Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives professées au Collège de France (Cambridge Library Collection - Mathematics)

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Mathematical Sciences From its pre-historic roots in simple counting to the algorithms powering modern desktop computers, from the genius of Archimedes to the genius of Einstein, advances in mathematical understanding and numerical techniques have been directly responsible for creating the modern world as we know it. This series will provide a library of the most influential publications and writers on mathematics in its broadest sense. As such, it will show not only the deep roots from which modern science and technology have grown, but also the astonishing breadth of application of mathematical techniques in the humanities and social sciences, and in everyday life.

Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives professées au Collège de France The two great works of the celebrated French mathematician Henri Lebesgue (1875– 1941), Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives professées au Collège de France (1904) and Leçons sur les séries trigonométriques professées au Collège de France (1906) arose from lecture courses he gave at the Collège de France while holding a teaching post at the University of Rennes. In 1901 Lebesgue formulated measure theory; and in 1902 his new definition of the definite integral, which generalised the Riemann integral, revolutionised integral calculus and greatly expanded the scope of Fourier analysis. The Lebesgue integral is regarded as one of the major achievements in modern real analysis, and is part of the standard university curriculum in mathematics today. Both of Lebesgue’s books are reissued in this series.

Cambridge University Press has long been a pioneer in the reissuing of out-ofprint titles from its own backlist, producing digital reprints of books that are still sought after by scholars and students but could not be reprinted economically using traditional technology. The Cambridge Library Collection extends this activity to a wider range of books which are still of importance to researchers and professionals, either for the source material they contain, or as landmarks in the history of their academic discipline. Drawing from the world-renowned collections in the Cambridge University Library, and guided by the advice of experts in each subject area, Cambridge University Press is using state-of-the-art scanning machines in its own Printing House to capture the content of each book selected for inclusion. The files are processed to give a consistently clear, crisp image, and the books finished to the high quality standard for which the Press is recognised around the world. The latest print-on-demand technology ensures that the books will remain available indefinitely, and that orders for single or multiple copies can quickly be supplied. The Cambridge Library Collection will bring back to life books of enduring scholarly value across a wide range of disciplines in the humanities and social sciences and in science and technology.

Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives professées au Collège de France Henri L eon L ebesgue

C A m B R I D g E U n I v E R sI t y P R E s s Cambridge new york melbourne madrid Cape town singapore são Paolo Delhi Published in the United states of America by Cambridge University Press, new york www.cambridge.org Information on this title: www.cambridge.org/9781108001854 © in this compilation Cambridge University Press 2009 This edition first published 1904 This digitally printed version 2009 IsBn 978-1-108-00185-4 This book reproduces the text of the original edition. The content and language reflect the beliefs, practices and terminology of their time, and have not been updated.

LEQONS

SUR L'INTfiGRATION ET LA

RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES.

L1BRAIRIE GAUTHIER-VILLARS.

COLLECTION DE MONOGRAPHIES SUR LA THEORIE DES FONCTIONS, PUBLIEE SOUS LA DIRECTION DE M. EMILE BOREL.

Lemons sur la theorie des fonctions {Elements de la theorie des ensembles et applications),

par M. EMILE BOREL, 1898

3 fr. 5o

Lemons sur les fonctions entieres, par M. EMILE BOREL, 1900 Lemons sur les series divergentes, par M. EMILE BOREL. 190I Lemons sur les series a termes positifs, professees au College de France par M. EMILE BOREL et redigees par M. ROBERT

3 fr. 5o l\ ir. bo

D'ADIIEMAR,

1902 Lemons sur les fonctions m^romorphes, professees au College de France par M. EMILE BOREL et redigees par M. LUDOVIC ZORETTI, 1908.

3 fr. 5o 3 fr. 5o

Lemons sur Pinte*gration et la recherche des fonctions primitives, professees au College de France par M. HENRI LEBESGUE, 1904. 3 fr. 5o sous PRESSE :

Lemons sur les fonctions de variables reelles et leur representation par des series de polynomes, professees a l'Ecole Normale superieure par M. EMILE BOREL et redigees par M. MAURICE FRECHET, avcc une Note dc M. PAUL PAINLEVE.

Le calcul des r^sidus et ses applications a la theorie des fonctions, par M. ERNST LINDELOF. EX PREPARATION I

Quelques principes fondamentaux de la theorie des fonctions de plusieurs variables complexes, par M. PIERRE COUSIN. Developpements en s6ries de polynomes des fonctions analytiques, par M. EMILE BOREL.

Lemons sur les fonctions discontinues, par M. RENE BAIRE. Lemons sur les Correspondances entre variables re*elles, par M. JULES DRACII.

COLLECTION DE MONOGRAPHIES SUR LA THEORIE DES FUNCTIONS, PUBLIEE SOUS LA DIRECTION DE M. EMILE BOREL.

LE£ONS

SUR L'INTEGRATION ET LA

RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES, PROFESSEES AU COLLEGE DE FRANCE PAR

Henri LEBESGUE, MAITRE DE CONFERENCES A LA FACULTE

DES SCIENCES DE RENNES.

PARIS, GAUTH1EK-V1LLAKS, IMPRIMEU1I-LIB1UJRE DU

B1UIKAU

D K S L O N G I T U D E S ,

D E L ' | £ C O L E

Quui dcs Grands-AugusLins, 55.

1904 (Tons droiU rc'^orv«'<.i

P O L V T KCH N I Q U E .

PREFACE.
VI

PREFACE.

longtemps. C'est pour la resolution de ees problemes, et non par amour des complications, que j'ai introduit dans ce Livre une definition de l'inlegrale plus generale que celle de Riemann et comprenant celle-ci comme cas particulier. Ceux qui me liront avec soin, tout en regrettant peul-etre que les choses ne soient pas plus simples, m'accorderont, je le pense, que cette definition est necessaire et naturelle. J'ose dire qu'elle est, en un certain sens, plus simple que celle de Riemann, aussi facile a saisir que celle-ci et que, seules, des habitudes d'esprit anterieurement acquises peuvent la faire paraitre plus compliquee. Elle est plus simple parce qu'elle met en evidence les proprietes les plus importantes de Tintegrale, tandis que la definition de Riemann ne met en evidence qu'un procede de calcul. C'est pour cela qu'il est presque toujours aussi facile, parfois meme plus facile, a l'aide de la definition generale de Tintegrale, de demontrer une propriete pour toutes les fonctions auxquelles s'applique cette definition, c'est-a-dire pour toutes les fonctions sommables, que de la demontrer pour les seules fonctions integrables, en s'appuyant sur la definition de Riemann. Meme si Ton ne s'interesse qu'aux resultats relatifs aux fonctions simples, il est done utile de connaitre la notion de fonction sommable parce qu'elle suggere des procedes rapides de demonstration. Comme application de la definition de Tintegrale, j'ai etudie la recherche des fonctions primitives et la rectification des courbes. A ces deux applications j aurais voulu en joindre une autre tres importante: Tetude du developpement trigonornetrique des fonctions ; mais, dans mon Cours, je n'ai pu donner a ce sujet que des indications tellement incompletes que j'ai juge inutile de les reproduire ici. Suivant en cela Texemple donne par M. Borel, j'ai redige cos Lerons sans supposer an lecteur d'autres connaissances

PREFACE.

VII

que celles qui font partie du programme de licence de toutes les Facultes; je pourrais meme dire que je ne suppose rien de plus que la connaissance de la definition et des proprietes les plus elementaires de l'integrale des fonctions continues. Mais, s'il n'est pas indispensable de connaitre beaucoup de choses avant de lire ces Legons, il est necessaire d'avoir certaines habitudes d'esprit, il est utile de s'etre deja interesse a certaines questions de la theorie des fonctions. Un lecteur parfaitement prepare serait celui qui aurait deja lu YIntroduction a Vetude des fonctions d'une variable reelle, de M. Jules Tannery, et les Legons sur la theorie des fonctions y de M. Emile Borel. Si Ton compare ce Livre aux quelques pages que Ton consacre ordinairement a Fintegration et a la recherche des fonctions primitives, on le trouvera sans doute un peu long ; j'espere cependant que tons ceux qui ont ecrit sur la theorie des fonctions et qui savent les difficultes qu'il y a, en cette matiere, a etre a la fois rigoureux et court, ne s'etonneront pas trop de cette longueur; peut-etre meme me pardonneront-ils d'avoir ete, a leur gre, parfois trop diflfus, parfois trop concis. Pour la redaction, j'ai eu surtout recours aux Memoires originaux ; je dois cependant signaler, comme m'ayant ete particulierement utiles, outre les deux Ouvrages precedemment cites, les Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali, de M. Ulisse Dini et le Cours d Analyse de VEcole Poly technique, de M. Camille Jordan. Enfin j'ai a remercier M. Borel des conseils qu'il m'a donnes au cours de la correction des epreuves. Rcnnes, le 3 decembre 1900. HENRI LEBESGUE.

INDEX.

I. II. CHAPITRE III. CHAPITRE IV. CHAPITRE V. CHAPITRE VI. CHAPITRE VII. CHAPITRE

CHAPITRE

— — — — — — —

L'integrale avant Riemann La definition de l'integrale donnee par Riemann. . Definition geometrique de l'integrale Les fonctions a variation bornee La recherche des fonctions primitives L'integrale definie a l'aide des fonctions primitives. Les fonctions sommables

NOTE TABLE DES MATIERES

i ij 36 49 04 S3 98 1] 1 [3?

LECONS

SUR L'INTEGRATION ET LA. RECHERCHE

DES FONCTIONS PRIMITIVES.

CHAPITRE I. L INTEGRALE

1. — Uintegration

AVANT

RIEMANN.

des fonctions

continues.

L'integration a ete definie tout d'abord comme 1'operation inverse de la derivation; c'est 1'operation permettant de resoudre le probleme des fonctions primitives : Trouver les fonctions F(x) qui admettent pour derivee une fonction donnee f(x). On sait que, si ce probleme est possible, il Test d'une infinite de manieres, et que toutes les fonctions primitives F(x) d'une meme fonction f(x) ne different que par une constante additive. Ce qu'on se propose, c'est de trouver l'une quelconque des fonctions F(x). A I'epoque ou le probleme des fonctions primitives fut pose sous la forme que j'indique, c'est-a-dire a I'epoque de Newton et de Leibnitz, le mot fonction avait un sens assez mal defini. On appelait ainsi, le plus souvent, une quantite y liee a la variable x par une equation ou intervenait un certain nombre des symboles L.

i

CHAP1TRE I.

d'operations que Ton avait l'habitude de considerer. Les principales de ces operations etaient: les operations arithmetiqaes (addition, soustraction, multiplication, division, extraction de racines), les operations trigonometriques (avec les signes sin, cos, tang, arc sin, arc cos, arc tang), les operations logarithmiques et exponentielles (avec les signes log, ax). Pour un grand nombre de fonctions exprimees de cette maniere on avait pu exprimer, de la meme maniere, les fonctions primitives, de sorte qu'il apparaissait comme certain que toute fonction admet une fonction primitive. D'ailleurs on pouvait repondre a qui doutait de cette proposition. representant ]a fonction Soit (Jig\ i) la courbe F, y=f(Kx),

h c

donnee f(rf)\ les axes sont rectangulaires. Supposons pour simplifier/(J?) positive; soient a A, 6B deux paralleles a Taxe des y\ d'abscisses a et x. Ces deux paralleles, Tare AB de F, le segment ab de Ox, limitent un domaine d'aire S(x). En evaluant I'accroissement bBGc de cette aire, on voit que f\x) est la 1 derivee de S(^) ( ). Remarquons qvie dans les considerations precedentes le mot fonction a deja recu une extension considerable. La relation entre S(x) el x est en effet une relation geometrique et non plus une (x) Pour la dcmonsLration et pour le cas oil f(x) n'est pas toujours positive roir (JOURSAT, Cours cVAnalyse mathernatic/ue, t. I, Chap. IV, ou HUMBERT, Cours d'Analyse professe a VEcole Poly technique, t. I, j e Partie, Chap. III.

L INTEGRALS AVANT RIEMAXN.

relation algebrique-trigonometrique-logarithinique. De telles relations etaient encore considerees comme definissant des fonctions; seulement, on distingiiait soigneusement entre les figures geometriques definies a 1'aide de lois exprimabies par des egalites geometriques et les figures qui n'etaient pas definies ainsi. Les courbes y=f(x) de la premiere espece ou courbes geometriques definissaient des fonctions f(x)\ les courbes de la seconde espece ou courbes arbitrages ne definissaient pas de vraies fonctions. Lorsqu'on employait le mot fonction pour ces deux especes de correspondance entre y et x, on distingiiait les premieres en les ci\jipela.nt/onetions

continues

(').

II y avait aussi une categorie intermediate de fonctions, celles qui etaient representees a l'aide de plusieurs arcs de courbes geometriques; on les considerait plus volontiers comme formees de parties de fonctions. Les fonctions continues etaient les vraies fonctions. On donnait ainsi au mot fonction un sens assez restreint parce qu'on eroyait que toute fonction continue, definie geometriquement ou non, etait susceptible d'une definition analytique, de la nature de celles dont il a ete parle precedemment, et qu'on eroyait cela impossible pour les fonctions non continues. Mais Fourier montra que les series trigonometriques, qui pouvaient etre employees dans des cas etendus a la representation des fonctions continues, pouvaient servir aussi a la representation de fonctions non continues formees de parties de fonctions. En particulier une fonction nulle de o a T:, egale a i de iz a 2TT, admet un developpement trigonometrique convergent. Le seul critere, permettant de distinguer les vraies fonctions desfausses, disparaissait. 11 fallait, ou bien etendre le sens du mot fonction, ou bien restreindre la categorie des expressions algebriques, trigonometriques, exponentielles qui pouvaient servir a definir des fonctions. Cauchy remarqua que les difficultes qui rcsultent des recherches de Fourier se presentent meme lorsqu'on ne se sert que d'expressions tres simples, e'est-a-dire que, suivant le procede employe pour donner une fonction, elle apparait comme continue ou ( l ) Cette continuite est connue sous le nom de continuite eulerienne.

4

CHAPITRE I.

non. Cauchy cite, comme exemple, la fonction egale a + x pour x positif, a — x pour x negatif. Gette fonction n'est pas continue, elle est formee de parties des deux fonctions continues -\-x et —x; elle apparait au contraire comme continue quand on la note -f- \Jx1. Pour conserver aux mots fonction continue leur sens primitif, il aurait done fallu ne considerer que des expressions analjtiques tres particulieres ('); Cauchy prefera modifier considerablement les definitions. Pour Cauchy y est fonction de x quand, a chacun des etats de grandeur de x7 correspond un etat de grandeur parfaitement determine de y. Cette definition parait la meme que celle donnee plus tard par Riemann, mais en realite les correspondances que Cauchy considere sont encore celles qu'on peut etablir a Faide d'expressions analytiques, car, apres avoir defini les fonclions, Cauchy ajoute : les fonctions sont dites explicites si Fequation qui lie x a y est resolue enj^, et implicites si cela n'a pas lieu. Le fait que les correspondances sont etablies a Taide d'expressions analytiques n'intervient jamais dans les raisonnements de Cauchy, de sorte que les proprietes obtenues par Cauchy s?appliquent immediatement ainsi que leurs demonstrations aux fonctions satisfaisant a la definition de Riemann (-). Pour Cauchy une fonction f(x) est continue pour la valeur x0 si, que I que soit le nombre positij £, on peut trouver un nombre (!) C'esL ce que fait M. Meray qui donne au mot fonction un sens tres voisin de celui qu'on donnait autrefois aux mots fonction continue. M. Mera> deilnil les fonctions par les series de Taylor et le prolongement analytique; lorsqu'on adopte les definitions de M. Meray, l'existence des fonctions primitives resulle imniediatemenL des proprieles des serios entieres. Mais, si Ton applique les definitions de M. Meray aux functions de la variable complexes on se trouve conduit neccssairemcnl, comme me Ta fait remarquer ]\1. Borel, a considerer des fonctions discontinues d'une variable reelle. Par exemple, lorsqu'une serie de Taylor est converyenlc sur son cercle de convergence, ses valeurs, sur ce cercle, pen vent definir deux fonctions reelles discontinues de rargumenl. ( 2 ) Je ne \eux pas dire que la definition de Cauchy soit nioins generate que celle de Riemann; on ne connait actuellenient aucune fonction riemannienne qui n'admette pas de representation analytique. Seulement, s'il existe des fonctions qui satisfont a la definition de Riemann, sans salisfaire a celle de Cauchy, elles ne seront pas exclues des raisonnements.

i/lNTEGRALE AVANT RIEMANN.

7|(s) telque

Vinegalite

\h\<-r\(t)

entratne

la/oncfion f(x) esl continue dans (a, b) si la correspondance entre set'r\(t) peut etre choisie independamment du nombre xQj quelconque dans (a, 6). On reconnait la les definitions aujourd'hui classiques. Pour demontrer l'existence des fonctions primitives des fonctions continues, il suffit de reprendre la demonstration geometrique indiquee precedemment. Dans cette demonstration on a fait appel a la notion d'aire. Cette notion, deja assez peu claire lorsqu'il sagit de domaines limites par des courbes geometriques simples comine le cercle on l'ellipse, le devient moins encore lorsqu'il s'agit des domaines intervenant dans la demonstration qui nous occupe. Les courbes V qui limitent ces domaines ne sont plus necessairement des courbes geometriques, elles peuvent etre formees de parties de courbes geometriques ( j = + y/^ 2 ); on sait done qu'elles peuvent etre compliquees sans savoir ou s'arrete cette complication. Aussi Cauchy crut devoir preciser ce que Ton doit entendre par le nombre S(x) de la demonstration precedente (*); il lui suffit pour cela de reprendre les operations qui servaient ordinairement a calculer des valeurs approchees de S(x) consideree comme aire et de demontrer que ces calculs conduisaient a un nombre limite. On a ainsi la demonstration maintenant classique de l'existence des fonctions primiti\es. Soit (a, X) Tintervalle que nous considerons. Di\isons (a, X) en intervalles partiels a l'aide des nombres croissants a0 = a, au a2, . . ., a,i-u <^u= X;

et formons la somme S = (aj — ao)f(xi)

- f - ( a 2 — a{)f(x,)

-H. ..-+- (a / A — a!t

A)J\xn),

ou xi est un nombre quelconque compris entre «/_, et at. On demontre que S tend vers un nombre determine S(X) quand le (l) Cest-a-dire qu'il crut devoir definir Taire d'une facon precise.

CHAPITRtf

[.

maximum de ai_K — ai tend vers zero d'une maniere quelconque (*). Le nombre S(X) ainsi obtenu s'appelle Vintegrale definie de la fonction f(x) dans 1'jntervalle (a, X). Depuis Fourier, on le represente par la notation / f{x)

dx.

Ce symbole n'a jusqu'a present de sens que dans les intervalles positifs (a, X), ( X ^ a ) ; par definition, on pose

f f(x)dr+

f f(.r)cLr = o.

II est evident que l'on a, quels que soient a, b, c,

Remarquons encore que si L et / sont les limites superieure et inferieure de f{x)

dans (a, 6),

/ f(x)dx

est comprise entre

L[b — a) el /(0 — a). La fonction continue f{x) prenant toutes les valeurs entre / et L, y compris les valeurs / et L, on pent ecrire

\ etant compris entre a et h ( 2 ), c'est le theoreme des accroisscments finis. Le nombre S(X) etant maintenant defini d'une maniere precise, on demontre l'existencc de la fonction primitive d e / ( . r ) sans difficultc. En effet, on a A*) d.r =./(,r0 -+- 0 h ). egalite qui demontre que la fonclion S(x) esl eonlinue et a pour deri\ee/'( ./•). ( ] j Voir, par cxcrnple, les dcu\ Ou\r;igcs ciics payc J ou 1c Tome I du Traite cVAnalyse de J\J. Picard. ( 2 ) GcLlc deiiKuisLralion nVxckU pas les cgalilrs \ = a, i = b. Dans certains ras il est bun de prevoir qifon peut rlmisir \ diflV'reiU de a eL b\ la demonslration esl immediate.

L'INTEGRALE AVANT RIEMANN.

7

La fonction S ( X ) qui figure dans la demonstration precedetite ou plus exactement la fonction

dans laquelle K et K, sont des eonstantes quelconques et a une Aaleurde x prise dans rintervalle ou f(x) est definie, s'appellc Yintegrale indefinie de la fonction f(x)

et se note / f(x) d.i\

On voit que l'integrale indefinic d'unc fonction f{x) est la fonction F(.r) la plus generalc tellc qu<^ Ton ait, quels que soient a et [J dans rintervalle ou /(-?') esl definie, (I)

F(,S) — F ( a ) = y

f(;r)d.r.

On^oitaussi que, pour les fonctions continues, il y a identih; entre les integrales indefinies et les fonctions primithes (1 ).

II. — L?integration

des fonctions

discontinues.

Dans ce qui precede, l'integrale definie apparait comme un element permettant de calculer la fonclion primitive; dans la pratique, les fonctions primitives servenl, an contraire, au calcul dcs integrales definies. Ces integrales definies, qui sont des limiles dc sommes dont le nombre des termes augmente indefinimenl tandis que la valeur absolue de ces termes tend \ers zero, se rencontrent dans un grand nombre de questions d'Analyse, de Geometric et de Mecanique (-). Pour le calcul de certaines de ccs (x) Cela ne serait plus vrai si Ton n'introduisait pas la conslanLe K daiib la definition de Tintegrale indefinie. (2) L'applicaLion la plus simple de la notion d'inlegrale cbl la quadrature des doinaines plans. A cause de cette application, on a fait sou vent remonler hi notion d'integrale definie a Archimede et a la quadrature de la parabole. II e^t vrai que beaucoup de quadratures out ete eflectuees avant ['introduction du Calcul integral, mais les geometres n'attachaient aucune importance particulars aux domaines bien speciaux dont il faut calculer les aires pour avoir des integrales definies. L'importance de ces domaines n'est apparue quapres l'introdiK tion de la notion de derivee.

8

CHAPITRE I.

limites de sommes, par exemple pour la definition et le calcul de l'aire comprise entre une courbe et son asymptote, l'integration des fonctions continues ne suffisait plus; on a ete ainsi conduit a s'occuper de l'integration des fonctions qui sont infinies en certains points ou au voisinage de certains points. D'autre part, pour certaines applications des integrales defmies, par exemple pour le calcul des coefficients de la serie trigonometrique representant une fonction donnee, il semblait y avoir avantage a definir l'integrale d'une fonction qui, tout en restant finie, est discontinue en certains points. Aussi, des l'introduction de la notion d'integrale definie, a-t-on etendu cette notion a certaines fonctions discontinues. On a ete conduit a la definition qui sera donnee plus loin en posant en principe l'identite, constatee dans le cas des fonctions continues, de l'integrale indefinie et de la fonction primitive. Considerons la fonction f(x)

qui, pour x ^ o, est egale a jr=.* yx

Les seules fonctions continues qui admettent, sauf pour x = oy une derivee egale a. f(x)

sont donnees par la formule K -+- - \/x'2;

on a dit que F(x) = K -+- ^-\J x- etait l'integrale indefinie de f(x)y etla formule (i) donnait l'integrale definie de f(x) dans un intervalle qLielconqLie (a, [i). Soit encore la fonction f(x) (consideree par Fourier) egale a — i pour x negatif, a -+- i pour x positif ('). Les seules fonctions continues qui admettent f(x) pour derivee, sauf pour la valeur singuliere ^7 = 0, sont les fonctions (considerees par Cauchy) K -+- \jx-; si l'on considere ces fonctions comme des integraJes indefinies, on en deduit la valeur de l'integrale definie def(x) dans tout intervalle (-). {l) CeLte fonction, non detinie pour x = o, adtneL, comme on sait, un developpcment trigonometrique; on peut aussi Ja noter —^—. x (2) II est bon d'ajouter que les integrates defmies, que Ton peut ainsi attacker aux deux especes de fonctions discontinues que Ton vient de considerer, permettent d'exprirner les coefiic-ients du developpement trigonometrique des fonctions a l'aide des formules d'Euler et de Fourier qui servent dans le cas des fonctions continues.

L'INTEGRALE AVANT RIEMANN.

0

Cauchy enonce d'une maniere tres precise la definition dont on vient de voir deux applications. Pour lui, si une fonction f(x) est continue dans un inlervalle («, 6), sauf en un point c, au voisinage duquel f{x) est bornee ou non (*), on pent dejinir Vintegrate de f(x) dans (a, b) si les deux integrates r

r

J{x)dx

et

/

f(x)dx

tendent vers des limites determinees quartd h tend vers zero; alors on a par definition r

f(x)dx=Y\m\

rc-h

/

rb

f(x)dx-h

/

-i

f(x)dx\(i).

Si dans (a, b) il existe plusieurs points de discontinuite, on [tartage (a, b) en assez d'intervalles partiels pour que, dans chacun deux, il n'existe plus qu'un seul point singulier; on applique a chaque intervalle la definition precedente, si cela est possible; on fait ensuite la somme des nombres ainsi obtenus. (Test a ces definitions que se rattachent les criteres connus relatifs a Fexistencc des integrales des fonctions infinies autour d'un point. Pour des recherches relati\es a la theorie des fonctions et en particulier pour l'etude des series trigonometriques, Lejeune-Dirichlet a etendu la notion d'integrale. Les recherches de LejeuneDirichlet, quil avait annoncees lui-meme, nontjamais ete publiees; inais, d'apres Lipschitz, on pent les resumer comme il suit. Soit une fonction f(x) definie dans un inter\alle fini («, 6), dans lequel il faut Tintegrer; soit e l'ensemble des points de (') Cauchy ne se preoccupe pas de la valeur de Ja fonclion pour x = c. D'ailleurs, pour lui, si fix) tend vers une valeur determinee quand x tend vers c, cette valeur Jiruite e s t / ( c ) ; s'il n'en est pas ainsi, f(c) est Tune quelconque des valeurs comprises entre la plus petite et la plus grande des liiniles de f(x). Dans quelques Mcinoires, P. du Bois-Keymond a ropris ces conventions. ( 2 ) Cauchy s'occupe aussi du cas ou le second membre de cette egalite aurait un sens, sans que les deux integrales qui y figurent aient des limites. Dans ce

rb cas, il appelle ce second membre la valeurpnncipale

de I integrate I

f{x)

dx.

CHAPITIIE 1.

I 0

discontinuite de / ( # ) • Si e l i e c o n t i e n t qu'un nombre fini de points, nous appliquons les definitions de Cauchy. D'apres Lipschitz, le cas qu'etudie Dirichlet est celui ou le derive ej de e ne contient qu'un nombre fini de points, comme cela se presente, par exemple, pour la fonction

-* ou e1 ne consin — x

tient que x = o. Les points de e' divisent alors (a, b) en un nombre fini d'intervalles partiels, soit (a, j3) Tun d'eux. Dans (a + A, ft — /r), il n'y a qu'un nombre fini de points de e. Si dans cet intervalle les definitions de Cauchy ne s'appliquent pas, on dira que la fonction n'a pas d'integrale dans (a, b). Si au contraire elles s'appliquent, on ( onsidere l'integrale /

f(x)

dx et l'on fait tendre simulta-

nement h et k vers zero suivant des lois quelconques. Si l'on n'obtient pas une limite determinee, f{x) n'a pas d'integrale dans («, 6); si au contraire on a une limite determinee, on pose /

f( :r ) dx =

lim

/

f(x)

dx.

L'integrale dans (a, b) est, par definition, la sommc des integrales dans les intervalles (a, [i). On voit que la definition de Dirichlet repose sur les memes principes que celle de Cauchy; la definition generale qui decoule de ces principes peut s'enonccr ainsi : Une fonclion f{x) a une integrate dans un intervalle fini («, b) syil exisle dans (res, telle que Foil ait (»)

f'f(a-)dx=

dans tout intervalle ou f(x) indejinie de f(.r) et Von a

x

F(p) — F ( a ; , est continue.

F(.r) est

lyintegrate

b

f(jt-)dx

=

Pour que cotLc definition s'appliquc, il faut d'abord qu'il cxistr

L'INTEGRALE AVANT RIEMANN.

Ii

une fonction continue F(x) verifiant la formule (1). Ceci revient, dans les deux cas traites par Cauchy et Dirichlet, a supposcr l'existence des limites qui ont servi dans la definition. Nous supposerons cette condition remplie et nous allons chercher comment doivent etre distribues les points singuliers de f(x) pour que cetle fonction ait une integrate. Au point de vue qui nous occupc, les points singuliers de f(.r) sont ceux qui ne sont lnterieurs a aucun intervalle dans lequel f{x) est continue; ce sont done les points de e et ceux de e\ ces points forment un ensemble qne nous designerons par E. Tout point limite de points de E, par sa definition meme, est aussi point de E; E contient done tous ses points limites. G'est un des ensembles que M. Jordan appelle par/aits et M. Borel relativement parfaits; nous appellerons un tel ensemble un ensemble ferine. Pour que la formule (i) definisse enticrement F (./'), il faut que, dans tout intervalle, il en existe un autre oil f(x) est continue. L'ensemble E doit done etre tel que, dans tout intervalle, s'en trouve un autre qui ne contienne pas de points de E; e'est ce que Ton exprime en disant que E doit etre non dense dans tout intervalle ( 1 ). Cette propriete de E n'est nullement suffisante; pour enoncer la propriete necessaire ct suffisante que doit verifier E, il faut a\oir recours aux proprietes des ensembles derives. L'ensemble ferme E a des derives successifs E', E", ..., E w , ...; on sait que, si Fun des derives est nul, E est dil reductible, e'est un ensemble denombrable; sinon Tun des derives est parfait, E el to us ses derives ont la puissance du continu ( 2 ). Ge sont ces proprietes qui vont nous servir. Supposons qu'il existe une fonction F(.r) satisfaisant a Fegalitc (i) dans tous les (!) P. du Bois-Reymond, auquel est due la distinction des deux classes remarquables d'enseiubles, que nous appelons ensembles denses dans tout inLervalle d'une part et ensembles non denses dans tout inLervalle d'autre part, appelle les premiers systemes pantachiques ou pantachies et les seconds syslemes apantachiques ou apantachies. C'est aussi du Bois-Be3rmond qui a donnc le procede general de formation des ensembles fermes et des apantachies, procede qui consiste a enlever d'un intervalle des intervalles en nombre fini ou denombrable convenablement choisis. Au sujet des ensembles fermes et des ensembles non denses, voir BOREL, Lecons sur la theorie des foactions, Chapitrc III. ( 2 ) Voir la Note placee a la fin du Volume.

CHAPITRE 1.

I2

intervalles ou f(x) est continue et recherchons si F(x) est bien determinee; lorsqu'il en sera ainsi, l'egalite (i) servira de definition a 1'integrale. Nous nous appuierons sur cette remarque evidente : si 1'integrale f f(x) dx, qui figure au premier membre de (i), a un sens dans tous les intervalles qui ne contiennent aucun des points .r,, # 2 , . .., xin en nombre fini, les differentes fonctions continues F(x) satisfaisant toujours a l'egalite (i) ne peuvent differer que par ime constante. Si E ne contient qu'un nombre fini de points, F (x) est done bien determinee, d'ou la definition de Cauchy. Le premier membre de (i) a maintenant un sens dans tout intervalle ne contenant pas de points de E'; done, si Ef n'a qu'un nombre fini de points, F (x) est bien determinee, d'oii la definition de Dirichlet-Lipschitz. On passe de la au cas ou E", Ew, ..., En ne contient qu'un nombre fini de points. Dans tout intervalle ou Ew n'a pas de points, F(x) est done bien determinee ( 1 ) et, par suite, le premier membre de (i) a un sens dans un tel intervalle; de la on conclut que F(x) est bien determinee quand Ew n'a qu'un nombre fini de points. On passe ensuite au cas ou E w + 1 , E w+ -, . .. n'a qu'un nombre fini de points; puis au cas ou e'est E 2w qui jouit de cette propriete, et ainsi de suite. Nous voyons ainsi que, si E est reductible, F(.z-) est bien determinee, de sorte que notre definition s'applique; il existe aiors une integrale que Ton obtient par Implication repetee de la methode de Cauchy-Dirichlet. Pour avoir des exemples de fonctions auxquelles s'applique cetle methode, il suffit de prendre un ensemble reductible E, de ranger ses points en suite simplement infinie, #,, J?2J .. ., et de former la J(.v)

I

= sin T

- sin '2

X X — W2

-+-. + . .-\

j

\ P sin n

'XP

X — X

(') Car, dans un tel intervalle, 1'un des E'1 n^a qu'un nombre fini de points. (-) D'apres les proprietes des series unifonnement convergentes, f{x) a tous

L'lNTEGRALE AVANT R1EMANN.

