>0
Oder (VI-63)
Beispiele (1) F{s)
s^ + a'
Die zugehorige Originalfunktion f{t) besitzt den folgenden Anfangswert f (0) (dessen Existenz wir voraussetzen): /(O) = I i m / ( r ) = lim [s • F{s)] = lim ^ • ^ f^O' 5^oo \ s^ ^ a-
= lim
— lim 5 - ^ oo
'
,
^
= 1
v+^;
(vor der Ausfiihrung des Grenziibergangs Zahler und Nenner durch s^ dividieren). Ein Vergleich mit der aus der Transformationstabelle in Abschnitt 4.2 entnommenen Originalfunktion f{i)
= ^ - ' { F ( . ) } = <£-' { ^ Y ^ }
bestdtigt dieses Ergebnis: /(O) = lim (cos (at)) = cos 0 = 1
= cos(aO
2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssatze)
657
5^+12 Wir bestimmen den (vorhandenen) Endwert f (oo) der zugehorigen (aber noch unbekannten) Originalfunktion f {t): / ( ^ ) = lim /(f) - lim [5 • F{s)]= , lim
lim (s •
^ f ^
f5s+l2
-^o\ s + 4
Dieses Ergebnis soil jetzt mit der durch Rucktransformation erhaltenen Originalfunktion f {t) bestatigt werden. Zunachst aber stellen wir die echt gebrochenrationale Bildfunktion F {s) wie folgt als Summe von Partialbriichen dar (vgl. hierzu auch den spateren Abschnitt 4.1): 5^+12_A ^'^^ ~ ^ (^ + 4) ~ ^
B _A{s + A)^Bs ^+ 4 ~ ^ (^ -f 4)
A(^ + 4) + 5 ^ = 5^ + 12 Wir setzen jetzt fiir s die Werte 0 und — 4 ein (Nullstellen des Nenners) und erhalten fiir die Konstanten A und B folgende Werte:
Somit gilt: ^'
5 5 + 12 ^ (^ + 4)
3 s
2 ^+ 4
Rucktransformation mit Hilfe der Tabelle aus Abschnitt 4.2 fiihrt auf die Originalfunktion
J ' I , o = 3 • i^-'1 <^-^ + 2 • a?-\ ^
{7}
'
^
= 3 • 1 + 2 • e"'*' = 3 + 2 • t-"' Sie besitzt den Endwert /(oo) = lim / ( / ) = lim (3 + 2 • e""^') = 3 in voUiger Ubereinstimmung mit dem aus der Bildfunktion F {s) erhaltenen Ergebnis. •
658
VI Laplace-Transformationen
2.9 Zusammenfassung der Rechenregeln (Transformationssatze) Hinweis: if { / ( / ) } = F(^);
a, ci, C2: Konstanten
3 Laplace-Transformierte einer periodischen Funktion
659
3 Laplace-Transformierte einer periodischen Funktion In den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen spielen periodisch ablaufende Vorgange wie z. B. Schwingungen oder periodische Impulsfolgen eine besondere RoUe. Ein solcher Vorgang lasst sich durch eine (meist zeitabhdngige) periodische Funktion / {t) mit der Periode (oder Schwingungsdauer) T beschreiben (Bild VI-13).
Bild VI-13 Periodische Funktion mit der Periode (Schwingungsdauer) T
Wegen der Periodizitdt ist
fit) =f{t^T)
=
{n = 1,2,3,...)
fit^nT)
(VI-64)
fiir t > 0, fixY t < 0 dagegen ist nach wie vor f (t) = 0^\ Fiir die Laplace-Transformierte einer solchen periodischen Originalfunktion kann wie folgt eine spezielle Integralformel hergeleitet werden. DefinitionsgemaB ist ^{f{t)]
fit)
^F{s)
-t-'Ut
(VI-65)
0
Die Integration fiihren wir dabei stUckweise langs der einzelnen Periodenintervalle aus: T
F{s)
IT
f{t)
• e~" dt +
3T
fit)
•c-"dt
+
fit)
•t-''dt
+
IT {n+\)T
E
fit)
-c-'Ut
riT
^^ Die Periodizitat der Funktion / (t) bleibt somit auf den positiven Zeitbereich beschrankt.
(VI-66)
660
VI Laplace-Transformationen
Mit Hilfe der Substitution t = u -^ nT,
u — t — nT,
dt — du
Untere Grenze: t = nT
=> u = nT — nT = 0
Obere Grenze: t = {n + I) T
=> u = {n + I) T - nT = T
(VI-67)
geht diese Gleichung iiber in
F{s) = f2\
(VI-68)
f/(w + fir) . e-^(" + "^)c/w)
Damit haben wir erreicht, dass alle Teilintegrale dieselben Integrationsgrenzen besitzen. Unter Benicksichtigung von f {u) = f {u + nT) folgt weiter:
und e-'("+'^^) = e " ' " • e ^ " ' ^
^W = £ | e - " ^ ^ - | / W - e — J ^ j
(VI-69)
Der von der Integrationsvariablen u unabhdngige Faktor e "^^ wurde dabei vor das T
Integral gezogen. Das Integral
f (u) • Q~^^ du wiederum ist vom Summationsindex n 0
unabhdngig und darf somit vor das Summenzeichen gezogen werden. Dies fiihrt zu oo
F{s) =
f{u) • e-^" Jw 'J2 ^""'^
(^I-^O)
n=0
Die in diesem Ausdruck auftretende unendliche Summe ist eine (unendliche) geometrische Reihe: oo
oo
00
^e-"^^ = ^(e-^^)" = ^ ^ " n=0
n=0
^^^
= 1+^ + ^2^...
(VI-71)
n=0
Setzen wir ^ > 0 voraus, so gilt ^ = e~^^ < 1 und die Reihe konvergiert dann mit dem Summenwert 1/(1 — q). Somit ist 00
E^-""
oo
= E(^^")" = r ^
1
(vi-72)
3 Laplace-Transformierte einer periodischen Funktion
661
Fiir die Laplace-Transformierte der periodischen Funktion / {t) erhalten wir damit: f{u) • e"^" Jw
F{s)
1 - e
1 - e
-sT
f{u) • Q-'" du (VI-73)
Wir fassen zusammen:
Beispiele (1) Wir berechnen die Laplace-Transformierte der in Bild VI-14 dargestellten periodischen Rechteckkurve ] fiir 1
fit) f(t)i
0 < f < a , a < t < 2a '
(p^^ ^
J ^ 2a) '
I
1-
—^^ a -1
2a
3a
4a
Bild VI-14 Periodische Rechteckkurve
t
.
Aus Gleichung (VI-74) folgt zunachst: la
F{s)
1 1 - e
1 • t-''
- 2as LO
dt +
-1) • Q-'' dt
662
VI Laplace-Transformationen Die Auswertung der beiden Integrale ergibt (Integral Nr. 312):
1'-"'•'"=I 0 0
e-^^-1
dt —S
1
0
0
2a
la
(-1) . c-'Ut
2-
=
e-2a.
_ g -
dt
—s Somit ist "1 - e~-as s —
Fi^) = YZ-
1- 2 1 -
p — las
^ —as
+
. Q-as
S _^ ^-las
1I - 2 • e - ^ ' + e -las\ si
Q-^as
-las
Der Zahler und der rechte Faktor im Nenner sind noch als Binome darstellbar: Zahler:
1 - 2 • e"^^ + e"^^^ = (1 - e-^^)^
Nenner: 1 - e'^^^ = (1 + e"^') (1 - e"^')
(2. Binom) (3. Binom)
Unter Beriicksichtigung dieser Formeln erhalten wir schlieBlich fiir die Laplace-Transformierte der Rechteckfunktion: F{s)
as\ 1 (1 - e~")
^(1 + e-«^)(l - e-«^) 1
(1 - e-^^) • e^^ _ 1
1 - e s{\ + e-«^) e^^ - 1 _ 1
7 * (1 + e-«^) • e«^ ~ 7 ' e^^TT ~ 7• tanh (y) (Faktor 1 — e ^^ herauskiirzen, dann den Bruch mit e^^ erweitem). (2) Wir suchen die Laplace-Transformierte der in Bild VI-15 skizzierten Sdgezahnfunktion (Kippschwingung) mit der Periode (Schwingungsdauer) T = a.
Bild VI-15 S agezahnfunktion (Kippschwingung)
4 Riicktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich
663
Losung: Im Periodenintervall 0 < ^ < ^ gilt f (t) = — t und somit a F{s) =
— t't
1 - e
, t -t
'^ dt ^ ^^
'^ dt
Das Integral wird mit der Integraltafel ausgewertet (Integral Nr. 313): r • e '^ dt =
{-as
-St - \]
- 1) • e-^^ + 1
Somit ist F{s) =
a{l - Q-^')
as - 1) • e-^^ + 1 s^
_ A[{-as - 1) • e"^^ + 1] ~ as^{l - e-^^) Wir erweitem noch den Bruch mit e^^ und erhalten schlieBlich: F{s) =
A{-as -I ^ e^^) as^ic^' - I)
A{1 + as - e ^ ^ ) as^ (1 - e^^)
4 Riicktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich 4.1 AUgemeine Hinweise zur Riicktransformation Die Laplace-Transformation erweist sich bei der Losung zahlreicher naturwissenschaftlich-technischer Probleme als eine auBerst niitzliche Methode, da sich die durchzufiihrenden Rechenoperationen beim tJbergang vom Originalbereich in den Bildbereich meist wesentlich vereinfachen. Die Losung des Problems im Bildbereich wird dann durch eine Bildfunktion F (s) beschrieben. Um die Losung der gestellten Aufgabe im Originalbereich, d. h. die gesuchte Originalfunktion f (t) zu erhalten, muss man die Bildfunktion F [s) mittels der inversen Laplace-Transformation in den Originalraum rilcktransformieren. Der eingeschlagene Losungsweg lasst sich dabei wie folgt schematisch darstellen:
4 Riicktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich
663
Losung: Im Periodenintervall 0 < ^ < ^ gilt f (t) = — t und somit a F{s) =
— t't
1 - e
, t -t
'^ dt ^ ^^
'^ dt
Das Integral wird mit der Integraltafel ausgewertet (Integral Nr. 313): r • e '^ dt =
{-as
-St - \]
- 1) • e-^^ + 1
Somit ist F{s) =
a{l - Q-^')
as - 1) • e-^^ + 1 s^
_ A[{-as - 1) • e"^^ + 1] ~ as^{l - e-^^) Wir erweitem noch den Bruch mit e^^ und erhalten schlieBlich: F{s) =
A{-as -I ^ e^^) as^ic^' - I)
A{1 + as - e ^ ^ ) as^ (1 - e^^)
4 Riicktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich 4.1 AUgemeine Hinweise zur Riicktransformation Die Laplace-Transformation erweist sich bei der Losung zahlreicher naturwissenschaftlich-technischer Probleme als eine auBerst niitzliche Methode, da sich die durchzufiihrenden Rechenoperationen beim tJbergang vom Originalbereich in den Bildbereich meist wesentlich vereinfachen. Die Losung des Problems im Bildbereich wird dann durch eine Bildfunktion F (s) beschrieben. Um die Losung der gestellten Aufgabe im Originalbereich, d. h. die gesuchte Originalfunktion f (t) zu erhalten, muss man die Bildfunktion F [s) mittels der inversen Laplace-Transformation in den Originalraum rilcktransformieren. Der eingeschlagene Losungsweg lasst sich dabei wie folgt schematisch darstellen:
664
VI Laplace-Transformationen
In der Anwendungspraxis erweist sich die RUcktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich als der schwierigste Schritt im Losungsschema. Sie erfolgt im Regelfall unter Verwendung einer speziellen Transformationstabelle, in der alle wesentlichen zusammengehorigen Funktionenpaare (Korrespondenzen) systematisch geordnet sind. Da in den Anwendungen haufig gebrochenrationale Bildfunktionen auftreten (z. B. beim Losen von linearen Differentialgleichungen) zerlegt man diese zunachst mit Hilfe der aus der Integralrechnung bereits bekannten Partialbruchzerlegung in eine Summe aus einfachen Briichen, den sog. Partialbriichen und bestimmt dann aus der Transformationstabelle Glied fiir Glied die zugehorigen Originalfunktionen^^\ Auch der Faltungssatz kann bei der Riicktransformation sehr hilfreich sein. Prinzipiell besteht auch die Moglichkeit, die Originalfunktion f {t) auf direktem Wege liber das Laplacesche Umkehrintegral aus der bekannten Bildfunktion F {s) zu berechnen. Diese Methode wird aber nur selten angewendet, da hierzu fundierte Kenntnisse aus dem Gebiet der Funktionentheorie benotigt werden. Daneben gibt es noch weitere, sehr spezielle Methoden der Riicktransformation, die aber in der Anwendungspraxis keine nennenswerte RoUe spielen. Wir halten fest:
^°) Zur Partialbruchzerlegung siehe Band 1 (Kap. V, Abschnitt 8.3.1) und Mathematische Formelsammlung (Kap. V, Abschnitt 3.3.1).
4 Riicktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich
665
AbschlieBend zeigen wir anhand eines Beispiels, wie man mit Hilfe der Partialbruchzerlegung und einer geeigneten Transformationstabelle die Originalfunktion einer vorgegebenen gebrochenrationalen Bildfunktion ermittelt.
Beispiel F s)
4^3+4^2
s^{s-2)'
s^{s^ - 4s + 4) 2. Binom
Partialbruchzerlegung dieser echt gebrochenrationalen Funktion: Nennemullstellen: ^^ (5" - 2)^ = 0 ^
i'1/2 = 0,
^3/4 = 2
Ansatz fiir die Partialzerlegung: s^ ^Is^ - 4s + 4 A B C D = — + -7 + ^ + ^2(^-2)2 s s^ s -1 {s - ly __As{s - 2)2 + 5 ( ^ - 2)2 4- Cs^ (^ - 2) + Ds^ ^2(^ -
"
2)2
Berechnung der Konstanten A, B, C und D: s^ ^2s^ - 4s -^ 4 ^ As{s - 2)^ + B {s - 2) ^ + C s^ {s - 2) + Ds^ Wir setzen fiir s der Reihe nach die Werte 0 und 2 (d. h. die Nennemullstellen) und zusatzlich noch die Werte 1 und — 1 ein: 4 = 4B ^
5=1
\2 = 4D =^ D = ?> =^ 3 = A + l - C + 3 - >
3=A^B-C-^D - 1 =A - C
Oder
A- C = - 1
9 = - 9 A + 9 B - 3 C + Z) => 9 = -3=-9A-3C
Oder
-9A+9-3C+3
3A + C = 1
666
VI Laplace-Transformationen Die Konstanten A und C berechnen wir aus dem Gleichungsstystem (*)
A - C
(**)
(*)
3A + C =
^
•;} +
4A
=
0 =^ A = 0
0 - C
= -1
^
C = 1
Damit besitzen die vier Konstanten die folgenden Werte: A = 0,
5=1,
C=l,
D = 3
Die Partialbruchzerlegung der Bildfunktion F (^) lautet damit: ^ 5^ + 2^2 - 4^ + 4 _ 1 1 3 ^^'^ ^4 _ 4^3 + 4 ^ 2 - ; i + 7 3 ^ + (^ - 2) 2 Gliedweise Rucktransformation nach der Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2 fiihrt dann zu der folgenden Losung (Originalfunktion):
f + e^' + 3^ • e^^ = r + (1 + 3 0 • e^'
4.2 Tabelle spezieller Laplace-Transformationen Die nachfolgende Tabelle enthalt einige in den Anwendungen besonders hdufig auftretende Funktionenpaare (Korrespondenzen). Eine umfassendere Transformationstabelle fmdet der Leser in der Mathematischen Formelsammlung sowie in der einschlagigen Spezialliteratur (siehe Literaturverzeichnis). Tabelle: Spezielle Laplace-Transformationen
4 Riicktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich Tabelle: Spezielle Laplace-Transformationen (Fortsetzung)
667
668 Tabelle: Spezielle Laplace-Transformationen (Fortsetzung)
VI Laplace-Transformationen
5 Anwendungen der Laplace-Transformation
669
5 Anwendungen der Laplace-Transformation 5.1 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 5.1.1 AUgemeines Losungsverfahren mit Hilfe der Laplace-Transformation Mit den in den Anwendungen besonders wichtigen linearen Diffentialgleichungen 1. und 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten haben wir uns bereits in Kapitel V ausfiihrlich beschaftigt. Dort wurde gezeigt, wie man eine solche Differentialgleichung durch .yariation der Konstanten'' oder durch ,,Aufsuchen einer partikuldren Losung'' losen kann. Die allgemeine Losung enthielt dabei noch eine bzw. zwei Integrationskonstanten als Parameter. Ein weiteres (insbesondere in der Elektrotechnik und Regelungstechnik weit verbreitetes) Losungsverfahren hefert die Laplace-Transformation. Wie wir im Einzelnen noch sehen werden, gehen dabei in die allgemeinen Losungen der Differentialgleichungen die jeweiligen Anfangswerte fiir f = 0 als Parameter ein. Die Integration einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten mit Hilfe der Laplace-Transformation liefert somit die allgemeine Losung in Abhdngigkeit von den Anfangswerten^^\ Dieser in drei Schritten ablaufende Losungsweg lasst sich wie folgt schematisch darstellen:
Wir beschreiben noch kurz die einzelnen Rechenschritte: (1)
Die lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und vorgegebenen Anfangswerten wird zunachst mit Hilfe der Laplace-Transformation in eine algebraische Gleichung L Grades, d. h. in eine lineare Gleichung ubergefuhrt.
(2)
Als Losung dieser Gleichung erhalt man die Bildfunktion Y [s) der gesuchten Losung (Originalfunktion) _y(/). Wir losen somit ein Anfangswertproblem.
670 (3)
VI Laplace-Transformationen Durch Rucktransformation gewinnt man aus der Bildfunktion Y {s) mit Hilfe einer Tmnsformationstabelle (siehe Abschnitt 4.2) und / oder spezieller Methoden (wie z. B. der Partialbruchzerlegung bei gebrochenrationalen Funktionen) die gesuchte Losung y (t) der gestellten Anfangswertaufgabe.
Vorteil dieser Losungsmethode: Die Rechenoperationen sind im Bildbereich leichter durchfiihrbar.
5.1.2 Integration einer linearen Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Das zu losende Anfangswertproblem lautet im Originalbereich: y' ^ ay = g(t)
Anfangswert: y(0)
(VI-75)
[a = const.; g{t)\ Storfunktion). Wir losen diese lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten schrittweise wie folgt: (1)
Transformation vom Originalbereich in den Bildbereich (Laplace-Transformation) Die lineare Differentialgleichung (VI-75) wird gliedweise der Laplace-Transformation unterworfen. Wir setzen dabei ^{y{t)]
= Y{s)
und ^{g{t)}
= F {s)
(VI-76)
Fur die Laplace-Transformierte der Ableitung y' {t) gilt dann nach dem Ableitungssatz fur Originalfunktionen: I^{y'{t)}
= s-Y{s)
-y{0)
(VI-77)
Die Differentialgleichung (VI-75) geht damit tiber in die algebraische Gleichung [s (2)
Y{s) - y(0)] + a
Y{s) = F{s)
(VI-78)
Losung im Bildbereich Wir losen diese lineare Gleichung nach der Bildfunktion Y [s) auf: s
Y{s) - y(0) + a
Y{s) = F{s)
=> {s + a)
Y(s) = F(s) + y{Q)
s + a Die Funktion Y {s) ist die Losung der Anfangswertaufgabe (VI-75) im Bildbereich. (3)
Riicktransformation vom Bildbereich in den Originalbereich (inverse Laplace-Transformation) Durch Riicktransformation mit Hilfe einer speziellen Transformationstabelle (Tabelle aus Abschnitt 4.2) erhalt man schlieBlich aus der (jetzt bekannten) Bildfunktion Y {s) die gesuchte Losung y (t) des Anfangswertproblems (VI-75): y{t)=^-'{Y{s)}
= ^ - ' l ^ ^ ^ j ^ \
(VI-80)
5 Anwendungen der Laplace-Transformation
671
Wir fassen zusammen:
Anmerkungen (1)
Die allgemeine Losung y{t) der Differentialgleichung (VI-81) enthalt noch einen Parameter, namlich den Anfangswert y (0). Der Anfangswert ist durch den rechtsseitigen Grenzwert j ( + 0 ) zu ersetzen, falls die Losung y{t) bei t — 0 eine (endliche) Spmngstelle hat.
(2)
Die allgemeine Losung des Anfangswertproblems (VI-81) lasst sich auch in geschlossener Form wie folgt darstellen: y{t) ^ g{t) * e - « ^ + ) ^ ( 0 ) - e - ^ ^
(VI-84)
g{t) * e~^^'\s>iddbt\ ddi'^ Faltungsprodukt dtv ¥\xvk\iontn g{t) und e~^^ Beispiel y' ^ 2y — It — A
Anfangswert: y(0) = 1
Wir transformieren diese Differentialgleichung unter Verwendung der Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2 in den Bildbereich {a = 2; g {t) = 2t — 4): [s - Y (s) - I] + 2
Y {s) = ^ {2t - 4} = 2
^ {t} - 4 ' ^ {1} = ^ s^
s
Diese algehraische Gleichung wird nach der Bildfunktion Y {s) aufgelost: 2 4 s^ s (^ + 2 ) . r ( . ) = - - - + 1
^
^^
2 4 1 s^{s ^ 2) s{s + 2) 5 + 2 Y{s)^-^——--—---^
672
VI Laplace-Transformationen Bei der Rucktransformation vom Bild- in den Originalbereich verwenden wir wiederum die Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2, in der die drei Summanden der Bildfunktion Y [s] mitsamt den zugehorigen Originalfunktionen enthalten sind. Die Losung unserer Anfangswertaufgabe lautet daher wie folgt:
r2'+2/-l
e-2' _ 1
4
-2
e-^^
-2 0,5
e - ^ ' + ^ - 0,5 + 2 e~^' - 2 + e"^'
^ - 2,5 + 3,5
e~2r
5.1.3 Integration einer linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten KoefBzienten Das zu losende Anfangswertproblem lautet im Originalbereich: y'' + <3y' + /?}; = g{t)
Anfangswerte: y{0), y' (0)
(VI-85)
(a = const; Z? = const; g (^): Storfunktion). Diese/meari^ Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten losen wir schrittweise wie folgt: (1)
Transformation vom Originalbereich in den Bildbereich (Laplace-Transformation) Die lineare Differentialgleichung (VI-85) wird gliedweise der Laplace-Transformation unterworfen. Wir setzen dabei wiederum ^{y{t)}
= Y{s)
und
^{g{t)}
= F {s)
(VI-86)
Fiir die Laplace-Transformierte der Ableitungen y' {t) und y'' {t) gilt dann nach dem Ableitungssatz fur Originalfunktionen: if{/W}
=s-Y{s)-y{Q) (VI-87)
^{y"[t)]=s^ Die Differentialgleichung (VI-85) geiit damit fiber in die algebraische Gleichung [s^
Yis)
) - ^ ' ( O ) ] +a[s-
Y {s) - y{0)] +b-
Y {s) = F {s) (VI-88)
5 Anwendungen der Laplace-Transformation (2)
673
Losung im Bildbereich Wir losen diese lineare Gleichung nach der Bildfunktion Y {s) auf: s^ - Y{s) - s - y{0) - y'{0) -^ as - Y {s) - a - y{0) + b - Y {s) = F {s) {s^ i- as ^ b) ^^
Y{s) = F{s) +y{0)
- {s + a) + j ' ( 0 )
=^
s^ -^ as + b
^
^
Die Funktion Y {s) ist die Losung der Anfangswertaufgabe (VI-85) im Bildbereich. (3)
Riicktransformation vom Bildbereich in den Originalbereich (inverse Laplace-Transformation) Aus der (jetzt bekannten) Bildfunktion Y (s) erhalten wir schlieBlich durch Rucktransformation mit Hilfe der Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2 die gesuchte Losung y{t) des Anfangswertproblems (VI-85): yit) = ^-^{Yis)}
Zusammenfassend gilt somit:
= ^-'{
. . ; ; . ; ,
^ ^ ^ ^
(vi-90)
674
VI Laplace-Transformationen
Anmerkungen (1)
Die allgemeine Losung y{t) der Differentialgleichung (VI-91) enthalt noch zwei Parameter, namlich die Anfangswerte y (0) und y' (0) bzw. die rechtsseitigen Grenzwerte j ( + 0 ) und y^(+0) im Falle einer Sprungstelle bei ^ = 0.
(2)
Die allgemeine Losung des Anfangswertproblems (VI-91) lasst sich auch in geschlossener Form wie folgt darstellen: y{t) = g it) * / i (f) + y (0)
fi (0 + ^'(0)
/ i [t)
(vi-94)
Die Funktionen f\ {t) und /2 {t) haben dabei folgende Bedeutung: / i {t)\ Originalfunktion von
F\ {s)
/2 [t): Originalfunktion von
Fi [s)
s'^ -\- as ^s -^ a s^ -^ as + b
g (0 * / i (0 ist das Faltungsprodukt der Funktionen g (r) und / i {t). Beispiel y" -^2y'
^-y -=^ 9 ' e^'
Anfangswerte: y(0) = 0, j ' ( 0 ) - 1
Wir transformieren diese Differentialgleichung unter Verwendung der Transformationstabelle ^us Abschniii 42 in den Bildbereich {a — 2; b = 1; ^ ( 0 = 9 e^^): 2n [s' - Y {s) - s 0 - I] + 2[s - Y {s) - 0] + Y (s) = ^ {9 - t^'}
s^ . F(^) - 1 + 2^
F(^) + Y{s) = j
s - 2
^
Diese Gleichung wird nach der Bildfunktion Y {s) aufgelost: 2 . ^
..x.wx
{s^ + 2 ^ + 1 ) 'Y{s)
9
= — ^ +
_
1 =
9 + 5-2
5+ 7
5—2
5—2
^+1)2 F(.) =
s + 1 {s^ + 2s + l){s -2)
s + 1 (5+1)2(5-2)
Vbr der Rucktransformation in den Originalbereich zerlegen wir die echt gebwchenrationale Bildfunktion Y (s) mil Hilfe der Partialbruchzerlegung in eine Summe einfacher Briiche. Mit dem Ansatz 5+7
A
(5+1)2(^-2)
5 + 1
A{s+
B
C
(5 + 1)2 +' 5 - 2
1)(5 - 2) +B{s
- 2) + C{s + 1)2
(5 + 1 ) 2 ( 5 - 2 )
5 Anwendungen der Laplace-Transformation
675
erhalten wir zunachst die Gleichung s ^1
= A{s -^ l){s - 2) + B{s -2)
^ C{s + l)^
(die Briiche stimmen beiderseits im Nenner und somit auch im Zahler iiberein), aus der sich die drei Konstanten A, B und C berechnen lassen, indem wir fiir die Variable s der Reihe nach die Werte —1,2 und 0 einsetzen (NuUstellen des Nenners sowie zusatzlich den Wert «^ = 0):
Somit ist Y{s) =
s + 7 {s+l)^s-2)
s+l
(^+1)2
Durch Rucktransformation unter Verwendung der Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2 erhalten wir hieraus schlieBlich die gesuchte Losung unserer Anfangswertaufgabe:
Ij e-^ 2t
\{s + 1)2J
[^ - 2
t
e'^
e-^
Q-' + e^' = - ( 2 ^ + 1)
Q-' + t^'
5.2 Einfache Beispiele aus Physik und Technik Wir zeigen zum Abschluss anhand von vier ausgewahlten Anwendungsbeispielen, wie sich naturwissenschaftlich-technische Probleme mit Hilfe der Laplace-Transformation losen lassen.
5.2.1 Entladung eines Kondensators uber einen ohmschen Widerstand Wir kommen nochmals, wie zu Beginn dieses Kapitels vereinbart, auf das einfUhrende Beispiel aus Abschnitt 1.1 zuriick. Die Entladung eines Kondensators der Kapazitat C iiber einen ohmschen Widerstand R wird gemaB Bild VLl durch die folgende lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschrieben: w + /?Cw = 0
Oder
ii H
u =Q RC
VI Laplace-Transformationen
676
Die Kondensatorspannung u = u{t) soil dabei zu Beginn der Endadung, d. h. zur Zeit ^ = 0 den Anfangswert u{0) = UQ besiizcn. Die Anfangswertaufgabe Isiutet somit: u + —— u = 0 RC
Anfangswert:
u{0) = UQ
Diese Gleichung wird zunachst in den Bildbereich transformiert {^ {u{t)} — U{s)). Wir erhalten die algebraische Gleichung [s- U{s) -uo]+-^-
Uis) = ^{0}
=0
die nach der Bildfunktion U {s) aufgelost wird: ^+ ^ 1
U{s) = uo
^
U{s) =
UQ
S +
RC
Dies ist die Losung im Bildbereich. Durch RUcktransformation unter Verwendung der Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2 gewinnen wir hieraus die gesuchte Losung im Originalbereich, d. h. den zeitlichen Verlauf der Kondensatorspannung u [t) wahrend der Endadung:
u{t) = ^-'{U{s)}
= ^-'
{
UQ
uo
^-'
V' + RC.
{
\
=^
UQ
C RC
l' + RC) e
RC
Dieses Exponentialgesetz ist in Bild VI-16 bildlich dargestellt.
Bild VI-16 Entladung eines Kondensators tiber einen ohmschen Widerstand (exponentiell abklingende Spannung)
5 Anwendungen der Laplace-Transformation
677
5.2.2 Zeitverhalten eines Pri-Regelkreisgliedes Bild VI-17 zeigt den schematischen Aufbau eines sog. PT\-Regelkreisgliedes, dessen Verhalten durch die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung T ' V -\- V — Ku
Oder
v -\
v = —u T T beschrieben wird. Dabei ist u = u {t) das Eingangssignal und v = v{t) gangssignaU T und K sind Konstanten {T: Zeitkonstante; K: Beiwert).
das Aus-
Bild VI-17 P T\ -Regelkreisglied Speziell fiir ein sprungformiges Eingangssignal {Sprungfunktion) nach Bild VI-18 und den Anfangswert i;(0) = 0 erhalten wir das folgende A«/awg5werr/7roZ?/^m^^^: V + — ' V ^ -—-
Anfangswert:
v (0) = 0
u(t)i i
u(t) = 0 u-
/
^ t
Bild VI-18 Sprungfunktion am Eingang eines PTi -Regelkreisgliedes
Wir losen diese Aufgabe Schritt fiir Schritt mit Hilfe der Laplace-Transformation. (1)
Transformation vom Originalbereich in den Bildbereich
(2)
Losung im Bildbereich Diese algebraische Gleichung losen wir nach der Bildfunktion V {s) auf: 1\ ^+ V TJ
,,,, Ku y{s) ' ' = —T
1 -s
^
^^,, Ku V{s) ' ' = — T
*^^ Vgl. hierzu auch (Jbungsaufgabe 23 aus Kapitel V (Abschnitt 2).
1 ( 1 s\s ^
VI Laplace-Transformationen
678 (3)
Riicktransformation vom Bildbereich in den Originalbereich 1 und in der Transformationstabelle aus s[s — a) Abschnitt 4.2 enthalten (Nr. 4). Die zugehorige Originalfunktion lautet daher: Die Bildfunktion ist vom Typ
v{t) =
^-'{V{s)]
Ku
.
Ku
^ - 1
t T- \ T
= -Ku
e T
Ku\\
- t T
Bild VI-19 zeigt den zeitlichen Verlauf dieses Ausgangssignals (sog. Sprungantwort). Es handelt sich dabei um eine „Sdttigungsfunktion'\
Bild VI-19 Ausgangssignal eines Pri-Regelkreisgliedes (sog. Sprungantwort)
5.2.3 Harmonische Schwingung einer Blattfeder in einem beschleunigten System Eine Blattfeder mit der Federkonstanten c und der Schwingmasse m befmdet sich fest verankert auf einem reibungsfrei beweglichen Fahrgestell (Bild VI-20). Das Fahrwerk unterliege dabei einer konstanten Beschleunigung a in der eingezeichneten Richtung, die Ruckstellkraft der Feder betragt nach dem Hooke'schen Gesetz F = -ex.