[3

Supposons maintenant que Tensemble E des points singuliers de f(x) ne soit pas reductible. Nous allons voir que, s'il existe une fonction F(j?) satisfaisant a la condition (i) dans tout intervalle OLI f{x) est continue, il en existe une infinite. Soit E a celui des derives de E qui est parfail; E a s'obtient en enlevant de rintervalle considere ( si o2 est entre o, et b. D'une facon generate, ayant attribue a '~>(x)j dans 2 M o 2 , . . . , 2 , ^ , , les valeurs A1? A2? . . . , A,,_,. on attribue a rs{x),

dans 2/?, la valeur —

-» i el

j etant les indices des deux intervalles 2 i ? 2o, . . . , on_\ qui comprennent 3^. Tout point de E a est limite de points de certains intervalles on ; il est facile de \oir que si des points de 2 aj? 2 aa , . .. tendent vers x, Aai? Aaa, . . . tendent vers une limite determinee; on prend cette limite pour valeur de '^ ( x). 'f(x) est ainsi partout determinee, c'est une fonction continue non constante dans ( a , b) et, cependant, constante dans tout intervalle ne contenant pas de points do E. De sorte que, s i l existe une fonction F( x) satisfaisant a Tegalite ( i ) , dans tout intervalle ou il n'y a pas de points de E, F[x) -\- '{{x) satisfait aussi a cette condition. Maintenant, si Ton remarque que E et e sont reductibles en ineme temps (' 2 ), on voit que, pour que la dejinition adoptee

Jes points de E pour points dc discontinuitc. On verra facilement que la serie precedente esl inLegrable terme a Lerme. Pour des exemplcs d'ensembJ<-s reductibles, voir la Note. (*) Car si E est dense dans un intervalle, Fix) est certainernent indeterminee. ( 2 ) II faut bien remarquer que e peul. etre denombrable sans que E le soil, e est alors un ensemble denombrable non reductible; c'est le cas de 1'ensemble des nombres rationnels.

CHAPITRE I.

s'applique, it faut et it suffit cjue Vensemble des points de discontinuity de la foaction a integrer f(x) soit reductible et qu'il existe une fonction continue F(x) verijiant (i) dans les intervalles oiif(x) est continue.

CHAPITRE II. LA

DEFINITION

DE L I N T E I i R A L E

D O N N E E PAR

RIEAIANN.

I. — Proprietcs relatives aux foncllons. Les fonctions auxqaelles s'appliquent les definitions precedentes peuvent a\oir Line infinite de points de discontinuite; mais ces points sont encore exceptionnels, en ce sens qu'ils forment un ensemble non dense. Dirichlet a rencontre incidemment la fonction /(.r) = lim f lini (cosm! izxy1'1 ], in =

JZ

|_ n =. oo

J

dont tous les points sont des points de discontinuite, puisqu'elle est nulle pour x irrationnel, egale a i pour x rationnel. Les considerations de Cauchy et de Dirichlet ne s'appliquent done pas a toutes les fonctions au sens de Cauchy. Riemann ( ^ a montre, sur un exemple, comment l'emploi des series permettait de construire des fonctions dont les points de discontinuite forment un ensemble partout dense, fonctions auxquelles les definitions precedentes ne peuvent done s'appliquer. Soit (JP) la difference entre x et 1'entier le plus voisin; si x est egal a un entier plus -? on prend (x) = o. La fonction ainsi definie se nomme exces de x\ e'est une fonction au sens de Cauchy, car elle admet un developpement de Fourier, procedant suivant les lignes trigonometriques des multiples de 2TU./, qui est partout convergent. Considerons la fonction, au sens de Cauchy,

(l) Sur la possibility de representer une fonction par une serie trigonometrique. (Bulletin des Sciences mathematlques, 1873 et QEuvres de Riemann.)

CHAPITRE

II. ID -\- I

on

voil immediatement que si x n est pas de la tonne ^

2p-\-i

(n

et

etant premiers entre eux) /(a?) est continue ('). Au

contraire, si x est de la forme indiquee, quand x tend en croissant <)p vers

"^' , /Y#) tend vers une limite que Ton note

et qui est

uand a? tend vers 2-^ + ' en decroissant, f(x)

7T2

tend vers

Dans tout intervalle, f(x) a des points de discontinuite; les considerations du Chapitre precedent ne sont pas applicables En employant un procede analogue a celui de Riemann, il etait possible de former de nombreux exemples de fonctions tres discontinues. En utilisant la notion maintenant classique de serie uniformement convergente, il est facile de donner un enonce general: une serie uniformement convergente de fonctions discontinues fn definit une fonction f qui admet pour points de discontinuite tous les points de discontinuite des fonctions / / o pourvu que chacuii de ces points ne soit point de discontinuite que pour une seule fonction fn. Lorsqu'il n'en est pas ainsi, comme dans l'exemple de Riemann, il faut rechercher si les differentes discontinuites, que Ton rencontre pour la valeur consideree, ne se compensent pas de telle maniere que /soit continue. On a souventl'occasion d'appliquer un procede analogue, quand, connaissant des fonctions fn qui presentent une certaine singularite en des points isoles A /o on veut construire une fonction presentant cette singularite dans tout intervalle. On essaie si Ton n'obtiendrait pas le resultat desire en prenant une serie unifor(') On s'appuiera sur la coavergence uniforme de la serie (2) Cette notation est due a Dirichlet.

f(x).

L \ DEFINITION DE i/lNTEGUALE DONNEE PAR IUEMANN.

17

mement convergence de fonctions / / o telles que les An correspondants forment un ensemble partout dense. C'est cette methode de construction qui a recu le nom de principe de condensation des singularifes

{*).

Les exemples de Riemann montrent que les fonctions, auxquelles les procedes de definition examines dans le Chapitre precedent ne peuvent s'appliquer, ne forment pas une classe tres particuliere dans l'ensemble des fonctions an sens de Cauchy. Et comme la restriction (-) que nous avons imposee, avec Cauchy, aux fonctions/(.r), savoir que la relation cntre f(x) et x soit exprimable analytiquement, n'est jamais intervenue dans nos raisonnements, elle n'a simplifie ni les enonces, ni les solutions des problemes que nous nous sommes proposes. II n'y a done aucun inconvenient a dire, avec Riemann : y est fonction de x si, a chaque valeur de x, correspond une valeur de y bien determinee, quel que soit le procede qui permet d'etablir cette correspondence, C'est cette definition que nous adopterons maintenant; seulement, au lieu de supposer toujours que x peut etre pris quelconque dans un intervalle (a} b), nous supposerons quelquefois que x doit etre pris dans un certain ensemble E pour les points duquel la fonction y sera ainsi definie, sans l'etre pour tous les points d'un intervalle. Par exemple, la fonction

— ! est definie pour l'en-

semble des in\erses des entiers positifs. A\ant d'entreprendre Tetude de l'lntegration des fonctions au sens de Piiemann je \ais donner celles de leurs proprietes qui nous seront utiles dans la suilc Si Ton sait qu'une fonction reste toujours comprise entre deux nombres finis k. et B, on dit qu'elle est bornee ( 3 ). C'est a l'etude

(1) Cette denomination est due a Hankel. Hankrl avail cru pouvoir fa ire des raisonnements generanx au sujet de celte rncthode, mais ce qu'il y a d'exact dans ses raisonnements se reduit ii des applications inimediates des proprietes connues des series uniformernent conver^cntes. ( 2 ) J'ai deja dit (note 2, p. f\) que cette resiriction est peut-etre illusoire. (•"') II est bien entendu qu'une fonction non bornee peut etre cependant toujours finie; c'est le cas de la fonction f(x) telle quo / ( o ) = o, L.

f(x)=-

x

pour

[8

CHAPITRE

II.

des fonctions bornees que Ton s'est le plus souvent limite ('). Lorsqirune fonction est bornee, elle admet une limite superieure L et une limite inferieure /; ces nombres sont definis, onle sait, par la condition que (/, L) soit le plus petit intervalle contenant toutes les valeurs de f{x). to = L — /est dit V oscillation de f(x). Soit A un point limite de Fensemble E dans lequel f(x) est definie'(2). Soit o< un intervalle contenant A; dans cet intervalle il existe des points de E; ils forment un ensemble eK. La fonction f{x) definie sur eK admet des limites superieure et inferieure, L,, l^ une oscillation co1. Soit So un intervalle contenant A et compris dans o1? il lui correspond les nombres L 2 , /L>, w2; et Ton a evidemment

Si nous considerons des intervalles oM 82, o3, . . . contenant tous A et compris les uns dans les autres, nous avons une suite de limites superieures et inferieures verifiant les inegalites / 1 £/ 2:
Nous allons voir que les nombres ainsi obtenus, L, /, oo, sont aussi les limites des nombres L'/7 l'n to- correspondant a des intervalles ?j't contenant A et dont les deux extremites tendent vers A quand i auymente indefiniment; en d'autres terines, ils sont independants du choix des intervalles 0/ et Ton peut supposer que ces intervalles ne sont pas contenus necessairement.les uns dans les autres. En effet, i etant choisi arbitrairement, siy est assez grand, o'j est contenu dans o,, si A est assez grand, 8/; est contenu dans 8' ( ! ) OQ (onslatc souvent que des questions tres simples a trailer lorsqu'on so limite aux fonctions bornees sont, au eonlraiie, Ires compliquees pour les fonctions les plus generales. Aussi j'ai indique soigneusement dans la suite si les theoremes obtenus sont valables pour toutes les fonctions ou seulement pour des fonctions bornees; tandis que, le plus souvent, on omet cTindiquer explicitement que les fonctions dont on s'occupe sont bornees. (-) A. no fait pas neccssairement partie de E.

LA DEFINITION DE L INTEGRALE DONNEE PAR RIEMAMN.

19

done on a y=

ce qui suffit a demontrer la propriete. Les nombres L, /, to sont appeles le maximum ow limite superieure, le minimum ou limite inferieure et Voscillation de la fonction en A. A est un point de continuite ou de discontinuite, suivant que to est mil ou positif, e'est-a-dire suivant que L et / sont egaux ou inegaux. Si .r0 est Tabscisse de A et si Ton convient de ne considerer que les valeurs de .r superieures a oC0 (j?>.a? 0 ), o n obtient le maximum Mr/, le minimum m(i et l'osoillation i>)([ a droite en A. Si toci = o, cVst-a-dire si Mr/ = m^1 / ( . r 0 4- o) existe et est egale a Md< Si Mrf= m(i = f(x0), la fonction/(.r) est dite continue a dj'oiie. On definit de meme les nombres SL, /??o, co
( ! ) La definition precedente est celle des maximum, minimum, oscillation de/(.2?) a droite de x^ xQ etant exclu. On considere aussi souvent les memes nombres, ccti n'etant pas exclu; il faut alors prendre les valeurs de x egales ou superieures a xQ (x^_x0). Sauf avis contraire, je me servirai toujours de la definition du texte.

20

CHAPITRE

II.

extremites, a pour origine et pour extremites les limites inferieure et superieure d'indetermination du nombre cp. Ceslimites sont finies ou infiiiies, elles ne font pas necessairement partie de A. Par exemple, on donne l'expression cp r= l i m x11,

ou n est entier. cp est mil pour \x\ < i ; pour calculer cp dans ce cas on peut choisir arbitrairement une suite d'entiers croissant ns, n2l ... et prendre la limite de la suite x"i correspondante. Si x n'est plus compris entre - i et + i , en operant ainsi et en choisissant convenablement les n^ on aura encore une limite, mais cette limite dependra en general du choix des ni. Pour x — — i , l'ensemble A de ces limites contient les deux seuls nombres — i et + i qui sont les limites d'indetermination. Pour x > 1, cp est egal a -f- 20. La notion des limites d'indetermination peut souvent etre remplacee par la notion plus simple de plus petite et de plus grande limite, notion que Ton doit a Cauchy. Supposons que le nombre cp soit defini comme la limite pour X = Ao d'un nombre <|>(A); A prendra toutes les valeurs possibles ou seulemcnt celles d'un certain ensemble dont Xo est un point limite (l'exemple precedent se ramene a ce cas si Ton prend X — -? ou n est entier, e t X 0 = o j . La fonction <\>(X) n'est pas definie pour A = Ao, mais nous savons qn'elle a pour X = Ao une limite inferieure I el une limite superieure L (•); ces nombres, finis ou non? sont respectivement la plus petite et la plus grande des limites que Ton peut obtenir quand, dans fi>(A), on fait tendre X vers Ao. / et L sont les deux limites d'indetermination precedemmont definins; mais, dans le cas qui nous occupe, ces nombres sont compris dans l'ensemble A des valeurs limites, tandis que, dans le cas general, ils font seuJement parlie de A ou du derive A' de A. Ges denoniinalions sonl celles qu'adople M. J. Hadamard.

LA DEFINITION DE L'lNTEGRALE DONNEE PAR RIEMANN.

11

Mais il se peut aussi, et l'on en verra bientot des exemples, que la fonction A (X) ne soit plus une fonction bien determinee, mais soit une fonction a plusieurs determinations. On dit que Ton a une telle fonction si, a chaque valeur de A, prise dans un certain ensemble ou la fonction est definie, on fait correspondre un ensemble de nombres; chacun de ces nombres est represents par la notation A(X). Ce qui a ete dit relativement aux limites superieure et inferieure pour les fonctions a une seule determination, s'applique sans aucun changement aux fonctions a determinations multiples. <\>("k) a done une limite inferieure I et une limite superieure L pour X = "X0, qui sont, respectivement, la plus petite et la plus grande des limites que l'on peut atteindre en choisissant une suite de nombres \t tendant vers Ao et en choisissant convenablement les nombres J>(X) correspondants. Ces deux nombres sont les limites dHndetermination de la limite de ^(X) quanrl "k tend vers Xo (*). Revenons maintenant a l'etude des fonctions. II y a une relation tres simple entre les oscillations relatives aux intervalles contenus dans (a, b) et les oscillations aux divers points de.(a, b). On peut Pexprimer ainsi : Si, egale gueur petit,

en tous les points de (a, 6), ['oscillation est au plus a to, dans tout intervalle interieur a (a, b) et de lonX, I3oscillation est inferieure a to + s des que \ est assez s etant un nombre positif'quelconque.

S'il en etait autrement, ou pourrait trouver des couples de points ap, bp, tels que bp— ap tende vers zero et que l'on ait

L'ensemble des ap a, au moins, un point limite a. Si l'on prend une suite de valeurs ap tendant vers a, les bp tendent aussi vers a, done en a l'oscillation est au moins to + £. II y a la une contradiction avec l'hypothese. ( ! ) f)u Bois-Rev rnond dit simplement « les limitos d'indetermination de pour X = Xo ». Cela lient a Tidee que se faisait du Bois-Reymond de la valeur d'une fonction en un point de discontinuity (note i, p. 9). Je crois qu'il vaut mieux adopter le langage du texte, plus conforme aux idees modernes sur la determination des fonctions.

r22

CHAPITKE

II.

La propriete est demontree. Dans le cas ou w = o, elle se reduit k ce fait bien connu : une fonction continue en tous les points d'un intervalle est continue dans cet intervalle ( 1 ). La reciproque de cette propriete n'est pas vraie. Soit une fonction egale a — i pour x negatif, a + i pour x positif, nulle pour x nul. Son oscillation pour x = o est 2 et, cependant, si Ton emploie le point de division ^r = o, la fonction a une oscillation seulement egale a 1 dans chacun des deux intervalles obtenus. Nous allons maintenant definir l'oscillation moyenne d'une fonction horneef(x) definie dans un intervalle fini (a, b). Partageons (a, b) en intervalles partiels 3,, 3 2 , . . ., ofl. Soit to, Foscillation de f(x) dans l'intervalle 3/, les extremites de 0/ etant ou non considerees comme faisant partie de l'intervalle. Et formons la quantite A =

b— a

Si Q est l'oscillation de f(x) dans («, &). co n (o2, . . . . ton etant au plus egaux a £), A est an plus egale a £1. Si done nous divisons 3/ en intervalles partiels 3^, 5^7 . . . , 3^1', auxquels correspondent les oscillations toj, co^ . ., co^? on a

En subdivisant les intervalles 3/ on remplace done A par un nombre plus petit. Considerons deux series de divisions de (a,b) en intervalles partiels; aux divisions de la premiere serie correspondent les nombres A l ? A 2 , . . . , a celles de la seconde les nombres a l 5 a 2 , Nous supposons que, pour chacune des deux series, \c maximum de la longueur des intervalles employes dans la i{kme division tend vers zero a\ec - ( 2 ) ; dans ces conditions nous allons voir que les A/ et a/ ont une meme limile. C1) G'esL cette propriete que Ton enonce : la conlinuite est uniforme. On exprime par la que Ja quantite ^ ( e ) peut clre clioisie uniformement dans rintervalle considere, e'est-a-dire independaniment de la variable x. (-) Les points de division employes dans la / Ume division ne sont pas nocessai-

LA DEFINITION DE LINTEGRALE DONNEE PAR RIEMANN.

23

Comparons A; et ay ; les intervalies qui seront dans la division Ay qui donne ay sont de deux especes : les uns, les intervalies d, contiennent a leur interieur des points de la division D; qui donne A/; les autres, les intervalies d1', sont compris dans des intervalies de D/. La contribution des intervalies d au numerateur de ay est au plus n\jQ, si n est le nombre des points de division de D, et Xy le maximum de la longueur des intervalies de Ay. Les intervalies d1 font partie de la division Ay obtenue en reunissant les points de division de D; et Ay, done ils fournissent au numerateur de ay une contribution au plus egale a (b— #)A'-, ou Ay est le nombre analogue a A et relatif a A'. Mais, puisque Ton sait que Ay est au plus egal a A/, on en deduit «y= A/H-

7i\jLL

Tous les ay, a partir d'un certain indice, sont inferieurs a Az-+ s(c > o); done leur plus grande limite est au plus A / + e et, puisque i et s sont quelconques, la plus grande limite de ay est au plus egale a la plus petite des A/. Rien n'empeche d'echanger dans le raisonnement A; et ay; done, toutes les limites des A; et des ay sont egales, A; tend vers une limite determinee. Cette limite to est Voscillation moyenne de la fortetion dans (a, b). II faut remarquer ce que nous avons demontre : A/ tend uniformement vers w; e'est-a-dire que, des que tous les intervalies sont inferieurs a un certain nombre A, le nombre A ne differe de to que dune quantite inferieure a s choisi a l'avance.

II. — Conditions

d'integrabililei

Ces definitions posees, j'arrive a la definition de 1'integrale telle que l'a donnee Riemann. Riemann porte son attention sur le procedr operatoire qui permet, dans le cas des fonctions continues, de calculer Fintegralo avec telle approximation que Ton \eut, et il se demande dans quels rement employes dans ia i-}-ii6me; en d'autres tcrmes, pour passer d'uue division a la suivanle, on ne subdivise pas les inlervalles de cette division, on marque de nouveaux inlervalies sans s'occuper de ceux precedemment employes.

2/t

CHAPITRE II.

cas ce procede, applique a des fonctions discontinues, donne un nombre determine. Soit une fonction bornee f{x) definie dans un intervalle fini (r/, b). Divisons (a, b) en intervalles partiels o,, o2, ..., 8« et choisissons arbitrairement, quel que soit i7 un point x-L dans 8/ ou confondu avec Tune des extremites de 3/. Considerons la somme S=

/

Augmentons constamment le nombre des intervalles o etchoisissons-les de telle maniere que le maximum de leur longueur tende vers zero ('). Alors, si S tend vers une limite determinee, independante des intervalles et des points xt choisis, Riemann dit que la fonction/(.r) est integrable et a pour integrate, dans (a, 6), la limite de S. Lorsque o,, o2, ..., on sont choisis, le nombre S n'est pas entierement determine; ses limites inferienre et superieure d'indetermination sont :

ou It et Lz- representent les limites inferieure et superieure de/(^') dans o/. Posons L^-— / / = co^-, alors S — S — SojO)/.

Pour que L tende vers une limite determinee, il faut d'abord que S — S tende vers zero; mais So/to/ tend ^ers (&— ^)co? °^ co est l'oscillation moyenne de f(x); done, pour que f(x) soit integrable, il faut qu eVe soit a oscillation moyenne nulle. Cette condition est suffisante. Pour le demontrer, il suffit de pro liver que S a une limite bien determinee, puisque S — J$ tend vers zero. Supposons, pour faire cette etude, que Ton raisonne non sur la fonction/, mais s u r / + A", k etant une constante telle que/'-h k ne soit jamais negative. Solent les divisions D,,D 2 , ...; A,, A., ..., telles que le maximum de la longueur des intervalles partiels tende vers zero, ce maximum (*) II esl bica entendu que, pour passer d'une division a la suivante, on n'est pas oblige
LA DEFINITION DE L'INTEGRALS DONNEE PAR R1EMANN.

2

5

est "kj pour Ay. Soient S1? So, . . .; S,, S2, . . ., les nombres analogues a S et correspondant a ces divisions. Comparons S/ et Sy. Partageons les intervalles de Ay en deux especes, comme il a ete dit dans l'etude de l'oscillation moyenne (p. 23). Les intervalles d fournissent, dans Sy, une contribution au plus egale a ft^yL, ou L est le maximum de f(x) dans (a, 6). Les intervalles cV figurent tous dans Ay a laquelle correspond Sy; done, la contribution des intervalles d1 dans Sy est au plus egale a H' . Mais Ay s'obtient en morcelant les intervalles de D/; il est evident, dans ces conditions, que Sy est au plus egale a S/. De tout cela on tire Sy^Sj -h riLlj.

De cette inegalite on conclut, comme precedemment, que S/ et Sy ont la meme limite et me me qu'ils tendent uniformement \ers cette limite. La propriete est demontree p o u r / - ! - / r , done elle est vraie pour / , car, en passant de / a f-\-k, on augmente toutes les sommes S de k(b — a). II est important, pour la suite, de remarquer que nous avons demontre Fexistence d'une limite pour S sans faire aucune hjpothese sur la fonction bornee /(<*'). La condition que f(x) est a oscillation mojenne nulle est intervenue seulement lorsque, de ['existence d'une limite pour S, nous avons deduit l'existence d'une limite pour S. On peut transformer la condition d'integrabilite obtenue : ilfaut et il suffit que la somme So/co/ tende vers zero. Cela rev lent a dire que les intervalles o/, dans lesquels to/ est superieure a un nombre positif s arbitrairemont choisi, ont pour i assez grand une longueur totale A aussi petite que 1'on veut, car on a : u / S ( 6 — a — \ )s -h AL2,

Q etant l'oscillation de f(x) dans (a, b). On a ainsi l'enonce donne par Riemann :

Pour qu'une fonction bornre soil integrable dans (Y/, 6), il faut et il sujfit quyon puisse diviser (#, b) en intervalles

2

5

CUAPITKE II.

partiels tels que la somme des longueurs de ceux de ces interfiles dans lesquels I'oscillation est plus grande que e, quel que soil s > o, soit aussi petite que Ton veut. Si une telle division est possible, il s'en trouve une dans toute suite de divisions telles que le maximum de la longueur des intervalles partiels tende vers zero, puisque, quelle que soit cette suite, So/co/ tend toujours vers le meme nombre. De cette propriete de So/to/ resulte aussi que, si a une suite de divisions de la nature consideree correspondent des nombres S et]S ayant la meme limite, nous pouvons affirmer Fintegrabilite de la fonction consideree. La forme donnee par Riemann a la condition d'integrabilite montre bien que les fonctions continues sont integrables, mais elles ne met pas en evidence le role des points de discontinuity de la fonction. Paul du Bois-Reymond a mis ce role en eVidence par une transformation de la condition d'integrabilite. L'enonce de du Bois-Reymond suppose connue la definition des groupes integrables. Un ensemble de points d'une droite constitue un groupe integrable, si les points de l'ensemble peuvent etre enfermes dans un nombre fini de segments dont la somme des longueurs est aussi petite que Ton veut (*). Un nombre fini de points constitue un groupe integrable, mais la reciproque n'est pas vraie. Gonsiderons l'ensemble Z des points dont les abscisses sont donnees par la formule

dans laquelle tons les a sont egaux a o ou 2. Get ensemble s'obtient en retranchant de 1'intervalle (o, 1) d'abord les points interieurs a 1'intervalle (^ | \> puis les points interieurs aux inter-

i1) On peul, a volonte, considerer qu'un point est enferme dans un intervalle, soit s'il est intdrieur a cet intervalle ou confondu avec ses extremites; soit, s il est intevieur a TiiUervalle, les extremites cxclues. Les deux definitions correspondantes des groupes integrables sont evidemment identiques.

LA DEFINITION DE LINTEGRALE DOXNEE PAR RIEMANN. 11

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\, p U l s l e s points

interieurs

intervalles f l , j ) , ( | 2 + ^ | i + | , ) ' (3 + ^ 5 + ,* 3 + oT + ^ ' ^ + -o-£ + ~ ) 1 • - On divise done toujours chaqu^ inter\alle restant en trois parties egales et Ton enle\e la partic du milieu. Apres n de ces operations, il resle 2" intervalles; ces 2n intenalles peuvent servir a enfermer (') les points de Z; or, ils ont une longueur totale ^ » Z est done un groupe integrable. Cette construction de Z montre de plus qu'il est parfait, done il a la puissance du continn ( 2 ). II est evident que Fensemble forme par la reunion des poinls dc deux groupes integrables est un groupe integrable. Yoici maintenant Tenonce de du Bois-Reymond : Pour qu une fond ion bornee soil integrable, il faut et il suffit que, que/ que soil s > o, les points oil I'oscillation est superieure a £ forment un groupe integrable. Supposons / integrable, alors on pout diviser (a, b) en intervalles partiels tels que ceux dans lesquels roscillation est superieure a £ aient une longueur totale inferieure a r^ Un point ou 1'oscillation est superieure a £ ne peut etre contenu dans un intervalle ou l'oscillation n'est pas superieure a e, done un tel point est necessairement l'un des points qui ont servi a la division de [a, 6), ou bien il est dans les intervalles de longueur v). Les points dv divisions etant en nombre fini, les points ou roscillation est superieure a £ peuvent etre enfermes dans un nombre fini d'intervalles de longueur totale 2rn et, corame r, est quelconque, ils forment un groupe integrable. Reciproquement, nous supposons que les points d'oscillatiun plus grande que £ forment un groupe inlrgrablo. On pout done les enfermer dans un nombre fini d'intervalles dc longueur totale Y4. Employons ces intervalles I a la division de (r/, b) et soient V les ( ! ) Enfermer est pris ici an sens lar^e. ( 2 ) On peut dire au'-si que Z a la puissance du continu parce qu'il depend d'une infinite denombrable de constantes cnlieres a p a.,,

pg

CHAPITRE

II.

autres intervalles. Dans chaque F, il n'y a plus de points d'oscillation plus grande que s, chacun de ces intervalles peut done etre divise en intervalles partiels F dans chacun desquels Foscillation est au plus 2£. Les seuls intervalles, a oscillation plus grande que 2c, sont'done certains des intervalles I; leur longueur totale est au plus y\ et cela suffit, d'apres le criterium de Riemann, pour affirmer q u e / e s t integrable. Dans Fenonce precedent, on peut remplacer Fensemble G(e) des points ou l'oscillation est superieure a e par Fensemble G< (e) des points ou l'oscillation n'est pas inferieure a e, car G ( - ) contient G, (e) qui contient lui-meme G(e). L'ensemble G, (e) jouit d'une propriete qui va nous permettre une derniere transformation de la condition d'integrabilite : G* (e) est ferme. En effet, si A est un point limite de G< (e), tout intervalle contenant A. contient des points de G| (e) et f a une oscillation au moins egale a s dans cet intervalle. Pour le nouvel enonce de la condition d'integrabilite, je vais faire appel a une notion qu'on retrouvera dans la suite : celle d'ensemble de mesure nulle. C'est un ensemble dont les points peuvent etre enfermes dans un nombre fini ou une infinite clenotnbrable d'intervalles dont la longueur totale est aussi petite que Ton veut. Un point, un groupe integrable sont des exemples d'ensembles de mesure nulle. L'ensemble E forme par la reunion d'un nombre fini ou d'une infinite denombrable d'ensembles E7/ de mesure nulle est evidemment aussi de mesure nulle ( i ) ; tout ensemble denombrable de points est de mesure nulle. Ceci suffit pour montrer la difference qu'il y a entre un ensemble de mesure nulle et un groupe integrable : le premier peut etre partout dense, le second est toujours non dense. S o i t / ( # ) une fonction integrable, ses points de discontinuity sont ceux de l'ensemble obtenu par la reunion des groupes inte-

C1) Car on pent enfermer E,, dans une infinite denombrable d'inlervalles afl de longueur totale ^

et l'ensemble E, somme des E,,, peut 6tre enferme dans l'in-

finite denombrable d'intervalles a , + a 2 H-..

de longueur lotale V - i - = s.

LA DEFINITION DE LINTEGRALE DOMVEE PAR RIEMANN.

29

grables G ( i ) , G ( - ) , G ( ^ ) , • •; ils forment done un ensemble de me sure nulle. Soit maintenant une fonction bornee f(x) dont les points de discontinuite forment un ensemble de mesure nulle. G , ( s ) faisanl partie de cet ensemble est de mesure nulle, et il est ferme; nous demontrerons plus tard que cela suffit pour affirmer que G, (e) est un groupe integrable (* ). / e s t integrable.

Pour c/u une fonction bornee /(./) soit integrable, it faut et il suffit que rensemble de ses points
Son integrabilite resulte du fait que les seuls points de discontinuite, etant de la forme x = —

* forment un ensemble denom-

brable, done de mesure nulle; on encore, du fait que, l'oscillation etant -—- pour x = —

? les points en lesquels l'oscillation est

superieure a s sont en nombre flni. Pour avoir une fonction integrable ayant une infinite non denombrable de points de discontinuite, reprenons l'ensemble Z qui a ete defmi precedemment (p. 26). La fonction f(x) admettant la periode 1, qui entre o et 1 est nulle pour tous les points, sauf pour les points de Z ou elle est egale a 1, est integrable. Ses points de discontinuite forment en effet le groupe integrable Z; Z etant parfait a la puissance du continu ( 2 ). Si Ton veut maintenant que, dans tout intervalle, il y ait un ensemble non denombrable de points de discontinuite, il suffira d'appliquer le principe d<* condensation des singularites. On pourra C1) Voir p. 109. (2) Les deux fonctions qui precedent ne sunt pas inlegrables par le procede de Cauchy-Dirichlet, puisque l'ensemble de leurs points de discontinuite n'est pas reductible.

3

CHAl'ITRK I I .

0

eonsiderer, par exemple, la fonction

Ses seuls points de discontinuite sont, d'apres les proprietes des series uniformement convergentes, ceux des fonctions / ( # ) , - ) , •. •; done ils forment un ensemble de mesure nulle et cp est integrable. III. — Proprietes de

I'integrate.

Le raisonnement qui precede est general, il permet de demontrer que : line serie uniformement convergente grables est une fonction integrable.

de fonctions

inte-

En effet les points de discontinuite de la fonction somme sont compris dans l'ensemble E forme des points de discontinuite des differents termes. Les points singuliers d'un terme forment un ensemble de mesure nulle, done E est de mesure nulle et la serie represente une fonction integrable. En particulier la somme de deux fonctions integrables est une fonction integrable. De meme le produit de deux fonctions integrables est une fonction integrable, car les points de discontinuite du produit sont points de discontinuite pour Fun au moins des facteurs. De meme aussi, si f est integrable et que -f soit bornee, ~ est *J

J

integrable; si f est integrable, la, racine mikme arithmetique def si e/le existe, est integrable; si f est positive et integrable et o integrable, fv est integrable; etc. LVjperation / ( ' f ) , appliquee a des fonctions integrables, peut au contraire donner des fonctions non integrables. Prenons p o u r / u n e fonction partout egale a i, sauf pour x = o, ou elle est nulle. / n'ayant qu'un point de discontinuite est integrahle. o sera nulle pour x irrationnel et egale a - pour xiationnel

LA DEFINITION DE l/llNTEGRALE DONNEE PAR RIEMANN.

31

et egal a — (p et q premiers entre eux). cp est integrable puisque ses points de discontinuite, etant ceux d'abseisses rationnelles, forment un ensemble denombrable. La fonction/(cp) est ici la fonction '/(.#) ^ e Dirichlet (p. i5), fonction non integrable puisque tous ses points sont des points de discontinuity. On peut preciser les deux premiers tlieoremes qui viennent d'etre obtenus. Soient f et cp deux fonctions integrables; partageons Fintervalle ou elles sont donnees en parties o,? o2, . . ., Bn danslesquelles nous choisissons des valeurs .r n x2t .. ., xn. On a

or les trois sommes qui figurent dans cette egalite sont des valeurs approchees des integrales de^-f- cp, f, cp; done Tintegrale d e y + o est la somme des integrales de / e t de cp (•). Uintegrale d'une somme est La somme des integrales. On suppose, bien entendu, qu'il s'agisse d'une veritable somme, e'esta-dire de la somme d u n nombre fini de termes et non pas d'une serie. Pour arriver au cas des series uniformement convergentes, il nous sera commode de nous servir du the or erne de La moyenne. Soit/(jr•) une fonction comprise entre / e t L clans (a, b). L'integrale de f est, on le sait, la limite de la somme S = So//(.2v), mais on a (b — a) I = 2 3/ / £ S o,/(.*7) £ v ot L =

(b-a)L.