Bild VI-20 Schwingungsfahiges (mechanisches) System auf einem beschleunigten Fahrgestell
5 Anwendungen der Laplace-Transformation
679
Das Weg-Zeit-Gesetz x = x{t) des schwingungsfahigen Systems geniigt dann nach dem Newtonschen Grundgesetz der Mechanik der folgenden linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten^^^: m X = — ex ^ ma
oder
x + m'^x — a
= c/m). Wir losen diese Differentialgleichung fiir die Anfangswerte x{0) = 0, v(fd) — X (0) = 0 mit Hilfe der Laplace-Transformation. (CLJQ
(1)
Transformation vom Originalbereich in den Bildbereich ^{x{t)} [s^
(2)
= X{s)
X{s) - 0 ' s - 0] + col
^(^) = ^ W = ^
^{1} =
-
Losung im Bildbereich Wir losen diese algebraische Gleichung nach der Bildfunktion X {s) auf:
F, (J) (3)
F, (s)
Rticktransformation vom Bildbereich in den Originalbereich 14) Die Bildfunktion X {s) lasst sich als Produkt der beiden Bildfunktionen Fi {s) und F2 (s) darstellen. Bei der Rucktransformation konnen wir daher den Faltungssatz verwenden. Die dazu benotigten Originalfunktionen f\ [t] und fi {t) der beiden Faktoren F\ [s] und F2 {s) bestimmen wir anhand der Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2. Sie lauten:
w+ / 2 ( 0 = ^-'{F2{s)}
= ^~'{-}
= ^
^"'{-j = a
I = a
Die gesuchte Originalfunktion x{t) ist dann das Faltungsprodukt dieser beiden Originalfunktionen. Wir erhalten damit das folgende Weg-Zeit-Gesetz:
^^) Vgl. hierzu auch Ubungsaufgabe 11 aus Kapitel V (Abschnitt 4). ^^^ Die Rucktransformation kann auch auf direktem Wege iiber die Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2 erfolgen (Nr. 27 mit 2 a — 60 0).
680
VI Laplace-Transformationen
sm {(X) 0 u) a du =
- U) du
W = / l W */2W = J /l W
0)0
0
a = — ft^O
= ^
0
. , X, ci \ s m (0) QU) du — — '
cos (a>o w
^0
J
\ - cos (o) 0 0 + 1 ) = —
cos {(o 0 u)
(oo
( 1 - cos (a; 0 0
Bild VI-21 zeigt den zeitlichen Verlauf der durch diese Gleichung beschriebenen harmonischen Schwingung. X iI
2 ma c
Y\y 2n_
471 (Do
(Oo
t
Bild VI-21 Harmonische Schwingung
5.2.4 Elektrischer Reihenschwingkreis Der in Bild VI-22 skizzierte elektrische Reihenschwingkreis enthalt einen Kondensator mit der Kapazitat C und eine Spule mit der Induktivitat L in Reihenschaltung.
i(t) i Bild VI-22 Elektrischer Reihenschwingkreis Ua(t)
Wir fiihren noch die folgenden zeitabhdngigen
GroBen ein:
u^ — Ua{t):
Von aufien angelegte Spannung
w c = uc{t):
Spannung am Kondensator
UL — ^L ( 0 - Spannung an der Spule (Induktivitat) q — q[t)\
Ladung des Kondensators
/ — i {t):
Im Reihenschwingkreis flieBender Strom
5 Anwendungen der Laplace-Transformation
681
Die Kondensatorladung q {t) ist dabei das Zeitintegral der Stromstarke / {t): i (r) dr
q[t)
Im Einschaltzeitpunkt t = 0 soil von auBen die konstante Spannung u o angelegt werden, femer soil der Schwingkreis zu Beginn energielos sein. Dies aber bedeutet, dass sowohl die Kondensatorladung q {t) als auch die Stromstarke / {t) zu Beginn gleich Null sind: ^(0) = 0, /(O) = 0. Damit erhalten wir fiir die Ladung q{t) die folgende Integraldarstellung:
i (T) dT
q{t)
i (r) dT +
/ (r) dx
i (r) dx
q{G) = 0 Fiir die Teilspannungen u i und u c ergeben sich nach den Gesetzen der Physik die folgenden Beziehungen: ui = L —
Uc
C
[Induktionsgesetz)
i {x) dx
C
I Kondensatorgleichung C Uc
Nach dem 2. Kirchhoffschen Gesetz (Maschenregeiy^^ gilt dann: UL -{- Uc — Ua = 0
oder
ui + uc = Ua
Unter Beriicksichtigung der genannten Beziehungen fiir die beiden Teilspannungen ui und Uc und der angelegten konstanten Spannung Ua — const. — UQ erhalt man schheBlich: ^ L
di 1 \ dt C
i (r) dx = U{
Wir dividieren diese Gleichung noch durch L und setzen zur Abkiirzung o) Q di dt
^
i (r) dx
Wo
'^^ In jeder Masche ist die Summe der Spannungen gleich Null.
1
Tc'
682
VI Laplace-Transformationen
di Diese Gleichung enthalt die Ableitung — und das Integral at
t
i (r) dr der (noch unbe-
kannten) Stromstarke / = i{t). Eine derartige Gleichung wird in der mathematischen Literatur als Integra-Dijferentialgleichung bezeichnet, Wir losen diese Gleichung fur den Anfangswert / (0) = 0 mit Hilfe der Laplace-Transformation in der bekannten Weise. (1)
Transformation vom Originalbereich in den Bildbereich I{s)=<e{i(t)} Unter Verwendung des Ableitungs- und des Integralsatzes fur Originalfunktionen erhalten wir aus der Integro-Differentialgleichung die algebraische Gleichung
(2)
Losung im Bildbereich Wir losen diese Gleichung nach der Bildfunktion I {s) auf: L
(3)
L
s^ ^ 0)1
Riicktransformation vom Bildbereich in den Originalbereich Die Riicktransformation erfolgt mit Hilfe der Transformationstabelle aus Abschnitt 1 4.2. Die Bildfunktion ist dabei vom Typ -z ^ (Nr. 17). Der zeithche Verlauf s"^ a'^ 7 -^ -\J - /r der Stromstarke / wird daher durch die folgende Gleichung beschrieben:
i{t) = ^-^ {/(.)} = ^-^ (^ ^^
^ ^ ^^
sin {(Dot) = uo
Lcoo (/Q = UQ \/C/L
[L
).
V-^l = ^
s^ + (olj \ — VL
L
^-^ l ^ ^ l [s^ + (olj
sin{a)ot) = lo ' sin(ft;oO
Der zeitliche Verlauf dieser sinusformigen elektrischen
Schwingung ist in Bild VI-23 dargestellt.
-
5 Anwendungen der Laplace-Transformation
683
Bild VI-23 Elektrische Schwingung (Wechselstrom)
5.2.5 Gekoppelte mechanische Schwingungen Auch Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten lassen sich bequem mit Hilfe der Laplace-Transformation losen. Wir zeigen dies am Beispiel zweier gekoppelter schwingungsfahiger Systeme, beschrieben durch die Differentialgleichungen 3c 1 + 5x 1 — 4^2 = 0
und
X2 + 5x^
4JCI
0
mit den Anfangswerten xi(0)=A,
ii(0)=0,
X2(0) = - A ,
i2(0)=0
(siehe hierzu das Beispiel aus Kap. V, Abschnitt 7.2). (1)
Transformation vom Originalbereich in den Bildbereich X,{s) (I)
^ i^{xi(0},
X2{s) =
^{X2{t)}
[s^
X,{s)
- s . x , ( 0 ) - i i ( 0 ) ] + 5X1(5) - 4X2(5) = 0
[s^
Xi{s)
- s A - 0] ^ 5X1(5) - 4X2 (^)
0
{s^ + 5)Xi (5) - 4X2(5) = As (II) [s^ ' X2is) - 5 -^2(0) - i 2 ( 0 ) ] + 5X2 (^) - 4X1(5) = 0 [s^ - X2{s) + s - A - 0] + 5X2 (^) - 4Xi (5) = 0 [(5^ + 5)X2(^) - 4X1 (5) = (2)
-As
-4X1(5) + (5^ + 5)X2(^) =
Losung im Bildbereich Wir losen das lineare Gleichungssystem (I)
(5^ + 5)Xi(5) - 4X2 (^) = As
(II) - 4 X 1 ( 5 )
5)X2(^)
-As
mit Hilfe der Cramerschen Kegel nach den beiden Unbekannten X1 (5) und X 2 {s) auf:
-As
684
VI Laplace-Transformationen Koeffizientendeterminante D: D =
-4
(5^ + 5)
= (^2 + 5)^ - 16 -
= [{s^ + 5) + 4] [{s^ + 5) - 4] = {s^ + 9) {s^ + 1) „Hilfsdeterminanten" D \ und D2: As Z)i
-4
As{s^ + 5) - 4A^ = As[{s^ + 5) - 4] =
=
As{s^ + 1) (>y2 + 5)
D,
A^
-4
= - A ^ ( ^ ^ + 5) + 4A^ =
-A^l + 5) - 4] = -As{s^
-h 1)
Losung: '^^
D
(^2 + 9) (^2 + 1)
As ^2+9
_D2 ^ - A . ( . 2 + 1) ^ - A . D (^2 + 9) (^2 _^ 1) ^2 + 9 (3)
Riicktransformation vom Bildbereich in den Originalbereich Unter Verwendung der Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2 erhalten wir folgende Losungen (Laplace-Transformation Nr. 18 mit a = 3):
{ , " „ , J- = A cos (31)
= A- ^"'
=
- A
;2 + 32
^
j- > = - A
52 + 32
COS (3 f)
Ubungsaufgaben
685
Ubungsaufgaben Zu Abschnitt 1 1) Bestimmen Sie mit Hilfe der Definitionsgleichung der Laplace-Transformation die Bildfunktionen der folgenden Originalfunktionen:
^)
f (0 = ^^s (^ 0
c)
/ ( 0 = e -(5r
e)
/(O-^^
b)
sin {(D t)
f{t)=2t-t-"
d) f)
/ [t) = sinh ((3 r) / ( 0 = sin2/
2) Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von / (/) = cos {oj t) unter Berlicksichtigung der folgenden Beziehungen: QJCOt _^
Q-](Ot
cos {(D t) =
und
^{e^^}
1 s — a
3) Bestimmen Sie mit Hilfe der Definitions gleichung der Laplace-Transformation die Bildfunktionen der folgenden Originalfunktionen: a)
Rechteckimpuls (Bild VL24) A A 0
fur
Wi i
0 < t < a a < t < 2a r > 2fl
^
a
Bild VI-24 Rechteckimpuls
b)
Sinusimpuls (Bild VI-25) / (0 = A
JT
sin — r \a
(furO < / < «) sonst: / ( O
=0
Bild VI-25 Sinusimpuls
->!\-
2a
t
VI Laplace-Transformationen
686 c)
Treppenfunktion (Bild VI-26) 0
0 < t < a a < t < la
fit) = I
fiir lA
2a < t < 3a usw.
f(t)k 4A
T
3A 2A A
Bild VI-26 Treppenfunktion 2a
3a
4a
t
Zu Abschnitt 2 1) Bestimmen Sie nach dem Linearitdtsprinzip und unter Verwendung der Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2 die Laplace-Transformierten der folgenden Originalfunktionen: a)
f{t)
= At' -t^
c)
/(r) = A
+ 2t
sin {cut) -^ B
b) f{t)
= C(l - e-^0
cos (cor) + C e^^
2) Bestimmen Sie mit Hilfe des Ahnlichkeitssatzes und der jeweils angegebenen Laplace-Transformierten die Bildfunktionen zu: ,
,,
a) /(0 = (30^
,. 120 F(.) = i f { r 5 } -
b)
/ (r) = cos {At),
F {s) = if {cos t}
c)
/ ( r ) = e^^
F(5) = i^{e^} =
d)
f{t)
F{s) = ^{cos^t}
= cos^ {(jot),
^2 + 1 1 S -
=
1
5^ + 2
7(7^T4)
Ubungsaufgaben
687
3) Bestimmen Sie unter Verwendung der Verschiehungssdtze und der jeweils angegebenen Laplace-Transformierten die Bildfunktionen der folgenden Originalfunktionen: a)
f{t)
= sin (^ + y ) ,
F(s) = ^{sint}
b)
f{t)^{t-4)\
F{s) = ^{t'}
c)
f{t)
= e(^-^),
F{s) = ^ { e ^ }
d)
f{t)
= cos^{t-3),
F(s) -^ ^ {cos^ t}
1 s^ + 1
= 2 ^ ^^
^ s - 1
_
^^ + 2
4) Bestimmen Sie unter Verwendung des Ahnlichkeitssatzes und des entsprechenden Verschiebungssatzes dit Laplace-Transformierte \on sin {cot -^ (f) ftir 99 > 0. Anleitung: Gehen Sie von der Funktion / {t) = sin t aus und verschieben Sie diese zunachst um die Strecke q) nach links. AnschlieBend wird die verschobene Kurve mit der Gleichung g{t) = f {t + q)) = sin {t + cp) der Ahnlichkeitstransformation t -^ cot unterworfen. Femer ist if {sinrj = -^ . ^ ^ s^ -^ I 5) Bestimmen Sie unter Verwendung des Ddmpfungssatzes sowie der jeweils angegebenen Laplace-Transformierten die Bildfunktionen der folgenden „gedampften" Originalfunktionen : a)
f{t)
- e^^
b)
f{t)=A'
c)
f{t)
cos(20,
F[s) = £e{cos{2t)}
s
e-^^
=
^ ^2+4 CO
sin {cot),
= 2'\
F{s) = ^{sin(a>^} F{s) =
Anleitung zu c): Stellen Sie die Funktion 2
s^ + 0)^
^{l}=-
zunachst als c-Funktion dar.
6) Bestimmen Sie mit Hilfe des Ableitungssatzes fur Originalfunktionen und unter Verwendung der Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2 die Bildfunktionen der 1. Ableitung. Welche neuen Funktionenpaare lassen sich daraus gewinnen? a)
f{t)
= sinh {at)
b)
f {t) = t^
c)
f {t) = sin {at + b)
7) Die Funktion / {t) = sin {co t) ist eine Losung der Schwingungsgleichung f" — —co^ f. Bestimmen Sie hieraus die zugehorige ^//w F{s), indem Sie die Laplace-Transformation auf diese Differentialgleichung anwenden und dabei den Ableitungssatz fur Originalfunktionen verwenden.
688
VI Laplace-Transformationen
8) Gegeben ist das Funktionenpaar f (t) = sin {o) t) o
F {s) =
^^ + €0'
Bestimmen Sie hieraus unter Verwendung des Ableitungssatzes fur Bildfunktionen die Laplace-Transformierte von f\ [t) — t sin {co t) und /2 (0 = ^ ^ * sin {(D t). 9) Bestimmen Sie untere Verwendung des Integralsatzes fur Originalfunktionen die Laplace-Transformierten der folgenden Integrate: t
t
cos {u) (u) du
a)
u du
b)
0
0
Welclie neuen Funktionenpaare lassen sicli daraus gewinnen? 10) Gegeben ist das Funktionenpaar f {t) = sin {(o t) o
F (s) =
CO
S^ +
0)'
Bestimmen Sie hieraus mit Hilfe des Integralsatzes fur Bildfunktionen die Laplacesin (o) t) Transformierte von g {t) = t
11) Berechnen Sie die folgenden Faltungsprodukte: a)
? * e" ^
b)
e ^ * cos ^
12) Bestimmen Sie unter Verwendung des Faltungssatzes die zugehorigen Originalfunktionen : a)
F{s)^-
c)
F(^)
rrV—^ ^ - 2 ) (^ + 4)
b)
F{s) ^^
^' (5^ + 1)2
1 (52 + 9)^
13) Ein elektrischer Schwingkreis mit einer Induktivitat L und einer Kapazitat C wird durch die sinusformige Spannung Ua = UQ sin {cot) zu Schwingungen angeregt. Bei der mathematischen Behandlung dieses Problems mit Hilfe der Laplace-Transformation erhalt man im sog. Resonanzfall fiir die Stromstarke / {t) eine Bildfunktion vom Typ
Bestimmen Sie durch Anwendung des Faltungssatzes die zugehorige Originalfunktion fit) = i f - ' { F ( 5 ) } .
Ubungsaufgaben
689
Anmerkung: Der Resonanzfall tritt ein, wenn die Kreisfrequenz der von auBen angelegten Wechselspannung den Wert o) — (DQ = ^^ ^ /LC auch Ubungsaufgabe 19 aus Abschnitt 5).
annimmt (siehe hierzu
14) Welchen Anfangswert f (0) besitzt die zugehorige Originalfunktion f {t) ? a)
1
3s
F{s)
b)
s' +
F{s) =
1 ^(^ — 1)
1 s
Anleitung: Benutzen Sie den entsprechenden Grenzwertsatz. 15) Berechnen Sie mit Hilfe des entsprechenden Grenzwertsatzes aus der gegebenen Bildfunktion F [s] den Endwert f (oo) der zugehorigen Originalfunktion f (t):
Zu Abschnitt 3 1) Wie lauten die Laplace-Transformierten der folgenden periodischen Funktionen? a)
fit)
= sm^ {(jot)
b)
Sinusimpuls (Einweggleichrichtung; Bild VI-27) A
fit) =
(Periode: T = njo))
sm { — t a
0 < t < a >
fiir
(Periode: T = 2a)
a < t < la f(t)k
A^
a
2a
3a
t
Bild VI-27 Periodischer Sinusimpuls (Einweggleichrichtung) 2) Bestimmen Sie die Laplace-Transformierte der in Bild VI-28 dargestellten Kippschwingung (Sdgezahnfunktion) mit der Gleichung f{t)
=
it - a)
fiir
0 < t < a
690
VI Laplace-Transformationen
f(t)i
i
A
NN
Bild VI-28 Kippschwingung (Sagezahnfunktion)
\
\
\
3
2a
t
3a
Zu Abschnitt 4 1) Gegeben ist die jeweilige Bildfunktion F{s). Bestimmen Sie hieraus dutch Rucktransformation anhand der Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2 die zugehorige Originalfunktion f{t): 1
a)
F{s) =
c)
F{s) =
e)
F{s) = (j - 4) 2 + 4
s - 8
3 ^2 + 25 ^ - 4
b)
F(5)=-^
d)
F(5) =
f)
F{s)
4^
s^ + 36 1 s^ + 25
3s s2 - 1
2) Die folgenden Bildfunktionen sind gebrochenrational. Wie lauten die zugehorigen Originalfunktionenl a)
F{s) =
c)
F(.) =
5s + 1
b)
^2 + 5 - 2
F(.)
5 + 2 ^2 + 25 - 3
-2^^ + 1 8 5 - 3 s^ - s^ - ^s ^ 12
Anleitung: Zerlegen Sie die Funktionen zunachst mit Hilfe der Partialbruchzerlegung in eine Summe aus einfachen Bruchen. 3) Bestimmen Sie anhand der Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2:
a)
^-'i
b)
^"
2
s
3
4
.+ s — I s^
1 25 5 (5 - 5)3 ^ 52 + 25 ^ (5 - 3)2 + 1
Ubungsaufgaben
691
Zu Abschnitt 5 1) Unterwerfen Sie die folgenden linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten der Laplace-Transformation und bestimmen Sie die Bildfunktion Y{s) — £^{y{t)} der allgemeinen Losung y{t)\ a)
?)y' + 2y = t
Anfangswert:
_y (0) = 0
b)
y" ^ 2y' ^ y ^ cos {It)
Anfangswerte:
y{0) = 1,
y'(0) = 0
2) Losen Sie die folgenden Anfangswertprobleme: a) c)
y' - y = t', j ' - 5y = 2
y (0) - 1 b) y' + 3y = - cos r, cosr - sin(3 0 , 3^(0) = 0
j(0) = 5
Anleitung: Bei der Rucktransformation dtirfen Sie von der Transformationstabelle aus Abschnitt 4.2 Gebrauch machen. 3) Losen Sie die folgenden linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koefizienten: a)
y' - ?>y = At
Q^
b)
y' - Ay = 5
^mt
Anleitung: Der (zahlenmaBig nicht bekannte) Anfangswert y{0) = a ist als Parameter zu betrachten. 4) Losen Sie das Anfangswertproblem y' ^Ay
= t\
y{\) = 2
Anleitung: Bestimmen Sie zunachst die allgemeine Losung der Differentialgleichung in Abhdngigkeit vom (noch unbekannten) Anfangswert y (0) und berechnen Sie diesen durch Einsetzen des vorgegebenen Anfangswertes y{\) = 2 in die allgemeine Losung. 5) Losen Sie die/«/z6>mo^^A2^///i^(2r(^ Differentialgleichung 1. Ordnung y' — ?>y = t fiir den Anfangswert y (0) = 1 a)
durch Variation der Konstanten,
b)
durch Aufsuchen einer partikuldren Losung,
c)
mit Hilfe der Laplace-Transformation.
t^
6) Losen Sie die Ubungsaufgabe 20 aus Kapitel V (Abschnitt 2) mit Hilfe der LaplaceTransformation. 1) Losen Sie die Ubungsaufgabe 21 aus Kapitel V (Abschnitt 2) mit Hilfe der LaplaceTransformation . 8) Losen Sie die Ubungsaufgabe 22 aus Kapitel V (Abschnitt 2) mit Hilfe der LaplaceTransformation .
692
VI Laplace-Transformationen
9) Losen Sie die folgenden Anfangswertprobleme: a)
y'^ + 4y = 0,
y{0) - 2,
y'(0) = 1
b)
y" + 6y' + lOy = 0,
^(O) = 0,
>;'(0)=4
c)
y'^+};^ = e - 2 ^
3;(0)=0,
y'(0) = I
d)
y' + 2y' -3y
y(0) = l ,
y'(0)=0
= 2t,
10) Wie lauten die allgemeinen Losungen der folgenden linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten in Abhdngigkeit von den (zahlenmaBig nicht bekannten) Anfangswerten j (0) = a und y' (fi) = )8: a)
y" ^2y'
-^y ^ t
b)
y" - 2y ' - ^y = t^'
11) Losen Sie die m/zomo^^^^/m^flr^ Differentialgleichung 2. Ordnung y" + 2y' ^- y = r + sin r fm d^^^ Anfangswerte };(0) = 1, j ^ (0) = 0 a)
durch Aufsuchen einer partikuldren Losung,
b)
mit Hilfe der Laplace-Transformation.
12) Losen Sie die folgenden Schwingungsprobleme: a)
x + a^-x
b)
3c 4 - 4 i
c) d)
= 0,
x(0)=0,
i ( 0 ) = i;o
jc(0)
J!:(0) =
-2
jc + i + 0,25x = 0,
jc(0) = 1 , i ( 0 ) =
- l
jc + 7 i + 12x = 0,
jc(0) = 5,
+ 29x
=
0,
=
l,
{a ^ 0)
i(0) = 0
13) Losen Sie die Ubungsaufgabe 14 aus Kapitel V (Abschnitt 3) mit Hilfe der LaplaceTransformation . 14) Losen Sie die tJbungsaufgabe 2, Teil c) aus Kapitel V (Abschnitt 4) mit Hilfe der Laplace-Transformation. 15) Losen Sie die Ubungsaufgabe 3, Teil a) und c) aus Kapitel V (Abschnitt 4) mit Hilfe der Laplace-Transformation. 16) Losen Sie die Ubungsaufgabe 5, Teil c) aus Kapitel V (Abschnitt 4) mit Hilfe der Laplace-Transformation. 17) In einem RC-Kreis nach Bild VI-29 geniigt die Stromstdrke i = i{t) der folgenden Integro-Differentialgleichung (R: ohmscher Widerstand; C: Kapazitat): 1
t
R
i (r) dr = Ua 1
oo
Bild VI-29 RC-KxQis
i(t).
c M
1
1
11
J
M
1
o
*
Ua(t)
(T
Ubungsaufgaben
693
Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Stromstarke / bei konstanter auBerer Spannung Ua — const. = wo, wenn der Stromkreis zu Beginn, d. h. im Einschaltzeitpunkt t = 0 energielos ist. 18) Der in Bild VI-30 skizzierte Stromkreis enthalt einen ohmschen Widerstand von /? = 10 Q und eine (widerstandslose) Spule mit der Induktivitat L = 0,1 H (sog. RL-Kreis). Die von auBen angelegte konstante Spannung betragt Ua = 100 V. Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Stromstarke i — i (t), wenn der Stromkreis im Einschaltzeitpunkt t — 0 energielos ist. Anleitung: Nach der Maschenregel geniigt die Stromstarke / der folgenden Differentialgleichung: H = 10 U
di — + /?/ dt
= Ua
r-CZ i(t).
L = 0,1H
\\
^mm^^__^ ^
I
Bild VI-30 7?L-Kreis u.= 100 V
19) Der in Bild VI-31 dargestellte elektrische Reihenschwingkreis enthalt einen Kondensator mit der Kapazitat C und eine (widerstandslose) Spule mit der Induktivitat L. Von auBen wird die sinusformige Wechselspannung Ua — UQ sin (a> o 0 mit col — V ( ^ ^ ) angelegt. Losen Sie die Schwingungsgleichung di_ J_ "dt ^'C
i{x) dr — Ua
unter der Voraussetzung, dass der Schwingkreis zu Beginn der Schwingung, d. h. zur Zeit r = 0 energielos ist. Anleitung: Es handelt sich hier um den bereits in Ubungsaufgabe 13 aus Abschnitt 2 beschriebenen Resonanzfall. Sie diirfen daher bei der Losung dieser Aufgabe auf die Ergebnisse aus Ubung 13, Abschnitt 3 zuriickgreifen.
i(t) i Bild VI-31 Elektrischer Reihenschwingkreis Ua(t)
694
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben
I Lineare Algebra
Abschnitt 1 '1 - 5
4\
/
3
4'
3
iT
2)
Symmetrisch: B, C, E. Schiefsymmetrisch: A, D.
3) ^
a) ^ d)
/9 \2
10 13\ 0 12/
11
. 0\
4) a) ( 3 ^^ ^ j
5)
a)
b)
c) ^
35 - 1 5 ' - 226 6 22 * 57 - 5 9 /
-3 18 - 1 5 26-32 12 10
c)
/ - 4 3 -10 -81 , \ -9 26 - 7 3 '
b) ^
2
/ /
3 -10\ \
b) (^-9
jj
Der Ausdruck A — 2C + B ist nicht definiert: A und C sind (2,3)-Matrizen, B dagegen eine (3,2)-Matrix. / 1 3 34 1 8 \ A A = A^ = ( 8 32 17 1; \ 1 5 3/
/-21 10 1 2 \ B B = B^ = ( - 4 - 9 - 6 ] \ - 1 6 -20 - 3 /
/-13 A B = ( -21 \ -2
/ 8 32 1 7 \ BA = | -5 - 3 - 1 j; \ - 1 2 -13 - 8 /
19 1 5 \ 10 12 1; 1 0/
A B # B A
Die Matrizenprodukte („Potenzen") A A = A^ und B B = B"^ existieren nicht.
(
4 10 12 29' 1 4 3 0-4 0-2 1 8 3 10>
Die Matrizen A B und B A sind von verschiedenem Typ und konnen somit nicht gleich sein.
695
1 Lineare Algebra
6)
15 32
a)
A B:
b)
B C
c)
A (B + C)^
d)
(A
10 24
34 33
(A B) C =
13 82 59 169
37 35
A (B C) =
13 82 59 169
37 35
22 26
B)T :
Abschnitt 2 1)
a)
det A = - 22
2)
a)
0
3)
a)
Ai = 1,562, ^2 - - 2,562
4)
a)
det A enthalt zwei zueinander proportionale Spalten (die 2. Spalte ist das — 2-fache der 1. Spalte).
b)
det B enthalt einen NuUvektor (2. Spalte).
c)
det C enthalt zwei gleiche Zeilen (1. und 3. Zeile).
d)
det D enthalt zwei zueinander proportionale Zeilen (die 1. Zeile ist das — 3-fache der 3. Zeile).
5)
a)
b)
b) 264
5 det A - - ( - 5 ) ' 7 3
det B = 0 c)
c)
det C = - 5x
454 b)
A^ — 1,
2 1 4 0 - 3 + 3- 1 9 4 5
1 4 0 -3 4 5
/,2 — -^^
664
128
b)
det A - 1
-5 1 9
3 0 7 -3 3 5
a)
5 4 3 0 = 664 7 -3
""^^245
-316 6)
2 -5 1
Entwicklung nach der 4. Zeile 1
3
detA-2-|-2 1
0 1 28
3|-25
1 -2 1
0 1 4 -43
4 3 5
142
^2
696
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben b)
Entwicklung nach der 2. Spake: 1 0 4
det A = 2
5 3 3 1 -1 2 -- 3
1 1 4
5 3 2 1 2-3
-27 7)
8)
A ist eine (untere) Dreiecksmatrix: det A = 1 (— 2) 5 = — 10
b)
B ist eine Diagonalmatrix: det B = 1 4
a)
Zur 1. Zeile wird das — 2-fache der 2. Zeile addiert. Die neue Determinante enthalt dann zwei gleiche Zeilen (1. und 3. Zeile):
b)
4 3 2
6 1 4
8 4 = 0
-2 3 -2
4 1 4
3 4 = 48
0 4 =0 0
Zur 4. Spalte addieren wir das 2-fache der 1. Spalte und erhalten eine Determinante mit zwei zueinander proportionalen Spalten (3. und 4. Spalte; die 4. Spalte ist das 3-fache der 3. Spalte):
|A| =
10)
9
a)
1A| =
9)
-63
1 2 1 1
1 4 8 3
0 3 1 2
2 5 5 4
-1 2 -1 1
1 4 8 3
0 3 1 2
0 9 3 6
a)
det C = det (A B) = (det A) (det B) = ( - 20) ( - 5) = 100
b)
det C = det (A B) = (det A) (det B) = 68 83 = 5644
Durch Entwicklung nach der /. Zeile erhalt man: M = ? x F = ( - 200 Nm) e^ + (0 Nm) ey + (40 Nm) e^ =
11)
Esist: [a b2]
12)
a)
=
2 2 -4 3 -6 15
:0
Wir addieren der Reihe nach zur 2., 3. und 4. Spalte das — 3-fache, 1-fache bzw. 6-fache der 1. Spalte und entwickeln anschliefiend nach der 1. Zeile:
det A =
- 1 0 0 0 3-8 7 23 -2 4 1-9 -2 3 -1 -8
-1
-8 7 23 4 1 -9 = -10 3 -1 -8 10
I Lineare Algebra b)
697
Wir addieren zunachst zur 2. Spalte das — 4-fache und zur 5. Spalte das — 1-fache der 1. Spalte und entwickeln dann nach der 1. Zeile: 1 0 0 0 0 2-8 1 2-3 1 -3 -2 -3 -5 =1 3-8 0 0-2 0 1 1 3 5
det A
1 2 -3 -2 - 3 - 5 0 0-2 1 3 5
Jetzt addieren wir zur 1. Spalte das — 4-fache der 4. Spalte und entwickeln dann nach der 3. Zeile:
det A =
4 1 2 - 3 17 - 2 - 3 - 5 = 0 0 0-2 -19 1 3 5
-{-2)-
4 1 2 17 - 2 - 3 = - 9 6 -19 1 3 -48
Abschnitt 3 1)
det A = — 9 / 0 = > A i s t regular. det B = 0 => B ist singular. det C = 0 (Entwicklung nach der 2. Spalte) => C ist singular.