Done S, et par suite sa limite, l'integrale, est comprise entre (£ — a) I et (b — a) L; elle est done de la forme (b — a)u-, ou ui est compris entre / et L, e'est le theoreme de la moyenne. Ce qui le distingue du theoreme des accroissements finis, demontre pour les fonctions continues, e'est qu'il nous est impossible d'affirmer que JJL est l'une des valeurs que p r e n d / dans (a, b).

( 1 ) 11 suffit de modifier legeremenl la redaction pour demontrer en meme temps lintegrabilite de / + cp, laqueJle est supposec anterieurement demontree dans le texte.

3<2

CHAPITRE I I .

De ce theoreme il resulte que, si le module de / est inferieur a e, l'integrale d e / e s t en module inferieure a \b — ajs. Ceci pose, soit une fonction/ somme d'une serie uniformement convergente de fonctions integrables f = ux -+- u2 4-.. • -+- un -f-. ... Soients,, la somme des n premiers termes, rn le reste correspondant, F, U/2, Sn, R/2 les integrales d e / , un, sny rn. Sfl est la somme des n premiers termes de la serie

d'apres le theoreme sur l'integration d'une somme. Ce meme theoreme montre que F = SWH-R;I.

Or, des que n est plus grand que /?,, rn est en module inferieur a e, done Kn est en module inferieur k\b — a\e. Des que n est plus grand que /i], | F — Sn\ est inferieur a \b — a | e. La serie SU,2 est done convergente et de somme F .

Une serie uniformement convergente rabies est intearable terme a terme. <5 '

de fonctions

inte-

Les theoremes precedents ne sont demontres que dans le cas ou Fintervalle («, b) est un intervalle positif (b > a), puisque l'integrale n'a ete defmie que dans ce cas. On complete la definition comme precedemment. L'integrale clans («, b) se notant toujours / f(x)dx,

la defi-

Ja

nition complementaire s'exprime par 1'egalite f f(x)dx+-

f f(.v)d.r = o.

II est evident que les theoremes precedemment demontres pour les intervalles positifs sont vrais aussi pour les intervalles negatifs. J'ajoute qn'on verifie iminediatement que / f(r)dx+

f f{x)dx+

f f(x)dx = o.

LA DEFINITION DE L'lNTEGRALE DONNER PAR RIEMANN.

IV.

33

Integrates par defaut et par exces.

La definition qui vient de nous occuper a ete obtenue en appliquant, a des fonctions discontinues, le procede de calcul des integrales de fonctions continues. Nous savons qu'il existe des fonctions bornees, les fonctions non integrables, pour lesquelles ce procede ne conduit pas a un nombre determine. Mais on peut cependant, a Taide de ce procede, attacher a chaque fonction bornee deux nombres parfaitement definis. Nous avons vu (p. 20) que les sommes S = S 3/L; tendent vers une limite parfaitement determinee quand les 3/ tendent vers zero d'une maniere quelconque, cette limite est Fun des deux nombres dont il s'agit; on l'appelle Vintegrate par exces et on le represente par le symbole / f(x)dx,

qui s'enonce : integrale

par exces de a a b de fix). De la meme maniere, on peut demontrer l'existence d'une limite pour les sommes S = So///. D'ailleurs, en etudiant 1'oscillation moyenne (p. 22), nous avons vu que S3/W| tend vers une limite parfaitement determinee (b — a ) w e t comme Ton a S —S = Texistence de la limite de S est d e m o n t r e e (*). C'est

par defaut qu'on note /

Vintegrale

f(x)dx.

Ces deux nombres ont ete definis pour la premiere fois, d'une facon precise, par M. Darboux. Pour completer leurs definitions, donnees seulement pour b > a, on pose /

-t-

/

=0,

/

+

/

=0.

(l) On p o u r r a i t aussi deduire TexisLence de celte limite de l'existence de Tintegrale' par exces pour — / . L.

3

34

CHAPITRE II.

II faut remarquer que, dans un intervalle negatif, l'integrale par exces est plus petite que l'integrale par defaut. On a toujours Ja

Jb

Jv

mais, si Fintervalle d'integration etant positif, on a

comme on le voit par un raisonnement analogue a celui de la page 3i, et non pas les memes relations ou les signes d'inegalite sont remplaces par des signes d'egalite; les signes d'inegalite sont indispensables; par exemple, prenons f(&) = %(x) (p- X5), et v(x) = — x( r )> n o u s aurons, dans (o, i),

L'integrale a ete definie comme la limite du nombre

quand le maximum A des 8/ tend vers zero. Posons S = i'(^), nous definissons ainsi une fonction a determinations multiples (p. 21). Les limites d'indetermination de la limite de ^ 0 0 pour "X = o sont les deux integrates par exces et par defaut. Ceci fait prevoir que ces deux integrates nous feront souvent connattre des limites inferieure et superieure d'un nombre quand on savira que ce nombre est donne par une integrate / fdx toutes les fois que /' est integrable. Pour mieux etudier l'indetermination de la limite de S, it faudrait determiner Tensemble A de toutes les valeurs limites de S ( 2 ). ( ! ) Si Ton rernplace y\x) par une fonction non integrable quelconque, les signes d'inegalite sont indispensables. (') Dans certains cas, on a determine non seulement l'ensemble des limites dune foncti<>n +(X), mais encore la frequence de chacune de ces limites. Gela a ete fait notamment pour la summation de certaines series divergentes. ( Voir BOREL, Legons

sur les series

divergences,

p. 5 ) .

LA DEFINITION DE L'lNTEGRALE DONNEE PAR RIEMANN.

35

Pour le cas de l'integrale, on a cette propriete que je me contenterai d'enoncer : Tout nombre compris entre les integrates par exces et par defaut est Tune des limites des sommes S, quand A tend yers zero (*). (l) A titre d'exercice concernant les integrales par exces et par defaut, on pourra demontrer que, f{jc) etant une fonction bornee d'oscillation moyenne w dans («, b) et dont les limites inferieure, superieiire et l'oscillation en x sont L ( # ) , l(x) et u(x), on a (b — a)^ i- If(-z)

dx — / f(x)

dx — I L(x)

dx — I l(x)

dx = /o> (x)

dx.

Les memes relations sont \raies si, dans la definition de L(x), l(x,), b)(x), on exclut la valeur x de la variable, ou si, par ces notations, on designe les limites superieiire, inferieure et l'oscillation a droite ou a gauche, x etant exclu ou non. (Vow la note i, p. 19).

CHAPITRE III. DEFINITION

GEOMETRIQUE

I. — La mesure des

DE

L INTEGRALE.

ensembles.

Dans le premier Chapitre, la definition de 1'integrale a ete rattachee a celle de certaines aires; nous allons rechercher si, par une voie geometrique analogue, on peut arriver a la definition generale de Riemann. Nous verrons que cela est possible, de sorte que rintegrale de Riemann apparait comme la generalisation naturelle de 1'integrale de Cauchy, que Ton se place au point de vue analytique ou geometrique ( 1 ). Je vais d'abord attacher aux ensembles des nombres qui seront les analogues des longueurs, aires, volumes attaches aux segments, t 1 ) Dans ce qui suit, je suppose definie la longueur (euclidienne) d'un segment et Taire (euclidienne) d'un pol}rgone. Pour eviter toute difficult^, il est commode de considerer un point comme un ensemble de trois nombres x, y, z; un deplacement comme un changement de coordonnees dont les coefficients sont assujettis aux conditions connues. Alors, par definition, la distance des deux points (a, b, c), (a, p, y) est + i / ( r / - a ) 2 + ( 6 - p)2-+- (c — y) 2 . La fonction ainsi definie est, a un inultiplicateur constant pres, la seule fonction de deux points qui reste invariable dans les deplncements et telle que Ton ait

lorsque Q est sur le segment PR. G'est de la que vient Timportance du nombre longueur. L'aiie d'un polygone est definie par les thcoremes de Geometrie elementaire; l'importance de ce nombre se justifie comme celle de la longueur. (Voir la Geometric elementaire de M. Hadamard, note D, ou encore la Geometrie de MM. Gerard et Niewengiowski.)

DEFINITION GEOMETRIQUE DE LINTEGRALE.

37

aux domaines plans ou aux domaines de l'espace. C'est a M. Cantor que Ton doit la premiere definition de ces nombres; je vais adopter la methode d'exposition de M. Jordan qui a simplifie et complete la definition donnee par M. Cantor (*). Soit E un ensemble borne ( 2 ) de nombres ou, si l'on veut, de points sur une droite. Soit (a, b) l'un des intervalles contenantE. Divisons (a, b) en un nombre fini d'intervalles partiels. Soit \ le maximum de la longueur de ces intervalles. Je designe par A la somme des longueurs des intervalles partiels qui contiennent des points de E et par B la somme des longueurs de ceux dont tous les points font partie de E ( 3 ). M. Jordan demontre que A et B tendent vers deux limites parfaitement determinees quand \ tend vers zero. Pour nous F existence de ces limites est evidente, car A et B sont des valeurs approchees des integrates par exces et par defaut de la fonction & egale a i pour les points de E, nulle pour les autres points ( ' ) . (*) Dans le cas d'un ensemble de points dans l'espace, la definition quemploie M. Cantor (Ada Mathematica, t. LV) peut etre enoncee ainsi : De chaque point M d'un ensemble E comme centre tracons une sphere de rayon p; I'ensemble des points interieurs a ces spheres forme un ou plusieurs domaines dont on a le volume (au sens ordinaire du mot) par une integrale triple. Soit / ( p ) ce volume; la limite de / ( p ) , quand p tend vers zero, est le volume de E. Cette definition est equivalente a celle de Tetendue exte*rieure donnee par M. Jordan (t. Ier de la 2e edition de son Cours d'Analyse). M. Minkowski s'est servi du nombre / ( p ) . Dans le cas ou E est forme de points d'une courbe, M. Minkowski considere le rapport ——-^-; s'il a une limite, c'est ce que M. Minkowski appelle la longueur de la courbe. L'aired'une surface se definit par le rapport ^-^~. On voit que le nombre / ( p ) peut rendre des services dans Ja theorie des ensembles. Ce qui precede semble montrer qu'il peut 6tre employe de diderentes manieres suivant le nombre de dimensions de E; d'ailleurs, M. Cantor indiquait dans son Memoire que la notion de volume lui servait dans la definition du nombre des dimensions d'un ensemble continu. Dans beaucoup de questions, il semble qu'une telle definition serait fort utile, malheureusement M. Cantor n'a pas publie ses recherches sur ce sujet. (2) C'est-a-dire dont tous les nombres sont conipris entre deux limites (inies. (3) On peut donner deux sens aux deux expressions « un intervalle contient des points » et « tous les points d'un intervalle » comme au mot « enferme » (voir note i, p. 26). II est indifferent d'adopter Tun ou Pautre. ( 4 ) M. de la Vallee-Poussin definit les etendues exterieure et interieure a l'aide de +.

38

CHAPITRE III.

La limite de A sa.ppe\\eYetendue exterieure deE, ee(E); celle de B estYetendue interieure, e£-(E). Quand ces deux etendues seront egales, nous dirons que Tensemble est mesurable J, c'est-a-dire par le procede de M. Jordan, et d'etendue (* ) e(E)

=
ee(E)\

dans ce cas, la fonction attachee a E est integrable au sens de Riemann et son integrale dans (a, b) est e(E). Interpretons la condition d'integrabilite de ty. Les points de discontinuity de <[/ sont les points de E qui sont limites de points ne faisant pas partie de E, et les points limites de E qui ne font pas partie de E. Ces points sont appeles, par M. Jordan, les points frontieres de E; leur ensemble est la frontiere de E. Done, pour qu'un ensemble soit mesurable J, il faut et il suffitque sa frontiere forme un groupe integrable. Cette condition peut se transformer si Ton remarque que, par definition, pour un groupe integrable, A tend vers zero. De sorte qu'un groupe integrable est un ensemble d'etendue exterieure nulle ou, si Von veut, un ensemble mesurable J et d'etendue nulle. La methode precedente ne pourrait etre appliquee aux ensembles formes des points d'un espace a plusieurs dimensions que si nous avions etudie au prealable les integrales multiples par defaut et par exces. Une telle etude ne presente pas de difficultes, mais il est plus simple d'employer la methode de M. Jordan qui est, en somme, la demonstration de Fexistence de ces integrales dans le cas particulier de la fonction A. Considerons dans le plan un ensemble de points E borne, c'esta-dire tel que l'ensemble des coordonnees des points de E soit borne. Un tel ensemble est tout entier contenu dans un carre convenablementchoisi, d'aireR. Divisons le plan en petits carres donl le maximum de la diagonale est A. Soit A la somme des aires de ceux des carres qui contiennent des points do E et B la somme des aires de ceux dont tous les poinls appartiennent a E. A et B sont plus petites que R. II faut montrer qu'elles tendent vers des limites (x) C'est a dessein que lc mot etendue esl employe ici; le mot mesitre, que l'on emploie soinent comme synonyme d'elendue, sera defiai plus loin.

DEFINITION GEOMETRIQUE DE L1NTEGRALE.

3g

determinees quand A tend vers zero; pour cela, considerons d'abord une suite de divisions D<, D 2 , ..., auxquelles correspondent les nombres A,, B<, A2, B 2 , ..., et telles que les X correspondants tendent vers zero; et soit une suite de divisions Ay auxquelles correspondent les nombres ay et (3y, et telles que les nombres Xy correspondants tendent vers zero. Comparons A/ et ay. Les carres de Ay sont de deux especes : les carres d qui contiennent a leur interieur des points des cotes des carres de D«, les autres sont les carres df. Les points des carres d forment un ensemble qui est contenu dans Tensemble des points distant de moins de Xy de Tun au moins des points des cotes des carres de D;. Si dans D£- il n'y avait qu'un seul carre de perimetre 4 c, cet ensemble serait decomposable en domaines dont la somme des aires, au sens elementaire du mot, serait 8 c Ay + (7c—4)X2 pour c > 2 X y ; plus generalement, si dans D< la somme des perimetres des carres est l: Fensemble correspondant sera divisible en domaines dont la somme des aires est au plus 2/Xy. Ce nombre est aussi le maximum de la contribution dans ay des carres d. Quant aux carres d'', ils donnent evidemment une contribution au plus egale a A/. Done, on a et cela suffit (]) pour demontrer que ay et A/ tendent vers une meme limite v\>. Le nombre 0A9, dont l'existence vient d'etre demontree, est l'etendue exterieure de E, ee(E)] mais il s'agit ici d'une etendue superficielle. Cette distinction est importante a noter, car tout ensemble de points en ligne droite a une etendue superficielle exterieure nulle et peut avoir une etendue lineaire exterieure quelconque. On demontrerait de meme que B; et py tendent vers une meme limite okS. On peut aussi remarquer que, si a la division Ay et a l'ensemble des points du carre d'aire R, qui n'appartiennent pas a E, on associe deux nombres a'- et j3y, analogues a ay et py, on a

( ! ) Gomparez avec le raisonnement de la page 2.3.

40

CNAPITKE HI.

et l'existence, qui \ ient d'etre prouvee, de la limite de a} montre Texistence de la limite de (3y. Cette limite est l'etendue superficielle interieure de E, e/(E). Comme pour les ensembles lineaires, on dira qu'un ensemble est mesurable J et d'etendue e(E) — ee(E), si les deux etendues exterieure et interieure sont egales. Si nous remarquons que les carres qui servent dans A sans servir dans B sont ceux que Ton devrait considerer pour avoir l'etendue exterieure de la frontiere de E, on voit que la frontiere de E a pour etendue exterieure ee(E) — £/(E); de la se deduit la condition necessaire et suffisante pour qu'un ensemble soit mesurable J. J'ai deja employe le mot domaine, il est utile ici de preciser ce qu'il faut entendre par la. LJne courbe est l'ensemble des formules ou %-(t)j y(t), z(t) sont des fonctions continues definies dans un intervalle fini (tOj t{). Les points de la courbe sont ceux que l'on obtient en donnant a t une valeur determinee quelconque; les points qui ne correspondent qu'a une valeur de t sont dits simples, les autres multiples. Si les deux points correspondant a t0 et t\ sont identiques, la courbe est dite fermee; si le point £0, tK ne correspond a aucune autre valeur de t, ce point n'est pas considere comme multiple. Si l'on remplace t par une fonction toujours croissante ou toujours decroissante de 9, on obtient une nouvelle courbe qu'on ne considere pas comme differente de la premiere ; mais deux courbes, auxquelles correspondent le meme ensemble de points, peuvent etre differentes; c'est le cas des deux courbes, definies dans r = °^ - = o; *=—

sin2 — , y = o,

z = o. Dans le cas cl'iine courbe fermee, on peutfaire la transformation = ^ t{ — /0 e t c o n s i c ^ r e r l e s fonctions de 9 obtenues comme periodiques et de periode i. Alors, pour definir la courbe, il suffira de se les donnor dans un intervalle quelconque d'etendue i et non plus necessairement dans (o, i); enfin Ton pourra, dans cet inter-

DEFINITION GEOMETRIQUE DE L'INTEGRALS

/ji

valle, remplacer 8 par une fonction toujours croissante ou toujours decroissante dex. Toutes les courbes ainsi obtenues sont regardees comme identiques. M. Jordan a demontre rigoureusement, dans la deuxieme edition de son Cours d' Analyse, qu'une courbe fermee sans point multiple separe le plan en deux regions (*); nous admettrons ce resultat. Les points de la region interieure constituent ce que Ton appelle le domaine limite par la courbe. Relativement aux points de cette courbe, on peut faire deux conventions, les considerer comme points du domaine ou non, cela a peu d'importance. La frontiere d'un domaine est constitute par la courbe fermee qui sert a le definir. Lorsque les deux etendues exterieure et interieure d'un domaine sont egales, le domaine est dit quarrable et son etendue superficielle est appelee son aire ( 2 ). Pour qu'un domaine soit quarrable, il faut que sa courbe frontiere soit d'etendue exterieure nulle; une telle courbe est dite une courbe quarrable. CJn carre est evidemment quarrable. De la definition des domaines quarrables, il resulte que rien n'aurait ete change si Ton avait suppose que la division Ay (p. 39) etait une division en domaines quarrables de diametres inferieurs a "kj. Voici maintenant des exemples des diverses circonstances qu'on vient d'envisager. Les groupes integrables nous fournissent un premier exemple d'ensembles mesurables J lineairement. En particulier, l'ensemble Z (p. 26) est d'etendue exterieure nulle. II en sera de meme, a fortiori, de tout ensemble forme a l'aide des points de Z; tous ces ensembles sont done mesurables J et d'etendue nulle. Comme Z a la puissance du continu, il est possible d'etablir une correspondance bi-univoque entre les points de Z et ceux d'un intervalle, de sorte qu'a tout ensemble de points de cet intervalle correspond un ensemble de points de Z; done l'ensemble des ensembles mesurables J a une puissance au moins egale a celle de ( x ) Voir aussi le Tralte d'Analyse de M. de la Vallee-Poussin. (2) D'ailleurs, quelques auteurs emploient toujours, a la place des mots etendue lineaire et etendue superjicielle, les mo is longueur et aire.

^2

CHAPITRE

III.

l'ensemble des ensembles de points et, comme il ne peut evidemment avoir une puissance superieure, il a exactement cette puissance (*). Un autre exemple d'ensemble mesurable J lineairement nous est fourni par un nombre fini d'intervalles. Si d'un tel ensemble on retire un groupe integrable, il reste un ensemble mesurable J, l'etendue n'a pas varie. On verra facilement que l'ensemble mesurable J le plus general ne differe d'un ensemble mesurable J, forme par une infinite denombrable d'intervalles, que par l'addition d'un certain groupe integrable G1, et par la soustraction d'un autre groupe integrate G2 (*). II est aussi facile de citer des ensembles mesurables J superficiellement. Tout ensemble Z,, se projetant sur I'ax-e des x suivant l'ensemble Z, de maniere qu'a chaque point de Z ne corresponde qu'un point de Z,, est un ensemble mesurable J de mesure superficielle nulle. Les ensembles de mesure superficielle exterieure nulle jouent, dans la theorie des integrates doubles, au sens de Riemann, le meme role que les groupes integrables sur une droite; on peut les appeler les groupes integrables du plan. Un carre est un ensemble mesurable J superficiellement. A partir de carres et de groupes integrables dans le plan, on construit tout ensemble mesurable J du plan comme on l'a fait dans le cas de la droite. Les groupes integrables du plan peuvent etre assez differents des groupes integrables de la droite. Z, est, comme Z, un ensemble discret; c'est-a-dire qu'on ne peut passer par un chemin continu d'un point a un autre de cet ensemble qu'en passant pardes points qui ne sont pas de l'ensemble. Mais un groupe integrable dans le plan peut etre un ensemble continu, c'est-a-dire un ensemble tel C1) II est fait usage ici d'un theorcnie tres important sur la comparaison des puissances dont on trouvera dans la Note I des Lecons sur la theorie des fonctions de M. Borel une demonstration due a M. Bernstein. Cc iheoreme est souvent utile; on peut Penoncer ainsi : Si un ensemble E contient un ensemble E, et esl contenu dans un ensemble E2, puissance. E, et E2 ayant meme puissance, E, E,, E2 ont meme ( 2 ) Si par points d'un intervalle on enlend les points inte'rieurs a ccl intervalle, la consideration de G, est meme inutile.

DEFINITION GEOMETRIQUE DE L/lNTEGRALE.

43

que deux quelconques de ses points puissent etre joints par une courbe ne passant que par des points de l'ensemble ; nous savons en effet qu'un segment, un polygone, une circonference, une ellipse sont d'etendue superficielle exterieure nulle. Les courbes qui sont des groupes integrables sont celles que nous avons appelees quarrables. Pour avoir un ensemble iion mesurable J, il suffit de prendre un ensemble partout dense qui ne contienne aucun intervalle, s'il s'agit d'un ensemble sur la droite ; qui ne contienne aucun domaine, s'il s'agit d'un ensemble dans le plan; pour un tel ensemble, en effet, l'etendue interieure est nulle, l'etendue exterieure ne l'esl pas. L'ensemble des points dont les coordonnees (ou la coordonnee) sont rationnelles n'est done pas mesurable J. P. du Rois-Reymond a remarque qu'un ensemble peut etre partout non dense sans etre mesurable J. Prenons une suite de fractions a,, a 2: . . ., telles que le produit infini P ~-= ai X o u x . . . soil convergent et different de zero; on prendra, par exemple, y.n = ——Y~m Divisons l'intervalle (<7, b) en trois parties, colle du milieu etant de longueur (b — <^)(x — a 0 ? ^es deux extremes etant egales. Rarrons les points interieurs a l'intervalle du milieu et operons sur les deux intervalles restants comme sur (a, 6). a, etanl remplace par a2, et ainsi de suite. Soit R l'ensemble des points restant apres toutes ces operations. Si Ton se sert des divisions successives qui ont donne R pour calculer Tetendue exterieure de R, on voit que cette etendue cst P(6 — a), done qu'elle est differente de zero. Or l'etendue interieure est nulle, puisque R est non dense, R n'est pas mesurable J (' ). Une construction tout a fait analogue pent etre faite dans le cas du plan; on pourra, par exemple, diviser un rectangle, par deux series de trois paralleles a ses cotes, en neuf rectangles et barrer les points interieurs a celui du milieu, qu'on choisira de maniere que son aire soit (1 — a,) fois celle du rectangle primitif. Puis on operera sur charun des Knit rectangles restants en remplacant a4 par a2. (l)

Si Ton avail a#l — 't> °'» aimnl l'ensemble Z qui est mesurable J, parce que

P est nul.

44

CHAP1TRE I I I .

Parmi les ensembles non mesurables J dans le plan se trouvent des courbes non quarrables, c'est-a-dire dont l'etendue exterieure n'est pas nulle; mais toute courbe non quarrable n'est pas necessairement non mesurable J. M. Peano a construit le premier une courbe qui passe par tous les points d'un carre; M. Hilbert a ensuite indique une methode geometrique simple permettant de construire de telles courbes; toutes ces courbes sont non quarrables ( i ) . Pour avoir une courbe passant par tous les points du carre o ^ # ^ i , O £ J K ^ I , defmie en fonction d'un parametre t variant de o a i, je pose x — -O

—

\ O

O^

O

*y fir

quand t =

ou les at sont egaux a o ou 2. Alors t fait partie de l'ensemble Z de la page 26. Soit une valeur de t non contenue dans Z, alors elle fait partie de Fun des intervalles qui ont ete enleves dans la construction de Z; soit (£0, t{) cet intervalle. Aux points tQ et tK de Z correspondent les valeurs x^ r 0 ; xK, ys ; alors on pose, pour tout Fintervalle ( ^ 0 , t K) : c

\

Dans (t0, ti) la courbe se reduit done a un segment. Notre courbe est completement defmie, mais, pour parler de courbe, il faut demontrer que x et y sont des fonctions continues de t dans (o, 1). II suffit evidemment pour cela de le demontrer seulement pour les fonctions x et y de t definies sur Z. Et cela resulte du fait que, si t (appartenant a Z) est assez voisin de 6 (') PEANO, Sur une courbe qui remplit toute une aire {Math. Ann., Bd XXXVT). — HILBERT, Ueber die stetige Abbildung einer Linie auf ein Fldchenstdck{Math. Ann., Bd. XXXVIII). La courbe de M. Hilbert est definie a la page 23 du Volume I de la deuxieme edition du Traite d>Analyse de M. Picard.

DEFINITION GEOMETRIQUE DE l/lNTEGRALE.

45

(appartenant aussi a Z), les in premiers chiffres a{, a2j . .., aln de £, ecrits dans le systeme de base 3, sont les memes que pour Q, c'est-a-dire que les n premiers chiffres de x(t) et a?(8) d'une part, de y(t) et de y ( 0 ) d'autre part, sont les memes quand on ecrit ces coordonnees dans le systeme de base 2. Notre courbe remplit bien tout le carre, elle passe meme plusieurs fois par certains points. On demontre facilement qu'il n'en peut pas etre autrement ( 1 ). Ce qui vient d'etre fait dans le cas d'une et de deux dimensions peut evidemmeiit etre repete dans le cas d'un nombre quelconque de dimensions. En particulier, dans le cas de trois dimensions, on definira le volume d'un domaine. Cela exigerait, au prealable, la definition precise d'une surface fermee et, pour la definition des domaines, des etudes analogues a celles de M. Jordan sur les courbes fermees.

II. — Definition

de

I'integrate.

Soit une fonction/*(.r) continue positive, definie dans un intervalle positif (a, 6), et le domaine abBA que nous lui avons attache (fig. 1, p. 2). Cherchons si ce domaine est quarrable. Pour cela, divisons (a, b) en intervalles partiels #<, 627 ..., 3^. Le plus grand rectangle, de base 8/ et dont tous les points font partie du domaine a6BA, a pour hauteur la limite inferieure it de f dans o/. Le plus petit rectangle, de base 3; et qui contient tous les points du domaine qui se projettent sur 3/, a pour hauteur la limite superieure L/ de/*dans 3/. De ceci resulte que les deux sommes S = So;/,,

S =-= So^-L,-,

(l) On irouvera, au Chapilre VII, § V, un exemple de Temploi <[u'on peut faire dans certains raisonnements de la courbe de Peano et des courbes analogues. La courbe de Peano estmesurable J et a'etendue non nulle, elle ne peut servir a limiter un domaine. II existe des courbes sans point multiple et non quarrables; ces courbes ne sont pas mesurables J, elles peuvent servir a Jimiter des domaines non quarrables. Voir W.-F. OSGOOD, A Jordan curve of positive area ( Trans, of the Amer. Mat. Soc., igo3) on H. LEBESGUE, Sur le probleme des aires {Bull, de la Soc. math, de France, 1903).

46

CHAPITKE

III.

tendent, quand le maximum des 8 tend vers zero, vers des limites determinees qui sont les etendues interieure et exterieure du domaine. Or S — S tend vers zero, carles fonctions continues sont a oscillation moyenne nulle, le domaine abBA est done quarrable. Si nous employons la methode du debut, si nous appelons integrate definie de f dans (a, b) l'aire de abBA, nous retrouvons l'integrale de Cauchy. 11 n'y a, entre cette definition et celle de Cauchy, que des differences de forme. Dans le cas ou f(x) n'est pas toujours positive, la courbe AB rencontre l'axe des x un nombre fini ou infini de fois et Ton a deux especes de domaines, les uns au-dessus de ox, les autres au-dessous. Chacun de ces domaines est quarrable d'apres ce qui precede. La somme des aires de ceux qui sont au-dessus de ox, diminuee de la somme des aires de ceux qui sont au-dessous, est, par definition, l'integrale de f(x) ( 1 ). Considerons maintenant une fonction f(x) quelconque, definie dans l'intervalle positif (a, b). Soit E(f) l'ensemble des points dont les deux coordonnees sont liees par la seule condition que y ne soit pas exterieur a l'intervalle positif ou negatif [o, /*(#)]. En d'autres termes, on a et

L'axe des x partage cet ensemble en deux autres : les points situes au-dessus de ox forment E i [/"(#)], ceux qui sont audessous forment E2 [/(#)]. Quant aux points situes sur ox, on les mettra indifferemment dans E, ou E 2 , cela importe peu dans la suite, car ils forment un groupe integrabJe du plan. Par analogie avec la definition precedente, il est naturel d'appeler integrate de f\& difference

lorsque E, et E2 sont mesural)les J. Lorsqu'un ensemble n'est pas mesurable J, son etendue peut (2) Les deux sommes qui figurent dans cetle definition existent bien, puisque l'ensemble de Lous Jes domaines peut 6tre enferme" dans une circonference de rayon fini

DEFINITION GEOMETMQUE DE L'lNTEGRALE.

47

etre consideree comme un nombre indetermine dont les deux limites d'indetermination sont les etendues interieure etexterieure de Fensemble; cela conduit, pour I, aux deux limites d'indetermination

Nous allons calculer ces deux limites d'ind^termination et pour cela supposons d'abord que / n'est jamais negative, c7est-a-dire que E 2 ne contient aucun point. Le calcul des etendues interieure et exterieure de E (ou E , ) se fait comme dans le cas ou / e s t continue, c'est-a-dire que ces etendues sont les limites des deux nombres S et S. Les etendues sont done les integrales par defaut et par exces de / . Pour etudier le cas general posons / = / —f2i ou fs est egale a / q u a n d / e s t positive ou nulle, et est nulle quand / e s t negative. On a alors, evidemment,

done z= / fxdx

H- j — f% dx,

I = / f\dx -+• / — / 2 dx.

II est, en general, impossible de remplacer des sommes d'integrales par exces ou par defaut par les integrales par exces ou par defaut de la somme (p. 34), parce que le maximum d'une somme est, en general, plus petit que la somme des maxima des termes de la somme, tandis que le minimum est, generalement, plus grand que la somme des minima. Mais ici, dans tout intervalle, le maximum (ou le minimum) d e / = / — / 2 est bien la somme des maxima (ou des minima) de / et de — / 2 . On peut done ecrire ]= ffdx.

1=

ffdx.

Nous retrouvons ainsl les integrales de M. Darboux et nous avons leur signification geometrique.

48

CHAP1TRE III.

Remarquons que E ( / ) est mesurable J quand E< et E2 le sont et que, inversement, si E ( / ) est mesurable J, E< et E2 le sont aussi. Ainsi, notre definition geometrique de l'integrale s'applique lorsque E est mesurable J, mais, dans ce cas, et dans ce cas seulement, I et I sont egaux, c'est-a-dire que les integrates / fdx

et / fdx

sont egales, done :

Pour qu'tine fonction bornee f soit integrable au sens de Riemann, il faut et il suffit que E ( / ) soit mesurable J superficieUement; dans ce cas, Von a

La definition geometrique de l'integrale est entierement equivalente a la definition analytique donnee par Riemann.

CHAPITRE JV. LES

F 0 N C TIONS

A

VA III AT 1 0 N

It 0 II N K K .

I. — Les fonctions a variation

bornee.

La notion de mesure lineaire est tine generalisation de la notion de longueur d'un segment, une autre generalisation conduit a la definition de la longueur d'un arc de courbe. En etudiant les questions relati\es a la rectification des courbes, nous aurons Toccasion d'appliquer quelques-uns des resultats que nous avons obtenus sur Fintegrale; nous verrons, en meme temps, l'importance d'une classe de fonctions definies par M. Jordan : les fonctions a variation bornee. Soit une fonction f(x) bornee (') definie dans an intervalle positif fini (a, 6). Partageons (a, b) a l'aide des points la somme P = | / ( « i ) — f ( a { ) ) \ -4- \ f ( a . 1 ) — f ( a x )\ - + - . . . 4 - | f \ a n ) — / ( an-x )\

est ce que Ton appelle la variation de /"(•/') |)Our le systeme de points a0: ai7 ..., au. Si, quel que soit le systeme des points de division, v est bornee, la fonction est dite H variation totale ftjric ou, simplement, a variation bornee; la variation totale etant, par definition, la plus grande limite de r quand le maximum X do la longueur des intervalles partieJs employes tend vers zero. II est a remarquer que 6i, entre les points de division clioisis, on intercale de nouveaux points, on augmente r on, du moins, on ne le ( x ) II est d'aillcurs evident qiTune fonction non bornee ne peut satisfaire aux definitions qui suivent. L. 4

50

CIIAP1TRE IV.

diminue pas ; en intercalant ainsi indeiiniment de nouveaux points, de maniere que A tende vers zero, on a une suite de nombres v lendant vers une limite, finie ou non, qui est au moins egale au nombre r dont on est parti. On peut done dire que la variation to tale d e / e s t l a limite superieiire del'ensemble des nombres t> (<). On voit aussi ties simplement que, dans les definitions precedentes, on peut remplacer v par o = Wi-i- o ) 2 - h . . . H - a ) / l ,

ou co, est Toscillation de / dans (#/__<, a«), les extremites comprises. A cause de cette propriete, quelques auteurs appellent les fonctions qui nous occupent fonctions a oscillation totale finie; l'oscillation totale etant la limite superieiire des o. Une fonction a variation bornee est integrable; elle est, en effet, a oscillation moyenne nulle, puisque cette oscillation est la limite, quand A tend vers zero, de S ( a t — at-!)

OJ;

1 S \uii = X S (0/ = X o 1 X O .

O etant l'oscillation totale de f{x). L'integrabilite resulte aassi de cette proposition evidente : les points en lesquels une fonction a variation bornee a une oscillation superieiire da ( a >> o) sont en nombre fini et, par suite, forment bien un groupe integrable. Choisissons des nombres a,, a2, . . . qui tendent vers zero en decroissant. Les points en lesquels Foscillation est superieure a a^ sans etre superieure a ax/_, sont en nombre fini, de sorte qu^une fonction a variation bornee a au plus une infinite denombrable de points de discontinuity. La reciproque n'est pas vraie; il e^iste meme des fonctions continues a variation non bornee. L'oscillation d'une somme f\-\-f2 etant, dans un intervalle quelconque, au plus egale a la somme des oscillations de / , et /> dans cet intervalle, l'oscillation totale de / , + / 2 est, au plus, la somme des oscillations totales de fK oi f2. Done la somme de deux fonctions a variation borneeest une fonction a variation bornee. Et non plus la limite superieiire de la limite des nombres

LES FONCTIONS A VARIATION BORNEE.

51

Des raisonnements analogues permeLtraient de demontrer que les operations effectuees a la page 3o, sur des fonctions integrables, donnent des fonctions a variation bornee quand elles sont eflectuees sur des fonctions a variation bornee. Mais il nest pas \rai qu'une serie uniformement convergente de fonctions a variation bornee donne necessairementune fonction a variation bornee. La propriete qui remplace celle-la est la suivante : La limite vers la que lie tend {uniformement ou non) une suite de fonctions a variations totales au plus egales a M est une fonction dont la variation totale est au plus eg ale a M. En effet, prenons une division de l'intervalle, la variation correspondante des termes de la suite tend vers la variation relative a la Jimite et a la di\ision employee; done, cette variation est au plus egale a M et il en est de meme de la variation totale de la limite. Ce qui precede nous permettrait de citer des fonctions a variation totale bornee. Une fonction croissante est, en effet, une fonction a ^ariation totale finie et egale k/\b) — f{ct)\ de meme, une fonction decroissante est a variation bornee. Par suite, ]a difference de deux fonctions croissantes est une fonction a variation bornee. Nous allons demontrer maintenant la reciproque : toute fonction a variation bornee est la difference de deux fonctions jamais decroissantes. Reprenons la variation

et soit p la somme de celles des quantites / ( « « ) — / ( « / " - 1 ) sont pusih^es et — n la somme de celles qui sont negatives. On a e\ideinment (• = p -i- n,

fib) — /'({() = P — 7/>

d'ou

v == .ip-±.f(a)

— f(b),

v = >in-hf(b) — f(a),

p est la variation positive pour la division choisie, n la variation negative. Les deux dernieres egalites montront que les limites superieures V, P, N, de r, /?, /i, que Ton appelle variation totale,

52

CHAPITRE IV.

variation totale positive, variation totale negative, sont liees par les memes relations que r, p7 n. SoientV(a?),P(^),N(a?) les trois variations to tales dans (7/, #), (x > #), on a - NO). Mais P(#) et N(#) ne peuvent pas decroitre quand x croit, done le theoreme est demon tre. On a, de plus,

Une fonction a variation bornee peut etre mise d'une infinite de manieres sous la forme d'une difference de deux fonctions croissantes. Si Ton ajoute a V(x) et N(;r) une meme fonction k(,r) non decroissante, on obtient deux fonctions non decroissantes P< (.r) et N< (x) telles que Ton ait

On voit facilement que les fonctions non decroissantes P, et N, les plus generates satisfaisant a cette egalite sont celles qui viennenl d'etre construites. Pour calculer la variation totale d'une fonction discontinue comme limite d'une suite de \ariations t\ il faut choisir d'une maniere tres particuliere les points de division; par exemple, pour une fonction qui est partout nulle, sauf a 1'origine, il faut que l'originr soil un point de di\ision. Pour les fonctions continues on a cette propriete : la variation d'une fonction continue, relative a une division quelconque, tend uniformement vers la variation totale de cette fonction quand le maximum X de la longueur des intervalles employes tend vers zero. Soient, en effet, deux suites de divisions D,, DL>, . . .: A^ A2, ... pour lesquelles les ), londenl \ers zero, et soit 1/ la valeur de A pour Ay. Le maximum de Toscillation dc /(./•) dans un intervalle d'etendue A/ est un nombre £/ qui tend vers zero avec ),/. Coni|)arons les variations v^ v'f rclati\es a D/ rl A/. Les intervalles dc A,- ctant toujuurs partages en deux classes, soient d1 ceux qui ne coutiennent aucun des points de division de D/. Consideroiis tous ceux des df qui sonl onlre xL et xi+{, ils

LES FONCTIOXS A VARIATION BORNEE.

53

corn-rent un intervalle donl 1'origine est entre Xi et Xi-\-\f et dont l'extremite est entre x^ — Ay et xi+i. Les valeurs de f{x) pour cette origine et relte extremite different de ej au plus des nombres f(xi), f(xi+l ). La contribution dans {•>•' des intervalles consideres est done au moiiis

et la contribution de tons les cV dans r • est au moins egale a I,[\f(a:i+l)

— f{Xi)\ — asy] = Vi — 'imj,

si les points do division de D; sont en nombre n. On a, a plus forte raison, et Tune quelconque des limites des v- est au moins egale a l'une quelconque des limites des c/. Mais on peut perm liter v'jet vt, done Irs v: et les vi tendent vers une meme limite bien determinee. Voici une consequence immediate de cette propriete : les trois variations totales dune fonctioii continue a variation bornee sont des fonctions continues. II suffit de le demontrer pour V(x) puisque P ( / ) et N ( . / ) s'expriment immediatement a l'aide de

f(x) et de \(x). Pour calculer V(.r 0 ), j'emploie une division «<, xs, . . ., xai x0; la variation v correspondant a cette division est egale a celle correspondant a «, xK, rn plus \f(x0) — f{xn)\-, v est done au plus ('^ale a V(.r/)-f-|/(.r0) — f(xn)\SzY(.r0— o)^\f(.rQ)

— f(xn)\\

et puisque f(x0 )—fi^'n) tend vers zero, quand on fait tendre \ers zero le maximum de r/ +1 — ./•/, V(# o ) e s t a u pl u s egale a \ (.Z'o— o). Mais \ (./) est une function croissHiilo,

la fonction est continue a ga Etudionsla variation totale dc / ' , ( . / ) = / ( — ./;) entre — bet —./', (./"< b)] cetle variation lotaJe est evidemmenl ei;ale a Mb)— Y(:r). Considcrce comme fonction de — ./', elle est continue a gauche

54

CI1APITRE IV.

d e — Xo j done, en tant que fonction de x, elle est continue a droite de xQ. La fonction Y(x) est done continue. La seconde partie de cette demonstration suppose essentiellement que la fonction est a variation bornee. Si Y(x) devenait brusquement infinie pour . r > . / ' 0 , et nous verrons que cela est possible, le symbole V( b) — Y(x) n'aurait aucun sens pour x > xQ. Puisque P(x) et N(./) sont des fonctions continues, toute fonction continue a variation bornee est la difference de deux fonctions continues non decroissantes. La variation r, pour la division D, a ete definie seulement dans le cas ou D ne contient qu'un nombre fini d'intervalles; pour la suite, il est utile d'etudier nn cas ou D comprend une infinite d'intervalles. G'est le cas ou les points de division de D form en t un ensemble reductible E; alors nous appellerons variation u, pour cette division, la somme de la serie l\/(xi)—-./*(#7__i)|, etendue a tous les intervalles (<£7__i, X() contigus (*) a E. Nous allons comparer l'ensemble des variations u qui \iennent d'etre definies a l'ensemble des variations v anterieurement definies. L'ensemble des u contient l'ensemble des v, done la limite superieure de l'ensemble des it est au moins egale a la limite superieure de l'ensemble des v. II suffira de demontrer que a est toujours inferieure a la variation totale pour qu'il soit prome que la limite superieure des a est la variation totale Y. Soit (a, [3) un intervalle contigu a E'. Soienta 4 e t ^ deux points situes dans (a, |3); la contribution de ( a h [i,) dans U est au plus egale a celle qu'il fournit dans V, puisque E ne contient qitun nombre fini de points dans (a,, ^ ) . Faisons tendre les points a, et 6, vers a et fi, la proposition reste \ raie et Ton troine que (a, rp) fournit dans V une contribution au moins egale a celle quVil donne dans u. On prouvera de meme que la proposition esl \raie dans un intervalle contigu a E;/ on Ew, . . . ; mais Tun des derives de E ctant nul dans (
(M Un intervalle (a?._ p xL) est dit contigu a un ensemble E s'il ne contient pas de points de E et si ses cxtrernites font partie de E ou dc E'. La denomination d'intervalle contigu est due a M. R. Baire.

LES FUNCTIONS A VARIATION UOKNKK.

5f) 1

Lorsqu'il s'agit d'uno fond ion continue, le nombre w, coiiinn le nombre o, tend uniforineuienl vers la variation totalc, quand le maximum X do la longueur des inter\alles contigus a E lend \ ers zero. La serie u otanl comcrgenle, la serie S[ < /(.//)—•/*(.//_,)], etendue a tons los inlervallcs oonligus a E, est absolument eonvergente. On pent done parlor do la somme de ses tonnes positifs et de la somme de ses lermes negatifs, ces deux somines peuvent servir a definir P ot L\i. II est important dc ronuirquor qu'on ne peut pas remplacer l'ensemble roductiblc E par un ensemble non dense quelconque sans que certaines dos proprictcs precedentes cessent d'etre vraies. Soit, en effet, la fonction c{.r) definie par ^

ai

a*

«;>

quand

ou les a sont (;-aux a o ou a 2.x appartient alors a Tonsemble Z. On \erifie ininiediatemeiit que, pour les deux oxtremites. dun mtervalle contigu a Z, q prend la nieine valeur; nous assujettissons \ a rester constante dans un tel intervalle. \{x) est maintenant partout definie; e'est une fonction croissanto ct, cependant, on trouvera zero pour u, si, parmi les points de division employes, se trou\ent les points de Z. Je terminerai on donnaiit quelques exemples des diverses particularites qui out eto signalees. La fonction ./sin- est egale a (—i) K+1 —-- pour ./-— > '2

'2

done, si Ton emploie ces \aleurs de ./' pour raloulor u dans rintervalle ( o, - I? on trouvc

K - - - -•

'i K T. — -

'.->

K

K

-

-

et la fonction est a variation non bornoc bien quolle soil continue. Pour une fonction continue mdlc pour ./ nogatif, egale a ./ s i n -

5tf

CHAP1TRE IV.

pour x positif, la variation to tale de — i a x saute brusquement do o a oo quand x depasse la valeur o. La fonction ./• sin - a une infinite de maxima el de minima, mais X

cette condition ne suffit pas pour qu'une fonction soit a variation 11011 bornee. La fonction . r 2 s i n - ^ admet un maximum ou un x* minimum, et un seul, dans chaque intervalle si Ton remarque que la saJeur absoluo de ce maximum ou de ce minimum est au plus —-—-< on voit que la fonction est a variation (Kir)*

totale finie au plus egale a 2 N

^•

Les deux fonctions precedentes n'ont une infinite de maxima et de minima que dans le voisinage de 1'origme; si 1 on \eut cju'il en soit ainsi an tour de tout point, il faut appliquer le principe de condensation des singularites. Tl est necessaire d'employer ce principe d'une facon assoz partieuliere parce que la limite vers laquelle tendenl uniformement des fonctions a \ariation bornee pout etre a variation non bornee et parce que les maxima et minima ne se conservent pas dans 1 'addition. Considerons les deux fonctions, definies dans (— 1, -f- 1), a(x)

= x sin — ,

b(x)

= .r2 s i n - ^ - ;

Tune el l'autre s'annulent pour — 1 el + 1 , la premiere est a variation totale V infinie, la seconde a variation totale \ bornee. f\ (./) designera l'une ou rautro de ces deux fonctions. f\{x) a une infinite de maxima et de minima qui so presentent quand x appartient a un certain ensemble E , . f>±(x) est une fonction continue qui s'aiiiiulo aux points de E, otqni, dans Tintervallo (a, [3) de (x)

a memo variation totale i\w /\(x)

la variation tolale do / . ( . / ) esl A n i i Y.

paree ( |uo, dans (a, t3),

LES FONCTIONS A VARIATION BORNEE.

5-

La fonction / * + — / > a, dans ehaque intervalle (a, (J), une infinite de maxima el de minima; on ellot, si fl = a, olio est a variation non bornee dans (a, [i) el si /', = />, /', a une dcri\eo bornee dans (a, [J), tandis que la doriveo dc f2 prend Louies les valeurs positives et negatives. Soil E2 J'onsomble dos valeurs de ./; pour lesquelles^ -\

f2 est maximum on minimum.

En operant, a partir de E, + E 2 , coinnie a partir de E,, on formera/ 3 , d ' o u / , + -^f,

+ ^ / : , ct E 3 (•).

En continuant ainsi, on delinil les dillerents lermes de la serie /'(./•) = J\(.r) -h - / 2 ( , r ) -+- ^ly^./-)-^. . ., c[ui est uniformement con\ eryenle, car | / / | est inferieure a i. La fonction continue f(.r) a des maxima et dcs jninima dans tout intervalle. Dans un interxalle quelconque (/, m), en eflfet, pourvii que a soil assez grand, il y a plus de deux points de E w . Supposons qu il y ait les Irois points consecutifs /•, s, t dc E/n /'etant egale a fn |)our ccs Irois points, f aura un maximum on un minimum, au moms, entre /• et £, sui\ant que s correspond a un maximum ou a un minimum. De la resulie aussi que Ja \ariation lotalc de / eslau moms egale ci cello do .y,, = j \ -\

f-2 -f-. . . H

'bornee dans tout iiiter\al]o s\f\

0.//0 done / o s l a \ariation non = (t. Au contrairo, si fK = ^, la

\ariation lotale do .v,, etanl finie ot inf(''iiouj*c a V ( 1 -\—- + . . . H

-)>

f est a \ariation bornee dans tout mlor\alle (yoir p. 5i). Occupons-nous mamtenaiil des fonctions discontinues a \ariation bornee. Voici une propnete des points smguliois, qu iJ etail facile d'ailleurs de meltro diroctemont on ('\idonco, ot qui i'0*sulto immodiatement de la construction do Ja fonction a variation bornee la ( T ) Pour ctre tout a fail rigoureux, il faudrait (h'-montrer rjur la so in me des longueurs des inleivalles ronligus a Ej-|-E 2 , intervalles qui jouent le role des (a, £), e^l egale a > comme la somme des differences (p — a. Cola est presque evident et resulte, si Ton vent. d<- cc <jue E, + E2 est d'etenduc exterieure nulle.

58

CHAPITRE IV.

plus o-enerale a partir de deux fonctions croissantes : tous les points de discontinuite d'uno fauction a variation bornee sont de premiere espvce. Soit x0 mi point de discontinuite; la quantite

est le saut de la fonction a gauche de .r n ; S(( (.r n )

= f(.

est le saut a droite de x0, enfin — o)

est le saut an point .z'oCeci pose, considerons la fonction des sauts de

f(x)

ou chacune des series contient tous les xi qui satisfoiit a I'inegalite placee au-dessous du signe S correspondant. On verra aisement que ces deux series sont absolument eonvergentes et que, si Ton pose <\>(x) est une fonction continue a \ariation bornee; la variation totale de/'etant la sorame de celles de o et de
LES FONCTIONS A VVRIATIOX BORNKE.

II. — Les courbes

59

rectifiables.

Soil line courbe G definie dans (a, b) • r = -r(t),

y=y(t),

z =

z(().

Considerons un polygone P inscrit dans cette courbe et dont les sommets, dans Tordre ou ils se rencontrent sur P, correspondent !\ des valeurs croissantes de t (' ), r/, a t ? ou, . . . , a^, i . On pent considerer P comme Line courbe definie dans (
Go

CHAPITRE IV.

Scheeffer ( ' ) , puis continuee par M. J o r d a n ( 2 ) a qui Ton doit le resultat suivant :

Pour quhine courbe soit rectifiablc, il fain et il suffit que les fonctions r(t),y{t), z(t) qui la definissent soienta variation bornee. En effet, un cote quelconque d'un polygone inscrit dans la courbe est de longueur au moins egale a chacune des projections 0*, o r , oz de ce cote sur les axes, et de longueur au plus egale a ox-\-or-\-oZt Mais la somme des projections ox est la \ariation + Vz\ la propriete est demontree. De plus la longueur de Varc de t0 a t (t> t0) d'une courbe rectijiable est tine fonction continue non decroissante de t, |)iiisque l'accroissement de cet arc, dans un intervalle quelconque, est compris entre les accroissements de vx et vx-\- ^ 7 + VzPour calculer la longueur d'une courbe, on pourra se servir de polygones ayant une infinite de sommets correspondant a des valeurs de t formant un ensemble reductible; car le raisonnement du debut s'applique a ces polygones. Une courbe rectifiable plane est quarrable, car si on la divise en n morceaux de longueur egale a -> chacun d'eux peut etre enferme dans une circonference de rayon — 9 et la somme — J

1n

i n

des aires de ees cercles tend \crs zero avec — • n S u p p o s o n s q u e x( / ) , r ( t ) , z(t) a i e n t d e s d e r i v e e s i n t e g r a b l e s ; alors \;rf(t)\, \ y ! ( t ) \ , \z'(/)\ sont aussi i n t e g r a b l e s , c a r o n p e u t ecrire

( 1 ) Ailgemelnc Untersuchungen liber Rectification dcr Curven (Ada mat/iematica, t. V ). ( 2 ) Cours ciAnalyse, t. I, 2C edition. ScheedW- et M. Jordan onl aussi examine le cas oil x{t), r(t), z(t) ne soul pas ronlinues. ( 3 ) La <-,,urbc x = x(t), y = o, z = o, qui sert dans ce raisonnemenl, est elite la /projection y —y(l),

sur ox de la courbe z = 0.

donne'e;

l a p r o j e c t i o n s u r xoy

est x —

x{l).

LES FONCTIONS A VVRIATIOX BORNKE.

6l

et si Von eleve au carre ou si Ton prend la racinc carree arithmeliqae d'une fonction integrable on ne cesse pas d'a\oir des fonclions integrables. Si /, /?i, n, L, M, N sont les limiles infeneures et superieures de \JJ\, \r'\, \z'\ dans un inleivalle ( / , , /.>), les soinmcs teller que l(t2—t*)(^ — 0* etendues a une di\ision quelconque dr (a, b) en intervalles partiels, lendenl \ors zero quand les intervalles employes tendent \ers zero. La corde (t{, t2) a une longueur o qui Ncn'fie les inegaliles a = (t2— t{) y / / 2 - h m- -h n1 Ci ^(t,—

tx ) ^/]J -+- \\* -+- N 2 = A .

Done un polvgone inscrit a une longueur comprise entre 1<^ sommes la, 1\ correspondantes. Si Ton fait tendre \ e i s zrro, les longueurs des cotes du poly^one I \ et la tendent \ers une memo limite, car Ton a

—n

La limite de SA et la est la longueur de la courbe. Mais, puisque Tinteyrale

\'JL "1 + _)•'- + z1'1 dt, qui existe d'apres nos

/

hypotheses, est toujours comprise entre la et ^LA7 nous pouvons conclure que, si .r\ y\ z' existent et sont integrables, la longueur de Pare ( a, b ) est /

Le raisoiinement precedent montre aussi (juc SJ f\ ./:) existe sans etre integrable, et nous \errons que cela est possible, la longueur de la courbe y = / ( . / ) est comprise entre les integrales par defaut et par execs de \/i + . / / : i . Nous obtiendrons In generalisation de cette proposition, ainsi qu'un resuJlat jclatif au cas ou \!JJ- + y1'1 + z1'1 est unederi\ee ? a l'aide des considerations qui suivent. On suppose que xr, y', zf existenl; aJors, du point ./„, ) 0 , c 0 , / 0 , quel qiMl soil, comme origine, on |»eut tracer une rord<;
&2

CUAPITRE IV.

^ o v / ^ + ^'o' + ^o2? e t n o u s P o m o n s in&me assujettir ot0 a etre inferieure a une certaine quantite donnee a l'avance A. La courbe etant definie dans (a, 6), du point a= tK comme origine, nons pouvons tracer une corde remplissantles conditions indiquees; elle correspond a (£ n t2). De t2 nous pouvons tracer une nouvelle corde qui correspond a (£2, t%) et ainsi de suite. Si apres un nombre fini d'operations on arrive en 6, la construction est ainsi achevee. Sinon les ln ont un point limite tM duquel, comme origine, on peut tracer une corde (7W, £w+i), puis de t^+i on trace (*a>+o ^+2) et ainsi de suite. Si Ton n'atteint pas 6, on se rapproche d i m point limite £2o), ^ partir duquel on opere de meme qua partir de / w . On a ainsi des intervalles dont les origines la ont pour indices les differents nombres finis et transfinis a. II faut demontrer qu'on arrivera en b avant d'avoir epuise la suite des nombres transfinis, c'est-a-dire a l'aide d'une infinite denombrable d'intervalles. Cela est tout a fait evident, car il n y a pas plus de —:— intervalles de longueur superieure a s, et tous les intervalles, etant superieurs en longueur a Tun des nombres e, -? ~, • • •-> forment un ensemble fini ou denombrable. L'ensemble des valeurs t^ t2, . . . est reductible, puisqu'il est ferme et denombrable; done on peut se servir des cordes tracees pour evaluer la longueur de la courbe. La somme des longueurs de ces cordes differe de la somme

au plus de s

S i n o u s f a i s o n s t e n d r e s i m u l t a n e m e n t e e t /v \ e r s z e r o , e ( b

a)

tend vers zero, la somme des longueurs des cordes tend ^ers la longueur s de la courbe, I tend done vers s. Mais, d'apres la forme de I, on peut ecrire, si \/x'- + f* + zhl est bornee.

Su/tpos<ms maintenant que V ^ + ^ p ^ H - ^ S bornce ou non,

LES F0NCT10NS A VARIATION BOHNEE.

63

soit la derWee d*une fonction &(i). Si nous avons choisi chaque intervalle (7a, J a + ,) de maniere qu'il satisfasse, non seulement aux conditions precedemment indiquees, mais encore, ee qui est possible, a rinegalite z o^. ^ I o j ^ a ) — o^a //-' 2 ( / a ) -h y'H la) ~H z'Ht^) |, I tend vers r a e c r o i s s e i n e n l <j(6) — f{<0 de
<5{b) —

<*(«).

La longueur de Care est I accroissemenl de la fonction a-. J'appelle raltention sur la construction employee dans la demonstration preeedente. Je suppose qu'im procede, permettant de construire un ou plusieurs intervalles ayant pour origine un point quelconque £0, ait ete indique. Je dirai qirun intervalle (a, b) a ete couvert, a partir de a. par une ehaine d'inter\alles choisis parmi les interfiles definis par le procede donne, lorsqu'on aura construit par ce procede un inter\alle [t^ t2) d'oriyine tK = a, puis un intervalle (£•>, ^3 ) d origine t2, etc., puis, si cela est necessaire, un intervalle ( ^ ^to+i ) dont l*orii;ine est la limite de t{, t2, . .., et ainsi de suite. II a ete demontre qu'on arrive ainsi necessairement a atteindre b au bout d'uii nombre fini ou d'une infinite denombrable d'operations, de sorte que la ehaine construite couvrira bien tout ( a, b ) ( ' ). Lorsque le pmcede clnjinr fail corrcsponclrc plusieurs intervalles a une origine tv, il faul clioisir enLre lous ces intervalles celui qu'on appellera (ta, ta+1). Ce choix pent elre fait arbitiaireinent si la necessity de choisir ne se presente qu'un nombre fini de fois. Si elle se presente un nombre infini de fois, pour eviler les clifiicultes qui suj-^issent de I'einploi des mots « choisir une infinite de fois », il vaut mieux supprimcr le clioix en indiquant suivant quelle loi on determinerii (to, tn+l) parmi tous les intervalles possibles. Dans la demonstration preeedente, on pourra assujettir chaque intervalle (to/) taJhl) a etre le plus grand qui satisfasse aux conditions imposees; il y a bien d'ailleurs, dans l'ensernble de ces intervalles, un intervalle plus grand que tous les autres.

CHAPITRE V. LA

RECHERCHE

DES

FOXCTCOXS

P R I M I T I V E S .

I. — L integrate indefinie. Soit f(x) ]a fonction

tine fonction bornee integrable definie dans (tf,6); F(;r) = f

f(x) due-+- K

esL iintegrate indefinie def(x). En appliquant le theoreme de la moyenne on voit que Uintegrate indefinie de f(x) est une fonction continue, a variation bornee ( ! ), etqu'elleadmet f(x) pour derivee en tous les points oil f(x) est continue. Que se passe-t-il s\f(x) nest pas continue en a? Vlors il se pent qu'il y ait une derivee egale a ./'( a )? c e s t ^e c a s pour a = o si f(x) est nulle pour x quelconque, et egale a i quand x est Fimerse d'un entier; il se pent qu'il y ait une derivee diftVrente d e / ( a ) , e'est le cas pour a = o quand/(.r) est partoul nulle sauf pour x = o, il se peut qu'il n'y ait pas de derivee, e'est le cas pour a = o quand f{x) = cos4^|r| pour x y± o et / ( o ) = o (-). /Vinsi 1'integration peut conduire a des fonctions IVavailt pas partout une derivee. Cette consequence a etc si^nalee par Riemann ( ' ) J e h i i s s r a u l e c l c u r le s o i n <\v d e m o n t r c r q u o la v a r i a t i o n LoLale d e d a n s (a. 6 ) e s L e x a c l e i n e n t e g a l e a

/ *•

( - ) L'iiiLei;rale indelinie esL a l o r s —

\f(jc) a

\clx

F(x)

LA KECHERCUE DES FUNCTIONS PRIMITIVES.

65

qui a appele rattention sur I'lntegrale indefinie de la fonction

Gette inlegrale indefinie F (,r) a d m e t / ( . r ) pour derivee quand^r n est pas de la tonne

Supposons a— -

2n y

^

el faisons tendre [i \ers a par valours

croissants, on a MI quc / ( ,3) lend \ ers /'(y.) -\

^I_. done 16 n2

7

d'apres le llicoreine do la inoyenne, il en esi aussi de ineme de Au contraire IT rai)port tendra vers / ( a )

^ - s i l'on fait

tendre [i vers a par \aleurs decroissantes; don<- F ( ^ ) n'a pas de derivee pour les \aleuts de la forme ———-• CVsi le premier exemple que Ton ait comiu el'une f<motion n'admettant pas. en general, Line derhrc?. Onconnaissail bien dos fonctions. celle dr Caucliy, par exemple, + \/x'\ qui, en certains points, n'a\aient pas de deri\ee; mais ces points etaient exceptionnels, iIs ne formaient jamais un ensemble partout dense; dans l'exemple de Riemann, au rontraire, il y a des points sans derivee dans tout intervalle. Le principe de condensation des singularites nous donnera autant dexemples (|ue nous le voudrons de fonctions analogues a celles de Riemann; si les ap sont tousles nombres i

rationnels,

rv^

/

r o s

> •

v l ^ — °-P\ i

^J—;

i

r

—a.i- est une de ces f o n e h o n s .

L integration fournit des fonctions qui n'ont pas toujours une deriAee. Par une methode toute dilferente, Weierstrass a eonstruit une fonction n'a\ ant jamais de deri\ee ( -); il est evident que {'integration ne pent pas donner de telles fonctions : Les points en lesquels une integrate indefinie nWtrlmet pas de derivee forment un ensemble de mesure nulle, puisque ces points appartiennent (*) Voir [J. i5. L'inlogralc indefinie b'oblient en integrant terme a terme. (-) Voir Journal de Crel/e, vol. 79, ou JORDAX, Cours d}analyse, r edition. t. I, p. 3i6. La (onction de Weierstrass est a variation non bornee dans tout intervalle. L.

5

66

CIIAP1TRE V.

a rensemble des points de discontinuity de la fonction inte/ ( ) Lorsqu'une fonction f(x) est bornee, mais non integrable, on pentlui attacher les deux integrates indefinies par exces et par defaut

(x) = f f(x)dx-+-K,

F(x) = f f

ix)

Ces deux fonctions sont continues, a variation bornee, et admettent/pour derivee en tons les points o u / e s t continue ( ' ) . V la notion d integrale indefinie se rattache une generalisation importante de I'integrale definie. Si une fonction f(x) definie dans («, b) est non integrable dans (a,b) mais integrable dans tout intervalle (a, (3) interieur a (a, 6), on peut esperer definir une integrale dans (a,b) en posant en principe la continuite de Tintegrale indefinie et en appliquant les methodes de Cauchy. On voit facilenient que les conditions supposees ne sont jamais realisees sif(x) estbornee. Mais, si/(JC) n'estpas bornee, on peut etre conduit par la methode de Cauchy a un nombre determine; il en sera ainsi en particulier si, autour de a et 6, \f(>f)\ est inferieure a une fonction d'ordre d?infinitude determine, inferieur a i ^ ) .

On peut refaire an sujet de I'integrale de Riemann tous les raisonnements faits au sujet de I'integrale de Cauchy et des procedes de Cauchy-Dirichlet; je n'insiste pas sur ce point (3 ). ( l ) La propriele relative a 1'ensemble des points sans derivee est vraie aussi pour les integrates par exces et par defaut; nous verrons d'ailleurs plus tard <ju'elle appartient a toules les fonctions a variation bornee. (-) D'une manicre plus generate, on peut appliquer tous les theoremes que Ton donne ordinairement relalivement a Texistence d'une integrale quaud la quantite placee sous le signe d'intcgration devient infinie en un point. ( 3 ) A ces questions se rattache une generalisation de I'integrale exposee par M. Jordan dans le Tome II de la deuxieme edition de son Cours d'Analysr. Si les generalisations du texte permettent de definir I'integrale de f{x) dans tout inlervalle contigu a un ensemble ferine E, M. Jordan appello integrale de f(x) la somme des integrates dans les intervalles contigus a E. Pour que PinU-rale d'une somme soit la somme des integrates, il faul ajouter que Tetendue exterieure de E doit etre nulle. A ces questions se rattacbcnt des travaux de Harnack

LA HIiCIIERCllti DES FONCTIONS PR IM ITI \ KS.

N. — Les nombres

67

derives.

L'intcgralion s'applique a des fonctions qui ne sont pas des fonctions derixees. Une fonction nulle parlout, sauf pour x = o, n'est pas une fonction deriver, puisque sa fonction primitive, si elle existait, devrail etre continue, constante pour x positif, et pour.rnegatif, done toujours constante et cependant sa derivee ne serail pas nulle pour x = o. Ceci montre que les notions d'integrale indefinie et de fonclion primitive sont differentes. II semble que Ton ait admis pendant longtemps que la premiere de ces notions comprend la seconde et que, par suite, l'integration permet toujours de resoudre le probleme de la recherche des fonctions primitives. En lout cas, au lieu de s'occuper de ce probleme, on a etudic quels services pouvail rendre riritegration dans la resolution de problemes, generalisations, en des sens divers, du probleme des fonctions primitives. Pour Tetude de ces problcmes il nous sera utile de connaitre quelques proprietes des nombres derives. S o i t / ( j ) une fonction continue ( •), prenons le rapport is r\f(.r).