2)
a)
det A = 1 7^ 0 => A ist regular. A-^ =
sin (p — cos (p ^cos (p
b)
det A = 2 ^ 0 => A ist regular. A-'
=
1,5 - 0,25
-1 0,5
c)
det A = 1 ^ 0 (Dreiecksmatrixl) => A ist regular.
d)
det A = 6 ^ 0 => A ist regular. A-'
3)
sm (p
=
A-AT = ( J
B B* =
^'| = E ;
1 /lOO 0 100 V 0 100
det A = 1 1 0
0 1
det B = - 1
698 4)
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben Die Matrix A kann nicht orthogonal sein, da ihre Zeilen- und Spaltenvektoren nicht normiert sind. B und C sind dagegen orthogonale Matrizen:
B B'
5)
'9
0
0
1
0
0^
0 sO
9 0
0 h= 9
0 0
1 0
0 1.
c c*
'1 0 .0
0 1 0
0\ 0 | = E 1/
A~^=A'
6)
A A ^ = 0
1
0 = E ;
7)
Die Spaltenvektoren a^ =
BB^ = l0
1
0|=E
1 / I 1
normiert und orthogonal: tai|=
^ + 1 ^ + 0^ = 1;
=
|a3l=
V ( - l ) ^ + 2 ^ + 5^ = 1;
J30
N/5
1
' + 2'+(-l)' = l
V6 1
'
1
1
' 75 TsoVo/ \
( - 2 + 2 + 0) = 0
5/ V150 ( - 2 + 2 + 0) = 0
(1 + 4 - 5) = 0
Ebenso zeigt man, daB die Zeilenvektoren ein orthonormiertes System bilden. 2/^5
I/V5
-1/\/30
2/\/30
,-l/V6 8)
2/V6
0 5/>/30 I ;
det A = - 1
-l/>/6,
Rg(A) = 2. Begriindung: Wegen det A = 0 ist A singular und somit Rg(A) < 3. Es gibt eine von Null verschiedene 2-reihige Unterdeterminante, z.B. 3 1
4 4
^0
=> Rg (A) = 2
I Lineare Algebra
699
Rg(B) = 3. Begriindung: B ist vom Typ(3,4), daher kann Rg (A) hochstens gleich 3 sein. Streicht man in B die 4. Spalte, so erhalt man eine von Null verschiedene 3-reihige Unterdeterminante: 2 1 7
1 1 1 2 ^-5^0 2-6
=> Rg (B) = 3
Rg ( Q = 2. Begriindung: C ist vom Typ (4,3). Daher gilt Rg (C) ^ 3. Es verschwinden alle 3-reihigen Unterdeterminaten, eine von Null verschiedene 2-reihige Unterdeterminante ist jedoch vorhanden (wir streichen die 3. und 4. Zeile und die 3. Spalte): 1 2
0 1
1 ^ 0 => Rg(C) = 2
Rg (D) = 2. Begriindung: D ist vom Typ (2,3), daher gilt Rg (D) ^ 2. Es gibt eine von Null verschiedene 2-reihige Unterdeterminante (wir streichen die 3. Spalte): 3 1 0 -1 9)
3 ^ 0 =^ Rg (D) = 2
Die Matrix wird mit Hilfe der angegebenen elementaren Umformungen auf Trapezform gebracht. a)
(T)
Zeile 1 mit Zeile 3 vertauschen.
(2)
Zur 2. Zeile wird das — 3-fache und zur 3. Zeile das — 2-fache der 1. Zeile addiert.
Q)
Zur 3. Zeile wird das — 2,5-fache der 2. Zeile addiert, anschlieBend wird die 3. Zeile durch — 3,5 dividiert.
Die Matrix hegt jetzt in der Trapezform vor: /I 2 I 0 -2 \0 0 b)
OX 1 1 = ^ Rg(A) = 3 1/
(\)
Zur 2. Zeile wird das — 2-fache und zur 3. Zeile das — 3-fache der 1. Zeile addiert.
(2)
Zeile 2 durch 3 und Zeile 4 durch 5 dividieren.
(3)
Zur 3. Zeile wird das — 2-fache und zur 4. Zeile das — 1-fache der 2. Zeile addiert.
(4)
Spalte 3 mit Spalte 4 vertauschen.
Die Matrix besitzt jetzt Trapezform: 1 0 0 0
0 1 0 0
1 -- I N \ 1 1 1 0
=^ Rg(B) = 3
0/ <- Nullzeile
700
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben c)
(l)
Zur 3. Zeile wird das 2-fache der 1. Zeile addiert.
(2)
Zur 3. Zeile addiert man nun das — 3-fache der 2. Zeile.
Die Matrix liegt jetzt in der Trapezform vor: 1 0 0 d)
2
1 8 -1 - 3 15 - 3 0 8 0 0
Rg(C) = 3
3
®
Wir addieren der Reihe nach zur 2., 3. und 4. Zeile das 2-fache, 5-fache bzw. 1-fache der 1. Zeile.
(2)
Die 3. Zeile wird durch 3 dividiert.
(5)
Von der 3. bzw. 4. Zeile wird die 2. Zeile subtrahiert.
(4)
Von der 4. Zeile wird die 3. Zeile subtrahiert.
Die Matrix besitzt jetzt Trapezform:
^
Rg(D) = 3
Nullzeile
10)
(T)
1. und 4. Zeile miteinander vertauschen.
(2)
Wir addieren der Reihe nach zur 2., 3., 4. und 5. Zeile das 5-fache, 3-fache, 2-fache bzw. 3-fache der 1. Zeile.
(3)
Von der 5. Zeile wird zunachst die 3. Zeile und anschheBend von der 3. Zeile die 2. Zeile subtrahiert.
(4)
Die 5. Zeile wird durch 3 dividiert und anschheBend mit der 2. Zeile vertauscht.
(5)
Zur 4. Zeile wird das 7-fache und zur 5. Zeile das 16-fache der 2. Zeile addiert.
(6)
Wir addieren zur 4. Zeile das 1-fache und zur 5. Zeile das 3-fache der 3. Zeile.
(7)
Von der 5. Zeile wird die 4. Zeile subtrahiert.
Die Matrix besitzt jetzt die gewunschte Trapezform:
Rg(A)=5
A ist somit eine reguldre Matrix.
I Lineare Algebra
701
Abschnitt 4 1)
Die erweiterte Koeffizientenmatrix (A |c) wird in die Trapezform gebracht. Das lineare Gleichungssystem liegt dann in der gestaffelten Form vor und wird schrittweise von unten nach oben gelost. 5x2 = 16 X2 = 3
a) Nullzeile -3
Losung: x^ = \,
^1 + b)
^2 + 2X3 =1 5X2 + 6X3 + ^4. = ^ — 3x^ + 2XA = 4
Unendlich viele Ldsungen (X4 = X wurde als Parameter gewahlt): 7
1
T5~3
c)
(A|c) =
X2 —
1 -- 3 0 -1 0 1 12 2 0 0 -1 -9 0 0 0 1
— A,
-'\ 12 8
4
2
3
3
Xj^
XA
(AeR)
—A
J X2
X
X2 + 12x3 + 2x, —
X
12
9x4 =
- 1 /
Durch elementare Zeilenumformungen laBt sich die erweiterte Koeffizientenmatrix in die folgende Trapezform bringen:
(A I c) =
1 0 0 0
1 -1 2 -1 0 1 0 0
2 2 0 -3
Rg (A) = 3, Rg (A I c) = 4 und somit Rg (A | c) 7^ Rg (A). Das System ist nicht losbar. Die Koeffizientenmatrix A bringen wir durch elementare Zeilenumformungen in die folgende Trapezform:
=> Rg(A) = 3 Nullzeile Somit ist r = n = 3, d.h. das homogene System ist nur trivial 15sbar.
702 4)
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben Das homogene System ist nicht-trivial losbar, wenn r
=> Rg(A) = 2 Nullzeilen r = 2, n = 3, d.h. r < n. Das System ist somit nicht-trivial losbar. Das gestaffelte Gleichungssystem lautet: Xj + ^2 + 2X3 = 0 X2 — .^a = 0 Losung (X3 = A wurde als Parameter gewahlt): x^ = —3/1,
5)
X2 = A,
^3 = ^
(2G]R)
Koeffizientenmatrix A lautet nach elementaren Zeilenumformungen: /I -2 1\ I 0 1 - 1 1 =^ Rg{A) = 2 \0 0 O/^Nullzeile r = 2, n = 3, d.h. r < n. Das System ist daher nicht-trivial losbar. Das gestaffelte System lautet: x^ — 2x2 +
^3=0
X2 — X3 = 0
Losung (X3 = A wurde als Parameter gewahlt): x^ = X, 6)
7)
X2 = A,
X3 = 2
(IGR)
Die Koeffizientendeterminante muB jeweils verschwinden: a)
Ai = l,
^2=-!
b)
Die Koeffizientendeterminante wird zweimal nacheinander nach der jeweils 1. Zeile entwickelt => X^ = 2, 22 = "~2 (die beiden ubrigen Losungen sind konjugiert komplex).
Wir bringen die erweiterte Koeffizientenmatrix durch elementare Umformungen in die Trapezform : x^ + 2x2 + 3x3 = 0
a)
X2 + 3x3 = 0 X3=0
Losung: x^ = X2 = X3 = 0 (triviale Losung)
b)
Xi+2X2+4X3 =0 — X2 — 2x3 + 2x4 = 0 X3 + 5x4 = 0 X4 = 0
Losung: x^ = X2 = X3 = X4 = 0 (triviale Losung)
703
I Lineare Algebra 8)
Wir fiihren mit der erweiterten Koeffizientenmatrix (A | c) die folgenden elementaren Umformungen durch: 2 3 I -4 -8 -3 -2 -5 -2 2 3 1 0 -2 -1 0 0 0
-1 7 -6
2 3 1 0 -2 -1 0 -2 -1
2Zi
-l^ 5
-1 5 -7
-Z,
Rg(A) = 2, Rg(A|c) = 3
-\1)
Das Gleichungssystem ist wegen Rg (A | c) # Rg (A) unlosbar. 9)
Die erweiterte Koeffizientenmatrix wird jeweils auf Trapezform gebracht. X 1 ~r Z
XT
3x3 = 5 X3=8 X3=0
Rg (A) = Rg(A|c) = 3 =5> Das System besitzt genau eine Losung: Xj = — 11, X3=0.
-13 - 1 3 0
— X]^ + 8X2 + 8X3 — 4X4
b)
3x^ — 38x4
Rg (A) = Rg (A I c) = 4 => Das System besitzt genau eine Losung: x^ = 5, 0. 1,
=
-2,
c)
Nullzeilen Rg (A) = Rg (A I c) = 2 => Das System ist losbar, die Losungsmenge enthalt n — r = 2 Parameter (wir wahlen X3 und X4 und setzen x^ = X und x^ = fi). Das gestaffelte System lautet: 2x, = 5
2x. +
1
Losung: x^ = —2/1 + 5/1,
d)
0 6 -9 -23
5
A + -,
2
X4 = / i
2
X 1 ~r X ^
;\ 42 -51 -121 43 /
X2 + 4X3 + 2X4 + X3
X4 XA
6X5 = J7 X c ^^
23xc =
1 42 -51 121 43
Rg(A) = Rg(A|c) = 5 => Das System besitzt genau eine Losung: x^ = —0,875, 4,5, X3-O, 5,375. : 2,625,
704 10)
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben Das quadratische System ist genau dann eindeutig losbar, wenn die Koeffizientendeterminante einen von Null verschiedenen Wert hat. a)
D=-8,
Di=24,
D2 = - 24,
Losung: x^ = — 3, b)
D = 98,
Di = - 3 6 ,
c)
D = 62,
D. = 29,
Losung: x^ = d)
Z) = 628,
29 62'
/1 +
/. +
100/ 200/2
2 "49
Dj = 14 31
^2 = 4396, X2 = 7,
/ 3 -
D^ = - 4
49'
^
/)i=0,
Losung: x^ = 0 , 11)
D2 = 10,
18 49'
Losung: x^ =
D^=0
X3=0
D3 = 1884
:>C3 = 3
7 = 0
+ 60 / = 10 + 6 0 / = 10 100/3 + 6 0 / = 10
Losung: I^ = 0,04 A,
I2 = 0,02 A,
12)
I^ = 0,04 A,
/ = 0,1 A.
B^ =
C^ =
13)
14)
a)
Das Vektorsystem enthalt den Nullvektor (c = 0).
b)
a und c sind kollinear (anti-parallel): c = — 3a.
c)
a3 ist als Linearkombination von a^ und a2 darstellbar: 33 = 2ai — 2a2
d)
Die Anzahl der Vektoren (n = 4) ist grofier als die Dimension des Raumes (m = 2), aus dem sie stammen (im R^ gibt es maximal zwei linear unabhangige Vektoren).
a)
2-1-11 det A = det (a^ a2 a3) = 1 2 2 U - 30 7^ 0 .0 5-11 => Rg (A) = n = 3 =^ Vektoren sind linear unabhdngig 1 1 1 1
b)
det A = det (a b c) =
6-2 4-2
2 U -12^0 3 I
Rg (A) = n = 3 => Vektoren sind linear unabhdngig
705
I Lineare Algebra
c)
Matrix A = (a b) = I 0 determinante, z.B. 1
21
0
3
= 3
3 I besitzt eine von Null verschiedene 2-reihige Unter-
.4
1/
(3. Zeile in A gestrichen).
Somit ist Rg (A) = 2 und wegen Rg{A) = n = 2 sind a und b linear unabhdngige Vektoren.
15)
1 2 0 1
Die Matrix A = (a b c) :
0 1 1 0
4^ 9 1 4/
wird mit Hilfe der folgenden elementaren
Zeilenumformungen auf Trapezform gebracht: (T)
Zeile 2 mit Zeile 3 vertauschen.
(2)
Zur 3. Zeile wird das — 2-fache und zur 4. Zeile das — 1-fache der 1. Zeile addiert.
(3)
Zur 3. Zeile wird das — 1-fache der 2. Zeile addiert.
Die Matrix besitzt jetzt Trapezform: '1
0
4^
0 0 ,0
1 0 0
1 0 0/
Rg(A)-2
Somit: Rg (A) = 2, n = 3 => Rg (A) < n => Vektoren sind linear abhdngig c als Linearkombination von a und b: c = 4 a + b
16)
1 2 10 det A = det(a b c) = 4 - 1 4 1 2 10
:0 => Rg(A)<3
Somit: Rg(A) < n =: 3 => Vektoren sind linear abhdngig und damit komplanar
17)
det A = det (a^ ^2 ^3) =
1 -A - 2 1 2 A - - r + 2A4-: 1 5 7
Bedingung: r < n = 3 => detA = 0 => 1^
18)
a)
detA =
b)
det A :
1 1 -2
2 4 1 3 -1 1 -1 1 3
0 1 0
,
A, = 4
5 7^ 0 => Vektoren sind /mear unabhdngig
0 => Vektoren sind linear abhdngig
706
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben
Abschnitt 5 1)
a)
5 A+ B+ C=. \3+j
6+ j
6-j
b)
, 13-5J 1 4 - l l j 3A-4(B-2C)= -^ ^ M 4 + 8J 27 + 15J
10-2J
3+j
V 6
2
V - 3 + 14J b)
) '
- 2 + 6j;
6
5 + 9j
9-5j
V-20+
5j
12 + 19J
2-.3A
/ ^ + ^J
^ + "J
-'^'^\
'^
\5-2j
7 - 8j
4+j/
^ 3)
det A = 4; det B = - 4; det C = 4j
4)
a)
5)
\^
Die Matrizenprodukte („Potenzen") A A = A^ und B B = B"^ existieren nicht. (
b) '
26-8j ^ 7 + 8j
/2-j A* = ( 0 Vl+j
l-2j 2 + 2j 5-3j
'10-5J * I 33 + + 2j 2j A*= ' 5 - 5 j -^
A* = | j
0
1 I;
- j \ ll; - j /
l+2j' 1 4 -- 22jj ; 4 l + 2 j". '
_ /2-j A = ( A ^ = I 1 - 2j \ -j
0 2 + 2j 1
1+j ^ 5 - 3j -j .
^T / 1 0 - 5 j A = (A*/= ^ ' 1 +2j
3 + 2|
5-5j
4-2j
1 +2j
A = (AY^
Somit: A = A => A: hermitesch / I B* = j 2 - j \l-2j
2+ j
l + 2j\
1 5-4j
5 + 4j j ; 0 /
/ I
2- j
l-2j'
2+ j \l+2j
1 5 + 4j
5 - 4j 0 .
B = (BY = (
Somit: B = B => B: hermitesch * _ / 2j C*= ' 1+j
-l+jV . ; 3j / '
r_,r*^T C = (C*)
( ^j , V-l+J
1+j 3j
I Lineare Algebra
707
Somit: C = — C => C: schiefhermitesch / -2j D* = ( 2 \5-5j
-2 -j 8-j
2
J J
Somit: D = — D => D: schiefhermitesch
schiefsymmetrisch
symmetrisch
A: schiefhermitesch; det A = 25 1
2-4j\_/l
2 + 4j
2
2\
)~\2
/O
-4
2y"^^V4
0
symmetrisch schiefsymmetrisch B: hermitesch; det B — — 18 /-j C= l \
0 0 0
-j 0
0\
/O
0
0\
0 )= ( 0 - j / \0
0 0
0 )+J 0/
schief-
symmetrisch
symmetrisch C: schiefhermitesch; det C = j D - | j
2
4
'1 0 1 \ /O )= l 0 2 4 | + j f l A 4 3/ \2 symmetrisch
-1 0 0
-2' 0 0/
schiefsymmetrisch
D: hermitesch; det D = — 7
7)
det A =
J
J
-J^-J^-2
|i - J i Ware A unitdr, so miiBte det A = + 1 oder — 1 sein. A ist also nicht unitar.
5-5j 8- j -2j
708
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben 2
2j
A = (AY = ^ l + Vsj /l2l ^
V3+j ^
2
J
V3-j
-2/
12 1 AA = —I 0 \ 0
B* =
1
0 12 0
/1-j J 0\
3\o
3J
=
/I
0\
lo
i;
/I VO
0' O l = E = > A : wnftaV 1/ /1-J
3V 1
-1+J
= E = > B : unitdr
CMC.f = ( -
-^ _«)
-
0 1 0
*,T__1 B = (B*)
-1+J
1/3 BB =-
c.=l
'1 0' Ol = IO 12/ \0
_»
0\ 1'
Abschnitt 6 1)
a)
det (A - A E) =
1-2 0
-1 2-2
Eigenvektoren: x^ = ^
b)
det (A - 2 E):
0-2 1
Eigenvektoren: x^
c)
det (A - 2 E):
det (A - 2 E) =
-1-2 4
1 /
^2
1 /I 1
A2 = 2
1^
1 /
1
1 -1
1 = ( 5 - 2 ) ( 2 - 2 ) - 4 = 0 =^ 2i = l, 2-2 1 / [
1
I,
x^ =
22
. 1 /l^ x^ =
2 = ( - 1 - 2 ) ( 1 - 2 ) - 8 = 0 => 2i/2 = 1 -2
1 /I Eigenvektoren: x^ = — ^ | _ |,
xA
i,
1 = 2^ - 1 = 0 => 2i/2 = 0-2
5-2 4
Eigenvektoren: x^ =
2)
1
: (1 - 2) (2 - 2) - 0 => 2i = 1 ,
1 /
r -1
3
709
I Lineare Algebra
det (B - ^ E) ^
0-A j
-j = r - 1 = 0 =^ X^/2 = 0-1 1 /
Komplexe Eigenvektoren: x^ = /2VJ det (C - A E) =
1 -X 1
-1 1 -X
1 /
+ \=0
=> Ai/2 =
1
4)
a)
Eigenwerte: :[^ = -2,
b)
Eigenwerte: X^ = - \ ,
c)
Eigenwerte: k^i2 =
a)
det (A - A E):
j
1 /I /2VJ
2V-J 3)
1
2V-J
{\-Xf
Komplexe Eigenvektoren: x^ =
1
A2 - 3 =^ Sp (A) = A^ + A2 = 1; ^2 = 2 ^ Sp (A) = A^ + ^2 = 1; 1 ^ Sp (A) = A^ + A2 = 0;
1-X 2 -1
1 3-A -1
1 4 -2-2
2 ^ - 3 2 ^ - 2 + 3 = 0 =^ Ai = - 1 ,
det A = A^ ^2 = - 2
det A = /l^ /I2 = - 1
=0
22 = 1,
23 = 3 1
1
Eigenvektoren: x^ =
det A = A^ ^2 = " 6
14V 1. 2 b)
det (B - 2 E):
2 1-2 -2
2 -1
-3 -6 0-2
2^ + 2^ - 21 2 - 45 = 0 ^ 2i/2 = - 3,
Eigenvektoren: x^ = — - \
\
V5\
c)
det (C - 2 E):
0-2 1 1
0.
10
1 0-2 -1
2 ^ - 2 2 ^ + 2 - 0 => 2i = 0 ,
Eigenvektoren: x^ =
23 = 5
1
-1 1 2-2 22/3
1
,
x,=
/2\0.
1 r'
X3=— x/2\
0 1 .
710
Anhang: Losungen der LJbungsaufgaben
d)
det (B-XE)
0-A =\ 1 2
-4 4-X 4
-2 = 0 1 4-A
A^-8A^ + 2 0 A - 1 6 = 0 => /ii/2 = 2 ,
Eigenvektoren: x^ =
5)
det (A - A E) =
A3 = 4
1
1
b a a — 2. b a— X a a a b— I
X^ - {la + b)X^ -{a-bfX
+ la^-?>a^b
+ b^=Q
Mit Hilfe des Horner-Schemas zeigt man, daB X^ = 2a + b eine Losung dieser charakteristischen Gleichung ist. Aus dem 1. reduzierten Polynom erhalt man die resdichen Eigenwerte X2 = a — b und A3 = — a + b.
6)
a)
det
(A-XE)--
\-X 0 1
2 -\-X -1
-1 = 0 1 \-X
A^ - A^ + A - 1 = 0 ^ Ai = 1, Sp(A) = /ii +A2 + /i3 = 1;
b)
det (A - A E) =
O-A 0 -10
A2/3 =
detA = AiA2^3 = 1 1 0-/1 1
0 = 0 1 10-A
A ^ - 1 0 A ^ - A + 1 0 = 0 ^ Ai = - 1 , Sp (A) = A^ 4- A2 + A3 = 10;
c)
det (A - A E) =
A^ -
9AH
2-A 2 3
2 6-A 2
A3 = 10
1 = 0 2 4-A
15A - 7 = 0 ^ Ai/2 = 1,
7-A det (A - A E) = I 2 0
^2 = 1,
det A = A^ A2 A3 = - 10
1 3-A 3
Sp (A) = Ai + A2 + A3 = 9;
7)
j
^3 = 7
det A = A^ A2 A3 = 7 0 2 5-A
A ^ - I S A ^ + 99A-162 = 0 =^ Ai = 3,
:0
A2 = 6,
A3 = 9
711
I Lineare Algebra
Eigenvektoren: x ^ ^ - l
- 2 I,
^2 = 3 !
Die Eigenvektoren sind orthogonal: x^
^3 =^ 3 I ^ I
1 h
X2 = x^ X3 = X2 X3 = 0
Die aus ihnen gebildete Matrix
X = (x^ X2 X3) = - I - 2 ^\ 2 2-X 0 det (A - A E) = 0 0
1 2
2 I ist daher orthogonal (X X' = E). 1/
0 1 2-X -2 0 0-A 0 - 1
2 -4 1 0-A
{2-XriX' + \) = 0 => ^1/2 = 2,
9)
det (A - A E) =
-2-2 7 _4
2 3-A -4
J -1 -1 -2-A
A^+ i ^ - 3 0 A - 7 2 - 0 :^ Ai = - 4 , 1 1 Eigenvektoren: x^ = —- I — 1
V2\
A2--3,
^2=—=
0.
=0
A3 = 6
- 3
,
X3=—=1
V29V-4/
V14
1 2 1 -1 -3 3 = 1 8 / 0 => x^,X2, X3 sind linear unabhdngig 0 -4 -2 Sp (A) - ^1 + ^2 + A3 = - 1; 10)
det A = A^ ^2 A3 = 72
A
Aj^ = 1,
A2 = 5,
A3 = 8
{untere Dreiecksmatrix)
B
X^ = 4,
A2 = 5,
A3 = 0,
A4 = 1 {Diagonalmatrix)
C
A|=4,
A2=—2,
A3 = 5
{obere Dreiecksmatrix)
In alien 3 Fallen gilt: Eigenwerte = Hauptdiagonalelemente. 11)
Die Systemmatrix ist eine (untere) Dreiecksmatrix. Die Eigenwerte lauten daher: A^ = — k^ X2 = — /C2,
12)
a)
A3 = 0 .
det(A-AE) =
0-A 1
Eigenvektoren: x^
1 = A ^ - 1 - 0 => Ai/2= 0-A 1 /I
1 /
r 1
1
712
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben
b)
det (A - A E):
1 -A 2
2 -2-/1
A2 + ^ _ 6 ^ 0 = ^ A I
= - 3 ,
1 /
Eigenvektoren: x^ =
-2-A -4
det (A - i E) =
^2 = 2
1 -2
/5 c)
:(1 - A ) ( - 2 - A ) - 4 = 0
1 /2
-4 4-X
= {-2-2){4-X)-16
r - 2 A - 2 4 = 0 -> ^1 = - 4 , 1
Eigenvektoren: x^ =
13)
1-2 -0,5
det(A-AE) =
2
2
-X
- 1 1
-X a)
det(A-AE) =
det (A - i E) = I
= 0^X^-\-9X
= 0=^X^=0,
^2/3 =
3j
-A
1 1 1 -1 1 = 0 => A ^ - 3 A - 2 = 0 -> Ai/2= - 1 , 1 1 -A
Eigenvektoren: Xj^ =
b)
(1 - A)^ - 0,25 = 0
^2 = 1,5
-2 -2
15)
1
yi2 = a + j5
-0,5 1-X
(1 _ Xf = 0,25 ^ X^= 0,5,
14)
1 /
: (a - A)^ - j5^ = 0
(a - ;.)^ = jg^ => /ii = a - j5,
det (B - i E):
^2 = 6
2
det(A-AE):
=0
1 V2\
2-A 1 0
1 I, 0/
1 2-A 1
X2 =
0
'2\
1,
0 I, 1/
0 1 =0 2-A
(2 - A)(A^ - 42 + 2) = 0 ^ Ai = 2,
Eigenvektoren: x^ =
I x/2\
,
A2/3 = 2 + V2 1
X2=;
X3 =
I 1 V3VL
X^ = 2
713
1 Lineare Algebra
16)
det ( A - A E ) :
2-X 1 1
1 1-A \
1 1 =0 2-1
A^ - 62^ + 9A - 4 = 0 ^ Xyn 1/2 = 1,
det (B - ^ E) =
3-A -1 1
-1 5-A -1
^3-4 1 -1 =0 3-A
A ^ - I U ^ + 3 6 2 - 3 6 = 0 =^ A i - 2 , fl->l
1
1
^ - A
0
1
det (C - 2 E):
^2 = 3,
A3 - 6
0 1 a-X
(« - X) \X^ - (a + /?)A + «^ - 2] = 0 X ^ = a,
17)
X 2/3
det ( A - / I E ) :
\ ^%) 3-2 1 -1 1
1 3-2 1 -1
-1 1 3-2 1
X^ - 122^ + 4 8 2 ^ - 6 4 2 = 0 ^ 2^ = 0 ,
18)
det(A-2E) =
4-2 - 2j
2j 1-2
2 ^ - 5 2 = 0 ^ 2i = 0 , Eigenvektoren: x^ = -
22 = 5
1 2j
1 -1 =0 1 3-2 2 2/3/4
(4-2)(l - 2 ) - 4 = 0
714
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben
II Fourier-Reihen Abschnitt 1 271
1)
I f aQ = -{2nx — x'^)dx n J
4 =-n'^ 3
0 In
I
f
a^ = n
,
4
(2nx — X ) cos (nx) dx = J
n^
b„ = 0 (gerade Funktion) f(x)
1
= -n—4{
3
2)
-^-
{n e N) 1
1
cos X + ^ r
cos (2 X) + ^ r
2^
3^
\\^
COS (3 X) + . ..
In 1 f AQ = ~ * X fix = 2 TT 71
J 0
In 1 f fl = X COS (nx) ^x = 0 n J 0 In 1 f 2 /? = X sin (nx) (^x = n 7c J 0 / 1 / (x) = TT — 21 sin X -I
flQ = - -
7C j
(n G N )
(n e M)
1 sin (2 x) H
n
I f
3)
(«GN)
;
\ sin (3 x) + ... I
n
|x|(ix = 2 —
If
X fix = 71
7r j 0
-TT
n
1
f
^n =" ~
|x|
7C
COS(nx)fix =
J
4
1
n = l , 3 , 5,
TT n^ 1 f = 2— X
cos (nx) dx =
71 J 0
0
^„ = 0 (gerade Funktion) 71
/(x) = 2
4/ 1
fiir n = 2,4,6,
(n e N) 1
1
7r\ 1— cos X + — cos (3 x) + — cos (5 x)
II Fourier-Reihen
715
Abschnitt 2 71/2
1 Ij
UQ
r >^
= -
\
n
u
^ 2w COS t at = —
J -n/2
n n= 1
nil
I f , ^n — ~' n J
u cost
fiir
COS (nt) dt = \ (-1)2
-n/2
2w
+\
n(n-
/}„ = 0 (gerade Funktion)
(n e N)
WW 2w/ 1 w(r) = - + - - c o s r + — 7i;\l-3 71 2
cos(2t)
ly
1 3-5
n = 2,4,6,
\){n + 1)
cos(4r) +
1 5-7
n = 3, 5, 7,
- 0 0 8 ( 6 ^ ) - + ...
O^t^
n 2)
y{t) =
2y
^
TT
3
n
^
2
2
2y
t
-4y
- 7 i ^ t ^ 2 n
2
a^ = 0 (ungerade Funktion)
{n e NQ)
p n/2
3 n/2
— t' sin {nt)dt + 0
t + 2y]- sin {nt)dt + n/2
" + ^ 8j} 1 (-1)2 2 . ^ . -
+ I [^t-4y]'
sin {nt)dt
3 n/2
« = 2,4,6,
8y/ 1 1 1 y(0 = ^ — - s i n r - — sin(30 + ^ ' s i n ( 5 r ) - + . TT V 1
3
5
2w O^f
3)
^-
fiir
u{t)={
^ f
r V2
n= 1,3,5, fiir
2w -t dt -h
^ T
I"'
u dt
T/2
3 , = -u 2
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben
716 T/2
— t cos \n — tjdt
+
0
u cos in — 1 \ T/2
2u 1 71
w = l,3, 5,
W
fur 0 T/2
n
« = 2, 4, 6,
f 2w 2M . / 271 \ f , . / 271 \ — t sin I w — t\dt -\w sin I « — t\dt
^r
0
L
3, M(t) = -w 4
2u 1 ^1 —-COS (COQO + ^ ' c o s ( 3 a ; o 0 + — cos(5a)oO + 7r V1 3 5 u 1 1 sin [Iw^t) -\- - sin (COQ OH 71V 2 3
4)
(neN)
T/2
)'(0=-^t + y
sin (3 COQ t) + ...
(0
0 T
0
,
27C \
j; 1
sin I w — t\dt = T 7 71 «
sin (COQ O H 2
5)
1
sin (ICOQI)
-\
1
(M
e M)
sin (3 COQ 0 +
7C
Periode: T =
Ti\
j^sin( -t]dt T
Ay
= — n
w = l,3,5,
2 T
t
COS \n —
\ T
t\dt
4j) 1 7r ( « - l ) ( n + l)
fiir « = 2,4,6,...
Ill Komplexe Zahlen und Funktionen
717
b„ = 0 {y{t) ist eine gerade Funktion; w G N) 2y n
4v n
1 ^
1
1 O + ^-cos(6coot) + .
cos(2ft;oO +
Ill Komplexe Zahlen und Funktionen Abschnitt 1 1)
SieheBildA-l
5
2 1 H
-5
\
\
\
-U
-3
-2
h-
-1
H 1 1 2
\ 3
\ ^
5
1 6
Re(z)
Bild A-1
2)
Siehe Bild A-2.
Bild A-2
718
A n h a n g : L o s u n g e n der U b u n g s a u f g a b e n : l - 4 j = 4 , 1 2 - e - J ^ ^ ' ^ ^ ^ ^ 4,12-eJ^^^'^^^
3) Z2 = 2 , 5 + j = 2,69-eJ^^'^^^ Z3 = 5 + 3j = 5,83 :4 = 4 ' e
: 2 , 5 - j = 2 , 6 9 - e - J ^ ^ ' ^ ^ ^ ^ 2,69-eJ^^^'^^"
7 * ^ 2
ej 30,96°
: 5 - 3 j = 5,83-e-J^^'^^° = 5,83-eJ3^^'^^°
} 0 \
:4 = 4-eJ^° ej l l 6 , 5 7 ° .
Z5 = - 1 + 2j = 2,24
JeJ 122,01°.
zg = - 2,5 + 4j = 4,72
7 *
: - 1 - 2j = 2,24
7 *
: - 2 , 5 - 4 j = 4 , 7 2 - e - J ^ ^ ^ ' ^ ^ " = 4,72-e^^3^'^^°
e - J116'^^° = 2,24
e^ ^^^'^^°
^6
e^ ^^^'^^^
- 4 + l,5j = 4 , 2 7 - e J ^ ' ^ ' ^ ^ ° ;
= - 4 - 1,5j = 4,27
zs=
- 2,5 - 1,5j = 2,92 eJ ^^^'^^^
= - 2 , 5 + 1,5j = 2,92 e - J ^^«'^^° = 2,92 eJ ^^^'^^°
zg=
- 4 , 5 - 3 j - 5 , 4 1 - e J 2^3'^^°;
= - 4,5 + 3j = 5,41
z,o=
-2-4j=4,47-eJ^^^'^^°;
= _ 2 + 4j = 4,47
e " j ^^^'^^° = 5,41 e - j ^^^'^^^ = 4,47
eJ ^^^'^^° e^ ^^^'^'^°
z^i = - 3 , 5 j = 3,5-eJ^^^°;
= 3,5j = 3 , 5 - e - J ^ ^ ^ ° = 3,5-e^^^°
Z12 = 1 , 5 - l , 5 j = 2,12-eJ^^^^;
= 1,5 + l , 5 j = 2,12-6"-'^^^° = 2,12- J 4 5
^13
3,5 - 2,5j = 4,30
z^4 = 4 - 5 j = 6,40
4)
e - J ^^^'^^^ = 4,27
z^=
zi = 3,72
eJ ^^'^^°;
ej ^^'^'^^^
j 308,66°
2^3 = 3,5 4- 2,5j = 4,30 z*4 = 4 + 5j = 6,40
e
z^ = 2 - TTJ = 3,72
e " J ^^^'^^^ = 4,30
e - j ^^«'^^° = 6,40
e ~ J ^^'^^° = 3,72
e^ ''^^^°
302,48 e^
Z2 = 5 , l - e ^ " i ' " ° ;
z* = 4,5 + 2,4j = 5,1
e ~ j ^31,93° _ 5 j . ^j 28,07°
z3 = 5,83-eJi20-''<^°;
z* = - 3 - 5j = 5,83
e - j ^^^'^^° = 5,83
e J ^^^'^^°
z * = - 6 = 6 - e - ^ ^ « ^ ° = 6-eJ^«^° z | = - 3 + 2j = 3,61 - e - J ^ ^ ^ ' ^ ^ " = 3,61 Zg = l , 4 1 - e J " ' ° ;
5)
z* = - 1 - j = 1,41
^4j^4.e-J270°^4.^j90°
z3 = 3 , 1 6 - e J i ^ « ' « ° ;
= _ 3 + j ^ 3,16 . e - j ^^«'^^° = 3,16
zi = 2,16 + 3,37j; Z2 = 2,60 + l,50j;
^7 1*
e^^^^'^^^
° = 1,41 -Q^^^^°
27=4-6^""°;
eJ ^^^'^^^
= 2,16 - 3,37j
* = 2,60 - l,50j ^2
Z3 = - 3,54 + 3 , 5 4 j ; Z4 = 2,5 - 4,33j;
7*
^3
= - 3,54 - 3,54j
z* = 2,5 + 4,33j z* = - 2j
zg= _ 0,5-0,87j;
z* = - 0,5 + 0,87j
z^=
z*=
_l,73-j;
zg = 0,88 - 0,48j;
-1,73+j
z* = 0,88 + 0,48j
|Z2| = 6,32;
|z5i=4;
6)
| z i | = 5;
7)
arg(zi) = 251,57°;
arg(z2) = 140°;
arg(z3) = 120°;
arg(z4) = 341,57°;
a r g ( z 5 ) = 126,87°;
arg(z6) = 280°;
\^3\-
IZ4I
e-* ^^'^^^
|Z6l = 3
Ill Komplexe Zahlen und Funktionen
719
Abschnitt 2 a)
- 9 + 3j
b)
16 - 24j
e)
1,5 + 0,5 j
f)
J
2)
a)
16-2j
b)
582 76. "^"^25"'
3)
a)
3,53 + l,36j
4)
Siehe Bild A-3.
1)
b)
c)
2 - lOj
-6-2j
c)
d)
31
d)
-25j
- 1 2 - -18j
0 , 1 6 - 1 ,23j
Bild A-3
5)
6)
a)
Drehung des Zeigers um 90°.
b)
Spiegelung des Zeigers an der reellen Achse.
c)
Zuruckdrehung des Zeigers um 90° (Drehung des Zeigers um 90° im negativen Drehsinn (Uhrzeigersinn)).
d)
Streckung des Zeigers auf das Doppelte.
e)
Drehung des Zeigers um 30°.
f)
Drehung des Zeigers in die (positive) reelle Achse.
g)
Drehstreckung: Streckung des Zeigers auf das >y5-fache und anschheBende Drehung um den Winkel arg (z) = 63,43° (oder umgekehrt).
a)
z + z* = (x + j y) + (x - j y) = 2 X = 2 Re (z)
b)
z - z* = (x + j y) - (x - j y) = j 2 y = 2 j
a)
{l^if={V2-c^'n"=2-^^'''
b)
(3 - J3jf
c)
(2 • e" j ^^Y = 256 • e ~J ^^^° = 256 • eJ ^^^° - - 128 + 221,70j
^ (^12
Im (z)
= 2i
eJ 330°f = 144 e^''''
144-eJ^^^ = -72-124,71 j
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben
720 d)
( - 4 - 3j)^ = (5 eJ2i6,87y _ ^25 e^650,6i° _ ^25 e^290,6i° ^ 44QQ _ j^y QQJ
f)
(3 eJ^)^ = 243 eJ^^ = 243 e^^ = - 243
g)
2(cos( - j + j s i n l - j j
=l2e3j
= 1024 e 3 = 1024 e 3 =
= -512-886,81 j h)
[5 (cos ( - 10°) + j
sin ( - 10°))]^ = (5 e" J ^^°f = 625 e" J^^° = 625 e^ ^^^° = = 478,78 - 401,74j
7)
Formel von Moivre: (cos (p +}' sin (p)^ = cos (3 (p) + j
sin (3 (p)
Binomische Formel: (cos (^ + j
sin (p)^ = cos^ cp — 3 cos (p
sin"^ cp + }(3
cos"^ (^
sin (p — sin^ (/?)
Vergleich der Real- bzw. Imaginarteile: cos (3 (p) = cos^ (p — 3- cos (p
sin'^ (p = cos^ (p — 3 cos (p{l — cos'^ cp) = 4 cos^ (p — 3 cos cp
sin (3 (p) = 3 cos^ (p
sinq) — sin^ (/? = 3 sin (p (1 — sin'^
a)
^ r = l,
z^=j = l.eJ^" ,j30°
(p^
90° + /c 360°
(/c = 0,1,2)
.j270°
^J150°.
Die zugehorigen Zeiger sind in Bild A-4 dargestellt. ln\(z)k
lm(z)k
Bild A-4
b)
16 e j l 6 0 ° zo = 2 eJ^^°;
Bild A-5 r = 2,
160° + k (Pk =
z^ = 2 e^ ^^^°;
360°
z^ = 2 e^ ^^^°;
Die zugehorigen Zeiger sind in Bild A-5 dargestellt.
{k = 0,1, 2, 3) Z3 = 2 e^ ^^^°
721
Ill Komplexe Zahlen und Funktionen c)
3 - 4 j = 5-e j 306,87° sr r = V 5 — 1,38,
306,87°+ /c-360° q)j^ =
ZQ = 1,38 eJ ^^'^'^°;
(/c = 0 , l , . . . , 4 )
z^ = 1,38 e^ i33,37°.
Z3 = l,38-e^^^^'^^°;
^^ ^ ^^33 . ^j 2 0 5 , 3 7
z^ = 1,38 e^ ^^^'^^^
Zeigerdarstellung: Bild A-6
ln\(z)k
Bild A-6
9)
a)
Losungen der Gleichung z = 4 — 2j = v 2 0 - e^ j 3 3 3 , 4 3 ° 20:
/20 = 2,11,
Zo = 2 , l l - e J ^ ^ ^ ' ^ ^ ° ; b)
333,43°+ /c-360° (pj, = '
z^ = 2,11
eJ^^^'^^°
Losungen der Gleichung z^ = 81 e"-" ^^^°: 3/— r = ^ 8 1 =4,33,
- 190° + k
360°
(/c = 0,1,2)
cp, =
zo = 4,33 e-J ^3'^^° = 4,33 e^ ^^^'^^°; c)
{k = 0,1)
z^ = 4,33 e^ '^'^'°;
Losungen der Gleichung z^ = - 3 + 8j = ^ 7 3
gj ^^^'^^°:
6r7= 12/— 110,56°+ /c-360° r = V V 7 3 = V 7 3 = 1,43, cp^ = Zo = 1,43 • eJ ^^'^3°;
z^ = 1,43 • e^ ^^'^3°;
z^ = 4,33 e^
(/c = 0,1,...,5) ->
z, = 1,43 • e^ ^^«'^3°;
Z3 = l,43-eJ^^«'^3°; Z4 = 1,43 • eJ^^«'^^°; Z5 = 1,43 • e^^^^'^^"
''^^^'°
722
A n h a n g : L o s u n g e n der U b u n g s a u f g a b e n
+ 10)
a)
z^ = 64
ZQ
b)
= 4
e 4 ^
r = V 64 = 4,
.n .3 J — J-TT e 12; ^^ = 4 . e 4 ;
3Ay= 6 ^ > 7 V 2 9 = V 2 9 = l,75, Zo = l,75-eJ^2'^^°; 11)
(pj^ = -
^^ ^.^ 4
z3 = 2 + 5j = V 2 9 - e J ^ ^ ' ^ ^ °
k-2n {k = 0,1,2)
.17 n e 12
J —
=>
68,20° + k 360° (Pfc = ^ e^ ^^2'^^°;
z^ = 1,75
Z2 = 1,75 ej 262,73°
Mit XjL = 1 — j istauch x* = 1 + j eineLosung! Quadratischen Faktor (x —Xi)(x —x*) = X — 2 x + 2 abspalten: ( x ^ - 2 x - ^ + x^ + 2 x - 2 ) : (x^ - 2 x + 2) = x^ - 1; Losungen: Xi/2 = 1
12)
j»
x^ - 1 = 0 => X3/4 :
1
^3/4 = + 1
a)
Xi = 1 (durch Probieren gefunden!). Linearfaktor x — 1 abspalten => x j "^2/3
b)
Bi-quadratische Gleichung (Substitution z = x )! Losungen: x^i2=
13)
(/c = 0,1,2)
a)
,
1 = l-eJ^ = 1
b)
^3/4= + j ^ =
lnl=jfe-27r
1.- epjfe-27r
(keZ)
- l + j = V2-e^4
)
l n ( - l + j ) = ln V 2 + j ( -71 + /c-27r)
J = 1 e ^2
{ke\
^
l n j = l n l + j ( - + / c - 2 7 r j = j ( - + A;-27r)
.71
d)
2
e 3= 2
. /7l
,
e^3
«
^
(/c (
- 1 = 1 .eJ(" + ^-2") L n ( - l ) = l n l +J7c=j7r
f)
(fcei
\
In ( 2 - e 3) = i n 2 + j | - + /c-27r|
e)
+ 4= 0
(/c = 0)
l n G ^ ) = j - l n j = j j ( - + /c-27r Nach 13)c)
,
Ln(jJ)=-^
(fc = 0)
723
Ill Komplexe Zahlen und Funktionen
Abschnitt 3 1)
Bildliche Darstellung der Sinuszeiger in Bild A-7. lm(z)k
Bild A-7
2)
3)
a)
y^ = 3-sm[2t
+ 'j\ ^ y^ ={?>
b)
y2 = ?>-sm{4t + ^n]
c)
y^ = 4- sm[2t + -n
d)
^4 = 5-8111(71^4-5,08) => );4 = (5-eJ^'^^)-eJ"';
a)
y^ = 3 sin I cot +l),
n = {3-^^-.^-
b)
y2=4-sm(2t
j ; ^ = (4 ' e 4^) e^^'
c)
^3 = 5 sin {t + 2,57),
y3 = (5 eJ ^'^^) e^'
d)
y4 = 3- sin (nt + - ^ ) ,
^4 = (B
a)
Ml - 100V-sin(a;0 => Ml =-lOOV-eJ^'
+ ^nY
Q ^) - Q^^';
=> y2 = {3
Q"^"")
A ^ = 3-Q^ = 1,5 + 2,60 j
Q'"^';
^ 2 ^ 3 - e 4 ^ = - 2,12 + 2,12j
^ 4 = 5-eJ^'^^ = 1,80 - 4,67j
e-'6'') eJ^'
U2 = 150V-sin(a;t + ^ ) ^ W2 - (l50 V e 4) gj^^ u = u^ + U2 = 100Y + 150Y-Q^ = 206,07 V + j 106,07 V = 231,77 V e^^'"^^ u = u^+U2 = u- eJ"^ = 231,77 V eJ^^'^^'^^^ M = Im (u) = 231,77 V sin {cot + 0,48) b)
u^ = 50Y'sm{ajt
+ n) => u^ = (50\ - Q^"") - Q^""'
U2 = 200V-sin(a;^ + - | => M2 = (2OO V e 3) gj^^
724
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben
^ = ^^ + ^2 = 50 V eJ^ + 200 V e 3 = 50 V + j 173,21 V + 180,28 V e^ ^'^^ u = u^-\-U2 = u- eJ^' = 180,28 V eJ^^'^^'^^^ u = lm (w) = 180,28 V sin {cot + 1,29) /
? \
/
.2 A
A
A
A
w = Ml + M2 + W3 = w 5)
\
.4 J
J ~ ^
M = Ml + Ml + ^3 = "o + "o
-^
^^ +
WQ
^
^
A
'^^ ~ ^
e-''^^ = 0, w = Im (w) = 0
Darstellung der Schwingungen in der Kosinusform (wir setzen co = ns~^): y^ = 20 cm
cos (cot--7C j => y^ = (20 cm e ^s^'j-eJ"^
^2 = 15 cm
cos I cor + - I
=> y2 = (15 cm
_.2
.n
A = A^-\-A2 = 20cm' e""'5"" + 15 cm y = y^+y^
= A' e^^' = 22,37 cm
e 6 ) e-'"^
e 6 = 1947 cm - j 11,52 cm = 22,37 cm e^ ^'^"^
eJ^^^'"^'''^)
y = Re (y) = 22,37 cm cos (cot + 5,74) 6)
Z = i^+j(coL
7)
1 1 Z = - - j — => Z = 0,01S-jO,004S R coL
(co = ns~^)
1 ^ Z = 1 0 0 Q + j 199 999,95 Q coCJ
1 1 Z =—= = 86,21 Q + j 34,48 Q Y 0,01S-jO,004S l=YU_= 8)
1A-J0,4A
Leitwert der Parallelschaltung aus ^2 ^^^ ^
-^
1
1
C0L-JR2
i?2
f«^
R2{coL)
Widerstandsoperator der Gesamtschaltung: 1 R,Rl + {R, + R2){coLf ^ . R^(coL) Z(co) = i^i +—- = — -—+jYp Rl + icoLf Rl + (coLf 9)
Z i = jRi +JC0L1 = 5 0 Q + j 3 0 0 Q 1 Z2 = i ? 2 - J
= 100Q-j333,33Q coCj^
Z3 = i?3 + j C0L2 = 20 Q + j 450 Q
725
Ill Komplexe Zahlen und Funktionen Leitwert des Parallelkreises _ -1
1 _^2 +^3
^2
3
^2
^3
Komplexer Widerstand des Parallelkreises: Z„ = — = -^'-^ = 810,80 Q - j 468,86 Q -' Zp Z2 + Z3 Komplexer Widerstand des Gesamtkreises: Z = Z^ + Z p = 860,80Q-j 168,86 Q
Abschnitt 4 1)
a) b)
Siehe Bild A-8 Siehe Bild A-9 lm(z)i Im^z;,
1
^ 1-
^(t)
/
^
\/f=0 a
2)
1 3 5 — zi = — 34 - —3 j4 ;'
a)
1
Bild
Bild A-9
— = -0,06-0,08j; Z2
1 — = 0,167 - 0,289j;
1
0,330-0,047j; 3)
^
J Re(z)
Z{co) = R+i(joL
X"' V"°. 2
Re^z;
1 — = 0,128 + 0,107j
1 — = 0,100 + 0,173j (BildA-10)
ImfZ)
Bild A-10
726
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben
b)
1 1 ZM =- - j — R o)L
(Bild A-11)
lm(Y)klm(Z)
Bild A-11
4)
a)
Z(R) =
c)
Y{R)
R-j-coC \
b)
Siehe Bild A-12
R{(oCf
Z(R)
(oC
R^(coCf-\-\
+ J-
R^(coCf-\-\
(Bild A-12)
lm(Z)^
/
^Y(R)
/ 1
\ \
V\
-^^JR >7 ^ RQ(Y) RQ(Z}
Z(Ri)
~1Z(R)
Bild A-12 ^1
R
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen Abschnitt 1 1)
a)
y'^lx,
XGR
{grau unterlegter Bereich in Bild A-13)
b)
|x|^l, |y|^3
{hellgrau unterlegter Bereich in Bild A-14)
|x| ^ 1, |y| ^ 3
(dunkelgrau unterlegter Bereich in Bild A-14)
c)
y ^ — X, y ^ X, XE]^
d)
x^+y^^l
^;0;oY
(grau unterlegter Bereich in Bild A-15)
{grau unterlegter Bereich in Bild A-16)
S, = k - ^ ; o Y
S, = (o; 0; ^
A liegt in der Ebene, B oberhalb der Ebene, C und D unterhalb der Ebene.
727
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben
728 3)
a)
Bild A-17
b) Bild A-1^
c) Bild A-19
Bild A-17
Bild A-18
Bild A-19
4)
Rotationsfldche: z = v 4 - x^ - y^, x^ -\- y^ ^ 4 (Halbkugel vom Radius R = 2, Bild A-20).
Schnitt mit der x, y-Ebene: Kreis vom Radius R = 2. Schnitt mit der x, z- bzw. y, z-Ebene: Halbkreis vom Radius R = 2.
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen
729
Abschnitt 2 1)
a)
z^ = 12{3x-5yf; ^.y = ^yx=-
t>)
z =
x^-y^
w^, = — 6w sin (3 wu);
{x-hy){x-y)
=
X+ y
X -\- y
Zy= - \ ;
cos {3uv);
w^j^ = — 18w^
z^y = z^^ = 0;
z^ = 3r^
'x'^—lxy
\j x'^ —Ixy
^{x^ — Ixy)^
xy
x^
V(x^-2xy)^
V(x^-2x);)^
1 '
y
1
1
y
x^
X 1''
1
y
2
S 3^
22 ,. 22 ''
Q'^^;
„2
X
X
cos (3 wi;)
Zyy = 0
Q'"^; Z^^ = 3cp{2 + rep)
X —y
e)
w^^^ = — ISu^ cos (3 wu);
=X—y
z^^ = 0;
z^ = 3{l+r(p)-Q''^;
z^^ = lOS i3x - 5 yf;
z^^ = 300(3x - 5y)^
6 sin (3 wu) — l^uv
" vu
z^ = \; d)
m{3x-5yf;
w„ = — 6u sin (3wi;); ' uv
c)
Zy = - 20i3x - 5yf;
Ixy 2'
^^
/
2
x^ — y'^ ^y
2\ 2 '
y^
\
2\ 2 '
i
2x3;
(x^ + y V 2 ^)
^X
29 ,. 2 2' '
x^ + y 2 X
3;
-X + y
^XX ^^
,
2
—X + 3 ;
/.
29 ,.
'^
29x\ 22 ''
^.^3^
(^ + y )
Lxy y^
/
2 ,
2x2'
(x + y )
2 - y
(x' + yr 5t "''~(2x4-t)^'
5x "'"
20t
(2x + t)^' "'"''"
10x-5t
(2x + t)^' " ' ' ' ~ " ' ' ' ~ ( 2 x + 0 ^ '
lOx {2x + tf j)
Zj = a
cos (at + (p);
^t
z^ = cos (at + (p);
z^^ = — a'^
sin (at + (p); z^^ = - sin (at + (p)
sin (af H- (p);
730 2)
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben z^(l;0) = 6; 2^(0; 1) = 0,159; 2^3,(-1; 0) = 13,142; 23,3,(5; 0) = 626,04; z,,,(-l;0)=-10
3)
a)
z^y = Zy^ = 3- COS (x - y) + ISx^y"^
b)
^xxy = ^xyx = ^yxx = Sin {x - y) + 30 xy"^ a(2x^ -y^
- z^) + a{2y^ - x^ - z^) + a{2z^ - x^ - y^) —-T =0
4)
Aw =
5)
z , ( l ; 0 ) = 3;
6)
xz, + yZy = x--c'"'
7)
a)
z= -x-\-2y-l
8)
a)
^z = (12x^ >; - 3 e^) Jx + (4x^ - 3 X
b)
dz =
{x^+y^ + zY^^
Z3,(l;0) = 0
+y ( - ^ ' c A =0 b)
4t^ + 2t {2t-4xf 2
dx H
2t^
2
'")
dz =
9)
2
X + 2 x y —j; dx H
{x-yf ^)
e^) dy
-Stx-2x — dt (2t-4xf 2 , T
X — 2x3; —>^ c)
P = (2;l;8), z = 3 x - 3 3 ; + 5
dy
(x-yf
^" = X2 ^+ yV + z 2 ^^ + X 2 +^ 3; 2_, + z 2^>^ + X 2 +_,y V + z 2 ^^
0(r;h) = 2nrh + 2nr^;
dr = Ar = 0,5 cm; dh = Ah =-0,5
cm
60 60 JO = — d r + — d h = {2nh -\-4nr)dr + 2nrdh dr dh AO^dO
10)
11)
= 109,96 cm^; AO^^^^t = 109,96 cm^
dr dr dr = --dx + -dy ^^ ^y dx = Ax= -0,1; Vir,;r-,h) = dV
dr xdx + ydy + zdz + ~dz= ' ' ^' ^:c'+y'+z' dy = Ay = 0,2; dz = Az= -0,\;
Ar^dr
= 0,13; Ar^^^y^^ = 0,14
n{r^-r^)h dV
dV
2
2
dh = 2nr hdr — 2nrihdr^ + n{r — r^)dh dV = — dr H dr: H dr^ dri dh AV^dV= - 512,1 cm^ AF^^^kt = - 527,8 cm^ (Volumenabnahme!)
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen
12)
dT = — dL + — dC = — = {CdL + L dC) dC y^^ dL Fiir L = LQ, C = CQ und dL = AL, dC = AC, dT = AT gilt dann naherungsweise: AT=
^
(CQAL
+
LQAC)
Prozentuale Anderung (TQ = 27rvLoCo): AT 1/AL AC\ 1 — = - — + — = - ( - 5 % + 3%)= - 1 % To 2\L, Co) 2' Die Schwingungsdauer verringert sich um 1%. 13)
a)
i = z^x + Zyy = y Q'^y ' 2t + X
Q^'y ' 1 = 3t^ - Q''
b)
z = z^x -\- z^y = {\n y)
c)
z = z^ i + Zy 3} = 2 X sin (2 y) 21 + 2 X ^ cos (2 y) 3 f ^ =
sin^ t cos f + - (— sin t) = cos t In (cos t) cos t
= 4r^-sin(2t^) + 6t^-cos(2t^) 14)
Parameter: x; Parametergleichungen: x = x, y = x^ y z{x) = z^x + Zyy =
X
1 -\ cos (xy)
15)
2 4x^ 3X = —— cos (xy) cos (x )
Parameter: x; Parametergleichungen: x = x, y = x^ 4x^ 1 z{x) = z^x + z y = -• 1 +—; ^ +y X +y
16)
a)
z = z^x + Zyy -(2xy^ +
b)
z = t"^-t + t = t^+ t; £ = 51"^ + !
a)
dz dz 8x 8z 8y 1 — du = ^-~8x 8w+' -—'^ 6y du = — cos^(x + y)
^
17)
4x^ + 2 •2x = -— ; z(x = 1) = 3 x-" + X
dz
dz 8x 8z 9y
du
6x dv
dy dv
dz du
dz dx dx du
dz dy dy du
= 5 t"^ + 1
j -2^ + 2x^y
2Vx/
2^t 1 4w +— cos^(x + y) 2u: cos^(2w^)
1
1
cos^(x + y)
cos^(x + y)
= (2xy^ + 3x^y^)-l + ( 3 x ^ y ^ + 2x^y)-l = 2(u^ - v^)(5u^ dz dv
dz dx dx dv
- v^)
dz dy dy dv
= (2xy^ + 3x^y^)-l + (3x2y^ + 2x^y) • (-1) = -^uv{u^
-v^)
731
732
18)
Anhang: Losungen der tJbungsaufgaben az dz dx ez dy Ix . , l ^ -= ^—-—+ — — = —2w + —r du dx du dy du x^ + y x^ + y 2u
a)
b)
19)
dz
dz dx
dz dy
dv
dx dv
dy dv
2w(2w^ + 3) w^ + 3w^ + i;^ + l
2x 1 2v x^ + y 0 + — x^ + y -Iv. u"^ + 3u^ + v^ + 1
z = z{u;v) = \n{u'^ + 3w^ + i;^ + 1) dz
2W(2M^ + 3)
dz
2v
du
w'^ + 3w^ + z;^ + l '
dv
^^ _^ 3^2 ^ ^2 _^ ^
Linearisierte Funktion in der Umgebung des Arbeitspunktes P = (1; 2; 20): z= - 2 0 X + 20}; Naherungswert: z = 14; Exakter Funktionswert: z = 14,73
20)
AI^dI
=(
I Ai?i+(
I ARn+i—I
AL/ =
- ( 0 , 0 2 5 ^ ) A i ^ , - ( o , 4 ^ ) A R , + (o,25^)AL/
21)
AW^ dW=
dW dW 1 , 1 Ab + Ah = -h^Ab + -bhAh dh 6 3 db
Prozentuale Anderung:
22)
a)
y'(P)=-
AW Ab Ah =— +2 = 5 % - 20% = - 15% b h W
x(x^ + y^ -\) , \ ^
b)
, y'{P,)=-^
1 /-\/3 1 3 - + - - 1 V 2 ^W 4 4 7 0 ^ ./ \ - =- = 0 2V4
23)
P = (2;-2),
);'=--^^^; X + 2y
24)
Schnittpunkte: S^ = (0; 0), S2/2 = (0; >^'(^)=-T^^5
>;'(?) = 1;
4
Tangente: y = jc - 4
2)
/ ( S i ) = t a n a i = ^ => a^ = 14,0°
1 y'('^2/3) = tana2/3 = - - => a2/3 = 172,9°
25)
3x — 6x y'=-Waagerechte Tangenten in den Punkten P^i2 = (0;
1) und P3/4 = (2;
v 2)-
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen 26)
a)
Die notwendigen Bedingungen sind an vier Stellen erfiillt: (i;2) (i;-2) (0;0) (2;0)
A = —144<0 => Kein Extremwert A = — 144 < 0 => Kein Extremwert A=
144 > 0 und z^^{0; 0) = - 24 < 0 => Maximum
A=
144 > 0 und z^^{2; 0) =
24 > 0 => Minimum
Extremwerte: Maximum P^ = (0; 0; 1), Minimum P2 = (2; 0; — 15) b)
Aus den notwendigen Bedingungen erhalt man zwei Stellen: (0; 0): A = 4 > 0 und z^^(0; 0) = 2 > 0 => Minimum (2; 0): A = - 4 e""^ < 0 ^ Kein Extremwert Extremwert: Minimum P^ =(0;0;0)
c)
Die notwendigen Bedingungen fiihren zu der Stelle (3; — 3): (3; — 3): A = 3 > 0 und z^^(3; — 3) = — 2 < 0 ^ Maximum Extremwert: Maximum P^ =(3; —3; —27)
d)
Die notwendigen Bedingungen fiihren zu der Stelle (0;0): (0; 0): A = 1 > 0 und z^^(0; 0) = 1 > 0 => Minimum Extremwert: Minimum P^ =(0;0;1)
e)
Die notwendigen Bedingungen ergeben zunachst zwei Stellen: (0;0): A = - 9 < 0 ^ Kein Extremwert (0,44; 0,38): A = 27 > 0 und z^^(0,44; 0,38) = 5,24 > 0 ^ Minimum Extremwert: Minimum P^ = (0,44; 0,38; 0,83)
27)
Fldchenfunktion: A ^ A{x;y) = 4xy Nebenbedingung: (p{x;y) = b'^ x^ + a'^ y^ — a^ b'^ = 0 (Ellipsengleichung) Hilfsfunktion: F{x; y; X) = A{x; y) + X
(p{x; y) = 4xy + X{b^x^ + a^y^ ~ a^b^)
F^ = 4y + 2Xb^x = 0 1 > X eliminieren => a^y^ = b'^x^ Fy = 4x + 21a^ y = 0 J F^ = b^x^ +a^y^
-a^b^
a /Maximum: X =-^2,
=0
^ r y = -\/2;
A^^^ = 2ab
r
28)
Mantelfldche: M = nrs;
s=
r
, h=
Tir
2
=> M = M{r; P) =
tan p sin p sin P 1 ^ nr^ nr^ Nebenbedingung: V = -nr h = = 10 => (p{r; p) = 10 = 0 3 3 tan jS 3 tan j5 Hilfsfunktion: F{r; p; X) = M{r-J) + l- (p{r; p) = ^ ^ + X ( - ^ \ 3 tan p sin j5
10
733
734
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben
K =
2nr nr + A =0 sin p tan j5 y X eliminieren => cos^ p = - ^ p = 35,26° 3nr^ -cos B + Xnr f =0
F =
^
3 tan jg
10 = 0
Minimum: j5 = 35,26°, d.h. a = 70,53°; r = 1,89 dm; M^i„ = 19,44 dm^ 29)
Hilfsfunktion: F(x; y;X} = x + y + l(x^ + y^ - \) F = 1 +2Ax = 0 /I eliminieren => x = ^^
F = 1 +2Ay = 0 F;^ = x^ + y ^ - l = 0
30)
Maximum:
x = y = - v 2;
Minimum:
x—y=
^max
v 2; z^^in = — v 2
Im Schnittpunkt S = (0; 1) gilt: y[(0)- y'2 (0) = - 1 Nebenbedingung: — ab = — 1 oder cp(a', b) = ab — \ = Qi
Fldche A:
A = A(a;b)=
l.^ax a
f Q""" dx + f e"^^^x = 0
+ -
00
e b
CO
J
J
0
a
b
-bx
1 1 Hilfsfunktion: F{a; b; X) = A(a;b) + X- (p(a;b) = -+ --\- X{ab - 1)
F=-X
+ lb = 0 A eliminieren => a = b
1 F. = - — + Aa = 0 F^ =
ab-\
Minimum: a = b = 1; ^^j„ = 2
IV Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen 31)
735
Fldchenfunktion: A = A{x; y) = xy Nebenbedingung: U = 2x + 2y = const. = c => (p{x; y) = 2x + 2y — c = 0 Hilfsfunktion: F(x; y; X) = A{x; y) + X - (p{x; y) = xy -\- ).{2x + 2y — c) F^ = y-\-21 = 0 X eliminieren ^ x = y Fy = x + 2X = 0 F^ = lx^2y
-c = ^
Maximum: x = y = c/4; A^^^^ = c^/16 32)
Abstand: d = d{x; y; z) = V-^^ + y'^ + z^ Nebenbedingung: (/)(x; y; z) = 2x + 3); + z — 14 = 0 Hilfsfunktion: F{x; y; z; X) = d{x; y; z) + X
cp{x; y; z)
= V-^^ + y^ + z^ + X{2x -\-3y + z-14) : + 22 = 0 ^ x ^ ^ ^ z ^
x:y:z
: + 3A = 0 } /x^ + y^ + z^
= 2:3:1
d.h. X = 2z, _y = 3z
A =0
F^ =/x^+y^ + z^
F^ = 2x + 3y + z - 1 4 = 0 Minimum: x = 2, y = 3, z = l ; <^niin ^ v 14 Losung: Von alien auf der Ebene liegenden Punkten hat der Punkt P = (2; 3; 1) den kleinsten Abstand vom Koordinatenursprung. 33)
a = c ' sin a; a = 4,24 cm ^ « m a x ==
da oc
da
+ — Aa = |sin a Ac| + |c cos a Aa| = 0,165 cm ^ 0,17 cm
9a Mefiergebnis: a = (4,24 34)
) cm
T = 6,28 ms AT^
dT — AC dC
dT AL + — 6L
Mefiergebnis: T= (6,28
0,28) ms
(LAC+ CAL) = 0,28 ms LC
736 35)
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben 0,91) Q, R^ = (41,5
a)
R^ = (97,0
b)
R== 29,06 Q dR -AR, 8^'
AR^
dR AR. 8^
Mefiergebnis: R = (29,06 36)
a)
b = (18,0
b)
W= 300 cm^ dW
dW A^
db
+ dh Ah
Mefiergebnis: W = (300 37)
m = m(R; p) = pV =
RJAR^ + RIAR2
= 0,54 Q
(^1+^2)'
0,54) Q
0,24) cm, h = (10,0
AP^^
0,94) Q
0,27) cm
-h^Ab 6
+ -bhAh 3
= 20,2cm^
20,2) cm^
-npR^
m= 19 015,5 g » 19,016 kg I 8m AR dR
Am„
+
8m ^Ap dp
Mefiergebnis-. m = (19,016
: 47rpi?^ Ai? + -Tii^^ Ap = 1538,1 g ^ 1,538 kg 1,538) kg
Abschnitt 3 1 -
77
1)
a)
2)
Kurvenschnittpunkte: x^^ =
A = 2'
b)
1,455
cosx
\
j
x= 0
y = x^
1,455
(Bild A-21)
dydx = 5,153 -2
Bild A-21
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen 3)
Kurvenschnittpunkte: x^ = — 3, X2 = 2 (Bild A-22) 2
A=
-x + 6
f
f
J
J dyd. = -^
125
y = x^
X = — 3
Bild A-22
4)
Nach Bild A-23: In
aq)
A=
rdr d(p = - a'^ n^ (p^O
r = 0
Bild A-23
5)
Nach Bild A-24: 3 71/2
A=
\ (p ^ n/3
e^'"'
I rdrd(p = 3,333 r= 0
Bild A-24
737
738 6)
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben Nach Bild A-25: 7r/2
A = 2-
^1
sin (2 (p)
\
rdrd(p = 2
(p = 0
r = 0
Bild A-25
7)
Kurvenschnittpunkte: x^ = 0, X2 = 5 (Bild A-26) 5
a)
-x^
+ 3x
^ =
dy dx = X = 0
y =
—2x
5
b)
xs
-x^
xdy dx = 2,5 x= 0
y=—2x
5
- x ^ + 3x
y dy dx = — 2,5
125 X= 0
8)
+ 3x
125
ys
125
y = — 2x
Flachenstiick: Siehe Bild IV-65 (Seite 372)
A=
Bild A-26
1 + COS (p
2 71
I 1
(p = 0
rdr dip = -n
2
r=0
In
1 + cos^
r
cos cp dr dip
371 (p = 0
r= 0
^5 = 0 (aus Symmetriegrunden) 9)
Kurvenschnittpunkte: Xi/2 = 1 y4 =
1 (Bild A-27)
2-3x2 ^}^^X :
2X =: 0
y = — x-^
x^ = 0 (aus Symmetriegrunden) 1
X = 0
2-3x'
>; = -
x^
Bild A-27
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen 0
10)
0
3
^ =
Jy Jx + X = —\
y = X
\ dydx = 5 x = 0
0
0
y= 0 3
1
xdy dx + >— X =
— 1
x=0
y — X
0
0
3
j;^ = - I
I
\ y dy dx +
\
y = X
X
-
X =0
y=0 X
13
\ ydy dx
Is
y =0
Nach Bild A-28: 5
A=
Inx
{
[
x = \
dydx = 3,241
y = 0,1 X - 0,1 5
Inx
x = l
>' = 0,1 X - 0,1
1
xdy dx = 3,445
3,247 5
ys
inx
ydydx = 0,115
3,247
Bild A-28 12)
26 15
\ xdy dx
r
X —— 1
11)
X
Bild A-29
Nach Bild A-29: n
2
rdr d(p = -n ^ 4
A= (p = 0
r = 1 + cos (p
n
2
J
J
Xg = —
5n
ys
r'^ ' COS (p dr d(p (p := 0
r = \ + cos (p
n
2
J
J
?