LI j?0, ;rt)-hh] =

f(rQ-i-h)—f(x0) 7 ',

et faisons tendre h vers z('iro. SJ nous assujettissons h a ne prendre que des valeurs negatives, la plus petile ctla plus grande deslimites du rapport sont les deux nombres derives a gauche au point x 0 . Ges deux nombres, qui oni ete definis et etudies par P. du BoisReymond et Dini, sont encore appeles les extremes oscillatoires anterieurs. hw plus petite limile est ]r. nombre derive inferieur a gauche, la plus grande limitr csi le nombre derive superieur a gauche. (Math. Ami., Bd. XXI, XXIV), Holder {Math. Ann., Bd. XXIV), de la ValleePoussin ( / . de Liouville, serie fh vol. VIII), Stolz ( Wiener Berichte, Bd. CVII), Moore (Trans.

Amer.

Math. Soc, vol. I I ) .

(!) On peut aussi considerer le cas des fonctions discontinues, mais les defitions du texte nous sufdront.

58

CHAPITRE V.

En dormant a h des valeurs posi fives on definit les deux nonibres derives a droite ou extremes oscillotoires posterieurs. Ces quatre nombres, qui ne sont pas necessairement finis, sc no tent X..,

Ao,

X((.

Afi\

si Ton vent rappeler la fonction/et la valeur x{) dont il s'agit pn ecrit)w/(.r 0 ), A^/(x0) ('). La signification geometrique de ces nombres est simple. Soit la courbe y = / ( . £ ) , considerons Tare AB de cctte courbe correspondant a l'intervalle (xo^xo-\- k); supposons-le positif. Toutes les droites joignant A a un point quelconque de AB sont toutes les droites d'un certain angle XAY. Faisons tendre h vers zero, 1'angle X \ Y varie de telle maniere que, pour la valeur A, il contient tous les angles correspondant aux valeurs inferieures a h. Ceci suffit pour qu'on en conclut l'existence de droites limites ;A, r4 A pour YA et Y A. Les coefficients angulaires de ces deux droites limites sont les nombres derives a droite. On pourra faire la figure pour la courbe r = x sin —; pour x = o les deu\ nombres derives infeneurs sont egaux a — i et les deux nombres derives superieurs sont egaux a + 1. Pour cette courbe Tangle X A ^ est fixe. An contraire, il varie pour la fonction y — x sin X

1- x- s i n — X

qui adniet les niemes nombres deri\es que la preeedente pour x = o. Les nombres derives peuvent remplacer dans certaines etudes les dernees ordinaires. Dans I'etude de U \ariation d'une fonction par exemple : si les nombres derives sont tons quatre positifs, la fonction est croissante: si les deux nombres deri\es posterieurs sont posilifs, la fonction est croissante a droile; si les deux derives posterieurs sont positifs et les deux anterieuis ne^alifs, la fonction ad met un minimum pour .r = ./•„; si les deux nombres derives a droite soul de signes contraiirs la fonction n'csl ni crois( ! ) On cmploic yussi quclqucfois les notations D , \)~ D

D + ou d

D

LA RECHERCHK DES FONCI'lONS PRIMITIVES.

6q

sante ni decroissanlr a droite de x = x(), mais si Fun des deux est mil on ne pent plus riendire. Lorsquc A,/ = ~k) e t / ( a + u) existent et sont exiles, l'integrale. dc / ( . / ) admet la \nleur rommunr de / ( a — - o ) e t / ( a + o) pour deri\ee, quand x = a, quel que soit le nombre / ( a ) .

(' ) Avec crtte definition yx ad met une drrivee deLerminee, -h x, pour x — o.

_0

CHAPITRE V.

11 existe pour les nombres derives une proposition analogue au theoreme des accroissements finis (' ) : Si L et I sont les limites superieure et infer/cure de Van quelconque des quatre nombres derives de la fonction f(x) dans (a, 6), on a

Je suppose que / et L soient relatifs a A,, et je vais demontrer sedement qu'il existe des valeurs de \d au moins egales a /•[/(*), a,b]. J'adopte pour eela le langage geometrique parce qu'il me parait plus expressif; on le traduira facilement si Ton veut en langage analjtique. La propriete est evidente si la courbe C qui represents/(.r) se reduit a la corde AB joignant ses extremites (fig- 2). S'il n'en est pas ainsi et s'il existe des points de la courbe C auFig. 1.

b oc

(lessus de AB (c/est-a-dire du cote deJK =-+• oo), je depluce la ( ' ) On sail q u e ce theorcine s'enonce ainsi : Si u n e f o n c L i o n / ( x ) esl c o n t i n u e d a n s I'inlervalle {a,b), et a d i n e t u n e derivee h i m d e t e r m i n c e p o u r c h a q u e valeur dc x i n t e r i e u r e a (<7,6), il e x i s t e un n o m b r e \ de cet intervalle tel q u e

f(b)-f(a)

=/'(;)&-«.

CcL (^nuiice n e s u p p o s e p a s q u e / ' ( x ) s o i t b o r n c e o u m e m e f i n i e , n i a i s esL i n f i n i e , c e d o i t e t r c - f - x , o u — x , e l n o n p a s r h x».

sif'{x)

LA RECHERCHE DES F0NCT10NS PRIMITIVES.

-1

droite VB parallelemenl a elle-meme en \/B / de maniere qu'elle coupe C. Au-dessus de A/B/ ii y a des arcs de G, soil P(v> Tun d?eux. Au point P de A'B', Ad el X,/sont evidemment superieurs on au moins egaux au coefficient angulaire de PQ, c'est-a-dire a r[f{x), a, b] et la propriete est demontree dans ce cas. Enfin si G n'a pas de point au-dessus de AB (//>. 3), je deplace AB parallelement a elle-meme vcrs y = —^o? el soit A'B'la der-

nierc position dans laquelle elle ail des points communs avec C. Si P est Fun quelconque de ces points, en ce point Aci et \/ sont au moins ei;au\ a r[f(.r), a, £]; la propriete est demontree dans to us les cas. Du tlu'orcnie precedent il resulte quc les qtiatre nombres derives ont la nirme Untile suprrieure el la me me It mile inferieure dans lout inters a lie. Comparons Ics limilcs superjeures L et U dc A^el Ao. Puisque A^ a pour liiuile L et que A,/ est la limite dc rapports r[f(x), a, j3], ou a et (J appartiennent \\ 1'intervalle considerc (a,b)< on peul troLiver a ct ^ dans (a, b) tels quo / ' [ / ( / ' ) , a, [5] soit superieur a L — s. Le inaximum dc A, dans (a, p), done dans {a,b)1 est par suite au moins ei;al a L — s. Ceei suffit pour demontrer que L etlV sont eyaux. La \aleur commune de L et U est en meme temps la limite superieure du rapport i\f(x), a, (rj]. La propriete enonc( ; e pour les limiles supcrieure et inferieure dans mi inlerwille entraine la meme propriete pour les limites

V.

superieure et inferieure en un point; en particulier, si pour Tun (les nombres derhes ces deux Jimites sont egales, il en est de meme pour les autres, ce qui s'enonce : Si en un point x0 V\in des nombres derives est continu, il en est de meme des trois autres nombres derives et de plus la fonction admet une derivee pour x = Xo. Voici une autre consequence evidente : si les qualre nombres derives sont homes, Us admettent la meme integrale superieure et la meme integrale inferieure; si Vun d'eux est integrable, tons le sont et Us ont meme integrale. Dans le cas des derivees le theoreme de Rolie (') est un cas parliculier du theoreme des accroissements finis; dans le cas des nombres derives le theoreme analogue au theoreme de Rolle peut s'enoncer ainsi ; Si la fonction continue f (x) s'annule pour a et b, les limites des nombres derives dans (a,b) sont, ou toutes deux nulles, ou Louies deux differentes de zero et de signes contraires. Get enonce se justifie en remarquant que si f(x) nest pas constant, ; [ / ( . r ) , a, [3] prend des valeurs positives et des valeurs negatives. On peut aussi dire : si la fonciion continue f(x), non constante dans (a,b), s'annule pour a et b, il existe des points de (a,b) pour lesquels les deux nombres derives a droite (ou a gauche) sont positifs et non mils el d9autres points ou Us sont negatifs el non nuts. La reciproque peut s'enoncer sous la forme smvante : si Von suit que les deux nombres derives a droite {ou a gauche) de f(x) ne sont jamais tous deux de meme signr, f\x) est une constante ( 2 ). Parmi les fonctions continues il faut remarqucr les fonctions a nombres derives homes qui possedent beaucoup des proprietes des fonctions derivables. Cetlr elasse de fonctions com prend les (x) Co t h e o r e m e s'enonce ainsi : Si une fonction c o n t i n u e / ( x ) s'annule p o u r a et b, et adrnol p o u r les p o i n t s i n t e r i e u r s a (a,b) une derivee d e t e r m i n e e de g r a n d e u r (?t de sii;ne, finie ou n o n , cette derivee s ' a n n u l e d a n s (a,b). (-)
LA RECHERCHE DKS FONCTIONS PRIMITIVES.

73

integrates indefinies. Les fonctions a nombres derives bornes sout relies pour lesquelles on a ton jours

ou M est un noinbre five. Celle inegalite, eonuue sous le IIOJN
definic dans ( a, 6 ) , el soil s (t) son arc de a a t. L'equation s(t)=s peut etre resolue en / quand s est dans rintervalle [o, s(b)\ et n a d m c t qu'une solution, sauf Je cas oil x(t)< y(t)* ^ ( 0 seraient constantes a la fois dans un hitervalle. Sauf dans ce cas, l(s) est unc fonction croissante bien dcterminee. x -- .r\tis)\,

V =.;'[/(*;!,

z = z[t(s)]

rcpresentcnt la rourhr donnee vl les fonctions de s sunt des fonctions continues H nombres derives au plus egau\ a i . L'etude des courbes rectifiablcs, et par suite celle des fonctions a variation bornee, est done intimement liee a l'etude des fonctions a nombres derives bornes. Nous aurons I'oeeasion de nous ser\ ir de cette remaique. M existe d'aiJleurs des fond ions continues a \arialion bornee el a nombres deiives jion bornes, hi fonction # - s i n - eu
CHAP1TRE V.

III. — Fortetions determinees par tin da leurs nombres derives. Revenons a la recherche des fonctions primitives. Le probleme : A. Trouver tine fonction donnee,

dont la derivee soil une fonction

n'admet pas en general de solution. Aussi le remplace-t-on par deux autres : B. Reconnaitre si une fonction donnee est une fonction derivee. C. Trouver une fonction connaissant sa derivee. V ces problemes correspondent les suivants : A'. Trouver une fonction dont le nombre derive superieur a droite [on lyun des autres nombres derives) est donne. B'. Reconnaitre si une fonction donnee est le nombre derive superieur a droite d une fonction inconnue. G. Trouver une fonction connaissant son nombre derive superieur a droite. iSJous allons d'abord preciser Tindetermination de la solution du probleme G en demontrant qu'une fonction est determinee, a une constante additive pres, quand on connalt la valeur finie de I?un des nombres derives pour ckaque valeur finie de la variable. Soient en effet deux fonctions fK (x) c.tf>(x) ayant en chaque point le meme nombre derive superieur a droite. Nous avons, par hypothese, A f / / i ( . r ) = A , / / 2 ( ./•)

c.Y aussi

^d[ ~ t\{op)\ = — Adf, ( . r ) , comme on le voit en se reportant a la definition geometrique ou analytique des nombres derives. Cette definition fournit aussi F inegalite eg

dans laquelle le terme du milieu est mil.

LA RECHERCHE DES FONCTIONS IMUMLTl v ^ s .

n$

La fonction/, (x) —/ 2 (.r) n'a done jamais ses deux nombres derives a droite different* de zero et de meme signe, elle est constante. Notre proposition est demontree. La demonstration ne suppose pas que la fonction soil a nombres derives homes, mais elle suppose que le nombre derive donne est fini, sans quoi le terme du milieu, dans l'inegalite qui nous a servi, n'aurait aucun sens. II serait tres interessant de savoirsi, dans lous les cas, une fonction est determinee, a une constante a
76

CIIAPITRE V.

quand on connalt pour chaque valeur de x, sauf peut-etre pour celles d'un ensemble denombrable E, la valeur finie da nombre derwe superieur a droite de cette fonction. Soient/, (x) el/2(x) les deux fonctions ayant en general le meme nombre derive superieur a droite fini; nous allons demontrer que Ton a toujours j \ ( x) —/2(x) =J\ (a) — j\{a), et pour cela nous demoiitrerons que I'egalite (i)

fi(l>)—Mb)=mfl(a)—Ma)—H

oil H est different de zero est impossible. II suffit de considerer le cas ou H est positif, puisque l'autre eas se reduit a celui-la par le changement de /*, el f2; de me me on peut supposer b > a. Considerons la fonction IT

yc{x) = c{x —a)-hfy(x)

—f 2 ( x ) —

f i ( a ) h f ( )

dans laquelle c est tine constante telle que i(b — a)

VIors Vc(b)

o,

=

c{b

— a)

H

— - < o ; '2

la fonction -3a etant coiiLinuc s'annule entre a et b\ soit xc la plus grande des valeurs comprises cntre a et b qui annule cpc. On a £id On peut conclure de la que ,r r est en tin poinl de E. En efFet, nous avons demontre, pa^e -4, que, pour tout point n'appartenanl |>as u E, 011 a

done pour ees points 011 a : Ar/cpc.(.r)g c > o. A cka(|ue valeur r de rintetvalle j^o, - ^ J L ^ 1 correspond ainsi

LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES.

77

un point xc de E. Mais, si c e t r , sont diflerents, xc et xc le sont, car regalile entraine et xc est different de a. Done, pour que Tegalile (i ) soit possible, il faul que E ail la puissance du continu ( ' ) . Une consequence de eclle propricle, signalee par Ludvvig Scheeffer, est q u \ m e fonetion est delermineo quand on eonnait sa derivee pour toutes les \aleurs irratiomielles. Mais une fonetion ivest pas determinee quand oneonnait, pourcbaque \aleur rationnelle de x, la valour finie de sa derivee. Pour le promer, soient.r,, x2, . . . les nombres rationnels positifs. Tracons uu intervalle 8, de longueur incommensurable, ayant xK comme milieu. Soit x^ le premier des xt ne faisant pas partie de o{ ; tracons un intervalle o2 de longueur incommensurable, de milieu xa^ el n'einpietant pas sur o,. Si x^ est le premier des xi qui ne fait partie ni de o,, ni de o2, x(Xi esl le milieu d'un intervalle ineommensurable n'empietant ni sur o,, ni sur o2, et ainsi de suite. La fonetion f(x\ egale a la somme des longueurs des intervalles o et des parties d'interxalles o, eompris entre o et x, est une fonetion continue eroissante de .r, qui admet -h J comme derivee pour toutes les valeurs rationnelles dex. Eteependantcelte fonetion n'estpasnecessHirementde la forme.r+coust., puisque/(-|-cc)—/(o) est la somme des longueurs des o, somme qui a telle valeur positive que Ton \eut. La fonetion continue f(x)— i n'est pas constante el dans tout intervalle il existe des points ou sa derivee est nulle. C'est a l'oceasion d'une fonetion dont la derivee s'annule dans tout intervalle que Ludwig SoheelTor a enliepris ses reeberches sur la determination d'une fonetion |>ar ses denvees. Comme fonetions dont la derivee s'annule dans tout intervaJle

(OLa demonstration precedente est 7 a trrs peu pres, celle de L. ScheefFer. J'ai respecte aussi son enonce, mais il est bon de remarquer que la demonstration suppose seulernenl que E n'a pas la puissance du continu, ce qui ne si^nifie peutetre pas que E est denombrable.

CHAP1TRE V.

nous pouvons encore citer la fonction 'f ( # ) , page lii, la fonction %(x), page 55. La demonstration precedente est assez artificielle, en voici une a Litre:

Les deux fonctions /< et /> ayant meme Ad en tout point, sauf peut-etre aux points de E, la fonction J\x) = J\ —Jo a, en tout point n'appartenant pas a E, un Ad positif ou nul et un kd negatif ou nul. Si a est un tel point, faisons-lui correspondre le plus grand intervalle (a, a + h).tel que Ton ait / ( a + A) - / ( « ) < eA. Supposons les points de E ranges en suite simplement infinie, Xi, X2-, . . . . A xn faisons correspondre le plus grand intervalle (xn, x'n) tel que Ton ait

Chaque point de (a, b) est maintenant l'origine d u n intervalle o attache a ce point; nous pouvons couvrir (a, i ) , a partir de a, a I'aide d'une chaine d'intervalles J, page 63. Servons-nous de ces intervalles pour calculer f{b)—/(^), nous trouvons que cette quantite est au plus egale a

or e est quelconque, done f(b) = f(
LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES.

nL)

raccroissement/(6) —f(a) def(x) dans (a, 6), le nombre eZh augmente de la sonime des accroissements de f(x) dans les intervalles o{. La somme X des longueurs des o, est plus petite que la somme relative aux d, done elle est aussi petite que l'on veut. Cela ne permct pas d'en conclurc en general que la somme correspondante des accroissements de f(x) est aussi petite que Ton veul; mais si / , (x) el /2(x) ont des nombres derives inferieurs en valeur absolue a M, cette somme est inferieure a 2 MX. Ainsi : Une fonction f\x), a nombres derives bornes, est determinee, a une constante additive pres, quand on connait son nombre derive superieur a droite, pour toute valeur de x sauf pour celles d'un ensemble de mesure nulle. Cet enonce ne nous fournit aucun renseignement relatnement a rindeterminatioii du probleme G quand le nombre derive donnc nest pas borne, puisque f(x) est supposee a nombres derives bornes. Cette restriction est d'ailleursnecessaire : la fonction %(x), page 55, nest pas une constante, elle a sa derivee nulle partoul, sauf peut-etrc aux points do Z qui est de mesure nulle. Les theoremes precedents peuvent etre avantageusement transformes ; pour ces transformations j'utiliserai une generalisation heureuse de la notion de limite inferieure et superieure qui ost due a M. Baire (]). Soit une fonction f(x) ; la limite superieure de / ( . r ) , dans un intervalle (a, b). est un nombre L tel que l'ensemble E ( / > m) des points x de (a, 6), tels que f(x) soit superieure a m, existe des que m est inferieur a L, tandis qu'il ne contient aucun point pour m > L ; la limite inferieure de / ( • / ) dans Tintervalle («, b) peut se definir de meme. II existe de meme un nombrc Li tel que Tenscmble E ( / > in) est denojubrable pour m > L , et ne Test pas pour m
80

CHAPITRE V.

valle OLI en un point, d'une fonction quand on neglige les ensembles denombrables, ou les ensembles non denses, ou les ensembles de mesiire nulle. Si, en negligeant certains ensembles, on obtient des limites inferieiire et superieure egales, on pourra dire, qu'a ces ensembles pres, la fonction est continue. Ces definitions posees, voici les deux propositions que j'avaisen vue : Les limites Inferieiire et superieure d'un nombre derive sont les memes, que Von neglige ou non les ensembles denombrables. Les limites inferieiire et superieure d'un nombre derive borne sont les memes, que Von neglige ou non les ensembles de mesure nulle. Je demontre par exemple la premiere de ces deux propositions. Si les limites superieures L et Lj d'un nombre derive A,/cp(#), obtenues en tenant compte puis sans tenir compte des ensembles denombrables, sont inegales, et si K est un noinbre fini compris entre L etL,, le nombre derive A,/[cp (.r) — K] est negatif sauf pour les points dun ensemble denombrable pour lesquels il est positif. Or il suffil de reprendre, en le modifiant legerement, Tun ou l'autre des deux raisonnements qui nous ont conduits an theoreme de Scheeffer, pour voir que cela est impossible.

IV. — Recherche de la fonction do/it un nombre derive est conn u. INous aliens rssajer de resoudro les problemes B' et C7 dans le cas ou la fonction f\x): donnee coinme A,/, est bornee. Divisons rintervalle positif (/?, b) en. intcrvalles partiels. Dans (a, [i) les limites inferieiire ct superieuro de fix) sont / et L, done on a, si F est la fonction chcrcbrc telle que

Si nous faisons hi somme des inegalites amilogues, relatives aux inter\allcs pnrtiels, nous avons, en faisant tendre <;es intervalles

LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES.

g,

^ers zero, / Adf(x)dx
J

kdf(x)dx.

a

De cette inegalite il resulte en particulier que : si t'un des nombres derives d* une fo action f (x) est integrable, auquelcas les trois autres le sonl aussi et out meme integrate, son integrate ladefinie est de la forme f {x) -+- coast.; et cetenonce, plus particulier encore : lorsqu1 une derivee est integrable, il y a identite entre ses foactions primitives et ses integrates inde-

finies. Ces enonces s'appliqueraient evidemment au cas ou la fonction donnee de\iendrait infinie au voisinage des points d'un ensemble reducible, a condition d'employer la generalisation de l'int^grale cjui a ete indiquee page g(). Si nous tenons compte des theoremes enonces a la fin du Paragraphe precedent, nous voyons que si Ton connait partout le nornbre derive, sauf pour les valeurs d'un ensemble denombrable, — ou si onJe connait partout, sauf pour les valeurs d'un ensemble de mesure nulle, et si Ton sait de plus qu'il est borne, — on peut encore appliquer les theoremes precedents, a condition d'etendre les integraJes cjui y figurenr a l'ensemble dans lequel on connait le nombre derive. \ cette remarque s'en rattache une autre plus importante. Le cas dans lequel nous savons resoudre le probleme G est celui ou le nombre derive donne est integrable. Ce nombre derive a alors des points de continuite; en ces points il y a une derivee egale au nombre derive donne, et Ton connait partout la derivee de la fonction inconnue, sauf aux points de discontinuite, c'est-a-dire sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle. II suffirait de se servir des valeurs connues de la derivee pour avoir la fonction. Le cas resolu du probleme C se ramene done en realite au probleme C. Les raisonnements qui precedent nous permettent de repondre aux questions B et B' dans un cas important, celui ou la fonction donnee est integrable. Pour reconnaitre, par exemple, si une fonction integrable donnee f (x) est une derivee exacte, on formera son integrate indefinie F ( ^ ) , puis on recherchera si L.

6

82

CHAPITRE V.

Ion a /< x) =

im h—o h

On a done un procede regulier de calcul permettant de reconnaitre s i / est ou non une derivee exacte. II est vrai qu'il faut rechercher si une certaine expression a ou non la limite connue f{x)\ mais une derivee etant par definition une limite, il est peu problable qu'on puisse remplacer le procede de calcul indique par un autre dans lequel on n'emploierait pas les limites. Nous avons trouve une condition necessaire et suffisante pour qu'une fonction integrable soit une derivee; elle ne se presente pas sous la forme que l'on donne habituellement a de telles conditions. Le plus souventon enonce, comme condition necessaire et suffisante pour rexistence d u n fait A, l'existence d'une propriete B qui accompagne toujours le fait A et est toujours accompagnee par lui; mais, pour que Ion ait autre chose qu une tautologie, il faut que Ton connaisse un procede regulier de calcul permettant de savoir si Ton a ou non la propriete B. C'est ce procede qui a ete directement donne pour le cas qui nous occupe. Si Ton tient a enoncer la condition necessaire et suffisante trouvee sous la forme habituelle, on pourra, comme le fait M. Darboux, appeler valeur moyennedans (a, b) d'unefonctionintegrable/*(.r) i

rb

la quantite-r / f\x)dx\ puis on appellera valeur moyenne au point x0 la limite, si elle existe, de la valeur moyenne dans (x0— h, .r o -h A), quand les nombres positifs h et k tendent vers zero; et Ton a 1'enonce suivant : Pour qu'une fonction integrable soit une fonction derivee, il faut et il suffit qirelle ait en tout point une valeur moyenne determinee et qu'elle soit partout egale a sa valeur moyenne.

V. — Lintegration riemannienne considered comme ration inverse de la derivation.

I'ope-

Nous avons vu que Ton a generalise de differences manures le problemedesfonctions primitives; recherchons maintenanl si Tune

LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES.

£3

de ces generalisations permet de considerer l'lntegration au sens de Riemann comme le probleme inverse de la derivation. Si nous nous rappelons qu'une integrale indefmie admet comme derivee la fonction integree en tous les points ou celle-ci est continue, nous sommes conduits a nous poser, avec M. Volterra, le probleme suivant : Rcchercher une fonction continue qui admette une fonction bornee donnec/(.r) pour derivee en tous les points oiif(x) est continue (*). Ce probleme est toujours possible, car les deux integrales par defaut et par exces def(x) repondent a la question. Mais il est en general indetermine, rest-a-dire que toutes ses solutions ne sont pas comprises dans une formule de la forme F (x) -+- const. Lorsque/(\r) n'est pas integrable, le probleme est toujours indetermine. Si f(x) est integrable, il se pent que le probleme soit determine; e'est le cas quand l'ensemble des points de discontinuity est reductible, mais il se peut aussi qa'il soit indetermine. II en est ainsi lorsque Tensemble des points de discontinuity condent un ensemble parfaitE; nous avons appris, page i3, a former une fonction continue non partout constante, mais constante clans tout intervalle contigu a E; cette fonction, ajoutee a une fonction solution du probleme propose, donne une nouvelle solution de ce probleme. Ainsi notre probleme comprend comme cas particulier le probleme de 1 integration indefinie riemannienne, maisil est plus vaste que ce dernier probleme. Proposons-nous maintenant de trouver une /one/ion d nonibres derives bornes qui admette une fonction bornee donnee f (x) comme derivee en tous les points ou f(x) est continue. Cenouveau problem*1 est toujours possible et admet encore pour solutions les deux integrales def(x); mais, sif(x) est integrable,

(x) En reaJite M. Volterra recherche les fonctions qui admettent / ( x) pour derivee en tous les points qui ne sont ni des points de discontinuite de f(&), ni des points limites de discontinuites. E>e plus M. Volterra suppose implicitement que les fonctions dont il s'occupe ont des nombres derives bornes. Pour ces deux raisons les resultats qu'il obtient ne sont pas ceux du texte; d'ailleurs toute fonction est evidemment solution du probleme de M. Volterra, si les points de discontinuity def(x) forment un ensemble partout dense, tandis qu'il n7y a que des fonctions tres particulieres qui satisfont a l'enonce du texte.

84

CHAPITRE V.

il est determine, car la derivee de la fonclion a nombres derives bornes cherchee est connue partout, sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle. Ce probleme n'est done determine que pour les fonctions integrables; lorsqu'il est determine, sa solution est Tintegrale indefinie d e / ( . r ) . Nous pouvons ainsi, en un certain sens, considerer Pintegration riemannienne comme 1'operation inverse de la derivation.

CHAPITRE VI. L'INTEGRALE

DEF1NIE

A

L'AIDE

DES

FONCTIONS

I. — Recherche directe des fonctions

PRIMITIVES.

primitives.

Nous avons obtenu des theoremes permettant theoriquement, dans des cas etendus, de reconnaitre si une fonction donnee est unefonction derivee et, s'il en estainsi, de trouver sa fonction primitive. En realite, un seul de ces theoremes est employe couramment : toute fonction continue est une fonction derivee. Quant au calcul effectif desfonctions primitives il ne se fait jamais au moyen de Fintegrale definie ('), mais a I'aide des procedes connus sous le nom d'integration par partie et d'integration par substitution. Ces deux procedes s'appliquent, qu'il s'agisse de fonctions continues ou non. Onpeutaussi utiliser le theoreme suivant : Une serie uniformement convergente de fonctions derivees represents une fonction derivee. Sa fonction primitive s'obtient en faisant la somme desfonctions primitives des termes de la serie donnee, les constantes etant choisies de maniere que la serie obtenue soit convergente pour I7une des valeurs de la variable. Soient f — ax -+- u2 -h. . . = U\ -1-. • • -+- un H- rn = sn -+- rn, F = Ui-h U2 • + - . . . = U, + . . . + U f l + R « = Sw-f-R,, {l) Cependant iJ est parfois possible d'eflfectuer pratiquement ia recherche dune fonction primitive a I'aide d'integrales definies. On trouvera un exemple d'une telle recherche dans VIntroduction a Vetude des fonctions d'une variable re'elle de M. J. Tannery, p. 284.

86

CHAPITRE VI.

la serie donnee et la serie des fonctions primitives, laquelle est, par hypothese, convergente pour une certaine valeur # 0 . Choisissons n assez grand, pour que Ton ait, quel que soit p positif, \sn+p(x) — sn(x) I < e; le theoreme des accroissements finis donne, si (a, b) est 1'intervalle considere, | Sn+P(x) — Sn(x) | < i [ x — x0 | -h | S^ 1 t(b — a) H- ! Sn

Cette inegalite montre que la serie F est uniformement convergente dans (a, 6), puisqu'elle est convergente pour x0. Evaluons le rapport r\F(T), r,x+

h] = F(x + / Q - F ( . )

=

AF(r)i

AF = AS S +AR,,= AS,,-t-iim \(Stt+J,— S,,). La quantite A(S/2+/7— S,,) est inferieure en \aleur absolue a E, d'apres le theoreme des accroissements finis, done, si l'on fait tendre h vers zero, Tune quelconque des limites de AF ne differe que de e au plus de la limite sn(.r) de AS,,. Puisque £ est quelconque, il est ainsi demontre que F ( # ) admet f {oc) pour derivee. Ce theoreme nous permettra d'employer le principe de condensation des singiilarites a la construction de fonctions derivees. Lorsqu'une fonction derivee esl donnee par une serie de fonctions derivees non negatives on peal prendre les fonctions primitives terme a termed condition de choisir les constantes de maniere que la serie obtenue soit convergente. Pour le demontrer, je conserve les notations precedentes, et je suppose, pour simplifier le langage, que la serie F soit convergente pour Torigme de l'intervalle (a, b) considere et que U 4 , U, s'annulent pour x = a. Soit 5 celle des fonctions primitives de /' qui s'annule par x = a. 11 faut demontrer que F = rf. Tous lesU,- sont positifs, done Sn croft a\oc //. Mais, p u i s q u e / est au moins egale a snj 3{x) est au moins e-ale a S,?(.r), ot Sn(x) tend \TTS une limite F ( # ) , au plus egale a rf (.r)

LINTEGRALE DEF1N1E A 1,'AIDE DES FONCTIONS PRIMITIVES.

87

Le meme raisonnementapplique a l'intervalle positif (#, ,r + h) montreque^(.r + h) — #(#)estau moins egale a F(x + h) — F (#), et parsuite/(#), derivee de 3 (x), est au moins egale a Ar/F (x), D'autre partF(x + h) — F(.r) est superieureaS /z (x + h) — Sn (x), done A,/F(.r) est au moins egale a la derivee sn(x) de Sn{x), et, puisque n est quelconque, X / F ( J ? ) estau moins egale -af(x). F(x) a done une derivee a droite egale 'df(x) ; en raisonnant de meme sur l'intervalle negatif (x, x — A), on voil que F (a?) admet aussi/(.r) pour derivee a gauche; le theoreme esldemontre. Nous pouvons dire aussi : si des fonctions derivees fn tendent en croissant vers une fonction derivee f leurs fonctions primitives tendent vers la fonction primitive def(x) si les constantes sont choisies convenablement. On peut ecrire en effet / = A + (A -A)

+ (A-A)

+ '">

et tous les termes, qui sont des fonctions derivees; sont positifs, a l'exception peut-etre du premier. Le theoreme est encore vrai si, au lieu de considerer des fonctions fn(x) croissant avec Tender /?, on considere des fonctions derivees f( ./*, a) croissant avec le parametre a, et tendant vers une fonction derivee f quand a tend vers a0. Enfin, il faut remarquer quil est necessaire de savoir que la fonction f limite ou somrae, est une fonction derivee, pour avoir le droit d'appliquer le throrrme precedent : la fonction ./'< x, o.) =—

e~*rl

tend en croissant, quand a augmente indefiniment, vers la fonction f(x) partout nulle sauf pour x = o ou elle est egale a — 1. Cependant f('.r, a) est une fonction derivee ei f(x) n'en est pas une. Ces deux proprietes vonlnouspermettre d'effectuer la recherche des fonctions primitives dans des cas etendus. Tout d'abord, quand une fonction est la sommc d'une serie uniformement convergente de fonctions derivees, c'esl une fon
CHAPITRE VI.

les points xo = a, xiy x2..., xn= b pris assez rapproches pour que, dans (xh xl+,), l'oscillation d e / s o i t inferieure a £. Dans la courbe y = f(x) inscrivons la ligne polygonalej = y(x) dontles sommets ont pour abscisses xQ,xs, ..., xn, f(x) el cp (x) different de moins de s. C'est dire que y(x) tend aniformement vers/(j:) 7 quand e tend vers zero; il nous suflira done de demontrer que ® (x) est line fonetion derivee pour que nous puissions affirmer qu'il en est de raeme def(x). Mais cp(#), etant dans (xh xi+i) le polynome du premier degre

est la derivee de la fonetion continue qui, dans (xn Xi+S), est definie par

11 est demontre que toute fonetion continue est une fonetion derivee, et cela sans avoir recours a Pintegration (' ). Lorsque nous saurons mettre une fonetion sous la forme d'une serie de fonctions derivees toutes de meme signe, nous aurons un procede regulier de calcul permettant de reconnaitre si/*est une derivee exacte, puisque la fonetion primitive de / n e peut etre autre que la somme des fonctions primitives des termes de la serie doimee (comparez p. 82). Ainsiles deux theoremes sur les fonctions primithes des series nous permettent de faire dans certains cas, relativement a la determination des fonctions primitives, ce que les theoremes sur Tintegration nous permettent de faire pour les fonctions integrables. (l) On pourrait etre lente, pour appliquer le thiorcme sur les series unifornument convergentes de derivees, de s'appuyer sur cette proposition, due a Weierslrass: toute fonetion continue est representablc par une serie uniformement convergente de polynomes. Pour que cetle inethode convienne pour le but que nous avions en vue, il faut avoir soin de demontrer le theoreme de Weierstrass sans se servir de 1'integration. La demonstration que j'ai donneedcins le Bulletin des Sciences mathematiques de 1898, dans une Note Sur Vapproximation des fonctions, satisfait a c
L'INTEGRALE DEPINIE A L'AIDE DES FONCTIONS PRIMITIVES.