)n
^ = 0
=—0,5
r = 1 + cos (p
r
16 sm(pdr d(p = — = 1,019 571
739
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben
740 R
nil
13)
1^= (p = 0
r = 0
r^ ' sin'^ (p dr dcp =n — R^; 16
Iy = I^ =n — R^ 16'
(aus Symmetriegrunden)
ip = ' . + Jy = ^R' 14)
Kurvenschnittpunkte: a = — 7r/3, b = n/3 COS X
K/3
{ dydx = 0,6S5
a)
A = 2-
{
b)
-'Cs = 0 (aus Symmetriegrunden) 7t/3
1 0,685
)^s
COS X
1 I
y = 0,5
X = 0
0
n/3
cos X
/. = 2. j
j
X = 0
};^3;^x = 0,698 ^0,7
y ^ J y J x ^ 0,346;
Iy = 2-
y = 0,5
n/3
cos X
j
|
X = 0
y = 0,5
x^ dy dx : 0,147
/^ = / , + / , = 0,493 r-
15)
/, = 2
a
2a
j
j y2rf>;dx+ j
j y^dy Jx
x = 0
y= 0
X = a
y = 0
a
2a
b
a
\ x'^ dy dx +
/, = 2 O
X = a
y^O
2 Ip = I, + Iy = ^a{Sa^+aH
K
\ x'^ dy dx
;fl^(7fl + 6)
]a{a^ + b^)
y = 0
+ b^)
^C0S{(p/4)
r-'^rJ(p = - V 2 = 0,707 (p = 0
17)
a)
r= 0
Gleichung des Kreises in Po/ar/coorJmflte«: r = r((p) = 2R 7t/2
/. = 2
2K
cos ^
1 I
,=0
r=0
r
sin (p dr d(p = - R
cos (^
7r
2 ^ 2
n
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen nil
2R
cosq)
^^ = '- 1
r^ ' cos^ (p dr d(p = - nR^
r = 0
(J) = 0
lp = lx + iy-
2 ^
b)
741
4
x-Achse
ist S c h w e r p u n k t s a c h s e : I^ = ~ R .
y-Achse
verlauft im A b s t a n d d = R parallel z u r S c h w e r p u n k t s a c h s e :
L = Is +Ad^ =^R'^ + 71R^ =-nR'^. y ^ 4 4 z-Achse verlauft im Abstand d = R parallel zur Schwerpunktsachse: Ip = Is + Ad^ = -R'^ 7iR'^ = -R^ + -\-7iR'^ = -7iR'^ -i 2 2 18)
Nach Aufgabe 13) ist I^ = Iy=-R'^ 8
und I^ = -R'^. Aus Bild A-30 folgt dann fiir die 4
^ R]\ gehenden Schwerpunktsachsen nach dem Steinerdurch den Schwerpunkt S = f 0; — \ schen
3n J
Satz:
Bild A-30
Schwerpunktsachse S^: I, = Is^ + Ay^ ^
Is^^O,mR^
Schwerpunktsachse Sy {= y-Achse):
Schwerpunktsachse
19)
a)
2 - — 3 71
S^ (parallel z u r z-Achse):
b)
1 - 24
742 20)
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben Gleichung der Ellipse: b'^ x^ + a'^ z^ = a^h^. Fiir x -^ r erhalt man hieraus die Funktionsgleichung des Rotationsellipsoids: b
b^r^ + a^z^ = a^b^ => z=
2 sjJU a"
- „ r2
a (obere und untere Begrenzungsflache, sie liefern die Grenzen der z-Integration). Projektionsbereich in der x, y-Ebene ist der Kreis mit dem Radius a: O ^ r ^ a , 0 ^ cp ^In. Aus Symmetriegrunden ist dann: a
1%
~Ja
V = 2-
21)
rdz dr dcp =-na^b
Der Kreis x^ + z^ = R^ gehtfiir x ^r
indieKwge/ r^ + z^ = R^, d.h. z=
- r^
uber. Obere Begrenzungsflache ist z = \/R^ — r'^, untere Begrenzungsflache die zur x, yEbene parallele Ebene z = R — h. Die Projektion der Kugelhaube in die x, y-Ebene ergibt einen Kreis vom Radius RQ, fiir den nach Bild IV-105 (Seite 430) gilt: Rl + (R-hf = R^,
d.h. RQ = In
V=
^2Rh-h^. ^2Rh-h^
\
\
(p = 0
r=0
^R^-r^
n - I rdzdrd(p=^h^{3R-h) 3
j z=
R-h
Schwerpunkt 5 = (0; 0; z^) mit: 271
Ze = —
' 22)
nh^(3R-h) nh^(3R-h)
j2Rh-h^
JJ
(p = Q
JJ
r=0
7 ^
JJ
z=
3(2R-h) 2 4{3R-h)
zr dz dr dcp = R-h
Gleichung des (rotierenden)Xrdses: (x — R)'^ -\- z'^ = r^. Fiir x -> r erhalt man hieraus die Gleichung des Torus: (r-R)^
+ z^ = rl => z=
Jrl
- {r -
Rf
Die Projektion des Torus in die x, 3;-Ebene ergibt den in Bild A-31 skizzierten Kreisring mit dem Innenradius ri = R — rQ und dem AuBenradius r^ = R + rQ.
IV Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen 23)
743
Wir denken uns die Wassermenge m im Schwerpunkt S = (0; 0; z^) der mit Wasser gefiillten Halbkugel vereinigt. Fiir die Mindestarbeit (Hubarbeit!) gilt dann: ^min = ^d ^s
(Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s"^).
Schwerpunktsberechnung a)
Wir beziehen uns auf Aufgabe 21) (Kugelhaube). Fiir h = R geht die Kugelhaube in eine Halbkugel iiber, deren Schwerpunkt vom Mittelpunkt der Kugel die Ent3 fernung -R besitzt. Der Schwerpunkt unserer gefiillten Halbkugel hegt somit 8 5 15 - R = — m uber dem tiefsten Punkt. Somit ist 8 8 15 95 zc = 10m + —m = —m = 11,875 m und mit m = pi-nR''\
= 56 548,7 kg folgt:
W^,, = mg zs=^ 6 5S1 566 J b)
Berechnung der Schwerpunktskoordinate uber ein Dreifachintegral: 271
3
13
1 18^'
rz dz dr dcp = 11,875 (in m) (^ = 0
24)
I^Kegei = -nR^H.
r= 0
z= 13-V9-r2
Nach Bild IV-85 (Seite 403) ist dann:
2n
,{r-R)
R
H zr dz dr dcp =
= TiR^H 25)
J (p^O
J r= 0
J z=
0
Nach Bild A-32:
V=
271
9
3
\
I
I
(p = 0
r = 0
Z = yT
Zc = ^ 48,6 71
r dz dr d(p = 4S,6 n
27r
9
3
J
J
J
(p = 0
r—0
z — y/r
zr dz dr dcp = 2,5 ^
Bild A-32
744 26)
Anhang: Losungen der tJbungsaufgaben a)
Nach Bild IV-87 (Seite 407) folgt: 271
J = p-
^R""
-r^
\
r^dzdrd(p = — npR^
(p = 0
b)
R
r= 0
z= 0
Nach a) folgt fiir das Massentragheitsmoment einer Vollkugel, bezogen auf einen Durchmesser (Symmetrieachse): ^
15 ^
5
Der Abstand Symmetrieachse - Tangente ist d = R. Der Satz von Steiner hefert dann fiir das auf eine Tangente bezogene Massentragheitsmoment J^: 2 Jr = Js + mR^ =-mR^ ^ ^ 5 271
27)
J = p-
I =0
28)
^2
j r^dzdrd(p =
-npH{R2-Rt)
z = 0
1 R2 = R ^ J = -npHR'^
1 = -mR^
a)
R^=0,
b)
Nach Steiner (Abstand MantelHnie - Symmetrieachse: d = R): JM = Js-^^d^
29)
7 =-mR^ 5
H
j r = Ri
+ mR^
1 =-mR^
+ mR^
3 =-mR^
Nach Bild IV-85 (Seite 403): 271
J =p-
R
-f^''-^)
j
j
I
(p = 0
r = 0
z= 0
r^dzdrd(p = — npHR'^ = —mR^
V Gewohnliche Differentialgleichungen Abschnitt 1 1)
y und y' werden in die Differentialgleichung eingesetzt und erfiillen diese Gleichung. Losungskurve durch P :
y-
\6x 1 + X
V Gewohnliche Differentialgleichungen
745
2)
y, y' und y" werden in die Differentialgleichung eingesetzt und erfullen diese Gleichung. Die Funktion y ist die allgemeine Losung, da sie zwei unabhdngige Konstanten (Parameter) enthalt.
3)
Man differenziert Uc{t) und setzt anschlieBend Funktion und Ableitung in die Differentialgleichung ein und erhalt die Identitdt UQ = UQ.
4)
s{t) = 5-cost,
v{t)=—5-sint
Abschnitt 2 1)
a)
Richtungsfeld: Bild A-33 (gezeichnet: 1. Quadrant. Das Feld ist spiegelsymmetrisch zur x-Achse angeordnet). Losung: y = C ^/x
(C e R)
Bild A-33
b)
Richtungsfeld: Bild A-34 (gezeichnet: 1. und 2. Quadrant. Das Feld ist spiegelsymmetrisch zur x-Achse angeordnet). Losung: y = C Q^ {C elR.)
-H++
a =U
1111 \ III 11 -' / / / / 1 / / /1
a=2
a=1 _,
1
I
_i
1
1
1
^_
Bild A-34
746
2)
A n h a n g : Losungen der Ubungsaufgaben
a)
Substitution:
y u = -;
Losung:
y = 4x '\n\Cx\
(CGIR)
X
b)
Substitution:
c)
Substitution:
d)
Substitution:
u = x -\- y -\- 1; y u = -; X y u = -;
Losung:
y = tan {x -\- C) — x — 1
Losung:
1 X y = -x — 2 ln|Cx|
Losung:
y = 2x- arctan [Cx)
{C eW.)
(C G R , C # 0) (C e R )
X
3)
Substitution:
u = -;
Allgemeine Losung:
Spezielle L5sung:
4)
a)
y =
y =
x
y=x^2-\n\Qx\
(CelR)
b)
y = C^l-^x^
(CeR)
d)
y = arccos
/I 9 \ -x^ + C (CGR) \2
1 + Cx
5)
X + C-1
c)
}; =
(CGR)
a)
Allgemeine Losung:
y= C
Spezielle Losung:
y^ = 2TC e^ ~^^"^
Allgemeine Losung:
y =
Spezielle Losung:
y
Allgemeine Losung:
y = v 3x — x^ + 3 C
Spezielle Losung:
y^ = v 3 x — x^ + 3
X+ C
e ''""^
(C G R )
Cx b)
(C G R ) X
c)
6)
a)
Substitution:
Allgemeine hosung:
y^ =
Trennung der Variablen: Spezielle Losung:
x + 1 3/
y u = -; X
Spezielle Losung: b)
^
y=
X ln|Cx|
y =
V2-e^^ + 2C
(CGR)
y = y/2- Q'^^ + 2 p
a)
Trennung der Variablen:
b)
Fur a> b und t -^ oo folgt:
_ I
x(t) = ablim x{t) = b. Die Reaktion kommt daher zum Stillt -> 00
stand, wenn alle Atome vom Typ B „verbraucht" sind.
8)
a)
(CGR)
In I ex I
^{a-b)kt
7)
(CGR)
i;(0 = C - e " ' " ' + — k
(CGR)
V Gewohnliche Differentialgleichungen
b)
v^{t)^[v^-^]'^
c)
v^^^=
mq \
747
— t mq - + ^
(BildA-35)
mg lim V {t) = - t-^ oo
k
Vi
mg k
^~V
/
T=(T,-T,).^-''.l
, aiij a^\Ti 0 kJ ^ k
V f Bild A-35
9)
10)
uc{t) = u^-^
Bild A-36
RC
(t^O)
T{t) = (To - T^) e " ^' 4- T^ Endtemperatur:
{t ^ 0)
(Bild A-36)
T^ = lim T{t) = Tj^ t -^ 00
Der Korper nimmt die Temperatur T^ der vorbeistromenden Luft an. 11)
12)
a)
Linear, homogen
b)
Nicht-linear (y'^-TQvm)
c)
Linear, inhomogen
d)
Linear, inhomogen
e)
Nicht-linear (y'y^-Term)
f)
Nicht-linear (vy-Term)
g)
Linear, inhomogen
h)
Nicht-linear (};^-Term)
i)
Linear, inhomogen
j)
Linear, inhomogen
k)
Nicht-linear {y' v y-Term)
1)
Linear, inhomogen
^o- Losung der homogenen Differentialgleichung; y: Losung der inhomogenen gleichung; C e l R a)
y^ = C-e
b)
yo
c)
^0 = - ;
2"" ; y=CQ
4
x+r
x +1
sin X —
cos x + C
y=
X
yQ =
2"" + 4
1 ( 2 x - h l ) - e ^2x^ + C
c C
e)
x +C d)
yo = -
f)
yQ = Cx; y = x^ +
X
C-Q
Differential-
2 -sin:
1 ';
y =
C-Q^
cos X
Cx-4
748
13)
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben \ Allgemeine Losung: i{t) = C Q^''''^^ + cos t + 3
_ 1 e~^^^'''°' ^ + cos t + -
Spezielle Losung: ip{t) = 14)
15)
(CeR)
y: Allgemeine Losung; y„: Partikuldre Losung; C G R a)
y = Cx + X - sin x; yp = 2x +
b)
y = C cos X — 10 cos^ x; yp= — 12 - cos x — 10 cos^ x
c)
C 3; = — + l n x - l ;
a)
yo^C-e-^^
d)
yo^C-e^""
g)
io = C'^
j)
Wo = C-e
a)
yo^Ce^^;
b)
Losungsansatz fiir y^: y^ = {ax -\- h) Q^ => yp=
x-sinx
2 y =- + \nx — \
b)
y^^C-e-^^
c)
y^ = C e 3
e)
«o-^C-e-'^'
f)
y^^C-e^^
h)
yo^C-e"^^
i)
y^ = C-i^""
b
_R
16)
5
^' 7^
(CeR)
y = C e^^ - - [ i x + 1 j e^ ( C G R )
1 y = yo + yp = C e ' " - - ( 2x + 1 1
17)
a)
yQ = C e~^;
^0 = ^ ' ^
(C 6 R)
Ansatz: yp = ax -[- h => yp = 2x — 2
y = yQ+y^=C-e''' + 2 x - 2 b)
e"
( 2x + 1 ) e^
(C G R)
' Ansatz: y^ = ^ - e
=> ^p = - e^
y = yo + }^p = C - e - ^ ^ + - - e ^ ^ ( C G R ) c)
yo = C ' ^~^'^ Ansatz: yp = Ax => yp =
Q~^
(Storfunktion und y^ sind vom gleichen Typ)
x-Q~''
y = yo + yp = ix + C)-c-^
(CGR)
4x
d)
^0 = ^
^
20
'
Ansatz: yp = A - sin x -\- B cos x => y^ =
20 y = yo + yp = C-Q'^''- — -sinx-
5 — -cosx
(CGR)
5
sin x
cos x
V Gewohnliche Differentialgleichungen
749
.
.
Vf) = C Q ; ^u
Ansatz: y„ = A - sin x i- B cos x => y„ = ^p yp 26 19 . 9 y = VQ-^ yp = C Q^"" — X — - cosx (C G R) —— sinsmx26 26
0
^0 ^ ^ ' ^^^'
Ansatz: j;^ = ^ x
>' = 3'o+3'p = (3x + C)-e<*" 18)
19 .
e) ;
9 sin x
cos x 26
e^^ (Storglied und y^ sind vom gleichen Typ)
(CeR)
a)
Trennung der Variablen:
/I , \ y = tan I - x + C 1
b)
Trennung der Variablen:
y = C e"""'*
c)
Trennung der Variablen:
y = C e2
d)
C Variation der Konstanten: y = 2 (In x — 1) H—
(CeR)
(CeR) (CeR) (C G R)
X
e)
Trennung der Variablen:
f)
Aufsuchen einer partikuldren Losung (Ansatz: yp = A^
sin x + B^ .5x
y = yo + yn= C Q -\ 19)
a)
y = C e^ — 1
1
(CeR)
cos x + ^2 ' sin (3 x) + ^2
. 5 sinx
cosx H
5
cos (3 x))
sin (3x) H
3
cos (3x)
(C GR)
Aufsuchen einer partikuldren Losung (Ansatz: yp = ax^ -\- bx^ + cx + J) _
1
3
5
5
y = yo + yn = c-Q ^ " " ^ - - x ^ — x ^ — x + — ( C G R )
b)
_. 1 . 3 . 5 5 Spezielle Losung: v = 112,18 e "" + -x"^ x xH ^ 6 / , 4 16 32 128 Aufsuchen einer partikuldren L5sung (Ansatz: 3;^ == .4x e^, da Storglied und yQ vom gleichen Typ sind) y = yo + yp = i^ + C)-Q''
(CGR)
Spezielle Losung: y = (x + 1) e^ C)
Aufsuchen einer partikuldren L5sung (Ansatz: y^ = ^ y = yo + yp = C'Q „
X..
- — sm x - — cos x 53
Spezielle Losung: y = — -e 10
_3,
1
.
10
(C G R )
3
sinx
cos x 10
sin x + 5
cos x)
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben
750
20)
Losung der homogenen Gleichung: IQ = C Q ^ R UQ
a)
1
^0
Ansatz: ip = const. = a ^ ip = —; i = i^ -\- i^ = C e ^ -\ R R Spezielle Losung: / = -^ (1 - e ^ )
(t ^ 0)
(C e R)
(Bild A-37)
Bild A-37
b)
aL —t a aL a Ansatz: i„ = At + B => i„ = -t -; i = ir.-\-i„ = C Q ^ +-t P
P
R
R^
^
aLf -^t \ a Spezielle Losung: / = —- e ^ - 1 + — t R^\ J R
t^W = ^homogen + ^ p = C - e
Spezielle Losung: v(t) = [vQ ^
-
+ -
F\
kJ
P
R
(t^O)
(C G R )
-~t
F
-e w ' +k
(t ^ 0)
Endgeschwindigkeit: v^= lim v{t)
Bild A-38
(Bild A-38)
R^
(CeR)
V Gewohnliche Differentialgleichungen 22)
751
I'o = C e ^^^ Ansatz: i = A- sin {2t)-\- B- cos (2 0 50 sin (2 0 i„ = ^ ^ ^101
cos (21) 101 ^ ^ 50 / = /o + ^p = C e"^"^ + - - sin ( 2 0 - : ^ - cos (2 0 101 101 Spezielle Losung: i =
( e ^"^ + 10 sin (2 r) - cos (2 0
IQ: Exponentiell abklingender Gleichstrom ip\ Wechselstrom mit der Periode T = n 23)
VQ = C Q ^; Ansatz: Vp = const. = a => i;^ = Kw v = VQ + Vp=C
-Q' T j ^ Ku
( C G ]R)
Spezielle Losung: i; = Kw (1 - e~ 7- j
(^ ^ o)
(Bild A-39)
Bild A-39
24)
a)
MQ = K
Q ^ C ; Ansatz: w^^ = const. = a => w^ = ^o t
uc = wco + "c^ = ^
b)
e ~ ^ ^ + Wo
(i^ e R )
Spezielle Losung: u^ = uA\ - Q~ P^C\
(^ ^ Q)
(Bild A-40)
Bild A-40
752
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben t
25)
VQ = C-e
T^\ Kns2iXz\ Vp = A-^m{(Dt-\-(p) 1
J\+(mTf --
V = VQ + V =C-&
sin cot + arctan
^
T+
KoEw "
^'"^ (
/ 1 ,,
sin cot + arctan
(CeR)
Nach Ablauf einer gewissen „Einschwingphase" erhalt man ein sinusformiges Ausgangssignal 271
mit der Periodendauer T = — des Eingangssignals. Amplitude A und Phase cp sind dabei (O
noch frequenzabhdngige GroBen (sog. Frequenzgang). 26)
Durch die Substitution u = y'^, u' = lyy' (Kettenregel!) geht die Differentialgleichung in die lineare Differentialgleichung 2w' — w= — (1 H-x^) iiber. Ldsung: y=
Vc
e^'^"" + x^ + 4 x + 9
(CeR)
Abschnitt 3 1)
2)
a) c) e)
Konstante Koeffizienten, inhomogen Konstante Koeffizienten, homogen Variable Koeffizienten, inhomogen
\ s{t) = --Qt'^ v{i)= -gt
3)
b) d) f)
Variable Koeffizienten, homogen Konstante Koeffizienten, inhomogen Konstante Koeffizienten, homogen
-Vv^t + 5o = - (4,905 ms"^)t^ + (30ms~^)r + 10m
+ VQ= -(9,81 ms~^)t + 30 ms"^
Durch Einsetzen in die Differentialgleichung zeigt man zunachst, daB y^ (x) und ^2 W (P^^" tikulare) Losungen der Differentialgleichung sind. Sie bilden eine Fundamentalbasis der Differentialgleichung, da ihre Wronski-Determinante nicht verschwindet:
W{y,;y2) = ^^''^0 4)
j;(x) = e^^'^'^^-'^"' = e^'^"" (cos (2x) + j sin (2x)) ist eine Losung der Differentialgleichung, wie man durch Einsetzen verifizieren kann. Daher sind auch Realteil y^(x) = Q^'^^ - cos (2x) und Imagindrteil >'2 W = ^^'^^ " ^in (2x) Losungen der Differentialgleichung, die sogar wegen ^ ( ^ i ; y2) = 2- e^^ ^ 0 eine reelle Fundamentalbasis der Differentialgleichung bilden.
5)
Man zeigt zunachst durch Einsetzen in die Differentialgleichung, daB x^ und X2 Losungen der Differentialgleichung sind. Sie sind linear unabhdngig, da ihre Wronski-Determinante von Null verschieden ist:
W{x^;x2)= - e " ^ V O Die allgemeine Ldsung der Differentialgleichung ist daher als Linearkombination x{t) = C^x^ + C2X2 = e~^(Q darstellbar
{€^,€2^^)-
sin t + C2 cos t)
753
V Gewohnliche Differentialgleichungen 6)
/ i , /I2: Losungen der charakteristischen Gleichung; Q , C2 elR a)
Ai = 1,
b) c) d)
= -5;
'ii/2 = 1
3j; XQ = e'(Ci
2 = + 2 j;
(Po = Q
3 j;
f)
yli = - 0 , 5 , A 2 = - 3 ;
a)
^1/2 = « ;
sin (3x) + C2 cos (3x))
,Jo = Q - e ' ^ ' ^ + C j - e " ^ ' e^
yo = ( Q ^ + C2)
e"
2
;
yo=e
Spezielle Losung: y = ne
cos(3t))
sin (2t) + C2 cos (21)
: (Ci t + C2)
2
"
sin (30 + Cj
yg = e~^^(C,
^1/2 = 2
h)
e^ + C2
Xo = ( C i t + C2)-e
e)
g)
7)
yo = Ci
(Q
sin X + C2 cos x)
(2 sin x + cos x
16; );o = C i - e - ^ ^ + C2-e"^^-^
b)
(CiXz^^)
(Q,C2G]R)
Spezielle Losung: y = - ( e ' ^ ' ' - e ^^"^ 6 c)
;.i/2 = 0,5; xo = (Q f + C2) e«''^
( Q , C2 elR)
Spezielle Losung: x = ( - 3,5 r + 5) e^'^^ a)
Der aperiodische Grenzfall tritt ein, wenn die charakteristische Gleichung zwei gleiche (reelle) Losungen hat: A^ + p^ + 2 = 0
^1/2
^, d.h.
2~V 4
p = 2V2
(wegen p > 0) b)
Allgemeine Losung: XQ = {C^t -\- C2) Spezielle Losung: x = [(10 ^2-l)t
-V2^
+ 10] e
( Q , C2 e R) Vit
(t ^ 0)
(Bild A-41)
^x=f(10i2-1)t-HlOJ'Q^^
Bild A-41
754
9) 10)
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben
y(x) = -^(3lx^-x^j
(O^x^l)
Es isi a = 2, b = 1. Die charakteristische Gleichung A'^+2A + 1 = 0 besitzt die doppelte Losung 2,1/2 = — 1. a)
b = \ 7^ 0 ^ yp = a2X'^ + a^x +
b)
b = 1 ^0
c)
c = l , j j S = j ; Weder 1 noch j sind Losungen der charakteristischen Gleichung
UQ
^ yp = a^x^ -\- a2X'^ + a^x +
GQ
=> yp = A' Q^ -\- B cos jc + C sin jc d)
c = — 1; — 1 ist eine doppelte Losung der charakteristischen Gleichung => yp = Ax^
e)
'
c = 3, jj5 = 4 j ; 3 + 4j ist keine Losung der charakteristischen Gleichung => ^p = e^"" [(fli X + ao) sin (Ax)^-{b^x + b^) cos (4 x)]
f)
c = — 1, j j5 = j ; — 1 + j ist keine Losung der charakteristischen Gleichung => ^p = e~^ [A- sinx + B cos x]
11)
a)
^0 = Q "e'' +C2
b)
^0 = Q
;
e"" + C2 e"""; y^ = ax^ + bx^ + ex + ^ => y^ = - x^ + 2x^ - 6x + 8
y =:yQ + y^ = d c)
XQ
=
(Q
2 y^ = ax^ + ^x + c => y^ = - x^ - -
' + C2
t + C2) e^
' - x ^ +2x^ - 6 x + 8
Xp = A- e^' =^ ^p = e^^
X = xo + Xp = (Q r + C2) e' + e^' d)
e)
( Q , C2 e R )
yo = Q
' + C2-e"''; y^ = ^ x
y = y^^y^
= C^-Q^'' + C2 * C " "" - 0,5 X
XQ
=
(Q
t + C2) e ^^; x^ = ^
e^"" ^ 3^p = - 0 , 5 x - e ^ ' '
g)
'
(Q , C2 G R)
3 sin (50 + 5 ' cos (50 => x^ = — sin (5 0
3 X = xo + Xp = (Q ^ + C2) e ^' + — sin (5 0 f) ^
(Ci,C2eR)
( Q , C2 eR)
vo = Ci -Q^"" + C2 JO 1 2
; y„ = ax^ + bx + c => y„= x^ + —x + ^ yp ^P n 72 864 1 13 59 y = Vo + y„ = Ci ' + C 2 - e ^^"^ x^ + —x + — (C,C2eR) / /o /p 1 2 ^2 72 864 ^ 1' 2 ^ XQ = Q e' + C2 e~^; x^ = (at + ^) sin ^ + [ct + d) cos t
U => Xp= X=
XQ
U + Xp = Q
sin t + cos t e* + C2 e"^ - - (t
sin r + cos t)
( Q , C2 e R)
V Gewohnliche Differentialgleichungen
i)
755
^0 = ^1 ' si^ (2 ^) + Q ' cos (2 x) y^ = x [ ^
sin {2x) + B cos (2x)] + ax^ + fex + c + C e~^
5 x-cos(2x) + -1x 2 1 X 1 \ 1 e -X 2 ^ ^ 2 4 4 5 / 5 \ 1 1 1 1 _ y = 3^0 + 3^p == <^i sin (2 x) + ( C2 - - X 1 cos (2 x) + - X ^ - - X - - + => y„= ^p
e ""
(Q,C2GR)
J)
^0 = (Q X + C2) e "" y = [ax^ + /7x + c) e^ + ^x + e + A sin X + B cos x 1 . y„ = { - x ^ ^^ \4
1
3\ . ^_\_ x + - l-e^ + x — 2 2 8/ 2
y = yo + yp = ( Q ^ + Q - e
sinx
1 . 1 +(4-^ - - x + - l - e ' ' + x - 2 - - - s i n x
{C„C2e^) 12)
a)
^0 — c
(C|
sin t + C2 cos t); x^ = — sin t H
cost
-M X = Xo + x„ = e (Ci
2 3 sin t + C9 cos t) -\ sin t H—- cos t 39 39 145 . 3 \ 2 . 3 -3t sin t H cos t Spezielle Losung: x = e sint cos t] -\ ^ ^ ^39 3 9 / 3 9 39
b)
yo = e ""(Ci
) +C2
y = yo + yp = ^ " " ( Q
; );^ = - - e "
) + C2-cos(>/2x)j + - - e ^"^
Spezielle Losung: y = e~^ j - \ / 2
c)
XQ
= e *[Q
sin (41) + C2
X = XQ -\- Xp = Q [Q
2x
sin{v2x)
cos (4 r)]; x^ =
cos(v2x)| H 4
sin (41) + C2 cos (41)]
sin (51) 4
5
5 sin (51)
e~^^
cos (51) cos (51)
Spezielle Losung: X = e~' [2,2576 sin (41) - 2,8220 cos (41)] - 0,0976 13)
y = (0,0909 x^ - 0,1983 x 4- 0,1998) e^ - 0,0998
sin (51) - 0,1220 cos (5 0
e"^^^ + 1,9
756 14)
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben a)
X- 6,54x = 0 ^ x = Q
e^'^^"^^' + C2
e"^'^^"^^^
Spezielle Losung: x = 0,375 (e^'^^^^' + e"^'^^'^^') = 0,75-cosh (2,5573 0 b) ^
(t in s, x in m)
arcosh 2 x(T) = l,5 => T = = 0,515 (ins) ^ ^ ' 2,5573 ^ ^
Abschnitt 4 1)
2)
a)
x(r) = 0,5-sin (20 + 2-008(20
c)
x{t) = — -sin {at) a
a)
Schwingungsgleichung: x -\- COQX = 0
0^0 = 9,13 s ~ \
/o = l,45s"S
sm(coQt) + C2
b)
X (0 = — 2 sin t + cos t
{(^o =
To = 0,69 s
b)
x{t) = Q
O
(<^o = 9,13 s ~^)
c)
x(0 = 0,055 m sin(9,13 s"^
d)
x(2,5 s) = - 0,041 m; i;(2,5 s) = x(2,5 s) = - 0,337 m/s
0
(Bild A-42)
fl (2,5 s) = x (2,5 s) = 3,395 m/s^
x=0.055n) sin (9.13s'''t) 0,055\
Bild A-42 -0.055-
3)
a)
b)
4)
5)
(p (t) = C^
sin [ ^1 -1 ] + C2
(Oo
cos
TQ=^2TI^-
c)
6 r OS. /I / :-V7-e"^'^^-sin - V 7 t
a)
x{t) = Q ^^'Cos{5t)
c)
x(0 = e '[5-sin(2r) +10-cos(2r)]
a)
Schwingungsgleichung: x + 16x + 256x = 0 Losung: x{t) = Q~^^ ic^
b)
x{t):
cp{t) =
) + C2 cos (8 ^ 3 t)
(pQ-cosi^-t
V Gewohnliche Differentialgleichungen b)
w^ = 8 V 3 s"^ = 13,856 s " \
c)
x{t)^Q~^'
(0,1155
757
7^ = 0,453 8
/ ^ ^ 2,205 s " \
sin (8 ^ 3 t) + 0,2
cos (8 ^ 3 t)]
(Bild A-43)
Bild A-43
6)
a)
Allgemeine Losung: x{t) = {C^t + C2) Spezielle Losung:
b)
7)
a)
( Q , C2 e R)
x(0 = (13,5 t + 5) e"^'^^
Allgemeine Losung: x{t) = (C^t + C2) Spezielle Losung:
e ^'^^
x{t) = {-0,5 t + \)
e-0,5t
{C„C2^^)
Q °'^^
Der aperiodische Grenzfall tritt fiir S = COQ ein:
b = (DQ ^
b [c — = A—
1— => b = 2^cm = \6kg/s
Fiir S > WQ, d.h. b > \6 kg/s erhalt man aperiodische Schwingungen. b)
Schwingungsgleichung: 0,5x + 16x + 128x = 0 Allgemeine Losung:
x{t) = {C^ t + C2) e
(Q,C2ElR)
Spezielle Losung:
x(t) = (3,2t + 0,2)-e"
(Bild A-44)
.x=(3,2fi-0,2)-Q
Bild A-44
0,30
f
758 8)
9)
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben a)
x(0 = 1 3 - e " ' - 3 - e " ^ '
c)
x(0 = 2 0 - e " ^ ' - 1 5 - e ~ ^ '
^=^
b)
WQ =
= 1250s~\
x ( 0 = - 4 - e - ^ ' ^ ^ + 6-e-«'«^
= 1000s~^ LC
Man erhalt die aperiodische Schwingung 1
/
_ ^
i = - AI e
^
2000
(t ^ 0)
—e
(Bild A-45)
Bild A-45
34
10)
x{t) = 0,lm[Q
'
-e
(t ^ 0)
= 0,1m
0.05
(G
(Bild A-46)
' -G ' /
Bild A-46
11)
x{t) = -
1 — cos
(COQ
0
{t ^ 0)
(Bild
AAl)
xk 2 ma c
^X =
^[1-COS(Uot)]_^
Bild A-47
759
V Gewohnliche Differentialgleichungen 12)
a)
y4//gememg Losung ( Q , C2 e R ) : x{t) = Q'^'lC^- sin (51) + C2 cos (51)] + 0,0726
sin (21) - 0,0232
cos (21)
Stationdre Losung (Bild A-48): x{t) = 0,0726
X i
sin (21) - 0,0232
cos (2 0 = 0,0762
sin (21 - 0,3093)
. yX =0.0762 sin
(2f-0.3093)
0.0762-
/ 0,15U7
Bild A-48
0.0762-
b)
^
^
l^
Allgemeine Losung (C^, C2 elR): x{t) = {C^t + C2)
e"^^ - 0,02
sin t + 0,14 cos t
Stationdre Losung (Bild A-49): x{t)= - 0,02
sin r + 0,14 cos ^ = 0,1414
sin (t + 1,7127)
x=0.1UUs\n (f-^ 1.7127)
Bild A-49 -o.uu
13)
a)
Schwingungsgleichung in komplexer Form: X + 2X + 5X = Q^^^ Komplexer Losungsansatz fiir eine partikulare Losung: Xp = A- e-'^^' ~ ^^ Allgemeine Losung (in reeller Form): x{t) = e"^[Q
sin(2r) + C2 cos(2t)] + A
sin((X>^ - (p)
mit 1 ^{5-co^f
+ 4co^
und arctan
2a)
CO <^5
(p = < n/2
fiir 2(D
arctan
5 — co^
+ 7r
CO = V 5 CO > v 5
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben
760 b)
Stationdre L5sung: x{t) = A sin (cot — cp) Resonanzkurve A = A(a)): Bild A-50 Frequenzgang (p = (p((D): Bild A-51
Bild A-50
Bild A-51
c)
A{co = l) = 0,2236, (p{co = l) = 0,4636 x{t) = 0,2236 m sin (1 s " ^ r - 0,4636)
(Bild A-52)
x=0,2236n\sm(1s-^f-0A636) 0.2236
Bild A-52 -0,2236}
14)
d^i
di + 2500 - + 10^- = 7,5 dt dt'
10" cos (5001)
V Gewohnliche Differentialgleichungen
761
Losung der homogenen Differentialgleichung (verschwindet rasch): 500^
2000^
io(r) = Q - e
(r^O)
Stadondre Losung (Bild A-53): 15 i{t)wip{t) = —A-sin
9 {500 s ^ 0 + — A cos (500 s"^
= 0,5145 A
t) =
sin (500 s~ ^ t + 0,5404)
ms
Bild A-53 f-^TTms
Abschnitt 5 1)
Durch Einsetzen in die Differentialgleichung zeigt man zunachst, daB y^, y2 und ^3 (parti kulare) Losungen der Differentialgleichung sind. Sie bilden eine Fundamentalbasis der Diffe rentialgleichung, da ihre Wronski-Determinante nicht verschwindet: W{y,;y2;y^)=-6-Q-^^^0
2)
3)
/l^, ^2, /I3 : Losungen der charakteristischen Gleichung; Q , C2,' ^3C3' elR a)
A i - 1 , ^2 = 2, A 3 - - 3 ;
b)
1^ = 0, /I2/3 =
c)
X^i2 = -^,
d)
Ai/2/3 = - « ;
e)
2i = 2, ^2/3 = 1
f)
Ai/2=2,
j;
y= Q
e^ + C2 e^^ + C3 e"^^
y = Q + C2 sin X + C3 cos x
>^3 = 6; x - ( C i + C2 0-e"^ +C3-e^^ y = ( Q + C2X + C 3 x 2 ) - e - " ^
3 j;
y = C^ e^^ + e^ [C2 sin (3x) + C3 cos (3x)]
A3 = :>, 3; yy = = y^i {C, + -\- C2x)^2^)' ^ ^ + ^3 * ^ ^2 =
Man zeigt zeigt zunachst zunachst durch durch binsetzen Einsetzen m in die die Dmerentialgleichung, Differentialgleichung, daB i , j3^2 und ^3 (p>artiMan dab ^y^, linear unabhdngig, kulare) Losungen der Differentialgleichung sind. Sie sind kulare) Losungen der Differentialgleichung sind. Sie sind linear unabhdngig, da ihre Wronski Determinante von von Null Null verschieden Determinante verschieden ist ist: W(y,;y2;y,)=-54-Q''^0 Allgemeine Losung: j; = Q
4)
e""" + e^"" [C2
sin (3 x) + C3 cos (3 x)] ( Q ,:2,C3G]R) C2, C
A^, ^2, /I3, /I4: Losungen der charakteristischen Gleichung; Q , C2, C3, C4 e R ^)
Ai/2 =
1' A3/4 =
b)
Ai=0,
^2^-1,
j;
X= Q
A3/4-I+J;
e^ + C2 e~^ + C3 sin t + C4 cos t y - Q + C2
+ e''(C3-sinx + C4-COSX)
762
5)
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben c)
>^i/2/3 = l .
^4 = - 5 ;
d)
/li/2 = 2 j ,
^3/4= - 2 j ;
2 | , A25
/li=0,
b)
Ai/2/3=0,
d)
6)
i; = (Ci + C2r)
sin(2 0 + (C3 + C^t)
cos(2t)
» '^s ' Losungen der charakteristischen Gleichung; Q , C2, ..., C5 elR
a)
C)
y = (Ci + C2X + C 3 X ^ ) - e ^ + C 4 - e " ^ ^
^2/3=]'
^4/5 = - J ;
^4/5=-!;
x = C^-{-(C2
+C^t)-sin
t-\-{€4.
+C^t)-cost
}^ = Q + C2X + C3X^+(C4 + C5X)-e-^
X, = l,
22/3= - l + 2 j ,
3; = d
e"" + e""" [(C2 + C3 x)
24/5 = - l - 2 j
^1/2 = 1. ^3 = - 2 , y = (Q + C2x)-e'' + C3
sin (2x) + (C4 + C5 x) cos (2x)]
j ' + C4-sin(5x) + C5 -cosCSx)
Q , C2, . . . , C S G I R
a)
;i^ = - l ,
Spezielle Losung: y = b)
/li = l,
"^ + (C2 + C3 x)
^2/3 ^2/3 = 2; y = Q - e
/i2=-l,
1
/ e~^ + I
A3 = 2 ;
1
x = Ci
e^''
1 \ h - x I e^^ ^ +C2
^ +C3-e^'
Spezielle Losung: x = - j e ^ — e~M = sinh t C)
Ai/2 =
,
/i3/4=
j
X= Q
sin t + C2 cos f + C3 sin (3 t) + Q
cos (3 r)
Spezielle Losung: x = — 9 cos t + cos (31) d)
Ai = 0 ,
I2/3 =
'
^4/5 =
j
y = Ci + C2 sin X + C3 cos X + C4 sin (2 x) + C5 cos (2 x) Spezielle Losung: y = 3 — 4 cos x 4- cos (2 x) 7)
Es ist ^2 = ^1 = ^0 = 1- Di^ charakteristische Gleichung A^ + 1^ + A + 1 = 0 besitzt die Losungen X^ = — 1 und A2/3 = i j . a)
AQ
b)
^0 = 1 7^ 0 ^ ^p = ax^ 4- ^x^ + ex + ^
= 1 7^ ^ "^ 3^p = ^ ^ + ^
c)
c = 2; 2 ist keine Losung der charakteristischen Gleichung => y^ = A
d)
c = — 1; — 1 ist eine einfache Losung der charakteristischen Gleichung => yp =
e)
Ax'C-''
j5 = 2 ; jj8 = 2 j ist keine L 5 s u n g d e r c h a r a k t e r i s t i s c h e n G l e i c h u n g => j ; ^ = ^
f)
sin (2 x) + JB
cos (2 x)
j? = 1; j j5 = j ist eine einfache L 5 s u n g d e r c h a r a k t e r i s t i s c h e n G l e i c h u n g ^
y^ = X ( ^
sin X + 5
cos x)
c^^
V Gewohnliche Differentialgleichungen g)
9{^) = gi W + Qi W + 03 W g^(x) = 2-Q~^; g2{x) = sm{5x);
763
^3(x) = 2-cosx
Qiix) = 2- Q~^, c = — 1; — 1 ist eine einfache Losung der charakteristischen Gleichung => yp
=AXQ~'^
^2W = sin(5x), j5 = 5; jjS = 5j ist keine Losung der charakteristischen Gleichung ^ yp^ = B sin (5 x) + C cos (5 x) g^ix) = 2 cos X, jS = 1; j j5 = j ist eine einfache Losung der charakteristischen Gleichung => yp = x{D sinx + E cos x) Gesamtansatz: yp = yp^ + yp2 + yp3 "^ ^ ^ " ^"^ + 5 8)
sin(5x) + C cos(5x) 4- x(D sinx + £
cosx)
CI,C2,C3GR
a)
yo = Q + ( Q + Q ^ ) - e " ' ' Ansatz: y = yl
sin x + JB cos x =^ j ; = — 5 cos x
y = yo+yp = C^-\-{C2 + C^ x) e""" - 5 cos X b)
yo = (Q + C2X + C3X^)-e~^ Ansatz: yp = ax + b + Ax^
e~^ ^ y^ = x — 3 + x^
>' = )'o + -Vp = (Q + Q ^ + C3X^)-e~'' + x - 3 + x^ c)
XQ =
e~^ '
C^ + C2 - sin t + C3 cos t
Ansatz: Xp = t{at^ -{- bt -\- c) = at^ + bt^ -\- ct => Xp = 3t^ - 18/: X = XQ + Xp = Q + C2 sin t + C3 cos t + 3 f ^ - 18 ^ d)
);o = (Q + C2x)-e^ + C3-e-^ Ansatz: yp = {ax + b) Ax
e""" = {aAx^ + bAx)
e""" = (ax^ + l^x) e"""
^ );p-(2x ^ + 4 x ) - e " ' ' y = yo + yp = iCi-^ Q ^ ) 9)
e"" + (2x^ + 4x + C3) e"^
Ci,C2, ..., C5GR a)
^0 "^ (^1 + C2X)
sin X + (C3 + C4 x) cos x
Ansatz: yp = x (yl sin x + B cos x) -\- ax'^ + bx + c ^> j ; = — x"^ sin x + x'^ y = yo + yp = (Ci + C2 x — x^) b)
sin x + (C3 + C4x) COS X + x^
yo = C^ + C2X -^ {C2 + C^x -\- C^x^)'Q~'' Ansatz: yp = ax'^ -\- A - sin x + B cos x => y^ = x^ + cos x y = ^0 + >';; = Q + ^ 2 ^ + (^3 + Q - ^ + ^5-^^) e""" + X^ + COS X
764 10)
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben a)
Ai = 0, A2/3 =
1 K = 0)
Ansatz: y^ = x{ax + b) = ax'^ + bx => y^ = — 5x b)
^)
X,=0,
22/3 = - 2 + 3j
K=0)
Ansatz: y^ = A
1 ^ 10 Q^ + ax => >'p ^ 7^ " ^^ + 7^ ^ 18 13
Ansatz: j ; ^ = ^
sin x + 5
^^1/2 = J'
cos x => y^ = — 0,7
^3/4 = ~ J
Ansatz: Xp = {at + b)- A- e"^ = (^At + 6^) a
e)
li/2 =
sin x — 0,4 cos x
,
^ = 2, ^4/5 =
Ansatz: yp = A - e^^ + 5
e~^ = (at + j5) e"^
p
j
sin x + C cos x + ax^ + fex + c
=^ jp = - e^"" + 2 sin X + x^ + X + 2 11)
Ci,C2, ..., C 5 6 R a)
yo = C^ + €2- sin (3 x) + C3 cos (3 x) Ansatz: yp = x{ax -{- b) = ax"^ + bx => y^ = x^ + 2 y = yo + yp = C^ + €2- sin (3 x) + C3 cos (3 x) + x ^ + 2 Spezielle Losung: y = 2 cos (3 x) + x ^ + 2
b)
^0 = Q
' + C2-e"^'' + C3-e"^''
Ansatz: y^ = ^ y = y^+
sin x + 5
cos x => y^ = sin x — 2 cos x
y^ = C^ ' Q~"" + C2 ' c"^"" + C3
c " ^"^ + sin X - 2 ' COS X
Spezielle Losung: y = 2- e""" + e"^"^ + sin x - 2 cos x c)
XQ
= Q
e^ + C2 e~^ + C3 sin t + C4 cos t
Ansatz: Xp = A X=
XQ
+ Xp = Q
Q^^ => x^ = 3 e"^^ e^ + C2 e~^ + C3 sin r + C4 cos r + 3 e^^
Spezielle Losung: x = 3 e~^ — 3 sin t + 3 e^^ d)
UQ
= Q + C2 e^ + C3 e"^ + C4 sin t + C5 cos t
Ansatz: Vp = t{at + b) = at^ + bt => Vp= -t^ u=
I;Q
-2t
4- i;^ = d + C2 e^ + C3 e~^ + C4 sin r + C5 cos t - t^ - 21
Spezielle Losung: i; = 5 — 4 cos t — t'^ — 2t
V Gewohnliche Differentialgleichungen 12)
765
yQ = C^ + C2X + C^ -sin (ax) + €4-cos (ax)
(a^ = F/EI; Q , ..., C4GIR)
Ansatz: yp = A
(j8 = n/l)
sin (jSx) + 5
P'iP-oi')
sin (fix)
cos (jSx) (fiir a ^ ^)
y ^ 3^0 + )^p ^ Q + C2 X + C3 sin (ax) + C4 cos (otx) +
Ka
sin(/Jx)
?'(/?' - 0 < ' )
Spezielle Losung: Qo P'{P'-a')EI
sin (Px) =
So'" n^in^EI -Fl^)
Abschnitt 6 1)
Exakte Losung: y = 2 e^^ """^ + x - 1
3)
Erstrechnung (Feinrechnung) fiir h = 0,05:
Die Erstrechnung liefert also folgende Ergebnisse: 3; (1,2) = 1,295 364 Nach Euler: Nach Runge-Kutta: y{l,2) = 1,299648
Zweitrechnung (Grobrechnung) fiir /i = 0,1: Nach£w/er: y(l,2) = 1,291135 Nach Runge-Kutta: y{\,2) = 1,299 648 Fehlerabschdtzung: Nach Euler:
Ay^ ^ 1,295 364 - 1,291135 = 0,004229 ^ 0,004
1 Nach Runge-Kutta: Ay^^ ;^ — (1,299 648 - 1,299 648) - 0
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben
766
4)
2 Exakte Losung: >; = -
1 _ e"" + - e ^"^
Ndherungsrechnung nach Runge-Kutta:
5)
a)
Exakte Losung (s. Ubungsaufgabe 4 a) aus Abschnitt 4): X = e~^^-cos(5 0,
v = x-= -e""^^[5-sin(50 + 2'cos(5 0]
x(0,l) = 0,718 503;^ 0,7185 V (0,1) = x(0,l) = - 3,399609 ;^ - 3,3996 b)
Ndherungslosung nach Runge-Kutta: x(0,l)-0,718 521 ^0,7185 V (0,1) = x(0,l) - - 3,399 705 ^ - 3,3997
6)
(p + sm(p = 0,
(p{0) = 0,
(p{0) = l
Ndherungslosung nach Runge-Kutta: (/)(0,1) = 0,099 833;^ 0,0998 (^(0,1) = 0,995 008 ^0,9950 Fiir kleine Winkel erhalten wir die lineare Differentialgleichung cp + cp = 0. Sie besitzt fiir die Anfangswerte (p{0) = 0, (p(0) = 1 die spezielle Losung cp = sin t. Somit ist: (p (0,1) = sin 0,1 = 0,099 833 ^ 0,0998 (p{0,l) = cos 0,1 = 0,995004 ^ 0,9950
Abschnitt 7 1)
Ci,C2 6 R a)
det (A - AE) =
-2-2
r + 2A + 2 = 0 }^i = e ^(Q 1 v^ = - e
= -A(-2-A) + 2 = 0
1 H/2 ^
j
sin x + C2 cos x) (— Q -f C2) sin X — (C^ + C2) cos x
V Gewohnliche Differentialgleichungen
b)
det (A - XE) =
X.
1-X 0
2 = {1-X)' 1 -A 1
t
=
\-X c)
767 X,f2 =
t
1I
det (A - AE) =
= 0 ^
, = A^ + 16 - 0 ^ ^1/2 =
— ID
4j
—/
yi = C^- sin (Ax) + C2 cos (4x) ^2 = 4 [Ci cos (4 x) - C2 sin (4 x)]
d)
det (A - AE) -
1-X
-15 -5-A
2 ^ -- 2 2 + 10 = 0
- ( 7 - ^ ) ( - 5 - A ) + 45 = 0
^1/2 == ^1 ^1/2
j
\ ' sin (3 x) + C2 cos (3 x)] y 2 = - e ^ ( 2 Q + C2,) sin (3 x) - (Ci - 2 C2) cos (3 x)
e)
det (A - 2E) =
-3-A 6
-2 = ( - 3 - A ) ( 3 - A ) + 12 = 0 3-A
2^ + 3 = 0 > Ai/2 = x^ = Q
V3j
sin (v 3 0 + ^ 2 ' ^^^ (v 3 t)
X2= —[(-V3"Ci+C2)-sin(V3 0 - ( Q + V 3 C 2 ) - c o s ( V 3 o ]
f)
det (A - AE) =
6-i 1 -A
= (6 - 1) (1 - .1) + 6 = 0
-7A + 12 = 0 => ^1 = 3, I2 = yi = Q
2)
' + C2-e^ ^
y2 = Q - e ^ - + ? C 2 - e ^ -
CI,C2G]R
a)
det (A - >^E):
4-A 1
= (4 - 2) (8 - 2) + 4 = 0
r - 1 2 2 + 36 = 0 ^ ^1/2 = 6 );l=(Q +
^
^2 = - ^( 2Ci + C2 + 2C2X ) e^^
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben
768 b)
det (A - XE) =
2-X -4
-1 2-X
=> A^_4A = 0 ^ Ai = 0 ,
c)
det(A-AE) =
:(2-i)^-4 = 0
^2 = 4
1- A
- 1
2
- 3 - 1
^ A^ + 4A + 5 = 0 => Ai/2 = j;^ = e~^^ (Q
= (-1 - A ) ( - 3 - i ) + 2 = 0 j
sin X + C2 cos x)
y2 = e~^^ [(Q + C2) sin X — (Q — C2) cos x]
3)
CI,C2G]R
a)
r -X-2 X= Q b)
3-A 1
det (A - XE) =
-4 = (3-A)(-2-yi) + 4 = 0 -2-A
= 0 ^ k^ = 2,
I = -1
e^^ + C2 e ^ >; = - Q
fl=-Sp(A)=-l,
e^^ + C2 e ^
/? = d e t A = - 2
jc-x-2x = 0 ^ 2 ^ - 2 - 2 = 0=>/ii=2, X= d
4)
a)
1 e^' + C2 e ^ y = - Q
det (A - XE) == ^1 (0) "^ Q
-2
2 -X
si^ P ^) + ^"2
^2 = - !
e^^ + C2 e~^
= X^ + A = 0 => Xi/2 = cos (2 x)
j
Q , C2GR
Vi (0) — ^1 ' ^^^ (2 ^) — Q ' sin (2 x) Ansatz: y^^^p^ = ax + b ^ y^^p^ = 2 y2ip) = ^^ + B => y2^p)=
-4x
Allgemeine Losung: yi = yi{0) + yiip) = Q - sin {2x) + C2 )^2 = yiio) + y2(p) = Q b)
det (A - XE) =
cos (2x) + 2
cos (2x) - C2 ' sin (2x) - 4x
- 1 -X
1
-4
3 - 1
2 1 + 1 = 0 => I1/2 = 1
= {-\-X)(3-X)
+4 =0
V Gewohnliche Differentialgleichungen
769
yi(0) = ( Q + C 2 x ) - e ^
Q , C2GIR
3^2(0) = (2 Ci + C2 + 2 C2x) Ansatz:
y^ (P)
A-Q'
^2x
y2ip) = B-o
e"" 2x
yiip)
" ^
y2(p)^
- 1 6 e 2x
Allgemeine Losung: ^1 =yiiO) + yup) = iCi + C 2 x ) - e ^ - 4 - e ^ ^ yi = ^2(0) + y2(p) - (2Ci + C2 + 2C2X)
5)
e^ - 16 e^^
CI,C2G1R
a)
fl
= - Sp (A) = - 2, y'l -2y[+2y^
^ = det A = 2
= -3-Q''
yi{0) ^ ^^ ( Q
=> 2 ^ - 2 ^
sin X + C2
+ 2 = 0 => A1/2 = 1
cos x)
Ansatz: y^. . = .4 e^ ^ y^i UP) - ^ ^ ^ -^i(p)
3-e^
Allgemeine Losung: yi =yiiO) + yi(p) = ^''{^1 y2 =
b)
fl
x + C2-COSX-3)
(3 Ci - C2)
-^-^'
= - Sp (A) = 2,
sin X + (Ci + 3 C2)
cos x - 10
b = dQtA = \
yi + 2 ) ; ; +};i = 3 - 7 x
^
A^ + 2 A + 1 = 0
^ ^^1/2 - ~ 1
yi(0) = ( Q + C 2 x ) - e " - ^ Ansatz: y^^^^ = ax + b => 3^i(p) = — 7 x + 17 Allgemeine Losung: ^1 = >'i(0) + )^i(p) = ( Q + C 2 x ) - e ~ ' ' - 7 x + 17 y^ = - ( C i + 0 , 5 C 2 + C 2 x ) - e " ' ' + 1 2 x - 2 2 c)
fl
= - Sp (A) = - 6,
6 = det A :
x \ — 6xj^ + 8x^ = —8 => )? —. 6A + 8 = 0 =^ 2i = 2 , ^l(O) ~ ^1
^
+ ^2 ' ^
Ansatz: x^^^^ = ^
e^^ + 5 => ^^(p) = — 1
Allgemeine Losung: ^l(O) + ^l(p)
Q
e^' + C2
X2 = C i - e ^ ' - C 2 - e ^ ' + 8 - e ^ ' - 3
e^' - 1
^2 ^
j
770
6)
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben
a)
1 -X 1
det (A - AE) =
3 = ( - 1 -A)(l - A ) - 3 = 0 1 -X
A^ - 4 = 0 ^ Ai/2 = 3^1(0) "" Q ' ^
2x
+ ^2 ' ^
2
-2x
Q , C2 6]R 3^2 (0) = Q ' ^
~ :^ Q ' ^
1 1 y^^^^=^x--
^nsatz: j ^ ^ ) = Ax + B ^
1 )^2(p) = Cx + D ^
y2i,p)=
- ^ ^
Allgemeine Losung: yi = 3^1(0)+ yi(p) = Q - e + C 2 - e
1 X ^'' + - -x 4
3^2 - 3^2 (0) + 3^2 (p) - Q
^
1 4
1 ^
~ ^^2'
~ 4 '^
b) fl = - Sp (A) = 0, ^ = det A = - 4 yl -4y^=\ 3^1(0) = Q
-X
^ 1^ - 4 = 0 ^ Ai/2 = + 2
e^^ + C2 e"^^
( Q , C2 GiR)
1 1 Ansatz: y^^^^ = Ax + B => yi{p) = -^ 4
4
Allgemeine L5sung: _ 3^1 = 3^1(0) + 3^i(p) = Q
1 y^ = C yi 1 7)
1
1
e^^ + C2 e ^"^ + ^ ^ - ^
_
--C2 -Q'^"" 3 2
1 --X 4
CI,C2G]R
a)
-3-A -1
det (A - AE):
5 1 -2
-^ A^ + 2A 4-2 = 0 => Ai/2= - 1 y^ = Q~^(Ci 1 y2 = 3-e
: ( - 3 - A ) ( l -A) + 5 = 0 j
sin X + C2 cos x) (2 Ci - C2) sin X + (Ci + 2 C2) cos x
Spezielle Losung: y^ = e~^(sin x + 2 cos x), y2 = e~^
cos x
V Gewohnliche Differentialgleichungen
b)
1 -;. 1
det (A - AE) =
771
4 1 -X
(1-2)^-4 = 0
A 2 _ 2 ^ - 3 = 0 -> >li = - 1 ,
yi ^ Q
e-^ + Q
^2 = 3
e 3 ^ 3;^ = ^ ( _ Q
e-^ + Q
e^"
Spezielle Losung:
c)
fl=-Sp(A)=-l,
/? = d e t A = - 2
x\ - x i - 2 x i = 1 - 3f + 6-e^ ^ 2 ^ - 2 - 2 = 0 ^ A^ Q - e " ' + C2-e^
^l(O)
3
5
2
4
+ B + C-Q^ => x^(^^ = -t
Ansatz: x^f^j^At
3 e^
Allgemeine Losung: 3
^1 ~ ^1 (0) + ^1 (o) ~ ^1 ' ^
X2 = - ( Q
+ ^2
^
5
"^ ^ ^ ~ 7 ~ ^ ' ^ 2
4
' + 4C2-e^'-9-e' + 2 t - l
Spezielle Losung: 5 Xi = ^ 3
_. e
Xj=-'Q
d)
5 12
^ - -
^2f
Q^^ ---Q^
det (A - IE) =
5
3
5
2
4 +
t - -
-1 \-X
: ( - 3 - A ) ( l ->^) + 5 = 0
^ A^ + 2A + 2 = 0 => Ai/2 = - 1
j
Allgemeine Losung: y^ = e~^(Q
sin X + C2 cos x)
y2= - e""" [(2 Q - C2) sin x + (Q + 2 C2) cos x] Spezielle Losung: y^ = e~^
e)
sin x,
det (A - 2E) =
y2 = — e~^ 7-A 5
(2 sin x + cos x)
-1 = {l-X}i5-X) 5-2
=> 2^ - 122 + 40 = 0 -^ 2i/2 = 6
2j
+ 5=0
1,
22-2
772
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben Allgemeine Losung: y^ = Q^"" [Q
sin (2x) + C2 cos (2x)]
yi = e^"" [(Ci + 2 C2) sin (2 x) - (2 C^ - C2) cos (2 x)] Spezielle Losung: yi = e^"" [sin (2x) + 2 cos (2x)], ^2 = 5 ' e^"" sin (2 x)
8)
a)
det (A - IE) =
1-X 1
4 1 -X
.{\-ky
^ > l ^ - 2 A - 3 = 0 ^ /li = - 1 , ^1(0) ~ Q ' ^
-4 = 0
^2 = 3
+ Q *^ CI,C2GIR
^2(0) ~ ~ ^ ( Q ' ^
~ Q '6
Ansatz: x^^p^ = B Q^ => X^^^) = — 2 e^
Allgemeine Losung: ^ 1 ~ ^ 1 (0) '^ ^ I (p) ~ ^1 ' ^
+ ^2 ' ^
— 2
e
_ 1/ _^ 3A 1 J ^2 = ^2(0) + ^2(p) = ~ 2 1^1 ^ ~ Q ' G ) "^ 4 ^ Spezielle Losung: xi = e~* + ^ 2
e^' - 2 e^
X2 = ^
e~' + - e^' + 2 4 4
e'
b) fl = - Sp (A) = - 2, fe = det A = - 3 x\ - 2 x i - 3 x i = 8-e' => A^ - 22 - 3 = 0 => A^ = - 1, ^2 = 3
Ansatz: x^p^ = C e' => Xi(p) = — 2 e^ Allgemeine Losung: ^1 = ^i(O) + ^i(p) ~ Q
X2 = - ( - 2 C i
^
+^2'^
— 2-e
^ + 2C2-e^' + e'
Spezielle Losung: xi = e"* + ^ 2
e^^ - 2 e*, x. = --'Q~^ +-'Q^^ +-' e^ ^ 2 4 4
VI Laplace-Transformation 9)
X = y,
y
U =
0 -1
773 V,
V =
— U
1 0 ~1 -1
det (A - AE)
= A^ + 1 = 0 => X^i2 =
j
V = C^ ' cos t — C2
(C^, C2 e IR)
Allgemeine Losung: u = Ci
sin t + C2 cos t,
sint
Rucksubstitution: X = ^ X dt = ^ u dt = j {C^ y = ^ y dt = \ V dt = ^ (C^
sin r + C2 cos t) dt = — C^ cos t — C2 ' sin t) dt = C^
cos t + C2 sin f + X^
sin t + C2 cos t + K2
(Ki,X2eIR) Spezielle Losung: X = — cos f + 1, _y = sin f => cos f = 1 — x,
sin t = y
Aus cos^ t + sin^ t = 1 folgt dann: {\-x)^+y^
=l
Oder (x - 1) V j ; ^ - 1
(Kreis urn M = (1; 0) mit Radius r = 1 (Bild A-54))
Sfortpunkt
Bild A-54
VI Laplace-Transformationen Abschnitt 1 1)
a)
i^ {cos (cor)} =
cos (cot)-e ^^ dt =
774
Anhang: Losungen der tJbungsaufgaben
b)
^ { 2 t - e - ^ ^ } = [ 2 t-Q-''''Q-'''dt
c)
^{e~^'-sin(cot)}=
\
=2
f ^ . e - ( ^ + 4).
sin {cot) - Q~''dt
dt
{s + 4y
= { sin (wt) Q~^'^^^'dt =
[s + Sf + w^
d)
^{sinh (at)} =
e)
£e{t^}=
sinh(flO'e ^* dt = s'-a'
It^-Q-'Ut 0
f)
£^{sin^t}=
\ sin^t-Q~''dt J
=— s(s^ + 4)
0
gjcor_^g-jcoM
2)
^{cos{wt)}
^
= ^
1 r—+
1 r—
S — }(0
s^+co^
S+JCO
2a
3)
a)
^{/(0}=
+ [ ( - A ) e"^'^f + f o - e " ^ ' ^ f -
^(1 - e " " ^ ) ^
2fl
b)
^{f{t)}=
\A-sin{-t]'e~''dt+
\0-e~''dt
J
J
\a J
a
c)
2a
^{f{t)}={o-e~'Ut+
^^
2
+ 71
3a
{A-Q-''dt+
0
= fl^s^
{ 2A-Q-''dt
+ ...=
a
geometrische Reihe (^ = e "^) ^
^
l-e""V
s(e"'-l)
775
VI Laplace-Transformation Abschnitt 2 1)
a)
^{4t^
+ It} = A
-t^
£e {t^} - £e {t^} + 2 - ^ {t]
b)
^{C(l - e ~ ^ ' ) } - C [ ^ { l } - ^ { e ~ ^ ' } ] - C
c)
J^ {^
1
24
2
2
S^
S^
S^
1
^S
S + /I
sin {(Dt) + B cos (cot) + C e^^} =
= ^
^ {sin (cot)} + B-^
{cos (a;0} + C if {e^']
yla> Bs C Bs + Aco C -. ^ + s - A - = s^ ~. + co^^ +' s- - A ?^ + co^ +s^+w^
2)
1
= --F
120
a)
^{{3tf}
b)
^{cos(40}-^-W^) = l
29160
4 ^ ^
1
F
/s
c)
^ {e^
d)
^ {cos^ (G)f)} = -
1
1
1 1 ^ /A
\ 1 /
s-1
-
0)
\CO J
+2
[ a)
F( - I= CO
s^+2a;^ s(s^ + 4 a ; ^ )
K^r-]
(^) V2 3)
a)
^ < | s i n | r + -);> = e2 | F ( s ) -
= e2
| sin t e"^'rft ) =
1 -s-e
1 s^ + 1
b)
2 ^ { ( t - 4 ) 2 } = e"^^-F(5) = e"^^ — s
c)
^{e^-^} = e-^^-F(s) = e-^^-
d)
J^{cos^(r - 3)} - e " ^ '
2
s^ + 1
5-1
F(s) = e"
/
s^ + 1
2 - e "- 4's s
5-1 s^ + 2
(5^ + 2)-e- -3s
5(s^+4)
s(5^ + 4)
776 4)
Anhang: Losungen der tJbungsaufgaben Die Funktion f{t) = sin t wird zunachst um die Strecke cp nach links verschoben. Aus dem 2. Verschiebungssatz folgt: ^{g{t)}
= £e{f{t-^(p)}
= £e (sin {t + cp)} = e'^M ^ {sin t} - f sin t e " ' ' dt \ =
(5
1
sin (^ + cos (p)
.+ s^ + 1
s^ + 1
Q~^^ — 1 \ \= /
s sin (p -\- cos cp =F,{s) s^ + 1
Jetzt wird die Funktion g{t) = sin {t + cp) der Ahnlichkeitstransformation t -^ cot unterworfen. Dann aber gilt nach dem Ahnlichkeitssatz: ( ' \
, . if{^(wO} = i^{sin(co^ + (p)} =-¥A-\
—
sm (p + cos (D
= +1
s
sin (/? + CO
cos (p
(F^ (5) ist die Laplace-Transformierte von Q{t) = sin {t + (p)).