89

Je laisse de cote les remarques analogues relatives a la recherche d'une fonction admettant pour nombre derive une fonction donnee. Je vais indiquer quelques proprietes des fonctions derivees qui permettront parfois de reconnaitre immediatement qu'une fonction donnee n'est pas une fonction derivee.

II. — Proprietes des fonctions

derivees.

Une fonction derivee ne peut passer d'une valeur a une autre sans prendre toutes les valeurs intermediaires. Supposons, en effet, que Ton ait f (a) = A, f (b) = B, et soit C un nombre compris entre A et B. On peut prendre h positif assez petit pour que r[f(x), a, a-\- h] = A / ( a ) soit compris entre A et Get que A / ( 6 — h) soit compris entre Bet C. Lafonction A/(#) est, h etant fixe, une fonction continue de x; quand x varie de a k b — h elle passe d'une valeur comprise entre A e l C a une valeur comprise entre B et G, done pour une certaine valeur x0 de (a, b — h) on a \f(x0) = C. Le theoreme des accroissements finis montre que dans (xQ, xt)-\- h) il existe une valeur c telle que Les fonctions derivees jouissent done de l'une des proprietes des fonctions continues. M. Darboux, dans son Memoire Sur les fonctions discontinues ( 2 ), a beaucoup insiste sur cette propriete. On avait pris, en France, l'habitude de definir une fonction continue celle qui ne peut passer d'une valeur a une autre sans passer par toutes les valeurs intermediaires, et Ton considerait cette definition comme equivalente a celle de Gauchy. M. Darboux, qui construisait dans son Memoire des fonctions derivees non continues au sens de Cauchy, a pu montrer que les deux definitions de la continuite etaient fort diflerentes (*). II est facile de citer des fonctions discontinues qui ne passent pas ( ! ) Ceci ne suppose pas que f\x) soit finic, mais seulement que f (x) soit toujours bien determinee en grandeur et signe. (2) A/males de VE cole Nor male, 1K75. (3) On me permettra de signaler qu'en 1908 on enseignait encore dans un lycee de Paris la definition critiquee des 1876 par M. Darboux. Cela est d'autant plus ^tonnant que la propriete qui est enoncee dans la definition de Cauchy est celle

qo

CHAPITRE VI.

d'une valeur a une autre sans prendre, une fois au moiiis, chaque valeur intermediate. C'est le cas de la fonction egale a s i n - pour x• =z= o et a n'importe quelle valeur de l'intervalle (—i, + i ) pour x — o. II est assez curieux qu'une fonction puisse jouir de cette propriete qui a ete prise pour definition de la continuite et etre cependant discontinue en tout point. Pour construire une telle fonction, j'ecris le nombre x, pris entre o et 1, dans un systeme de numeration, le systeme decimal par exemple : ai

a2

a*

10

io 2

io 3

Considerons la suite des chiffres de rang impair aK, a 3 , a 5 , . . .. Si elle n'est pas periodique, nous prendrons ®(x) = o; si elle est periodique, et si la premiere periode commence a a>la_K, nous prendrons ,r / . . v

a

^

JO JO

ln

IO 2

^

IO 3

IO 4

II est evident que la fonction rf(tc) ainsi delinie prend toutes les valeurs de (o, i) dans un intervalle quelconque si petit qu'il soit? done fs(x) est discontinue en tout point; d'ailleurs 'f(x) ne prend pas de valeurs exterieures a (o, i), done o(x) ne passe pas d'une valeur a a une autre b sans prendre toutes les valeurs de (o, i), et, a fortiori, toutes les valeurs comprises entre a et b. Tl faul aussi remarquer que, avec la definition critiquee par M. Darboux, la somme de deux fonctions continues n'est plus necessairement une fonction continue. En effet, si = sin -

pour

x T^ o

el

fi(o)

= i,

pour

x ^

et

/\2(o) — i ,

el si /\(x)~—sin-

o

les deux fonctions/« et f, nr peuvcuit passer (Tune valeur a une qui inlcivienl direclemenL dans presque touLes les domonstrations, Undis quo la proprict<' des foncLions continues ct derivees n'est i;ucre employee que dun^ le tlx ; orcme des subsiitutions el ses consequences.

LIXTEGRALE DEFIXIE A L'ArDE DES FOXCTIOXS PRIMITIVES.

91

autre sans prendre toutes les valours intermediaires et il n'en est pas de meme de /', -+-/':>, puisque /1-1-/2=0

pour

x^o

ct

/ 1 ( O ) - H / 2 ( O ; = 2.

La somme de deux ionetions derivees etant one fonction derivee, ily a lieu, d'apres la remarque preecdentc, d'enoncer eomme une propriete nouvelle ce fait que la somme de deux fonctions derivees ne peut passer d'une \aleur a une autre sans passer par toutes les valeurs intermediaires. On peut dire aussi que lit difference de deux fonctions derivees ne peut changer de signe sans s'annuler, ce qui\ si Ton songe a la representation geometrique, peut s'enoncer ainsi : Deux fonctions derivees ne peuvent se traverser sans se rencontrer. \ oici un exemple de l'applieation de cette propriete. Soit b(x) une fonction egale a la fonction o(x), page 90, quand 'f(x) n'est pas egale a x, et egale a o quand o (.r) — .i\ 'I ( x), comme cp ( x), ne peut passer dune valeur a une autre sans passer par toutes les valeurs intermediaires, le premier theoreme ne permet done pas d'affirmer que 'h(x) 11'est pas une fonction derivee ; mais, puisque 'l(x) traverse h\ fonction continue x dans tout intervalle et ne la rencontre cependant que pour x = o, la deuxieme propriete montre que 'l(x) n est pas une derivee. Avant de rechercher si la fonction cp( x) esl une derivec, je ^ais montrer comment un cas particulier important du theoreme de Scheeffer se deduit iminediatemont du theoreme de M. Darboux. Supposons que la derivee d'une fonction f(x) soit toujours bien determinee en g-randeur et signe (on ne suppose pas qu'elle soit fmie), alors si elle n'est pas to uj ours egale a un nombre donne A, Fensemble des valeurs de x pour lesquellcs f(x) est different de A a la puissance du eontinu. En effel, 011 ]jien/ v (.r ) est consUinte et la propriete est demontree, ou bien f'(x) prend deux valeurs B et G, et alors elle prend aussi tout(^s les valeurs comprises entre B et C qui sont toutes, sauf une peut-ctre, diflorentes de V. L'enssemble de ces valeurs de f'{x) diffcrentes de V ayant la puissance du eontinu, il en est de meme de l'ensemhlc des valeurs do x correspondantes. Ceci pose, si f(x) a toujours une derivee, et si cettc derivee est nulle, sauf peut-etre pour un ensemble denombrable de valeurs

n-2

CHAP1TRE VI.

de x, on peut affirmer qu'elle est to uj ours nulle. C'est le theoreme cle Scheeffer, dans un cas particulier. Revenons a la fonction o(x). Est-elle une derivee? Les deux theoremes precedents ne semblent pas fournir facilement une reponse a cette question. Une premiere methode consiste dans Implication d'un theoreme demontre precedemment; une fonction derivee bornee a le meme maximum que Ton neglige ou non ies ensembles de mesure nulle ( ' ) . II n'est pas difficile de demontrer que cp(o?) n'est differente de zero que pour un ensemble de valeurs de x de mesure nulle (voir p. 109), v(x) n'est done pas une fonction derivee. Ce resultat peut etre obtenu d'une tout autre maniere. Une derivee ne peut pas etre discontinue en tout point, et 'f(x) est discontinue en tout point. Cette propriete des fonctions derivees resulte dun theoreme du a M. R. Baire. ff(x) est la limite, pour A = o, de la fonction r[f(x), x, x -f- h] continue en x quand h est constant; c'est done une fonction de premiere classe, e'est-a-dire une fonction limite de fonctions continues. Or M. Baire a demontre que si Ton considere une fonction de classe T sur un ensemble parfait quelconque, il existe des points ou elle est continue sur cet ensemble parfait; en d'autres termes, elle est ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait ( 2 ).

111. — L integrate deduite des fonctions

primitives.

Dans beaucoup de cas nous savons, sans le secours de l'integration, reconna'itre si une fonction donnee est une derivee et nous pouvons aussi esperer irouver sans integration la fonction primitive d'une derivee donnee. Precedemment nous resolvions ces questions en nous servant de 1'integrale definie; on peut se demander si, inversement, nous ne pourrions pas definir Fintegrale a J'aide
L'INTEGRALE DEFINIE A L'AIDE DES FONCTIONS PRIMITIVES.

03

Serret ( 1 ). Pour ces auteurs ane fonction f(x) a une integrate dans (a, b) lorsqu'elle admet dans (a, b) ane fonction primitive §(x). Cette integrate \ba est, par definition,

Cette definition lVest pas equivalente a la definition de Riemann. D'une part, il existe, nous le savons, des fonctions integrables, an sens de Riemann, qui ne sont pas des fonctions derivees; d'autre part, il existe, coramc nous allons le \oir, des fonctions derivees non integrables au sens de Riemann. Le premier exemple de telles fonctions est du a M. Volterra (Giornale de Battaglini, 1881); voici comment on l'obtient : Soit E un ensemble parfail non dense qui ne soit pas un groupe integrable, page 43. Soit (a, b) un intervalle contigu a E, consi^ derons la fonction cp(x, a) = ( x — a)2 sin

x — a'

sa derivee s'annule une infinite de fois entre a et 6, soit a -+- c la plus grande valeur de x non superieure a qui annule cp;. Ceci pose, nous definissons une fonction F(x) par les conditions suivantes : elle est nulle aux points de E; dans tout intervalle (a, b) contigu a E, elle est egale a o(x,a) de a a a-f-c; de a -+• c a b — c la fonction F est cons tan te et egale a cpCa + c, a); de b — c a 6, F est egale a — -i{x,b). Cette fonction F(x) est evidemment continue. Elle a une derivee; ceci est evident pour les points qui n'appartiennent pas a E; soit x0 un point de E, le rapport /*[F(#), %<>, &o-+- h] est nul si X{) + li e s t point de E. Si x0 -+- h n'est pas point de E, il appartient a un intervalle contigu a E, soit a celle des extremites de cet intervalle qui est dans (.r0, . r o + A ) ; on a evidemment h) \r[F(x),

xo< r/- () -h h\\

=

h

(xo-h h — a) 2 \h\

done Fi (x) a une derivee nulle en tous les points de E. (l) En realile Duhamcl ct Serret ne consideraient guere que des fonctions continues. Pour ces fonctions, d'apres cc qui precede, leur definition est equivaJente a celle de Caiuhy.

Q4

CIIAPITRE VI.

La derivee F ; de F est bornee, car la derivee de ^ - s i n - , qui est liulle pour x — o, et qui, pour x different de zero, est egale a ix

.

sin

i

x

i

cos — ?

x

est bornee. Cependant cette derivee F ; n'est pas integrable, au sens de Riemann, car en tous les points de E le maximum de F est + i et son minimum est — i , puisqu'il en est ainsi pour x — a et o'(x, a ) ; or E par hypothese n'est pas un groupe integrable. Par une application convenable du principe de la condensation des singularities, on obtient une fonction derivee qui n'est integrable dans aucun intervalle si petit qu'il soit ( ' ). La definition de Duhamel s'applique done a des fonctions bornees auxquelles ne s'applique pas la definition de Riemann; de plus, la definition de Duhamel s'applique a des fonctions non bornees, car il existe des derivees non bornees, mais toujours finies, la derivee de 3;-sin — * par exemple. X"

A la definition de Duhamel et Serret on peut appliquer la generalisation employee par Cauchy et Dirichlet. Je ne m'occuperai pas de cette generalisation ni, pour le moment du moins, de la suivante, qui contient comme cas particulier la definition de Riemann et celle de Duhamel pour les fonctions bornees : Une fonction bornee f(x) est elite sommable, s'il existe une fonction a nombres derives bornes F(x) telleque F(x) admette f(x) pour derivee, sauf pour un ensemble de valeurs de x de mesure nulle. L!integrate dans (a, b) est aloj-s, par definition, Adoptons sans generalisation la definition de Duhamel et Serret. L'integrale de Duhamel (integrale D) jouit de certaines des proprietes de l'inlegrale de Riemann. (1) M. Kopke a construit des fonctioas derivables a derivees bornees s'annulant dans tout intervalle. Ces derivees ne sont evidemment pas integrables. (2) Comparez avec la page 83, ou, des que / est donnee, on sait en quels points on n'a pas necessairement F'(^) =f(x)\ ici, au contraire, on ne le sait pas. Les diflen-ntes fonctions V (x) correspondant a une meme fonction f(x) ne different que par une constante additive.

LINTEGRALE DEFINIE A LA1DE DES FONCTSONS PRIMITIVES.

Q5

On a La somme de deux ionctioiis integrables D est integrable D et a pour integrate la somme des integrates; mais le produit de deir\ fonctions integrables D n'est pas necessairement integrable D (' ). Une serie uniformement convergente de fonctions integrables D est une fonction integrable D et Integration peut etre effectuee terme a terme; e'est la proposition de la page 85. De celle de la page 86 on deduit qae si des fonctions integrables D, fn{oc)1 tendent en croissant vers une fonction integrable D, / ( # ) , l'integrale de fn tend \ers celle de /*, en croissant s'il s'agit d'un intervalle d'integration positif* La proposition analogue pour les integrales de Riemann est \raie. Nous calquerons la demonstration sur celle de la page 86. Conservons les notations de cette page 86. f u^ u2j . . . sont maintenant des fonctions integrables positives, 31 U, • • • sont celles de leurs integrales indefinies qui s'annulent pour I'origine a de l'intervalle considere. On a evidemmenty^^, d'ou J > S^, et puisque les S^ croissent la serie des U est convergente. L'accroissement de J, dans un intervalle positif quelconque, est au moins egal a celui de S^, done a celui de F et F est a nombres derives bornes. Pour montrer que F = rT, il suffit de montrer que ces deux fonctions ont meme derivee partout, sauf pour un ensemble de valeurs de x de mesure nulle. En tout point o u / , u^ u2j . . . sont toutes continues, 3, U1? U2, . . . ont des derivees et le raisonnement de la page 87 montre qu'en ces points F a memo derivee que 3. Mais les points ou / nest pas continue forment un ensemble de mesure nulle E ( / ) , les points de discoiitinuite de m forment l'ensemble de mesure nulle E(i//J; la reunion de tous ces ensembles donne un ensemble de mesure nulle E. Et Ton a F 7 = 3\ sauf peut-etre aux points de E. De la se deduit le theorems : Lorsque des forte lions integrables fn tendent en croissant

I1) Par cxemple le produit x ha^sin x- ) n'est pas inLegrable D. \

/

q6

CHAPITRE VI.

vers line fonction integrable / , Vintegrate defn tend vers celle

de/C). Nous devons nous demander maintenant quels services peuvent rendre les integrales au sens de Duhamel et Serret. Ges integrales ne peuventrendre aucun service dans la recherche des fonctions primitives, puisqu'elles supposent cette recherche effectuee, mais les integrales au sens de Riemann servent surtout a calculer les limites de sommes. Le raisonnement de la page 78 montre qu'une integrate D est une limite de somme; on peut done esperer se servir de ces integrates pour le calcul des limites de somme. Nous avons vu, page 63, que cela etait effectivement possibte, puisqu'il a ete demontre que la longueur d'une courbe etait Fintegrale D de \]x'- +yhl-\- zf2, toutes les fois que cette integrate existe ( 2 ). De nouvelles etudes sur l'integrale sont cependant necessaires, car nous n'avons pas encore resolu le probleme de la recherche des fonctions primitives; d'ailleurs, pour le calcul de la longueur d'une courbe ayant des tangentes, I'une et l'autre integration sont msuffisantes (:M( J ) On peut remarquer que cette propriete reste vraie s'il s'agit de fonctions integrables d'apres la generalisation indiquee page 94. ( 2 ) Je ne puis que signaler une autre application des integrales D : lorsqu'une fonction derivee bornee admet un developpement trigonometrique, les coefficients de ce developpement sont donnes par Tes formules connues d'Euler et Fourier, les integrales qui figurent dans ces formules etant des integrales D. J'ajoute qu'il existe effectivement des fonctions derivees bornees, non integrables au sens de Riemann, qui admettent un developpement trigonometrique. Pour la demonstration de ces proprietes, on pourra se reporter a un iMemoire Sur les series trigonometriques que j'ai publie dans les Annales de I'Ecole Normale (novembre 1903). ( 3 ) II est facile de voir que i/

1-h (.2?2sin --) n'est pas une derivee exacte. On

pourra pour le voir, soit developper ce radical en serie de Laurent, soit utiliser les resultats qui seront obtenus plus loin. Partant de la, on demontrera sans peinc que la quantite / I + F ' ( J P ) ' - ! , 011 F est la fonction a derivee non integrable d<> M. Volterra, n'est integrable ni au sens de Riemann, ni au sens de Duhamel. La courbe y = F(x) ne peut done etre rectifiee ni par Tune, ni par Taulre des deux methodes employees. Pour I'application indiquee clans la Note precedente, les deux integrations sont aussi insuffisantes, comme on le voit en considerant la somme d'une derivee non integrable representsble trigon<»metri(juement, et d'une fonction non derivee rcpresentable trigonometriquernent.

DKFINIK

\ I/AIIH-

I>HS F U N C T I O N S

PIUAI I T l \ i : S .

97

Jajonte encore quo si les deux integrations quo nous a\ons etudiees paraissont en yoneral suClisantos, cola ti(;nl uniqueinenl ace que, prosquo toil jours, on sc restroint de parti pris a la consideration des fonotions continues cl nn'inc souvent a la consid<Mcition des foiictions analvh(|uos.

L.

CHAPITRE VII. LES

FONCTIONS SOMMABLES.

1. — Le probleme

d'integration.

Les applications classiques de l'integration des fonctions continues, les applications faites precedemment de Integration au sens de Riemann ou au sens de Duhamel et Serret, suffisent pour rnettre en evidence le role de certaines proprietes simples, consequences de toutes les definitions de 1'integrale deja etudiees, et pour convaincre que ces proprietes doivent necessairement appartenir a l'integrale, si Ton v'eut qu'il y ait quelque analogie entre cette integrate et l'integrale des fonctions continues. G'est pourquoi nous nous proposons d attacker a toute fonction bornee (*) / ( # ) , definie dans un intervalle fini (a, 6), positif, negatif ou nul? un nombre fini,

I f(x)dx,

que nous

Ja

appelons Uintegrate de f(x) dans (a, b) et qui satis/ait aux conditions suwantes : 1. Quels que soient a, 6, A, on a I f(x)dx= J a

/

f(x — h) dx.

J a •+- h

2. Quels que soient a, 6, c, on a

rb

/ f(x)dx-h Ja

rc

ra

/ j\x) dx -f- / f\x) dx = o. Jb Jc

O.

/

[f{oc) + y(x)]dx = \ j\x)dx-+-

/

v(x)dx.

(l) Le mot bornee est neccssaire si Ton veat que Pinlegrale soit toil jours ftnie.

LES FUNCTIONS SOMMABLES.

i. Si Con a/^o

5. On a

99

et b >
Jtl '

( =0

'

A

i x dx = i. 0

6. Sifn(x) tend en croissant versj'(x), V integrate de fn(x) tend vers celle de /(or). La signification, la necessite et les consequences des cinq premieres conditions de ce probleme d9integration sont a peu pres evidentes; nous ne nous y etendrons pas. La condition 6 a une place a part. Elle n'a ni le meme caractere de simplicite que les cinq premieres ni le meme caractere de necessite [[ ). De plus, tandis qu'il est facile de construire des nombres satisfaisant a quatre quelconques des cinq premieres conditions, sans satisfaire a toutes les cinq, ce qui montre que ces cinq conditions sont independantes, on ne sail pas si les six conditions du probleme d'inte^ration sont independantes ou non ( 2 ). En enoncant les six conditions du probleme d'integration, nous definissons 1 integrale. Cette definition appartient a la classe de celles que Ton pent appeler descriptives; dans ces definitions, on enonce des proprietes caracteristiques de l'etre que Ton veut definir. Dans les definitions constructives, on enonce quelles operations il faut faire pour obtenir l'etre que Ton veut definir. Ce sont les definitions constructives qui sont le plus souvent employees en Analyse; cependant on se sert parfois de definitions descriptives ( 3 j ; la definition de Fintegrale, d'apres Riemann, est (*) Elle parait si peu nccessaire qu'elle est generalement inconnue, meme pour le cas ou f
I00

CHAPITRE VII.

constructive, la definition des fonctions primitives est descriptive. Lorsque Ton a enonce une definition constructive, il faut dcmontrer que les operations indiquees dans cette definition sont possibles; une definition descriptive est aussi assujettie a certaines conditions : il faut que les conditions enoncees soient compatibles ( 1 ). Le procede jusqu'ici toujours employe pour demontrer que des conditions sont compatibles est le suivant: on choisit dans une classe d'etres anterieurement definis des etres jouissant de toutes les proprieties enoncees. Cette classe d'etres est generalement la classe des nombres entiers ( 2 ); on admet que la definition descriptive de ces nombres ne contient pas de contradiction. 11 faut aussi etudier la nature de Finde termination des etres que Fon vient de definir. Supposons, par exemple, que Fon ait demontre Fimpossibilite de Fexistence de deux classes differentes d'etres satisfaisant aux conditions indiquees, et que, de plus, on ait demontre la compatibilite de ces conditions en choisissant une classe d'etres y satisfaisant; cette classe d'etres sera la seule definie, de sorte que la definition constructive qui a servi a effectuer le choix est exactement equivalente a la definition descriptive donnee. Nous allons rechercher une definition constructive equivalente a la definition descriptive de Fintegrale ( 3 ). On demontrera d'abord sans peine en s'appuyant sur les conditions 3 et \ que Fon a la condition S

(S)

/ kf(x)dx = k I fix ) dx,

termes d'une science quand on veat conslruire cette science d'une facon purement logique et abstraite. Voir la These de M. J. Drach (Annales de I'Ecole Nor maley 189S) et le Memoire de M. Ililbert sur les fondements de la Geometric {Annales de I'Ecole Nor male, 1900).

(*) CVst-a-dire qu'aucune de leurs consequences ne suit de la forme : A est non A. II y a lieu aussi, comme je Tai deja dit, de rechercher si les conditions sont independantes. ( 2 ) Voir le Memoire deja cite de M. Hilbert. G'est paree que Ton peut demontrer la compatibilite des conditions enoncees dans les definitions descriptives des premiers termes de la Geometric a Taide du systeme des nombres entiers qu'il est leyitime de dire que la Geometric peut clre tout entiere construite a partir de 1'idee de nombre. ( 3 ) En se plaeant au meme point de vue, on peut dire que les travaux exposes dans eel Ouvra^e ont pour but principal la recherche d'une definition constructive equivalent a la delinition descriptive des fonctions primitives.

LES FONCTIONS SOMMABLKS.

IOi

lorsque A* est une constante. Ceci pose, soil f(x) une fonction quelconque, nous designerons par E[a < / ( . / • ) < p] l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles on a < * < / ( # ) < P , et par ) = a] l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles on a /() Soit (/, L) l'intervalle de variation de f{x) (M; partageons cet intervalle en intervalles partiels a Faide des nombres J o = ' < ' i < * 2 < . . . < * » =

L,

supposons que /z-+1 — (( ne soit jamais superieur a s. Designons par J^(/=<>, 1, 2, . .., n) la fonction egale a 1 quand x appartient a E[f[x) = //], ou a E[/, < / ( . r ) < / z + l ] ? et nulle pour les autres points; designons par Wi(i = o, J, .. ., n) la fonction egale a 1 quand x appartient a E [ / ^ 1 <^f\x) << ^ ] 7 ou a E [ / \ x ) = l(\ et nulle pour les autres points. On a evidemment

Lorsque nous sauroiis integrer les fonctions J> qui ne prennent que les valeurs o et 1, nous en deduirons, grace aux conditions 3 et S, les integrales des 'f(x) et ( &(^), lesquelles comprennent 1 integrale de f(x) (conditions 3, 4) ( 2 ). De plus 'f(x) el&(x) different d e / ( . r ) de e au plus, done tendent uniformement vers f{x) quand £ tend vers zero ; il est facile d'en conclure que leurs integrales tendent vers celle def(x). En effet, si les limites inferieure et superieure de g(x) sont / et L, d'apres 3 et -4, / g{x) dx est comprise entre rb

I ldx=l •Ja

rb

f.b

dx Ja

et

rb

Ldx = L Ja

J

dx; «-

faisons maintenant #(&) — f(x) — r±{oc), on a

( J ) Eo d'autres Lcrmcs, / e t L sout les limites infcii<'ure et superieure de f(x). ( 2 ) On suppose ici, pour quelqucs instants, le problems d'integration possible.

102

CHAPITRE VII.

done Fintegrale de g(x) est inferieure en module a e / dx, quantite qui tend vers zero avec e. Pour savoir caiculer I'integrate d' une fonction quelconque, il sitffil de savoir calculer les integrales des fonctions & qui ne prennent que les valeurs o et i. 11 faut remarquer que nous avons demon tre incidemment la possibilite d'integrer terme a terme les series uniformemeht convergentes, si le probleme d'integration est possible. La quantite / dx qui figure dans la demonstration precedents se calcule facilemcnt; en se servant de 1, de 2 et de 5, on voit qu'elle est egale a b — a. Si la fonction f(x) est comprise entre / et L, son integrate dans (a, b) est comprise entre l(b — a) et L(6 — a); e'est le theoreme de la moyenne. Si nous appliquons ce theoreme apres avoir decompose (a, b) en intervalles partiels, nous trouvons que / f(x)

dx est comprise

entre les sommes qui servent a definir les integrates par defaut et par exces; Vintegrate esl done comprise entre les integrales par defaut et par exces. En particulier, si le probleme d'integration est possible, pour les fonctions integrables an sens de Riemann, il n'admet pas d'autre solution que Fintegrale de Riemann.

11. — La mesure des ensembles. Occupons-nous maintenant desfonctions
LES FONCTIONS SOMMABLKS.

103

une droite sont dits egaux si, par le deplacement de Fun d'eux on peut les faire coincider, qu'un ensemble E est dit la somme des ensembles e si tout point de E appartient a Tun au moins des e ( 1 ). Voici la question a resoudre : Nous nous proposons d7attacker a chaque ensemble E borne, forme de points de ox, un nombre positif ou nul, m(E), que nous appelons la mesure de E et qui satisjait aux conditions suivantes : 1'. Deux ensembles egaux ont meme mesure; 2'. U ensemble somme d7 un nombre fini ou d7 une infinite denombrable d'ensembles, sans point commun deux a deux, a pour mesure la somme des mesures; 3'- La mesure de I'ensemble de tons les points de (o, i) est i. La condition 3' remplace la condition o; la condition 2' provient de Implication des conditions 3 et 6 a la serie

dans laquelle tous les termes et la somme sont des fonctions ^; quant a la condition V c'est la condition 1. Une explication est cependant necessaire; il y a deux especes d'ensembles egaux : ceux que Ton peut faire coincider par un glissement de ox et ceu\ que Ton peut faire coincider par une rotation de T: autour d'un point de ox; c'est aux premiers seulement que s'applique la condition lr. Je n'ai pas mis cette restriction dans l'enonce parce que, dans les raisonnements suivants, on peut s'astreindre a ne pas emplojer d'autres deplacements que des glissements et cependant on obtiendra toujours pour deux ensembles egaux de Tune ou Fautre maniere des mesures egales ( 2 ). Une consequence simple des conditions I1\ 2', 3r est que tout (*) 4vec notre definition les e peuvent done avoir des points comrauns. ( 2 ) Toutes les conditions du probleme d'inte^ration pour les fonctions <\> sont exprimees; mais on pourrait craindre que cela ne suffisc pas pour que les integrales des fonctions queJconques, qui sont determinees des que les integrales des fonctions t|> le sont, satisfassent aussi a ces conditions. Ge qui suit montre que ces craintes ne sont pas justifiees. On pourrait le deinontrcr des a present, sans se servir de la valeur de I'int<> grale des fonctions ^, et l'on pourrait aussi demontrer que, si 1'on supprime les

CHAP1TRE VII.

interval]e positif (a, b) a pour mesure sa longueur b — a, que les extremites fassent ou non partie de l'intervalle ( ' ) . Si Ton se reporte au Ghapitre III, on \oit immediatemcnt que, si le probleme de la mesure est possible, on a

pour les ensembles mesurables J le probleme de la mesure est possible au plus d'une maniere et la mesure est l'etendue au sens de M. Jordan. Soit maintenant un ensemble quelconque E, nous pouvons enfermer ses points dans un nombre fini ou line infinite denombrable d'intervalles; la mesure de l'ensemble des points de ces intervalles est, d'apres 2', la somme des longueurs des intervailes; cette somme est une limite superieure de la mesure de E. L'ensemble de ces sommes a une limite inferieure /n e (E), la mesure exterieure de E, et Ton a evidemment

Soit CAB(E) le eomplementaire de E par rapport a AB, c'esta-dire l'ensemble des points ne faisant pas partie de E et faisant partie d'un segment AB de ox contenant E. On doil a^>ir ( ) H

J?I[CAI$(EV| =

m(AB),

done m (E) = »KAB)- /n[GAB(E)]^m(ABi — mc[ C A H(E)]; la limite inferieure ainsi trouvee pour /?z(E), limite qui est necessairement positive ou nulle, s'appelle la mesure interieure de E? m;(E); elle est evidemment superieure on au moins egale a L'etendue interieure de E. Pour comparer les deux nombres me, nil, nous nous servirons d'nn theoreme du a M. Borel : Si I'on a une faniille d'intervalles A tels que tout point d'un inlervalle (a, b),y compris a et b, soit interieur a run au moins mols ou d'une infinite de'nonibrable dans l2', on a un nouveau probJeme de la mesurc qui correspond completemenl au probleme cTintegralion pose avec les eoridiLi(»ns 1, k2, )i, -i, ') suns la condition (i. Ceci w ete deja exprime par Tegalite

/

dx — b — a.

LES FONCTIONS SOMMABLIiS.