5)
6)
a)
^ { e ^ ' - c o s ( 2 0} = F ( s - 3 ) =
b)
^{A-
a)
Q-^'
(s-3)^+4
sin (cot)} = A-F(s + S) =
^ {s + sy + 0)^
if {2^^} = ^{e^3'^"2^^
1} = F(s - 3 In 2)
/ ' it) = a- cosh (at),
/(O) = sinh 0 = 0
^ s - 3 In 2
^ {/' (t)} = if {a cosh (at)} = s- 5£ {sinh (at)} - 0 = s
^ s
s
Neues Funktionenpaar: if {cosh (at)} = -^^ s^ -a^ b)
r{t) = 3t\
f{0) = 0^ = 0
6 _ 6 i f { r ( t ) } = if{3t2} = 5 - i f { t ^ } - o = 5- ^ 3
7"^
2
Neues Funktionenpaar: if {t^} = —
—
= fl
/^^ s — fl
VI Laplace-Transformation c)
777
f'{t) = a-cos {at + b),
/(O) = sin b
5£ {/' (0} = ^ {fl cos (flf +fe)}= s =^ {sin (at + b)) - sin ^7 = (sin b)- s ^ a- cos b ^
= s
sm Z? =
A/^ewes Funktionenpaar: ^ {cos (at 4- o)} = 7)
/(O) - sin 0 = 0,
/ ' (0) = CO
[a
cos ^) s — a^
sin ^
(cos ^) s —fl sin ^
cos 0 = CO
J ^ { / " } = J ^ { - c o ^ - / } = - c o ^ - J ^ { / } = -co^-F(s) if{/"}=:s^-F(s)-s-0-co
Somit ist 2
s
2
^
F(s) — CO = — CO
F(s) Oder F(s)S 2=+, (D2
^ { t - s i n (cot)} = - ^ ' ( s ) =
^ { t ^ - s i n (cot)} = ¥"{s)^
d I
C O \
ds\s^
-^m^J
j /
2cos
ds\
9)
a)
^< \cosudu\
=
s
2cos (s^ + co^)^
\
[S^+CDYJ
6cos^ —2co^ (5^ + CO^)^
^{cost} =--—^— = — ^ ^{sint} = ^ ^ s s^ + 1 s^ + 1 s^ + 1
0 sin t
b)
1
^ i \uUu>=--^{t'}=---
, , , 1 2 2
= - => ^{t'}
=- .
0
00
10)
00
fl I f f C O n ^ {-' sin ((£)t)> = \ F{u)du = — du = } J J u^ + co"^ 2 [t s
f s\ (w arctan — = arctan — \co/ \s
s
{Umrechnung: s, Formelsammlung, Abschnitt IIL8.3) t
11)
a)
t^Q~'=
{u-Q~^'-''Uu
t
= Q~'' {u'QUu
= t-\
+Q-'
778
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben
b)
e ' * c o s . = c o s . * e ' = jcos„.e<'-">c/« = e ' . | c o s „ . e - " . « : 0
1 = - I sin t — COS t + e'
12)
F{s) wird in ein Produkt zerlegt, die Originalfunktionen der Faktoren aus der Transformationstabelle VI.4.2 entnommen.
a) F(.) = ( ^ ) { ^ ) = f.(s)-F.(.)
/i(t) = i?'M
^
r
s-2
'
_
2f
=e'',
ry>-l
f2it) = ^ ' '
)
^
s+ 4
{
_ „ - 4 l
=e
/ ( O = ^ - M f (s)} = / i */2 = | e ^ " e - ^ " - " ' d u = e - * ' je'^" d« = J ("e^'- e-'^'')
fl(s)
f2(s)
t
fit) = ^-'{F{s)}
=f, */2 = J 2
sin w
cos(t - u) du
0
Den Faktor cos (t — u) entwickeln wir nach dem Additionstheorem fur Kosinusfunktionen: t
f(t) = 2-
sin w (cos t cos M + sin f sin u) du = 0 t
t
sin w
= 2 cos t 0
cos w ^w + 2 sin t 0
sin^ udut' = smt
VI Laplace-Transformation
779
fi{t) = ^ ' ' \ - ^
F is) =
. \ .
=( ^ ^
I
FAs) fiit) = ^
/(O = ^
.1J
sin (31),
== / i */2 = j ^
f{t) = ^-'{Fis)}
13)
U ^
1
1
sin (3 w)
=l
Uii = J1 - cos (31)
I -Y—~2 ) = ^1 (^)
^2 (5)
F^is)
sin(flO
/2W = ^ " '
5^ + aM
_.
f^{t) = ^-^\-^
: COS ( a t )
, r sin(flw) 1 f [Fis)} = fi */2 = cos {a{t — u)]du = sin (aw) cos (at — au) du J a a J 0
0
Nach dem Additionstheorem fiir Kosinusfunktionen folgt weiter: t
1 r.
/ ( O = ~ sin (au) [cos (af) a J
cos (aw) + sin (at)
sin (au)] du =
0
cos at
sin (au)
cos (at)-sin (at)
t-sin (at)
(sin (lat) = 1 sin (at)
a)
/ ( 0 ) = lim s s^aj
b)
/ ( O ) - lim s s->oo
15)
a)
sin (at)
la
la'
14)
cos (aw) Jw + sin (at)
sin (2 at)
t sin (at) la
4a'
cos (at)).
35 1\ ^ — + ^U \S" + 8 S"/ 1 \S(S-1)-
/(oo)=lims-(
sin^ (aw) du
/ 3s^ r. Hm + 1 =3 s^oo\5^ + 8 S
1
+ S-+
lim 4/
| = lim (
h
s_oo\S-l
|= -
S+ 4
=1
780
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben
b)
f{^)=
/e^-s-l\ fc'-s-i\ limsU lim 5^0 \ S^ J s^0\ S
0 0
^ J
Nach der Kegel von Bernoulli-de LHospital folgt weiter: /(oo) = 5lim -0 ^
(5)':
= limo\( —1
|=0
Abschnitt 3 n/o)
1)
a)
sin"^ (cow) Q~^^du = —
^{sin^(a;0} =
2r)
s(s^ +40)2)
1- e
«
~
0 2a
b)
F(5) =
y4-sin( - w | - e " ^ " ^ w + a
1 -e"
:;—
f . sm
1 - e ~ ^"^ J
2)
F(5):
^ -u
/TT
Q-'''du =
\a
naA {a^s^ + n^){\ - e " " ^ )
Q-'"du.
1 -e""^ J
a{l - e ~ " ^ )
[o-e~^"rfw
fl- f e ~ ' " J M - [ y e " ' " ^ w
A(e~"' + a s - 1) as^O-e""^)
Abschnitt 4 1)
a)
if"^
c)
^'
e)
^"
f)
^"^
= --sin(5 0 s-4 (s - 4 ) 2 + 4
5^ + 25
b)
J^"^
d)
^"^
= e^'-008(2 0
3s 1 s^-lj
1 5-
sin (51) — 3 cosh t
1
r^
4s
5^ + 36
= 4 cos (61)
VI Laplace-Transformation 2)
781
Die Funktionen werden zunachst in Partialbruche zerlegt, anschlieBend wird mit Hilfe der Transformationstabelle VL4.2 gliedweise riicktransformiert. a)
f{t) = ^ - ' ^ ^ - ^ = ^ - ^ <;-_-_ + _ _ _ ^ = 2 - e ^ + 3 - e s' + s-2\ \ s - \ ^ s + 2\
b)
f{t)
1
^+ 2
= ^-U—-~
1 3
1
U ^ - M T -
s^ + 2 5 - 3 J
1
7 + 7-
[4 s - 1
1 f -2s^ + 1 8 s - 3 1
1f
5 ^ - 5 ^ - 8 s + 12j
1
)
7
4 S + 3J
1
3
5
[s-2
,
1
.,
=7-e^ + T-e-3^
{s-2f
4
4
3 s+ 3
= e^^ + 5 t - e ^ ^ - 3 - e - ^ ^
3)
a)
^~M
b)
^" N
^ = 2 - 3 f + 4-e'
r+
+ ~-^— + i = - f ^ e^' + 2 cos (5 0 + 5 e^' 5^ + 25 ( s - 3 ) ^ + l j 2
[{s-5f
Abschnitt 5 1)
a)
3 [5
b)
[s^ Y{s)-s-
y(s) - 0] + 2
7(5) = ^{t}
=~ ^
Yis)
s^(3s + 2)
1 - 0 ] + 2[s- y ( s ) - l ] + Y{s) = ^ {cos {21)}
s^ + 4
s-" + 2s^ + 55 + 8 y(5) =
2)
a)
z— (5+1)^(5^+4)
[ 5 - 7 ( 5 ) - 1 ] - 7 ( 5 ) = ^ {e^^
7(5) = - - ^ {s-iy b)
-
yit) = ^-'
5-1
{Y{s)} = ^-'
] - ^ } = {1 + t)-e' 1(5-1)^'
[ 5 - 7 ( 5 ) - 5 ] + 3-7(5) = i ^ { - c o s r } 5^ +
s'^ + l / \ s + 3/ 7i(5)
F2(5)
y(0 = ^~'{Yis)}
= ^-'{F,
5+ 3
(5) F^is)} + 5 e-^^
5+3
sin t
782
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben ^~^
{F| (5) ¥2(s)} wird mit Hilfe des Faltungssatzes berechnet:
t
^~'{FAs)
Fiis)} =h it) ^ flit) = j ( - c o s u) e-3^^-"^ du =
cos w
= - e -^
e-^" Jw = - 0,3 cos f - 0,1
sin t + 0,3 e"
0
Losung: yit) = / i ( 0 */2(0 + 5 e~^^ = - 0,3 cos t - 0,1
c)
[s ' Y{s) - 0] - 5 Y(s) = ^{2-cost-
sin (31)} =
s^ + 1
sin t + 5,3
e"
s^ + 9
l j ' U - s [vz-, ) L2^9J-(^,_5 Y^'^s^=+{-r7^ -[-::^T-J\^-.] = pi(')'F2is)-F,{s)'F,{s) FAs)
F^is)
F^s)
F^is)
Bestimmung der Losung y(t) = ^~^ {Y{s)} mit Hilfe des Faltungssatzes: flit) = ^ " M ^ I ^ j = cos t,
Mt) = ^ " M ^ j
f,{t) = ^-' { ^ ^ j = sin (30,
AW = ^-' l ^ j
= 2 e^^
^5t
t
^-^{F^s)
F2{s)} = / J r ) */2(0 = [cos w
2 e^^'""^ du =
t
2 e^ '^ ^ cos I COuS w
e ^ " ^w = — ( sin t - 5 cos ^ + 5 e^
0
^-'^{F^{s)'F^{s)}=fAt)^f4t)=
fsin(3w)-e^^^~"^^M = e^'- |'sin(3w)- e - ' " ^ w :
— ( - 5 sin (3 0 - 3 cos (31) + 3 e^' Losung: y{t)=fAt)^f2{t)-hit)^U{t)
=
I sin t - 5 cos 11 + — I 5 sin (3 0 + 3 cos (31) I + 13 \ / 34 V ^ 7 442
e^
VI Laplace-Transformation 3)
a)
783
[s Y{s) - a] - 3 Yis) = ^{4t-Q'}= (5-1)^
4
a
Y{s) =
+
1
is-\f{s-3) s-3 (nach Partialbruchzerlegung) y^t) = ^-^{Y{s)}= b)
[5
Y{s) - a] - 4
y(t) = J^-'{Y{s)}
2
1+ a
^=
+ s-\
{s-\f
s-3
- ( 1 + 2 0 - e ^ + (l +a)-e^^ Y{s) = £^{5- sin t}
= ^'-'{F.is)
5 s' + l
FM
+ °<
e*'
J^"^ {f 1 (s) fj (s)} wird mit Hilfe des Faltungssatzes berechnet:
i ^ - i {Fi(5)
f2(s)} = / i ( 0 * / 2 ( 0 = I sinw
5 e*<'-"' du =
f
5 e"^^ ^^
Isin sinww
e '^" ^fw = ^- ( - 4 sin r - cos r + e"^^ 17
0
Losung: }^ (0 =
4)
[s 7(5) - ym
+4
I 4 sin /^ + cos M + I
h a)
e"^ ^
7(5) = ^ {t'} = -
™=i4V^U'*' ^s + 4 / s + 4 Fi(s)
y(0 = ^-1
f2(s)
{7(5)} = i ? - 1 {F,(s)
F^is)} + ym
e"*'
£C'' {f 1 (s) F2('5)} wird mit Hilfe des Faltungssatzes berechnet:
A{t)-^-'l^] ,41 = t\
/2{0 =- ^ -| j i. +| ^4 j = e-^'
- - '
784
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben
^-'{F,{s)-F2{s)}=f,{t)^f2{t)
= ^u''^-^^'-'Uu
= ^-^'-^u'-c^Uu
=
0
1 32^-^-24^^ + 1 2 ^ - 3 + 3-6" 128^ Somit ist y{t) = -^{32t^ 128
- 24t^ + nt - 3 + 3 Q-""' ] + y{0) Q-
Berechnung des Anfangswertes y{0): y{\) = 2 => y(0)= 101,9215 Losung: y{t) =
5)
a)
nit^
-24t^
Ansatz: y = K(t)-Q^'
+ 1 2 t - 3 ) + 101,9450 e"
=> K{t)= -(-t
Losung: )^ = " ( ^ ^ + J
b)
+ 'j-Q-^'
+C
{CeK)
' e ' + - ' e^'
y = yo + yp = C-Q^' + yp
(CeR)
1 Ansatz fiir j ; ^ : yp = {At + B) Q^ => A = —-, -2'
'1
1 B ^=-4
r
Losung: wie 5) a)
c)
[s 7(5) - 1] - 3 7(5) = ^{fc'}=
— ^
(5 - ly 1 1 5 1 1 1 1 1 Y(') = -.5 - 3^) .( 5 - 17Z2 ) ^ +5 - 3 4 5-3 4 5-1 2 (s-l)2 (nach Partialbruchzerlegung) ^^^
1r . ^ ^^^
5 4
.,
1 4
,
1 2
,
5 4
.,
/I \2
A 4y
,
VI Laplace-Transformation
6)
a)
L[s-I(s)-0]
785
+ R-I(s) = £C{uo} = — R
Kurvenverlauf: s. Bild A-37 (Seite 750) b)
L[s- I{s) -0] + R- I{s) = ^{at \ a I{S) = - — 2 1
1)
m[s
1 ^
_
a
. ^ ^ aL I — t K ^ => i{t) = ^-'{l{s)}=—(Q L + - t - l K
^
F V{s) -VQ\ + k- V{s) = ^ { F } - s
v{s) =
— r v + - ^ ^ v{t) = ^-'{v{s)} m
f k\ k 5(5 + s+ m m Kurvenverlauf: s. Bild A-38 (Seite 750)
[s /(s) - 0] + 20 Hs) = { F,is) i{t) = ^-'
\
kj
m + k
20 sin (21)} = ^ — +4
/(s) = ^ {10
V(
= [v^--]-t
| = F. (s)-F2(s) F^is)
{I{s)} = ^-'
{F,{s)- F^is)}
if ~ ^ {F^ (s) F2 (s)} wird mit Hilfe des Faltungssatzes berechnet: Mt) = ^ ^ ' { ^ ^ = - - i 2 t ) ,
/ . ( 0 = i ? - ^ | ^ j = 10-e — ' t
^-'{F,{s)
F^is)} =f, (0 * / 2 ( 0 = jsin(2u) 10 e'^^^^""^ du = 0 t
= 10 e"^^'
j sin (2w) e^^" Jw - — ( 10 sin (2 r ) - cos(21) + e" 0
Losung: i(t) = f^{t) ^ f2{t) = ^
MO sin (2 0 - cos (2 0 + e"^^^
786 9)
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben a)
b)
[s^
[s^
Y{s) - 2 s - 1] + 4 2s + l
2s
5^ + 4
s^+4
Y{s) = ^ {0} = 0
1 ,. , 1 + ^— => y{t) = ^-'{Y{s)} = 2-cos{2t) + -' s^ + 4 2
7(5) - 0 5 - 4] + 6 [s
Y{s) = = s^ + 6 s + 1 0 y(t) = ^-UY(S)}
Y{s) - 0] + 10
Y{s) = ^ { 0 } = 0
{a= -3+i,
= 4
= 4
e"^'
= 4
a- p c)
d)
[s^
7(5) - 1
-3-j)
_ s^ + 2s^ + 2 _
2
Y{s) - 1] - 3 4 1
s ^ ( s - l ) ( s + 3) ~ ~ 9
sin t
s+2
5(5 + 1)
s - 0] + 2 [s
e"^'
2j
[s^ y(s) - 0 s - 1] + [s Y{s) -0] = ^ {e"^'} =
s(s + l)(s + 2)
p=
{s-a){s-p)
2 1
s~3
Y{s) = ^{2t}
5
1
7
2 =— 1
^ " ^ 4 ^ ^ "^ 36 7 T ^
(nach Partialbruchzerlegung) 1r
10)
a)
[s^
.
4
2
Y(s) - a s - i5] + 2 [s 1
a-5
5 , 7
.,
7(5) - a] + 7(5) = ^{t] = — s 2(x + P_
2
1
2
2a + ^ + l
^^'^^5^(5 + i ) ^ ^ ( ^ ^ T ? ^ ( ^ T I F ^ ~ s ^ ^ ^ ^ T T ^ (, + 1)2
a-5
+(7^
(nach Partialbruchzerlegung des 1. Summanden) y{t) = ^ " ^ {7(5)} = - 2 + t + 2 e"' + (2a + j5 + 1) r e"' + a(l - 0 = - 2 + t + [(a + j5 + l)t + 2 + a] e~^
b)
[5^
Y{s) - a 5 - j5] - 2 [5
7(5) - a] - 8
Y(s) = 5£ {e^^} = 5-2
1 a-5 )g-2a ^(^) = ;(5—- ^ 4)(5 ^ — +^ V 7 — ^ + ; — ; 7 7 — ^ +" 2) (5 - 2) (5 - 4) (5 + 2) (5 - 4) (5 + 2) 1 1 1 1 1 1 a-5 j5-2a 12 5 - 4 + :rT 24 5 + ^2- T ;8 5 - 2^ + :(5 - :7^ 4) (5 +^ 2)+ - ( 5 - 4 ) (5+ 2)
e~' =
VI L a p l a c e - T r a n s f o r m a t i o n
787
1 y{t) = ^ - 1 {Y{s)} = —
1 e"^^ + —
1 Q-^' - -
e^' + a
+ (i5-2a)-
6V2
11)
a)
7
y = yo + yp = {C,t + C2)-c-'
8
+ yp
{C,X2^^)
Ansatz fiir y^: y^ == /I t + B + C sin t + D _. e
Allgemeine Losung: y = {C^t -\- C2)
Spezielle Losung:
b)
[s^
y = -{5t
6V4
cos t => y^ = t — 2
+ t —2
+ 1\ Q
1
1
cos t
cos t
+ t —2
cos t
7(5) - 1 s - 0] + 2 [s 7(5) - 1] + 7(5) - ^ {f + sin r} = - - + 5^ s^ + \
1 1 Y{s) = -v-^ -T + 5^(5+1)^ (5^ + 1) ( 5 + 1 ) ^ 2
1 5
s ' 5^
1
7
2 5+1
5
2
(s+1)^
(s+1)^
1
5
2 ( 5 + 1)2
1
(5 + 1)2
5
2 5^ + 1
(nach Partialbruchzerlegung der ersten beiden Summanden) y{t)^
5 7 = - 2 + f + - - e ~ ' + - r e " ' + (l - 0 - e " '
^~^{Y{s)}
= -2 + f+ -5f + 7-e
2\ 12)
a)
[s^
X{s) - 0
X(5)-—-^ 5^ + a b)
[5^
X{s) - 1
5-
^
/ UQ]
+ a^
cos r:
cost
2 ^(5) = ^ {0} - 0
=> x{t)^^~^{X{s)} 5 + 2] + 4 [5
1
=-^-sin «
X{s) - 1] + 29
(at) ^(5) = j ^ { 0 } = 0
5+ 2 5 2 ^ W - ^ = ; 7-. ^ + 5^ + 4 s + 29 ( 5 - a ) ( 5 - i g ) (s-a)(s-jg) ( a = - 2 + 5j, i 5 = - 2 - 5 j ) ,, ^ oc-e^^-i^-e^^ 2(e^^-e^^) x{t) = ^ - ' {X{s)} = ^ + ^ - ^ = (X — p (X — p (2 + a ) - e « ^ - ( 2 + i 5 ) - e ^ ^ _ ^ _ 2 , ^ e ^ J ^ + e - ^ J ^ ^ _ ^ _ , , = e"^'-cos(5 0 a- p
788
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben c)
[s^
+ \] + [s- X{s) - 1] + 0,25 X(s) = if {0} = 0
X(s) = d)
13)
^ — - => x{t) = (s + 0,5)^
[s^ Xis) - 5s - 0] + 7 [5
^~^{X{s)}={l-0,5t)-Q~^^^'
X{s) - 5] + 12X(s) = ^ { 0 } = 0
Anfangswerte: x{0) = 0,75; x (0) = 0 [s^ X(s) - 0,75s - 0] - 6,54X(s) = i f {0} = 0 0,75 s
X(s) = ^r-^
0,75 s
=- —
s^ - 6 , 5 4
1 ,
=> x(0 = ^ " { X ( s ) } = 0,75-cosh (2,5573 0
s^ -2,5573^
Losung: x{t) = 0,75 m cosh (2,5573 s~^ -1) 14)
f + 83,33 x = 0, x(0) = 0, x(0) = 0,5 [s^ X(s) - 0 s - 0,5] + 83,33 X(s) = ^ { 0 } = 0
0,5 0,5 1 . , X{s) = —— = —— => x(t) = ^ ' ^ { Z ( s ) } = 0,055-sin (9,13 0 s + 83,33 s + 9,13 Losung: x(0 = 0,055 m- sin (9,13 s"^ - 0 15)
a)
[s^
(/)(s) - cp(0)
cpiO)-s
+
s - cp'm + ^ 0(s) = if {0} = 0 cp^O) =
(piO)'S
^ — +
(p'jO)
—
"-' "-' Hi')' H/f (p(t) = if-M*(^)} = ^(0) cosU?7^^'^^^ V b)
16)
(p{t) = (pQCOs[
X + 16x + 256JC = 0; [s^ 'X(s)-
''^[^~i^
J-t
Anfangswerte: x(0) = 0,2,
x(0) = 0
0,2s - 0] 4- 16 [s X(s) - 0,2] + 256X(s) = i f {0} = 0
0,2 s + 3,2 0,2 s 3,2 X{s)= s^, + 16s .^ +^256 , = -(s - a)^-(s - i^) - + -(s - a) (s - ^) ( a = - 8 + 8>/3j,
jg=-8-8>/3j)
VI Laplace-Transformation
x{t) = ^~^{X{s)}
789
=0,2
_ (0,2a + 3,2) ~
a-p
^
a-p
e*^ - (0,2^5 + 3,2) e^^ _ a- p ~
= e"^' [o,1155
sin (8 ^ 3 0 + 0,2
cos (8 ^ 3 t)
sin (8 ^ 3 s" ^ r) + 0,2 m cos (8 ^ 3 s" ^ t)
Losung: x{t) = e " ^ ' " ' ' ' [0,1155 m
17)
+ 3,2
Energielos bedeutet: 0
i(0) = 0
und
^(0)=
|
/(T)JT = 0
—« Somit: 1
r
1 Hs) i{T)dT = UQ => R- I{s) +
Ri + --
C 0J
18)
C
di 0,1 - + 10 i = 100; dt 0,1 [s
—^
r . ^{UQ}
s
Anfangswert: i(0) = 0
7(5) - 0] + 10 I{s) = i^jlOO} = s 1000
w
.
^(') = s(s , + ^ i 100) n m ^ ^W = ^~'{ns)} Losung: i{t) = 10 A {\ - Q~'^^^'''
19)
inn.
= 10(1 - e-^o^O ')
Energielos bedeutet: 0
j(0) = 0
und
q{0)=
/(T)^T = 0
Die Schwingungsgleichung lautet somit:
L
di
—H
\
r 0
i (T) t/i =
WQ
sin
[CDQ
t)
790
Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben 1 I (s) , + - ' - ^ = ^{uo-sm{wot)}= C s
L[s-I(s)~0] UnCOo
S
(
,
Ur,a)o ^ ^ S^ + COQ
T
1
Aus Ubungsaufgabe 13, Abschnitt 3 ist bekannt: -if
5
]
t-sin(a>oO
Daher ist 1 . . Wo tOn ^' sin (con 0 Wo 0 = =2'-' /(s) = ^ / ° ' = T7 t 2 COQ 2L L
sin K
0
m Literaturhinweise
Formelsammlungen 1.
BronsteinjSemendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Deutsch, Thun-Frankfurt/M.
2.
Papula: Mathematische Formelsammlung fur Ingenieure und Naturwissenschaftler. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden .
Aufgabensammlungen 1.
Minorski: Aufgabensammlung der Hoheren Mathematik. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden.
2.
Papula: Mathematik fiir Ingenieure und Naturwissenschaftler, Ubungen. Vieweg, Braunschweig/ Wiesbaden.
Weiterfiihrende Literatur 1.
Ameling: Laplace-Transformation. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden.
2.
Ayres: Differentialgleichungen. Mc Graw-Hill, New York.
3.
Blatter: Analysis (Bd. II und III). HTB. Springer, Berlin-Heidelberg-New York.
4.
Braun: Differentialgleichungen und ihre Anwendungen. Springer, Berhn-Heidelberg-New York.
5.
Collatz: Differentialgleichungen. Teubner, Stuttgart.
6.
Courant: Vorlesungen iiber Differential- und Integralrechnung (Bd. II). Springer, Berhn-Heidelberg-New York.
7.
Dietrich!Stahl: Matrizen und Determinanten. Deutsch, Thun-Frankfurt/M..
8.
Dirschmid: Mathematische Grundlagen der Elektrotechnik. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden.
9.
EndljLuh: Analysis (Bd. I-III). Aula-Verlag, Wiesbaden.
10.
Fetzer/Frdnkel: Mathematik (Bd. II und III). VDI, Dusseldorf.
11.
Holbrook: Laplace-Transformation. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden.
12.
Jeffrey: Mathematik fiir Naturwissenschaftler und Ingenieure (Bd. II). Verlag Chemie, Weinheim.
13.
Kamke: Differentialgleichungen (Bd. I und II). Akademische VerlagsgeseUschaft, Wiesbaden.
14.
Kamke: Differentialgleichungen - Losungsmethoden und Losungen (Bd. I und II). Teubner, Stuttgart.
15.
Lipschutz: Lineare Algebra. Mc Graw-Hill, New York.
16.
Madelung: Die mathematischen Hilfsmittel des Physikers. Springer, Berlin-Heidelberg-New York.
17.
MargenaujMurphv: Die Mathematik fiir Physik und Chemie (Bd. I und II). Deutsch, Thun-Frankfurt/M. .
18.
Smirnov: Lehrgang der Hoheren Mathematik (5 Bd.). Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berhn.
19.
ZurmiihllFalk: Matrizen und ihre technischen Anwendungen. Springer, Berlin-Heidelberg-New York.
20.
Zurmiihl: Praktische Mathematik fiir Ingenieure und Physiker. Springer, Berhn-Heidelberg-New York.
792
Sachwortverzeichnis
abhangige Variable 270 - Veranderliche 270 Abklingkonstante 508, 531 Ableitungen, partielle 287 ff., 296f. Ableitungssatz fiir die Bildfunktion 646 f. - fiir die Originalfunktion 644 ff. Ableitungssatze 644 f. Achse, imaginare 184 -reelle 184 Addition komplexer Zahlen 204 f. - von Matrizen 12 adjungierte Matrix 52 Ahnlichkeitssatz 637 f. algebraische Form einer komplexen Zahl 191, 196 - Gleichung n-ten Grades 220 algebraisches Komplement 33 Algorithmus, GauBscher 68 ff. allgemeine Losung einer Differentialgleichung 436 - Schwingungsgleichung der Mechanik 501 ff. Amplitude 177 -, komplexe 229 f. Amplitudenspektrum 177 analytische Darstellung einer Funktion 272 f. Anfangswertproblem 439, 576 anti-parallele Vektoren 91 Anwendungen der Laplace-Transformation 669 ff. aperiodische elektromagnetische Schwingung 534 f. - Schwingung 51 lff.,534f. aperiodischer Grenzfall 515ff., 534f. aquatoriales Flachenmoment 379 aquivalente Umformungen eines linearen Gleichungssystems 70 Arbeitspunkt 323 Argument einer komplexen Zahl 192 arithmetisches Mittel 341 Aufsuchen einer partikularen Losung 460f., 491ff., 548ff., 582ff. Auswertung einer MeBreihe 342 axiales Flachenmoment 379 Basisfunktionen 480, 541, 580 Basislosungen 480, 541, 580
Berechnung einer 2-reihigen Determinante 22 - einer inversen Matrix nach dem GauBschen Algorithmus (GauB-Jordan-Verf'ahren) 89 f. - einer inversen Matrix unter Verwendung von Unterdeterminanten 52 - einer n-reihigen Determinante 47 - eines Doppelintegrals 352 ff. - eines Doppelintegrals unter Verwendung kartesischer Koordinaten 356 - eines Doppelintegrals unter Verwendung von Polarkoordinaten 363 - eines Dreifachintegrals 388 ff. - eines Dreifachintegrals unter Verwendung kartesischer Koordinaten 390 - eines Dreifachintegrals unter Verwendung von Zylinderkoordinaten 394 Bereichsintegral, 2-dimensionales 351 -, 3-dimensionales 387 Betrag einer komplexen Zahl 190 Biegegleichung 441, 554 Biegelinie 441 Bildbereich 629 Bildfunktion 627, 629 Bildraum 629 Blindleitwert 243 Blindwiderstand 238 f. -, induktiver 242 -, kapazitiver 242 charakteristische Gleichung einer homogenen linearen Differentialgleichung 484, 544 - - einer Matrix 118, 122 eines homogenen Unearen Differentialgleichungssystems 578 charakteristische Matrix 117, 122, 128 charakteristisches Polynom einer Matrix 122 Cramersche Kegel 86 ff. Dampfungsfaktor 508, 531 Dampfungssatz 643 f. Darstellung einer Funktion als Flache im Raum275ff. - einer Sinusschwingung durch einen rotierenden Zeiger 230 Darstellungsformen einer Funktion 272 ff. - einer komplexen Zahl 191 ff., 196f. Defmitionsbereich einer Funktion 270
Sachwortverzeichnis Determinante dritter Ordnung 30 - n-ter Ordnung 37 - zweiter Ordnung 20 f. -, dreireihige 30 -, Elemente 37 ff. -, Entwicklung nach Unterdeterminanten 33ff., 40f. -, Entwicklungsformel 40 -, Hauptdiagonale 22, 31 -, Laplacescher Entwicklungssatz 35, 41 -, Multiplikation mit einem Skalar 25, 43 -, Nebendiagonale 22, 31 -, Ordnung 20f., 291, 37 -, Stiirzen 23 -, Unterdeterminante 33 -, zweireihige 20 f. Determinanten 19ff. - dritter Ordnung 29 ff. - hoherer Ordnung 37 ff. - zweiter Ordnung 2Iff. -, elementare Umformungen 47 -, Multiplikationstheorem 27, 43 -, Rechenregeln 22ff., 32, 43 Diagonalelemente einer Matrix 7 Diagonalmatrix 7 -, Eigenwerte 135 Differential, totales 303 ff. -, vollstandiges 303 ff. Differentialgleichung der Biegelinie 441, 554 - des freien Falls 433, 469 - des radioaktiven Zerfalls 468 - einer elektromagnetischen Schwingung 530 ff. - einer erzwungenen Schwingung 520 ff. - einer freien gedampften Schwingung 508 - einer freien ungedampften Schwingung 503 ff. - einer mechanischen Schwingung 502 f. - eines Reihenschwingkreises 531 f. - eines Wechselstromkreises 53If. - n-ter Ordnung 435 -, allgemeine Losung 436 -, Definition 435 -, explizite 435 -, gewohnliche 435 -, impHzite 435 -, Integration 436 -, Linienelement 444 -, Losung 436 -, numerische Integration 558ff. -, Ordnung 435 -, partielle 435 -, partikulare Losung 436 -, Richtungsfeld 444 -, singulare Losung 436 -, spezielle Losung 436 Differentialgleichungen 433 ff.
793 -, -,
1. Ordnung 442 ff. mit trennbaren Variablen 447 lineare 1. Ordnung 453ff. lineare 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 463 ff. -, lineare 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 475 ff., 489 ff -, lineare n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 540ff., 546 ff. -, Systeme 2. Ordnung 573 ff -, Systeme 4. Ordnung 599 ff Differentialoperator, partieller 291 Differentialquotient, partieller 291 Differentiation, implizite 319 -, partielle 287 ff Differenz zweier komplexer Zahlen 204 Differenzmatrix 12 Dirichletsche Bedingungen 165 Division komplexer Zahlen 206ff., 210, 213 Doppelintegral, Berechnung 352 ff -, Berechnung in kartesischen Koordinaten 356 -, Berechnung in Polarkoordinaten 363 Doppelintegrale 349 ff. Drehstreckung einer komplexen Zahl 212 Drehung eines ebenen Koordinatensystems 126 dreidimensionales Bereichsintegral 387 Dreieckskurve 173 Dreiecksmatrix 8 -, Eigenwerte 135 -, obere 9 -, untere 9 dreifaches Integral 387 Dreifachintegral 387 -, Berechnung 388ff. -, Berechnung in kartesischen Koordinaten 390 -, Berechnung in Zylinderkoordinaten 394 Dreifachintegrale 386 ff dreireihige Determinante 30 - Determinanten 29 ff Ebenen im Raum 276 ff - in allgemeiner Lage 278 Effektivwert, komplexer 237 Eigenfunktionen 553 Eigenkreisfrequenz 508, 519, 527, 531 f, 535 Eigenlosungen 553 Eigenschaften einer hermiteschen Matrix 111 - einer orthogonalen Matrix 56 - einer schiefhermiteschen Matrix 113 - einer unitaren Matrix 115 Eigenvektoren einer Matrix 118, 128 Eigenwerte der Koeffizientenmatrix 578 - einer Diagonalmatrix 135 - einer Differentialgleichung 553
794 - einer Dreiecksmatrix 135 - einer Matrix 118, 122, 128 Eigenwerte und Eigenvektoren einer 2-reihigen Matrix 12Iff. einer hermiteschen Matrix 138 einer n-reihigen Matrix 128ff. einer quadratischen Matrix 116 If. einer symmetrischen Matrix 136 spezieller Matrizen 134ff. Eigenwertproblem 122, 128, 553 Einheitsmatrix 8 Einheitswurzeln 222 Einschwingphase 524 Einsetzungsverfahren 586ff. elastisches Federpendel 501 elektrische Schwingungen 530 ff. elektrischer Leitwert 243 f. - Reihenschwingkreis 530ff., 680ff. elementare Umformungen einer Determinante 47 einer Matrix 62 elementare Zeilenumformungen 70 Elemente einer Determinante 37 ff. - einer Matrix 2 Eliminationsverfahren 586 ff. Entladung eines Kondensators 626, 675 Entwicklungsformel fiir eine Determinante 40 Entwicklungssatz, Laplacescher 35, 41 erster Verschiebungssatz 638ff. erweiterte Koeffizientenmatrix 66 erzwungene elektromagnetische Schwingung 536 ff. - mechanische Schwingung 520ff.,527 f. - Schwingung eines mechanischen Systems 527 f. Eulersche Formel 194 - Knickkraft 555 - Knicklast 555 Exponentialansatz 463, 483, 543, 577 Exponentialform einer komplexen Zahl 194f., 197 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen 333 ff. Extremwerte, hinreichende Bedingungen 330 -, lokale 326 ff. -, notwendige Bedingungen 329 -, relative 326ff. Falk-Schema 17 Faltung 651 Faltungsintegral 651 Faltungsprodukt 651 Faltungssatz 651 ff. Feder-Masse-Schwinger 501 Fehler 341 Fehlerfortpflanzung, lineare 340 ff.
Sachwortverzeichnis Fehlerfortpflanzungsgesetz, lineares 345 Flache, Inhalt 366 ff. -, Moment 379 ff. -, Schwerpunkt 373 ff. -, Tragheitsmoment 379 ff. Flachendifferential 351 Flachenelement 351 Flacheninhalt 366 ff. - einer Ellipse 369 f. - einer Kardiode 372 f. Flachenintegral 351 Flachenmoment 379 ff. -, aquatoriales 379 -, axiales 379 -, polares 379 Flachentragheitsmoment 379 ff. Formel von Moivre 217 Fourier-Analyse 159, 172 Fourier-Entwicklung 160 ff. - der Dreieckskurve 173 - der Kippspannung 173 ff. - der Rechteckskurve 167ff.,173 - des Sagezahnimpulses 173 - des Sinusimpulses 174 Fourier-Reihe 159f. - einer periodischen Funktion 165 Fourier-Reihen 158 ff. -, spezielle 173f. Fourier-Zerlegung 160 - einer Schwingung 171 f. Fourierkoeffizienten 160 freie elektromagnetische Schwingung 533 ff. - gedampfte Schwingung 508ff.,519, 535 - gedampfte Schwingung eines mechanischen Systems 508ff.,519 - ungedampfte Schwingung 503ff.,535 freier Fall unter Beriicksichtigung des Luftwiderstandes 468 ff. Frequenzgang der Amplitude 525 - der Phase 527, 539 - der Phasenverschiebung 527, 539 - des Scheitelwertes 539 Fundamentalbasis einer linearen Differentialgleichung 482, 542 - eines Differentialgleichungssystems 580 Fundamentalsatz der Algebra 220 Fundamentalsystem einer linearen Differentialgleichung 482, 542 - eines Differentialgleichungssy stems 580 Funktion, Darstellung als Flache im Raum 275 ff. -, Darstellungsformen 272 ff. -, Defmitionsbereich 270 -, HohenUniendiagramm 281 f. -, Linearisierung 323 -, Schnittkurvendiagramm 281 ff. -, Wertebereich 270
795
Sachwortverzeichnis -, Wertevorrat 270 Funktionen von mehreren Variablen 269 ff. - von zwei Variablen 270 Funktionsgleichung einer Rotationsflache 395 Funktionstabelle 273 f. Funktionstafel 273 f. GauB-Jordan-Verfahren 89 f. GauBsche Zahlenebene 184ff. GauBscher Algorithmus 68 ff. Gebietsintegral, 2-dimensionales 351 -, 3-dimensionales 387 gedampfte Schwingung 508 ff., 519, 533, 535 gekoppelte Differentialgleichungen 574 gestaffeltes lineares Gleichungssystem 70 - System 72 gewohnliche Differentialgleichung 435 Gleichheit von Matrizen 11 - zweier komplexer Zahlen 188 Gleichungssystem, lineares 65 ff. Grenzwertsatze 654 ff. Grundgesetze fiir komplexe Zahlen 216 Grundrechenarten fiir komplexe Zahlen 203 ff. Grundschwingung 159, 171 harmonische Analyse 172 harmonische Schwingung 228 einer Blattfeder 678 ff. , Darstellung durch einen rotierenden Zeiger 230 Hauptdiagonale 7, 22, 31 hermitesche Matrix 109 , Eigenschaften 111 , Eigenwerte und Eigenvektoren 138 hinreichende Bedingungen fiir einen relativen Extremwert 330 Hochpunkt 326 Hohenkoordinate 275, 281 Hohenlinie 281 Hohenliniendiagramm 281 f. homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung 453 2. Ordnung 476 n-ter Ordnung 540 homogene Systeme linearer Differentialgleichungen 574 homogenes lineares (n,n)-System 83 f. Gleichungssystem 66, 83 f. hyperbolisches Paraboloid 329 ideales Gas 271 imaginare Achse 184 - Einheit 182 - Zahl 183 Imaginarteil einer komplexen Zahl 184 Impedanz 238 implizite Differentiation 319
indirekte Messung einer GroBe 343 ff. induktiver Blindwiderstand 242 inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung 453 2. Ordnung 476 n-ter Ordnung 540 inhomogene Systeme linearer Differentialgleichungen 574 inhomogenes Uneares (n,n)-System 79 f. Gleichungssystem 66, 79 f. Integral, Doppelintegral 349 ff. -, Dreifachintegral 387 -, dreifaches 387 -, Flachenintegral 351 -, Volumenintegral 387 -, zweifaches 351 Integralsatz fiir die Bildfunktion 650 - fiir die Originalfunktion 648 ff. Integralsatze 648 ff. Integrand 351, 387 Integrandfunktion 351, 387 Integration einer Differentialgleichung 1. Ordnung nach dem Streckenzugverfahren von Euler 560 - einer Differentialgleichung durch Substitution 450 f. - einer homogenen linearen Differentialgleichung 1. Ordnung 454 f. - einer homogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten483ff., 489 - einer homogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten541ff., 546f. - einer inhomogenen linearen Differentialgleichung 1. Ordnung 456ff. - einer inhomogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 490ff., 493 - einer inhomogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 548 ff. - einer linearen Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 463ff, 670ff. - einer linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 672 ff - eines homogenen linearen Differentialgleichungssystem 2. Ordnung 577 ff. - eines inhomogenen linearen Differentialgleichungssystems 2. Ordnung 582 ff - eines inhomogenen linearen Differentialgleichungssystems 2. Ordnung durch „Aufsuchen einer partikularen Losung" 583
796 - eines inhomogenen linearen Differentialgleichungssystems 2. Ordnung nach dem „Einsetzungs- oder Eliminationsverfahren" 588 f. Integrationsbereich 351 Integrationsvariable 351, 387 Integro-Differentialgleichung 682 Inverse einer Matrix 51 inverse Laplace-Transformation 634 f. inverse Matrix 51 , Berechnung mit Hilfe des GauBschen Algorithmus 89 f. , Berechnung mit Hilfe von Unterdeterminanten 52 inverses Laplace-Integral 634 Inversion einer komplexen GroBe 255 f. - einer komplexen Zahl 255 f. - einer Ortskurve 255 ff. - einer Widerstandsortskurve 259 ff. Inversionsregeln 257 Isokline 445 Isothermen 286 kapazitiver Blindwiderstand 242 kartesische Form einer komplexen Zahl 191, 196 Kegelmxantel 396 Kehrmatrix 51 Kennkreisfrequenz 508, 519, 527, 531 f., 535 Kennlinienfeld 284 - eines idealen Gases 286 Kettenleiter 573, 594ff. Kettenregel fiir Funktionen mit einem Parameter 308 f. - fiir Funktionen mit zwei Parametem 314 Kippschwingung 158, 173 Kippspannung 158, 174ff. Kirchhoffsche Regeln 1, 244 Knotenpunktsregel 1 Koeffizientenmatrix 65 -, erweiterte 66 kollineare Vektoren 91 komplexe Amplitude 229 f. - Ebene 184 - Matrix 103 komplexe Matrizen 101 ff. - -, Rechengesetze 104f., 106, 108 komplexe Rechnung 203 ff. komplexe Zahl 183 , algebraische Form 191, 196 , Argument 192 - -, Betrag 190 , Darstellungsformen 191 ff., 196f. , Exponentialform 194f., 197 , Imaginarteil 184 , kartesische Form 191, 196 , konjugiert 188
Sachwortverzeichnis , natiirlicher Logarithmus 226 - -, Phase 192 , Polarformen 197 - -, Potenz 216f. - - Realteil 184 , trigonometrische Form 191 f., 197 - -, Winkel 192 - -, Wurzel 221 , Zeiger 185 komplexe Zahlen 182ff. - -Addition 204 f. - - Division 206ff., 210, 213 , Grundgesetze 216 - -, Multiplikation 206ff., 210ff. , Potenzieren 217 - -,Radizieren219ff. - -, Subtraktion204f. , Wurzelzeichen 219ff. komplexer Effektivwert 237, 239 - Leitwert 243 f. - Querwiderstand 102 - Scheitelwert231, 237 - Wechselstromwiderstand 240 ff. - Widerstand 238 - Widerstandsoperator 239 komplexer Zeiger 185 , rotierender 227 ff. komplexwertige Funktion 250 konjugiert komplexe Matrix 106 - komplexe Zahl 188 - transponierte Matrix 107 Koordinatenebenen 276 f. Korrespondenz 629 Kosinusschwingung 230 Kriechfall511ff., 519,535 Kriterien fiir die Losbarkeit eines homogenen hnearen (n,n)-Systems 84 - fiir die Losbarkeit eines inhomogenen hnearen (n,n)-Systems 80 - fiir die Losbarkeit eines linearen (m,n)-Systems 76 Kriterium fiir die lineare Unabhangigkeit von Vektoren 96 Kugeloberflache 397 Lagrangescher Multiplikator 336 Lagrangesches Multiplikationsverfahren 336 f. Lambertsches Gesetz 339 Laplace-Integral 630 -, inverses 634 Laplace-Transformation 626 ff. -, Ableitungssatz fiir die Bildfunktion 646 f. -, Ableitungssatz fiir die Originalfunktion 644 ff. -, Ableitungssatze 644 ff.
797
Sachwortverzeichnis -, Ahnlichkeitssatz 637 f. -, Anwendungen auf lineare Differentialgleichungen 669 ff. -, Anwendungsbeispiele 675 ff. -, Dampfungssatz 643 f. -, Faltungssatz 651 ff. -, Grenzwertsatze 654 ff. -, Integralsatz fiir die Bildfunktion 650 -, Integralsatz fiir die Originalfunktion 648 ff. -, Integralsatze 648 ff. -, inverse 634 -, Linearitat 636 -, Rechenregeln 658 -, Transformationssatze 635 ff. -, Verschiebungssatze 638 ff. Laplace-Transformationen, Tabelle 666 ff. Laplace-Transformationsoperator 627, 629 Laplace-Transformierte der linearen Funktion 631 - der Rechteckskurve 661 - der Sagezahnfunktion 662 - der Sinusfunktion 632 - der Sprungfunktion 631 - einer Funktion 629 ff. - einer periodischen Funktion 659 ff. - eines Rechtecksimpulses 633 Laplacescher Entwicklungssatz 35, 41 Leitwertoperatoren 243 f. linear abhangige Vektoren 93 f., 99 - unabhangige Vektoren 93, 99 lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung453ff. 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 463 ff. 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 475 ff. mit konstanten Koeffizienten 669 ff n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 540 ff lineare Fehlerfortpflanzung 340 ff. - Gleichungssysteme 65 ff. - Unabhangigkeit von Vektoren 91 ff lineares Fehlerfortpflanzungsgesetz 345 lineares Gleichungssystem 65 ff , aquivalente Umformungen 70 , gestaffeltes 72 , homogenes 66, 83 f , inhomogenes 66, 79 f - -, Losbarkeit 74, 76, 80, 84 , Losungs verbal ten 72, 75, 79 ff Linearisierung einer Funktion 323 Linearitat 636 Linienelement 444 lokale Extremwerte 326ff. Losbarkeit eines linearen (m,n)-Systems 74 Losung einer Differentialgleichung 436
- eines Systems linearer Differentialgleichungen 574 Losungsmenge eines linearen (m,n)-Systems 67 Losungsvektor 65 - eines Systems linearer Differentialgleichungen 575 Losungsverhalten eines linearen (m,n)-Gleichungssystems 72 ff. - eines quadratischen linearen Gleichungssystems 79 ff. Mantel eines Rotationsparaboloids 396 Mantelflache eines Rotationsparaboloids 280, 282 Maschenregel 1, 102, 573, 626, 681 Massentragheitsmoment 411 ff - eines Rotationskorpers 414 - eines Wurfels 414 ff Matrix 2 - n-ter Ordnung 3 -, adjungierte 52 -, charakteristische 117, 122, 128 -, charakteristische Gleichung 118, 122 -, charakteristisches Polynom 122 -, Determinante einer quadratischen Matrix 20 f, 30, 37 -, Diagonalmatrix 7 -, Diagonalelemente 7 -, Differenzmatrix 12 -, Dreiecksmatrix 8 -, Eigenvektoren 118, 122, 128 -, Eigenwerte 118, 122, 128 -, Einheitsmatrix 8 -, elementare Umformungen 62 -, erweiterte Koeffizientenmatrix 66 -, Hauptdiagonale 7, 31 -, hermitesche 109 -, inverse 51 -, Kehrmatrix 51 -, Koeffizientenmatrix 65 -, komplexe 103 -, konjugiert komplexe 106 -, konjugiert transponierte 107 -, n-reihige 3 -, Nebendiagonale 7, 31 -, Nullmatrix 4 -, NuUzeilen 63 -, Ordnung 3 -, orthogonale 54 -, quadratische 3 - Rang 59 ff -, Rangbestimmung 61 ff -, regulare 50 -, schiefhermitesche 112 -, schiefsymmetrische 10 -, singulare 50
798 -, Spalten 2 -, Spaltenmatrix 4 - Spur 122 -, Summenmatrix 12 -, symmetrische 9 -, transponierte 6 -, Trapezform 70 -, Umkehrmatrix 51 -, unitare 114 -, Unterdeterminanten 59 -, Zeilen 2 -, Zeilenmatrix 4 -, Zeilenumformungen 70 Matrixeigenwertproblem 122 Matrixelement 2 Matrizen Iff. -, Addition 12 -, Differenz zweier Matrizen 12 -, Eigenwertproblem 122, 128 -, elementare Umformungen 62 -, Gleichheit 11 -, komplexe 101 ff. -, Multiplikation 14 -, Multiplikation mit einem Skalar 13 -, Produkt zweier Matrizen 15 -, Rechengesetze 12f., 18 -, Rechenoperationen 11 ff. -, Subtraktion 12 -, Summen zweier Matrizen 12 Matrizenaddition 12 Matrizendarstellung eines Systems linearer Differentialgleichungen 575 Matrizenmultiplikation 14 Matrizenprodukt 15 Maximum, relatives 326 mechanische Schwingungen 50Iff. Mehrfachintegrale 348 ff. Menge der komplexen Zahlen 184 MeBabweichung 341 MeBergebnis 341 - fiir eine „indirekte" MeBgroBe 345 MeBreihe 341 -, Auswertung 342 Messung 341 -,indirekte343ff. MeBunsicherheit 341 Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren 335 Minimum, relatives 326 Mittel, arithmetisches 341 Mittelwert 341 -, arithmetischer 341 -, mittlerer Fehler 341 -, Standardabweichung 341 mittlerer Fehler des Mittelwertes 341 Modell zweier gekoppelter schwingungsfahiger Systeme 599 ff.
Sachwortverzeichnis Multiplikation einer Determinante mit einem Skalar 24, 43 - einer Matrix mit einem Skalar 13 - komplexer Zahlen 206ff., 210ff. - von Matrizen 14ff. Multiplikationstheorem fiir Determinanten 27,43 n-dimensionaler Vektor 4 n-dimensionales Eigenwertproblem 128 n-reihige Determinante 37 - Matrix 3 n-te Wurzel 221 natiirlicher Logarithmus einer komplexen Zahl 226 Nebenbedingung 336 Nebendiagonale 7, 22, 31 Netzwerkfunktionen 253 ff. Normalschwingungen 603 ff. - gekoppelter mechanischer Systeme 140 ff. notwendige Bedingung fiir einen relativen Extremwert 329 NuUmatrix 4 Nullzeile einer Matrix 63 numerische Integration einer Differentialgleichung 558ff. 1. Ordnung558ff. 2. Ordnung569ff. obere Dreiecksmatrix 9 Oberfunktion 629 Oberschwingung 159, 171 ohmscher Widerstand 240 Ohmsches Gesetz 269 der Wechselstromtechnik 239 Ordnung einer Determinante 20 f., 29 f., 37 - einer Matrix 3 - eines Systems linearer Differentialgleichungen 574 Originalbereich 629 Originalfunktion 627, 629 Originalraum 629 orthogonale Matrix 54 , Eigenschaften 56 orthogonale Vektoren 54 orthonormierte Vektoren 54 Ortskurve einer parameterabhangigen komplexen Zahl 250 Ortskurven248ff. Paraboloid, hyperbolisches 329 parallele Vektoren 91 Parallelebenen 277 Parallelschaltung 254 Partialbruch 663 Partialbruchzerlegung 664
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Sachwortverzeichnis partielle Ableitungen 287 ff. - - 1. Ordnung 290 hoherer Ordnung 296 f. partielle Differentialoperatoren 291 - Differentialquotienten 1. Ordnung 291 - Differentiation 287 ff. partielles Differenzieren 290, 293 partikulare Losung einer Differentialgleichung 436 Phase einer komplexen Zahl 192 polares Flachenmoment 379 eines Halbkreises 383 Polarformen einer komplexen Zahl 197 Potenz einer komplexen Zahl 216 f. Potenzieren einer komplexen Zahl 217 Produkt aus einer Matrix und einem Skalar 13 - zweier komplexer Zahlen 206 - zweier Matrizen 15 PTi-Regelkreisglied 677 quadratische Matrix 3 , Eigenwerte und Eigenvektoren 116ff. Quotient zweier komplexer Zahlen 208 radioaktiver Zerfall 467 ff. Radizieren im Komplexen 219ff. Randwertproblem 440 Rang einer Matrix 59 ff. Rangbestimmung einer Matrix mit Hilfe elementarer Umformungen 64 unter Verwendung von Unterdeterminanten 61 Realteil einer komplexen Zahl 184 Rechengesetze fiir komplexe Matrizen 104ff., 108 - fiir Matrizen 12f., 18 Rechenoperationen fiir komplexe Matrizen 104 f. - fiir Matrizen 11 ff. Rechenregeln fiir 2-reihige Determinanten 22 ff. - fiir 3-reihige Determinanten 32 - fiir n-reihige Determinanten 43 Rechteckskurve 167 ff., 173 reelle Achse 184 Regel von Sarrus 31 Regeln fiir die Matrizenmultiplikation 18 regulare Matrix 50 Reihenschaltung 244ff., 248, 253 - von Widerstanden 272 relative Extremwerte 326ff. relatives Maximum 326 - Minimum 326 Relativkoordinaten 306 Resonanzfall 525, 528, 539 Resonanzfunktion 525 Resonanzkatastrophe 528
Resonanzkreisfrequenz 525 Resonanzkurve 526 Richtungselement 444 Rotationsflache 279 -, Funktionsgleichung 395 Rotationskorper, Massentragheitsmoment 414 -, Schwerpunkt 406 -, Volumen 401 Rotationsparaboloid 327 -, Mantelflache 280, 396 rotierender komplexer Zeiger 227 ff. Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung 563 ff., 569 ff. Sagezahnimpuls 158, 173 Sattelflache 330 Sattelpunkt 330 Satz iiber Linearkombinationen 636 - von Schwarz 297 - von Steiner 382, 413 Scheinwiderstand 238 schiefer Wurf 269f. schiefhermitesche Matrix 112 , Eigenschaften 113 schiefsymmetrische Matrix 10 Schnittkurvendiagramm 28Iff. Schwerpunkt einer Flache 373 ff. - einer Halbkugel 406 - eines Korpers 405 f. - eines Rotationskorpers 406 Schwingung eines Federpendels 501 ff. -, aperiodische 511 ff., 534f. -, aperiodischer Grenzfall 515ff., 534f. -, Darstellung im Zeigerdiagramm 230 -, elektrische 530ff. -, erzwungene 520ff., 527ff., 536ff. -, gedampfte 508ff., 519, 533, 535 -, harmonische 228 -, Kosinusschwingung 230 -, mechanische 501 ff. -, Sinusschwingung 227 ff. -, ungedampfte 503 ff., 533 Schwingungsgleichung 437f., 478, 482, 501 ff. - eines elektrischen Reihenschwingkreises 530 ff. - eines mechanischen Systems 50Iff. -, allgemeine 501 ff. singulare Losung einer Differentialgleichung 436 - Matrix 50 Sinusimpuls 158, 174 Sinusschwingung 227 ff. Skalarprodukt zweier Vektoren 15 Spalten einer Matrix 2 Spaltenindex 2 Spaltenmatrix 4
800 Spaltenvektor 4 Spaltenzahl 2 spezielle komplexe Matrizen 109ff. - Losung einer Differentialgleichung 436 - Matrizen 4 - quadratische Matrizen 7 ff. Sprungfunktion 631, 677 Spur einer Matrix 122 Standardabweichung des Mittelwertes 341 stationare Losung der Schwingungsgleichung 524, 527 f. Storfunktion 453, 476, 540 Storglied 453, 476, 540 Storvektor 575 Streckenzugverfahren von Euler 558ff. Stiirzen einer Determinante 23 Subtraktion komplexer Zahlen 204 f. - von Matrizen 12 Summe zweier komplexer Zahlen 204 - zweier Matrizen 12 Summenmatrix 12 Superpositionsprinzip 233 symmetrische Matrix 9 , Eigenwerte und Eigenvektoren 136 Systeme linearer Differentialgleichungen 573 ff. 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten573ff. 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten599ff. Systemmatrix 140
Sachwortverzeichnis Umkehrintegral 634 Unterdeterminante 33, 59 -, p-reihige 59 -, p-ter Ordnung 59 Unterdeterminanten einer Matrix 59 untere Dreiecksmatrix 9 Unterfunktion 629 Variable, abhangige 270 -, unabhangige 270 Variation der Konstanten 456 f. Vektor, n-dimensionaler 4 -, Spaltenvektor 4 -, Zeilenvektor 4 Vektoren, anti-parallele 91 -, kollineare 91 -, linear abhangige 94 -, linear unabhangige 91 ff., 96 -, orthogonale 54 -, orthonormierte 54 -, parallele 91 -, Skalarprodukt zweier Vektoren 15 Veranderliche, abhangige 270 -, unabhangige 270 Verschiebungssatze 638ff. Vierpol 102 vollstandiges Differential 303 ff. Volumen eines Korpers 397 ff. - eines Rotationskorpers 401 Volumendifferential 387 Volumenelement 387 Volumenintegral 387
Tabelle spezieller Laplace-Transformationen 666 ff. Tangentialebene 301 f. Tiefpunkt 326 totales Differential 303 ff. Transponieren einer Matrix 6 Transponierte einer Matrix 6 transponierte Matrix 6 Transversalwelle 298 ff. Trapezform einer Matrix 70 Trennung der Variablen 447 trigonometrische Form einer komplexen Zahl 191 f., 197 triviale Losung 76
Wechselstromkreis 244ff., 47Iff. Wertebereich einer Funktion 270 Wertevorrat einer Funktion 270 Widerstandsmatrix 103 Widerstandsmoment 333, 338 Widerstandsoperatoren 238, 240ff., 244 Widerstandsortskurve 253 Winkel einer komplexen Zahl 192 Wirkleitwert 243 Wirkwiderstand 238 f. Wronski-Determinante 480, 541 Wurzel einer komplexen Zahl 221 Wurzelziehen im Komplexen 219 ff.
Uberlagerung gleichfrequenter sinusformiger Schwingungen 23Iff. - gleichfrequenter Wechselspannungen 236 f. - harmonischer Schwingungen 234 f. Umkehrmatrix 51 unabhangige Variable 270 - Veranderliche 270 ungedampfte elektrische Schwingung 533 unitare Matrix 114 , Eigenschaften 115
Zeiger, komplexer 185 Zeigerdiagramm 228 Zeilen einer Matrix 2 Zeilenindex 2 Zeilenmatrix 4 Zeilenumformungen einer Matrix, elementare 70 Zeilenvektor 4 Zeilenzahl 2 Zeitfunktion 229
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Sachwortverzeichnis Zerfallsgesetz 468 zusammengehoriges Funktionenpaar 629 zweidimensionales Bereichsintegral 351 zweifaches Integral 351 zweireihige Determinante 20 f. - Determinanten 2Iff. - Matrix, Eigenwerte und Eigenvektoren 121
zweiter Verschiebungssatz 641 ff. Zweitor 102 Zylinderkoordinaten 392