[ 05

des A, il existe une famille formee d'un nombre fini des intervalles A et qui jouit de la me me propriety [tout point de (7/, b) est interieur a run d'eux\ Soit (a, P) run des intervalles A contenant a, la propriete a demontrer est evidente pour J'intervalle (a, ./), si x est compris entre a et [3; je veux dire que cet intervalle peut etre couvert a Paide d'un nombre fini d'intervalles A, ce que j'exprime en disanr que le point x est atteint. II faut demontrer que b est atteint. Si x est atteint, tous les points de (a, x) le sont; si x n'est pas atteint aucundes points de (.r, b) lieFest. II y a done, si b n'est pas atteint, un premier point non atteint, on un dernier point atteint; soit x0 ce point. II est interieur a un intervalle A, (a1? (3,). Soient a?! un point de (a,, .r), .r2 un point de (#, j ^ ) ; ,rl est atteint par hypothese, les intervalles A en nombre fini qui servent a l'atteindre, plus l'intervalle (a,, (3,) permettent d'atteindre x2^>x0; x() n'est ni le dernier point atteint, ni le dernier non atteint; done b est atteint ( J ) . Du theoreme de AJ. Borel il resulte que si Von a couvert tout un intervalle (a, b) a Vaide d'une infinite denombrable d'intervalles A, la somme des longueurs de ces intervalles est au moins egale a la longueur de Vintervalle (a, b) ( 2 ). En elfet, (l) M. Borel a donnu, dans sa These et dans ses Lecons sur la theorie des foncliom, deux demonstrations de ce theoreme. Ces demonstrations supposent essentiellement que lensemble des intervalles A est denombrable; cela suffit dans quelques applications; il y a cependant interet a demontrer le Llieoreme du texte. Par exemple, pour les applications que j'ai faites dans ma These du theoreme de M. Borel, il etail necessaire qu'il soit demontre pour un ensemble d'intervalles A ayant la puissance du continu. On a deduit du theoreme, tel qifil est enonce dans le texte, une jolie demonstration de I'uniformite de la continuity. Soit f(x) une fonction continue en fous les points de («, b), y compris a et b\ chaque point de ( a , b) est, par definition, interieur a un intervalle A dans lequel I'uscillation de f(x) est inferieure a s. A l'aide d'un nombre fini d'entre eux, on peut couvrir (a, b); soit / hi longueur du plus petit intervalle A employe, dans tout intervalle de longueur I ('oscillation de / est au plus ae, car un tel intervalle empiete sur deux intervalles A au plus; la continuite est iiniformc. Cette application du theoreme complete fait bien comprendrc, il me semble, tout I'usage quYm en peut fa ire dans la theorie des fonctions. ( 2 ) Si, comme je le suppose dans la demonstration, on admet que tout point de (a, b) est interieur a l'un des A, on peut remplacer au moins egale par superieure.

l0

6

CHAPITRE VII.

on peut aussi couvrir (a, b) a l'aide d'un nombre fini des intervalles A etle theoreme, etant evidemment vrai quand on ne considere qae ces intervalles en noinbre fini. Test a fortiori quand on considere tous les intervalles A. Reprenons maintenant Tensemble E et son complementaire CAB(E). Enfermons le premier dans une infinite denombrable d'intervalles a, le second dans les intervalles (3, on a

puisque AB est couvert par les intervalles a et (3. De la, on deduit me{E) Z w(AB) me(E) > m/(E).

I ni(AB), —me[Gkb(E)],

La mesure interieure n'est jamais superieure a la mesure exterieure. Les ensembles dont les deux mesures exterieure et interieure sont egales sont dits mesurables et leur mesure est la valeur commune des me et mz- ( i ) . II reste a reehercher si cette mesure satisfait bien aux conditions 1/, 2', 3'. Cela est evident pour 1' et 3', reste a etudier la condition 2 ; ( 2 ). ( ! ) C'est seulement pour ces ensembles que nous etudierons le probleme de la inesure. Je ne sais pas si Ton peut definir, ni meme s'il existe d'autres ensembles que les ensembles mesurables; s'il en existe, ce qui est dit dans le texte ne suffit pas pour affirmer ni que le probleme de la mesure est possible, ni qu'il est impossible pour ces ensembles. ( 2 ) La definition geometrique de la mesure permet non seulement de comparer deux ensembles egaux, mais aussi deux ensembles semblables. Le rapport des mesures de deux ensembles semblables de rapport k est |A|. C'est une condition qu'on aurait pu s'imposer a priori; il lui correspond pour le probleme d'intcgration la condition Sj

(S.)

C /(.r) dx = k f f{kx)

dx.

Les conditions S (p. ioo) et S, constituent ce qu'on peut appeler la condition de similitude, elles font connaitre ce que devient une integrale par les transformations . r , = /-.r, /,(.r) =A'/(.r). Peut-eLre pourrait-on remplacer la oondilion 6 par des conditions de cette nature.

LES FONCTIONS SOMMABLES.

l0

7

Soient E M E 2 , . . . des ensembles mesurables, en nombre fini ou denombrable, n'ayant deux a deux aucun point commun, et soit E l'ensemble somme. On peut enfermer E/ dans une infinite denombrable d'intervalles a; et C AB (E/) dans les intervalles (3/ de maniere que la mesurc des parties communes aux a/ et (3/ soit egale a £,; les e* etant des nombres positifs cboisis de maniere que la serie 2e, soit convergente et de somme s. Soient o^, (^ les parties des ou et (32 qui sont contenues dans les intervalles (3,, soient a'3, J3'3 les parties des a 3 , J3;{ qui sont contenues dans les (3^ et ainsi de suite. E; est enferme dans a'-. E est done enferme dans 2, -4- a', -|-. . ., sa mesure exterieure est done au plus egale a la somme / n ( a , ) -j- /^(a'.j -4- ?n(y.\) 4-. . . = 5; evaluons cette somme. On a evideminent m ( aj-) -1- m ( Pi) 1

/H (,P/_ X

) H- £/,

et ceci suffit pour montrer que la serie 6* est convergente; d'ailleurs on a done 5 est comprise entre S /w(E/) et 2L m(E/) 4- s. Cela donne

Le complementaire de E, C A1] (E), peut etre enferme dans j ^ - ; or ^- a, en commun a\cc a, -t- y'.2 -+- a'{ -+-..., les intervalles a|.+ i_l_ 7.^.,+. . ., plus une partie des intervalles communs a a l ? p,, une partie de ceux communs i» a., .{32, . . . , une partie de ceux communs a a/, [i/. [i'£ a done une mesure au plus egale a

et, par suite, /« tf [G A B(E)lim(AB) -- Sm(E/), e'est-a-dire m / ( E ) ^ 2 m(E/). L'ensemble E e^t done mesurable ct dc mesure ^ / ^ ( E / ) , la condition 2 ; est bien verifier. L'ensemblo des ensembles mesurables contient l'ensemble des

I08

CHAPITRE VII.

ensembles mesurables J, mais il est beaucoup plus vaste, comme on va le voir. On peut en effet, sans sortir de l'ensemble des ensembles mesurables, effectuer sur des ensembles mesurables les deux operations suivantes : I. Faire la somme (Tune infinite denombrable d'ensembles; II. Prendre la partie commune a tous les ensembles d'une famille contenant un nombre fini ou une infinite denombrable d'ensembles. Pour le demontrer, remarquons d'abord que la seconde operation ne differe pas essentiellement de la premiere, car si E est la partie commune a E,, E 2 , . . . , C(E) est la somme de C(E.,), C(E 2 ), II suffit done de s'occuper de la premiere; soit E = Ex-4- E2-+- E 3 H - . . . .

Si E| est l'ensemble des points de E/ ne faisant pas partie de E, -+- E 2 4- • • - + E/_ i, on a

les termes de la somme etant sans point commun deux a deux. Or, il est facile de voir que E!, est mesurable; en effet, enfermons IL{ dans les interfiles a,, C(E, ) dans les intervalles • }<, E 2 dans a 2 , C ( E 2 ) dans [i2 et soient 3, et s2 les longueurs des parties communes aux a, et (3, d'une part, a i n a 2 et J32 d'autre part. Si a'.,
est mesurable, done que E':p partie de E 3 n'apparlonant pas al'eiisemble mesurable E t + E 2 , est mesurable et ainsi de suite. Tous les E; sont mesurables, E Test (• ). Un intervallc oUuit un ensemble mesurable, en appliquant les ( l ) Si E t contienl E,, on pt'uL parler dc lour diHoronco E, — E2. Cette differenoo osL mrsurable si EL el E, le sont, car d i e esl Ja panic commune a E, et C(K)

LES FUNCTIONS SOMMABLtiS.

J

°9

operations I et II un nombre fini de fois a partir d'intervalles nous obtenons des ensembles mesurables; ce sont ceux-la que M. Boiel avait nommcs ensembles mesurables, appelons-les ensembles mesurables B. Ce sont les plus imporlants des ensembles mesurables; tandis que, pour un ensemble quelconque, nous pouvons seulement affirm or Texistence des deu\ nombres mn m^ sans pouvoir dire quelle suite d'operations il faut effectuer pour les calculer, il est facile dVi\oir la mesure d'un ensemble mesurable B en suivant pas a pas la eonstruciion de eel ensemble. On se servira de la propriete *>J Unites les fois qu'on lUilisera Toperation I; quand on se servira de l'operation II, on emploiera un theoreme donl la demonstration esl immediate : La mesure de la parlie commune a des ensembles E,, E 2 , . . est la limite de m(E/) si chacjue ensemble Etconlient tous ceu.r cVindice plus grand ( ' ) . Les ensembles fermes sont mesurables B paree qu'ils sont les complementaires ddisembles formes des points interieurs a un nombre fini ou a une infinite denombrable d'intervalles. Soit E un tel ensemble, la mesure de son com piemen taire est evidemment Tetendue interieure de ce complementaire, done la mesure d'un ensemble ferme est son etendue exterieure. De la decoule la propriete qui nous a servi : un ensemble ferme de mesure nulle esl un groupe integrable (p. 29). Commo application de ees considerations theoriques, calculons la mesure de 1'ensemble E des points de (o, 1) tels cjue la suite de leurs chiflfres d^eimaux de ran^ impair soit periodique (p. 92). Soit ./• =

— H 10

'- H io2

.; \o>

i1) L'ensemble des rnscmliles mesurables B a la puissance du enntinu, il existe don<; d'autres ensembles mesurables que les easembles mesurables B; mais cela ne vent pas direqu'il soit possible de delinir un ensemble non mcsurable B, e'est-a-dire de prononeer un nombre fini de mots caraelerisant un el un soul ensemble non mesurable B. Nous ne rencontreLons jamais que des ensembles mesurables B. i\l. Borel avaiL indique (note 1, pa^c 48 des Lecons sur la Uieorie des fonctions) les principes ijui nous onl guides dans la ihcorie de la mesure.

110

CHAPITRE VII.

un tel nombre, ecrivons-le

y est rationnel, l'ensemble des nombres y est denombrable. A chaque nombre rationnel y correspond un ensemble de nombres x ayant meme mesure que l'ensemble des nombres z dont les chiffres de rang impair sont nuls. Pour demontrer que E est mesurable et de mesure nulle, il suffit done de demontrer que Fensemble des nombres z jouit de cette propriete. Or cet ensemble s'obtient en enlevant de (o, i) l'intervalle (—9 i j , puis de (0, — J les intervalles ( — H

v IO 3

\lO2

P

0*

) > ou p est un entier inferieur a 10,

IO 2

/

> -^ ^ H puis de chaque intervalle restant \—00-> 2 1

\ J O 22

^

-^—I—^—1—L , JL—<_. 2 102

io 4

103

102

\ow

10 2

) les intervalles I OV

L ), et ainsi de suite. A chaque opej

n

r

ration nous enlevons les — des intervalles qui restent. L'ensemble des z est done mesurable B et de mesure nulle. III. — Les fonctions

mesurables.

Pour que les considerations precedentes nous permettent d'attacher une integrate a une fonction /(.?'), il faut que, si petit que soit £, nous puissions trouver les nombres // (p. 101) tels que, ou les fonctions
=i)

=

E(s)

est mesurable ; or quand on donne a £ une suite de valeurs decroissantes tendant \ers zero s i5 £L>1 ... ? on a

done E[a [i] est mesurable.

LES FONCTIONS SOMMABLES.

Ill

Nous dirons quhine fonction bornee ou non est mesurable si, quels que soient a et (3, Vensemble E [ a < ^ / ( # ) <; ft] est mesurable, Lorsqu'il en est ainsi Fensemble E[f(x) = a] est aussi mesurable, car il est la partie commune aux ensembles £ [ a - - h < / ( > ) < a + h] quand k tend vers zero. On verrait aussi que, pour qu'une fonction soit mesurable, il faut et il suffit que l'ensemble E [ a < / ( ^ ) ] soit mesurable, quel que soit a. La somme de deux fonctions mesurables est une fonction mesurable, Soient les deux fonctions mesurables f\ et / 2 ; a tout nombre e faisons correspondre une division de leur intervalle de variation, fini ou non, a Taide de nombres //, tels que l(+{ — It soit au plus egale a e, et considerons les ensembles E/y-de valeurs de .r, tels que Ton ait

La somme E (s) des ensembles E;y est mesurable, puisque chacun d'eux Test; et si Ton donne a e des valeurs £^ tendant vers zero, on a

done f\-\-f-2 est une fonction mesurable. On demontrerait de meme que Ton peut efFectuer, sur des fonctions mesurables, toutes les operations dont il a ete parle au sujet des fonctions integrables (p. 3o) sans cesser d'obtenir des fonctions mesurables. Mais il y a plus : la limite d'une suite convergente de fonctions mesurables est une fonction mesurable; si fn tend vers / , l'ensemble E[f(x) > a] est la somme des ensembles En, E/2 etant la partie commune aux ensembles E[fn(x) > a], E[/ / 2 + 1 (x) > a], . . ., et tous ces ensembles sont mesurables si les fonctions/,/ sont mesurables. Appliquons ces resultats; les deux fonctions / — const., / = x sont evidemment mesurables, done tout polynome est mesurable. Toute fonction limite de polynomes est aussi mesurable : done, d'apres un theoreme de Weierstrass, toute fonction continue est mesurable. Les fonctions discontinues limites de fonctions continues, que M. Baire appelle fonctions de premiere classe, sont mesurables. Les fonctions qui ne sont pas de premiere classe et qui sont limites de fonctions de premiere classe (M. Baire les

CHAP1TKH

VII.

appelle fonctions de seconde classe) sont des fonctions mesurables. Remarquons encore qae les fonctions ainsi formees de proche en proche sont mesurables B, c 7 est-a-dire que les ensembles qui leur correspondent sont mesurables B ; ce sont ces fonclions que nous rencontrerons uniquement (*). On peut souvent demontrer qu'une fonction est mesurable en sr servant de la propriete suivante : si en faisant abstraction d'un ensemble de valeurs de x de mesure nulle, la fonction f(x) est continue, elle est mesurable. Car les points limites de I'ensemble E [ a ^ / ( ^ ) ] qui ne font pas partie de cet ensemble font necessairement partie de Tensemble de mesure nulle neglige, done ils forment un ensemble de mesure nulle. L'ensemble E [ a ^ / " ( # ) ] ? etant ferme a un ensemble de mesure nulle pres, est mesurable. On voit ainsi, en particulier, que toute fonction integrablean sens de Riemann est mesurable; on voit aussi que la fonction y(.r) de Dirichlet, qui est non integrable, est mesurable.

IV. — Definition analytiqae

de

Uintegrate.

Detinissons maintenant Fintegrale d'une fonction mesurable bornee en supposant l'intervalle d'integration (a, b) positif. Nous savons que, s'il s'agit d'une fonction A, celte integrate est

el que, s'il s'agit d'une fonction fix) quelconqu<\ rintegrale doit etre la limite commune des integrates de z> el $ (p. 101) quand lc maximum de /, + ( — /, tend vers zero. D'apres les conditions du probleme d'integration, ces integrales sont mI

(l) J c n e s a i s p a s s'il esL p o s s i b l e d c n o i n m e r une f o n c l i o n n o n m e s u r a b l e j<' n e s i n s p a s s'il < ' \ i s i e d e s f o i x i i o i i s n o n i J i e s u r a b l e s .

B;

LES FONCTIONS SOMAIABLES.

1I3

Nous savons deja que ces deux nombres different de moins d<> e(b — a) parce quo $ — cp est inferieure a s. Si nous faisons tendre e vers zero, en intercalant entre les /,- de nouveaux nombres, alors <7eroit, S decroit, S — cr Lend vers zero; done a* el 2 ont unc meme limite. Soient o^, 2, ; a\>, S 2 ; . . . les sommes obtenues par co procede; soient i\, 2',; a*',, 5'2; . . . les sommes obtenues en faisant tendre s vers zero d'une autre m a n u r e (*); soient
la seconde de ces inegalites montre que
CHAPITRE VII.

et q>o de la nature de celles dont il vient d'etre parle, done/; + / 2 differe de moiiis de 2£ de cp1 + ^ 2 ; / (f\+f2)dx

differe de

moinsde 2z b — a\ de / (cp, +
?

~b

b

/

/ cp2 ^

fs dx -t- / / 2 ^ . La *^«

condition 3 est done bien remplie. La condition 6 est aussi remplie, car on a la propriete suivante : Si les fonctions mesurables /„(.*), bornees dans leur ensemble, e'est-a-dire cjuels que soient n el x, ont une limite f(x)7 lJintegrate de fa(x) tend vers celle def(x). En effet, nous savons que f{x) est integrable; evaluons /

[f(oc)-ftl(x)}d.r.

Si Ton a toujours | / / / ( . ^ ) | < M et s i / — fn est inferieure a e dans E / o /' — fn, etant inferieure a la fonction egale a £ dans E ;/ et a M dans C ( E / i ) , a une integrale au plus egale en module a zm(En)

-+- M

Mais £ est quelconque, et ;?z[C(E^)] tend vers zero avec - parce qu'il n'y a aiicun point commun a tous les E / n done b

(f-fn)djr tend vers zero. La propriete est demontree (*). Une autre forme de ce theoreme est la suivante : Si tous les restes d}une serie de fonctions mesurables sont en module iaferieurs a un nombre fixe M, la serie esl integrable lerme a terme. Les definitions et les resultats precedents peuvent etre etendus (*) M. Osmond, dans un Meinoire de VAmerican Journal, 1897, O]l ine nonuniform convergence, a demonlre le cas particulier de ce theoreme dans lequel / et les fn sont continues. La melhudc de M. Osyood est tout a fait diflerente de celle du le\Lc.

LCS FONCTIONS SOMM A BLKS.

[

'5

a certaines fonctions nun bornees. Soil / ( > ) tine fonction mesurable non bornee. Choisissons
En reprenant les raisonnements precedents, on voit immediatement qne, si Tune d'elles est convorgente, et par suite absolument convergente, l'autre Test aussi et que, dans ces conditions, o- et 2 tendent vers une limite bien determinee quand le maximum de li+\ — // tend vers zero dune maniere quelconque. Cette limite est, par definition, {'integrate de f(.r) dans l'intervalle positif d'integration; on passe de la a l'intervalle negatif comme preredemment. Nous appellerons fonctions sommables les fonctions auxquelles sapplique la definition constructive de l'integrale ainsi completee (*). Toute fonction mesurable bornee est sommable. Les raisonnements employes montrent que le probleme d'integration est possible et d'une seule maniere, si on le pose pour les fonctions sommables. On ne connait aucune fonction bornee non sommable, il esl facile au contraire de citer des fonctions non bornees non sommables. La fonction nulle pour x — o et egale a 1

x1 ^\n —

/

f

= ->.x sin

}

— - cos

en est un exemple ; cependant cette fonction peut etre integree par les methodes de Caucliy et Dirichlet developpees au Chapitre I. On pourra, dans certains cas, appliquer ces methodes aux fonci1) Je m'ecarte ir.j du lan^;i^ adopte dans ma These ou j'appelais fonctions sommables cellos que j'appelle mainLenant mesurables. Avec les conventions du texte, le mot sommable joue dans la themie do l'integrale le memo role quo le mot inte'grable dans I'integration riernannienno.

! ,()

CHAPITRE

VII.

tions non sommables pour definir leur integrate; je n'insisterai pas sur cette generalisation. Voici une derniere definition; si une fonction / ( . r ) est definie dans un ensemble E, nous dirons qu'elle est sommable dans E si la fonction / , , egale a / pour les points de E et a o pour les points de CAL(E)? a une integrate dans AB, qui sera, par definition, ]'integrate de / sur E. Done, si un ensemble E est la somme d'un nombre fini ou d'une infinite denombrable d'ensembles mesurables E/, sans point commun deux a deux, on a

cela est evident si la fonction sommable consideree est bornee; on le demontrera sans peine pour une fonction sommable quelconque. V. — Definition geometrique

de ly integrate.

La definition constructive de l'integrale a laquelle nous venons d'arriver est analogue a la definition developpee au Chapitre II; seulement, pour calculer une valeur approchee de Fintegrale, au lieu de se donner comme dans ce Chapitre une division de l'intervalle de variation de i•, nous nous sommes donne une division de Tintervalle de variation de f(x). Recherchons maintenanl s'il est possible d'obtenir une definition analogue a celle du Chapitre III. Cela suppose resolu le probleme de la mesure des ensembles formes de points dans un plan, probleme que Ton pose comme pour le cas de la droite, la condition 3' devenant : la mesure de Vensemble des points dont les coordonnees verifient les inegalites est i. On demontrera facilement que la mesure d'un carre est son aire, au sens rlementaire du mot. De la on deduira quo la mesure d'un ensemble quelconque est comprise entre sa mesure exterieure et sa mesure interieure, mesures qu'on definira comme dans le cas de la droite, les carres rcmplacant les intervalles. Pour demontrer que la mesure interieure ne surpasse jamais la

LES FONCTIONS SOMMABLES.

T 17

mesure exterieure, il faudra demontrer qu'un carre C ne peut etre couvert a l'aide d'un nombre fini de carres a que si la somme des aires des a est au moins egale a l'aire de G, ce que Ton peut faire elementairement (»); puis il faudra demontrer le theoreme de M. Borel lorsqu'on remplace dans son cnonce le mot inter valle par le mot carve ou le mot domaine. La demonstration peut se faire comme pour le cas de la droite, mais je veux a cette occasion iudiquer comment on peut employer la courbe de M. Peano et les autres courbes analogues (p. 44). Soit le domaine D dont tout point (ainsi que les points frontieres) estinterieur a run des domaines A. Nous pouvons definir, a l'aide d'un parametre t variant de o a i, une courbe C qui remplit Je domaine D et qui ne passe par aucun point exterieur ( 2 ). Ghaque domaine A decoupe sur C des arcs correspondant a certains intervalles de variation pour £, soient o ces intervalles. Un domaine A peut d'ailleurs avoir des points de sa fronti&re communs avec C, ces points ne formant pas d'intervalles; nous negligeons ces points et nous ne nous occupons que des intervalles. (o, i) est evidemment couvert avec les o, done avec un nombre fini d'entre eux, d'apres le theoreme de M. Borel pour le cas de la droite, et, par suite, D estcomert avec les A en nombre fini qui correspondent a ces o. Cette propriete demontree, la suite des raisonnements et des definitions se poursuit comme dans le cas de la droite, les intervalles etant toujours remplaces par des carres. Comme dans le cas de la droite on definit les ensembles mesurables, les ensembles mesurables B, ct Ton demontre a leur sujet les memes proprietes. II ne faut pas c.onfondre la mesure des ensembles de points dans le plan avec celle des ensembles de points d'une droite; nous les distinguerons lorsqu'il y aura doute en les qualifiant mesure superficieile

ms et mesure

lineaire

mi ( 3 ) .

(1) Pour cette question ct pour tout <<• qui concerne l;i mesure des polygones, on consultera avec interct la Note I)
[ i8

CHAPITKE VII.

Arrivons a la definition de l'inlegrale. A toute fonction bornee/(#) nous avons attache deux ensembles de points E1 [/(#)]? E2 [ / ( # ) ] (Chap. Ill, p. 46); par analogie avec ce qui a ete fait precedemment, il est naturel d'appeler integrate de la fonction / l a quantite

Etudions dans quels cas cette definition s'applique; nous allons demontrer que c'est lorsque la fonction / e s t mesurable et seulement dans ce cas. Pour cela il suffira evidemment de le demontrer pour la fonction a) ne perd aucun point, de la on deduit que m/5,[E(cp >a)] et m^e[E( a)] sont des fonctions non croissantes. De plus, E(cp^a) est l'ensemble des points qui appartiennent a tous les E(cp>a — A); de la on deduit que /??/?;[E(cp->a)] et m^ e [E(cp^a)] sont des fonctions de a continues a gauche. Ceci pose, supposons que Ion ait

alors il en sera encore de meme dans tout an certain intervalle (a — /i, a). Considerons la partie E de E(cp) comprise entre y = a — h et JK = a. Enfermons les points de E dans des carres A, les points de C(E) dans des carres B; on peut supposer les A et B de cotes paralleles a ox et oy. Us out en commun des rectangles C dont la somme des aires est au moins ms^e(E) — msj(E) et en differe aussi peu que Ton veut. La section des carres A par la droite y=K est composee d'intervalles a qui enferment E[cp(.z?) >K], celle des carres B est composee d'intervalles b qui enferment C}E[cp(^)>K]j ? celle des reelungles C esl formee des parties c communes aux a et b\ on a done ) ^ K] j. mi{c) est done superieure a £ quand K varie de a — h a a, et de ces questions ni dc quelquos ;iutres qu'oQ peut y rattachn-, comrae I'iategratioji par partie et I integration sous \v si^ne sommc.

LES FONCTIONS SOJV1MABLES.

l

[

9

ms,e(E) — tnSiiE est au moins egale a eh. £ et par suite E(co) n'est done mesurable que si cp est mesurable. Supposons que cp bornee soit mesurable et partageons l'intervalle de variation de cp a l'aide de nombres //. Soit E la partie de E(cp) comprise entre lL_K et //, nous allons evaluer sa mesure. Enfermons dans des intervalles a les points de E(cp>/,) et ceux de C[E(cp >/,•)] dans des intervalles 6, soient c les intervalles faisant partie des a et des b. Considerons Fensemble X des points dont les abscisses sont points de a et dont les ordonnees sont comprises entre /;_, et /;; soit S Tensemble analogue relatif a c. L'ensemble A. — 8 etant contenu dans E, on a

de la on deduit

En faisant la somme de toutes les inegalites analogues, on a m, |I -[E( ? )J

=

S/ / m / [Ef//<©
En raisonnant d'une facon analogue, on voit que

Nous a\ons deinontre que les deux quantites n et 2 tendent vers une meme limite quand le maximum de //_l_1 — It tend vers zero, done E(cp') est mesurable et Ton retrouve la definition de l'integrale deja donnee. Nous appellerons integrale indefinie de f(x) I'tine quelconque des fonetions F(.r) = I f(.r)d.r-h K. Les integrates indeftnics sont des fonetions continues. Si f(x) est une function bornee, eela est evident. Supposons ensuite f(x) sommable niciis non bornee, alors on peut trouver a assez grand pour que les integrates a ) , E ( / < — a) soient toutes deux inferieures en module a e. Posons / = / i + f->, f\ etant nulle pour les deux ensembles E ( / > a ) , E ( / < — a ) elf, etant nulle pour E(— a < / < a ) . Alors J:inregrale indefinie de / , est une fonction continue; Tin-

CHAPITRE VII.

r20

tegrale de/> dans tout intervalle etant 2£ aa plus, autour d'un point quelconque x0, on peut done trouver un intervalle dans lequel 1'accroissement de F(x) soit au plus 3s, ce qui prouve que F(.r) est continue. Sif{x) est sommable, \f(x)\ l'est aussi et, dans tout intervalle, l'integrale indefinie de f(x) subit un accroissement en module inferieur a celui de l'integrale indefinie de \f{x)\\ cette derniere in tegrale etant croissante, toute integrate indefinie est a variation bornee. Les propositions trouvees au Ghapitre V (p. 69) relativement a la limitation des nombres derives de F (x) a l'aide des maxima et des minima de f(x) sont encore exactes; elles se demontrent de ineme (*).

VI. — La recherche des fonctions

primitives.

Occupons-nous de la recherche des fonctions primitives. Soit rf(jp) une fonction ayant une derivee f{x), nous savons que f(x) est mesurable, car e'est une fonction de premiere classe. Supposons que/(.r) soit bornee, alors r\_S{x)^ x7 x + h] est aussi borne, quels que soient x et h. Et puisque/(#) est la limite pour h = o de r\_3(x), x, ^ + A]on peut ecrire, d'apres un theoreme enonce a la page 1 14? dr

f f(x)dx Jo

= lim — A= o

= ri(x) — cf(o), n

car Sx{x) est une fonction continue. Done les integrates indefinies d'une fonction derivee bornee sont ses fonctions primitives. Nous avons resolu le probleme fondamental du calcul integral pour les fonctions bornees. Do plus, nous avons un procede regulier de calcul perniettant de reconnoitre si une fonction bornee est 011 11011 une d e r h e e ( 2 ) . (1) SeulemcnL on peut maintrnant se servir des maxima et minima obtenus en neglii;oant les ensembles clc me>ure uulle, car si Ton modilie la valeur d'une f'oncLion aux points d'un Lei ensemble mi ne modiiie pas rintei;rale de cette fonction. ( 1 ) Comparez avec la pai;e 8:>.

LES FONCTIONS SOMMABLES.

121

Pour aller plus loin, demontrons que les nombres derives sont mesurables et meme mesurables B. Considerons pour cela une suite de fonctions u^ « 2 , ..., et les fonctions «, u egales, pour chaque valeur de x, a la plus grande et a la plus petite des limites des un] ce sont les enveloppes d' indetermination de la limite des u. Voici comment on peut obtenir I'enveloppe superieure u; vi est la fonction qui, pour chaque valeur de x, est egale a la plus grande des fonctions */,, u2, ..., ui\ wi est la limite de la suite croissante 17, t7 +l ,
00

Prenons des nombres positifs ani tels que ^ an \ ln \ soil inferieure a s. Designons, pour abreger, E ( / , , < A< Ln+{) par e,n et rangeons les en en suite simplement infinie en0 en^ Enfernions eni dans des intervalles An± et G(enJ dans des intervalles I/?i choisis de maniere que la somme de leurs parties communes soit au plus anr Enfermons en dans des intervallos Anm_ ct C(en,+etli) dans des (l) Le meme raisonnement monlrc que si les ut sont mesurables, u Test aussi.

Ill

GHAPITRE

VII.

intervalles I/Zn, les A^ et les lna_ etant interieurs aux I/Zi et ajant des parties communes de longueur au plus egale a an%. On enfermera de menie e,H dans k,H et C(efll + e f l ! + e J dans Ina, ces intervalles etant contenus dans Ina et ayant pour mesure de leurs parties communes anz au plus ( 1 ). En continuant ainsi, on enferme en dans An et m(A,,) — m(e,t) est au plus «„; de plus A/z n'a en commun avec les autres An+P que des intervalles, chacun d'eux etant compte une seule fois, de longueur to tale inferieure a an, Les deux sommes 2 | ln \ m(en) et S | ln \ m(An) sontconvergentes on divergent'es a la fois et, si elles convergent, elles different de moins de e. Les deux expressions

\A\dx

et %\ln\m(AH)

ont

done un sens en meme temps et, si elles en ont un, elles different de moins de e(b — a — i), (a, b) etant l'intervalle positif d'integration. La meme remarque s'applique aux deux expressions / Adx et S ln m (A,?). Soit un point x appartenant a ep, hi celui des intervalles A^ quicontient^c. Nous attachons a^le plus grand intervalle (x, x-\- h) contenu dans A' , de longueur au plus egale a e, et tel que

A Taide des intervalles ainsi definis, on peut former une chaine d'intervalles couvrant (#, b) a partir de a (p. 63). Cette chaine peut servir a e valuer une valeur approchee dr la variation to tale de /*. Cette valeur approchee ainsi trou\ee r est comprise entre vK — e(b — a) et v'1-He(6 — a) ou r4 = V | lp \ m(Bp),

en desi-

gnant par B^ les intervalles employes dans la chaine et qui proviennent des points de ep. Les points de Ap qui ne font pas partie de B^font necessairement partie de l'un des ensembles Ap+q (q^o), done lour mesure est au plus egale a ap ct v1, diflere de V | ln | m (kn) de moins de 2La/l I ^ I ^ £* Done, pour que V un des nombres derives d'une

fond

ion,

i1) On suppose ijiic r o n choisil les \ n de m a n i e r e que ceux q u i c o r r e s p o n d e n t a un meme in dice n ' e m p i e t e n t |>as les uns s u r les a u t r e s , et de m e m e des I

LES FONCTIONS SOMMABLES.

12*3

suppose fini, soit sommable, il faut et il suffit que cette fonction soit a variation bornee; sa variation totale est Vintegrate de la valcur absolue da nombre derive. Si, reprenant le raisonnement precedent, on se sert des intervalles employes pour calculer Taccroissement /'(b) — f(a) de f(x) dans (a, 6), on voit que Vintegrale indefinie d'un nombre derive sommable est la fonction f dont il est le nombre derive. Ainsi nous savons resoudre les problemes B? B7, C, G' quand la fonction donnee esl bornee on quand on sait que la fonction inconnue ne peut etre a varialion non bornee. Voici d autres consequences : soit une fonction /' ajant ses nombres derives a droite partout finis, on a j\

b

-f(a)

= /

Kd{f) dx = /

x rf (/

done A(i — X(f est une fonction non negative d'integrale nulle el, par suite, elle est partout nulle, sauf peut-etre aux points d'un ensemble de mesure nulle. Sauf en ces points, / a done une derivee a droite. On peut aller plus loin et demontrer qi^une fonction d variation bornee et d nombres derives finis a une derivee pour tin ensemble de points dont le complementaire est de mesure nulle; de plus une telle fonction est I'integrate indefinie de sa derivee consideree settlement pour I'ensemble des points oit elle existe ( ' ). Ces deux proprietes, qui s appliquent en particulier aux fonclions H nombres dcri\es bornes ( - ), resultent des considerations sL"li^antes : Les integrales ind(;finies des fonclions sommables ont toutes, nous allons le Aoir, des d(;ri\ces en certains points; nous comparerons cette derivee a la fonction integree / . Considcrons d'abord le cas d'une fonction mesuraJ>le ne prenant que les valeurs o et i, soit^Fson integrals indefinie et posons E('} = i) = E. EnfermonsE (1) Ces deux proprietes soul vraios lorsque I'un seulement des quatre nombres derives est fini. ( 2 ) On s'explique ainsi que savoir qu'unc fonction saLisfait a la condition de LipschiLz soit souvent aussi utile que savoir qu'elle est derivable.

CHAPITRE VII.

dans des intervalles A^ dont la somme des longueurs est m (E) + zP et faisons tendre ep vers zero. L'ensemble £ commun a A,, A2, . .. eontient E et n'en differe que par un ensemble de mesure nnlle, de sorte que, dans le calcul de F , on petit remplacer <]; par J/ tel que E ( J / = i) = t . 'V est la limite vers laquelle tendent en decroissant les fonctions typ attachees a A^, E ( ' ^ = i ) = A / ,; soit Wp 1'integrale indefinie de typ. Dans tout intervalle positif, Faccroissement de Wp est au moins egal a celui cle W, de sorte que

A etant Tun quelconque des nombres derives. Mais AWp etant egal a i pour tous les points interieurs aux intervalles A^, n'est different de zero qu'en ces points et en an ensemble de points de mesure nulle. Par suite, A*F n'est different de zero qu'en des points de £ (ou de E) et en un ensemble de points de mesure nulle. Mais, puisque AW n'est jamais superieur a i, que W est 1'integrale de \W et que, si E est contenu dans (a, 6), AW est egal a i pour les points de E, sauf pour les points d'un ensemble de mesure nulle. Cela etant vrai pour Fun quelconque des nombres derives, 'h est la derivee de W, sauf pour les points d'un ensemble de mesure nulle. Soit main tenant la fonction sommable /, reprenant les notations de la page 101 nous considerons / comme la limite vers laquelle les fonctions o tendent en croissant quand le maximum de // +1 — U tend vers zero, cp est la derivee de son integrale indefinie, sauf pour un ensemble de mesure nulle, car c'est Line somme de fonctions <j». On deduit de la, en faisant tendre /£-+I — // vers zero, que les nombres derives de 1'integrale indrfinie F do / sont au moins egaux i\ f sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle, car dans lout intervalle l'accroissement do l'inlegrale d e / o s l a u moins egal a oclui de 1'integrale cle cp. De mnne, on oonsiderant les fonctions $ qui tendent v e r s / e n decroissant, on voit que ces nombres derives sont, sauf en un ensemble do mesure nulle, au plus egaux a /, done Vintegrale iadejinie (Tune fonction sommable aclmet

LES FONCTIONS SOMMABLUS.

1'25

ce/le fonction pour derivee sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle (*). Si Ton rapproehe eel enonce do. la definition proposce a la page g4, on reconnait que eetlo definition est evaclement equivalente pour les fonetions bornees a celle ctudiee dans cc Chapilrc. L'integration cles fonctions sommables bornees est done, en un certain sens, roperalion inverse do la derivation. Yli. — La rectification

des courbes.

Soil unc eourbe reetifiable

definie dans («, b) paries fonctions ^'(^), # r(^), sU) a nombres derives borncs. Ces fonctions admettent toutes trois a la fois des derivees, sauf pour un ensemble de \ aleiirs de / de mesure nulle, E7 et soit e le complementaire de E. Nous allons demontrer que la longueur de la eourbe est

Remarquons d'abord que, dans un intervalle (t0, ^ ) , Fare s croit au plus de _M \ ;/ 3(^i — lo)i s i l e s nombres derives de x1 r , z sonl inferieurs en valeur absolue a M. Done on peut enfermer les points de E dans des intervalles A dont la contribution dans s est inferieure a £ et dont la contribution dans l'integrale I est aussi inferieure a s. Ceci pose, partageons l'intervalle fini de Aariation de pit)

= v /.r

a Taide de nombres // tels que / i + , — // soit inferieur a s. en etant I'ensemble E( tn nous pouvons enfermer en dans des (l) On pourrail deduirc de <e rcsultat la possibilite AHntegrer pew partie. Le raisonnement qui vienl CIY-LK- employe conduit a une autre propriele : Toute fonction mesarable est continue, sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle, quand on neglige les ensembles de mesure s, si petit que soit s. Voir BOREL, Comptes 28 decembre 1900.

rendus,

7 decembve 190); LEBESGUK, Comptes

rendus,

I'll]

CHAPITRE VII.

inler\a!les A7l clont les parties communes avec d'autres kn+q ont une longueur totale au plus egale a an\ les nombres an etant tels que la serie S | ln \ an soit convergente et de somme e. A tout point / de ep attachons le plus grand intervalle (t, t-hh) d'origine t, de longueur au plus egale a s, interieur a celui des An qui contient / el tel que

A iin point t de E, nous attachons le plus grand intervalle (t, t H- h) d'origine £, de longueur au plus egale a e et contenu dans celui des A qui contient t. Avec ces interval! es, on peut couvrir (o, i) ? a partir de o, par une chaine d'intervalles qu'on peut employer pour le calcul de J'arc. Cela donne une valeur approchee de Tare differant de moins de e(b — a) -+- e de a- = S/^•m(A'i:), en designant par A' les intervalles employes provenant des points de a. Les points de A/ qui ne font pas partie de Kt sont des points de A ou de A/+y(y ^ o). Or les points de £ contenus dans A fournissent, dans

une contribution qui differe de moins de e(b — a) de l'integrale de p(t) dans A; e'est-a-dire qu'ils donnent une contribution au plus egale a e(b — a)-h e. D'autre part, les points des A/ qui font partie des A i+y (y ^ o) fournissent, dans a-,, une contribution au plus egale a S/£-j cti \ = e. Done o-, — cr tend vers zero avec s et comme, dans ces conditions, o-^ tend vers /, la propriety est demon tree. La fonction s(t), qui represente Tare, etant l'integrale indefinie dep(t), admet /./(/) pour derivee, snuf pour les poinls d'un ensemble de me sure nulle. Ainsi loisqu une courbe rectijiable est de/inie a Vaide de fonclions de t a nombres derives bornes, on a la relation

sauf pour des valeurs de I formant nulle ( ' ) .

un ensemble de mesure

(*) En niprenaul les raisonnements employes, un verra facilement daus quelle

LES FONCTIONS SOMMABLtiS.

I '11

Considerons une courbe rectifiable; exprimons ses coordonnecs a Faide de Pare s ( 1 ); alors on a, en general,

Soit cr Fare de la courbe {x,y, o) projection sur le plan des xy\ 0- est une fonetion de s a nombres derives bornes et Ton a

sauf pour un ensemble de points de mesure nulle. De la resulte que Fensemble A des points ou c's et z's sont nuls en merae temps est de mesure nulle. Sauf aux points de A, -4 a une valeur determinee finie ou inlinie. Si ?' est nul et z[ non z

s

nul, la courbe a une tangente parallele a o ; ; si s nappartient pas a A et si a's est different de o, puisque
Les courbes rectijiables ont done en general des

tangentes,

les points ou il n'y a pas de tangentes correspondent a un ensemble de valeurs de Tare dont la mesure est nulle ( 2 ) . Ce sont ces points que Ton pent negliger dans le calcul de Pare a Faide de Fintegrale

de y/x ) une fonetion a variation bornee continue, appliquons la propriete qui precede a la courbey =f(x). Cette courbe a, en 3 general, des tangentes ( ); si s est son arc, x's et y's existent sauf pour un ensemble de valeurs de s de mesure nulle. Sauf aux points de cet ensemble eta ceux de Fensemble E ou x's est nulle, y\. existe et est finie. Je dis que E est de mesure nulle. mesure les le'sultals p r e c e d e n t s sont i n d e p e n d a n i s de Thypothese q u e x{t), y(t), z(t) sont a n o m b r e s derives bornes. On verra aussi q u e les n o m b r e s derives pen vent remplacer les derivees dans Texpression de Tare lorsqu'ils sont b o r n e s . Com me cas particulier, on t r o u v e r a q u e la variation totule de I f dx est I \f\

dx.

(1) Cela n'est possible que si x, y et z ne restent pas tous trois constants dans un certain intervalle. ( 2 ) Malgre la restriction si^nalee dans la Note precedente cet enonce est tout a fait general. ( 3 ) Car x ne restant jamais constant, puisque e'est lui le parametre, nous ne sornmes pas dans le cas d'exception signale aux notes precedentes.

128

CIIAP1TRE VII.

S'il iven (Hait pas ainsi, les points ou Fun, convenablement choisi, des quatre nombres derives de f(x) serait infmi, formeraient un ensemble de mesure non nulle. On pourrait alors reprendre le raisonnement des pages 121 et i 22 pour evaluer/(#) a l'aide de ce nombre derive A/(.r), mais parmi les /,• figurerait Tun des nombres /_« = — ce, /+oo = + oo, et Ton aurait les'ensembles e_xl e+00, Tun d'eux etant de mesure non nulle ( 1 ). L/intervalle que Ton attacherait au point x de e+a0 serait le plus grand intervalle (x, x -+- h) de longueur au plus egale a s, contenu dans celui A ^ des A ^ contenant x et tel que Ton ait lVJ

-

h

'

M etant choisi arbitrairement. La chaine d'intervalle correspondante donnera une valeur approchee de la variation totale qu'on pourra faire croitre indefiniment avec M et - si 1+^ est de mesure non nulle et si Ton a pris

ceci est contraire a l'hypothese, E est de mesure nulle. Or, par hypothese, f(x) est variation bornee, done x\ est mil pour un ensemble de valeurs de s de mesure nulle. y'T existe done et est finie sauf pour un ensemble de valeurs de s de mesure nulle. Mais aux valeurs de s, formant un intervalle 0, correspondent des valeurs de ./ formant un intervalle 0, au plus egal a 0; si Ton enferme les valeurs de s d u n ensemble E dans des intervalles de longueur totale /, les valeurs correspondantos de ./ forment un ensemble E, qu'on peut enfermer dans les intervalles correspondants de longueur totale au plus egal a /. A un ensemble de valeurs de s de mesure nulle correspond done un ensemble de valeurs de ./ de mesure nulle. / / est ainsi demo air e que toute fonction a variation bornee f(x) a une derivee finie sauf pour les valeurs de x d7un ensemble de mesure nulle. Le raisonnement de la page 122, tel qu'il vient d'etre complete, montre me me que cette derivee (')

Les n o t a t i o n s s o n t celles i u d i q u c c s a la p a g e i a i .

LES F0NCT10NS SOMMABLES.

1^9

est sommable dans Fensemble des points ou elle est finie, mais sa fonction primitive n'est pas necessairement f{x), comme le montre l'exemple de la fonction \{x) de la page 55. Le theoreme qui vient d'etre demontre est done different de celui concernant la derivation des integrates indefinies; en d'autres termes, il existe des fonctions continues a variation bornee, %(>£') par exemple, qui ne sont pas des iiitegrales indefinies ( J ). ( ' ) Pour qu'iuie fonction suit integrulc indefinie, il faut de plus que sa variation totale dans une infinite denombrablc d'inlcrvalles de longueur totale /, tende vers zero a\cc /. Si, dans I'enonre de la page 9^, on n'assujeUit pas J\x) a eLre bornee, ni F {x) a etre a nombres derives bornes, mais seulement a la condition precedente, on a une definition de l'integrale equivalente a celle developpee clans ce Chapitre et applicable a toutes les fonctions somrnables, bornees ou non.

L.

NOTE. SUR LES ENSEMBLES DE NOMBRES.

I. — Les ensembles

derives.

Nous avons du resoudre a la fin du Ghapitre 1 la question suivante : Une fonction continue est connue a une constante additive pies, variant d'un intervalle a l'autre, dans tout intervalle ne contenant aucun des points d'un ensemble E; quelle doit etre la nature de I'ensemble E pour que la fonction soit completement determined (*)? Ge probleme a ete resolu par M. G. Cantor, qui l'utilisa dans la theorie des series trigonometriques. Nous allons etudier les proprietes des ensembles qui ont ete employees au Ghapitre 1 pour la resolution de cette question. Considerons un ensemble borne E de points( 2 ). L'ensemble de ses points limites est son premier derive, il se note E' ou E 1 . Le derive de E 1 est le second derive, il se note E 2 ; et ainsi de suite. I. Pour tout ensemble infini (c'est-a-dire comprenant une infinite de points ) E l existe, c'est le principe de Bolzano-Weierstrass. Pour le demontrer, rangeons en une classe A tous les nombres inferieurs a une infinite de nombres de E et dans la classe B les autres nombres. La division A, B definit un nombre qui est evidemment un point limite de E et me me le plus petit de ces points limites. E1 est evidemment ferme, c'est-a-dire contient ses points limites, done il contient son derive E 2 ; E 2 est ferme, il contient E 3 ; et ainsi de suite. Ces ensembles K1, E2, E 3 , . . . peuvent exister. Un premier cas ou leur existence est evidente est celui ou E 1 est parfail, car alors E 1 , E 2 , E 3 , . . . (!) On peut toujours supposer que l'ensemble E qui figure dans cet enonce est ferme; il suffirait done d'etudier seulement les ensembles fermes, mais il ne resulterait de cette limitation aucune simplification notable. ( 7 ) II s'agil de points en ligne droite, done de nombres; il n'y aurait que peu de changements s'il s'agissait d'ensembles de points dans un espace a plusieurs dimensions; d'aillcurs l'emploi des courbes telle? que la courbe de Peano permet dc se borner a l'etude du cas de la droite.

SUR LES ENSEMBLES DK NOMBRES. 2

I 31 3

sont tous identiques. Dans ce cas la definition de E , E , . . . ne presente pas d'interet. Mais ces ensembles peuvent etre tous distincts. Voici le procede de construction que nous emploierons pour le voir : Soient des ensembles e{, e2l . . . . Divisons (o, i) en intervalles partiels -)'

I-* — ) ' I — > — K

2/

\%

22/

\1'"

23/

• • •• Effectuons sur ei la transformation

homothetique qui remplace le plus petit intervalle contenant e{- par / -jzT[*> ~ ) > ei devient d.

La somme de ces ensembles
A(eu e2, . . .)• Si eA, e-2f • . • contiennent chacun un nombre fini de points, A 1 = A(e,, Co, .. .) est un ensemble pour lequel E1 se reduit au point o. Si e1? e2, . . . sont identiques a Aj on obtient A2 = A(A I? A1? . . .) pour lequel E2 se reduit au point o. Et ainsi de suite. Si e{ = Aj, e2 = A-2, . . •, pour A ( A u A2, . . . ) , les derives E 1 , E2, . . . contiennent tous des points. II. Lorsque les derives E1, E2, . . . contiennent tous des points, il existe des points communs a tous ces derives. Soit, en effet, M/ un point de El n'appartenant pas a E ^ 1 ; M; est aussi point de E'- 1 , E2'-'2, . . ., E 1 . L'ensemble M1? M2, . . . a au moins un point limite qui, etant limite des points M/, M/ +1 , . . . de E% est point de E' + 1 . Ge point appartienL done a tous les E'. L'ensemble des points dont Texistence est ainsi demontree est appele le ujieme derive E«. Pour A ( l ) = A(A 1? A 2 , . . . ) , E^ contient le seul point o. Le derive de E w se note E w + 1 , il se reduit au point o pour A(A W ,A W , . . . ) = A w + ] . Les derives successifs de E w se notent E w + 1 , EWH-2, . . . . Fl ne faut attacher aucune importance a la forme particuliere des indices employes; en fait, on est vite oblige de renoncer a leur donner une forme determinee a l'avance par une loi precise, on met comme indices des symboles quelconques qui ont pour but de distinguer les differents derives d'un meme ensemble. Nous appellerons ces symboles les nombres transjinis de la premiere classe ou, pour abreger, les nombres trans finis ( ! ) ; mais, avant d'etudier ces symboles, il faut demontrer que ce sont les memes qui peuvent servir quel que soit l'ensemble dont on prend les derives et pour cela preciser la definition de ces derives. Mous dirons de deux derives d'un meme ensemble que l'un d e u x vient apres Tautre s'il est contenu dans cet autre. Avec cette convention les mots avant et apres peuvent etre employes comme dans le langage ordinaire.

(*) M. Cantor considere d'autres nombres transfinis que ceux dont il est question ici, mais ces nombres ne sont pas uliles dans Fetude des ensembles derives.

j3a

NOTE.

Lorsqu'un derive contient une infinite de points et n'est pas parfait, i! y a lieu de considerer son derive qui est, par definition, le premier derive qui vienne apres lui. Une seconde definition est necessaire; soient E a , EP, . . . des derives en nombre fini ou denombrable, s'ils contiennent tous des points et s'ils sun I. different* deux a deux il existe des points qui leur sont comniuns a tous; pour le voir, il suffit de faire un raisonnement analogue a celui employe pour la proposition II. L'ensemble de tous ces points peut etre identique a l'un ET des ensembles donne's, alors ET vient apres tons les autres ensembles donnes, ou bien il n'est identique a aucun des ensembles donnes et il constitue par definition le premier derive venant apres E*, EP, Pour que cette definition soit acceptable, il faut que, sans que le derive obtenu change, on puisse remplacer les derives donnes par les derives E«', EP', . .. tels que Tun quelconque des E a fasse partie des E«' ou soit avantFun d'eux et inversement. On verifie facilement qu'il en est bien ainsi. La seconde de ces definitions ne s'applique que dans le cas ou une infinite denombrable d'ensembles derives a ete definie, et seulement une infinite denombrable. La premiere suppose que dans l'ensemble des derives definis il y a un dernier derive, de sorte que les derives obtenus par l'application de ces deux definitions ont avant eux au plus une infinite denombrable d'ensembles derives. Nous pouvons enoncer la proposition : III. Lorsque des derives en nombre fini ou de'nombrable d'un ensemble E contiennent tous des points, il existe des points communs d tous ces derives. Ces points constituent le premier derive qui ne vient avant aucun des derives donne's. Gonside'rons les derives successifs dedeu\ ensembles A et B. Nous n'ecrivons que les derives differents qui contiennent effectivement des points. Faisons corresponds A1 a B 1 , A2 a B^. . . ., Vw a B w , etc. En operant ainsi. on fait corresponds tous les premiers derives de A a tous les premiers derives de B, l'ordre etant conserve. Je dis que cette correspondanee peut etre poursuivie assez loin pour epuiser, soit les derives de A, soit ceux de B. En effet, la correspondance peut etre etablie entre les premiers derives entre A1, A2, . . . et H1? B2, . . . . Je suppose edits tous les derives de A pour lesquels cette correspondance peut etre etablie; alors, ou bien il v a un de ces derives apres tous les autres, ou bien cela n'est pas et dans les deux cas on sait definir le derive de A qui suit tous ceux ecrits. Si Ton fait corresp o n d s re derive de A a eelui de B qui suit tous eeu\ ecrits la correspondance est realisee pour d'autres ensembles derives que ceux ecrits; il etail done absurde de supposer qu'elle nYtail realisable que pour ceu\-la. La correspondance peut done etre realisee jusqu'a coniplet epuisement des derives de A ou de B. Supposons que ce soit les derives de A qui soient epuises. Je dis que cette correspondance n'est possible que d'une maniere; en d'autres termes, il n'est pas possible de realiser les conditions enoncees

SUR

LES ENSEMBLKS DE NOMBRES.

i33

de maniere qu'tm inemc derive A*.> de A corresponde d'abord a un derive de B, puis a un autre derive de B. Supposons cela possible eL considerons seulement les derives A a , on a est an plus egal a a 0 ; nous aurons deux applications successives de 1'ensemble de ees \ * sur deux parties diflcrentes P el P t de 1'ensemble des BP. P est continue dans P t ou ?x dans P. Supposons que P! soil eontenue dans P. Alors dans Implication des Aa sur P on fait corresponds au\ BP de P, les derives d'une partie Q de 1'ensemble des A a . A un A a quelconque correspond dans ['application sur P{ un BP, a ee Bp correspond dans Tapplication P un A a , on pourrait done realiser l'application de Tensemble des A a sur l'une Q de ses parties ( I ) . Or cela est impossible car A1 doit neeessairement corresponJre a A1, A2 a A2, et ainsi de suite, et Ton de'montrerail qu'il n'en peut etre ainsi pour une certaine famille de derives A1, A2, . . ., sans en etre aussi de meme pour le premier derive qui suit eeux eerits. Enfin par des raisonnenients de meme nature on demontrera que si dans la correspondance il est possible d'epuiser les derives de A, sans epuiser ceux de B, il est impossible de realiser la correspondance satisfaisani aux conditions enoncees et telle, de plus, que les derives de B soient epuises avant ceux de A.

II. — Les nombres trans finis. Si, comrae il a ete dit, on met aux lettres E et F differents indices distinguant les derives des ensembles E et F, on pourra convenir d'emplo\er les memes indices pour les derives de E et de F qui se correspondent dans r a p plication dont il vient d'etre parle. Les symboles ainsi cboisis une fois pour toutes comme indices sont les nombres entiers finis i, 2, 3, . . . et d'alitres signes qu on appelle Jes nombres trans finis ( 2 ). (1) II faut reinarquer que e'est une parlie eominoncant a A1 et contenant des derives consecutifs, e'est-a-dire ce que M. Canto/- appelJe un segment. S'il s'agissait d'une partie quelconque, iJ n'y aurait pas impossibiliie. ( 2 ) Une notation reguliere de ces symboles n'ajamais ete donnec; il est d'ailleurs evidemirient impossible de noter tons ees symboles par des cornbinaisons en nornbre flni quelconque d'un no/nbre fini de symboles, car, comme nous allons le voir, leur ensemble a une puissance superieure an denmnbrable. II parait done impossible de donner uoe loi permettant d'ecrire elJVrtivement a 1'aide d'une notation reguliere l u n quelconque d'entre eux. Relativernent a la numeration des nombres transfinis. on lira avec interet ce qui concerne la forme 11 or male des nombres transfinis dans les Me"moires de JVJ. G. Cantor, traduils par M. F. Marotte sous le tide de Fondements d'une tlie'orie des ensembles transfinis ( Paris, Hermann ). Duns le meme Ouvrage se tmusent developpees les proprietes des ensembles i)ien ordonnes que j'ai uUli^ees dans Tetude des ensembles derives.

134

jN0TE

-

Un nombre transfini est dit plus petit qu'un autre loisqu'il correspond a un derive venant avant celui correspondant a l'auti e nombre transfini. Nous nous bornons d'ailleurs aux symboles utiles, nous ne continuerons la construction de ces symboles que tant que nous trouverons des derives contenant des points et differents de ceux qui les precedent; chaque nombre transfini n'a done avant lui qu'un nombre fini ou une infinite denombrable de nombres transfinis.

IV. L'ensemble des nombres transfinis it est pas denombrable. — Nous avons attache des ensembles Al7 A2, . . . aux nombres finis et des ensembles A w , A^-H, aux deux premiers nombres transfinis. Nous completerons cette correspondance en eonvenant que si nous avons attache Aa au nombre a, Aa4_x sera A(Aa, A a , . . . ) . Les nombres a -+-1 auxquels s'applique cette definition sont ceux qui ont avant eux un dernier nombre transfini, ce sont ceux qui correspondent aux derives donnes par la premiere definition; M. Cantor les appelle les nombres de la premiere espece. Geux de la deuxleme espece sont ceux qui correspondent a la deuxieme definition des derives; un tel nombre a est defini par Tensemble de tous les nombres qui lui sont inferieurs. Rangeons ces nombres, qui forment un ensemble denombrable, en suite simplement infinie a, b, c, . . . ; nous poserons A a = A ( « , 6 , c , . . . ) (i). Ges deux procedes de construction sont applicables lant que 'on n'a encore qu'une infinite denombrable de nombres; ils donnent toujours un ensemble A a dont le a^me derive ne contient que le point o; il est done absurde de supposer qu'on epuise la suite des nombres transfinis a l'aide d'une infinite denombrable d'operations.

III. — Les ensembles reductlbles et les ensembles par/alts. II existe deux grandes classes d'ensembles : les ensembles denombrables et les ensembles non denombrables. \ la premiere classe appartiennent les ensembles dont Tun des derives ne contient aucun point ( 2 ) ; cola resulte immediatement de la proposition suivante : V. Les points de E l qui ne font pas partle de E* (a > i) forment un ensemble denombrable. — En efTet les points de E 1 qui n'appartiennent pas a E2 sont isoles dans E 1 , done chacun d'rux |>eut etre enfermc dans un intervalle ne contenant qu'un point de E 1 . Sur r u n de res intervalles 8 deux autres, au plus, ot o t o2, nnpietent o.t ils n'einpietent pas Tun sur ( 1 ) 11 y a la une difficulte qui provient du fait qu'on ne donne pas la loi de formation de la suite a, b, c, Si Ton savait douner cetle loi los ensembles Aa pourraient servir a noter les nombres iransfinis. ( 2 ) D'apres III, le premier derive pour lequel il en rsi ainsi ne peul eorrespondre a un nombre de la seconde espece.

SUR LES ENSEMBLES DE NOMBRES.

l35

1'autre. La somme des longueurs des 8 est done au plus deux fois la longueur d u n intervalle contenant E*; les intervalles 3 formenr un ensemble denombrable. Ainsi les points de E 1 qui n'appartiennent pas a E2 forment un ensemble B t denombrable, ceux de EP qui n'appartiennent pas a EP+1 forment un ensemble denombrable Bp. Or l'ensemble considered dans la propriete Y est l'ensemble des points de la somme des Bp pour [3 < a, done il est denombrable. Les ensembles dont Tun des derives ne contient aucun point sont dits reductibles; ils sont denombrables, car, d'apres V, pour un tel ensemble E, E t est denombrable ; tous les points de E sont des points de Et ou des intervalles contigus a E1? lesquels sont en nombre fini ou denombrable. Dans un intervalle interleur a un intervalle contigu a E1? [E n'a pas de points limites, done est fini et par suite il est denombrable dans tout intervalle contigu a E,. E est denombrable. A la classe des ensembles non denombrables appartiennent les ensembles parfaits : VI. Tout ensemble parfait a la puissance du confinu. — Gela est evident si l'ensemble contient un intervalle; soit E un ensemble parfait non dense dont les points extremes sont A et B ( 1 ). GAR(E) est un ensemble forme des points interieurs a Tinfinite denombrable des intervalles contigus a E. Rangeons ces intervalles en suite simplement infinie 8l7 82? A A faisons correspondre le point o, a B le point i, au\ deux extremites de Sj le point | , aux deux extremites de 82 le point \ ou f suivant que 82 est entre A et 3 t ou entre o{ et B. Oncontinuera ainsi, faisant correspondre aux deux extremites de on le milieu de l'un des intervalles, definis par les points correspondant a A, B, Sj, o2, . . . , S^—i, ce milieu etant completement defini par la condition que les points correspondant a A, B, 8^ 3 2 , . . ., ofl se succedent dans le meme ordre que A, B, <5\, o2, .. ., 8W. Soit M un point de E qui ne soit pas extremite d'un intervalle contigu a E, il est limite des extremites d'intervalles 8^, o /0 . . . . Les points correspondant a ces intervalles ont, il est facile de le voir, un point limite y. On fait correspondre y a M. De cette maniere a tout point de E correspond un point et un seul de (o, i), et a tout point de (o, i) correspond un ou deux points de E, done E a la puissance du continu. Considerons maintenant Tensemble E ^ commun a tous les derives de E (~). II est evidemment ferme, je dis qu'il est parfait. Pour le voir, (i) On suppose E borne, sinon on raisonnerait sur une partie bornee de E. (-) L'indice £1 n'a pys d'autre but que de distingucr Tensemble ainsi forme des derives. Si, ce qui n'est pas, EQ etait different de tons les derives, il y aurait lieu de considerer E-Q comme une sorte de nouveau derive et par Q on representerait un symbole qui serait le premier venant apres Lous les nombres transfinis de la premiere classe. Un tel symbole serait ce quo ML Cantor appelle le premier nombre transfini de la seconde classe.

i36 remarquons que si M est un point do E^ er (a, ft) un intervalle contenant M, ou bien Tun des derives de E est parfait dans (V/, ft), ou bien quel que soit le derive considere E a on pout trouver un point Ma appartenant a E a sans appartenir a E« +1 et cela fait voir que, dans tous les cas, E l n'est pas denombrable dans (a, ft). Jnversement, si M est tel que dans tout intervalle (a, ft) le contenant il y a une infinite non denombrable de points de E1, M appartient a E&; car s'il n'appartenait pas a E* il y aurait un intervalle (a, ft) dans lequel E a n'aurait pas de points et dans lequel E1 so rait denombrable. De cette propriete caracteristique des points cle E-^ il resulte que E^ ne pout contenir aucun point isole; si M etait un tel point, on pourrait trouver (a, b) contenant M et ne contenanl aucun autre point de E-^; marquons les points a < a\ < a>. . . < M < . . . < ft2 < ftj < ft, les a/ et les ft, tendantvers M ; danschaquc intervalle («/, a^i), (ft/+i, ft/), E1 est denombrable, il est done denombrable dans (a, ft). E^ est parfait. Mais nous voyons de plus que dans tout iutervalle contigu a E^ il n'y a qu'une infinite denombrable de points de E1. A cbacun de ces points correspond un nombre fini ou transfini, indice du premier derive ne contenant pas ce point. II y a une infinite denombrable de ces nombres, soit a le plus grand d'entre eux, s'il y en a un plus grand que tous les autres et, s'il n'en est pas ainsi, soit a le plus petit de ccu\ qui les surpassent. Lc derive E a est identique a E^. done : VII. Tout ensemble a Van de ses derives parfait. VIII. Tout ensemble ferme est la somme dyun ensemble denombrable et (run ensemble parfait ( ] ). Les ensembles ferme's sont done denombrables ou ont la puissance du continu, suivant que leur derive parfait ne conticnt aucun point, ou en contient; e'est-a-dire suivant qu'ils sont reductibles ou non. Mais un ensemble non ferme peut etre non reductible et denombrable ; e'est le cas de l'ensemble des valeuis rationnelles. (] ) <)n remarquera que la demonstration du theoreme VIII ne suppose connus, ni la nation, ni meme le mot de nombre transfini. Au contraire, dans la demonstration du theoreme VII, j'emploie les nombres translinis. Pendant la correction des epreuves, j'ai eu connaissance d'une lettre adressee a M. Borel par M. Ernst Lindelof, et dans laquellc cclui-ci indique une demonstration du theoreme VIII qui me parait identique a celle du texte.

FIN.

TABLE DES MATIERES. Pages. PREFACE

Y

INDEX

\ tit

CHAPITRE I. — Uintegrate

avant Riemann

i

I. — [-'integration des fonctions continues II. — L'inte"gration des fonctions discontinues CHAPITRE II. — La definition de I'integrate I. II. III. IV.

donnee par Riemann

— Propriety's relatives aux fonctions — Conditions d'integrabilite — Proprietes de l'integrale — Integrates par defaut et par exces

CHAPITRE I [I. — Definition geometrique

de Vintegrate

I. — La mesure des ensembles II. — Definition de I'integrale CHAPITRE IV. — Les fonctions d variation bornee I. — Les fonctions a variation bornee II. — Les courbes reclifiables CHAPITRE V — La recherche des fonctions primitives I. II. III. IV. V.

— L'integrale indefinie — Les nombres derives — Fonctions determinees par un de leurs nombres derives — Recherche de la fonction dont un nombre derive est connu — L'integration riemannienne considered cotnme Poperation inverse de la derivation

CHAPITRE VI. — L'integration

definie d t'aide des fonctions primitives..

I. — Recherche directe des fonctions primitives II. — Proprietes des fonctions derivees III. — L'integrale deduite des fonctions primitives CHAPITRE VII. — Les fonctions sommables I. — Le probleme d'integration K# — La rnesure des ensembles III. — Les fonctions mesurables IV. — Definition analytique de l'integrale

i 7 i5 1.5 >.^. 3o X\ o(> 36 4^ 49 ^jg 09 6^ 64 67 74 80 8-J 85 85 89 92 98 98 102 no 112

138

TABLE DES MATIERES. Pages .

V. — Definition geometrique de Fintegrale VI. — La recherche des fonctions primitives VII. — La rectification des courbes NOTE. — Sur les ensembles de nombres I. — Les ensembles derives II. — Les nombres transfinis III. — Les ensembles reductibles et les ensembles parfaits

FIN DE LA TABLE DES MATIERES.

34043

Paris. — Impriuiorie GAUTIIIER-V1LLARS, quai des Grands-Augustins,

116 120 125 T3O i3o i33 r34